Л. С. БЕРМАН

Емкостные
методы исследования
полупроводников
АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
им. А. Ф. ИОФФЕ

Л. С. БЕРМАН

емкостные
методы исследования
полупроводников

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Ленинградское отделение

ЛЕНИНГРАД • 1972
УДК 621.380

Емкостные методы исследования полупроводников. Бер-
ман Л. С. Изд-во «Наука», Ленингр. отд., Л., 1972, стр. 1—104.

В книге обобщен опыт использования емкостных методов для
исследования полупроводниковых материалов и приборов. Рас-
смотрено определение концентрации примесей и электрического
поля в р—n-переходе и параметров сложных эквивалентных
схем. Описаны методы определения параметров глубоких при-
месных уровней, обусловленных как примесями, вводимыми
в полупроводник, так и радиационными дефектами. Емкостные
методы, описанные в книге, основаны на единой теории и еди-
ной методике обработки результатов измерений. В начале каж-
дой главы выводятся расчетные формулы, а затем приводятся
примеры использования емкостных методов, взятые из различ-
ных областей полупроводниковой электроники.

Ответственный редактор
д-р физ.-мат. наук Б. И. Болтакс

2—3—6

403-72

Лев Соломонович Берман

ЕМКОСТНЫЕ МЕТОДЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Утверждено к печати

Ордена Ленина

Физико-техническим институтом

им. А. Ф. Иоффе Академии наук СССР

Редактор издательства Г. М. Арон

Художник М. И. Разулевич

Технический редактор В. В. Шиханова

Корректор М. А. Горилас

Сдано в набор 22/1П 11)72 г. Подписано к печати 28/VII 11)72 г.
Формат бумаги 84x108/32. Бумага Kt 2. Печ. л. 3'/< = 5.46 усл.
печ. л. Уч.-изд. л. 5.60. Изд. Уе 4918. Тип. зак. М 972. М-10103.

Тираж 4250. Цена 38 коп.

Ленинградское отделение издательства «Наука»

199164, Ленинград, Менделеевская линия, д. 1

1-я тип. издательства «Наука».

199034, Ленинград, 9 линия, д. 12
ВВЕДЕНИЕ

Исследование емкостных свойств полупроводников
представляет двоякий интерес: а) для создания полупро-
водниковых конденсаторов, управляемых электрическими
и световыми сигналами (варикапы и фотоварикапы);
б) для определения ряда параметров р—н-перехода,
а также объема и поверхности полупроводников.

В литературе (см., например, [1—3]) рассматривается
главным образом первый круг вопросов; настоящая мо-
нография посвящена второму кругу вопросов — емкост-
ным методам исследования полупроводниковых материа-
лов и приборов. Измерение барьерной емкости и ее
зависимости от напряжения уже в течение 20 лет исполь-
зуется для определения толщины р—и-перехода и рас-
пределения концентрации и примесей в нем. В послед-
ние годы область применения емкостных методов для
исследования свойств полупроводников значительно рас-
ширилась. В настоящее время емкостные методы исполь-
зуются для определения параметров эквивалентной схемы
полупроводникового диода (в частности, для определения
параметров сложной эквивалентной схемы методом ли-
нейных диаграмм), для исследования свойств поверхности
полупроводника и приповерхностного слоя, для иссле-
дования свойств контакта между металлом и полупровод-
ником и контакта между двумя различными полупровод-
никами (гетероперехода), для определения электрического
поля в р—и-переходе, для исследования перемещения
примесей в сильном электрическом поле и др. Емкост-
ные методы перспективны для изучения высокоомных
полупроводников.

Одной из наиболее важных областей использования
емкостных методов является исследование глубоких при-
месей „о изменению во времени емкости р—-п-перехода
при изменении заполнения электронами глубоких уров-
ней, соответствующих этим примесям. Этод метод позво-
ляет определить ряд параметров глубоких примесей,
в частности их концентрацию и энергию активации; он
используется и для исследования радиационных дефек-
тов. Каждая из глубоких примесей по-разному влияет
на барьерную емкость р—п-перехода, поэтому специфи-
ческие свойства барьерной емкости при наличии глубо-
ких примесей в перспективе могут быть использованы
для опознания той или иной примеси, т. е. для анализа
на загрязнение полупроводника. Важными преимущест-
вами этого метода являются высокая чувствительность
и возможность его использования без повреждения по-
лупроводникового прибора.

Емкостные методы основаны на общей теории и на
общей методике обработки результатов измерений. Однако
до сих пор в литературе отсутствуют монографии, в кото-
рых систематически рассматривался бы этот круг вопро-
сов. Настоящая монография является попыткой обобщить
опыт исследования полупроводников емкостными методами
на основе единой теории.

В книге используется система единиц СИ (за исклю-
чением некоторых случаев, когда это специально огово-
рено). В системе СИ единицей длины является метр;
однако в отечественной литературе значения многих ве-
личин, используемых в полупроводниковой электронике,
приводятся применительно к сантиметру, а не к метру
(например, критическая напряженность поля в вольтах
на сантиметр, площадь р—и-норехода в квадратных
сантиметрах, концентрация примесей в кубическом сан-
тиметре и др.). Поэтому в примерах, приводимых в книге,
параметры полупроводника (в частности, концентрация
примесей) даются, как правило, применительно к сан-
тиметру.

Автор считает своим приятным долгом выразить при-
знательность Б. И. Болтаксу, Г. Е. Пикусу, 10. А. Вода-
кову и Ю. В. Федоровичу за полезные советы, способство-
вавшие улучшению книги. Автор понимает, что книга не
свободна от недостатков, и будет весьма признателен всем
читателям за критические замечания и пожелания, которые
следует направлять по адресу: Ленинград, В-164, Менде-
леевская линия, д. 1, Ленинградское отделение издатель-
ства «Наука».
Г л а в a I.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСЕЙ
И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В р-п-ПЕРЕХОДЕ

§ 1.	Основные уравнения для расчета
барьерной емкости и электрического поля

Пусть в некоторой плоскости полупроводника
на расстоянии х0 от поверхности имеется переход от об-
ласти р к области п (рис. 1, а, б). Вследствие разных
значений работ выхода электрона из областей пи. р между

Рис. 1. р—n-переход при отсутствии внешнего напряжения.

а — граница областей р и п; б — распределение концентрации примесей в об-
ластях р и п; в — ход потенциала Ф; г — распределение плотности объемного
заряда р. «о — расстояние от поверхности полупроводника до границы между
областями р и п (глубина залегания р—п-перехода)‘,	— концентрация до-

оров; Jfa — концентрация акцепторов; UK — высота потенциального барьера;

х„, хц — границы р—n-перехода в областях р и п; Л (0) — толщина р—п-
перехода при 17 = 0.

областями р и п возникает контактная разность потен-
циалов Uf. и электрическое поле (рис. 1, в). Это электри-
ческое поле отталкивает электроны внутрь области п, а
дырки — внутрь области р. Между областями р и п обра-
зуется тонкий слой (р—n-переход), в котором почти нет
свободных электронов и дырок, так называемый обеднен-
ный, или запорный, слой. В области п образуется положи-
тельный заряд ионизованных доноров Q+, а в области р —
равный ему по абсолютной величине отрицательный заряд
ионизованных акцепторов Q_ (рис. 1, а).

При подаче на р—«-переход запирающего (обратного)
напряжения U высота потенциального барьера между
областями р и п возрастает на величину приложенного
напряжения; возрастает также и электрическое поле
в р—«-переходе, что приводит к расширению р—«-пере-
хода и к возрастанию положительного заряда Q _в области «
и отрицательного заряда Q в области р. При подаче
на р—«-переход прямого напряжения высота потенциаль-
ного барьера уменьшается на величину прямого напря-
жения, р—«-переход сужается, заряды Q+ и Q_ умень-
шаются. Таким образом, изменение напряжения, прило-
женного к р—«-переходу, приводит к изменению заряда
в р—«-переходе, т. е. р—«-переход действует как емкость.
Эту емкость называют барьерной, так как она связана
с образованием потенциального барьера между обла-
стями р и «.

Для вычисления барьерной емкости найдем связь между
постоянным обратным напряжением U и зарядом Q (ър,ес,ъ
и в дальнейшем через Q обозначена абсолютная величина
зарядов Q+ и Q_). Распределение потенциала в ^—«-пере-
ходе описывается уравнением Пуассона. Будем считать
задачу плоской и одномерной (ось х перпендикулярна
плоскости р—«-перехода). Тогда уравнение Пуассона при-
нимает вид

где ф = ф (ж) — потенциал, р = р (х) — плотность объемного
заряда, еа — абсолютная диэлектрическая проницаемость
среды, е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума (в си-
стеме СИ е0= 8.85 • ПТ12 ф/м), е — относительная диэлек-
трическая проницаемость среды.

В настоящей главе рассматривается случай, когда все
примеси ионизованы. Тогда плотность объемного заряда
определяется из выражения

Р = е(7Уд-^ + р-п),	(1-2)

где NK, «, р — концентрация доноров, акцепторов,
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной
зоне соответственно, е — заряд электрона (1.6 • 10-19кул.).

Концентрация неподвижных зарядов (доноров и акцеп-
торов) является функцией координаты и не зависит от
потенциала. Концентрация же подвижных зарядов (элек-
тронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне)
является функцией потенциала [4, 5]; это обстоятельство
существенно осложняет интегрирование уравнения (1-1).
Для упрощения расчетов обычно принимают, что переход
имеет резкие границы (жв и хр на рис. 1, г), т. е. вне
р—«-перехода заряды ионизованных примесей полностью
скомпенсированы подвижными зарядами, а внутри р—п-
перехода нет подвижных зарядов (имеет место так назы-
ваемое полное обеднение р—«-перехода). При таком допу-
щении плотность объемного заряда внутри р—«-перехода
определяется только неподвижными зарядами и описы-
вается выражением

Р = е(ТУд-7Уа) = е7У(ж).	(1-3)

Вне р—«-перехода и на его границах электрическое
поле равно нулю:

ф'|	=0.	(1-4)

Абсолютная величина положительного и отрицатель-
ного зарядов

Х0

Q — eS j | TV (ж) | dx — eS j | /V (ж) | dx,	(1-5)

где iS — площадь p—«-перехода.

Электрическое поле в некоторой плоскости х р—« пере-
хода, соответствующее напряжению U, может быть опре-
делено путем однократного интегрирования уравнения
Пуассона (здесь и в дальнейшем определяем абсолютную
величину электрического поля):

е С	1

E(U,x) = ——\	[Q-\Q(x) |],	(1-6)

еа J	еа°

ж

где Q — заряд ионизованных примесей в р—«-переходе,
соответствующий напряжению U (см. (1-5)), Q(x)—заряд
ионизованных примесей между х0 и х.

Полная разность потенциалов на р—«-переходе может
быть получена путем двухкратного интегрирования урав-
нения Пуассона; с учетом граничного условия (1-4) и
выражения (1-5) получаем

xN (ж) dx.

(1-7)

В выражении (1-7) второй интеграл получен из первого
путем изменения порядка интегрирования.

Высота потенциального барьера между областями р
и п определяется из выражения

и* = (кт!е} Цп (PpMi) («»/»<)],

(1-8)

где к — постоянная Больцмана (0.86  10-4 эв/град.), Т —
абсолютная температура, ni — концентрация электронов
в зоне проводимости в собственном полупроводнике,
рр, п« — концентрация дырок в валентной зоне области р
и электронов в зоне проводимости области п.

Для области р при х хр имеем рр — Na — NR, причем
в выражение (1-8) входит значение Na — NR при х — хр.
Для области п при х>хп имеем ия=1Уд— Na, причем
в выражение (1-8) входит значение Л7Д— 7Va при ж = жя.
Выражение (1-8) справедливо, если значения | /Уд — Na |
не превышают некоторой критической величины 1Укр. Для
германия и кремния при Т — 200° К имеем 7VKp^ 1019 см' 3,
при Т = 300° К — Л7кр^2-1019 см-3 и при Т = 400° К —
 10ls см-3. Если же в одной из областей (например,
в .области р) значение концентрации примесей порядка Л'кр
или больше (так называемый вырожденный полупроводник),
то значение UK может быть определено из приближенного
выражения

(1-9)

где <§д — ширина запрещенной зоны, n„ = NR — 7Va при

Поскольку значения Nn и Na, вообще говоря, зависят
от координаты, значение UK зависит от напряжения, так
как при изменении напряжения перемещаются границы
р—n-перехода. Однако зависимость UK от U выражена
слабо; так, например, при изменении значения 7V„ — 2Va
на порядок значение UK изменяется (при Т — 300° К) при-
мерно на 60 мв. В дальнейшем не будем учитывать зави-
симости UK от U.

Вычислим малые изменения заряда Q и напряжения U,
соответствующие малому изменению толщины р—«-пере-
хода. Дифференцируя (1-5), получаем

d<2 = eS|7V(x/,)<Z®p| = e5|W(a:„)da:„|.	(1-10)

Дифференцируя (1-7) с учетом зависимости пределов
интегрирования от напряжения, получаем

dU =-^~ [я:к I N (х„) dx„ | — хр | N (.тр) dxp |].	(1-11)

Барьерная емкость р—« перехода равна производной
заряда Q по напряжению U. Используя (1-10) и (1-11),
получаем

где h — xn — хр — толщина р—«-перехода.

Из формулы (1-12) следует, что, измерив значение
барьерной емкости, можно определить толщину р—«-пере-
хода.

Рассмотрим теперь часто встречающийся случай, когда
концентрация примесей в одной из областей много больше,
чем в другой [6]. Для определенности рассмотрим сплав-
ной диод с базой из электронного полупроводника. В этом
случае концентрация дырок в области р много больше,
чем концентрация электронов в области « (базе диода).
Область р по своим свойствам приближается к металлу;
поэтому можно считать, что весь заряд ионизованных
акцепторов в области р расположен на ее границе с обла-
стью «, и пренебречь проникновением электрического поля
внутрь области р, а также падением напряжения в об-
ласти р. Тогда толщина р—«-перехода равна толщине
слоя объемного заряда в области «, т. е. h~xn — хй.
Граничные условия для этого случая принимают вид

= ° и Ф(^о)=О.	(1-13)
Интегрируя уравнение Пуассона с учетом граничных
условий, получаем

и+ик = -т- ( (х— х0) N (х) dx.	(1-14)

а

Дифференцируем (1-14) по параметру Л:

dU е

~dh—~^hN (Жо+А)>	(1-15)

где N (ж0 + h) — значение 7V (ж) при х — ж0 + h.

Используя (1-12) и (1-15), получаем

dC6 dC6 dh	е|5

dU ~~ dh ' dU =~ eh?N(x0+h) "

Выражение (1-16) можно представить в виде

Л(Жо + /г) = _^1г(^.)1.	(1-17)

Из формулы (1-17) следует, что, зная зависимость С6(С7),
можно найти распределение концентрации примесей в базе
сплавного диода (в пределах перемещения границы р—п-
перехода прд изменении напряжения от минимального,
близкого к нулю, до максимально допустимого обратного
напряжения) — см. также [7, 8].

§ 2.	Определение концентрации примесей
в р—«-переходе

Зная распределение концентрации примесей в р—п-
переходе, можно найти зависимость барьерной емкости от
напряжения. Эта зависимость для различных законов рас-
пределения примесей детально рассмотрена в работах [1,
2, 7]. В ряде случаев нужно решать обратную задачу:
по известной зависимости барьерной емкости от напря-
жения найти распределение концентрации примесей
в р-—«-переходе. Для решения этой задачи найдем произ-
водную барьерной емкости по напряжению. Используя
(1-12), получаем

dCf. _	dh Cg dh

dU------№ ’ dU==~ taS ‘ dQ ’	1	'
Используя очевидное .соотношение dh — | dxn | + | dxp |
(рис. 1, г) и выражение (1-Ю), имеем после преобразо-
ваний

dV ~ eea<S2 L » (®и)	| N (хр) | J'	11 19)

Формулу (1-19) после преобразований можно предста-
вить в виде

"WIWI .	2 Р(^)-]-1 п

W(^ + |W(*P)I ~dU J ’

где хп и хр— границы р—«-перехода, соответствующие
обратному напряжению U, | N (хр) | = 12УД —	| = Na — NK

при х = хр, N(xn) — NR — Na при х = хп.

Из формулы (1-20) следует, что в общем случае кон-
центрация примесей в р—«-переходе не может быть одно-
значно определена по_ зависимости барьерной емкости от
напряжения, т. е. одной и той же зависимости барьерной
емкости от напряжения могут соответствовать различные
законы распределения нримесей в р-—«-переходе. Распре-
деление примесей в р—«-переходе может быть найдено
лишь при наличии дополнительных условий, связываю-
щих значения N (хп) и | N (хр) |. Рассмотрим некоторые
частные случаи.

1.	Концентрация примесей в одной из областей много
больше, чем в другой. Такое соотношение имеет место
в сплавных р—«-переходах, а также в р—«переходах,
созданных путем кратковременной диффузии или кратко-
временного эпитаксиального наращивания; эти способы
позволяют получить р—«-переходы с весьма малой глу-
биной залегания (примерно 0.2 мкм). Такие р—«-пере-
ходы могут быть созданы специально с целью исследо-
вания распределения концентрации примесей [9—11].
При | N (хр) | >- N (жя) формулы (1-19) и (1-20) принимают
вид

2	[й(Сб2)1-1 С? /ас6\-г

• С1'21)

Формула (1-21) совпадает с формулой (1-17). Выразим
N (хг) в обратных кубических сантиметрах, С6 — в пико-
фарадах, S — в сантиметрах квадратных и dC6/dU —
в пикофарадах/вольты. Тогда формула (1-21) принимав! шина жх при напряжении U Ur, определяемом из выр

вид

। ения

1.42 • 108

N (жи) —	е£2

0.71 • 108 Cl
eS2

(1-22;

®1 =

(1-29)

Рассмотрим наиболее распространенные случаи pacnpi

деления концентрации примесеи.

а. Пусть 7V (ж) = 2V0 — const (сплавной р+—«-переход
с однородной базой). В этом случае из выражений (1-7) ——:

{второе аналогично выражению (1-23); значение UKl опре
щляем из выражения (1-8) или (1-9), положив в нем
При U<^U1 справедливо выражение (1-24), зна-
можно найти по наклону пря-

1ение концентрации N

и (1-12) получаем [1. 2]

h

(1-23)

Сб

ееЛо

2(Р + РК) ’

(1-24)

или

2(£+£к)

где

б



b(U + UK),

(1-25)

6 = 2/eea7V0.

(1-26)

Если в (1-25) выразить С6 в пикофарадах, S — в квад-
ратных сантиметрах, No — в обратных кубических сан-

1

II

N(l)

—I икг+дик

Рис. 2. Зависи-
мость (5/Сл)2
от напряженья
для сплавного
перехода с од-
нородной базой
tg а=2/ее &N0.

Рчс. 3. "Сплавной р+—«-переход со ступенчатым
нарастанием концентрации доноров в базе.
а — распределение концентрации примесей в базе;

б — зависимость (S/Cg)2 от напряжения,
tg ах = 2/eeaWх; tg «2 = 2/eeaW2.



тиметрах и U -|- UK— в вольтах, то коэффициент Ь, вхо-
дящий в (1-25), определяется из выражения

6 = 1.42 • 1О8/еЛо.	(1-27)

Выражение (1-25) представляет собой уравнение пря-
мой в координатах (SjC^, U; наклон этой прямой позво-
ляет определить концентрацию примесей в базе диода,
а сама прямая отсекает на оси абсцисс отрезок, рав-
ный UK (рис. 2).

б. Пусть имеем

мой (1-25), а сама прямая отсекает на оси абсцисс отрезок,
равный ПК1 (рис. 3,6, участок 1). При П>С71, исполь-
зуя (1-7) и (1-12), находим

при 0 < х < х1,
при X )> xlt

(1-28)

причем TV2^> 1\\ (рис. 3, «). Распределение концентрации
примесей, близкое к такому, имеет место в некоторых
выпрямительных диодах, переключающих диодах диапа
зона СВЧ [12] и быстродействующих фотодиодах [13]
(так называемые р—I—«-диоды). Толщина р+—«-перехода

S\2	2 (£7 + Г112 + ДС7в)

Сб)	eealV2

(1-30)

где V t2 определяем из выражения (1-8) или (1-9), положив
в нем пп — N2,	7

△Pb=(Pi+Pk1)(-^--1)-	(1-31)
Наклон прямой (1-30) позволяет найти значение кон может быть найдено при помощи формулы (1-21) — см.
а сама прямая отсекает на оси абсцисс также [16]. Из выражения (1-15) следует, что при возра-
“ тт । лтт /------------- о * -------- тт^ станин напряжения толщина р+—«-перехода возрастает

центрации Nz,

отрезок, равный UKZ + ДС7К (рис. 3, б, участок II).

в. Пусть N (х) определяется из выражения (1-28)
причем	(рис. 4, а). Распределение концентрациг

примесей, близкое к такому, имеет место в некоторые возрастает медленнее, чем при постоянной концентрации
варикапах [14, 15]. Толщина р+—«-перехода равна хх npi примеси в базе, равной Na (рис. 5, б). Если практически
напряжении U=U2, определяемом из выражения (1-29)'
При U U1 справедливо выражение (1-24), прямая (1-25
отсекает на оси абсцисс отрезок, равный UK1 (рис. 4, б
участок I). При U>U.

медленнее, чем в случае постоянной концентрации при-
меси в базе, равной Л\; поэтому и функция (SlC6)2 = F1(U)

N(x)

такие обратные напряжения, для которых

при возрастании обратного напряжения

то

(1-30

достижимы
о»

Рис. 5. Сплавной д +—n-переход с градиентом концен-
трации доноров в базе.

а — распределение концентрации примесей; б — зависимость
(S/Cg)2 от напряжения, tg « = 2/eeaN0.

Рио. 4. Сплавной р*—n-переход со ступенчатым
убыванием концентрации доноров в базе.

Обозначения те же, что и на рис. 3.

с той лишь разницей, что вместо величины в него
войдет величина —А17*, определяемая из выражения

= + (1—

(1-32)

Прямая (1-30) отсекает на оси абсцисс отрезок, рав-
ный | UkZ — А17*| (рис. 4,6, участок II).

г. В области п имеется градиент концентрации при-
меси, т. е. значение N (х) увеличивается в глубь базы
(рис. 5, а). Такое распределение концентрации примеси
получается, если перед созданием резкого р^—«-перехода
производится испарение примеси из базы (так называемая
обратная диффузия). Распределение концентрации примеси

Функция (S/C6)2 асимптотически приближается к прямой,
наклон которой определяется значением концентрации No.

д. В области « имеется обратный градиент концентра-
ции примеси, т. е. значение N (х) убывает в глубь базы
(рис. 6, а). Обратный градиент концентрации примеси
имеется в базе дрейфовых транзисторов, он используется
гпкже в некоторых типах варикапов для повышения кру-
тизны вольтфарадной характеристики [2, 6, 16—19]. Рас-
пределение концентрации примеси может быть найдено
при помощи формулы (1-21). Из выражения (1-15) сле-
дует, что при возрастании напряжения толщина р+—п-
п ‘рехода увеличивается быстрее, чем в случае постоянной
концентрации примеси в базе, равной 7V,,; поэтому и функ-
ция (S/C6)2 = FZ(U) возрастает быстрее, чем при постоян-
ной концентрации примеси в базе, равной Nn (рис. 6, б).
Если практически достижимы такие обратные напряжения,

14

15
для которых Л’(жи) «ь Л?о, функция (S/CJ2 асимптотически
приближается к прямой, наклон которой определяется
значением концентрации No.

2.	Переход, изготовленный диффузией. Пусть задана
концентрация примеси в газе, из которого производится
диффузия в полупроводник. Тогда распределение концен-
трации примеси, продиффундировавшей в полупроводник,
может быть определено из приближенного выражения

Рис. 6. Сплавной	—n-переход с обратным градиен-

том концентрации доноров в базе.

Обозначения те же, что и на рис. 5.

TVi (z)	1 — erf (—7="^

1 ' ' п[ \2^Dt)

(1-33

где

ехр (—а2) Да.

(1-34

Здесь Nn — концентрация введенной примеси на поверх
ности полупроводника, ж — расстояние от поверхностг
полупроводника, D — коэффициент диффузии примеси,
t — время диффузии примеси.

Обозначим через ZV0 первоначальную концентрация
примеси в полупроводнике. Для определенности будех
считать, что полупроводник электронный, а вводимая
примесь — акцепторы. Тогда распределение концентрации
примесей в р—«-переходе (рис. 7) определяется из выра
жения

ЛД») ==	—- 7Va ==/Vo — 7Yn 11 — erf	.	(1-35
Рассмотрим сначала два предельных случая. В первом
случае,-когда р—n-переход расположен близко к поверх-
ности ^полупроводника (рис. 7, штриховая линия), рас-
пределение концентрации примесей близко к ступенчатому
(резкий'-р—«-переход) и зависимость емкости от напря-
жения описывается формулой (1-24) (обычно при диффузии
примесей соблюдается условие 2Vn^>2V0). В другом пре-

Рис. 7. Распределение концентрации
примесей в р—п-переходе, изготовлен-
ном диффузией.

— первоначальная концентрация примеси
в базе (доноров); Л'( — концентрация
примеси (акцепторов), введенной диффузией
при произвольной и при малой глубинах диф-
фузии; Хр, кп — границы р—n-перехода в об-
ластях р и п; h — толщина р—п-перехода.

дельном случае, когда глубина залегания р—п-перехода
велика, распределение концентрации примесей в р—п-
переходе близко к линейному даже при наибольшей тол-
щине р—п-перехода, соответствующей максимальному
обратному напряжению. В этом предельном случае можно
принять, что концентрация примесей в р—«-переходе
изменяется по линейному закону (плавный р—«-переход):

/V (х) = Л'Д — Na — a (ж — »0),

(1-36)

где а = (dN!dx)x^x — градиент концентрации примесей
в р—п-переходе.
Используя (1-7) и (1-12), получаем

%12ea(£7 + t7g)

V еа

и

i2(U+UK)

eatl

m(U + UB),

где

12

m —-------у

efiea

(1-37)

(1-38)

(1-39)

Если в (1-38) выразить Сб в пикофарадах, S — в квад-
ратных сантиметрах, U UK— в вольтах и я — в обрат-
ных сантиметрах в четвертой степени, то коэффициент т,
входящий в (1-38), определяется из выражения

1.09 - 1015

т =-----.	(1-40)

Выражение (1-38) представляет собой уравнение пря-
мой в координатах (<S’/C6)3, U; наклон этой прямой позво-
ляет определить градиент концентрации примесей в р—п-
переходе, а сама прямая отсекает на оси абсцисс отрезок,
равный UK. Напомним, что в выражение (1-8) входят зна-
чения N (ж) на границах р—п-перехода. Поэтому для UK
справедливо выражение

кТ ah

^ = 2 —In 2^-.	(1-41)

Как отмечалось выше, значение UK слабо зависит от
напряжения. Так, например, для р—п-перехода из крем-
ния при Т = 300° К, я=1020 см~4 и изменении напряже-
ния от 0 до 10 в значение UK возрастает от 0.67 до 0.72 в.
В дальнейшем будем пренебрегать зависимостью UK до U.

Рассмотрим далее общий случай, когда распределение
концентрации примесей в р—тг-переходе описывается
выражением (1-35). Это выражение в пределах толщины
р—n-перехода может быть аппроксимировано выраже-
нием [20]

N (ж) = 7V0 {1 — exp [—р (х — х0)]}.	(1-42)

Для такого закона распределения примесей зависи-
мость толщины р—/г-перехода от напряжения описывается
трансцендентным уравнением [2; 21]
до

(1-43)

(1-44)

//,— толщина р-—n-перехода для сплавного диода с кон-
спирацией примеси в базе, равной 7V0).

В уравнение (1-43) входит один безразмерный пара-
метр р/гх и толщина р—n-перехода в безразмерных вели-
IIIнах Л/Лг В предельном случае при р^х^>1 (резкий
'> /(. переход) уравнение (1-43) переходит в формулу (1-23),
г. е. имеем h = h1. В другом предельном случае при
</.*,	1 (плавный р—n-переход) уравнение (1-43) переходит

। формулу (1-37). В общем случае уравнение (1-43) ре-
паотся численными методами.

На рис. 8 изображена (в логарифмическом масштабе)
навпсимость Л/Лх от параметра р/гх, вычисленная из урав-
нения (1-43). Эта зависимость может быть использована
цля определения концентрации 7V (ж), если известна перво-
начальная концентрация примеси в базе А'о. При некото-
ром значении U, измерив значение барьерной емкости,
определяем толщину р—n-перехода h. Используя выра-
homie (1-44), находим значение Лх (параметр UK, входящий
п (1 44), можно приближенно определить из вольтфарад-
imii характеристики (см. ниже) или задаться его ориен-
тировочным значением). По известному отношению h/h^
используя рис. 8, находим значения рЛх и р, а затем из
выражения (1-42) — N (ж).

Пусть, например, имеем полупроводниковый диод,
изготовленный диффузией фосфоравр-кремний (/Vo = 2.3 X
X Ю1В см-3, S —0.67 см2). При U = 1 в Сб = 0.0128 мкф
(//. = 0.54 мкм); при U = 4 в Сб = 0.0088 мкф (h = 0.79 мкм).
Задаваясь 7/,, = 0.6 в, находим hp, при 77 —4 в hY —
в=0.51 мкм, отсюда Л/Лх = 1.54. Используя рис. 8, нахо-
дим р/г1 = 1.7 и р = 3.4-104 см-1. Для контроля опреде-
ляем аналогичным путем значение [3 при U = 1 в и полу-
чаем р = 3.5 • 104 см-1. Такое расхождение значений пара-
метра р может быть обусловлено как погрешностью опре-
деления р/гх из рис. 8, так и погрешностью аппроксимации
выражения (1-35) выражением (1-42).

Можно показать, что в случае изменения концентрации
примесей по закону (1-35) зависимость Сб(<7) в некотором
интервале напряжений может быть аппроксимирова!
выражением [2]

с____

— !ГпТ

(I-'

где 2 z 3, К — постоянная величина.
Выражения (1-25) и (1-38) являются

предельный

случаями выражения (1-45). Из выражения (1-45) следуе

ш-решностью в значении Z7K). Далее, построив прямую
'f/(L7), уточняем значение UK. Этот метод позволяет
удить о характере распределения примесей в р—п-пере-
одс —. близкое к резкому при z да 2, близкое к линей-
ому при z да 3.

В настоящем параграфе рассмотрены способы опреде-

Рис. 8. Зависимость толщины р—n-перехода, из-
готовленного диффузией, от распределения приме-
сей и от напряжения (в безразмерных величинах).

Для плавного р—n-перехода значение 1g (Л/Л,) асимптотиче-
ски приближается к прямой, показанной штриховой линией.

<чшя зависимости N (гс) для наиболее распространенных
рофплей концентрации примесей. Определение зависи-
ости N (ж) для некоторых специфических профилей рас-
1,ютрено в работе [22].

Напомним, что все
олщины р—и-перехода

приведенные
и барьерной

выше формулы для
емкости были полу-

что зависимость C6*(U)— прямая, отсекающая на

абсцисс отрезок, равный UK. Логарифмируя (1-45), пол
чаем

1

IgC'6 = lg #S-Tlg(t7 + rK).

'нс. 9. Зависимость ве-
тчины UK—Uo от на-
1|П1/кения U+UK при
а 1."ччных значениях
in раметра А (значения
шраметра А указаны
шдом с каждой кри-
вой).

(элек-

юны без учета подвижных зарядов в р—/г-цереходе
родов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне).
Влияние подвижных зарядов на барьерную

чикость резкого р—п-перехода рассматривается
о< । ряде работ [23—26]. Как показывают результаты расче-

(1-4

гов этих работ, значение барьерной емкости с учетом под-
шжных зарядов может быть найдено из выражения (1-24),
юли в него вместо UK подставить некоторую величину Uo,
цшчем Uo, вообще говоря, не является постоянной вели-

Выражение (1-46) — уравнение прямой в координата

in пой, а зависит от приложенного напряжения.

Выражение (1-46) — уравнение прямой в координата Зависимость поправки UK—Uo от напряжения U -ф Ut.
1g C6, lg (U -ф UK). При исследовании р—/г-переходов, изг< .рпведсна на рис. 9 [23]. Значение UK—Uo убывает при
товленных диффузией, целесообразно использовать сл( юзрастании обратного напряжения, стремясь в пределе
дующий прием. Зная зависимость Сб (СТ) и задаваяс ц 2/с71/е. Значение UK — Uo возрастает при увеличении

ориентировочным значением Z7K, строим' прямую (1-46)
определяем значение z (при U^>Ut

20

лепмметрии р—ц-перехода, последняя характеризуется
можно пренебреч параметром А = | TV (хр) |/7V (ж„) для р+—«-перехода и /4 =
/V (яя)/|’1У (хр) | для п+—р-перехода. Зависимость С/(И),
вообще говоря, не является прямой; расхождение меж,ч
наклоном прямой (1-25) и производной этой же функцш
вычисленной с учетом подвижных зарядов, не превыше <
нескольких процентов в широком интервале обратна
напряжений и значений параметра А. Так, например, пр
U + ПК^>2 в и Л<108 эта погрешность менее 2°/0. Дл
расчета барьерной емкости и для обработки результате
измерений можно подставить в (1-24) некоторое средн-:
значение UOcs, которое при А )> 103 определяется из пр i
ближенного выражения [24, 25],

^Оср— е 1п nt ’

(1-4

где N — | Д?д — 7Va | — концентрация примеси в базе.

Напряжение t70cp, отсекаемое прямой (S/C6)2 — F(C
на оси абсцисс и называемое поэтому напряжение
отсечки, может существенно отличаться от напряж
ния [7К. Пусть, например, имеем сплавной р+—п-перехс
в кремнии, ZV = Ю15 см-3. Тогда, используя (1-9) и (1-47
получаем при" Т~ 300° К 77,, = 0.80 в и (70ор = 0.60
Таким образом, напряжение UOc меньше напряжения С
на 0.2 в.

Влияние подвижных зарядов на барье;
ную емкость плавного р—п-перехода рассма^
ривается в работах [27—29]. Как показывают результат
расчетов работы [29], значение барьерной емкости с уч<
том подвижных зарядов может быть найдено из выраж<
ния (1-38), если в него вместо UK подставить некоторо
напряжение Umc, которое меньше, чем U,., и не завися
от напряжения. Так, например, для р—п-перехода и
кремния при Т = 300° К и значениях а от 1020 см-4 д
10м см-4 имеем UK—С7О1О = 0.13 в, т. е. напряжение Um
отсекаемое на оси абсцисс прямой (1-38), на 0.13 в меныш
чем высота потенциального барьера С7К. В этом случа
расхождение между значением барьерной емкости, вычш
ленным из выражения (1-38), и ее значением, вычисле!
ным с учетом подвижных зарядов, равно 7% (при U =
и я = 1020 см-4). Результаты расчетов в работах [27, 2^
также подтверждают, что выражение (1-38) являете
хорошей аппроксимацией.

Из формул (1-19) и (1-20) следует, что для определс
ния концентрации примесей нужно найти производную п
напряжению функции С6 (Z7) или С~2 (U). Рассмотрим
методы определения производнойdCJdU.

1.	Наиболее простым и распространенным методом
является численное дифференцирование экспериментальной
зависимости C6(U) или C^2(U) [9, 30], однако этот метод
является трудоемким и. вносит существенную погрешность.
В работе[31] описана сложная автоматическая установка,
позволяющая ускорить процесс измерения зависимости
C6(U) и ее производной.

2.	Величина dC6ldU — крутизна вольтфарадной харак-
теристики; она может быть измерена по нелинейным
эффектам, возникающим при действии на запертый р—п-
переход синусоидального напряжения или синусоидального
тока. Мгновенное значение тока через барьерную емкость
определяется из выражения

dQ dQ dU	dU

i^==^dF==~dU'~dr^C(’ W~dT’

(1-48)

где C6 (i) — мгновенное значение барьерной емкости, соот-
ветствующее мгновенному значению напряжения U (t).
Будем считать, что напряжение, приложенное к диоду,
равно напряжению на р—//-переходе, т. е. можно прене-
бречь падением напряжения на последовательном сопро-
тивлении диода; это допущение справедливо, если барьер-
ная емкость имеет высокую добротность [2, 3].

Пусть к диоду приложено постоянное напряжение С7=
и малое переменное напряжение (/). Тогда мгновенное
значение барьерной емкости определяется из выражения

dC6 I „	1 d2C6

C6(t) = C-+ dU |p=i7~+ 2 dU2

1 I

+ 6 dU3 (в?

(1-49)

где — значение C6 (t) при U (Z) = Z7=, индекс U= обо-
значает величину соответствующей производной при
U (£) = U=, в дальнейшем этот индекс опущен. Выраже-
ние (1-48) для тока через барьерную емкость с учетом
выражения (1-49) принимает вид

/ dCf. 1 а2Сл

1^-{С- + ^и~ + -2^и~ +

+ 6 dU3 U~ + •••) dt '
Рассмотрим некоторые частные случаи переменного

напряжения.

а. Синусоидальное напряжение

U~ (t) = Ux sin Mjt,

(1-51)

причем Ux U=.

Подставляя (1-51) в (1-50) и ограничиваясь первыми
тремя членами ряда, получаем после преобразований

1 dC6

i (0 == <ojC=Z7j cos	—|— *2	cojClj cos 2wjt

1 ^2C6
+ -g-	(cos “i4 — cos + • • •	(1-52)

Из выражения (1-52) следует, что вследствие нелиней-
ности барьерной емкости при действии синусоидального
напряжения появляются высшие гармоники емкостного
тока, причем амплитуда второй гармоники тока пропор-
циональна крутизне вольтфарадной характеристики, т. е.
значение dC6/dU может быть определено, если известны
амплитуда второй гармоники тока и амплитуда синусо-
идального напряжения. Аналогично при протекании сину-
соидального тока через барьерную емкость на р—«.-пере-
ходе появляются высшие гармоники напряжения, причем
амплитуда второй гармоники напряжения пропорциональна
крутизне вольтфарадной характеристики [3]. На этом
принципе также может быть основано измерение значе-
ния dCfjd'U [32]. Однако при этих измерениях предъяв-
ляются жесткие требования к подавлению второй гармо-
ники напряжения на выходе генератора, задающего пере-
менное напряжение на диоде (или переменный ток через
диод), так как напряжение второй гармоники на выходе
генератора непосредственно влияет на погрешность изме-
рений.

б. Два синусоидальных напряжения с частотами одного
порядка

U (t) = U1 sin (wji -J- ft) + V2 sin w2t,	(1-53)

причем Ux U= и U2 t7=. Рассмотрим случай, когда
амплитуды этих напряжений Ux и U2 одного порядка,
а частоты и о>2 также одного порядка и не кратны
друг другу. Подставляя (1-53) в (1-50) и учитывая первые
четыре члена ряда (1-49), получаем выражение для тока I (i),
щержащее, помимо частот и, и ш2, еще ряд частот,
риведем выражения для амплитуд токов с частотами
t + <в2 и о>! — о>2:

7ш1+«>2 = T ~dU~ CZlfZ2("l + “2) +

+ l^'S'£ZlCZ2(£/l + CZi)(“l + ^)>	С1’54)

1 dCe тт тт ,

=~2 ИГ U1Uz +

1 d3C«

+ "Jg" £73 ^1^2 (+ ^i) (Ы1 — “г)’	(1-55)

Если выполняется неравенство

1 й3сЛ	<гсЛ

8	(1-56)

второе является критерием малости амплитуд U2 и С72,
о можно пренебречь вторым слагаемым в правых частях
сражений (1-54) и (1-55); тогда амплитуды токов частоты
i( -|- о2 и частоты — <о2 пропорциональны крутизне
юльтфарадной характеристики. При измерении крутизны
юльтфарадной характеристики этим методом не предъяв-
1яется столь жестких, как в предыдущем случае, требо-
иший к подавлению высших гармоник па выходе генера-
оров переменных напряжений.

в. Два синусоидальных напряжения с частотами, раз-
ичающимися на несколько порядков. Переменное напря-
жение U~. (t) по-прежнему определяется выражением (1-53),
фичем U1-^U^ и £72<^(7=. Рассмотрим случай, когда
1мплитуды иг и U2 одного порядка, но частота о>2 на
юсколько порядков меньше, чем частота <Dj (например,
»в — звуковая частота, а — высокая частота), т. е.
наполняется неравенство <62U2<^v>1U1. Подставляя (1-53)
I (1-50) и ограничиваясь первыми тремя членами ряда
-49), получаем после преобразований выражение для
вставляющей тока с частотой

Г dC6	1 dW6 1 d2Ce

/Ш1 = “1[С-+ dU p2sin“2(+8 dt/2 ^1+4 dU%

1 d^Cf.	П

— 4” dU% ^2 cos J Uycos (“iT 4* ?i)-	(1"57)
Из выражения (1-57) видно, что составляющая то
с частотой с»! модулирована частотами ш2 и 2о>2. Пус
напряжение, пропорциональное току через диод, из»<
ряется селективным вольтметром, настроенным на ч
стоту и не пропускающим ее гармоник, причем поло
пропускания вольтметра достаточна для прохожден!
частот св2 и 2ш2. Тогда показания вольтметра пропорци
нальны амплитуде выражения (1-57).

Если выполняются неравенства

1 d2C6	dC6 1 d2C6 .	1 d2C6 „	„

4 dU%	dV ’ 4 dUZ Z72<^C=’ 8 dU* V^C-'	<1-5

то амплитуда тока с частотой «1, модулированного част
той <о2,

Г dCf, .	1

= 01JUx I С= +	^2 SHI “2*1 >	(1->-

т. е. коэффициент модуляции пропорционален крутив:
вольтфарадной характеристики. Удобнее измерять i
коэффициент модуляции, а разбаланс моста с амплит
дой (dC6/dU) U2 и с частотой <о2. Этот принцип такм
используется для измерения значений dCJdU [33].

§ 3. Определение электрического поля в р—п-перехо,;

Электрическое поле в р—n-переходе может быт
определено из выражения (1-6), если известно распред
ление концентрации примесей в р—тг-переходе. В к;
честве примера рассмотрим определение электрическог
поля в р—n-переходе, изготовленном диффузией. Пус<
распределение концентрации примесей аппроксимируете
выражением (1-42). Подставляя (1-42) в (1-6) и интегр!
руя, получаем

E(U,	у [exp (—₽ж) —exp (—₽жи)]+	—	(1-6

Метод определения концентрации примесей (пар
метра Р) был рассмотрен выше. Для определения эло
трического поля нужно также знать зависимость хп с
U (рис. 7). Найдем сначала зависимость хп от h. Испол>
зуя выражения (1-42) и (1-5), находим

ехр (₽х„) =

ехр (р/г) — 1

(1-6
Зависимость fbn от fth, вычисленная из (1-61), приве-
дена на рис. 10. Зависимость же h от U определяется
из экспериментальной зависимости С6 (U).

Покажем далее, что электрическое поле в р—и-пере-
ходе можно выразить непосредственно через барьерную
емкость. В выражении (1-6) заряд Q является функцией

Рис. 10. Зависимость от
(в логарифмическом мас-
штабе).

заряд Q (х) — функцией не-
которого напряжения U*,
соответствующего границам
р—«-перехода х* и х (рис. И),
т. о. (1-6) можно предста-
вить в виде

1

Рис. И. Распределение кон-
центрации примесей в р—п~
переходе.

h, Ху, хп — толщина р—«-перехода
и границы р—«-перехода, соответ-
ствующие обратному напряжению
V; Л*, х*, х — толщина р—п-
перехода и границы р—«-перехода,
соответствующие обратному на-
пряжению U*.

Е (U, ж)	(£7)-<?(£/*)].	(1-62)

Подставляя в (1-62) известное соотношение
u+vK

Q(U) = J c6(y)dy,	(1-63)

о

ныражаем электрическое поле через барьерную емкость
(см. также [34])

17+Гк

1 с

E(U,x) = ^-g J С6 (у) dy.	(1-64)

а v*+vK
Для использования выражения (1-64) нужно знать
зависимость /г* от ж (где h* =х — х1 — толщина р—п-пе-
рехода, соответствующая обратному напряжению U*).
Эта зависимость, вообще говоря, неизвестна, если неиз-
вестно распределение концентрации примесей в р—п-пе-
реходе 7V (ж). Однако в некоторых случаях электрическое
иоле можно определить из емкостных измерений, не зная
распределения концентрации примесей.

а.	Максимальное электрическое поле
в р—«-переходе. Электрическое поле в р—п-переходе
при заданном напряжении максимально при х = х0 (рис. 11).
Значение максимального поля EM(U) определяется из
(1-6) при х = х0 или из (1-64) при U” ~—UK:

Q(U) ir

^^=^ = ^5 I С6(Д^.	(1-65)

0

Для использования выражения (1-65) нужно знать
величину заряда ионизованных примесей в р—п-переходе
(или величину барьерной емкости) как при обратных,
так и при прямых напряжениях. Экспериментальная
зависимость СЙ(С7) обычно известна лишь при обратных
напряжениях (иногда при малых прямых напряжениях).
Для приближенного расчета экстраполируем эту зависи-
мость в область прямых напряжений. В этом случае
выражение (1-64) справедливо при U^>UK. Пусть, напри-
мер, зависимость барьерной емкости от напряжения опи-
сывается выражением (1-45). Экстраполируем эту зави-
симость в область прямых напряжений. Подставляя
(1-45) в (1-64), получаем

S’—1
г,	z(U-\-Uk)

Е» (U) =..(i-66)

Пусть, например, имеем кремниевый диод (5 = 3.85 мм2).
Экспериментальная зависимость Сб (U) для этого диода
следующая:

V, в . . . О 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 20

С6, цф . . . 100 65 58 54 50 48 45 43 40 38 36 34 31

Задаваясь UK = 0.8 в и построив прямую (1-46), на-
ходим 2 = 2.7. Затем, используя выражение (1-66), опре-
деляем при U = 20 в £'ы = 2.6 • 104 в/см.
б.	Концентрация примесей в одной из
<•6л астей (например, в области р) много
больше, чем в другой. В этом случае имеем х да /?.*
и выражение (1-64) можно использовать, не зная 7V (х).
I ’азумеется, в этом случае можно найти N (х) из емкост-
ных измерений (см. выше), а затем использовать значе-
ние N (х) для вычисления электрического поля из выра-
жения (1-6). Однако для определения N (х) из емкостных
измерений нужно дифференцировать значение С^2 по на-
нрлжепию, эта операция вносит существенную погреш-
ность. При непосредственном же определении электриче-
ского поля из емкостных измерений погрешность диффе-
ренцирования исключается.
Глава II,

ИССЛЕДОВАНИЕ СОПРОТИВЛЕНИИ,
НЕОДНОРОДНЫХ ПО ТОЛЩИНЕ

= Спар В + (“CnapJRпар)-2].	(2-2)

I Параллельная jRC-цепочка и последовательное
,противление (рис. 12). Импеданс такой схемы опре-
щпотся из выражения

z = j7"+ 1 H-ywCiT?! ’	(2-3)

§ 1. Основные уравнения для исследования
неоднородных по толщине сопротивлений

В полупроводниковой электронике часто
чаются устройства с неоднородным по толщине

iTopoe после преобразований принимает вид

„ RJ.R Д1	; WX1R1

Z — -Ь — 1 -I- (<0Tj)2 ~ 1 1 + (<0Tj)2 >

(2-4)

встре-

сопро-
тивлением: обычный полупроводниковый диод, в которот

нужно учитывать не только сопротивление и емкост г
р—n-перехода, но и сопротивление г
емкость материала базы; полупроводпи
новые диоды с несколькими запор-
ными слоями [35, 36]; два слоя полу
проводника с различной проводимостью
п различной диэлектрической проницае
мостью, соединенные последовательна
[37—39], и др. Измерение проводимости

щ	Выразим импеданс через эквивалентное

(противление 7?1ЮСД и эквивалентную емкость С,10ед:

г = /?„оол-7^—.	(2-5)

ш v поел

Рис. 12.
лельная

Парал-
/?С-це-

устройства дает

ной емкости
тивления,

и

значения эквивалент
эквивалентного сопрс

соединенных параллельно,

Прправнивая (2-4) и (2-5), получаем

7?

“поел

1

г
’“'ИОСЛ

-Я1 (^i)2
- 1-1-(<0X1)2 =

Д1

1 + W2’

(2-6)

1-р (^2-^1 +(сох-

(2-7)

Выражение (2-6) с учетом (2-7) принимает вид

лочка и последо-
вательное сопро-
тивление

Спар и /?пар (параллельная схема замеще-
ния), или последовательно, Слосд и 7?лосд
(последовательная схема замещения).

Общая теория интерпретации ре
зультатов измерений неоднородных со-
противлений на разных частотах приве-

^посл —	4“ ^1	/7	’

поел

(2-8)

Выражение (2-8) — уравнение прямой в координатах
Lo>, 1/Спосд (рис. 13), причем каждой частоте соответ-
iny«T точка на этой прямой. Так, из (2-6) и (2-7) при
»0 получаем Дпосл = 2?п + 7?1 и 1/Спосд = О; таким обра-
IM, пересечение прямой (2-8) с осью ординат дает зна-

дена в работе [40]. В настоящем параграфе выведены
уравнения, связывающие значения Слосд и 7?лосд с пара-
метрами наиболее часто встречающихся эквивалентных
схем устройств с неоднородным по толщине сопротивле-
нием. Обычно в измерительных мостах используется

шие

1>п <отр^>1 из

Наклон прямой (2-8) дает значение т1.
(2-6) и (2-7) находим

параллельная
дем формулы
чения Спосд и

схема замещения, поэтому вначале приве

для пересчета значений С,
7?

*гпосл'

нар и в зна-

Ri

Дпои Rn + 1 (coTj)2 ’

С1,осл = С1[1 + (ШТ1)-2]^С1.

(2-9)

(2-10)

•Я,

Z?

“нар

™“~1 + (^„арЯпар)2’

(2-1)

30

Па высоких

частотах, когда выполняется неравенство

|1	(ипР)2]> 2?!, получаем 2?вом

я (2-8) пересекается с прямой 7?110сд

= RU и Спосл = С'1. Пря-

— при Спое1 - 0}

31
Рис. 13 является линейной диаграммой для схемы, и
браженной на рис. 12. Таким образом, из линейf
диаграммы можно определить значения 7?л, 7?, и Сг.

2. Две параллельные КС-цепочки, соединенные i
следовательно, и последовательное сопротивление
(рис. 14). Импеданс такой схемы определяется из вы
жения

у__ д 1 ________ [ ___^2____ . q

z - и +1 + j^R! +1 + jvCzRz	(

и может быть представлен в виде последовательН'
соединения сопротивления 7?]10сл и емкости СВОВ][ (см. j

Рис. 13. Линейная диаграмма для
схемы изображенной на рис. 12.

tg а = %.

Рис. 14. Две па-
раллельные RC-np.
почки, соединен-
ные последова
тельно, и последо-
вательное со про
тивление Ru.

ражение (2-5)). После преобразований, аналогичных п

веденным выше, получаем

Ограничимся рассмотрением случая, когда постоян-
ные времени т, и т2 различаются не менее чем на по-
рядок, для определенности примем

а.	При (DTj-c^l и сот2<^1 из (2-14) имеем

(2-15)

1 = Ст1 W2, С-^2 = С,> (Ш?2)2.

Рис. 15. Линейная диаграмма для схемы,
изображенной на рис. 14.

tg а, = 1,; tg а, = т2.

Если емкости Сг и С2 одного порядка, справедливы
неравенства

г-i %-s г-i

'“'поел 1 ^ЛОСЛ 2'

^лоел1<с1 ^'посл2*с2>

(2-16)

Если	неравенства (2-16) тем более справед-

ливы. Выражение (2-12) с учетом (2-16) может быть
представлено в виде

^ЛОЫ----Rti + 7?х + R^ — (г " +	,	(2

х^иосл! поел 2/

+|Осл =	4- -R1 +	— с 1 •

'-'ттпгл

(2-17)

r-t  Г-1	[ Г-1	/<)

ЛОСЛ	^ПОСЛ1 Г ПОСЛ 21

___1	_ 1	(ОТ!)2	___1	1	(<рт2)2

+осл1 С1 1 Т (“т1)2 ’ Спосл2 С2 1 + (сот2)2 ’	$

где

Т1 ~	И т2 ~

Выражение (2-17) — уравнение прямой в координатах
7?носл, 1/Спосл, наклон этой прямой дает значение
(рис. 15, участок I). При со —0 из (2-13) и (2-14) нахо-
дим 1/Спосл = 0, а из (2-17) — 7?n0CJI =/?„ + 7?х + Т?2, таким
образом, пересечение прямой (2-17) с осью ординат дает
значение 7?ц + 7?х + Т?2.

3 Л. С. Берман

33
б.	При	из (2-14) определяем

С ~ = С? В — (“'ci)~2I'	(2-1 г

поел!

Подставляя (2-18) в (2-12), получаем после преобра
зований

ЯИосл = Яя + Л2(1+	•	(2-1S

На достаточно высоких частотах, когда справедлив,
неравенство

+ (2’20
выражение (2-19) принимает вид

•^иосл = -Рп +	— с •	(2-21]

х. ^1/ '-'поел

Выражение (2-21)—уравнение прямой в координатах
Нпосл, VGio«, наклон этой прямой дает значение т.
(рис. 15, участок II). Найдем координаты точки пере
сечения прямых (2-17) и (2-21). Приравнивая (2-17
к (2-21), определяем значения С'1ЮСЛ и 7?посл в точке пере-
сечения:

^лосл —	^посл = ^л + -^2	(2-22)

в.	При a)Tj^>l и о>т2^>1 путем аналогичных преобра-
зований находим

R«осл — Rn + (coTj)2 ~Ь (о)Т2)2 •	(2-23)

На достаточно	высоких частотах, когда	справедливо
неравенство		
		(2-24)
	11	(^i)2 + W2’	
имеем	П		 г»  “поел	 Л1Гв	(2-25)
Подставляя (2-25) в (2-21), получаем		
	/7-1 — Г-1 1 г-1  ^лосл —	С2 >	(2-26)

т. е. на высоких частотах предельное значение емкости
Сяосл равно емкости последовательно соединенных кон-
денсаторов С} и С2. Таким образом, из линейной диа-
граммы можно определить значения Ru, R±, Rz, Сг и С2.

3. Три параллельные jRC-цепочки, соединенные по-
следовательно, и последовательное сопротивление jRn
(рис. 16). Импеданс такой схемы определяется из вы-
ражения

7?,	Я2	7?з

(2-^)

где — RxCr, — RZCZ, т3 — RZCZ.

Ограничимся рассмотрением случая, когда постоянные
времени т2, т2 и т3 различаются не менее чем на поря-
док; для определенности примем т2 т3. Тогда путем
преобразований, аналогичных приведенным выше, полу-
чаем следующие результаты.

а.	При	огс2<^1 и <ит3<^1 находим

Я,10Сл —	+ Я2 + R3 — г

'-'ттппш

(2-28)

Выражение (2-28) — уравнение прямой в координатах
Я„ом, 1/Ствл, наклон этой прямой дает значение
(рис. 17, участок I). Пересечение прямой (2-28) с осью
ординат дает значение Rn -|- Rr + Rz + Rs.

б.	При cotj^-I имеем

Я, /	С2\

Япом = Яп + (<^2 + Я2 (^1 + с J + Rs +

— Т3 (^^з)2 Т2
с3 1 + (^з)2-С]10сл

(2-29)

Рассмотрим случай, когда выполняется неравенство
<«т3<1. Если, кроме того, в некотором диапазоне частот
одновременно выполняются неравенства

Я3 Япосл (ш^з)2,

Я1	/ Со\

« 7?н + Я2 (1 +	+ 7?з,	(2-30)

го выражение (2-29) принимает вид

Ядом — Яп -|- Я2 -)-	+ я3 — „ 2 .

X vl/	^посл

(2-31)

Выражение (2-31) — уравнение прямой в координатах

^поы> V^noca> наклон этой прямой дает значение т2 (рис. 17,
cS™ ("si,

I (рис, 17, участок III). Координаты точки пересечения
точки пересечения прямы! прямых (2-31) и (2-35)

ЛпоМ-Лл + Я2 + Л8, Сты=С1.	(2-3

При wTj 1 н ШТ2 I получаем

2?™“ = ^ + (^ + (^ + 7f3(1+g + g)_^_, £

J- 2/ ’-'тгпсл

Рис. 16. Три
параллельные
7?С-цепочки, со-
единенные пос-
ледовательно, и
последователь-
ное сопротив-
ление 7?

Рис. 17. Линейная диаграмма для схемы, изобр,
женнои на рис. 16.

tg «. = ?.: tg «, = ?,; tg«3 = Ta-

На достаточно высоких частотах когп
справедливо неравенство	’

2

(2-34:

выражение (2-33) принимает вид

п

1ПОСЛ

с
поел

(2-35

Уратов прямой в коордим

«... /с„„, накдон этой дает дтч^ а

36

Л„оод = Лп + Я3, С-10Л = СГ1 + С?1.	(2-36)

г. При <ит1^.1, шт2^>1 и о)т3^>1 имеем

Ri R.) Ro

RJU№J =	+ (Ют3)2 	(2-37)

На достаточно высоких частотах, когда справедливо
неравенство

J?1	/?О	^?Q

Дп>(^)2+-(ф 4-^ •	(2-38)

получаем

Лпосл = Лп.	(2-39)

Подставляя (2-39) в (2-35), находим

СЙм = СГ1 + ^14-Сз’.	(2-40)

Таким образом, из линейной диаграммы можно опре-
делить значения 7?п, 7?р Т?2, R3, Clt Cz и С3.

Метод линейных диаграмм позволяет определить пара-
метры сложной схемы, состоящей из нескольких НС-це-
почек. Если же использовать параллельную схему заме-
щения, то даже для сравнительно простой схемы, при-
веденной на рис. 14, получаются весьма громоздкие
формулы для Спар и Нпар; поэтому обработка результатов
измерений в этом случае сложнее, чем при использова-
нии метода линейных диаграмм. В случае схемы, приве-
денной на рис. 16, обработка результатов измерений при
использовании параллельной схемы замещения еще более
осложняется.

В приведенном выше анализе принимается, что изме-
ряется непосредственно проводимость образца, т. е. пре-
пебрегается влиянием проводов, соединяющих образец
с измерительной установкой, на результаты измерений.
Однако часто нужно измерять проводимость образца не
только в широком диапазоне частот, но и в широком
интервале температур. Термостатирование измеряемого
образца приводит к значительному удлинению соедини-
тельных проводов.

Учтем влияние соединительных проводов на результаты
измерений. Пусть измеряемый образец присоединен к изме-
рительному прибору (мост, куметр и т. и.) через коаксиалы
ный кабель (или двухпроводную линию) длиной I с вол
новым сопротивлением W (рис. 18) Тогда входной импе
дане ZBX, измеряемый прибором, связан с импедансол
образца Z известным соотношением (см., например, [41]

_ Z COS al -I- jW sin al

w W cos al + jZ sin al ’	(2-41

Рис. 18. Присоединение
образца к измерительному при-
бору через отрезок длинной
линии.

I — длина линии; UBX — напряже-
ние на входе линии (клеммы 1—1)-
Z — импеданс образца.

где а = 2тг/Х, X — длина вол
ны, соответствующая частоте
измерений /.

Выразим Z через ZBX. И;
(2-41) после иреобразованиь
получаем

ZBX cos al — jW sin al

W cos al — jZm sin al ’

(2-42

Выражение (2-42) позво-
ляет вычислить Z по извест

ному значению ZBX и
кабеля W и al.

известным

параметрам

коаксиального

При измерениях часто выполняется неравенство al 1

Так, например, при / = 10 Мгц и Z = 50 см имеем al
= 0.104. В этом случае, разлагая cos al и sinaZ в ряд
степеням al и учитывая только члены порядка 1 и

по
al,

находим

Z = IF

Zm-jWal

W-jZBXal

(2-43)

Представим импеданс
соединения сопротивления
отношение Z/ZBX. Разделяя

ZBX в виде последовательного
7?вх и емкости Свх и вычислим
вещественную и мнимую части

этого отношения и используя известные соотношения для
параметров длинной линии [41], получаем после преобра
зований

(1 +	(1 ~	- (шДвх)2 ссвх

Скос,- (1-С/СгаР +(0.^)2	>

= (1 - С/Свх)2 + (озЯвхС)2,	(2-45)

“поел

здесь С=СЛ1, L — LJ, где Сх, Lx — емкость и индуктив-
ность коаксиального кабеля на единицу длины.
(2-46)

(2-47)

(2-48)

(2-49)

Выражения (2-44) и (2-45) позволяют непосредственно
вычислить значения Стсл и Двосд, нужные для построения
линейной диаграммы, по известным значениям Ст и /?вх
л параметрам W и а.1.

Рассмотрим далее случай, когда справедливо нера-
венство <в7?вхСвх<^1 (высокая добротность емкости образца).
Тогда из (2-44) и (2-45) определяем

1 1	1 + <д2£Свх

^ПОСЛ	^ВХ	^/^ВХ

Я110Сл = Лвх(1~С/Свх)-2.

Выражение (2-46) можно представить в виде

г	£цосл + С_____£посл 4~ С

™ ~ ~ <02£С’п0сл - 1 - (<B/Wp)2 '
где

1
“₽ —VZC ‘
v -^^nocjr

«> — частота последовательного резонанса емкости С110СД
и индуктивности В.

Из выражения (2-48) следует неравенство СВХ>СВООД + С.
Поэтому, если при обработке результатов измерений пре-
небречь индуктивностью соединительных проводов
(т. е. принять <о/<ор = 0) и учитывать только их емкость,
то получается, вообще говоря, завышенное значение Смсд.
Если выполняется неравенство C/Cvoci (<о/<ор)2, которое
равноценно неравенству И72	(<1)Спосд)-2, то выражение (2-46)

принимает вид

Свх = 1 _ (™/Lp)2 •	(2-5°)

Для повышения точности измерений нужно работать
в диапазоне частот, для которого справедливо неравенство
(<o/«Jp)2<<l. Тогда выражение (2-48) принимает вид

Свх = Снос1 Ч- ’

(2-51)

т. е. входная емкость складывается из емкости образца
и емкости соединительного кабеля.
§ 2. Примеры исследования неоднородных

по толщине сопротивлений методом линейных диаграмм

1.	Диод с базой из 50-омного ^-кремния, тол-.
Щина базы & = 0.4 мм, площадь р—//-перехода
о о мм . эквивалентная схема запертого полупроводни-
кового диода может быть представлена в виде параллель
нои цепочки из барьерной емкости С6 и сопротивления
п перехода Rm и параллельной цепочки из емкости
базы С„ и сопротивления базы Ru, соединенных последо-
вательно, причем постоянная времени т:,, = 7?,С равна!
максвелловскому времени т„ для материала'базы"|2] Макс-
велловское время т„ - -------- * L J 

Р—»г-перехода шапазоне

и максвелловская частота /м опреде-

ляются из формул

тм = еа/° = еаР,
/м = (2лтм)-1,

(2-52)

(2-53)

где а, р —соответственно проводимость и удельное сопро-
тивление. Для 50-омного кремния из формул (2-52) и (2-53)
получаем т„ = 5.1 • 10 11 сек. и /и = 3.1 • 108 гц. Обычно
постоянная времени тн на много порядков меньше, чем
постоянная времени = RmC6. Значения емкостей О и С
связаны соотношением

сб ~ Ъ

h ’

(2-54)

где Ъ толщина базы диода, А —толщина р—п перехода.
Выражение (2-54) справедливо при b^>h.

Значения R„^ и Спар для этого диода измерены в диа-
пазоне частот от 400 гц до 60 Мгц и пересчитаны в зна-
чения Яловл и Слосл по формулам (2-1) и (2-2). Линейная
диаграмма при обратном напряжении U = 1 в изображена
на рис 10. Участки линейной диаграммы для низких
частот (точки 1—5) и для высоких частот (точки 6____10}

приведены в разных масштабах по оси ординат, причем
масштаб Лпосл для низких частот указан слева от оси
ординат, а масштаб 7?мсл для высоких частот указан
слрава от оси ординат. Участок I линейной диаграммы
соответствует цепочке RmC6, а участок 7Z—цепочке R С
Из пересечения участка I с осью ординат находим R ~

„ ом 1 очка пересечения участков I и II дает зна-
чения Л„ —-40 ом и С6 — 140 пф. Значение С6 можно опре-
40

слить и по пересечению участка I с осью абсцисс, так
п< R <^R и точка 5 расположена почти на оси абсцисс.
1ля определения значения R„ не обязательно знать ход
питейной диаграммы на участке II, так как в широком
частот (примерно от 0.7 до 20 Мгц) справед-

ивы

соотношепия

R	' -	1	(ыТ2)2

СиослГ^^б' С6 Сп 1+(ы^)2'

этом диапазоне час-

В

гот значения RuBex и ^иосл
ючти не зависят от час-
тоты (точка 9) и справед-
|пвы приближенные выра-
жения 7?госл = Дт и
1„сл = С6. Для полуиро-



Ис. 19. Линейная диаграмма
для кремниевого диода.

II.шера точек соответствуют ла-
титам: 1 — 400 гц, 2	600 гц,

f 1 КГЦ, 4 — 3 КГЦ, 5 — 10 КГЦ,
100 КГЦ, 7 — 150 КГЦ, 8 —
кгц, 9 — 1 и 10 Мгц, 10 —
60 Мгц.

Z-i0B 7100

8

-50

О

04	0.8

ьпосл

ни)

нодциковых ДИОДОВ, как правило, значение R,„ на не-
..лько порядков превышает значение 1огда в дпапа-
idiio частот, где выполняется неравенство шСДц,*?:!,
। нраведливо приближенное выражение С6 = С'лар. Подроб-
на' об определении параметров эквивалентной схемы для
рассматриваемого случая см. [2].

Заметим, что участок II линейной диаграммы уже
наблюдается на частотах примерно на два порядка мень-
ших чем максвелловская частота (точка 10 соответствует

I 60 Мгц); это объясняется тем, что в данном диоде
। мкость Сп примерно на два порядка меньше, чем
нмкость С6 (см. также (2-13) и (2-14)).

Диапазон частот, соответствующий участку 11, обычно
in,nite рабочего диапазона частот диода; поэтому емкость Сл
шнлчно не учитывается в эквивалентной схеме диода.
Ь щако эту емкость нужно учитывать в диодах сверх-
киоких частот [2, 42], а также в обычных диодах при
1'||убэком охлаждении, приводящем к резкому возраста
ш|о сопротивления базы [43]. Емкость С„ нужно учиты-
41
вать также в диодах с базой из высокоомного полупи
водника.

2.	Диод с базой из компенсированного полупров ,
ника.* В некоторых типах диодов из компенсированног
полупроводника (например, в диодах из карбида кремни!
в непосредственной близости к р—n-переходу имеем
высокоомный слой, удельное сопротивление которого зн
чительно выше, чем удельное сопротивление материа.1
базы диода [44, 45]. Эквивалентная схема такого дно!
может быть представлена в виде параллельных цепоче
Иш—Сб и Нв—Св, соединенных последовательно, и пос
довательного сопротивления 7?п (где 7?в, Св — сопротивл
ние и емкость высокоомного слоя) — см. также рис. 11
Емкостью Сп пренебрегаем (см. п. 1 настоящего пара
графа).

На рис. 20 приведены линейные диаграммы для диоя
из компенсированного карбида кремния при U = 0 дл
различных температур окружающей среды. При постро<
нии этих линейных диаграмм не вводилась поправка i
емкость и индуктивность соединительных проводов, длил
которых была равна примерно 3 см, т. е. принимало»
^*посл	И ^ПОСЛ-^БХ*

На рис. 20, а детально показан участок I, соотве
ствующий параллельной цепочке — С6 (масштаб 7?п1
при Т = 20° С указан слева от оси ординат, а при 7
= 200° С — справа от оси ординат).

На рис. 20, б детально показан участок II, соотве
ствующий параллельной цепочке 7?в — Сг. Точка перс
чения участков I и II дает значение емкости С6 и сопи
тивления 7?в +/?п. Так, например, при Т = 20е С имея
С6 = 3100 пф, 7?,, + Ик 7?в — 320 ом. Пренебрежем Л
противлением Рв по сравнению с сопротивлением Ч
Тогда точка пересечения участка II с осью абсцисс даЯ
значение Св = 170 пф, отсюда имеем тв = RBCB 
==5.4 • 10 8 сек.

Используя формулу (2-52), находим удельное coni
тивление высокоомного слоя рв = 6.1-104 ом • см. Е
пользуя известную формулу для емкости плоского ко
денсатора, находим толщину высокоомного слоя hB
= 4,3 мкм. Аналогичным способом определяем значен
С6, Св и Рв при Т = 80° С. При повышении температур

* Пункт 2 написан совместно с Ю. А. Водаковым.
42
значение С6 несколько возрастает, а значение 2?в умен
шается. Поэтому при заданной частоте с новышени!

температуры возрастает значение эквивалентной поел
довательной емкости для цепочки 7?в—Cs (см. выраж*
ние (2-14)), что приводит к существенному возрастай
значения Спосл на участке II (ср. значения Спосл д.

Рис. 21. Линейная диаграмма для гетероперехода
германий—кремний при £7=0.

Номера точек соответствуют частотам: 1 — 1 кгц, 2 —
1.6 кгц, 3 — 3 кгц, 4 — 5 кгц, 5 — 7 кгц, 6 — 10 кгц, 1 —
25 кгц, 8 — 50 кгц, 9 — 70 кгц, 10 — 100 кгц, 11 — 250 кгц,
12 — 500 кгц, 13 — 1 Мгц, 14 — 3 Мгц, 15 — 5.5 Мгц.
Масштаб й,10сл. в диапазоне частот от 1 до 70 кгц (точки!—9)
указан на левой оси ординат слева, масштаб Л,|ОС, в диапа-
зоне частот от 10 до 500 кгц (точки 6—12) указан на левой
оси ординат справа, масштаб НЛОсл в диапазоне частот от
500 кгц до 5.5 Мгц (точки 12—15) указан на правой оси
ординат.

f = 6.4 Мгц при Т ~ 20° С (рис. 20, точка 19) и
Т = 80°С (рис. 20, точка 9). Возрастание значения

приводит к уменьшению значения частоты шр (см. вь
жение (2-49)), а следовательно, и к уменьшению той
стоты измерений, на которой уже нужно вводить поправ

ояснепия к

нему (емкостью соединительных проводов

рассматриваемом случае можно пренебречь).

3.	Гетеропереход германий—кремний. В гетероиере-
оде, образованном полупроводниками с различными по-
тоянными решетки (например, в гетеропереходе герма-

1ПЙ—кремний), может возникнуть двойной запорный
лой [46—48]. Вольтамперные и вольтфарадные характе-
шетики гетероперехода с двойным запорным слоем ана-
югичпы характеристикам двух встречно включенных
цподов. Эквивалентная схема гетероперехода с двойным
шпорным слоем может быть представлена в виде двух
параллельных 7?С-цепочек, соединенных последовательно,
причем одна 7?С-цепочка соответствует запорному слою
1 кремнии, а другая — запорному слою в германии; кроме
того, нужно учитывать сопротивление базы /?,„ включен-
ию последовательно с двумя ЛС-цепочками (см. также
рис. 14).

На рис. 21 приведена линейная диаграмма для гете-
роперехода, изготовленного вплавлением германия в крем-
ний. Участок 1 соответствует запорному слою в кремнии,
и участок II — запорному слою в германии. В диапазоне
частот, соответствующем участкам I и II, значение 7?110сд
изменяется на несколько порядков; поэтому различные
участки линейной диаграммы приведены в различных
масштабах по оси ординат. Из пересечения участка I
; с осью ординат получаем R1 + Т?2 + 7?п	R1 = 9.2 • 10s оъ

Точка пересечения участков I и II дает значения Т?2 +
|	Т?2 = 1.4 • 104 ом и Q1 = 8.5  10s ф-1 (С1 = 117пф).

йшчения Rn и С"1 + определяем на высоких частотах
(рис. 21, точки 14 и 15); находим 7?п = 82 ом, Ср1 -|- С21 =
п 15.6-10s ф-1, отсюда С2=140 пф.

С.

на индуктивность соединительных проводов. При Т
= 200° С на высоких частотах с повышением часто

линейная диаграмма отклоняется влево (рис. 20, точ
11 и 12). Такой аномальный ход диаграммы объясняет

тем, что поправка на индуктивность соединительных пр
водов не вводилась, в результате чего получилось зав
шенпое значение емкости С„осл — см выражение (2-48)
Глава III.

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЛУБОКИХ
ПРИМЕСНЫХ УРОВНЕЙ

(ля электронов <§ря (пределы применимости этого допу-
цения рассматриваются в § 2 настоящей главы). Примем
люке, что в базе диода выполняются неравенства

(	— ‘Oir \

‘“Ря ^дг > 4кТ, N„r exp	J 7УДЫ. (3-1)

§ 1. Понятие о влиянии глубоких примесных
уровней на свойства барьерной емкости

До сих пор рассматривался случай, когда приме»
в областях р и п полностью ионизованы (так называем»
мелкие примеси). В этом случае при малом изменен»
напряжения йа р—и-иереходс время установления равн
весия между электрическим полем и подвижными зар
дами порядка максвелловского времени тм [2], котор
определяется из формулы (2-52). Максвелловская частота
определяется из формулы (2-53). При /<^/м можно пр
небречь инерционностью подвижных зарядов в р—п-пеп
ходе.

Наличие в областях р и п (или в одной из этих обл
стей) примесей, которые ионизованы не полностью (т
называемые глубокие примеси), приводит к существенно!
изменению свойств барьерной емкости. Специфическ
свойства барьерной емкости при наличии глубоких пр
месей могут быть использованы для определения некот
рых параметров глубоких примесей. В настоящем пап
графе на примере простой модели рассмотрено влил
ние глубокой примеси на свойства барьерной емкост
а в последующих параграфах рассмотрены более общи
случаи.

Пусть базой сплавного диода является электронш
полупроводник, в котором, помимо основной примеси
мелких доноров с концентрацией 7УДМ и энергией I
имеются глубокие доноры с концентрацией Nw, которг
соответствует глубокий энергетический уровень <§’дг в вещ
ней половине запрещенной зоны (рис. 22, а). Мелкие д
норы ионизованы во всей области п (как в слое объе
ного заряда, так и в области электрической нейтральност!
Примем, что заполнение глубокого донорного уровня опт
деляется его положением относительно квазиуровня Фер!

Рис. 22. Сплавной р +—n-переход с мелкими
и глубокими донорами в базе.

а — расположение энергетических зон при дей-
ствии обратного напряжения; б — распределение
плотности объемного заряда р (х). <Sn — энергия
электрона; ёс — энергия нижнего края зоны
проводимости; <?„ — энергия верхнего края ва-
лентной зоны; ёрп; ёр^ — квазиуровни Ферми
для электронов и длТ дырок; h — толщина р+—п-
перехода; х, — толщина слоя ионизованных глу-
боких доноров.

Второе из неравенств (3-1) означает, что концентрация
ипизованных (не заполненных электронами) глубоких
поров в базе диода много меньше, чем концентрация
илких доноров. Исключим из рассмотрения случай, когда

46

47
I В стационарном состоянии (t т) имеем
концентрация глубоких доноров много больше, чем к
центрация мелких доноров. Тогда для упрощения paca	dQc/c = eS (/V^dij-}- N^dh),	(3-4)

тов можно принять, что там, где выполняется неравенс	е

глубокий донорный уровень заполнен элект	dU^= — (N^xydxj + N^hdh).	(3-5)

нами, т. е. все глубокие доноры нейтральны, а там, я	а

выполняется неравенство	глубокий уровень Пусть теперь к р—n-переходу, помимо постоянного

заполнен электронами, т. е. все глубокие доноры иоЛ обратного напряжения U=, которому соответствует тол-

зованы. Тогда при 0 <^х<^х± концентрация ионизовавн щииа р—п-перехода h, приложено малое синусоидальное
доноров 7УД„ равна ZVW -|- 7УДГ, а при х1 хh она равна Л напряжение (t) — Ux sin «>t. На низких частотах (ют <^j 1)
(рис. 22, б); значение xt определяется из условия <&'J можно пренебречь временем перезарядки глубоких доно-
= <§’г„ (рис. 22, а).	1110В и найти значение барьерной емкости Св как произ-

Пусть запирающее напряжение V па р—п перехо, иодную стационарного заряда QCT по напряжению U; ис-

мгиоьенно увеличилось на величину dU,* что приве, пользуя (3-4) и (3-5), получаем

к увеличению толщины р—п-перехода на величину .	N dx + N dh

а толщины слоя х1 на величину dxT (рис. 22, б), lii	Си = ^ = eaS	.	(3_6)

быстро установится это новое стационарное состояли	и	а N^x^xx -|- NRllhdh

Время ухода электронов из слоя dh порядка максвеллJ
ского времени, так как все мелкие доноры были иош
ваны еще до увеличения напряжения на р—п-перехо]
Ионизация же глубоких доноров в слое dxx происход
после того, как возросло напряжение на р—п-перехс
Поэтому время ухода электронов из слоя dxx определяем
временем ионизации глубоких доноров т, которое, к
правило, значительно больше, чем максвелловское вре
Следовательно, зависимость барьерной емкости от чаете
обусловлена временем ионизации и деионизации глубо
доноров в слое dxv

При изменении запирающего напряжения в моме
15 = 0 скачком на величину dU вначале (при
имеем

dQ^eSN^dh,	(3

dU = ^-Nw,hdh.	(1

Выражения (3-2) и (3-3) аналогичны выражениям (11
и (1-15) для случая, когда в базе диода имеется п.®
одна мелкая примесь.

Найдем связь между значениями хг и h. Интегрируя
дважды уравнение Пуассона в интервале от хг до h, имеем

где (<?₽„ — <§лг\ — значение <§ги —£дг при x = h.

Из выражения (3-7) следует, что толщина слоя h — хг
по зависит от напряжения и что справедливо соотношение

= ah.	(3-8)

Используя (3-6) и (3-8), определяем

^(h-x.) *	<3-9)

* TV _l_ /V
1ГДЫ Г ДГ

Найдем теперь зависимость толщины р—п-перехода
<> напряжения. Интегрируя дважды уравнение Пуассона
и интервале от 0 до h, получаем после преобразований

, -|/ 2еа(С7+^к-Д^к)

~ ^ди + ^дг	е(Лдм+Лдг)

(3-10)

где

* Разумеется, мгновенное изменение напряжения на еык ।
практически неосуществимо, так как оно потребовало бы в1
ника напряжения бесконечно большой мощности.

к~ е^дм + Л^)	•

(З-И)

4 Л. С. Берман
Используя выражение (3-10), получим значение
в явном виде:





Еае (Л'дм + ^дг)
2(^1 Гв - ДЕ7В) -

(3 12

Из формулы (3-12) следует, что характер зависимост
низкочастотной емкости от напряжения такой же, как
при наличии в базе диода лишь мелких доноров, однакл
вместо величины UK в формулу для емкости входит вел!
чина UK— &UK; кроме того, наклон прямой (U) опр,
деляется суммарной концентрацией примесей в баг
^дм + -^дг (СР- 3-12) с (1-24)). Из формулы (3-12) следуе1
также, что добавление глубоких доноров приводит к воа
растанию низкочастотной емкости.

На высоких частотах (сот 1) можно пренебречь измё
пением заряда глубоких доноров вблизи плоскости х = а:
так как они не успевают перезаряжаться при изменена
напряжения с высокой частотой; изменяется лишь заря
мелких доноров вблизи плоскости x — h. В этом случи
можно найти значение барьерной емкости СЕ как прои
водную начального заряда по напряжению. Используй
выражения (3-2) и (3-3), получаем формулу для значеш
барьерной емкости на высоких частотах

, dQ0 e&S

* — dU— h •

(3-13

Формула (3-13) аналогична формуле (1-12). Хотя заря;
глубоких доноров и не успевает следовать за переменным
напряжением, однако этот заряд влияет на толщин
р-—«-перехода (см. выражение (3-10)), а следователь™
и на значение высокочастотной емкости Св.

Сравним значения высокочастотной и низкочастотно!
емкости. Из (3-9) и (3-13) получаем

Сп (А'дм + А^М '

Из выражения (3-14) следует, что высокочастотна]
емкость меньше, чем низкочастотная, причем эта разниц
увеличивается с возрастанием отношения ЛГЯГ/7УДМ. Можи
показать, что высокочастотная емкость слабее зависит с
напряжения, чем низкочастотная. При увеличении обрат
ново напряжения значение h возрастает, а значение h —
остается неизменным (см. выражения (3-7) и (3-10));
поэтому при увеличении обратного напряжения отноше-

Рис. 23. Расположение энергетических зон
и заполнение глубокого донорного уровня
в р+—//-переходе.

а — при 17=0; б — при обратном напряжении V.
<?F — уровень Ферми; h (0) — толщина р+—п-перехода
при U = 0; Х1а, Xie — толщина слоя ионизованных
доноров при 17=0 и при обратном напряжении U.

соответственно.

nue CJCn возрастает, стремясь в пределе к единице.
Используя (3-13) и (3-9), получаем

(Л-Ж1)7УДГ
__Г-1---------------

4	4 ~еа5(Лдм + 7Удг)’

(3-15)

т. е. значение Св’— Ся' не зависит от напряжения.
Если время измерения емкости (время балапсировк
моста, отсчета показании приборов и т. п.) значитетьь
больше, чем время установления стационарного заполш
ния электронами глубокого донорного уровня, то в это
случае измеряется стационарное значение высокочасто:
ной емкости, соответствующее стационарному заполнений
глубокого дон< ного уровня и стационарной толщин
Р «-перехода. Выше нами было вычислено стационарнст
значение высокочастотной емкости. Если же, наоборот]
время установления стационарного заполнения глубокого
донорного уровня много больше, чем время измерены
емкости, то в этом случае измеряется некоторое переход-
ное значение высокочастотной емкости C(t), изменяющее^
во времени в соответствии с изменяющимся заполнение»
глубокого донорного уровня.

Рассмотрим случай, когда вначале напряжение i
Р «-переходе равно нулю (рис. 23, а). Тогда глубоки!
донорный уровень заполнен электронами при х > ж1а (зна
чение ж1а определяется из условия <§'г = <§’дг). Пусть в не
который момент времени t = 0 напряжение на р—тг-пере]
ходе переключается от U = 0 до некоторого обратного
напряжения U. В начальный момент сразу после перекли
чения сохраняется то заполнение глубокого донорноп
уровня, которое было до переключения, т. е. этот урЛ
вень заполнен электронами при х ж1а и ионизован прЛ
ж<Сж1а- Начальные значения толщины р—«-перехода га
и емкости Со при t = 0, соответствующие напряжению U,
определяются начальным заполнением глубокого донор-
ного уровня. Найдем начальную толщину р—«-перехода Ты
Интегрируя дважды уравнение Пуассона, получаем

где

ДС/кО = -2Г-

(3-19)



U+U»=^ \

L©

Ло

ж1а

(3-1)

Из (3-16) после преобразований имеем

До

И <7К — ДГк0)
еЛДм

(3-17,

Из формулы (3-18) следует, что характер зависимости
начального значения высокочастотной емкости от напря-
жения такой же, как и при наличии в базе диода лишь
мелких доноров, однако вместо величины UK в формулу
для емкости Со входит величина —ДТ7к0. Наклон пря-
мой Cq'{U} определяется концентрацией мелких доноров Nдм.
Такая зависимость емкости от напряжения объясняется
том, что в начальный момент глубокие доноры ионизо-
ваны только в слое ж1а^>ж^>0, поэтому заряд глубоких
доноров не изменяется при изменении напряжения и тол-
щины р—«-перехода. Стационарное заполнение глубокого
1,онорного уровня определяется квазиуровнем Ферми для
электронов &еп (см. выше), поэтому после переключения
электроны начинают уходить с глубокого донорного уровня
и слое Дж (рис. 23), что приводит к возрастанию плот-
ности объемного заряда в этом слое, а следовательно,
к уменьшению толщины р—«-перехода и к возрастанию
емкости во времени (при этом толщина слоя Дж также
уменьшается). Стационарное значение высокочастотной
||мкости (Сст), соответствующее стационарному заполне-
нию глубокого донорного уровня, определяется из фор
мулы (3-13). Из приведенного выше рассмотрения следует,
что справедливо неравенство Сс.,/>С0.

Рассмотрим далее случай, когда постоянная времени
установления стационарного заполнения глубокого донор-
ного уровня весьма велика (порядка нескольких часов и
нытпе). Тогда после переключения от U = 0 до обратного
напряжения U в течение длительного времени сохраняются
начальное заполнение глубокого донорного уровня и соот-
ветствующее ему начальное значение емкости Са. Осве-
|.цМ р—«-переход монохроматическим светом с энергией
кванта hv, достаточной для заброса электрона с уровня &яг
в зону проводимости, но недостаточной для заброса элек-
трона из валентной зоны на уровень <§яг, т. е.

(3-20)

Со = = 5 1/"e°-e2V«M

*0	' 2 (£7 —|—£7К_—Д£71с0) ’

(3-181

В слое Дж электроны, заброшенные светом с уровня <§яг
в зону проводимости, быстро удаляются полем из р—«-пере-
хода в базу диода; обратный процесс — захват электро-
нов из зоны проводимости на уровень <§яг — практическ’
отсутствует. Поэтому свет постепенно удаляет все элек-
троны с уровня £дг в слое Дж. Этот процесс приводив
к возрастанию емкости во времени (при этом толщине
слоя Да; уменьшается).

Пусть интенсивность светового потока мала; тогдг
при освещении концентрация электронов в базе изме
няется незначительно, следовательно, можно пренебречь
изменением положения квазиуровня Ферми для электро-
нов. Пренебрежем также изменением концентрации элек-
тронов на уровне в слое h~^> х^> х1Ъ, так как в этом
слое наряду с выбросом электронов в зону проводимость
идет и обратный процесс — заполнение уровня <§лт элек-
тронами. В этом случае стационарное значение емкости
будет примерно таким же, как и стационарное значение
емкости при темновом разряде уровня Более строги?
и детальные расчеты для рассматриваемой задачи приве-
дены в [49].

§2. Основные уравнения для расчета заполнения
глубоких примесных уровней

Рассмотрим р—n-переход, в котором, помимо мел-
ких доноров и акцепторов, имеется одна глубокая примесь
с концентрацией ZVr; каждый атом глубокой примеси
может как захватить один электрон, так и отдать захва
ченный электрон (однозарядная примесь). Этой примес:
соответствует глубокий уровень <§г в запрещенной зош
(рис. 24). Составим уравнение для скорости измененш
концентрации электронов на глубоком уровне <§г, т. е. на
атомах глубокой примеси (см. также [4]).

Вероятность захвата электрона на уровень <gT nponoj
цпональна концентрации электронов в зоне проводимости п
и концентрации пустых атомов примеси NT (1 — /), где!
/ — вероятность заполнения электронами глубокого уровня
Поэтому скорость возрастания концентрации электроног
на уровне <§т вследствие их захвата из зоны проводимости
равна ynnNT (1 — /), где уи — коэффициент пропорциональ
ности, называемый коэффициентом захвата электрона
Вероятность теплового возбуждения электрона с уровня
в зону проводимости пропорциональна концентрации элек
тронов на этом уровне, равной Л'г/; поэтому скорость
убывания концентрации электронов на уровне <§,. вслед-
ствие их теплового возбуждения равна аяД\/, где ая — коэф-
фициент пропорциональности. Определим константу ап,
для чего рассмотрим состояние равновесия, т. е. р—п-пере-
ход при С7 = 0. Приравнивая скорость захвата электро-

Рис. 24. р—n-переход с глубокой при-
месью, которая обменивается электро-
нами как с зоной проводимости, так и
с валентной зоной.

£д — ширина запрещенной зоны.

нов из зоны проводимости на уровень <§т и скорость их
теплового возбуждения с уровня <§г в зону проводимости,
получаем

(3-21)

где п0, f0 — равновесные значения пи/.

Заметим, что /0— функция Ферми (см., например, [4]),

1

/о = р _ ехр _ SF)/kT] •	<3'22)

Выражение (3-21) с учетом (3-22) принимает вид

=	(З-23)
здесь

п1 = Л'с ехР [—(£<: — Sr)/kT],

(3-24

где <§с — энергия нижнего края зона проводимости
Nc — эффективная плотность состояний в зоне проводи,
мости: для германия ZV(. = 2.0 •	см-3, для кремния

Ne = 5.5 • Ю15?1^ см-3 [50]. Из выражения (3-24) следует
что п1 — это равновесная концентрация электронов в зон*
проводимости, когда уровень Ферми совпадает с уров-
нем <§г [4].

Величина ая =	— относительная скорость тепло-

вого возбуждения электронов с уровня <§г в зону прово
димости (т. е. скорость теплового возбуждения электро-
нов, отнесенная к их концентрации на уровне <§г). Из при-
веденного выше анализа следует, что скорость возрастания
концентрации электронов на уровне вследствие обмена
электронами между этим уровнем и зоной проводимости
равна TnZVr [п (1 — /) — nJ].

Вероятность захвата дырки на уровень <§г (т. е. вероят-
ность перехода электрона с этого уровня в валентную
зону) пропорциональна концентрации дырок в валентной

зоне р и концентрации атомов примеси, заполненных
электронами NTf. Поэтому скорость убывания концентра-
ции электронов на уровне <§т вследствие их перехода
в валентную зону (захвата дырок на уровень <§г) равна
yppNTf, где у — коэффициент захвата дырки на уровень <§т.
Вероятность обратного перехода дырки в валентную зону
(т. е. вероятность теплового возбуждения электрона из
валентной зоны на уровень £,,) пропорциональна концен-
трации пустых атомов примеси NT (1 — f); поэтому ско-
рость возрастания концентрации электронов на уровне <§т
вследствие перехода дырок с уровня <£г в валентную зону
равна (1 — /), где а.р — коэффициент пропорциональ-
ности. Определим константу ар из анализа равновесия.
Приравнивая скорость перехода электронов с уровня
в валентную зону и скорость их теплового возбуждения
из валентной зоны на уровень <£г, получаем

ар 1РРо ।TpPi.	(3-25)

где р0— равновесное значение р,

Pi = TV, exp [—(£r — St)/kT],

(3-26)
Д’, — энергия верхнего края валентной зоны, N„ — эффек-
тивная плотность состояний в валентной зоне: для германия
/V,, = 1.0 • Ю15Т3/г см-3, для кремния Л',, = 2.2 • 10152’3/’ см-3
|'»0]. Из выражения (3-26) следует, что pt — это равно-
весная концентрация дырок в валентно?! зоне, когда уро-
вень Ферми совпадает с уровнем <§г.

Величина ар = урр1 — относительная скорость перехода
дырок с уровня <§г в валентную зону (относительная ско-
рость теплового возбуждения электронов из валентной
эоны на уровень <§г). Из приведенного выше анализа сле-
дует, что скорость убывания концентрации электронов
па уровне <§г вследствие обмена электронами между этим
уровнем и валентной зоной равна ypNT[pf— pt(l—/)].

Таким образом, скорость изменения концентрации
электронов на уровне <£г описывается уравнением

= тЛг I» (1 - /) - «i/1 - [Pf - Р1 (1 - /)], (3-27)

где Днг — отклонение концентрации электронов на
уровне <§т от ее стационарного значения нг ст

Заметим, что уравнение (3-27) справедливо как при
прямом, так и при обратном напряжении.

Стационарное заполнение электронами
уровня £г. В этом случае уравнение (3-27) принимает вид
" = ТЛг [гест (! — /ст) — ге1/от1 — 7рЛ'г [Рст/ст ~Р1^~ /От)1>	(3-28)

где индекс «ст» означает стационарное значение.

Из выражения (3-28) находим стационарную концен-
трацию электронов на уровне <§т и стационарную вероят-
ность заполнения этого уровня

«r.CT = ^r/cT.	(3-29)

Где

/ст =	+	.	(3.30)

7я (пст + и1) + Чр (Рот + Р1)

С другой стороны, значение /ст может быть выражено
порез квазиуровеиь Ферми для уровня <§т

1

/ст = 1 + exp |(6Г - SFT)/kT] .	<3-31)

Приравнивая (3-30) и (3-31), можно определить значе-
ние £Рг, которое в общем случае зависит от координаты.
Рассмотрим, как изменяется значение /ст по толщин!
р—«-перехода. Примем, что в р—«-переходе справедлива
приближенные равенства <§Ftl = const и <§Fp ~ const, г Л
<§р„, &fp — квазиуровни Ферми для электронов и для дырой
(штрих-пунктирные линии на рис. 24). Выразим гЛ
через £Р„ и рСТ через <§Fp [4]:

«от = 1УС ехр [~(£с - SFn)/kT],	(3-3|

Рот = Н, ехр (-(«S’F]) — £„)/kT].	(3 33

Из сравнения (3-24) и (3-32) следует, что в плоскости
ж = я2 (где х2 определяется из условия &р„ = ё,.) иС1 = «Я
Поскольку «от зависит от <§с — <§Fn по экспоненциальному]
закону, то при х <( ®2 можно принять «ст пг. Сравнения
(3-26) и (3-33) показывает, что в плоскости х = хг (где я]
определяется из условия <§Fp = <§T) р<У[=р1, при х>ш
можно принять р^ ^Ру. Из (3-26) и (3-32) следует, что
в плоскости х = х3, для которой справедливо соот
ношение

(^ - <Ч) - (^r - = 1п(^),	(3 J

имеем тугст = а при х<^х3 можно принять упист <<
Таким образом, в интервале х3^> х^>хх выполняются не
равенства

Рот Р1’ 1/Рст ЧрР1	(3-35) ।

и формула (3-30) принимает вид

/ст =---1^2----= 1 —---1Л_____	(3-36

ТЛ+lpPi	ЪР1 + 1РР1 ’

т. е. вероятность заполнения уровня <§г является постояв!
пой величиной, которая не зависит ни от обратного па
пряжения, ни от значений пст и рст. В этом же интер-
вале <§т — <§Ft = const. Поясним физический смысл этою
результата. Напомним, что в стационарном состоянии
скорость теплового возбуждения электронов с уровня <?,
в зону проводимости к, равна /Уг/стТи,г1> а скорость пере
хода дырок с уровня <§г в валентную зону (т. е. скором!
теплового возбуждения электронов из валентной зоны п]
уровень <§т) v2 равна Лгг (1 — /ст) у рг Используя (3-36)1
получаем ит = и2. Этот результат является очевидным!
Действительно, неравенства (3-35) означают, что в иптер-
пале х3'^>х>х1 можно пренеоречь захватом электронов
I» зоны проводимости на уровень по сравнению с теи-
новым возбуждением электронов с уровня <§т в зону про-
подимости и пренебречь захватом дырок из валентной
попы на уровень <§т по сравнению с переходом дырок
р уровня <?,, в валентную зону. Поэтому в стационарном
настоянии существует динамическое равновесие между
сопловым возбуждением электронов с уровня <§г в зону
проводимости и переходом дырок с уровня £г в валент-
ную зону (тепловым возбуждением электронов из валент-
ной зоны на уровень §т).

При больших обратных напряжениях справедливы не-
равенства

Х1 — хр хп — z3 <h, х„ — x2<^h.

(3-37)

।. е. формула (3-36) справедлива почти во всем р—/г-пере-
\оде. Оценим значение /ст на краях р—«-перехода для
случая, когда справедливы неравенства Sr —

при х—хр и &рп — ST>!tkT при ж = жи. Тогда прижр<
КЖ<СЖ1 имеем	и	из (3-30) получаем

/от^0, т. Q. в интервале хр<^х<^хг уровень <§т почти
ио заполнен электронами. При х2<^х <Р х}1 имеем «м^>«1
11 Рет<Рг Тогда из (3-30) получаем /ст^1, т. е. в ин-
горвале ж2<^ж<^жя уровень почти целиком заполнен
> лактронами.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1.	Состояние равновесия. В этом случае имеем <§F —

с. е. заполнение уровня <§т определяется уровнем Ферми.

2.	Обмен электронами между уровнем <§, и валентной
поной отсутствует (у =0). Приравнивая (3-30) и (3-31)
и используя (3-24) и (3-32), получаем <gFr = <§f„, т. е. за-
полнение уровня St определяется квазиуровнем Ферми
1 для электронов.

3.	Обмен электронами между уровнем <§г и зоной про-
водимости отсутствует (уя = 0). Приравнивая (3-30) и (3-31)
и используя (3-26) и (3-33), получаем <§рг~<§£Р, т. е. за-
полнение уровня <§г определяется квазиуровнем Ферми
для дырок.

4.	Относительная скорость теплового возбуждения
электронов с уровня <§т в зону проводимости много больше,
чем относительная скорость теплового возбуждения элек-
тронов из валентной зоны па уровень Sr, т. е. выпол-
няется неравенство T^Pi- Из анализа формулы (3 3(|) I
следует, что в этом случае заполнение уровна пр!»
обратном напряжении приближенно определяется квазия
уровнем Ферми для электронов. Если при х~ хп выпо.тЯ
няется неравенство <§рп — Sr^> ккТ, то приближенно можнл
принять, что вблизи х = ®2 значение /ет изменяется от О
(при х<^х^ до 1 (при х~у>х^.

5.	Относительная скорость теплового возбужден™
электронов с уровня <£г в зону проводимости много меньше!
чем относительная скорость теплового возбуждения элек-1
тронов из валентной зоны на уровень <?г, т. е. вы пол 1
няется неравенство '( рг. Из анализа формулы (3-30)
следует, что в этом случае заполнение уровня
при обратном напряжении приближенно определяетея ।
квазиуровнем Ферми для дырок. Если при х = хр выпол!
няется неравенство <§т — <§^р^>ккТ, то можно приближение!
принять, что вблизи х — х1 значение /ст изменяется от 0
(при Х<^Ху) ДО 1 (при X^Xj).

Оценим порядок величины ТЛ/ТрР1 Для глубокого!
уровня. Используя (3-24) и (3-26), получаем

V1 _ Г Sp ~2(SC — <?г) 1	I I

ipPi~ipn„ expL kT J’ ( 8)]

Отношение NJN» порядка единицы (так, например,
для германия NJN» — 2.0, для кремния NJNv = 2.5). Из
выражения (3-38) следует, что если уровень <§г расположен |
более чем на 4—5 кТ выше середины запрещенной зоны,1
то для него выполняется неравенство Tj/h^TpPi, т. е. его
заполнение приближенно определяется квазиуровнем I
Ферми для электронов (за исключением случая, когда yJ
на много порядков превышает уи); если же уровень S J
расположен более чем на 4—5 кТ ниже середины за-j
прещенной зоны, то для него выполняется неравенство!

ЧрРъ т- е- его заполнение приближенно опреде-1
ляется квазиуровнем Ферми для дырок (за исключением!
случая, когда на много порядков превышает у ).

Рассмотрим далее переходные процессы при!
заполнении электронами уровня <§г. Подставляя в урав-1
пение (3-27) выражения п = пст + А/г, р = рст + Др, пг—‘
— иг ст + Дпг, / = /ст + Д/ и Ди, — пг (где Дп, Др, |
Дпг и Д/ — отклонения значений и, р, пг и / от стацио-1
парных значений этих величин) и учитывая (3-28), по-
лучаем

</ (Лп..)

—= — [Ъ («ст + »1) + Чр (рст + Р1)1 Апг + Т,Лг ( I — /,,.,) Дп —

— "IpNrfciAP — (Кд« + 1р&Р) Ьпг.

(3-39)

Благодаря сильному электрическому полю в р—п-пере-
ходе стационарная концентрация электронов в зоне про-
водимости и стационарная концентрация дырок в валент-
ной зоне устанавливаются, как правило, гораздо быстрее,
чем стационарная концентрация электронов на глубоком
уровне (это справедливо в некотором интервале темпе-
ратур). Тогда уравнение (3-39) принимает вид

[7я («ст + »1) + 1Р (Рея + Pi) 1 А«т- (3-40)

Из уравнения (3-40) следует, что стационарная кон-
центрация электронов на уровне устанавливается по
экспоненциальному закону с постоянной времени

т = 1К («ст + «1) + 1р (Рст + Р1)]-1-

(3-41)

Постоянную времени т называют также временем релак-
сации заполнения уровня <§т. Значение т, вообще говоря,
зависит от координаты, так как значения пот и рст
являются функциями потенциала. При	имеем

»ст<<п1, а при х}>ajj имеем рт^.р1 (см. выше). Поэтому
в интервале х2^>х^>х1 формула (3-41) принимает вид

* = (7„«1 + 7рР1)-1-

(3-42)

Сравнение формул (3-41) и (3-42) показывает, что в ин-
тервале х2^>х'^>х1 время релаксации заполнения уровня <§г
больше, чем на краях р—п-перехода (в интервалах х1'^>
^>х^>хр и хп'^>х'^>х^. При больших обратных напря-
жениях имеем х2 — xx^h, т. е. в этом случае фор-
мула (3-42) справедлива почти для всего р—п-перехода.
Таким образом, при больших обратных напряжениях
время релаксации заполнения глубокого уровня одина-
ково почти по всей толщине р—п-перехода; оно не за-
висит от обратного напряжения и определяется из фор-
мулы (3-42).

В ходе рассмотрения предполагалось, что в р—п-пере-
ходе справедливы приближенные равенства <§-рп — const и
<Sfp = const. Это допущение справедливо как при прям:
так и при обратных напряжениях, если диффузной
длина неосновных носителей много больше толщ»
р—n-перехода и если можно пренебречь генерацией
рекомбинацией в р—п-переходе [4, 51]. Первое из
условий обычно выполняется. Второе условие вып<
няется для диодов из германия (при комнатной темпе}
туре); однако оно не выполняется для диодов из пот
проводников с широкой запрещенной зоной (кремш
арсенид галлия, карбид кремния и т. п.), а также д
германиевых диодов при низких температурах. Для так
диодов допущение о постоянстве квазиуровней Фер
в р—n-переходе справедливо при прямых напряжениях
при малых обратных напряжениях (порядка нескольк
кТ]е), но несправедливо при больших обратных напрял
ниях [52].

При малых обратных токах, типичных для диодов
полупроводников с широкой запрещенной зоной, квд|
уровни Ферми в р—n-переходе расположены так, к
показано на рис. 24 пунктирными линиями [52]; так,
ход квазиуровней Ферми объясняется возрастанием к]
цептрации электронов и дырок в р—п-н ер входе веля
ствие протекания обратного тока. Так, например, равс
ство /гст = nj выполняется теперь при х = х*2 (а не п
х = х2, как в случае £Fk = const), а равенство рст —
выполняется теперь при х = ж* (а не при х = х1, к.
в случае = const). Плоскость х*й, в которой выпо
няется соотношение Т„пст = '[PPv также несколько ся
стится относительно плоскости х3. Для определенност
примем, что справедливы неравенства <§Т — <§рр > 4кТ п]
х = хр и — Sv^>4kT при х = хп. Тогда заполнен
электронами уровня существенно отличается от ра
смотренного ранее лишь вблизи плоскости х = xv а так?:
в интервале	и вблизи него. Формула (3-3

справедлива в интервале	а формула (3-42),

в интервале х2~^>х^>х*. Поэтому допущение о пост
янстве квазиуровней Ферми в р—n-переходе при выД
слении значения барьерной емкости является удовлеи
рительной аппроксимацией. При больших обратных 1
пряжениях формулы (3-36) и (3-42) справедливы поч1
для всего р—«-перехода. Большие обратные токи, обуслс
лепные, например, интенсивным освещением или умнож
пнем носителей тока, могут существенно изменить запол-
нение электронами глубокого уровня по всей толщине
р—«-перехода [53]. Этот режим работы здесь не рассма-
тривается.

В ходе рассмотрения нами использовалась формула
для функции Ферми (3-31), которая не учитывает выро-
ждения уровня £г, т. е. того обстоятельства, что уро-
нень <§т может быть занят электроном различными спо-
собами; например, в случае спинового вырождения
•>лектрон может иметь два различных значения спина.
Число способов, которыми может быть реализовано за-
нятое состояние, называется его статистическим весом.
Можно показать, что формула (3-31) будет справедлива
и с учетом вырождения уровня <§т с той лишь разницей,
что вместо энергии <§г в нее войдет эффективная энер-
гия Эфф, определяемая из выражения [4]

^г.8фФ = ^ + ^1я₽.	(3-43)

где р — отношение статистического веса свободного со-
стояния к статистическому весу занятого состояния, этот
параметр называется коэффициентом вырождения уровня.
В формулы (3-30), (3-36), (3-41) и другие вместо величин
«1 и /ц войдут величины «18фф = п1р и />18фф = л/₽> П0ЛУ-
ченные из (3-24) и (3-26) путем замены на эфф.
В случае спинового вырождения донорного уровня (Р = 0.5)
имеем <§г — <§,. эфф = 0.7 кТ, т. е. поправка на вырождение
мала.

Пусть имеется несколько глубоких однозарядных при-
месей, каждой из которых соответствует глубокий уровень
и запрещенной зоне, и эти примеси не взаимодействуют
между собой (последнее обычно справедливо, если кон-
центрация каждой из примесей не превышает 1017 см"3).
Тогда для каждого из глубоких уровней вероятность за-
полнения определяется из формулы (3-30), а время релак-
сации заполнения — из формулы (3-41).

До сих пор мы рассматривали однозарядную глубокую
примесь, однако глубокие примеси обычно бывают много-
нарядными (например, золото и цинк в кремнии). Каждый
птом многозарядной примеси может отдавать или захва-
тывать не один, а несколько электронов. Пусть атом
миогозарядной примеси может (в дополнение к тому коли-
честву электронов, которое обеспечивает электрическую
нейтральность атома) захватить не ботее т электроне
или отдать не более г электронов. При отсутствии г эле!
тронов (—/-состояние) заряд атома равен ге; при захвате /?< I
электронов (т состояние) заряд атома равен —те. Есл>
атом захватил s электронов (s<^/«), то очевидно, чт<
энергия s + 1-го электрона (s + 1-й уровень) больше, чел
энергия s-ro электрона (s-й уровень), так как с увеличе
нием числа электронов возрастает и поле, отталкивающе
их от атома.

Ограничимся рассмотрением случая, когда уровни,
соответствующие различным электронам, отстоят друг от
друга не менее чем на несколько кТ (это условие обычна
выполняется). Верхний уровень (например, s + 1-й) суше
ствует лишь в том случае, когда заполнен нижний уро
вень (например, s-й). Пусть у одного из атомов много
зарядной примеси s-й уровень заполнен электроном. Тогда
у этого атома существует $ -|- 1-й уровень и можно найти
вероятность заполнения этого уровня [54, 55]. Пусть у дру
того атома многозарядной примеси s—1-й уровень за-
полнен электроном. Тогда у этого атома существует s-й
уровень и можно найти вероятность его заполнена'
В [55] выведены рекуррентные формулы для отношении
«s+i/«s (где n«+i> пв — концентрация электронов на s + 1-ьй
и на s-м уровне). Можно показать, что каждому из глу
боких уровней многозарядной примеси соответствует свой
квазиуровень Ферми.

§ 3. Барьерная емкость резкого р+—«-перехода
с глубокими примесями	„ I

Резкие и близкие к резким р—«-переходы чаете
встречаются в полупроводниковой электронике. Резк!
р—«-переходы удобнее использовать для исследовании
свойств глубоких примесей, чем плавные р—«-переход!
так как для резких р—«-переходов получаются сравш
тельно простые расчетные формулы. В настоящем пар.
графе детально рассмотрено влияние глубоких примес!
на барьерную емкость резкого р+—«-перехода с однород-
ной базой. Расчеты выполнены для случая, когда в бая
имеются мелкие доноры с концентрацией /Удм, глубок!
доноры с энергией ^дг и концентрацией /Удг и глубоки
акцепторы с энергией и концентрацией 7Уаг, приче
концентрации этих примесей, вообще говоря, могут быт
любыми, за исключением случая почти полностью ком-
пенсированного полупроводника (7Var ды 7УЯИ + Лгдг). Все
примеси считаем однозарядными. Примем, что в базе
диода выполняются неравенства

I 0	__ С П

43 F °дг I

^р-^д.>4ЛТ, ^дм-^аг>7Удгехр[-—----------], (3-44)

которые аналогичны неравенствам (3-1).

Стационарное значение емкости. Ограни-
чимся рассмотрением случая больших обратных напря-
жений (расчет для общего случая произвольных обратных
напряжений дан в [56]). Тогда почти во всем р+—п-пере-
ходе для уровней ^дг и ^ar выполняются неравенства (3-35),
и концентрация ионизованных глубоких доноров 7УДГ11,
акцепторов /Var[1 и полная концентрация ионизованных

примесеи 7Vlra определяются из выражении

7«ди1д

= Л'лг (1 - /д..,,.) = л'Д1. т----г7д ..

1<1дГ *рд/4д

аг* а. ст ~~ 1 v аг Wja + W]a ,

/V == TV 4- TV ______________TV

•* ’ пи 4 ’ im । 1 ’ пги	1' аги*

(3-45)

(3-4(5)

(3-47)

Индексы «д» и «а» означают соответствующие пара-
метры глубоких донорных и акцепторных уровней. Зна-
чения /д ст и /а ст определяются из формулы (3-36).

Низкочастотная емкость (С„) вычисляется как произ-
водная стационарного заряда ионизованных примесей по
постоянному напряжению (см. также (3-6)). Высокочас-
тотная емкость Св определяется толщиной р+—п-перехода
(см. также (3-13)). При больших обратных напряжениях
пти емкости одинаковы и вычисляются из приближенной
формулы

С» = С« =	2 (U +"i7K) '	(3~48)

Из формулы (3-48) следует, что характер зависимости
емкости от напряжения такой же, как и при наличии
ь базе диода лишь мелких доноров, однако наклон пря-
мой С 2(£7) (где C = C„~Ct) определяется полной кон-
центрацией ионизованных примесей 1Ула. Оценим влияние
глубоких примесей на величину емкости путем сравнения

5 Л. С. Берман

65
формулы (3-48) с формулой (1-24), справедливой при на
линии в базе диода лишь мелкой примеси. Обычно дл.с
глубокого уровня выполняется одно из неравенств:

(для уровня, расположенного в нижней половин}
запрещенной зоны) или УЛ Y;A (Для уровня, распш
женного в верхней половине запрещенной зоны) — cjm
также выражение (3-38) и пояснения к нему. Огравичимс!
рассмотрением этих предельных случаев.

1.	Влияние глубоких доноров (Д\г = 0):	. I

а) при ТЛ>ТА из (3-45) и (3-47) получаем а.
7УДГ и 2УПИ a* -|- /Удг, т. е. введение глубоких доноров'
приводит к такому же увеличению емкости, как и введе
ние равного количества мелких доноров;

б) при Тидп1д<Т^дР1д из (3-45) и (3-47) находим А\гиа(1
и	т. е. введение глубоких доноров не приводив

к изменению емкости (этот результат справедлив, если
2УДГ<2УДМ или NKT п А'дм одного порядка).

2.	Влияние глубоких акцепторов (Д?дг = 0):

а)	при 'Гдан1а > из (3-46) и (3-47) определяе!
7Уагиа*0 и Nm^N№, т. е. введение глубоких акцептор!
не приводит к изменению емкости;

б)	при утп1а^урар1а из (3-46) и (3-47) имеем 7Vari,a
агД/аг и 7У1[Иа;Л'Д11— А?аг, т. е. введение глубоких акцеп
торов приводит к такому же уменьшению емкости, как
и введение равного количества мелких акцепторов.

Для частного случая, когда ТвДп1д > ^др1д и Т!й1Ща<Я
детальные расчеты выполнены в [57].

Изменение емкости во времени при пере-
зарядке глубоких уровней. Как было показано
ранее (см. § 1 настоящей главы), после переключени!
диода от нуля до обратного напряжения изменяется за-1
полнение глубокого уровня, что приводит к изменению
емкости во времени. На рис. 25 показано расположение
энергетических зон и примесных уровней в р+—и-пере-
ходе. Пусть вначале напряжение равно нулю (рис. 25, а).
Тогда в стационарном состоянии уровень <§w заполнев
электронами при х > x1R, а уровень при х х2&. Пусть
теперь при t = 0 к р+—n-переходу прикладывается обрат-
ное напряжение U (рис. 25, б), в дальнейшем такое пере-
ключение будем обозначать 0-> U. Начальное значенииI
емкости Со при 7 = 0, соответствующее напряжению 77, I
определяется заполнением глубоких уровней, которой
было при t 0. Стационарная вероятность заполнения
электронами уровня определяется из формулы (3-30).
При х < х* имеем /д ст = 0, при х > ж1б имеем /д ст — 1

Рис. 25. Расположение энергетических зон
и заполнение ^глубоких примесных^уровней
в 'р +—п-переходе.

а — при U—0; б — при обратном напряжении <7;
в — при прямом напряжении Нщ,.

(см. § 2 настоящей главы). Таким образом, после пере-
ключения концентрация электронов на уровне

в слое Дж-, уменьшается от Л'дг при t = 0 до NRTfK. ст при
1-^. со, а в слое Дж* возрастает от 0 до Л"дг/д, ст. Оба эти
процесса происходят с одинаковой постоянной времени тд,
которая не зависит от обратного напряжения и опредс
ляется из формулы (3-42), так как в слое ж*	х < ж,,

выполняются неравенства ист<^п1д и рст<^р1л. Резул Л
татом этих двух процессов может быть как возрастание!
так и уменьшение емкости во времени (последнее имеет
место при /д_ с,., близкой к единице).

Рассмотрим распространенный частный случай, когда
для уровня £„ справедливо неравенство у,ап1я >> урдр1д,
а для уровня £аг справедливо неравенство Тяа«1а ТРаРЯ
(расчет для общего случая произвольного соотношения
между значениями и ^рр1 для обоих уровней дан в [58]).
В этом случае стационарное заполнение уровня <§дг при-
ближенно определяется квазиуровнем Ферми для элек
тронов, а уровня <§’аг— квазиуровнем Ферми для дырок
(см. § 2 настоящей главы). После переключения электрону
уходят с уровня <§Rr в слое Лхт и заполняют уровень
в слое Дж2 (рис. 25). Ограничимся рассмотрением случаи
больших обратных напряжений, для которых справедливы!
соотношения	и Дж2<;/г. После переключения кош

центрация заполненных глубоких допоров почти во все.м
переходе уменьшается с постоянной времени тд от 7УДЛ
при t — О до 0 при Z—> со, а возрастание концентрации
ионизованных глубоких доноров Nwa(t) описывается вы-
ражением

ЙдГИ (О = л\г I1 — ехр (—</тд)].

(3-49)

Концентрация же ионизованных глубоких акцепторов
ЛД,1И(£) почти во всем переходе не изменяется и остается
равной Л?аг. Подставляя значения Л?дги(/) и Л\ги(/) в урав-
нение Пуассона и интегрируя его дважды, получаем при-'
ближенные выражения для толщины перехода h(t) и вы-<
сокочастотной емкости С (Z) (на единицу площади):

г еа 12 еае{^дм — War + /VRr[1 — exp (—//тд)1}

CZW=Lm*)J “	2(CZ + £7K)

(3-50)

Из формулы (3-50) находим начальное и стационарно!
значения емкости Со и Сет:

еЕа (й^дм -Nar)
С«-. 2(CZ+t/K)

(3-51,
Из (3-51) следует, что наклон прямой C02(f7) позво-
ляет определить значение /Удм — 7УЯГ



ееа (^дм + ^дг — ^аг)

2 (W + WE)

(3-52)

Используя (3-50), (3-51) и (3-52), получаем

& (/) - Cg [1 - exp (-t/zj]
QT - Л'дм + 7Удг-7Уаг •

В конце переходного процесса справедливо неравен-
ство Сс1	Сет, тогда (3-53) принимает вид

С («)-?<, Л Со\ Wffr [1 - exp (_</тд)]
CDT V+cJ- N„, + N„-N„

(3-54)

При малой концентрации глубоких примесей (Лгдг<;
<^7УДМ и 2Уаг<^7Удм) справедливо приближенное равенство
С (I) -j- Со л; 2Сст, тогда в течение всего переходного про-
цесса справедливо выражение

С (0-Со WflrIl-exp(-^)]

Сст ~ 2ТУДМ •	(3-55)

Используя формулу (3-42), а также известные соотно-
шения для ув, пх и Nс [4], находим

\ = (Ьдп1д)-1 = (WA)'1 ехР — Snr)lkT] =
= W1 ехР К*, - й‘дГ)/Л7’1 •	(3-56)

где сид — сечение захвата электрона для уровня <§дг, ик —
тепловая скорость электронов. Для германия Ья = 3.6х
Х1021 см-2 сек.-1 °К'2, для кремния Ья = 6.6х
ХЮ21 см“2 сек.-1 °К~2.

Из формулы (3-56) следует, что при возрастании тем-
пературы постоянная времени тд резко уменьшается.
Логарифмируя (3-56), получаем

In (V2) = -In (о»А) + (S° - S^lkT- (3-57)

Если пренебречь температурной зависимостью параме-
тров тяд и <§с — <§дт, то (3-57) — уравнение прямой в коор-
динатах ЬДтдТ’2), 1]кТ. Наклон этой прямой дает значе-
ние энергии активации глубоких доноров <§’с — <§'дг, а сама
прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный
—In (а,лЬю). Для того чтобы учесть вырождение уровн
£дг, нужно первое слагаемое в правой части (3-57) заме
нить на —In (сид|Зд6я), где Рд— коэффициент вырождение
уровня 6’дг-

Рассмотрим теперь другой режим работы. Пусть
вначале к р+— «-переходу приложено прямое напряже-

ние U (рис. 25, в), причем при х — hav (где Лор — толщина
перехода при прямом напряжении выполняется нера-
венство <оаг — АкТ. Рассмотрим стационарное запол
нение уровней 6Д1. и в слое h!ip <Z х h. Для уровня
б’аг справедливы неравенства «1а<<«ст и Аа^Рст- Тогдй
формула (3-30) принимаем вид

Тиа^ст "Ь TpaPla

а-],Р 7иа«ст УраРст

(3-58;

Если при малом уровне инжекции (рет^пст) справед-
ливо неравенство < ЪЛт> то	Если же

при малом уровне инжекции справедливо неравенство

Т^аРст Тиа^ст (т- е- Тра ыа несколько порядков превышает
Тяа). т0 /а.ир^Д При ВЫСОКОМ урОВНб ИНЖ6КЦИИ (pcTf^
^«ст) /а.пр^Т«а/(Тяа + Тра)- Выражение ДЛЯ /д.вр ПОЛу-
чается из (3-58) путем замены индексов «а» на «д».

После переключения от прямого до обратного напря-

жения (по-прежнему считаем обратное напряжение боль-
шим) вероятность заполнения электронами уровня <§ат
почти во всем переходе возрастает от /а ир до 1, а ве-
роятность заполнения электронамиуровня ^дг уменьшается
от /я ,,р до 0. В дальнейшем такое переключение обозна-
чим С7вр-> U. Время релаксации заполнения глубоких
уровней на много порядков превышает время жизни
дырок в базе (это допущение справедливо в некотором
интервале температур). Путем рассуждений, аналогичных

приведенным выше, получаем выражение для высоко-
частотной емкости

С2 = 2(и+1Ц) <7V«« + ^дг С1 ~ Л- пр) - иР +
+ л'дг/д. ир I1 — exp (-*ЛД)1 -

— л"аг (1 — /а. пр) [1 — exp (—*/та)]}.	(3-59)

В частном случае при /а_,ф«а1 заполнение уровня <§лт
не изменяется (также как и после переключения 0-> U).
В другом частном случае при уиЯгест >> ур^рс1 получаем
/дирлЛ, при этом заполнение уровня изменяется
гак же, как и после переключения 0-> U. Из (3-59)
следует, что уход электронов с уровня £от приводит
к возрастанию емкости во времени, а заполнение элек-
тронами уровня <?аг — к уменьшению емкости во времени
(это справедливо независимо от того, являются ли уровни
и <?аг донорными или акцепторными). Из (3-59)
находим

Л^дг/д. пр I1 — ехр (—*Лд)] —

С2 (t) - Cl -	(1 -Д.ир) [1 - exp (-i/ta)]

С2 —	Л7 -4- TV — TV	 w)

vct	*’дм Г 1¥дг 2*ar

При малой концентрации глубоких примесей выра-
жение (3-60) принимает вид

^дг/д.пр I1 — ехр (-*ЛД)] —

С (t) — Со ~^ar(l-/a.np)[l-exp(-#/Ta)]

---т;----=	Knj	• (а-Ы)

Если времена релаксации заполнения глубоких уров-
ней различаются более чем на порядок (обычно это
условие выполняется), то перезарядку каждого из глу-
боких уровней можно рассматривать независимо от пере-
зарядки других глубоких уровней. Постоянная времени
тд, входящая в выражения (3-59)—(3-61), по-прежнему
определяется из формулы (3-56). Постоянная времени та
определяется из формулы

= (7раР1а)-1 = (°PaV2r ехр [(<?„ - SJ/kT],	(3-62)

где ара — сечение захвата дырки для уровня <§аг. Для
германия &р = 1.2-1021 см-2 сек-1 °К-2, для кремния
^ = 2.0-1021 см-2 сек.-1 °К-2. Логарифмируя (3-62),
получаем

In (та72) = -In (apabp) + (<£ar - St)/kT.	(3-63)

Если пренебречь температурной зависимостью параметров
а и <?аг— то (3-63) — прямая В КООрДИНЭТаХ ЪфаП,
1[кТ. Наклон этой прямой дает значение энергии акти-
вации глубоких акцепторов <§ат — а сама прямая
отсекает на оси ординат отрезок, равный —In (арйЪр). Для
того чтобы учесть вырождение уровня нужно первое
слагаемое в правой части (3-63) заменить на —In (<зр.лЬр/^,
где ра — коэффициент вырождения уровня <§аг. У

Сравним изменение емкости при перезарядке уровн
после переключения 0—> U и после переключени

U^U (где С7вр.я— прямое напряжение, соответствую-
щее высокому уровню инжекции). Для определенности

Используя (3-53) и (3-59), получаем

СЪ-Cj^ ___________

c'iT~ci Л.ир-7яд + 1

(3-6.

где Со — начальное значение емкости после иереключени
О—> U, Ск. ст — квазистационарное значение емкости посла
переключения	U, соответствующее стационарном!

заполнению уровня <§"аг и начальному заполнению уровнГ
<§w. Таким образом, сравнение изменения емкости поел,
переключений 0-> U и £7вр.я-> U позволяет определит)
отношение тяд/трд.

Оценим погрешность в определении значения <§с —
обусловленную тем, что мы пренебрегли температурной
зависимостью сечения захвата. Пусть измерения произ-
водятся в узком интервале температур от T1 — TCJ, — &Т
до Т2 = Тср Д- l\T, в котором температурная зависимости
% имеет вид % = %ср(Т/7’ср)иг, где а гЛср —среднее shJ
чение аяД, соответствующее средней температуре 7ср
Тогда относительная погрешность определения энергш
активации из формулы (3-56) описывается выражение»



тД7'



1.15rcp[lg(V^)-Ig(V.^)] ’

(3-65)

где тд1 и тд2 — значения тд, соответствующие температур
рам Т\ и 7\. Аналогичное выражение справедливо и для
относительной погрешности значения <Far — <SV, если имеет
место аналогичная температурная зависимость о .

Пусть, например, имеем 7’1 = 136° К, 712 = 162° К,
тд1 = 125 сек., тд2 — 0.92 сек., <§с — <§лг = 0.34 эв и m = —2.
Тогда из (3-65) находим А (<§\. — £дг)/(<оя — £дг) — 0.075,
т. е. А (§с — б’дг) = 0.025 эв. Эта погрешность в значение

— Snr приводит к погрешности в экспоненциально»
множителе формулы (3-56) примерно в 7 раз.

Учтем далее зависимость энергии активации глубо
кого уровня от температуры. В узком интервале темпе
ратур зависимость энергии активации уровня £дг от тем-
пературы может быть представлена в виде — <§яг =
= (<?„ —<?дг)ср — « (У —Уер), где (&0 — &дг)ср—среднее
значение §с — £яг, соответствующее средней температуре
Т^. С учетом этой зависимости (и вырождения уровня §дг)
выражение (3-57) принимает вид

а (<^с — ^дг)ор + «У’ср

1П	= -И1 ( %ЬД) ~т+----------w. (3-66)

(<§с — £дГ)(;р + «Т'ср — значение <§е — <§№, экстраполиро-
ванное к 7’ = 0°К; если коэффициент а постоянен в ин-
тервале 0 < Т < Тс11, то (<§с — 5дг)ср + «7’ср — значение

— <£Дг ПРИ 7'=0° К. Из (3-66) следует, что наклон
прямой в координатах In (т^Т12), 1/кТ дает значение энер-
гии активации уровня <§дг, экстраполированное к Т ~0° К,
а сама прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный
—1° (о«АРд) — а1к- Аналогичные результаты справедливы
и для уровня £аг. Пусть, например, для кремниевого
р+ — n-диода при 7’ср = 150° К имеем (<§с — £дг) = 0.34 эв,
а = 10“4 эв/°К и акд=10-15 см2, примем также рд = 2.
Тогда аГср = 0.015 эв, In (с„дЬ)г8д) = 16.3 и а/к= 1.2.

Таким образом, исследование изменения во времени
барьерной емкости" при темновой перезарядке глубоких
примесных уровней позволяет определить ряд параметров
этих уровней, в частности энергию их активации.

Рассмотрим далее резкий п+—р- переход. Пусть
в базе диода, помимо мелких акцепторов (основной при-
меси) с концентрацией ZVaM, имеются также глубокие
акцепторы с концентрацией Nni и глубокие доноры с кон-
центрацией N№. Метод расчета совершенно аналогичен
методу расчета для р+—«-перехода. Приведем результаты
расчета для случая больших обратных напряжений.
Формула для низкочастотной и высокочастотной емкостей
аналогична формуле (3-48) с той лишь разницей, что
полная концентрация ионизованных примесей опреде-
ляется из выражения

Апи = Аам + Л'агв-Л'дги,	(3-67)

где значения Л’аги и N.,m по-прежнему определяются из
(3-45) и (3-46).

Оценим влияние глубоких примесей на величину ем-
кости тем же методом, что и для р+—«-перехода.
1.	Влияние глубоких доноров (/Var = 0):

а)	пусть > тяр1д, тогда введение глубоких до-
норов приводит к такому же уменьшению емкости, как
и введение равного количества мелких доноров;

Рис. 26. Расположение энергетических зон
и заполнение глубоких примесных уровней
в п+—р-переходе.

а, бив — то же, что и на рис. 25.

б)	пусть Тад^д^ЬдРгд» тогда введение глубоких до-
норов не приводит к изменению емкости.

2.	Влияние глубоких акцепторов (/Удг — 0):
а)	пусть Тдаи1а>ТраР1а, тогда введение глубоких ак-
цепторов не приводит к изменению емкости (этот резуль-
тат справедлив, если 2Var 7Уам или 7Var и 2Уам одного
порядка);

б)	пусть	тогда введение глубоких ак-

цепторов приводит к такому же увеличению емкости,
как и введение равного количества мелких акцепторов.

Изменение высокочастотной емкости во времени при
перезарядке глубоких примесных уровней может быть
найдено теми же методами, что и для р+—тг-перехода.
Пусть кроме мелких акцепторов с концентрацией 7VaM
имеется глубокая примесь с концентрацией NT, которой
соответствует энергия £1г и глубокая примесь с концен-
трацией N2, которой соответствует энергия <S2 (рис. 26),
причем уровень <£j расположен в верхней части запре-
щенной зоны и для него справедливо неравенство г(гр1^-
а уровень расположен в нижней части запре-
щенной зоны и для него справедливо обратное неравен-
ство. Тогда при обратном напряжении заполнение уровня
<§г приближенно определяется квазиуровнем Ферми для
электронов, а заполнение уровня ^2 приближенно опре-
деляется квазиуровнем Ферми для дырок.

После переключения 0 -> £7 электроны заполняют
уровень <§а в слое Дж2, что приводит к возрастанию
емкости во времени, и уходят с уровня в тонком
слое Aaij, что приводит к некоторому уменьшению ем-
кости во времени (независимо от того, являются ли уровни
и <о2 донорными или акцепторными). Время релакса-
ции заполнения уровня <§2 может быть определено из
формулы

^2 = (°P2bpT2}-i exp [(<?2 - Sr)/kT\,	(3-68)

где ср2 — сечение захвата дырки для уровня

Формула (3-68) аналогична формуле (3 62). При боль-
ших обратных напряжениях справедливы соотношения
△ж2»/г и	В случае малой концентрации глу-
боких примесей	и TV2<^TVaM) возрастание ем-

кости во времени описывается выражением

С (t) — Со N2 [1 — exp (—t/rj]
^от	27VaM

(3-69)

Рассмотрим теперь переключение £7пр-> U. Пусть
вначале к п+—р переходу приложено прямое напряже-
пие 47 причем при х~ /гир выполняется неравенство
<§уя—	Тогда для уровня <§г справедливы но

равенства п1(1)<пС1 и рШ)</>ст (где п1(1), р1(11 — зна
чения Hj и pL для уровня (S’,). Стационарное заполнение
уровня при h^>x^>huv определяется из выражения

Ти1пст + TplPl(l)

Twl^CT 7 7 pl Рст

(3-70)

Выражение (3-70) аналогично выражению (3-58). Если
при малом уровне инжекции (пст^рст) справедливо не
равенство Тк1тгст <€ Тр1рст, то /1пр^0. Если же при малом
уровне инжекции справедливо неравенство ув1пот '(р1рЛ
(т. е- Т«1 на несколько порядков превышает ур1), то
/11флг1. При высоком уровне инжекции (пег^рст) из
(3-70) получаем /1лр^тя1/(уя1 + Т^). Значение /2„р можно
найти аналогичным путем.

После переключения 47 -» U вероятность заполнение
электронами уровня <§г в слое h^> x^>hvv уменьшается
от /inp Д° нуля, что приводит к уменьшению емкости
во времени. Примем, что времена релаксации заполнения
уровней и <§2 различаются более чем па порядок.
Тогда уменьшение емкости во времени вследствие ухода
электронов с уровня <?, можно рассматривать независимо
от возрастания емкости вследствие заполнения электро
нами уровня <§2. Примем для определенности, что т2<^тр
Тогда уменьшение емкости во времени описывается вы
ражением

C(t) — Сет Л7Л пр ехр (—t/^)

С---- ~=------~2N--------•	<3-71

° ст	' ам

Постоянная времени tj определяется из выражения

= (°я№)-1 exp [(£с — S-ftkT},

(3-72)

где ая1 — сечение захвата электрона для уровня <§±.

§ 4. Примеры исследовании глубоких
примесных уровней

1. Емкостные свойства кремниевых диодов с при-
месью золота в базе. Золото может быть специально
введено в базу кремниевого диода для уменьшения вре-
мели жизни неосновных носителей [59], для создания
компенсированного кремния [60, 61], а также может про
пикнуть в базу диода как нежелательное загрязнение.

Атом золота в кремнии может находиться в трех элек-
трических состояниях: а) отдать валентный электрон,
и этом случае атом заряжен положительно, т. е. ведет
себя как ионизованный донор, б) иметь валентный элек-
трон, в этом случае атом электрически нейтрален, в) за-
хватить один электрон сверх валентного, в этом случае
атом заряжен отрицательно, т. е. ведет себя как иони-
зованный акцептор. Энергетический уровень, соответствую-
щий валентному электрону,-—донорный уровень <§д — рас-
положен в запрещенной зоне па 0.35 эв выше края ва-
лентной зоны. Энергетический уровень, соответствующий
второму электрону, — акцепторный уровень <§я — располо-
жен в запрещенной зоне на 0.55 эв ниже края зоны про-
водимости, т. е. примерно посередине запрещенной зоны.
\кцепторный уровень существует там, где донорный уро-
вень заполнен электроном. Кроме того, золото в кремнии
может быть и электрически неактивным. В дальнейшем,
говоря о концентрации золота, будем иметь в виду кон-
центрацию электрически активного золота (Ns).

Составим уравнения для скорости изменения концен-
трации электронов па обоих уровнях золота. Введем обо-
значения: ZV+, TV®, TV" — концентрация положительно за-
ряженных, нейтральных и отрицательно заряженных ато-
мов золота, /* — вероятность того, что атом золота имеет
один валентный электрон, /а — вероятность того, что атом
золота имеет один электрон сверх валентного, т. е. вероят-
ность заполнения электроном акцепторного уровня, ид —
концентрация электронов на донорном уровне (причем
акцепторный уровень не заполнен), т. е. концентрация
атомов золота, имеющих валентный электрон, пл — кон
цептрация электронов на акцепторном уровне, т. е. кон-
центрация атомов золота, имеющих одни электрон сверх
валентного. Тогда справедливы следующие соотношения:

2VB = iV++?V0 + ^- a„ = 7Vs/* = A0, na= ZV3/a = TV-. (3-73)

Скорость захвата электронов из зоны проводимости на
донорный уровень равна Y9UlnAZT, а скорость их теплового
возбуждения с донорного уровня в зону проводимости —
Ыг1ц№- Скорость захвата дырок из валентной зоны ни
донорный уровень равна уряр№, а скорость их тепловом
возбуждения с донорного уровня в валентную зону
Y/wPis/V+. Скорость изменения концентрации N+ опис
вается уравнением

-	= ЬД	- и1д№) - 7ет (р№> - P1rN+) (3-74)

(Il	QI

(см. также пояснения к выводу уравнения (3-27)). Ана»
логичным путем получаем уравнения для скорости измД
нения концентрации пя (см. также [62, 63])

= 7™ Н» - »iaA-) - 7ра (PN- - Р1Л№).	(3-75

Приравнивая нулю (3-74) и (3-75) и используя (3-73),
получаем уравнения для стационарного заполнения уро
ней золота, из которых находим значения /* ст и /а
(аналогично тому как было найдено значение /ет для одно-
зарядной примеси). Не приводя общих результатов рас
чета, ограничимся рассмотрением наиболее важных част
ных случаев.

При прямом напряжении, соответствующем высокому
уровню инжекции, в значения /* вр и /а вр опредо
ляются из выражений

1П> =--------------------- (3-761

(Ъгд Ч" 7/зд) 7ра “Ь 7яд7?га

/а. пр =	, У л.----------•	<3-77>

(7ид “И 7рд) 7ра ~Ь 7пд7ка

При обратном напряжении в той части р—п-перехода,
где для обоих уровней золота выполняются неравенства
(3-35), значения /* обр и /а обр определяются из выражений

-г*	 7яаЩа	.о 70.

/а.обр =-----.	(3-79)

Тяа^Ха 4" YjsaPla

При выводе (3-78) использовалось неравенство тидп1д
<ТглР1л- Из (3-78) и (3-79) получаем обр + обр = 1,
т. е. каждый атом золота нейтрален или заряжен отри-
цательно.
Далее, исключив из (3-75) и (3-74) стационарные зна-
чения величин, получим два уравнения для переходных
процессов. В каждое из этих уравнений входят отклоне-

ния величин Пд и па от их
стационарных значений.
Однако, поскольку акцеп-
торный уровень перезаря-
жается значительно мед-
леннее, чем донорный,
изменение во времени за-
полнения донорного и
акцепторного уровней мож-
но рассматривать незави-
симо друг от друга и
характеризовать каждый
из этих процессов посто-
янной времени тд и та
соответственно. В той части
р—п-перехода, где вы-
полняются неравенства
«1Д<Иот и Р1д<Рст, значе-
ние определяется из вы-
ражения

-д = (7иР1д)-]-	(3-80)

В той части р—72-пере-
хода, где выполняются
неравенства п1а тгст и
Ры<значение ^опре-
деляется из выражения

Рис. 27. Кремниевый д +—п-пере-
ход с примесью золота.

а — расположение энергетических зон
и уровней золота при 0=0; б — то же
при обратном напряжении И; в — ста-
ционарное распределение плотности
объемного заряда при обратном на-
пряжении U.

^=(fyaPla +W4a)-1-	(3-81)

Выражения (3-80) и
(3-81) аналогичны формуле
(3.42) для однозарядной

примеси.

р+—n-переход. Стационарное значение ем-
кости. Исключим из рассмотрения случай сильно ком-
пенсированного полупроводника (Ns^& Расположение
энергетических зон и распределение плотности объемного
заряда показано на рис. 27. При U = 0 (рис. 27, а) до-
норный уровень заполнен при	и не заполнен при
х<^хл. Акцепторный уровень существует при ж^>жд1 и 
заполнен при ж^>жа1> При обратном напряжении (рис. 27, б)
донорный уровень заполнен при х хп2 и не заполнен при
ж<Сжд2- Акцепторный уровень заполнен при .г^>.га3 и в-
заполнен при х <Z жа2; в слое жа3 х ,та2 вероятност
заполнения акцепторного уровня /а обр определяется из I
(3-79). Плотность объемного заряда в слое h^>х^>хаг
равна е (Адл — 7V3), в слое жа3 > х > хв2 — е (Адм — ZV3/a. обр),
в слое жа2>я:>-жл2 — еАдм и в слое жд2>ж>0 — е(Ады-| АО

Для упрощения расчетов примем, что и в слое хя2^>
j> х	0 р = е (Адм-— А3/а. обр), т. е. пренебрежем тем объем- I

ным зарядом, который соответствует заштрихованное
части рис. 27, в. Тогда зависимость р (х) аналогична за-
висимости р (х) для случая, рассмотренного в § 1 настоя
щей главы (ср. рис. 27 с рис. 22); поэтому основные со-
отношения могут быть получены из выражений, приведе!
пых в § 1, путем замены значения Ады на Адм— А3, зна- I
чеипя Адм + А — па Адм — NJa_ обр и значения Адг — на 
А3 (1 —/а оГф). В частности, но аналогии с выражением (35) I
получаем

йГ=^[(Ади-А„)Л-|-А8(1 ~/а.обр)яа3] dh. (3-82)

Используя (3-82) и (3-13), получаем после преобразованю

2

dU rd (С-2)-|-1

d(<7H dU J -

r д; f	И /а. обр) -^аз)

дм •zv3-'a. обр -----------q-----------

(3-83)

где Св — стационарное значение высокочастотной емкости, |
определяемое из (3-13). Выражение (3-83)—-уравнение
прямой в координатах dUld(C*), Св; эта прямая отсекает |
на оси ординат отрезок, равный АДы — А3/а. о6р. В частном
случае при А3 = 0 (3-83) совпадает с формулой (1-21).
Этот метод был использован в [64] для измерения значе-
ния Адм — А3/а обр в Р+—^-переходе из кремния с при-
месью золота, кроме того, измерялось значение Адм в кон-
трольных образцах без золота с такой же концентрацией
мелких доноров. Эти два значения совпадали с погрет
ностью порядка 1%. Такой результат возможен лишь
при обрл^0 (так как значения Адм и Ns в этих образ-
цах были одного порядка). Следовательно, акцепторные
уровень в слое жа3 J> a; J> жа2 почти не заполнен элек-
тронами.

Используя формулы (3-12) и (3-13) и заменяя в них
Гдм + ^дг> и Л^дг соответственно на 2УДМ, 2УДМ — N3
и 7Vg (т. е. пренебрегая /а о6р по сравнению с единицей),
получаем

Си = 5

°ас2'дм

2 (U+ UK- MJ*)

(3-84)

(&?„ — <Sa)x=h — значение <§Fn — при x = h,

(h — жай) _|_ if2еа (U + AtZK) '
^дм Г	еЛдм

Из сравнения формул (3-84) и (3-86) следует, что вы-
сокочастотная емкость меньше, чем низкочастотная; с воз-
растанием обратного напряжения отношение CJC^ возра-
стает, стремясь в пределе к единице. Действительно, при
Ns(h — .га3)/7Удм <</л формула (3-86) совпадает с формулой
(3-84). Если к р+ — «-переходу можно приложить большое
обратное напряжение, то из (3-84) можно определить зна-
чение Лтдм тем же способом, как и при наличии в базе
диода лишь мелкой примеси (см. выражения (1-24)—(1-27)).
В общем случае значение 7УДМ можно определить по от-
резку, отсекаемому прямой (3-83) на оси ординат.

Изменение емкости при перезарядке до-
норного и акцепторного уровней. После пере-
ключения от нуля до обратного напряжения (0 -> U) элек-
троны заполняют донорный уровень в слое Джд, что при-
водит к уменьшению емкости. Вероятность заполнения
акцепторного уровня в слое Джа уменьшается от 1 до /а обр
с постоянной времени та = (уяа«1а) (в правой части (3-81)
можно пренебречь первым слагаемым, так как 'Г7>а/’1а<^
^Тяа^ы); этот процесс приводит к возрастанию емкости.
При больших обратных напряжениях справедливы соот-
ношения Джд h и Джа h, поэтому основную роль играет
ухсд электронов с акцепторного уровня в слое Д«а. Если
пренебречь уменьшением емкости вследствие заполнения

1/2 6 Л- с- Берман

81
электронами тонкого слоя А.тд, процесс возрастания е»
кости вследствие перезарядки уровня <§й аналогичен про-
цессу, рассмотренному в § 1 настоящей главы (ср. также
рис. 27 с рис. 23). Начальное значение высокочастотной
емкости Со при больших обратных напряжениях получаем]

Рис. 28. Зависимость начального и стацио-
нарного значения барьерной емкости от на-
пряжения для сплавного кремниевого р+—п-
диода с примесью золота в базе при Т=
=—192° С (удельное сопротивление мате-
риала базы 15 ом-см, 5=1.5-10_? см2).

Стрелками показано, в какую сторону изменяются
напряжение и емкость. Пояснения в тексте.

из формулы (3-18), заменив в ней на 7УДЫ — 7VS и пре-
небрегая величиной А£7к0,

Л ^(Адм-А3)

|/	2(£7+С/к)

(3-871

Из формулы (3-87) следует, что наклон прямой С~‘(U)
позволяет определить значение Лгдм — Na. На рис. 28 при-
ведена экспериментальная зависимость (U) для сплав
кого кремниевого . р*—и-диода с примесью золота при
Т = —192° С [66]. Зная площадь р+—n-перехода и исполь-
зуя (3-87), получаем IV дм— 7Vs = 2.5-1014 см*3.

Относительная диэлектрическая проницаемость полу-
проводника слабо зависит от температуры [ТКе. порядка
10*4/°С [2]), при изменении температуры от температуры
жидкого азота до комнатной значение е возрастает на не-
сколько процентов, температурной зависимостью £/,, при
больших обратных напряжениях можно пренебречь. По-
скольку погрешность измерения абсолютного значения е
и 5 обычно больше, чем несколько процентов, темпера-
тура, при которой измеряются зависимости Св (С7) и Со ((7)
цля определения значений и 7УЛМ— 2VS, некритична.
Однако сравнивать зависимости Cr(U) и C0(U) для опре-
деления значения 7V8 нужно при одинаковой температуре;
это весьма существенно при малых отношениях NJNKU,
так как в этом случае нужно определить разность двух
близких величин. Так, например, если сравнивать стацио-
нарное значение высокочастотной емкости Св (которое
в дальнейшем будем обозначать Сст) при комнатной тем-
пературе со значением начальной емкости при темпера-
туре жидкого азота и использовать (3-84) и (3-87) для
определения значений 2УДМ, — 2VS и 7VS, то получается
завышенное значение Ns, причем при 7V3/2VHM = 0.06 отно-
сительная погрешность измерения значения Ns этим ме-
тодом достигает примерно 100%; с возрастанием отноше-
ния NJNjw эта погрешность уменьшается.

Один из возможных способов сравнения значений Сст
и Со при одинаковой температуре заключается в следую-
щем. При комнатной температуре к р+—n-переходу при-
кладывается большое обратное напряжение U, стационар-
ное заполнение обоих уровней золота устанавливается за
малые доли секунды. Затем образец охлаждается до тем-
пературы, близкой к температуре жидкого азота. При
этом сохраняется стационарное заполнение обоих уровней,
в частности, акцепторный уровень при ж жа3 (рис. 27, б)
не заполнен электронами, а при х > жа3 — заполнен.

Начнем уменьшать обратное напряжение от U до Uv
при этом толщина перехода уменьшается от h до в пре-
делах толщины перехода сохраняется стационарное рас-
пределение плотности объемного заряда, поэтому зависи-
мость емкости от напряжения описывается формулой (3-86)
(см. рис. 28, отрезок 1—2 функции C~°T(U)). Используя
(3-86), получаем УУдм = 4.0 • 1014 см-3, отсюда 7V,=
= 1.5-1014 см-3. За границей перехода (при x^>h^ блг
годаря высокой концентрации электронов акцепторнып
уровень быстро заполняется.

Будем теперь увеличивать обратное напряжение, тогда
при	начальная плотность объемного заряда равн

е(7Удм— 7V,), поэтому при U>U. наклон прямой С-2 (U
(рис. 28, прямая 2—S) определяется значением 7УДМ — N,
т. е. прямая 2—3 параллельна прямой C~t‘(U} (ср. также
рис. 28 с рис. 4, б). Поскольку в части перехода плот
ность объемного заряда стала меньше, чем была до умепь
шения обратного напряжения, то и емкость стала соот
ветственно меньше. Уменьшим обратное напряжение до U}
т. е. вернемся по прямой 3—2 в точку 2. При дальней
шем уменьшении обратного напряжения зависимость ем
кости от напряжения описывается формулой (3-86). Есл
уменьшить обратное напряжение до нуля, а затем начать
его увеличивать, то получим начальное значение ем
кости Со, приближенно описываемое формулой (3-87'
Емкость Со однозначно зависит от напряжения.

Значения Со и Сст удобнее сравнивать, измеряя ем
кость в начале и в конце переходного процесса поел
переключения 0-> U. Из (3-86) и (3-87) при больших оС
ратных напряжениях следует соотношение

С2Т-С^ ТУ,
съ -тудм’

(3-1





которое может быть использовано для определения кон
центрации золота. Так, например, для того же кремние
вого диода при Т =—75° С и 77 = 20 в С0 = 1.54 пф
Сст = 1.98 пф. Используя (3-88), получаем 7УВ/7УДМ = 0.7
Этот результат согласуется со значениями 7VB и 7УДЫ, ш
лученными из зависимостей С~’(77) и C^\U) (см. выше
Оценим пределы применимости (3-88;. Обозначим левук
часть (3-88) через р. На рис. 29 приведена эксперимеп
тальлая зависимость р от 77 для того же кремниёвог
диода при Т = —75° С. При 77 > 10 в значение р почти
не зависит от 77, следовательно, (3-88) справедливо при
77 }> 10 в (при данном и меньшем значении 7УВ/2УДМ).

По возрастанию емкости во времени после переключе
ния 0 —> U можно определить значение та. На рис. 3(1
(прямая 1) приведена экспериментальная зависимост
84
t„(7’) [67] (см. также [64]). Использование этой зависи-
мости дает значение энергии активации акцепторного
уровня <§с — <§й = 0.54 эв (см. также формулу (3-57) и пояс-
нения к ней); полученный результат хорошо согласуется
с другим литературными данными [61].

Рассмотрим далее процессы, происходящие после пере-
ключения от прямого напряжения С7лр_ в, соответствую-

щего высокому уровню ин-
жекции, до большого обрат-
ного напряжения U. После
переключения ?71|р в —> U

т, сек.

Рис. 29. Зависимость р. и к) от Рис. 30. Зависимость времени
обратного напряжения U. релаксации заполнения от тем-
пературы для акцепторного (1)
и донорного (2) уровней золота
почти во всем переходе на-	в кремнии,

чальная концентрация по-

ложительно заряженных атомов золота 7V+ равна
А'э (1—/*.пр — Л. лР)> начальная концентрация отрица-
тельно заряженных атомов золота 7V~ равна /VB/a. пр
(см. (3-75)), а плотность объемного заряда равна
е 1^дм +	(1 — /д. пр — 2А. пР)]- Начальное значение емко-

сти Ст0 определяется из формулы

Ст0 = 5

%Н^ди + ^8(1-^.пр. -2/з.щ,)]

2(£/4-£/к)

(3-89)

На рис. 28 приведена экспериментальная зависимость

Сто(£7) для того же кремниевого диода при 7 = —192° С.
Эта зависимость неоднозначна. После переключения
U„s_ в-> U значение Ст0 определяется из (3-89).

Начнем уменьшать обратное напряжение от U до U2
(U2—также большое обратное напряжение), при этом
толщина перехода уменьшается от hT до h2; почти во всем

переходе сохраняется начальное заполнение уровней зо-
лота, поэтому зависимость Ct0(U) описывается формулой
(3-89) (см. рис. 28, отрезок 4—5 функции	За гра-

ницей перехода (при x^>h2) благодаря высокой концен-

Рис. 31. Зависимость начального
значения емкости Св от прямого
тока /пр при Т=—192° С.

трацип электронов оба
уровня золота быстро за-
полняются.

Будем теперь увеличи-
вать обратное напряжение,
тогда при x^>h2 началь-
ная плотность объемного
заряда равна е(2Удм —2VJ,
поэтому при U U2 на-
клон прямой C~l (U) (пря-
мая 5—6) определяется
значением 7УДМ — 7VS, т. е.
прямая 5—6 параллельна
прямой	Уменьшим

обратное напряжение до
U2, т. е. вернемся по
прямой 6—5 в точку 5.

При дальнейшем уменьшении обратного напряжения зави-
симость Ст0(С7) описывается формулой (3-89) до тех пор,
пока обратное напряжение остается большим.

На рис. 31 показано начальное значение емкости Св

как функция тока /,,р, от которого производится переклю-
чение до обратного напряжения U — 10 в. При 7вр 0.02 ма
Си = С0 = 2.15 пф, при возрастании 1вр от 0.02 ма до 1 ма
значение С„ возрастает от Со до Ст0 = 2.84пф, при даль-
нейшем возрастании /вр от 1 ма до 10 ма начальное зна-

чение емкости не изменяется.

После переключения С7пр< Е -> V концентрация положи-
тельно заряженных атомов золота N+ почти во всем пере-
ходе уменьшается от = 1У8 (1 — /*. вр — /а пр) до 0 с по-
стоянной времени тд, что приводит к уменьшению емкости
во времени. Концентрация отрицательно заряженных ато-
мов ’золота N~ почти во всем переходе уменьшается от
7VB/B. пр Д° ^з/в. обр с постоянной времени та. Квазистацио-
парное значение емкости Ск ст, соответствующее стацио-
нарному заполнению донорного уровня и начальному за-
полнению акцепторного уровня, можно найти из формулы



Ск. ст = 5

ЧДЛ'дм — NJ-i-
W + uj

(3-90)

Используя (3-86), (3-89)
по сравнению с единицей,
ношения:

и (3-90) и пренебрегая /а о6р
получаем следующие соот-

^ТО— ^к.ст ________ 7Уа(1 /д.пр /а. лр)

f’2	/V — /V f

'-'к.ст	Дм •£'з'а. пр

Г2 ____ Г2	1\Г

^СТ VK,CT ___ Э / е _______________ Г X

' /V va. пр /а. обр/*

vct	¥ДМ

(3-91)

(3-92)

Соотношения (3-91) и (3-92) могут быть использованы
для определения значений /* пр и /а ,ф, а затем и для
определения отношений уяя1%№ и уяа/ура из выражений (3-76)
и (3-77); значения этих параметров приведены в [66].

Емкость кремниевого р+—^-перехода, для которого
были приведены выше экспериментальные данные, мала
(порядка нескольких пикофарад), при исследовании таких
диодов значительные трудности представляет учет ем-
кости Ск соединительного кабеля и корпуса диода (в на-
шем случае Ск»60 пф), кроме того, зависимость СК(Т)
неизвестна. Для того чтобы исключить значение Ск из
результатов измерений, целесообразно представить зави-
симость измеренной емкости Св = Ск + С (где С — емкость
р+—n-перехода) от напряжения U в координатах Си,
(U + тогда (3-84), (3-87), (3-89) и (3-90) — прямые,
отсекающие на оси ординат отрезок, равный Ск (так как
при (U Д- UJ-'/* -> 0 С —> 0). Определив, таким образом, зна-
чение С, можно перейти к зависимости С-2 (£7) (см. рис. 28).

п+—р-псреход. Ограничимся рассмотрением случая
больших обратных напряжений. Путем рассуждений, ана-
логичных приведенным выше для р+-—?г-перехода, полу-
чаем следующие результаты. После переключения О—> U
электроны почти во всем переходе заполняют донорный
уровень с постоянной времени тд и частично — акцептор-
ный уровень с постоянной времени та (вероятность запол-
нения акцепторного уровня возрастает от 0 до /а о6р, где
Л. обр определяется из (3-79)). Первый из этих процессов
приводит к возрастанию емкости во времени от начали
ново значения Со до квазистационарного значения С* CTJ
которое соответствует стационарному заполнению донор-
ного уровня и начальному заполнению акцепторного
уровня. Второй процесс приводит к незначительному (по
сравнению с первым процессом) возрастанию емкости
во времени от квазистационарного значения С* ст до ста-
ционарного значения Сот. Значения Со, С* ст и Сст опре-
деляются из выражений

Со = S	—(3-93)

0 Г 2(£7+<7к)	’

Ст = s 2 (С/ + ик) ’	(3-941

/еае (^ам “Ь ^зАа. обр)

2(U + UK)-•	(З-95)

Выражение (3-95) может быть использовано для опре-
деления значения Л'аы (величиной 7V3/a о6п можно пренебречь
по сравнению с 7Уаы). Из выражений (3-93)—(3-95) следуют
соотношения

ст к. ст
^ст

Л^з/а. обр
27Уаи



(3-96)

(3-97)

Выражение (3-96) может быть использовано для опре-
деления концентрации золота. Оценим пределы примени-
мости (3-96). Обозначим левую часть (3-96) через -q. На
рис. 29 приведена экспериментальная зависимость т; от U
для кремниевого п+—р-диода при 7 =—152° С [66]. При
U 2> 9 в значение •»] почти не зависит от U, следовательно,
(3-96) справедливо при С7^>9 в (при данном и меньшем
значении 7Vs/7Va„).

Ио возрастанию емкости во времени от Со до С* ст
можно определить значение тд. На рис. 30 (прямая 2)
приведена экспериментальная зависимость тд(7)[67]. Эта
зависимость дает значение энергии активации донорного
уровня <Sa— £„ = 0.34эв (см. также формулу (3-63) и по-
яснения к ней), полученный результат хорошо согласуется!
с другими литературными данными [61]. Из выраже-
ния (3-97) можно определить значение /а обр. Согласно
данным [66], /а> обр порядка 1%, этот результат согласуется
со значением /а обр, полученным в [64] другим путем
(см. выше).

Сравним различные емкостные методы измерения кон
центрации золота. При измерении Na по частотной зависи-
мости емкости [65] частота должна изменяться на 3—4 по-
рядка, и частотная погрешность приборов непосредственно
входит в погрешность измерений. Измерение 7V3 по зави-
симости dUfd (С-2) [64] сложно. Достоинством этих двух
методов является их применимость при малых U (порядка
нескольких вольт). Метод измерения ZV„ путем сравнения
наклона прямых Cq2(U) и С~2(С7) [68] применим при

10 в, так как при малых значениях U зависимость
С~2 (£7) не прямая. Кроме того, эти прямые следует сравни-
вать при одинаковой температуре, что осложняет изме-
рения. Перечисленные методы непригодны при малых
значениях 7VS/ZV (менее нескольких процентов), где N —
NKK или 7Vasi. Измерение Na по изменению емкости при
перезарядке акцепторного уровня в р+—«-переходе или
донорного уровня в п+—р-переходе после переключения
0-» U (см. (3-88) и (3-96)) применимо при С7>10в. До-
стоинствами метода являются его простота и высокая чув-
ствительность, он применим вплоть до NJN = 10~3 Д- КУ"4.

Специфическое влияние золота на емкость кремниевого
р—«-перехода может быть использовано для «опознания»
золота в кремнии, т. е. для анализа на загрязнение крем-
ния золотом.

2. Исследование радиационных дефектов в кремние-
вых диодах, облученных быстрыми электронами. При
облучении полупроводников частицами высоких энергий
(электроны, нейтроны, протоны) в полупроводниках воз-
никают радиационные дефекты; некоторым из них соот-
ветствуют глубокие примесные уровни в запрещенной
зоне [69, 70]. Исследование емкостных свойств р—«-пере-
ходов позволяет определить ряд параметров глубоких
уровней, обусловленных радиационными дефектами. В ка-
честве примера рассмотрим емкостные свойства кремние-
вых «+-—р-переходов, облученных быстрыми электронами
с энергией 1.3 Мэв, доза облучения Ф = 4- 1015 электро-
нов/см2. Образцы изготовлены из 50-омного р-кремния,
легированного алюминием, концентрация мелких акцеп

7 Л. С. Берман

89
торов (основной примеси) 7VaM = 2.8 • 1014 см-3, «S' = 25 мм
п+—р-переход изготовлен путем диффузии фосфора из га
зовой фазы и близок к резкому (z = 2.1, см. (1-47)), поа
тому изменение барьерной емкости после облучения о бу
словлено появлением радиационных дефектов в базе диода
До облучения в образцах были лишь мелкие акцепторы

концентрация глубоких примесей в необлученных образ

цах, определенная емкостным методом по

глубоких уровней, бьии
менее 2 • 1012 см-3.

После облучения ем
кость всех образцов уменц
шилась. На рис. 32 при
ведена зависимость от
ношения емкости поел»
облучения Сл к емкости д<;
облучения Сл от обратного
напряжения для одного ни
образцов. При увеличении
обратного напряжения это
отношение возрастает, стре-
мясь в пределе к неком)
рой постоянной величине,
меньшей единицы. После
довательное сопротивло
ние образцов после облу

чения возросло, что свидетельствует о компенсации
кремния и согласуется с литературными данными [69].
Сопоставим эти экспериментальные данные с результатами
расчета. Примем, что концентрация радиационных дефек-
тов много меньше, чем концентрация основной примеси
(это условие обычно выполняется для таких доз облу-
чения, при которых полупроводниковые приборы еще но
выходят из строя). Выражение для отношения С„/Ся при
больших обратных напряжениях может быть представлено

в виде

Сд — 1 1 2N&M

№ = 2 AWa. отя, - 2 л^дГ i (1 - /д. от Л, (3-98)
т	г

где индекс т означает параметры тп-того акцепторного
уровня, а индекс I — параметры i-того донорного уровня,
обусловленных радиационными дефектами. Значения /а отм
и /д ст определяются из формулы (3-36). Выражение (3-98)
является обобщением (3-48) и (3-67) на случай многих
глубоких примесей. Если среди радиационных дефектов
преобладают донорные уровни, расположенные в верхней
половине запрещенной зоны, для которых /д это при-
водит к уменьшению емкости после облучения (см. (3-98))
и к возрастанию последовательного сопротивления, т. е. та-
кая модель позволяет объяснить полученные результаты.
Если же среди радиационных дефектов преобладают до-
норные уровни в нижней половине запрещенной зоны
(/ ст 1), т0 их наличие не приводит к изменению ста-
ционарного значения емкости при больших обратных на-
пряжениях, хотя и приводит к компенсации полупровод-
ника (если донорные уровни в базе расположены выше
уровня Ферми), т. е. такая модель не позволяет объяснить
полученных результатов. Поэтому уменьшение стационар-
ного значения емкости после облучения указывает на то,
что среди радиационных дефектов преобладают доноры,
для которых /д С1 0 или во всяком случае меньше еди-
ницы. Таким образом, сравнение стационарного значения
емкости .до и после облучения дает лишь суммарный эф-
фект (см. также [71]) и не позволяет определить пара-
метры каждого из глубоких уровней.

Для более детального исследования глубоких уровней
был использован метод их темновой перезарядки, теория
которого приведена в § 3 настоящей главы. Время релак-
сации заполнения уровней, расположенных в нижней по-
ловине запрещенной зоны, определяется из (3-68), а уров-
ней, расположенных в верхней половине запрещенной
зоны, — из (3-72). Концентрация дефектов 7Vr, соответ-
ствующих глубокому уровню, расположенному в нижней
половине запрещенной зоны, определяется из выражения

/Vr С1.. ст — Cq
7V —z С
* ’ ам	к. ст

(3-99)

где Со, Ск ст — начальное и квазистационарпое значения
емкости, соответствующие перезарядке данного глубокого
уровня, причем Ск ст соответствует стационарному запол-
нению одних глубоких уровней (в том числе и исследуе-
мого уровня) и весьма медленной (не наблюдаемой в те-
чение длительного времени) перезарядке других глубоких
уровней. Выражение (3-99) аналогично выражению (3-69).
Приведем основные результаты измерений, полученные
этим s методом. После переключения 0-> U ((7 = 8.8 в)
в интервале температур от —142° до —100° С время ре-
лаксации заполнения одного из глубоких уровней (уро-
вень № 1) изменяется от 870 до 0.36 сек. (рис. 33, пря-
мая 1). После переключения 0-» V емкость возрастает

во времени, что указывает на заполнение электронами
глубокого уровня, расположенного в нижней половине

Рис. 33. Зависимость 1g (т72)
от ЦкТ.

1 — для уровня № 1; 2 — для донор-
ного уровня золота в кремнии; (кружки
измерение т по осциллограммам изме-
нения емкости во времени, крестики —
измерение т методом t-метра) [75 J.

запрещенной зоны. При
7’ = —140° С Со = 284 пф
и СЕ ст = 312 пф. Исполь-
зуя (3-99), получаем
МТ/1УЫ ~ 0.18, отсюда
7Vr = 5  1013 см*3. Значения
Со и Ск ст слабо зависят от
температуры, но отноше-
ние (Ск. от — С0)/Ск. ст не
зависит от температуры.
Отношение (С„ ст—С0)/Ск_ „
не зависит от напряжения
при (/> 7 в.

Используя эксперимен-
тальную зависимость
1g (тТ12) от 1/kT и формулу
(3-68), получаем значение
энергии активации <§т —
£о = О.ЗЗ эв. Из фор-
мулы (3-68) получаем

также сечение захвата дырки <^ = 4-10 16 см2, однако,
поскольку неизвестны коэффициент вырождения уровня,

температурная зависимость энергии активации и сечения
захвата, полученный результат позволяет лишь оценить
порядок величины т (см. также пояснения к (3-66)).
В [72, 73] отмечено появление уровня <зг,-ф0.35 эв, а в [743-
уровня -ф 0.32 эв вследствие облучения р-кремния
быстрыми электронами. В [72] появление уровня ds,,,—]-0.35 эв
объяснятся активацией золота. Заметим, что концентрация
золота была примерно на три порядка выше, чем в наших
образцах (1015 см-3 и менее 1012 см 3 соответственно),
а доза облучения была почти на 2 порядка больше, чем
у наших образцов.

На рис. 33 (прямая 2) приведена зависимость 1g (т72)
от 1/кТ для донорного уровня золота; эта зависимость
измерена по возрастанию емкости и'—р-перехода с при-
месью золота после переключения 0-> U (причем изме-
рение облученных образцов и образцов с примесью золота
производилось на одной и той же установке [75]). Сравне-
ние прямых 1 и 2 на рис. 33 показывает, что уровень
№ 1—не активированное золото. В [73] уровень <§. 4- 0.35 эв
и в [74] уровень <§„ + 0.32 эв объясняются появлением
дивакансий в результате облучения. По-видимому, уро-
вень № 1 в наших образцах также обусловлен дивакан-

Рис. 35. Изменение емкости
во времени при одновременной
перезарядке уровней	Sc—

0.24 эв и (S’jj+O.l? эв (7=
= —177° С).

Рис. 34. Зависимость начального
значения емкости от прямого
тока для кремниевого п+—р-пере-
хода, облученного быстрыми
электронами (2"=—185° С).

сиями. Путем аналогичных измерений в облученных об-
разцах в нижней половине запрещенной зоны были обна-
ружены уровни № 2 (<§„-[-0.21 эв) и № 3	-]- 0.17 эв).

При температуре, близкой к температуре жидкого
азота, значение Со после переключения С711р-> U зависит
от значения прямого тока (рис. 34). Это значит, что при
/лр 4> заполняется электронами уровень, расположенный
в верхней половине запрещенной зоны (ср. рис. 34 с рис. 31).
При уходе электронов с этого уровня емкость уменьшается
(см. также рис. 26 и выражение (3-71)). Время релак-
сации заполнения этого уровня примерно в 20 раз больше,
чем уровня № 3 и примерно в 200 раз меньше, чем уровня № 2.
Это позволяет наблюдать темновую перезарядку верхнего
уровня (№ 4) независимо от перезарядки уровней № 2
и № 3 и определить его параметры. При 7„р = 12 (рис. 34)
уровень инжекции мал. Следовательно, для уровня № 4
при	значение близко к единице, а сечение за-
хвата электрона на несколько порядков больше, чем сече-
ние захвата дырки (см. (3-70)). Поэтому значение концен-
трации дефектов, соответствующих уровню № 4, можно
найти из выражения (3-71), приняв в нем / =1.

Время релаксации заполнения уровня № 4 определяется
из выражения (3-72). Для уровня № 4 <§с — ег = 0.24эв,
7Vr = 1.4 • 1013 см-3. На рис. 35 приведена осциллограмма
изменения емкости во времени после переключения от
7пр = 0.5 ма до Z7 = 9.0 в (при Т ——177°С). Быстрая
часть процесса (участок 1) — возрастание емкости вслед-
ствие заполнения электронами уровня № 3, медленная
часть процесса (участок 2) — уменьшение емкости вслед-
ствие ухода электронов с уровня № 4. После переклю-
чения 0-> 77 наблюдается только участок 1. Как показы-
вает анализ экспериментальных осциллограмм, при пере-
зарядке всех четырех уровней емкость изменяется во
времени по экспоненциальному закону, как и следует из
выражений (3-69) и (3-71). Это значит, что при данном
электрическом поле сечения захвата дырки для уров-
ней №№ 1, 2 и 3 и сечение захвата электрона для
уровня № 4 слабо зависят от электрического поля (при
77 =10 в максимальное электрическое поле • 104 в/см).
Более подробные сведения об этих уровнях приведены
в [75]. В необлученных образцах эти уровни не наблю-
дались. В одном и том же образце концентрации дефектов,
соответствующих каждому глубокому уровню, различны.
Следовательно, все уровни соответствуют однозарядным
дефектам, а не различным состояниям многозарядного
дефекта.

Таким образом, исследование емкостных свойств полу-
проводниковых диодов с радиационными дефектами по-
зволяет определить ряд параметров глубоких примесных
уровней, соответствующих этим дефектам, в частности
их концентрацию и энергию активации. Высокая чувстви-
тельность емкостного метода позволяет определить ско-
рость введения дефектов при малых дозах облучения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Область использования емкостных методов для иссле-
дования различных параметров полупроводниковых мате-
риалов и приборов в настоящее время быстро расширяется
и, разумеется, не исчерпывается примерами, приведенными
в настоящей монографии. Емкостные методы используются
для исследования .глубоких примесей в широкозонных
полупроводниках [76, 77], для исследования перемещения
примесей в электрическом поле р~«-перехода [78, 79],
а также для исследования свойств поверхности полупро-
водника, в частности поверхности кремния, покрытой слоем
двуокиси кремния [80, 81]. Различные глубокие примеси
по-разному влияют на емкость р—«-перехода, например,
в кремниевых р—«-переходах золото влияет на емкость
совсем не так, как сера [82]. Поэтому в перспективе воз-
можно использование емкостных методов для опознания глу-
боких примесей в полупроводниковых приборах с р—«-пере-
ходами (например, для анализа на загрязнение золотом
кремниевых диодов).

Как было показано в настоящей монографии, для об-
работки результатов измерений часто требуется сложная
теория. Поэтому расширение области применения емкост-
ных методов будет во многом зависеть от дальнейшей
разработки теории емкостных свойств р—«переходов и
поверхности полупроводника. Разумеется, в ходе иссле-
дования новых полупроводниковых материалов и приборов
емкостные методы должны сочетаться с другими мето-
дами.
ИЗМЕРЕНИЕ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИИ
БАРЬЕРНОЙ ЕМКОСТИ

В случае малой концентрации глубокой примеси
в базе диода относительное изменение барьерной емкости
при перезарядке уровней этой примеси пропорционально
отношению ее концентрации к концентрации основной
примеси (см., например, (3-55)). Поэтому чувствительность
емкостного метода обнаружения глубоких примесей с ма-
лыми концентрациями (загрязнения, радиационные де-
фекты) определяется минимальным относительным изме-
нением барьерной емкости, которое может быть зареги-
стрировано измерительной установкой. Не рассматривая
общих вопросов измерения малых относительных измене-
ний емкости, ограничимся рассмотрением специфики этих
измерений для барьерной емкости р—п-перехода.

Требования к стабильности постоянного
обратного напряжения (смещения) Uпри-
кладываемого к р—n-п е р е х о д у. Как было показано
выше (см. гл. III, § 3), исследование перезарядки глубоких
уровней целесообразно вести при больших обратных на-
пряжениях. В этом случае для резкого р—п-перехода
справедливо соотношение | ДС= |/С= = О.5ДС7=/С7=, которое
может быть получено из формулы (1-24) при UK <С U= (где
С= — значение С6 при U =U. п малом переменном напря-
жении, ДС= — изменение барьерной емкости, соответствую-
щее малому изменению смещения ДС7=). Так, например,
для измерения относительного изменения емкости 10"4
нужно, чтобы ее уход вследствие нестабильности смеще-
ния не превышал 10'5, т. е. значение ДС7=/С7= не пре-
вышало бы 2 • 10 °. Такая стабильность смещения может
быть достигнута путем использования схем на стабили-
тронах [83]; однако следует иметь в виду, что напряжение
стабилизации (электрического пробоя) стабилитронов за-
96
висит от температуры. Поэтому для обеспечения высокой
стабильности смещения при изменении температуры окру-
жающей среды нужно термостатировать стабилитроны.
Пусть, например, используются стабилитроны Д 818 Г,
для которых температурный коэффициент напряжения ста-
билизации равен 5-10'Е/°С [84], и требуется при изме-
нении температуры окружающей среды обеспечить ста-
бильность смещения не менее 10 "6. Тогда температура
стабилитронов может изменяться не более чем на 0.2° С.
Лабораторные термостаты позволяют осуществить это
требование.

Требования к термостатированию иссле-
дуемого образца. Пусть система термостатирования
обеспечивает постоянство температуры с точностью до
АТ0 С. Тогда относительное изменение барьерной емкости
при изменении температуры определяется из формулы
AC=/C==TKE- AT1, где THE—температурный коэффициент
барьерной емкости. При обратных напряжениях 10—20 в
и выше ТКЕ порядка 10~4/°С[2]. При АТ1 = 0.1° С полу-
чаем &CJC= порядка 10“®. Такая температурная неста-
бильность барьерной емкости позволяет измерить ее от-
носительное изменение порядка 10~4.

Требования к стабильности амплитуды
переменного напряжения, прикладываемого
к р—n-переходу при измерении емкости. Чув-
ствительность индикатора ограничивается шумами его
усилителя. Для повышения чувствительности измеритель-
ной установки следует увеличивать амплитуду перемен-
ного напряжения Ult прикладываемого к р—п-переходу,
однако на этом пути имеются принципиальные ограни-
чения. Дело в том, что при возрастании амплитуды пере-
менного напряжения возрастает и эффективное значение
емкости [2, 3], поэтому нестабильность амплитуды при-
водит к искажению закона изменения емкости во времени.
Оценим влияние нестабильности амплитуды переменного
напряжения. Будем считать напряжение па р—п-переходе
синусоидальным, тогда для резкого р—п-перехода эффек-
тивное значение барьерной емкости определится из выра-
жения

Сб. вфф = 0=^1 -}- 32 lJ-2) ’	(П-1)

где и =^/(^4-^).
Из выражения (П-1) можно получить соотношение,
связывающее относительное изменение эффективной ем-
кости и относительную нестабильность амплитуды пере-
менного напряжения. При малом изменении Ux \^U1	17г

и △[>.<<; ji) это соотношение может быть записано в виде

эфф 3

ттг •

(П-2)

Пусть, например, имеем U= — 10 в, UK = 0.6 в,
— Q.7 в; кроме того, задана нестабильность U± за время
измерения, которая равна 0.01. Тогда из (П-2) получаем
ДС6 эфф/^б. эфф = 8 • Ю“6. Такой уход значения емкости по-

зволяет измерить относительное изменение емкости по-
рядка 10 4. Таким образом, к стабильности амплитуды

переменного напряжения предъявляются значительно менее
жесткие требования, чем к стабильности смещения.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Берман Л. С. Нелинейная полупроводниковая емкость.
М., 1963.

2.	Берман Л. С. Введение в физику варикапов. Л., 1968.

3.	Лабутин В. К. Частотно-избирательные цепи с электрон-
ной настройкой. М.-Л., 1966.

4.	Пи ку с Г. Е. Основы теории полупроводниковых приборов.
М., 1965.

5.	Стильбанс Л. С. Физика полупроводников. М., 1967.

6.	Бул Б. М. О емкостных характеристиках р—п-переходов,
ФТТ, 1961, 3, 1, с. 204—205.

7.	Самойленко В. И. Особенности работы полупроводни-
ковых диодов и триодов при больших напряжениях. М., 1959.

8.	Hilibrand I., Gold R. D. Determination of the impu-
rity distribution in junction diodes from capacitance vol-
tage measurements. RCA Rev., 1960, 21, 2, p. 245—252.

9.	Thomas C. 0., Kahng D., Manz R. C. Impurity dis-
tribution in epitaxial silicon films. J. Electrochem. Soc.,
1962, 109, 11, p. 1055—1061.

10.	Makimoto J. Experimental study of the out-diffusion of
Sb from Ge and its application to transistors. Japan. J.
Appl. Phys., 1967, 6, 4, p. 487—494.

II.	Grove A. S„ Roder A., Sah С. T. Impurity distribu-
tion in epitaxial growth. J. Appl. Phys., 1965, 36, 3, pt. 1,
p. 802—810.

12.	Полупроводниковые диоды. Параметры, методы из-
мерений. Под ред. Н. Н. Горюнова и IO. Р. Носова.
М., 1968.

13.	Lucovsky G., Schwarz R. F., Emmons R. B.
Transit-time considerations in p—i—n diodes. J. Appl. Phys.,
1964, 35, 3, pt. 1, p. 622—628.

14.	Шестопалов A. M. Расчеты варикапов с большим коэф-
фициентом перекрытия по емкости. Пав. вузов, Радио-
электроника, 1967, 10, 6, с. 578—583.

15.	Шестопалов А. М. Нелинейные емкости с р—п-переходом,
имеющим ступенчатое легирование высокоомной области.
Радиотехника и электроника, 1968, 13, 6, с. 1072—1078.

16.	Моргулис М. 10., Скворцов И. М., Дуткина Т. А.
Исследование вольтъемкостных характеристик эпитакси-
альных переходов. Радиотехника и электроника, 1969,
14, 12, с. 2275—2278.
П. Спиридонов Н. С., Ветроградов В, И. Дрейфо-
вые транзисторы. М., 1964.

18.	Shinoda М. A hyper-abrupt junction variable capacitance
diode. Fujitsu, 1965, 1, 1, p. 137—165.

19.	Sukegawa T., Fuikawa K., Nishizawa I. Silicon
alloy diffused variable capacitance diodes. Solid State Ele-
ctron, 1963, 6, 1, p. 1—24.

20.	S c ar 1 e t R. M. Space-charge layer width in diffused jun-
ctions. IRE Transact, on Electron Devices, 1959, ED-6, 4,
p. 405—408.

21.	Раш б а Э. И. Вольтамперная характеристика электронно-
дырочного перехода для малого сигнала. ЖТФ, 1955, 25,
9, с. 1663—1667.

22.	V. О р d о г р С. Evaluation of doping profile from capacitance
measurement. Solid State Electron., 1968, 11, 4, p. 397—404.

23.	C h a n g Y. F. The capacitance of p—и-junctions. Solid
State Electron., 1967, 10, 4, p. 281—287.

24.	Kleinknecht H. P. Space-charge capacitance of asym-
metric abrupt p—n-junction. J. Appl. Phys., 1967, 38, 7,
p. 3034—3035.

25.	С e н д e p и x и н И. M. Зарядная емкость асимметричного
электронно-дырочного перехода. В кн.: Фивика и техника
полупроводников. Новосибирск, 1968, с. 38—42.

26.	Gummel Н. К., Scharfetter D. L. Depletion layer
capacitance of p+—ц-step junctions. J. Appl. Phys., 1967,
38, 5, p. 2148—2153.

27.	Morgan S. P., Smith F. M. Potential distribution and
canacitance of a graded p—n-junction. Bell Syst. Techn. J.,
1960, 39, 6, p. 1573—1602.

28.	Sah С. T. Effects of electrons and holes on transition la-
yer characteristics of linearly graded p—n-junctions. Proc.
IRE, 1961, 49, 3, p. 603—618.

29.	Nuyts W., v. Overstraeten R. J. Numerical cal-
culations on the capacitance of linearly graded Si p—n-jun-
ctions. Electronics Letters, 1969, 5, 3, p. 54—55.

30.	G г а у P. E., Adler R. B. A simple method for determi-
ning the impurity distribution near a p—n-junction. IEEE
Transact, on Electron Devices, 1965, ED-12, 8, p. 475—477.

31.	Reutlinger G. W., Regas S. I., Sidor D. J. An
automatic test set for measuring dopant concentration pro-
files in epitaxial films. Solid State Electron., 1969, 12,
1, p. 31—39.

32.	Meyer N. I., Guldbransen T. Method for measuring
impurity distribution in semiconductor crystals. Proc.
IEEE, 1963, 51, 11, p. 1631—1637.

33.	Ambrosy A. A simple dC/dV measurement and its applicati-
ons. Solid State Electron., 1970, 13, 3, p. 347—353.

34.	Берман Л. С. Определение электрического поля в пере-
ходе из емкостных измерений. ФТП, 1970, 4, 4, с. 609—611.

35.	Gibbons J. F., Pearson G. L. P—N—P variable
capacitance diode. Proc. IRE, 1960, 48, 2, p. 253—255.

36.	Esaki L., Bernard W. E., Heer J. The interface
transport properties of Ge—GaAs heterojunctions. Surface
Science, 1964, 2, 1. p, 127—135.
37.	Si li vo и ел Y. 'J'., Boyd D. К Kill E I.. Analy-
sis and performance of light-sensitivn <4i|>iuUlnr. Proc. IEEE,
1965, 53, 4, p. 378—385.

38.	Зюганов A. H., Свечников 1 К Фптоконденсатор
на основе сернистого кадмия. Рпцпптсхпикц и электроника,
1965, 10, 12, с. 2264—2266.

39.	Карпович И. А., Панкин К  Д . Калинин А. Н.
Исследование характеристик и, тночпыч ЛС-линий, управ-
ляемых светом. Изв. вузов 1'п ню иннстроника ,1968, 11,7,
с. 779—780.

40.	Субашиев В. К., Т у ч к и в и ч В. М. Интерпретация
результатов измерений неоднородных сопротивлений на
разных частотах. 7ИТФ, 1947, 17, 2, с. 177—194.

41.	Гоноровский II Основы радиотехники. М., 1957.

42.	Либерман Л. С, Экпивплелтная схема р—«-перехода при
обратном смещении. Радиотехника и электроника, 1966,
11, 10, с. 1789 1792.

43.	Вул Б. М., Иннарицкая Э. И. Емкость р—«-перехо-
дов при низких температурах. ЖТФ, 1960, 38, 1, с. 10—17.

44.	Greebe С. A. A. The physical properties of grown p—i—«-jun-
ctions in silicon carbide. Rhilips Res. Repts, 1963, Suppl. 1.

45.	Palruck L. Structure and characteristics of silicon car-
bide light-emitting junctions. J. Appl. Phys., 1957,28, 7,
p. 765—766.

46.	Oldham W. G., Milnes A. G. Interface states in ab-
rupt semiconductor heterojunction. Solid State Electron.,
1964, 7, 2, p. 153—165.

47.	v. Opdorp C., Kanerva H. K. J. Current-voltage cha-
racteristics and capacitance of isotype heterojunctions.
Solid State Electron., 1967, 10, 5, p. 401—421.

48.	H a m p s h i r e M. J., Tomlinson R. D. Small signal
equivalent cirquit of an isotype heterojunction dominated
by traps. Solid State Electron., 1970, 13, 1, p. 41—46.

49.	Пере ль В. И., Эфрос А. Л. Емкость р—«-перехода
с глубокими примесями. ФТП, 1967, 1, 11, с. 1693—1701.

50.	Полупроводники. Под ред. Н. Б. Хенная, пер. с англ,
под ред. В. Ф. Ормонта. М., 1962.

51.	Шокли В. Теория электронных полупроводников. Пер.
с англ, под ред. В. П. Жузе. М., 1962.

52.	Sah С. Т., Noyce N., Shockley W. Carrier genera-
tion and rccornbintion in p—«-junctions and p—«-junction
characteristics. Broc. IRE, 1957, 45, 9, c. 1228—1243.

53.	Williams R. Determination of deep centers in conducting
gallium arsenide. J. Appl. Phys., 1966, 37, 9, p. 3411—3416.

54.	Shockley W., Lust J. T. Statistics of the charge
distribution for a localized flaw in a semiconductor. Phys.
Rev., 1957, 107, 2, p. 392-396.

55.	Sah С. T., Shockley W. Electron-hole recombination
statistics in semiconductors with many charge conditions.
Phys. Rev., 1958, 109, 4, p. 1103—1115.

56.	Берман Л. С. Барьерная емкость сплавного диода с глу-
бокими примесями, обменивающимися электронами как
с зоной проводимости, так и с валентной зоной. ФТП,
1970, 4, 8, с. 1511—1516.
57.	Берман Л. С. Барьерная емкость сплавного диода и;
компенсированного полупроводника с глубокими приме
сими. ФТП, 1969, 3, 12, с. 1878.

58.	Берман Л. С. Барьерная емкость сплавного диода с глу-
бокими примесями, обменивающимися электронами как
с зоной проводимости, так и с валентной воной, переход-fl
ные процессы. ФТП, 1971, 5, 4, с. 675—680.

59.	Носов Ю. Р. Физические основы работы полупроводни
нового диода в импульсном режиме. М., 1968.

60.	Болтакс Б. И., Куликов Г. С., Малкович Р. Ш,
Влияние золота на электрические свойства кремния. ФТТ,
1960, 2, 2, с. 181—191.

61.	Bullis W. М. Properties of gold in silicon. Solid State Elect-
ron., 1966, 9, 2, p. 143—168.

62.	Осипов В. В., Стафеев В. И. К теории длинных
диодов с отрицательным сопротивлением. ФТП, 1967, 1,
12, с. 1795—1804.

63.	Fairfield J. М., Gokhale В. V. Gold as a recombi-
nation centre in silicon. Solid State Electronics, 1965, 8,
8, p. 685—691.

64.	Sene chai R. R., Basinski J. Capacitance of juncti-l
ons on gold-doped silicon. J. Appl. Phys., 1968, 39, 8, |
p. 3723—3751.

65.	Sah С. T., Reddi V. G. K. Frequency dependence of the
reverse-biased capacitance of gold-doped silicon p+—n step I
junction. IEEE Transact, on Electron Devices, 1964, ED-11,
7, p. 345—349.

66.	Берман Л. С. Исследование барьерной емкости крем-
ниевых диодов с примесью золота в базе. ФТП, 1972, 6,,
2, с. 334—338.

67.	Sah С. Т., Forbes L., Rosier L. L., Tash A. F.,
Tole A. B. Termal emission rates of carriers at gold
centers in silicon. Appl. Phys. Lett., 1969, 15, 5, p. 145-
148.

68.	Sah С. T., Forbes L., Rosier L. L. Tash A. F.
Termal and optical emission and capture rates and cross j
sections of electrons and holes at imperfection centers in
semiconductors from photo and dark junction current and ]
capacitance experiment. Solid State Electron., 1970, 13, 6, 1
p. 759—788.	'

69.	Вавилов В. С., У x и н Н. А. Радиационные эффекты в по-
лупроводниках и полупроводниковых приборах. М., 1969.

70.	Corbett J. W. Electron radiation damage in semicon-
ductors and metals. N. Y. and London, 1966.

71.	Климкова О. А., Ниязова О. P. Исследование ра-
диационно-стимулированной гетеродиффузии в крем’ ли
методом электронно-дырочных переходов. В кн.: Радиа-
ционно-стимулированные процессы в твердых телах. Таш-
кент, 1969, с. 28—40.

72.	Ткачев В. Д., Плотников А. Ф., Вавилов В. С.
О природе локальных центров с глубокими уро в гями в
кремнии, облученном быстрыми электронами. ФТТ, 1963
5, И, с. 3188—3194.
73,	Souder E., Templeton L. C. Gamma irradiation of
silicon, pt. III. Levels in p-type materials. J. Appl. Phys.,
1965, 36, 6, 1811—1815.

74.	Raima.A, H., Correli J. C. Photoconductive studies of
defects in silicon: divacancy assosiated energy levels. Phys.
Rev., 1968, 173, 3, p. 734—745.

75.	Берман Л. G., КрейнинЛ. Б., H a сре динов Ф. C.
Исследование емкостных свойств кремниевых w+—р-диодов,
облученных быстрыми электронами. ФТП, 1972, 6, 2, с.
294—299.

76.	Н a s е g a v a F. Deep energy levels in the high resistance
region of GaAs vapor epitaxial film-substrate interface.
Japan J. Appl. Phys., 1970, 9, 6, p. 638—646.

77.	Карпенко В. П., Кашерининов П. Г., Мат-
веев О. А. Фотопамять поверхностно-барьерных перехо-
дов на теллуриде кадмия. ФТП, 1970, 4, 5, с. 937—940.

78.	Baruch Р. Mobility of radiation induced defects in germa-
nium. J. Appl. Phys., 1961, 32, 4, p. 653—659.

79.	Pell E. M. Ion drift in an p—w-junction. J. Appl. Phys.,
1960, 31, 2, p. 291-302.

80.	Goetzberger A. Die Silizium-Siliziumdioxide Grenz-
flache und ihre Untersuchung mit dem MOS-Verfahren.
Archiv elektr. Ubertrag.. 1966, 20, 5, S. 241—253.

81.	Revesz A. G_, Zaininger К. H. The Si-SiO2 solid-
solid interface system. RCA Rev., 1968, 29, 1, p. 27—76.

82.	Rosier L. L., Sah С. T. Thermal emission and caplure
of electrons nl sulfur centers in silicon. Solid State Elec-
tron., 1971, 14, 1, ii. 41 54.

83.	Грибанов 10, II, IIiimuiihiiiiii ii иыс.окооминх ценил.
M.—Л., 191(7.

84.	Справочник no ii|i<iiii>miimi'hiii>im дяодям ii ipiiiinii
сторам. Под род. II II I n|in iiiiniii M , RUIN
ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение.......................................... 31

Глава I.
Определение концентрации примесей и электриче-
ского поля в р—п-переходе............................. 5	'

§ 1.	Основные уравнения для расчета барьерной
емкости и электрического поля........•	. .	5

§ 2.	Определение концентрации примесей в р—п-
переходе.................................... 10

§ 3.	Определение электрического поля в р—п-
переходе.................................... 26

Глава II.

Исследование сопротивлений, неоднородных по тол-
щине ....................................... 30

§ 1.	Основные уравнения для исследования не-
однородных по толщине сопротивлений...... 30

§ 2.	Примеры исследования неоднородных по тол-
щине сопротивлений методом линейных диаграмм 40

Глава III.
Исследование глубоких примесных уровней..... 46

§ 1.	Понятие о влиянии глубоких примесных
уровней на свойства барьерной емкости...	46

§ 2.	Основные уравнения для расчета заполнения
глубоких примесных уровней................ 54	j

§ 3.	Барьерная емкость резкого р+—п-перехода
с глубокими примесями..................... 64	।

§ 4.	Примеры исследования глубоких примесных
уровней................................... 76	1

Заключение....................................... 95

Приложение. Измерение малых изменений барьерной
емкости ......................................... 96

Литература....................................... 99
A

38 коп.

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«НАУКА»

ЛЕНИНГРАДСКОЕ

ОТДЕЛЕНИЕ