/
Автор: Куликов Е.И. Трифонов А.П.
Теги: электротехника кибернетика радиотехника радиоизмерения радиолокация радиосвязь
Год: 1978
Текст
v ej . I • - w — vcy - - ’ > . — • - — - ; * J - - •* ' 'V ’ ' r • —
E. И. КУЛИКОВ, ЛИ. ТРИФОНОВ
•Л
- — — F3 J * ""—r —111 1 *" a-'-F/v -- - f - .»—•• ri-wr-Tj- - ~ j .J- -.к, I u — ->7"OTr — - 'v^
ОЦЕНКА
ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
НА ФОНЕ ПОМЕХ
я- “ “ * ' — . J Ц * - . 1 - -г —» - _ . .л -л , - -₽ - - - - .. - - --
1 --1Ч - " Ч" U. Jr f - и—т I ля-'- W 1 * “ - - ," • • - ~ —-• ~ J*-* -- - • i -J-’*''. '
ББК 32.81
К 90
УДК 621.391.2
Куликов Е. И., Трифонов А. П.
К 90 Оценка параметров сигналов на фоне
М.: Сов. радио, 1978. — 296 с. ил.
1 р. 90 к.
помех.
Книга посвящена применению теории статистических оценок к ре-
шению прикладных задач оценки различных параметров радиотехни-
ческих сигналов, принимаемых совместно с помехами.
Книга рассчитана и а научных работников, инженеров, работаю-
щих в области радиосвязи, радиолокации, радиоизмерительной тех-
ники и в смежных областях, а также иа аспирантов и студентов
вузов<
К
30401-044
046(01)-78
41-78
ББК 32.81
6Ф1.3
Редакция космической радиоэлектроники
ИБ № 344
Евгений Иванович Куликов
Андрей Павлович Трифонов
Оценка параметров сигналов на фоне помех
Редактор Т. М. Любимова
Художественный редактор Н. С. Шеин
Обложка художника Б. К. Шаповалова
Технический редактор Т. П. Сафонова
Корректоры Е. А. Чесакова, Л. А. Максимова
Сдано в набор 27.10.77 Подписано к печати 1.03.78 Т-03559
Формат 70хЮ0/1в Бумага типографская № 2 Гарнитура литерат. Печать
высокая Объем 24,05 усл. п. л. 21,8 уч.-изд. л.
Тираж 7000 экз. Зак. 356 Цена 1 р. 90 к.
Издательство «Советское радио», 'Москва, .Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома»
при Государственном Комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, M-;1U4, Шлюзовая наб., 10.
Издательство «Советское радио», 1978 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время в технике наблюдения сигналов и оценки их
параметров достигнуты большие успехи. Дальнейшее усовершенствова-
ние большинства радиотехнических и радиофизических приборов и
устройств за счет улучшения конструктивного и технологического ре-
шений имеет свой предел, определяемый чисто физическими причина-
ми: флуктуациями и помехами естественного и искусственного проис-
хождения. Это заставляет изыскивать принципиально новые пути
решения проблемы приема сообщений, учитывающие статистические
свойства различных характеристик передаваемых сообщений (сигна-
лов) и помех (шумов).
Из-за наличия помех по принятому колебанию нельзя с полной
достоверностью зафиксировать присутствие полезного сигнала и точно
измерить (оценить) его параметры. Помехи обусловливают случайный
характер результатов наблюдения, и поэтому изучение этих явлений
осуществляется методами математической статистики.
В течение времени наблюдения оцениваемые параметры сигналов
могут быть как постоянными, так и изменяющимися. Теории оценок
изменяющихся параметров сигналов (фильтрации параметров сигна-
лов) посвящено много фундаментальных работ [например, 1, 2, 6, 19,
30, 35—37]. При этом наиболее радикальные результаты по оптималь-
ной фильтрации получены в теории нелинейной фильтрации, разрабо-
танной проф. Р. Л. Стратоновичем [25] и развитой применительно
к радиотехническим задачам проф. В. И. Тихоновым [26, 27].
В настоящей монографии рассматривается оценка параметров
сигнала, когда изменением оцениваемого параметра в течение времени
наблюдения практически можно пренебречь.
Исследования влияния флуктуационных помех на оценку постоян-
ных параметров сигналов представляют не только теоретический, но
и прикладной интерес для радиолокации, радиосвязи, радиоизмерений
и т. д.
Задачи оптимальных оценок параметров сигналов на фоне адди-
тивных помех типа белого нормального шума впервые (1946 г.) были
поставлены и решались акад. В. А. Котельниковым [13]. Эта работа
оказала сильное влияние на развитие оптимальных методов радио-
приема. Однако повышенный интерес к вопросам оценок параметров
радиосигналов на фоне помех появился только после опубликования
в 1950—1952 гг. работ Ф. Вудворда [7,28]. В качестве оптимальной
оценки параметра сигнала на фоне белого шума принималась оценка
по максимуму апостериорной плотности вероятности оцениваемого
параметра. Поскольку при больших отношениях сигнал/помеха оценка
параметра по максимуму апостериорной плотности вероятности асимп*
3
тотически стремится к эффективной оценке [14], в работах В. А. Ко-
тельникова и Ф. Вудворда, а также в последующих работах других
авторов в качестве дисперсий оценок фактически принимались диспер-
сии эффективных оценок. В связи с этим естественно возникает вопрос:
насколько близка полученная таким образом дисперсия оценки к ис-
стинному ее значению в зависимости от отношения сигнал/помеха,
времени наблюдения, вида сигнала и оцениваемого параметра.
Оптимальная оценка параметра сигнала при аддитивном приеме
на фоне нормальных коррелированных помех решалась в ряде работ
[например, 2, 20, 30, 32]i Но и здесь в качестве дисперсий оценок
принимались дисперсии эффективных оценок без анализа получающих-
ся при этом ошибок. Исключением являются работы [1, 16], в которых
получены вторые приближения оценок неэнергетических параметров
сигналов.
В литературе весьма мало сведений по таким важным вопросам
получения структурных схем оценок параметров сигналов и вычисления
их статистических характеристик, как:
— оптимальные оценки максимального правдоподобия с учетом
аномальных ошибок;
— байесовские оценки при малых и больших отношениях сиг-
нал/помеха;
— оценки максимального правдоподобия при неполной информации
о сигнале и помехах;
— оценка параметра сигнала при неоптимальном построении при-
емного устройства;
— способы построения приемного и решающего устройств для оценки
параметров сигнала.
В данной книге, которая написана в основном по материалам ори-
гинальных работ авторов, с единых методологических позиций рас-
сматривается большой круг упомянутых выше вопросов по раздельным
и совместным оценкам произвольных (энергетических и неэнергетиче-
ских) параметров сигналов при наличии помех для различных априор-
ных данных относительно принимаемого сигнала, помех, различных
методов оценки и структур приемного и решающего устройств. Боль-
шинство полученных результатов пригодны для аналитических расчетов
в инженерной практике.
Полученные общие соотношения широко иллюстрируются конкрет-
ными примерами по раздельным и совместным оценкам длительности,
амплитуды, временного положения, частоты, фазы и других параметров
сигнала, имеющих помимо иллюстративного значения и самостоятель-
ный интерес для ряда прикладных задач радиотехники и радиофизики.
С целью получения более простых и наглядных результатов в ряде
задач пришлось отказаться от их строгого решения и ограничиться
приближенными решениями, которые вполне допустимы для практиче-
ских приложений.
В заключение авторы считают своим долгом отметить, что иници-
атором постановки и решения многих задач, приведенных в данной
монографии, является проф. В. И. Тихонов. Профессора В. И. Тихонов
и Б. Н. Митяшев в процессе подготовки рукописи к печати сделали ряд
критических замечаний, способствующих ее улучшению. Авторы выра-
жают им свою благодарность.
Авторы понимают, что данная монография не лишена недостатков,
и поэтому с благодарностью примут критические замечания по работе.
Глава 1
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ
1.4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ И ОСНОВНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
е.
В общем виде задача оценки (измерения) параметров сигнала при
приеме на фоне помех может быть сформулирована следующим обра-
зом. Пусть в течение фиксированного интервала времени
наблюдается (принимается) некоторая реализация случайного процесса
х(£) 1, q), n (>/)], являющаяся детерминированной скалярной
функцией от полезного сигнала s(4 1, q) и помехи (помех)
Полезный сигнал s(t9 1, q) является детерминированной функцией
своих аргументов и в общем случае содержит кроме фиксированного
числа известных параметров р неизвестных параметров 1 [Zj, /2, ...,
подлежащих оценке, и р, неизвестных параметров q[|?i, 92, .9И]
которые не интересуют наблюдателя и в оценке которых нет необхо-
димости. В дальнейшем первый класс неизвестных параметров будем
называть оцениваемыми (существенными) параметрами, а второй класс
неизвестных параметров — сопровождающими (несущественными, ме-
шающими или паразитными). Одним из основных условий задачи оцен-
ки параметров сигнала является требование независимости оценивае-
мых (существенных) параметров от времени в течение интервала прие-
ма [О, Г].
Дальше, как правило, будем полагать, что оцениваемый многомер-
ный параметр 1 является непрерывной векторной случайной величиной
в некотором заданном интервале ее возможных значений.
На основе наблюдения и анализа принятой реализации x(ti) необ-
ходимо решить, какие значения (из заданного интервала возможных
значений) принимают интересующие наблюдателя параметры
1[4, 4, •••, 4>] в зт°й реализации. Другими словами, на основе обра-
ботки наблюдаемой реализации х(4) необходимо произвести измерение,
т. е. выработать оценку искомого многомерного параметра 1.
Оценка параметра сигнала—это некоторая определенным образом
выбранная система функций (или одна функция) от наблюдаемых дан-
ных x(t). Значения этих функций при фиксированной реализации x{t)
оценивают (т. е. определяют заданным способом) неизвестные пара-
метры сигнала.
5
Естественно полагать, что используемые для получения оценки ме-
тоды при их многократном применении в большинстве случаев приведут
к правильному заключению о значении оцениваемых параметров.
В зависимости от требований, предъявляемых к процессу оценки
и к самим оценкам параметров, возможны разнообразные методы оце-
нивания. При этом каждая оценка характеризуется своим показателем
качества, который в большинстве случаев указывает меру близости
оценки к истинному значению оцениваемого параметра. Показатель
качества оценки, в свою очередь, определяется выбором критерия ка-
чества оценки или сокращенно критерия оценки. Поэтому, прежде чем
построить оценку, нужно выбрать критерий оценки.
Выбор критерия оценки зависит от конечной задачи, для которой
используется оценка параметра сигнала. В связи с тем, что эти задачи
могут значительно отличаться, не может быть единого критерия оценки
и единственной оценки для данного параметра сигнала. В частности,
это обстоятельство затрудняет сравнение различных оценок. Ясно, что
сравнение различных оценок возможно лишь при использовании одного
и того же критерия оценки.
Во многих практических приложениях критерии оценок могут быть
получены на основе интуитивных представлений о целевом назначении
оценки. Вместе с тем значительный интерес представляет разработка
формального подхода к выбору тех или иных критериев, поскольку
именно такой подход позволяет яснее понять сущность и особенности
проблемы оценок параметров сигналов, а главное, дает возможность
более объективно подойти к задаче обоснованного выбора критерия
оценки*).
Из-за наличия помех и конечного времени наблюдения сигнала лю-
бой оценке (т. е. алгоритму измерения неизвестного параметра или
правилу решения) присущи ошибки, определяемые как критерием ка-
чества оценки, так и условиями, при которых происходит процесс оцен-
ки. Поэтому задача оптимальной оценки параметра I состоит в том,
чтобы найти такой алгоритм определения (оценки) параметра 1, при
котором для заданного критерия оценки эти ошибки решения (оценки)
были бы минимальными. Требование малости ошибок в общем случае
не имеет однозначного смысла. Однако если задан критерий оценки, то
на его основе формируется показатель качества оценки, зависящий от
ошибок, и задача получения оптимальной оценки сводится к нахожде-
нию процедуры решения (алгоритма получения оценки), которая мини-
мизирует (или максимизирует) этот показатель качества. Другими
словами, задача построения оптимальных (в соответствии с заранее
выбранными критериями) оценивающих устройств (приемных и решаю-
щих) состоит в том, чтобы, оперируя определенным образом над при-
нятыми данными х(/), получить как можно большую (в заданном
смысле) информацию об интересующих наблюдателя параметрах сиг-
нала.
Интуитивно ясно, что оценка параметра 1 должна быть близка
в некотором смысле к истинному значению оцениваемого параметра,
Термин «оценка», как это принято, имеет два значения. Во-первых, он исполь-
зуется для обозначения процесса или алгоритма измерения неизвестного параметра сиг-
нала, и, во-вторых,' оценкой называют измеренное значение неизвестного параметра.
Однако такая ситуация в терминологии не приводит к непониманию, поскольку обычно
смысл, в котором употребляется термин «оценка», ясен из контекста.
6
причем оптимальная оценка в соответствии с выбранным критерием
должна минимизировать эту меру близости.
Для упрощения записи и рассуждений в дальнейшем будем пола-
гать, что неизвестным параметром сигнала является один существенный
параметр Z, хотя выводы, которые будут сделаны, останутся справед-
ливыми (с очевидными изменениями) для совместной оценки несколь-
ких параметров.
Для оценки одного параметра естественно получить одну функцию
от наблюдаемой реализации, причем эта функция должна обладать
некоторыми хорошими свойствами. В общем случае оценка неизвест-
ного параметра будет функцией от функции, т. е. будет являться
функционалом.
Очевидно, чем более полными знаниями располагает наблюдатель
о характеристиках сигнала и помех, о способе комбинирования сигнала
и помехи в принимаемой реализации x(Z), о возможных значениях оце-
ниваемых и сопровождающих параметров сигнала, тем легче и опре-
деленнее будет решаться задача синтеза устройства, обеспечивающего
(в соответствии с заданным или выбранным критерием) минимальные
ошибки оценки интересующего нас параметра сигнала.
По существу поставленной задачи оцениваемый параметр является
для наблюдателя случайной величиной. В такой ситуации наиболее
полные сведения о возможных значениях параметра I даются апосте-
риорной (послеопытной) плотностью вероятности IFps(Z) = H7[|Z|x(Zi)],
которая является условной плотностью вероятности параметра I при
условии, что принята данная реализация %(/).
Выражение для апостериорной плотности вероятности может быть
получено из теоремы об условных вероятностях двух величин I и X, где
под X[xi, х2, -kJ понимается многомерная (v-мерная) выборка из
реализации x(t) на интервале времени [О, Т]. Согласно теореме об
условных вероятностях
W(l, X) = 1F(Z) W(X |Z) = 1F (X) W (Z| X) (1.1.1)
имеем
wps (Z) IF (Z I -*) = -(f^. (1.1.2)
Здесь W(Z) = Wpr(l)—априорная (доопытная) плотность вероятности
оцениваемого параметра Z; И7(Х) —плотность вероятности многомерной
выборки X из реализации %('/).
Плотность вероятности IF(X) не зависит от текущего значения оце-
ниваемого параметра I и может быть найдена из условия нормировки
плотности вероятности Wps(l):
W (Х)= J W (X | Z) Wpr (Z) dl. (1.1.3)
Здесь и всюду далее интегрирование выполняется по априорной об-
ласти L всех возможных значений оцениваемого параметра I.
С учетом (1.1.3) выражение для апостериорной плотности вероят-
ности можно записать как
IFps (/) = Wpr (О IF (XIZ)/ J Wpr (Z) W (X11) dl. (1.1.4)
Условная плотность вероятности выборки наблюдаемых данных X
(при условии, что оцениваемый параметр имеет значение Z) W (X | /) =
—IF(xj, х2, .-*\JZ), рассматриваемая как функция от Z, называется
7
функцией правдоподобия. Эта функция при фиксированной выборке X
показывает, насколько одно возможное значение параметра I «более
правдоподобно», чем другое.
Функция правдоподобия играет весьма важную роль в задачах
оптимального приема. Однако если для получения оценки используется
не выборка наблюдаемых данных X (дискретная обработка), а сама
принятая реализация х(/) (непрерывная обработка), то использование
функции правдоподобия приводит к ряду трудностей математического
характера. Избежать их можно, вводя отношение правдоподобия [20]
где W (л1 х2,..., | s = 0) — плотность вероятности выборки наблюдаемых
данных при отсутствии сигнала.
Применительно к анализу непрерывной реализации на интервале
[0, Т], введено понятие функционала отношения правдоподобия [1, 27
и ДР-]
(jC* 9 %2 > • 1 10 1
А«± ....Z, ' (••>•6)
д^о
где Л=Т/у — интервал между выборками, причем число выборок рав-
но целой части дроби
Если полезный сигнал содержит несколько векторных параметров,
например 1 и q, то отношение правдоподобия двух векторных пара-
метров запишется в виде
Л (1, q)
W (xlt х2, ..., xjl, q)
W (х, x2, ..., xv |s — 0)
(1-1.7)
При оценке одного векторного параметра 1 отношение правдоподобия
Л(1) может быть найдено из отношения правдоподобия Л(1, q), если
известно априорное распределение параметра q. Представим априорную
плотность вероятности параметров I и q в виде
rpr(l>q) = U7pr(l)rpr(qil). (1.1.8)
Тогда для функции правдоподобия параметра 1 можно записать
Г (X11) = [ Г (X, 1, q) dq = f W (X11, q) Wpr (q 11) dq. (1.1.9)
Подставляя последнее соотношение в (1.1.5), имеем
Л (1) = J Л (1, q) lFpf(q 11) dq. (1.1.10)
Если параметры 1 и q независимы, то
Л(1) —j Л(1, q)IFpr(q)rfq. (1.1.11)
Итак, если известно отношение правдоподобия для двух параметров и
необходимо найти отношение правдоподобия для одного из них, надо
отношение правдоподобия для двух параметров усреднить по априор-
ному распределению (условному или безусловному) второго параметра.
Нетрудно показать, что соотношения (1.1.10) и (1.1.11) обобщаются и
на функционалы отношения правдоподобия.
8
С помощью введенных обозначений выражение для апостериорной
плотности вероятности можно записать в виде
Гр8(/)=^рг(0Л(/), (1.1.12)
где g— нормирующий коэ
нш
ициент, не зависящий от параметра
g==[JlFpr(/)A(/)d/ '
Приемное устройство, образующее на своем выходе апостериорное
распределение оцениваемого параметра, принято называть оптимальным
(по Вудворду) приемником [7J. Оптимальный приемник не производит
оценки. То или иное решение относительно значения оцениваемого пара-
метра выносит наблюдатель или дополнительное решающее устройство
на основе анализа апостериорного распределения.
Следует отметить, что апостериорная плотность вероятности оце-
ниваемого параметра Wps(l) и отношение правдоподобия Л(/) являются
случайными функциями, зависящими от принятой реализации.
В теории статистических оценок используют два вида оценок: ин-
тервальные (доверительные) и оценки в точке.
, При интервальных (доверительных) оценках необходимо указать
интервал, в котором с вероятностью, не меньшей заданной, содержится
истинное значение неизвестного параметра. Эта заданная вероятность
называется коэффициентом доверия, а указанный интервал возможных
значений оцениваемого параметра — доверительным интервалом. Верх-
няя и нижняя границы доверительного интервала, которые называются
доверительными пределами, и сам доверительный интервал являются
функциями (при дискретной обработке) или функционалами (при не-
прерывной обработке) наблюдаемой реализации x(t).
Теория интервальных оценок достаточно хорошо разработана и
нашла практическое применение при оценке параметров функций рас-
пределения стационарных случайных процессов. Построение интерваль-
ных оценок параметров сигналов (радиосигналов) при наличии помех
в общем случае наталкивается на серьезные трудности принципиально-
го характера. В связи с этим в настоящее время отсутствует какая-либо
приемлемая для практических приложений методика нахождения ин-
тервальных оценок параметров сигналов при приеме их на фоне помех,
хотя для большого класса практических задач они представляют не-
сомненный интерес.
При оценке в точке (точечной оценке) неизвестному параметру
приписывают одно значение параметра из интервала возможных его
значений, т. е. на основе анализа принятой реализации x(t) выраба-
тывается некоторая величина, которую используют в качестве истин-
ного значения параметра. Применительно к оценке параметров сигналов
на фоне помех точечные оценки обладают целым рядом полезных
свойств, которые обусловили их широкое практическое применение
в большом числе задач статистической радиофизики, радиотехники, тех-
нической кибернетики и др.
Кроме рассматриваемого метода оценки параметра сигнала, осно-
ванного на анализе реализации смеси сигнала и помехи x(t) за фикси-
рованное время, существует последовательный метод оценивания [10,
31 и др.]. Сущность этого метода состоит в использовании аппарата
последовательного статистического анализа для оценки параметров сиг-
нала. Основная идея последовательного оценивания состоит в том, что
производится достаточно обоснованный выбор времени анализа реали-
зации [0, /0], при котором можно получить оценку параметра с задан-
ной достоверностью. Для точечной оценки достоверностью может яв-
ляться среднеквадратичное отклонение оценки или же другая, более
подходящая функция, характеризующая отличие оценки от истинного
значения параметра. С точки зрения интервального последовательного
оценивания достоверность оценки может быть выражена через длину
доверительного интервала с данным коэффициентом доверия.
Несмотря на определенный интерес, который представляет задача
последовательного оценивания, применительно к оценке параметров
сигнала на фоне помех этот вопрос практически мало исследован. Не-
которые материалы по оптимальной оценке приведены в § 1.7. В основ-
ном далее рассматриваются точечные оценки параметров сигналов при
анализе реализаций смеси сигнала и помехи за фиксированный интер-
вал времени.
1.2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА И ИХ СВОЙСТВА
При точечной оцёнке параметра I сигнала s(t, I) вынести решение
(произвести оценку) —это значит каждой из возможных реализаций
х(^) поставить в соответствие некоторую величину у—т [*(*)] из интер-
вала возможных значений оцениваемого параметра L, называемую то-
чечной оценкой. Напомним, что под термином «оценка» понимается не
только правило получения оценки, но и конкретное ее значение.
Из-за случайного характера точечной оценки параметра сигнала на
фоне помех ее характеризуют условной плотностью вероятности
^(т//). Это наиболее общая и полная характеристика оценки. Вид этой
плотности вероятности определяет качество построения оценки и, следо-
вательно, определяет все свойства оценки.
Плотность вероятности w(y|/) при заданном правиле оценки
у=у[х(^) ] может быть получена из плотности вероятности реализации
x(t) с помощью известного правила преобразования плотностей вероят-
ности [27].
Для этого рассмотрим дискретное представление X (хг, х2,..., л\) и
введем новые переменные = —Y—Т(хь
эс2, ...,xj, причем будем полагать, что существует обратное однозначное
преобразование = ...,£v), Тогда якобиан преобразования от пере-
менных (х19х29 к новым переменным (Вр равен
а многомерная плотность вероятности случайных величин
имеет вид
Y|Z) ^-1 fl .
оу
Отсюда искомая плотность вероятности w(y//) равна
w (YI Z)=J - Jw(^>---^_1>Ylz)^.---^_r (1.2.1)
10
Следует отметить, что непосредственное нахождение плотности ве-
роятности w (у 11) во многих прикладных задачах весьма затруднительно.
Поэтому если есть основания предполагать, что плотность вероятности
w(y|Z) унимодальна и близка к симметричной, то в качестве характе-
ристик сгруппированности оценки у относительно значения I используют
широко распространенные понятия смещения, рассеяния п дисперсии
оценки, которые могут быть вычислены без непосредственного опреде-
ления плотности вероятности w(ypZ).
В соответствии с определением смещение, рассеяние и дисперсия
оценки определяются из следующих выражений:
t(T|Z)==<Y-Z>=:j‘ [%(X)~l]W(X\l)dX,
D (Y | Z) = < (Y - I)2 > = f [Y (X) - I]2 W (X11) dX,
D(YlO = [Y-<T>F = f[TW-<T)]2iF(^|/)^.
(1.2.2)
(1.2.3)
(1.2.4)
В этих выражениях угловые скобки < >, как и ниже, означают
усреднение случайной величины (или функции) по ее значениям (или
реализациям), что тождественно соотношению
<Т> = J yw (y | /) dp
Если оценка у формируется без учета априорной плотности вероят-
ности Wpr(l)y то оценка и ее характеристики (1.1.2)— (1.1.4) называют-
ся условными. Оценка, формируемая с учетом априорного распределе-
ния, называется безусловной. Безусловные характеристики оценки
получаем, усредняя (1.2.2) — (1.2.4) по возможным значениям перемен-
ной I с априорным распределением Wpr(l), т. е. безусловные смещение»
рассеяние и дисперсия оценки определяются соответственно как
Нт) = р (т 10 Wpr (0 di,
(1.2.5)
D(Y) = jD(r|0^(0^
£>(Y) = j£>(YlO^pr(O^-
(1.2.6)
(1.2.7)
Поскольку условные и безусловные характеристики оценки здесь
отличаются обозначениями, в дальнейшем, когда будет идти речь об
одном каком-либо типе характеристик, термин «условная» может опу-
скаться.
Оценка параметра сигнала, для которой условное смещение равно
нулю, называется условно несмещенной, т. е. в этом случае среднее
значение оценки совпадает с истинным значением оцениваемого пара-
метра: <у> — 1. Если равно нулю безусловное смещение, то оценка
будет безусловно несмещенной, т. е. <у>=1рг, где 1рг — априорное
среднее значение параметра. Очевидно, если оценка условно несмещен-
ная, то она будет и безусловно несмещенной. Обратное утверждение,,
вообще говоря, неверно. Для практических приложений часто большее
значение имеет условная несмещенность.
При совместной оценке нескольких параметров, например при оцен-
ке векторного параметра 1 с составляющими /2, ..., 1р, помимо вве-
денных условных и безусловных смещений и дисперсий оценок тре-
11
буется знать статистическую связь между ошибками оценки. Для этой
цели используются коэффициенты и функции взаимной корреляции
оценок.
Если обозначить оценки параметров /ь /2 ..., соответственно
через уь ?2, .. >, ур, то условные функции взаимной корреляции оценок
параметров Ц и lj определятся как
к И (V11) = <[(ъ - <Y/>) (Т/ - <Т/»1>- (1 -2-8)
Из этих величин составляется матрица ошибок, причем величины по
диагонали матрицы являются условными дисперсиями оценок.
Полагая оцениваемые параметры независимыми и осуществляя
усреднение условных функций взаимной корреляции оценок, получаем
безусловные функции взаимной корреляции оценок.
Сказанное выше относится и к условным коэффициентам взаимной
корреляции оценок.
Существует несколько подходов к вопросу о желательных свойст-
вах точечных оценок. К их числу, как правило, относятся следующие
свойства, сформулированные в терминах условных характеристик:
1. Естественно пытаться построить такую точечную оценку у, чтобы
условная плотность вероятности ^(y|Z) была как можно более тесно
сгруппирована вокруг значения /.
2. Весьма желательно, чтобы при длительном времени наблюдения
(7->оо) или в отсутствие помех (отношение сигнал/помеха неограни-
ченно возрастает) оценка совпадала с истинным значением оценивае-
мого параметра. В этом случае говорят, что оценка состоятельная.
3. Оценка должна быть несмещенной или в крайнем случае асимп-
тотически несмещенной, т. е. несмещенной при 7->оо или при неогра-
ниченном увеличении отношения сигнал/шум.
4. Оценка должна характеризоваться минимальными значениями
рассеяния или дисперсии (при нулевом или постоянном смещении).
5. Оценка должна обладать свойствами достаточности (являться
достаточной статистикой).
Статистика (в данном случае функция или функции наблюдаемых
данных) является достаточной, если все суждения об оцениваемом
параметре могут быть вынесены на основании этой статистики без
дополнительного обращения к реализации принятых данных. Очевидно,
что апостериорная плотность вероятности всегда является достаточной
статистикой. Условие достаточности оценки можно сформулировать
в терминах функции правдоподобия: необходимым и достаточным усло-
вием достаточности оценки является возможность представления функ-
ции правдоподобия в виде произведения двух функций
Г(Х]/) = й[х(/)]9(у|/), (Е2.9)
где й[х(4)]|—некоторая произвольная функция от х(/), не зависящая
от оцениваемого параметра I. Так как параметр I не входит в функ-
цию А, то ее нельзя использовать для получения информации о I. Мно-
житель *7 (т IО зависит от х(/) только через оценку у[х(0]> так что
В тНЮ]. должна содержаться вся информация об оцениваемом пара-
метре /.
При выполнении условия (1.2.9) апостериорная плотность вероят-
ности (1.1.4) зависит от выборки X (при дискретной обработке) или
реализации x(t) (при непрерывной обработке) только через оценку
у[х(/)].
12
Рассмотрим несколько подробнее желаемые свойства несмещенно-
сти и минимума рассеяния оценки. При этом здесь и далее корень
квадратный из рассеяния оценки будем называть среднеквадратичной
ошибкой оценки.
Требование несмещенности или минимума смещения оценки тесно
связано с требованием минимума дисперсии оценки. Какую оценку
предпочесть: несмещенную, но с большей дисперсией или смещенную,
но с меньшей дисперсией — зависит от того, для каких целей ищется
оценка.
Так как смещение оценки является составной частью среднеквадра-
тичной ошибки, то оно, как правило, может быть приемлемым до тех
пор, пока мало по сравнению со среднеквадратичной ошибкой. Но ког-
да, например, несколько равноценных оценок складываются независимо,
то смещение остается постоянным, в то время как составляющая сред-
неквадратичной ошибки, обусловленная дисперсией оценки, уменьшает-
ся обратно пропорционально корню квадратному из числа оценок.
В этом случае среднеквадратичная ошибка полностью определяется
смещением оценки. Вместе с тем не исключены случаи, когда за счет
увеличения или введения смещения оценки целесообразно уменьшить
ее дисперсию.
Наконец, следует отметить, что в ряде задач смещенную оценку
можно сделать несмещенной. Например, если смещение оценки является
линейной функцией истинного значения параметра b(y\l)—al+c, где
а и с — любые действительные числа и, следовательно, имеет место
смещение, то, заменяя оценку у на (у—с)/(а+1), получаем несмещен-
ную оценку.
Приведенные свойства оценки могут быть использованы для выра-
ботки критериев оценки.
1.3. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ
Одним из основных требований при построении оценок является
получение оценок с минимальной дисперсией или минимальным рас-
сеянием (если они существуют). В связи с этим в математической ста-
тистике введено понятие эффективных оценок [14}.
Применительно к смещенным оценкам параметра сигнала оценка
1Е называется эффективной, если среднее значение квадрата отклонения
оценки от истинного значения оцениваемого параметра I не превышает
среднее значение квадрата отклонения любой другой оценки у, т. е.
выполняется неравенство
(0=К(/£ - 02)1 < [((Y -О2)]- (1-3-1)
Для несмещенной оценки Шт 10=0] рассеяние оценки совпадает
с ее дисперсией /5 (-у |/) =£) (Y |/), и, следовательно, эффективная несме-
щенная оценка определяется как оценка с минимальной дисперсией.
С. Рао [23] и Г. Крамер [14] независимо друг от друга получили
выражения для нижних границ условных дисперсий и рассеяний оце-
нок, которые являются дисперсиями и рассеяниями эффективных оценок
при условии, что таковые существуют для данных параметров.
Приведем вывод этого выражения, полагая, что необходимые допу-
щения справедливы.
13
Оценку параметра у представим в сокращенной записи т=у[Х],
где X — многомерная выборка из реализации x(Zi) на интервале вре-
мени [О, Т].
Усредним выражение
!т (*) - (т W)] 4т In W (X Ю (Y - (Y)) 4 In Л (Z) (1.3.2)
по всевозможным значениям
вается условной плотностью
многомерной выборки X, которая описы-
вероятности W7^10- Учитывая известное
соотношение для производной натурального логарифма [In у]'=у'/у,
после усреднения получаем
1т (X) - (т (*))] 4 In W (X10 W (X10 dX=
=4 J Y (X) W(X\l)dX- (Y (Х)> 4 J w (X11) dX.
(1.3.3>
В силу свойства нормировки плотности вероятности последнее сла-
гаемое в (1.3.3) равно нулю. Интеграл от первого слагаемого представ-
ляет среднее значение оценки
jYW^(X|Z)dX-(Y) = Z-p(T|Z).
С учетом последнего усредненное значение (1.3.2)
в виде
«Т - W) 4 ta Л (/)> = 1 + .
(1.3.4)
можно записать
(1.3.5)
Левая часть этого выражения представляет собой среднее значение
произведения двух случайных величин с конечными значениями первых
двух моментов. При этих условиях для случайных величин и £ спра-
ведливо известное из математической статистики неравенство Буняков-
ского — Шварца
к^)] < К?) О1'2, (1.3.6)
которое переходит в равенство, если случайные величины § и £ связаны
детерминированной зависимостью (g—const £). С учетом (1.3.6) из вы-
ражения (1.3.5) можно получить
или
О(Т|0»|1 + ^Щ-]'{([41пЛт]^р’ . (1.3.7)
Для несмещенных оценок и оценок с постоянным смещением
дисперсия оценки удовлетворяет неравенству Рао — Крамера
(1.3.8)
Необходимо отметить, что во всех соотношениях усреднение про-
изводится по многомерной выборке наблюдаемых данных X (при не-
прерывной обработке — по всевозможным реализациям х (•/)), а произ-
14
водные берутся в точке истинного значения оцениваемого параметра.
Знак равенства в выражениях (1.3.7) и (1.3.8) достигается только
для эффективных оценок.
Применительно к выражению (1.3.7) рассмотрим условия, при ко-
торых неравенство обращается в равенство, т. е. оценка параметра
является эффективной смещенной оценкой. Согласно (1.3.6) для этого
необходимо, чтобы коэффициент взаимной корреляции между
d[lnA(/)]/d7 и у—<у> был равен единице, т. е. чтобы эти случайные
функции были связаны детерминированной линейной зависимостью.
Действительно, представим производную логарифма функции прав-
доподобия в виде
тде q(l) —функция, которая не зависит от оценки -у и выборки наблю-
даемых данных, но может зависеть от оцениваемого параметра I. При
подстановке (1.3.5) и (1.3.9) в неравенство (1.3.7) оно переходит в ра-
венство. Однако представление производной логарифма функции прав-
доподобия в виде (1.3.9) возможно, если для оценки у выполняется
условие достаточности (1.2.9), из которого следует, что
41° л (о=41п ? снz)*
и, следовательно, если производная логарифма отношения правдоподо-
бия линейно зависит от достаточной оценки, то коэффициент пропор-
циональности не зависит от выборки X.
Таким образом, для существования смещенной эффективной оценки
необходимо выполнение двух условий: оценка должна быть достаточной
(1.2.9) и должно выполняться соотношение (1.3.9). Аналогичные огра-
ничения налагаются на существование эффективных несмещенных оце-
нок, при которых в выражении (1.3.8) знак неравенства переходит
в равенство.
Полученное выше выражение для нижней границы дисперсии сме-
щенной оценки справедливо и для нижней границы рассеяния смещен-
ной оценки, так как /5(т|/)>Ю(т10,т. е.
s(Y!o^[i+46<Yio]2{([4InA(z)]}}” <L310>
Последнее неравенство переходит в равенство, если кроме условия до-
статочности оценки справедливо соотношение
1пЛ (/)=<?(/) (у-/),
где q(l) имеет тот же смысл, что и в выражении (1.3.9).
Формула (1.3.10) выводится аналогично (1.3.7), если в исходном
выражении (1.3.2) вместо [у(Х)—<у(Х)>]| рассматривать [у(Х)—/]•
Из характера условий (1.2.9) и (1.3.9) видно, что эффективные
оценки существуют только в весьма специфических случаях. Также сле-
дует отметить, что эффективная оценка обязательно принадлежит
к классу достаточных оценок, в то время как достаточная оценка не
обязательно будет эффективной.
15
Анализ выражения для дисперсии эффективной смещенной оценки
(1.3.7) показывает, что могут существовать смещенные оценки, которые
обеспечивают меньшую дисперсию оценки, чем несмещенные. Для этого
необходимо, чтобы производная от смещения имела отрицательное
значение и по абсолютной величине в точке истинного значения пара-
метра была близка к единице.
Поскольку в большинстве случаев интерес представляет средний
квадрат результирующей ошибки оценки (рассеяние), имеет смысл го-
ворить и о среднем квадрате ошибки оценки, который для любой оценки
ограничен снизу:
о (Т10=в (т 10+ь- (т 10 » f (Т10 + ''| а(L3I2)
При этом для эффективных оценок имеет место знак равенства.
Нетрудно показать, что соотношения (1.3.10) и (1.3.12) совпадают,
если выполняются соответственно условия (1.3.11) и (1.3.9). Действи-
тельно, подставив в числитель и знаменатель (1.3.10) значения, выра-
женные через функции q (/) (у—/) =q (Z) [у—<у>—Ь (у | /) ], получим
(1.3.12).
Используя рассмотренные выше свойства эффективных оценок,
уточним их определение. Будем называть оценку у эффективной, если
для нее либо выполняются условия (1.2.9) и (1.3.11), либо при задан-
ном смещении &(y|Z) она обладает дисперсией
^(о=[1+46<т1о]!.{([41пЛ</)]2)}’1 (1-3-13)
или рассеянием
D£(Z)t=DE(Z) + &2(Y|Z), (1.3.14)
либо при нулевом смещении эта оценка имеет дисперсию
<L3-I5>
Отметим, что характеристики эффективной оценки (1.3.13) — (1.3.15) мо-
гут быть вычислены и для тех параметров, для которых эффективной
оценки не существует. В этом случае величины (1.3.13) — (1.3.15) опре-
деляют нижнюю границу (недостижимую) для соответствующих харак-
теристик оценки.
Для сравнения реальных оценок с эффективными в математической
статистике введено понятие относительной эффективности оценок, пред-
ставляющее отношение среднего квадрата отклонения эффективной
оценки относительно истинного значения параметра к среднему квад-
рату отклонения реальной оценки относительно истинного значения
параметра:
ОЕ (0 в «<е ~ О2)
D (Y | Z) № ~
(1.3.16)
Здесь у — реальная оценка, эффективность которой равна £(у); 1е —
эффективная оценка^
Из определения дисперсии эффективной оценки (1.3.1) видно, что
относительная эффективность оценки изменяется в пределах
О^Е(у)^ I.
(1.3.17)
Кроме понятия эффективных оценок существует понятие асимпто-
тически эффективных оценок. При этом предполагается, что для доста-
точно большого времени наблюдения (Т->оо) или неограниченного уве-
личения отношения сигнал/помеха предельное значение относительной
эффективности реальной оценки равно единице. Это означает, что при
асимптотически эффективной оценке дисперсия- оценки для заданного
смещения определяется выражением (1.3.13), а при отсутствии смеще-
ния— выражением (1.3.15).
В заключение этого параграфа приведем еще одну форму записи
характеристик эффективной оценки, для чего рассмотрим вторую про-
изводную логарифма отношения правдоподобия
In л (0л (0/л (0 - ру Ш Д (/) .
Усредняя равенство (1.3.18) по выборке наблюдаемых
при фиксированном значении параметра Z, находим
([41п л <')]')=-(&-ta л «)+(•£• л И/Л ('))
Во втором слагаемом правой части (1.3.19) перейдем от
12
данных X
(1.3.19)
во втором слагаемом правой части (i.d.iy) перейдем от отношения
правдоподобия Л(/) к функции правдоподобия W(X | /) и запишем опе-
рацию усреднения по условной плотности вероятности IF(X|/) в явном
виде. Получим (в силу условия нормировки)
A(l)/A(l)^=-^-^W(X]l)dX=0.
Обозначая через Л4 (Z) член логарифма отношения правдоподобия,
зависящий от Z, для дисперсии эффективной несмещенной оценки имеем
DP(l) = - , (1.3.21)
(1.3.20)
а|для эффективной оценки со смещением
Формулы (1.3.21) и (1.3.22) в ряде задач упрощают вычисление
характеристик эффективной оценки.
Понятие и ф°РмУлы для э
обобщаются на совместную оценку нескольких неизвестных параметров
[14J. Применительно к несмещенным совместно эффективным оценкам
составляющих векторного параметра l[Zi, /2, .
корреляции ошибок между оценками параметров Ц и 1$ равна
ективнои оценки одного параметра
•» функция
взаимной
Здесь Aij и й
составленной из элементов
алгебраическое дополнение и определитель
(1.3.23)
матрицы,
(О
(1.3.24)
jfft»
Необходимые и достаточные условия существования совместно эф-
фективной оценки векторного параметра аналогичны условиям сущест-
вования эффективной оценки одного неизвестного параметра (1.2.9) и
(1.3.9), в которых под I надо понимать векторный параметр 1.
-17
1.4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
В теории статистическйх оценок различают два вида правил выбора
решения: неслучайные (нерандомизированные) и случайные (рандоми-
зированные).
Для неслучайного правила выбора решения (оценки) по каждой
конкретной реализации принятых данных x{t) принимается одно, впол-
не определенное решение, т. е. между принятой реализацией и выноси-
мым решением существует детерминированная зависимость. Тем не
менее в силу случайного характера наблюдаемых данных решения при
оценке являются случайными величинами.
Для случайного правила выбора решения по каждой конкретной
реализации х(/,) принимается не одно какое-нибудь решение, а задается
вероятность того или иного решения, т. е. зависимость между принятой
реализацией и выносимым решением носит вероятностный характер.
Поскольку в большинстве случаев можно избежать рандомизации пра-
вила выбора решения, далее рассматриваются только нерандомизиро-
ванные (неслучайные) правила выбора решения.
Из-за случайного характера наблюдаемой реализации при любом
правиле выбора решения неизбежны ошибки в том смысле, что приня-
тое решение у (оценка) не совпадает с истинным значением пара-
метра Z. Очевидно, при различных правилах выбора решения ошибки
различной величины будут появляться с различной вероятностью. При
этом в зависимости от цели получения оценки последствия проявления
•ошибок могут быть различными. Поскольку всегда имеется отличная
от нуля вероятность ошибки, то необходимо тем или иным образом
охарактеризовать качество различных оценок. С этой целью в теории
решений введено понятие функции потерь. Эта функция каждой комби-
нации из решения у и параметра I приписывает определенную потерю
С (у, I). Обычно потери выбирают неотрицательными, а правильным
решениям приписывают нулевые потери.
Физический смысл функции потерь состоит в том, что каждой воз-
можной ошибке приписывается определенный неотрицательный вес. При
этом в зависимости от целей, для которых находится оценка, наименее
желательным ошибкам приписываются наибольшие веса. Выбор той
или иной функции потерь производится в зависимости от конкретной
специфики задачи, для которой находится оценка, и выходит за рамки
теории статистических решений. К сожалению, не существует общего
формального правила выбора функции потерь, и он в той или иной
степени является субъективным. Определенный произвол в выборе по-
терь приводит к трудностям в использовании методов теории статисти-
ческих решений.
Наиболее часто используются следующие функции потерь
(рис. 1.4.1):
а) простая
с(т, 1)=с0~ б (у—о, СО>О,
«Где 6(z) —дельта-функция Дирака;
б) «линейная» по модулю
£(?> 0 = Iy—Л
в) квадратичная
С (у, 4) = (y-iy-,
18
(1-4.1)
(1-4.2)
(1.4.3)
г) прямоугольная
С (Y, I)
О при | у — Z|<^,^>0,
1 при | у — 1
д) экспоненциальная (функция потерь с насыщением)
(1.4.4)
(1.4.5)
Приведенные функции потерь являются симметричными функциями
разности |у—/|. При этом отклонения оценки параметра в одну и дру-
гую стороны относительно истинного значения оцениваемого параметра
одинаково нежелательны. Вместе с этим не исключены задачи, где для
специфических прикладных вопросов могут встретиться случаи, в кото-
рых отношение наблюдателя к знаку ошибки разное. Для таких ситуа-
ций функции потерь будут несимметричными. Примером несимметрич-
Рис. 1.4.1. Функция потерь:
а — простая; б — линейная; в — квадратичная; г — прямоугольная; д — экспоненциальная.
ной функции потерь может служить так называемая информационная
функция потерь вида
С(т, Z)=—In №(/]у). (1.4.6)
Здесь Т7(/|у) —условная плотность вероятности параметра /, если при-
нята оценка (решение) у. Следует, однако, отметить, что в частном
случае и эта функция потерь может быть симметричной, если, напри-
мер, условная плотность вероятности описывается гауссовой кривой или
какой-либо другой четной функцией относительно некоторой фиксиро-
ванной точки /*.
Функцию потерь (1.4.6) можно интерпретировать как меру неопре-
деленности относительно параметра /, если известна оценка у. Не-
определенность понимается в смысле, принятом в теории информации
[20, 27]. Функция потерь (1.4.6) в отличие от (1.4.1) — (1.4.5) зависит
не только от оценки у и значения параметра /, но и от принятого пра-
вила выбора решения.
В силу случайного характера оценок у и параметра I потери при
любом правиле выбора решения являются случайными и не могут быть
использованы для характеристики качества оценки (правила выбора
решения). Для характеристики качества оценки можно принять среднее
значение функции потерь, которое будет учитывать все возможные ти-
пы поведения системы оценки, все виды ошибок и относительную часто-
ту их появления. Выбор для характеристики качества оценки среднего
значения (а не другой статистической характеристики) функции потерь
является хотя и произвольным, но рациональным.
2* 19*
Среднее значение (условное или безусловное) функции потерь на-
зывается риском (условным или безусловным). Условный риск полу-
чается путем усреднения функций потерь по всевозможным значениям
многомерной выборки наблюдаемых данных, характеризуемой условной
плотностью вероятности W (AJ Z),
J С (у, Z) W (X i l)dX.
(1-4-7)
Из этого выражения и определения функции потерь следует, что более
предпочтительными оценками будут те оценки, при которых условный
риск минимален. Однако при разных значениях оцениваемого пара-
метра I условный риск будет иметь различные значения. Поэтому могут
быть различными наиболее предпочтительные решающие правила
(оценки). Значит если известно априорное распределение значений оце-
ниваемого параметра, то наилучшее правило выбора решения (оценку)
целесообразно искать исходя из условия минимума безусловного сред-
него риска:
J?(Y)
f J С (Y, I) W (XI Z) Wpr (I) dldX J W (X) [ j C (Y, Z) wps (Z) dl ] dX,
(1.4.8)
где IT (X) — плотность вероятности выборки наблюдаемых данных.
Оценки, получаемые по критерию минимального условного или
безусловного (среднего) риска, называются соответственно условными
и безусловными байесовскими оценками. Безусловная байесовская
оценка часто называется просто байесовской оценкой. В дальнейшем
под байесовской оценкой yw параметра I будем понимать оценку, обес-
печивающую минимальное значение безусловного среднего риска (1.4.8)
при заданной функции потерь С (у, /). Минимальное значение безуслов-
ного среднего риска, соответствующее байесовской оценке, называют
байесовским риском
^m=(jC(Ym,/)U7ps(Z)dZ).
(1.4.9)
Здесь усреднение выполняется по выборкам (при дискретной обра-
ботке) наблюдаемых данных X или по реализациям (при непрерывной
обработке) х(4).
Безусловный средний риск (1.4.8) может быть вычислен для лю-
бого заданного правила выбора решения (оценки), причем в силу опре-
деления байесовской оценки всегда выполняется условие
(1.4.10)
Вычисляя средний риск (1.4.8) для различных оценок и сравнивая
эти риски между собой и байесовским риском, можно судить, насколько
одна оценка лучше другой и насколько какая-либо оценка близка
к оптимальной (байесовской) оценке.
Так как сам риск (условный или безусловный) имеет различный
физический смысл в зависимости от вида и физической интерпретации
функции потерь С (у, Z), то смысл критерия оптимальности зависит так-
же от вида функции потерь.
20
Поскольку плотность вероятности HZ(X) есть неотрицательная
функция, то минимизация выражения (1.4.8) по у сводится к миними-
зации функции
Яр!! (Y) = f С (Y> /) Wps (Z) dt,
(1.4.11)
называемой апостериорным риском, при фиксированной выборке (реа-
лизации) наблюдаемых данных. Если апостериорный риск дифференци-
руем по у, то байесовская оценка может быть найдена как решение
уравнения
I^pJyWL ==0. (1.4.12)
*т
При этом следует брать корень уравнения, обеспечивающий глобальный
минимум (минимум миниморум) апостериорного риска.
Критерий минимума среднего риска основан на использовании
полной априорной информации об оцениваемом параметре, т. е. дает
ответ на вопрос, каким образом надо использовать всю априорную
информацию, чтобы получить наилучшую оценку. Однако отсутствие
полной априорной информации об оцениваемом параметре, которое
имеет место в ряде прикладных задач, приводит к определенным труд-
ностям (априорные трудности) в применении методов теории статисти-
ческих решений. Известно несколько подходов к решению задачи
нахождения оптимальных оценок при неизвестном априорном распре-
делении оцениваемого параметра. Один из них заключается в отыска-
нии байесовских оценок, инвариантных по отношению к достаточно
широкому классу априорных распределений. В других случаях либо
ограничиваются выбором оценки на основе минимизации условного
риска, либо делают какие-либо предположения относительно априорно-
го распределения оцениваемого параметра.
Если в качестве априорного распределения оцениваемого параметра
взято наименее предпочтительное распределение, при котором байесов-
ский риск будет максимален, то получаемая оценка параметра сигнала
называется минимаксной. Минимаксная оценка дает оптимальное реше-
ние только для самого наихудшего случая и определяет верхнюю гра-
ницу байесовского риска, которую называют минимаксным риском.
Хотя минимаксная оценка может приводить к большим потерям, чем
другая оценка, она может быть полезной, если желательно застрахо-
ваться от потерь за счет оценивания в наиболее неблагоприятных апри-
орных условиях.
В соответствии с определением минимаксная оценка может быть
найдена следующим образом. Для произвольного априорного распреде-
ления в соответствии с заданной функцией потерь ищется байесовская
оценка Ym=ym[x(0L Затем подбирается такое априорное распределе-
ние оцениваемого параметра, при котором минимальное значение сред-
него риска (байесовский риск) достигает максимума. Байесовская
оценка при таком априорном распределении будет минимаксной.
Следует отметить, что строгое нахождение наименее предпочтитель-
ного априорного распределения сопряжено с большими математиче-
скими трудностями. Однако в большом числе прикладных задач, в том
числе в задачах оценки параметров сигналов при наличии помех, наи-
менее предпочтительным распределением является равномерное (в за-
данном интервале) распределение.
21
1.5. БАЙЕСОВСКИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПОТЕРЬ
Обсудим кратко свойства байесовских оценок для некоторых
функций потерь, приведенных в предыдущем параграфе.
Простая функция потерь (1.4.1)
Подставляя простую функцию потерь в формулу (1.4.11) и исполь-
зуя фильтрующее свойство дельта-функции
СО
J <Р (z) S (z — г0) dz = (z0),
(1.5.1).
получим
^Ps(Y)=c.-^PS(Y). (1.5.2).
Апостериорный риск 5?pS(y), а следовательно, и средний риск 91 (у)
будут минимальны, если апостериорная плотность вероятности TFps(y)
для данной оценки принимает наибольшее значение из всех возможных
Рис. 1.5.1. Байесовская оценка параметра сигнала
при простой функции потерь.
значений. Иначе говоря, апостериорная плотность вероятности обра-
щается в максимум при наличии одного максимума апостериорной
плотности вероятности или в максимум максиморум (глобальный или
абсолютный максимум) при наличии нескольких максимумов апосте-
риорной плотности вероятности оцениваемого параметра. Это означает,
что в качестве байесовской оценки параметра сигнала должно быть
взято наиболее вероятное значение ут (рис. 1.5.1), при котором выпол-
няется условие
(1.5.3)
Если апостериорная плотность вероятности дифференцируема по
параметру /, то оценка ут может быть найдена из решения уравнения
О при
d*Wps (Z)
dl2
(1.5.4),
причем из всех корней уравнения берется тот корень, для которого*
справедливо соотношение (1.5.3). Подставляя простую функцию потерь
в (1.4.9), получаем выражение для байесовского риска
m=с9 — (max Wps (I))=с„
{wps (YJ).
(1.5.5)
Второй член в правой части (1.5.5) представляет собой (с точ-
ностью до некоторого постоянного коэффициента) среднюю вероят-
ность правильного решения, и, следовательно, байесовская оценка при
простой функции потерь максимизирует вероятность правильного ре-
шения. Байесовский риск в данном случае пропорционален вероятности
неправильного решения. Поэтому байесовская оценка параметра сиг-
22
нала при простой функции потерь минимизирует вероятность непра-
вильного решения. При этом всем ошибкам приписывается одинаковый
вес Со, т. е. предполагается, что все ошибки нежелательны независимо
ют их величины.
В литературе байесовская оценка при простой функции потерь из-
вестна также под названием оценки по1 максимуму (максимуму мак-
симоруму) апостериорной плотности вероятности.
Если априорная плотность вероятности Wpr(l) постоянна в интер-
вале возможных значений оцениваемого параметра, то согласно (1.1.12)
апостериорная плотность вероятности с точностью до постоянного мно-
жителя совпадает с отношением правдоподобия Л(/). Оценка по мак-
симуму апостериорной плотности вероятности ут переходит при этом
в оценку максимального правдоподобия 1т. Оценка максимального
правдоподобия 1т определяется как положение максимума максимору-
ма отношения правдоподобия A(Z).
Оценки максимального правдоподобия, как правило, находят при-
менение в следующих случаях:
— оцениваемый параметр хотя и неизвестен, но не случаен;
• —априорное распределение оцениваемого параметра неизвестно;
— получение (формирование) апостериорного распределения слож-
нее, чем получение (формирование) функции (отношения) правдопо-
добия.
Метод максимального правдоподобия имеет ряд преимуществ перед
другими методами оценки. Обсудим кратко эти преимущества, кото-
рые в основном сводятся к следующему [4, 14, 20, 27, 30].
1. В практических приложениях оценка максимального правдопо-
добия для достаточно широкого класса априорных распределений оце-
ниваемого параметра близка к оценке по максимуму апостериорной
плотности вероятности, т. е. является байесовской при простой функции
потерь. Действительно, при больших отношениях сигнал/помеха априор-
ное распределение в окрестности оценки часто можно считать доста-
точно постоянным и апостериорная плотность вероятности в этой
области практически совпадает с отношением правдоподобия. Данное
свойство является весьма важным, когда априорное распределение оце-
ниваемого параметра неизвестно, а нахождение наименее предпочти-
тельного априорного распределения сопряжено с большими математи-
ческими трудностями.
2. Оценки параметра по методу максимального правдоподобия не
зависят от взаимно однозначного безынерционного (по оцениваемому
параметру) преобразования выходного сигнала приемника вида
ПЛ (0 К так как точка максимального правдоподобия остается инва-
риантной при этих преобразованиях. Действительно, уравнение прав-
доподобия
dF 1
Г dF дЛ (/) ]
дЛ. д1
т
эквивалентно уравнению [dA(Z)/dZ]/m = O. Это свойство имеет большое
значение при практической реализации приемных и решающих
устройств.
3. Аналитическое определение качества оценки параметра сигнала
по методу максимального правдоподобия связано с меньшими матема-
тическими трудностями, чем при использовании других методов оценки.
23
Другие методы оценки, как правило, требуют математического или
физического моделирования для определения характеристик качества
оценки, что, в свою очередь, значительно усложняет процессы разра-
ботки и конструирования соответствующих измерителей параметров
сигнала.
4. В математической статистике показывается [14], что если су-
ществует эффективная оценка, то оценка максимального правдоподобия
является эффективной.
5. При приеме сигнала на фоне нормального шума алгоритм оценки
максимального правдоподобия не зависит от мощности помехи [16, 30].
Кроме того, при неограниченном увеличении отношения сигнал/помеха
оценка максимального правдоподобия асимптотически эффективная и
насмешенная, она является предельной формой байесовских оценок
для широких классов априорных распределений и функций потерь.
Ьолее подробно асимптотические свойства оценки максимального прав-
доподобия обсуждаются дальше. Эти и более частные достоинства
метода максимального правдоподобия обусловливают его широкое при-
менение.
Вместе с тем следует отметить, что оценки параметров сигнала по
методу максимального правдоподобия обладают существенным недо-
статком, который в значительной мере снижает эффективность этого-
метода при больших уровнях помех и больших интервалах возможных
значений оцениваемого параметра за счет появления «ложных» макси-
мумов максиморумов, вызванных помехами.
I 'Ъ' I —
/
Линейная по модулю функция потерь (1.4.2.)
Согласно (1.4.11) апостериорный риск для данной функции потерь
определяется из выражения
<%ps (Y) = J1Y -11 Wps (0 dL (1.5.6)
Освободимся от модуля в подынтегральном выражении, для чего
интервал интегрирования (—оо, оо) разобъем на два интервала:
—oo<Z<-y и ?<7<оо, в каждом из которых можно отбросить знак
модуля. Тогда (1.5.6) перепишется в виде
7 oo
3?p,5 (Y) = f (Y - 0 Wps (I) Wps (I) dl. (1.5.7)
~—*oo Y
Из условия экстремума функции 5?ps(y) получаем уравнение для
оценки ут
\fd^ps (у)
—оо
Wps (I) dl—0
m
dy
ИЛИ
оо
При этом [dsJ?pS(Y)/rfY2lTm=2^p.5(Ym)>0’ т- е- Ym соответствует ми-
нимуму J?P,(Y)-
24
Г
Из последнего выражения видно, что в качестве оценки параметра
берется то его значение, при котором площади под кривой апостериор-
ной плотности вероятности слева и справа равны, т. е. байесовская
оценка представляет медиану апостериорного распределения
(рис. 1.5.2).
Анализируя выражение байесовского риска при «линейной» функ-
ции потерь
Ят = J J11 - [ Wps (Z) Г (X) dldX, (1.5.10)
Рис. 1.5.2. Байесовская оценка -параметра сигнала
при линейной функции потерь.
видим, что байесовский риск равен минимальному среднему значению
модуля отклонения медианы апостериорного распределения от истин-
ного значения оцениваемого параметра.
Квадратичная функция потерь (14.3)
Для квадратичной функции потерь согласно (1.4.11) имеем
ЛЛу)=| (Y-Zrrps(/)dZ. (1.5.11)
Из условия экстремума функции Яра(у) получаем выражение для
оценки
U^^lwPAl)dl^lps. (1.5.12)
Следовательно, в качестве оценки параметра I при квадратичной
функции потерь следует брать среднее значение апостериорного рас-
Рис. 1.5.3. Байесовская оценка параметра сигнала
при квадратичной функции потерь.
пределения («центр тяжести» апостериорного распределения)
(рис. 1.5.3) lps.
Величина 5?ps(y) характеризует минимальное мгновенное значение
квадрата ошибки оценки параметра сигнала. Поскольку 5?ps(y) зависит
от конкретного вида реализации смеси сигнала и помехи x(t), мгновен-
ное значение квадрата ошибки является случайным. Байесовский риск
при квадратичной функции потерь совпадает с рассеянием оценки
(1.2.6) и равен
tfm^D(ym)^D(lps) = ^(l-lpsyWps(l)W(X)dldX. (1.5.13)
25
С С lWpr (I) W(X\l)dldX. (1.5.15)
Оценка (1.5.12) находилась из условия минимума среднего риска, кото-
рый пропорционален среднему квадрату ошибки. Поэтому можно
утверждать, что байесовская оценка при квадратичной функции потерь
минимизирует безусловное рассеяние оценки. Это значит, что условно’
несмещенная байесовская оценка при квадратичной функции потерь
минимизирует дисперсию оценки. Иначе говоря, байесовская оценка при
квадратичной функции потерь обеспечивает минимальное значение рас-
сеяния оценки относительно истинного значения оцениваемого пара-
метра среди всех возможных оценок параметров сигнала.
Отметим еще одно свойство байесовской оценки параметра сигнала
при квадратичной функции потерь. Оценка (1.5.12) всегда безусловно
несмещенная, т. е.
(lps}^lWpr(l)dl=lpr. (1.5.14>
Действительно, подставляя в (1.5.12) значение апостериорной плот-
ности вероятности (1.1.2) и усредняя это выражение по выборке наблю-
даемых данных X, можно записать
ps} = ^lpsW(X)dX=
Меняя в последней части этого равенства порядок интегрирования и
учитывая условие нормировки, приходим к выражению (1.5.14).
Квадратичная функция потерь пропорциональна квадрату «рас-
стояния» оценки от истинного значения параметра, т. е. всем ошибкам
приписывается вес, возрастающий как квадрат их величины. Такого
рода потери часто встречаются в различных приложениях математиче-
ской статистики и теории связи. Однако несмотря на то, что квадратич-
ная функция потерь обладает рядом достоинств (удобна с математи-
ческой точки зрения, в достаточной степени учитывает большее значе-
ние больших ошибок по сравнению с малыми и т. д.), в задаче оценки
параметра сигнала она используется сравнительно редко. Это связана
с тем, что для большинства реальных параметров и сигналов устройство
для получения оценки (1.5.12) оказывается весьма сложным при его
практическом осуществлении. Вычислить рассеяние байесовской оценки
при квадратичной функции потерь для большинства задач пока не
удается, поскольку не представляется возможным достаточно просто
представить аналитически апостериорную плотность вероятности Wps(l)
на всем интервале возможных значений оцениваемого параметра.
Прямоугольная функция потерь (1.4.4)
Для прямоугольной функции потерь характерно, что все мгновен-
ные ошибки, которые по модулю меньше заданного значения т], оди-
наково неопасны для наблюдателя и с его точки зрения не приводят
к какому-либо ухудшению качества оценки параметра. Ошибки, мгно-
венные значения которых по модулю превышают значения ц, одинаково*
нежелательны и всем им приписывается одинаковый вес.
Подставляя (1.4.4) в (1.4.11) и разбивая интервал интегрирования
на три подынтервала: —оо<7<Су—ц, у—и у +
имеем
г
ГН
Л>Л) = 1- f Wps(l)dl. (1.5.16)
1-4
26
Из этого выражения видно, что в качестве байесовской оценки при
прямоугольной функции потерь надо выбирать значение у=ут, для
которого вероятность выполнения неравенства |у—максимальна.
Уравнение для оценки находим из условия экстремума апосте-
риорного риска &pS(y)
Гт= Wps (yL -1) - Wp л Ym + ч) = 0 (1.5.17)
'ИЛИ
^ps(Ym-^) = ^(Ym+4)- С1-5-18)
Уравнение (1.5.18) показывает, что в качестве байесовской оценки
параметра сигнала необходимо взять то значение параметра Уту при
котором значения апостериорной плотности вероятности, соответствую-
щие параметрам, отстоящим от оценки слева и справа на величину т],
равны между собой (рис. 1.5.4).
Рис. 1.5.4. Байесовская оценка параметра сигнала
:при прямоугольной функции потерь. *
Если апостериорная плотность вероятности Wps(l) дифференци-
руема, то для малых значений q можно ограничиться первыми тремя
членами разложения в ряды Тейлора относительно точки ут апостери-
орных плотностей вероятности, входящих в выражение (1.5.18):
Wps (ym ± tj) Wps (ym) ±
Г d2Wps (I)
dl2
Чт
Подставляя последнее соотношение в (1.5.17), получаем уравнение
dWps (/) ]
(1.5.19)
которое совпадает с уравнением (1.5.4). Следовательно, при малых ве-
личинах «зоны нечувствительности» ц байесовские оценки при простой
и прямоугольной функциях потерь совпадают.
Байесовский риск (1.4.9) для прямоугольной функции потерь равен
т
(1.5.20)
Случайная величина (1.5.16) представляет собой апостериорную
вероятность того, что в данной реализации истинное значение оцени-
ваемого параметра не заключено в интервале ут±ч], т. е. случайная
величина (1.5.16) определяет апостериорную вероятность неправильного
решения по данному критерию. При этом для байесовской оценки ут
эта вероятность меньше, чем для любой другой оценки. Байесовский
риск (1.5.20) определяет минимальную среднюю вероятность непра-
вильного решения по данному критерию.
27
Таким образом, байесовская оценка при прямоугольной функции
потерь максимизирует вероятность того, что истинное значение оцени-
ваемого параметра сигнала будет лежать в пределах
Информационная функция потерь (1.4.6)
В отличие от рассмотренных выше функций потерь вида (1.4.1) —
(1.4.5), которые позволяют находить правило выбора решения, миними-
зирующее соответствующие средние потери, функция потерь (1.4.6)
в большей степени подходит для оценки качества того или иного пра-
вила выбора решения с информационной точки зрения. Обладая доста-
точно общими свойствами, информационный критерий позволяет в еди-
ной мере сравнивать между собой различные решающие правила.
Однако из-за того, что информационная функция потерь зависит не
только от принятой оценки и истинного значения параметра, но и от
правила выбора решения, задача определения байесовской оценки при
информационной функции потерь является весьма сложной и в настоя-
щее время не имеет общего решения.
Апостериорный риск для информационной функции потерь полу-
чаем, подставляя (1.4.6) в (1.4.11):
^pS(Y) = - Jrps(Z)lnlT(Z|T)d/.
(1.5.21)
Это выражение представляет собой апостериорную неопределенность
решения у относительно истинного значения параметра после того, как
принята реализация х(£). Соответственно апостериорная неопределен-
ность реализации х(£) (т. е. до обработки) имеет вид
wps (0 in Wps (Z) dl.
(L5.22)
Естественно, наибольшая информация (наименьшая неопределенность)
содержится в апостериорном распределении. Любая обработка апо-
стериорного распределения принципиально может только уменьшить
количество воспринимаемой наблюдателем информации (увеличится
неопределенность) из-за несовершенства решающего устройства. По-
этому для любого решающего правила справедливо соотношение
^(Т)>Я. (1.5.23)
Иначе говоря, величина И определяет нижнюю границу апостери-
орного риска при информационной функции потерь. Неравенство пере-
ходит в равенство, если оценка у является достаточной. Действительно,
если существует некоторая достаточная оценка у=у(Х), то апостери-
орная плотность вероятности может быть записана в виде
lFps(/) = IF(Z|X) = IF(/|T)
(1.5.24)
и соотношения (1.5.21), (1.5.22) совпадают, т. е. &PS(y) —И.
Таким образом, байесовской оценкой при информационной функции
потерь является любая достаточная оценка. Поэтому сравнение различ-
ных правил выбора решения по величине среднего риска при информа-
ционной функции потерь имеет смысл, если эти правила выбора реше-
ния не приводят к достаточным оценкам.
28
Среднее значение апостериорной неопределенности и средний риск
при информационной функции потерь будут равны
(Я) = - f J Г (X, 1) In Wps (l) dldX, (1 -5.25)
Я (у) = - Г f W (X, l) In W (I IY) dldX, (1.5.26)
где IF (X, I) — совместная плотность вероятности оцениваемого пара-
метра и выборки наблюдаемых данных. Если ввести в рассмотрение
среднее количество информации о параметре I, теряющееся при выпол-
нении операции оценивания
д7 = (Н)^^(у), Д/<0,
(1.5.27)
то байесовская оценка при информационной функции потерь миними-
зирует потери информации при вынесении решения. В частности, если
оценка является достаточной, то потери информации отсутствуют.
1.6. АНОМАЛЬНЫЕ ОШИБКИ
Наряду с рассмотренными выше характеристиками оценок пара-
метров сигналов (смещения, дисперсии, рассеяния, корреляционная
матрица при совместных оценках нескольких параметров) в приклад-
ных задачах используются понятия надежной оценки [7, 16] и аномаль-
ных ошибок [29, 30 и др.].
Эти понятия введены при рассмотрении источников ошибок при-
менительно к оценке параметра сигнала на фоне помех по методу
максимального правдоподобия^ Рассмотрим несколько подробнее про-
цедуру оценки параметра по максимуму функционала отношения прав-
доподобия A(Z). При этом в дальнейшем будем обозначать через Zo
истинное значение оцениваемого параметра Z, а через 1т — значение
параметра, соответствующее максимуму максиморуму функционала от-
ношения правдоподобия A(Z).
Из-за влияния помех функционал отношения правдоподобия
A(Z) —случайная функция, имеющая в общем случае несколько макси-
мумов на априорном интервале L возможных значений оцениваемого
параметра I. В соответствии с принятым методом оценки считается, что
сигнал имеет то значение параметра Z=Zm, для которого выполняется
условие
т. е. Zm соответствует максимуму максиморуму (абсолютному макси-
муму) функционала отношения правдоподобия A(Z). При этом мгновен-
ное значение ошибки оценки равно
AZ=ZW-ZO. (1.6.2)
Величина ошибки оценивания AZ меняется в зависимости от вида
принимаемой реализации, т. е. является случайной величиной.
При использовании метода максимального правдоподобия возмож-
ны два вида ошибок оценивания.
На рис. 1.6.1,а изображен случай достаточно большого отношения
сигнал/помеха и небольшого априорного интервала возможных значе-
29
I
ний оцениваемого параметра. Здесь оценка 1т лежит вблизи истинного
значения оцениваемого параметра 4- Этот вид ошибок обусловлен не-
большими смещениями положения максимума (выброса) функционала
отношения правдоподобия за счет наложения помех на полезный сиг-
нал. В дальнейшем этот выброс в отсутствие помех будем называть
сигнальным выбросом. Ниже будет показано, что плотность вероятности
такого вида ошибок асимптотически при большом отношении сигнал/по-
меха является нормальной. Поэтому подобные ошибки оценивания
часто называют нормальными [29,
301 а саму оценку параметра —
Рис. 1.6.1. Вид функционала отношения
правдоподобия.
надежной [7, 16].
На рис. 1.6.1,6 представлен слу-
чай, когда максимум максиморум
функционала отношения правдопо-
добия лежит в стороне от истинно-
го значения оцениваемого параме-
тра Zo, т. е. расстояние между оцен-
кой и истинным значением параме-
тра много больше «длительности»
сигнального выброса на выходе оп-
тимального приемника. Такого рода
ошибки называют аномальными,
так как они физически не обуслов-
лены наличием полезного сигнала.
Аномальные ошибки, как правило, появляются при малых отношениях
сигнал/помеха и больших априорных интервалах возможных значений
оцениваемого параметра за счет помеховых выбросов функционала от-
ношения правдоподобия. Аномальные ошибки могут появляться и при
больших отношениях сигнал/помеха и малых априорных интервалах
возможных значений оцениваемого параметра, однако вероятность их
появления при этих условиях мала.
Частое появление аномальных ошибок снижает практическую цен-
ность метода максимального правдоподобия для оценки параметров
сигналов при небольших отношениях сигнал/помеха и больших апри-
орных интервалах возможных значений оцениваемого параметра, т. е.
оценка параметра становится ненадежной.
Понятие аномальных ошибок можно применить при оценке пара-
метра не только для метода максимального правдоподобия, но и для
других методов оценки, использующих, например, функции потерь вида
(1.4.2) — (1.4.5). Для этого несколько точнее определим понятие ано-
мальной ошибки.
Аномальной ошибкой оценки у параметра I будем называть ошибку
д/а=у—I- модуль которой превышает наперед заданную положитель-
ную величину 6а. Вероятность аномальной ошибки при этом определяет-
ся как
Ра = Вер[|у — г|>ба].
(1.6.3)
Вероятность аномальной ошибки часто называют вероятностью
ненадежной оценки, а величину
Ро=1 — Ра=Вер[|у — Z[<8J
(1.6.4)
— вероятностью надежной оценки.
Так же как и при оценке параметра по методу максимального прав-
доподобия, величину 6а целесообразно связать с длительностью («ши-
риной») полезного сигнала на выходе оптимального приемника.
Выбор интервала допустимых значений ошибок оценки 6а, соиз-
меримого с длительностью выходного полезного сигнала, оправдан тем,,
что в большинстве прикладных задач радиофизики измерительная си-
стема синтезируется таким образом, чтобы вероятность аномальной
ошибки была не выше заранее заданной величины. Конечно, последнего*
можно достичь (при заданных отношении сигнал/помеха и априорном
интервале возможных значений оцениваемого параметра) увеличением
длительности выходного сигнала приемника за счет изменения формы
полезного сигнала на входе. При этом, естественно, происходит ухуд-
шение точности оценки в пределах сигнального выброса выходного сиг-
нала приемника. Вместе с этим имеется немало задач, например при
радиоизмерениях, когда форму полезного сигнала на входе приемника
изменить нельзя.
Естественно, деление возможных ошибок на нормальные и аномаль-
ные является в известной мере условным. Однако такое деление ошибок
оценивания полезно при получении аналитических формул для харак-
теристик оценки смещения и дисперсии. Это обусловлено тем, чтог
во-первых, за исключением весьма частных случаев отсутствуют прием-
лемые для практических приложений аналитические методы получения
статистических характеристик оценок параметров при произвольных
отношениях сигнал/помеха и произвольных априорных интервалах воз-
можных значений оцениваемых параметров; во-вторых, в пределах
длительности выходного сигнала для достаточно больших отношений
сигнал/помеха с большой точностью можно определить статистические
характеристики оценки, а в ряде случаев определить и плотности веро-
ятности ошибок оценок; в-третьих, позволяет приближенно вычислять
вероятность аномальной ошибки или вероятность надежной оценки.
Обозначим через ^o(vlO и w*(tI0 плотности вероятности оценки
параметра соответственно в интервале ;/±'6а (нормальные ошибки) и
вне его (аномальные ошибки). Пусть Ро и Ра=1—Ро— вероятности
появления нормальных и аномальных ошибок.
Очевидно, аномальные и нормальные принятия решений об оценке
являются несовместимыми событиями, так как решение принимается
либо в интервале -/±Sa, либо вне этого интервала. Тогда условную плот-
ность вероятности оценки ^(y|Z) можно представить как сумму произ-
ведений вероятностей определения соответствующих интервалов ошибок
на плотности вероятности оценок в этих интервалах:
w(YI l)=zPow0 (у11) + (1 — Ро) wa (?]/)• (1 -6.5>
Отсюда получаем выражения для смещения и рассеяния оценки
*(т10==ДМт10+(1 -Д)Мт10, (1-6.6)
D (Т10 =РеЪ„ (YI /) + (1 - Ро) Д (у ] /), (1.6.7)
где <Ь0, &а, £>о и Da — соответственно смещения и рассеяния нормальных
и аномальных оценок.
Для получения безусловных характеристик оценки необходимо вы-
ражения b(т|0 и усреднить по всем возможным значениям
параметра t из априорного интервала L.
31
Отметим, что при использовании в качестве характеристик оценки
величин 6(т|/) и £(y|Z) необходимо соблюдать осторожность, так как
в некоторых задачах требуется обеспечить достаточно малый уровень
аномальных ошибок, а не минимальное значение результирующих оши-
бок. В таких задачах сама цель минимизации ошибки при большой
вероятности аномальных ошибок оказывается неоправданной.
Итак, рассмотрены два способа описания точности оценки. При
первом способе используют условные или безусловные смещение и рас-
сеяние (дисперсию) оценки, не выделяя в отдельные классы нормаль-
ные и аномальные ошибки. При втором способе используют условные
и безусловные смещение и рассеяние (дисперсию) оценки для нормаль-
ных ошибок и вероятность надежной оценки.
Достоинством первого способа является то, что нет необходимости
вводить довольно условное понятие аномальных ошибок. Кроме того,
этот способ в ряде случаев позволяет определить верхние и нижние
границы для смещения и рассеяния оценки и решить задачу выбора
формы входного полезного сигнала, обеспечивающего минимальные
ошибки (например, минимальное значение рассеяния оценки). Следует
также отметить, что при экспериментальном исследовании оценок и их
характеристик регистрируются результирующие ошибки и только после
их регистрации можно говорить о том, какой процент оценок относится
к нормальным и аномальным оценкам соответственно.
Естественно, кроме рассмотренных выше двух способов описания
точности оценки возможны и другие способы, в том числе и другие спо-
собы определения надежной оценки. В частности, представляет интерес
определить вероятность аномальной ошибки как вероятность превыше-
ния ошибкой некоторого порогового значения, при котором наблюдает-
ся наибольшая скорость изменения характеристик оценки. По аналогии
с определением промахов в метрологии в качестве порогового значения
ошибки можно взять величину, которая превышает (3—4)он, где он —
среднеквадратичная ошибка при учете только нормальных ошибок.
1.7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Задача оптимального последовательного оценивания может быть
сформулирована следующим образом [31]. Пусть X — дискретная вы-
борка из реализации смеси сигнала и помехи x(fy. Сигнал содержит
неизвестный параметр I с априорным распределением Wpr(l). Задача
состоит в определении оценки у=у(Х). Пусть решение (оценка) вы-
носится в результате обработки первых v отсчетов реализации x(ty (по
выборке с объемом v). Очевидно, что в общем случае требуемое
число выборок v зависит от оценки (и ее качества) и самой выборки
Ху, т. е. v=v(y,Xv).
Из общих соображений следует, что как увеличение ошибки оце-
нивания, так и увеличение времени наблюдения ведет к некоторым
потерям. Обозначим C(v)—потери вследствие использования v отсчетов
реализации наблюдаемых данных, а С (у, /), как и ранее, потери, когда
вынесено решение у, а значение параметра равно I. Так как в общем
случае у, I и v — случайные величины, в качестве характеристик оценки
целесообразно принять сумму средних потерь, соответствующих ошиб-
кам оценивания и количеству используемых отсчетов реализации наблю-
32
даемых данных:
(у, v | /) = J [С (у, Z) + С (v)] Wv | Z) dXv. (1.7.1)
Здесь (Xv | /) — условная плотность вероятности {первых v отсче-
тов реализации наблюдаемых данных при значении неизвестного
параметра I. Аналогично (1.4.7) величину $?(?, v|Z) можно назвать
условным риском. Из определения функций потерь С (у, /) и C(v) сле-
дует, что наиболее предпочтительными являются оценки, минимизиру-
ющие условный риск $?(у, v [I) при заданном /.
При известном априорном распределении оцениваемого параметра
наилучшее правило выбора решения (оценку) можно определить из
условия минимума безусловного среднего риска
(у) = J OQ {f [С (у, l)+C (V)] Wvps (l)dl} dXv, (1.7.2)
где Wv (Xv) — плотность вероятности первых v отсчетов реализации на-
блюдаемых данных; Wvps (/) — (I I Xv) — апостерионая плотность веро-
ятности после обработки первых v отсчетов. Оценки при непостоянном
v, получаемые по критерию минимума условного или безусловного
(среднего) риска, называют соответственно условными и безусловными
последовательными байесовскими оценками.
Из сравнения (1.7.2) и (1.4.8) следует, что в общем случае задача
определения последовательной байесовской оценки более сложная, чем
задача определения байесовской оценки при фиксированном объеме
выборки (времени наблюдения).
Последовательное байесовское правило решения относительно
просто можно указать, если потери вследствие увеличения количества
требуемых отсчетов реализации наблюдаемых данных являются ли-
нейной функцией от числа выборок:
C(v)=Cov. (1.7.3)
Обозначим в этом случае апостериорный риск, соответствующий
потерям из-за ошибок оценки, полученный в результате обработки v
отсчетов в виде
^Ps (У> *) = f С (у, Z) Wvps (l)dl. (1.7.4)
Приближенное байесовское последовательное правило выбора решения
может быть сформулировано следующим образом: приемное устройст-
во на основе первых v отсчетов реализации наблюдаемых данных
формирует апостериорный риск &Ps(y, v) и определяет оценку ymv,
которая минимизирует этот риск. Минимальное значение апостериорно-
го риска обозначим
%mps (V) = J с (ymv, Z) Wps (Z) dl. (1.7.5)
После того как сформированы величины ymv и J^mps(v), приемное
устройство на основе v-1-1 отсчетов] формирует ym(v+1) и J?mps(v-J-1).
Если оказывается, что
^ps(v)<^ws(v4-l) + C0, (1.7.6)
то наблюдение прекращается и в качестве оценки используется вели-
чина для которой полный байесовский риск равен
X^'(^(v))+C0<v). (1.7.7)
3-356
33
Усреднение в последнем выражении выполняется по всевозможным
значениям выборки Если для некоторого -у неравенство (1.7.6)
несправедливо, то вырабатываются оценка и минимальный апостериор-
ный риск для числа отсчетов, увеличенного еще на единицу, и снова
проверяется выполнимость этого неравенства. Если теперь обозначить
^mps (*^)
^mps (V) I
(1.7.8}
то неравенство (1.7.6) можно переписать в виде
(1.7.9)
Это неравенство имеет прозрачный физический смысл. Действительно,
—сумма двух функций, одна из которых ^mps(v) убывает
с ростом v (апостериорный риск, соответствующий потерям из-за оши-
бок оценивания), а вторая Cov (потери из-за увеличения времени
наблюдения) растет с ростом у. При некотором у функция ^ps(v)
имеет минимум, положение которого определяется неравенствами
(1.7.6) или (1.7.9). Изложенное последовательное правило выбора ре-
шения является лишь приближенно байесовским. Это правило тем бли-
же к последовательному байесовскому правилу, чем больше у [31].
Если рассматривать непрерывную обработку реализации на интер-
вале [0, где величина /0 может изменяться, то приближенное
байесовское правило выбора решения может быть сформулировано сле-
дующим образом. На интервале [0, ^0] вырабатывается апостериорный
риск
Mps (Т. О = J С (Y, Z) Wtops (1.7.10).
где (i) — апостериорная плотность вероятности, полученная в ре-
зультате обработки реализации наблюдаемых данных на интервале [0До].
Затем определяется значение , которое минимизирует J?ps (у, t0)r
и соответствующее минимальное значение апостериорного риска J?mps(/0) =
= После этого время наблюдения^ увеличивается, пока не
будет выполнено неравенство
Здесь предполагается, что потери за счет увеличения времени наблю-
дения равны Со/о-
При выполнении неравенства (1.7.11) процесс наблюдения прекра-
щается и в качестве последовательной байесовской оценки используется
величина ут/0.
1.8. ОПТИМАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ОЦЕНОК
ОДНОГО И ТОГО ЖЕ ПАРАМЕТРА
В ряде .практических приложений теории оценок возникает задача оптимального-
использования п оценок у=‘[У1, уг, ...» уп], полученных в системе из п измерителей
неизвестного параметра сигнала /. Под оптимальным использованием частных оценок у
понимается построение оптимальной (в смысле заданного критерия) оценки у неизвест-
ного параметра Z на основе оценок у.
34
Если известны Г(т|7) — условная плотность вероятности оценок у при фиксиро-
ванном значении неизвестного .параметра I и Wpr{l)—априорная плотность вероятно-
сти Z, то условная плотность вероятности этого параметра при заданном наборе оце-
нок у (апостериорная плотность вероятности) может быть записана в виде
W'UIy) =^pS(0 =
wPr (0 Wft\i)
Wpr (l) W ft] I) dl
(1.8.1)
На основе апостериорной плотности вероятности может быть построена оптималь-
ная оценка у, т. е. найден оптимальный алгоритм использования частных оценок у.
Для получения байесовской оценки при заданной функции потерь С (у, I) следует
•использовать изложенные в § 1.4, 11.5 общие положения теории статистических реше-
ний, подставляя в соответствующие выражения апостериорную плотность вероятности
из (1.8.1).
При неизвестном априорном распределении параметра а также в некоторых
других случаях определение байесовского алгоритма обработки оценок невозможно или
нецелесообразно. В такой ситуации может оказаться разумным формирование на осно-
ве оценок у оценки максимального правдоподобия 1т неизвестного параметра. Опти-
мальное использование оценок у при этом сводится к вычислению функции правдопо-
добия IF(y|Z) и к определению положения ее абсолютного максимума Z™.
Относительно просто оптимальный (по методу максимального правдоподобия)
алгоритм использования оценок может быть найден, если эти оценки являются гауссо-
выми случайными величинами. Тогда, обозначая <уг-> —Z+&i, <(Уг—<Y*>) (Yj—
—<Yj>)>=Xij, функцию правдоподобия получаем в виде
(V I 0 = (2”) n/2 14/1 1/2 ехР. —
п
(1.8.2)
Здесь —определитель корреляционной матрицы ||%гЯ1 с элементами сц— эле-
менты матрицы, обратной корреляционной матрице bi — условные смещения.
Оценка максимального правдоподобия tm определяется как положение абсолютно-
го максимума (1.8.2). В простейшем случае, когда элементы условной корреляционной
матрицы HXijll оценок у и их условные смещения bi не зависят от значения парамет-
ра Z, оценка максимального правдоподобия может быть записана как
п
п
п
сн
(1.8.3)
(1.8.4)
а дисперсия оценки определяется
Согласно полученным выражениям оптимальный алгоритм использования оценок пред-
полагает вычисление взвешенной суммы всех оценок с соответствующими весами. Из
(1.8.3) нетрудно иайти, что оценка несмещенная,
формулой
п
СП
Если совместное распределение частных оценок у неизвестно, а заданы лишь их
первые два момента, то найти оптимальный (по методу максимального правдоподобия)
3* 35
алгоритм их использования затруднительно. Однако в этом случае можно -определить
несмещенную оценку Г, которая минимизирует среднеквадратическую ошибку в классе
линейных оценок. Предположим, что оценка вычисляется по формуле
и
где
п
I
Рассеяние этой оценки равно
п
рассеяние оценки минимально, если Яг —ais.
Минимизируя (1.8.7) по я?-, находим, что
где «f определяется из (1.8.4). Таким образом, соотношения (1.8.3)— (1.8.7) опреде-
ляют структуру и характеристики оценки, оптимальной в классе линейных оценок при
неизвестном распределении оценок у.
В частном случае, когда все оценки у г несмещенные и некоррелированные, опти-
мальное использование этих оценок сводится к вычислению величины
(1.8.8)
где £)t=Xif — дисперсия Z-й оценки. Дисперсия оценки (1.8.8) определяется выра-
жением
(1.8.9)
Если же все оценки у$ обладают одинаковой точностью (/)г=£>0), то из получен-
ных выше соотношений находим очевидные формулы:
& (1т I ^о) ~
(1.8.10)
(1.8.11)
Когда неизвестны не только распределения оценок у, но и их первые два момен-
та, оптимальное использование этих оценок вызывает значительные затруднения. В этом
случае можно воспользоваться иеоптимальиым алгоритмом обработки оценок у, т. с.
вычислять, например, -оценку в виде
(1.8.12)
Глава 2
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЫХОДНОГО СИГНАЛА
ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В соответствии с приведенными в предыдущей главе положениями
теории статистических решений под оптимальным оценивающим
устройством понимается устройство, которое на основании принятой
реализации x(if) и априорной информации вырабатывает оценку неиз-
вестных параметров сигнала, оптимальную в смысле некоторого зара-
нее выбранного критерия. Очевидно, возможно множество различных
оптимальных устройств для оценки одного и того же параметра сиг-
нала. Однако согласно (1.4.11) и (1.4.12) независимо от вида функции
потерь С (-у, /) для нахождения оптимальной байесовской оценки это
устройство перед осуществлением операции оценки должно выработать
апостериорную плотность вероятности оцениваемого параметра Wps(l).
Основным членом, определяющим зависимость апостериорного
распределения от принятой реализации х(0» является функционал от-
ношения правдоподобия А(/) (1.1.6). Поэтому одной из операций, вы-
полняемых любым оптимальным оценивающим устройством, является
формирование функционала отношения правдоподобия. При этом часто
оказывается более удобным как с точки зрения теоретического ана-
лиза, так и в целях упрощения технической реализации вырабатывать
не сам функционал отношения правдоподобия, а некоторую монотон-
ную функцию от него, например логарифм функционала отношения
правдоподобия.
Традиционно часть оптимального оценивающего устройства, кото-
рая явно зависит только от наблюдаемой реализации х(’4), называют
оптимальным приемником, хотя точнее этот приемник надо было бы
назвать достаточным приемником, так как согласно рассмотренному
в § 1.2 выходным сигналом подобного приемника будет достаточная
статистика. В более общем случае достаточным приемником можно
назвать любое приемное устройство, вырабатывающее достаточную
статистику в удобной для последующего использования форме, Однако
в дальнейшем будем придерживаться общепринятой терминологии, т. е.
оптимальным приемником будем называть приемное устройство, кото-
рое выполняет существенную операцию над наблюдаемой реализа-
цией X (:/) .
В этой главе рассмотрим структуру и основные свойства оптималь-
ного приемника при приеме трех классов полезных сигналов (извест-
37
ных, с неизвестными сопровождающими параметрами и флуктуирую-
щих).
Известными сигналами будем называть сигналы точно известной
формы, все параметры которых, за исключением оцениваемых, из-
вестны.
Сигналами с неизвестными сопровождающими параметрами будем
называть сигналы точно известной формы, содержащие кроме оцени-
ваемых параметров неизвестные сопровождающие параметры. Неизве-
стные сопровождающие параметры, так же как и оцениваемые, пред-
полагаются постоянными в течение времени наблюдения.
Флуктуирующими сигналами будем называть сигналы, которые
в течение времени приема изменяются случайным образом или содер-
жат сопровождающие параметры, также случайно изменяющиеся
в течение времени приема. Примером такого сигнала может служить
реализация случайного процесса, статистические характеристики кото-
рого зависят от оцениваемого параметра, или сигнал на выходе канала
со случайными параметрами.
Из практически возможных комбинаций сигнала и помех наиболь-
ший интерес представляет аддитивная смесь полезного сигнала
1, q) и помехи n(t):
x(/) = ^(f,J0,q0)H-n(/), (2.1.1)
где Io, qo — истинные значения неизвестных параметров сигнала, а Т—-
время наблюдения смеси сигнала и помехи. Возможное наличие неад-
дитивных помех учитывается введением несущественных параметров
сигнала q. Будем полагать, что помеха n{t) представляет собой реали-
зацию нормального случайного процесса, в общем случае нестационар-
ного, с нулевым средним значением <и(/)>—0 и функцией корре-
ляции
(2-1-2)
Наиболее полное и детальное описание случайного процесса £(/)
дается многомерными плотностями вероятности. Плотность вероятности
wv (у^ у2,..., z/v; ...,Q, называемая v-мерной, определяет вероятность
того, что значения случайной функции Ц^-) — в v моментах времени
tu /=1,2,..., v, заключены соответственно в интервалы
..., (yv<3v<yv-\- &У^ При достаточно малых Д«/ж- эта вероятность
равна wv (yt, у2,..., yv; t2,..., Q ^y^y2... kyv. Многомерная плотность
вероятности wv (yr, y2...., yv; tu t2...., Q позволяет судить о связи между
вероятными значениями случайной функции в v произвольных моментах
времени.
Запишем общее выражение для v-мерной плотности вероятности
нормального случайного процесса. Пусть отсчеты при дискретном
наблюдении случайного процесса берутся в равноотстоящие моменты
времени /f на интервале [О, Г]) так, что /г+i—’^=Д, i=l, 2, ..., v. При
этом число выборок равно целой части дроби 14-Т/Д, т. е. v=![l 4-77Д].
Тогда v-мерная плотность вероятности нормального случайного процес-
са, представляющего помеху n(t) в (2.1.1), определяется выражением
(^1’ ^2’ * ’’ ^1’ ^2’ •••> ^v) -
1_________
(2"Г/2 ГКП еХР
(2.1.3)
38
Здесь |Кцd—определитель корреляционной матрицы
размером vXv с элементами tj)\ Сц— элементы матрицы,
обратной корреляционной матрице ||/Gjll-
Нормальные или гауссовы случайные процессы наиболее часто
встречаются на практике и поэтому занимают особое положение среди
других случайных процессов. Большинство случайных электрических
процессов, таких как тепловой шум, космические шумы и другие, пред-
ставляют собой результирующий эффект большого числа сравнительно
слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты
времени. Так как обычно влияние каждого отдельного слагаемого на
результирующий эффект приблизительно одинаково, то вследствие
центральной предельной теоремы подобные процессы нормальны. Нор-
мальные случайные процессы обладают многими замечательными свой-
ствами с математической точки зрения. В силу этих и ряда других
причин нормальные процессы являются удовлетворительной аппрокси-
мацией реальных помех и имеют доминирующее значение в теории
связи.
2.2. ФУНКЦИОНАЛ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ 'ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
Для простоты записи положим, что полезный сигнал содержит
только один неизвестный параметр /. Тогда принимаемую реализацию
суммы сигнала и помехи можно записать как
x(^)=s(/, /о)4-и(О,
(2.2.1)
Вначале будем считать, что производится дискретная обработка, т. е.
используется v отсчетов реализации наблюдаемых данных Хг=х(4),
взятых в равноотстоящие моменты времени так что —Ц-—А=
~const, -v=i£l-HT/AJt. Обозначим также Si=s(tiy /). Отношение прав-
доподобия Л(/) определяется формулой (1.1.5). Подставляя в эту
формулу явное выражение для многомерной нормальной плотности
вероятности, получаем
А(/)
(2.2.2)
В последнем выражении учтено, что в силу симметрии корреляционной
матрицы IIKijll обратная матрица ЦС^|] также симметрична.
Формула (2.2.2) используется для построения оптимального при-
емника при дискретной обработке наблюдаемых данных. Однако непре-
рывная обработка наблюдаемых данных позволяет использовать ин-
формацию, содержащуюся во всей реализации %(>/), а не только в от-
дельных отсчетах хь х2, • • •, Кроме того, в ряде прикладных задач
техническая реализация оптимального приемника (особенно при при-
еме высокочастотных радиосигналов) оказывается более простой при
непрерывной обработке. Выражение для функционала отношения прав-
доподобия при непрерывной обработке реализации х(/) можно полу-
чить из формулы (2.2.2), если перейти к пределу при Д~>0 (v->oo
39
7=const) [ 1, 6, 16, 20, 32]:
, т т
Д (Z) = exp I Г С х (Q s (Z2, /) О (Z„ /2) dttdt2 —
Vo 0
T T S
—f Js (Z”Z) s (Z”Z) 0 (z”Zz) dt'dt* [ ’ (2.2.3)
0 0 '
где функция -0(/ь t2) определяется из интегрального уравнения
г
т)6(т, /^ = 8^-^). (2.2.4)
б
Отметим, что поскольку всегда К(/ц h)—K^2, Л), то из (2.2.4) следует
0(^, Z2) = 6(Z2, Q. (2.2.5)
Часто более удобным оказывается запись функционала отношения
правдоподобия с помощью функции
т
v(t, l)=\s{t1, t)dtr, (2.2.6)
о
которая является решением интегрального уравнения
К (Л т)и(т, Z)dT = 5(f,
Z).
(2.2.7)
о
Действительно, умножая уравнение (2.2.4) слева и справа на s(tQ, Z),
интегрируя по переменной используя фильтрующее свойство дельта-
функции и учитывая соотношение (2.2.6), приходим к уравнению
(2.2.7). Используя функцию v(.Z, Z), можем переписать выражение для
функционала отношения правдоподобия в виде
Z т т
exp | J х (Z) v (Z, V)dt — — J s(t, l)v(t, l)dt
'о 0
(2.2.8)
A(Z)
2.3. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
В выражении для функционала отношения правдоподобия (2.2.8)
от принятой реализации х(() зависит только первое слагаемое в по-
казателе экспоненты
т
/Ио (Z) = х (Z) v (t, /) dt.
б
(2.3.1)
Эта функция является достаточной статистикой и определяет ту суще-
ственную операцию, которую надо произвести над принятой реа-
лизацией, чтобы извлечь всю информацию о неизвестном параметре,
содержащуюся в реализации х(/). Следовательно, можем рас-
сматривать в качестве выходного сигнала оптимального приемника. Из
анализа выражения (2.3.1) определяем структуру оптимального при-
емника.
40
Структурная схема оптимального приемника применительно к од-
ному из возможных текущих значений параметра / приведена на
рис. 2.3.1. Поступающая на вход приемного устройства аддитивная
смесь полезного сигнала и помехи перемножается с функцией 1)9
которая представляет собой опорный сигнал гетеродина приемника Г.
Колебание с перемножителя подается на идеальный интегратор, в ре-
зультате чего образуется выходной сигнал оптимального приемника
В дальнейшем сигнал Af0(/) используется для формирования
оценки, оптимальной в смысле заданного критерия. Опорный сигнал
гетеродина v(f, /) формируется в соответствии с интегральным уравне-
нием (2.2.7).
Если полезный сигнал s(ft, 1) содержит р оцениваемых параметров
фь 4, • /р], то, повторяя выкладки, проделанные при выводе вы-
ражения (2.3.1), для выходного сигнала
М(1) оптимального приемника получаем
аналогичное выражение, в котором под I
надо понимать его векторный аналог 1.
Структурная схема оптимального приемни-
ка в этом случае отличается от структур-
ной схемы, показанной на рис. 2.3.1, тем,
что выходной сигнал М(1) должен выраба-
тываться для всевозможных значений р па-
раметров l[/i, h, .Zp], что приводит к зна-
чительному усложнению приемного устройства. Действительно, если
оптимальный приемник при приеме сигнала с одним неизвестным пара-
метром для получения значений выходного сигнала Л4(1) в V точках
априорного интервала оцениваемого параметра должен содержать vка-
налов, то приемник сигнала с р неизвестными параметрами должен со-
держать таких каналов.
Определим вид опорного сигнала v(tt, /) для ряда функций корре-
ляции помех.
Для белого шума с функцией корреляции вида
xtt)
8(t,l}
Рис. 2.3.1. Структурная схе-
ма оптимального приемника.
(\/2) S - Q,
(2.3.2)
где No— односторонняя спектральная плотность шума*), из интеграль-
ного уравнения (2.2.7) получаем выражение для v {t, I)
v(t, Z) = (2/JV0)s(A /). (2.3.3)
Известны также решения уравнения (2.2.7) для нормальных стацио-
нарных помех с функциями корреляции вида [1, 20, 27, 32]
К At г- Q
°2йехр[—а|*, — tj],
(2.3.4)
Кг Q = о2„ ехр (— а [ t1 — tt |) {cos cot (^ — ta) 4
(a/coJsinoijpj — £a|).
(2.3.5)
Преобразования Фурье**) от функций корреляций (2.3.4) и (2.3.5), со-
В дальнейшем везде под No понимается односторонняя спектральная плотность.
**) Здесь и далее преобразования Фурье определяются по формулам
ОО
к (<0) = f
оо
J К («) e^dco.
41
стветствующие энергетическим спектрам этих помех,
выражениями
определяются
2а2.га
ъ
со4-
Опорный сигнал для помехи с функцией корреляции (2.3.4) равен
а для помехи с функцией корреляции (2.3.5)
где й2п=к»21 + а2. Выражения (2.3.6) и (2.3.7) записаны в предположе-
нии, что сам сигнал s(t, I) и его необходимые производные по времени
обращаются в нуль на концах интервала наблюдения [0, 7].
х К сожалению, достаточно простого общего метода решения урав-
нения (2.2.7) нет. Однако если помехой является стационарный нор-
мальный случайный процесс, т. е.
К(/„ д = К(^-/2) = К(х), (2.3.8)
и время наблюдения Т больше длительности сигнала и много больше
времени корреляции помехи, то можно найти приближенное решение
интегрального уравнения (2.2.7) с помощью преобразования Фурье.
Действительно, в этом случае левая часть уравнения (2.2.7) прибли-
женно заменяется сверткой функций /С(т) и v(t, I). Так как спектр
свертки двух функций равен произведению их спектров, то взяв преоб-
разование Фурье от левой и правой частей уравнения
С К (t — т) V (т, l)dx = s (t, I), (2.3.9)
нетрудно получить
со
—оо
где Л(<о) и S(«, I) — преобразования Фурье функции корреляции К(т)
и сигнала s(i, /) соответственно. В частности, если сам сигнал и его
производные равны нулю вне интервала наблюдения {О, 7J и на его
границах, то для корреляционных функций (2.3.4) и (2.3.5) из (2.3.10)
получаем формулы (2.3.6) и (2.3.7).
Выражение Н (а) =8 (ю, /)/К(«), стоящее под знаком интеграла
в (2.3.10), представляет собой спектр опорного сигнала корреляцион-
ного приемника. Модуль этого спектра
| Н (ш) |=| S (со, I)\]К (®) (2.3.1 >)
равен амплитудно-частотной характеристике оптимального фильтра для
приема сигнала s(l, /) на фоне коррелированной гауссовой помехи
с энергетическим спектром /С((о).
42
Соотношение для амплитудно-частотной характеристики оптималь-
ного фильтра (2.3.11) при приеме сигнала на фоне коррелированной
гауссовой помехи можно' также получить, используя предложенный
В. А. Котельниковым формальный метод приведения «небелого» шума
к белому [13]. Сущность метода состоит в том, что оптимальный
фильтр представляется в виде двух последовательно соединенных ли-
нейных фильтров с амплитудно-частотными характеристиками:
/ij (го) । =
const
1 h2 (о>, /)| = const
] S (сй, Z) |
(2.3.12}
Первый фильтр преобразует помеху с неравномерной спектральной
плотностью в белый шум. Второй фильтр осуществляет согласно
(2.3.3) оптимальное выделение сигнала с амплитудным спектром
Pi(o), /) | = const |S(o), I) 1/)//< (co) на фоне белого шума.
Следует, однако, отметить, что непосредственное использование
выражения (2.3.11) для вычисления амплитудно-частотной характери-
стики оптимального фильтра иногда приводит к физически нереализуе-
мым устройствам. —
Методика получения амплитудно-частотной характеристики опти-
мального фильтра в соответствии с выражением (2.3.11) справедлива,
когда интеграл от амплитудного спектра полезного сигнала на выходе
оптимального приемника
П | S (а>, /) I7K (со)] da» (2.3.13}
сходится, что соответствует конечному отношению мощности сигнала
к мощности помехи на выходе фильтра (несингулярный случай). Если
интеграл (2.3.13) расходится, т. е. отношение энергии сигнала к мощ-
ности помехи на выходе фильтра бесконечно велико, то соответствую-
щую ситуацию называют сингулярной.
Сингулярности можно избежать, если в качестве помехи рассмат-
ривать сумму белого и коррелированного шумов, т. е.
Ж ifт - Q = NJ> (/> ~ 12)/2 + К it1 -12).
(2.3.14)
При приеме сигнала на фоне помехи с функцией корреляции
(2.3.14) амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра
имеет вид
я(ш)| =
l-s (<о, f) J
К (а>) + N„/2
(2.3.15)
и интеграл (2.3.13) сходится для сигнала с конечной энергией.
Опорный сигнал v(t, I) для функции корреляции (2.3.14) (при вы-
полнении условий, необходимых для замены уравнения (2.2.7) на
(2.3.9)) можно представить двумя способами:
ОО
О О 1 «to /
o(M) = f-s(^. O-A-i |S(<0, /)Я,(«>)е' do», (2.3.16)
* * * о J V Q joTw И
—ОО
e/W dro,
(2.3.17)
43
Рис. 2.3.2. Структурная схема оптималь-
ного приема сигнала на фоне суммы» бе-
лого и коррелированного шумов.
где
Нг (ш)=2К (<о)/[ЛГо + 2К»]; (2.3.18)
Н2 (ш) = 2ДМ, + 2К»]. (2.3.19)
Если основной вклад в помеху вносится белым шумом, то удобнее
пользоваться представлением v(t, I) в виде (2.3.16), при коррелирован-
ном шуме, значительно превышающем в полосе частот спектра сигнала
уровень белого шума, удобнее представить и(/, /) в виде (2.3.17). Таким
образом, структурную схему оптимального приемника известного сиг-
нала можно изобразить в двух вариантах, зависящих от способа полу-
чения функции I). На рис. 2.3.2 приведена структурная схема для
получения выходного сигнала опти-
мального приемника с использова-
нием опорного сигнала v(t, I) в ви-
де (2.3.16). В данном случае при-
емник состоит из двух каналов, при-
чем один из каналов полностью со-
гласован для приема сигнала на
фоне белого шума. Здесь Я1'(<о) —
линейный фильтр, формирующий
вторую составляющую опорного
сигнала.
Определим вид опорного сигна-
ла оптимального приемника для приема на фоне стационарной помехи
узкополосного радиосигнала
$(Л 1) = F (t, 1) cos [ш/4-ф (f, 1) _<р]. (2.3.20)
Здесь 1) и ф(/, 1) —законы амплитудной (огибающая радиосиг-
нала) и фазовой модуляций, которые в общем случае зависят от раз-
ных составляющих векторного параметра 1; «о — частота; <р— началь-
ная фаза.
Для узкополосных радиосигналов функции F(/, 1) и ф(4, 1) и их
производные по времени — медленно изменяющиеся функции времени
по сравнению с cos «о /, т. е. справедливы неравенства
\dF(t, l)/dt\^F(t, 1), (2.3.21)
1)Д#|«%. (2.3.22)
Запишем опорный сигнал (2.2.6) для приема рассматриваемого
узкополосного радиосигнала в виде
г
т
v(t, I) = J* J7 (х, 1) 6 (т — t) cos [<»вт (т, 1) — <p]rf*E, (2.3.23)
о
где 0(т—t) —решение интегрального уравнения (2.2.4) для полагаемого
далее условия большого (по сравнению с временем корреляции помехи)
времени наблюдения. Перепишем последнюю формулу:
v(t, 1)cos-(-$(/, 1) — <р]=Рс(/, 1) cos (»,/ — <?) —
— Vs(t, l)sin[»./ — <р].
(2.3.24)
44
Здесь
Vc V, 1)
vs(t, 1)
т
{ F (t, 1) 6 (t - t) / 7s l И (г - О + Ф (*=. 1)1 dr,
J I sin J
о
V{t, 1) = Vv\ (t, 1) + 0, (t, 1);
1) = arctg [0 (t, l)[V^c(t, 1)].
При этом модуль производной от огибающей опорного сигнала после
несложных преобразований можно записать в форме
dV (t, 1)
dt
Г т
§ " ® С1 — cos — t) dt —
-о
CdFs (т, 1)
J dt
О
6 (т — £)sina>0(T — t) dt
cos<p(f, 1) +
l-o
dPs (т, 1)
dt
0 (t — t) cos w0 (г — t) dt Ц-
где
6 (t: — t) sinwe (t — t) dt
sin$(£, 1)
(2.3.25)
fr, 1)
dt
cos<p(f, 1)
sin<p(£, 1)
(2.3.26)
Формула (2.3.25) получена в предположении, что огибающая по-
лезного сигнала F(t, 1) для всех значений оцениваемых параметров 1
обращается в нуль на концах интервала наблюдения, т. е. F(0, 1)
~F(T, 1) — 0. Используя неравенство (2.3.21) и выражение (2.3.26),
получаем
dFc (t, 1)
dt
<%^(Л 1)>
dFs (t, 1)
dt
Из этих неравенств и соотношения (2.3.25) имеем
dV(t, 1)
dt
Аналогично можно показать, что
I).
|^ф(/, 1)ДЙ| С<0о-
1).
(2.3.27)
(2.3.28)
Таким образом, если полезный сигнал является узкополосным, то
и опорный сигнал будет узкополосным.
Применительно к радиосигналам без фазовой модуляции и неко-
торым типам помех выражение для опорного сигнала (2.3.24) можно
упростить. Действительно, пусть полезный сигнал описывается выра-
жением
5(f, 1)=F(^, l)cos(»0/ — y).
(2.3.29)
45
Рассмотрим более подробно косинусную Vc(/, I) и синусную К (Л 1)
составляющие опорного сигнала, которые для (2,3.29) принимают вид
l) I = f F (t, 1) 0 (г -1) (COS ~ I dz.
Vs(t, V) ) J | sin Ь (г -/)] J
Для принятого условия относительно большого времени наблюде-
ния пределы интегрирования {О, можно заменить на (—оо, оо).
В этом случае интегральное уравнение (2.2.4) с помощью преобразо-
вания Фурье может быть приведено к виду
6((о) = 1/К(ш), (2.3.30)
где преобразования Фурье (спектры) от функций 0(т) и К(т) соответ-
ственно равны
0 (ш) = J 0 (т) e~/e>Vc, (2.3.31)
—00
К (<»)
(2.3.32)
Подставим в выражения для косинусной и синусной составляющих
огибающей опорного сигнала вместо огибающей полезного сигнала
Г(/, 1) ее спектральное представление
СО
II Р -
F(t, 1)=2^ J !)е
—00
а тригонометрические функции запишем в комплексной форме. Про-
делав несложные вычисления и учтя соотношения (2.3.30)—(2.3.32) >
можем записать >
Vc(t,
К (<йе — <о) + К (<00 + <о) /Ш ,
К (<oo + w) К («<, — «) ’
(2.3.33)
ОО
—00
К (са0 — со) — к (<0р 4-
К (^0 4“ К (*°0 -------------
е/ю< d<».
(2.3.34).
При приеме узкополосного полезного радиосигнала имеет смысл рас-
сматривать составляющие спектра помехи только в окрестности спектра
узкополосного полезного сигнала, где он не равен нулю. Разложим
спектр помехи /С(о) в ряд Тейлора в окрестности <о=соо и в первом
приближении учтем три члена этого разложения. Тогда
К (% — о>) — К (<о0 + <») — 2К' (%) ее,
К (% — «О + К (<«. + «О 2/( (ш0) К” (wj «о2.
Если центральная частота спектра помехи совпадает с централь-
ной частотой спектра полезного сигнала, то К'(соо)=0 и составляющей
Ps(l, 1) можно, естественно, пренебречь по сравнению с составляющей
Рс(/, 1). Применительно к помехам, энергетический спектр которых
46
шире спектра полезного сигнала, при любых расстройках центральных
частот в полосе частот спектра огибающей полезного сигнала выпол-
няется неравенство К' (coo)to^K(coo) и поэтому также можно прене-
бречь Ps(tf, 1) по сравнению с Vc(t.9 1). Аналогичный результат получим
для произвольных соотношений между шириной спектра помехи и ши-
риной спектра сигнала при условии, что расстройка центральных
частот спектров сигнала и помехи много больше ширины спектра по-
лезного сигнала.
Пренебрежение составляющей Vs^, 1) по сравнению с составляю-
щей Vc(t, 1) достаточно строго можно показать применительно к двум
случаям: интенсивность помехи постоянна в пределах ширины спектра
полезного сигнала; помеха узкополосная и центральная частота ее
спектра совпадает с центральной частотой спектра полезного сигнала.
В первом случае, естественно, получаем А{(0о—<о)—/C(wo+®)=O и,
следовательно, 1)=0. Во втором случае узкополосную помеху
можно представить в виде *>
К (ш) = ш) = 0,5 (Й — ш0) + (Й 4- %)].
Отсюда получаем
/С(% — <о) — К (со0 -|- со) = 0,5 [Л\ (— со) — (со) 4“ Ki (2<о0 — со)— Kj (2со0 4- с»)].
Так как соо^чо, при которых F(cd, 1)^0, a Ki(co)=Ki(—со), получаем
К (% ~~ со) — К (со0 со) ~ 0 и поэтому (/, 1) 0.
В рассмотренных случаях опорный сигнал оптимального приемника
запишется в виде
v(t, — 1)cos[cdoZ — <р], (2.3.35)
где огибающая опорного сигнала У(4 1) определяется из формулы
V(t, 1) = J F (г, 1) 6 (т — t) cos со0 (т — i) dz. (2.3.36)
о
В дальнейшем будем полагать, что отмеченные выше условия отно-
сительно времени наблюдения и соотношения между спектрами помехи
и сигнала выполняются.
В заключение необходимо отметить, что представление опорного
сигнала оптимального приемника в виде (2.3.35) неправомерно для
случаев, когда ширина спектра узкополосной помехи и величина рас-
стройки центральной частоты спектра помехи относительно централь-
ной частоты спектра сигнала соизмеримы с шириной спектра полезного
сигнала. В этом случае, как следует из формулы (2.3.24), опорный сиг-
нал будет содержать дополнительную фазовую модуляцию, зависящую
от соотношения параметров спектра полезного сигнала и спектральной
плотности узкополосной помехи.
2.4. СВОЙСТВА «ВЫХОДНОГО СИГНАЛА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА
ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
Рассмотрим более подробно основные свойства выходного сигнала
✓оптимального приемника сигнала s(tf, /), содержащего один неизвест-
ный параметр /.
*> КДш) — преобразование Фурье от огибающей функции корреляции узкополос-
ной помехи.
47
Введем обозначения
т
S (Z., I) = J s (t, Z,) v (t, I) dt,
о
(2.4.1)
N(l)
J n(t)v (Z, Z) dt
(2.4.2)
и подставим принятую реализацию x(t) (2.2.1) в
выходного сигнала оптимального приемника (2.3.1).
выражение для
Получим
(2.4.3)
^e(O=S(Ze, Z)+ #(/).
Исследуем физический смысл и свойства введенных функций. A?(Z) —
помеха на выходе оптимального приемника (помеховая функция) —
представляет собой результат операции интегрирования в течение
фиксированного интервала времени [О, Т] входной гауссовой помехи
n(t) с весовой функцией I) при всевозможных значениях пара-
метра I. Следовательно, помеха на выходе оптимального приемника
является нормальным случайным процессом. Так как среднее значение
помехи на входе приемника равно нулю, т. е. <п(/)>—О, то среднее
значение помеховой функции также равно нулю, т. е. <.N(Z)>=0.
Функция корреляции нормального случайного процесса N(l) имеет вид
(N (ZJ К (Z2)) = j J К (Z„ Q v Z.) v (lv Z2) dttdt2.
0 0
Учитывая интегральное уравнение (2.2.7), можем упростить последнее
выражение
(N(iftf(Z2)) = р (Z, Z,)v(t, lt)dt=S(Zp 1г). (2.4.4)
О
Дисперсия случайного процесса N (Z) равна
т
(N* (Z)) = S(Z, Z)=fs(Z, l)v(t, l)dt=Q(l).
О
(2.4.5)
Таким образом, помеха на выходе оптимального приемника является
нормальным случайным процессом с нулевым средним значением и
функцией корреляции, по форме совпадающей с выходным сигналом
S(/i, Z2). Дисперсия помехи на выходе приемника численно равна
функции <2(Z), которая, как будет показано ниже, равна отношению
сигнал/помеха на выходе оптимального приемника. При этом, в общем
случае помеховая функция N(l) является нестационарным случайным
процессом, даже если помеха на входе приемника стационарна.
S(Zb Z2) — сигнал на выходе оптимального приемника (сигнальная
функция) — представляет собой функцию взаимной корреляции вход-
ного полезного сигнала и опорного сигнала местного гетеродина опти-
мального приемника с различными текущими значениями параметров
Zi и /2. Так как S(Zi, Z2) является одновременно функцией корреляции
48
помехи на выходе оптимального приемника, то
§(/п Z2)=S(/2, Q-
(2.4.6)
При приеме сигнала с истинным значением оцениваемого параметра Zo
сигнал на выходе в точке I равен S(lG, I), причем при l=i$ значение
сигнальной функции численно равно дисперсии помеховой функции при
этом значении оцениваемого параметра, т. е. S(/o, Zo)=Q(^o) - Отноше-
ние квадрата сигнальной функции S(Zb Z2) в точке 1Г = 12=1 к диспер-
сии помеховой функции в той же точке равно.
S2 (Z, I)/ (N* (Z))
С s (Z, Z) v (Z, Z) dt = Q (Z),
6
(2.4.7)
т. e. отношение мощности сигнала к средней мощности помехи на вы-
ходе оптимального приемника в точке I совпадает с введенной ранее
функцией Q(Z). Отношение сигнал/помеха по мощности для принятого
сигнала, т. е. в точке /0, обозначим р2:
р2 ^Q(Z0).
(2.4.8)
Величину р можно назвать отношением сигнал/помеха по напряжению.
Функция Q(Z) легко выражается через спектральные характери-
стики входных сигнала и помехи. Действительно, полагая, что входная
помеха является стационарной, сигнал s(/, Z) полностью расположен
внутри интервала наблюдения [О, TJ] и интервал наблюдения значи-
тельно больше времени корреляции входной помехи, решить уравне-
ние (2.2.7) можно с помощью преобразования Фурье. Тогда опорный
сигнал будет определяться выражением (2.3.10). Подставим в формулу
для Q(Z) функции v(t, I) и s(Z, Z), выраженные через их спектры /С(со)
и S (со, /) в предположении, что сигнал полностью расположен внутри
интервала [0, Т]. Учитывая
оо
е
и используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем
Q(Z)
ОО
2п J К (со)
—00
Рассмотренные свойства сигнальной и помеховой функции показы-
вают, что оптимальный приемник преобразует входные сигнал и помеху
таким образом, что статистические свойства выходной помехи как слу-
чайной функции оцениваемого параметра подобны свойствам выход-
ного полезного сигнала. Основным отличием полезного сигнала от по-
мехи на выходе оптимального приемника является амплитудное раз-
личие, мерой которого служит отношение сигнал/помеха для принятого
сигнала р2.
Используя выходной сигнал оптимального приемника, выраже-
ние для логарифма функционала отношения правдоподобия можем
4—356 49
записать как
т
Л4 (Z)=In Л (Z)=JM. (9-±Q(l) = J x(t)v(t, l)dt--±-Q(l). (2.4.9)
О
Подставляя сюда принятую реализацию смеси сигнала и шума х(0»
логарифм функционала отношения правдоподобия можем представить
в виде суммы сигнальной составляющей
S(l)=S(l0, l) — Q(l)/2 (2.4.10)
и помеховой составляющей N (Z), так что
M(l) = S(l)-\-N (/). (2.4.11)
Нетрудно показать, что сигнальная составляющая логарифма функ-
ционала отношения правдоподобия достигает абсолютного максимума
при I—Iq. Действительно, из очевидного неравенства
{ ([7V (/) - N (/0)]2 >} > 0
имеем
S(Z)<Q(Z0)/2. (2.4.12)
Знак равенства достигается при 1—10, значит max 8(1) =S(Iq) =р2/2.
Для суммы «сигнала» 8(1) и «помехи» N(l) пиковое отношение сиг-
нал/помеха по мощности, которое определяется как отношение квадра-
та абсолютного максимума «сигнала» 8(1) к средней мощности «поме-
хи» N(l) в точке максимума /0, равно
[5(/0)}7(Л?2(О) = р74. (2.4.13)
Таким образом, отношение сигнал/помеха для принятого сигнала
(т. е. при 1—1о) на выходе оптимального приемника равно учетверен-
ному пиковому отношению мощностей сигнальной и -помеховой состав-
ляющих логарифма функционала отношения правдоподобия.
Оцениваемые параметры сигнала можно разделить на два класса:
энергетические и неэнергетические. К энергетическим параметрам от-
несем такие параметры, от которых зависит величина отношения сиг-
нал /помеха на выходе оптимального приемника, например, амплитуда
и длительность сигнала. На первый взгляд может показаться, что
к этому классу параметров относятся только параметры, от значений
которых зависит энергия принимаемого сигнала. Однако в ряде задач
может оказаться, что энергия принимаемого сигнала не зависит от
оцениваемого параметра, а отношение сигнал/помеха Q(l) зависит от
него. Подобные задачи имеют место при приеме сигнала на фоне не-
стационарного или небелого шума.
Неэнергетическими параметрами будем называть такие параметры,
для которых отношение сигнал/помеха на выходе оптимального прием-
ника не зависит от конкретного значения оцениваемого параметра.
Согласно приведенному определению для неэнергетического пара-
метра Q(l)==Q(lG) — р2, и выходной сигнал оптимального приемника
50
(2.3.1) совпадает с логарифмом функционала отношения правдоподобия
(2.4.9) с точностью до постоянной.
В весьма общем случае при оценке неэнергетического параметра
функция корреляции выходной помехи, а следовательно, и полезный
сигнал на выходе оптимального приемника зависят лишь от абсолютной
величины разности Zj—/2, т. е. при оценке неэнергетического параметра
справедливо равенство [16, 93],
S (4, 4)
s (I, - 4)
(2.4.14)
2.5. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК УЗКОПОЛОСНОГО РАДИОСИГНАЛА
СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
При приеме узкополосного радиосигнала с неизвестными пара-
метрами I и ф
s(t, I, = I) cos [«>/ + ф (t, /)—<p] (2.5.1)
функционал отношения правдоподобия в соответствии с общим выра-
жением (2.2.8) имеет вид
Л(/, <р) = ехр М I, y)dt--
’о
Т >
Js (/, Z, I. <?)dt I ,
0 '
(2.5.2)
где v(t, l, ср) определяется из интегрального уравнения, аналогичного
(2-2.7),
K(t~ т)^(т;, Z, <p)dT = s(Z, /, <р).
(2.5.3)
о
В § 2.3 показано, что для широкого класса стационарных помех и
узкополосных радиосигналов решение уравнения (2.5.3) можно пред-
ставить как (2.3.24), которое также можно записать в виде
v(t, I, = Z)cos^p+V5(t Z)sin<p,
(2.5.4)
v (t i) /cos J W+Ф 01
I sin I
T
Z)0(-e,
0
cos )
sin I
(2.5.5)
[шот ф (t, l)]cfc.
Подставим значение v(t, I, <p) в выражение для функционала отно-
шения правдоподобия (2.5.2). После несложных преобразований по-
лучим
4*
Л (4 <р)
exp {X (Z) cos <р -J- У (/) sin <р — Q (Z)/2},
(2.5.6)
51
где
А' (Z) = J .к (О Vc (t, I) dt-
О
т
о
q (/) - 4- fF оv & cos № о - ф о] ==
0
T T
Wn ^СОБ^-^ + фр,, /)-ф(#2, l)\dttdit.
О о
(2.5.7)
В последнем выражении в силу узкополосности полезного и опорного
сигналов отброшен интеграл от члена, осциллирующего с удвоенной
частотой 2g)o, т. е. считаем
т
{ F(t, l)V (t, I) cos [ф (t, I) — ф (t, /)] dt >
6
T
J F (t, I) V (t, I) cos [2*,Z + ф (t, Z) 4- ф (Z, Z) - 2<p] dt
0
Полагаем, что подлежит оценке только параметр I, а начальная фаза
<р сигнала является случайным сопровождающим параметром с апри-
орной плотностью вероятности Wzpr((p). Тогда согласно (1.1.11) функ-
ционал отношения правдоподобия параметра I определяется выраже-
нием
Л (Z) = J л (Z, ?) Wpr (?) d?. (2.5.8)
—Ж
В качестве априорного распределения начальной фазы выберем
функцию [27]
, |В —?|<«; (2.5.9)
| В — ? | >7t,
(exp ГД cos (В —
й, (А)
0,
где параметры В и А характеризуют соответственно положение и
ширину пика априорного распределения; /о И) —функция Бесселя мни-
мого аргумента нулевого порядка. Путем выбора параметров А и В
можно аппроксимировать введенной функцией большой класс унимо-
дальных плотностей вероятности. В частности, при А=0 получаем
широко используемое в задачах оценки и обнаружения равномерное
априорное распределение начальной фазы. При больших значениях А,
учитывая асимптотическое поведение функции /о(Л), плотность веро-
ятности приближается к нормальной с дисперсией А~1 и средним зна-
чением В. Если Л—>оо, то априорная плотность вероятности вырож-
дается в дельта-функцию, что соответствует приему узкополосного
радиосигнала с точно известной начальной фазой.
52
Подставляя (2.5.9), (2.5.6) в (2.5.8) и выполняя интегрирование,
находим функционал отношения правдоподобия
Л(/) =
4 [Яд (О ]
/. И)
ехр
Ra (0 = /Н (/) + СХГ + [У (/) + Сг]1;
Л cos В; Cy=AsinB.
Как видно из этих выражений, в качестве выходного
мального приемника можно использовать функцию
Мо(1)
(2.5.10)
(2.5.11)
• (2.5.12)
сигнала опти-
(2.5.13)
QG)
Рис. 2.5.1. Структурная схема оптимального
приема радиосигнала со случайной началь-
ной фазой.
Функция является достаточной статистикой, необходимой
для формирования оценки параметра /, оптимальной в смысле какого-
либо критерия. На рис. 2.5.1 при-
ведена структурная схема прием-
ного устройства для образования
где обозначено zc=X(/) +
+ Сх, Zs=Y (I) + CY- В качестве
опорных сигналов на умножители
(смесители) подаются сдвинутые
по фазе на л/2 опорные сигналы
УД/, /), и УД/, /), которые в ра-
диотехнике называются квадра-
турными сигналами. Поэтому схе-
ма оптимального приемника, при-
веденная на рис. 2.5.1, может
быть названа корреляционной
схемой с двумя квадратурными
каналами.
Если случайная начальная
фаза полезного сигнала распределена равновероятно на интервале
[—л, i+л], то выражение для выходного сигнала приемника получаем,
положив в (2.5.11) Л=0-
< (/) = /?(/) = ]/№(/)+У2 (/). (2.5.14)
Для равномерного априорного распределения начальной фазы струк-
турная схема оптимального приемника (рис. 2.5.1) упростится, так как
в этом случае Cx=CY='&
Рассмотрим основные свойства квадратурных компонент Х(1) и
Y(l) выходного сигнала оптимального приемника. Для упрощения за-
писи введем обозначения:
т
( F (t, /,) V (t, I) J c.os I [ф (t, l„) - | (t /)] dt
J I Sin J
о
Г т
-4 fj F(f*’ /.) f1} e (tt, Q { “s } ь(t, -Ч)+Ф(Ч. -
6 0
-ф(/2, ОНА. (2.5.15)
53
Nc(Z,l=fn(Z)V(i, о ! “S h”.'+ ? ₽. Ol<«- (2.5.16)
i? >d“'
Подставляя в выражения для Х(1) и У(/) принятую реализацию смеси
сигнала и помехи
x(t)=s(tf Zo, 'ф0)+/г('/) (2.5.17)
и отбрасывая интегралы от членов, осциллирующих с удвоенной часто-
той, получаем
(О = Sc I) cos ?0 4- (Zo, /) sin ?0 + Nc (/), (2.5.18)
Y(l)=Sc(l„ I) sin ?0 - (Zo, Z) cos % + Ns {I).
(2.5.19)
Индексом нуль обозначены истинные значения соответствующих пара-
метров в принимаемом сигнале. Поскольку предполагается, что вход-
ная помеха n(t) имеет нулевое среднее значение, то
(2.5.20)
Помеховые функции 7VC(Z) и $S(Z) получены в результате линейного
преобразования нормального случайного процесса, и поэтому они так-
же являются нормальными.
Найдем функции корреляции для квадратурных составляющих
выходной помехи. Для составляющей Яс(1) имеем
< К (О Яс (О > = И К (tx - tt) V (t„ 1г) V (tt, lt) cos [«>/, 4-
о о
+ ?(4> Zi)]cos[®.4+?(4» 4)ММ4-
(2.5.21)
Положив в уравнении (2.5.3) ф=0, приходим к выражению
J К (t — -г) V (-с, Z) cos ф (т;, Z)] d't~ F (t, I) cos [%Z (^ Z)]. (2.5.22)
о
Используя это выражение и отбрасывая в (2.5.21) интеграл от члена,
осциллирующего с удвоенной частотой, можем записать
(2.5.23)
Для второй квадратурной составляющей помехи аналогичным образом
можем записать (полагая в (2.5.3) ф=ит/2)
(5vs(/1)^(/2))=sc(/„ /2).
Соответственно для дисперсий помех на выходе линейной
мального приемника получаем
(^c(/))=<^(0)=Sc(/, o=Q(/).
(2.5.24)
части опти-
(2.5.25)
Функции взаимной корреляции помех соответственно равны
{К (О Nc (/2)>
{Nc (4) Ns (4)) = Ss (/„ /2).
(2.5.26)
54
Согласно выражению (2.5.15)
4)
4)0(4. 4) sin К (4—4)4"
о о
4-Ф(4. 4) —Ф(4. 4)1<М4-
После замены tx на /2 и t2 на учитывая (2.2.5), имеем
5Л4, 4) = -5Д/г. /,). (2.5.27)
Отсюда или непосредственно из преобразования предыдущего выраже-
ния получаем, что для совпадающих значений параметров lx — l2=l
квадратурные составляющие выходной помехи не коррелированье
ЗД /)=о.
Выражения для квадратурных составляющих выходного сигнала
оптимального приемника (2.5.18) и (2.5.19) можно переписать как
где
X (1)=Ъ(1В, I) cos [То - Ф (4, /)] 4-Я (/), (2.5.28)
у (0 = G (l„ I) sin [Тв - Ф (4, /)] + Я, (/); (2.5.29)
G (l0, I) = VS^, I) + (4, I); (2.5.30)
Ф (4, /) = arctg [Ss (4, 1)1 Sc (lt, l)\. (2.5.31)
Нетрудно заметить, что функция б (/о, /) определяется аналогично
огибающей узкополосного процесса с квадратурными составляющими
Sc (/0, /) и Ss(/o, I) [27]. Функция <D(Z0, Z) при этом выполняет роль
начальной фазы полезного сигнала на выходе оптимального приемника.
Итак квадратурные составляющие полезного сигнала в силу (2.5.24) —
(2.5.27) обладают следующими свойствами:
2
Из соотношений для огибающей полезного сигнала имеем
Рассмотрим связь сигнальной функции 6(Z0, Z) с сигнальной функ-
цией S(Z0, Z, «фо, ф), получаемой на выходе оптимального приемника при
оценке двух параметров I и <р сигнала, и с сигнальной функцией S (/о, Z)
при оценке параметра I того же сигнала, но с априори точно известной
начальной фазой. Полезный сигнал на выходе оптимального приемника
в случае, когда оба неизвестных параметра I и ф являются оценивае-
мыми, аналогично (2.4.1) определяется выражением
5(4. 4 9)
5С (4, l) cos (?0 — <Р) 4- (4, /) sin (<?0 — <?), (2.5.34)
т. е. функцию б(/0, /) (2.5.30) можно рассматривать как огибающую
функции S(/o, Z, фо, ф). Если начальная фаза радиосигнала априори
55
известна, то, положив в (2.5.34) пр—ф0, получаем сигнальную функцию
при приеме детерминированного сигнала
Найдем отношение сигнал/помеха на выходе линейной части опти-
мального приемника узкополосного радиосигнала со случайной началь-
ной фазой, определив его как отношение квадрата огибающей полез-
ного сигнала какой-либо из квадратурных составляющих в точке
1л = 12—1 к средней мощности той же квадратурной помеховой состав-
ляющей и в той же точке:
GU 1)1 @*е (Z)) = G2(/, /)/(ЛЛ (Z)) Q (/).
Если оцениваемый параметр I является неэнергетическим, то
dQ(l)/dl—Q и в весьма большом числе случаев [Г53] сигнальная функ-
ция является четной функцией разности своих аргументов, т. е.
G'2)^=G(lt - Z2) = G (Z2 - /,). (2.5.36).
Для неэнергетического параметра из формулы (2.5.35) следует
(Л- k) = Sc (Z, - Z2) = Sc (Z2 - Z,), (2.5.37>
t. e. квадратурные составляющие выходной помехи являются стацио-
нарными нормальными случайными процессами. Соответственно при
выполнении (2.5.36) и (2.5.37) из (2.5.30) получаем
Учитывая теперь <(2.5.32), можем записать
т. е. при оценке неэнергетического параметра SC(Z], Z2) является четной,
a <Ss(Zb Z2)—нечетной функцией разности своих аргументов. Кроме
того, поскольку Sc(Zi, Z2)—функция корреляции стационарного случай-
ного процесса Nc(l), она достигает максимума при Zi=Z2, равного
max §с (Zn Z2) = Sc (Z, I) = -L J F (t, I) V (t, I) cos [ф (Z, Z) -
u
- ф(С Z)]dZ = p2. (2.5.39)
Функция Ss(Zb Z2) также ограничена сверху величиной р2. Действитель-
но, из очевидного неравенства
{(lZVc(Z1)±ZVs(Z2)]2)}>0,
выполняя усреднение, получаем
|Ss(Z„ Z2)|<p\ (2.5.40)
Сигнальная функция G(Zi, Z2) при оценке неэнергетического параметра
достигает максимума при Zi—Z2, т. е.
max G(Z„ Z2) = G(Z, Z) = p2. (2.5.41)
56
Для доказательства этого соотношения используем формулу (2.5.34).
При оценке двух неэнергетических параметров I и <р функция
S(/i, /2, <рь 4)2) представляет собой корреляционную функцию двумер-
ного нормального случайного процесса. Следовательно [27],
Ж, /2, ?2)<S(/, /, <р, ?) = G(/, /) = Р2. (2.5.42)
Так как О(/ь /2) есть огибающая S(Zb /2, фь ф2), то из последнего
соотношения получаем (2.5.41).
Пиковое отношение сигнал/помеха, которое определим как отно-
шение квадрата максимума огибающей сигнальной компоненты какой-
либо из квадратурных составляющих выходного сигнала к -средней мощ-
ности помеховой компоненты той же квадратурной составляющей вы-
ходного сигнала, равно
[max G (Zt, Z2)]2
(0)
[max G (/,, Z2)]2
(0 >
Следовательно, величина р2, введенная как отношение сигнал/помеха
для принятого сигнала, для неэнергетического параметра I совпадает
с пиковым отношением сигнал/помеха.
Приведем краткое обобщение полученных результатов на случай
приема узкополосного радиосигнала -со случайной начальной фазой,
содержащего несколько оцениваемых параметров. Запишем полезный
сигнал в виде
s(f, 1, <p) = F(Z, 1) cos [ш/4-ф (С !) — <?], (2.5.43)
где I — вектор оцениваемых параметров; ф — случайная начальная фаза
с плотностью вероятности (2.5.9). Выходной сигнал оптимального при-
емника можно записать аналогично (2.5.13)
7И0(1)=7?а(1), (2.5.44)
где 7?а(1) определяется соотношением (2.5.11), в которое вместо квад-
ратурных составляющих Х(Г) и У(/) необходимо подставить функции
векторного параметра 1:
т
X (1) = (* х (О V (t, 1) cos .4- f (t, 1)] dt, (2.5.45)
6
T
Y (1) = f x (/) V (t, 1) sin К/ + ф (t, 1)] dt. (2.5.46)
6
Здесь V(t, 1) —огибающая опорного сигнала v(\t, 1, <p), который являет-
ся решением интегрального уравнения, аналогичного (2.5.3):
т
j*K(Z — т)^(т, 1, cp)dt = s(t, 1, <р). (2.5.47)
б
Выходной сигнал оптимального приемника теперь будет функцией
неизвестного векторного параметра 1, что существенно затрудняет реа-
лизацию приемного устройства. Отметим также, что при приеме сигна-
ла с неизвестными составляющими векторного параметра сигнальные
и помеховые квадратурные составляющие выходного сигнала оптималь-
ного приемника обладают свойствами, аналогичными свойствам этих
функций при приеме сигнала с одним неизвестным параметром.
57
2.6. ФУНКЦИОНАЛ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ НОРМАЛЬНО
ФЛУКТУИРУЮЩЕГО СИГНАЛА
В соответствии с ранее данным определением под флуктуирующим
сигналом будем понимать сигнал, который в течение времени приема
изменяется случайным образом, или сигнал, который содержит неизве-
стные сопровождающие параметры, изменяющиеся в течение времени
приема случайным образом. При приеме флуктуирующего сигнала смесь
статистически независимых сигнала и помехи представим в виде
*(0-Ш M+nW, (2.6.1)
где g(Z, Zo)—флуктуирующий сигнал, статистические характеристики
которого зависят от оцениваемого параметра 1$ (или нескольких пара-
метров); n(t)—нормальная помеха с нулевым средним значением и
функцией корреляции t2). Согласно (1.1.11) функционал отноше-
ния правдоподобия для флуктуирующего сигнала находится из выра-
жения
А(/) = (Л[С(Л /)]>.
(2.6.2)
Усреднение в (2.6.2) выполняется по всевозможным реализациям сиг-
нала £(/, /). Вычислить среднее значение в (2.6.2) удается достаточно
просто лишь в случае, когда сигнал £(Z, /) (при фиксированном значе-
нии параметра I) является реализацией нормального случайного про-
цесса, т. е. представляет собой нормально флуктуирующий сигнал. Од-
нако для нормально флуктуирующего сигнала сумма сигнала и поме-
хи есть реализация нормального случайного процесса, что позволяет
избежать выполнения усреднения в (2.6.2) и непосредственно записать
функционал отношения правдоподобия Л(/).
Итак, пусть £(/, I)—нормальный случайный процесс со средним
значением <£(/, Z)>=£(Z, /) и функцией корреляции
ЗД, О —0D- (2.6.3)
Тогда результирующий процесс x(Z) будет также нормальным со сред-
ним значением £(/, /) и функцией корреляции
B(t19 = t29 l) + K(t19 Q. (2.6.4)
Запишем в явном виде многомерные плотности вероятности выборки
наблюдаемых данных X [хь х2, .*J, ^ = a:(Zz), Z/+1—£.= Д, v — [1 —|—
-J-T/A] при наличии и отсутствии сигнала:
f V
Wsv W = (2^Г/21 Bif r1/2 exp -4 2 (X; - Q (Xj - csii I, (2.6.5)
* i, /=1 '
(X)
(2.6.6)
Здесь —определитель матрицы ||В^|| с элементами Вц—B(ti, tj, I);
£»=£ (^> 0; Csij — элементы матрицы, обратной корреляционной ма-
трице ||Bjj||; —определитель корреляционной матрицы ||/G3lt
58
элементы матрицы, обратной корре-
с элементами tj)\ Cij
ляционной матрице
Разделив (2.6.5) на (2.6.6), получим отношение правдоподобия
Л(/)_ exp
V
У
где
я =1п[|В(7|/|К17|].
Л(/) = ехр
Для получения функционала отношения правдоподобия надо перейти
к пределу при А—>0 (v—>~оо, Г—const). В результате такого перехода
функционал отношения правдоподобия нормально флуктуирующего
сигнала при непрерывной обработке наблюдаемых данных можно запи-
сать как *>
т т
JJpcfO-ltf., /)][л(ч)- Г(Ч, /яад, tt, i)dttdtt+
0 о
+4 f J ' Юх (<»)6 (*-• Ч) -----г Н (О }•
0 0 J
Здесь функции вс(£п t2, I) и 6(^, t2) определяются из уравнений
([ад, t, ojej/, t2,
о
т
\K(t„ t)b(t, t^dt^it.-t^,
0
(2.6.7)
(2.6.8)
(2.6.9)
а выражение для производной функции Н(1) имеет вид
dH (I)
dl
dKt (/,, t2, I)
(t2, t2, I) dtldt2.
(2.6.10)
Очевидно, в качестве выходного сигнала оптимального приемника
можно использовать часть логарифма функционала отношения правдо-
подобия, зависящую от принятой реализации наблюдаемых данных:
-Ч (О
( р(Л)*(^)[6(^,
о о
/2) —6t(/j, t2, l)]dttdt2
о о
(2.6.11)
*> Вопросы статистической теории радиолокации. Т. I. Под ред. Г. П. Тартаковско-
то. М., «Сов. радио», 1963, Авт.: П. А. Бакут, И. А. Большаков, Б. М. Герасимов и др.
Это выражение можно упростить, если сигнал I) и помеха
являются стационарными случайными процессами с нулевыми средни-
ми значениями и время корреляции сигнала и помехи значительно мень-
ше интервала наблюдения Т.
Итак, положим Z)) = 0, Kc(Zn Z2, Z)=^(Zj—f2, Z), K(t19 tj =
=K(^i—fa) и время корреляции сигнала и помехи настолько мало, что
в интегральных уравнениях (2.6.8)
и (2.6.9) пределы интегрирования
можно заменить на бесконечные. При этих предположениях
а формулы (2.6.7) и (2.6.10) примут вид
A(Z)
где
о о
о о
(2.6.12)
(2.6.13)
(2.6.14)
(2.6.15)
Введем в интегралах (2.6.13) и (2.6.15) новые переменные интегрирова-
ния %=t\—^2, t=fa и изменим порядок интегрирования, для чего пока-
Рис. 2.6.1. Область интегрирования.
занную на рис. 2.6.1 область интегрирования разобьем на две подобла-
сти (Л и В). Тогда
т т
-М, (/) = J х (Q х (Z2) 6„ (Z, — tt, I) dt/lt^ =
о о
Т Т—т о Т
f Мт> 0 f х(Z + т)х(0dtdx4- f 60(т, Z) С x(t^z)x(t)dt(h.
0 0 _Г —т
Вводя во втором интеграле новые переменные т=—т' и —%'
и учитывая малость времени корреляции x(t) по сравнению с Г, прихо-
дим к выражению
(2.6.16)
где
Г—т Т
= Г x(0x(Z + t)JZ^~ fx(Z)x(Z + t)JZ. (2.6.17)
60
С помощью аналогичных рассуждений для (2.6.15) получаем
dH (/) _ -г f дКх. (т> о а , к . /О с 1QV
—^-^Т I ------------6с(т, /)с?т. (2.6.18)
Подставляя (2.6.16) и (2.6.18) в (2.6.13), находим
Л(/) = ехр /г J Кх W 60(т, l)d-t--------------
1 о
(2.6.19)
Воспользовавшись спектральным представлением функции (2.6.14)
ОО
выражение (2.6.18) запишем в виде
dH (I) Т f (<о, /)
~Г=^ J-----------д!----° dw- <2’6-21>
Здесь 6(<»), 6с(оэ, /), /Q(co, /)—преобразования Фурье соответствующих
функций времени. Полагая в (2.6.8) и (2.6.9) пределы интегрирования
бесконечными и вычисляя преобразования Фурье от правых и левых ча-
стей этих уравнений, приходим к выражениям
К и 6 (со) = 1, ес (со, I) [К^ (со, /) + к (со)] = 1. (2.6.22)
С учетом последних выражений функции 0о(т, /) и //(/) запишутся как
, Л 1 f 0 /* И /сох .
° v 7 2л J /(, (<о, I) + К (<о)
—СО
оо
Н Г 1п [1 + Кс (в), 1)/К (со)] do».
(2.6.23)
(2.6.24)
Выходной сигнал оптимального приемника в этом случае имеет вид
о
т j’ кх (t) ев (т. /) dx.
О
(2.6.25)
В соответствии с последними формулами оптимальный приемник нор-
мально флуктуирующего сигнала образует кратковременную функцию
корреляции (2.6.17), которая затем интегрируется в течение времени Т
с весовой функцией '6ю(т, I) при всевозможных априорных значениях
параметра I. Структурная схема
оптимального приемника приведена
на рис. 2.6.2. На схеме обозначено:
1 — коррелометр, вычисляющий
функцию /Q(t) ; 2 — генератор весо-
вой функции (опорного сигнала)
6о(т, 1)у образуемой на основе ана-
лиза спектров полезного сигнала и
помехи в соответствии с (2.6.23).
Рис. 2.6.2. 'Структурная схема оптималь-
ного приемника флуктуирующего сиг-
нала.
51
Если нормально флуктуирующий сигнал содержит несколько неиз-
вестных параметров l[Zb Z2, .то функционал отношения правдо-
подобия опять определяется формулой (2.6.7), где теперь скалярный
параметр I надо заменить на векторный 1, а функция Н(1) определяется
своими производными:
дН (0_^ С Г дК^*2’
Mi JJ Mi
о о
6C(Z1? z2, 1)ЛД2.
(2.6.26)
Функция 0C(ZV t2, 1) является решением интегрального уравнения, анало-
гичного (2.6.8).
2.7. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ
Пусть на вход приемного устройства поступает не один сигнал, как
предполагалось выше, а последовательность (пачка) v импульсов в об-
щем случае различной формы, причем каждый из импульсов может со-
держать сопровождающие параметры. Задачу приема пачки v импуль-
сов, т. е. v сигналов, разделенных во времени, можно рассматривать как
частный случай более общей задачи приема v сигналов, поступающих
по v различным каналам передачи информации. Эти каналы в случае
приема последовательности импульсов разнесены по времени. В других
задачах возможны каналы, разнесенные по частоте, по направлению
прихода сигналов, по поляризации и т. д.
Найдем функционал отношения правдоподобия при приеме v реа-
лизаций смеси сигнала и помехи
О “Н (0>
&=о, 1,V— 1,
(2.7.1)
полагая, что каждая реализация принимается в течение времени То.
Здесь Sk(t, Zo)—полезный сигнал, содержащий неизвестный параметр
/о, величину которого считаем одинаковой для всех принимаемых реа-
лизаций; n^(iZ)—реализация помехи в /г-й реализации наблюдаемых
данных
Пусть помехи в различных реализациях наблюдаемых данных ста-
тистически независимы, тогда функционал отношения правдоподобия
можно записать как
А(/) = ЦАН/), (2.7.2)
k=Q
где Afe(Z) — функционал отношения правдоподобия при приеме одной
/г-й рёализации наблюдаемых данных.
Применительно к нормальной помехе из (2.2.8) и (2.7.2) получаем
A (Z) — ехр*
'k—QO
xk (t) vk (t, I) dt
(2.7.3)
Здесь ,Vk (A Z) —решение интегрального уравнения вида (2.2.7) для сиг-
нала Sfc(Z, Z) и функции корреляции помехи Kk(ti, h) в й-й реализации
наблюдаемых данных.
62
Независимость помехи в различных реализациях эквивалентна соот-
ношению
(Uо
О при i=£k.
(2.7.4)
Согласно (2.7.3) при приеме последовательности импульсов выход-
ной сигнал оптимального приемника определяется выражением
V-1 То
<(z) = 2 \xk(t)vk(t,l)dt, (2.7.5)
&=О О
т. е. представляет собой сумму выходных эффектов приемников одиноч-
ных сигналов, которые производят обработку импульсов в каждом пе-
риоде повторения раздельно.
Определим структуру оптимального приемника последовательности
узкополосных радиоимпульсов. Элементарный Л-й импульс пачки за-
пишем в виде
Sk (t, I, <?k)
l) cos [<о/ + ф(Л /) —
(2.7.6)
где в отличие от (2.5.1) введен безразмерный множитель а^у описыва-
ющий изменение амплитуды сигнала в пачке от импульса к импульсу.
При помехе в виде стационарного нормального шума функционал отно-
шения правдоподобия последовательности радиоимпульсов определяет-
ся согласно (2.7.3) выражением
Л (/,
Л П) &
О
г*
о
(2.7.7)
где vh(ty ly ajly (pfe)—решение интегрального уравнения (2.2.7) для сиг-
нала su(tyly а^у фь) и функции корреляции помехи K(t—т). В силу узко-
полосности сигнала (2.7.6) функцию 1У фь) можно представить
в виде, аналогичном (2.5.4). »
Пренебрегая интегралами от членов, осциллирующих с удвоенной
частотой, получаем
р- 1 V—1 А
Л (Z)== exp V ak [Xfe (/) cos + Yk (I) sin (0 У < • (2-7.8)
' /2=0 /2=0 '
Здесь Qi(l) —отношение сигнал/помеха для одного импульса с единич
ной амплитудой, определенное в (2.5.7);
о
To
(2.7.10)
о
Результирующее отношение сигнал/помеха для всей пачки равно
V-—1
ба
Положим вначале, что амплитуды всех импульсов в пачке априори
известны. iB зависимости от характера изменения начальных фаз радио-
импульсов рассмотрим два типовых случая приема последовательности
импульсов — когерентный и некогерентный.
При когерентном приеме считают, что начальные фазы всех радио-
импульсов в пачке одинаковы (в более общем случае—-связаны детер-
минированной зависимостью, которая известна наблюдателю), т. е. кро—
=<pi= ... а сама величина фо распределена равномерно на ин-
тервале [—л, л]. Тогда формула (2.7.8) принимает вид
Л(£, ¥0)=ехр
cos ?e-j-
’~k=0
sin ф, —
1
2
(0
(2.7.12)
Выполняя усреднение по <р0, аналогично (2.5.10) получаем
где
(2.7.13)
(2.7.14)
Согласно (2.7.13) выходной сигнал оптимального приемника определя-
ется выражением
(2.7.15)
Из последних двух соотношений видно, что оптимальный приемник дол-
жен осуществлять операцию суммирования квадратурных составляющих
выходного сигнала для каждого периода повторения импульсов, а затем
вырабатывать огибающую суммы.
При некогерентном приеме предполагается, что начальные фазы
радиоимпульсов случайны, независимы и априори равномерно распре-
делены на интервале [—л, л]. В этом случае функционал отношения
правдоподобия является произведением усредненных по функциона-
лов отношения правдоподобия, получаемых при приеме отдельных реа-
лизаций Следовательно,
Л (О
Ц {akRk(t}},
(2.7.16)
(2.7.17)
В качестве выходного сигнала оптимального приемника удобно исполь-
зовать член логарифма функционала отношения правдоподобия, зави-
сящий от принимаемых данных:
V-1
(2.7.18)
Из этого выражения следует, что при приеме некогерентной последова-
тельности радиоимпульсов суммирование составляющих выходного сиг-
нала, образованных в каждом периоде повторения, осуществляется по-
64
еле нелинейного преобразования огибающей устройством с характери-
стикой In/0 (последетекторное суммирование огибающих).
Перейдем к случаю, когда не только начальные фазы но и ам-
плитуды ak радиоимпульса (2.7,6) являются случайными величинами.
Пачку радиоимпульсов, амплитуды и начальные фазы которых изменя-
ются случайным образом от импульса к импульсу, называют флуктуи-
рующей. При этом предполагается, что в течение времени приема одного
импульса его амплитуда и начальная фаза остаются постоянными. Для
определения функционала отношения правдоподобия параметра I флук-
туирующей последовательности импульсов необходимо усреднить выра-
жение (2.7.7) по несущественным параметрам и <рь. Достаточно про-
сто это усреднение можно выполнить лишь в случае приема нормаль-
но флуктуирующей последовательности импульсов.
Перепишем выражение для элементарного радиоимпульса (2.7.6)
флуктуирующей последовательности в виде
$k I* CLk* — &ск$с S &skss (2.7.19)
где
= ='afe sin <pfe; (2.7.20)
sc (t, I) — F\ (i, I) cos [w/ + ф (t, /)]; (2.7.21)
ss(t, I) (t, I) sin h/ + ф (t, I)]. (2.7.22)
Если совместное распределение случайных величин aSk и aCk является
нормальным, последовательность радиоимпульсов типа (2.7.19) будем
называть нормально флуктуирующей.
Итак, определим структуру оптимального приемника нормально
флуктуирующей последовательности радиоимпульсов. Будем полагать,
что неизвестный параметр I импульсов последовательности является не-
энергетическим и, следовательно,
Q, (/)=ф J <*’Z> V' cos № V’ 0 ~ Ф 01 dt= Р21 = const- (2-7.23)
О
Относительно флуктуаций амплитуд и фаз полезного сигнала будем
считать, что случайные величины aSk и описывающие флуктуации,
взаимно независимы и распределены по нормальным законам со стати-
стическими характеристиками:
(flsk) • {flek) ----- {flskP'ck)
Величина ozs характеризует среднюю мощность полезного сигнала;
[(f—Л) То] —огибающая коэффициента корреляции флуктуаций
полезного сигнала, связанная с коэффициентом корреляции амплитуд
г^=<^йг>/'2о28 соотношением rik^R2ik [27].
С учетом введенных обозначений выражение для функционала от-
ношения правдоподобия параметров /, aSk и ась можно представить как
т\. (/,
V—I
/г=0
(2.7.26)
5—358
65
где Xk=Xk(l), Yk=Yk(l) определены в (2.7.9) и (2.7.10). Выражение
(2.7.26) показывает, что функционал отношения правдоподобия есть
функция четырех v-мерных нормальных векторов: ас и as с составляю-
щими аск=аь cos aSk=ak sin npfe и X и ¥ с составляющими Xk и
Функционал отношения правдоподобия перепишем в виде
WN [X] WN [Y]
(2.7.27)
где IFjv(’)—v-мерные нормальные плотности вероятности соответству-
ющих векторов.
Для получения функционала отношения правдоподобия Л(/) выра-
жение Л(/, ас, as) надо усреднить по йс и as (или по acp2j и asp2j). Тогда
Л(/)
( WN [X - асР\] [ЯсрМ d (аеР\)
J [Y — asp2J Ws [asp2j ] d (a^J
' ^v(Y) ’
(2.7.28)
где №«(аср21),и Ws(a.sp2i) —многомерные нормальные плотности вероят-
ности случайных векторов acp2i и asp2i. Средние значения составляющих
этих двух v-мерных векторов равны нулю, а функции корреляции их
равны
Krik=^sRik.
Каждый из интегралов в (2.7.28) представляет собой плотность
вероятности суммы двух независимых случайных векторов с нормаль-
ными плотностями вероятности. Действительно, если | — нормальный
вектор >с плотностью вероятности U^v(g), а а^р2!— нормальный век-
тор с плотностью вероятности Ж(т]), то плотность вероятности вектора
Х=Ц-т] есть первый интеграл в (2.7.28). В силу нормальности векторов
| и их сумма также нормальна, причем средние значения составляю-
щих суммарного вектора равны нулю, а функция корреляции определя-
ется выражением
ik
Р\о^ + Р2i^ik>
(2.7.29)
где <б»ь — символ Кронекера. В результате для функционала отношения
правдоподобия оцениваемого параметра имеем
где
(2.7.30).
V 1
(2.7.31)
Здесь Cih — элементы матрицы, обратной корреляционной матрице
llK/,ifell с элементами (2.7.29).
Таким образом, выходной сигнал оптимального приемника нормаль-
но флуктуирующей последовательности радиоимпульсов определяется
66
Выражением
(2.7.32)
лг»(О
Последняя формула позволяет представить структурную схему опти-
мального приемника (рис. 2.7.1). Первой операцией является получение
квадратурных составляющих Xk(l) и Уь(/). Подобная операция часто
называется внутрипернодной обработкой одиночного радиоимпульса.
Для этого поступающая на вход приемного устройства смесь полезного
сигнала и помехи x(t) интегрируется в течение каждого периода повто-
рения То в двух квадратурных каналах соответственно с весами
— kT<,’
vsk(t,t)=VJS(t~kTv, 1}
при всевозможных значениях .параметра I из априорного интервала.
Далее, на основе полученных функций Xk(l) и Ук{1) осуществляется
междупериодная обработка этих составляющих с весами bik.
Рис. 2.7.1. Структурная схема оптималь- x(t)
него приемника последовательности
флуктуирующих импульсов.
W)
^skW
При приеме нормально флуктуирующей последовательности радио-
импульсов выделяют два крайних случая — быстрые и медленные (или
дружные) флуктуации. Под быстрыми флуктуациями подразумевается
случай, когда амплитуды и начальные фазы полезного сигнала от им-
пульса к импульсу независимы. В случае медленных флуктуаций ампли-
туды и начальные фазы радиоимпульсов в пределах пачки можно счи-
тать постоянными. Рассмотрим изменение структуры в этих крайних
случаях.
При быстрых флуктуациях флуктуации полезного сигнала не кор-
релированы от импульса к импульсу, т. е. /С®№=о2^бгд. В этом случае
в соответствии с (2.7.29) и (2.7.31).
(2.7.33)
где
Р,.^(а‘*)р‘.=2о,У.- (2-7-34)
среднее значение отношения сигнал/помеха при приеме одного радио-
импульса. Следовательно, согласно (2.7.32) оптимальный приемник дол-
жен суммировать квадраты квадратурных составляющих выходного
сигнала после внутрипернодной обработки, т. е. при быстрых флуктуа-
циях
v—1
Ч (0 *= S(Л^+y2ft)- (2.7.35)
/г=0
5*
67
Если имеют место дружные флуктуации, то коэффициент корреля-
ции флуктуаций от импульса к импульсу равен единице, т. е. Ksik==o\-
при всех k и I. Вычисление весов biu в соответствии с (2.7.29) и (2.7.31)
в этом случае оказывается достаточно громоздким. Получим выражение
для функционала отношения правдоподобия путем непосредственного
усреднения функционала отношения правдоподобия (2.7.26) по случай-
ным величинам aCk—ас и aSk==as. Учитывая, что ас и as априори распре-
делены по нормальным законам с нулевыми средними значениями и
дисперсиями o2s, получаем
f!
Л (О = 71", -
w U+P2i^s)
Отсюда выходной сигнал оптимального приемника можно представить
как
т. е. оптимальный приемник имеет такую же структуру (с точностью до
монотонного преобразования), как и при приеме когерентной последо-
вательности радиоимпульсов с одинаковыми амплитудами. Из сопо-
ставления (2.7.37) и (2.7.32) получаем значение весового множителя
bik при приеме дружно флуктуирующей последовательности радиоим-
пульсов
(2.7.38)
В заключение отметим, что обобщение структуры оптимального
приемника последовательности импульсов на случай нескольких неизве-
стных параметров очевидно.
Глава 3
ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ
ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНКИ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ПАРАМЕТРА
При приеме на фоне нормальной помехи известного сигнала s(t,
содержащего оцениваемый неизвестный произвольный параметр /, ло-
гарифм функционала отношения правдоподобия определяется выраже-
нием (2.4.9)
где Мо(/)—выходной сигнал оптимального приемника (рис. 2.3.1). Оцен-
ка максимального правдоподобия 1т неизвестного параметра /о сигнала
s(t, /0) находится как положение абсолютного максимума логарифма
функционала отношения правдоподобия. Следовательно, структуру все-
го оптимального устройства для оценки произвольного параметра изве-
стного сигнала можно представить в виде, показанном на рис. 3.1.1.
Здесь блок ОП — оптимальный приемник (рис. 2.3.1), выходной сигнал
которого поступает на сумматор; на второй вход сумматора подается
вырабатываемый генератором Г детерминированный сигнал — <5(0/2.
Выходные эффекты сумматора при различ-
ных значениях параметра I сравниваются
между собой в решающем устройстве РУ,
указывающем значение параметра 1т, при
котором выходной эффект достигает абсо-
лютного максимума. При оценке неэнерге-
тического параметра (J(/)=const и струк-
турная схема оптимального устройства не-
сколько упрощается, так как отпадает не-
обходимость в использовании сумматора и
генератора Г. Действительно, для неэнергетического параметра выход-
ной сигнал оптимального приемника совпадает с логарифмом функцио-
нала отношения правдоподобия с точностью до постоянного слагае-
мого.
Из определения оценки максимального правдоподобия следует, что
в случае, когда оценка 1т является внутренней точкой априорного ин-
тервала, она может быть найдена как решение уравнения
Г dM (/)
xft)
0П
fffl)
Ml)
Рис. 3.1.1. Структурная схема
оптимальной оценки произволь-
ного параметра.
dl
— О при
tn
rd2M (/)
dP
L.
<0,
т
69
которое носит название уравнения правдоподобия. При этом из всех
возможных решений уравнения следует выбрать значение соответ-
ствующее наибольшему максимуму (максимуму максиморуму) лога-
рифма функционала отношения правдоподобия М(1), Уравнение (3.1.2)
для рассматриваемого произвольного параметра является нелинейным
и в общем случае не разрешается относительно точки 1=1т. Однако при
некоторых ограничивающих предположениях оказывается возможным
отыскание приближенного решения этого уравнения.
Прежде всего будем полагать, что оценка параметра I производит-
ся при малом уровне помех, т. е. при больших значениях отношения
сигнал/помеха, так что максимум максиморум логарифма функционала
отношения правдоподобия М (/) с вероятностью, близкой к единице,
лежит в окрестности истинного значения оцениваемого параметра /0-
Иначе говоря, будем искать приближенное решение уравнения (3.1.2)
при отсутствии аномальных ошибок. Кроме того, будем считать, что
как оценка Zw, так и истинное значение параметра /0 есть внутренние
точки априорного интервала, т. е. пренебрегаем возможностью появле-
ния абсолютного максимума М(1) в граничных точках интервала допу-
стимых значений оцениваемого параметра. Также предположим, что
логарифм функционала отношения правдоподобия М (/) в окрестности
оценки является аналитической функцией оцениваемого параметра, т. е.
в окрестности оценки функция М (I) дифференцируема требуемое число
раз. Это предположение оправдано тем, что реальные сигналы форми-
руются физически реализуемыми системами с конечной полосой пропу-
скания по частоте.
Введем в рассмотрение нормированные сигнальную и помеховую со-
ставляющие логарифма функционала отношения правдоподобия:
S (/) = S (/) р -2, N (/) = N (iy9“1. (3.1.3)
Здесь р — отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе опти-
мального приемника в точке l—lG (2.4.8), а функции §(/) и JV(/) опре-
делены в (2.4.10) и (2.4.2). Учитывая выражения (2.4.12) и (2.4.5),
имеем
max S (/) = S (Q = 1 /2, (№ (Zo)) = 1. (3.1.4)
Остальные свойств^ введенных 1нормированных функций с точностью до
множителя, обратного отношению сигнал/помеха, совпадают с ранее
рассмотренными свойствами ненормированных сигнальной и помеховой
функций (§ 2.4). Подставляя (3.1.3) в (3.1.1), приходим к выражению
М (/) =p2S (/) +pW). (3.1.5)
Из этого уравнения следует, что при очень большом отношении сиг-
нал/помеха для принятого сигнала в окрестности максимума функции
S(l) можно пренебречь помеховым членом pN(l) по сравнению с пер-
вым слагаемым p2S(/). При этом абсолютный максимум функции S(/),
и следовательно, и функции М(1) соответствует истинному значению
оцениваемого параметра, т. е. lm=lG. Чем меньше уровень помехи, т. е.
чем больше отношение сигнал/помеха, тем справедливее высказанное
положение.
При конечном отношении сигнал/помеха ошибки в определении
истинного значения параметра будут отличны от нуля. Влияние помехи
(при нормальных ошибках) сказывается на смещении максимума ма-
70
ксиморума логарифма функционала отношения правдоподобия от ис-
тинного значения оцениваемого параметра.
Для рассматриваемого случая нормальных ошибок отклонение оцен-
ки 1т от истинного значения /0 можно искать в виде соответствующих
приближений.
Все известные до сих пор приближенные способы решения нелиней-
ного уравнения правдоподобия (3.1.2) основаны на разложении лога-
рифма функционала отношения правдоподобия в ряд Тейлора. При этом
наиболее продуктивное решение получается при использовании метода
малого параметра [1, 83], в качестве которого удобно принять величину,
обратную отношению сигнал/помеха по напряжению для принятого сиг-
нала:
8=р~1. (3.1.6)
Подставляя (3.1.5) в (3.1.2) и используя введенную величину е, уравне-
ние правдоподобия запишем в виде
'dS (/)
dl
(3.1.7)
Из этого выражения и приведенного выше обсуждения свойств лога-
рифма функционала отношения правдоподобия следует, что при е—>0
решение уравнения совпадает с истинным значением параметра (/т=
=/о) •
Для рассматриваемого случая «отсутствия» аномальных ошибок
величина 8 мала и абсолютный максимум М(1) расположен вблизи
истинного значения параметра /о, так что решение уравнения правдо-
подобия можно искать в виде ряда по степеням 8
^=Ч+^+*!4+^+--
(3.1.8)
Чтобы определить приближения Zi, /2, 1з . •разложим функцию в квад-
ратных скобках в левой части уравнения (3.1.7) в ряд Тейлора по I
в окрестности точки /о. Подставим в это разложение значение 1т из
(3.1.8) и ограничимся первыми тремя приближениями Zi, Z2, Z3. Тогда
уравнение правдоподобия запишется в виде
dS (I) , _ dN (/) ]
dl
е dl
d2S (/)
dl2
d2N (I) ‘
e dl2
J *0
1 fd-’S (/)
dl3
d3N (I) 1
6 dl3
•3
1 Г<7*5 (/)
dl*
6 dZ4
Введем обозначения
с И5 (0
dl‘
П: =
fd‘N (Z)l
dl1
r^+JS (lt, lt)
J4)
fd'Q (/)
0.
(3.1.9)
(3.1.10)
<fW (Z)
о
о
е72
3
2
6
2
О
о
0
dl1
Iq
где функции S(li, h) и Q(Z) аналогично функции S(l) определяются из
выражений (2.4.4) и (2.4.5) как
S(Z1,/2)=S(/1,/2)/P2, Q(/) = Q(Z)/P2. (3.1.11)
71
Сгруппируем члены в левой части (3.1.9), содержащие малый пара-
метр 8 в одинаковых степенях:
+ l\sj& + lj2s3)
(3.1.12)
Поскольку система функций 1, х, х2, ... является линейно независимой,
то равенство (3.1.12) выполняется при любых € только тогда, когда все
коэффициенты при степенях е равны нулю. Так как S(l) достигает абсо-
лютного максимума при 1—1$, то всегда
и нулевое приближение совпадает с истинным значением параметра /0-
Приравнивая нулю коэффициенты при е, ь2 и е3, получаем уравнения
для определения Zj, Z2 и Z3. Запишем решения этих уравнений
/2J /
с 5
*2
(3.1.13)
С учетом первых трех приближений l\, l2, h выражения для условных
смещения и дисперсии оценки максимального правдоподобия имеют
вид
| О
(3.1.14)
D {1т | Q = {1гт) - {1тУ = W
(ДО2
е2 ~ (О)2) +
+ 2s3 (Ш - (/.) (О) + е4 «*%> - <0>2 + 2(/./3) —2 (/,) О, (3.1.15)
причем здесь усреднение выполняется по всевозможным реализациям
помехи n(t) при фиксированном значении оцениваемого параметра /о-
Относительная погрешность выражений для смещения и дисперсии
оценки, которую определим как отношение порядка малости первого
отброшенного члена к первому слагаемому, будет иметь величину по-
рядка е3. Если допустима относительная погрешность порядка малости
е2, то выражения для смещения и дисперсии оценки максимального пра-
вдоподобия упрощаются:
& (Ш) -3 (4)+®2 <4>. (3.1.16)
= - </.)2) + 2е3 Ш &)). (3.1.17)
л
Соответственно при использовании лишь первого приближения (относи-
тельная погрешность порядка е) имеем
Q'm I О
D Vm I Q
(3.1.18)
(3.1.19)
Вычислим необходимые моменты случайных величин Л, /2> Z3, входящих
в выражения для смещения и дисперсии оценки. Для этого примени-
тельно к нормальному случайному процессу с нулевым средним значе-
72
нием используем известные из теории случайных процессов соотноше-
ния [27]
(3.1.20)
\ dl1 / dl1
{N (/,) N (О N (/,)> = 0, (3.1.21)
{N (/.) N (lt) N (1г) N (Z4)) = (N (/,) N (Q) (2V (/3) N (ZJ) +
+ <Ж) <W W> (N (IJ N (3.1.22)
которые потребуются в дальнейшем.
С учетом последних соотношении искомые моменты равны
// / \___(^2/^2) г п 9 /п п \ /и n \ । (^1^2)
V1^3/ --- с4 Г* о4 О с5 О о4
о 2 о о 2 с 2
.Используя полученные формулы для моментов, выражения для сме-
щения (3.1.14) и дисперсии оценки (3.1.15) перепишем в виде
(3.1.28)
При использовании менее точных выражений (3.1.16) и (31.17) смеще-
ние оценки совпадает с (3.1.28), а дисперсия оценки равна
D (im! /.) = . (3.1.30)
Наконец, в первом приближении (3.1.18) и (3.1.19) формула для
дисперсии оценки совпадает с (3.1.30), а смещение оценки равно нулю.
Моменты помеховой функции, входящие в выражения для смеще-
ния и дисперсии оценки, легко выражаются через производные от нор-
мированной сигнальной функции S(/i, Z2), определяемой соотношением
(3.1.11), причем из (2.4.4) и (3.1.3) следует, что
S(/o, Z0)=l.
(3.1.31)
Учитывая последнее и (2.4.6), можем записать
. д1\д112
(3.1.32)
75
Вычислим производные от функций •§(/), входящих в выражения для
смещения и дисперсии оценки. Согласно (3.1.3) и (2.4.10)
5(/)=S(/0, Z)—Q(/)/2. (3.1.33)
Рассмотрим вначале вторую производную s2:
(PS (I) ] _ [42S (/„, Z) 1 d2Q (Z) ]
dl2 j zp L rf/2 2 d/2 -k'
(3.1.34)
Чтобы вычислить вторую производную от отношения сигнал/помеха
Q(Z), используем соотношения, следующие из (2.4.5) и (2.4.6):
S(Zb Z2) =5(12, /1). (3.1.35)
Следовательно,
[d2Q(Z)l __ _ [d2S(Z, Z) 1
dl2 ~Чг— dt2
L J*o L J
(3.1.36)
Функцию S(l, l) можно рассматривать как сложную функцию. Напом-
ним соответствующее правило дифференцирования
(3.1.37)
dS (I, I) r S (Z + Д, Z + А) — S (/, Z)
dl ~ д ™ Д
Разложим функцию 5(Zb /2) в двумерный ряд Тейлора в окрестности
точки Zi=Z, I2—I:
Полагая в последнем выражении Zi=Z+A, Z2=Z+A, подставляя его
в (3.1.37) и вычисляя предел, получаем
dQ (l)__ dS(l, I) _ Г as (Zlf Z2) « dS (Zlt Z2)'
di di az, dZ2
(3.1.39)
Применяя правило дифференцирования (3.1.39) дважды и
(3.1.35), находим
учитывая
dl2
- Io
Подстановка этого соотношения в
„ __ Г6*25 (0 ’ _
dl2 / “'
dlxdl2
(3.1.34) приводит к выражению
Г^(Л, 12у
. ^0
dl^, д/2
(3.1.40)
(3.1.41)
?2
s*
2
0
— ~ \02
О
Совершенно аналогично, последовательно применяя формулу (3.1.39),
находим
С, = Кз — Яз/2] = — 3s21, (3.1.42)
- gj^] - - Ч, - 3s2!. (3.1.43)
Подставляя в формулы (3.1.28) и (3.1.29) значения моментов производ-
ных помеховой функции N(l) и производных функции £(/), выражен-
74
ные через производные сигнальной функции S(/j, 4), получаем
(3.1.44)
b(lm\Q
1 [^S(l^i2):dl\dl2]lo
2Р* ^(l^/dl.dl^^ 9
(3.1.45)
Как следует из (3.1.14) и (3.1.15), абсолютная погрешность формулы
для смещения оценки параметра сигнала имеет порядок малости р~4,
а формулы для дисперсии оценки параметра сигнала, — порядок мало-
сти р-5.
Для получения безусловных смещения и дисперсии оценки выраже-
ния для характеристик оценки надо усреднить по всевозможным значе-
ниям параметра lG в соответствии с (1.2.5) и (1.2.7).
Условные смещение и дисперсию оценки можно выразить через
производные ненормированной сигнальной функции
p2S(Z„ /2).
Если ограничиться рассмотрением первого приближения, то оценка
оказывается условно несмещенной, а дисперсия ее совпадает с диспер-
сией эффективной оценки и определяется выражением
D (1т | /0)
(3.1.46)
Действительно, вычисляя среднее значение второй производной лога-
рифма функционала отношения правдоподобия (3.1.5) в точке /0 и под-
ставляя ее значение в (1.3.21), убеждаемся в справедливости формулы
(3.1.46). Поскольку погрешность этой формулы уменьшается с ростом
отношения сигнал/помеха, можно сделать вывод, что оценка максималь-
ного правдоподобия произвольного параметра известного сигнала
асимптотически несмещенная и эффективная.
Полученные выше формулы для дисперсии оценки параметра сиг-
нала позволяют достаточно строго обосновать возможность использова-
ния в качестве характеристики оценки максимального правдоподобия
дисперсии эффективной оценки, хотя условия существования эффектив-
ной оценки не выполняются.
В принципе рассмотренным способом можно было бы получить и
следующие приближения для смещения и дисперсии оценки, причем,
естественно, при уменьшении отношения сигнал/помеха требуется ис-
пользовать приближения более высоких порядков. Однако определение
следующих приближений требует весьма громоздких расчетов, которые
не всегда целесообразно выполнять, так -как с уменьшением отношения
сигнал/помеха не только растет погрешность полученных выражений за
счет отброшенных членов разложения (3.1.8), но и увеличивается веро-
ятность аномальных ошибок.
75
С другой стороны» уже из анализа выражения (3.1.45) видно, что
при не слишком больших отношениях сигнал/помеха второй и третий
члены в фигурных скобках могут быть сравнимы с единицей. В этих
случаях использование только первого приближения для вычисления
дисперсии оценки максимального правдоподобия может привести к за-
ниженным значениям дисперсии при анализе ошибок оценок параметра
сигнала на фоне помех.
Полученные выражения для смещения и дисперсии оценки макси-
мального правдоподобия произвольного параметра применительно
к оценке неэнергетического параметра можно существенно упростить,
если учесть свойство четности сигнальной функции неэнергетического
параметра (2.4.14).
Введя новую переменную l—h—Ь-Чъ смешанные производные от
сигнальной функции S(l\—/2) по параметрам Zi и Z2 в точке Zi=Z2—Zo
можно представить как
az-b/s (Z— Zo)
(3.1.47)
В силу четного характера сигнальной функции S(l—Zo) относительно
точки Z=Z0 все нечетные производные в этой точке равны нулю.
В результате получаем, что Ь (Z^ ]70) =0, т. е. оценка неэнергетиче-
ского параметра известного сигнала несмещенная, а дисперсия оценки
определяется формулой
1
p2[d2S (/-Zo)/^]Zo
d*S (I — Zo) /dZ* )
p2 [^25(Z —Z0)/d/2]2Jz ’
D (lm | Zo)
(3.1.48)
В силу четности сигнальной функции при оценке неэнергетического
параметра производные от сигнальной функции не зависят от истинного
значения параметра Zo и, следовательно, смещение и дисперсия оценки
являются безусловными.
Из формулы (3.1.8), определяющей приближенное значение оценки
произвольного параметра, следует, что в общем случае оценка макси-
мального правдоподобия имеет распределение, отличное от нормально-
го, так как в величины Z2 и Z3 (3.1.13) входят нормальные случайные
величины иь п2, п3 в степенях выше первой. Поэтому смещение и дис-
персия оценки не дают полного описания свойств оценки. Однако если
ограничиться рассмотрением только первого приближения, т. е. если
положить
1гп==11^~^г еЛ, (3.1.49)
то условное (при фиксированном Zo) распределение оценки Zm (или
ошибки оценивания Nl—lrn—lo) будет нормальным в силу нормального
распределения случайной величины щ. Так как точность первого при-
ближения увеличивается с ростом отношения сигнал/помеха, то оценка
максимального правдоподобия произвольного параметра известного
сигнала является не только асимптотически несмещенной и эффектив-
ной, но и асимптотически нормальной. При учете приближений более
высокого порядка, чем первое, распределение оценки не является нор-
мальным, хотя и приближается к нему с ростом отношения сигнал/по-
меха, т. е. при достаточно больших отношениях сигнал/помеха оно мало
отличается от нормального. Поэтому, вычислив четыре первые момента
оценки, при использовании приближения (3.1.8) можем аппроксимиро-
76
вать распределение оценки с достаточной точностью тремя членами
ряда Эджворта, который запишем в виде [27]
' ' I \ 6 / 3! \ ° 7
(3.1.50)
тде ф(г)(х)—й;Ф(х) jdz1— производные интеграла вероятности
г
(3.1.51)
m=%i — среднее значение случайной величины х; о2=%2 — дисперсия;
У1==Хз/%23/2 — коэффициент асимметрии; у2—Х4/%22 — коэффициент экс-
цесса; (j—l, ..., 4) —кумулянты (семиинварианты).
Будем искать условное (при фиксированном /о) распределение
ошибки оценивания Ы=1т—/0 в виде (3.1.50), где параметры т и о2
определяются соответственно яз (3.1.44) и (3.1.45), а кумулянты Хз и
_Х4 равны [27]
Х3 = (Д/3) - 3 <AZ> (Д/2) + 2 (Д/>8,
Х4 = (Д/4) - 3 (Л/2)2 - 4 (Д/) (Д/3) + 12 <Д/>2 (Д/2) - 6 (Д/)4.
Подставляя в последние выражения значения А/ из (3.1.8) (отбрасы-
вая члены более высокого порядка малости), получаем
X4=4se (6s221 — s31s„)/s5It
В результате параметры плотности вероятности случайной ошибки из-
мерения AZ определяются как
s~2
21°П ’
6 К 2 з —3/2
Yt =-г-W ,
(3.1.52)
a=2s3u
Поскольку оценка максимального правдоподобия Zjn=Z0+AZ, то
условную плотность вероятности оценки получим, подставив в (3.1.50)
вместо т величину m + Z0.. Остальные параметры распределения оценки
1т будут такими же, как и для распределения А/.
3.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
СИГНАЛОВ
Определим характеристики оценки параметра при приеме последо-
вательности (пачки) сигналов (импульсов). При этом будем полагать,
что неизвестный параметр I имеет для всех импульсов последователь-
ности одно и то же значение, а сигналы последовательности разделены
на отрезок времени То — период повторения, который много больше
времени корреляции помехи. 'При этих условиях логарифм функционала
77
отношения правдоподобия определяется из соотношения (2.7.3) и
имеет вид
о
о
*=0 0
£=0 0
Представим функцию М(1) в виде суммы (2.4.11), где теперь сиг-
нальная S(/i, 1%), помеховая функции и отношение сигнал/помеха
<2(0 определяются как
о
(3.2.2)
/?=0
л=о
Й-0 0
о
л=оо
о
(3.2.4)
k—o k=0 б
При этом сигнальная и помеховая функции обладают теми
вами,
нетрудно показать, что S(l, <N(l)
(2.7.4)
же свойст-
что и при приеме одиночного сигнала (§ 2.4). Действительно,
**~>=0, а в силу условия
я;
О,
и, следовательно,
k—o
Введем отношение сигнал/помеха для принятой последовательно-
сти ИМПУЛЬСОВ
% —S2 (/„,/„)/(№ (О)
и нормированную сигнальную функцию для всей последовательности
S(/1,/2) = S(/]>/2)/p2s. (3.2.7)
Тогда условные смещение и дисперсия оценки максимального правдо-
подобия параметра I при приеме последовательности импульсов будут
определяться формулами (3.1.44) и (3.1.45) при подстановке в них
сигнальной функции (3.2.7) и отношения сигнал/помеха (3.2.6).
В простейшем случае при приеме последовательности одинаковых
импульсов Sk(ty I) на фоне стационарной помехи Kk(ti, £2) =
=K(tx—/2) сигнальная функция и отношение сигнал/помеха равны
S(/1,/2) = vS1(/1,/2), p2e = vp21,
(3.2.8)
где St(/i, /2) и p2i — нормированная сигнальная функция (3.1.11) и
отношение сигнал/помеха (2.4.8) для одного сигнала в последователь-
ности.
78
Соответственно видим, что при приеме последовательности v им-
пульсов на фоне стационарной помехи характеристики качества оценки
те же, что -и при приеме одного импульса, имеющего в v раз большую
энергию.
Однако есди при приеме одного сигнала реальную помеху часто
можно удовлетворительно аппроксимировать стационарным случайным
процессом, то при приеме последовательности сигналов помеху в пре-
делах всей последовательности ,в ряде задач нельзя считать стационар-
ной, хотя в течение времени приема одного импульса условия стацио-
нарности приближенно выполняются. Простой моделью нестационарной
помехи при приеме последовательности импульсов может служить слу-
чайный процесс, дисперсия которого, меняясь от одного периода повто-
рения импульсов к другому, остается постоянной в течение времени
приема одного импульса. В этом случае
(3.2.9)
т. е. в течение времени приема А-го импульса помеха предполагается
стационарной. Если опять положить сигналы одинаковыми во всех пе-
риодах повторения, то дисперсию оценки в первом приближении со-
гласно (3.1.46) можно записать как
D (!т I о
(3.2.10)
где оЕ 2е
л=о
_2
\ (4» — сигнальная функция при приеме одного им-
пульса на фоне помехи с единичной дисперсией, т. е.
(3.2.11)
a v0 I) — решение уравнения
J — т) Vo (т, I) (к — s(t, I).
о
Если к тому же оцениваемый параметр является неэнергетическим, то
с точностью до постоянного слагаемого логарифм функционала отно-
шения правдоподобия (3.2.1) равен
(3.2.12)
а выражение для дисперсии оценки (3.2.10) принимает вид
D (1т | 4)
2 d2Sr (I - Zo)
2 dl2
(3.2.13)
3.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОВМЕСТНЫХ ОЦЕНОК НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ
В случае совместной оценки р неизвестных параметров 1[/ь /2» •••
..., /р] сигнала на фоне нормальных помех в полученные выше выра-
жения для выходного сигнала (3.1.1) или (3.1.5) вместо одномерного
параметра I надо подставить его многомерный аналог 1. При этом все
79
О сз V -и
свойства сигнальной и помеховой составляющих остаются без измене-
ния, а уравнение .правдоподобия (3.1.7) переходит в систему уравнений
правдоподобия
дМ (1) ]
1 = 1, 2..... р.
(3.3.1)
Далее полагается отношение сигнал/помеха достаточно большим, а ве-
роятность аномальных ошибок пренебрежимо малой. Учитывая, что
в соответствии с (3.1.4) сигнальная составляющая S(l) и дисперсия
помеховой составляющей нормированы, решение системы уравне-
ний (3.3.1) будем искать методом малого параметра, в качестве кото-
рого, как и выше, используем величину е (3.1.6). Тогда
U=10 + si, Т А + *4, + - . (3.3.2)
где
~~ К11» ^12’ •••’ ^2-- 1^21’ ^2В> &2pj И Т. Д.
Разлагая левую часть уравнений (3.3.1) в р-мерный ряд Тейлора
в окрестности точки 10, ограничиваясь тремя членами приближения
оценки 1Ь 12, 1з и приравнивая коэффициенты при е в одинаковых сте-
пенях нулю, находим системы уравнений для определения 12, Is-
Решения этих систем будут иметь вид
р
dlidlvdlf
d3/V(l)
Здесь Qi—определитель порядка р с элементами со^=—[<92S (1) /дЦд1к L ;
*0
Aik — алгебраические дополнения этого определителя, причем согй
и А]^ связаны соотношением
Случайная ошибка измерения £-го параметра в соответствии
с (3.3.2) равна
1т^ -ф- 8 lzk -ф- £ Z3^.
Смещение оценки k-ro параметра b(lmk/h) и функция корреляции меж-
ду оценками /г-го и f-го параметров определяются из формул
b (lmk IU = • (4* >+ ** О + *3 УЛ (3 3.7)
Kik (U110) ——(hk) (Ki)]+s* + (Wiz) — 2 (/u.)
(3.3.8)
so
Здесь усреднение выполняется по всевозможным реализациям входной
помехи n(t) при фиксированном значении вектора истинных значений
параметра 10. Отметим, что абсолютная погрешность последних фор-
мул имеет порядок малости е4— 1/р4.
Подставляя (3.3.3) — (3.3.5) в (3.3.7) и (3.3.8), учитывая соотноше-
ния (3.1.31) и (3.1.35), выражая моменты производных от помеховой
функции через производные от сигнальной функции и применяя прави-
ла дифференцирования, аналогичные (3.1.39) — (3.1.41), после соответ-
ствующих преобразований получаем формулы для условных смещений
и функций корреляции оценок в виде
1 V А А Г М
2р222 Jj ki‘ vi dlivdliidl2i
Kik (lm | l*j =~Akif№).
(3.3.9)
(3.3.10)
Здесь Q — определитель порядка p с элементами
=[<52S(li, I2)/dludlzk], ; Am— алгебраические дополнения этого опре-
«О
делителя. Используя последнее выражение, смещение оценки можно
также записать в виде
Q'mk I О
dl^dl^dl^ ]1о-
Если ограничиться использованием лишь первого приближения, то
совместные оценки в первом приближении .несмещенные и имеют нор-
мальное распределение с корреляционной матрицей (3.3.10).
Аналогично оценке одного параметра можно показать, что корре-
ляционная матрица совместных оценок максимального правдоподобия
р произвольных параметров сигнала на фоне нормальных помех в рас-
сматриваемом приближении (3.3.10) полностью совпадает с корреля-
ционной матрицей несмещенных совместно-эффективных оценок. Таким
образом, совместные оценки максимального правдоподобия будут
асимптотически несмещенными (при р—>оо) и совместно-эффектив-
ными.
Конкретизируем выражения для функции корреляции и смещения
применительно к оценке двух параметров I и q сигнала s(t, I, q). Сиг-
нальная функция в обозначениях I и q имеет вид
т. е. в
^12—
(3.3.12)
выражениях (3.3.10) и (3.3.11) надо положить
l22—q2. Для вторых моментов оценки получаем
(3.3.14)
(3.3.15)
е—ВБ6
81
Здесь введены сокращенные обозначения для дисперсий Dt и Dq, функ-
ции корреляции оценок Kiq и сигнальной функции 5=5 (Zb Z2, qb q2).
Вместо функции корреляции между оценками обычно используют коэф-
фициент корреляции
Яо
dsS
dlidl2
d2S ]-i/2
^1^2 Jzo,9o
(3.3.16)
Используя обозначения (3.3.13)—i'(3.3.15), выражения для смещения
совместных оценок параметров I и q согласно (3.3.1.1) можем записать
в виде
I 9о)
d*S
1 ‘Ч dl\dq2 j
О 7Z2 d^S~
ll> dlidq^dq^
D^lQ
dsS |
)io,9o
У
(3.3.17)
(Ят I Ap <7o)
T{ i o/<2 i d
dl2tdl2 *4 dlsdlzdqi U^iqdl2dq\
К
dl\dq2
Ь 2АЛ« я/ f я
1 ч 'l4 dliOq^pq^
2 (PS )
qdq\dq2]^qo
(3.3.18).
Рассмотрим несколько частных случаев, представляющих интерес
при совместной оценке двух параметров I и q сигнала s*(Z, Z, q). Если
один параметр является энергетическим (Z), а другой — неэнергетиче-
ским (q), т. е. если
5(/„ /2, дг, дг)=S&, lv q, — q^—S(/„ 1г, д.2 — qj, (3.3.19)
то, очевидно, все нечетные смешанные производные по qi9 q2 в форму-
лах (3.3.13)—(3.3.18) будут равны нулю, а оценки параметров I и q
будут некоррелированными (Л/9=0). Оценка параметра q будет несме-
щенной, смещение оценки параметра I будет таким же, как при оценке
одного параметра Z, а дисперсии оценок будут совладать с дисперсия-
ми раздельных оценок.
Если параметры Z и q неэнергетические и сигнальная функция мо«
жет быть записана в виде
«S(Zb Z2, 7i, 92)=*S(Zi—Z2, 7i—72)=S(Z2—Zb q2—71),
то все нечетные смешанные производные по Zb Z2, 71 и q2 >в (3.3.17)
и (3.3.18) равны нулю и совместные оценки максимального правдоподо-
бия неэнерготических параметров будут несмещенными. Так как четные
смешанные производные (по Ц .и q2 или по /2 и 71) могут быть не рав-
ны нулю, то в общем случае совместные оценки двух неэнергетических
параметров коррелированы. Однако если сигнальная функция может
быть представлена как
•S(Zb /2, 7Ь q2)=S(\li
^|, |<71— 9г|).
(3.3.20)
то все частные производные нечетного порядка от сигнальной функции
по I и 7 равны нулю. Следовательно, оценки параметров I и q в этом
случае несмещенные и некоррелированные, а их дисперсии совпадают
с дисперсиями раздельных оценок.
82
ЗА ОЦЕНКА АМПЛИТУДЫ ’СИГНАЛА
Из оцениваемых параметров известного сигнала особое место за-
нимает амплитуда, для определения статистических характеристик ко-
торой можно получить точные формулы.
Итак, пусть смесь полезного сигнала и нормальной помехи, посту-
пающая на вход приемного устройства, имеет вид
x(t)=aosi (t) +n(/), 0</<Т, (3.4.1)
где aQ—безразмерный множитель (амплитуда), определяющий мощ-
ность сигнала и подлежащий оценке; $i(tf)—заданная функция вре-
мени. Помеха n(t) характеризуется нулевым средним значением и
функцией корреляции К(1г—
В 'Соответствии с (2.2.8) логарифм функционала отношения правдо-
подобия амплитуды равен
т т
М (а) =a f х (О V, (t) dt-^-[sx (t) v, (t) dt. (3.4.2)
J z J
о 0
Если априорный интервал амплитуды не ограничен, из решения
уравнения правдоподобия получаем выражение для оценки амплитуды
т
о
(3.4.3)
где
(0 yi (О & — отношение
сигнал/помеха для сигнала
еди
с
ничной амплитудой. Формула для оценки амплитуды вскрывает струк-
туру оптимального устройства для оценки неизвестной амплитуды
известного сигнала. Основной операцией является линейная операция
интегрирования x(t) с весом щ('О- Эта операция
может быть выполнена с помощью фильтра с им-
пульсной переходной функцией
h(t) = p~\ (T-t). Рис, 3.4.1. Структур-
ная схема оптималь-
Структурная схема оптимального приемного Ного устройства для
устройства для оценки амплитуды показана на оценки амплитуды,
рис. 3.4.1, где обозначено: ОП — оптимальный
фильтр с импульсной переходной функцией h(t); РУ — решающее
устройство, образующее отсчет выходного напряжения фильтра в мо-
мент времени t=T.
Вычислим статистические характеристики оценки амплитуды сигна-
ла. Среднее значение оценки равно
<«т) = р, 2 У кл (0 + <П (0)] (0 dt = «о,
о
(3.4.4)
т. е. оценка условно и безусловно несмещенная. Рассеяние оценки,
в данно.м случае совпадающее с дисперсией оценки, после несложных
вычислений с учетом (3.4.3) и (2.2.7) определяется выражением
6*
‘ ’ {(P"m ) Pl •
(3.4.5)
83
Аналогичные результаты для смещения и дисперсии оценки ампли-
туды получаются при использовании формул (3.1.44) и (3.1.45), если
в них вместо производных p2S(ai, а2) подставить соответствующие
производные ненормированной сигнальной функции S(Hi, n2)=Hin2p2i.
Для приема сигнала в белом шуме со спектральной плотностью No
рассеяние оценки амплитуды равно
(3.4.6)
т. е. рассеяние оценки амплитуды прямо пропорционально мощности
помехи на единицу полосы частот и обратно пропорционально энергии
полезного сигнала с единичной амплитудой. При приеме сигнала на
фоне нормальной помехи с экспоненциальной функцией корреляции
вида (2.3.4) опорный сигнал (с учетом нулевых значений сигнала
при t—О и /=Т) определяется формулой (2.3.6). При этом рассеяние
оценки амплитуды имеет вид
Пусть сигнал имеет колокольную форму
S1(0 = exp[-f(^-Q2] (3.4.8)
и «полностью» расположен внутри интервала наблюдения [0, 7]. Тогда,
подставляя этот сигнал в предыдущую формулу для' дисперсии оценки
амплитуды и распространяя пределы интегрирования на интервал
(—оо, оо), получаем
(ЗЛ.9)
На рис. 3.4.2 приведена зависимость нормированного рассеяния
оценки амплитуды £= ]/2я£)(я^| aJ/(4a2„) от величины у/a, характери-
зующей отношение полос спектров сигнала и помехи.
Поскольку оценка максимального правдоподобия ат является ре-
зультатом линейного преобразования суммы сигнала и нормальной по-
мехи, то при фиксированном истинном значении а0 условное распреде-
ление оценки w(am |a0) будет нормальным со средним значением а0 и
дисперсией pf~2.
Рассмотрим случай, когда априорный интервал определения ампли-
туды ограничен величиной Ао, т. е.
0<п<Ло. (3.4.10)
В этом случае оценка амплитуды ат так же не должна принимать
значений вне этого интервала и определяется как положение абсолют-
ного максимума функционала отношения правдоподобия (3.4.2) при
Подставив значение корреляционного интеграла из (3.4.3),
преобразуем (3.4.2) к виду
Л. (а) = ехр [a2mp2,/2 — р2, (ат — а)2/2].
(3.4.11)
Функция Aj (и) достигает максимума при а=ат, поэтому при
Если am<0, то функция Лг(а) на интервале [О, Ао] является
-84
монотонно убывающей функцией а и достигает максимума при п=0.
Если ат>АОу то Л1 (а) является монотонно возрастающей функцией а
на интервале [О, Ао] и, следовательно, достигает максимума при а=А0.
Таким образом, оценку амплитуды при ограниченном априорном интер-
вале можно записать как
(3 4.12)
Если учитывать последнее соотношение, структурную схему опти-
мального устройства для оценки амплитуды известного сигнала при
Рис. 3.4.2. Зависимость нормированного рассея-
ния оценки амплитуды от отношения полос спек-
тров сигнала и помехи.
ограниченном априорном интервале можно получить путем добавления
к структурной схеме, рис. 3.4.1 линейного ограничителя с характери-
стикой
Используя известные соотношения для преобразования плотности
вероятности случайной величины в нелинейной системе с кусочно-ло-
маной характеристикой [27], находим условную плотность вероятности
оценки
A8(°U +
бШ) = I
I
|о
Здесь
при 0<ат<А>
при ат<^.0, ат>А„.
(3.4.13)
А=1 — ф(«оР.); Pi= 1 — ф к (А — «»)]• (3.4.14)
Условное смещение оценки равно
b (ат\а„) —
по) w (nm|cz0) clcim
(А — о.) Р1 - со А +
Ь р 1 (2я) 1/2 {ехр (—а\р\/2) — ехр [—(Д, — а0)2 р\/2]},
(3.4.15)
т. е. оценка максимального правдоподобия амплитуды детерминирован-
ного сигнала при ограниченном априорном интервале является условно
смещенной. Однако при pi—>ioo из (3.4.14) и (3.4.15) получаем
85
b(dm]ao)‘—>0, т. e. асимптотически оценка несмещенная. При весьма
малых отношениях сигнал/помеха, т. е. при рг—И), fe(am|a0)—>
—>Ло/2—ао. Условное рассеяние оценки (3.4.12) определяется фор-
мулой
s («J«o) = ро + (А - «оГа + Р~ (1 — А - Р>) —
-----^==~ /«о ехр ( — — (А — я„) ехр Г —(Л° ~~-с)- р\ I. (3.4.16)
Р1У2те I \ 2 / L z JJ
При больших отношениях сигнал/помеха pi^>l и O<czo<^o эта форму-
ла совпадает с аналогичной формулой (3.4.5) для Ао—Если истин-
ное значение амплитуды совпадает с одной из граничных точек априор-
ного интервала, то при pi ^>11 выполняется приближенное соотношение
D («Ж) О.бр, 2>
(3.4.17)
т. е. рассеяние оценки оказывается в два раза .меньше, чем в случае
неограниченного априорного интервала.
С уменьшением отношения сигнал/помеха (pj—И)) условное рас-
сеяние (3.4.16) стремится к конечной величине
й(аи|ао)-»0,5[(12о + (А
«о)1>
в то время как рассеяние оценки с неограниченным априорным интер-
валом при pj—^-0 неограниченно возрастает.
Отметим, что хотя смещение и рассеяние оценки (3.4.3) вычисля-
лись как условные, они тем не менее не зависят от истинного значения
амплитуды По и являются одновременно безусловными.
Вычислим безусловные смещение и рассеяние оценки амплитуды
(3.4.12). Для этого условные характеристики (3.4.15) и (3.4.16) надо
усреднить по истинным значениям амплитуды По, априорная плотность
вероятности которой предполагается равномерной на интервале [0, Ло]«
Получаем, что безусловная оценка несмещенная, а безусловное рассея-
ние определяется выражением
йК)-рГ2[2ф(Др,)- 1]-Ь-|-Лг0[! — ф(Ар.)1 -
рГХ* I1 - ехР (-Л2о?V2)] - рГ’А ехР (~Л2оР!/2)- (з-4-18)
При больших отношениях сигнал/помеха безусловное рассеяние
переходит в рассеяние оценки, полученной при неограниченном априор-
ном интервале. Для весьма малых отношений сигнал/помеха, когда
рассеяние оценки (3.4.3) неограниченно возрастает, безусловное рас-
сеяние имеет конечный предел, равный среднему квадрату априорного
распределения амплитуды А2о/3.
3.5. ОЦЕНКИ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ, ЧАСТОТЫ, ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ
И ДЛИТЕЛЬНОСТИ СИГНАЛА
Для иллюстрации полученных выше результатов рассмотрим не-
сколько конкретных примеров.
1. Оценка начальной фазы узкополосного радиосигнала. Полезный
узкополосный радиосигнал на входе приемного устройства представим
в виде
s(/, %) = Р(0cosIю/ — Tel’ (3.5.1)
где фо — неизвестная начальная фаза. Учитывая
функцию (2.4.1) запишем как
(2.3.35), сигнальную
т
5 (<? — %) cos (ф — %) ~ J F (О V (0 dt = Р2 cos (ф — %). (3.5.2)
О
Здесь отношение сигнал/помеха р2 не зависит от конкретного значения
оцениваемого параметра, т. е. начальная фаза <р является неэнергети-
ческим параметром. Тогда согласно § 3.1 оценка максимального прав-
доподобия начальной фазы несмещенная, а дисперсия, определяемая
из (3.1.48), равна
। %)=-' (i+4-) • <3-5-3)
г \ г J
Из этого примера видно, что сигнальная функция, а следовательно, и
дисперсия оценки начальной фазы не зависят от вида амплитудной мо-
дуляции.
Оценка максимального правдоподобия начальной фазы в явном
виде может быть найдена из решения уравнения (3.1.2)
J х (t) V (t) sin <й0£ dt
= arc tg 4--------------------------= arctg .
J X (t) V (t) cos Сй0/ dt
(3.5.4)
Рис. 3.5.1. Структурная схема оптимальной
оценки начальной фазы радиосигнала.
Структурная схема измерителя начальной фазы представлена на
рис. 3.5.1. Аддитивная смесь сигнала и помехи подается на два умно-
жителя (смесителя), на вторые
входы которых поступают сигна-
лы от когерентного гетеродина Г
со сдвигом фазы один относи-
тельно другого на л/2. Затем сиг-
налы интегрируются в течение
времени Т и поступают на дели-
тель. На выходе делителя полу-
чается тангенс оцениваемой фа-
зы, значение которого через пре-
образователь Пр переводится
в оценку фазы фте.
Если в выражения для X и У (3.5.4) подставить принимаемую сум-
му сигнала и помехи, то нетрудно убедиться, что X и У — некоррелиро-
ванные нормальные случайные величины со средними значениями
р2 cos фо и р2 sin фо соответственно и дисперсиями р2. Для данного слу-
чая можно записать точное выражение для условной плотности вероят-
ности оценки начальной фазы [27]
w Ш?») г-= 4 е рг/2 4- р cos (^_ ¥с) ф [р cos (<pm — %)] X
ХехР {—[p2sin2 (<fm — ¥,)]/2}.
Используя эту плотность вероятности, можно найти точное значение
дисперсии оценки начальной фазы [18]
оо
0,8
0,6
ZZ4
Г
где Г(г)—гамма-функция; (а, р, у)—вырожденная гипергеометри-
ческая функция. Отметим, что так как оценка максимального правдо-
подобия начальной фазы условно не-
смещенная, то дисперсия оценки сов-
падает с рассеянием оценки.
На рис. 3.5.2 приведены зависимо-
сти дисперсии оценки начальной фазы
от величины отношения сигнал/помеха
р2. Кривая 1 представляет точное
значение дисперсии оценки, кривые
2 и 3 — соответственно значения дис-
персии оценки с учетом второго при-
ближения и дисперсии оценки с уче-
том только первого приближения.
Кривые позволяют оценить степень
точности приближенного решения
уравнения правдоподобия методом
малого параметра при использовании
первого и второго приближений.
2. Оценка частоты узкополосного'
радиосигнала. При приеме прямо-
Рис. 3.5.2. Зависимости дисперсии
оценки начальной фазы от отноше-
ния сигнал/помеха.
угольного радиоимпульса
на фоне белого шума со спектральной плотностью 7V0 и при* оценивае-
мом параметре — частоте Й — сигнальная функция согласно (2.4.1)
имеет вид
(3.5.6)
где AQ=Q—Qc, а отношение сигнал/помеха p2—a2QX1!llNo9 т. е. частота
Q является неэнергетическим параметром. Следовательно, оценка мак-
симального правдоподобия параметра Q будет несмещенной, а ди-
сперсия оценки находится из формулы (3.1.48):
D(Qm|Q0) = ^|
Р ъ:
(3.5.7)
Из этой формулы видно, что второй член в скобках, учитывающий вто-
рое приближение, при не очень больших значениях отношения сиг-
нал/помеха может иметь существенное значение и его необходимо учи-
тывать при определении дисперсии оценки частоты.
3. Оценка временного положения колокольного видеоимпульса. По-
лучим характеристики оценки максимального правдоподобия временно-
го положения то сигнала
SS
при оптимальном приеме на фоне белого шума оо спектральной плот-
ностью No. Параметр р0 характеризует быстроту убывания (длитель-
ность) полезного сигнала. Действительно, величина 2р0 равна длитель-
ности сигнала по уровню е-1 от максимума. Будем полагать, что при-
нимаемый полезный сигнал практически находится внутри интервала
наблюдения [О, Т]. Поэтому, заменяя в выражении для сигнальной
функции (2.4.1) пределы интегрирования на бесконечные и учитывая
(2.3.3), получаем
где р2 = a2J30 1/2tc/N0 — отношение удвоенной энергии сигнала к спек-
тральной плотности белого шума. Поскольку в данном случае то — не-
энергетический параметр, то его оценка максимального правдоподобия
будет несмещенной, а дисперсия оценки (3.1.48) равна
т
(3.5.9)
Найдем параметры (3.1.50) распределения оценки временного положе-
ния хт. В силу того, что параметр т—неэнергетический, т—ух~0,
а о2=£)(тт|то).
Подставляя значение нормированной сигнальной функции в (3.1.52),
получаем
Отсюда согласно (3.1.50) получаем приближенное выражение для плот
ности вероятности ошибки оптимальной
На рис. 3.5.3 приведены кривые
плотности распределения случайной
ошибки измерения временного поло-
жения Дт=тт—То, отнесенной к дли-
тельности р0 сигнала. Кривые по-
строены для различных отношений
сигнал/помеха по мощности р2. На
этом же рисунке для сравнения
штрихом нанесены плотности - вероят-
ности случайной ошибки измерения
Ат/Ро для эффективной оценки, или,
что то же самое, для первого прибли-
жения, когда
оценки параметра т.
Рис. 3.5.3. Плотности вероятности
ошибки оценки временного поло-
жения.
ог=р20/р2=О£(%). (3.5.10)
Из рассмотрения кривых рис. 3.5.3
следует, что вычисленное распреде-
ление оценки максимального правдоподобия незначительно отличается
от распределения эффективной оценки, хотя при отношении сигнал/по-
меха порядка 10 дисперсия оценки максимального правдоподобия ока-
зывается на 30% больше дисперсии эффективной оценки. Увеличение
дисперсии оценки максимального правдоподобия при не очень больших
отношениях сигнал/помеха по сравнению с дисперсией эффективной
оценки вызывает «расширение» пика плотности распределения. Однако
наличие положительного эксцесса частично компенсирует это расшире-
ние и обусловливает близость распределения оценки максимального
правдоподобия к распределению эффективной оценки.
Пусть сигнал (3.5.8) принимается на фоне помехи с экспоненциаль-
ной функцией корреляции (2.3.4) (энергетический спектр определяется
(2.3.4а)). Если определить эффективную полосу энергетического спек-
тра помехи К(<о) как
max
1
то для рассматриваемой помехи получим
Д/п=а/4.
Учитывая (2.3.6), выражение для сигнальной функции (2.4.1) мож-
но представить в виде
эк
а
Здесь
— удвоенное отношение энергии сигнала к эквивалентной спектральной
плотности помехи на единицу эффективной ширины спектра помехи.
Подставляя (3.5.12) в (3.1.46), находим формулу для дисперсии
оценки временного положения колокольного видеоимпульса на фоне по-
мехи с экспоненциальной функцией корреляции
(3.5.13)
При а—>оо (A/Zi—>:оо), т. е. если осуществляется предельный переход
К широкополосной помехе (белому шуму) таким образом, что о2/а=
=const, то 4a2n/a=cj2n/A/n—»Wo, а формула для дисперсии оценки со-
впадает с первым приближением (3.5.9). При сужении спектра помехи
а—>0 дисперсия оценки также стремится к нулю. Это объясняется тем,
что при а—>0 спектр помехи сосредоточивается около нулевой частоты
и при соответствующей фильтрации такая помеха практически не ме-
шает точному измерению положения максимума выходного сигнала.
Найдем соотношения между спектральными характеристиками по-
мехи и сигнала (при о2п, а0 и po=const), при которых дисперсия оценки
временного положения т 'максимальна. Максимизируя (3.5.13) по а,
получаем, что дисперсия оценки максимальна, если
На рис. 3.5.4 приведена зависимость нормированной дисперсии оценки
параметра т от отношения э
’ ’ ективных полос энергетических спектров
помехи и сигнала
90
где максимальное значение дисперсии оценки временного положения
равно
D (’mN
о/max
2°2»P%_
Vебтс
На рис. 3.5.5. приведено несколько нормированных сигнальных функ-
ций
S(t
S (т - %)/S (0)
для ряда значений параметров сф0.
4. Оценка длительности колокольного видеоимпульса. При нахож-
дении статистических характеристик оценки максимального правдопо-
^\Гд)
Рис. 3.5.4. Зависимость нормированной
дисперсии оценки временного положения
от сфо-
Рис. 3.5.5. Нормированная сигнальная
функция S(T—То).
добия длительности р0 сигнала (3.5.8) будем полагать, что временное
положение сигнала известно точно, а сам сигнал находится внутри ин-
тервала наблюдения.
Если прием сигнала производится на фоне белого шума со спек-
тральной плотностью NG, то сигнальная функция согласно (2.4.1) и
(2.3.3) определяется выражением
3(₽„ W=(ТГгЬтг • <3-5.Н)
Ро VP 1 I Р 2/
Подставляя это выражение в (3.1.44) и (3.1.45), получаем условные
смещение и дисперсию оценки длительности
б(|Ш)==₽о/Зр2>
(3.5.15)
П"о формулам (3.1.52) находим остальные параметры распределения
случайной ошибки оценивания Ap=ipm—ро:
Т1 = 21/6? (7 + 2Р2)-3/2,
уг==208р2/[3 (7 + 2р2)2].
-0,0 ~0,2 0 0,2 0,6Ц%Зо
Рис. 3.5.6. Плотности вероятности
ошибки оценки длительности сиг-
нала.
На рис. 3.5.6 построены кривые плот-
ности вероятности относительной ошибки
оценки длительности Др/р0 Для различ-
ных значений отношения сигнал/помеха
р2. Штрихом нанесены плотности вероят-
ности ошибки эффективной оценки, для
которой а дисперсия о2 сов-
падает с первым приближением диспер-
сии (3.5.15). В отличие от оценки вре-
менного положения распределение оценки
длительности несимметрично, так как ко-
эффициент асимметрии этого распределе-
ния положителен. Максимум плотности
вероятности смещен влево от среднего
значения оценки, но среднее значение
расположено справа от истинного значе-
ния параметра р0. В результате этого распределение незначительно от-
личается от распределения эффективной оценки.
Пусть оценка длительности сигнала производится на фоне помехи
с экспоненциальной функцией корреляции (2.3.4). Учитывая (2.3.6),
для сигнальной функции находим
Вычисляя необходимые производные от сигнальной функции и подстав-
ляя их в (3.1.44) и (3.1.45), получаем выражения для смещения и дис-
персии оценки длительности
Ь (Оо)
З^о 1 + 7/«2Р2о
Р%к (3 + 7/«2Р2с)2 ’
(3.5.16)
21
3
ЗИП
На рис. 3.5.7 и 3.5.8 приведены зависимости относительных смеще-
ния 6 (Р™ | Ро)/'₽о и дисперсии £>(р?п|Ро)/р20 оценки от отношения э
тивных полос энергетических спектров помехи и сигнала сфо при
(J2n/Afn=const и различных значениях величины р2эк. Из кривых следу-
ет, что смещение оценки длительности достигает максимума при наи-
большей скорости увеличения дисперсии. В интервале сфо> (5—6) сме-
щение и дисперсия оценки практически не зависят от соотношения меж-
ду шириной спектров сигнала и помехи и совпадают с формулами для
смещения и дисперсии оценки длительности на фоне «белого шума, если
положить 4о2п/а=М, так что р2эК^=Р2- В интервале аро<(1,25—1,5)
смещение и дисперсия оценки резко убывают с уменьшением ар©.
Применительно к рассмотрению первого приближения смещение
оценки равно нулю, а дисперсия оценки
(3.5.18)
Максимизируя это выражение по а (при о2п, «о и p0=const), полу-
чаем, что дисперсия оценки достигает максимального значения
D (Oo)max = > если ^„ = 1/7/3-1,53.
92
На рис. 3.5.9 приведена зависимость нормированной дисперсии
оценки т | ро) max от величины сф0, а на рис. 3.5.10 пред-
ставлено несколько нормированных функций
s (₽) = [S (₽0, ₽) — § ф, ,8)/21/S ф0, ₽в),
представляющих собой детерминированную составляющую логарифма
функционала отношения правдоподобия '(«выходной сигнал») при оцен-
ке длительности колокольного видеоимпульса на фоне рассматривав-
Рис. 3.5.7. Зависимость смещения оцен-
ки длительности сигнала от сфо-
Рис. 3.5.8. Зависимость дисперсии оцен-
ки длительности сигнала от сф0.
0,10,20,5 1 2 5 10 20afy
Рис. 3.5.9. Зависимость нормированной
дисперсии оценки длительности сигнала
от сфо.
Рис. 3.5.10. Нормированные функции
£(₽)-
мой помехи. Кривые 1, 2, 3 относятся соответственно к величинам
аРо^Ю”2, аРо^'Ю2 и аро=0,5.
5. Совместная оценка начальной фазы фо .и смещения частоты
прямоугольного радиоимпульса
?0) === «оcos [К + Йо)t + ф0], 0<£<ти (3.5.19)
при приеме на фоне белого шума. Применительно к оценке двух пара-
метров сигнальная функция согласно (2.4.4) определяется выражением
S(QV й2, <p2) = p2cos
г2/ /о О \ т /9
Вычисляя в соответствии с (3.3.13) — (3.3.18) необходимые производные
от сигнальной функции, убеждаемся, что оценки несмещенные, а дис-
93
Персии и ‘коэффициент корреляции оценок равны
Ря=12/р2< Д = 4/р\ ^ф = -}ЛГ/2. (3.5.21)
Из сравнения этих формул с первыми приближениями раздельных оце-
нок начальной фазы (3.5.3) и частоты (3.5.7) нетрудно видеть, что за
счет корреляции оценок их дисперсии при совместной оценке увеличи-
ваются в четыре раза.
6. Совместная оценка амплитуды и длительности колокольного ви-
деоимпульса
s(f, ро)=аоехр(—/7р2„) (3.5.22)
на фоне белого шума. Полагаем, что импульс полностью расположен
внутри интервала наблюдения. Тогда сигнальная функция параметров
а и р согласно '(2.4.4) и (2.3.3) равна
где р2 — отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотно-
сти белого шума. Вычисляя производные от -сигнальной функции в точ-
ке ai=a2=ao, ₽i==P2==po согласно (3.3.13) — (3.3.18), имеем выражения
для смещений, дисперсий и коэффициента корреляции оценок амплиту-
ды и длительности колокольного видеоимпульса
ШЛ- а0) = рв/р2, Ь(ат\%, а,) = 3ао/4р8.
£>₽=2psc/p8, Da = 3</2р2, R^ = - 1 /V3. (3.5.23)
Для сравнения полученных результатов с характеристиками раздель-
ных оценок выражение (3.4.5) представим в виде
D (ат | ао) =a2o/ip2. (3.5.24)
Тогда из (3.5.23), (3.5.24) и (3.5.15) видим, что за счет корреляции оце-
нок оценка амплитуды смещенная, смещение оценки длительности уве-
личивается в три раза, а дисперсии оценок амплитуды и длительности
увеличиваются в полтора раза.
7. Совместная оценка временного положения то и длительности ро
колокольного видеоимпульса (3.5.22) при приеме на фоне белого шума.
Как и выше, полагаем, что сигнал расположен внутри интервала на-
блюдения. Тогда сигнальная функция параметров р и т имеет вид
Выполняя дифференцирование и подставляя значения производных от
сигнальной функции в (3.3.13) — (3.3.18), убеждаемся, что оценки не
коррелированы, а их статистические характеристики совпадают с пер-
выми приближениями соответствующих характеристик раздельных оце-
нок временного положения и длительности, полученных в примерах
пп. 3 и 4.
94
Глава 4
ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ
ФЛУКТУИРУЮЩЕГО СИГНАЛА И СИГНАЛОВ
СО СЛУЧАЙНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ФАЗАМИ И АМПЛИТУДАМИ
4.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ФЛУКТУИРУЮЩЕГО СИГНАЛА
Рассмотрим оценку параметра нормального флуктуирующего сиг-
нала, т. е. сигнала, который при фиксированном значении оцениваемого
параметра является реализацией нормального случайного процесса.
Пусть на вход приемного устройства поступает аддитивная смесь
сигнала и помехи
= lenity (4.1.1
где £(Z, Zo)—нормально флуктуирующий (по времени Z) сигнал, пред-
ставляющий собой реализацию условного нормального случайного про-
цесса со средним значением
W Q (4.1.2)
и функцией корреляции
KJ4, t» 4) = <1Ч4> 4)-Q4> 4)11^ 4)-Ж, 4)1); (4.1.3
n(\t) —нормальный случайный процесс с нулевым средним значением и
функцией корреляции ^)- Считаем, что флуктуирующий сигнал и
помеха статистически независимы, так что
(С (4. 0^0=0.
(4.1.4)
Для получения оценки максимального правдоподобия приемное
устройство должно вырабатывать’ логарифм функционала отношения
правдоподобия М\(1) и определять положение 1т абсолютного максиму-
ма М (Z). Логарифм функционала отношения правдоподобия нормально
флуктуирующего сигнала определяется из выражения (2.6.7)
=4 f (х (Ох 1б (*>•
о о
О о
t„ I) dtjdt, - J- f J /) C (ts, I) X
о 0
хес(ц t2, i)dttdts—l^H(i),
(4.1.5)
95
где функции (Л, Z2, 0 и 0(Л, t2) находятся соответственно из реше-
ния интегральных уравнений (2.6.8) и (2.6.9).
Для определения характеристик оценки максимального правдопо-
добия 1т введем в рассмотрение сигнальную
S (Z) = (7И (Z)>
и помеховую
ft (Z) = М (Z) - (М (Z)>
составляющие. Тогда выражение (4.1.5) примет вид
М(/) =5 (/) + &(/).
(4.1.6)
(4-1.7)
(4-1.8)
Покажем, что при отсутствии помеховой составляющей, т. е. при
jV(Z)=O, логарифм функционала отношения правдоподобия достигает
максимума в точке истинного значения оцениваемого параметра. Най-
дем ^первую и вторую производные сигнальной составляющей в точке
/о. Подставляя в [dS(l)/dl]l выражение для М(1) из (4.1.5), выпол-
няя усреднение по реализациям помехи и сигнала, учитывая выражение
(2.6.8), имеем
dS (I)
dl
Uw rfz2=o.)
/ Iq
(4.1.9)
Аналогично можно доказать, что всегда выполняется неравенство
[rf2S(/)/d/2]Zo<0. (4.1.10)
Введем в рассмотрение отношение сигнал/помеха для принятого
сигнала
p2=Ss(/0)/<^(O) (4.1.П)
и нормированные сигнальную и помеховую составляющие
S(Z) = S(Z)/S(Z0), ЛГ(0 = дГ(0/]/(^(0>, (4.1.12)
для которых справедлива запись
max 5 (Z) = S (Zo) = 1, (№ (Zo)> = 1, (N (/)> - 0.
Используя (введенные обозначения, перепишем выражение для ло-
гарифма функционала отношения правдоподобия в виде
М (Z) = S (Zo) [S (Z) 4- s/V (Z)], (4.1.13)
где 8=1 /р. Тогда уравнение правдоподобия для оценки параметра нор-
мально флуктуирующего сигнала запишется в виде (3.1.7). Для доста-
точно больших отношений сигнал/помеха р, т. е. для e<<il, при отсут-
ствии аномальных ошибок оценивания приближенное решение уравне-
ния правдоподобия можно искать в виде ряда по степеням е (3.1.8),
где приближения Zb Z2, Z3 определяются формулами (3.1.13), в которые
96
надо подставить функции S(l) и №(Г) из (4.1.12). Если ограничиться
первым приближением, то случайная ошибка единичного измерения
Ы=1т—/o=e/i равна
Д/= — \dN /[d'S^/dl*]^ . (4.1.14)
Так как (2V(/)) = 0, то в первом приближении оценка несмещенная.
Дисперсия оценки определяется формулой
(4.1.15)
где
6j(Zp /)^Дг —
1_ f Г dKt (Л, ts, о d\ (tlt ts, I)
2 J J dl dl
о о
(4.1.16)
Очевидно, определяя последующие приближения /г и h согласно
(3.1.13), можно было бы найти второе приближение для смещения и
дисперсии оценки. Однако это требует весьма громоздких вычислений.
Рассматривая связь полученной оценки с несмещенной эффектив-
ной оценкой, дисперсия которой определяется формулой (1.3.15), не-
трудно показать, что первое приближение для дисперсии оценки макси-
мального правдоподобия параметра {нормально флуктуирующего сигна-
ла совпадает с дисперсией эффективной оценки. Поскольку погрешность
выражения (4.1.15) уменьшается с ростом отношения сигнал/помеха р,
то оценка максимального правдоподобия ’будет асимптотически несме-
щенной и эффективной. При этом сигнал £(/, I) и помеха n(t) являют-
ся в общем случае нестационарными нормальными случайными процес-
сами, а условие р—>оо, при котором оценка асимптотически эффектив-
ная, может быть выполнено на конечном интервале наблюдения Т.
Если полезный сигнал ?(/, Z) и помеха n(t) являются стационарны-
ми процессами с нулевыми средними значениями и время корреляции
их значительно меньше интервала наблюдения [О, Т], то выражение
(4.1.5) можно несколько упростить. Логарифм функционала отноше-
ния правдоподобия согласно (2.6.19) равен
М(1) = Т
l)dx-~H (Z),
(4.1.17)
где 0о(т, I) и Н(1) определяются из выражений (2.6.23) и (2.6.24), в ко-
торых /Q (со, /) и К (со)—спектральные плотности сигнала ч помехи
соответственно, а /С^(т) —измеренная в течение времени Т функция
корреляции принимаемой смеси случайного сигнала и помехи (2.6.17).
Из-за конечного времени наблюдения измерение функции Ах(т) осуще-
ствляется с ошибками, которые, естественно, тем меньше, чем больше
отношение времени наблюдения к времени корреляции измеряемого
процесса. Из (2.6.17) ‘нетрудно получить, что усредненное по реализа-
7—356 97
циям значение функции корреляции /Q(t) совпадает с истинным ее зна-
чением В(т, /o)=/0(t) +/Q (т, Zo). С учетом этих замечаний сигнальную
-составляющую S(Z) можно записать в виде
I
т
S (/) = Т J [К (т) + (Z, /„)] 0. (т, /) dt - 4 Н (/). (4.1.18)
О
Дисперсию оценки максимального правдоподобия параметра нор-
мально флуктуирующего стационарного сигнала при больших р в пер-
вом приближении находим из (4.1.15), где в спектральном представле-
нии [124]
[dKc(<o, /)/д/]М<о [
[К (со) + 7Q (со, /)]2 [
J с
(4.1.19)
В соответствии с (3.1.14) и (3.1.15) для стационарных сигнала и
помехи можно найти вторые приближения смещения и дисперсии оцен-
ки. После достаточно громоздких преобразований [124] формулы для
смещения и дисперсии оценки параметра нормально флуктуирующего
сигнала примут вид
Ь(Ш=-^(О'72. (4.1-20)
J12J40 — 6J2' - Jn +
| 10 12 13 1
ПЧ2
/20
J10
П;30
12 10
(4.1-21)
Здесь
оо
г д1К^ (<О, /) -р
#/Q(co, /) 1<7
и 2л
dl*
JZo L
dU
Нетрудно убедиться, что в первом приближении оценка несмещен-
ная, а дисперсия оценки совпадает с (4.1.15) при подстановке значения
пг2 из (4.1.19).
4,2. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО
ПАРАМЕТРА РАДИОСИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Получение приемлемых аналитических выражений для смещений и
дисперсий оценок произвольных параметров радиосигналов с неравно-
мерно распределенной начальной фазой не представляется возможным.
В связи с этим рассмотрим более частные задачи вычисления смещения
и дисперсии оценки:
— .неэнергетического параметра сигнала с равномерно распреде-
ленной начальной фазой (второе приближение);
— энергетического параметра, входящего только в огибающую ра-
диосигнала с равномерно распределенной начальной фазой (второе
приближение);
98
— неэнергетического параметра радиосигнала с неравномерно рас-
пределенной начальной фазой (первое приближение).
Вычислим смещение и дисперсию оценки неэнергетического пара-
метра I при приеме узкополосного радиосигнала
(Л /, <р)
F(t, I) cos ф (/,
/) —
(4.2.1)
начальная фаза ф которого случайна и распределена равновероятно на
интервале [—л, л]. В этом случае отношение сигнал/помеха ($(1) =
=p2=const, а параметр А априорного распределения (2.5.9) следует
положить равным нулю. Тогда выражение для функционала отноше-
ния правдоподобия (2.5.10) значительно упрощается и принимает вид
А (/) = /0 [1? (/)] е
(4.2.2)
где R(l)—выходной сигнал оптимального приемника, определяемый
формулой (2.5.14).
Функционал отношения правдоподобия является монотонной функ-
цией выходного сигнала оптимального приемника. Поэтому положение
абсолютного максимума Л(/) совпадает с положением абсолютного ма-
ксимума /?(/). Структуру оптимального устройства для нахождения
оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра
узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной
начальной фазой получаем, включив на выход оптимального приемни-
ка решающее устройство для определения положения абсолютного ма-
ксимума огибающей /?(/). В соответствии с этим оценка максимального
правдоподобия определяется из решения уравнения
[dRa)fdlV =0
т
(4.2.3)
при условии, что решение уравнения ищется в окрестности абсолютного
максимума R(l) и этот максимум расположен внутри априорного ин-
тервала значений оцениваемого параметра.
Подставим значения квадратурных составляющих (2.5.18) и (2.5.19)
в выражение для /?(/)
Я (Z) = {[Sc (/„, Z) cos <р„ + (/„, Z) sin <р0 + Nc (Z)]8
+ [S£ (Z„ Z) sin <j>. - Ss (Zo, Z) cos ?0 + Ns (/)]=}’/2
(4.2.4)
и введем в рассмотрение нормированные сигнальные и помеховые со-
ставляющие выходного сигнала оптимального приемника
5С(/.. Z)=SC(Z„ 0/р8, Ss(Z0, 0=£(/.. /)/р2; (4.2.5)
zvc(/)=#c(/)/p, 7\Ц0=Х(0/р-
(4.2.6)
Выражая выходной сигнал оптимального приемника
нормированные функции, получаем
(4.2.4) через
где
7? (0 = Р7 (0,
г [G2 (Zo, 0 4- 2еЛ7, (7) + «W, (0]’/2
— нормированный выходной сигнал оптимального приемника.
7*
99
Здесь 8=1 /р;
Nt(t)=Nc(l)[Sc(l9, /) cos <р0 4-Ss (/., /)sin<p„] +
+ Ns (0 [5C (4, /)sin<p0 — Ss(lei /)cos<?0];
Ar2(Z) = №c(Z) + ^(/);
G(l„ 1г)=6(1и 12)/p\
(4.2.9)
а функция G(Zb Z2) определена в (2.5.30), причем для рассматриваемо-
го неэнергетического параметра в соответствии с (2.5.36)
maxG(Zb Z2)=G(Z, Z)=l.
Уравнение правдоподобия принимает вид
[dr(l)/dl]. =0-
т
(4.2.10)
Приближенное решение этого уравнения будем искать в предполо-
жении больших отношений сигнал/помеха р, т. е. малых 8, полагая, как
и ранее, что аномальные ошибки отсутствуют. Разложим функцию
r(Z)=r(8, Z) в ряд Маклорена по 8. Отбрасывая члены разложения,
содержащие 84 и в более .высоких степенях, находим
г (Z) = G (Zo> Z) 4- еЛ (Z) + е2В (Z) + е’С (Z) +..., (4.2.11)
где
H(2)=^(Z)/G(Z0, Z); В (Z) = [N2 (Z) - N\ Z)][2G(Z0, Z)]’1;
c (Z)= - Nx (l„ I). (4.2.12)
Поскольку maxG(/o, Z)=G(Z0, /0), то в отсутствие помехи (e=0)
решение уравнения правдоподобия
(4.2.13)
совпадает с истинным значением параметра Zo. Поэтому приближенное
решение уравнения можно искать в виде (3.1.8).
Для определения приближений Zb /2, h разложим функцию в квад-
ратных скобках в ряд Тейлора по Z в окрестности точки 1=1о. Подстав-
ляя в это разложение 1т из (3.1.8) и приравнивая нулю коэффициенты
при одинаковых степенях е, получаем уравнения
г d2G(Z-Z0)
dlz
dl
(4.2.14)
(Z) ____ Q
d2G(Z-Z0)
2 dlz
(4.2.15)
d*G (Z — Zo)
dl*
dzA (I)
2
l\ d*A(l)
dl2
dC (Z) '
dlz
dl
Q
(4.2Л6)
100
В этих уравнениях учтено, что в силу G(Iq9 l)=G (Zo—l)=G(l—Zo) все
нечетные производные от G(l^ I) в точке /о равны нулю. Решения урав-
нений определяют искомые приближения:
Здесь
(4.2.17)
Смещение и дисперсию оценки максимального правдоподобия не-
энергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной
равномерно распределенной начальной фазой получаем, подставляя
значения Zb /2, 4 в (3.1.14) и (3.1.15). Используя (4.2.6), находим, что
оценка несмещенная, а дисперсия оценки определяется выражением
<n\)(n22)
3
2
4
2
\)2
3
3
(4.2.18)
Определяя моменты помеховых составляющих, входящие в выра-
жение для дисперсии оценки параметра, используя (4.2.6) и учитывая,
что помеховые составляющие выходного сигнала оптимального прием-
ника Nc(l) и Ns(l) —нормальные случайные процессы и для них спра-
ведливы соотношения, аналогичные (3.1.20) — (3.1.22), находим
D(lm | А ?о)
₽2
dl2
v 1-1
4)
L А । \ >
(4.2.19)
В первом приближении, т. е. при /т=/0+в/ь оценка также будет
несмещенной, а дисперсия ее -будет равна
& ?о)
-{P2[d2G(/-/o)mo}-’.
(4.2.20)
Вычисленные условные смещения и дисперсии оценки не зависят
от истинных значений неизвестных параметров Zo и <р0 полезного сигна-
ла. Поэтому они совпадают с соответствующими безусловными харак-
теристиками оценки.
Если оцениваемый параметр / входит только в огибающую узко-
полосного радиосигнала без фазовой модуляции, то согласно (2.3.35)
(2.5.15) и (2.5.30) /2)=0 и G(Z—ZO)=SC(Z—Z0)=S(Z—Z.o), где
S(l—Zo)—сигнальная функция при приеме сигнала (4.2.1) с априори
известной начальной фазой <р. Это позволяет провести сравнение харак-
теристик оценки параметра Z, закодированного в огибающей сигнала
с известной и случайной начальными фазами. Действительно, из срав-
101
нения (4.2.19) и
шением
(3.1.48) находим, что дисперсии их связаны соотно-
^о)
D(/m|/0) + D£(/0)/p2.
(4.2.21)
Здесь De(10) —дисперсия эффективной оценки параметра известного
сигнала, совпадающая с первым приближением (3.1.46). Следователь-
но, начиная со второго приближения, всегда выполняется неравенство
(4.2.22)
т. е. дисперсия оценки неэнергетического параметра, закодированного
в огибающей радиосигнала со случайной равномерно распределенной
начальной фазой, всегда больше, чем дисперсия оценки того же пара-
метра при приеме радиосигнала с известной начальной фазой. Это уве-
личение физически можно объяснить тем, что из-за незнания начальной
фазы вместо когерентной обработки осуществляется нелинейная неко-
герентная обработка смеси сигнала и помехи. В результате такой обра-
ботки происходит «подавление» полезного сигнала помехой за счет по-
явления дополнительных ее составляющих В(1) и 0(1) в (4.2.11).
4.3. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА
РАДИОСИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Если оцениваемый параметр I узкополосного радиосигнала (4.2.1)
со случайной равномерно распределенной начальной фазой является
энергетическим, то необходимо учитывать зависимость отношения сиг-
нал/помеха <2(0 от оцениваемого параметра. Логарифм функционала
отношения правдоподобия в этом случае получаем, положив в (2.5.10)
Л=0:
М (/) = In /0 у? (/)] - Q (Z)/2,
(4.3.1)
где R(l) —выходной сигнал оптимального приемника узкополосного
радиосигнала со случайной
равномерно распределенной начальной фа-
зой. R(l) определяется выражением
Рис. 4.3.1. Структурная схема
оптимального устройства.
(2.5.14).
В соответствии с (4.3.1) структура
оптимального устройства для получения
оценки максимального правдоподобия
энергетического параметра узкополосно-
го радиосигнала с равномерно распреде-
ленной начальной
азой представлена на
рис. 4.3.1. Здесь 077 — оптимальный при-
емник (рис. 2.5.1 при Сх=С2/=0), вы-
ходной сигнал которого поступает на
.нелинейный элемент НЭ с характеристикой In/©, а затем на сумматор.
На второй вход сумматора подается вырабатываемый генератором Г
детерминированный сигнал — <£(/) /2. Выходные эффекты сумматора при
различных значениях параметра I сравниваются между собой в реша-
ющем устройстве РУ, указывающем значение параметра /т, при кото-
ром выходной эффект сумматора достигает абсолютного максимума.
Положив <2(/)=const, приходим к структуре оптимального устройства
для приема радиосигнала с неэнергетическим параметром.
D I 4»
102
Обозначим, как и ранее при оценке произвольного параметра из-
вестного сигнала, р2=ф(/0) —отношение сигнал/помеха для принятого
сигнала и перейдем к нормированным функциям
r(Z)=/?(Z)/р2, Q(Z)=<5(Z) /р2.
Тогда формула для логарифма
примет вид
ункционала отношения правдоподобия
М (Z) = In /0 [Р2г (/)] - p2Q (0/2.
(4.3.2)
(4.3.3)
Нормированная огибающая выходного сигнала оптимального при-
емника r(Z) 'определяется формулой (4.2.8). Однако нормированные
функции G(Zo, Z), Sc(Zo, Z), Ss(lG, /), Nc(l) и Ns(l) необходимо подстав-
лять с учетом энергетического характера оцениваемого параметра.
Полагая, что отношение сигнал/помеха для принятого сигнала
(р2) велико и аномальные ошибки оценивания отсутствуют, можем,
используя асимптотическое представление функции /oi(z) при г^>1, за-
менить (4.3.3) в окрестности оценки максимального правдоподобия 1т
приближенным выражением
/И(/)^р2 r(Z)
I ~ F2
~-Q(Z)~-2-lnr(Z)
(4.3.4)
В этом выражении отброшены члены, не зависящие от Z, и члены,
имеющие порядок малости е3 и выше, так что относительная погреш-
ность приближенного выражения М(1) имеет величину порядка е2 Тог-
да уравнение правдоподобия принимает вид
f
l-Q(Z)-4-lnr(Z)]l
_ J
0.
(4.3,5)
Найдем первые приближения для смещения и дисперсии оценки
максимального правдоподобия. Рассматривая левую часть уравнения
правдоподобия как функцию е, разложим ее в ряд Маклорена. Учиты-
вая лишь первые два члена разложения, находим
dS (Q
dl
dN'(l)
dl
(4.3.6)
г
т
где
S(l)=G (lt, Z) — Q (Z)/2,
(4.3.7)
7V(Z)
G-(Z0> Z) {7VC (Z) [Sc (Zo,
I) cos <p0 4- (Ze, I) sin <p0] +
+ Ns(l)lSc(^ Z) cos%]}.
(4.3.8)
Покажем, что функция s(/)=p2S'(Z), а следовательно, и функция
S(Z) достигают максимума при Z=Z0. Для этого рассмотрим помеховую
функцию двух параметров I и <р
ZV(Z, <р) = /, y)dt.
6
(4.3.9)
Так как фаза всегда неэнергетический параметр, то
(№(/, ?))=Q(Z).
(4.3.10)
103
Используем очевидное неравенство
{<[&(/»> ?)]2)}>0,
откуда, выполняя усреднение, имеем
/, %, ?)i<iq(/)+:q(Q]/2.
В’силу (2.5.30)> (2.5.34)
G (/,, /) - <2 (1)12 < Q (/0)/2.
(4.3.11)
(4.3.12)
_
Так как S (Z0) = Q (Zo)/2, то, возвращаясь к нормированной функции,
можем записать
max S (Z) —S (4) = 1 /2.
(4.3.13)
Поэтому для получения .первого приближения оценки /m=Z0-FeZ] вос-
пользуемся первым ^выражением (3.1.13)
dN (l)/dl
d2S (I) /dl2
4>
(4.3.14)
Согласно (3.1.18) и (4.3.8) получаем, что в первом приближении оцен-
ка параметра несмещенная, а дисперсия оценки максимального прав-
доподобия параметра узкополосного радиосигнала со случайной на-
чальной фазой в первом приближении равна
-2 Г d2G (llt l2) ' -
(4.3.15)
Если оцениваемый параметр является неэнергетическим, то
G(lu l2)—G(l\—Z2)—G(Z2—h) и выражение для дисперсии оценки со-
впадает с (4.2.20).
В прикладных задачах вычисления характеристик оценки часто
удобнее пользоваться комплексным представлением полезного s(i, I, ф)
<и опорного z)(iZ, Z, ф) сигналов. При этом сигнальная функция (2.5.30)
и интегральное уравнение (2.5.3) принимают вид
Ъ ^)dt
(4.3.16)
\K(t — t)v (%, I, <f)dt
0
s(f,_ Z, <p).
(4.3.17)
Рассмотрим связь полученной оценки с эффективной оценкой, дис-
персия которой определяется выражением (1.3.21). При больших отно-
шениях сигнал/помеха спра;ведливо приближенное представление лога-
рифма функционала отношения правдоподобия '(4.3.1) в виде
2W(Z)~p2S(Z) +pAZ(Z).
(4.3.18)
Учитывая <AZ(Z)>—0, находим, что дисперсия эффективной оценки
совпадает с (4.3.15). Следовательно, оценка максимального правдопо-
добия энергетического параметра узкополосного радиосигнала со случай-
ной равномерно распределенной начальной фазой является асимптоти-
, 104
чески (при р- ->оо) несмещенной и эффективной. Очевидно, это
утверждение относится и к оценке неэнергетического параметра
(§ 4.2).
Используя метод малого параметра, можно было бы получить вы-
ражения для вторых приближений смещения и дисперсии оценки ма-
ксимального правдоподобия энергетического параметра узкополосного
радиосигнала со случайной начальной фазой, когда оцениваемый энер-
гетический параметр входит как в огибающую, так и в фазу сигнала.
Однако вычислительные трудности, возникающие при этом, оказыва-
ются весьма значительными и не удается получить приемлемые для ин-
женерных вычислений формулы. Так как энергетические параметры
в большинстве случаев входят лишь в огибающую радиосигнала, то
вторые приближения для характеристик оценки максимального прав-
доподобия энергетического параметра радиосигнала найдем для слу-
чая, когда оцениваемый параметр входит лишь в огибающую радиосиг-
нала, т. е. полезный сигнал имеет вид
s('t, Iq, Zo) cos [oof—фо],
(4.3Я9)
где начальная фаза по-прежнему предполагается распределенной рав-
новероятно на интервале [—л, л]. Тогда характеристики оценки энер-
гетического параметра радиосигнала со случайной начальной фазой
в первом приближении совпадают с соответствующими характеристи-
ками оценки параметра радиосигнала с известной начальной фазой. Дей-
ствительно, в этом случае Ss(/b Z2) = 0 и
G(Z„
Se (Z„
А)
т
S(A. l^dt’ С4-3-20)
о
где S(Zi, Z2)—сигнальная функция при приеме сигнала с априори из-
вестной начальной фазой. Из сравнения формул (4.3.15) и (3.1.46)
имеем
D(lm\Zo, фо) (Z™|Zo), (4.3.21)
т. е. незнание начальной фазы узкополосного радиосигнала не сказы-
вается на характеристиках оценки в первом приближении.
При приеме сигнала (4.3.19) выражение для нормированной оги-
бающей выходного сигнала оптимального приемника приобретает вид
г (Z) = [S2 (A, Z) + 2sS (Z„ Z) TV, (Z) + sW, (Z)],/2 , (4.3.22)
где
S(Z0, Z)=>S(Z0, Z)/PE;
(0 = Nc (Z) cos % + Ns (Z) sin %;
(4.3.23)
(4.3.24)
ZV2(Z)=№c(/) + №s(Z). (4.3.25)
Для сигнала (4.3.19) опорный сигнал оптимального приемника
(2.3.35) равен
o(f, Z, ф)=У(/, /) cos [W—ф], (4.3.26)
105
так что теперь в соответствии с (2.5.16)
Nc(l) = p~1 n(t)V(t> I) cos (nJ dt, (4.3.27)
о
Ns (Z) - р"1 J и (Z) V (t, I) sin (njdt, (4.3.28)
о
а для нормированных функций S(Zb Z2), Л4(0, A7e(Z) справедливы вы-
текающие из результатов § 2.5 соотношения
{Nc (0) — (Ns (0)=О, {Nc (ZJ Ns (Z2)) 0,
(Л4 (4) *4 (4))—(4) Ns (4)) - S (4, 4).
s (4, 4) -1 > (№s (4)) - № (4)) = i. (4.3.29)
Подставим значение r(l) в уравнение (4.3.5) и, рассматривая ле-
вую часть этого уравнения как функцию в, разложим ее в рядМакло-
рена. Отбрасывая члены разложения порядка малости е4 и выше, полу-
чаем уравнение правдоподобия
/ 4 [S (/)+г а (/) + ев (Z)+ес (/)] I = о.
I и г т
(4.3.30)
Здесь
Л (/)=АГ, (0;
(0_______L
Х(/о, Z) 2
I Г ^,(0
2 S2(Z„, 0
I —
lnS(Z0, Z) ;
С(/)
А'1 (0
S(Z0, Z)
Nt (Z) АГг (Z)
S2(Z0, Z)
5 (Z) = S (Zo, Z) — Q (Z)/2.
Поскольку, как показано выше, функция S(l) достигает максиму-
ма при Z=Z0, приближенное решение уравнения правдоподобия будем
искать методом малого параметра. Разлагая функцию в квадратных скоб-
ках в левой части (4.3.30) в ряд Тейлора по I в окрестности точки Zo,
подставляя в это разложение значение 1т >из (3.1.8) и приравнивая
нулю коэффициенты при е в одинаковых степенях, приходим к выра-
жениям
(4.3.31)
(4.3.32)
(4.3.33)
Используя соотношения (4.3.29), нетрудно показать, что первые
два момента помеховых составляющих ZVi(Z) и Nz(l) соответственно
106
равны
(ЛГ.(/)) = О, <лш az2 (z2>)=о>
{Nt(h)NA^}=S(lt, Z2),
(4.3.34)
<^S(Z)> = 2Q(Z), (A'2(Z1)ZV2(Z2)) = 4[Q(Z1)Q(Z2) + S!(Z], Z2)].
Подставляя значения Zb Z2, Z3 в (3.1.14), (3.1.15) и выполняя усред-
нение, получаем формулы для определения условных смещения и дис-
персии оценки произвольного параметра, закодированного в огибаю-
щей узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой:
1 k)/dl\dlz]to
2р2 [d°S(lt, l2)/dlxdl2}\'
(4.3.35)
To)
1
P2[d2S(/v 1,)/д1гд12]1о
1 [dQ(l)/dl]z
P2 8fd2S(lit 12)/д1гд12
d*S (llf l2)/dl\dl2
?2ld2S(llt /2)/dZ1d/2]2
7 [d3S(/12 12)/д1\д12]2 |
2p2 y/ay/2]3 |Zo-
(4.3.36)
Сравним характеристики оценки произвольного параметра, закоди-
рованного в огибающей узкополосного радиосигнала со случайной на-
чальной фазой, с характеристиками оценки при приеме этого же сиг-
нала с априори известной начальной фазой. Из (3.1.44) и (4.3.35) ви-
дим, что в рассматриваемом приближении условные смещения оценок
совпадают. Учитывая (3.1.45), выражение для дисперсии оценки энер-
гетического параметра сигнала со случайной начальной фазой можно
записать в виде
D(lm I Zo> То) = D (lm | /0)+р-
1
8
dQ (/) I2
dl
dzS (/t,/2)l-1 |
д1гд12 | Zq
(4.3.37)
Как и следовало ожидать, дисперсии оценок параметра, закодирован-
ного в огибающей, отличаются только во втором приближении, а в пер-
вом приближении совпадают.
Перепишем формулу (4.3.37) в виде
D (lm 14, ?.) = D (lm I Zo) -}- D\ (Z„) + 4
FdQ (О
dl
где De(Zo) —дисперсия эффективной оценки параметра Z, определяемая
из (3.1.46), а
= (/,, /2)_1_ fdQ (Q у]
dlxdl2 4Д dl j JZo‘
. Как показано ниже, всегда выполняется условие
т)^0,
поэтому
D (^т [ Zo, <Ро) D (1т | Zo).
(4.3.38)
(4.3.39)
Следовательно, незнание начальной фазы приводит в общем случае
к ухудшению качества оценки.
Для доказательства неравенства (4.3.38) рассмотрим вспомога-
тельную функцию
t/(Z)=S2(Z0, Z)/Q(Z). (4.3.40)
107
Воспользовавшись очевидным неравенством
{№ (/) /Q (/.) ± Nc (lt) МОП} > О,
получим известное соотношение для функции корреляции нестационар-
ного случайного процесса
I s (/., /) ]< VQ (Z.) Q (Z).
Из этого выражения следует, что [S2(/o, 0/Q(0]^Q(M й
Поскольку U(l) имеет максимум в точке /о, то всегда [d2U(l) /dl2]lo^.
Учитывая соотношения (3.1.39) и (3.1.40), нетрудно показать, что
т]=—0,5[d2U(I) /dl2^ .Отсюда доказывается справедливость неравенства
(4.3.38), а следовательно, и справедливость выражения (4.3.39).
4.4. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА
РАДИОСИГНАЛА С НЕРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Рассмотрим влияние априорной информации о начальной фазе на
качество оценки параметра радиосигнала ,в первом приближении приме-
нительно к оценке неэнергетического параметра.
При приеме узкополосного радиосигнала (4.2.1) со случайной рав-
номерно распределенной начальной фазой дисперсия оценки максималь-
ного правдоподобия неэнергетического параметра в первом приближе-
нии определяется выражением (4.2.20), которое перепишем в виде
Г) (1 I / ml__________—______ I 1 ! (4 > 0 МЛ2 | -”1 /Д 4 ] \
v 9М— p2[^sc(Z.,/)/d/2]Zo 1 cPS^l^/dP flo [ >
Согласно (3.1.46) и (2.5.35) дисперсия оценки максимального прав-
доподобия неэнергетического параметра сигнала (4.2.1) при условии,
что начальная фаза ф0 априори точно известна, может быть представ-
лена как
D (1т К) = - {р2 RZ2^ (l„, imo}- *• (4.4.2)
Следовательно, на основании этих формул можем записать
O(UUM(U)«.. (4.4.3)
где
. i, I [dSs(l0,l)/dl]* |,44zn
• и-4-4)
Так как для неэнергетического параметра всегда выполняется неравен-
ство [d2Sc(lo, I) /dl2]to <0, то 61^1 и
D (1т | Z.) < D (1т | Z., ?0). (4.4.5)
Если начальная фаза сигнала неизвестна, то оценку параметра I
можно получить путем совместной оценки двух неизвестных параметров
I и ф и дальнейшего использования лишь оценки параметра I. Сигналь-
ная функция двух параметров I и ф определяется выражением (2.5.34),
которое для нормированных функций принимает вид
5 (Ц, 1г, ?2) = 5С (Ц, к) cos (<р, — <рг) + Ss (Z„ Za) sin (?, — (4.4.6)
108
Согласно § 3.3 совместные оценки максимального правдоподобия
параметров I и ф несмещенные. Подставляя (4.4.6) в (3.3.13) и (3.3.14),
дисперсии этих оценок можно представить в виде (4.4.3) и
D I Zo> То) = D <!tm I ?о)
где D (срт|<ро) —дисперсия раздельной оценки начальной фазы узко-
полосного радиосигнала, первое приближение которой определяется
(3.5.3).
Таким образом, дисперсия оценки максимального правдоподобия
параметра I узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой
совпадает с дисперсией при совместной оценке параметров I и <р.
Коэффициент корреляции совместных оценок максимального прав-
доподобия параметров I и фсогласно (3.3.16) и (4.4.6) равен
»(4.0/^]/[Г- d2Sc (/., (4.4.7)
Используя это соотношение, выражение для 61 можем
как
переписать
(4.4.8)
Отсюда следует, что если совместные оценки параметров /и <р не корре-
лированы, то 61=1 и дисперсии оценок .неэнергетического параметра
при приеме радиосигнала с известной и неизвестной начальными фаза-
ми равны.
Таким образом, отсутствие априорной информации о начальной
фазе даже в первом приближении приводит к ухудшению качества
оценки параметра Z, если совместные оценки I и ф коррелированы. Уве-
личение дисперсии оценки неэнергетического параметра, вызванное ап-
риорным незнанием начальной фазы радиосигнала, зависит от коэ
циента корреляции совместных оценок параметра I и фазы ф.
J1LII
Рассмотрим оценку неэнергетического параметра узкополосного ра-
диосигнала, полагая, что начальная фаза сигнала имеет неравномер-
ную априорную плотность вероятности (2.5.9). Поскольку при оценке
неэнергетического параметра ^(/)=p2=const, выражение для функцио-
нала отношения правдоподобия (2.5J10) принимает вид
A(Z) = -7a^Fexp (4-4’9)
В силу монотонности функции /о (z) положение абсолютного максиму-
ма Л(0 совпадает с положением абсолютного максимума выходного
сигнала оптимального приемника 7?а(0- Поэтому оптимальное устрой-
ство для получения оценки максимального правдоподобия можем полу-
чить, включив на выходе оптимального приемника (рис. 2.5.1) решаю-
щее устройство, которое должно определять значение параметра 1=1т,
где — положение абсолютного максимума
Вычислим смещение и дисперсию оценки параметра I. Для этого
подробнее рассмотрим функцию Ra(1) (2.5.11), которую можно пред-
ставить как модуль суммы двух векторов Zi=[X, У] и Z2=[Cx, Crl-
Составляющие этих двух векторов представим через мнимую и дейст-
вительную части комплексных функций:
X(Z) = X=Re \x(t)v(t,l)dt9
b
109
а
у (/) = У=Im х (/) v (t, /) dt,
Сх=Re А ехр (/В), - Cy=ImAexp(/B),
где
v (t, l)=V (t, I) exp {/ +$ (t, /)]}.
(4.4.10)
Учитывая далее, что для произвольного комплексного числа 6=Re6 +
+/1тб справедливо равенство
]'b | = )/(Refe)2+(Im&)2 ,
(4.4.11)
функцию RA(l) запишем в виде
Ял(0 = ^x(t)v(t,l)dt + A
о
е'в
Введем также в рассмотрение комплексное представление полезно-
го сигнала
«l9> ?о) = F (t, 1а) ехр {/ [®/ 4- ф (/, 1„) — <р0]}
и обозначим
S (/„0 =4- j F (t, ln) V (t, I) exp {/ № (I, I) - ф (/, /„)]} dt,
0
N (I) = С n (0 V (t, I) exp {/ [<V +Ф (t, /)]} dt.
о
(4.4.12)
(4.4.13)
(4.4.14)
Подставляя принимаемую сумму сигнала и помехи в выражение
для Ra(1), получаем
Ra (/) = IS (/., о е * + й(!)+А^в\.
Учитывая, что
max S (/0,1) = р2,
и полагая отношение сигнал/помеха рг^>1, можем записать прибли-
женное соотношение
RA&S(l)+$(l), (4.4.15)
где сигнальная $(1) и помеховая R(l) составляющие определяются как
§ (0 = { s (4,0 S* (4, /) + A S (1Л, I) ехрй- / (В - ?.)] +
+AS* (le, I) ехр [/ (В - т.)] А2},/2 ,
ЛГ (/)=Re {N* (/) [S (/„, /) е/<₽« 4- Ае/В]}/S (/),
причем (/У(/))=0,
a [dS(l)/dl^O.
ПО
Погрешность приближенного представления (4.4.15) уменьшается
с ростом отношения сигнал/помеха р2. Кроме того, при больших отно-
шениях сигнал/помеха и любых А
[<32 (/„))) »[{й2 (/„))]. (4.4.16)
Здесь усреднение выполняется как по реализациям помехи n(t), так и
по значениям случайной фазы ф0. Если обозначить p2max=(p2+7l), то
при р^>1
<? ('.)> * (If (‘Л - р’„„.
что подтверждает справедливость предыдущего неравенства.
Так как функционал отношения правдоподобия монотонно зависит
от выходного сигнала оптимального приемника Кл(1), то уравнение
правдоподобия можно записать в виде
[dR^/dty^O.
Для нахождения смещения и дисперсии оценки рассмотрим первые
приближения. Для этого, полагая отношение сигнал/помеха достаточно
большим, разложим функцию Ra(1) в ряд Тейлора в окрестности точки
/о и ограничимся тремя первыми членами разложения. В этом случае
выражение для случайной ошибки оценки Д/=/т—/о можно записать
dS (Z) /dl + dN (/) /dl
d2S (I) /dl2
(4.4.17)
Усредняя случайную ошибку оценивания по реализациям помехи
л(/) при фиксированных и фо, находим условное смещение оценки
Q'tn 1 *о’ ?о)-----
dS (I) /dl
d2S (/) /dl2
(4.4.18)
to
т. e. условная (по отношению к /о и ф0 ) оценка в общем случае сме
щенная.
Выразим функцию 5(7) через нормированные квадратурные состав-
ляющие выходного полезного сигнала Sc(/o, I) и Ss(/o, /). Согласно
(2.5.15) и (4.4.13) имеем
Sc (/0,0 = р-2 ReS (70, /), (/0, /) == - р-2 Im 5 (4, /).
Тогда функция S(Z) будет определяться выражением
S (Z) = [p4S2c (l0,1) 4- (4, Z) + 2AfSc (lt, I) cos (В - ¥e) -
- 2Лр25я (Zo, Z) sin (B - ?0) + Л2],/2.
Подставим в (4.4.18) значения производных функций S(/), учитывая,
что для неэнергетического параметра Sc(/o, I)—четная, a Ss(/o, I)—
нечетная функция разности своих аргументов. Получим
ь (!т 1 4, ?„) = — Sin (В — <РО) F(B — <Р„),
где
F (В - ?„) = F (?, - В) =
dl2
' dSs(l„,l)
dl
ЛР2 [р4 + 2ЛР2 cos (В - ?.) + Л2] X
А)
.X < [Р4 + 2Лр2 cos (В — <рв) 4- Л2] р4
d‘Sc (l„, I)
dl2
Лр2 cos (В — <р0)
111
Осуществляя в последнем выражении предельный переход при рЗ>1
(в пределе, если р->оо), получим, что F(B—ф0)->0, т. е. при достаточно
большом отношении сигнал/помеха оценка несмещенная.
Найдем смещение оценки, безусловное по отношению к начальной
фазе (но по-прежнему условное по отношению к истинному значению
оцениваемого параметра /о):
ь(lm(lmI %) WPMd<f„.
Подставив в это соотношение значение априорной, плотности вероятно-
сти начальной фазы (2.5.9), получим
ь(1М=- мЬг f ^(В-%)Р(В-^еАаю^^
В-те
1
В силу нечетности подынтегральной функции имеем
=0,
т. е. оценка неэнергетического параметра при неравномерном распре-
делении случайной начальной фазы вида (2.5.9) безусловно не-
смещенная.
Поскольку отношение сигнал/помеха предполагается достаточно
большим и рассматривается лишь первое приближение, то при вычис-
лении дисперсии оценки можно использовать формулу для дисперсии
эффективной оценки (1.3.21). Учитывая асимптотическое поведение
функции /0 (г) при £»1, выражение для дисперсии оценки можем за-
писать в виде
(/JRJr <$ (/))J-1 . (4.4.19)
In
Здесь индекс <р означает, что усреднение выполняется по значениям слу-
чайной начальной фазы, т. е.
(5(0)ф — 2п/0 (Л)
j S (/) exp [ A cos (В — <рв)]
В—те
(4.4.20)
Найти точное значение этого интеграла затруднительно, поэтому
используем приближенное представление функции S(/), полагая р2^>1,
s (/) w у Р432С (4, /)+p*s% (/., Z)+лг X
р2Л5с (/<,,Z) cos (В — ?„) — р2ASs (/„,/) sin (В — <р0)
P4Ssc(/o,Z)+p4S2s(/o,/) + t12
(4.4.21)
Подставляя в (4.4.20) приближенное выражение для S(l), выпол-
няя интегрирование и подставляя получившееся выражение в (4.4.19),
имеем
• I /
d2
dt2
Л М)
/о И)
Я1/2
(4.4.22>
112
При A—Q априорная плотность вероятности начальной фазы (2.5.9)
переходит в равномерную и из (4.4.22) имеем
Hm Da (lm (1т | /0, ¥о).
(4.4.23)
Если Л—>-оо, то плотность вероятности (2.5.9) вырождается в дель-
та-функцию, что соответствует приему сигнала с точно известной на-
чальной фазой, и из (4.4.22) получаем
Hm Da (1т | /0)
/Г->оо
-{рг[^25с(^ от0}_1=о(/т|/0),
(4.4.24)
т. е. дисперсия оценки в этом случае совпадает с дисперсией оценки
параметра I при приеме узкополосного радиосигнала с априори извест-
ной начальной фазой.
Сравним дисперсию £>а(4п|/о) со значениями дисперсий Z)(/m|Zo)
и фо) т. е. определим влияние априорного распределения на-
чальной фазы №рг(ф) и его параметров на дисперсию оценки. Выпол-
нив дифференцирование в формуле (4.4.22), с учетом (4.4.2) и (4.4.3)
выражение для дисперсии оценки можно переписать 'как
I Кр*+^ + 2рМ [Д И)//.(^)1 I
1 р’ + М (А (А)//о (Л)] г
Преобразуя выражение в фигурных скобках, имеем
где
Цд От I 4>)-------& От I О ^2
D От I 4’ ?о) ^з»
(4.4.25)
(4.4.26)
8. = S.83.
* JL «I
(4.4.27)
При этом всегда выполняется соотношение йз^1. Нетрудно убедиться,
что
lim83=l, lim83=l/81.
Таким образом, в общем случае можно записать
D(lm\tQ)<DA(lm\l0)^D(tm\tQ9%)9
(4.4.28)
т. е. отсутствие априорной информации о начальной фазе узкополосно-
го радиосигнала ведет к определенным потерям при оценке неэнергети-
ческого параметра. Эти потери могут быть уменьшены, если начальная
фаза подчиняется известному неравномерному распределению вероят-
ностей. В частности, согласно (4.4.25) коэффициент бз показывает
уменьшение дисперсии оценки параметра при учете неравномерного
априорного распределения начальной фазы по сравнению с равномер-
ным априорным распределением начальной фазы.
Аналогично (4.4.28) для коэффициентов 61 и 62 справедливо соот-
ношение
1^'62^61,
причем если р2»А, то 62—61
б2^1 и
8—356
и Da (4™ 1/о) —D (lm I фо) •
При А»р2,
113
Рис. 4 A. Л Зависимость от-
носительной дисперсии оцен-
ки параметра сигнала с не-
равномерно распределенной
начальной фазой от А.
Так как дисперсия оценки параметра I для равномерно распреде-
ленной начальной фазы ф совпадает с дисперсией оценки параметра I
при совместной оценке I и ф, то эту оценку можно интерпретировать
как оценку, полученную при использовании в качестве априорного рас-
пределения начальной фазы распределения ее оценки максимального
правдоподобия.
При больших отношениях сигнал/помеха распределение оценки на-
чальной фазы (см. § 3.5, п. 1) аппроксимируется нормальным законом
с дисперсией р~2. Априорное распределение фазы (2.5.9) при больших
значениях А^>1 также аппроксимируется нор-
мальным законом с дисперсией Тогда,
если р2^>А, распределение оценки начальной
фазы будет иметь пик, гораздо более узкий,
чем распределение №рг'(ф). Поэтому при
р21>А учет неравномерного априорного рас-
пределения практически не влияет на каче-
ство оценки (так как 62—61).
Если же А^>р2, то пик априорного рас-
пределения (2.5.9) будет гораздо уже, чем
у распределения оценки начальной фазы, и
учет априорного распределения приводит
к тому, что дисперсия оценки радиосигнала со
случайной начальной фазой практически сов-
падает с дисперсией оценки параметра изве-
стного сигнала (т. е. 62— 1). При этом апри-
орное распределение начальной фазы оказы-
вает влияние на дисперсию оценки параметра
Л только если оценки параметра I и начальной фазы ф статистически
зависимы, т. е. R[ip=£0.
Действительно, если то согласно (4.4.8) ^=1 и прибли-
женное значение 83 принимает вид
5,
± [(Л И)//о (Л))2-Ч |
[р24-л/, (Л)//О(Л)Р I
При этом, если (практически при Л >4—5), то
1Л(Л)//0(Л)]^1 и 63^1. Если А<4—5, то, учитывая, что полученные
первые приближения оценки справедливы для р23>1, также получаем
6з—1.
На рис. 4.4.1 приведены зависимости коэффициента 62 от пара-
метра А распределения (2.5.9) для двух -значений коэффициента корре-
ляции оценок неэнергетического параметра и начальной фазы /?/ф.
Сплошные кривые построены для р2=5, а штриховые — для р2=25. Ход
кривых на рис. 4.4.1 подтверждает сделанные выше качественные вы-
воды.
В заключение отметим, что, определяя величины 61, 62, 6з в кон-
кретных задачах, можно решить, имеет ли смысл учитывать величину
начальной фазы при оценке неэнергетического параметра, т. е. можно
ли получить, например, заметный выигрыш, если использовать сигналы
с известной начальной фазой или учитывать неравномерность априор-
ного распределения фазы и соответственно усложнять структуру опти-
мального устройства.
114
4.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
РАДИОИМПУЛЬСОВ
Рассмотрим оценку параметра сигнала при приеме последователь-
ности (пачки) v импульсов одинаковой формы, содержащих неизвест-
ный оцениваемый параметр и имеющих в общем случае разные извест-
ные амплитуды и случайные начальные фазы. Будем считать, что при-
ем последовательности осуществляется на фоне нормальной помехи и
оцениваемый параметр остается постоянным в течение времени приема
всей последовательности радиоимпульсов. Кроме этого полагаем, что
отношение сигнал/помеха для всей последовательности достаточно ве-
лико, чтобы отсутствовали аномальные ошибки, в то время как отно-
шение сигнал/помеха для одного радиоимпульса может быть малым.
Итак, пусть на вход приемного устройства в течение времени [О,
Т] поступает аддитивная смесь сигнала и нормальной помехи, где сиг-
нал может быть записан в виде
5 (Z> Zo>
2 ~ kTC°S К (f — kT„)
6=0
V—1
Н(* — kTe,iQ) — <рой]
6=0
(4.5.1)
Здесь То — период повторения импульсов в последовательности; v=
—TjTo — число принятых импульсов.
Для дальнейшего рассмотрения удобнее переписать принимаемую
сумму сигнала и помехи как
V---1
•«(0=2 %*(0=2 Sk 1»г ?»*)+2 п*(0,
k=0 k=0 k=0
(4.5.2)
причем для помехи предполагается справедливой запись
<«ft (А) п{ (0)) =
0,
Л (0,0), i
(4.5.3)
т. е. помехи в различных периодах повторения (реализациях) незави-
симы, а функции корреляции помехи во всех периодах повторения оди-
наковы.
В зависимости от характера изменения начальных фаз фоб радио-
импульсов в последовательности рассмотрим два типовых -случая прие-
ма последовательности радиоимпульсов — когерентный и некогерентный.
При этом будем полагать, что амплитуды импульсов известны.
1. Когерентный прием. Пусть начальные фазы всех радиоимпульсов
одинаковы ф0=ф1=.. ,=фу1 и распределены равномерно на интервале
[—эт, л]. Тогда логарифм функционала отношения правдоподобия для
когерентной пачки радиоимпульсов в соответствии с выражением
(2.7.13) равен
Л4(/)=1п/.[R(l)] (4.5.4)
«*
где сигнал /?(/) и отношение сигнал/помеха <2Е(/) на выходе опти-
мального приемника определены соотношениями (2.7.14) и (2.7.11).
8* 115
Структурная схема оптимального устройства для оценки параметра
имеет такой же вид, как и для приема одиночного радиоимпульса
(рис. 4.3.1), с тем отличием, что теперь оптимальный приемник должен
осуществлять операцию суммирования квадратурных составляющих до
преобразователя с характеристикой 1п/о [#(/)].
При сделанных предположениях о достаточно большом суммарном
отношении сигнал/помеха для принятой последовательности
р\=СЛ0)=^(0)2’«%
£=0
(4.5.5)
в окрестности истинного значения параметра /о можно воспользоваться
аппроксимацией М(1) в виде
^(0S^(0-QUz)/2. (4.5.6).
Представление М(1) в такой форме имеет погрешность порядка р?2
для значений Z, близких к /о, что соответствует первому приближению
при вычислении характеристик оценки. Поэтому в этом параграфе огра-
ничимся рассмотрением характеристик оценки параметра сигнала в пер-
вом приближении.
Для упрощения выкладок при вычислении смещения и дисперсии
оценки воспользуемся комплексным представлением полезного и опор-
ного сигналов. Опорный сигнал в комплексном представлении опреде-
ляется выражением (4.4.10), а полезный сигнал аналогично (4.4.12)
будет иметь вид
sk (Р Р c?k)=^kF'1 (О 0 ехР {/ [“»</4- Ф (О 0 —&*]}• (4.5.7)
Аналогично (4.4.13) и (4.4.14) обозначим
г0
S (4, Z) -'О, (/„, /) ехр [/Ф (/„, 01=4” J F' V’ 1> ехР -
о
- Ф (О 0)1} dt,
(4.5.8)
То То
Nk (I) = J nk (0 о (/, /) dt = f nk (f) Vt (t, I) exp {j +ф (t, /)]} dt, (4.5.9)
0 6
где функции Gi(/o, l) и <D(Zo, Z), определяемые соответственно (2.5.30)
и (2.5.31) при замене верхнего предела интегрирования Т на То, при-
менительно к комплексному представлению полезного и опорного сиг-
налов могут быть записаны как
6,(0.0=15(0,01=4
J Р, (t, lt) V, (t, I) exp {/ [ф (t, I) - ф (t, /„)]} dt |,
0
(4.5.10)
Ф (Zo, Z) = - arctg [Im S (Zo, Z)/Re S (Zo, Z)]. (4.5.11)
Так как для любого комплексного числа выполняется соотношение
{4.4.11), функцию R(Z) можем представить в виде
Ж0=
V-1 Го
2 f xk(t)v(t,l\dt
k=o 6
(4.5.12)
116
Подставляя сюда принимаемую сумму сигнала и помехи и используя
введенные ранее обозначения, можем записать
(4.5.13)
Здесь
2V(/)
V-1
ехр (/ [% 4- ® (/0, 0D 2 abN*k (0 +
v—I Ч
+ ехр (— / [% 4- ф (/„ /)]) akNk (О >;
Й=1 J
(4.5.14)
G (I,, I) = Gt (1„ I) £ а\
Подставляя приближенное соотношение (4.5.13) в (4.5.6), получаем
где
714 (/) = §(/) 4-^(0,
(4.5.15)
(4.5.16)
При использовании первого приближения выражение для ошибки
оценки определяется соотношением (4.3.14). Вычисляя соответствующие
моменты и производные, находим, что оценка параметра несмещенная,
а дисперсия ее определяется формулой
Dv (lm IЦ, %)
(4.5.17)
где G(/i, Zz) =<5±(Zi, /2) /^i(/o) —нормированная сигнальная функция оди-
ночного импульса с единичной амплитудой.
Сравнивая (4.5.17) с (4.3.15), видим, что первое приближение для
дисперсии оценки параметра когерентной последовательности радиоим-
пульсов имеет такой же вид, как и для одиночного радиоимпульса
с энергией, равной суммарной энергии всех импульсов когерентной по-
следовательности. В частности, если амплитуды всех импульсов коге-
рентной последовательности одинаковы, т. е. ao—ai=. . то фор-
мула для дисперсии оценки параметра перепишется в виде
I ^о’ ?о)
(4.5.18)
где £)(/m|fo, q?o)—дисперсия оценки параметра при приеме одного ра-
диоимпульса со случайной начальной фазой (4.3.15). Отметим, что фор-
мула (4.5.17) получена для большого суммарного отношения сигнал/по-
меха всей пачки р\.Если число импульсов v мало, то необходимо, что-
бы было велико отношение сигнал/помеха для каждого импульса. Если
v^l, тогда возможно а2ь&(/о) <<1.
2. Некогерентный прием. При некогерентном приеме полагается,
что начальные фазы радиоимпульсов последовательности независимы,
случайны и равномерно распределены на интервале [—л, л].
117
Логарифм функционала отношения правдоподобия при некогерент-
ном приеме определяется из выражения (2.7.16):
fc=o
где находится из соотношения (2.7.17).
Положим вначале, что отношение сигнал/помеха для каждого им-
пульса мало:
=Qk (4)«1.
в то время как число импульсов настолько велико (v^>l), что для
отсутствия аномальных ошибок суммарное отношение сигнал /помеха
р\=2 <0
А=0
обеспечивается достаточно большим.
Учитывая, что для малых г<^1 справедливо приближенное равен-
ство
выходной сигнал оптимального приемника можно представить в виде
v—1
fe=о
jfe=o
б\(4.0-
(О.
где
(4.5.19)
Nk (I)=Nk (I) N*k (/) + [S (Zo, Z) №k (l) е/Ф°Ч-
+s*(4.0^(0e
(4.5.20)
В формуле (4.5.19) учитываются члены, имеющие порядок малости не
менее порядка малости сигнальной составляющей (члены с а2ь и а\).
Нетрудно показать, что среднее значение функции (4.5.19)
(W))
-г (4. О - 0.\ (/)]
k=0
достигает максимума в точке /0.
Совпадение в среднем максимума сигнала М(1) с истинным значе-
нием оцениваемого параметра свидетельствует о несмещенности оцен-
ки параметра в первом приближении. Дисперсия оценки параметра
сигнала в этом же приближении может быть вычислена по формуле
для дисперсии эффективной несмещенной оценки (1.3.21), в соответст-
вии с которой имеем
Q'm I ?о&)
2
»d2G (/t, /2)
dlzdl2
jfe=0
dQ (/)
dl
(4.5.21)
118
Если оцениваемый параметр неэнергетический, формула для дис-
персии оценки параметра упрощается и принимает вид
/ v—1 Л —1
Д (1т 14, %ft) = -2 ( У (4) [ V- . (4.5.22)
'k=0 '
Сравним дисперсии оценок параметров при когерентном и некоге-
рентном приемах «слабых» сигналов. Из формул (4.5.17) и (4.5.21)
получаем, что отношение этих дисперсий равно
V-1
2 $М4)
Ду (/ml 4.То) feO
Ov 0ml АмТой) v 1
2^ Qktto)
k-0
JL ДО (/)/<*/]2 1
4
(4.5.23)
Применительно к оценке неэнергетического параметра сигнала и усло-
вию приема последовательности с одинаковой амплитудой аъ=const=
=aQ отношение дисперсий численно равно zi=p2/2. Поскольку полага-
лось р2«<1, то нетрудно сделать вывод о значительном преимуществе
когерентного приема по сравнению с некогерентным при условии, что
отношение сигнал/помеха для каждого импульса мало, а число импуль-
сов *в последовательности велико.
Рассмотрим некогерентный прием при больших отношениях сиг-
нал/помеха для каждого импульса в последовательности, т. е. будем
полагать, что
СД4)> 1.
(4.5.24)
В этом случае, используя асимптотическое поведение функции
ln/0(z) при z»l, выражение для логарифма функционала отношения
правдоподобия перепишем в виде
W)
у] ak^k (О
£=0
(4.5.25)
Представляя каждую элементарную огибающую в виде, аналогич-
ном (4.5.13), приходим к формуле (4.5.17), полученной при анализе
когерентного приема. Следовательно, если отношение сигнал/помеха
для каждого импульса последовательности велико, то характеристики
оценки при некогерентном приеме совпадают с соответствующими ха-
рактеристиками при когерентном приеме.
В заключение этого параграфа приведем обобщение полученных
результатов для нестационарной помехи, функция корреляции которой
в &-м периоде повторения описывается формулой (3.2.9). Для простоты
аналитических выражений будем считать амплитуды импульсов в по-
следовательности одинаковыми и ограничимся оценкой неэнергетиче-
ских параметров. В этом случае оценка несмещенная, а дисперсии оце-
нок при некогерентном и когерентном приемах соответственно опреде-
119
ляются формулами
*’ (4.5.26)
. .По
(аГ6/аГ4) + 2рГ2
D (lm 14, ?.ft) = - V } P1-----------• (4.5.27)
°?4 [dsG. (I - la)/dP]lo
Здесь приняты обозначения
V-1
k^O
p2i — отношение сигнал/помеха для одного импульса при приеме на
фоне помехи с единичной дисперсией; Gi(l—to) —огибающая выходного
сигнала оптимального приемника при приеме одного радиоимпульса и
помехе с единичной дисперсией, причем p2i=Gi(0).
4.6. оценка неэнергетического параметра
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ, ФЛУКТУИРУЮЩИХ ПО АМПЛИТУДЕ
И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЕ
Найдем характеристики оценки максимального правдоподобия не-
энергетического параметра I при приеме последовательности радиоим-
пульсов
V-1
s (4 4» %*)=2 a^F* (*— cos I03» ~kT^+^ (* ~kT" z«) ~ ^*1
л=о
(4.6.1)
на фоне нормальной помехи, полагая, что реализации помехи в различ-
ных периодах повторения импульсов независимы. Будем считать, что не
только начальные -фазы ф*, но и амплитуды ak радиоимпульсов после-
довательности являются случайными величинами.
Перепишем элементарный импульс последовательности в виде
(2.7.19) и будем полагать, что величины ack=ahcosф& и ask=aksinq>h
являются нормальными с характеристиками, определяемыми соотноше-
ниями (2.7.24) и (2.7.25). При этом структура оптимального приемного
устройства определяется выражением (2.7.30).
Для упрощения выкладок при вычислении характеристик оценки
максимального правдоподобия введем в рассмотрение кот|илексные
функции
К=Хк + j Yk=? xk (t)v(t, I) dt^= Sk (I) + Nk (I),
0
где применительно к оценке неэнергетического параметра
г0
sk (/) = J г, (4 4) К (4 Z) ехр {/ [ф (4 О - Ф (4 4)1} dt =
=4/.б (Z - 4) ехр [/Ф (4, /)], (4.6.2)
Nk f л*(О V. (4 Z) ехр {/ W + ф (4 l)]}dt (4.6.3)
120
— комплексные сигнальная и помеховая функции при приеме одиноч-
ного радиоимпульса с комплексными нормально распределенными ам-
плитудами аОь=ао&ехр[—/фоь], причем
В результате выходной сигнал оптимального приемника (2.7.30)
запишется в виде
V 1 V—1
{I) = 2 bik Re [z:z\\ = P\G2 (/ - /0) 2 blk Re [a0,a* J +
itk=0 i,k=0
(0^(01-
v—1
Re [ЛД/) ^ (/) + 2 (W (0
(4.6.4)
0
Введем сигнальную и помеховую составляющие:
У(/)
S(/)=(4(0).
4(0-(4(0).
(4.6.5)
(4.6.6)
Тогда выходной сигнал Мо(1) примет вид
4(0 = $(0 + Ш- (4.6.7)
Усредняя (4.6.4) по реализациям, получаем выражение для сигнальной
функции
Отсюда видно, что в отсутствие помеховой составляющей выходной
сигнал оптимального приемника достигает абсолютного максимума при
I—Iq. Полагая отношение сигнал/помеха для принятого сигнала на вы-
ходе приемника достаточно большим, т. е.
получаем, что случайная ошибка измерения параметра сигнала в пер-
вом приближении определяется выражением вида (4.1.14).
Поскольку <Л/(/)>=0, то оценка параметра I в первом приближе-
нии несмещенная. Следовательно, в качестве первого приближения для
вычисления дисперсии оценки можно использовать формулу для диспер-
сии эффективной оценки (1.3.21). Произведя необходимые вычисления,
формулу для дисперсии оценки неэнергетического параметра нормально
флуктуирующей последовательности радиоимпульсов запишем в виде
D(IM
d2G (I — Zo)
dl2
(4.6.9)
где p2o определяется выражением (2.7.34), a
v„i
Z2^=2p2, 2 bikRik.
itk—l
(4.6.10)
121
Первый сомножитель в (4.6.9) представляет собой дисперсию оценки
неэнергетического параметра одиночного сигнала с энергией, равной
средней энергии одного радиоимпульса в последовательности. Величина
%2 характеризует увеличение эффективного значения отношения сиг-
нал/помеха при оптимальном приеме последовательности радиоимпуль-
сов по сравнению с оптимальным приемом одного радиоимпульса.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Прием быстро флуктуирующей последовательности радиоимпуль-
сов, т. е. Rik==ibik- В этом случае веса bik определяются в соответствии
с (2.7.33) и увеличение отношения сигнал/помеха равно
X2=vp2o/ (2 + р2о). (4.6.11)
При этом если среднее значение отношения сигнал/помеха для одного
импульса мало, т. е. р20< 1, то %2—vp20/2. В противоположном случае
(большое отношение сигнал/помеха р20^> 1) %2—v, т. е. увеличение от-
ношения сигнал/помеха равно числу принятых радиоимпульсов.
2. Прием дружно флуктуирующей последовательности, т. е. Rik—1.
Подставляя в (4.6.10) bik из (2.7.38), получаем
zs = vVe/(vp2e + 2) V. (4.6.12)
3. Прием последовательности радиоимпульсов с большим ‘Средним
значением отношения сигнал/помеха для каждого импульса р2о’3>
1 (р2о->оо) и произвольным значением коэффициента корреляции сиг-
нала.
Тогда согласно (2.7.29) /C,,ife-^p2ip2o/?ife/2, a bife-^6ife/2p2i и
т. е. не зависимо от вида коэффициента корреляции флуктуаций по-
лезного сигнала результирующее отношение сигнал/помеха увеличи-
вается прямопропорционально числу принятых радиоимпульсов.
4.7. СОВМЕСТНАЯ ОЦЕНКА НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛА
Обобщим результаты, полученные для оценки одного параметра, на
случай совместной оценки нескольких параметров узкополосного ра-
диосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой.
Полезный сигнал запишем в виде (2.5.43).
Логарифм функционала отношения правдоподобия аналогично
(4.3.1) можно записать как
уИ(1) = 1п/0 [7? (1)] — Q (1)/2, (4.7.1)
где <Э(1)—величина отношения сигнал/помеха при значении парамет-
ра 1, а
R (1) = уА'2(1)+’У2 (I). (4.7.2)
Квадратурные составляющие Х(1) и У(1) выходного сигнала оптималь-
ного приемника определяются соотношениями (2.5.45) и (2.5.46). Под-
ставляя в /?)(1) принятую сумму сигнала и помехи и используя норми-
рованные функции ^(1), Azs(l) и G(li, 12), которые определяются ана-
логично (4.2.5), получаем выражение для 7?(1) в виде (4.2.7) при за-
мене I на 1, где р2=ф(1о) = 1 /в2— отношение сигнал/помеха для приня-
того сигнала. Отсюда, полагая р2^>1, учитывая асимптотическое пове-
122
дение 1q(z) при ^^>1 и разлагая в ряд Маклорена по е нормированную
огибающую г(1), приходим к выражению
М (1) = 8“2 [S (1)+ еЛГ (I)]. (4.7.3)
Здесь S(l) и Лг(1) определяются аналогично (4.3.7) и (4.3.8) при заме-
не I на I.
Систему уравнений правдоподобия запишем в виде
г Ы (1)
д/г-
г (1)
Й/;
т
Решение этой системы уравнений будем искать методом малого пара-
метра в виде (3.3.2). Ограничиваясь рассмотрением первого приближе-
ния, получаем, что случайная ошибка измерения Л-го параметра равна
d/;
(4.7.5)
о
’ ^ki
о
где Qj — определитель порядка р с элементами — [d2S(l)/d/fd/
алгебраические дополнения этого определителя.
Используя (4.7.5) и вычисляя моменты помеховых функций, нахо-
дим, что оценка /г-то параметра несмещенная. Отсюда следует вывод,
что в первом приближении оценки совместно несмещенные. При этом
элементы корреляционной матрицы оценок аналогично совместной оцен-
ке р параметров известного сигнала (3.3.10) равны
где О — определитель с элементами [d2G(li, 12) /dliidlzk]} 5
браические дополнения этого определителя.
В более компактной форме последнюю формулу можно переписать
как
(4.7.6)
Aki — алге-
-2
Отметим, что первые приближения для смещения и корреляцион-
ной матрицы совместных оценок совпадают с соответствующими ха-
рактеристиками несмещенных совместно-эффективных оценок. Точность
полученных соотношений возрастает с ростом отношения сигнал/помеха
р2, т. е. совместные оценки максимального правдоподобия произвольных
параметров узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой
являются асимптотически (при р2—>-оо) несмещенными и совместно-эф-
фективными.
4.8. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
Рассмотрим некоторые общие свойства оценок максимального прав-
доподобия, не конкретизируя вид сигнала, помехи и способа их комби-
нации.
Известно [8, 14, 20 и др.], что в широком классе задач оценки
максимального правдоподобия являются асимптотически несмещенны-
ми и эффективными. Это имеет место, если 1) оценка производится
путем обработки v независимых отсчетов реализации наблюдаемых дан-
ных и v~>oo; 2) обработка производится по v независимым реализациям
наблюдаемых данных и v—>оо; 3) обработка производится по одной реа-
лизации стационарного процесса длительностью Т и 7—>оо; 4) помехой
является аддитивный нормальный шум и отношение сигнал/помеха
рз~>оо. Во всех этих случаях предполагается, что с увеличением дли-
тельности реализации наблюдаемых данных длительность полезного
сигнала увеличивается.
Условия, связанные с неограниченным увеличением интервала на-
блюдения, в большей степени применимы при оценке параметров слу-
чайных процессов, чем при оценке параметров сигналов. Последнее из
перечисленных условий — условие асимптотической эффективности
(р2—>-оо)—более удобно для использования в практических задачах,
однако данное ранее определение отношения сигнал/помеха не всегда
может быть использовано. Действительно, если принимаемый сигнал со-
держит неизвестные сопровождающие параметры и оптимальная обра-
ботка нелинейная, в определении отношения сигнал/помеха по харак-
теристикам сигнала и помехи возможна неоднозначность. Кроме этого,
асимптотическая эффективность оценки максимального правдоподобия
при увеличении отношения сигнал/помеха показана лишь для случая
аддитивной нормальной помехи.
Если помеха не является нормальной или не аддитивна и время
наблюдения ограничено, то вопрос об асимптотической ^эффективности
оценки максимального правдоподобия остается открытым. В этой связи
представляет интерес установление обобщенного условия асимптотиче-
ской эффективности оценки максимального правдоподобия, которое
включало бы в себя все перечисленные выше частные условия и позво-
ляло достаточно просто установить асимптотическую эффективность
в конкретных задачах.
Подобное условие может быть найдено из рассмотрения общих
свойств логарифма функционала отношения правдоподобия (при непре-
рывной обработке) или логарифма функции правдоподобия (при ди-
скретной обработке). Рассмотрим сначала случай дискретной обработ-
ки. При этом логарифм функции правдоподобия равен
Л4(/)=1пИ7(Х|/), (4.8.1)
где №(Х|/)—условная плотность выборки наблюдаемых данных при
фиксированном значении оцениваемого параметра. Если истинное зна-
чение параметра равно /0, то условное среднее значение логарифма
функции правдоподобия равно
(7И (/)) = f In W (X | /) W (X | Zo) dX.
(4.8.2)
При этом функция (4.8.2) достигает абсолютного максимума при /о-
Таким образом, всегда справедливо соотношение
[<Л4(/))]<1(7ИО]. (4.8.3)
Используя обозначения (4.1.6), (4.1.7) и (4.1.11), выражение (4.8.1)
можно записать в виде (4.1.13), где е=1/р, а нормированные функ-
ции S(/) и N(J) и их свойства определены в § 4.1. Полагая р->оо
(g-И)), первое приближение для ошибки оценки максимального правдо-
подобия запишем в виде (4.1.14), из которого следует, что оценка
максимального правдоподобия асимптотически (при р->оо) несмещенг
124
ная, а дисперсия ее определяется выражением
nit i/ч — <fd/V
[d2S(l)tdl2]\
Знаменатель этого выражения равен
d^S (!)
dl2
(4.8.5)
(/»
О
Учитывая, что точка /о расположена внутри интервала возможных зна-
чений, в силу (4.8.3) имеем
(/))
dl
Второй момент помеховой функции в числителе (4.8.4) можем перепи-
сать как
О.
о
П 2
' dl i >
L J »o
В § 1.3 показано, что
О
о
О
Следовательно, дисперсия оценки максимального правдоподобия
равна
(4.8.6)
to 9
D | о = - И (Af (O)/rff2J
что совпадает с дисперсией эффективной оценки.
Таким образом, оценка максимального правдоподобия является
асимптотически несмещенной и эффективной, -если
2 _ ЮТЖ
Р ~ <[^(U-<Wo)>]2)
Обобщение на случай непрерывной обработки очевидно. При этом
вместо логарифма функции правдоподобия необходимо рассматривать
логарифм функционала отношения правдоподобия М(/)=1пЛ(/), а во
всех формулах усреднение по многомерной выборке наблюдаемых дан-
ных заменить усреднением по реализациям наблюдаемых данных.
Условие асимптотической эффективности оценки максимального
правдоподобия (4.8.7) можно переписать в виде •
{(АГ (Z.)>/[<Af (/.))]*}
(4.8.7)
(4.8.8)
Последние два соотношения позволяют установить асимптотиче-
скую эффективность оценки максимального правдоподобия в самом’
общем случае. Нетрудно убедиться, что все перечисленные выше усло-
вия асимптотической эффективности обеспечивают выполнение условия
(4.8.8). Например, при оценке параметра известного сигнала на фоне
аддитивной нормальной помехи в соответствии с (3.1.5)
1 + 4/Q (/„)
и условие (4.8.8) удовлетворяется, если отношение сигнал/помеха для
принятого сигнала
(АГ (/0))/[(Л4 (70)>Г
125
4.9. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗДЕЛЬНЫХ
И СОВМЕСТНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
Для иллюстрации основных соотношений, полученных в этой гла-
ве, рассмотрим несколько конкретных примеров. Заметим, что приве-
денные ниже результаты могут также представлять самостоятельный
интерес.
1. Оценка ширины энергетического спектра стационарного случай-
ного процесса на фоне белого шума. Положим, что полезный сигнал
£(f, ао) представляет собой реализацию нормального случайного про-
цесса с нулевым средним значением и функцией корреляции
К. (% а.) = оасе-“°'х| , (4.9.1)
где а0 — неизвестный параметр, определяющий эффективную ширину
энергетического спектра случайного сигнала (величину \=i/aQ часто
называют временем корреляции случайного процесса).
Смещение и дисперсия оценки определяются формулами (4.1.20) и
(4.1.21), куда необходимо подставить спектральные плотности сигнала
и шума:
К. (со, а) = 2о2са/(а2 Д- со2), К (со)
Для сокращения вычислений .смещение оценки параметра опреде-
лим с учетом второго приближения, а дисперсию оценки — с учетом
лишь первого приближения (первое слагаемое в правой части формулы
(4.1.21)). При этом для дальнейшей записи обозначим 72=4о2с/Аоао—
отношение средней мощности сигнала к мощности белого шума в эф-
фективной полосе частот полезного сигнала; р=ъг]Т —отношение вре-
мени корреляции анализируемого случайного процесса ко времени на-
блюдения; р= ]Л1+92.
Величины и jjg, необходимые для вычисления смещения и дис-
персии оценки, согласно (4.1.22) равны
20 _ <7*(₽3 —₽24-3₽+1)
10 ~ Р*2о03(1 + Р)3
11
12
2^ (203—02 4-40 4- 1)
р*У3 (1 + ₽)*
Отсюда, подставляя значения и в формулы для смещения и
дисперсии оценки, имеем
b (*т | а0) =
W (1 + Р)2 Р3 (2Р3 - Р2 + 40 +
74(?3-Р2 + зр4-1)2
1)
(4.9.2)
D(zm\
2а2в/?(14-₽)>₽3
J — (Р3 - Р2+ 30 + 1)
(4.9.3)
Если <?2<С1 (но отношение сигнал/помеха достаточно велико: р2=
= 4о2с T/No^>lt чтобы приведенные формулы для смещения и дисперсии
оценки были справедливы), то р^1 и формулы для смещения и диспер-
126
сии оценки параметра а упрощаются:
Зр«0 __ 3/У%а20
2?* " 8о\Г ’
При </2»1
принимают вид
(₽ — 9) формулы для смещения и дисперсии оценки а
b (а,п I ао) — а<>Р/<Л D (а.т | а0) 2a\pjq.
На рис. 4.9.1. и 4.9.2 приведены соответственно зависимости отно-
сительного смещения b(ат|«о) /аор и относительной ошибки
У -D (ctw, | но) /2а2ор от отношения мощности сигнала и шума в эффек-
тивной полосе частот сигнала
^<^7771^/7^
Рис. 4.9.1. Зависимость относительного
смещения оценки «ширины» энергетиче-
ского спектра случайного процесса от q2.
12 5 10 20 50 100
чг
Рис. 4.9.2. Зависимость относительной
ошибки оценки «ширины» энергетическо-
го спектра случайного сигнала от q2.
Структурную схему оценки параметра а флуктуирующего сигнала
(рис. 2.6.2) можно несколько упростить, вычислив заранее вид сигнала
0о(Л «)- Применительно к приему сигнала с рассматриваемой функцией
корреляции на фоне белого шума в соответствии с (2.6.23) имеем
Оо (Л «)={q (<*)/М> U 4V (®)]} ехр [— а Ю + <72 (®) | П ],
где q2 (a)^4o2c/7V0a.
2. Оценка центральной частоты узкополосного, нормального случай-
ного процесса при приеме на фоне белого шума. В большом числе при-
кладных задач возникает необходимость точной оценки несущей часто-
ты или доплеровских сдвигов частоты «нормально флуктуирующих по
амплитуде и фазе» узкополосных радиосигналов при приеме их на фоне
белого шума. Подобная задача сводится к задаче оценки центральной
частоты энергетического спектра узкополосного нормального случайного
процесса на фоне белого шума.
Пусть на вход приемного устройства поступает реализация смеси
сигнала и шума х(/), состоящая из узкополосного нормального случай-
ного радиосигнала
С (t, %)=a (t) cos [V/ + <р (0] (4.9.4)
127
и белого шума с функцией корреляции К(т) = (М}/2)б(т). Полагаем,
что среднее значение -полезного сигнала £(Л Vo)=0, а функция корре-
ляции определяется выражением
= (г) cos VI,
где — средняя мощность сигнала; v—центральная частота энергети-
ческого спектра сигнала; 7?(т)—огибающая коэффициента корреляции
полезного сигнала.
В соответствии с (2.6.19) логарифм функционала отношения прав-
доподобия можем записать в виде
М (v) =7И0 (v) —Н (v) /2. (4.9.5)
Здесь Alo(v) и H(v) определяются из (2.6.25) и (2.6.24) соответственно.
Рассмотрим второе слагаемое, учитывая, что /€(со) =А^0/2, а
(<о, V) —а2 [7? (со — V) 4-7? (со-p v)]/2,
где 7? (со)—преобразование Фурье от 7?(т). Вводя новую переменную
coz=co—v и учитывая узкополосность сигнала £(7, v), выражение для
H(v) можно представить в виде
со—v и учитывая узкополосность сигнала £,(t, v), выражение для
ОО
a2. j-. ,
— К(<о) dm = const.
—оо
Следовательно, логарифм функционала отношения правдоподобия
(4.9.5) с точностью до постоянного слагаемого совпадает с выходным
сигналом оптимального приемника (2.6.25) и оптимальное устройство
должно определять оценку vm по положению абсолютного максимума
функции
о
Функция ©о(т, v) в (2.6.23) после преобразования, аналогичного (4.9.6),
записывается как
где
2с\
7C/VO
7? (со) ехр (/сот) ,
Л£(со) + ДГо
Таким образом, оценка параметра v может быть найдена по поло-
жению абсолютного максимума функции
о
причем Кх(т) определяется -согласно (2.6.17).
Вычислим смещение и дисперсию оценки центральной частоты
энергетического спектра сигнала, ограничившись первым приближением.
Согласно § 4.1 в первом приближении оценка максимального правдопо-
добия несмещенная, а дисперсия ее определяется выражением (4.1.15),
128
где величина m2 в соответствии с (4.1.16) после преобразования, анало-
гичного (4.9.6), равна
^2 —
Та\ f [dR (<•>) /da]2
2” J («) +Л7]«
Отсюда формула для дисперсии оценки центральной частоты имеет вид
О (vm / v0)
00
Г (<о)/dco]* .
I Г-2 D I Л7 12 UW
(4.9.8)
Вычислим дисперсию оценки для узкополосного радиосигнала с оги-
бающей коэффициента корреляции вида /?(т)=ехр[—а|т|].
В этом случае
R (со) =2а/ (а2+<о2).
Подставив это выражение в формулу для дисперсии оценки параметра
v, получим
D (vj ve)[1 + рТ=Г7Г (4.9.9)
Здесь, как и в п.1, p=.tJT —\ЦаТ)— отношение времени корреляции
сигнала ко времени наблюдения, a q2—2о2с/(7У0а)— отношение средней
мощности сигнала к мощности белого шума в эффективной полосе ча-
стот полезного сигнала. Если #2<С1, но величина q2/p=2u\ TjN0 вели-
ка (^//г»1), то формула (4.9.9) принимает вид
D {ут | Vo) =8а2р /94.
Если 92^>1, то
D (vm\vn) = a?p=alT = 1/уГ,
т. е. дисперсия оценки центральной частоты энергетического спектра
случайного сигнала обратно пропорциональна произведению времени
наблюдения и времени корреляции полезного сигнала.
На рис. 4.9.3 приведена зависимость относительной ошибки
yrjD(vm|vo) /а2р от отношения мощностей сигнала и шума в эффек-
тивной полосе частот сигнала q2, При этом предполагалось, что для
всех значений q2 выполняется неравенство q2/p^>l.
3. Вычислим дисперсию оценки временного положения т при приеме
колокольного радиоимпульса со случайной равномерно распределенной
начальной фазой
S (t — Т, %)=а„ ехр [— (t — х)7рм cos (ш/ — <р0)
(4.9.10)
в помехах типа белого и узкополосного нормальных шумов.
При приеме сигнала в белом шуме со спектральной плотностью Nq
в соответствии с формулой (2.5.30) сигнальная функция определяется
выражением
б(Дт)
р2 ехр (—• Дт2/2р20), Дт
где
9- 356
Р2^]/2</2^0
(4.9.11)
129
— отношение сигнал/помеха. Поскольку отношение сигнал/помеха не
зависит от оцениваемого неэнергетического параметра, формула для
дисперсии оценки временного положения согласно (4.2.19) имеет вид
SftJv ?о) = (Р2о/Р2)(1+4/Р2).
(4.9.12}
Из этой формулы видно, что второе слагаемое в скобках 4/р2 для не
очень больших отношений сигнал/помеха дает значительную поправку
к первому приближению в сторону его увеличения.
В случае приема колокольного радиосигнала (4.9.10) в аддитивной
узкополосной помехе с функцией корреляции вида (2.3.5) в соответст-
вии с (2.5.30) и (2.3.7) сигнальная функция (при а, 1/р0 и |Д<о| =
= |©о—<оп| <С<0п) может быть представлена в виде
Здесь
Ргэф = - - -2^- (4.9.13)
— эффективное отношение сигнал/помеха, численно равное удвоенному
отношению энергии сигнала к эквивалентной мощности помехи на еди-
\Л(»тп\»о)
azp
Рис. 4.9.3. Зависимость относительной ошибки оценки
центральной частоты спектра узкополосного случай-
ного сигнала от q\
частот помехи. Для рассматриваемой узко-
1 1 ективная полоса частот энергетического
1Ш1
ницу эффективной полосы
полосной помехи (a<^con)
спектра согласно (3.5.11) Д/п—а/2.
Дисперсия оценки временного положения в первом приближении
(4.2,20) определяется формулой
D I
О
О’
Дсо2
а2
(4.9.14)
При этом если (Роа)“2 и (Дсо/а)2<С1 (помеха достаточно широко-
полосна, так что в пределах спектра сигнала ее можно аппроксимиро-
вать белым шумом со спектральной плотностью М)=2о2п/а), то (4.9.14)
переходит в первое приближение формулы .(4.9.12).
Представляет интерес найти соотношение между параметрами
и а в зависимости от расстройки центральных частот спектров сигнала
и помехи Дб)=<оо—при котором для фиксированных мощности поме-
130
хи и характеристик сигнала дисперсия оптимальной оценки максималь-
на. Для этого, максимизируя (4.9.14) по а, имеем
/3 + р20Да>2.
(4 9.15)
При этом максимальное значение дисперсии оценки временного поло-
жения т равно
D (?т\ %)тах=₽г./2р8эф- (4.9.16)
На рис. 4.9.4 показана зависимость относительной дисперсии
£(тт1т0, <ро) ID (г™ | То, фо)тах от величины адр0 при нулевой расстройке
энергетического спектра помехи (iAgj=O) .
Уменьшение дисперсии оценки т при ^^\го^о)
уменьшении ад от значения, определяемого
(4.9.15), объясняется тем, что при опти-
мальном приеме сигнала на фоне узкопо-
лосной помехи за счет фильтрации помеха
ослабляется в большей мере, чем сигнал.
В пределе при с^-Н) потеря энергии сигнала
при такой фильтрации спектра помехи стре-
мится к нулю, и это не сказывается на
искажении сигнала помехой на выходе при-
емника. Увеличение ад сверх значения,опре-
деляемого (4.9.15) (при фиксированной
мощности помехи), приводит к ослаблению
мощности помехи в полосе частот спектра
сигнала.
4. Вычислим дисперсию оценки вре-
Рис. 4.9.4. Зависимость относи-
тельной дисперсии оценки вре-
менного положения от ар0.
менного положения т при приеме на фоне белого шума со спектральной
плотностью Nq колокольного частотно-модулированного (ЧМ) радиоим-
пульса со случайной начальной фазой
— %. <?о)=«»ехр[— (t — г0)7р20) cos К (t — г.) + Л (t — %)2 — <р0],
(4.9.17)
где 2% — скорость изменения частоты внутри импульса (частотной мо-
дуляции) .
Сигнальная функция и первое приближение для дисперсии оценки,
вычисленные в соответствии с (2.5.30) и (4.2.20), имеют вид
п / \ г Г ^2ук('с—Ч)2' „
G (т — п0) «= р2 ехр ---=^5-—— J, (4.9.18)
D (%! 1 Фо) == ^о/Р^уК»
(4.9.19)
где отношение сигнал/помеха р2 определяется (4.9.11), а
kyK= Г14-яТо
(4.9.20)
— коэффициент укорочения ЧМ радиоимпульса по длительности. Со-
гласно (4.9.19) дисперсия оценки временного положения ЧМ радио-
импульса обратно пропорциональна квадрату коэффициента укорочения
радиоимпульса.
, При Л=0 бук—1 и формула (4.9.19) совпадает с первым приближе-
нием (4.9.12).
5. Определим дисперсию оценки частоты По при оптимальном прие-
ме колокольного радиоимпульса со случайной фазой
*(*> ?о)=явехр(— ^7₽2в) cos [(®0 + fi0) f — ?0] (4.9.21)
9*
131
на фоне аддитивного белого шума со спектральной плотностью Ng.
Сигнальная функция и дисперсия оценки частоты й, вычисленные
согласно (2.5.30) и (4.2.19), определяются (для роС7) выражениями
G (й — Йо) = Рг ехр Г - (S ~ , (4.9.22)
<ро)= ('1 + ^-). (4.9.23)
г г о \ г J
При приеме колокольного радиосигнала в аддитивной узкополосной
помехе, функция корреляции которой определяется выражением (2.3.5),
сигнальная функция частоты й согласно формулам (2.3.7) и (2.5.30)
может быть записана в виде
О(ЙП Й2)
(4.9.24)
где
Асо=соо+Й2—(On (4.9.25)
— расстройка центральной частоты спектра узкополосной помехи отно-
сительно центральной частоты спектра узкополосного радиосигнала со
смещением частоты Йг; р2Эф определяется соотношением (4.9.13). Выра-
жение для сигнальной функции записано в предположении, что соп^щ
(Dn1 / Ро И (Оп^^АсО.
Полагая в (4.9.24) Й1=Йг=Йо, получаем отношение сигнал/помеха
п2 _Z) /Q \ __ п2 Г 1 I _ I К 4~ ^0 "
Р --Ч СЛ) ---- Р Эф 1 J а2р20 Г а2 j ,
которое зависит от оцениваемого параметра Й, хотя энергия сигнала
не зависит от величины смещения частоты. Физически это объясняется
тем, что расстройка спектра ‘помехи относительно спектра сигнала зави-
сит от истинного значения частоты полезного сигнала.
Таким образом, при приеме узкополосного радиосигнала на фоне
коррелированной помехи параметр Йо оказывается энергетическим.
Дисперсия оценки в первом приближении определяется выражением
(4.3.15). Используя (4.9.24) получаем
D — P + Wo)2 + (Д®Л)2] ’ (4-9.26)
где Аб)о=соо+йо—(On — расстройка центральной частоты спектра помехи
относительно центральной частоты спектра принятого сигнала. Отме-
тим, что при дифференцировании сигнальной функции по Й1 и Й2 необ-
ходимо учитывать зависимость А<о от йг.
Найдем «произведение ар0, при котором будет наибольшая диспер-
сия оценки частоты при фиксированной величине расстройки Асоо и
фиксированных значениях мощности помехи и параметров полезного
сигнала. Максимизируя выражение для дисперсии оценки по кх, полу-
чаем
(4.9.27)
132
2 X—1/2
При этом максимальное значение дисперсии
оценки частоты определяется выражением
На рис. 4.9.5 приведена зависимость отно-
сительной дисперсии оценки частоты
D(Qm| Qo, фо)/О (S2?n| Йо, фо)шах от apo для ну-
левой расстройки центральной частоты спек-
тра помехи относительно центральной часто-
ты спектра сигнала (Дсо=0).
Уменьшение дисперсии оценки при изме-
нении a (4.9.27) можно объяснить так же,
как в п. 3 при вычислении характеристик оцен-
ки временного положения колокольного ра-
диоимпульса на фоне узкополосной помехи.
6. Вычислим смещение и дисперсию оцен-
ки максимального правдоподобия амплитуды
сигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой
s(C ?е) = «Л (0 cos + ф (Z) — <Ро1 (4.9.28)
при приеме на фоне стационарной нормальной помехи. Ненормирован-
ная сигнальная функция S(ai, а2) согласно (4.3.20) имеет вид
•S (al9 —
0,75
Рис. 4.9.5. Зависимость дис-
персии оценки частоты от
аро-
0.25
aQ узкополосного радио-
2
z»2 P
u О
где
т
Zj р
о
— отношение сигнал/помеха для принятого сигнала; S(ai, а2) —норми-
рованная сигнальная функция. При этом нормированное отношение
сигнал/помеха для сигнала с амплитудой а равно
Q(a)=S(a, a)— a2fa\.
Вычисляя производные, входящие в (4.3.35) и (4.3.36), получаем,
что оценка амплитуды несмещенная, а дисперсия оценки амплитуды
равна
D | ав, %) = (1 +1 /2р2), (4.9.29)
т. е. отличается от дисперсии оценки амплитуды известного сигнала
(3.5.24) только во втором приближении.
7. Вычислим смещение и дисперсию оценки длительности ро узко-
полосного радиоимпульса с колокольной огибающей и случайной на-
чальной фазой
₽«> %)=«ехр(— /7р2„)cos4-ф(/) — ?в], |/|<7’/2 (4.9.30)
при приеме на фоне белого шума со спектральной плотностью No. При
этом полагается, что начальная фаза сигнала распределена равнове-
роятно на интервале [—п, я], а р0СТ. Сигнальная функция б(₽ь Ра)
согласно (4.3.20) равна
8<Р.. W-f («.31)
133.
где р2 = а2 |/2t;[V2/V0 — отношение удвоенной энергии сигнала к спек-
тральной плотности белого шума при 0==0о. Отношение сигнал/помеха
для произвольного 0 имеет вид
Q (₽)с
Ш ₽)=рЖ-
Вычисляя значение производных в (4.3.35) и (4.3,36), получаем
смещение и дисперсию оценки длительности
НОо. %)=₽»/Зр2,
(4.9.32)
ДО.. т.)
(4.9.33)
Из этих выражений видно, что при фиксированных энергии сигнала
и спектральной плотности шума (p2=const) смещение и дисперсия
оценки длительности колокольного радиоимпульса растут с увеличением
значения длительности 0о. Физически этот результат можно объяснить
тем, что с увеличением 0О фронт и спад сигнала на выходе оптимально-
го приемника увеличиваются, в результате чего эффективность воздей-
ствия нестационарной выходной помехи с функцией корреляции (4.9.31)
в пределах «ширины» выходного сигнала G(0)=G(0o, 0)—Q(0)/2 воз-
растает.
8. Рассмотрим оценку несущей частоты Йо прямоугольного радио-
импульса
S (^ ^0’ То)
a cos (й0/ — %),
О,
О < t < ти,
(4.9.34)
при приеме на фоне белого шума с односторонней спектральной плот-
ностью Afo- Вычислим дисперсию оценки максимального правдоподобия
частоты этого сигнала, полагая, что его начальная фаза *фо случайна и
имеет априорную плотность вероятности вида (2.5.9).
Согласно (2.5Л5) можем записать
о»
2ти sin(20 —2)т
N0 (^0 ”41
а2
cos (20 — 2) Ъа
О’
— -%
Соответственно из (4.4.25)
и первого приближения в (3.5.7) получаем
(Rtt I ^о) - р2г2 8г,
Р ъ И
/ Л (Л) , Г /2i М) .
i „ , Л (Л) (Л) I
[ р + 8? /с (Л) + 16Л /г# J
Здесь р^аЧи/Л^о — отношение удвоенной энергии сигнала к спектраль-
ной плотности белого шума,
s'
134
При Л“>оо, что соответствует приему сигнала с точно известной
начальной фазой, бз—И и дисперсия оценки частоты, естественно, сов-
падает с первым приближением в формуле (3.5.7).
Если Л—0 (априорное распределение начальной фазы является
равномерным), то 62=4 и дисперсия оценки параметра Q равна
D(Q,„|Qe, ?в)=12/РЧ. (4.9.35)
Выходной сигнал приемника для приема радиосигнала с равномерно
распределенной начальной фазой в соответствии с (4.4.20) имеет вид
(S (Й))ю 5 (Q, Йо) = р2 51П^~Лс)Л/2] • (4-9.36)
• К*3 — ^о/ ЧаМ
Рис. 4.9.6. Зависимость ко-
эффициента 6з от парамет-
ра априорного распределе-
ния А.
видеть, что чем боль-
Сравнение формулы’ (4.9.35) с первым приближением (3.5.7) по-
казывает, что отсутствие априорной информации о величине начальной
фазы ведет к увеличению дисперсии оценки
частоты в четыре раза. Физически увеличение
дисперсии оценки смещения частоты в рассма-
триваемом случае можно объяснить тем, чтг
при приеме радиосигнала со случайной на-
чальной фазой выходной сигнал оптимально-
го приемника будет иметь большую «дли-
тельность» (меньшую крутизну фронта и спа-
да), чем выходной сигнал при приеме сигнала
с известной начальной фазой. В этом легко
убедиться, сравнивая между собой сигналь-
ные функции (4.9.36) и (3.5.6).
На рис. 4.9.6 приведены зависимости 62
от А при различных отношениях сиг-
нал/помеха р2. Из этих зависимостей можн
ше отношение сигнал/помеха р2, тем больше должен быть пара-
метр А (т. е. тем меньше должна быть ширина пика априорного рас-
пределения начальной фазы (2.5.9)), чтобы получить оценку частоты
с дисперсией, близкой к дисперсии оценки частоты радиоимпульса
с априори известной начальной фазой. Из кривых также следует, что
уже при А>1—2 приемное устройство, учитывающее неравномерность
априорного распределения начальной фазы (рис. 2.5.1), дает заметное
уменьшение дисперсии оценки по сравнению с дисперсией оценки, полу-
ченной при помощи приемного устройства, рассчитанного на сигнал
с равномерным распределением начальной фазы.
9. Рассмотрим совместную оценку временного положения То и часто-
ты £20 колокольного радиоимпульса с линейной частотной модуляцией
и случайной равномерно распределенной начальной фазой
S (t, %, <р.)=а ехр [— ро 2 (t — %)2] cos [(<о,ф-Ц,) t ф- Л (t — %)2 — <pej
(4.9.37)
на фоне белого шума.
Сигнальная функция параметров t и й, вычисленная согласно вы-
ражению (2.5.30), в котором под I надо понимать векторный параметр
с составляющими т, й, имеет вид
б(Дх, Дй) = р2 ехр(— Дт2/2р20) ехр [— (2ХДт — ДЙ)2р2„/8],
(4.9.38)
где Дт = т, — тг; Дй=Q, — й2; р2«= az[iu ]/2и/2ЛГ,—отношение сигнал/по-
меха.
В соответствии с выражением (4.7.6) дисперсии и коэффициент
взаимной корреляции оценок частоты и временного положения коло-
кольного радиоимпульса определяются формулами
D (Qm | Q,, %) = 4^2ук/ргр\, (4.9.39)
я, ?.)=₽*./₽’, (4.9.40)
^й = </*ук= , (4.9.41)
где коэффициент укорочения по длительности определен в (4.9.20).
Из этих формул видно, что дисперсия оценки временного положе-
ния радиоимпульса в отличие от оценки этого же параметра при извест-
ной частоте (4.9.19) не зависит от коэффициента укорочения ЧМ радио-
Рис. 4.9.7. Рельеф сигнальной функции при
совместной оценке временного положения
и частоты радиоимпульса с линейной ча-
стотной модуляцией.
Рис. 4.9.8. Рельеф сигнальной функ-
ции при совместной оценке временно-
го положения и частоты колокольно-
го радиоимпульса.
импульса, а следовательно, и диапазона частотной модуляции, харак-
теризуемой параметром X. Как и в отсутствие частотной модуляции,
дисперсия определяется формой огибающей радиоимпульса. Дисперсия
оценки частоты прямопропорциональна квадрату коэффициента укоро-
чения радиоимпульса.
При большом значении коэффициента укорочения радиоимпульса
коэффициент корреляции оценок близок к единице, т. е. оценки т и .Q
практически становятся функционально зависимыми. Наоборот, при от-
сутствии частотной модуляции (Х=0, Аук=1) из формул видно, что
оценки т и Q не коррелированы, а их дисперсии совпадают с первыми
приближениями раздельных оценок.
На рис. 4.9.7 показан рельеф нормированной сигнальной функции
представляющий «вал», максимальное значение которого «медленно»
убывает (со скоростью изменения огибающей радиоимпульса). Сечения
рельефа в плоскостях, параллельных плоскостям О(Дт, Дй), AQ и
б(Дт, АЙ), Ат, «медленно» изменяются по форме и высоте. При нало-
жении даже небольшого уровня помехи трудно определить положение
истинного максимума рельефа. Это приводит к сильному увеличению
136
ошибок при совместной оценке т и Q частотно-модулированного радио-
импульса.
На рис. 4.9.8 показан рельеф нормированной сигнальной функции
при йук— 1 (т. е. при /?1й=0). Сечения этого рельефа плоскостями, па-
раллельными плоскости Дт/Ро, АйРо, представляют собой эллипсы, оси
которых совпадают с осями Дт/Ро и Д£2<Ро. Этот факт также свидетель-
ствует об отсутствии корреляции оценок при &ук=1.
10. Совместная оценка частоты й0 и скорости изменения частоты
прямоугольного радиоимпульса с равномерно распределенной на интер-
вале [—л, л] случайной начальной фазой кро
sif, й0, <р0) '=. / а Cos Кю° + °’5 fob 0 <* < 'и- (4 9.42)
I 0, f<0,
при приеме на фоне белого -шума со спектральной плотностью No.
Сигнальную функцию G(fii, -Q2, 2ц, Z2) можно записать согласно
(2.5.30) в виде
(4.9.43)
Интегралы в круглых скобках в элементарных функциях не выражают-
ся. Поэтому найдем необходимые производные от сигнальной функции
непосредственно из (4.9.43)
дЮ (2V g2, Л2) 1 _ РЧ*Я
йоЛо 12
&G (Qt, Q2, Л,, Л2) 1 _ рУи
уо 45 ’
d26(g„ S2,
Р2^аи
й0. 24
Подставляя значения производных в (4.7.6), получаем выражения
для дисперсий и коэффициента корреляции совместных оценок <2 и Z:
D(Qm|fi0, Яо, ?0)=192/р2<,
П(ЯИ|ЙО, = 720/рVH,
7?йЛ=Ю5/4^0,97.
Дисперсии раздельных оценок при этом находятся из формулы
(4.2.20)
D(Qm|Qe, %)=12/pVm
D(lm\Л.. ?.) = 45/рЧ-
Из сравнения дисперсий совместных и раздельных оценок видим,
что за счет сильной корреляции оценок (информация о Q и 7. извлека-
ется из результирующего изменения мгновенной частоты импульса)
дисперсии оценок частоты Q и «наклона» линейной частотной модуля-
ции Л при совместной оценке увеличиваются по сравнению с раздельны-
ми оценками (когда один из параметров известен) в 16 раз.
Глава 5
ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
С УЧЕТОМ АНОМАЛЬНЫХ ОШИБОК
5.1. ОСНОВНЫЕ ‘МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ С УЧЕТОМ АНОМАЛЬНЫХ ОШИБОК
В предыдущих главах все характеристики оценок максимального
правдоподобия определялись в предположении, что отсутствуют ано-
мальные ошибки оценивания, определение которых дано в § 1.6. Иначе
говоря, предполагается, что ошибки оценивания с большой вероятно-
стью находятся в пределах длительности AL сигнальной составляю-
щей S(Z).
В силу условности разбиения всех ошибок оценивания на нормаль-
ные и аномальные выбор величины Дь также в определенной мере не-
однозначен. Однако если выполняется соотношение
Дь<<Е,
(5.1.1)
где L — априорный интервал возможных значений оцениваемого пара-
метра, то неоднозначность определения величины Дь не играет сущест-
венной роли.
Смещение и рассеяние оценки с учетом аномальных ошибок опре-
деляются выражениями (1.6.6) и (1.6.7), которые применительно к оцен-
кам максимального правдоподобия можно записать в виде
*(Ш)=ДМШ)+(1-Д)МДК), (5.1.2)
S (1тI!,)=р. Д (1т | о
(5.1.3)
Здесь 6„(Zm.|/0) и Д (/J/.)=Д (/J 4) + (Д К) — смещение и рассея-
ние оценки при наличии только нормальных ошибок; ba(lm\l0) И
£>а(1т\1о)—то же при наличии только аномальных ошибок.
Чтобы получить безусловные характеристики оценок, необходимо
(5.1.2) и (5.1.3) усреднить по /0 с учетом априорного распределения
Wpr(l), которое так же, как в гл. 3 и 4, будем полагать равномерным
в интервале L.
Следует отметить, что распределение оценки при наличии аномаль-
ных ошибок, вообще говоря, не является нормальным и его первые два
момента (5.1.2) и (5.1.3) недостаточно полно характеризуют точность
оценок. > '
138
5.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ОЦЕНКИ
КРИТЕРИЙ ВУДВОРДА
Конкретизируем вид равномерного априорного распределения оце-
ниваемого параметра. Положим, что
wPr (О
f l/L, |Z|<L/2,
I О, |Z|>L/2.
(5.2.1)
Найдем вероятность надежной оценки (надежность оценки) максималь-
ного правдоподобия Ро. Неизвестный параметр I полезного сигнала
после приема реализации -наблюдаемых данных (т. е. реализации смеси
сигнала и помехи) описывается апостериорной плотностью вероятности
Wps(l). Следовательно, после анализа принятой реализации вероятность
неравенства
(5.2.2)
будет равна
т
(5.2.3)
Эта формула определяет вероятность выполнения неравенства (5.2.2)
при некоторой фиксированной реализации наблюдаемых данных. Для
того чтобы получить вероятность надежной оценки, надо Р'о усреднить
по всем реализациям наблюдаемых данных. К сожалению, найти точ-
ное значение вероятности P'G и выполнить усреднение при произволь-
ных отношениях сигнал/помеха не удается. Это связано с трудностью
аналитического представления апостериорной плотности вероятности
оцениваемого параметра и с трудностью определения явной зависимо-
сти оценки 1т от реализации наблюдаемых данных при любых отноше-
ниях сигнал/помеха. Следует отметить, что формула (5.2.3) справедли-
ва не только для оценок максимального правдоподобия, но и для лю-
бых оценок, если величину 1т заменить на соответствующую оценку у.
Используя формулу (5.2.3), можно достаточно просто найти при-
ближенное .значение вероятности надежной оценки для весьма ограни-
ченного класса задач. Найдем вначале вероятность надежной оценки
максимального правдоподобия неэнергетического параметра известного
сигнала. Используя функционал отношения правдоподобия A(Z) и учи-
тывая (5.2.1), перепишем (5.2.3) в .виде
Р',= J A(l)dl J A(Z)dZ. (5.2.4)
lm~LL I -LU
При оценке неэнергетического параметра известного сигнала с точ-
ностью до постоянного множителя, не влияющего на вероятность надеж-
ной оценки Ро, функционал отношения правдоподобия определяется вы-
ражением
А (Z) = exp [p2S (Z„, Z) + РА (Z)],
где р2— отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника;
S(Zo, Z) и N(l)—нормированные сигнальная и помеховая функции
(3.1.11), (3.1.3).
139
Полагая отношение сигнал/помеха и априорный интервал доста-
точно большими, можем приближенно положить
Л(/)^
exp[p2S(/0, /)], |/-/0|<Д£,
exp[pN(Z)], |Z —Zo|> Д£,
а в (5.2.4) заменить оценку максимального правдоподобия ее нулевым
приближением, т. е. положить ZW~ZO. Тогда выражение для вероятности
надежной оценки перепишется как
М“Д£
f ехр (p2S (/„, I) ] dl
_______________________________________________________________
4—Д£ L/ 2
j ехр [p2S (Zo, /)] dl + J exp [pTV (/)] dl-\- f exp [p/V (Z) ] dl
lo-bL “L/2 М~д£
(5.2.5)
При равномерном априорном распределении оцениваемого пара-
метра апостериорная плотность вероятности lFps(Z) пропорциональна
функционалу отношения правдоподобия Л(/). Согласно (5.2.5) надеж-
ность оценки определяется отношением площади под пиком апостериор-
ной плотности вероятности, обусловленным сигнальной функцией, к об-
щей площади под кривой апостериорной плотности вероятности. При-
веденное определение непосредственно следует из [7, 28], где определе-
на вероятность ненадежной оценки Р'а=\—Р'о.
Для принятого условия достаточно большого значения р величина
интеграла в числителе (5.2.5) определяется поведением функции
S(Zb, Z) в малой окрестности точки /0, где эту функцию можно прибли-
женно представить в виде
S(Z0, Z)^l-^2(Z-Z0)2/2.
Здесь
^=[d2S(Z1, Z2)WZ2]Zo (5.2.6)
для неэнергетического параметра не зависит от Zo. Отсюда
Zo+A£ ОО
J ехр [p2S (Zo, Z)] dl ep2 j exp
ДЛ ' 00
pV
2
dl=
V_exp (p2)
P[A
В силу принятого условия последние два слагаемых в зна-
менателе (5.2.5) преобразуем к виду
J ехр [рЛ7 (/)] dl
—L/2
L/2
j exp [pTV (/)] dl L
J exp [pA? (/)] dl
—L/2
(5.2.7)
где выражение в квадратных скобках представляет собой среднее (по
интервалу) значение функции ехр [pN (/) ].
При оценке неэнергетического параметра помеховая функция N(l)
является стационарным нормальным случайным процессом с нулевым
средним значением, единичной дисперсией и функцией корреляции
S(l]—Z2), причем для нашего случая при [Zi—/2|^Дь S(Zb ;/2) — 0. Ис-
пользуя известную формулу для характеристической функции нормаль-
140
ной случайной величины, найдем среднее значение (по ансамблю реали-
заций) и функцию корреляции случайного процесса ехр [pAf (Z) ]:
(ехр [pAZ (/)])=ехр (р2/2),
({ехр [рЛ/ (ZJ +• PN (Zs)] — ехр (р2)}> = {ехр [p2S (If, Z2)J — I} ехр (р2).
Поскольку при | Zt—/2|->оо. S(h, Z2)->0, то и функция корреляции
процесса ехр [pAz (I) ] стремится к нулю’при |Zi—/2I—>-оо. Следовательно,
случайный процесс ехр[рЛф)] является эргодическим [27] и при вы-
полнении неравенства Дь<с£ среднее по интервалу от реализации этого
случайного процесса приближенно равно среднему по ансамблю реали-
заций, т. е.
' ехр [piV (/)] dl ехр (рг/2).
—1/2
Полученные приближенные значения интегралов, входящие в выраже-
ние (5.2.5), не зависят от реализации наблюдаемых данных и не из-
меняются в результате усреднения по ним, т. е. в рассматриваемом
приближении надежность оценки Pq=P'q. Подставляя вычисленные
интегралы в (5.2.5), находим формулу для надежности опенки неэнер-
гетического параметра известного сигнала
(5.2.8)
где
(5.2.9)
Заметим, что формула (5.2.8) справедлива не только для оценки мак-
симального правдоподобия, но и для любых оценок, у которых при до-
статочно больших отношениях сигнал/помеха значение оценки близко
к истинному значению параметра.
Из условий [dPo/dp]==O и [cPPo/dp2] >0 нетрудно показать, что фор-
мула (5.2.8) качественно верно описывает надежность оценки для зна-
чений р^1, так как при р<1 функция Ро возрастает относительно ми-
нимального значения (1+|/р^ле)-1, что противоречит физическому
смыслу.
Рассмотрим оценку неэнергетического параметра узкополосного ра-
диосигнала со случайной, равномерно распределенной начальной фа-
зой. Функционал отношения правдоподобия такого сигнала с точностью
до постоянного множителя определяется выражением (4.2.2)
Л (/) = /. {/?(/)],
(5.2.10)
где
2? (Z) = p2r (Z) = [p*Ga (/.. Z) 4- 2pW. (Z) 4- PW8 (Z)f2
— огибающая сигнала на выходе оптимального приемника (4.2.7) и
(4.2.8); G(/o, Z) —нормированная сигнальная функция (4.2.9), для кото-
рой в рассматриваемом случае справедливо соотношение
G(/o, /)~0 при
| /о—11
141
Тогда при достаточно большом отношении сигнал/помеха приближенно
имеем
рЖ- I), |/в-/|<Дг,
(5.2.11)
где Л?(/)== )/№(.(/)-|-№s(/). Поскольку при фиксированном / Nc(l) и
Ns(l) —нормальные случайные некорелированыые величины с нулевыми
средними значениями и единичными дисперсиями (4.2.6), одномерная
плотность вероятности случайного процесса N(l) будет релеевской и
может быть -записана как
WN(N)=Nexp(— N2/2), N^O.
(5.2.12)
При этом, так как оцениваемый параметр является неэнергетиче-
ским, случайный процесс N (/) является стационарным.
В соответствии с (5.2.11) представим функционал отношения прав-
доподобия узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой
(5.2.10) в виде
/)1.
Л(/) =
Подставляя приближенное представление функционала отношения
правдоподобия в (5.2.4), получаем выражение для надежности оценки
М-Дг
J /о [p2G l)]dl
Р'^.------------------------------------------ТГ2-----------' (5-2Л4>
J Iл [?*G (ltt, 1)] dl + J МрЛЧ/)] dl+ J /. (/)] dl
l0-*L lo+^L
Вычислим интегралы, полагая, как и ранее, что Л’3>|Дь и р2^>1. Чтобы
найти интеграл в числителе, используем асимптотическое представле-
ние функции Iq (z) при £>1
exp (z)
Тогда приближенно можем записать
р 2тг
Здесь значение интеграла при больших р в основном определяется
поведением показателя экспоненты в окрестности точки /0, где функция
G(/o, /) достигает максимума. Поэтому изменением знаменателя
в подынтегральном выражении в этой окрестности можем пренебречь,
а показатель экспоненты заменить приближенным выражением
G (/., /)«!-(/_ /e)V\/2,
где
Г <FG (1^ 1£
dlxdl^
(5.2.15)
142
Таким образом,
Преобразуя последние два слагаемых в знаменателе (5.2.14) при
&l<^L аналогично (5.2.7), имеем
lo—*L L/2 Г L/2
j KIPN (I)] dl+ j /„ [PA? (/)] L ± [ Ia[?N(l)]dl .
—L/2 /о4-Д£ j —L/2
В первом приближении в этом выражении можно заменить среднее
на интервале средним по ансамблю. Учитывая (5.2.12), получаем
4- f L [pw (01dl ~ f [pW] e~ws/2^ = epl/2
—L/2 0
Так же как и для известного сигнала, полученные приближенные зна-
чения интегралов, входящие в формулу (5.2.14), не зависят от реализа-
ции наблюдаемых данных, и поэтому для вычисления вероятности на-
дежной оценки Р'о отпадает необходимость в усреднении величины Р'ъ
по реализациям наблюдаемых данных, т. е. Ро—Р'о. Подставляя най-
денные приближенные значения интегралов в (5.2.14), получаем форму-
лу для надежности оценки максимального правдоподобия неэнергети-
ческого параметра узкополосного радиосигнала со случайной, равно-
мерно распределенной начальной фазой
^=11+Р%ехр(-Р72)]-’,
(5.2.16)
где
(5.2.17)
Формулы (5.2.8) и (5.2.16) являются весьма грубыми приближения-
ми для вероятности надежной оценки, хотя и позволяют сделать неко-
торые качественные , выводы о влиянии на надежность оценки величины
априорного интервала, отношения сигнал/помеха и формы полезного
сигнала. Физически справедливым представляется характер зависимо-
сти Pq от величины априорного интервала и отношения сигнал/помеха.
При увеличении L надежность оценки убывает, а с увеличением р2 воз-
растает. Выражения для первых приближений дисперсий оценок макси-
мального правдоподобия при приеме известного сигнала й радиосигна-
ла со случайной равномерно распределенной начальной фазой (3.1.46)
и (4.2.20) в новых обозначениях запишутся в виде
D (1т | /.) = 1 /(Ру), (5-2.18)
%)=1/(РЮ- (5-2.19)
Отсюда можем сделать вывод, что с уменьшением дисперсии оценки
(за счет увеличения значений ц и при фиксированном отношении
сигнал/помеха) вероятность надежной оценки падает. Следовательно,
не уменьшив надежность оценки, нельзя добиться высокой точности
оценки, изменив только форму сигнала и не увеличив его энергии.
Сравнение формул (5.2.8) и (5.2.16) позволяет качественно учесть
влияние априорной информации о начальной фазе узкополосного ра-
143
диосигнала на точность оценки максимального правдоподобия. Следуя
Ф. М. Вудворду, величину £ (для известного сигнала) или (для сиг-
нала со случайной начальной фазой) можно интерпретировать как
число различимых значений оцениваемого параметра на априорном
интервале. Установить связь между величинами £ и можно, исполь-
зуя соотношения (4.4.3) и (4.4.8), откуда
Е, = Е
(5.2.20)
Здесь — коэффициент корреляции совместных оценок параметра I
и начальной фазы (4.4.7). Из (5.2.20) получаем, что при приеме сиг-
нала со случайной начальной фазой число различимых значений пара-
метра I уменьшается. Несмотря на это вероятность надежной оценки
параметра узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой
может оказаться меньше, чем для того же сигнала с известной началь-
ной фазой.
5.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ОЦЕНКИ.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Один из приближенных способов вычисления вероятности оценки
Ро основан на том, что рассматривается не сам логарифм функционала
отношения правдоподобия М{1) как непрерывная функция оценивае-
мого параметра, а лишь значения М (/) в v точках 4=£Дь- Здесь интер-
вал- Дь выбирается таким, чтобы значения Мг=М (гДь) были статисти-
чески независимыми и одна из v точек (например, lh=kAL) совпадала
с истинным значением параметра /0. Общее число точек, в которых рас-
сматривается функция М(1)9 равно v=[l+L/AiJ. При таком дискрет-
ном представлении, очевидно, вероятность надежной оценки можно за-
писать как
Р9=Р[Мк>М^ /=1, 2,...„v-l, i^k]. (5.3.1)
Соответственно вероятность ненадежной оценки, т. е. вероятность по-
явления аномальной ошибки будет равна
Ра—1 —хотя бы для одного 1^1^. (5.3.2)
Обозначим через Wsk(M) и U^^(Af) плотности вероятности рас-
пределения логарифма функционала отношения правдоподобия, обра-
зованного соответственно суммой сигнала и помехи и только помехой.
Тогда вероятность того, что логарифм функционала отношения прав-
доподобия М(1) в &-й точке, которая соответствует наличию сигнала,
будет больше любого из значений А4(/) в остальных (v—1)-й точках,
обусловленных наличием только помехи, равна
Л = f WSk (7И) PN (TH) dM,
где
V М.
^(7И) = Ц frv.(z)dz.
/—1 —00
i^k
(5.3.3)
(5.3.4)
144
Используя введенное здесь определение вероятности аномальной
ошибки, можно найти верхнюю границу для нее. Действительно, слу-
чайное событие, состоящее в появлении аномальной ошибки, можно
рассматривать как сумму случайных событий, имеющих место при вы-
полнении неравенств:
мг>мк,...,мк_г>мк,
(5.3.5>
Эти случайные события в общем случае совместимы. Известно, что ве-
роятность суммы случайных совместимых событий меньше или равна
сумме вероятностей этих событий и, следовательно,
V
i^k.
(5.3.6)
где
(5.3.7)
Обозначим верхнюю границу для вероятности аномальной ошибки
как
(5.3.8)
Формула (5.3.6) оказывается полезной, если в (5.3.3) не удается
выполнить интегрирование. Учитывая связь между вероятностью ано-
мальной ошибки Ра и вероятностью надежной оценки Ро, можем за-
писать
1—р+<₽
а у
(5.3.9)
т. е. используя можем оценить надежность снизу.
Оценить погрешность в определении PQ при замене непрерывной
функции М(1) ее дискретными значениями М(Ъ) затруднительно. При
подобном искусственном сведении аналоговой системы оценки к дис-
кретной существует определенный произвол в выборе интервала дискре-
тизации Дь. Кроме того, возможны ситуации, когда аномальной ошиб-
ке при дискретном представлении соответствует нормальная ошибка
при непрерывном представлении и наоборот [5].
Таким образом, можно ожидать, что в общем случае метод дискрет-
ного представления логарифма функционала отношения правдоподобия
приводит к результатам, верным лишь качественно.
Найдем вероятность Ро при оценке произвольного параметра из-
вестного сигнала на фоне нормальных стационарных помех. Логарифм
функционала отношения правдоподобия согласно (2.4.10) и (2.4.11)
(для принятых условий относительно выбора величины Дг и совпаде-
ния 4 с /о) в k- и ьй точках можем записать в виде
Mk = М (/.) = 7 Л (4) + N (4) 7.Р* + Nk, (5.3.10)
= Af (7)^ - 7,$ (7)+jv (7) « - 7Д + Nt, i£k. (5.3.11 )
10—356
145
При этом Мъ и Mi — нормальные независимые случайные величины со
средними значениями
<ЖЛ> = р»/2, (^ = -^/2
,и дисперсиями р2 и Qi. Поэтому для распределений, входящих в (5.3.3),
можем записать соответственно
WSk (М)
PN (М)
(Л4 —р2/2)2 |
2р2
(5.3.12)
где Ф(г)—интеграл вероятности (3.1.51).
Подставляя (5.3.12) в (5.3.3), после замены переменной интегри-
рования полудаем приближенное представление для вероятности на-
дежной оценки
ik
(Qi ~ р2)/2.
(5.3.14)
где
Интеграл (5.3.13) в общем случае не вычисляется аналитически.
Поэтому для определения Ро кроме численных методов можно исполь-
зовать различные приближенные формулы. Ориентировочно оценим ве-
личину Ро с помощью ее нижней границы (5.3.9), определяемой через
верхнюю границу для вероятности аномальной ошибки (5.3.8). Веро-
ятности Pih в этом выражении определяются как
Plk=Р И* t > Mk\ > 0]. (5.3.15)
Так как случайные величины Mi и Mk нормальные, их разность также
нормальная случайная величина со средним значением [—(Фг+р2)/2]
и дисперсией (Фг+р2). Отсюда нетрудно получить, что вероятность Pik
определяется выражением
Pik= 1 - ф (о,5 Q. + p2), (5.3.16)
-а верхняя граница для вероятности аномальной ошибки равна
i=i
i=Ak
(о,бК^+р!)
(5.3.17)
Поскольку интеграл вероятности есть монотонно возрастающая
функция, то можем записать, что
(5.3.18)
4 46
где Qmin=niin Q (l) для всех значений I из априорного интервала L.
Полученная верхняя граница справедлива для всех величин истинного
значения параметра /0. Используя эту границу, для грубой оценки ве-
роятности аномальной ошибки можем записать
Ра < (V - 1) [1 -ф (У Qmln/2) ] - (5.3.19)
Если учесть, что для всех z>0 справедлива запись [5]
1 - Ф (г) < (г ]/2й)~1 ехр (- гг/2), (5.3.20)
то верхнюю границу для вероятности аномальной ошибки получаем
в виде
Так как Ро=1—Ра, то для вероятности надежной оценки имеем простое
выражение, определяющее нижнюю границу:
Отметим, что точность верхней границы (5.3.21) возрастает с уве-
личением аргумента интеграла вероятности.
Если оцениваемый параметр I является неэнергетическим, то
=Qk= ... = Qv=p2 и формула для вероятности надежной оценки
(5.3.13) несколько упростится:
оо
В этом случае вероятность надежной оценки не зависит от истинного
значения оцениваемого параметра, а в выражении для верхней грани-
цы (5.3.8) все вероятности Pik будут равны. Вероятность аномальной
ошибки при этом будет ограничена сверху величиной
1) [1 -Ф(Р/]/2)]. (5.3,24)
Так же как в (5.3.13), интеграл (5.3.23) удается вычислить лишь
численными методами. Однако если количество независимых отсчетов
v велико, то для приближенного вычисления можно использовать
аппроксимацию подынтегральной функции в квадратных скобках
в виде [2]
( 1 при г > z0,
1*ОГ= где г0 определяется из условия Н- или \ ф 1 — 1 < 1/2 при z — z„, 1 0 при г<г„, »АГ-1— 1 Л ~
10*
147
В результате выражение для вероятности надежной оценки неэнер-
гетического параметра известного сигнала можно переписать как
ОО
Из этой формулы следует, что при ,р—>оо вероятность надежной оцен-
ки стремится к единице. При ,р—>0 в силу стационарности помеховой
функции #(1) появление максимального выброса в любом из отсчетов
логарифма функционала отношения правдоподобия равновероятно, и
поэтому Ра—>1 /v при любом V. В этом легко убедиться, производя
в (5.3.23) замену переменных u=z[p, полагая р=0 и вычисляя полу-
чившийся элементарный интеграл.
Определим надежность оценки неэнергетического параметра узко-
полосного радиосигнала с равномерно распределенной начальной фа-
зой. В этом случае выходной сигнал оптимального приемника может
быть записан в виде (2.5.14). Так как квадратурные составляющие
Х(1) и У(1), входящие в (2.5.14), являются независимыми нормальны-
ми случайными величинами, то плотности вероятности Л4 (/)—/?(/)
в точках lk—lo и описываются соответственно распределениями
Райса и Релея [27]
(М„) = /.(AU (5-3.26)
(5.3.27)
Подставляя эти выражения в (5.3.3), получаем формулу для ве-
роятности надежной оценки неэнергетического параметра узкополосно-
го радиосигнала с равномерным априорным распределением начальной
фазы
оо
0
Для дальнейших преобразований учтем, что
V—1
1 __ руп f___— 1-- Ст (_______ 1Y” PXD (_mz2
1 exp ( 2p2 } — / x ' exP ( 2p2
m—0
где
Гт (v—1)?
1 tn\ (v—1—tn)\
биномиальные коэффициенты. Используя интеграл
J z exp (— р2г2) Ц (az) dz
о
формулу для надежности оценки можно переписать как
V-1
/и=0
(5.3.29)
.148
В случае больших v точные вычисления по этой формуле весьма тру-
доемки. Однако при больших v переход функции [1—ехр(—z2/2p2)]v~1
от нуля к единице становится весьма резким, поэтому эту функцию
можно аппроксимировать ступенчатой функцией ’[2]
(5.3.30)
Здесь г0 определяется из уравнения
11-ехр(-г‘0/2рг)Г-’ = 7±.
Решая это уравнение относительно za, находим
za = р У —2 In (1 — 2_,/(v_’>).
(5.3.31)
Подставляя (5.3.30) в (5.3.28), имеем
СО
Zo
Из рассмотрения последней формулы видно, что она совпадает
с известной формулой для вероятности правильного обнаружения узко-
полосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной на-
чальной фазой, если в качестве порога принять величину zQ [27]. Вы-
ражение для порога Zq можно упростить, так как при
Отсюда
Вводя нормированную переменную u — zj^ получаем
оо
«о
где
= 21П^. (5.3.34)
В работе [2] показано, что при v^16 погрешность определения
вероятности Ро по приближенным формулам (5.3.32) и (5.3.33) по срав-
нению с вычислением по точной формуле (5.3.28) практически неза-
метна.
Хотя полученные выше выражения для надежности оценки пара-
метра узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой явля-
ются приближенными, тем не менее они позволяют качественно оце-
нить влияние на надежность оценки отношения сигнал/помеха и апри-
орной информации о начальной фазе.
На рис. 5.3.1 приведены зависимости вероятности надежной оценки
неэнергетического параметра от отношения сигнал/помеха р2 для трех
149
значений v=10; 100; 1000. Сплошные кривые представляют надежность
оценки при приеме известного сигнала, штрихом нанесены зависимости
для узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распреде-
ленной начальной фазой. Из приведенных кривых видно, что в области
малых значений р2 вероятность появления абсолютного максимума вда-
ли от истинного значения параметра достаточно велика. При этом, так
же как и при приеме известного сигнала, для радиосигнала со случай-
ной начальной фазой Ро—>1 /v при р—>0.
При использовании дискретного представления логарифма функ-
ционала отношения правдоподобия для приближенного вычисления ве-
роятности надежной оценки число дискрет бралось равным v=
=[(L/Ajl) 4-1], где расстояние между дискретами Аь должно выбирать-
ся на основании двух противоречивых требо-
ваний. Во-первых, Дь должно быть достаточно
велико, чтобы отсчеты М(£Аь) были статисти-
чески независимы. Во-вторых, величину Аь
надо выбирать как можно меньшей, чтобы
используемые дискреты Л4(£Аь) воспроизводи-
ли логарифм функционала отношения правдо-
подобия М(1) с наибольшей точностью. Есте-
ственно, удовлетворить обоим этим условиям
невозможно. Поэтому указать какое-либо об-
гцее правило определения величины Ль, при-
годное во всех случаях, затруднительно. Тем
не менее если оцениваемый параметр являет-
ся неэнергетическим и сигнальные функции
имеют вид S(/i, Izj—Sfli—lz)=S(l2—1\) для
детерминированного сигнала и О(/ь /2)—G(A—Z2) =G(Z2—Л) —для
узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой, то вели-
чину Ль можно определять как интервал корреляции для соответ-
ствующего случайного процесса. Например, можно положить
оо
Д, = f IS (Д/) | d (Д/) (5.3.35)
для детерминированного сигнала и
&L = Т IG (Д/) I d (Ы) (5.3.36)
—оо
для узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой. Здесь
Л/=/1—/2-
5.4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ОЦЕНКИ
НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА НАИБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА
Применительно к оценкам максимального правдоподобия можно
предложить способ приближенного вычисления вероятности надежной
оценки, основанный на анализе распределения максимумов функциона-
ла отношения правдоподобия.
Действительно, поскольку — положение абсолютного максимума
функционала отношения правдоподобия, то вероятность неравенства
150
равная вероятности надежной оценки Ро, эквивалентна вероятности вы-
полнения неравенства
HSN>HN. (5.4.2)
Здесь Hsn — величина абсолютного максимума логарифма функционала
отношения правдоподобия М(1) при /о^-Дь</</©+Ль, a HN — величи-
на абсолютного максимума М (Z) на интервале —£/2^/^/0—Ль, £+Ль<
<<£<£/2. В силу определения величины Дь как длительности сигналь-
ной составляющей S(l) логарифма функционала отношения правдопо-
добия вероятность выполнения неравенства (5.4.2) есть вероятность
того, что абсолютный максимум суммы сигнальной S(l) и помеховой
составляющих М(1) в окрестности истинного значения /0 больше,
чем любой из выбросов помеховой составляющей на остальной
части априорного интервала. Так как длительность сигнальной состав-
ляющей Дь определяет величину интервала корреляции помеховой со-
ставляющей #(/), то для случая, когда #(/) является нормальным слу-
чайным процессом и Ль*С£, можно считать, что величины H$n и HN
статистически независимы. Обозначая теперь Wsh(H) и Wn(H) —плот-
ности вероятности величин HSN и HN, a Pn(H)—функцию распреде-
ления величины HN, для вероятности надежной оценки (т. е. для веро-
ятности отсутствия аномальных ошибок) получаем выражение
оо
J WSN (Я) Р„ (И) dH
—00
оо Н
J WSN (Я) J WN (2) dzdH.
(5.4.3)
Определяемая таким образом величина Ро представляет собой на-
дежность оценки только для метода максимального правдоподобия.
При других методах получения оценки эта формула в отличие от (5.2.3)
неприменима.
К сожалению, найти в общем случае точные аналитические выра-
жения для Wsn(H) и Wn(H) не представляется возможным, так как
задача определения функции распределения абсолютных максимумов
случайного процесса до настоящего времени точного решения не имеет.
Однако применительно к достаточно большим, но конечным величинам
отношения сигнал/помеха и отношения априорного интервала возмож-
ных значений оцениваемого параметра к длительности сигнальной со-
ставляющей (или, что то же самое, ко времени корреляции помеховой
составляющей) можно получить достаточно точную формулу для веро-
ятности надежной оценки неэнергетического параметра. В связи с этим
определим плотности вероятности максимума выходного сигнала в ок-
рестности сигнальной составляющей и наибольшего максимума (ма-
ксимума максиморума) выходного сигнала, образованного только по-
меховой составляющей.
Выходной сигнал оптимального приемника Л4(/)' определяется вы-
ражением (3.1.5), где применительно к оценке неэнергетического пара-
метра надо положить S(/) =S(Iq, I). Разлагая (3.1.5) в ряд Тейлора и
ограничиваясь тремя членами разложения, выражение для максимума
выходного сигнала М(1т), обусловленного наличием полезного сигнала
(т. е. в области нормальных ошибок), можно записать в виде
W = Р*+Р Wo) + <WS" (С /0) д/2+Р^'(О Л/. (5.4.4)
где Л1=1т—k — отклонение точки максимума от истинного значения
оцениваемого параметра. При этом величина Л/ в первом приближении
151
определяется согласно (3.1.49) и (3.1.13) из выражения
Д/=-ЛГ'(/0)/Р5"(/в, /в). (5.4.5)
Отсюда максимум выходного сигнала в области сигнальной состав-
ляющей
Яот = Р8+р1#(4)-%/р1, (5-4.6)
где
a₽=^a(/e)/2S”(4> 4)-
(5.4.7)
При ©том второй момент случайной величины af равен ;<аг >=3/4.
Из последнего соотношения и (5.4.6) видно, что при (р>>1 плотность
вероятности случайной величины H$N—р2 сходится к плотности вероят-
ности случайной величины p./V(/0). Так как нормированная помеховая
составляющая JV(/o) имеет нормальное распределение с нулевым .сред-
ним значением и единичной дисперсией, то плотность вероятности слу-
чайной величины Hsn стремится к нормальному распределению вида
(Я - ?у
WsN (Я)=ехр
р V
Подставляя полученное распределение величины Hsn
после замены переменных получаем
со
О
PN (zp) dz.
Выражение для Ро перепишем
Ф (р)
виде
в
2
I
У 2л
PN (гр) dz+
оо
(5.4.10)
1 J r L 2
ф(р)
При этом функцию ф(р) выберем такой, чтобы при (р
и выполнялось условие ф(р) /р—>0. Например, ф(р)=1пр или ф(р) =
=р®, 0<а<1. В этом случае величина интеграла определяется поведе-
подынтегральных
чр (р)—ИОО
нием
функций в области г>ф(р). Действительно,
I».
ф (р)
- 2Р)2' (2P)<Ф |р
а при р—>~оо ф{р[ (ф (р) /р)—1 ]}—*0.
Распределение величины абсолютного максимума помеховой со-
ставляющей при z—*оо стремится к распределению вида *)
где
PN (Н) *= PN (PZ) * ехР
(5.4.11)
(5.4.12)
*> Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М., «Мнр», 1969.
152
Поскольку значение интеграла в (5.4.10) определяется поведением
подынтегральных функций в области и>ф(р), а ф(р)—>оо при р—*со,
то можно вместо Ря(рг) подставить в (5.4.9) значение (5.4.11). По-
лучим
° К2п
(5.4.13)
Для любых значений z и § справедливо разложение
ki
Подставляя это разложение в (5.4.13)
к выражению
и интегрируя, приходим
/г=(>
ормулы
(5.3.13)
(5.4.14)
Полученные
и (5.4.14) позволяют приближенно
оценить величину вероятности надежной оценки для больших, но ко-
нечных значений р и g; они являются асимптотически точными при
р—>ioo и ig—>оо. Действительно, условие р—>;оо обеспечивает примени-
мость предельного распределения (5.4.8), а условие g—»оо приводит
к тому, что влияние возможной статистической связи случайных вели-
чин Hsn и и влияние краевых эффектов становится пренебрежимо
малым.
При весьма больших отношениях сигнал/помеха и не слишком
больших значениях g, т. е. когда выполняется неравенство
Рис. 5.4.1. Зависимость вероятности аномальной ошибки
от отношения сигнал/помеха.
gexp(—рг/4)<<1, в .(5.4.14) можно учесть только первые два члена ря-
да, т. е. положить
Рв^1 —
(5.4.15)
Это приближение совпадает с выражением для Ро, полученным в [166]
на основе теории случайных выбросов.
На рис. 5.4.1 приведены вычисленные по формуле (5.4.14) зависи-
мости вероятности аномальной ошибки Ра=1—Ро от отношения сиг-
нал/помеха ip при различных значениях £. Из рисунка видно, что по-
153
явление абсолютного максимума логарифма функционала отношения
правдоподобия вдали от истинного значения параметра /0 при не слиш-
ком больших р довольно велика. С ростом р вероятность аномальной
ошибки сравнительно быстро убывает и относительно медленнее уве-
личивается с ростом
5.5. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ С УЧЕТОМ АНОМАЛЬНЫХ ОШИБОК
Рассмотрим характеристики оценки максимального правдоподобия
при наличии аномальных ошибок применительно к оценке неэнергети-
ческого параметра известного сигнала. При этом будем полагать, что
интервал возможных значений оцениваемого параметра много больше
длительности сигнальной составляющей на выходе оптимального при-
емника.
Смещение и рассеяние оценки при наличии аномальных ошибок
определяются соотношениями (5.1.2) и (5.1.3), причем плотность веро-
ятности ошибки при наличии только нормальных ошибок вычисляется
по формуле (3.1.50).
Так как при оценке неэнергетического параметра помеховая со-
ставляющая 1N(/) является стационарным случайным процессом, то по-
ложение абсолютного максимума помеховой составляющей будет рас-
пределено равномерно на интервале L. Следовательно, плотность ве-
роятности аномальной ошибки, за исключением небольшого по сравне-
нию с L интервала, занимаемого длительностью сигнальной составляю-
щей, равна
(Y1O = (U 1Д, -^/2 < lm < L/2. (5.5.1)
Согласно § 3.1 и 4.2 оценка неэнергетического параметра сигнала
при наличии только нормальных ошибок несмещенная. Тогда, опреде-
ляя условное смещение оценки при наличии аномальных ошибок, на-
ходим
= (5-5.2)
Усредняя полученный результат по всевозможным априорным значе-
ниям /о и учитывая независимость вероятности надежной оценки Ро от
истинного значения оцениваемого параметра, получаем, что при нали-
чии аномальных ошибок оценка максимального правдоподобия без-
условно несмещенная.
Рассеяние оценки максимального правдоподобия неэнергетического
параметра при нормальных ошибках совпадает с дисперсией оценки и
не зависит от истинного значения оцениваемого параметра /0 (является
безусловным) jD(/w]/o) =С>о(1т). Рассеяние оценки при наличии только
аномальных ошибок и сделанных предположениях равно
Отсюда рассеяние оценки с учетом как нормальных, так и аномальных
ошибок определяется формулой
D (Ш = А> (Q ро + (Г /12 + /20) (1 - Ро).
(5.5.4)
Из этой формулы видно, что условное рассеяние минимально, если
истинное значение оцениваемого параметра совпадает с серединой апри-
орного интервала, т. е. /о—0.
154
Усредняя условное рассеяние по всевозможным значениям пара-
метра Iq из априорного интервала (5.2.1), имеем
5(/и)^рД(/т) + (1-Р0)Г/б.
(5.5.5)
Если основной интерес представляет зависимость рассеяния оценки
от отношения сигнал/помеха и формы сигнала при неизменной вели-
чине априорного интервала, то, используя первое приближение для
дисперсии оценки (3.1.46), формулу (5.5.5) можно записать в виде
(^т) —* ^тах
(5.5.6)
Здесь Dmax(/rn)=L2/6 — максимальное безусловное рассеяние оценки
при отсутствии полезного сигнала (т. е. прн р=0); g определяется со-
гласно (5.4.12).
Рис. 5.5.1. Зависимость от-
носительного рассеяния
оценки от отношения сиг-
нал/помеха.
Рис. 5.5.2. Зависимость от-
носительного рассеяния 4
оценки от g.
На рис. 5.5.1 приведены вычисленные по формуле (5.5.6) зависи-
мости относительного рассеяния оценки (сплошные ли-
нии) от отношения сигнал/помеха при различных значениях £. При этом
величина вероятности аномальной ошибки Ра=1—Ро, входящая в фор-
мулу (5.5.6), определялась по данным зависимостей, приведенных на
рис. 5.4.1. Штрихом на рис. 5.5.1 изображены зависимости D0(/m) /
Йюах(/т), где D0(/w)—рассеяние оценки при наличии только нормаль-
ных ошибок.
Полученные результаты позволяют рассмотреть вопрос об опти-
мальной (с точки зрения минимума ошибок) форме полезного сигнала
5(yf, /). Точнее, можно определить требования, которым должна удовле-
творять сигнальная функция S(l—/о), чтобы ошибки оценивания были
минимальными. При этом оптимальная форма сигнальной функции бу-
дет, очевидно, зависеть от того, какие характеристики ошибки жела-
тельно минимизировать.
В случае, когда основной интерес представляет величина рассеяния
оценки, оптимальную форму сигнальной функции следует искать из
условия
min D(lm).
(5.5.7)
155
Качественно ясно, что при каждом фиксированном р возрастание
g сначала приводит к уменьшению рассеяния оценки ( в области нор-
мальных ошибок), а затем вызывает увеличение рассеяния (в области
аномальных ошибок). Следовательно, при каждом р должно существо-
вать некоторое значение g=gmin (и—Hmm), которое обеспечивает мини-
мальное рассеяние оценки при заданных р и L. Этот вывод подтверж-
дается рис. 5.5.2, на котором приведены зависимости относительного
рассеяния оценки D(Zm)/Dmax(/m) от величины g при различных отно-
шениях сигнал/помеха р. Кривые наглядно показывают, что с увели-
чением отношения сигнал/помеха р значение gmm, обеспечивающее ми-
нимум рассеяния, возрастает, а минимальное значение рассеяния оцен-
ки Drain(lm) убывает. Определить аналитически gmin и Dmin(/W) на
основе анализа формулы (5.5.6) в общем случае не представляется
возможным вследствие относительно сложной зависимости Ро от g.
Однако при достаточно больших отношениях сигнал/помеха и
gexp(—р2/4)<^1 в качестве первого приближения для вероятности на-
дежной оценки можно использовать выражение (5.4.15), а формулу
(5.5.6) переписать в виде
В этом приближении величины gmin и Дшп(М находятся сравни-
тельно просто. Дифференцируя (5.5.8) по g, приравнивая первую про-
Рис. 5.5.3. Зависимость gmin от отноше-
ния сигнал/помеха.
Рис. 5.5.4. Зависимость минимальной
относительной дисперсии оценки от отно-
шения сигнал/помеха.
изводную нулю и решая полученное уравнение относительно g, на-
ходим
Подставляя значение gmin в (5.5.8), получаем минимальное рассеяние
оценки в виде
D . (I (I )------------ехР (—4гY (5.5.10)-
пнп ' mJ max ' т/ (24 та V2 )2^3 1 \ 6 J
На рис. 5.5.3 приведена зависимость /gmin, а на рис. 5.5.4 — зависи-
мость /)min(/m) от отношения сигнал/помеха р. Сплошные кри-
вые на этих рисунках представляют собой зависимости, построенные
на основе формулы (5.5.6), штрихом нанесены приближенные значе-
ния gmin и Дп1п(4и), вычисленные по формулам (5.5.9) и (5.5.10) соот-
ветственно. Согласно рис. 5.5.3 и 5.5.4 приближенные формулы (5.5.9)
156
и (5.5.10) обеспечивают удовлетворительную точность в рассматривае-
мой области значений отношений сигнал/помеха.
Таким образом, при минимизации рассеяния оценки форма полез-
ного сигнала должна выбираться из условия
Цшш—^min/ Тг,
(5.5.11)
т. е. в общем случае с изменением отношения сигнал/помеха р и апри-
орного интервала L должна изменяться форма оптимального сигнала.
Выбор оптимальной формы полезного сигнала приводит к тому, что
с ростом отношения сигнал/помеха рассеяние оценки убывает значи-
тельно быстрее, чем при наличии только нормальных ошибок и фикси-
рованном g.
Формулы для рассеяния оценки с учетом аномальных ошибок и
надежности оценки получены на основе ряда допущений. Оценить точ-
ность этих формул теоретически весьма затруднительно; можно лишь
утверждать, что точность их возрастает с увеличением значений g и р.
Для конечных значений £ и р вопрос о применимости полученных при-
ближений можно решить путем экспериментальной проверки.
Экспериментальная проверка точности приближенных зависимостей была проведе-
на на примере оценки временного положения сигнала т. Полезный сигнал формировал-
ся путем пропускания короткого видеоимпульса через последовательно соединенные
интегрирующие 7?С-цепочки с одинаковыми постоянными времени тдс- Для формиро-
вания сигнала использовалось восемь слабо связанных 7?С-цепочек. Затем полезный
сигнал смешивался с аддитивным широкополосным нормальным стационарным шумом
и поступал на согласованный фильтр. В качестве согласованного фильтра использова-
-Ю -5 О 5 Z
Рис. 5.‘5.5. Нормированная сигнальная
функция:
О 2 U р
Рис. 5.5.6. Зависимость вероятности ано-
мальной ошибки от отношения сиг-
нал/помеха.
лась аналогичная последовательность из восьми слабо связанных интегрирующих.
/?С-цепочек. Для теоретических расчетов характеристик оценки использовалась аппро-
ксимация нормированной (по амплитуде и по аргументу) сигнальной функции фор-
мулой
5(г)— 141 е У] £1(7 — £)| И*» 2 ^<z< 2 (5.5.12>
/г-—-о
где г—т/тпс — нормированная переменная; Z—T/Xrc — нормированный (априорный)
интервал наблюдения сигнала.
157
Рис. 5.5.7. Зависимость
относительного рассея-
ния оценки от отноше-
ния сигнал/помеха (£ =
= 10).
Формула (5.5.12) получена в предположении, что в полосе пропускания всей по-
следовательности из Гб интегрирующих #С-цепочек фазочастотную характеристику
каждой цепочки можно приближенно считать линейной.
На рис. 5.5.5 приведена нормированная сигнальная функция, рассчитанная по
формуле (5.5.12) (сплошная линия), и реальная форма сигнальной функции (штрихо-
вая линия), полученная на выходе согласованного фильтра. Поскольку удалось полу-
чить почти точное совпадение амплитудно-частотных характеристик формирующего
устройства и согласованного фильтра с соответствующими расчетными зависимостями,
отклонение экспериментально полученной сигнальной функции от теоретической, по-ви-
димому, обусловлено нелинейностью фазочастотной характе-
ристики каждой 7?С-цепочки. Кроме того, формула (5.5.12)
верна при воздействии дельта-импульса, ib то время как
в эксперименте использовался хотя и короткий, но конеч-
ный импульс.
Оценка максимального правдоподобия временного по-
ложения полезного сигнала определялась по положению
абсолютного максимума выходного эффекта согласованного
фильтра на экране запоминающего осциллографа. Истин-
ное значение временного положения полезного сигнала то,
т. е. положение максимума сигнальной функции, при этом
выбиралось в середине априорного интервала, что соответ-
ствовало значению то=О. Аномальная ошибка фиксирова-
лась, если оценка отклонялась от середины априорного ин-
тервала на величину, большую длительности выходного
сигнала Аь, определяемую согласно (5.3.35). Поскольку
истинное положение сигнала было фиксированным, то соответственно вычислялось
условное рассеяние оценки (5.5.4). На рис. 5.5.6 приведена зависимость вероятности
аномальной ошибки 1—Ро от отношения сигиал/помеха р, вычисленная по форму-
ле (5.4.1'4) для £='100.
Здесь же приведены экспериментальные значения вероятности аномальной ошиб-
ки: о — значения, полученные в результате обработки N—500 реализаций, □ для
= 103 и А для Л^=104, т. е. в общем случае объем экспериментальной выборки А уве-
личивался с ростом отношения сигнал/помеха. Действительно, с ростом отношения сиг-
нал/помеха вероятность аномалии быстро падает и достаточно точное измерение ее
возможно лишь при весьма большом объеме выборки '-N. Следует отметить удовлетво-
рительное согласование значения Ра—'1— Ро, рассчитанного по формуле (5.4.14) и по-
лученного экспериментально уже при р^1.
Кроме вероятности аномалии, экспериментально определялось относительное
условное рассеяние оценки временного положения сигнала
£>(тт|0) _ 12
max ।
(^m) *4“ О
(5.5.13)
в зависимости от отношения сигнал/помеха. Здесь £>(tw|0) —условное рассеяние оцен-
ки при То“О (5.5.4), а /5тах(Тгп|0) =Г2/Г2— максимальное условное рассеяние оценки
в отсутствие полезного сигнала, т. е. при р=0. Зависимости относительного рассеяния
оценки временного положения £(тт)/^тах(тт) от отношения сигнал/помеха при опре-
делении Ро согласно (5.4.14) приведены: на рис. 5.5.7 для £=10 (сплошная линия), на
рис. 5.5.8 для £=100 ‘(кривая 2) и на рис. 5.5.9 для g=JOOO (сплошная линия). На
этих же рисунках показаны зависимости относительного рассеяния оценки
Л0(тт)/Дтах(тт) от отношения сигнал/помеха р при учете только нормальных ошибок
(штриховая линия), а также экспериментальные значения относительного рассеяния
оценки. При этом обозначения экспериментальных точек такие же, как на рис. 5.5.6.
Для £==10, 100, 1000 приближенное значение |0)/£)тах(т?п |0) удовлетвори-
те
тельно согласуется с экспериментальными данными при р^1. Значительное отклонение
экспериментальных данных от теоретической кривой на рис. 5.5.9 (g=1000) при 7^
^р^9, по-видимому, можно объяснить недостаточным объемом экспериментальной вы-
борки (N=1000). Действительно, при этих значениях р и g вероятность аномалин
весьма мала и, чтобы ее зафиксировать, необходим объем выборки 106. Однако так
как априорный интервал значительно больше длительности сигнальной функции, то
весьма редкие, но большие аномальные ошибки существенно увеличивают рассеяние
оценки. Это иллюстрируется сплошной и штриховой кривыми на рис. 5.5.9. При р^7,
g=1000 и iV=1000 не было зафиксировано ни одной аномалии, так что приведенные на
этом рисунке экспериментальные значения рассеяния оценки для р^7 относятся только
к нормальным ошибкам. Соответствующая теоретическая зависимость представлена
штриховой линией.
Рис. 5.5.8. Зависимость относительного
рассеяния оценки от отношения сиг-
нал/помеха (g—102).
Рис. 5.5.9. Зависимость относительного
рассеяния оценки от отношения сиг*
нал/помеха (g=103).
Для сравнения различных методов приближенного расчета характеристик оценки
максимального правдоподобия на рис. 5.5.8 (g=100) приведено относительное рассея-
ние оценки (кривая /) при дискретном представлении выходного сигнала оптимального
приемника (§ 5.3). 'Кривая 1 построена для случая, когда вероятность надежной опен-
ки Ро определялась согласно (5.3.25). Соответственно для сигнальной функции (5.5.12}
Кривая 3 рассчитана по формуле (5.5.13) при подстановке в нее прибли-
женного значения вероятности надежной оценки Ро из (5.4.15). Использование для
приближенного расчета вероятности надежной оценки критерия 'Вудворда (§ 5.2) при-
водит к меньшим значениям рассеяния, чем при использовании дискретного представ-
ления.
Из рассмотрения кривых рис. 5.5.8 следует, что полученные из различных прибли-
женных формул величины рассеяния оценки максимального правдоподобия могут зна-
чительно отличаться при не слишком больших отношениях сигнал/помеха. Однако при
р—>-со все они стремятся к рассеянию оценки при наличии только нормальных ошибок.
Полученные выше формулы и выводы по оценке неэнергетического параметра
известного сигнала с учетом аномальных ошибок справедливы и для оценки неэнергети-
ческого параметра радиосигнала со случайной начальной фазой. Отличие состоит лишь
в том, что в полученные соотношения вместо g —p,L надо подставить |ф=гР'(р Ь» где
определяется согласно (5.2.15), а также использовать соответствующую формулу
для вероятности надежной оценки,
159
Глава 6
БАЙЕСОВСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА СИГНАЛА
6.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ МАЛЫХ ОТНОШЕНИЯХ
СИГНАЛ/ПОМЕХА
В соответствии с определением, приведенным в § 1.4, байесовская
оценка ут— это оценка, которая минимизирует безусловный средний
риск (1.4.8) при заданной функции потерь С (у, /). Байесовская оценка
Ут находится минимизацией апостериорного риска (1.4.11) при каж-
дой фиксированной реализации наблюдаемых данных. В общем случае
апостериорный риск является нелинейной функцией оценки, что за-
трудняет анализ байесовских оценок. Однако для ряда функций потерь
характеристики байесовской оценки могут быть получены относительно
просто в случае весьма малых и весьма больших отношений сигнал/по-
меха. Рассмотрим в этом параграфе случай малых отношений -сиг-
нал/помеха.
Положим, что полезный сигнал 6Z0Si(£, /0, qo) принимается на фоне
аддитивной нормальной помехи и кроме неизвестного неэнергетического
параметра /о, подлежащего оценке, содержит два неизвестных пара-
метра, в оценке которых нет необходимости (сопровождающие пара-
метры): некоторый неэнергетический параметр q0 и амплитуду с огра-
ниченным средним квадратом. При этом априорные плотности вероят-
ности неизвестных параметров a, I, q обозначим 1Грг(а), Wpr(q) и
Wpr(l). Тогда апостериорную плотность вероятности оцениваемого па-
раметра можно записать согласно соотношениям (1.1.11), (1.1.12) и
(2.2.8) в виде
Wpr (0 f f ^pr («) Ъг (?) X
Wps (1) = ---------------------
WPr (I) Wpr (a) Wpr (<?) X
I, q) dt — dadq
0
(6.1.1)
я2р2! dadqdl
о
где, как и выше, x(t)=aosi(t, l0, qa)+n(t), p2t— отношение сигнал/по-
меха для сигнала с единичной амплитудой, a Vi(t, I, q) —-решение урав-
160
нения (2.2.7) для сигнала с единичной амплитудой. Отсюда и из
(1.4.12) получаем уравнение для определения байесовской оценки
rdf (y)
= 0.
(6.1.2)
Здесь
f(Y)
f Jf C (Y, I) Wpr (I) Wpr (a) W pr (<7)exp [aaoP\S (Zo, I, qt, q) +
q) — я2р\/2] dldadq;
(6.1.3)
S(lG, I, qo, q) и 7V(/, q)—ранее введенные (см. § 3.1) нормированные
сигнальная и помеховая функции. При этом из всех возможных реше-
ний уравнения (6.1.2) байесовской оценке соответствует решение, кото-
рое определяет положение наименьшего (абсолютного) минимума функ-
ции f(y).
Из выражения для функции f(y) следует, что при очень малых от-
ношениях сигнал/помеха (pi—>0) экспонента практически равна еди-
нице, и поэтому байесовская оценка ут совпадает с положением абсо-
лютного минимума уо функции
Л (Y) = J С (Y, Z) wpr (/) dl.
(6.1.4)
При конечных значениях отношения сигнал/помеха разность
Ут—Уо будет отлична от нуля. Близость ут к у0 при pi<C 1 позволяет
найти характеристики оценки, определив отклонение ут от ус в виде
соответствующих приближений, а следовательно, и отклонение ут от
истинного значения оцениваемого параметра /о, так как в общем слу-
чае уо¥=/о.
Рассматривая f(y) при фиксированном у как функцию pi, разло-
жим ее в ряд Маклорена по pi. Отбрасывая члены разложения поряд-
ка малости р41 и менее, получаем уравнение (6.1.2) в виде
{^7 [fo (Y) + рЛ (Y) + p\h (Y) + Р3Л (Y) + °’
(6.1.5)
где
Л (Y)=«Рг Jf С (Y, Z) N (I, q) Wpr (I) Wpr (q) dldq-,
Ш=аваргЦс(ч, l)S(l„, I, q„, q)Wpr(l)Wpr(q) dldq+
+4- (a2) J j C (Y, Z) [№ (Z, q) - 1] Wpr (I) Wpr (q) dldq-,
h (Y) = <a2> f f C (Y, Z) S (C h Q) N & ™Pr (0 Wpr (9) dldq +
+4 <a3) j(Y, Z) [№ (Z, 9)/3 - 1 ] N (Z, q) Wpr (Z) Wpr (q) dldq-,
apr = j aWpr (a) da.
Так как для pi=0 то при pid приближенное решение уравне-
ния можно искать в виде
Ym=Yo + Р/Л-bP2iYs + P3iYs +-
(6.1.6)
161
11—356
Разложим функцию в квадратных скобках в (6.1.5) в ряд Тейлора
по у в окрестности точки уо, подставим в это разложение значение у™
и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях pi. Решая
полученные таким образом уравнения относительно yi, 72, уз, имеем
- ь = - Г 4г f'"' (Y) Y\ + Г. (Y) Yi + Г 2 (Y) ] / Г 'о (Y) } ’
I L / 7 То
Ys = — { Г” о (Y) Y1Y2 + 4" (y) Y3i + f "1 (y) Ys+
V
+4 <Y) X2> + <T) Yt + I'Al) ]/f"o (Y)}b.
Подставляя эти соотношения в (6.1.6), получаем значение байесовской
оценки неэнергетического параметра с точностью до величин порядка
малости p4i.
Качество байесовской оценки характеризуется байесовским риском
который для рассматриваемой задачи в соответствии с (1.4.9) и
(6.1.1) равен
= Wps(l)C(ltn, (6.1.7)
Здесь усреднение выполняется по реализациям помехи n(t) и по зна-
чениям параметров а0, q0, Iq. Для выполнения усреднения разложим
функцию ^m(pi) в ряд Маклорена:
(р>) - -Яг (°) (0) Pi + 4 <°) Р2* + 4 Я’"т (°) Р3> + -
Вычисляя производные и выполняя усреднения, можем записать
pWpr ^(Y1. Ya)l
2/"o(Y) /То’
(6.1.8)
где
J(Y„ Ys) = JJC(Yt. 0C(Y2. W*. Q Wpr (Z,) Wpr(lt)dl
Q = JJS(Z1, Z2, qlt q2)Wpr (<?,)№pr {q2)dq^q2.
Используя (6.1.6), находим безусловные смещения и рассеяние байесов-
ской оценки неэнергетического параметра
ЬЫ ) = — /) = т — I 4- ( 1 дЧ (тп у2) __
(Y,J \Y™ о) Yo Pr 'i- (Yo) (Yo)
__ fy„(T) dV(Y,, y2)— d CfC(„ l,)B(lt, l^WMWMdl.dlA ,
2fn 2(Y) ^Yi<^Y2 dy J J V1 *' '* 27 PrKt/ pr\n 1 2>
(6.°1.9)
f)(v \ — /(v —l\z\—^D /’A-Lfv —I >2-J- p2,“2P'' f 1 d2J(YI( Y2)
(Ym) UYm J) pr() + (Y« pr) -r z„o (Yo) p„o (Y) ——
(6.1.10)
162
где lpr и Dpr(l)—априорные среднее значение и дисперсия оценивае-
мого параметра.
Полученные выражения для характеристик качества байесовской
оценки справедливы при условии дифференцируемости апостериорного
риска (1.4.11). Для дифференцируемых функций потерь это условие,
как правило, выполняется. Однако полученные здесь общие выражения
могут быть использованы при недифференцируемых функциях потерь,
если априорная плотность вероятности оцениваемого параметра Wpr(l)
и сигнал (t, I, q) обладают необходимым числом непрерывных про-
изводных по I.
Изложенная методика расчета характеристик байесовских оценок
применима, если функция /о(т) имеет минимум. В противном -случае,
как, например, при равномерном априорном распределении и простой
функции потерь, когда /о (у)—const, методика неприменима, так как при
pi—>0 байесовская оценка не сходится к какому-либо определенному
значению уо-
Для частного случая оценки неэнергетического параметра извест-
ного сигнала при квадратичной функции потерь характеристики байе-
совской оценки можно найти из полученных общих соотношений. Для
этого следует положить Wpr(a)—b(a—а0), Wpr(q)=b(q—qo), С (у, Г) —
= (у—/)2. Тогда для произвольного априорного распределения оцени-
ваемого параметра получаем, что оценка неэнергетического параметра
сигнала несмещенная, а рассеяние оценки, совпадающее с байесовским
риском, определяется формулой
D (Ym)=Dpr (I) - р* J J (I, - lpr) (lt -1pr)S (/, -12) Wpr (ZJ Wpr (Zs) dl,dl2.
(6.1.11)
Вычисления двойного интеграла здесь можно избежать, переходя
к априорной, характеристической функции параметра I
0Z (со) = f exp (/со/) Wpr (/) dt
и к спектральному представлению сигнальной функции S(A/), где А/=
—h—lz,
S (ш) = J ехр (— /соА/) S (A/) d (AZ).
В результате получим
(6.1.12)
Используя методику, изложенную выше, можно найти характери-
стики байесовской оценки энергетического параметра. Однако при этом
заметно возрастают вычислительные трудности. Поэтому ограничимся
определением характеристик байесовской оценки простейшего энерге-
тического параметра — амплитуды сигнала ао$1(А #0), содержащего
кроме неизвестной амплитуды ао, подлежащей оценке, сопровождаю-
щий неэнергетический параметр qo. Полагаем, что неизвестные пара-
метры а и q обладают априорными плотностями вероятности Wpr(a) и
Wpr(q)' При этих предположениях апостериорная плотность вероятно-
11* 163
сти амплитуды равна
Wpr (а) \ Wpr (q) ехр
aa0p2iS (g0, q) + ар,М (g) —
dq
(а)
J J Wpr («) Wpr (g) exp
^op2i5 (<7o> Q) + “ ~2“ я2р21 dadq
(6.1.13)
где S(qlG, q) и N(q) —.нормированные сигнальная и помеховая функции.
Используя выражение для апостериорной плотности вероятности
амплитуды и методику нахождения характеристик оценки, аналогичную
при определении характеристик байесовской оценки неэнергетического
параметра, получаем соответственно формулы для байесовского риска
и безусловных смещения и рассеяния оценки амплитуды:
a)rpr(a)dap^, (6.1.14)
b (Ym) = <Ym-«о) = Yo - apr + a)^₽r(«)^e X
X JrT J aC (Y’ a)i^pr (a) da apr 2^”2 (y) X
D (Y»j) ==((Ym ®<>) ) 7 Dpr (^) (Y
.tzy I 9
_ j lo
n2
2 1 Pl
o '"pr/ 1
a) Wpr (a) da
(6.1.15)
^rU(Y> °)X
Здесь
1 d2
f"o (V)
fo'2(Y)
dpr
(6.1.16)
f f S (<7.> ^2) Wpr (qt) Wpr (</2) dqxdq2-,
(6.1.17)
f, (y) = f c (Y’ «) Wpr («)da’
apr и Dpr(a) —априорные среднее значение и дисперсия амплитуды.
Конкретизируя полученные общие соотношения для характеристик
байесовской оценки амплитуды применительно к квадратичной функции
потерь, находим, что оценка амплитуды несмещенная, а значение байе-
совского риска совпадает с рассеянием оценки и равно
D(U) = Dpr(a)[l -P\Dpr(a)J]. (6.1.18)
Все полученные характеристики байесовской оценки амплитуды
рассматриваемого сигнала зависят от величины J. Так как для норми-
рованной сигнальной функции справедливо неравенство |S(#i, q^)
164
то из (6.1.17) получаем 7^'1, причем знак равенства имеет место лишь
в случаях, когда значение сопровождающего параметра qQ априори из-
вестно, т. е. WPr(q)=S(q—<?о), или когда сигнал не зависит от q, т. е.
S(#i, #2)—1- Выражение для J можно несколько упростить примени-
тельно к неэнергетическому сопровождающему параметру, а именно:
S ((«)
(6.1.19)
[ exp (jvq) Wpr (q) dq-,
ехр (—/о)Д^) S (Д<?) d (Д7);
Qi Qi-
6.2. свойства байесовских оценок при больших отношениях
СИГНАЛ/ПОМЕХА
Можно показать [113], что при неограниченном увеличении отно-
шения сигнал/помеха при приеме известного сигнала на фоне аддитив-
ных нормальных помех апостериорное распределение оцениваемого па-
раметра сходится к нормальному распределению со средним значением
и дисперсией, определяемыми соответственно формулами
_/ I j м"' & w'pr (О I
PS —2[М"(/)]2 flm
(6.2.1)
(6.2.2)
Здесь Wpr(I)—априорная плотность вероятности, которая полагается
непрерывной функцией в интервале возможных значений оцениваемого
параметра; М(1)—логарифм функционала отношения правдоподобия.
При этом с увеличением отношения сигнал/помеха апостериорное сред-
нее стремится к опенке максимального правдоподобия. Отсюда, а так-
же из [4, 20] получаем, что для любой симметричной неубывающей
функции потерь С (у, Z) предельное значение байесовской оценки совпа-
дает с апостериорным средним значением и асимптотически стремится
к оценке максимального правдоподобия. Следовательно, байесовские
оценки асимптотически инвариантны к достаточно широкому классу
симметричных функций потерь и непрерывных априорных распреде-
лений.
Асимптотические свойства байесовских оценок позволяют при до-
статочно больших отношениях сигнал/помеха аппроксимировать байе-
совскую оценку оценкой максимального правдоподобия. Однако для
этого .необходимо оценить точность аппроксимации байесовской оценки
с помощью оценки максимального правдоподобия при больших, но ко-
нечных отношениях сигнал/помеха.
Необходимо отметить, что замена байесовской оценки оценкой ма-
ксимального правдоподобия позволит существенно упростить приемное
устройство, а инвариантность предельной формы байесовской оценки
по отношению к априорным распределениям и выбору функции потерь
дает возможность частично преодолеть трудности, связанные с априор-
ной неопределенностью и произволом в выборе потерь.
165
Ухудшение качества оценки при замене байесовской оценки у?п
оценкой максимального правдоподобия 1т .можно охарактеризовать от-
носительной разницей между средними потерями, соответствующими
этим оценкам:
т, 0] Wps (Z) di)
Здесь усреднение выполняется по реализациям помехи и(/) при фикси-
рованном истинном значении оцениваемого параметра /0.
Вычислим относительную разницу между средними потерями при-
менительно к асимптотическому апостериорному распределению (при
р^>1) и симметричным неубывающими функциями потерь вида
где z—y—I; р>0.
Обозначая Dps—Do/p2 и lps—lm+aoi/р2, осуществляя замену пере-
менных и проводя несложные преобразования, числитель (6.2.3) можно
представить в виде
1 С (г) ехр
о
kD0
Для вычисления интегралов воспользуемся асимптотической фор-
мулой Лапласа *>, согласно которой
f gW w [—(6.2.5)
(6.2.4)
при условии, что вещественная функция й(х) имеет абсолютный макси-
мум в точке х=а и к—>оо.
Учитывая, что при z—И) справедливы приближенные соотношения
a2oiZ2
2L%
а также применяя для вычисления интегралов (6.2.4) асимптотическую
формулу Лапласа, находим
(6.2.6)
где Г (г) — гамма-функция.
Аналогично получаем выражение для знаменателя (6.2.3)
?(Н-О/2
(6.2.7)
Эрдейи А. Асимптотические разложения. М., Физматгиз, 1962.
166
Для принятого достаточно большого отношения сигнал/помеха
оценка максимального правдоподобия 1т в первом приближении 1т=
=lo+&li, где 8=р“1; определено в (3.1.13). Подставляя это прибли-
жение в полученные соотношения для числителя и знаменателя
(6.2.3), разлагая последнее выражение в ряд по отрицательным степе-
ням р и выполняя усреднения по реализациям помехи получаем
(6.2.8)
дисперсия эффективной оценки (3.1.46).
где DE(k)
Ухудшение качества при замене байесовской оценки оценкой ма-
ксимального .правдоподобия можно также характеризовать величиной
относительной разницы между безусловными рисками этих оценок»
Для вычисления необходимо в (6.2.3) производить усреднение раз
дельно в числителе и знаменателе не только по реализациям помехи
n(t), но и по возможным истинным значениям оцениваемого параметра
/о, т. е.
(6.2.9)
Применительно к-прямоугольной функции потерь (1.4.4) и асимпто-
тическому поведению апостериорного распределения формула для ухуд-
шения качества оценки (6.2.3) может быть представлена в виде
ch
dl\dl2
dhdl2
г I wPr(i<>)
О
Полученные соотношения позволяют количественно оценить ско-
рость сходимости байесовской оценки к оценке максимального правдо-
подобия с увеличением отношения сигнал/помеха для достаточно широ-
кого класса функций потерь.
6.3. НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЙЕСОВСКИХ ОЦЕНОК
В предыдущем параграфе при рассмотрении точности аппроксима-
ции байесовской оценки с помощью оценки максимального правдоподо-
бия вычислялись средние -потери 5£т(/), соответствующие байесовской
оценке. Очевидно, если известна .величина 5?w(/), то нетрудно получить
байесовский риск (1.4.9)
(6.3.1)
Подставляя значения 5?™(/), найденные в предыдущем параграфе, на-
ходим асимптотические значения байесовского риска для различных
функций потерь. Однако в прикладных задачах удобнее оперировать со
смещением и дисперсией оценки.
Применительно к приему известного сигнала смещение и диспер-
сию байесовской оценки для симметричных дифференцируемых функ-
ций потерь и достаточно больших отношений сигнал/помеха можно
найти на основе асимптотического выражения (6.2.1). Используя малый
параметр 8 (3.1.6), представим величину сц=/ps' Ъп в виде
а1=е2[а2+еаз+ •••]• (6.3.2)
167
Тогда, учитывая соотношение (3.1.8), байесовскую оценку при сим-
метричной функции потерь и большом отношении сигнал/помеха мож-
но записать как
1т = 1т + а1 I» + Ч + & + аа) + $3 (Z3 + %)+••• (6.3.3)
Отсюда аналогично (3.1.14) и (3.1.15) находим условные (при фикси-
рованном /0) смещение и дисперсию байесовской оценки
Здесь Sij определяются согласно (3.1.32).
Формулы упрощаются при оценке неэнергетического параметра:
b(iM= ~w’pr(Wwpr(i„)S"],
(6.3.6)
D (yJO
SIV
/^"pr (U
k Wpr (Ij
Г W'pr (Q 12\ I
. ^pr(Zo) iJf’
(6.3.7)
где Sk = [dk<S (I - /„)/d/&]Zo.
Согласно (6.3.6) 'байесовская оценка неэнергетического параметра
оказывается условно смещенной, в то время как ее предельная форма —
оценка максимального правдоподобия — условно несмещенная.
Полагая, что априорная плотность вероятности Wpr(l) и ее произ-
водные на концах интервала определения параметра I обращаются
в нуль, из (6.3.6) и (6.3.7) находим безусловные смещение и диспер-
сию байесовской оценки неэнергетического параметра
где
D (YJ = j D (Ym|Z0) Wpr (Zo) dZ0
1
SIV ^pr A
p2S"2 + p2S" J’
lnWpr(l)Vwpr(l)dl.
(6.3.8)
(6.3.9)
Так как S"<0, из сравнения (6.3.9) и (3.1.48) следует, что всегда
т. е. дисперсия байесовской оценки неэнергетического
параметра не превышает дисперсии своей предельной формы — оценки
максимального правдоподобия.
Рассмотренный метод определения характеристик байесовских оце-
нок при больших отношениях сигнал/помеха может быть использован
для определения характеристик оценки параметра узкополосного ра-
диосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой.
168
В частности, оценка неэнергетического параметра безусловно не-
смещенная с безусловной дисперсией
(6.3.10)
Здесь G<fc) — [dkG(I — 1в)/a G(l— 1В) определяется из (4.2.9).
Из сравнения полученных формул с соответствующими формулами
для дисперсий оценок максимального правдоподобия следует, что при
равномерном априорном распределении -оцениваемого параметра дис-
персии байесовских оценок и их предельные формы в рассматриваемом
приближении совпадают. Кроме того, для любого априорного распре-
деления, для которого характеристики байесовской оценки и
оценки максимального правдоподобия совпадают в первом приближе-
нии. Это обстоятельство дополнительно указывает на возможность за-
мены байесовской оценки оценкой максимального правдоподобия при
достаточно больших отношениях сигнал/помеха.
6.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ
При использовании прямоугольной функции потерь (1.4.4) байе-
совская оценка ут может быть найдена из условия минимума функции
(1.5.16). Если априорный интервал определения неизвестного парамет-
ра велик по сравнению с величиной ц и рассматриваются лишь значе-
ния у, лежащие в окрестности абсолютного минимума функции .(1.5.16),
то байесовская оценка может быть найдена из уравнения (1.5.17), ко-
торое для равномерного априорного распределения принимает вид
[М (I + 7j) - М (/ - tj)1 = 0. (6.4.1)
Применительно к оценке параметра известного сигнала, используя
(3.1.5) и (3.1.6), приходим к уравнению
{S (Z + 72) - S (/ - 7J) + 8 [А (/ + 73) - N (/ - 7J)]} = 0. (6.4.2)
/72
Если положить 8=0, то соответствующее значение байесовской оценки
уо определяется из решения уравнения
[S(/ + ii)-S(/-4)]To=0, (6.4.3)
причем при г]—>0 yOi—Полагая далее, что отношение сигнал/помеха
для принятого сигнала велико (е«<1), а величина т] меньше длитель-
ности функции S(/), приближенное решение уравнения (6.4.2) при зна-
чениях /, лежащих вблизи абсолютного максимума 7И(/), будем искать
в виде ряда по степеням е
ym=yo+eyi4-82y2+ ... (6.4.4)
Для определения уь у2, • • - разложим функцию в фигурных скоб-
ках в (6.4.2) в ряд Тейлора по I в окрестности точки уо- Подставляя
в это разложение ут из (6.4.4) и приравнивая нулю коэффициенты при
одинаковых степенях 8, получаем уравнения для определения уь у2
и т. д. Первое приближение определяется величинами уо и уь причем
уо находится из (6.4.3), а
[S(/ + 4)-S(/-7i)]I . (6.4.5)
- ч)1/4
169
Условные (при фиксированном Zo) смещение и дисперсия байесовской
оценки соответственно равны
О’
D (YJO
S2
12
То
Здесь использованы ненормированные функции (2.4.4) и (2.4.5).
Когда ц—>0, согласно § 1.5 байесовская оценка при прямоуголь-
ной функции потерь переходит в оценку при простой функции потерь,
а при равномерном априорном распределении — в оценку максималь-
ного правдоподобия. Действительно, осуществляя в (6.4.6) и (6.4.7)
предельный переход при ц—>0, получаем соответствующие характери-
стики оценки максимального правдоподобия (3.1.46).
Применительно к неэнергетическому параметру оценка несмещен-
ная, а дисперсия оценки равна
D (YJ/J
1 1—5 (2^)
Р2 “2[d5(/-Zo)/d/]2Z:=Zo+7J
(6.4.8)
При оценке параметра узкополосного радиосигнала со случайной
равномерно распределенной начальной фазой и достаточно больших
отношениях сигнал/помеха для логарифма функционала отношения
правдоподобия узкополосного радиосигнала со случайной начальной фа-
зой справедливо приближенное представление (4.3.4). Подставляя
7M(Z) из (4.3.4) в уравнение (6.4.1) и рассматривая левую часть этого
уравнения как функцию в, разложим ее в ряд Маклорена по е. Учиты-
вая лишь члены разложения, содержащие е в степени не выше первой,
приходим к уравнению (6.4.2), где теперь функция S(l) определяется
из (4.3.7), a N(Z)—из (4.3.8). Решение получаемого таким образом
уравнения для байесовской оценки определяется в первом приближе-
нии первыми двумя членами разложения (6.4.4), где, как и ранее, у0
находится из (6.4.3), a yi—из (6.4.5) при подстановке в эти выраже-
ния S(Z) из (4.3.7) и N(l) из (4.3.8). В результате получаем, что сме-
щение оценки параметра радиосигнала совпадает с (6.4.6), а дисперсия
байесовской оценки равна
<Ро)
QCyo + ^ + QCYo —•»}) —2G (Yo + ^> Yo —•»!) X
Рг-I [G (lc, l + ^-G(lK, l-^-
Xcos [Ф (Yo + •»). Yo — ^1) + Ф (Yo —'»). 4) — Ф (Yo + •>). 4)1
—7SQ (/ + ч) + 7г<2 (i- 4)] f
I To
(6.4.9)
Здесь использованы функции (4.3.2), (4.2.9), (4.5.11).
Если положить ц—>0, то, так же как при оценке параметра изве-
стного сигнала, нетрудно показать, что полученная формула для дис-
персии оценки переходит в (4.3.15).
170
При оценке неэнергетического параметра узкополосного радиосиг-
нала формула для дисперсии оценки упрощается и принимает вид
<Ро) —1
1 — G (2tj) cos [Ф (2iq) — 2ф (tj)]
2р2 [dG (/-/o)/d/]2/=Zo+7J
(6.4.10)
прямоугольной функции
Использование в задачах синтеза оптимальных приемных устройств
потерь позволяет учесть конечное значение раз-
решающей способности реальных систем. При этом величина т] опреде-
ляет разрешающую способность оценивающего устройства, а получен-
ные соотношения дают возможность исследовать влияние разрешающей
способности приемного устройства на качество оценки.
6.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ
Байесовская оценка при квадратичной функции потерь безусловно
несмещенная (1.5.14) и обладает минимальным рассеянием, которое
совпадает с байесовским риском (1.5.13). Последнее выражение пред-
ставляет собой среднее (по реализациям наблюдаемых данных) значе-
ние дисперсии апостериорного распределения. Используя связь между
моментами случайной величины и производными логарифма ее харак-
теристической функции [27], рассеяние байесовской оценки можно за-
писать в виде
did2
(u=0
где
— апостериорная характеристическая функция, а усреднение выполня-
ется по реализациям наблюдаемых данных x(t).
При приеме реализации смеси сигнала и помехи (2.2.1), где неиз-
вестный неэнергетический параметр /0 полагаем распределенным с плот-
ностью вероятности Wp^(l) на интервале [—L/2, L/2], можем записать
Wps (0
Wpr (0 ехр [p^S (Zo> Z) + pA<<Z)]
£/2 .
f Wpr (0 exp [p2S (/„, Z) + pZV (/)] dl
—L/2
(6.5.2)
Здесь S(/o, l) и N(l)—нормированные сигнальная и помеховая функ-
ции (3.1.11), (3.1.3). Подставляя (6.5.2) в выражение для апостериор-
ной характеристической функции, получаем
L/2
In 6ps (<в) = In j1 Wpr (/) exp [/<04- p2s (/0, I) + pN (/)] dl —
—1/2
£/2
— In j* lFpr(/)exp[p25(/0, (/)]d/ = In<p(o>, Zo) — const.
—L/2
(6.5.3)
Подстановка (6.5.3) в (6.5.1) приводит к выражению для рассеяния
байесовской оценки при квадратичной функции потерь.
Найти точное значение рассеяния байесовской оценки согласно
(6.5.1) затруднительно. Поэтому рассмотрим поведение при
больших отношениях сигнал/помеха (р>*1) и большом априорном ин-
тервале (£^>|Дь). Здесь Аь — длительность сигнальной функции
171
S(lo, l), определяемая согласно (5.3.35). Поскольку предполагается
^>1, то можем приближенно положить
4}~ТД£
ф(<0, Z9)^ J Wpr (Z) ехр [fol + р25 (/„. l)]dl-[-
—Д£
^о-Д£
№pr(/)exp[/W + ptf(/)]d/+ С
—L/2
Wpr (/) ехр [/ю/ 4- (01
(6.5.4)
Будем также полагать, что Wpr(l) не имеет на интервале (/о+1Дь,
/о—Ль) ярко выраженного максимума, так что при Дь<СЬ справедливо
2о4"*Д£
неравенство
Wpr Тогда, учитывая, что для неэнергетиче-
ского параметра выполняется (2.4.14), имеем
д£
ф(<о, 4)~ J ^р,-Go + 2) ехр[/и(/„+2) + P2S(z)]dz+
—дь
+ f2 Wpr(l) exp [/W + pN (/)] dl, (6.5.5)
-b/2
где S (z)=S (Z — Z9); z—l — l9. Представим (6.5.5) в виде
ф (co, /9) = фо(<о, Z9) 4- N (со), (6.5.6)
где
Фе К 4)=<Ф(ш> *.)>; Л((ш)=ф(«>. /„) —ф0(ш, /„).
Здесь усреднение выполняется по реализациям помехи n(Z) при фикси-
рованном /о- Используя представление (6.5.6), можем записать
(In ф (ш, /,)) = ({In фв (со, /в) 4- In [ 1 4* N (со)/ф9 (со, /9)]})Эт
* In ф9 (со, /0) 1 2ф%(со, /9)1пМ<0, /„) ь. • • • (6-5-7)
Так как N (Z) — реализация нормального случайного процесса, то
фв(ш> /в)= J Wpr (1„ 4- z) ехр [/<о(/9 4- z) 4- p2S(z)]dz 4- 0рг (со) еР/2, (6.5.8)
—Аг
Г./2 L/2
(№ (со))
( f Wpr (Z.) Wpr (Z2) exp [/co (Z, 4- Z2) 4-
—L/2 —L/2
4-p24-p2S(zi, z2)] ад - 62
(co) exp (p2),
(6.5.9)
L/2
где 6pr(<»)= f Wpr (1) exp (jrnl) dl — априорная
—L/2
характеристическая функ-
ция.
172
Исследуем поведение функции
3 («>)}=(№(®)>/2<р,(<», Z„)Inф0(а>, /„) при р—»оо.
Подставляя сюда (6.5.8) и (6.5.9) и определяя приближенные значения
интегралов с помощью асимптотической формулы Лапласа (6.2.5) при
р^> 1, имеем
где
g /х W (<о) exp (—2/toZ0)
1 2 К2Я Г V (U (Р2 +/“U ’
£/2
<?(«>) = J W\r (I) exp (2/®0 dl,
—L/2
a p определено в (5.2.6). При ip—>oo и конечных о величина 6(©)i—>0,
а условное рассеяние байесовской оценки при квадратичной функции
потерь можно записать как
D (Y М
d2
da2
1пфе(№> Zo
w=0
+ 2/Д + ₽2) Ра +
Ь (1 - Р.) {1\г + Dpr (01 - V, + №Р\ -
- 2 (/. + р.) 1РГ (1 - Р9) - (1 - Л)2 РРГ-
(6.5.10)
Здесь lpr и Dpr (Г)—априорные среднее и дисперсия оцениваемого па-
раметра;
е
д£
(6.5.12)
_Дд
2
(6.5.13)
Учитывая, что р^>1 и используя асимптотическую формулу Лапласа
для приближенного вычисления интегралов, имеем
р,р ехр (—р*/2)
Wpr
W'pr (10)
ц WPr (/о) ’
(6-5.14)
173
С помощью (6.5.14) перепишем (6.5.ГО) в виде
^(Ym I О * 1\Р, 4-------
\ | III I V/ V V I • к
wpr (10)
Wpr (М
'+ о - Р.) 11гРГ+(0] -
. W’prll,) i-p0 2 , р0
«~Г ^Wpr (/„) -Г(рг р0 j г о -г •
(6.5.15)
Безусловное рассеяние оценки получаем из (6.5.15)
£/2
6(YJ₽ С D(U^pr^)dl..
—L{2
(6.5.16)
Интегрирование здесь можно достаточно просто выполнить в случае
равномерного априорного распределения. Тогда
b(YJ^^>+-^(l-^e). (6-5.17)
где Ро совпадает с надежностью оценки, введенной Вудвордом [7, 28],
и определяется из (5.2.8).
Переходя в (6.5.17) к пределу при р—>оо и L—const, находим, что
Ро—>1 и D(ym) ~1/ц2р2. Последнее значение рассеяния байесовской
оценки при квадратичной 'функции потерь совпадает с дисперсией пре-
дельной формы байесовской оценки — оценки максимального правдо-
подобия (3.1.46). При малых отношениях сигнал/помеха (р~1) и
Ро—И), а из (6.5.17) имеем jD(yw) ~£2/12, т. е. D(ym) совпада-
Рис.' 6.5.1. Зависимости
относительного рассея-
ния оценки от отноше-
ния сигнал/помеха (Д —
=0).
ет с дисперсией априорного распределения
(5.2.1).
В общем случае, как следует из принятых до-
пущений, точность полученных приближенных
формул увеличивается с ростом отношения сиг-
нал/помеха и величины априорного интервала L.
На рис. 6.5.1 приведены зависимости относитель-
ного рассеяния байесовской оценки %(р) =
=12£>(у™)/L2 от отношения сигнал/помеха при
различных g для равномерного априорного рас-
пределения (5.2.1). Пунктиром нанесена относи-
тельная дисперсия предельной формы байесов-
ской оценки (3.1.46). Зависимости построены по
приближенной формуле (6.5.17), которая в об-
щем случае верна лишь при больших значениях
g и р. В области малых значений g и р кривые
на рис. 6.5.1, как и на остальных рисунках
этого параграфа, верны лишь в качественном отношении.
Рассмотрим влияние априорного распределения на рассеяние байе-
совской оценки, для чего положим
Грг(/) = <ехр cC0S L
1 о,
Варьируя параметр А распределения (6.5.18), можно исследовать зави-
симость рассеяния оценки от степени «сконцентрированности» априор-
ного распределения. Зависимости относительного рассеяния %(р) =
—12D(ym)/L2 для различных значений А и g=102 приведены на рис.
(6.5.18)
174
Сравним полученные выражения с аналогичными выражениями для
оценки максимального правдоподобия (§ 5.5) с учетом аномальных
ошибок. При произвольном априорном распределении Wpr(l), большом
отношении сигнал/помеха и большом априорном интервале безуслов-
ное рассеяние оценки максимального правдоподобия получаем из (5.5.4)
в виде
(6.5.19)
где 1рг и Dpr(l)—среднее и дисперсия априорного распределения
Wpr(l), a PG определяется формулой (5.4.14). Для частного вида апри-
орного распределения (6.5.18) .на рис. 6.5.3 приведены зависимости от-
носительного рассеяния ^=l2D(lm)/L2 (для оценки максимального
Рис. 6.5.2. Зависимости относительного
рассеяния оценки от отношения сиг-
нал/помеха (g=const).
Рис. 6.5.3. Зависимости относительного
рассеяния оценки от отношения сиг-
нал /помеха.
правдоподобия — кривые 1) и ^=12D (ут) / L2 (для байесовской оцен-
ки— кривые 2) от отношения сигнал/помеха при g=103. Сплошными
линиями нанесены зависимости для Л=0, штриховыми—для А=10.
Полученные результаты позволяют рассмотреть вопрос о выборе
оптимальной (с точки зрения минимума ошибок) формы сигнальной
функции S(lQr I). Необходимо найти значение ртпш (5.2.6), которое
минимизирует безусловное рассеяние байесовской оценки. Положим
отношение сигнал/помеха .настолько большим, что -справедливо прибли-
женное представление Ро (6.5.14) в виде
о
р.р ехр (—р2/2)
WprGo)^ •
(6.5.20)
Подставляя это выражение в (6.5.15), а
(6.5.15) в (6.5.16), дифферен-
цируя полученное выражение по р, приравнивая производную нулю и
решая это уравнение относительно g, находим
~ 2(18тг)'/6 ехр(р3/6)
^min pL'/3{£2+12[Opr(/) + /2pr]}V3
(6.5.21)
При этом минимальное рассеяние байесовской оценки равно
175
Зависимость относительного минимального рассеяния Хт(р) =
=125тщ(тт)/Ь2 для равномерного априорного распределения нанесена
на рис. 6.5.1 штрихпунктиром.
Аналогично § 5.5 находим значение jiimin, минимизирующее рассе-
яние оценки максимального правдоподобия (6.5.19) при произвольном
априорном распределении, и соответствующее минимальное значение
безусловного рассеяния
_________(48тг|/2 )^3 ехр (р2/12)
hmin р2/3 д 1/3 + j2 уррг Dpr (Z)]}'/3
и ч _ 3Z,2/3 {£* + 12 [Ppr + Dpr (Z)]}2/3 ехр (-р2/6)
0111111' т’ ' (48лр V2 )2/3
(6.5.23)
(6.5.24)
Естественно, при равномерном априорном распределении последние
формулы переходят в (5.5.lil) и (5.5.ГО) соответственно.
Следует отметить, что как для оценки максимального правдоподо-
бия, так и для байесовской оценки при квадратичной функции потерь
оптимальная форма сигнала зависит от отношения сигнал/помеха р,
величины априорного интервала L и параметров априорного распреде-
ления Zpr, Dpr(/) .
Найдем выигрыш в точности оценки при использовании байесов-
ской оценки (1.5.12) вместо оценки максимального правдоподобия. Со-
гласно (6.5.22) и (6.5.24)
12^-w 2-1p2,sexp/ — (6.5.25)
В.„.»('«) 1 6 >
Рис. 6.5.4. Зависимости минималь-
ного относительного рассеяния от
отношения сигнал/помеха.
Из этого выражения следует, что при больших отношениях сигнал/по-
меха замена оценки максимального правдоподобия байесовской оцен-
кой при квадратичной функции потерь может привести к значительно-
му уменьшению рассеяния оценки. Это
объясняется интегрированием по Z в
(1.5.12), в силу чего ложные (не связан-
ные с полезным сигналом) выбросы
функционала отношения правдоподобия,
которые приводят к большим ошибкам
метода максимального правдоподобия,
играют значительно меньшую роль при
использовании байесовской оценки. За-
метим, что сравнение точности байесов-
ской оценки и оценки максимального прав-
доподобия проводится в предположении,
что отношение сигнал/помеха и априор-
ное распределение параметра одинако-
вы для обоих алгоритмов оценки, но ис-
пользуются различные сигналы: (6.5.21) —
I—при оценке максимального прав-
при байесовской оценке и (6.5.23)—при оценке максимального прав-
доподобия. Если же для обеих оценок использовать сигналы одинако-
вой формы, то, как показано в § 6.2, —>1 при р
На рис. 6.5.4 приведены зависимости минимального относительного
рассеяния оценки максимального правдоподобия %iw(p)=121Dmin(Zm) /L2
(кривые 1) и байесовской оценки 7Cm(p)=12Dmm(Ym)/А2 (кривые 2) ог
>оо.
176
отношения сигнал/помеха р для двух значений параметра А распре-
деления (6.5.18): Л=0 (сплошные линии) и Л=10 (штриховые). Из
сравнения кривых рис. 6.5.4 для равномерного (Л=0) и неравномер-
ного (Л=10) априорных распределений следует, что для рассматри-
ваемых величин отношения сигнал/помеха влияние «сконцентрирован-
ности» априорного распределения на величину минимального рассея-
ния оценки незначительно.
6.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЙЕСОВСКИХ ОЦЕНОК АМПЛИТУДЫ,
ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ, ЧАСТОТЫ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ СИГНАЛА
Для иллюстрации полученных в этой главе результатов рассмотрим несколько
конкретных примеров.
1. При оценке амплитуды сигнала s(t, а0, т0) =00$ lift—т0) с неизвестным времен-
ным .положением т при приеме на фоне белого шума со спектральной плотностью No
и малых отношениях сигнал/помеха независимо от вида функции потерь байесовский
риск (6.1.14) убывает с ростом значения J, которое определяется формой сигнальной
функции и видом априорного распределения. Для сопровождающего неэнергетического
параметра, которым является временное положение сигнала т0, и приема сигнала на
фоне белого шума со спектральной плотностью No величину J согласно (6.1.Г9) можно
записать в виде
J = J |S (<й)|2 |0Т (<о) Р rfco / J |S (о>) р (6.6.1)
Здесь S (со) — спектр полезного сигнала; 0Т (со) — характеристическая функция пара-
метра т. При этом .предполагается, что полезный сигнал расположен внутри интервала
наблюдения.
Вычислим (6.6.1) для оценки амплитуды колокольного импульса
{t - гв) = ехр [- (t - г0)2/₽2], (6.6.2)
временное положение которого подчиняется нормальному априорному распределению
ехр (—x2/2Dpr)
ft) = ---.г ---------• (6.6.3)
’ Vbtf)pr ' '
Из (6.6.1) получаем
/=‘(l+2x2)-V2, (6.6.4)
где
х —
Всегда J^l, причем /^1 при х<С1, т. е. когда |/ Dpr. Это соответствует случаю,
когда длительность полезного сигнала значительно больше интервала возможных зна-
чений случайной задержки полезного сигнала. Подставляя полученное значение /
в (6.1.18), находим рассеяние оценки амплитуды при квадратичной функции потерь
D (Ym) = Dpr (fl) [1 - f,Dpr (a) (1 + 2x2) -1'2]. (6.6.5)
2. Вычислим рассеяние оценки временного положения колокольного импульса
(6.6.2) на фоне белого шума для малы-х отношений сигнал/помеха и квадратичной
функции потерь, полагая, что сигнал полностью расположен внутри интервала наблю-
дения. В рассматриваемом случае нормированная сигнальная функция имеет вид
При априорной плотности вероятности (6.6.3) и квадратичной функции потерь рассея-
ние байесовской оценки параметра согласно (6.1.12) равно
Г л2„2 T
рг
12—356
177
Аналогично можем найти рассеяние байесовской оценки при других функциях потерь,
перечисленных в § 1.4. Например, для экспоненциальной функции потерь (1.4.5)
где м = К£>рГ/7].
(6.6.7)
3. Оценка амплитуды
принятого сигнала запишем
нал/помеха для сигнала
известного сигнала aQSi (Z). Отношение сигнал/помеха для
отношение сиг-
как р2 ^г^ор2!, где p2t = J
о
с единичной амплитудой. Если априорное распределение
амплитуды считать нормальным с дисперсией Dpr> то для ряда функций потерь можно
найти точные значения рассеяния байесовской оценки амплитуды и байесовского риска
[20]. Найдем относительное увеличение среднего риска при замене байесовской
оценки амплитуды на оценку максимального правдоподобия согласно (6.2.9). Исполь-
зуя результаты [20], получаем точные выражения
S5?,=p~2 (6.6.8)
для квадратичной функции потерь (1.4.3),
(6.6.9)
для линейной функции потерь (1.4.2)
Ф (?<Л 1/ 1 + Ро 2 ) — Ф (Poft)
= —------------------------- . : , =---------
1 — Ф (Р<Л у 1 4- рГ2 )
(6.6.10)
для прямоугольной функции потерь (1.4.4). В записанных формулах p2o=p2i£pr,
,Й = ri/V'D^.
Если pi—>оо, то из результатов § 6.2 можем найти асимптотические значения
Полагая в (6.2.8) 0=2 и 0=1 и осуществляя согласно (6.2.9) необходимые вы-
Рис. 6.6.1. Зависимость
относительного увеличе-
ния среднего риска для
квадратичной (/), линей-
ной (2) и прямоугольной
(3) функций потерь.
числения, получаем для квадратичной и линейной функции
потерь соответственно
Ро 2 »
(6.6.11)
°-^2>Р^2/2. (6.6.12)
При прямоугольной функции потерь и pi—>оо с учетом
(6.2.10) и (6.2.9) имеем
о^3 ехр (fc2/2) — 1. (6.6.13)
Зависимости от величины р0 приведены на рис. 6.6.1.
Сплошными линиями изображены зависимости 6Ж-(Ро),
рассчитанные по точным формулам (6.6.8) — (6.6.10),
а штриховыми — зависимости, рассчитанные по асимптоти-
ческим формулам (6.6.11)—(6.6.13). Для прямоугольной
функции потерь зависимость b&t (р0) представлена при двух
значениях параметра h. Как видно из рис. 6.6.1, точные
зависимости (р0) достаточно хорошо аппроксимируются
178
асимптотическими. Для прямоугольной функции потерь точность аппроксимации зави-
сит от величины h и улучшается с ростом ро*
4. Найдем характеристики байесовской оценки длительности р колокольного
импульса (6.6.2) с известным временным положением т0 при приеме на фоне белого
шума со спектральной плотностью NQ и больших отношениях сигнал/помеха р2 —
=Ро«2о |/"2лДУ0, где ро — истинное значение длительности. Полагаем, что байесовская
оценка определяется для произвольной симметричной дифференцируемой функции по-
терь. Для рассматриваемого сигнала сигнальная функция имеет вид (3.5.14), а сме-
щение и дисперсия байесовской оценки определяются формулами (6.3:4) и (6.3.5). Под-
Рис. 6.6.2. Зависимость относительного увеличения
дисперсий оценок временного положения (/) и дли-
тельности (3) при прямоугольной функции потерь;
2 — смещение байесовской оценки длительности.
ставляя (3.5.14) в эти формулы, находим условные смещение и рассеяние байесовской
оценки
4В Г W'pr (М 1
ИУт1М=[з>[₽о-^Г+1]’ (6.6.14)
wpr (₽0) Г^'рг (₽0) |
+ ₽0 wpr (₽о) ~ р2° L wpr (₽») Л'
(6.6.15)
Усредняя эти характеристики по возможным значениям оцениваемого параметра р
и полагая априорную плотность вероятности и ее производные на границах априорного
интервала равными нулю, находим, что безусловная оценка" несмещенная, а дисперсия
безусловной оценки равна
4₽%r I 29 4 СГ d Г 1
^(Ym)=3^rV + WWjl₽-rln^(₽)l 4' <6-6Л6>
Здесь Рр,-= f ([?) — априорное среднее значение длительности; р~рг =
= j ?WPr do) < — среднее значение отношения сигнал/помеха.
5. Найдем смещение и дисперсию байесовской оценки временного положения т
сигнала (6.6.2) при‘приеме на фоне белого шума, больших отношениях сигнал/помеха
и прямоугольной функции потерь. Так как То — неэнергетический параметр, то его
байесовская оценка при прямоугольной функции потерь и равномерном априорном рас-
пределении несмещенная и согласно (6.4.8) обладает дисперсией
D (Чт I т0) = ₽% sh 02/Р2{|2.
12*
179
где 'O' = 'q/po- Соответствующая оценка максимального правдоподобия имеет дисперсию
D(тт|то) = ₽2о/р2 (3.5.9). Очевидно, lim D |т0) = D(t™|to). На рис. 6.6.2 приведена
S—>0
зависимость относительного увеличения дисперсии байесовской оценки временного по-
ложения сигнала при прямоугольной функции потерь по сравнению с дисперсией оценки
максимального правдоподобия
° — [П (Ym | %) D | *с0)] /D (*tm | т0)
от величины О (кривая /).
6. Определим характеристики байесовской оценки длительности р0 сигнала (6.6.2)
для прямоугольной функции потерь при приеме на фоне белого шума, равномерном
априорном распределении и большом отношении сигнал/помеха. Используя (3.5.14) и
(6.4.3), (6.4.6), для смещения получаем
b(tm | ₽о) =Ро (k-l),
где k — решение уравнения
Дисперсия байесовской оценки согласно (6.4.7) равна
₽2П
D (Yт I Ро) ~ TrJ
________fe — (fe2 — 82) /У & + ft2___.
{[1 + (fe+&)2]-3/2— [1 + (Й-S)2]-3/2}2
Полагая здесь О—^0, получаем, что оценка несмещенная, а дисперсия оценки совпа-
дает с дисперсией оценки максимального правдоподобия (3.5.15). На рис. 6.6.2 приве-
О Ofi Ofi Л
Рис. 6.6.3. Зависимость относительного увеличения дис-
персии байесовской оценки при приеме радиосигнала
с известной (/) и случайной (2) начальными фазами.
дена зависимость относительного смещения байесовской оценки длительности
Ь(у»п[‘₽о)/₽о от величины О (кривая 2) и зависимость относительного увеличения дис-
персии байесовской оценки по сравнению с оценкой максимального правдоподобия
(кривая 3) 6=i[iDi(Ym|'₽o)—£>(ртп||₽о)]//>(1₽»п/₽о).
7. Вычислим характеристики байесовской оценки частоты v0 прямоугольного ра-
диоимпульса
vo, <f>0) =
Г а0 cos [(to0 + ve) t — <f>0],
I 0, /<0,
при приеме на фоне белого шума, прямоугольной функции потерь и большом отноше-
нии сигнал/помеха.
180
Если начальная фаза радиоимпульса априори известна, то дисперсию байесовской
оценки находим из (6.4.8)
sin 2AJ
cos X — -
D (ут I *„) = №
sin Л '2
где
При неизвестной начальной
(6.4.10) равна
D (Ym | v0, <р0) = Л2 1 —
фазе радиоимпульса дисперсия оценки согласно
р272 cos
sin (Л/2) I2
Как при известной, так и при неизвестной начальной фазе байесовская оценка па-
раметра v несмещенная.
На рис. 6.6.3 приведены зависимости от X относительного увеличения б дисперсий
байесовских оценок £(у™|Уо) (кривая /) и D(yTO]v0, <Ро) (кривая 2) по сравнению
с дисперсиями оценок максимального правдоподобия параметра v0, которые равны
D(vm |vo) = Зр-2Г-2 для сигнала с известной начальной фазой и D (v?ft|v0, <р0) =====
= 12р~2Т~2 — для сигнала с неизвестной начальной фазой.
Глава 7
СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРИЕМНОГО И РЕШАЮЩЕГО
УСТРОЙСТВ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА СИГНАЛА
7.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА С ПОМОЩЬЮ
МНОГОКАНАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА
В предыдущих главах при построении оптимальных приемных
устройств предполагалось, что они формируют выходной эффект как не-
прерывную функцию оцениваемого параметра. При этом предполага-
лось, что значения выходного эффекта формируются во всей априорной
области оцениваемого параметра, в результате чего можно найти поло-
жение абсолютного максимума выходного сигнала, являющееся оцен-
кой. Если оцениваемый параметр принимает континуум значений и не
является функцией времени запаздывания или интенсивности сигнала,
то в общем случае оптимальное приемное устройство должно иметь
очень большое число каналов. В каждом таком канале формируется
выходной сигнал для значений параметра, сдвинутых относительно друг
друга на малую величину. Очевидно, техническая реализация подобной
схемы весьма сложна. В связи с этим приходится прибегать к многока-
нальной схеме приемного устройства с дискретными значениями пара-
метра опорного сигнала, сдвинутыми друг относительно друга на зна-
чительную величину.
Приемное устройство в многоканальной схеме вырабатывает лога-
рифм функционала отношения правдоподобия М(Ц) в v точках апри-
орного интервала (i—1, 2, ..v).
Для получения каждого значения М(1г) используется отдельный
канал, структура которого была определена ранее (гл. 2). В простей-
шем случае решение о значении параметра принимается по номеру ка-
нала с наибольшим выходным сигналом, т. е. в качестве оценки исполь-
зуется величина Z&, для которой
i, &=1, 2,..., v.
Статистические характеристики оценки параметра в этом случае зави-
сят не только от формы сигнала и статистических характеристик поме-
хи (что имеет место при непрерывном изменении параметра опорного
сигнала оптимального приемника), но и от специфических характери-
стик многоканального приема. К таким характеристикам относятся рас-
стояние между дискретными значениями параметра Д=/г-—в сосед-
них каналах и промежуток между истинным значением оценивае-
мого параметра Zo и значением Z'o ближайшего канала (рис. 7.1.1).
182
Найдем смещение и дисперсию оценки параметра сигнала при ис-
пользовании многоканального приемника и принятии решения о значе-
нии параметра по номеру канала с максимальным значением выход-
ного сигнала. Ограничимся рассмотрением оценок неэнергетического
параметра. При определении смещения и дисперсии оценки параметра
сигнала на выходе многоканального приемника будем считать, что
истинное значение оцениваемого параметра в общем случае может рав-
новероятно попасть в любую точку этого промежутка А.
Как было показано в предыдущих главах, оценка максимального
правдоподобия неэнергетического параметра при непрерывном измене-
нии параметра опорного сигнала
является несмещенной. При этом для
достаточно большого отношения
сигнал/помеха закон распределения
ошибок оценки Ы=1т—1о можно
считать нормальным с нулевым сред-
ним значением <AZ>—О и диспер-
сией, равной дисперсии эффективной
оценки Для этих предполо-
жений задача определения смеще-
А/гш л/'
Рис. 7.1.1. Вид сигнала на выходе при-
емника при дискретном изменении пара-
метра опорного сигнала.
ния и дисперсии оценки параметра в
многоканальной системе по максиму-
му сигнала в одном из каналов сво-
дится к вычислению среднего значе-
ния и дисперсии квантованной по уровню случайной величины, полу-
чающейся в результате воздействия дискретного случайного процесса
с известным нормальным законом распределения на нелинейную
безынерционную систему со ступенчатой амплитудной характеристикой
вида [82]
F(/)
f (д/) = 2 (Д1 — £Д),
k=~N
где v=2A^+l—число уровней квантования (включая и нулевой уро-
вень), а а (г)—прямоугольный импульс с единичной высотой и дли-
тельностью А.
Среднее значение ошибки определяется выражением
оо
—00
где
W (Д/) = [2^ (/„)]-’/2 ехр [-(А2г~^у '
— плотность вероятности случайной ошибки измерения относительно
величины gA=Zo—Z'o. Здесь Zz0— ближайшее к Zo значение параметра
канала, а g— случайная величина, причем, очевидно, |g|^l/2. Под-
ставляя в (7.1.1) f(AZ) и IF(AZ), получаем условное среднее значение
ошибки при фиксированном g.
Ь{1А, =
183
Здесь
т = Д/-|/~ D£(/o)
(7.1,3)
— отношение расстояния между двумя соседними каналами к средне-
квадратичной ошибке оценки максимального правдоподобия в системе
с непрерывным изменением параметра опорного сигнала; Ф(г)—инте-
грал вероятности (3.1.51).
Для получения безусловного смещения оценки необходимо усред-
нить выражение (7.1.2) по всем возможным значениям g в интервале
[—1/2, 1/2]. Полагая распределение величины g равновероятным, по-
сле усреднения получаем, что оценка в многоканальном приемнике без-
условно несмещенная, т. е. Ь(1тп)~0>
Рис. 7.1.2. Зависимость отношения дисперсий оценок при дис-
кретном и непрерывном изменении параметра опорного сиг-
нала.
Для определения дисперсии оценки необходимо вычислить второй
начальный (относительно /0) момент, который характеризует условное
рассеяние оценки:
оо
(F2 (/)) = Г [f (д/)]2 W (Д/) d (Д/), (7.1 Л)
где
N
[f (Д/)]2 = Д2 2 k*a(M-kb).
k=—N
Подставляя в (7.1.4) выражение для плотности вероятности 1Г(Д/),
имеем
N
т\—Ф
т
k=—N '
Отсюда нетрудно получить формулу для дисперсии оценки при фикси-
рованном значении случайной величины g, т. е. условную дисперсию
оценки в многоканальном приемнике:
= (7.1.5)
Выполняя усреднение по g, находим безусловную дисперсию оценки
в многоканальном приемнике D(/m), относительное значение которой
равно
N
1) Ф [(& Д- 1) m] — 2&Ф (km) -|-
k^\
m2 (k— I)2
2
т V* 2тс
— 2е“"да/2 I •
184
Если m^>l
выражение
(практически при т^З), справедливо приближенное
X^2m/|/2^ 0,8m.
(7Л.7)
На рис. 7.1.2 показана зависимость отношения дисперсий оценок
параметра I в рассматриваемой многоканальной системе и системе с не-
прерывным изменением параметра опорного сигнала от величины т.
Выражения (7.1.6) и (7.1.7), а также кривая рис. 7.1.2 позволяют
при заданной дисперсии оценки DE(lG) и по допустимому ухудшению
дисперсии оценки в многоканальной системе D(lm) определить рассто-
яние между соседними каналами Л, а следовательно, при заданном
априорном интервале изменения параметра L определить необходимое
число каналов
v^=2Ar 4-1=1 Ч- L /А.
7.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА В МНОГОКАНАЛЬНОМ ПРИЕМНИКЕ
С ВЕСОВОЙ ОБРАБОТКОЙ
Как показано в предыдущем параграфе, дисперсия оценки в мно-
гоканальной системе всегда больше дисперсии оценки максимального
правдоподобия в системе с непрерывным изменением параметра опор-
ного сигнала и зависит не только от формы полезного сигнала и ста-
тистических характеристик помехи, но и от расстояния между канала-
ми Д. Уменьшить дисперсию оценки в многоканальном приемнике мож-
но с помощью так называемой «весовой обработки» выходных значе-
ний сигналов, учитывающей информацию о полезном сигнале во всех
параллельных каналах. Для нахождения оптимальных значений весо-
вых коэффициентов .необходимо знать совместное распределение ам-
плитуд сигналов в многоканальных выходах. Решение этой задачи мо-
жет быть получено в приемлемом виде для каналов со статистически
независимыми сигналами, каналов с нормальным распределением сиг-
налов на их выходах и каналов, выходные сигналы которых представ-
ляют собой марковский процесс.
Рассмотрим оценку неэнергетического параметра детерминирован-
ного сигнала, для которого выходной эффект в ьм канале в соответ-
ствии с выражениями (2.4.3) и (2.4.14) записывается в виде
где §(1—/о)—сигнальная функция (2.4.1); N(l)—помеховая функция
(2.4.2). В силу установленных в § 2.4 свойств сигнальной и помеховой
функции Mi — значение нормального случайного процесса со средним
значением <M(li)>=S(li—Zo) и функцией корреляции помеховой со-
ставляющей
Обозначим v число каналов в рассматриваемом многоканальном
приемнике. Тогда в результате использования многоканального прием-
ника получаем дискретную выборку М=[7И], М2, ..7Hv] из v значе-
ний логарифма функционала отношения правдоподобия.
Задача состоит в том, чтобы на основе выборки М получить опти-
мальную оценку неизвестного параметра /0. Как и ранее, под оптималь-
ней
ной оценкой понимаем оценку максимального правдоподобия. Следова-
тельно, на основе выборки М необходимо сформировать функцию прав-
доподобия неизвестного параметра, а затем определить положение аб-
солютного максимума этой функции.
В силу нормального распределения выборки М функция правдо-
подобия, т. е. условная плотность вероятности выборки М при задан-
ном /, имеет вид
W (МIZ) = (2^)-v/21 Sii Г1/2 X
X ехР
. (7.2.1)
Здесь |Sij|—определитель корреляционной матрицы ||Sij|| размером
vXv с элементами —1$); Сц— элементы матрицы, обратной
корреляционной; ,5^—5 (Ц—/)•
Оптимальной оценкой в рассматриваемом случае является значе-
ние параметра которое обращает Wv (М11) или любую монотон-
ную функцию от нее в абсолютный максимум. Пренебрегая краевыми
эффектами (возможным «налезанием» полезного сигнала на края ин-
тервала значений оцениваемого параметра L), член логарифма функ-
ции правдоподобия, зависящий от /, запишем как
М (I) ==
аг/Иг —
Здесь весовые коэффициенты az- и функция Qv (/) имеют
вид
(7.2.3)
(7.2.4)
Полагая отношение сигнал/помеха достаточно большим и разлагая
М (/) в ряд Тейлора в окрестности точки /о, из уравнения правдоподо-
бия находим выражение для случайной ошибки измерения в виде
(3.1.8). Ограничиваясь рассмотрением первого приближения, получа-
ем, что оценка в многоканальной системе с весовой обработкой несме-
щенная и обладает дисперсией
- /)
dl
(7.2 .5)
Нетрудно показать, что при неограниченном увеличении числа ка-
налов (v—>оо, Д—>0) характеристики оценки в многоканальной систе-
ме с оптимальной весовой обработкой совпадают с характеристиками
оптимальной оценки максимального правдоподобия, рассмотренными
в §3.1.
183
Практическая реализация оптимальных -весовых коэффициентов ча-
сто сопряжена с большими техническими, а иногда и принципиальными
трудностями. Для процессов с негауссовыми распределениями, как это
имеет место в случае приема сигнала с неизвестными сопровождающи-
ми параметрами, задача отыскания оптимальных весовых коэффициен-
тов, за исключением статистически независимых каналов, практически
трудно .выполнима.
7.3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИЕМНИКА С РАЗВЕРТКОЙ
Рассмотрим приемное устройство, позволяющее приближенно вос-
произвести функционал отношения правдоподобия или его логарифм
как непрерывную функцию оцениваемого параметра.
Пусть на вход приемного устройства в течение интервала време-
ни [о; л поступает аддитивная смесь x(t) сигнала s(t, /0) и белого
нормального шума n(t) с нулевым средним значением и спектральной
плотностью Неизвестный параметр /о, подлежащий оценке, полага-
ем распределенным равномерно на интервале [Li, L2].
Применительно к приему сигнала на фоне белого шума логарифм
отношения правдоподобия в соответствии с (2.2.8) и (2.3.3) записыва-
ется как
о о
Представим полезный сигнал на интервале [0, 7] в виде ряда по
системе ортонормированных функций
00
/г=о
(7.3.2)
где коэффициенты разложения находятся из соотношения
г
ak (0 = ( * I) bk (0 dt.
о
(7.3.3)
Задавшись достаточно большим числом членов разложения v, прибли-
женно можно записать
V—I
S (t, Z) - 2 ak (I) bk (t).
k~0
(7.3.4)
Подставляя в (7.3.1) вместо сигнала s(t, I) его приближенное пред-
ставление (7.3.4), получаем
М (/) * Mv (I) =
fe=O fc=O
где
(7.3.5)
(7.3.6)
187
Формула (7.3.5) позволяет приближенно воспроизвести выходной
сигнал приемника М(1) как непрерывную функцию параметра /. Для
этого ah(l) представим как функцию времени. С этой целью необходи-
мо осуществить линейную развертку по I за некоторое время А/, для
чего в структурной схеме устройства должен быть генератор разверт-
ки, вырабатывающий пилообразное напряжение вида
и (t) = (4 - £,) (t - Т)/М + L„
Д/.
(7.3.7)
Здесь L2 и Li — соответственно максимальное и минимальное значения
априорного интервала изменения оцениваемого параметра /. В этом
случае уравнение (7.3.5) с точностью до постоянного множителя 2jNG
перепишется в виде
k=0
(7.3.8)
Таким образом, если оценка осуществляется по максимуму максимору-
му функции Л4Д/), то задача оценки параметра 1т сводится к оценке
некоторого значения /т, при котором функция Mv (i) достигает наи-
большего значения. Оценка tm однозначно связана с оценкой 1т соот-
ношением
+ (L, - £,) (tm-Т)/Ы. (7.3.9)
Структурная схема рассматриваемого устройства изображена на
рис. 7.3.1, где ак— нелинейные безынерционные преобразователи, ха-
рактеристики которых определяются функциями (7.3.3); Г — генератор
развертки, работающий в течение интервала времени [Г, Т + А/] и вы-
рабатывающий напряжение согласно (7.3.7); РУ — решающее
устройство, определяющее оценку соответствующую наибольшему
максимуму /ИД/); Пр — линейный преобразователь оценки в оценку
1т в соответствии с (7.3.9). Назначение других элементов ясно из ри-
сунка. Заметим, что корреляторы на рисунке, вырабатывающие величи-
ны можно заменить на фильтры, согласованные с сигналами 6Д/).
На выходе приемника рис. 7.3.1 в течение интервала времени А/ вос-
производится функция Mv (t), прямо пропорциональная функции
/ИД/) для всех значений I из априорного интервала [Li, L2].
Применение рассматриваемого приемного устройства приводит
к увеличению времени обработки сигнала по сравнению с оптимальным
приемником на время развертки А/, которое может быть сделано до-
статочно малым. Действительно, величина А/ ограничена снизу поло-
сой частот, в которой преобразователи и перемножители на рис. 7.3.1
остаются безынерционными, а также предельной скоростью, с которой
решающее устройство может обрабатывать функцию /ИД/).
В дальнейшем приемное устройство, реализующее алгоритм (7.3.5),
будем называть приемником с разверткой.
Из структурной схемы рис. 7.3.1 и определения многоканального
приемника § 7.1 следует, что по сложности технической реализации
приемник с разверткой сравним с многоканальным приемником. Одна-
188
ко в многоканальном приемнике согласованные фильтры в каждом ка-
нале определяются видом полезного сигнала I) и при заданной
В то же время в приемнике с разверткой в ряде конкретных задач мо-
гут быть применены более простые по своей схеме фильтры, что обес-
печивается соответствующим подбором системы ортонормированных
ФУНКЦИЙ
В общем случае использование приемника с разверткой вместо
многоканального приемника является достаточно оправданным, если
приемник с разверткой, обеспечивая более высокое качество оценки, не
2
ш
Wt)
Рис. 7.3.Lt Структурная схема приемника с разверткой.
приводит к значительному усложнению технической реализации прием-
ного устройства. Выбор между приемником с разверткой и многока-
нальным приемником зависит от требований, предъявляемых к харак-
теристикам оценки и степени простоты технической реализации.
Найдем характеристики оценки параметра известного сигнала при
использовании приемника с разверткой, полагая, что оценка 11п неизве-
стного параметра определяется по положению абсолютного максимума
функции Mv (/). Подставим в (7.3.5) принимаемую реализацию смеси
сигнал/помеха и введем обозначения:
k~0
2 j
(7.3.10)
AU0
V—1 Т
ak (0 j п (t) bk (t) dt.
Л=0 о
(7.3.11)
Тогда выражение для выходного сигнала рассматриваемого приемника
перепишется как
М (0 = 5 (/) + N (/). (7.3.12)
Полагая отношение сигнал/помеха для принятого сигнала достаточно
большим, так что (Zo)»[< N\(l0) и имеют место только нормаль-
189
ные ошибки, выражение для ошибки оценки параметра на основе реше-
ния уравнения правдоподобия в первом приближении можно записать
в виде, аналогичном (4.1.14), где под N(l) и S(l) надо понимать
^(0 и
Вычисляя первый и второй моменты от случайной ошибки оценки,
получаем, что оценка произвольного параметра в приемнике с разверт-
кой в первом приближении условно несмещенная, а дисперсия оценки
определяется выражением [П2]
D (/т]/0)
у \ ГП 1 V/
(7,3.13)
Исследуя зависимость дисперсии оценки от v при различных /о,
можно установить минимальное количество членов разложения (7.3.4),
которое необходимо учитывать, чтобы получить оценку с требуемой
точностью.
Найдем структуру приемника с разверткой для узкополосного ра-
диосигнала со случайной начальной фазой (2.5.1). Для этого положим,
что существуют разложения квадратурных составляющих полезного
сигнала по системе ортонормированных функций
F(t, /)соэф(Л /)=2 ak(l)bk(t)>
k=0
F(t, /)sin^(/, /) = 2 МОМО-
k=Q
эдесь
sin$(/, I) J
Ограничиваясь первыми v членами разложения квадратурных состав-
ляющих сигнала, (4.3.1) представим в виде „
где
fe=0
М (/) * (/) = -
V» ZJ
k=0
(7.3.14)
yk
COS e>of
sinco0/ t
dt.
Ч (0 М
190
Формула (7.3.14) позволяет приближенно воспроизвести выходной
сигнал приемника М(1) как непрерывную функцию времени при приеме
узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной
начальной фазой и произвольном характере оцениваемого параметра L
Для определения статистических характеристик оценки подставим
в (7.3.14) принятую реализацию смеси сигнала и помехи, а затем пре-
образуем к виду
^(/) = -Qv(/)/24-ln70{[Gv(C /) + 2^(/0, /) + Л?2 (Z)]1'2}. (7.3.15)
Здесь
V.—1
/г—О
V—I
k~ О
k=0
К (I., О = [Nc (Z) Sc I) - Ns (Z) Ss (Ze, Z)1 cos ?0 -I
+ [Я (Z) Ss (Z„, Z) + N, (Z) Sc (Ze, Z)] sin ?0;
AZs(Z) = 7V2c(Z) + iVas(Z);
V-1
К (I) = ~ V \ak (I) Hk - ak (I) Hk];
£=0
V—1
® = IT У b (0Hk4-ak (I) Hk];
IV О
Л=0
Hk
Hk
T
С u\ и (COScd/1
\n(t)bk(t)l ° \dt.
J (Since/ J
Положим отношение сигнал/помеха для принятого сигнала доста-
точно большим, так что Qv (Zo) 1 и ошибки оценивания являются нор-
мальными. Тогда, учитывая асимптотическое поведение 7o(z) при z^>l,
можем представить выходной сигнал Afv(Z) в виде (7.3.12), а ошибку
оценки — в виде (4.1.14), где следует положить
§ (l)=Gv(l0, Z)-C(Z)/2,
Nv (Z) (Zo, Z)/Gv (Ze, Z).
191
Так как
N, (/,, /)
О, то оценка параметра узкополосного радио-
сигнала в приемнике с разверткой несмещенная. Вычисляя второй мо-
мент от случайной ошибки оценки, получаем выражение для дисперсии
оценки
Dv {1т 1%)
к)
д1гд!2
(7.3.16)
7.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ НЕ ОПТИМАЛЬНОМ
ПОСТРОЕНИИ РЕШАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
Выше были рассмотрены .некоторые способы реализации основной
части оптимального устройства для оценки параметра сигнала — опти-
мального приемника, вырабатывающего логарифм отношения правдо-
подобия оцениваемого параметра. При этом всюду предполагалось, что
после оптимального приемника включено решающее устройство, кото-
ММ
Z* lm I I**
рое точно фиксирует положе-
ние абсолютного максимума
выходного сигнала оптималь-
ного приемника. Однако прак-
тическая реализация таких ре-
шающих устройств очень часто
наталкивается на ряд принци-
пиальных трудностей. В этих
случаях используются решаю-
щие. 7.4.1. Значения -оценок параметра сигнала щие устройства, построенные
при принятии решения по моментам пересече-
ния выходным сигналом заданного уровня.
не на принципе фиксации по-
ложения абсолютного макси-
мума, а на некоторых других
принципах. Одним из них является принцип порогового устрой-
ства.
Согласно принципу порогового устройства в качестве оценки неиз-
вестного параметра /0 принимается либо значение /*, при котором вы-
ходной сигнал оптимального приемника впервые превышает заданный
уровень А40 (рис. 7.4.1), либо среднее значение I, заключенное между
двумя точками пересечения /* и /** заданного уровня А40. На рис. 7.4.1
также показана оценка максимального правдоподобия 1т, т. е. оценка,
получаемая при использовании оптимального решающего устройства.
Ясно, что в общем случае все три оценки /т, /* и I различны и облада-
ют различными статистическими характеристиками. Уровень Мо можно
выбирать, например, исходя из заданной вероятности ложной тревоги
при совместном обнаружении и оценке либо из заданной величины от-
клонения дисперсии получаемой оценки от дисперсии оптимальной оцен-
ки. Кроме того, очевидно, уровень Л40 следует выбирать настолько боль-
шим, чтобы на априорном интервале определения параметра I с доста-
точно высокой вероятностью имело место одно превышение. В против-
ном случае возникает неоднозначность в определении оценки.
Положим вначале, что в качестве оценки используется величина
/*. Ограничиваясь рассмотрением оценки неэнергетического параметра
детерминированного сигнала, получаем, что оценка /* является наимень-
шим корнем уравнения
М0(Р)=М
192
где Mq(1) — выходной сигнал оптимального приемника (2.3.1). Исполь-
зуя нормированные сигнальную и помеховую функции (3.1.11) и (3.1.3),
перепишем уравнение для оценки I* в виде
S(/.o, Z*)+e7V(Z*)=m0. (7.4.1)
Здесь Шо=Л1о/рI 2 * * S — нормированный порог, который полагаем постоян-
ным при всех р—1 /£.
Если е=0, то оценкой является наименьший корень Zi уравнения
S(/o, (7.4.2)
При оценке неэнергетического параметра S(Z0, Z)=S([Z—Zo|). Поэтому,
обозначая ширину функции S(Zq, I) по уровню то через А, т. е.
S (/о, Z0±A/2) =mo, (7.4.3)
получаем Zi—Zo—Д/2.
В условиях надежной оценки е«С1 и в первом приближении реше-
ние уравнения (7.4.1) можно искать в виде
/*=/1 + е/*1 + ...
(7.4.4)
Разложим левую часть уравнения (7.4.1) в ряд Тейлора по I в ок-
рестности точки Zi и подставим в это разложение I* из (7.4.4). При-
равнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях е, находим
/*» = - . (7.4.5)
\dS\l — l0)/dl]^
Отсюда, так как <7V(Z) >=0, получаем смещение и дисперсию оценки
W4)=<(/*-4))=-a/2,
(7.4.6)
I L dl J )Z=^-A/2’
Поскольку смещение оценки не зависит от истинного значения оцени-
ваемого параметра, нетрудно получить несмещенную оценку, если в ка-
честве оценки взять величину
Z*w=Z*+A/2. (7.4.8)
При этом дисперсия оценки определяется формулой (7.4.7).
Найдем характеристики оценки Z, когда решение о значении оце-
ниваемого параметра принимается по двум пересечениям порогового
уровня. Оценка в этом случае равна
Z=(Z* + Z**)/2. (7.4.9)
Величина Z* в первом приближении находится из (7.4.4) и (7.4.5). По
определению величина Z** представляет собой наибольший корень урав-
нения
S (Zo, Z**) + sTV (Z**) =m0. (7.4.10)
При £=0 l**=l2, где /2— наибольший корень уравнения
S(Zo, Z2)=mo.
(7.4.11)
Так как оцениваемый параметр неэнергетический, то Z2=Z0+A/:2. При
условии £<С1, полагая Z**=Z2+e/**, аналогично выводу выражения
(7.4.5), находим
/X* __________^(^2)___
1— [dS^l-l^/dl]^
(7.4.12)
13—356
193
Следовательно, оценка, определяемая по середине интервала, заклю-
ченного между точками пересечения уровня Л40 фронтом и спадом вы-
броса выходного сигнала оптимального приемника, равна
1 ₽ .1 | 1
о 2 I [dS(l-l0)/dl]tJ [dS(l~l.)/dl\^ •
(7.4.13)
Используя последнее выражение, получаем, что рассматриваемая
оценка несмещенная и обладает дисперсией
щЩ)=-Ч-р-гп
•S (Д)] /о) ] 2
aL Jz=j
(7.4.14)
Интересно отметить, что в рассматриваемом приближении стати-
стические характеристики оценки t (7.4.9) совпадают с характеристи-
ками байесовской оценки при использовании прямоугольной функции
потерь (6.4.8), если положить «зону нечувствительности» прямоуголь-
ной функции потерь (1.4.4) равной 2ц=А. Таким образом, ширину сиг-
нальной функции по уровню т0 можно интерпретировать как характе-
ристику разрешающей способности порогового решающего устройства.
Кроме того, отмеченное совпадение показывает один из способов реа-
лизации байесовской системы оценки при прямоугольной функции по-
терь. При этом способе для получения байесовской оценки при прямо-
угольной функции потерь можно использовать пороговое решающее
устройство, величина порога в котором выбирается равной Afo=p2S(/o,
/0±^)=Ф2£(±д).
Из выражения (7.4.14) получаем, что если нормированный порог
/Ио—>1, то D (?| /о)—т. е. дисперсия оценки в пороговом реша-
ющем устройстве совпадает с дисперсией эффективной оценки (3.1.46)
при т&—>1.
Пусть с помощью решающего порогового устройства оценивается
неэнергетический параметр узкополосного радиосигнала со случайной
начальной фазой. В условиях надежной оценки нормированное значение
логарифма функционала отношения правдоподобия определяется выра-
жением (4.2.14). 'Соответственно полагая, что на пороговое устройство
подается выходной сигнал оптимального приемника /?(/) (2.5.14), а ве-
личина порога есть \RG, уравнение для оценки /* можно записать как
G (/о, Z) +=еЛ (Z) + ... =Го,
(7.4.15)
где Го=^о/р2 — нормированный порог. Подставляя в (7.4.5) вместо
S(Zo, /) функцию G(Ig, Z) из (4.2.9), а вместо N(G) функцию Л(М из
(4.2.12), находим формулы для вычисления смещения и дисперсии оцен-
ки, определяемой по моменту первого пересечения порогового уровня:
ь (/* 14, ?.)=- ДА
%) = (р2[^^^Гк)]2 Г’’ (7-4Лб>
I aL J Z=Z0—Д/21
где А — ширина функции G(l—Zo) по уровню Го, т. е. решение уравне-
ния G(Z0, Zo±iA/2)=ro. Соответственно получаем, что оценка параметра
по середине интервала между пересечениями (?) несмещенная, а дис-
персия ее определяется формулой (6.4.10), где-следует положить iq=A/2.
7.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК ДЛИТЕЛЬНОСТИ И 'ЧАСТОТЫ
Для иллюстрации полученных в этой главе результатов рассмотрим два примера
оценки параметра сигнала с помощью приемника с разверткой и многоканального
приемника.
194
1. Вычислим смещение
импульса
s(/,
и дисперсию оценки длительности экспоненциального
Ро) = а ехр (—f/p0),
t (0, со),
(7.5.1)
принимаемого на фоне белого шума со спектральной плотностью No. Здесь параметр р0
определяет длительность сигнала. 'Пусть используется приемник с разверткой, а в каче-
стве ортонормированных функций выберем функции Лаггера
bk (О = К?ехр (—Y</2) Lk (-it), (7.5.2)
где Lfe(z) —полином Лаггера.
Фильтры, согласованные с сигналами имеют передаточную функцию
г г 1 / /со — Y/2 V
(“) =>+772’ ( /<0 + Y/2 ) <7-5-3)
и могут быть реализованы на /?С~элементах, т. е. вместо корреляторов структурная
•схема рис. 7.3.1 может включать фильтры на /?С-элементах.
Подставляя (7.5Л) и (7.5.2) в (7.3.3), находим характеристики нелинейных эле-
ментов ак структурной схемы
(1— yB/2)*
ak (₽) = а₽ Г у —7----т-Ц-----. (7.5.4)
г (1 4. Yf/2) k+1 ' '
Дифференцируя последнее соотношение по р и подставляя производные в (7.3.13), по-
л у чаем дисперсию оценки в приемнике с разверткой
2
где g—PoY/2 — нормированная длительность сигнала.
Если оценка длительности сигнала (7.5.1) осуществляется с помощью оптималь-
ного приемника, то ее дисперсия в первом приближении совпадает с дисперсией эффек-
тивной оценки (3.1.46) и равна
ГН₽о)-Ж/РоМ2. (7.5.6)
Ухудшение точности оценки в приемнике с разверткой по сравнению с оптималь-
ным приемником можно охарактеризовать отношением дисперсий (7.5.5) и (7.5.6)
v—1
I 8 V, Г ь Р-(2/?+1) — I -]2)-*
x“=bSi(1-^ ! • (7-5-7)
k=0
На рис. 7.5.1. приведена зависимость отношения xv от величины ц при различных
значениях v. Из рассмотрения кривых следует, что при использовании относительно
небольшого числа членов разложения (v=
=3—5) дисперсия оценки в приемнике
с разверткой близка к дисперсии оптималь-
ной оценки при изменении длительности р0 &
в довольно широких пределах. Так, если
v=5 и 0,02^ц^8, т. с. (^Му^^Ро^Ябу"1,
то дисперсия оценки в приемнике с раз-
верткой превышает дисперсию оптимальной 2
оценки не более чем в два раза. Кроме то-
го, интервал изменения длительности сигна- О
ла Ро, в котором ухудшение точности оценки 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2 5 р
в приемнике с разверткой по сравнению рис 75^ Зависимость увеличения дис-
с точностью оптимальной оценки не прево- персии оценки длительности от р.
13* 195
сходит заданной 'величины, возрастает с увеличением у. Согласно (рис. 7.5.1 при v^3
дисперсия оценки длительности «в приемнике с разверткой минимальна для u—1 и воз-
расгает с отклонением р от единицы, причем при р>1 дисперсия оценки возрастает
быстрее, чем при р<1. Этот факт можно объяснить изменением амплитуды и формы
детерминированной составляющей сигнала на выходе оптимального приемника и при-
емника с разверткой.
Нормированная детерминированная составляющая на выходе оптимального при-
емника определяется выражением
S(P)=g(3- g)/2(l+g),
а на выходе приемника с разверткой —•
S, (₽) = [Q (Ре)] -1 < J] «к (₽)
Ц=о
(₽)
где 5=Р/Ро — отношение длительности опорного и принимаемого сигналов.
Рис. 7.5-2. Вид составляющей Sv (g) на выходе приемника с разверткой (-----) и
оптимального приемника (-----).
На рис. 7.5.2 приведены зависимости детерминированной составляющей на выходе
оптимального приемника 5(g) (сплошная линия) и зависимости детерминированной
составляющей 5у (g) (штриховая линия) от g для различных значений р и v. При
р=0,1 уменьшается лишь амплитуда функции Sy(g), а форма ее приблизительно оди-
накова для различных у. В то же время при р=40 уменьшается не только амплитуда
по сравнению с 5(g), но и сама функция Sy(g) убывает с ростом g медленнее,
чем 5(g). Последнее обстоятельство приводит к существенному увеличению дисперсит®
оценки в приемнике с разверткой с увеличением р. Если р=Ц, то уже при v^3 функ-
ции Sv(g) и S(g) практически совпадают при всех g, а дисперсия оценки в приемнике
с разверткой близка к дисперсии оптимальной оценки. Приведенные зависимости позво-
ляют выбрать значение масштабного множителя у (7.5.2) и необходимое число членов
разложения в (7.3.4) в зависимости от величины априорного интервала определения
длительности сигнала р0 и требований, предъявляемых к качеству оценки.
Для проверки основных формул, определяющих качество оценки в приемнике
с разверткой, проводилось моделирование процесса оценки в приемнике с разверткой
на вычислительной машине. Результаты моделирования при различных значениях отно-
шения сигнал/помеха р=<21/2(р0) и числе членов разложения v=5 приведены на
рис. 7.5.3. На этих рисунках нанесены теоретические зависимости отношения Xv(fi)
и результаты моделирования. Полученные при моделировании приемника с разверткой
196
значения (н) обозначены: О —для р=4, Л—для р=8, □ —для р==16. Каждая
точка получена в результате моделирования 400 оценок длительности. Из этих зависи-
мостей видно, что результаты моделирования удовлетворительно согласуются с теоре-
тическими зависимостями, причем, как и следовало ожидать, согласование улучшается
с увеличением отношения сигнал/помеха р.
2. Оценка частоты 'Ро экспоненциального узкополосного радиоимпульса со случай-
ной начальной фазой
s(t, ?«>),= «0 ехр (—г/Ро) cos [(со, + SJZ- Z [0, оо)
(7.5.8)
в приемнике с разверткой и в многоканальном приемнике. При этом будем полагать,
что истинное значение частоты Ро распределено равновероятно на интервале
[-£/2, £/2].
Рис. 7:5.3. Экспериментальные и
теоретические зависимости увели-
чения дисперсии оценки длитель-
ности экспоненциального видеоим-
пульса от р.
В качестве ортонормированных функций bk(t) выберем функции Лаггера (7.5.2)
с масштабным множителем у=2/(30. Тогда характеристики нелинейных элементов
структурной схемы примут вид
ak (s)
*k (2)
kl (—2)т
(k — т) \ т\
[4+ (2ре)21— (m+I)/2X
х/ C?S У {(т + 1) arccos (2 [4 + (Й₽в)2Г1/2)}.
I Sln J
Используя эти выражения и (7.3.16), получаем дисперсию оценки частоты
(Р?п|Ро, <ро). В отличие от дисперсии оценки частоты в оптимальном приемнике.
ОЕ (2e) -8/Ve/(«%₽%),
(7„5.9)
вычисленной согласно (4.2.20), дисперсия оценки в приемнике с разверткой зависит от
истинного значения смещения частоты.
На рис. 7.5.4 приведены зависимости отношения (l-О = 1 Уо)/^ (^о) от
величины р, для v =3 и v = 5 (сплошные линии). Здесь
L/2
№tn I ?е) = ”£~ J 1
—L/2
— безусловная дисперсия оценки частоты в приемнике с разверткой. На тех же рисун-
ках штриховой линией представлены зависимости аналогичного отношения для много-
канального приемника соответственно с тремя и пятью каналами, рассчитанные по
формулам § 7,1 для двух значений отношения сигнал/помеха p==ao(Po/2^o)V2«
Из приведенных кривых следует, что дисперсия оценки частоты Ро Б приемнике
с разверткой может быть меньше, чем в многоканальном приемнике. При этом выигрыш
197
в точности оценки, который обеспечивает применение приемника с разверткой по
сравнению с многоканальным приемником, возрастает с увеличением отношения сиг-
нал/помеха.
Для проверки основных соотношений проводилось моделирование процесса оцен-
ки частоты сигнала (7.5.8) в приемнике с разверткой (v = 3) и в многоканальном при-
емнике с тремя каналами. При моделировании по 100 значениям оценки определялась
ее дисперсия.
Рис. 7.5.4. Зависимости увеличения дис-
персии оценки частоты от ц.
Рис. 7.5.5. Экспериментальные и теоре-
тические зависимости увеличения дис-
персии оценки частоты от р.
На рис. 7.5.5 приведены экспериментальные и теоретические зависимости отноше-
ния дисперсий оценок к дисперсии эффективной оценки xv(g) |(р0)/РЕ(Й0)
для р=16 при приеме узкополосного сигнала приемником с разверткой и многоканаль-
ным приемником. Теоретические кривые для приемника с разверткой нанесены сплош-
ной линией, а для многоканального приемника — штриховой. На этих же рисунках
обозначено: о — экспериментальные значения %v(p) для приемника с разверткой, а А—
для многоканального приемника.
Как следует из рис. 7.5.5, при р=16 согласование теоретических значений и ре-
зультатов моделирования можно считать вполне удовлетворительным.
Глава 8
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ НЕПОЛНОЙ АПРИОРНОЙ
ИНФОРМАЦИИ О СИГНАЛЕ
wps (О
8,1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНЫМИ АМПЛИТУДОЙ
И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
В соответствии с общими положениями теории статистических реше-
ний для получения -байесовской оценки (при заданной функции потерь)
необходимо знать апостериорную плотность вероятности оцениваемого
параметра Wps(l). Когда полезный сигнал и (или) статистические ха-
рактеристики помехи зависят от некоторых неизвестных сопровождаю-
щих параметров q, в оценке которых нет необходимости, апостериор-
ная плотность вероятности в соответствии с (1.1.11) и (1.1.12) опреде-
ляется выражением
f А(/, q)Wpr(q)dq
-----J. (8.1.1)
I л (Z, 4Wpr(4)dldq
Здесь, как и выше, А(/, q)—функционал отношения правдоподобия
всех неизвестных параметров; Wpr(l)—априорная плотность вероятно-
сти оцениваемого параметра; !Fpr(q)—априорная плотность вероятно-
сти сопровождающих параметров q.
Если параметры I и q независимы, а априорные плотности вероят-
ности Wpr(l) и IT^Xq) известны, то задача получения байесовской оцен-
ки в принципе решена, хотя найти соответствующее решение в анали-
тическом виде иногда и невозможно. Существенные методологические
трудности возникают -в теории решений, когда плотности вероятности
Wpr(l) и Wpr(q) неизвестны. Одним из способов преодоления априор-
ной трудности является использование минимаксного подхода (§ 1.4).
Однако достаточно простых методов получения минимаксных решений
нет. Кроме этого, часто минимаксные решения оказываются слишком
«осторожными» и могут быть улучшены. Другой подход основан на
использовании асимптотических свойств байесовских оценок. Действи-
тельно, при весьма слабых ограничениях на вид сигнала и помехи при
малых ошибках оценивания байесовские оценки асимптотически совпа-
дают с оценками максимального правдоподобия. Это обстоятельство
дает возможность в качестве оценки неизвестного параметра I исполь-
зовать значение /т, полученное максимизацией функционала отношения
правдоподобия А (Л q) по всем неизвестным параметрам (оцениваемым
199
и сопровождающим). Другими словами, оценка параметра I ищется из
условия
Л(/^
Чш) Л (Z, q),
(8.1.2)
т. е. находятся совместные оценки максимального правдоподобия всех
неизвестных параметров I и q, а затем используется лишь оценка 1т.
Естественно, вместо функционалов отношения правдоподобия
Л (A q) можно рассматривать выходной сигнал приемника, пропорцио-
нальный функционалу отношения правдоподобия или его логарифму. .
В соответствии с выражением (8.1.2) возможны два пути решения
задачи оценки параметра I при неизвестных значениях других парамет-
ров q сигнала.
Первый путь состоит в формировании приемником функционала
отношения правдоподобия Л(/, q), получении совместных оценок ма-
ксимального правдоподобия всех неизвестных параметров и использо-
вании в дальнейшем лишь оценки параметра I.
Второй путь основан на формировании при емником функционала от
ношения правдоподобия тахЛ(/, q), при котором неизвестные сопрово-
q
ждающие параметры q берутся такими, чтобы выходной сигнал, про-
порциональный Л(/, q), был максимален. -Оценка параметра I при этом
находится по положению максимума максиморума выходного сигнала
приемника.
В дальнейшем в основном будем рассматривать второй путь реше-
ния задачи, поскольку реализация этого метода, как правило, значи-
тельно проще первого.
Итак, пусть оценка неизвестного параметра I сигнала находится по
положению абсолютного максимума выходного сигнала приемника
л<(0, определяемого как
М(1)
1п[тахЛ(/, q)].
Ч
(8.1.3)
В силу монотонности логарифмической функции можно записать
Л1 (/)=тах1пЛ(/, q) = тахЛ1(/, q). (8.1.4)
q q
При использовании первого пути решения, непосредственно сле-
дующего из алгоритма (8.1.2), оценка параметра I определяется из ре-
шения системы уравнений правдоподобия
(I, а = о,
т9 Чт
[дМ(1, q)/^t.]z =0,
т’ Чт
(8.1.5)
причем /выбирается решение, обеспечивающее абсолютный максимум
для i=±l, 2, ..., р, где р — число неизвестных сопровождающих пара-
метров q. Соответственно при использовании второго пути, т. е. при
определении оценки параметра I по абсолютному максимуму функции
(8.1.3), величина 1т находится из решения уравнения
[dM^/dl], =0.
1т
(8.1.6)
200.
Покажем, что обе оценки параметра I совпадают. Выражение
(8.1.3) можем переписать как
<у,
где qm=qM(Z) — решения системы уравнений
№М(I, qyfdqA =0, i«=l, 2, ..., р
Чш
гу#,#
Рис, 8.1.1. Структурная схема устройства
для оценки параметра сигнала с неизвест-
ной амплитудой.
этом, будем полагать, что помехой
при произвольных значениях I, Решение этой системы уравнений qm(/)
представляет собой решение системы из р последних уравнений
в (8.1.5), если в них вместо взять произвольное значение парамет-
ра /. Подставляя это решение qm(/) в первое уравнение системы, полу-
чим уравнение (8.1.6). Необходимо отметить, что значения сопровож-
дающих параметров qm(Z), максимизирующие M(l, q) при произволь-
ных значениях /, не являются
оценками максимального правдо-.
подобия параметров q. Оценками
этих параметров будут величины
qm——qm(/ти), получаемые при под-
становке в выражение для
оценки параметра /.
Перейдем к рассмотрению
оценки произвольного параметра
I при конкретных предположени-
ях об априорном знании сопро-
вождающих параметров q прини-
1 маемого полезного сигнала. При
является нормальный случайный процесс с нулевым средним значением
и заданной функцией корреляции, а отношение сигнал/помеха для
принятого сигнала достаточно велико для обеспечения высокой апосте-
риорной точности оценки, так что вероятность аномалии при определе-
нии оценки пренебрежимо мала.
Если единственным неизвестным сопровождающим параметром q
сигнала является амплитуда а$, т. е.
5(t, lQ, qo=ao)—aGSi(t1 /0),
(8.1.7)
логарифм функционала отношения правдоподобия для параметров I и
а согласно (2.2.8) запишем как
Л1(/)
т
а l)dt —
о
Q, (0-
(8.1.8)
Здесь функции tq(/, /) и C?i(0 определяются соответственно из выра-
жений (2.2.7) и (2.4.7) для сигнала с единичной амплитудой, т. е. для
(Л I).
Максимизируя (8.1.8) по а, для выходного сигнала приемника
имеем
~ 2
x(0yi(^, 0^
. (8.1.9)
<2,(0
Из полученного соотношения видно, что выходной сигнал приемни-
ка М(1) не зависит от неизвестной амплитуды опорного сигнала, даже
201
если амплитуды Sii<t, I) и Vi(t, I) ;не равны единице, но равны между
собой. В связи с этим в приемном устройстве, построенном в соответ-
ствии с найденным алгоритмом, амплитуда сигнала Si(ty I) (а следова-
тельно, и однозначно с ним связанного опорного сигнала /)) может
быть произвольной. Структурная схема приемного устройства для оцен-
ки параметра сигнала с неизвестной амплитудой приведена на рис. 8.1.1.
На рисунке Гь Г2 и Г3 — генераторы, вырабатывающие соответст-
венно сигналы Siit, I), щ(/, /), l/[2Qi(/)]; РУ — решающее устройство,
определяющее положение абсолютного максимума выходного сигнала
МЦ).
Подставляя в (8.1.9) принятую реализацию смеси сигнала aQSiit,l)
и помехи nit), уравнение правдоподобия можно представить в виде
(8.1.10)
Здесь сигнальная Si(Z0, I) и помеховая #г(/) функции определяются
аналогично соотношениям (2.4.1) и (2.4.2), в которых вместо sit, I) и
vit, I) надо подставить S\(t, I) и щ(/, /).
Учитывая сделанное выше предположение о достаточно большом
отношении сигнал/помеха на выходе приемного устройства, решение
уравнения (8.1.10) будем искать методом малого параметра в ваде
(3.1.8), где p^=tz20Qi(^о)—отношение сигнал/помеха для принятого
сигнала. При этом аналогично (4.3.40) можно показать, что функция
S2i(Zo, I) IQiH) достигает максимума при Z=Zo-
Введем нормированные функции
Gc Z)ATt(Z)
^2(0=^(Ш со-
при этом справедливы соотношения
S(Q=h <№1(/0)) = 4, (№,(Z0)> = 3.
С учетом введенных обозначений и изложенного в § 3.1 метода
приближенного решения уравнения правдоподобия получим выражения
для смещения и дисперсии оценки произвольного параметра сигнала
с неизвестной амплитудой
Е1/4р2П
Р2£>.
8p2D\
(8.1.12)
2
Здесь
dQ(l) I2
p _ 19^(Л, Z2) d2S(lit Z2) dQ(l)
| dl2tdl2 dltdlz dl
I2
1 | dl\dlv
dl
dlxdl2
Г dQ(l) I3 __
dl
dl
1 dQ(l)
2 dl I
z2)
dlrdl2
dQ(l) ]2
dl
> 1*
d*Q(l)
dl2
dl
dQ(l) dzQ(l) _ ]C]d*Q(l)
dl dl2 dl3
/ / *0
d*Q(l) \
dl2 J
d*S(lt, /2)Г
202
a S (Z15 /2) (Zn Z2)/Qx (Ze) и Q (Z) = Qt (Z)/Q, (Zfl) — нормированные сиг-
нальная функция и отношение сигнал/помеха.
Формулы для вычисления смещения и дисперсии оценки произволь-
ного параметра имеют относительную погрешность порядка 83= 1/р3.
Если ограничиться рассмотрением только первого приближения, то
оценка несмещенная, а формула для дисперсии оценки произвольного
параметра упрощается и принимает вид
D (lm I <>> «о)
1
₽а
p25(Z„ /8)___1
I дЦ dl% 4
dQ(l) -1
J / *Q
(8.1.13)
При оценке параметра известного сигнала оценка максимального
правдоподобия в том же первом приближении несмещенная, а диспер-
сия определяется выражением (3.1.46), где S(Zb Z2)=p2S(Zb /2). Из
сравнения (3.1.46) и (8.1.13) следует
РУМ _ 1_________1 f W(l)/dlY ]
a0) L 4 ] /g)/(^i^2) //o^ ’
т. e. незнание амплитуды сигнала в общем случае приводит к увеличе-
нию дисперсии оценки даже в первом приближении, причем возраста-
ние дисперсии оценки не зависит от величины отношения сигнал/поме-
ха. Однако если оцениваемый параметр является неэнергетическим, то
в силу (2.4.14) из (8.1.’11) и (8.1.12) получаем, что аналогично харак-
теристикам оптимальной оценки максимального правдоподобия пара-
метра известного сигнала смещение равно нулю, а дисперсия оценки
определяется выражением (3.1.48).
Следовательно, незнание амплитуды сигнала не влияет на качест-
во оценки неэнергетического параметра. Этот факт можно также уста-
новить непосредственно из рассмотрения формулы (8.1.9), определяю-
щей структуру приемника сигнала с неизвестной амплитудой. Действи-
тельно, так как для неэнергетического параметра Qi (Z)=const, поло-
жение абсолютного максимума М(1) совпадает с положением абсолют-
ного максимума выходного сигнала оптимального приемника (2.3.4),
т. е. совпадает с оценкой максимального правдоподобия неэнергетиче-
ского параметра детерминированного сигнала.
Рассмотрим оценку параметра узкополосного радиосигнала с неиз-
вестной начальной фазой. Сигнал определяется выражением (4.2.1), где
начальная фаза кр — неизвестная величина, а функционал отношения
правдоподобия параметров I и ф (2.5.6) может быть представлен как
Л (/, <р) = ехр {R (Z) cos (? — S) — Q (0/2}.
(8.1.14)
Здесь /?(/) и Q(Z) определяются из (2.5.11) при Cy=0, a g=
=arctg[y(Z)/X(Z)J.
Максимизируя (8.1.14) по ф, для выходного сигнала оценивающего
устройства имеем
M(Z) = 7?(Z) — Q(Z)/2.
(8.1.15)
В соответствии с (8.1.15) структура приемного устройства для по-
лучения оценки параметра узкополосного радиосигнала с неизвестной
начальной фазой представлена на рис. 8.1.2.
Здесь ОП — оптимальный приемник (рис. 2.5.1 при С^=Сг=0),
выходной сигнал которого поступает на сумматор. На второй вход сум-
матора подается вырабатываемый генератором Г детерминированный
203
Рис. 8.1.2. Структурная
схема устройства для
опенки параметра радио-
сигнала с неизвестной
начальной фазой.
сигнал —Q(Z)/2. Выходные эффекты сумматора при различных значе-
ниях параметра I сравниваются между собой в решающем устройстве
РУ. Решающее устройство указывает значение параметра I, при кото-
ром выходной эффект сумматора достигает абсолютного максимума.
В § 4.3 рассматривалась оценка максимального правдоподобия па-
раметра узкополосного радиосигнала в предположении, что начальная
фаза -фо — случайная величина, распределенная равномерно в интер-
вале [—я, л]. Структура соответствующего приемного устройства при-
ведена на рис. 4.3.1. Из сравнения рис. 8.1.2 и 4.3.1 следует, что эти
два приемника отличаются лишь видом преобра-
зователя огибающей выходного сигнала опти-
мального приемника. Предположение о случайной
равномерно распределенной начальной фазе тре-
бует использования преобразователя огибаю-
щей с характеристикой 1п/0 (блок НЭ на рис.
4.3.1). Если же начальная фаза считается неиз-
вестной, то необходимо использовать линейный
преобразователь огибающей.
Поскольку при z^>l 1п/0(г)^2, то при
больших отношениях сигнал/помеха характери-
стики приемников рис. 8.1.2 и 4.3.1 будут одинаковыми.
Для неэнергетического параметра оценка находится по положению
абсолютного максимума выходного сигнала оптимального приемника
R(l) при использовании любого из двух приемных устройств, представ-
ленных на рис. 4.3.1 и 8.1.2. При этом оценка неэнергетического пара-
метра несмещенная, а дисперсия оценки определяется выражением
(4.2.19).
При нахождении характеристик оценки энергетического (произ-
вольного) параметра, закодированного в огибающей сигнала, исполь-
зуем выражения для нормированных огибающей и отношения сиг-
нал/помеха выходного сигнала оптимального приемника (4.3.2). Тогда
выражение (8.1.15) можно записать как
Л4 (Z) =р2 [г (Z)-Q(Z)/2]. (8.1.16)
При этом уравнение правдоподобия преобразуется к виду (4.3.30), где
функции A (Z), B(Z) и C(Z) определяются формулами
= (8.1.17)
Функции S(Zo, Z), A^i(Z) -и vV2(Z) имеют тот же смысл, что и в (4.3.23) —
(4.3.25), а приближения Zb Z2 и Z3 могут быть найдены из (4.3.31) —
(4.3.33) при подстановке в эти формулы Л(/), В(1) и C(Z) из (8.4.17).
Проделав необходимые преобразования, находим смещение и диспер-
сию оценки параметра сигнала с неизвестной начальной фазой:
2
2р2
dltdlz
> d/2^/2
d*S(lt, 1г)
I dl.dlz
1 dQ(l)
dl
RW,. /2)1
2
о
*0
d3S(Z„ /2)12
/2)
dl\dl2
rd2S(/„ /2)1
dl\dl2
2
3
dlrdl2
д1хд12
dlxdl2
204
d2Q(l)
1 dl2
2 d2S(/lt Z2)
д1гд12
dQ(l) d3S(A,/2) u
dl dl\dl2 \ I
~~d2S(Zt, /2)1~ If
dlxdl2 ' l0
(8.1.19)
Сравнение полученных формул с формулами (4.3.35) и (4.3.36) для
смещения и дисперсии оценки максимального правдоподобия парамет-
ра узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределен-
ной начальной фазой позволяет определить, какое влияние на качество
оценки оказывает замена в приемном устройстве преобразователя с ха-
рактеристикой In /0 на саму огибающую. Однако это отличие существу-
ет только во втором приближении. Если отношение сигнал/помеха на-
столько велико, что можно ограничиться рассмотрением только первого
приближения для характеристик оценки, то формулы совпадают. Таким
образом, подтверждается заключение, сделанное ранее на основе асимп-
тотического равенства In Io(z) c^z при г^>1.
Отметим также, что смещение и дисперсия оценки параметра, за-
кодированного в огибающей узкополосного радиосигнала (4.3.19) с не-
известной начальной фазой, в первом приближении совпадают с харак-
теристиками оценки максимального правдоподобия параметра извест-
ного сигнала и с характеристиками эффективной оценки.
Перейдем к случаю, когда узкополосный радиосигнал содержит два
сопровождающих параметра: амплитуду и начальную фазу. Подобные
условия характерны для реальных линий передачи информации, пара-
метры которых изменяются медленно по сравнению с длительностью
сигнала. Узкополосный радиосигнал с неизвестными амплитудой и фа-
зой запишем в виде.
5 (*» С «о> %) — (Л О cos [«./ 4- Ф (t, 10) — <РО]. (8.1.20)
В силу узкополосности радиосигнала s(t, I, а, ср) опорный сигнал при
сделанных ранее ограничениях на вид помехи можем представить ана-
логично (2,3.24) как
и (Z, Z, а, <р) =«7. (t, I) cos К/ +Ф 0 —
Тогда, пренебрегая интегралами от членов, осциллирующих с удвоен-
ной частотой, из (2.2.8) получаем выражение для функционала отноше-
ния правдоподобия
A (Z, «, <р) = ехр [«/?. (/) cos (? — ?) — а2^ (Z)/2].
(8.1.21)
Здесь функции <3i(0 м g определяются аналогично (8.1.14) при
единичном значении амплитуды опорного сигнала.
Так как (8.1.21) обращается в максимум по а при
Лт = [Д (/) cos (<р
то, подставляя это значение ат в Л(/, а, <р), получаем выражение для
функционала отношения правдоподобия параметров I и <р
Л(/, у)=тахЛ(/, а, у)=ехр ^-cos2 (у — Е)
(8.1.22)
205
В свою очередь, Л(/, <р) обращается в максимум при <р=£. Поэто-
му выходной сигнал приемника для оценки параметра узкополосного
радиосигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой может
быть записан как
(8.1.23)
Выражение (8.1.23) определяет структуру приемника для получения
оценки параметра L -Из выражения для М(1) видно, что опорный сиг-
нал не обязательно должен иметь единичную амплитуду, так как чис-
литель и знаменатель одинаково прямо пропорциональны квадрату ма-
ксимального значения (амплитуды) опорного сигнала.
Структурная схема устройства для оценки параметра сигнала с не-
известными амплитудой и начальной фазой приведена на рис. 8.1.3.
Здесь ОП — оптимальный приемник (рис. 2.5.1 при CX=CY—O и а=1);
Г — генератор сигнала 1/<31(0; РУ— решающее устройство. Функцио-
нирование устройства ясно из рисунка.
Рис. 8.1.3. Структурная схема устрой-
ства для оценки параметра радиосиг-
нала с -неизвестными амплитудой и
начальной фазой.
Решая уравнение правдоподобия
г<Ш(/) 1
dl
О
(8.1.24)
описанным выше методом с использованием малого параметра, можно
получить соответствующие приближения для оценки максимального
правдоподобия (3.1.8). -При этом формулы для смещения и дисперсии
оценки примут вид
b (lm IЦ, а„, ?,) = - £2/Р2£>2, (8.1.25)
С (^т I -?•) —
1
p*D2
2 i 7£22 —2ZVal
?2 "* 8р2Г)%
(8.1.26)
Здесь
(d2G(Z„ /2)____!_
2 | dlidl^ 4
IdQ(Z) ]21
JZ [, ’
L J /
. JQd3G(Z„ Z2) _ dQ(Z) d2G(Z„Z2) . 1 dQ(Z) /Г dQ(l) '2 dPQ(l) \ ]
'« p <3/2,dZ2 “ dl dlJL, *2 dl Ц dl J dP Jfj
t.d*G(I„ 1t
I dl\dlz
дЮ(1., Z2)l2
dl,dl2
dQ(l) ]2_<PQ(l) \ d2G(Z„ Z2)
dl dP J dltdl2
M
dQ(l) fa FdQ(Z) 1» 3 dQ(Z) d2Q(Z) 1()d3Q(Z)
dl t dl dl dP dP J f
a G(/b /2) и Q(0 —нормированные огибающая полезного сигнала и
отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника.
Если отношение сигнал/помеха для принятого сигнала р2 доста-
точно велико, чтобы ограничиться рассмотрением первого приближе-
206
ния, то смещение оценки равно нулю, а формула для дисперсии оценки
принимает вид
1
4
О'т ! Ар <Ро)
/2)
01гд12
Г dQ(l)
dl
(8.1.27)
Из сравнения этой формулы с (4.3.15) следует, что незнание ампли-
туды узкополосного радиосигнала вызывает увеличение дисперсии оцен-
ки произвольного параметра даже в первом приближении. Если оце-
ниваемый параметр закодирован только в огибающей узкополосного
радиосигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой, то со-
гласно (4.3.20) G(7b h)— S(/i, /2) и формула (8.L27) совпадает
с (8.1.13). Следовательно, как для сигнала с известной амплитудой
(§ 4.3), так и для сигнала с неизвестной амплитудой незнание началь-
ной фазы не влияет на качество оценки параметра, закодированного
в огибающей радиосигнала.
Полученные формулы существенно упрощаются, если оцениваемый
параметр является неэнергетическим. (В этом случае в силу (2.5.36)
оценка несмещенная, а формула для дисперсии оценки параметра со-
впадает с формулой для дисперсии (4.2.20) оптимальной оценки не-
энергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной
начальной фазой и априори известной амплитудой.
Если амплитуда сигнала (8.1.20) неизвестна, а начальная фаза ф
случайна и распределена равномерно на интервале [—л, л], то функ-
ционал отношения правдоподобия параметра I будет (при больших от-
ношениях сигнал/помеха) определяться выражением
Л(/,
Здесь Л(/, ф) описывается выражением (8.1.22). Выполняя интегриро-
вание, получим
л (О
const /0
р%(01
—
[4<21(0 J
ехр
4^.(0
(8.1.28)
Уравнение правдоподобия при этом будет иметь вид
>.(011 (Л 1^.(0/4$. (О]
(8.1.29)
где /о и /1 — функции Бесселя мнимого аргумента нулевого и первого
порядка соответственно. Так как второй сомножитель (8.1.29) всегда
положителен, уравнение правдоподобия переходит в (8.1.24). Следова-
тельно, выражения (8.1.25) и (8.4.26) для смещения и дисперсии оцен-
ки произвольного параметра узкополосного радиосигнала с неизвестны-
ми амплитудой и начальной фазой справедливы также для оценки про-
извольного параметра узкополосного радиосигнала с неизвестной ампли-
тудой и случайной равномерно распределенной начальной фазой. Срав-
нение характеристик качества оценки параметра сигнала с неизвестны-
ми амплитудой и начальной фазой с аналогичными результатами в гл. 3
(для известного сигнала) и в гл. 4 (для узкополосного радиосигнала
со случайной начальной фазой) позволяет исследовать влияние априор-
ной информации об амплитуде и начальной фазе на качество оценки
произвольного параметра сигнала.
207
8.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
РАДИОИМПУЛЬСОВ С НЕИЗВЕСТНЫМИ АМПЛИТУДАМИ
И НАЧАЛЬНЫМИ ФАЗАМИ
Рассмотрим оценку произвольного параметра I при приеме после-
довательности v узкополосных радиоимпульсов на фоне аддитивной
стационарной нормальной помехи с нулевым средним значением и функ-
цией корреляции К(т). Элементарный Л-й импульс последовательности
запишем в виде (2.7.6). При этом полагаем, что.. амплитуда ak и на-
чальная фаза фь каждого импульса априори неизвестны, а оценивае-
мый параметр I имеет значение, одинаковое для всех импульсов после-
довательности. Кроме того, будем считать, что начальные фазы импуль-
сов в последовательности независимы, а амплитуды равны (прямо-
угольная пачка). Тогда из (2.2.8) после максимизации по неизвестным
амплитудам и начальным фазам нетрудно получить аналогично рас-
смотренному в предыдущем параграфе выражение для функционала
отношения правдоподобия оцениваемого параметра I. Логарифм функ-
ционала отношения правдоподобия равен
¥---1
(8.2.1)
Эта формула определяет структуру приемного устройства для получе-
ния оценки параметра I при приеме прямоугольной пачки радиоимпуль-
сов с неизвестными амплитудой и начальными фазами.
Выражение для элементарной огибающей выходного сигнала опти-
мального приемника R\h(l) определяется из соотношения (2.7.17). По-
лагая в дальнейшем отношение сигнал/помеха для каждого импульса
последовательности достаточно большим (p2ia2fe^>l), для значений 1>
близких к 4, выражение Rik(l) можно представить в виде
Pi
б(/в, О
х [5 (4, Z) N\ (Z) 4- s\ (Zo, Z) Nk (Z) e^]. (8.2.2)
Здесь p2i=<2i (Zo)—отношение сигнал/помеха для одного принимаемо-
го радиоимпульса с единичной амплитудой; Sk(k, 0 и Nk(l) определя-
ются соответственно из (4.5.8) и (4.5.9), a G(Zb Z2)=<?i(Zb Z2) /<2i(Zo) —
нормированная сигнальная функция.
• Подставляя (8.2.2) в (8.2.1), приближенно можем записать
Af(Z)^S(Z)4-JV(Z), (8.2.3)
где
S (/) =-wV.G2 (/., 0/Q(/);
V—1
А (/) = J] [S (/., /) N*k (/) 4. s* (Z„ /) Nk (Г)
k=0
Q (Z) = Q1 (ty/QtKIJ—нормированное отношение сигнал/помеха для одно-
го импульса.
208
Поскольку суммарное отношение сигнал/помеха для всей пачки
в рассматриваемом случае также велико, можно ограничиться первым
приближением для случайной ошибки оценки в виде (4.1.14). Так как
<JVfe(/)>0, то <N(/)>—0 и, следовательно, оценка произвольного
параметра несмещенная.
Предполагая, что период повторения (как это оговорено в § 2.7)
много больше времени корреляции помехи, находим дисперсию оценки
произвольного параметра при приеме прямоугольной пачки с неизве-
стной амплитудой
& ф)
1 ___________________1
va%p2x I dlxdl2 4
(8.2.4)
Из сравнения (8.2.4) и (8.1.27) получаем, что дисперсия оценки
при приеме прямоугольной пачки из v радиоимпульсов такая же, как и
при приеме одного радиоимпульса с неизвестными амплитудой и на-
чальной фазой, имеющего в v раз большую энергию, чем один импульс
прямоугольной пачки.
8Л СОВМЕСТНАЯ ОЦЕНКА НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
С НЕИЗВЕСТНЫМИ АМПЛИТУДОЙ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Обобщим результаты, полученные для -оценки одного параметра
сигнала с неизвестными сопровождающими параметрами, на совмест-
ную оценку нескольких параметров узкополосного радиосигнала с не-
известной начальной фазой и радиосигнала с неизвестными амплиту-
дой и начальной фазой. При этом ограничимся определением лишь
первых приближений для характеристик качества оценки.
При приеме узкополосного радиосигнала с известной амплитудой
и неизвестной начальной фазой выходной сигнал приемника определя-
ется выражением (8.1.15), где под одномерным параметром I надо по-
нимать его векторный аналог I [Zi, Z2, ..., Zp].
Таким образом, как и при оценке одного параметра (§ 8.1), струк-
турная схема рассматриваемого приемника отличается от структурной
схемы приемника при случайной начальной фазе (4.7.1) лишь характе-
ристикой преобразователя огибающей выходного-сигнала оптимального
приемника. Для принятого предположения о достаточно большом от-
ношении сигнал/помеха справедлива замена амплитудного детектора
с характеристикой In Zo(^) линейным детектором. Поэтому оценка па-
раметров 1 при приеме сигнала (2.5.43) с неизвестной начальной фазой
совпадает с оценкой максимального правдоподобия при приеме узко-
полосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной на-
чальной фазой. Таким образом, совместные оценки параметров сигнала
с неизвестной начальной фазой в первом приближении несмещенные и
обладают корреляционной матрицей оценок с элементами (4.7.6).
Применительно к приему узкополосного радиосигнала с неизвестны-
ми амплитудой и начальной фазой выходной сигнал приемника опреде-
ляется выражением (8.1.23), где под одномерным параметром I надо
понимать его векторный аналог 1.
14—356 209
При условии, что полезный сигнал задан формулой (8.1.20), оги-
бающая (1) определяется аналогично (2.5.14) при замене I на 1 и
единичном значении
амплитуды опорного сигнала
/?\(1) = «%G\ (10, 1)+2а0{Л/1С(1)[\Д10, I)cos?0 + S^(l0, I) sin %] +
+ ^d)[Sw(l0, 1) sin <?0 — (Io, l)cos?e]} + AZ2lc(l)+iV2ls(l).
(8.3.1)
Будем полагать отношение сигнал/помеха для принятого сигнала до-
статочно большим [р2—a2oQi(lo) ^>1], так что для определения харак-
теристик оценки можно воспользоваться первым приближением. В этом
случае система уравнений правдоподобия может быть записана в виде
=.[JL[S(1) + 26дг(1)]) =0, i=l, 2, .... р. (8.3.2)
Здесь
S(1) = G\(1O, O/QJl);
N (1) = Ж (Io, 1) cos + Sls (le, 1) sin ?0] Nlc (1) +
dl;
+ [Slc (l0, 1) sin - Sls (l0, I) cos Nls (ItfQr1 (1),
причем сигнальная S(l) и помеховая N(l) составляющие нормированы
так, что S (lo) —</V2 (Io) >=1.
Используя разложение функций <в квадратных скобках (8.3.2) в ряд
Тейлора по 1, получаем выражение для случайной ошибки при оценке
fe-ro параметра в первом приближении
Мг — tmk
i=l
Здесь
определитель порядка р с элементами
^ik
~daS(l) '
. dl^lk J1O
2 pgG(li, 12)____1 dQ(l) ^Q(I) 1
1 dludl2k 4 dli dlk fio’
(8.3.3)
(8.3.4)
Ahi — алгебраические дополнения этого определителя.
Выполняя в (8.3.3) усреднение по реализациям помехи, получаем,
что в первом приближении совместные оценки условно несмещенные.
При этом элементы корреляционной матрицы оценок равны
(1щ [ 1(р <Р0) ‘
где Q — определитель порядка р с элементами
(О
ik
dl^dl^
&2(1) dQ(l)
dlh
(8.3.5)
(8.3.6)
1
4
A hi — алгебраические дополнения этого определителя.
В более компактной форме соотношение (8.3.5) можно переписать
как
11 ^ik (Im I Iq’ ’Ро) H Л2
^(1о М__________1 <*?(!) dQ(\) I
dlvidl2k 4 dlL dlk ]l
(8.3.7)
Если оцениваемые параметры 1
:210
неэнергетические, то [^Q(l)/dZi]=O,
i=l, 2, ..., p и формула (8.3.7) переходит в (4.7.7). Другими словами,
аналогично оценке одного неэнергетического параметра при совместной
оценке нескольких неэнергетических параметров незнание амплитуды
сигнала не влияет на характеристики оценки.
8. 4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛА <С НЕИЗВЕСТНОЙ
ОГИБАЮЩЕЙ
Рассмотрим оценку параметра радиосигнала, форма огибающей
которого неизвестна при приеме на фоне аддитивного белого шума с од-
носторонней спектральной плотностью No. При этом будем полагать,
что фазовые искажения отсутствуют. Поэтому при нахождении оценки
неизвестного параметра 1 считаем, что принимаемый узкополосный ра-
диосигнал имеет вид
* (t 4) F. (t) cos [ш/ + ф (/, Q], - Т/2 < t < Т/2, (8.4.1)
где Fo(t) —неизвестная функция времени (огибающая).
Учитывая (2.3.3), получаем выражение для логарифма функциона-
ла отношения правдоподобия (2.2.8) (с точностью до интеграла от чле-
на, осциллирующего с частотой 2соо)
Т/2
M[l,F(t)] = -2- [
т/2
cos + ф (t, /)] dt — gjy- F2 (0 dt.
—Т/2
(8.4.2)
Представим неизвестную огибающую в виде ряда по системе орто-
нор мированных функций т. е.
ОО
f (о=2 n-k
k=l
Т/2
—Т/2
F (0 bk (0 dt.
(8.4.3)
Задавшись достаточно 'большим числом членов разложения т, прибли-
женно можно записать
т
(о - 2 akbk
(8.4.4)
Функции при А=1, 2, ..., т надо выбирать такими, чтобы они
изменялись медленно по сравнению с колебанием несущей частоты
coscooA С учетом сказанного логарифм функционала отношения прав-
доподобия равен
т т
Здесь
Г/2
Нк(1) = i X (t) bk (0 cos + Ф (/, 0] dt.
—T/2
Для оценки параметра l в качестве выходного сигнала приемника
используем (8.4.5) при значениях а^, обращающих М(1, ак) в макси-
14* 211
мум. Максимизируя М (I, ак) по fl/t> приходим к .выражению
т
(8.4.6)
Следовательно, приемное устройство содержит т параллельных ка-
налов, каждый из которых «согласован с сигналом bh(t) cos [W+
+ф(/, 01- Квадраты выходных величин этих каналов суммируются при
всевозможных значениях /. Оценка 1т неизвестного параметра находит-
ся по положению абсолютного максимума М(1). 'Подставим принимае-
мую сумму сигнала и помехи в (8.4.6) и введем обозначения
т г Т/2 1 2
Е И F* (0 Ьк (0 cos ~ф (Л /)] и ’ (8А7)
fc=l <—7/2 '
& (0 S f n{t)bk (0 C°S W + ф (Л Z)1 dt Х
fc=l —7/2
{7/2
f р, (0 bk (0 cos [ф (t, l9) — ф (t, /)] dt 4-
—7/2
7/2 r
+ [«(/) bk (t) cos [co/ ф (£, /)] dt\.
—T/2 J
(8.4.8)
Тогда с точностью до интегралов от членов, осциллирующих с часто-
той 2ш0, выходной сигнал -приемника имеет вид
а отношение сигнал/помеха ;на выходе приемника равно
2___________________________Р4т
~ 4 + 2тР2-"’
т
(8.4.9)
(8.4.10)
Положим, что отношение сигнал/помеха для принятого сигнала ве-
лико. В этом случае, ограничиваясь рассмотрением первого приближе-
ния, случайную ошибку единичного измерения можем представить в ви-
де (4.1J14).
Нетрудно показать, что в рассматриваемом приближении оценка
параметра несмещенная, так как среднее значение помеховой функции
определяется выражением
т Т[2
(AZ(Z)) = V О)cos2[%Z + ф(Z, l)]dt^
Л=1 —7/2
212
и не зависит от оцениваемого параметра I. Условная дисперсия оценки
параметра в рассматриваемом приближении равна
где
(8.4.11)
(8.4.12)
(8.4.13)
(8.4.14)
Для достаточно большого отношения сигнал/помеха можно прене-
бречь составляющей помеховой функции $(/) (8.4.8), которая квадра-
тично зависит от реализации помехи на входе. Если к тому же число
каналов т настолько велико, что ошибка аппроксимации огибающей
Ео(/) конечным числом ряда (8.4.4) мала, то соотношения (8.4.10) и
(8.4.14) упрощаются и принимают вид
т Т/2
p-^S^3^ f
—т/2
Т/2
—Т/2
<Ж 0
dl
(8.4.15)
(8.4.16)
При этом дисперсия оценки параметра равна
Пусть сигнал полностью расположен внутри интервала наблюде-
ния [—Т/2, Т/2] и условия (8.4.15) и (8.4.16) выполняются. Опреде-
лим увеличение дисперсии оценки, возникающее вследствие незнания
формы огибающей радиосигнала.
Если форма огибающей известна, то для неэнергетического пара-
метра дисперсия оценки максимального правдоподобия в соответствии
с первым слагаемым формулы (4.4.1) и с учетом (2.5.15) и (2.3.3) мо-
жет быть представлена ,в виде
(8.4.18)
213
Сравнивая эту формулу с (8.4.17), имеем
Dllm I F(t)]
ЕЩт I ^о)
т. е. в общем случае незнание формы огибающей радиосигнала при-
водит к увеличению дисперсии оценки. Однако если оцениваемый пара-
метр закодирован только в фазе радиосигнала с неизвестной огибаю-
щей, так что dF(t, I) /dl—О, то дисперсии оценок совпадают.
Применительно к оценке векторного параметра 1 [/ь 1% ../р] вы-
ходной -сигнал приемника определяется выражением (8.4.6) при заме-
не I на 1, а первое приближение для случайной ошибки оценки пара-
метра по максимуму выходного сигнала — аналогично (4.7.5), где надо
положить 8=1, а под Qi и Ащ понимать соответственно определитель
порядка р с элементами
_ I
т Т/2
ЕМ
1=1 —Т/2
Amki — алгебраическое дополнение этого определителя. Аналогично
оценке одиночного параметра нетрудно показать, что в первом прибли-
жении оценки параметров несмещенные, а корреляционная матрица
совместных оценок равна [152]
где
(8.4.19)
т Т/2
y\atkae{ f bk{t}bi{t}\d-^L^]dt-
лшя t) L 1 < J*o
i, k=l —T/2
m T/2
У f (<) WJ. *1 dt.
" Li J I *< b.
k=l —T/2
Если отношение сигнал/помеха достаточно велико и ошибка аппро-
ксимации огибающей конечным числом членов ряда (8.4.4) мала, то
справедливы соотношения, аналогичные оценке одного параметра. При
этом корреляционная матрица совместных оценок имеет вид
Klk [1110, F (t)\ = Л//Й.
где Q — определитель порядка р с элементами
Na
Т/2
—Т/2
1) 1) ~
dlj dig
dt-,
(8.4.20)
(8.4.21)
Am — алгебраические дополнения этого определителя.
Если для всех оцениваемых параметров Ц (i=-l, 2, ...» р)
dF(t, I) /дЦ=О, т. е. неизвестный параметр входит только в фазу сиг-
нала с известной огибающей, то матрица \\K.ih [1m 11о» Р (0 ] II совпадает
с корреляционной матрицей совместных оценок максимального правдо-
подобия известного сигнала (3.3.10).
214
Рассмотрим прием радиосигнала с неизвестной огибающей, содер-
жащего р оцениваемых параметров 1 и неизвестную начальную фазу <р.
При этом начальная фаза ф оценке не подлежит, т. е. является сопро-
вождающим параметром. Такой сигнал может быть записан как
s 1». <?.)=Т (0 cos [«,/ 4- % (t, 10) — <р0].
(8.4.22)
Оценки р параметров I можно получить, совместно оценивая при
помощи (8.4.6) параметры 12, .1Р и начальную фазу ф. Однако
начальную фазу <р целесообразно исключить из выражения М (1, ф),
получаемого подстановкой в (8.4.6) вместо ф(/, /) функции ф(£, 1) =
=фо(£, 1)—ф. Для этого следует максимизировать М (1, ф) по ф. В ре-
зультате выходной сигнал приемника при оценке параметра радиосиг-
нала с неизвестными огибающей и .начальной фазой перепишется в виде
Л4(1)
(8.4.23)
где
Xk = Xk О)
Yk = Yk (1)
[ х (0 bk (t) cos + <[>0 (Л 1)] dt,
—T/2
T/2
x (t) bk (t) sin [ю/ + (t, 1)] dt.
—T/2
Корреляционную матрицу оценок, получаемых по измерению по-
ложения наибольшего максимума (8.4.23), можно относительно просто
найти, если выполняются условия достаточно большого отношения сиг-
нал/помеха и малой ошибки аппроксимации огибающей конечным
числом членов ряда (8.4.4). В этом случае элементы корреляционной
матрицы совместных оценок параметров радиосигнала с неизвестной
амплитудой и неизвестной начальной фазой определяются как [152]
K/k Um I Io’ То» ^(OJ—Aei/^»
(8.4.24)
где й — определитель порядка р с
элементами
215
В частном случае при оценке одного параметра I радиосигнала
с неизвестными огибающей и начальной фазой дисперсия оценки равна
(Г/2
J P\kt)
'—Т/2
Г дФо (*, О I2
dl
Т/2
2 / Т/2
dl
—Т/2
-Т/2 '1О
Сравнение (8.4.26) и (8.4.17) показывает, что всегда £>[4п|4), фо,
F Г (0L т- е- незнание начальной фазы приводит в общем
случае к увеличению дисперсии оценки, так же как и при приеме ра-
диосигнала с известной огибающей.
8. 5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК АМПЛИТУДЫ, ДЛИТЕЛЬНОСТИ,
НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ И -ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим конкретные примеры применения полученных в этой главе общих
соотношений для вычисления характеристик оценок при неполной априорной информа-
ции о сигнале.
L Оценка амплитуды радиосигнала. Пусть полезный сигнал с неизвестной ампли-
тудой определяется формулой (4.9.28), где <р0 — неизвестная начальная фаза. При этом
нормированная сигнальная функция будет равна
S(rzi, a2)—aia2/az0. (8.5.1)
Подставляя соответствующие значения производных от сигнальной функции в (8.1.18)
и (8.1.19), получаем условные смещение и дисперсию оценки амплитуды
ь {а,п\ав, =a9/2f, (8.5.2)
D (amjae, ft) = (c%/p2) (1 - 1 /2p2), (8.5.3)
Поскольку амплитуда сигнала входит в принимаемые данные линейно, то при приеме
радиосигнала с неизвестной начальной фазой можно получить выражение для оценки
амплитуды в явном виде. Действительно, подставляя (4.9.28) в (8.4 Л 5), имеем
Л4 (iz) —
где — отношение сигнал/помеха для сигнала с единичной амплитудой, а — оги-
бающая сигнала на выходе оптимального приемника, которую для рассматриваемого
случая можно получить, положив в (2.5. Г4) /=/0, я=4.
Решая уравнение [дЛ1(а)/да]а —0, находим оценку
/72
(8-5-4)
"VC——
Нетрудно убедиться, что случайная величина ат (при фиксированном а0) подчиняется
обобщенному релеевскому распределению. Соответственно первые два момента оценки
амплитуды определяются формулами [18]
= (1:+2/рг).
216
Отсюда нетрудно найти точные выражения для смещения и дисперсии оценки ампли-
туды. При этом если -отношение сигнал/помеха велико (р2^> 1), то, используя асимпто-
тические разложения для функций Zo4p) и А(р) при р^> 1, получаем
<^)=^(1 + 1/2р2 + 1/8р*+...)•
В результате приходим к выражениям для смещения и дисперсии оценки, которые во
вторых приближениях совпадают с (8.5.2) и (8.5.3).
Если начальная фаза радиосигнала случайна и распределена равномерно в интер-
вале [—л, л], оценка максимального правдоподобия амплитуды согласно п. 6 § 4.9
оказывается несмещенной и во втором приближении, но обладает большей дисперсией
по сравнению с оценкой (8.5.4). Однако эти отличия имеют место только во втором
приближении, а в первом приближении характеристики оценки максимального правдо-
подобия и оценки (8.5.4) совпадают. Следует отметить, что оценка амплитуды при не-
известной начальной фазе реализуется проще оптимальной оценки амплитуды для слу-
чайной равномерно распределенной начальной фазы, которая с учетом (4.3.1) опреде-
ляется из решения трансцендентного уравнения правдоподобия
2. Оценка длительности колокольного радиоимпульса. Найдем смещение и диспер-
сию оценки длительности р0 радиосигнала
S(t, ₽„ «0, ?о) = а„ ехр (—/2/₽2.) cos [wef 4- ф (t) — <f0]
(8.5.5)
при приеме на фоне белого шума с односторонней спектральной плотностью No- Если
единственным неизвестным сопровождающим параметром радиосигнала является на-
чальная фаза, то, используя выражение для сигнальной функции G (pi, р2) (4.9.31), из
(8.1.18) и (8.1.19) получаем, что дисперсия оценки длительности совпадает с диспер-
сией оптимальной оценки (4.9.33), а смещение оценки увеличивается в два раза по
сравнению со смещением оптимальной оценки (4.9.32). Увеличение смещения оценки
обусловлено заменой в оптимальном приемном устройстве преобразователя огибающей
с характеристикой In /0 линейной зависимостью.
Если неизвестны амплитуда Яс и фаза <р0 сигнала, то, подставляя сигнальную
функцию (4.9.31) в (8.1.25) н (8.1.26), получаем выражения для смещения и дисперсии
оценки
(Pm | Ро» «о» Уо) ’— Ро/?2»
D (Pm I Ро» Уо) = 2 (₽%/Р2>:<1 + И/Р2).
(8.5.6)
(8.5.7)
Как и следовало ожидать, незнание величины амплитуды полезного сигнала при-
водит к заметному увеличению дисперсии оценки длительности даже в первом прибли-
жении. Действительно, при р—>оо
D (Pm I Ро* Qo» Уа) 3
D (Pm | Ро» Уо) 2
В то же время незнание начальной фазы радиосигнала в первом приближении не
влияет на качество оценки длительности радиосигнала.
3. Оценка начальной фазы радиосигнала с неизвестной огибающей. Запишем при-
нимаемый сигнал в виде
S (^» Уо) (О cos [cotf —
(8.5.8)
п вычислим дисперсию оценки начальной фазы <ро, полагая, что неизвестная огибающая
Ео(/)—четная функция времени. Так как при оценке начальной фазы |дф(/, Z)/dZ|=l,
217
формула (8.4.11) принимает вид
Dm (<fm I ¥о> ak) = (ftp2 + in) /hY- (8.5.9)
V2
Здесь p2 = — J F'\(t)dt—отношение сигнал/помеха для принятого сигнала; т„—
-V2
длительность сигнала (заранее неизвестна), которая в общем случае может быть боль-
ше или меньше времени приема Г;
т I
h = I F% (/) dt.
Л=1 I -V2
Пусть принимаемый сигнал имеет огибающую треугольной формы
(8.5.10)
Fo (0 = <
О,
причем априори известно, что огибающая является четной функцией времени. Если для
представления неизвестной огибающей в виде (-8.4.4) воспользоваться разложением
Фурье по косинусам, то
2rck
Cfa COS р if Ck
а функция Л, входящая в (8.5.9), равна
h ее hm (q) = 3
m—1
q 8 sin4 (я^/2)
k-\
(1 — 1/2^)2 8 "у/ sin4 frfe/2)
q • AJ k*
k=l
3&есъ q—Xw/T — отношение длительности сигнала к величине интервала наблюдения.
Охарактеризовать качество оценки можно эффективностью E=DE(q>o)/Ditym|фо.
Ок), где De(^o) —ll/р2— дисперсия эффективной оценки начальной фазы, совпадающая
с первым приближением дисперсии оценки максимального правдоподобия (3.5.3). Со-
гласно (8.5.9) для эффективности оценки начальной фазы радиосигнала с неизвестной
огибающей имеем
(q)
hm (?) + и/р2 ’
(8.5.11)
При оценке начальной фазы радиосигнала с известной огибающей длительность
интервала наблюдения Т не влияет на величину дисперсии оценки, если только Т вы-
брано больше длительности сигнала ти.
Если огибающая сигнала, а следовательно, и длительность неизвестны, то диспер-
сия оценки начальной фазы D((pm|<p0, &к) зависит от величины интервала наблюде-
ния Т. Поэтому определенный интерес представляет рассмотрение зависимости эффек-
тивности оценки от отношения q=4>K/T, что позволяет определить необходимое время
наблюдения Т для возможных значений длительности сигнала ти. Зависимости эффек-
тивности оценки Е от q для различных значений тир2 приведены на рис. 8.5.1.
Сплошными линиями нанесены зависимости E(q) для отношения сигнал/помеха р2 —20,„
штриховыми — для р2—100.
218
Как видно из этих зависимостей, для больших р2 и т эффективность оценки на-
чальной фазы при неизвестной огибающей близка к единице в доволыю широких пре-
делах. Для <7<1 уменьшение эффективности оценки объясняется в значительной степе-
ни отличием формы огибающей принимаемого сигнала от формы огибающей опорного
сигнала, и это отличие уменьшается с ростом числа каналов. При q>\ уменьшение
эффективности в основном обусловлено тем, что часть сигнала находится вне интерва-
ла наблюдения и энергия сигнала используется не полностью. В этом случае увеличение
числа каналов может вызвать лишь незначительное увеличение эффективности. Дей-
ствительно, для р2=100 при увеличении числа
каналов от 3 до 6 эффективность в области
q>i 'практически остается неизменной.
Из рассмотрения кривых также следует,
что, хотя увеличение числа каналов приводит
к расширению области значений q, в которой
эффективность высока, при не очень больших
отношениях сигнал/помеха может оказаться
Рис. 8.5.1. Зависимость эффективно-
сти оценки начальной фазы (треуголь-
ная огибающая) от q.
более целесообразным использование неболь-
шого числа каналов. Последнее ведет к упро-
щению структуры приемного устройства. На-
пример, для р2—20 и т=3 при 0,4Г^ти^1,2Г
эффективность оказывается больше, чем прн т— 6. С другой стороны, при р2=100 и
т=Е эффективность оценки начальной фазы практически равна единице для импульса,
длительность ти которого изменяется от 0,27 до 1,2Т, т. е. в 6 раз. Если в этом случае
использовать только три канала, то эффективность достаточно высока лишь прн 0,4Т-<Х
^ти^1,2Т, т. е. при изменении длительности импульса в 3 раза.
Как следует из приведенные рассуждений, для каждого значения q и р2 должно
существовать оптимальное число каналов, которое обеспечивает наименьшую дисперсию
оценки. Действительно, в общем случае с увеличением т ррля энергии сигнала, кото-
рая попадает в канал т, уменьшается, в то время как мощность помехи во всех кана-
. лах одинакова. Поэтому использование слишком большого числа каналов может при-
вести к увеличению дисперсии оценки.
Значения эффективности оценки начальной фазы радиосигнала с неизвестной оги-
бающей для различного числа каналов т при </ = 0,2 и </=1 приведены на рис. 8.5.2.
Сплошными линиями соединены значения эффективности для р2=20, штриховыми —
для р2=100. При <7=0,2 и р2 = 20 оптимальное число каналов т0—6, а при </=0,2 и
р2=100 т0 = 7. С увеличением q оптимальное число каналов уменьшается и при q— 1
m = 2. При не слишком больших отношениях сигнал/помеха зависимость Е(т) имеет
четко выраженный максимум, который с ростом отношения сигнал/помеха становится
менее ярко выраженным, хотя при т<т0 эффективность оценки убывает довольно
быстро с уменьшением числа каналов. ’В общем случае следует ожидать, что с умень-
шением q оптимальное число каналов будет увеличиваться так же, как с увеличением
отношения сигнал/помеха, хотя зависимость mG от pz более слабая, чем от q.
Если радиосигнал (8.5.8) имеет огибающую прямоугольной формы, т. е.
F (0 =
(8.5.12)
то, используя представление неизвестной огибающей в виде разложения Фурье по ко-
синусам для функции hw(q)y получаем
( Q) —
т— 1
2 sin2 mkq 1
*=1
1/?, 9>1.
219
Зависимости эффективности оценки начальной фазы от q при различных значе-
ниях тир2 приведены на рис. 8.5.3 для сигнала, априори неизвестная огибающая ко-
торого определяется формулой (8.5.12). Сплошные линии представляют зависимость
E(q) для р2 —20, штриховые — для р2=100.
4. Вычислим дисперсию оценки временного положения То колокольного частотно-
модулированного радиоимпульса с неизвестной начальной фазой (4.9.17). Полагаем,
что форма огибающей априори неизвестна, сигнал полностью расположен внутри интер-
вала наблюдения, а число каналов приемного устройства т и отношение сигнал/поме-
Рис. 8.5.2. Зависимости эффективности
оценки начальной фазы от числа ка-
налов.
Рис. 8.5.3. Зависимости эффективности
оценки начальной фазы (прямоугольная
огибающая) от q.
ха р2 настолько велики,
в (8.4.26), получаем
что справедливо выражение (8.4.26). Для величин, входящих
дф. (/, т)/дт;=: —соо —2Л(£ —т),
Fo (t) = а ехр [— (t — т)2/₽20].
Подставляя эти выражения в (8.4.26) и заменяя пределы интегрирования на бесконеч-
ные, будем иметь
(01 =₽%/р2 (^ук- О, (8.5.13}
где kyK — коэффициент укорочения ЧМ радиоимпульса, определяемый согласно (4.9.20).
Так как данная задача имеет смысл только при %>0, то /гук>(1.
Дисперсия оценки максимального правдоподобия временного положения радио-
импульса с известной огибающей, в первом приближении совпадающая с дисперсией,
эффективной оценки, определяется формулой (4.9.19). Следовательно, эффективность
оценки временного положения ЧМ радиоимпульса с неизвестными огибающей и началь-
ной фазой равна
£==1-(1//г2ук).
Поскольку при fcl, то незнание формы огибающей при больших значениях
коэффициента укорочения практически не влияет на качество оценки временного поло-
жения частотно-модулироваиного радиоимпульса с неизвестной начальной фазой.
Глава 9
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ НЕПОЛНОЙ
АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ПОМЕХЕ
9.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ ПРИЕМЕ
НА ФОНЕ ПОМЕХИ С НЕИЗВЕСТНОЙ -ФУНКЦИЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Ранее предполагалось, что статистические характеристики помехи
априори полностью известны. Однако в ряде практических приложе-
ний полные сведения о характеристиках помехи часто отсутствуют, хотя
в большинстве таких задач можно считать, что помехи являются нор-
мальными и в течение времени приема сигнала [О, Г] стационарны.
Априорная неопределенность относительно помехи в подобных си-
туациях сводится к незнанию либо формы функции корреляции помехи,,
либо некоторых ее параметров.
Положим вначале, что форма функции корреляции помехи извест-
на, но функция корреляции содержит один или несколько неизвестных
параметров. В этом -случае для получения оценки неизвестного пара-
метра сигнала можно воспользоваться по крайней мере двумя спосо-
бами. При использовании первого из них необходимо, чтобы приемное
устройство вырабатывало функционал отношения правдоподобия для
неизвестного параметра сигнала и неизвестных параметров функции
корреляции помехи, а затем определяло совместную оценку всех не-
известных параметров. Применение второго способа предполагает, что
сначала по принятой реализации смеси сигнала и помехи производится
измерение неизвестных параметров функции корреляции помехи (с по-
мощью какого-либо достаточно простого алгоритма), а затем на основе
измеренных значений вырабатывается функционал отношения правдо-
подобия для неизвестного параметра сигнала и производится его оцен-
ка. Различие между этими двумя способами в основном сводится
к большей или меньшей сложности технической реализации соответст-
вующего приемного устройства.
Рассмотрим способ, основанный на совместной оценке всех неиз-
вестных параметров, от которых зависят статистические характеристи-
ки принимаемой смеси сигнала и помехи. Положим вначале, что корре-
ляционная функция аддитивной стационарной нормальной помехи со-
держит один неизвестный параметр X, который в течение времени
приема не изменяется.
Принимаемую реализацию смеси сигнала и помехи запишем в виде
x(/)=s(f, /о)+и(0, (9.1.1)
221
где s(t, /о)—полезный сигнал, содержащий неизвестный параметр Zo>
подлежащей оценке; n(t)—реализация стационарной нормальной по-
мехи с нулевым средним значением. Функция корреляции помехи
>—/C(<Zi—fe, Хо) зависит от априори неизвестного пара-
метра Zo*
Используя соотношение (2.6.7), логарифм функционала отношения
правдоподобия с точностью до слагаемых, не зависящих от I и X, мож-
но записать как
М (I, 2) = С J (s (tt, - 4 Iх (О х (О +
+«(/., l)s(t2, /)]| 0(Л, ts, l)dttdt2-L Н(1).
Здесь 6 (Zn tz, 2) — решение интегрального уравнения
т
(9.1.2)
(9.1.3)
о
а #(Х) —детерминированная функция параметра X, которая может
быть определена через ее производную (2.6.10):
= г Г дК ((, — , Л) е , Л) diidti (9.! .4)
о о
Формула (9.1.2) определяет структуру приемного устройства оцен-
ки параметра I. Приемник должен вырабатывать функцию M(l, X) для
всевозможных значений I и X. Оценка Zm неизвестного параметра сиг-
нала /о определяется по положению точки (Zm, Лт), в которой функция
M(l, X) достигает абсолютного максимума. Параметр X при этом рас-
сматривается как сопровождающий. В соответствии с определением
оценка lm находится из решения системы уравнений
д
dl
[S {l, 2) + N (l, 2)]]
J lmrhm
[S(Z, Z) + W> Я)]
J
0,
0,
(9.1.5)
I
где S(l, 2) — (УИ(/, 2)); N (I, 2) =M (l, 2) — S(l, 2) (усреднение выполня-
ется по реализациям помехи n(t) при фиксированных значениях 1„ и 20).
Положим отношение сигнал/помеха для принятого сигнала
о о
/,) 6 (G- ^2, Ло) dt.dt
2
(9.1.6)
и время наблюдения Т достаточно большими. Тогда, разлагая 7W(Z, X)
в двумерный ряд Тейлора в окрестности истинных значений парамет-
ров (Zo, Хо) и сохраняя только члены разложения низших порядков
малости, получаем -систему уравнений для случайных ошибок измере-
ния kl-lm---If), ------Хо:
(9.1.7)
222
Решая эту систему уравнений относительно ошибки оценки парамет-
ра I, находим
d/V (/, Л) d2S (/, Л) dN(l,l)
dl d)? dl did).
d2S (I, I) б2Х (I, Л) _ р2Х (/, Л) 12
dl2 dl? [ dldk
(9.1.8)
Вычисляя производные сигнальной S(/, X) и помеховой N(l, X) функ-
ций, входящих в формулу для ошибки оценки, производя усреднение
по реализациям, получаем, что оценка условно несмещенная, а дис-
персия оценки определяется как
“0 0 z0
Согласно формуле (9.1.9) при достаточно больших времени наблюде-
ния Т и отношении сигнал/помеха р дисперсия оценки такая же, как
при приеме на фоне нормальной помехи с известной функцией корре-
ляции (3.1.46).
Пусть теперь функция корреляции помехи будет известна с ^точно-
стью до конечного числа р. параметров Л2, ..., Л ], т. (/)’n](Z-|-
Ч~т)) — К (т> Ю- а априори неизвестные параметры Хо в течение време-
ни приема предполагаются постоянными. Логарифм функционала отноше-
ния правдоподобия параметров L [Z, Яп Л2, с точностью до посто-
янных слагаемых определяется выражением (9.1.2), в котором вместо одно-
мерного параметра Л надо понимать его многомерный аналог Х[Я1Э Я2, ...
..., Л 1.
’ Л
Приемное устройство-должно вырабатывать функцию 7И(Ь) для
всевозможных значений параметров L Xi, Х2, ..Л и определить точку
абсолютного максимума Lm. Следовательно, оценка /т неизвестного па-
раметра сигнала может быть найдена из системы уравнений вида
'дМ (L) "
dL,
i — 0, 1, 2, а.., р,
(9.1.10)
= 0
где Z?o —- Z, Z/j — Я1?... ? — Я^.
Полагая отношение сигнал/помеха достаточно большим, находим,
что если функция корреляции помехи содержит конечное число неиз-
вестных параметров, то оценка параметра сигнала при достаточно боль-
ших отношениях «сигнал/помеха и времени наблюдения несмещенная и
обладает дисперсией (9.1.9), где под Хо нужно понимать Х0[Хю, Хао,
• • •> р.о1*
Рассмотрим случай, когда функция корреляции помехи имеет не-
известную -форму. Будем считать, что априори неизвестная функция кор-
реляции на интервале [—Т, 7] может быть представлена в виде ряда
по системе ортонормированных функций £&(/), т. е.
Я СО
(9.1.11)
(9.1.12)
223.^
Положим, что система функций &&(/) является полной и ряд (9.1.11)
сходится в среднем. Задавшись достаточно большим числом р членов
разложения, можно записать приближенное равенство
ж
(9.1.13)
^фициенты разложения функции
где а [а.
, а2, aj — неизвестные коэ
корреляции. Логарифм функционала отношения правдоподобия параметров
L [/, а,, я2, (9.1.2) имеет вид
М (L) = ( f (s (Z„ Z) х (t2) - 4- k (О X (t2) 4-
+«(/„ Z)s (t2, /)]} (Z,,t2, a) dt2dt2-----(а). (9.1.14)
Здесь
6 (£,, t2, а) — решение уравнения
f -t, а) 6^ (Z, t2, a) dt = 8 (/. -12),
О
(9.1.15)
а Н (а) определяется соотношением
' -- j j* (^1 ^2) Gp, (^1’ ^2’ а) ^1^2*
О О
Записав систему уравнений для определения оценки, полагая отноше-
ние сигнал/помеха достаточно большим, находим, что оценка парамет-
ра / несмещенная с дисперсией
а) =
Исследуя зависимость дисперсии оценки от количества членов разло-
жения р, по требуемой точности оценки можно найти необходимую
величину р. При этом в £158] показано, что если выполняются условия
высокой апостериорной точности оценки, то при увеличении числа чле-
нов р в разложении (9.1.13) дисперсия оценки параметра \1 при приеме
сигнала на фоне нормальной помехи с неизвестной функцией корреля-
ции приближается к дисперсии оценки максимального правдоподобия
(3.1.46) при приеме сигнала на фоне нормальной помехи с известной
функцией корреляции. Аналогичное соотношение выполняется при сов-
местной оценке нескольких параметров известного сигнала, принимаемо-
го на фоне помехи с неизвестной функцией корреляции.
224
9.2. КВАЗИОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА
ПРИ ПРИЕМЕ НА ФОНЕ ПОМЕХИ С НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
КОРРЕЛЯЦИИ
Структура оптимального приемного устройства, полученная для
оценки параметра -сигнала на фоне нормальных помех с неизвестной
функцией корреляции, оказывается достаточно сложной при практиче-
ской реализации. В связи с этим представляет интерес построение бо-
лее простых приемных устройств. Как и в § 9.1, оценку неизвестного
параметра сигнала будем искать по положению абсолютного максиму-
ма функции, получаемой из логарифма функционала отношения прав-
доподобия при замене точного значения функции корреляции некото-
рым приближенным значением, измеренным в течение времени приема.
Очевидно, возможно множество различных методов формирования
оценки параметра сигнала таким образом. Выбор между этими воз-
можными методами может быть сделан в зависимости от требований,
предъявляемых к качеству оценки, и от степени простоты технической
реализации такого метода.
Рассмотрим один из методов, позволяющий получить асимптотиче-
ски несмещенную оценку параметра сигнала, причем дисперсия этой
оценки при определенных условиях приближается к дисперсии оценки
максимального правдоподобия при известной функции корреляции.
Пусть на вход приемного устройства в течение интервала [О, Г]
поступает аддитивная смесь сигнала и помехи (9.1.1). Будем полагать,
что полезный сигнал s(t, /о) и стационарная нормальная помеха n(t)
дифференцируемы по t (в среднеквадратическом смысле) требуемое
число раз, а функция корреляции помехи K(ti—t2) априори неизвестна
наблюдателю. В дальнейшем ограничимся рассмотрением оценки толь-
ко неэнергетических параметров сигнала. В этом случае оценка макси-
мального правдоподобия определяется по положению абсолютного ма-
ксимума выходного сигнала оптимального приемника (2.3.1), где опор-
ный сигнал v(t, /) является решением интегрального уравнения (2.2.7),
в которое вместо истинной функции корреляции помехи должна быть
подставлена ее опенка.
Для получения оценки функции корреляции помехи воспользуемся
разложением функции корреляции дифференцируемого случайного про-
цесса в ряд Тейлора (по дисперсиям ее производных):
К (т) (т)
fe=0
(9.2.1)
где
(9.2.2)
— дисперсия k-й производной помехи.
Ряд (9.2.1) сходится к К(т) при v—*оо, если спектр помехи огра-
ничен по полосе. Условие ограниченности спектра помехи не является
слишком жестким, так как любые измерения случайных процессов воз-
можны в конечной полосе частот, обусловленной возможностями при-
меняемой аппаратуры и различными техническими причинами. Посколь-
ку практически для любой функции корреляции стационарного случай-
15—356 225
кого процесса существует такое то, что
где 8>'|0 — заданная малая величина, то К(т) можно аппроксимиро-
вать следующим образом:
(2Щ
О5'
0,
о
и искать структуру приемного устройства для функции корреляции
в виде (9.2.4).
вычисляя преобразование Фурье от аппроксимации (9.2.4), под-
ставляя результат в (2.3.10) и полагая v настолько большим, что оста-
точный член формулы (9.2.4) достаточно мал, имеем
оо
fc=O
4 (®)=(-!)*
1~0
------5-----г- [(- 1 )1 е/а”°
(2Й —i)!(/w)‘+* '
Для получения оценок дисперсий производных помехи используем
величины
т
(О Р
о
Эти величины пропорциональны мощностям k-x производных соответст-
венно смеси сигнала и помехи х(/) и полезного сигнала s(t, /).
качестве оценки дисперсии k-и производной помехи примем ве-
личину
G2k{T)=Xk-Sk. (9.2.7)
' Структура устройства для оценки неэнергетического параметра I
показана на рис. 9.2.1. Здесь 3 — блок, осуществляющий задержку сме-
си сигнала и помехи на величину длительности интервала наблюде-
ние 7; КВ —квадраторы; Г — генератор, вырабатывающий оценку опор-
ного’ сигнала От (Л Z) согласно (9.2.5), где а2& заменены их оценками
Остальные обозначения понятны из надписей на рисунке..
226
Если количество слагаемых в (9.2.4) таково, что функция корре-
ляции аппроксимируется с достаточной точностью, то приемное устрой-
ство, представленное на рис. 9.2.1, отличается от оптимального прием-
ника тем, что в выражении для опорного сигнала местного гетеродина
точные значения заменены их оценками.
Нетрудно показать, что оценки дисперсий производных помехи
(9.2.7) несмещенные и при выполнении условия Т^>то имеем*)
(9.2.58)
I
аЪг
Подставляя в (9.2.5) вместо точных значений дисперсий производных
помехи cPk их оценки о2л(Т)=а2ь+До2ь, получаем оценку опорного сиг-
Рис. 9.2.1. Структурная схема устройства для оценки параметра известного сигнала при
неизвестной функции корреляции помехи.
нала v(t, /);
СО
Г 8 (<о, I)
Kv («)!+ ЛК («)
е’ш> dio,
(9.2.9)
где
ЫК. (ш) =2 (®)-
k=0
Используя формулу бинома, в силу условия (9.2.8) выражение (9.2.9)
можно приближенно представить как
vT (/, /) 'v (t, I) — До (/, /),
(9.2.10)
bv(t, 0=2 0>
Л=0
оо
ck(t, 0=Л (9.2.11)
“ v ' 2n J Z<2V (w) ' 7
—-OO . ’ •
* - ; ; r.
Функция &v(t, l) является случайной. Так как получаемые оценки
диспёрсий производных помехи (9.2.7) несмещенные, то, *{Да (Z,< /)) = О,
*> Сб. статей «Определение параметров случайный пррцёссов». Пер. с англ. Киев,
Гостехиздат, 1902.
15* 227
Подставляя в (2.3.1) вместо v(t, I) оценку этой функции vT(t, I)
и принимаемую сумму сигнала и помехи, получаем, что оценка пара-
метра I определяется по положению абсолютного максимума функции
т т
мт (1)=\п (Z) [v(I, I) - Ди (t, /)]<#-{- f s (t, l„) [a (t, I) - Ди (t, Z)] dt. (9.2.12)
0 0
Полагая отношение сигнал/помеха для принятого сигнала доста-
точно большим и ограничиваясь в первом приближении использованием
первых трех членов разложения функции Afy(Z) в ряд Тейлора в окрест-
ности точки /0, отклонение оценки lm относительно истинного значения
/0 можем записать в виде
m
dMT(l)/dl ‘
d2MT (l)/dl2 .
J *0
(9 .2.13)
Рассмотрим величину, стоящую в знаменателе:
dl2
' d2MT (/) '
~d2v(i, 1) Av (t, I)'
dl2 dl2
(9.2.14)
Учитывая сделанное выше предположение о достаточно большой вели-
чине отношения сигнал/помеха, а также соотношение получаем,
что «мощность» последнего слагаемого в правой части (9.2.14) значи-
тельно превышает дисперсию остальных членов в этом выражении. По-
этому в дальнейшем можно положить
_ id2S(/0, I)
dl2 Jzo" £ dl2
(9.2.15)
где S(/o, Z)—ненормированная сигнальная функция, определяемая
(2.4.1). Использование приближенного равенства (9.2.15) соответствует
рассмотрению первого приближения.
Для неэнергетических параметров функция S(Z0, Z) является четной
функцией относительно точки Zo и зависит только от модуля разности
I—Iq. В результате получаем, что оценка неэнергетического параметра
сигнала в первом приближении имеет смещение, равное
b [Im 14. К W1
dck(t, I)
dl
d2S(l„ /)1
dl2 I
ze
(0=a (
л I vt 1
6
dks (tlt Ze)
dt\
dt^
(9.2.16)
(9.2.17)
Учитывая четный характер сигнальной функции, а также то, что
при 7э*то в силу центральной предельной теоремы распределение слу-
чайной функции Л^т(/, Z) полагается нормальным, выражение- для
дисперсии оценки можно представить в виде
D [lm I ze, к (г)]=D (lm IО+ДРГ (Z.).
(9.2.18)
228
Здесь D(Lm\l0)—дисперсия оптимальной оценки максимального
правдоподобия параметра I при приеме -в нормальной помехе с извест-
ной функцией корреляции (3.1.46), а А£>т(/о) (v достаточно большое и
ошибка за счет аппроксимации (9.2.4) пренебрежимо мала) определя-
ется выражением '
&DT )
d2
д1гд12
о о
(9.2.19)
где
Aki=aki [Ж - Q + l0)s(t2, l0)] + bk(t,)bt (Q-, (9.2.20)
2 Г f dk+‘K (t, —t2)
T2 J J
о 6
d^K (/, — Q
aki
dks (tt, /„) d's (t2, l„)
dtki dt‘2
dt, dt,.
1-
(9.2.21)
Величина ADT(I0) показывает ухудшение качества оценки за счет
ошибок измерения априори неизвестной функции корреляции помехи.
Вычисляя А£>т(/о) для различных функций корреляции и сигналов, по
допустимому увеличению дисперсии оценки можно найти необходимое
время наблюдения Т. Для рассматриваемой помехи
lim ak = 0, lim bk (/) = 0
Т-юо T'+oo
и, следовательно, оценка неэнергетического параметра, получаемая
с помощью приемного устройства на рис. 9.2.1, асимптотически (при
Т—>оо) несмещенная и обладает дисперсией, асимптотически равной
дисперсии оптимальной оценки при известной функции корреляции по-
мехи. Последнее позволяет назвать это приемное устройство квазиоп-
тимальным.
Определение смещения и дисперсии оценки параметра сигнала для
произвольных значений интервала наблюдения [0, Г] в достаточно
простой форме не представляется возможным в связи с трудностями,
возникающими при решении уравнения (2.2.7) и усреднении случайной
ошибки измерения неизвестного параметра сигнала.
9.3. КВАЗИОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА
РАДИОСИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХИ .С НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
КОРРЕЛЯЦИИ
Обобщим результаты § 9.2 на оценку параметра узкополосного
радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фа-
зой. Будем считать, что ограничения, наложенные в § 9.2 на свойства
сигнала и помехи, остаются в силе. Принимаемую смесь сигнала, и по-
мехи запишем как
x(t)=s(t, /0, <p0)+n(f), . (9.3.1)
где s(t, lG, ф0) определяется из (2.3.29), т. е. ограничимся рассмотрени-
ем сигналов без фазовой модуляции.
229
При известной функции корреляции помехи оптимальная оценка
максимального правдоподобия неэнергетического параметра /о сигнала
находится по, ^положению абсолютного максимума выходного сигнала
оптимального приемника /?(/) (2.5.14). Для формирования функции
/?(/) необходимо определить огибающую V(Z, Z) опорного сигнала
(2.3.35).
Будем полагать, что время наблюдения Т значительно больше вре-
мени корреляций помехи й спектральная плотность помехи симметрична
относительно несущей частоты сигнала. В этом случае огибающую опор-
ного сигнала, как показано в § 2.3, можно записать в виде
(9.3.2)
Если функция корреляции помехи априори неизвестна, получить
приближенное выражение для огибающей опорного сигнала можно, ис-
3
Рис. 9.3.1. Структурная схема устройства для оценки параметра радиосигнала .при не-
известной функции корреляции помехи.
пользуя разложение (9.2.6) и приближенные значения дисперсий произ-
водных помехи (9.2.7), измеренные в процессе приема.
Действительно, если v настолько велико, что погрешностью аппрок-
симации (9.2.4) можно пренебречь, то подставляя
Х(<о+шо) функцию (fi> + coo), имеем
ОО
в (9.3.2) вместо
2" J
—оо
e'w t/ш.
Используя в («> + %) (9.2.6) оценки производных помехи, предста-
вим структуру приемного устройства для измерения параметра I сиг-
нала (4.3.19) в виде, показанном на рис. 9.3.1. Здесь блок Г — генератор,
который вырабатывает оценку огибающей опорного сигнала Vr(Z, Z),
получаемую из (9.3.3) при подстановке вместо точных значений диспер-
сий производных помехи о2& их оценок о2&(Т) из (9.2.7). Остальные
обозначения такие же, как на рис. 9.2.1.
Пусть выполняются соотношения Т^Хо и (9.2.8). Подставляя
в (9.3.3) вместо точных значений дисперсий о2& их оценки о2ь+Ло2ь,
аналогично (9.2.10) можем записать оценку функции Z) в виде
VT (Z, Z)-V (Z, Z) - ДУ (Z, Z), (9.3.4)
где
Используя методику, описанную выше, можно показать, что иско-
мая оценка параметра в первом приближении несмещенная, а формула
для дисперсии оценки может быть представлена в виде
Д ИХ К (т)] =D (1т | ?,) + ЮТ (/,). (&3.5)
' I 1
Здесь D(!w|7o, <ро) —дисперсия оптимальной, оценки (4.2.20):; не-
энергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной
начальной фазой, распределенной равномерно на интервале [—л, л],
вычисленная в предположении, что прием сигнала производится на фо-
не нормальной помехи с известной функцией корреляции. Величина
AZ?t(/0) показывает увеличение дисперсии оценки параметра за счет
ошибок измерения априори неизвестной функции корреляции помехи
и стремится к нулю при 7->оо.
9.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ИМПУЛЬСОВ НА ФОНЕ ПОМЕХИ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ МОЩНОСТЬЮ
Если при приеме одиночного сигнала часто можно считать, как это
предполагалось выше, что помеха является стационарной, то при прие-
ме последовательности импульсов в ряде прикладных задач помеху
нельзя полагать стационарным случайным процессом, хотя в течение
времени приема одного импульса условия стационарности приближенно
выполняются. Простейшей моделью такой нестационарной помехи мо-
жет служить случайный процесс, дисперсия которого, меняясь от одного
периода повторения импульсов к другому, остается постоянной в тече-
ние времени приема одного импульса.
В этом параграфе будем полагать значения дисперсий помехи
в каждом периоде повторения неизвестными. Для такой помехи систему
оценки параметра можно получить, если производить измерение диспер-
сий помехи в каждом периоде повторения, и на основании полученных
значений формировать функционал отношения правдоподобия оценивае-
мого параметра или его логарифм.
Рассмотрим вначале прием последовательности известных импуль-
сов. Пусть на вход приемного устройства в течение интервала времени
Т поступает сумма v реализаций
k—Q
Каждая реализация принимается в течение времени То (То— период
повторения) и представляет собой аддитивную смесь вида (2.7.1), где
Sk(t, lo)=s(t—kTfr lo) —элементарный Л-й сигнал, неизвестный параметр
/0 которого подлежит оценке; nk(t)—реализация нормальной помехи
с нулевым средним значением и функцией корреляции Ки (т) =оМ? (т).
231
Таким образом, полагаем, что коэффициент корреляции помехи Л?(т)
одинаков во всех периодах повторения, а дисперсия помехи oV—
=<п2&(£)>, изменяясь от одного периода повторения импульсов к дру-
гому, остается постоянной в течение времени приема одного импульса.
Будем считать, что период повторения импульсов То много больше вре-
мени корреляции помехи
ОО
О
(9.4.1)
и, следовательно, помехи в различных периодах повторения незави-
симы.
Ограничимся рассмотрением оценки неэнергетических параметров.
При неизвестных значениях дисперсий помехи в различных перио-
дах повторения наиболее просто оценка параметра / может быть полу-
чена с помощью приемного устройства, оптимального для приема пачки
импульсов на фоне стационарной помехи. Оценка при этом определяет-
ся по положению абсолютного максимума функции
V—1 т9
Mt (Z) = 2 *k (О 0
л=оо
(9.4.2)
которую получаем, положив в (3.2.12) о2^=1, &=0, 1, 2, ..., v—1. Под-
ставляя в (9.4.2) принимаемую сумму сигнала и помехи (2.7.1), можем
записать
0+^(0,
МЛ1}
где Si(/o, 0 определяется формулой (3.2.11), а
V—I
Полагаем результирующее отношение сигнал/помеха для всей пач-
ки импульсов большим, т. е. v2S2i(/0, /о) [<W2(/) >], хотя отношение
сигнал/помеха для одного импульса может быть малым. Тогда в первом
приближении выражение для случайной ошибки измерения может быть
записано в виде
dN^l) / Z)
dl / V J/2
(9.4.3)
Отсюда получаем, что оценка условно несмещенная, а дисперсия оценки
находится из выражения
2
I
э
о
dl2
(9.4.4)
где
у—1
2 __
£---ZI
£=0
232
Из (9.4.4) и (3.2.13) следует, что в случае стационарной помехи
o2fe=o2o=const
D(lM = Dt (1т\1л, а%).
Так как приемное устройство (9.4.2) является оптимальным лишь
для стационарной помехи, то можно ожидать, что эта оценка может
быть улучшена. Другими словами, если помеха нестационарна, то, из-
меняя структуру приемного устройства, можно получить оценку с ди-
сперсией, меньшей чем (9.4.4), и более близкой к дисперсии оптималь-
ной оценки максимального правдоподобия при априори известных
дисперсиях помехи (3.2.13). Поскольку величины (А в рассматривае-
мом случае неизвестны, то систему оценки параметра I можно полу-
чить, заменив точные значения дисперсий некоторыми приближенными
значениями, измеряемыми в течение времени приема &-го импульса.
В качестве оценок неизвестных дисперсий помехи о2/г используем
величины
(9.4.6)
Эти оценки несмещенные
и в силу условия Т^хп распределение ’величин До2^ приближенно мож-
но считать нормальным.
Учитывая, что опорный сигнал оптимального приёмника согласно
(2.3.10) обратно пропорционален дисперсии помехи, выходной сигнал
приемника, использующего приближенные значения дисперсии помехи
(9.4.6), измеренные в каждом периоде повторения, можно записать
в виде
M2(Z)
(9.4.7}
Таким образом, выходные сигналы в каждом периоде повторения сум-
мируются с весами, обратно пропорциональными дисперсиям помехи,,
измеренным в этих периодах повторения.
За оценку параметра /0 примем значение 1=1т2, которое обращает
выходной сигнал М2(1) в абсолютный максимум. Как видно из струк-
туры приемного устройства, для образования выходного сигнала необ-
ходимо время То+Т= (v + 1)TG. Полагая выполнение неравенства (9.2.8)
и подставляя в (9.4.7) принятую смесь сигнала и помехи, при помощи
формулы бинома можем записать
М2 (Z) = a-2S, (Z., Z) - Д5 (Zol Z) + N2 (Z) - Д/V (Z),
где
V — 1
Д5(4, Z)=\(Z0,Z)2
fe=0
^(0=2 <^(0;
k=Q
233»
I
V—1
S ZJ k 9 * ’ ’ ' ’
k-o
При этом для рассматриваемого неэнергетического параметра сигнала
справедлива запись [дД£(/0, Z)/dZ]z=O.
Используя методику, описанную выше, можно получить выражение
для первого приближения ошибки оценки и определить характеристики
оценки. Оказывается [148], что оценка параметра несмещенная, а ди-
сперсия оценки равна . , ]
[1 +2Л+ 4Во74/<2]. (9.4.9)
Здесь D(lm\lo) —дисперсия оптимальной оценки максимального правдо-
подобия при априори известных дисперсиях помехи в каждом периоде
-повторения (3.2.13), а А и В определяются выражениями
(9.4.10)
ОО
В==ЕЛ ^R^R^dz,
—оо
(9.4.11)
где £0— энергия полезного сигнала в одном периоде повторения, а
ОО
(9.4.12)
— «коэффициент корреляции полезного сигнала», записанный в предпо-
ложении, что период повторения значительно больше длительности
одного импульса.
Из выражений для А и В видно, что при Tq-^oo эти величины стре-
мятся к нулю и, следовательно, справедлива запись
lim Dt (1т | /., a2J = D (1т | /.), (9.4.13)
Г0->оо
т. е. приемное устройство (9.4.7) обеспечивает получение оценок,
дисперсия которых при Tq-+oo стремится к дисперсии оптимальной оцен-
ки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях
помехи в различных периодах повторения.
Когда хотя бы одно значение и2;—0, формула (9.4.9) неверна, так
как условие (9.2.8) не выполняется. Но если <т2»=0, то согласно (9.4.6)
о2?—-0 и в выражении (9.4.7) можно отбросить Л-е слагаемые (k=£i).
Тогда оценка будет зависеть только от f-ro слагаемого суммы (9.4.7),
т. е. оценка будет производиться только по f-му импульсу последова-
тельности, принимаемому в отсутствие помехи, что приводит к точному
измерению параметра I. Рассуждая аналогичным образом относительно
приемника максимального правдоподобия (3.2.12), получаем, что если
хотя бы одно значение cr2i=O, то D(/m|Zo)=0. В то же время согласно
234
(9.4.4) ПРИ <А=0> т. е. использование приемника, опти-
мального для приема на фоне стационарной помехи (9.4.2),, не позво-
ляет определить точное значение неизвестного параметра /о, даже если
один или несколько импульсов последовательности принимаются в от-
сутствие помехи.
Хотя приемное устройство (9.4.7), производящее измерение мощно-
сти помехи в каждом периоде, асимптотически оптимально, реализация
его относительно сложна и применение ведет к увеличению времени
обработки принимаемой смеси сигнал/помеха на время То. Поэтому
в некоторых случаях (при неизвестных о2*) может оказаться более
выгодным использование для получения оценки параметра 4 прием-
ного устройства (9.4.2), оптимального для приема пачки импульсов
на фойе стационарной помехи. Очевидно, выбор между приемниками
(9.4.2) и (9.4.7) зависит от степени изменения мощности помехи от
одного периода повторения к другому в конкретной ситуации.
- Рассмотрим Далее оценку неэнергетического параметра при приеме
последовательности узкополосных радиоимпульсов со случайными- на-
чальными фазами. Если элементарные сигналы последовательности
являются узкополосными радиоимпульсами, то &-й сигнал может быть-
записан в комплексной форме
ъ
' sk (*>h* ?.*) =F(t — kT6,1,) ехр {/ К (t — АГ,) + Ф (/ — kT„, lt) —
Начальные фазы радиоимпульсов будем считать случайными и рас-
пределенными равновероятно в интервале [—л, л].
При когерентном приеме и неизвестных дисперсиях помехи для
получения оценки можно воспользоваться приемным устройством, опти-
мальным для стационарной помехи. Оценка неэнергетического парамет-
ра в этом случае будет определяться по положению абсолютного мак-
симума функции
V—1 Го
(0= 2 f xk (о v* •?)
(9.4.14)
*=оо
Здесь г?0('Л /, <р) — опорный сигнал при приеме на фоне помехи с еди-
ничной дисперсией, записанный в комплексной форме. Полагая отно-
шение сигнал/помеха для принятой последовательности радиоимпуль-
сов достаточно большим, как и для импульсов с известной фазой, на-
ходим, что оценка несмещенная, а дисперсия оценки определяется фор-
мулой
МЛ <Р.> =
_ /о)
dl*
(9.4.15)
Здесь 61 (/—!о) —огибающая сигнальной функции для одного импульса
на выходе оптимального приемника при помехе с единичной дисперсией.
При другом способе получения оценки параметра когерентной по-
следовательности при неизвестных дисперсиях помехи в различных пе-
риодах повторения предполагается, что приемное устройство выраба-
тывает функцию
1
V-1 Л То
У °?2 f ХЬ V° l' dt
*=0 б
(9.4.16)
235
по положению
выражении
абсолютного максимума которой находится оценка. В этом*
о
F2 (Z, Z) dt
(9.4.17)
Опять полагая Т0»тп, находим, что сценка несмещенная, а дисперсия
оценки равна
= То)[1 +2И + В.аГ4К2)]. (9.4.18)
Здесь
гого
в, =» f f F (/., /,) F (ts, I,) R (/, - Q cos <ОО (/, - tj dttdt2, (9.4.19)
7 О J J
О О
a D(/rn|/0, Фо) --дисперсия оптимальной оценки максимального правдо-
подобия при априори известных дисперсиях помехи (4.5.26).
Таким образом, оценка параметра при приеме когерентной после-
довательности радиоимпульсов при помощи алгоритма (9.4.16), про-
изводящего измерение мощности помехи в каждом периоде повторения,
несмещенная и обладает дисперсией, асимптотически равной дисперсии
оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори извест-
ных дисперсиях помехи, поскольку при Тй->оо, Д-^-0 и Вг->0.
При некогерентном приеме последовательности радиоимпульсов
с независимыми случайными начальными фазами и малым отношением
сигнал/помеха для одного импульса оценку при неизвестных дисперсиях
помехи можно искать, используя приемник, оптимальный для стацио-
нарной помехи. В этом случае оценка определяется по положению
абсолютного максимума функции
О
(9.4.20)
где
Rk(t)
о
Если отношение сигнал/помеха для всей последовательности достаточно;
велико, то, как и выше, находим, что оценка несмещенная и обладает
дисперсией
2о4у р,2 + о2у
в. о%)=---------~---------— . (9.4.21 >
(/ - /в)/Шг],
Здесь p2i — отношение сигнал /помеха для одного импульса при помехе
с единичной дисперсией, т. е. p21=G1(0).
Если при неизвестных значениях дисперсий помехи производить их
измерение в каждом периоде повторения, то оценку параметра I можно
определить по положению абсолютного максимума функции /
k=0
(9.4.22)
236
где o2k находится согласно (9.4.17). При 70^>тп получаем, что оценка
в приемнике (9.4.22) несмещенная с дисперсией
Здесь D(/m|/o, (pofe)—дисперсия оптимальной оценки максимального
правдоподобия при априори известных дисперсиях помехи (4.5.27); А
и Bi определяются выражениями (9.4.10) и (9.4.19) соответственно, а
аГ6»сГ8—формулой (9.4.8).
Из формулы (9.4.23) следует, что при некогерентном приеме выпол-
няется предельное соотношение
lim D2 (1т | /0, о &) D(lm | /0, ^o^)
Г0->оо
и, следовательно, приемное устройство имеет асимптотические харак-
теристики такие же, как при оптимальной оценке максимального прав-
доподобия для априори известных дисперсий помехи и2^.
Более общей моделью нестационарной помехи является помеха,
форма функции корреляции которой, изменяясь от одного периода по-
вторения к другому, остается постоянной в течение приема одного им-
пульса. Если вид функции корреляции помехи неизвестен, систему оцен-
ки параметра можем получить, восстанавливая в каждом периоде по-
вторения неизвестную функцию корреляции помехи, например, по из-
мерениям дисперсий производных помехи (§ 9.2), а затем формируя
функционал отношения правдоподобия последовательности импульсов,
как это делалось выше для помехи с неизвестной мощностью. Анализ
такой системы приема последовательности импульсов на фоне неста-
ционарной помехи [НО] показывает, что получаемые оценки являются
асимптотически (с увеличением периода повторения импульсов) опти-
мальными. Поэтому при где Xnk — время корреляции помехи
в Л-м периоде повторения, характеристики оценки параметра последова-
тельности импульсов совпадают с характеристиками оценки при априо-
ри известных функциях корреляции помехи.
9.5. ОЦЕНКА ‘ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПРИ ПРИЕМЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ НА ФОНЕ ПОМЕХИ
С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ МОЩНОСТЬЮ
Проиллюстрируем полученные выше соотношения примером оценки временного
положения при приеме последовательности импульсов на фоне помехи с изменяющейся
мощностью.
1., Вычислим дисперсию оценки временного положения т0 при приеме последова-
тельности колокольных видеоимпульсов
/х ч ( R — (*+ 1/2) — То]2 1
sk (С т0) = я0 ехр I------ —р/ ----* (9.5.1)
на фоне нормальной помехи с коэффициентом корреляции
Я (т) = ехр (—а | т |). (9.5.2)
При этом полагается, что дисперсия помехи в k-м периоде повторения определяется
выражением
G2fc=a20[l—/jcosKfc], (9.5.3)
237
Будем считать, что количество импульсов v четное, а каждый импульс полностью
расположен внутри соответствующего периода повторения, т. е. и Г0^>р0. Для
величин, входящих в формулы для дисперсий оценки (3.2.13), (9.4.4) и (9.4.9), по-
лучаем
-2 мл 2 -—’2:=_____-______
° I — v° <” 0% (1—</г) ’
где
А 1/т,
[1 — Ф (тХ2/Я)],
т = а.Тл,
ms=a^V7t;/2
(9.5.4)
— соответственно отношения времени наблюдения Го и времени корреляции принятого
сигнала х6 ко времени корреляции помехи тп = 1/а. Величина ts определяется анало-
гично (9.4.1) при подстановке вместо 7?(т) функции Rs(x) из (9.4. If2). Дисперсии оце-
нок временного положения т0 определяются выражениями
D (тт | т0) = (тт | т,) (1 — </г) (9.5.5)
— для оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори известном зако-
не изменения мощности помехи;
| тв, а2^) — Dq {^tn I го)
(9.5.6)
— при априори неизвестных дисперсиях помехи и использования приемного устройства
(9.4.2), оптимального для стационарной помехи;
[1-Ф(т5К2»]
(9.5.7)
— при априори неизвестных дисперсиях .помехи и использовании приемного устройства
(9.4.7), производящего изменение неизвестных дисперсий помехи в каждохМ периоде
повторения. В последних трех формулах обозначено
— а2
V
dz2
— дисперсия оптимальной оценки максимального правдоподобия т0 при приеме после-
довательности v импульсов на фоне стационарной нормальной помехи с коэффициен-
том корреляции (9.5.2) и дисперсией о20; р2=а2осфо V 2зт/2о20 — отношение удвоенной
энергий сигнала (9.5.1) к энергии помехи с дисперсией о2 о в эффективной Полосе частот
помехи.
ОпределИхМ условия, при которых вместо алгоритма (9.'4.2) целесообразно исполь-
зовать процедуру (9.4.7), осуществляющую измерение дисперсий помехи в каждом пе-
риоде повторения. Для этого найдем относительное увеличение дисперсии оценки, вы-
званное незнанием закона изменения мощности помехи по сравнению с дисперсией
оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях
помехи. Согласно (9.5.5) и (9.5.6) применение алгоритма (9.4.2), рассчитанного на ста-
ционарную помеху, приводит к относительному увеличению дисперсии оценки времен-
ного положения, равному - -
5, =
<?2
1 —- q2 *
238
Если используется приемное устройство на основе алгоритма (9,4.7), то относи-
тельное увеличение дисперсии оценки равно
(9.5.10>
0 Ц2 Щ О/ fft8 f
Рис. 9.5.1. Зависимости относительно-
го увеличения дисперсии оценки при
приеме последовательности видеоим-
пульсов от q.
На рис. 9.5.1 приведена зависимость от q относительного увеличения дисперсии
оценки при априори неизвестных дисперсиях помехи по сравнению с дисперсией опти-
мальной оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях по-
мехи. Зависимость 6i от величины q, характеризующей изменение мощности помехи,,
нанесена сплошной линией. Штриховыми линиями нанесены зависимости относительного
увеличения дисперсии оценки, получаемой при
помощи (9.4.7), ото сравнению с дисперсией #
оптимальной оценки максимального правдопо-
добия 62 от величины q при различных значе-
ниях отношения т—Ть1тп. Зависимости
построены для значений р2=1 и ms~l. С по-
мощью приведенных кривых можно опреде-
лить условия, ори которых целесообразно
усложнение структуры приемника путем введе-
ния блока (измерения мощности помехи. На-
пример, ‘ гири т^50 относительное увеличение
дисперсии оценки временного положения, по-
лучаемой с помощью (9.4.7), не превышает
5%, в то время как использование приемного
устройства (9.4.2) приводит к увеличению
дисперсии оценки 7)i(Tm | т0, о2&) в 1,5 раза
по сравнению с дисперсией оценки максимального правдоподобия уже при q^Ofi^
2. Найдем характеристики оценки временного положения при когерентном и неко-
герентном приемах последовательности узкополосных радиоимпульсов
s(t,T0,<peft) ехр
на фоне узкополосной помехи с коэффициентом корреляции
R (т) = ехр (—а [ т |) cos ацт (9.5.12)
и дисперсией (9.5.3),
Для величин, входящих в формулы для вычисления дисперсий (9.4.18) и (9.4.23),.
имеем
L
где
Т (ms, Лир.) = ехр
(ms + }Ук/2^в)2
7С
{1 - ф [(ms + i М.> V2/л]} +
(ms — / Кw/2 Дир.)2
ТС
{1 — ф[(/п5 — /К«/2Д«₽,)К2/Я]},
а т й-тв определены (9.5.4).
239-
Когерентный прием. Если закон изменения мощности помехи априори известен,
то дисперсия оценки максимального правдоподобия, определяемая из выражения
(4.5.26), имеет вид
D (tm |?0) = Do (тт [т„ ?„) (1 — «Т2)- (9.5.13)
Когда дисперсии помехи в различных периодах повторения импульсов неизвестны
и для получения оценки используется устройство, оптимальное для приема на фоне
стационарной помехи (9.4.114), дисперсия оценки равна
D, (tm I т0, ?0, 0гА) = f>0 I %, Ро). (9.5.14)
Наконец, с помощью устройства !'(9.4.16), производящего измерение мощности по-
мехи в каждом периоде повторения, получаем оценку с дисперсией
1 +g2
< a Р (ms, Me)
1 ч
(9.5.15)
Величина До(Тт|то, Фо) =—o2o/v[d2Gi(To, т)/с?т2] имеет смысл дисперсии оптималь-
ной оценки максимального правдоподобия временного положения т0 при когерентном
приеме последовательности радиоимпульсов на фоне стационарной помехи с коэффи-
цнентохм корреляции (9.5.12) и дисперсией о%; р2— а20а₽о |/г2л/2о2о— отношение сиг-
нал/помеха при приеме одиночного импульса на фойе помехи с дисперсией сг2о-
Из (9.*5.'13)—(9.5.15) находим относительное увеличение дисперсии оценки времен-
ного положения при неизвестном законе изменения мощности помехи по сравнению
с дисперсией оценки максимального правдоподобия при известных дисперсиях помехи.
Если используется приемник (9.4.14), то
fan i То» °2fe) D fan | У о) Q2
('С/л! %. У о) 1—g2’
(9.5.16)
при использовании приемного устройства (9.4.16)
1 ГУ} J J—
82 = -zr + 2рг f- ; _ V ? (ms, Мо)- (9.5.17)
• • •• • / *» Л W
Если отношение сигнал/помеха для одного импульса мало (р2<С1), то
Некогерентный прием. При априори известнохМ законе изменения мощности помехи
дисперсия оптимальной оценки максимального правдоподобия параметра т0, определяе-
мая выражением (4.5.27), равна
D Уо&)—I У ofc)
2(1 + д2) (1 - д2) + р21 (1 -- д2) (1 + 3g)
(1 + g2)2 (2g20 +7\)
(9.5.18)
Здесь
В о fan | УоА)—
°2о (2а20 +?>)
vp2i [d2Gl (т0,
— дисперсия оптимальной оценки максимального правдоподобия при некогерентном
приеме последовательности радиоимпульсов на фоне стационарной помехи с диспер-
сией О20-
Если дисперсии помехи в различных периодах повторения неизвестны, а для по-
лучения оценки используется приемное устройство (9.4.20), то дисперсия оценки вре-
240
меииого положения, определяемая согласно (9.4.21), равна
2(1 + q2) о2. 4-
(^тп I a2fe) ~ ^0 (^ГП I ^(р Tofe) ~ • (9.5.19)
2°2о + Р21
Соответственно при использовании приемного устройства (9.4.22) дисперсия оцен-
ки (9.4.23) преобразуется к виду
। 4 8p2ms
^2 (Ти11%> ¥ofe> °2/г) ~ D0(zm I ^о’ У ofc) \ 1 4“ Ь '2 ? (ms, ^wPo) Ж
11 f t < I L>
2 (1 — g2) (1 -{- 3g) c2„ +7\ (1 + 6g2 + £)
2(1 — g2)2 (1 + g2) a2. +?f (1 - g2) (1 + 3g)
Найдем относительное увеличение дисперсии оценки временного положения при
некогерентном приеме последовательности радиоимпульсов на фоне помехи с изменяю-
щейся мощностью из-за незнания ’ закона изменения мощности помехи по сравнению
(9.5.20)
Рис. 9.5.2. - Зависимости ’ относительного
увеличения Дисперсию оценки для при-
ема. последовательности радиосигналов
со случайными начальными фазами от д.
с дисперсией оценки максимального правдоподобия, при известных дисперсиях помехи.
Для приемного устройства (9.4.20) имеем
1 g2fc) ~~ fart t-^0* ypfe),
’ ~ D (Tm | ,<fak) .. ~
^gti + g^gVo+Tsfa + gT-ci-Ho + sg)] /Q_O.
2 (1 - g2)2 (1 + g2) =2. +?, (1 - g2) (1 + 3g)
Аналогично для приемника (9.4.22) получаем
.____4 , 8р2^- 2(1—g2) (1 + 3g) о20 + Л (1 +6g + g4)
°2 — n7 * m2 Z * . (y.b.zz)
2 (1 - g2)2 (1 + g2) o2„ + p2. (1 - g2) (1 + 3g)
Если отношение сигнал/помеха для одного импульса мало, формулы (9.5.21) и
(9.5.22) значительно упрощаются
4<72/(1 — д2)2, 52^4//тг. (9.5.23)
Зависимости относительного увеличения дисперсии оценки временного положения
при приеме последовательности радиоимпульсов от величины q приведены на рис. 9.5.2.
Кривая 1 показывает относительное увеличение дисперсии оценки при когерентном
приеме и использовании приемного устройства (9.4.14). Штрихом нанесены аналогич-
ные зависимости для приемника (9.4.46). Зависимость относительного увеличения дис-
персии оценки при некогереитном приеме и использовании приемника (9.4.20) представ-
лена кривой 2, а штрих-пунктиром нанесены аналогичные зависимости для приемника
(9.4.22). Кривые построены в предположении, что отношение сигнал/помеха для одного
импульса мало, а число .импульсов велико. Из рассмотрения кривых следует^ что незна-
ние закона изменения мощности помехи сказывается на относительном увеличении дис-
персии в большей степени при. некогерентном приеме.
16—356
Глава 10
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ НЕОПТИМАЛЬНОМ
ПОСТРОЕНИИ ПРИЕМНОГО УСТРОЙСТВА
10.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Синтез оптимальных приемных устройств, предназначенных для
оценки параметров сигналов на фоне произвольных помех, требует до-
вольно полного и достаточно точного знания априорных данных о ха-
рактере полезного сигнала и помехи. Полнота априорного знания пони-
мается в смысле полноты статистического описания, иначе говоря, в об-
щем случае необходимо знать многомерные плотности вероятности сиг-
нала и помехи, а также способ комбинации сигнала и помехи, что не
всегда известно в реальных ситуациях. Кроме того, при исследовании
приемных устройств в теории оптимального приема считают, что пара-
метры этих устройств воспроизводятся с абсолютной точностью. В дей-
ствительности эти положения часто не выполняются, в результате чего
появляются дополнительные ошибки при оценке параметров сигнала.
При весьма точных оценках дополнительные ошибки из-за отклонения
структуры и параметров приемного устройства от оптимальных могут
быть значительными.
Полезный сигнал в результате воздействия на него неаддитивных
помех или из-за недостаточности априорных сведений практически всег-
да отличается от сигнала, который ожидает наблюдатель и на который
рассчитано оптимальное приемное устройство. Недостаточность или,
вернее сказать, неопределенность априорных данных наиболее харак-
терна при наличии искусственных помех.
Современные приемные устройства в принципе могут иметь раз-
личные средства помехозащиты, приспосабливающиеся наилучшим об-
разом к воздействующим на них помехам. Однако использование таких
приемников приводит к увеличению времени обработки, так как анализ
неизвестных помех требует определенных затрат времени, что не всегда
приемлемо при оценке параметров сигналов. Поэтому при известной
форме полезного сигнала и неизвестных характеристиках аддитивной
помехи значительное распространение получили приемные устройства,
«согласованные» для приема сигнала на фоне помех типа белого шума.
В связи с этим представляет интерес определить степень ухудшения
качества оценок параметров сигналов для наиболее характерных типов
неоптимальных приемных устройств. При этом в дальнейшем полагает-
ся, что неоптимальность приема сигналов на фоне флуктуационных по-
мех может быть обусловлена следующими причинами:
242
— поступающий на вход приемника полезный сигнал отличается
от сигнала, на который рассчитано приемное устройство (другими сло-
вами, опорный сигнал местного гетеродина корреляционного приемника
отличается от оптимального);
— приемное устройство синтезировано из условия приема сигнала
на фоне белого шума, а на него воздействуют флуктуационные помехи
другого характера;
— приемное устройство синтезировано в предположении, что оцени-
ваемый параметр не изменяется в течение времени приема, а в дейст-
вительности параметр может изменяться случайным образом.
В качестве метода определения статистических характеристик оце-
нок параметров сигнала при неоптимальном приеме может быть ис-
пользован приближенный метод, изложенный в предыдущих главах.
Действительно, при заданной структуре приемного устройства разделе-
ние выходного сигнала на две аддитивные составляющие: сигнальную
S(l) и помеховую N(l) не налагает каких-либо существенных ограни-
чений на закон распределения и функцию корреляции помехи (по край-
ней мере в первом приближении), а также на вид полезного сигнала.
Единственным существенным условием в случае приема сигналов со
случайными сопровождающими параметрами, при котором справедливо
такое представление, является необходимость достаточно большого от-
ношения сигнал/помеха на выходе приемника в момент осуществления
оценки. Представление случайной ошибки оценки в виде соответствую-
щих приближений, как и при оптимальном приеме, предполагает су-
ществование необходимых непрерывных производных полезного сигнала
и функции корреляции помехи на выходе приемника, по оцениваемому
параметру в окрестности истинного его значения I—Iq.
10.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
Полагаем, что в течение интервала [0. Л на вход приемного
устройства поступает сумма известного сигнала s(t, Zo) и помехи n(t):
x(t)=s(t, Z0)+n(Z), O^Z^T,
(10.2.1)
где n(t) —нормальная помеха с нулевым средним значением и функци-
ей корреляции K(tu /2)-
Приемное устройство для получения оценки максимального правдо-
подобия должно вырабатывать логарифм функционала отношения прав-
доподобия М(1) (3.1.1), где опорный сигнал v(t, I) определяется из
уравнения (2.2.7). При недостаточной априорной информации о харак-
теристиках сигнала и помехи оценку неизвестного параметра можно
искать по положению абсолютного максимума функции
мд (/) = I X (0 Уд (t, I) dt -
о
1
2
J «д (t, I) о& (t, I) dt.
о
(10.2.2)
Здесь опорный сигнал местного гетеродина vA (Z, Z) в отличие от опор-
ного сигнала оптимального приемника v(t, I) имеет форму, не согласо-
ванную со статистикой помехи и формой принимаемого сигнала. Форма
неоптймального опорного сигнала vA (Z, Z) может выбираться на основе
16* 243
каких-либо предварительных предположений о свойствах помехи, а так-
же из условия достаточной простоты технической реализации приемни-
ка. Функция £Д(Л /) представляет собой ожидаемый полезный сигнал,
причем в общем случае^ (/, /).
Так как по определению оценки функция Л4Д (Z) при 1 = 1т обраща-
ется в абсолютный максимум, оценка является решением уравнения
[dM, =0
т
при условии [dzM^(l)/dl2]. <0. При этом следует использовать корень
т
уравнения, соответствующий максимуму максиморуму функции Л4Д(/).
Для получения приближенного решения уравнения воспользуемся
методом малого параметра, полагая при этом, что уровень помехи мал,
так что выполняются условия надежной оценки. Подставим в выраже-
ние для Л1Д (/) значение x(t) и введем обозначения аналогично обо-
значениям § 2.4:
(4.0 = р (4 4) Уд (41) dt,
о
«д (0 = (4.0 - Q д (0/2.
Зд (0 = рд (4 0 (4 0 dt,
о
Т
n(t)v^(t, t)dt.
Тогда выходной сигнал приемника (/) можно записать в виде
Л1д(/)=§д(0 + ^д(/).
Функция Хд (/0, Z) представляет собой, как и выше, полезный сигнал
на выходе приемника, а Хд (/) и Л\ (/) — соответственно детерминирован-
ная и помеховая составляющие на выходе приемника. Необходимо отме-
тить, что при неоптимальном приеме функция (/,,/,) в общем случае
не обладает симметрией, т. е. 5д(/1? /2) (/2,/J, а помеха на выходе
приемного устройства и в данном случае будет нормальным случайным
процессом с нулевым средним значением "> = 0 и функцией кор-
реляции
(10.2.3)
244
С помощью введенных обозначений уравнение для нахождения
оценки 1т перепишем в виде
(О
dl
(/) , <ЙУД (/)
dl Т" dl
При этом в отсутствие помехи (ЛТд (Z) = 0) абсолютный максимум функ-
ции 7ИД(/) в общем случае достигается в некоторой точке 7=^1^ опре-
деляемой из уравнения
(/)
dl
dl2
0.
(10.2.4)
d2S^ (/)
Полагая, что значение I лежит близко от /0, приближенное значение
отклонения максимума функции 5Д(/) от точки истинного значения
оцениваемого параметра /0 в первом приближении можно получить,
разложив 5Д(/) в ряд Тейлора в окрестности точки /о и ограничившись
тремя первыми членами этого разложения. В результате получим
dS^(l) d2^(l)
dl / di2
(10.2.5)
Введем в рассмотрение малый (в предполагаемых условиях) параметр
e = [S\ (l)/SN (/, /)Г1/2и используем описанную выше методику получения
приближений оценки н ее статистических характеристик. Смещение и
дисперсия оценки параметра во втором приближении определяются
формулами
(N^2 2 -
(10.2.6)
^д(^14)^2^л2[1 +
е\-2 (3^2 - 3N13 - sNns~' 4-
+ 5^.^'
где
— 1 ls3/VlgSg '+ 2)1,
(10.2.7)
(/„ /2)
д11гди2
d»S^ (/)
Sk ~ L dlk
Если ограничиться рассмотрением первого приближения, то выра-
жения для смещения и дисперсии оценки упрощаются и принимают вид
Ь& {1т 14)
(Z) /dl
Ld*SM/dl*
d2SN (Z„ Z2)/PZ,dZ2
- - I 1
[d^S^D/dl^
(10.2.8)
.(10.2.9)
245
t
17—356
Выражения для смещения и дисперсии оценки при неоптимальном
приеме можно упростить, если оцениваемый параметр Z является не--
энергетическим, а помеха n(Z)—стационарный случайный процесс.
В этом случае аналогично § 2.4 помеха на выходе неоптимального при-
емника является также стационарным процессом, т. е. 5Л (/1, /2) =
—SN(l2—М и ПРИ i+j—2k+l, fe=O, 1, 2. При этом
формулы для смещения (10.2.6) и дисперсии (ГО.2.7) оценки можно
переписать в виде
(10.2.10)
Яд 14) — е IIs2
(1 + 8Ч“2(ЗЛГ22 - (10.2.11)
При априори известной форме полезного сигнала s(t, I) в качестве
приемного устройства часто используется приемник, оптимальный для
помехи в виде белого шума с односторонней спектральной плотностью
Nq. В этом случае опорный сигнал местного гетеродина определяется
формулой (2.3.3). Полагая в (10.2.2) sA (t, l)=s(t, I), vA(tJ)—
=(2[NQ)s{tf Z), находим структуру приемника, определяемую выраже-
нием
Л4Д (0 = f * (О 5 (*♦ 0 р2 (Z, I) dt. (10.2.12)
о о
Очевидно, приемное устройство (10.2.12) представляет собой част-
ный случай произвольного неоптимального приемника (10.2.2). Поэтому
характеристики оценки, получаемой с помощью (10.2.12), найдем,
подставив в (10.2.6) и (10.2.7) значения детерминированной составляю-
щей выходного эффекта приемника
(/) - (4, /) - (I,
где
SA(tt,lt) = j^^(t,tt)s(t,/s)di,
о
и функцию корреляции помеховой составляющей
(Л, /,) = j \ к (tt, Q * It) S (Z„
о 0
(10.2.13)
(10.2.14)
(10.2.15)
Функция SA(Z) совпадает с функцией (2.4.10) при приеме сигнала на
фоне белого шума и достигает абсолютного максимума при 1—1о, так
что при использовании приемника (10.2.12) справедлива запись t=lo.
Вычисляя аналогично § 3.1 необходимые производные от функции
5Д (h, fe), находим характеристики оценки произвольного параметра во
втором приближении при использовании приемника, оптимального для
246
помехи в виде белого шума;
(VI0 == ^н2 (N„ - Stts^Nu), (10.2.16)
31
DA(V|V=«%.^2 [1 +Л-2(3^2+3^3-4s13S-'N„ -
- 3^5-’ N„ + 5№, 2tf-‘- 33s12s-‘ NI24- 31,5s212S-2N„)]. (10.2.17)
Здесь Nij определяются, как и выше, при подстановке
(10.2.15), а
Sn(Ii9
йг + /«д (/,. /2)
д11,дИ,
д »
Применительно к первому приближению оценка
а дисперсия оценки определяется формулой
несмещенная.
(10.2.18)
При оценке неэнергетического параметра, в силу четности функций
§n(Ii—4) и 5Д (li—4), во втором приближении оценка параметра не*
смещенная, а дисперсия оценки равна
d2S. (/_/)] 3 1
] L (102.19)
Возможна также ситуация, когда функция корреляции помехи
К (/,, 4) априори задана, а точная форма полезного сигнала полностью
или частично неизвестна. В этом случае для приема реального сигнала
s (t, Г) может быть испрльзовано приемное устройство, оптимальное Для
некоторого ожидаемого сигнала $д (t, I), причем £д (t, 1) #= s(t, I). Струк-
тура такого приемника, неоптимального для сигнала s(t, I), но опти-
мального для £д (t, I), определяется формулой (10.2.2), в которой функция
од (/, /) находится из решения интегрального уравнения
т
С к (t ’) Од (», о =«Д & 0. (10.2.20)
о
аналогичного (2.2.7). Характеристики оценки при этом могут быть най-
дены из (10.2.6) и (10.2.7), где следует положить
г т
Зд (0 = f s (*, 4) Од (/, I) v& (t, I) dt,
° 0 (10.2.21)
0
17*
247
Наконец, если априори известны форма полезного сигнала s (Z, Z)
и функция корреляции помехи К Z2)> то, полагая в полученных выше
выражениях
sA(Z»Z)=s(Z,Z), од (Z, Z) = и (Z, Z), SA(Zlt Z2)=S/V(Z1, Z2)=S(ZnZ2),
приходим к формулам, выведенным в § 3.1 для оптимальной оценки
максимального правдоподобия.
Все результаты этого параграфа получены в предположении, что
помехой является нормальный случайный процесс. Если на вход прием-
ного устройства, выполняющего операцию (10.2.2), поступает помеха
с произвольным распределением и заданной функцией корреляции
ZC(Zf, Z2), то для вычисления первых приближений характеристик оценки
параметра сигнала могут быть использованы формулы (10.2.8) и
(10.2.9). Действительно, при заданной структуре приемного устройства,
для вычисления смещения и дисперсии оценки в первом приближении
достаточно найти лишь первые два момента помеховой функции 2VA(Z).
Это можно сделать, если известна функция корреляции помехи
ZC(Zf, Z2) на входе приемного устройства. Однако в данном случае нель-
зя говорить о близости оценки к ее оптимальному значению.
10Л ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА РАДИОСИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ
НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Рассмотрим оценку произвольного параметра /о узкополосного ра-
диосигнала
«(4 4. ?.)=F (4 4)cos +Ф (4 4) — ?«] (1 о.з. 1)
со случайной начальной фазой ф0, распределенной равновероятно в ин-
тервале [—л, л]. Сигнал принимается на фоне аддитивной стационар-
ной нормальной помехи n(t) с нулевым средним значением и функцией
корреляции K(ti—fe). При этом полагаем, что опорный сигнал прием-
ного устройства
(/, I, <Р) =Уд (4 /) cos К t + фд (t, I) - (10.3.2)
является узкополосным и отличается от опорного сигнала оптимального
приемника, определяемого уравнением (2.2.7). В выражении для опор-
ного сигнала и <|>д (t, I)—законы амплитудной и фазовой мо-
дуляции.
Выходной сигнал неоптимального приемника подобно выходному
сигналу оптимального приемника представим в виде
7ИД (/) = 1п /0 [2?д (/)] - QA (/)/2. (10.3.3)
Здесь ₽.(/) и Од (О аналогично оптимальному приему (с точностью до
интегралов от членов, осциллирующих с суммарной частотой ыд +®о)
определяются выражениями
Кд(0=/А2д (0+^(0. (10.3.4)
0 ~ -И f cos [Ао,/+* (А ° -(Л Z)1 dt> (1 °-3-5)
о
248
где
(sin J
Д<о=<ов — <од — расстройка несущей частоты полезного сигнала относи-
тельно несущей частоты опорного сигнала. Подставляя в (10.3.4) при-
нятую сумму сигнала и помехи, получаем
Ъ (I)=д (4. О+2бЛ (4. 0 AT, (Z)+дГ2 (011/2.
Здесь
8Д (4, Ц)=/^(4,4) 4-«^(4.4);
т
F (t, К) (t,
[A<BZ4-|(Z,4)-|A(Z,Z2)]dZ;
(Z) = J n (Z) Уд (4 0 COS [<oAZ 4- Фд (t, /) -f- Ф (Zo, I) — у J dt;
( T
(0= f«(0 (t, I) cos [«/ 4- фд (t, /)] dt
I 0
(T p
4-П n(/)VA(t Z) sin КZ + ; tgO(ZI,4) = SsA(4,Z2)/SeA(4, Z,).
Первые два момента случайных процессов A\(Z) и Л4, (Z) равны
<^(/))=о, (Ar2(Z))|=2GjV(z,z), <Я(4)й(4)»=о,
(ZV, (Z,) АГ. (Z^> = 6N (l„ Z2) cos [Фд (Zn Z2) 4- Ф (Z2, Zo) - Ф (Z„ Z.)l.
0
где
(N2 (Z.) (Z2)) = 4 (Zt. Z2) 4- Gn (Z„ Z,)XF„ (Z2, Z2)],
(10.3.6)
о 0
4- Фд (А» ^)- Фд th, 4)1 dttdtt;
^ё®д(4> Z2)-SsN(li, 12) jScN (It, ls).
Оценка lm определяется по положению абсолютного максимума
функции (10.3.3). Обозначим t положение абсолютного максимума этой
функции в отсутствие помехи, т. е. при n(Z)^0, и введем в рассмотре-
249
4ие параметры
=[<з2д(/../)/<^.(^г1/г.
представляющие собой соответственно
квадратным из отношения сигнал/помеха
е
величины, обратные корням
и максимума сигнала на вы-
ходе линейной части неоптимального приемника. В рассматриваемом
случае надежной оценки, т. е. при больших отношениях сигнал/помеха
и принятом условии бд (4, Г)»1, параметры вид малы. Введем также
нормированные функции
7V2(Z) = (84s-2/2)A?2(Z),
для которых справедливы соотношения
Од (/„, 7) => (№. (Г)> = (N2 (fy=(N\ (?)) - (Nt (Z))2 <= 1.
Далее, выражая Z?J(Z) через нормированные функции и подставляя Л?д(/)
в (10.3.3), раскладываем функцию М^(1) в двухмерный ряд Маклорена
по е и б . Учитывая, что е<1 и 6^1, ограничиваемся членами разло-
жения с е и б в первой степени. В этом приближении получаем
^д(0 = 8-2(5д(/) + ^.(01. (Ю-3.7)
где
5д (Z) = 0д (Z„, Z) -’/2<2Д (Z);
<2д(0 = 820д(0.
В соответствии с определением оценки 1т она может быть получена
из уравнения
{4lSA<Z)+e2V*(Z)l}Zm = O’
причем в отсутствие помехи, т. е. при е=0, оценка 1т=1,
a t находим из уравнения, аналогичного (10.2.4). При этом отклонение
оценки >1т относительно I в первом приближении равно
л / _ / /dA?> (0 / d2SA (0 I
M — — 6 I dl I dlz ft--
Отсюда получаем формулы для смещения и дисперсии оценки
(10.3.8)
^д (An 1.А>» *Ро)
(10.3.9)
250
. Конкретизируем запись статистических характеристик оценки для
приема сигнала на фоне коррелированных помех приемником, опти-
мальным для приема сигнала на фоне белого шума с односторонней
спектральной плотностью Nq. В этом случае следует’ положить
Z, <р) = (2/Лго)^(^ Z, ф)- Тогда оценка параметра оказывается не-
смещенной, а дисперсия оценки определяется формулой
^tn\ h > ¥о)
• • J .
(10.3.10)
Здесь
G(/., U
О
[шо (^1 О Ч~
о о
При выводе учитывалось, что G(Zi, /2) обладает всеми свойствами оги-
бающей полезного сигнала на выходе оптимального приемника (§ 2.5).
Полученные выше формулы для определения первого приближения
характеристик качества оценки параметра узкополосного радиосигнала
могут быть использованы и для неоптимального приема сигнала на фо-
не произвольных нестационарных помех с некоторой произвольной
функцией корреляции K(ti, t2). Так, применительно к приему сигнала
приемником, оптимальным для приема сигнала на фоне белого шума,
в первом приближении смещение оценки равно нулю, а дисперсия ее
определяется формулой (10.3.10), если в соответствующие выражения
вместо —4) подставить K(/i, t2).
10.4. СОВМЕСТНАЯ ОЦЕНКА НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ
Обобщим полученные выше результаты на случай совместной оцен-
ки р неизвестных параметров (Zi, /2, . -ZP] сигнала при неоптималь-
ном приеме на фоне аддитивной нормальной помехи.
Неоптимальное приемное устройство известного сигнала формиру-
ет функцию /Ид (I) согласно выражению
251
(10.2.2), где под I следует понимать L При этом значение оценки 1т
определяется по положению абсолютного максимума 'функции Л4Д(1),
и, следовательно, оценка может быть найдена из решения системы урав-
нений
(10.4.1)
Вводя обозначения, аналогичные § 10.2, перепишем (10.4.1) как
<£д (1) <^д (1)
dli + dlt
(10.4.2)
J**
Первые два момента помеховой функции Л^д(1) равны
(^д(1))=0,
<^д(11)^д(1г))=1
^д (^1» ’1) ^д (^2*
U).
о о
Из уравнения (10.4.2) -следует, что в отсутствие помехи (n(t)=G) оцен-
ка равна 1 и может быть получена из системы уравнений
^д (1)
(10.4.3)
Используя методику, описанную в § 3.3, и ограничиваясь первым
приближением оценки, получаем формулы для вычисления смещения
оценки й-го параметра
(10.4.4)
и элементов корреляционной матрицы оценок
(10.4.5)
Здесь Q — определитель порядка р с элементами
д<§д (1)
dlidlk
Ahi — алгебраические дополнения этого определителя.
Так же как в § 10.2, из (10.4.4) и (10.4.5) нетрудно получить вы-
ражения для характеристик оценки при использовании приемника, опти-
мального для помехи в виде белого шума.
Применительно к совместной оценке нескольких параметров узко-
полосного радиосигнала со случайной начальной фазой структура не-
оптимального приемника будет определяться формулой (10.3.3), где I
следует заменить на 1. Как и выше, будем полагать, что амплитуда
252
полезного сигнала на выходе линейной части приемника и отношение
сигнал/помеха достаточно велики, а оценка параметра в отсутствие по-
мехи есть 1. При этом система уравнений для определения оценки име-
ет вид
(1)
+ет]1=0’/==1’2’
Используя метод малого параметра, находим, что смещение оценки
определяется выражением (10.4.4), где 1 находится из системы урав-
нений (10.4.3) при подстановке функции
5д(1) = 8д(10, 1)-$д(1)/2. (10.4.6)
Подставляя в (10.4.5) функцию (10.4.6) и учитывая
ЗД, l2) = G„(ln 12) + Ф(12, IJ-OUv 10)1, (Ю.4.7)
получаем выражение для элементов корреляционной матрицы оценок
параметров узкополосного радиосигнала. При этом функции, входящие
в (10.4.7), определяются из § 10.3 при замене I на 1.
В заключение этого параграфа заметим, что полагая уд(/, 1) =
= v(t, 1) (для известного сигнала) и ид(^, 1, 9)1, у) (для узкопо-
лосного радиосигнала), где v(t, 1) и v(t, 1, <р)—решения уравнения
(2.2.7), получаем выражения для характеристик оптимальных оценок
максимального правдоподобия (3.3.10) и (4.7.6).
10.5. ОЦЕНКА ФЛУКТУИРУЮЩЕГО ПАРАМЕТРА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
Выше рассматривались методы оценки параметра, величина которого в течение
приема не изменяется. Однако эти методы в первом приближении можно применить
к задачам оценки флуктуирующего параметра сигнала, т. е. применить к задачам
оценки такого параметра, величина которого меняется случайно в течение приема
сигнала.
Рассмотрим задачу оценки флуктуирующего параметра применительно к приему
известного сигнала на фоне белого шума.
Представим принимаемую сумму сигнала и помехи в виде
% [Z, to (01 =s[^Zo(/)]+rt(0,0<f<7, (10.5.1)
где s[/, Z0(Z)] — полезный сигнал, который зависит от реализации некоторого флуктуи-
рующего параметра /о (О', л(0—белый шум с односторонней спектральной плотно-
стью Nq.
При оптимальном приеме сигнала приемное устройство должно образовать лога-
рифм функционала отношения правдоподобия оцениваемого параметра. Точное решение
задачи об определении функционала отношения правдоподобия флуктуирующего пара-
метра достаточно сложно и требует значительного количества априорных данных.
С принципиальной точки зрения многомерную апостериорную плотность вероятности
можно найти в случаях, когда параметр Zo(Z) представляет собой реализацию марков-
ского или нормального случайного процессов.
Для получения приближенного выражения апостериорной плотности оцениваемого
параметра при приеме сигнала на фоне белого шума обычно полагают [6, 26, 27], что
в течение времени, равного времени корреляции параметра Z0(Z), значение оцениваемого
параметра остается постоянным. Прн этом в полученных ранее формулах для выход-
253
кого сигнала приемника (гл. 2) интегрирование (после умножения принятой реализа-
ции х(Г) на опорный сигнал с текущим значением параметра) следует производить не
по всему интервалу наблюдения ‘[О, Т], а только по некоторому интервалу [Г—Ть Г],
где %i — время корреляции оцениваемого параметра. .
В реальных устройствах конечное время интегрирования определяется постоянной
времени сглаживающих линейных фильтров, расположенных после дискриминаторов
(в нашем случае — после умножителей). В оптимальных или квазиоптимальных прием-
ных устройствах вид импульсной переходной характеристики сглаживающих фильтров
определяется характером самих флуктуаций оцениваемого параметра и видом внеш-
них помех.
В ряде работ [6, 26] при достаточно строгом решении некоторых задач опти-
мальной фильтрации неэнергетических параметров показано, что для нормально флук-
туирующего параметра в стационарном режиме импульсная переходная характеристика
сглаживающих цепей совпадает с импульсной переходной функцией линейной системы,
при воздействии на которую белого шума получается оцениваемый параметр.
На основе приведенных соображений, применительно к приему сигнала на фоне
белого шума, выходной сигнал приемника для оценки значения неэнергетического флук-
туирующего параметра в конце интервала наблюдения (т. е. при t=^T) запишем в виде
" *
м (I, Т) = ( h (Г — О X (0 s (f, /) dt. ' (10.5.2)
О
♦
*
Здесь h(t)—импульсная переходная функция сглаживающего фильтра. Причем для
физически реализуемых фильтров выполняется условие при tf<0.
Наличие весового множителя h(T—t) в выражении (40.5.2) физически можно
интерпретировать следующим образом. При формировании оценки в текущий момент
времени Т в связи с флуктуациями оцениваемого параметра информация о его зна-
чении,. которая была известна наблюдателю в предшествующее время. постепенно
утрачивает свое значение.
Естественно, подобное введение весового множителя h(t) хотя и приводит к по-
тере оптимальности приемника, но позволяет существенно упростить его структуру.
В формуле (10.5.2) предполагается, что интересующее наблюдателя значение па-
раметра измеряется в момент времени t—T. Однако в некоторых случаях целесообраз-
но оценку осуществлять в некоторый момент времени, отличный от Т, например в мо-
мент времени to<T. Такое положение характерно для сигналов непрямоугольной фор-
мы, когда к моменту t—Т значение полезного сигнала спадает до нуля. В этом случае
при оценке значения флуктуирующего параметра в момент времени 1$<Т следует
учесть статистику принимаемого сигнала до и после момента f=/o. Иначе говоря,
в выражение (40.5.2) необходимо ввести весовой множитель вида й(|/—f0|)» убываю-
щий по мере возрастания абсолютного значения |/—/о|.
В качестве весовых множителей для дальнейшего анализа наиболее удобно
использовать функции вида
h (Г — 0 = е-Т>г-,1, 0 < t < Т, (10.5.3)
h (Т — 0 = о < t < Т. (10.5.4)
I
Параметр у приближенно может быть взят равным величине, обратно пропорциональ-
ной времени корреляции оцениваемого параметра.
Для времени наблюдения 7, много большего времени корреляции оцениваемого
параметра, нижний предел интегрирования в (10.5.2) можно взять равным —оо:
Л4 (/, Т) = f h (Т — t) х (f) s (t, I) dt.
254
Если весовой множитель зависит от модуля разности |£—f0|, а /0 и Т—to много
больше времени корреляции оцениваемого параметра Т/, то выходной сигнал приемни-
ка запишется в виде
& (Л = J h (I t — /0|) x (/) s {t, I) dt.
—00
Как и. ранее, выходной сигнал приемника (10.5.2) представим в виде суммы сиг-
нальной и помеховой составляющих
где
5 Go, I. т) = J л (Z — о s (/,/0)« G-0 dt-,
0
N (I, 7) = J Л (7 — t)n (0 s (t, I) dt-,
0
—истинное значение оцениваемого параметра при t=T;
Для нахождения характеристик (смещения и дисперсии) оценки, определяемой
по положению, максимума максиморума выходного сигнала приемника, в первом при-
ближении можно воспользоваться полученными выше выражениями для случайной
ошибки измерения. При этом можно показать, что оценка неэнергетического флуктуи-
рующего параметра несмещенная. Дисперсия оценки флуктуирующего параметра сиг-
нала определяется формулой
D [lm I /0 (01 =
(10.5.5)
Если оцениваемый параметр не флуктуирует или его время корреляции много
больше времени наблюдения, то весовой множитель можно положить равным единице
[h(T—^)s=s)l]. Тогда формула для дисперсии оценки принимает вид формулы (3.1.46)
для дисперсии оптимальной оценки максимального правдоподобия параметра известно-
го сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью No.
Полученное выражение для дисперсии неоптимальной оценки флуктуирующего па-
раметра легко обобщается на прием сигнала на фоне коррелированной помехи с функ-
цией корреляции K(ti, t2). В этом случае выражение для дисперсии оценки имеет вид
д2
[s (/j> /j) s (Zg, /2)] dt^dt
2
0 0
Я Um 1 /0 (Г)] =
2
дР
О
о
255
10.6. ОЦЕНКА ФЛУКТУИРУЮЩЕГО ПАРАМЕТРА СИГНАЛА
ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАДИОИМПУЛЬСОВ
Пусть иа вход приемного устройства совместно с аддитивной нормальной ста-
ционарной помехой п (t) поступает последовательность радиоимпульсов с одинаковыми
амплитудами (ао=Я1 = ... = ... — — л)
V—1
S« К> (0 • ?ofe] = а 2 Fl[t—kTt, lok] COS [<о„ (t — kT 0) + ф (t — КГ 0> Zoft) — (10.6.1)
*=o
Здесь используются те же обозначения, что и в (4.5.1).
В течение длительности одного импульса значение оцениваемого параметра будем
полагать постоянным, однако от импульса к импульсу это значение может меняться
случайным образом с произвольным убывающим коэффициентом корреляции.
В связи с флуктуациями оцениваемого параметра информация о значениях оце-
ниваемого параметра, заключенная в радиоимпульсах, принятых ранее текущего момен-
та времени, постепенно утрачивает свое значение при формировании оценки, т. е. вес
этой информации уменьшается. Естественно, при прочих равных условиях этот вес тем
меньше, чем больше промежуток времени между моментом оценки и моментом получе-
ния предшествующей информации и чем больше скорость изменения оцениваемого
параметра. В пределе, когда значения оцениваемого параметра от импульса к импуль-
су статистически независимы, предыдущая информация об оцениваемом параметре не
может быть использована для уточнения оценки.
В дальнейшем рассмотрим два случая: когерентный и некогерентный приемы по-
следовательности радиоимпульсов. Так же как и в предыдущем параграфе, будем
искать приближенное выражение для дисперсии оценки флуктуирующего параметра.
При этом предполагается, что конечное время интегрирования учитывается импульсной
переходной функцией соответствующего фильтра (в данном случае дискретного). Физи-
ческий смысл импульсной переходной функции достаточно подробно рассмотрен в пре-
дыдущем параграфе. Кроме того, как и всюду ранее, будем полагать, что период по-
вторения радиоимпульсов То много больше времени корреляции помехи n(t).
1. Когерентный прием. При когерентном приеме последовательности радиоимпуль-
сов полагается, что фоь —Фо» а начальная фаза фо распределена равновероятно в интер-
вале '(—л, л]. Поскольку считается, что в течение длительности одного импульса оце-
ниваемый неэнергетический параметр остается постоянным, выходной сигнал рассматри-
ваемого неоптимального приемника аналогично (10.5.2) и (4.5.12) можно представить
в виде
£(0 =
v—1 Tq
k=G 0
(10.6.2)
Здесь Xk(t) —реализация суммы сигнала и помехи в k-м. периоде повторения, v(t, I) —
опорный сигнал корреляционного приемника (4.4.10).
Если результирующее отношение сигнал/помеха для всей .последовательности
импульсов велико, то, используя описанный ранее метод получения приближенных оце-
нок и их характеристик, можно показать, что оценка, определяемая по положению
абсолютного максимума R(l), несмещенная. Дисперсия оценки неэнергетического флук-
туирующего параметра при когерентном приеме последовательности радиоимпульсов
в нормальных помехах имеет вид
Um I £0» ?о]
(10.6.3)
256
Здесь й(1—/0)—сигнальная функция при приеме одиночного радиоимпульса, опреде-
ляемая выражением (2.5.30);
(10.6.4)
— коэффициент, учитывающий уменьшение дисперсии оценки параметра при приеме
когерентной последовательности радиоимпульсов за счет использования части информа-
ции от предыдущих импульсов по сравнению с дисперсией оценки параметра при при-
еме одиночного радиоимпульса (4.2.20),
Рис. 10.6.1. Зависимость уменьшения
дисперсии оценки параметра от числа
импульсов.
Рис. 10.6.2. Зависимость уменьшения
дисперсии оценки для когерентного (1)
и некогерентного (2) приемов.
Если оцениваемый параметр не флуктуирует от импульса к импульсу, т. е. /0(£) —
==/0=const, то весовой множитель должен быть постоянным h[(v—k—1)Т0]^ const.
В этом случае коэффициент %=1/ч а формула (Ю.6.3), естественно, совпадает с фор-
мулой (4.5.18).
Пусть функция h(kTG) изменяется по экспоненциальному закону
Л (kTQ) = ехр (— £/Г0), (10.6.5)
где у=1/т/ — величина, характеризующая ширину спектра флуктуаций оцениваемого
параметра. Тогда
причем при v -* со и у ф 0
На рис. 10.6.1 приведены зависимости коэффициента % от числа принятых импуль-
сов v для трех значений нормированного параметра уТо; 0,1; 0,05 и 0,005. На
рис. 10.6.2 приведена зависимость (кривая /) коэффициента %то от значения нормиро-
ванного параметра уТо=7о/т?.
Из приведенных кривых видно, что дисперсия оценки флуктуирующего параметра
изменяется от значения дисперсии оценки параметра при приеме когерентной после-
довательности импульсов с постоянным значением оцениваемого параметра до значения
дисперсии оценки при приеме одиночного радиоимпульса.
< " А
257
2. Некогерентный прием. При некогерентном приеме начальные фазы радиоимпуль-
сов последовательности предполагаются статистически независимыми и равномерно
распределенными в интервале [—л, л].
Если отношение сигнал/помеха для одиночного импульса мало, то, учитывая при-
ближенное соотношение 1п/0(г)^г2/2 при 2<С1, из (2.7.18) получаем, что приемник
должен вырабатывать сигнал вида
V-1
м (/) =2 ft2 ((* — *— О ro] I?k (I), (10.6.6)
k-o
где Rk(t) определено (2.7.17).
Полагая результирующее отношение сигнал/помеха на выходе приемника (с уче-
том некогерентного накопления) большим, можно показать, что оценка, получаемая по
положению абсолютного максимума (10.6.6), несмещенная в первом приближении,
а первое приближение для дисперсии оценки равно
1 ^0 ’ ¥ <$] --
d2G (I — /0)
dl2
(10.6.7)
Здесь коэффициент
2
________________
Xl / —I | 2
<2 *2!(*-*-1Но]>
U-0 J
аналогичен коэффициенту % (10.6.4) и так же учитывает уменьшение дисперсии оценки
флуктуирующего параметра при приеме некогерентной последовательности радио
импульсов по сравнению с дисперсией оценки параметра при приеме одиночного
импульса.
Если fti[(-v—k—4) То] = const, то Xi = Vv и формула (10.6.7) переходит в (4.5.22).
Пусть функция h(kTG) изменяется по экспоненциальному закону (10.6.6). Тогда
1 — е~2тГ° 1 + е“2т*Г°
X1 | । е—2}Т0 । ’
причем при v -> оо и у ф 0
1 — е~2*г°
Х1ОО ] I е—2'(7о
На рис. 10.6.2 приведена зависимость (кривая 2) коэффициента от значения
нормированного параметра уТо, откуда видно, что в случае приема некогерентной по-
следовательности радиоимпульсов дисперсия оценки флуктуирующего параметра увели-
чивается по сравнению с когерентным приемом.
10.7. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК ДЛИТЕЛЬНОСТИ, ЧАСТОТЫ,
ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ
В предыдущих параграфах были получены формулы для смешения и дисперсии
оценки произвольного параметра сигнала на фоне флуктуационных помех при исполь-
зовании неоптимального приемника.. Оцениваемый параметр I был ври этом лишен кон-
кретного физического содержания. Между тем конкретизация физического смысла оце-
ниваемого параметра позволяет в ряде задач упростить формулы для характеристик
оценки или представить их в более ясной (с физической точки зрения) форме.
258
L Вычислим смещение и дисперсию оценки длительности £ прямоугольного видео-
импульса
(10.7.1)
при приеме на фоне белого шума с односторонней спектральной плотностью No прием-
ником, опорный сигнал которого имеет внд
V (t, ₽) = а0 ехр (— /2/Р2). (10.7.2)
Очевидно, оцениваемый параметр р является энергетическим. Сигнальная функция
§д(Р) и функция корреляции помехи иа выходе приемника Sjv(Pi, Р2) в соответствии
с формулами § 10.2 могут быть записаны как
(₽) = 2a^k [4- + 2Ф “ Ф (ТГ) ] ’
(Р1> Р2) —
Р1Р2
Здесь /г=р/Ро — отношение текущего значения длительности опорного сигнала к дли-
тельности принимаемого сигнала, a <D(z) —интеграл вероятности (3.1.51).
Уравнение (10.2.4) для положения максимума сигнальной функции р примет вид
где F=7/Po.
г
Корень трансцендентного уравнения, найденный численным методом, равен
~О,63ро.
Вычисляя необходимые производные от (Р) и (Рп Р2) в точке согласно
(10.2.6) и (10.2.7), получаем выражения для смещения и дисперсии оценки длитель-
ности
*д (Pm 1 Ро) Ро (— 0,37 + 0.545/(2), (10.7.3)
Р2о ( 2,72 \
^д (Pm 1 Ро) q~” I0,417 4“ q J • (10.7.4)
Здесь Q = 0,97л2оро V'tz/N^— отношение сигнал/помеха для принятого сигнала (Q~e~2).
Из полученных формул для смещения и дисперсии оценки следует, что при
Q >00 D д (pm/Ро)—>0, а смещение стремится к определенной (конечной) величине,
зависящей от длительности принимаемого сигнала.
2., Рассмотрим оценку частоты Qo радиоимпульса колокольной формы со случай-
ной начальной фазой
s (f9 20, ¥о) = ехр (— /Р%) cos [(соо — 20) t — ?0]
(10.7.5)
при приеме на фойе белого шума с помощью неоптимального приемника, опорный сиг-
нал которого имеет вид
v (/, 2, ?) =s а ехр (— /2/Р2) cos f (со0 — 2) t — у].
(10.7.6)
Функции 6д (2«. S).
@N (®>» ®s)>
ф (S,. С2) и фд (й„ а,), необходимые для опре-
деления смещения и
дисперснн оценки параметра 2, в
.«It.
тветствии с
формулами
259
§ 10.3 равны
Фд (^i> 22) = Ф (21} 22) — 0.
При этом функция <?д (20, 2) достигает максимума при 2 = 20, и этот максимум не за-
висит от Qo, т. е. - в данном случае параметр Q является неэнергетическим. Поэтому
решением уравнения (10.2.4), где «$д (2) = бд (20, 2) — Сд (2, 2)/2, будет 2= 20, т. е.
согласно (10.3.8) оценка частоты 2 несмещенная.
Дисперсия оценки, определяемая согласно формуле (10.3.9), равна
Яд (Цп I ^о> То) — В №т I ^о)( 2k
(10.7.7)
где D(Qm|Q0) ='4/(Р2ор2) —первое приближение дисперсии оптимальной оценки макси-
мального правдоподобия (4.9.23); p2=fl2o₽oj/jt/2/Afo — отношение сигнал/помеха. Па-
раметр Л=р/Ро характеризует отличие огибающей (длительности или ширины спектра)
опорного сигнала относительно принимаемого сигнала.
Из формулы (10.7.7) видим, что минимум дисперсии неоптимальной оценки дости-
гается при k~ 1. При этом шшОд (Qm]Qu, фо) = D(Qm|Qo, Фо), что подтверждается
простейшими физическими соображениями.
/?/ 0,2 05 1 2 5 10
к
Рис. 10.7.1. Зависимость относительного увеличения
дисперсии оценки частоты от отношения длительно-
стей принимаемого и опорного сигналов.
На рис. 10.7.1 приведена зависимость относительного увеличения дисперсии неоп-
тимальной оценки %— £>A(Q7nJQo, фо)/D (Q™ [Йь фо) по сравнению с дисперсией опти-
мальной оценки максимального правдоподобия от величины Р/Ро-
3. Вычислим первое приближение характеристики оценки частоты Qo сигнала
(10.7.5) при приеме на фоне стационарных помех с функцией корреляции вида
—/2)=с2ехр[—а2(^ —/2)2] cos con (tx — t2), (10.7.8)
где (On и a — соответственно центральная частота и величина, характеризующая эффек- .
тивную полосу спектра помехи.
Энергетический спектр помехи с рассматриваемой корреляционной функцией
имеет вид
С2 VtT (со <оп)2 F . ,
К (to) = —ехр — 4а2 • .... -.............
260
При этом эффективная полоса спектра помехи равна
со
(10,7,9)
Будем полагать, что приемное устройство для оценки смещения частоты сигнала
(10.7.5) синтезировано в предположении о помехе в виде белого шума. Тогда, кам по-
казано в § 10.3, оценка параметра Qo будет несмещенной. Вычисляя функции, входящие
в формулу (10.3.10), получаем выражение для дисперсии оценки частоты
Яд (Rm I ^о» ¥о) ~
4
0М2
g2 + 2т}2 + 4Tf
(1 + 2т?)^2
(10.7.10)
Здесь д2—а2о/2а2 — отношение сигнал/помеха; g=A(op0— относительная расстройка
спектра помехи, где
Дсо=<оо —20 —сол;
т}=ар0 — нормированная полоса частот помехи.
При расширении спектра помехи, т. е. ар0^>1, помеха начинает вести себя как
белый шум с эффективной спектральной плотностью в полосе частот Afn, равной
Л^эф — о2/Д/эт=а2 Кл/а. Соответственно из (10.7.10), полагая а—>оо при ДОЭф=соп$1»
получаем
Яд 120. Уо) = 4/(₽% р2эф), (10.7.11)
где р2эф = а20₽0 Ип/2/М3ф — удвоенное отношение энергии сигнала к эффективной спект-
ральной плотности шума. Иначе, р2Эф — это отношение сигнал/помеха на выходе ли-
нейной части оптимального приемника при помехе в виде белого шума с односторон-
ней спектральной плотностью /УЭф. Выражение (10.7.11) совпадает с аналогичным вы-
ражением (4.9.23) для первого приближения дисперсии оптимальной оценки максималь-
ного правдоподобия.
При сужении полосы частот спектра помехи (а—>0) приходим к помехе в виде
квазигармонического случайного процесса. При этом, очевидно, ар0<С1, н дисперсия
оценки частоты колокольного радиоимпульса определяется выражением
64тс4 л
£д (2m 12о. ?о) = (10.7.12)
Формула для дисперсии оценки записана в предположении, что помехой является ква-
зигармонический шум, т. е. для помехи справедливо представление
П(0='ЛГ(0 COS [(Оп^+ф(/)],
где N(t) и <р(0—случайные функции времени, медленно меняющиеся по сравнению
С COS
Из (10.7.12) следует, что кв азигармоническая помеха при весьма больших (£>>!')
и весьма малых (g«Cl) расстройках спектра помехи относительно спектра сигнала
практически не влияет на оценку частоты, так как при g—>-оо и g—>0 дисперсия оцен-
ки стремится к нулю. Физически этот эффект можно объяснить следующим образом.
При больших расстройках спектры сигнала и помехи практически не перекрываются, и
поэтому спектр сигнала не претерпевает заметных искажений. Тогда, если оценка
осуществляется не по ложному выбросу, обусловленному помехой (аномальные ошибки
отсутствуют), оказывается возможным получить весьма точную оценку частоты полез-
ного сигнала. При весьма малых расстройках (Лсо^О) на входе приемника присутст-
вует узкополосный радиосигнал с центральной частотой, подлежащей оценке, т. е. при
Л(0—0 сверхузкополосная помеха способствует точной оценке частоты.
261
В ряде прикладных задач представляет интерес определение характеристик корре-
лированной помехи, вызывающих максимальную ошибку в определении частоты полез-
ного сигнала при фиксированной мощности помехи. Иначе говоря, представляет интерес
найти наиболее неблагоприятные условия для оценки частоты, при которых дисперсия
оценки частоты максимальна. Полагая в (10.7.10) расстройку спектра помехи относи-
тельно спектра сигнала Д(0=0 (|=0) и максимизируя выражение по tj, получаем, что
дисперсия оценки достигает наибольшего значения
max Дд (2m | 2„, = 8/(3 КЗ р0<72) при т) = ape = 1.
ч
Если помеха является весьма узкополосной (ар0<^1), то, максимизируя (10.7.12)
по £, находим, что дисперсия оценки максимальна при относительной расстройке £—
=Д(оро= (2л При этом дисперсия оценки частоты Й равна
шах (2т | 20, у0) 20/р2о?2.
На рис. 10.7.2 приведены зависимости коэффициента
(2Г11 20, у0)
(10.7.13)
определяющего величину среднеквадратичной ошибки измерения частоты от относи-
тельных" значений полосы помехи т] и ее расстройки Из кривых замечаем, что при
Рис. tO.7.2. Зависимость увеличения среднеквадра-
тичной ошибки оценки частоты от относительной по- \
л осы частот помехи.
прочих равных условиях (фиксированных мощности помехи и форме полезного сигна-
ла) наибольшую погрешность при оценке частоты вызывают помехи, спектры которых
расстроены относительно центральной частоты спектра сигнала. При этом полоса частот
спектра помехи должна быть малой по сравнению с полосой частот спектра полезного
сигнала.
4. Вычислим дисперсию оценки временного положения т0 колокольного радио-
импульса со случайной начальной фазой и линейным законом изменения частоты
внутри импульса
s (1 —- т0, у0) « aQ ехр [— (t — т0)2/₽20] cos [соо/ + Л (t — т0)2 — у0]>
(10.7.14)
где 2Zскорость изменения частоты внутри импульса. Как и выше, полагаем, что
интервал наблюдения значительно больше длительности сигнала, помеха имеет функ-
цию корреляции (10.7.8), а для получения оценки временного положения используется
приемник, оптимальный для приема сигнала на фоне белого шума с односторонней
спектральной цлостностью Nq.
. Вычисляя согласно (10.3.10) необходимые функции и их производные, находим
выражение дли дисперсии неоптимальиой оценки временного положения колокольного
262
Пд Тв» fo) --------- дЧ
(10.7.15)
радиоимпульса с линеииым законом изменения частоты
2^ (2^ + k^) + £2fc2yK
------------_2_-----ехр
*2у« (2ч1 + *2ук)5'2
Здесь сфо и £=,Д<ор« — относительные полоса частот и расстройка спектра помехи;
Лук = У 1 +Х2₽о‘ -—коэффициент укорочения ЧМ радиоимпульса с колокольной оги-
бающей; 472=а20/(2о2).
При расширении спектра помехи (при условии о2=const) до величины, много
большей полосы спектра полезного частотно’Модулированного радиоимпульса, помеха
с функцией корреляции (10.7^8) начинает вести себя, как белый шум с эффективной
спектральной плотностью в полосе частот Afn, равной N9$~G2/Afn- Полагая в (10.7.15)
а—>оо при аУЭф—const, приходим к формуле (4.9.19), где теперь р2—й20
При сверхузкополосиой помехе (а—>0) дисперсия оценки временного положения
рассматриваемого радиосигнала определяется выражением
ехр (- £’/2^)
£6уК
При этом максимальное значение достигается при Е == ^ук У 2 . Если диапазон частот
ной девиации достаточно велнк, т. е. Х^>1/р2©, то формула (J0.7.15) может быть пред-
ставлена в виде
1 2т]2, | Г £2 П
(Tm I %. <г) (] + г-/]2,)5'2 ехр ~ 2(14-213’,) ] • (10-7-Ь6)
где ij, = «/Z₽,; J, =А<о/Х?«.
Значения коэффициента
1/2
ехр
определяющего величину среднеквадратичной ошибки оценки параметра т, для различ-
ных gj и i]i могут быть найдены из кривых, представленных иа рис. 10.7.2, в которых
вместо £ и ц надо полагать |1 и
Из формулы (10.7.16) и -кривых, приведенных на рис. 10.7.2, следует, что с уве-
личением коэффициента укорочения ЧМ радиоимпульса влияние помехи уменьшается.
При этом можно показать, что наибольшее влияние на точность оценки временного
положения оказывают помехи, расстроенные по частоте относительно несущей частоты
сигнала приблизительно на половину ширины полосы спектра полезного сигнала и
имеющие достаточно узкий спектр по сравнению со спектром сигнала.
Если центральные частоты спектров помехи и сигнала совпадают (£—0), то ма-
ксимум дисперсии оценки временного положения т, равный
max | т0, у.) -
достигается при ц=Лук. При этом для значений Лук>>1 максимум будет при полосе
помехи а=?фо-
5. Найдем дисперсию неоптимальной оценки флуктуирующей начальной фазы
узкополосного радиосигнала.
Пусть на вход приемного устройства, описанного в § 10.5, совместно с аддитив-
ным белым шумом в течение времени Т поступает сигнал
s Р. Vo (01 = «о cos [соо/ + (/)]
(10.7.17)
263
с флуктуирующей начальной фазой <p0(Z), значение «которой в момент времени Г-необ-
ходимо оценить. При этом будем полагать, что <р(0 —стационарный процесс, который
•получается в результате воздействия ; белого шума на интегрирующую 7?С-цець с по-
стояниой времени /?С — 1/у. В соответствии с § 10.5 в качестве весового множи-
теля возьмем функцию h(T—/)==ехр[—у(Т—/)], 0</<Т. Тогда, вычисляя дисперсию
оценки флуктуирующей начальной фазы согласно (Ю.5.‘5), получаем
1 f *
D [<fm I?» (OJ =-Q- ! + е-1Т- (10.7.18)
I —е 1
« - « * - ‘ - i ’ - 1 •
Здесь Qx =^л20/(^у) = — отношение сигнал/помеха (удвоенное отношение- энер-
гии полезного сигнала за время корреляции оцениваемой фазы к спектральной плотно-
сти шума);• т — время корреляции фазы.
В стационарном. режиме (уТ^>1) дисперсия оценки . флуктуирующей начальной
фазы определяется соотношением . .
. £> I = 1/<?V (10.7.19)
л
т. е. совпадает с первым приближением дисперсии оптимальной оценки максимального
правдоподобия постоянной начальной фазы (3.5.3) при длительности полезного сигнаг
ла, равной времени корреляции тф.‘ . *-
Глава 11
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА С ПОМОЩЬЮ
ДИСКРИМИНАТОРОВ
14.1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Как уже упоминалось в гл, 7, приемное устройство для получения
оценки максимального правдоподобия должно в общем случае иметь
очень большое число каналов, в каждом из которых формируется ло-
гарифм функционала отношения правдоподобия для значений параме-
тра, сдвинутых относительно друг друга на малую величину. Поскольку
техническая реализация подобной системы весьма сложна, а приведен-
ные ранее схемы реализации оптимальных приемников довольно гро-
моздки, рассмотрим в этой главе более простые устройства — дискри-
минаторы (оптимальные и неоптимальные).
При оценке параметров сигнала с помощью дискриминатора оцени-
ваемый параметр сигнала сравнивается с некоторым фиксированным
значением параметра опорного сигнала. В результате такого сравнения
вырабатывается сигнал рассогласования, среднее значение которого
пропорционально отклонению оцениваемого параметра от фиксирован-
ного значения параметра /ф опорного сигнала. Следует отметить, что
оценка с помощью дискриминатора возможна лишь тогда, когда об-
ласть около истинного значения оцениваемого параметра выбрана и
следует с высокой точностью указать значение параметра внутри этой
области. Иначе можно сказать, что дискриминаторы применимы лишь
в пределах области нормальных ошибок.
Метод сравнения оцениваемого параметра с фиксированным зна-
чением параметра опорного сигнала основан на предположении о том,
что выходной сигнал соответствующего приемника в окрестности любой
точки /, в том числе в окрестности оценки максимального правдоподо-
бия, можно аппроксимировать полиномом с конечным числом членов.
Это обстоятельство в свою очередь позволяет восстановить выходной
сигнал как функцию параметра I на основе измерения значений вы-
ходного эффекта приемника и его производных в некоторой фиксиро-
ванной точке /ф, лежащей в окрестности истинного значения параме-
тра /0.
Обозначив выходной сигнал приемника как 7И(/), для нахождения
структуры дискриминатора представим функцию М(1) в окрестности
некоторого фиксированного значения параметра /ф в виде отрезка ряда
Тейлора
АГ(/)==Л1(/ф) + рМ'
1 Г d2M (/)
dl2
2
Ф
18—356
265
При непрерывном воспроизведении функции М(1) во всем априорном
интервале значений оцениваемого параметра оценку находим по поло-
жению абсолютного максимума М(1), т. е. оценка lm ищется из реше-
ния уравнения
= О, М (lm) > М (I).
JI
тп
Подставляя сюда разложение для М{1), получаем уравнение
m+(/„-/^[^2.]+...=о. (11.1.2)
2ф ф
Полагая отношение сигнал/помеха достаточно большим для обеспече-
ния надежной оценки и считая, что /ф находится вблизи Zo, можем огра-
ничиться в (11.1.2) линейным относительно lm—/ф членом, отбросив
члены, содержащие более высокие степени разности lm—1$. Тогда оцен-
ка определяется как
рШ (Z)
dl
d2M (I) 1
dl* k
Ф
(11.1.3)
Из этого выражения видно, что оценка, определяемая по положению
абсолютного максимума Л1(/), однозначно находится путем измерения
первой и второй производных выходного эффекта приемника в точке
/=/ф, лежащей в окрестности оценки /т. В частности, если М (I) —
логарифм функционала отношения правдоподобия, то (11.1.3)—опти-
мальная оценка максимального правдоподобия.
Величина [dAl(Z)/dZ]z прямо пропорциональна разности между оцен-
Ф
кой lm и фиксированным значением параметра опорного сигнала /ф,
т. е. величина /dl\iопределяет «сигнал рассогласования» меж-
ду оценкой и фиксированным значением параметра опорного сигнала.
В некоторых случаях при технической реализации устройства оцен-
ки параметра сигнала вместо производных в формуле (11.1.3) исполь-
зуют их допредельные значения — конечные разности, что позволяет
в ряде случаев значительно упростить структуру приемника.
11.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА
При оптимальном приеме известного сигнала на фоне аддитивной
нормальной помехи приемное устройство вырабатывает логарифм функ-
ционала отношения правдоподобия М(1) согласно выражению (3.1.1).
Подставляя это значение М(1) в (11.1.3), получаем формулу, опреде-
ляющую структуру дискриминатора в принятом приближении:
(11.2.1)
266
Структурная схема дискрими-
натора представлена на рис. 11.2.1.
Согласно (11.2.1) и приведенному
рисунку дискриминатор состоит из
двух каналов. Первый канал (/)
формирует сигнал рассогласования
(числитель), а второй канал (II) —
переменный коэффициент усиления
(знаменатель); Д и Г2 — генерато-
ры, вырабатывающие сигналы, про-
порциональные соответственно пер-
вой и второй производным от отно-
шения сигнал/помеха в точке /ф.
Назначение остальных блоков
ясно из обозначений.
Естественно, оценка Zm, получае-
мая с помощью дискриминатора
(11.2.1), отличается от истинного значения параметра 10 на некоторую
случайную величину 1т—/0 со средним значением, равным смещению
оценки, и с дисперсией, равной дисперсии оценки.
Для исследования статистических характеристик оценки восполь-
зуемся, как и ранее, методом малого параметра, в качестве которого
выберем величину е=<5~1/2(/о) = 1/р. Вводя аналогично § 3.1
нормированные сигнальную и помеховую функции, преобразуем форму-
лу (11.2.1) к виду
Рис. 11.2.1. Структурная схема дискри-
минатора.'
1т = Ч - {4 [S (/) + еЛГ (/)] / [S (Z) + еЛГ (Z)] I . (11.2.2)
Свойства функций S(l) и N(l) достаточно подробно рассмотрены
в § 2.4 и 3.1.
Формула (11.2.2) дает явную зависимость оценки от реализации
помехи n(t) или, что то же самое, от реализации помеховой функции
N(l). Однако выполнение усреднения в формуле (11.2.2) затруднитель-
но, так как N(I) входит в ее знаменатель. Поэтому, учитывая, что
в условиях надежной оценки е<1, для упрощения вычисления статисти-
ческих характеристик оценки разложим правую часть (11.2.2) в ряд
Маклорена по е:
1т = 4 + е + sZ. + «Ч + + еЧ +,
(11.2.3)
где
6=1ф — /. — s,s2 I, = (n2s,s2 1 _ n,) s2
Zj — Z2zi2s2 ; l3 — 1г(п^2 ) ; Z4— — ?1(nts2 )’;
Используя (11.2.3) и известные свойства функций 5(Z) и N(l), нетруд-
но найти смещение и дисперсию оценки, вырабатываемой дискримина-
тором [121]:
&d I Z») Z(|) Zo SjS 2 —|— e e <z2, (11.2.4)
Dd (lrnl Z„) — ега, 4- е4а4-
(11.2.5)
267
Здесь
2
22 1 2
«з^^п — SaAS2 )S2 —ffiiSiS2 ’
0t4 = 8a\ + 3(S1lS22
21
- &+ks (/n Z2)
dl\dlk2
Приведенные формулы для смещения и дисперсии оценки имеют по-
грешность порядка в5.
Используя выражения с погрешностью порядка с4, имеем
Q'm ] 4)
e2a
о
(11.2.6)
(f'm I 4)
(11.2.7)
Рассмотрим связь полученной оценки (11.2.1) с эффективной оцен-
кой, возможной в классе оценивающих устройств со смещением
bd(lm\lo)- Подставляя в выражение для дисперсии эффективной сме-
щенной оценки (1.3.22) bd(lm\lo) из (11.2.4) и учитывая, что
можем записать
(11.2.8)
где
При выводе формулы (11.2.8) отбрасываются члены порядка ма-
лости е5 и менее. Эффективность оценки (11.2.1), определяемая соглас-
но (1.3.16), равна
(А 4- 2а,б) -|- е4 ([? -р -J- 2а26)
(a3 -j- 2^6) + е4 (а4 -}- a2j + 2a20) ’
Если допустима погрешность порядка s3, то
Р// > -62 + е2 (А + 2а»6)
'— 02 + е2 («з + 2at6) •
(11.2.9)
(11.2.10)
При неограниченном увеличении отношения сигнал/помеха (е->0)
из полученных формул для эффективности оценки следует, что
Е(/то)->1, т. е. оценка, получаемая с помощью дискриминатора, асим-
птотически эффективна, хотя остается смещенной при любых отноше-
ниях сигнал/помеха. Действительно, при е->-0 из
(11.2.4) имеем
268
Если фиксированное значение параметра опорного сигнала 1$ сов-
падает с истинным значением параметра Zo, то, учитывая соотношения
(3.1.41), (3.1.42) и (3.1.11), получаем
^13^11 •
Отсюда эффективность оценки (11.2.9) перепишется как
Однако если ограничиться рассмотрением первого приближения,
т. е. определять эффективность оценки из (11.2.10), то при
£(/m)->L
Следовательно, пренебрегая в выражении для оценки (11.2.3) чле-
нами порядка малости s3 и менее, находим, что оценка (11.2.1) при
/ф—/0 совпадает с эффективной оценкой, возможной в классе оцени-
вающих устройств со смещением (11.2.6).
Полученные выше соотношения для структуры дискриминатора и
характеристик оценки упрощаются применительно к оценке неэнергети-
ческого параметра.
При оценке неэнергетического параметра отношение сигнал/помеха
постоянно для всех значений параметра, а функция S( Zi, k) является
четной функцией разности своих аргументов. Следовательно, выраже-
ние, определяющее оценку (11.2.1), и формулы (11.2.4) и (11.2.5) для
характеристик оценки примут вид
- * у'
С dv (t, I)
। x (t)-нт'—* dt
Q'm I 4) -8 а3 4” S a4»
(11.2.13)
22viO^20 ’
<z2 ~—
ai-----^2S^10*^20 ’
В случае оценки неэнергетического параметра возможно дальней-
шее упрощение структуры дискриминатора. Для этого рассмотрим от-
дельно числитель и знаменатель дроби в правой части (11.2.11). Ис-
пользуя нормированные сигнальную и помеховую функции, получаем
dS (1-1.)
dl
(11.2.14)
269
Когда отношение сигнал/помеха велико, приближенно можно положить
ZdLfi dt
dl2
Г d2S (I - lG)
dl2
(11.2.16)
L0
Пренебречь помеховой функцией в (11.2.14) аналогично (11.2.16) нель-
зя, так как при [dS(l—/о) /. С учетом сказанного выра-
жение для оценки (11.2.11) перепишется как
dv (t, I)
(11.2.17)
LO
В этом приближении оказывается достаточно формировать лишь
первую производную логарифма функционала отношения правдоподо-
бия, т. е. в структурной схеме рис. 11.2.1 сохраняется лишь один канал.
Смещение и дисперсию оценки, получаемой с помощью упрощенно-
го дискриминатора, находим, подставляя (11.2.14) в (11.2.17) и выпол-
няя усреднение:
(11.2.18)
(11.2.19)
Итак, дисперсия оценки неэнергетического параметра, получаемая
с помощью рассмотренного дискриминатора, совпадает с дисперсией
несмещенной эффективной оценки (3.1.46).
11.3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА РАДИОСИГНАЛА
СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Выходной сигнал оптимального приемника при приеме узкополос-
ного радиосигнала со случайной начальной фазой, распределенной рав-
новероятно на интервале [—яг, л], определяется выражением (4.3.1).По-
лагая отношение сигнал/помеха достаточно большим для обеспечения
надежной оценки и переходя в (4.3.4) к ненормированным функциям,
получаем
М (/)=7? (/) - [1п 7? (/) + Q (Z)]/2.
(11.3.1)
Подставляя (11.3.1) в (11.1.3), приходим к формуле
m
<0 -fl
dR (1} n, (n dQ (/)
dl ~R (Z) dl
dtR (I) p ... <?R (I)
dl* —« W dli
\dR (I) I2
dl
d2Q (/)
dl2
(11.3.2)
определяющей структуру дискриминатора в случае приема радиосигна-
ла со случайной начальной фазой. Здесь огибающая 7?(/) и отношение
сигнал/помеха находятся из (2.5.14) и (2.5.7) соответственно.
270
Определим статистические характеристики оценки. Для этого, ис-
пользуя нормированные функции <(4.2.9) с учетом замечаний к формуле
(4.3.3), представим как
fl(Z) = e-‘[G2(Z„ /) + 2sG(Z0, Z)^(/)4-26W2(/)]'/2, (11.3.3)
где
*7 (О = *Л {Nc (Z) cos [Ф (Z„ I) - ?0] - Ns (Z) Sin [Ф (Zo, Z)-<?,]};
^.(Z)=72[№c(Z) + №s(Z)];
tg®(Ze, Z) = Ss(Z,, Z)/SC(ZO, Z).
Подставляя (11.3.3) и Q(Z)=e2^(Z) в (11.3.2) и разлагая получен-
ное выражение в ряд Маклорена по в, находим оценку в вице (11.2.3),
где следует положить
® ---$1^2$% ^1*^2 ’
I 1 / sig\____Slg‘2. ё1 А
2s2 s2gQ s2g0 g0 j
Здесь
а функция S(Z) определяется соотношением (4.3.7). Подставляя
в (11.2.3) значения 0, Л и I2 и выполняя усреднение по реализациям
помехи n(t), находим выражения для смещения и дисперсии оценки
Здесь
ai=S2 Ks2 1 l3£o 1 (gu+gse) — +7^7’ (g\g^ — g2)| —
ligtgo 4“ gl2S2 ~^~3/igngo lSlS2 №g\g0 1 —g2) -j- £1] —
3Яюёо (2«1«2 gign 1 -1-1)};
a2 = s2 2 (g" — 2g>As2' +g22s7s2 2);
gik G cos [ф (Z*’Zs)+ф (Z=> z«) ~ ф <z*’ z»)l 1 •
1,2 >!Ф
271
С помощью последних соотношений .получаем выражение для эффек-
тивности оценки параметра узкополосного радиосигнала со случайной
начальной фазой в виде (11.2.10), где
fl=8 2De(Iq).
(11.3.6)
Здесь De(Ig) —дисперсия эффективной оценки в классе оценок со сме-
щением (11.3.4). При этом, как и в § 11.2, можно показать, что при
И оценка, получаемая с помощью рассматриваемого дискри-
минатора, является асимптотически эффективной.
При оценке неэнергетического параметра узкополосного радиосиг-
нала со случайной начальной фазой отношение сигнал/помеха не зави-
сит от оцениваемого параметра, и структура дискриминатора несколь-
ко упрощается, принимая вид
(11.3.7)
Характеристики оценки по-прежнему находятся из выражений
(11.3.4) и (11.3.5), где при выполнении дифференцирования необходимо
учесть, что для неэнергетического параметра
G(/n
Ф (l19 l2) — Ф (Z, - Z2) = - Ф (/2 - ZJ.
11.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА РАДИОСИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ АМПЛИТУДОЙ
И СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Обобщим результаты предыдущего параграфа на оценку произ-
вольного параметра при приеме узкополосного радиосигнала (8.1.20)
с неизвестной амплитудой и случайной начальной фазой. Так же как
при рассмотрении оценки, получаемой при непрерывном изменении па-
раметра опорного сигнала (§ 8.1), будем полагать, что отношение сиг-
нал/помеха для принятого сигнала достаточно велико для обеспечения
надежной оценки. При этом оценка находится по положению абсолют-
ного максимума функции (8.1.28), которая монотонно зависит от
/?2i(Z) IQi(l)* Поэтому в качестве выходного сигнала приемника при
непрерывном изменении параметра можно рассматривать отношение
/?2i(Z)Тогда согласно (11.1.3) структура дискриминатора будет
определяться выражением
i* - U (0 Q. (О (0 - Q. (0]
- (/) I Ь, (Z) (Z) [R\ (Z) - Q, (Z)] Г2 Q. (Z)
_ * 1 V
(11.4.1)
272
Для определения характеристик оценки введем в рассмотрение ма-
лый (в условиях надежной оценки) параметр е=1/p=[a2oQi(/o)]~1/a и
нормированные функции
S(Z) = G2(Ze, Z)/Q(Z),
(I) = 2G (la, I) N, (I)IQ (Z), (11,4.2)
AZ2(Z)=2jV2 (Z)/Q(Z),
где G(ZS, Z2), AZi(Z) и AZz(Z) определяются выражениями
денные нормированные функции обладают свойствами
(11.3.3). Вве-
S (Z„) = 1, (Д (Z)) = О, (X (Z))=2,
{Nt (Z,) N, (Z2)) = 4 -° Z.c) ° (4> /о) cos [Ф (Z,, Z2) 4-
V VI/ W V2/
4-ф(4. О-ф(4» О].
(/,) Д (Z,)) = 4 —Q (Za).
V vn V V2J
Представляя правую часть (11.4.1) через малый параметр е и соотно-
шения (11.4.2), разложим получаемую функцию Zm(e) в ряд Маклорена
по 8. Оценка определяется выражением (11.2.3), где следует положить
dlN1 (/) '
dl1
dlN2 (I)
dl1
dzS (/)
При этом смещение и дисперсия оценки соответственно равны
0tn I ^о» ®о> %)’---------б —S CCj,
_2_
s а2,
(11.4.3)
ai=s2 (^12 — stg22s2 );
а2 ^2 Ч- 5 1^22^2 )’
dl+k
dl^Tk
G (lu I2) G (/t, 4) G (/a> /0)
Q (/1) Q (/g)
C0S[O(/n /2) +
Аналогично (4.3.40) можно показать, что функция S(l)—Gz(lOf I) /Q(l)
достигает максимума при 1=Iq. Поэтому при 1^=1^ si=0 и выражение
для дисперсии оценки (11.4.4) совпадает с выражением для дисперсии
оценки параметра узкополосного радиосигнала с неизвестной амплиту-
дой и случайной начальной фазой (8.1.27) при непрерывном изменении
параметра опорного сигнала.
273
Если оцениваемый параметр I является неэнергетическим, то 0(1) =
=(J=const и выражение (11.4.1), определяющее структуру дискримина-
тора, несколько упрощается:
„ „ Л dR (/)
R (Z) (/) - Q]
' ~ (PR (/) - \dR (/)
R (i) (0 - QI (0 + QI —^L
(11.4.5)
Характеристики оценки неэнергетического параметра можно найти
из формул (11.4.3) и (11.4.4), для чего необходимо положить
<2(0
1. 0(0, 0)
о (4
Ф(/„ /,)
ф (Ц - 0)
В некоторых случаях (когда, например, неизвестно априорное рас-
пределение начальной фазы) полезный сигнал целесообразно рассма-
тривать как сигнал с неизвестными амплитудой и начальной фазой.
В этом случае, при непрерывном изменении параметра опорного сигна-
нала, оценка находится по положению абсолютного максимума функ-
ции, которая с точностью до постоянного множителя совпадает с функ-
цией /Qi(l). На основе последней функции определялась структура
дискриминатора (11.4.1). Поэтому при приеме узкополосного радио-
сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой структура соот-
ветствующего дискриминатора совпадает с (11.4.1), а характеристики
оценки могут быть получены из формул (11.4.3) и (11.4.4).
Описанным способом можно вычислить характеристики совместных
оценок параметров известного сигнала и радиосигнала со случайной
начальной фазой [123]. Однако получающиеся аналитические выраже-
ния для смещений и функций корреляций ошибок оценок довольно гро-
моздки.
11.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА С ПОМОЩЬЮ
НЕОПТИМАЛЬНОГО ДИСКРИМИНАТОРА
Дискриминаторы, рассмотренные в предыдущих параграфах этой
главы, можно назвать оптимальными в том смысле, что их структура
(11.1.3) определялась на основе логарифма функционала отношения
правдоподобия Для синтеза таких дискриминаторов применитель-
но к оценке параметра известного сигнала необходимо знать опорный
сигнал оптимального приемника v(t, I), который находится из уравне-
ния (2.2.7). Определить форму оптимального опорного сигнала или
реализовать соответствующий дискриминатор не всегда возможно в си-
лу причин, перечисленных в § 10.1. Поэтому в некоторых случаях ока-
зывается целесообразным использование неоптимальных дискримина-
торов, -структура которых определяется формулой (11.1.3) при подста-
новке в нее выходного сигнала неоптимального приемника Л4Д(/)
(гл. 10).
Рассмотрим задачу оценки с помощью неоптимального дискримина-
тора для приема известного сигнала. Структуру дискриминатора полу-
чаем, подставляя М,(1) из (10.2.2) в (11.1.3). Блок-схему такого
дискриминатора можно представить в виде, показанном на рис. 11.2.1,
274
где следует заменить оптимальный опорный сигнал v(t, I) неоптималь-
ным ид(/, /).
Используя нормированные сигнальную и помеховую функции и па-
раметр е, введенные в § 10,2, оценку, получаемую с помощью неопти-
мального дискриминатора, запишем в виде
d [SA (0 + j
d2[SA(0+^A (OW /
4
(11.5.1)
Полагая отношение сигнал/помеха на выходе неоптимального при-
емника большим, т. е. е«С1, для вычисления статистических характе-
ристик оценки разложим правую часть (11.5.1) в ряд Маклорена по е.
Отбрасывая члены порядка малости е3 и менее, имеем (11.2.3), где сле-
дует положить
(О'
п.—
(11.5.2)
Характеристики оценки находятся соответственно из формул (11.2.6)
и (11.2.7), в которые необходимо подставить St из (11.5.2) и
где SN(li, /?) определено в (10.2.3).
Аналогично находятся структура дискриминатора и характеристи-
ки соответствующей оценки параметра узкополосного радиосигнала со
случайной начальной фазой при неоптимальном приеме. Для этого до-
статочно в формулах § 11.4 заменить все функции параметра I на по-
добные функции из § 10.3, т. е. вместо S(l) подставить \ (/), вместо
G(/i, Z2)—h) и т. д.
11.6. ДИСКРИМИНАТОР, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
При реализации устройств оценки параметра сигнала в виде
дискриминаторов вместо непрерывных производных в (11.1.3) часто ис-
пользуют их допредельные аналоги — конечные разности (конечные при-
ращения). Действительно, выбрав величину А достаточно малой, можно
записать приближенные выражения
М (£ф+ Д/2) — Л4 (/ф — tft)
‘ d'M {I) М (/ф + Д) +М (/Ф-Д) -2М (/ф)
d? , Д?
*Ф
Подставляя эти значения производных в (11.1.3), получаем, что
структурная схема дискриминатора при использовании конечных раз-
ностей (рис. 11.6.1) определяется выражением
- М(/ф+Д/2)-М(/ф-Д/2)
т ф Д М (*ф+ Д) + М (1ф- Д) — 2Л4 (/ф) ’
(11.6.1)
275
Для определения статистических характеристик оценки подставим
в (11.6.1) выходной сигнал М(1), выраженный через нормированные
сигнальную и помеховую функции (3.1.3.) В результате получим
1т = /ф - A (S, + ^,)/(32 + (11.6.2)
S2 = s (1ф + A) + 5 (/ф - А) - 2S (/ф);
Л\ = N (/ф -Г д 2) - N (1ф - Д/2);
А=(/ф + А) + (/ф - А) - 2JV (/ф).
Рис. 11.6.1. Структурная схема дискри-
минатора, использующего конечные раз-
ности.
Разлагая правую часть (11.6.2) в ряд Маклорена по е, находим вы-
ражение для случайной ошибки измерения (в условиях надежной
оценки)
1т—Zo—6 + б/1, (11.6.3)
где
в=/ф - - Д (SJSJ,
h=- {N1n2sjs2) &/s2.
Отсюда получаем формулы для смещения и дисперсии оценки
в первом приближении
(№i) + (№£)^
2
Здесь
(№2) = Q (/ф + А) 4- Q (/ф - А) + 4Q (/ф) 4-2S(/e + A,Ze-A)-
-43(/ф + Д, /ф) —43(/ф —А, /ф);
<ад)=з(/Ф+4> 'ф+а)+з(/ф+4’
276
д
Нормированные функции S(Zi, /2) и Q(l)=S(l, I) определены в (3.1.11).
Если оцениваемый параметр является неэнергетическим, то
5(4, Z2)=S(Zi—Z2)=S(4—Zi), и формулы (11.6.4) и (11.6.5)
принимают вид
. . , 5(/ф-,/0 + Д/2)-5(/ф-/0-Д/2)
Ч к Л 5(/ф-/0+Д)+5(/ф-/0-Д)-25(/ф-/0) ’
где
<№10)
5(A)]; (№20)
е2Д2
5%
(№10) + (№2е) ~
2 [3 - 4S(A) + S(2A)],
(11.6.7)
Dd (lm 4)
a 5(A) и5(2А) определяются (3.1.11).
При Ц~10 оценка параметра несмещенная, а дисперсия оценки па-
раметра равна
&d (hn I 4)
0,5s2A2/[l — S(A)].
(11.6.8)
Если в последней формуле положим А -> О, то
&d (Jm I 4) *
-cPS (A) 1-1
A=0
DE (4),
t. e. дисперсия оценки совпадает с дисперсией эффективной несмещен-
ной оненки.
11.7. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК НЕКОТОРЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
С ПОМОЩЬЮ ДИСКРИМИНАТОРА
В предыдущих параграфах этой главы получены формулы для смещения и дис-
персии оценки произвольного параметра сигнала при использовании дискриминаторов.
Однако конкретизация физической сущности оцениваемого параметра позволяет более
наглядно проанализировать свойства дискриминаторов.
1. Найдем смещение и дисперсию оценки длительности колокольного радиосигнала
со случайной начальной фазой (4.9.30) при использовании оптимального дискриминато-
ра и приеме на фоне белого шума со спектральной плотностью Nq. Характеристики
оценки определим для известной и неизвестной амплитуды радиосигнала.
Необходимые для вычисления характеристик оценки функции в соответствии
с ('4.9.31) и (4.3.7) имеют вид
Вычисляя производные от этих функций согласно (11.3.4) и (11.3.5), получаем
выражения для смещения и дисперсии оценки длительности Р при приеме сигнала
277
чс известной амплитудой
Здесь k—рф/ро — отношение длительности опорного сигнала к длительности прини-
маемого сигнала;
— отношение
сигнал/поме-
ха.
Если амплитуда сигнала (4.9,30) априори неизвестна, то, вычисляя производные
согласно (1'1.4.3) и (11.4.4), имеем
(Pm I Ро> ^о» То) —~ Ро \ — 1 +
[13й10 + 227й8 + 164й5 + 1 ЮЛ4 — 135/г2 — 33]
(11 7.3)
R2 (1-L.&2)3
Dd (Pm i Ро, «с» То) = ~^Г ~(2fe)7(3 —fe2)* I33*12 + 42*10 + 111/г8 + 140^6 +Ш^ +
+ 42£2+33]. (11.7.4)
На рис. 11.7.1 приведены зависимости нормированных дисперсий оценки длитель-
ности радиоимпульса с известной p2Dd(₽m|₽o» <Ро)/Р2о (сплошная линия) и неизвестной
Рис. 11.7.1. Зависимости дисперсии оцен-
ки длительности радиоимпульса от k.
Рис, 11.7.2. Зависимости эффективности
оценки длительности радиоимпульса
от k.
(pm | Ро, «о» Фо)/₽2о (штриховая линия) амплитудами от отношения длительностей
опорного и принимаемого сигналов k. Согласно приведенным зависимостям в области
£>4 с ростом k дисперсия монотонно возрастает, так как в этой области увеличивается
расстройка 1₽Ф-Ы и одновременно уменьшается отношение сигнал/помеха для при-
нятого сигнала, которое пропорционально Ро. На интервале /г^0,7—1,0 с уменьшением
k дисперсия убывает. Физически это объясняется тем, чтв уменьшение k соответствует
278
увеличению (30, а это, в свою очередь, ведет к увеличению отношения сигнал/помеха
и уменьшению дисперсии. Хотя одновременно возрастает расстройка |рф—р0| (что вы-
зывает увеличение дисперсии), однако в указанном интервале значений k преобладает
первый фактор, а при &<0,7 — второй фактор и дисперсия начинает возрастать.
Используя (11.7.1)—(11.7.4), аналогично (11.2.10) можно найти эффективность
оценок длительности.
Зависимости эффективности оценок длительности от отношения длительностей
опорного и принимаемого сигналов для различных значений отношения сигнал/помеха
приведены на рис. 11.7.2. Сплошной линией нанесена эффективность оценки длительно-
сти при приеме сигнала с известной амплитудой и случайной начальной фазой, а штри-
ховой — эффективность оценки при приеме сигнала с неизвестной амплитудой и случай-
ной начальной фазой. Из рассмотрения кривых следует, что при малых значениях
разности |рф—р0[ (т. е. при k^-\) независимо от величины отношения сигнал/помеха
Рис. 11.7.3. Зависимости дисперсии оцен-
ки временного положения колокольного
радиоимпульса от д.
эффективность оценки близка к единице. При этом с ростом величины отношения сиг-
нал/помеха область значений разности |Рф—Ро|, в которой эффективность близка
к единице, увеличивается. Из рис. Г1.7.1 и 11.7.2 видно также, что незнание амплитуды
сигнала приводит к снижению точности оценки длительности. Такое снижение точности
оценки имеет место и при непрерывном изменении параметра опорного сигнала (§ 8.6).
2- Определим смещение и дисперсию оценки временного положения колокольного
радиоимпульса при приеме в белом шуме со спектральной плотностью No. Хотя при
оценке временного положения сигнала оптимальный приемник с непрерывным измене-
нием параметра опорного сигнала может быть реализован с помощью согласованных
фильтров, в некоторых случаях оказывается целесообразным использовать дискримина-
торы для оценки временного положения. Это обусловлено тем, что применение дискри-
минаторов позволяет упростить структуру приемника. Действительно, при использова-
нии дискриминаторов нет необходимости в решающем устройстве, реализация которого
может быть затруднительна. Поэтому представляет интерес вычислить статистические
характеристики оценки временного положения, получаемой с помощью дискриминатора,
и тем самым определить ухудшение качества оценки по сравнению с оптимальной оцен-
кой максимального правдоподобия. Пусть узкополосный радиосигнал со случайной на-
чальной фазой имеет вид
s (<• то> ?о) =а» ехр [— (t — т0)2/₽2,] cos (<»</ — <?в).
(11.7.5)
Тогда функции, определяющие смещение и дисперсию оценки согласно (11.3.4) и
(11.3.5), можно записать как
S (т) = ехр [— (те — т)2/2р2,] — >/8,
G СЧ — ^) =ехр [— — т2)2/2(?=0].
=0.
Вычисляя необходимые производные этих функций в точке Тф и подставляя их в фор-
мулы (11.3.4) и (11.3.5), получаем выражения для смещения и дисперсии оценки вре-
менного положения
______
1—q2 р2 (1 — д2)2
bd fcm 1 ^о» ¥о) —
е^/2 [ 1 _ 4+<’ + ? - 9*) ] ,
(11.7.6)
о * ~ ч
2 (1-
4
-
где 7=(Тф—То)/Ро-
На оис. 11.7.3
с увеличением абсолютного значения расстройки |</|.
нормированной дисперсии оценки временного .положения можно
рис. 11./л приведена зависимость нормированной дисперсии оценки
d v i™ | То, Фо) /Р2о от величины отосительной расстройки q. Из рисунка следует, что
дисперсия оценки достигает минимума при отсутствии расстройки (^=0) и сравнитель-
но быстро возрастает
Выражение для
переписать в виде
P27)d (Tm I то> ?о) &d 1 то, ?о)
& I т0, <р0)
О
где
2
£(Tm|T(h фо)=Р2о/р
— дисперсия оценки максимального правдоподобия при непрерывном изменении пара-
метра опорного сигнала. Следовательно, зависимость на рис. 11.7.3 показывает увели-
чение дисперсии оценки временного положения за счет упрощения структуры приемного
устройства.
НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — амплитуда полезного сигнала
Aik — алгебраические дополнения
b (у \1) — условное смещение оценки у
b (у) — безусловное смещение
Ье, De, De— смещение, дисперсия и рассеяние эффективной оценки,
С (у, I)—функция потерь
D(y|/), D(y)—условная и безусловная дисперсии оценки
^D(y|Z), D(y) —условное и безусловное рассеяния оценки
F(t, I) —закон амплитудной модуляции радиосигнала
G(Zi, /2) —нормированная огибающая сигнальной функции
К(/ь h) —функция корреляции помехи
Kife(lm) —элементы корреляционной матрицы оценок
lh (г) — функции Бесселя мнимого аргумента
1рг, Dpr — среднее значение и дисперсия априорного распределения
Ips, DpS — среднее значение и дисперсия апостериорного распределения
1Е — эффективная оценка
1т — оценка максимального правдоподобия
/ф — фиксированное значение параметра опорного сигнала
Li, L2— границы априорного интервала определения оцениваемого пара-
метра
М(1) —логарифм функционала отношения правдоподобия,
No — односторонняя спектральная плотность белого шума
ЯО. ЛГ(О — ненормированная и нормированная помеховые функции
Nc (О, *.(/) — нормированные квадратурные составляющие помеховой функции
n(f) — реализация помехи
Ро, Ра — вероятность надежной (нормальной) и ненадежной (аномальной)
оценки
Q(Z) —нормированное отношение сигнал/помеха
Q(Z) —отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника
^(у|/) — условный риск
(у) — средний риск
— апостериорный риск
— байесовский риск
/?(/,) ^?a(Z) —огибающая на выходе оптимального приемника радиосигнала с рав-
номерно и неравномерно распределенной начальной фазой
r(Z)—нормированная огибающая на .выходе оптимального приемника
s(Z, I) —полезный сигнал
s(t, I, <р) —узкополосный радиосигнал
3(Л, /2), ^(Л, /2) — нормированная и ненормированная сигнальные функции
S(l), S(l)—нормированная и ненормированная сигнальные сооставляющие
19—356 281
5 (co, /), К (co) —спектры функций s(t, I), К(т)
T — время приема
u(Z, Z), V(t, I) — опорный сигнал и огибающая опорного сигнала оптимального при-
емника
ITpr(Z), —априорная и апостериорная плотности вероятности
x(Z) —реализация наблюдаемых данных
X(l), Y(l) —квадратурные составляющие выходного сигнала оптимального при-
емника
у — оценка по произвольному правилу
ут — байесовская оценка
е = I /р — малый параметр при р<С 1
т] — разрешающая способность системы оценки
Л (О, A(Z) — отношение и функционал отношения правдоподобия
р— отношение сигнал/помеха по напряжению для истинного значения
оцениваемого параметра
pi — отношение сигнал/помеха для сигнала с единичной амплитудой
Р2г—суммарное отношение сигнал/помеха для последовательности
импульсов
ср — начальная фаза радиосигнала
Ф(х) — интеграл вероятности
ф(/, Z) —закон фазовой модуляции радиосигнала
£2, (Hik — определитель и элементы определителя
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ *
1. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М., «Сов. ра-
дио», 1971.
2. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех.
М., «Сов. радио», I960.
3. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, т. 4. Пер. с англ. М., «Сов.
радио», 1972.
4. Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи. Пер. »с англ. М., «Сов. радио», 1970.
5. Возенкрафт Дж., Джекобс И. Теоретические основы техники связи. Пер. с англ.
М., «Мир», 1969.
6. Вопросы статистической теории радиолокации, т. 12. Под ред. Г. П. Тартаковского.
М., «Сов. радио», 1964. Авт.: П. А. Бакут, И. А. Большаков, Б. М. Герасимов и др.
7. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями в ра-
диолокации. Пер. с англ. М., «Сов. радио», 1955.
8. Гренандер У. 'Случайные процессы и статистические выводы. Пер. с англ. М.,
ИЛ, 1961.
9. Гуткии Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуационных по-
мехах. М., «Сов. радио», 1972.
40. Де Гроот М. Оптимальные 'статистические решения. Пер. с англ. М., «Мир», ‘1974.
'11. Закс Ш. Теория статистических выводов. Пер. с англ. М., «Мир», 1975.
12. Кеидал М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. Пер. с англ. М.г
«Наука», 1973.
ГЗ. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М., Госэнерго-
издат, 1956.
14. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. М., ИЛ, 1948.
15. Кремер И. Я., Владимиров В. И., Карпухин В. И. Модулирующие помехи и прием
радиосигналов. М., «Сов. радио», 1972.
16. Куликов Е. И. Вопросы оценок параметров сигналов при наличии помех. М., «Сов.
радио», 1969.
17. Куллдорф Г. Введение в теорию оценивания. Пер. с англ. М., «Наука», 1966.
18. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. 2. М., «Сов.
радио», 1975.
19. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. Пер. с англ.
М., «Наука», 1966.
20. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 2. Пер. с англ. М.,
«Сов. радио», 1962.
21. Миддлтон Д. Очерки теории связи. Пер. с англ. М., «Сов. радио», 1966.
22. Митяшев Б. Н. Определение временного положения импульсов при (наличии помех.
М., «Сов. радио», 1962.
23. Рао Р. С. Линейные статистические методы и их применение. Пер. с англ. М.,
«Наука», 1969.
24. Свиридов Э. Ф. Сравнительная эффективность моноимпульсных радиолокационных
систем пеленгации. Л., «Судостроение», 1964.
25. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории
оптимального управления. МГУ, 1966.
26. Тихонов В. И., Кульмаи Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием
сигналов. 1М., «Сов. радио», 4975.
27. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов. радио», 1966.
28. Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. [Сборник статей].
* Приводимый ниже перечень не претендует на полноту.
19*
283
Пер. с англ. Под ред. Н. А. Железнова. М., ИЛ, 19’53.
29. Фомин А. Ф. Помехоустойчивость систем передачи «непрерывных сообщений. М.,
«Сов. радио», 1975.
30. Фалькович С. Е. Оценка параметров сигналов. М., «Сов. радио», 1970.
31. Хазен Э. М. Методы оптимальных -статистических решений и задачи оптималь-
ного управления. 'М., «Сов. радио», '1968.
32. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. Пер. -с англ. М.,
ИЛ, 196’3.
33. Ченцов Н. FL Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.,
«Наука», 1972.
84. Ширман Я. Д., Голиков В. Н. Основы теории обнаружения радиолокационных
сигналов и измерение их параметров. М., «Сов. радио», 1963.
35. Deutsh R. Estimation theory. Prentice Hall, 1965.
36. Nahi N. E. Estimation theory and Application. N. Y., J. Wiley, 1969.
37. Sage A. P., Melsa J. L. Estimation theory with application to communications and
control. N. Y., McGraw-Hill Book Co. 1971.
38. Wald A. Statistical decision functions, J. Wiley, 1950.
39. Акиидииов В. В. О расчете вероятности «грубой» ошибки при двухшкальном спо-
собе измерения параметра сигнала. — «Радиотехника и электроника», 1963,
т. 8, № 7.
40. Амиантов И. И., Заболотских В. Г. Оптимальные приемники для измерения вре-
мени задержки импульсных сигналов при наличии замираний. — «Изв. вузов СССР.
Радиоэлектроника», 1972, т. 15, № 5.
41. Аристова О. Г. Об одном упрощенном алгорит-ме оценки параметров сигнала.—
«Радиотехника», 1972, т. ’27, № 7.
42. Бакут П. А. Оценка максимального правдоподобия параметров нормальных сиг-
налов. — «Изв. вузов СССР. Радиотехника», 1962, т. 5, № 3.
43. Бакут П. А. О потенциальных возможностях локации при наличии квантовых и
тепловых флуктуаций поля. — «Радиотехника и электроника», '1967, т. 12, № 1.
44. Башаринов А. Е., Акиидииов В. В. Об оптимальных параметрах многошкальных
измерительных схем. — «Радиотехника и электроника», 1963, т. 8, № 1.
45. Бекетов С. В., Потапов А. В. Измерение времени .прихода случайных импульсных
сигналов. — «Радиотехника -и электроника», 4969, т. 14, № 6.
46. Бекетов С. В., Королев А. И., Потапов А. 'В. Оценка местоположения источника
узкополосного сигнала. — «Радиотехника и электроника», 1971, т. 46, № 7.
47. Бекетов С. В., Королев А. И., Потапов А. В. Оценка местоположения источника
импульсного сигнала. — «Радиотехника и электроника», 1971, т. 16, № 12.
48. Белоусов Н. Н., Корсаков Н. И. Дискриминатор следящего измерителя времени
пространственной задержки шумоподобного сигнала. — «Радиотехника», 1972,
т. 27, № 3.
49. Бернстейн Р. Исследование угловой точности обзорного радиолокатора. — В кн.:
Прием сигналов при наличии шума. Пер. с англ. Под ред. Л. С. Гуткина. М.,
ИЛ, I960.
50. Балицкая В. Г., Дугин В. В., Гудым В. А. Точность оценки дальности по поло-
жению максимума огибающей напряжения на выходе кв аз и оптимального филь-
тра.— «Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника», 4974, т. 47, № 40.
51. Брандии В. Н., Лобачев В. С. Об одном методе нелинейной оценки ’параметров.—
«Автоматика «и телемеханика», 1970, т. 5311, № 8.
52. Бунимович В. И., Морозов В. А. Об оценке частоты узкополосного сигнала на
фоне белого шума. — «Радиотехника и электроника», 1962, т. 7. № il.
53. Владимиров В. И. Оценка амплитуды сигнала со случайной начальной фазой при
простой функции стоимости. — «Электросвязь», 1967, т. 21, № 5.
54. Андреев Г. А., Левенец Б. П., Магид Р. М., Хохлов Г. И. Влияние аддитивной и
мультипликативной помех иа точность измерения углового положения источника
излучения системами с широтно-импульсной модуляцией. — «Изв. вузов СССР.
Радиоэлектроника», 1972, т. 4’5, № 9.
55. Воллернер Н. Ф., Балицкая В. Г., Дугин В. В. Оценка амплитуды эхо-сигнала
с учетом априорного распределения плотности вероятности его уровней. — Изв.
вузов СССР. Радиотехника», 1966, т. 9, i№ 0.
56. Болотовская Н. К. Потенциальная точность измерения параметров, характеризую-
щих структуру объектов сложной формы. — «Радиотехника и электроника», 1974,
т. 19, № 2.
57. Гаврилин А. Т. Об оценке параметров случайного процесса. — «Радиотехника и
электроника», 1975, т. 20, № 3.
58. Голованов В. Г. О точности автокорреляционной оценки разности фаз сигналов
284
неизвестной частоты в присутствии ‘белых шумов. — -«Радиотехника и электро-
ника», 1974, т. *19, № 7.
59. Гришанин Б. А. Асимптотические гауссовые методы в квантовых задачах оцени-
вания классических параметров. — «Радиотехника и электроника», Ю73, т. 48, № 4.
60. Докторов А. Л. Точность совместной -оценки двух параметров 'радиосигнала при
неоптимальном приеме на фоне коррелированного шума. — «Радиотехника и элек-
троника», 4966, т. И, '№ 9.
61. Докторов А. Л. О влиянии допплеровских искажений широкополосного сигнала
на точность оценки его параметров. — «Радиотехника», -1968, т. 23-, № '112.
62. Докторов А. Л. О влиянии неоптимального фильтра -приемника на точность оцен-
ки параметров радиосигнала. — «Радиотехника», 1969, т. 24, № 1.
63. Евсиков Ю. А., Чапурский В. В. Статистический анализ угловых дискриминаторов
при пелеганции пространственно-протяженных объектов. — «Радиотехника и элек-
троника», 1973, т. .18, ‘№ 1.
64. Жилин Н. С., Штарев Н. Н. -О точности измерения среднего значения разности
фаз при коррелированных шумах в каналах фазометра. — «Изв. -вузов СССР.
Радиоэлектроника», 4970, т. 13.
65. Зейдман Л. П. Предельные характеристики и вычисление ошибок при оценке
параметров. — ТИИЭР, '1970, т. 58, 1№ 5.
66. Зиберт В. Общие закономерности обнаружения целей ‘при помощи радиолокацион-
ной техники. Пер. с англ. — «Вопросы радиолокационной техники», 1957, № 4.
67. Ибрагимов И. А., Хасьмииский Р. 3. О предельном поведении байесовских оценок
и оценок максимального правдоподобия. — ДАН СССР, 1971, т. 198, '№ 3.
68. Ибрагимов И. А., Хасьмииский Р. 3. Асимптотическое поведение некоторых стати-
стических оценок в гладком случае. — «Теория вероятностей и ее применение»,
1972, т. 17, № 3.
69. Казаринов Ю. М., Коломенский Ю. А. Анализ помехоустойчивости некоторых ти-
пов временных дискриминаторов. — «Изв. вузов ’СССР. Радиотехника», 1959,
т. 4, № 2.
70. Карпухин В. И. Точность измерения одного параметра при наличии амплитудно-
фазовых искажений сигнала. — «Радиотехника», '1’96-8, т. 23, № 5.
71. Карпухин В. И. Точность измерения частоты и времени прихода радиосигнала при
наличии амплитудно-фазовых искажений. — «Радиотехника», 1969, т. 24, № 1.
72. Келли Е. Радиолокационное измерение дальности, скорости и ускорения. — «Зару-
бежная радиоэлектроника», 4962, № 2.
73. Киреев Ю. А. О влиянии амплитудного квантования на точность оценки пара-
метров. — «Радиотехника и электроника», .4972, т. 17, .№ 4!2.
74. Коломенский Ю. А. >К вопросу о влиянии флуктуационных помех на точность
определения временного положения сигнальных импульсов. — «Изв. вузов СССР.
Радиотехника», 1962, т. 5, № 2.
75. Коломенский Ю. А. О 1помехоустойчивости одного способа д инкриминирования
импульсных сигналов. — «Изв. вузов СССР. Радиотехника», 1965, т. 8, № 5.
76. Корниевский В. И., Романцев В. ,В., Титов А. В. Исследование помехоустойчивости
многоканального измерителя фазы сигналов. — «Радиотехника и электроника»,
1972, т. 17, № 4.
77. Красногоров С. И. Совместная оценка амплитуды, фазы, расстояния .и его произ-
водных .радиолокационными методами. — «Радиотехника и электроника», 4964,
т. 9, № 1.
78. Кремер И. Я., Карпухин В. И. Измерение неэнергетического параметра сигнала
при высоком уровне аддитивных и модулирующих (мультипликативных) помех.—
«Радиотехника», 1972, т. 27, № 6.
79. Кречетов А. Д., Суслов И. А. Статистические характеристики оценки среднего
с учетом информации канала обнаружения в моноимпульсном угломере. — «Радио-
техника и электроника», 1971, т. 16, № 11.
80. Кривелев А. П. К расчету дисперсий эффективных оценок при измерении пара-
метров сигнала. — «Радиотехника и электроника», 4968, т. 113, № В.
8L Куликов Е. И. Ненадежность оценки параметров радиосигнала со случайной
начальной фазой при оптимальном приеме в нормальном шуме. — «Радиотехника
-и электроника», 1962, т. 7, № 5.
82. Куликов Е. И. О точности одного способа измерения параметра сигнала при
дискретных значениях параметра опорного сигнала приемника. — «Радиотехника и
электроника», 1962, т. 7, № 7.
83. Куликов Е. И. Предельная точность оценки параметра сигнала при приеме в нор-
мальном шуме. — «Радиотехника», 1962, т. 17, № 7.
84. Куликов Е. И. Предельная точность измерения времени запаздывания. — «Радио-
техника», 1962, т. 17, № 8.
г
85. Куликов Е. И. Предельная точность измерения частоты флуктуирующего -сигнала
на фоне белого шума. — «Изв. вузов СССР. Радиотехника», 1962, т. 5, № 5.
86. Куликов Е. И. Предельная точность совместной оценки двух параметров сигнала
при приеме в нормальном шуме. — «Радиотехника», 1963, т. 18, № 1.
87. Куликов Е. И. Предельная точность измерения параметра радиосигнала при
приеме неоптимальным приемником на фоне нормального шума. — «Радиотехника
и электроника», 19613, т. 8, 1№ 6.
88. Куликов Е. И. О точности -измерения параметров радиосигнала по моменту про-
хождения выходным сигналом оптимального приемника заданного уровня. — «Изв.
вузов СССР. Радиотехника», 1964, т. 7, № 1.
89. Куликов Е. И. К вопросу об оценке параметра радиосигнала на фоне нормаль-
ных шумов. — «Радиотехника», 1964, т. 19, l№ 9.
90. Куликов Е. И. Предельная точность измерения центральной частоты узкополос-
ного нормального случайного процесса на фоне белого шума. — «Радиотехника -и
электроника», 1964, т. 9, 1№ 10.
91. Куликов Е. И., Докторов А. Л. Дисперсия оценки параметра радиосигнала при
приеме на фоне коррелированных шумов. — «Радиотехника», 1967, т. 22, № 10.
92. Куликов Е. И. Оптимальная оценка параметра при приеме последовательности
флуктуирующих радиоимпульсов в нормальном шуме. — «Изв. вузов СССР. Ра-
диофизика», 1968, т. 1.1, № 8.
93. Куликов Е. И., Трифонов А. П. О некоторых свойствах сигнала на выходе опти-
мального приемника. — «Радиотехника и электроника», 1968, т. 13, № 12.
94. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оптимальная оценка параметра сигнала при
приеме на фоне шума -с флуктуирующей спектральной плотностью. — «Изв.
АН СССР. Техн, кибернетика», 1969, № «1.
95. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Квази оптимальна я -оценка параметра -сигнала при
приеме иа фоне нормальных шумов с неизвестной функцией корреляции. — «Ра-
диотехника», 1969, т. 24, № 10.
96. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Влияние априорного распределения начальной
фазы при оценке параметра узкополосного радиосигнала на фоне шумов. — «Изв.
вузов СССР. Радиоэлектроника», 1970, т. 13, № 2.
97. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка произвольного параметра узкополосного
радиосигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой при приеме в нор-
мальных шумах. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника», 1971, т. 14, № 8.
98. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оптимальная оценка энергетического параметра
сигнала при приеме на фоне нормальных шумов. — «Радиотехника», 1972,
т. 27, № 1.
99. Куликов Е. И., Маршаков В. К., Трифонов А. П. Анализ предельной точности
оценок максимального правдоподобия с учетом аномальных ошибок. — «Радио-
техника и электроника», 1972, т. 17, № 8.
100. Куликов Е. И., Нахмансон Г. С., Трифонов А. П. Оценка параметра сигнала на
фоне нормальных шумов при прямоугольной функции потерь.—«Радиотехника и
электроника», 1972, т. 17, № 8.
101. Кулешов В. И., Морозов А. П. Об оптимальной оценке параметра сигнала со
случайной манипуляцией. — «Радиотехника и электроника», 1969, т. 14-, 1№ 9.
102. Кульман Н. К., Стратонович Р. Л. Фазовая автоподстройка частоты и оптималь-
ное измерение параметров узкополосного сигнала с непостоянной частотой в шу-
ме.— «Радиотехника и электроника», 1964, т. 9, № 1.
103. Левин Б. Р., Шинаков Ю. С. Предельная -форма байесовской оценки коэффициен-
тов -регрессии в присутствии нестационарного шума. — «Проблемы передачи ин-
формации», 1967, т. 3, 1№ 1.
104. Левин Б. Р., Шинаков Ю. С. Некоторые асимптотические свойства байесовской
оценки коэффициентов регрессии в присутствии нестационарного шума. — «Пробле-
мы передачи информации», 1967, т. 3, № 3.
105. Левин Б. Р., Шинаков Ю. С. Байесовская система одновременного различения
нескольких сигналов и оценивания их параметров. — «Радиотехника», 1971,
т. 26, № 4.
106. Леонов Ю. П., Телькснис Л. П. Оценка параметров закона распределения случай-
ной функции при ограниченных априорных данных. — «Автоматика и телемеха-
ника», 1957, т. 18, № 11.
107. Летохов В. С. Об измерении флуктуаций частоты колебаний методами линии за-
держки.— «Радиотехника и электроника», 1964, т. 9, № 9.
108. Ле Кам Л. О некоторых асимптотических свойствах оценок максимального прав-
доподобия и соответствующих байесовских оценок. — «Математика», пер. с англ.
1960, № 4.
286
109. Маршаков В. К., Трифонов А. П. Оценка параметра пространственно-временного
сигнала. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника», 1971, т. ;14, № 6.
110. Маршаков В. К., Трифонов А. П. Прием последовательности импульсов «а фоне
нестационарного шума. — «Радиотехника и электроника», 1972, т. 17, № 1*2.
114. Маршаков В. К., Трифонов А. П. Теоретическое и экспериментальное исследования
приемника максимального правдоподобия. — «Радиотехника и электроника», 1974,
т. 19, № 11.
112. Маршаков В. К», Трифонов А. П. Об одном способе оценки параметра сигнала. —
«Изв. вузов СССР Радиоэлектроника», 1973, т. 16, № 8.
113. Маршаков В. К., Трифонов А. П. О некоторых асимптотических свойствах апосте-
риорного распределения параметра сигнала при наличии нестационарного нор-
мального шума. — «Изв. АН СССР. Техн, кибернетика», 1973, № 6.
114. Миддлтон Д., Эспозито Р. Новые результаты в теории одновременного оптималь-
ного обнаружения сигналов и оценки их параметров в шуме. — «Проблемы пере-
дачи информации», 1970, т. 6, № 2.
115. Минервин Н. Н. О точности измерения допплеровского смещения частоты.—
«Радиотехника и электроника», 4971, т. 16, № 8.
116. Мамонтов Е. В. Расчет аномальных ошибок, обусловленных колебательной фор-
мой автокорреляционной функции сигналов. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектро-
ника», 1974, т. 17, № '5.
117. Мишин А. М. Оценка параметров гармонической помехи по реакции цифрового
фильтра. — «Радиотехника», 1974, т. 29, № 4.
148. Мишин А. М. Погрешность за счет дискретных помех при измерении частоты
фазовым методом. — «Радиотехника», 1966, т. 21, № 7.
119 Морковина М. И. Рекуррентные алгоритмы байесовских оценок параметров сигна-
лов.— «Радиотехника и электроника», 1972, т. 17, № 11.
120. Нахмансон Г. С., Трифонов А. П. Оценка параметра радиосигнала с помощью
дискриминатора. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника», 1970, т. 16, № 10.
121. Нахмансон Г. С. О точности измерения параметра сигнала с помощью дискри-
минатора на фоне коррелированных шумов. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектро-
ника», .1971, т. 14, № 1.
122. Нахмансон Г. С. О точности оценки параметра сигнала при неотгтимальном приеме
на фоне шума. — «Радиотехника и электроника», 1971, т. 46, № 8.
Г23. Нахмансон Г. С. Совместная оценка параметров сигнала с помощью дискрими-
натора.— «Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника», 1971, т. 14, № 8.
124. Нахмансон Г. С. О точности оценки параметра функции корреляции нормального
случайного процесса при приеме на фоне шума. — «Радиотехника и электроника»,
1974, т. Гб, № 8.
125. Нахмансон Г. С. О предельной точности оценки параметра сигнала с помощью
неоптимального приемника. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника», 1971,
т. .14, № 12.
126. Нахмансон Г. С. Точность оценки векторного параметра сигнала на фоне нор-
мальных шумов при прямоугольной функции потерь. — «Изв. вузов СССР. Радио-
электроника», 1974, т. 17, № б.
127. Повалиев А. А. Алгоритм определения однозначной оптимальной оценки пара-
метра, линейно изменяющегося во времени, при многошкальных фазовых измере-
ниях. — «Радиотехника и электроника», 1972, т. 17, № 4.
128. Полуэктов А. А. Синтез оптимальной системы измерения амплитуды гауссова
сигнала при быстром фединге. — «Радиотехника и электроника», 1969, т. 14, № 10.
129. Парфенов В. Г. Оценка амплитудного множителя сигнала известной формы на
фоне гармонической помехи с неизвестными параметрами и шума. — «Изв. вузов
СССР. Приборостроение», .1973, г. 16, № 4.
130. Поплавский С. М. О точности измерения параметра случайного процесса по ко-
нечному промежутку времени. — «Радиотехника», 4969, т. 24, № 11.
131. Радченко Т. А., Трифонов А. П. О точности оценки параметра сигнала при
квадратичной функции потерь. — «Радиотехника и электроника», 1975, т. 20, № 9.
Г32. Родионов Я. Г. Система рекуррентной байесовской оценки допплеровских частот.—
«Изв. вузов СССР. Радиофизика», 1974, т. 17, № 42.
13'3 . Розанов Б. А., Власов И. Б., Кузьмина Е. К. Оценка угловых координат при по-
следовательном обнаружении. — «Радиотехника и электроника», 1975, т. 20, № 2.
U34. Рубцов В. Д. Об оптимальной оценке фазы федингующего сигнала при наличии
амплитудной нормировки смеси. — «Радиотехника и электроника», 1974, т. 16, № 8.
136. Самсоненко С. В. К вопросу об оптимальном измерении угловых координат при
наличии помех. — «Радиотехника», 1967, т. 24, № 3.
136. Самсоненко С. В. Измерение угловых координат по квантованным данным при
неизвестной интенсивности сигнала. — «Судовождение и связь», .1969, вып. 145.
287
187. Сверлинг П. Максимальная точность определения угловых координат импульсной
радиолокационной станцией. «Вопросы радиолокац. техники», 1957, № 2.
138. Сколник М. Теоретическая точность радиолокационных измерений. — «Зарубеж-
ная радиоэлектроника», 1961, № 8.
139. Собцов Н. В. Оценка максимального правдоподобия в многошкальной фазовой
измерительной системе. — «Радиотехника и электроника», 1973, т. 13, № 6.
140. Стратонович Р. Л. Оптимальный прием узкополосного сигнала с неизвестной ча-
* стотой на фоне шумов. — «Радиотехника и электроника», 1961, т. 6, № 7.
141. Тартаковский Г. П., Репин В. Г. ‘Статистический синтез адаптивных систем, осу-
ществляющих проверку гипотез с оценкой параметров распределений, связанных
с этими гипотезами. — «Радиотехника», 1971, т. 26, № 4.
142. Терентьев А. С. Распределение вероятности временного положения абсолютного
максимума на выходе -согласованного фильтра. — «Радиотехника и электроника»,
.1968, т. 13, № 4.
143. Терентьев А. С. Измерение параметров импульсных сигналов в присутствии пере-
отражений. — Радиотехника и электроника», 1970, т. .1'5, № 7.
14,4 . Титов В. А. О дискретных методах измерения временного положения импульсных
сигналов на фоне помех. — «Радиотехника и электроника», 1969, т. 14, № 5.
145. Тихонов В. И. Нелинейная фильтрация и квазиоптимальный характер фазовой
автоподстройки частоты. — «Изв. АН СССР. Техн, кибернетика», 1965, № 2.
146. Трифонов А. П. Об оценке параметра сигнала с флуктуирующей амплитудой при
оптимальном приеме в нормальном шуме. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектро-
ника», 1969, т. 112, № 10.
147. Трифонов А. П. О точности измерения параметров сигнала на выходе канала со
случайными параметрами. — «Радиотехника», 1970, т. 25, № 8.
148. Трифонов А. П. Оценка параметра при приеме последовательности импульсов на
фоне нестационарного нормального шума. — «Радиотехника и электроника», 1970,
т. 15, № И.
149. Трифонов А. П. О распределении оценок максимального правдоподобия. — «Изв.
вузов СССР. Радиоэлектроника», 1970, т. 1'3, № 1-2.
150. Трифонов А. П. Некоторые характеристики байесовских оценок при наличии нор-
мального шума. — «Радиотехника и электроника», 1974, т. 19, № -2.
151. Трифонов А. П. О точности определения характеристик качества оценки пара-
метра сигнала. — «Труды Воронеж, ун-та .197'1, т. 77.
152. Трифонов А. П. Оценка параметров радиосигнала с неизвестной огибающей на
фоне белого шума. — «Радиотехника и электроника», 1971, т. 16, № 12.
153. Трифонов А. П. Некоторые свойства сигнальной функции двух параметров.—
«Радиотехника и электроника», 1972, т. 17, № 3.
454. Трифонов А. П. Об оценке параметра сигнала при квадратичной функции по-
терь. — «Проблемы передачи «информации», 4972, т. 8, № 2.
155. Трифонов А. П. Предельная форма оптимального оператора одновременного
обнаружения сигналов и оценки их параметров. — «Изв. АН СССР. Техн, кибер-
нетика», 1972, № 3.
156. Трифонов А. П. Об асимптотическом поведении байесовских оценок параметра
сигнала при наличии нестационарного нормального шума. — «Проблемы передачи
информации», 1972, т. 8, № 4.
Г57. Трифонов А. П. Байесовские оценки при неуверенности в присутствии сигнала.—
«Изв. АН СССР. Техн, кибернетика», 1973, 1№ ’1.
Г58. Трифонов А. П. Оценка параметра сигнала при приеме на фоне шума с неизвест-
ной функцией корреляции. — «Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника», 1973,
т. 16, № 8.
159. Трухачев А. А. О надежности обнаружения и точности оценки параметров флук-
туирующих сигналов в многоканальных системах. — «Радиотехника и электрони-
ка», -1967, т. 1'2, № В.
160. Трухачев А. А. О точности измерения параметров сигнала с неизвестной амплиту-
дой двумя .расстроенными каналами. — «Радиотехника и электроника», 1971,
т. 16, № 5.
161. Урковиц Г. Точность оценки угловых координат в радиолокации и гидролока-
ции.— «Зарубежная радиоэлектроника», 1964, № 10.
162. Фалькович С. Е., Долгов В. И. Потенциальная точность оценки изменяющихся во
времени параметров сигнала. — «Радиотехника и электроника», 1969, т. 14, № 5.
163. Флейшер С. М. 1Максимально правдоподобная оценка времени прихода сигнала
неизвестной формы. — «Радиотехника», Г967, т. 22.
164. Фомин А. Ф. Оценка точности и достоверности передачи информации при исполь-
зовании аналоговых широкополосных систем модуляции в условиях флуктуацион-
ных помех. — «Радиотехника», 1966, т. 21, № 4.
288
165. Фомин А. Ф. Сравнительная помехоустойчивость некоторых аналоговых и цифро-
вых методов передачи непрерывных сообщений при флуктуационных помехах и
идеальном приеме. — «Электросвязь», 1969, т. 23, № 9.
166. Фомин А. Ф. Оценка достоверности передачи сообщений при использовании ана-
логовых широкополосных сигналов. — «Радиотехника», 1970, т. 25, № 5.
167. Хаджи Б. А. Измерение времени прихода -синусоидального сигнала, .принимае-
мого при наличии шумовых и импульсных помех. — «Радиотехника», 1971, т. 26,
№ 9.
168. Хеллгрен Г. Вопросы теории моноимпульоной радиолокации. — «Зарубежная ра^
диоэлектроника», 196'2, № 12; -1963, № 1.
169. Хомяков Э. Н. К вопросу о проектировании 'пространственно-временных систем.—
«Радиотехника», 1969, т. 24, |№ 9.
170. Худяков Г. И. О точности определения временного положения флуктуирующих
импульсных сигналов. — «Радиотехника и электроника», 1974, т. 19, l№ 12.
171. Черняк В. С. Об использовании информационной матрицы Фишера для анализа
потенциальной точности оценок максимального правдоподобия при наличии ме-
шающих параметров. — «Радиотехника и электроника», 1971, т. 16, № 6.
172. Чижов А. В., Добжинский Б. Н. О погрешностях измерения изменяющейся часто-
ты методом счета нулей. — «Радиотехника», 1964, т. 19, № 1.
173. Шинаков Ю. С. Байесовские оценки параметров сигнала, маскируемого помехой
при наличии нескольких взаимоисключающих гипотез о наблюдаемом процессе. —
«Радиотехника», 1971, т. 26, № 4.
174. Шинаков Ю. С. О построении оценок параметров сигнала при наличии неинфор-
мационных параметров. — «Радиотехника и электроника», 1974, т. 19, № !3.
175. Юрьев А. Н. Точность совместной оценки несущей частоты и направления при-
хода сигнала. — «Радиотехника и электроника», '1972, т. -17, № 2.
176. Ярославский Л. П. О распределении времени достижения абсолютного максимума
реализаций суммы импульсного сигнала и коррелированного гауссова шума.—
«Радиотехника и электроника», 1970, т. Г5, № 6.
177. Ярославский Л. П. Точность и достоверность измерения положения двумерного
объекта на плоскости. — «Радиотехника и электроника», 1972, т. 17, № 4.
178. Куликов Е. И., Нахмансон Г. С. О точности оценки параметра функции корре-
ляции нормального случайного процесса на фоне шума. — «Радиотехника и элек-
троника», -1975, т. 20, № 2.
179. Abbate J. V., Shilling D. L. Estimation of random phase- and frequency modulating
signals using a bayes estimator. — «IEEE Trans.», 1965, v. IT-II, № 3.
180. Barankin E. W. Locally best unbiased estimates. — «Ann. Math. Statist.», 1949, v. 20,
p. 477—501.
181. Bell R. D. Simplified variance calculation for parameter estimates in the presence
of coloured noise. — «Electron. Letts», 1971, v. 7, № 13.
182. Bello P. Joint estimation of delay, Doppler and Doppler rate. — «IRE Trans.», 1960,
v. IT-6, № 3.
183. Fredriksen A., Middleton D., Vandelinde D. Simultaneous signal detection and esti-
mation under multiple hypotheses. — «IEEE Trans.», 1972, v. IT-18, № 5.
184. Gaarder N. T. On estimating the location of a signal source. — «IEEE Trans.», 1969,
v. IT-15, № 5.
185. Garrett P. H. Adaptive maximum likelihood receiver for direct ranging applica-
tions. — «IEEE Trans.», 1971, v. AES-7, № 5.
186. Glave Frederick E. A. A new look at the Barankin lower bound. — «IEEE Trans.»,
1972,* v. IT-18, № 3.
187. Golding J. E. Counter methods of frequency measurement. — «Brit. Communic. and
Electr.», 1961, № 11.
188. Hansen V. G. The accuracy of radar range measurements using non-optimum fil-
ters.—«IEEE Trans.», 1965, v. ANE-12, № 2.
189. Kazel S., Faraone J. N. Improvement in tracking accuracy of pulse radar by cohe-
rent techniques. — «IRE Trans.», 1961, v. ME-5, № 4.
190. Kelly E. J., Reed I. S., Root W. L. The detection of radar echoes in noise. — «J. Soc.
Ind. Appl. Math.», 1960, v. 8, Jun. and Sept.
191. Kiefer J. On minimum variance estimators. — «Ann. Math. Statist.», 1952, v. 23,
p. 627—629.
192. Mallinckrodt A. J., Sollenberger I. E. Optimum pulse-time determination. — «IRE
Trans.», 1954, IT-3, № 2.
193. Me Aulay R. J., Seidman L. P. A useful form of the Barankin lower bound and
its application to PPM threshold analysis.—«IEEE Trans.», 1969, v. IT-15 №2.
289
194. Me Aulay R. J., Sakrison D. J. A PPM/PM hybrid modulation system. — «IEEE
Trans.», 1969, v. CT-17, August.
195. Middleton D., Esposito R. Simultaneous optimum detection and estimation of sig-
nals in noise. — «IEEE Trans.», 1968, v. IT-14, № 3.
196. Nahi N. E. Optimum recursive estimation with uncertain observation. — «IEEE
Trans.», 1969, v. IT-15, № 4.
197. Ruchkin D. A frequency-weighted mean-square error criterion. — «IRE Trans.», 1963,
v. IT-9, № 3.
198. Seidman L. P. An upper bound on average estimation errors in nonlinear systems.—
«IEEE Trans.», 1968, v. IT-14, № 2.
199. Selin I. The sequential estimation and detection of signals in normal noise. — «In-
form. and Control», 1964, v. 7, Dec., 1965, v. 8, Jan.
200. Sherman S. Non-mean-square error criteria. — «IRE Trans.», 1958, v. IT-4, № 1.
201. Slepian D. Estimation of signal parameters in the presence of noise. — «IRE Trans.»,
1954, v. IT-3, № 2.
202. Srinath M. D., Rajasekaran P. K. Estimation of randomly occurring stohastic sig-
nals in gaussian noise. — «IEEE Trans.», 1971, v. IT-17, № 2. \
203. Swerling P. Parameter estimation for waveforms in additive gaussian noise.—
«J. Soc. Ind. Appl. Math.», 1959, v. 7, Jun.
204. Swerling P. Parameter estimation accuracy formulas. — «IRE Trans.», 1964, v. IT-10,
№ 4.
205. Timor U. Design of signals for analog communication. — «IEEE Trans.», 1970,
v. IT-16, № 5.
206. Timor LJ. An upper bound on the estimation error in the threshold region. — «IEEE
Trans.», 1970, v. IT-16, № 6.
207. Viterbi A. J. Optimum detection and signal selection for partially coherent binary
communication. — «IEEE Trans.», 1965, v. IT-11, № 2.
208. Urkowitz H. The accuracy of maximum likelihood angle estimates in radar and
sonar. — «IEEE Trans.», 1964, v. ME-8, № 1.
209. Youla D. C. The use of the method of maximum likelihood in estimating continuous
modulated intelligence wich has been corrupted by noise.—«IRE Trans.», 1954,
v. IT-3, № 2.
210. Yoyngs G. O. Optimum-space-time signal processing and parameter estimation. —
«IEEE Trans.», 1968, v. AES-4, № 1.
211. Zakai M., Ziv J. On the threshold effect in radar range estimation. — «IEEE
Trans.», 1969, v. IT-15, № 1.
212. Ziv J., Zakai M. Some lower bounds on signal parameter estimation.—«IEEE
Trans.», 1969, v. IT-15, № 3.
213. Ziv. J. Bounds on the bias of signal parameter estimators. — «Bell Syst. Tech. J.»,
1969, v. 48, № 4.
214. Ziv. J. The behavior of analog communication systems. — «IEEE Trans.», 1970,
v. IT-16, № 5.
215. Papantoni-Kazakos P. Bayes estimation with asymmetrical cost functions. — «IEEE
Trans.», 1975, v. IT-21, № 1.
216. Rife D. C., Goldstein M., Boorstyn R. R. A unification of Cramer-Rao type bounds.—
«IEEE Trans.», 1975, v. IT-21, № 3.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аномальные ошибки 29
Апостериорная плотность вероятности 7
Априорная плотность вероятности 7
Асимптотически эффективные оценки 17
Байесовские оценки 20—27, 167, 177
----при больших отношениях сиг-
ма л/по меха 165
•----, замена оценкой максимального
правдоподобия 167
Байесовский риск 20
Белый шум 41, 187
Буняковского—Шварца неравенство 14
Вероятность аномальной ошибки 30
— нормальной ошибки 31
Выборка дискретная 8
— многомерного распределения 7
Выходной сигнал оптимального приемни-
ка 40
Дискриминатор, использующий конечные
разности '275
— , структурная схема 267
Дисперсия оценки ill
-----временного положения колоколь-
ного радиоимпульса со случайной
начальной фазой и линейным зако-
ном изменения частоты внутри им-
пульса при неоптимальном приеме
262
-----временного положения колоколь-
ного частотно-модулированного ра-
диоимпульса с неизвестными началь-
ной фазой и огибающей 220
-----временного положения при приеме
колокольного радиоимпульса со слу-
чайной равномерно распределенной
начальной фазой 129
-----временного положения при приеме
колокольного ЧМ радиоимпульса со
случайной начальной фазой 131
-----временного положения при приеме
последовательности колокольных ви-
деоимпульсов в нормальной помехе
с изменяющейся мощностью 237
----- длительности колокольного видео-
импульса приемником с разверткой
197
-----длительности колокольного радио-
импульса при ’использовании опти-
мального дискриминатора 277
--------прямоугольного видеоимпульса
неоптимальным приемником 2'59
--------узкополосного радиоимпульса
с колокольной огибающей и случай-
ной начальной фазой 133
-----— экспоненциального импульса
приемником с разверткой 495
-----максимального правдоподобия ам-
плитуды узкополосного радиосигнала
со случайной равномерно распреде-
ленной начальной фазой 133
-----неэнергетического параметра ра-
диосигнала с неравномерно распреде-
ленной начальной фазой 108
------неэнергетического параметра ра-
диосигнала со случайной начальной
фазой 98
-----с учетом аномальных ошибок
154
----энергетического параметра радио-
сигнала со случайной начальной фа-
зой 102
Дисперсия оценки параметра .безуслов-
ная :1П
--------дискриминатором 277
--------многоканальным приемником
186
--------неоптимальным приемником
245
--------оптимальной известного сигна-
ла 75
--------оптимальной радиосигнала со
случайной начальной фазой 1113, 117
--------последовательности импульсов
79, 42'1, 256
-------- условная 11
--------флуктуирующего 255
Дисперсия оценок параметров при коге-
рентном и некогерентном приеме
«слабых» сигналов 119
Зависимость вероятности аномальной
ошибки от отношения сигнал/помеха
153, 1157
— дисперсии оценки длительности сиг-
нала от отношения эффективных по-
лос энергетических спектров помехи
и сигнала 93
--------начальной фазы от отношения
сигнал/помеха 88
— нормированного рассеяния оценки
амплитуды от отношения полос спек-
тров сигнала и помехи 85
— нормированной дисперсии оценки
временного положения от отношения
эффективных полос энергетических
спектров помехи и сигнала 90
— относительного смешения оценки «ши-
рины» энергетического спектра слу-
чайного процесса от отношения мощ-
ности сигнала и шума в эффективной
полосе частот сигнала 127
— относительного увеличения дисперсии
байесовской оценки при приеме ра-
291
диосигнала с известной и случайной
начальными фазами 480
-------дисперсии оценки частоты от
отношения длительностей ‘принимае-
мого и опорного сигналов 260
—-------среднего риска оценки ампли-
туды для различных функций потерь
178
— относительной ошибки оценки «ши-
рины» энергетического спектра слу-
чайного сигнала от отношения мощ-
ности сигнала и шума в эффективной
полосе частот сигнала 1'2'7
— отношения дисперсий оценок при дис-
кретном и непрерывном изменении
параметра опорного сигнала 118*4
— смещения оценки длительности сиг-
нала от отношения эффективных по-
лос энергетических спектров поме-
хи и сигнала 93
— увеличения среднеквадратической
ошибки оценки частоты от относи-
тельной -полосы частот помехи при
неоптпмальном приеме 262
— уменьшения дисперсии оценки флюк-
туирующего параметра от числа им-
пульсов 2'57
— эффективности оценки начальной фа-
зы от числа каналов 220
Интеграл вероятности 77
Интервальные оценки параметров сиг-
налов 9
Квадратурные составляющие 53, 122
Когерентный прием 115, 240, 256
Корреляционная (матрица 81, 423, 210
Коэффициент доверия 9
— корреляции -оценок 82, 109
Критерии оценки Вудворда ,439
Логарифм отношения правдоподобия
— функционала отношения правдо-
подобия <145
Метод максимального правдоподобия 23
— приведения небелого шума к ‘белому
43
Надежность оценки 29, 139
----неэнергетического параметра узко-
полосного радиосигнала с равномерно
распределенной начальной фазой 148
----, приближенное вычисление 151
Некогерентный прием 417, 240, 258
Нижние границы условных дисперсий и
рассеяний оценок 43
Нормированные сигнальные функции 70,
96
Оптимальное использование частных
оценок 34
— оценивающее устройство 37
Оптимальный приемник 9, 37
-----известного сигнала 40
-----последовательности импульсов 6'2
-----, структурная схема 41, 53
-----узкополосного радиосигнала со
случайной начальной фазой 51
292
Относительная эффективность оценок 16
Отношение правдоподобия 8
Оцениваемые параметры 5
Оценка 6, 10
— амплитуды известного сигнала 83
— байесовская 20
----(ПрИ больших отношениях сиг-
нал/помеха *168
— безусловная 11.1
— временного положения колокольного
видео-импульса 88
— длительности колокольного радиоим-
пульса со случайной начальной фа-
зой 1133
— интервальная (доверительная) 9
— параметра известного сигнала 69
— начальной фазы узкополосного ра-
диосигнала 86
— нескольких неизвестных параметров
Q7, 79
----параметров сигнала с (неизвестны-
ми амплитудой и начальной фазой
209
— несмещенная 14
— .несущей частоты радио-импульса при
приеме на фоне белого шума 434
— параметра при приеме последова-
тельности радиоимпульсов с неизвест-
ными амплитудами и начальными фа-
зами 208
— параметров при некогерентном прие-
ме и неизвестных дисперсиях помехи
23'6
— — при приеме последовательно-
сти радиоимпульсов 1*15, 208
— — при приеме последовательности
сигналов 77
-----при приеме на фоне помехи
с неизвестной функцией корреляции
221, 225
•----радиосигнала с неизвестной ампли-
тудой 27'2
--------с неизвестной огибающей 21.4
-------узкополосного с неизвестной
начальной фазой 203
--------при использовании приемника
с разверткой 187
-------при квадратичной функции по-
терь 1171
-------при когерентном приеме и не-
известных дисперсиях помехи 235
----сигнала байесовская при ма-
лых отношениях сигнал/помеха 160
--------в многоканальном приемнике
-485
-------при неоптимальном построении
приемного устройства 242
— — — при неоптимальном построении
решающего устройства 192
— — — при неполной априорной ин-
формации о помехе 22'1
— — — при неполной априорной ин-
формации о сигнале 199
--------нормального флуктуирующего
95
— ------с помощью дискриминаторов
265
•-------с -помощью многоканального
приемника 482
--------с помощью неоптимального
дискриминатора 274
--------при приеме последовательности
импульсов на фоне помехи с изме-
няющейся мощностью 231
— смещенная I1!
— совместная нескольких параметров
при не оптимальном приеме 251
— точечная 10
— условная 411
— флуктуирующего параметра известно-
го сигнала 253
--------сигнала inp-и приеме последова-
тельности радиоимпульсов 256
— центральной частоты узкополосного
нормального процесса при приеме на
фоне 'белого шума 127
— частоты колокольного радиоимпульса
на фоне 'белого шума ,135
— — узкополосного радиосигнала 88
— ширины энергетического спектра ста-
ционарного случайного процесса 126 *
— эффективная 13
Оценки начальной фазы радиосигнала
-с неизвестной огибающей 2'17
— 'неэнергетического параметра после-
довательности импульсов, флуктуи-
рующих по амплитуде и начальной
фазе 1120
Параметр, оцениваемый 5
— флуктуирующий 253
Параметры сигнала неэнергетические 50
-----энергетические 50
— сопровождающие (несущественные,
мешающие, паразитные) 5
— -существенные 5
Плотность .вероятности нормального слу-
чайного -процесса 38
----ошибки оценки временного поло-
жения 89
оценки длительности сигнала
92
Полезный сигнал 5
Последовательные оценки 9, 32
Преобразование Фурье 41
Приемник многоканальный .182
— неоптимальный 242
— оптимальный известного сигнала 41
-----радиосигнала со случайной на-
чальной фазой 53
— с разверткой ,189
Принцип порогового устройства 492
Распределение начальной фазы неравно-
мерное 52
Рассеяние оценки 11
Рассеяние оценки амплитуды при квад-
ратичной функции потерь 177
-----безусловное ill
-----временного положения колоколь-
ного импульса на фоне белого шу-
ма 177
-----максимального правдоподобия при
•наличии аномальных ошибок 154
-----условное 11
Риск 20
— апостериорный 21
— байесовский 20
— безусловный 20
— условный 20
Смещение оценки длительности коло-
кольного радиоимпульса при исполь-
з ов алии опти ма льного д искри мин аго-
ра 277
-----— экспоненциального импульса
приемником с разверткой 195
-----многоканальным приемником 183
-----при наличии аномальных ошибок
154
-----, получаемый с помощью дискри-
минатора 27
-----энергетического параметра радио-
сигнала со случайной начальной фа-
зой 407
Совместная оценка амплитуды и дли-
тельности 94
-----.временного положения и частоты
135
------ нескольких -параметров ,122, 209,
251
-----частоты и фазы 93
Структурная схема оптимального приема
последов ательности флуктуирующих
импульсов 67
--------(приема сигнала на фоне сум-
мы белого и ’коррелированного шу-
мов 44
--------приема флуктуирующего сигна-
ла 61
--------устройства для оценки ампли-
туды 83
------ — устройства для оценки пара-
метра сигнала с неизвестной началь-
ной фазой 204
-----оптимальной оценки -начальной фа-
зы радиосигнала 87
-----оптимальной оценки произвольно-
го параметра 69
Функционал отношения правдоподо-
бия 8
-------известного -сигнала 39
-------радиосигнала со случайной на-
чальной фазой 53 ‘
Функция помеховая 48
— потерь 18
---— информационная 19, 28
-----квадратичная 18, 25
— линейная по модулю 18, 24
-----простая 18, 22
-----прямоугольная 49, 26
-----экспоненциальная 19
— правдоподобия 8
— сигнальная 48
Эффективность 16
293
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................... * *
Глава Г. Сведения из теории статистических оценок параметров сигнала при
наличии помех........................................................ . i
'1.1. Постановка задачи оценки параметров и основные определения . . о
1.2. Точечные оценки параметров сигнала и их свойства.................... Ю
1.3. Эффективные оценки..................................................13
>1.4. Основные положения теории статистических оценок ...................18
1.5. Байесовские оценки для различных функций потерь ..... 22
1.6. Аномальные ошибки......................... ... 29
1.7. Последовательные оценки......................... .... 32
.1.8. Оптимальное использонание.нескольких оценок одного и того же пара-
метра я . . . - - 34
Глава 2. Основные свойства выходного сигнала оптимального приемника . . 37
2.1. Определения.........................................................37
2.2. Функционал отношения ‘правдоподобия известного сигнала . . . • 39
2.3. Структура оптимального приемника известного сигнала.................40
2.4. Свойства выходного сигнала оптимального приемника известного сигнала 47
2.5. Оптимальный приемник узкополосною радиосигнала со случайной на-
чальной фазой................................................................ - 51
2.6. Функционал отношения правдоподобия нормально флуктуирующего сиг-
нала ...... t . я . . . . 4 . * S! 58
2.7. Оптимальный приемник последовательности импульсов .... 62
Глава 3. Оценки максимального правдоподобия параметров известного сигнала 69
3.1. Статистические характеристики оценки произвольного параметра « 69
3.2. Оценка параметра при приеме последовательности сигналов .... 77
3.3. Характеристики совместных оценок нескольких параметров ... 79
3.4. Оценка амплитуды сигнала........................................... 83
3.5. Оценки начальной фазы, частоты, временного положения и длительности
сигнала..................................................................86
Глава 4. Оценки максимального правдоподобия параметров флуктуирующего
сигнала и сигналов со случайными начальными
95
разами и амплитудами .
JL
4.1. Оценка параметра флуктуирующего сигнала............................... 95
4.2. Смещение и дисперсия оценки неэнергетического параметра радиосигнала
со случайной начальной фазой................................................98
4.3. Смещение и дисперсия оценки энергетического параметра радиосигнала
со случайной начальной фазой .............................................102
4.4. 'Смещение и дисперсия оценки неэнергетического параметра радиосигнала
с неравномерно распределенной начальной фазой........................... 108
4.5. Оценка параметра при приеме последовательности радиоимпульсов . . 115
4.6. Оценка неэнергетического параметра последовательности импульсов,
флуктуирующих по амплитуде и начальной фазе...............................120
4.7. Совместная оценка нескольких параметров радиосигнала .• . . . 122
4.8. Некоторые обобщения . ........................................123
4.9. Статистические характеристики раздельных и совместных оценок пара-
метров сигналов .........................................................126
294
Глава 5. Точность оценок максимального правдоподобия с учетом аномаль-
ных ошибок........................................................... 138
5.1. Основные методы анализа оценок максимального правдоподобия с уче-
том аномальных ошибок...................................................138
5.2. Приближенное вычисление надежности оценки. Критерий Вудворда . . 139
5.'3 . Приближенное вычисление надежности оценки. Дискретное представление 144
5.4. Приближенное вычисление надежности оценки на основе анализа наи-
больших значений выходного сигнала......................................150
5.5. Смещение и дисперсия оценки максимального правдоподобия с учетом
аномальных ошибок..................................................... 154
Глава 6. Байесовские оценки параметра сигнала . .............160
6.1. Оценка параметра сигнала при малых отношениях сигнал/помеха . , 160
6j2. Свойства байесовских оценок при больших отношениях сигнал/помеха 165
6.3. Некоторые характеристики байесовских оценок.................... . 167
6.4. Оценка параметра при прямоугольной функции потерь..................169
6.5. Оценка параметра при квадратичной функции потерь...................171
6.6. Характеристики байесовских оценок амплитуды, временного положения,
частоты и длительности сигнала..........................................177
Глава 7. Способы построения приемного и решающего устройств для оценки
параметра сигнала...........................................................182
7.1. Оценка параметра сигнала -с помощью многоканального приемника . . 182
7.2. Оценка параметра сигнала в многоканальном приемнике с весовой
обработкой .....................................................: : 185
7.3. Оценка параметра сигнала на фоне белого шума при использовании
приемника с разверткой .................................................187
7.4. Оценка параметра сигнала при неоптимальном построении решающего
устройства...............................................................192
7.5. Характеристики оценок длительности «и частоты.................... .194
Глава 8. Оценка параметра прн неполной априорной информации о сигнале 199
8.1. Оценка параметра сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой 199
8.2. Оценка параметра при приеме последовательности радиоимпульсов с не-
известными амплитудами и начальными фазами...........................208
8;3. Совместная оценка нескольких параметров сигнала с неизвестными
амплитудой и начальной фазой............................................ 209
8.4. Оценка параметров радиосигнала с неизвестной огибающей . . . . 211
8.5. Характеристики оценок амплитуды, длительности, начальной фазы и
временного положения...............................................216
Глава 9. Оценка параметра сигнала при неполной априорной информации
о помехе..............................................................221
9.1. Оптимальная оценка параметра сигнала при приеме на фоне помехи
с неизвестной функцией корреляции.......................................221
9.2. Квазиоптимальная оценка параметра сигнала при приеме на фоне по-
мехи с неизвестной функцией корреляции..................................225
9.3. Квазиоптимальная оценка неэнергетического параметра радиосигнала на
фоне помехи с неизвестной функцией корреляции........................... 229
9А Оценка параметра при приеме последовательности импульсов на фоне
помехи с изменяющейся мощностью..........................................231
9.5. Оценка временного положения при приеме последовательности импуль-
сов на фоне помехи с изменяющейся мощностью...................../ 237
Глава 10. Оценка параметра сигнала при неоптимальном построении прием-
ного устройства..........................„.............................242
10.1. Постановка задачи..................... ... ... 242
10.2. Оценка параметра известного сигнала............................... 243
10.3. Оценка параметра радиосигнала со случайной начальной фазой . . 248
10.4. Совместная оценка нескольких параметров............................251
10.5. Оценка флуктуирующего параметра известного сигнала...............У 253
295
10.6. Оценка флуктуирующего параметра сигнала при приеме последователь-
ности радиоимпульсов.....................................................256
10.7. Характеристики оценок длительности, частоты, временного ‘положения
и начальной фазы....................................................... 258
Глава 11. Оценка параметра сигнала с помощью дискриминаторов . . 265
’11 Л. Исходные соотношения................... - ................265
11.2. Оценка параметра известного сигнала................. . . . 266
11.3. Оценка параметра радиосигнала со случайной начальной фазой . . . 270
11.4. Оценка параметра радио-сигнала с неизвестной амплитудой и случайной
начальной фазой .....................................................272
11.5. Оценка параметра сигнала с помощью неоптимального дискриминатора 274
11.6. Дискриминатор, использующий конечные разности......................275
11.7. Характеристики оценок некоторых параметров сигнала с помощью
дискриминатора............................................ . • 277
Наиболее употребительные обозначения ... ...... 281
Список литературы ......... .............283
Предметный указатель ............................ 291