Федеральное Государственное Учреждение
Российский Научный Центр «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ»
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М. В. Ломоносова
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ОПТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
И СИСТЕМ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
П. К. КАШКАРОВ, В. Ю. ТИМОШЕНКО
МОСКВА - 2008 г.
УДК 535.015
1>Ы<	22.3
К31
Кашкаров П. К., Тимошенко В. Ю.
К31 Оптика твердого тела и систем пониженной размерности /
П. К. Кашкаров, В. Ю. Тимошенко / — М.: Пульс, 2008. —192 с.
ISBN 978-5-93486-059-3
Излагаются основы оптики твердых тел, имеющих свойства полупроводни-
ков, диэлектриков и металлов. Главное внимание уделяется оптическим и фото-
электрическим свойствам объемных фаз полупроводников и полупроводнико-
вых систем пониженной размерности, таких как поверхности, границы раздела,
наноструктуры, пористые материалы и т.п. Обсуждаются основные подходы
к анализу нелинейно-оптических явлений в твердых телах, а также некоторые
применения методов нелинейной опгики для диагностики твердотельных сис
тем.
Пособие предназначено для студентов старших курсов, аспирантов и науч
ных работников, специализирующихся в области опгики твердого гела, физики
полупроводников и диэлектриков, а также физики наносистем и полупровод-
никовой оптоэлектроники.
УДК 535.015
ББК 22.3
ISBN 978-5-93486-059-3
© Кашкаров П. К., 2008
© Тимошенко В. Ю., 2008
Издание осуществлено при
поддержке
Межгосударственного фонда
гуманитарного
сотрудничества государств -
участников Содружества
Независимых Государств
(МФГС)
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.........................................................5
Раздел 1. Оптические характеристики однородной поглощающей
средь..........................................................6
§1.1.	Основные понятия оптики конденсированных сред.............6
§ 1.2.	Уравнения Максвелла в среде с поглощением. Оптические
характеристики однородной и изотропной среды..................7
§ 1.3.	Отражение и преломление света на границе раздела двух
однородных и изотропных сред..................................12
§ 1.4.	Понятие об эллипсометрии ...	...........................15
Раздел 2. Взаимодействие света с металлами и диэлектриками......17
§ 2.1.	Взаимодействие света с металлами. Модель Друде...........18
§ 2.2.	Взаимодействие света с диэлектриками. Модель Лорейна.....23
§ 2.3.	Локальное поле. Уравнение Клаузиуса Моссоти..............25
§ 2.4.	Взаимодействие света с колебаниями решетки...............27
Раздел 3. Поглощение света в полупроводниках....................34
§ 3.1.	Основные подходы к описанию поглощения и используемые
модели.....................................................  34
§ 3.2.	Межзонное поглощение в прямозонных полупроводниках.......35
§ 3.3.	Поглощение света при непрямых переходах..................42
§ 3.4.	Особенности поглощения света в вырожденных полупроводниках.
Эффект Бурштейна-Мосса.......................................46
§ 3.5.	Особенности Ван-Хова. Понятие о модуляционной
спектроскопии................................................49
§ 3.6.	Влияние примесей на энергетический спекгр полупроводника.54
§ 3.7.	Поглощение света в сильно легированных и неупорядоченных
полупроводниках Правило Урбаха...............................56
§ 3.8.	Примесное поглощение в полупроводниках при малых концентрациях
примеси......................................................58
§ 3.9.	Экситошюе поглощение свега в полупроводниках.............63
§ 3.10.	Экситонные комплексы и коллективные эффекты. Фазовый переход
Мотта в системе экситонов....................................68
§3.11.	Взаимодействие света со свободными носителями заряда в
полупроводниках............................................  70
§ 3.12.	Взаимодействие света с фононами в полупроводниках.......77
§ 3.13.	Понятие о поляритонах и поляронах......................80
-2-
Гащел 4. Изменение оптических свойств полупроводников при
различных воздействиях.....................................S3
 4.1 Влияние давления на энергетический спектр полупроводников.83
5 4.2. Зависимость ширины запрещенной зоны от температуры......86
4.3.	Влияние электрического поля на поглощение света в
полупроводниках. Эффект Франца-Келдыша.....................  88
4.4.	Влияние ма> питного поля на поглощение и преломление света в
полупроводниках............................................  91
4.4.1.	Изменение энергетического спектра и козффициепта
поглощения...............................................91
4.4.2.	Впутризоннос поглощение и вращение плоскости
поляризации света........................................96
Раздел	5. Фотоэлектрические явления в полупроводниках.........99
5.1.	Фотоэффект и максвелловское время релаксации. Классификация
фотоэлектрических явлений..................................  99
{j 5.2.	Фотопроводимость.......................................ЮЗ
5.2.1.	Собственная фотопроводимость при однородном
возбуждении..............................................ЮЗ
5.2.2.	Собственная фотопроводимость при поверхностном
возбуждении..............................................Ю6
5.2.3.	Примесная фотопроводимость.......................I Ю
{) 5.3. Фотовольтаические эффекты.............................112
5.3.1.	Фото-ЭДС Дембсра...................................112
5.3.2.	Поверхностная фото-ЭДС...........................115
5.3.3.	Барьерная (вентильная) фото-ЭДС в р-п-псрсходс...117
5.3.4.	Фото-ЭДС па барьере Шоттки.......................119
5	3.5. Фотоэлекгрома! нитный эффект..................121
Ратдел 6. Эмиссия излучения из твердых тел....................124
§ 6.1. Тепловое излучение.....................................124
i) 6.2. Неравновесное излучение, понятие о люминесценции......125
ij 6.3. Межзонная излучательная рекомбинация, формула Шокли-Ван-
Русбрска..............................................  126
§ 6.4.	Излучательная рекомбинация	на мелких уровнях...........129
i; 6.5. Излучательная рекомбинация на донорно-акцепторных парах,
изоэлектроппых ловушках и	примесях.....................131
§ 6.6.	Экситонпая люминесценция...............................134
-3-
Раздел 7. Элементы оптики неоднородных и низкоразмерных
твердотельных систем..........................................138
§ 7.1.	Рассеяние света в твердых телах.........................138
7.1.1.	Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна..................139
7.1.2.	Комбинационное (рамановское) рассеяние света......140
7.1.3.	Рэлеевское рассеяние..............................142
7.1.4.	Рассеяние Ми.................................     143
7.1.5.	Рассеяние света в поглощающих средах..............143
§ 7.2.	Распространение света в периодических средах: фотонные
кристаллы.....................................................144
7.2.1.	Одномерные периодические среды....................144
7.2.2.	Двумерные периодические среды.....................146
7.2.3.	Трехмерные периодические среды....................147
§ 7.3.	Оптическая анизотропия периодических сред и двулучепреломлепис
формы.........................................................148
§ 7.4.	Эффективная диэлектрическая проницаемоеть гсгеросисгемы.151
7.4.1.	Основные положения теории эффективной	среды......151
7.4.2.	Матричные и статистические гетсросистсмы. Формулы
Максвелла и Максвелла-Гарнетта. Приближение эффективной
среды Бруггемана.........................................154
7.4.3.	Статистическая гстсросистсма со свободными носителями
заряда. Оптический дихроизм..............................157
§ 7.5.	Влияние размеров тел на их оптические свойства; квантовый
размерный эффект...............................................160
§ 7.6.	Экситоны в полупроводниковых нанокристаллах, обменное
взаимодействие, стоксов сдвиг, фактор Хуанг-Риса...............165
§ 7.7.	Примеры полупроводниковых систем пониженной размерности.... 169
Раздел 8. Нелинейно-оптические явления в твердых телах........174
§ 8.1.	Линейная и нелинейная поляризуемости среды.............174
§ 8.2.	Генерация оптических гармоник и смешение частот........179
§ 8.3.	Применение методов нелинейно оптики для анализа поверхности
твердых тел....................................................184
Используемая л и  ера тура....................................188
-4-
Введение
Настоящее пособие подготовлена на основе специального курса
«Оптика твердых тел», читаемого авторами более 20 лет на физическом
факультете Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова. Помимо изложения традиционных вопросов
оптики объемных фат металлов, полупроводников и диэлектриков в пособии
анализируются особенности оптических явлений в твердотельных системах
пониженной размерности, включая наноструктуры и композитные материалы,
такие, как пористые полупроводники. В разделах 1-7 рассмотрение ведется в
так называемом линейном приближении, когда отклик среды (вектор
поляризации) оказывается пропорциональным напряженности
> исторического поля. Как правило, такой случай реализуется, если
напряженность электрического поля в световой волне существенно меньше
штутриатомной (~10;В/см). Раздел 8 специально посвящен описанию
явлений, возникающих при нарушении этого условия, т.е. основам
нелинейной он гики твердотельных систем.
Пособие представляет, по существу, расширенный конспект лекций и
не претендует на полноту изложения всех разделов оптики твердых тел. Для
более глубокого изучения отдельных вопросов необходимо воспользоваться
специальной литературой, список которой приводится в конце пособия.
Авторы будут благодарны за высказанные замечания и пожелания, которые
б\ тут учтены при подготовке следующего издания книги.
-5-
Раздел 1. Оптические характеристики однородной поглощающей
среды
§ 1.1. Основные понятия оптики конденсированных сред
В оптике изучают явления, связанные с распространением и
взаимодействием с веществом электромагнитного излучения (света) с
длиной волны X в интервале: К) нм < Х< I мм. Видимый свет соответствует
спектральному диапазону: 400 нм < X < 800 нм. В данном разделе и в
большинстве последующих, за исключением Раздела 8, ограничимся
рассмотрением линейных оптических явлений, для которых напряженность
электрического поля в световой волне много меньше внутриатомных полей:
Е«Е„, ~109 В/см.
Будем рассматривать взаимодействие света с твердыми телами (ТТ) и
твердотельными низкоразмерными системами (ТИС). Основное внимание
при этом будет уделено таким оптическим явлениям, как поглощение,
испускание, преломление, отражение и рассеяние света. Кроме того,
затронем вызванные освещением изменения электронных свойств ТТ и ТИС
(фотоэлектронные явления):	фотоэффект. фотолюминесценцию,
фотопроводимость, фотовольтаические эффекты.
ТТ можно классифицировать по степени упорядоченности
кристаллической структуры: кристаллы, аморфные тела, а также по
электронным свойствам: металлы, полупроводники, диэлектрики.
ТИС классифицируются по порядку размерности, т.е. по числу
геометрических направлений, по которым возможно свободное
распространение частиц, квазичастиц или волн (электронов, дырок, фононов и
т.п.). В частности выделяют:
2D двумерные системы, например, поверхности, границы раздела,
гонкие слои, квантовые ямы;
ID — одномерные системы, например, нитевидные кристаллы,
ступеньки и атомные цепочки на поверхности, квантовые нити;
-6-
OD
нульмерные системы, например, малые частицы,
нанокристаллы, квантовые точки.
Заметим, что ТТ сколь угодно больших размеров является 3£)-системой.
< iporo говоря, идеальные 2D, ID и 0D системы, также как и идеальные
кристаллы, в природе нс существуют. Поэтому часто, подчеркивая
приближенный характер рассмотрения, говорят о квази-2О. -ID или -0D
системах, т.е. системах, где в соответствующих направлениях ограничение
размерности существенно сильнее, чем в остальных. Также используют
понятие систем дробной размерности или фракталов. Как правило, в оптике
имеют дело либо с отдельными 3D и 2£)-сист смами: объем монокристалла и
аморфного материала, поверхности и границы раздела, тонкие слои и др. )
либо с совокупностью (ансамблем) 2D. ID и 0D систем: слоистые
структуры, сверхрешетки. наноструктуры. пористые материалы,
нанокристачлические и микрокристаллические материалы, фотонные
кристаллы и т.п.
При описании оптических свойств ТТ и ТИС, а также фотоэлектронных
явлений в них, будем использовать комбинацию классического, квази-
классического и квантово-механического подходов, ставя целью наиболее
простое получение тех или иных теоретических выкладок и формул,
объясняющих экспериментальные результаты.
§ 1.2. Уравнении Максвелла в среде с поглощением. Оптические
характеристики однородной и изотропной среды.
Для электромагнитных полей в среде справедливы уравнения Максвелла,
имеющие в дифференциальной форме следующий вид (система единиц СИ):
rot	E.-SJ d t
rot	a dD H =TT+7
div	D = P
div	H = 0
и материальные уравнения:
D ~ ее р Ё
В = /.1/.1 0 и
~J = СТЁ
(1-1)
(1-2)
где Е, D вектора напряженности и индукции тектрического поля, Н и В
вектора напряженности и индукции магнитного поля, £ц-8.85 1012 Ф/м и
Ро=4тгЮ7 Гн/м	электрическая и магнитная постоянные, £ -
диэлектрическая проницаемость, // - магнитная проницаемость и ст -
удельная проводимость среды.
В уравнениях (1-1), (1-2) предполагается однородность и изотропность
среды, а значит, можно пренебречь тензорными свойствами величин е, // и а
В дальнейшем, если специально не оговорено, будем для простоты полагать,
что среда немагнитная (// /), и отсутствуют объемные заряды (р = 0). Тогда
из уравнений (1-1) и (1-2) получим
,  р а в а п в ( sD Д
ct	ct	St\ St )
SB)	д]	д2Ё	SE	(1'3)
= A1A AoA _ = -Ц„£0Ц£ =	-//„/ят _ 
Ct	Ct	St	St
Поскольку rot rotE = grad divE - &E , приходим к волновому уравнению'.
Ё	8Ё
ЛЕ = Hi)£oJU£ + рорс7 —	(1-4)
ar	8t
В случае распространения плоской волны вдоль оси z имеем:
-8-
д2Ё	д2Ё	дЁ
&	дг	Pt
(1-4а)
Решением (1 -4а) является уравнение волны
z
V
Ё = Ё 0 exp -i со I Z -
= £0 ехр [-/ (ш/ - кг )],
(1-5)
где
фазовая скорость волны, со - циклическая частота, к -
волновое число.
Подставляя (1 -5) в (I-4а) получим:
- к2Ё = -со2/л0£0/.1еЁ - iсор()раЁ .	(1-6)
что дает:
к 2	. Z<oZ/<T	,, , .
—у =	+ I -У----.	(1-6а)
СО	<0
Учтем, чго zzoe<> = * 2 , где с « 3-10* м/с - скорость света в вакууме.
Тогда приходим к соотношению:
2	2
С =/(г+ ,^,т'	(1-6Ь)
V2	(О
Полагая // = /. из (f-6b) получим:
2
С, =£+/СТ	(1-6с)
v2 t'o<y
Введем обозначения:
2
= гЁ2 = £ = Е + е",	( I-6J)
v2
где £ =е' + 1е" комплексная диэлектрическая проницаемость, а е' = е и
„ <т	~ cz~
к =-------- ее действительная и мнимая части; п = ~Je комплексный
показатель преломления, состоящий из действительной и мнимой частей :
п = п + iK . где п показатель преломления, к показатель поглощения
(коэффициент экстинкции).
-9-
Можно получить следующие соотношения между введенными
оптическими характеристиками:
7	7	7
и -(п + ik) - п + 2inK - № = е + 1е"
(1-7)
е" = 2пк
£	>	2
Из (1-7) получим: к-— , е =п -
2п
Последнее выражение еегь квадратное уравнение относи гельно и:
w2
4	, 7 £
п -еп - д , решая которое имеем:
(1-7а)
Так как согласно (1-6с):	= -’ , го после подс тановки данного соотношения в
v с
уравнение волны (1-5) получим:
г- Г,	.	. n
E = Eq exp - ia>\ t-----------------z
k c
= Eq exp
w
— I (Ot + I (o — z
c
= Eq exp
(	n A	( (OK
- i ft) t-----z exp----------------z
\	c J]	v	c
(l-7b)
Учтем, что интенсивность света / пропорциональна среднему значению
(за время t »2п/ы) квадрата напряженности электрического поля, и получим
из (I -7Ь):
I = /()ехр-----------z = /оехр az)
(1-8)
Выражение (1-8) носит наименование закона Бугера (в англоязычной
литературе он иногда называется законом Ламберта Бера). В данном законе
фигурирует коэффициент поглощения
2 (ок
а =------ ,
с
(1-9)
- 10-
юнорый есть экспериментально измеряемая величина, являющаяся
на кнейшей характеристикой оптических свойств вещества наряду с
действительной частью показателя преломления. Одной из основных задач
при рассмо!рении микроскопических механизмов взаимодействия света с
веществом является нахождение зависимости а{(о), чему в значительной
мере посвящен данный курс.
Приведем ряд полезных cooi ношений, связывающих а и другие
введенные ранее величины: а = — =			4 лк Л»	(1-9а)
	с	с		
1 де Ло = С V	- длина волны света в вакууме		
	2а ж сое” а = — = — с	сн		(1-9Ь)
	<О£" Invs"	2лк"	(1-9е)
	СП	СП	Л)"	
	(вс” (ОСУ а= - = - - СП СП £()(()	СУ	(I-9J)
		СП£(у	
Наряду с приведенными выше соотношениями между оптическими
константами вещества следует также учитывать фундаментальную связь
между действительной и мнимой частями комплексной диэлектрической
проницаемое! и и комплексного показателя преломления, даваемую
соотношениями Крамсрса-Кронига:
£ (ТЦ)) = 1 +—I	£ (ГЦ)) =--I —
71
(МО)
2 7 аж((о)	2тц, 7 /;(«)
и(що) = 1+ - I - - -d(O-	л-(л|)) = -- J— —7d(o
Дапныс соотношения озражают принцип причинности в оптике, а
именно, наличие поглощения в веществе на какой-либо длине волны ведет к
появлению отличного от 1 показателя преломления и наоборот. Другими
словами, взаимодействие света с вешеством неизбежно приводит к отклику,
описываемому п и к. Аналогичные рассуждения справедливы для е и е" .
Используя формулы (1-10) можно пайти значения одной из величин в парах
е'и е", или ли/с на некоторой частоте зная спектр другой величины в
достаточно широком интервале.
§ 1.3. Отражение и преломление света на границе раздела двух
однородных и изотропных сред.
Введем углы отражения <р' и преломления ер”, а также соответствующие
компоненты напряженности электрического поля для отраженной
(Ер, Е д-) и преломленной (Ер , Е s ) волн. Пусть среды описываются
соответствующими комплексными показателями преломления й] и «2 ,
тогда должны выполнятся законы отражения'.
<р=(р'	(1-11)
и преломления:
И] sin (р = «2 sin <р”,	(1-12)
где углы <р’ и ip”, вообще говоря, могут быть комплексными.
Для электрического поля отраженной волны справедливы формулы
Френеля:
-12-
£, =_Л<£з₽ЭЕ1	«(у-рЭ-
sin( tp + <р") р ig((p+(p")
(1-13)
= I ,
(1-14)
Введем коэффициенты пропускания Т и отражения 7? :
Т = I , R = I , где Т + R = 1 , Г + /"
I	/
|де 1, Г и /" - интенсивности падающей, отраженной и преломленной волн.
Аналогичные коэффициенты можно ввести для л-
Гогда согласно (1-13) и (1-14) получим:
и р-поляризаций.
2
2
Rs =
££2
sin( ip + tp ")
= tg(<p-<p")
tg((p + <p")
(1-15)
На границе
немагнитных сред (// = /), когда нет поворота
плоскости
поляризации при отражении, справедливы соотношения:
Л + К, => , ^ + 7?,, =1
(1-16)
Используя формулы Френеля, нроаналишрусм некоторые
важные
частные случаи отражения и преломления света па границе
раздела
немагнитных сред.
1) Нормальное падение: <р= <р'= <р"= О,
2
sin(9? -<р"}
_ sin cos <р" - sin <р"cos <р
Sin( (£> + (£>")
sin <р - sin <р"	2	-1 «1
sin (р + sin <р”		«2/ +1 "1
sin <р cos ср" + sin tp"cos (р
2
«2 “«I	2	п — 1	2	(л-1)2	+ к2
«2 + «1		п + 1		(л + 1)2	+ к2
_ sin( #> — #>")
Rs = R р = R =
2
R
= — Р
Р Е
Р р
2
(1-17)
~_Лэ/
где п = ‘/пу ~ относительный
комплексный показатель преломления,
который также может быть записан в виде: ft = п + 1к.
При достаточно слабом поглощении, когда п ® п , получим известное
из оптики прозрачных сред выражение для коэффициента отражения при
нормальном падении:
13 -
у л + IJ
(1-18)
Из последней формулы легко можно выразить п через R :
п -1 = (п + i)VF, и(1 - Vtf) = Jr +1 =>
i + Jr
i - Jr
(1-19)
Таким образом, зная коэффициент отражения при нормальном падении,
можно най!и относительный показатель преломления двух сред.
2) Падение под углом Брюстера.
Обозначив такой угол падения как и используя закон преломления (1-12),
получим: H|sin^>£--n2^Jd?.-(pJ) = n2cos<PB  Отсюда получим;
и? ~
= ^ = п
п1
(1-20)
Зависимость коэффициента отражения в поляризованном свете от утла
падения для типичного полупроводника - кристаллического кремния (c-Si),
для которого п = 3.4. (рБ ~ 74°, показана на рис. 1.3. Пунктирная линия на
рисунке соответствует наличию поглощения (к/0), которое приводит к
росту минимального значения коэффициента Rp при отражении под утлом
Брюстера.
- 14-
Рис. 1.3
На высокой чувствительности
величины RP к поглощению
вблизи значения	основан
метод регистрации дефектов и
примесей в полупроводниках,
который носит название
брюстеровской спектроскопии
глубоких уровней. В данном
методе появление поглощения на
дефектных или примесных состояниях приводит к возрастанию тначений RP,
измеряемых при углах падения близких к <рБ .
§ 1.4. Понятие об эллипсометрии.
Эллипсомезрия метод определения оптических характеристик веществ,
основанный на измерении поляризационных зависимостей интенсивности
отраженного света. Название метола связано с тем, что самый общий случай
поляриюванпого света эллиптическая поляризация. Зная, как меняется
«эллиптичность» поляризации света при отражении можно, используя
формулы Френеля (1-13), рассчитать показатели преломления и связанные с
ними оптические константы. Обычно в
эллипсометрии исследуются поверхности
ТТ или тонкие слои на поверхности ТТ
(см. рис. 1.4).
В точке отражения от поверхности
падающая и отраженная световые волны
могут быть представлены в виде:
E.s, р V ) = ехР ['	- S.s,p )1 И
E's. р(I) = E's p exp [-/(cot - S's p )] , где
фаза S's р (и।,«2 ,^3 ’отраженной волны является функцией указанных
-15-
оптических характеристик и толщины слоя d. Обычно вводится
относительная разность фаз, характеризующая изменение поляризации света:
Д = ( 8р - 8'р) - (8s - 8's) = (8р - 3S ) - (8'p - 3's)	(1-21)
Как правило, оптические свойства подложки известны. Тогда задача
сводится к определению величин	Это делают на основе
экспериментально измеренных поляризационных зависимостей отражения с
учетом формул Френеля, для чего решаются основные уравнения
эчлнпсометрии, записываемые обычно в виде:
= tS v'	(1-22)
Таким образом, зная значения Д, \р и ц/, можно найти величины п\.И2, и d
Отмстим такое важное достоинство эллипсометрии как высокая
точность определения оптических коне ran г вещества и толщин исследуемых
слоев (Ле/ ~1-=-2 А). Особенно эффективным метод гплипсомстрии является
при использовании в широком спектральном диапазоне. В ггом случае
говорят о методе спектральной эллипсометрии, который является мощным
инструментом анализа оптических свойств вещества.
- 16-
Раздел 2. Взаимодействие света с металлами и диэлектриками
Как отмечалось в Разделе I, по своим электронным свойствам твердые
тела подразделяются на металлы, полупроводники и диэлектрики, для
которых характерны, вообще говоря, различные механизмы взаимодействия
со светом. Напомним, что с точки зрения зонной теории в металлах имеет
место либо перекрытие разрешенных зон (валентной и зоны проводимости),
либо частичное заполнение зоны проводимости, как схематично показано на
рис. 2.1.
23	-3
Напомним также, что концентрация электронов в металле ~ 10 ‘ см
3	2 /
их подвижность ~НУ см /В-с. В диэлектриках же даже при температурах,
близких к 1смпсратуре плавления, из-за значительной величины
запрещённой зоны Eg > 3 )В энергии теплового возбуждения не достаточно
для появления свободных носителей заряда. Однако, носители заряда могут
возникать при инжекции электрическим током, электронным пучком или при
оптическом возбуждении. Подвижность носителей заряда в диэлектриках
2
невелика ~ 10см В-с
Несмотря на столь значительные различия в электронных свойствах,
эти два вида твердых тел объединяет то, что при описании их оптических
- 17-
свойств допустимым оказывается квазиклассический подход. С его
использованием ниже будут рассмотрены основные механизмы
взаимодействия света с объемными фазами металлов и диэлектриков.
§ 2.1. Взаимодействие света е металлами. Модель Друде.
При поглощении и
отражении света металлами в
большинстве	случаев
основную роль играет
взаимодействие	электри-
ческого поля световой волны
со свободными электронами.
Такое взаимодействие может
быть хорошо описано классической моделью Друде. Рассмотрим (см.
рис. 2.2) распространяющуюся по оси z электромагнитную волну. Тогда
проекцию вектора напряженности электрического поля на ось х в данной
точке с координатой z можно записать в виде: Ех = Eqx ехр( -ion) , где
Eq амплитуда напряженности поля.
Для свободного электрона, находящегося в точке z, справедливо
уравнение движения:
тх з---х = -cEqk ехр( ia>t),	(2-1)
•	г
где т и е масса и заряд электрона, г время затухания (релаксации) его
импульса. Решение уравнения (2-1) ищем в виде х(/) = х() ехр( -iwt) и
приходим к соотношению:
2	• nt
— то xq-ko XQ=—ebQt
г
Из (2-2а) следует, что амплитуда колебаний электрона:
2
тм + иотт
(2-2а)
(2-2Ь)
- 18-
Микроскопический дипольный момент, вызванный смещением одного
носителя заряда равен:
-е^Е
Рт = ~ех = о 1	(2-3)
таг + iam г
Макроскопической характеристикой среды, помещенной в электрическое
поле, является вектор поляризации среды Р , определяемый как
электрический дипольный момента единицы объема вещества:
P = -~/EPmi-	(2-4)
Далее, будем предполагать, что на каждый электрон в
рассматриваемом физически малом объеме АГ действует электрическое
поле с напряженностью, равной напряженности среднего поля Е Тогда
вклады всех микроскопических дипольных моментов просто суммируются, и
можно записать:
е2Д Е
Px=NePm= — с х	(2-5)
таг + пот г
гдеNe концентрация электронов.
В общем случае, однако, необходимо также учитывать поля, созданные
всеми зарядами, за исключением рассматриваемого. Это приводит к тому,
что на носитель заряда действует некоторое локальное поле Е тк , которое,
вообще говоря, не равно Е. Такое различие локального и среднего полей
особенно существенно для дитлектриков, что будет рассмотрено отдельно в
§2.3. В то же время, для металлов обсуждаемое различие не значительно, и
мы будем полагать, что Етк ~ Е . Тогда, для нахождения комплексной
диэлектрической проницаемости используем следующее материальное
уравнение (система единиц СИ):
D = Ёе0 +Р = е$еЁ	(2-6)
Из уравнений (2-5) и (2-6) получим:
- 19-
Ро, ; t e2Ne = (.	1
£'(lEOr £„т (со2 + 'кот ') ni/:t а>2 +йот '
(2-7)
Введем так называемую плазменную частоту й}, , определяемую следующим
образом:
2 e2Nt
Юр ~
т£0
(2-8)
Тогда выражение (2-7) можно записать в виде:
2	-	1
(О + 1О)Т
(2-9)
В формуле (2-9) выделим действительную и мнимую части £ = е' + ie" :
,	ю	,	2
£ = 1----г~~=Т = п ~к -	(2-9а)
СО + г
6У2Г 1
Е " =---------у- =2пк	(2-9Ь)
ю(ю +г )
Соотношения (2-9), представляющие собой основной результат теории
Друде, описывают отклик газа свободных электронов на воздействие
электромагнитного излучения с частотой ю. Для лучшего представления о
спектральных зависимостях Г и связанных с ней оптических констант
проанализируем некоторые частные случаи.
Начнем рассмотрение со случая слабого затухания, когда а>» г 1.
Тогда из формул (2-9а) и (2-9Ь) получим:
й/	to2
е’^-^	(2-9с)
СО	ЮТ
В области низких частот, для которых а) < со^, как видно из (2.9с): е' < 0 .
В высокочастотной области:	ю » со^ => е" = 0, е' =: 1 к
-20-
В общем случае частотные зависимости £',ь'",п,к представлены на
рис. 2.3.
Важным итогом модели Друдс является объяснение большого значения
коэффициента отражения металлов в спектральной области а> < а)? , так
называемою плазменного отражения. Действительно, для частот ю<ю/):
£'<0 => п < к. Тогда с учетом соотношения (1-17) получим:
(Z7 —I)2 +АГ2 К2
(м+1)2 +а~2 к2
В качестве примера па рис. 2.4 приведен спектр коэффициента отражения для
металлического калия (К), для которого
7V (. = 10 23 см \
(о р = 5 .7  10 ” с 1,
,	2 л с
Я = --------= 330 нм ,
где Л;, - длина волны края
плазменного отражения.
Для большинства металлов
плазменное отражение с R = 1
характерно для видимого и
И К диапазонов спектра. Это
позволяет использовать металлы для создания зеркал в указанной
-21 -
спектральной области. В гоже время, аналоптчные процессы взаимодействия
света со свободными носителями заряда в полупроводниках приводят к
плазменному отражению, край которого смещен в длинноволновую область
спектра. Так, для сильно легированного полупроводника Ne =10|9слг ' ,
следовательно, А;, =33 лнш, что соответствует среднему ПК диапазону. Для
нслегироваппых полупроводниковNe = 1013сл/ 3, следовательно, Лр = 33 тем
принадлежит уже микроволновому (СВЧ) диапазону электромагнитных волн.
Полученные в рамках модели Друде результаты по спектральным
зависимостям котффициенга отражения в металлах и полупроводниках
находятся в согласии с данными эксперимента.
Модель Друде также хорошо объясняет такое известное свойство
металлов и сильно легированных полупроводников, как увеличение
коэффициента поглощения с уменьшением частоты (ростом длины волны)
света. Действительно, как следует из формулы (2-9) и рис 2.3. показатель
поглощения л резко возрастает в области (Л < (0р. С учетом формул (1-9) и
(2-9с) получим для коэффициента поглощения (при условии (О » т '):
2 (<>к	сое"
а. =------=------=------— <
С	СП	(О 2 геи
Так как для металлов плазменная
(rt)p = 1015 — 1016с 1 ), то в области а> < <ор
приводит к исключительно малым глубинам поглощения: а 1 ~ 1-10 нм.
Приведенное классическое рассмотрение в рамках модели Друде,
конечно же, не может полностью описать вес особенности взаимодействия
света со свободными носителями заряда в металлах или в легированных
полупроводниках. В последнем случае, например, необходимо учитывать
вклад других механизмов поляризации, что будет сделано в последующих
разделах. Для полного описания свойств металлов классическое
рассмотрение нуждается в квантовых поправках. В частности, если <о< а>р,
к —р* Л	(2-10)
со "
частота достаточно велика
достигаются а - 106 -107 см'1, что
-22-
то возможно возбуждение квантов продольных плазменных колебаний
плазмонов, когда электронный газ смещается, как единое целое, вокруг
ионов. Плазмон имеет шергию tico„ =4+15 эВ (для металлов). Плазмон
можно возбудить, пропуская свет через плёнку металла. Существуют также
поверхностные плазмоны, частота которых (0р!1 = 2МР' полупроводниках
и диэлектриках плазмоны могут возбуждаться также та счёт движения
электронов валентной зоны: Ge, Si: йю = 17 >В (поскольку ЛС“" ~4	).
Детальное описание механизма образования и свойств плазмонов выходит за
рамки настоящего курса и может быть найдено в специальной литературе по
оптике металлов.
§ 2.2.	Взаимодейст вие света с диэлектриками. Модель Лоренца.
Для описания оптических свойств ТТ со свойствами диэлектрика
необходимо учитывать механизм упру.-ой поляризации среды, обусловленный
смещением электронных облаков связанных зарядов. В рамках классического
описания это можно выполнить с помощью модели Лоренца, в которой
диэлектрик рассматривается, как совокупность молекул, каждая из которых
является осциллятором с одинаковой резонансной частотой . Будем
считать среду достаточно разряжённой, тогда локальное электрическое поле
Елок, действующее па молекулу, близко к макроскопическому Е . Следуя
Лоренцу можно записать уравнение движения электрона в молекуле:
I э еЕг\г
.V + г jC + tWqX = - и cxp(-ia)t),	(2-11)
т
где х смещение заряда вдоль направления Е относительно невозмущенного
положения. Поступая аналогично §2.1. ищем решение в виде х = х0 ехр( irnt)
и получаем:
еЕ^/т
Л) 22	—1	(2-12)
а) -10$ +ia>r
-23-
Наведенный микроскопический дипольный момент молекулы

(2-13)
Для перехода к макроскопическим характеристикам воспользуемся приемом,
аналогичным рассмотренному в §2.1. Тогда получим следующие выражения
для величины вектора поляризации и диэлектрической проницаемости:
= -7V„e.r = -
e2N пЕх / in
to - (0^ + нот
(2-14)
e2N,
Px
£()E,	me„ [(- co2) - iсот ' ] ’
(2-15)
где NM- концентрация молекул.
Поскольку £ = то, выделяя действительную и мнимую части в (2-15).
получаем:
аз} - аг
[гц2 - of J2 + т2т 2
N„e2
т£к
[<ц; -лг]2 + л>2г 2
(2-15а)
(2-15b)

£
Типичные частотные зависимости пар величин e',f" и п . к показаны на
рис.2.5.
Видно, что при удалении от резонансной частоты показатель поглощения
к —>0. Так как при электронном механизме упругой поляризуемости частота
-24-
бЦ) соответсгвует УФ диапазону спектра, го большинство диэлектриков
прозрачны в видимой области спектра.
В области низких частот (О «действительная часть показателя
2 У „С?2	2
преломлениям ~1+ ' ^7?и,где п0- значение показателя преломление
в области прозрачности. Значение Пц обычно приводят в справочниках в
качестве показателя преломления прозрачных диэлектриков (например,
SiCh, стекло, слюда, щелочно-галлоидные кристаллы и т.п.) вдали от области
поглощения, обусловленного колебаниями атомов.
Отметим, что при упругой поляризуемости молекул среды в
электрических полях с напряженностью Е«ЕМ наведенный дипольный
момент каждой молекулы:
Рм=Х^Е-	(2-16)
где/ линейная атомная поляризуемость. Тогда вектор поляризации среды
можно записать в виде:
P=PMNM=X^NME ,	(2-17)
Сравнивая формулы (2-18) и (2-14) можно получить выражение для
поляризуемости молекулы в модели Лоренца:
е2
Х =	2	2
Из последнего выражения видно, что поляризуемость проявляет резонансные
свойства вблизи частоты ги0.
§ 2.3. Локальное поле. Уравнение Клаузиуса-Моссогги.
В предыдущих разделах мы пренебрегали различием между локальным
и средним полем, что, вообще говоря, справедливо лишь для материалов с
малой долей ионности связи или для разреженных сред. В тоже время для
большинства диэлектриков, являющихся ионными материалами, необходим
-25-
учет фактора .юка.тиого now. Данную поправку, впервые предложенную
Лоренцем, мы проанализируем для изотропных или кубически-
симмстричиых сред. Напомним, что локальное электрическое поле, вообще
говоря, различно вблизи молекулы и вдали от нес. При этом, в изотропных
средах среднее поле равно внешнему полю Е , деленному на значение
диэлектрической проницаемости £.
Рассмотрим изотропную однородную среду. С одной стороны, каждую
частицу (молекулу) такой среды можно представить как бы находящейся в
сферической микрополости, внутри которой действует локальное поле Е.иж
Последнее можно найти, решая электростатическую задачу о поляритапии
диэлек1рического шара (или сферической полости) во внешнем
электрическом поле:
Ejm = E + —,	(2-19)
где Р - вектор поляризации среды. При этом, в выражении (2-19) все
векторы параллельны, что позволяет перейти просто к рассмотрению их
величин. С другой стороны, величина вектора поляризации среды связана со
средним макроскопическим полем согласно материальному уравнению (2.6):
Р = £„Е(е-\)	(2-20)
Подставляя (2-20) в (2-19) получим:
=	(2-21)
Далее учтем, что именно локальное поле обеспечивает поляризуемость
отдельной молекулы:
Р =	= X£0N,E^-	(2-22)
Тогда выражение для диэлектрической проницаемости имеет вид:
Р	е+2
?=1+ —=1 + 2^ -	(2-23)
Из (2-23) получим так называемое уравнение Кпаузиуса-Моссоти:
-26-
£-1 1
F+2-T^.	(2-24)
Важность уравнения (2-26) определяется тем, что оно дает связь между
макроскопической величиной ди ысктрической проницаемости и
микроскопической характеристикой X- С учетом выражения (2-18) для
последней получим еще один вид записи уравнения Клаузиуса-Моссоти:
£-1 /V/2	1
~	.------2---—----Т	(2-25)
е+ 2 3«£„ а>0-ю + кот
Согласно (2-24) при £ —> -2 имеет место х ~Последнее в
соответствии с (2-25) соответствует резонансу при а>п. Другими словами,
в условиях резонанса поляризуемость молекул среды резко возрастает, и
вследствие фактора локального поля: £ « 2 . Отмстим, что при наличии
затухания ( г '^0 ) резонансная зависимость /(ту) ослабляется, а для
величины ?(«Jy) необходимо также учитывать мнимую часть.
В общем случае в рамках классического подхода формула (2-25)
позволяет более точно, чем (2-15), описать спектральные зависимости £(щ)
для изотропных ТТ со свойствами диэлектриков Такое описание
представляет собой модель Лоренца с учетом фактора локального поля.
§ 2.4. Взаимодействие света с колебаниями решетки.
Модель Лоренца может быть
применена к описанию
взаимодействия света с
диэлектрическими	и
полупроводниковыми	средами,
обладающими	упругой
поляризуемостью как электронною, так и ионного типов. В последнем
случае при рассмотрении оптических свойств кристаллических ТТ
необходимо также учитывать особенности их колебательного (фононного)
27
спектра, что и будет сделано в настоящем разделе. По-прежнему
рассмотрение будет вестись в рамках классического подхода. В тоже время
наряду с классическим понятием колебательной моды для удобства буде
также использоваться его квантово-механический аналог — фонон,
представляющий собой квант колебания кристаллической решетки.
Напомним, что кристалл, содержащий .v-атомов в глементарной ячейке,
имеет 3s колебательных мод, из которых 3 моды акустические и (3s-3j
оптические. Акустические колебания соответствуют смещению атомов в
элементарной ячейке как единого целого, тогда как при оптических
колебаниях происходи! огносигельнос смещение атомов в элементарной
ячейке, как схематично показано для случая s=2 на рис.2.6
Для ТТ с решеткой типа алмаза (Si, Ge, GaAs,...) элементарная ячейка
содержит s=2 атома, поэтому для них характерны следующие типы фононов:
1 продольный акустический (LA) и 2 поперечных (вырожденных)
акустических (ТА), а также 1 продольный оптический (LO) и 2 поперечных
вид дисперсионных
световой волны с
(вырожденных) оптических (ТО). Примерный
зависимостей для таких фононов приведен на рис.2.7.
Рассмотрим (см. рис.2.8) взаимодействие
оптическими колебаниями решетки, состоящей из ионов 2-х видов с массами
т\ и пъ и зарядами +(/ и -q. смещения которых относительно положения
-28-
равновесия обозначим Ед и Е,2 соотвегствснно. Данные колебания, очевидно,
являются поперечными, т.е, соответствуют ТО-фоиопной моде. Уравнения
движения для ионов можно записать в виде:
(mlCi = с(^2-^) + дЕ
1	>	(Z-ZD)
l»’2^2 =-^2-Sl)-^E
где с констан га упругой связи, а затухание для простоты записи пока не
учитывается. Перепишем систему (2-26) в следующем виде:
£ = - (£-£) + 4 Е
w,	т}
с	а	(2-26а)
£=-	1	Е
т,	т2
Затем вычтем в системе (2-25а) из 1-го уравнения 2-е и, введя относительное
смещение С = ь2 — 4), получим
<Г = -сЛ ' + 1 1-т/Е ' + ' I. (2.26b)
\т2 д/| j \jn2 ni])
Введем приведенную массу // = 1 /(»И| 1 + т2 1) и перепишем (2-26b) виде:
у с	чЕ
< +	4 = -	(2-26с)
А	А
Таким образом, имеем уравнение осциллятора с собственной частотой
2 _ с	qE
= ^,wa который действует приведенная сила —
и ) „ ciE
t	(2-26d)
Пусть электрическое поле изменяется по закону Е = Ес ехр( i<ot), тогда
решение уравнения (2-26d) ишем в виде С ~ Со ехР( и получим:
2 и ЦЕп
= ~	(2-26е)
Е
-29-
И j последнего уравнения имеем:
„ qE„ I
<о=	° 2	2	(2-27)
[Л со — соТ()
При учете ту хан и я, очевидно, получим:
>- (/Еп 1
=	2	2	-	,	(2-27а)
// (О — (Ото + I (Оу
где козффицисп г у = т 1
Затем, поступая аналогично §§2.1,2.2, получим для вектора
поляризации, обусловленной колебаниями решетки, содержащей Д'
элементарных ячеек в единице объема:
_ qNE 1
— 7. 77 777
2	">
// со - afo+icoy
(2-28)
Формально используя соотношение (2-28) можно получить выражение
для частотной зависимости диэлектрической проницаемости, как в §2.2.
Однако, следуег учесть, что в общем случае при распространении света с
частотой а» вектор полной поляризации единицы объема диэлектрика
складывается из вкладов упругой поляризуемости решетки г (ионная
поляризуемоеib) и электронной поляризуемости Р’’, рассмотренной в §2.2.
Тогда для диэлектрической проницаемости можно записать:
ри
(2-29)
Электронный вклад в выражении (2-29) проявляется как
высокочастотная асимптотика зависимости /?(<г)) на шкале частот порядка
колебательной частоты решетки луо- Это можно использовать как граничное
условие для определения общего вида функции ?(щ) для частот,
сопоставимых с луо. Действительно, учитывая вышесказанное и
соотношения (2-28) и (2-29), можно представить искомую функцию в виде:
-30-
E(ro) = A + —-------f--------	(2-30)
(0 - co1(, + uoy
При двух крайних значениях частот имеем:
гг(оо) = Л; e(Q) = A- В, .	(2-30а)
й9-?
Из (2-30а) получим б = й>пДл-г(0)] = <и2„[г(<»)-£•(())].
Тогда
Е(ш) = ff(co) Ч-i = £(со) I + —5i
to -a>lo+ia>y L (о -a>lo+icoy
(2-30b)
£(Ш) = t(oo) I
(,)IO	(>}LO
2	2
co — coTO+icoy
(2-30с)
где co'u) в соотношении (2-3()c) равно по определению:
2 _ 2
Ы!.О = ш7()
г-(0)
с)
(2-31)
Выражение (2-31) называется соотношением ЛиМсииа-Сакса-
Те.пера. Вводимая таким образом величина (Оц) согласуется с
фононными дисперсионными зависимостями в области А ~ 0 (см.
рис.2.7). Действительно, вследствие инерционности поляризуемое!и
среды статическая диэлектрическая проницаемость всегда больше
высокочастотной (оптической) диэлектрической проницаемости, т.е.
f(0)	1 Г
> 1. Следовательно: coL() > юто .
£(со)
Отметим, что для значений £ /0, например, на краю фононной зоны
Бриллюэна, соотношение (2-31) может и ие выполняться. В тоже время,
рассматриваемые оптические процессы соответствуют как раз условию А «О
(ввиду малости волнового вектора фотона, что подробно будет рассмотрено в
-31 -
следующем параграфе, посвященном оптическим свойствам
полупроводников). Отмстим также, что соотношение Лиддейна-Сакса-
Тсллсра хорошо согласуются с известным из механики сплошной среды
фактом, что модуль Юнга (деформация растяжения-сжатия) всегда больше
модуля сдвига.
Проанализируем зависимость £"(«) в случае малого затухания, г.е. когда
(оу«1. Тогда, как следует и з (2-ЗОс), ? действительная величина :
£(со) ~ г(со) 1 +
2	2
(&К) * ML()
2	2
со —
г(со)
2	2
м -fOL()
2	2
со — (&ТО
(2-32)
Согласно (2-32) в интервале частот (о[() > w> ы1() величина е < 0, а
следовательно показатель преломления чисто мнимая величина:
н=л[Ё = 1у1\Ё\ /к . и злектромагиитная волна нс распространяется в такой
1 с С	, ,
среде, а затухает па длинах порядка а =	=	, а коэффициент
2л>/с 2<у е
(п- 1)2 + /с2	1 + к2
отражения R =	э ~	~1.
(и + lF+K-2 1+/С"
Интервал частот fol() > а)> со1() , в котором R ~ I
называется
полосой оспшпючпых лучей. Это название исторически сложившееся,
поскольку в свое время набор тонких диэлектрических пластин использовали
для отражения света в узком спектральном диапазоне.
В общем случае произвольного затухания зависимости ?(ту) и R(u)
выглядят как на рис.2.9. Отметим, что в зависимости R(a>) имеется минимум
отражения на частоте «у . > ту,(), который становится более выраженным
при меньшем затухании. Причина минимума спектральной зависимости R(a>)
-32-
будет детально обсуждаться в следующем разделе на примере механизма
отражения свободными носителями заряда в полупроводниках.
Рис. 2.9
-33-
Раздел 3. Поглощение света в полупроводниках
§ 3.1.	Основные подходы к описанию поглощения и используемые
модели.
Квонтово-мсханичсскос рассмотрение движения электрона в кристалле
приводит к энергетическому спектру, состоящему из достаточно широких
разрешенных зон. В полупроводниках высшая по шергии зона (зона
проводимости) отделена от предыдущей (валентной зоны) запрещенной
зоной, ширина которой Eg обычно составляет 0.1-3 эВ. При этом уровень
Ферми Е|? в чистом полупроводниковом кристалле располагается вблизи
середины запрещенной юны (см. рис.3.1).
I (оглощснис света в полупроводниках возможно
вследствие взаимодействия электрического поля
Ес свеювой волны со следующими частицами и
квазичастицами:
Ер
I)	свободными электронами и дырками;
Ev
2)	колебаниями решетки (фононами);
3)	связанными электронами (валентными или
локализованными на примесях и дефектах) с
появлением свободных носителей заряда.
I процесса могут быть рассмотрены в рамках классических
моделей Дру де-Лоренца (см. Раздел 2). В тоже время, корректное
рассмотрение процесса (3) возможно только в рамках квантово-
механического подхода. Данный подход целиком основан на зонной теории,
в которой полагается, что разрешенные электронные юны возникают из
атомных орбиталей при учете трансляционной симметрии потенциальной
энергии. При этом «наследуются» правила отбора, связанные с симметрией
атомных волновых функций. Так, в частности, если разрешенные зоны
сформированы из $- и /^-орбиталей, то между ними возможен оптический
переход (в дипольном приближении). Однако, такой переход запрещен
Eg
Рис. 3.1
Первые .
-34-
между зонами, возникшими из s- и (/-орбиталей. Все эти особенности
оптического поглощения полупроводников удается правильно описать в
рамках квантово-механического подхода.
§ 3.2.	Межзонное поглощение в прямоточных полупроводниках.
Как известно, в прямозонных полупроводниках абсолютные экстремумы
валентной зоны и зоны проводимости расположены при одном и том же
значении волнового вектора к . Примерный вид электронных дисперсионных
зависимостей Е(Г) для типичного прямозоппого полупроводника GaAs
приведен на рис. 3.2.
Для расчета спектра поглощения сг(Лк) необходимо учитывать
конкретный вид зависимости Е(А), который может быть, вообще говоря,
достаточно сложным. Однако, при определении функции a(hv) вблизи края
поглощения можно принять упрощенную зонную модель, в которой законы
дисперсии и для валентной зоны и для зоны проводимости являются
квадратичными функциями к (параболический закон дисперсии), как
показано на рис. 3.3. Предполагается, что экстремумы зон располагаются в
точке А =0, а потолок валентной зоны обычно принимается за нулевое
-35-
значение энергии. При этом, значения энергии электрона в С-и V-зонах
Й2А2 - й2а2
даются соответственно выражениями ЕДА) = —	# и ЕДА) = Е„ + t
2т/,	2те
При оптических переходах с поглощением фотона с энергией hv
выполняются законы сохранения энергии:
h v = Е f Е,	(3-1 а)
и квазиимпульса:
kj -kj-к= 2nG.	(3-1 b)
где Е/ и Е, энергии соответствующих конечного и начального электронных
состояний, kf и волновые векторы для конечного и начального
состояний, kphat волновой вектор фотона, G - вектор обратной решетки.
По порядку величины kf,ktх л/аи —10* см1, где «0 - постоянная
решетки, в то время как, kphol = 2л/Л < (О6 см 1 вплоть до УФ спектральной
области (Х>100 нм). Следовательно, кр1ю1 «к/,к1 и с точностью до
вектора обратной решетки получим из (3.1Ь) закон сохранения
квазиимпульса:
кг-к^О ; кг^к^к,	(3-1с)
Другими словами, при поглощении фотона волновой вектор и
квазиимпульс р — пк носителей заряда практически нс изменяются, т.е.
происходит прямой (вертикальный) оптический переход (см. рис. 3.3). Тогда
из закона сохранения энергии (3-1 а) и параболичности дисперсионных
зависимостей с учетом того, что Е, = Е( (А) и Е^ = ЕДА), получим:
,	Й2А2 й2А? Й2А2
hv = Е, -Е, = Е„ +-.-I-.= Е + -
f g 2т 2mh е 2т
СП	г
(3-2)
1 1 1
где тг приведенная масса, определяемая соотношением: = * + ф .
mr те mh
-36-
Коэффициент поглощения фотона с энергией hv является суммой
(интегралом) по всем парам состояний, удовлетворяющих условию (3-2):
a(hv) =
ij'
(3-3)
где w,j - вероятность оптического перехода, л, и пг число исходных и
конечных состояний, соответственно, А нормировочный коэффициент.
В интегральном представлении соотношение (3-3) имеет вид:
a(hv) = А f Jn<E,,E^ )п(Е,)лг(Еj X/E,WE f ,
(3-3a)
где >г(Е, ),л(Е f )имсют смысл плотностей исходных и конечных состояний,
участвующих в переходе.
Величины /7(1., ),н(Е I) определяются плотностью состояний N(E) в
соответствующих зонах, а также функцией заполнения Ферми-Дирака f(E):
n(E/) = /Vr(E/)./(Ez);	n(E/) = /Vr(E/ )(l -/(Е, ))
(3-4)
Для нахождения вида функции N(E) в 3-х мерном случае рассмотрим,
следуя известному из статистической физики подходу, сферическую
изоэнсргсгическую поверхность в к -пространстве. Элементарное
приращение объема такого пространства равно с/Ед. = Алк dk, а на одно
состояние приходится объем 8л/У, V - объем кристалла. Число состояний,
приходящихся на И1первал dk , равно:
</Nk=2 dVk =Vk2df,	(3-5)
8л-3 IV лг
где коэффициент 2 перед дробью возникает вследствие спинового
вырождения. Тогда получим для количества состояний на единицу объема
вещества:
=	,	(3-5а)
где N(k} функция плотности состояний, зависящая от модуля к.
-37-
Так как для сферической изоэнергетической поверхпосш к
следовательно
т
dk = dE
Й 2Е
1т Е
Й
(3-6)
где т эффективная масса. Отметим, что если пзошсргегнческие
поверхности пссфсричсские, то вводят эффективную массу плотности
„ * [ * * . у/з *	. ,
состояний т =\т/ т,|W/2 I > где т1 и w(],m,2 " продольная и поперечные
массы, соответственно.
Из формул (3-5а) и (3-6) следует выражение для iijioiiiocui состояний в
/.-пространстве:
N(k)dk =
*	. I »\3/2
2т Е w _ 12»? I
„ „ «Е = '	’ ,
я2й2 й 2Е 2я2Й3
EdE
(3-7)
Так как число состояний в фиксированном интервале / или Е постоянно, то:
N(k)dk=N(E)dE	(3-8)
Согласно (3-7) и (3-8) получим:
Н(Е)Л'п) Е
2л-2Й3
(3-9)
Следовательно, для объемных фаз полупроводников (т.е. для размерности 3D)
имеет место корневая зависимость для плотности состояний от энергии
вблизи краев разрешенных зон, как схематично показано на рис. 3.4.
-38-
Важным параметром, определяющим число состояний, участвующих в
оптическом поглощении, является их степень заполнения, которая дается
функцией распределения Ферми-Дирака (см. рис. 3.5):
ДЕ) =	, ’	, (Е-еИ , exp	+1 1 АдТ )	(З-Ю)
Будем считать полупроводник невырожденным:
,/(Е,)«1 /(Ez)«0 и следовательно: 1-/(Ег z ) ~ 1	(3-10а)
Тогда из выражений (3-4), (3-9) и (3-10а) получим для плотности
участвующих в оптических переходах состояний:
	( *У/2 «(E,) = Wr(E,)/(E,)«^ (E() = '2"!/' '	Е,	(3-11а) 2тт/г /	»V/2 w(E/) = Nc(E/)(l	-'2^ф Ef-Ec	(З-ИЬ) Так как состояния с энергиями Е/ и Е, не являются независимыми, а
связаны законом сохранения энергии (3-1 а), ю можно ввести так называемую
комбинированную плотность состояний
	( *У/2 yV(/;y)=V2w'J йи-Е„.	(3-12) 2л-2Й3
которая заменяет интегрирование по энергиям в С-и У-зонах
интегрированием по разности энергии фотона и ширины запрещенной зоны:
J J«(E,)n(Ey к/Е,(/Е7 = j7V(/iv>/(/iV-EK)	(3-12а)
Е, Ь ,	h v-Eg
Вероятность переходов w,/ можно найти по теории возмущений 1-го
порядка для 2-х уровневой системы:
wiJ -^ij
2 sin 2 (ft> - (Off )/]
й 2 (щ - a>if У
(3-13)
-39
Е / - Е,
где wit =	. Hif
п
матричный элемент оператора возмущения
в	_
Ч= 1^‘Р), т0- масса свободного электрона, А векторный потенциал,
Р - . V оператор импульса.
Из квантовой электродинамики
известно, что для дипольно-
разрешенного перехода квадрат модуля
гамильтониана возмущения дается
выражением:
2е2/(<у)
3/яои(ш)^цсш2
(3-14)
2
2
Pif ,
где /(<w) поток
фотонов с час ю гой
(о, а квадрат матричного элемента
2
оператора импульса /),у можно выразить через силу осциллятора перехода
fif следующим образом:
2	,	,	.
Pif =2mOhvfif
(3-15)
Анализ параметра р^ позволяет судить о том, насколько возможен
оптический переход, а также записать правильную асимптотику для a(hv}
вблизи tg . Действительно, рассмотрим х-компоненту оператора /),у , т.е.
pXij j ' dX. Для того чтобы интеграл PXi/ отличался от 0, функции
V7/ и (//; должны иметь разные четности. Аналогичные рассуждения
справедливы и для других компонент матричного элемента оператора
2	2	2	2
импульса, квадрат которого рц = рх + pYlf + pXlj Если
начальное /-состояние соответствует атомной s’-функции, а конечное /-
2
состояние - p-функции, то рц 0 , а переход называется дипольно-
-40-
разрешенным. Для динольно-разрешенных переходов ру слабо зависит от
-	2	2	2
волнового вектора к , и поэтому р,/(к) ~ /\у(0) = р^
Таким образом, при прямых дипольно-разрешенных переходах имеем
следующее выражение для коэффициента поглощения света:
a(hv) = A] hv-Eg	(3-16)
2ле2 (2т )3 2 р02
где Л| =	2	слабо зависит от частоты вблизи Eg .
3ш0н(/? у)£ос1гу
Действительно, используя соотношение (3-15), можно записать:
яе2(2щ,.)3/2Лт fif
Л| =	ос ' Обычно в полупроводниках показатель
3/иоп(/т v)foc(t2 n(hv)
преломления является слабо изменяющейся функцией hv вблизи Eg ,
поскольку в основном определяется поляризацией решетки и вкладом
валентных электронов. Поэтому соотношение (3-16) хорошо описывает край
поглощения прямозонных полупроводников при типолыю-разрешенных
переходах.
В случае дипольно-запрещеиного перехода, которым, например, является
переход из х-состояния в (/-состояние, имеем:	, где
2	2
г 2	2 2	-	2 ° Pif
ри {к и 0) » к р\ oc(/ji'-E„) , а Р\ =	_2	Отсюда получим
к=0
приближенное выражение для коэффициента поглощения света при прямых
дипольно-запрещенных переходах:
a(hv) = A2[h\' Eg),/2	(3-17)
2
где ^2	• Поэтому более точная спектральная зависимость
V
коэффициента поглощения для запрещенных переходов в прямозонных
полупроводниках имеет вид:
-41 -
a(hv) *
(/iv-Ej,/2
V
(3-17a)
§ 3.3. Поглощение света при непрямых переходах.
В некоторых полупроводниках, например, в Si, Ge, GaP и др., потолок
валентной зоны и дно зоны проводимости расположены в различных точках
£-пространства, как схематично показано на рис. 3.6. Такие полупроводники
называются непряиозоинылш. Запрещенная зона (непрямая) Ек , как и в
Рис. 3,6.
прямозонных материалах,
соответствует минимальному
зазору между с- и v-зонами.
Однако, в непрямозонных
полупроводниках при
поглощении фотона с
энергией	h v = Eg
невозможен вертикальный
переход (рассмотренный в
п.3.1), но возможен непрямой
оптический переход i —> f , изображаемый наклонной стрелкой на
упрощенной схеме Е(£) (см. рис. 3.6). Для его описания используется теория
возмущения 2-го порядка. Рассмазривается переход в 2 этапа, включая
промежуточное вирппалыюе состояние, а именно, процесс I: i —> Г —> f или
П i -> /' -> / . Виртуальные состояния i', f характеризуются тем, что время
их жизни т достаточно мало, что может быть оценено, используя
соотношение неопределенности Гейзенберга: гя:/г/ДЕ , где
ДЕ = Е„> — Ли » Eg|v имеет смысл разности от энергии реального
перехода.
-42-
Рассмотрим подробнее нронеч I (im pin Н>) IhpcxoTi iiiijihcicii
вертикальным, и его верой i not u. upoiiiipiiiioiiu ui.n । //„ (cm § 3.2) Дня
фотонов с энергией/; i ^1 । lakiui переход, iuiooihc loiiopu, lanpemeii из-за
несохранения энергии Однако, ссш cocioiiinie /' iiiipiyaju.noe, го переход
возможен на временах r»/i/\l , 1 де \l I Ли. В целом, в процессе
i —> i' —> f энергия сохраняемся. по для сохранения квазиимпульса
необходимо участие фонона. При ггом законы сохранения энергии и
квазиимпульса имени вид:
Еу = h v + Е, ± Еpho„	(3-18а)
(3-18Ь)
где ph<m и	энергия и волновой вектор фонона. Отметим, что
соотношение (3-18Ь) записано с точностью до вектора обратной решетки и в
пренебрежении волновым вектором фотона (см. п.3.2).
Вероятность в единицу времени для перехода I может быть найдена по
теории возмущения 2-го порядка и выражена следующим образом:
wif ОС Ни. 2  Hlf\ 1	(3-19)
(ю - а ц')
Е > Е
где = '	1 , Нц- — матричный элемент гамильтониана для
Й
вертикального оптического перехода (->/’, рассчитываемого как и н.3.1,
H/'f	матричный элемент гамильтониана >jieKipon-i|xmoiinoio
взаимодействия для перехода Г —> f.
Для процесса /' —> f необходимо рассматривав. возможное и. и
поглощения ( /7,у ), и испускания ( /7,у ) фононов. Cooiifcicniyioiniie
матричные элементы переходов имеют вид:
Я,у - BN phon ; W,+y - B^NpholI + 1),	(3-20)
43-
где В
константа, а
phon ехР
р
0 phon
квТ
функция распределения
Бозе-Эйпшгсйна, описывающая заполнение фононных состояний
Тогда из (3-20) получим:
Н 2 - В
н>т (г \	;
ехр	- I
I W J
(3-20а)
,	| I phon |
1 - ехр - '
I W J
Коэффициент поглощения a(hv) является суммой (интегралом) по всем
парам состояний, удовлетворяющих условиям (3-18), и также как в случае
прямых переходов (см. §3.1) может быть рассчитан с использованием
соотношений (3-3) или (З-За). Используя интегральное представление (З-За),
учитывая 2-х ступенчатость процесса (3-19) и возможности поглощения (а )
или испускания ( а4 ) фононов, описываемые формулой (3-20), можно
записать:
2	+ 2
Иц'  -Oiv Eg±Ephon)
.	..	f«(E,)n(Er)dE.,	(3-21)
(E^-Av)2 о
где Ez = Е, + hv + Ephon.
Предполагая невырожденность полупроводника (соотношения (З'-Юа)),
а также нараболичность закона дисперсии (соотношение (3-11)), получим для
плотностей исходных и конечных состояний:
n(E,)=Wr(E,)/(E,) = W(,(E/)=	‘ 3(2/ИЛ*У/2 -Е,	(3-22)
2тг/1
«(E/) = NC(E/)(1 ДЕ/))«Лс(Е/)=	' (2<У2 Ъ-Eg + hv±Ephim
2я li
(3-22а)
С учетом (3-22) можно определить интеграл в выражении (3-21):
(hv-Eg±Ephon)
j Е, Ei-Eg+hv + E р1юп dE,,= 71 (Л v - Eg ± E f)hon j2	(3-22b)
n	”
-44-
Тогда получим для коэффициента поглощения света при поглощении
фонона (h и > Eg - Eph„„):
a (hv)<xB}
ехр
Г Л	' Phon
(Ei
phon ।
< квТ J
(3-23а)
и при испускании фонона (к v > Eg + Е )hon):
(/iv-Eg-E^,,)2
a+(hv) ос /?,
1 - ехр
F ,
phon
квт
(3-23Ь)
Коэффициент 5,, рассчитанный с учетом путей поглощения 1 и II (см.
рис.3.6), имеет вид:
4 * *Р/2	2	„ ,
е \t»emh) R Pii' ,R P'f
7	,	°C t	\7 +	(	\Э
\2лн niQn(hv)£Ocv (Egj-hv)~	(Eg2-/iv)2
(3-23c)
где константы Bc и Bt определяются электрон-фононным ыаимодейстием
в с-и v-зонах, соответственно. Обычно Eg2 - h v » Еи( - hv и второе
слагаемое в выражении (3-23с) будет много меньше первого, т.е. переход
i -> f f, дает малый вклад в полный коэффициеш поглощения.
Следует подчеркнуть, что в диапазоне Lg + Е > hv > Eg - Epholt
коэффициент поглощения соответствует только процессам с поглощением
фононов: a(h v) = a (h и). Тогда как, для фотонов с h V' > Eg + Ер^0„ данная
величина есть сумма вкладов процессов с поглощением и испусканием
фононов: cz(Av) a (hv) + а+(hv) . Вблизи непрямой запрещенной зоны
спектральная зависимость коэффициента поглощения при непрямых
переходах спрямляется в координатах а и hv, как схематично показано на
рис. 3.7.
-45-
Ввиду того, что вероятность поглощения фононов, пропорциональная их
концентрации (см. формулу (3-20)), которая уменьшается с понижением
температуры, котффициент поглощения света с энергией фотонов
Ej, + ^ph,m > h \’> Lg - Е„Л„„ проявляет сильную температурную
зависимость, а именно:
(	( F	Л
а ~ (h v) се exp р1ит I -1
И	J
В частности, угол
наклона зависимости a (hv) уменьшается с понижением температуры, как
показано на рис. 3.8.
§ 3.4. Особенности поглощения света в вырожденных полупроводниках.
Эффект Бурштейна-Мосса.
В предыдущих параграфах рассматривалось поглощение света в
невырожденных полупроводниках, когда для всех фотонов с энергией
hv>Eg найдется пара электронных состояний, для которых исходное
состояние всегда заполнено, а конечное всегда свободно, т.е. /(Е,)~1,
/ (Е, )«0 .
В настоящем параграфе будет рассмотрен случай сильно вырожденного
полупроводника, кота уровень Ферми располагается в разрешенной зоне.
Такой случай реализуется при сильном легировании или электронном
-46-
возбуждении, например, оптическом, когда концентрация носителей заряда
|п19	-3
ii.viiiiiaei превышать уровень-10 см .
Рассмотрим вырожденный
прямозонный полупроводник и-типа,
для коюрого учтем также вырождение
его валентной зоны, т.е. ее
расщепление на подзоны легких и
1яжслых дырок (см. рис. 3.9).
Очевидно, ч го условие
/(I. у )~() выполняется лишь для
гнергий фотонов hv , превышающих
некоторое пороговое значение
/г i/| > Eg. Вообще говоря, существует два пороговых значения /; и hv^,
которые соответствуют переходам из подзон тяжелых и легких дырок,
соответственно. Но ввиду того, что hvi < Лн2, а коэффициент поглощения
возрастает с ростом hv, то обычно в жспсримснтс наблюдается порог h\'\.
Необходимо подчеркнуть, чго в вырожденных полупроводниках оптический
переход всегда происходит в точке к ^0. В приближении парабол и ч пости
юн можно записать для пороговой энергии фотона:
2 2
h v, = Е„ + fl “F ,	(3-24)
s 2mr
2m*
где к]? = e (Er -Ec) > 0 в случае вырождения в С-зоне.
fi
Тогда коэффициент поглощения может быть выражен следующим
образом:
I
,	(3-25)
а(йи) = а0(/ги)(1-/(Е/ ))»a0(/n/) expl -
Ли- Eg +E(--Ef
-47-
где a0(hv)
коэффициент поглощения света в невырожденном
полупроводнике.
Таким образом, спектр поглощения вырожденного полупроводника
подобен спектру поглощения в невырожденном полупроводнике, но его край
сдвинут в область больших энергий. Сдвиг края поглощения в вырожденных
полупроводниках в высокочастотную область спектра называется эффектом
Бурштейна-Мосса
Для вырожденного полупроводника />-типа наряду с эффектом
Бурштейна-Мосса возможны также внутризонные переходы между
подзонами легких и тяжелых дырок, как показано на рис. 3.10. Поэтому
наблюдается несколько порогов в спектре коэффициента поглощения.
Переходы с порогами Ли3 и/ги4 являются вну1ризонными. Обычно
/ги4 > Ли-, « hv2,hv\ ~ Eg, и a(hv) 0 при hv\ < Eg, по край межзонного
поглощения по-прежнему сдвинут в область больших шергий вследствие
Е
эффекта Бурштсйна-Мосса.
При непрямых переходах в
вырожденных полупроводниках
также имеет место эффект
Бурштсйна-Мосса. Однако
вследствие вкладов различных
процессов поглощения и
испускания фононов сдвиг края
поглощения выражен не так явно,
как при прямых переходах. В
непрямозонном полупроводнике //-типа край межзонного поглощения может
быть рассчитан по следующей формуле:
(Ai'-Egi ЕрАнл)
а(/г и) ос J(l - /(Е,- - Eg + h v ± Eg/lo„)) Е, (Е, - Eg + h v + Е/)Л„„ )т/Е,
о
(3-26)
-48-
Аналогично может быть рассчитан коэффициент поглощения при
непрямых переходах в вырожденном полупроводнике /?-гипа. Однако, 1акже
как и при прямых переходах, дополнительный вклад дают внутризонные
переходы между подзонами легких и тяжелых дырок.
Необходимо отмстить, что наряду с >ффсктом Бурштсйна-Мосса и
внутризонными переходами коэффициент поглощения сильно вырожденного
полупроводника может изменяться за счет уменьшения Eg, что вызвано, так
называемой перенормировкой запрещенной зоны вследствие экранировки
периодического потенциала кристаллической решетки плазмой носителей
заряда. Данный эффект, как правило, наблюдается при очень больших
концентрациях носителей заряда, превышающих уровень ~ 10м см 3.
§ 3.5. Особенности Ван-Хона. Понятие о модуляционной спектроскопии.
Полученные в предыдущих параграфах формулы для спектров
поглощения были основаны на выражениях (3-5) и (3-9) для плотности
состояний вблизи краев разрешенных зон, для которых предполагался
параболический закон дисперсии Е(А)аА . При этом для вертикальных
оптических переходов удастся ввести комбинированную плотность
состояний N(hv) (3-12) и получить выражения для коэффициента
поглощения a(hv) при разрешенных (3-16) и запрещенных (3-17) переходах.
Эти выражения, строго говоря, справедливы лишь вблизи края поглощения,
т.е. для hv = E^, В общем случае спектры N(hv) и, следовательно,
a(hг)могут быть более сложными и даже немонотонными функциями hv,
что зависит oi вида законов дисперсии Е^(А ) и Е( (А") . Последние могут
иметь точки симметрии, которые называются особыми (критическими)
точками или особенностями Ban Хова.
Выделяют два основных вида особенностей Ван-Хова, а именно:
•	критические точки 1-го рода, для которых V£EC(A) = V£E(/(A) = O;
-49-
•	критические точки 11-го рода, для которых Е( (Л) = V^E^fA) * 0.
Критические точки l-ro рода отвечают экстремумам и седловым точкам
зависимостей Е( (к) и Е(-(А) , тогда как критические точки 11-го рода
соответствуют одинаковым градиентам •пергетических зависимостей в к
простране 1ве.
Для более детальной классификации критических точек обоих видов
можно ввести функцию Е(А) = ЕС(А) -ЕГ(А ) . Тогда вблизи критической
точки можно записать:
ГгЬк2
Е(А) = Е(А;.) + £	' ,	(3-27)
/ 1.2.3 2mj
где ДА = к кс, индексы 1,2 и 3 соответствуют координатам х,у и z в к-
( \ 1
I л2г /
пространстве, а коэффициенты ,и/ = "	МО1УТ иметь различные
знаки. А именно возможны следующие случаи:
1)	если М|,2,3 > ® > то точка называется М(|, или минимум;
2)	если М|2>0,а л»з < Ото точка называется М, , или седловая;
3)	если »/| 2 < 0, a hit, > 0 то точка называется М2, или седловая;
4)	если w»i,2,3 < 0, то точка называется М3,или максимум.
Наличие критической точки приводит к появлению особенностей в
спектре комбинированной плотности состояний N(hv) и соответственно в
спектре а(Ли), т.к. «(Ли)ос N(hv). В частности, для точки Мо имеет место
расходимость производной N(h и):
dN(hv) 1
а	—---------->со	(3-28)
Av-Eg liu-^Eg
Графики N(hv) для критических точек различного типа схематично
изображены на рис. 3.11.
-50-
N(h И
При наличии 2-х близкорасположенных критических точек зависимости
N(hv) и a(hv) мщуг быть немонотонны, как показано на рис. 3.12.
обнаружение критических точек по ci
Исследование особенностей
Ван-Хова	представляет
значительный интерес, поскольку
дает возможность сопоставить
выводы зонной модели твердого
тела и данные эксперимента.
Прямое экспериментальное
арам поглощения или отражения
полупроводника проблематично, поскольку последние, как правило, эависяг
от различных процессов взаимодействия света с веществом и представляют
собой плавно меняющиеся функции. Для экспериментального исследования
особых точек используют методы модуляционной спектроскопии, которые
основаны на модуляции искоюрым внешним воздействием диэлектрической
проницаемости вещества, а, следовательно, и спектров a(hv) или R(hi’) .
При этом обычно измсряезся разностный или дифференциальный спектр
(т.е. разность между модулированной и исходной величиной), что позволяет
более отчетливо выявить особенности Ван-Хова.
Используются следующие основные способы модуляции оптических
характеристик полупроводника: I) электрическим полем, 2) светом, 3)
теплом, 4) деформацией.
-51 -
В зависимости от того, какая величина является непосредственно
измеряемой, говорят о модуляционной спектроскопии отражения,
пропускания, или поглощения. Рассмотрим некоторые наиболее
распространенные методы модуляционной спектроскопии.
Спектроскопия >лектроотражеиия основана на модуляции
коэффициента отражения полупроводника приложенным электрическим
полем. Схематически данный метод изображен на рис. 3.13. Свет с
интенсивностью lofhv) О1ражастся от поверхности образца, к которому через
Рис.3,13
______________________________________________I
прозрачный или полупрозрачный контакт
(например, сетчатый электрод, электролит
и т.п.) и обратный контакт приложено
переменное (как правило, периодическое
с некоторой частотой щ,,) напряжение
Приложенное напряжение изменяет
(модулирует) поверхностное тлектричсскос поле, что вследствие эффекта
Франца-Келдыша приводит к модуляции оптических характеристик вещества,
в частности, его коэффициентов отражения и поглощения (см. §4.3). В
результате отраженный свет имеет интенсивность / /„(/? тДЯ((/(т))), где АЛ -
зависящая от приложенного напряжения часть коэффициента отражения.
Нормированный разностный сигнал ЛЯ//? , детектируемый на частоте
модуляции щ„, является сигналом мектроотражения. Спектральная
зависимость сигнала элсктроотражсния дает возможность найти положение
критических точек, поскольку в окрестности последних происходит наиболее
сильная модуляция коэффициента отражения.
Другим весьма распространенным методом модуляционной
спектроскопии является фотоотражение. Данный метод основан на
модуляции коэффициента отражения полупроводника при интенсивном
фотовозбуждении (см. рис. 3.14).
- 52-
А/
Л.
Мп
Рис.3.15
В методе фотоотражения для модуляции используется сильно поглощаемый
свет, интенсивноеib которого 1,„(1) достаточна для изменения поверхностного
электрического поля вследствие экранирования возникающими при
освещении неравновесными носителями заряда. Это приводит, как и в методе
электротражения, к модуляции оптических характеристик приповерхностной
области образца, что детектируется с использованием слабого пробного
излучения с интенсивностью In(hv). Типичный спектр электро- или
фотоотражения схематически показан на рис. 3.15. Отметим, что
преимуществом метода фотоотражения является то, что не требуются
электрические контакты. Поэтому данный метод может быть использован
при исследовании широкого класса материалов, в том числе аюмарно-
чистых поверхностей, тонких слоев и других низкоразмерных структур.
§ 3.6. Влияние примесей на энергетический спектр полупроводника.
Наличие примесей или (сфсктов структуры изменяет энергетический
спектр полупроводника. Функция плотности состояний для образцов с
различной концентрацией примеси N, имеет вид, схематично
представленный на рис. 3.16.
-53-
Рис. 3.16
В отсутствие примесей и дефектов, г.е. при Nt = 0 , плотность
состояний в запрещенной зоне /У(Е) = О. а вблизи края зоны следует
корневому закону Л’(Е)'< Е(см. §3.1).
При малой концентрации примеси и дефектов, когда
Z чЗ < у
N. « 1	, И. , где и ay радиус жрапировапия и боровский
к	aR)
радиус электрона или дырки, локализованных примеси, в запрещенной зоне
может появиться узкий, подобный 8-функции, уровень энергии.
Если =
, то вследствие кулоновского взаимодействия между
примесями происходит, так называемое, классическое уширение примесного
/ з3
уровня. Если же =	*
\ ав)
то вследствие туннелирования носителей
заряда между примесными сосюяниями происходит квантовое уширение
последних, и образуется примесная зона. Квантовое уширение не всегда
-54-
соответствует очень большим Nt, так как его условия зависят от величины
. 4л-£0£Й2
ав =	~> и, следовательно, от значений диэлектрической проницаемости
т е
и эффективной массы носителей заряда в соответствующей зоне. Так,
например, для Ge квантовое уширение уже заметно для Nt > Ю'^см 3.
При очень высоких уровнях легирования, когда i
I аВ
происходит объединение примесной зоны и зон собственных состояний, и на
краях последних образуются хвосты плотности состояний. В результате
энергетический спектр электронов имеет вид, характерный для
неупорядоченного или аморфного полупроводника. Это происходит при
концентрациях примеси или дефектов ^t>^t —3-10
10 т
см . Для
донорных примесей, имеющих, как правило, меньшие т*, значения N t
меньше, чем для акцепторов. Так, например, для n-GaAs :	= 5 • 10 см J.
§ 3.7. По1 лощение света в сильно легированных и неупорядоченных
полупроводниках. Правило Урбаха.
Рассмотрим особенности поглощения света в сильно легированных или
дефектных полупроводниковых кристаллах, когда Nt > Nt . Вид функции
плотности состояний в этом случае, как уже отмечалось выше, аналогичен
случаю неупорядоченных, например, аморфных полупроводников.
Основным отличием таких материалов от идеального полупроводникового
кристалла является отсутствие запрещенной зоны энергий в строгом смысле
этого понятия, в частности, наличие хвостов плотности состояний на краях
валентной зоны и зоны проводимости.
-55-
Экспериментально была установлена экспоненциальная зависимость для
хвостов плотности состояний :
W(E) х ехр(±
(3-29)
1де знаки «+» и « » относятся к с- и v-зонам, соответственно, Ео -
характерная энергия, величина которой ~10 мэВ для многих материалов. При
этом, для коэффициента поглощения имеет место эмпирическая формула,
которая носит название правила Урбаха:
</1п(а(Лн)) I
~ 1 т	(3-30)
a(hv) квТ
Другими словами, с понижением температуры возрастает угол наклона
спсюра поглощения в полулогарифмической шкале, как показано па
рис. 3.17. Причина такой зависимости может быть связана с различными
факторами, такими, как изменение заселенности хвостов плотности
состояний и влияние тепловых флуктуаций на их шергетический спектр.
Экспоненциально зависимые от энергии хвосты спектра коэффициента
поглощения вблизи края запрещенной зоны часто называются урбаховскими
хвостами.
Наличие урбаховских хвостов приводит к экспоненциальной
зависимости края спектра оптического поглощения:
(Av-E '
а(Аи) = »„ ехр
к «в'
(3-31)
где а0 некоторая константа размерности коэффициента поглощения.
Подчеркнем, что выражения (3-30) и
(3-31)	являются следствием
соотношения (3-29), то есть
экспоненциального	характера
зависимости /V(Е) в области хвостов
плотности состояний.
-56-
Рис. 3.18
В сильно вырожденных полупроводниках жснеримснталыюе
наблюдение урбаховских хвостов коэффициента поглощения затруднено
вследствие того, что для тлектронных состояний ниже краев
соответствующих зон перестают выполняться необходимые для оптического
перехода условия, а именно, 1) начальное состояние заполнено: /(Е, )= 1 ,
2) конечное состояние не заполнено: /(Е^)»:0 Последний случай
схематично показан па рис 3.18 (а). Все эго приводит к тому, что
доминирующим эффектом становится сдвиг края межзонпого поглощения в
высокоэнсргетичпую область (>ффскт Бурннейна-Мосса, см. 3.4). Поэтому
для наблюдения хвостов спектра a(hv) в легированный полупроводник
вводят компенсирующую примесь в копцеп грации (остаточной для
смещения уровня Ферми ближе к середине запрещенной зоны. Тогда
становятся возможными оптические переходы между хвостами плотности
состояний в с- и v-юнах (см. рис. 3.18 (Ь)).
§ 3.8. Примесное поглощение в полупроводниках при малых
концентрациях примеси.
Поглощение света с hv< Е4, в полупроводнике, легированном примесью
с малой концентрацией «г() ,(afi) 3 , хорошо описывается в
предположении, что атомы примеси не взаимодействуют друг с другом и
образуют узкие уровни в запрещенной зоне. Рассмотрим возможные
- 57-
EF -
(a)	(b)	(c)
Рис. 3.19
оптические переходы в полупроводнике, содержащем донорные и
акцепторные примеси с уровнями энергии Еп и ЕА, соответственно (ем.
рис.3.19).
Если уровень Ферми расположен так, что акцепторные состояния
заполнены электронами (или донорные свободны), то возможны переходы
зоиа-примесь с пороговой энергией hv = Ед - Е(или Eg — Е/> ), как
показано на рис. 3.19(a). Условно указанные переходы будем обозначать как
1-л —> Е(- (или Е| —>Е/)).
*
Переходы зона-примесь с пороговыми щергиями hv = ЕА (или ED)
возможны при противоположном факторе заполнения примесных состояний
(см. рис. 3.19(b)).
Так как примесь может образовывать состояния с набором уровней,
включая основное и возбужденные состояния, то возможны так называемые
вну’трицентровые переходы, как показано на рис. 3.19(c). В этом случае в
спектре поглощения обычно наблюдается система узких линий, переходящих
в более широкую полосу поглощения.
Рассмотрим, чем определяется положение энергетических уровней
примеси. Для так называемых мелких примесей, энергетические уровни
которых располагаются вблизи краев соответствующих зон на расстояниях
порядка кнТ , справедлива модель водородоподобного центра. В рамках
данной модели в решении уравнения Шредингера для атома водорода делают
-58-
замену т0 —> т и вводят диэлектрическую проницаемость £. Это приводит
к следующим собственным значениям для энергетических уровней примеси
(система единиц СИ):
2	
е/'= С .	,	(3-32)
I
2
. , _ _	* ЬЛЕкЗУ	Мл	,
где / = 1,2,3,...- главное квантовое число, а$ =	*	~^в€ *	ооровскии
т*е2	т
радиус носителя заряда, локализованного на примеси, «й= 0.053 нм -
боровский радиус в атоме водорода.
Для большинства полупроводников: £ = 12-16 , т х О.2/но , и
следовательно: т/д =6-8 нм, что намного больше постоянной решетки
а0=:0.5 нм. Значение е/' при / = 1 , представляющее собой энергию
основного состояния или потенциал ионизации примеси, часто также
называю! энергией связи носителя заряда на примеси и обозначают как
е2
Ед = Е,1' =	* Из приведенных выше оценок следует, что
8л£о£г/ е
Efc = 0.01 -0.1 эВ.
Волновая функция основного состояния носителя заряда, связанного па
водородоподобной примеси, может быть представлена в виде:

(3-33)
или может быть разложена по блоховским функциям носителей заряда
соответствующей зоны:
= ^А(к ~)и(Г, k)exp(irk),
к
(3-34)
-59-
где функция и(Г,Л) периодична с периодом а0 , а коэффициенты
определяются условием нормировки.
Из формулы (3-34) видно, что
волновая функция О1рапичена по к ,
а именно, основной вклад
* I
приходится назначения к <(ав)
Используя представление (3-
34) можно рассчитать вероятность
оптического перехода примесь-зона
(см. рис. 3.19(a)). Для кого запишем матричный элемент оператора
возмущения:
2	*	2
Н,/ = <5У/ ll,z > = Н,,
(3-35)
где Н,у дается выражением (3-14).
Для переходов с акцепторного уровня в зону проводимости (переход
Е^—>Eriia рис. 3.19(a)) волновой вектор фотовозбуждешюго электрона
будет определяться энергией фотона (см. рис. 3.20):
*2.2
. =йи-Е„+Е/|	(3-36)
2ме
Для вычисления коэффициента поглощения необходимо использовать
соответствующую комбинированную плотность состояний:
/	»р/2
‘ hv-E,,+EA	(3-37)
ft3	*
Используя формулы (3-35) и (3-37), получим:
-60-
0,(111’) =
NtAt Av-Eg + E^
[l+2w‘(«^A)2(/7v-Eg+E/1)
(3-38)
256/re2(<:i/;}(2w*)3/ p02
где A, =	'	,
3/Hj)H(A v)£^ch' V
Обычно знаменатель в выражении (3-38) близок к I. Тогда можно
записать:
o1(Iiv’)kNi Ai-Eg+E^ ,	(3-38а)
то есть спектр примесного поглощения подобен краю межзонного
поглощения, но сдвинут в нткоэнергетичную область па величину энергии
ионизации примеси.
Гак как концентрация
примеси обычно меньше, чем
плотность состояний в зоне,
то абсолютные значения
a, (hv) меньше, чем для
межзоппых переходов. В
качестве примера на рис. 3.21
показан (в полу-
логарифмической шкале) спектр поглощения содержащего акцепторную
примесь (TVA—4*1015см ') антимонида индия (p-InSb) при Т 80 К Видно, что
примесное поглощение напоминает по форме спектра край межюнного
поглощения, однако его абсолютная величина намного меньше.
Помимо рассмотренного примесного поглощения через мелкие уровни
в полупроводниках также возможно поглощение света на глубоких
примесных состояниях. Такие состояния уже нельзя описать
водородоподобной моделью. Носители заряда на глубоких уровнях
оказываются сильно локализованными. Величина ад для таких состояний
существенно меньше, чем для мелких уровней, а волновая функция
-61 -
носителей заряда строится из блоховских функций со значениями к
принадлежащим почти всей зоне Бриллюэна. Глубокие уровни имени
большое значение для процессов рекомбинации носителей заряда в
полупроводниках.
В полупроводниках и диэлектриках также могут существовать
изолированные примесные состояния, для которых энергетический спектр
лишь слабо зависит от свойств твердотельной матрицы. Указанные
состояния, например, появляются при введении ионов редкоземельных и
переходных металлов, таких, как Er, Eu, Yb, Cr, Nd и т п В частности,
примеси Сг и Nd в прозрачных диэлектрических матрицах (гранат, стекло)
используются в лазерах на рубине, аллюмо-итриевом гранате и стекле с
неодимом, которые имеют большое практическое значение
Другой практически важной примесью являются ионы эрбия, которые
в твердотельной матрице характеризуются внутрицентровыми оптическими
переходами в облает 1.5 мкм, что соответствует области минимальных
потерь оптоволоконных линий связи. Известно, что в прозрачных
ди элекфичсских матрицах, например, в стекле, Ег’ возбуждается и излучает
вследствие впутрицептровых переходов, параметры которых практически нс
зависит от свойств матрицы. На основе таких систем сконструированы
лазеры и оптические усилители. Несколько иная ситуация реализуется для
ионов Ег3', внедренных в полупроводниковую матрицу, например, в Si. В
этом случае оптическое возбуждение происходит вследствие передачи
энергии от электронного возбуждения матрицы посредством кулоновскою
взаимодействия. Это отрывает широкие возможности интеграции таких
систем в приборы и устройства, основанные на кремниевой электронике.
§ 3.9. Экси тонное поглощение света в полупроводниках.
В полупроводниках и диэлектриках возможно поглощение света с
энергией фотонов hv < Eg , которое не сопровождается появлением
62-
свободных носителей заряда. Возникающее возбуждение является
электрически нейтральным и может быть рассмотрено как квазичастица,
называемая экситоном (от английского слова “'excitation”). Понятие
«экситон» было впервые введено Я.И.Френкелем в 1931 г. В
полупроводниках экситон был обнаружен в 1951 г. Е.Ф.Гроссом с
сотрудниками.
В настоящее время различают 2 вида жеитонов, которые могут
существовать в объемных фазах полупроводников и диэлектриков, а именно:
экситоны Френкеля, или экситоны малого радиуса гсх< а0, где а0
постоянная решетки кристалла;
- экситоны Ванье-Мотта, или экситоны большого радиуса г,.х »	.
Экситоны Френкеля это сильно связанные экситоны, локализованные
вблизи отдельных атомов. Такие экситоны наблюдаются в щелочно-
галлоидных кристаллах, в антрацене, твердом бензоле, молекулярных
кристаллах.
Экситоны Ванье-Мотта это слабо свякшные экситоны, которые
являются коллективными возбуждениями всего кристалла. Наблюдаются они,
как правило, в полупроводниках. В дальнейшем мы будем рассматривать
экситоны именно такого вида.
Для описания свойств экситона Ванье-Мотта рассмотрим задачу о
поведении электрона и дырки, взаимодействующих кулоновскими силами.
Тогда можно записат ь уравнение Шредингера:
------------------	ф(<Л) = ьФ(г.,г*),	(3-39)
Ztn Zmh
2	2
где fe , ff, и V£, , V;, - соответствующие радиус-векторы и операторы
Лапласа для электрона и дырки; ф(ф,>),) и G волновая функция и полная
энергия системы; £ диэлектрическая проницаемость системы и г)
коэффициент, зависящий от системы единиц (СИ: г] = 4л£0, СГС: 7=1) .
-63-
Введем радиус-векторы относительною положения электроны и дырки
f = fe - t)., и их центра масс к =	. Тогда уравнение (3-39) можно
те + mh
переписать в виде:
h Vr - tl ^2r
2M 2m..
е1
Т]ЕГ
Ф(^,/’)=СФ(7г,г),
(3-39a)
где M = me+mh - полная и mr
эффективные массы экситона.
приведенная ( тг 1 = те} + т^ )
Последнее уравнение решается разделением переменных. Для этого
представим волновую функцию в
виде ф($.р) = <д(/?)-<//(?) и после
подстановки его в (3-39а), получим:
1 Й2 э
<p(R) 2М
1 й2
5У(Г) 2mt
? + g2
Т]ЕГ
(y(f) = G .
(3-39b)
Отсюда получим уравнения для соответствующих волновых функций:
Й2 ,
-	V^(£) = JM/?)	,	(3-40)
2М
Й2	2
-	V2^(f)-е ^(Г)=Е^(Г) ,	(3-41)
2тг	1]Ег
где полная энергия G = W +Е. Отмстим, что (3-40) — это уравнение для
свободного движения частицы, решением которого является плоская волна
<p(R) = ?1exp(i^cv/?) , где волновой вектор центра масс экситона
ксх = 2Л/И/Й.
Уравнение (3-41) решается аналогично задаче об атоме водорода.
Собственные значения (энергии экситонных уровней) даются выражением:
<?2	1 Е
Е„ =	2=	(3-42)
2?7»м и п
где п=1,2,3,..., а радиус экситона равен:
-64-
11 Efl2
nire2
m0
= aB£
mr
(3-43)
где =0.053 нм это боровский радиус в атоме водорода.
Используя гсх, можно выразить энергию первого экси тонного уровня,
которая называется энергией связи экситона или экситонным ридбергом :
27/а-,Л.
(3-44)
С учетом больших значений £ и
малых значений тг для
полупроводников получим из (3-43): гех 6-10 нм » аи («() =0.5нм для c-Si).
Другими словами, жеигон делокализован в пределах многих постоянных
решетки кристалла.
Как следует из (3-44), энергия связи жеигона зависит от эффективной
массы м диэлектрической проницаемости полупроводника и лежит в
диапазоне Е(,Л.=2-15 мтВ, что меньше, чем энергия теплового движения при
комнатной температуре (26 мэВ), и меньше энергий ионизации большинства
донорных и акцепторных примесей. Следовательно, жеитон в объеме
полупроводникового кристалла является достаточно слабосвязаппым
образованием и должен эффективно диссоциировать при комнатной
температуре. Однако, для многих полупроводников энергия связи экситонов
может быть порядка 10 мэВ, например, в c-Si: Есл. = 14 мэВ. Поэтому даже
при комнатной температуре край собственного поглощения c-Si в
значительной степени определяется экситонными эффектами. Но особенно
заметно проявление последних (три пониженных температурах, где они могут
целиком определять оптические свойства полупроводников вблизи края
запрещенной зоны. Роль экситонных эффектов возрастает в низкоразмерных
полупроводниковых структурах, где Еел. могут достигать значений порядка
100 мэВ и более, что будет обсуждаться в последующих разделах.
Для полной энергии экситона можно записать выражение:
-65-
h к E
G„(kcx) = И(А-„) + E„ = Eg +	- J	(3.45)
Экситон, как 2-х частичное образование, является поправкой к
одноэлсктронному приближению при описании твердых тел. Поэтому закон
дисперсии экситона (3-45) не может быть однозначно изображен на
рассчитанной в одпоэлсктронном приближении зонной диаграмме. Тем не
менее, для удобства, экси тонную дисперсионную зависимость изображают
п—оо вблизи края зоны проводимости, как
показано на рис. 3.22. Поглощение
света очевидно начинается с энергий
фотонов A V| = Eg - Ес,л. .
В прямозонных полупроводниках при
достаточно низких температурах
область «стопного поглощения
может иметь вид серии линий (полос),
соответствующих	значениям
и 1,2,3.. Вследствие теплового
движения электронов и дырок, что приводит к появлению экситонов с
кех * О, происходит уширение экситоных линий поглощения. В большинстве
прямозонных полупроводников, например, в GaAs, ZnSe, обычно виден
только первый пик, соответствующий л-1 (см. рис. 3.23). Для
непрямозонпых полупроводников область экеитонного поглощения еще
более «размыта» вследствие вовлечения различных фононов, и наблюдается
набор широких полос или ступеней для энергий фотонов hv= Eg - Е(,л. ± 1.^,
где Ер энергия фонона (см. рис. 3.24).
- 66 -
Появление экситонов возможно также для дипольно-запрещенных
переходов, которые становятся частично разрешенными для п 2,3,..., как.
например, в закиси
меди СигО. Именно
в этом материале впервые
наблюдались экситоны
(Е.II.Гросс и др., 1952 г.).
Дело в том, что в СтьО инк с
п 1 отсутствует, что
облегчает наблюдение
линий с более высокими
значениями п , имеющих вид,
подобный атомной серии
(см. рис. 3.25).
Отметим, что выше были проанализированы лишь основные
спектральные проявления экситонных процессов без учета их влияния иа
абсолютное значение коэффициента поглощения. Точный расчет последнего
достаточно сложен. В то же время отметим, что вклад экситонных процессов
приводит не только к появлению поглощения в области Av<Eg, но и к
росту а для	, поскольку учет кулоновского взаимодействия
-67-
фоговозбуждеиных носителей заряда приводит к усилению силы
осциллятора соответствующего оптического перехода по сравнению со
случаем чисто межзонных переходов.
§ 3.10. Экси тонные комплексы и коллективные эффекты. Фазовый
переход Мотта в системе экситонов.
Кулоновское взаимодействие между фотовозбужденными электронами
и дырками может приводи гь к возникновению нс только изолированных
свободных экситонов, но и
их комплексов, некоторые их которых
схематично показаны на рис. 3.26.
би жеит он
(экситонная
молекула)
трион
(экситонный
нои)
связанный
экситон
(на доноре)
Рис. 3.26
Энергия связи биэксигона обычно меньше или порядка Еел./2, югда
как энергия связи связанного экситона может намного превышать Е£,Л..
Рассмотрим теперь случай, когда концентрация экситонов Nex
достаточно велика, так что необходимо учитывать взаимодействие между
ними. Тогда, помимо экситониых молекул, возможны коллективные виды
возбуждения. Если 1\[ех>гхх, что с учетом гех~ 10 им соответствует Nex>
10ls см3, го происходит экранирование электрического ноля в каждом
экситоне окружающими экситонами. В результате возникает неидеальный газ
экситонов. Рассматривая коллективные эффекты в неидеальном газе
экситонов, следует принять во внимание, что изначально каждый экситон
представляет собой связанное состояние 2-х фермионов (электрона и дырки)
и поэтому может быть рассмотрен как бозе-частица. Поэтому принцип
-68-
запрета Паули не применим, и при
увеличении Nex , в принципе,
возможна бозе-эйпштейновская
конденсация в газе экситонов.
Однако с ростом Nex возрастает
роль эффектов диэлектрического
экранирования кулоновского
взаимодействия в экситоне. В
результате при достаточно большой 7Vt,v возможно разрушение связанного
состояния электрона и дырки и образование электронно-дырочной
жидкости (ЭДЖ), частицы в которой которая подчиняются статистике
Ферми-Дирака. Переход от бозе-газа эксизонов к фермиевской ЭДЖ
фазовый переход Мотта. Это фазовый переход 1-го рода, который возможен
лишь при температурах ниже иекоторои критической температуры Гкр, что
иллюстрирует фазовая диаграмма в координатах Т и Nc'13 на рис. 3.27.
В диапазоне Afe, промежуточном между бозс-газом экситонов и ЭДЖ
возможно появление особого вида коллективных пефермиевских
возбуждений электронно-дырочных капель (ЭДК), которые были
предсказаны Л.В.Келдышем в 70-х годах 20-го века. Возможность
образования ЭДК может быть понята из рассмотрения зависимости полной
энергии системы экситонов, нормированной на Мех и liejc , от среднего
расстояния между экситонами, т.с. Nex13, выраженного в единицах г(,х, а
именно
Е =
ех Т=1
(3-46)
Последняя величина может быть представлена в виде суммы энергий
кулоновского взаимодействия фермионов, обменного и корреляционных
взаимодействий :
-69-
Е ^ферм + ^пблг + корре t ~ г + 2	’	(3-47)
где А. В и С положи тельные константы.
Зависимость Е(г) , описываемая формулой (3-47), имеет вид,
изображенный па рис 3 28 При высоких концентрациях экситонов, когда
r/rex< 1, образуется фермиевская ЭДЖ с положительной удельной энергией
Ь . Минимум в формуле (3-47)
соответствует ЭДК с отрицательной
энергией, причем Е >1 ЭДК
^ех
сосуществуют с неидеальным газом
экситонов. При понижении
плотности экситонов, т.е. с ростом
параметра г/г,.,, ЭДК нестабильны, и
существует только газ экситонов.
§ 3.11. Взаимодействие света со свободными носителями заряда в
полупроводниках.
В предыдущих параграфах рассматривались различные механизмы
поглощения света в полупроводниках, которые основывались па
представлениях квантовой зонной модели с учетом кулоновского
взаимодейст вия между фотовозбужденными электронами и дырками. В тоже
время, наличие достаточно большого числа свободных носителей заряда в
сильно легированных или фотофозбужденных полупроводниках может
приводить к процессам поглощения, которые характерны для металлов и
хороню описываются кшссичсской моделью Друде (см. §2.1) С точки зрения
зонной теории твердого тела взаимодействие свободных носителей заряда со
светом может быть представлено как внутризонный оптический переход (см.
рис. 3.29). В этом случае при поглощении кванта света е энергией hv
- 70-
Рис. 3.29
носитель заряда переходит в более
высокоэнергетичное	состояние,
обладающее, к тому же, иным
значением квазиимпульса tik
Так как квазиимпульс фотона
Й	4	3
= , где X 10 -10 см. обычно
Л
намного меньше типичных значений
й
для электронов и дырок (pe,pi, “
где о«~107 см), то для выполнения закона сохранения квазиимпульса
необходимо участие третьей частицы. Такой частицей может быть фонон или
атом примеси. В первом случае Ай = к. Процесс взаимодействия фоюпа
и носителя заряда при участи третьей часэицы описываются теорией
возмущения 2-го порядка, и потому обычно достаточно слабы по сравнению
с прямыми межзонными переходами, описываемыми теорией возмущений I-
го порядка. Однако в сильно легированных полупроводниках или в условиях
значительной плотное! и плазмы неравновесных носителей заряда
поглозценис света на свободных носителях заряда может достигать значений
~103-104 см 1 Поскольку квантово-механическое описание обсуждаемого
поглощения является достаточно сложным и громоздким и, кроме того,
зависит от механизма рассеяния фотовозбуждепных носителей, то ниже
будет приведен вывод выражения для коэффициента поглощения в рамках
модели Друде. Для последней вид механизма рассеяния не важен, а
получаемый вид спектра ст(йи) хорошо согласуются с данными
эксперимента, а закже совпадает с квантово-механическими расчезами в
области hv«kT , где энергия фотона много меньше энергии теплового
возбуждения.
В рамках модели Друде (см. §2.1 и рис.2.2) рассматривается движение
свободного носителя с зарядом </ в электрическом поле световой волны,
-71 -
распространяющейся по оси z и имеющей вектор напряженности
электрического поля вдоль оси х: ЕЛ = Eq ехр( -ia>t) Тогда уравнение
движения имеет вид:
*
* т
т А.' +	х = qE0 ехр( -icot),	(3-48)
г
где т и q — эффективная масса и заряд носителя, г время затухания
(релаксации) его импульса. Решение уравнения (3-48) ищется в виде
x(t) = х0 ехр( —icol), что дает амплитуду колебаний носителя заряда:
чЕо
*	I
т a>(iv+ir )
(3-48а)
Для величины вектора поляризации, связанной со смещением свободных
носителей заряда, получим:
где 7V- концен трация носителей заряда.
Полная поляризация среды содержит также вклад связанных (валентных)
электронов РЮ111 и колебаний ионных остовов решетки Р :
р - Pcm>6 + Рван + Ррсш	(3-50)
Проанализируем диапазон частот оу» (oTO,(oL(j , тогда можно
пренебречь Рреш Если, кроме того ы < Eg Hi , то вклад валентных
электронов может быть описан механизмом упругой поляризации, т.е.
Рвал = Рупр  Диэлектрическая проницаемост ь, соответствующая последнему
механизму обычно обозначается /;„=!+ упр и для большинства
£с>Ро
полупроводником является действительной величиной порядка 10-16, то есть
Imt^O, Re^»l.
Тогда для полной комплексной диэлектрической проницаемости
получим:
-72-
р
саиб
£пЕ
q2N
<о2„
------ -------- = f---------—----
m cos„(co+ir ')	” co(co + ir ')’
(3-51)
где плазменная частота
д2М
т,£0
Разделяя действительную и мнимую части £ =s' + iE" получим:
,	2	2
£	---Т Т = "	,
(3 52)
со2 т 1
е" =------/-----2пк
со(со + т )
(3-53)
где n + iic = n комплексный показатель преломления (см. § 1.2).
Для частот со» т 1 получим:
е’ — и2 — к2
ty
\2
co
(3 54a)
е" = 2пк «
«> т
Из последнего выражения найдем коэффициент экстинкции
2 п 2 о (о г
(3-54b)
(3-55)
При условии л>> сор, т.е. вдали от плазменной частоты, из (3-54а) и (3-54Ь)
следует, что действительная часть диэлектрической проницаемости много
больше мнимой части: е' »	» 1 » е" . Поэтому показатель преломления
n -
(cm. §1.2).
В результате из (3-55) получим:
Г..,, (О^Т
(3-56)
Тогда коэффициенз поглощения (см. §1.2) равен
2
2ксо cot, 1	N
а =-----» —т=^------г ос —т
с	-Je^ct со'	со'
(3-57)
2
2
-73-
Выражение (3-57) отражает характерен» для Друде-модсли
спектральную зависимость поглощения на свободных носителях, а именно,
возрастание поглощения с уменьшением частоты (ростом длины волны)
свела. Очевидно, что поглощение пропорционально концентрации носителей
(аряда.
Отмстим, что квантово механическое описание дает следующую
частотную зависимость коэффициента поглощения для диапазона hv»kT:
а <х N , где Д> I зависит оз- механизма рассеяния:
Д 1.5 (рассеяние на акустических фононах)',
/! 2.5 (рассеяние па оптических фононах)',
Д - 3 з- 3.5 (рассеяние на ионизованных примесях)
Видно, чю вне зависимости ог механизма рассеяния имеет место рост
поглощения с длиной волны, что обусловлено уменьшением величин энергии
и квазиимпульса, которые необходимо диссипировать при рассеянии. Как
уже отмечалось, при hv«kT квантово-механическое описание приводи! к
значениям Д=2, т.е. спскфальпая зависимость совпадает с выводом модели
ДРУДе-
Полученное приближенное соотношение (3-57) справедливо в области
частот, удовлетворяющих условию: г 1 « сор < а>« kT/h . Для частот, не
ограниченных снизу значениями г но при условии
очевидно, справедливо более общее выражение:
2к(0 to т 1	(о~т 1	</ N 1
С сп(со) (О (О2 +т 2 c7l(<W)(oT + Г 2 ) С£огп п((о)\(О2 + Г )
где п(со) - показатель преломления, зависящий, вообще говоря, от частоты.
Если пренебречь данной зависимостью, то в области низких частот ы« т 1
с/2/У г
коэффициент поглощения приблизительно является константой: а ~	~ .
с£„т п
-74-
Для описания поглощения света на свободных носителях заряда в
полупроводниках во всем спектральном диапазоне необходим точный учет
вкладов поляризации решетки, а также процессов межзонного поглощения.
Отметим также, что классическая модель Друде в принципе нс позволяет
получить выражение для оптических констант в полном спектральном
диапазоне, поскольку данная модель и, в частности, формула (3-50), не
удовлетворяет соотношениям Крамерса-Кронига (1-10), а значит, принципу
причинности (ем. §1.2). В тоже время, не смотря па свою приближенность,
модель Друде имеет ясный физический смысл и позволяет легко получить
выражения, хорошо согласующиеся с данными эксперимента по поглощению
инфракрасного излучения во многих полупроводниках.
Модель Друде также успешно описывает коэффициент отражения
полупроводников в ИК области спектра, что проанализируем подробнее.
Напомним, что в случае нормального падения коэффициент отражения
(п — 1 )2 + к 2
дается формулой (ем. §1.3): к =	_	-
(и + 1)2 +к
В области низких частот ю«т 1 ,л>/? можно получить следующие
выражения для действительной и мнимой частей диэлектрической
2
проницаемости: е' ~	— (Огртг = const , е" ~—^-»1 . В этом случае
компоненты комплексного показателя преломления к.п»1 (см. §1.2), а
2	2
П + К
значит R ~ -	= 1 Это, так называемая, область плазменного
п2 + к2
отражения, хорошо известная для металлов (см. §1.2).
Для частот а)>а>р»г 1 справедливы следующие выражения для
действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости:
---и Е ” ~—J-«1 . Тогда Л' = 0 , а значит
СО	СО Т
-75-
/?~{и~1)2
(и + 1)
Если п -+ I , то /?—>(), и значит наблюдается минимум
отражения. Это происходит при частотах, для которых справедливо
t	f	ff	I
выражение: п~ = е +к & е » Е, - —— = I . Из последнего выражения
следует, что значение частоты минимума поглощения дается следующей
приближенной формулой:
"mm »	,	(3-59)
Ею “I
Соотношение (3-59) позволяет легко определить <эр, а стало быть, и
концентрацию носителей заряда, зная спектральное положение минимума в
спектре коэффициента отражения. В качестве примера на рис. 3.30
приведены спектры /?(Л) для легированного акцепторной примесью кремния.
c-Si
Ы,=Х1019см} / N2=6-IO"1 cm3
^nnnI /
"mini
"min 2
8	12	/6	20 A(mkm)
Рис. 3,30
Отметим, что так как ех = 10 -s- 16 , то согласно соотношению (3-59)
должно выполняться соотношение <ymjn < сор Наличие плазменного
минимума в отражении является характерной особенностью
полупроводников, что связанно с достаточно большими значениями ех
вследствие вклада упругой поляризуемости материала.
-76-
где сотп — частота поперечных оптических фононов,
§ 3.12. Взаимодействие света с фононами в полупроводниках.
При обсуждении взаимодействия света е колебаниями решетки в
ионных кристаллах (§ 2.4) было получено выражение для диэлектрической
проницаемости:
, ,	, . , го ИЗ ,,
е((О) = f(co) 1 + ,
(о - <t>l(t+itoy \
/:(0)
>°LO-l°TO
частота продольных оптических фононов, даваемая соотношением
Лиддейна-Сакса-Теллера, /;(0) = е((0 = 0) и	£(со) = г?((у—> х.)
низкочастотная (статическая) и	высокочастотная	(оптическая)
диэлектрические проницаемости. Данные соотношения также справедливы
для полупроводников с частично ионной связью, таких как соединения
классов AI11BV и A1IBV1, например. GaAs. GaP, InP. CdTe и др. Однако для
большинства полупроводников различие г(0) и £(«-) не столь значительно,
как для диэлектриков с высокой ионностью связи, например, щелочно-
галлоидных кристаллов (КВт, LiF,...). Гак, в частности, значение отношения
£(0)/г(оо) для GaAs и КВг составляет примерно 1.08 и 1.4, соответственно.
Для полупроводников, как и для диэлектриков, наблюдаются
особенности в отражении и поглощении света с частотой близкой к <оти.
Наиболее сильно отражение возрастает в области полосы остаточных лучей,
те. в диапазоне ги/уэ <ы<(OLO Указанные особенности хорошо
объясняются классической моделью Лоренца (§ 2.4).
В рамках квантово-механического описания взаимодействия света с
колебаниями решетки вводится понятие фононов как квантов колебания
решетки особого вида квазичастиц, обладающих определенной
дисперсионной зависимостью а>(к) (см. рис. 2.27). Область полосы
остаточных лучей носит также название однофононного резонанса,
-77-
поскольку может быть представлена как взаимодействие фотона и одного
поперечного оптического фонона. При этом должны выполняться законы
сохранения энергии fti phot = f0 phon и квазиимпульса крьо1 = £ph()„ ~ О
Последнее соотношение отражает факт малости волнового вектора фотона по
сравнению с типичными значениями для фононов (§ 3.3)
Помимо однофониппого резонанса возможно также взаимодействие
света одновременно с несколькими фононами. Так, например, поглощение
света с участием одного поперечного и одного продольного фононов
описывается соотношениями:	<°phot=f0T()+f0L() > кто+кщ~0 . В
материалах с высокой степенью ионности связи такие миогофоиоциые
процессы мснсс вероятны по сравнению с одиофононными. Однако в
моноатомных полупроводниковых кристаллах, таких как c-Si и c-Ge,
однофононпый резонанс нс наблюдается, и поэтому характер взаимодействия
света с решеткой определяют многофонопные процессы В качестве примера
па рис. 3 31 схематично изображен спектр решеточного поглощения
монокристаллов кремния.
Помимо поглощения света на колебаниях регулярных атомов
кристаллической решетки также возможен процесс поглощения па локальных
колебаниях, связанных с дефектами и примесями. В объемных фазах чистых
кристаллов такое поглощение невозможно. Однако в дефектных,
силыюлсгированных или аморфных полупроводниках, а также в
низкоразмерпых полупроводниковых структурах, например, в пористых
полупроводниках, оно может являться доминирующим процессом в
определенных спектральных областях, в частности, для частот а> < Eg !ti.
-78-
а (ем')
hv(M)B)
Рис. 331
На рис. 3.32 в качестве примера поглощения па локальных колебаниях
показан спектр ИК-поглощсния пористого кремния. Данный материал
формируется электрохимическим давлением пластин c-Si в растворах
плавиковой кислоты. При определенных режимах формирования пористый
кремний представляет собой набор кремниевых остатков (напокристалов),
разделенных пустотами (порами), и характеризуется щромной удельной
площадью поверхности до ~104 см2/г. Локальные колебания аюмов И. О. С и
др. на поверхности кремниевых нанокристаллов в данном материале дают
интенсивное полосы поглощение в диапазоне 0.01-0.5 эВ (указаны стрелками
на рис. 3.32).
-79-
§3.12. Понятие о поляритонах и поляронах.
Поляритон эго квазичастица, представляющая собой связанное
возбуждение, во {пикающее при взаимодействии света (фотонов) и
колебаний решетки (фононов), жеитонов или плазмонов.
Процесс возбуждения поляритона фононного типа может быть
представлен как возникновение связанных колебаний электромагнитного
поля свсювой волны и колебаний решетки. Поляритонная мода образуется
на пересечении дисперсионных зависимостей для фотонов и фононов, г.с.
колебаний с А ® А /?/ = iOjo с При к « к и k»kpi имеют место
невзаимодействующие фононы и фотоны. Поскольку в полярных
диэлектриках и полупроводниках существуют как поперечные, так и
продольные оптические фононы, то поляритонные дисперсионные
зависимости имени вид, как схематично t (представлено на рис. 3.33.
Дисперсионные зависимости для поляритонов фононного типа
получаются решением системы связанных уравнений для колебаний решетки
и электрического поля в световой волне, что даст следующее выражение:
1	2/ 2	( 2,, ,	1 С К	2	2 to (к) -	+ <о1() + <opi ±	е2А2 2	2 ^1 4с2А-2щ2/ ~(0ТО-(0р1 +	,	(3-60)
- 80-
где частота поляритонной моды (о{ = юТ() £(())£,, Из последнего
выражения видно, что в случае £(0) = Егг поляритонная мода нс возникает.
Поляритоны, связанные с LO и ТО фононами, проявляются в процессах
поглощения и рассеяния света и наблюдаются в полупроводниковых
соединениях, например, в GaP, InP, CdS и др.
Поляритоны экситонного типа возможны в области частот и волновых
векторов, близких к точке пересечения дисперсионных зависимостей для
фотонов и экситонов, как показано на рис. 3.34. Такие поляритоны
проявляются в виде поглощения и излучения света с энергией ha> < Eg - Е<>х
и наблюдаются, например, в CdS при Т 12 К.
Аналогично поляритонам фононного и экситонного типов можно
построить щсперсионные зависимости для поляритонов, связанных с
плазмонами или магнонами.
Рис. 3.34
Рассмотренные выше поляритоны нс следует путать с другими
квазичастицами поляронами, которые представляют собой свободные
электроны с эффективной массой, увеличенной за счет поляризации среды.
Для так называемых малых поляронов эффективная масса дастся выражением:
т*ю1

а ро!
k
(3-61)
-81 -
где apil/ =	- параметр, равный удвоенному числу продольных
оптических фононов, приходящихся на энергию поляризационной
потенциальной ямы Ut. Для такого полупроводника, как c-Si известно, что
а/ml = 0. В то же время, в GaAs - a p(,i =0.6, а в щелочно-галлоидных
кристаллах арг)/ =2-=-4. Поляроны, как правило, не дают заметного вклада
в оптические свойства твердых тел. В то же время, они определяют
электропроводность многих ионных полупроводников и диэлектриков. В
некотором смысле понятие полярона является поправкой к зонной теории
твердого зела, необходимой при рассмотрении электрических свойств
кристаллов со зпачизелыюй степенью ионности химической связи.
-82-
Гн । к । 4. Изменение оптических свойств полупроводников
при различных воздействиях
§ 4.1. Влияние давления.
кристаллическая решетка многих полупроводников обладает
। .< нч.- >и симметрией. При произвольной деформации симметрия
. ин । < кон решетки понижается, что приводит к смещению энергетических
I hi ши (испей заряда, и перераспределению последних между различными
ш iMii )то влияез на оптические и электронные свойства
полупроводниковых кристаллов.
Возможны два основных
способа деформации кристалла:
(I) всестороннее
(гидростатическое) сжатие;
(2) одноосное сжатие или
растяжение.
(л..не способы могут быть реализованы, как схематично показано на
pm II Смещение г го желремума энергетических зон при деформации в
in । ним приближении может быть описано следующим выражением:
АЕ - - а,Р .
(4-1)
in “ деформационный потенциал, Р механическое напряжение.
Рассмотрим вначале случай гидростатического сжатия. Изменение
и[ • щепной зоны Eg зависит от тою, в какой точке зоны Бриллюэна имеет
mi . io минимальный зазор между дисперсионными кривыми для дырок и
। । родов Оказывается, что для полупроводников с кубической решеткой
и 111'111111.1 а, близки для различных материалов и определяются лишь тем,
। hi какой / й точки они рассматриваются. Типичные значения для
ш коюрых основных точек зоны Бриллюэна приведены в таблице:
-83-
Точка	Значение вектора к	а, =	, 10"эВ/Па оР
1	<000	12
X	<100	-1.5
L	<111	5
Для прямозонных полупроводников, например, GaAs, InP, CdTe и др.,
запрещенная юна соогвеюшует Г-зочке. Для непрямоюппых Si и GaP
точке X, а для Ge L-точке, как схематично и юбражено на рис. 4.2.
Рис. 4,2
При достаточно больших давлениях точка X может опуститься ниже
точки Г. Так, например, в InP положение экстремумов зоны проводимости в
точках X и Г уравнивается при /’Крит= 40 кбар = 4 104 атм = 4 -10ч Па. При
Р>Ркрт прямогонный (в нормальных условиях) полупроводник становится
непрямозонным.
-84-
E	I
I'lH c-Si при P> p= g° =	~6 1OВ 9 Па~600кбар
ax 1.5 I0“"
«1 I in некий зазор между валентной зоной и зоной проводимости исчезает
.. ыннып по непроводник становится метал ю м, что означает наступление
<| in и и перехода Мотта. Микроскопической причиной такого фазового
 । • tn является уменьшение расстояния между атомами в решетке
ipii 11,1 Заметим, что в случае фазового перехода Мотта в системе
Мн iiiuiioii шкже определяющим является зависимость от расстояния между
иными
l.iiiieniie, изменяющее дисперсионные зависимости для элекфонов и
и >1 меняет также абсолютные энергии мелких примесей и жеитопов,
, . . । ЧШЫХ с соответствующими зонами и долинами. При лом, поскольку
। iiihi.i шергетические уровни смещаются вмеше с краями соответствующей
инн । к> существенного изменения энергии ионизации экситонов и примесей
нрпш ходит. С другой стороны, при смене точки абсолютного минимума с
Ч ini I изменение энергий ионизации будет происходить вследствие
и । in нпя >ффективной массы носителей заряда.
В сиучас одноосного сжатия (растяжения) мщу г возникать более
in • щепные изменения симметрии кристалла, чем при гидростатическом
* инн В результате, при одноосной деформации происходит расщепление
। • 11 ровных и дырочных уровней энергии.
Рассмотрим в качестве примера c-Si, юна проводимости которого
н ci <> жвивалентных долин. При одноосном сжатии вдоль направления
| <<> I | соответствующий минимум зоны проводимости Е< смещается вниз, а Е,
н I вверх по шкале энергий, ибо вдоль направлений 1100] и [010] имеет
к । к> рас1яжение (см. рис. 4.3).
-85-
Следовательно,
для c-Si при любом
виде деформации
значение	Eg
уменьшается, и при
достаточно больших Р
возможен фазовый
переход Мотта.
Очевидно, что при
переходе вещества из
полупроводниковой в
металлическую фазу кардинальным образом изменяются оптические
свойшва. Так, для e-Si коэффициенз отражения в видимой и ПК области
возрастает с 30-35% до Х0-90%, а коэффициент поглощения в широком
спектральном интервале проявляет зависимость, характерную для модели
Друде.
§4.2. Зависимость ширины закрещенной зоны от температуры.
Увеличение температуры кристалла ведет к его расширению и,
следовательно, к смещению краёв энергетических зон. У большинства
полупроводников ширина запрещённой зоны Eg уменьшается с ростом Т,
причём при Т>Т|>, где Т|} температура Дебая, эта зависимость линейная.
Существует следующая эмпирическая формула, описывающая зависимость
Eg(T) в широком интервале гемперазур:
т
EB(T)=Eg(0) -	(4-2)
где Eg(0) это величина ширины запрещенной зоны при Т=0, а а и р
константы. Для наиболее распространённых полупроводников эти параметры
приведены в Таблице:
-86-
Полупроводник	Eg(0), эВ	I a ll) , К	р.к
Ge	0.7412	4.56	210
Si	1.1557	7.02	1 108
GaAs	1.5216	8.81	572
Зависимость, описываемую формулой (4-2), имеют большинство
полупроводников вида AIV, A1IIBV, а также ряд полупроводников ipynn
AIIBVI, например, CdTe, ZnS, ZnO. CdS. В частности, для монокристалла
германия (c-Ge) зависимость Eg(T) имеет вид, как показано на рис. 4.4.
Аномальную температурную зависимость имеют некоторые
полупроводники из группы халькогенидов свинца: PbS, PbSe, РЬТе. Эти
полупроводники являются прямозонными с минимальным зазором в точке
L(k =<///>) зоны Бриллюэна. Для этих полупроводников Eg возрастает с Т.
Так, например, у PbS: Eg(290K) = 0.41 эВ, Eg(77K) = 0.31 эВ и Eg(4K) — 0.29
эВ. Это свойство PbS используется в фотодетекторах на его основе.
Вследствие зависимости ширины запрещенной зоны при изменении
температуры происходит изменение края оптического поглощения. Так,
например, для прямых разрешённых переходов сг(/гг) ~ v- Ец(Т) и,
-87-
следовательно, с понижением 1емпературы происходит заметный сдвиг края
а в сторону больших hv.
Для непрямозонных полупроводников температурная зависимость
ot(/?v) ~ (hv — Eg(T) ± /2Vpi1(>„)2 ещё более чувствительна к изменению
температуры вследствие участия процессов с поглощением фононов (см.
Раздел 3).
§ 4.3. Влияние электрического поля па поглощение свега в
полупроводниках. Эффект Франпа-Келдыша.
Электрическое поле влияет на энергетический спектр носителей заряда
в полупроводнике, чго сказывается на вероятности и спектре оптического
поглощения. Рассмшрим такое влияние для случая тонкого с толщиной
d«L образеца полупроводникового кристалла, находящегося в
однородном элск1ричсском поле с напряжённостью Е Потенциальная
энергия носителя заряда (электрона или дырки) будет изменяться по закону
U(r) = Un(F) + qfr,	(4-3)
где Ц|(?) - периодическая с периодом решетки функция, соответствующая
потенциальной энергии в случае Е = 0 .
Если втрое слагаемое в выражении (4-3) изменяется с координатой
значительно медленнее, чем Еп(Г} , то собственные значения энергии
носителя имеют вид:
!(/<) = Е0(А) + г/£г ,	(4-4)
где Е(|(к) - зависимость энергии носителя заряда от волнового вектора (закон
дисперсии) в отсутствие электрического поля.
Таким образом, в электрическом поле законы дисперсии для носителей
заряда зависят также от координаты. Пусть электрическое поле направлено
по оси z. Тогда энергия электронов (<?=- е) имеет вид:
-88-
Е
Е(А) = Ео(£)- eEz
(4-5)
Ег	То сеть энергетические юны нс
Еу	меняются в к -пространстве, но
----> ^2^ происходит их наклон вдоль координаты
z (см. рис. 4.5). Видно, что для
полупроводника в электрическом поле
Рис. 4.5	отсутствует эапрещёшшя юна энергий
в привычном смысле >того понятия.
В измененной электрическим полем зонной диаграмме носитель заряда
может туннелировать из валентной зоны в зону проводимости. Вероятность
туннелирования для процесса 1—>2 (см. рис. 4.5) зависит от ширины Az = К
еЕ
и высоты Eg треугольного потенциального барьера и определяется
выражением:
г
Ш = И/|)ехр(— °)	(4-6)
Е
(8/<)'2Е
где Е, =	и тг - приведенная эффективная масса.
Зеп
Если Eg = 1 эВ, тг = 0.1/и(), то Еи = 10 6/см.
В полях Е> 0.1 Еп = 10(’ В/см вероятность образования свободных
электронов становится заметной. Данный эффект наблюдается
экспериментально и называется эффектом Зинера.
Ширина барьера уменьшается при поглощении кванта с энергией hv и
л ' Es_/,v
становится равной Az =	(см. рис. 4.6).
еЕ
-89-
Изменение
коэффициента
поглощения	света	в
полупроводниках во внешнем
электрическом поле вследствие
туннелирования электронов при
поглощении фотонов называется
эффектом Франца-Келдыша.
В случае h'>ts вероятность
туннелирования может сильно
возрастать. Для hv<F. справедливо следующее выражение:
И ~ ехр
(8W;)'2(Eg-Ar)’2
3etiE
(4-7)
Расчёт коэффициента поглощения для прямых переходов при hv< Е даёт:
где Ег =
аеУ
r(Eg -he)
схр
зГее-ь- р
4 k l-, J
(4-8)
е2Е2Й2>)
2т
а ~
Формула (4-8) справедлива для относительно слабых полей, для
которых ЕГ«ЕЛ hv . Формулы (4-7)-(4-8) описывают эффект Франца-
Келдыша, который обычно наблюдается, как изменение края поглощения
-90-
Bl 4iipuiio (пиков в полях Е>\кВ/сл1. Для прямых переходов этот эффект
•ли ня, как схематично показано на рис. 4.7. Видно, что для /ги>£к
и IIPHIII । ,/(Лг) осциллирует. Это так называемые осцилляции Франца-
)i»'Ihiiiui которые обычно наблюдаются в спектрах электро- и
ф *инн| । копия (рис.4.8). Следует подчеркнуть, что эффект Франца-Келдыша
....... । кное значение при изучения оптических свойств полупроводников
Mviki ин модуляционной спектроскопии электро- и фотоотражения (см.
| I ') Используя теорию, описывающую данный эффект, по данным
>«< in рнмеша можно находить нс только значения энергии запрещенной
........ п критических точек в зоне Бриллюэна, по и величину напряженности
। к । ipiinccKoro поля в приповерхностной области полупроводника.
I I К шяпие магнитного поля па поглощение и преломление света в
полупроводниках.
I / I Изменение энергетического спектра и коэффициента поглощении.
Киапюво-механическое решение задачи о движении элсюрона в
о,' i\ проводниках во внешнем манштпом поле В . направленном вдоль оси 5,
iipuiio пи к следующему виду дисперсионной зависимости:
7?2А-2	1	1
*'и=Ес+	* ± /&В + Гиосе(п+) ,	(4-9)
2те	2	2
। А проекция волнового вектора электрона на направление магнитного
eti	Вс
ниш,// - магнетон Бора, g — фактор Ланде, юс(, = * - циклотронная
2/и0
4ii< io,а для электрона. Отметим, что аналогичное выражение справедливо
Be
14 Оырок, причем, их циклотронная частота в этом случае равна (Och = „ .
11оследнее слагаемое в соотношении (4-9) описывает квантование
нкрпш носителя заряда при движении в плоскости, перпендикулярной
1111пр<||1лснию поля, а предпоследнее энергию спинового магнитного
-91 -
момента. Таким образом, происходит перестройка энергетического ciiCKipa
полупроводника в систему уровней Ландау. Если не учитывать движение
носителя заряда в направлении оси z, то энергетический спектр превращается
в, так называемую, «лестницу Ландау»:
Рис. 4.9
Отмстим, что квантово-механическое рассмотрение значительно
отличается от классическою решения движения носителя заряда под
действием силы Лоренца. В частности, в классическом решении:
а) отсутствует нулевая энергия, б) движение по циклотронной орбите должно
сопровождаться потерей энергии (излучением), в) отсугствует спиновое
расщепление уровней энергии. Кватово механическое рассмотрение
является более полным и правильным и хорошо согласуется с экспериментом.
При учете свободного движения носителя заряда по направлению
магнитного ноля, пренебрегая спиновым расщеплением, картина
дисперсионных зависимостей выглядит, как показано на рис 4 10. Правила
отбора для переходов между электронными или дырочными уровнями
Ландау задаются условием:
Дп=±1,	(4-10)
которое соответствует так называемому циклотронному резонансу, хорошо
известному в классической физике.
-92-
Рис. 4.10
I нм him, что в обычно достигаемых постоянных магнитных полях с
ни । । пней В < 10 'Гл циклогронный резонанс соответствует поглощению
it. । ipoM.ii питпого излучения СВЧ диапазона. В магнит ных полях с В ~ 100
I ынорые могут создаваться при использовании импульсных источников,
inn-|>1>|р<ии1ый резонанс приводит к поглощению излучения в ИК области
 II. к I р.1
По щеркнем, что одним из главных эффектов при действии магншного
ио (и на полупроводник, является увеличение ширины его запрещенной зоны,
io проявляется в сдвиге края межзонного поглощения в сторону больших
ни pi пи па величину
\1 х = \ha)ce + \riMlh = ’ hBe( \ + \)= ВС\	,	(4-11)
2	2	2 тс тп 2тг
♦ I »-1	» I
। ///, -те + т„ - приведенная эффективная масса.
< и юнлельпо, увеличение Eg пропорционально В и обратно
пропорционально т* Для энергий фотонов h v > Е + ЕЕ*, спектр
-93 -
поглощения представляет собой «размытый» линейчатый спектр, как
показано на рис.4.11.
а(В)
а(В=0)
GaAs
Т = 77 К в =0.8 Тл
п- I
Ткос ti(ot
1.51	1.52	1.55	1.54
Это эффект магнито-
поглощения или магнито-
осцилляционный эффект,
для наблюдения которого
необходимо	условие
tia>c » kBT, то есть нужны
низкие температуры или
ж силные магнитные поля.
hv (эВ)
Рис. 4.11
Эффект магииго-поглощения легче наблюдать для прямых переходов.
11о ивисимости положения л-го максимума от В можно с высокой точностью
определять ширину запрещенной юны для многих полупроводников.
Например, для GaAs измерения дают зависимости, которые схематично
показаны на рис. 4.12. Существенным достоинством обсуждаемого метода
определения Ек является то, что в сильных полях точные измерения
возможны даже при повышенных температурах. Так, при Т=300 К были
получены следующие значения, которые приведены в таблице ниже.
hv
(эВ)
GaAs
11
1.46 --	.-°	.G''
о-'° п 1
144 '
Полупроводник	Eg (эВ) T=300 К
GaAs	1.43
Si	1.12
Ge	0 803
В(7л)
Рис. 4.12
94-
1 .ikiim образом, магнитное иоле приводит к сдвигу края поглощения в
«I > нкп incpi стическую сторону (из-за увеличения Eg ) и появлению
1И ин । 1M111111 в области й I' > Eg . Оба этих эффекта являются результатом
• пни । Hi.iiiiiM уровней энергии носителя заряда при движении в плоскости,
। рн и шкулярной вектору Д, что означает изменение плотности состояний.
11< шия щя электрона в машитном поле принимает следующий вид (без
уме in > пнпа):
/v(/-•) = 2Z („ + \/}h(0 ] '2	(4.12)
4л”й „	' z
II111111 110 /V(E) сильно изменилась. Вместо характерной! в отсутствие поля
,, ।
„п||< пмосш шпа Е появилась зависимость вида /V ~
Е
l.iKoe изменение Л/(Е) свидетельствуй о понижении размерности
трчниои подсистемы полупроводника в магнитом поле с 3D к ID.
Нинин, (анный эффект можно, если учесть, что для носителей заряда
I и..пюе движение возможно только в направлении магнитного поля, тогда
и и перпендикулярной ему плоскости оно квантовано.
-95-
4.4.2. Внутризонное поглощение и вращение плоскости поляризации.
Влияние магнитного поля на внутризонные оптические переходы
удобно рассматривать,
используя квазиклассичекий подход (модель Друде-
Лоренца).
11усть магни гное поле с индукцией
В направлено по оси z, а падающая на
полупроводник в направлении оси z
плоская
электромагнитная
волна,
поляризована по кругу. Представим
напряженность щекгрического поля
Ё световой волны в виде:
Е±
= £(j ехр
t-
(4-13)
где =n±+zA t и знаки “+” и соответствуют правой и левой
поляризации света (см. рис. 4.14).
Уравнения движения носителя с зарядом q (q±e) и массой т в
электрическом поле с напряженностью Е и магнитном е индукцией В могут
быть гаписапы в виде:
. d~x	т	dx
т	, +
dt'	r	dt
. d'v	т	dv
т	; +
dt	г	dt
= qE „ ехр
<ок
z cos
(OK
1 z
sin
t -
+ qB
dy
dt
( П г
(1) / - z
V c
-4Bdx
dt
(4-14)
= ±чЕ„ exp
Умножим второе уравнение системы па мнимую единицу
комплексное смещение S' — х + iy. Тогда получим:
zn+ .
ехр	-)
? _ ££0 L с -
* ?
т to ±ico + coco.
г с
и введем
(4-15)
-96-
еВ
i te сос = * циклотронная частота.
т
Далее, введём комплексную поляризацию среды Р = —qNS , где N -
концентрация носителей заряда, и получим:
2	~	Р
п =е «£(0) + ——	(4-|6)
I те первое слагаемое г(0) =/;(Я = 0) учитывает прочие механизмы
поляризуемости среды, отличные or взаимодействия магии того ноля со
свободными носи।елями заряда. Отметим, что /;(()) = 1 в отсутствие каких-
шбо механзмов поляризуемости. Из соотношений (4-14)-(4.-16) получим:
й-2 = С(О)----------,	(417)
/,-()Го • т ((о+ 1 (ое )
। те Я"2 = и2 - л-2 + 2т+к± . Следовательно, комплексная диэлектрическая
проницаемость имеет следующие компоненты:
£ fl, А( L (0)	*	_	2	2 1
£„т <•/_>]( (о + со ) + г J
£-'' = 2н,л-+ = л"(0)±
____________Л7/2____________
Е„т гаг[(л» + о>, )2 + г 2]
(4-18)
Если п± изменяется с со слабо, бДО) = 0 , то л’± имеет резонансную
особенность при а)=й)с . Это циклотронный резонанс, уже обсуждавшийся
выше. Отметим дополни 1елыю. что резонансное возрастание поглощения
>лектромагнитно1о излучения с <а~(ое наблюдается, если мало затухание:
ш(.г»1 . Поэтому необходимо проводить эксперимент на образцах,
содержащих минимальное число примесей и дефектов, при низких Т.
Измерения циклотронной частоты позволяют определить эффективную
массу:
* еВ
т =
а>с
(4-19)
97-
которая часто называется циклотронной массой
Как следует из формул (4-17) и (4-18), в магнитном поле показатель
преломления различается для право- и лево- циркулярно-поляризованного
света. Из-за такого различия п+ и п_ будет происходить поворот плоскости
поляризации линейно-поляризованного света при распространении в
помещенном в магнитном поле веществе эффект Фарадея.
Величина угла поворота плоскости поляризации в для образца
толщиной d дастся следующим выражением:
3	2
O = bnd— = - (п -п+) =	NL_BA0d—--BN-^d	(4-20)
с	8rr2'ci£Qn( Ло )т
Из последнего соотношения видно, что величина угла поворота
плоскости поляризации пропорциональна индукции магнитного ноля,
концентрации носителей заряда, толщине образца и квадрату длины волны
света. Квадратичная зависимость от Хо имеет то же происхождение, что и
аналогичная зависимость для коэффициента поглощения на свободных
носителях заряда (см. Раздел 2).
-98-
Раздел 5. Фотоэлектрические явления в полупроводниках
§5.1. Фотоэффект, максвелловское время релаксации.
Классификация фотоэлектрических явлений.
Фотоэлектрическими называются явления, которые заключаюзея в
изменении электрических свойств полупроводников под действием
освещения, чго в большинстве случаев вызвано появлением
фотовозбуждеппых носи гелей заряда. Изучение згого класса явлений
необходимо для понимания принципов работы приемников оптического
излучения.
В основе большинства фотоэлск I рических явлений лежит
фотоэффект появление свободных носителей заряда при освещении тел.
Различают фоготффекi внутренний, когда свободные носители не покидают
твердое тело, и внешний, при ко юром происходи, вылет носителей заряда
(электронов) из твердого тела. Мы будем главным образом рассматривать
внутренний фоюзффект. При этом возможны два случая фотогенерации
(фотовозбуждения) свободных носителей заряда: биполярная, когда
появляются носители обоих знаков (и злек троны и дырки), и монополярная,
при которой появляются либо электроны, либо дырки. Схематически данные
случаи показаны парне. 5.1
монополярная -> и
E(-En< hv< Eg
монополярная -> р
Рис. 5.1
1 A-Ev< й v Ее
-99-
Рассмотрим однородный полупроводник, в котором вдоль направления
z падает световой поток с интенсивностью 70 при z=0. При поглощении света
его интенсивность на интервале dz изменяется на величину
di = - ехр(-сг  z)dz = -aldz	(5-1)
Произведение al задает скорость убыли светового потока, а значит и темп
генерации носи гелей заряда. Если размерность светового потока [/]=см "с ', а
коэффициента поглощения [«]=см ’, то их произведение [<zZ]=cm 3с 1 имеет
размерность темпа генерации. Последний также зависит от квантового
выхода фотоэффекта у. В результате темп фотогенерации может быть
записан в виде:
g = yal	(5-2)
При поглощении света с hv < Eg в собственном полупроводнике имеез
место: у«1. Однако, случае hv > Eg обычно реализуются значения у ®1. В
случае же hv » Eg процессы ударной ионизации, вызванные появлением
горячих фоговозбужденных носителей заряда, могут привести к значениям
у»|. В случае моноиоляриой фотогецерации вводят, вообще говоря,
различные квантовые выходы для электронов и дырок и
В дальнейшем будем полазать, что фотовозбужденные носители
существуют в соответствующих зонах на временах, значительно
превышающих времена их термализации (установления единой температуры
в электронной и фононной подсистемах), которые составляют —101 е.
Предполагается, что термализованные носители заряда ничем не отличаются
от равновесных носителей.
При пространственно неоднородной фотогенерации, например, при
наличии поверхности или границы раздела или области сильного
поглощения, фотовозбужденные носители заряда могут диффундировать в
области, где их концентрация ниже, что вызовет локальное нарушение
электропейтральности образца, а значит образование области объемного
заряда с некоторой плотностью р. Возникшее в результате появления
-100-
объемного заряда электрическое поле Е приведет к протеканию тока,
плотность которого / удовлетворяет уравнению непрерывности:
div] = div(oE)= — дР	(5-3)
|де ст удельная электропроводность.
Электрическое поле и объемный заряд связаны между собой одним из
уравнений Максвелла, а именно, уравнением Пуассона:
div Ё = L	(5-4)
f о Е
В случае ст = const из уравнений (5-6) и (5-7) следует:
а Р =УР	(5-5)
£•()£’ Я/
Решением уравнения (5.5) является
Г t А
р = />(0)ехр	(5-6)
V тм)
£о£	,	Q
|де Тм =	ониектрическое или максвелловское время релаксации. За
О'
тайное время в среднем исчезает объемный заряд, вызванный избыточной
концентрацией носителей. Величина Гд/ обычно достаточно мала. Гак,
например, в c-Si, имеющем о = 1 Ом'см *=100 См/м (слаболегированный
полупроводник) и е = 12, величина Гд/ =10'1" е. В дальнейшем, если
специально не оговорено иначе, мы будем рассматривать фотоэлектрические
явления на временах / »	.
В случае биполярной фотогет терапии концентрации электронов и дырок в
каждой точке полупроводника равны соответственно п -лд+Ди и
/’= Р0+^’ где/гц и Ро равновесные значения Неравновесные носители
таряда рекомбинируют со своими временами жизни. В стационарных
условиях процесс генерации находится в равновесии с процессом
рекомбинации, что в результате определяет стационарные значения А// и Л/т,
- 101
которые, вообще говоря, могут быть не равны. Однако равными оказываются
их скорости изменения во времени:
г/Д/7 du dp dAp
dt dt dt dt
После выключения возбуждения (g=0) указанные скорости
определяются разностью скоростей (темпов) рекомбинации и тепловой
генерации:
- df’ = #("/’ - "О/'О) = 5(«0 + Ро +	,	(5-8)
dt
где В некоторая константа.
При малом уровне возбуждения, когда Ли « иц из (5.8) получим:
d>' ~~В("о + Во )Ля = -	,	(5-Ха)
dt	г
I
где г =	время жизни неравновесных носителем заряда.
#("о +во)
Решением уравнения (5-8а), как известно, является экспоненциальная
функция:
Л/г = Л/г(0)ехр| - ? 1	(5-9)
к 1)
Таким образом, при малом уровне возбуждения избыточная
концентрация носителей заряда уменьшается по экспоненциальному закону.
Однако при высоком уровне возбуждения время жизни уже не является
константой, и наблюдается более сложная зависимость Алг(/) (см. §6.3).
При любом виде фотогенерации конкретная реализация
фотоэлектрических явлений зависит от степени однородности среды и
фотовозбумдения, а также от наличия внешних возмущений, таких как
электрические или магнитные поля. В этой связи перечислим некоторые
наиболее важные частные случаи фотоэлектрических явлений в
полупроводниках.
- 102-
1.	Фотовозбуждение в однородном материале в присутствии
электрического поля это случай фотопроводимости.
2.	Материал однороден, поля отсутствуют, но фотовозбуждение
пространственно неоднородно, например, вследствие сильного
поглощения, тогда наблюдается диффузионная фото-ЭДС или ЭДС
Дембера.
3.	Материал неоднороден, например, присутствует граница ращела или
поверхность, а	фоговозбуждепие	однородно,	тогда могут
реализовываться	как фото-ЭДС (барьерная, вентильная,
поверхностная), так и фотогснсрапия тока.
4.	Материал однороден,	фо г о возбуждение неоднородно, приложено
магнитное поле, тогда наблюдается фотозлектромагнитиый (ФЭМ)
эффект.
Рассмотрим подробнее перечисленные виды фотоэлектрических явлений.
§ 5.2. Фотопроводимость.
Фотопроводимостью ('PI I) называется изменение проводимости
полупроводника вследствие наличия фотовогбуждеппых носителей заряда.
Величина ФП может бы ть записана в виде:
Дет = е(/т,;Ал + рр&р),	(5-10)
г те е - заряд электрона, рп и подвижности глекгронов и дырок,
соответственно.
В любой точке полупроводника справедливы уравнения непрерывности,
bi гражающие законы изменения заряда:
' dn	I	Д/г
, = Sn + d,vJn ~
dt	е	г„
dp	I	Дд
, =£р~ dlvJp~
t dt f е ' г p
(5-11)
- 103-
где gn и gp темпы генерации , jn и jf, — плотности токов, г„ и Тр -
времена жизни для электронов и дырок, соответственно.
Совместно решая уравнения (5-10) и (5-11), можно рассчитать
величины и времена жизни ФП для различных частных случаев.
5.2 I Собственная фотопроводимость при однородном возбуждении.
ФП называется собственной, когда фотогенерация носителей заряда
биполярна, то есть когда g„ - gn = g Пусть полупроводник однороден, и
реализуется случай слабого поглощения: az « I. Следовательно, происходит
однородная фотогенерация носителей заряда, для которой можно принять:
divjn div]р~ 0.
Тогда из (5-11) получим:
<	dn di = 8~ dt k	Дл	
		Др TP	(5-12)
Помножив первое уравнение па		ерп, а второе	на	, и сложив их.
получим:
<Й<Т (	\ ( &Ш„ &p/h) Y'
= eg(/l>,+p ) е f"+ р	(5-13)
dt	t Тп Тр ) -
Введем время релаксации фотопроводимости'.
Ьст/е	Ьпр„+Ьр1Лр
ерс=	=	Л	(5-14)
Л/г//„ / г„ + Лррр / Тр Ьпрп / г„ + С\ррр / тр
Тогда из (5 13) и (5.14) получим дифференциальное уравнение
фотопроводимости:
<7До /	\ До	_ Г
^^V‘n+Pp -	(5-15)
тРС
t/Acr
В стационарном случае, когда =0 и тРГ = const, имеем:
- 104
Да'7
PC
(5-16)
_	dn dp /ч	_
Так как, в стационарном случае: =	=0, то из (5-12) следует, что
dt dt
\nsl =grn и Ддч/ = gTp- а значит, согласно (5-14) получим:
PC
+ трРр
f ' = const
Рп +Рр
(5-17)
Приближенно можно полагать т рр = const и в нестационарных
условиях, если Ьпккр. Тогда на начальном участке возникновения <1>П
после начала действия прямоугольного светового импульса имеем:
Дсг(Т)« Д<т
t
1 - ехр -
к ГРС
(5-IX)
Тогда релаксация <1>11 после окончания действия достаточно
длительного фотовозбуждения будет описываться экспоненциальным
таконом:
Д<т(/)» Да'^ ехр -
(5-19)
Схематично кинетики нарастания и релаксации ФП показаны на
рис. 5.2.
t
Рис, 5.2
- 105-
Из выражения (5-17) следует, что трс определяется большим из
времен г„ и Гр . Другими словами, время спада ФП зависит от самых
долгоживущих носителей заряда. Однако время нарастания ФП не зависит от
времен рекомбинации т„ и г „. Действительно, на временах t « грр, как
следует из формул (5-16) и (5-18), имеем:
Д<7(/)«Д<т'7 ‘ = <•#(//„+//„)г„с ' =eg(fin+fi)t (5-20)
ГРС	ТРС
Используя выражение (5-2) получим:
Д<т(/)яе«Х(/'и + Pp)t	(5-20а)
Таким образом, скорость нарастания ФП на начальном участке определяется
интенсивностью светового потока, коэффициентом поглощения и
подвижностями носи гелей заряда. Поэтому из кинетики ФП, зная а, / и
рп,Рр можно найти у. Это исполыуется на практике при изучении новых
полупроводниковых материалов.
5.2.2. Собственная фотопроводимость при поверхностном возбуждении.
Для расчета с]эП в условиях сильного поглощения, когда фогогенерация
происходит в приповерхностной области образца, необходимо учитывать
диффузию и поверхностную рекомбинацию фотовозбужденных носи гелей
заряда. Можно показать, что вследствие явления амбиполярной диффузии
носи гели диффундируют как единое целое с коэффициентом диффузии
D =	где /)„ и D,, — коэффициенты диффузии электронов и
pl Dn+n/ Dp	Л
дырок, соответственно.
При слабом возбуждении: и ® «р и р ~ Pq Следовательно, в
полупроводнике //-типа: D « Dp , в полупроводнике p-типа: D я Dn , а в
2DnD
собственном полупроводнике: Z) =	' .
Dn+Dp
- 106-
Коэффициент
диффузии определяет длину
диффузии носителей заряда
L= Dr , где г время
жизни носителей заряда.
Задачу о ФП в
условиях поверхностного
возбуждения	и
рекомбинации	обычно
рассматриваю! в 2-х
предельных случаях, а именно: 1) диффузионно-толстых образцов, когда
толщина образца d»L\ 2) диффгпюино пюнкнх образцов когда d« L.
Схематично освещаемый образец и обсуждаемые длины показаны на рис,5.3.
Проанализируем вначале случай диффучиоино-толспюго образца
полупроводника л-utiia. Тогда D~Dp, L~Lp и d» Lp . Пусть, кроме
юго, у ~ 1 , длина области пространственного заряда l()m«d , образец
имеет вид параллелепипеда с размерами a,b » d и освещается светом,
падающем в направлении г, с энергией квантов hv > Eg и ин 1енсивпостьк> /□-
При этом предполагаем, что приложенное для наблюдения ФП
глектрическое поле мало и направлено вдоль одной их сторон
параллелепипеда «, перпендикулярно направлению z (см. рис. 5.3). Тогда
уравнение диффузии для неравновесных носителей заряда может быть
записано в одномерном приближении в виде
D.,	+ о/ехр(-сс) - О	(5-21)
dz2 Гр
В приближении эффективной скорости поверхностной рекомбинации 5
граничные условия имеют вид:
= g.v - -W	= 0 -	(5-22)
D l^P
p dz
- 107-
Дет'7 =<(//„
где gx = yalQ jp"" cxp(-az)dz ~ /0(l-exp(—oz)) — полный темп генерации
носи гелей заряда на поверхности и в ОПЗ.
Величина стационарной ФП может быть найдена из следующего
выражения, являющегося обобщением формулы (5-10),
 d
Д<тЛ/ = e(/in + цр ) ’ J Ap(z)<fe	(5-23)
а 0
Подставляя решение уравнения диффузии (5-21) с граничными
условиями (5-22) в выражение (5-23), получим:
1-«2£2 -|1-2а2£2 +«5'г/,]схр( aloll{) )
(1-«2£2Д.$7./,/Ор-1)ехр(-«/ош)	\-a2L2f,
(5-24)
Формула (5-24) позволяет рассчитать her'1 при различных значениях 5 и а,
как схематично показано па рис. 5.4 и 5.5. Из рис. 5.4 видно, что с ростом а,
т.е. при увеличении Л Г' , величина ФП меняется немонотонно, достигая
максимума и затем уменьшаясь гем быстрее, чем больше значение параметра
SL
, т.е. чем выше скорость поверхностной рекомбинации и больше длина
DP
диффузии носителей заряда.
Рис. 5.4
- 108 -
Как видно из рис. 5.5, в
случае	5 = 0	величина
Л st
Дет монотонно возрастает
с ростом коэффициента
поглощения,	достигая
некоторого максимального
значения, соотвегствующето
полному числу падающих
фо гонов /0. В то же время
при конечном значении
.S наблюдается максимум с последующим выходом па некоторое постоянное
шачение, не равное пулю. При бесконечно большом значении *5 значение
\<yst с ростом ко'х|>фицнента поглощения демонстрирует максимум с
дальнейшим падением до нуля .
Рассмотрим теперь случай диффузчонио-пюикой пластины л-типа
(d« Lp), для которой будем полагать одинаковую скорость поверхностной
рекомбинации па обеих сторонах. Тогда величина ФП может быть выражена
формулой, анало! ичной (5-10) и (5-23):
Атт'7 = <(//„ + //р /’ g5.z>//	,	(5-25)
|деэффекгивнос время житии дается выражением
=	(5-26)
Коэффициент 2 в выражении (5-26) отражает вклад обеих сторон
пластины в темп безызлучательной рекомбинации. Формулы (5-25) и (5-26)
показывают, что тначспис Лет снижается с ростом S и уменьшением </.
При достаточно высокой А получим согласно (5-19), что тсц ®	. т.е.
25
109-
ы — I
А<т cc S .11оскольку скорость поверхностной рекомбинации S х где
Л\ - поверхностная плотность центров безызлучательной рекомбинации,
при большой плотности поверхностных дефектов ФП диффузионно-тонких
образцов A<7s/ сс 7Vv 1. Таким образом, измеряя время жизни и величину ФП
можно судить о числе поверхностных дефектов.
5.2.3. Примесная фотопроводимость.
Данный вид ФП возникает при монополярной фотогеперации
носителей заряда в несобственных полупроводниках, т.е. когда анергия
падающих на образец фотонов удовлетворяет условию: EC-ED< hv< Eg либо
ЕЛ-Еу<Ли < Ев (см. рис. 5.1). Напомним, чго для большинства
полупроводников шергии ионизации мелких примесных состояний
составляют порядка 5-40 мэВ (см. §3.8). Поэтому примесная ФП обычно
наблюдается при поглощении света ПК-диапазона.
Рассмотрим слабо легированный полупроводник и-тнпа, когда
концентрация примеси N/э«(>о)	, где д, и ад радиус
экранирования и боровский радиус примеси в полупроводнике,
соответственно (см. §3.6). Внутренний фотоэффект очевидно возможен при
взаимодействии света с неионизованными примесями. Гак как сечение
поглощения фотона примесным атомом обычно весьма мало, то хорошим
приближением является рассмотрение однородной фотогенерации с
коэффициентом not лощения в виде:
a = ap>(ND-Иц - А/г),	(5-27)
где од сечение поглощения фотона (обычно <тр~10'15 см2).
С учетом (5.2) и (5.27) получим для темпа генерации:
ё = 7/°’о(Лг£>-ло_Ан)	(5-28)
-НО-
Вероятность процесса рекомбинации пропорциональна концентрации
носителей заряда п = д0 + Лд и ионизованных доноров, которая также равна и.
Поэтому для темпа рекомбинации можно записать:
= я(д2 -//(2 )=	+ (Ан)2 ),	(5-29)
। де В констан га.
Введем время жизни фоговозбужденных носителей заряда (см. §6.4):
'	(5-30)
й(2/1()+Дл)
Обозначив Гц —	'	, перепишем формулу (5.30) в виде:
2п0Д
г = т()	1	,	(5-ЗОа)
I +Лд/(2//())
н получим, используя соотношение (5-29), выражение для темпа
рекомбинации в виде:
/г = А"=Г()'41+ А"\	(5-ЗОЬ)
r k 2"(J
Поскольку в условиях равновесия: Ir=g, ю из (5-2К) и (5-ЗОЬ)
получим квадратное уравнение для определения конце»|рации
фотовозбужденных носи телей заряда:
- «о - Ал)-г()'Ад 1 +	(5-31)
I 2"0 J
При малом уровне фотовозбуждепия (A/>«hq) выражение (5-31)
сводится к виду:
y!<yh(Nп -пп)» г„1 Л/г	(5-31 а)
Откуда получим:
Ад ~ у!ст t) rfl (/V D - wo )	(5-3lb)
Следовательно, <011 при монополярной генерации может быть записана
в виде:
111 -
кет = epnkn »е//о-£)Г0(Л^£) -«о)	(5-32)
Из последнего соотношения видно, что фиксированной концентрации
примеси примесная ФП максимальна при минимальной равновесной
концентрации носителей заряда, что очевидно возможно либо при низких
температурах («вымораживание» примесных состояний) либо при введении
компенсирующих примесей.
§ 5.3. Фотовольтаические эффекты.
Фотовольтаические эффск!Ы заключаются в появлении фото-ЭДС при
освещении полупроводника. Подобные эффекты реализуются при наличии
неоднородности материала или фотовозбуждения. Рассмотрим некоторые
наиболее важные фотовольтаические >ффекты.
5.3. /. Фото-'ЗДС Дембера.
Данный вид фото-ЭДС возникает при биполярной фотогенерации
носителей заряда (Av > Eg) в условиях сильного поглощения, когда
выполнено условие а 1 «d . Причиной появления фото-ЭДС Дсмбсра
является различие коэффициентов диффузии (подвижностей) фото-
возбужденных электронов и дырок. Отмстим, что данная фото-ЭДС
появляется после освещения на временах порядка максвелловского времени
релаксации и является основной причиной амбиполярной биффути
фоговозбужденных носителей заряда. Действительно, электрическое ноле
разделившихся зарядов вызывает протекание дрейфовою электрического
тока, в результате чего потоки электронов и дырок выравниваются, и
фотовозбужденные носители обоих знаков движутся как единое целое вглубь
образца на расстояние порядка длины амбиполярной диффузии L (см. п.5.2.2).
Рассмотрим образец толщиной d»L, на который падает сильно
поглощаемый свет ( Av>Eg ). Возникающий градиент концентрации
носителей заряда инициирует процесс диффузии. Обычно в
-112-
g
z
Рис. 5.6
проводимости для тлекгронпого и
поле разделившихся вследствие
полупроводниках Dn > Df, , поэтому
диффузионный поток электронов
опережает поток дырок, и, как
следствие, возникает разделение
<арядов (см. рис. 5.6).
Уравнения для плотностей токов
носителей можно записать в виде:
Г. г г, dP
Jp=oPEC-^p ,
J	,	, (5-33)
I •	. г> dn
Jn = °nEC+cDn .
dz
i де стр = епуп и an = lVLlp ~ удельные
дырочного токов. Eq- кулоновское
диффузии >лсктронов и дырок. Складывая уравнения в системе (5.33),
получим плотность полного юка:
С ( dn ,4 dl>}	/С 11 Ч
J — .1 п + Jn ~ & ЕС	Ер ,	’	(5-ЗЗа)
'	ст v dz dz)
где ст = ст ?+стп = ррр+прп Второе слагаемое в квадратных скобках
выражения (5-ЗЗа) имеет смысл напряженности электрическою поля
сторонних сил диффузионного происхождения:
ED^e[Dnd''	(5-34)
а < dz dz)
Фото-ЭДС Дембера равна интегралу от ноля сторонних сил:
,ZD = [ Ei>(=)d= Ч	dz dz dz	(5-35)
Далее будем предполагать достаточно высокий уровень возбуждения и
отсутствие преимущественного захвата носителей какого-либо типа. Кроме
того, будем пренебрегать изгибом зон в приповерхностной области. Тогда
113-
можно полагать, что dn~dp , и, используя соотношение Эйнштейна
(D =
АЙГ
е
// ), преобразуем формулу (5-28) к виду:
г	dp	кВТ Un Рр	dp
иг> ~ I	, dz =	I ,
о'7'л + РРI> dz е рр ^прп/рр+р
(5-36)
В последней части выражения (5-36) учтено, что на вследствие условия
d •> L на обратной стороне пластины концентрация носителей заряда равна
равновесной.
Введем новую переменную// p+nb, гдеЛ рп/рр. Очевидно, что
dt] - dp + dnb - dp(l +/»). Тогда и т (5-36) получим:
,, kBTb \l>a^,nbdt] квТЬ-\
1 I) ~	, I -	, .
е b +1	, п с b + I
p+nb '
|п[ />0+ ''(/>
р + nb
(5-37)
Можно также представить фото-ЭДС Дембера как функцию уровня
возбуждения в приповерхностной области:

кв1 Л-1
с Л +1
In
1 + Др
1+Л
Ро+«()/’
(5-37а)
Из выражения (5-37а) видно, что при высоких уровнях возбуждения
имеет место логарифмическая зависимость от уровня возбуждения (см.
рис. 5.7). Знак «минус» в выражении (5-37а) отражает полярность фото-ЭДС
Дембера, которая отрицательна относи телыю освещаемой поверхности.
Рис. 5.7
Величина фото-ЭДС Дембера в
большинстве полупроводников
обычно достаточно мала при
непрерывном осветлении. Так, при
Т-ЗОО К, квТ =0.026 В, и 102 В.
е
Однако. при интенсивном
фотовозбуждении материалов с
большим различием рп и рр величина Vp> может достигать 0.1-0.5 В. Так,
-114-
например, в c-Si 1>~3 и при ианосекундном лазерном облучении могут
достигаться уровни возбуждения Др ~К)'4 см'3, следовательно, для
собственных или слабо легированных полупроводников, для которых
/>(),Л0~1О|3-1О14 см (Д О.2-О.З В при комнатной температуре. Как видно из
формулы (5-37а), с ростом температуры величина РД линейно возрастает.
Однако параметр h также зависит от температуры, что определяет более
сложную тсмпера1урную зависимость фото-ЭДС Дембера.
5.3.2.	Поверхностная фото-ЭДС.
Известно, что па поверхности полупроводников присутствуют
заряженные поверхностные состояния, что является причиной изгиба
знергетических юн в приповерхностной облает и связанного с ним
встроенного электрического поля. На рис. 5.8 в качестве примера
схематично изображена картина поверхностного изгиба зон и напряженности
встроенного электрического поля /;, (сплошные жирные липни) в
невырожденном полупроводнике /т-гипа. В равновесии заряд поверхностных
состояний компенсирован зарядом област и прост ране твеппого заряда (ОПЗ).
При поглощении света в 0113 возникающие носители заряда разделяются в
Рис. 5,7
поле Ej , что приводи! к
экранированию данного поля и
уменьшению изгиба зон.
Поверхностной называет ся
фото-ЭДС, возникающая при
разделе 11 и и фото возбужде иных
носителей заряда в
электрическом	ноле
при । юверх ноет i юй	области
полупроводника.	Величина
поверхностной фото-ЭДС ,
115 -
очевидно, зависит от концентрации фотовозбужденных носителей заряда, но
не может превышать исходный изгиб зон <рд.
Для количественного определения поверхностной фото-ЭДС удобно
е
ввести безразмерный поверхностный потенциал Y = (р Интегрируя
^Вт
равнение Пуассона (5-7), получим:
уу п
= , F(E,<,Z>),	(5-38)
az £/
где Lj =	дебаевская длина экранирования в собственном
полупроводнике, п, концентрация носителей заряда в собственном
полупроводнике,	' степень несобствен пости полупроводника,
", «О
8 -	уровень фотовозбуждения (инжекции), а функция F(Y,£,8)
"z "z
пропорциональна величине заряда в ОПЗ Q ( F - ^7	) и равна
F(Y,^,8) =	'(/-l)+^C')> +4’^+^-2)	(5-39)
Если 8=0, то Y Г„ и F = Fo = ^(е У" - |)+ (еУ" -	~')>о •
Следовательно, получим:
F2 - F02 = 4 У +еУ -2)	(5-40)
Выражение (5-40) часто записываю! в виде так называемой формулы
Джонсона:
:2-;»	(«о.,
«/ е г +е* -2
Если известны A/z и то формула Джонсона позволяет рассчитать
значение ) и определить величину поверхностной фото-ЭДС:
^=(^0-nW	(5-41)
е
-116-
Максимальное значение J\- достигается при достаточно высоких
уровнях инжекции, которые для невырожденных полупроводников
составляю! Д/г/я, ^Ю’-104, а для сильнолегированных материалов даже
превышают указанные «начения. Схематично зависимость величины
5.3.3.	Барьерная (чеити!1ьиая) фото-ЭДС в р-п-переходе.
Данный вид фото-')ДС наблюдается при разделении
фотовозбужденных носителей заряла в >лск1рическом поле //-//-перехода.
Возникающая при разделении таряда ЭД< с величиной Г уменьшает высоту
барьера до уровня Ф^ —еУ (см. рис. 5.9). Вольт-амперная характеристика //-
/ = /() I -ехр
еУ
к^Т
//-перехода описывается уравнением:
Рис. 5.9
(5-42)
где /() ток насыщения,
обусловленный тепловой
генерацией носителей, а
положительные шачения У
117-
соответствуют прямому смещению
Пусть имеет место однородная фотогенерация носителей заряда. В этом
случае избыточные электроны и дырки «втягиваются» в область р-п-
персхода с расстояний порядка длин диффузии £„и Lp. В результате, ток
короткого самыкапия ранен:
/кз = Aegs(L„ +Lp) ,	(5-43)
где А площадь р-д-псрехода, gv
темп поверх пост ной генерации (см.
п.5.2.2).
Если р-n переход тамкнут па
некоторую нагрузку, то протекает
ток:
(5-44)
С учетом (5-43) очевидно, что зависимости /(И) в темповых условиях
и при фотовозбуждении будут различны (см. рис. 5.10).
При разомкнутой внешней цепи получим напряжение холостого хода,
являющееся количественной мерой барьерной фото-ЭДС:
'l кпТ ( Ae{Ln+L„\
И)= й |п ^+1 = « Ing,	р' + (	(5-45)
Рис. 5.11
Зависимости Iи Eq оз g, имеют
вид, представленный на рис. 5.11
Фототок в р-п-персходс зависит
линейно от интенсивности освещения (в
пренебрежении	нелинейными
механизмами рекомбинации), а
напряжение холостого хода и фото-ЭДС
-118
цемонстрируют	сублинейные
ывисимости, стремящиеся к
стационарным	значениям,
ш раниченным, очевидно, величиной
барьера.
С neKTpaj 1 ы 1 ы е характеристики
тырьерной фото-ЭДС для каждого
koi 1 кретного	। юлу 1троводн и ка
определяются спектром коэффициента поглощения «(/?г) . величиной
«.короста поверхностной рекомбинации и эффектом Франца-Келдыша,
изменяющем спектр «(Ли) в тлектрттчсском поле. Для уменьшения потерь
вследствие поверхностной рекомбинации используют гстсро-р-н-иереходы
(см рис. 5.12). В гетеропереходе свет с энергией Аи< Ец| не поглощается в
широкозонной приповерхностной области. Следовательно, отсутствует
поверхностная рекомбинация па освещенной поверхности В такой cipyKiype
наиболее эффективно используются фотоны с Е„2<Аг<Е„|
I етеропереходы используются для уменьшения потерь па поверхностную
рекомбинацию в некоторых видах солнечных элементов. Помимо солнечных
цементов барьерная фото-ЭДС является основой функционирования
фотодиодов, применяемых для детектирования типического излучения
5.3.4.	Фото-ЭДС на барьере Шоттки.
На контакте полупроводника с металлом может образовываться любо
омический контакт (когда носители заряда могут беспрепятственно
проникать из одной области в другую), либо барьер Шоттки. В последнем
случае существует потенциальный барьер Фв для электронов (см. рис. 5.13).
При разделении фоговозбужденных носителей заряда в электрическом поле
барьера Шоттки возникает барьерная (вентильная) фото-ЭДС
- 119
(2)
Рис. 5.13
Для описания вольт-амперной
характеристики барьера Шоттки в
полупроводниках с высокой
подвижностью (например, в GaAs,
Ge, Si)	применима
термоэлектронная теория, согласно
которой справедлива следующая
зависимое гь для плотности тока:
(5-46)
где 1(1=ЛТ ехр -	"
и А - зффекзивная постоянная Ричардсона.
Для наблюдения фого-ЭДС на барьере Шоттки металлический контакт
должен быть полупрозрачным. При этом возможны два пути фотогенерации
носителей заряда, а именно: процесс (I), для которого энергия поглощаемых
фотонов h и > Eg, и процесс (2), при котором еФд < h и < Eg (см. рис. 5.13).
Механизм (I) аналогичен рассмотренному выше для барьерной фото-ЭДС па
р-я-персходс (см. п.5.3.2). Процесс (2) представляет собой фото-инжскциею
электронов из металла в
полупроводник.
Типичная спск1ралы1ая
зависимость фототока
при освещении барьера
Шоттки представлена на
рис. 5.14. Снижение
фоточунп вителыюсти
при h\'»Eg вызвано
влиянием поверхностной
рекомбинации.
-120-
Вследствие процесса фотоинжекции из металла в полупроводник
приборы (фотодиоды и фотоэлементы) на основе барьеров Шоттки могут
иметь более смещенный в красную область спектра край фото-
ну вствительносiи, чем аналогичные устройства на основе р-п-переходов.
Кроме того, фотодетекторы на основе барьеров Шоттки могут быть
выполнены в виде приборов большой площади и поэтому поэтому быть
использованы при регистрации слабых потоков оптического, рентгеновского
и у-излучений.
5.3.5.	Фото мектромагиитный >ффект.
Фото).1сктрома.'н111нны11 (ФЭМ) эффек| заключается в появлении
фото-ЭДС при освещении полупроводника сильно поглощаемым светом в
присутствии магии гною поля. Сторонними силами при этом являются силы
Моренца, действующие на диффундирующие вглубь образца неравновесные
носители заряда. Схематично вошикповсннс <1>')М ><|>фскта представлено па
рис. 5.15.
Действие силы Лоренца па диффундирующие электроны и дырки
приводи! к появлению проекций их потоков /„ и j/t па направление г.
Данные проекции для
элек।ропного и дырочного токов
складываются.	Это
обуславливав!	большую
величину ЭДС при ФЭМ
эффекте.
Введем холловские углы
для элекэронов и дырок:
tg^n=PnB	’Де
и Рр соответствующие
холловские подвижности.
121 -
Проекция пло । пости тока на направление г равна:
jy=oEy+jy^ ,	(5-47)
где	1 + j„ 1 диффузионный ток короткого замыкания (Е( 0).
В слабых магнитных полях, когда выполнено условие
~	« 1 , а также в отсутствие прилипания ( Ди = Д/т ) и малом
уровне возбуждения (величины Лиг нс зависят от л ) можно получить:
№ = eL	0 eL g' (//„ + //., )Z? ,	(5-4X)
’	\ + SL/D \ + SL/D "	”
где (/ = On + 0p.
Величина возникающей па боковых поверхностях полупроводниковой
пластины разности потенциалов зависит от величины тока короткого
замыкания и сопротивления цепи R :
l/0 =‘^>R = Aj^R ,	(5-49)
где 4 площадь боковой поверхности.
Спектральная зависимость ФЭМ тффекта имеет некоторое отличие от
спектра фотопроводимости, выражающееся, в частности, в том, что величина
фотоотклика (фото-ЭДС и фототок) в ФЭМ эффекте спадает более резко при
уменьшении мтергии фотонов (уменьшении и), как показано па рис. 5.16. Это
связано с тем, что для ФЭМ зффскга важен градиент концентрации
<|ю1овозбуждеттых носителей заряда.
- 122 -
Рис. 5.16
Оценки величины Ф')М эффект. например, для Ge при Т 300 К дают:
I,, -1 В в полях В 1 Тл. Отмсгим, чго в больших нолях необходимо
учитывать зависимость коэффициента и длины диффузии or В.
123 -
Раздел 6. Эмиссия излучения из твёрдых тел
§ 6.1.Тепловое излучение.
Тепловое излучение возбуждается тепловым движением атомов и
молекул. Спектральная плотность энергии излучения абсолютно черного
гела в состоянии термодинамического равновесия даётся формулой Планка:
2т" h
PfA^= Л5
(6-1)
где размерность [/?£(Я)]- Вт/м^ На рис. 6.1 в логарифмическом масштабе
показаны спектры
/?£(Л) при ратных
температурах. Видно,
что при Т-ЗООК
тепловое излучение
приходится на ПК
диапазон А. ® 10-100 мкм.
Спектральную плотность
энергии можно также
представить в зависимости от час то, ы, для чего учтем сохранение шергии в
каждом спектральном интервале:
С£('') = /’£(2)^,	(6-2)
где размерност ь |/>£(г)]= Дж/.м2
Так как 2 = с/и, то получим:
Ре^=ре^л^	(6-3)
Таким образом, приходим к частотной зависимости спектральной плотности
теплового излучения:
с
s ? ехр
(c/vT i'z
hv
квт
т-1
-1
Т-1
hv
ехр------1
[квТ,
(6-4)
2лй и3
~ 2Г~
- 124
Как видно из формул (6-1 )-(6-4), спектр равновесного теплового излучения
абсолютно черного тела зависит только от одной характериетики-
|емпературы. В последующих параграфах будет рассмотрено неравновесное
злучение, свойства которого определяются особенностями электронного и
фононного спектров твердого тела
§ 6.2.	Неравновесное излучение, понятие о люминесценции.
Вещество, выведенное из состояния термодинамического равновесия,
путем сообщения ему избыточной энергии посредством оптического,
электронного пли иного возбуждений способно выделять избыточную
шергию (полностью или частично) в результате испускания неравновесного
оптического излучения. Самым распространенным видом такого излучения
является люминесценция, которая, согласно определению С.И.Вавилова,
является избыточным над тепловым излучением, продолжающимся на
временах, много больше периода оптических колебаний Т~ 10 14 :-10 |S сек.
Среди 1вердых тел свойством люминесцировагь обладают полупроводники и
диэлектрики. В го же время, в металлах энергия wicKipoiiiioio возбуждения
быстро переходит в тепло, и люминесценция не возникает.
Люминесценция может различаться но тину ее возбуждения, а именно,
известны :
-	фотолюминесценция (при освещении);
-	катодолюминесценция (после облучения пучком щек тронов);
-	электролюминесценция (при протекании электрического тока);
-	хемолюминесценция (при химических реакциях) и др.
Люминесценция происходит в процессе рекомбинации неравновесных
носителей заряда (электронов и дырок), а также при внутрицентровых
переходах. Мы будем в основном рассматривать рекомбинационную
люминесценцию.
- 125-
Основными характеристиками люминесценции являются: спектр,
интенсивность. квантовая эффективность и время жизни. Внутренняя
квантовая эффективность люминесценции дается выражением:
,,	*'г	= Тг = Т,’г	(6-5)
tv + и- г-'+г-1 г +г
" г т пг ‘г ‘пг
где wr и wnl.	всроя । пости излучательной и безызлучательной
рекомбинации, соответственно, а тг = I /wr и тпг = 1 /wnr cooi встствующис
времена жизни.
§ 6.3.	Межишная излучательная рекомбинация.
Формула Шокли-Ван-Русбрска.
Рассмотрим закономерное । и межзонной люминесценции, го есть
эмиссии
с ве га
h и > Eg
вызванной межзонной излучательной
с
рекомбинацией неравновесных носи гелей заряда.
Для полупроводников в состоянии термодинамического равновесия темп
межзонной излучательной рекомбинации определяется равновесием с
процессом поглощения теплового излучения (см. §6.1) и дастся формулой
Шокли-Ван-Русбрска:
' /О = I
О
я. Rmifiva (Ai')Ji'
г ь
.2
(6-6)
ехр
|дс «„(Аг) котффициент межзонного поглощения, hq показатель
СТ
преломления. Из формулы (6-6) следует, что темп рекомбинации будет тем
больше, чем выше температура и значение a„(hv). Следовательно, /..р
СТ
бу дез больше для прямых оптических переходов, чем для непрямых.
Важность формулы (6-6) состоит в том, что она устанавливает связь между
процессами эмиссии и поглощения света. Зная спектр коэффициента
поглощения можно рассчитать темп межзонной излучательной
- 126-
рекомбинации, а затем (см. ниже), интенсивность и время жизни
номинеспспции.
При отклонении ог состояния равновесия вследствие возбуждения
>лектронной подсистемы полупроводника темп межзонной излучательной
рекомбинации очевидно можно представить в виде:
пр	(л0+Ал)(р0+До) ,	,АТ.
//=	'/<)-	Mb	(о-')
»0/Л)	«оРо
где по,ро равновесные и п,р неравновесные концентрации электронов
и дырок, соответственно, и Ал, Ар их изменения вследствие возбуждения.
Введем время жизни но отношению к межзоппым излучательным
переходам:
Л" = ^
г,.	г,.
где предполагается равенство приращений копцепграций электронов и
дырок: Ал = \р.
В случае Ал « лр, ро получим:
Ал
*7
= !,0
(л0+ДлМр0+Лр)
«оРо
Ло
Ли(л0 + рй)
«ОРО
(6-9)
= /,-Л О
а следовательно
«г
«оРо
Ло("о + Ро) Ло<"о + Ро)
(6-9а)
э
где nj = лор((
В собственном полупроводнике Иц = Ро= "i поэтому время
излучательной рекомбинации максимально и равно
max
Г
"1
2/, О
(6-9Ь)
С учетом последнего выражения соотношение (6.9а) можно переписать
в виде:
127-
Tr* ni lni^ =rmax 2и,/л0	(6 Qc)
2Ло«о+п, /ng
Зависимость тг от параметра несобственности полупроводника п,- / л0
показана на рис. 6.2. Видно, что с ростом уровня легирования
полупроводника время межзонной излучательной рекомбинации
укорачивается.
Величина г,, также падает с ростом уровня возбуждения. Действительно,
запишем формулу (6-8) в виде:
Ал Ал	Л()р0	_«0/>0 I
‘г -	— ,	э ~	,	(0-10)
'/ _//0 '/О А/1(//(( +/70) + (Д>г)“л()ро	'/О /7() + /’(|+Ал
Если Д/г = Д/г » /г(), [>q , то
Г/.«Я0,’0=	=г;"ах2-^	(6-1()а)
/,.qAh /,.()Дл Аг»
Следовательно, при достаточно высоком уровне возбуждения время жтпи
межзопной излучательной рекомбинации уменьшается обратно
пропорционально
концеп грации неравновесных
носителей заряда (уровню
инжекции).
Люминесценция при
межзопной излучательной
рекомбинации не является
процессом просто обратным
поглощению. Действительно,
в то время как при поглощении кванта света участвуют все пары
электронных сосюяний, разделенных интервалом энергии /гн>Е„ , в
процессе люминесценции рекомбинируют только термалитованные в
экстремумах зон носители. В результате спектр люминесценции
представляет собой полосу е энергией hv^ ~Eg, которая может быть очень
-128-
узкой при низких температурах. При повышенных температурах ширина
спектра межзопной люминесценции составляет порядка нескольких kTg. На
рис. 6.3 и 6.4 схематично показаны процессы, ответственные за
люминесценцию, и спектры меж зонной люминесценции и поглощения.
Рис. 6.4
§ 6.4.	Излучательная рекомбинация на мелких уровнях.
Рассмотрим возможные оптические переходы между состояниями в
разрешенных зонах и мелкими уровнями локализованных состояний
дефектов и примесеи в запрещенной зоне. В >гом случае излучается фотон с
знергией hvL < Eg (см рис. 6.5), а
переходы с энергией ЕА или ED
я bj 1яю । ся	безызлу чател ы 1 ы м и
(эмиссия фононов) или
сопровождаются эмиссий света в
далекой ИК-области.
В состоянии термодинамического
равновесия темп излучательной
рекомбинации может бьнь
рассчитан по формуле Шокли-Ван-
- 129-
Русбрека. Для этого в т|юрмулу (6-6) необходимо подставить выражение (3-31)
для коэффициента поглощения, соответствующего переходам Ef —> Еили
Ед —> Е|/ (см. §З.Х).
В результате получим темп равновесной излучательной рекомбинации
для процесса Ед > Ед:
'/О ~
5\2NlA7t5l2tila*^(hv)2{inclinr)i'2(.kTBlh)il2AtG^}
с2 ехр
Eg Еа
квТ
kN'a<x ру
(6-Н)
где Na	концентрация ионизованных акцепторов,
256/ге (иit / (2//1.1 *" /м	о з/элсхп(—A,)i''^2t/v
л= '	' (см. §3 8) G(<?)= 2 £3/2 f PV 4 '	,
Змо/г/.()<7/ i'	л- 0	(l+y)4
2
й	* *2 — ?/	\
£ =	. *,  У — п,еац Л (Лг-Еg + Ej.
2кнТтсав
Функция G(£) табулирована, что позволяет, используя формулу (6-11),
рассчитать значения lrQ для различных температур, концентраций и тнергнн
ионизации примеси.
Для полупроводника /т-типа в условиях низкого уровня возбуждения,
когда выполняется условие рц »/?ц,Д//, используя формулу (6-10), получим:
2
гг = "0/,“.	1 ЛЛ.1 '	(6-12)
1 /О «О + />0 +	1 /0	1 /0 /'О
Аналогичное выражение может быть получено для полупроводника /т-типа. а
- 2	г,
именно: гг х	Другими словами время жизни относительно
рекомбинации на мелких донорах и акцепторах укорачивается обратно
пропорционально квадрату равновесной концентрации основных носителей
заряда.
- 130-

§ 6.5. Излучательная рекомбинация на донорно-акцепторных парах,
изотлекгропных ловушках и примесях.
Данный механи тм может быть весьма эффективным в непрямозонных
полупроводниках, особенно в GaP, который и будет рассматриваться ниже в
Рис. 6.6
квант света с энергией
л,7.
качестве основного примера.
Итак, пусть в полупроводнике присутствуют в
значительной концентрации донорные (D) и
акцепгорные (А) примеси с энергией ионизации Ер
и Ел, соответственно (см. рис. 6.6).
Кулоновское взаимодействие между
донорными и акцеп юрными примесными центрами
приводи । к уменьшению их энергии связи на
величину ДЕ Поэтому при рекомбинации
постелей, захваченных па 1) А нарах, испускается
Ед, Еу) Е,|+А1.	(6-13)
Для далеких 1) А нар, а именно, находящихся па расстояниях г»ап
энергия их кулоновского взаимодействия может быть выражена простой
формулой:
2
АЕ= С
4Л77()/; г
(6-14)
где г расстояние между донорной и акцепторной примесью в Г)-А парс.
Поскольку примеси могут занимать дискретные положения в решетке
кристалла, например, узлы решетки, то значение г для близко
расположенных примесей принимает, вообще говоря, дискретные значения.
Это приводит к появлению в спектре люминесценции дискретных линий.
При мспыпих энергиях свечения (больших г, обычно г>4 им) линии
перекрываются, образуя более широкую полосу (см. рис. 6.7).
-131
Для близких D-А пар, находящихся на расстояниях r^f2-3)au , следует
учитывать диполь-диполыюс взаимодействие (ван-дер-ваальсовы силы), чго
приводит к следующему выражению для шергни квантов люминесценции:
, г ,.	. е2 e2h
Лг, =Eg-E„-l	.	(6.15)
где Л константа.
В случае, ко1да примеси занимаю! соседние узлы в решетке
излучательный процесс можно представить как радиационный распад
экситона, связанного на D-А паре. Последняя в >гом случае может быть
рассмотрена как moi'icKinixmiKiH ловушка, го есть центр, обладающий
примерно равными сечениями захвата для электрона и дырки.
Полупроводники с изоэлектронпыми ловушками представляют собой
компенсированные материалы и, как правило, не имеют высоких уровней
концентраций равновесных носителей заряда.
Примером изоэлектронной ловушки является пары Zn-O в GaP. Энергии
ионизации примесей Zn и О составляют соответственно ЕА«0.01 >В (Zn -
мелкий акцептор) и Ец®0.Х9 эВ (О глубокий донор), средняя энергия их
кулоновского взаимодействия ДЕ»0.3 эВ, а ширина запрещенной зоны GaP
Eg=2.25 эВ (1 =300 К). Тогда согласно формуле (6-13) получим, что при
люминесценции испускаются фотоны с энергией
Ли£ = Е^, - Ед-Е^+АЕ ® 1.65 эВ. Такая «красная» полоса люминесценция
наблюдается в GaP:Zn,O в широком интервале температур, включая
-132-
комнатные, и поэтому данный материал используется при создании
светодиодов устройств обладающих эффективной электролюминесценцией.
При низких температурах полоса остается уширенной вследствие электрон-
фопонного взаимодействия, которое подробнее будет рассмотрено ниже на
примере другой примеси.
Важным частным случаем, имеющем практическое значение при
сощании светоизлучающих полупроводниковых устройств (светодиодов и
тазеров), является то электронная примесь азота (N) в GaP. Данная примесь,
к.1к и изоэлсктронпыс ловушки из D-А пар, не влияет на концентрацию
носителей заряда, однако обуславливает высокий выход люминесценции.
Напомним, что щемепгы N и Р принадлежат к одной (V) группе
периодической системы элементов. Однако из-за различия радиусов при
шмещении в решетке GaP атома Р па N возникает дефект с
короткодействующим потенциалом и мелкими уровнями вблизи краев зон.
)тот дефект захватывает электрон, а затем и дырку, в резулыатс образуется
связанный жеигоп. При аннигиляции последнего испускается фотон с
шергией Лг/ » Есх, где Еед. шергия связи жетона, и образуется, так
называемая, А-полоса люминесценции (см. рис.б.Х). Помимо данной полосы
возникает также свечение, обусловленное аннигиляцией экситонов.
связанных с парами атомов азота, расположенными в I, 2 и последующих
координационных сферах: полосы NNb NN2
фононного взаимодействия аннигиляции
и др. Вследствие тлскт рон-
жей гопов сопровождается
эмиссией фононов, что
приводит к появлению,
так	называемых,
фононных повторений
обсуждавшихся выше
полое, а именно линий:
NNi-TO, NNi-LO, NN2-
133-
ТО и др. Все эти полосы хорошо разрешаются лишь при низких
1емисрагурах (см рис.6.8).
§ 6.5, Экситонная люминесценция.
Напомним, Mio жситон это квазичастица, образующаяся вследствие
кулоновского взаимодействия электрона и дырки (см. §3.9). В случае, если
оба носи геля заряда свободные го, говорят о свободном экситоне, если же
хотя бы один из носителей локализован на атоме примеси или дефекте, го
возникает связанный жситон (см. §6.4). Экситоны проявляются как в
процессах поглощения света, так и в люминесценции.
В случае излучательной аннигиляции экситона в прямо зонном
полупроводнике испускается фотон с шергией
Лг/ = Eg -	•	(6-16)
П
где 1'(Ч энергия связи, н 1,2,3....
В спектрах жеитонной люминесценции большинства полупроводников
обычно доминирует инк и / поскольку более высокие жеи тонные
состояния быстро релаксирую! до 1-го. Однако для материалов, где
межзонный переход запрещен в дннолыюм приближении (например, в СтьО)
в спектрах люминесценции наблюдаются экситонные пики только с н 2.3.4.
Обсудим спектр	экси юнной	фотолюминесценции типичною
прямо зонного полупроводника арсенида галлия (GaAs). Па рис.6.9 показан
спектр
жеи тонной
люминесценции монокристалла
нслегированпого GaAs при
Т = 2К (Eg «1.52 эВ), где
символами X), Х2 и X,
обозначены линии свободных
экситонов с	п=1,2,3,
соответственно, а более
- 134-
низкоэнсргетичпые линии соответствуют экситонам, связанным на мелких
донорах и акцепторах. Для свободного экситона в GaAs Есг» 4 мэВ, чго
меньше энергий связанных экситонов в данном полупроводнике.
Рис, 6.10
Для	пепрямозоппых
полупроводников излучательная
аннигиляция свободного жетона
возможно только с одновременным
испусканием или поглощением
фонона, чго обусловлено законом
сохранения квазиимпульса. При
низких температурах в зкеп тонной
люминесценции
доминирую г
процессы, связанные с змиссисй
фононов, и знергия квантов свечения дается выражением:
Л Г/ Eg	phon'
(ft 16)
где	энергия испускаемого фонона, квазиимпульс которого равен
разнице квазиимпульсов тлсктрона и дырки: tik= ЙДА . Последнее
условие может выполняться сразу для нескольких типов фононов. Например,
в c-Si возможно участие TA, LA, ТО и LO фононов (см. рис.6.10). При этом
оптические фотЮПЫ С ВОЛНОВЫМ вектором к	имеют знергию
примерно 56 мэВ , а акустические 25 мэВ.
Спектр	зкеи тонной
фотолюминесценции чистого c-Si
при I 20 К представлен на рис. ft. I I,
где линия Е	результат
аннигиляции свободного зкеигона с
эмиссией ТА-фопопа, наиболее
интенсивная линия D ТО-фонона, а
линии А и В с эмиссией сразу двух фононов. Слабый пик С обусловлен
экситонами, связанными с атомами фосфора (мелкими донорами),
сонцентрация которых в исследованных образцах -2-1014 см’.
При больших уровнях возбуждения следует учитывать взаимодействие
экситонов, которое может привести к образованию экситонных молекул,
комплексов, а также ЭДК и ЭДЖ (см. §3.10) Типичный спектр
низкотемпературной фотолюминесценции c-Si (Т =4 К) при интенсивной
оптической накачке показан на рис. 6.12. Из рисунка видно, что в
соответствии с обсуждавшимся в § 3.10 полоса ЭДК лежит ниже по энергии
(примерно на 15 мэВ), чем линия рекомбинации свободного экситона
(обозначенная на рисунке как £„). Рекомбинационной свечение ЭДК, также
как и изолированных жетонов, зребует эмиссии фононов для выполнения
•закона сохранения квазиимпульса. Отметим, что с ростом уровня
возбуждения происходит преимущественный рост интенсивности полосы
ЭДК но сравнению с линией £к.
Свечение ЭДК отличается от люминесценции газа свободных экситонов
также тем, что имеет более быстрые и псэкспоненциальпые кинетики
релаксации. Это связано с интенсивными мпогочасгичными
взаимодействиями в ЭДК.
- 136-
На рис. 6.13 показаны кинетики фотолюминесценции c-Si при различных
темперазурах, отмеченных цифрами у соответствующих кривых (сплошные
линии полоса £х, пунктирные ЭДК). В c-Si при Т < 4.2 К жеи тонный газ
имеет времена жизни около I мкс, тогда как ЭДК порядка 0.1-0.5 мкс.
- 137-
Раздел 7. Элементы оптики неоднородных и низкоразмерных
твердотельных систем
§ 7.1. Рассеяние света в твердых телах.
В предыдущих разделах для описания оптических свойств твердых гсл
(ТТ) вводились комплексная диэлектрическая проницаемость £=£' + i£" ,
комплексный показатель преломления п = п + 1к = 4? и другие оптические
характеристики (см. §1.2), значения которых зависели, вообще говоря, оз
частоты электромагнитной волны, а также могли быть функциями
пространственных координат. Реальные значения оптических величин даже
для химически и структурно однородных ТТ могут флуктуировать во
времени и в пространстве. В первую очередь эго вызвано наличием тепловых
флуктуаций и связано с кваиачастипами, такими как фононы, поляритоны,
жетоны и др. В конечном счете, флуктуации обусловлены статистической
природой ТТ и его отклика па воздействие электромагнитного излучения.
Рассмотрим подробнее одно из проявлений флуктуации оптических свойств
вещества, которое приводи! к явлению рассеяния света.
Пусть комплексный показатель преломления является флуктуирующей
величиной в пространстве и может быть представлен в виде;
п(Г)- л0 +<Si(r) ,	(7-1)
где «о среднее значение, а/и(г) флуктуация ((дл(г) =0).
В общем случае флумуацпи диэлектрической проницаемости могу!
быть вызваны неоднородностями 2-х видов:
1) динамические неоднородности, например, колебания решетки
(фононы), поляритоны, плазмоны, жетоны и др.;
2) статические неоднородности, например, неднородности плот ности,
химического состава, температуры и т.п.
Наличие <iif 0 приводит к случайным отклонениям световых лучей при
распространении в ТТ и, в конечном счете, выражается в рассеянии света.
Рассмотрим вначале явление рассеяния для случая динамических
неоднородностей в статически (в среднем) однородной оптической среде.
- 138-
Это случай рассеяния Мандельштама-Бриллюэна и комбинационного
(рамановского) рассеяния света. Затем проанализируем рассеяние Рэлея,
которое может наблюдаться как в статически однородных, так и
неоднородных средах. Остановимся также на рассеяниях Тиндаля и Ми.
Обсудим особенности рассеяния в поглощающих оптически неоднородных
средах.
7. /. / Рассеяние Мапдсльштама-Бршиитцц.
Данный вид рассеяния во шикает при взаимодействии свеча с
акустическими колебаниями решетки (фононами). На рнс. 7.1. схематично
покачано, как после взаимодействия световой волны с частотой <о и
При
рассеянии должны
волновым вектором А с
акустическими фононами
(частота Я , волновой вектор
</ ) появляется рассеянная
световая волна с частотой ш и
волновым вектором А’
Поскольку (О Ф (О , io данное
рассеяние являечея иеупругим
выполняться законы сохранения энергии и
квазиимпульса:
м' — Я
А — к + г/
(7-2)
(7-2а)
В соотношении (7-2) знак « + » отображает возможность испускания (-) или
поглощения (+) фонона при рассеянии. В результате различают стоксову
( (t)s = а> — Я ) и ашписпюксову ( (О ( = (О + Я ) комионснты рассеяния.
Появление компонент рассеяния с частотами (о =щ + Я может быть
также хорошо понято в рамках классического рассмотрения поляризации
среды, которая подвергается модуляции на частотах м и Я.
139
Поскольку для акустических фононов всегда выполнено условие
П« СО , го изменение частоты фотона при рассеянии Мандельшгама-
Дто со - со Q 4
Бриллюэна весьма мало:	—	=	<10 . Поэтому данный вид
со со со
рассеяния часто проявляется либо как тонкая структура, либо как «хвосты»
линий упругою рэлеевского рассеяния. На практике рассеяние
Мандельштама-Бриллюэна можно использовать для анализа акустических
свойств ТТ.
7.1.2. Комбинационное (рамановское) рассеяние.
Комбинационное рассеяние света (КОС) возникает при взаимодействии
света с оптическими фононами. Напомним (см. §2.4), что для кристаллов,
содержащих s-атомов в элементарной ячейке, имеется (3s-3) типов
оптических фононов. Большинство полупроводников имеет 2 атома в
элементарной ячейке, а значит 3 оптических фононных моды, каждая из
которых характера зустся, вообще говоря, своей дисперсионной
зависимостью	При этом, одна из данных мод является продольной
( QLO ). а дне другие поперечными (	). Для кристаллов с кубической
решеткой поперечные моды вырождены. Для материалов с чисто
ковалентной связью (Si. Ge) выполняется равенство: QL() =&то при 7=0, а
в кристаллах с долей ионной связи в решетке: £Ъ1О >	.
При КРС выполняются такие же законы сохранения энергии и
квазиимпульса (7-2), как и для рассеяния на акустических фононах. При пом,
вследствие малости квазиимпульса фотонов (см. §3.2) рассеяние света
происходит на фононах в центре зоны Бриллюэна.
Так же, как и при рассеянии на акустических фононах, при КРС
наблюдаются стоксова ( cos , испускание фонона) и антистоксова ( СОА .
поглощение фонона) компоненты, причем, их интенсивности не равны:
Is - Действительно, фононы описываются статистикой Бозе-Эйнштейна,
-140-
коз орая задаст фак гор
д, ( ( Q ) V
= ехр - 1
V \ к В1 )	7
заполнения фононных
Интенсивность процесса
состояний:
рассеяния
пропорциональна числу взаимодействующих частиц:
h = Bl,Na. /^570(^ + |),
(7-3)
где /„ интенсивность падающей световой волны, 7?
некоторая постоянная.
Следовательно:

I s
ехр
(7-4)
+ I =
> ।
Оценим отношение /, /, для одного из основных полупроводниковых
материалов, c-Si, для которого частота рамановского фонона (г.е. при </ — ())
C1L() - Г2,.„ = £2 64 м >В (520 см '). На рис. 7.2 показан типичный спекзр КРС
для
монокристалла кремния. Тогда при Т 300
К {кнТ мз13) получим.
Рамановский сдвиг, <а'-«»(см1)
Рис. 7.2
согласно	(7-4):
/Л /„ = схр(2.5)»12 С
ростом температуры
отношение	/у 1 л
уменьшается. Указанная
температурная зависимость
компонент	КРС
используется	при
бесконтактном измерении
локальной температуры в
ТТ
Отмстим, что КРС, очевидно, является нсунругим рассеянием.
Эффективность данного процесса, описываемого теорией возмущении 3-го
порядка, определяется соответствующим тензором 3-го ранга. КР(
вырожденное нелинейно-оптическое взаимодействие, интенсивность
141 -
которого линегно зависит от интенсивности падающего света. В
большинстве случаев интенсивность линий ls и /, на много порядков
меньше, чем /0 . Однако эффективность КРС может возраста! ь в условиях
резонанса, когда частоты или а>А близки к частотам электронных
переходов в веществе, а также вследствие эффектов локального поля в
низкоразмерных структурах и неоднородных средах. В лом случае
cooiношение (7-4) между интенсивностями компонент рассеяния уже нс
выполняется.
7.1.3. Р неевское рассеяние.
Рпеевское рассеяние света является упругим рассеянием и
наблюдае тся в случае, когда размеры оптических неоднородное гей d
(машгабы флук1уаций) много меньше длины волны света: d <0.1Л. Данный
вид рассеяния возникас! как при динамических (например, флуктуации
плотности жидкое™ или газа), так и
при статических неоднородностях
(например, в неоднородных ТТ).
Аналогичное явление наблюдается
для взвешенных частиц в жидкостях
и газах и называется рассеянием
Тиндаля.
Интенсивность рассеянного света в зависимое™ от угла рассеяния О
(см. рис. 7.3) может быть рассчитана но следующей формуле:
/(^)= А ™\ /,,(| + cos 2 Я) ,	(7-5)
Г Л
где N и V коицепграция рассеивающих объектов и средний объем одного
объекта ( И ~ d ), г расстояние от рассеивающих объектов до точки
наблюдения, а 4 /1(л,л„) — некоторая функция отклонения показателя
- 142-
преломления рассеивающих объектов п от среднего показателя преломления
по, причем, А = 0, если и = п„.
Как следует из формулы (7-5), рэлеевское рассеяние вперед и назад в 2
раза более ипгепсивио, чем в перпендикулярном направлении:
/(0) = /(тг) = 2 1(+л / 2) Видно также, что /(6*)~ А. 4 ~ со4, г.е. что
эффективность рассеяния сильно возрастает с уменьшением длины волны
(ростом частоты) света. Отметим, что близкая частотная зависимость
наблюдается также для рассеяний Мандельштама-Бриллюэна и КРС.
Рэлеевское рассеяние является причиной голубого цвета неба, з к. будучи
более коротковолновым голубой свет сильнее, чем красный, рассеивается на
флуктуациях плотности воздуха.
7 14 Рассеяние Ми
Рассеяние Ми наблюдается в случае, когда размеры оптических
неоднородное гей <1 сопоставимы с длиной волны света: d-'P В пом случае
диаграмма направленности имеет более сложный вид и характеризуется
наличием многочисленных жстремумов, интенсивность и угловое
положение которых зависит от отношения dlЛ . Аналитического выражения
для интенсивности рассеяния при произвольном значении d/Л не
существует, по для всех случаев с ростом d увеличивается рассеяние назад.
Для рассеяния Ми характерна более слабая частотная зависимость:
1(0) X ,l~ о/, где/У <4 При рассеянии Ми частота света не изменяется,
т.е. рассеяние является упругим.
7.1.5. Рассеяние света в погющакш(иг средах.
Для всех видов рассеяния учет поглощения приводит к уменьшению
интенсивности рассеянного света в направлении его падения на
рассеивающую среду, что описывается экспоненциальным законом
/(z) =/„ схр [--(/; +a )z] ,	(7-6)
143
где h коэффициент жстинкции рассеяния и а - коэффициент поглощения.
§ 7.2. Распространение света в периодических средах. Фотонные
кристаллы.
В предыдущем параграфе рассматривались последствия случайных
вгриаций показателя преломления. Однако в специально сформированных
ТТ, а также в некоторых природных объектах, величина г! может изменяться
регулярным образом, например, периодически. Такие оптические среды
будем называть периодическими, или фотонными кристаллами. Последнее
название связано с гем, что существует аналогия при описании законов
распространения света в таких средах и поведения электродов (блоховских
волн) в периодическом потенциале кристаллической решетки.
В зависимости оз того но скольким координатам имеет мест
периодичность ;7, различают следующие случаи:
II) (одномерная периодичность): 7r(z + £) = »(z), где L период;
21): /»(z + £v, г + Lt«(.v, г), где LX.LV периоды;
3D: n(f + L,)=n(r), где £ = |£v,£,,,£_} период.
В случае, если указанные выше условия периодичности выполняются
приближенно или в ограниченной области пространства, то говоря! о
кии зипериоди ческих средах.
Рассмотрим круг явлений, возникающих в прозрачных периодических
средах (Imп - к = 0).
7.2.1.	Одномерные периодические среды.
Такие среды, часто называемые ID фотонными кристаллами,
образуются чередованием слоев с определенными значениями показателей
преломления и толщины, как схематично показано на рис. 7.4. Тогда
периодом является величина L d\ +d-y.
- 144-
волн, отраженных от нары
Пусть в такой среде по нормали к
границам раздела слоев распространяется снег
с длиной волн X. Примем для определенности,
чго «|>«2, тогда для луча, отраженного от
границ слоев 2 и Г при его распространении до
границы со слоем 1, возникает разноси, хода
А = 2и2^2 _ Я / 2. В случае А = О (= Я / 4 )
происходи г конструктивная интерференция
сраженной и падающей волн. Ипгерферепция
слоев, будет конструктивной при выполнении
условия:
2 п । d । + 2 п 2 d 2 = т Я ,
(7-6)
где порядок интерференции т = 1,2,3,....
Выражение (7-6) часто называют условием Брггга и записываю! в виде:
Я
n\d\ + И2“2 = W 2	(7-6а)
Соотношения (7-6) и (7-6а) аналог ичпы условию Брита появления
минимумов интенсивности при дифракции решт сионских лучей в крист алле.
В случае периодических оптических сред т имеет смысл порядка фотонной
запрещенной гоны. Действительно, при выполнении условия (7-6а)
падающий на среду свет должен полностью отражаться, в результате чего
коэффицисш пропускания стремится к нулю. Это явление аналогично
образованию запрещенной зоны для электронов в кристалле. Поскольку
приближенно соотношение (7-6а) может выполняться для целого интервала
длин волн вблизи значения Ят = ^ («|</| +«2^2). 10 каждая фотонная
запрещенная зона имеет определенную спектральную ширину. Па рис. 7.5
показаны примерные спектры отражения R и пропускания Т одномерного
фотонного кристалла.
- 145 -
Рис. 7.5
Заметил?, что условие
n\d\ =«2<^2 —Л74 не является
абсолютно необходимым для
появления фотонной запрещенной
зоны, однако оно облегчает ее
образование при конечном числе
слоев, а также при приближенном
выполнении соотношения (7-6а).
В реальных квазинернодических
средах наиболее четко
проявляется фотонная зона 1-го
порядка, тогда как более высокие
порядки обладаю! менее
выраженные жсгрсмумы ко«ффициенгов отражения и пропускания.
Следует сказать, что обсуждаемые ID периодические среды известны
достаючно давно. Они используются как основа интерференционных
оптических фильтров. Для этого наносят доеппочное число периодов слоев
веществ с различными показателями преломления. Для формирования 1Z)
фотонных кристаллов применяю! термическое или лазерное распыление.
молекулярную эпитаксию, электрохимическое травление.
7.2.2.	Двумерные периодические среды.
Такие среды, называемые 2D фотонными криста нами. получаются
при чередовании в пространстве в 2-х направлениях областей с различными
показателями преломления.
Фотонно-кристаллические свойства проявляются для света,
распространяющегося хотя бы в одном из направлений периодичности при
выполнении условия: nd ~Х. В качестве примера (см. рис.7.6) можно
рассмотреть набор бесконечных цилиндрических стержней, имеющих
показатель преломления отличный от значения для окружающей их среды. В
- 146-
данном случае присутствует два периода
Lx,Ly Фотонные запрещенные зоны
существуют при распространение света с
волновым вектором в плоскости (х. у), тогда
как при падении светового пучка в
направлении осей цилиндра (ось г) фотонно-
кристаллические свойства нс проявляются.
Двумерные периодические среды могут
формироваться па основе полупроводников
(Si, GaP, 1пР) методами фоюлитот рафии в
сочетании с тлектрохимичееким травлением.
Такие среды также могут быть ияотовлепы иг пористого анодною оксида
алюминия, для чего используется процесс анодною окисления алюминия в
кислотном глектролите.
7.2.3.	Трехмерные периодические среды.
Для формирования трехмерной периодической среды, называемой
часто просто фотонным кристаллом. требуется периодичность игменсиия
показателя преломления в направлениях 3-х пространственных координат.
Па рис.7.7 показан один из
вариантов рсализаттии такой
струкгуры. Хорошим примером 3/)
фотонного кристалла является опал,
представляющий собой набор
плотно упакованных шариков SiO2
(/i« 1.5) с диаметром d 100-300 нм.
В такой структуре фотонная юна 1-
го порядка наблюдается для длин
волн Я]=2лг/~ 300-900 нм. что
147-
определяет непрозрачность опала в видимом диапазоне спектра.
В 3D фотонных кристаллах возможно пленение излучения с длиной волны
Л|, соответствующих центру фотонной запрещенной зоны. Так, например,
возбудив в такой структуре светом с длиной волны люминесценцию
на длине волны Л], можно замедлить се время релаксации. Это представляет
интерес при создании лазеров со сверхнизкими порогами генерации. Другое
потенциальное применение фотонных кристаллов связано с использованием
новых законов дисперсии для света вблизи края фотонной зоны, чго дает
возможность реализовать условия фазового синхронизма для волновых
нелинейно-оптических взаимодействий вередах с нормальной материальной
дисперсией.
§ 73. Оптическая анизотропия периодических сред.
Двулучепреломлепие формы.
Проанализируем оптические свойства периодических сред для
достаточно больших длин волн Л» nd, т.е. вдали от фотонной запрещенной
юны. Условие Л» nd , которое часто называется мектржтатическим
приближением, означает, что электрическое поле световой волны
практически постоянно на масштабе характерных размеров неоднородностей
среды. В таких условиях можно ввести эффективную диэлектрическую
проницаемость среды, которая, как будет показано ниже, вообще говоря,
различна для различных поляризаций света, т.е. обладает анизотропией, даже
в случае, если показатели преломления (и диэлектрические проницаемости)
сред из которых состоит периодическая среда, изотропны. В подобной
периодической среде для света с Л.» nd наблюдается двулучепреломлепие.
которое носит название даулучепреломлепия формы.
Рассмотрим в качестве примера периодическую среду в виде
чередующихся тонких слоев с диэлектрическими нроницаемостями с,,с2 и
толщинами d\,	, как показано на рис. 7.8. Если электрическое поле
приложено в направлении перпендикулярном слоям, то вектор
- 148-
£/| г	dl г	d\	напряженности поля Ё претерпевает разрыв
Ё	£2		на границе слоев, а вектор )лектричсской ^2 индукции D непрерывен. Тогда можно записать:
			£2±=—	(7-7) £1	£2 Среднее	значение	напряженности
элсклри чес кого ноля равно:
Рис. 7.8
'Ey } = £1-U'l + Е2^2 = /, Z21 + /2 £± ,	(7-8)
</1 + </ 2	£’!	t’2
где /[ э =	’ фак гор заполнения для соответствующей среды.
'	г/| + </2
Тогда можно ввести перпендикулярную компопешу >ффективпой
ди >лск! рической проницаемости:
=	=	‘	=	/;|i’2	(7-9)
(£±)	,/| /г-| + /2	/|А’2 + /2^-1
Для >л ск гр и чес ко го ноля, параллельного слоям, вектор Г непрерывен,
а электрическое смещение имеет следующие компоненты в каждом ил слоев:
/)||| ='-1£|| -	/>2|| = £2Е\\	(7-10)
Тогда усредненное по многим слоям элек1ричсскос смещение равно:
/	\ ^jii г/, + Г>2|| с12
h )=— (ll+i/.=^,:\\+ f^ (7-|,,а)
Из последнего соотношения получим для параллельной компоненты
эффективной диэлектрической проницаемости:
\ II 7
—~------= J\£\ + /2^2	(7-11)
Ч
14‘) -
Таким образом, найдены значения эффективной диэлектригоской
проницаемости Ееа- рассматриваемой периодической среды. Легко видеть,
что для любых Г] * Еэ выполняется неравенство:
j.	£\£^
~ £ 1 = f\£\ *" Ji£2 7	7"
.f\£2 + /1*1
> 0 (7-12)
Соотношение (7-12) можно переписать в виде выражения для
показателей преломления:
2	2
Иц -п±
/1 J 2 (/? 1	Л 2 ) > q
./|«22 + А"2
(7-12а)
Следует принять во внимание, что для структуры, показанной на
рис. 7.8, существует два взаимо-псрпспдикулярных направления
поляризации падающего света, для которых вектор Е лежит в плоскости
слоев ( Е = Е| ). Соответствующий показатель преломления соответствует
обыкновенному лучу в двулучепреломляютцем кристалле, и сто можно
обозначить как ло=иц Показатель преломления, соответствующий
направлению Ej_, очевидно, относится к необыкновенному лучу: пе = п±. В
соответствии с соотношением (7-12а): по > пс , г.е. рассматриваемая
периодическая среда ведет себя как отрицательный одноосный кристалл с
оптической осью, лежащей в направлении нормали к слоям. Подчеркнем, что
данный результат не зависит от абсолютных значений показателей
преломления каждого слоя (при условии п\ * n-i), а также соответствующих
факторов заполнения.
Выполнив аналогичный, хотя и более трудоемкий, анализ для системы
параллельных цилиндров (см. рис. 7.6) при условии f\ « 1 можно получить:
(2	2 г
р-13)
"	U + ./i)«2 +/2«1
- 150-
Из соображений симметрии для цилиндра: иц = пе, п± = п(). Следовательно,
имеем положительный одноосный кристалл (по<пе) с оптической осью,
направленной ио оси цилиндров.
Рассмотренные выше случаи возникновения двулучепреломлепия в
периодических средах являются частными случаями, так называемого,
двулучепреломлепия формы (или оптической анизотропии формы). Данный
вид оптической анизотропии возникает, когда среда состоит из анизотропных
по форме элементов с показателем преломления, отличным от значения для
окружающей их среды. При пом важно, чтобы характерные поперечные
размеры неоднородностей показателя преломления были бы много меньше,
чем длина волны света. Общий случай двулучепреломлепия формы, когда
форма областей с иным показателем преломления может бьиь
аппроксимирована эллипсоидами с произвольным соотношением осей, будет
рассмотрен в следующих параграфах.
§ 7.4.	Эффективная диэлектрическая проницаемость
твердо тельной i етеросистемы.
7.4.1.	Основные положения теории эффективной среды.
Рассмотренные выше периодические среды являются частными
случаями, гак называемых, твердотельных .•етеросистем (ГС). Последние
представляют собой системы, состоящие из 2-х или более сред с различными
ди»лек1рическими проницаемоегями и формами структурных элементов.
Если характерные размеры структурных элементов каждой из сред d много
меньше длины световой волны X, то ГС может быть рассмотрена как
однородная оптическая среда, а се свойства Moiyi быть описаны
эффективной диэлектрической проницаемостью 1:ср , которая, вообще
говоря, комплексна. Зная Еец можно рассчитать эффективный показатель
преломления ГС nejp = ф-Р/р Условие d «Я часто называют
электростатическим приближением, имея в виду, что электрическое поле
- 151
световой волны на маштабах отдельной неоднородности диэлектрической
проницаемости среды можно рассматривать как постоянное, г.с.
использовать методы решения задач электростатики. Для упрощения записи
формул опустим знак комплексности (~) У используемых величин.
Рассмотрим вначале 2-х компонентную ГС, состоящую из сред с
диэлектрическими прошщаемостями £•] и е2 . Пусть среды содержат
структурные элементы произвольной формы и расположения в пространстве,
занимающие объемы Г|И Г2, соответственно. Тогда для полного объема ГС
имеем:
Г =	+ Г2	(7-14)
или
Г| Гт
у + у ~ /| + /2 = 1 ’	(7-14а)
Г| 2
где /| 2 = соответствующие факторы заполнения.
Средние но объему значения векторов напряженности мгсктричсского
поля и электрической индукции могут быть записаны в виде:
(£) ‘	= "Р<"' + ‘	= /1(^1)+ /2(^2)	(7-15)
г	г,	р2
=	+ ‘у	+ /^,£2(^2)	(7-15а)
'	* у2
. Введем эффективную диэлектрическую проницаемость, диагональные
компоненты тензора которой даются выражением:
(о,)
где т к.у.г.
Введем также так называемые, факторы поля, описывающие во сколько
раз среднее поле в каждой из компонент среды отличается от среднего ноля
во всей ГС:
152-
(7-16а)
(7-17)
(7-17а)
(7-1 К)
(7-1«а)
(7 18b)
(7 19)
" ~ (г) 
где индекс / 1,2 нумерует фазы рассматриваемой 2-х компонентной ГС.
Тогда выражения (7-15) и (7-15а) можно переписать в следующем виде:
1 = /1	+ /2^2
£ cf! = Д +
Подставив (7-17) в (7-17а), получим:
ееЦ = г1 + /2^2 О72 - с| )
Из последнего выражения имеем:
сеЦ ~ £1 = /2^2 (г’2 “ 6Т )
Анало! ично получим:
*-<// _ ‘-2 ~ !\(>\ U1 А’2 )
Из соотношений (7-18а) и (7-18Ь) следует:
M_~±L + El’O ~ £'2 - о
h»2	h"\
которое после преобразования к виду
/Д - ^1 )+ /2^2 ('-< ’ *2 ) 0 .	(7-19а)
легко может быть обобщено на случай miioiokomiioiiciiiiioh ГС:
Y fjOkeH -с,) <>•	<7-20)
/= ।
где N количество компонент ГС. При этом, очевидно, должно выполняться
условие нормировки:
/V
X // = 1 	(7-20а)
/ = 1
Уравнение (7-20) совместно с условием (7-20а) является базовым в
рамках концепции эффективной диэлектрической проницаемости ГС.
153-
Различные модели эффективной среды, которые
будут рассмотрены ниже, наряду с уравнениями
(7-20), используют также дополнительные
предположения и приближения относительно
величин f j и 0i . Это позволяет найти значения
величины sej/ , которая даже в случае, сети с<
Рис- 7.9	скалярные величины, может быть тензором
вследствие тензорной природы .
7.4.2.	Матричные и статистические гетеросистемы Формулы Максвелла
и Максвелла-Гарнетта. Приближение эффективной среды Бруггемана
В качестве основных модельных приближений в теории эффективной
среды рассматриваются два тиа ГС, а именно, I) матричные ГС, в которых
каждый элемент среды-включения окружен со всех сторон некоторой
средой-матрицей, и взаимодействием элементов включения можно
пренебречь, и 2) статистические ГС, для которых все компоненты среды
равноправны
Проанализируем в качестве примера случай 2-х компонентной
матричной ГС со сферическими включениями, причем фактор заполнения
включений /2 «1 • Гогда для расчета удобно использовать выражение
(7 18), и задача сводится к нахождению фактора поля (h. Для этою решим
задачу электростатики о диэлектрическом шаре.
Пусть, как изображено на рис. 7.9, шар с диэлектрической
проницаемостью и радиусом R окружен средой с диэлектрической
проницаемостью £| и находится во внешнем поле с напряженностью Е
Поля вне и внутри шара обозначим как Е\ и Ё2, соответственно.
- 154-
Потенциал тлектрического ноля вне и внутри шара ищем в виде:
ср\ --Ёг + А и (92 - ВЕг, где В и А - некоторые поетоянные. Тогда для
г
напряженности поля внутри шара имеем: Е2 — —	= BE 
Из условия непрерывности потенциала на поверх пости шара
(С>2(Е) (£>|(Л>), исключая постоянную В, получим:
Из условия непрерывности вектора индукции О2(Е) = />|(Е) ,
исключая потояппую А , получим:
.	(7-21Ь)
£> + 2г, ।
Таким образом, искомый фактор ноля для ди электрического шара
имеет вид:
()2 = - j -	(7-22)
+2t|
Подставляя формулу (7-22) в выражение (7-18), получим, так натыкаемую.
формулу Максвелла, известную также как приближение слабого рассеяния в
теории зффекгивпой среды:
М =	+	=	+	]	(7-22)
с 2 + 2 z, ।	с 2 + 2 6 [ )
Данная формула описывает эффективную ди злектрическую проницаемость
матричной ГС без учета возможного взаимодействия (взаимной поляризации)
включений. Учет данною фактора приводит к более точной формуле
Максвелла-Гарнета, которая имеет вид:
С| = /2 £'2-~g|-	(7-23)
сср- + 2z?| е2 + 2б|
Отмстим, чго последняя формула, по-сущсству, является разновидностью
уравнения Клаузиуса-Моссоти (см. §2.3) и сводится к выражению (2-24) в
155 -
случае fe( = l с учетом того, что поляризуемость диэлектрического шара в
вакууме X сх
£г ।
с, + 2
Для описания аффективной диэлектрической проницаемости
статистической ГС со сферическими включениями необходимо использовать
факторы ноля каждой! из фаз в виде, подобном (7-21), а именно:

0,=
£i+2^,.//
(7-24)
Далее, используя общую формулу (7-20) получим, гак называемую, формулу
Бруггемапа. известную также кик приближение >ффек!нинной среды'.
N с — с
У, /, —= о
fl 'с, + 2^,
(7-25)
Последняя формула может быть обобщена па случай эллипсоидальной
формы включений, что даст, так называемую, обобщенную формулу
Бруггемапа:
Ё 7'7—+7 й -£—Т = ° 	(7'25а)
/ I £ef! + L I.l (£ I £.Ц .! >
где L фактор деполяризации, входящий в выражение для локального
электрического ноля в облает диэлектрического включения произвольной
формы:
L
EjJ = El-P,-^^
£о
(7-26)
где Pi компоненты вектора поляризации среды в месте/-компоненты I С.
Величина L есть тензор, чьи компоненты определяются формой
включения. Так, для сферы: Lx = Lv = L, =	( Lx + Lv + L. - 1 ); для
цилиндра: С — О,	+ 21.	1 )’, для плоскости: Лц О, = 1
(2L +£±=1).
- 156-
Отметим, что для случая сферических включений формула (7-25а)
переходит в (7-25).
Для другого частного случая, а именно, системы чередующихся слоев с
различными диэлектрическими проницаемостями, формула (7-25а) приводит
к соотношениям:
£«Г\\ ~£' f £^'\\ С2 _ ()
	+ /2 	“ и 
£е/Г ||-----------Ceff
Из последних соотношений, используя условие нормировки /j +/2 - 1, легко
получить выражения для при направлении тюля, перпендикулярном
£eff 1 или параллельном £ ед || слоям, которые совпадают с формулами
(7-9) и (7-11), полученными в § 7.3.
7.4.3.	Статистическая гетеросистема со свободными носителями шряда
Оптический ди \рои im.
Представляет интерес проанализировать случай статистической ГС, в
которой хотя одна из фаз может содержат!, свободные носители заряда.
Последние, как известно, могут взаимодействовать со светом, что приводит,
в частности, к поглощению на свободных носителях заряда (см. § 3.11). Как
будет видно из последующего анализа, спектральная зависимость
поглощения на свободных носителях заряда для ГС существенно изменяется,
а также зависит от поляризации света.
Рассмотрим частный случай слоистой (ламинарной) структуры,
состоящей из чередующихся слоев прозрачного ди>лскгрикаг.[ (Init] (!) и
полупроводника с ли тлектрической проницаемостью, описываемой
2
классической моделью Друде (см. §3.11): £2=^л_ 2	. Тогда для
к> imt
157-
кэмпонснт эффективной диэлектрической проницаемости получим (см.
формулы (7-9) и (7-11)):
/269 о
^11 = 1\Е\ + /2^2 = he\ + /2^00--------7-----(7’27)
со - iсот
Ы2р
р —-------- 1
00	2	- 1
= —31 2~- =	------ (7-27а)
/1Ь2 + J1E\	f\CO„
f 2е I * ./1^оо — т	|
со - icoT
Как видно из формулы (7-27), для компоненты эффективной
диэлектрической проницаемости в направлении параллельном слоям имеет
место похожая на случай однородного полупроводника зависимость, но с
измененными значениями высокочастотной диэлектрической проницаемости
( с\, = fex + f2£a ) и плазменной частоты ( со Р = cof, J[г ). При этом
области со «г 1
коэффициент поглощения на свободных носителях заряда будет иметь вид,
даваемый формулой (3-44), из которой следует, что в низкочастотной
.2
со ,,т
«I	, где лц показатель преломления для света,
поляри зованного
.2
со ,,
«II а -------2°-
11 сп „ тсо
в плоскости слоев. Для высоких частот со» г 1 получим:
со
В то же время, для перпендикулярной слоям компоненты эффективной
диэлектрической проницаемости в низкочастотной области характерна
отличная от объемного случая спектральная зависимость коэффициента
поглощения на свободных носителях заряда. Действительно, из (7-27а)
следует, что при со« т 1:
е , « е, -—-	‘Г-	= е, ej- ~	(7-27b)
/2f| +	- if\coрсо т е ,,ы _ ifo
Мнимая часть £^_ дастся выражением:
- 15X -
Im( excot
(ю’2< - 60^’ )
(7-27с)
...	.	. 1ык Й>1ГП£
I ак как согласно формуле (1.9b): а =----------=------ , го получим для
с сп
коэффициент поглощения при поляризации света, перпендикулярной слоям
.2	2 •
й>1т(£±)	2 £а - Ю Е^ ,
а , - -------— ® EtCD г-------------1-- X (О
СП ,	СП L
(7-28)
Следовательно, в области низких частот имеет место квадратичный по
частоте рост котффицнепга поглощения, что кардинально отличается от
случая однородного полупроводника, 1де поглощение па свободных
носителях заряда практически слабо зависит от частоты в данной
спектральной области. С другой стороны, отметим, что в области высоких
частот для ГС, как и для однородного полупроводника, наблюдается
7
асимптотика а. а со , т.с. имеет место типичная для Друде-пот лощения
частотная зависимость (см. рис. 7.10).
Таким образом, в ламинарной ГС имеет место соотношение * а^,
другими словами, имеет место анизотропия коэффициента поглощения,
называемая дихроизмом. Для рассматриваемой системы ац >«। . чго
согласуется с хорошо итвестиым случаем прохождения поляризованного
света, через металлическую дифракционную решетку, когда свет,
поляризованный вдоль направления штрихов, поглощается значительно
сильнее, чем для перпендикулярного направления Дихроизм в
полупроводниковой ГС может проявлять сильную спектральную
зависимость (дисперсию), что вызвано различием частотных зависимостей
и а± Кроме того, показатель преломления такой системы также
анизотропен вследствие эффекта двулучепреломлепия формы (см. § 7.4).
- 159-
Рассмофеппая анизотропия коэффициента поглощения и показателя
преломления ламинарной ГС является частным случаем оптической
тнизотропии произвольной ГС, содержащей анизотропные по форме
зключения	различных а
ком попей г.	Он in ческие
100
характерно тики статист ическои
ГС могут быть рассчитаны на
основе обобщенной формулы
Бруггемапа (7-25) с 01
использованием значений 0.01
тензора деполяризации, oooi
определяемого геометрической
формой включений.
а
§ 7.5.	Влияние размеров тел па их оптические свойства.
Квантовый размерный зффекг.
Используемые в предыдущих разделах значения диэлектрической
проницаемости, дисперсионные зависимости Е(А) и другие электронные и
оптические характеристики были получены в предположении
неограниченных размеров 'ГТ. В то же время, когда размеры ТТ
уменьшаются до величины сравнимой с длиной волны де-Бройля носителей
заряда (wieKiponoB и дырок) Лс/„ го необходимо учитывать влияние
ограничения (копфаймента) движения последних на электронные и
оптические свойства ТТ. Данный размерный эффект носит названия
квинтового раииерного л/>фекти (КРЭ), поскольку изменение свойств ТТ
имеет сугубо квантово-механическую природу. Очевидно, что уменьшая
размеры ТТ можно в пределе перейти к отдельным молекулам и атомам,
обладающими дискретным спектром.
160-
Понять суть КРЭ легко, если обратиться к основам квантовой механики,
а именно, к положению о корпускулярно-волновом дуализме. В соответствии
с ним любая движущаяся частица, в частности, электрон в кристалле,
является одновременно волной, называемой часто волной де-Бройля, длина
которой дастся выражением:
Ле= И ,	(7-14)
Ре
где/) 6.67* 10 14 Дж/с постоянная Планка,/>с импульс (или квазиимпульс)
частицы (электрона в кристалле).
Для большинства ТТ величина Я(, лежит в диапазоне 1-100 нм В
полупроводниках значение Л(. составляет порядка 1-10 им. Вели ратмсры ТТ
составляют порядка Яс, то из-за отражения волны де-Бройля от границ 7 Г
возникает- стоячая волна, и следовательно. появляется добавочная мтергня В
ее появлении и состоит КРГ) в узком смысле этого понятия
В зависимости от того насколько ограничено распространение волны
де-Бройля различают следующие случаи:
3D объекты В них нет- от рапичснии для волн дс-Бройля. Эго объем ТТ.
2D объекты, или так называемые квантовые ямы, в ко торых ограничение
есть по 1-му направлению. Это тонкие слои и пластины.
ID объекты, или гак называемые квантовые нити и проволоки. Для них
движение носителей ограничено по 2-м направлениям. Это нитевидные
кристаллы, атомные цепочки и ступени на поверхностях ТТ.
- (ID объекты, или так называемые квантовые точки Для них движение
носителей ограничено по всем 3-м направлениям.
Рассмотрим КРЭ для 2/7-объскта. Пусть электрон с изотропной
эффективной массой те помещен в квантовую яму шириной d с бесконечно
высокими стенками, так чго его движение ограничено по одной из координат,
которую для определенности обозначим каки (см. рис 7.9)
161 -
Частица в такой яме ведет себя как
фотон в резонаторе Фабри-Перо. Условия
для мод в резонаторе имеют вид:
= d ,	(7-15)
где п = 1,2.3,.... В этом случае величина
квазиимпульса в направлении z квантуется
(так называемое, вторичное квантование):
16)
Так как кинетическая энергия частицы Е = ^ 2т*'’ 10 |1ОЯУЧ,,М выражение
для квантово-размерной добавки к энергии:
АГ'	Г'-	2	Г —7 | -Г \
ДЕ t. =	. =	. , я =	, н~	(7-17)
2тс Кт1,(1~ 2т (.</2
В выражениях (7-16) и (7-17) натуральное число п соответствует номеру
уровня /химерного квантования, а величина ДЕ часто называется энергией
ра /мерного квантования.
Поскольку в одномерной квантовой ямс движение электрона по двум
другим координатам (л,г) не ограничено, го квапгово-ратмерпая добавка,
описываемая выражением (7-17), складывается с квази-ненрерывными
дисперсионными зависимостями Е(А1..А1 ):
е((а) Bt(kx,ky)+AEr = i	(7.)7а)
2 т	2 т d
Аналогично рассматривается появление квантово-размерной добавки к
энергии дырки. В этом случае необходимо учитывать, что эффективная масса
дырки отрицательна и поэтому ДСЛ <0 . В результате происходит рост
ширины запрещенной зоны рассматриваемого 2D объекта па величину:
162-
AEg =ЛЕ<,1+ДЕ„1=^[Л+Л|	(7-18)
2a m. mh J
Если ввести приведенную массу, определяемую как
mr ' = jr + [nih j , то выражение (7-18) будет иметь вид:
2* 2
ДЕ „ =	'	(7-18а)
2 тс/ 2
Примерный вид дисперсионных зависимостей для носи гелей заряда в
квантовой ямс показан па рис. 7.10, где пунктирные линии тс же
зависимости для объема ТТ, то есть для случая d - > х . Очевидно, что
Eg = Ego + AEg.
К аналогичным выводам по изменению энергии шекгропов и
увеличению ширины запрещенной зоны полупроводника в результате
пространственного oi рапичепия для волн де-1>ройля можно прийти,
используя соотношение неопределенностей Гейзенберга. Действительно,
вследствие пространственного oiрапичепия координата тлекгрона известна с
точностью Ас~d , югда
неопределенное гь соответствующей
компоненты квазиимпульса A/>z
удовлетворяет условию:
й	ti ti
>	=> Ар, >
‘2 z 2bz 2d
(7-19)
величины
югда получим для
неопределенности энерг ин:
"2
Z-'L'	*	—	♦	7
2 т с,	8 т с d
Если КРЭ возникает
(7-19а)
вследствие
ограничения в нескольких направлениях, то, очевидно, энергии размерного
- 163-
квантования в различных направлениях складываются. Для ОО-объскгов
(квашовых точек) сферической формы эти энергии могут быть рассчитаны
аналитически и составляют:
fj2<Pn I
^п,1 =	. ’2	.	(7-20)
2т R2
где R радиус сферы, <рп t л-й корень функции Бесселя полуцелого порядка
1+1/2, где / 0.1,2.... В частности, <р„ 0 = ли, п = 1,2,3,...
В выражении (7-20) параметр / имеет смысл орбитального квантового
числа. Пара чисел (я, /) целиком задаст тлсктроппый спектр квантовой точки.
Для обозначения его уровней часто используют символы, применяемые в
атомной спектроскопии, например. /S(n=l. /- О), 2S (н=2, / О), /Р (п /, / /)
и г.д. Поэтому 0/)-обьскгы иногда называют искусственными атомами. С
другой стороны, сохраняется также полупроводниковая терминология, и
энергетический промежуток между первыми уровнями размерного
квапювапия для электронов и дырок называется запрещенной зоной,
величина которой равна:
г ..	...	_	»2л-2 _ ..	2й2я2
Eg - F-gO + дь 1,0 EgO +	2	+ ~ р2 “ Ее0 +	.2
2mrR	2mrR	m ,.d
(7-21)
где d =2R диаметр квантовой точки.
Изложенный выше подход к расчету КРЭ носит название метода
эффективной массы. Действительно, предполагалось, чго частица имеет
постоянную эффективную массу, чго, вообще говоря, не справедливо для
объектов очень малых размеров, т.е. когда имеет место сильный КРЭ. Второе
предположение, сделанное нами при расчетах, состояло в использовании ямы
бесконечной глубины (бесконечно высокого барьера). Данное
предположение, очевидно, не справедливо для реальных наноструктур.
В общем случае расчет энергий размерного квантования для реальных
объектов произвольной размерности и формы возможен в рамках иных
164-
подходов и (ребуют использования численных методов. Так, например, для
нанокристаллов Si с d 1 им используют метод функционала плотности, а
также метод линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО). Некоторые
результаты расчетов ширины запрещенной зоны кремниевых нанокристаллов
различной размерности в зависимости от величины обратного размера \/d
показаны па рис. 7.11, 1де точками нанесены данные, полученные методами
ЛКАО и функционала плотности, а линиями зависимости — методом
эффск! ивпой массы в предположении бесконечной глубины потенциальной
ямы. Последняя для кремниевых нанокрисгаллов в вакууме или SiO2
ограничена разностью значений тлек!ровного сродства вещества Si и
окружения и составляет 4 эВ.
Как видно из рис. 7.II, результаты, полученные методом и|>фекгнвпой
массы, практически совпадаю! с данными методов ЛКАО для 2D и ID
объектов с размерами d" I им.
Однако в случае 0D систем метод
эффективной массы нредсказывасз
большие величины КРЭ. Расчеты
методом эффективной массы для
ямы конечной (дубины дают
зависимость ДЕ g к d ^,гдер<2.
В частности, для квантовых точек Si,
внедренных в SiO>, имеет место
значение р «1.6.
§ 7.6. Экситоппые эффект! в нанокрисгаллах, обменное
взаимодействие, стоксов сдвиг, фактор Хуанг-Риса.
Наряду с изменением ширины запрещенной зоны в низкоразмерных
структурах возрастает роль экситонных эффектов. В частности, в
полупроводниковых нанокристал-лах может существенно увеличиться
энергия связи экситонов Есхс . Так, для кремниевых квантовых нитей в
165
Еег
(мэВ)
100
10
О d = 2 нм
• d-Днм
4 6 8 10
Рис. 7.12
величина лтергизз связи
>КСИ ГОПОВ
вакууме значения Ее„. могут
достигать 100-300 мэВ. На рис. 7.12
приведены результаты расчета
энергии связи экситонов в
кремниевых квантовых нитях
( £, = 12 ) различного диаметра г/,
помещенных в среду с
ди шекгрической проницаемостью
£2- I- Напомним, что в объеме c-Si
Ь-схс “14 м >В. Рост Et,u. в
1
2
пизкоразмсриых структурах обусловлен гак называемым димектрическим
конфиймеитом. Данный эффект приводит к усилению кулоновского
взаимодействия электрона и дырки в пизкора «мерном объекте, помещенном
в среду с меньшей диэлектрической проницаемое тыо. Действительно,
электрическое иоле, в котором находятся носители заряда в таких структурах,
определяется также поляризацией окружающей среды. Последняя будет
усиливать тлсктрическое ноле для нанокристаллов, помещенных в среду с
мепыпей диэлектрической проницаемостью, в частности, в вакуум. Однако
электрическое поле будет уменьшаться, если диэлектрическая
проницаемость окружения будет больше, чем в напокрисгалле, что приведет
к уменьшению тнергии связи жеигона (см. рис. 7.12). С уменьшением
характерного размера нанокристаллов, роль тффекга диэлектрического
копфаймепга возрастает, как эго видно из рис. 7.13 для случая квантовых
пи гей при различном контрасте диэлектрических проницаемости вещества
нити и окружающего пространства.
166 -
Другим важным размерным
эффектом является зависимость
энергии обменного взаимодействия
(синглет-триплетного расщепления)
\Es-T в экситоне от размера
и анокристалла.	Данное
взаимодействие связано с наличием
спиновых магнитных моментов у
электрона и тырки. Спины
последних могут быть сопаправлеиы
или противоположно направлены. В
первом случае суммарный спин жеигона равен 1 и может иметь фи значения
проекции на направление магнитного поля, и но пому состояние называется
триплетным (Т). Во втором случае спин жеигона равен 0 и состояние
называется синглетным (S). как схематично показано па вставке рис. 7.14
Различие между энергиями синглетного и триплетного состояний
обусловлено относительно слабым магнито-дипольным взаимодействием и
поэтому весьма мало (доли м >В) для экситонов в обьемпых полупроводниках,
где расстояние между элекфопом и дыркой (радиус жеигона) составляет
несколько постоянных решетки. Однако в малых папокрис!аллах обменное
взаимодействие, очевидно,
усиливается из-за сближения
электрона и дырки и может
достигать единиц и гаже
десятков мэВ. На рис. 7.14
показана	примерная
зависимость ДЕу у для
экситонов в кремниевых
квантовых точках от их
Рис. 7,14
167
диаметра d. Отмстим, что для таких структур энергия триплетного состояния
меньше, чем синглетного. Поэтому при низких температурах экситоны будут
находиться преимущественно в триплетном состоянии, излучательный
переход с которого на основное синглетное состояние запретен правилами
отбора по спилу. Поэтому триплетное состояние является метасгабильпым,
т.е. долгоживу ним. Триплетные времена жизни для экситонов в кремниевых
квантовых точках составляю! 1-10 мс, тогда как синглетные времена на 1-2
порядка короче. Различие синглетных и триплетных времен жизни экситонов,
а также значительная величина энергии обменного взаимодействия,
определяют многие важные свойства полупроводниковых папокристаллов. В
часзпост, с этим связана высокая эффективность передачи энергии от
экситонов в кремниевых нанокрисгаллах к окружающим молекулам, атомам
и ионам, что можно использовать для фогосенсибилизацпи последних.
Другим проявлением экситонных эффектов в пизкоразмерпых
полупроводниковых системах является наличие в них заметного снюксового
меньше, чем
сдвига, т.е. различия в ciieKipax
поглощения и испускания (см.
рис. 7.15). Обычно такой сдвиг присущ
молекулам, и вызван релаксацией
возбуждения по колебагельно-
вращагсльпым уровням, вследствие
чего энергия испускаемого кванта света
юглощасмого. В то же время, для полупроводниковых
нанокристаллов появление стоксова сдвига вызвано иными факторами, а
именно. I) синглет-триплетным расщеплением жеитоппого уровня и 2)
жеитоп-фонопным взаимодействием. Полная величина стоксова сдвига
может быть записана в виде:
А у = АЕ у у + 2 / цр h а),
(7-22)
где 0 < fuff < I так называемый фактор Хуанг-Риса, a tuo ~ h(o^).
- 168 -
Различие в спектрах поглощения и испускания полупроводниковых
папокристаллов, связанное со синглет-триплетным расщеплением
экситоппого уровня, очевидно, обусловлено тем, что поглощение фотона
происходит для разрешенного перехода на синглетное состояние экситона,
тогда как эмиссия света реализуется через более низко расположенное
триплетное состояние.
Фактор Хуанг-Риса пропорционален числу фононов, которые могут
испускаться в ходе релаксации электронного возбуждения при экситон-
фопонпом взаимодействии. Данный фактор возрасгает в пазкоразмерпых
полупроводниковых структурах. Так, например, в папокристаллах CdSe с
d 4 им величина /„„().25, тогда как для d I им: /,,д~ I.
§ 7.7. Примеры полупроводниковых систем пониженной
размерности.
Очевидным примером 2D системы является поверхность кристалла.
Методы получения, диагностика и свойства атомарно-чистых поверхностей
изучаются в физике поверхности ТТ. Атомарно-чпстыс поверхности
обладаю!, как правило, своей собственной структурой расположения атомов
и как следствие этого двумерными электронными дисперсионными
зависимостями. В пашем курсе мы практически не касались особенностей
таких 2D систем. Однако стоит отметить, чго электронные свойства
атомарно-чистых поверхностей можно исследовать, использую метод
фогоэлск троп пой ультрафиолетовой спектроскопии, который основан па
внешнем фотоэффекте, в результате чего опустошаются заполненные
поверхностные электронные состояния.
Для опгики значительно больший интерес представляю! квази-2/J
системы, такие как топкие слои, пленки и различные структуры па их основе.
В предыдущих параграфах упоминались свойства квантовых ям, где
реализуется квантовый размерный эффект. Примерами таких квантовых ям
являются инверсионные слои (каналы), а также полупроводниковые
- 169
гетероструктуры е гонкими слоями. Инверсионные каналы обычно
эсализуются в структурах металл-диэлектрик-полупроводник при подаче
соответствующего потенциала. Так, например, если взять кремний р-гипа, на
поверхности которого находится слой SiO2, а на нем - слой металла, то при
приложении к металлическому электроду большого положительного
потенциала относительно объема полупроводника, в последнем па границе с
диэлектриком образуется слой, обогащенный неосновными носителями
заряда (электронами). Толщина такого инверсионного слоя составляет
примерно 3-5 нм. Образующаяся квантовая яма зависиз от приложенного
потенциала и имеет приблизительно треугольную форму. Характерной
особенностью инверсионного слоя, полученною па высококачественной
границе Si/SiO2 является большая величина подвижности носителей таряда
(до 5 м2 13с).
Квантовая яма в гегеросгруктуре получается в результате различия
шергий электронного сродства различных полупроводников. Скачек знергин
тлектрона и дырки формирует барьер для последних, большое число
Поспелова гелию расположенных квантовых ям, в которых возможно
туннелирование носителей между ямами, образует, так называемую,
сверхрешетку. Вследствие периодичности потенциала в сверхрешетке
образуются новые дисперсионные зависимости для носителей заряда (мили-
зовы). Изолированные квантовые ямы и сверхрешстки обычно формируются
на базе полупроводников AIIIBV, AI1BVI и AIV с использованием методов
молекулярно-лучевой лзигаксии. Наиболее распространены структуры на
основе GaAs, AltiaAs и более сложных полупроводниковых соединений,
поскольку для них возможно согласование параметров решеток, что
необходимо для минимизации напряжений в структуре. Управляя составом и
размерами квантовых ям можно плавно перестраивать спектр их оптического
поглощения или люминесценции. Структуры с квантовыми ямами на основе
материалов AIHBV обладают высокой эффективностью эмиссии света и
используются при создании компактных полупроводниковых лазеров. За
170-
вклад в разработку физических принципов таких устройств российскому
ученому Ж.И.Алферову в 2001 г. была присуждена Нобелевская премия.
Идеальной ID системой является цепочка атомов одного вида, по
которой могут двигаться носители заряда. В настоящее время активно
изучаются квази-/О полупроводниковые системы в виде имеющих
нанометровые размеры поперечною сечения нитевидных кристаллов или
ступенек па поверхности полупроводника. Поперечный размер таких
структур сопоставим с длиной волны де-Бройля носителей заряда, т.с. они
представляют собой! квантовые нити. Существус! несколько способов
формирования квантовых пи гей, среди которых следует выделить методы
профилирования и сегрегации па вицинальных (слабо разориеп тированных)
полупроводниковых поверхностях. Кроме того, квантовые нити можно
получать кристаллизацией полупроводников в папомстрических каналах
трубок хризотил-асбестов и греков от ускоренных массивных частиц;
молекулярной тнигаксией в сочетании с фоюлиго! рафией и ионным
травлением; выращиванием нитевидных кристаллов из газовой фазы или
расплава; тлекгрохимическим травлением полупроводников. Последний
метод позволяет довольно прости формировать пористые
полупроводниковые слои, которые представляют собой систему
пересекающихся квантовых нитей. При достаточно высокой пористости
(>80%), пористый полупроводник может также содсржазь квази-#/) объекты.
или квантовые точки.
В настоящее время наиболее хороню
отработана |схпология тлектро-
химичсского получения гак называемого
пористого кремния (НК). При
определенной степени пористости ПК
состоит из квантовых нитей кремния с
диаметром сечения от 1 до 10 нм (см. рис.
7.16). Стандартный! способ формирования
- 171 -
Рис. 7.16
ПК	заключается	в
электрохимической анодной
обработке пластины монокристал-
лическою кремния (c-Si) в
электролитах на основе плавиковой
кислоты. Обычно используют
кремний p-типа, а в качестве
•лек кролика водно-спиртовые
смеси па основе плавиковой
кислоты (III7)- Схематическое
изображение ячейки для
Рис. 7.17
электрохимического формирования ПК приведено на рис. 7.17. Под
действием положительного потенциала па кремниевом электроде па границе
кремпнй-элеккролик протекают электрохимические реакции, приводящие к
появлению пористого слоя. Поскольку размеры элементов струкэуры (пор и
кремниевых напокрисгаллов) в НК обычно много меньше длины световой
волны, го данный материал может рассматривания как некоторая
однородная оптическая среда с эффективной диэлектрической
проницаемоегыо, зависящей oi степени порисгосги, размеров и формы
напокрисгаллов. Чередование слоев ПК с различной пористостью, а стало
быть различным показателем преломления, позволяет формировать
периодические оптические среды, в том числе одномерные фотонные
кристаллы.
В качестве 01) и квази-fl/) объектов обычно рассматриваются
нанокристаллы, для которых пространственное ограничение для носителей
заряда выполняется для всех трех направлений. Такие ианокристаллы или
квантовые точки, могут быть получены различными методами, среди
которых следует отмстить кристаллизацию избыточного количества
полупроводниковых веществ в инертной стеклообразно!') матрице; осаждение
из растворов химически реагирующих веществ или из переохлажденных
- 172-
паров; молекулярную тпитаксию. В последнем случае используют либо
явление самоорганизации, или электронную литографию для преобразования
плоского слоя в систему квантовых точек
Наряду с перечисленными выше достаточно сложными и
дорогостоящими методами получения квантовых точек, возможно их
получение уже упомянутым методом электрохимического травления
мнокристалличсских полупроводников. В случае слоев ПК квантовые точки
мотут быть сформированы при неоднородном утончении квантовых нитей,
приводящем к образовании изолированных напокрисгаллов. Дополнигельпая
изоляция кремниевого панокристалла может быть достигнута также
последующей выдержкой (травлением) обратна ПК в ПК или термическим
окислением.
Геометрические размеры и форма квантовых точек зависят оз условий
формирования и химической природы полупроводника Гак, например,
самоорганизующиеся квантовые точки па основе материалов А'в\ активно
исследуемые в последнее время как перспективные лазерные среды, имеют
пирамидальную форму. Квантовые точки Si, полученные кристаллизацией в
аморфной оксидной матрице, характеризуются сферической формой.
Наноструктуры окисленного ПК
содержат Si квантовые точки,
форма которых близка к
эл и т юоилал ы той.
Характер! той особенностью
квантовых точек является
повышение	вероятности
излучательной рекомбинации в
них носителей заряда, что
является следствием сильной
локализации последних, а также
возрастанием роли экситонных
Энергия фотонов (эВ)
Рис. 7.18
- 173-
чффскгов. Для отдельных квантовых точек спектр эмиссии света становится
дискретным, подобно атомарному спектру. В тоже время ансамбли
квантовых точек обычно излучают свет с достаточно широкой полосой, что
связано с вариациями размеров и формы последних. В качестве примера па
рис. 7.18 показаны спектры фотолюминесценции ансамблей кремниевых
квантовых точек, получаемых кристаллизацией слоев нсстсхнометричпого
оксида кремния SiOx (1<х<2). Вставка па рисунке демонстрирует
электронно-микроскопический снимок поперечного сечения такой структуры
с средним диаметром нанокристаллов кремния </ 3.5 им.
Раздел 8. Нелинейно-оптические явления в твердых гелях
§ 8.1. Линейная и нелинейная поляризуемости среды.
В предыдущих разделах предполагалось, чго отклик среды на
воздействие световой волны является линейным. В пом случае вектор
поляризации пропорционален напряженности действующего элек1ривеского
ноля в световой волне, чго можно записать в виде :
(8-1)
1де 2'<1* линейная оптическая восприимчивость, которая для изотропных
сред является скаляром. В общем случае /(1) men юр 2-го ранен, а
компоненты вектора поляризацизз имеют вид:
Д( 1 ’ = i() (Z‘'X + Z! \>Еу + z'l’/Г.-)
(8-la)
или в компактной форме
•	омь)
где суммирование, как обычно, проводится по повторяющимся индексам.
Отметим, что при описании только линейного по полю отклика среды
174
верхний индекс, в выражениях для поляризации и линейной оптической
восприимчивости обычно нс указывается (см. Разделы 1-3).
Рассмотрим на качественном уровне причину возникновения
нелинейности отклика среды. В общем случае он обусловлен тем, что при
большой интенсивности света величина
Р уже нс пропорциональна
напряженное ги электрического поля Е .
Поэтому даже для гармонической
световой волны поляризация среды будет
содержать различные гармоники. В
полупроводниках и	диэлектриках
поляризация среды	связана с
возникновением	ориеп тированных
диполей, таких, например, как
электроны ядро (для видимого и
ближнего ИК диапазонов) или нон-иои
(для полярных кристаллах в ИК
диапазоне).	1 кшряжепноегь
Рис. К.1
электрического поля внутри атома составляв! Еа~ К)*’ В/см. Поэтому, когда
внешнее поле имее т большее значение Е, то поляризуемость насыщается.
Если вещество уже имеет определенную степень ионности связей между
атомами (например, полупроводниковые соединения Л В АВ* и др.), то
поляризация под внешним воздействием насыщается при меньших
значениях Е в направлении уже имеющейся естественной поляризации.
Схематично такой случай показан па рис. 8 1(a), где видно, чго искажения
гармонического отклика соответствуют преимущественно появлению
постоянной составляющей (оптическое выпрямление) и генерации второй
гармоники (ГВГ). Для ковалентных кристаллов (Ge, Si и др.) зависимость Р
от времени остается симметричной (см. рис. 8.1(b)), что соответствует
генерации нечетных гармоник.
- 175-
После такого качественного введения перейдем к количественному
анализу оптических нелинейностей. Для простоты не будем пока учитывать в
явном виде тензорный характер оптических восприимчивостей. Тогда для
проекции вектора Р па направление действия внешнего поля можно записать
разложение вряд:
Р = Р(|) +/>‘2) + Р13)+... = £0(/11)Е +У 2)Е2 +z(3,£3+...),	(8-2)
где	и т.д. нелинейные (квадратичная, кубичная и т.д.) оптические
pl П + I )	р
восприимчивости. Отмстим, что r , t ос '	, г.с. отношение
Р<") Еа
г<
с р выступает в качестве параметра разложения поляризации по степеням
напряженности электрического ноля.
Величины отражают свойства симметрии кристалла. Так в
цсптросиммстричных кристаллах (т.с. где существует центр инверсии)
квадратичная восприимчивость /	-0 Действительно, в такой среде
операция инверсии будет менять знаки и/5 и /?, что с учетом соотношения
(8-2) возможно только в случае, если	и дру| ис «чет ные»
нелинейные восприимчивости равны пулю. К аналогичному выводу
приводит также простейший анализ, проведенный выше (см. рис. 8.1).
11еобходимо отмстить, что все сказанное выше справедливо лишь тогда,
когда поляризация среды может быть представлена как разложение (8-2), г.е.
в так называемом дипольном нриблинуля значениям «четных» нелинейных
восприимчивостей. В го же время, квадратичная восприимчивость
цсттгросимметричной средь! в квадрупольном приближении/(2)^ по порядку
величины обычно соответствует /(3' для той же среды в дипольном
приближении.
В дипольном приближении вектор поляризации может быть
представлен в виде суммы компонент:
- 176
р = р(П+р(2) + р(3)+	(82а)
где
^(2)=М*)£А’	<8-2Ь>
p^=£^,EJEkEl .	(8-2с)
где 11 Л/А/ тензоры 3-го и 4-го рангов, соответственно, а индексы
i,j,kj принимают значения х, v,z.
Чтобы представить, какие оптические эффекты возможны в
нелинейной среде, рассмотрим в качестве примера случай, когда в кристалле
в направлении z распростраиякнся две волны с разными частотами и взаимо-
перпендикулярными направлениями поляризации:
*1 ,
Л\. = А'| cos ом I —
(8-3)
Ev = Е2 cos ль ,_
Тогда для л-компопепгы вектора поляри)ации среды получим:
^2) =^(х\^ехег + х^е2	,
(8-4)
В выражении (8-4) I й и 4-й члены содержат гармоники па частотах
<w = rt)|±&>2, 2-й а) = 2«д и Л) = 0 , 3-й a> = 2(oi и «з = 0. Очевидно
аналогичный набор гармоник содержится также в компоненте PJ. . Рис. 8.2
иллюстрирует обсуждаемое появление новых частот. Па рис. 8.3 показан
частный случай:	Рассмотренные компоненты нолярии1цнн
среды описывают генерацию волн суммарной и разностной частот, а также
обсуждавшиеся выше процессы ГВГ и оптического выпрямления. В случае,
если одна из компонент нелинейно взаимодействующих полей имеез
нулевую частоту, то наблюдается линейный электрооптический >ффск1
(эффект Поккельса).
177-
Рис, 8.2
Рис. 83
Итак, в случае квадратичной нелинейности возможны следующие
нелинейно-оптические х|>фскгы;
1)	ГВГ;
2)	оптическое выпрямление;
3)	параметрическое смешение частот;
4)	х|>фскт Покксльса.
Аналогично можно показать, что наличие кубичной по полю
нелинейной поляризации приводит к появлению поляризации среды па
некоторой частоте являющейся комбинацией исходных частот
Важными частными случаем нелинейно-оптического отклика 3-го порядка
являются;
))	генерация 1рстьсй гармоники (а> = 3со);
2)	самовоздействис, например, самофокусировка ( со = co-to-i со);
3)	двухфозонное поглощение;
4)	комбинационное (Рамановское) рассеяние света;
5)	квадратичный электрооптический эффект (эффект Керра).
178-
Эффективность некоторых нелинейно-оптических процессов 3-го
порядка, например, генерации гармоник и смешения частот, определяется не
(3)
только величинами соответствующих компонент тензора 1,0 >акжс и
фазовыми соотношения между между волнами накачки и возникающим
нелинейно-оптическим откликом. В других явлениях, таких как,
многофо тонное поглощение, Рамановское рассеяние, эти соотношения
несущественны.
(2)	(3)
Компоненты тензоров х}ц и	обладают определенной
взаимосвязью, следующей как из их определения, так и ит симметрии среды,
что задастся так называемыми правилами Клеймана. Приведем без
доказательства некоторые из них. Так, всегда справедливо перестановочное
соотношение:
) - (8“5)
(2)
Все три индекса в тензоре Хрк можно переставлять, если среда прозрачна па
всех частотах.
§ К.2. Генерации оптических тармопик и смешение частот.
Из широкого спектра нелинейно-оптических явлений рассмотрим
подробно лишь генерацию гармоник и смешение частот, что связано как с
относи тельной простотой получения основных соотношений, так и с
большими возможностями применений данных тффскгов для анализа
свойств твердых тел.
Как и при анализе линейного оптического отклика среды (см. § 1.2)
осповонологаницими в анализе нелинейно-оптического оклика являются
уравнения Максвелла (1-1). Для простоты будем полагать, что среда является
немагнитной, непроводящей и объемный заряд отсутствует, г.е. что
р - 1,<т = 0,р = -О . Выражение для вектора электрической индукции можно
представить в виде:
179-

D = tnE + P<" +Р<2)+Р'’’+... = £-о£Е+РЛ£,	(«-6)
где £=1 + -^-: и Р'а=Р(2,+Р(3|+....
£•„£
Из уравнений Максвелла с учетом условия <т = 0 и соотношения (8-6)
следует:
rot rotE = - ^-roili = -pap^-rotH =	+ j I =
dt	Pl	fit{ dt J
D2D	д2Ё	d'PNI	(8 7)
— — PuP - 2 — — Ptt^uP^	> PttP -. 2
(1!	(It	Ct
,72/ I /
Последнее выражение, учитывая, что Pifinpv /с-~ /v2 11 в чашем
случае // I, можно переписать в виде:
1 д2Ё _ д2Рм
2 dt2 ~Рп дГ
(8-Х)
52/Л'
являющимся, по существу, волновым уравнением с источником ра—^г~
Отсюда следует возможность генерации волн с удвоенными, утроенными и
другими комбинированными частотами.
Проведем количественный анализ процесса ГВТ в изотропной среде.
Для лого рассмотрим падающую в направлении z поляризованную плоскую
световую волну накачки £(/,-) = £„ё, ехр( i(ot + ikz)+ к.с. , а решение
уравнения (Х-Х) для волны на удвоенной частоте сг\ = 2(0 будем искать в виде:
£,(/,-)=£,(с)е, ехр( /A,z)+k.c..	(Х-9)
В последнем выражении А,=— '«(со.) —«(2со) . Таким образом, будем
предполагать, что волна накачки имеет постоянную амплтпуду Е, тогда как
амплшуда волны гармоники £, может изменяться вдоль направления z.
Согласно формуле (8-2Ь), опустив для простоты нижние индексы,
запишем выражение для нелинейной поляритации среды на частоте со,. :
- 180 -
PNI _	-) = /jJ9)exp(- i(ost + ikpz)+ к.e. ,	(8-10)
где /q2) =ад(2)£0 11 kP =	n(co).
1 c c
Подставляя выражения (8-9) и (8-10) в уравнение (8-8) и пренебрегая
С^Е
членом. пропорциональным 9' (методукороченных уравнений), получим:
dz"
^^2)Схр^г-АД]=2^2^ехрМ,	(8-И)
UZ	CKS
где принято во внимание соотношение ри£„ = ' , Разноси, волновых
векторов поляризации и второй гармоники, определяющая фшовую
расстройку взаимодействия волн накачки и гармоники может быть записана
в виде:
ЛА = к р -кх — (0' [п(а>)~ п(а\ )]= 2/У[я(о)) /з(2л>)].	(8-12)
Интегрируя выражение (8-11), получим для напряженности ноля:
r"°2fEi = 2”2f,Е" "*««=> 1 (X-i W
с ~ks ()	с“АЛ. ЛА
и для интенсивности гармоники:
д 4гд4(у(2)Уеп S’H2(' ЛАс) 4«т4(у(2)У/Гп 2	'’(i	\
с4*?	('ЛА)2 с4А2	V2
Последнее соотношение можно переписать в виде:
Л гх	-z2 sinc2^ AAz),	(Х-13с)
из которого видно, что в случае ЛА 0 (физоаын синхронизм) интенсивное! ь
второй гармоники пропорциональна произведению квадратов
интенсивности накачки, величины квадратичной нелинейности и
пройденного волной расстояния.
- 181 -
Рис. К.4
В общем случае функция
sine2ЛАг) в (8-1 Зе)
задает	немонотонный
характер зависимости
интенсивноеi и гармоники
от расстояния, как
показано па рис. 8.4.
При фазовом синхронизме' интенсивность тармоники максимальна.
Физическая причина мою заключается в том, что волны накачки и связанной
с пей поляризации среды распространяются со скоростью равной скорости
волны гармоники. Для мого, как следует из выражения (8-12), показатель
преломления среды должен удовле з ворять условию: w(w)=«(2<u) В
и зогронных средах но возможно только в спектральной области аномальной
дисперсии, как схематично показано па рис.8.5. В го же время, для
прозрачной среды характерна нормальная дисперсия, з.с. п(<о)< п(2(о). В
заком случае фазовый синхронизм возможен, сели среда обладает
анизотропией показателя преломления. Тогда условие АА -0 может быть
достижимо для различных поляризаций волн накачки и гармоники. При пом
существенным является тензорный характер величины /*2). В самом общем
случае следует также учитывать векторный характер волнового
взаимодействия, и условие
фазового синхронизма имеет
вид АА = 0.
Отмстим, чго при
выводе соотношений (8-13)
предполагалось постоянство
амплитуды волны накачки. В
зо же время в условиях
- 182-
фазового синхронизма может возникать ситуация, когда в гармонику
преобразуется существенная часть падающей волны основной частоты и, как
следствие, возникает так называемое обеднение накачки. Тогда формулы (8-
)3) очевидно нс справедливы, а зависимости напряженности нолей от
координаты распространения могут иметь вид, как схематично представлено
на рис.8.6 . При лом квадратичная от координаты зависимость имеет место
при малых значениях z, когда E(z)~ const, а при достаточно больших z в
гармонику может преобразовываться большая часть волны накачки.
Помимо условия фазового согласования воли гармоники и накачки для
достижения высокой эффективности нелинейно-оптических взаимодействий
очевидно необходимо большое значение нелинейной оптической
восприимчивости. В персзопансном случае обычно максимальные значения
/(2) не превышают (0.3-6)-10 10 м/В = Д104 (0.3-6)-10 1,1 сд. СГС
(0.1 1.5)-10 6 сд. СГС. Величина /*2^можег возрастать на много порядков в
условиях резонанса. Однако при этом также усиливается поглощение па
основной и удвоенной частотах, чго снижает дефективность ГВГ.
Аналогично рассмотренному выше случаю ГВГ можно также
проанализировать случаи генерации более высоких гармоник и смешения
частот и показать, что условие ДА'= 0 является необходимым для
максимальной эффективности таких пелнпейно-оигических процессов.
Рис. 8.6
183 -
§ 8.3. Применение методов нелинейной оптики для анализа поверхности
твердых тел.
Методы нелинейной оптики обладают рядом достоинств для анализа
структурных и электронных свойств твердых тел по сравнению со многими
другими, в том числе линейными оптическими методиками. В частности, в
нелинейно-оптическом отклике могут ярче проявляться спектральные
особенности и резонансы в свойствах среды. Мы же обсудим возможности
нелинейно-оптической диагностики поверхности, основанные на
зависимости величины / 'от симметрии элементарной ячепки вещества.
Эго позволяет с высоким быстродействием н точностью фиксировать
струкзурные изменения поверхности и приповерхностных слоев
полупроводникового кристалла при термических или лазерных воздействиях.
Таким образом удается наблюдать процессы, протекающие при гак
называемом лазерном отжиге полупроводников. Последний используется для
восстановления структуры поверхности, разупорялоченпой ионной
нмлапгацпей, и может сопровождаться плавлением поверхностных слоев.
Для in situ miamociHKii данного фазового перехода у многих
полупроводниковых соединений (GaAs, InP, GaP, CdTc и ip.) крайне
удобным оказывается метод ГВГ. Данный метод также весьма информативен
при исследовании поверхностных напряжений в цситросиммстричных (Si.Gc)
полупроводниковых кристаллах, поскольку вызванные напряжениями
искажения элементарных ячеек приводят к росту эффективности ГВГ и
модификации ее ориептапионных и поляризационных зависимостей.
Рассмотрим применение метода ГВ1 для исследования динамики
лазерного отжига поверхности кристалла GaAs. Дапныз''! полупроводник не
обладает центром инверсии, и, следовательно, для него *0. В расплаве
среда становится изотропной, а значиз в дипольном приближении /(2) =0
(см. §8.1). Следовательно. плавление полупроводника должно
сопровождаться падением сигнала второй гармоники от его поверхности, что
- 184-
и было зафиксировано в тксперимснге (С. А. Ахманов, Н.И.Коротеев,
И.Л.Шумай и др., 1984). Схема эксперимента показана на рис.8.7.
Использовалась геометрия ГВ1 «на отражение». Накачкой являлось
излучение пнкосекундною лазера на кристалле YAG:Nd' ( А |1064 нм,
Г| =100 нс), а импульсный лазерный отжи| (ИЛО) выполнялся
наносекундпым импульсом рубинового лазера (А11Л(г 694 нм, Гцло=30нс). В
момеш начала плавления поверхности полупроводника, которое
происходило в процессе вотдейсгвия папосскундною импульса,
фиксировалось резкое уменьшение сигнала второй гармоники па длине
волны Л 2= 532 им (см. рис.8.8). Для контроля процесса плавления также
измерялся линейный коэффициент отражения, который при плавлении
такого полупроводника как GaAs. возрастает примерно в 2 раза ввиду того,
то расплав имеет' металлические свойства. Как показал эксперимент,
линейный котффиниепт отражения менялся в противофазе с сигналом второй
гармоники, что подтверждает трактовку результатов нелинейно-оптического
метода. Отметим, что последний имеет на порядки больший динамический
диапазон изменения сигнала и поэтому являемся более чувствительным при
наблюдении плавления полупроводников. Как показали эксперименты
(Л.А.Головань, П.К.Кашкаров, В.Ю.Тимошенко, 1996), метод ГВГ является
особенно тффсктивным для исследования динамики фазовых переходов при
ИЛО полупроводников класса А2В6, которые не являются металлами в
расплавленном состоянии.
- 185-
Поскольку для центросимметричных полупроводников (Si.Gc) в
дипольном приближении	, то процесс ГВГ определяется
компонентой . Последняя имеет различные значения компонентов и
свойства симметрии для полупроводникового кристалла и для расплава,
поскольку последний является изотропной средой. Данный факт был
использован для измерения времени термализации фоювозбужденных
носителей заряда при ИЛО c-Si. В жспсри мепге (Н.И.Коротеев, ИЛ.Шуман
н др.. 1988) измерялись ориентационные угловые зависимости ГВГ от
образцов c-Si с ориентацией поверхности (111) при ИЛО излучением
фемтосекундного лазера ( Л 620 им, г 90 фс) с плотностью анергии
больше порога плавления поверхности. Сигнал шорой гармоники
фиксировался в геометрии «на отражение» от тех же импульсов, по с
существенно меньшей анергией и задержанных на различный промежуток
времени относительно «плавящего» импульса. Для (111) c-Si симмшрия
тензора	приводи! к следующей угловой зависимости />-
поляризованного сигнала второй гармоники (при возбуждении />-
поляризованным излучением основной частоты):
/2»^)ос^+c°s(V))2.	(К-14)
где угол ц/ измеряется между направлением поляризации излучения накачки
и кристаллографическим направлением в образце. В изотропной среде
угловая зависимость ГВГ также становится изотропной. В жспсримепте
изотропная угловая зависимость наблюдалась при задержках Д/ ~1 нс
относительно «плавящего» импульса (см. рис.8.9), что свидетельствует о
процесса плавления в течении данного промежутка времени. Указанное
время является, по существу, временем термализации фоювозбужденных
при ИЛО носителей заряда и находится в согласии с теоретическими
оценками времени тлскгрон-фоношюго взаимодействия в полупроводниках.
186-
Метод ГВГ 111.4 ч
может' быть успению
использован	при
исследовании границы
ращена двух твердых тел,
onio hi которых тонкая
прозрачная	пленка.
Примером такой системы, имеющим важное практическое значение, является
структура Si/Si()2. Как уже отмечалось, для объема c-Si в дипольном
приближении У2>0. и процесс ГВГ определяется слабой квадрупольной
нелинейностью. Однако вблизи поверхности центральная симметрия
элементарных ячеек нарушается, и появляется поверхностная дипольная
составляющая /,2'га^0 , которая особенно значительна при наличии
неоднородной деформации. Для поверхностей c-Si (111) без оксида или с
топким естественным окислом поверхностная деформация минимальна и
угловая «авнеимоегь ГВГ хорошо описывается соотношением (8-14). В
структурах Si/SiOi, приготовленных методом высокотемпературного
окисления пластин e-Si, деформация является следствием раыичия
коэффициента термического расширения c-Si и SiO2 , и для достаточно
толстых слоев SiO2 возникающие напряжения достигают К) кбар. Согласно
данным жсперимснта для структур (III )Si/SiO2 с толщиной оксидного слоя
50 им сигнал ВГ возрастал более чем в 10 раз, а угловая зависимость ГВГ
имела вид:
/^(?у)ос (Л + Всоя(3у/))2,	(8-15)
где А и В некоторые константы. Теоретический анализ процесса ГВГ,
основанный на учете вклада /*2)/W, находится в согласии с результатами
эксперимента.
- 187-
Используемая литература
1.	Ч. Китель. Введение в физику твердого тела. М., Наука, 1978.
2.	К. В. Шалимова Физика полупроводников. М., Энергоатом ичдат, 1985.
3.	В.Л. Бонч-Бруевич, С.Г. Калашников. Физика полупроводников. М.,
Паука, 1990.
4.	Ж. Панков. Оптические процессы в полупроводниках. М., Мир, 1973.
5.	Т. Мосс, Г. Баррсл, Б. Эллис. Полупроводниковая оптоэлектроника.
М„ Мир, 1976.
6.	К). И. У ханов. Оптические свойства полупроводников. М., Паука,
1977.
7.	Г. Ф. Венгер, А. В. Гончаренко, М. Л. Дмичрук. Оптика малых
частиц и дисперсных сред. Киев, Паукова Думка, 1999.
8.	А. Берг, 11. Дин. Светодиоды. М., Мир, 1979.
9.	М. Бори, Э. Вольф. Основы оптики. М., Наука, 1970.
10.	S. V. Gaponenko. Optical properties of semiconductor nanocrystals.
Cambridge, 1998.
11.	С. В. Гапоненко, 11.H. Розанов, E JI.Ивченко, А. Ф. Федоров и др.
Оптика наноструктур. Под ред. А. Ф. Фе Юрова. СПб. «Недра»,
2005.
12.	11. И. Коротеев, И. Л. Шуман. Физика мощного лазерного и мечения.
М„ Наука, 1991.
- 188

Научное издание
Каш каров П. К., Тимошенко В. Ю.
Оптика твердого тела и систем пониженной размерности
Подписано в печать 26.07.2008.
Формат 60x90/16. Бумага мелованная. Печать офсетная.
Печ. л. 12. Тираж 900 экз.
Издательство «Пульс»
115583, Москва, ул. Генерала Белова, д. 55.
Отпечатано в типографии «Лига-Принт»
105203, Москва, ул. 12-я Парковая, 11.