Текст
Г. ВЕЙЛЬ
ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
СБОРНИК РАБОТ
ПЕРЕВ.ОД С НЕМЕЦКОГО
А. П. ЮШКЕВИЧА
ПРЕДИСЛОВИЕ
С. А. ЯНОВСКОЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МСШЮЕГА 1М'4 КНИНПРАД
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Наиболее интересным явлением в области современной философии
математики безусловно следует признать интуиционизм. Интуиционизм —
не изолированное, ограничивающееся математикой или философией мате-
матики, явление. Он не случайно возник и получил широкое распростра-
нение именно в XX столетии, в эпоху империализма. Современный кризис
основ математики наиболее яркое выражение получает именно в филосо-
фии интуиционизма.
Развитие науки уже в XIX столетии находилось в противоречии с
общественными отношениями, характеризующими капитализм. Но все же
многочисленные ученые представители господствующего класса, рядясь в
тогу научной „беспартийности", могли еще в ту пору пытаться не заме-
чать этого противоречия. Эпоха империализма, до предела обнажившая и
обострившая все противоречия капиталистического общества, сделала
такую позицию невозможной. Ученые были поставлены перед неизбеж-
ностью выбора. И между наукой, в муках рождающей диалектический
материализм, и философией класса, в устах представителей которого все
чаще и чаще звучит теперь лозунг „назад к варварству!*, интуиционисты
выбрали философию. Они принесли основные органические части живого
тела современной математики в жертву своей реакционной философской
установке, в'жертву стоящим вне науки метафизическим догматам.
Это не исключает правильности ряда отдельных положений интуици-
онизма, особенно в критической его части, направленной "против фор-
мально-логических методов в математике. То обстоятельство, что импе-
риализм есть загнивающий капитализм, не исключает элементов роста п
развития отдельных областей, отдельных моментов на\ки и техники. Боль-
ше того, именно этот рост, усиливающий противоречия капитализма, и
ведет к неизбежности его конца. Именно такой подход необходим и при
оценке интуиционизма. Противоречивость интуиционизма, наличие в нем
таких моментов, которые обусловлены именно ростом науки делают зна-
комство с шим необходимым не только для его критиков, но и в целях
положительной разработки марксистско-ленинской философии математики.
Если еще в начале текущего столетия большинство математиков, в
том числе и столь крупных как Ф. Клейн, были убеждены в том, что
работами Кантора’~~Дедёкинда и Вейерштрасса проблема обоснования
анализа решена окончательно и бесповоротно, что проблемы иррациональ-
ного числа, например, больше не существует, если такое убеждение рас-
пространяется еще и в настоящее времй среди подрастающего поколения
8
наших молодых советских математиков — не только студенчества, но и
аспирантуры, — то работы Вейля во всяком случае показывают, что воп-
рос эю1 еще спорный, что над проблемами числа и континуума еще
много и мною придется поработать. Больше того, если такому крупному
математику, каким является ^В^имгг^триходится констатировать наличие
тупика, в который это обоснование заходит, если он вынужден загово-
рить поэтому о кризисе основ математики, то это является еще одним
прекрасным доказательством невозможности вообще обосновать матема-
1ику на путях идеализма. ------------
ь#*<**^^йш1с'осИов матема^^и, кризис естествознания вообще дает воз-
можность фашистам вопить о крушении науки. В действительности же
этот кризис, как было отмечено Лениным еще 25 лет тому назад, обу-
словлен как раз несоответствием, методологической оболочки конкретному
содерждшшд^аукн
кризиса^
^Я“изю
В этом смысле ленинская оценка этого кризиса как
а остается справедливой и для настоящею момента, ибо вы-
гса есть Он лежит на путях диалектического материализма.
С. Яновская,
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
25 лет назад в своем „Материализме и эмпириокритицизме“ Ленин
показат, что переживаемый современной ему физикой кризис есть по
существу кризис ее методологических основ. Нарисованная Лениным
картина философской борьбы идеализма с материализмом вокруг новей-
ших научных открытий оказалась, как того и следовало ожидать, типич-
ной для всего буржуазного естествознания и математики. Последнее
десятилетие и в области математики прошло под знаком кризиса ее
методологических основ.
Но если с ленинской оценкой кризиса физики широкие слои наших
советских читателей имеют возможность^"непосредственно познакомиться
но „Материализму и эмпириокритицизмум, то сущность кризиса основ
математики в нашей литературе осталась почти неосвещенной. У нас
нет до сих пор даже сколько-нибудь удовлетворительного, в смысле пол-
ноты, изложения взглядов различных борющихся групп. Между тем выра-
ботка марксистских воззрений немыслима без знания и понимания этих —
в основном нематериалистических — теорий. Нужно иметь в виду, что
кризис основ математики был, как и кризис физики, вызван в значительной
мере именно ростом самих математических теорий, выдвинувших ряд
йовых и по-новому поставивших ряд старых методологических проблем,
мимо которых теперь пройти уже нельзя. Кроме того в работах школ
Ресселя, Гильберта и др. имеется тонко разработанный формальный
аппарат, без овладения коюрым невозможно обойтись при работе.
Все эти обстоятельства и поставили вопрос о необходимости вы-
пуска серии сборников, посвященных буржуазной философии матема-
тики и имеющих своей задачей дать возможность советскому читателю
познакомиться с современными философскими спорами вокруг основных
методологических проблем математики по оригинальным работам буржу-
азных математиков и философов математики.
4
В настоящее время основными направлениями в иностранной фило-
софии математики являются учения логистов^ ин г к нционустрр и фор-
малистов. Если воззрения школы Г^есселТ*^ 'русскбТ^ литературе гфед-’
^тавТёнТГнесколькими переводными работами х), то изложений идей двух
других ji притом более новых течений почти совершенно не имеется.
Работы Пуанкаре/* 2 3) поставить в счет здесь, разумеется, нельзя, ибо со-
врем ённыТ*интуиционизм во многом отличается от старого. Что касается
нашей небогатой журнальноТ^лйтературы; ТО ^TaTVa TV. Я. Хйнчина8)
дает несколько субъективное изложение идей Броуера, а критическая
статья С. А. Яновской, лишь весьма кратко намечает основные фило-
софские принципы интуиционизма4 5).
Приходилось, таким образом, выбирать для начала между сборниками
по интуиционизму или по формализму. Я остановился на первом, ибо,
хотя развитие воззрений школы Гильберта и продолжало в основном на-
меченную им более 30 лет назад линию формального аксиоматического
метода, но в последние десятилетия философская борьба в среде мате-
мДПТТбв^шла по существу вокруг проблем, поставленных интуиционизмом.
В дальнейшем, конечно,будет нужно дать советскому читателю возможность
познакомиться с оригинальными работами гильбертовского направления.
При выборе материала для этого сборника я счел полезным оста-
новиться на статьдхВейля, а не главы интуиционистской школы Броуера,
потому что "работы последнего доступны лишь очень ограниченному
кругу читателей. Помещенные же здесь статьи Вейля, не говоря уже
о том, что они неизмеримо более понятно, чем работы Броуера, изла-
гают,— быть может, с" несущественными отклонениями,— современные
интуиционистские идеи, обладают еще тем преимуществом, что уде-
ляют достаточно места рассмотрению других течений и развитому
в математической логике аппарату.
„Легкость" работ^Вейля не следует понимать, однако, в абсолютном
смысле. Будучи значительно более доступными, чем работы Броуера,
они все же весьма трудны. Приходится особенно сожалеть о том, что
места, имеющие наибольшее принципиальное значение, например посвя-
щенные доказательству нддщия ^порочнощ^дфурд^ в современном обосно-
вании анализа, очень туманны?
Несмотря на некоторые повторения, три эти статьи хорошо допол-
няют друг друга. Первая, более краткая—„Современное состояние
проблемы познания в математике" б *) — и притом бЬлее других по-
пулярная, дает общий исторический обзор проблемы обоснования мате-
матики. Вторая, представляющая собой часть книги „Философия
математики и естествознания"6), довольно детально излагает основные
J) Л. Кутюра, Философские принципы математики, пер. Б. Кореня под
ред. П. С. Юшкевича, 1912. „Новые идеи в математике", сб. 10-й (полемика между
Кутюра и Пуанкаре), 1915.
2) „Наука и гипотеза", „Ценность науки", „Наука и метод", „Последние
мысли", „Новые идеи в математшсе*7^бг10-йг -
8) „Вестник Комм, академии", № 16.
4) См. сборник „На борьбу за материалистическую диалектику в математике".
5) Die heutige Erkenntnisslage in der Mathematik, Symposion 1925, I.
6) Philosophic der Mathematik und Naturwtssenschait, 1927, 4-й вып. „Hand-
buch dei Philosophic" под ред. A. Baeumler и M. Schroter.
5
идеи~-и приемы математической логики, аксиоматическиД..метод, учение
о числе, об иррациональных числах и идеи интуиционизма и формализма.
В последней, наконец, содержатся систематическое и подробное разви-
тие интуиционистских воззрений, как их понимает Вейльг).
Нельзя, однако, не отметить, что цри упомянутых достоинствах
работ Вейля, они страдают одним недостатком, вина за который лежит
отнюдь не на авторе. Все три статьи были напечатаны до 1927 г.
Между тем за последние годы в области обоснования математики был
получен ряд новых и выдающихся результатов. Скончавшийся в 1930 г.
английский математик Ф. Рамзей внес ряд существенных изменений в си-
стему Ресселя, имевших целью построение математики без „расширенной
теории типов" и допущение так называемого непредикативного образо-
вания понятий2). А. Хейтинг разработал интуиционистскую систему
логики суждений3). Но особенно замечательные открытия принадлежат
К. Геделю. Главные его результаты в общих чертах таковы. Во-первых,
он нашел, что. для всякой формальной системы математики можно сфор-
мулировать в ее же терминах такие арифметические положения, кото-
рые неразрешимы ее средствами, т. е. что невозможна „полнота" такой
формальной системы. Во-вторых ему, удалось показать, что суждение о
непротиворечивости всякой такой системы принадлежит к числу неразре-
шимых в ее рамках положений. Таким образом невозможно доказать
непротиворечивость математики и логики при помощи чистой математики
и логики и нельзя доказать непротиворечивость любой формальной си-
стемы, включающей учение о натуральных числах, при помощи средств,
принадлежащих только к самой этой системе. Кроме того Геделю уда-
лось установить соответствие между предложениями классического и
интуиционистского исчислений суждений, при котором первое — включая
и закон исключенного третьего — превращается в часть интуиционизма4).
Наконец, А. Н. Колмогоров опубликовал интересную работу по вопросу
о возможной интерпретации интуиционистской логики, как исчисления
заддч5 * * 8). И эти исследования нужно осветить перед нашим ййтателем.
От марксистски образованного читателя можно, разумеется, ожидать
критического подхода к публикуемым ниже работам Вейля, ибо основ-
ные принципы и идеи интуиционизма носят ярко идеалистический харак-
тер. Таково уже самое понятие сверхопытной и сверхлогической праин-
туиции натурального числа и понятие произвольно становящейся по-
средством актов свободного выбора последовательности, лежащее
*) „Ober die nene Grundlagenkrise der Mathematik*, Math. Zeitschr. 10,1921.
s) См. краткое, но доступное изложение у примыкающего с некоторыми ого-
ворками к Рамзею Р. Карнапа: R. Carnap, „Die logizistische Grundlegung der
Mathematik*, Erkenntnis, 1931, № 2.
8) См. A. H e у t i n g, „Die intuitionistische Grundlegung der Mathematik*,
Erkenntnis, 1931, № 2 (популярное изложение) и его же статьи „Die formalen Re-
geln der intuitionistischen Logik* и „Die formalen Regeln der mtuitionistischen
Mathematik* в Sitz —Ber. der Preuss. Akad. за 1930 г.
4) См. заметку Геделя в Erkenntnis, 1931, № 2, и его статьи „Die Vollstan-
digkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkuls", Monatshefte f. Math. u. Phys.
1930, „Ober formal unentscheidbare Satze der Principia-Mathematica*, ib. 1931
и популярное изложение у К. Menge г, „Die neue Logik* в „Krise und Neu-
aufbau in den exakten Naturwissenschaften. Funf wiener Vortrage\ 1933.
e) „Zur Deutung der intuitionistischen Logik", Math. Zeitschr., 1931.
6
в фундаменте броуеровского учения о континууме. Я полагаю также,
что голое отрицание интуиционистами закона исключенного третьего
и так называемых „доказательств существования" носит совершенно не-
диалектический характер; оно приводит интуиционистов к отчетливому
агностицизму в математике и к разрушению ряда важных ее отделов.
Этот идемизм в философии математики полностью согласуется с гус-
серлианством Вейля и с субъективным идеализмом и волюнтаризмом
Броуера, декларированным последним, например, в его докладе в Вене,
в котором он, в частности, рассматривает мир как творение нашей воли
и утверждает индетерминированность его.
Чтобы дать читателю несколько более яркое представление о сущ-
ности этого махрового идеализма, достаточно привести несколько цитат
из этого доклада „Броуера1). ^Среди математических рассмотрений, на-
вязанных все>*-зтатг^Тб^купной волей всего человечества, — пишет
Броуер, — надо прежде всего назвать предпосылку гипотетического «объек-
тивного пространственно-временного мира»". „Само собой разумеется, что
все существование какой-нибудь каузальной последовательности заклю-
чается в том, что она является коррелятом некоторой, вызывающей
математические акции, установки человеческой воли; не может быть и
речи о существовании каузальной связи мира независимо от человека".
Итак, объективный мир „навязан" нам какой-то „совокупной волей всего
человечества", причинной связи независимо от человека не существует,
а время (собственно говоря, у Броуера нет времени, а есть временная
установка человека), порождающее с помощью интуиции натуральный
ряд чисел,— эту первооснову математики — „есть не что иное, как интел-
лектуальный первофеномен распада какого-нибудь момента жизни на две
качественно различные вещи, из которых одна ощущается, как уступаю-
щая место другой и тем не менее как утверждающаяся путем аки
воспоминания. Одновременно с этим распавшийся момент жизни обо-
собляется от „Я" и перемещается сам по себе в мир, который можно
назвать миром интуиции. Возникшую благодаря временной установке
^временную двоицу или двучленную временную последовательность явле-
ний можно в свою очередь рассматривать как один из членов новой двоицы,
благодаря чему создается временная троица и т. д.“. И эта насквозь идеа-
листическая фантастика представляет собой философскухо установку одного
из "крупнейших математиков современности!
Из настоящей работы читатель увидит все же, что интуиционизм
ставил ряд важнейших вопросов в своей критике формально-логического
направления в математике и теории континуума. В этохм нет, пожалуй,
ничего удивительного. „Когда один идеалист ругает другого, на этом
выигрывает материализм" (Ленин). И значение работ Вейля именно в этой
их критической стороне.
Пользуюсь случаем выразить дружескую благодарность С. А. Янов-
ской, оказавшей мне помощь при выборе материала для сборника и
прочитавшей настоящее предисловие, и Д. А. Райкову, сделавшему ряд
ценных указаний при чтении корректур.
А. Юшкевич.
9 »Mathematik, Wissenschaft und Sprache". Mon.-HefteJ. Math. u. Phys., 1929.
7
ОГЛАВЛЕНИЙ
Стр.
Предисловие С. А. Яновской..........................;............... 3
От переводчика ..................................................... 4
I. Современнее состояние проблемы познания в мате-
матике
1. От Анаксагора до Дедекинда................................. 9
2. Теоретико-множественное обоснование математики............ 14
3. Антиномии и теория типов Ресселя.......................... 18
4. Интуитивная математика Броуера ........................... 22
5. Символическая математика Гильберта........................ 26
II. Философия математики
А. Математическая логика. Аксиоматика........................... 34
1. Отношения и их соединение. Структура суждений............ 35
2. Творческое определение в математике ..................... 39
3. Логическое умозаключение................................. 44
4. Аксиоматический метод.................................... 49
В. Число и континуум. Бесконечное............................... 57
5. Рациональные числа. Комплексные числа..................... —
6. Натуральные числа........................................ 60
7. Иррациональность и бесконечно малое...................... 65
8. Теория множеств.......................................... 72
9. Интуитивная математика................................... 76
10. Символическая математика................................. 80
11. О сущности математического познания ..................... 87
III. О новом кризисе основ математики
А. Атомистическая концепция континуума.......................... 92
1. Порочный круг.............................................. —
2. Конструкция............................................... 95
В. Континуум как среда свободного становления........... . . . 100
1. Основные идеи.............................................. —
2. Понятие функции........................................... ПО
a) Functio discreta........................................ —
b) Functio mixta....................................... 113
c) Functio continua...................................... 115
3. Математические теоремы, свойства и множества............. 116
4. Континуум.............................................. 121
I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ПОЗНАНИЯ
В МАТЕМАТИКЕ
1. От Анаксагора до Дедекинда
Математика — это наука о бесконечном. Великим достижением греков
было преобразование полярной противоположности конечного и беско-
нечного в мощное и плодотворное орудие познания действительности.
Интуиция бесконечного, спокойное и не задающееся никакими вопросами
признание его были присущи восточному миру. Но на востоке эта ин-
туиция оставалась лишь чисто абстрактным сознанием, равнодушно оста-
влявшим существование рядом с собой неоформленного, необработан-
ного конкретного многообразия вещей. Это пришедшее с востока рели-
гиозное чувство бесконечного ofeetpov овладело греческой душой в пред-
шествовавшую греко-персидским войнам дионисо-орфическую эпоху. Греко-
персидские войны и в этом отношении знаменовали собой разрыв за-
падного мира с восточным. С этого момента указанная полярность и
стремление к ее преодолению стали для греков движущим мотивом по-
знания. Но* всякий раз, когда, казалось, уже удавалось достигнуть же-
ланного синтеза, старое противоречие возникало вновь и притом в еще
более углубленном виде. Противоречие это определяло собою вплоть до
наших дней ход развития теоретического познания.
Тот вид, в котором понятие бесконечности могло быть введено в
науку, впервые ему придан был Анаксагором. В одном дошедшем до нас
отрывке из его сочинений говорится: „В малом не существует
наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что
существует, не может исчезнуть, как бы далеко ни было продолжено
делениеРечь здесь идет о пространстве или о теле; непрерывное, гово-
рит Анаксагор, не можег состоять из дискретных элементов, которые
отделены друг от друга и как бы отрублены друг от друга ударами то-
пора. Пространство бесконечно не только в том смысле, что в нем не
имеется конца; оно кроме того в любом своем месте бесконечно, так
сказать, во-внутрь, и точка в нем может быть определена лишь iiyieM бес-
конечного и от раза к разу все точнее и точнее фиксирующего ее про-
цесса деления. Это представление противоречит интуиции покоящегося и
законченного в себе бытия пространства. Для заполняющего его много-
образия качеств пространство служит принципом их. разграничения,
впервые вообще создающим возможность существования различия в сфере
качественного; однако пространство является не только принципом раз-
граничения, но вместе с тем и принципом соприкосновения, непрерывной
9
связи, в силу которой ни одна вещь не может быть отрублена от
другой „как бы ударами топораи. Математическое значение принципа
бесконечности Анаксагора находит свое выражение в найденном им реше-
нии „квадратуры круга", именно — в доказательстве того, что площадь
круга пропорциональна квадрату его радиуса.
Против учения Анаксагора выступает строго атомистическая теория
Демокрита. Один из ее аргументов, направленных против положения
неограниченной делимости тел, гласит примерно следующее: „Говорят,
что деление возможно, — хорошо, допустим, что оно произведено. Гово-
рят, что оно возможно in infinitum, — допустим, что и это осуществилось.
Что же останется тогда? Тела не останутся, ибо их можно было бы про-
должать делить далее, и это означало бы, что разложение не было дове-
дено до конца. Остаться могут только точки, а в таком случае тело
должно было бы состоять из точек, что очевидно нелепо". В несколько
ином виде заключающаяся в понятии непрерывности для мышления труд-
ность выступает в известном парадоксе Зенона о состязании в беге между
Ахиллесом и черепахой. Аристотель по этому поводу замечает („Физика",
гл. XVIII): „Когда непрерывную линию делят пополам, то одну точку
принимают за две, ее делают и началОхМ одной половины и концом дру-
гой; однако когда производят деление таким образом, то ни линия, пи
движение не остаются непрерывными... В непрерывном хотя и заключа-
ется бесконечно много половин, но только в возможности, а не в дей-
ствительности". Известно, что эти антиномии, едва затронутые дальнейшим
развитием математики, когда ясность их понимания скорее уменьшилась,
чем увеличилась, оказали свое влияние на новую философию, сыграв решаю-
щую роль при закладке основ теоретико-познавательного идеализма. Так,
Лейбниц, — не говоря уже о мыслителях меньшего калибра вроде Бейля,
Коллье, — указывает, что именно стремление отыскать выход из „лабиринта
непрерывного" впервые привело его к представлению о пространстве и
времени как порядках существования явлений. Еще в системе Канта
антиномии эти занимают важное место в качестве оббих первых анти-
номий чистого разума. К их содержанию мы возвратимся в после-
дующем.
В оперирующей идеальными пространственными образами абстрактной
геометрии греков — в том виде, в каком она нам известна из „Начал"
Эвклида, — возможна не только операция беспредельного деления пополам
какого-либо отрезка а. Для нее также вместе с этим отрезком несом-
ненно существуют и могут быть при помощи него получены путем
построения и такие отрезки, которые относятся к а, как 5 к 3 или же как
два любых натуральных числа т: п. С течением времени воспоследовало
открытие иррациональных выражений, найдены были и такие простран-
ственные величины (вроде стороны и диагонали квадрата), между которыми
не существует рационального отношения, которые не имеют общей меры.
Вместе с техМ невозможной, очевидным образом, стала и атомистическая
концепция пространства. В „Диалогах" Платона ощущается то глубокое
впечатление, которое произвело это открытие на зарождающееся научное
сознание того времени. Общие основания найденного явления, независимо
от специальных геометрических построений, доставлявших вначале частные
случаи иррациональности, вроде |/2, были открыты Эвдоксом. 1. Вместо
10
оказавшегося несостоятельным принципа соизмеримости он выставил сле-
дующую аксиому: если даны два произвольных отрезка а и Ь, то всегда
можно столько раз (например п раз) присоединить а к самому себе,
чтобы сумма отрезков па стала большей, чем Ь. Это означает, что все
отрезки суть величины одного и того же порядка, что в континууме
не существует ни актуально бесконечно большого, ни
актуально бесконечно малого (ибо я называю отрезок а бес-
конечно малым по сравнению с отрезкохМ Ь, если любая сумма отрезков а,
сколько бы их я ни взял, всегда остается меньше Ь). 2. Если в общем
случае нельзя характеризовать отношения отрезков при помощи
5
типа —, то каким образом возможно выразить это отношение?
о
дробей
Эвдокс
отвечает так: два отношения величин отрезков а: Ь, а': Ь' равны между
собою в том случае, если произвольные натуральные числа tn и /г,
удовлетворяющие условиям, написанным в первой строке нижеследующих
неравенств, всегда удовлетворяют также условиям, выставленным во вто-
рой строке:
па > mb ) m па = nib ) па mb ) /ттп
na’>mb\ па* — mb'( ' па'<^mb\ * '
Если теперь мы назовем отношение отрезков а : b — а численной мерой
(Masszahl) или же вещественным числом, то, очевидно, последнее характе-
ризуется те1и сечением, которое оно производит в области рациональ-
ных чисел, т. е. разделением всей совокупности дробей — на три класса,
таких, что дроби класса (I) все меньше а, класса (II)—равны а, а
класса (III) — больше чем а. Средний класс (II) при этом либо пуст, либо
же содержит одну единственную дробь. '
На этом же фундаменте было воздвигнуто и учение о пропорциях
Эвклида, а Архимед обосновал на нем свой общий метод исчерпывания.
Так начала развиваться, не заботясь о философских противоречиях, остро-
умно задуманная и разработанная, нигде не допускающая логических
скачков и противоречий математическая теория континуума.
Исчисление бесконечно малых нового времени, пре-
образованное ЛейбницехМ и НьютонохМ в мощное орудие для изучения
природы, не могло со стороны логической своей ртрогосги итти в срав-
нение с греческой теорией континуума. Зато значительно обширнее ока-
залась ныне область подлежащих его ведению проблем. Теперь речь
стала итти уже об исследовании любых непрерывных форхм и процес-
сов, в особенности же процессов движения. Страстная воля к дей-
ствительности превалирует в эпоху нашей культуры над прозорливььм
греческим ratio. Если в свое время Эвдокс в строго сформулированной
аксиоме отбросил понятие бесконечно малого, то теперь как раз на-
оборот, именно это расплывчатое и полное непостижимой загадочности
представление положено было в основание нового исчисления *). Правда
основоположники его Ньютон и Лейбниц довольно ясно выразили ту
*) „Непостижимые загадки математики*1—любимое выражение начала XVIII
столетия.
11
правильную идею, что речь идет не о законченном бесконечно малом,
а о предельном переходе к нулю, но эта точка зрения не являлась
первенствующей в общем ходе их мыслей, и они, очевидно, не знали,
что выполнение перехода к пределу не только требует определения
значения предела, но обязано также в первую очередь гарантировать
его существование. По отношению к Ньютону дело объясняется тем, что
в случае движения конкретный процесс его заключает в себе, по мнению
Ньютона, в качестве момента скорость до всякого математического ана-
лиза. Что касается Лейбница, то взгляды его были затемнены тем ложным
метафизическим представлением, будто бесконечно малое должно иметь
место не в качестве чего-то действительно существующего, а только как
чисто логическое основание.
И среди преемников Ньютона и Лейбница господствовал в общем тот
взгляд, что бесконечно малые величины, бесконечно близкие точки на
кривых и т. п. действительно существуют. С бесконечными рядами опе-
рировали, не обращая внимания на вопрос об их сходимости. И хотя
при этом все-таки ощущались некоторые затруднения и то в одном, то
в другом пункте возникали неразрешимые противоречия, но что все это
означало по сравнению с грандиозными успехами анализа и базирующе-
гося на нем математического естествознания: „Allez еп avant et la foi
vousviendra“1). Лишь крайне медленно развилась более осторожная теория
пределов; только в начале XIX в. Коши удалось последовательное про-
ведение ее и растворение застывшего бытия бесконечно малых величин
в процессе перехода к пределу.
В новейших аксиоматических изысканиях в области арифметики и
геометрии были построены разнообразные числовые системы, в которых
аксиома Эвдокса не выполнена. Таким образом совсем не невозможно
выработать такую четкую и свободную от противоречий си стему ариф-
метики, в которой имелись бы величины различных порядков. Но вместе
с тем очевидно, что подобная арифметика была бы совершенно непри-
годна для анализа, ибо суть исчисления бесконечно малых заключается
ведь в том, что на основании подчиненных известным элементарным зас-
кокам отношений в области бесконечно малььх величин познают при
помощи интегрирования отношения, существующие в области величин
конечных. Если же мы станем в анализе рассматривать бесконечно малые
не с точки зрения процесса перехода к пределу, то процессы в области
конечного и бесконечно малого становятся тогда совершенно чуждыми,
независимыми друг от друга, и связующая их цепь оказывается разомкну-
той. Взгляды Эвдокса в данном вопросе были несомненно правильными.
И нам кажется просто смешным, когда еще и теперь, в самое последнее
время, „марбургская школаи (ср., например, книгу Наторпа „Logische
Grundlagen der exakten Wissenschaften*, 2-е изд., Лейпциг 1922) про-
должает отстаивать противоположную точку зрения (разумеется, даже
не пытаясь доказать на ее основании хотя бы простейшие теоремы
анализа).
В одном пункте, однако, оказалось необходимым пойти дальше
Эвдокса. Согласно греческому ученому вещественное число определяется
*) „Идите вперед, и уверенность придет“(слов<? Даламбера).
12
как отношение двух заданных отрезков. Они определяют собою перво-
начально некоторое сечение в области рациональных чисел, которое и
характеризует это отношение с арифметической стороны. Так, например,
для j/2, отношения между диагональю и стороной квадрата, множество
(I) состоит из всех дробей г, произведение которых на самое себя
г . г<^ 2, множество (III) — из всех тех дробей, для которых г • г^> 2, мно-
жество же (II) оказывается пустым. __
Но мы верим также в существование и такого числа как 2, раз-
решающего делийскую задачу об удвоении куба. Действительно, при не-
прерывном увеличении ребра куба от 1 до 2 м его объем непрерывно
возрастает от 1 л/3 до 8 л/3; ясно, что при некоторой определенной длине
ребра объем 'должен принять промежуточное значение 2 лЛ Однако
в эвклидовой системе геометрии (т. е. пользуясь линейкой и циркулем)
нельзя построить отрезок, находящийся в отношении ]/"2 к другому,
заданному нам отрезку. Впрочем, заключения, подобно вышеприведенному
опирающиеся на принцип непрерывности, вообще лишены надлежащего
обоснования и у Эвклида. На это обстоятельство обратил внимание еще
Лейбниц в связи с первым же встречающимся у Эвклида построением
равностороннего треугольника АВС. В этом построении из точки А,
как из центра, описывается окружность, проходящая через точку В, а из
точки В—окружность, проходящая через точку Д, причем, однако, не
доказывается, что эти окружности имеют общую точку С. Приведем еще
один пример. Впишем в окружность диаметра 1 и опишем вокруг нее
вписанные и описанные 6-, 12-, 24-,... угольники; периметры
ei> ••• и> соответственно, zzp w3, ... этих многоугольников
можно нанести в виде отрезков на горизонтальную прямую, откладывая
все отрезки от общей начальной точки О, хотя бы слева направо. Конеч-
ные точки отрезков образуют тогда две точечные последовательности на
нашей прямой, именно последовательности Ех, Е^ Е3, ...; ...
Все точки Е лежат слева от всех точек U. Точка Еп при возрастании
индекса п отодвинается все дальше направо, точка Ьп — налево, и рас-
стояние EnUn в конце концов становится безгранично малым. Но откуда
мы знаем, что существует такая точка тт, относительно которой все
точки Е расположены слева, а все точки U справа? А ведь как раз это-то
и нужно нам знать для того, чтобы определить число к как числовую
меру отношения отрезков! Следует понять, что подобное число к не
является заданным самим по себе, оно порождается впервые беско-
нечным процессом построения двух стремящихся одна к другой числовых
последовательностей eit ... и и3, ... Другими словами, если
желать определить вещественное число по Эвдоксу при помощи сечения,
которое оно производит в области рациональных чисел, следует сказать:
любое произвольно заданное сечение в области рациональ-
ных чисел, т. е. каждое, каким угодно образом осуществленное, распре-
деление всех рациональных чисел на три класса (I), (II), (III), определяет
собою вещественное число. (При этом должны быть соблюдены только
следующие условия: ни класс (I), ни класс (III) не пусты, в классе (II)
содержится самое большее одна дробь, в (I) не существует наибольшей,
а в (III) наименьшей дроби, всякое число класса (I) меньше всех дробей
классов (II) и (III), всякое число класса (III) больше чисел классов (I) и (II).
13
Вместе с этим анализ Становится независимым от геометрии; только
теперь он оказывается пригодным для изучения непрерывности и уже сам,
в свою очередь, предоставляет в распоряжение геометрии средства, позво-
ляющие ей строго обосновать все молчаливо обходимые Эвклидом умо-
заключения, опирающиеся на понятие непрерывности.
2. Теоретико-множественное обоснование математики
Мы подошли теперь к современному определению иррационального
числа, данному в 1870 г. Р. Дедекийдом и другими исследователями.
Если до этого времени вверх поднималось, так сказать, коромысло ста-
новления, то теперь ведущим началом в историческом развитии опять
оказывается бытие, понимаемое, правда, в новом смысле. Согласно
новому пониманию какая-нибудь сходящаяся последовательность, как, на-
пример, последовательность чисел еп и ип1 ограничивающих и сверху и
снизу число к со все большей степенью приближения, вовсе не развора-
чивается как некий лишенный всякой закономерности процесс, которому
мы должны слепо довериться, чтобы узнать, что порождается этим про-
цессом на ^каждой последующей его стадии; напротив, подобная последо-
вательность устанавливается раз навсегда при помощи определенного
закона, соподчиняющего каждому натуральному числу п оба соответ-
ствующие приближенные значения eni ип. Для распределения бесконечного
множества рациональных чисел по трем классам совсем не приходится
выбирать одну дробь за другой и затем относить ее к соответствующему
классу. Нет, теперь это распределение производится закономерно, по-
скольку устанавливается следующее правило: все рациональные числа,
обладающие такими-то и такими-то свойствами, принадлежат к классу (I)
[достаточно определить класс (I), оба другие класса оказываются тогда
автоматически определенными]. Закон или свойство совершенно
точно определяет наше вещественное число. Функция /(х) называется
непрерывной при значении х = а, если/(х) стремится к/(я), когда
переменная х стремится к а. Как, однако, определяется это понятие схо-
димости? Определение гласит: „Для всякого положительного числа в
существует положительное число 8, обладающее тем свойством, что
при всех значениях вещественного числа х, удовлетворяющих условию
а — 8<^х<а-|-8, справедливо неравенство /(а) — £<С/(х) е“.
Таким образом новая статическая концепция превращает анализ в тео-
рию множеств. Понятия: все и существует здесь применяются к эле-
ментам бесконечных множеств и даже к совокупности возможных
подмножеств таких множеств [„все вещественные числа, удовлетворяющие
данному условию", т. е., так как, согласно Дедекинду, отдельное веще-
ственное число само по себе уже является множеством (I) рациональных чи-
сел,— все множества рациональных чисел, обладающих данным свойством].
Мы говорим, например, о множестве всех натуральных чисел и выделяем
из него подмножество четных или простых чисел, но мы также говорим
и о множестве всех таких вещественных чисел, которые 0 и 1.
Если мы назовем это множество континуальным интервалом 01, то мы
не произведем тем самым атомистического раздробления континуума,
расщепляющего его на отдельные точки. Действительно, ведь согласно
определению, данному Дедекиндом и Кантором, множество вовсе не воз-
никает в результате объединения его элементов одного за другим в не-
14
которую совокупность. Нет. Например, множество чисел счи-
тается заданным, если на основании его определения
относительно каждого числа можно однозначным обра-
зом установить, принадлежит ли оно к этому множеству
или нет. Определить бесконечное множество можно единственно лишь
установив характерное для всех его элементов свойство. Множества
бывают связаны со свойствами таким образом, что при известных усло-
виях два различно определенных свойства определяют одно и то же
множество. Это случается именно тогда, когда оба свойства эти равны
по объему, т. е. когда всякая вещь, которой присуще одно из свойств,
обладает также и другим свойством, и обратно. Разрешение вопроса при
помощи анализа смысла свойств в этом случае невозможно, единственным
критерием является фактическое обстояние в мире существующих
вещей. Вопрос о принадлежности к множеству элемента того или иного
рода не может быть разрешен в данном случае так, как в случае конеч-
ной, состоящей из отдельных определенных предметов совокупности,
когда для этого достаточно перебрать один за другим ее элементы. Еще
серьезнее дело обстоит в случае такого вопроса: существует ли
в данном бесконечном множестве, например во множестве всех рацио-
нальных чисел, подмножество, удовлетворяющее некоторым опреде-
ленным условиям? Мы ведь можем оперировать только такими множе-
ствами, которые определены закономерно при помощи какого-либо харак-
терного для их элементов свойства. При этом, однако, с трудом избав-
ляешься от впечатления, что вместе с тем заодно выбрасывается за борт
хаотическая масса возможностей,- масса произвольных, беспорядочных,
незакономерных множеств. Теория множеств откидывает все эти идеали-
стические сомнения, связанные с размышлениями о том, как множества
могут быть задаваемы по самому своему смыслу; она убеждена в том,
что ответ на вопрос: „существует или не существует?" в применении
к бесконечному множеству элементов или подмножеств кроется при лю-
бых условиях в некотором существующем само по себе фактичес-
ком обстоянии, хотя бы нашему разуму удавалссь лишь благодаря
счастливому случаю набрести на математический метод, позволяю-
щий найти и высказать этот, до того сокровенный ответ. Само по себе
или же для бога определено до самого конца решительно все. Такова
точка зрения этой абсолютистской концепции существования, аналогичная
тому убеждению ее, что в переживаемых нами процессах внешнего мира
не заключается никакой неопределенности, хотя наша интуиция всегда
только приближенно различает места в пространстве и качества и никогда
не в состоянии разделить их одни от других абсолютно точными гранями.
Все это представляет собою как раз тот самый строй мыслей и чувств,
на основе которого возникла идеальная, оперирующая с законченно точ-
ными сущностями геометрия греков. В применении к вопросу о дели-
мости Плуке в своих „Principle de Substantiis et Pheunomenis" (1764,
гл. XII) выражает эту концепцию следующим образом: „Делимость может
быть здесь рассматриваема двояким образом. Речь может итти либо об
объективной, либо же о субъективной разложимости. Объективная, т. е.
поскольку материя действительна, делимость зависит от божественного
представления, доходя до тех пор, до каких видит разложимость божест-
15
венный разум. Субъективная же делимость материи не распространяется
за пределы наших представлений".
Впрочем для теоретико-множественного анализа континуум делим
в самом полном смысле слова: множество всех чисел может быть разло-
жено, например, на множество чисел и множество всех чисел <^0;
здесь налицо безостаточное разделение континуума, число 0 по опреде-
лению также принадлежит лишь к одному из этих двух множеств. Воз-
можны разбиения континуума и совершенно иного типа, недоступные
нашей интуиции, например на множество всех десятичных дробей, со-
стоящих исключительно из цифр 1, 2, 3, 4, и множество таких дробей,
в которых по крайней мере хоть на одном месте имеется какая-либо
другая цифра.
Развитие в недрах математики теории множеств, навеки связанной
с именем великого мыслителя Георга Кантора, свидетельствовало лишь
о том, что анализ, наконец, пришел к осознанию in abstracto уже давно
употреблявшегося им метода. Если только принимается точка зрения до-
пустимости неограниченного применения терминов „существует" и „все"
и относящихся к ним принципов логики, то грандиозное здание анализа
приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и
строго обоснованным во всех своих частях. Понятия анализа приобретают
точность, а доказательства — безупречную последовательность и непро-
тиворечивость. Конечно, потребовалось большое математическое остро-
умие для того, чтобы доказать столь очевидные для интуиции наиболее
общие свойства непрерывности, как, например, такое ее свойство, что
непрерывная функция принимает все промежуточные значения, что замкну-
тая плоская кривая без двойных точек делит плоскость на две области
или что двухмерная область не может быть взаимнооднозначно и непре-
рывно отображена на трехмерную. На опыте занятий с нашими студен-
тами мы всякий раз вновь убеждаемся в том, сколь длительное обучение
требуется для того, чтобы приобрести необходимую для понимания этих
доказательств во всей их строгости беспредвзятость мышления. С другой
стороны, наряду с такими подтверждающими интуицию теоремами, анализ
открывает многие недоступные ей вещи: нигде не имеющие касатель-
ной или же заполняющие полностью квадрат непрерывные кривые
и т. п.
Теоретико-множественный метод воцарился не только в анализе, но
и в арифметике и даже в самой начальной области математики — в уче-
нии о ряде натуральных чисел 1, 2, 3, ... И, может быть,
лучше всего можно уяснить себе сущность этого метода на примере,
взятом из этой области. Ряд натуральных чисел возникает, когда, начиная
с 1, от каждого данного числа переходят затем всякий раз к непосред-
ственно за ним следующему. С этим связано то обстоятельство, что факт
существования какого-нибудь присущего этому ряду общего свойства
'Может быть установлен только при помощи „полной индукции",
е. выяснения того: а) в каком отношении это свойство находится
первому числу 1 и Ь) каким образом оно переносится с произвольно
взятого числа п на непосредственно следующее за ним п'. Пример:
„четное" и „нечетное"; а) 1 нечетное число, Ь) п' четное (или же не-
четное) число, если п нечетное (или^же четное). Сказанное о свойствах
16 *
Аналогичным образом относится и к доказательствам. С теоретико-мно-
жественной точки зрения ряд натуральных чисел является законченным
в себе множеством 2, для которого определено некоторое отображе-
ние я—>/2', сопрягающее однозначным образом со всяким элементом п
множества другой элемент ri (непосредственно следующее за п число).
Тот факт, что любое заданное число можно получить из 1 путем пере-
хода к ее отображению Г = 2, а потом при помощи вторично! о приме-
нения операции отображения, переходя к 2' = 3 и т. д., — это как
будто неразложимое понятие „и так далее", составляющее самую сущ-
ность натурального числа—в теории множеств выражается следующим
образом: всякая цепь, содержащая в качестве элемента
единицу, тождественна с Z1)- При этом К, подмножество множе-
ства Z, называется цепью, если оно обладает тем свойством, что если х
есть элемент А", то и его отображение х' является элементом Zf. Анало-
гичным образом можно определить, — и здесь принцип полной индукции
заметен б\дет еще отчетливее — в каком случае натуральное число и
Будет, например, ^5. Это именно имеет место тогда и только тогда,
когда это число принадлежит ко всем цепям, содержащим в качестве
влемента число 5. Конечный критерий („когда перечисление чисел от 1 до
к идет дальше числа 5") заменяется тут бесконечным, требующим, согласно
ввоему буквальному смыслу, рассмотрения всех возможных
подмножеств множества Z, но на место чего-то специфически
рифметического, операции повторения „еще раз", повторения ее in infi-
nitum, здесь выступают общие логические понятия (множество, все, сопря-
жение). Для теории множеств не существует принципиального различия
между конечным и бесконечным. Бесконечное с ее точки зрения пред-
ставляется даже более простым: множество — бесконечно, если его
возможно обратимсоднозиачно отобразить на нетождественное с ним его
подмножество (например в случае Z при помощи отображения и—>«');
конечным же является такое множество, для которого невозможно ни
одно такое отображение. Демаркационная линия между математикой и
логикой стирается, в учении о множествах математика уже не обладает
более каким-либо специфически ей свойственньим содержанием и ока-
зывается не чем иным, как достигшей полной ’зрелости
логикой.
Для последующего полезно будет рассмотреть еще один пример из
области анализа — именно, доказательство того, что заключающееся в
интервале -0-Ь- множество- вещественных —чисел 31 обладает верхней гра-
ницей у (чГсйыЛэПТь {верхней границей, ^вещественное число у должно об-
ладать тем 'Чтобвсе числа торжества 91 были ^у и чтобы
при замене у г ^и^инцбудь» ь.еньдшм число у’ в 91 наверное существо-
вали числа, nV удовлет^орятощие^^й только что указанному условию,
а напросив пр|ф4^>дяв^о у'). Для доказательства образуется множество
рациональных чисел В, обладающее тем сцойством, что дро'ь х может
со ержаться в Е тогда и то’.ько тогда, когда^^^^ШйИЙЗЙЙЛ|^“
либо из закт оча;о4ц
гласно Эвдоксу и Деде кип iy, определшй1^ч0Й&^ качествекляЯИИЙЖа
tvas фИеп die Zahlen,
17
см. выше] вещественное число 7. Легко убедиться, что это число 7 обла-
дает требуемым своГсгвом* 1).
В системе математики имеются два обнаженных пункта, в которых
она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого. Это именно
принцип построения ряда натуральных чисел и понятие континуума. Все
остальное: переход от натуральных чисел к отрицательным и дробным,
так же как и введение мнимых и гиперкомплексных величин, предста-
вляет собою задачу формальной логики, не таящую в себе уже никаких
трудностей и загадок; мистическая дымка, долгое время обволакивавшая
мнимые величины, окончательно рассеялась. Теория множеств надеется
и в этих двух пунктах возвести прочную плотину и запрудить поток
бесконечного, грозящий затопить в своем течении наш дух.
Антиномии и теория типов Ресселя
Но „задули теплые ветры", и, как выражается Ницше, теперь все
снова „в течении". На крайних, уже теряющихся в тумане, границах теории
множеств обнаружилось вскоре несколько трещин и объявились бьющие
в глаза противоречия; однако это, казалось, ни в коей м ре не угро-
жало основной, центральной области математики. В качестве первого при-
мера я приведу антиномию, принадлежащую Ришару. Из десяти цифр,
букв алфавита и знаков препинания можно составить лишь конечное
число таких предложений на немецком языке, которые содержали бы
меньше тысячи указанных знаков. Поэтому существует лишь конечное
количество таких чисел ряда 1, 2, 3,..., которые можно определить
при помощи этих предложений. Рассмотрим же „первое натуральное чи-
сло, которое нельзя определить при помощи предложения, состоящего ме-
нее чем из тысячи знаков"! — Но ведь как раз приведенные в кавычках
слова и дают определение нашего числа, состоящее менее чем из тысячи
знаков! В Приведенном только что виде это противоречие еще слишком
не точно сформулировано для того, чтобы быть подвергнутым математи-
ческому исследованию. Но заменим слова немецкой речи несколькими
действиями, позволяющими из любого числа получать некоторое другое
число. Такими действиями могут быть, например, прибавление 1 и умноже-
ние на 2. Рассмотрим теперь все числа, которые могут быть получены
из 1 в результате любой, но максимум четырехкратной, комбинации этих
действий, и обозначим через а наименьшее из всех тех чисел, которые
нельзя получить подобным путем2 3 4). К противоречию мы придем, однако,
х) Недавно вышла в свет книга, вполне пригодная для того, чтобы ознакомить
философов со строем математических идей: О. Holder, Die matheniatische Me-
thode, Berlin 1924. По теории множеств см. в особенности A. Fraenkel, Einlei-
tung in die Mengenlehre, 3-е изд., Berlin 1929; по вопросу о сведении математики к
логике: В. Russell, Einfiihrung in die matheniatische Philosophic, Miincheii 1923
(нем. перевод).
s) Так, если применять лишь два служащих нам в примере правила, то
при кратности применения равной, получаются числа
О 1
1 2
2 3, 4
3 5, 8
4 7, 9, 10, 12, 16;
а данном случае а — 11.
18
только тогда, когда в число наших действий включим еще нижеследую-
щий дополнительный принцип построения (/?), именно: требуется при
заданном п образовать наименьшее из всех тех чисел, которые нельзя по-
лучить из 1 путем применения максимум п раз подряд наших действий,
включая и сам изложенный только что принцип по-
строен ия1). Теперь уже (из набранного разрядкой) очевиден circulus
vitiosus, в силу которого подобный принцип оказывается лишенным
всякого смысла.
Ан иномии теории множеств составлены в том же, напоминающем со-
бою античный парадокс о лпщем критянине, духе. Проше других одна
из них, предложенная Ресселем. В ней дело идет о „множестве М всех
множеств, не содержащих себя самих в качестве своего элемента". Прав-
да, вначале вообще представляется нелепой даже мысль о возможности
того, чтобы множество содержало само себя в качестве элемента, но
множество всех вещей (о котором говорить допустимо, поскольку лю-
бая вещь либо принадлежит к нему, либо нет) тотчас же доставляет нам
пример подобного множества. Теперь спрашивается, содержит ли себя в
качестве своего элемента или же нет рессе 1ево множество /И? Если оно
не содержит себя в качестве элемента, то оно принадлежит к числу тех
множеств, которые, согласно определению М, являются элементами М;
если же оно содержится в /14, то оно, подобно всем элементам Л4, ока-
зывается множеством, не содержащим себя самого в качестве своего эле-
мента. Таким образом, каждое из об ,их допущений имеет своим след-
ствием другое, противоположное. С точки зрения своего построения
антиномия эта разрешается аналогично ришаровой, но она также по-
называет, что нельзя допусти ть существования некоей
определенной в себе и замкнутой совокупности всех
возможных множеств натуральных чисел или всех воз-
можных свойств натуральных чисел. Не всякое „определен-
ное по содержанию", т. е. точно и однозначно установленное понятие Ь,
является объемноопределенным; в частности это относится к
понятию „свойство натуральных чисел". Когда мы говорим, что поня-
тие Ь объемноопретеленно, то это означает не только то, что для лю-
бого определяемого понятием b предмета X и какого-либо определенного
в области этих предметов свойства 31 имеет вполне точный смысл во-
прос: „обладает ли X свойством 31?“ (вопрос, ответ на который заклю-
чается в некотором определенном самом по себе фактическом обстоянии),
но также и то, что имеет смысл вопрос экзистенциального по-
рядка „существует ли среди определяемых понятием b предме-
тов предмет со свойством 31?“. Допустим, что каким-нибудь (конструк-
тив !ым) образом удалось выделить некоторый объемноопределенный
круг свойств натуральных чисел, — эти свойства я назову ^-свойствами,—
и пусть 31 будет некоторым определенным свойством свойств на-
туральных чисел (вроде такого, какое задается следующим, например, оп-
ределением: свойство Е натуральных чисел называется свойством рода 81,
если оно присуще числу 1). В этом случае имеет ясный смысл следующее
*) Ведь тогда, с другой стороны, можно перейти от 1 к а всего лишь в три
приема*, дважды умножая на 2 и затем применяя принцип R,
19
определение D: выражение, что х обладает свойством Е^ обозна-
чает, что существует некоторое ^-свойство рода 81, присущее числу
х. Но это свойство Ей по самому своему существу, очевидно, находится
вне круга Л-свойств, оно принадлежит к более высокому, так сказать,
типу свойств, чем ^-свойства. Когда мы имеем дело с определенной ка-
тегорией предметов — как в данном случае с категорией натура шных чи-
сел,— то исходить следует из некоторых непосредственно вместе с ней за-
данных, присущих предметам этой категории свойств и отношений. Для на-
туральных чисел подобным основным отношением является то единствен-
ное отношение, которое существует между любым числом и непосред-
ственно за ним следующим. Из этих свойств можно путем логических
построений получать новые свойства и отношения, причем, однако,
выражения „все" и „существует" могут быть применяемы исклю-
чительно к предметам основной категории. (Например, если уже образо-
вано между двумя произвольными числами т, п отношение п=2т, то мож-
но следующим образом определить свойство быть „четным": п — четное чис-
ло, если существует такое число т, что n = 2mt) Эти свойства обра-
зуют низший иш свойств. Свойства второго типа получаются, например,
по схеме D — в результате npHMeneFiHH выражений „все" и „существует"
к объемноопределенному кругу свойств первого типа; пользуясь теми же
выражениями, но уже в применении к свойствам второго типа, можно
образовать новые свойства, принадлежащие уже к появляющемуся при
этом третьему типу, и т. д. Необходимость подобной иерархии типов
была впервые отчетливо осознана Ресселем, Отказавшись от нее и без
ограничений применяя выражения „все" и „существует" ко вам свой-
ствам, мы неизбежно очутились бы в безвыходном порочном круге.
Но вместе с тем, последствия теоретико-множественных антиномий
проникают уже в самую сердцевину анализа. Действительно, построение
верхней границы множества 81 вещественных чисел производилось как
раз по схеме Z), не принимая во внимание наличия рссселевой иерархии
типов. Стоит только вспомнить, что, согласно Дедекинду, вещественное
число (£) есть множество рациональных чисел, соответствующее со своей
стороны некоторому свойству Е в области рациональных чисел; выраже-
ние: „рациональное число х меньше (£)“ обозначает то же самое, что
и выражение: пх обладает свойством Е“. Значит, верхняя граница у со-
ответствует в действительности такому свойству Е^ которым рациональ-
ное число х может облапать тогда и только тогда, когда вообще суще-
ствует свойство рациональных чисел рода 81, присущее х. В резуль-
тате единое i онятие числа распадается, и мы получаем вещественные числа
1 -го, 2-го, 3-го, ... типов, так что, например, верхняя граница множеств
чисел перв го типа в общем случае сама не является числом того же
ро ta, а принадлежит ко второму типу. Подобный ступенчатый анализ
совершенно непригоден. Правда, этой дилеммы было бы возможно из-
бежать, если бы справедлива была теорема, утверждающая, что всякое
свойство Е» второго типа совпадает если не по содержанию, то по
объему с каким-либ; свойством Ех первого ъ.па. Никогда, однако,
не бы то еде та пт попыток доказать такую теорему, и не существует ни
малейших указаний на то; чт* возможно установить настолько мощные
20
конструктивные принципы для свойств первого типа, чтобы они могли
гар< нтировать ее'правильность. Это и a priori сюль чудовищно неве-
роятно, что, здраво размышляя, нельзя себе представить, что кто-либо
займется поисками таких принципов. Рессель нашел из создавшегося по-
ложения довольно абструзный выход, постулировавши эту совершенно
неподдающуюся доказательству теорему в качестве аксиомы (axiom of
reducibility)1). Сам я в появившемся в 1918 г. сочинении, „Континуум* *,
добросовестно вывел все вытекающие из указанной дилеммы последствия 3).
Назовем эвклидовым числом такое число, которое может быть
получено из 1 при помощи любой комбинации первых че1ырех действий,
а также пятого действия извлечения квадратного корня из (уже образо-
ванного ранее) положиiединого числа. В таком случае точки, коорди-
наты которых в некоторой определенной системе координат являются эвкли-
довыми числами, образуют по отношению к построениям эвклидовой геомет-
рии, использующим только линейку и циркуль, замкнутую систему L, по-
скольку всякое построение эвклидовой геометрии, оперирующее этими точ-
ками, доставляет снова лишь точки этой же самой сисюмы. Таким об-
разом при построении эвклидовой геометрии можно ограничиться исключи-
тельно системой точек Е. Эта система образует собой обгемноопределен-
ное поле для построений, за пределы которого не выводит ни одна из
операций эвклидовой геометрии. При этом мы нигде не наталкиваемся
на заполняющий все поры между этими точками континуальный „прост-
ранственный соус". Приняв за основу вместо первых четырех действий
и извлечения квадратного корня несколько других логических правил по-
строения, мне удалось выделить объемноопределенную числовую систему,
в пределах которой оказалось возможным неограниченное применение не
только построений эвклидовой геометрии, но также и гораздо более общих
построений анализа (поскольку они не страдают порском circuii vit osi).
Эго была действительно атомистическая теория континуум а,
логически выдержанная и вместе с тем насильственно-вымученная. При по-
мощи теоретике-познавательного анализа я старался выявить возможно
более резко ту глубокую пропасть, которая отделяет наши математиче-
ские построения от непосредственно переживаемой нами непрерывн сти.
При этом пришлось отказаться от значительной части того, что в мате-
матике издавна почитается вполне обеспеченным ее достоянием. В осо-
бенно сильной мере страдают отмеченным недостатком и заключают в
себе порочный круг построения понятий и доказательства, .подобные
упоминавшейся выше дедекиндовой теории цепей. И итерация процесса,
правило действия „еще один раз", вновь возрождается в качестве изна-
чальной, несводимой далее идеи.
*) С теорией Ресселя, в высшей степени детально и глубоко разработанной
в опубликованных им совместно с Уайтхедом „Principia Mathematica* (3 юма, Кем-
бридж 1910—1913), можно подробнее ознакомиться по его выше! итированной
книге. (Введение в „Printipia“ вышпо в 1932 г. в немецком переводе под
названием „Einfuhrung in die mathematische Log k“ Прим, перев.)
*) Разобранная в гл. II и, столь несостоятельная с точки зрения логической „ста-
тическая* теория могла первоначально у .ержаться лишь потому, что заданное нам
в интуиции покоящееся бытие континуума, как единого целого, скрывало от на-
ших взоров то обстоятельство, что способы выделения из континуума о 1 дельных
точек не образуют собою объемноопределенной совокупности.
21
4. Интуитивная математика Броуера
Ледяной покров, однако, разбился вдребезги, и вскоре момент те-
кучести стал полновластным господином над неизменностью. Броуер
построил строгую математическую теорию континуума, рассматривающую
последний не как некое застывшее бытие, но как среду свободного
становления. Это событие является достижением величайшего теоре-
тико-познавательного значения J).
В первую очередь Броуер в своей логической критике вышел за пределы,
установленные Ресселем; для него выражения „все* и „существует*
оказываются уязвимыми не только при применении их к совокупности
подмножеств бесконечного множества, но уже при применении
к самым элементам бесконечного множества. Пусть Е представляет
собою определенное свойство натуральных чисел, причем допустим, что
для каждого заданного числа и можно установить присзще ему или нет
это свойство Е. Мнение, будто самим по себе определенным является
факт существования или же несуществования числа, обладающего свой-
ством Е, опирается исключительно на следующее представление: полагают
именно, будто числа 1, 2, 3,... мо кно рассмотреть все одно за другим по
отношению к свойству Е\ если при этом рассмотрении попадется число,
обладающее свойством Е3 то исследование ряда можно будет закончить
и ответить утвердительно; если же конец рассмотрению не
придет, т. е. если по окончании почленного рассмотре-
ния бесконечного ряда чисел окажется, что число рода Е не
встретилось, то ответ будет отрицательным, Такое представление о
законченном почленном исследовании бесконечного ряда лишено, однако,
какою-либо смысла, ибо_в^а^р^м_существе бесконечного коренится его
неисчерпаемость. Общие суждения о числе' можно получить только в*"ре-
зультате исследования Ту щ н о с т и числа, а не в результате исследо-
вания отДёЖных чисел. Только действительное указание на вполне
ощюдеТсн^^ свойством Е, может служить основанием
Д1я утвердительного ответа; с другой стороны, так как я не в состоянии
исследовать все числа, то только знание того, что число по существу
своему должно обладать свойством поп^ является основанием для отри-
цательного ответа. Сам господь бог неТэасполагает иными средствами для
решения вош)Оса.;,Но"'даоУё^Т?и^а л*ьтене проти-
восУсГят друг другу как утверждение и отрицание; ни
отрицание од’ой, ни отрицание другой не имеет реального смысла* 2).
В нашей душе против этого интуиционизма со всею силой восстает
абсолютистская мысль: ведь если я пробегаю ряд и уславливаюсь пре-
*) Brouwer, Intuitionism and Formalism, Bull, of Americ. Mathem. Society,
20, 1913; Begriindung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz vom aus-
geschlossenen Drilten, Verhandel. d. K. Akad. van Wetensch. Amsterdam 1918, 1919;
Weyl, Ober die neue Gruidhgenkrise der Mathematik, Math. Zeitschr., t. 10, 1921;
ср. также О. Becker, Beitrage zur phanomenologischen Begriindung der Geometrie
und ihrer physikalischen Anwendungen, Husserls Jahrbuch fur Pailosophie, t. 6, в
особенности стр. 398—435 и философские рассмо1рения пределов и идеальных об-
разов, стр. 459—478.
2) Аналогичные мысли высказывал уже Л. Кронекер, но он не пошел, как
это сделал Броуер, дальше чистой критики и нс приступил к созданию новых
теоретических построений.
22
кратить исследование в том случае, если я в тречу число, обладающее
свойством Е, то г не либо придется закончить свое иссле-
дование либо же нет, это так или это не так, безо всяких
сомнений и колебаний и безо всякой третьей альтернативы. К подобного
рода вещам не следует подходить извне, здесь необходима внутренняя
концентрация духа, необходимо бороться за „видение", за очевидность.
Вот каково, полагаю я, руление вопроса !). Э к 3'TrTTt й ri'fft’MTe
суждение — как например: „существуй четное число" — вообще не
является суждением в собственном с м ы cle этого слова,
устанавливающим некоторое фактическое обстоялие;
экзистенциальные обстояния — это густая выдумка логиков. Предложение
это наСТбяй?^е^^фЖаюЙё;ег'Ъпределенное
фактическое обстояние суждение2), предложение же „существует четное
число" является лишь вытекающей из этого суждения абстракцией
суждения (Uiteilsabstrakt). Если презставить себе познание как драго-
ценное сокровище, то абстракция суждения — это всего-навсего лист
бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но i е дающий нам
сведений относительно того, в каком месте оно обретается. Единственная
ценность этого листа бумаги можег состоять только в том, что он по-
буждает меня заняться поисками сокровища. Бумага эта лишена всякой
цены, пока я не реализую какое-нибудь прикрытое ею действительное
суждение, как, наприм р „2— четное число".
Теперь мы вновь обретаем нашу свободу по отношению к числовым
последовательностям и числовым множествам. На вопрос „существует ли
нет последовательность такого-то рода" мы }же более не пытаемся
добиться определенного в себе утвердительного или отрицательного
ответа, растягивая последовательности — в дальнейшем я говорю только
о них —на прокрустовом ложе конструктивных принципов. Если нам
удалось построить каки м-л ибо образом закон, определяющий после-
довательность до бесконечности, то мы вправе утверждать, что такой
закон существует. О возможности построения зде~ь нет речи.
Нет! Только в том случае, когда построение уже осуществлено
на деле, доказательство проведено, мы выставляем подобное
экзистенциальное суждение. В многочисленных математических теоремах
о существовании главную ценность представляет собой не сама тедрема,
а используемое при ее доказательстве построение, без которого теорема
оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью. Отрица-
тельное суждение, утверждающее, что закона указанного рода Е не су-
ществует, естествен ым образом при этом лишается всякого смысла Но
здесь как раз выступает на сцену вторая важнейшая идея Бро} ера. Дело
в том, что если мы нашему отрицательному су?кдечию придаем форму
положительного суждения и говорим, что „всякая последовательность
обладает свойством поп-£“, то тем самым другой смысл приобретает поня-
тие последовательности и под этим словом мы понимаем уже не после-
*) Излагаемая здесь концепция не представляет собою точной передачи воз-
зрений Броуера, а является изложением юй точки зрения, которая представляется
мне наиболее естественно с тех пор, как я усвсит его идеи.
Свойство четности должно быть при э ом оир делено рекуррентным путем,
так, как мы его определяли на стр. 17, а не так, как это сделано на стр. 20.
23
довательность, определяемую каким-либо закономер-
ным образом, а последовательность, возникающую раз
за разом, в результате актов свободного выбора, т. е.
последовательность, которую можно рассматривать только как становя-
щуюся. Так, в качестве первого члена последовательности я могу выбрать
любое произвольное число, например 13, затем в качестве второго члена
я опять-таки по произволу могу выставить хотя бы число 102 и так
далее и утверждаю, что, какими бы ни оказались эти акты выбора, воз пи-
кающая последовательность постоянно будет обладать свойством поп-£.
Но, разумеется, в случае свободно становящейся последовательности имеет
смысл говорить лишь о таких ее свойствах, относительно которых уже
имеется утвердительный или отрицательный ответ (на вопрос о том, при-
суще ли свойство последовательности или нет), когда дойдешь до опреде-
ленного пункта этой последовательности, причем дальнейшее развертыва-
ние последовательности, как бы оно ни происходило, уже не в состоянии
изменить нашего ответа. Так, например, можно задаться вопросом, на-
ходится ли на 4-м месте какой-либо свободно становящейся последова-
тельности простое число или нет, но ни в коем случае нельзя спраши-
вать, отличны ли от 1 все ее члены. Применять математические дей-
ствия к свободно становящимся последовательностям вполне возможно,
это очевидно уже из того, что между ними можно устанавливать некото-
рые сопряжения. Так, например, формула
nh — 4-/д2mh (^=1, 2, 3,...)
выражает собою закон, по которому свободно становящаяся последова-
тельность т2, пг3,... порождает становящуюся числовую последова-
тельность п3,..., развертывающуюся одновременно с нею шаг за
шагом. В случае числовых последовательностей, согласно нашему изло-
жению, суждения „существует" или „не существует" еще в меньшей
степени, чем в случае самих чисел, противостоят друг другу как исклю-
чающие какую бы то ни было иную альтернативу, кроме утверждения
и отрицания. Выражение „существует" приковывает нас к бытик> и за-
кону, выражение же „каждый" вводит нас в сферу свободы и ста-
новления. Вещественное число должно быть теперь определено уже
не как множество, а как бесконечная последовательности зак иочающихся
одни в других рациональных интервалов, длины которых стремятся
к нулю. При этом для приближения Л-й ступени учебно пользоваться
/г-членной двоичной дробью и в качестве интервалов использовать ин-
777 — 1 т 1
значения), ибо эти интервалы образуют между собой такую систему вза-
имных пересечений, что дтя любого, заданного точько приближенно^ однн
ко с достаточно большим приближением, числа можно на ерняка указать
на тот интерват Л-го порядка, в котором онэ заключается1)- Отдельная,
определенная вплоть до бесконечности при помощи какого-либо закона,
последовательность интервалов определяет собою отдельное же веще-
ственное число, а свободная становящаяся последовательность интервалов
Выражение .число $ заключается в интервале (а, Ь)“ обозначает, что а< 5 <£.
тервалы формы (
j (где т принимает все целочисленные
24
определяет собою континуум. Два вещественные числа а, р совпадаю’,
если 1^» п-ft интервал последовател >ности а, и n-n интерва i
пэследовательчости р, целиком или частично перекрываются для любого
значения п\ эти числа различны, если существует такое натураль-
ное число пу при котором интервалы лежат раздельно дру{
от друга. Согласно Броуеру, однако, эти две возможности вовсе не обра-
зуют собою полной альтернативы. Эго представчение прекрасно согла-
суется со свойствами континуума, данного нам в нашей интуиции, ибо
в нем раздельность двух мест переходит при их сближении в неотличи-
мость, так сказать, постепенно, через целый ряд расплывчатых промежу-
точных стадий. В континууме, по Броуеру, существуют точько непре-
рывные функции. Континуум нельзя составить из отдель-
ных частей. Так, я могу выделить из континуума вещественных чисел
подконтинуум положительных чи ел, использовав при построении ннгер-
галов и их последовательностей только положительные двоичные дроби,
но ошибочно представление, будто весь континуум состоит из положи-
те ьных, отрицательных и совпадающих с 0 чисел — состоит из них в том
смысле, что каждое число должно принадлежать к одному из этих трех
континуумов.
Та мысль, которая выражена в приведенной в гл. 1 цитате из Аристо-
теля, находит здесь себе гораздо более точное выражение. Вновь обре-
тает силу старый принцип, гласивший, что „нельз/i разделить то, что не
является само по себе разделенным" (Гассенди). Еще Демокрит совер-
шенно справедливо указывал, что, если я могу сломать палку, то, значит,
она и раньше не составляла некоего целого; неизбежным следствием отсюда
является строжайшая атомистика. Поэтому все теории естествознания, в ко-
торых последовательно проводится принцип непрерывности, как, например,
современная теория поля, возвращаются к той точке зрения, что образующая
палку континуальная реальность и после разлома ее сплошь заполняет прост-
ранство !). И если бы, в соответствии с парадоксом Зенона, отрезок длины 1
х , 1 1 1
можно былосоставить из бесконечного количества отрезков длины —, , —
2 4 8’ ’
взятых каждый как отдельное целое, то непонятно, почему какая-нибудь
машина, способная пройти эти бесконечно многие отрезки в конечное
время, не могла бы совершить в конечное время бесконечное множество
актов решения, давая, скажем, первый результат через */2 минуты, вто-
рой— через */4 минуты после этого, третий — через 78 минуты после
второго и т. д. Таким образом оказалось бы возможным в про!иворечие
с самой сущностью бесконечного чисто механическим путем рассмотреть
весь ряд натуральных чисел и полностью разрешить все соответствующие
экзистенциальные проблемы.
С точки зрения нашей интуиции против теории Броуера можно вы-
ставить еще то возражение, что она не преодолевает дискретное до конца,
поскольку она при помощи рациональных чисел устанавливает в конти-
нууме совершенно точные границы. Но следует иметь в виду, что тот
числовой осгов, на котором покоится выделение „двоичных интервалов",
ни на одной стадии процесса образования интервалов не является метри-
1) Ср. Weyl, Was 1st Materie, Берлин 1924.
25
чески точно фиксированным, напротив, точки, служившие разделительными
пунктами на более ранних стадиях процесса, все более и более уточня-
ются при его продолжении.
Исходным пунктом математики является ряд натуральных чисел, т. е.
закон У, порождающий из ничего первое число 1 и изо всякого уже за-
данного числа—число, непосредственно за ним следующее. Математические
теоремы частью относятся ко всей совокупности натуральных чисел, частью
же ко всей совокупности возникающих в результате актов свободного
выбора становящихся последовательностей натуральных чисел. Они отно-
сятся, следовательно, частью к простирающейся в бесконечность и по-
рождаемой беспредельным развертыванием управляемого в своем развитии
законом ряда натуральных чисел возможности, частью же к заложен-
ной в самой сущности становящейся числовой последовательности беско-
нечной свободе все новых и новых нич.м не детерминированных актов
выбора, которая способна на каждом шагу остановить на произвольном
месте начинающийся сызнова процесс развития ряда натуральных чисел.
В природе самого дела заложено, что то узрение сущности, из которого
проистекают общие теоремы, всегда основывается на полной индукции, на
изначальной математической интуиции. Применение мате-
матики в науках о дейтгвтгетьном мире, особенно в физике, в конеч-
ном счете также выражает собой тот факт, что мы в состоянии дать тео-
ретическое изображение бытия исключительно на фоне возмож-
ного1) (пример, пустое пространство как среда возможных простран-
ственных коинциденций). Математика не является окаменелой и приносящей
с собой окаменение схемой, как это часто думают профаны, нет, здесь
мы находимся как раз в том узловом пересечении необходимости и сво-
боды, которое составляет сущность самого человека.
В изложении Броуера математика приобретает максимальную инту-
итивную ясность, учение его является продуманным до самого конца
математическим идеализмом. Но математик со скорбью смотрит на то,
как словно туман расплывается большая часть его высоко вознесшихся
теорий.
5. Символическая математика Гильберта
Неужели не оставалось никакой возможности избежать стоть радикаль-
ных последствий? Решиться на такую жертву вдвойне тяжело в силу
того исторического факта, что в пределах самого анализа, несмотря на
самые смелые и многообразные комбинации, удалось при помощи чрез-
вычайно тонких методов достигнуть совершеннейшей строгости в заклю-
чениях и общеизвестного единодушия в оценке достоверности получен-
ных результатов. Гильберт берется „восстановить прежнюю добрую славу
непоколебимой строгости математики, как будто потерянную ею под
ударами парадоксов теории множестви утверждает, что это возможно
осуществить, сохранив за математикой все ее достояние. Орудием спасе-
ния при этом является испытанный им в разнообразнейших областях ма-
J) Некоторые замечания об этом имеются у Boscovich, Theoria philosophica
naturalis (Венеция 1763); вопрос о том, как может зависеть состояние реальной
материи от чего-то исключительно .возможного", рассматривается также в рас-
суждениях Эйлера об абсолютном пространстве.
26
тематики и физики и детальнейшим образом разработанный аксиома-
тический метод. Разумеется, это его обещание нельзя понимать
в буквальном смысле, ибо, несмотря на страстную полемику с инту-
иционистскими идеями Броуера и Вейля, и он совершенно убежден
в том, что сфера действия содержательного мышления не превосходит
пределов, установленных Броуером, и в том, чю оно не в состоянии
производить трансфинитных математических умозаключений и что транс-
финитные теоремы математики ни в коем случае нельзя почитать за
обладающие реальным содержанием, смыслом истины.
Гильберт стремится установить не истину старого анализа, а его непро-
тиворечивость 2). Этим по крайней мере был бы объяснен упомянутый
исторический факт полного единодушия всех работников на поприще
анализа.
Но для того, чтобы получить доказательство непротиворечивости,
Гильберт должен прежде всего „формализовать" математику. По-
добно тому как в системе геометрических аксиом не играет никакой
роли реальный смцсл в действительном пространстве понятий „точка",
„плоскость", „между* и т. д. и все внимание сосредоточивается на ло-
гической связи геометрических понятий и теорем, так и здесь, только
еще более решительным образом, должно быть изгнано какое бы то ни
было, хотя бы чисго логическое значение понятий. Теоремы превращаются
в лишенные всякого смысла фигуры, составленные из комбинаций не-
скольких символов, и математика оказывается уже не знанием, а управ-
ляемой некоторыми условными правилами игрой в ф о р м у л ы, вполне
подобной игре в шахматы. Шахматным фигурам в математике соответ-
ствует ограниченный запас символов, расположению фигур на доске —
объединение символов в формулу. Одна или несколько формул при-
нимаются за аксиомы; им соответствует известное расположение фигур
в начале шахматной партии. И подобно тому как в шахматах из какой-
нибудь конфигурации после подчиненного известным правилам передви-
жения фигур хода получается новое расположение фигур на доске, так
и в математике действуют формальные правила вывода, согласно
которым из одних формул могут быть получены, „выведены" новые
формулы. Под правильным расположением фигур на доске я понимаю
такое, которое получается из начального расположения в разыгрываемой
по всем правилам игры шахматной партии. В математике аналогом этого
служит доказуемая (или лучше — доказанная) формула, полу-
чающаяся из аксиом на основе правил умозаключения. Некоторые фор-
мулы определенного начертания мы называем противоречиями; так,
в шахматах мы, например, считали бы противоречивым положение, при
котором в игре налицо 10 королев одинакового цвета. Подобно тому
как мат является руководящей целью в шахматах, так и некоторые фор-
мулы вызывают в играющем в математику желание получить их в качестве
результирующей формулы из подходящим образом подобранной цепи
ходов в правильно разыгранной партии доказательства.
До сих пор все это — игра, но далее игра превращается, по выражению
*) Hilbert, Neubegriindung der Mathematik, Abh. aus d. Mathem. Sem. der Un.
Hamburg, т. I, 1922; Die logisvhen Grundlagen der Mathematik, Math. Annalen,
.t 88, 1922.
27
Гильберта, в„метаматематику\в предмет познания, ибо доказывается,
что конечная формула какого-нибудь доказательства
никогда не может оказаться противоречивой. Подобно
этому и шахматы перестают быть игрою, а становятся знанием, когда
доказывается,, что в шахматной партии при правильном расположении
фигур на доске 10 королев одинакового цвета на ней оказаться не могут. -
Это положение можно доказать следующим образом. П, авлла ходов
учат нас тому, что ни один ход не может увеличить суммы количества
пешек и королев одного и того же цвета. Вначале эта сумма равна 9,
поэтому она — здесь мы совершаем интуитивно-конечное умозаключение,
опираясь на принцип полной индукции, — ни при каком расположе-
нии фигур на доске не может превзойти 9. Для доказательства
единственно лишь этого обстоятельства Гильберт вынужхен при-
бегнуть к обладающему содержанием и смыслом мышлению, при этом
его доказательства отсутствия противоречия в конечной формуле какого-
нибудь доказательства протекает путем, совершенно аналогичным только
что указанному, хотя, естественным образом, и много с южнее последнего.
Из нашего изложения следует, что математика и логика дол-
жны быть формализованы з а о д н о. В связи с этим столь поноси-
мая философами математическая логика приобретает решающее значение.
В процессе построения системы появляется не только знак а, символи-
гирующий одночленную числовую операцию, порождающую из всякого
числа а ряда 0, 1, 2, 3,... число оа, непосредственно за ним следующее, но
и одночленная высказывателькая операция (Aussageoperation), трансфор-
мирующая высказывание а в высказывание non-л или же, символиче-
ски, — а *).
Далее точно так же устанавливается не только двучленное числовое отно-
шение а — Ь (в котором фигурирует известный знак равенства), но и дву-
членное высказывательное отношение а-+Ь (которое отрицает, что одно-
временно а может быть истинным, а b ложным, оно читается так: из а
следует Ь). Символ Za выражает свойство быть числом (принадлежать
ряду 0, 1, 2,...); Za читается так: а есть число. Мы рассматриваем, однако,
свойства и отношения как операции; так, например, операция по-
рождает из двух высказываний а и b новое предложение а—>Ь. По-
следовательно рассуждая, можно в таком случае эги символы писать и
перед ч денами, к которым применяются упомянутые операции. Мы вовсе
не боимся поступать таким образом, как если бы эти операции были
применимы ко всему возможному. Действительно, если применение наших
символов не приводит к противоречию в таком общем виде, то оно до-
пустимо и в том более узком круге, когда мы связываем с н м некото-
рое реальное содержание и значение; но отказываясь от подобных огра-
ничений, мы зато чрезвычайно упрощаем нашу формальную систему.
Наряду со знаками операций мы употребляем еще два рода символов,
а именно постоянные (как например 0) й переменные (л, Ь, х);
эти символы отличаются одни от других так, как шахматные фигуры
В основу своего изложения я положил значительно более простую, нежели
гильбертова, систему, разработанную проживающим в Цюрихе молодым матема-
тиком Ф. Нейманом. (См. Neumann, Zur Hilbertscheii Beweistheorie, Math.
Zeitschr., 1926. П p и м. п e p.)
28
различаются согласно правилам их передвижения. Термин формула
определяется рекуррентным образом: а) всякая постоянн .я или переменная
сама по себе представляет формулу; б) мы получим из одной, пли двух
(или нескольких) уже наличных формул новую формулу, если мы
поставим эти формулы в ка^ой-либо одно-, или двух-, или многочленный
символ операции. Можно всегда выясн ть, является ли какая-либо опре-
деленная комбинация символов формулой или нет, при том условии,
что символы выписаны доста/очно разборчиво и ясно указана их после-
довательность.
Нетрудно привести для примера несколько аксиом. При это1,
однако, мц в соответствии с обычным употреблением символов будем
вписывать символы =,—> снова между членами, а знак отрицания
будем писать поверх отрицаемого высказывания. При этом необходимо
придется прибегнуть к употреблению скобок.
/?—>(£—>#). (Истинное предложение достается справедливым, если
присоединить к нему лишнюю предпосылку а.)
(Ь-^с) -+[(а-+Ь) —>(а—>с)]. (Формула силлогизма.)
я—>(&—>£). (Принцип косвенного доказательства.)
а = а.
Z0.
Za-+Z (cd).
(a — b)-^(ca = cb).
Более целесообразно рассматривать написанное не как аксиомы,
а как схемы для образования аксиом: подставляя в любу.>
из этих схем вместо букв какие-либо формулы (при этом, конечно,
одинаковые буквы заменяются повсюду одними и теми же формулами),
мы получаем аксиому. Правило умозаключения гласит: из двух
формул а и а —> Ь> у которых го второй из них слева от знака стоит
первая формула, вытекает формула Ь. В том случае, когда одна из двух
разыгранных партий игры в доказательство приводит в результате к
формуле а, а другая — к противоположной ей формуле а, мы имеем
дело с противоречием. Если оставаться в круге только что
рассмотренной нами системы аксиом (перечисленных, впрочем, недо-
статочно полно), то нетрудно доказать положение об отсутствии
противоречия в конечной формуле какого-нибудь доказательства. Именно,
пользуясь рекуррентным методом, каждой формуле можно в соот-
ветствии со способом ее получения приписать одно из двух „значе-
ний* истинности или ложности так, что все эти аксиомы
прим т значения истинных. Формула а—^Ь будет принимать значение
ложной только в том случае, если а окажется истинным, а b ложным, п
наконец, предложение а будет ложным или истинным, смотря по тому,
истинно или ложно а. Из сказанного следует, чго поскольку транс-
финитное находится за пределами системы, постольку
силлогизм, дедуктивный метод остается совершенно
бессильным; мы оказываемся в состоянии установить истинность или
же ложность п 'сылки а в формуле а—+Ь только после того,
как уте установлена истинность или ложность предложения Ь.
29
Для введения трансфинитных способов умозаключения мы нуждаемся
в новом виде символов. Когда мы из какого-нибудь свойства схемы
высказывания а (х) с одной переменной или пустым местом х (вроде:
человек х подкупен) образуем высказывание: всех удовлетворяют вы-
сказыванию а (х) (все люди подкупны), то^мы фактически выполняем
некоторое логическое действие, исключающее переменную х из формулы
высказывания (х после этого более заменить ничем нельзя). Подобное
действие может быть названо интегрированием по х. В форма-
лизованной математике этому действию будет соответствовать некоторый
символ с индексом х. При этом трудность, связанная со свободным
применением в содержательном анализе выражений „существует* и
„все*, формально преодолевается следующим образом. В качестве
исходного пункта мы примем сначала старую, оспариваемую Бро-
уером дилемму, согласно которой либо все люди подкупны либо
существует по крайней мере один неподкупный человек; далее, если
все люди подкупны, то мы условимся понимать под словом
„Аристид* любого человека, в случае же обратном какого-либо из
неподкупных людей. Как известно, согласно Броуеру, мы имеем право
сделать вывод, что такой Аристид существует, только если мы су-
меем сконструировать его, исходя из свойства подкупности. Вообразим
же себе для этого некий божественный автомат, так устроенный,
что если мы бросим в него формулу высказывания а (х) с одной пере-
менной х, то он укажет нам на такого индивидуума ъха, который (по
отношению к свойству х) может репрезентировать собою всех людей,
причем репрезентировать он может их в силу того, что имеет силу
следующее предложение, если этот индивидуум хха обладает свойством
а, то сво йство а присуще всем людям. Символ хх при этом выражает
собой интегрирование по х. Если бы мы имели в своем распоряжении
подобный автомат, то он избавил бы нас от всех забот, но само собою
разумеется, вера в его существование является чистейшей бессмыслицей.
Математика, однако, поступает так, как если бы наш автомат существовал.
Это можно выразить при помощи определенной схемы аксиом и если
такая схема не влечет за собой противоречия, то ее употребление в
формализованной математике оказывается вполне законным. Схема эта
имеет такой вид:
т. е. гласит: возьми две формулы а, b и слева от символа выпиши ту
формулу, которая возникает из а, когда ты заменишь переменную х во
всех тех случаях, когда она встречается, формулой хха\ справа же выпиши
формулу, возникающую из а, когда ты точно так же заменишь х через
формулу &; полученная таким образом формула и будет аксиомой. Разу-
меется, эта схема не может оказать нам той услуги, что автомат, и когда
задана формула а, она не говорит нам, что собою представляет хха\
только при некоторых условиях базирующееся на наших аксиомах дока-
зательство в конечном итоге приводит к таким формулам, как, например,
~ха == 0. Гильберту удалось доказать отсутствие противоречия в конечной
формуле доказательств, включив в систему аксиом также и трансфинит-
30
ную схему (*). Одного рекуррентного подразделения всех формул на ж истин-
ные* и „ложные* недостаточно. Лишь в соединении с трансфинитным
становится, как нас уверяют, плодотворным силлогизм, но в результате
подобного их соединения мы далеко выходим за пределы той принципиально
доступной интуитивному узрению области, точные границы которой
стремился установить Броуер.
Одной трансфинитной аксиомы(*), конечно, недостаточно; для беспрепят-
ственного образования множеств и функций необходима еще и другая.
Ла пути к построению теории множеств в той всеобщности, которая
была ей придана Кантором, попрсжнему еще фигурируют в качестве пре-
пятствий типы Ресселя, но судьба анализа совсем не так уж тесно связана с
общей теорией множеств. Анализ, повидимому, может удовлетвориться пер-
вым типом, т. е. тем случаем, когда оперируют лишь аргументами и
элементами числового ряда 0, 1, 2, ...• Окончательная формулировка и
доказательство теоремы об отсутствии противоречия еще отсутствуют.
Однако ясно, что и в формализованной математике все богатство идей,
возникшее в процессе развития анализа, сохраняет — правда, в моди-
фицированном виде — свое значение.
Формалистические устремления, подобные тем, которые претворяет в
действительность Гильберт, лежали еще в основе „всеобщей характе-
ристики* Лейбница. Некоторые утверждения Лейбница звучат при этом
так, как если бы он полагал, что, с одной стороны, бесконечно малое
не поддается — так же как и интегрирование — никакой разумной
реальной интерпретации, но что, с другой стороны, в мире вещей все
происходит так, как будто бесконечно малое действительно существует,
для математика же важно лишь одно: чтобы это понятие могло быть
* без противоречий включено в его символическое исчисление.
Читателем, однако, вероятно уже давно начало овладевать чувство
тягостного стеснения, подобное тому, которое испытал,бы живой чело-
век, каким-то чудом перенесенный в царство теней. Где мы находимся?
Разве перед нашими взорами не восстает здесь только бескровный и
лишенный всякого содержания призрак прежнего анализа? Her сомнения,
ведь для того чтобы математика могла сохранить значение серьезного
культурного фактора, необходимо связать с гильбертовой игрой в фор-
мулы какой-нибудь смысл, и я полагаю, что возможен только один
способ придать этой игре вместе с ее трансфинитной частью самостоя-
тельное духовное значение. Теоретическая физика являет нам великий
пример познания совершенно иного типа, чем обычное интуитивное или
феноменальное познание, просто перетающее данное нам в интуиции.
Тогда как все суждения феноменального познания обладают каждое
своим собственным, целиком почерпанным в созерцании смыслом, отдельные
положения теоретической физики носят совершенно отличный характер:
когда теория сопоставляется с опытом, то сопоставлять пр .ходится
только всю систему как целое. В теории сознанию удается
„перескочить через свою собственную тень*, оставить позади себя ма-
терию непосредственно данного, представить трансцендентное, но само
собою разумеется, только в символическом виде. Теоретическое
оформление есть нечто иное, чем интуитивное узрение, и цель его
не менее проблематична, чем цель художественного построения. Над
31
идеализмом, призванным низвергнуть насквозь пропитанный с теоретико-
познавательной точки зрения абсолютистскими идеями наивный реализм,
возвышается третье царство, в пределы которого, например, вступил
Фихте в третий период своей философской деятельности. Но он стано-
вится жертвой еще и той мистической ошибки, согласно которой
трансцендентное может быть нами в конечном счете включено в круг
интуитивного узрения. Между тем здесь перед нами остается один
только путь символического построения, которое, полагаю я, никогда не
приводит к окончательному результату (в противоположность феноме-
нальному познанию, в которое хотя и могут в силу человеческого несо-
вершенства вкрасться ошибки, но которое по существу своему всегда
неизменно), а носимое процессом совершающейся в нас жизни духа по-
стоянно должно быть начинаемо сызнова. Символическое построение не
есть воспроизведение данного, но оно также не является, как этого
хотели бы иные крайние течения в новейшем искусстве, произвольной
пустой игрой. Изо всех принципов разума, руководящих процессом этих
построений, нам до сего времени удалось сколько-нибудь отчетливо
выяснить значение одного лишь принципа непротиворечивости, но едва ли
он является единственно решающим дело. Задачей математиков является
наблюдать за тем, чтобы по крайней мере это conditio sine qua non
было строго соблюдаемо. Если я назову феноменальную интуицию зна-
нием, то теоретическая интуиция покоится на вер е, на вере в ре-
альность собственного и чужого я, или в реальность внешнего мира, или
в реальность божества. И если органом первой является „зрение" в ши-
роком смысле этого слова, то органом теории служит „творческое начало".
Если Гильберт не занимается исключительно игрой в формулы, то он
стремится создать теоретическую математику в противоположность ин-
туитивной броуеровской. Но где же находится это утверждаемое верой
трансцендентное, к которому относятся наши символы? Я не предста-
вляю себе, чтобы его можно было найти, не слив воедино математику
и физику и не допустив, что математические понятия числа, функции
и т. д. (или же символы Гильберта) принимают принципиально то же уча-
стие в теоретическом построении действительного мира, как и понятия
энергии, тяготения, электрона и им подобные. Из истории физики видно,
что интуиция и теория постоянна должны итти рука об руку. С одной
стороны, нельзя отрицать, что феноменализм Маха был опровергнут тео-
рией атома, но с другой, теория относительности Эйнштейна показала,
сколь важную роль может сыграть возврат к интуитивному смыслу тео-
ретических построений (геометрия) и исключение чрезмерно произвольных
элементов (абсолютное пространство). Даже если развитие науки пойдет
далее в предуказанном Гильбертом направлении, все же вероятно в один
прекрасный день символ как средство теоретического воссоздания
континуума будет отброшен, как было отброшено абсолютное простран-
ство Нью юна.
Поэ тому существенно важно, что Броуер вновь укрепил в нас стрем-
ление к интуитивно данному. В его анализе отчетливо выступает со-
держание изначальной математической интуиции, и ему поэтому свой-
ственна свободная от какой-либо загадочности ясность. Но наряду
с броуерозским следует продвигаться и по предложенному Гильбертом
32
пути, ибо нельзя отрицать, что в нас жива непонятная с точки зрения
чистого феноменализма потребность в теории, творческий порыв которой
к символическому изображению трансцендентного нуждается в удовлет-
ворении.
Сам принимая участие в борьбе различных сторон, я пытался .sine»
ira et studio обрисовать современное положение вещей. Из изложенного*
в 11 дн о7^а1к~тесЙб стегается в своих основах математика с общимитфо-
блемачи познания. Здесь в новой и в высшей степени обостренной
Форме находит свое выражение и «древняя противоположность между
цэедш!змрм и идеали тлом, между бытием ^Дарменида и становле-
ние £ГТераклита. " ~
33
II. ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
В двух частях этой работы освещены некоторые важнейшие уста; овки
и обобщения философского характера, главным образом выработавшиеся
на почве магематических и естественно-научных исследований. На связь,
существующую между этими философскими построениями и великими
философскими системами прошлых времен, я буду указывать в тех слу-
чаях, в которых она мне представляется достаточно ощутительной. Пояс-
нительные примеры я буду выбирать возможно более простые; однако
в принципе занятие философией наук безусловно должно предполагать
знание самих наук.
Наш метод изложения основ математики будет вести отр поверх-
ности вглубь, и формальная трактовка проблем бесконечного будет пред-
шествовать^тр^ктовке их по существу.
Тщательное установление формальных предпосылок и строгая формули-
ровка этих издавна уже существующих и назревших проблем является
делом новейшего времени. Среди творцов философии Лсйбшш обладает
особенно острым пониманием сущности математики, и математика вхо-
дит в его систему философии в качестве ор1алической и важной ее со-
ставной час(и. "
А. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА. АКСИОМАТИКА
Мы обязаны грекам знанием того, что структура пространства, про-
являющаяся во взаимоотношениях пространственных образов и в законо-
мерных зависимостях между этими отношениями, представляет собой нечто
совершенно рациональное. В отличие, например, от единичного объекта
реального мира, когда мы должны всякий раз снова и снова обращаться
к нашей интуиции для выявления все новых его признаков, могущих быть
описанными только при помощи дескриптивных понятий довольно не-
определенного объема, структура пространства может быть исчерпывающим
образом охарактеризована посредством немногих точных понятий и в
немногих положениях — аксиомах, так что все геометрические понятия
мо!ут быть определены при помощи этих основных понятий, и всякое
истинное геометрическое утверждение являете! логическим следствие4:
аксиом. Благодаря этому геометрия явилась прообразом дедуктивной
науки. И в силу такого ее характера для математики представляют
выдающийся интерес те методы, посредством которых одни понятия
определяются через другие и одни суждения выводятся из ару-
34
гих. (Логика Аристотеля была по существу отвлечена из математики.)
Более того, и удовлетворительное обоснование самой математики прежде,
чем будет полностью объяснена сущность этих методов, представляется
невозможным.
1. Отношения и их соединение. Структура суждений
В геометрии Эвклида мы оперируем тремя категориями предметов:
точками, прямыми и плоскостями, не опреде 1яемыми, а рассматриваемыми
в качестве интуитивно-данных, и тремя основными отношениями: „лежать
на" (точка лежит на прямой, прямая лежит на плоскости, точка лежит
на плоскости), „между" (лочка z лежит между точками х и у) и „кон-
груентный" (коигруентность отрезков и углов). Аналогичным образом в
области натуральных чисел 1, 2, 3,... единстве шым основным отноше! ием,
при помощи которого определяются все прочие, является отношение,
существующее между числом п и следующим за ним числом натурального
ряда п. Хороший пример для учения об отношениях представляют собой
отношения родства между людьми. Здесь мы имеем дело с двумя основ-
ными категориями, именно, лицами мужского и лицами женского пола, а
в качестве основных отгюшеяпй выступают отношение детей к родителе
(х дитя у) и брак (х состоит в браке с у). Схема суждения о каком-
либо отношении, например: х следует за у, содержит одно или несколько
пустых мест х,у,..., каждое из которых относится к определенной кате-
гории предметов. Определенное суждение, например: 5 следует за 4, по-
лучается из схемы суждения тогда, когда каждое пустое место заполняется
каким-либо определенным предметом соответствующей категории. Наша
речь не отражает точно структуру подобных суждений об отношениях, —
в них не существует субъекта, связки и предиката, а имеется лишь от-
ношение с двумя равноправными пустыми местами, заполняемыми пред-
метами. Для того чтобы освободиться от случайных грамматических форм
речи, можно было бы схемы суждений об отношениях заменить деревян-
ными дощечками со вставленными в них колышками, соответствующими
пустым местам схемы, а предметы — небольшими просверленными шари-
ками, которые можно было бы насаживать на эти колышки. Сами по
себе это столь же целесообразные символы, как и слова. Два суждения
такого рода, как „5 следует за 4“ и „4 предшествует 5", выражают одни
и то же отношение между 4 и 5; в этом случае несправедливо было бы
говорить о двух обратных друг другу отношениях. Разумеется, пустые
места обладают каждое в схеме суждения своим специфическим местом,
и те отношения У? (ху), которые (как, например, х брат у) имеют то и е
значение (или же обладают одинаковым по значению объемом), что и У? (ух),
отличаются некоторым особенным свойством (переместительностью). В
число отношений мы включим также и свойства, подобно тому как
единицу мы считаем числом; соответствующая свойствам схема суждения
содержит только одно пустое место.
В пятом письме к Кларку Лейбниц (Hauptschriften, изд. Cassirer, Phil.
Bibl., т. 107/108; I, стр. 185) говорит о некотором „отношении между L и УИ,
не обращая внимания на то, какой его член является предшествующим
или последующим, какой субъектом или объектом". „Нельзя сказать,
36
что они оба — L и М — вместе представляют собой субъект подобной ак-
циденции, ибо в этом случае мы получили бы одну акциденцию в двух
субъектах, которая таким образом как бы стояла одной ногой в одном,
а другой в другом субъекте, что несоединимо с понятием акциденции.
Поэтому следует сказать, что отношение вообще существует вне субъек-
тов и что оно, поскольку оно не является ни субстанцией, ни акциден-
цией, должно представлять собой нечто чисто идеальное, исследование
чего, однако, не становится от эюго менее плодотворным". То (выска-
зываемое или молча принимаемое) мнение, будто каждое отношение должно
основываться на свойствах, причинило много вреда философии. Если,
например, суждение, что одна роза окрашена отлично от другой, осно-
вывается на том, что одна из них красная, а другая желтая, то отноше-
ние „точка А лежит слева от В11 не обосновывается на каких-либо качест-
венно отличных положениях точки А самой по себе и В самой по себе.
Сказанное имеет силу и для отношений родства. Оспариваемое здесь мне-
ние имеет своей основой, очевидно, область чувственных данностей, спо-
собных дать только свойства, но не отношение. Поэтому-то Лейбниц
в цитированном отрывке считает отношение чем-то чисто идеаль-
ным. Об отношениях, в которые входит более двух членов, в логико-
философской литературе почти что не упоминается. Введение схем суж-
дений с пустыми местами представляет собой важное преимущество
математической логики по сравнению с традиционной; по аналогии с
математическими функциями, доставляющими число при замене их аргу-
ментов или пустых мест чисшми, эти схемы суждения часто называют
также пропозициональными функциями („функциями суждения" — Urteils-
funktio^en). — В аксиомах арифметики наряду с отношениями играют роль
также и операции, например действие сложения, порождающее из двух
чисел a, b третье число а Ь. Однако мы можем заменить это действие
отношением а -|~ b — с, существующим между трэмя числами а, с; это
отношение „однозначно" по отношению к аргументу су т. е. для двух
любых зисел а и b всегда существует одно и только одно число г, стоя-
щее к ним в отношении а~\-Ь = с. Поступая так, мы подчиняем гене-
тическое построение покоящемуся быгию отношений; в дальнейшем,
однако, мы, наоборот, заменим все отношения конструктивными про-
цессами.
Принципы комбинирования отношений таковы:
1. В схеме oiношения с несколькими пустыми местами можно за-
ставить совпасть отдельные пустые места, их отождествит». Так, на-
пример, из Сл?мы N{xy)— пх племяннику", возникает N(xx)—„х пле-
мянник самого себя". _
2. Отрицание. Символ: —. Из N (ху) возникает А^(ху): „х не есть
племян! ик у".
3. „И". Символ &. Из N(xy) и V(ху) (что означает „х отец у") воз-
никает, например, отношение с тремя пустыми местами: V (ху) & N(yz)—
„х отец у и у племянник z“. Следует указывать, какие пустые места
обеих соединяемых нами схем совпадают друг с другом. В символике это
осуществляется употреблением одинаковых букв для обозначения таких
мест.
4. „Или". Символ V- ^(Х.У) \/М(ух), т. е. ах отец у или у племянник гт.
36
Соединение при помощи „или* может быть также выражено при помощи
отрицания и соединения союзом „и", и наоборот1).
5. Замещение пустого места каким-нибудь непосредственно ука-
занным предметом соответствующей, категории. V (я, х) означает: „я отец
х“\ это есть содержащая только одно пустое место х схема того свой-
ства, которое присуще исключительно моим детям.
6. Все. Символ Пх. Например, означает: „все х (соответ-
ствующей категории) находятся к у в отношении R(xy)“.
7. Существует. Символ ^у/?(ху) означает, что существует
такой у, к которому х находится в отношении R(xy). и IIV могут
быть посредством отрицания сведены один к другому, подобно \/ и &. В
схеме, которой предшествует з ак IIV или знак с индексом х, пустое
место х также терчет свое свойство быть замещаемым, как и при заме-
щении его согласно 5-му принципу. В помощь обоим последним прин-
ципам построения к числу непосредственно заданных отношений нашей
области предметов всегда пр .соединяется еще двучленное отношение
логического тождества х=у.
Примеры. 1. Допустим, что знак (хд) выражает собой то, что
точка х леж^т на прямой д. Согласно Эвклиду, в геометрии на плоскости
параллельность двух прямых g || д' заключается в том, что они не имеют
ни одной общей точки (х). Тогда определение отношения g || д' будет
таково:
2. Утверждение, что через две различные точки (х,у) всегда прохо-
дит одна прямая (д), следует записать так:
1уТД(Х=у) V Eg {И) & М)’
3. В области натуральных чисел р называется простым чистом тогда,
когда не существует никаких отличных or 1 чисел х и у, наход шлься
к числу р в отношении х*у = р. Свойство числа р быть простым сле-
дует определить так:
nynx((x = l)V(J'==l)V х-у=р).
Исходя из непосредственно заданных основных отношений какой-либо
области предметов и применяя наши принципы произвольным образом,
мы будем получать неограниченное количество новых „ производи ых"
othoiu ний (к которым, разумеется, мы причислим та хке и основные).
Среди них мы встретим, в частности, отношения, содержащие только
очно щетое место, которые мы назовем „производными свойствами*.
Э Лейбниц употреблял для „и* и „или* символы • и 4-. Мы отказываемся от
такого знакоупотребления во избежание смещения с арифметическим сложением
и умножением. Формальная аналогия их пр^яв яется в установленном Ламбертом
(Acta eiudit., 1765, стр. 441) распределительном законе:
а (Ь + с) = (а • Ь) + (а • с).
К лейбпицеву употреблению знаков примыкает наше применение символов произ-
ведения и суммы 11 и £ в и 7-м принципах.
37
Из третьего примера (определения простого числа) достаточно ясно
видно, как подобное производное свойство Е (х) служит в качестве
„differentia specifica" (в смысле аристотелевой логики) для того,
чтобы образовать новое понятие о предмете из „genus proximum" той
категории предметов, к которой относится его пустое место. Далее,
среди производных схем суждения имеются и такие, которые вообще
уже не обладают свободными местами, как во втором примере; это
„специфические суждения" нашей области предметов. Если
бы нам было известно о каждом из этих суждений истинно оно или
нет, то мы обладали бы совершенным знанием предметов соответствую-
щих категорий пр менительно к непосредственно заданным у них основ-
ным отношениям. Логическая структура подобного суждения может быть
удовлетворительно описана лишь в том случае, когда будет указано, ка-
ким именно образом, в какой последовательности и в каких комбинациях
участвовали в его выве 1ении из основных отношений наши семь принци-
пов. Мы здесь бесконечно далеки от старой теории, согласно которой
предложение всегда состоит из субъекта, предиката и связки. Изложен-
ный синтаксис отношений дает прочную ocHoiу для логической кри-
тики нашей речи.
Сравни, например, рассуждения Ресселя (Einfuhrung in die mathematische
Philosophic, гл. 16) об употребленном не в указательном смысле определен-
ном члене (например в суждении: d i е durch die beiden voneinander verschie-
denen Punkte Л, В hindurchgehende Gerade geht auch durch C hindurch,—
проходящая через две различные точки А, В прямая проходит также
через точку С).
Общим называется такое суждение, в построении которого ни разу
не принимал участия 5-й принцип замещения каким-либо непосредственно
указанным предметом („вот этим")- Противоположными им являются част-
ные суждения. (Можно различать еще абсолютно частные суждения,
когда npi меняется только 5 й принцип замещения, но не Щ и не
от „смешан 1ых" обще-частных.) Предмет а является особой сущно-
стью (Sonderwesen), если он полностью характеризуется каким-либо спе-
цифическим общим свойством, т. е. если без применения 5-го прин-
ципа конструируется свойство, присущее предмету а и не присущее ни од-
ному другому предмету соответствующей категории. Экзистенциальные суж-
дения могут быть высказываемы только по отношению к чему-либо опи-
санному таким образом при помощи свойства, но не по отношению к
чему-либо только названному; симзол £л. обязательно имеет своим ин-
дексом пустое место х (замечание, которое можно использовать для
критики онтологического доказательства бытия божия). В пж еделах об-
ласти »<исел 1 является особой сущностью, так как 1 является единствен-
ным числом, не следующим ни за каким другим числом. Все числа
числовых рядов суть особые сущности. Этим в первую
очередь объя 'няется чувство таинственности числа, числовая магия:
в числовой последовательности кажется, что мышление порождает из
самого себя б сконечное многообразие совершенно своеобразных осо-
бых сущ остей. Это чувство мы испытываем, нащшгм^
законом распределения прорда^^иседННз точно так же hi свободном
постр )ении и индивидуальном характере чисел покоится и их применение
38
для точного теоретического познания действительности. С точками в
пространстве дело обстоит как раз наоборот: выведенное из основных
геометрических отношений без указания частных точек, прямых или
плоскостей и присущее какой-либо одной точке свойство — присуще
также всякой другой точке. В этой логической однородности
пространства отражается его интуитивная однородность. На это же ука-
зывает и схватывающее принципиальную сущность „подобия" фигур
з геометрии определение Лейбница' „подобно то, чго, будучи рассматри-
ваемо само по себе, не может быть отличено от другого" (Mathem.
Schriften, изд. Gerhaidt, V, стр. 180).
2. Творческое определение в математике
Наряду с рассмотренным в первом параграфе формально комбинаторным
определением производных отношений в математике существует и творче-
ское, порождающее новые идеальные предметы определение. Так, например,
в геометрии на плоскости на основе выраженного в аксиомах трехчлен-
ного точечного отношения конгруентносги О А — ОВ понятие окруж-
ности определяется следующим образом: точка О и отличная от нее точка А
определяют окружность, именно, окружность „с центром в О, проходя-
щую через А“. Принадлежность точки Р ^кпужности обозначает, что
О А = ОР. Для математика совершенно безразлично, что такое окруж-
ности, для него важно только знать, каким образом может быть задана
окружность (именно, точками О и Д) и что означает выражение, что
точка Р принадлежит заданной таким образом окружности. Только в
суждениях такого рода, да в тех, которые определены на основании их,
явным образом участвует понятие окружности. Поэтому окружность,
определяемая точками О и Д, тождественна с окружностью, определяемой
точками О’ и Д', тогда и только тогда, когда все точки, принадлежащие
первой окружности, принадлежат также и второй, и наоборот. Из гео-
метрических аксиом следует, что этот критери !, имеющий дело с беско-
нечным многообразием всех точек, может быть заменен конечным: О’
должно .совпадать с (Тчт .редщям РА
Дальнейшие пр и\е р ы. 1. Никто не может определить; что такое
функция. Однако: „функция / задана, если каждому вещественному
числу а каким-либо определенным зако юмерным образом ставится в
соответствие число ^^^например^ при гомощи формулы Ь =
ТоТд1 говорят, что b является з^дчениеьт функции f при значении
аргумента, равном а. Вследствие этЬго две (определенные различными
способами) функции считаются равными тогда, когда при всех возмож-
ных значениях аргумента а оба соответствующие им значения функции
всегда совпадают.
^^'тВт’ПГонёчно удаленные точки" эвклидовой геометрии, в
которых будто бы пересекаются параллельные прямые, представляют
собой подобные идеальные э юменты, присоединенные к действительным
точкам при помощи творческого математического определения. Таким
же способом можно и в бол е общем виде, исходя из геометриче-
ских образов какой-либо ограниченной и единственно нам доступ-
ной части пространства /?, ввести, присоединить в качестве идеальных
39
элементов и недоступные (включая бесконечно удаленные) точки и таким
путем расширить ограниченную часть пространства до полного про-
странства проективной геометрии. Для этого надо при помощи гео-
метрических построений в Л? установить, когдт несколько действи-
тельных, т. е. пересекающих R прямых, исходят из одной идеальной
точки. Прэще всего определить эту точку как вершину некоторого (об-
разуемого действительными прямыми) трехстороннего угла. Таким путем
получается следующее определзние: „три не лежащих в одной плоскости
прямых а, Ь, с, каждая пара которых лежит в одной плоскости, опреде-
ляют некоторую „идеальную точку" [а, Ь, с]. Утверждение, что прямая
g проходит через эту точку, означает, что g лежит в одной плоскости
с а, а также с Ь и с с". Отсюда затем можно вывести, когда следу т
считать две таких идеальных точки тождественными. Каждой действи-
тельной точке р соответствует одна и только одна идеальная точка г,
обладающая тем свойством, что всякая проходящая через р прямая
проходит в смысле нашего определения через 7:. Таким образом
можно отождествить часть идеальных точек с дейс вительными (ср. Pascb,
Vorlesungen uber neuere Geometric, 1882, стр. 40). Подобным же путем
в математике постоянно производится расширение первоначально заданной
озласти операций при помощи присоединения идеальных элементов, при-
чем делается это для того, чтобы сообщить всеобщую применимость
некоторым простым законам. Так, например, введение бесконечно уда-
ленных точек имеет сзоим последствием, что не только всегда оказы-
вается возможным соединить две различные точки одной прямой, но и
что две различные прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересе-
каются в одной точке. Введение в геометрию мнимых величин
для установления некоторых всеобщих теорем о точках пересечения алге-
браических поверхностей и кривых, введение Кум-ером в теорию чисел
идеальных чисел дня восстановления первоначально утрачиваемых
при переходе от рщиональн jx чисел к алгебраическим законов разло-
жения на множители, — представляют собой наиболее блестящие примеры
плодотворности метода идеальных элементов.
Частным случаем этого метода является определение путем
абстракции. Двучленное отношение а^Ь в какой-либо области
объектов называется отношением эквивалентности (отноше-
нием, имеющим характер равенства), если имеют место сле-
дующие условия:
D а^а\
2) если то и Ь^а (переместительное свойство);
3) если а^Ь и то и а^с (свойство транзитивности).
Если условиться в том, что два объекта а и b отличны тогда и
только тогда, когда они не удовлетворяют отношению эквивалентности
то из первоначапьной области объектов возникает „путем аб-
стракции" новая область объектов.
Примеры и пояснения. 1. По лобзе геометрических фигур
является от юшением эквивалентности. Каждой фигуре приписывают опре-
деленную „форму" и принимают, что две фигуры имеют одну и ту же
форму тогда и то 1ько тогда, когда они подобны. Выражаясь более фило-
софским образом, мо кно сказать: понятие формы возникает из понятия
40
фигуры, если отвлечься от положения и величины. С практико-познава-
тельной точки зрения установление такого отвлеченного понятия означает,
что в данном случае должны быть учтены только инвариантные
свойства и отношения первоначальных объектов. Отношение 7? (ху)
инвариантно по отношению к эквивалентности если всегда, когда
b' ^Ь, наряду с R(ab) имеет место R(ab').
2. А и В. два множества предметов (например множества людей и
стульев, находящ!хся в одном помещении) мы назовем равночисленными,
если возможно одно-о днозначным образом сопоставить элементы
множества А с элементами множества В (если возможно рассадить на
каждом стуле по одному человеку так, чтобы не осталось свободных
стульев и вместе с тем каждый человек имел свой стул). Равно числен-
ность, очевидно, представляет собой отношение эквивалентности. „Каждое
множество определяет‘некоторое число; два множества определяют одно
и то же число тогда и только тогда, когда они равночисленны* (это
определение встречается еще у Юма, Treatise on human nature, ч. Ill,
разд. 1). В бэлее неточной форме это обыкновенно выражают так: число
получается из множества, если отвлечься от природы его элементов
и считаться только с фактом их различия. Выставляемое иногда воз-
ражение, что если все элементы деградируют до положения простых
единиц, то они сливаются в единое неразличимое целое, опровергается
вышеприведенной более строгой формулировкой.
Как раз на этом примере с числом можно показать, в каком смысле
опред ленке посредством абстракции является частным случаем тв <рче-
ского определения. Оно подчиняется последнему таким образом: „Каждое
множес во А опредет ет некоторое число (Д). Утверждение, что множе-
ство М состоит из (Д) элементов, означает, что М рав очисленно
с Д“. В соответствии с этим число (Д) совпадает с числом (В), если
каждое множество М, ко орое ~Д, также и и наоборот. Но
согласно установленным условиям эквивалентности 2) и 3) это может
произойти в том и только в том случае, если А В. Наконец, усло-
вие 1) гарантирует нам то, что само множество А в частности также
состоит из (Д) элементов.
3. По Гауссу два целых числа называются сравнимыми по модулю 5,
если их разность делится на 5. С 'авнимость есть отношение, имеющее
характер р веисгва; посредством соответствующей абстракции из целых
чщел возникают числа, сравнимые по модулю 5. Так как действия
сложения и умножения инвариантны по отношению к сравнимости, то мы
таким образом получаем конечную область, состоящую из пяти элемен-
тов, в пределах которой может быть развита алгебра, подобная той,
которая существует в бесконечной области обыкновенных рациональных
чисел. ЗдеС', например, 2-f—4== 1, 3-4 = 3 (mod. 5). Далее, здесь
возможно не только вычитание, но и деление, поскольку 5 число про-
стое. Пример этот играет фундаментальную роль в теории члсеи
Принцип определения посредс гпм а'стракции я нахожу выраженным
в общ 1х чертах у Лейбница, в пятом его письме к Кларку.
Он говорит там (Auswahl v. Cassirer, I, стр. 185): „Впрочем, я по-
ст пил приблизительно так, как и Эждил; когда он не мог прямо
определись абсолюшый смысл какою-нибудь геометрического отношения,
41
то он указывал, что следует понимать под равными* отношениями". И
несколько выше он пишет: „дух, однако, не удовлетворяется этим соот-
ветствием, он ищет тождества, вещи, которая действительно была бы
той же самой, и он представляет ее себе как бы находящейся вне
субъекта". В математике принцип этот приобрел особенную силу и при-
том в многообразных его проявлениях только в XIX веке. Сознательно
сформулированным во всей его всеобщности он встречается у Паша
(1882) в уже цитированном отрывке, еще отчетливее он у Фреге (Die
Grundlagen der Arithmetik, Breslau 1884, § 63—68). Затем ср. Helmholtz,
Zahlen undvM>ssen (1887), Wissensch. Abhandlungen. t. 3, стр. 377.
Представляется как будто бы возможным наряду с математической
формой абстракции поставить еще другую, изначальную абстракцию.
Я могу выделить в цветке абстрактный момент цвета как такового;
эта абстракция явчяется здесь первичной, а основывающееся на ней
эвентуальное суждение, что два цветка имеют оба одинаковый крас-
ный цвет, является вторичным. Между тем в случае математической аб-
стракции равенство является первичным, а тот момент, по отношению
к которому имеет силу равенство, получается лишь на основе отношения
равенства. Однако я также могу охарактеризовать числа класса чисел,
сравнимых по модулю 5, тем, что все они при делении на 5 дают один
и тот же остаток, а подобие двух треугольников—тем, что величины углов
и отношений сторон в обоих треугольниках одинаковы. Общий способ
построения остатка или же указанных величин играет здесь роль момента
„цвета", а тождественность получающихся для обоих предметов резуль-
татов— роль тождественной „красноты" у двух чувственных вещей. Таким
образом изначальная абстракция подчинена математической. Я, однако,
не в состоянии выразить при помощи какого-либо объективного признака
то общее, что присуще всем конгруентным треугольникам, или то
общее, что присуще всем находящимся в одном месте телам (на этот
пример указывает в приведенном отрывке Лейбниц), я могу лишь ука-
зать: конгрзентно с данным треугольником, находится в данном
месте. Интересующий нас вопрос связан с проблемой относительности,
с противоположностью, существующей между абстрактным определением
и интуитивным указанием. Однако и в том и в другом случае существен-
ным моментом является преобразование общего признака в некоторый
идеалыъ й объект, например свойства быть красным в носящий харак-
тер предмета „красный цвет", к обладанию которым „причастны" крас-
ные вещи.
Каждому свойству Е (х), обладающему смыслом в пределах некоторой
заданной категории предметов, мы ставим в соответствие некоторое
множество, именно, „множество вещей х, обладающих свойством Еи.
Так, например, мы говорим о множестве всех четных чисел, о множестве
простых чисел, о множестве всех точек, лежащих на данной прямой.
Следует особенно остерегаться того представления, будто подобное мно-
жество как бы собрано из его отдельных элементов. То обстоятельство,
что мы знаем какое-либо множество, означ 1ет лишь, что нам дано ка-
кое-нибудь характерное для его элементов свойство. Только в случае
конечных множеств нарлту с общим описанием может существовать и
индивидуальное описание, состоящее в указании каждо!о из его
42
элементов. [Впрочем, последнее можно формальным образом подчинить
закономерному описанию: например образованному из трех данных
предметов а, Ь, с множеству соответствует свойство быть либо а, либо Ь,
либо с: (х= аУ \/(х— Ь)\/ (х = с).] При некоторых условиях двум
различным свойствам Е и Е соответствует одно и то же множество—
это имеет месю именно тогда, когда каждый предмет (нашей категории),
которому присуще свойство Е, обладает также и св йством Е3 и наобо-
рот. Таким образом для тождественности двух множеств, в противопо-
ложность свойствам, существенным является не способ их определения
из основных отношений (при помощи перечисленных в § 1 принципов),
а только некоторое фактическое, не вытекающее из смысла определения,
а относящееся к категории существующих предметов обстоятельство,
именно — принадлежность каждого элемента одного множества к другому,
и наоборот. Если так трактовать понятие множества, то ясно, что твор-
ческое определение есть не что иное, как переход от свойства к мно-
жеству, так что возведение новых математических надстроек путем уста-
новления новых классов идеальных объектов может быть в общем виде
охарактеризовано как образование множеств. Теперь уже нет
ничего предосудительного в определении круга с центром в О, и про-
хотящего через А, как множества всех точек Р, расстояние которых
от О равно ОА\ цвета кжого-нибудь предмета — как множества всех
одинаково с ним окрашенных предметов; числа 5 — как множества всех
тех совокупностей, которые равночисленны с данной совокупностью
пальцев моей правой руки. Разумеется, иллюзия предполагать, будто
благодаря этому мы оказываемся способными конкретно постичь идеаль-
ные предметы (иллюзия, жертвами которой явились Дедекинд, Фреге и
Рессель, представляющие себе очевидно „множество" как некоторый
коллектив). Скорее наоборот, можно сказать, что благодаря принцип}
творческого определения удалось раскрыть смысл общего понятия мно-
жества и оградить его от ложных толкований. Употребляемые при
образовании нового абстрактного понятия Ф свойства, вообще гово-
ря, зависят от одного или нескольких аргументов иу , могущих
свободно изменяться в некоторых областях объектов: Ф является функ-
цией и, 17,... Так, в случае определения круга трехчленное отношение
QP — OA рассматривается как зависящее от О и от А отношение (свой-
ство) с одним пустым местом Р; „круг с цен«ром в О и поэходящий
через А“ есть функция О и А, Большую важность представляют тс
случаи, в которых трансфинигный, апеллирующий ко всей совокупности
претметов какой-нибудь области критерий совпадения двух значений
Ф (и, 17,...) и Ф (и, д/,...) известного абстрактного попятит может быть
на основании некоторых, имеющих общее значение условий преобразо-
ван в критерий финитный, явствующий из смысла определяемого отно-
шения, как это имею место в случае круга и определений посредством
абстракции. Идеальные элементы можно также определять вместо свойств
отношениями. Если угодно придерживаться и в этом пункте теоре-
тико-множественной терминологии, то, например, каждому двухместном^
отношелию мы должны поставить в соответствие „двухместное
множество" (Р) таким образом, что (У?) является тождественным с
(/?') в том случае, если для любых элементов а и b не может быть из
43
двух суждений Ь) и/?' (л, Ь) одно истинным, а другое ложным.
В соо!ветствии со все i сказанным окончательн ш форму ировка прин-
ципа твлрческого определения такова: отношение 7? (х../& ц..
одни пустые места которого ху... отделены от других
определяет некоторое зависящее от uv абст-
рактное понятие Ф (ни..); Ф {ttv...) — Ф (й'-г/...) тогда и толь-
ко тогда, когда предметы соответствующей ка-
тегории, находящиеся к и, v... в отношении /?, всегда
находятся в том же самом отношении R и к и’, v'.и
наоборот.
3. Логическое умозаключение
Теперь, по~ле того как мы рассмотрели вопрос об определении, пе-
рейдем к проблеме доказательства. Если представить себе какую-
либо геометрическую теорему в виде гипотетического суждения, боль-
шая посылка коюрого состоит из всей совокупности геометрических
аксиом, и если заменить мысленно сокращенные выражения тем, что они
означают согласно их определению, то мы получим „формально
справедливое* „аналитическое* суждение, истинность
которого ни в коей мере не связана со смыслом заключающихся в нем
понятий: точка, прямая, плоскость, лежит на, между, конгруентный. За-
дачей логики умозаключения является дать характеристику тех структур
суждений, которые обусловливают формальную справедливость с\ждения.
Формы Barbara, Baralipton и т. д. прино ят в этом деле небольшую по-
мощь. Л.йбниц видел в учении об „argumens en forme* une espece de
Mathematique uni versell e, dont 1’importance n’est pas assez connue
(своего рода универсальную математику, значение которой еще недоста-
точно известно; Nouveaux Essais, кн. IV, гл. XVII, § 4).
Ту часть логики, которая оперирует исключительно логическими связ-
ками „не*, „и*, „или*, мы противопоставим в качестве финитно й^ло-
г и к и логике транс финитной, которая кроме этих связок пользуется
еще высказывательными операциями: „существует* и „все*. Причина
этого подразделения в следующем. Если передо мной лежат несколько
кусков мела, то суждение, „все эти куски белые* представляет собою
только сокращение такого суждения: „этот кусок белый & этот кусок
белый &... (причем я указываю на них один за другим); точно так же
суждение „среди них существует красный кусок* есть лишь сокращенное
выражение для суждения: этот кусок красный \/ этот кусок красный \/...
Но подобное толкование возможно только в случае конечных множеств,
элементы которых заданы. В с лучле же бесконечных множеств в смысле
выражений „все* и „существует* заключается глубокая проб юма, рас-
положенная в самом центре математики и составляющая истинную тайну
бесконечного. Этот* вопрос будет рассмотрен нами в ближайшей г аве.
Здесь нллицо имеется аналогия с переходом от конечных сумм к бес-
конечным,— смысл последних связан с известными условиями сходшо-
С1И, и ими не во всех отношениях можно оперировать как конечными
суммами.
В исчисление предложений целесообразно ввести наряду с символами
для „нет*, „и“, „или* еще символ а—>Ь, читающийся гак: из а следует Ь.
44
Он означает не что иное, как <1 \/Ь (аибо а ложно, либо Ь истинно)
и не выражает никакой отличной от этого и более глубокой свази
между высказываниями а и Ь.
Впрочем, можно было бы ограничиться только двумя из числа четырех
символов—, &, V,~>; в исчислении предложений целесообразно избрать
символы—> и—. Более того, достаточно одного символа а/Ь, означаю-
щего несовместимость предложений а и b (а V Ь).
Именно, вместо
а, а->Ь, а&Ь; а \/ Ь
можно писать:
а/а, аДЬ/b), (а/Ь)/(а/Ь), (а/а)/(Ь/Ь).
Однако мы для большей ясности будем пользоваться здесь всеми че-
тырьмя символами.
В финитно-логической формуле буквы („высказывательные перемен-
ны"), которые можно заменять любыми предложениями (суждениями,
не имеющими пусты: мест), соединяются этими четырьмя знаками—,
Пример:
Ь->(а->Ь).
Существует общее правило, при помощи которого может быть уста-
новлена формальная истинность подобной формулы. Для этого следует
придать входящим в формулу буквам одно из значений „истинного" W
или «ложного" F во всех возможных их комбинациях и затем опреде-
лять значение всей формулы в цепом для каждой комбина! ии в отдель-
ности, пользуясь следующей табличкой для определения значений раз-
личных комбинаций:
а Ь а ->Ь а&Ь а Vb ! I!
а а W W W W W
W F W F F F W
F W F W W F W
F F W F F
(Количество подлежащих испытанию комбинаций в том случае, на-
пример, когда в формуле имеется 5 различных переменных предложений,
равно 25.) Если в каждом случае значением формулы явится W, то она
формально истинна. Это правило, о котором можно сказать, что оно бази-
руется на законе противоречия и tertium non datur (исключен-
ного третьего), я буду называть кратко «финитным правилом".
45
Пример:
На этой ступени можно таким образом по определенной схеме,
пользуясь комбинационным методом, непосредственно решить, является ли
данное утверждение логическим следствием некоторых других положений
или нет, в том случае, если предпосылка и утверждение построены
из суждений а, Ь,... (смысл которых совершенно безразличен) при по-
мощи четырех действий , —&,
Дело коренным образом изменяется, как только на сцену выступают
„существует" и „все" (вместе с которыми в формулах появляются также
пустые места). Операции и IIV требуют некоторого построения:
некоторые формально справедливые основные формулы мы выставляем в
качестве логических аксиом, а затем устанавливаем правило,
при помощи которого из одних формально справедливых суждений воз-
никают новые формально справедливые суждения. Это — то самое пра-
вило логики, которое применяется во всех теоретических науках, а именно,
силлогизм. Силлогизм гласит: если у тебя имеются суждение 21 и су-
ждение 21 —> 23, в котором слева от знака находится первое сужде-
ние, то ты можешь утверждать истинность суждения 23. Все структуры
суждений, полученные из аксиом путем повторного применения этого
правила, носят аналитический характер, причем невозможно дать описа-
тетьную характеристику всему бесконечному многообразию отдельных
структур независимо от способа конструктивного порождения их. И з
этого вытекает необходимость постепенного, идущего
шаг за шагом, доказательства. Поэтому можно, придавая не-
сколько иной смысл крылатому выражению И. Фриза, говорить об „из-
начальной неясности разума". Мы не обладаем истиной,, мы завоевы-
ваем ее путем активного действия.
Галилей (Dialogo, Орегё complete, Firenze, 1842/56, т. I, стр. 116)
высказывает довольно распространенное в то время убеждение, когда
он усматривает в этом различие человеческого познания от божеского.
„Тогда как Он познает посредством одного лишь узрения, хмы переходим
от одного умозаключения к другому путем постепенных рассуждений.
Так, например, мы начинаем свое познание свойств окружности, которых
имеется бесконечно много, с простейшего свойства, которое мы прини-
маем за определение окружности, и затем путем умозаключений пере-
46
ходим от этого последнего ко второму свойству, от второго — к треть-
ему, затем к четвертому и т. д. Напротив, божественный разум в одном
лишь узрении сущности окружности познает мгновенно и безо всяких
рассуждений все бесконечное множество его свойств" (однако интен-
сивно, с точки зрения объективной досюверности каждой приобретен-
ной истины, человеческий разум не уступает божественному).
Для операций „существует" и „все" — и Щ— мы прежде всего можем
выставить две" стедующи^а'ксиомы, В коТорых на место а (х) может быть
поставлена любая схема суждения с одним пустым местом х, а на место
с — какой-либо определенный предмет соответствующей категории:
I. Пха(х) —> а(с); II. а(с)~>SKa(x).
Эти аксиомы позволяют нам только выводить частные следствия из
предложений, носящих всеобщий характер, но они еще не указывают,
каким образом можно умозаключить от каких-либо суждений к всеоб-
щим высказываниям. Для „существует" дело обстоит как раз наоборот.
Классический школьный пример умозаключения: (а) все люди смертны,
(3) 'Йай человек, следовательно, (у) Кай смертен — располагается у нас
в виде ряда ступеней. Допустим, чго буквы М и S обозначают свойства
быть человеком и быть смертным, а бу^ва с--Кая. Тогда
(а) Пх(Л1(х)-^5(х1)
в соединении с аксиомой (I) дает:
п ¥(Ж(х) -> S(X)) ->(/И(с) ->ад),
и по правилу умозаключения получается высказывание:
M(c)-+S(c\
Из (р): М(с) и предшествующего суждения путем вторичного применения
правила умозаключения находим:
(7) 5(c).
Так же как в (а) символ > может соединиться с выражением „в е"
во всеобщее гипотетическое предложение, но сам по себе
он не заключает идеи всеобщности Разумеется, справедливость общего
вывода вида
Пх(я(х)-»&(х))
может опираться на различные основания. Если эти основания суть только
логические аксиомы, то символ -> выражает чисто логическое след-
ствие, но основания эти могут заключаться также в каком-нибудь объ-
ективном законе сущности, в какой-нибудь действующей согласно закону
природы реальной связи или же в какой-нибудь эмпирической законо-
мерности. Я полагаю, чго этого замечания достаточно для выяснения
вопроса о взаимозависимости отношения причины и следствия с отно-
шением основания и вывода. Символ однако, остается при этом
нейтральным.
47
Финитные логические аксиомы перечислены у Аккермана („Mathenr
лппа1еп*,93, 1924, стр. 4)1). Разумеется, они построены так, что формаль-
ная справедливость их может быть установлена при помощи „финитного
правила*. Но можно и обратно показать (что, однако, требует \же спе-
циально математического и не сов:ем легкого доказательств)), что все
формально справедливые согласно „финитному правилу* логические фор-
мулы, содержащие только символы —, —&, \/, могут быть получены
из этих немногих аксиом при помощи подстановок и повторного приме-
нения правил силлогизма. Поэтому список аксиом является полным.
Наоборот, группа трансфинитных аксиом, из которых мы до сих пор
знаем только две аксиомы (I) и (II), нуждается еще в пополне. ни.
При помощи правила умозаключения из логических аксиом можно
получать новые, производные а ила доказательства. Действительно,
каждое формально справедливое суждение вида 21—>-S3 (где 21 и S3 скон-
струированы при помощи логических символов из высказывательных пе-
рем иных—неопределенных суждений а, Ь, ...) путем применения силло-
гизма приводит к следующему правилу: если у тебя имеется суждение
типа 21, то ты на основании его можешь гыставить суждение типа S3.
Наоборот, правило силлогизма представлено среди логических форм сле-
дующей формулой:
Однако обойтись одними лишь формулами нельзя, ибо построение
есть активное действие, и практически употребительное правило умо-
заключения безусловно необходимо. В этом заключается правильное ядро
учения о нормативном характере логики.
Кантовское различение аналитических и синтетических
суждений („Критика чистого разума*, введение) сформулировано сюль
туманно, чю сравнение с четким понятием формальной истинности в
математической логике, базирующимся в конечном счете на логических
аксиомах, попросту невозможно. Напротив, определение Гуссерля
(Logische Untersuchungen, т. II, 2-е нем. изд., стр. 254) с ним совпадает.
Гуссерль пишет: „Аналитические законы — это безусловно всеобщие
положения, не содержащие никаких понятий, кроме формальных. Аналити-
ческим законам противостоят их спецификации, возникающие в резуль-
тате введения реальных (sachhaltig) понятий и эвентуально устанавлива-
ющих индивидуальное существование идей. Подобно тому как специфи-
кации законов порождают, вообще говоря, необходимости, так и специ-
фикации аналитических законов порождают аналитические необходимости*.
Литература
G. Boole, Mathematical analysis of logic, 1847; An investigation of the law
of thought, 1854.
E. Schroder, Vorlesungen fiber die Algebra der Logik, 1890/91.
Russell and Whitehead, Principia Mathematica, Cambridge 1910/13.
Russel, Einfihirung in die mathemathische Pnilosophie, нем. nep., 1923.
Holder, Die Mathematische Methode, Berlin 1924.
x) См. также Hilbert und Ackermann, Grundziige der thcoretischeji Logik,
1928. Прим, пер ев.
48
4. Аксиоматический метод
Аксиоматический метод состоит попросту в том, чтобы собрать пол-
ностью те основные понятия и основные условия, из которых могут
быть дефиниторным или же дедуктивным путем выведены все без исклю-
чения понятия и предложения данной науки. Если это осуществимо, то
Гуссерль называет соответствующую область вещей дефинитной.
Так, например, обстоит дело с учением о пространстве.
Разумеется, из геометрических аксиом невозможно вывести закон
притяжения, Поэтому необходимо бы то выше точно определить, что
именно можно считать специфическим для какой-либо данной обла-
сти вещей суждением. Точно так же невозможно установить, пользуясь
аксиомами геометрии, расположен ли Цюрих дальше от Гамбурга, чем
Париж; хотя в этом вопросе речь идет^бПгеометрическом отйогйёнии, но
Соотношении между индивидуально указанными определенными местами
в пространстве. Таким образом, говоря точно, дедуктивньш путем из ак-
сиом могут быть выведены специфические общие истинные
суждения. - —
„На этом, следовательно, покоится все великое искусство убеждения.
Оно заключает в себе два следующих основных принципа. Первый тре-
бует определения всех употребляемых обозначений, второй — доказатель-
ства всего посредством замены в нашем разуме определяемых выражений
их определениями*, так пишет Паскаль в одном трактате об esprit g£o-
m£trique (духе геометрии; заимствовано из К- Bornhausen, Pascal, Basel
1920). Однако это легче сказать, чем выполнить. В „Началах* Эвклида
еще совершенно не дается полного разрешения проблемы аксиоматизации
геометрии. Эвклид начинает с ороц определений, но с нашей точки зрения
только часть из них действительно является определениями, важнейшие
же из них скорее суть описания, указания на нечто данное нам только
в интуиции. Правда, поступить иным образохМ с такими основными по-
нятиями геометрии, как „точка", „между" и т. д. невозможно, но оче-
видно, что для дедуктивного построения геометрии подобные описания
совершенно непригодны. Далее у Эвклида следуют под названием скарата
некоторые геометрические аксиомы и прежде всего аксиома параллель-
ности, гласящая: если дана плоскость Е, па которой лежат прямая д и
расположенная вне этой прямой точка р, то все прямые, проходящие
через точку р, за исключением лишь одной прямой, пересекают д. На-
конец, устанавливается несколько общих аксиом о величинах: xotvai evvotat.
В изложении геометрии они участвуют постольку, поскольку в дальней-
шем молчаливо допускается, что им удовлетворяют некоторые геометри-
ческие отношения, как конгруентность, равенство поверхностей. За ними
таким образом таится еще множество других невыявленных чисто геоме-
трических аксиом. В следующих книгах „Начал" список аксиом пополня-
ется по мере необходимости. В силу интуитивной очевидности геометриче-
ских принципов и неестественности чистого логически-дедуктивного метода
стоило больших трудов полностью выявить все геометрические аксиомы.
Во второй половине века стимулом этой работы служила открытая еще
в 1830 г. Больяи и Лобачевским „неэвклидова геометрия".
Скрытые наиболее глубоко аксиомы расположения были найдены в 1880 г.
49
Пашем. В конце XIX в. цель была достигнута окончательно, и созданная
система аксиом получила классическое выражение в „Основаниях гео-
метрии" Гильберта. Гильберт разбивает аксиомы на пять групп: аксиомы
связи („лежит на"), расположения („между"), конгруентности, параллель-
ности и непрерывности.
Аксиоматический метод древних, которым кроме Эвклида владел с уди-
вительным мастерством также Архимед, послужил образцом для основате-
лей современной механики. Он служит руководящим началом в учении
Галилея о равномерном и равномерно ускоренном движении (Discorsi
е dimostrazioni, 3-й и 4-й день) и еще более отчетливо проступает в
пойгенсовом изложении законов маятника в Horologium oscillatorium.
В новейшее время среди нематематических наук полностью осуществлена
была программа аксиоматизации в статике твердых тел, в учении о про-
странстве и времени специальной теории относительности и в некоторых
других отраслях физики.
Система аксиом отнюдь не определяется однозначным образом той
областью вещей, к которой она применяется; в выборе основных поня-
тий и условий всегда сохраняется известный произвол. Вопрос о том,
может ли быть здесь противопоставлено нечто по самому существу
своему изначальное чему-то по существу производному, лежит вне ком-
петенции математика1). Выбранное первоначально определение понятия
о каком-нибудь геометрическом отношении может быть с полным пра-
вом заменено любым другим критерием, являющимся, в силу свойств
геометрии, необходимым и достаточным для наличия этого отноше-
ния.
Система аксиом должна при всех обстоятельствах быть непротиво-
речивой, т. е. должна существовать уверенность в том, что путем
логических умозаключений из аксиом никогда не могут быть получены,
с одной стороны, высказывание а, а с другой (посредством иного до-
казательства) противоположное высказывание а. Разумеется, если аксиомы
истинным образом отображают какую-нибудь область вещей, то не может
быть сомнения в их непротиворечивости. Но далеко не всегда дело раз-
решается так просто, как мы бы этого хотели; научная теория не может
быть точным отображением данного, так, как оно нам дано,—она почти
всегда представляет собою смелое построение. Поэтому испытание не-
противоречивости — важный критерий; и средства для его применения
находятся в руках у математиков.
Желательной, хотя и не необходимой, является также незави-
симость отдельных аксиом какой-либо системы. В системе аксиом не
должно заключаться лишних составных частей, в ней не должно быть
предложений, доказуемых на основании других аксиом. Вопрос о неза-
висимости аксиом теснейшим образом связан с вопросом о непротиво-
речивости их, ибо то обстоятельство, что предложение а не зависит от
некоторых определенных аксиом, сводится к тому, что предложение а
им не противоречит.
*) Иногда так и бывает. Например, среди отношений родства отношение
детей к своим родитегям и брак являются изначальными по самому своему
существу.
50
Зависимость какого-нибудь предложения й от других высказываний $1
какой-либо системы аксиом явтяется установленной, поскольку a in con-
crete доказано на основании этих высказываний. Для установления же
независимости нужно показать, что ни одна сколь угодно далеко прове-
денная комбинация умозаключений не приведет к предюжению а. Для
достижения этой цели мы располагаем гремя методами; согласно сказан-
ному выше каждый из них служит также и для доказательства непро-
тиворечивости системы аксиом.
1. Первый метод покоится на следующем принципе: если в а входит
новое изначальное понятие, не определеннное на основании понятий,
входящих в 21, то а нельзя вывести из 21. Пример: судно имеет 80 м
в длину и 20 м в ширину, — сколько лет капитану? Применение этой
простой идеи приводит к цели только в самых тривиальных случаях.
2. Построение модели. Устанавливаются такие предметы и от-
ношения, которые удовлетворяют при соответствующим образом подо-
бранном их наименовании совокупности высказываний 21, и вместе с
тем для которых а несправедливо. Этот метод до сих пор имел наи-
больший успех.
Наиболее известным примером служит аксиома параллельно-
сти. Она еще в древности представлялась не столь очевидной, как прочие
геометрические аксиомы. Для того чтобы получить уверенность в ней,
ее в течение многих столетий пытались доказать на основании других
аксиом. Таким образом движущим мотивом здесь являлось сомнение в
ее действительной справедливости и стремление к преодолению этого
сомнения. То обстоятельство, что все усилия всякий раз оказывались
безуспешными, могло служить индуктивным аргументом в пользу неза-
висимости аксиомы параллельности подобно тому как неудача всех по-
пыток построить perpetuum шоЬПе^нлялась индуктивным аргументом в
пользу закона сохранения* энергии. Творцы неэвклидовой геометрии из-
влекли тоже только следствия из предпосылки, противоположной аксиоме
параллельное!и и утверждавшей, что через точку плоскости, лежащую
вне данной прямой, можно провести целый пучок не пересекающих
данную прямую прямых; при этом они констатировали, что в той об-
ласти, которую им удалось исследовать, свободное приме-
нение прочих аксиом эвклидовой геометрии не порождает никакого
противоречия. Но уверенности в том, что никогда не встретится, у
них не было. Только Клейну удалось найти эвклидову мбдель дЛя пе-
эвклидсвой геометрии: оказалось, что сами предметы эвклидовой геометрии,
при соответствующем их наименовании, отклоняющемся от обычного,
удовлетворяют неэвклидовым аксиомам. Представим себе шар К в эвкли-
довом пространстве. Словарь, при помощи которого осуществляется
перевод на неэвклидов язык, состоит из немногих (приведенных нами в
кавычках) слов: под „точкой" всегда понимается точка, лежащая внутри
/<; выражения, что какие-либо „точки" лежат на „прямой" или, „пло-
скости", чго „точка" лежит „между" двумя другими, сохраняют свой
обыкновенный смысл; „движением" называется такое коллинеарное
отображение, которое переводит шар в самого себя, „конгруентными"
называются фигуры, получающиеся одна из другой при „движении".
Для тех, кто признает истинность, а значит и непротиворечивость эвкли-
51
довой геометрии, является доказанной непротиворечивость, а значит й
мыслимость неэвклидовой геометрии.
В свою очередь непротиворечивость эвклидовой гео-
метрии может быть совершенно независимо от веры в истинность ее
и входящие в ее состав основные понятия, данные нам только в нашей
пространственной интуиции, доказана на арифметической модели.
Действительно, аналитическая геометрия, в основу которой целесообраз-
нее всего положить понятие вектора, показала, чтсиэвклидова геометрия
есть лишь особенный способ изложения линейной алгебры, теории
линейных уравнений. При этом „метрические" понятия, следующие за „аф-
финными", устанавливаются при поме щи некоторой положительно дефи-
нитной квадратичной формы, именно, метрической фундаментальной формы.
Впрочем, для получения геометрии трехмерного пространства нашей
интуиции число переменных (или „неизвестных") должно быть нормиро-
вано до трех. Учение о числах и геометрия в силу этого их соответствия
так тесно срастаются, что мы в настоящее время постоянно пользуемся
р чистом анализе геометрическими терминами. При наличии какого-либо
i ротизэречия в геометрии должно было бы обнаружиться также проти-
юречле и в арифметике. Мы видим в этом сведение и упрощение про-
блемы, ибо числа являются вольным творением духа и потому как бы
прозрачны для духа в совершенно иной степени, чем пространственные
объекты и отношения.
Из примеров совершенно отчетливо видно, что метод моделей не
имеет целью познание истины относительно использованных в модели
предметов и отношений, он только сводит непротиворечивость одной
системы аксиом 31 (например геометрической) к непротиворечивости
другой системы Ж (например арифметической). Это достигается тем, что
основные понятия системы 31 так определяются на основании основных
понятий системы 23, что аксиомы 31 оказываются логическими следствиями
аксиом 23. При этом беспокоиться относительно реального значения ос-
новных понятий в 31 и в 23 совершенно нечего, присвоение выведенным
из 81 понятиям тех названий, которые носят основные понятия в 23,
совершенно произвольно.
Благодаря остроумному построению подходящих арифметических мо-
делей Гильберту удалось глубоко проникнуть в сущность логических
взаимоотношений отдельных частей геометрической системы аксиом.
3. Метод моделей позволяет только свести непротиворечивость одной
системы аксиом к непротиворечивости другой. Однако в конце концов
для какой-либо отной системы аксиом доказательство должно быть
абсолютным. Для всей математики и для физики подобной системой
является система аксиом арифметики. Но для этой цели в нашем распо-
ряжении имеется только метод непосредственного доказа-
тельства, который должен, исходя из правил дедуктивного умозаклю-
чения, показать, что мы никогда не можем притти к двум противоречивым
высказываниям. Предпосылкой для проведения этого доказательства слу-
жит предположение, что эти правита логической игры перечислены пол-
ностью (ср. § 3), так чтобы их можно было применять к предложе-
ниям, совершенно отвлекаясь от смысла последних, подобно тому как
применяются правила шахматной игры к фигурам. Лишь в самые послед-
52
ние годы Гильберт приступил к попытке установить подобным способом
непротиворечивость арифметических аксиом. (Если бы был открыт какой-
либо новый и явным образом обязательный вид логического умозаклю-
чения и вместе с тем была бы расширена система правил игры, то сле-
довало бы ожидать, что приведенное согласно методу непосредственного
доказательства доказательство непротиворечивости потеряло бы свою силу.
Метод моделей не зависит от „правил игры“.)
Можно привести хотя бы следующую аналогию из области шахмат:
требуется доказать, что в разыгранной согласно правилам игры партии,
как бы она ни протекала, никогда не встретится такое положение, при
котором на доске будет стоять десять королев одного цвета. Здесь можно
воспользоваться „методом непосредственного доказательства". Из правил
игры видно, что ходы не могут увеличивать суммы числа королев и числа
пешек одного цвета; так как в начале оно равно 9, то оно всегда оста-
ется 9.
Первый наш метод представляет собою тривиальный частный случай
прямого метода. Однако благодаря своей простоте он заслуживал отдель-
ного упоминания.
Кроме непротиворечивости и независимости, от аксиом, долженству-
ющих служить фундаментом какой-либо науки, требуют еще полноты.
Что это означает? То ли, что для всякого относящегося к данной области
общего суждения а должен быть разрешим путем умозаключений и на
основе этих аксиом вопрос: „истинно ли а или а"? Но тогда непроти-
воречивость аксиом гарантировала бы, что никогда не могут быть полу-
чены оба эти ответа: а и а, а полнота их, — что обязательно был бы полу-
чен один из них. Понимаемая в таком смысле полнота системы могла
бы быть обеспечена только в том случае, если бы был указан такой
точный метод проведения доказательств, относительно которого можно
было бы в свою очередь доказать, что он приводит к разрешению всякой
специфической проблемы. Тем самым математика была бы тривиализирована.
Однако до сих пор не было найдено подобного „философского камня",
да он и не будет найден. Математика вовге чтобы
развивав по всем направлениям логические выводы из данных предпо-
сылок; нет, ее проблемы ставятся интуицией, жизнью научного духа, и
эти проблемы нельзя разрешать по установленной схеме, вроде арифмети-
ческих школьных задач. Дедуктивный путь, ведущий к их разрешению,
не предуказан, его требуется открыть, и в помощь при этом нам служат
обращения к мгновенно прозревающей многообразные связи интуиции, к
аналогии, к опыту. Как уже упоминалось выше в § 3, не существует ни
одного дескриптивного признака для предложений, доказуемых из данных
предпосылок, — мы неизбежно должны пользоваться построением. Прак-
тически невозможно поступать подобно тому ученому Свифта, которого
Гулливер посеаил на острове Бальнибарби — именно, вывести в системати-
ческом порядке, например согласно количеству требуемых умозаключений,
все возможные выводы и затем отбросить „неинтересные"; точно так же
и великие произведения мировой литературы возникли вовсе не в резуль-
тате того, что из 25 букв алфавита были составлены всевозможные „соче-
тания с повторениями* с количеством букв, не превышающим 1010, а
53
затем были выбраны из них и сохранены наиболее глубокомысленные и
прекрасные.
Если произвести какую-нибудь непрерывную деформацию простран-
ства (или как бы заполняющего его массу пластелина) и понимать затем
под прямыми, плоскостями и конгруентными фигурами те, которые воз-
никли при этой деформации из действительных прямых, действительных
плоскостей, фактически конгруентных фигур, то очевидно, что все
теоремы геометрии будут справедливы п для этих вновь введенных поня-
тий. Таким образом невозможно отличить логически систему тех линий,
которые получились из прямых в результате подобной деформации про-
странства, от системы прямых линий.
Это приводит нас к имеющей фундаментальное значение для теории^
познания идее изоморфизма. Представим себе систему объектов
(вроде, например, точек, прямых, плоскостей геометрии) и некоторые
соответствующие отношения /?, /?', ... (основные отношения). Представим
себе далее, что в какой-либо другой системе Е2 существуют такие отно-
шения, которые хотя и обладают совершенно другим смыслом, но постав-
лены в соответствие отношениям /?, ... первой области посредством
одинакового с ними наименования. Если возможно закономерным образом
установить такое однозначное соответствие элементов системы элемен-
там системы Е2, при котором тем элементам из Еп между коими суще-
ствуют отношения Л или /?', ..., будут соответствовать те элементы из 1.2,
между коими существуют одноименные с /?, ... отношения в Е2, то обе
области вещей изоморфны. Установленное нами соответствие есть
изоморфное отображение Ej на Е2. Можно сказать, что изо-
морфные области вещей обладают одинаковой структурой. Каждому
истинному предложению, относящемуся к Е{ (смысл которого может
быть понят только из смысла отношений /?, в области Ej), со-
ответствует сформулированное в тех же самых выражениях предложе-
ние относительно Еа, и обратно; нельзя утверждать относительно пред-
метов из Et ничего такого, что не было бы справедливо вместе с тем и
в S2. Так, например, посредством метода координат Декарта простран-
ство изоморфно отображается на область операций линейной алгебры.
Предшествующие рассуждения приводят нас ко взгляду на систему
аксиом как на чистую логическую форму возможных наук.
Реальное содержание какая-нибудь интерпретация приобретает тогда,
когда названиям основных понятий приписывается определенное значе-
ние, в силу чего и аксиомы становятся истинными предложениями. Может
показаться целесообразным называть систему аксиом полной в том случае,
если в силу требования справедливости аксиом оказывается однозначно
определенным смысл входящих в их состав основных понятий. Но этот
идеал недостижим, ибо очевидно, что всякая, имеющая реальное содер-
жание интерпретация, получающаяся изтанной в результате изоморфного
отображения, сама является в свою очередь таким же изоморфным отобра-
жением. В итоге мы получаем следующую окончательную формулировку:
система аксиом является полной, если любые две имею-
щие реальное содержание ее интерпретации необходи-
мым образом изоморфны. Можно показать, что полнота установ-
ленных Гильбертом аксиом геометрии в этом смысле является обеспеченной.
54
В каждой науке может быть известно только изоморфное отображе-
ние соответствующей области вещей. В частности, для нее является совер-
шенно безразличной „сущность" ее объектов. То, что отличает про-
странственные точки от троек чисел или других возможных интерпре-
таций геометрии, мы можем познать только при помощи непосред-
ственного живого созерцания. Но созерцание вовсе не представляет собою
состояния блаженного покоя, из которого оно не может никогда выйти;
нет, созерцание ведет к противоречиям и дерзновению познания, .но
было бы фантастично ожидать Ът познания, что оно открывает созерца-
нию более глубокую сущность того, что непосредственно дано самому
созерцанию. Идея изоморфизма выражает собой очевидную и непреодо-
лимую границу знания. Эта идея проливает свет также и на метафизи-
ческие спекуляции о существующем позади явлений мире вещей в себе.
Действительно, если принять эту гипотезу, то совершенно ясно, что мир
явлений должен быть изоморфен абсолютному миру (причем, разумеется,
соответствие это является однозначным лишь в направлении от вещей в
себе к явлениям), ибо „мы вправе в том случае, когда мы имеем дело с
различными восприятиями, умозаключить о различии их действительных
причин" (Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, II, стр. 656). Таким
образом, если мы и не познаем (копией) вещей в себе, то нам все же
известно (wissen) о них ровно столько же, скотько и о явлениях.
Та же самая идея изоморфизма решает и ту проблему, которую Лейбниц,
побуждаемый номиналистической теорией истины Гоббса, рассматривал
в диалоге о зависимости между вещами и словами; Лейбниц, оче-
видно, прилагал большие усилия для того, чтобы выразить ее (Philos.
Schriften, изд. Gerhardt, VII, стр. 190—193).
Благодаря открытию изоморфных отношений все познания, приобре-
тенные в какой-либо области, могут быть моментально перенесены на
любую изоморфную область. Например, подобную роль играет в проек-
тивной геометрии на плоскости принцип двойственности. Единственное
встречающееся в ней понятие отношения — это инциденция точки и пря-
мой (точка лежит на прямой, прямая проходит через точку). Так как
возможно так одноз* ачно сопоставить точки плоскости с прямыми, чтсГ
всегда, когда точка Р лежит на прямой q, то сопоставленная с Р прямая р
проходит через сопоставленную с q точку Q, то из каждой истинной тео-
ремы проективной геометрии (в результате употребления безразличного
по отношению к направлению его применения слова „инциденция") тот-
час же возникает новая теорема, в которой слова „точка" и „прямая*
занимают одно место другого. С. Ли открыл, что прямым комплексного
пространства можно таким образом поставить в однозначное соответствие
шары, что пересекающимся прямым всегда будут соответствовать сопри-
касающиеся шары. Тогда при помощи найденного им принципа переноса
из теорем о пересечении прямых получаются теоремы о соприкасающихся
шарах. Одна важная часть аналитической теории функции, так называе-
мая „униформизация*, самым естественным образом может быть изложена
на языке геометрии Больяи-Лобачевского. Представим себе сеть провод-
ников постоянного тока, состоящую из отдельных однородных прово-
лок, разветвляющихся в узловых точках, и назовем „точкой" произволь-
ное распределение тока, которое сообщает каждой проволоке s силу
55
тока Is. В такой системе имеют силу законы эвклидова пространства с
центром в О и такого количества измерений, сколько есть проволок в
сети. При этом центральная точка О характеризуется отсутствием тока,
в ней исчезают все силы тока Is, а под квадратом расстояния „точки"
от центра здесь следует понимать количество джоулевой теплоты, выде-
ляемой токами за единицу времени. Эта изоморфия вовсе не носит харак-
тера игры, ибо благодаря ей простые и важные геометрические понятия
ставятся в соответствие с простыми и важными, касающимися распреде-
ления тока в сети понятиями физики. Например, основная задача: при
заданной величине напряжений в каждой проволоке определить получаю-
щееся в сети проводников распределение сил тока, тождественна с гео-
метрической задачей перпендикулярного проектирования точки на задан-
ную плоскость. Очевидно, что математика немедленно гарантирует одно-
значную разрешимость этой задачи, а также дает в руки метод вычисле-
ния решения ее.
Согласно современным воззрениям чистая математика представляет собою
гипотетически-дедуктивное учение об отношениях, она разрабатывает тео-
рию чистых логических форм, не заботясь о той или иной из возможных
конкретных интерпретаций. Об этой ^формализации", как о „кон-
цепции, вне которой нечего и говорить о понимании математического
метода", см. у Гуссерля в „Логических исследованиях", I, § 67—72.
Еще Ганкель в своей вышедшей в 1867 г. теории комплексных чисел
(стр. 10) писал: „Условием построения всеобщей арифметики является
поэтому очищенная от всего интуитивного чисто интеллектуальная мате-
матика, чистое учение о формах, в которой исследуются не количества
или их образы, числа, а интеллектуальные объекты, которым могут,
но вовсе не должны соответствовать действительные объекты или
'Отношения между ними". Аксиомы превращаются в скрытые определения
содержащихся в них основных понятий. Разумеется, при этом сохраняется
известный простор для неопределенности понятий, но логические выводы
из аксиом сохраняют свою силу, как бы этот простор ни был ограничен
посредством какой-либо конкретной интерпретации. Чистая математика
признает только одно — но зато совершенно обязательное — условие
истины — именно, непротиворечивость.
Быть может, эта современная точка зрения проглядывает еще в эвкли-
довом названии аксиом: очттфата, постулаты. Лейбниц сделал несколько
решительных шагов по пути к осуществлению mathesis universalis именно
в этом, им отчетливо осознанном направлении. К его Ars combinatoria
принадлежит прежде всего наиболее блестящий пример „чисто интел-
лектуальной математики"—теория групп. Конечная группа G пред-
ставляет собою систему взятых в конечном числе объектов, в пределах
которой устанавливается какая-либо операция, порождающая из двух
(одинаковых или различных и расположенных в определенной последо-
вательности) вещей a, b вещь ub этой системы. Единственные предъ-
являемые к этой операции требования или аксиомы таковы:
сочетательный закон: а(Ьс) — (аЬ)с,
если а ф Ь (а отлично от Ь), то и ас ф Ьс, са ф cb.
Из этих скудных предпосылок разворачивается множество глубоких
взаимозависимостей и в математике встречается поразительное обилие
56
различных „интерпретаций* этой простой системы аксиом. Быть может,
понятие группы является наиболее характерным для математики XIX сто-
летия.
Метод скрытого определения полезен не только для обоснования
науки, но и в самой науке. Припишем „куску* — под чем мы здесь будем
понимать ограниченную прямолинейными отрезками часть плоскости —
некоторую площадь и примем, что она удовлетворяет следующим тре-
бованиям:
1. Площадь — чггло положительное.
2. Если мы разделим кусок на две части посредством расположенной
внутри его ломаной линии, то площадь целого равна сумме площадей
частей.
3. Конгруентные куски имеют одинаковые площади.
Это действительно существенные свойства площади, но в них не
содержится никакого явного определения этого понятия. Вместе с тем
оказывается, что эти условия непротиворечивы, что действительно каж-
дому куску у в качестве его площади может быть при помощи опреде-
ленного метода приписано некоторое положительное число J (у), удовлетво-
ряющее условиям 2 и 3. Наши условия, однако, определяют понятие не
однозначным образом, кроме J(y), им удовлетворяют также значения cJ (у),
где с представляет собою не зависящее от у положительное постоянное
число. Но этим и исчерпываются все возможности. Остающийся и за-
ключающийся в наличии постоянного множителя произвол может быть
устранен лишь указанием на какой-либо индивидуальный кусок, например
квадрат, относительно которого устанавливается соглашение, что площадь
его равна 1 (относительность величин).
М. Шлик в своем „Allgemeinen Erkenntnislehre* (1918, стр. 30—37)
дает превосходный анализ значения скрытых определений не только для
математики, но и для всех наук. „Для строгой, переходящей от одного
вывода к другому науки понятие является в действительности не чем
иным, как тем, о чем могут быть высказаны определенные сужден и л.
Поэтому его так и следует определить*. Помимо точных наук подходящей
сферой применения для скрытых определений может служить юриспруден-
ция.
Литература:
Hilbert, Grtmdlagen der Geometric. (Имеется русский, перевод.)
Hilbert, Axiomatisches Denken, Math. Ann., 78, 1918.
M. Geiger, Systematische Axiomatik der euklidischen Geometric, 1924.
В. ЧИСЛО И КОНТИНУУМ. БЕСКОНЕЧНОЕ
5. Рациональные числа. Комплексные числа
Исходным пунктом генетического построения области математических
чисел являются натуральные числа ряда 1, 2, 3, ... Первый шаг, который
надлежит сделать, это переход от натуральных чисел к дробям. Истори-
чески дроби возникли при переходе от счета к ид м е~р^е н и ю. В осно-
вании измерения всегда находится какая'-нибудь^^область величин, вроде
той, например, какую образуют отрезки на прямой5шн^^ господ-
57
ствующими отношениями являются следующие: 1) отношение равенства
а = Ь (конгруентности), удовлетворяющее установленным выше аксиомам
эквивалентности (см. стр. 40), и 2) операция, порождающая из двух
любых отрезков а, b отрезок а 4“ Ь. Так, например, отрезок 5а полу-
чается из отрезка а, если образовать состоящую из пяти слагаемых а
сумму Тем самым устанавливается связь измерения
£QlX4£tom. Определение умножения может быть точно дано следующим
образом:
а) 1а = а;
3) если п есть натуральное число, то (иЦ-1)а возникает из па по
формуле:
(п -J- \)а = (па)-\-а.
В области отрезков возможно однозначное обращение операции
умножения, а именно деление: для каждого данного отрезка а и нату-
рального числа п существует один и только один (в смысле равенства)
отрезок х, для которого пх = а, этот отрезок обозначается ^.Действие
деления может комбинироваться с действием умножения. Так возникает,
5 5 т
например, — а „—кратное“ отрезка а. Знак дроби — является сим-
О О 11
волом этого сложного действия, и две дроби равны, если оба обознача-
емые ими действия, к каким бы отрезкам они ни применялись, приводят
к одинаковым результатам. Умножение дробей означает последова-
тельное проведение одного за другим всех характеризуемых ими действий.
Возможность сложения дробей объясняется тем, что выражаемое сим-
волом
шх , т"' х
п ' ri*
действие (при его применении к любому отрезку х) может быть пред-
ставлено в виде одной единственной дроби.
Нет смысла вводить для каждой области величин свои специальные
дроби. Поскольку законы дробей совершенно не зависят от свойств
области величин, гораздо целесообразнее определять дроби чисто арифмети-
чески *). А это удается благодаря применению вышеизложенных рассужде-
ний к области величин самих натуральных чисел. То обстоятельство, что
отношение вида 5х — Зу при заданном х не всегда можег быть в этой
области разрешено относительно у, не играет при выработке теории ника-
кой роли. В результате мы приходим к следующей формулировке: „два на-
туральных числа т, п определяют дробь —. Когда говорят, что из двух
m п .
натуральных чисел х и у второе в — раза больше первого, то это лишь
*) Мы здесь поднимаемся над той точкой зрения, которой придерживались
греки до времен Эвклида и еще долгое время спустя. Подчинение учения о ве-
личинах понятию числа, применение чистой алгебры в качестве инструмента
геометрии, невидимому, возникли в индусской культуре,™у арабов ^оба эти
течения сливаются воедино.
58
служит выражением равенства тх — пу“. Это — творческое в смысле § 2
„ т т*
определение. Две дроби —, — равны, если два любых числа, находя-
щихся друг к другу в отношении тх = пу, всегда удовлетворяют также
и отношению т*х = п*у, и обратно. Правила действия над натуральными
числами позволяют заменить этот трансфинитный критерий, требующий,
по буквальному своему смыслу, испытания всех возможных чисел х, у,
конечным критерием
(К) т • п* = п • пг\
Здесь налицо частный случай определения посредством абстракции*
tn
равенство дробей — и — может быть определено непосредственно че-
рез (ZC), если только предварительно убедились, что это отношение пред-
ставляет собою отношение эквивалентности. Введение дробей в качестве
„идеальных элементов" может быть с чисто арифметической точки зрения —
независимо от их практического применения — обосновано еще тем, что
при надлежащем распространении на дроби действий над натуральными
числами, сохраняют свою силу важнейшие арифметические аксиохмы, а
кроме того становится обратимым действие умножения, т. е. оказывается
возможным деление, осуществимое в арифметике натуральных чисел лишь
в исключительных случаях.
Если руководясь теми же самыми идеями, мы захотим сделать обра-
тимым также и сложение, то мы перейдем от дробей к рациональ-
ным числам (включая 0 и отрицательные числа). (Правда, при этом
мы вынуждены принести тяжелую жертву: возможность деления не со-
храняется для делителя 0.) Здесь нигде, не встречаются логические неяс-
ности или философские трудности. Гораздо более серьезные трудности
уготовляет наша исходная система — система натуральных чисел и иррацио-
нальное, переход от рациональных чибел к континууму'чисел" вещественных.
Но если только удается достигнуть этой стадии, то на дальнейшем пути
к комплексным и гиперкомплексным числам не встречается уже никаких
преград. Для введения комплексных чисел нужно лишь указать, как
определяется каждое такое число и как с ними действовать. Комплексные
числа определяются своими двумя компонентами, и мы можем просто
сказать, что под комплексным числом понимается каждая пара вещест-
венных чисел (а, р) (Гамильтощ 1837)? Мы Тю^Уд^ излагать здесь
ехрПг1(е"правнл действий- над этими числами. Согласно этим правилам
роль единицы в комплексной области играет (1,0) — г, ибо произведение
ее на любое комплексное число (а, Р) приводит к тому же самому числу
(а, р). Число (0,1) представляет собою мнимую единицу/, которая удов-
летворяет равенству i • i = — е. Истинной причиной установления таких
правил является то, что благодаря им удается перенести на комплексные
числа, т. е. на пары вещественных чисел формальные законы арифметики.
От репутации ~ чего-то мистического, которой долгое время пользова-
лись мнимые величины !)7~не осталось и следа.
*) Гюйгенс, например, в 1674 г. по поводу одной комплексной формулы
писал: "^TTyTTinelque chose de cache la-dedans, qui nous est incomprehensible"
59
От комплексных чисел можно затем перейти к гиперкомплекс-
ным числам с 3-мя и более компонентами. Однако можно доказать, что,
как бы ни были в их области определены действия сложения и умноже-
ния, все же невозможно сохранить в силе все законы арифметики. Поэтому
комплексные числа служат как бы естественным пределом для расширения
понятия числа. Однако системы гиперкомплексных чисел имеют в мате-
матике большое значение; таковы, например, состоящие из четыр^хдсом-
понснтов KL^a^Tjj) н и он ы, не удовлетворяющие лишь одному закону
арифметики, именно — переместительному закону умножения, и являющие-
ся очень удобным вспомогательным средством для исследования вращения
^в пространстве твердого дела?_“*“ “
“^Вместо генетического построения области чисел можно также обос-
новать арифметику на некоторой системе аксиом. Генезисом чисел при
этом приходится воспользоваться только для сведения непротиворечи-
вости этой системы к непротиворечивости аксиом натуральных чисел.
Арифметические аксиомы распадаются на две группы: на алгеб-
раические аксиомы и на аксиомы величины. Алгебраическая группа трак-
тует о действиях сложения и умножения. Она заключает в себе фор-
мальные законы арифметики (вроде a-\-b = b-\-a) и постулирует су-
ществование 0 и 1, обладающих следующими свойствами:
— O-f-a = &, 1 • а = а Л = а,
а также обратимость действий сложения и умножения (за исключением
деления^на 0). Аксиомы величины (теряющие свою силу в области ком*
плексных^чйсел) имеют дело с отношением а^>Ь (а больше Ь) (ср. таб-
лицу в „Основаниях геометрии" Гильберта).
Литература:
Hankel, Theorie der komplexen Zahlen, Lpz. 1867.
Hilbert, Grundlagen der Geometric.
Holder, Die Aritliinetik in stronger Begriindung, Lpz. 1914.
6. Натуральные числа
„Целое число создал господь бог, все остальное дело трудов чело-
веческих" — так гласит часто цитируемое выражение Кронекера. В области
(здесь таится что-то для нас непонятное; см. L е ibniz, Math. Schriften, изд. Ger-
hardt, II, стр. 15). Даже Коши в 1821 г. обладал еще весьма неясными представ-
лениями о действиях над комплексными величинами. Впрочем, отрицательные
числа представляли в свое время также немалую головоломку. К л а в и й (1612 г.),
например о правиде^шшуелга минуе^аетптттог**ш^ал: „debilitas humani ingenii
accusanda (videtnr), quo dr capere non potest, quo pacto id verum esse possit*
^здесь проявляется слабость человеческого разуг^, который не в состоянии по-
сТитп^ть; тГбчёму опо-может быть верным). Ёще Дёкарт, в соответствии с обычаем
т^сГв^е^&пйГн^зываетоТрГШательные корни алгебраического уравнения ложными.
Встречающееся иногда и в наши дни определение i как такого числа, которое
при умножении на самого себя дает—1, в качестве определения представляет
собою чистейшую бессмыслицу, поскольку мы имеем дело только с веществен-
ными Зисла^й. Доля истины, содержащаяся в этом определении, состоит лишь в
требовании так расширить понятие числа и так распространить умножение на
расширенную область, чтобы указанное равенство было возможно.
60
натуральных чисел проблема познания выступает в своей наиболее простой
форме. Займемся же и здесь кв первую очередь чисто математической
стороной!
Ряд чисел начинается с 1 и порождается в ходе процесса, образую-
щего всякий раз из уже полученного числа ближайшее следующее за
ним число, и в этом движении вперед никогда не встречается уже ранее
попадавшееся число. Поэтому какое-нибудь относящееся к числам общее
понятие может быть получено только при помощи „полной индук-
ции", т. е. указания а) что оно обозначает для первого числа 1 и р)
как оно переносится с любого числа п на ближайшее следующее за ним
число п' — (п -р 1).
Примеры. Данное в предшествующем параграфе определение для па.
Понятия четного и нечетного: а) 1 нечетна; р) п' четно или нечетно в
зависимости от того, нечетно ли или четно и. Общее понятие сложения
а \-п двух натуральных чисел а и и:
а) а 4- 1 = я'; р) a-\-ri = (а-\-п)'.
Сказанное о понятиях относится также и к доказательствам. Теория
натуральных чисел может быть полностью построена при помощи этого
метода определения и доказательств, базирующихся на полной индукции
или, как еще говорится, на умозаключении от п к пЦ-1. Этот вид
умозаключения приносит с собою в математические доказательства совер-
шенно новый и своеобразный момент, чуждый аристотелевой логике, и
он-то и составляет подлинную душу искусства математического доказа-
тельства. Впервые этот принцип полной индукции был высказан в явном
виде, повидимому, Б. Паскалем (1654 г.) и Яковом Бернулли (1686 г.).
В очерченном вйшё обосновании теорий чисел наиболее существен-
ным является распорядок чисел; числа первоначально выступают как
порядковые числа и характеризуются только своим местом в ряду.
Шопенгауер поэтому прав, говоря об этой концепции числа (Vierfache
Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde, § 38): „Основанием суще-
ствования каждого числа являются предшествующие ему числа: я могу
достигнуть десяти, только пройдя через все предшествующие десяти
числа...и. В этом случае применение к какой-нибудь данной нам совокуп-
ности предметов известного процесса счета доставляет нам определенное
натуральное число, как количество элементов этой совокупности.
Процесс счета располагает элементы совокупности в упорядоченную по-
следовательность (первый, второй, третий,...), и требуется особое рас-
суждение для доказательства в общем виде того фундаментального
обстоятельства, что результат пересчитывания не зависит от его порядка.
Лишь после этого прочно устанавливается понятие количественного
числа. Ср., например, рассуждения Гельмгольца (Zahlen und Messen,
Wissensch. Abhandl., Ill, стр. 256; затем см. у Л. Кронекера, Werke, III,
1, стр. 249).
Много спорили на тему о том, не является ли, наоборот, первичным
понятием количественное число, а порядковое — вторичным. Если желать
ввести количественное число независимо от порядка, то понятие количества
какого-либо множества следует определить посредством абстракции (как на
стр. 41). Это определение не ограничивается случаем конечных множеств,
61
связанное с ним учение о бесконечных количественных числах было
раевито Г. Кантором в его общей теории множеств. Но возможность
сопоставления элементов, о которой идет речь в критерии равночис-
ленности, может быть допущена лишь в том случае, если акты установ-
ления соответствия производятся один за другим в упорядоченной вре-
менной последовательности, а значит, если оказываются упорядоченными
сами элементы обоих множеств. Если разложить в абстракции процесс
сравнения двух множеств на определение числа каждого множества и
последующее за этим сравнение чисел, то совершенно необходимым
является упорядочить каждое из множеств посредством указания следо-
вания во времени каждого его элемента за другими (что, впрочем, необходимо
для того, чтобы совокупность была задана индивидуальным образом, — а
мы в нашей повседневной жизни имеем дело с числами только таких
совокупностей). Поэтому мне представляется неоспоримым, что пер-
вичными являются порядковые числа. Это полностью под-
тверждает и современное исследование основ математики, разрушившее
догматическую теорию множеств.
Другой спорный пункт — это вопрос о том, являются ли числа са-
мостоятельными идеальными предметами, или же теория чисел имеет
дело лишь с конкретными знаками чисел^ „форма которых всегда
может быть нами узнана совершенно ^очно,^ независимо ни от места и
времени, ни от специфических условий установления знака, ни, наконец,
от ничтожных различий в их начертаниии (Гильберт). Так, например,
Гельмгольц пишет (Zahlen und Messen, cap. 359): „Я рассматриваю
арифметику или учение о-чистых чйс^ах как некоторый базирующийся
на чисто психологических фактах метод, который учит нас последова-
тельному применению некоторой, неограниченной по протяжению и мо-
гущей быть неограниченным образом утончаемой системы знаков. Именно,
арифметика исследует, какие различные комбинации этих знаков (пра-
вила действия) приводят к одинаковым результатам". Вполне последо-
вательное проведение этой точки зрения, недоступное для направленной
против нее критики Фреге (Grundgesetze der Arithmetik, 1893), осуще-
ствлено было в новейшее время Гильбертом (ср. § 10); здесь уже речь идет
не о „возможности", и Гильберт нигде не выходит за пределы действи-
тельно in concrete заданных знаков. В качестве подходящего знака Гиль-
берт предлагает воспользоваться следующими друг за другом черточками
(„единицами"). Если я, например, слышу последовательность звуков, то
при каждом звуке я провожу черточку и ставлю такие черточки одну
позади другой: ////. Во второй раз я поступаю таким же самым образом.
Если бы я мог непосредственно устанавливать равенство или различие
„форм* обоих состоящих из черточек знаков, то вместе с тем было
бы возможно сравнение чисел. Представление посредством черточек
имеет здесь назначение привести, при сохранении числа, заданное нам
к такой „нормальной форме", чтобы различие формы свидетельство-
вало без дальнейших околичностей о числовом различии. (Вообще
говоря, структурное отличие некоторого непосредственно данного целого,
отношение которого к его принятым за единицу частям выражено в
числовом предложении, от другого целого не означает еще числового
различия: пример: и /\. Говорят об акте собирания, как об основе
62
определения количества. Мне представляется, что при применении сим-
волического процесса счета к состоящему из структурно связанных единиц
целому вовсе не требуется, уничтожая связь, существующую между этими
единицами, абстрагировать понятие голой „совокупности*, как не при-
ходится и „собирать" отдельные данные сами по себе элементы, как,
например, следующие одни за другими звуки, в некоторую совокупность.
Высказывание „раздалось столько-то //// звуков" вполне понятно само
по себе, и совершенно лишнее заниматься поисками какого-то субъекта
„совокупности услышанных звуков".) Однако непосредственное распо-
знавание равенства или различия двух состоящих из следующих одни за
другими черточек знаков возможно только для самых небольших коли-
честв. Вообще говоря, следует во второй раз снова использовать постав-
ленные в первом случае черточки, зачеркивая, например, поочередно
одну из них за другой; для этого требуется, чтобы нанесенные в пер-
вый раз черточки были сохранены. Но с принципиальной стороны
для обоснования такого суждения, как „сейчас было слышно больше
звуков, чем в первый раз", пользование знаками не необходимо, если
звуки первой серии (обладающие, например, убывающей высотой звука)
могут быть воспроизведены в их временной последовательности
при выслушивании второй последовательности звуков. Знаки становятся
необходимыми только тогда, когда сравнение разбивается на два опре-
деления чисел („в первый раз было слышно 4, а теперь 5 звуков, 5
больше 4"), и вследствие этого часть умственных операций (5 больше
4) переносится на остающиеся неизменными удобные для сохранения и
передачи другим знаки. Таким образом не сравнение чисел, а определе-
ние чисел носит существенно сигнативный (связанный по существу с
употреблением знаков) характер. Не принимая в соображение какого-
нибудь знака, понять выражение „раздалось 4 звука" невозможно. Если
уж говорить о числах как о понятиях или же идеальных предметах, то
они во всяком случае не обладают никаким самостоятельным существо-
ванием, и бытие их исчерпывается функциональной ролью, а также зна-
чением существующих между ними отношений большего и^ццадего.
(Разумеется, они не являются понятиями в смысле аристотелевой теории
абстракции.)
Употребление нескольких цифр и системы разрядов (последо-
вательно разработанных индусами для записи) дает возможность быстро
решать вопрос о взаимоотношении величин гораздо бдльшнх чисел, чем
это позволяют простые, состоящие только из следующих одни за дру-
гими единиц, числовые знаки.
Первый способ практически удобнее второго, но принципиальными
преимуществами он не обладает. Основное число системы чисел, которым
у нас является десять, в различных 'Культур^Т' различно. Индусская, и
прежде всего^будйстская, литература изобилует примерами того, как,
пользуясь системой разрядов, т. е. комбинируя действия сложения, умно-
жения и возведения в степень, можно однозначным образом обозначить
огромные числа. Несмотря на весь разгул фантазии, в этом заключается
нечто поистине величественное, разум впервые ощущает в себе доста-
точно силы для того, чтобы при помощи символа выйти за пределы дан-
ного в созерцании. У греков нечто аналогичное мы встречаем лишь в
63
позднейшее время, в адресованном Гелону письме Архимеда „Псаммит"
(„О количестве песчинок")1). Здесь также ощущается радость не перед
постепенно раскрывающейся бесконечностью, а перед возможностью ра-
ционального преодоления беспредельного.
Что касается до отношения числа к пространству и в р е -
мени, то, мне думается, что время, как форма чистого созн ния, пред-
ставляет собою существенную, а не случайную предпосылку тех операций
разума, на которых основывается смысл числовых предложений. Этого
нельзя сказать, в противоположность мнению некоторых философов
(например Гоббса), о пространстве, хотя неизменные знаки определенной
пространственной формы и представляют собой наилучшее средство для
отделения числа от сосчитываемых предметов, для сохранения и пере-
дачи числа, а также и наилучшее средство для надежного обращения с
числами. Кант раньше других обратил внимание на связь Понятия числа
и времени, но, разумеется, было бы ошибочным понимать арифметику
как учение о времени в том же самом смысле, в каком геометрия есть
учение о пространстве. '
Для двух конкретно заданных числовых знаков т и п можно пока-
зать, что обозначает высказывание т-]-п = п-}~т, не „порождая"
никаких других чисел. Можно также показать, что это высказывание верно
для любого конкретного случая. Нечто новое возникает, однако, когда я
размещаю действительно существующие знаки чисел в ряду всех воз-
можных чисел, возникающем в некотором процессе его порождения
согласно тому принципу, что из каждого данного числа путем присое-
динения к нему единицы может быть порождено новое ближайшее сле-
дующее за ним число. Здесь сущее проицируе*гся на фон возможного,
на фон разворачивающегося в бесконечность, хотя и могущего быть
упорядоченным по некоторому определенному способу многообразия воз-
можностей. Это та самая точка зрения, на которую мы стали в начале
этого параграфа при_ математическом об^сдовашш^ярифметики на основе
принципа полной индукции. Мы опираемся на него, когда говорим, на-
пример, о биллионе = 1012 бумажных марок. Действительно, при помощи
определения посредством полной индукции мы получаем из начального
арифметическо^о^дрше^са, превращающего п в п-1, действие умно-
жения на 10, Т^затем 12ч<ратЖ^^ ГО; исходя из 1,
получаем число 1012. Числовые символы 10 и 12 при этом можно запи-
сать, пользуясь черточками, для числа же 1012 это невозможно, и тем
не менее мы позволяем себе „пылуматк" такое число.
Таким образом уже на примере числа мы встречаемся со следую-
щими принципами конструктивного познания:
1. Результат известных признаваемых всегда выполнимыми интеллек-
туальных операций над данным, в том случае, если он однозначно опре-
деляется этим данным, выставляется в качестве некоторого признака,
присущего данному самому по себе (даже если операции, обосновываю-
щие его смысл, не были в действительности произведены).
2. Посредством внедрения знаков мы производим разделение сужде-
ний, и часть операций благодаря их перенесению на знаки становится
1) Имеется русский перевод, издГ ГТТИ, 1933. Прим, п е р е в.
64
независимой от данного и его дальнейшего существования. Благодаря
этому становится возможным свободное оперирование понятиями, и идеи
оказываются относительно самостоятельными по отношению к действи-
тельности.
3. В своем актуальном состоянии они не извлекаются каждое в от-
дельности, а проицируются на фон разворачивающегося в бесконечность,
могущего быть упорядоченным по некоторому определенному способу
многообразия возможностей.
Однако совершается прыжок в потустороннее, когда разворачиваю-
щаяся в бесконечность и закономерно возникшая последовательность
чисел превращается в замкнутую совокупность существующих самих по
себе предметов. Только тогда становится опасным определение чисел, как
идеальных объектов. Вера в абсолютное коренится глубоко в нашей
груди, поэтому нет ничего удивительного в, том, что математика с пол-
ной наивностью проделала этот прыжок. Тот, кто видит смысл в таком
апеллирующем ко всей бесконечной целокупности чисел определении,
как, например, следующее: „п есть число четное или нечетное, смотря по
тому, существует ити нет такое число х, для которого п = 2х“ (совер-
шенно иной характер носит вышеприведенное определение четного и
нечетного посредством полной индукции), тот стоит уже на другом
берегу: для него система чисел превратилась в царство абсолютных сущ-
ностей, которое „не от мира сего" и отражение которого лишь по кап-
лям проникает в наше созерцающее сознание. Именно вокруг этой кон-
цепции в наше время снова разгорелась ожесточенная борьба в
области основ математики; она симптоматична для всякого познания и в
сфере математики она раньше, чем в других областях, приведет к со-
вершенно ясным результатам.
Литература:
Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? 2-е изд., Braunschweig
1893.
Husserl, Philosophic der Arithmetik, Halle 1891.
7. Иррациональность и бесконечно малое
В совершенно иной форме, чем в ряду целых чисел, встает перед
нами бесконечное в случае бесконечно делимой непрерывности, в
частности — континуума времени и пространства. Здесь мы встречаемся со
вторым уязвимым пунктом в очерченном выше построении математической
области чисел. По вопросу о непрерывности древность оставила нам две
важных проделанных ею работы: а) глубокий анализ математического
вопроса о том, как можно фиксировать в континууме какое-либо отдель-
ное место и б) вскрытие философских парадоксов, кроющихся в интуи-
тивной сущности непрерывного.
а) Чистая геометрия греков, поднявшаяся над неточностью чувственно
данного, применила идею существования не только к натуральным числам,
но и к точкам пространства. Открытие на примере j/2, отношения
между стороной и диагональю квадрата, иррациональности показало, что
дроби вовсе не являются единственными возможными мерами величин
65
отношений между отрезками, вовсе не являются единственными „веще-
ственными числами “. В „Диалогах “ Платона чувствуется то глубокое
впечатление, которое произвело это открытие на зарождавшееся научное
сознание того времени. Общие основания найденного явления независимо от
специальных геометрических построений, доставлявших вначале частные
случаи иррациональности, вроде ]/*2, были открыты Эвдоксом.
1. Вместо оказавшегося несостоятельным принципа соизмеримости он
выставил следующую аксиому: если даны два произвольные отрезка
а и Ь, то всегда можно столько раз (например п раз) присоединить а
к самому себе, чтобы сумма отрезков па стала большей, чем Ь, Это
означает, что все отрезки суть величины одного и того же порядка, что
в континууме не существует ни актуально бесконечно большого, ни акту-
ально бесконечно малого.
2. Чем же характеризуется какое-либо отношение отрезков? Эвдокс
отвечает так: два отношения величин отрезков а: Ь, а! : Ь' равны между
собою в том случае, если произвольные натуральные числа т и п, удо-
влетворяющие условиям, написанным в первой строке нижеследующих
неравенств, всегда удовлетворяют также условиям, выставленным во
второй строке:
zjs \na^>mb (na = mb (na<^mb
' \па! mb' ' ' упа! = mb' * ' \па' mb’
Таким образом каждое вещественное число а характеризуется тем
сечением, которое оно производит в области рациональных чисел, т. е.
разделением всей совокупности дробей на три класса, таких, что дроби
класса (I) все меньше а, класса (II) равны а, а класса (III) больше, чем а.
Средний класс при этом либо пуст, либо же содержит одну единствен-
ную дробь. Первая аксиома гарантирует от того, чтобы два различных
отрезка могли находиться в одном отношении к некоторому определен-
ному принятому за единицу отрезку. На этом же фундаменте было воз-
двигнуто и учение о пропорциях Эвклида, а Архимед обосновал на нем
свой общий метод исчерпания.
Лишь в XIX в. современная математика довела эту проблему до ненца.
Для Эвдокса вещественные числа задаются как отношения двух данных
отрезков; а какие существуют отношения отрезков — этому нас учат
уже аксиомы геометрии. Но в эвклидовой системе геометрии невозможно
(пользуясь линейкой и циркулем) построить отрезок, находящийся в
„8/-—
отношении у 2 к другому, данному нам в качестве единицы отрезку и тем
самый разрешающий делосскую задачу об удвоении куба, или же отре-
зок 7г, равный длине окружности с диаметром 1.Тем не менее мы, исходя
из идеи непрерывности, убеждены, что такие отрезки существуют: ведь
при непрерывном увеличении ребра куба от 1 до 2 его объем непрерывно
возрастает от 1 до 8 и поэтому должен пройти • через промежуточное
значение 2. Точно так же мы можем приближаться снизу и сверху с
любой степенью точности к отрезку тг, вписывая и описывая методами
эвклидовой геометрии вокруг окружности правильные 6*, 12-, 24-,...
угольники. Таким образом мы можем обернуть положение вещей и ска-
66
ваты каждое произвольно заданноесечение в области рациа
нальных чисел, т. е. любое, каким угодно образом осуществленное рас-
пределение всех рациональных чисел на три класса (I), (II), (III), опреде-
ляет собою некоторое вещественное число. [При этом должны быть
соблюдены только следующие условия: ни класс (I), ни класс (III) не
пусты; в классе (II) содержится самое большее одна дробь, в (I) не су-
ществует наибольшей, а в (III) — наименьшей дроби; всякое число класса (I)
меньше всех дробей классов (II) и (III), всякое число класса (III)
больше чисел классов (I) и (II)]. Согласно Дедекинду („Непре-
рывность и иррациональные числа", 1872), мы не имеем никакого осно-
вания принять за вещественные числа только часть этих сечений. По-
этому мы постулируем в геометрии как аксиому (аксиома Дедекинда)
существование таких отрезков, которые находятся к некоторому принятому
за единицу отрезку в арифметически определенном посредством сечения
отношении. Так как согласно Эвдоксу отношение произвольного отрезка
к отрезку 1 в свою очередь определяет некоторое сечение, то аксиома
Дедекинда гарантирует нам полноту геометрических элементов, т. е. при
сохранении в силе всех аксиом геометрии, включая аксиому Эвдокса,
система точек неспособна ни к какому дальнейшему расширению (Гиль-
берт). В этой логической полноте системы находит свое отражение
данная в созерцании сплошность (Luckenlosigkeit) точек пространства.
Благодаря введению дедекиндова понятия числа анализ становится неза-
висимым от геометрии, только теперь он оказывается пригодным для
изучения непрерывности и предоставляет геометрии средства для доказа-
тельства опирающихся на принцип непрерывности теорем, вроде, например,
следующей: непрерывная линия, соединяющая какую-либо точку, распо-
ложенную внутри круга, с точкой, расположенной вне его, пересекает
окружность. На то обстоятельство, что такого рода теоремы лишены у
Эвклида надлежащего обоснования, обратил внимание еще Лейбниц в
связи с первым же встречающимся у Эвклида построением равносторон-
него треугольника АВС по точкам А и В. При этом построении из
точки Л, как из центра, описывается окружность, проходящая через
точку В, а из точки В — окружность, проходящая через точку Л; однако
у Эвклида не доказывается, что эти окружности имеют общую точку С.
Равноценным с понятием сечения средством для определения вещест-
венного числа является бесконечная последовательность
содержащихся одни в других рациональных интервалов апЬп (п = 1, 2,
3,...), длины которых Ьп — ап при неограниченнОхМ возрастании индекса п
стремятся к 0 (ср. пример с к). Так как с логической точки зрения дробь
не сложнее, чем натуральное число (ведь она определяется двумя нату-
ральными числами, числителем и знаменателем), то мы можем подвести
итог историческому развитию проблемы а) в следующих выражениях:
Предметом теории чисел являются отдельные нату-
ральные числа, предметом учения о непрерывности —
возможные множества (или бесконечные последова-
тельности) натуральных чисел.
б) Сущность непрерывного отчетливо охарактеризована в одном
дошедшем до нас отрывке из Анаксагора: „В малом не существует наи-
меньшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует,
67
не может перестать существовать от деления, как бы далеко ни было
продолжено последнее". Непрерывное не может состоять из дискретных
элементов, которые „отделены друг от друга и как бы отрублены друг
от друга ударами топора". Пространство бесконечно не только в том
смысле, что в нем нигде не имеется конца, оно кроме того в любом
своем месте бесконечно, так сказать, вовнутрь, и точка в нем может быть
определена лишь путем бесконечного и от раза к разу все точнее фик-
сирующего ее процесса деления. Это представление противоречит
покоящемуся, законченному в себе для интуиции бытию пространства.
Это свойство присуще как непрерывному пространству, так и непрерыв-
ной градации качеств вещей внешнего мира: действительная вещь никогда
не может быть дана нам совершенно адэкватно, ее „внутренний горизонт"
раскрывается перед нами в простирающемся в бесконечность процессе
все новых опытов, она, как это подчеркивает Гуссерль, представляет
собою предельную идею в кантовском смысле слова. Поэтому невозможно
считать действительные вещи замкнутым и законченным в себе сущим.
Таким образом проблема континуума приводит к теоретико-познаватель-
ному идеализму. Так, среди других философов Лейбниц указывает, что
именно стремление отыскать выход из „лабиринта непрерывного" впервые
привело его к представлению о пространстве и времени как порядках
существования явлений. „Из того, что математическое тело не может быть
разложено на первые основные моменты, непосредственно вытекает, что
оно не представляет собой совершенно ничего реального и является лишь
произведением разума, выражающим только возможность частей, но ни
в коем случае не нечто действительное". (Переписка между Лейбницем
и де-Вольдером, Phil. Schr. изд., Gerhardt, II, стр. 268.)
В противовес такой трактовке сущности непрерывного Лейбниц, даю-
щий явлениям, по-иному, чем Кант, метафизическую основу в некоем
мире абсолютных субстанций, выставляет идею монады: „В идеальном
или континууме целое предшествует частям... Части здесь даны лишь
потенциально, но в действительных (т. е. субстанциональных) вещах
простое предшествует сложному и части даны актуально и раньше
целого. Эти замечания разрешают трудности, связанные с понятием непре-
рывного, трудности, возникающие только тогда, когда непрерывное рас-
сматривают как нечто реальное, обладающее действительными частями
само по себе, до какого-либо производимого нами деления, и когда
материю принимают за субстанцию" (Письмо к Ремонду; Phil. Schr., Ill,
стр. 622).
Невозможность толкования непрерывного как некоего застывшего
бытия наилучшим образом сформулирована в известном парадоксе Зе-
нона о состязании в беге между Ахиллесом и черепахой. Разумеется, то
указание (при помощи которого, как теперь полагают, разрешается
этот парадокс), что последовательные частные суммы ряда
именно, 1 —не увеличиваются сверх всяких границ, а стремятся к 1,
&
представляет собою важное, относящееся к данному вопросу и разъясня-
68
ющее его замечание. Однако, если отрезок длины 1 действительно состоит
из бесконечно многих как бы „ отрубленныхи целых отрезков длины
111
о ’ Г» o' > • • • > то утверждение, что Ахиллес может в конце концов про-
2 4 о
бежать всех их, противоречит сущности бесконечного, „незавершаемого".
И если допустить такую возможность, то непонятно, почему какая-ни-
будь машина не могла бы совершить в конечное время бесконечное
1
множество актов решения, давая, скажем, первый результат через — ми-
XV
нуты, второй через 4 минуты после первого, третий через 4 минуты после
4 о
второго и т. д. В этом случае, если бы наш рассуждающий мозг функ-
ционировал аналогичным образом, было бы возможно осуществить пере-
смотр всех натуральных чисел и дать уверенный положительный или
отрицательный ответ на все относящиеся к ним проблемы существования!
Декарт боролся с идеей, что при движении жидкости материальные
корпускулы должны дробиться до бесконечности „или по крайней мере
неопределенным образом (in indefinitum), и притом на такое количество
частей, что разум не может представить себе столь малой части, отно-
сительно которой не было бы ясно, что она действительно может быть
разделена на еще более мелкие". Это остается для него загадкой, от
которой он избавляется ссылкой на неисповедимость всемогущества бо-
жия. Эйлер в своем „Anleitung zur Naturlehre" (Opera posthuma, II, 1862,
стр. 449—560), резюмирующем с величественной ясностью принципы
натурфилософии его эпохи, заявляет: несмотря на то, что тела делимы
до бесконечности, положение, что каждое тело состоит из бесконечно
многих („последних") частей, совершенно ложно и даже находится в
очевидном противоречии с бесконечной делимостью.
В системе Канта с проблемой непрерывного связаны обе первые ан-
тиномии чистого разума1).
В истории человеческой мысли были предприняты три попытки пред-
ставить непрерывное как некое бытие в себе. Согласно первой и самой
радикальной из них, континуум состоит из определенного исчислимого
количества дискретных элементов, атомов. Для случая материи этот путь,
на который еще в древности вступил Демокрит, был пройден до конца
с блестящим успехом современной физикой. Для случая пространства
концепция последовательного атомизма была развита, кажется, впервые
Платоном, с ясным сознанием поставленной им себе цели — „спасения"
явлений от идеи. Атомистическая теория пространства была возобновлена
в философии ислама Мутакаллимуном (ср. Lasswitz, Geschichte der Ato-
mistik, I, стр. 139—150), а на западе— в учении о минимуме Джордано
Бр\но. Еще Юм в своем учении о пространстве и времени (Treatise on
*) Правда, первая из них сформулирована очень неудачно; из аргументации
видно, что речь в ней идет не о том, имеет ли мир начало во времени или нет,
а о том, истекло ли до какого-нибудь мгновения конечное или бесконечное коли-
чество моментов времени. В непрерывно заполненном времени имеет место пос-
леднее, независимо от того, будет ли время на основании имманентного ему или
же извне привнесенного принципа измерения конечным или бесконечно долгим.
69
human nature, ч. 2, разд. 4) незаметным образом превращает неопреде-
ленность чувственно данного, которую он собственно имеет в виду, в со-
вокупность неделимых элементов. В связи с теорией квант эта идея ныне
снова появляется на свет в дискуссии об основах физики. Но она до сих
пор всегда являлась чистой спекуляцией и не выходила из зародышевого
состояния, не вступив ни разу ни в малейший контакт с действитель-
ностью. Как следует понимать согласно этой идее существующие в про-
странстве отношения мер длин? Если сделать из „камешков" квадрат, то
на диагонали будет лежать столько же камешков, сколько их имеется в
направлении стороны, таким образом диагональ должна была бы иметь
ту же длину, что и сторона. Поэтому Юм должен признать, что „столь
же истинный, как и очевидный" принцип сравнения мер линий и поверх-
ностей при помощи количества входящих в их состав элементов на
самом деле является бесполезным. Риман в своем мемуаре „О гипотезах,
лежащих в основании геометрии" (1854) выставляет альтернативу, со-
гласно которой „для дискретного многообразия принцип отношения мер
содержится в самом понятии этого многообразия, в случае же непрерыв-
ного должен быть введен каким-нибудь другим способом".
Второй попыткой является введение бесконечно малых. На эту тему
ведется обстоятельная и остроумная дискуссия в первом дне „Discorsi е
dimostrazioni" Галилея. Подобно тому, как я могу изогнуть прямую ли-
нию в восьмиугольник или в тысячеугольник, так, по мнению Галилея,
я могу превратить ее в многоугольник с бесконечным количеством бес-
конечно малых сторон, намотав ее на круг, таким образом я вовсе не
оказываюсь в зависимости от никогда не достигающего цели процесса
стремления к пределу1).
Когда колесо катится по горизонтальной прямой, то каждый из концен-
трических меньших кругов растягивается на горизонтальной прямой h той же
самой длины (rota Aristotelis, колесо Аристотеля). Но если заменить круглое
колесо правильным многоугольником с большим количеством сторон, то
„покрываемые" на h отрезки, с которыми поочередно совпадают стороны
концентрического многоугольника, образуют прерывную линию. Поэтому
в случае круглого колеса приходится принять, что h состоит из некото-
рой бесконечно плотной последовательности чередующихся покрытых и
непокрытых отрезков. „Здесь, — читаем мы у Галилея, — перед нами
находится метод, выводящий нас из многих сложных лабиринтов и от-
крывающий нам глаза на рассмотренный ранее вопрос о сцеплении,
утончении и утолщении без допущения пустых пространств и проница-
емости (материальных) тел; всех этих трудностей мы избегаем, принимая,
х) Г а н к е л b (Zur Geschichte der Mathematik in Altertum und Mittelalter, 1874)
пишет: „Та идёя,’что как далеко ни зайти в ряду многоугольников, но все же
никогда нельзя достигнуть окружности, несмотря на то, что к ней можно при-
ближаться все ближе и ближе и даже неограниченно близко, до такой степени
сильно действует на нашу способность представления, что последняя готова за-
полнить эту пропасть, расположенную, так сказать, между действительностью и
идеалом, любою ценою и оказывается психологически вынужденной сделать —
бесконечно малый или бесконечно большой? — шаг и сказать: круг есть много-
угольник с бесконечным количеством бесконечно малых сторон. Однако древние
не сделали этого шага,'и все греческие геометры всегда остаЩДв'ЖВались перед
этой бездной бесконечного ..
70
что все слагается из неделимых" (Opere complete, ed. Alberi, XIII, стр. 51).
Если кривая состоит из бесконечно многих прямых „элементов линии",
то понятие касательной совершенно просто: касательная дает направле-
ние определенного элемента линии и представляет собою прямую, сое-
диняющую две „последовательных" точки кривой. Тот же, кто отклоняет
гипотезу Галилея, может определить касательную в точке кривой Р
только как предел, к которому неограниченно приближается секущая
РР\ когда вторая подвижная точка кривой Р' стремится к точке Р.
Очень поучительна дискуссия об этом между Иоганном Бернулли и
Лейбницем. Лейбниц говорит (Math. Schr., изд. Gerhardt, III, стр. 536):
„Действительно, если мы допустим, что в линии имеются реальные от-
1 1 1
резки, которые следует обозначить —, —, — и что все члены этого
ряда реально существуют, то вы из этого умозаключаете, что существует
также и бесконечно малый член, по моему же мнению, из этого следует
только то, что существуют любые конечные дроби какой угодно ма-
лости". Но Бернулли на это возражает (там же, стр. 553): „Если налицо
имеется десять членов, то необходимо существует десятый член,
если сто, то необходимо имеется сотый... и таким обраэом, если число
членов бесконечно велико, то существует бесконечный (in-
finitesimale) член".
Однако предельный процесс одержал победу, ибо понятие предела
есть совершенно необходимое понятие, значение которого не связано
с вопросом о принятии или отказе от бесконечно малых. Но раз уста-
новив это понятие, т^егко увидеть, что благодаря нему бесконечно
малое становится совершенно лишним. Анализ бесконечно малых, исходя
из подчиненных известным элементарным законам отношений в области
бесконечно малых величин, делает при помощи интегрирования выводы
об отношениях, существующих в области величин конечных; так, напри-
мер, из универсального закона тяготения двух обладающих сплошной
массой „элементов объема" выводится величина притяжения протяженных
тел любой формы, однородной или неоднородной массы. Если же мы
станем в анализе бесконечно малых рассматривать последние не как
„потенциальные" величины, не с точки зрения процесса перехода к пре-
делу, то процессы в области конечного и бесконечно малого становятся
тогда совершенно чуждыми, независимыми друг от друга, и связующая
их цепь оказывается расторгнутой. Взгляды Эвдокса в данном вопросе
были несомненно правильными.
Мне, впрочем, неизвестно, чтобы в XVIII в. когда-либо сумели занять
по отношению к понятию бесконечно малого, остававшемуся полным
расплывчатости и непостижимости („непостижимые загадки математики" —
любимое выражение того времени), ясную позицию греков. Хотя и воз-
можно построить последовательное „неархимедово" учение о величинах,
в котором не имеет силы аксиома Эвдокса х) (большею частью называе-
мая аксиомой Архимеда), но легко увидеть, что оно совершенно непри-
‘) Ср., например, у Гильберта „Основания геометрии", гл. II, § 12. Примером
бесконечно малых величин являются anguli contactus (наир., угол между окруж-
ностью и касательной к нему) по сравнению с углами, образуемыми прямыми ли-
ниями; пример этот служи* предметом спора еще между Лейбницем и Валлисом-
71
годно для анализа. Хотя Ньютон и Лейбниц довольно ясно выразили ту
правильную идею, что в исчислении бесконечно малых речь идет только
о предельном переходе к нулю, однако окончательно ясное понимание
того, что выполнение перехода к пределу не только требует определения
значения предела, но обязано также в первую очередь гаранти-
ровать его существование, у них еще отсутствовало. Поэтому
Лейбниц еще совершенно неясно представляет себе суммирование бес-
конечных рядов. Теория пределов приобретает прочную почву под ногами
лишь постепенно. В 1754 г. Даламбер в „Энциклопедии" решительно за-
являет: „La theorie de la limite est la base de la vraie metaphysique du
calcul differentiel. Il ne s’agit point, comme on le dit ordinairement, des quan-
tites infiniment petites; il s’agit uniquement des limites de quantites finies".
(Основой истинной метафизики диференциального исчисления является
теория пределов. Речь идет вовсе не о бесконечно малых количествах,
как это обыкновенно говорят, речь идет исключительно о пределах ко-
нечных количеств.) Только Коши в начале XIX в. удается последова-
тельное построение теории пределов. В частности Коши установил пра-
вильный критерий сходимости бесконечных рядов, т. е. условие, при
котором бесконечный процесс порождает в качестве предельного значе-
ния некоторое число. Однако доказательство этого критерия требует
такого определения понятия числа, какое позднее было дано в дедекин-
цовой теории сечений.
Третью попытку „ спасти “ непрерывное в смысле Платона мы встре-
чаем в лице современного теоретико-множественного обоснования ана-
лиза.
Литература:
D е d е k i n dj, Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872. (Имеется русский перевод.)
8. Теория множеств
На первый взгляд может показаться, что вместе с введением перехода
к пределу застывшее бытие окончательно разрешается в становле-
ние и что "вместе с тем математическим путем осуществляется принад-
лежащее еще Аристотелю учение о том, что бесконечное существует
лишь oovajiEi (в возможности), лишь в возникновении и исчезновении,
а не svep^eta. Это ошибка! Какая-нибудь определенная сходящаяся по-
следовательность, например последовательность частных сумм лейбницева
ряда: 1 1 , 1 1 ,
1 3 “И 5 7 Г--- >
стремящаяся ~ вовсе не разворачивается как некий лишенный всякой
закономерности процесс, которому мы должны слепо доверяться, чтобы
узнать, что порождается этим процессом на каждой последующей
его стадии; напротив, подобная последовательность устанавливается раз
навсегда при помощи определенного закона, соподчиняющего каждому
натуральному чТОу соответствующее ему приближенное значение (п-ную
частную сумму). Для распределения бесконечного множества рациональ-
ных чисел по трем классам (D (II), (III) дедекиндового сечения совсем
72
не приходится выбирать одну дробь за другой и затем относить ее к
соответствующему классу; нет, это распределение производится законо-
мерно, поскольку устанавливается правило: все рациональные числа, об-
ладающие такими-то и такими-то свойствами, принадлежат к классу 1
(достаточно определить класс I, оба другие класса оказываются тогда
тем самым тоже определенными). Закон или свойство совершенно
точно определяет наше вещественное число. Функция /(х) называется
непрерывной при значении х = я, если f(x) сходится к /(я), когда пе-
ременная х стремится к а. Как, однако, определяется это понятие сходи-
мости? Определение гласит: „Для всякого положительного числа е
существует положительное число 8, обладающее тем свойством, что
при всех значениях вещественного числа х, удовлетворяющих условию
а — 8<^х<^а-[-8, справедливо неравенство f(a) — е <С/ (х) <С/ (а) е “ •
Таким образом наша концепция остается попрежнему статической, харак-
терным для нее является ничем не ограниченное применение терминов
„все" и „существует" не только к натуральным числам, но также и к ме-
стам в континууме, т. е. к возможным последовательностям или множе-
ствам натуральных чисел. В этом и заключается сущность теории мно-
жеств: она рассматривает в качестве замкнутой совокупности существую-
щих самих по себе предметов не только числовой ряд, но и совокупность
его подмножеств. Поэтому она целиком базируется на почве актуально
бесконечного. Достаточно встать на эту точку зрения, чтобы все гранди-
озное здание анализа приобрело несокрушимую крепость, оказываясь
прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях. По-
нятия анализа приобретают точность, а доказательства безупречную по-
следовательность. Таким образом он получает фундамент, обеспечиваю-
щий безусловное единодушие всех работников этой области.
Конечно, потребовалось большое математическое остроумие для того,
чтобы доказать столь очевидные для интуиции наиболее общие свойства
непрерывности, как, например, такое ее свойство, что непрерывная функция
принимает все промежуточные значения, что замкнутая плоская кривая
без двойных точек делит плоскость на две области или что двухмерная
область не может быть одно-однозначно и непрерывно отображена на
трехмерную. На опыте занятий с нашими студентами мы всякий раз
вновь убеждаемся в том, сколь длительное обучение требуется для того,
чтобы приобрести необходимую для понимания этих доказательств во
всей их строгости беспредвзятость мышления. С другой стороны,
наряду с такими подтверждающими интуицию теоремами анализ откры-
вает многие недоступные ей вещи: нигде не имеющие касательной
или же заполняющие полностью квадрат непрерывные кривые и т. п.
Работа по установлению на основании указанных принципов всех ранее
не обнаруженных предпосылок анализа выпала на долю ученых XIX в.,
начиная с Коши и Гаусса до Вейерштрасса.
Теоретико-множественный метод воцарился не только в анатизе, но
и в самой начальной области математики, в учении о натуральных чис-
лах. Ряд натуральных чисел является с этой точки зрения закон юнным
в себе множеством Z, внутри которого определено некоторое отображе-
ние однозначно сопрягающее со всяким элементом п множества
другой элемент п'. Тот факт, что Z при этом оказывается отображенным
73
на нетождественное с ним подмножество его (что можно получить также,
пользуясь отображениями и л—>-п2), показывает, что Z является
бесконечным множеством. В конечности же какого-нибудь мно-
жества мы можем быть уверены лишь после того, как будет доказана
невозможность подобного рода отображения.
Таким образом для теории множеств между конечным и бесконечным
не существует никакой принципиальной грани; понятие бесконечного
считается в ней даже более простым. (Декарт также утверждал7 что~По-
нятие бесконечного предшествует понятию конечного. См. письмо к
Клерселье, Corr., V, стр. 356 и Третье размышление, § 28.) Еще Гали-
лей отмечает, что если понимать бесконечное указанным образом, то
аксиома Эвклида о величинах: то oXov p-epoo; fxetCov (целое больше части)
для него не имеет силы (Discorsi, Opere, ed. Alberi, XIII, стр. 36); Лейб-
ниц из этого делает тот вывод, что „если представлять себе количество
или множество всех чисел как единое целое, то в нем содержится про-
тиворечие" (письмо к Бернулли; Math. Schr., изд. Gerhardt, III, стр. 53).
Для Больцано (Парадоксы бесконечного, 1851, § 20) в этом заключается
один из „парадоксов бесконечного". Наконец, Дедекинд (Was sind and
was sollen die Zahlen? — Что такое числа и чем они должны быть? 1887)
возводит этот факт в ранг определения бесконечного.
Назовем вместе с Дедекиндом множество натуральных чисел К цепью
в том случае, если оно обладает тем свойством, что если х есть эле-
мент /С, то и его отображение х' является элементом К- Тогда то об-
стоятельство, что любое заданное число можно получить из 1 путем
перехода к ее отображению Г = 2, а потом при помощи вторичного
применения операции отображения переходя к 2' = 3 и т. д., это логи-
чески как будто неразложимое далее понятие „и так далее", составляю-
щее самую сущность натурального числа, выразится следующим образом:
всякая цепь, содержащая в качестве элемента единицу,
тождественна с Z. Таким образом принцип полной индукции может
быть обоснован на трансфинитном применении понятий „все" и „суще-
ствует"; при этом в теории множеств стирается демаркационная линия
между математикой и логикой. Исследования Дедекинда, Фреге, Ресселя
как раз и имели целью полностью логизировать математику. Если спро-
сить, когда какое-нибудь натуральное число п будет меньше заданного
числа т, то теория множеств заменяет конечный специфически арифме-
тический критерий („когда перечисление чисел от 1 до т проходит че-
рез п прежде, чем достигает числа т“) бесконечным критерием чисто
логического характера: „если существует цепь, содержащая т, но не
содержащая п". Однако подобная замена становится возможной только
тогда, когда мы поднимаемся на ту ступень применения термина „суще-
ствует", па которой он применяется к множествам натуральных чисел.
Только теперь возникает потребность в объективировании
(Vergegenstandlichung) множеств, а вместе с тем и свойств, ко-
торое в нашей обыкновенной речи производится странным образом с са-
мого начала. Высказывание вроде такого: „роза красна" не подводится
более под обладающую одним пустым местом х схему „х красно", но
под гораздо более общую схему „х обладает свойством Xй у из которой
наше высказывание получается замещением х = роза и X — красный
74
Слова „обладает свойством* обозначают определенное отношение е, ко-
торое может существовать между произвольным предметом х и произ-
вольным свойством X Лишь здесь впервые на сцену выступает связка
е: она преобразует начальное двухместное суждение в трехмесгное х е X.
(Нелепые смешения этой связки с существованием и равенством яв-
ляются одним из самых печальных признаков зависимости философских
спекуляций от случайных форм речи.) Теперь открывается возможность
формального применения принципов 6 и 7 из § 1 .также и к пустому
месту X, Таким образом введение общего понятия множества требует
двух существенно отличных друг от друга операций: первой из них яв-
ляется указанное объективирование, вторая состоит в соглашении считать
два свойства X, Y или соответствующие им множества равными в том
случае, если все элементы X принадлежат также и У, и наоборот.
В случае совокупности, состоящей из отдельных заданных предметов,
мы можем путем последовательных актов выбора составить и пересмот-
реть все возможные ее подмножества. Но в случае бесконечного множе-
ства подобная абсолютистская концепция существования в применении
к подмножествам еще опаснее, чем в применении к элементам.
Так как мы можем иметь дело только с такими подмножествами,
которые определены закономерным образом на основании какого-либо
характерного для их элементов свойства, то с трудом избавляешься
от впечатления, что при этом выбрасывается за борт хаотическая масса
возможностей, масса произвольных, „беспорядочных* „незакономерных*
множеств. Но противоречивый характер этой неуловимой „совокупности
всех возможных свойств натуральных чисел* можно выразить еще более
точно. Допустим, что нам удалось каким-либо образом выделить некото-
рую „объемноопределенную* совокупность подобных свойств
натуральных чисел (которые я назову свойствами 1-го типа), так что
мы всегда можем быть убеждены, что ответ на вопрос „существует ли
свойство1-го типа такого-то и такого точно указанного рода9(?“ заклю-
чается в некотором определеннохМ объективно данном обстоянии (Sach-
verhalt). Тогда мы можем говорить о свойстве Е%, присущем числу х
в том и только в том случае, если существует такое свойство 1-го
типа и рода 91, которое присуще х. Но очевидно, что это свойство Е^
согласно своему значению лежит вне круга свойства 1-го типа, оно при-
надлежит к более высокому 2-му типу свойств, ибо оно впервые опре-
деляется на основании всей совокупности свойств 1-го типа. „No to-
tality can contain members defined in terms of itself* (ни одно целое не может
содержать элементов, определенных в терминах этого целого — Рессель).
Подобным же образом на основании свойств 2-го типа конструируются
свойства 3-го типа и т. д. В соответствии с этим приходится также раз-
личать множества натуральных чисел, а значит и вещественные числа 1-го,
2-го, 3-го,... типов. Так, например, мы встречаемся с построением свой-
ства Е% в анализе при определении верхней границы какого-либо лежа-
щего на прямой точечного множества. Осуществляемое при абсолютист-
ской концепции существования стирание граней между этими различными
типами (указанными впервые Ресселем в его теории типов) представляет
собою неоспоримый порочный круг.
75
Избежать этой дилеммы мы могли бы только в том случае, если бы
каждое свойство 2-го типа совпадало, если не по содержанию, то по
объему с каким-либо свойством 1-го типа. Поскольку мы считаем ряд
натуральных чисел объемноопределенной совокупностью, можно было бы
в качестве свойств 1-го типа принять, например, те, которые возникают
из основного отношения „и следует за т“ в области натуральных чисел
при помощи принципов определения, приведенных в § 1. Но и в этом
случае наше желание едва ли оказалось бы удовлетворенным. Возникла бы
задача так расширить принципы построения свойств 1-го типа, чтобы
каждое множество 2-го типа безусловно совпадало с каким-либо множе-
ством 1-го типа. Между тем не существует ни малейших указаний на
то, что это могло бы удасться. Чтобы выпутаться из этого положения,
Рессель заставляет разум совершить над собой харакири, постулируя эту
совершенно не поддающуюся доказательству теорему в качестве аксиомы
сводимости, axiom of reducibility. Сам я в появившемся в 1918 г. сочи-
нении „Континуум" добросовестно вывел все вытекающие отсюда по-
следствия и построил такое поле вещественных чисел 1-го типа, в пре-
делах которого можно выполнять все важнейшие операции анализа.
Несмотря на свой противоречивый характер, идея абсолютного суще-
ствования до сих пор не привела еще в области натуральных чисел и
числовых множеств ни к какому противоречию. Но Г. Кантор сбросил
все путы, начав совершенно свободно оперировать с понятием множества
и в частности допустив, что для каждого множества может быть обра-
зовано множество его подмножеств. Он развил общую теорию количе-
ственных и порядковых чисел бесконечных множеств.
И лишь здесь, на крайних границах теории множеств, натолкнулись на дей-
ствительные противоречия. Причиной их может быть только та смелость,
с которой математика с самого начала рассматривает поле конструктив-
ных возможностей как замкнутую совокупность существующих самих по
себе предметов (ср. мою статью: „Современное состояние проблемы по-
знания в математике").
Литература:
Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1851. (Имеется русский перевод.)
Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?
Frege, Grundlagen der Mathematik, 1884.
Russell, Einfiihrung in die mathematische Philosophic, 1923.
W e у 1, Das Kontinuum, 1918.
Frankel, Einleitung in die Mengenlehre, 3-е изд.
H ausdorff, Grundziige der Mengenlehre.
9. Интуитивная математика
Первым это отчетливо осознал Л. Э. Броуер (с 1907 г.). Он развил
такую концепцию математики, которая отнюдь не совершает того прыжка
в потустороннее, о котором мы говорили в конце § 6. Экзистенциаль-
ное суждение, как, например, „существует четное число", вообще не яв-
ляется суждением в собственном смысле этого слова, устанавливающим
некоторое фактическое обстояние. Очевидно, что та „бесконечная логи-
ческая сумма", какою является это предложение (1 четна, или 2 четно,
или 3 четно, или... in inf.), неосуществима. Предложение „2 — четное
число" — вот это настоящее, выражающее определенное фактическое об-
76
тояние . суждение (поскольку свойство быть „четным* определено ре-
курсивным путем, как на стр. 61), предложение же „существует четное
число* является лишь вытекающей из этого суждения абстракцией
суждения (Urteilsabstrakt). Если представить себе познание как дра-
гоценное сокровище, то абстракция суждения — это всего-навсего лист
бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но не дающий нам
сведений относительно того, в каком месте оно обретается. Единственная
ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он по-
буждает меня заняться поисками сокровища. Бумага эта лишена всякой
цены, пока я не реализую какое-нибудь прикрытое ею действительное
суждение, как, например, „2 — четное число*. Там, где речь идет только о
возможности построения, нет никакого обладающего содержанием
суждения; экзистенциальное суждение приобретает значение только в том
случае, когда построение уже осуществлено на деле, дока-
зательство проведено. В многочисленных математических теоре-
мах о существовании главную ценность представляет собой не сама теорема,
а используемое при ее доказательстве построение, без которого теорема
оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью.
На поставленный в § 3 вопрос о том, как можно что-либо вывести
из какой-либо теоремы о существовании, здесь мы ответим: никак; потому
что раз она ничего не выражает, то из нее ничего нельзя и вывести. На
место теоремы о существовании всегда следует ставить то обладающее
определенным содержанием целое, из кото-рого она получается в качестве
„абстракции суждения*. Однако каким же образом мы получаем с другой
стороны общие теоремы о натуральных числах? Мы это поясним на воз-
можно простом примере. Определим при помощи полной индукции теоре-
тико-числовую функцию <р(л/) следующего рода:
а)<?(1)=1, ₽)<?(«') = [?(»)]'•
В мы имеем некоторое обладающее всеобщим значением утвержде-
ние, которое в соединении с а и при помощи полной индукции позво-
ляет заключить,’ что вообще ср (и) = п. Следовательно, само опреде-
ление является основой всеобщности, исходя из которой дальше идут,
пользуясь полной индукцией. Служащий для определения и вывода
принцип полной индукции, приведенный не в виде формулы, а последо-
вательно применяемый in concrete, представляет собой собственную и
единственную силу математики, математическую праинтуицию. В этом
пункте Броуер согласен с А. Пуанкаре („Наука и гипотеза"). Отрицание
какого-нибудь общего суждения о числах было бы некоторой теоремой
о существовании, но так как последнее ничего не выражает, то общие
суждения не могут быть отрицаемы. Точно так же общее суждение не
указывает на какое-нибудь определенное само по себе существующее
объективно обстояние, оно мыслится не как логическое произведение бес-
конечно многих единичных суждений, а как суждение 'Гипотетическое, и
оно дает нам определенное суждение лишь в применении к единичному,
определенному заданному числу. Здесь не остается места для принципа
tertium non datur, третьего не дано: либо все числа обладают свойством
21 либо же существует некоторое число со свойством 31. Согласно Бро-
уеру (Jahresber. Deutch. math. Verein., 28,1920, стр. 204), вера в этот прин-
77
цип „исторически была обусловлена тем, что первоначально классическую
логику абстрагировали из математики подмножеств определенного (читай:
заданного путем указания его элементов) конечного множества, затем при-
писали этой логике независимое от математики существование a priori,
и наконец, на основании этой мнимой априорности применили ее не-
правомерным образом к математике бесконечных множеств".
В системе анализа, созданной Броуером, отдельное место в конти-
нууме, определенное вещественное число, определяется уже не при
помощи множества, а при помощи последовательности нату-
ральных чисел, т. е. посредством закона, ставящего в соответствие каж<
дому натуральному числу п другое натуральное число ср (/г). (Равноцен-
ность обоих видов определения утрачивается, лишь только перестают
рассматривать натуральные числа как некоторую объемноопределенную
совокупность.) Каким же образом возникают предложения, относящиеся
не просто ко всем натуральным числам, но ко всем вещественным чиглам
и пи же всем значениям какой-нибудь вещественной переменной? Бро-
уер показывает, что во многих случаях в современном анализе пред-
ложения этого рода при правильной их интерпретации относятся только
к совокупности всех натуральных чисел. С другой стороны, изме-
няется понятие последовательности; под этим словом следует понимать
теперь не определяемую на основании какого-либо закона последователь-
ность, а последовательность, возникающую шаг за шагом, в резуль-
тате актов свободного выбора, т. е. последовательность, ко-
торую можно рассматривать только как становящуюся. Становящаяся
последовательность определяет собой континуум или переменную
величину, наоборот, последовательность, определяемая втоть до бес-
конечности при помощи какого-либо закона, определяет собой отдельное,
заключающееся в континууме вещественное число. Континуум теперь
вовсе не является, выражаясь словами Лейбница, агрегатом твердых эле-
ментов, а оказывается средой свободного становления. Разу-
меется, в случае свободно становящейся последовательности имеет
смысл говорить лишь о таких ее свойствах, относительно которых уже
имеется утвердительный или отрицательный ответ (на вопрос о том, при-
суще ли свойство последовательности или нет), когда дойдешь до опре-
деленного пункта этой последовательности, приче^м дальнейшее разверты-
вание этой последовательности, как бы оно не проходило, уже не в
состоянии изменить нашего ответа.
В полном согласии с интуицией Броуер усматривает сущность непре-
рывного не в отношении элемента ко множеству, а в отношении части
к целому. Это понятие принадлежит к числу тех „экстенсивных целых",
которые Гуссерль характеризует тем, что „они допускают такое раз-
дробление на части, при котором части эти по самому существу своему
того же самого низшего рода, который определяется и неразделенным
целым" (Logische Untersuchungen, 2-е изд., II, стр. 267). Схему деления
одномерного континуума лучше всего уясним себе на примере отрезка
конечной длины. В результате деления пополам, он распадается на две
части, левую (0) и правую (1), затем каждая из этих частей в резуль-
тате деления пополам опять-таки распадается на две части, левую и пра-
вую и т. д. Этот процесс можно описать чисто комбинаторным образом,
78
А А
0001 10 11
АА ДА
и в этом случае он дает чистую арифметическую форму ограниченного
одномерного континуума. Однако следует отличать от этого действительное
осуществление этого процесса в случае конкретно предлежащего контину-
ума, каким является пространственный отрезок. Этот процесс осуще-
ствляется при помощи последовательного деления, соответствующего указан-
ной арифметической схеме, но при котором, однако, обе части вовсе не
должны быть всякий раз одинаковой длины и даже вообще нет необхо-
димости в наличии для данного континуума понятия о мере; необходимо
только, чтобы мелкость частей в конце концов оказалась ниже любого
возможного порога точности. В результате этого процесса, который in
concrete может быть доведен всегда только до некоторой определенной
стадии, в континууме устанавливается некоторая система координат, по-
зволяющая охарактеризовать отдельные его части абстрактно-арифмети-
ческим путем, при помощи двоичных дробей. Далее, так как в действи-
тельном континууме невозможно установить никаких точных границ, то
следует иметь в виду, что этот служащий для деления „остов" ни на
одной стадии не является уже точно зафиксированным, напротив, точки,
служившие разделительными пунктами на более ранних стадиях процесса,
все более и более уточняются при его продолжении. Две
любые смежные части v-той стадии деления мы объеди-
няем в „частичный интервал v-того порядка". Эти частич-
ные ин ервалы v-того порядка образуют между собою
такую систему вз шмных пересечений, что для любого
заданного приближенно, однако с достаточно большой
точностью,’ числа можно наверняка указать тот интервал
v-того порядка, в котором оно заключается. Таким обра-
зом отдельное вещественное число определяется как бесконечная по-
следовательность частичных интервалов все возра-
стающих порядков, каждый из которых заключается
внутри ему предшествующего.
Два вещественных числа а, Р совпадают, если /г-ный интервал после-
довательности а и /z-ный интервал последовательности р целиком или
частично перекрываются для любого значения//; эти числа раз-
личны, если существует такое порядковое число л, при котором два
таких интервала лежат раздельно друг от друга. Поскольку закон tertium
non datur неприменим к такого рода предложениям, то, согласно Бро-
уеру, мы не имеем здесь перед собой полной альтернативы. Это пре-
красно согласуется со свойствами континуума, данного нам в нашей
интуиции, ибо в нем раздельность двух мест переходит при их сближе-
нии в неотличимость, так сказать, постепенно, через целый ряд расплыв-
чатых промежуточных стадий. В континууме по Броуеру существуют только
н еп ре ры в ные функции. Континуум нельзя составить из
отдельных частей. Так, я могу выделить из континуума вещественных
чисел подконтинуум положительных чисел, использовав при построении
интервалов и их последовательностей только положительные двоичные
дроби; но ошибочно представление, будто весь континуум состоит из
положительных, отрицательных и совпадающих с 0 чисел — состоит из них
в том смысле, что каждое число должно принадлежав к одному из этих
континуумов.
7$
Здесь находит себе более точное выражение та старая истина, кото-
рую Аристотель (zspt, атомом выразил следующим образом: „дви-
жущееся движется, не производя счета14 или (Физика, гл. VIII): „когда
непрерывную линию делят пополам, то одну точку принимают за две,
ее делают и началом одной половины и концом другой; однако, когда
производят деление таким образом, то ни линия, ни движение не оста-
ются непрерывными... В непрерывном хотя и заключается бесконечно
много половин, но только в возможности, а не в действительности".
Ср. цитированные выше места о непрерывности из переписки Лейбница.
Вновь обретает силу тот принцип, что „нельзя разделить то, что не
является само по себе разделенным" (Гассенди).
В изложении Броуера математика приобретает максимальную интуи-
тивную ясность. Он сумел развить начальные части анализа таким есте-
ственным образом, что связь математики с интуицией оказалась гораздо
более тесной, чем прежде. Однако нельзя отрицать того, что отказ от
применения элементарных принципов классической логики при переходе
к высшим и более общим теориям приводит в конце концов к невыно-
симой громоздкости. И математик со скорбью смотрит на то, как словно
туман расплывается большая часть его сложенной, как ему думалось, из
каменных плит постройки.
Литература:
Brouwer, Intuitionisme en formalisme, Amsterdam 1912; по-англ. в Bull. Amer.
Math. Soc. 20 (1913).
W e у 1, Ober die neue Grundlagenkrise der Mathematik. Math. Zeitschr. 10/1921).
(См. след, статью в настоящем сборнике. П р и м. п е р е в.)
О. Becker, Beitr£ge zur phanomenologischen Begriindung der Geometric und
ihrer physikalischen Anwendungen, Husserls Jahrbuch fUr Philosophic 6, особенно
стр. 398—436, 459—477.
10. Символическая математика
Неужели не осталось никакой возможности избежать столь радикаль-
ных последствий? Решиться на такую жертву вдвойне тяжело в силу
того исторического факта, что в пределах самого теоретико-множе-
ственного, анализа, несмотря на самые смелые и многообразные комбина-
ции, удалось при помощи чрезвычайно тонких методов достигнуть со-
вершеннейшей строгости в заключениях и общеизвестного единодушия
в оценке достоверности полученных результатов. Гильберт берется при
помощи аксиоматического метода сохранить за математикой все ее до-
стояние. Разумеется, и он также убежден, что сфера действия содержа-
тельного мышления не превосходит пределов, указанных Броуером, что
оно не в состоянии производить трансфинитных математических умоза-
ключений, и что трансфинитные высказывания математики нельзя обосно-
вать как содержательные, само собою понятные истины.
Гильберт стремится установить не истину старого анализа, а его не-
противоречивость. Для этой цели он формализирует мате-
матику заодно с логикой, превращая их в управляемую некоторыми опре-
деленными правилами игру в знаки. (При этОхМ знаки вовсе не предста-
вляются символами чего-либо; символы последнего рода Гильберт называет
, коммуникативными знаками" (Mittellungszeichen) и для них он применяет
30
немецкие буквы.) Математические формулы, состоящие из этих знаков, не
всегда имеют обладающий реальиььм содержанием смысл: наряду с обла-
дающими смыслом предложениями встречаются также и „ идеальные выска-
зывания ", которые вводятся для того, чтобы искусственным образом вос-
становить всеобщую значимость тех простых законов логики, которые,
согласно Броуеру, теряют свою силу при переходе к бесконечному. Так,
например, и в алгебраической теории чисел вводятся идеальные числа, для
того чтобы достигнуть всеобщей применимости элементарных законов дели-
мости. Существует четыре различных рода знаков, отлйчающиеся между
собой соответственно применяемьш к ним правилам игры, подобно тому,
например, как отличаются друг от друга пешки и кони в шахматах. Это:
постоянные (как, например, 1), переменные (символы пустых
мест, х, у) одно-и многоместные операции, и интеграции 1). Важ-
нейшими одноместными операциями являются: (отрицание), а (пере-
ход от одного натурального числа к другому, непосредственно следую-
щему за ним), Z (Za, читай: а есть натуральное число); важнейшими
же двухместными являются —>, = и е. Все эти символы мы рассматриваем
как операции. Символ Z—это операция, порождающая из а высказыва-
ние „а есть число"; символ = это операция, порождающая из а и 6
высказывание „а равно Ь“. Последовательно рассуждая, можно в таком
случае, чтобы сформулировать правила игры в общем виде, эти символы
писать и перед членами, к которым применяются упомянутые операции.
Интеграции — это и Пх; у этих символов всегда имеется состоящий
из одной или нескольких переменных индекс. Если поставить перед
какой-нибудь формулой символ интеграции с индексом х, то переменная
уже не может быть более заменяема и оказывается „связанной" во
всех местах получающейся при этом формулы. В ходе развития матема-
тики постоянно могут вводиться новые символы. Термин формула опре-
деляется рекуррентным образом: „а) всякая постоянная или переменная
сама по себе представляет формулу, Ь) мы получим из одной или двух
(или нескольких) уже наличных формул новую формулу, если напишем
какой-либо одно- или двух- или многоместный символ операции или ин-
теграции и поместим позади него соответствующие формулы". По виду
какой-либо заданной формулы всегда можно установить, каким образохм
она была построена; на основании указанного рекуррентного метода
можно также всегда выяснить, является ли или нет какая-нибудь опре-
деленная последовательность символов формулой.
Вовсе не следует бояться того, что в системе формализма операции
применяются ко всему возможному без различия. Если 31 (х) представ-
ляет собою (как и везде в дальнейшем) любую формулу с одной лишь
свободной (не связанной) переменной х, а b (или с) — формулу, не имею-
щую свободных переменных, то в формуле 31 можно повсюду, где
встречается в свободном виде переменная х, поставить на место х всю
формулу Ь. В результате применения этого наглядного метода подста-
новки возникает опять-таки формула, которую мы будем коротко
обозначать символом 31 (6). Для большей ясности мы будем в дальнейшем
1) Я примыкаю в настоящем изложении к более простой, чем гильбертова,
системе формализма Ф« Неймана. (См. литературу в конце параграфа.)
81
писать символы в соответствии с обычным их употреблением то перед,
то над, то между членами, и вместо символа о а будем писать a-j-1
(так что символ -j-l представляет собою стоящий позади члена символ
операции, не имеющий ничего общего с постоянной 1).
Исходным пунктом доказательства служат аксиомы. В первую
очередь к ним принадлежат аксиомы финитной логики, как, например,
£->(&-> с).
Однако теперь мы их рассматриваем как всеобщие правила для
образования аксиом. Например, написанное выше выражение
говорит: возьми какие-либо две формулы b и с, не содержащие свобод-
ной переменной, и соедини их в формулу с -> (Ь с); то, что ты по-
лучишь, ты можешь использовать в качестве аксиомы. Затем мы имеем
оба правила для образования аксиом равенства, служащие мостом между
логикой и арифметикой:
Ь = Ь;
(b = c)~>(2l(b) = 2t(c)).
Наконец, в третью очередь к числу аксиом относятся специфически
арифметические правила, обладающие финитным характером, в которых
появляется постоянная 1, предметный исходный пункт всех построений:
Z1;
Zb Z (Ь 1);
(b+1=c + i)^(b = c);
b + 1 = 1.
Затем следует трансфинитная часть логики. В качестве исход-
ного пункта мы выберем оспариваемую Броуером дилемму, согласно
которой либо существует хотя бы один честный человек, либо же все
люди бесчестны. В таком случае можно найти такого человека Аристи-
да, по отношению к которому безусловно справедливо следующее пред-
ложение: если какой-либо человек честен, то Аристид честен. Действи-
тельно, для этого достаточно в первом случае выбрать за Аристида ка-
кого-либо честного человека, а во втором — любого из людей. Для того
чтобы суметь сконструировать такого Арис гида не только для свойства
честности, но и для всякого свойства, для всякой содержащей одну свобод-
ную переменную х формулы 2(, мы вообразим себе некий божественный
автомат, устроенный так, что если мы бросим в него любое свойство Ж, то
он нам в обмен выбросит такого индивидуума е^9(, который наверняка
обладает свойством 21, если только вообще существует подобный индиви-
дуум. При этом еЛ представляет собою символ интеграции. (Кокетничая с
роковым употреблением словечка „есть" для выражения как связки, так и
существования, мы также употребляехм для обозначения их обоих
одну и ту же букву е; однако возможность смешения устраняется бла-
годаря тому, что мы присоединяем к е, выражающей существование,
индекс-переменную.) Если бы мы имели в своем распоряжении подоб-
ный автомат, то он избавил бы нас от всех забот, доставляемых нам
терминами „все" и „существует", но, само собою разумеется, вера в
его существование является чистейшей бессмыслицей. Математика, однако,
82
поступает так, как если бы наш автомат существовал. Это можно вы-
разить при помощи определенного правила для образования аксиом, и
если применение этого правила не влечет за собой противоречий, то
его употребление в формализованной математике оказывается вполне
законным. Траисфинитные логические правила для образования аксиом
теперь таковы:
91(b) -> Lx9l(x),
W0.
ВДх)-> ?l(b),
Sl(e^) ЩВД.
Правила, записанные во второй строке, еще отсутствовали в § 3;
они дозволяют нам выводить следствия из Ev и умозаключать, исходя
из других формул, к Пх. Разумеется, эти правила не могут нам оказать
так же услуг, как и воображаемый автомат, ибо когда задана формула ?[,
они не говорят нам, чтб собою представляет ev9(. Только при некото-
рых условиях базирующееся на аксиомах доказательство приводит в
конечном итоге к таким формулам, как, например, ех91=1.
Среди арифметических аксиом Недостает еще принципа полной ин-
дукции. Его можно рассматривать как трансфинитное арифметическое
правило для образования аксиом, выражающее собою то обстоятельство,
что какое-либо свойство 91, присущее числу 1 и „передающееся по
наследству" от х к х -1- 1 для всех х, присуще также и любому числу.
Однако это правило, как мы знаем, становится излишним, если только
допустимо ввести для каждого свойства некоторую новую вещь у, со-
ответствующее множество, обладающее тем свойством, что высказыва-
ние пх есть элементу/" эквивалентно с наличием 91 (х). Однако, если
сформулировать сказанное в виде правила для образования аксиом, ю
вскоре оказывается, что его применение безусловно приводит к фор-
мальному противоречию, а это влечет за собой решитель-
ный отказ от неограниченного права на объективи-
рование. Но для анализа достаточно ограничения области изменения
аргумента областью натуральных чисел, так что мы можем выставить
более узкое трансфинитное теоретико-множественное
правило: f z "
ЕДТ, {Zx -> ((хеу) = Э((х))}.
При этом символ хеу можно прочесть так: значение функции у при
значении аргумента, равнОхМ х. Тогда наше правило гласит, что каждое
относящееся к области натуральных чисел и содержащее одну перемен-
ную х выражение можно рассматривать как некоторую функцию х, при-
надлежащую к числу математических предметов. Невидимому, для по-
строения анализа хотя и не необходимо, но желательно присоединить к
числу аксиом еще аксиому определенности, согласно которой
два числовых множества равны тогда, когда они содержат в точности оди-
наковые элементы. Если для сокращенного выражения (53 > (£) & (6 —> 93)
писать 93 то это правило гласит:
ПЛ { Zx -> ((хгЬ) (хгс))} -> (Ь = С).
Математическое доказательство заключается в том, что
первоначально согласно заданньш правилам устанавливаются аксиомы
(причем эти аксиомы никогда не содержат свободных переменных), а
83
затем путем применения рассмотренного в § 3 правила силлогизма
сперва к этим аксиомам, а затем к уже полученным из них формулам,
получаются все новые и новые формулы. То обстоятельство, что нельзя
a priori увидеть, к какой именно „доказуемой формуле" придешь
в результате этой игры, объясняется в первую очередь тем, что из
двух формул Ь и Ь-> с при помощи силлогизма возникает новая, более
короткая, чем вторая из предпосылок, формула с, так что в игре в до-
казательства постоянно сменяются построение и разрушение.
До сих пор все это — игра, а не познание. Но далее игра превра-
щается, по выражению Гильберта, в „метаматематику", в пред-
мет познания, ибо надо познать, что мы никогда не придем к проти-
воречию. Мы имеем дело с противоречием в том случае, когда
одна из двух разыгранных in concrete партий игры в доказательство
приводит в результате к формуле 6, а другая — к противоположной
ей формуле 6. Для доказательства единственно лишь этого обстоятель-
ства Гильберт вынужден прибегнуть к обладающему содержанием и
смыслом финитному мышлению, которое не может быть сведено ни к
каким „аксиомам". Между прочим, в процессе этого обладающего со-
держанием мышления интуитивное умозаключение осуществляется по-
средством полней индукции, подобно тому, как мы применяли этот прин-
цип, когда доказывали (§ 4), что в правильно разыгранной шахматной
партии никогда не может оказаться на доске 10 королев одного цвета.
Систему аксиом можно непрестанно расширять, при этом только
необходимо всякий раз доказывать, что ее непротиворечивость сохра-
няется. В частности в вице новых аксиом или правил для образования
аксиом следует вводить также и определения, например:
1 4-1=2; (6 4-1)4-1=6 4-2.
Что касается натуральных чисел, то в гильбертовой конструкции,
в противоположность броуеровской, можно отказаться от той „возмож-
ности in infinitum*', которая была нами описана в § 6 в качестве третьей
стадии процесса конструктивного познания. Например 1012 представ-
ляет собою для Гильберта некоторый „трансфинитный" символ, не вы-
ражающий собою никакого числа (символа, имеющего вид аа...о1). Гео-
метрия и физика могут быть включены в математику лишь только и
поскольку они оказываются строго аксиоматизированными. Гильберт да-
же полагает (Axiomatisches Denken, 1917), что „все то, что вообще
может быть предметом научного мышления, должно быть, поскольку
оно уже достаточно созрело для образования теории, подчинено аксио-
матическому методу, а значит косвенным образом и математике"1)*
*) Исходя из существенно иной концепции математики, Кант приходит к вы-
воду, что „в каждой отрасли учения о природе мы имеем ровно столько науки,
сколько содержится в ней математики* (Metaphysische Anfangsgriinde der Natur-
wissenschaft, Vorrede). Гуссерль заявляет в том же духе, что и Гильберт, с осо-
бенным учетом математической логики, что „математическая форма рассмотрения
во всех строго развитых теориях (это слово, конечно, надо тоже брать в на-
стоящем его смысле,) является единственно научной формой, единственной, даю-
щей систематическую замкнутость и завершенность и открывающей возмож-
ность понять все возможные вопросы и возможные формы их разрешения*
(Logische Untersuchungen, т. 1, § 71).
81
Если оставить в стороне трансфинитную часть системы аксиом, то
нетрудно привести доказательство непротиворечивости (WB) при по-
мощи „валоризации" (Wertung) формул. Именно, пользуясь каким-ни-
будь точно описанным рекуррентным приемом, каждой формуле можно
в соответствии со способом ее получения приписать одно из двух „зна-
чений" (Wert) — истинность W или ложность Л,— так что все финит-
ные аксиомы очевидным образом приобретают значение 1Г, а для ло-
гических комбинаций применяются установленные в § 3 правила опре-
деления „значения". Поскольку трансфинитное находится
за пределами системы, постольку силлогизм, дедук-
тивный метод остается совершенно бессильным; уста-
новить истинность или ложность посылки в формуле Ь -> с мы оказы-
ваемся в состоянии только после того, как уже установлена истин-
ность или ложность заключения с. <
После того как мы принимаем также и трансфинитные правила для
образования аксиом, добиться WB на указанном пути уже нельзя. При
этом оказывается, что вместе с допущением этих правил исчезает воз-
можность различения истинного и ложного.
Однако идя по другому, более обходному пути, удалось провести
WB для того случая, когда допускаются трансфинитные логиче-
ские аксиомы (Ф. Нейман, цит. ст.). Уже в этом случае доказательство
становится очень сложным. Тем самым доказывается, что, рассматривая
ряд натуральных чисел в качестве замкнутой совокупности существую-
щих предметов, — как это я сделал в вышедшем в 1918 г. сочинении
„Континуум", — мы можем не бояться никаких противоречий. Напротив,
отсутствует еще доказательство WB для системы аксиом, включающей
трансфинитное теоретико-множественное правило (*) для образования
«ксиом, правило, позволяющее занять позицию, аналогичную только
что указанной, также и по отношению к „совокупности всех возможных
числовых множеств*. Только проведение WB или же попытки его осу-
ществить раскрыли перед нашим взором в высшей степени запутанную
логическую структуру математики, все взаимосплетение заключающих-
ся в ней порочных кругов, относительно которых нельзя даже сразу
сказать, не приведут ли они к грубым противоречиям.
Очевидно, что изложенная система символизма в более утончен-
ной форме снова берется за выполнение той задачи, которую выставил
Лейбниц в своей „всеобщей характеристике* и ars combinatoria. Но
разве перед нашими взорами не восстает здесь только бескровный при-
зрак прежнего анализа? Математика Гильберта может представлять со-
бой очень изящную игру в формулы, более занятную даже, чем шах-
маты, но что общего имеет она с познанием, раз принимается, что ее
формулы не должны обладать никаким предметным значением, благо-
даря которому они могли бы выражать какие-либо имеющие смысл
истины? Согласно Гильберту предметом математики являются сами
символы. Поэтому нет никакой иронии в следующем заявлении Броуера:
„На вопрос: где же заключается научная точность? — обе стороны отве-
чают различно. Интуиционист говорит: в человеческой мысли, формалист:
на бумаге* (Intuitionisme еп formalisme, стр. 7).
Последовательный формалист не может ответить на вопрос, почему
85
он устанавливает именно такие правила и почему ему так важно,
чтобы никогда не встретились две доказуемые формулы вида Ь и Ь.
Как полагает Броуер, этот формалист для определения своего
„чувства радости от убежденности в истинности* и своей веры в то,
что избранная им система аксиом лучше применима к мир}' опытных
явлений, чем другая система, отошлет нас к философии, психологии,
антропологии.
Это последнее замечание напоминает нам, что математика имеет
своею обязанностью служить подспорьем естествознанию. Однако несом-
ненно, что отдельные положения теоретической физики совсем не носят
того характера, каким должны обладать по Броуеру математические
предложения, каждое из которых в отдельности обладает своим собствен-
ным, целиком реализуемым в интуиции смыслом; при сопоставлении
с опытом в теоретической физике приходится брать только всю сис-
тему как целое. Мы должны отчетливо отличать феноменаль-
ное знание, интуитивное узрение (anschauender Einsicht), данные,
например, в суждении такого сорта: „этот (данный мне в настоящем
акте восприятия) лист обладает зеленым (данным мне в том же самом
акте восприятия) цветом* — от теоретического построения.
Знание дает нам истину, и органом его является язрение* в широком
смысле этого слова. - Теоретическое же построение связано, повидимому,
только с одним могущим быть строго формулированным принципом ра-
зума, — с согласованностью, которая здесь, в области математики,
где мы еще не вступаем в соприкосновение со сферой чувственно данного,
состоит только в непротиворечивости; его органом служит „творче-
ское начало*. В дальнейшем, когда речь будет итти о физике, мы
рассмотрим подробнее вопрос о том, чем еще, кроме согласованности,
определяется теоретическое построение. Хотя интуитивная истина и Не
является здесь последней инстанцией, но все же нельзя сказать, что она
не играет никакой роли. Сам Гильберт говорит об этом следующее: „Та
роль, которая остается на долю бесконечного,... это исключительно роль
идеи, если под идеей, по словам Канта, понимать логическое понятие,
которое превосходит всякий опыт и дополняет конкретно данное до це-
лостности* (Ober das Unendliche, Math. Ann., 95, стр. 190). Впрочем,
возможно, что полный ответ на этот вопрос можно получить лишь обра-
тившись к истории, реализующейся в нас в историческом процессе жизни
духа, окончательным результатом которой никогда не может оказаться
символическое построение мира, в противоположность феноменальному
познанию, в которое хотя и могут в силу человеческого несовершенства
вкрасться ошибки, но которое по существу своему всегда неизменно.
Литература:
Leibniz, Philos. Schriften, изд. Gerhardt, VII, стр. 184—189.
L. Couturat, Opuscules et fragments inedits de Leibniz, Paris 1902.
Hilbert, Neubegriindung der Mathematik, Abh. a. d. Math. Sem. d. Univ.
Hamburg, 1, 1922.
Hilbert, Die logischen Grundlagen der Mathematik, Math. Ann., 88, 1922.
Hilbert, Ober das Unendliche, Matn. Ann., 95, 1925.
v. Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie, Math. Zeitschr., 1926.
86
11. О СУЩНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОЗНАНИЯ
Математику издавна почитали наукой о величине или же. о
пространстве и числе. Хотя мы встречаем это определение
также и у Лейбница, но с его точки зрения ограниченное таким образом
Mathesis представляет собою лишь отдел Ars combinatoria. В настоящее
время, если принять во внимание такие области математики, как проек-
тивная геометрия или же теория групп, подобное определение пред-
ставляется нам чрезмерно узким. Поэтому нам нечего особенно беспокоить-
ся насчет более точного определения понятия количественного, и раз-
витие самой математики вызывает даже сомнения в том, является ли
количество обладающей четкими контурами и важной философской
категорией. Поскольку геометрия изучает действительное пространство,
постольку мы ее уже более не причисляем к чистой математике, и
принципиально говоря, она принадлежит к области приложений матема-
тики, как и механика и физика. Под влиянием общей арифметики ги-
перкомплексных чисел, а позднее также аксиоматических изысканий,
теории множеств и логистики, различие между математикой и л о*
гик ой постепенно стирается. По определению Пц^са (В.'Peirce, 1870)
„Mathematics is the science, which draws necessary conclusions* (матема-
тика есть наука о производстве необходимых умозаключений). Опреде-
ление „ математики или логикик подробно исследуется с этой точки зре-
ния в 11-й главе „Логических исследований" Гуссерля (т. 1, Идея чистой
логики) и в последней главе „Введения в философию математики* Ресселя.
Следовать ли вместе с Броуером за последовательным интуициониз-
мом или же вместе с ТилШёрто'м за символизмом, — все же нельзя не
признать, что, благодаря вызванному антиномиями теории множеств кри-
зису, характерные черты математики снова выступили с большей отчет-
ливостью. Броуер видит подобно Платону существо математического
мышления в некотором двуединствеГ^Этот нео-интуиционизм считает
распад жизненных моментов на качественно '^р^лйчныё* части,” которые,
будучи разделены только временем, могут вновь соединяться, первич-
ным фактом человеческого интеллекта, а абстрагирование от распада
всякого чувственного содержания в интуиции двуединства — первичным
фактом математического мышления*.
Мы видели, как, благодаря тому, чго всякий раз „одно становится
двумя*, возникает схема деления одномерного континуума. Точно так же
1®кают в соответствии со способом их записи в двоичной системе
целые числа. Штенцель показал (Zahl und Ge-
stalt bei Plato und Aristoteles, 1924), что Платон,
по всей вероятности, располагал числа именно
в такую схему; но так как при этом расчлене-
ние одного на два порождает все большие и
большие числа, а в континууме приводит ко все
меньшим и меньшим частям, то Платон назы-
вает двойственность еще большим-малым (Gross-
KJeine). Природе целых чисел более соответствует
то их натуральное расположение, которое противопоставил платоновой
концепции числа Аристотель (Метафизика, А6 и Мб). Но и это
87
натуральное расположение можно получить из двуединства, исходя перво-
начально из нераздельного, затем расчленяя его на один элемент (еди-
ницу), остающийся и в дальнейшем единицей, и некоторый неразделенный
остаток, потом снова расчленяя остаток на один элемент (2) и некото-
рый неразделенный остаток, и т. д. (Интуитивно можно представлять
себе дело, например, так: от полупрямой всякий раз отсекается новый
отрезок, — в случае раскрытого в грядущее времени всякий раз пере-
живается новая часть его.) Здесь подлежит делению на две части не
всяка,я часть, а только последний оставшийся на данной стадии процесса
деления неразделенный остаток.
Но независимо от того, какое значение приписывать подобному све-
дению математического мышления к идее двуединства, независимо от
этого, с точки зрения интуиционизма именно полная индукция
охраняет математику от опасности превратиться в чудовищную тавтологию
и придает ее положениям синтетический, не аналитический характер.
Метод полной индукции действительно является основной и пронизы-
вающей всю математику чертой ее. Если на первый взгляд может пока-
заться, что он не играет никакой роли в элементарной геометрии, и в
особенности в проективной геометрии, то это объясняется лишь тем, что
в них термины „существует* и „все* применяются к точкам самым
наивным образом. С интуиционистской точки зрения это недопустимо:
поле геометрических построений представляет собою континуум и потому
может быть подвергнуто строгой математической разработке лишь после
того, как оно будет покрыто, как это было описано выше, сетью де-
ления.
В концепции формализма место полной индукции занимается группой
трансфинитных аксиом, накладывающей свой отпечаток на всю матема-
тику. Математика состоит здесь вовсе не из очевидных
истин, но представляет собою смелое теоретическое
построение, т. е. полную противоположность аналитической самооче-
видности. С другой стороны, обладающие содержанием рассуждения ма-
тематики, имеющие своею целью дать доказательство непротиворечивости,
оперируют в ходе доказательства финитными умозаключениями от п к
п-j-1 и имеют дело с „внелогическими конкретными объектами, кото-
рые можно полностью обозреть во всех их частях; и их указание, раз-
личение, следование друг за другом или расположение друг рядом с
другом дается нам вместе с объектами непосредственно в интуиции, как
нечто, ни к чему другому не сводимое и в сведении не нуждающееся*
(Гильберт). Поэтому Гильберт соглашается с Кантом, который, впрочем,
в области алгебры тоже считал существенным моментом символическое
построение из данных в интуиции знаков (Kritik der reinen Vernunft,
2. Aufl., стр. 745), в том, „что математика обладает прочным и не зави-
сящим от логики содержанием и поэтому никогда не может быть обосно-
вана при помощи одной лишь логики* (Ober das Unendliche, стр. 171).
Впрочем, не следует забывать, что, согласно кантовскому употребле-
нию слов „аналитический* и „синтетический*, аналитическим должно на-
зываться по крайней мере отдельное определенное равенство вроде
3 + 2 = 5.
88
Действительно, как показал Лейбниц, оно логически вытекает из
определений
3 -j- 1 = 4, 4 1 = 5, (а 1) -f- 1 = cl 2
и таким образом ясодержится в понятиях* чисел 3, 5 и действия ~|-2.
Какой смысл в противном случае связывал с этими символами Кант?
Математика, несомненно, априорна, она вовсе не основывается —
как в этом хотел нас уверить Дж. Ст. Милль — на опыте, в том смысле,
что только повторные испытания над числовыми примерами обеспечивают
все большую и большую достоверность арифметической теоремы, глася-
щей, что для произвольных натуральных чисел
— т.
Замечательной особенностью всей математики, столь затрудняющей
доступ к ней профанам, является щедрое употребление в ней символов.
С интуиционистской точки зрения это отнюдь не существенный признак
математики; интуиционист видит в символах как и в человеческой речи,
только вспомогательное средство, служащее благодаря процессу фиксации
опорой нашей памяти и позволяющее передавать мысли другим. Иначе
обстоит дело в системе формализма. Для него математика целиком и
полностью состоит из символов, не имеющих никакого раскрывающегося
в чувственной или духовной интуиции значения, символов, с которыми
оперируют согласно твердо установленным правилам; человеческая же речь,
например, при описании замещения и практического правила умозаклю-
чения и в математических рассуждениях, служит для (принципиально
говоря, всегда остающегося ненадежным, объяснения, именно для) сооб-
щения о способах действия и обладающих значением духовных актов мы-
шления. А. Шпайзер (Klassische Stiicke der Mathematik, 1925, стр. 48)
пишет: „При помощи геометрических фигур, а позднее — математических
формул, математика избавилась от употребления языка, и тем, кто знает
проделанную здесь огромную работу и все новые успехи, достигаемые в
этом процессе, тем представляется, что в настоящее время математика в
отведенном ей участке духовного мира является более дееспособной, чем,
например, музыка или же находящиеся в столь плачевном состоянии но-
вые языки на их фронтах*.
В своем трансцендентальном учении о методе (II часть „Критики
чистого разума*) Кант усматривает сущность математики в построе-
нии: „Философское познание — это рассудочное познание из понятий,
математическое же познание — это познание из построения понятий*.
На примере теоремы о сумме углов треугольника он показывает, что
геометрические теоремы открываются не путем расчленения понятий, а
при помощи построения соответствующим образом подобранных вспо-
могательных точек и линий. В настоящее время нас уже не может более
удовлетворить рассмотрение Кантом конструктивного метода в его под-
робностях. Но одно, во всяком случае, справедливо, — именно, что при
доказательстве математической теоремы почти всегда приходится выходить
далеко за пределы непосредственного содержания теоремы. Причину
этого факта следует искать в том обстоятельстве, что осуществляемое
по правилу силлогизма доказательство вовсе не представляет собою —
89
как это уже подчеркивалось выше — некоторое однообразно продолжа-
ющееся в одном направлении построение, а является непрерывной сменой
построения и разрушения, в противоположность формуле, построение
которой производится всегда в одном направлении и в случае которой
поэтому все составные части построения сохраняются и в готовом ре-
зультате. Указанное обстоятельство вместе с перечисленными в § 6 (на
стр. 64—65) 1-м, 2-м и 3-м пунктами, на мой взгляд, довольно удовлетвори-
тельно характеризует построение в противоположность чистому рас-
смотрению.
Те стадии, которые были за последнее время пройдены в исследо-
вании основ математики, соответствуют трем основным возможным
теоретико-познавательным установкам. Теоретико-множе-
ственное обоснование представляет собою стадию наивного реа-
лизма, не осознающего содеянного им перехода от данного к транс-
цендентному. Броуер является представителем идеализма, поскольку
он требует сведения всего истинного к интуитивно данному. Наконец,
в системе аксиоматического формализма сознание пытается „ перескочить
через свою собственную тень*, оставить позади себя материю непосред-
ственного данного, представить трансцендентное, но, само собою
разумеется, только в символическом виде. Западная философия
со времен Декарта принципиально стояла на идеалистической точке зре-
ния в теории познания, но она все время пыталась найти в метафизике
доступ в.царство абсолютного и даже за Кантом, стремившимся закрыть
раз навсегда доступ к нему, последовали еще Фихте, Шеллинг, Гегель.
Нельзя отрицать того, что в нас жива совершенно непонятная с точки
зрения чистого феноменализма теоретическая потребность, толкающая
нас на поиски целокупного. Как раз в области математики это прояв-
ляется с особенной отчетливостью. Но именно на примере математики
мы также видим, что удовлетворить эту потребность можно лишь при
том условии, что мы согласимся довольствоваться символом и откажемся
от того ошибочного мистического представления, будто трансцендентное
когда-либо сможет попасть в сферу действия нашей созерцающей ин-
туиции. До сих пор только в области математики и физики теорети-
ческое построение приобрело такую прочность, что является обязательным
для всякого человека, перед которым раскрывается дух этих наук.
Преимущественно на этом факте и покоится их философское зна-
чение.
Если пожелать в заключение резюмировать сущность математики в
немногих словах, то можно сказать, что математика — это наука о
бесконечном. Великим достижением греков было преобразование
полярной противоположности конечного и бесконечного в плодотворное
орудие познания действительности. Мы здесь пытались показать, какое
значение эта полярность и стремление к ее преодолению имели и имеют
в истории теоретического познания. „Ни одна проблема не волновала так
глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея
не оказала столь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея
бесконечного, но, с другой стороны, ни одно понятие не нуждается так-
в выяснении, как понятие бесконечного* (Гильберт, Ober das Unend-
liche). Тех, кто желает ознакомиться с кратким обзором различных на-
90
правлений и проблем математической мысли, я отсылаю к статье А. Фосса
(A. Voss, Ober das mathematische Erkenntnis) в „Kultur der Gegenwart",
(ч. Ill, разд. 1, 1914).
Литература:
Kanf, Kritik der reinen Vernunft (Имеется русский перевод).
Основательный разбор философии математики Канта см. yCouturat,
Rev. de M£t. et de Morale, Mai 1904.
A. Voss, Ober das Wesen der Mathematik, 2-е изд., 1913. (Имеется русский
перевод).
Russell, Einfiihrung in die math. Philosophie.
H. Poincare, La science et Fhypothese. (Имеется русский перевод.)
Stumpf, Zur Einteilung der Wissenschaften, Abh. Bed. Akademie, 1906.
III. О НОВОМ КРИЗИСЕ ОСНОВ МАТЕМАТИКИ
Обычно полагают, что антиномии теории множеств свойственны только
отдаленнейшим областям математического мира и никоим образом не
угрожают внутренней прочности и безопасности самой математики, соб-
ственному ядру ее. Однако почти все разъяснения, данные относительно
этих антиномий авторитетными лицами (с целью опровергнуть их суще-
ствование или сгладить их), непохожи вовсе на убеждения, возникшие
из совершенно непреодолимой и бесспорной очевидности, они относятся
к тем полуискренним попыткам самообмана, которые так часто встречаются
в сфере политики и философии. Действительно, всякое серьезное и ис-
креннее размышление должно убедить нас, что указанные противоречия
в пограничных частях математики следует рассматривать как симптомы
некоторого неблагополучия всей этой науки, в противоречиях этих открыто
выступает то, что скрывается внешне блестящим и крепким видом мате-
матического здания, — выступает именно внутренняя непрочность фун-
дамента, на котором покоится вся постройка. Я знаю только две попытки
вырвать зло с корнем. Автором первой является Броуе'р’. Уже в 1907 г.
им были высказаны некоторые идеи, намечающие общее направление
задуманной им реформы теории множеств и анализа, но лишь в последние
годы из этих идей была создана Броуером цельная последовательная
система. Независимо от Броуера я в 1918 г. в сочинении „Континуум*
изложил давно задуманные мной мысли о новом обосновании анализа1).
Связанные с этим обоснованием трудности лучше всего выяснить на по-
нятиях вещественного числа и континуума; я буду поэтому в дальней-
шем исходить из этих понятий и сперва вкратце намечу существенней-
шие пункты моей собственной попытки, а вслед за тем изложу вольным
образом броуеровские идеи.
А. АТОМИСТИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ КОНТИНУУМА
1. Порочный круг
Мы будем исходить вместе с Дедекиндом из системы рациональных
чисел и станем характеризовать отдельное вещественное число а мно-
жеством тех рациональных чисел, которые меньше а. Мы станем прямо
определять вещественное число как множество рациональных чисел, обла-
дающее «свойством сечения*, свойством содержать вместе с любым ра-
. х) Weyl, Das Kontinuum, 1919
92
циональным числом х в качестве элементов и все рациональные числа
Эти множества сугь бесконечные множества, а бесконечное
множество может быть задано исключительно указанием свойства, ха-
рактерного для его элементов. Но свойства рациональных чисел строятся
чисто логическим путем, исходя из первоначальных свойств и отношений,
лежащих в основании действий с рациональными числами. За основные
свойства и отношения можно принять:
свойство: х положительно,
отношение: x~\-y = z,
отношение: х • у = z.
Если от рациональных чисел обратиться к натуральным, то единствен-
ным основным отношением, с помощью которого можно определить все
остальные чисто логически, будет отношение, в которохм и заключается
собственно сущность натуральных чисел, именно, отношение, существую-
щее между двумя натуральными числами п и п' тогда и только тогда,
когда п есть ближайшее последующее за п число. Аналогичньш образом
эвклидова геометрия исходит из трех основных категорий предметов:
точки, прямой и плоскости, и некоторых немногих заимствованных из
интуиции „первичных" отношений между этими предметами („точка ле-
жит на прямой" и т. д.), о которых говорится в аксиомах. Все
остальные понятия, в частности все свойства точек, прямых и плоскостей
и все отношения между ними определяются чисто логически с помощью
этих первичных отношений.
Множества соответствуют свойствам рациональных чисел таким
образом, что два свойства ® и 6' при некоторых обстоятельствах опре-
деляют одно и то же множество даже тогда, когда сами они получены
из первоначальных свойств и отношений путем различных построений.
Это происходит тогда именно, когда оба свойства равнообъемны, т. е.
когда всякое рациональное число, обладающее одним свойством, обла-
дает и другим, и обратно. Таким образом моментом, определяю-
щим тождество двух определенных каким-нибудь свойством множеств,
является не содержание свойств, а их предметное совпадение (по
„объему"), — совпадение, которого нельзя вывести чисто логически из
определения свойств, и которое можно установить только на основе
специального ознакомления с предметами, входящими в состав рассматри-
ваемых множеств.
Само собой разумеется,* безразлично — пользоваться ли словом „мно-
жество" или же словом „свойство". Следует лишь избегать того лож-
ного представления, будто, если бесконечное множество элементов опре-
делено, то нам не только известно характерное для его элементов
свойство, но и сами эти элементы, так сказать, расстилаются перед нами,
так что нам остается только по очереди перебрать их один за другим, —
подобно тому как полицейский чиновник просматривает свой список, —
чтобы обнаружить, имеется ли в нашем множестве элемент того или
иного вида. По отношению к бесконечным множествам подобное пред-
ставление лишено всякого смысла.
В анализе мы рассматриваем не только отдельные вещественные
числа, но также и множества вещественных чисел и сопряжения между
такими множествами. По нашему определению вещественное число
93
задается свойством рациональных чисел, множество же вещественных чисел,
согласно этому, задается свойством свойств рациональных чисел. Не-
трудно образовать подобные „свойства свойств"; примером может слу-
жить следующее определение: свойство „сечения" рациональных чисел
будет рода Л, если оно неприсуще числу 1 (4 соответствует „множе-
ству всех вещественных чисел Iй). Рассмотрим теперь построение
верхней границы любого подобного множества А вещественных чисел.
Граница, вещественное число задается некоторым свойством рациональ-
ных чисел (5д, причем ®д определяется следующим образом: оно при-
суще рациональному числу х тогда и только тогда, когда существует
свойство 6 рода А, присущее числу х (когда существует вещественное
число ® множества Л, ниже которого лежит х). Но чтобы это опре-
деление имело какой-нибудь смысл, необходимо не только, чтобы по-
нятие свойства рациональных чисел было ясно и однозначно, но также
чтобы совокупность „всех возможных" свойств была в себе опреде-
лена, ограничена и принципиально обозрима, ибо определение это исхо-
дит из того, что вопрос „существует ли свойство ® такого-то
характера" (именно такое, которое одновременно рода Л и присуще
числу х) имеет смысл, относится к некоторому объективно данному
обстоянию, позволяющему отвечать на вопрос либо утвердительно, либо
отрицательно. Но это далеко не очевидно. Действительно, до-
пустим, что удалось каким-либо образом наметить подобный определен-
ный в себе и ограниченный круг свойств рациональных чисел (я буду
называть их х-свойствами), и пусть Л будет, как и выше, некоторое
свойство свойств. В таком случае вопрос „существует ли х-свойство
рода Л, присущее рациональному числу хи, имеет ясный смысл. В слу-
чае утвердительного ответа на него мы припишем числу х свойство
, в противном случае скажем, что оно ему не принадлежит. Но с
другой стороны, совершенно очевидно, что это свойство (опреде-
ленное на основе совокупности всех х-свойств) согласно своему
значению’лежит вне х-круга. Здесь обнаруживается, что понятие „свой-
ство рациональных чисел", как я позволю себе выразиться, не объемно-
определенно (umfangs-definit), и наше определение верхней границы со-
держит в себе порочный круг. Конечно, не исключена возможность
того, что свойство ®л равнообъемно с каким-нибудь х-свойством4
Таким образом, чтобы придать положению о существовании верхней
границы всякого множества вещественных чисел ясный смысл и чтобы
установить истинность его, требуется следующее: должна быть построена
определенная в себе и ограниченная совокупность свойств, „х-свойств",
для которой можно было бы доказать, что некоторое свойство ®д, по-
строенное по вышеуказанной схеме из совокупности х-свойств, постоянно
равнообъемно с определенным х-свойством. Попытка подобного построе-
ния никогда еще не была предпринята, не существует ни малейшего
намека на то, что подобное построение возможно, оно a priori столь
чудовищно невероятно, что ни от кого нельзя разумным образом тре-
бовать заняться этой задачей.
Не пускаясь в более глубокий теоретико-познавательный анализ, мы
резюмируем полученные результаты следующим образом. Хотя на осно-
вании содержания какого-либо ясно и однозначно установленного поня-
94
тия о предмете и может быть указана сфера существования предме-
тов, подпадающих под это понятие, но из этого никоим образом не
следует, что данное понятие объемноопределенно, что имеет
смысл говорить о существовании подпадающих под это понятие пред-
метов как о некоторой в себе определенной и ограниченной идеальной
замкнутой совокупности. Не имеет смысла говорить так уже потому,
что здесь выступает совершенно новая идея существования, ту-бытия
(Da-sein), в то время как в понятии трактуется лишь о сущности,
о тако-бытии (So-sein). Принять эту гипотезу побудил, повидимому,
только пример реальных вещей, в смысле реального внешнего мира, ко-
торый считается в себе сущим и определенным по своим свойствам. Если S
есть по своему содержанию ясное и однозначное свойство предметов,
охватываемых понятием В, то положение пх имеет свойство устанав-
<вает для любого подобного предмета х совершенно определенное об-
юяние, которое либо существует либо не существует, суждение само
ю себе здесь истинно или ложно, без всяких сомнений и колебаний и
ез возможности какой-либо третьей, лежащей между двумя этими про-
ивоположными взглядами, примирительной точки зрения. Если же в
частности понятие В объемноопределенно, то не только вопрос „обла-
дает ли х свойством имеет ясный и однозначный смысл для охва-
тываемого понятием В предмета х, но имеет его и экзистенциальный
вопрос: „существует ли между охватываемыми понятием В предметами
предмет, обладающий свойством @?". Опираясь на заданный нам в ин-
туиции процесс образования натуральных чисел, мы придерживаемся
твердо взгляда, что понятие натурального числа объемноопределенно,
точно так же обстоит дело в таком случае и с понятием рационального
числа. Но, конечно, не объемноопределенны понятия „предмет", „свой-
ство натуральных чисел" и подобные им понятия. Хорошо было бы, не
довольствуясь вышеприведенными соображениями, постичь этот факт з
непосредственной интуиции.
2. Конструкция
Относящиеся к вещественньш числам экзистенциальные предложе-
I и, можем мы прибавить, общие высказывания о них (которые могут
ть представлены в форме отрицательных экзистенциальных суждений)
1учают, как мы видели, смысл только тогда, когда мы сводим не
меющее определенных границ и объема понятие „свойство рациональ-
ых чисел" к объемноопределенному понятию „х-свойства". Но как
должно происходить это сведение? Ответ на этот вопрос дает рассмот-
рение конструктивного метода математики. Я уже упомянул
выше, что все свойства и отношения (свойства можно принимать всегда
за отношения; это — отношения, только с одной неизвестной) получаются
чисто логическим путем из немногих первоначальных отношений. По-
строение их производится при помощи немногих логических кон-
структивных принципов, содержащихся в словах „не", „и", „или",
„существует" и указывающих, как из одного или двух уже построенных
отношений выводится новое. Эти конструктивные принципы играют в
области отношений роль, подобную роли четырех действий в области
95
рациональных чисел, дающих возможность при помощи повторения их в
любом числе и в любой комбинации построить из числа 1 все рацио-
нальные числа. Конструктивные принципы управляют порождением свойств
и отношений, они определяют генетическим образом объемноопределенное
понятие х-свойства и х-отношения. Но злым роком современного ана-
лиза было то обстоятельство, что он включал и употреблял в числе
своих конструктивных принципов еще и следующий: если А есть неко-
торое свойство свойств, то с помощью его создается свойство ®, принад-
лежащее рациональному числу х тогда и только тогда, когда при по-
мощи конструктивных принципов (в частности и этого самого принципа!)
можно образовать свойство рода Л, принадлежащее числу х. Очевидно,
однако, что в качестве консфуктивного принципа подобное правило не
имеет никакого смысла, ошибка порочного круга здесь становится бук-
вально осязательной.
Чтобы определеннее очертить обрисованную нами в общих чертах
картину, я вкратце охарактеризую остальные, свободные от порочного
круга дефиниторные принципы.
1. Отождествление нескольких неизвестных: так, из Л7(х, у):
„хесть племянник уи получается: 7V(x, х): „х есть племянник самого себя".
2. Отрицание; из ?/(х, у) получается N (х, у): „х не есть пле-
мянник у*.
3. Соединение двух отношений через „и*, при этом должно быть ука-
зано, как следует отождествлять между собой неизвестные обоих отно-
шений, например из 7V(x, у) и V(х, у): „х есть отец у" получается
троичное отношение 7V(x, у)» У (у, z): „х есть племянникуиу отец г*.
4. Соединение двух отношений через „или".
5. Замещение неизвестной каким-либо данным предметом: так, из
F(n, п): „натуральное число п' следует за п“ получается, например,
свойство F(5, п) с одной неизвестной n’z „пг следует за 5*.
6. Замещение неизвестной выражением „существует": так, из отно-
шения F(n, п) получается свойство F с неизвестной и': „существует
число, за которым следует пи (свойство, присущее всем числам, кроме 1).
Во всех областях математики, как в этом легко убедиться, новооб-
разование свойств и отношений происходит при помощи комбинирован-
ного применения этих принципов. Но их становится недостаточно, как
только выступает теория множеств. Дело в том, что теория множеств
рассматривает отношения и свойства в свою очередь как предметы, между
которыми могут существовать новые отношения, она создает множества,
множества множеств и т. д. Отношения могут в этом случае выступать
в качестве аргументов в других отношениях точно так, как и первона-
чальные предметы. Это получается при помощи следующего приема. Вы-
сказывание вроде такого: „роза красна*, не подводится более под схему
„х красно*, но под гораздо более общую схему „х обладает свойством (£*,
из которого наше высказывание получается замещением х = роза, 6‘ = крас-
ный. Слова „обладает свойством* обозначают определенное отношение е,
которое может существовать между произвольным предметом х и произ-
вольным свойством ®. Например, когда мы выше сказали: свойство (S ра-
циональных чисел будет рода Л, если оно присуще числу 1, то мы обра-
зовали отношение е (х, (S) между неопределенным числом х и неопреде-
96
лунным свойством 6 и, согласно принципу 5, заместили в нем х опреде-
ленным числом 1. Если при построении анализа мы принимаем за исходный
пункт натуральные числа, то надлежит поступать следующим образом. Мы
имеем одну единственную основную категорию предметов, именно, нату-
ральные числа, затем единичные, двоичные, троичные,... отношения между
ними. Все эти отношения мы назовем отношениями 1-го типа; кате-
гория, к которой принадлежит такое отношение, вполне характеризуется
количеством неизвестных, входящих в это последнее. Отношения 2-го
типа суть отношения, неизвестными которых являются отчасти произ-
вольные натуральные числа, отчасти же произвольные отношения 1-го
типа. Категория, к которой принадлежит какое-нибудь отношение 2-го
типа, определяется количеством неизвестных отношения и теми кате-
гориями предметов, к которым относится каждое из этих неизвестных.
Отношения 3-го типа — это отношения, в которые входят неизвестные
отношения 2-го типа, и т. д. Всякой категории $ отношений соответ-
ствует отношение е (х, х' ; Л), которое означает, что х, х',... стоят
друг к другу в отношении X. При этом X есть здесь неизвестное отно-
шение категории Я, а неизвестные х, х',... относятся к тем же катего-
риям предметов, что и неизвестные отношений X категории Л'. В качестве
исходного пункта мы пользуемся этими отношениями е, а также отно-
шением 1-го типа F. Построение производится при этом с помощью
данных выше принципов. Из этих принципов принципы 1—4 можно
применять без всякого ограничения. Что касается принципа 5-го, то
когда при его помощи происходит замещение какого-нибудь неизвесг
кого отношения в отношении высшего типа, то его надо приме-
нять так, чтобы используемое для замещения отношение получалось со
своей стороны при помощи конструктивных принципов. Этот принцип
может быть применяем еще в более расширенном и очень важном виде.
Можно рассматривать пятеричное, например, отношение (zz, v | х, у, z |),
как зависящее от неизвестных х, у, z двоичное отношение между zz, v>
после того как мы выделили из неизвестных группу «независимых"
х, у, z. (Здесь кроется в моей теории корень понятия функции.)
И это зависящее от х, у, z двоичное отношение может быть использовано
для замещения какого-либо неизвестного двоичного отношения. Наконец,
принцип 6-й — замещение выражением «существует" — мы вправе при-
менять только к числовым аргументам, но ни в коем случае не к аргу-
ментам, являющимся отношениями какого-либо типа, ибо в этом случае
мы придем к бессмыслице. Но введение е было бы совершенно беспо-
лезно, если бы мы не присоединили к расширенному принципу 5-му,
столь действительному для отношений, играющих роль аргументов, еще
принципа итерации. Для пояснения его я приведу простой пример.
Пусть л|Л) будет отношением между двумя произвольными чи-
слами т} п и произвольным же двоичным числовым отношением X. Из
/? = /?! я получу отношение /?2 той же самой категории, если в R (т, /г|Л)
я замещу неизвестное X самихм /?, которое здесь следует (согласно
разделению неизвестных вертикальной чертой) рассматривать как завися-
щее от X двоичное отношение между двумя произвольными числами т и п.
В /?>2 (/я, п | X) я снова могу подставить вместо неизвестного X пони-
маемое, как указано выше, R и получу таким образом некоторое отно-
97
шенпе /?3, и т. д. И вот теперь я образую такое отношение R(k; п | X),
из которого получаются /?р /?2, /?8>... заменой неопределенного числа k
поочередно числами 1, 2, 3,...
Образование понятий и проведение доказательств по образцу деде-
киндовой теории цепей страдают недостатком указанного нами порочного
круга; мы не в состоянии поэтому свести определение на основе полной
индукции к чему-то более изначальному. Ряд натуральных чисел и со-
держащаяся в нем интуиция итерации составляет последнее основание ма-
тематического мышления. В нашем принципе итерации находит свое вы-
ражение его (ряда) принципиальное значение для построения всего здания
математики.
Отношения, которые могут быть получены произвольным повторе-
нием и комбинированием установленных выше конструктивных прин-
ципов, в частности подобные отношения 1-го типа между натуральными
числами, я называю дефинитными или х-отношениями. Это — то объемно-
определенное ограничение понятия отношения, к которому мы стремились.
В области этого генетически ограниченного круга имеет ясный смысл
вопрос „существует ли х-отношение того или иного рода?". Дефинитным
свойствам рациональных чисел (поскольку они сами обладают свойством
сечения) соответствуют вещественные числа. Только при таком взгляде на
понятие, определяющем и ограничивающем его объем, приобретают смысл
вопросы существования относительно вещественных чисел. Это ограниче-
ние понятия преобразовывает текущий поток континуума в совокупность
отдельных точек. Континуум разбивается на изолированные элементы, и
взаимопроникновение и сплетение всех его частей заменяется определен-
ными, опирающимися на отношение „бояьше-меныпе", отношениями между
этими изолированными элементами. Поэтому я и говорю об атомисти-
ческой концепции к оиахлдцтхм^^акова именно была и точка
зрения общепризнанного в настоящее время обоснования анализа. Но оно
заимствовало у интуитивного представления о континууме убеждение в
„существовании в себе" всех вещественных чисел, не замечая благодаря
этому, что возможности извлечь из континуума отдельные вещественные
числа не образуют вовсе объемноопределенной совокупности. Поэтому
оно и было какой-то „качельной теорией", колебавшейся между (ложно
понимаемой) интуицией и логически-арифметической конструкцией. Изло-
женная же мной здесь теория исходит решительно и без каких-либо
компромиссов излогически-арифметической конструкции, проводя строго
последовательно атомистическую концепцию континуума.
Если понимать под „эвклидовым числом" такое число, которое может
быть получено из 1 комбинированным применением четырех действий
арифметики и еще пятого действия извлечения квадратного корня из уже
полученных положительных чисел, то такая объемноопределенная система
эвклидовых чисел достаточна, по одному, сделанному мимоходом, заме-
чанию Дедекинда, чтобы в рамках ее провести все построения эвклидовой
геометрии. Поэтому, занимаясь эвклидовой геометрией, можно ограни-
читься системой точек, координатами которых служат эвклидовы числа;
„жижица" континуума, разлитая между этими числами, вовсе не входит
здесь в рассмотрение, наша система представляет собой вполне опреде-
ленную и ограниченную область построений, за пределы которой не вы-
98
водит ни одна операция эвклидовой геометрии. Нам удалось, положив в
основу вместо четырех арифметических действий и операции извлечения
квадратного корня немногочисленные логические конструктивные прин-
ципы, построить объемноопределенную числовую систему, в рамках ко-
торой можно неограниченно проводить не только конструкции эвклидовой
геометрии, но и гораздо более общие конструкции анализа (если только
они не носят отпечатка порочного круга). В частности, в этой „вейле-
вой числовой системеи сохраняет силу как «принцип сходимости Кощщ
так и теорема, что непрерывная функция принимает все промежуточные
значения,—разумеется, для таких функций и числовых последовательностей,
которые сами образованы при помощи наших конструктивных принципов.
Если в дальнейшем я и буду вынужден отказаться от собственной своей
теории, то мне будет, надеюсь, дозволено энергично подчеркнуть эту ее
заслугу. Я никогда не воображал себе, что данный нам в интуиции кон-
тинуум есть вейлева числовая система, я просто думал, что анализ дая
своих построений нуждается только в подобной'^сйетеме и что ему вовсе
нет дела до разлитого между числами этой системы континуума. Исполь-
зованные при этом логические конструктивные принципы вовсе не при-
думаны искусственно, во всяком случае они носят гораздо более есте-
ственный характер, чем пять действий, с помощью которых строится си-
стема эвклидовых чисел. Эти принципы служат не только для построения
вещественных чисел, но и для построения точечных множеств и функций
вещественных переменных. Здесь следует также в целях общности заме-
нить алгебраически-аналитические операции (никогда точно не сформу-
лированные и постоянно находящиеся в процессе развития), с помощью
которых аналисты ХУ^Ч4*^ОЩ^^в,. конструирозали свои функции, чисто
логическими функциями. При этом, однако, если желать сохранить смысл
у общих и экзистенциальных суждений о функциях и множествах, при-
ходится ограничиться только кругом тех функций и множеств, которые
получаются при помощи наших конструктивных принципов, не придавая
понятию той объемнонеопределенной всеобщности, которая ныне так об-
щеупотребительна.
Некоторые следствия, вытекающие из нашего учения, были намечены
уже выше. Мы упомянули, что сохраняют свою силу принцип сходимости
Коши для числовых последовательностей, а также основные теоремы о
непрерывных функциях. Но зато приходится отказаться от теоремы, что
ограниченное точечное множество всегда имеет точный верхний предел,
и нечего и думать о том, чтобы какидо-либо образом спасти эдот ^прин-
цип, Дирихле^
Как обстоит делос исчислимостью континуума? Антиномия
Ришара оказывается здесь истинной в следующем смысле: очевидно, можно
так регулировать применение логических конструктивных принципов, что в
упорядоченном процессе возникновения дефинитные свойства и отноше-
ния появляются в определенной последовательности; при этом мы уверены,
что всякое подобное отношение будет порождено в определенном месте
процесса. Благодаря этому в частности располагается упорядоченным об-
разом в исчислимый ряд и система „вещественных чисели (в нашем смысле).
Йо в другом смысле — который, очевидно, один только имеет значение
для математики — сохраняет силу утверждение Кангора, чго континуум
99
Неисчислим, а также следующее положение: не существует дефинитного
построяемого с помощью наших конструктивных принципов отношения
/?(х, п) между каким-нибудь произвольным рациональным числом х и
каким-нибудь произвольным натуральным числом п такого рода, что каж-
дому дефинитному свойству рациональных чисел Е (х), определяющему
некоторое вещественное число (облагающее свойством сечения), соответ-
ствует некоторое натуральное число п, для которого свойства /?(•» п) и
Е (•) равнообъемны. Этого предложения вполне достаточно, чтобы вы-
вести из него вслед за Кантором все важные для математики следствия,
например существование трансцендентных чисел. Но если понимать ис-
числимость в этом смысле, то не имеется, само собой разумеется, ни ма-
лейшего основания полагать, что во всяком бесконечном множестве должно
содержаться исчислимое подмножество; отсутствие пробелов в ряду але-
фов не обеспечено уже при переходе от конечных кардинальных чисел
к алеф-нулю.
Наконец, сделаем еще одно замечание об обосновании гееметрии. Так
как точки — поскольку понятие вещественного числа сохраняется в его
объемнонеопределенной всеобщности — не образуют определенной в себе
и ограниченной совокупности, то бессмысленно строить на основе такой
категории предметов систему геометрии так, как мы здесь в общих чер-
тах пытались построить айДлиз на основе понятия натурального числа.
Наоборот, чтобы получить объемноопределенную систему точек мы вы-
нуждены обратиться к логически-арифметической конструкции. Поэтому
нельзя в геометрию ввести непрерывность при помощи какой-нибудь
„аксиомы дедекиндова сечения" или чего-либо подобного, геометрия не-
прерывности не может быть создана как самостоятельная аксиоматиче-
ская наука. Здесь нужно итти аналитическим путем: нужно перевести уже
готовый анализ на язык геометрии с помощью переводного словаря, ка-
ким является понятие координат.
В. КОНТИНУУМ КАК СРЕДА СВОБОДНОГО СТАНОВЛЕНИЯ
1. Основные идеи
Мы снова вернемся к основоначалам, но на этот раз будем исходить
из несколько иного представления о вещественном числе, лучше выра-
жающего его сущность. Если некоторое вещественное число а известно
до Л-юго десятичного знака с ошибкой, меньшей чем ±1 й-того знака,
то тем самым число а оказывается расположенным
т — 1 т 4-1
простирающегося от числа — до числа —
внутри интервала,
где т есть опре-
деленное целое число. Если мы заменим ради математической простоты
десятичные дроби дробями двоичными, то в основу определения веще-
ственных чисел мы положим „двоичные интервалы" вида
т — 1 т Ц
’ 2^ J9
в которых т и h суть любые петые чиста. В частности, написанный
здесь ыкрвал есть интервал „Уг-той ступени". Двоичные интервалы Л-той
100
ступени пересекаются друг с другом; мы должны использовать именно
эти взаимно перекрывающиеся интервалы, а не те, на которые разби-
вается числовая прямая точками вида
с той целью, чтобы, когда ве-
2л
шественное число задано нам с определенной (зависящей от h) точно-
стью, был задан определенно и один из интервалов Л-той ступени, в ко-
тором заключается с необходимостью наше число. Поэтому понятие
вещественного числа, как некоторого заданного, хотя только и
приближенно, числа, для которого, однако, степень
приближения может быть сделана сколь угодно боль-
шой, можно формулировать следующим образом: вещественное число
есть бесконечная последовательность двоичных интервалов Z, I', i",... такого
рода, что каждый интервал этой последовательности содержит ближайший
последующий интервал целиком внутри себя. Так как каждый из двоич-
ных интервалов может быть характеризован двумя целочисленными зна-
ками (т и /г в приведенном выше обозначении) и так как факт содержания
одного интервала в другом выражается простым отношением между этими
их знаками, то рассмотрение вместо последовательностей содержащихся
одни в других двоичных интервалов, не подчиненных никаким ограни-
чениям последовательностей натуральных чисел, явится
весьма несущественным упрощением наших рассуждений.
Трудность заключается в понятии последовательности. Положения и
доказательства современного анализа становятся сколько-нибудь понят-
ными только в том случае, если считать, что в основании его лежит сле-
дующая точка зрения: последовательность получается таким образом, что
отдельные числа выбираются произвольно по очереди, результат этих
бесконечно многих актов выбора предлежит готовым, и относительно
такой готовой бесконечной последовательности я могу, например, задать
вопрос: встречается ли между ее числами число 1? Но такая точка зрения
бессмысленна и несостоятельна, ибо в сущности бесконечного заключается
его неисчерпаемость. Какая-либо определенная (определенная до беско-
нечности) последовательность может быть дефиниторно дана только за-
коном. Если же, напротив, последовательность возникает постепенно, по-
средством свободных актов выбора, то ее следует рассматривать, как
становящуюся, а становящейся свободной последовательности (Wahlfolge)
можно разумным образом приписывать только такие свойства, для кото-
рых дизъюнкция „да или нет* (присуще ли данное свойство последова-
тельности или нет) разрешается на каком-нибудь определенном, достиг-
нутом нами, месте последовательности, разрешается при этом так, что,
как бы ни происходило дальнейшее развертывание последовательности,
за пределами этого пункта ее становления оно не меняет уже результата
дизъюнкции. Так, например, мы можем с полным правом спрашивать отно-
сительно какой-нибудь свободной последовательности, встречается ли в
ней на четвертом месте число 1 или нет, но нельзя спрашивать, встре-
чается ли в ней вообще число 1. Первой основополагающей идеей Броуера
является мысль, что становящаяся посредством свободных актов выбора
числовая последовательность есть возможный объект математического об-
разования понятий. Подобно тому, как закон ср, определяющий до бес-
конечности некоторую последовательность, представляет отдельное веще-
101
ствеиное число, так не ограничиваемая никаким законом в свободе своего
развертывания свободная последовательность представляет континуум. Чго
над свободными последовательностями можно проделывать математические
операции, доказывается вполне уже одним тем, что между такими после-
довательностями можно устанавливать сопряжения. Например, формула
лл = /п1 + »124-...4-»гА
заключает в себе закон, согласно которому некоторая становящаяся посред-
ством свободных актов выбора последовательность mv .. порож-
дает становящуюся числовую последовательность nv т?2, лг3,... Более общим
примером может служить любой закон, согласно которому всякий акт
выбора, присоединяющий к становящейся последовательности натуральных
чисел новый член, порождает тем определенное число. Порожденное Л-тым
актом выбора число будет при этом, вообще говоря, зависеть не только
от самого Л-того акта выбора, но также и от всего уже имеющегося
налицо от 1-го до Л-того члена отрезка свободной последовательности.
При этом развертывание последовательности, выступающей в качестве
функции, совершается параллельно развертыванию последовательности,
играющей роль аргумента: если последняя подвигается вперед на одно
место, то так же подвигается и первая. Естественным образом, мыслимы
и более сложные отношения между последовательностями, к которым мы
должны будем вернуться позже. Броуеровская идея проста, но вместе с
тем глубока: здесь перед нами появляется „континуум", в котором хотя
и содержатся отдельные вещественные числа, но который никоим образом
не разрешается сам в совокупность предлежащих готовыми веществен-
ных чисел, а скорее пр едставляет собой среду свободного ста-
овления.
Мы находимся в области издревней проблемы мышления, проблемы
непрерывности, изменения и становления. Какое центральное значение
имела она для логического овладения действительностью, можно узнать
хотя бы из „Истории атомистики" К. Лассвица; решение этой проблемы
представляет собой тот решающий момент, который отделяет аристоте-
левски-схоластическую, ориентирующуюся на понятие субстанции физику
от современной галилеевской физики. Издавна противостоят друг другу
атомистическая концепция, согласно которой континуум состоит из от-
дельных точек, и противоположная точка зрения, считающая невозможным
понять таким образом непрерывное течение. Первая концепция дает нам
построенную логически систему неподвижно сущих элементов, но она не в
состоянии объяснить движение и действие; всякое изменение сводится
для нее к иллюзии. Второй же концепции не удалось ни во времена ан-
тичного мира, ни позже, вплоть до Галилея, вырваться из сферы туман-
ной интуиции, чтобы проникнуть в область абстрактных понятий, необ-
ходимых для рационального анализа действительности. Достигнутое в
конце концов решение — это то, математически-систематическим образцом
которого служит диференциальное и интегральное исчисление. Но совре-
менная критика анализа снова разрушает изнутри это решение, хотя,
правда, она и не дает себе ясного отчета во всем значении старой фи-
лософской проблемы и приходит в итоге к хаосу и бессмыслице. Обе
намеченные в этой статье попытки решения указанной проблемы возрож-
102
дают в еще более обостренной и яркой форме старую антитезу: изло-
женная в первой части статьи теория (ясно сознающая, что она не
затрагивает интуитивного континуума, но полагающая, что понятия могут
объять лишь неподвижное бытие) радикально атомистична, броуеровское
же учение берется вполне достоверным и надежным образом восстановить
права становления.
Теперь мы займемся изложением броуеровских взглядов. Так как его
теория проводит абсолютное, исключающее возможность какого бы то ни
было сравнения, различие между континуумом и множеством дискретных
элементов, то для нее вообще не может серьезно существовать вопроса
об исчислимости континуума. Закон, производящий из некоторой стано-
вящейся последовательности некоторое число пу зависящее от результата
выбора, по необходимости такого рода, что число п оказывается опре-
деленным, как только имеется налицо известный конечный отрезок нашей
свободной последовательности; число это остается неизменным, как бы
дальше ни развертывалась эта свободная последовательность, так что не
может быть речи об одно-однозначном соответствии.
Пусть будет G некоторое, имеющее смысл в области числовых после-
довательностей свойство, a @ его отрицание. Вопрос, существует ли чи-
словая последовательность со свойством G или пет, не имеет определен-
ного смысла, так как понятие закона, определяющего до бесконечности не-
которую последовательность (выражаясь в терминах первой части), не объем-
ноопределенно. Раньше мы вышли из затруднения, ограничив понятие
закона только законами объемноопределенными, потребовав для этого,
чтобы они получались посредством известных логических конструктивных
принципов и были благодаря этому свободны от порочного круга (х-
„закон"). Ответ „да" или „нет" на наш вопрос оказывался в таком случае
определенным, и обе возможности представляли собой полную дизъюнк-
цию. Теперь, однако, мы подойдем к делу иначе. Так как, разумеется,
отдельная определенная последовательность может быть определена только
некоторым законом ср, то положительный вопрос гласит и теперь: суще-
ствует ли закон, обладающий свойством G? Но мы более не растягиваем
этого понятия на прокрустовом ложе конструктивных принципов; если
нам удается каким-либо, свободным от порочного круга путем построить
закон желательного нам вида, то мы вправе утверждать, что подобный
закон существует. Здесь, таким образом, речь идет вовсе не о возмож-
ности построения — подобные экзистенциальные утверждения мы можем
высказывать лишь об уже удавшихся построениях, уже проведенных
доказательствах. Отрицательное суждение, что такого закона не суще-
ствует, при этом, разумеется, теряет всякий смысл. Но мы можем придать
ему положительную форму: всякая последовательность обладает свойством
S; наше отрицательное суждение приобретает теперь смысл, поскольку мы
под последовательностью понимаем здесь не закон, а в смысле континуума,
среду свободного становления, последовательность, образующуюся посред-
ством свободных актов выбора. Приходится таким образом допустить, что
имеет смысл приписывать свойства ©и ©становящейся последователь-
ности; в этом случае может оказаться, что в сущности становящейся
последовательности, последовательности, в которой всякий отдельный
103
акт выбора совершенно свободен, заключено то, что она обладает свой-
ством @. Здесь не место излагать, каким путем достигается подобного
рода узрение сущности последовательности. Но только оно дает нам
право, когда имеется налицо некоторый закон ср, утверждать сразу, без
всякой проверки, что определяемая до бесконечности этим законом по-
следовательность не обладает свойством Выражение „существует*
прикрепляет нас к бытию и закону, выражение „каждый* помещает нас
в поток становления и свободы. Так как совокупность случаев, в кото-
рых имеет силу то или другое из этих утверждений (т. е. утвержде-
ний, что существует последовательность, обладающая свойством ® или
что каждая последовательность обладает свойством (S), неопределенна в
себе, так как далее приходится вообще совсем иначе толковать понятие
последовательности в обоих случаях, то было бы нелепо думать здесь о
полной дизъюнкции. Именно таким образом нужно понимать мысль Броуера,
что нет никаких оснований верить в логический закон исклю-
ченного третьего. Я, правда, лучше выразился бы так, что ни одно
из обоих утверждений, о которых идет речь, не может быть рассматри-
ваемо как отрицание другого. Взаимоотношение изложенной в первой
части концепции (I) и бро-
Да ’ уеровской теории (II) может
I быть иллюстрировано при-
лагаемой схематической фи-
гурой (разумеется, показан-
ное на рисунке сравнение
несколько прихрамывает). Так
как „нет по 1“ глубоко вдает-
ся в область вполне закон-
Фиг. L
ного „да по II*, то с точки
зрения концепции II „нет* концепции I не имеет никакого значения.
Это „нет* приобретает значение только в том случае, если мы в кон-
цепции I примем за предмет исследования не броуеровский континуум,
а вполне определенную в себе систему последовательностей, определяемых
х-законачи.
В своем отрицании логической аксиомы исключенного третьего Броуер
идет еще значительно дальше, чем мы это изложили до сих пор. Он оспа-
ривает ее применимость не только к экзистенциальным суждениям о ч и с-
л о вых последовательностях, но также и к экзистенциальным суждениям
о натуральных числах. Пусть 6 есть некоторое свойство, имеющее смысл
в области натуральных чисел, так что ясно определено, присуще или нет
свойство (S некоторому натуральноглу числу п. По Броуеру мы должны
относиться к вопросу, существует ли число, обладающее свойством
точно так же, как к аналогичному вопросу в случае числовых последо-
вательностей, — должны относиться так, несмотря на то, что понятие нату-
рального числа, в противоположность понятию последовательности (если
только мы не ошиблись), объемноопределенно, и что, значит, оно при
употреблении его в экзистенциальных суждениях, с одной стороны, и в
общих суждениях, с другой стороны, не подвергается тому расщеплению,
которому подвергается понятие последовательности (закон — свободный
выбор). Броуер обосновывает свой взгляд указанием на то, что нет ни-
101
каких оснований думать, будто всякий подобный вопрос о существовании
может быть решен. Согласно Броуеру, доказательство применимости за-
кона исключенного третьего должно бы по бы состоять в указании ме-
тода, который давал бы относительно любого свойства (S то или иное
разрешение вопроса о существовании. Как известно, впервые эта точка
зрения была выдвинута Крснекером. В сознательном противоположении
этой точке зрения я в своем опыте обоснования анапиза защищал тот
взгляд, что дело идет не о том, в состоянии ли мы путем известных
вспомогательных средств, например с помощью методов формальной ло-
гики, дать определенный ответ на известный вопрос, а о том, каково
положение вещей само по себе; натуральный ряд чисел и от-
носящееся к нему понятие существования является основанием математики
и притом так, что для всякого свойства 6, имеющего смысл в области
чисел, всегда определено, существуют ли числа вида (S или не существуют.
Мы теперь должны подойти вплотную к этому коренному вопросу.
Пусть для каждого числа h можно решить, присуще ли ему свойство
6 или нет. Пусть утверждение, что „h обладает свойством 6", обозначает,
например, что 22rt+4-)~l есть простое число, а наличие свойства пусть
обозначает обратное (т. е. что 2-л+1 1 есть число составное). Теперь
разберемся в следующем. Мнение, будто твердо определено, обладает
ли какое-нибудь число свойством (S или нет, опирается только на сле-
дующее представление. Числа 1, 2, 3,... могут быть по очереди, одно за
другим испытаны в отношении свойства 6. Если мы встретим при этом
число, обладающее свойством то дальнейший просмотр ряда можно
прекратить. Ответ в этом случае гласит: да. Если же подобного перерыва
не наступает, т. е. если после законченного пересмотра бес-
конечного числового ряда не было найдено ни одного числа рода (5, то
ответ гласит: нет. Но мысль о таком законченном пересмотре членов
бесконечного ряда бессмысленна. Не исследование отдельных чисел, а
только исследование сущности числа может доставить мне общие
суждения о числах. Только действительно имевшее место на-
хождение определенного числа, обладающего свойством 6, может дать
мне право на ответ: да, и—так как я не могу перебрать все числа —
только усмотрение того, что обладание свойством (S лежит в существе
числа, дает мне право на ответ: нет. Сам бог не имеет иных оснований для
решения этого вопроса. Но обе эти возможности уже не про-
тивостоят друг другу как утверждение и отрицание—
ни отрицание одной, ни отрицание другой не имеет реального смысла.
Если это говорит в пользу Броуера, то следующее соображение
снова все-таки возвращает меня к моей прежней точке зрения: если я
пробегаю ряд и прекращаю его просмотр, как только нахожу число,
обладающее свойством ®, то это прекращение либо наступит, либо не
наступит, это так, либо же это не так, без всякого колебания
и сомнения и без какой-либо третьей возможности. К этим вещам нужно
подходить не извне, но путем внутренних усилий с целью „узрения" их
внутренней очевидности. В конце концов я нашел для себя спасительное
слово. Экзистенциальное сужден и е— вроде: „существует четное
число* — не есть вообще суждение в собственном смысле
105
слова, устанавливающее некоторое обстоянне; экзистен-
циальные обстояния суть пустая выдумка логиков. „2— число четное “ —
вот это действительное, выражающее определенное обстояние суждение,
фраза же „существует четное число* есть лишь полученная из этого
суждения абстракция суждения (Urtheilsabstrakt). Если я пред-
ставлю себе познание как драгоценное сокровище, то абстракция суж-
дения будет представлять собой лишь лист бумаги, указывающий на
наличие этого сокровища, но' не дающий сведений, в каком месте
оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может со-
стоять только в том, что он побуждает меня искать сокровище. Бумага
эта лишена всякой цены, пока я не реализую какое-нибудь прикрытое
ею действительное суждение, как, например: „2 есть число четное*.
Действительно, мы говорили выше, когда речь шла о числовых последо-
вательностях и об определяющих их до бесконечности законах: если нам
удалось построить закон со свойство?»! то мы вправе утверждать, что
существуют законы вида (5; право утверждать это нам может дать
только уже удавшееся построение; о возможности построения
нет и речи. Но что же это за суждение, которое, взятое само
по себе, лишено всякого смысла, и получает смысл лишь на осно-
вании проведенного доказательства, только и гарантирующего истин-
ность суждения? Это вовсе не суждение, это абстракция суждения.
Эти замечания, кажется мне, ясно определяют характер его, уясняя
вместе с тем собственное значение понятия существования. Теперь
мы уже не можем противопоставлять броуеровскому отрицанию
закона исключенного третьего тех идей, за которые я цеплялся еще
раньше, именно, что дело обстоит либо так, либо не так (хотя бы
я и не был в состояниии решить, как именно обстоит дело)! Точно так
же общее высказывание „каждое число обладает свойством ®* (например
„для каждого числа tn мы имеем т 1 = 1 -j- tnu) не является вовсе дей-
ствительным суждением, а только общим указанием на суждение.
Если я имею дело с каким-либо отдельным числом, например с числом
17, то из этого указания на суждение я могу вывести действительное
суждение, именно, = Или же, пользуясь другим образом:
если сравнить познание с плодом, а акт познания со вкушением плода,
то общее суждение должно уподобить твердой оболочке, полной плодов.
Конечно, эта оболочка имеет цену, но не сама по себе, а только ради
содержащихся в ней плодов; она бесполезна для меня до тех пор, пока
я не разломаю ее, не выну самого плода и не вкушу его. Изложенная
концепция обрисовывает то значение, которым обладают для нас в дей-
ствительности общие и экзистенциальные суждения. С ее точки зрения
математика представляется колоссальным богатством в бумажной валюте.
Действительную ценность, подобную ценности жизненных припасов в
народном хозяйстве, имеет для нас непосредственное, сингулярное, все-
общее, и все экзистенциальные суждения ценны для нас только посред-
ственным образом. И, однако, мы, математики, думаем совсем редко о
реализации этого „бумажного богатства*! Ценна не экзистенциальная
теорема, а проводимое в доказательстве построение. Математика, как
говорит мимоходом Броуер, есть более деяние (Tun), чем учение.
Пока мы не примем изложенной в последнем абзаце точки зрения,
106
обе очерченные мной попытки обоснования анализа равновозможны, хотя
броуеровская теория и обладает с самого начала тем преимуществом,
что она не сковывает образования понятий и более адэкватна интуитив-
ной сущности континуума. Но как только мы станем на эту точку
зрения — которая, думаю я, впервые придает совершенно ясный смысл
выражениям „существует* и „каждый*—тотчас становится решительно
невозможной первая концепция; ограничение понятия закона одним кру-
гом х-законов нам теперь уже не помогает, теперь на вопрос о „воз-
можности* нельзя уже дать утвердительного или отрицательного ответа
как в том случае, когда вопрос этот ставится относительно сколь угодно
часто повторяющегося применения конструктивных принципов, так и
тогда, когда он относится к бесконечному числовому ряду, т. е. к сколь
угодно часто повторяющемуся процессу перехода от одного числа к
ближайшему, следующему за ним. Поэтому я теперь отказываюсь от
своей прежней попытки и присоединяюсь к Броуеру. При угрожающем
развале анализа, который, хотя и признается пока немногими, все же
подготовляется, я пытался найти твердую почву под ногами, не покидая
идей, на которых покоится анализ, и честно и последовательно проводя
его основной принцип, и я думаю, что мне это удалось, поскольку это
вообще могло удасться. Ибо почва эта, как я теперь в этом убедился,
шаткая, а Броуер — это революция! Я все же еще раз изложил здесь
основные идеи своей теории, потому что в своем контрасте броуеров-
ским взглядам они придают самую четкую форму древней антитезе между
атомистической и непрерывностной концепциями и потому еще, что на
примере этой противоположности становится особенно ясным, в чем
собственно „заковыка* и что нужно сделать. Было бы в высшей степени
странно, если бы старый спор разрешился тем, что оказалось бы воз-
можным проводить как атомистическую, так и непрерывностную концеп-
цию; в действительности вместо этого окончательно восторжествовала
последняя. Броуеру мы обязаны новым решением проблемы континуума,
проблемы, провизорное решение которой, данное Галилеем и основате-
лями диференциального и интегрального исчисления, было изнутри взор-
вано ходом исторического развития. Конечно, я не уверен, имею ли я
право назвать вторую из развиваемых в этой статье теорий броуеров-
ской, — об этом я поговорю подробнее позже. Но основные моменты —
становящаяся свободная последовательность и отрицание аксиомы исклю-
ченного третьего — во всяком случае принадлежат Броуеру.
Наше учение об общих и экзистенциальных суждениях не носит
вовсе расплывчато-неопределенного характера, это ясно хотя бы потому,
что из него тотчас же вытекают важные, строго логические выводы. И
в первую очередь тот вывод, что совершенно бессмысленно отрицать
подобные суждения, вывод, с которым отпадает возможность применения
к этим суждениям аксиомы исключенного третьего. Общие суждения, кото-
рые я выше назвал указаниями на суждения, разделяют с собственными
суждениями то свойство, что они самодовлеющи, они даже содержат в
себе бесконечную полноту действительных суждений. В этом отношении
мы должны поставить общие суждения в один ряд с суждениями дей-
ствительными. Конечно, в отличие от последних мы не будем говорить
об общих суждениях, что они истинны, мы будем охотнее выра-
107
жаться так: они правомерны, они содержат правовое основание для
всех я реализующихсяи из них сингулярных суждений. Наоборот, ка-
кое-нибудь экзистенциальное суждение, взятое само по себе, есть
ничто; если суждение, из которого извлечена подобная абстракция
суждения, забыто нами или утеряно, то действительно ничего не
остается (если не иметь в виду, как мы говорили выше, стимула разыс-
кать суждение). Абстракцию можно извлекать не только из суждения,
но из указания на суждение. Пусть, например, R(m, п) будет отноше-
нием между двумя натуральными числами, притом отношением такого
рода, что оно либо существует между двумя любыми числами, либо не
существует. В таком случае для двух определенных чисел тип утвер-
ждение или отрицание того, что они стоят друг к другу в отношении
/?, является действительным суждением. Указание на суждение 5)
(„каждое число т стоит в отношении R к числу 5“ или „в сущности
числа заключается обладание свойством /?(-,5)*) будет правомерно. Мы
можем в этом случае образовать следующую абстракцию: существует
некоторое число п (мимоходохм сказать, именно число 5), такое, что
каждое число т находится к нему в отношении R(m, и). Напротив,
указание на абстракции суждений есть голое ничто, если за этим указа-
нием не скрывается указание на действительные суждения, из которых
получилась наша абстракция. Например: „для каждого числа т суще-
ствует такое число я, что между ними имеет место отношение R(m> п)”.
Здесь действительно идет речь об абстракции из некоторого указания
на суждение. Какого указания? Очевидно, следующего: пусть ф будет
определенный закон, порождающий из каждого числа т число ср (т)9
пусть общее указание на суждение R(m,<?(m)) будет правомерно. Тогда
мы в состоянии извлечь из него следующую абстракцию: существует
некоторый закон ср такого рода, что для каждого числа т имеет силу
отношение R между т и ср(/п). Вышеприведенное суждение получает
таким образом определенный смысл. Если теперь нам встретится какое-
нибудь число, например число 7, то закон порождает из 7 определен-
ное число, скажем (7) =19; в этом случае мы можем сказать: между
7 и 19 имеет место отношение /?; имея эю в виду, мы вправе устано-
вить абстракцию суждения, гласящую, что существует число л, стоящее
в отношении R(7, ri) к 7. Таким образом выражение „существует*
должно включать в себе выражение „каждый*, но не наоборот, если мы
формулируем суждения так, что они извлекаются в качестве абстракций
из самодовлеющих суждений.
Исходным пунктом математики является ряд натуральных чисел, т. е.
закон алеф, порождающий из ничего первое число 1 и из всякого уже
существующего числа ближайшее, следующее за ним; этот процесс ни-
когда не приводит к числу, порожденному уже ранее. Если мы желаем
каким-либо образом закрепить числа для интуиции, то мы должны их
отличить друг от друга символически, с помощью качественных меток.
Поскольку мы имеем дело с арифметикой, мы совершенно отвлекаемся
от подобных качественных меток; для арифметики 1 есть просто „по-
рожденное из ничего*, 2 — „порожденное из 1“ и т. д. Можно сказать,
что в математическом толковании действительности делается попытка
мир, заданный сознанию в его самой общей форме, форме взаимопрв-
108
никновения бытия и сущности (ту-быт и я и тако-бытия),
представить в абсолютности чистого бытия. Здесь корень глубокой истин-
ности пифагореизма, согласно которому всякое бытие, как таковое,
покоится на числе.
Общие самодовлеющие суждения математики трактуют частью о всем
целом (Allheit) натуральных чисел, частью же о всем целом становящихся
посредством свободных актов выбора последовательностей натуральных
чисел. Они, значит, относятся частью к простирающейся в бесконечность
возможности безграничного, определяемого законом алеф, продол-
жения процесса развертывания натуральных чисел, а частью к заключен-
ной в становящейся числовой последовательности бесконечной свободе
вечно новых ничем не связанных актов выбора, которые на каждом
шагу обрывают на произвольном месте все вновь и вновь начинающийся
процесс развития натурального числового ряда. По самому существу
дела интуиция сущности (Wesenseinsicht), из которой проистекают все
общие суждения, опирается всегда на так называемую полную индукцию.
Она не нуждается в дальнейшем обосновании, да и не способна к нему,
ибо она есть не что иное, как математическая первоинтуиция „еще од-
ного раза*. Получающиеся из этих общих суждений собственные сужде-
ния образуются таким путем, что вместо произвольного числа, о
котором идет речь в общих суждениях, подставляется некоторое опре-
деленное число, а вместо вольно развертывающейся свободной
последовательности — закон ср, определяющий до бесконечности
некоторую отдельную числовую последовательность. Из самодовлеющих
суждений и указаний на суждения извлекаются абстракции, в которых
выражение „существует* может относиться или к некоторому натураль-
ному числу или же к некоторому закону, притом либо к закону, порож-
дающему из каждого числа некоторое число (functio discrete), либо к
закону, порождающему из каждой становящейся последовательности
посредством свободных актов выбора некоторое число (functio m’xta),
либо же, наконец, к закону, порождающему из каждой становящейся
посредством свободных актов выбора последовательности опять-таки
становящуюся последовательность (functio continua). Но сами эти законы
мы не делаем объектами общих высказываний. Там, где говорится
„каждая последовательность", понятие закона (functio discrete) заменяется
понятием становящейся свободной последовательности; напротив, для
functiones mixtae и continuae у нас не имеется в распоряжении такого
континуума, в который они укладывались бы подобно тому, как укла-
дываются отдельные functiones discretae в континуум вольно становящихся
свободных последовательностей. Все это предопределено a priori сущ-
ностью процесса порождения алеф математической первоинтуиции.
Всякое применение математики должно исходить из известных, подле-
жащих математической обработке объектов, отличающихся друг от
друга посредством некоторого количества знаков; этими знаками слу-
жат натуральные числа. Символическим методом, заменяющим эти объ-
екты их знаками, достигается связь их с чистой математикой и ее кон-
струкциями. Так, в основании геометрии точки на прямой лежит система
выше упомянутых двоичных интервалов, которые мы смогли охарактери-
зовать двумя целочисленными знаками.
109
2. П О Н Я Т И Е Ф У н к ци и
a) Functio discrete.
Последовательность (functio dLcreta, f. d.), сказали мы, есть закон,
порождающий из каждого числа некоторое число. Свобода построения
законов ничем не ограничивается, но закон всегда должен быть такого
рода, что он действительно однозначно определяет для каждого числа
порождаемое из него или сопрягаемое с ним число. Например, не яв-
ляется вовсе законом следующее правило: пусть п порождает число 1,
если существуют три натуральных числа х, yt z, такого рода, что
— и напротив, пусть п порождает число 2, если для
любых трех чисел х, у, z мы имеем Xя ~\-уп Ф Ибо с точки
зрения тех логических взглядов, к которым мы теперь пришли, здесь
нет налицо правила, действительно определяющего сопрягаемое число.
Точно так же не будет законом в подобной формулировке и правило:
пусть п порождает число 2, если имеется число т такого рода, что
п — Ът, и напротив, пусть т порождает 1, если для каждого натураль-
ного числа п имеем п ф 2/тг. Но законом явится следующее предписание,
дающее возможность с помощью полной индукции отличить числа четные
о г чисел нечетных, не прибегая к выражениям „ существуета или
„каждый*, которые здесь нужно было бы применить к бесконечной
последовательности натуральных чисел: „пусть 1 порождает число 1;
если п порождает число 1, то следующее за п число ri порождает 2;
если, напротив, п порождает число 2, то ri порождает 1*. Таким обра-
зом, практически говоря, должно иметься налицо правило, устанавлива-
ющее, как определить для данного нам числа число, из него порождае-
мое, если только мы в состоянии следовать за процессом развертывания
числового ряда до любого его места, иными словами, если мы в состоя-
нии порождать из каждого числа ближайшее следующее за ним и можем
для любого числа п пробежать ряд чисел от 1 до п. При символическом
методе, обозначающем числа качественно различными знаками, мы разу-
меется, должны кроме того еще предположить, что мы в состоянии
решить о двух данных числах, равны ли они или различны.
Свойство 6* такого рода, что предложение: „любое число обладает
свойством 6“ есть суждение в собственном смысле слова; иначе говоря,
свойство, которое либо присуще, либо не присуще какому-нибудь числу,
мы можем (как это показывает вышеприведенный пример с четными и
нечетными числами) определить как некоторую последовательность,
именно, как закон, порождающий из любого числа либо 1, либо 2,
причем, например, 1 может служить символом для ответа „да*, 2 же
символом для ответа „нет*. Так как в дальнейшем мы будем употреблять
слово свойство в более широком смысле, то закон С подобного рода
мы будем называть характером. Его отрицание С получается заменой
1 на 2 (да и нет) и обратно. Понятие характера можно расширить, введя
понятие ^-членного характера, выражающего закон, порождающий из вся-
кого числа одно из чисел от 1 до k. Простейшим примером может служить
характер сравнения по модулю k. Он основывается на циклическом рас-
положении чисел от 1 до k, при котором числа следуют друг за другом
так, как они даны нам в процессе развертывания числового ряда; на
110
числе k этот процесс обрывается и за k вновь следует 1. Закон, сопря-
гающий с каждым числом п его вычет = k(n), нужно формулировать
тогда следующим образом: =fe(l) = 1; = k(ri) есть для каждого п чисчо,
следующее в циклическом расположении чисел от 1 до k за = ft(n).
Этот закон действительно описывает тот метод, которым мы пользуемся,
когда хотим решить, например, на практике, делится ли некоторое число
п на 5. Пробегая ряд чисел от 1 до п, мы все время отсчитываем от 1
до 5, и потом снова начинаем с 1. Там, где мы употребляем слово
характер без всяких дополнений, мы постоянно подразумеваем двухчлен-
ный характер.
Самым первоначальным законом является тот, который порождает из
всякого числа п ближайшее за ним следующее число п' (или
Если k есть какое-либо число, то, как известно, п -ф- k обозначает число,
порождаемое из п по следующему закону: 1 порождает k 1; при
переходе от п к ближайшему за ним следующему числу число, порож-
даемое п, также переходит в свое последующее. Здесь мы имеем перед
собой закон, порождающий из всяких двух чисел п и k некоторое
число n-\-k. Конечно, мы и здесь говорим о functio discreta, она содер-
жит два аргумента и представляет собой не простую, а двойную после
довательность.
Известно, как из сложения конструируется двойная последователь-
ность умножения, сопрягающая с двумя числами т и п их произведе-
ние т • п. Двойную последовательность, порождающую из каждой пары
чисел /п, п всегда либо 1 либо 2, мы будем называть отношением;
более общим образом мы будем называть двойную последовательность,
для которой значениями функций являются числа от 1 до k (и только
эти числа), ^-членным отношением. В этохм смысле, например, нера-
венство т^п есть (двоичное) отношение: пара чисел тп, п порождает
1, если т совпадает с одним из чисел от 1 до л, если же это совпаде-
ние не имеет места, то т и п порождают число 2. Наконец, мы допу-
стим и такие случаи, в которых функция определена не для всех воз-
можных значений аргумента; тогда мы будехм говорить о рассеянной
последовательности. Это — закон, порождающий из каждого числа
либо некоторое число, либо ничего. Так, например, п — 5 порождается
из п по закону, согласно которому числа от 1 до 5 не порождают
ничего, а все дальнейшие числа порождают определенное число по
правилу: 6 — 5 = 1; ri— 5 = (п — 5)'. Понятие рассеянной последова-
тельности несущественно отличается от понятия просто последовательности,
ибо мы можем в данной связи рассматривать ничто, как некоторое
предшествующее всем прочим числахм число 0.
Мы приведем еще несколько примеров functiones discretae и докажем
несколько простых арифметических предложений. Сперва мы докажем
следующее положение: если п есть некоторое число, сравнимое с 0 по
модулю k (= k(ri) — k) в вышеприведенном обозначении, то существует
такое число /п, что n = km, т. е. существует закон, порождающий из
всякого числа п, обладающего характером сравнения 0, такое число т,
что n = kni. Мы должны указать этот закон Q („Quotient*— „част-
ное*): Q (1) = 1; если Q(n) = m, то и Q(nr) = mi если = k(n) ф k}
если же ~K(n) — k} то Q (//') = Теперь легко доказать, что если по-
111
дожить ^^(7:) = /, Q(ri) — m> то вообще имеет место равенство n-\-k~
— Этот закон дает правило, по которому мы действительно
производим деление.
Число п есть число простое, если оно > 1 и если ни одно из бес-
конечно многих произведений а • b следующей таблицы:
I 1 • 1, 1 -2,.................... 1 - (лг — 1),
1 2 • 1, 2 • 2,......................2.(л—1),
\ (az— 1) • 1, (и —2). 2,.....(и— !)•(«— 1)
(которую мы можем пробежать так, как пробегаем строки какой-нибудь
книги) не совпадает с п. Этот закон указывает, что свойство чисел быть
простыми является характером. Здесь правомерно такое указание на
суждение: произведение двух чисел 1 никогда не есть число простое.
Определим закон, не порождающий ничего из 1, а из всякого числа
лф>1 порождающий два числа тс (л), х (л) такого рода, что вообще
тс (ti) • х(л) —п и тс (и) есть всегда простое число. Дня этого поступим
следующим образом. Если п число простое, то пусть тс(/г) = л, х (п) = 1;
если же п не есть простое число, то пусть тс (л), х(л) будет первой парой
чисел в вышеуказанной таблице Т (прочитываемой так, как было разъ-
яснено), произведение которых равно п. Принимая этот закон, мы можем
формулировать следующее положение (абстракцию указания на суждение):
всякое число 1 содержит в себе некоторое простое число. Сама по-
следовательность простых чисел рп определяется по Эвклиду следующим
законом, использующим знак тс в его вышепринятом значении: 1 порож-
дает простое число р1==2, а рп + 1 есть первое простое число в ряду
чисел от 1 до тс(/?1 р2...рЛ-|" которое ФРл-
Наконец, еще один пример. Для до-броуеровской логики являлось
само собой разумеющимся, что, если и оставался совершенно нерешен-
ным вопрос о правильности „великой" теоремы Ферма, то все же для
всякого числа п либо существует три числа х, у, z такого рода, что
= либо же для любых натуральных чисел имеет силу выра-
жение xn-j-yn^zn. Формулируя точнее эту самоочевиднейшую истину
старой логики, согласно нашей новой концепции, мы получим следующее
утверждение: существует закон (в строгом установленном здесь смысле
слова), ничего не порождающий из каждого числа л, либо порождающий
три числа хп, упУ zni — закон такого рода, что в первом случае для любых
трех чисел х, у, z имеет силу выражение хп -j-уп ф z’\ а во втором
случае xnn-{-ynn = znn. При такой формулировке (отвлекаясь от того,
что это утверждение является теперь чем-то само собой разумеющимся)
нет никакого смысла спрашивать, так ли обстоит дело или не так, в
надежде встретить некоторое обстояние, дающее определенный ответ на
наш вопрос. Здесь речь идет об абстракции суждения, которая имеет
силу, поскольку закон построен и поскольку правомерны требуемые им
свойства, являющиеся общими утверждениями. Если такой закон р. нам
дан, то мы можем построить из него другой закон, сопрягающий с чис-
лом п 1, если р. ничего не порождает из л, и 2 — если р сопрягает
с п три числа хл, уп> zn. Этот закон есть в таком случае характер",
112
отличающий ферматовы числа п (числа, для которых верно предложе-
ние Ферма) от неферматовых.
Если значения двух functiones discietae совпадают для двух любых
аргументов, то мы говорим, чго и сами функции совпадают, если же
существует такое число и, из которого первый закон порождает число,
отличное от того, которое порождает из п второй закон, то мы говорим,
что обе последовательности различны. Первое утверждение есть утверж-
дение общее, второе — экзистенциальное утверждение; ни одно из них
не является суждением в собственном смысле. Мы не вправе поэтому
спрашивать о двух данных последовательностях, совпадают ли они или
же они различны, в расчете на то, что дело может обстоять либо так,
либо иначе.
Покамест мы устанавливаем только общие положения о числах, а
не о свободно становящихся последовательностях чисел, т. е. пока мы
рассматриваем только законы, сопрягающие числа друг с другом, а не
законы, порождающие из некоторой становящейся свободной последова-
тельности числа, зависящие от исхода актов выборов, или же новую
становящуюся числовую последовательность, до тех пор мы находимся в
области чистой арифметики и алгебры. Исследование этих, отме-
тавшихся пока нами случаев характерно для анализа. Вышеизложенное
достаточно ясно показывает, в каком духе должно, следуя новой кон-
цепции, развивать алгебру и арифметику; но радикальные свои следствия,
придающие математике совершенно иной облик, чем тот, который присущ
ей теперь, новая теория развертывает только в области анализа.
b) Functio mixta
Функция, сопрягающая с каждым числОхМ п некоторую последователь-
ность, т. е. определенный числом т закон, порождающий из каждого
числа п число ср (ш, п), есть не что иное, как двойная последовательность,
и поэтому подпадает под понятие functio discreta. Но каким образом
может, наоборот, последовательность, т. е. на этот раз свободно стано-
вящаяся последовательность чисел v = {nv nv ...}, породить отдельное
число? Простейшим случаем, очевидно, является тот, в котором порож-
даемое число зависит только от ограниченного числа k членов становя-
щейся последовательности; в этом случае можно быть уверенным, что
число определено, как только развитие последовательности дошло до
&-того ее члена. Число членов при этом не зависит от результатов отдель-
ных актов выбора. Например:
/(v) = «i+«a + «3 + n4 (k — 4).
Более сложный случай мы имеем в таком примере:
/(V) — 4- + • • • + + «2 + л3-
Здесь дело обстоит так: когда установлены три первые члена последо-
вательности, то известно, до какого члена (именно (^ 4~ пз)‘ного)
необходимо продолжать процесс развития последовательности, чтобы
определить порождаемое число; этот член зависит от исхода первых трех
актов выбора. Подобное усложнение можно повторять (итерировать)
113
далее: например первые десять членов определяют количество s тех
членов, которые должны быть известны, чтобы, со своей стороны, опре-
делить тот член, до которого необходимо продолжать развитие последо-
вательности, чтобы определить сопрягаемое число, и т. д. Тут, однако,
не говорится, что приведенное усложнение должно повториться два или
три или четыре раза, число повторений этого усложнения может само
зависеть от исхода первых актов выбора. Если, например, положить
/(Л; v) =
и посредством итерации образовать
71 (k; v) —f(k; v),
/,(£; v)=/, (/(ft; v); v),
А(*;Я=А(Ж v); *),
то теперь можно составить отсюда, например, следующую functio mixta (f. m.):
Ai • л2 • Пз v)*
Я установлю общий принцип, лежащий в основании возможности подоб-
ных построений:
1. Если k есть некоторое натуральное число, а ср(nv п2, — неко-
торая функция от k аргументов, и если nynv суть первые k чле-
нов некоторой свободно становящейся последовательности v, то выраже-
нием /(v) = cp(7Zp определяется „примитивная" f. m.
2. Примитивные f. m. являются исходным пунктом для образования
высших f. ш., которое происходит согласно следующему принципу: если
f(k; v) есть уже некоторая построенная f. m., зависящая от произволь-
ного натурального числа k, a g(y) также уже построенная f. m., то по
формуле подстановки
Я
получается некоторая новая функция /.
Это правило, надо заметить, не представляет собой конструктивного
принципа, который можно было бы сравнить с конструктивными принци-
пами, рассмотренными в первой части, ибо здесь ничего не предполагается
о том, как осуществляется зависимость f. m. от параметра k. Итерация
есть не единственная, а только одна из возможностей, в этом отношении
построение остается совершенно свободным. Впрочем, мы совершенно не
касаемся здесь вопроса, может ли быть f. m. образована только таким
путем и не связывается ли интуиция сущности (Wesenseinsicht) с некото-
рыми иначе построенными законами порождения. Согласно этому закону
во всякой становящейся последовательности, как бы она ни разверты-
валась, обязательно наступает момент, когда она порождает из себя число.
Только эта черта существенна для понятия f. ш.
В частности, характер мы получаем тогда, когда, согласно фор-
мулировке закона, порождаемое число может принимать только значения
от 1 до k.
Если же, с другой стороны, мы хотим включить в рассмотрение и
114
возможность того, что функция определена не для всех последователь-
ностей („рассеянная" f. ш.), то мы должны допустить, что существуют
„пустые" последовательности, не порождающие никаких чисел, и тогда
из закона должно вытекать для всякой последовательности v, как бы
она ни развертывалась,' что либо до некоторого определенного места
(зависящего от v) возникает порождаемое число, либо же получается
уверенность в том, что здесь мы имеем дело с пустой последователь-
ностью, остающейся навсегда бесплодной.
Несколько аргументов, т. е. несколько возникающих параллельно
друг с другом свободных последовательностей, мы можем всегда рассма-
тривать как некоторую единую последовательность; вместе с этим мы
можем заменить понятие и вместо характера говорить тбгда об отношении.
с) Functio continua
1Лъ\ переходим к functiones continuae (f. с.). Частный случай их мы
уже рассматривали, когда, впервые в наш кругозор проникла мысль
о становящейся последовательности. Последовательность, игравшая роль
функции, возрастала тогда вместе с возрастанием аргумента. Устраняя
этот частный случай, мы приходим к следующему определению:
F. с. есть закон, по которому в свободно становящейся последова-
тельности натуральных чисел всякий акт выбора, присоединяющий к ней
новый член, либо порождает определенное число, либо ничего не порож-
дает. Что происходит при &-том акте выбора, зависит при этом не-
только от самого этого &-того акта, но вообще и от всей совокуп-
ности аргументов, уже наличной к данному моменту.
При подобной формулировке мы, однако, еще не уверены, что после-
довательность, дающая значения функции, действительно простирается
до бесконечности, если развертывается до бесконечности последователь-
ность аргументов. Должно быть выставлено потому еще следующее тре-
бование V: если k есть любое натуральное число, v— становящаяся по-
следовательность, и если мы следим за ее развертывание^м с &-того
ее члена, то наверное наступит момент, когда эта последовательность
породит новое число (а не ничего).
Далее мы должны обобщить понятие f. с. так, чтобы оно охватило
также и все те случаи, когда функция определена не для всех возмож-
ных последовательностей. Мы получим это обобщение, если примем, что
становящаяся свободная последовательность при каждом акте выбора либо
порождает некоторое число, либо ничего не порождает, либо же приводит
к прекращению процесса, к своей собственной гибели (и к уничтожению
своих прежних порождений). Легко перенести сюда требование V: сво-
бодная последовательность v, развернувшаяся без перерыва до &-того
члена, должна, начиная с Л,’ как бы она далее ни развертывалась, поро-
дить на некотором определенном, зависящем от k и v месте некоторое
число или же должна в силу закона f. с. погибнуть. Но к этому здесь
надо присоединить еще одно требование. Пусть например, g (у) есть
f. m. и Ф(у) — „рассеянная" f. с., с которой мы сейчас имеем дело. Пусть
некоторая становящаяся последовательность v развернулась (без прекра-
щения процесса со стороны Ф) настолько, что уже возникший благодаря
115
соответственной последовательности у' = Ф(у) отрезок определяет число
пусть число это будет, скажем, 2. Если для последова-
тельности v наступит когда-нибудь по закону Ф прекращение процесса,
то для такой последовательности v функция ^•(Ф)=^ не является опре-
деленной и ничего собой, значит, не выражает. Можем ли мы теперь
при вышезаданных условиях утверждать: существует последовательность у,
для которой g (Ф(у)) = 2? Очевидно, мы можем утверждать это только
в том случае, если последовательность у, достигшая известного своего
пункта, не подвергнувшись прекращению по закону Ф, может быть не-
ограниченно продолжаема далее, никогда не прекращаясь. Значит, вместе
с Ф должен быть задан еще второй закон X, по которому последова-
тельность v на каждом месте дальнейшего своего развития (поскольку
она еще не прервана законом Ф) должна порождать число такого рода:
если мы примем порождаемое согласно закону X при Л-том акте
выбора в последовательности у число за (Л -1)-е число от V, то и при
(Л-|-1)"ом акте выбора закон Ф не повлечет за собой прекращения
процесса развития (раз он не повлек за собой этого прекращения ранее).
Теперь понятия функций установлены достаточно определенно. Нужно
только еще раз отметить, что в математических теоремах выступают от
случая к случаю подобные отдельные определенные функции, но никогда
не устанавливается общих положений о них. Поэтому общая формули-
ровка этих понятий нужна лишь для того, чтобы отдать себе отчет в
смысле и методах математики, в самой же математике, в ее теоремах
эти понятия совершенно не рассматриваются.
3. Математические теоремы, свойства и множества
Дело в том, что эти теоремы, поскольку они самодовлеющи и не
являются чисто индивидуальными суждениями, представляют собой общие
высказывания о числах и свободных последовательностях чисел, а не о
„функциях*. В соответствии с этим мы различаем следующие три вида
высказываний:
I. Суждения в собственном смысле слова.
II. О б щ и е предложения. Их тип таков: для каждого натураль-
ного числа п и каждой свободно становящейся последовательности у
существует отношение С (я; у); причем здесь отношение понимается в
строгом смысле зависящего от п „характера* свободной последователь-
ности V.
III. Абстракции из суждений или общих предложе-
ний. В них может содержаться выражение „существует* в связи с числом,
последовательностью, functio mixta и functio continua. Это выражение
можно отнести к последовательности даже двояким образом, поскольку
эга последняя может выступать либо как последовательность в собственном
смысле слова, либо же как некоторый закон сопряжения. Первый случай
мы имеем, например, тогда, когда С (у) является характером свободно
становящейся последовательности у и когда формулируется следующее
положение: существует некоторая последовательность у (само собой
разумеется, закономерно определенная последовательность), обладающая
характером С (у). Второй случай представляется, когда на основании не-
116
которого отношения /?(ш, ri) между произвольными числами tn, п устанав-
ливается положение: существует последовательность порождающая из
каждого числа tn число (т), — последовательность такого рода, что
каждое число т обладает свойством 7? (zzz, ср (tn)\ Но так как условие, что
zzz-e число свободной последовательности у находится в отношении R
к числу т, есть зависящий от tn характер у (речь идет при этом даже
о примитивной f. с.), то второй случай содержится в первом как частный.
Поэтому мы можем тип высказываний III рода охарактеризовать достаточно
обще следующей схемой: существует число zz0, последовательность v0,
кроме того существует закон /, порождающий из каждой последователь-
ности v число /(у), и закон Ф, порождающий из свободно становя-
щейся последовательности у становящуюся последовательность у' = Ф (у),—
закон такого рода, что между каждым числом п и каждой становящейся
путем свободных актов выбора последовательностью v существует отно-
шение C(nQ, у0; п,/(у); у, Ф(у))’> при этом C(nQ} у0; п, п’\ у, у') есть неко-
торое заданное отношение между произвольными числами п0, zz, ri и
свободными последовательностями v0, v, v'.
Если в предложения этих трех родов входят еще неопределенные
числа или свободные последовательности, то возникают схемы предло-
жений о свойствах и отношениях между числами и последова-
тельностями. Поэтому мы должны различать в области свойств подобные
же три рода. Свойства I рода суть не что иное, как „характеры", в
установленном нами смысле слова, т. е. такие свойства, которые присущи
или не присущи сами по себе некоторому числу или последовательности.
Мы могли бы противопоставить их в качестве „ объемноопределенных“
свойств „объемнонеопределенным" свойствам II и III рода. Объемно-
определенное свойство, характер мы будем называть также дефинитным
множеством (множеством I типа). Относительно подобного множества
мы вправе сказать, что само по себе определено, принадлежит ли к нему
какой-либо элемент или не принадлежит. Если Л4, N суть два числовых
характера (дефинитные числовые множества), то М является подмноже-
ством N, если всякое число характера Л1 обладает также и характером
N, или, выражаясь точнее: мы определяем закон (/И; Д/), который порож-
дает Из произвольного числа п число 2 („нет") в том случае, если М
сопрягает с этим числом 1, a N—число 2, во всяком другом случае закон
порождает из п число 1; смысл предложения о „подмножествах" заклю-
чается тогда в том, что каждое число обладает характером (Л1; N).
Следовательно, это предложение II рода. Если М есть подмножество Nt
а W подмножество М, то мы называем М и N тождественными.
Соответственные утверждения приходится высказать о дефинитных под-
множествах последовательностей или о „многомерных" множествах чисел
и последовательностей, соответствующих отношениям.
Можно говорить о кардинальном числе какого-либо дефинит-
ного множества, но при этом надо дать себе ясный отчет в том, что
для этих кардинальных чисел не имеет силы положение: кардинальное
число либо — 0 либо 1, т. е. числовой характер М либо порождает
из каждого числа число 2 (множество М пусто, каждое число обладает
свойством /Й), либо же существует некоторое число, из которого закон
М порождав число 1 (существует элемент множества /И; существует
117
число, обладающее свойством Л4). Сомнение в отсутствии пробелов в
ряду канторовых алефов с нашей теперешней точки зрения овладевает
нами впервые не при рассмотрении алеф-один или даже алеф-нуль, но
уже в самом начале числового ряда. Утверждение, что 1 есть наименьшее
следующеее за 0 кардинальное число, должно быть отброшено, как ни
на чем не основывающееся. Мне кажется, что отсюда следует математи-
ческая непригодность канторова понятия мощности. Разумеется, конечные
кардинальные числа сохраняют свое доброе старое право, когда они
применяются не к „дефинитным множествам", но к совокупностям отдель-
ных данных элементов (понятие о числе в повседневной жизни).
Мы переходим к „объемнонеопределенным" свойствам. II рода. При
этом нужно заметить следующее. Пусть С(п\ у) будет некоторым отно-
шением между числом п и свободной последовательностью у (например
таким отношением: и-ное число в у нечетно). Очевидно, что в этом слу-
чае предложение, формулирующее такое объемнонеопределенное свойство
(5 последовательности у: для каждого п имеет силу С (и; у) (все числа
поч ледовательности у нечетны) — не имеет никакого смысла по отношению
к свободной последовательности у, оно имеет смысл лишь
по отношению к последовательности, определенной до бесконечности
некоторыхм законом. Понимая под символОхМ С (у) некоторый хара-
кзер, спросим себя, как нужно понимать предложение, что „каждой
последовательности, обладающей свойством 6, присущ также характер С'“?
„Каждая последовательность" — это значит, как мы знаем, каждая сво-
бодно становящаяся последовательность; с другой стороны, свойство 6
может быть приписано разумным образОхМ только определенной до бес-
конечности, готовой последовательности, а не свободной последова-
тельности. Поэтому возможно только такое толкование нашего пред-
ложения: если отношение С (я; у) выполняется для всех чисел п до
определенной зависящей от у границы, то имеет силу и C'(v). Или точ-
нее: пусть С* (п\ у) обозначает отношение, существующее между /г, у, когда
С (/и; у) выполняется для всех чисел т от 1 до и; тогда существует
некоторая functio mixta такого рода, что каждой свободной последователь-
ности, обладающей характером С* (/(у); у), присущ также и характер C'(v)-
Речь идет здесь, таким образом, о предложении III типа. Однако, если
в определении свойства (5 II рода выражение „каждый" относится к
„последовательностям", а не, как здесь, к „натуральному числу", то по
сути дела подобное толкование становится невозможным. Но понятия
свойства и множества только тогда обладают математическим значением,
когда сохраняет силу принцип тождества, т. е. когда можно свя-
зывать определенный смысл с высказыванием: „каждый элемент, обладаю-
щий свойством обладает и свойством СТ (где G и G' суть какие-либо
свойства)". Вследствие этого из предложений II рода, в которые входят
неизвестные, мы получаем множества только тогда, когда выражение
„каждый" выступает в них только в связи с „натуральньш числом". Мы
поэтому дадшм следующую формулировку: если е означает либо некоторое
произвольное число, либо некоторую произвольную последовательность, а
С п) — некоторый характер, зависящий как от е, так и от числа п,
то из С образуется „неопределенное множество" [С]; утверждение,
что к этому множеству принадлежит элемент е, означает, что каждое
118
число п находится в отношении С (а; п) к е (множество II типа). Для
множеств I и II типа мы можем, согласно вышеприведенным указаниям,
установить смысл термина „подмножество". В самом сложном случае
относящихся к II типу множеств последовательностей этот термин будет
иметь следующее значение:
„V принадлежит к [С] (или [С’])" означает: каждое число п находится
в отношении С (у; и) [или С (у; н)]) к у.
Предложение: „ [С'] есть подмножество [С]" означает тогда: существует
functio mixta /(л; у) такого рода, что правомерно следующее указание на
суждение: каждое число п и каждая свободно становящаяся последова-
тельность у, находящаяся в отношении С (у; т) ко всем числам т от 1
до /(л; у), находятся между собой в отношении С (у; и). Это предложе-
ние, значит, принадлежит к III типу. Для понятия подмножества имеет
силу силлогизм, закон транзитивности: если Л4 есть подмножество 714' и
М' подмножество 714", то М есть подмножество М".
Мы переходим теперь к свойствам III рода, в определение которых
входит выражение „существует". В качестве примера возьмем здесь свой-
ство следующего вида. Пусть С(<?, ег) есть некоторое отношение, в ко-
тором либо е есть число и е тоже есть число, либо е есть последова-
тельность, а е' число, либо же е есть последовательность и е' тыке, по-
следовательность. Пусть выражение: яе ъблал&ет свойством (С)" означает:
„существует такая функция f(e), что имеет место отношение С (г,/(е))“.
Соответственно трем указанным случаям эта функция будет functio dis-
creta, mixta или continua. Что же означает, если (С') есть свойство того
же вида, что и (С), предложение: „каждый элемент е, обладающий свой-
ством (С), обладает и свойством (С')“, или: „(С) есть подмножество (С')"?
Очевидно, следующее. Существует закон, порождающий из каждой функ-
ции f функцию закон такого рода, что если имеет место С(^,/(^)),
то имеет место и С (e,f (е)), причем закон порождения может еще сам
зависеть о г е. Но о подобнохм законе может итти речь тогда, когда f
есть functio discrete; на место произвольной функции f тогда выступает
свободно становящаяся последовательность. Мы будем поэтому считать
множествами только такие свойства III рода, в которых выражение „су-
ществует" употребляется в связи с „последовательностью", но не в свя-
зи с functio mixta или continua. Потому типическая форма определений
множеств III рода такова: пусть Е (е; п, у) есть отношение I рода или
же такое отношение II рода, которому соответствует некоторое множе-
ство, т. е. отношение, в определении которого выражение „каждый" упо-
требляется только в связи с „числом", а не с „последовательностью"; при
этом е может означать либо число, либо последовательность, п — про-
извольное число, у — последовательность. В таком случае выражение: пе
обладает свойством (Е) или принадлежит к множеству (Е)и должно озна-
чать следующее: существует некоторое число п и некоторая последова-
тельность у такого рода, что имеет место отношение Е (г; и, у). Общую
формулировку понятия подмножества для множеств I, II или III типа мы
предоставляем читателю. Силлогизм сохраняет силу во всех случаях.
Таковы установленные принципом тождества границы, в пределах ко-
торых следует считать тождествами и объемнонеопределенные свойства
119
чисел или последовательностей. Что касается множеств функций и мно-
жеств множеств, то мы их совершенно устраняем. В нашем анализе нет
никакого места для общего учения о множествах, точно так же, как и
для общих высказываний о функциях *).
Новая концепция, как мы видим, приносит с собой чрезвычайно серьез-
ные ограничения, противопоставляя их расплывающейся в неопределен-
ности всеобщности, к которой приучил нас за последние десятилетия
современный анализ. Мы должны снова обучаться скромности. Мы думали
завоевать небо и взгромоздили облака на облака, которые не могли удер-
жать никого из тех, кто всерьез думал на них укрепиться. На первый
взгляд, то, что остается, кажется столь ничтожно малым, что ставится
вообще под знак вопроса сама возможность анализа. Но такой песси-
мизм неоснователен, как это будет видно из следующего отдела. Но
нужно со всей энергией помнить следующее: математика целиком,
включая даже логические формы, вкоторыхона дви-
жется, зависит от сущности натурального числа.
В изложенных здесь радикальных выводах я, насколько я могу понять,
не вполне схожусь с Броуером. Ведь, он 2) сразу начинает сч общего
учения о функциях (то, что я называю здесь functio continua, носит у
него наименование „множества"), рассматривает свойства функций, свой-
ства свойств и т. д. и применяет к ним принцип тождества. (Мне не
удалось, однако, уловить смысла многих из его утверждений). Я заим-
ствую у Броуера: 1) основную идею, представляющую во всяком случае
существеннейший пункт в его взглядах, именно, идею становящейся по-
следовательности и сомнение в principium tertii exclusi:J2) понятие “functio
continua. На мой собственный счет относятся понятие functio mixta и
концепция, которую я резюмирую в следующих трех пунктах: 1) поня-
тие последовательности колеблется сообразно той логической связи, в
которой оно выступает между, „законом" и „актом свободного выбора",
между „бытием* и „становлением*; 2) общие и экзистенциальные поло-
жения не являются вовсе суждениями в собственном смысле слова, не
*) Я не хочу этим сказать, что вообще невозможны всеобщие высказывания
© множествах и функциях (mixtae и continuae). Так, конечно, для каждой после-
довательности v и для каждой f. m. имеет силу положение /(v) -f- 1 = 1 +/W-
Йо всеобщность таких положений — производная, получаемая формальным специ-
ализированием из всеобщности арифметики и анализа (в основе вышеприведен-
ного примера лежит применимость равенства и + 1-^=1+л ко всем числам);
что касается всеобщности арифметики и анализа, то она поистине изначальна и
опирается на свой собственный интуитивный фундамент и потому заполнена само-
стоятельным интуитивным содержанием. Подобные положения о функциях и
множествах (отдельные разбросанные среди безбрежного океана островки) можно
объединить в особую дисциплину под названием ^теории множеств**, но эта
дисциплина никоим образом не является основанием математики.
Подобным же образом можно, разумеется, установить особые классы со-
пряжений между functiones mixtae (или continuae). Если, например, ср есть неко-
торая заданная f. d„ то из всякой /(м) получается другая /' ('>) по такому правилу:
/'СО для = п*,...} равняется/(v') для J == { ср (лх), ® (п2), ?(л3),---}-
Но такое сопряжение есть лишь „замаскировка" последовательности ср; когда го-
ворится: „существует сопряжение такого рода", то это значит: всегда сущест-
вует последовательность ср. Мы вскоре приведем примеры этого.
2) В первой, из приведенных, работе: „Begriindung der Mengenlehre ttnabhUn-
gig vom Satz vom ausgeschlossenen Dritten".
120
утверждают' никакого обстояния, а являются указаниями на суждения
или же абстракциями суждений; 3) арифметика и анализ одержат в
себе только общие высказывания о числах и свободно становящихся по-
следОэ^тельнеетих, Щет вовсе общего учения о фушецижлшш множествах
с самостоятельным содержанием!
После"того как мы дали себе отчет в логической структуре науки о
бесконечном, мы рассмотрим в следующем отделе в свете полученных
результатов проблему континуума.
4. Ко нт ину у м
До сих пор в математике было употребительно несколько определений
понятия ве^е^^вд^^^щкла, и полагали, что можно доказать эквива-
лентность^этих определений. С той точки зрения, на которой мы теперь
стоим, эти определения не являются уже акведалентными, и легко убе-
диться, что единственно возможным определением остается теперь не
дедекиндово^ сучение, а опред&д^дае, принятое нами в начале втдрр^^части
(определение, ожоторктмы вправе также сказать, что оно само по сеЗе
лучше всего выражает сущность вещественного числа).
Мы различали ранее друг от друга двоичные интервалы заданием двух
целочисленных символов (ш; /г). Эти двоичные символы легко заменить
одним единственным символом, являющимся натуральным числом, есгш
расположить пары целых чисел по некоторому определенному простому
закону в перечислимый ряд. Далее, мы можем, если i есть какой-нибудь
двоичный интервал, расположить естественным образом в перечислимый
ряд содержащиеся в i двоичные интервалы. Если i есть интервал /г-той
ступени, то на первое место мы поставим единственный целиком содержа-
щийся внутри i интервал (h 1)-той ступени, затем 5 интервалов (h 2)-той
ступени, в том порядке, в каком они следуют друг за другом слева на-
право по числовой прямой, затем 13 интервалов (/г4~3)-той ступени и т. д.
Таким образом ясно, что мы подразумеваем, когда говорим об „ /г-ном“
содержащемся внутри I двоичном интервале. Вещественное число опре-
деляется законом, порождающим из каждого натурального числа и дво-
ичный интервал притом так, что /Злн) всегда содержится внутри iSn\
Если мы желаем освободиться от этого условия включения, то мы заме-
ним задание (я-|-1)-го интервала z’(n+1) заданием его порядкового номе-
ра среди содержащихся внутри z'W двоичных интервалов; тогда веще-
ственное число определяется заданием первого интервала z и этой после-
довательностью порядковых номеров, т. е. законом, порождающим из вся-
кого натурального числа п натуральное число п*. Последовательность интер-
валов начинается с интервала, i'— i, затем следует 1;?-й из содержащихся
внутри i' двоичных интервалов, z", затем 2¥-й из содержащихся внутри i'
интервалов,/'", и т. д. „Произвольное вещественное число", „вещественная
переменная" выражается становящейся последовательностью двоичных
интервалов, причем интервалы последовательно выбираются свободно, при
одном ограничительном условии, именно, при условии, что при всяком
новом акте должен быть выбран интервал, содержащийся внутри послед-
него выбранного интервала. Если мы желаем заменить этот связанный не-
которым предписанием выбор совершенно свободным выбором, то нужно,
121
как выше, выбирать не интервалы, а порядковые номера. Под интер-
вальной последовательностью мы будем понимать отныне пос-
ледовательность включенных друг в друга двоичных интервалов.
Два вещественных числа а, р совпадают, если n-ный интервал после-
довательности а, и п-шмЬ интервал последовательности р, всегда взаимно
перекрываются, целиком или же частично; два числа разделены, если
существует такое натуральное число и, что и zp(n) совершенно раз-
делены. Обе эти возможности не образуют вовсе совершенной дизъюнк-
ции, ведь ни одна из них не является дефинитным отношением между
произвольными вещественными числами аир. Это совершенно соответ-
ствует характеру интуитивного континуума, ибо в нем раздельность двух
мест при их сближении переходит постепенно, так сказать расплывчатой
градацией, в их неразличимость. Но сохраняет свою силу положение:
если а совпадает с р, а р совпадает с у, то а совпадает с у. Правда,
из трех интервалов, в которых два первых и два последних пересекаются,
первый и третий могут и не перекрываться. Но если этот случай про-
изойдет на определенном месте h наших интервальных последовательно-
стей, то в дальнейшем их развертывании должны отделиться друг от
друга либо последовательности а и р, либо же последовательности Р и у.
В явном виде, наше положение гласит следующее: существует некоторая
зависящая от натурального числа п функция /(и; а, Р; у) трех становя-
щихся свободных последовательностей а, р, у, порождающая всегда из
аргументов определенное натуральное число т, если перекрываются с
одной стороны Za(") и z^n) и с другой и a ia^ и z\(n) оста-
ются раздельными, и притом так, что имеет силу следующее: как бы ни
развертывались далее за пределами n-ного места интервальные последо-
вательности а, р, у, на m-ном месте разделены либо zaW и /з(т),либо
zpW и z\W. Построение такой функции /, разумеется, чрезвычайно про-
сто. Рассматриваемое нами положение покоится, как легко видеть, не на
том, что а, р, у суть „приближенные значения", а на том, что приближе-
ние может быть сделано сколь угодно большим. Поскольку для
интуитивно заданного континуума это не имеет места (вспомним хотя бы
известный пример с локализацией тактильных ощущений, испытываемых
при прикосновении к поверхности руки обоих острий циркуля), постоль-
ку в „транзивитивности" совпадения находит свое выражение матема-
тическая идеализация действительности. Континуум является здесь
как нечто, становящееся вовнутрь до бесконечности. В интуитивно дан-
ной действительности процесс становления простирается лишь до некото-
рого пункта (ибо данное есть, а не становится) и переходит посте-
пенно в совершенную неразличимость; в математике, напротив, мы рас-
счатриваехМ этот процесс как развертывающийся в бесконечность. Во
всяком случае бессмысленно рассматривать континуум
как нечто готово-сущее. Можно (и даже должно) со всей серьез-
ностью утверждать, что настоящее не есть нечто уже готовое в себе и
определенное, а что оно само, вовнутрь становится в процессе пере-
хода в будущее, и только, так сказать по „скончании всех в^црв", ста-
новится совершенно точно определенным всякийГ^бтрезок мировой дей-
ствительности, хотя бы, например, тот, который я сейчас переживаю. Это
обсюятельство кажется мне чрезвычайно важным для оценки метафизиче-
122
скою значения каузальности в природе, но здесь не место заниматься
этим вопросом.
Если мы возьмем на числовой прямой С, области изменения веще-
ственной переменой х, некоторую определенную точку, например х = О,
ю, как мы видели, нельзя никоим образом утверждать, что всякая точ-
ка либо совпадет с этой первой точкой, либо же раздельна от? нее. Та-
ким образом точка х=0 вовсе не разбивает континуум на две части:
: х 0 и С* : х^> 0, в том смысле, что можно составить С из соедине-
ния С~ и С* и одной точки 0 (т. е. в том смысле, что всякая точка
континуума либо совпадает с 0, либо же принадлежит к С~ или С^). Если
это шокирует современного математика с его атомистическими навыками
мышления, то в прежние времена это являлось чем-то само собой разу-
меющимся: хотя внутри континуума и можно выделить частичные конти-
нуумы путем полагания границ, но бессмысленно утверждать, будто це-
лостный континуум состоит из границ и этих частичных континуумов.
Подлинный континуум есть нечто в себе связное и не может быть
разделен на отдельные куски, подобное разделение противоречит
его сущности. С* есть континуум в том же смысле, что и С, т. е. среда
свободного становления, и при математическом рассмотрении его мы дол-
жны исходить не из точек, аи^дштертжтов. В основании его лежит си-
стема L* тех двоичных интервалов, которых первая характеристика tn
положительна. Закон, порождающий из каждого натурального числа не-
который интервал этой системы и притом так, что интервалы последова-
тельности включаются друг в друга, дает нам определенное число в кон-
тинууме С+; акты выбора, связанные с системой Е+ и с условием вклю-
чения, но в остальном совершенно свободные, порождают становящуюся
последовательность, представляющую „переменную, движущуюся в обла-
сти С+*. Здесь мы убеждаемся, что „точечные множества*, рассматрива-
емые в качестве области изменения аргументов функции, являются только
замаскированными „интервальными множествами*, точнее дефинитными
интервальными множествами. В рамках анализа возможно общее учение
только о таких точечных множествах, ибо эти множества попадают пот
рубрику functiones discretae. Наряду с системой мы имели выше си-
стему двоичных интервалов, первая характеристика которых zzz 0, и
в-третьих, систему двоичных интервалов, характеризуемых условием
т = 0. £“, 2° соответственно определяют континуумы „лежащих спра-
ва от нуля*, „слева от нуля* и „совпадающих с нулем* точек.
Рассмотрим теперь какое-нибудь обыкновенное действие с веществен-
ной переменой х, например х2. Из нескольких, взятых в конечном числе
двоичных дробей а, а’, ... можно легко построить единственный двоичный
интервал высшей ступени, содержащий все эти двоичные дроби. Обозна-
чим этот интервал так: (я, ...). Если
т — 1 , т 4-1
суть конечные точки некоторого интервала то квадраты всех двоичных
дробей, лежащих в интервале Z, содержатся, со своей стороны, в интер-
вале
= аа'> а'*).
123
Если вещественное число а задано последовательностью содержащихся
друг в друге интервалов, то число а2 получим, строя для. каждого ин-
тервала Z этой последовательности „квадрат-интервал" Z2. Возникновение
а2 из а покоится поэтому вовсе нс на сопряжении «интервальных
последовательностей, а просто на сопряжении интервалов;
речь идет тут о законе, порождающем из каждого интервала i интервал
Z2; этот закон мы называем „функцией х2". Если мы имеем последова-
тельность i содержащихся друг в друге двоичных интервалов, — последова-
тельность, развертывающуюся посредством актов свободного выбора, — то
ей, согласно этому закону, соответствует становящаяся последовательность
также содержащихся друг в друге интервалов Z2. Подобным же образом
мы определяем функцию х • у (действие умножения) в области двух пе-
ременных х, у. В основании этой области изменения лежит система от-
личающихся друг от друга 'тремя целочисленными характеристиками
//z, zz, h „двоичных квадратов" с конечными точками
Если мы положим
т — 1
п 1
то этот квадрат J дает интервал
тс (У) — (ab, ab, abf, a'b').
Этот закон тс есть функция х • у. Если J пробегает становящуюся
последовательность содержащихся друг в друге квадрауо^, то тс (У) про-
бегает"' становящуюся последовательность содержа-
щихся друг в друге интервалов.
Наконец, дадим интерпретацию имеющему силу
в области двух переменных тождеству
С) (* -Fj) (х — v) = -V3 —у*.
Пару двоичных дробей а, b мы называем „точкой
пересечения а с Ь“. Если а, а',...— несколько (на-
пример три) заданных двоичных дробей и если кроме
того задан еще второй ряд из конечного числа (на-
пример четырех) двоичных дробей Ь, то мы можем построить на-
именьший положительный квадрат, содержащий все (3*4) точки пересе-
чения а, а',... с :
Функция
J=(a, а',... | />',...).
х' =Х-{-у, у'—х—у
есть закон, порождающий из каждого двоичного квадрата, углы которого
являются точками пересечения а, а! с Ьу Ь\ квадрат
У' = (а 4~ b, d - j- bt а 4- b\ а' \- Ь' \ а — Ь, а' — Ь, а — Ъ' > а! — Ь').
121
Из последнего квадрата образуется интервал i согласно закону х' • у
(названному выше законом ~). Тем самым оказывается построенной левая
сторона равенства (А). Правая сторона строится аналогичных^ путем.
Сперва из J образуется квадрат
— аа , я'2 | Z?2, bb\
(это—функция = У'==у’2), а из него интервал i по закону х"—у\
Равенство (;) утверждает," что, каков бы пи был двоичны!! квадрат J
интервалы z и / всегда перекрываются друг с другом.
Приведенные примеры объясняют нам общее понятие н ещр.ер ы в н о й
Подобная функция определяется
не произвольный законом, сопрягающим с становящейся интервальной
последовательностью другую становящуюся интервальную после-
довательность, а таким законом, по которому из каждого двоичного
интервала (как скоро он берется достаточно малым) порождается интер-
вал. Это вполне соответствует тому смыслу, который придается понятию
непрерывной функции в приложениях математики: раз аргумент задан с изве-
стной степенью точности — а в приложениях математики он никогда
не дается иначе, — то становится известным с соответственной степенью
точности и значение функции. Эта последняя точность становится вместе со
степенью точности значения аргумента сколь угодно большой (если мы рас-
сматриваем функцию в некоторОхМ ограниченном интервале). Поэтому
непрерывные функции суть лишь замаскированные „functiones discretae",
и лишь в силу этого в анализе может быть построена общая теория
непрерывных функций. Непрерывная функция определяется законом ср,
порождающим из всякого двоичного интервала i такой же интервал <р (z)
или же ничего из пего не порождающим. К этому присоединяется еще
закон, порождающий из всякого интервала i натуральное число zzz, именно,
закон такого рода: если i есть какой-либо двоичный интервал, а п—натураль:
пое число то /z-ный из двоичных интервалов, содержащихся внутри z,
порождает согласно закону ср некоторый интервал (именно интервал,
а не ничего), содержащийся внутри ср (/), если ср (/) существует. Условие
включения имеет своим следствием то, что двум взаимно пересекающимся
интервалам z, zz всегда соответствуют два взаимно пересекающиеся интер-
вала cp(z), cp(zz), нб° в силу этого условия всегда можно построить содер-
жащийся внутри обоих интервалов z, zz двоичный интервал z, отображение
которого cp(z) существует и содержится внутри обоих интервалов cp(z) и
ср (/'). Если а есть некоторое вещественное число, т. е. определяемая
некоторым законом до бесконечности последовательность содержащихся
друг в друге интервалов z, Г, Z",..., то мы образуем последовательность
ср (z), ср (z"), ср (zzz),... Из этой последовательности выпадают, само собой
разумеется, несуществующие отображенные интервалы, и кроме того мы
вычеркиваем из нее такие интервалы, которые не содержатся вну-
три им предшествующих; так как каждому интервалу z соответствует
число zzz, то все же еще остается бесконечная последовательность.
Построенная подобным образом последовательность отображений пред-
ставляет собой в свою очередь вещественное число р = ср (а), являющееся
значением непрерывной функции при значении аргумента, равном а.
125
Если два вещественные числа а и а совпадают, то совпадают также и
соответственные им значения функций (3 и Две непрерывные функции
совпадают, если они определены законами, сопрягающими каждому двоич-
ному интервалу два взаимно пересекающихся интервала1).
Как мы видим, нельзя дать определения понятия непрерывной функции
в некотором ограниченном интервале, не принимая вместе с тем в опре-
делении равномерной непрерывности и ограниченности
Но самое существенное — это то, что в континууме не может
существовать никаких других функций, кроме непре-
рывных. Если в прежнем анализе было возможно построение непре-
рывных функций, то это только показывает весьма ясно, как далек он
был от понимания сущности континуума. То, что теперь называют пре-
рывной функцией, состоит в действительности (и по существу это только
возврат к более старым взглядам) из нескольких функций в раздельных
континуумах. Рассмотрим, например, вышеприведенные континуумы С, С +
(х^>о) и С“(л;<^о). Функция /1(х) = х в континууме С + есть
закон, сопрягающий с каждым двоичным интервалом, обе конечные точки
которого положительны, этот же самый интервал. Функция /2(х) = — х
в континууме С~ есть закон, сопрягающий с каждым двоичным интер-
валом, обе конечные точки которого a, cl отрицательны, интервал —i —
= (—а', — а). Для обеих этих функций в целом континууме С существует
одна единственная функция | х |, совпадающая в С2 * 4 * *" с /р а в С" с
эта функция сопрягает с двоичным интервалом z интервал /, если обе
конечные точки положительные, и интервал — z, если обе конечные
точки отрицательны, а с интервалом z, содержащим в себе точку
нуль и имеющим своими концами точки а, а', она сопрягает интервал
(—а', — а, zz, а'). Если, наоборот, мы рассмотрим две функции: 4“ 1
в С+ и — 1 в С’, то для них совсем не существует определенной
в целом континууме С функции, совпадающей в С* с одной из них, а
в С’ — с другой.
Современному анализу континуум представляется в виде множества
его точек, в континууме он видит лишь частный случай основного логи-
ческого отношения элемента и множества. Но поразительно, что
столь же фундаментальное отношение ^целого и части до сих пор
не находило себе места в математике! Между тем обладание частями
есть основное свойство континуума, и броуеровская теория (в полном
согласии с интуицией, против которой столь сильно грешит нынешний
„атомизм") кладет это отношение в основание математического изучения
континуума. В этом заключается собственно основание сделанной выше
при ограничении частных континуумов и при построении непрерывных
функций попытки исходить не из точек, а из интервале в, как из
первичных элементов построения.
Разумеется, и множество обладает частями. Но в царстве „обладаю-
щего частямии оно выделяется обладанием „элементов11 в смысле теории
2) Здесь речь шла об отдельной определенной непрерывной функ-
ции. Общие же положения о них имеют дело с континуумом, в котором все они
укладываются, с произвольной непрерывной функцией (которую нужно рассмат-
ривать как становящуюся). Более детальное рассмотрение этих понятий завело
бы нас здесь слишком далеко.
126
множеств, т. е. частей, которые сами не имеют уже более
частей; согласно теории во всякой части континуума содержится по
крайней мере один элемент. Существу континуума, напротив, свойственно,
что каждая из его частей неограниченно делима, и далее, понятие точки
должно рассматривать как предельное понятие; „точка* естьпредставление
о пределе продолжаемого до бесконечности деления. Чтобы изобразить
непрерывную связь точек, современный диализ, разбивший континуум
на множество изолированных точек, искал прибежища в понятии окре-
стности. Но так как в силу чрезмерной его общности понятие непре*
рывного многообразия оставалось математически бесплодным, то пришлось
прибавить в качестве ограничительного условия возможность „триангуля-
ции*. В противоположность этому построению, в кратких объяснениях,
предпосланных Броуером его известным доказательствам основных поло-
жений Analysis situs, изначально заданным материалом являются просто
связанные между собой куски, из которых составляется многообразие.
Новый анализ оставляет открытым лишь этот путь.
Покажем вкратце, как получается по этой теории математическое
определение понятия двухмерного замкну-
того многообразия. Сперва необходимо задать
схему его топологического построения, то,
что я называю „двухмерным остовом*. Он состоит
из конечного количества „вершин* eQ (элементов
0-й ступени), „ребер* (элементов 1-й ступени),
„граней* (элементов 2-й ступени), которые
можно-обозначить какими-нибудь символами. Каж-
дая грань „ограничивается* некоторыми ребрами,
каждое ребро—некоторыми вершинами; соответ-
ствующие задания составляют существенное содер- Фиг. 3.
жание схемы. Она должна удовлетворять извест-
ным, легко формулируемым условиям. От гран ей остова мы при-
ходном к точкам многообразия процессом деления, повторяемым
бесконечное число раз. Этот процесс мы будем проводить следующим
образом: каждое ребро мы будем разбивать одной из его точек на два
ребра, а затем мы будем разбивать каждую грань на треугольники, образуе-
мые при помощи линий, проведенных из произвольного выбранного в нем
центра к вершинам, лежащим на границе грани. Этот прием можно опи-
сать in abstracto так: каждому элементу первоначального остова Q со-
ответствует элемент 0-й ступени 0 остова G', получаемого делением;
два элемента eif ek (Z > k) первоначального остова, из которых один огра-
ничивает другой, порождают элемент 1-й ступени (^., нового остова
G', который ограничивается этементами (гх)'о и (^)’о; три элемента ev
eQ остова G, ограничивающие друг друга, порождают элемент 2-й сту-
пени (д2, elf е0)'х остова G', ограничиваемый (ev ^)/, (tf2, е0)\, (вп ^0)\.
Куски поверхностей G и получаемые последовательными делениями куски
поверхностей G', G'\,... играют здесь ту же роль, что в линейном конти-
нууме интервалы, на которые этот континуум разбивался двоичными
т т
2*’ 2^’
т
дробями вида
.. (где т пробегает все целые числа). Каждые две
такие примыкающие дроби мы соединяли в один „двоичный интервал*
127
с целью добиться от каждой ступени деления того, чтобы континуу
перекрывался такими взаимно пересекающимися кусками. Подобным же
образом и здесь мы соединяем получающиеся в результате деления осто-
вов G, G', G",... куски поверхности, ограниченные общей вершиной,
в „звездуи. Под точкой многообразия должно понимать беско-
нечную последовательность подобных „звезд*, в которой каждая звезда
целиком содержится внутри ей предшествующей. Нетрудно формулировать
смысл этого условия включения между двумя звездами.
Открытое многообразие отличается от замкнутого лишь тем, что
лежащий в основе его остов состоит не из конечного числа, а из бес-
конечной последовательности элементов. Подробно исследованный нами
ранее континуум подпадает под понятие такою открытого.многообразия,
если мы будем принимать за двоичные интервалы лишь те из интервалов
т — 1 т-|-1\ .
—-h—, —-ch— , у которых характеристика h положительна. Эта
модификация ничего не изменяет во всех наших прежних рассуждениях.
Понятие непрерывной функции трактовалось нами так, что его можно
перенести на любые многообразия: непрерывное отображение одной
многообразия в другом определяется законом, либо ничего не сопрягак
щим с любой звездой первого многообразия, либо же сопрягающим с не!
одну звезду второго: к этому, как и ранее, присоединяется такое же
условие включения. Здесь действительно важно оставить открытой воз-
можность сопряжения с^ндчем*, ибо область отображения звезды первого
многообразия не должна сводиться к одной единственной звезде второго.
Поскольку мы имеем дело с движущейся в некотором континууме
переменной, нужно, согласно новой теории, как бы парить нац коннь
нуумом и нельзя, как ранее, опуститься на отдельную, хотя бы и произ-
вольную точку. Исследователю, привыкшему к прежним методам, подобное
требование по кажется’ плач ал е неудобным, но всякий ’"заметит, как верно
передает новый анализ и в этом пункте интуитивный характер континуума.
Броуеровская концепция соединяет в себе высочайшую интуитивную
ясность со свободой. На того, кто еще сохранил посреди аб
страктного формализма математики чувство интуитивной pea ibhoctil, эт
концепция должна действовать как избавление от какого-то тяжелого
кошмара. Наконец, укажем еще как совершенно соединяются, взаимно
поддерживая и укрепляя друг друга, обе части нового учения: и н т у п-
тивная адэкватность континуума и логическая позиция по
отношению к общим и экзистенциальньш суждениям.
Редакционную работу по этой книге провели В. И. Контовт и Д. А. Райков.
Издание оформила С Л Дычан. Корректуру деожяля н! ( Ширяева.
Набтюдат за выпуском Л. М. Воиович.
ввга срда”а в пРоизв°Дство с готовых матриц 17Д 1934 г, листы подписаны к печати 17/1 1934 г,
книга вышла в свет в январе 1934 г. в количестве 30G0 экз. на бумаге Формата 62x°4 41 >
печатных знаков в кнше 431 000, лисюв 8 Заказ № 2126. ГТТИ № 59 Уполн. Главлита № Б 344.6