РАСЧЕТЫ
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИИ
методом
конечных
элементов
СПРАВОЧНИК
Под общей редакцией
д-ра техн. наук В. И. Мяченкова
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1989

БСК 34.41я2
Р24
УДК [021.07li6a4,
16.1/5j.001.24:512.54] @35)
Авторы: В. И. Мяченков, В. П. Мальцев, В. П. Майборода, В. Б. Пет-
Петров, А. Н. Фролов, С. П. Заякии, Г. Н. Ольшанская, В. Б. Горлов, В. С. Бои-
дарь, С. П. Горшков, С. С. Корольков, Ю. В. Жуков, А. В. Цвелих
Расчеты машиностроительных конструкций методом ко-
Р24 нечных элементов: Справочник/В. И. Мяченков, В. П. Маль-
Мальцев, В. П. Майборода и др.; Под общ. ред. В. И. Мяченкова. —
М.: Машиностроение, 1989. — 520 с: ил.
ISBN 5-217-00401-0
Изложены численные методы и алгоритмы расчета на прочность и
жесткость пластинчато-стержневых систем, трехмерных объемных тел,
тонкостенных оболочечных, призматических и складчатых конструкций.
Все алгоритмы реализованы на языке ПЛ-1 в ОС ЕС ЭВМ. Программные
комплексы могут быть включены в качестве подсистем в состав САПР,
они успешно прошли проверку на ряде машиностроительных предприятий.
Для инженеров-расчетчиков и конструкторов КБ и НИИ всех отрас-
отраслей машиностроения.
2702000000—114
Р 038@1)-89 ~89
ББК34.41Я2
СПРАВОЧНОЕ ИЗДАНИЕ
МЯЧЕНКОВ Владимир Иванович, МАЛЬЦЕВ Валерий Павлович,
МАЙБОРОДА Валерий Прохорович и др.
РАСЧЕТЫ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Редактор О. Ф. К о р с у н
Переплет художника Р. А. Казакова
Художественный редактор В. В. Лебедев
Технический редактор И. Н. Раченкова
Корректоры А. П. Сизова, Л. Я. Шабашова
И Б № 5644
Сдано в набор 22.11.88. Подписано в печать 13.03.89. Т-04709. Формат 6ОХ9О'/ц-
Бумага офсетная № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 32,5.
Усл. кр.-отт. 32,5. Уч.-изд. л. 31,39. Тираж 19 300 экз. Заказ 621. Цеиа 1 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делан издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
ISBN 5-217-00401-0
Издательство «Машиностроение», 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Раздел первый. Пространственные системы 8
1. Вводные замечания 8
2. Постановка задач статики, динамики и теплопроводности И
2.1. Общие формулы вычисления матриц и векторов И
2.2. Реологические свойства материалов 16
2.3. Локальные и глобальные системы координат 21
2.4. Связь между перемещениями локальных и глобальных узлов. . 23
2.5. Матрицы и векторы конечных элементов в глобальной системе
координат 25
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений 26
3.1. Предварительные замечания 26
3.2. Метод /.О/Лфакторизации 27
3.3. Метод Гаусса 31
3.4. Модифицированный метод Гаусса 33
3.5. Использование свойсти разреженности матриц при решении си-
систем линейных алгебраических уравнений 34
3.6. Структура данных для разреженных матриц и их графов. . . 42
3.7. Управляющая процедура метода /.О/Лфакторизации 47
3.8. Управляющая процедура метода сопряженных градиентов. . . 50
4. Типовые конечные элементы 51
4.1. Прямолинейные стержни 51
4.2. Вычисление геометрических характеристик плоских сечений... 63
4.3. Тонкие треугольные пластинки 69
4.4. Тонкие прямоугольные пластинки 86
4.5. Плоская задача теории пластичности 86
4.6. Кольцевые элементы 86
4.7. Объемные элементы 94
4.8. Тонкие оболочечные элементы 99
5. Реализация на ЭВМ 107
5.1. Вводные замечания 107
5.2. Описание основных параметров и массииов исходных данных. . 108
5.3. Прямолинейные стержневые элементы НО
5.4. Плоские пластинчатые элементы 111
5.5. Объемные элементы ¦ ИЗ
5.6. Кольцевые элементы с треугольным поперечным сечением. ... 113
6. Напряженно-деформированное состояние упругих осесимметричных
конструкций 114
6.1. Вводные замечания 114
6.2. Внутреннее представление исходных данных 115
6.3. Внешнее представление исходных данных 117
6.4. Организация вычислительного процесса 127

ОГЛАВЛЕНИЕ
6.5. Организация вывода на печать исходной и результирующей ин-
информации . 129
6.6. Организация управляющей программы 132
7. Программный комплекс для расчета машиностроительных конструкций 133
7.1. Общая характеристика комплекса 133
7.2. Плоские и пространственные стержневые системы 134
7.3. Плоские и пространственные пластинчатые системы 135
7.4. Пространственные (объемные) системы 135
7.5. Осесимметрнчные системы 136
7.6. Тонкостенные оболочечные системы 136
7.7. Пространственные пластинчато-стержневые системы 136
Список литературы 137
Раздел второй. Оболочечные системы 138
8. Вводные замечания 138
9. Основные положения метода суперэлементов 140
9.1. Глобальные и локальные системы координат 140
9.2. Методы решения задач статики и динамики 143
9.3. Решение краевых задач для систем лииейиых обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порлдка 148
9.4. Математическое обеспечение метода перемещений 164
9.5. Принципы создания программного комплекса для расчета обо-
лочечиых конструкций 176
10. Канонические соотношения для оболочек (модель Кирхгофа—Лява) 178
10.1. Геометрические и физические соотношения, уравнения равно-
равновесия, граничные и начальные условия 178
10.2. Линейная деформация предварительно напряженных оболочек 186
10.3. Сведение уравнений в частных производных к обыкновенным
дифференциальным уравнениям 187
11. Канонические соотношения для оболочек (модель ломаной линии) 194
11.1. Геометрические и физические соотношения 194
11.2. Уравнения движения и граничные условия 199
11.3. Оболочки вращения и призматические оболочки 204
11.4. Нелинейная симметричная деформация многослойных оболочек
вращения 206
11.5. Лииейиая несимметричная деформация многослойных оболочек
вращения 208
12. Матрицы жесткости узловых элементов 214
12.1. Круговые шпангоуты с недеформируемым поперечным сече-
сечением (модель Кирхгофа—Клебша) 214
12.2. Круговые шпангоуты с недеформируемым поперечным сечением
(модель Тимошенко) 221
12.3. Шпангоуты с деформируемым поперечным сечением 227
12.4. Полюсные элементы 230
12.5. Упругие и вязкоупругие связи 234
13. Алгоритмы определения напряжеиио-деформированиого состояния и
динамических характеристик конструкций 235
13.1. Разрешающие системы уравнений метода перемещений. . . . 235
13.2. Структура программного обеспечения алгоритмов 241
13.3. Проблемно-ориентированные процедуры решения задач статики
и динамики оболочечных конструкций 243
13.4. Подсистема математического и программного обеспечения алго-
алгоритмов определения напряженно-деформированного состояния
и динамических характеристик конструкций 246
Список литературы 247

ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел третий. Моделирование процессов неупругого поведения в раз-
разрушения конструкций при сложном иагружеиии.... 248
14. Вводные замечания 248
15. Математическое моделирование процессов неупругого поведения и
накопления повреждений материала 249
15.1. Обобщенная модель иеупругости 249
15.2. Теории пластичности, ползучести и неупругости при сложном
иагружеиии 256
15.3. Накопление повреждений при изотермическом и неизотермиче-
неизотермическом циклическом и длительном иагружеииях 268
16. Численное решение задач сложного иагружения тонкостенных кон-
конструкций 274
16.1. Формулировка разрешающей системы уравнений 274
16.2. Шаговый метод решения ' 279
Список литературы 286
Раздел четвертый. Автоматизация конструирования и прочностных рас-
расчетов оболочечных систем 287
17. Интегрированные системы проектирования 287
18. Общие сведения о системе КИПР-ЕС 289
18.1. Назначение системы 289
18.2. Технология синтеза и анализа конструкций 290
18.3. Архитектура программного обеспечения 294
18.4. Уровин технической реализации 298
18.5. Организация вычислительного процесса . . 300
18.6. Формы взаимодействия пользователей и системы " 302
18.7. Поставка и размещение системы 303
19. Подсистема синтеза конструкций 304
19.1. Структура подсистемы 304
19.2. Геометрическая модель осесимметричной конструкции .... 305
19.3. Средства синтеза геометрических моделей 308
19.4. Средства контроля и документирования работы 321
20. Подсистема формирования расчетных схем конструкций 323
20.1. Структура подсистемы 323
20.2. Средства подготовки расчетной схемы. 325
20.3. Программа РЕДАКТОР PC 341
20.4. Средства контроля и документирования работы 343
21. Подсистема анализа иапряжеиио-деформироваиного состояния и ди-
динамических характеристик конструкций 344
21.1. Структура подсистемы 344
21.2. Формирование расчетной схемы конструкции в автономном
режиме 345
21.3. Описание внешних воздействий 347
21.4. Структура программного обеспечения подсистемы 349
22. Подсистема визуализации, выпуска графической и текстовой доку-
документации 355
22.1. Структура подсистемы 356
22.2. Общесистемные средства машинной графики 355
22.3. Прикладное графическое обеспечение 360
22.4. Комплект выпуска текстовой документации 369
23. Подсистема хранения информации 373
23.1. Структура подсистемы 373
23.2. Организация данных 376
23.3. Средства управления и доступа к данным 378
23.4. Средства взаимодействия пользователей и архивов 384
24. Пример использования системы 386
Список литературы 401
Приложение 403

ПРЕДИСЛОВИЕ
Проектирование машин, аппаратов, агрегатов и сооружений,
удовлетворяющих самым современным требованиям, связано с все-
всесторонними исследованиями прочности и жесткости конструкций
с учётом воздействия внешней среды. В связи с этим необходимо
разработать новые эффективные и точные методы расчета различ-
различных конструкций на прочность и жесткость.
Развитие вычислительной техники и увеличение мощности
ЭВМ обусловили широкое внедрение в расчетную практику
численных методов. Наиболее эффективными применительно
к расчету машиностроительных конструкций следует счи-
считать метод конечных элементов (МКЭ) и метод суперэле-
суперэлементов.
Известно, что расчетные схемы (PC) различных элементов
машиностроительных и других конструкций могут быть сведены
к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным систе-
системам, находящимся под действием произвольных механических
и температурных нагрузок. Для их расчета на прочность целе-
целесообразно создавать комплексы программ целевого назначения,
обеспечивающие контроль подготовки исходных данных, числен-
численную машинную реализацию алгоритмов расчета конструкций
определенных классов, выдачу результатов в удобной для прак-
практического использования форме. Кроме того, необходима интегра-
интеграция имеющихся и создаваемых программных комплексов со сред-
средствами автоматизации конструирования, подготовки и выпуска
расчетно-конструкторской документации для различных машин,
аппаратов, агрегатов и сооружений.
В данном справочнике систематизированы результаты неко-
некоторых исследований в области создания перечисленных программ-
программных комплексов на том уровне, на котором пользователи могли бы
внедрить их в расчетную практику.
Раздел первый (авторы С. П. Заякин, В. И. Мяченков, В. Б. Пе-
Петров, А. В. Цвелих) посвящен численной и программной реали-
реализации МКЭ для определения напряженно-деформированного со-
состояния (НДС) и динамических характеристик пространственных
пластинчато-стержневых, оболочечных и объемных систем про-
произвольной конфигурации.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Раздел второй (авторы В. П. Майборода, В. П. Мальцев,
В. И. Мяченков, Г. Н. Ольшанская) посвящен численной и про-
программной реализации метода суперэлементов для определения
НДС и динамических характеристик осесимметричных и призма-
призматических тонкостенных обол очечных конструкций.
Раздел третий (авторы В. С. Бондарь, В. Б. Горлов, А. Н. Фро-
Фролов) посвящен численному моделированию неупругого поведе-
поведения, процесса накопления повреждений и разрушения конструк-
конструкций в условиях сложного изотермического и неизотермического
циклического и длительного нагружения.
Раздел четвертый (авторы С. П. Горшков, С. П. Заякин,
Ю. В. Жуков, С. С. Корольков, В. И. Мяченков) посвящен опи-
описанию интегрированной системы автоматизации конструирования
и прочностных расчетов изделий машиностроения, PC которых
можно представить в виде осесимметричных тонкостенных обо-
лочечных конструкций.

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
МКЭ — один из основных методов решения задач строительной
механики, механики деформируемого твердого тела, теплопровод-
теплопроводности, гидромеханики и др. Идея метода заключается в аппрокси-
аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы
совокупностью простых элементов, имеющих конечное число сте-
степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Напри-
Например, аппроксимация несущей системы токарного полуавтомата
совокупностью простых элементов (тонких пластин и стержней)
обеспечивает максимальное приближение PC к исходной
(рис. 1.1).
Для МКЭ характерны: широкий диапазон применимости,
инвариантность по отношению к геометрии конструкции и меха-
механическим характеристикам материалов, простота учета взаимо-
взаимодействия конструкций с внешней средой (механические и темпе-
температурные нагрузки, граничные условия и т. д.), высокая степень
приспособленности к автоматизации всех этапов расчета. Популяр-
Популярность метода объясняется также простотой его физической интер-
интерпретации и очевидной связью с методами Ритца и перемещений,
широко применяемыми в механике сплошных сред и строительной
механике.
МКЭ во всех его различных формулировках предусматривает
следующие основные этапы расчета: разбиение рассматриваемой
области (тела) на конечные элементы; аппроксимацию зависимых
переменных кусочно-полиномиальными функциями с неизвест-
неизвестными параметрами для каждого конечного элемента; подстановку
аппроксимирующих функций в определяющие уравнения и их
решение, дающее значения параметров, которые полностью опре-
определяют искомые функции внутри элемента через их значения
в узловых точках.
С математической точки зрения МКЭ представляет собой
обобщение метода Рэлея—Ритца—Галеркина, обеспечивающего
минимизацию функционала потенциальной энергии путем отыска-
отыскания линейной комбинации пробных функций:
ф = 2

Вводные замечания
РИС. 1.1
где аг — коэффициенты, определяемые из системы N алгебраиче-
алгебраических уравнений.
Основная проблема заключается в выборе пробных функ-
функций фг, обеспечивающих простоту вычислений и достаточную
точность. Особенность МКЭ в том, что эти функции принимают
кусочно-полиноминальными, отличными от нуля в окрестности
только одного узла, и коэффициенты at имеют определенный физи-
физический смысл.
Примем здесь в качестве базового МКЭ в форме метода пере-
перемещений. В этом случае разрешающие уравнения получаем
путем минимизации полной потенциальной энергии рассматри-
рассматриваемой системы, выраженной через поле перемещений. Эти урав-
уравнения имеют простой физический смысл: они описывают равно-
равновесие узлов системы; искомые неизвестные являются компонен-

10
ПРОСТРАНСТВБИИЫБ СИСТЕМЫ
Рис. 1.6
тами узловых перемещений, соответствующих весовым коэффи-
коэффициентам, используемым в методе Ритца. Расчет с помощью МКЭ
в форме метода перемещений включает следующие этапы:
разбиение конструкции на конечные элементы и подготовка
топологической, геометрической и физической информации; уста-
установление факторов взаимодействия с окружающей средой;
построение для выделенных конечных элементов соответ-
соответствующих матриц (жесткости, масс, теплопроводности и др.)
и векторов, определяющих зависимости между реакциями и
перемещениями в узлах элемента;
формирование разрешающей системы линейных алгебраических
или дифференциально-алгебраических (в нестационарных зада-
задачах) уравнений;

Постановка задач статики, динамики и теплопроводности 1]
решение полученной системы уравнений и установление полей
перемещений, внутренних силовых факторов, температуры и т. д.;
обработку результирующей информации и ее анализ.
Перечисленные этапы поддаются четкой универсальной алго-
алгоритмизации, и их программная реализация не вызывает принци-
принципиальных затруднений при наличии библиотеки стандартных
подпрограмм, реализующих второй и четвертый этапы расчета.
В первом разделе рассмотрена общая процедура решения
задач статики, динамики и теплопроводности с помощью МКЭ,
даны методы, формулы и библиотека подпрограмм вычисления
соответствующих матриц и векторов простых типовых конеч-
конечных элементов: прямолинейных стержней постоянного попереч-
поперечного сечения (рис. 1.2), прямоугольных в плане оболочек (рис. 1.3),
тонких треугольных, четырехугольных и прямоугольных в плане
пластин (рис. 1.4), круговых колец треугольного, четырехуголь-
четырехугольного и прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.5), четырех-,
пяти- и шестигранных объемных элементов (рис. 1.6). Изложены
методы и алгоритмы расчета; приведена библиотека подпрограмм
решения систем линейных алгебраических уравнений, нелиней-
нелинейных функциональных уравнений, обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Все подпрограммы реализованы на алгоритмическом языке
ПЛ-1 в виде стандартных процедур (модулей).
На примере осесимметричной задачи теории упругости рас-
рассмотрен процесс программной реализации МКЭ с помощью ЭВМ,
приведено описание состава и структуры программного комплекса
прочностных расчетов пространственных конструкций с помощью
МКЭ.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ СТАТИКИ,
ДИНАМИКИ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
2.1. Общие формулы вычисления матриц и векторов
Рассмотрим пространственную конструкцию, представляющую
собой упругое тело, в правой прямоугольной системе координат
ОххХъХъ. Расчленим конструкцию системой поверхностей на конеч-
конечные элементы, каждый из которых в общем случае представляет
собой многогранник, ограниченный криволинейными поверхно-
поверхностями (рис. 2.1).
Таким образом, получаем некоторую композицию из N, ко-
конечных элементов, соединенных в NT точках, называемых узлами.
Пронумеруем последовательно узлы и конечные элементы кон-
конструкции.
Свяжем с р-м конечным элементом локальную систему коор-
координат O'lilils. Co стороны смежных конечных элементов на р-й

12
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
4,
элемент действуют обобщенные
реакции Nf6, Nf6, ..., N?6, по-
положительные направления ком-
компонент которых совпадают с по-
положительными направлениями
локальных осей O'lh (k = 1,
2, 3).
Под обобщенными реакциями по-
понимают реактивные силы и моменты,
число которых для всех узлов одина-
одинаково.
Обозначим Ufe, U2P6, .... U?e
векторы обобщенных перемеще-
перемещений узлов р-го конечного элемента, предположив, что положитель-
положительные направления компонент этих векторов совпадают с положи-
положительными направлениями локальных осей O'lh (k — 1, 2, 3).
Под обобщенными перемещениями понимают как линейные, так и угловые
перемещения.
Вследствие линейности задачи можно установить однозначную
зависимость между обобщенными реакциями Nf6, Nfg, ..., N?,5
и перемещениями Uf6, UPg, ..., U?5 узлов р-ro конечного эле-
элемента. В общем случае эта зависимость имеет вид
Рис. 2.1
Здесь
Qfi
rm2\
rp
B.1)
B.2)
B-3)
где Qj и [Ri] — вектор и матрица реакций р-го конечного эле-
элемента в локальной системе координат О'^^з-
Столбцы матрицы [R^] представляют собой обобщенные уси-
усилия в узлах конечного элемента, обусловленные единичными обоб-
обобщенными перемещениями этих узлов при отсутствии внешних
нагрузок на конечный элемент. Согласно B.1) Q\ — векторы
узловых обобщенных усилий, обусловленных поверхностными и
массовыми механическими и температурными нагрузками, дей-

Постановка задач статики, динамики и теплопроводности 13
сгвующими на р-й конечный элемент, при нулевых обобщенных
перемещениях этого элемента.
Предположим, что перемещения в любой точке элемента опре-
определяет вектор:
«(Ei. Ei. Ee) = [^(Ei. Ei. EeMUe. B.4)
где
[F(Ei. Ei. У1 = [Лб F* ... Fm.]. B.5)
Матрицы [fi5 (Ei, Ег. ЕвI. размерность которых совпадает
с размерностью вектора Uj|, являются функциями координат;
вектор Us есть вектор обобщенных узловых перемещений рас-
рассматриваемого конечного элемента.
Функции [F&], [Ftf], ..., [Fm|] должны быть выбраны так,
чтобы при подстановке координат i-ro узла в соотношение B.4)
компоненты вектора u (Elt ?2. ?з) принимали значения компонент
вектора Ui6 обобщенных перемещений i-ro узла рассматриваемого
конечного элемента (i = 1, 2, ..., т).
„ Предположим, что функции F^ (%lt l2, ?3) (i = 1, 2, ..., m)
известны, т. е. известна зависимость B.4) для каждого конечного
элемента.
Обобщенные деформации в Aи Еа, 1з) в любой точке конеч-
конечного элемента всегда связаны с обобщенными перемещениями этой
точки дифференциальной зависимостью
в (Ei. Ei. Ea) = [?J«(Ei. Ei. Ea). B-6)
где [L ] — дифференциальная матрица, определяемая для каждой
конкретной задачи согласно теории упругости.
Подставив соотношение B.4) в зависимость B.6), получаем
в (Ei. Ei. Ea) = [B(Ei. Ei. Ea)]Ue, B.7)
где
Ш(Еь Ei. ЕЛ! = IL] [F(Ex, Ei. Ев)!- B-8)
Соотношение B.7) связывает обобщенные деформации в любой
точке конечного элемента с узловыми обобщенными перемещениями
этого элемента. Так как функции [Fjj A1г |а, l3)] (i = 1, 2, .... т)
считаем известными, то с учетом соотношения B.8) можно опреде-
определить матрицу [В (?1( Еа, 1з) 1 простым дифференцированием.
Для упругого материала обобщенные напряжения связаны
с обобщенными деформациями соотношением
О (Ei. Ei. Ea) = ID) {8 (Ei, Ei. Ea) - M. B-9)
где [D] — алгебраическая матрица (матрица упругости), опреде-
определяемая для каждой конкретной задачи согласно теории упру-
упругости; Bt — начальная деформация (в частности, температурная).
Подставив B.7) в B.9), получаем соотношение
от (Ь, ?„ |8) = [D] В [(?lf Ь, |зI Щ ~ [D] *и B.10)

14 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
связывающее обобщенные напряжения в любой точке рассматри-
рассматриваемого конечного элемента с обобщенными узловыми перемеще-
перемещениями этого элемента.
Потенциальная энергия деформации конечного элемента
B.11)
где V — объем конечного элемента.
Подставив соотношения B.7) и B.10) в формулу B.11) и учи-
учитывая, что
ет=Щ[В]\ B.12)
получим
n = -±-Ul(j[B]r[D][B]dV\lJl—lTUl§[B)r[D]stdV. B.13)
Предположим, на конечный элемент действуют обобщенные
поверхностные q6 (%lt ?2, |3) и объемные р6 (Ъи ?2, ?3) нагрузки,
положительные направления компонент которых совпадают с по-
положительными направлениями локальных осей O'?ft (k = 1, 2, 3).
Тогда работа внешних сил, сил инерции и реакций, приложенных
к узлам рассматриваемого конечного элемента:
где А — площадь поверхности, конечного элемента; р — плотность
материала; т — время.
Подставив соотношения B.1) и B.4) в B.14), получаем
Р = -i-U5T[Яв]Щ + -i- U&6--i-Щ§[В?[D]«dV-
v
B.15)
Приравняв работу внешних нагрузок и реакций B.15) потен-
потенциальной энергии деформации B.13), находим матрицу реакций
j B.16)
матрицу масс
l B.17)

Постановка задач статики, динамики и теплопроводности 15
и вектор
QQ + Q+Q B.18)
где QP5 — вектор, обусловленный действием массовых нагрузок:
B.19)
— вектор, обусловленный действием поверхностных нагрузок
B.20)
—r- вектор, обусловленный действием температурных нагрузок
B.21)
Матрицы [В] и [F] в общем случае являются функциями
координат %1у 12 и ?з- Интегрирование выражений B.16)—B.17)
и B.19)—B.21) позволяет вычислить определяющие матрицы и
векторы для конечных элементов.
Уравнение теплопроводности, описывающее нестационарный
тепловой режим в трехмерном теле, имеет вид
стртг = Х(-^ + -^г + -^-)+7У, B.22)
где ст — средняя удельная теплоемкость материала, Дж/(кг-К);
р — плотность материала, кг/м3; Т — температура, К; т — время,
с; X — теплопроводность материала, Вт/(м-К); х, у, z — коорди-
координаты, м; qv — мощность внутренних источников теплоты, Вт/м3.
Начальными условиями для уравнения B.22) являются зна-
значения температуры Т (х, у, г) тела при т = 0. Граничные условия
могут быть трех видов.
1. Если температура известна на некоторой части поверх-
поверхности тела площадью S, то
Т = Г (s, т). B.23)
2. Если на некоторой части поверхности тела площадью Sq
задан тепловой поток,
*=(-?-)+*»=<>. <2-24>
где п — координата по внешней нормали к поверхности, м; qn —
плотность теплового потока, который считают положительным,
если тело теряет теплоту, Вт/ма.
3. Если на некоторой части поверхности тела площадью Sa
происходит конвективный теплообмен, то
^(Т-Тао) = 0, B.25)

16 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); Too — температура
окружающей среды, К.
Один из способов решения краевых задач теплопроводности —
минимизация соответствующего функционала на множестве функ-
функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи. В отличие от
функционала Лагранжа, имеющего механический смысл, функцио-
функционал для задачи теплопроводности не имеет очевидной физической
интерпретации. С вариационной точки зрения решение урав-
уравнения B.22) с необходимыми граничными условиями B.23)—B.25)
эквивалентно нахождению минимума функционала:
V
+ J qnTdS + J a (-i- Г - Г») Т dS. B.26)
Матрица теплопроводности для р-го конечного элемента имеет
вид
[RP] = J [Вру [ВР] dV + j a [W]T [№] d5, B.27)
где [Bp]—матрица, определяемая путем дифференцирования
матрицы [Np] функции формы по х, у и г.
Вектор правых частей разрешающих уравнений для р-го
конечного элемента
vp sp sp
Матрица теплоемкости имеет вид
B.29)
2.2. Реологические свойства материалов
Согласно соотношениям B.10), B.16), B.21) для вычисления
матрицы реакций #6 и вектора Qfg, обусловленного температур-
температурной нагрузкой, необходимо знать матрицу [D] упругости и
вектор et.
Предположим, что рассматриваемое тело изготовлено из орто-
тропного материала, причем оси ортотропии совпадают с локаль-
локальными осями llt 1г, |3 конечного элемента. Тогда зависимость
между деформациями
е = [еи в„ е33 е1а е23 е31]т B.30)

Постановка задач статики, динамики и теплопроводности
17
и напряжениям*
имеет вид
где
га-
[
о =
1
V21
0
0
0
[°11 <*22 СТ33
= № м р
~~Ej ~
1
Е,
V32
0
0
0
з* 0
V23
?»
1
0
0
0
С28 *31
0 0]т
0
0
0
1
0
0
]Т
)
0
0
0
0
1
G2S
0
о"
0
0
0
0
1
B.31)
B.32)
B.33)
B.34)
Здесь аг!, xtl — компоненты тензора напряжений (их положитель-
положительные направления показаны на рис. 2.2); рг—температурные
коэффициенты линейного расширения; Et — модули упругости;
vtj — коэффициенты Пуассона; Gi} — модули сдвига; t — тем-
температура.
При этом должны быть выполнены соотношения Etvjt = E/vtj-
Из выражения B.32) следует, что
. o = [D](E-Et), B.35)
где [D] = [С] — матрица упругости ортотропного материала.
Для изотропного материала в соотношениях B.33) и B.34)
необходимо принять р( = р, v^ = v, Et = Е, Gi} = G, причем
G = 0,5?/(l + v).
В явном виде матрица [D] имеет вид
[D] = Е-
где ?•=?/[(! +v)(l — 2v)].
1-V
V
V
0
0
0
V
1 -V
V
0
0
0
V
V
1 -V
0
0
0
0
0
0
1—2v
2
0
0
0
0
0
0
1—2v
2
0
0
0
0
0
0
l-2v
п

18
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Предположим, что мате-
материал вязкоупругий и его поведе-
поведение описывается линейными на-
наследственными соотношениями
Больцмана — Вольтерра с инте-
интегральными разностными ядрами,
подчиняющимися условию зам-
кнутого цикла. Тогда физиче-
физические свойства материала могут
быть описаны с помощью ком-
комплексного модуля
действительная и мнимая составляющие которого определяются
формулами
ER = (l-Tc)E; Er = TsE,
где Гс и Г3 — косинус- и синус-преобразования Фурье ядра R (f):
Гс = J R (г) cos coz dz;
Г8 = J R (г) sin сог dz.
Предположим также, что объемная деформация чисто упругая,
т. е. модуль объемного сжатия является постоянной величиной:
?/A — 2v) = ?/A — 2v).
Тогда комплексный коэффициент Пуассона
v = 0,5 [1 — A — 2v) Ё/Е]
и комплексный модуль сдвига
G = 0,5?УA + v).
Таким образом, формально можно считать, что для вязкоупру-
гих тел справедливы физические соотношения линейной теории
упругости, в которых упругие константы заменены их комплекс-
комплексными аналогами.
Поведение нелинейноупругого материала описывается соот-
соотношениями теории малых упругопластических дефо рмаций Илью-

Постановка задач статики, динамики и теплопроводности 19
шина [5]. При этом зависимость между интенсивностями напря-
напряжений
X У( ? + ( ) + ( ? + +
B.36)
и деформаций
, ««= -V-х
X У (вц - е22J + (е22 - еззJ + (езз - е„J +§• е?2 +J е|з +1- b|i
B.37)
описывается функцией Oj = at (е4), не зависящей от типа напря-
напряженного состояния, поэтому для ее определения используем диа-
диаграмму растяжения образцов материала а = а (е). По этой диа-
диаграмме и по формулам, приведенным в работе [5], получаем
ot = о; г, — е — A — 2v) a/CE). B.38)
При этом секущий и касательный модули
р __ <г< (в<) . & _ doj (е;) /0 oqv
?° 57~' к ШГ~' ^ '
Введя обозначения е0 == вц + ем + е883 о0 = (ап + а22 +
+ <*8з)/3;
/С = ?/[3A— 2v)]f
согласно теории малых упругопластических деформаций [5]
получим
cro-=3/Ceo; <Ju = -^-e12;
откуда
8ц = -щ- (On + огй + Стае) + "^- (<7ц - 4" СТ22 - 4" ста>) ' B-40)
Линеаризуем эти зависимости с помощью метода Ньютона—
Рафсона. Для этого представим выражение B.32) в виде
в + 6е = в + [С] 6о, B.41)

20
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
где
дап
<?е22
<?ец
да32
<?е2,
дОаа
7z
дг
_дап
Считая два последующих приближения достаточно близкими,
с учетом соотношений е<5+1) = е<5> + бе; аE+1> = <х<5> + бст из
B.41) получим итерационные соотношения
8<s+') = еE) + [С<5)] (а<я+') — <x(s)). B.42)
Определим элементы матриц [С<5>], опустив для простоты
индекс s, соответствующий номеру итерации. Согласно выраже-
выражениям B.40)
B.43)
[С]=97г[С0]
-&-1С0] + [Са].
где
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
" 2
— 1
— 1
О
О
О
—1
2
—1
О
О
О
—1
—1
2
О
О
О
О
О
О
6
О
О
О
О
О
О
6
о
= ап — 0,5а22 — '
54 = Зт12; <>5 =
dah \ Ес
= 3);
= 3т.
31.
Учитывая выражение для интенсивности напряжений B.36)
и обозначения B.31), B.39), находим
д / 1 \ = _а_ /_1_\ = _d_ /_et_\ _dat_ = /J_ det_ _
дох \ Eo J dau \ Ec ) dat \ at J дахх \ ot dat
2au — ааа — а,,
/ 1 N _ б / 1 \ _ d /6; \ aat _ / 1 &t в|_\ Згу _
4 V ?0 / ат12 V Ec J ~ doi V Oj / дт12 ~ \ at dat „2 / at ~

Постановка задач статики, динамики и теплопроводности 21
Таким образом, элементы матрицы [Са] в соотношении B.43)
вычисляем по формуле
^ЫЬ) B-44)
Из соотношений B.42) следует, что
e(H-i) = [С<*>] a(s+D + 8t, B.45)
где e<s> = e<s> — [С<5>] a<s>.
В нулевом приближении, когда ?с0) = ?к0) = 1,5?/A + v);
е@) = 0; ot0) = 0, элементы матрицы [Са] в соотношении B.43)
согласно B.44) тождественно равны нулю, и матрица С@) пере-
переходит в матрицу B.34) упругости для изотропного материала.
Соотношение, обратное B.45), имеет вид
<т<Н-П = [D<s>] (e<s+i> — e<s>), B.46)
где [D<*> ] = [C<*> I.
2.3. Локальные и глобальные системы координат
Применение МКЭ к расчету произвольных конструкций при-
приводит к моделям, включающим различные конечные элементы,
соединенные в узлах. Для описания конструкции используем
глобальную правую систему прямоугольных координат Охгх2х3,
жестко связанную с конструкцией, а также вспомогательные
локальные оси.
Любой t-й узел конструкции характеризуется совокупностью
векторов Vj (например, перемещений, внешних нагрузок и др.)
размерностью, равной числу принятых степеней свободы в одном
узле. Конечные элементы характеризуются совокупностью матриц
[К] (например, реакций, масс) и векторов V, скомпонованных
из элементов V4. Перечисленные характеристики могут быть
определены как в глобальной (V, t/Cl), так и в локальной (V,
[/С' 1) системе координат, причем для перехода от одной системы
к другой используют соответствующие формулы перехода.
Очевидно, для одного узла
где [То] — матрица преобразования, определяемая в каждом
конкретном случае из геометрических соображений.
Аналогично для одного конечного элемента
V = [Г] V; V = [Г]т V, B.47)
где [Т]—блочно-диагональная матрица преобразования, бло-
блоками которой являются матрицы [Го].

22
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Для произвольной матрицы [/(] справедливо соотношение
B.48)
Дискретизацию конструкции проведем так же, как в под-
разд. 2.1. При этом свяжем с t-м узлом правую прямоугольную
систему координат О'т]гт]2т)з (рис. 2.3). Начало координат поме»
стим в произвольную точку (назовем ее центром) узла, оси 01цк
(k = I, 2, 3) направим параллельно глобальным осям 0Xh. Коор-
Координаты центра t-ro узлового элемента в глобальной системе
OXiX2Xs обозначим х{, х{, х{.
Введем правую прямоугольную систему координат О'^СгСаСз.
начало которой поместим в точку 0*1 соединения /-го локального
узла (/ = 1, ..., т) р-то конечного элемента с t-м узлом, оси O'/?ft
(k — I, 2, 3) направим параллельно осям 0Xh, а следовательно,
осям О'т)ь. Координаты точки 0(! в системе О'т^Ла'Пз обозначим
Л{, Ц2, vlH
С /-м локальным узлом р-то конечного элемента свяжем правую
прямоугольную систему координат О^^з (рис. 2.4), начало
которой разместим в центре /-го локального узла. Предположим,
эта система координат расположена относительно системы O'^i^iCs
так, что оси О1^, 0^ и О^3 имеют направляющие косинусы со-
соответственно:
thl = cos (U, ?i);
tk2 = cos (Cfe, |2);
thS = COS (Cft, Is)-
Тогда формулы преобразования, связывающие координаты
Ci, С2. Сз с координатами ?х, |2, |3 в /-м локальном узле р-го ко-
конечного элемента, согласно B.47) имеют вид

Постановка аадач статики, динамики и теплопроводности 23
где
6 =
?2
UsJ
[То] =
Пи tlt hi
B.49)
Пример. Определить направляющие косинусы для локальной системы коор-
координат O'lil2ia прямолинейного стержня (см. рис. 2.4).
Для определенности поместим точку О' в центр тяжести торцового сечения
стержня, принятого за его начало; ось Ogi направим от начала (точка О') к концу
(точка О") стержня, оси О'бг и О'?з — вдоль главных осей инерции поперечного
сечения. Положение стержня в пространстве определим координатами х[, х2, х'3
его начала (точка О'),х\,х\, х^ конца (точка О") и х\", х'2", х'ъ" произвольной
точки О", ие лежащей иа одной прямой с точками О и О" так, чтобы указан-
указанные точки лежали в плоскости, в которой лежит одна из главных осей инерции
сечения стержня О'\9.
Определим элементы матрицы То направляющих косинусов для осей, пока-
/"з
занных иа рис. 2.4. Зиая длину t = 1 / 2 (¦** — x'kJ отрезка» находим его
» *=1
направляющие косинусы
tn = (xt-xt)ll (l=U 2, 3). B.50)
f 3
По длине /" = 1 / E (** ~ х'Л2 отрезка О'О" находим ее направляющие
У fc=i
косинусы
После этого вычисляем направляющие косинусы оси
tl2 = atlV^a\ + а\ + а\ (i=\, 2, 3), B.51)
где ах = /2"'з1 — 'з"*21> а2 = 'з"'п — 'i"*si! аз = 'i"'2i — ^"'u-
Тогда направляющие косинусы оси O'ia
I — t I f f . f —. f f f f . f — f j f i B 52)
Таким образом, если известны координаты точек О', О", О", определяющих
положение стержня в глобальной системе координат, то формулы B.50)—B.52)
однозначно определяют направляющие косинусы tij локальных осей О'?; в си-
системе координат O.'?i?2?s-
2.4. Связь между перемещениями локальных
и глобальных узлов
Введем обозначения: u!k\ (k = 1, 2, 3) — перемещения /-го ло-
локального узла р-го конечного элемента вдоль локальных осей О1^
(положительные направления этих перемещений совпадают с на-

24
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
правлениями осей); ф{|
(Л = 1, 2, 3) — углы пово-
поворота /-го локального
узла р-го конечного эле-
мента относительно осей
Ol\h (положительные на-
правления этих углов сов-
падают с направлением
поступательного движения
правого винта при его по-
повороте относительно этих
осей, рис. 2.5). Введем в рассмотрение тривектора перемещений:
U| = [?«2?Из?ф1?ф2?фз?]т — /-го узла р-го конечного элемента
в локальных осях 0^ft; Ug = [ы1ЕЫ2Е«з?ф1Еф2Ефз?]т—/-го узла р-го
конечного элемента в осях 0{'t,h, параллельных локальным
осям 0li)h глобального узла О'; А* = [ы'ыгЫзф'фгфзГ — t'-ro гло-
глобального узла О' в локальных осях O'r\h, параллельных глоба-
глобальным осям ОХк конструкции.
В соответствии с выражениями B.47)
рис- 2.5
B.53)
где
Т1 0
Матрица [Т1] перехода от локальных осей Oiflk конечного
элемента к осям Ol'Xh аналогична матрице [Го] (см. выражение
B.49)). Согласно схеме на рис. 2.5
где
B.54)
Г Е 0
Е =
1 О
О 1
Lo о
о —•
ч."
о -ч('
Подставив соотношение B.54) в выражение B.53) и введя
обозначение
[С<j^J = [л '] [1'], B.55)
получаем зависимость

Постановка задач статики, динамики и теплопроводности
25
между перемещениями /-го локального узла р-го конечного эле-
элемента в локальных осях 0^Л (k = 1, 2, 3) и перемещениями центра
1-го глобального узлового элемента в локальных осях О'цъ (k =
= 1, 2, 3).
2.5. Матрицы и векторы конечных элементов
в глобальной системе координат
Предположим, р-й конечный элемент имеет т локальных узлов
и связан с т глобальными узловыми элементами, имеющими по-
порядковые номера tlt i2, ..., im в глобальной нумерации. Тогда
зависимость между перемещениями
локальных узлов конечного элемента и перемещениями
B.56)
a? =
А'т
B.57)
глобальных узлов, с которыми связан этот конечный элемент,
имеет вид
Up \п 1Т\р /о кя\
где
-[С,,.,] _0 ... О
О [С,,.,] ... О
о
о
Матрицы Ctj вычисляем по формуле B.55), где i = ilt ...,
im; j = 1, ..., т.
В. соответствии с МКЭ [4] матрицы и векторы B.16), B.17),
B.19)—B.21) элементов, вычисленные в локальных системах
координат, преобразуем в матрицы и векторы в глобальной си-
системе координат.
Матрицы реакций и масс р-го конечного элемента в глобаль-
глобальной системе координат соответственно:
т; B.59)
B.60)

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Векторы, обусловленные действием массовых, поверхностных
и температурных нагрузок соответственно:
B.61)
B.62)
B.63)
3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Предварительные замечания
Применение различных численных методов, в частности МКЭ,
для решения задач механики деформируемого твердого тела при-
приводит к разрешающим системам линейных алгебраических урав-
уравнений, которые часто имеют очень высокий порядок (десятки ты-
тысяч). Эти системы являются симметричными, положительно опре-
определенными, разреженными и обычно имеют ленточную структуру.
Для их решения применяют как прямые, так и итерационные
методы. При выборе метода учитывают объем доступной для
пользователя оперативной и внешней памяти ЭВМ, сложность
алгоритма и трудности его программной реализации, объем
вычислений для рассматриваемой задачи.
Для решения малых задач (десятки и сотни уравнений) обычно
используют стандартные программы, реализующие прямые ме-
методы, для решения больших задач (тысячи уравнений) можно
использовать прямые методы с организацией эффективного об-
обмена между оперативной и внешней памятью ЭВМ или с учетом
разреженности обрабатываемых матриц. Для решения уникаль-
уникальных задач (десятки тысяч уравнений) целесообразно применять
итерационные методы.
Преимущество прямых методов в том, что число арифметиче-
арифметических операций, необходимых для получения решения, всегда
конечно и может быть оценено предварительно. К их недостаткам
можно отнести (если не разрабатываются специальные алгоритмы)
неполное использование свойств разреженности матрицы коэф-
коэффициентов.
Преимущество итерационных методов — возможность исполь-
использования свойств разреженности матриц (алгоритм этих методов
не порождает новых ненулевых элементов, и структура матриц
сохраняется). Кроме того, в отдельных случаях применения ите-
итерационных методов можно опустить операцию формирования
глобальной матрицы жесткости системы. Недостатки итерацион-
итерационных методов: медленная сходимость решения для плохо обуслов-
обусловленных матриц (например, при существенно разных характери-

Решеяие систем линейных алгебраических уравнений 27
стиках конечных элементов); увеличение числа обращений к внеш-
внешней памяти ЭВМ.
При разработке проблемно-ориентированных программ* реа-
реализующих прямые методы, целесообразно программно осуще-
осуществлять эффективный обмен информацией между оперативной и
внешней памятью ЭВМ, учитывать ленточную структуру ма-
матрицы жесткости и использовать специальные алгоритмы, исклю-
исключающие все ее нулевые элементы.
3.2. Метод LDU-факторизации
Прямой метод ЬОЬт-факторизации решения систем линейных
алгебраических уравнений является одним из вариантов метода
Холецкого. Рассмотрим алгоритм этого метода. Запишем исходную
систему уравнений в виде
[Л]Х = В, C.1)
где [А ] — симметричная положительно определенная матрица
размерностью п X п; X — вектор решения; В — вектор свободных
членов.
Матрицу [А ] можно представить в виде произведения ма-
матриц: нижней треугольной [L] с единицами на диагонали, диа-
диагональной [D] и верхней треугольной [L]T с единицами на диа-
диагонали матриц, т. е.
[А] = [L] ID] \L]\
После этого преобразования, которое дало название методу,
уравнение C.1) можно решить в два этапа: сначала найти век-
вектор С из уравнения
[L]C = B,
а затем вектор решения X из уравнения
ID] [L]T X =С.
Элементы матриц [L] и [D] и вектора С:
/7-i
U] = 1 aij — Zj l /
V m=l " C.2)
f» = 1;
1-Х
da= au - 2 l2tmdmm; C.3)
l-t
c, = 6,-Sf|»Cn. C.4)
n=4

28
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
m*l
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Соотношения C.2)—C.4) определяют прямой ход по LDU —
факторизации. Обратный ход заключается в вычислении компо-
компонентов вектора X:
xt =
2
m=i+l
tmixm.
C.5)
Необходимо иметь в виду, что суммирование не производится,
если верхний предел суммы меньше нижнего.
Описанный алгоритм расчета предполагает обычную нуме-
нумерацию элементов матрицы [А] порядка п (квадрат на рис. 3.1).
Однако реально ненулевые элементы размещаются в пределах
ленты полушириной т (заштрихована под углом 45°), причем
вследствие ее симметрии достаточно иметь только половину ленты
(заштрихована вертикально), поэтому в программу вводим массив
коэффициентов, включающий только п строк и т + 1 + пг0
столбцов (т столбцов для элементов матрицы [А ], один стол-
столбец — для элементов диагонали матрицы [D ], /п0 столбцов — для
векторов В свободных членов). Кроме того, необходимо добавить
фиктивные нулевые элементы (треугольник, показанный штрихо-
штриховой линией на рис. 3.1).
При составлении программы учитываем следующее: лента из
п (т + 1 + т0) элементов для больших задач, настолько велика,
что не размещается в оперативной памяти ЭВМ, поэтому обра-
обработка матрицы коэффициентов возможна лишь порциями, обеспе-
обеспечивающими полное использование оперативной памяти;
для размещения цифровой информации на пакете магнитных
дисков необходимо организовать рабочий файл REGIONAL A);
обмен информацией между оперативной и внешней памятью
ЭВМ осуществляет процедура WRDSK.
Чтобы найти элементы t-й строки матрицы [L], необходимо
иметь элементы всего заштрихованного на рис. 3.2 треугольника.

Решение систем линейных алгебраических уравнений 29
Пусть в оперативной памяти может
разместиться k строк ленты матри-
матрицы [А]. Если обрабатываемая пор-с',
ция состоит из k строк, то уже вто-
вторая порция не может быть обрабо-
обработана вследствие неполноты имеющей-
имеющейся информации. Оптимальной следует
считать порцию из k/2 строк. Оче-
Очередность вызова и обработки пор-
порций иллюстрирует рис. 3.3.
На i-м шаге, на котором реали-
реализуется вычисление по формулам
C.2)—C.4) прямого хода, в мае- Рис. 3.3
сив АО из рабочего файла считы-
вается нулевая порция необработанных на предыдущем шаге
элементов заштрихованного на рис. 3.3 треугольника. Эта пор-
порция хранится в оперативной памяти до конца i-ro шага. После
обработки указанных элементов в массив А1 поочередно считы-
ваются порции 1, 2, 3, 4 (их число зависит от конкретной задачи)
и обрабатываются элементы матрицы [А ], расположенные в зонах
/1, /2, /3, /4. На (i + 1)-м шаге перечисленные операции повто-
повторяются с той лишь разницей, что вместо нулевой порции исполь-
используется порция 1 i-ro шага.
Алгоритм вычислений по методу 101т-факторизации [по
формулам C.2)—C.4) ] при прямом ходе реализован в виде про-
процедуры LDLF1, заголовок которой имеет вид
LDLF1: PROC (NM, М, NQL, FL, NK);
формальные параметры этой процедуры означают:
NM — число строк в матрице [А ], т. е. порядок п системы
уравнений (для рассматриваемых задач этот параметр вычисляют
как произведение числа узлов на число степеней свободы в одном
узле);
М — полуширина ленты матрицы [А ] (обычно вычисляется
с помощью специальной процедуры при формировании матрицы
жесткости системы);
NQL — число векторов В свободных членов, равное числу
рассчитываемых вариантов нагружения рассматриваемой кон-
конструкции;
FL — имя рабочего файла на пакете магнитных дисков, в ко-
котором размещаются коэффициенты системы уравнений в виде
массива А2 (NM, М + 1 + NQL), причем М столбцов отводится
под нижнюю половину ленты матрицы [А ], один — для ее диа-
диагонали, NQL — для векторов свободных членов;
NK — объем оперативной памяти ЭВМ, доступный заданию
для размещения цифровой информации..

30 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
В результате реализации процедуры LDLF1 из предварительно
заполненного файла FL порциями считывается массив А2, кото-
который после преобразования по формулам C.2)—C.4) вновь запи-
записывается в файл FL, но здесь уже М столбцов соответствует ма-
матрице [L], один—диагональным элементам матрицы [D],
NQL — векторам С для каждого нагружения. Обратный ход по
методу 1/Iт-факторизации в соответствии с формулой C.5) осу-
осуществляется процедурой LDLF2, заголовок которой имеет вид
LDLF2: PROC (NM, M, NQL, IN, NR, NK, FL, DR);
Не описанные ранее формальные параметры означают:
IN — порядковый номер нагружения (для каждого варианта
нагружения матрицы [L ] и [D ] сохраняются, изменяются лишь
векторы С, поэтому обратный ход для каждого нагружения вы-
выполняется отдельно);
NR — применительно к МКЭ это число узлов для рассматри-
рассматриваемой расчетной схемы конструкции;
DR (NR, N1) — массив искомых неизвестных (компонент пере-
перемещений всех узлов конструкции); N1 — число компонент пере-
перемещений в одном узле, т. е. фактически вектор решения X с числом
элементов NR*N1 представлен в виде двумерного массива DR.
Здесь порциями, соответствующими всей доступной оперативной
памяти, обрабатывается информация из файла FL, заполненного
процедурой LDLF1 на предыдущем шаге расчета.
На этапе формирования матрицы жесткости системы в ра-
рабочий файл на пакете магнитных дисков записывается только
нижняя половина ленты без учета свойства разреженности.
Для оценки необходимого объема fx рабочего файла в байтах
можно использовать формулу
/х = Ы A + т + т0).
Например, если рабочий файл имеет 10 Мбайт, в нем можно
разместить полуленту матрицы жесткости системы, имеющую
более миллиона элементов.
При разработке объектно-ориентированных программ, как
правило, достаточно только оперативной памяти ЭВМ, поэтому
применять описанные процедуры решения систем уравнений не-
нерационально. Для таких случаев разработаны две специальные
процедуры, основанные на методе /ЛЭ/Лфакторизации. Первая
из них имеет заголовок
FACTB: PROC (N, М, А, В, X);
формальные параметры этой процедуры означают!
N — порядок системы уравнений;
М — полуширина ленты матрицы коэффициентов;

Решение систем линейных алгебраичесщнх уравнений 31
A (N, М + 1) — нижняя половина ленты матрицы коэффи-
коэффициентов системы;
В (N) — вектор свободных членов;
X (N) — вектор решения.
Эта процедура обеспечивает решение систем уравнений для
задач, при решении которых нет необходимости использовать
внешнюю память ЭВМ, но приходится учитывать ограниченность
оперативной памяти.
Вторая процедура имеет заголовок
FACT1 :PPOC(N, А, В, X);
Здесь формальные параметры те же, что в процедуре FACTB,
за исключением A (N, N) — матрицы коэффициентов системы.
Эту процедуру применяют при решении задач, в которых вопросы
экономии оперативной памяти не возникают и для простоты алго-
алгоритма удобнее формировать полную матрицу коэффициентов [А].
3.3. Метод Гаусса
При решении системы уравнений C.1) методом Гаусса матрица
[А ] путем арифметических операций над ее строками приводится
к верхней треугольной матрице [U], а вектор В — к вектору С.
Порядок исключения неизвестных следующий: на t-м шаге i-e
уравнение умножается на (o/i)i_i/(aii)i-i и вычитается из /-й
строки, где / принимает значения I + 1, i + 2, ..., п, а индекс
(i — 1) означает, что коэффициенты а берутся для преобразован-
преобразованной на предыдущем шаге решения системы. Матричное уравнение,
полученное в результате прямого хода по Гауссу, принимает вид
[U] X = С. C.6)
Его решение — обратный ход по Гауссу — не представляет за-
затруднений. Значение хп получается из последнего (n-го) уравнения
системы C.6). Подстановка хп в (п— 1)-е уравнение дает значе-
значение хп_г и т. д. Другими словами, решение получаем в виде
В программе, реализующей метод Гаусса, обрабатывается
полная лента матрицы коэффициентов системы (см. рис. 3.1).
Для осуществления t-ro шага необходимо иметь т -\- 1 строку
(заштрихованная область на рис. 3.4). Поскольку не всегда эти
строки могут разместиться в. оперативной памяти, их обработку
осуществляют порциями. Размер порции ограничен доступным
объемом оперативной памяти, шириной ленты матрицы и приня-
принятым алгоритмом обработки порций, сущность которого заклю-
заключается в следующем.

32
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
\\\
Рис. 3.4
Рис. 3.5
На /-м шаге реализации процедуры прямого хода по Гауссу
в массив В из рабочего файла считывается первая порция не пол-
полностью обработанных элементов (заштрихованная область на
рис. 3.5). Первую половину ленты переписываем в массив А и
сохраняем до конца t-го шага. Элементы массива А с учетом свой-
свойства симметрии матрицы жесткости служат исходной информа-
информацией для обработки последующих порций на i-ы шаге.
После обработки всех строк порции 1 последняя в преобразо-
преобразованном виде записывается в рабочий файл. Далее последовательно
считываются порции 2, 3, 4, 5 (их число зависит от конкретной
задачи) и преобразуются строки, расположенные в зонах 12, 13,
/4, /5. На (i -f- 1)-м шаге перечисленные операции повторяются
с той лишь разницей, что вместо порции 1 используется порция 2
{-го шага.
Алгоритм вычислений по методу Гаусса при прямом ходе
реализован в виде процедуры GAUS1, заголовок которой имеет вид
GAUS1: PROC (NM, М, NQL, FL, NK);
Здесь формальные параметры те же, что и в процедуре LDLF1
(см. подразд. 3.2). Отличие в том, что в файле FL размещаются
коэффициенты системы уравнений в виде массива А2 (NM, —М :
М + NQL). В результате выполнения процедуры GAUS1 из
предварительно заполненного файла FL порциями считывается
массив А2, который после преобразования вновь записывается
в рабочий файл (при этом левая половина ленты оказывается об-
обнуленной).
Обратный ход по Гауссу осуществляется с помощью процедуры
GAUS2, заголовок которой имеет вид
GAUS2: PROC (NM, M, NQL, IN, NR, NK, FL, DR);
Здесь формальные параметры те же, что в процедуре LDLF2.
При выполнении процедуры GAUS2 информация из файла FL,
заполненного процедурой GAUS1 на предыдущем этапе расчета,

Решение систем линейных алгебраических уравнений 33
обрабатывается порциями, соответствующими всей доступной
оперативной памяти.
Таким образом, на этапе формирования матрицы жесткости
системы в рабочий файл на пакете магнитных дисков записывается
полная лента матрицы без учета свойства разреженности. Для
оценки необходимого объема /а рабочего файла в байтах можно
использовать формулу
f2 = Вп A + 2т + т0).
Разработаны две процедуры, аналогичные по назначению
процедурам FACTB и FACT1, и имеющие заголовки
BANDS: PROC (N, М, А, В, X);
CROUT: PROC (N, А, В, X);
Формальные параметры этих процедур те же, что у процедур
FACTB и FACT1. Они обеспечивают решение методом Гаусса
систем уравнений соответственно с ленточной и полной матрицей
коэффициентов.
3.4. Модифицированный метод Гаусса
Некоторые задачи (динамики, нестационарной теплопровод-
теплопроводности и др.) сводятся к решению систем линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений вида
где матрица [А ] не зависит, а вектор В зависит от времени. В прин-
принципе такую систему можно решить описанным методом на каждом
шаге времени. В этом случае затраты времени на каждом шаге
пропорциональны ntv?. Целесообразнее разделить процесс пря-
прямого хода по Гауссу на два этапа: на первом преобразуется ма-
матрица [А ], на втором— вектор В в вектор С. Время решения на
этих этапах пропорционально ппР и пт соответственно. Обратный
ход по Гауссу осуществляется обычным путем (см. подразд. 3.2).
Реализация прямого хода по Гауссу проводится один раз
с помощью процедуры GAUS1 (см. подразд. 3.2), при обращении
к которой идентификатору NQL необходимо присвоить значение,
равное нулю, а в файле FL разместить лишь коэффициенты системы
уравнений в виде массива А2 (NM, —М : М). Второй этап пря-
прямого хода по Гауссу и обратный ход осуществляются с помощью
процедуры GAUS3, заголовок которой имеет вид
GAUS3: PROC (NM, M, FL, FT, NK);
Здесь формальный параметр FT (NM) представляет собой на
входе вектор правых частей В (т), на выходе—вектор решения
Х(т).
2 П/р В. И. Мяченкова

34 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Модифицированный метод Гаусса дает на каждом шаге по
времени (за исключением первого) выигрыш в т раз, что позволяет
эффективно использовать его при решении нестационарных задач
механики деформируемого тела и теплопроводности.
3.5. Использование свойств разреженности матриц
при решении систем линейных алгебраических уравнений
При анализе НДС элементов конструкций с помощью М КЭ
приходится решать систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) вида
/C = F, C.7)
где [К] — глобальная матрица жесткости системы; и — вектор
неизвестных перемещений узлов; F — вектор узловых нагрузок.
Важнейшими из специальных свойств матрицы [К] являются;
симметрия относительно главной диагонали, положительная опре-
определенность и высокая степень разреженности (последнее означает,
что лишь незначительная часть элементов матрицы отлична от
нуля). Эти свойства позволяют создать специальное математиче-
математическое обеспечение, ориентированное именно на работу с матрицами,
имеющими перечисленные свойства, что резко повышает эффек-
эффективность таких программ по сравнению с программами общего
назначения.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
[1, 3, 7, 11, 13] можно подразделить на две группы: прямые и
итерационные. Прямые методы позволяют получить решение за
конечное число арифметических операций, итерационные дают
лишь последовательность приближений к решению. Свойства
симметрии и положительной определенности матрицы жесткости
предопределяют выбор прямого метода, например метода Холец-
кого или его разновидности — метода LZ)//-факторизации. Эф-
Эффективная программная реализация различных вариантов метода
Холецкого, ориентированная на применение МКЭ, дана в ра-
работе [3].
Итерационные методы достаточно эффективны при решении
конечно-разностных СЛАУ, матрицы которых имеют весьма спе-
специальные структуру и спектральные свойства. Метод сопряжен-
сопряженных градиентов (МСГ) [2, 10] нельзя отнести безоговорочно
к первой или второй группе, поскольку, будучи итерационным
по характеру вычислительного процесса, он дает (при отсутствии
погрешностей округления) точное решение за число шагов, не
превышающее размерности задачи. Однако наличие погрешностей
округления в реальных расчетах на ЭВМ сводит на нет эту его
особенность. Спектральные свойства конечно-элементных матриц
обычно обеспечивают достаточно быструю сходимость МСГ: число

Решение систем линейных алгебраических уравнений
35
итераций для получения решения с тремя-четырьмя верными
знаками часто в несколько раз меньше теоретического.
Метод ??>/,т-факторизации основан на представлении исход-
исходной симметричной матрицы [К] системы C.7) в виде произведения
трех матриц [3, 10]:
1К]= IL] ID] IL]\ C.8)
где [L ] — нижняя (левая) треугольная матрица с единичной
диагональю; [D ] — диагональная матрица.
Рассмотрим процесс получения разложения C.8). Пусть ма-
матрица [/(] порядка N имеет вид
[*] =
U
C.9)
Здесь du = «ц; vx — вектор-столбец: vx = [«21, ^gl
[Ях! — подматрица:
«22
— часть матрицы, симметричная относительно главной
диагонали.
Нетрудно проверить, что справедливо разложение
1 О
dn
0
0. . -0
— Vi
о
1
о
о
, C.10)
где V.! — единичная матрица порядка N — 1.
Введя обозначение
dn 0 ... 0
0
. — v,v
VI
C.11)

36 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
получим аналогичное разложение для матрицы IKih
1Кг] = IL,] [Кж] ILa]T. C.12)
Через N шагов получается матрица 1К^], которая, очевидно,
является диагональной. Разложение примет вид
[К] = [Lt] [L2] ... [LN] [KN] [Iw]w ... [L2f [Ц\\ C.13)
Введя обозначения!
[L] = [Lx] ... [LN]\ C.14)
ID] = [КЛ C.15)
получим разложение C.8).
В данном варианте алгоритма матрица вычисляется слева
направо (столбец за столбцом) путем деления текущего столбца v4
на диагональный элемент d» и последующего вычитания из пра-
правой подматрицы [Ht] внешнего произведения VjvJ/d,-,-, вследствие
чего этот алгоритм называют «алгоритмом в форме внешних про-
произведений» [3]. Применяют и другие алгоритмы (скалярных про-
произведений и окаймления). Однако их реализация по формуле
C.8) для разреженных матриц нецелесообразна [14]. В дальней-
дальнейшем рассматриваем только алгоритм внешних произведений.
Приведем фрагмент программы (на языке ПЛ-1), реализующей
этот алгоритм:
DO J=l TO N=1;
DO I=J+1 TO N;
W=K (I, J)/K (J, J);
DO L=I TO N;
K(L, I)=K(L, I)-W*K(L, J);
END;
К (I, J)=W;
END;
END;
В результате выполнения этой программы на месте нижнего
треугольника матрицы [К] C.9) получаем множитель [L], на
месте диагонали — диагональ матрицы ID ]. Верхний треугольник
матрицы остается без изменений.
Получив разложение, путем прямой и обратной подстановок
можно найти решение СЛАУ C.7). Вычисления выполняются
в следующем порядке:
решается система с нижней треугольной матрицей
[L]z = F; C.16)
осуществляется N делений:
г; C.17)

Решение систем линейных алгебраических уравнений
37
Рис. 3.6
решается система с верхней треугольной матрицей;
[L]Tu = y. C.18)
Приведем фрагмент процедуры, реализующей расчет по фор-
формулам C.16)—C.18). Алгоритм позволяет использовать для хране-
хранения векторов F, z, у, и один массив памяти Р, который после
выполнения алгоритма содержит решение СЛАУ. Текст фрагмента
имеет вид
DO J=l TO N—1;
DO I=J+1 TO N;
P(I)=P(I)-K(I,J).P(J);
END;
END;
DO J=l TO N;
P (J)=P (J)/K (J, J);
END;
DO I=N—1 TO 1 BY —1;
DO J=I+1 TO N;
P (I)=P (I)-P (J) . К (J, I);
END;
END;
Основная арифметическая операция алгоритма внешних про-
произведений — вычисление произведения двух элементов одного
столбца с последующим вычитанием из другого столбца. Пусть
на очередном шаге алгоритма переменные i, /, k имеют текущие
значения соответственно i, /, k. Согласно алгоритму вычисляется
произведение (kij'/djj) ^7 7' котоРое затем вычитается из эле-
элемента kjj, результат заносится в ячейку kjj (рис. 3.6). Если
элемент kjj был равен нулю, он станет отличным от нуля (при
условии, что kjj Ф О и kjj Ф 0). Таким образом, происходит
заполнение матрицы новыми ненулевыми элементами (ННЭ), в

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
результате чего резко увеличиваются затраты памяти ЭВМ.
Если, например, матрица [К] имеет отличные от нуля лишь пер-
первые столбец, строку и главную диагональ, соответствующий тре-
треугольный множитель [L ] целиком заполняется ННЗ под главной
диагональю:
'уттп
1
* 1 О
* 1
1.
Здесь и далее звездочками в матрицах отмечено положение не-
ненулевых элементов.
Если в рассмотренной матрице [К] выполнить симметричную
перестановку, сделав первые строку и столбец последними, за-
заполнения матрицы [L] не произойдет!
1
1
О
* * * . . . 1.
Таким образом, рациональная симметричная перестановка
строк и столбцов исходной симметричной матрицы [К] может
привести к уменьшению числа ННЭ, возникающих в матрице [L]
в процессе разложения. Таких перестановок, очевидно, суще-
существует N1, поэтому путем перебора всех возможных вариантов
нельзя найти оптимальный (дающий минимальное число ННЭ).
К сожалению, задача поиска оптимальной перестановки харак-
характеризуется свойством #Р-полноты [15], поэтому на практике

Решение систем линейных алгебраических уравнений
39
используют какой-либо эвристический алгоритм, с помощью
которого за приемлемое число операций можно найти переста-
перестановку, не слишком сильно отличающуюся от оптималь-
оптимальной [3].
Задача нахождения рациональной симметричной перестановки
строк и столбцов (задача упорядочения матрицы) наиболее на-
наглядно формулируется и решается в терминах теории графов [3].
Пусть дана некоторая симметричная матрица
*
О • Symm
* 0 *
1К]=
* * о о *
* о о * о •
0*0 0 0 . *
Поставим ей в соответствие ненаправленный граф G согласно
следующим правилам: 1) каждой строке (столбцу) соответствует
одна вершина; 2) если некоторый внедиагональный элемент k^
матрицы отличен от нуля, вершины ( и / соединены ветвью; в про-
противном случае ветвь отсутствует (рис. 3.7). Тогда заполнение
матрицы можно «промоделировать», рассматривая только граф.
Действительно, появление ННЭ в ячейке kXm адекватно появле-
появлению в графе еще одной ветви, соответствующей вершинам I и т.
Симметричная перестановка строк и столбцов эквивалентна из-
изменению порядка выбора (исключения) вершин графа в процессе
моделирования разложения.
Существует несколько весьма удачных алгоритмов квази-
оптймальной перенумерации вершин графа [3]. Так, в описывае-
описываемой далее процедуре решения СЛАУ методом LD//-факторизации
использован алгоритм минимальной степени, сущность которого
заключается в том, что на очередном шаге перенумерации из всех
вершин выбирается та, которая в данный момент имеет наимень-
наименьшую степень. Этот алгоритм достаточно сложен, поскольку струк-
структура графа изменяется в процессе перенумерации вследствие
появления новых ветвей.
МСГ был создан и впервые применен для решения систем
линейных алгебраических уравнений с положительно определен-
определенными симметричными матрицами [16]. При отсутствии погрешно-
погрешностей округления точное решение получается за число итераций,
равное разности между размерностью системы и числом кратных
собственных значений матрицы [К]. Общее число мультиплика-

40 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
тивных операций для решения системы с матрицей, не имеющей
кратных собственных значений, составляет (асимптотически при
больших N) куб ее размерности, т. е. (для заполненных матриц)
в шесть раз больше, чем при применении метода LD^-фактори-
LD^-факторизации. Однако практика показывает, что для систем, состоящих
из большого числа одинаковых конечных элементов (или несколь-
нескольких групп одинаковых элементов) сходимость итерационного
процесса резко улучшается, и число итераций, необходимое для
получения решения, может быть в несколько раз меньше теорети-
теоретического значения N.
Алгоритм решения системы C.7) по МСГ имеет вид [2]:
1) принимают т = 0; вычисляют невязку г0 = 1К]щ — F,
где и0 — начальное приближение, принимают Р_х = 0 и q_x = 0;
2) вычисляют направление спуска qm = —rm + pm_iqm_i;
3) вычисляют коэффициент, дающий положение условного
минимума вдоль этого направления: ат = f rm f/(qm [/C1 qm)j
4) вычисляют следующее приближение к решению: Um+x ¦=
= um + ^тЧт',
5) вычисляют новое значение невязки!
C.19)
6) вычисляют коэффициент отклонения направления спуска:
Pm = Irm+1f/||rmf;
7) принимают т = т + 1 и проверяют условие окончания
итерационного процесса. Если оно не выполняется, вычисления
следует продолжить, начиная с п. 2.
Основной недостаток МСГ — сильная чувствительность ско-
скорости сходимости к точности вычисления направлений спуска и,
следовательно, к обусловленности матрицы [/С]. Надежный и
недорогой (по вычислительным затратам) способ улучшить обус-
обусловленность матрицы заключается в ее предварительном нормиро-
нормировании путем приведения к форме с единичной диагональю. Пусть
[W] — некоторая положительно определенная матрица. Решение
системы C.7) можно получить, решив систему
[W] 2[K][W] 2y = iwf 2F C.20)
и приняв u = [W\ 2y. Выберем в качестве [W] диагональную
матрицу, составленную из диагональных элементов матрицы 1К].

Решение систем линейных алгебраических уравнений
41
Тогда матрица системы C.20) примет вид
i_ i^
[W] 2 [K][W] 2 =
1
1
l
C.21)
_У k\lkNN
Такой способ нормирования основан на том, что все круги
Гершгорина [1] становятся концентричными с центром в точке
A,0) на комплексной плоскости. При этом собственные
значения матрицы «сближаются», что и означает улучшение обус-
обусловленности.
Рассмотрим вопрос о прекращении итерационного процесса,
а следовательно, об оценке точности полученного решения. Эф-
Эффективный способ определения момента завершения вычислитель-
вычислительного процесса приведен в работе [10]. Поскольку машинное
представление чисел имеет ограниченную разрядность, вычисле-
вычисления необходимо остановить, когда невязки станут одного порядка
с погрешностями округления. Невязку можно вычислять по фор-
формуле C.19) или по формуле rm = [K\ um — F (определение
невязки).
Теоретически обе формулы должны давать одинаковые ре-
результаты. На практике невязка, вычисленная по формуле C19),
имеет большую погрешность, которая увеличивается с номером
итерации. Вначале невязка имеет осциллирующий характер,
затем начинает резко убывать, однако осцилляции сохраняются.
Уилкинсон и Райнш предлагают оценивать через каждые y/~N ите-
итераций норму разности между невязками, вычисленными по ука-
указанным формулам. Критерий завершения итераций имеет вид
где а = exp (m/NJ (такой выбор значения а обеспечивает завер-
завершение алгоритма даже при очень плохой обусловленности ма-
матрицы).
Выполнение условия C.22) означает, что невязки имеют поря-
порядок погрешностей округления.

42 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Недостаток предложенного метода: он не позволяет регулиро-
регулировать число итераций в зависимости от требуемой точности. Экспе-
Экспериментально установлено, что МСГ дает приблизительно равное
приращение числа верных знаков за равное- число итераций.
Например, если требуется получить всего пять верных знаков,
то при использовании удвоенной точности на ЕС ЭВМ A6 десятич-
десятичных цифр) решение можно получить примерно втрое быстрее, чем
с помощью критерия C.22). В управляющей процедуре решения
СЛАУ с помощью МСГ (см. подразд. 3.8) использован двоякий
критерий завершения итераций. На входе задается переменная
ERROR, ограничивающая допустимое отношение нормы невязки
к норме решения после завершения итераций. Если задано
ERROR = 0, процесс итераций прекращается по критерию C.22),
в противном случае — по условию
ERROR < || rm М| um||. ' C.23)
Практика показывает, что критерий C.23) надежен только
при предварительном нормировании матрицы СЛАУ по формуле
C.21).
3.6. Структуры данных для разреженных матриц
и их графов
Формирование симметричной разреженной матрицы. Структура
данных для хранения разреженной матрицы должна быть такой,
чтобы каждый элемент матрицы был одинаково легко доступен для
записи, считывания, модификации и уничтожения. Этим требо-
требованиям в полной мере удовлетворяет так называемый верхний
связный список, который состоит из пяти одномерных мас-
массивов :
DIAG (N) — (вещественного типа) для хранения диагональ-
диагональных элементов матрицы;
A (NMAX) — (вещественного типа) для хранения ненулевых
элементов слева от главной диагонали (NMAX означает задавае-
задаваемое при распределении памяти число, которое должно быть не
меньше фактического числа ненулевых элементов в левом тре-
треугольнике матрицы);
LIN (NMAX) — (целого типа) для хранения строчных ин-
индексов элементов, содержащихся в массиве А; элементу A (L)
соответствует строчный индекс LIN (L);
NEX (NMAX) — (целого типа) для хранения указателей на
следующий ненулевой элемент в данном столбце;
ROW (N — 1) — (целого типа) для хранения указателей на
первый ненулевой элемент в каждом столбце.

Решение систем линейных алгебраических уравнений
43
Рассмотрим конкретный пример использования верхнего связ-
связного списка для хранения разреженной симметричной матрицы
[К] седьмого порядка (JV = 7):
9
О 18
'утт
4,8 0 33
[К]= О —2,2 —7,7 4,5 . C-24)
3,1 —3,3 0 0 9,2
5,6 0 0 —4,2 0 7,1
О 0,11 0 0 0 0,3 8_
Верхний связный список этой матрицы показан на рис. 3.8
(NMAX = 9). Проследим, как в этой структуре закодирован пер-
первый столбец. Элемент ROW A) = 5 указывает, что первый нену-
ненулевой поддиагональный элемент первой* столбца содержится
в пятой ячейке массива А, а его строчный индекс — в пятой ячейке
массива LIN. Действительно, kai = А E) = 4,8; LIN E) = 3.
Элемент NEX E) = 4 указывает, что следующий ненулевой эле-
элемент столбца содержится в четвертой ячейке массива A: kbl =
= А D) = 3,1, его строчный индекс LIN D) = 5. Элемент
NEX D) = 7 означает, что седьмая ячейка массива А содержит
значение следующего ненулевого элемента данного столбца,
а седьмой элемент LIN — его строчный индекс: kei = А G) =
= 5,6; LIN G) = 6. Наконец, равенство NEX G) = 0 означает,
что список ненулевых элементов первого столбца закончен.
Аналогично построены остальные столбцы. Равенство
ROW E) = 0 означает отсутствие поддиагональных ненулевых
элементов в пятом столб-
столбце. Разумеется, приведен-
приведенный в примере порядок
следования элементов в
массивах A, LIN, NEX A
не является единственно
возможным; он означает
лишь, что элементы по- LIN
ступали в матрицу в по-
последовательности &Б2> &72>
^4» ^JS1> ^81> *7«> ^в1> ^48> ^42-
Верхний связный спи-
список симметричной разре-
разреженной матрицы формиру-
ется с помощью процедуры
ECONGP. В тексте проце- Рис. 3.8
DIAS
3
18
33
4,5
3,2
8
-3,3
0,11
-V
3,1
V
0,3
5,6
-7,7\-2,2
5
7
б
5
6
2
0
0
7
0
0

44 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
дуры дано подробное описание всех формальных параметров. Един-
Единственная особенность этой процедуры в том, что элементы масси-
массивов A, LIN, NEX нумеруются не с единицы, а с —32 768. Это вызвано
ограничениями стандартного транслятора с языка ПЛ-1, который
позволяет адресовать элементы массивов с —32 768 до 32 767.
Если при этих условиях использовать нумерацию с единицы,
будет потеряна половина возможного объема массива. Отметим
также, что процедура работает в режиме «накопления» элемен-
элементов: для занесения каждого элемента матрицы необходимо одно
обращение к процедуре. Если на вход несколько раз поступают
элементы с одной и той же парой индексов (I, J), их значения
суммируются. После каждого поступления элемента с парой ин-
индексов I, J результат помещается в ячейку, в которой хранится
сумма, накопленная при предыдущих обращениях.
Удаление малых элементов и учет однородных граничных
условии. Достаточно часто конечно-элементная модель состоит
из одинаковых (геометрически и физически) элементов либо
нескольких групп таких элементов. В этом случае глобальная
матрица жесткости является результатом суперпозиции несколь-
нескольких групп совершенно одинаковых локальных матриц жесткости.
Поскольку локальные матрицы соседних элементов частично
«перекрывают» одна другую (вследствие наличия у соседних
элементов общих узлов), в глобальной матрице возможны очень
малые элементы, являющиеся результатом сложения двух близ-
близких по абсолютному значению и противоположных по знаку
чисел. Теоретически такие элементы должны быть равны нулю,
но практически вследствие погрешностей округления это далеко
не всегда так. Как показывают результаты численных эксперимен-
экспериментов, таких «лишних» элементов может быть до 20—25 % общего
числа элементов матрицы. Следует выявить и удалить эти эле-
элементы из связного списка, что позволит сократить число арифмети-
арифметических операций и потребность в памяти на этапе решения системы.
С данной задачей тесно связана еще одна. Как известно, гло-
глобальная матрица жесткости является вырожденной; чтобы устра-
устранить ее особенность, необходимо учесть кинематические гранич-
граничные условия, которые физически означают невозможность пере-
перемещения исследуемой ронечно-элементной системы как жесткого
целого. При наличии связей, совпадающих по направлению с гло-
глобальными осями, общепринятым приемом является обнуление
строк и столбцов матрицы, которые соответствуют степеням сво-
свободы с наложенными связями. При этом диагональному элементу
матрицы присваивается значение любого положительного числа
(например, единицы), а в вектор правых частей вносится ноль
[4, 9]. Таким образом, стоит задача удалить из связного списка
элементы строк и столбцов, которые соответствуют однородным
кинематическим граничным условиям.

Решение систем линейных алгебраических уравнений
45
ADJNCY
3
S
6
S
7
}
...
г
t
в
XADJ
7 3 \12 № /7
3
/ 2 3
S 6 7 8
Рис. 3.9
Две поставленные задачи решаются с помощью процедуры
ZEROAP. На вход процедуры поступают массивы, в которых
хранится верхний связный список матрицы, а также массив
LINZER (NLIN), в который должны быть помещены номера уда-
удаляемых строк и столбцов. В процедуре предусмотрены:
распознавание и обнуление малых элементов (малыми считают
все внедиагональные элементы столбца, которые по модулю меньше
соответствующих им диагональных элементов на двенадцать и
более порядков);
упорядочение элементов массива LINZER по возрастанию;
обнуление всех внедиагональных элементов строк и столбцов,
номера которых содержатся в LINZER;
удаление из связного списка всех нулевых элементов.
Следует отметить, что удаление условный термин; в действи-
действительности удаляются лишь ссылки на нулевые элементы.
Формирование списка смежности для хранения графа. Список
смежности графа разреженной симметричной матрицы хранится
в двух массивах целого типа [3]:
^ADJNCY (NMAX »2) — для хранения списка смежности каж-
каждой вершины графа (списки размещаются последовательно в по-
порядке возрастания номеров их вершин);
XADJ (N +1) — для хранения указателей начала списков
смежности всех вершин (значение XADJ (N +1) указывает на
начальный элемент списка смежности несуществующей (N + 1)-й
вершины; это необходимо, чтобы знать окончание списка смеж-
смежности вершины с номером N).
На рис. 3.9 приведены массивы XADJ и ADJNCY для графа,
изображенного на рис. 3.7. Список смежности графа легко фор-
формируется из верхнего связного списка матрицы с помощью про-
процедуры LFADCP. Как и в процедуре ECONGP, адресация эле-
элементов массива ADJNCY производится не с единицы, а с —32 768.

46 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Формирование и хранение треугольного множителя. Опти-
Оптимальная структура данных для хранения треугольного множи-
множителя [L ] существенно отличается от верхнего связного списка,
который удобен при формировании матрицы [К]- Во-первых,
структуру треугольного множителя можно определить заранее
путем моделирования процесса исключения на графе [3] с по-
помощью процедуры SMBFBP. Тогда элементы можно разместить
в вещественном одномерном массиве подряд по столбцам (имеются
в виду только поддиагональные элементы), что исключает необ-
необходимость в массиве указателей NEX. Во-вторых, треугольный
множитель имеет весьма специальную структуру: положение не-
ненулевых элементов во многих столбцах такое же, как в предыду-
предыдущих столбцах, что дает возможность сэкономить память для хра-
хранения строчных индексов [3]. Указанные особенности учитывает
компактная схема Шермана размещения треугольного множителя,
которая состоит из пяти массивов:
DIAG (N) — для хранения диагональных элементов;
LNZ (MAXLNZ) — для хранения поддиагональных элемен-
элементов, которые размещаются подряд по столбцам (MAXLNZ озна-
означает общее число ненулевых элементов в треугольном множителе);
XLNZ (N) — для хранения указателей начала списка смеж-
смежности каждого столбца в массиве LNZ;
NZSUB (MAXSUB) — для хранения строчных индексов не-
ненулевых элементов каждого столбца (MAXSUB означает верх-
верхнюю границу размерности данного массива);
XNZSUB (N—1) — для хранения указателей начала списка
строчных индексов каждого столбца в массиве NZSUB.
Массивы DIAG и LNZ— вещественного типа, XLNZ, NZSUB
и XNZSUB — целого типа.
Рассмотрим в качестве примера хранение матрицы C.24).
В процессе LZ?//-факторизации матрица заполнится ненулевыми
элементами в позициях E,3), F, 3), E, 4), G, 4), F, 5) и G, 5),
поэтому в массиве LNZ следует зарезервировать под них ячейки,
заполнив их нулями перед началом разложения. На рис. 3.10
показана схема хранения данной матрицы по схеме Шермана
(размерности массивов LNZ и NZSUB составляют MAXLNZ = 15
и MAXSUB = 10). В этом примере массив NZSUB короче массива
LNZ всего на пять ячеек, но это лишь следствие малости задачи.
В больших реальных СЛАУ массив строчных индексов более чем
вдвое короче массива LNZ.
Элементы из верхнего связного списка переносятся в схему
Шермана с помощью процедуры LNZIMP. Элементы массивов
LNZ и NZSUB нумеруются с —32768. Поскольку число ННЭ
может в несколько раз превышать число ненулевых элементов
исходной матрицы, массив LNZ должен состоять как минимум
из двух частей: LNZ1 и LNZ2. Если число ненулевых элементов

Решение систем линейных алгебраических уравнений
47
3
18 | 33
9,2
7,1
8
LHZ \%8\з,1\5,в\-2 2\-3,з\0,и\-7,7\ 0 | 0 | 0 |у| О | О | О \оз] ]
I
xlnz | у | * | 7 | ;о
XNZSUB
Ш.
Рис. 3.10
в множителе [L ] не превышает 21в, используется только часть
массива LNZ1, в противном случае — обе части массива. Таким
образом, треугольный множитель может иметь максимально
217 = 131072 элемента.
3.7. Управляющая процедура метода ?ХI,т-факторизации
Управляющая процедура (имя RSLEFP), реализующая ме-
метод LD//-факторизации для решения СЛАУ с разреженными ма-
матрицами, представляет собой программную единицу, объединяю-
объединяющую пять процедур (блоков), каждая из которых имеет один вход
и один выход. Таким образом, принцип модульности проектиро-
проектирования программного обеспечения в данном случае не нарушен.
Необходимость объединения всех процедур в одну программную
единицу продиктована тем, что программа имеет внутреннюю
память, которая выделяется при обращении к блоку RSLEFP0,
модифицируется в блоках RSLEFP1, RSELFP2, RSELFP3 и
уничтожается в блоке RSLEFP4. Поскольку вызывающая (проб-
(проблемно-ориентированная) процедура не должна иметь доступа
к этой внутренней памяти, информационная связь между блоками
может осуществляться только в результате объединения всех
процедур в одну программную единицу. Рассмотрим функциони-
функционирование каждого блока.

48 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Блок RSLEFP0 инициализации. Вызывающая процедура перед
началом формирования матрицы должна сообщить управляющей
процедуре характеристики матрицы. Таких характеристик две
(см. список формальных параметров процедуры RSLEFP в при-
приложении): N — размерность матрицы и ICOEF — приблизитель-
приблизительная (но не с недостатком!) оценка среднего числа поддиагональных
ненулевых элементов в одном столбце матрицы. Априорная оценка
значения ICOEF для конечно-элементных задач не очевидна.
Например, для пластинчатых систем ICOEF » 12 ... 15, для объ-
объемно-элементных ICOEF «22 ... 25. При решении конечно-раз-
конечно-разностной задачи с помощью данной программы оценку получить
гораздо проще. Например, при решении трехмерной краевой за-
задачи для уравнения Лапласа на шаблоне типа «крест» матрица
является семидиагональной и ICOEF = 3.
Функционирование процедуры начинается с проверки пра-
правильности задания параметров N и ICOEF, затем выделяется па-
память под верхний связный список матрицы и некоторые массивы
компактной схемы Шермана. После этого массивам верхнего связ-
связного списка присваиваются начальные значения путем вызова
процедуры ECONGP, и производится возврат в вызывающую
программу.
Блок RSLEFP1 занесения элемента atj. Этот блок предназна-
предназначен для поэлементного формирования левого треугольника и диаго-
диагонали исходной матрицы [/(]. Каждое очередное обращение
к RSLEFP 1 эквивалентно оператору:
K(I, J) = K(I, J) +AIJ,
если матрица [К] хранится в виде двумерного массива. На входе
необходимо задать пару индексов I, J и значение элемента AIJ.
Перед первым обращением к блоку RSLEFP1 предполагают, что
все элементы матрицы имеют нулевые начальные значения.
Работа блока RSLEFP 1 начинается с проверки правильности
задания индексов I, J, после чего происходит обращение к про-
процедуре ECONGP формирования верхнего связного списка разре-
разреженной матрицы. На выходе ECONGP проверяется значение пара-
параметра IND с целью обнаружения факта переполнения массивов
связного списка. Если переполнения нет, управление передается
в вызывающую процедуру, иначе выполнение программы прекра-
прекращается.
Блок RSLEFP2 треугольного разложения. После того как
матрица полностью сформирована, следует выполнить ряд пред-
предварительных преобразований и треугольное разложение. Эти
функции осуществляет блок RSLEFP2 треугольного разложения.
При входе в блок RSLEFP2 следует задать массив LINZER
номеров строк и столбцов, подлежащих удалению из системы

Решение систем линейных алгебраических уравнений 49
(см. подразд. 3.6), а также размерность этого массива NNLIN.
В блоке RSLEFP2 выполняются следующие операции:
удаление из матрицы малых элементов и учет однородных гра-
граничных условий с помощью процедуры ZEROAP;
проверка положительности всех диагональных элементов;
формирование структуры смежности графа с помощью про-
процедуры LFADCP;
перенумерация вершин графа по методу минимальной степени
с помощью процедуры GQMDBP, которая является модификацией
подпрограммы GENQMD [3];
повторное формирование структуры смежности графа, по-
поскольку процедура GQMDBP «портит» массив ADJNCY;
символическое разложение матрицы (выявление позиций ННЭ
в компактной схеме Шермана) с помощью процедуры SMBFBP,
которая является модификацией подпрограммы SMBFCT [3 ];
заполнение компактной схемы Шермана (процедура
LNZIMP) с учетом перестановок строк и столбцов, которые вы-
вычислены процедурой GQMDBP;
/Х>Ьт-разложение матрицы с помощью процедуры HOLTBP,
реализующей алгоритм внешних произведений с учетом того, что
матрица хранится по схеме Шермана.
После выполнения всех указанных операций осуществляется
возврат управления в вызывающую процедуру. Выходной пара-
параметр ICOEF дает оценку среднего числа поддиагональных нену-
ненулевых элементов исходной матрицы; эту оценку можно использо-
использовать для инициализации при последующих решениях задач дан-
данного класса.
Блок RSLEFP3 прямой и обратной подстановок. Полученное
треугольное разложение исходной матрицы позволяет решить
СЛАУ с любой правой частью. В блоке RSLEFP3 согласно фор-
формулам C.16)—C.18) выполняется решение СЛАУ с правой ча-
частью, которая задается при входе в одномерном массиве XX (N).
На выходе из RSLEFP3 этот массив содержит решение СЛАУ.
Прямая и обратная подстановки осуществляются с помощью
процедуры HOLSBP, которая реализует алгоритм, приведенный
в подразд. 3.5, с учетом того, что матрица хранится по схеме
Шермана.
Если необходимо решить несколько СЛАУ с одной и той же
матрицей, но различными правыми частями, следует обратиться
к блоку RSLEFP3 несколько раз, задавая каждый раз соответ-
соответствующую правую часть в массиве XX (N).
Блок* RSLEFP4 освобождения памяти. По окончании работы
блока RSLEFP3 следует освободить оперативную память, зани-
занимаемую массивами компактной схемы Шермана. Это можно сде-
сделать, обратившись к блоку RSLEFP4. Никаких параметров при
этом задавать не следует.

50 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Процедура метода /.?>/,т-факторизации позволяет решать
СЛАУ для конечно-элементных систем, содержащих 200—400 уз-
узлов. Ее следует применять прежде всего для анализа НДС пла-
пластинчато-стержневых систем, а также при различных вариантах
нагружения. Для объемно-элементных систем метод 1?>/Лфакто-
ризация малоэффективен, так как число ННЭ в таких задачах
может превысить число ненулевых элементов исходной матрицы
в 10—12 раз (при этом ограничивается размерность решаемых за-
задач и резко ухудшаются временные характеристики программы).
3.8. Управляющая процедура
метода сопряженных градиентов
Управляющая процедура RSLEGP, реализующая МСГ для
СЛАУ с разрешенными матрицами, аналогична процедуре ме-
метода LD//-факторизации. Первые два блока RSLEGP0 и
RSLEGP 1 и блок RSLFGP4 идентичны соответствующим блокам
процедуры RSLEFP, остальные описаны ниже.
Блок RSLEGP2 нормализации имеет те же входные и выходные
параметры, что и соответствующий блок процедуры RSLEFP.
Его работа состоит из следующих этапов:
удаления из матрицы малых элементов и учета однородных
граничных условий с помощью процедуры ZEROAP;
проверки положительности всех диагональных элементов;
нормирования матрицы по формуле C.21) с помощью про-
процедуры NOPMAP.
После указанных операций матрица СЛАУ целиком подго-
подготовлена для проведения итераций по МСГ. Управление передается
в вызывающую процедуру.
Блок RSLEGP3 итераций предназначен для вычисления реше-
решения СЛАУ. Здесь следует задать четыре входных параметра:
вектор В правых частей, вектор XX начальных приближений
(если начальные приближения неизвестны, следует задать нули),
верхнюю границу ERROR отношения норм невязки и решения,
а также ограничение ITMAX на число итераций. На выходе из
блока последнее приближение к решению находится в векторе XX,
а фактические значения отношения норм и числа итераций равны
соответственно ERROR и ITMAX.
Функционирование блока состоит в проверке правильности
задания значений ERROR и ITMAX и вызове процедуры МСГ
MCGIAP, которая реализует вычисление по формулам C.19)—
C.23).
Управляющая процедура МСГ RSLEGP позволяет решать
СЛАУ для конечно-элементных систем, содержащих до тысячи
узлов. Она наиболее эффективна для. систем, состоящих из не-
нескольких больших групп одинаковых конечных элементов, по-

Типовые конечные элементы
51
скольку сходимость итераций в этом случае достаточно хорошая.
Процедура неэффективна при расчете большого числа вариантов
нагружений, поскольку итерации проводятся каждый раз за-
заново. Ее также не рекомендуется применять для анализа систем
с большим числом различных (по физическим или геометрическим
параметрам) элементов, так как сходимость в этом случае очень
медленная.
4. ТИПОВЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
4.1. Прямолинейные стержни
Деформация прямолинейных стержней. Для определения поло-
положения точки стержня выберем правую прямоугольную систему
координат Охуг, соответствующую введенной в подразд. 2.3 ло-
локальной системе координат O^g^, причем оси у и z — главные
центральные. Перемещения точки стержня, расположенной на
координатной линии х (оси стержня), в направлениях х, у и z
обозначим соответственно и, wy и wz. Углы поворотов поперечного
сечения стержня вокруг осей Ох, Оу и Oz — соответственно <р,
ц>у и <pz. Положительные направления указанных компонент
перемещений показаны на рис. 4.1. Углы поворотов поперечных
сечений стержня связаны с линейными перемещениями соотно-
соотношениями *
d dw ,л 1Ч
DЛ)
dwz
dwv
Осевая деформация еж, относительный угол закручивания %
и кривизны w.y, xz связаны с компонентами перемещений фор-
формулами
_ du dip
« ч^ ** = -ч*- D-2)
Продольная сила N, крутящий М и изгибающие Му, Mz
моменты (внутренние силовые факторы, приведенные к центру
4.2S_ ^_ ЧЛ1
Рис. 4.1

52
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
У,
M+dli
Рис. 4.2
тяжести поперечного сечения стержня) связаны с компонентами
деформации D.2) стержня соотношениями
N = ЕА (ех - аб); М = GJ%;
My = Е1уХу\ Mz = EIzxz, D.3)
где А — площадь поперечного сечения стержня; а — температур-
температурный коэффициент линейного расширения; 8—температура, рав-
равномерно распределенная по длине стержня; GJ — жесткость
стержня при кручении; Е — модуль упругости материала; 1У,
Iz — главные моменты инерции поперечного сечения относи-
относительно центральных осей у и z соответственно.
Положительные направления внутренних силовых факторов,
включая поперечные силы Qy и Qz, показаны на рис. 4.2.
Предположим, на стержень действуют равномерно распреде-
распределенные вдоль его оси нагрузки qx, qy, qz и m, положительные
направления которых показаны на рис. 4.2. Составив уравне-
уравнения равновесия элемента стержня длиной dx, получим
dx
dQy_
dx
n dM . _
= 0; 7te+m==0:
= o- ^Hi_ о — о
' dx ^y :
dMy
' dx z
D.4)

Типовые конечные элементы 53
С учетом соотношений D.2)—D.3) эти уравнения принимают
вид
d2" _ Чх . <*2Ф _ т . /л, гл
d^v_Jv_. d*wz _ дг
dx* ~ Elz ' ~d? ~ Ely ¦
Считая внешние нагрузки постоянными по длине стержня,
путем интегрирования системы D.5) получаем ее решение в виде
D.6)
Постоянные интегрирования At, Bu Сь Dt находим из гранич-
граничных условий на торцах стержня. При этом считаем, что для стержня
длиной / заданы смещения щ, wy0, wz0, щ, wyh wzl и углы поворо-
поворотов ф0, фуо, фг0, фг, фу;, ф2г торцовых сечений, положительные
направления которых показаны на рис. 4.1. Тогда решение D.6)
можно представить в виде
U = «0 + («г — Но) — + ?§д — (^ 1 j-J ;
\ х . ml2 х (л х \
— Фо) — + 2Ш"Т\ ГУ'
Wv= I I —
D.7)
При заданных компонентах перемещений начального и ко-
конечного сечений стержня внутренние силовые факторы в них
#о = Ц- (ut - «о) + Ц-
Qyo = - ^ B^0 + /Фго - 2wyl + /Фгг) + Ц- (у
-т(Фг-Фо) + ^-; D-8)

64
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
— ~ТГ (vWyo + 4/фго
= N0 — qj; Qvi = Qy0 - qvl (y;
— АЛ „_• I /1 / /<<
Матрица реакций стержневого элемента. Рассмотрим стержне-
стержневой элемент, соединяющий t-й и /-й узлы конструкции. Со стороны
этих узлов на стержень в точках О*1 и О11 действуют реакции Rj'
и Rg', положительные направления которых показаны на
рис. 4.3. Компоненты перемещений точек О" и О" контакта lj-то
стержневого элемента с узлами образуют в локальной системе
координат векторы перемещений
D.9)
и{' =
положительные направления которых показаны на рис. 4.4.
В силу линейности поставленной задачи существует однозначная
зависимость между торцовыми реакциями и перемещениями:
QJ'
J'.
где [В11] — матрица реакций:
D.10)
D.11)
Q'J — вектор реакций стержневого элемента в локальной си-
системе координат Cali
Qo' =
D.12)
Нетрудно убедиться, что столбцы матрицы [В11 ] представляют
собой усилия в точках 0*1 и О", обусловленные единичными пере-
4*
R'L
4
ч
Рис. 4.3
Рис. 4.4

Типовые конечные алемеиты 55
мещениями этих точек при отсутствии внешних распределенных
нагрузок, приложенных к стержневому элементу. Вектор Q{J,
как следует из D.10), включает краевые обобщенные усилия, обус-
обусловленные приложенными к стержню внешними распределен-
распределенными нагрузками при нулевых перемещениях точек O'f и О>{.
Сравнив положительные направления внутренних (см. рис. 4.1
и 4.2) и внешних (см. рис. 4.2 и 4.3) геометрических и силовых
факторов, убеждаемся, что
ф«ю = —Фг » 4>yt = —W>
No = — R\qi\ Qvo = —RI'qi I
Qzo = -RilQv D.13)
Mo = —Rmi>
Mzi = —
а направления остальных факторов совпадают.
Заменив в соотношениях D.8) внутренние факторы внешними
D.13), находим элементы матрицы [ВЧ\ D.11) и компоненты век-
вектора <1У D.12). Матрица реакций [В{1] D.11) стержневого эле-
элемента имеет порядок 12, а ее подматрицы — 6. Приведем ненуле-
ненулевые элементы указанных подматриц, опустив для простоты ин-
индекс ij и обозначив элементы каждой из них bTq (r, q = 1 6).
Тогда для [Бп]
. _ЕА ¦ . _ 12EIZ.
0Ц— -j- > 022- р '
l2EIy GJ .
088=—ji—; 044 =T'
_ Ш, . _J?/i. D14)
055 — j > 0вв — } > V '
0«я = Ояа = —м—> 0»r = Овя =
ув2 — —JT~ ' 5 — U58 — /2
ДЛЯ [512]
. _ ЕА. . _ \2Е1г .
0ц — Г' °32 ~ 75— '
^88 = р— : 044 = f
088 = р— > 044 = Г >
2^» . 2?/z
055 =ПГ7Г-' 0<W = —T-» D-10i
02в = — 0в2 = -тг1; 0зб = а5йбз = тг->
[B%1] = [Б12]т; D.16)
О- <соррекць/^ oneVA ,

56 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
для [В22]
t . -22 - /S :
\2Ely m _gj_
—pi; D.17)
028 = °62 = ^2 > °36 == °63 =
Так как подматрицы 1В1±] и [В22] симметричные, симметрич-
симметричной является и полная матрица реакций D.11) прямолинейного
стержня в локальной системе координат.
Подвекторы Q'/ и Q" вектора реакций D.12) имеют вид
.-Ч4,-%,Щ.,%..+3?], D.18)
2 ' 2 ' 2 ' 12 12 J •
При выводе приведенных формул предполагали, что стержне-
стержневой и узловой элементы соединены жестко. Однако на практике
часто встречаются шарнирные соединения стержневых и узловых
элементов, которые не передают одну или несколько компонент
векторов реакций Rg' и Rj' D.10). Поясним, как в этих случаях
корректируются матрица [В1/] и вектор Qtf, компоненты которых
определяются формулами D.14)—D.18). Обозначим компоненты
вектора г = [(Rg;)T (R|')T через гт (т = 1, 2 12), элементы
матрицы [В'1] — через Ьтп т, п = A, 2, ..., 12) вектора и =
= [(Ug')T (U|")T]T — через ит и вектора Q'J — через qm. Тогда
зависимость D.10) можно представить в виде
-| 1- blhuk + • • • + Ь
-\ + bkkuh -\ + К. 12«i2 + Чи, D-19)
Гц = Ьх% !"!+•••+ Ьп> fe«fe + • • • + Ь12, 12«12 + 4l2-
Шарнирное соединение стержневого и узлового элементов
относительно k-ft компоненты вектора г означает, что
Гк = bfti"i -\ Ь ЬкФк -\ h bh, ia«12 + 4k = 0.

Типовые конечные элементы 57
Определив отсюда компоненту uk и подставив ее в зависимость
D.19), получаем
Л = ЬпЩ -\ f- OUk -\ \-bi, 12«12 + <ti\
rkk = Out-\ hOuk | f-Oua
ra = b\2. i"iH h O«ft -\ f- 6u.
или в,матричном виде
г* = [Вк] и + Qj.
Здесь [5* ] и QJ — матрица и вектор, компоненты которых оп-
определяются формулами
Ьктп = Ьтп - bknbmkjbkk (т, п = 1, 2 12); D.20)
<7L = Ят - яФтк1Ькк (т = 1, 2, . .. , 12).
Преобразования, задаваемые формулами D.20), обозначим
[В*]=/?(В); Q$=/J(Qo). D.21)
Если соединение стержневого и узлового элементов таково,
что одновременно равны нулю k-я и 1-я компоненты вектора г,
то в результате двух последовательных преобразований D.21)
получим новые матрицу и вектор реакций:
[В"] = Ш(В))\ QkQl = fU&Qo)). D.22)
Нетрудно убедиться, что
[Вк1] = [В1к]; Qg' = Q^,
поэтому скобки в выражениях D.22) можно не ставить. Так, при
одновременном равенстве нулю k-Pi, /-й, ... и s-й компонент век-
вектора г можно записать
[Вы -•] = /*/{ ... /? (В); Qkol - ' = /ЭД .. . fl (Qo).
Очевидно, матрица реакций, полученная в результате пре-
преобразований, симметрична.
Матрицы масс и сопротивления. Для произвольного стержне-
стержневого элемента матрицы масс [т] и сопротивления [С] вычисляют
по формулам [9]
[m] = pAl[F]r[F]dx; [С] = цЛ } [F]T [F] dx. D-23)
Функции формы [F] примем такими же, как в статике, причем
инерцию вращения при этом не учитываем.

58
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Тогда для стержневого элемента, связывающего /-й и /-й
узлы, согласно соотношениям D.6)—D.7) и D.1) поля перемеще-
перемещений конечных элементов можно выразить как функции узловых
перемещений:
A
2, & —г).
Эти выражения полностью определяют функции формы [F],
подстановка которых в интеграл D.23) дает
m
42
где
[%] =
\m
140
0
0
0
0
0
140
0
0
0
0
0
—
=
rl20"
0
156
0
0
L"^21
0
0
156
0
0 —22/
22/
0
156
0
0
0
—22/
70
0
0
0
0
0
0
63
0
0
0
13/
0
0
0
156
0
22/
0
0
0
63
0
T
0
0'
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
— 13/
0
П2'.
>
i J
0
0
—22/
0
0
0
0
0
0
0
it»
0
0
0 ~
22/
0
0
0
4/a_
0 ~
0 —22/
22/
0
I/2
0
0
0
13/
0
0
0
0
4/2 _
9
9
0
—13/
0
0
— 3/a 0
0
3/8
D.24)

Типовые конечные алементн
59
Для получения матрицы D.23) сопротивления стержневого
элемента достаточно заменить в выражении D.24) плотность р
коэффициентом сопротивления ц (предполагаем, что сопротивле-
сопротивление линейное вязкого типа).
Матрица устойчивости. Анализ устойчивости пространствен-
пространственных стержневых систем проводят следующим образом. После
дискретизации всей конструкции вычисляют матрицы D.11) ре-
реакций отдельных стержневых элементов. Предполагают, что
в стержневых элементах действуют постоянные по длине продоль-
продольные силы
лД = о,Б (ЛЬо + ад,
где #ж0 и Nxi — силы соответственно в начальном и концевом
торцовых сечениях элемента.
Матрица устойчивости 1С] в локальной системе координат
стержневого элемента должна иметь следующую структуру:
[C] =
"О
0
0
_0
Си
Cn
Cn
Сил
Сзз
Свз
С,
Cu.8
0
0
с»
с58
с,.
Сил
0
Си
ст
0
с8в
Ciae
0
С
0 С
0
с
0 С
с5.
1
Сц,9
0
0
Cs.ii
С8.1Х
C,u
Сц.ц
. 0
Ca,i2
св>12
0
С8.Х2
Cia.ia
D.25)
Устойчивость одиночного прямолинейного стержня описы-
описывается системой линейных алгебраических уравнений
([В] + Л [С]) А = 0 D.26)
совместно с граничными условиями, наложенными на переме-
перемещения его торцов. Варьируя эти условия и зная для каждого из
них значения критической силы N1, можно последовательно вы-
вычислить элементы матрицы [С] D.25).

во
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 4.5
Например, для граничных условий, приведенных на рис. 4.5, а,
уравнение устойчивости D.26) имеет вид
\2EJZ
I*
= О,
откуда при X = 1 находим С2а = 12/(я*/)-
Рассмотрев последовательно варианты граничных условий
в плоскостях ху и хг (рис. 4.5, а—к), можно определить все эле-

Типовые жонечные элементы
61
менты матрицы [С]. В итоге получаем
х
0
0
0
12
1,55/
12
12
0
— 1,55/
— 12
0
— 1,55/
0
1,55/
— 1,55/
2/a
2/a
0
— 1,552
1,55/
0
0
0 -
0
— 12
1
-1,55/
12
1
-12
,55/
12
,55/
0
0
— 1,55/
0
1,55/
2/a '
0
1,55/
0
0
-1,55/
_0 1,55/
— 1,55/
2/2
D.27)
Зная матрицы реакций [В] D.11) и устойчивости [С] D.27)
для стержневых элементов, можно скомпоновать разрешающую
систему уравнений в виде
ЦКВ] + К[КС]]Ь = О, ' D.28)
где 1Kb 1 — матрица жесткости системы, [Кс 1 — полная матрица
устойчивости, которая формируется для вектора средних продоль-
продольных сил Nx, пропорциональных масштабному множителю Я;
А — вектор узловых перемещений конструкции.
Наименьшее значение Я*, йри котором система D.28) имеет
нетривиальное решение, т. е. ее определитель равен нулю, яв-
является критическим параметром для заданных внешних нагрузок,
действующих на рассматриваемую конструкцию.
Зная значение Я*, можно установить форму потери устойчи-
устойчивости конструкции из решения системы линейных алгебраических
уравнений:
приняв в нулевом векторе b одну из компонент равной единице.
Матрицы теплопроводности и теплоемкости. Как отмечалось
в гл. 2, в вариационной постановке решение уравнения B.22)
нестационарной теплопроводности с соответствующими гранич-
граничными условиями B.23)—B.25) эквивалентно нахождению мини-
минимума функционала B.26).

62 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Процесс минимизации, осуществляемый на некотором множе-
множестве узловых элементов после разбиения области на конечные эле-
элементы, приводит к системе обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
где [Со ] — матрица теплоемкости для системы; Т — вектор уз-
узловых температур; т — время; [Ro] — матрица теплопровод-
теплопроводности для системы; Fo — вектор правых частей разрешающей си-
системы уравнений.
Матрица B.27) теплопроводности отдельного элемента имеет
вид (здесь и далее индекс р опущен)
[R] = \%[B]T[B]dV+ la[Nf[N]dS, D.29)
v s»
где V — объем элемента; К — теплопроводность; [В ] — матрица,
полученная путем дифференцирования по х, у и г матрицы [N]
функций формы; Sa — площадь поверхности, по которой осу-
осуществляется теплообмен; а — коэффициент теплоотдачи.
Матрица теплоемкости для отдельного элемента B.29) имеет
вид
l D.30)
где ст — удельная теплоемкость материала.
Вектор правых частей уравнений для отдельного элемента
определяется согласно формуле B.28):
\[N]TqndS- Jar»[^)Td5, D.31)
где qv — мощность внутренних источников теплоты; qn — плот-
плотность теплового потока в направлении, нормальном к поверх-
поверхности; Тс — температура окружающей среды.
Предположим, что тепловой поток через боковую поверх-
поверхность и внутренние источники теплоты отсутствуют; теплоотда-
теплоотдачей с торцов стержня пренебрегаем.
Интерполяционный полином для одномерного линейного эле-
элемента имеет вид
где Nt = 1 — x/t; Nj = x/l.
Подставив матрицы
[ЛП = [1 —x/l x/l]; D.32)
[B]=-\-l-l 1) D.33)

Типовые жонечные алемеисы (}3
в формулы D.29)—D.31), получаем
" —Р 2Г
где ап — коэффициент теплоотдачи боковой поверхности; Р —
периметр поперечного сечения стержня.
4.2. Вычисление геометрических характеристик плоских сечений
Один из обязательных этапов исследования НДС машино-
машиностроительных конструкций или отдельных деталей, расчетная
схема которых включает стержневые элементы, — вычисление
геометрических характеристик поперечных сечений стержней (ко-
(координат центра тяжести, площади, осевых моментов инерции
и т. д.). Как правило, при их определении принципиальных труд-
трудностей не возникает, но для сечений сложного очертания сущест-
существенно возрастают объем вычислений и вероятность появления
ошибок. В связи с этим целесообразно применять готовые про-
программы, которые позволяют свести обязанности расчетчика к под-
подготовке минимального объема исходной информации.
Произвольное сечение. Идея алгоритма заключается в том,
что все геометрические характеристики можно выразить через
координаты конечного числа характерных точек сечения, что
сводит к минимуму исходную информацию о нем.
Для простоты изложения рассмотрим произвольное сечение
с небольшим числом характерных точек, например четырьмя
(рис. 4.6). В произвольной системе координат Ozy любую из гео-
геометрических характеристик можно представить в виде суммы со-
соответствующих характеристик треугольников, имеющих общую
вершину — начало координат О. Например, осевой момент инер-
инерции можно представить следующим образом:
г гД041 , гД012 гД032 гД043
Предварительно получим расчетные формулы для вычисления
всех геометрических характеристик произвольного &-го треуголь-
треугольника Oij в системе координат Ozy (рис. 4.7) как функции коорди-
координат точек i и /.
Из подобия треугольников следует
(гт — ггI{гт — Zj) = уг/у]г
т. е. zm = (ztyj — zj y,)/(yj — yt).

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 4.6
Площадь треугольника 0ц найдем как разность площадей
треугольников Ojm и Oim:
Ak = 0,5zmy} - 0,5zmyt = 0,5 (zty} - z}yt). D.34)
Введя обозначение
5* = z,y, - zjyt, D.35)
получим
Ak = 0,5Sk. D.36)
Отметим, что площадь Ак положительна, если поворот сто-
стороны Oi к точке / осуществляется против часовой стрелки, и отри-
отрицательна в противном случае.
Методика вывода расчетных формул ясна из соотношений
D.34)—D.36), поэтому приведем только окончательные формулы
для треугольника Oij:
Статические моменты
s; = s*(yi + w)*/6
координаты центра тяжести
осевые моменты инерции
D.37)
D.38)
D.39)
центробежный момент инерции
/*, = Sk (ziy, + z/yt + 2ztyi + 2ziy,)/2i. D.40)
В итоге для всей фигуры, имеющей Af характерных точек
(рис. 4.8), из соотношений D.34)—D.40) получим следующие рас-
расчетные формулы:
площадь
N
D.41)

Типовые жоиечные элементы
65
статические моменты
N
D.42) У„
координаты центра тяжести
zo = Sy/A (у^г); D.43)
осевые центральные моменты
инерции (с учетом формул пере- °
хода к параллельным осям)
2fm
\
2
3*
in)
\
f
I
y*>
s-
\
с
Hmax),
-yx
»>
Рис. 4.8
центробежный центральный момент инерции
N
heye = S l\y — гоУоА;
главные центральные моменты инерции 1г (или /max) и
'mitt)
угол, определяющий положение главной центральной
а01 == arctg / ЧУ^1 ;
D.44)
D.45)
/2 (или
D.46)
оси /:
D.47)
минимальный радиус инерции
Я mm = /та D.48)
приближенное значение момента инерции при кручении
Зависимости D.41)—D.49) полностью определяют алгоритм
расчета геометрических характеристик произвольного сечения.
Необходимо иметь в виду следующее:
если контур сечения имеет криволинейные участки, их при-
приближенно заменяют ломаными линиями;
если сечение многосвязное, внутренние области соединяют
с внешней фиктивными разрезами приблизительно нулевой тол-
толщины так, чтобы пары точек ти п -\- 1, т + 1 ип имели одинако-
одинаковые координаты (рис. 49, а);
3 П/р В. И. Мяченкова

ее
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
т
6)
т
т+1
Рис. 4.9
если сечение состоит из несвязанных элементов, вводят фик-
фиктивные связи приблизительно нулевой толщины (рис. 4.9, б).
Сечение из стандартных профилей. Для стандартных профи-
профилей (двутавров, швеллеров, уголков, кругов, прямоугольников
и др.), составляющих сложное сечение, все геометрические харак-
характеристики известны (существуют специальные таблицы). При этом
использовать изложенный алгоритм нецелесообразно, так как
он требует трудоемких вычислений координат точек, лежащих
на криволинейных контурах. Здесь для определения геометриче-
геометрических характеристик рационально применить общепринятую ме-
методику, которая предусматривает следующие этапы расчета:
1) выбор системы координат Ozy для заданного сечения
(рис. 4.10);
2) вычисление координат г} и г/;- центра тяжести, площади Aj
осевых /z., I'u. и центробежных lLu, моментов инерции относи-
относительно собственных центральных осей, параллельных осям г
и у для каждого из п составляющих профилей;
3) вычисление координат центра тяжести всего сечения:
D.50)
4) вычисление моментов инерции полного сечения относительно
общих центральных осей:
he = II Uzl + (Уо - У if Aj] (г*ъу);
heye =
hey
п
5j [lip, + (Уо - У]) (zo - г
I—1
D.51)
5) по формулам D.46)—D.49) определение главных централь-
центральных моментов инерции, положения главных осей, минимального
радиуса инерции и приближенного значения момента инерции
при кручении.
Вычисление момента инерции при кручении сечения с тонко-
тонкостенным многосвязным профилем. Для сечения, состоящего из

Типовые жонечные элементы
67
одного замкнутого тонкостенного контура, справедливы следую-
следующие расчетные зависимости:
погоиное усилие
q == тб; D.52)
внутренний (равный внешнему) крутящий момент
М = 2Лтб; D.53)
относительный угол закручивания
s
Здесь т — касательное напряжение; б — толщина стеики;
А — площадь, ограниченная средней линией контура; G — мо-
модуль сдвига; s — длина контура.
Из соотношений D.52)—D.54) следует, что
if-. D.55)
Рассмотрим свободное кручение однородного стержня, попе-
поперечное сечение которого представляет собой многосвязный тонко-
тонкостенный контур, состоящий в общем случае из п одинарных кон-
контуров (на рис. 4.11 в качестве примера приведено трехконтурное
сечение).
Крутящий момент М, воспринимаемый всем сечением, можно
представить как сумму крутящих моментов, воспринимаемых
каждым замкнутым контуром в отдельности. С учетом зависимо-
зависимостей D.53) получаем
М =
= 2
4=1
t=l
(i = l, 2 п).
D.56)
Приняв, что углы закручивания для всех одинарных контуров
и для всего сечения одинаковы, с учетом соотношения D.55)
для произвольного t'-ro одинар-
одинарного контура запишем
204,6' = «/, j if- + (qt - qt_J X
'ai
X
f ds
Г ds
(i+D
у,
—
Здесь At — площадь i-го контура;
qt — распределенная нагрузка,
3*
Рис. 4.10

68
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 4.11
Рис. 4.12
действующая на 1-й контур; sai — длина части i-ro контура, ко-
которая не является, общей с другими контурами; sp (i-i) — длина
части 1-го контура, которая является общей с (i — 1)-м контуром;
spu+i)—длина части 1-го контура, которая является общей с
(i + 1)-м контуром.
Введем обозначения
*ai sfli
D.57)
тогда система уравнений относительно 0', qlt ..., qn примет вид
2GA,Q' = ад, + рг_! (q, - q,^) + р«+1 (qt - qi+1). D.58)
Если индексы у а, р и q выходят за границы, устанавливае-
устанавливаемые формулами D.56) и D.57), соответствующие слагаемые в урав-
уравнениях D.58) опускаем. Соотношения D.58) справедливы при лю-
любых значениях крутящего момента М. Решив систему уравнений
D.58) при М = 1, найдем относительный угол закручивания 9';
тогда жесткость при кручении G/K = (б').
Вычисление жесткости при кручении нетонкостенных стерж-
стержней произвольного сечения. Используя МКЭ, разобьем сечение
на треугольные и четырехугольные конечные элементы (рис. 4.12).
Матрица реакций для произвольного треугольного элемента
где
bk
ch
]'

Типовые конечные элементы
69
J_
2
Рис. 4.13
bt = Уз — Уъ.', Ь} = yk — yt\ bk = yt — tjj] ct = zk — z^; cj =
= Zj — zk; ch = Zj — zt; Am — площадь треугольного элемента.
Вектор правых частей
2оел„
Матрицу реакций для произвольного четырехугольного эле-
элемента получаем путем суммирования матриц реакций для тре-
треугольных элементов (рис. 4.13). Аналогично получаем вектор Т.
Разрешающая система линейных алгебраических уравнений
МК.Э имеет вид
где Ф — вектор узловых функций напряжений; [R ] и Т —
полные матрица коэффициентов разрешающей системы уравне-
уравнений и вектор правых частей.
Приняв 6=1, можно определить крутящий момент для т-го
треугольного конечного элемента по формуле
и для четырехугольного элемента —- по схеме рис. 4.13.
Полный крутящий момент
крутильная жесткость
М = ? Мт;
G/Kp = М.
4.3. Тонкие треугольные пластинки
В зависимости от конкретного вида нагружения пластинча-
пластинчатые элементы могут деформироваться или только в своей плоско-
плоскости (возникает плоское напряженное состояние), или из плоско-
плоскости (состояние изгиба), или одновременно и в своей плоскости,
и из нее. Рассмотрим последовательно эти случаи и для каждого
из них приведем алгоритм вычисления матриц и векторов реак-
реакций.

70
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
О1
Рис. 4.14
Матрицы и векторы реак-
реакций. Рассмотрим плоское
напряженное состояние ко-
конечного элемента на при-
примере треугольной пластинки
толщиной h, срединная пло-
плоскость которой совпадает
с плоскостью О'ху локальной
правой системы коорди-
координат О'ху г. Узлы располо-
расположены в вершинах элемента
и имеют по две степени сво-
свободы. Конкретизируем векторы и матрицы, записанные в общем
виде в подразд. 2.1:
векторы поверхностных и объемных нагрузок и перемещений
q = \Ях ЧУУ\ Р = [Рх РУУ\ и = [их иу]т; D.59)
векторы деформаций и напряжений
в = [ея гу yxyf; a = [ах Ьу хху]\ D.60)
Для плоского напряженного состояния зависимости между
деформациями, перемещениями и напряжениями можно записать
в виде
e = [Ln]u; a = [D]s,
где
д
дх
0
д
- ду
о -
д
ду
д
дх -1
[ПГ
> Уи\
Е
1—V2
1
V
0
-
V
1
0
0
0
I V
О
D.61)
D.62)
При построении матрицы реакций для треугольного конеч-
конечного элемента (рис. 4.14) удобно использовать однородную си-
систему координат
где Llt L2, L3 — однородные координаты произвольной точки С
треугольника; Аъ А2, А3 — составляющие площади треуголь-
треугольника (см. рис. 4.14); А — общая площадь треугольника; индексы 1,
2, 3 — номера узлов треугольника в локальной системе.
Локальные координаты точек 1, 2, 3 и С заранее известны
(х1, уъ хг, ..., х, у). Вычислив площади Аг, At, Ая через эти ко-
координаты и подставив в D.63), получим
Li~] Гост ум ХчЛП"
LL3J
t/гз
Уз1
Ун
Л.

Типовые конечные элементы 71
где аг = х2у3 — у2хя; у23 = Уъ — уъ; х^ = хъ — хг (остальные
коэффициенты получаем круговой подстановкой индексов).
Выражения для производных по х и у от функции однородных
координат / (Lx, Z^, L3) имеют вид
У81 df | Ун
_д/___Угз__д/_ | У81 df | Ун df .
а* — Ч.А dLx ~т 2Л <9L2 "+" 2Л dLg '
*18 I?/
Т 1Z7
(Л
Очевидно, функция [F] B.5) удовлетворяет предъявляемым
к ней требованиям, если ее выбрать в форме
э и о ц о ь} D-66)
Тогда соотношение B.4) принимает вид
u = [F] Щ, ' D.67)
где U| — вектор узловых перемещений треугольника в локальной
системе координат:
U| = L^xl Llyi tlX2 My2 U-ез Wy3J . ^.Ooj
Запишем матрицу B.8) с учетом D.62) и D.65):
из 0 «/si 0 уп 0 -]
О ха2 0 х1я 0 хг
Так как она не зависит от текущих координат и является чис-
числовой, согласно B.16) матрица реакций для треугольного элемента
[#8] = Ah[B]T [D][B]. D.69)
Вектор Q| B.18) включает в себя три составляющие, обуслов-
обусловленные действием объемных и поверхностных нагрузок, а также
перепадом температур соответственно:
Qi - Q|P 4- Q8,4- <V D.70)
Обозначим длину стороны треугольника, расположенной на-
напротив j-ro узла /,, приложенные к ней поверхностные нагрузки qxi

72
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
и qyi. Интегрирование выражений B.19)—B.21) с учетом D.59)
и D.66) дает
4
= — 4" А
Р* Pv
+
Qjt = — 2 (l — v)
Решение разрешающей системы уравнений метода перемеще-
перемещений дает возможность вычислить вектор узловых перемещений Uj
D.68) для любого элемента. Тогда в соответствии с B.7) и B.10)
= [D][B]Vit
D.71)
т. е. деформации и напряжения постоянны в любой точке треуголь-
треугольника.
Рассмотрим изгиб пластинки толщиной Н, срединная поверх-
поверхность которой лежит в плоскости О'ху (рис. 4.15). Направления
всех показанных на рис. 4.15 факторов положительны. Углы
поворота Qx и Qy, а также обобщенные деформации (изменения
кривизны хх, ху и кручение -лху) точки пластинки связаны с ее
перемещением w соотношениями
dw
— fax «у xxyY — у fa?
ду*
D.72)
D.73)
Соответствующими обобщенными напряжениями в этом слу-
случае являются распределенные
изгибающие и крутящие мо-
моменты:
а = [Мх Му Мху]\ D.74)
Обобщенные деформации и
напряжения связаны соотноше-
соотношением D.61), в котором матри-
матрица упругости [D ] отличается
от D.62) наличием множи-
множителя Л3/12.
Рис. 4.15

Типовые конечные элементы
73
z ,
О'
1
/
/
/г
/ "Ь
/
3
/
t/
^4
к
)^.
Mr
Рис. 4.16
Выберем в качестве узловых перемещений прогиб вдоль оси z
и углы поворота вокруг осей х и у (рис. 4.16), которые образуют
вектор
Щ = t^i <Pi *|>i w2 ф2 г|J ws ф8 г|)з]т,
причем
ф| = — ву«; b = Qxi (i= 1,2,3). D.75)
Указанным перемещениям соответствуют узловые обобщен-
обобщенные силы Qh Mxi, Myi (i = 1, 2, 3). Направления всех показан-
показанных на рис. 4.16 факторов положительны.
Выражение C.4) для поля перемещений примет вид
w = [F] UB. D.76)
Здесь функцию [F] рационально выбрать в форме
IF] = I/ii fa /is hi fn Ы hi /« /sa]', D.77)
/i, = Li A + LiL2 + L,L3 - Li - L23);
/12 = — jTu (L?L2 + 0,5LiL2L3) + г/31 (L3L? + 0,5L,L2L3); D.78)
/is = — Jfai (L?L2 + 0,5LiL2L3) + дги (L3L? + 0,5LiL2L3).
Остальные компоненты функции [F] можно получить из D.78)
циклической перестановкой индексов.
Матрица [В] согласно B.8) и D.73) имеет вид
где
SFIF]
дхду
-]'•
D.79)
Продифференцировав по формулам D.65) выражение D.79),
получим
± D.80)

74
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Матрица [Ло] размерностью 3x6 состоит из элементов
1 2. L2- L2- • • • I2-
1_ 2 . |_ 2 . _
Матрица [Р] имеет размерность 6x9. Подматрицы первого
столбца
IP и] =
-1*1
'-Л.
О
О
0
0
; D.81)
где с28 = — (</i2 — /si)/; ^з (п
Остальные подматрицы [Р12 ] и [Р2г Ь [Ры 1 и [^"ssl можно
получить из D.81) циклической перестановкой строк и индексов.
Таким образом, [В] линейно зависит от однородных координат.
Формула B.16) для матрицы реакций треугольного элемента
эквивалентна следующей:
= A J J [BY[D][B]dL2dL1.
Интегрирование проще всего выполнить численно:
+• »• х)]'"Ч[-(+. 0,+)]}.
Если предположить, что на треугольный элемент действует
равномерно распределенная нагрузка pz, вектор реакций Q6
можно вычислить по формуле
П
0?=-р2Л f
о
, L2, LJVdxdy.

Типовые конечные элементы 75
Учитывая, что
(* (* t 1 и /! i\ Ь\
\ \ Т ' Г I 7 " -J J A1 О и/1«1 ,л ОО\
\ \ L\L^LzaL^aLi — Z .„ , . . . . .. , yt.oZ)
о о
находим
где
го .1 _i .1 v j_ v it- /л. яч^
1Ё — L^ У12 ~l Ун "^21 1~ ^lSJ » ^.ОО^
подвекторы Q26 и Q3g получаем из D.83) круговой перестановкой
индексов.
Обобщенные напряжения D.74) определяются соотношением
D.71). Так как матрица [В] D.80) линейно зависит от однородных
координат Llt L2, L3, то моменты Мх, Му, Мху изменяются вну-
внутри треугольника по линейному закону. В центре тяжести тре-
треугольника
Истинные напряжения в точке треугольника, расположенной
на расстоянии z от срединной поверхности, определяем по фор-
формулам
«.-^Ч °„ = ^* *,,=!На, D.84)
Рассмотрим общий случай нагружения плоского элемента,
когда внешние нагрузки приложены как в его срединной поверх-
поверхности, так и по нормали к ней. При этом естественно справедлива
линейная зависимость B.1), в которой каждый из подвекторов
U«> Ni? и Qj6 соответственно векторов обобщенных узловых
перемещений U6 и усилий Щ, а также вектора реакций Q6 со-
содержит по шесть компонент:
U/5 = [Uxi uyi wt ф/ ф, Х/Г;
NiB = lNlt N2i N9i Mu Mtt M3i]\
Их положительные направления для t-ro узла показаны на
рис. 4.17 (приводимые здесь рассуждения справедливы и для
треугольных, и для прямоугольных пластинчатых элементов,
поэтому на рис. 4.17 в целях наглядности показан прямоуголь-
прямоугольный элемент). Подматрицы #1Л матрицы реакций [#6] имеют
порядок 6; i, / = 1, 2, ..., т, где т. — число узлов элемента (для
треугольника т = 3, для прямоугольника т. = 4 и т. д.).
Особенность рассматриваемой задачи в том, что перемеще-
перемещения uxt и uyi являются компонентами только плоского напряжен-
напряженного состояния и не зависят от перемещений wiy q>/, tyt — компо-
компонент изгиба. Угол поворота %/ не входит ни в соотношения для

76
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
^ f
/
J x/
/
/
Mi
7
>
л
с
У
Рис. 4.17
Рис. 4.18
плоского напряженного состояния, ни в соотношения для изгиба.
Однако при исследовании пространственных конструкций, в каж-
каждом узле которых соединяются некомпланарные пластинки, целе-
целесообразно ввести этот угол %t и соответствующий ему фиктивный
момент Mat.
Полные подматрица RUi и подвектор Q^ для общего случая
нагружения формируют следующим образом. Пусть для плоского
напряженного состояния они имеют вид [R"ji] и Q"i(i, / = 1,
2, ..., т) и порядок 2, для изгиба — [R"n] и Q?g (t, / == 1, 2 т)
и порядок 3. Объединив их, получаем
[R
0
0
0
n 1
uv
0
0
0
: 0
0
[
0
0
0
0
0
0
0
0
0
О 0 [ О О О | О
D.85)
Наличие в матрице реакций нулевых строк и столбцов необ-
необходимо учитывать при численной реализации алгоритма расчета
на ЭВМ. Так, если все пластинки, соединенные с каким-либо
узлом, лежат в одной плоскости, в СЛАУ появляется уравнение
вида 0 = 0, поэтому введем фиктивный коэффициент жесткости,
равный единице. В результате угол хг поворота этого узла оказы-
оказывается равным нулю.
При формировании системы уравнений метода перемещений
составляют уравнения равновесия узлов конструкции в глобаль-
глобальной системе координат Ох-^х^. Порядок вычисления матрицы [R^ ]
и вектора Q6 реакций для любого пластинчатого элемента в ло-
локальной системе координат О'хуг (рис. 4.18) описан в подразд. 2.1.
Взаимное расположение глобальной и локальной систем коорди-
координат характеризуется матрицей направляющих косинусов IT]

Типовые конечные элементы 77
B.47), элементы блоков [То] B.49) которой устанавливают сле-
следующим образом:
длину lih стороны и ее направляющие косинусы tkn (n =
= 1, 2, 3) определяют по формулам B.50);
длину ltJ стороны и ее направляющие косинусы tnl (n =
= 1,2, 3), т. е. элементы первого столбца матрицы [То], также
определяют по формулам B.50);
направляющие косинусы tn3 (п = 1,2, 3), т. е. элементы треть-
третьего столбца матрицы [Го], вычисляют по формулам B.51), где
направляющие косинусы tn2 (п = 1, 2, 3), т. е. элементы вто-
второго столбца матрицы [То], вычисляют по формулам ti2 =
Полная матрица преобразования для пластинчатого элемента,
имеющего пг узлов, принимает вид
'[7\>]i
Из соотношений B.47) и B.48) следует, что глобальная ма-
матрица [R ] и вектор Q реакций связаны с локальными матрицей
IR^] и вектором Qg реакций зависимостями
[R] = [Т] [Rb] [Tf; Q = [Т] Q6.
Решение разрешающей системы уравнений дает возможность
установить вектор U узловых перемещений элемента в глобаль-
глобальной системе координат, а следовательно, и вектор узловых пере-
перемещений в локальной системе координат U6 = [TV U. После
этого истинные напряжения D.60) в центре тяжести элемента
определяют как сумму результатов, полученных по формулам
D.71) и D.84). По найденным значениям напряжений ах, ау,
хху в локальной системе координат элемента вычисляют главные
напряжения
= агаах. га.„ =
интенсивность напряжений
и угол наклона первого главного напряжения к оси х:

78
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
т. е. параметры, которые дают полное представление о напряжен-
напряженном состоянии в центре тяжести рассматриваемого конечного
элемента.
Матрицы масс и сопротивления. Так как толщину Н считаем
постоянной в пределах элемента, то матрицу масс при плоском
напряженном состоянии можно определить из выражения B.17):
= pA \\[FY[F]dxdy.
Здесь функции [F] формы принимаем аналогичными функциям
формы в статике.
В результате вычислений матрица масс для треугольного эле-
элемента, работающего в своей плоскости, принимает вид
¦201010'
0 2 0 10 1
10 2 0 10
0 10 2 0 1
10 10 2 0
0 10 10 2
Приняв функции формы в виде' D.76)—D.78), матрицу масс
при изгибе определим по формуле
М-
12
\ \
о о
\ [F(LU U, L3)]T[F(Llt Lt,
о
Выполнив интегрирование с учетом выражения D.82) и при-
приняв окончательный результат в виде произведения
получим ненулевые значения элементов матрицы [г]
Гц = гм = г„ = 7744;
гм = 832F,-60;
г87 = 832 (bj, - bt);
Пг = гп = 304&2 - 544й8;
/si = '84 = 304&! - 544й2;
/"те = Гы = 304й3 — 544V,
= 124 (Ь| + 6l) — I52b2b3;
Гц = гп = г74 = 2848;
га = 832 (о, - а,);
гв4 = 832 (в, - а0;
гв7 = 832 (% - о,);
'43 = '73 = 304а2 — 544а3;
'ei = 'в4 = 304а! — 544а2;
'7в = 'ei = 304а3 — 544а!;

Типовые конечные элементы 79
гьь = 124 (ft? + bl) - 152ft,fta; rn = 124 {a\ + a§) - 152aia3;
m = 124 (ft? + b\) - I52bib2; r99 = 124 (a? + ag) - 152aia2;
rM = 124 (a2b2 + a3ftg) — 76 (a3
re5 = 124 fabt + a3fc3) - 76 fab,
гв8 = 124 fab! + а2й2) - 76 fab,
Г52 = 52 (bib, + й2й3) - 44Й1Й2 - 100Й;
тез = 52 (сца3 + a2a3) — 44aia2 — lOOal;
re2 = 52 fab, + asb2) - 44aA - 100as63;
r53 = 52 fab, + a2ft3) - 44аД - 100а8й3;
r82 = 52 (Й263 + ftifta) - 44Й2 -
= 52 (а2аз + aiQ2) — 44a2 — 100aia3;
re2 = 52 (a2ba 4- ^62) — 44a262 — 100%^;
r85 = 52 (bib2 4- ft|6e) - 44й2йз - 100ft?;
Г96 = 52 (aia2 4" а1аз) — 44a2a3 — lOOa?;
гвБ = 52'(a8ft! 4- азЬх) — 44a2fc8 — 100%^;
r8e = 52 (aA 4- ajbi) — 44asb2 — 100%^,
где aL = x3 — x2; a2 = ^ — x3; a3 = л:2 — хг; bt = y2— y3; b2 = y3 —
— Уъ bz = y1 — yi\
xt и tji — координаты t-го (i = 1, 2, 3) узла треугольника в ло-
локальной системе координат (см. рис. 4.16).
Формирование матрицы масс треугольного элемента, работаю-
работающего в своей плоскости и на изгиб, осуществляется аналогично
формированию матрицы реакций.
Матрицы сопротивления вычисляют аналогично матрицам
масс, заменив плотность р коэффициентом сопротивления ц.
Матрицы теплопроводности и теплоемкости. Введем обозна-
обозначения: ав и ан — коэффициенты теплоотдачи верхней и нижней
поверхностей; Тжв я Т«,в — температуры окружающей среды со
стороны верхней и нижней поверхностей.
Предположим, что тепловой поток через поверхность элемента
и внутренние источники теплоты отсутствуют, а также пренебре-
пренебрегаем теплоотдачей с боковых граней элемента.
Интерполяционный полином для рассматриваемого случая
примем в виде
T NT NT

80
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Здесь
Nt = 0,5 fa+ btx + cty)/А,
D.86)
где at = Xjyk — xhy}; bt = yt — yk; ct = xh — x3.
Формулы для вычисления Nj, Nk, aj, bj, ak, bk, Cj, ck можно
получить из D.86) круговой перестановкой индексов.
Матрицу D.29) для треугольного элемента запишем в виде:
[В]
2A [Ct cj cj"
D.87)
Подставив матрицы D.86) и D.87) в формулы D.29)—D.31),
получаем
г2 1 1
[R] = khA[B14B] + ^
1 2 1
1 1 2
12
-2 1 li
1 2 1
1 1 2
12
Г2 1 In
1 2 1
1 1 2
F = —
1
1
LU
1
1
LU
D.88)
D.89)
D.90)
4.4. Тонкие прямоугольные пластинки
Основные соотношения, описывающие НДС пластин, приве-
приведены в подразд. 4.3, поэтому здесь получим матрицы и векторы
только для прямоугольного конечного элемента в общем случае
нагружения.
Матрицы и векторы реакций. Рассмотрим плоское напряжен-
напряженное состояние прямоугольного конечного элемента (рис. 4.19),
поместив начало локальной системы координат О'ху в его центре.
Положение произвольной точки
определяют координаты
I = 2х/а; у\ = 2у/а.
Функцию [F] выберем в виде
О/, О
О /, 0 /3
Рис. 4.19 D.91)
иу3
1
У
3> **
"" Ру
°'i
1 ЧУ
Р' иуГ
п _ X
2
[F]
_ Г/i 0 /, 0 /з 0 /4 0]
[О h 0 /, 0 /з 0 /J'

Типовые конечные алеиеяты
81
где
/i = Ф1 (I) Ф1 (л); /а = ф2 (S) Ф1 (л);
/в = ф1 (?) Фг (л); ^4 = Фг (?) Фг (л);
Ф1 (?) = 1 — I; Ф1 (л) = 1 — л;
ф2 (?) = 1 + ?; ф2 (л) = 1 + Л-
В выражении для вектора D.68) перемещений изменится только
размерность вектора узловых перемещений:
1I* — [ а а а и и it и и |Т
vi 1**ж1 иу1 их2 иу2 их8 иу3 **ж4 иу&' •
Найдем матрицу [В] из соотношения B.8) с учетом D.91)
и D.62):
Г—rpj О гр! О — гр2 0 \|J О
О — Xi 0 — Х2 0 Xi 0 х.
— Xi — Ф1 — Xi 1Р1 Yi — 1P2 Y« 1P2
D-92)
В результате интегрирования выражения B.16) получаем
матрицу реакций прямоугольного элемента:
Элементы матрицы
1—V
приведены в табл. 4.1, где
Ь 4 „ 2
; « Р; v
В результате интегрирования выражения B.19) с учетом
D.70), D.91) и обозначений на рис. 4.19 получаем
Qip = j~ ^Рх ру Рх Ру Рх Ру]Т'
qyla
D.93)
a Ь-а-Ь -а]\
Поля деформаций е и напряжений о определяются зависимо-
зависимостями D.71). Для прямоугольника матрица [В] линейно зависит
от координат Ънт], поэтому в пределах элемента е и о изменяются
линейно. Так, для определения напряжений в центре элемента
(точке О') необходимо в матрицу [В ] подставить координаты ? = 0
и г\ = 0.
Рассмотрим изгчб прямоугольного конечного элемента в пра-
правой локальной системе координат О'ху (см. рис. 4.19). Используя

82
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Таблица 4.1
«+2Y,
v+ц
2V+afl
—o+yh
—v~[~u
oc-[-2yu
v—ц
Y—ац
—V—Ц
2y+och
ос л
2yu
v—ц
ос
--2--YH
«+2Y,
-2V+^
v+ц
_Y ^-
—v—ц
2V+afl
oc
-+Y,
v—ц
«+2Y,
—v—ц
V—Ц
-2Y+f
Y—ац
v+ц
2т+а,
безразмерные координаты, зададим поле перемещений внутри
прямоугольника полиномом
ю= [L(?, л) ]«. D.94)
где а — вектор неизвестных коэффициентов: а =
[L (?, л) ] — матрица-строка:
1Щ. ц)] = UW,... /121Т,
элементами которой являются полиномы Лежандра
...а12Г;
D.95)
D.96)

Типовые конечные мементы
83
ортонормированные на квадрате так, что
1 1
J
J J[
0 при 1ф]\
1 при i = /.
D.97)
Вектор обобщенных узловых перемещений U = [Ujg]T =
= I [вУгФг^г Г ]т (/ = 1, 2, 3, 4) имеет те же компоненты, что и
вектор U| для треугольника (см. рис. 4.16), причем согласно
D.72), D.75) и D.94) можно записать
2 dL
d. D.98)
Подставив в соотношение D.98) полином D.94), получаем
откуда
о = [ZT1] Щ D.99)
и соответственно
w = [L (I, л)] a = [L (I, л)] [L-1] U5 = [F] Щ. D.100)
Здесь [L ] — числовая матрица, элементы которой приведены
в табл. 4.2 (в первой графе приведены делители для соответствую-
соответствующей строки).
Согласно D.79)
4 ^[L(g, т))] 4 дЧМЕ, т))] 8 d2[L(g, т))] 1т
_ Г
С учетом соотношения D.95) и данных табл. 4.2
Ненулевые элементы матрицы [J3], имеющей порядок 6:
с 12 КГ , с 60 УГ , .
_ 12J/5".
20
, и =
12^5
6»
/2;

84
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
10
60 /7 , г- _ 20/21 .
24 , . c 24 /5~ , .
D.101)
'z, 8 = -
24/5"
ab
//„ -- ==: ,—
* ДЛ
Матрица реакций
где
l l
u
D.102)
D.103)
Таблица 4.2
12
60 УТ
60^3"
12^5"
60
12^5"
20/7
12/15"
12/15"
20/7"
20 /2Т
20 /2Т
6
—36
—36
14
—2
—2
2
2
6
—56
—36
6
6
—6
—6
6
—а
За
5а
—а
—а
а
а
—а
6
36
—36
— 14
2
—2
—2
—2
6
56
—36
—6
6
6
—6
—6
а
За
—5а
а
—а
а
—а
-
—а
6
—36
36
— 14
—2
2
2
—6
56
—36
6
—6
6
—6
6
—а
За
5а
—а
а
а
—а
а
6
36
36
14
2
2
2
2
—6
—56
—36
—6
—6
—6
—6
—6
а
За
5а
а
а
а
а
а

Типовые конечные «лемеиты 85
Подстановка в это выражение соотношений D.101) и D.62)
с учетом D.96) и соответствующие вычисления позволяют пред-
представить матрицу R* в форме
Ненулевые элементы матрицы [R* ] порядка 6:
fU = 45р2; г6% = fie = 45v;
Пь =
fe.ii = rfi.e = Пл2 = rfa.5 = —12
f8'8 = 45р2 + 180^.; fh = П.ю = П? = rfo.e = 15/105 v;
г9*9 = 45р-2 + 180}г; f?7 = 525p2; rfo.lo = 525P"a; D.105)
rfi.ii = 525р2 + 504(х; rfi.ia = fh.u = 525v + 84^;
В результате интегрирования выражения B.19) с учетом со-
соотношений D.100), D.95) и данных табл. 4.2 получаем вектор
реакций от равномерно распределенной поверхностной нагрузки рг:
q pzab [it a1*-fLi ' -fLi Ь Д ]т
ь ^ |_ О О О О о О О J
D.106)
Определив обобщенные узловые перемещения D.98), можно
найти обобщенные напряжения D.74) в любой точке прямоуголь-
прямоугольника по формуле
Подставив в эту формулу координаты ? = 0 и тч = 0, опреде-
определим изгибающие моменты Мх, Му и Мху в центре прямоуголь-
прямоугольника.
Для вычисления истинных напряжений в точке, расположен-
расположенной на расстоянии z от срединной поверхности, используем фор-
формулы D.84).
В общем случае нагружен и я пластинчатых прямоугольных эле-
элементов матрицы и векторы формируют по правилам, изложенным
в подразд. 4.3. Общая их структура аналогична структуре ма-
матрицы и вектора реакций D.85), для их компонент справедливы
формулы D.97) — D.99) и D.102)—D.106).
Матрица масс. При вычислении матриц масс для прямоуголь-
прямоугольного конечного элемента в плоском напряженном состоянии функ-
функции формы [F] принимаем в виде D.91). При этом
[т] = ¦??*- '
-1 -1

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Выполнив интегрирование, получаем
4 0 2 0 2 0
phab
1 0"
0 4 0 2 0 2 0 1
2 0 4 0 10 2 0
0 2 0 4 0 10 2
2 0 10 4 0 2 0
0 2 0 10 4 0 2
10 2 0 2 0 4 0
.0 1 0 2 0 2 0 4_
При изгибе функцию формы принимаем в виде
[F] = [L (I, т,)] [Г],
где L (|, tj) — матрица-строка, элементами которой являются
полиномы D.96); [Zr1] — числовая матрица, элементы которой
приведены в табл. 4.2.
Матрица масс имеет вид
1 1
J. J
или
-']• D.107)
Здесь выражение в круглых скобках представляет собой единич-
единичную матрицу, поэтому
-1 -1
где (IL-ЧУ [L~4 =[/¦], причем
/"и = /4 = /"юдо = 3454; /"за = Гю — f»a = /*io,io = 80а2;
, , , ЙЛА2. _ _ _ _ 10ОА-
'22 — '55 — '11,11 — OUO , Гц — Г71 — '10,4 — '10,7 — 1Z*O,
Гы,\ = ^74 = 394; ги = /"идо = 461а; ^si = ^97 = —461а;
г» = г84 = 461Ь; г87 = Гц,ю = —4616; rn = ri2>7 = 274а;
'48 = /"юл = —274а; г72 = г10>, = 2746; г81 = rlll4 = —2746;
Г41 = Гы = 1996; г10,8 = гЦO = —1996; г7в = г11;4 = —2746;
Г94 = /0,8 = —166а; г7В = /0,2 = 1166; гы = гцд = —1166;
'вз = Гц,, = —60а2; г82 = г1ЬВ = —6062; r88 = rl%t = 40а2;

Типовые конечные алемеиты 87
ги = Гц* = 40Ь2; г9в = Г1М = —30а2; г8в = щ,, = —3062;
гее = Ы = 63а6; г32 = г12,ц •= —63а6; г11)8 = ги,а = 28аЬ;
^в = ^95 = —28а6; /-88 = гв2 = г11>9 = г12,5 = 42а&;
''58 = ГПЛ = Г12,8 = Г82 = —42й6.
Матрицы масс для прямоугольного элемента, работающего
в своей плоскости и на изгиб формируют аналогично матрицам
D.85) масс для треугольного элемента.
Матрица сопротивления. При вычислении матриц сопротив-
сопротивления используют те же формулы, что и при вычислении матрицы
масс, заменив в них плотность р коэффициентом сопротивления \х.
Матрицы теплопроводности и теплоемкости. Матрицу тепло-
теплопроводности [R ] D.29) для четырехугольного конечного элемента
вычисляют согласно схеме, показанной на рис. 4.13, т. е. сумми-
суммированием матриц теплопроводности для соответствующих тре-
треугольных элементов, определяемых по формуле D.88).
Аналогично, используя соотношения D.89) и D.90), получают
матрицу теплоемкости [С] D.30) и вектор правых частей F D.31)
для четырехугольного пластинчатого элемента.
4.5. Плоская задача теории пластичности
Принципиальный подход к решению плоской задачи теории
пластичности изложен в подразд. 2.2, причем при плоском напря-
напряженном состоянии векторы деформаций B.30) и напряжений B.31)
имеют вид е = [еце227]т; о = [ои о2а т]т, а интенсивности напря-
напряжений B.36) и деформаций B.37) определяются соотношениями
B.38).
Предположив, что материал нелинейно-упругий и справедлива
теория малых упругопластических деформаций, вместо основных
соотношений B.40) получаем
8ц = -щ- (CTu + стм) + -щ- ("и — ~2 °м) С1 **2)
=ihx' D> 108)
Линеаризация соотношений D.108) с помощью метода Нью-
Ньютона—Рафсона приводит к формуле B.42), в которой элементы
матрицы [C(s)] можно определить последовательным дифференци-
дифференцированием компонент вектора деформаций по компонентам вектора
напряжений:

88 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Опустив для простоты индекс s, из D.109) получим
где 5ц = он — 0,5а22 (I^t2).
Учитывая соотношения для секущего и касательного моду-
модулей, а также для интенсивности напряжений
oi = у оп — ацО22 + О22 + Зт2, получаем
д ( 1 \ _ д / ег \ dat _ / 1 dkt ej_\ 2au—а22 _
5an V ?0 / do* \ <^i / dan \ at dat aj J 2at
_a_ /_J_\ _3_ /_ег_\ _?аг_ _ /_J |_\ _3т_
3t V Ec J dot \ at J dx ~ \ EK Ec ) a] ¦
Окончательно на s-м приближении согласно методу Ньютона
Рафсона имеем
2ЕС
SuS
3 /1
СяЯ === ~гт Г" I ™ ~Fi I ^2
Для определения элементов матрицы [C(s+1)] на (s + 1)-м
приближении с помощью метода Ньютона—Рафсона необходимо
знать лишь компоненты вектора деформаций e<s> из предыдущего
приближения и зависимость ог (ег). Действительно, зная эти ком-
компоненты, по итерационным формулам
2 ?с~' . р_ 1-я , . v
а~Т ^ ' езз~ 1+2а ten-TeW'
(е3рз - е,,J + ^

Типовые конечные мементы 89
E^^ML; of, =¦§" #(*,-*) A^2); т" = -^ Y
определяем секущий Е^ и касательный ?kS> модули, а также на-
напряжения о**', о$, t(s). В качестве нулевого приближения при
реализации процесса D.110) выбираем
о
Вычислив элементы матрицы [C(s)] D.109), получаем соотноше-
соотношения типа B.42) и, решив их относительно напряжений, находим
o<H-i) = [D] e<s+» + о0, (
где [D] = [СО)]; о0 = a<s> — [D] e<s>.
Подставив D.71) в D.111), находим
Домножим обе части полученного равенства на Ah [В ]т:
Ah [BY o<s+'> = Ah [BY [D] [B] U<s+') + Ah [B]r a0. D.112)
В соответствии с D.69) произведение Ah [ВY ID] [В] яв-
является матрицей реакций [#<S+I>] конечного элемента. Произве-
Произведение N = Ah [В Y a(s+I> следует рассматривать как вектор обоб-
обобщенных реакций конечного элемента [4], а произведение Qos+1> =
= Ah [BYo0 — как вектор реакций на (s + 1)-м приближении,
обусловленный наличием вектора о0 D.111). С учетом сказанного
зависимость D.112) можно записать в виде B.1):
N = [tf(s+1)] U(s+1) + Qis+1).
В результате система уравнений на (s + 1)-м приближении
принимает вид
[p(s+i)j д(я+1) = т — QC+1),
где Т — вектор узловых нагрузок, постоянный для всех прибли-
приближений (остальные компоненты изменяются от приближения
к приближению).
4.6. Кольцевые элементы
Предположим, что тело вращения в цилиндрической системе
координат х, a2, r (рис. 4.20) претерпевает несимметричную де-
деформацию, причем перемещения точки, имеющей до деформации
координаты х, а2 и г, определяются величинами ut = ut (x, a2, г).

90
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
В этом случае выражения для компонент е,г1 тензора деформаций
имеют вид
_ dut . 1 <Эи2 . и8 _ dug
~дГ
дих
в *
ди3
Л-
дг
и*
г
818 - 1Г"+"
диа
D.113)
Предположим, что рассматриваемое тело вращения изготов-
изготовлено из цилиндрически ортотропного материала, для которого
зависимость между деформациями и напряжениями имеет вид
e = [D]o-bet. D.114)
Здесь е =
[8ц е22
1
Va_
0
0
0
ess
о =
е« =
_
e12 e2S
= [Оц CTi
1
~~е7
0
0
0
esi]T;
2 Озз Т,
Р2^ Ps?
Vis
1
0
0
0
2 Т28
11 0 0
0
0
0
1
0
0
tsiF;
0]т;
0
0
0
- 0
1
G2
0
0
0
0
0
0
1
D.115)
где ац и %u — компоненты тензора напряжений; $t — темпера-
температурные коэффициенты линейного расширения; Т — приращение
температуры; ?,• — модули упругости; v^ — коэффициенты
Пуассона; Gt — модули сдвига.
Соотношение, обратное зави-
зависимости D.114), имеет вид
a = [C](e-ef), D.116)
где [С] = [D I — матрица упру-
упругости цилиндрически ортотроп-
ортотропного материала.
Разложив внешние воздей-
воздействия в ряды Фурье по окружной
u,
Рис. 4.20

Типовые конечные элементы д]
координате а2, найдем компоненты щ (х, а2, г) вектора переме-
перемещений:
00 ОО
«1 = ^ю + 2 Urn cos naa + 2 Ult _„ sin шх2;
oo oo
"a = U*> + 2 t/«n sin пщ + 2 {/,, _n cos no,; D.117)
rt=l /1=1
OO OO
"s = ^so+ S Uancosna2 + 2 i/s>_„sinna2.
n=l n=l
Первые слагаемые в выражениях D.117) соответствуют осе-
симметричным составляющим, вторые — симметричным относи-
относительно плоскости а2 = 0, третьи — кососимметричным относи-
относительно плоскости а2 = 0.
Подставив выражения D.117) в формулы D.113), получаем
для симметричных слагаемых и n-й гармоники (индекс п для про-
простоты опущен)
en = -^- cos na2; e22 = — (ni/2 + Ua) cos na2;
^ е12 = (^- - -1 i/x) sina2; D.118)
1/ + ^ t/) sin na2;
7
Соотношения для кососимметричных слагаемых получаем из
D.118) заменой п на —n, cos па2 на sin na2 и sin ла2 на cos na2.
Соотношений D.115)—D.118) достаточно для формирования
конечно-элементной модели кольцевых суперэлементов.
Предположим, что поперечное сечение кольцевого супер-
суперэлемента расчленено на ns треугольных конечных элементов, со-
соединенных в пт узлах. Примем, что к nq узлам приложены со-
сосредоточенные силы Qxi, Qa,t, Qrt (для n-й гармоники), положи-
положительные направления которых совпадают с положительными
направлениями осей х, а2, г, а к пр сторонам конечных элемен-
элементов — равномерно распределенное давление р0 для n-й гармоники.
Рассмотрим /n-й кольцевой конечный элемент треугольного
поперечного сечения, связанный с t-м, /-м и &-м узлами. Переме-
Перемещение каждого узла имеет три компоненты: 6S = \us vs ws V
(s = i, j, k)\ девять компонент узловых перемещений m-го конеч-
конечного элемента образуют вектор
6т = [6] Ь) Ы]\

92
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Функциональная зависимость перемещений от окружной ко-
координаты а2 определяется формулами D.117). Перемещения лю-
любой точки поперечного сечения при фиксированном значении а2
можно однозначно определить компонентами вектора бт. Сог-
Согласно [4]
U (х, а,, г) = [N] бт> D.119)
где U = [Ux U2 Ua]T;
~ Nt О О JV, 0 0 Nh
[Щ = -il_ 0 Nt 0 О JV, О О
|_ О О JV* 0 О JV, О
cos шх2 0 О
[zo] =
Функция
0
О
sin шх2 0
0 cos a2
формы имеет вид
ЛГ« = а, + Ь,х
XftO; bt = о — rft;
А =
0
Nk
0
1
1
1
0
0
Nh
Xi
Xj
xk
У
Tl
r
D.120)
где аг = дг/ft — XftO t о ;
Функции iV^ и Nh получаем из D.120) циклической перестанов-
перестановкой индексов i, j, k.
Подставив D.119) в соотношения D.118), устанавливаем за-
зависимость между деформациями и узловыми перемещениями коль-
кольцевого конечного элемента: е = [Z] [В] Ьт, где В = [Bt Bj Bk];
в,=
2A~
о
о
о
г*.
о
о
О (cs-}iVs) --ь^,
:. О ft.
(s = t,
' cos па2 О О
О cos /га2 О
О 0 cos /га2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
О
О
О
sin /га2
О
О
О
О
О
О
sin па2
О
О
О
О
О
О
sin /га2 _

Типовые конечные мемеиты
93
Для построения матрицы реак-
реакций IR] используем формулу
2я
[tf] = J \[BY[Z][C][Z][B]rdrxdxxt=
АО
= \[BF[C'][B]rdrdx,
D.121)
где [С*Г= 2я [С].
Матрица [В] содержит функ-
цнн координат и не может быть
вынесена за знак интеграла D.121).
Матрицу [R ] можно определить, зная матрицу [В ] для центра
поперечного сечения элемента:
Рис. 4.21
= [BYlC'][B]rcA,
D.122)
где чертой сверху помечено приближенное решение.
Вектор-столбец, связанный с температурными деформациями et
для n-й гармоники, определяем по формуле
2л
ftn =
Применив описанный способ, находим
ftn = [B]T[C*]ztrcA. D.123)
Если на сторону ij конечного элемента (рис. 4.21) действует
равномерное давление р0 для n-й гармоники, следует перейти
к проекциям равнодействующей этого давления:
iPn = 1ры 0 piT pjx 0 pJr 0 0 Of,
приложенной к узлам i и /.
Интеграл, включающий поверхностные нагрузки, вычисляем
с помощью L-координат:
2Л
I
[NY
рх cos na2
О
рт cos
г dL da2,
где рж, рг — компоненты поверхностной нагрузки в направле-
направлениях х и г.

94
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Для стороны между узлами i н /, вдоль которой Nh = О,
имеем
1рп
О
D.124)
о
о
о
где Ltl — длина стороны ij\ а -- 2л при п = 0; а = л при п Ф
Если учесть, что pxLu -¦ pnhr\ prLt] = pohx, где hr = r; —
/tx = .fy — д:(. то иыражснпс D.123) можно записать в виде
hrCrj~\ 2hr)-
0
0.
1 рп
hx(s.
hrVn + K)
0
D.125)
0
0
0
При этом давление р0 считаем положительным, если его со-
составляющая рх вдоль оси х положительна.
Таким образом, матрицу реакций [R ] для кольцевого элемента
треугольного поперечного сечения вычисляем по формуле D.122),
вектор-столбец ft, связанный с температурными деформациями, —
по формуле D.123), вектор-столбец fp, связанный с нагрузкой
на сторону ij, — по формуле D.125).
4.7. Объемные элементы
Рассмотрим трехмерные континуальные конструкции, расчет-
расчетную схему которых можно представить в виде композиции из
четырех-, пяти- и шестигранных конечных элементов. На любой
узел в конструкции в общем случае может быть наложено три
жестких (илн упругих) линейных связи. В качестве внешних

Типовые конечные мемеиты
95
О
воздействий принимаем сосредоточен-
сосредоточенные узловые силы, массовые нагрузки
и температурное поле.
На рис. 4.22 показан четырехгран-
четырехгранный (тетраэдральный) конечный эле-
элемент ijkl в глобальной системе коор-
координат ОХгХгХа. Локальные номера
узлов 1, 2, 3, 4 соответствуют буквен-
буквенным обозначениям i, /, k, I. Обход
узлов ijk следует выполнять против ча-
часовой стрелки, если смотреть со сто-
стороны последнего узла /. Компоненты перемещения
ной точки элемента с координатами х1г
вить в виде вектора
и = [ых иу uzY. D.126)
Перемещения узловых точек обозначим и с индексом, соответ-
соответствующим рассматриваемому узлу, например
Рис. 4.22
произволь-
можно предста-
= [их
f (m = i, j, k, I).
Полный вектор узловых перемещений элемента
Координаты узловых точек образуют матрицу
1 xlt xit xai
D.127)
D.128)
D.129)
1 XXj X2j Xaj
1 xlh xih xak
1 Хц Хц Xai J
Линейную аппроксимацию поля перемещений обеспечивают
полиномиальные зависимости
u = [a][l Xl xt xaY, D.130)
где [а] — матрица постоянных коэффициентов, значения которых
можно найтн в результате решения системы линейных алгебра-
алгебраических уравнений, полученных из соотношений D.130) подста-
подстановкой узловых перемещений D.127) и координат узловых
точек D.129):
[а] = 1*цЪл = [а, <ц о,]'. D.131)
Систему уравнений D.130) с учетом D.129) и D.131) можно
записать в виде
пх = [uxi ux] ихк их1у = [С] ах;
uy = ["yi uyJ uyh uyl]T = [C]ai;
uz = [uzi uzt uzh uzlf = [С] а8,

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
откуда искомые коэффициенты
a1 = [C]-1ux; о, =
Матрица, обратная [С]:
^ = I
u2. D.132)
1Л4,4>
где | С | = QV — определитель матрицы [С], равный шести объ-
объемам V тетраэдрального элемента; Ctj — алгебраическое допол-
дополнение элемента ctj в матрице [С], т. е. взятый с множителем
(—1)с+1 определитель, полученный из [С] вычеркиванием i-й строки
и /-го столбца. В результате вычислений получаем
где
at =
[С] =
xlj X2j
Xih Хгк
Хц X%i
1
~W
X3j
хзк
ха1
Cl
ьк
dh
-di_
ct — Cls
* = cM=
! = Сц =
Xij X3j
xlh Xah
Хц Xal
•*lfc X2h
xll X2i
1 X
1 X
1 X
2j X8J
2h x3h
21 Xsi
D.133)
D.134)
остальные элементы матрицы D.133) можно получить круговой
перестановкой индексов в формулах D.134).
В результате получаем формулу, связывающую узловые пере-
перемещения D.128) с координатами и перемещениями произвольной
точки элемента:
и =
At
0
0
0
At
0
0
0
Л ¦
—A]
0
0
0
—Aj
0
0
0
—A
Ah
,0
, 0
0
Ah
0
0
0
A
где Лт = -й1Г(ат
х^ +
—а; о о
о —л, о
.. о ¦ о -л, j
Необходимо отметить, что в работе [4 ] не указано, что значе-
значения A j и Л; можно получить не только круговой заменой индексов,
но и заменой знаков, как это следует из выражения для и.

Типовые конечные элементы
97
Так как вектор деформаций для произвольной точки элемента
е = [вх еу е2 уху чуг yzx]T D.135)
связан с перемещениями D.126) зависимостями
[дих dtiu
дхх дх2
дуг
Ух | диу диу .
г- I Яг, Яг Г
диг
дх3 дх2 ' дхх дх3 Г дх2 дхх
то после дифференцирования получим соотношение
e = [B]U,
где
D.136)
bt
0
0
0
dt
0
Cj
0
bi
dt
0
0
0
dt
0
0
ft.
-ft,-
0
0
—Ci
0
-d.
0
~ci
0
-ft;
—d-i
0
0
0
—d
0
0
—ft.
0
/ °
ck
0
f dk
0
0
bh
dk
0
0
0
dk
0
0
-ft.
0
0
—ci
0
-dt
0
—c.
0
—dt
—d,
0
0
0
0
0
D.137)
Так как матрица [В] не зависит от текущих координат, для
тетраэдрального элемента
= IBYID][B]V. D.138)
Здесь [D ] — матрица упругости порядка 6, ненулевые элементы
которой для изотропного материала равны:
Вектор реакций объемного элемента обусловлен действием
массовых н температурных нагрузок:
Q = Qp + Qf. D.139)
Поверхностные нагрузки обычно приводятся к эквивалентным
узловым силам [4].
Если конечный элемент, выполненный из материала с изве-
известным температурным коэффициентом линейного расширения at,
находится под действием температурного поля с перепадом тем-
температур А*, вектор начальных температурных деформаций имеет
внд
et = atAt[l 1 1 0 0 Of, D.140)
4 П/р В. И. Мяченкова

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
тE)
nF)
mE)
Рис. 4.23
а обусловленный нм вектор реакций —
Рис. 4.24
Прн действии массовых (объемных) нагрузок
Р = [pi Рг РзГ.
D.141)
D.142)
положительные направления которых совпадают с положитель-
положительными направлениями глобальных осей Хи Х2, Ха, необходимо
учитывать вектор реакций
QP = 4"
PiPiPaV-
D.143)
На рис. 4.23 показан призматический пятигранный конечный
элемент ijklmn в глобальной системе коордннат ОХ1Х2Х8. Локаль-
Локальные номера узлов 1,2, 3, 4, 5, 6 соответствуют буквенным обозна-
обозначениям i, /, k, I, m, п. Обход узлов ijk следует выполнять по часо-
часовой стрелке, если смотреть со стороны узла /. Грани треугольников
ijk и 1тп соединены ребрами il, jm н kn.
Для вычисления матрицы реакций такого элемента разобьем
его на три тетраэдра, имеющих вершины в узлах пятигранника.
Число тетраэдров, которые можно вписать в пятигранник, равно 12
A325, 1465, 3465, 3214, 2654, 3216, 1635, 1435, 3624, 3524, 1246,
1256). Независимых вариантов разбиения шесть: 1325—1465—
1635; 2654—3216—1246; 1465—3216—1256; 1325—3465—1435;
3465—3214—3524; 3214—2654—3624. Первые шесть тетраэдров
входят в указанные варианты по 2 раза, последние шесть — по
одному, поэтому вычисляем матрицы реакций D.138) для всех
тетраэдров, для первых шести удваиваем их и общую сумму
делим на 6.
В результате усреднения получаем матрицу реакций для
пятигранного элемента. Она не совпадает с аналогичной матрицей,
построенной непосредственно для пятигранника, но погрешность
вычисления вполне приемлема для практических инженерных
расчетов.

Типовые конечные мементы 99
Аналогично можно вычислить вектор реакций D.139), исполь-
используя формулы D.140)—D.143).
На рис. 4.24 показан шестигранный конечный элемент
ijktmnps в глобальной системе координат OXjXjjXg. Локальные
номера узлов /, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 соответствуют буквенным обозна-
обозначениям t, /, k, I, m, n, p, s. Обход узлов ijkl следует выполнять
по часовой стрелке, если смотреть со стороны узла т. Грани
четырехугольников ijkl и mnps соединены ребрами im, jn, kp
н Is.
Для вычисления матрицы реакций используем тот же прием,
что и для пятигранных элементов. Число независимых вариантов
разбиения шестигранника на пять тетраэдров равно двум: 2136—
4183—5168—7386—6138; 1254—3247—6275—8457—7245. Следо-
Следовательно, вычисляем матрицы реакций для десяти перечисленных
тетраэдров и нх сумму делим пополам. В результате усреднения
получаем матрицу реакций для шестигранного элемента.
Аналогично можно вычислить матрицу н вектор реакций
D.139), используя формулы D.140)—D.143).
После компоновки разрешающей системы уравнений и ее
решения получаем все компоненты узловых перемещений кон-
конструкции, а по ним — любые параметры НДС. В частности,
вектор деформаций D.135) определяем по формуле D.136), вектор
напряжений
о = [ах о у az %xv %уг т2х]т D.144)
— по формуле
a = [D]e. D.145)
При вычислении характеристик напряженного состояния
D.144) пяти- и шестигранных конечных элементов можно разбить
их на составляющие четырехгранники, вычислить для них по
формуле D.145) соответствующие напряжения и усреднить их
сумму.
4.8. Тонкие оболочечные элементы
Предположим, что координатная поверхность тонкостенной
оболочки определяется гауссовыми криволинейными координа-
координатами ах и а4, соответствующими коэффициентами Ламе Ах (а1? а2)
н А2 (аъ а2), а также главными кривизнами kx (ax, а2) и k% (ах, а2).
Рассмотрим конечный элемент, образованный координатными
линиями ах = const и а2 = const (рис. 4.25). Введем обозначе-
обозначения [61:
,_ 1 Э(...) . , .. _ 1 Э(...) .
{•••' ~ Аг дах ' (---> ~ А2 даг '
а _ 1 дАг . „ _ 1 di4t
Pl ~ /Ma dat ' Ра ~ АхАг да2 '

100
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Тгг
Рис. 4.26
Углы поворота нормали к координатной поверхности оболочки
выразим через перемещения и, v, w:
0Х = —w' + kxu; 02 = —w +
D.146)
Положительные направления перемещений и, v, w и углов
поворотов 0!, 02 показаны на рис. 4.25.
Деформации координатной поверхности связаны с перемеще-
перемещениями и, v, w соотношениями
= и' + р> + kxw; Егг = v
Е12 = v' — р2
Pi" +
D.147)
и- —
Изменение кривизны н кручение координатной поверхности
связаны с перемещениями и, v, w и углами поворотов 0Ь 02 соот-
соотношениями
Кп = 01 + Р202; К22 = 02 + Pi0i; D.148)
Кп = 0i - Pi02 + k2 (vr — psu) + 02 - P20i + ki (u- - p,o).
Компоненты деформации в точке оболочки, расположенной
на расстоянии z от координатной поверхности, связаны с компо-
компонентами тангенциальной D.147) и изгибной D.148) деформации
этой поверхности соотношениями
et, = Et, + zKtj (i=l, 2; /=1, 2).
Пусть оболочка состоит нз нескольких ортотропных слоев
(рис. 4.26) и главные направления упругости совпадают с направ-
направлениями координатных линий аг и <x%. Тогда внутренние силы
н моменты, приведенные к координатной поверхности оболочки,
связаны с компонентами тангенциальной и изгибной деформации
соотношением
N = [D]e,

Типовые конечные элементы
101
где N = [Тгг Г22 S Ми М2г Ну, е = [Е1% Е22 Е
22 Е12
0
0
о
^ D® О
О О DH
Симметрично Dfi D& О
DiV О
/зз
D.149)
Положительные направления сил Гп, Г22, S и моментов М1Ъ
М22, Н показаны на рис. 4.26.
Коэффициенты квадратной симметричной матрицы [D ] вы-
вычисляем по формулам (k = 0, 1,2)
^ i »~vb
J
где ?{ и Е[ — модули упругости в направлениях ах и а2; v{ и \\ —
соответствующие коэффициенты Пуассона; G1 — модуль сдвига
в плоскости г = const.
Пронумеруем узлы оболочечного конечного элемента, как это
показано на рис. 4.27. Зададим поле перемещений внутри конеч-
конечного элемента
Здесь [lu] = [1
В(Б.
О
О
Т)];
Л)
О
-¦(Б.
О
] =
л)
[1
Z
•и
л
О
О
(Бь
л!
л)
];
D.150)
Y = lYi Ti • • • Yw Y»]T;
= — 1 + 2 (^ — alt)la; r\ = — 1 + 2 (о„ —
a = ctlj — alt; b = a2ft — a2i;
«i = «n + a A + ?)/2; a2 = о^г + Ь A
D.151);

102
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
где у — вектор неизвестных ко-
коэффициентов; [Lw (I, т])] — ма-
матрица-строка, элементами кото-
которой являются полиномы D.96).
В качестве узловых обоб-
обобщенных перемещений рассмот-
рассмотрим пять компонент: линей-
линейные перемещения ит, vT, wr и
углы фг, i|v поворота нормали
(г = 1, 2, 3, 4). Их положительные направления показаны на
рис. 4.27.
Компоненты вектора обобщенных перемещений
где иг|„ = [ur vr wr <pr г|зг]т (r = 1, 2, 3, 4), связаны с перемеще-
перемещениями D.150) соотношением
[Lr (lr, Цг)] =
" L
Л'
Подставив в
иг5т) =
= [Lr(
и (lr, Цг) 0
0 Lv (lr,
0 0
0 — k%Lv i
-•и (Sr> Цг) 0
соотношения D.
получаем зависимость
и6л =
lr, Цг)] Y.
0
цг) о
Ег. Цг) L'w (g,, т],.)
— Li^, Лг)_
•
152)—D.155) полиномы
'Ml-
Решив систему алгебраических уравнений D.154)
тельно вектора "у
где
, находим
Т ILVWfr =
I
4
1
60 К
- [М] U|tl,
- мы -
ГЛ/f Т
105 [Жг]
D
D
D-
D
152)
153)
51),
154)
относи-
Матрицы [Mi ] и Ш2 ] приведены в табл. 4.3 и 4.4, где пустые
клетки соответствуют нулевым элементам.
Таким образом, перемещения любой точки координатной
поверхности конечного элемента в ортогональной системе коорди-
координат связаны с обобщенными перемещениями его узлов соотно-
соотношением
UG,T\) = lLford][M]Uto, D-155)
причем матрица [М ] — числовая.

Типовые конечные элементы
103
Таблица 4.3
1
—1
—I
1
1
—1
— 1
I
1
1
—1
—1
I
1
— 1
—1
1
— 1
1
— 1
1
—1
1
— 1
1
1
1
1
1
1
1
1
Подставив соотношение D.155) в выражения D.147)—D.148)
для обобщенных деформаций, с учетом формул D.146) и D.150)
получаем
е = [В (|, лI [М] U|T1.
Матрица 1В] приведена в табл. 4.5.
Производные от матриц [Lu], [Lo], [Lw] вычисляются эле-
элементарно.
Матрица реакций оболочечного конечного элемента в орто-
ортогональной системе координат
J
snl = J J ШУ [BY [D] [В] [М] АгА2 da da2 = -^- [MY [R*] [M],
D.156)
где
[#*] = J J [В (Б, т])Г [D (|, л)] [В (I, т])] Ах F, л) Аа (I, л) d\ dr\.
D.157)
Предположим, что распределенные по координатной поверх -
ности нагрузки
Р (Б. П) =
~Р\ (&> Л)"
Рг (I. Л)
.Л (?> П).

104
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
J
Е
-
Е
J
сч
•т
ж.
-
сч
-
*?
•2s
-
»—1
.—»
1
СО
7
7
7
7
СО
7
-
СО
-
7
7
»—i
со
»—i
-
|о
ю
СО
ю
СО
СО
т
со
ю
—36
ю
со
ю
СО
СО
ю
СО
ю
—36
ю
I
1со
ю
СО
СО
1
т
т
СО
СО
ю
ю
-36
¦т
ю
ю
т
-36
ю
|Ю
|СО
7
7
-
-
7
7
-
S
ю
-
1
^«
1
7
-
—14
7
7
7
—14
7
-
7
-
-
о
1
1
7
i
-
-
-
'г
-
7
-
1
i
7
7
-
7
СО
»—1
.—<
1
7
-
7
-
-
7
it-
7
7
-
t ^ \
-
7
7
5/7
7
7
7
7
7
7
7
I
7
Iю
СО
-
7
-
7
7
-
7
-
|ю
СО
7
7
-
-
7
.—»
1
-
-
|л
СО

PA,
klLu + kxLu
ma.
2*1 (Lu - P2Z.U)
Типовые конечные элементы
МЛ
2^o "г о
2й2 (z,; - р^„)
Т
л
К + 9
а б л и ц а
0
-Р2^
- Pi^
2^ + Р.^
105
4.5
обусловливают вектор реакций
Q|T1 =
[My[L(l,
где
l l
Q* = j [ [L (Б, T])f p (g, ti) Л! (Ь, л) Л F,
ii
D.158)
Числовые значения элементов матрицы IR* ], определяемой
соотношением D.157), получаем как решение задачи Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
d { d [R*]
D.159)
где / (I, ti) = [В (Б, ti)]t Ю (Б, ЛI [В (Е, ЛI А (Б, л) Л2 (Б, л),
на интервалах Б € [—1. П. Л € [—1. П с начальными данными
(_!,-1)] = 0.
D.160)
Задачу Коши D.159)—D.160) решаем с помощью метода
Кутта — Мерсона, согласно которому на t-м шаге интегрирования
по | и /-м шаге интегрирования по г\ имеем (рис. 4.28)
а,
0 (а8,

106
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
/
1
a--Li,
"¦
0
У/л
1*1
V/,
1
-/
-1
Рис. 4.28
где [R* (|г, т]г)] — матрица коэффициентов, накопленных к ij'-щ
шагу интегрирования; AR — матрица добавок на ij-ы шаге:
AR =-5н-
Алгоритм вычисления интегралов вида
1 1
[Z]= \ \[f(x,y)]dxdy
1 1
\ \
—1 —1
реализован в виде стандартной процедуры на языке ПЛ-1:
KTXYM: PROC (N, M, FCT, Z);
DCL Z ( * , *) FLOAT A6), ЕСТ ENTRY;
DCL (X,Y,DX,DY,F (N,N)) FLOAT A6),I,H,J,J1,KX,KY;
Y=—1; KY=1; DX, DY=1/M; Z=0;
CALL PROCX;
DO J= 1 TO M;
DO Jl = 4,2;
KY=J1; Y=Y+DY;
IF J=M&J1=2 THEN KY=1;
CALL PROCX;
END;
END;
Z=Z * DX+DY/9;

Реализация иа ЭВМ 107
PROCX: PROC;
Х=—1; КХ=1;
CALL FCT (X,Y,F); Z=Z+KX * KY *F;
DO 1=1 TO M;
DO 11=4,2;
KX=I1; X=X+DX;
IF I=M&I1=2 THEN KX=1;
CALL FCT (X.Y.F); Z=Z+KX * KY *F;
END;
END;
END PROCX;
END KTXYM;
Формальные параметры этой процедуры имеют следующий
смысл:
N — порядок матрицы [Z ];
М — число шагов интегрирования по координатам хну;
FCT — процедура вычисления подынтегральной матрицы
[И*. уI
Заголовок процедуры FCT имеет вид
FCT : PROC (X, Y, F); DCL (X, Y, F (.,.)) FLOAT A6);
Формальные параметры этой процедуры X и Y означают
текущие значения координат х и у. В результате реализации
процедуры FCT массив F (N, N) должен содержать числовые
значения элементов матрицы If (х, у)].
В результате реализации процедуры KTXYM массив Z (NN)
содержит элементы матрицы [Z].
Аналогично вычисляем компоненты вектора Q* D.158).
5. РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ
5.1. Вводные замечания
Приведем описание программных модулей (см. прил.), реализу-
реализующих алгоритмы, данные в гл. 4, а также краткое описание
основных параметров и массивов,, характеризующих исход-
исходные данные.
Для описания конечных элементов вводим обобщенные пара-
параметры, не зависящие от вида конечного элемента. Например,
NS — число конечных элементов. Если конструкция представляет
собой композицию конечных элементов различных видов, вводим
уточняющие идентификаторы и массивы (NS2 — число стержневых
элементов', NS3 — число треугольных пластин и т. д.). Размер-
Размерности всех исходных массивов даны применительно к простран-
пространственной задаче.
При ознакомлении с последующими подразделами, посвящен-
посвященными описанию соответствующих процедур, необходимо иметь
в виду следующее:

108 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
все тексты процедур, на которые даны ссылки в настоящей
главе, приведены в приложениях;
в текстах всех процедур описаны основные формальные пара-
параметры, поэтому в тексте соответствующих подразделов описание
этих параметров не приведено;
матрицы демпфирования вычисляются аналогично матрицам
масс (с заменой плотности коэффициентом сопротивления), по-
поэтому тексты процедур вычисления матриц демпфирования не
приведены.
5.2. Описание основных параметров
и массивов исходных данных
При составлении расчетной схемы конструкции вводят следу-
следующие основные параметры:
NR — число узловых элементов (узлов);
NR1 — число дополнительных (фиктивных) узлов ориентации
(вводится для описания только стержневых элементов и служит
для определения положения в пространстве главных осей инерции
сечения стержня);
NA — число узлов, компоненты вектора перемещений кото-
которых равны нулю (число жестких опор);
NS — число конечных элементов;
NC — число типов конечных элементов;
NM — число сосредоточенных узловых масс;
NQL — число вариантов нагружений, при которых рассчиты-
рассчитывается конструкция;
NSW — число упругих опор;
NCW — число типов упругих опор;
NSE — число упругих связей между узлами конструкции;
NCE — число типов упругих связей;
ND — число стержневых элементов, скрепленных с узлами
так, что некоторые компоненты вектора перемещений отсутствуют;
NX — число стержневых элементов, скрепленных с узло-
узловыми эксцентрично.
Расчетная схема конструкции описывается массивами исход-
исходных данных, которые можно разделить на две группы: для описа-
описания узловых и конечных элементов.
К массивам первой группы относят:
массив координат узловых элементов X (NR + NR1,3), в t-й
строке которого размещаются координаты узла с порядковым
номером i в глобальной системе координат;
массив жестких опор NB (NA, 0:6); элемент NB (К, 0) этого
массива должен содержать порядковый номер i узла, некоторые
компоненты вектора перемещений которого равны нулю; элемент
NB (К, J) (J = 1, 2, ..., 6) содержит нуль, если /-я компонента

Реализация иа ЭВМ Ю9
вектора перемещений неизвестна, и единицу, если эта компонента
равна нулю;
массив упругих опор NHW (NSW, 2), в t-й строке которого
размещаются номер узла, упруго связанного с неподвижным
основанием, и номер типа упругой опоры;
массив характеристик упругих опор GSW (NCW, 3), в t-й
строке которого размещаются характеристики (коэффициенты
жесткости) опоры t-ro типа;
массив упругих связей NHE (NSE, 3), в t-й строке которого
последовательно размещаются для упругой связи с порядковым
номером t: номера узлов, соединяемых упругой связью, и номер
типа этой связи;
массив характеристик упругих связей GSE (NCE, 3), в 1-й
строке которого размещаются характеристики (коэффициенты
жесткости) упругой связи t-ro типа;
массив узловых масс QM (NM, 0:4), в k-й строке которого
последовательно размещаются: порядковый номер t узлового
элемента, в котором размещена сосредоточенная масса, численное
значение этой массы, а также моменты инерции этой массы отно-
относительно локальных осей координат;
массив чисел NL (NQL), в t-й строке которого размещается
число нагруженных узловых элементов при t-м варианте нагру-
жения;
массив узловых нагрузок QR A : SUM (NL), 6), в t-й строке
которого последовательно размещаются: номер / узлового эле-
элемента, к которому приложены внешние сосредоточенные силовые
факторы, а также численные значения этих факторов.
К массивам исходных данных второй группы относят:
массив топологии NH (NS, L), в р-й строке которого для конеч-
конечного элемента с номером р последовательно размещаются: номера
узлов, с которыми связан этот конечный элемент, и номер типа
этого элемента (L = 4 для стержней и L = N -{- I для всех
остальных видов элементов, где N — число узлов в одном эле-
элементе);
массив характеристик конечных элементов GS (NC, К), в t-й
строке которого размещаются характеристики конечного элемента
t-ro типа (для стержней К = 6 (A, Jz, Jy, Jh, E, at), для пластин
К = 4 (h, E, v, at), для объемных элементов /С = 3 (Е, v, at);
массив чисел NLS (NQL), в t-й строке которого размещается
число нагруженных конечных элементов при t-м варианте на-
гружения;
массив нагрузок QS A : SUM (NLS), К), в t-й строке которого
последовательно размещаются: номер / конечного элемента, к ко-
которому приложены внешние нагрузки, а также значения этих
нагрузок (/С = 5 для стержневых элементов; /С = 4 для пластин-
пластинчатых и т. д.).

ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Кроме указанных массивов, которые описывают все виды
конечных элементов, для описания стержневых элементов вводят
два дополнительных массива:
массив, учитывающий условия крепления стержневого эле-
элемента к узловому NF(ND, 0: 12); элемент NF(J, 0) этого массива
содержит порядковый номер / стержневого элемента, имеющего
крепление с прилегающими узловыми элементами, отличное от
жесткого; остальные 12 элементов /-й строки массива NF (*, *)
должны быть заполнены нулями или единицами; элемент NF (J, I)
должен содержать единицу, если /-й стержневой элемент скреплен
шарнирно так, что отсутствует ограничение на t'-ю компоненту
вектора перемещений, и нуль в противном случае;
массив эксцентриситетов XS (NX, 0 : 6), в i-fi строке которого
последовательно размещены: порядковый номер р-го стержневого
элемента, эксцентрично скрепленного с узловым; эксцентриситеты
точки крепления начала р-го стержневого элемента с узловым;
эксцентриситеты крепления конца р-го стержневого элемента
с узловым.
5.3. Прямолинейные стержневые элементы
Процесс вычисления матрицы и векторов реакции р-го стерж-
стержневого элемента в глобальной системе координат состоит из четы-
четырех этапов:
вычисление длины стержневого элемента и матриц преобразо-
преобразований при переходе от локальной системы координат стержня
к глобальной системе координат конструкции с помощью про-
процедуры PR001;
вычисление матрицы и векторов реакций в локальной системе
координат с помощью процедуры PR002;
преобразование матриц и векторов реакций с помощью про-
процедуры PR003 в соответствии с условиями прикрепления этого
элемента к узловым;
вычисление матрицы и векторов реакций в глобальной системе
координат с помощью процедуры PR004.
В результате выходные параметры процедуры PR004 при-
принимают следующие значения: R B*N, 2*N) — массив, со-
содержащий элементы матрицы реакций р-го стержневого элемента;
Q B*N, NQL) —массив, столбец Q (*, К) которого содержит
компоненты вектора реакций для fe-ro нагружения; N — число
степеней свободы в узле.
Порядок вычисления матрицы масс р-го стержневого элемента-;
определение длины элемента и матрицы преобразований с по-
помощью процедуры PR001;
вычисление матрицы масс элемента в локальной системе коор-
координат с помощью процедуры PR002M;

Реализация иа ЭВМ . |||
преобразование матрицы масс с помощью процедуры PR003M
в соответствии с условиями прикрепления стержневого элемента
к узловым;
вычисление матрицы масс элемента в глобальной системе
координат с помощью процедуры PR004M.
Матрицы и векторы теплопроводности и теплоемкости вы-
вычисляются с помощью процедуры MR002T.
5.4. Плоские пластинчатые элементы
Треугольные элементы. Для получения матрицы и вектора
реакций р-го треугольного элемента в общем случае нагружения
(при плоском напряженном состоянии и изгибе) вычисляют:
геометрические параметры элемента и матрицу преобразований
при переходе от локальной системы координат элемента к гло-
глобальной с пом ощью процедуры PRCSC;
матрицу и векторы реакций треугольного элемента, работа-
работающего в своей плоскости, в локальной системе координат с по-
помощью процедуры MR002 и вспомогательной процедуры МВ002;
матрицу и векторы реакций элемента, работающего на изгиб,
в локальной системе координат с помощью процедуры MR003
и вспомогательной процедуры МВ003;
матрицу и векторы реакций треугольного элемента для общего
случая нагружения в локальной системе координат с помощью
процедуры MTR36;
матрицу и векторы реакций элемента для общего случая
нагружения в глобальной системе координат с помощью про-
процедуры MTRRQ.
В результате выходные параметры процедуры MTRRQ при-
принимают следующие значения: R A8, 18) — массив, содержащий
элементы матрицы реакций для р-го треугольного конечного
элемента; Q A8, NQL) — массив, в столбце Q (*, К) которого
размещаются компоненты вектора реакций для &-го нагружения
р-го треугольного элемента.
Порядок вычисления матрицы масс р-го треугольного элемента
для общего случая нагружения:
определение геометрических параметров и матрицы преобра-
преобразований с помощью процедуры PRCSC;
вычисление матрицы масс элемента, работающего в своей
плоскости, в локальной системе координат с помощью процедуры
MTR32M;
вычисление матрицы масс элемента при изгибе в локальной
системе координат с помощью процедуры MTR33M;
вычисление матрицы масс элемента для общего случая нагру-
нагружения в локальной системе координат с помощью процедуры
MTR36M;

112 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
вычисление матрицы масс элемента для общего случая нагру-
жения в глобальной системе координат с помощью про-
процедуры MTRM0.
Матрицы и векторы теплопроводности и теплоемкости для
р-го треугольного элемента в глобальной системе координат
вычисляются с помощью процедуры MR003T.
Матрица и векторы реакций треугольного конечного элемента
для очередного приближения по методу Ньютона — Рафсона при
решении плоской задачи теории пластичности вычисляются с по-
помощью процедуры MTRP2. Для вычисления матриц связи де-
деформаций и перемещений, компонент вектора деформаций и век-
вектора, корректирующего свободный член разрешающей системы
линейных алгебраических уравнений для очередного приближе-
приближения, в процедуре MTRP2 используются две вспомогательные
процедуры: MTRBB и MTRD2.
Прямоугольные элементы. Для получения матрицы и векторов
реакций р-го прямоугольного элемента в общем случае нагруже-
ния (при плоском состоянии и изгибе) вычисляют:
геометрические параметры элемента и матрицу преобразований
при переходе от локальной системы координат элемента к глобаль-
глобальной с помощью процедуры PRCSC;
матрицу и векторы реакций элемента, работающего в своей
плоскости, в локальной системе координат с помощью процедуры
MTR42;
матрицу и векторы реакций элемента, работающего на изгиб,
в локальной системе координат с помощью процедуры MTR43
и вспомогательной процедуры MATRL;
матрицу и векторы реакций элементов для общего случая
нагружения в локальной системе координат с помощью про-
процедуры MTR46;
матрицу и векторы реакций элемента для общего случая
нагружения в глобальной системе координат с помощью про-
процедуры MTRRQ.
Процедуры PRCSC и MTRRQ являются общими для треугольных и прямо-
прямоугольных элементов. Для их отличия вводится формальный параметр NK, рав-
равный числу узлов рассматриваемого элемента.
В результате выходные параметры процедуры MTRRQ при-
принимают следующие значения: R B4, 24) — массив, содержащий
элементы матрицы реакций для р-го прямоугольного элемента;
Q B4, NQL) — массив, в столбце Q(*, К) которого распола-
располагаются компоненты вектора реакций для &-го нагружения р-го
прямоугольного элемента.
Порядок вычисления матрицы масс р-го прямоугольного эле-
элемента:
определение геометрических параметров и матрицы преобра-
преобразований с помощью процедуры PRCSC;

Реализация иа ЭВМ ЦЗ
определение матрицы масс элемента при плоском напряженном
состоянии в локальной системе координат с помощью процедуры
MTR42M;
вычисление матрицы масс элемента при изгибе в локальной
системе координат с помощью процедуры MTR43M;
вычисление матрицы масс элемента для общего случая на-
гружения (при плоском напряженном состоянии и изгибе) в ло-
локальной системе координат с помощью процедуры MTR46M;
вычисление матрицы масс элемента для общего случая нагру-
жения в глобальной системе координат с помощью процедуры
MTRM0.
5.5. Объемные элементы
Матрица реакций четырехгранного элемента вычисляется с по-
помощью процедуры PRM04, в которой использованы вспомога-
вспомогательные процедуры;
MTRB4 — для вычисления матрицы связи векторов деформа-
деформаций и перемещений;
MTRD4 — для вычисления матрицы упругости изотропного
материала;
MTRMT — для перемножения прямоугольных матриц.
Матрица реакций пятигранного элемента вычисляется с по-
помощью процедуры PRM06, шестигранного — с помощью про-
процедуры PRM08, причем в процедурах PRM06 и PRM08 исполь-
использована процедура PRM04.
Матрицы масс четырех-, пяти- и шестигранного объемных
элементов вычисляются с помощью процедур PRM04 М, PRM06 М
и PRM08 М соответственно.
5.6. Кольцевые элементы
с треугольным поперечным сечением
Матрица и векторы реакций кольцевого элемента с треуголь-
треугольным сечением при решении осесимметричной задачи теории упру-
упругости вычисляются с помощью процедуры МТ0321, в которой
использована вспомогательная процедура MRDBS1. Вычисление
произведений прямоугольной матрицы на матрицы и вектор
осуществляется с помощью процедур MTRMT и MVECT соответ-
соответственно. Матрица масс кольцевого элемента вычисляется с по-
помощью процедуры МТ032М.
Матрица и вектор реакций кольцевого элемента для очередного
приближения по методу Ньютона — Рафсона при решении осе-
осесимметричной задачи теории пластичности вычисляются с по-
помощью процедуры МТА321, в которой при вычислении матрицы

114 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
и вектора реакций используются вспомогательные процедуры
MRCBS1 и MTDA3. Обращение квадратной матрицы выпол-
выполняется с помощью процедуры REVER.
6. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
УПРУГИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
6.1. Вводные замечания
Программный комплекс, обеспечивающий расчеты машино-
машиностроительных конструкций на прочность и жесткость, должен
включать в себя набор проблемно-ориентированных программ,
реализующих решение задач механики деформируемого твердого
тела для стержневых, пластинчатых, континуальных и комбини-
комбинированных систем, для упругого и линейно-упругого материалов,
в статической и динамической постановках.
Разработку каждой такой программы проводят в несколько
однотипных этапов: подготовка и ввод исходных данных; вы-
вычисление матриц и векторов, характеризующих поведение отдель-
отдельных конечных элементов; компоновка разрешающей системы
уравнений; вычисление компонент узловых перемещений (при
применении метода перемещений); вычисление компонент НДС
конструкции; вывод результирующей информации. Использование
инвариантной части программного обеспечения (см. гл. 3 и 5)
позволяет достаточно просто компоновать проблемно-ориентиро-
проблемно-ориентированные программы в зависимости от принятой постановки задачи.
Разработку такой программы рассмотрим на примере осесимме-
тричной задачи теории упругости.
Рассмотрим конструкцию (или ее элемент), представляющую
собой упругое тело вращения, расположенное на жестких или
упругих опорах, под действием внешних осесимметричных меха-
механических (сосредоточенных или распределенных) и температурных
нагрузок (рис. 6.1). Определим параметры НДС конструкции
или ее элемента.
При составлении расчетной схемы используем тороидальные
конечные элементы с треугольным поперечным сечением. По каж-
каждой узловой линии конструкции может быть приложена распре-
распределенная нагрузка,результиру-
нагрузка,результирующая которой имеет компоненты
Рх и Рт (на рис. 6.2, а это Рг и
Рг). На каждый элемент могут
действовать осесимметричные
массовые нагрузки с компонен-
компонентами X и R (на рис. 6.2, б это
Z и R) и температурная нагруз-
Рис. 6.1 ка. На любую грань конечного

НДС упругих оеееимметричных конструкций
115
г,
Ро
Рис. 6.2
элемента может действовать поверхностная нагрузка, например
давление р (рис. 6.2, б).
Для решения системы линейных алгебраических уравнений
применим метод ЬО?т-факторизации с учетом ленточной струк-
структуры матрицы, но без обращения к внешней памяти ЭВМ.
6.2. Внутреннее представление исходных данных
Состав и структура исходной информации для общего случая
нагружения установлены в гл. 5. Конкретизируем их для рас-
рассматриваемой задачи.
Параметры, носящие методический характер либо определя-
определяющие расчетную модель конструкции, имеют смысл:
АА— символьная строка формата А E5), в которой раз-
размещается название задачи в родительном падеже (перед ним на
титульном листе приложения программно размещается слово
РАСЧЕТ);
КТ — параметр формата подготовки исходных данных A —
данные готовятся во внешнем представлении; 2 — во внутреннем);
NP — номер приложения для комплекта документации по
расчету конструкции;
ММ — параметр формата печати A—для последующего ко-
копирования на ротапринте; 0 — формат обычного отчета);
ISD — параметр вывода на печать исходных данных A —
исходные данные выводятся на АЦПУ; 0 — не выводятся);
IND — параметр вывода на печать узловых перемещений
A — печатать; 0 — не печатать);
INS — параметр вывода на печать напряжений в конечных
элементах A — печатать; 0 — не печатать);
NR — число узловых элементов в конструкции;
NA — число опорных узлов;
NS — число кольцевых элементов треугольного сечения;
NW — число упругих опор;
NC — число различных типов материалов;
NQL — число вариантов нагружений конструкции.

Ив ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Числовые массивы, характеризующие геометрию конструкции,
а также физические свойства материалов:
NB (NA, 0:2) — массив ограничений на перемещения
узлов, в нулевом столбце которого содержатся номера опорных
узлов; элемент NB (К, J) при J = 1,2 должен содержать единицу,
если перемещения в направлении оси х (J = 1) и оси г (J =2)
для k-й опоры отсутствуют, и нуль, если на перемещения в этих
направлениях никаких ограничений нет;
X (NR, 2) — массив узловых координат, в k-й строке которого
последовательно размещаются координаты хк и rk узла с порядко-
порядковым номером k;
WQ (NW, 0:2) — массив коэффициентов жесткости упругих
опор, в нулевом столбце которого содержатся порядковые номера
узлов, упруго связанных с неподвижными опорами; элементы
WQ (К, 1) и WQ (К, 2) содержат коэффициенты жесткости Кх
и К,т k-й упругой опоры в направлениях осей х и г соответственно;
NH (NS, 4) — массив топологических характеристик коль-
кольцевых элементов, в р-й строке которого необходимо последова-
последовательно разместить порядковые номера узлов г, /, k (обход против
часовой стрелки) для р-го кольцевого элемента и номер его типа,
определяемый типом материала;
GS (NC, 4) — массив характеристик материалов, в k-й строке
которого размещаются последовательно значения: нуль, модуль
упругости Е, коэффициент Пуассона v и температурный коэффи-
коэффициент линейного расширения щ для k-то номера типа материала
(или, что то же самое, кольцевого элемента);
NLY (NQL) — массив чисел нагруженных узлов при каждом
варианте нагружения;
NLP (NQL) — массив чисел нагруженных кольцевых элемен-
элементов при каждом варианте нагружения;
NG (NQL) — массив чисел нагруженных давлением граней
элементов при каждом варианте нагружения;
QR (SUM (NLY), 0:2) — массив узловых нагрузок, в котором
первые NLY A) строк относятся к первому варианту нагружения,
следующие NLY B) строк — ко второму и т. д.; в k-й строке
размещаются: порядковый номер нагруженного узла и действу-
действующие в нем сосредоточенные силы Рх и Рг;
QS (SUM) (NLP), 0:4) — массив массовых нагрузок на ко-
конечные элементы, в котором первые NPL A) строк относятся
к первому варианту нагружения, следующие NPL B) строк —
ко второму и т. д.; в k-и строке последовательно размещаются:
порядковый номер нагруженного кольцевого элемента, значения
действующих в нем массовых нагрузок X и R, нуль и значение
перепада температур t;
QD (SUM (NG), 4) — массив давлений на грани конечных
элементов, в котором первые NG A) строк относятся к первому

НДС упругих осесимметричных конструкций ]]7
варианту нагружения, следующие NG B) строк — ко второму
и т. д.; в k-й строке последовательно размещаются: номер началь-
начального узла грани, нагруженной давлением р, номер конечного узла
той же грани, а также ±рх, ±рг (в качестве начального следует
принимать ближайший к оси х узел нагруженной грани); знак
давления р должен соответствовать знаку его проекций на оси х и г.
При подготовке пакета исходных данных во внутреннем пред-
представлении числовые значения перечисленных идентификаторов
записываются в любой удобной для пользователя форме в соответ-
соответствии с требованиями языка ПЛ-1 в ОС ЕС ЭВМ. При этом необ-
необходимо соблюдать такую последовательность исходных данных:
АА, КТ, NP, MM, ISD, IND, INS, INR, NR, NA, NS, NW, NC,
NQL, GS, NLY, NLP, NG, NB, X, NH, WQ, QR, QS, QD.
6.3. Внешнее представление исходных данных
Подготовка массивов исходных данных во внутреннем пред-
представлении даже для «средних» задач — весьма трудоемкий про-
процесс. В целях сокращения подготовительной работы и уменьшения
вероятности ошибок применяют различные способы кодирования
исходной информации, т. е. задают ее не во внутреннем, а во
внешнем представлении. Для переработки исходной информации
из внешнего представления во внутреннее необходимы специаль-
специальные процедуры.
Выбор способа кодирования в каждом конкретном случае
зависит от особенностей задачи. Так, при решении двумерных
задач (например, плоской задачи теории упругости) часто при-
применяют автоматическую генерацию сетки конечных элементов.
Для этого исследуемую область развивают на подобласти (как
правило, изопараметрические прямоугольники), по каждой сто-
стороне которых задают требуемое число разбиений на конечные
элементы. В пределах каждой подобласти автоматически генери-
генерируется сетка конечных элементов, после чего осуществляется их
«сшивание» в единую систему. В отдельных программах предусмо-
предусмотрена перенумерация узлов сетки с целью минимизации ширины
ленты матрицы разрешающей системы уравнений. Возможен ввод
исходных данных по «планшетному» принципу. При этом планшет-
массив независимо от заданной расчетной схемы должен быть
упорядочен по чередованию конечных элементов и способу их
идентификации в алгоритме. В результате «сшивание» локальных
матриц в глобальные осуществляется полностью программно,
включая формирование матрицы индексов.
Таким образом, реализация автоматического разбиения пло-
плоской области на конечные элементы не является проблемой, но
класс подобных задач в станкостроении (да и в машиностроении)
относительно невелик. Особый интерес представляют задачи

118 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
расчета пространственных пластинчато-стержневых систем.
Трудоемкость разбиения таких конструкций на подобласти и на
конечные элементы практически одинакова, поэтому целесооб-
целесообразнее применять тот способ кодирования исходной информации,
в котором оптимально используются топологические свойства
конструкции (регулярность, симметрия). Этому требованию со-
соответствует способ кодирования в терминах метода прира-
приращений.
Рассмотрим способ кодирования в терминах метода прираще-
приращений, при котором на ограниченном числе строк специальных
бланков (таблиц), меньшем числа строк соответствующего массива
во внутреннем представлении, полностью описывается содержимое
этого массива. Основные правила формирования массивов исход-
исходных данных следующие:
общий вид повторителя имеет формат: «начиная со строки
. . . массива . . . повторить подмассив предыдущих строк со стро-
строки ... по строку ... с приращениями . . . параметра . . .
раз . . .»;
каждая строка бланка должна быть отперфорирована на от-
отдельной перфокарте с точным соблюдением соответствующих
позиций на бланке и колонок на перфокарте; в конце каждого
набора перфокарт, соответствующего одному массиву исходных
данных (одной таблице), размещается перфокарта конца массива,
на которой в первой позиции должен быть отперфорирован
символ &.
при вводе в первой позиции воспринимается только указанный
символ & (информация, записанная в строке таблицы непосред-
непосредственно после этого символа, не воспринимается, но не является
ошибочной; информация, записанная в последующих строках,
является ошибочной, так как рассматривается как содержимое
следующего массива);
все таблицы делятся на две группы: для задания информации
только во внутреннем представлении и для задания информации
во внутреннем и внешнем представлениях;
в каждой строке таблицы первой группы последовательно
размещаются элементы соответствующей строки кодируемого мас-
массива во внутреннем представлении;
в таблицах второй группы вводится обязательная для запол-
заполнения графа, включающая позиции 2—5 и содержащая порядко-
порядковый номер строки кодируемого массива; остальные графы под-»
разделяются на две подгруппы: в графах первой записываются
элементы кодируемого массива во внутреннем представлении,
в графах второй — те же элементы в терминах приращений (исход-
(исходная информация должна размещаться в графах только одной
подгруппы; принцип заполнения граф первой подгруппы оче-
очевиден);

НДС упругих осесимметричных конструкций Ц9
при задании информации в терминах приращений в позиции
2—5 соответствующей таблицы заносится порядковый номер
строки массива, начиная с которой формируются его строки из
некоторого подмассива предыдущих строк (номер начальной
строки этого подмассива размещается в графе «Нач. стр.», конеч-
конечной — в графе «Кон. стр.», число повторений подмассива —
в графе «Число повт.»; в оставшихся колонках второй подгруппы
размещается информация о шаге приращения по тому или иному
параметру);
при формировании каждого массива необходимо внимательно
следить за тем, чтобы его строки формировались последовательно,
без пропусков;
вещественные числа можно задавать только в единственной
форме — с фиксированной точкой;
нули в графы первой и второй подгрупп можно не заносить;
если идентификатор, определяющий вертикальный размер
массива, равен нулю, заполнять соответствующую таблицу не
надо.
Перечисленные правила заполнения таблиц, их разметка
(см. далее), а также описание всех простых переменных и массивов,
используемых в расчетах (см. подразд. 6.1), целиком определяют
алгоритм каждой процедуры блока переработки исходной ин-
информации из внешнего представления во внутреннее.
Проиллюстрируем перечисленные правила заполнения таблиц
на конкретном примере. Конструкция, НДС которой требуется
исследовать, представляет собой цилиндр (рис. 6.3), нагруженный
внутренним давлением 3 МПа, с жестко закрепленными торцами
(геометрические размеры указаны в миллиметрах). Материал имеет
следующие характеристики: Е = 200 ГПа; v = 0,3.
Так как заданная осесимметричная конструкция имеет до-
дополнительно вертикальную ось симметрии, при составлении
расчетной схемы достаточно рассмотреть только одну ее половину,
например левую. При этом расчетная схема включает 175 узловых
и 240 кольцевых элементов одинакового типа (остальные исходные
данные приведены по ходу изложения материала).
Для исходных параметров примем следующие значения:
АА = ' ЦИЛИНДРА, НАГРУЖЕННОГО ВНУТРЕННИМ
ДАВЛЕНИЕМ ';
КТ = 2 (исходная информация задается во внешнем пред-
представлении);
NP = 1 (номеру приложения присвоим значение, равное
единице);
ММ = 1 (приложение по расчету конструкций готовится для
копирования на ротапринте);
ISD = 1, IND = 1, INS = 1, INR = 1 (на печать выводится
вся исходная и результирующая информация);

120
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Г
\
\
\
\
\
\
\
\
Ч
\
\
\
\
ч
\
\
\
\
ч
\
\
\
\
ч
\
\
\
\?
(*К4В
\
\
ч
\
\
("к
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
1 ¦
- ч
ч
\
- \
ч
175
"Эк 174
37 4J 47 50
173
30 «J
Рис. 6.3
NR = 175 (общее число узлов в расчетной схеме);
NA = 9 (закреплены шесть левых и три правых узла);
NS = 240 (число кольцевых элементов);
NW = 0 (упругих опор нет);
NC = 1 (все кольцевые элементы одного типа, т. е. из оди-
одинакового материала);
NQL = 1 (рассматривается только нагружение цилиндра вну-
внутренним давлением).
Далее в пакете исходных данных следуют числовые значения
массивов, приведенные (в порядка следования) в табл. 6.1—6.11.
Дадим необходимые пояснения по их заполнению.
В табл. 6.1 в терминах приращений формируется массив NB.
Шаг приращений задается по порядковому номеру i опорного
узла. Информация во внутреннем представлении, соответствующая
произвольной строке массива NB, заносится в графы 0—2 первой
подгруппы.
Табл. 6.1, в которой дан один из многих возможных вариантов
кодирования исходной информации во внешнем представлении
для рассматриваемой конструкции, соответствует пяти перфокар-
перфокартам: первая содержит информацию о характере жесткого опира-
ния узла 1 (см. рис. 6.3); вторая формирует строки 2—6 массива
NB, содержащие информацию о характере опирания узлов 2—6;
третья соответствует строке 7 массива NB и характеризует опира-
ние (отсутствие смещения по оси z) узла 173; четвертая формирует

НДС упругих
осесиииетричиых конструкций
121
Таблица 6. i
№
g cmP-
4 мае.
NB
/П7 4 S
1
Z
7
в
i
Граничные условия
с и л
0 1
6789*1231
1 7
173 1
a2i U3i
2 J
5 6789*
1
Vti Vzi Vji.
4 J 6
' Z3 456 7 89*1Z
Повторения
Нач. Иен. АМ
стр. стр.
J 4 5 fl7«?*7 13
456
1 1 1
7 7 7
Число
повт.
78 9*
5
Z
Таблица 62
N'
стр.
flr мае.
X
1 Z14S
1
z
7
37
41
41
43
47
49
SI
53
*
Координаты узлов
х, (х) xt
1
6789 * 1 Z34
3.7
3
4-
, (f) x
Z 3
5 6 789*1
i Нач. Нон. '.
стр. стр. i
Z 34S67S9*1Z
20
7 7
1 6
1 4
ZZ
гг.s
7 4
z
21.1
1 3
SO 50
Повторения
>исло Приращения
""*'"¦ axi ахг
34567 89*12 3
456
5 0.5
5 0.5
1 3
7 3.5
1 *
/ 4.5
47 0.5
ахз
7\в 9 Я
Гайлица 6.3
fl/o
g стр.
мое.
wa
1 Z J45
Нозффициенты жест/wcma опар
<¦ "и (
0 1
6789 * 1 Z i
<Kf) i
г з
456789*
1ZJ45Б 7 89*11
Повторения
Нач Ион. AN
стр. стр. уз
' J456789*1 ZJ
451
Число
ловт.
47 S9*

122
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
таблица 6.1
*
/
стр.
мае.
NH
щ
1
г
з
и
61
68
69
70
72
73
71
75
77
Структура понстрднции
Привязка it узлам
1
6
7
7
13
«7
«5
«7
Я
г
1
7
в
17
SO
57
У
щ9
*
г
г
<&
18
+И+1
Tan
5
+ж-
/
1
1
1
1
1
1
повторения
Нач.
стр.
7|ф|ф
/
;
1
68
73
73
Кон-
стр.
2
10
7
69
7*
76
7кНФ
1
6
36
1
1
3
Число
ловт.
ш*
5
1
1
1
11
Таблица 6 5
7
&
X а раптеростипи треугольных пальцевых элементов
7
231567
Е
г
8 9*12315
2000000
V
3
67 89*
0.3
at-7O7
/ 2315
е
1
789*12
Е
2
3 15 6189*
и
3
12315
678 9*
Таблици 6. в
*
*
Число нагруженных узлов для пиждого варианта нагружения
1
1315
г
67 89*
3
123 15
6 7\в\9*
5
123 15
6
67 8^t
7
12 314
в
6 78 9»
9
12 315
70
67S9&

НДС упругих осесимметричиых конструкций
123
Таблица б. 7
i
1
*
Число нагруженных треугольных кольцевых элементов
для каждого варианта погружения
1
«И*
г
J
6щ9у
5
1\Щ5
б
7
'1Ф1Ф
Таблица 6.8
7
*
Число ни груженных граней кольцевых элементов для
каждого варианта погружения
1
50
г
*17Н9к
3
[7
в\7
°№
5
ФИФ
7
7
АзЩ5
8
у
7Ур№
7О
Таблица 6.9
Узловые нагрузпи
0
с
7
/
7Щ9*1гЩ
S
/У
3|ф|*|7|в|ф
7
/V
f/77^.
мае.
as
5
Нагрузки на треуг. нольц. элементы
Р
0
в
7
8
9
Рх<*)
7
*1
г
3
?
Pg(W
г
+
7
8
9
Рг
J
7
7
8
9
t
*
Таблица
6.70
Повторения
нач.
стр.
5
6
7
8
Лон.
стр.
9
0
t
3
5
В
Час/
пввп
7
8\9
1О
1.
*

124
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Тоfлица б.уг
&
1
*
/V
стр.
мое
аи
Щз
t
2
8
3
№
нач.
ума
Г
1
43
97
/V"
нон.
узла
г
*ккк
7
50
Давление
Р(*)
3
ф]«|7|*|?|*|/|ф
РС-)
30
30
30
Па/тореная
Нач.
стр.
5
6
7Г
1
9
кон
стр.
9\*\'\2
1
9
Б
3
Чоао
пабт.
#1*
6
строки 8—9 массива NB, содержащие информацию о характере
опирания узлов 174 и 175; пятая означает конец массива NB.
Преобразование информации из внешнего представления во
внутреннее осуществляется с помощью процедуры PRCNB, фор-
формальные параметры которой имеют следующий смысл: N — число
степеней свободы в узле конечного элемента; N1 — число коорди-
координат, определяющих положение узла; NA — число опорных узлов;
NB — выходной массив ограничений на перемещения узлов во
внутреннем представлении; LAB — глобальная метка, к которой
осуществляется выход из процедуры в случае несоответствия
числа строк массива NB во внешнем и внутреннем представлениях
с печатью сообщения: «NA = ... ИСПРАВЬТЕ ОШИБКИ».
В табл. 6.2 в терминах приращений формируется массив узло-
узловых координат X. Шаг приращения задается по каждой оси
глобальной системы координат. Информация во внутреннем пред-
представлении заносится в графы 1 и 2 первой подгруппы.
Табл. 6.2 соответствует 12 перфокартам, четыре из которых
задают строки 1, 41, 42 и 49 массива X во внутреннем представле-
представлении, семь — остальные A71) строки, а последняя означает
конец массива X.
Преобразование информации из внешнего представления во
внутреннее осуществляется с помощью процедуры PRCXX, фор-
формальные параметры которой имеют следующий смысл: N — число
координат, определяющих положение узла; NR — число узлов;
XX — выходной массив координат; LAB — метка, к которой осу-
осуществляется выход из процедуры в случае несовпадения числа
строк массива XX во внешнем и внутреннем представлениях
с печатью сообщения: «NR = ... ИСПРАВЬТЕ ОШИБКИ».
В табл. 6.3 в терминах приращений формируется массив коэф-
коэффициентов жесткости упругих опор WQ. Шаг приращения за-
задается по номеру упругой опоры. Во внутреннем представлении
заполняются только графы 0, 1 и 2 первой подгруппы. Так как

НДС упругих осесииметричных конструкций B5
в данном случае упругих опор нет, табл. 6.3 заполнять и включать
в пакет исходных данных не надо.
В общем случае преобразование информации из внешнего
представления во внутреннее осуществляется с помощью про-
процедуры PRCWQ, формальные параметры которой имеют следу-
следующий смысл: N — число координат, определяющих положение
узла; NW — число упругих опор; WQ — выходной массив коэф-
коэффициентов жесткости опор; LAB — метка, к которой осуще-
осуществляется выход из процедуры в случае несовпадения числа строк
массива WQ во внешнем и внутреннем представлениях с печатью
сообщения: «NW ... ИСПРАВЬТЕ ОШИБКИ».
В табл. 6.4 в терминах приращений формируется массив топо-
топологии NH. Шаг приращения задается сразу для всех трех узлов
кольцевых элементов. При этом номер типа элемента (графа 5)
не изменяется. Во внутреннем представлении заполняются только
графы 1, 2, 3 и 5. В данном случае табл. 6.4 соответствует 14 перфо-
перфокартам, семь из которых задают строки 1, 2, 68, 69, 72, 73 и 74
массива NH во внутреннем представлении; шесть — форми-
формируют остальные 233 строки, а последняя означает конец масси-
массива NH.
Преобразование информации из внешнего представления во
внутреннее осуществляется с помощью процедуры PRCNH, фор-
формальные параметры которой имеют следующий смысл: N — число
столбцов массива NH; N1 — параметр, определяющий класс
конечных элементов (для объемных элементов N1 = 4, для осталь-
остальных N1 =5); NS — число конечных элементов; NH — выходной
массив; LAB — метка, к которой осуществляется выход из про-
процедуры в случае несовпадения числа строк массива NH во внеш-
внешнем и внутреннем представлениях с печатью сообщения:
«NS = ... ИСПРАВЬТЕ ОШИБКИ».
В графы 2, 3 и 4 табл. 6.5 заносятся во внутреннем представле-
представлении строки массива характеристик материала GS. Для любой
расчетной схемы GS (*, 1) = 0, поэтому графу 1 можно не за-
заполнять (она предназначена для заполнения в других програм-
программах). Необходимо иметь в виду, что в одной строке табл. 6.5
требуется размещать две строки массива GS, а перед занесением
в графу 4 значение температурного коэффициента линейного
расширения материала at необходимо умножить на 107.
Ввод массива GS (как и любого другого, который задается
только во внутреннем представлении) осуществляется с помощью
процедуры PRC00 в сочетании с оператором GET STRING. Фор-
Формальные параметры процедуры PRC00 имеют следующий смысл:
С — восьмидесятисимвольная строка, соответствующая одной
вводимой перфокарте; LAB — метка, к которой осуществляется
выход из процедуры при обнаружении в первой позиции сим-
символа &.

126 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
В графы 1—10 табл. 6.6 последовательно заносятся элементы
массива NLY (NQL). Если число вариантов нагружений NQL >
>¦ 10, необходимо перейти на следующую строку и т. д. Если
в конструкции нет нагруженных узлов, в пакете исходных данных
массиву NLY соответствуют две перфокарты: пустая и с симво-
символом & в первой позиции.
В графы 1—10 табл. 6.7 последовательно заносятся элементы
массива NLP (NQL). Если число вариантов нагружений NQL >
>¦ 10, необходимо перейти на следующую строку. Если в кон-
конструкции нет кольцевых элементов, находящихся под действием
массовых или температурных нагрузок, в пакете исходных данных
массиву NLP соответствуют две перфокарты: пустая и с символом
& в первой позиции.
В графы 1—10 табл. 6.8 последовательно заносятся элементы
массива NG (NQL). Если число вариантов нагружений NQL > 10,
необходимо перейти на следующую строку таблицы. Если на
грани кольцевых элементов не действует давление, в пакете
исходных данных массиву NG соответствуют две перфокарты:
пустая и с символом & в первой позиции.
В графы 0, 1 и 2 табл. 6.9 заносятся последовательно строки
массива узловых нагрузок QR во внутреннем представлении.
В рассматриваемом случае табл. 6.9 заполнять не надо.
В табл. 6.10 в терминах приращений формируется массив
QS. Шаг приращения задается по номеру кольцевого элемента.
Информация во внутреннем представлении, соответствующая про-
произвольной строке массива QS, заносится в графы 0, 1, 2 и 4
первой подгруппы. В рассматриваемом случае табл. 6.10 запол-
заполнять не надо.
Преобразование информации из внешнего представления во
внутреннее осуществляется с помощью процедуры PRCQQ, фор-
формальные параметры которой имеют следующий смысл: NLS —
общее число нагруженных конечных элементов для всех вариантов
нагружения, равное SUM (NLY); N — число видов внешних
воздействий на конечные элементы; QS — выходной массив рас-
распределенных нагрузок на элементы; LAB — метка, к которой
осуществляется выход из процедуры в случае несовпадения числа
строк массива QS во внешнем и внутреннем представлениях
с печатью сообщения: «NLS = ... ИСПРАВЬТЕ ОШИБКИ».
В табл. 6.11 в терминах приращений формируется массив
давлений на грани элементов QD. Шаг приращения задается
одновременно по двум номерам узлов грани кольцевого элемента.
Информация во внутреннем представлении, соответствующая про-
произвольной строке массива QD, заносится в графы 1—4 первой
подгруппы.
В рассматриваемом случае табл. 6.11 соответствует шести
перфокартам, три из которых задают строки 1, 8 и 9 массива QD

НДС упругих осесимметрнчиых конструкций B7
во внутреннем представлении; две — формируют остальные
47 строк, а последняя означает конец массива QD.
Ввод исходных данных во внешнем представлении для раз-
разрабатываемой программы расчета осесимметричных задач реали-
реализуется следующим образом. Все параметры вводятся потоком.
Все массивы обрабатываются с помощью двух процедур. Массивы
NB, X, WQ, NH, GS, NLY и MLP вводятся с помощью процедуры
MPRI5, а также описанных ранее процедур PRCNB, PRCXX,
PRCWQ, PRC00. Формальные параметры, требующие уточнения:
N1 — число степеней свободы в одном узле конечного элемента;
N2 — число координат, определяющих положение узла; NL —
массив чисел узлов, нагруженных сосредоточенными силами,
при каждом варианте нагружения; NL1 — массив чисел конечных
элементов, находящихся под действием распределенных нагрузок,
при каждом варианте нагружения.
Отметим, что массив NG вводится программно с использова-
использованием процедуры PRCO0 и оператора GET STRING.
Массивы всех нагрузок QR, QS и QD вводятся с помощью
процедуры-MPR17, а также PRC00 и PRCQQ. Смысл ее формаль-
формальных параметров очевиден.
Отметим, что перечисленные процедуры ввода носят инвариант-
инвариантный характер и пригодны для всех программ описываемого
в гл. 7 программного комплекса.
6.4. Организация вычислительного процесса
Формирование разрешающей системы уравнений осуще-
осуществляется с помощью процедуры PRA151, не описанные ранее
формальные параметры которой имеют следующий смысл: М —
ширина ленты матрицы жесткости всей конструкции; AB*NR,
М + 1) — матрица коэффициентов при неизвестных перемещениях
узлов в разрешающей системе алгебраических уравнений метода
перемещений (нижняя половина ленты матрицы жесткости кон-
конструкции вместе с главной диагональю, дополненная «фиктив-
«фиктивными» нулевыми элементами); CB*NR, NQL) — векторы пра-
правых частей уравнений для каждого варианта нагружения, об-
обусловленные действием сосредоточенных и распределенных сил,
а также температурных нагрузок.
При работе процедуры PRA151 используются также:
МТ0321 — процедура вычисления матрицы и вектора реакций
произвольного кольцевого конечного элемента в соответствии
с алгоритмом, изложенным в подразд. 4.6; ее формальные пара-
параметры означают: IJ — порядковый номер конечного элемента;
NL — массив чисел элементов, нагруженных распределенными
силами при каждом варианте нагружения; R F,6) — матрица
реакций элемента; Q F, NQL) — вектор реакций элемента для
Каждого варианта нагружения;

128 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
MRDBS1 — вспомогательная для МТ0321 процедура, с по-
помощью которой для IJ-ro конечного элемента вычисляются:
'R — расстояние z от оси симметрии до центра тяжести треуголь-
треугольного сечения элемента; D D,4) — матрица упругости для изо-
изотропного материала при плоском напряженном состоянии;
В D,6) — матрица связи вектора деформаций е и напряжений а;
S — площадь сечения конечного элемента;
MTRMT — вспомогательная процедура вычисления произ-
произведения прямоугольных матриц A (N, М) и В (М, Р) с размеще-
размещением результата в матрице С (N, Р);
MVEKT — вспомогательная процедура вычисления произ-
произведения прямоугольной матрицы A (N, М) и вектора В (М) с раз-
размещением результата в векторе С (N).
Отметим, что ширина М ленты матрицы системы устанавли-
устанавливается в управляющей программе после ввода топологической
информации с помощью процедуры PROCM, формальные пара-
параметры которой, относящиеся к определенному типу конечных
элементов, означают: N — число степеней свободы в одном узле;
NN — число узлов для одного элемента; NS — общее число
элементов; NH — массив их топологии; М — результирующая
ширина ленты.
При работе процедуры PRA151 выполняются следующие
операции:
в матрицу С на соответствующие места заносятся значения
узловых сил из массива QR;
внутреннее давление, задаваемое массивом QD, приводится
к узловым силам, которые суммируются в массиве С;
последовательно рассматриваются все конечные элементы,
и для каждого из них вычисляются матрица R и вектор Q реакций
с помощью процедуры МТ0321, заполняется массив Т C), уста-
устанавливающий соответствие локальной и глобальной нумераций
узлов конечного элемента, матрица и вектор реакций элемента
размещаются в массивах А и С;
для каждой из упругих опор вносится поправка в разреша-
разрешающую систему уравнений на коэффициент жесткости опоры, т. е.
к соответствующему диагональному элементу добавляется коэф-
коэффициент жесткости опоры, определяемый массивом WQ;
для каждой из жестких опор вносится поправка в разреша-
разрешающую систему уравнений: обнуляются соответствующие строка
и столбец в массиве А, диагональный элемент приравнивается
единице, обнуляется строка массива С.
Решение разрешающей системы уравнений осуществляется
с помощью процедуры LDLFB, формальные параметры которой
означают: N — порядок системы уравнений; М — ширина ленты
матрицы коэффициентов; A (N, М + 1) — матрица коэффициентов;

НДС упругих осесимметричиых конструкций |29
В (N, NQL) — набор векторов правых частей уравнений; X (N,
NQL) — выходной набор векторов решения системы.
Алгоритм основан на методе LD//-факторизации с обработкой
только нижней половины ленты матрицы коэффициентов (см.
подразд. 3.1) и использованием только оперативной памяти ЭВМ,
что существенно сокращает время счета.
Вычисление напряжений в конечных элементах осуществляется
с помощью процедуры PRSA31, не описанные ранее формальные
параметры которой означают: IN — порядковый номер варианта
нагружения; DN B * NR) — вектор узловых перемещений кон-
конструкции для Ш-го варианта нагружения; SG (NS, 5) — выходной
массив искомых напряжений аг, ат, ае, хтг, at в центрах тяжести
конечных элементов. Здесь используется обращение к процедуре
MRDBS1.
Вычисление реакций в упругих и жестких опорах осуще-
осуществляется с помощью процедуры PRORRl.He описанные ранее
формальные параметры которой означают: DR B*NR, NQL) —
массив узловых перемещений для всех вариантов нагружения
конструкции; RR B*(NA -f NW), 0 : NQL) — выходной мас-
массив реакций в жестких и упругих опорах для всех вариантов
нагружения конструкции; в нулевом столбце его указываются
номера соответствующих узлов, в остальных — компоненты реак-
реакций (равнодействующие кольцевых нагрузок) по осям х и г для
каждого варианта нагружения. Здесь используется обращение
к процедуре МТ0321.
При работе процедуры PR0RR1 выполняются следующие
операции:
рассматриваются последовательно все жесткие опоры; при
этом устанавливаются все конечные элементы, которые включают
данный опорный узел, и для каждого из этих элементов вычис-
вычисляются матрица реакций R F, 6), перемещения узлов элемента
W (G) и доля соответствующей компоненты реакции в узле как
результат умножения необходимой строки массива R на вектор W;
рассматриваются последовательно все упругие опоры; при
этом по номеру узла, входящего в данную опору, устанавли-
устанавливается реакция как произведение перемещения этого узла на
коэффициент жесткости данной упругой опоры.
6.5. Организация вывода на печать исходной
и результирующей информации
В качестве основного при автономном режиме работы проблемно-
ориентированных программ принят вывод на АЦПУ ЕС ЭВМ
исходной и результирующей информации в виде приложения
к расчету конструкции, которое оформляется в постранично-
табличном виде. Для программной реализации такого вывода
5 П/р В. И. Мяченкова

130 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
необходимо иметь инвариантные процедуры, обеспечивающие
печать стандартной страницы отчета и фиксированное (согласо-
(согласованное с соответствующими нормативными материалами на оформ-
оформление отчетов) положение рамки таблицы на ней. Вид шапки
таблицы необходимо программировать дополнительно в зависи-
зависимости от характера выводимой информации для каждого конкрет-
конкретного случая.
Кратко перечислим процедуры, реализующие вывод на печать
исходной и результирующей информации в программе расчета
осесимметричных конструкций (некоторые из них можно исполь-
использовать и в других программах).
Процедура ACPU5 обеспечивает постраничную распечатку
необходимого набора данных в виде таблицы (при необходимости
с продолжением) либо для обычного отчета, либо для отчета,
предназначенного для размножения на ротапринте. Ее формаль-
формальные параметры имеют следующий смысл:
М — параметр печати (М = 0 — для обычного отчета; М =
= 1 — для ротапринта);
NT — параметр, имеющий описатель FIXED B) и соответ-
соответствующий номеру печатаемой таблицы;
1С—параметр, имеющий описатель FIXED A) и равный
числу строк в шапке таблицы, включая верхнюю и нижнюю
ограничительные линии;
KS — число рабочих заполняемых цифрами строк, равное
числу строк печатаемого массива;
А @ : 1С) — массив шапки таблицы, имеющий описатель
CHAR F1) и формируемый пользователем конкретно для каждой
задачи, причем строка А @) обеспечивает разметку строки, в кото-
которой размещаются элементы печатаемых массивов;
PROCS — внутренняя процедура форматов печати рабочих
строк таблицы, которую пользователь составляет для печати
каждого конкретного массива.
В результате работы процедуры ACPU5 на листинге вычер-
вычерчиваются габаритные линии страницы (строки 1 и 72, столбцы 15
и 96 для обычного отчета или 20 и 101 для размножения на рота-
ротапринте), а также шапка и габаритные линии таблицы (строки 9
и 64, столбцы 31 и 91). В итоге таблица содержит 55 — 1С рабо-
рабочих строк. Необходимо иметь в виду, что внутренний параметр L
является счетчиком числа строк в таблице с заданным номером.
Если число строк печатаемого массива больше числа строк та-
таблицы, осуществляется переход на следующую страницу и печа-
печатается продолжение таблицы.
Процедура TITLA обеспечивает печать титульного листа при-
приложения по расчету конструкции с указанием номера приложения,
наименования задачи и значений параметров, характеризующих
расчетную схему (NR, NA, NW, NQL, NS, NC, М), а также дату

НДС упругих осесимметричиых конструкций 131
подготовки отчета. Смысл формальных параметров очевиден,
за исключением параметра формата печати ММ.
Процедура PR1A11 обеспечивает печать таблицы, содержащей
исходную информацию для узловых элементов: координаты х и г;
наличие жестких связей по осям х и г, которое отмечено звездоч-
звездочками (• •); значения коэффициентов жесткости упругих опор.
Формальный параметр NT в этой и остальных процедурах
означает номер печатаемой таблицы, причем он присваивается
программно так, что в приложении все таблицы имеют последова-
последовательную нумерацию, начиная с единицы и независимо от того,
пропускаются некоторые из них при печати или нет.
Процедура PR1A21 обеспечивает печать таблицы, содержащей
исходную информацию о кольцевых конечных элементах: глобаль-
глобальные номера узлов для элемента; номер его типа; значения модуля
упругости Е, коэффициента Пуассона v и температурного коэффи-
коэффициента линейного расширения at для материала конструкции.
Смысл формальных параметров очевиден.
Процедура PR1A31 обеспечивает печать таблиц трех видов
в зависимости от значения формального параметра NN:
при NN = 1 печатается таблица, содержащая для каждого
варианта нагружения номер нагруженного узла и компоненты
узловых сил в направлении осей х и г;
при NN = 2 печатается таблица, содержащая для каждого
варианта нагружения номер узла, компоненты перемещений вдоль
осей * и г;
при NN = 3 печатается таблица, содержащая для каждого
варианта нагружения номер опорного узла (сначала перечис-
перечисляются все жесткие, потом упругие опоры); равнодействующие
кольцевых реакций в жестких и упругих опорах в направлении
осей х и г. Смысл остальных формальных параметров очевиден.
Процедура PR1A41 обеспечивает печать таблицы, содержащей
для каждого варианта нагружения номер нагруженного кольце-
кольцевого конечного элемента, распределенные нагрузки в направлении
осей х а г, а также перепад температур. Смысл формальных пара-
параметров очевиден.
Процедура PR1A51 обеспечивает печать таблицы, содержащей
для каждого варианта нагружения номер начального узла грани,
на которую действует давление, номер конечного узла, компоненты
давления в направлении осей х и т. Смысл формальных параметров
очевиден.
Процедура PR1A61 обеспечивает печать таблицы, содержащей
для каждого варианта нагружения порядковый номер элемента,
значения нормальных напряжений (осевого ож, радиального ог,
окружного ое), касательного напряжения тгж и интенсивности
напряжений at в центрах тяжести конечных элементов. Формаль-
Формальные параметры означают: IN — порядковый номер варианта
5*

132
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
нагружения; SG (NS, 5) — массив напряжений для одного ва-
варианта нагружения.
К числу сервисных относится процедура TIMES без пара-
параметров, которая используется для фиксирования момента начала
или конца того или иного фрагмента программы (обычно начала
и конца самой программы). С помощью встроенной процедуры
TIME устанавливается текущее время (значения в часах, минутах
и секундах), которое выводится на печать в виде символьной
строки.
6.6. Организация управляющей программы
Управляющая программа исследования НДС осесимметричных
конструкций, регламентирующая взаимодействие совокупности
составляющих процедур, описанных ранее, имеет имя R00A21.
Ее текст приведен в приложении. Она обеспечивает: ввод исходной
информации во внутреннем или внешнем представлении; форми-
формирование разрешающей системы линейных алгебраических урав-
уравнений метода перемещений; решение этой системы методом LDU-
факторизации и определение компонент узловых перемещений
для заданных вариантов нагружения конструкции; вычитание
при необходимости (при заданных единичных значениях соответ-
соответствующих параметров) характеристик напряженного состояния
в центрах тяжести конечных элементов и реакций в жестких
и упругих опорах; вывод на печать исходной информации; вывод
на печать узловых перемещений и (или) параметров напряженного
состояния в центрах тяжести элементов, и (или) реакций в опорах.
Корневой сегмент
ROOAZl
TIMES
PRCOO
Область 1
I
PRA151
VPR/7\ |/
HIF
ПТ1Д
Ц
Область Z I
flCPU5
PR1A11
PRW21
PROCM
PR1A41
PR1A51
мтст
MRDBS1
MTRMT
MVEKT
PR1A61
PRCXX
PRCNB
PRCWa
PRCNH
| PRSA31\
I
PR7/TJ71 PROffRJ
| PRcag |
Рис. 6.4

Программный комплекс для расчета конструкций ]33
Для обеспечения возможности отладки, хранения, передачи
и поддержки программы рационально на пакете магнитных дисков
организовать три библиотеки: исходных текстов, загрузочных
модулей составляющих процедур и загрузочных модулей управля-
управляющих программ [8]. Библиотеки загрузочных модулей запол-
заполняются после компиляции и редактирования соответствующих
исходных модулей. Причем, если на конкретных ЭВМ ЕС поль-
пользователю доступна малая область оперативной памяти, можно
организовать загрузочный модуль оверлейной структуры. На-
Например, загрузочный модуль программы R00A21 простой струк-
структуры занимает 120К байт оперативной памяти ЭВМ. Если орга-
организовать загрузочный модуль программы R00A21 оверлейной
структуры, показанной на рис. 6.4, он займет 84К байт опера-
оперативной памяти, т. е. экономия памяти весьма существенна.
Расчеты на прочность какой-либо конструкции по программе
R00A21 можно выполнить, например, с помощью набора следу-
следующих управляющих предложений:
/ JOBi JOB
// JOBLIB DD DSN= (ИМЯ 1>,UNIT=SYSDA,VOL=SER= (ИМЯ 2),
// DISP=SHR
// EXEC PGM=R00A21,TIME=30,REGION=200K
// SYSIN DD DSN=(№VW 3) ((ИМЯ 4»,
// UNIT=SYSDA,VOL=SER=(№Htf.-J2),DISP=SHR
Здесь (ИМЯ 1) — имя библиотеки загрузочных модулей, в ко-
которой размещена программа R00A21;
(ИМЯ 2) — имя пакета магнитных дисков, в которых
размещена библиотека с именем (ИМЯ 1>",
(ИМЯ 3> — имя раздела библиотеки исходных модулей
с именем (ИМЯ 4), в которой сформирован пакет исходных
данных для рассчитываемой конструкции.
В качестве примера проведен расчет параметров НДС кон-
конструкции, показанной на рис. 6.3. Пакет исходных данных для
нее во внешнем представлении, составленный с использованием
таблиц 6.1—6.11, приведен в подразд. 6.2. В результате реализа-
реализации программы R00A21 получен комплект документации по
расчету рассматриваемой конструкции, включающий титульный
лист, таблицы с исходными данными и результатами решения.
Полное время решения задачи на ЭВМ ЕС-1045 составило 1 мин 18 с.
7. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС
ДЛЯ РАСЧЕТА МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
7.1. Общая характеристика комплекса
Применение МКЭ к разработке алгоритмов решения задач
статики и динамики машиностроительных конструкций позволяет
в полной мере использовать его преимущества при программной

134 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
реализации. Представляется возможным создать крупный
программный комплекс, состоящий из значительного числа про-
программных компонентов, которые в совокупности позволяют ре-
решать широкий круг задач анализа НДС и динамических харак-
характеристик машиностроительных конструкций.
Программный комплекс представляет собой совокупность про-
проблемно-ориентированных программ расчета, обеспечивающих ис-
исследование НДС конструкций самого различного вида и назначе-
назначения. Возможно решение задач в статической и динамической
постановке для упругого и нелинейно-упругого материалов в усло-
условиях действия сосредоточенных и распределенных силовых на-
нагрузок, а также стационарного и нестационарного температурных
полей.
Для проблемно-ориентированных программ характерны высо-
высокая степень универсальности и инвариантности по отношению
к объекту исследования. Они предназначены для решения широ-
широкого класса задач, например для расчета стержневых пластинча-
пластинчатых, объемных и комбинированных систем.
Принципы, положенные в основу создания проблемно-ориен-
проблемно-ориентированных программ, составляющих комплекс, изложены в гл. 6
на примере решения задачи об определении НДС осесимметричных
конструкций. Программы, входящие в комплекс, объединены
в несколько групп по виду конечных элементов.
7.2. Плоские и пространственные стержневые системы
Рассмотрим конструкцию, состоящую из прямолинейных
стержней, упругих связей, упругих и жестких опор. Предполо-
Предположим, что материал конструкции работает в упругой области.
Поперечные сдвиги в стержневых элементах не учитываем. Счи-
Считаем, что возможно эксцентричное соединение стержневых эле-
элементов и упругих связей с узловыми, а также соединение стержне-
стержневых элементов с узловыми, отличное от жесткого. Программный
комплекс включает следующие программы расчета:
параметров НДС стержневых систем при статическом нагру-
жении (на конструкцию могут действовать сосредоточенные и рас-
распределенные механические, а также температурные нагрузки);
параметров НДС стержневых систем при гармоническом на-
гружении (задача состоит в определении параметров НДС и дина-
динамических (амплитудно- и фазочастотных) характеристик кон-
конструкции или ее элементов);
частот и форм собственных колебаний стержневых систем;
параметров НДС стержневых систем при динамическом нагру-
жении (на конструкцию могут действовать внешние нагрузки,
изменяющиеся во времени по произвольному закону);
критических нагрузок и форм потери устойчивости стержневых
систем;

Программный комплекс для расчета конструкций 135
температурных полей в стержневых системах (предполагаем,
что в этой конструкции размещены сосредоточенные источники
теплоты, интенсивность которых произвольно изменяется во
времени).
7.3. Плоские и пространственные пластинчатые системы
Рассмотрим конструкцию, состоящую из пластинчатых эле-
элементов, упругих связей, жестких и упругих опор. Программный
комплекс включает следующие программы расчета;
параметров НДС плоских пластинчатых систем из упругого
материала (используем треугольные конечные элементы; пред-
предполагается, что на конструкцию могут действовать контурные
и массовые нагрузки);
параметров НДС плоских пластинчатых систем из нелинейно-
упругого материала (используем треугольные конечные системы;
считаем, что поведение материала описывается диаграммой рас-
растяжения без площадки текучести с монотонно убывающим секу-
секущим модулем);
параметров НДС пространственных пластинчатых систем из
упругого материала (используем треугольные и прямоугольные
конечные элементы, работающие в своей плоскости и на изгиб;
предполагаем, что на конструкцию могут действовать сосредото-
сосредоточенные и распределенные механические, а также температурные
нагрузки);
параметров НДС пространственных пластинчатых систем при
гармоническом нагружении;
частот и форм собственных колебаний пространственных пла-
пластинчатых систем;
параметров НДС пространственных пластинчатых систем при
динамическом нагружении;
температурных полей в пространственных пластинчатых си-
системах.
7.4. Пространственные (объемные) системы
Рассмотрим конструкцию, состоящую из четырех-, пяти- и
шестигранных объемных элементов, упругих связей, жестких и
упругих опор. Материал конструкции работает в упругой обла-
области. Программный комплекс включает следующие программы
расчета:
параметров НДС объемных конструкций при статическом на-
нагружении (на конструкцию могут действовать распределенные
или сосредоточенные механические, а также температурные на-
нагрузки);

136 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
параметров НДС объемных конструкций при гармоническом
нагружении;
частот и форм собственных колебаний;
параметров НДС при динамическом нагружении.
7.5. Осесимметричные системы
Рассмотрим конструкцию, состоящую из кольцевых элемен-
элементов треугольного поперечного сечения, упругих связей, упругих
и жестких опор. В состав программного комплекса входят сле-
следующие программы расчета:
параметров НДС осесимметричных систем из упругого ма-
материала при статическом нагружении (на систему могут действо-
действовать осесимметричные сосредоточенные, поверхностные и объемные
нагрузки);
параметров НДС осесимметричных систем из нелинейно-упру-
нелинейно-упругого материала при статическом нагружении (предполагаем, что
работа материала конструкции описывается диаграммой растя-
растяжения без площадки текучести с монотонно убывающим секущим
модулем);
параметров НДС осесимметричных упругих систем при гар-
гармоническом нагружении;
частот и форм собственных колебаний осесимметричных упру-
упругих систем;
параметров НДС осесимметричных упругих систем при дина-
динамическом нагружении.
7.6. Тонкостенные оболочечные системы
Рассмотрим конструкцию, состоящую из оболочечных элемен-
элементов, упругих связей, упругих и жестких опор. Материал кон-
конструкции работает в упругой области. В состав программного
комплекса входят следующие программы расчета:
параметров НДС оболочечных конструкций при статическом
нагружении;
параметров НДС оболочечных конструкций при гармониче-
гармоническом нагружении;
частот и форм собственных колебаний оболочечных конструк-
конструкций;
параметров НДС оболочечных конструкций при динамическом
нагружении.
7.7. Пространственные пластинчато-стержневые системы
Рассмотрим конструкцию, состоящую из прямолинейных стерж-
стержней, треугольных и прямоугольных пластин, упругих связей,
жестких и упругих опор. Материал конструкции работает в упру-

Список литературы 137
гой области. В состав программного комплекса входят следующие
программы расчета пространственных пластинчато-стержневых
систем:
параметров НДС при статическом нагружении;
параметров НДС при гармоническом нагружении;
параметров НДС частот и форм собственных колебаний;
параметров НДС при динамическом нагружении;
температурных полей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.:
Наука, 1983. 336 с.
2. Гилл Ф., Миррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ.
М.: Мир, 1985. 510 с.
3. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем
уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 334 с.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.:
Мир, 1975. 544 с.
5. Ильюшин А. А. Пластичность. М.—Л.: Гостехтеориздат, 1948. 376 с.
6. Мячеиков В. И., Мальцев В. П. Методы и алгоритмы расчета простран-
пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984. 280 с.
7. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение: Пер.
с англ. М.: Мир, 1984. 264 с.
8. Расчеты машиностроительных конструкций на прочность и жесткость/
Н. Н. Шапошников, Н. Д. Тарабасов, В. Б. Петров, В. И. Мяченков. М.: Маши-
Машиностроение, 1981. 334 с.
9. Сегерлиид Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ.
М.: Мир, 1979. 392 с.
10. Уилкиисон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная
алгебра: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.
11. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной ал-
алгебры. 2-е изд. М.—Л.: Физматгиз, 1963. 734 с.
12. Форсайт Дж., Молер К- Численное решение систем линейных алгебраи-
алгебраических уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1969. 280 с.
13. Хейгемаи Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы: Пер. с англ.
М.: Мир, 1986. 448 с.
14. Цвелих А. В. О программной реализации метода Холецкого для конечно-
элементных матриц//Расчеты элементов конструкций на прочность и жесткость.
Под ред. В. И. Мяченкова. М.: Мосстанкин, 1985. С. 72—80.
15. Yannakakis M. Computing the minimum fill-in is NP-complete//SIAM
J. Alg. Disc. Meth. 1981. N 1. P. 77—79.
16. Hestens M. R., Stiefel E. I. Methods of conjugate gradients for solving
linear systems//Nat. Bur. Std. J. Res. 1952. N 49. P. 409—436.

РАЗДЕЛ ВТОРО Й
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
8. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Рассмотрим тонкостенные оболочечные конструкции двух клас-
классов: осесимметричные оболочечные (рис. 8.1) и призматические
(рис. 8.2).
Расчетную схему осесимметричных оболочечных конструкций
можно представить в виде произвольной композиции расчетных
фрагментов трех типов.
Расчетные фрагменты первого типа представляют собой тон-
тонкостенные оболочки вращения — оболочечные элементы. Каждый
оболочечный элемент может быть многослойным с изотропными,
ортотропными или конструктивно-ортотропными слоями (рис. 8.3),
с постоянными вдоль параллелей и переменными вдоль меридиана
толщиной, а также механическими и теплофизическими харак-
характеристиками. На геометрию меридиана и толщины слоев оболочеч-
оболочечных элементов никаких ограничений (кроме условия тонкостен-
ности) не накладываем.
Расчетные фрагменты второго типа представляют собой мас-
массивные тела вращения — круговые шпангоуты, габаритные раз-
размеры поперечных сечений которых сравнимы с радиусом. Каждый
круговой шпангоут может быть изотропным или ортотропным
с постоянными вдоль параллелей механическими и теплофизиче-
теплофизическими характеристиками и с произвольным поперечным сечением.
Расчетные фрагменты третьего типа представляют собой коль-
кольцевые соединительные элементы различного вида и назначения
(болты, шпонки, клинья, прокладки, трубки и т. д.) с постоян-
постоянными механическими характеристиками.
Расчетную схему призматических конструкций также можно
представить в виде произвольной композиции расчетных фраг-
фрагментов трех типов.
Расчетные фрагменты первого типа представляют собой тон-
тонкостенные цилиндрические оболочки произвольного поперечного
сечения — оболочечные элементы. Каждый оболочечный элемент
может быть многослойным с постоянными вдоль образующей и
переменными вдоль направляющей толщиной, а также механи-
механическими и теплофизическими характеристиками. На геометрию
направляющей и толщины слоев оболочечных элементов никаких
ограничений (кроме условия тонкостенности) не накладываем.

Вводные замечания
130
Рис. 8.1
Рис. 8.3
Расчетные фрагменты второго типа представляют собой мас-
массивные цилиндрические тела — прямолинейные стрингеры, га-
габаритные размеры поперечных сечений которых сравнимы с дли-
длиной. Каждый стрингер может быть изотропным или ортотропным
с постоянными вдоль оси механическими и теплофизическими
характеристиками.

140 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Расчетные фрагменты третьего типа представляют собой пря-
прямолинейные соединительные элементы различного вида и на-
назначения.
В общем случае рассматриваемые конструкции могут нахо-
находиться под действием произвольных (статических, гармонических,
динамических и др.) внешних механических и температурных
нагрузок.
Здесь и далее для осесимметричных и призматических оболо-
чечных конструкций фрагменты первого типа называем оболо-
чечными элементами, фрагменты второго типа — узловыми, фраг-
фрагменты третьего типа — вязкоупругими связями.
9. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
9.1. Глобальные и локальные системы координат
Рассмотрим тонкостенную призматическую конструкцию в гло-
глобальной правой прямоугольной системе координат Охгх2х3
(рис. 9.1), причем ось х2 параллельна образующим цилиндриче-
цилиндрических оболочек, так что поперечное сечение конструкции распо-
расположено в плоскости Охгх3.
Абстрагируя вид призматической конструкции, представим
ее в виде произвольной композиции из Nr узловых элементов,
соединенных Ns оболочечными элементами и Ne вязкоупругими
связями типа пружин (определение узловых элементов, оболо-
чечных элементов и. вязкоупругих связей дано в гл. 8).
Пронумеруем узлы последовательно вдоль оси хг (рис. 9.2).
Одиночный индекс i или / A <; i ¦< Nr, I ¦< / < Nr) присвоим
всем величинам, относящимся к узловому элементу.
Предположим, что узлы i и / связаны Ntj оболочечными эле-
элементами, каждому из которых, а также всем величинам, относя-
относящимся к нему, присвоим тройной индекс ijs A ¦< s < NtJ). Таким
образом, конструкция содержит
c=i i=t+i
оболочечных элементов.
Предположим также, что узлы i и / соединены MtJ вязкоупру-
вязкоупругими связями, каждой из которых, а также всем величинам, отно-
относящимся к ней, присвоим тройной индекс ijs A < s ¦< Мц).
Таким образом, конструкция содержит
Nr-l Nf
C=l 1=1+1
вязкоупругих связей.

Основные положения метода суперэлементов
Рис. 9.1
Рис. 9.2
Для обозначения величин, относящихся к оболочечному эле-
элементу или вязкоупругой связи, введем порядковый номер р A <!
< р < Ns) элемента или порядковый номер р A -< р -< Ne)
связи.
Для каждого оболочечного элемента введем локальную си-
систему координат Оагагг. Для этого внутри оболочечного элемента
определим некоторую поверхность, которую назовем координат-
координатной. Положение точек на этой поверхности определяется гауссо-
гауссовыми криволинейными координатами ах и а2, направленными
вдоль линий главных кривизн (ах вдоль направляющей, сс2 —
вдоль образующей цилиндрического элемента). Положительные
направления осей <хг и а2 показаны на рис. 9.3.
Координату z, определяющую расстояние от некоторой-точки
оболочечного элемента до координатной поверхности, направим
так, чтобы система координат Оаха2г была правой, ортогональной.
Рассмотрим тонкостенную осесимметричную оболочечную кон-
конструкцию в глобальной правой прямоугольной системе Коорди-
Координат Оххх%г, причем ось хх направлена вдоль оси вращения кон-
конструкции (рис. 9.4).
Абстрагируя вид осесимметричной оболочечной конструкции,
представим ее как произвольную композицию из NT кольцевых
узловых элементов, Ns оболочек вращения и Ne вязкоупругих
связей (определение узловых и оболочечных элементов и вязко-
упругих связей дано в гл. 8).
Нумерацию узлов, оболо-
оболочечных элементов и связей,
а также индексацию всех ве-
величин, относящихся к ним,
выполним аналогично нумера-
нумерации элементов призматических
конструкций (рис. 9.5).
Для каждого оболочечного
элемента введем локальную пра-
правую ортогональную систему ко-
координат Oaxa2z (рис. 9.6). Рис. 9.3

142
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 9.4
Рис. 9.5
Внутри элемента выберем координатную поверхность, в кото-
которой проведем оси ах и а2 (ось ах направим вдоль образующей
осесимметричной конструкции, ось а2 — вдоль направляющей).
Ось z направим так, чтобы система координат Оаха2г была правой
ортогональной.
Внутреннюю геометрию координатной поверхности можно оха-
охарактеризовать первой квадратической формой. Если координаты ах
и а2 соответствуют линиям главных кривизн, дифференциалы
дуг координатных линий можно выразить через дифференциалы
криволинейных координат:
где Аг и Л2 — коэффициенты Ламе.
Внешняя геометрия поверхности в выбранной системе коорди-
координат характеризуется главными радиусами кривизны Rt и /?2
(или главными кривизнами kx = \IRX
и k2 = MRt).
Согласно теории поверхностей ве-
величины Аг (аг, а2), А2 {аг,а2), kx (alt
а2) и й2 (alt a2) должны удовлетворять
соотношениям Гаусса—Кодацци:
*г.
\ да
дА1
Рис. 9.6

Основные положения метода суперэлементов 143
Для осесимметричных оболочек величины Alt /42, kx и й2
не зависят от окружной координаты сс2 и зависят только от ко-
координаты alt направленной вдоль образующей, поэтому соотно-
соотношения Гаусса—Кодацци упрощаются:
Ax da, ~™ "-v AXA2 dax
1 d / \ dA3
Ax dax
Для призматического оболочечного элемента в выбранной
системе координат Л2 = 1 и й2 = О, а коэффициенты Ах и kx
зависят только от координаты ах.
Таким образом, все соотношения и уравнения для призмати-
призматических оболочечных конструкций можно формально получить из
соотношений и уравнений для осесимметричных оболочечных
конструкций, приняв А2 = I и k2 — 0. При этом следует считать,
что в осесимметричных и призматических конструкциях коорди-
координата ах изменяется от а10 до ахг, координата а2 — от сс20 = О
до а2; = 2я для осесимметричных и от а20 = 0 до a2l = L для
призматических конструкций. В связи с этим далее основное вни-
внимание уделим выводу соотношений для осесимметричных оболо-
оболочечных конструкций.
9.2. Методы решения задач статики и динамики
Применение дискретно-континуальной расчетной схемы для
тонкостенных оболочечных конструкций определяет основной
метод решения задач статики и динамики тонкостенных осесим-
осесимметричных и призматических конструкций. При численном реше-
решении краевых задач для систем линейных обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений применяют метод ортогональной про-
прогонки Годунова [6].
Общую схему построения алгоритмов решения указанных
задач рассмотрим на примере определения компонентов НДС
осесимметричной оболочечной конструкции, находящейся под
действием статических нагрузок.
Дифференциальные уравнения равновесия, описывающие по-
поведение каждого оболочечного элемента, можно свести к системе
шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
порядка:
% + Ь(х); у = ^+| = |^}, (9.1)
где у+ = N — вектор внутренних обобщенных силовых факторов,
приведенных к поверхности вращения рассматриваемого оболо-

144
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
чечного элемента; у_ = W — вектор обобщенных перемещений
этой поверхности.
Пусть No и N; — векторы обобщенных усилий; Wo, W; —
векторы обобщенных перемещений на торцах х = 0 и х = I
соответственно. Между ними существует однозначная зависимость
Q5,
(9.2)
N») jW.j
где [К 1 — матрица жесткости; Qo — вектор жесткости оболо-
чечного элемента.
Для определения матрицы жесткости [К] необходимо решить
краевую задачу для системы линейных обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка:
d
—j— [/ J = [/i \X)\ [I J /q q\
с граничными условиями
10 0 0 0 0
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 10 0'
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 1
(9.4)
(9.5)
где
[У] =
У2 Уз У4 Уб Ув]. (9-6)
Для определения вектора жесткости Qo необходимо решить
краевую задачу для системы линейных обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений (9.1) первого порядка с граничными усло-
условиями
У-@) =
(9.7)
Решив краевые задачи (9.3)—(9.5) и (9.1), (9.7) с помощью
метода ортогональной прогонки, определим матрицы [К\ и век-
векторы Qo жесткости для каждого оболочечного элемента рас-
рассматриваемой конструкции с точностью до дифференциальных
элементов, описывающих поведение этих элементов.
Для определения перемещений узловых элементов используем
метод перемещений в форме, предложенной А. В. Александро-
Александровым [1 ]. В отличие от МК.Э в стандартном виде А. В. Александров
ввел понятия узловой линии и узлового элемента. Основное пре-
преимущество такого подхода состоит в том, что вместо большого

Основные положения метода суперэлементов 145
числа узловых точек используется сравнительно небольшое число
узловых линий. В результате существенно снижается порядок
разрешающей системы линейных алгебраических уравнений для
определения узловых перемещений, которая имеет вид
[Р] А = Т, (9.8)
где А — вектор перемещений узловых элементов конструкции,
имеющий порядок Nrti/2; Nг — число узловых элементов; п —
порядок системы уравнений (9.1).
Определив узловые перемещения конструкции, вычисляем
перемещения W5 и W* торцов каждого оболочечного элемента.
Далее методом ортогональной прогонки решаем краевую задачу
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9.1)
с граничными условиями
y-@) = W0*; y_@ = W? (9.9)
и в результате находим все компоненты НДС каждого оболочеч-
оболочечного элемента конструкции.
При решении геометрически или физически нелинейной задачи
дифференциальные уравнения, описывающие поведение каждого
оболочечного элемента, принимают вид
¦%-=Цх, у) + Ь(х). (9.10)
Линеаризацию этих уравнений осуществляем с помощью
метода.Ньютона—Канторовича 18]. На (s+1)-m шаге итерацион-
итерационного процесса получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка:
b(x, y<s>). (9.11)
Далее используется общая схема построения алгоритмов.
Итерационный процесс заканчивается, когда относительная раз-
разность двух последующих приближений всех компонент решения
оказывается меньше заданного значения е.
При решении задачи об определении компонент НДС осесим-
метричных оболочечных конструкций, находящихся под действием
несимметричных нагрузок, применяют разложение последних
в ряды Фурье по окружной координате, а для призматических
конструкций — по прямолинейной координате. Для n-й гармо-
гармоники разложения дифференциальные уравнения, описывающие
поведение каждого оболочечного элемента, имеют вид
-*jg- = [A(x, n)]yn + b(x,n).

146 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Далее используется общая схема построения алгоритмов.
Общее решение находим суперпозицией частных решений, полу-
полученных для отдельных гармоник.
Если внешние нагрузки гармонические, дифференциальные
уравнения, описывающие поведение каждого обол очечного эле-
элемента, имеют вид
с, п, со)] у„ + b (я, п),
dx '
где со — угловая частота гармонических колебаний.
Общая схема построения алгоритма при решении данной
задачи остается без изменений.
Общая схема построения алгоритма незначительно изменяется
при решении задач об определении частот и форм колебаний
тонкостенных оболочечных конструкций.
Однородные линейные обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения собственных колебаний оболочечных элементов конструк-
конструкции в этом случае принимают вид
-%- = [Л(х, я, а>Д)]у„, (9.12)
где п — число окружных волн для осесимметричных конструкций
или число полуволн вдоль направляющей для призматических
конструкций.
Разрешающая система линейных алгебраических уравнений
для определения узловых перемещений рассматриваемой кон-
конструкции имеет вид
[Р(п, с4)]Д = 0. (9.13)
Значения со^, при которых система (9.13) имеет нетривиальное
решение, являются собственными частотами рассматриваемой
оболочечной конструкции. Необходимым и достаточным условием
нетривиальности решения системы (9.12) является равенство
нулю определителя этой системы. Корни уравнения
\Р(п,в>%)\ = 0 (9.14)
вычисляем с помощью шагового метода [1 ] и метода Мюллера [10].
По найденной частоте со^ собственных колебаний оболочечной
конструкции определяем узловые перемещения конструкции при
заданном значении одного из перемещений. Затем вычисляем
перемещения WJ и W;* торцов каждого оболочечного элемента
и решаем краевую задачу для системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений (9.12) первого порядка с гранич-
граничными условиями (9.9). В результате определяем форму собствен-
собственных колебаний рассматриваемой оболочечной конструкции.

• Основные положения метода суперэлементов 147
Если внешние нагрузки произвольно изменяются во времени,
дифференциальные уравнения, описывающие движение каждого
оболочечного элемента, имеют вид
g , r) + [M(x)]y. (9.15)
Уравнения движения узлов элементов записываем в виде
A. (9.16)
Внешние нагрузки Ь(л:, т) и F (т) можно разложить по соб-
собственным формам колебаний!
k=i
(9.17)
где f (т) = {b (x, %), F (т)}; Ch (т) — коэффициенты разложения;
Аь — вектор обобщенных форм собственных колебаний рассма-
рассматриваемой конструкции.
Возможность разложения внешней нагрузки по линейно-неза-
линейно-независимым функциям Аь позволяет искать решение в виде
A=flsft(T)Aft, (9.18)
где sfe (т) — коэффициенты, являющиеся решением обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка:
. (9.19)
Это решение в общем случае имеет вид
Sft (т) = Sft @) COS OftT + -^- Sh @) Sill
x
J Ch (t) sin wh (x - t) dt. (9.20)
Общее решение задачи об определении компонентов НДС тон-
тонкостенной оболочечной конструкции при произвольном во вре-
времени нагружении находим как усеченный ряд (9.18).
При внешних нагрузках, произвольно изменяющихся во вре-
времени, применяем безусловно устойчивую конечно-разностную
схему:
Уз =
где А( — шаг интегрирования по времени.

148 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Применение этой схемы позволяет свести уравнения (9.21)
к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка:
-%- = [С(х, А?)] у, + с (х, -At, t, у..!, ys_2, ys_3). (9.22)
Далее на каждом шаге по времени используется общая схема
построения алгоритмов.
Однородные дифференциальные уравнения устойчивости обо-
лочечных элементов конструкции записываем в виде
% п,Х)]Уп, (9.23)
где п — число волн; К — параметр внешней нагрузки.
Разрешающая система линейных алгебраических уравнений
для определения узловых перемещений конструкции имеет вид
[Р (п, X)] Д = 0. (9.24)
Минимальное значение X*, при котором система (9.24) имеет
нетривиальное решение, является критическим параметром внеш-
внешней нагрузки. Дальнейшая схема построения алгоритма совпадает
со схемой построения алгоритма определения частот и форм
собственных колебаний.
В заключение отметим, что если рассматриваемая конструкция
или ее отдельные элементы изготовлены из вязкоупругого мате-
материала, то все соотношения, описывающие поведение этой кон-
конструкции, следует записывать в комплексных переменных.
9.3. Решение краевых задач для систем линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Неоднородная краевая задача. Предположим, что на интер-
интервале [х0, хг ] необходимо получить решение краевой задачи для
системы п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка:
' А + Ъ(х) (9.25)
с граничными условиями
Уп/2+l (Хо) = У1г%+Г, Уп/2+i (Xt) = У1п%+1 (t = 1, . . . , П/2). (9.26)
К решению краевой задачи (9.25)—(9.26) сводятся проблемы
определения матриц жесткости элементов и компонентов НДС
оболочечных элементов после того, как найдены их краевые сме-
смещения.
Решение краевой задачи (9.25)—(9.26) не представляет прин-
принципиальных трудностей и легко осуществляется методом про-

Основные положения метода суперэлементов
149
гонки с промежуточным ортонормированием решения [6]. Рас-
Рассмотрим кратко основные положения этого метода.
Разбив интервал [л:0, xt ] на т подынтервалов, получим т + 1
точку с координатами
xs = x0-\~s (xt — хо)/т (s = 0, 1 т). (9.27)
Представим общее решение краевой задачи (9.25)—(9.26)
в начальной точке х0 в виде
У(*о) = Уо(*о) + ||П*о)||Р(О). (9-28)
где у0 (х0) — частное решение неоднородной системы (9.25);
II Y (хо) || — матрица, столбцами которой являются линейно-не-
линейно-независимые решения однородной системы, соответствующей си-
системе (9.25):
|У(*о)| = 11У1(*о)...у*(*о)||; (9.29)
Р<°> — вектор, компонентами которого являются произволь-
произвольные постоянные:
Р@) = [р!0)...рНт;
k = n/2.
Систему векторов у0 (х0) и у} (х0) (/ = 1,
дующим образом:
Уо (*о) ='
У1
У\
У
0
0
0
0)
+i
u/
г+2
@)
n
\Y(xo)\'=
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
... 1
... 0
... 0
(9.30)
(9.31)
k) выберем сле-
0
0
(9.32)
0 0
0
Нетрудно убедиться, что решение (9.28) с учетом выражений
(9.29)—(9.32) удовлетворяет граничным условиям (9.26) краевой
задачи (9.25) — (9.26) при любой комбинации произвольных
постоянных р<°>, которые при таком выборе начальных векторов
у^ (х0) являются недостающими компонентами начального век-
вектора у (*„).
Общее решение краевой задачи (9.25)—(9.26) на подынтервале
Uo, хг] представим в виде
у(дг) = Уо(х) + |У(х)|р1О). (9.33)
где Уо (х) — решение системы неоднородных дифференциальных
уравнений
(х), (9.34)

150 ОБОЛОЧБЧНЫЕ СИСТЕМЫ
удовлетворяющее начальным условиям
У о (х) = у о (*0);
II Y (х) II = II У1 (х) ••• У ft (х) II — решение системы однородных диф-
дифференциальных уравнений
\Y(x)lf = [A(x)]lY(x)\, (9.35)
удовлетворяющее начальным условиям | Y (х) || = | Y (х0) |.
В конечной точке подынтервала [х0, хг] общее решение (9.33)
краевой задачи (9.25)—(9.26) запишем в виде
= yo(*i)+| К(*,)№«»• (9.36)
Очевидно, это решение удовлетворяет первому граничному
условию (9.26) и дифференциальному уравнению (9.25).
Проортонормируем полученную в точке % систему векторов
yj(xi) (/= 1. •••. А) по формулам
= j/(yi, У.)-2>?/; (9-37)
\ /
>i}' B </<*).
Здесь выражения типа (у1( уг) означают скалярное произве-
произведение векторов.
Выполним ортогонализацию вектора у0 (%) в конце подынтер-
подынтервала [дг0, хх] по формулам
шО) = (у z^1'); zi1' = у0 — Jj co'^z'1' (i = 1 k). (9.38)
В результате ортонормирования и ортогонализации векторов
Уо (Xi), у/ (хх) (/ = 1, ..., k) в точке хг по формулам (9.37) и (9.38)
получаем матрицу
столбцами которой являются линейно-независимые векторы zf\
треугольную матрицу
11 21 ' * ' ki
0 шО) . . . со»')
0 0
(9.39)

Основные положения метода суперэлементов ]5]
векторы г\ и
<> = [<>...<]*. (9.40)
Нетрудно убедиться, что ортонормирование и ортогонализация
векторов у0 (Ла) и у^ (xi) (j — 1, ..., k) эквивалентны преобра-
преобразованию
| Z0»!^» | = | К (д:,) уо (х,) || [ni], (9.41)
где
ГОA) ,.ОП
Iй (Во
~[ 0 1 J-
Далее решение краевой задачи (9.25)—(9.26) на подынтервале
[хъ х2] представляем в виде
где у0 (х) — решение задачи Коши для системы неоднородных
дифференциальных уравнений (9.34) с начальными условиями
Уо (*) = zo"; У; (*) — решения задачи Коши для системы однород-
однородных дифференциальных уравнений (9.35) с начальными усло-
условиями у; (х) = гI\
Решение в точке хх можно представить как в форме (9.36),
так и в форме
откуда с учетом соотношения (9.41) получаем
у (*,) = | Y (*,) уо (ху) 1 Ы1)Г1 { Pj }. (9.42)
Сравнив решение (9.36) с решением (9.42), получаем зависи-
зависимость
связывающую постоянные р<°> на подынтервале [х0, хх] с постоян-
постоянными р*1' на подынтервале [xlt x2].
Получив решения у0 (х2), у; (х2) в точке х2, выполняем ортонор-
ортонормирование векторов у; (х2) по формулам (9.37) и ортогонализацию
вектора у0 (х2) по формулам (9.38). В результате находим век-
векторы г% и z/, которые используем в качестве начальных данных
для интегрирования на следующем подынтервале [х2, х3]. Вы-
Выполнив последовательно интегрирование по всем подынтервалам
интервала [х0, х(], получаем в конечной точке хт = xt систему
векторов у0 (хт), у^ (хт) (/ = 1, ..., k), которую также ортонор-
мируем и ортогонализуем по формулам (9.37) и (9.38). Решение
в точке хт представим в виде
y(*m) = Zom) + lZ(m)|P(m)- (9.43)

152 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Подставив это решение во второе граничное условие (9.26)
краевой задачи (9.25)—(9.26), получаем систему линейных алгеб-
алгебраических уравнений для определения постоянных р<т>:
k
2 z*+/./ P/ = Уш - zk+t,0 (i = 1, .... k). (9.44)
Недостающие компоненты решения в точке хт находим по
формуле (9.43).
Постоянные p<s> (s = m — 1, т — 2, ..., 0) на подынтервале
[*s, x3+l] определяем из рекуррентных соотношений
_{0(S+i)}) (945)
где [Q(s+1>] — матрица (9.39); <o@s+1) — вектор (9.40).
Решение в точках xs (s = 1, ..., m) ортогонализации можно
найти по формуле у (xs) = z?s) + || Z<s> | p<s>, решение в началь-
начальной точке х0 — по формуле (9.28).
Изложенный процесс решения краевой задачи (9.25)—(9.26)
при достаточном числе точек ортогонализации устойчив к погреш-
погрешностям округления и позволяет получить решение этой краевой
задачи с высокой точностью.
Вычисление матриц жесткости оболочечных элементов. Пред-
Предположим, что поведение оболочечного элемента описывается
системой п линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений первого порядка:
у' = [Л(*)]у+Ь(*), (9.46)
справедливой на интервале [х0, xt ]. Предположим также, что
вектор у+ представляет собой обобщенные внутренние усилия
в координатной поверхности оболочечного элемента, вектор у_ —
соответствующие им перемещения координатной поверхности.
Столбцы матрицы жесткости [К] в этом случае представляют
собой векторы у+ в точках х0 и xt, полученные из решения краевой
задачи для однородной системы:
у' = [А (х) ] у (9.47)
при единичных смещениях одной из компонент и нулевых зна-
значениях остальных компонент вектора у_ в этих точках; вектор Qo
состоит из векторов у+ в точках х0 и xL, полученных из решения
краевой задачи для неоднородной системы (9.46) при нулевых
значениях векторов у_ в этих точках.
Например, для построения первого столбца матрицы [К)
необходимо решить краевую задачу для системы однородных
линейных дифференциальных уравнений (9.47) первого порядка
с граничными условиями
(*о) = 1; yh+i (*о) = 0 (i = 2, . . . k); (9.48)
= O (t = l,2,...( k).

Основные положения метода суперэлементов
153
Численное решение линейной неоднородной краевой задачи
(9.47)—(9.48) можно получить с помощью изложенного ранее
метода.
Вектор у+ (х0), полученный в результате решения краевой
задачи (9.47)—(9.48), является первым столбцом подматрицы [Ки ],
вектор у+ (xL) — первым столбцом подматрицы [/С2х 1 •
Аналогично можно вычислить остальные столбцы матрицы
жесткости [/С]. Для этого нужно решить последовательно я
краевых задач вида (9.47)—(9.48).
Для определения компонент вектора Qo необходимо решить
краевую задачу для системы неоднородных дифференциальных
уравнений (9.46) с однородными граничными условиями
0w (*о) = Ум (*i) = О И = 1, -.., k). (9.49)
Вектор у+ (х0), полученный в результате решения краевой за-
задачи (9.46), (9.49), является верхней половиной вектора Qo,
вектор у+ (хг) — нижней половиной вектора Qo.
Для вычисления матрицы жесткости [/(] и вектора Qo на
интервале [х0, xt ] с помощью изложенного формального метода
необходимо решить (п + 1) (я/2 + 1) задач Коши для системы
дифференциальных уравнений первого порядка вида (9.46).
Рассмотрим метод вычисления матрицы жесткости [/С] и век-
вектора Qo.
Проинтегрируем систему однородных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка:
\\Y(x)lr = [A(x)]\\Y(x)\\,
где | Y (х) |] = || ух (х) ... ук (х) ||, с начальными условиями
 0...0
О 1...0
О 0...1
О 0...0
О 0...0
О 0...0
Выполним ортонормирование решения в промежуточных точ-
точках xs по формулам (9.37) и запомним в этих точках матрицы
| Z<s> || и [Q<s> ] (9.39).
Общее решение на конце интервала xt = xm примет вид
y(jtm) = ||Z<m>||P<m>, (9.50)
где т — число точек ортогонализации на интервале [х0, xt].

154 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Определив постоянные интегрирования р<т> из граничных
условий на конце интервала хг = хт, заданных в виде
Ук+1 (Хщ) = 1; Уш (хт) = О (i = 2, .... k),
с помощью соотношений (9.50) найдем вектор у+ (хт), а следова-
следовательно, и компоненты первого столбца подматрицы t/С221 - Осу-
Осуществив обратную прогонку по формулам (9.45), определим по-
постоянные р<°>, являющиеся вектором решения у+ (х0), а следова-
следовательно, и первым столбцом подматрицы [/C2il-
Аналогично, определив последовательно постоянные р<т>,
из граничных условий
Ук+1 (Хт) = 0; yk+2 (Хт) = 1 Уп (хт) = 0\
Ук+1 (Хт) = 0, ук+2 (хт) = 0 уп (Хт) = 1
и осуществив для каждого набора констант р<т> обратную про-
прогонку, определяем остальные компоненты подматриц [Км ] и
[/Cai]- Проинтегрируем далее систему однородных дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка:
у6 = И(*)]у0 (9.51)
с начальными условиями
УоЫ = [0 0... 0 10...ОГ,
запоминая в точках ортогонализации xs векторы z?s>, получен-
полученные ортогонализацией векторов у0 (ха) по формулам (9.38) с ис-
использованием найденных ранее матриц | Z<s> |, а также векторы
Общее решение на конце интервала хг = хт представим в виде
(m)lp"n). (9.52)
Определив постоянные интегрирования р<т) из граничных
условий на конце интервала хг = хт, заданных в виде
Ум (хт) = 0 (/ = 1 k), (9.53)
с помощью соотношений (9.52) найдем вектор решения у+ (хт), а
следовательно, и компоненты первого столбца подматрицы [Кц].
Осуществив обратную прогонку по формулам (9.45). определим
постоянные р<°>, являющиеся вектором решения у+ (а;0), а сле-
следовательно, и первым столбцом подматрицы [/Сц].
Аналогично проинтегрировав последовательно систему урав-
уравнений (9.51) с начальными условиями
Уо(*о) = [0 0... 00 1 ...0]т,
Уо(*о) = [0 0 ... 0 0 0 ... 1]т,

Основные положения метода суперэлементов 155
определив из граничных условий (9.53) постоянные р(т) и осу-
осуществив для каждого набора констант обратную прогонку, на-
находим остальные компоненты подматриц [Кц ] и [Кп ] матрицы
[К].
Для определения вектора
(Qo+|
= lQo)
проинтегрируем систему неоднородных обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка
с начальными условиями
у0 (х0) = О,
запоминая в промежуточных точках векторы z<s> и <o?s).
Общее решение на конце интервала хг = хт примет вид (9.52).
Определив постоянные р<т> из граничных условий (9.53), с по-
помощью соотношения (9.52) найдем вектор решения у+ (хт), а сле-
следовательно, вектор Qo- Осуществив обратную прогонку по фор-
формулам (9.45), определим постоянные Э<0), а следовательно, век-
вектор Qo-
Таким образом, для определения компонент матрицы [К]
и вектора Qo с помощью изложенного метода необходимо на
интервале [х0, xt ] решить л + 1 задачу Коши для системы ли-
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (9.46) пер-
первого порядка, т. е. снизить объем вычислений в (я/2 + 1) раз по
сравнению с формальным способом вычисления элементов ма-
матрицы [К] и компонент вектора Qo.
Математическое обеспечение метода ортогональной прогонки.
Рассмотренный метод решения краевых задач и вычисления
матриц жесткости для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка основан на последовательном решении
задач Коши, т. е. связан с численным интегрированием системы п
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
У' = f (х, У) (9.54)
с начальными условиями
У(*о) = У°. (9.55)
Наибольшее распространение при решении задач Коши
(9.54), (9.55) получили различные варианты метода Рунге—Кутта.
Здесь для интегрирования систем вида (9.54) с начальными усло-
условиями вида (9.55) используем модификацию Мерсона метода
Рунге — Кутта. Решение в точке х + h выразим через решение
в точке х по формуле
У (х + h) = у (х) + 0,5 (kx + 4k2 + к.) + О (Л6), (9.56)

156 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
где
[ ф (9-57)
k5 = 4" f [* + А, У (*) + 4 (кх-Зкз + 4k.)] .
Вычисления по формуле (9.56) с учетом (9.57) выполняют
в пять этапов, а следовательно, за пять переходов к вычислению
правых частей. Методическая погрешность метода Кутта—Мер-
сона
е = кх - 4,5к3 + 4к4 - 0,5к5.
Метод Кутта—Мерсона реализован в виде четырех процедур
с именами KUTT1, KUTT1Z, KUTTN, KUTTNZ. Первые две
процедуры реализуют метод Кутта—Мерсона для решения одного
дифференциального уравнения, последние две — для решения
системы п дифференциальных уравнений первого порядка.
Ортонормирование векторов у^ (xs) (/ = 1 п/2) по фор-
формулам (9.37) осуществляем с помощью процедур ORTON и
ORTONZ, а ортогонализацию вектора у„ (xs) — по формулам
(9.38) с помощью процедур OR TOG и ORTOGZ.
Решение системы линейных алгебраических уравнений
[А ] х = Ь,
к которой приводится задача об определении констант р<т>,
осуществляем методом Гаусса с выбором главного элемента. Этот
метод реализован в виде процедур CROUT и CROUTZ.
Изложенный процесс вычисления матрицы жесткости [К]
и вектора Qo для оболочечного элемента, поведение которого опи-
описывается системой п линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
y'=f(x,y) + b(x), (9.58)
реализован в виде процедур STIFM и STIFMZ.
Метод решения линейной краевой задачи для системы п обык-
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого по-
порядка (9.58) с граничными условиями
#/1/2+1
(Уп/2+l
= v0;
Уп (*о)
реализован в виде процедур BNDPR и BNDPRZ.

Основные положения метода суперэлементов
157
Рис. 9.7
Приведенных здесь про-
процедур вполне достаточно
для реализации метода про-
прогонки Годунова на язы-
языке ПЛ-1.
Рассмотренный метод вы-
вычисления матриц жесткости
имеет хорошую устойчи-
устойчивость к погрешностям окру-
округления и быструю сходи-
сходимость по отношению к числу т точек ортогонализации при
работе с действительными переменными [11, 12]. При работе
с комплексными переменными такие исследования не проводили,
поэтому приведем два методических примера вычисления матриц
жесткости для различного числа точек ортогонализации.
Реологические свойства материала описываются слабосингу-
слабосингулярным ядром Ржаницина—Колтунова:
R (т) = Ле-^/т1-",
которое весьма удовлетворительно отражает квазистатическое и
динамическое поведение материалов.
В качестве первого примера рассмотрим трехслойную цилин-
цилиндрическую панель симметричного по толщине строения, поверх-
поверхность которой имеет форму параболы (рис. 9.7) и определяется
уравнением
г = Нх2/а\
Коэффициент Ламе Ах и кривизну kx для этой поверхности
вычисляем по формулам
А\ dx2
Л?
Панель имеет следующие геометрические и механические ха-
характеристики: а = 2500 см; Ь = 5000 см; Н = 250 см; hx =
= h3 = 1 см; 1ц = 10 см; Ех = Е3 = 2-10" Па; Е2 = 1010 Па;
Vl = v3 = 0,3; v2 = 0,1; Pi = Рз = 8 10s кг/м3; р2 = 2 • 103 кг/м3;
Ах = А3 = 0! = рз = ах = а3 = 0; Аг = 0,05; р = 0,1; а2 =
= 0,01; юн = 200 с.
Результаты вычисления при т. = 2, 4, 8, 16, 32, 64 и для
одного шага интегрирования между точками ортогонализации
приведены в табл. 9.1—9.6. Верхняя строка каждого элемента
матрицы [К] представляет собой действительную составляющую
этого элемента, нижняя — мнимую. Достаточная точность вычис-
вычисления матрицы [К] практически достигается уже при числе

158
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
eg
К
ч
45
eg
.-.cn
!S
> CN
5®.
00 СП
I I
8
00
оо со
8
00 I
¦Ф CN
S3
с>со
о".
иэ о
Оэ 00
О5 <N
CN -
СО —
00
g
— CN
I I
CD
00°.
(N C
I I
S5§
(N 00
I I
CO 00
„CO
CO (
СО1
(N <
-
(N
СО1Я
(N <N
00 wi
со oo
COCN
1 ¦*
>co
OCN
CN CO
Ш <M
„ о
in oo
?7
CO
OOCft
OO
5
IS
11
¦* CN
CO 1С
CN CN
si
¦? CD
— 00
О CD
CN -
CD -
¦* CN
83.
CN 00
2 «0
8»
cn m
o>
2 Z-
CO CD
(?) CN
•-c 00
00
CN

Основные положения метода суперэлементов
159
СП
м
Ef
К
Ч
45
м
00 <?>
сооо
СО
ю
CN
О
CN 00
"* 00
2
\1
<N
СО
О
00
со ¦*
СО
О Р0
CN CN
s"S
s
CO
CNO
о" о"
¦*
«-S3
о ю
« I
I
E
H
<7> CO
CO
CN
з:"м-
00 CO
CO 00
CN
о оо
3
t~- CN
3
o
¦*
> <N
ю°.
CNO5
<7> b
CN
О
5?"
00
T
to*
* I
CO I
s3
71
CD CO

00 CO
¦*(
CN_O_
of о
CT>(
oo"'
¦*
CN 00
oo to
coo
:f
00
¦* 00
coco
CO 00
ooS
coo
CN CO
ОО5
CO
CN
О
о"
о I

160
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
со
СП
м
а
я
ч
45
а
СП 00
9*8
00
СП <М
ю
осо
2?Ч
<N00
t- <м"
00 "J.
coo
CDM
О
m
СП ¦*
?--
СП 00
ою
S I
8"!
mm
S3©
3
ОО
СП 00
9*8
<N О
en о"
о
о ¦*
<?> О
¦* en
« I
1Л
mm
со I
(М
СО «3
00
о -
00 
СП 00
3l
=1
а
CO t^
CO t^
О
(?)
ooo
oo.
So
t?) I
<м
8
1O.
(МСП
—;m
СП ¦-<
00
о
о
m
oom
m
00 CO
§
о
m
8
о
en о
00 "*-
со s
со ob
00 (M
en oo
CD —
I I
m
(?)
m
(N О
_m
m m
co
s
qg
—* о
CniN
toco"
ft
IS
(Mm
о
о
о
го
00 (N
СП 00
<?> —i

Таблица 9.4
JV
1
2
3
4
5
6
7
8
Матрица [К] при т = 16
1 | 2 j 3
—4690,8
—65,4791
— 178,0
—1,9776
33805,3
84,3701
3356,1
77,6744
• 673,0
3,1271
—33,0
—0,3470
—6953,9
— 181,5409
—163,6
—1,0702
— 178,0
—1,9776
—9,2
—0,0565
3456,5
—5,0638
77,2
2,2818
33,0
0,3470
—1,0
—0,0253
75,2
— 10,7153
0,9
—0,0078
33805,4
84,3718
3456,5
—5,0638
—3146572,9
9706,4033
16637,8
—20,5372
—6953,9
—181,5408
—75,1
10,7153
—209787,6
3745,0817
—5097,8
—3,6628
4
3356,1
77,6743
77,2
2,2818
16637,9
—20,5351
—9125,6
—159,0167
163,4
1,0702
0,9
—0,0078
5097,8
3,6630
95,0
2,3779
6
—673,0
—3,1271
—33,0
—0,3470
6953,8
181,5401
—163,4
—1,0702
4690,8
65,4790
—178,0
— 1,9776
—33805,2
—84,3696
3356,1
77,6744
6
33,0
0,3470
1,0
0,0253
75,2
—10,7152
—0,9
0,0078
—178,0
—1,9776
9,2
0^0565
3456,5
—5,0639
—77,2
—2,2818
7
6953,-8
181,5400
—75,2
10,7152
209787,7
—3745,0780
—5097,8
—3,6627
—33805,4
—84,3718
3456,5
—5,0638
3146572,5
—9706,4044
16637,7
—20,5377
8
163,4
1,0702
-0,9
0,0078
5097,8
3,6628
—95,0
—2,3779
3356,1
77,6743
—77,2
—2,2818
16637,9
—20,5349
9125,6
159,0167

N
1
2
3
4
5
6
7
8
Та
блица 9.5
Мтгрица [К] при m = 32
1
—4690,7
—65,4787
—178,0
—1,9776
33805,1
843652
3356,1
77,6744
672,9
3,1275
—33,0
—0,3470.
—6952,3
—181,5138
— 163,3
—1,0696
2
— 178,0
— 1,9776
—9,2
—0,0563
3456,5
—5,0642
77,2
2,2818
33,0
0,3470
-1,0
—0,0253
75,2
— 10,7140
0,9
—0,0078
3
33805,1
84,3653
3456,5
—5,0642
—3146569,9
9706,4985
16637,8
—20,5370
—6952,3
— 181,5138
—75,2
10,7140
—209788,7
3744,7334
—5097,8
—3,6594
4
3356,1
77,6743
77,2
2,2818
16637,8
—20,5368
—9125,6
—159,0167
163,3
1,0696
0,9
—0,0078
5097,8
3,6594
95,0
2,3778
6
—672,9
—3,1275
—33,0
—0,3470
6952,3
181,5138
— 163,3
—1,0696
4690,7
65,4787
— 178,0
— 1,9776
—33805,1
—84,3652
3356,1
77,6744
6
33,0
0,3470
0,1
0,0253
75,2
—10,7140
—0,9
0,0078
— 178,0
— 1,9776
9,2
0,0565
3456,5
—5,0642
—77,2
—2,2818
7
6952,3
181,5138
—75,2
10,7140
209788,7
—3744,7334
—5097,8
—3,6594
—33805,1
—84,3653
3456,5
—5,0642
3146569,9
—9706,4986
16637,8
—20,5370
8
163,3
1,0696
—0,9
0,0078
5097,8
3,6594
—95,0
—2,3778
3356,1
77,6743
—77,2
—2,2818
16637,8
—20,5368
9125,6
159,0167
S.

N
1
2
3
4
5
6
7
8
Та
блица 9.6
. Матрица [К] при т = 64
1
—4690,7
—65,4787
— 178,0
—1,9776
33805,1
84,3649
3356,1
77,6744
672,9
3,1275
—33,0
—0,3470
—6952,2
— 181,5122
— 163,3
—1,0696
2
—178,0
— 1,9776
—9,2
—0,0563
3456,5
—5,0642
77,2
2,2818
33,0 -
0,3470
—1,0
—0,0253
75,2
— 10,7139
0,9
—0,0078
3
33805,1
84,3649
3456,5
—5,0642
—3146569,7
9706,5042
16637,8
—20,5369
—6952,2
— 181,5122
—75,2
10,7139
—209788,7
3744,7125
—5097,8
—3,6592
4
3356,1
77,6743
77,2
2,2818
16637,8
—20,5369
—9125,6
—159,0167
163,3
1,0696
0,9
—0,0078
5097,8
3,6592
95,0
2,3778
6
—672,9 .
—3,1275
—33,0
—0,3470
6952,2
181,5122
— 163,3
— 1,0696
4690,7
65,4787
— 178,0
— 1,9776
—33805,1
—84,3649
3356,1
77,6744
6
33,0
0,3470
1,0
0,0253
75,2
—10,7139
—0,9
0,0078
— 178,0
—1,9776
9 2
0^0565
3456,5
—5,0642
—77,2
—2,2818
7
6952,2
181,5122
' —75,2
10,7139
209788,7
—3744,7125
—5097,8
—3,6592
—33805,1
—84,3649
3456,5
—5,0642
3146569,7
—9706,5042
16637,8
—20,5369
8
163,3
1,0696
—0,9
0,0078
5097,8
3,6592
—95,0
—2,3778
3356,1
77,6743
—77,2
2,2818
16637,8
—20,5369
9125,6
159,0167

164 ОБОЛОЧЕЧИЫЕ СИСТЕМЫ
точек ортогонализации т = 8, а при т = 32 и т = 64 элементы
матрицы [/С] совпадают во всех значащих цифрах.
Процессорное время на ЭВМ ЕС-1045, затрачиваемое на рас-
расчет в одной точке ортогонализации, составляет 1,5 с. Так, для
вычисления матрицы [К\ при т = 8 необходимо 12 с.
В качестве второго примера рассмотрим трехслойную торои-
тороидальную оболочку симметричного по толщине строения.
Коэффициенты Ламе Ах и Л2, кривизны kx и &2 и параметр г|)
вычисляем по формулам
Ах = а; А2 = d + a sin a;
, 1 , sin а . cos а
а
Оболочка имеет следующие геометрические и механические
характеристики: а = 50 см; d = 100 см; Иг = h3 = 0,5 см; Л2 =
= 4 см; Ех = Е3 = 2-1011 Па; ?2 = 1010 Па; v2 = v3 = 0,2; v2 =
= 0,3; Pi = р3 = 8-103 кг/м3; р2 = 103 кг/м3; Лх = А3 = рх =
= Рз = «1 = «з = 0; Л2 = 0,05; р4 = 0,05; а2 = 0,05; шл =
= 200 с; п = 2. ¦
Результаты вычисления при m = 5, 10, 20, 40, 80, 160 для
одного шага интегрирования между точками ортогонализации
приведены в табл. 9.7—9.12. При т = 80 и т = 160 элементы
матрицы [К\ совпадают во всех значащих цифрах.
9.4. Математическое обеспечение метода перемещений
Операции над матрицами и векторами. Произведение матрицы
на вектор
С = [Л]Ь
вычисляем с помощью процедур MVECT и MVECTZ.
Произведение матрицы на матрицу
[С] = [А] [В]
вычисляем с помощью процедур MATRM и MATRMZ.
Транспонирование квадратной матрицы [А ] осуществляем
с помощью процедур TRANS и TRANSZ.
Для обращения квадратной матрицы используем следующий
прием. Очевидно, что
U] [Л]» IE],
где [Е] — единичная матрица.
Следовательно, матрицу [A J можно найти, решив систему
линейных алгебраических уравнений
[А] [X] = IE],
откуда [A J = [X].

Основные положения метода суперэлементов 165
Для обращения квадратной матрицы [А ] используем про-
процедуры REVER и REVERZ.
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Решение
системы линейных алгебраических уравнений с квадратной ма-
матрицей
[А]х = Ъ
получаем с помощью процедур GAUSS и GAUSSZ.
Очень часто система разрешающих уравнений метода пере-
перемещений имеет ленточную структуру. Предположим, что макси-
максимальная разница между номерами узлов, соединенных оболочеч-
ными элементами или вязкоупругими связями, равна Мц. Тогда
ширину ленты матрицы [Р ] можно определить по формуле
MP = (MtJ+l)n-l,
где п — порядок разрешающей системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, описывающих поведение оболочечных эле-
элементов конструкции.
Число элементов, лежащих по одну сторону от диагонали,
определяем по формуле
т = [(Mi}+ 1) л/2] — 1.
Таким образом, если
(Мц+1)я-1<ЛГгп/2,
где Nr — число узловых элементов в конструкции, то целесооб-
целесообразно использовать ленточные свойства матрицы [Р ] и разместить
ленту в массиве A (N, —М : М), где N — порядок матрицы [Р],
равный Nrn/2; M — число элементов ленты т, лежащих справа,
а следовательно, и слева от главной диагонали матрицы IP].
В этом случае элементы главной диагонали матрицы [Р разме-
размещаются в столбце А (*, 0) соответствующей матрицы [А ], а осталь-
остальные элементы соответственно сдвигаются.
Систему линейных алгебраических уравнений с ленточной
матрицей решаем с помощью процедур BANDS и BANDSZ.
Вычисление определителей. Определитель | А | квадратной ма-
матрицы [А ] вычисляем с помощью процедур GAUSD и GAUSDZ;
определитель ленточной матрицы [А] — с помощью процедур
BANDD и BANDDZ. В результате выполнения этих процедур
находим два параметра: d и s. Значение определителя после
этого вычисляем по формуле
|Л| = <Ы0»,
где d — мантисса определителя; s — его порядок.
Интерполяция функции одной переменной. Для интерполяции
функции одной переменной используем построение интерполя-
интерполяционного многочлена Лагранжа для равноотстоящих узлов [3].

Таблица 9.7
JV
1
2
3
4
5
6
7
8
Матрица IK] при т = 6
1
4966
158,8
897
—28,3
—46875
242,1
—16503
—177,0
—40863
—4999,3
—31221
—3051,7
—803261
—93643,4
42199
4536,1
2
— 17024
—248,8
—1133
38,3
2035
—740,6
20307
276,7
—403994
—21817,7
—226170
—11239,0
—7473697
—366398,4
360851
17790,6
3
251545
3783,1
—4335
—521,1
—692995
6722,0
—159589
—1978,1
— 1522878
—123654,1
—968093
—70838,3
—27979694
—2207999,4
1453912
108493,2
4
29192
435,2
253
—80,4
40680
1557,3
—48029
—651,3
902997
50337,7
504576
26064,2
16542272
846198,7
—809334
—41368,9
6
—76
-1.4
—16
-0,1
65
—1,9
—40
—0,5
10705
12,6
4887
35,6
—28001
—1378,5
—12318
—149,0
6
10
—0,0
2
—0,0
30
0,1
1
—0,0
5295
11,3
6472
17,9
61425
29,5
—9249
—23,9
7
3
-2.4
—34
-0,2
350
-1.0
—37
-1.2
107067
451,3
71398
163,8
1604222
3248,1
—74752
—117,1
8
25
0,3
2
—0,0
7
0,7
10
0,1
—16132
—154,0
—19549
—241,9
— 153161
—1590,1
45624
578,8

Таблица 9.8
N
1
2
3
4
5
6
7
8
Матрица [ЛС] при т = 10
1
— 19860,9
—153,949
8017,6
57,331
— 136937,1
—1013,142
—13143,0
—93,956
-8,5
0,509
—25,1
—0,188
—154,5
0,406
—33,2
—0,730
2
6929,2
37,444
—8902,7
—72,276
96639,5
652,362
14081,6
127,528
12,1
—0,143
3,8
0,013
38,2
—0,232
0,9
0,114
1
—126033,2
—853,422
97682,7
670,821
—2011746,5
— 11387,764
— 124776,9
—971,638
82,6
4,107
—30,7
0,015
—26,8
9,099
—62,7
—1,744
— 11625,7
—63,992
14737,4
140,052
— 131030,0
— 1075,529
—35809,3
—349,322
49,6
1,355
—1,6
0,148
54,1
3,224
— 17,8
—0,187
S
25,7
—0,032
—27,6
—0,292
296,4
2,666
—29,6
—0,606
19924,3
153,554
7433,9
45,311
127255,7
847,048
— 12633,5
—81,263
6
27,1
0,291
-4,1
—0,067
71,7
1,118
1,6
—0,058
8077,0
58,282
8840,4
71,472
99361,8
687,626
— 14434,3
—136,411
7
288,4
2,653
—71,6
—1,115
1031,6
14,934
— 19,6
—1,452
137025,3
1016,917
96117,7
651,104
2021923,6
11519,342
—12855,9
—1057,536
8
27,3
0,567
1,8
—0,055
15,0
1,378
9,5
0,073
— 13353,4
—98,139
— 14411,1
— 133,281
— 128554,7
—1027,268
36124,2
357,150

168
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
О)
О)
га
et
к
к
о
(NO
o
СО <N
©2
So"
ю о
coo
«5 «5
.4,-00
(N1O
<N'
CO О
8
-8
(NO
I I
CO CN
СО 00
00 СО
O)(N
00 in
tю

CO 45
CO <N
8fS
О CO
СЛ1Л
о
Ш
00 CO
1Л О
coo
о
00
о
of о"
о
s
coo
8*
COCO
coco
I [
o2
CO -
(NO
°-co
**^ CO
C0 O5
ooo
S"S
00 1O
m о
coo
со о
"N
00 1П
OCO
CN —•
00 <N
-in
o°l
77
CO"^
CO со"
?3
CO 00
00 CO
се
to
I о
CN
CO
—10
-CO"
<y> in
CN О
77
in ¦*
СО 00
O5CN
00 СО
010
со о
1П
--©¦
СО (N

Основные положения метода суперэлементов
leg
о
О)
я
а
к
к
о
м
н
8
СО <N
О
q
СО О
о
О) Г~-
оою
*8
о ¦*
00
О-О.
аГ©"
s
оою
Ю О
со о
СО О)
ою
as
о со
§52
ю of
CO CO
coco
to
tN О
см
СО
оо
СП l~-
^-о
о
ю
о
1Л —
со оо
оо со
О О
(Ос
гп ¦
СПС
CO_<N
CO О
со
* СП
<4
со см
гм о
3
in ю
осо
00
ю
со
Ю
юо
со о
t^ со
со со
rhCO
О) О
s8
о •¦
ю ст
coco
coco
COO
7l
1Л О
со о
а*
СО f-
СЛ СТ
СЛ —
со оо
ою
сч о
77
СО 00
00 «Э
СО
ст о
CN
СО
о о
ю
СО
оою
f- Ю
обю
ю о
со о
со
со сч
28?
со
ст о
t^ 00
77
СО 00
«а
coco
¦* СО
5 85
00
оо
COO
7§

JV
1
2
3
4
5
6
7
8
l
—20543,7
—165,043
7879,9
55,287
—135830,7
—1005,817
—13418,7
—99,607
—33,3
—0,126
—27,1
—0,296
—302,7
—2,958
—27,1
—0,577
2
7879,8
55,286
—8695,8
—68,854
95665,7
643,548
14397,0
133,845
27,1
0,296
4,0
0,062
71,0
1,070
—1,6
0,050
3
— 135830,8
—1005,816
95666,0
643,551
—1996851,7
—11274,264
—129078,2
—1055,857
—302,7
—2,958
—71,0
—1,070
—1045,1
—14,967
—16,1
—1,331
Матрица [К] при
т = 80
| 5 | 6
—13418,6
—99,606
14397,0
133,846
—129077,2
—1055,844
—36503,2
—362,961
27,1
0,577
— 1,6
0,050
16,1
1,331
—9,0
—0,081
33,3
0,126
—27,1
—0,296
302,7
2,958
-27,1
—0,577
20543,7
165,043
7879,9
55,287
135830,5
1005,816
— 13418,7
—99,607
27,1
0,296
—4,0
—0,062
70,9"
1,070
1,6
—0,050
7879,8
55,286
8695,8
68,854
95665,8
643,550
—14397,0
—133,845
Та
7
302,7
2,958
—70,9
—1,070
1045,1
14,967
-16,1
—1,331
13530,6
1005,814
95666,0
643,550
1996849,5
11274,245
— 129078,1
—1055,855
блица 9.11
8
27,1
0,577
1,6
—0,050
16,1
1,331
9,0
0,081
—13418,6
—99,606
—14397,0
—133,846
—129077,1
—1055,844
36503,2
362,960

N
1
2
3
4
5
6
7
8
1
—20543,7
—165,043
7879,9
55,287
—135830,8
— 1005,818
— 13418,7
—99,607
—33,3
—0,126
—27,1
—0,296
—302,7
—2,958
—27,1
—0,577
2
7879,9
55,287
—8695,8
—68,855
95666,0
643,551
14397,1
133,846
27,1
0,296
4,0
0,062
71,0
1,070
—1,6
0,050
1
з
—135830,8
—1005,818
95666,0
643,551
—1996855,1
— 11274,287
—129077,5
—1055,847
—302,7
—2,958
—71,0
—1,070
—1045,1
—14,967
—16,1
— 1,331
Патрица [К] при
4
— 13418,7
—99,607
14397,1
133,846
— 129077,4
— 1055,846
—36503,3
—362,963
27,1
0,577
—1,6
0,050
16,1
1,331
—9,0
—0,081
т = 160
Б
33,3
0,126
-27,1
—0,296
302,7
2,958
—27,1
—0,577
20543,7
165,043
7879,9
55,287
135830,8
1005,818
—13418,7
—99,607
6
27,1
0,296
-4,0
—0,062
71,0
1,070
1,6
—0,050
7879,9
55,287
8695,8
68,855
95666,0
643,551
—14397,1
—133,846
Та
7
302,7
2,958
—71,0
—1,070
1045,1
14,967
—16,1
—1,331
135830,8
1005,818
95666,0
643,551
1996855,1
11274,286
— 129077,5
—1055,847
5лица 9.12
8
27,1
0,577
1,6
—0,050
16,1
1,331
9,0
0,081
—13418,7
—99,607
—14397,1
—133,846
—129077,4
—1055,846
36503,3
362,963

172 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Пусть в равноотстоящих узлах z0, гь ..., г„ заданы значения
функций v0, »!, ..., vn, где п — целое число, являющееся степенью
интерполяционного многочлена. Пусть также точка г находится
в интервале [г0, г„]. Введем обозначение
t = п (г — 20)/(г„ — г0).
Тогда значение функции v (г) можно вычислить по формуле
v(z)=?kjVj; (9.59)
где
(tпмпт «-р). (9-60)
•
Так как для интегрирования системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений используем метод Кутта—Мерсона,
имеющий пятый порядок точности, для интерполяции функции
одной переменной целесообразно выбрать интерполяционный мно-
многочлен пятой степени (п = 5).
Пусть точка х, для которой необходимо вычислить значение
функции у (х), находится в интервале [хи хм] (i = 0, 1, ...,
т — 1), в котором
¦ Xi = xo + iAx; xi+1 = xt + Ах;
Ах = (xi — xo)lm (i = 0, 1, ..., m — 1).
Тогда для вычисления значения функции у (х) можно исполь-
использовать формулы (9.59)—(9.60), приняв п = 5, v = у, г = х.
Кроме того, величины / и t в формулах (9.59)—(9.60) должны
принимать следующие значения:
/ = 0; t = (х — хоIАх, если i < 2;
j — т — 5; / = (х — х0)/ Ах — /, если i :> т — 2;
/ = i — 2; t = (x — лгс)/Длг — /, если 2 < i < т — 2.
Интерполяция указанным способом осуществляется с помощью
процедур INTPL и INTPLZ.
Решение нелинейных функциональных уравнений. Задача об
определении комплексных частот собственных колебаний вязко-
упругих оболочечных конструкций сводится к отысканию ком-
комплексных корней нелинейного функционального уравнения
|?>(й)| = |Р(й)| = 0. (9.61)
Трудности вычисления, связанные с нелинейностью функции
D (й), обусловливают применение метода Мюллера [10], который

Основные положения метода суперэлементов 173
позволяет получить корни уравнения (9.61) без записи послед-
последнего в явном виде. Суть метода заключается в следующем.
По трем заданным точкам й0, йь й2 строим интерполяционный
многочлен Лагранжа второй степени:
D (S) = "X ^ ~ ^ (® ~ ®*> (<** ~ щ) D (щ) ~~
— (со — соо) (со — со2) (соа — со0) D (cox) + (со — со0) (со —
— сох) (щ - соо) D (соа)],
где А = (сох — соо) (соа — сох) (со2 — со0).
Введем новую переменную: 2= (со — со2)/(соа— сох). Тогда
уравнение (9.61) можно записать в виде
A + q)D (й) и Агг + Вг + С = 0, (9.62)
где
A = ^[D2-(l + ^)D1 + ^D0J;
В = B? + 1) Я, - A + qf Dx + q* Do; (9.63)
C = (l+^)Da; q = F, -%)/(©!- So).
Решение уравнения (9.62) позволяет определить его корни
по формуле
. ... _. — В ± VB* - ААС '
со = соа + (соа - щ) 2л
Ближайший к йа корень й3 дает следующую тройку расчет-
расчетных точек: <blt (Ьг и й3, по которым строится в дальнейшем интер-
интерполяционный процесс. Условия прекращения процесса имеют вид
где е — заданная относительная погрешность; сон, со7 — дей-
действительная и мнимая части комплексной частоты й.
Последовательность й0) йь й2, ..., йт является сходящейся,
если значения й0, йь й2 находятся в достаточно малой окрест-
окрестности корня уравнения (9.61) [10].
При применении метода перемещений для решения задачи об
определении частот и форм колебаний оболочечных конструкций
из вязкоупругого материала приходится раскрывать определи-
определители высокого порядка, поэтому в процедурах их вычисления
(см. подразд. 9.4) значения определителей представлены с помо-
помощью двух чисел d и s:
5 = 2-10s. (9.64)
В результате преобразования выражения (9.63) с учетом
(9.64) имеем
А = a- 10s»; B = b-\OS°; С = с- 10s», (9.65)

174 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
где а = q [da-10!'"!« — A + q~) dx- W^> + qd0]; b = Bq + 1) x
X ds-l0s'-s' — A + qf dfi-lO1»-1- + qado; с = A + q) d2-l0s'-s'.
Корни уравнения (9.62) определяем по формуле
~ , ,~ - . — Ь ± Vb* — Аас
оа = оаа + (©2 — ой!) 2^
Таким образом, указанным методом можно вычислять опре-
определители D (й) высокого порядка, используя только разности
этих порядков [см. формулы (9.65)].
Алгоритм вычисления действительных корней уравнения (9.61)
построен на сочетании шагового метода и итерационного про-
процесса Мюллера. С помощью этого алгоритма на интервале [сон,
<ок] с шагом Асо определяют значение со, при котором изменяется
знак функции D (со), а затем на найденном интервале Асо уточ-
уточняют приближенное значение корня с помощью процесса Мюл-
Мюллера. Этот алгоритм реализован в виде процедуры MULER.
Алгоритм определения комплексных корней уравнения (9.61)
реализован в виде процедуры MULERZ.
Вычисление механических констант для ядра релаксации Ржа-
ницына—Колтунова. Вид ядра релаксации определяет поведение
модели материала и возможности применения тех или иных
методов расчета конструкции. Поведение материала конструкций
моделируется с помощью соотношений
а(т) = е\ е(т) - J R(т- t)e(t)dt
L о
где а — напряжение; е — деформация; Е — мгновенный модуль
упругости; R — ядро релаксации.
Для описания поведения вязкоупругих материалов наиболее
приемлемы слабосингулярные ядра наследственности, например
ядро Ржаницына—Колтунова:
Жг) = Л-7^- @«х<1), (9.66)
которое весьма удовлетворительно отражает квазистатическое
и динамическое [9] поведение вязкоупругого материала и наи-
наиболее удобно при проведении квазистатических и динамических
расчетов и определении механических констант.
Действительную и мнимую составляющие комплексного мо-
модуля Е в этом случае определяют по формулам
?Л = ?A-ГС); ?, = ?Г„

Основные положения метода суперэлементов 175
Здесь Гс и Г, — косинус- и синус-преобразования Фурье ядра
(9.66), определяемые по формулам
(p2 + °>я)z
Ф = arctg (шл/р),
где coR — действительная составляющая комплексной частоты
колебаний й.
Гамму-функцию Г (а) при 0 < а < 1 вычисляют по формуле
г , ч Г (а+ П) .
1 w~ а (а+1) (а+ 2)-••(<*+10)'
для вычисления гамма-функции Г (г) = Г (а + 11) используют
асимптотическое разложение Стерлинга [10]:
Г/-.ч_с-г-*-4-г^Г. I l I 1 т
i (z; — е z у ^л [^ 1 -)- ]2г -)- 28&2 51840г»
Для действительных положительных значений г абсолютное
значение погрешности меньше абсолютного значения последнего
из взятых членов разложения (9.67). Так как 11 < г < 12, эта
погрешность не превышает 10~8.
Предположим, что объемная деформация чисто упругая, т. е.
объемный модуль постоянный:
?/A _ 2v) = ?/A — 2v).
Тогда комплексный коэффициент Пуассона
v = 0,5 — 0,5 A — 2v) EIE\
комплексный модуль сдвига
S = 0,6?/(l+v).
Здесь v — мгновенный коэффициент Пуассона для изотропного
материала.
Комплексные механические константы Е, v, G при известных
значениях мгновенного модуля упругости Е и коэффициента
Пуассона v вычисляют с помощью процедуры GAMMAZ.

176 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
9.5. Принципы создания программного комплекса
для расчета оболочечных конструкций
После того как определен класс задач, которые предстоит
решать с помощью комплекса программ для расчета оболочечных
конструкций, необходимо выбрать математическую модель и сфор-
сформулировать математическую постановку задачи. Принятая мате-
математическая модель должна быть приемлема для описания доста-
достаточно широкого класса задач и должна иметь каноническую форму
записи, позволяющую несложным образом расширять и услож-
усложнять решаемые задачи, т. е. программный комплекс должен быть
открытым.
Здесь рассмотрены задачи динамики для тонкостенных оболо-
оболочечных конструкций двух классов (осесимметричных и призмати-
призматических), изготовленных из упругого или вязкоупругого материала.
Разрешающие уравнения записаны в форме, которая позволяет
создать общую схему построения всех алгоритмов их решения.
Эта схема для конкретных задач динамики оболочечных конст-
конструкций каждого класса лишь незначительно изменяется, оставаясь
единой для всех алгоритмов, что позоляет создать единое ма-
математическое обеспечение для всего программного комплекса.
Разработка единого для всех алгоритмов формального описания
конструкций рассматриваемых классов основана на представле-
представлении конструкции в виде совокупности узловых и оболочечных
элементов, а также связей. Такое расчленение конструкции,
нумерация элементов, формулировка ограничений, накладывае-
накладываемых на узловые элементы, описание геометрических и механиче-
механических характеристик всех элементов, а также методических пара-
параметров расчета едины для всех алгоритмов, входящих в про-
программный комплекс.
В качестве языка программирования в программном комплексе
принят алгоритмический язык ПЛ-1, который позволяет наиболее
полно использовать потенциальные возможности ЕС ЭВМ и не
вызывает никаких проблем при работе с комплексными пере-
переменными. В качестве основного принципа построения программ-
программного комплекса должен быть принят принцип модульности, за-
заключающийся в том, что программа, с помощью которой решается
большая задача, должна состоять из ряда модулей. Каждый мо-
модуль — это последовательность логически связанных операций,
выполняющая вполне определенную функцию и оформленная
в виде .самостоятельной подпрограммы. Принцип модульности
в совокупности с преимуществами языка ПЛ-1 дает возможности:
разрабатывать большие программные комплексы одновременно
нескольким исполнителям;
создавать индивидуальные библиотеки исходных, объектных
и загрузочных модулей;

Основные положения метода суперэлементов ]77
облегчить создание программ с оверлейной структурой, обе-
обеспечивающих экономию оперативной памяти ЭВМ;
изменять и совершенствовать программы.
В основу программного комплекса расчета тонкостенных обо-
лочечных конструкций заложен принцип алгоритмического ввода
исходных данных, который состоит в том, что наряду с числовым
осуществляется функциональный ввод исходных данных. В этом
случае в число формальных параметров процедуры, реализующей
какой-либо из алгоритмов решения задач динамики тонкостенных
оболочечных конструкций, входят формальные параметры, яв-
являющиеся также процедурами. Функциональное назначение этих
процедур состоит в вычислении непрерывно изменяющихся исход-
исходных данных (геометрических и жесткостных параметров оболо-
оболочечных элементов, механических параметров шпангоутов и стрин-
стрингеров, характера действующих на конструкцию нагрузок и т. д.).
Принцип алгоритмического ввода исходных данных позволяет
существенно расширить возможности программного комплекса.
Более подробно преимущества принципов модульности и алго-
алгоритмического ввода исходных данных описаны в гл. 7.
С формальной точки зрения программный комплекс состоит
из четырех библиотек модулей: математического обеспечения;
проблемно-ориентированных модулей; сервисных и объектно-
ориентированных.
Модули математического обеспечения полностью и надежно
обеспечивают все математические операции, необходимые для
реализации алгоритмов расчета. Эти модули должны быть соз-
созданы в возможно более общем виде, чтобы их можно было исполь-
использовать не только в настоящее время, но и в будущем при расшире-
расширении программного комплекса.
Проблемно-ориентированные модули инвариантны по отноше-
отношению к объекту расчета. Каждый модуль предназначен для реше-
решения конкретной проблемы, например определения компонентов
НДС осесимметричных оболочечных конструкций при действии
нагрузок, произвольно изменяющихся во времени. Для работы
с этим модулем необходимо разработать несложную управляющую
программу расчета, обеспечивающую числовой или алгоритмиче-
алгоритмический ввод исходной информации, вызов проблемно-ориентирован-
проблемно-ориентированного модуля, вывод результатов расчета в той или иной форме.
Для этого от пользователя требуется лишь минимальное знание
основ программирования и в ряде случаев умение обращаться с
внешними устройствами прямого доступа.
Объектно-ориентированные модули расчета тонкостенных обо-
оболочечных конструкций, созданные на основе проблемно-ориенти-
проблемно-ориентированных модулей, жестко привязаны к конструкции конкрет-
конкретного класса в отношении геометрии, механических и реологиче-
реологических свойств ее, характера внешних воздействий, точности реше-

178 ОБОЛОЧВЧНЫВ СИСТЕМЫ
ния и т. д. Для работы этих модулей нужна минимальная входная
информация в виде чертежной документации и не нужны допол-
дополнительная программная подготовка к работе и специальные зна-
знания пользователя в области программирования. Таким образом,
работа с объектно-ориентированным модулем формализована до
такой степени, чтобы его можно было использовать на уровне
технического персонала научно-исследовательских и проектно-
конструкторских организаций и служб вычислительных центров.
Указанные модули обеспечивают преобразование исходной инфор-
информации во внутреннее представление, необходимое для использо-
использования соответствующего проблемно-ориентированного модуля.
Вопрос о необходимости разработки того или иного объектно-
ориентированного модуля является чисто экономическим, и его
решение в каждом конкретном случае зависит от трудоемкости
соответствующего объема разработки и ожидаемого объема его
использования.
Преобразование минимальной входной информации, заданной
на перфокартах или в таблицах на экране дисплея, во внутреннее
представление, необходимое для использования проблемно-ориен-
проблемно-ориентированных модулей, и вывод результатов в той или иной форме
осуществляется сервисными модулями. В зависимости от целей
расчета результаты могут выдаваться на АЦПУ массивами с соот-
соответствующими заголовками в компактном или в постранично-
табличном виде, пригодном для включения в отчет или другой
документ. Предусмотрен также режим выдачи результатов
на экран дисплея для предварительного их анализа.
Программный комплекс должен предусматривать возможность
включения в различные системы автоматизированного проекти-
проектирования (САПР). Для этого необходимо лишь разработать под-
подпрограммы преобразования глобальной исходной информации
данного варианта САПР во внутреннее представление, принятое
в программном комплексе решения задач динамики для тонкостен-
тонкостенных оболочечных конструкций. Алгоритмический ввод (вывод)
информации позволяет сделать это с относительно небольшими
затратами труда.
10. КАНОНИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК
(МОДЕЛЬ КИРХГОФА—Л ЯВА)
10.1. Геометрические и физические соотношения,
уравнения, равновесия, граничные и начальные условия
Определим положение точек координатной поверхности рас-
рассматриваемого оболочечного элемента гауссовыми криволиней-
криволинейными координатами аг и сс2, положительные направления которых
показаны на рис. 10.1. Соответствующие выбранной системе

Канонические соотношения (модель Кирхгофа—Ляпа)
179
Рис. 10.1
Рис. 10.2
координат коэффициенты Ламе обозначим Ах (ах) и Л2 (ах), глав-
главные радиусы кривизны Rx («i) и R2 (ах). Величины At и kt =
= l/Rt (i = 1,2) должны подчиняться известным соотношениям
Гаусса—Кодацци (см. подразд. 9.1).
Ось г направим так, чтобы система координат {ахааг} была
правой ортогональной (см. рис. 10.1).
Углы поворота нормали к координатной поверхности оболо-
чечного элемента можно выразить через перемещения и, v и w
точек координатной поверхности по формулам
„ 1 dw . , # д ^ ^w , l /inn
Ах оах А% оа%
Положительные направления перемещений и, v, до и углов Bi
и 9 а поворота показаны на рис. 10.2.
Удлинения и углы сдвига координатной поверхности связаны
с перемещениями и, v, до и углами 9i и 9а поворота соотношениями
Л 2 O0&2 12
1 dv
A0.2)
1 ал2
/\. j 6Ю^1 " 1" 2 ОСС-^ J\ 2 ОСС^
Компоненты изгибной деформации координатной поверхности
(изменения кривизн и кручение) связаны с перемещениями и по-
поворотами соотношениями
1 ал,
12
L «!•
дах V)
В результате подстановки соотношений A0.1) в выражения
для кручений Кц и Кц координатной поверхности с учетом соот-
соотношений Гаусса—Кодацци получаем Кы = Ка-

180
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 10.3
Компоненты деформации в точ-
точке оболочечного элемента, от-
отстоящей на расстояние г от коор-
координатной поверхности, связаны
с компонентами тангенциальной
и изгибной деформации этой по-
поверхности соотношениями
е11 = ^11 "Г 2AiiJ
Чг = Ем + гКп; (Ю.4)
Чг = Е13 + 2гК1а.
Формулы A0.1)—A0.4) являются геометрическими соотно-
соотношениями простейшего варианта нелинейной теории тонких обо-
оболочек в квадратичном приближении при малых удлинениях и
углах сдвига координатной поверхности оболочечного элемента
осесимметричной оболочечной конструкции.
Установим физические соотношения для тонкого оболочечного
элемента.
Пусть оболочечный элемент составлен из нескольких ортотроп-
ных слоев (рис. 10.3) и главные направления упругости в каждой
точке каждого слоя совпадают с направлениями координатных
линий аъ а2 и г, т. е. в каждой точке каждого слоя одна из пло-
плоскостей упругой симметрии параллельна координатной поверх-
поверхности оболочечного элемента, а остальные две перпендикулярны
линиям at = const (i = 1,2). Считаем, что деформации оболочеч-
оболочечного элемента малы и материал каждого слоя этого элемента имеет
свои реологические свойства. Кроме того, считаем, что физиче-
физические свойства материала каждого слоя описываются линейными
наследственными соотношениями Больцмана—Вольтерра с инте-
интегральными разностными ядрами, подчиняющимися условию замк-
замкнутого цикла [14].
Предположим, что нормальными напряжениями azz в пло-
площадках, параллельных координатной поверхности тонкого обо-
оболочечного элемента, можно пренебречь по сравнению с напря-
напряжениями ап и о22 в площадках, нормальных к этой поверхности.
Тогда физические соотношения материала /-го слоя можно опи-
описать с помощью комплексных модулей упругости:
Е[ = E
[R
iE{,\ Ц
= E
'2R
A0.5)
в направлениях
и а2, комплексных коэффициентов Пуассона:
{ = v(r + Mi, v? = vL? + Mi A0.6)
и комплексного модуля сдвига:
& = G'R + Ю1,
A0.7)

Канонические соотношения (модель Кирхгофа—Лява) 181
в плоскости z = const. При этом должно быть выполнено соотно-
соотношение [Ц Ё&{
Зависимость между напряжениями и деформациями для /-го
слоя оболочечного элемента из вязкоупругого материала имеет
вид (индекс / для простоты опущен)
^ U\ _ ^1 J g U\ [ р U qA g /Vj\ fa _!_
11 \ / j —ViV j и w j *mi v / ii \ / т~
I D
+ v21 e22 @ - J R12 (t - x) e22 (x) dx\\ A ** 2);
Г° r 1
an (t) = G в12(^) — 7?a (t — x) e12 (t) dx I,
L о J
где 7?ift (t, ^ = 1, 2) и /?0 — ядра релаксации; Et и vt (i = 1, 2) —
мгновенные значения модулей упругости и коэффициентов Пуас-
Пуассона; G — мгновенное значение модуля сдвига.
Рассмотрим интеграл
/ = J R (t - х) Ф (х) dx. A0.8)
о
Считая, что входящие в этот интеграл функции времени можно
представить в виде
где т|> (t) — медленно изменяющаяся функция времени; соя —
действительная константа, и учитывая в соотношениях A0.8)
малость интегральных членов, получаем
t t
I = J R (t — x) ф (t) dx = j R (t — x) iK (т) е~"'аяг dx «
о о
i t
« iK @ J /? (t — x) e я at « *|> @ J Я (т) е * dt «
о о
» i|3 @ е-'ю«' j ^ (t) e'a«T dx.
о
Проведенная процедура «замораживания» и переход к беско-
бесконечному пределу интегрирования [16] позволяют записать
¦v2e22
l-

]82 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
- J Я22 (т) е-1-*'
а12 = G 1 - J RG (т) e-'a^T dx e12.
Введя обозначения
?i = ?i(l-rlle + *rUl) A^=2);
G = G A - ГОс + irffs); A0.9)
1 — 111с + п 11»
получаем
ап = ?х (ец + v2e22)/(l — vxva);
ст22 = Ё2 (е22 -f v1$n)/(l — VxV2); A0.10)
<rla = Ge12.
Здесь Г11с, ..., Г08 — косинус- и синус-преобразования Фурье
ядра R (t):
оо - оо
Гцс = J Ян (х) cos шят dx; Г118 = j Rn (т) sin юят dx;
о о
A0-11)
оо оо
Г^с = \ Rg (t) cos ШдТ dx; TGs = J ^G (т) sin а)дт dr.
J J
о о
На вид ядер R (t) в соотношениях A0.11) никаких ограниче-
ограничений, кроме подчинению условию замкнутого цикла, не наклады-
накладываем.
Предположим, что 0 (аь а2, z) — температура оболочечного
элемента в точке с координатами аи а2, z, а р{ и р| — темпера-
температурные коэффициенты расширения материала в направлениях аг
и а2. Тогда соотношения A0.10) примут вид
9
A0.12)
а12 = G;e12.

Канонические соотношения (модель Кирхгофа—Лява)
183
Введем усилия и моменты,
действующие в площадках а —
= const; нормальные Ти, Т22
и сдвигающие Т12, Т21 усилия, а'
изгибающие М11г Мг2 и крутя-
крутящие М12, М21 моменты. Считаем,
что эти условия и моменты от-
отнесены к единице длины со-
соответствующей координатной
линии. Положительные их направления указаны на рис. 10.4.
Внутренние усилия и моменты, приведенные к координатной
поверхности оболочечного элемента (z = 0), связаны с компонен-
компонентами тангенциальной и изгибной деформации этой поверхности
соотношениями [2 ]
N = [C]e-D, A0.13)
где
N = [Ти Т22 Ми М22 S Ну;
ciV
c\V
cW
0
0
tiV
cW
cW
0
0
clV
chV
c\V
ckV
0
0
C12
cW
c\V
4V
0
0
0
0
0
0
Сзз'
0
0
0
0
Сзз1
cW
A0.14
()
42
]; (io.i5)
S = Tl2 — kiM2l = T21 — kyM\2; H = M12 = M21.
Коэффициенты с{ц квадратной матрицы [С] A0.14) определяем
по формулам
Cft»-
dz A^=2);
A0.16)
температурные члены D»' вектора D A0.15) — по формулам

184
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 10.5
Интегрирование в соотноше-
соотношениях A0.16) и A0.17) следует
выполнять по всему поперечному
сечению оболочечного элемента.
В качестве координатной поверх-
поверхности г = 0 можно выбрать либо
срединную поверхность произ-
произвольного слоя, либо поверхность
контакта слоев, либо любую дру-
другую поверхность.
Из соотношений A0.16) следует, что матрица [С] симметричная
положительно определенная.
Предположим, что на оболочечный элемент действуют распреде-
распределенные по координатной поверхности внешние нагрузки qx (аг,
аъ> 0i <7г (аъ а2> 0» Яг (ai, a2, t), положительные направления
которых показаны на рис. 10.5. Предположим также, что к кон-
контуру Г (аг = а10 и аг = а1Г) в координатной поверхности при-
приложены внешние силы Т*\ (а2, t), Qn (а2, t), S (а2, t) и момент
Мп (а2, t), положительные направления которых совпадают с по-
положительными направлениями внутренних силовых факторов
Тп, Qu,.S, Mn. Считаем, что на каждый слой оболочечного эле-
элемента действуют объемные силы инерции. Тогда уравнения движе-
движения оболочечного элемента принимают вид
дТ
11
1 dS | 2
17 а7 + ~Щ
A0.18)
х да-i
1 дМц
А1 дах
-f- <7z — р -qjt
~ 59a = 0;
Лх/42
да2
Of) _ Q

/ Канонические соотношения (модель Кирхгофа — Лява) ]g5
где
р= [ p'Mdz; A0.19)
pi — плотность /-го слоя.
Уравнения движения A0.18)—A0.19) должны удовлетворять
на торцах оболочки аг = const граничным условиям
Гц = TU, или и = и';
S + 2k2H = 5*, или v = у*; A0.20)
Q"+-k-Hr = Q*u или ш = ш*;
Ми = Affi, или 9i = 9*.
Уравнения движения A0.18) должны удовлетворять также
начальным условиям
A0.21)
Уравнения A0.18) и условия A0.20) соответствуют нелиней-
нелинейным уравнениям движения и граничным условиям в проекциях на
оси, связанные с недеформированной координатной поверхностью
оболочки вращения.
Преобразуем соотношения A0.13) к виду, удобному для даль-
дальнейшего их использования.
Предположим, что в соотношениях A0.13) известны величины:
Ух — Тц; Уз — Мп; Е22 = Е22, К2г = К22- Тогда величины Кц,
?ш Ti2, Mi2 определим из соотношений
Ки = Кп + Кц', Еп = Еп + Еп;
Т22 = Т22 + Т22; М22 = Ма!! + ^22,
в которых значения Кц, Еп, Т%2 и М22 вычисляем последовательно
по формулам
А
- ciP (t/, - c
A0.22)
да,,+да22+сШп+
М22 = Cij^ll + ^'?22 + СЙ'^П +

186 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
значения /Сп, Еп, Т22 и М22 — по формулам
A0.23)
10.2. Линейная деформация
предварительно напряженных оболочек
Предположим, начальное (основное) НДС тонкостенной обо-
оболочки вращения, компоненты которого не зависят от окружной
координаты а2, изменяется вследствие приложения некоторой
системы внешних механических или температурных нагрузок.
В результате вектор компонентов НДС конструкции можно пред-
представить в виде
Xs (т) = X» + X (т), A0.24)
где Х° — вектор компонент начального осесимметричного НДС,
обусловленного, например, действием осесимметричной системы
внешних статических, механических или температурных нагру-
нагрузок; X (т) — вектор компонент дополнительного несимметричного
НДС, обусловленного отклонением от основного начального
состояния и в общем случае зависящего от времени т.
Очевидно, соотношения, описывающие геометрически нелиней-
нелинейную деформацию тонкостенной оболочечной конструкции (см.
подразд. 10.1), справедливы как для основного, так и для суммар-
суммарного НДС.
Подставив выражения A0.24) в соотношения A0.1)—A0.23)
и вычтя из соотношений, полученных для суммарного НДС,
соотношения, описывающие основное НДС конструкции и, сле-
следовательно, тождественно удовлетворяющиеся, можно получить
соотношения, описывающие поведение конструкции в отклонен-
отклоненном состоянии.
Если при этом рассматривать не любые отклоненные состоя-
состояния, а только достаточно близкие к основному, то дополнительные
деформации, перемещения и усилия в оболочечных и кольцевых
элементах конструкции можно считать малыми. В связи с этим
нелинейными составляющими в соотношениях, описывающих по-
поведение конструкции в отклоненном состоянии, можно прене-
пренебречь и ограничиться линейными членами. Необходимо учесть
также независимость основного состояния конструкции от коор-
координаты а2.

Канонические соотношения (модель Кирхгофа—Лява) 187
В результате получаем следующие выражения для добавочных
удлинений и сдвига координатной поверхности оболочечного эле-
элемента:
?м = v + k2w + Ци; A0.25)
Ей = v'— тро + иш + 9?92>-
где 9Х = —a/ + kyu; 92 = —w + k2v.
Выражения для добавочных изменений кривизн и кручения
координатной поверхности оболочечного элемента имеют вид
*и = 9Г, ^22 = 92 + ДО,; К12 = 9j - Щ + k2v. A0.26)
Добавочные усилия и моменты связаны с добавочными компо-
компонентами тангенциальной и изгибной деформации соотношением
N = [C]e-D. A0.27)
Для отклоненного состояния кроме уравнений A0.18) должны
быть справедливы добавочные уравнения
Гц +1> (Г„ - Т22) + S" + *, (Qn + Я') + <7i - р ~ = 0; A0.28)
S* + 2г|> (S + *,Я) + Т22 + ^2 (Q22 + Я") + 72 - р ~ = 0;
Qu + ipQu + Q22 - ^Гн - k2T22 + 7з - Р -|J- = 0;
Ма + ф (Af и - УИ22) + Я' - Q,, - Г?,в1 - 8?Ги = 0;
н" + 2\\>н + м22 - q22 - т22е2 - els = 0.
10.3. Сведение уравнений в частных производных
к обыкновенным дифференциальным уравнениям
Пусть f (a2) — действительная периодическая функция с пе-
периодом 2^, для которой существует интеграл
J I f Ы I da2.
—у
Для осесимметричных оболочечных конструкций у = я, для
призматических у — L.
Функцию f (a2) можно разложить в ряд Фурье на интервале
[~у, у]:

188 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
/ К) = /о + 2 (A cos -у-а* + /-»sin -у-««)' A0-29)
/о = ^" j / («а) <*а2; /n = -у- j / («a) cos ¦—- аг da2; f_n =
V
1
Если в качестве периода разложения выбрать интервал [а%,
«2 + 2?], то интегралы следует брать от a-l до а% + 2у.
Таким образом, функцию / (а2) можно представить в виде
постоянного члена /0 и некоторого множества гармоник с часто-
частотой vn = 0,5п/у.
Предположим, что дополнительные внешние механические и
температурные нагрузки, действующие на оболочечную конструк-
конструкцию, являются периодическими функциями координаты аа с пе"
риодом 2^. Следовательно, их можно представить в виде рядов
Фурье
оо оо
р "^ р ЯЯ , "V* р ПП ,.~ „..
п=0 n=Q
оо оо
^1 = 2 ^cos "У" а2 + 2 ql -"sin "у" а2;
п=0
n=D n=Q
2 DS} cos -f- a2 + 2 {П^} ^n -f- «2-
n=Q n=Q
Очевидно, при 7 = n разложения A0.30) справедливы для
замкнутых в окружном направлении оболочек (период в окруж-
окружном направлении равен 2я).
После разложения внешних механических и температурных
нагрузок в ряды A0.30) решение линейной задачи A0.25)—A0.28)
можно искать в виде
ФГ = 2 Ф'« cos -^ а2 - 2 Фи -п sin -f- a2; A0.31)
П=0
Ф1 = 2 Ф2„ sin -^ a2 - 2 Ф2, ~n cos

Канонические соотношения (модель Кирхгофа—Лява) 189
где Ф? = 1ир wp 01р Е11р Е22р Кцр К2гр Tllp М11р Г22р М2п
Qup 1Т; Фг = [vp 02р Е12р Кцр Sp Ep Q22p ]T.
Введя обозначения
п = ±пл/(А2ру); п = ±nft/(r»v) A0.32)
и опустив для простоты индекс п, получаем систему дифферен-
дифференциально-алгебраических соотношений, описывающих поведение
оболочек при действии n-й гармоники разложения внешних ме-
механических и температурных нагрузок в ряды A0.30). Знак плюс
в обозначениях A0.32) принимают, когда рассматривают гармо-
гармонику из первых столбцов разложений A0.30)—A0.31), в осталь-
остальных случаях принимают знак минус.
Для р-го оболочечного элемента получаем (индекс для про-
простоты опущен):
геометрические соотношения
Ей = и' + k\w + 0?9i; E22 = nv -f \pu -f- few;
Ea = v — i|w — nu + 9?92;
Ku = 91; K22 = nQ2 + 4>8i; K12 = W - n8i - фв2; A0.33)
0X = —да' + *!«; 02 = nw + f^v;
физические соотношения
N = [C]e —D; A0.34)
уравнения равновесия
Tii + У (Г» - T22) + nS + k{ (Qu + nH) + 7! - p ^- = 0; A0.35)
E + ^Я) - nTi2 + h (Qa2 + H') + ^2 - P -|J- = 0;
Qii + *Qn + «Q22 - hTu - k2T22 + 7з - P -^J- = 0;
h +1> (Ми - M22) + ЙЯ - Q,, - T?i0, - 0?Тц == 0;
H' + 2tyH - nM22 — Q22 - TI2Q2 - 9?S = 0.
Используя соотношения
& = Ц (k{ — k2); n = —n\p,
первое из которых является соотношением Гаусса—Кодацци,
а второе очевидно, преобразуем систему A0.35) к виду
Т'п = —1|> (Гц - Т22) - п (S + 2k2H) +
+ 2к,пН - К (Qu + пН) - цх + р-^-;
nTi2 + feaQ22 - q, + р -0 ;
A0.36)

190 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
(<2ц + пН)' = -Ф (Qu + ЯН) + Я (Qaa - 2г|>Я) +
+ ЬТц — <7з + Р -0~г I
Mi, = — ф (М„ - М22)
где Q22 = nMC2 + Г2°292 + 9?S.
Систему восемнадцати алгебраических и дифференциальных
уравнений A0.33), A0.34), A0.36) относительно восемнадцати
неизвестных и, v, w, 9г, 8а, Ellt Е22, Еп, Ки> Кы, Кп, Тп, Т22,
S, Мп, М22, Я, Qu можно свести к системе восьми обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка относительно
неизвестных:
Эта система
1
А
где
Л
с
/ш:
& -
У» = Qu + nl
Уь = «; Ув = ®
имеет вид
h = ?и
/7
/8 = ?l2+-
- &Уъ . 1
/ (йЗ == / юБ == /i
= —71 + ^22; ь.
ч; уа = мп; yi =
,у) + -.(у» + ьк,
2 — 2фЯ) + ^ + Л,"
-г/2 —2пЯ + Г?^7 +
ФУв + «#5 — 9?92;
»в = /ш7= /ив== 0;
г = — <7з + ft + n2i
s +
Я),
W22>
2k,H;
A0.
A0
37)
.38)
A0.39)
A0.
40)
A0.41)
Величины f22, М22, ..., ^fn в выражениях A0.39) и A0.41)
вычисляют по формулам A0.22)—A0.23), где
?аг = пу8 + \руь + k2yb; Kz2 = «92 + tyi, A0.42)

Канонические соотношении (модель Кирхгофа—Лява) ]Q1
причем
02 = Ьуь + пув. A0.43)
Величины Е12, К12, Н, QM вычисляют по формулам
Еа = {у* - 2 (с$ + 2k2cif) [n (k2y5 - у7 - ^6) -
/С12 = h (Ea + «ffe - 9?92) - n (yT
Q22 = Ш22 + Г5298 + 8? (tft - 2Й2Я).
После решения системы A0.38) недостающие компоненты НДС
р-го оболочечного элемента (Еп, Е22, Кп, К22, Т22, Мм, 92, Е12,
Ki2, H) вычисляют по формулам A0.42)—A0.44), A0.22)—A0.23),
величины Qn и 5 — по формулам
Qii = ft - пН; S = ft - 2^Я. A0.45)
Деформации в точке, отстоящей на расстояние г от коорди-
координатной поверхности:
Ъц(г) = Ен + гКи A = 1, 2); A0.46)
ela(z) =
напряжения в этой точке
Е!
[е W + V2
_ //
VjV2
(г)] A**2);
A0.47)
а12 (г) = G/вц (г).
Суммирование по п позволяет определить компоненты НДС
всех оболочечных элементов рассматриваемой конструкции для
п членов разложения внешних нагрузок в ряды A0.30).
Соотношения A0.3*8)—A0.47) выведены для тонкостенной обо-
лочечной конструкции, находящейся под действием внешних
нагрузок, произвольно изменяющихся во времени. Рассмотрим
некоторые частные случаи.
Статическое нагружение. Если дополнительные внешние меха-
механические и температурные нагрузки не зависят от времени, си-
система дифференциально-алгебраических уравнений для п-и гар-
гармоники разложений A0.30) принимает вид
-j- -2L = f (аъ я, у) + b («!, я). A0.48)
Периодическое иагружение. Предположим, что дополнитель-
дополнительные внешние нагрузки, действующие на оболочечную конструк-

192 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
цию, являются периодическими функциями времени с периодом
27\ Следовательно, их можно представить в виде рядов Фурье
/ (т) = (An cos штт — f_m sin штт), A0.49)
т т
где /0 = -~ \ f (t) dt; /m = -у- Г / (т) cos штт dt; /_m = — — x
-r ' ¦ -r
X f/ (т) sin ©mT dr; com = я/л/Г (m = 1, 2, ...).
—г
Таким образом, функцию / (т) можно представить в виде
постоянного члена /0 и некоторого множества гармоник с круговой
частотой ют (т = 1, 2, ...). Очевидно, при шт = 0 реализуется
статическое нагружение конструкции.
Решение для гармоник с частотой ют можно искать в виде
°°
У (т) = S (yro cos штт — y_m sin югот), A0.50)
где у — вектор компонент дополнительного НДС для n-й гармо-
гармоники разложений A0.30).
Подставив ряды A0.49)—A0.50) в соотношения A0.38), с уче-
учетом того, что коэффициенты при функциях cos ютт и sin ютт
вследствие линейной-независимости этих функций должны быть
равны нулю, получаем для т-и гармоники разложений A0.49)—
A0.50) систему обыкновенных дифференциальных уравнений пер-
первого порядка:
-JT ЖГ =f to' й- У) +f- (У> + b («i)- A0-51>
Ненулевые компоненты векторов fa и b в уравнениях A0.51)
определяют по формулам
Решение системы A0.51) позволяет определить неизвестные у,
а следовательно, и все компоненты НДС для п-й гармоники раз-
разложения дополнительных внешних нагрузок в ряды Фурье по
координате сс2 и Для т~& гармоники разложения этих нагрузок
в ряды Фурье по времени т. Суммирование по п и т позволяет
определить динамическую составляющую дополнительного НДС.
Компоненты суммарного НДС конструкции определяют суммиро-
суммированием компонент основного и дополнительных статических и
динамических состояний.
Собственные колебания. Если дополнительные нагрузки и
температура равны нулю, решение системы A0.38) можно искать
в виде
У (т) = уе'««. A0.52)

Канонические соотношения (модель Кирхгофа—Л я на) JQ3
Подстановка выражения A0.52) в однородные уравнения
A0.38) и сокращение на множитель с'шт приводит к системе
однородных дифференциальных и алгебраических уравнений:
в которой вектор ia имеет следующие ненулевые компоненты:
Значения со*, при которых существует нетривиальное решение
однородной системы уравнений A0.53), определяют спектр ком-
комплексных частот колебаний оболочки.
Вынужденные колебания. Предположим, что конструкция,
имеющая некоторое начальное осесимметричное НДС> нагружена
системой внешних дополнительных нагрузок, произвольно изме-
изменяющихся во времени. Тогда движение конструкции в окрестности
начального состояния описывается системой дифференциальных
уравнений
~к ik ~f (а"п> у) +!и (у)+b ы> A0-54)
в которой векторы ia и b имеют следующие ненулевые компоненты:
f - 5—^.- f - й Э'Уа -
/ш4 -- Р ^та »
К = — 7ip (t); ^ = —gsp (t); Ь4 -= —92P (т).
Уравнения A0.54) должны удовлетворять начальным условиям
y(O)--|f(O) = O. A0.55)
Для интегрирования системы A0.54) с начальными условиями
A0.55) применяют метод конечных разностей, т. е. заменяют про-
производные по времени конечно-разностными соотношениями
2zh — Sz;,,.! -f- 4zfe_2 — Zfe_8 /in (\^
2 _, , ^iu.od;
где z = [y6 yn ys ]T.
Подстановка соотношения A0.56) в систему A0.54) на k-u
шаге интегрирования по времени дает уравнения
-А7 "^Г = f (а" "' Уй) +fl (Ук) + b K) + bl> A0-57)
7 П/р В. И. Мяченкова

194 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
в которых векторы fx и Ьх имеют следующие ненулевые компо-
компоненты:
h. )-* = (ЩГ Ул> bu j_x = ~(Щ? (fyj, ft_i — 4г/л ft_2 -f- Уз, h-a)
(/ = 5, 6, 8).
Если первую производную по времени заменить конечно-раз-
конечно-разностным соотношением [
-g-@) = 0,5(zi-z_1)/AT) A0.58)
начальные условия A0.55) примут вид
Уо = 0; ух = у_х.
На первом шаге интегрирования используют конечно-разност-
конечно-разностное соотношение с меньшим порядком точности:
дга ~~ (Дг)а '
или с учетом A0.58)
д**г _ 2
аг3 ~ (Дг)а 1-
Таким образом, на первом шаге (k = 1) интегрирования по
времени система дифференциальных уравнений имеет вид
На следующих шагах используют систему A0.57).
11. КАНОНИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК
(МОДЕЛЬ ЛОМАНОЙ ЛИНИИ)
11.1. Геометрические и физические соотношения
Рассмотрим тонкостенную многослойную оболочку, пакет ко-
которой представляет собой набор N несущих слоев и N — 1 слоев
заполнителя (рис. 11.1).
Примем связанную с оболочкой ортогональную систему коор-
координат аи а2, а3. Пусть аг и а2 совпадают с линиями главных кри-
кривизн координатной поверхности а3 = 0 (а3 — расстояние от про-
произвольной точки оболочки до координатной поверхности). В ка-
качестве координатной поверхности примем срединную поверхность
среднего слоя оболочки — несущего (рис. 11.1, а) или заполни-
заполнителя (рис. 11.1, б).
Соответствующие выбранной системе координат коэффициенты
Ламе обозначим Аг (аъ сс2) и А2 (alt a2), главные радиусы кри-
кривизны — Rt (alt cc2) и R2 (аь а2). Величины At и k-t — R

Канонические соотношения (модель ломаной линии)
195
Y/77////////A
\
\!
i ,
///////
6)
11
1
—t
ОС,
Рис. 11.1
(t = 1, 2) должны удовлетворять известным соотношениям Га-
Гаусса—Кодацци (см. подразд. 9.1).
Рассмотрим fe-й несущий слой в локальной системе коорди-
координат aly a2, tk, где ?* — расстояние от произвольной точки слоя до
его срединной поверхности. Соответствующие выбранной системе
координат коэффициенты Ламе обозначим Л* (ссь сс2) и Л2 («i, а2),
главные радиусы кривизны — R\ (ax, а2) и i?* («i, «г)- Величины
Л* и kkt = l/R* (t = 1, 2) также должны удовлетворять соотно-
соотношениям Гаусса—Кодацци.
Полное перемещение произвольной точки й-ro слоя, имеющей
до деформации координаты о^, а2, ?*, определяется проекциями
Ц) (а1( а2, ?k) (t = 1, 2, 3) вектора полного перемещения этой
точки на направления касательных к координатным линиям аи
Oj, S* соответственно. Предположим, что перемещения IIi (t =
= 1, 2) изменяются по линейному закону
С/* (аь а2, 1к) = ы* (аи «г) + ?*Ф* («г, аг), (П-1)
а перемещение U\ постоянно по толщине оболочки:
С/з («ь аг. ?*) = "з (аь а2). A1.2)
Положительные направления перемещений и\ (i = 1, 2, 3)
точек срединной поверхности fe-ro слоя и углов ф; (i = 1, 2) по-
поворота нормали к этой поверхности показаны на рис. 11.2.
Предположим, что компоненты деформаций г{/ (i; = / = 1, 2)
также изменяются по линейному закону
е*7 (а,, а8, t*) = ^/ («i-
а компоненты ej? (t = 1, 2) постоянны по толщине (модель Ти-
Тимошенко):
eft (о,, а2> &*) = Екц (оь а2). A1.4)
7*

196
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
,.*¦>
Рис. 11.2
Рис. 11.3
Удлинения и углы сдвига срединной поверхности &-го слоя,
возникающие в результате его деформации, можно выразить
через перемещения точек срединной поверхности по формулам
(индекс k для простоты опущен) [13]
1 дщ
дА2
да2
да,
да,
где
ди3
162,
A1.6)
Компоненты изгибной деформации срединной поверхности
(изменения кривизн и кручение) связаны с перемещениями ut
и углами ф; поворота этой поверхности соотношениями
jv- 1 d(px . 1 5i4j
1
1
ТГ 5
A=^2);
1 дА
ф2. A1.7)
Выражения для поперечных сдвигов можно представить в форме
Я|С = Ф|-в| A=1, 2). A1.8)
Рассмотрим k-й слой заполнителя в локальной системе коор-
координат ах, сс2> ^*» гДе S* — расстояние от произвольной точки слоя
до его срединной поверхности. Предположим, что заполнитель
работает только на сжатие и сдвиг в поперечном направлении.
Так как й-й слой заполнителя связывает fe-й и (k + 1)-й не-
несущие слои, должны удовлетворяться условия неразрывности
перемещений в пакете многослойной оболочки (рис. 11.3). Эти
условия позволяют сформулировать геометрические соотношения
для k-то слоя заполнителя.
Предположим, что перемещения Vt изменяются по толщине
по линейному закону [4J:
Vi (ab о2, &*) = vi (оь о2) + tkyk( @1, а2). A1.9)

Канонические соотношения (модель ломаной линии) 197
Согласно схеме на рис. 11.3
«FI = B* + -T-tf + e.Ti+-*?-4fr1 (' = 1. 2). (П.Ю)
Тогда углы сдвига в k-м слое заполнителя
- ut - °'5W - °'5Л*+1Ф?+1)/6* . (* = !- 2); A1Л1)
перемещения срединной поверхности fe-ro слоя заполнителя
У* = 0,5 («*+* + «*) +0,25 (fcftcp*-fcfc+1cp*+i) (<=1, 2); A1.12)
о» = 0,5 («»+! +и»)".
деформация
езз = ("з+1""з)/б*. A1.13)
Формулы A1.1)—A1.13) являются геометрическими соотно-
соотношениями рассматриваемого простейшего варианта нелинейной
теории тонких многослойных оболочек в квадратичном приближе-
приближении, основанного на модели Тимошенко для несущих слоев и на
модели легкого сжимаемого заполнителя при малых деформациях
и произвольных углах поворота.
Предположим, что главные направления упругости в каждой
точке каждого несущего слоя совпадают с направлениями коор-
координатных линий аь а2, t,k, т. е. в каждой точке каждого слоя одна
из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной по-
поверхности 6-го слоя, а остальные две перпендикулярны линиям
at = const (i = 1, 2). Считаем, что оболочка испытывает малые
деформации и материал каждого слоя имеет свои реологические
свойства.
Считаем, что физические свойства материала каждого несу-
несущего слоя описываются линейными наследственными соотноше-
соотношениями Больцмана—Вольтерра с интегральными разностными
ядрами, подчиняющимися условию замкнутого цикла [14].
Предположим, что нормальными напряжениями а*3 в пло-
площадках, параллельных срединной поверхности й-го слоя, можно
пренебречь по сравнению с напряжениями а*х и а*2 в площадках,
нормальных к этой поверхности. Тогда физические соотношения
для материала &-го несущего слоя можно записать с помощью
комплексных модулей упругости:
Ekt = EktR + iEi, (i = l, 2), A1.14)
в направлениях ссх и а2, соответствующих коэффициентов
Пуассона
* ? ? (t= I, 2) A1.15)

198 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
и комплексных модулей сдвига
Gk = GkR + Ю)\ Gktl = G?w + Юкш (/=1,2) A1.16)
в плоскостях ? = const и at = const.
Индекс i в соотношениях A1.14)—A1.16) означает направле-
направление координатной оси, множитель Л—мнимую единицу.
Зависимость между напряжениями и деформациями для k-то
несущего слоя оболочки из вязкоупругого материала имеет вид
(индекс k для простоты опущен)
Г 2);
г1а
= 8е12; сг,-с = GJteiC (t = 1, 2),
где е< (С) — температурная деформация.
В площадках at = const й-го несущего слоя действуют: нор-
нормальные !Txi, Тгг, сдвигающее 5 и поперечные QlS, Q26 усилия,
изгибающие Мц, М22 и крутящий Н моменты. Их положительные
направления показаны на рис. 11.4. Считаем, что эти усилия и
моменты отнесены к единице длины соответствующей срединной
поверхности fe-ro несущего слоя.
Внутренние усилия и моменты, приведенные к срединной по-
поверхности &-го несущего слоя (?* = 0), связаны с компонентами
тангенциальной и изгибной деформации соотношениями
Ти = Вп (?„ + va?2a) - Tlt (I 7t 2);
Ми = Du (Kn + va/C22) - Mlt A ^ 2);
где
Считаем, что физические свойства материала каждого слоя
заполнителя также описываются линейными наследственными
соотношениями Больцмана—Вольтерра с интегральными разност-
разностными ядрами, подчиняющимися условию замкнутого цикла.

Канонические соотношения (модель ломаной линии)
199
Рис. 11.4
Предполагаем, что в заполнителе возникают только нормаль-
нормальные сгзз и касательные т*Е и t*j напряжения (рис. 11.5). Тогда
физические соотношения для материала fe-ro слоя заполнителя
можно записать с помощью комплексных модулей упругости:
A1.18)
в направлении ?* и комплексными модулями сдвига
= 1, 2).
Нормальные напряжения
касательные напряжения
:=l, 2).
A1.19)
A1.20)
A1.21)
Формулы A1.14)—A1.21) являются физическими соотноше-
соотношениями для рассматриваемого варианта теории многослойных
оболочек.
11.2. Уравнения движения и граничные условия
Предположим, что краевой контур Г оболочки состоит из
двух частей: 1\ и Г2, причем на контуре Гх ссх = const и а° -С
< сс2 < яг, на контуре Г2 сс2 = const и а\ < аг < а[.
Пусть к контуру Г в срединных поверхностях несущих слоев
приложены нормальные Т?ь Т^, сдвигающие Sk и поперечные
QiE> Q.2Z усилия, а также изгибающие моменты М\и Мгг- Пусть
к срединной поверхности каждого несущего слоя приложены
также распределенные поверхностные нагрузки qx (ах> «г). <7г (ai>
сс2), цъ (аь а2), положительные направления которых совпадают
с положительными направлениями координатных осей аь сс2, ?*•
Предположим также, что на каждый слой оболочки действуют
объемные силы инерции.

200 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Для получения уравнений движения оболочки используем
вариационное уравнение ЛаГранжа:
N N—l N N—l N
И 63? + 23 S3* = 23 вп{ + Е sn? + 23 бп?, (п.22)
fc=l *=1 *=1 fc=l *=1
где 63* и 63*. — вариации потенциальной энергии деформации
&-го несущего слоя и &-го слоя заполнителя; 6П* и 6П? — эле-
элементарные работы внешних распределенных нагрузок и сил инер-
инерции, действующих на k-й несущий слой и на k-й слой заполнителя;
6П* — элементарная работа внешних сил, приложенных к кон-
контуру й-го несущего слоя.
Вариация потенциальной энергии деформации й-го несущего
слоя
63* = J J J (опве?! + с&6е?2 + а?2бе?2 + afE6e?c +
Г Г "
Выполнив интегрирование по толщине &-го слоя, с учетом
равенств A1.3) и A1.4) получим
63? = J J (Tku6Ekn + TUEI2 + 5*6??2 + AfJxe/Cti + Л1
(l l-23)
Подставив выражения A1.5)—A1.8) в соотношения A1.23),
с учетом формул Грина
после несложных преобразований получаем
63? = — | J (Lfби* + libul + L^6«^ + 1?6ф* + ЦбфгО х
г, г,
X А\А\ da, da2 + ^** + iJ*- A1 -24)
Здесь
L ___ i ^(^^ц) | i a MiS)
da

Канонические соотношения (модель ломаной линии)
201
1 д(А,М11)
АгАг да,
d(A\H)
AXA2
- Qa - Tub - S6a
L\ = J (Гц*
+ S6u2 + Qubut + М„бф1 + Ябф2) Л2 da2 A ^Г 2),
где Qlx = QlS — Гцб! — S82 A ** 2). Здесь индекс й опущен.
Вариация потенциальной энергии деформации fc-ro слоя за-
заполнителя
JJJtt
Г1 Г2 °fc
dai da2.
.25)
Подставив соотношения A1.11), A1.13), A1.20) и A1.21)
в равенство A1.25) и проинтегрировав его по толщине k-vo слоя
заполнителя, получаем
Е3 („k+l
?
i=\
^ бф* - ^ бф*+1) ] ЯМ*
A1.26)
Выражение для элементарной работы внешних распределен-
распределенных нагрузок, приложенных к срединной поверхности &-го не-
несущего слоя, и сил инерции, действующих на этот слой, можно
записать в виде
X A1Aldaxda2. A1.27)
Предположив, что плотность pft в k-ы. несущем слое постоянна
по толщине слоя, и подставив соотношения A1.1)—A1.2) в ра-
равенство A1.27), получаем
Г! г, L *=i
2
12
A* At dai da2.
A1.28)

202 ОБОЛОЧБЧНЫБ СИСТЕМЫ
Элементарная работа сил инерции, действующих на k-й слой
заполнителя:
6П2* = - Г Г( Г ^ р* ??Д bV$ dlk I A\Ak2 dai da2. A1.29)
Предположив, что плотность'$А в k-u слое заполнителя по-
постоянна по толщине, и подставив соотношения A1.9), A1.11) и
A1.12) в равенство A1.29), получаем
12
Г, Г, f=l
X
- Т-^) Х
X (би?+1-6«?-^16ср?+1-4*-6ср?)] A\~A\daxdo.2. A1.30)
Элементарная работа внешних сил, приложенных к контуру
6-го несущего слоя:
= J
+ Qn б«з + Mn*6(pf + Я**бф§) X
X Л2 da2 + J (S"*6uf
+ Я**вф* + ЛГЙвфЭЛ1Лх,. A1.31)
Подставим выражения A1.24) и A1.26) для вариаций потен-
потенциальных энергий деформаций несущих слоев и слоев заполни-
заполнителя и выражения A1.28), A1.30) и A1.31) для элементарных
работ внешних сил и сил инерции в вариационное уравнение
A1.22).
Считая, что отношениями 0,5 (hh + 6h)/Rk и 0,5 (hh + bh-i)/Rh
(условие относительной тонкостенности) можно пренебречь по
сравнению с единицей при вычислении коэффициентов Ламе Л*,
Л2 и кривизн /г*, k\ в срединной поверхности &-го слоя заполни-
заполнителя, из вариационного уравнения A1.22) получаем связанную
систему 3N уравнений движения многослойной оболочки.

Канонические соотношения (модель ломаной линии) 203
При независимых вариациях Ьи) (i = 1, 2, 3) и бср* (t = 1, 2)
эта система уравнений для k-то несущего слоя имеет вид (ин-
(индекс k для простоты опущен)
а 1лм> _ klTn _
= 0: (И-32)
где
Qu = Qn - Tub - se2 (i ^ 2). (i 1.33)
Величины pkt (t = 1, 2, 3) и m* (t = 1, 2) учитывают взаимо-
взаимодействие &-го несущего слоя с (k + 1)-м и (k — 1)-м несущими
слоями. Выражения для этих величин имеют вид
р =
.,*-i Aft ft Aft_i ft-r\ /(. , 0\
Величины ^ (t = 1, 2, 3) и <J* (t = 1, 2) учитывают силы
инерции, возникающие в k-u несущем слое и в примыкающих

204 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
к нему слоях заполнителя. Выражения для этих величин имеют
вид
^B«Г' + 4и,-
Dи*+гиг - 2лАФз* - л^-.фз*-1); A L35)
= !, 2).
Из вариационного уравнения A1.22) автоматически следуют
статические граничные условия:
на контуре Гх
7ii=rtf; s" = stk; Q?, = Qi?; (П.зб)
на контуре Га
7*22 = 7*22» S =S I Q22 = ^22.» A1.37)
Уравнения A1.32)—(.11.35) и условия A1.36)—A1.37) соот-
соответствуют нелинейным уравнениям движения и граничным усло-
условиям в проекциях на оси, связанные с недеформированными сре-
срединными поверхностями несущих слоев многослойной оболочки.
11.3. Оболочки вращения и призматические оболочки
Для оболочек вращения (см. рис. 9.6) приведенные основные
соотношения значительно упрощаются. В этом случае коэффи-
коэффициенты Ламе А\, А\ и кривизны k\, k\ не зависят от координаты а^.
Введя обозначения
и = иг; v = ыа; w = и3,
запишем соотношения Кодацци—Гаусса в виде

Канонические соотношения (модель ломаной линии) 206
Тогда для 6-го несущего слоя (k = 1, ..., л):
геометрические соотношения
Еп = и + fciw + 0,56?; Е22 = и' + ^« + иго» + О.бба;
?ia = v' - г|зи + и- + e162;
Kl2 = ф2— *И>2 + ф!> A1.38)
физические соотношения
Мц = Du (/Си + v2/C22) — Mlt; A1.39)
уравнения движения
1-^ = 0; A1.40)
Qu + ^Qu + Q22 — ^i^ii — кгТ22 + Рз + чг qjt = 0»
Мп +Ч> (Af и - М22) + Я' - Qu - Гцв1 - S62 + mj - Ц^ = 0;
Я( O*U ГУ I Л>Г" ^^ Т^ А Рл | ^-я™ * Л
*-р л\р/7 -р /V122 — W.22 — ¦* 22 — ODl -f- Ш2 —' **% ' == ^>
Qxi = Qxs - T'iA - 58а Aч* 2). A1.41)
Соотношения A1.39)—A1.41) представляют собой замкнутую
систему 23N дифференциально-алгебраических уравнений, опи-
описывающих нелинейное динамическое поведение многослойных
оболочек вращения.
Рассмотрим призматические оболочки (цилиндрические) про-
произвольного поперечного сечения. Для &-го несущего слоя выберем
локальную систему координат alf aa, Z, (см. рис. 9.3). При этом
ось ах направим вдоль направляющей, ось аа — вдоль образую-
образующей призматической оболочки.
Для призматической оболочки с учетом выбранной системы
координат коэффициенты Ла = 1; k^ = 0, 1]) = 0. Таким образом,
все соотношения для призматических оболочек можно формально
получить из соотношений A1.38)—A1.41), приняв А% = 1; k^ = 0;
<Ь = 0.

206 ОБОЛОЧБЧНЫБ СИСТЕМЫ
11.4. Нелинейная симметричная деформация
многослойных оболочек вращения
Рассмотрим замкнутую в окружном направлении оболочку
вращения под действием внешних осесимметричных статических
механических и осесимметричных температурных нагрузок.
Для &-го несущего слоя:
геометрические соотношения
Ец = и' + k\w + 0,59?; ?22 = ^« + few)
A1.42)
iCn = ф1; K2 = *hpi; 6i = — a»" + M;
физические соотношения
Тп = Ва (Еп + v2E22) - Ти; A1.43)
M11 = D11(K11 + v2Ki2)-Mlt A^2);
уравнения равновесия
Т'п + ¦ G-11 - Т22) + ftiQu + pi + ?i = 0;
Qn + ^Qn - ftiTn - 62T22 + pi + qt = 0; A1.44)
Ми + г|з (Ми - M22) - Qu - ThOi + m\ = 0,
где
Qu = ?>ic («Pi - 6i) - T-iiQi- A1 -45)
Систему \3N дифференциальных и алгебраических уравнений
A1.42)—A1.45) относительно 13ЛГ неизвестных u*, wk, ф*, 8*,
?ii, ?22, /Сп, К'гг, Ти, 7*2, Qu, Mfb M*2 можно свести к системе
6ЛГ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
относительно неизвестных
Ух = Т\ъ у\ = Qiu Уз = Мкп; у\ = ик\
Из соотношения A1.45) находим в? = у% + А*, где А* =
= —(#* + г/1#б)/(?*? + г/i). Разрешающую систему уравнений
представим в виде [11]
A1.46)
где f* и с* — линейная и нелинейная однородные составляющие;
Ь* — неоднородная составляющая.
Компоненты линейных однородных составляющих определяем
по формулам (индекс k для простоты опущен)

Канонические соотношения (модель ломаной линии) 207
/з — i|> (М22 — Уз) + «/2 — т\\
/5 = ?ц - kiy5]
где
722 = В22 (?а2 + v^u); М22 = D2
— v2?22;
ft c-ft ft 77ft—1 ft—1.
/?3 = ?3833 — C3 633 ,
m\ = 0,
Компоненты нелинейных однородных составляющих опреде-
определяем по формулам
2; eg = tfl (у6
неоднородных — по формулам
Ь\ = — qi + ^ (vsTu - Г2,); А* = —
« - Ми); Ь\ = Ги/В„;
Для решения геометрически нелинейной задачи, описываемой
соотношениями A1.46), применим метод Ньютона—Канторовича
[8], согласно которому систему A1.46) на (s + 1)-м шаге прибли-
приближения можно представить в виде
(*) ff( * Ун-ь
где f* — однородная составляющая; fx (ys+1) = [Су (у,) ] у8+1;
f§ — неоднородная составляющая, связанная с предыдущим при-
приближением: f2 (ys) = — [Су (ys) ] у, + С (у,) у„.

208 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Компоненты вектора fx:
/11 — /ia — /ie —
/13 = A — а) е1у1, t+l - ay2i s+
компоненты вектора f2:
/21 = /28 ~ /26 = 0>
/sa = (a - 1) Э,у,, s; /24 = @,5 - a) 9?;
/25 =
где a = y« yl ^. y,)l{^ Уи,)
В качестве нулевого приближения (s = 0) принимаем решение
У? («,) = 0-
11,5. Линейная несимметричная деформация
многослойных оболочек вращения
Предварительно напряженные оболочки. Предположим, что
начальное напряженное состояние многослойной оболочки вра-
вращения, не зависящее от окружной координаты а2, изменяется
вследствие внешних дополнительных воздействий. Тогда суммар-
суммарное напряженное состояние этой оболочки можно охарактеризо-
охарактеризовать вектором
Xz(t) = X°+X(t),
где Х° — вектор компонент начального осесимметричного на-
напряженного состояния; X (т) — вектор компонент дополнитель-
дополнительного несимметричного напряженного состояния, в общем случае
зависящего от времени т.
Очевидно, соотношения A1.38)—A1.41) справедливы как для
начального (Х°), так и для суммарного (Xs) состояний. Пре-
Пренебрегая нелинейными слагаемыми, можно записать геометриче-
геометрические соотношения
?ц = и + kiw -j- 9i0b ?22 = v' + гры -f- k2w;
E12 = v — ypv + и + 8i02;
Kil = фЬ Ki2 = ф2 + 1рфЬ /Cl2 = ф2 — г|5ф2 + фЬ A 1 -47)
^it = <Pi — ®i'> ^2j = Фг — %',

Канонические соотношении (модель ломаной ляннн) 209
физические соотношения A1.39) и уравнения движения
А*
Т'и + Мр (Гц - Г22) + S' + fciQu + р\ + <rf - -? = 0;
Л*
S* + 243S + 7-22 + k2Q22 + p% + 4S - -g? = 0;
Q'n + ipQii + Q22 - ftiTn - №2 + />з + <& - -? = 0; (U .48)
Мп + Мр (Ми - M22) + H' - Qn - T>i - 6?7^ + mf - -^ = 0;
a2***
Я' + 2фЯ + М22 - Q22 -Г22в2 - 6?S + m\ - -?- = 0,
где
Qn = Qit - 71,6! - е?Г„; Q22 = Q2E-7'202e2-e?S. A1.49)
В соотношениях A1.47)—A1.48), описывающих движение обо-
лочечного элемента в малой окрестности его начального состоя-
состояния, это состояние учитывают подчеркнутые члены, содержащие
углы 9?* поворота &-го несущего слоя и усилия Т??, Тг* в средин-
срединной поверхности этого слоя.
Разложив компоненты, характеризующие внешние нагрузки
и дополнительное НДС многослойной оболочки, в ряды Фурье по
координате а2, удовлетворяем требованиям периодичности по ко-
координате <х2 и разделяем переменные аг и а2 в соотношениях
A1.47), A1.39), A1.49), A1.48), A1.34) и A1.35). Если принять
= 1 f
UsoJ
Чш\
J
}cosnaa4-?7 ,i ?sinna2; A1.50)
= <7го + 5j <7гп sin поц, + S q2t _n cos naa;
n=l n=l
м! J =
cos naa +?Zj fc}sln
n—1
= Ф10 + 5j Фи cos na2 + S Фх> _n sin na2;
n=l n=l
= Фго + 5j Фгп sin поц, + S Ф2( _n cos nat, A1.51)
n=l n=l

210 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
где
ф, = [и*1**ф?е?... Qf,]T; (П.52)
Ф2 = [о*Ф2в2*... Q8fc8]\
то каждое из соотношений A1.47), A1.39), A1.48), A1.49), A1.34),
A1.35) приводит к бесконечной системе линейных соотношений
для всех гармоник разложений A1.50)—A1.52).
В результате получаем геометрические соотношения (индексы п
и k опущены)
Ец — и' -\- k\w + 6?6ь ?22 = по + Ф
En = v — Уо — Ли + %W, A1.53)
Ки = ф1; /С22 = йфг + фф1; /Ci2 = Ф2 — Ффг —
8Х = —w' + k^u, 02 = та + k^w,
физические соотношения A1.39) и уравнения движения:
Ти + * (Гц - Т22) + «S + Л,<2„ + р\ + q\ - I\ = 0;
S' + 2г|?5 - ЙТ22 + fe2Q22 + pi + q\ - Й = 0; A1.54)
Qi'i - vQn + «Q22 - Л1Г11 - A2T22 + p\ + 9з - ?з = 0;
M'n - ¦ (Mn - M22) + ЯЯ - Q11 - ThOi - 6iTi, + /n? - f?* = 0;
H' + 2грЯ - йМ22 - Q22 - 7-202e2 - 6?S + m? - Й* = 0,
где
Qn = Qic - 7>, - в?Гц;
Q22 = Q21 - T°22e2 - 6?S; A1.55)
Систему 25Л^ дифференциальных и алгебраических уравнений
A1.53), A1.49), A1.54), A1.55) относительно 25ЛГ неизвестных
«*, аЛ ф?, efffco?, ф! 65, ??,, ?f2, ?22, ?*с. ?*Е. ^н, /С», Х22,
Гц, S*, Тг2, Мп, Я*, М.22, Qu, Q22, Q*e, Q*? можно свести к системе
10N обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
порядка относительно неизвестных:
У\ = Т\{, yk = Sk\ yk3 = Qkn; у> = МЪ; ? = Я*; у* = и»;
г/7* = у*; Й = ю»; Й = Ф*; ^1о = Ф? (* = 1 Л0-
Эта система имеет вид
(У*)' = f* («1, Ук+\ У*, У*) + Ь* (аг), A1.56)

Канонические соотношения (модель ломаной линии) 211
где f* — линейная однородная составляющая; Ь* — неоднород-
неоднородная составляющая.
Компоненты линейных однородных составляющих опреде-
определяются по формулам (индекс k опущен):
- у,)- пу2- к1Уз- р*
$ = йТ22 - 2i|»/2 - к&22 - р\ + & A1.57)
/з = kiyi + k2T22 — Ш - nQ22 - ркз + &
/t = Ч> (М22 - ffc) - %s + Уз + T°nQi + ffiyi -тк{ + ?Г*;
/* = пМ22 - 2^5 + Qn + ^2292 + Q°y2 -m\ + Г2к\
fi = En — кф - е?е,; /? = ?,2 + %г 4- %6 - е?е2;
fe == *i^6 - 6i; ft = Ku; /fo = K12 + %ю + ny9,
где
Т ? ?м = пу7
it = G/6+I - i^6 - 0,5Aft+1^+I -
Aft+1t/f0+1 - 0,5/
b^? (i = l, 2, 3);
a* = 2u)+l + 4uk{ - hk+m>1+l + 2hk4>1 (t = 1, 2, 3); A1.58)
bf = 4ы? + 2uTl - 2A*<p? + А^-.ф?-1 (t = 1, 2, 3);
Q22 = ^2t^2J — T22Q2
^*C = У10 — 02". 9g = %
„ft Pkk „It-i k—U
Рг = ?зВзз — ?з езз >
е, =
t'k P/t^
ф. + / fl _
12 V' ^ ^ I2^fl' [2

212 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Aч* 2);
9i = #э> фг == #ю> Фз == 0;
Км = Уь/Das.
Компоненты неоднородных составляющих
Ък = — <7i + ф(v2Tu- Та); Ьк2 =—q2 + h(v2Tu- T2t)\
Ьк = —<7з + k2 (v2Tu - Та); Ь\ = ф (v2M« - Д1«); A1.59)
Ьк6 = п(ЪМи-Ми); Ьк6 = Ти/Вп; &т=0; &8*=0;
Ь\ = Ми/Dm Ьк10 = 0.
Статическое нагружеиие. Если дополнительные внешние на-
нагрузки и температура не зависят от времени, то дополнительное
НДС оболочки описывается системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений A1.56)—A1.59), в которых ?* = 0 (i = 1,
2, 3) и ?*? =0 (I = 1,2).
Гармоническое нагружение. Предположим, что дополнитель-
дополнительные нагрузки являются гармоническими функциями времени
(t = l, 2, 3; k = l, ..., N),
где юв — действительная угловая частота внешних нагрузок,
а дополнительная температура равна нулю. Тогда уравнения вы-
вынужденных гармонических колебаний многослойных оболочек
вращения описываются системой A1.56)—A1.59), где
при 1 = 1» 2, 3;
при f = 4, ...,Ю. (И-60)
Собственные колебания. В задаче о собственных колебаниях
многослойных оболочек решение однородных уравнений A1.56)—
A1.58) ищем в виде
У — У ое
Здесь й = сол + icof — комплексная частота колебаний. Дей-
Действительная часть юл комплексной частоты <5 представляет собой
частоту собственных колебаний, мнимая часть &>t — коэффициент
демпфирования.
Собственные колебания описываются системой A1.56)—A1.58),
где ik = -&Уг, Пк = -&2С; Ък = 0.
Значения ©*, при которых система A1.56)—A1.58) имеет не-
нетривиальное решение, являются комплексными собственными
частотами колебаний многослойных оболочек из вязкоупругого
материала.

Канонические соотношения (модель ломаной линии) 213
Динамическое нагружение. Предположим, что дополнительные
нагрузки произвольно изменяются во времени и дополнительная
температура равна нулю. Тогда поведение многослойной оболочки
можно описать системой уравнений A1.56)—A1.58), A1.60), ко-
которая должна удовлетворять начальным условиям
zk @) = 0; zft@) = 0 (k=l, ..., ЛО, A1.61)
ГЧТО Т& — \ tltt gift fik gift fik I?
где z — iye y4 yB ya yl0i .
Для интегрирования системы A1.56)—A1.58), A1.60) с на-
начальными условиями A1.61) применим метод конечных разностей,
т. е. заменим производные по времени конечно-разностными соот-
соотношениями [3]:
= IaV <2z' ~ 5z'-i + 4z'-a - *'-•)• Ql -62)
Подставив соотношения A1.62) в систему A1.56)—A1.58),
A1.60), на /-м шаге интегрирования по времени получаем
У/ =
= * (У/) + Ь («, z/=I> z7_2, z/_e),
где f — вектор, компоненты которого определяются соотноше-
соотношениями A1.57), A1.58) при ?? = 2^/(АтJ; ?,** = 2^**/(AtJ; b —
вектор с компонентами
bi = -<U (г) - -^г E<1.1-1 - < 1-2 + й, /-з) (t = 1, 2, 3);
A1.63)
&* = 0 (t = 6 10).
Если первую производную по времени заменить конечно-раз-
конечно-разностным соотношением
z@) = 0,5(z1-z_1)/(At),
то начальные условия A1.61) примут вид
zo = O; z1 = z_1. A1.64)
На первом шаге интегрирования (/ = 1) используем конечно-
разностное соотношение
z = (Zi — 2z0 + z_!)/(At),
которое с учетом A1.64) приводит к выражению

214 ОБОЛОЧЕЧЯЫЕ СИСТЕМЫ
Это позволяет организовать стартовую процедуру интегриро-
интегрирования по времени, приняв в формулах A1.63) значения Zq, z_lt
z_g равными нулю. На втором шаге интегрирования (/ = 2)
значения ъ±, z0 = 0 и г_х = Ъу уже известны.
Устойчивость. Рассмотрим устойчивость многослойных обо-
оболочек при действии осеСимметричных механических и температур-
температурных нагрузок. Предположим, что напряженное состояние, кото-
которое характеризуется величинами 9°*, Т^, Т°2, входящими в со-
соотношения A1.57)—A1.58), зависит от некоторого параметра Я.
Тогда уравнения устойчивости примут вид A1.56)—A1.58), в ко-
которых
&* = 0; ?? = 0; гГ* = О. A1.65)
Минимальное значение Я,*, при котором существует нетри-
нетривиальное решение системы A1.56)—A1.58), A1.65), является
критическим значением параметра X внешней нагрузки или
температуры.
12. МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
12.1. Круговые шпангоуты с недеформируемым
поперечным сечением (модель Кирхгофа—Клебша)
Нелинейная деформация. В качестве расчетной схемы круго-
кругового шпангоута рассмотрим круговое кольцо, размеры попереч-
поперечного сечения которого малы по сравнению с расстоянием г от оси
вращения до линии центров тяжести этого сечения (срединной
линии). Предположим, что деформации в плоскости поперечного
сечения отсутствуют.
Положение точки кольца определим координатами х, czj и г,
положительные направления которых показаны на рис. 12.1.
Перемещения точки, расположенной на срединной линии кольца,
в направлениях х, а2, z обозначим и, v, w соответственно, а угол
поворота поперечного сечения кольца
относительно этой линии — <р (см.
рис. 12.1).
Углы поворота поперечного сече-
сечения кольца относительно осей г и х,
возникающие в результате деформации
кольца, выразим через перемещения
срединной линии кольца:
Ф* = —и'; фг = — W + krv, A2.1)
где
Рис. 12.1 {•'•' — г da.% ' кт — ~-

Матрицы жестжости узловых елементоа 215
Положительные направления углов <рх и <pz показаны на
рис. 12.1.
Удлинение срединной линии кольца выразим через переме-
перемещения этой линии и углы поворота сечения:
е22 = v + krw + (q>S + q>2)/2. A2.2)
Изменения кривизн и кручение срединной линии кольца вы-
выразим через перемещения этой линии и угол поворота поперечного
сечения кольца относительно оси а2:
хх = —и" — ftr<p; xz = —w" + kjV'\ х = ф" — kTu'. A2.3)
Деформацию точки кольца с координатами х, а2 и г определим
по формуле
е (х, а2, г) = е22 + ххх + гхг. A2.4)
Формулы A2.1)—A2.4) являются геометрическими соотно-
соотношениями рассматриваемого простейшего варианта нелинейной
теории тонких круговых колец.
Установим физические соотношения для тонкого кругового
кольца. Предположим, что материал кольца характеризуется
комплексным модулем упругости Е и температурным коэффици-
коэффициентом р расширения в направлении координаты а2, а также ком-
комплексным модулем сдвига G в плоскости а2 = const.
Нормальное напряжение в точке кольца с координатами х,
аг и г связано с деформацией в этой точке соотношением
а = ? [е(Аг, о,, z) —р*], A2.5)
где t — температура в точке: t = t0 (Oj) A + t^c + tzz).
Нормальное усилие Т и изгибающие моменты Мх и Mz, при-
приведенные к срединной линии кольца, определим по формулам
(произведением zk, по сравнению с единицей пренебрегаем)
\
= \azdF. A2.6)
Положительные направления внутренних силовых факторов,
действующих в сечении кольца, показаны на рис. 12.2.
Подставив соотношение A2.2) в формулу A2.5), а результат
подстановки — в выражения A2.6) и выполнив интегрирование
по площади поперечного сечения кольца, получим
Т = EF (ем - р70); A2.7)
Мх = Е[1г («, -
MZ = E [1„ (х,-

216
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 12.2
Рис. 12.3
где F — площадь поперечного сечения кольца; Iz я 1Х — осевые,
моменты инерции относительно осей г и х соответственно; 1хг —
центробежный момент инерции.
Крутящий момент М, приведенный к центру тяжести этого
сечения, определим по формуле
М = G/Kx, A2.8)
где /к — момент инерции поперечного сечения при кручении.
Физические соотношения A2.7)—A2.8) можно представить
в виде
Q = [Go] е - Qo,
где
Q = [T Mx Mz MY;
в === I Son Xa; X. XI .
EF
0
0
0
0
Eh
EIX2
0
Qo =
0
о
F
0
0
0
0
G/K_
A2.9)
A2.10)
A2.11)
A2.12)
A2.13)
Предположим, что к каждому кольцевому элементу рассматри-
рассматриваемой конструкции приложены приведенные к срединной линии
этого элемента внешние нагрузки
f = ['(«*) ЯЫ т(а2) 8(о,)Г,
положительные направления которых показаны на рис. 12.3.

Матрицы жёсткости узловых елемеитов
217
Тогда нелинейные уравнения движения кругового кольца запи-
запишем в виде
М'х' -
g
i'-(<pxTY +t-pF-l?- = O;
•; - krT - (фж7У + q - pF -0- = 0;
Л1" + KMX -\-m = 0;
Г + ЛГМ; - kr (ф,Г) + s = 0,
A2.14)
где p — плотность материала кольца.
Осесимметричная деформация. Предположим, что внешние
нагрузки и температура не зависят от координаты а2. Тогда
геометрические соотношения A2.2)—A2.3) представим в виде
A2.15)
где е =
1-22 X Z ^ ' '^ —
Ge =
Е
= 1и
1
= [Ge] A,
w ф]т;
"О 1
0 0-
0 0
0
-1
0
Физические соотношения A2.9) запишем в виде
Q = [Go] в - Qo,
где Q = [Т Мх MZY;
A2.16)
F
0
0
о о
Qo =
Подставив соотношения A2.15) в уравнения A2.16), получим
Q = [Go] [G.] А - Qo.
Уравнения движения кольца A2.14) примут вид
A2.17)
A2.18)
где
[GJ =
1
0
0
0
1
0
0"
0
0.
Подставив соотношение A2.17) в уравнение A2.18), получим
[G]A + [Ge]-§?- = q-[G.]QOf A2.19)
где [G]—матрица жесткости кольцевого элемента при осесим-
метричном нагружении: [G] = [Ge]T [Go] [G8]; [Go] —матрица
масс; [Ge] Qo — вектор правых частей, обусловленный действием
температурной нагрузки.

218
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Предварительно напряженные шпангоуты. Предположим, что
кольцо имеет некоторое не зависящее от окружной координаты а2
предварительное напряженное состояние и получает отклонение
от этого состояния в результате приложения системы внешних
дополнительных воздействий. Тогда полное напряженное состоя-
состояние этого кольца можно представить в форме
Х3(т)-Х0+Х(т),
A2.20)
где Хо — вектор компонент начального осесимметричного состоя-
состояния; X (т) — вектор компонент дополнительного несимметричного
состояния, в общем случае зависящего от времени т.
Пренебрегая в дополнительном состоянии нелинейными сла-
слагаемыми, геометрические соотношения для кольца можно запи-
записать в форме _
e = [Ge]A, A2.21)
где А = [и ш ф ill';
d
0
О —
о
о
—г
0
d
da,
0
d
da,
о
Физические соотношения имеют вид A2.9)—A2.13).
Уравнения движения A2.14) принимают вид
—
[GQ] Q
(ЭаЛ
A- [GJ-— + q = 0,
A2.22)
где
0
d
_Г da,
d*
da\
0
г
0
0
d1
da\
0
d
d
da2
0
d
da2
0
[G«] =
da,
looo-
0 10 0
0 0 0 0
10 0 1
A2.23)

Матрицы жесткости узловых элементов
219
da*
О
О
О
О
d
о
о
о
о
о
1
q = [t q m sf
В соотношениях A2.22)—A2.23), описывающих движение
кольца в малой окрестности его основного (начального) состоя-
состояния, это состояние учитывает матрица [G,J, содержащая уси-
усилие Т° в срединной линии кольца.
Разложив компоненты, характеризующие внешние нагрузки
и дополнительное НДС кольца, в ряды Фурье по координате а2,
удовлетворим требованиям периодичности по а2 и избавимся
от производных по аъ в соотношениях A2.21)—A2.22). Если при-
принять
t
я
т
и
ф1
00
-2}
tn
Яп
тп
ion
Фщ
cos na2
оо
L
Я-п
Ф
; A2.24)
оо
=2
sin па*
cos па*
где Фг = [и w ф вм нх х.г Т Мх MZY\ Фг = lv фж ф2 х М ]т,
каждое из соотношений даст систему линейных соотношений для
n-й гармоники разложений A2.24)—A2.25). В результате полу-
получаем геометрические соотношения
е = [Ge] A, A2.26)
где
О
физические соотношения в форме A2.9) и уравнения движения
= q, A2.27)
г
0
пъ
0
0
—г
0
—пг
пт
0
п
0

ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
где
yo
пг
0
0
0
0
na
0
n
0
0
0
0
0
n
0
1
[Gx] =
С учетом A2.26) и A2.9) уравнения A2.27) можно записать
в форме
[G] А + [Gfc] A + [GJ -§? = q + [Ge]T Qo. A2.28)
где [G] — матрица жесткости предварительно нагруженного коль-
кольцевого элемента: [G] = [G8]T [Go] [Ge]; [GJ — матрица устой-
устойчивости; [Ga,]—матрица масс; [Ge]T Qo — вектор, обусловлен-
обусловленный действием температурной нагрузки.
Статика и динамика предварительно напряженных колец.
Представим уравнения движения A2.28) предварительно напря-
напряженного кольца в виде
[G]A = f. A2.29)
Если дополнительные внешние нагрузки и температура не за-
зависят от времени, то
[G] = [G] + [Gx]; f = q + [G.]' Qo A2.30)
При гармоническом нагружении и отсутствии нагрева
[G] = [G] + [Gfc] - а>% [G.]; f = q, A2.31)
где <вн — действительная угловая частота изменения внешних
нагрузок.
В задаче о собственных колебаниях кольца
[G] = [G] + [Gfc] - 5»[Gm]; f = 0, A2.32)
где й = <вн + i<»r-
Используя конечно-разностное представление производной по
времени (9.21), матрицу [G] и вектор f при динамическом нагру-
нагружении можно представить в виде
A2.33)
где ft — номер шага интегрирования по времени.
При исследовании устойчивости осесимметрично нагружен-
нагруженного кольца
f = 0. A2.34)

Матрицы жесткости узловых элементов 221
Уравнение A2.29) с учетом выражений A2.30)—A2.34) позво-
позволяет решать задачи статики и динамики предварительно нагру-
нагруженных колец без учета деформаций поперечного сдвига и инер-
инерции вращения.
12.2. Круговые шпангоуты с недеформируемым
поперечным сечением (модель Тимошенко)
Нелинейная деформация. Представим перемещения Ui(l = 1,
2, 3) произвольной точки кольца в виде 15]
Ui = «1 («а) + а8ф1 («г);
1!г = ы2 (сса) + с^фа (eta) + сс8ф8 (а2), A2.35)
Ua = и3 (а2) — с^ф! (аа),
где ut (ctj) — перемещения центра тяжести кольца в направлении
оси t; фг (аа) — углы поворота сечения относительно осей коор-
координат (рис. 12.4).
Предположим, что компонента деформации е^ изменяется
по линейному закону:
^ 4 A2.36)
где
02 = -«1; е3 = -«з+^«2, (...)"=—-^г1-- A2-37)
Кручение и изменения кривизн срединной линии кольца свя-
связаны с углами ф4 соотношениями
х3 = фз- A2.38)
Предположив, что деформации при поперечном сдвиге посто-
постоянны по толщине, можно записать выражения для них в виде
812 = Фа — %l &L3 = ф8 — 08>
или с учетом соотношений A2.37)
ei2 = ф2 + «I*. ей = Фз + «з — и2/г. A2.39)
Предположим, что материал кольца характеризуется ком-
комплексным модулем упругости Ег в направлении сса и комплексными
модулями сдвига G12 и G32 в направлениях ах и-а3 при аа == const.
Тогда физические соотношения, связывающие вектор внутренних
обобщенных силовых факторов
Q = [Qi Qa Q8 Mi Мг М,Г,

222
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 12.4
Рис. 12.5
положительные направления которых показаны на рис. 12.5,
с вектором обобщенных деформаций
8 :==z [6i2 ®23 ®23 ^1 ^2 ^в] *
можно записать в форме
где
1
В1а
0
0
0
0
0
0
5аа
0
0
0
0
[0„]«
0
0
Bai
0
0
0
>-Qo.
0
0
0
Z)u
0
0
0
0
0
0
Z)aa
Дк,
0
0
0
0
A
D,
B12 =
t = EtIa; Dm = ?а/х;
Qo = [0 Qa« 0 0 Mu Maty,
A2.40)
Ma< = J J P*ax dF; Af„ = J J pta, dF.
p p
Здесь приняты следующие обозначения: F — площадь по-
поперечного сечения кольца; /8, /х — осевые моменты инерции
относительно осей а8 и ах соответственно; 1а1 — центробежный
момент инерции; G/H — жесткость поперечного сечения при кру-
кручении (проблема определения этой жесткости рассмотрена в под-
разд. 4.2); р — температурный коэффициент расширения в на-

Матрицы жесткости узловых мемеитов
223
правлении аа; t = t{alt а2, а8)—тем-
пература.
Предположим, что на кольцо дей-
действуют приведенные к его срединной
линии внешние нагрузки
Q =
Ча тх "Ч
положительные направления которых
показаны на рис. 12.6. Предположим
также, что на кольцо действуют
объемные силы инерции.
Д
Рис. 12.6
р
Для получения уравнений движения кольца используем ва-
вариационное уравнение Лагранжа
63 =
8Ла.
Здесь 63 — вариация потенциальной энергии деформации кольца;
8Л]/ и 6Ла — элементарные работы внешних сил, действующих
на кольцо, и сил инерции, причем
63 = ф (Q, бе) г da2; 6ЛХ = ф (q1( 6A) г daa;
8Ла =
где А — вектор обобщенных перемещений срединной линии
кольца: А = [ых иг и3 фх ф2 ф8]т.
Подставив в выражение A2.41) выражения для перемещений
A2.35), вместо A2.41) получим
где
'F О О
О F О
О О F
0 0 0
0 0 0
0 0 0
О
О
О
О
О
О
О
О
о
h
31
Используя равенства A2.40), A2.36)—A2.39), формулу Грина
Ар

224
ОБОЛ ОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
и считая независимыми вариации компонент вектора перемещений
6А, из вариационного уравнения Лагранжа получаем систему
уравнений движения кольца
L + q - [Gm] -^- = 0, A2.42)
где
Li = Q\ — (Q2Q2)"l L2 = Q2 -\- Q3/r — (Q2Q3)'/r;
U = Qs - Q2/r - {Q2Q3)'/r, U = M\ + M2/r,
Ьь = M2 — Mjr — Qi, Le = Мз — Q3.
Осеснмметричная деформация. Предположим, что внешние
нагрузки и температура не зависят от координаты аа. Тогда
геометрические соотношения можно представить в форме
e = [Ge] A,
где e = [8аа xa xs ]T; A = [ых ы8 фх ]т;
[Ge] =
A2.43)
0
0
г
0
0
1
о
.о о
Физические соотношения примут вид
Q = [G0]8-Q0(
где
Q =
Qi | Г EJP 0 0 1
Ма ; [Go]= 0 ?а/8 ?2/81 ;
Af, J L 0 ?а/81 EtIx J
A2.44)
Q«
Qo = Mat
Подставив соотношения A2.43) в уравнение A2.44), получим
Q = [Go] [Ge] A - Qo. A2.45)
Уравнения A2.42) движения кольца принимают вид
[Ge]T Q = q — [GJ -^-, A2.46)
где q = [qt qs mx ]T.
Подставив соотношение A2.45) в уравнение A2.46), получим
где
0 0 0
0 F 0
0 0 /,

Матрицы жесткости узловых элементов
225
Предварительно напряженные шпангоуты. Представим пол-
полное НДС кольца в виде суммы A2.20) начального осесимметрич-
ного и дополнительного несимметричного НДС. Пренебрегая
в дополнительном состоянии нелинейными слагаемыми, запишем
геометрические соотношения для кольца
е = [Ge] A,
A2.47)
где
- 1 d
r da2
0
0
0
0
0
0
1 d
r Ax2
1
r
0
0
0
0
1 "
r
1 d
r da.2
0
0
0
0
0
0
1 d
r da2
1
r
0
1
0
0
1
r
1 d
r dot.2
0
0
0
1
0
0
1 d
r d<x, _
A2.48)
Физические соотношения имеют вид A2.40). Уравнения дви-
движения принимают вид
где
[GQ]Q
1 d
r da2
о 1
0
0
J
0
0
d
d&2
1
г
0
0
0
A 1
Д -j- Q —
0
1
r
1 d
r Axa
0
0
—1
- [Ga] -^
0
0
0
1 d
г da2
1
r
0
r-0.
0
0
0
1
r
1 d
r d<z2
0
(is
0
0
0
0
0
1 d
г da3 _
A2
.50)
8 П/р В. И. Мяченкова

226
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
I d?
~^~da\
0 _i_ JZ- * 0 0 . A2.51)
r2 dal &*%
0
0
0
В соотношениях A2.47)—A2.51) предварительное напряжен-
напряженное состояние учитывает матрица устойчивости [GjJ, содержащая
усилие Q° в срединной линии кольца.
Разложим нагрузки и компоненты дополнительного НДС
кольца в ряды Фурье по окружной координате а2. Если принять
0
1
г2
d*
dal
0
0
0
0
1 d?
г2 dal
d?
dal
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Qs
-2
л=0
Яш
Яш
cos ла2 -f
з> -n f sln n0Ca'
n=0
A2.52)
где
n=0
n=0
= ZI Фгп sin na2 + ? Ф2, -n cos
n=0 n=0
Ф1 = [«1
Ф2 = [и,
Ф1
A2.53)
A2.54)
то каждое из соотношений A2.47)—A2.51) дает систему линей-
линейных соотношений A2.52)—A2.54) для п-й гармоники разложений.
В результате получаем:
геометрические соотношения
= [Gel A;
A2.55)

Матрицы жесткости узловых элементов
227
где
[G
физические
уравнения
1
—п
0
0
0
0
0
соотношения
Q =
движения
0
п
— 1
0
0
0
-[Go
0
1
—п
0
0
0
e-Q0
0
0
0
—п
—1
0
у
г
0
0
1
п
0
0
0
г
0
0
п
С учетом A2.56) и A2.55) окончательно получаем
[G] А + [Gk] А + [Ош]
где [G] = [GelT [Go] [Gel;
Q?
= Я
Qo.
0
0
0
0
0
0
1
п
0
0
0
0
п
ri*
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A2.56)
A2.57)
12.3. Шпангоуты с деформируемым поперечным сечением
Приведем алгоритм вычисления матрицы жесткости и соответ-
соответствующих векторов для шпангоута, габаритные размеры попереч-
поперечного сечения которого сравнимы с радиусом его срединной линии.
В основу алгоритма положен МКЭ. В качестве конечного элемента
использован кольцевой элемент треугольного поперечного сече-
сечения (см. подразд. 4.6 и рис. 12.7).
Для компонент матрицы жесткости [R] и векторов-столбцов
Un> ipn> обусловленных тепловым расширением и поверхностной
нагрузкой, справедливы формулы D.122), D.123) и D.125).
Разрешающая система алгебраических уравнений МКЭ для
шпангоута имеет вид
[Л]Д = Ь. A2.58)
Предположим, что кольцевой суперэлемент (шпангоут) свя-
связан с остальными суперэлементами конструкции (оболочечными
8*

228
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
"л, У
Рис. 12.7
суперэлементами А, связями D, кольцевыми суперэлементами В
и опорами С) в Пу узлах — точках входа (см. рис. 12.7). Про-
Пронумеруем их в произвольной последовательности.
Поскольку соотношения, описывающие поведение кольцевого
суперэлемента линейные, можно установить однозначную зави-
зависимость между обобщенными перемещениями
Т Т/Т ,/Т
1 К 2 • • ¦ V пл
точек входа и обобщенными реакциями
R = \R[ Rl ¦ ¦ ¦ RL
в точках входа.
Указанная зависимость имеет вид
R = [/C]V + R0, A2.59)
где [К]—матрица реакций; Ro — вектор реакций кольцевого
суперэлемента (порядок матрицы [К] и вектора Ro определяется
числом точек входа и равен 3nv).
Рассмотрим метод вычисления матрицы [/(] и вектора Ro,
т. е. порядок получения зависимости A2.59).
Сначала формируются матрица [А ] и вектор b разрешающей
системы уравнений A2.58) для рассматриваемого суперэлемента
(рис. 12.8). В матрице [А ] и векторе b выделяются блочные
строки и столбцы, соответствующие точкам nv входа кольцевого
суперэлемента. Далее в матрице [А ] т-я блочная строка, соот-
соответствующая пу-н точке входа, и т-я блочный элемент вектора'b
переставляются с лг-й блочной строкой и пг-тл блочным элементом,
после чего /л-й блочный столбец матрицы [Л ] переставляется
с пг-ы блочным столбцом.

Матрицы жесткости узловых элементов
229
1 Пи
\
\
V
\
S
s
\
ч,
S
s
s
s
\
4,
' / / / / / /
///////////.
///////////
f
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
{
/
/
/
/
/
/
/
/
У
{
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
'
/
/
f
/
/
/
/
/
/
[A]
Рис. 12.9
Рис. 12.11
Затем аналогичные операции совершаются с блочными стро-
строками и столбцами, соответствующими (nv — 1)-й точке входа, и
(пг—1)-ми блочными строками и столбцами матрицы [А] и
вектора Ь. Операция заканчивается, когда все nv блочных строк
и столбцов переставлены. Вид матрицы [Л ]
и вектора Ь, который они принимают
в результате указанных операций, показан
на рис. 12.9.
Для вычисления матрицы реакций
и вектора-столбца Ro, определяемых
висимостью A2.59), достаточно
лать 3 (пг — nv) шагов исключения
Гауссу. Оставшаяся часть матрицы
(заштрихована на рис. 12.10) представляет
собой матрицу реакций [/(], а оставшаяся
часть вектора b — вектор-столбец Ro рас-
рассматриваемого кольцевого суперэлемента
с Пу точками входа.
Рис. 12.12

230 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
12.4. Полюсные элементы
Система дифференциальных уравнений, описывающая поведе-
поведение ортотропных оболочек вращения, замкнутых в полюсе
(рис. 12.11), имеет особенность: некоторые из коэффициентов при
г = 0 обращаются в нуль.
Вырежем в полюсе отверстие малого радиуса г0 и заменим его
круглой пластиной (полюсным элементом) с теми же механиче-
механическими характеристиками, что и у ортотропной оболочки. Эта
замена не отразится существенно на НДС оболочки вблизи полюса.
Погрешность определения компонентов НДС стремится к нулю
при г0 ->- 0.
Выведем уравнение равновесия узла конструкции, к которому
примыкает полюсной элемент (рис. 12.12), приведя его к стан-
стандартной форме
[G] А = f,
где [G]—матрица реакций полюсного элемента; f—вектор,
обусловленный давлением р; А — вектор обобщенных узловых
смещений.
Для построения матрицы [G] и вектора f используем обычную
процедуру МКЭ. Разложим давление р (г, а) в ряды Фурье
по окружной координате а:
оо оо
Р = Hi /?ncosna2-|- 2 P-nSinnaa A2.60)
и рассмотрим гармонику
?„ = /?„ cos Яа2. A2.61)
Амплитудные значения перемещений узла, связанного с по-
полюсным элементом, обозначим Ао = [и0 w0 ф0 vo]T. Положи-
Положительные значения компонент перемещений вектора Ао показаны
на рис. 12.12.
Аппроксимируем тангенциальные перемещения координатной
поверхности зависимостями
и = woxn+l cos Яаг; v — foxn+I sin naa, A2.62)
где х = r/r0; n = | n\.
Эти представления соответствуют решению плоской задачи
теории упругости в полярных координатах, удовлетворяют усло-
условиям в полюсе при х = 0. При х = 1 и и = w0 и v = v0.
Аппроксимируем перемещение w координатной поверхности
зависимостью
w = (wnxn 4- wnxn+2) cos na2,
соответствующей общему решению дифференциальных уравне-
уравнений изгиба круглых пластин [15] и удовлетворяющей условиям

Матрицы жесткости узловых элементов 231
в полюсе при х = 0. Постоянные wn и wn найдем из граничных
условий при х = 1:
w A) = —и0 cos ла2; 0Х A) = ф0 cos mx2.
Углы поворота 0Х и 82 связаны с перемещением w зависимо-
зависимостями
ei = _jjL; 02=_±^. A2.63)
1 дг 2 г да • v '
Так как с учетом A2.63)
dw j =
0! = -т— = [nwnxn—* -\- (п + 2) aynjf+1] cos /ia2,
то для определения постоянных хюп и да„ получаем систему урав-
уравнений _
wn + wn = —ы0,
—nwn — (п + 2) wn = гофо,
решение которой
©п = [—(« + 2) «о + гвфв]/2; ш„ = {пи0 - гоФо)/2.
В результате получаем
w = 0,5*« {-«„[(« + 2) - /«2] + Фог„A - jc2)} cosna2; A2.64)
Q1 = 0,5 {xn-l/r0) \ио(п-\-2)пA — х2) — фого [« — (« + 2) я2} cos йа2;
е2 = 0,5 (х«-1/г0) {—иой [(/г + 2) - пх2] + ф</ой A - *2)} sin Яа2.
Аппроксимации A2.62) и A2.64) можно представить в форме
U = [F] До, A2.65)
где U = [и w 0Х и]т.
Ненулевые элементы матрицы [F] вычисляем по формулам
/12 = xn+1 cos Яа2; /44 = *"+' sin Яа/2;
fiX = —0,5 [(п + 2) х" + ^n+2] cos Яа2;
U = 0.5r0 (xn - хп+2) cos Яа2; A2.66)
/31 = @,5/г0) (я + 2) я (х"-1 - *"+') cos Яа2;
/зз = —0,5 [пх"-1 - (я + 2) **+•!] cos Яа2.
При п = Я = 0 матрица [.F] принимает вид
Ох 0 0
— 1 0 г0 A - г>)/2 0
0 0 х 0
0 0 0 х

232
ОБОЛОЧБЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Компоненты тангенциальной деформации координатной по-
поверхности связаны с перемещениями и и v соотношениями
р _ ди ¦ г _ 1 * | 1 ,,,
Си ~ дг ' п™ ~ г да -ГТи'
компоненты изгибной деформации — с углами 0! и б2 поворота
соотношениями
4h т&т 4г
Подставив аппроксимации A2.62) и A2.64) в соотношения
A2.67) и A2.68), получаем
где е = [?ц ?22 /Сц /С2г ?12 2/С12 ]т.
Главная диагональ квадратной матрицы [Z] содержит компо-
компоненты вектора
z = [cos na2 cos паг cos /га2 cos йа2 sin па2 sin йа2]т-
Ненулевые элементы матрицы [В] размерностью 6x4 вычис-
вычисляем по формулам
Ь12 = п + 1; bi2 = 1; 6М = /г;
2) я г л — 1
(я+ 2) (л — 1)
= л;
= __!Г-?
X3
При л = й = О

0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0

Матрицы жесткости узловых элементов
233
при п = 1
0
0
"~
1
" 'о
0
2Л
2
1
0
0
—Я
0
0
3
1
0
0
я
0
0
1
о
В общем случае внутренние силовые факторы
N = [Гц Т32 Mu Mn S Ну
связаны с компонентами тангенциальной и изгибной деформации
соотношением
N = [C]e,
где [С ] — квадратная матрица упругости конструктивно-орто-
тропной оболочки порядка 6 (см. гл. 10).
Матрица реакций полюсного элемента [7]
Га 2Я
57 Й
[BV
17Г
гс1г
или
= 5
[B {
Учитывая, что
2Л 2Я
J sin2na2da2 = I cos* naa da2 = я (пфО);
2я
I
cos2 йа2 |^аг = 2я (n = 0),
находим, что v = 2я при п = 0, y = я при /г =/= 0.
Матрицу [G] можно также вычислить, проинтегрировав си-
систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
порядка:
^L = [/<*)].
где [/ (х)] = [В (х)Г [С (х)} [В (х)]х2п+1, на интервале х =
= {0,1} с начальными данными [G @)] = 0. В этом случае [G] =
= [G(l)] является матрицей реакций полюсного элемента.

234
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
При применении для интегрирования метода Кутта—Мерсона
матрицу [G] вычисляем по формуле
(=0
где т — число шагов интегрирования на интервале х — \0, 1}.
Вычислим вектор f, обусловленный действием давления р,
по формуле [7]
2Я
о о
О )
Рп
о
о
cos na2r dr da =
0 )
Pn
0
0
x dx,
A2.69)
где [Fo] — матрица амплитуд коэффициентов матрицы [F] A2.65)
и A2.66).
Подставив в интеграл A2.69) выражения A2.66), получаем
f =
4 (л+ 4) (я+2)
—2 (п + 2)а
0
2г0
0
A2.70)
Для л = 0 вместо A2.70) имеем
—4
0
Го
0
?
Рого
Все приведенные соотношения получены для симметричных
слагаемых A2.61) разложения A2.60). Соотношения для антисим-
антисимметричных слагаемых можно получить заменой п на —п.
12.5. Упругие и вязкоупругие связи
В качестве расчетной схемы связей между узловыми элемен-
элементами конструкции рассмотрим связи типа пружин. Перемещения
начала связи в направлениях х, а2 и z обозначим нн, va и wB,
угол поворота относительно оси а2 — 0Н. Аналогичные величины

Алгоритмы определения НДС и динамических характеристик 235
для конца связи обозначим ы„, vK, wK, 6K. Тогда изменения длин
связей в направлениях х, а2, z и угла поворота вычислим по фор-
формулам
Ды = ык —ын; Av = vK — vB, Aw = wK — wB; A2.71)
де = ек-ен. A2.72)
Формулы A2.71)—A2.72) являются геометрическими соотно-
соотношениями для рассматриваемого простейшего варианта связей
между узловыми элементами.
Физические соотношения для вязкоупругих связей для рас-
рассматриваемого простейшего варианта имеют вид
NC = [CC](VK-VH).
Здесь Nc — вектор внутренних обобщенных усилий в вязко-
N JV N M NT [Cc] — матрица
упругих связях: Nc =
вязкоупругих связей:
[Сс] =
= [ЛГМ
0
0
0
о
0
0
, мс
о
0
0
о
0
0
k
^1с. &зс> &мс> ^2с — комплексные коэффициенты жесткости вяз-
вязкоупругих связей; VK и VH — векторы обобщенных перемещений
начала и конца вязкоупругой связи: VK = [uK wK 0K у„]т и
VH = [ив wH GH vH]T.
Матрицу реакций [/СС1 Для вязкоупругих связей определяем
из соотношения
где
.„. Г [Сс
Матрица A2.73) устанавливает соотношения между усилиями
в начале и конце связи с соответствующими перемещениями.
13. АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
И ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОНСТРУКЦИЙ
13.1. Разрешающие системы уравнений метода перемещений
В гл. 10—12 установлены основные соотношения для расчет-
расчетных фрагментов осесимметричных оболочечных конструкций: обо-
оболочек вращения (модели Кирхгофа—Лява и ломаной линии);

236
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
круговых шпангоутов (модели Кирхгофа—Клебша, Тимошенко
и теории упругости); полюсов оболочек вращения; упругих
и вязкоупругих связей.
Переход от локальных координат оболочки вращения к ло-
локальным координатам цилиндрической оболочки некругового
сечения (см. подразд. 9.1) позволяет установить основные соотно-
соотношения для расчетных фрагментов призматических оболочечных
конструкций: цилиндрических оболочек (модели Кирхгофа—Лява
и ломаной линии); прямолинейных стрингеров (модели Кирхгофа—
Клебша, Тимошенко и теории упругости); упругих и вязкоупру-
вязкоупругих связей.
Для формирования разрешающей системы линейных алгебраи-
алгебраических уравнений метода перемещений
[Р] А = Т
A3.1)
установим условия неразрывности перемещений между узловыми
и оболочечными элементами. Для этого найдем вначале связь
между вектором
W," = [u(au) w(alt) 9i(au) o(au)]T
обобщенных перемещений ij-го оболочечного элемента, примы-
примыкающего к i-му кольцевому элементу, и вектором
Аг = [ы, wt фг vtf
обобщенных перемещений этого кольцевого элемента (рис. 13.1).
Вектор перемещений W* точки С контакта ij-го оболочечного
элемента с i-м кольцевым элементом связан с вектором переме-
Рис. 13.1

Алгоритмы определения НДС и динамических характеристик
237
щений W/ контура аи ij-ro оболочечного элемента соотношением
w; =
A3.2)
где
sin Vi
cos Y;
0
0
— cos Yi
sin Yi
0
0
: 0
о
1
0
0-
0
0
1
Умножив левую и правую части соотношения A3.2) на ма-
матрицу [tyi Н, с учетом равенства [tyt Г1 = [\j)]T получаем об-
обратное соотношение
Обобщенные перемещения срединной линии i-го кольцевого
элемента связаны с компонентами вектора W? обобщенных пере-
перемещений точки контакта этого элемента с ij-u оболочечным эле-
элементом соотношениями
«* =
ф? =
z(-cp,-;
которые с учетом равенств
1 duj
ф
l awt ,
= T Art Г
приводят к соотношению
Здесь
1
0
0
0
1
0
t da.?
1
0
A3.4)
0
0
0
где Xi и zt — координаты точки контакта ij-ro оболочечного эле-
элемента с 1-м кольцевым элементом в системе координат этого коль-
кольцевого элемента.
Подставив соотношение A3.4) в A3.3), получаем
A3.5)

238
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
где [фг] = ixtY [tyth или в развернутом виде
sin Yi — cosyj
cos Yi sin yt
i sin yt — xt cos Yi —zt cos 7; — xt sin Yi
0 0
№«] =
о —^~
т
d ~
0
1
0
0
1+ kTiZi _
A3.6)
Соотношение A3.5) связывает обобщенные перемещения кон-
контура ij-ro оболочечного элемента, примыкающего к i-му кольце-
кольцевому элементу, с обобщенными перемещениями срединной линии
этого кольцевого элемента. Матрица преобразования [ф,] со-
согласно выражению A3.6) зависит от эксцентриситетов xt и zt
точки контакта оболочечного и кольцевого элементов, кривизны kTi
срединной линии кольцевого элемента и угла yt (см. рис. 13.1).
Для п-й гармоники разложений A0.30)—A0.31) матрица [фг]
принимает вид
—cosy,
sin 7г
~
zt sin Yj — xt cos Yi
0
—zt cos Yj — xt sin
0
0
0
1
0
0
\+kriZi_
A3.7)
где hi = krtn.
В этом случае вектор Wj' обобщенных перемещений контура
ij-ro оболочечного элемента, примыкающего к t-му кольцевому
элементу, связан с вектором At обобщенных перемещений этого
кольцевого элемента соотношением
W("-WA,; A3.8)
вектор W/ обобщенных перемещений контура ij-ro оболочечного
элемента, примыкающего к /-му кольцевому элементу, связан
с вектором \.j обобщенных перемещений этого кольцевого эле-
элемента соотношением
\У," = [Ф/]А,, A3.9)
где [<pj] —матрица, полученная из матрицы [ср,] A3.7) заменой
индексов i индексами /.
Матрицу реакций оболочечного элемента в глобальной си-
системе координат конструкции вычисляем по формуле

Алгоритмы определения НДС и динамических характеристик
239
где l\' = A + Кед sgn (/ — i) (i ** /); [к"] ~ матрица жест-
жесткости ij-ro оболочечного элемента, связывающего i-й и /-Й коль-
кольцевые элементы.
Вектор реакций F'/ оболочечного элемента в глобальной
системе координат конструкции вычисляем по формуле
„ \$Wft о 1
' = n t'/ r '/1 Q°'
A3.11)
где QJ/ — вектор жесткости i/'-го оболочечного элемента, обуслов-
обусловленного действием внешних распределенных механических и тем-
температурных нагрузок.
Матрицу реакций вязкоупругой связи в глобальной системе
координат конструкции вычисляем по формуле
где
Г let WJA о 1
L 0 ic/ [ф'/l J
A + kciz[{) sgn (/ — 0 (i
0
л
A3.12)
 0 0 hiXi
0 1 0 ntZi
z, —л:г 1 0
.0 0 0 1+ /jriZj
[Kc\ — матрица жесткости ij-й вязкоупругой связи.
Аналогично вычисляем матрицы и векторы реакций для много-
многослойных оболочек вращения (гипотеза ломаной линии) в глобаль-
глобальной системе координат конструкции.
Матрицы и векторы реакций для цилиндрических оболочек
некругового сечения получаем из матриц и векторов реакций для
оболочек вращения путем перехода от локальной системы ко-
координат для оболочек вращения к локальной системе координат
для цилиндрических оболочек некругового сечения (см. под-
разд. 9.1).
Составление уравнения A3.1) при известных матрицах [R11]
И векторах F" реакций оболочечных элементов, матрицах реакций
вязкоупругих связей [^''L [Gt ] кольцевых и полюсных [G]
элементов — основная операция МКЭ.
Рассмотрим конструкцию, состоящую из' шести оболочечных
элементов и шести узлов (рис. 13.2).
Для каждого узла вычисляем матрицы [Gt ] и векторы fг для
узловых элементов, размещая их на соответствующие места в гло-
глобальной матрице [Р ] и векторе Т. Здесь и далее рассматриваем
осесимметричную оболочечную конструкцию при осесимметрич-

240
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 13.2
Li
у,
>V
A
y,
/(
У,
'y
'/,
fa
'/f
I
У,
у
3
У,
i
/,
>
/,
5
у.
V,
л
6
A
/.
'A,
+ •
1
2
2
+
2
I
+
3
S
+
I
+
5"
1
+
6 )
d
Рис. 13.3
У,
'А
У,
//
//
Уу
У/
у,
У
у
у
у
у
*
У/
у
У/
//
/у
A
Рис. 13.4
;
у(
1
//
Yf
j
'А
'А
'/{
'/
/j
/_
у,
X
'у
/,
•/
'/
//
у.
//
</
//
/у
V,
'/,
'/
/
//
/
/t
'/
¦V
/^
/'
/'
у
л
//
//
л
/
-V
/f
/,
/,
у
'у
'/
</,
//,
//
У,
/,
/,
у
'/
'у
У/
{У
1
/а
/
у/
//
/{
/{
¦/,
у.
'у
о
/,
/.
'у
/,
/г
//
//
/.
у
'/
/(
yt
'у
//
/,
'/
//
/
у
"У
/_,
А
у.
J
у^
У
;
yf
У
[Р]
Рис. 13.5
A T

Алгоритмы определения НДС и динамических характеристик 241
ном нагружении (N = 6). Последовательно вычисляем матрицы
[Rr'q] и векторы F1', суммируя их с соответствующими подматри-
подматрицами [Рц] и подвекторами Т, глобальной матрицы [Р] и век-
вектора Т (рис. 13.3). Результирующая система уравнений показана
на рис. 13.4, на котором места расположения ненулевых под-
подматриц [Рц\ заштрихованы.
На заключительном этапе составления разрешающей системы
уравнений в полную матрицу [Р] и вектор Т вводят дополни-
дополнительные условия, накладываемые на перемещения узлов кон-
конструкции. Если, например, в конструкции, изображенной на
рис. 13.2, перемещения узлов 1 я 6 равны нулю, а перемещение
узла 4 в радиальном направлении равно а (Л42 = а), система
разрешающих уравнений принимает вид, показанный на рис. 13.5,
на котором ненулевые элементы матрицы [Р ] и вектора Т за-
заштрихованы.
Аналогично вводим в общую разрешающую систему уравнений
матрицы жесткости вязкоупругих связей и полюсных элементов.
Определив вектор перемещений узлов конструкции Аг и А;-,
краевые смещения ij-ro оболочечного элемента W< и W/ можно
найти по формулам A3.8)—A3.9).
Решение линейной краевой задачи для системы N обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
у' = f (х, у) + b
е граничными условиями
УЛ-/2+: (а»)'
У^ (аи) yN (а1;-)
позволяет определить вектор решения у, а следовательно, и все
компоненты НДС i/-r° оболочечного элемента конструкции.
13.2. Структура программного обеспечения алгоритмов
Программное обеспечение алгоритмов решения задач статики
и динамики тонкостенных оболочечных конструкций представляет
собой пакет прикладных программных модулей, выполняющих
определенные математические или логические функции и реали-
реализованных на алгоритмическом языке ПЛ-1.
Процедуры математического обеспечения метода ортогональ-
ортогональной прогонки. В алгоритмах решения задач статики и динамики
тонкостенных осесимметричных оболочечных конструкций метод
ортогональной прогонки применяют для вычисления матриц
жесткости и компонентов НДС важнейших составных частей
рассматриваемых конструкций — оболочечных элементов.

242 ОБОЛОЧБЧНЫБ СИСТЕМЫ
Пакет процедур математического обеспечения метода орто-
ортогональной прогонки содержит программные модули, выполня-
выполняющие операции с действительными и комплексными переменными:
интегрирование систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с начальными данными;
ортонормирование и ортогонализацию решения в промежуточ-
промежуточных точках;
решение систем линейных алгебраических уравнений методом
Гаусса с выбором главного элемента;
интерполяцию функций одной переменной с использованием
интерполяционного многочлена Лагранжа пятого порядка;
вычисление матриц жесткости для систем обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений первого порядка;
решение краевой задачи для системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка.
Инвариантные математические процедуры. При численной реа-
реализации алгоритмов решения задач статики и динамики тонко-
тонкостенных оболочечных конструкций возникает ряд математических
проблем, носящих инвариантный характер.
Пакет инвариантных математических процедур содержит про-
программные модули, выполняющие операции с действительными и
комплексными переменными:
операции над матрицами и векторами;
решение систем линейных алгебраических уравнений;
вычисление определителей;
вычисление корней нелинейных функциональных уравнений
методом Мюллера;
вычисление комплексных констант для ядра релаксации Ржа-
ницына—Колтунова;
обмен между оперативной памятью ЭВМ и внешними носи-
носителями прямого доступа.
Процедуры математического обеспечения метода перемещений.
Пакет процедур математического обеспечения метода перемеще-
перемещений, в отличие от первых двух пакетов, привязан к конструкциям
конкретных классов — осесимметричным и призматическим обо-
лочечным. Он содержит программные модули, выполняющие сле-
следующие операции с действительными и комплексными перемен-
переменными :
вычисление топологических характеристик разрешающей си-
системы алгебраических уравнений метода перемещений;
вычисление коэффициентов и матриц преобразований для
оболочечных элементов и связей;
формирование разрешающей системы алгебраических уравне-
уравнений метода перемещений;
определение краевых смещений оболочечных элементов и
связей;

Алгоритмы определения НДС н динамических характеристик 243
вычисление матриц реакций шпангоутов с недеформируемым
поперечным сечением;
вычисление матриц реакций шпангоутов с деформируемым
поперечным сечением;
вычисление матриц реакций полюсных элементов;
вычисление матриц реакций связей;
вычисление механических характеристик для оболочечных
элементов из нелинейно-упругого материала.
Вспомогательные процедуры математического обеспечения ал-
алгоритмов. При численной реализации алгоритмов на ЭВМ возни-
возникает ряд специфических проблем, связанных с часто повторя-
повторяющимися программными фрагментами. Эти программные фрагменты
реализованы в виде пакета вспомогательных процедур, содержа-
содержащего программные модули, выполняющие следующие операции
с действительными и комплексными переменными:
обработку узловых нагрузок;
обработку характеристик шпангоутов с недеформируемыми
поперечными сечениями;
вычисление характеристик кольцевых конечных элементов тре-
треугольного поперечного сечения;
вычисление правых частей систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих поведение
оболочечных элементов конструкции;
выбор локальных массивов из глобальных;
обработку специфических функций при решении нелинейно-
упругих задач;
обработку специфических функций при решении вязкоупру-
гих задач;
сравнение двух последующих приближений;
вывод в файл SYSPRINT протокола решения задачи.
Процедуры данного пакета программных модулей выполняют
настолько специфические функции, что за редким исключением
могут быть использованы в других программных комплексах.
13.3. Проблемно-ориентированные процедуры решения задач
статики и динамики оболочечных конструкций
Под проблемно-ориентированной процедурой расчета оболо-
оболочечных конструкций понимают процедуру, организованную таким
образом, что сохраняется большая свобода выбора геометрических
и механических характеристик оболочечных элементов, описания
внешних силовых и температурных воздействий, задания точности
решения и т. д. Использование таких процедур облегчает органи-
организацию программ расчета, расширяет их возможности и позволяет
с помощью алгоритмического ввода исходных данных рассчиты-
рассчитывать самые различные объекты. При этом от пользователя не

244 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
требуется глубоких знаний программирования, обращения с внеш-
внешними устройствами и т. д. ¦
Проблемно-ориентированные процедуры решения задач ста-
статики и динамики тонкостенных оболочечных конструкций обра-
образуют программный комплекс, содержащий четыре пакета проб-
проблемно-ориентированных процедур.
Пакет 1 предназначен для решения задач статики и динамики
осесимметричных оболочечных конструкций, содержащих сле-
следующие расчетные фрагменты:
многослойные оболочки вращения (модель Кирхгофа—Лява);
полюсные элементы;
шпангоуты (модель Кирхгофа—Клебша);
связи.
Функциональное назначение пакета состоит в решении сле-
следующих задач:
определение НДС упругих конструкций при осесимметричном
нагружении и нагреве (задача решается в геометрически нели-
нелинейной постановке);
определение НДС нелинейно-упругих конструкций при осе-
осесимметричном нагружении (задача решается в геометрически не-
нелинейной постановке);
определение НДС упругих конструкций при неосесимметрич-
ном нагружении и нагреве (при гармонической зависимости
внешних нагрузок от времени процедура позволяет определить
амплитудно-частотные характеристики конструкции);
определение НДС вязкоупругих конструкций при неосесим-
метричном нагружении (при гармонической зависимости внешних
нагрузок от времени процедура позволяет определить амплитудно-
и фазочастотные характеристики конструкции);
определение частот и форм собственных колебаний осесим-
метрично нагруженных упругих конструкций;
определение частот и форм собственных колебаний, а также
коэффициентов демпфирования осесимметрично нагруженных кон-
конструкций из вязкоупругого материала;
определение НДС конструкций при осесимметричном динами-
динамическом нагружении (нагрузка произвольно изменяется во вре-
времени);
определение НДС конструкций при неосесимметричном дина-
динамическом нагружении (нагрузка произвольно изменяется во
времени);
определение критических нагрузок и форм потери устойчи-
устойчивости осесимметрично нагруженных упругих конструкций;
определение критических нагрузок и форм потери устойчи-
устойчивости конструкций из нелинейно-упругого материала при осесим-
осесимметричном нагружении.

Алгоритмы определения ИДС и динамических характеристик 245
Пакет 2 предназначен для решения задач статики и динамики
призматических оболочечных конструкций, содержащих следу-
следующие расчетные фрагменты:
многослойные цилиндрические оболочки некругового сечения
(модель Кирхгофа—Лява);
прямолинейные стрингеры (модель Кирхгофа—Клебша);
связи.
Функциональное назначение пакета состоит в решении сле-
следующих задач:
определение НДС упругих конструкций при статическом на-
гружении и нагреве (при гармонических внешних нагрузках
процедура позволяет определять амплитудно-частотные характе-
характеристики конструкции);
определение НДС вязкоупругих конструкций при статическом
нагружении (при гармонических внешних нагрузках процедура
позволяет определять амплитудно- и фазочастотные характеристики
конструкций);
определение частот и форм собственных колебаний упругих
конструкций;
определение частот и форм собственных колебаний, а также
коэффициентов демпфирования конструкций из вязкоупругого
материала;
определение НДС конструкций при динамическом нагружении
(нагрузка произвольно изменяется во времени);
определение критических нагрузок и форм потери устойчи-
устойчивости продольно сжатых упругих конструкций.
Пакет 3 предназначен для решения задач статики и динамики
осесимметричных оболочечных конструкций, содержащих сле-
следующие расчетные фрагменты:
многослойные оболочки вращения (модель ломаной ли-
линии);
полюсные элементы;
круговые шпангоуты (модель Тимошенко);
круговые шпангоуты (модель теории упругости);
связи.
Функциональное назначение пакета состоит в решении сле-
следующих задач:
определение НДС упругих конструкций при осесимметричном
нагружении и нагреве (задача решается в геометрически нели-
нелинейной постановке);
определение НДС упругих конструкций при неосесимметрич-
ном нагружении и нагреве (при гармонических внешних нагруз-
нагрузках процедура позволяет определять амплитудно-частотные ха-
характеристики конструкции);
определение НДС вязкоупругих конструкций при неосесим-
метричном нагружении (при гармонических внешних нагрузках

246 ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
процедура позволяет определять амплитудно- и фазочастотные
характеристики конструкций);
определение частот и форм собственных колебаний осесим-
метрично нагруженных упругих конструкций;
определение частот и форм собственных колебаний осесимме-
трично нагруженных вязкоупругих конструкций;
определение НДС упругих конструкций при осесимметричном
динамическом нагружении;
определение НДС упругих конструкций при неосесимметрич-
ном динамическом нагружении;
определение критических нагрузок и форм потери устойчи-
устойчивости осесимметрично нагруженных упругих конструкций.
Пакет 4 предназначен для решения задач статики и динамики
призматических оболочечных конструкций, содержащих следу-
следующие расчетные фрагменты:
многослойные цилиндрические оболочки некругового сечения
(модель ломаной линии);
прямолинейные стрингеры (модель Тимошенко);
прямолинейные стрингеры (модель теории упругости);
связи.
Функциональное назначение пакета совпадает с функциональ-
функциональным назначением пакета 2.
13.4. Подсистема математического
и программного обеспечения алгоритмов
определения напряженно-деформированного состояния
и динамических характеристик конструкций
Перечисленные пакеты проблемно-ориентированных процедур
инвариантны относительно геометрии координатной поверхности
оболочечных элементов, механических характеристик и толщин
слоев, характера распределения поверхностных нагрузок на
оболочечные элементы, характера распределения температуры
по толщине и поверхностям слоев, зависимости динамических
нагрузок от времени, вида диаграммы растяжения для нелинейно-
упругих материалов, вида ядер релаксации для вязкоупругих
материалов.
Это позволяет рассматривать перечисленные пакеты проблемно-
ориентированных процедур как подсистему математического и
программного обеспечения алгоритмов определения НДС и дина-
динамических характеристик конструкций, предназначенную для фор-
формирования математического аппарата численного моделирования
поведения тонкостенных осесимметричных и призматических кон-
конструкций при действии статических и динамических внешних воз-
воздействий.

Список литературы 247
Инвариантность подсистемы позволяет использовать ее в под-
подсистемах различных систем автоматизированного проектирования
(САПР) для расчетов на прочность конструкций рассматриваемых
классов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строитель-
Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы: Учебник для вузов/
Под ред. А. Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1983. 488 с.
2. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматгиз,
1961. 382 с.
3. Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. В 2-х т. М.: Физ-
Физматгиз, 1962. Т. 1. 464 с.
4. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций.
М.: Машиностроение, 1980. 376 с.
5. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. 2-е изд. М.: Физматгиз,
1959. 508 с.
6. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линей-
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений//Успехи математических иаук.
1961. Т. XVI. Вып. 3(99). С. 171—174.
7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.:
Мир, 1975. 544 с.
8. Канторович Л. В., Акилов Г. Р. Функциональный анализ в нормиро-
нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.
9. Колтунов М. А., Майборода В. П., Кравчук А. С. Прикладная меха-
механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. 345 с.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ. М.: Наука,
1977. 836 с.
11. Мяченков В. И., Григорьев И. В. Расчет составных оболочечных кон-
конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 216 с.
12. Мяченков В. И., Мальцев В. П. Методы и алгоритмы расчета простран-
пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984. 280 с.
13. Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластинки. М.: МГУ,
1969. 695 с.
14. Работиов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.:
Наука, 1977. 384 с.
15. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки: Пер.
с аигл. М.: Наука, 1966. 635 с.
16. Филатов А. Н. Методы усреднения в дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнениях. Ташкент: ФАН, 1971. 188 с.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕУПРУГОГО
ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕН ИИ
14. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Проблемы надежного функционирования и снижения мате-
материалоемкости современных конструкций, работающих в условиях
действия высоких механических и температурных нагрузок,
а также ионизирующего излучения, обусловливают актуальность
разработки математической модели неупругого поведения и на-
накопления повреждений материала.
Применяемые в настоящее время для практических расчетов
теории пластичности и ползучести, обобщенные на неизотермиче-
неизотермическое нагружение и ионизирующее излучение, могут привести к до-
достоверным результатам только при нагружениях, близких к про-
простым. В действительности же материал обычно работает в усло-
условиях сложного нагружения.
Раздельное рассмотрение процессов пластичности и ползу-
ползучести без учета их взаимного влияния свойственно практически
всем применяемым для расчетов теориям. Не находит отражения
в существующих теориях и чувствительность конструкционных
материалов к виду напряженного состояния, которая проявляется
при неупругом поведении материала и в еще большей мере при
его разрушении.
Для описания процесса накопления повреждений материала
используют различные варианты кинетических уравнений накоп-
накопления повреждений, однако все они справедливы для нагружений,
близких к простым, а также для стационарных процессов. Боль-
Большинство уравнений накопления повреждений не связаны с урав-
уравнениями, описывающими поведение материала и, следовательно,
не могут учитывать влияния истории нагружения на процесс на-
накопления повреждений. Кроме того, они не учитывают влияния
повреждений на неупругое поведение материала и таких важных
процессов, как охрупчивание и залечивание, на накопление по-
повреждений.
Таким образом, область применимости вариантов теорий пла-
пластичности и ползучести и соответствующих кинетических уравне-
уравнений накопления повреждений весьма ограничена.
Предлагаемую математическую модель неупругого поведения
и накопления повреждений материала (обобщенную модель не-
неупругости) можно применять для практических расчетов кон-

Вводные замечания 249
струкций при произвольном сложном неизотермическом нагру-
жении и ионизирующем излучении. Область применимости модели
ограничена скоростями деформирования, при которых становятся
существенными динамические эффекты (хотя обобщение на дина-
динамическое нагружение возможно), и температурами, при которых
происходят структурные изменения в материале.
Трудности, возникающие при численной реализации задач
сложного нагружения конструкций, обусловлены, в основном,
тем, что уравнения состояния, описывающие поведение и разру-
разрушение материала конструкции, являются нелинейными дифферен-
дифференциальными уравнениями неявного вида. Математически задача фор-
формулируется как нелинейная краевая задача по пространственным
координатам и задача Коши по параметру нагружения (времени).
При решении задач такого класса широко применяют шаговые
методы, сводящие решение исходной задачи к последовательности
решений нелинейных краевых задач на временных слоях. Наиболь-
Наибольшее распространение получили одношаговые методы (приращений,
прогноза и коррекции). В настоящее время применяют также мно-
многошаговые методы (методы Адамса), хотя они не являются само-
самостартующими. При этом используют как явные, так и неявные
схемы.
При численном решений задач такого класса крайне важными
являются вопросы устойчивости решения ввиду жесткости урав-
уравнений, т. е. их плохой обусловленности. Не менее важны и во-
вопросы достоверности полученных результатов, т. е. вопросы точ-
точности и сходимости решения.
Применение схем более высоких порядков для повышения точ-
точности решения в большинстве случаев приводит к его неустой-
неустойчивости, а уменьшение порядка схем для получения устойчивого
решения не позволяет найти достоверное решение даже при очень
малых шагах. Кроме того, уменьшение шага с некоторого его зна-
значения приводит к увеличению погрешности.
Предлагаемый шаговый метод численного решения задач слож-
сложного нагружения конструкции разработан исходя из условия
обеспечения точности и устойчивости решения, а также эконо-
экономичности.
15. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
НЕУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ
ПОВРЕЖДЕНИЙ МАТЕРИАЛА
15,1. Обобщенная модель неупругости
Основные положения и уравнения модели неупругого поведения
и накопления повреждений материала.
1. Материал однороден и начально изотропен; в процессе
неупругого деформирования в нем может возникать только де-

250 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
формационная анизотропия. Материал может быть чувствителен
к виду напряженного состояния, т. е. иметь различные характе-
характеристики неупругого поведения и разрушения, например при рас-
растяжении, сжатии и сдвиге.
2. Тензор деформации можно представить в виде суммы тен-
тензоров упругой деформации, не зависящей от истории нагружения
и определяющейся конечным состоянием процесса, и неупругой
деформации, зависящей от процесса нагружения:
Щ = гЬ + я*!-
3. Упругие деформации при изменении напряжений следуют
обобщенному закону Гука, при изменении температуры — за-
закону температурного расширения, а при изменении флюенса
ионизирующих частиц — закону распухания, т. е. для тензора
скоростей упругой деформации справедливы уравнения
е'ц = -L[bt, - v(Зав,/ - а,,)] + a'Jt +
-~
где Е, v, ат, аф — соответственно модуль упругости, коэффи-
коэффициент Пуассона, температурный коэффициент линейного расши-
расширения и коэффициент распухания, являющиеся функциями тем-
температуры Т и флюенса Ф.
4. Текущему моменту времени процесса нагружения в про-
пространстве составляющих тензора напряжений соответствует по-
поверхность нагружения, разделяющая области упругого и не-
неупругого состояний.
Поверхность нагружения может изотропно расширяться или
сужаться, смещаться и изменять форму в процессе нагружения.
Начальная поверхность нагружения может иметь форму, отлич-
отличную от поверхности Мизеса, и стягиваться в точку. Текущая
поверхность нагружения определяется процессом нагружения.
Вследствие смещения поверхности нагружения, которое опи-
описывается тензором смещения (добавочных напряжений), уравнение
поверхности нагружения зависит от инвариантов тензора актив-
активных напряжений, составляющие которого отсчитываются от центра
поверхности задаваемого тензором смещения. Зависимость по-
поверхности нагружения от первого инварианта тензора напря-
напряжений позволяет описать неупругое изменение объема, т. е.
деформацию разрыхления. Неупругое изменение объема прене-
пренебрежимо мало по сравнению с остальными деформациями прак-
практически для всех конструкционных материалов, поэтому прини-

Математическое моделирование 251
мают, что поверхность нагружения зависит только от второго
и третьего инвариантов девиатора активных напряжений:
f[Ia(Di), h(D-a)] = 0.
Зависимость поверхности нагружения от третьего инварианта
позволяет описать изменение формы поверхности нагружения
и рассмотреть материалы, чувствительные к виду напряженного
состояния. Уравнение поверхности нагружения принимают в виде
/(a,/) = /2(D5)-C2/3 = 0, A5.1)
где /2 (?>;) = s'jS'i/2; s*/ = stJ — ai}\ si} = atJ — o6tJ; a = Оц/3.
Тензор ctij характеризует смещение поверхности нагружения,
скаляр С соответствует радиусу поверхности. Смещение ai} и
радиус С являются функционалами процесса нагружения, причем
радиус С зависит от третьего инварианта девиатора активных
напряжений.
5. Для радиуса поверхности нагружения принято уравнение
b-qR, A5.2)
причем
Ц. = Bв?ув?,/зI/а; &
I*. = «*/«//<?; or' = Cs!iSij/2y/2; A5.3)
27st.sT. 3s?,
(ft /ft Q (/ QC .
где 9e, ^p,, gv, ^ф, ^д — параметры, подлежащие эксперименталь-
экспериментальному определению; е"* — длина дуги неупругой деформации;
щ — параметр вида активного напряженного состояния (щ g
€ [—1. 11; при сжатии fi* = —1, при сдвиге ц„. = 0, при растя-
растяжении [I* = 1); Оа — интенсивность активных напряжений.
Первое и последнее слагаемые в уравнении A5.2) описывают
упрочнение и разупрочнение, остальные — изменение радиуса
поверхности при изменении вида напряженного состояния, тем-
температуры и флюенса ионизирующих частиц. Знак параметра qb
зависит от вида материала: для циклически упрочняющихся ма-
материалов qe > 0, для стабильных qe = 0, для разупрочняющихся
<7е < 0. Параметр qR характеризует механические свойства при
отдыхе, отжиге.
Используя свойства материалов, установленные эксперимен-
экспериментально при скоростях деформирования, при которых эффекты,
связанные с длительностью процесса, пренебрежимо малы, т. е.

252 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
при пластическом деформировании, а также результаты испыта-
испытаний при установившейся ползучести, когда уравновешены про-
процессы механического упрочнения и термического разупрочнения,
параметры qe, q^, qT, q&, <7н можно выразить через функции Ср и Рс:
дС„ дС„ . дСт
дС
дС
ро
ят=-§гЯ + -ат-A-я)\
— СрО .
ср = ср(ф, т, |*„ е;«);
РС = РС(Ф. Т, ц,, С, со).
Экспериментально определяемые функции Ср и Рс можно
аппроксимировать следующими выражениями:
(^ + (с;-С^)|ц.|Ч если -1<ц.<0;
l + (C;-C°p)\vt\\ если 0<р.<1;
P~
( ^
); С? = <? (Ф, Г,
лс = пс (Ф, Т, nj;
где С; = С; (Ф, Т, eS.); С° = С° (Ф, Г,
еЦ,); % = iv (Ф, Г); Рс0 = Рс0, (Ф, Г, |х„
mm = mm (Ф, Т).
Функции Рс0 и пс по переменной jx^ можно также аппрокси-
аппроксимировать степенной зависимостью вида A5.4).
Следует отметить, что функция Рс зависит от меры поврежде-
повреждения ю, а функция Ср0 может быть тождественно равна нулю.
6. Принимают трехчленную структуру уравнений для смеще-
смещения поверхности нагружения, т. е. разложение девиатора ско-
скоростей смещения (добавочных напряжений) осуществляют по
компонентам трех девиаторов — скоростей неупругой деформа-
деформации, добавочных напряжений и неупругих деформаций:
ац = J-gef/ + (-| gez?i + gaa,t) & + (-| gkf, + glatj) t +
+ D gbli + gfatJ) Ф - (|- gfzl, + A,) . A5.5)

Математическое моделирование 253
Функции g, gi, ga, gl, gl, gf, g®, gs, ga* можно определять
по функциям Еа0, Р, ва, Рпу полученным в результате испыта-
испытаний в условиях пластического деформирования и установив-
установившейся ползучести:
т = дЕа0 Еа0 дда . т = I дда .
^е дТ да дТ ' *а да дТ '
Ф дЕа0 Еа0 дда . Ф . 1 ддд .
S& ~~ дФ ~ да дФ ' 8а ~~~д~а~ дФ '
gf = glPa, ga = gPa/aH + gaPa,
где Ea0 = Ea0 (Ф, Т, цо); p = p (Ф, T, |ie); да = да (Ф, T,
И'а); Pa = Pa (Ф. T, \ia, йи. ®); о.ц — интенсивность добавочных
напряжений: аш = (Заг^аг/2I/2; \ia — параметр вида добавоч-
добавочного напряженного состояния (ца ? [—1, 1]; при сжатии ца =
= —1, при сдвиге |ха = 0, при растяжении \ia = 1):
Функции ?ао. Р. сГа. Ра можно аппроксимировать (как и
функции Ср, Рс) выражениями
?°0 + (Е~а0 - ?°0) | iia I'V», если — 1 <ца < 0;
-?а0о)|^|л-, если 0<цв<1; ( }
где Е~ао = Е'аа (Ф, Т); Е°а0 = Е°а0(Ф, Т); Еао = Еао (Ф, Т);
«Г= лЛф> Т, M-J; т„ = /"а, (Ф, Т). ° '
Аналогично функции Ра0, па по переменной }го можно аппрок-
аппроксимировать степенными зависимостями типа A5.6).
7. Неупругие деформации зависят от истории нагружения
и являются функционалами процесса. Считают, что поле скоростей
неупругих деформаций в пространстве напряжений имеет по-
потенциал. Тогда, приняв в качестве потенциала функцию A5.1),
получают тензор скоростей неупругой деформации в виде
± df
ё?/ = — СТи ёи« = -^т-ёи„, A5.7)
где
A5.8)

254 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
27/ (D*\
Используя зависимости A5.1)—A5.3), A5.5), A5.7) и A5.8),
можно получить уравнения для интенсивности скоростей неупру-
неупругой деформации
е:. = -±-[Щ^!—ВтТ-ВфФ + В*}, A5.9)
где
Е, = стн^в/лн + g + ёГевГ + gaa«;
?т = a'HqT/n'H + #ГеГ + glcfc,
Вф = oZq«>/na + gfeV + gfei; A5.10)
BR = a*KqRln*K + g? ен* + ga «I;
rh\ а'и = 1,5п*{1ац/п*и.
Уравнения A5.9) и A5.10) связывают интенсивность скоростей
неупругой деформации и скорости напряжений. Аналогично
можно получить зависимость интенсивности скоростей неупругой
деформации от скоростей деформаций.
8. Поверхность нагружения разделяет области упругого и
неупругого состояний. Если точка, изображающая какое-либо
состояние, находится внутри поверхности нагружения, то это
состояние упругое, хотя в нем могут происходить процессы от-
отжига, возврата механических свойств (изменение радиуса и сме-
смещения поверхности нагружения), охрупчивания и залечивания
материала. Если изображающая точка принадлежит поверхности
нагружения, оно может быть как упругим (нейтральное нагру-
жение), так и неупругим. Условия упругого и неупругого состоя-
состояний, полученные из условий принадлежности изображающей
точки поверхности нагружения и положительности приращения
накопленной неупругой деформации, имеют вид
ol<C\/ щfill<0; а* = С А гц$1 >0.
9. Для описания процесса накопления повреждений исполь-
используют энергетический подход. В качестве энергии, расходуемой
на создание повреждений в материале, принимают энергию,
численно равную работе добавочных напряжений (тензор смещения
на поле неупругих деформаций. В процессе нагружения в ма-
материале могут происходить процессы накопления повреждений,
залечивания повреждений, охрупчивания. Элементарное прира-
приращение повреждения определяется отношением элементарной ра-
работы добавочных напряжений к текущему значению энергии раз-

Математическое моделирование 255
рушения, изменение которой обусловлено охрупчиванием, а также
изменением вида напряженного состояния, температуры и флюенса
ионизирующих частиц. Залечивание повреждений и охрупчива-
ние связаны с длительностью процесса нагружения, поэтому ки-
кинетические уравнения накопления повреждений, залечивания и
охрупчивания принимают в виде
ю = aji&ljl W — go,..
W =
где
W = q&iia + qwf + q%Q> -
I3 (Da) = atjajhahi/3;
Параметры ga и qw характеризуют соответственно процессы
залечивания и охрупчивания. Для функций ga, qw, qw, qw,
qw, подлежащих экспериментальному определению, предложена
следующая аппроксимация:
q
где X, к — соответственно модули залечивания и охрупчивания:
X = Я (Ф, Т, а); к = к (Ф, Т, сги); Wo — начальная энергия раз-
разрушения: Wo = (Ф, Т, |ха); а = ои/3; аи = Csoso/2I-'2.
Следует отметить, что энергия разрушения зависит от вида
напряженного состояния, определяемого тензором добавочных
напряжений, так как ее принимают численно равной работе до-
добавочных напряжений. Критерием разрушения материала яв-
является предельное значение меры повреждения, обычно прини-
принимаемое равным единице.
Итак, в общем случае модель замыкают следующие материаль-
материальные функции, определяемые экспериментально: Е (Ф, Т); v (Ф, Т);
ат (Ф, Т); аФ (Ф, Т); ?а0 (Ф, Т, fia); р (Ф, Т, ца); да (Ф, Т, fia);
Ср (Ф, Т, [I*, еЦ.); Wo (Ф, 7\ ца); Рс (Ф, Т, fi*, С, со); Ра (Ф,
Т, fia, а., со); Я (Ф, Т, а); х (Ф, Т, аи).
Разработан расчетно-экспериментальный метод определения
материальных функций модели, включающей в себя стандартные
испытания при пластическом деформировании, на малоцикловую
усталость, ползучесть, длительную прочность и малоцикловую
усталость с выдержками при сжатии.

256 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Предлагаемая математическая модель неупругого поведения
и накопления повреждений материала имеет некоторые особен-
особенности:
деформация имеет упругую и неупругую составляющие (услов-
(условного разделения неупругой деформации на деформации пластич-
пластичности и ползучести нет);
поверхность нагруження может смещаться, расширяться или
сужаться и изменять форму;
трехчленная структура уравнений для смещения поверхности
нагружения обусловливает снижение ограничений на возможные
траектории сложного нагружения;
зависимость уравнений, описывающих неупругое поведение
материала, от меры повреждения позволяет рассматривать разу-
разупрочнение материала при ползучести, т. е. третью стадию ползу-
ползучести;
кинетические уравнения накопления повреждений построены
на энергетическом принципе с учетом процессов охрупчивания и
залечивания;
модель учитывает зависимость разрушения от вида напря-
напряженного состояния;
уравнения неупругого поведения и накопления повреждений
взаимосвязаны, т. е. повреждение влияет на поведение материала,
а история нагружения на повреждение;
основу расчетно-экспериментального метода определения ма-
материальных функций модели составляет обработка эксперимен-
экспериментальных кривых, не связанная с определением пределов теку-
текучести и других величин с какими-либо допусками на деформации,
что обычно вносит неоднозначность в получаемые результаты.
Аналитическое интегрирование уравнений неупругого поведе-
поведения и накопления повреждений для простейших стационарных
режимов нагружения приводит к известным критериям малоцикло-
малоцикловой усталости и длительной прочности. Модель апробирована
в различных программах экспериментальных исследований при
сложном нагружении (эксперименты И. М. Коровина, В. П. Дег-
Дегтярева, О. А. Шишмарева, Охаси и др.). Сравнительные исследова-
исследования различных теорий пластичности, ползучести, неупругости
показали, что результаты, полученные с помощью обобщенной
модели неупругости, лучше всего соответствуют эксперименталь-
экспериментальным данным.
15.2. Теории пластичности, ползучести и неупругости
при сложном нагружении
При оценке предельного состояния элементов современных
конструкций для описания процессов неупругого деформирова-
деформирования (пластичности и ползучести) материала при сложном нагру-

Математическое моделирование
257
жении широко применяют общую математическую теорию пла-
пластичности Ильюшина, различные варианты теорий пластического
течения, ползучести и неупругости. Однако для выбора варианта
теории пластичности, ползучести или неупругости необходимо
предварительно выявить область их применимости с учетом
реального процесса нагружения. Границы этой области можно
определить путем сопоставления результатов расчета (по раз-
различным теориям) и эксперимента при сложном нагружении для
широкого спектра траекторий.
Приведем уравнения рассматриваемых вариантов теорий в век-
векторном виде. Компоненты векторов напряжений Н и деформа-
деформаций Э согласно теории Ильюшина связаны с тензорами напря-
напряжений atj и деформаций е,ц формулами
Н =
tfl
H3
Нъ>
Э =
«Уз
5>4
э6
= ¦
о = oti/3;
г = гн/3;
Э = (etJetJ?/2 = /3/2 еи.
Векторы скоростей напряжений и деформаций, а также длины
дуг траекторий определяют по формулам
t t
П = 1Л i Hi Лз П4 П5\ , 2j = J I Н I"' = J
о о
t t
Э = [Э\ Э2 Э'з Э4 ЭьУ', s =
Угол сближения, т. е. угол между вектором напряжений и век-
вектором скоростей деформаций, направленным по касательной к тра-
траектории деформаций, вычисляют по формуле
(Н-Э-)
Результаты сопоставляют как по траекториям напряжений
Н = Н (t) и деформаций Э = Э (t), так и по параметрам Н =
9 П/р В. И. Мячеикова

258 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
= Н (s) и р = р (s), характеризующим, соответственно, скалярное
и векторное запаздывания.
Для траекторий малого кручения и произвольной кривизны
в общей математической теории пластичности Ильюшина спра-
справедливо уравнение
^Р A5.11)
где Р и N — функционалы пластичности.
Для траекторий средней кривизны (р < я/8) В. И. Малым
предложены зависимости
A5.12)
где G — модуль сдвига; г|з* = 0,735 (для основных конструкцион-
конструкционных материалов); Ф (s) — единая кривая деформирования.
В теориях пластического течения при комбинированном упроч-
упрочнении деформации разделяют на упругую и пластическую:
Э = Эе + Э". A5.13)
Упругая деформация подчиняется закону Гука, для пласти-
пластической принимают ассоциированный закон течения
3e=H/BG); A5.14)
-?-|Э»|, если Я' = Ср(^)Л(Н'>)>0;
и A5.15)
0, если Н' < Ср (s") V (Н' • Э")< 0,
где Н* — вектор активных напряжений; Н* = Н — А; А —
вектор смещения центра поверхности нагружения (вектор доба-
добавочных напряжений); Я* = Ср {s") — уравнение поверхности на-
нагружения; Ср (sp) — радиус поверхности нагружения; s" — длина
дуги пластической деформации.
Варианты теорий пластичности при комбинированном упрочне-
упрочнении в основном отличаются уравнением для вектора смещения.
Предложенная А. Ю. Ишлинским зависимость
A = g3" A5.16)
не справедлива уже при простейших циклических нагружениях,
так как согласно экспериментальным данным в состояниях, при
которых Эр = 0, вектор смещения А Ф 0.
Для дифференциальных зависимостей одночленной структуры
A = g3" A5.17)
предложены различные виды функции g: g = g (A) — Ю. И. Ка-
дашевичем и В. В. Новожиловым; g = g(H)—P. А. Арутюняном;

Математическое моделирование 259
g = gf H, , н. ) — И. А. Биргером и Б. Ф. Шорром;
^)Ю- Г Коротких.
Дифференциальная зависимость для вектора смещения трех-
трехчленной структуры согласно обобщенной модели неупругости
имеет вид
H A5.18)
где g, ga, gA — экспериментально определяемые константы ма-
материала.
Используя уравнения A5.15), A5.18) и уравнение поверх-
поверхности нагружения, можно получить зависимость между модулем
вектора скорости пластической деформации и векторами скоростей
напряжений или деформаций:
20
+ Ф Н*
где
Варианты теорий пластического течения при -изотропном или
только кинематическом упрочнениях являются частными слу-
случаями теории при комбинированном упрочнении; для них спра-
справедливы уравнения A5.13)—A5.15), A5.18)—A5.20) соответственно
при g = 0, ga — 0, gA = 0 или при dCp/dsp = 0.
В теориях ползучести деформации разделяют на упругую и
деформацию ползучести:
Э = Э" + Эе.
Для определения вектора скорости деформации ползучести
принимают ассоциированный закон течения:
где Н* = Н — А — вектор активных напряжений; А — вектор
добавочных напряжений.
Практически все уравнения, предложенные для вектора ско-
скорости добавочных напряжений, имеют двучленную структуру:
Вид функций g = g (Я); g% = gA (A) — предложен Н. Н. Ма-
лининым и Г. М. Хажинским; g = g[A> ~~Ш*~)' Sa =
^ Вл(А) — Ю. Г. Коротких. Для модуля вектора скорости де-

260 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
формации ползучести этими авторами приняты соответственно
следующие зависимости:
Первая зависимость описывает только кинематическое упроч-
упрочнение; параметр С„ (S°), характеризующий изменение размера
поверхности нулевой скорости ползучести, во второй зависи-
зависимости учитывает и изотропное упрочнение.
Пренебрегая кинематическим упрочнением и принимая соот-
соответствующие зависимости для модуля вектора скорости деформа-
деформации ползучести, можно получить варианты технических теорий
ползучести. При | Э" | = Ф (Я, s°), например, получаем теорию
упрочнения (теорию деформационного упрочнения). Для распро-
распространения теории упрочнения на знакопеременные циклические
нагружения Окриджской национальной лабораторией разработана
модифицированная теория деформационного упрочнения, учиты-
учитывающая знак исходной деформации в пространстве деформаций
ползучести.
В теориях неупругости нет условного разделения деформаций
пластичности и ползучести; здесь введено понятие суммарной
деформации неупругости, т. е. принято, что полная деформация
состоит из упругой и неупругой:
Э = Эе + Э*. A5.21)
Для определения вектора скорости неупругой деформации
принимают ассоциированный закон течения
Уравнения для модуля вектора скорости неупругой деформа-
деформации, вектора скорости добавочных напряжений и параметра,
учитывающего изотропное упрочнение, предложены Миллером
в виде
| Эи | = Ф (Я7?>); A5.22)
А = дЭ" - gl (А) А; A5.23)
D = q(A, D)\fr\-qB(D). A5.24)
Здесь уравнение для вектора скорости добавочных напряже-
напряжений имеет двучленную структуру.
Уравнения неупругого состояния A5.22)—A5.24) при ско-
скоростях деформации, при которых можно пренебречь временными
эффектами, не переходят в уравнения пластичности, которые
должны быть для них частным случаем.

Математическое моделирование 261
Для вектора скорости неупругой деформации в обобщенной
модели неупругости принят ассоциированный закон течения
с учетом условий упругого и неупругого состояний:
Эн =
если Н' = С/\ (Н*-Эн)>0;
A5.25)
О, если Н'<С \/(Н*-Эн)<0,
где С соответствует радиусу поверхности нагружения и учиты-
учитывает изотропное упрочнение.
Для вектора скорости добавочных напряжений и параметра С
предложены уравнения
А = ?ЭН + (?эЭн + gAA) | Эн | - [g§ (А) Эн + gRA (А) А]; A5.26)
C = qa(s")\3»\-qR(s», С). A5.27)
Используя уравнения A5.14), A5.21), A5.25)—A5.27) и урав-
уравнение поверхности нагружения, можно получить выражения
для модуля вектора скорости неупругой деформации для мягкого
и жесткого нагружений:
2G
A5.28)
A5.29)
где
с , , (Н'-Эн) , (Н*-А)
?* = Цэ + g + ga H, + gA H. ;
в r — qR + ga —jpi f- g'X —jf*— •
В реальных условиях нагружения (особенно при повторных
и длительных нагрузках) в материале конструкций возможно
одновременное протекание процессов пластичности и ползучести,
причем не всегда можно заранее определить, какой из этих про-
процессов будет превалировать. Таким образом, для практических
расчетов теории неупругости представляют несомненный интерес,
что и объясняет дальнейший акцент исследований на выявление
применимости обобщенной модели неупругости в сопоставлении
с другими теориями на широком спектре программ сложного
нагружения в условиях только пластичности или ползучести,
а также одновременного развития деформаций пластичности и
ползучести. Приведем некоторые результаты этих исследований.
Для интегрирования уравнений пластичности, ползучести или
неупругости, представляющих собой системы дифференциальных
уравнений с начальными условиями, для мягкого или жесткого
нагружений применен численный метод Рунге—Кутта 4-го по-

262 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
рядка точности. При обработке результатов экспериментов ди-
дискретные данные аппроксимированы сглаживающими кубиче-
кубическими сплайнами.
Пластичность. Расчеты выполнены по уравнениям A5.11)—
A5.12) общей математической теории пластичности для траекто-
траекторий средней кривизны (сплошные кривые / со светлыми квадра-
квадратами на рис. 15.1—15.2) и по уравнениям A5.13)—A5.15), A5.18)—
A5.20) различных вариантов теорий пластического течения с ком-
комбинированным упрочнением. Рассмотрены варианты, предложен-
предложенные Ю. И. Кадашевичем и В. В. Новожиловым (кривые 2 с за-
зачерненными треугольниками), И. А. Биргером и Б. Ф. Шорром
(кривые 3 с зачерненными кружками), Ю. Г. Коротких (кривые 4
с зачерненными квадратами), и соответствующие обобщенной
модели неупругости (кривые 5 со светлыми треугольниками).
Экспериментальным результатам соответствуют кривые со свет-
светлыми кружками.
Экспериментальные исследования по трем программам же-
жесткого нагружения (Э = Э (t)) проведены в условиях двухосного
напряженного состояния тонкостенных трубчатых образцов из
сплава ЗОХГСА при нормальной температуре [3]. Каждая из
этих программ предусматривает испытания по разным траекто-
траекториям (всего рассмотрено 13 траекторий сложного нагруже-
нагружения).
Одна из траекторий жесткого нагружения Э = Э (t) показана
на рис. 15.1, а, ответные экспериментальная и расчетные траек-
траектории Н = Н (/) — на рис. 15.1, б. Здесь же приведены траек-
траектории вектора смещения поверхности нагружения (штриховые
линии). Скалярное запаздывание — отклонение от единой кривой
деформирования (кривой с зачерненными ромбиками) — харак-
характеризуют кривые на рис. 15.1, в, векторное запаздывание свойств
материала — кривые на рис. 15.1, г.
Характер поведения вектора смещения (добавочных напря-
напряжений) при расчетах по уравнениям одночленной и трехчленной
структур существенно различен, что в конечном итоге отражается
как на траекториях напряжений, так и на мере повреждения
материала, если в качестве энергии разрушения принята работа
добавочных напряжений на неупругих деформациях.
Расчеты проведены для 13 траекторий жесткого нагружения.
Во всех экспериментах угол Р сближения не превышал 100°.
Наилучшее соответствие экспериментальным данным для всех
траекторий (отличие не превышает 10 %) дает теория течения,
в которой уравнение для вектора смещения имеет трехчленную
структуру. Эта теория является следствием обобщенной модели
неупругости, в которой временные эффекты пренебрежимо малы,
т. е. расчет по этой теории течения есть расчет с помощью обоб-
обобщенной модели неупругости.

Математическое моделирование
263
\
\
\
1
\
1

264 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Теория пластичности для траекторий средней кривизны удов-
удовлетворительно описывает сложное нагружение при р < я/8.
Теории пластического течения при комбинированном упроч-
упрочнении, в которых уравнения для вектора смещения имеют одно-
одночленную структуру, как и теория течения при изотропном упроч-
упрочнении, применимы только при траекториях малой кривизны.
Экспериментальные исследования при мягком нагруженйи
Н = Н (t) проведены в условиях осевого растяжения и знако-
знакопеременного кручения образцов из стали 10 при нормальной
температуре [5J. Материал проявляет некоторую чувствитель-
чувствительность к виду напряженного состояния, особенно при сложном
нагруженйи с кручением. Реализовано шесть двухзвенных траек-
траекторий нагружения, в которых угол сближения превышал 90°.
На рис. 15.2, б приведены результаты расчетов и экспериментов
для четырех траекторий: /, ///, V и VI (рис. 15.2, а), мягкого
нагружения. Обозначения кривых те же, что на рис. 15.1.
Удовлетворительное совпадение результатов расчета и экспе-
эксперимента получено при применении теории течения, в которой
уравнения для вектора смещения имеют трехчленную структуру.
При знакопеременных нагружениях, когда угол сближения Р « 0
или р « 180°, применимы также варианты теорий течения, в ко-
которых уравнения для вектора смещения имеют одночленную
структуру и учитывается смена направления нагружения.
Ползучесть. Экспериментальные исследования при мягком
нагруженйи проведены в условиях периодического осевого растя-
растяжения и знакопеременного кручения образцов из коррозионно-
стойкой стали 304 при температуре 650 °С [4]. Каждый цикл
нагружения состоит из быстрого кручения, выдержки, быстрой
разгрузки, быстрого совместного кручения и растяжения, вы-
выдержки и последующей быстрой разгрузки (рис. 15.3, а). Угол 0
между векторами напряжений при изменении направления нагру-
нагружения в испытаниях составлял 30, 90, 150 и 180°.
На рис. 15.3, б—в приведены результаты расчетов (кривые 5—
9) и эксперимента (точки) при угле поворота 0 = 150° [4]. Кри-
Кривые 5 построены по результатам расчетов с помощью уравнений
A5.14), A5.21), A5.25)—A5.29) обобщенной модели неупругости,
6 — по теории деформационного упрочнения; 7 — по модифици-
модифицированной теории деформационного упрочнения, разработанной
в Окриджской национальной лаборатории; 8 — по теории кине-
кинематического упрочнения Малинина и Хажинского; 9 — по теории
комбинированного упрочнения Миллера.
Расчеты проведены для всех траекторий сложного нагружения
в условиях ползучести. Сопоставление результатов расчетов по
различным теориям показало лучшее соответствие эксперименту
обобщенной модели неупругости — отличие не превышает 15 %.

Математическое моделирование
265
МПп
ZOO
100
"*
F
—.
Fl
X
\
¦——¦*-
\
¦—
о -zoo -wo о
4
е, % тП МП а
100 200 г/з, МПа
- \
Л \
-2
-100
-200
Г/Я//. О -2
Рис. 15.2

266 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕИИЯ КОНСТРУКЦИЙ
/Зг
t
/Зт
r'/fi, %
0,1
t.1

Математическое моделирование
267
:
1
1
Л о о о ооо
о
о
о
*
о
1
I
а
у
J

268 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Остальные рассмотренные теории дают результаты, существенно
отличающиеся между собой и от экспериментальных.
Пластичность и ползучесть. Экспериментальные исследова-
исследования проведены по трем программам жесткого нагружения с раз-
различными скоростями деформирования трубчатых образцов из
сплава ЗОХГСА при температуре 550 °С [3]. Первые две про-
программы предусматривают испытания по различным траекториям
сложного нагружения, но при одинаковой скорости деформиро-
деформирования @,05-Ю мин). Для испытаний по третьей программе
траектория сложного нагружения едина (рис. 15.4, а), но различны
скорости деформирования. Ответные траектории напряжений при
скоростях деформирования 0,5-102, 0,5-10 и 0,5-10"* мин
показаны на рис. 15.4, б (кривые /—3 соответственно). Скалярное
и векторное запаздывание характеризуют кривые на рис. 15.4, виг
соответственно (светлые кружки — результаты эксперимента,
сплошные кривые — результаты расчета по обобщенной модели
неупругости).
Сопоставление результатов расчетных и экспериментальных
исследований для всех 13 траекторий нагружения в условиях
одновременной пластичности и ползучести показало, что наиболь-
наибольшее соответствие экспериментальным данным обеспечивает при-
применение обобщенной модели неупругости — отличие не превы-
превышает 15 %.
15.3. Накопление повреждений
при изотермическом и неизотермическом циклическом
и длительном нагружениях
Разрушение материала конструкции при произвольном не-
неупругом деформировании проходит в несколько стадий. Первая
(инкубационная) стадия характеризуется накоплением поврежде-
повреждений — образованием распределенных по объему материала микро-
микродефектов (микротрещин), которые растут, сливаются и образуют
макротрещины. На второй стадии происходит квазистатический
рост макротрещин до критических размеров. Третья стадия ха-
характеризуется динамическим развитием трещин. Независимо от
того, какое условие принято в качестве критерия разрушения эле-
элемента конструкции: возникновение макротрещин определенных
размеров или развитие последней до критических размеров и раз-
разделение конструкции на части, — при оценке общего или оста-
остаточного ресурса основную роль играет первая стадия разрушения.
Применяемые в практических расчетах уравнения накопления
повреждений справедливы только для процессов нагружения,
близких к простым и практически стационарных. Рассмотрение
реальных процессов нагружения (сложных неизотермических и
существенно нестационарных) возможно с использованием обоб-
обобщенной модели неупругости.

Математическое моделирование 269
Простейшие стационарные режимы и соответствующие им кри-
критерии разрушения. Для жесткого циклического деформирования
по лучевой траектории при постоянной температуре и скорости
деформирования, при которой не проявляются временные эффекты,
интегрирование кинетических уравнений совместно с уравнениями
неупругого (в данном случае пластического) поведения дает
уравнение кривой малоцикловой усталости:
где сох — мера повреждения в первом полуцикле деформирования:
щ = [Еа0 (е«J/2 + 5ае« — A — ехр (—08-)) ]/W9; AeH — ши-
ширина петли гистерезиса; ef — неупругая деформация на первом
полуцикле.
При Деи <С 1/р уравнение A5.30) кривой малоцикловой уста-
усталости принимает вид
Np = A - cdO-^J- -jp-(AE-)-3, A5.31)
при Ден > 1/р
iVp = (l-(o1)^-(AeH)->. A5.32)
Рекомендуемый диапазон значений показателя степени @,4—
0,6) в уравнении Мэнсона—Коффина принадлежит интервалу
предельных значений @,33—1,0), полученных из уравнений
A5.31)—A5.32), структура которых совпадает со структурой
уравнений Мэнсона—Коффина.
При введении в режим циклического деформирования выдер-
выдержек при сжатии (а < 0), общая продолжительность которых не
приводит к заметному охрупчиванию, долговечность материала
увеличивается вследствие эффектов залечивания и может быть оце-
оценена по формуле
N, = lg [1 - (Nt + l)X A^cml/lg [1-Я, Д*вж]. A5.33)
где Nx и Af2 — соответственно долговечности материала при
нагружении без выдержек и с выдержками; к — модуль залечива-
залечивания; Л*сж — продолжительность выдержки при сжатии.
Снижение меры повреждения вследствие введения однократ-
однократной выдержки при сжатии определяется уравнением
со = со0 ехр (—1 &tcm), A5.34)
где ш0 и ш — меры повреждения до и после выдержки соответ-
соответственно.
Необходимо иметь в виду, что сама выдержка не должна при-
приводить к заметному охрупчиванию и повреждению.

270 МОДЕЛЯРОВАИИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Для изотермической ползучести при стационарном напряжен-
напряженном состоянии, для которого о^О и отсутствует залечивание
повреждений, интегрирование кинетических уравнений и уравне-
уравнений поведения дает уравнение кривой длительной прочности:
A5.35)
где Шх — мера повреждения к началу выдержки; ё*/ — скорость
установившейся ползучести.
Деформация и время до разрушения связаны зависимостью
При выводе зависимостей A5.35)—A5.36) не учтен первый
участок неустановившейся ползучести.
Для времени до разрушения, при котором пренебрежимо малы
эффекты охрупчивания, уравнение кривой длительной прочности
принимает вид
r.d-y-»+I . A5.37)
деформация и время до разрушения связаны зависимостью
<°i)m<B. <15-38)
Из уравнения A5.38) следует, что произведение скорости уста-
установившейся ползучести на время до разрушения практически
постоянно и не зависит от напряжения и температуры, когда
предельная деформация ej! и показатель пга слабо зависят от
температуры. Это следствие совпадает с эмпирическим выводом,
справедливым для ряда материалов, и соответствует простейшему
критерию длительной прочности.
При больших значениях времени до разрушения справедлива
зависимость
со,H1*. A5.39)
При этом произведение скорости установившейся ползучести
на время до разрушения также может быть постоянным, так как
с увеличением продолжительности испытаний предельная де-
деформация вследствие охрупчивания уменьшается, а произведение
модуля охрупчивания на время до разрушения увеличивается.
Таким образом, произведение скорости установившейся пол-
зучести на время до разрушения может быть постоянным при раз-

Математтеежое моделирование 271
личных значениях времени до разрушения, что позволяет описать
длительную прочность материала при различных температурах
с помощью параметра Ларсона—Миллера единой кривой практи-
практически во всем диапазоне времени до разрушения.
Уравнения A5.30)—A5.39) можно использовать для оценки
долговечности при простейшем стационарном нагружении; при
произвольном нагружении для прогнозирования долговечности
необходимо интегрировать полную систему уравнений обобщен-
обобщенной модели неупругости.
Накопление повреждений при жестком циклическом нагруже-
нагружении в изотермических и неизотермических условиях. Продолжи-
Продолжительность цикла нагружения образцов из стали Х18Н9 составляла
4 мин, что позволило проявиться эффектам залечивания и охруп-
чивания. Проанализированы следующие режимы жесткого сим-
симметричного деформирования с постоянной амплитудой деформации,
отличающиеся характером изменения температуры:
1 — температура постоянна и равна 650 °С (рис. 15.5);
2 — температура изменяется синфазно деформации от 150
до 650 °С (рис. 15.6);
3 — температура изменяется противофазно деформации от
150 до 650 °С (рис. 15.7).
Расчет выполнен путем численного интегрирования уравне-
уравнений модели неупругости до предельного значения меры повреж-
повреждения, принятой равной единице. Напряженное состояние об-
образца одноосное; изменения осевой деформации (деформация
температурного расширения исключалась) и температуры были
заданы как функции времени. На рис. 15.5—15.7 приведены
расчетные кривые изменения напряжений в цикле при стабили-
стабилизации циклических деформаций с амплитудой 0,04.
Следует отметить, что кривые изменения напряжений в ста-
стабилизированном цикле в синфазном и противофазном режимах
совпадают с точностью до знака, что свидетельствует об одинако-
одинаковом влиянии разных режимов на повреждаемость (если не учиты-
учитывать залечивания). Зависимость неупругого поведения от повреж-
повреждения позволяет описать циклическое разупрочнение перед раз-
разрушением (рис. 15.7).
Кривые, характеризующие процесс накопления повреждений
с учетом эффектов охрупчивания и залечивания, а также кривые
изменения энергии разрушения вследствие охрупчивания вплоть
до разрушения показаны на рис. 15.8 для всех трех режимов
(цифры на кривых соответствуют номерам режимов). Анало-
Аналогичные результаты получены и для других амплитуд дефор-
деформации.
Расчетные Ырлс и экспериментальные N9KC [2] значения
долговечности для двух амплитуд деформации и различных
режимов нагружения приведены в табл. 15.1.

272 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
щ
Z
•si-
§
I
*->
it
/
§
у
Л
¦и- \ Ч
*->
|
У
1
{
>
/
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
"У
1
1
о
S
Оч
\
>
\
\
\
N
11
5
/
/
N
ч
®
/§
\
\
\
/
/
/
ч^
N
мин Л
ч
ч
ч
"У
/
\
\
/
/
\
\
л
it
л
* \
1
¦
Риг
!

Математическое моделирование
273
Режим
1
2
3
0,04
"pao
47
11
49
"эко
45—55
10—15
45—55
Режим
1
2
3
0,02
Та
"рас
154
26
161
5 л и ц а 15.1
"эко
150—180
25—30
150—180
Сопоставление результатов расчета и эксперимента показывает
их соответствие и подтверждает применимость обобщенной модели
неупругости.
Для изотермического режима с высокой температурой харак-
характерны интенсивные процессы охрупчивания и залечивания. За-
Зависимость повреждения от числа циклов нагружения с некоторой
погрешностью можно считать линейной, поэтому для данного
изотермического процесса применимо правило линейного сумми-
суммирования повреждений.
Синфазный неизотермический режим проходит без заметного
залечивания, так как деформации сжатия происходят при низких
температурах. Охрупчивание не успевает повлиять на поврежде-
повреждение вследствие быстрого разрушения образца. Для этого ре-
режима также характерна практически линейная зависимость меры
повреждения от числа циклов нагружения, т. е. справедливо
правило линейного суммирования повреждений.
Для противофазного неизотермического режима характерна
существенно нелинейная зависимость меры накопления поврежде-
повреждений от числа циклов нагружения. Охрупчивание при этом режиме
менее интенсивно, чем при изотермическом; большие повреждения
происходят вследствие менее интенсивного залечивания, что
объясняется меньшей продолжительностью высокотемпературного
сжатия. С увеличением меры повреждения увеличивается скорость
залечивания и уменьшается скорость накопления повреждений.
Охрупчивание, скорость которого уменьшается при уменьшении
энергии разрушения (в данном конкретном случае при увеличе-
увеличении числа циклов нагружения), приводит к увеличению скорости
накопления повреждений. Суммарное воздействие этих факторов
в некоторых случаях может привести к весьма малой изменяе-
изменяемости меры повреждения на большом интервале числа циклов
нагружения, т. е. к значительному увеличению долговеч-
долговечности .
Таким образом, многообразие и сложность явлений, проте-
протекающих при произвольном нагружении, обусловливают необ-
необходимость рассматривать неупругое поведение и накопление
повреждений как процесс вплоть до разрушения.

274 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
16. численное решение задач сложного нагружения
тонкостенных конструкций
16.1. Формулировка разрешающей системы уравнений
Рассмотрим осесимметричную деформацию тонкостенной обо-
лочечной конструкции. Согласно гипотезе Кирхгофа можно счи-
считать а8а = 0, т. е. материал оболочечной конструкции находится
в двухосном напряженном состоянии. При этом уравнения об-
обобщенной модели неупругости можно привести к уравнениям со-
состояния в матричном виде, описывающим неупругое поведение
и накопление повреждений материала:
o = [Ca]8-d; A6.1)
-R, A6.2)
где
а = [аи стм]т; е = [ец ем]т;
h = [е?. eft ef2 ап а22 ц. С ца W со]т;
Матрицу [Са] и вектор d, определяющие связь между ско-
скоростями напряжений и деформаций, можно разделить на упругие
и неупругие составляющие:
[СО] = [СЯ-[СЯ; d = de-dB.
Упругие составляющие определяют по формулам
<-.« s>e Е , ле <-.« vE
d\ = -j^- [(alf + vaf2) t + (af? + va21>) Ф] A ^ 2).
Неупругие составляющие для материала в неупругом состо-
состоянии, когда ств = С Д п*/еВ/ > 0, имеют вид
^ 36
эо \ з

Численное решение 276
Для упругого состояния, когда а*я < С V пцгц <; 0, [Сд] =
= 0; dH = 0.
Элементы матрицы [Со] и вектора d являются функциями
вектора напряжений а, вектора внутренних переменных состо-
состояния h, флюенса Ф и температуры Т. Если заданы функции Ф (t),
Т (t) и в (t), векторы напряжений и внутренних переменных
состояния определяют из системы дифференциальных уравнений:
30 / «П+™22 . , П22 + V"ll . \
\ A6>3)
-В' -Bv + B«\, если о» = С A mtfi > 0;
0, если ol<C V пц%! < 0;
ёп = -^- я*] ён« A ч=ь 2)- A6.4)
' ? Г/ ' 'и „еГф _еФгт.Ч |
СТН =  7Т IV Еп ~~ ЕЧ ~~ аЧ ¦* — ап ^/ I
v (ё22 - ё2и2 - а|2гГ - а5?ф)] A ^ 2); A6.5)
аи = -§-**" + B^e"i/3 + ^а») *¦• +
glan) t + Bgf ef,/3 + g?a,,) Ф -
f ^) (li=2); A6.6)
+ «22*22 — «11^11 — «22Й22 — («11 + «22) («11 + «22I/0^
A6.7)
С = qj?. + <7дЙ. + qTf + <7фФ - qR\ A6.8)
(яги + m22) (du -f а22)]/аи; A6.9)
f q%(D - qw; A6.10)
+ а22ё2н2 + (аи + a22) (efi 4 ё2н2)]/Г _ ga. A6.11)
Нормальная система обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений A6.3)—A6.11) при заданных деформациях е (/), темпера-
температуре Т (t), флюенсе Ф (t) и начальных условиях для вектора
состояния z сводится к задаче Коши:
z = Fz(z, е, Т, Ф); z(t0) ---z\ A6.12)
где z --= [ей, еп ем an ст22 ап а22 [х^ С ц.а W co]r; F^ — правые
части уравнений A6.3)—A6.11).

276 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Следует отметить, что уравнения A6.12) имеют такую же
структуру, как и уравнения A6.1) и A6.2), т. е.
г = [О,] г - Rz,
и элементы матрицы [Gz) и вектора И.г являются функциями век-
вектора состояния z, температуры и флюенса. Строго говоря, ма-
матрица [Gz] и вектор Rz являются также функциями скоростей z,
т. е. исходная система — это система уравнений неявного вида.
Однако при заданных деформациях в (t) правая часть неявного
(вследствие условий упругого и неупругого состояний) урав-
уравнения A6.3), обусловливающего «неявность» остальных уравнений,
определяется однозначно, и уравнения становятся явными.
Скорости изменения внутренних усилий и моментов, приведен-
приведенных к координатной поверхности оболочечного элемента, с учетом
уравнения A6.1) можно выразить через скорости деформации
поверхности:
N = [C^]3-D, A6.13)
где N = [Гп Т2
CIS
IS»
CiV
22
Э =
с[2>
dV
с\?
()
22
/~B)
С [2
D =
DiV
Элементы матрицы [CN] и вектора D определяют по формулам
= J C
«2
da3 A =* 2);
= I С
da3; D& = J dx (o3)* da3 A =^ 2).
Используя уравнение A6.13) и геометрические соотношения
теории тонких оболочек (?22 = гры + k2w; /C22 = "Ф91)> можно
получить уравнение, связывающее скорости вспомогательных
неизвестных с основными:
где у = [Гц Qu ЛГи и w Q^; х = [Т22 М22 ?п Еп Ки /C2JT.
Вместо элементов матрицы [А] удобнее использовать составля-
составляющие вектора х = [А ] у:
Х\ = С12 ?ll -f- C22 ?22 "f" C[2 Kll -f- C22 K22',
X2 = C12 ?ц + C22 ?22 ~T" C12 Kll ~\- C22 K22',

Численное решение
277
— -^22» ^5 — Лц! Xg — А22!
— Сц К\\ — Cl2 K22)'Cn '
ll =
\Цг — ^12 -С22 — ^12 Л22^ —
&2 = ^в; а =
Составляющие вектора х = В:
Х\ = Ь\2 С- И -)- Ь 12 АН ^22 1
х8 = Ец', xt = 0; л'б = Кц', хл = 0;
Уравнения равновесия и геометрические соотношения оболочки
относительно вектора основных неизвестных у сводятся к нор-
нормальной системе шести обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений:
где
F = 4L + [Ау] у + Ш х + Н + Ь = 0,
01
A6.14)
1АХ] =
-kl
0
ф
«2
0
0
0
0
ф
1
0
0
0
—ф
0
0
0
0
ф
0
-к
! о
0
0
0
—1
0
э
0
0
0
0
kl
0
0
0
0
0
—1
0
1
0
0
0
0
A6.15)
A6.16)

278 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Н = [0 0 -у1Ув (ytf/2 0 Of; A6.17)
Ь = [<7i @* @ 0 0 0 Of. A6.18)
Если задача сформулирована только в скоростях, система
примет вид
где
[^]у = [00- (УеУг + УгУе) УвУв 0 Of; A6.20)
b = ЫО Яв (t) 0 О О 0]т. A6.21)
Тогда решение задачи сведется к решению системы 26 диффе-
дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями
относительно 26 неизвестных у, х, в, a, h или у, х, в, г.
При использовании уравнений равновесия и геометрических
соотношений, записанных через основные переменные, имеем
шесть дифференциальных уравнений первого порядка по про-
пространственной координате аг и шесть граничных условий:
F = 0; Г» = [Со] у (а{, t) - g> (t) = 0; A6.22)
При использовании уравнений равновесия и геометрических
соотношений в скоростях имеем шесть дифференциальных урав-
уравнений второго порядка, шесть граничных и шесть начальных
условий:
F = 0; Г° = [Со] у (a?, t) - g° @ = 0;
tL н [CL] у (af, t) — gL (t) = 0; A6.23)
x (alf ?0) = x° (ai).
Уравнения F.14) и F.19) дополняем шестью дифференциаль-
дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими скорости
основных и вспомогательных неизвестных, и шестью начальными
условиями:
х = [А] у + В; у (alt t0) = у» (о,). A6.24)
Используя гипотезы Кирхгофа, получаем еще два уравнения,
связывающие скорости деформаций координатной поверхности
и деформаций точек оболочки, и соответствующие начальные
условия:
в = [К] х: в (a1( a,, t0) -_- :¦ ¦ (alt о,), A6.25)
ГО 0 1 и а3 0
1К]=[0 0 0 1 0 а8

Численное решение 279
Кроме того, записываем 12 дифференциальных уравнений
состояния и 12 начальных условий:
z==?z; z(ocb ос8, f0) = z° («i. oc8). A6.26)
Решение системы дифференциальных уравнений A6.22)—
A6.26) вместе с начальными и граничными условиями позволяет
исследовать процессы нелинейного поведения оболочечной кон-
конструкции и накопления повреждений в материале конструкции
вплоть до разрушения при произвольном действии механических
и температурных нагрузок, а также ионизирующего излучения.
16.2. Шаговый метод решения
Важнейшая проблема, возникающая при решении задач нели-
нелинейного поведения конструкций в геометрически и физически
нелинейной постановке, — разработка достаточно точного и устой-
устойчивого метода сведения исходной нелинейной задачи с началь-
начальными и граничными условиями к последовательности нелинейных
краевых задач относительно только пространственных координат.
Прямая реализация такого подхода потребует значительных
затрат машинного времени при решении последовательности
большого числа краевых задач вследствие малости шагов по вре-
времени, необходимых для обеспечения заданной точности решения
в каждой точке конструкции.
Различие НДС в разных точках конструкции обусловливает
различие уравнений поведения материала, записанных для отдель-
отдельных точек. В связи с этим система уравнений получается жесткой,
т. е. плохо обусловленной.
Малый шаг по времени имеет и другой недостаток — увеличе-
увеличение суммарной погрешности. Применение численных схем более
высоких порядков (как одношаговых, так и многошаговых) либо
не снижает затрат машинного времени, либо приводит к неустой-
неустойчивости решения.
В связи с этим для решения задач такого класса необходимо
создать численный метод, автоматически обеспечивающий устой-
устойчивость и заданную точность решения при минимальных затратах
машинного времени.
Основная идея предлагаемого метода заключается в разделении
процессов интегрирования задачи Коши для уравнений оболочки
(уравнений равновесия и геометрических соотношений) и уравне-
уравнений состояния материала. Интегрирование уравнений состояния
материала выполняют для каждой точки отдельно, обеспечивая
заданную точность решения для этой точки.
Весь процесс нагружения разбивают на ряд этапов-шагов
по параметру иагружения — времени t. Если в момент времени th

280 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
известно решение у&, xft, Zk и скорости его изменения, решение
Уь+и *ь+1 при tk+1 определяют по формуле
V.
¦ J у
Интерполируя скорости по их значениям в узловых точках,
можно получить зависимости между решением yft+1 и скоростью
Ук+i в момент времени th+1, а также между xft+1 и xh+1. Погреш-
Погрешность этой зависимости определяется погрешностью интерполяции
функции скорости. Численные исследования показывают, что
наиболее оптимально с точки зрения устойчивости и точности
построение схемы с помощью комбинации интерполяций по одной
и двум узловым точкам [1 ].
Для интерполяции используют многочлены Лагранжа. В этом
случае зависимости между yfc+1 и yft+1, а также xft+1 и xft+1 при-
принимают вид
У*+1 = Уь + (-Ц^У*+1+-Ц^Уь)Ль* (У**х>> <16-27)
где ah — весовой множитель, который может изменяться в про-
процессе решения для обеспечения его устойчивости и точности
(при ah = —1 получаем явную схему метода Эйлера; при aft =
= 0 — схему метода трапеций; при ось = 1 — неявную схему
метода Эйлера); Ак ( ) = ( )ft+1 — ( )ft.
Погрешность зависимости A6.27), обусловленную интерполя-
интерполяцией, оценивают по формуле
где 6, = || (и)' || (ДЛ02/2; 62 = || (U)" || (Aht)*/l2; фу = (Ufc+1 -
ft-xQ - (Uft - Uft-2)/(Aft_1< + Aft_2Q
Вектор U составлен из векторов у и х с компонентами одной
размерности. Для вычисления производных (U)" и (U)" исполь-
используют центральные разности, что позволяет оценивать погрешность
интегрально без учета влияния осцилляции решения. Формулы
для вычисления относительной погрешности имеют вид
где ех = Ь,/\ АЛи 1; еа = 62/|| AftU ||.
Для оценки осцилляции решения вводят параметр осцилляции
со* = 1 11 (U);-(U)"
12
о* =

Численное решение
281
где
Устойчивость и точность решения задачи Коши с помощью
зависимости A6.27) обеспечивается автоматическим выбором шага
и весового множителя по формулам
, шах
{Д?+1*.,
_|_ 4 _=д j Akt, если е
Akt, если e2 = 0 A>i Ф 0;
At, если 8i = 0 A e2 = 0;
0:
А*1/, если S < 6ИН;
¦ A"t, если S > бин;
причем принимают
еин еин
1, если aJT+1> 1;
0, если a?+1 < 0,
где т — номер итерации при выборе шага и весового множителя;
А* — максимальное значение шага по времени (А^ = At; aj = 0);
бин и еин — заданные относительная и абсолютная погрешности;
too/еИн — заданное отношение параметра осцилляции к точности.
Для определения вектора zh+1 состояния материала в каждой
точке оболочки на ^+х-м временном слое строят итерационный
процесс. Для этого вектор скорости изменения вспомогательных
неизвестных x(s) (t) как функцию времени в интервале от th до
4+i интерполируют на первой итерации, используя значения
скорости на предыдущих шагах, и на последующих итерациях —
скорости, полученные на предыдущих итерациях:
x(s) @ = xis)' + XfcS+'^XfcS (t- th)\ A6.28)
x?s)* = A - | ak |) xft + | ah | [x$i A + sgn-(«0) +
+ xft(l-sgn(aft))]/2; A6.29)

282 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
ah |) xi% + | ah | [i^, A + sgn (a*)) +
+ xft A - sgn (afc))]/2; A6.30)
ft<. A6.31)
Далее по формулам A6.28)—A6.31) и A6.25) определяют
скорости деформации как функции времени в интервале от th
до <ft+1 для каждой точки оболочки и, задав изменения темпера-
температуры Т (t) и флюенса Ф (t), интегрируют уравнения состояния
A6.12) в интервале от tk до /ft+i отдельно для каждой точки. В ре-
результате получают вектор состояния zffi в каждой точке оболочки.
Интегрирование уравнений состояния в каждой точке может быть
выполнено с помощью метода Рунге — Кутта высокого порядка
точности с автоматическим выбором шага интегрирования для
обеспечения задаваемой погрешности.
Затем вычисляют матрицу [А ]?+\ и вектор ВЙь входящие
в зависимость
Здесь следует отметить, что матрицу [A ]{sli и вектор ВЙ
вычисляют, используя решение на предыдущей итерации, а век-
векторы скоростей yft+1 и xft+1 соответствуют текущей итерации.
Краевую задачу на 4+гм временном слое формулируют для
системы уравнений
acj (tM) + -g- F (th+1) = 0, A6.32)
где ach, aph — весовые множители, которые могут изменяться
в процессе решения с целью обеспечения устойчивости решения;
F и F — векторы, определяемые из уравнений A6.14) и A6.19).
Граничные условия имеют вид
Рассмотренный метод (самокорректирующийся метод первого
порядка [6]) до сих пор применяли при фиксированных значе-
значениях весовых множителей.
Формулировка и численная реализация краевой задачи отно-
относительно неизвестных х и у, т. е. проведение конструкции через
равновесные состояния, может привести к неудовлетворению
уравнений в скоростях, осцилляции решения и последующей
неустойчивости. Решение же задачи только в скоростях с увели-
увеличением числа шагов и накоплением погрешностей приводит к про-
прогрессирующему отклонению конструкции от равновесного со-
состояния, т. е. к решению, далекому от действительного.

Численное решение 283
Предлагаемый здесь метод обеспечивает автоматическое удо-
удовлетворение уравнений для неизвестных х и у и уравнений отно-
относительно скоростей их изменения.
Подставив A6.14) и A6.19) в уравнение A6.32) с учетом A6.27),
получают систему нелинейных дифференциальных уравнений отно-
относительно скоростей:
= - [Ау] у*+, - [Ах]
- [Ax] Bfti - H (yfc+i) - b (tk+i) + Bh
+ в" Д^ \-Ak*kf A6.33)
где
Hft+1 - H (yO + (-Ц^ Н (yft+1) + -4^ Н (уfc)) Ah/;
Н (yft+1) = [-g-
bft+1 = b (<ft) + Г 1±2*. b (/ft+1) + _^2L b (*fc) I Дл<;
Qpft
Вектор &l есть вектор невязок уравнений в скоростях на (ь-м
временном слое, который определяют по рекуррентной формуле
А* "Л К* Л_ П Hft — Н (Уд) , ? bft — Ь (<fe) . с» л
Oft = Ak-lOk-l +¦ Ok-l д J (- 5*-l дГ~7 ' О] = 0.
A6.34)
Граничные условия относительно скоростей имеют вид
[С„] У*+1 (а?) - g° «н-0 + S, g?+'gJ ('*+') _ Л, ([Со] X
X yk (a?) - g° (th)) = 0 @ ^ L).
Из формулы A6.34) следует, что, ограничивая коэффициент
A-h-i, можно контролировать невязку. Второе и третье слагаемые
в формуле A6.34) связаны с точностью интерполяции, которая
контролируется автоматически выбором шага. Приняв aph =
= const, например aph = 1, из условия 0-^ Ah_x 1 получают
формулу для автоматического выбора весового множителя
(aj, = (l - aJ)/2),

284 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
где т — номер итерации по выбору весовых множителей и вели-
величин шага.
Линеаризовав нелинейную систему уравнений A6.33) с по-
помощью метода Ньютона — Канторовича и совместив итерационные
процессы определения вектора состояния материала и метода
Ньютона — Канторовича, получают систему линейных дифферен-
дифференциальных уравнений
(Н*+, - Н
Н
где
Уи-\ Ah_it Aft^,
H (yft+i) = [0; 0; — ye k+lyx ft+1 — г/х ft+1i/6 fe+1; i/6 fe+1i/6 ft+1; 0; Of;
ft+1 = [0; 0; —ylkyih — @,5 A + ah) (y9 h+^ h+1 + yx h+1ye h+1)
+ 0,5 A - ak) (yehylk + ylhy,h)) Aht; 0,5 (yehJ +
+ @,5 A + ak) ye k+1'ye h+1 + 0,5 A — ah) yikyek) Akt; 0; Of;
H (yft+1) = [0; 0; —yi k+1ye ft+1; (y6 h+1f/2; 0; 0]T;
Гаи
о
о
— У» fe+i
¦Ув>
0
0
!o
о
о
— У\ ft+i —
f/e ft+i
1 +«ft
2—
0
0

Численное решение
285
о
о
о
о
о
о
о
о
О
О
Найдя произведения матриц и векторов, приводят систему к виду
dVft+i t { ' (s)
/a = U *+i - ¦ У
где
/з = г|з (x2 w-i + Уз a+i) + У2
+ 0,5 A + at) [I - 0,5 Bk A - a*)] (yU+iyi k+i + i
/4 = *3 ft+1 — ^1^5 ft+1 — «/6^+1^6 ft+1 —
1 + «ft / 1 Ь 1 + «ft "\ .-.(») ,-. A f.
2— \ ~ k 2 ) У* *+i^6 ft+1 А/г'>
/б = kiVi ft+i — Ув ft+i! /в = -^5 h+il
t ft+1;
ft+1;
Ф2 = -<7з
ft+.
Фз = M^2 ft+i - A + a*) [1 — 0,5Bk A + a,)] y\s)k+1yis)k+lAkt -
- Bk [ylky6k + 0,5
+ 0,5A - ak)(y6kylk
Ф4 = ?з *+. + 0,5 A + ofc) [1 - 0,5Sft A + a,)] (yis)k+1f Akt +
+ 0,5B* [(y6kf + (A + afc) yft+itfl+i +
+ A - a*) i/e^eft) Akt - Ш+iYVbkt + Л,б«;
Фб = 0; фв =

286 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Итерационный процесс заканчивается, если выполнено условие,
max
т. е., когда максимальное относительное расхождение двух после-
последующих приближений оказывается меньше заданного значения е.
Решение линеаризованной краевой задачи может быть осуще-
осуществлено методом ортогональной прогонки.
«СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бондарь В. С, Даншнн В. В., Фролов А. Н. Шаговый метод решения
задач нелинейного поведения конструкций/Шрикладные проблемы прочности
и пластичности. Методы'решения задач упругости и пластичности. Всесоюзный
межвузовский сб. Горьковский ун-т, 1986. С. 26—31.
2. Гусенков А. П. Прочность при изотермическом и неизотермическом мало-
цикловом нагружении. М.: Наука, 1979. 295 с.
3. Дегтярев В. П. Пластичность и ползучесть машиностроительных кон-
конструкций. М.: Машиностроение, 1967. 131 с.
4. Охаси, Оио, Каваи. Оценка определяющих уравнений ползучести для
нержавеющей стали 304 ^ри повторяющемся многоосном нагружении//Теорети-
ческие основы инженерных расчетов. 1982. Т. 104. № 3. С. 1—8.
5. Стриклин, Хейслер^ Риземанн. Оценка методов решения задач строи-
строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала
и (или) геометрией//Ракетная техника и космонавтика. 1973. Т. 11. № 3.
С. 46—56.
6. Шншмарев О. А., Щербо А. Г. Исследование некоторых сложных про-
процессов нагружения стали с разгрузкой/Шрикладная механика. 1982. Т. 18.
№ 3. С. 65—70.

РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЬ! Й
АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ
И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ ОБОЛОЧЕЧНЫХ
СИСТЕМ
17. ИНТЕГРИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Разработка образцов новой техники в области машиностроения
включает качественные и всесторонние исследования прочности
конструкций, экспериментальное проведение которых связано,
как правило, со значительными затратами временных, людских
и материальных ресурсов. В связи с этим возникает естественная
потребность автоматизировать наиболее трудоемкие этапы про-
проектирования и расчетов на прочность изделий или даже полный
цикл проектно-конструкторских работ. Важным средством реше-
решения этой актуальной задачи являются интегрированные системы
проектирования, которые получают все более широкое распро-
распространение в машиностроении.
Проектирование новой конструкции начинается с разработки
концептуальной модели, согласующей совокупность требований
технического задания к выполнению изделием целевых функций
в заданных условиях эксплуатации и реальные физические усло-
условия взаимодействия изделия с объектами внешней среды. Эта
модель представляет собой результат выполнения первого этапа
проектирования — выбора прототипа искомого технического ре-
решения, а в случае его отсутствия — результат поиска решения
изобретательской задачи. Процессы, выполняемые на этом этапе,
не могут быть формализованы до такой степени, чтобы их можно
было автоматически осуществить с помощью ЭВМ, за исключе-
исключением, очевидно, оптимизации концептуальной модели по выбран-
выбранному набору параметров.
Второй этап разработки новой конструкции — формирование
конкретного технического решения, воплощающего концептуаль-
концептуальную модель в металле. На этом этапе с привлечением средств
вычислительной техники может быть решена задача построения
базовой геометрической модели разрабатываемой конструкции,
которая включает описание топологии и комплекса размеров
изделия, а также механических характеристик конструкционных
материалов, из которых выполнены элементы изделия. Базовая
геометрическая модель разрабатываемой конструкции служит
основой формирования практически всех типов моделей, необхо-
необходимых для реализации на ЭВМ процессов конструирования,

288 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
численной имитации функционирования, выпуска техниче-
технической документации и технологической подготовки производ-
производства.
Третий этап — формирование модели (либо совокупности моде-
моделей) взаимодействия разрабатываемой конструкции и внешней
среды, т. е. модели функционирования, построенной для всех
этапов жизненного цикла изделия с учетом зависимостей, отража-
отражающих реальные физические процессы и трансформации объекта
проектирования в процессе эксплуатации. Основная цель этого
этапа — исследование моделей функционирования по всем пара-
параметрам, определяющим качество искомого технического решения.
Именно на этом этапе разработки целесообразно привлечь методы
оптимизации с целью выявления наилучшего варианта конструк-
конструкции. Наиболее существенные принципиальные трудности, возни-
возникающие при реализации решения: многокритериальная природа
задачи; необходимость учета большого числа факторов; много-
многообразие критериев условной оптимизации; отсутствие простых
и достаточно отработанных способов вычисления условных функ-
функционалов, задания конструктивных и технологических ограниче-
ограничений при моделировании реальных физических процессов и др.
В связи с этим многовариантное исследование прочности кон-
конструкций на основании анализа моделей функционирования для
получения рациональных, надежных и всесторонне обоснованных
конструкторских решений следует признать более целесообраз-
целесообразным, чем глобальная оптимизация разрабатываемых конструкций
(что, конечно, не исключает возможности локального использо-
использования методов оптимизации конструкций на отдельных этапах
пр оекти р ова н и я).
Параллельно с описанными этапами разработки необходимо
выполнять натурные исследования наиболее нагруженных узлов
и элементов конструкции. При этом следует построить модель
испытаний, которая позволила бы управлять поиском точек —
реализаций в пространстве состояний изделия с целью минимиза-
минимизации их числа при сохранении высокой информативности резуль-
результатов экспериментальной отработки. Другим, не менее важным
приложением экспериментальной отработки конструкции является
корректировка соответствующих методов численного моделиро-
моделирования.¦
Одновременно с выполнением каждого этапа проектирования
необходимо формировать визуальные модели конструкции, внеш-
внешней среды, поведения конструкций при эксплуатации в наиболее
удобном для разработчика виде. При этом можно построить раз-
различные сечения, проекции, поля допустимых значений параме-
параметров, а также динамические картины развития различных про-
процессов в реальном масштабе времени. Следует отметить важную
смысловую роль цветового решения визуальной модели.

Общие сведения о системе КИПР-ЕС 289
В результате конструкторской проработки, выполненной на
ЭВМ, в архиве на магнитных носителях информации оказывается
сформированная геометрическая модель изделия. Для его изго-
изготовления необходимо построить пооперационную схему техноло-
технологических процессов, подготовить программы для автоматизиро-
автоматизированных обрабатывающих центров, линий монтажа и сборки. При
контроле качества изделий также можно использовать модели.
Наконец, с привлечением средств вычислительной техники можно
отслеживать жизненный цикл спроектированной и изготовленной
конструкции, обеспечивая разработчиков новой техники по-
постоянно накапливаемыми данными о практической эксплуатации
изделий.
Здесь изложены лишь общие принципы построения интегри-
интегрированных систем проектирования, которые оказываются работо-
работоспособными лишь при решении конкретных задач.
С целью дальнейшего развития и детализации этих принципов
в отношении, главным образом, этапов синтеза и анализа кон-
конструкций, а также для совершенствования средств и методов
теоретического исследования прочности временным научным кол-
коллективом при Мосстанкине совместно со специализированными
подразделениями ряда отраслевых научно-исследовательских и
конструкторских организаций и вузов разработана программа
исследований по автоматизации конструирования и прочностных
расчетов изделий машиностроения на базе широко распростра-
распространенных средств вычислительной техники, выпускаемой в стра-
странах — членах СЭВ. При реализации этой программы основное
внимание уделено развитию новых методов и средств формиро-
формирования геометрических моделей конструкций, автоматизированной
подготовки расчетных схем, проведения статических и динами-
динамических расчетов, хранения и визуального отображения проектной
информации, документирования, в совокупности обеспечивающих
эффективный поиск рациональных технических решений.
Первый результат, полученный по этой программе, — интегри-
интегрированная система автоматизации конструирования и прочностных
расчетов изделий машиностроения на базе ЕС ЭВМ (КИПР-ЕС),
ориентированная на широко распространенный класс машино-
машиностроительных конструкций — осесимметричные оболочечные
конструкции [1, 5).
18. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМЕ КИПР-ЕС
158.1. Назначение системы
Интегрированная система КИПР-ЕС является базовым сред-
средством автоматизации конструирования, теоретического исследова-
исследования прочности, подготовки и выпуска технической документации
для осесимметричных многослойных оболочечных конструкций.
10 П/р В. И. Мяченкова

290 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Среди основных задач, решаемых системой, можно выделить:
синтез конструкций; анализ конструкций; документирование.
Решение перечисленных задач обеспечивает значительное по-
повышение производительности труда при конструировании и проч-
прочностных расчетах, способствует снижению материалоемкости,
конструктивному совершенствованию разработок.
18.2. Технология синтеза и анализа конструкций
Система КИПР-ЕС включает в себя развитые средства мате-
математического моделирования реальных объектов и процессов.
В связи с этим важны принципиально новые качественные отли-
отличия, присущие технологии выполнения традиционных проектно-
конструкторских работ в условиях применения нетрадиционного
аппарата средств вычислительного эксперимента, реализуемого
системой.
Перечислим основные проектные операции, возможность вы-
выполнения которых обеспечивают программные и аппаратные
средства интегрированной системы КИПР-ЕС:
формирование геометрической модели конструкции и задание
характеристик материалов;
задание факторов внешней среды;
формирование расчетной схемы конструкции;
выбор задачи механики деформируемого твердого тела;
определение параметров НДС и динамических характеристик
конструкции;
визуализация проектной информации на всех этапах ее обра-
обработки;
поиск рационального технического решения;
подготовка и выпуск расчетно-конструкторской документации;
хранение информации в системе.
Формирование геометрической модели конструкции включает
описание топологии и комплекса размеров контура ее продольного
сечения. Исходной информацией может служить чертеж или эскиз
изделия; при этом модель либо заново формируется во внутреннем
представлении системы, либо получается как результат доработки
прототипа — хранящейся в архиве модели ранее созданной кон-
конструкции. Используемый аппарат геометрического описания поз-
позволяет ограничиться принятыми в конструкторской практике
принципами задания размерных цепей и не требует дополнитель-
дополнительных вычислений координат точек контура продольного сечения,
которые являются результатом геометрических построений.
Результат выполнения данной проектной операции — схема
сборки изделия и координатные модели входящих в сборку дета-
деталей, а также состав и механические характеристики конструк-
конструкционных материалов. Таким образом, оказывается решенной

Общие сведения о системе КИПР-ЕС 291
задача построения единой геометрической модели (синтеза кон-
конструкции), которая в дальнейшем может быть использована
в качестве базовой для всей совокупности задач проектирования
и отработки новой техники.
В зависимости от функционального назначения разрабатыва-
разрабатываемые с помощью системы КИПР-ЕС конструкции могут испыты-
испытывать при эксплуатации вполне определенные воздействия внешней
среды, вид и форма которых обусловлены конкретной областью
их применения. Таким образом, факторы внешней среды следует
задавать, исходя из условий эксплуатации изделия. Операция
задания факторов внешней среды представляет собой моделиро-
моделирование реальных физических процессов, протекающих в конструк-
конструкции и соприкасающихся с ней средах. Наиболее приемлемо не-
непосредственное задание численных значений сил, моментов,
давлений и температур, законов их изменения во времени и рас-
распределения по поверхности конструкции, указание зон и описание
характера стыковки изделия с внешними опорами, а также задание
участков конструкции, в которых известны ее перемещения.
Ввод перечисленных параметров составляет основное содержание
данной проектной операции.
Формирование расчетной схемы (PC) осуществляется непо-
непосредственно по геометрической модели конструкции с одновре-
одновременным приведением к элементам PC действующих на конструк-
конструкцию нагрузок. Тем самым достигается максимальное соответствие
PC разрабатываемому изделию и заданным условиям его эксплу-
эксплуатации. Элементы PC синтезируются на основании информации
о расчетных фрагментах, выделенных проектировщиком, исходя
из требований к виду конструктивно-силовой схемы изделия
и необходимых (для обеспечения точности расчетов) условий
разбиения конструкции на подконструкции, каждая из которых
может быть наиболее рационально аппроксимирована соответ-
соответствующей математической моделью в PC. При выделении расчет-
расчетных фрагментов также учитывают особенности топологии контура
продольного сечения конструкции, зоны закрепления и приложе-
приложения внешних нагрузок. Для более точного описания взаимо-
взаимодействия отдельных элементов конструкции между собой и с уз-
узлами закреплений между расчетными фрагментами вводят упругие
точечные связи, характеризующие податливость материала кон-
конструкции в зонах стыков по всем степеням свободы. Результат
выполнения данной проектной операции — массивы параметров
PC, состав и физическая сущность которых полностью согласуются
с набором параметров, необходимых для замкнутой постановки
задач механики деформируемого твердого тела.
Численное моделирование поведения конструкции при воздей-
воздействии внешней среды должно соответствовать критериям качества
технического решения, назначенным разработчиком. Для удо-
10*

292 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
влетворения этого требования осуществляют выбор задачи меха-
механики деформируемого твердого тела,решение которой характери-
характеризует наиболее важные для практического использования изделия
свойства конструкции.
Система КИПР-ЕС обеспечивает решение одной из следующих
десяти задач статики или динамики осесимметричных многослой-
многослойных оболочечных конструкций, состоящих в определении:
НДС упругих конструкций при осесимметричном нагружении;
НДС нелинейно-упругих конструкций при осесимметричном
нагружении;
НДС упругих конструкций при неосесимметричном нагру-
нагружении;
НДС вязкоупругих конструкций при неосесимметричном на-
нагружении;
частот и форм собственных колебаний упругих конструкций;
частот и форм собственных колебаний вязкоупругих кон-
конструкций;
НДС упругих конструкций при осесимметричном динами-
динамическом нагружении;
НДС упругих конструкций при неосесимметричном динами-
динамическом нагружении;
критических нагрузок и форм выпучивания упругих кон-
конструкций;
критических нагрузок и форм выпучивания нелинейно-упругих
конструкций.
Указанный комплекс задач полностью соответствует потреб-
потребностям сложившейся практики исследования прочности кон-
конструкций рассматриваемого класса. Возможности системы могут
быть легко расширены включением новых задач.
Определение параметров НДС и динамических характеристик
конструкции сводится к реализации готовой проблемно-ориенти-
проблемно-ориентированной процедуры расчета, соответствующей выбранной задаче.
Здесь особенно важна гибкая настройка процедуры с помощью
параметров, присущих решаемой задаче, например необходимой
точности расчетов, диапазона частот, в котором идет поиск соб-
собственных частот конструкции, и многих других. Не менее важна
возможность использования сформированной PC одновременно
в нескольких процедурах расчета. Настройка на отличительные
особенности PC и выбор информации, необходимой для решения
задачи, обеспечивается автоматически соответствующими про-
процедурами алгоритмического ввода исходных данных. Указанные
возможности математического аппарата расчетов гарантируют
высокую точность, комплексный характер и эффективность про-
проводимого вычислительного эксперимента. Таким образом, в ре-
результате выполнения двух последних проектных операций ре-
решается задача анализа конструкции.

Общие сведения о системе КИПР-ЕС 293
Все описанные проектные операции предназначены для реше-
решения практических задач, ежедневно возникающих перед раз-
разработчиками новой техники. Кроме того, интегрированная система
КИПР-ЕС располагает средствами, аналогов которым, за малым
исключением, нет в традиционной практике конструирования
и отработки изделий.
Визуализация проектной информации обеспечивает вывод на
устройства отображения графической информации (графические
дисплеи и графопостроители) наглядных изображений всех форми-
формируемых и обрабатываемых в системе моделей. Таким образом,
уже на ранних этапах проектирования у разработчика появляется
возможность как бы «изготовить» изделие, а следовательно, и со-
сопоставить полученное проектное решение с тем интуитивным
образом, на основе которого создается новая конструкция. Бла-
Благодаря этому качественно меняется характер инженерного труда.
Во-первых, воображение разработчика получает дополнительный
импульс к более глубокому уяснению функциональной сущности
разработки, во-вторых, реализация этапов «изготовление»
и «оценка качества» непосредственно на рабочем месте (на экране
дисплея) обеспечивает замыкание логической цепи: проектирова-
проектирование — изготовление — оценка качества — доработка проекта
и т. д.
Такой подход обеспечивает не только сквозной контроль
процесса конструирования и теоретического исследования проч-
прочности, но дает возможность готовить необходимый иллюстратив-
иллюстративный материал.
Поиск рационального технического решения реализуется после-
последовательным выполнением описанных операций синтеза и анализа
конструкции, экспертной оценки качества полученного решения
на предмет его соответствия требованиям технического задания
и необходимой корректировкой геометрической модели конструк-
конструкции или заменой конструкционных материалов с последующим
повторением полного цикла анализа нового варианта изделия.
Таким образом обеспечивается целенаправленная многовариантная
отработка конструкции, в ходе которой определяется ее наилуч-
наилучшее (по заданным критериям) исполнение. При этом, естественно,
не исключается возможность проведения одноразовых расчетов
с целью оценки отдельных конструкторских решений и подго-
подготовки заключения о работоспособности изделия.
Для окончательного варианта конструкции составляют техни-
техническую документацию. Оформление отчетов, подготовка чертежей,
рисунков и таблиц в соответствии с требованиями ЕСКД отнимают
у разработчика нового изделия неоправданно много времени.
Именно поэтому подготовка и выпуск расчетно-конструкторской
документации в системе КИПР-ЕС реализуется в автоматизиро-
автоматизированном режиме. Эта операция включает в себя формирование

294 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
необходимого графического материала и текста отчета по раз-
разрабатываемой конструкции. Отчет кроме исходной информации
содержит совокупность таблиц цифровых данных по результатам
анализа НДС и динамических характеристик конструкции, анно-
аннотацию, заключение, списки исполнителей, литературы и т. п.
Подготовка документации осуществляется с помощью АЦПУ
и графопостроителей. В результате выполнения данной проектной
операции решается в полном объеме задача документирования
работ.
Операция хранения информации в системе осуществляется на
любом этапе работы, чем обеспечивается передача результатов
очередной проектной операции всем последующим. Иными сло-
словами, отдельные проектные операции связаны в единый техноло-
технологический цикл. Кроме этого, обеспечивается необходимая надеж-
надежность системы, возможность тиражирования расчетно-конструк-
торской документации, накопления необходимых проектных дан-
данных с целью их дальнейшего использования.
В целом, реализуемый системой КИПР-ЕС технологический
цикл операций соответствует практически полному объему про-
ектно-конструкторских работ по созданию и теоретическому
исследованию прочности новых конструкций.
18.3. Архитектура программного обеспечения
Программное обеспечение системы КИПР-ЕС состоит из обще-
общесистемных, специальных и прикладных компонентов. Прикладные
компоненты разработаны на языках ПЛ-1 и ФОРТРАН, а обще-
общесистемные и специальные—в основном на языке ФОРТРАН.
Отдельные программы системы, работающие с внешними устрой-
устройствами, написаны на языке АССЕМБЛЕР.
Интегрированная система КИПР-ЕС эксплуатируется на
ЕС ЭВМ в среде ОС ЕС версии 6.1 и последующих.
Для обеспечения высокой надежности и возможности много-
многоцелевого использования система КИПР-ЕС выполнена в виде
отдельных подсистем (рис. 18.1). Подсистемы (функциональные,
реализующие технологический цикл системы и вспомогательные)
организованы по модульному принципу. Программное обеспечение
каждой функциональной подсистемы образовано двумя комплек-
комплектами программ, ориентированными соответственно на пакетный
и диалоговый режимы работы.
Связь между функциональными подсистемами внутри
КИПР-ЕС осуществляется посредством оперативных баз данных
(БД) или архивов. Это позволяет разрабатывать новые подсистемы
и через выход на БД общего назначения, применяемые в САПР
конкретных предприятий, обеспечивает связь КИПР-ЕС с дру-
другими системами в области автоматизированного проектирования
и изготовления.

Общие сведения о системе КИПР-ЕС
295
Интегрированная система КИПР-ЕС
Общесистемные, специальные и прикладные
лцограммные средства
Функциональные подсистемы
Подсистема синтеза
конструкций
Подсистема формирования
расчетных схем
конструкций
Подсистема анализа НДС
и динамических характе-
характеристик конструкций
Подсистема визуализа-
визуализации, выпуска графической и
те/гстовой документации
\
\
I
Вспомогательные программные средства
Подсистема
тестирования
Подсистема
обучения
пользователей
Рис. 18.1

296 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Структура и функциональные возможности основных под-
подсистем КИПР-ЕС достаточно подробно изложены в гл. 19—23.
Здесь приведем лишь их общие характеристики.
Подсистема синтеза конструкций реализует проектную опера-
операцию формирования базовой геометрической модели изделия.
Основные компоненты, используемые подсистемой в пакетном
режиме: пакет геометрического моделирования осесимметричных
конструкций, табличный интерпретатор и программы работы
с архивом конструкционных материалов. Графический
РЕДАКТОР — 2D и система ввода чертежей с планшета автома-
автоматизированного рабочего места (АРМ) являются специальными
интерактивными компонентами. В качестве общесистемных про-
программных средств применяется пакет прикладных программ
(ППП) ГРАФИТ геометрического моделирования на плоскости.
Перечисленные компоненты обеспечивают построение геометри-
геометрической модели конструкции, задание характеристик материалов,
редактирование геометрической модели и характеристик мате-
материалов. Одновременно с этим реализуются необходимые функции
контроля. Использование нескольких методов геометрического
описания конструкции, приводящих к единой структуре модели,
придает подсистеме достаточную гибкость в работе.
Подсистема формирования расчетных схем конструкций реа-
реализует две проектные операции: задания факторов внешней среды
и автоматизированной подготовки PC. В качестве исходных
данных в подсистему из БД поступают геометрическая модель
конструкции и характеристики конструкционных материалов
деталей. Результаты работы подсистемы оформляются в виде
двух файлов стандартной структуры.
Основные прикладные компоненты подсистемы: пакеты задания
расчетных фрагментов и связей конструкции, факторов внешней
среды, синтеза расчетной схемы, а также программы ввода методи-
методических параметров, формирования файлов исходных данных
и контроля работы. Кроме этих компонентов, в диалоговом режиме
используется программа РЕДАКТОР PC, а в качестве специаль-
специальных и общесистемных программных средств — соответствующие
компоненты подсистемы синтеза конструкций.
Возможности подсистемы можно расширить введением новых
видов расчетных фрагментов и схем нагружения изделия.
Подсистема анализа НДС и динамических характеристик кон-
конструкций предназначена для формирования математического аппа-
аппарата численного моделирования тонкостенных осесимметричных
оболочечных конструкций при действии статических и динами-
динамических внешних нагрузок и выполнения проектной операции
прочностного расчета конструкции. В соответствии с этим данная
подсистема включает инвариантные программные компоненты
и построенные на их основе десять проблемно-ориентированных

Общие сведения о системе КИПР-ЕС 297
процедур расчета, обеспечивающих решение ранее перечисленных
задач анализа. В качестве исходных данных используются файлы,
генерируемые подсистемой формирования PC конструкций. Ре-
Результаты расчета хранятся в выходном файле подсистемы.
Подсистему можно использовать в автономном режиме работы.
Подсистема визуализации, выпуска графической и текстовой
документации предназначена для выполнения проектных операций
визуализации всей обрабатываемой в КИПР-ЕС информации,
а также выпуска комплекта расчетно-конструкторской документа-
документации по результатам работы.
Подсистема формирует текстовую документацию с исходными
данными и результатами расчетов, чертежи конструкций, расчет-
расчетных фрагментов и PC конструкций, эпюры внешних воздействий,
расчетных параметров и деформированных состояний кон-
конструкций.
Прикладные компоненты подсистемы, используемые в пакетном
режиме: комплект выпуска текстовой документации, пакеты
формирования и визуализации перечисленных графических доку-
документов, составляющие прикладное графическое обеспечение
системы КИПР-ЕС и программы записи (восстановления)
результатов расчетов в базу (из базы) данных. Программа
РАЗРИСОВЩИК и система формирования и вывода графической
и текстовой информации на АРМ являются специальными интер-
интерактивными компонентами и используются в диалоговом режиме.
В качестве общесистемных средств машинной графики применяют
систему математического обеспечения графопостроителей СМОГ,
пакет СМОГ-АРМ и базовые интерактивные средства для работы
с векторными и цветными растровыми дисплеями СМОГ-Д,
СМОГ-ГАММА. Для управления дисплеями используют про-
программу ДИСПЕТЧЕР.
Подсистема хранения информации выполняет функции инфор-
информационного обеспечения системы КИПР-ЕС. Вся обрабатываемая
в системе информация размещается в оперативных БД (архивах).
В КИПР-ЕС используются личные архивы, закрепленные за
отдельными пользователями и общие архивы, доступные всем
пользователям системы. Каждый личный архив имеет иерархиче-
иерархическую структуру и включает записи, содержащие обрабатываемые
в системе массивы данных, а также разделы и наборы, представля-
представляющие собой логические объединения отдельных записей.
Для совокупности архивов обеспечивается выполнение необ-
необходимых функций администрирования и санкционированного
доступа к данным.
К общесистемным средствам подсистемы относится ППП
БАЗАД. Специальные программные средства включают систему
управления оперативными БД, которая выполняет функции
формирования архивов и доступа к хранимым з них данным.

298 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
В рамках системы КИПР-ЕС также реализован процедурный ин-
интерфейс между оперативными БД и БД общего назначения,
применяемыми во внешних по отношению к КИПР-ЕС системах.
Для организации взаимодействия пользователей и архивов исполь-
используются соответствующие средства функциональных подсистем.
Подсистема тестирования предназначена для контроля работо-
работоспособности отдельных компонент и всей системы КИПР-ЕС
в целом.
Для обеспечения надежности системы разработан аппарат
тестирования, в котором кроме тестов на каждую подсистему
используется сквозной тест на сложную конструкцию, содержа-
содержащую все типы элементов PC. На данных сквозного теста основан
пример использования системы, приведенный в гл. 24. Для каж-
каждого этапа работы подсистемы тестирования приведены соответ-
соответствующие рекомендации по поиску и исправлению возможных
ошибок.
Подсистема обучения пользователей предназначена для озна-
ознакомления проектировщиков с возможностями интегрированной
системы КИПР-ЕС и технологией работы с ней. Подсистема
содержит инструкции для пользователя и оператора, а также
практикум работы с интерактивными компонентами системы в виде
документов, подготовленных к выдаче на АЦПУ и АЦД. Под-
Подсистема также включает примеры сквозной тестовой задачи и
локальных тестов для отдельных компонентов.
Программное обеспечение системы КИПР-ЕС является откры-
открытым к дополнению новыми функциями и режимами работы.
18.4. Уровни технической реализации
Система КИПР-ЕС ориентирована на применение отечествен-
отечественных технических средств САПР с использованием в качестве
основного вычислителя ЕС ЭВМ и предусматривает несколько
уровней реализации: 0, 1, 2, ЗА и ЗБ.
Уровень 0 является минимальным вариантом реализации воз-
возможностей системы, предполагающим наличие только ЕС ЭВМ
и АЦПУ и ориентированным на пакетный режим работы. Из
прикладного обеспечения на этом уровне задействованы лишь
подсистема анализа НДС и динамических характеристик кон-
конструкций и комплект выпуска текстовой документации.
На уровне 1 используется ЕС ЭВМ, укомплектованная дис-
дисплейными станциями ЕС-7906. ЕС-7920. ЕС-7927, и обеспечивается
как диалоговый, так и пакетный режим работы. В функциональном
отношении уровень расширен средствами автоматизированной
подготовки PC конструкций. Из общесистемных программных
средств на этом уровне применяется диалоговая система под-
подготовки заданий и работы с символьными библиотеками, входящая

Общие сведения о системе КИПР-ЕС 299
в состав штатного обеспечения ВЦ конкретного предприятия,
например системы ПРИМУС, ЛЕС, ОКО, РРВ и др.
На уровне 2 реализуется .полный технологический цикл си-
системы с выводом графической информации на графопостроители
типов ЕС-7051, ЕС-7052, ЕС-7053, ЕС-7054, Бенсон-222, Бен-
сон-1425, «Итекан», а также на комплекс микрофильмирования
«Карат». Этот уровень технической реализации системы каче-
качественно отличается от всех предыдущих наличием средств форми-
формирования геометрических моделей конструкций и PC, выпуска
графической и текстовой документации, хранения информации.
Из общесистемных программных средств на этом уровне задей-
задействованы ППП ГРАФИТ, БАЗАД и система СМОГ.
На уровне ЗА используется терминальный комплекс, образо-
образованный ЕС ЭВМ и подключенными к ней векторными графиче-
графическими дисплеями (ВГД) типа «Дельта» или ЭПГ и цветными
растровыми дисплеями (ЦРД) типа ГаммЗ-4.1 [6]. Подключение
дисплеев к ЕС ЭВМ осуществляется через унифицированную
магистральную систему обмена информацией (УМСО), выпол-
выполненную по схеме общей шины в стандарте КАМАК [2].
Данный уровень предполагает использование графического
диалога, представляющего собой наиболее эффективную и удоб-
удобную форму взаимодействия проектировщиков и системы.
Из общесистемных программных средств применяются базовые
средства работы с ВГД и ЦРД — пакеты СМОГ-Д, СМОГ-
ГАММА, а из специальных программных средств — интерактив-
интерактивные компоненты системы, такие как РЕДАКТОР-2О, РЕДАКТОР
PC, РАЗРИСОВЩИК и др.
Уровень ЗБ ориентирован на применение двухмашинного комп-
плекса ЕС ЭВМ-АРМ, использующего средства связи на базе
стандартного устройства сопряжения вычислительных машин
(УСВМ) или системы УМСО.
На этом уровне также широко используется графический
диалог, но допускается и распределенная обработка информации
с вынесением части функций на рабочие места и разделением БД.
Из общесистемных программных средств применяются компонент
СМОГ-АРМ и система программного обеспечения графического
диалога СПО-ГД на комплексе ЕС ЭВМ-АРМ. В качестве спе-
специальных программных средств задействована система фор-
формирования и вывода графической и текстовой информации
на АРМ.
Все уровни построены так, что кроме перечисленных компо-
компонентов, в программное обеспечение каждого уровня входят ком-
компоненты всех предыдущих уровней. Таким образом, выполнение
проектной операции анализа НДС и динамических характеристик
конструкций обеспечивается на всех уровнях технической реали-

300 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
зации, а остальные функциональные возможности системы
КИПР-ЕС постепенно наращиваются от уровня к уровню в зави-
зависимости от используемых технических средств.
18.5. Организация вычислительного процесса
КИПР-ЕС является многопользовательской системой со стан-
стандартной (для ОС ЕС) организацией вычислительного процесса;
она дополнена средствами взаимодействия с диалоговыми графи-
графическими и алфавитно-цифровыми устройствами. Для реализации
отдельных проектных операций технологического цикла состав-
составляют и запускают задания на выполнение соответствующих про-
процедур, предусматривая возможность разделения (в режиме муль-
мультипрограммирования) ресурса оперативных БД.
Графическое взаимодействие в системе обеспечивается сред-
средствами работы с ВГД, ЦРД и планшетом АРМ; для организации
диалога с АЦД в задачах пользователя применяют две базовые
подпрограммы:
INTEXT (AREA, 'ПРИГЛАШЕНИЕ')
INDATA (AREA, 'ПРИГЛАШЕНИЕ')
Подпрограммы ШТЕХТ и INDATA служат для ввода соот-
соответственно текстовой и цифровой информации. Для работы обеих
подпрограмм штатная диалоговая система, используемая
в КИПР-ЕС для подготовки заданий, должна выполнять операцию
отказа от АЦД.
Для вывода информации на АЦД используются средства
перехвата набора выходных данных оператора печати языка
ФОРТРАН со следующими возможностями:
перехват без вывода на АЦПУ;
перехват с выводом и на АЦД, и на АЦПУ;
отказ от перехвата;
отказ от вывода данных.
Вид перехвата и вывода данных определяется одной под-
подпрограммой САР (ВИД), которая задает режим работы операторов
печати языка ФОРТРАН, следующих за ней.
Настройку на работу с нестандартным АЦД (например, АЦД,
входящим в состав АРМ или ЦРД), выполняют сменой комплекта
трех указанных подпрограмм.
Для работы ЕС ЭВМ с нестандартно подключенными абонен-
абонентами (АЦД, ВГД и ЦРД) как на ЕС ЭВМ, так и на самих абонентах
используются определенные программные средства: коммуника-
коммуникационные программы, выполняющие обмен данными между ЕС
ЭВМ и абонентами; супервизор реального времени (СРВ), поз-
позволяющий обрабатывать прерывания от нестандартного (по отно-
отношению к ЕС ЭВМ) устройства; программы абонентов, обеспечива-

Общие сведения о системе КИПР-ЕС 301
ющие прием информации от ЕС ЭВМ, расшифровку и выполнение
базовых программ диалога (интерпретации дисплейного файла,
запросов типа INTEXT, INDATA).
Комплекс коммуникационных программ предназначен для
создания на его основе специализированных управляющих про-
программ реального времени, обеспечивающих работу сложных
вычислительных систем, в состав которых входят ЕС ЭВМ
и нестандартная аппаратура, в том числе разноплано-
разноплановые ЭВМ.
Таким образом, коммуникационные программы совместно
с пакетом СРВ могут быть использованы при разработке про-
программного обеспечения распределенных вычислительных систем
и сетей ЭВМ.
В системе КИПР-ЕС разработана методика программирования
обмена между конкретными нестандартными абонентами, осно-
основанная на следующих положениях:
обмен с абонентом на логическом уровне ведется по определен-
определенному методу доступа и протоколу обмена, т. е. определены пра-
правила приема—передачи управляющей информации и данных,
а также обработки прерываний ввода-вывода;
определен порядок работы на физическом уровне, т. е. набор
команд канала и особенности их использования.
СРВ позволяет обеспечить эффективный высокоприоритетный
обмен практически с любыми периферийными устройствами,
которые соответствуют требованиям физического интерфейса
ЕС ЭВМ, а также простыми средствами создать собственные методы
доступа для работы как со стандартными, так и нестандартными
устройствами. При этом трудоемкость программирования суще-
существенно меньше, чем при использовании совокупности физического
(ЕХСР) и графического методов доступа.
В настоящее время проводятся работы по созданию ком-
коммуникационных программ с использованием графического ме-
метода доступа для сравнения эффективности вариантов с СРВ и
без него.
В КИПР-ЕС применяются средства синхронизации взаимодей-
взаимодействия пользовательских программ и простой передачи параметров
между изолированными разделами оперативной памяти, в которых
реализуются пользовательские программы, и разделом, в котором
функционирует управляющая программа, организующая мульти-
мультипрограммный режим работы нескольких абонентов с несколькими
программами в ЕС ЭВМ. Раньше для решения этих задач исполь-
использовали средства, предусмотренные в пакете программ СРВ, но
они менее эффективны и удобны в работе.
При работе с двухмашинным комплексом ЕС ЭВМ-АРМ при-
применяют аналогичные средства файлового обмена и распределенной
обработки данных.

302 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
18.6. Формы взаимодействия пользователей и системы
Большинство прикладных и специальных компонентов
КИПР-ЕС представляют собой законченные, готовые к исполь-
использованию объектно-ориентированные программы. Лишь в отдель-
отдельных случаях в системе применяется программный ввод данных,
в ходе которого разрабатываются новые программы.
Основная задача пользователя при работе неинтерактивных
компонентов системы — настройка последних с помощью необхо-
необходимого набора параметров. В КИПР-ЕС с этой целью применяются
два базовых метода ввода информации: макетов и табличный.
Оба метода обеспечивают удобную форму взаимодействия пользо-
пользователя и системы в пакетном режиме работы с использованием АЦД.
Макеты используются для ввода ограниченной, не поддаю-
поддающейся упорядочению совокупности параметров, и представляют
собой бланки, хранящиеся в индивидуальной библиотеке исходных
модулей. Каждый макет имеет фиксированные структуру и размер
и содержит подробные указания о порядке и формате ввода ин-
информации в программу. Работая с конкретной программой, поль-
пользователь считывает из библиотеки ее макет и заполняет его дан-
данными, согласно приведенным в макете инструкциям. Далее ин-
информация из макета вводится в программу автоматически.
Табличный метод является развитием метода макетов и ориен-
ориентирован на ввод любых объемов алфавитно-цифровых и графи-
графических данных, которые могут быть сведены в таблицы. Метод
реализуется по следующей схеме. Сначала по заданным пользо-
пользователем ключевым параметрам формируется шаблон, или пустая
таблица. Шаблон, как и макет, хранится в разделе индивидуаль-
индивидуальной библиотеки. Заполненный данными шаблон считывается из
библиотеки, и содержащаяся в нем информация обрабатывается
программой или в форме внутренних представлений заносится
в архив. Таким образом, в отличие от метода макетов этот метод
предусматривает формирование шаблона нужных структуры и
размера для каждого варианта исходных данных.
Сохранение заполненных макетов и шаблонов таблиц в библи-
библиотеке обеспечивает простое редактирование информации с целью
внесения необходимых изменений и повторного ввода данных.
При работе с интерактивными компонентами системы пользо-
пользователи применяют разные методы организации диалогового вза-
взаимодействия в зависимости от имеющихся технических диалоговых
средств (графический дисплей, подключенный к ЕС ЭВМ или
входящий в состав АРМ, планшет графического ввода АРМ).
В КИПР-ЕС алфавитно-цифровой диалог основан на исполь-
использовании специальных командных языков, имеющих единообраз-
единообразную (для различных технических средств и программных
компонентов) структуру директивы:

Общие сведения о системе КИПР-ЕС 303
(Глагол) (Существительное) (Модификатор) : (Параметры)
Глагол представляет собой обязательную часть директивы,
которая с помощью простых и легко запоминаемых мнемоник
описывает производимое системой действие, например: ВЫС —
высветить, ВСТ — вставить, ЗАМ — заменить.
Существительное есть необязательная часть директивы, рас-
раскрывающая объект, над которым производится действие, напри-
например: ОТР — отрезок, ДЕТ — деталь.
Модификатор (также необязательная часть директивы) уточняет
параметры объекта, подлежащие обработке, например: ДЛ —
длина, УГЛ — угол.
С использованием введенных понятий директива «заменить
в отрезке длину» принимает вид: ЗАМ ОТР ДЛ:
Параметры задают необязательную числовую и алфавитно-
цифровую информацию, определяющую конкретные значения,
используемые в директиве. Параметры разделяют запятыми или
пробелами; числа могут быть целыми или вещественными, их
задают по правилам, принятым в языке ФОРТРАН.
Все указательные части директивы (глагол, существительное,
модификатор) разделяют пробелами. Двоеточие является обяза-
обязательным элементом. Если необходимо повторить предыдущую
директиву, можно опустить глагол, существительное, модификатор
и начать директиву с двоеточия.
Графический диалог в КИПР-ЕС организован по методу меню
и используется в процессе работы с планшетом АРМ. Меню имеет
иерархическую структуру, составлено из доступных пользователю
понятий; ввод командной и другой информации осуществляется
указанием соответствующих позиций меню.
На практике рассмотренные формы взаимодействия обычно
используются в комбинации, что обеспечивает возможность выбора
пользователями наиболее оптимальных для уровня их подготовки
условий работы с системой.
Работа всех компонентов системы сопровождается алгоритми-
алгоритмическим и визуальным контролем обрабатываемых данных, в ходе
которого на устройствах графического вывода отображается
проектная информация и на АЦПУ или АЦД выдаются протоколы
реализации программ, содержащие информацию справочного ха-
характера или диагностические сообщения системы.
18.7. Поставка и размещение системы
Поставка системы КИПР-ЕС осуществляется отдельно для
каждого уровня технической реализации через дистрибутивные
наборы данных, передаваемых на магнитных носителях, которые
содержат компоненты системы, полный комплект эксплуатацион-
эксплуатационной документации, выполненной в соответствии с требованиями

304 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
ЕСПД, и необходимые тесты. При этом общесистемные и спе-
специальные инвариантные компоненты поставляются независимо
от системы.
В процессе эксплуатации системы на любом уровне реализации
используются: набор индивидуальных библиотек загрузочных
и исходных модулей для размещения компонентов и исходных
данных, файл прямого доступа для хранения результатов расчетов
и один или несколько личных архивов пользователей.
19. ПОДСИСТЕМА СИНТЕЗА КОНСТРУКЦИЙ
19.1. Структура подсистемы
Подсистема синтеза конструкций предназначена для форми-
формирования базовой геометрической модели изделия. Структура
подсистемы приведена на рис. 19.1. В качестве базовых средств
геометрического моделирования плоских объектов в пакетном
режиме работы подсистемы используется ППП ГРАФИТ. Этот
пакет является частью системы СМОГ-85, разработанной в ВЦ СО
АН СССР и НГУ и применяемой в КИПР-ЕС в качестве обще-
общесистемных средств машинной графики. В настоящее время отдель-
отдельные компоненты СМОГ-85 переданы в НПО Центрпрограмм-
систем (г. Калинин). Пакет геометрического моделирования
осесимметричных конструкций и табличный интерпретатор отно-
относятся к прикладным компонентам подсистемы и являются над-
надстройками над ППП ГРАФИТ, специально предназначенными
для формирования геометрических моделей осесимметричных кон-
конструкций.
Кроме пакетного режима в подсистеме используется диалого-
диалоговый режим работы, который обеспечивает более эффективные
средства синтеза геометрических моделей. Это обусловлено на-
наглядностью и оперативностью работы, а также возможностью
формирования моделей конструкций путем редактирования на-
накопленных в архиве прототипов. В качестве общесистемных
компонентов в диалоговом режиме используются программные
средства для работы с векторными и цветными растровыми дис-
дисплеями СМОГ-Д, СМОГ-ГАММА, а для работы с двухмашинным
комплексом ЕС ЭВМ-АРМ система СПО-ГД. К специальным
компонентам подсистемы относятся программа РЕДАКТОР-2Э
и система ввода чертежей с планшета АРМ. Программа
РАЗРИСОВЩИК используется для визуализации хранящихся
в архиве данных по конструкции. В диалоговом режиме для
выполнения части операций можно применять программу
РЕДАКТОР PC, входящую в состав подсистемы формирования
расчетных схем конструкций.

Подсистема синтез» конструкций
305
СМОГ
Подсистема синтеза конструкций
Комплект синтеза
конструкций в
пакетном режиме
Табличный
интерпретатор
ППП ГРАФИТ
Пакет
геометрического
моделирования
осесимметричных
конструкций
Программы
ра/оты с архивом
конструкций» -
ных материалов
Номплект синтеза
конструкций в
диалоговом режиме
Система ввода
черте/кейс
планшета ЛРМ
РЕДДКТОР-гП
Средства
контроля и
документироВа -
ния работы
Оперативная БД
Haiop
трическ
/:и конструкции
p
характеристик /гон-
гтрдкцианных
материстов
РЯЗРИ ~
СОвЩИН
смаг-
гднмд
смог-
д
смиг~
ЯРМ
сло-гд
Рис. 19.1
В подсистеме имеются также средства работы с архивом кон-
конструкционных материалов и необходимые программы контроля
и документирования.
19.2. Геометрическая модель осесимметричнои конструкции
Важную роль в системах автоматизированного конструирова-
конструирования и прочностных расчетов играют структуры геометрических
моделей, формируемых на этапе синтеза конструкций. Модель
должна быть полной и однозначно описывающей конструкцию,

306 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Ж
ткм
г
хн
YH
4>
ХН
YH
Щ
УЦ
7
ХН
УН
щ
уц
я
в
F
^—'
пкм
...
Имя
Тип
Мате-
Материал
1
ПХ
DY
F
Ш
—»
Карантерисгпики
материалов
Рис. 19.2
простой в создании и редактировании, в частности, должна обес-
обеспечивать описание факторов внешней среды, автоматическое
преобразование к виду, удобному для подсистем анализа, выпуска
расчетно-конструкторской документации, технологической под-
подготовки производства. В то же время модель не должна содержать
избыточной информации о способе ее построения (не должна
зависеть от способа ввода).
В системе КИПР-ЕС для осесимметричных конструкций вы-
выбрана модель, описывающая продольное сечение конструкции
средствами двумерной геометрии. Конструкцию можно предста-
представить в виде совокупности деталей, каждая из которых
определяется контуром сечения и' материалом. Считают, что
контур детали односвязный и образован такими геометрическими
элементами, как отрезки прямых, дуги окружностей и эллипсов.
Структура конструкции, описываемая в единой системе коор-
дкнат, задается схемой сборки / (рис. 19.2), в которой приняты
обозначения: ИМЯ —восьмисимвольный идентификатор детали;
ТИП — целое число, определяющее тип геометрической модели
(например, 1 — контур односвязный); МАТЕРИАЛ — целое
число, задающее номер материала, характеристики которого
берутся из архива ///; DX, DY, F — вещественные числа, опре-

Подсистема синтеза конструкций 307
деляющие параметры сдвига и угол поворота детали в системе
координат сборки.
Контур детали описывается координатной моделью //, состо-
состоящей из двух массивов: каталога координатной модели (ККМ)
и таблицы координатной модели (ТКМ). Оба массива формируются
в локальной системе координат, которая может быть совмещена
с системой координат сборки.
ККМ задается линейным массивом, в котором каждая k-я
ячейка соответствует ?-му элементу, образующему контур, и со-
содержит адрес начала записи о k-u элементе в таблице координатной
модели. ТКМ задается линейным массивом, в котором информация
о геометрических элементах контура располагается последова-
последовательно, в порядке обхода контура. Порядок обхода контура
определяется описанием детали и отражает его топологию. Для
системы не важен порядок обхода контура (по или против часовой
стрелки), важна упорядоченность элементов контура.
В координатной модели для каждого элемента контура ука-
указывают его тип и параметры. Тип элемента характеризует не
только вид линии B — отрезок прямой; 4 — дуга окружности;
7 — дуга эллипса), но и ее направление: положительное значение
типа соответствует направлению обхода контура против часовой
стрелки, отрицательное — по часовой стрелке.
Абсолютное значение типа является индексом для выхода
на следующий элемент контура. Считается, что конечной точкой
любого элемента является начальная точка следующего, в замкну-
замкнутом контуре конечной точкой последнего элемента является
начальная точка первого элемента контура.
Параметры элемента характеризуют его геометрию и задают:
ХН, YH — координаты начальной точки элемента; ХЦ, УЦ —
координаты центра окружности для дуг окружности или эллипса;
А, В, F — большую и малую полуоси, угол наклона большой
полуоси к оси X локальной системы координат для дуги эллипса.
Описание конструкции проводят с учетом допусков на соответ-
соответствующие размеры, чтобы полученная геометрическая модель
соответствовала реальной конструкции с наименьшей прочностью.
8 общем случае для осесимметричных оболочечных конструкций
принимают значения допусков, при которых толщина конструкции
минимальна (допуски «в материал»). Например, для размеров,
относящихся к внутренним поверхностям оболочек, принимают
положительные значения допусков. Как правило, минимальная
толщина сосудов давления указана на чертежах.
Приведенная структура геометрической модели осесимме-
тричной конструкции экономична по занимаемой памяти и удобна
для редактирования. Использование различных систем координат
позволяет осуществить сборку изделия от разных баз. Модель
легко обобщить и на случай описания несвязных контуров.

308 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
19.3. Средства синтеза геометрических моделей
Синтез геометрических моделей конструкций связан с вводом
и переработкой геометрической информации (ГИ) об изделиях.
При этом обычно решают следующие задачи:
ввод ГИ об изделии (с участием пользователя);
преобразование ГИ во внутреннее представление или геометри-
геометрическую модель конструкции;
редактирование модели для достижения оптимальных или
требуемых результатов;
визуализация геометрической модели, формирование и вывод
на внешние устройства графических документов.
Этап ввода и переработки ГИ наиболее трудоемкий для поль-
пользователей, и от наличия эффективных и удобных средств, обеспе-
обеспечивающих решение перечисленных задач, часто зависит эффектив-
эффективность применения системы автоматизированного конструирования
и прочностных расчетов в целом. Общие требования к средствам
синтеза геометрических моделей: простота и удобство в работе,
обеспечение достоверности вводимой в систему информации,
возможность оперативного контроля и исправления ошибок,
использование понятий, привычных для пользователей.
В КИПР-ЕС процесс синтеза геометрических моделей осесим-
метричных конструкций определяется их структурой и включает:
формирование и редактирование координатных моделей де-
деталей;
задание характеристик конструкционных материалов;
формирование схемы сборки конструкции;
запись информации по деталям и сборке в архив.
Формирование координатных моделей деталей. В подсистеме
синтеза конструкций для формирования координатных моделей
деталей применяют следующие методы ввода ГИ: программный;
табличный; диалоговый; ввод чертежей с планшета АРМ
(рис. 19.3). Все они приводят к единой структуре координатной
модели и могут использоваться в комбинации.
Программный метод состоит в непосредственном применении
имеющихся средств геометрического моделирования при разра-
разработке пользователем программы, описывающей геометрию деталей
конструкции.
К моменту создания системы КИПР-ЕС существовало доста-
достаточное число графических пакетов, реализующих функции гео-
геометрического моделирования на плоскости (ФАП-КФ, ГЕОМАЛ,
DIGRA, GPL/1, ГРАФИТ, ГРАФОР и др. на ЕС ЭВМ и ОРТ,
ИНТЕРГРАФ ГЕОМЕТР, АРАКС, РЕДГРАФ на СМ ЭВМ),
поэтому собственные средства с аналогичными возможностями
не разрабатывались, а была предложена методика применения
существующих пакетов, заключающаяся в использовании правил

Подсистема синтеза конструкций
309
Tt/rcm
программы
SUBROUTINE
Г1-ШНЖ0)
тг=ткднBп.зо)
Базовые
ЗВМ
ЕС ЭВМ
SJCM-6
Таблица
ZJ0.20
2,20,30
Директивы
— ВСТТОЧ
7,10,20
-*~здм rov
7/f
Габличнып
интерпретатор
ППП ГРЯФИТ
РЕД,ДКГОР-2П
Геометрическая
модель
eg обд
Прием
Преобра-
Преобразование
АРМ
ПКГИО
Рис. 19.3
и программ преобразования моделей этих пакетов в координатные
модели деталей системы КИПР-ЕС. Возможность легкого под-
подключения к системе любого графического пакета позволяет поль-
пользователям применять традиционно используемые на конкретном
предприятии средства автоматизированного конструирования,
а также самостоятельно адаптировать новые, более эффективные
или удобные пакеты синтеза изделий, которые могут появиться
в дальнейшем.
В настоящее время в качестве базовых средств геометриче-
геометрического моделирования осесимметричных конструкций в системе
КИПР-ЕС используется ППП ГРАФИТ, предназначенный для
описания, редактирования и хранения машиностроительных чер-
чертежей. В этот пакет входят средства задания геометрической
информации и решения геометрических задач на плоскости. Для
задания ГИ используются специальные подпрограммы-функции,
позволяющие описать на языке ФОРТРАН геометрию детали
в программе. Язык описания достаточно обширен, что позволяет
моделировать практически любые детали, относительно прост,

310 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
снабжен аппаратом выявления ошибочных ситуаций и отладки
программ.
Основные подпрограммы ППП ГРАФИТ и их назначение:
АСАКАС — построение окружности, касающейся прямой,
с центром, лежащим на заданной окружности;
АСАТ — построение окружности, проходящей через
точку, с центром на заданной окружности;
АСРКАС— построение окружности, касающейся заданной
окружности;
AD — построение окружности, содержащей данную
дугу;
АКАС — построение окружности, касающейся элемента;
АКАСЗР — построение окружности, касающейся трех пря-
прямых;
АКАН — построение окружности каноническим способом;
АКТТТ — построение окружности, проходящей через
три точки;
АТСР — построение окружности, проходящей через
точку, с центром, лежащим на прямой;
ВВ — вывод элементов на графические устройства;
ВВР — задание режима вывода;
СВК — настройка ППП ГРАФИТ;
DCEKP — построение дуги, отсекаемой от окружности пря-
прямой;
DCEKXY — построение дуги по двум точкам и центру;
DCEK2P — построение дуги, высекаемой из окружности
двумя прямыми;
DCEK2Y — построение дуги, высекаемой из окружности
двумя углами;
DKACAA — построение дуги, сопрягающей две окружности;
DKACAP — построение дуги, сопрягающей прямую и
окружность;
DKACAT — построение дуги, сопрягающей окружность
и точку;
DCACPP — построение дуги, сопрягающей две прямые;
DCACPT — построение дуги, сопрягающей точку и прямую;
DKAH — построение дуги окружности каноническим
способом;
D2T — построение дуги по двум точкам и радиусу;
D3T — построение дуги по трем точкам;
FORMAT — заказ формата листа;
КОН — завершение работы с ППП ГРАФИТ;
MASH — задание масштаба;
РКАСХ — построение касательных горизонтальных пря-
прямых;
PKACY — построение касательных вертикальных прямых;

Подсистема синтеза конструкций 311
Ш §12399010008 . СМОГ ВЕР.6 ЛИСТ
ДАТА 16.02.87 Б1 ВРЕМЯ 1Ш2<
Рис. 19.4
Р КРЕСТ — построение перпендикулярной прямой, про-
проходящей через точку;
РТА — построение прямой, проходящей через точку
под углом;
РХ (PY) — построение прямой, параллельной оси OX (OY);
SHK — построение отрезка по начальной и конечной
точкам;
SKACAA — построение отрезка, касающегося двух окруж-
окружностей;
SKACAT — построение отрезка, касающегося окружности
и проходящего через заданную точку;
SKAH — построение отрезка каноническим способом;
ТАР — задание точности аппроксимации;
ТНА — определение начальной точки элемента;
ТКАН — построение точки каноническим способом;
ТКО — определение конечной точки элемента;
TMIN — определение на элементе ближайшей точки;
ТОВ — построение точки пересечения двух элементов;
TXY — построение точки через ее координаты;
YMIN — построение объекта противоположной ориентации.
В качестве примера рассмотрим простейшую деталь — патру-
патрубок (рис. 19.4).
Текст программы, описывающей геометрию детали с исполь-
использованием средств ППП ГРАФИТ, имеет вид
51 = SXY A0., 20., 10., 30.)
52 = SXY A0., 30., 95., 30.)
53 = SXY A0., 20., 80., 20.)
54 = SXY (95., 30., 100., 15.)
55 = SXY A00., 15., 105., 15.)
Р7 = РХ A0.)
Т8 = ТКАН (80., 20.)
D9 = DKACPT (Р7, Т8, 15., 2, 1)

312 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Т10 = ТКАН A05., 10.)
Т11 = ТКО (D9)
S12 = SHK (T10, Т11)
CALL КОН
END
В процессе описания геометрии детали обычно используются
дополнительные элементы построения, которые помогают сфор-
сформировать модель, но не применяются в дальнейшем. В связи с этим
для описания детали в структуре координатной модели, принятой
в КИПР-ЕС, необходимо указать лишь геометрические элементы,
которые образуют контур продольного сечения детали. Для этого
используют таблицу упорядочения контура детали, составленную
следующим образом:
первый элемент таблицы — идентификатор первой точки кон-
контура (произвольной точки, с которой начинается обход контура);
все последующие элементы таблицы — идентификаторы эле-
элементов контура детали. Таблицу заполняют в порядке обхода
контура детали против часовой стрелки. В программе пользо-
пользователя таблица упорядочения задается через общую область
COMMON/KIPR1/NT, Т B00)
Здесь Т B00) — таблица упорядочения; NT — размер таблицы
(NT < 200).
По составленной таблице упорядочения формируют коорди-
координатную модель детали с помощью подпрограммы
CALL KIFRCR
Из всех применяемых в подсистеме методов ввода ГИ про-
программный метод наиболее трудоемкий, однако только он позво-
позволяет создавать параметрические процедурные модели конструк-
конструкций, используемые для описания изделий типовых классов.
При применении табличного метода ввода ГИ пользователь
не пишет программу, а лишь заполняет таблицу по определенному
правилу и трафарету. Табличный метод реализуется табличным
интерпретатором, который не имеет таких возможностей гео-
геометрического моделирования, как ППП ГРАФИТ. Он обычно
ориентирован на определенный, часто используемый класс дета-
деталей и благодаря этому достаточно прост и удобен. В частности,
табличный интерпретатор для ввода деталей, геометрию которых
можно описать с помощью комбинаций, базирующихся на исполь-
использовании двух геометрических элементов — отрезка прямой и дуги
окружности, имеет следующую структуру входной информации:
ТИП, ХН, YH, Р/УГОЛ, ХЦ, УЦ, где ТИП — тип элемента
(принято: 2 — отрезок прямой; 3 — дуга, секущая предыдущий
и последующий элементы контура детали; 4 — дуга, секущая
предыдущий элемент и касательная к последующему; 5 — дуга,

Подсистема синтеза конструкций 313
касательная к предыдущему и последующему элементам; 6 — дуга,
касательная к предыдущему элементу и секущая последующий).
Пример табличного ввода — описание геометрии патрубка:
ТИП
2
2
2
2
2
2
—6
2
хн
10.
40.
95.
100.
105.
105.
80.
YH
20.
30.
30.
15.
15.
10.
20.
Р/УГОЛ ХЦ
— —
— —
180. —
15. —
УЦ
—
—
—
После описания геометрии детали формируется ее координат-
координатная модель способом, аналогичным рассмотренному.
Диалоговый метод ввода основан на использовании простого
языка директив и графического дисплея. При этом моделирующие
возможности ППП ГРАФИТ не используются, так как работа
ведется непосредственно с координатной моделью детали. На-
Напомним, что к этой структуре приводят все описываемые методы
ввода ГИ, поэтому диалоговый метод реализуется интерактивной
программой РЕДАКТОР-2О, которая может редактировать опи-
описание любой детали или конструкции независимо от того, какими
средствами ввода ГИ оно было создано. Основные директивы
программы РЕДАКТОР-2Б:
Глаголы: ОТК — открыть;
УСТ — установить;
ФОР — формировать;
ВСТ — вставить;
ЗАМ — заменить;
УД — удалить;
К.НТ — контролировать (распечатать);
АКТ — активировать;
ВЫС — визуализировать (высветить);
СТР — стереть;
ЗАП — записать;
Существительные: КАТ — каталог;
НАБ — набор;
ПСК — параметры системы координат;
ОКН — окно;
ЦВТ — цвет;
ТОЧ — точка;
ОТР — отрезок прямой;
ДОК — дуга окружности;
ДЭЛ — дуга эллипса;
ДЕТ — деталь;
СБ — сборка;

314 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Модификаторы: ОКН — окно;
X (Y) — координата X (Y);
ДЛ — длина;
УГЛ — угол;
Р — радиус;
ЦНТ — центр дуги;
АВТ — автоматически;
ОТН — относительно;
ОТР — отрезок прямой;
ДОК — дуга окружности;
ДЭЛ — дуга эллипса;
ДЕТ —¦ деталь;
СБ — сборка
Пример диалогового ввода ГИ и формирования координатной
модели патрубка:
=>• ФОР DET :
ОТР 10. 20.
ОТР 95. 30.
ОТР 10. 30.
ОТР 100. 15.
ОТР 105. 15.
ОТР 105. 10.
ОТР 90. 10.
ОТР 80. 20.
=> ЗАМ ТОЧ ДОК :7 15.
=> ЗАП : ПАТРУБОК
При всех преимуществах диалогового метода его практическое
использование в настоящее время ограничено вследствие острого
дефицита рабочего времени графических дисплеев. В связи с этим
применение программы РЕДАКТОР-2О оправдано только для
простых конструкций и, особенно, для модификации моделей
прототипов.
Ввод ГИ с планшета АРМ предполагает работу с двухмашин-
двухмашинным комплексом ЕС ЭВМ-АРМ. Этот метод ввода, применяемый
для построения геометрических моделей деталей или конструкции
непосредственно по рабочему чертежу или эскизу, реализуется
системой ввода чертежей. Кроме планшета АРМ в этом методе
активно используется графический дисплей для визуализации
и редактирования ГИ об изделии.
При использовании рабочего чертежа считают, что он выполнен
достаточно точно, т. е. геометрические погрешности вычерчивания
деталей не приведут к недопустимым погрешностям в решении
задач. Эскиз используют лишь для задания топологии деталей;
их истинные геометрические размеры можно задавать с помощью
программы РЕДАКТОР-2О. Ввод с планшета удобен и в случае,
когда размеры всех или части элементов конструкции вообще

Подсистема синтеза конструкций 315
не определены и их надо проставить, т. е. размеры при вводе
рассчитываются программно и заносятся в координатную
модель.
Программные средства ввода ГИ с планшета разделены на
две части: программные средства на АРМ и программные средства
на базовой ЕС ЭВМ.
На АРМ размещены программы:
ввода и контроля ГИ с планшета;
сбора и хранения ГИ о деталях и конструкции;
вывода чертежей деталей и конструкции на графопостроители
и дисплеи для контроля и документирования;
редактирования ГИ, описывающей детали и конструкцию;
передачи информации о деталях или конструкции в базовую
ЕС ЭВМ.
ЕС ЭВМ содержит программные средства:
приема ГИ от АРМ;
перекодирования и преобразования ГИ в нужный вид и формат;
записи полученной информации в оперативные БД, для кото-
которых предназначена информация.
На АРМ координатные модели деталей формируются в авто-
автономном режиме; на этом этапе работы комплекс ЕС ЭВМ-АРМ
используется только для обмена информацией между оператив-
оперативными БД ЕС ЭВМ и АРМ. Если нет линии связи ONLINE (типа
УСВМ или УМСО) между ЕС ЭВМ и АРМ, обмен информацией
можно проводить в режиме OFFLINE через МЛ, что, естественно,
менее удобно.
Ввод чертежей с планшета АРМ — самый удобный: он наи-
наиболее пригоден для проектировщиков и конструкторов, не имею-
имеющих достаточной подготовки в области программирования на
ЭВМ. Это достигается применением меню планшета (рис. 19.5),
возможностью оперативного контроля и исправления информа-
информации.
Рассмотренные методы ввода ГИ и формирования координат-
координатных моделей деталей рассчитаны на использование различных
технических средств и режимов работы КИПР-ЕС. В частности,
в пакетном режиме применяются программный и табличный ме-
методы, а в диалоговом — программа РЕДАКТОР-2Б и система
ввода чертежей с планшета АРМ, что обеспечивает необходимую
гибкость в работе с подсистемой.
Задание характеристик конструкционных материалов. Для за-
задания характеристик конструкционных материалов необходимо:
назначить различным материалам порядковые номера и припи-
приписать их сформированным координатным моделям деталей; ввести
в архив под заданными номерами механические характеристики
конструкционных материалов, если данные по используемым
материалам в архиве отсутствуют.

3J6 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
LU
О
I
х
ш
CJ
?
X
LU
Л
\
L
L
L
С
J
j ?
UTTJJ,
МЕН
j
I
1
I
& i
III
I
I
ll
I
I
is
=55
I
4
4
s
a

Подсистема синтеза конструкций 317
В пакетном режиме назначение номеров материалов выпол-
выполняется с помощью подпрограммы
CALL WRTMTL (NMD, MTL, КО)
здесь NMD — имя детали; MTL — номер материала в таблице
характеристик материалов, хранимой в архиве; КО — код от-
ответа подпрограммы (значение КО=0 соответствует нормальному
завершению подпрограммы).
В системе КИПР-ЕС для анализа НДС и динамических ха-
характеристик осесимметричных оболочечных конструкций учтены
материалы следующих типов:
1 — упругий изотропный;
2 — нелинейно-упругий изотропный;
3 — ортотропный;
4 — вязкоупругий изотропный;
5 — конструктивно-ортотропный (например, регулярные уп-
упругие подкрепления).
По материалу каждого типа задают все необходимые для
выполнения расчета конструкции характеристики:
Е, V, RO, ALPHAT для упругого изотропного материала;
Е, V, RO, ALPHAT, EPS1, SI, ... EPS8, S8 — для нелинейно-
упругого изотропного материала;
El, E2, VI, G, RO, ALPHAT I, ALPHAT2 — для упругого ор-
тотропного материала;
Е, V, RO, ALPHAT; A, BETA, ALPHA — для вязкоупругого
изотропного материала;
Fl, F2, Zl, Z2, N1, N2, El, E2, II, 12, RO1, RO2, AL1,
AL2 — для регулярных упругих подкреплений.
Здесь приняты следующие обозначения:
Е — модуль упругости;
V — коэффициент Пуассона;
RO — плотность;
ALPHAT — температурный коэффициент линейного расши-
расширения;
EPS1, S1, ... EPS8, S8 — координаты узлов на диаграмме
S (EPS);
El, Е2 — модули упругости в направлениях XI, Х2;
VI, V2 = Е2/Е1 * VI — соответствующие коэффициенты Пу-
Пуассона;
G — модуль сдвига;
ALPHAT1, ALPHAT2 — температурные коэффициенты ли-
линейного расширения в направлениях XI, Х2;
A, BETA, ALPHA — параметры ядра Ржаницына—Колту-
нова;
Fl, F2 — площади сечений подкрепляющих элементов в на-
направлениях XI, Х2;

318 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Zl, Z2 — расстояния от внутренней поверхности подкрепляю-
подкрепляющих элементов до центров их тяжести;
N1, N2 — число подкрепляющих элементов в направлениях
XI, Х2;
Е1, Е2 — модули упругости в направлениях XI и Х2;
II, 12 — собственные моменты инерции подкрепляющих эле-
элементов;
RO1, RO2 — плотности подкрепляющих элементов в направ-
направлениях XI, Х2;
AL1, AL2 — температурные коэффициенты линейного расши-
расширения в направлениях XI и Х2.
Координатные направления XI и Х2 соответствуют продоль-
продольному и поперечному сечениям конструкции.
Ввод перечисленных характеристик в архив конструкционных
материалов осуществляется табличным методом.
При составлении запроса на формирование шаблона таблицы
характеристик материалов пользователь указывает общее число
материалов и число материалов каждого типа:
***** МЕХАНИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ *****
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 1 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 2 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 3 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 4 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 5 00
В результате обработки запроса формируется шаблон таблицы,
заполненный нулевыми значениями характеристик, которые не-
необходимо заменить на вводимые значения:
I
I
I
I
I
I
I
т
I
I
I
I
I
I
NMAT
00
00
00
00
00
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
тип
1
2
3
4
5
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
X
0.0000E+00I
0.OOOOE+0OI
0.0000E+00I
0.0000E+00I
O.OO00E+00I
0.OOO0E+0OI
0.ООООЕ+001
o.ooooE+aoi
0.ООООЕ+001
0.0000E+00I
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
А Р А К Т Е
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
Р И С Т И К
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
И I
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
I
0.ООООЕ+001
I
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
0.ООООЕ+001
При заполнении таблицы пользователь задает номер мате-
материала, его тип и механические характеристики материала в по-
порядке, указанном ранее. Если характеристики материала не раз-
размещаются в одной строке таблицы, их описание переносится
на следующую строку. Заполненная таблица записывается в ар-
архив; одновременно формируется каталог материалов.

Подсистема синтеза конструкций 319
Если в архиве уже имеется сформированная таблица, ее можно
поместить в индивидуальную библиотеку исходных модулей для
просмотра и редактирования, после чего таблицу можно снова
записать в архив.
В пакетном режиме характеристики материалов можно также
задать в помощью подпрограммы
CALL КШАТ (NMAT, TIP, AREA, КО)
Здесь NMAT — номер материала; TIP — тип материала;
AREA — массив характеристик материала.
Эта подпрограмма позволяет сформировать таблицу характе-
характеристик материалов непосредственно в программе пользователя
без применения АЦД путем заполнения и записи в архив массива
AREA.
В диалоговом режиме таблица характеристик материалов фор-
формируется, просматривается, редактируется и распечатывается
с помощью интерактивной программы РЕДАКТОР-PC (см. гл. 20)
и следующих директив ее командного языка:
ЗАП ТАБ МАТ: — записать таблицу в архив;
ВЫД ТАБ МАТ: — выдать таблицу на АЦД или АЦПУ;
РЕД ТАБ МАТ:—редактировать таблицу.
В любом режиме работы с подсистемой задание характеристик
конструкционных материалов является самостоятельной опера-
операцией синтеза геометрической модели изделия и может быть вы-
выполнено независимо от других операций. Следует помнить лишь
о том, что назначению номеров материалов должны предшество-
предшествовать операции формирования и записи в архив координатных
моделей деталей.
Формирование схемы сборки конструкции. Схема сборки кон-
конструкции формируется из координатных моделей деталей. При
выполнении этой операции в системе КИПР-ЕС реализуются сле-
следующие возможности:
геометрические преобразования параметров сдвига и поворота
координатных моделей с целью требуемого относительного раз-
размещения деталей в системе координат конструкции;
объединение деталей в конструкцию;
объединение деталей с одновременным изменением геометрии
контура деталей;
автосборка конструкции из дегалей.
В пакетном режиме объединение деталей в конструкцию осу-
осуществляется с помощью подпрограммы
CALL FORSB (NMD1, NT1, NMD2, NT2)
Здесь NMD1 — имя базовой детали, по отношению к которой
осуществляется сборка конструкции; NT1 — номер опорной
точки контура базовой детали; NMD2 — имя детали, присоеди-

320 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
няемой к базовой; NT2 — номер точки контура присоединяемой
детали, которая совмещается с опорной точкой Т1.
Подпрограмма обеспечивает геометрические преобразования
и простое объединение деталей в схему сборки конструкции без
изменения геометрии их контура.
Подпрограмма
CALL FORSB1 (NMD1, NT1, NTH,
NMD2, NT2, NT22)
предназначена для стыковки деталей с изменением геометрии кон-
контура присоединяемой детали. Объединение деталей осуществ-
осуществляется по участкам их контуров, ограниченных точками NT1,
NT11 и NT2, NT22 соответственно. При этом геометрия участка
контакта между точками NT2 и NT22 присоединяемой детали ста-
становится идентичной геометрии соответствующего участка контура
базовой детали.
Автосборка конструкции осуществляется подпрограммой
CALL ABTSB
которая обеспечивает автоматическое объединение деталей в кон-
конструкцию (при этом предполагается, что детали размещены одна
относительно другой нужным образом).
В диалоговом режиме схема сборки формируется с помощью
следующей директивы программы РЕДАКТОР-2В или РЕДАК-
РЕДАКТОР PC:
ЗАП СБ: — записать в архив схему сборки.
Формирование схемы сборки является обязательной операцией:
она должна выполняться даже в случае, когда конструкция со-
состоит из одной детали. Эта операция заключительная в процессе
синтеза геометрической модели конструкции, ей должны пред-
предшествовать формирование, запись в архив координатных моделей
деталей и назначение номеров конструкционных материалов.
Запись информации по деталям и сборке в архив. Синтез
геометрической модели конструкции сопровождается записью
в архив всей необходимой для дальнейшей работы информации.
Считается, что архив должен быть создан к моменту занесения
в него любых проектных данных. На каждом конкретном пред-
предприятии в соответствии с принятой технологией работы архивы
либо генерируются администратором БД КИПР-ЕС, либо соз-
создаются пользователями системы.
Поскольку операция формирования схемы сборки связана
с автоматическим занесением в архив информации о конструк-
конструкции, а операция ввода в архив характеристик конструкционных
материалов описана ранее, рассмотрим лишь средства занесе-

Подсистема синтеза конструкций 321
ния в архив координатных моделей деталей. В пакетном режиме
зга операция осуществляется с помощью подпрограммы
CALL KIWRCR (NMD, КО)
ЗЙесь NMD — имя детали, под которым хранится в архиве ее
координатная модель.
При записи координатной модели детали ей должно быть
присвоено значение типа с помощью подпрограммы
CALL WRTTIP (NMD, ITIP, КО)
Здесь ITIP — тип геометрической модели детали (для осесим-
метричных конструкций 1Т1Р=1).
Подпрограмма
CALL KIRDCR (NMD, КО)
выполняет обратную операцию — считывание координатной мо-
модели детали в оперативную память.
Кроме перечисленных средств, имеется подпрограмма
CALL KIDET (NMD, ITIP, MTL, КО)
объединяющая функции подпрограмм KIWRCR, WRTTIP и
WRTMTL.
В диалоговом режиме запись в архив информации по деталям
осуществляется программами РЕДАКТОР-2О или РЕДАКТОР PC
с помощью директивы
ЗАП: NMD — записать в архив координатную модель де-
детали с именем NMD.
19.4. Средства контроля и документирования работы
В подсистеме синтеза конструкций имеются развитые сред-
средства контроля и документирования, к которым относятся про-
программы графического вывода и контрольной печати данных.
На различных этапах работы с подсистемой пользователь мо-
может сформировать контрольный листинг и (или) чертеж кон-
конструкции, распечатать координатные модели деталей, схему
сборки изделия, характеристики конструкционных мате-
материалов.
Контрольный листинг и чертеж формируются с помощью
средств ППП ГРАФИТ и используются при программировании
сложных деталей в целях исключения ошибок при определении
их геометрии.
Для получения контрольного листинга необходимо обратиться
к подпрограмме РКМ следующим образом:
CALL РКМ A, 1000)
Н П/р В. И. Мяченкова

322 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Листинг содержит всю координатную информацию по контуру
детали и позволяет проконтролировать правильность опреде-
определения математической модели чертежа в понятиях ППП ГРАФИТ.
Контрольный чертеж формируется на устройствах графиче-
графического вывода и позволяет визуально оценить правильность гео-
геометрического описания детали. Для получения чертежа необхо-
необходимо предварительно обратиться к подпрограмме заказа листа на
графопостроителе:
CALL LEAFXY (PX, PY)
Здесь PX, PY — размеры листа по осям X, Y.
Далее подпрограмма
CALL BBP (N)
формирует чертеж. При этом обеспечиваются следующие возмож-
возможности:
N = 0 — чертеж не выводится;
N = 1 — вычерчиваются все геометрические элементы, вклю-
включая дополнительные изображения (имена и стрелки ориентации
элементов);
N = 2 — не вычерчиваются точки и прямые; в остальном этот
режим аналогичен режиму N = 1;
N = 3 — вычерчивается чистовой вариант чертежа детали.
Распечатка координатной модели детали на АЦПУ осуществ-
осуществляется с помощью подпрограммы
GALL KIPCRM
В распечатке содержится следующая информация по элемен-
элементам контура детали:
N3J1 — номер элемента в координатной модели;
ТИПЭЛ — тип элемента (знак плюс или минус определяет
ориентацию дуги окружности, эллипса в направлении обхода
контура детали соответственно против или по часовой стрелке);
ХНАЧ, YHA4 — координаты точки начала элемента (кон-
(концевая точка элемента совпадает с начальной точкой следующего
элемента контура);
ПАРАМЕТРЫ — характеристики, задающие геометрию эле-
элемента.
Схема сборки конструкции распечатывается подпрограммой
CALL PRNSSB
В распечатке указываются имена архива и набора, в кото-
котором размещена конструкция, дата и время создания схемы сборки,
список деталей, из которых она составлена и параметры коорди-

Подсистема формирования расчетных схем конструкций
323
натных моделей деталей. Пример распечатки схемы сборки из
пяти деталей:
* СХЕМА СБОРКИ *TST1 *
* НАБОР - ГЕОМЕТР1
*********************
* ДАТА - 03.07.1987 ВРЕМЯ - 12:18:47
ИМЯ
ЛЕТАЛИ
ДЕТАЛЫ
ДЕТАЛЬ2
ДЕТАЛЬБ
ДЕТАЛЬЗ
ДЕТАЛЬ4
ТИП
1 .
1 .
1 .
1 .
1 .
МАТЕРИАЛ
2.
1 .
1 .
1 .
3.
DX
DY
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
***********************************************
Кроме перечисленных средств в подсистеме используются
также подпрограммы визуализации координатных моделей де-
деталей и конструкций на устройствах графического вывода (см.
гл. 22).
В диалоговом режиме контроль и документирование геоме-
геометрической модели конструкции осуществляется программами
РЕДАКТОР-2О, РЕДАКТОР PC и РАЗРИСОВЩИК с помощью
следующих директив:
КНТ ДЕТ: NMD — контроль (распечатка) координатной мо-
модели детали с именем NMD;
КНТ СБ: — контроль (распечатка) схемы сборки конструкции;
ВЫС ДЕТ: NMD —• визуализировать (высветить) чертеж де-
детали;
ВЫС СБ: —визуализировать (высветить) чертеж конструкции.
Контроль характеристик конструкционных материалов в па-
пакетном и диалоговом режимах осуществляется средствами про-
программ табличного ввода информации и РЕДАКТОР PC, рассмо-
рассмотренными ранее.
Подсистема синтеза конструкций разработана как составная
часть интегрированной системы КИПР-ЕС. Вместе с тем боль-
большинство программных компонентов подсистемы носят инвариант-
инвариантный характер и имеют самостоятельное значение. Таким образом,
подсистему можно использовать независимо от системы КИПР-ЕС
для решения задач формирования геометрических моделей осе-
симметричных конструкций.
20. ПОДСИСТЕМА ФОРМИРОВАНИЯ
РАСЧЕТНЫХ СХЕМ КОНСТРУКЦИЙ
20.1. Структура подсистемы
Автоматизированная подготовка PC состоит в преобразова-
преобразовании геометрической модели конструкции, поступающей из под-
подсистемы синтеза конструкций, и действующих на конструкцию
И*

324 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
I
Оперативная БД
Набор геометриче-
геометрической модели
конструкции
HalFop характерис-
характеристик яонстрдяцион-
ных материалов
Подсистема формирования расчетных
схем конструкций
Номп/гект
формирования PC
в пакетном режиме
Пакет задания
расчетных
фрагментов
7анет задания
связей
Пакет задания
факторов
внешней среды
Пакет синтеза
PC
Программа ввода
методических
параметров
Программы форми-
формирования файлов
исходных данных
комплект форми-
формирования PC в диа-
диалоговом режиме
РЕДАКТОР PC
Средства
контроля
/
роЯания
работ
Оперативная ВД
ll
f
Набор
приведенных
нагрузок
#t
«111
Файп
FC
Файл
Ft
till
Sfl!
<3
I
\
Рис. 20.1

Подсистема формирования расчетных схем конструкций 325
нагрузок в совокупность исходных данных для подсистемы ана-
анализа НДС и динамических характеристик конструкций. В си-
системе КИПР-ЕС этот процесс реализуется последовательностью
операций:
задание расчетных фрагментов и связей;
задание факторов внешней среды;
синтез PC;
ввод методических параметров задачи;
формирование файлов исходных данных.
Первые две операции (наиболее трудоемкие) выполняет поль-
пользователь, остальные осуществляются автоматически соответствую-
соответствующими компонентами подсистемы.
Структура подсистемы приведена на рис. 20.1. Подсистему
используют в пакетном и диалоговом режимах, а часть ее компо-
компонентов — в обоих режимах одновременно. Для задания расчет-
расчетных фрагментов используют любые из рассмотренных в гл. 19
методы и средства ввода геометрической информации. В пакет-
пакетном режиме в качестве базовых применяют:
программный метод, основанный на использовании* средств
геометрического моделирования ППП ГРАФИТ;
табличный метод ввода геометрической и алфавитно-цифро-
алфавитно-цифровой информации.
В диалоговом режиме подготовка PG обеспечивается интер-
интерактивной программой РЕДАКТОР PG.
20.2. Средства подготовки расчетной схемы
Задание расчетных фрагментов и связей. Подготовка PC начи-
начинается с задания расчетных фрагментов и связей. Разделение
конструкции на расчетные фрагменты проводится с учетом одно-
однородности геометрических и механических характеристик выде-
выделяемых областей деталей, областей и характера действия фак-
факторов внешней среды, односвязности контуров фрагментов,
а также возможности дальнейших конструктивных доработок
изделия.
На множестве расчетных фрагментов для осесимметричных
оболочечных конструкций в КИПР-ЕС выделен базис, включаю-
включающий шпангоуты, многослойные оболочки, полюсы и опоры. Шпан-
Шпангоуты и оболочки характеризуются контурами продольных се-
сечений соответствующих элементов конструкции, полюсы и опоры —
отдельными точками. Расчетные фрагменты нумеруют, с каждым
из них связывают один или несколько узлов конструкции, за-
задают параметры, необходимые для формирования PC, и присваи-
присваивают имя детали, в которой выделен расчетный фрагмент. На
расчетных фрагментах вводят упругие точечные связи. Связи ну-
нумеруют и задают между узлами конструкции.

326 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
В пакетном режиме задание шпангоутов и оболочек выпол-
выполняется программным методом по схеме, аналогичной схеме фор-
формирования координатных моделей деталей конструкции:
описывается геометрия расчетных фрагментов;
формируются координатные модели;
создаются каталоги шпангоутов и оболочек;
координатные модели и каталоги заносятся в архив.
Описание геометрии расчетных фрагментов проводится на
контуре продольного сечения конструкции. Для каждой детали
задаются характерные точки, определяющие границы шпангоу-
шпангоутов и оболочек. Далее из этих точек проводятся секущие прямые,
выделяющие расчетные фрагменты. Указанные операции выпол-
выполняются для каждого слоя оболочки в отдельности, т. е. оболочки
конструкции формируются послойно. Геометрия расчетного фраг-
фрагмента задается описанием элементов его контура. Все рассмо-
рассмотренные построения выполняются на геометрической модели кон-
конструкции с использованием средств ППП ГРАФИТ. Таким об-
образом, пользователь освобождается от сложных геометрических
расчетов. Способ разбиения конструкции на расчетные фрагменты
всегда можно модифицировать для внесения необходимых изме-
изменений в PC.
При автономном использовании подсистемы на уровне 1 ре-
реализации системы КИПР-ЕС расчетные фрагменты задаются не-
непосредственно с чертежа конструкции. Здесь и далее описывается
полный технологический цикл работы системы.
Геометрические описания расчетных фрагментов преобра-
преобразуются во внутренние представления системы КИПР-ЕС, т. е.
в координатные модели шпангоутов и оболочек:
для каждого расчетного фрагмента составляется таблица
упорядочения;
по таблице упорядочения строится координатная модель фраг-
фрагмента.
При составлении таблиц упорядочения расчетных фрагмен-
фрагментов следует выполнять следующие правила:
элементы контура шпангоута перечисляются в порядке об-
обхода контура против часовой стрелки (начальная точка контура
выбирается произвольно);
для многослойной оболочки выбирается слой, содержащий
координатную поверхность (внутреннюю или наружную поверх-
поверхность оболочки, на которую действует доминирующая нагрузка)
и задаются начальный и конечный узлы оболочки (при обходе
контура этого слоя первым элементом считается элемент, соот-
соответствующий координатной поверхности; начальная точка кон-
контура определяется положением начального узла оболочки
(рис. 20.2); описание остальных слоев оболочки выполняется ана-
аналогичным образом);

Подсистема формирования расчетных схем конструкций 327
/6
Рис. 20.2
lit
Рис. 20.3
нумерация слоев оболочки начинается со слоя, содержащего
координатную поверхность (направление отсчета показано на
рис. 20.3; порядок описания слоев и построения их координат-
координатных моделей выбирается произвольно).
Координатная модель шпангоута формируется с помощью
подпрограммы
CALL KISHP (NSH, NU, ITIP, NMD)
Здесь NSH — порядковый номер шпангоута; NU — номер узла
конструкции, связанного со шпангоутом; ITIP — тип расчетной
модели шпангоута; NMD — имя детали.
Параметр ITIP характеризует тип используемой расчетной
модели шпангоута. Так, 1Т1Р=1 означает, что поперечное сече-
сечение шпангоута считается недеформируемым, т. е. шпангоут рас-
рассматривается по классической схеме кругового кольца.
Формирование координатной модели слоя оболочки обеспечи-
обеспечивает подпрограмма
CALL KIOBL (NOB, NUH, NUK,
ITOB, ITO, NCL, ITIP, NMD)
Здесь NOB — порядковый номер оболочки; NUH, NUK — но-
номера начального и конечного узлов оболочки; ITOB — тип обо-
оболочки (в описываемой версии подсистемы тип оболочки опреде-
определяется ее порядковым номером, т. е. принято ITOB = NOB); ITO —
число точек ортогонализации; NCL — номер описываемого
слоя; ITIP — тип расчетной модели оболочки; NMD — имя
детали.
Как и для шпангоутов, параметр ITIP характеризует тип
расчетной модели фрагментов AТ1Р=1 означает, что для попереч-
поперечного сечения оболочки справедлива гипотеза Кирхгофа—Лява).
Параметры NUH, NUK, ITOB, ITO, ITIP, NMD задаются лишь
для слоя, содержащего координатную поверхность.

328 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Напомним, что таблица упорядочения расчетного фрагмента
передается в подпрограммы K.ISHP и KIOBL через общую об-
область следующей структуры:
COMMON /KIPR1/ NT, T B00)
Координатные модели расчетных фрагментов хранятся в ра-
рабочих таблицах. Одновременно с формированием координатных
моделей осуществляется автоматическое построение каталогов
шпангоутов и оболочек. Накопленная в оперативной памяти
информация записывается в архив.
Запись в архив таблицы координатных моделей и каталога
шпангоутов осуществляется соответственно подпрограммами
CALL KIWRSC (КО)
CALL KIWRSH (КО)
Здесь КО — код ответа (значение КО = 0 соответствует нормаль-
нормальному завершению подпрограммы).
Информацию из архива можно занести в оперативную память
с помощью подпрограмм
CALL KIRDSC (КО)
CALL KIRDSH (КО)
Первая подпрограмма обеспечивает считывание координат-
координатных моделей, вторая — каталога шпангоутов.
Для записи (чтения) таблицы координатных моделей и ката-
каталога оболочек используются подпрограммы KIWROC, KIWROB,
KIRDOC, KIRDOB.
Задание полюсов и опор выполняется следующим образом.
Точки, характеризующие эти расчетные фрагменты, либо вводятся
явно (указанием их координат), либо формируются в результате
выполнения соответствующих геометрических построений. При
неявном задании точек координаты полюсов и опор рассчитываются
ППП ГРАФИТ автоматически. Информация о расчетных фраг-
фрагментах накапливается в рабочих таблицах, а затем заносится
в архив.
Явное задание полюса осуществляется подпрограммой
CALL KIPOL1 (NPOL, NU, NMD, NOB, X, Y)
Здесь NPOL — порядковый номер полюса; NU — номер при-
приписанного полюсу узла; NMD — имя детали; NOB — номер
оболочки, в которой образован полюс; X, Y — координаты точки
полюса в системе координат конструкции.
Явное задание опоры обеспечивает подпрограмма
CALL KIOPR1 (NOP, NU, NMD, X, Y)

Подсистема формировании расчетных схем конструкций 329
Здесь NOP — порядковый номер опоры; NU — номер приписан-
приписанного опоре узла; NMD — имя детали; X, Y — координаты точки
опоры (в системе координат конструкции).
Неявное задание полюса со ссылкой на точку, предварительно
построенную с помощью ППП ГРАФИТ, осуществляет подпро-
подпрограмма
CALL KIPOL2 (NPOL, NU, NMD, NOB, T)
Здесь Т — идентификатор точки полюса; назначение остальных
параметров аналогично рассмотренному для подпрограммы КIPOL1.
Опоры могут быть также заданы неявно.
Запись таблиц полюсов и опор в архив обеспечивают под-
подпрограммы
CALL KIWPOL (NMARX, NMNB, КО)
CALL KIWOPR (NMARX, NMNB, КО)
Здесь NMARX — имя архива; NMNB — имя набора, отведен-
отведенного под расчетные фрагменты конструкции; КО — код ответа.
Считывание таблиц из архива выполняют подпрограммы
K.IRPOL и KIROPR с аналогичными параметрами.
При описании опор и полюсов может потребоваться задание
дополнительных узлов конструкции (не связанных с ранее вве-
введенными шпангоутами или оболочками). Дополнительные узлы
конструкции накапливаются во вспомогательной таблице и за-
задаются подпрограммой
CALL KIUZ1 (NU, NMD, X, Y)
Здесь NU — номер узла; NMD — имя детали; X, Y — коорди-
координаты узла.
Дополнительные узлы также могут быть заданы неявно.
Запись и считывание вспомогательной таблицы узлов выпол-
выполняют подпрограммы KIWUZ1 и KIRUZ1. После записи в архив
всех таблиц расчетных фрагментов формируется сводная таблица
узлов конструкции с помощью подпрограммы
CALL TUZLSB (NMARX, NMNB, КО)
Назначение параметров NMARX, NMNB и КО аналогично
ранее рассмотренному.
Все перечисленные операции задания расчетных фрагментов
могут быть совмещены с описанием конструкции и в пакетном ре-
режиме выполнены одной программой, что обеспечивает непосред-
непосредственное использование геометрической модели конструкции.
Последовательность задания расчетных фрагментов может быть
любой, ограничен порядок формирования сводной таблицы узлов.
Расчетные фрагменты могут также задаваться независимо от
описания конструкции и разными программами. Для ускорения
процесса подготовки данных эти действия могут выполнять не-
несколько пользователей одновременно. В этих случаях необхо-

330 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
димо правильно дополнять записанные в архив таблицы новыми
данными. Для этого рекомендуется сначала считать таблицы из
архива, заполнить их описаниями новых расчетных фрагментов,
а потом записать обновленные таблицы в архив.
Связи задаются табличным методом; при этом вводится сле-
следующая информация: геометрические параметры связей; меха-
механические характеристики, описывающие упругие свойства свя-
связей по каждой из степеней свободы.
Структура запроса на формирование шаблонов таблиц связей:
*** ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПО СВЯЗЯМ ***
ЧИСЛО СВЯЗЕЙ 00
ЧИСЛО ХАРАКТЕРИСТИК СВЯЗЕЙ ТИПА 1 00
ЧИСЛО ХАРАКТЕРИСТИК СВЯЗЕЙ ТИПА 2 00
В запросе пользователь указывает общее число связей кон-
конструкции и число механических характеристик упругих A) и
вязкоупругих B) связей.
В результате обработки запроса формируются шаблоны таб-
таблиц, которые используются для задания связей.
Структура таблицы геометрических параметров связей:
т********* ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПО СВЯЗЯМ **********
ЧИСЛО СВЯЗЕЙ 07
I ЫСВЯ INy31INy32ITHniNMEXI Xi I Yl I X2 I Y2 I
I 1 I 00 I 00 I О I 00 10000.0010000.0010000.0010000.001
I 2 I 00 I 00 I О I 00 10000.0010000.0010000.0010000.001
I 3 I 00 I 00 I О I 00 10000.0010000.0010000.0010000.001
I 4 I 00 I 00 I О I 00 10000.0010000.0010000.0010000.001
I 5 I 00 I 00 I О I 00 10000.0010000.0010000.0010000.001
I 6 I 00 I 00 I О I 00 10000.0010000.0010000.0010000.001
I 7 I 00 I 00 I О I 00 10000.0010000.0010000.0010000.001
Описание каждой связи занимает одну строку таблицы и
состоит в задании порядкового номера связи, номеров начального
и конечного узлов, типа, ссылки на описание геометрических
характеристик, координат начальной и конечной точек.
Механические характеристики задаются для каждого типа
связей отдельно. Для упругих связей указываются коэффи-
коэффициенты упругости KU, KW, KF, KV:
ЧИСЛО СВЯЗЕЙ ТИПА 1 07
I N I KU I KW I KF I KV I
III 0.0000E+00 I 0.0000E+00 I 0.0000Е+00 I 0.0000E+00 I
12 1 0.0000Е+00 I 0.0000E+00 I 0.0000Е+00 I 0.0000E+00 I
13 1 0.0000Е+00 I 0.0000E+00 I 0.0000E+00 I 0.0000Е+00 I
14 1 0.0000Е+00 I 0.0000E+00 I O.OQOOE+OO I 0.ООООЕ+00 I .
15 1 0.0000Е+00 I 0.0000Е+00 I 0.0000Е+00 I 0.0000Е+00 I ¦
16 1 0.0000Е+00 I 0.0000Е+00 I 0.0000Е+00 I 0.0000Е+00 I
17 1 0.0000Е+00 I 0.ООООЕ+00 I 0.0000Е+00 I 0.0000Е+00 I >

Подсистема формирования расчетных схем конструкций
331
Для вязкоупругих связей кроме перечисленных параметров
задаются коэффициенты вязкоупругости AU, BU, LU, AW, BW,
LW, AF, BF, LF, AV, BV, LV для ядра Ржаницына—Колтунова:
I
I
I
I
I
I
I
I
I
N
8
9
I
I
I
I
I
I
I
I
KU/AU/BU/LU
0.OOOOE+00
O.OOOOE+00
0.OOOOE+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
I
I
I
I
X
I
I
1-H
l-l
KW/AW/BW/LW
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
i-i
I
I
I
I
I
I
I
I
KF/AF/BF/LF
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
I
I
I
I
I
I
I
I
I
KV/AV/BV/LV
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
0.0000E+00
O.OOOOE+00
M
I
I
I
i-i
i-i
I
i-i
I
К
A
В
I.
К
A
В
L
Каждое описание механических характеристик снабжается
номером, который используется в таблице геометрических пара-
параметров связей. Таким образом, различные связи могут иметь оди-
одинаковые механические характеристики.
Заполненные таблицы заносятся в архив. Одновременно фор-
формируется каталог механических характеристик связей.
В любом режиме работы с подсистемой задание связей кон-
конструкции осуществляется независимо от задания расчетных фраг-
фрагментов.
Задание факторов внешней среды. Факторы внешней среды,
как и связи, задаются табличным методом. На этом этапе подго-
подготовки PC описываются действующие на конструкцию нагрузки
и граничные условия.
Граничные условия характеризуют вид закрепления и извест-
известные перемещения отдельных узлов конструкции. В запросе на
формирование шаблона таблицы граничных условий указывается
общее число таких узлов. Структура таблицы граничных усло-
условий:
********** ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ **********
ЧИСЛО УЗЛОВ С ОГРАНИЧЕНИЕМ 07
1ЫУЗЛ1иШ1ФИ1У1 ДЕЛЬТА U I ДЕЛЬТА W I ДЕЛЬТА ФИГ. ДЕЛЬТА V I
I 00 I0I0I 01010.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 00 I0I0I 01010.00OOE+00I0.OOO0E+0OIO.00OOE+OOIO.OOOOE+00I
I 00 IOIOI 0I0I0.0000E+O0I0.OOO0E+0OI0.00OOE+OOIO.OOOOE+O0I
I 00 IOIOI OIOI0.0000E+O0I0.OOO0E+00IO.OO0OE+OOIO.OOOOE+O0I
I 00 IOIOI 0I0I0.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.00OOE+OOI
I 00 IOIOI 0I0I0.0000E+00I0.0OOOE+00IO.OOOOE+OOIO.00OOE+OOI
I 00 IOIOI 01010.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
Для каждого узла задаются его порядковый номер, вектор
логических признаков, определяющих вид ограничения A —

332 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
есть ограничение на перемещение или угол поворота узла в со-
соответствующем координатном направлении; 0 — ограничения нет)
и численные значения перемещений. Заполненная таблица запи-
записывается в архив.
Действующие на конструкцию нагрузки описываются для
расчетных фрагментов и в общем случае являются композициями
трех составляющих: продольной (в плоскости сечения конструк-
конструкции), поперечной (в окружном направлении) и динамической.
Каждая из составляющих задается отдельно, а их взаимосвязь
обеспечивается использованием ссылок. При этом различные про-
продольные составляющие нагрузок могут иметь одинаковые законы
изменения в окружном направлении и во времени. Подобный под-
подход позволяет описать различные схемы нагружения изделий:
осесимметричное, неосесимметричное, статическое и динамиче-
динамическое.
Ввод данных о нагрузках начинается с заполнения запроса
на формирование шаблонов каталога и таблиц:
*** ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПО НАГРУЗКАМ *¦¦
*** ПРОДОЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ***
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ОБЩЕЕ 00
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 1 00
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 2 00
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 3 00
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 4 00
**¦ ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ ¦¦*
ЧИСЛО ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК ОБЩЕЕ 00
ЧИСЛО НАГРУЗОК ЗАКОНА 1 00,КТ1=00
ЧИСЛО НАГРУЗОК ЗАКОНА 2 00,КТ2=00
¦*¦ ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ НАГРУЗОК *¦¦
ЧИСЛО ВРЕМЕННЫХ ТОЧЕК 00
ЧИСЛО ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ 00
Для продольных составляющих в качестве ключевых пара-
параметров указываются: общее число нагрузок, зависящее от числа
продольных нагруженных участков конструкции; число нагрузок
каждого типа A — сосредоточенная механическая; 2 —¦ распре-
распределенная механическая; 3 — температурная нагрузка, приложен-
приложенная к шпангоуту; 4 — распределенная температурная нагрузка,
действующая на слой оболочки).
В результате обработки запроса формируются шаблоны ка-
каталога и таблиц нагрузок каждого из указанных типов.
В каталоге продольных нагрузок задается общая информация:
тип нагруженного расчетного фрагмента A — шпангоут, 2 —
оболочка; 3 — узел конструкции), его порядковый номер, тип
и порядковый номер нагрузки, ссылки на описания законов из-
изменения нагрузки в окружном направлении, во времени, номера

Подсистема формирования расчетных схем конструкций
333
точек контура расчетного фрагмента, характеризующие участок
нагружения конструкции:
*** КАТАЛОГ ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ***
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ОБЩЕЕ 07
I
I
I
I
I
I
0.
0
0
0
0
0
I
I
I
I
I
I
00
00
00
00
00
00
I
I
I
I
I
I
0
0
0
0
0
0
1ТИПЭЛ1 ЫЭЛ1ТИПНГШНАГ1МП0П1МДИН1 NTH NT2I
I О I 00 I О I 00 I 00 I 00 I 00 I 00 I
I 00 I 00 I 00 I 00 I 00 I
I 00 I 00 I 00 I 00 I 00 I
I 00 I 00 I 00 I 00 I 00 I
I 00 I 00 I 00 I 00 I 00 I
I 00 I 00 I 00 I 00 I 00 I
I 00 I 00 I 00 I 00 I 00 I
Если ссылки на описания поперечной и (или) динамической
составляющих нагрузки не используются, в соответствующие
позиции каталога заносятся нули. Точки участка нагружения
указываются в порядке обхода контура расчетного фрагмента,
принятом при его задании. Эти данные вводятся лишь для механи-
механических нагрузок, причем для сосредоточенных задается одна точка.
В таблицах указываются параметры описания продольных
составляющих:
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 1 ' 05
I NI
MY
MX
MZ
I 110.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 2I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 310.0 000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 4I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 510 . 000 0E+00I0 .0000E + 00I0. 0000Е+001
10.0000E+00I0.OOOOE+001
10.0000E+00I0.0000E+00I
10.0000E+00I0.0000E+00I
10.0000E+00I0.0000E+00I
10.0000E+00I0.0000E+00I
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 2 05
I NI Q1X I Q2X I Q1Y I ... I
Q1Z
Q2Z
I
I 6I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 710.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 8I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 9I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I10I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
10.0000E+00I0> 0000E + 00I
I0.0000E+00I0.0000E+00I
I0.0000E+00I0.0000E+0 0I
IO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
10.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 3 05
INI TO I FX I FZ I
I 11 I 0.0000E+00I 0.0000E+00I 0.0000Е+001
I 12 I O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI
I 13 I O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI
I 14 I O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI
I 15 I O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI O.OOOOE+OOI

334 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 4 05
INIKI TH I TK I TBH I THAP I
I 16 I 00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I
I 17 I 00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I
I 18 I 00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I
I 19 I 00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I
I 20 I 00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I 00000.00 I
Для каждого типа нагрузок состав параметров устанавли-
устанавливается отдельно. Сосредоточенная механическая нагрузка (тип 1)
описывается компонентами векторов силы и момента, действую-
действующих в точке задания нагрузки. Распределенная механическая
нагрузка (тип 2) характеризуется компонентами векторов сил
в начале и конце участка нагружения. Закон изменения нагрузки
вдоль участка считается линейным. Для слоев оболочек принято,
что нагрузка приложена к координатной поверхности оболочки.
Для температурной нагрузки, приложенной к шпангоуту (тип 3),
задаются значения температуры в центре тяжести шпангоута и
параметры распределения температуры по его сечению. Для рас-
распределенной температурной нагрузки, действующей на слой обо-
оболочки (тип 4), указываются номер слоя, значения температуры
в начале и конце слоя на его внутренней и внешней сторонах.
Внутренней считается сторона, соответствующая координатной
поверхности оболочки. Ориентация участка нагружения опреде-
определяется ориентацией оболочки. Закон изменения температурной
нагрузки вдоль слоя предполагается линейным.
В зависимости от закона изменения нагрузок в окружном
направлении различают нагрузки трех типов: 0 — осесимметрич-
ную; 1 — неосесимметричную, действующую по всему контуру
поперечного сечения; 2 — неосесимметричную, заданную на от-
отдельных участках.
В запросе на формирование шаблонов таблиц, кроме
общего числа поперечных составляющих и числа состав-
составляющих каждого из указанных типов, задается параметр КТ,
*** каталог поперечных нагрузок *** определяющий число
число поперечных нагрузок общее ю точек функции наг-
нагрузки для закона 1
и число участков на-
нагружения для закона
2. В каталоге попе-
поперечных нагрузок для
каждой поперечной
составляющей указы-
указывается ее порядковый
номер и номер за-
закона распределения:
1ЫП0П13АК0Н1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
t-H 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
KT
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
I
I
I
I
I
I
I
1-4
I
I
1 1-4

Подсистема формирования расчетных схем конструкций 335
В таблицах явно описываются лишь неосесимметричные со-
составляющие. Для закона 1 задаются значения составляющей
в равноотстоящих по окружности точках, а для закона 2 — уча-
участки нагружения:
ЧИСЛО НАГРУЗОК ЗАКОНА 1 05, КТ=10
INI ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦ'ИЙ I
I I I0.0000E+00I0.0000E+00IO.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 10.0000E+00I0.0000E+00IO.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I 2 I0.0000E+00I0.0000E+00IO.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I I0.0000E+00I0.0000E+00IO.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+O0I
I 3 10.00O0E+00I0.0000E+00IO.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
I I0.00O0E+00I0.0000E+00IO.0000E+00IO.0000E+00I0.0000E+00I
I 4 IO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I IO.OOOOE+OOIO.OO0OE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.O0OOE+0OI
I 5 IO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I0.0000E+00I
ЧИСЛО НАГРУЗОК ЗАКОНА 2 02, КТ=10
INI ХАРАКТЕРИСТИКИ I
I 6 IO.O0OOE+0OIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.0OOOE+O0IO.OO00E+00I
I 10.0000E+00I0.ООООЕ+ООЮ.ООООЕ+ООЮ.0000E+00I0.0000E+00I
I 10. ООООЕ+ООЮ. 00 ООЕ + 0010. 0000E + 0010. ООООЕ+ООЮ . OOOOE + OOI
I 10 .ООООЕ+ООЮ. 00 ООЕ + 0010. 0000Е + 00Ю . 0000Е+00Ю . OOOOE + OOI
I 7 10.0000Е+00Ю.0000Е + 00Ю.0000Е + 00Ю.0000Е+00Ю.OOOOE + OOI
I 10, ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + ООЮ. 0000Е + 00Ю. ООООЕ + ООЮ. OOOOE+OOI
I 10.OOOOE+OOI0.00ООЕ+0010.OOOOE+OOI0.ООООЕ+ООЮ.ООООЕ+00I
I 10. ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + 0010. ООООЕ + ООЮ. 0000Е+00Ю. OOOOE + OOI
Каждый участок характеризуется двумя углами положения
и значениями составляющей нагрузки в начале и конце участка.
Углы отсчитываются в направлении против часовой стрелки. За-
Закон изменения нагрузки на участке считается линейным.
Динамические составляющие задаются лишь для механиче-
механических нагрузок. Каждая динамическая составляющая характери-
характеризуется таблично заданной функцией. Считается, что все динами-
динамические составляющие приведены к единой временной оси.
В запросе на формирование шаблонов таблиц указывается
число временных точек и число динамических составляющих.
При описании законов изменения динамических составляющих
вводятся временные точки, номер и значения функций составляю-
составляющих:
*** ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ НАГРУЗОК ¦**
i .ЧИСЛО ВРЕМЕННЫХ ТОЧЕК 07
I ВРЕМЕННЫЕТОЧКИ I
I 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI
I 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI 0.OOOOE+OOI

336 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
ЧИСЛО ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ 07
INI ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ I
1 1 10 . OOOOE+OOIO . ООООЕ+ООЮ . OOOOE + OOIO . ООООЕ + ООЮ . 0000Е + СЮ1
Т 10.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 2 10 . ООООЕ + ООЮ .0000Е + 00Ю. ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + ООЮ .OOOOE + OOI
I 10. ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + ООЮ. OOOOE + OOI О. ООООЕ + ООЮ .OOOOE + OOI
I 3 10.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 10.ООООЕ+ООЮ.ООООЕ+ООЮ.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 4 10.ООООЕ+ООЮ.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 10.ООООЕ+ООЮ.ООООЕ+ООЮ.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 5 Ю.ООООЕ+ООЮ.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 10.ООООЕ+ООЮ.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 6 10.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 10. ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + ООЮ. ООООЕ+ООЮ . OOOOE+OOIO . OOOOE + OOI
I 7 10.ООООЕ+ООЮ.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOIO.OOOOE+OOI
I 10 . ООООЕ + ООЮ . ООООЕ + ООЮ . ООООЕ+ООЮ . OOOOE+OOIO . OOOOE+OOI
Заполненные каталоги и таблицы описания нагрузок хранятся
в архиве. **
Операции задания граничных условий и нагрузок выпол-
выполняются независимо одна от другой и составляют отдельный этап
подготовки PC, который при необходимости может быть совмещен
с описанием конструкции и ее разбиением на расчетные фраг-
фрагменты.
Синтез расчетной схемы. Синтез PC выполняется на основа-
основании накопленных в архиве данных, к которым относятся описа-
описания расчетных фрагментов конструкции, связей, факторов внеш-
внешней среды, характеристик конструкционных материалов. На
этом этапе решаются задачи формирования геометрической мо-
модели PC и приведения к элементам PC действующих на конструк-
конструкцию нагрузок.
В PC осесимметричных оболочечных конструкций использу-
используются базовые элементы двух типов — узловые и оболочечные.
Геометрическая модель PC включает описание этих элементов
и их связей, т. е. данные по топологии конструкции. Узловые эле-
элементы характеризуются своими координатами, оболочечные за-
задаются ориентированными прямолинейными (отрезками прямой)
или криволинейными (дугами окружности и эллипса) образую-
образующими, соответствующими продольным сечениям выбранных ко-
координатных поверхностей оболочек. Топология конструкции ха-
характеризуется способом соединения узловых элементов.
Синтез узловых и оболочечных элементов осуществляется
последовательным преобразованием расчетных фрагментов кон-
конструкции. Шпангоуты, полюсы и опоры приводятся к узловым,
а многослойные оболочки — к оболочечным элементам PC. Пара-
Параметры упругих точечных связей конструкции и граничных усло-
условий передаются в PC без изменения.

Подсистема формирования расчетных схем конструкций 337
Одновременно с преобразованием расчетных фрагментов рас-
рассчитываются необходимые геометрические и жесткостные харак-
характеристики элементов, определяются эксцентриситеты связей и
оболочек. Для шпангоутов рассчитываются площадь продольного
сечения, осевые моменты инерции сечения относительно центра
тяжести шпангоута, центробежный момент инерции, момент инер-
инерции при кручении. Для оболочечных элементов кроме геометри-
геометрических параметров определяются толщины слоев. Состав гео-
геометрических параметров оболочечного элемента зависит от вида
образующей. Для прямолинейных элементов находятся длина,
угол наклона и расстояние до оси симметрии конструкции, для
криволинейных — углы наклонов нормалей к оси симметрии
в начальных и конечных точках, центр дуги окружности, эл-
эллипса, полуоси эллипса, радиус окружности.
Толщина слоя оболочки определяется в трех характерных
точках — начальной, срединной и конечной. Контур сечения
слоя ограничен четырьмя элементами С1, С2, СЗ, С4, два из ко-
которых (С1 и СЗ) — всегда отрезки прямых. Длины отрезков С1
и СЗ являются соответственно тдлщинами слоя в начале и конце;
определение толщины в середине слоя сводится к вычислению ко-
координат срединных точек элементов С2 и С4.
К сформированным элементам PC приводятся продольные
составляющие нагрузок. Преобразованию подвергаются лишь
механические нагрузки, действующие на шпангоуты, так как на-
нагрузки, приложенные к оболочкам, задаются непосредственно
на их координатные поверхности.
Таким образом, задача приведения нагрузок состоит в пре-
преобразовании сосредоточенных и распределенных сил к узловым
элементам, расположенным в центрах тяжести шпангоутов. Счи-
Считается, что центры тяжести заданы в системе координат кон-
конструкции, в которой также должны быть выражены параметры
приведенных нагрузок. Характер преобразования определяется
схемой нагружения шпангоута. Возможны четыре варианта зада-
задания нагрузок.
1. Сосредоточенная нагрузка задана в системе координат
конструкции и приложена в центре тяжести шпангоута. Пере-
Пересчет нагрузок не нужен.
2. Сосредоточенная нагрузка задана в системе координат
конструкции и приложена в произвольной точке контура про-
продольного сечения шпангоута (рис. 20.4). Пересчет нагрузки осу-
осуществляется по формулам
Т = /2Т/2Ц. т; Q = <72Т/2Ц. т; 5 = 52т/гц. т;
— 2ц. т) + Я (*ц. т — хт)] 2Т/2Ц. т;
х = [пгх + s (хт — Хд. т)] zT/z^ T;
BТ — гц. т)] 2Т/2Ц. т,

338 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Рис. 20.4
Рис. 20.5
где /, q, s, m, mx, mz — компоненты векторов силы и момента
в точке приложения нагрузки с координатами хт, zT; T, Q, S,
М, Мх, Mz —компоненты приведенной нагрузки; *ц. т, 2Ц. т —
координаты центра тяжести шпангоута.
3. Распределенная нагрузка действует на прямолинейный
элемент контура (рис. 20.5). Введем локальную систему коорди-
координат, характеризующуюся тремя ортами ки к2, к3, причем орт кх
направлен от начальной точки элемента к его концу (ориентация
элемента определяется направлением обхода контура шпангоута
против часовой стрелки), направление kg совпадает с направле-
направлением внешней нормали к элементу, орт к2 дополняет тройку век-
векторов до правой системы координат. Распределенная по линей-
линейному закону нагрузка задается компонентами разложения по
осям локальной системы координат векторов нагрузки в началь-
начальной и конечной точках участ-
ка, т. е.
Qi @ =
» = 1, 2, 3),
B0.1)
Рис. 20.6
где <7*н, <7«-к — компоненты век-
векторов нагрузки в начальной
и конечной точках элемента;
/ — расстояние от начальной
точки элемента до текущей
точки нагружения; L — длина
элемента.
Переходя к системе коорди-
координат конструкции, получаем

Подсистема формирования расчетных схем конструкций 339
аналогичные B0.1) соотношения для компонент нагрузки qx(l),
qy (I), qz (l). Тогда компоненты приведенной нагрузки рассчиты-
рассчитываются по формулам
7- = (l/24.T)f<7x(/J(/)d/; B0.2)
6
L
Q = A/2ц. т) J qz (t) z (/) dl; B0.3)
о
y(l)z(t)dl; B0.4)
М = A/2ц. т) f [rz (/) qx (I) - rx (I) qz (I)] z (I) dl; B0.5)
Mx = A/2ц.,) \ rx (t) qy (I) z (I) dl; B0.6)
Mt = -{\/2ц. ,) \ rz (I) qu (I) z (I) dl, B0.7)
о
где rx (I), rz (I) — проекции на оси X, Z радиуса-вектора, соеди-
соединяющего точку центра тяжести шпангоута с текущей точкой на-
гружения; z (I) — аппликата текущей точки.
4. Распределенная нагрузка действует на криволинейный
элемент контура (рис. 20.6). Пусть система координат конструк-
конструкции характеризуется ортами ех, е2, eg, а орт кг локальной системы
координат направлен по касательной к элементу. Ориентацию
локальной системы координат относительно системы координат
конструкции определяет угол q> поворота орта кг относительно
орта ег в плоскости сечения шпангоута. Тогда линейно распре-
распределенная по ф нагрузка задается способом, аналогичным ранее
рассмотренному, и соотношения B0.2)—B0.7) принимают вид
Т = A/2ц. т) J <7х (ф) 2 (ф) R (ф) ^Ф; B0.8)
Q = A/2ц. т) j Чг (ф) 2 (ф) R (ф) с(ф; B0.9)
5 = A /2Ц. т) J qy (ф) 2 (ф) R (ф) dtp; B0.10)

340 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
М = A/2ц. т) J [rz (ф) qx (Ф) - гх (Ф) qz (Ф)] 2 (Ф) R (Ф) d (Ф); B0.11)
¦Рн
¦"к
Ms = A/2ц. т) j гх (ф) <7„ (ф) 2 (ф) Я (ф) с(ф; B0.12)
= — A/2„.т) |гЛф)<7у(фJ(ф)Я(ф)с(ф, B0.13)
где фн, фк — начальный и конечный углы дуги участка нагруже-
ния; R (ф) — радиус кривизны эллиптической образующей уча-
участка.
Введем новую переменную интегрирования г\, для которой
выполняется соотношение ф = (фк -f- фн)/2 + (ф„ — фн) ц/2-
Тогда выражения B0.8)—B0.13) примут вид
i
/= J/(T))*i. B0.14)
Для вычисления интеграла B0.14) используется метод ква-
квадратуры Гаусса—Лежандра [31 с 11-точечной схемой вычисления:
При комбинированном задании нагрузок осуществляется ал-
алгебраическое суммирование результатов приведения для каж-
каждого из рассмотренных вариантов нагружения шпангоута.
Этот этап подготовки PC требует минимального участия поль-
пользователя и выполняется автоматически программами синтеза,
независимо формирующими две части PC — ее геометрическую
модель и массивы приведенных нагрузок. В качестве исходных
данных для работы программ задаются лишь имена используе-
используемого архива и наборов. Вся необходимая для синтеза информа-
информация извлекается из БД системы. Результаты работы программ
объединяются и хранятся в архиве пользователя.
Ввод методических параметров задачи. Для каждой решаемой
в системе КИПР-ЕС задачи статики или динамики многослойных
осесимметричных оболочечных конструкций задают соответ-
соответствующие параметры. Эта операция выполняется программой ввода
методических параметров.
Состав параметров для каждой расчетной задачи устанавли-
устанавливается отдельно. При этом значения параметров поступают в про-
программу из заполненного пользователем макета и записываются

Подсистема формирования расчетных схем конструкций 341
в архив. Одновременно с вводом параметров осуществляется кон-
контроль допустимости их значений.
Ввод методических параметров выполняется независимо от
других этапов подготовки PC.
Формирование файлов исходных данных. Исходные данные
для расчета конструкции генерируются в заданном формате и
размещаются в двух файлах библиотечной организации: FC и
FL. Тем самым обеспечивается информационная связь с подсисте-
подсистемой анализа НДС и динамических характеристик конструкций
в стандартной для нее форме, а также возможность просмотра
и редактирования данных на АЦД.
В файле FC содержится информация о геометрической модели
PC, в файле FL задаются приведенные нагрузки и методические
параметры. Как и при синтезе PC каждый файл создается отдель-
отдельной программой формирования файла, что обеспечивает незави-
независимую модификацию как геометрии и характеристик материалов
конструкции, так и данных о нагружении в процессе теоретиче-
теоретического исследования прочности изделий по различным целевым
вариантам.
Возможность изменения формата генерируемых данных поз-
позволяет подключать к подсистеме различные пакеты анализа, что
придает подсистеме инвариантный характер.
20.3. Программа РЕДАКТОР PC
Все рассмотренные средства подготовки PC конструкций при-
применяются в основном в пакетном режиме работы системы
КИПР-ЕС. При этом к технической конфигурации системы предъ-
предъявляются минимальные требования, но трудоемкость использо-
использования указанных средств весьма высока.
В связи с этим в диалоговом режиме PC конструкций форми-
формируются специальной интерактивной программой РЕДАКТОР PC.
Ее назначение:
формирование координатных моделей шпангоутов и оболочек;
ввод, просмотр и редактирование всех таблиц данных PC
при непосредственном взаимодействии с архивом пользователя;
выполнение ряда архивных операций (см. гл. 23);
управление процессом диалоговой подготовки PC;
контроль и документирование работы пользователя.
Программа используется совместно с компонентами РЕДАК-
РЕДАКТОР РАСЧЕТНЫХ ФРАГМЕНТОВ, РЕДАКТОР-2О и РАЗ-
РАЗРИСОВЩИК.
Формирование координатных моделей шпангоутов и оболочек
осуществляется программой РЕДАКТОР РАСЧЕТНЫХ ФРАГ-
ФРАГМЕНТОВ, которая в функциональном отношении является упро-
упрощенным вариантом программы РЕДАКТОР-2О, но ориентиро-

342 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
вана лишь на задачу выделения расчетных фрагментов. Как и
в пакетном режиме, с этой целью используется геометрическая
модель конструкции. Для формирования оболочек пользователь
задает характерные точки на контуре продольного сечения кон-
конструкции. Выделение оболочек и формирование их координатных
моделей программа РЕДАКТОР РАСЧЕТНЫХ ФРАГМЕНТОВ
осуществляет автоматически. После того как сформированы
все оболочки, задаются шпангоуты. Задание шпангоута осуществ-
осуществляется указанием произвольной точки, находящейся внутри его
замкнутого контура. Для непосредственного ввода расчетных фраг-
фрагментов и (или) модификации геометрической модели конструкции
на этом этапе работы можно также использовать программу
РЕДАКТОР-2О.
Остальная информация о PC вводится в форме таблиц с помо-
помощью АЦД. При этом формат таблиц и порядок ввода данных пол-
полностью аналогичны рассмотренным ранее. В отличие от про-
программ табличного ввода в пакетном режиме при использовании
программы РЕДАКТОР PC не требуется индивидуальная библио-
библиотека исходных модулей для размещения шаблонов таблиц: она
обеспечивает непосредственное взаимодействие с архивом пользо-
пользователя. Кроме функций ввода и просмотра данных имеются раз-
развитые средства редактирования таблиц, применение которых наи-
наиболее эффективно при исправлении ошибок ввода и подготовке
различных вариантов PC конструкции. Программа РЕДАКТОР
PC также обеспечивает работу с архивом конструкционных мате-
материалов.
Одновременно с выполнением перечисленных функций РЕ-
РЕДАКТОР PC используется как монитор, управляющий процес-
процессом диалоговой подготовки PC. С этой целью в программе преду-
предусмотрены механизмы динамического вызова и исполнения необхо-
необходимых интерактивных программ (РЕДАКТОР РАСЧЕТНЫХ
ФРАГМЕНТОВ, РЕДАКТОР-2О, РАЗРИСОВЩИК), а также
составления и запуска последовательностей заданий на выпол-
выполнение программ пакетного режима. В частности, такие этапы ра-
работы, как синтез PC, ввод методических параметров расчетной
задачи и подготовка файлов исходных данных, выполняются с по-
помощью одной или нескольких специальных директив. Связь
между отдельными программами осуществляется автоматически
через архив пользователя. При этом программа РЕДАКТОР PC
обеспечивает запрос и ввод в форме макетов всех необходимых для
выполнения программ исходных данных.
В программе РЕДАКТОР PC имеются необходимые средства
контроля и документирования. По требованию пользователя по
всем этапам работы может формироваться протокол с последую-
последующей его выдачей на АЦПУ. Для графического вывода и просмотра
на дисплее данных о расчетных фрагментах конструкции, ее PC

Подсистема формирования расчетных схем конструкций 343
и факторам внешней среды можно использовать программы РЕ-
РЕДАКТОР РАСЧЕТНЫХ ФРАГМЕНТОВ и РАЗРИСОВЩИК.
Таким образом, интерактивная программа РЕДАКТОР PC
реализует в КИПР-ЕС полный цикл диалоговой подготовки, мо-
модификации данных о PC осесимметричных оболочечных конструк-
конструкции и существенно упрощает и ускоряет выполнение пользовате-
пользователями системы соответствующих проектных операций.
20.4. Средства контроля и документирования работы
Подготовка PC как в пакетном, так и в диалоговом режимах
сопровождается работой необходимых средств контроля и доку-
документирования. Основные компоненты подсистемы имеют встроен-
встроенную систему диагностики, выдают сообщения об ошибках и про-
протоколы завершения программ. На любом этапе работы пользова-
пользователь может сам распечатать данные о текущем состоянии архива,
представить проектную информацию в графической форме и под-
подготовить отчетную документацию.
В пакетном режиме распечатка каталогов шпангоутов и обо-
оболочек обеспечивается подпрограммами KIPSHP и KIPOBL, а вы-
вывод на печать координатных моделей самих расчетных фрагмен-
фрагментов — подпрограммами CALL KIPSHN (N) и CALL KIPOBN (N).
Здесь N — порядковый номер шпангоута или оболочки.
Можно распечатать таблицы опор, полюсов и узлов. Для
этого используются подпрограммы KIPKC1, KIPKC2, KIPKC3.
Для работы всех подпрограмм необходимо предварительно
считать данные из архива и поместить их в соответствующие ра-
рабочие таблицы оперативной памяти ЭВМ.
Предусмотрен также автоматический вывод данных с помощью
подпрограммы PRNMOD, устанавливающей режим печати ар-
архивных программ. & этом случае выводится вся информация, не-
необходимая для контроля работы с архивом.
Аналогично можно проконтролировать данные о связях и
факторах внешней среды. Можно также распечатать файлы исход-
исходных данных для расчета конструкции.
В диалоговом режиме контроль данных обеспечивается про-
программой РЕДАКТОР PC. Кроме того, необходимые средства кон-
контроля предоставляют также программы РЕДАКТОР-20 и ввода
чертежей с планшета АРМ. Вывод информации осуществляется
на экран АЦД и (или) АЦПУ.
Использование средств контрольной печати данных наряду
с процедурами диагностики и программами графического вывода
обеспечивает необходимый уровень достоверности результатов
работы подсистемы.

344 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
21. ПОДСИСТЕМА АНАЛИЗА
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
И ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОНСТРУКЦИЙ
21.1. Структура подсистемы
Подсистема предназначена для анализа НДС и динамических
характеристик, критических нагрузок и форм потери устойчиво-
устойчивости тонкостенных осесимметричных оболочечных конструкций,
представляющих собой произвольную комбинацию оболочек вра-
вращения (модель Кирхгофа—Лява), круговых шпангоутов (модель
Кирхгофа—Клебша) и связей.
Функционирование подсистемы основано на математическом
аппарате численного моделирования тонкостенных осесимметрич-
осесимметричных оболочечных конструкций, представленном в виде пакета
проблемно-ориентированных процедур определения НДС и ди-
динамических характеристик подсистемы математического и про-
программного обеспечения алгоритмов определения НДС и динами-
динамических характеристик конструкций.
Подсистема анализа НДС и динамических характеристик кон-
конструкций реализована на алгоритмическом языке ПЛ-1, ориенти-
ориентирована на ОС ЕС и может быть использована как в системном,
так и в автономном режимах работы.
В первом случае подготовка исходных данных осуществляется
автоматически подсистемой формирования расчетных схем кон-
конструкций (см. гл. 20), во втором случае — пользователем.
Работу подсистемы обеспечивает пакет объектно-ориентиро-
объектно-ориентированных программ определения НДС и динамических характери-
характеристик осесимметричных оболочечных конструкций, который разме-
размещен в библиотеке загрузочных модулей KIPR0. В этой же библио-
библиотеке размещена программа DKIPR, предназначенная для фор-
формальной диагностики исходных данных в автономном режиме
работы.
Для эксплуатации подсистемы кроме библиотеки KIPR0
необходимо иметь на дисковом томе с серийным номером CAFSM0
(условный серийный номер тома) несколько временных и постоян-
постоянных наборов данных. При работе подсистемы эти наборы данных
играют роль БД. Существует два вида наборов данных:
библиотечные (библиотеки исходных модулей форматом 80
байт) и прямого доступа с атрибутами DIRECT RECORD
ENVERONMENT (F C360) REGIONAL A)).
Для формирования файлов исходных данных, описывающих
PC конструкции и действующие на нее нагрузки, необходимо на
дисковом томе с серийным номером CAFSM0 создать библиотеку
«сходных модулей с именем KIPRID. В штатной поставке под-
подсистемы на уровне 0 (при работе в автономном режиме) эта биб-
библиотека содержит пакеты заданий на выполнение прикладных

Подсистема анализа НДС и динамических характеристики конструкций 345
и специальных программ. Разделы библиотеки KIPRID, содер-
содержащие эти пакеты заданий, имеют следующие имена и функцио-
функциональное назначение:
KIPRD**0 — выполнение программы КР**0, осуществ-
осуществляющей диагностику исходных данных;
KIPR0**0 — выполнение объектно-ориентированной про-
программы КР * * 0, осуществляющей решение задачи с порядко-
порядковым номером * *;
SETDATE0—выполнение программы по организации набора
данных прямого доступа.
При эксплуатации подсистемы необходимо иметь два набора
данных прямого доступа.
Набор данных прямого доступа KIPRL0 предназначен для
хранения результатов выполнения объектно-ориентированных
программ, осуществления связи с программами вывода на АЦПУ
документации по расчету и с подсистемой визуализации, выпуска
графической и текстовой документации интегрированной си-
системы КИПР-ЕС.
Организация набора данных прямого доступа KIPRL0 осу-
осуществляется с помощью задания SETDATE0.
Набор данных прямого доступа KIPRDN предназначен для
хранения промежуточной информации при решении задач дина-
динамики с помощью объектно-ориентированных программ КР070
и КР080. Этот набор данных также организуется с помощью
задания SETDATE0.
21.2. Формирование расчетной схемы конструкции
в автономном режиме
Для формирования PC тонкостенную оболочечную конструк-
конструкцию (рис. 21.1) мысленно расчленяют на оболочечные элементы
(цифры в квадратных скобках), полюсы (цифры в фигурных скоб-
скобках), связи (цифры в круглых скобках) и шпангоуты. В резуль-
результате образуется система указанных элементов и узлов. Типичные
примеры формирования узлов конструкции показаны на рис. 21.2.
При формировании PC
все параметры и массивы,
описывающие ее, подраз-
подразделяют на пять групп:
узлы, шпангоуты, оболо-
оболочечные элементы, связи
и полюсы.
В отличие от проблемно-
ориентированных проце-
процедур подсистемы математи-
математического и программного
[2]
i
5 7_
ШУ
t [ч] el
.3 [7] 1ф
' 9
[B]\
[8l\
Рис. 21.1

346 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
1
1
*1
*<
wwl—
Ш1
I
Чг
*L
\
J '
>
\
t
обеспечения алгорит-
алгоритмов определения НДС
и динамических харак-
характеристик конструкций,
инвариантных относи-
относительно поверхности при-
приведения оболочечных
элементов, механиче-
механических характеристик и
толщин слоев, вида
ядер релаксации и т. п.,
объектно-ориентирован-
объектно-ориентированные программы содер-
содержат ряд ограничений
на перечисленные па-
параметры PC.
Рассмотрим два типа
оболочечных элемен-
элементов — конус и эллип-
эллиптический тор, т. е. семь
видов оболочек враще-
вращения: круговую пла-
пластину, конус, цилиндр,
сферу, эллипсоид вра-
вращения, круговой и
эллиптический торы.
Предполагаем, что обо-
лочечные элементы и
связи могут быть скре-
скреплены с узловыми эле-
элементами с некоторыми эксцентриситетами. Каждый слой обо-
лочечного элемента может иметь толщину, изменяющуюся вдоль
образующей по параболическому закону.
В соответствии с правилами, принятыми при формирова-
формировании БД материалов в интегрированной системе КИПР-ЕС,
в общем случае материал описывается двадцатью одной ха-
характеристикой. Рассматриваем материалы пяти типов (см. под-
разд. 19.3).
Упругий изотропный материал характеризуют модулем упру-
упругости Е, коэффициентом Пуассона v, плотностью р и температур-
температурным коэффициентом линейного расширения at. :!
Нелинейно-упругий изотропный материал кроме перечислен-
перечисленных параметров характеризуется диаграммой растяжения мате-
материала о (е), задаваемой в восьми точках.
Упругий ортотропныи материал характеризуют модулями упру-
упругости Eit E2, коэффициентом Пуассона v12, модулем сдвига, плот-
Рис. 21.2

Подсистема анализа НДС и динамических расчетов конструкций 347
ностью р и температурными коэффициентами линейного расшире-
расширения atl, at2.
Предполагают, что вязкоупругие свойства материалов слоев
и шпангоутов описываются слабосингулярным ядром Ржани-
цына—Колтунова
R (т) = А<Г*Уч1-а> B1.1)
где т — время; А, р\ а — постоянные ядра.
Ядро B1.1) весьма удовлетворительно отражает квазистати-
квазистатическое и динамическое поведение материалов и наиболее удобно
при квазистатических и динамических расчетах. Поэтому изо-
изотропный вязкоупругий материал характеризуют мгновенным мо-
модулем упругости Е, мгновенным коэффициентом Пуассона v,
плотностью р, коэффициентом температурного расширения ос4
и константами ядра релаксации А, р\ а.
Регулярные упругие подкрепления характеризуют площадями
Fi и F2 поперечных сечений подкреплений в направлениях ах
и а2; расстояниями zx и z2 от внутренней поверхности подкрепляю-
подкрепляющих элементов до их центров тяжести; числами пг и п2 подкреп-
подкрепляющих элементов; модулями упругости Ех и Е2\ собственными
моментами инерции 1Х и /2 поперечных сечений подкрепляющих
элементов; плотностями рх и р2; температурными коэффициентами
линейного расширения ап и at2 в направлениях ах и а2.
Механические характеристики связей описываются мгновен-
мгновенными модулями упругости Ej в направлении / и ядром вида
B1.1).
Таким образом, в отличие от проблемно-ориентированных
процедур подсистема анализа НДС и динамических характеристик
конструкций использует исходные данные, задаваемые только
параметрами и массивами.
Исходные данные, описывающие PC конструкции, должны
быть размещены в файле FC исходных данных конструкции, в ка-
качестве которого используют раздел библиотеки исходных модулей
KIPRID.
21.3. Описание внешних воздействий
В общем случае все механические и температурные нагрузки,
действующие на конструкцию, подразделяют на три группы:
распределенные механические нагрузки на узловые элементы,
приведенные к срединной линии каждого узлового элемента;
поверхностные механические нагрузки на оболочечные эле-
элементы, приведенные к координатным поверхностям этих элемен-
элементов;
температурные нагрузки на слои оболочечных элементов и
шпангоутов.

348 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Рис. 21.3
Рис. 21.4
Все механические и температурные нагрузки на узловые и
оболочечные элементы задают в виде
q = Яо К) / (а.) Ф ("О, B1-2)
где <7„ (аа) — для узлового элемента число, для оболочечного эле-
элемента функция локальной координаты ах; f (а2) — закон распре-
распределения нагрузок по окружной координате а2; ф (т) — функция,
характеризующая зависимость нагрузок от времени т.
Выбрав в конструкции сечение А—А, являющееся началом
отсчета координаты а2, законы распределения нагрузок по а2
изображают на развертке окружности 0 — 360° (рис. 21.3).
Рассмотрим три закона распределения механических и тем-
температурных нагрузок по окружности.
Закон 0 — осесимметричное распределение нагрузки
(рис. 21.4, а). В этом случае / (а2) = 1.
Закон 1 — задание функции / (а2) в равномерно отстоящих
точках по координате а2 (рис. 21.4, б). В этом случае окружность
разбивают на N участков и в JV узлах окружности с координа-
координатами a2i = 360 (i — 1I N задают значения функции ft (i = I,
2, ..., N).
Закон 2 — задание функции / (а2) в виде дискретно располо-
расположенных участков с линейным распределением нагрузок на каж-
каждом участке (рис. 21.4, в). В этом случае закон распределения
нагрузок на первом участке задается числами а21, /ь а22, /2; на
втором участке числами а23, f3, а24, /4 и т. д.
Распределение поверхностных нагрузок по образующей ко-
координатной поверхности считают линейным; значения этих на-
нагрузок полностью определяются двумя числами: q0 (a10) и

Подсистема анализа НДС и динамических расчетов конструкций 349
<7о (аи)> гДе аю и аи — начальная и конечная координаты обо-
лочечного элемента.
Предполагают, что температура /-го слоя р-го оболочечного
элемента изменяется по линейному закону вдоль локальных ко-
координат осх и г оболочки. Это распределение температуры пол-
полностью определяется четырьмя ее значениями: Тг}, T2j — в начале
и конце внутренней поверхности/-го слоя оболочечного элемента
и T3j, Ti} — в начале и конце внешней его поверхности.
Предполагают также, что температура в шпангоутах распре-
распределена по линейному закону:
Т (х, г) = То A + txx + tzz);
тогда это распределение полностью определяется тремя величи-
величинами: То — температурой на срединной линии шпангоута и tx,
tz — градиентами распределения температуры по локальным
осям х и г шпангоута.
Зависимость нагрузок от времени задают в одних и тех же
временных узлах тг для всех типов и видов нагрузок. В этих уз-
узлах задают значения функций ф (т*) как для узловых, так и для
оболочечных элементов рассматриваемой конструкции.
Исходные данные, характеризующие механические и темпера-
температурные нагрузки на элементы конструкции, должны быть разме-
размещены в файле FL исходных данных нагрузок, в качестве которого
используют раздел библиотеки исходных модулей KIPRID.
21.4. Структура программного обеспечения подсистемы
Программное обеспечение подсистемы анализа НДС и дина-
динамических характеристик конструкций представляет собой пакет
прикладных программных модулей, выполняющих определенные
математические или логические функции и реализованных на
языке ПЛ-1.
Процедуры алгоритмического ввода исходных данных. Для
использования проблемно-ориентированных процедур решения
задач статики и динамики осесимметричных оболочечных кон-
конструкций необходимо организовать процедуры алгоритмического
ввода исходных данных. Так как ограничения, накладываемые
на соответствующие объектно-ориентированные процедуры, оп-
определены, то процедуры алгоритмического ввода исходных данных
становятся статическими и однозначно определенными. В этих
процедурах должны использоваться глобальные параметры и
массивы, которые размещены в файле FC исходных данных, опи-
описывающих PC конструкции, и в файле FL исходных данных, опи-
описывающих внешние воздействия.
Пакет процедур алгоритмического ввода исходных данных
содержит 18 программных модулей, выполняющих следующие

350 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
операции с действительными и комплексными переменными:
вычисление геометрических характеристик оболочечных эле-
элементов;
вычисление жесткостных параметров упругих и вязкоупру-
гих многослойных оболочечных элементов;
вычисление температурных параметров упругих многослойных
оболочечных элементов;
вычисление комплексных модулей для шпангоутов и связей;
вычисление поверхностных нагрузок на оболочечные элементы;
вычисление динамических составляющих внешних нагрузок.
Вспомогательные процедуры математического обеспечения
объектно-ориентированных процедур. Пакет вспомогательных про-
процедур математического обеспечения содержит 21 программный
модуль. Эти модули выполняют следующие операции с действи-
действительными и комплексными переменными:
разложение функций / (а2) в ряды Фурье по окружной коорди-
координате а2 для различных законов их задания;
преобразование исходных данных из внешнего представления
во внутреннее;
вычисление компонент НДС в глобальных точках ортогонали-
зации слоев;
запись результатов решения в выходной файл прямого доступа.
Объектно-ориентированные процедуры расчета осесимметрич-
ных оболочечных конструкций. Под объектно-ориентированной
процедурой расчета осесимметричных оболочечных конструкций
понимают процедуру, жестко привязанную к конкретным объек-
объектам (возможные геометрические формы и механические характе-
характеристики оболочечных элементов, внешние механические и темпера-
температурные нагрузки). При использовании объектно-ориентированной
процедуры необходимы только параметры и числовые массивы,
описывающие PC конструкции, и не нужна дополнительная про-
программная подготовка к работе, кроме подготовки табличных ис-
исходных данных. Все процедуры алгоритмического ввода исходных
данных в объектно-ориентированных процедурах настроены на
указанные числовые массивы.
Состав пакета объектно-ориентированных процедур опреде-
определения НДС и динамических характеристик осесимметричных обо-
оболочечных конструкций приведен на рис. 21.5 (имена в круглых
скобках). Здесь же указаны имена проблемно-ориентированных
процедур, используемых объектно-ориентированными (в квадрат-
квадратных скобках) и номера соответствующих задач.
Назначение объектно-ориентированных процедур:
переработка содержимого файлов исходных данных во вну-
внутреннее представление соответствующей задачи;
решение этой задачи;
обработка результатов решения;

Подсистема анализа НДС и динамических расчетов конструкций
351
HP 100 - цстипчиОиииь rtomnipi/Kiititi m
(SLIOO) нелинейно-упругого материала
HP09D - устойчивость упругих
(SL090) ннтучп
КР080- динамика конструкции при
(SLD80) несимметричном погружении
КРОЮ - duHUMUna конструкции при
(SLO7O) пгесимметричном т/гружгнии
[/ISDNO]
КР060 - собственные колебания вязко -
(SL060) упругих конструкций
\ASVOOZ, /fS/Щ ASDOO~\
КР050 ~ собственные нолейания упругих
(SL050) конструкции
\_ASVOO.AS1)O6\
НРОЧ-0 - НДС вязноупругих нонструщий
(SLO4O) ДРи несимметричном
\UASDOZ\ »агРУ»<е"а
/fPOJff - НДС упругих нонструщип при
(SL030) несимметричном погружении
KPOW - НДС нелинейно-упругих конструк-
(SLO2O) ччп при осесимметричном
[psnmf]
КРОЮ - ЩС упругих конструкций при
D1т/7) осесимметричном погружении
[ASnOO~\
Задача Г
10
Рис. 21.5
запись результатов решения задачи в файл прямого доступа;
выдача протокола решения.
Типовая структура объектно-ориентированной процедуры и
ее взаимодействия с подсистемой математического и программного
обеспечения алгоритмов определения НДС и динамических ха-
характеристик конструкций (ФП-4) приведена на рис. 21.6.
В результате выполнения той или иной объектно-ориентиро-
объектно-ориентированной процедуры на дисковом магнитном носителе создается
файл прямого доступа FW с результатами решения задачи для
временного хранения результирующей информации. Связь с БД

352 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Подсистема
математического
а программного
обеспечения
алгоритмов
определения
НДС и
динамических
характеристик
конструкции
( ФП- '/¦)
FW
Файп
прямого доступа
ДЦЛУ
\
О/ьептно-ориентированная процедура
SL** 0
ВХОД
\
Преобразование
исходных
данных
во внутреннее
представление
Массивы
ислодных
данных
во внешнем
представлении
\
0SI3OB
проблемно-
ориентированных
лроцедор
*
Обработка
результатов
решения
\
Запись
результатов
в файл
прямого доступа
\
Протокол
решения
задачи
\
выход
\
Процедуры
илгоритмиче -
сиого Фвода
исходных
данных
Рис. 21.6
интегрированной системы КИПР-ЕС осуществляется посредством
этого файла.
Структура файла FW с результатами решения любой задачи
определяется следующими правилами:
для задач 1—3, 5, 7—10 (см. рис. 21.5) каждое число занимает
8 байт (действительные числа), для задач 4 и 6 — 16 байт (комплекс-
(комплексные числа);
начальный адрес первого байта на файле равен 1;
файл формируется последовательными порциями (например,
для каждой гармоники разложения внешних нагрузок в ряды

Подсистема анализа НДС и динамических расчетов конструкций 353
Фурье; для каждого тона колебаний, для каждого момента вре-
времени при решении задач динамики и т. д.);
первые десять чисел каждой порции являются некоторыми
нараметрами, необходимыми для анализа решения (параметры
решения, размеры массивов и т. д.); эти числа объединены в мас-
массив CZ A0); недостающие элементы массива CZ заполняются ну-
нулями; далее размещаются массивы с результатами решения за-
задачи для данной порции.
Сервисные процедуры. Пакет сервисных процедур содержит
39 программных модулей, выполняющих следующие операции
с действительными и комплексными переменными:
чтение исходных данных;
компактную печать исходных данных;
компактную печать результатов решения.
Процедуры диагностики исходных данных. Для облегчения
и ускорения диагностики исходных данных подсистема анализа
НДС и динамических характеристик конструкций включает па-
пакет программ, которые функционируют независимо от пользова-
пользователя и позволяют достаточно полно проанализировать файл ис-
исходных данных при работе подсистемы в автономном режиме.
Результат их работы — диагностические сообщения. Они позво-
позволяют выявить, а в некоторых случаях автоматически устранить
явные ошибки в исходных данных или предупредить пользователя
о возможных ошибках. Пакет программ диагностики содержит
49 программных модулей.
Объектно-ориентированные программы расчета осесимметрич-
ных оболочечных конструкций. Под объектно-ориентированной
программой понимают программу расчета осесимметричных обо-
оболочечных конструкций, организующую ввод и компактную пе-
печать исходных данных, решение соответствующей задачи статики
или динамики, запись результатов решения в файл прямого до-
доступа и компактную их печать.
Состав пакета объектно-ориентированных программ опреде-
определения НДС и динамических характеристик осесимметричных обо-
оболочечных конструкций приведен на рис. 21.5.
Объектно-ориентированная программа решения задачи ста-
статики или динамики осесимметричных оболочечных конструкций
с помощью объектно-ориентированных процедур в общем случае
имеет блочную структуру (рис. 21.7).
В блоке ввода параметров и массивов конструкции осуществ-
осуществляется чтение из файла FC параметров и массивов, описывающих
PC конструкции.
В блоке ввода параметров и массивов нагрузок осуществляется
чтение из файла FL параметров и массивов, описывающих внеш-
внешние воздействия.
12 П/р В. И. Мяченкова

354 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Объектно -ориентированная праграмми
HP** 0
ЩПУ
Дп
'ПУ
ПУ
FW
Ввод пирометров и массивов
конструкции
\
ffffod параметров и миссивов
нагрузок
\
двод /гариметров и массивов
задачи
-
\
Печать параметров
и массивов конструкции
Печать параметров
и массивов ногрузоя
\
Печить параметров
и массивов зидачи
Решение yai/ичи и запись
резапьаюгаив ff /рипл
\
Лечить результтнов
praiem/я rao'rj'///
С/
FL
ФП-4-
K1PRL
ДЦПУ
Рис. 21.7
В блоке ввода параметров и массивов задачи осуществляется
чтение из файла FL параметров и массивов, описывающих задачу.
Следующие три блока осуществляют компактный вывод на
АЦПУ (по инициативе пользователя) исходных данных, размещен-
размещенных в файлах FC и FL.
В блоке решения задачи и записи результатов в файл осу-
осуществляется вызов из библиотеки загрузочных модулей KIPRL

Подсистема визуализации и допуска документации 355
объектно-ориентированной процедуры SL * * 0 для исполнения
(** —порядковый номер решаемой задачи). Функциональное
назначение процедуры SL* *0 состоит в решении задачи с по-
порядковым номером * * и записи результатов решения в файл FW
прямого доступа.
В блоке печати результатов решения задач осуществляется
чтение результатов решения из файла FW и компактный вывод
на АЦПУ результатов для оперативного их анализа.
22. ПОДСИСТЕМА ВИЗУАЛИЗАЦИИ,
ВЫПУСКА ГРАФИЧЕСКОЙ И ТЕКСТОВОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ
22.1. Структура подсистемы
Данная подсистема используется для визуального контроля
всех этапов работы системы КИПР-ЕС и выпуска комплекта графи-
графической и текстовой расчетно-конструкторской документации по
результатам работы. На различных этапах автоматизированного
конструирования и исследования прочности изделий подсистема
формирует:
текстовую и табличную документацию с исходными данными
и результатами расчетов, выдаваемую в полной и компактной
форме;
чертежи конструкций и отдельных деталей, расчетных фраг-
фрагментов конструкций, эпюр внешних нагрузок, PC конструкций,
эпюр расчетных параметров, деформированных состояний кон-
конструкций.
Для формирования указанной документации разработаны спе-
специальные прикладные программные средства, рассчитанные на
пакетный и диалоговый режим работы. Структура подсистемы
приведена на рис. 22.1. Прикладное обеспечение подсистемы реа-
реализовано на языках ФОРТРАН и ПЛ-1 с использованием ряда
общесистемных средств машинной графики, к числу которых
в первую очередь относят:
базовые графические системы для графопостроителей;
программные средства для работы с векторными и цветными
растровыми дисплеями.
22.2. Общесистемные средства машинной графики
Базовые графические системы для графопостроителей.
В КИПР-ЕС в пакетном режиме на ЕС ЭВМ используется базовая
графическая система математического обеспечения графопострои-
графопостроителей (СМОГ), разработанная в ВЦ СО АН СССР.
СМОГ имеет два уровня реализации. На первом уровне обес-
обеспечивается взаимодействие с устройствами отображения графиче-
графической информации.
12*

356 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Подсистема визуализации, выпуска
графической и текстовой д
/комплект выпуска
графической документа-
документации в пакетном режиме
Прикладное
графическое
обеспечение
Программа
записи
( васстанавления)
результатов
Номплект выпдска
графический документа-
документации в диалоговом режиме
Программа
РДЭРИСОВЩИК
Система формирования
и вывода графической
и текстовой инфор -
нации на ДРМ
Общесистемные средства машинной графики
СМОГ
СМОГ-Д
СМОГ-ДРМ
стг-гдммд
Комплект выпуска текстовой документации
Рис. 22.1
Назначение подпрограмм, используемых в СМОГ на первом
уровне реализации (версия системы для работы с языком ФОР-
ФОРТРАН):
CLUE — вызов (отказ от) системы;
CANAL — подключение графического канала;
LEAF — заказ листа;
РАСЕ — установка шага устройства;
PEN — выбор пера;
TRA — вычерчивание отрезка прямой;
SYMB — вычерчивание символа;
NUMB — вычерчивание числа;
TEXT — вычерчивание текстовой строки;

Подсистема визуализации и выпуска документации 357
DECAR — определение декартовой системы координат;
DEL — перевод декартовых координат в листовые;
LED — перевод листовых координат в декартовые;
INFOR — получение информации о текущем состоянии си-
системы.
При реализации подпрограмм этого уровня использована кон-
концепция виртуального устройства (графического канала), что
определяет терминальную независимость системы от состава при-
применяемой графической аппаратуры. Для вывода информации на
новый тип устройства в базовой графической системе необходимо
разработать канальную программу, а для ее подключения в про-
программе пользователя необходимо указать требуемый номер ка-
канала в подпрограмме CANAL. Номера каналов СМОГ (для па-
пакетного режима работы) и соответствующие им устройства:
1 — ЕС—7054 (через МЛ);
2 — ЕС—7054 (через ПЛ);
3 — УМКФ КАРАТ;
4 — Бенсон-222, Бенсон-1425 (через МЛ);
5 — ЕС-7051 (через ПЛ);
6 — Итекан—2М (через ПЛ).
В каналах 4—6 используются графпакеты.
На втором уровне системы реализуются функциональные про-
программы, характерные для САПР и АСНИ: процедуры интерполя-
интерполяции кривых, построения графиков таблично заданных функций,
изображения сложных поверхностей, построения изолиний и др.
Особенность СМОГ — обеспечение технологии массовой под-
подготовки, выпуска, хранения и тиражирования чертежей, при-
пригодной для условий промышленной эксплуатации. С этой целью
цифровые описания чертежей предварительно накапливаются на
магнитном диске в специально выделенном спуле (графпакете).
Запись чертежа в графпакет подтверждается выдачей ресурсной
справки. Сформированный графпакет может быть затем полностью
или выборочно выведен на магнитную ленту и вычерчен в авто-
автономном режиме на графопостроителе, при этом обеспечиваются
идентификация и учет чертежей.
На СМ ЭВМ СМОГ продублирована компонентом СМОГ-АРМ
с аналогичными возможностями.
Программные средства для работы с векторными и цветными
растровыми дисплеями. ВГД и ЦРД позволяют качественно улуч-
улучшить графическое взаимодействие пользователя и системы авто-
автоматизированного конструирования и прочностных расчетов благо-
благодаря цветовому выделению элементов конструкции, нагрузок,
напряжений, температур, материалов, одновременному выводу
большого объема графической информации, использованию окон,
полиэкрана и другим функциям.

358 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Включение ЦРД и ВГД в состав технических средств, с кото-
которыми может взаимодействовать пользователь системы КИПР-ЕС,
потребовало разработки общесистемных программных компонен-
компонентов: аналогов СМОГ для работы с ЦРД и ВГД на ЕС ЭВМ, а также
программы ДИСПЕТЧЕР ЦРД на мини-ЭВМ, под управлением
которой функционирует рабочее место с ЦРД.
Аналоги СМОГ для работы с ЦРД и ВГД (компоненты СМОГ-
ГАММА и СМОГ-Д) с точки зрения пользователя являются базо-
базовой системой СМОГ, расширенной процедурами взаимодействия
с векторной и цветной растровой графикой. При этом в системе
сохранены все функции первого и второго уровня.
Главная ЭВМ передает информацию для ЦРД с помощью дис-
дисплейного файла. Дисплейный файл состоит из команд пяти клас-
классов, реализующих:
управление ЦРД;
построение векторных изображений;
построение растровых изображений;
алфавитно-цифровой диалог;
работу с готовыми изображениями.
К управляющим относят команды очистки графической плос-
плоскости, работы с полиэкраном и слоями, заполнения таблицы цвет-
цветности информацией, задания шагов перемещения, трансфокации
изображения и ряд сервисных команд.
Команды построения векторных изображений обеспечивают
сегментацию изображения, позиционирование в точку графиче-
графической плоскости, вычерчивание отрезка, ломаной линии, дуги
окружности, полной окружности. К этому классу относят также
команды вывода текстовой информации, задания атрибутов тек-
текста, работы с маркерами. Все графические построения выпол-
выполняются как в абсолютных, так и в относительных координатах.
Команды построения растровых изображений реализуют вы-
вычерчивание круга, кругового кольца, эллипса, произвольного
многоугольника, кругового сегмента и заливку этих фигур цве-
цветом.
Команды диалога позволяют главной ЭВМ запрашивать ал-
алфавитно-цифровую информацию с АЦД, входящего в состав рабо-
рабочего места, а команды работы с готовыми изображениями дают
возможность выводить на экран дисплея растровые изображения,
полученные с устройства ввода фотоизображений.
Для ввода информации определены шесть основных эле-
элементов:
ввод позиции, который обеспечивает передачу координат точки
в глобальной системе координат (ГК);
ввод массива позиций, который обеспечивает передачу набора
координат в ГК;
ввод чисел (вещественных);

Подсистема визуализации и выпуска документации 359
выбор альтернативы, который обеспечивает ввод неотрицатель-
неотрицательного целого числа, представляющего собой выбор из набора аль-
альтернатив;
выбор элемента, который обеспечивает при указании выдачу
имени сегмента и идентификатора выбора;
ввод текста (строки).
Графический дисплей как устройство ввода работает в режиме
запроса, т. е. в режиме синхронного ввода, когда ожидается дей-
действие оператора. Информация от ЦРД в главную ЭВМ пере-
передается с помощью массива сообщений оператора (МСО).
МСО формируется на ЦРД и передается в главную ЭВМ про-
программой ДИСПЕТЧЕР ЦРД (далее ДИСПЕТЧЕР), которая обес-
обеспечивает работу ЦРД как в автономном режиме, так и в режиме
взаимодействия с главной ЭВМ. В автономном режиме программа
ДИСПЕТЧЕР обеспечивает перемещение изображения по экрану,
плавное изменение масштаба, перенос части изображения, вклю-
включение (выключение) режима вычерчивания траектории локатора,
обращение к некоторым процедурам обработки изображения.
Протокол обмена главной ЭВМ с ЦРД в принципе аналогичен
протоколу NAPLPS (NORTH AMERICAN PRESENTATION
LEVEL PROTOKOL SYNTAX — стандарт на отображение тек-
текстовой и графической информации средствами телевидения),
предназначенному специально для растровых графических устрой-
устройств и определяющему алгоритм сжатия графической информации
перед передачей и записью на внешние носители. С помощью этого
протокола формируется компактное представление графического
изображения.
В протоколе NAPLPS использован альфа-геометрический ме-
метод, согласно которому изображение описывается набором гео-
геометрических примитивов: точки, отрезки, прямые, дуги, прямо-
прямоугольники и многоугольники. Предполагается, что в любом
подключенном к системе терминале имеется микропроцессор,
который осуществляет интерпретацию этих примитивов (в
КИПР-ЕС это программа ДИСПЕТЧЕР).
В системе также предусмотрено поточечное кодирование ин-
информации, применяемое, в частности, для передачи фотографий.
Средства работы с графическими дисплеями в терминах две-
двенадцати допустимых уровней стандарта GKS для направления
ввода соответствуют уровню В, а для направления вывода —
основным функциям уровня 1.
Рассмотренные общесистемные средства машинной графики
являются инвариантными компонентами системы КИПР-ЕС и
могут использоваться независимо.
Следует также отметить, что организация вывода графической
информации в системе КИПР-ЕС допускает использование любых
подобных базовых средств, применяемых в практике ВЦ кон-

360 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
кретного предприятия, что весьма важно для сопровождения
системы КИПР-ЕС. Так, для перехода на другую базовую гра-
графическую систему в пакетном режиме необходимо реализовать
ряд процедур, связанных с первым уровнем и обеспечивающих
операции перемещения и выбора пера графопостроителя.
В настоящее время на СМ ЭВМ также ведется работа по под-
подключению системы ГРАФ СМ/ГКС, которая разработана НИИАСС
Госстроя УССР с учетом требований стандарта GKS.
22.3. Прикладное графическое обеспечение
Программные средства формирования графической расчетно-
конструкторской документации относятся к прикладному гра-
графическому обеспечению (ПГО) системы КИПР-ЕС и используются
в пакетном и диалоговом режимах работы. Эти средства разра-
разработаны на базе описанных общесистемных компонентов, однако
их можно применять совместно с любыми другими базовыми гра-
графическими системами.
Средства пакетного режима. К ПГО, реализующему подго-
подготовку и выпуск графической расчетно-конструкторской доку-
документации в, пакетном режиме работы, относят программу записи
результатов расчетов в архив (рис. 22.1), а также пакеты визуали-
визуализации геометрических моделей конструкций и расчетных фраг-
фрагментов, воздействий внешней среды, PC конструкций, эпюр
расчетных параметров, деформированных состояний конструкций.
ПГО, как и другие программные компоненты системы
КИПР-ЕС, отличает функциональная полнота, высокая эксплуа-
эксплуатационная надежность, гибкость и возможность многоцелевого
применения.
ПГО используется на всех этапах работы системы КИПР-ЕС
и информационно связано с остальными компонентами посред-
посредством оперативных БД или архивов пользователей. В режиме
контроля исходные данные для расчетов конструкций представ-
представляются в форме, удобной для визуальной оценки и последующего
(при необходимости) редактирования. Для просмотра результатов
расчетов информация преобразуется к виду, который позволяет
оперативно и всесторонне проанализировать ее в целях принятия
надежно обоснованных проектных решений. Режим документи-
документирования обеспечивает подготовку и выпуск расчетно-конструктор-
расчетно-конструкторской документации по разрабатываемым изделиям в полном объеме.
ПГО реализует полный контроль обрабатываемых данных и
максимально защищено от случайных ошибок пользователей; его
работа сопровождается выдачей всей необходимой диагностической
информации. Использование единой БД как основного источника
информации позволяет легко организовать повторное формирова-
формирование и тиражирование графических документов. Предусмотрены

Подсистема визуализации и выпуск документации 361
дополнительные средства хранения и восстановления текстовой
документации в системе.
Основной формой ПГО в пакетном режиме являются готовые
объектно-ориентированные программы (далее программы), фор-
формирующие графическую документацию различного формата и
содержания. Вместе с тем пользователям системы доступны под-
подпрограммы визуализации, которые могут быть применены для
разработки оригинальных программ документирования. ПГО
ориентировано на использование отечественных технических
средств САПР, не зависит от применяемых устройств ввода алфа-
алфавитно-цифровой и отображения графической информации, пред-
предполагает использование векторных и растровых графических
дисплеев и (или) графопостроителей. Для работы ПГО в качестве
исходных данных используют параметры настройки программ и за-
записи, хранимые в архиве пользователя. Параметры настройки
программ содержат минимально необходимый объем информации
и упорядочены в макеты ввода.
Результатом выполнения программ являются чертежи, ре-
ресурсная справка и протокол.
Чертежи формируются в заданном масштабе на листах разного
формата с рамками нескольких типов. В системе КИПР-ЕС реали-
реализуется вычерчивание стандартной рамки по ГОСТ 2.105—79
(рис. 22.2), служебной рамки, включающей шифр пользователя,
идентификатор программы, параметры архива, набора, время
и дату формирования чертежа (рис. 22.3), и рамки СМОГ, содер-
содержащей идентификацию чертежа в графпакете (рис. 22.4). Чертежи
выводятся в заданный графический канал, далее они могут быть
вычерчены однократно или многократно на графопостроителе
в автономном режиме работы.
Ресурсная справка выдается в системный файл SYSPRINT
и содержит контрольную информацию о сформированном чертеже,
которая включает в себя номер используемого графического ка-
канала, число листов, отведенных под чертеж, путь пишущего ин-
инструмента в метрах:
СООБЩЕНИЕ СМОГ ЕС-01 ОТ 7.01.77 ***********
ЛИСТЫ 1 - 2 ЗАПИСАНЫ
КАНАЛ 4
ПРИБОР ФП OFF B-320
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ РЕСУРСЫ
КАНАЛ 4 РЕСУРС 1
РЕСУРС 2
*********** КОНЕЦ РАБОТЫ СМОГ ***************************
ЗАКАЗ
1000
100
РАСХОД
8
2

362 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
J30.0
ИзмЛися N'OOKUM.
PppaG.
Проб.
т. ком тр.
И. контр.
Утв.
IJoshT
Шта
Лит. Масса масшт.
Лист I Листов
Копировал
Формат Ач
Рис. 22.2

Подсистема визуализации и выпуска документации
363
КИПР
UIWP я2б9
ЗАДАЧА vizrsd
АРХИВ Kipr
НАБОР барианя!
ЛАТА 22.08.tt
ВРЕМЯ 13.30.45
ЛИСТ
7
Рис. 22.3
0.00
JOB T615C875
LEAF 6
Рис. 22.4
Аналогично протокол выполнения программы выводится
в файл FT06F001. Он содержит наименование графической про-
программы, дату ее выполнения, сообщение, подтверждающее нор-
нормальное завершение программы. При аварийном завершении
программы чертеж и ресурсная справка могут отсутствовать,
а протокол содержит диагностические сообщения. Просмотр

364 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
ресурсной справки и протокола осуществляется стандартными
средствами работы с АЦД.
ПГО реализует отображение проектной информации на раз-
различных уровнях: для конструкции, отдельных деталей и расчет-
расчетных фрагментов. Трехуровневая визуализация совместно с аппа-
аппаратом графических окон обеспечивает требуемую степень детали-
детализации информации.
Подготовка чертежей конструкций и расчетных фрагментов
осуществляется по внутренним представлениям, хранимым
в архиве пользователя, и реализуется подпрограммами визуали-
визуализации. На чертежах могут быть показаны продольные сечения
конструкций, отдельных деталей, оболочек и шпангоутов, центры
тяжести шпангоутов, ось симметрии конструкции. Для расчетных
фрагментов дополнительно проставляются обозначения; разные
элементы чертежа могут изображаться разными цветами (перьями).
Чертежи конструкции и составляющих ее деталей формируются
подпрограммами CALL RISSB и CALL KIPBB.
Для вычерчивания сечений шпангоутов конструкции исполь-
используется подпрограмма CALL KIBSHP.
Можно также вычертить сечения заданного шпангоута или
всех шпангоутов одной детали:
CALL KIBSHN (NSH)
CALL KIBSHD (NMD)
Здесь NSH — порядковый номер шпангоута; NMD — имя детали.
Для получения чертежей оболочек используются подпро-
подпрограммы KIBOBL, KIBOBN и KIBOBD с аналогичными возмож-
возможностями.
Подпрограммы визуализации обычно включают в программы
формирования геометрических моделей конструкций и задания
расчетных фрагментов с целью контроля правильности выполне-
выполнения этих этапов работы и получения графической документации.
Для успешной работы этих подпрограмм (как и при использовании
подпрограмм контрольной печати данных) координатные модели
деталей и расчетных фрагментов должны быть размещены в
соответствующих рабочих таблицах оперативной памяти ЭВМ.
Использованию подпрограмм визуализации также должна пред-
предшествовать настройка СМОГ, выполняемая подпрограммами
CLUE, CANAL и LEAF, а завершению работы по формированию
чертежей — отказ от базовой графической системы, осуществляе-
осуществляемый повторным выполнением подпрограммы CLUE.
Пример чертежа расчетных фрагментов приведен на рис. 22.3.
Конструкция разбита на оболочки и шпангоуты (центры тяжести
шпангоутов и обозначения расчетных фрагментов не показаны).
Внешние воздействия отображаются на контуре конструкции
или на расчетных фрагментах. Сосредоточенные нагрузки изобра-

Подсистема визуализации и выпуска документации 365
жаются покомпонентно в виде составляющих Т, Q, S вектора
нагрузки, направленных вдоль осей X, Z, У соответственно.
Аналогично изображаются моменты; положительные направле-
направления моментов Мх, Mv, Mz соответствуют положительным направ-
направлениям координатных осей. Для распределенных нагрузок
строятся эпюры qx, qy, qz. Температурные нагрузки, действующие
на слои оболочек, изображаются в виде эпюр отдельно для вну-
внутренней и внешней поверхностей слоя. Выбор слоя осуществляется
один раз для всех оболочечных элементов заданием его номера.
Нагретые шпангоуты обозначаются символом Т.
Все компоненты нагрузок рассматриваются в общем случае
как композиции продольных, поперечных и динамических со-
составляющих и отображаются на чертеже в заданном масштабе
применительно к различным схемам нагружения конструкции
(осесимметричное, неосесимметричное, статическое, динамическое).
Визуализация неосесимметричных нагрузок осуществляется вы-
выборочно для заданных законов распределения нагрузок в окруж-
окружном направлении.
На рис. 22.4 показан пример чертежа эпюр внешних воздей-
воздействий (вычерчены эпюры внутреннего давления, действующего
на конструкцию).
Программы визуализации расчетных схем обеспечивают вы-
вычерчивание PC конструкций как совокупностей оболочечных,
узловых элементов и связей. Каждый элемент PC может быть
показан отдельно. Например, можно отобразить только узловые
элементы, которые соответствуют шпангоутам конструкции, ее
опорам, полюсам, или выборочно показать любые оболочечные
элементы и (или) связи. Дополнительно отображаются за-
закрепления, ось симметрии конструкции и номера элемен-
элементов PC.
На чертежах PC принят ряд условных обозначений. Так,
узловые элементы изображаются окружностями, аппроксимиро-
аппроксимированными шестиугольниками, оболочечные элементы — образу-
образующими, точечные связи — отрезками прямых, соединяющими
начальные и конечные точки связей, закрепления узловых эле-
элементов — треугольниками, ориентация оболочечных элементов
и связей — стрелками (рис. 22.5).
Результаты расчетов, формируемые подсистемой анализа НДС
и динамических характеристик конструкций, хранятся в файле
общего назначения FW. Для графического представления резуль-
результатов необходимо содержимое данного файла загрузить в БД.
Эту операцию выполняет программа записи результатов расчетов
в архив. Программа может использоваться на любом этапе работы
с системой. Таким образом, пользователь может накапливать
в архиве результаты по различным исследуемым вариантам кон-
конструкции с целью их последующей визуализации.

366 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Рис. 22.5
В системе КИПР-ЕС приняты два способа визуализации ре-
результатов: построение эпюр расчетных параметров и вычерчива-
вычерчивание конструкции в деформированном состоянии.
В обоих случаях информация отображается для продольных
и поперечных сечений конструкций, для различных моментов
времени. '
Эпюры строятся для параметров, характеризующих деформа-
деформации и напряжения в оболочечных элементах конструкции. Эпюры
имеют вид сглаженной кривой или ломаной линии. Дополни-
Дополнительно отображаются нормали в точках ортогонализации оболочек
и допустимые значения расчетных параметров, которые показы-
показывают запасы прочности, принятые для каждого элемента кон-
конструкции. Для многослойных оболочек эпюры строятся отдельно
для каждого слоя. Использование ломаной линии позволяет ми-
минимизировать объем дисплейного файла, передаваемого на уст-
устройства отображения графической информации.
Пример чертежа эпюр результатов расчета представлен на
рис. 22.6. Показаны эпюры факторов НДС конструкции, построен-
построенные для ее продольного сечения.
Программы визуализации деформированных состояний кон-
конструкций обеспечивают вычерчивание смещенных и деформирован-
деформированных под воздействием внешней среды сечений оболочек, шпангоу-
шпангоутов, узловых элементов. Деформированные состояния могут быть
отображены в разных для каждого координатного направления
масштабах и раздельно для каждого элемента конструкции. До-
Допускается изображение нескольких сечений на одном чертеже.
Для качественной оценки степени деформации дополнительно
вычерчивается контур недеформированной конструкции.
Во всех рассмотренных случаях возможно также формирова-
формирование графической расчетно-конструкторской документации нало-

Подсистема визуализации и выпуска документации 367
/Гк
I П II
Рис. 22.6
жением одного чертежа на другой непосредственно на графопо-
графопостроителях, что расширяет возможности ПГО в пакетном режиме
работы.
Программа РАЗРИСОВЩИК. В диалоговом режиме визуали-
визуализация части проектной информации выполняется интерактивными
компонентами системы КИПР-ЕС — программами РЕДАКТОР-2О
и ввода чертежей с планшета АРМ. В дополнение к этим компо-
компонентам разработана специальная программа РАЗРИСОВЩИК,
предназначенная для графического вывода и просмотра хранимой
в архиве информации и обеспечивающая выход системы КИПР-ЕС
на ЦРД.
Программа РАЗРИСОВЩИК, работающая под управлением
программы ДИСПЕТЧЕР ЦРД, может использоваться на любом
этапе работы. Взаимодействие пользователя и программы осуще-
осуществляется посредством языка директив. Так, визуализация PC
конструкции предполагает такую последовательность директив:
ОТК РА : TEST
ОТК НАБ: ГЕОМЕТР1
АВТ ПСК:
ВЫС PCX:
Первые три директивы открывают личный архив и набор
с именами TEST и ГЕОМЕТР1 и устанавливают параметры
системы координат. Последняя директива вычерчивает PC кон-
конструкции.
Основные директивы, используемые в программе РАЗРИ-
РАЗРИСОВЩИК:
Глаголы: УСТ — установить;
АВТ — автоматически установить;
ОТК — открыть;

368 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
ВЫС — высветить;
СТР — стереть;
ФОР — формировать;
НАЧ — начать;
КНЦ — кончить;
КНТ — контролировать;
ПРТ — протоколировать;
Существительные: РА — рабочий архив;
НАБ — набор;
ПСК — параметры системы координат;
ПОК — параметры окна;
ГАБ — габариты;
ССБ — схема сборки;
ДЕТ — деталь;
ОБ — оболочка;
ШП ¦— шпангоут;
PCX — расчетная схема;
Н1Ш — продольные нагрузки на шпангоуты;
Н2Ш — поперечные нагрузки на шпангоуты;
НЮ — продольные нагрузки на оболочки;
Н2О — поперечные нагрузки на оболочки;
УЗ — узлы;
ОП — опоры;
ПОЛ — полюса;
СВЯ — связи;
ОСЬ — ось симметрии конструкции;
SG — эпюры расчетных параметров;
ДЕФ ¦—деформированное состояние конструкции.
В директивах программы РАЗРИСОВЩИК модификаторы не
используются.
В программе РАЗРИСОВЩИК полностью сохранены все
функциональные возможности пакетной версии ПГО и добавлен
ряд функций, обусловленных применением ЦРД. На экране
ЦРД можно использовать одновременно до пяти графических
окон, габариты и положение которых произвольны. В частности,
допускается наложение одного окна на другое. В каждый момент
времени пользователь может работать лишь с одним активным
окном, вывод информации в которое основан на механизме на-
наслоения изображений. Используя директивы визуализации,
можно к изображению в окне добавить любые новые элементы,
например контур PC конструкции или символьные обозначения
элементов чертежа. Другие директивы обеспечивают выборочное
стирание информации в окне или его полную очистку, при пере-
переключении на работу с другими окнами происходит их авто-.
матическое обновление в соответствии с текущим состоянием
архива.

Подсистема визуализации и выпуска документации 369
Информация выводится в графические окна в соответствии
с параметрами системы координат, которые устанавливаются
для каждого окна отдельно. Одновременно с этим обеспечивается
автоматическое масштабирование изображения по габаритам окна.
В программе РАЗРИСОВЩИК используется гибкий механизм
кодировки цвета. Пользователь может задать для каждого эле-
элемента чертежа свой цвет, например выделить деталь в сборке,
относящиеся к ней нагрузки, элементы PC, цвет фона экрана и
графических окон также можно варьировать.
Программа РАЗРИСОВЩИК — наиболее удобное средство ви-
визуального контроля, существенно облегчающее анализ разнопла-
разноплановой проектной информации. Возможность получения на графо-
графопостроителях твердых копий изображения также обеспечивает
выполнение всех необходимых функций по формированию графи-
графической документации.
22.4. Комплект выпуска текстовой документации
Комплект выпуска текстовой документации (КВТД), относя-
относящийся к прикладному обеспечению системы КИПР-ЕС, реали-
реализован в виде десяти объектно-ориентированных программ форми-
формирования табличной документации и одной программы подготовки
текстовой документации.
Под табличной документацией в системе КИПР-ЕС понимают
совокупность исходных данных и результатов решения одной
из десяти задач статики или динамики многослойных осесимме-
тричных оболочечных конструкций, оформленную в постранично-
табличном виде в соответствии с требованиями ГОСТ 2.104—68;
к текстовой документации относят сопроводительные части доку-
документов (аннотации, заключения, списки исполнителей, литературы
и др.), выдаваемые в постраничной форме.
В связи с медленным переходом предприятий на международ-
международную систему единиц в КВТД предусмотрен вывод документации
и в между народней (СИ), и в технической (МКГСС) системах
единиц, а также обеспечивается синхронная потабличная печать
документов в двух системах единиц одновременно; При этом
в качестве базовой используется техническая система, перевод
в международную систему осуществляется автоматически.
Работая в двух режимах (системном и автономном), КВТД
обеспечивает:
компактную печать исходных данных;
компактную печать результатов решения;
формирование просмотрового файла (файла визуализации)
исходных данных о PC конструкции;
формирование файла визуализации внешних воздействий;
формирование файла визуализации результатов решения задачи;

370 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
печать сформированных файлов в постранично-табличном виде
с учетом возможностей используемого АЦПУ по числу размещае-
размещаемых на странице строк.
Компактная печать используется для оперативного контроля
проектной информации в процессе работы с системой КИПР-ЕС.
Предварительное формирование расчетно-конструкторской доку-
документации в виде файлов визуализации обеспечивает ее сохранение
в системе, возможность просмотра и редактирования стандарт-
стандартными средствами АЦД, а также тиражирования. Если исходные
данные и результаты решения печатаются в одной системе единиц,
формируется один файл визуализации; если в двух системах —
два файла. В качестве файлов используются разделы индиви-
индивидуальной библиотеки исходных модулей форматом 80 байт. Для
удобства просмотра информации и сокращения ее объема файлы
формируются в так называемом упакованном виде, т. е. хранится
только табличная информация без соответствующих полей, штам-
штампов и рамки таблицы. Полная страница документа с полями,
штампом и рамкой формируется во время распечатки файлов.
Исходная информация о рамке содержится в десятой строке
шапки таблицы и распечатывается по меткам, записываемым
в 80-й позиции каждой информационной строки.
Получение твердой копии табличной и текстовой документации
реализовано через промежуточный файл ACPU, введение вспомо-
вспомогательного файла печати вызвано необходимостью размещать
большой объем текстовой информации (до десятков мегабайт
в задачах динамики) и печатать две таблицы на странице листинга.
Кроме того, использование файла печати ACPU (как и файлов
визуализации) позволяет выводить текстовую документацию в лю-
любое удобное для пользователя время и на любые удовлетворяющие
по техническим возможностям и качеству печати АЦПУ.
Предусмотренные в КВТД способы печати информации позво-
позволяют размещать:
две таблицы на странице листинга АЦПУ;
одну таблицу на странице со стандартным расположением
полей;
одну таблицу на странице с заданием полей для размножения
документации на ротапринте.
С учетом изложенных принципов разработки КВТД выпуск
текстовой расчетно-конструкторской документации в системе
КИПР-ЕС осуществляется в следующем порядке (рис. 22.7).
На первом этапе вводятся параметры компактной печати, мас-
массивы PC конструкции, внешних воздействий, результатов реше-
решения задачи и осуществляется их компактная печать. В автономном
режиме работы перечисленные данные поступают в КВТД соот-
соответственно из файлов FC, FL и FW подсистемы анализа НДС
и динамических характеристик конструкций. На втором этапе

Подсистема визуализации и выпуска документации
371
4
/
Обьектно-ориентираванная программа
печати табличной документации
ЩПУ
Ъпл
'И/0
Файл
FW1
ЩПУ
¦
Ввод параметров
компактной печати,
массивов исходных данных
и результатов решения задачи
1
Компактная печать исходных
данных и результатов ре -
шения задачи
,
ввод параметров
табличной печати
\
Формирование фаппа
визуализации в технической
системе единиц
Фр/гмирование файла
визуализации в международ-
международной системе единиц
¦
Печать исходныл данных
и результатов решетя в
постранично-таб'лачиом в иве
Файл печати Л CPU
Файлы
SrsiN.FC,FL,FW
SYSIN
Файлы
FSC.FSZ.FSR
Файлы
FSCIFSZIFSR1
Рис. 22.7
вводятся параметры табличной печати и формируется файл (файлы)
визуализации в заданной системе (системах) единиц. На третьем
этапе, в зависимости от режима работы КВТД и значений управ-
управляющих параметров, осуществляется печать сформированных
файлов в постранично-табличном виде или просмотр файлов
с последующей их распечаткой по инициативе пользователя.
На четвертом (заключительном) этапе формируется файл страниц-
бланков под текстовую часть документации, заполняются бланки
и полученный файл распечатывается в постраничном виде. В си-
системном режиме работы распечатка ранее сформированных и
сохраненных в архиве результатов расчетов обеспечивается их

372 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
предварительной переписью в файл FW. Выполнение этой опе-
операции обеспечивает программа восстановления результатов из
архива.
На всех этапах работы проводится диагностика ошибок в управ-
управляющих параметрах печати. Информация об ошибках выдается
в виде диагностических сообщений в системный файл SYSPRINT,
здесь же формируются сообщения КВТД о выполнении того или
иного шага задания. Параметры, управляющие работой КВТД,
упорядочены в макеты ввода, которые размещаются в, индиви-
индивидуальной библиотеке исходных модулей.
Прикладное обеспечение выпуска текстовой документации
должно быть ориентировано на конкретный вид формируемых до-
документов и должно быть открытым для модификации текстовых
документов по содержанию и форме представления. Иными сло-
словами, кроме рассмотренных функциональных возможностей, дол-
должна быть обеспечена инвариантность КВТД относительно вида
распечатываемой информации.
В соответствии с этими требованиями КВТД включает два
вида программ: общесистемные, которые можно использовать для
выпуска любой табличной и текстовой документации в стандарт-
стандартном постранично-табличном виде, и специальные, настраивающие
КВТД на конкретную задачу пользователя.
Для обеспечения гибкости КВТД шапки таблиц, массивы
форматов и переводных коэффициентов в качестве отдельных
файлов вынесены за пределы программной части КВТД и выпол-
выполнены в виде легко редактируемых макетов. Это позволяет приклад-
прикладным программистам и пользователям системы КИПР-ЕС легко
приспособливать КВТД к специфике распечатываемой докумен-
документации, переходить к новым системам единиц, вводить другие
масштабные множители, если базовый вариант КВТД их удов-
удовлетворяет не полностью. При этом проводимые модификации не
требуют изменения программных средств КВТД.
Примеры макетов описания таблиц в технической и между-
международной системах единиц:
* ТАБЛИЦА 6 *
1JC __ — _ _ J(
* ! НОМЕРА ! ТОЛЩИНЫ СЛОЕВ *
* НОМЕР
*
* ЭЛЕ-
*
* МЕНТА
! *
СЛОЕВ ! ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ *
ЛОКА-1ГЛОБА-! Н(ХО), ! Н(ХС), ! Н(XL),
ЛЬНЫЙ!ЛЬНЫЙ ! [ММ] ! [ММ] ! [ММ]
8
0
1
7
0
1
7
0
1
13
3
1
13
3
1
14
3
1

Подсистема хранения информации 373
* ТАБЛИЦА в *
* *
* ! НОМЕРА ! ТОЛЩИНЫ СЛОЕВ *
* НОМЕР ! ! *
* ! СЛОЕВ I ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ *
* ЭЛЕ- ! *
* ! ЛОКА-1ГЛОБА-! Н(ХО), ! Н(ХС). ! HCXL), *
* МЕНТА ! ЛЬНЫЙ!ЛЬНЫЙ ! [М] ! [М] ! [М] ¦
*-
-*
* ! ! ! ! ! *
8 7 7 13 13 14
0 0 0 7 7 7
111 0.001 0.001 0.001
Каждый из макетов имеет следующую структуру: строка 1 —
исходный номер таблицы, который в процессе печати заменяется
текущим номером; 2—9 — шапки таблицы; 10 — рамка таблицы;
11 — массив, k-й элемент которого задает число позиций й-го
столбца таблицы, увеличенное на единицу; 12 — массив, й-й
элемент которого определяет число знаков после запятой при
неавтоматическом выборе формата печати числового значения
в k-м столбце таблицы; 13 —¦ массив масштабных множителей,
формируемый по следующему правилу: В = А + М — для всех
столбцов, описывающих температуру, В = А X М — для всех
остальных столбцов таблицы, здесь А — расчетное значение
параметра; М — k-й масштабный множитель; В —¦ распечатывае-
распечатываемое значение.
Таким образом, использование аппарата макетов таблиц поз-
позволяет легко учесть в системе КИПР-ЕС дополнительные требо-
требования к выпуску текстовой документации.
В целом прикладное программное обеспечение подсистемы
визуализации, выпуска графической и текстовой документации
практически полностью охватывает круг решаемых проектиров-
проектировщиками и расчетчиками задач по сквозному контролю и доку-
документированию процесса конструирования и исследования проч-
прочности сложных машиностроительных конструкций.
23. ПОДСИСТЕМА ХРАНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ
23.1. Структура подсистемы
Все функции информационного обеспечения в интегрированной
системе КИПР-ЕС выполняет подсистема хранения информации.
Она реализует информационную связь отдельных функциональных
подсистем, участвующих в технологическом цикле КИПР-ЕС, и
позволяет на каждом этапе использовать данные о работе любой
подсистемы. Четко определенный характер решаемых задач и
структура используемых моделей позволили создать эффективные
программные средства, обеспечивающие информацией процессы

374 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
автоматизированного конструирования и прочностных расчетов
изделий.
Подсистема хранения информации КИПР-ЕС основана на
использовании оперативных БД (архивов) для обеспечения взаимо-
взаимодействия функциональных подсистем и введения интерфейса с БД
общего назначения, предназначенного для связи с внешними по
отношению к КИПР-ЕС системами автоматизированного проекти-
проектирования и изготовления (информационная связь с подсистемой
анализа НДС и динамических характеристик конструкций обе-
обеспечивается посредством файлов общего назначения FC, FL, FW).
В качестве вариантов организации БД общего назначения рас-
рассматривались СУБД типа СЕТЬ, СЕТОР, КОМПАС [4, 7].
При создании и организации оперативных БД в первую оче-
очередь учитывали:
динамизм структуры данных;
возможность коллективного доступа к проектной информации;
интерактивный режим работы;
простоту взаимодействия с архивами и сопровождения БД;
открытость прикладного обеспечения системы для расширения
и внесения изменений в программы;
возможность создания распределенных БД.
Динамизм структуры хранимой в КИПР-ЕС информации
обусловлен необходимостью формирования и постоянного обнов-
обновления данных в процессе многовариантного исследования проч-
прочности конструкций, их поэтапного синтеза и расчета, докумен-
документирования работ, поиска рациональных технических решений.
Необходимость коллективного доступа к данным определяется
комплексным характером исследования прочности изделий (с одной
конструкцией в КИПР-ЕС могут работать несколько пользова-
пользователей). Кроме того, в системе имеются ресурсы, которые должны
быть доступны всем пользователям (например, архив характе-
характеристик конструкционных материалов). Оперативные БД должны
позволять нескольким пользователям одновременно считывать
информацию из архива и в каждый момент времени разрешать
одному из них запись информации в архив; при этом доступ
к общим ресурсам системы должен быть санкционированным.
Интерактивный режим работы КИПР-ЕС предполагает нали-
наличие быстрого обмена проектной информацией между компонентами
системы и архивами. Оперативность обмена обеспечивается про-
простой организацией данных и прямым методом доступа к ним.
Требование простоты взаимодействия и сопровождения опе-
оперативных БД обусловлено тем, что при разработке КИПР-ЕС
считали, что пользователями системы будут не профессиональные
программисты, а конструкторы и проектировщики. Кроме того,
принимали во внимание то обстоятельство, что функциональные
возможности системы будут в дальнейшем постоянно развиваться

Подсистема хранения информации
375
I
Г
I
Ps
4
Пользователи НИЛР'ЕС
Средства ввода,
просмотра а редактирования
данных
СУОБД
ЛЛП Б A3 АД
L
Оперативная
БД
Л ПНР-ЕС
N\
Архив
поншрунцион -
них материалов
Средства записи донных на мл
Лодсистемп хранения информации
I
Рис. 23.1
и совершенствоваться, поэтому оперативные БД должны увели-
увеличиваться и изменяться без нарушения имеющихся способов ис-
использования данных, а также позволять быстро и легко разраба-
разрабатывать прикладное обеспечение новых задач.
Возможность создания распределенных БД обеспечивает рас-
распределенную обработку информации в вычислительных сетях.
При этом наличие на уровнях ЗА и ЗБ системы КИПР-ЕС выне-
вынесенных на рабочие места ресурсов внешней памяти позволяет

376 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
перевести часть работ в автономный режим с последующим обме-
обменом информацией между оперативными БД ЕС ЭВМ и СМ ЭВМ.
При создании оперативных БД учитывали также общеприня-
общепринятые требования, предъявляемые к ним, а именно:
возможность многократного и разнообразного использования
одних и тех же данных;
независимость программ и логической структуры данных от
изменений, вносимых в базу;
уменьшение избыточных данных (решение новых задач должно
быть выполнено на базе существующих данных, а не вновь созда-
создаваемых файлов);
защита от искажений и уничтожения, контроль за целост-
целостностью данных (на всех этапах по возможности должен быть
обеспечен контроль в целях обнаружения ошибок в данных и
проверка диапазонов допустимых значений; данные должны быть
защищены от сбоев технических средств, даже если это связано
с возможной потерей эффективности в обмене).
Перечисленные требования определили структуру подсистемы
хранения информации (рис. 23.1). В качестве базового обще-
общесистемного компонента в подсистеме используется ППП Б A3 АД,
реализующий все необходимые функции по работе с внешней
памятью ЕС и СМ ЭВМ. Система управления оперативными БД
(СУОБД) является надстройкой над ППП БАЗАД; она расширяет
возможность ППП БАЗАД и обеспечивает формирование архивов,
а также связь архивов с функциональными подсистемами КИПР-ЕС
и внешними БД общего назначения. Для организации взаимо-
взаимодействия пользователей и архивов используются средства доступа
к данным, входящие в состав функциональных подсистем.
23.2. Организация данных
В системе КИПР-ЕС принята следующая иерархия в органи-
организации данных: архив — набор—раздел—запись.
Архив — основная структурная единица при работе с СУОБД.
Каждому пользователю системы выделяется один или несколько
личных архивов. При этом характер использования архивов
может быть произвольным (в этом отношении возможности СУОБД
не накладывают никаких ограничений на действия пользователя).
Обычно в личном архиве хранятся данные, относящиеся к одной
конструкции, но могут храниться данные сразу по нескольким
изделиям или их отдельным частям. С каждым личным архивом
связываются параметры, обеспечивающие санкционированный Дог
ступ к хранимым в нем данным и необходимые функции контроля
работы.
Наряду с личными архивами в КИПР-ЕС могут также исполь-
использоваться общие архивы, которые доступны всем пользователям

Подсистема хранения информации 377
системы. Такие архивы применяются для хранения информации
общецелевого характера, например, характеристик конструкцион-
конструкционных материалов, координатных моделей типовых элементов кон-
конструкций, различных справочных данных и т. п. Между личными
й (или) общими архивами возможен обмен данными, что устанав-
устанавливает информационную связь между пользователями, работа-
йяцими над общей задачей, позволяет копировать в личные
архивы и модифицировать данные из общих архивов, заполнять
общие архивы новой информацией.
- Функции распределения внешней памяти под личные и общие
архивы, закрепление архивов за пользователями, их сопровожде-
сопровождение и контроль использования осуществляются администратором
БД КИПР-ЕС.
В пределах каждого личного архива, информация, относя-
относящаяся к одной конструкции, логически упорядочена в разделы.
Под разделом понимают совокупность данных, соответствующую
определенному этапу работы в системе. В КИПР-ЕС используются
разделы, содержащие данные о геометрии конструкции, расчетных
фрагментах и связях конструкции, факторах внешней среды,
методических параметрах задачи, геометрической модели PC,
Приведенных нагрузках, а также о результатах расчетов.
Таким образом, работая с компонентами КИПР-ЕС и накап-
накапливая в личном архиве необходимую (проектную) информацию,
пользователь заполняет его раздел за разделом в порядке, соот-
соответствующем технологическому циклу системы. При этом харак-
характеристики конструкционных материалов могут храниться как
в специально выделенном общем архиве, так и в разделе геометрии
конструкции личного архива. В последнем случае они вводятся
пользователем непосредственно или копируются в раздел из об-
общего архива. Аналогично могут быть скопированы из ранее соз-
созданных архивов и любые другие разделы личного архива, что
обеспечивает необходимую преемственность в работе с системой.
Каждый из перечисленных разделов в свою очередь состоит
из записей. Под записями понимают совокупность информацион-
информационных массивов, используемых в работе прикладных программ
системы. К основным записям относят:
каталоги и таблицы координатных моделей деталей;
каталог схемы сборки конструкции;
каталог и таблицу характеристик конструкционных мате-
материалов;
' каталоги и таблицы расчетных фрагментов, их координатных
моделей;
таблицы и каталог геометрических параметров связей, их ме-
механических характеристик;
каталоги и таблицы продольных, поперечных и динамических
составляющих нагрузок;

378 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
таблицу граничных условий;
массивы методических параметров задач;
массивы PC конструкции;
массивы расчетных параметров, характеризующих НДС и
динамические характеристики конструкции.
Записи соответствуют нижнему уровню иерархии данных
КИПР-ЕС, т. е. разделение записей на составляющие их поля
данных осуществляется непосредственно прикладными програм-
программами. Все компоненты системы КИПР-ЕС обрабатывают записи
в оперативной памяти, а большинство программ ведет обмен
с архивами отдельными записями.
Наборы (как и разделы) образуются из записей. В наборы
пользователь может объединить любые совокупности данных,
соответствующие решаемым им задачам, например варианты
конструктивных решений изделия, схем нагружения или закреп-
закрепления, методических параметров расчетных задач, PC конструк-
конструкций, результатов расчетов. Таким образом, наборы наряду с разде-
разделами реализуют механизм вариантности данных, широко приме-
применяемый пользователями системы в процессе исследования проч-
прочности изделий.
С учетом введенных понятий личные архивы КИПР-ЕС имеют
укрупненную структуру (рис. 23.2), СУОБД поддерживает ра-
работу лишь с наборами и записями (понятие раздела используется
для удобства пользователей). Архивы, наборы и записи имеют
имена, причем имена архивов и наборов устанавливаются самими
пользователями, а имена записей зафиксированы в обрабатыва-
обрабатывающих программах при разработке системы. Доступ к конкретным
записям осуществляется на основе составного имени, образован-
образованного из заданного пользователем имени набора и фиксированного
имени записи.
Все компоненты КИПР-ЕС разработаны так, что в них фак-
фактически отождествляются понятия набора и раздела. Таким обра-
образом, в системе установлен механизм вариантности данных, соот-
соответствующий технологическому циклу работы. При необходимости
пользователь может укрупнять наборы, включая в них несколько
разнородных разделов данных.
23.3. Средства управления и доступа к данным
Пакет прикладных программ БАЗАД. Основу программного
обеспечения подсистемы хранения информации составляет ППП
БАЗАД, разработанный в ВЦ СО АН СССР. Этот пакет отвечает
большинству из перечисленных ранее требований к БД КИПР-ЕС
и ориентирован в первую очередь на решение задач машинной'
графики и вычислительной геометрии. По сути это не СУОБД,
а скорее аналог файловой системы, поэтому основная задача,

Оперативная БД
НИПР-ЕС
Разделы и
наборы
Геометриче -
екая
модель
конструкции
Расчетные
фрагменты
и
связи
Факторы
внешней
среды
Методические
параметры
задачи
Геометриче-
Геометрическая модель
PC
Приведенные
нагрузки
Результаты
расчетов
Записи
Координатные
мовеки
деталей
Схема
сворки
конструкции
Характеристи-
Характеристика конструк-
конструкционных
материалов
Шпангоуты
Оболочки
Полюсы
Опоры
Узлы
Геометрические и
механические
характеристи-
характеристики связей
Продольные
составляющш
Поперечные
составляющт
о
г
динамические
саставляющи
Граничные
условия
t
Массивы
парамет-
параметров
Массивы
злемен -
то В рс
Массивы
нагрузок
Массивы
НДС и
характерис-
конструкции
Рис. 23.2

380 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Рис. 23.3
решаемая ППП БАЗАД, —
обеспечение фортран-про-
фортран-программ средствами создания
виртуальных динамических
массивов с прямым доступом
к их элементам. Решение этой
задачи повлекло за собой раз-
разработку всего комплекса
вопросов, связанных с хра-
хранением информации во внеш-
внешней памяти и доступом к ней.
Структура ППП БАЗАД
показана на рис. 23.3, где
ВП — виртуальная память.
В рамках ОС ЕС ВП пред-
представляет собой набор данных
прямого доступа, в работе
с которыми используются
стандартные средства чте-
чтения (записи) информации.
ВП может создаваться как личная память или как память
общего пользования. При этом возможна работа ППП БАЗАД
с одной и той же ВП в разных программах или одновременно
с несколькими ВП в одной программе. Преимущество ППП БАЗАД
в том, что вся свободная область ВП сразу же предоставляется
для дальнейшего использования, что избавляет от необходимости
регулярно уплотнять ВП. Для достижения этой цели использо-
использован механизм квантования, т. е. каждая ВП разбивается на
участки фиксированной длины и организована в виде списков.
ППП БАЗАД обеспечивает механизм квантования необходимыми
каталогами и программами. Функции доступа к данным на физи-
физическом уровне и квантования реализуются системой управления
памятью (СУП), являющейся ядром ППП БАЗАД.
В ППП БАЗАД также реализован механизм ВПОЗУ (модели-
(моделирование виртуальной памяти на оперативной памяти ЭВМ),
что позволяет более эффективно организовывать программы ра-
работы с ВП за счет переноса наиболее часто используемых данных
в оперативную память.
При необходимости возможна генерация дополнительных на-
наборов данных, обеспечивающих работу с ВП:
НД ВП — каталог имеющихся ВП;
НД ПРО — протокол работы с программами БАЗАД;
НД КОД — каталог пользователей ППП БАЗАД.
Эти наборы создаются и используются администратором БД
в процессе работы.

Подсистема хранения информации 381
Пользователи в любой момент могут организовать в ВП ди-
динамические байтовые массивы или области памяти (ОП). Атри-
Атрибутами ОП являются имя области, ее длина, шифр пользователя,
пароли доступа, даты записи и чтения данных, признак занятости
области, комментарии и другая служебная информация. Доступ
к ОП осуществляется по ее имени, одновременно задаются сум-
суммарная длина требуемой совокупности данных и смещение дан-
данных от начала области. Единицей информации в работе с ОП
выбран байт. Если при записи данные выходят за границы обла-
области, последняя автоматически расширяется в пределах отведенной
под хранение информации ВП. ППП БАЗАД обеспечивает работу
одновременно с несколькими областями в одной ВП.
Система управления оперативными БД. В ППП БАЗАД отсут-
отсутствуют средства иерархической организации данных. В связи
с этим в КИПР-ЕС разработана собственная СУОБД, в которой
каждой оперативной БД или архиву соответствует ВП, а наборы
и записи реализованы на областях ВП.
Таким образом, СУОБД построена целиком на основе ППП
БАЗАД, но, сохраняя все его возможности, имеет следующие
отличия:
данные организованы по многоуровневой иерархической схеме;
имена наборов и записей могут содержать до восьми символов
(в отличие от четырехсимвольного имени ОП в ППП БАЗАД);
минимальной единицей информации, доступной для обработки,
является машинное слово ЕС ЭВМ длиной 4 байта.
В функциональном отношении СУОБД обеспечивает:
генерацию архива;
открытие архива;
создание нового набора;
поиск существующего набора в архиве;
поиск записи в наборе и определение ее длины;
переименование записи;
чтение и запись данных;
удаление записи в наборе;
удаление набора в архиве;
печать каталога записей в наборе;
печать каталога наборов в архиве;
печать доступных пользователю атрибутов архива;
закрытие архива;
устранение в архиве последствий аварийных завершений
программ.
Генерация архива выполняется подпрограммой
CALL GENER (NMARX, NKVA, NK, L)
Здесь NMARX — имя архива; NKVA — размер кванта ВП
в байтах; NK — число квантов в созданном архиве (выходной

382 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
параметр); L — признак первой (L = 0) или повторной (L = 1)
генерации архива.
Объем архива всегда кратен размеру его кванта и опреде-
определяется размером отведенного под архив набора данных прямого
доступа. Признак L = 1 используется при повторном выполнении
подпрограммы, если при первом ее запуске архив по каким-либо
причинам не был создан. Успешное выполнение подпрограммы
подтверждается выдачей протокола
** ДАТА - 07.07.1987 ** ВРЕМЯ - 20:06:11
** ГЕНЕРАЦИЯ АРХИВА КИПР ЕС**
ИМЯ АРХИВА - PRIM
ОБЬЕМ КВАНТА - 256
КОЛ-ВО КВАНТОВ- 400
ГЕНЕРАЦИЯ ПРОШЛА УСПЕШНО **
ЗАПИСЬ КАТАЛОГА НАБОРОВ АРХИВА - "*АР6" **
СГЕНЕРИРОВАНА ВП - PRIM
ЗАПИСАН КАТАЛОГ АРХИВА "*АР6" - 319 СЛОВ
КОЛ-ВО КВАНТОВ- 400
ВСЕГО БАЙТ - 102400
ВСЕГО СЛОВ - 25600
КВАНТОВ В ВП - 383
** БАЙТ В В П - 98048
** СЛОВ В В П - 24512
**- КОЛ-ВО СВОБОДНЫХ СЛОВ - 24193
** КОНЕЦ. ВРЕМЯ - 20:06:26
ПАМЯТЬ ДЛЯ СУП СГЕНЕРИРОВАНА
ОБЬЕМ КВАНТА 000256 БАЙТОВ
ЧИСЛО КВАНТОВ 000400
СВОБОДНЫХ КВАНТОВ 000383
ШИФР АДМИНИСТРАТОРА Т613
Поскольку архивы КИПР-ЕС представляют собой обычные
наборы данных прямого доступа, удаление ненужных архивов
выполняется стандартными средствами ОС ЕС.
Архив открывается подпрограммой CALL OPNSB (NMARX,
КО).
Напомним, что код ответа КО= 0 соответствует условиям
нормального завершения подпрограмм. Если архив уже открыт,
действие подпрограммы игнорируется.
Создание нового или поиск существующего набора в архиве
выполняется подпрограммами
CALL CRTNB (NMNB, КО)
CALL FNDNB (NMNB, КО)
Здесь NMNB — имя набора.
Если в архиве нет набора с именем NMNB, то в результате
его поиска устанавливается КО = 0. Попытка повторного со-
создания уже существующего набора контролируется, но не рас-
рассматривается как ошибочная ситуация.

Подсистема хранения информации
383
Набор удаляется из архива подпрограммой CALL KILNB
(NMNB, КО).
Поиск записи в наборе осуществляется с помощью подпро-
подпрограммы
CALL FNDZP (NMNB, NMZP, LEN, КО)
Здесь NMZP — имя записи; LEN — длина найденной записи
в словах (значение LEN устанавливается лишь при успешном
завершении подпрограммы).
Доступ к данным, хранимым в записи, реализуется подпро-
подпрограммами
CALL REDZP (NMNB, NMZP, ISD, A, KSL, КО)
CALL WRTZP (NMNB, NMZP, ISD, A, KSL, КО)
Здесь ISD. — смещение данных от начала записи (в словах);
KSL—длина данных (в словах); А — адрес обменной области
оперативной памяти.
Первая подпрограмма выполняет операцию чтения данных,
вторая — операцию записи. В обоих случаях совокупность дан-
данных, участвующих в обмене, не должна превышать размера за-
записи и рассматривается СУОБД как сплошной байтовый массив
информации.
Удаление записи из набора выполняется подпрограммой
CALL KILZP (NMNB, NMZP, КО)
На рис. 23.4 приведена диаграмма, устанавливающая порядок
действий при работе с архивом. Так, любой операции с архивом
должно предшествовать его открытие, а прежде чем осуществлять
доступ к данным, необходимо убедиться в наличии соответству-
соответствующего набора и (или)записи.
Работа с архивом должна обя-
обязательно завершаться выпол-
выполнением подпрограммы за- ' *• 0PMSB
крытия CALL CLSSB.
Все рассмотренные под-
подпрограммы являются инва-
инвариантными и не зависят от
специфики хранимой ин-
информации. Эти средства об-
образуют базовый интерфейс
функциональных подсистем
и оперативных БД. Эти же
подпрограммы используют-
используются в КИПР-ЕС в качестве Рис. 23.4
Чтение
ПИ
Запись
Нет
CLSSB

384 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
средств связи системы с внешними БД общего назна-
назначения.
Дополнительно реализованы средства, учитывающие конкрет-
конкретные особенности моделей данных КИПР-ЕС. К ним относят под-
подпрограммы чтения и записи необходимых таблиц, массивов,
координатных моделей деталей и другой информации, которые
разработаны на основе средств базового интерфейса и могут
использоваться наряду с ними. Описание этих подпрограмм при-
приведено в гл. 19 и 20.
В системе также имеются средства записи (чтения) архивов
на (с) МЛ, обеспечивающие необходимый уровень надежности
работы с оперативными БД и возможность организации архивов
долговременного хранения информации.
23.4. Средства взаимодействия пользователей и архивов
Особенность работы с оперативными БД — наличие высоко-
высокоуровневого языка запросов, который дает пользователю возмож-
возможность легко получать необходимые данные без привлечения спе-
специальных программных средств, а также создавать архивы и
осуществлять просмотр и модификацию содержащейся в них
информации.
В системе реализован вывод на устройства отображения гра-
графической информации всех данных, имеющих геометрическое
представление. С этой целью в пакетном режиме используются
компоненты ПГО, а в диалоговом режиме — программа РАЗРИ-
РАЗРИСОВЩИК, позволяющая визуализировать любую комбинацию
данных из соответствующих разделов архива. Кроме программ
графического вывода, в КИПР-ЕС имеются также средства кон-
контрольной печати данных* осуществляющие вывод графической и
алфавитно-цифровой информации на АЦД или АЦПУ.
Включение в КИПР-ЕС интерактивных компонентов позволяет
оперативно управлять архивами и изменять хранимые в них
данные. Так, программа РЕДАКТОР-2Б является средством
ввода и редактирования данных, которые хранятся в разделах8
описывающих конструкции и ее расчетные фрагменты. Аналогич-
Аналогичные возможности обеспечивает система ввода чертежей с план-
планшета АРМ. Ряд специальных функций по работе с архивами вы-
выполняет программа РЕДАКТОР PC:
генерацию архива по требованию пользователя;
создание, переименование и удаление наборов в личном архиве;
удаление записей в наборе;
расширение архива;
просмотр атрибутов архива и хранящихся в нем данных;
чистку архива;
протоколирование работы с архивом.

Подсистема хранения информации 385
Все функции выполняются с помощью специальных директив
командного языка программы РЕДАКТОР PC.
Новый набор может создаваться одновременно с копирова-
копированием данных из любого раздела архива. При переименовании
набора может быть сохранена его копия. Таким образом, пользо-
пользователь может легко формировать различные версии данных и
манипулировать ими.
Необходимость расширения архива достаточно часто возни-
возникает в процессе работы над сложными конструкциями, когда за-
зарезервированных под хранение проектной информации объемов
Памяти оказывается недостаточно. Эта операция выполняется
путем автоматического создания нового архива большего размера,
копирования в него старого архива и уничтожения последнего.
При этом атрибуты вновь созданного архива полностью иден-
идентичны старым.
Просмотр атрибутов архива предполагает распечатку катало-
каталогов наборов, записей, размера свободной области архива и другой
служебной информации, которая может потребоваться в процессе
работы с системой. Кроме того, обеспечивается вывод в табличной
форме на АЦПУ и (или) АЦД всех хранимых в архиве данных.
Чистка архива связана с устранением последствий аварийного
завершения обрабатывающих программ системы. В этих случаях
в служебном каталоге архива может сохраниться признак заня-
занятости архива, который делает его недоступным в дальнейшей
работе. С помощью процедуры чистки просматривают каталог,
сбрасывают признак занятости и закрывают архив.
Кроме перечисленных функций, программа РЕДАКТОР PC
выполняет все необходимые служебные операции, связанные
с доступом к данным (открытие, поиск, закрытие и т. п.).
Другая особенность взаимодействия с оперативными БД
КИПР-ЕС — наличие связи между архивами и индивидуальными
библиотеками исходных модулей пользователей. При этом инфор-
информация в библиотеках представляется в виде таблиц данных,
удобных для их просмотра и редактирования стандартными диало-
диалоговыми средствами ЕС ЭВМ. Подобный аппарат взаимодействия
с оперативными БД удобен при отсутствии диалоговых графиче-
графических устройств и незаменим при формировании, редактировании
и контроле данных привычными для пользователя средствами
диалога с использованием АЦД.
Опытная эксплуатация системы КИПР-ЕС показала, что под-
подсистема хранения информации вполне удовлетворяет предъяв-
предъявляемым к ней требованиям, а по совокупности своих функциональ-
функциональных возможностей разработанное программное обеспечение при-
приближается к классу графических БД. Дальнейшее развитие под-
подсистемы будет идти по пути оптимизации количества обращений
к внешней памяти. Для этого в качестве базовых средств будет
13 П/р В. И. Мяченкова

386 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
использован механизм так называемых С-областей ППП БАЗАД—
областей памяти фиксированной длины, допускающих быстрый
доступ к информации.
24. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ
Методика использования системы КИПР-ЕС предусматривает
следующие этапы синтеза и исследования статики и динамики
осесимметричных оболочечных конструкций:
1) синтез геометрической модели конструкции (формирование
координатных моделей деталей, образующих конструкцию; на-
назначение номеров конструкционных материалов для получения
их характеристик из архива; запись в архив механических ха-
характеристик материалов, если данные по используемым материа-
материалам в архиве отсутствуют; создание схемы сборки конструкции;
запись всей сформированной информации в БД системы);
2) формирование PC конструкции (задание расчетных фраг-
фрагментов и связей, задание факторов внешней среды, синтез PC
конструкции, ввод методических параметров задачи, формиро-
формирование файлов исходных данных для расчета конструкции);
3) определение НДС и динамических характеристик конструк-
конструкции;
4) вывод результатов расчета в графической и (или) текстовой
форме, их анализ и принятие проектных решений;
5) подготовку и выпуск комплекта расчетно-конструкторской
документации по результатам работы.
При необходимости любой из перечисленных этапов можно
выполнить повторно, что обеспечивает многовариантный характер
синтеза и исследования прочности конструкций.
Рассмотрим подробнее технологию работы пользователя на
уровне 2 технической реализации интегрированной системы
КИПР-ЕС, напомним, что этот уровень предполагает пакетный
режим работы, наличие АЦД и вывод графической документации
на графопостроители.
В качестве примера опишем процесс автоматизированного
синтеза и определения НДС сосуда высокого давления, продольное
сечение которого показано на рис. 24.1. Сосуд представляет собой
тороидальную тонкостенную конструкцию, являющуюся комбина-
комбинацией оболочек и шпангоутов. Нежесткие соединения элементов
конструкции описываются точечными связями. Материал сосуда—
упругий, конструкция нагружена внутренним давлением. Таким
образом, расчет рассматриваемой конструкции сводится к реше-
решению задачи определения параметров НДС упругой оболочечной
конструкции при ее осесимметричном нагружении.
При работе системы используются:
индивидуальная библиотека загрузочных модулей KIPR0,
в которой размещаются готовые к применению программы;

Пример использования системы
387
tu.et
Рис. 24.1
индивидуальная библиотека загрузочных модулей KIPRL
которая содержит скомпилированные подпрограммы ППП ГРА
ФИТ, СМОГ, БАЗАД и другие компоненты системы, используе-
используемые в процессе работы;
индивидуальная библиотека исходных модулей KIPRID, ис-
используемая для хранения макетов ввода, шаблонов таблиц, фай-
файлов исходных данных и другой алфавитно-цифровой информации;
файл прямого доступа для размещения результатов расчета;
личный архив пользователя.
В рассматриваемом примере архив имеет имя ARH1 и состоит
из следующих наборов для записи соответствующей информации:
ГЕОМЕТР 1 — координатных моделей деталей, образующих
конструкцию и схемы сборки изделия;
ГЕОМЕТР2 — информации о расчетных фрагментах и связях
конструкции;
ВН. СРЕДА — описания факторов внешней среды, действу-
действующих на конструкцию;
ВАРИАНТО — методических параметров задачи;
РАСЧ. СХ1 —геометрической модели PC;
РАСЧ. СХ2 — нагрузок, приведенных к PC;
РЕЗУЛЬТ1 — результатов решения задачи.
Для хранения характеристик конструкционных материалов
в системе КИПР-ЕС используется либо специальный архив, на
который ссылается архив пользователя, либо личный архив,
например набор ГЕОМЕТР 1. Все графические документы в дан-
данном примере получены на графопостроителе Бенсон-1425.
Решение рассматриваемой задачи начинается с формирования
геометрической модели конструкции. В пакетном режиме на этом
этапе составляются программы, использующие средства геометри-
геометрического моделирования ППП ГРАФИТ.
'3*

388 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Рис. 24.2
Описываемая оболочечная конструкция состоит из 10 деталей.
Рассмотрим порядок построения координатной модели детали
VTULKA, продольное сечение которой показано на рис. 24.2.
Описание контура детали на языке ГРАФИТ выглядит так;
XV1=XH+3O.
YVl=YH+85./2
XV2=XVl+2.3
SV1=SXY (XVI, YV1, XV2, YV1)
PV2=PY (XV2)
YV4=YH+65 /2
PV4=PX (YV4)
DV3=DKACPP (PV2, PV4, 9., —1, 1, 1)
TV3=TKOPX (DV3, XV2, 1)
TV4=TKOPY (DV3, YV4, 2)
TV2=TKAH (XV2, YV1)
SV2=SHK (TV2, TV3)
XV11=XV2+22.165
XV5=XV11—8.18
TV5=TKAH (XV5, YV4)
SV4=SHK (TV4, TV5)
YV6=YH+62.7/2
SV5=SXY (XV5, YV4, XV5, YV6)
XV7=XV11—2.15—3.35
SV6=SXY (XV5, YV6, XV7, YV6)
YV8=YH+61.54/2
SV7=SXY (XV7, YV6, XV7, YV8)
XV9=XV11—3.35
SV8=SXY (XV7, YV8, XV9, YV8)
SV9=SXY (XV9, YV8, XV9, YV6)

Пример использования системы 389
SV10=SXY (XV9, YV6, XVII, YV6)
XV13=XV11—1.5
YV13=YH+59.12/2
TV13=TKAH (XV13, YV13)
PV11=PY(XV11)
PV13=PTA (TV13, 30.)
TV12=TOB (PV11, PV13, 1)
TV11=TKAH (XVI1, YV6)
SV11=SHK (TV11, TV12)
SV12=SHK (TV12, TV13)
XV14=XV2+267.7—258.21
SV13=SXY (XV13, YV13, XV14, YV13)
YV15=YV4—6.
SV14=SXY (XV14, YV13, XV14, YV15)
XV16=XV14—260.24+258.21
SV15=SXY (XV14, YV15, XV16, YV15)
YV17=YH+60.74/2
SV16=SXY (XV16, YV15, XV16, YV17)
PV17=PX (YV17)
YV19=YH+73.37/2
TV19=TKAH (XVI, YV19)
PV19=PTA (TV19, 180.—45.)
TV18=TOB (PV17, PV19, 1)
TV17=TKAH (XV16, YV17)
SV17=SHK (TV17, TV18)
SV18=SHK (TV18, TV19)
SV19=SXY (XVI, YV19, XVI, YV1)
SV20=SXY (XVI, YV19, XVI, YV1)
Для формирования координатной модели, используемой
в КИПР-ЕС, необходимо составить таблицу упорядочения контура
детали, которая заносится в общий блок:
COMMON/KIPR1/NT, т B00)
Для детали VTULKA такая таблица имеет вид
Т A)=TV2
Т B)=SV1
Т C)=SV19
Т D)=SV18
Т E)=SV17
Т F)=SV16
Т G)=SV15
Т (8)=SV14
Т (9)=SV13
Т A0)=SV12
TA1)=SV11
TA2)=SV10
Т A3)=SV9
Т A4)=SV8
Т A5)=SV7
Т A6)=SV6
Т A7)=SV5
Т A8)=SV4
Т A9)=DV3
Т B0)=SV2
NT=20

390 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
После заполнения таблицы упорядочения с помощью под-
подпрограммы KIFRCR формируется координатная модель детали.
Для распечатки координатной модели на АЦПУ необходимо вы-
выполнить подпрограмму KIPCRM. Результат распечатки:
КООРДИНАТНАЯ МОДЕЛЬ
N3J1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
ТИП ЭЛ.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2.
-4.
2.
X НАЧ.
32.30
30.00
30.00
36.31
39.76
39.76
41.79
41.79
52.96
54.46
54.46
51. 11
51 . 11
48.96
48.96
46.28
46.28
41 .30
32.30
Y НАЧ.
42.50
42.50
36.68
30.37
30.37
26.50
26.50
29.56
29.56
30.43
31.35
31.35
30.77
30.77
31.35
31 .35
32.50
32.50
41.50
ПАРАМЕТРЫ
41.30 41.1
Визуализация детали по ее координатной модели осуществляется
подпрограммой KIPBB. Продольное сечение детали VTULKA,
вычерченное на графопостроителе, показано на рис. 24.2.
Перечисленные средства распечатки и визуализации коорди-
координатных моделей используются для контроля правильности их
формирования.
Сформированную и проконтролированную координатную мо-
модель необходимо записать в архив.
Прежде чем приступить к любым действиям с архивом, не-
необходимо открыть архив обращением к подпрограмме OPNSB
и создать новый или найти существующий набор в архиве с по-
помощью подпрограмм CRTNB и FNDNB.
Далее подпрограмма KIWRCR реализует запись координатной
модели детали в архив. Одновременно с этим с помощью под-
подпрограммы WRTTIP детали присваивается номер типа. По за-
завершении любого действия с архивом его необходимо закрыть
с помощью подпрограммы CLSSB. В противном случае дальнейшая
работа с данными, хранящимися в архиве, будет невозможна.
Записанную в архив координатную модель детали пользователь
при необходимости может прочитать с помощью подпрограммы
KIRDCR. После выполнения этой операции ранее сформирован-
сформированная и хранящаяся в архиве координатная модель становится
доступной для дальнейшей работы с ней.

Пример использования системы 391
Аналогично формируются координатные модели остальных
деталей рассматриваемой конструкции.
Следующий этап работы — запись в архив характеристик ма-
материалов деталей конструкции, если в архиве таких сведений нет.
В первую очередь каждому материалу необходимо присвоить
порядковый номер (по этим номерам осуществляются ссылки на
существующие в архиве или вновь заносимые материалы). Далее
номера материалов приписываются деталям. Для этого надо
выполнить подпрограмму WRTMTL столько раз, сколько деталей
содержится в конструкции.
Запись в архив механических характеристик материалов
осуществляется табличным методом. Пример запроса на форми-
формирование шаблона таблицы для задания характеристик материа-
материалов, а также сформированной и заполненной таблицы приведен
ниже.
***** МЕХАНИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ *****
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ 04
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 1 04
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 2 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 3 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 4 00
ЧИСЛО МАТЕРИАЛОВ ТИПА 5 00
I NMAT I ТИП I ХАРАКТЕРИСТИКИ I
I 01 I I I 2.0800E+04I 2.800OE-01I B.0O0OE-06I 1.2000E-05I
I 02 I I I 2.0800E+04I 2.8000E-01I 8.0000E-06I 1.2000E-05I
I 03 I I I 1.9500E+04I 3.0000E-01I B.0000E-06I 1.2000E-05I
I 04 I I I 2.0000E+04I 3.0000E-01I 7.8000E-06I 1.2000E-05I
ИМЯ APXHBA=ARH1
Таблица считывается из библиотеки K.IPRID, и содержащаяся
в ней информация заносится в архив.
Синтез геометрической модели конструкции заканчивается
объединением всех деталей, помещенных в архив, с помощью
процедуры автосборки ABTSB. Информация о схеме сборки
конструкции заносится в набор ГЕОМЕТР 1. В целях контроля
правильности выполнения этой операции можно вычертить кон-
конструкцию с помощью подпрограммы RISSB (см. рис. 24.1) или
распечатать схему сборки с помощью подпрограммы PRNSSB.
Подготовка расчетной схемы начинается с расчленения де-
деталей на расчетные фрагменты (шпангоуты, многослойные обо-
оболочки, опоры, полюсы) и задания связей. Расчетные фрагменты
и связи должны иметь сквозную нумерацию по всей конструкции.
На рис. 24.3 показана оболочечная конструкция, расчленен-
расчлененная на 30 оболочек, 16 шпангоутов, 2 опоры и 19 связей.
Координатные модели оболочек и шпангоутов на языке
ГРАФИТ строятся по схеме, аналогичной схеме формирования

392 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Рис. 24.3
Рис. 24.4
Рис. 24.5
Рис. 24.6

Пример использования системы 393
координатных моделей деталей. При этом необходимые геометри-
геометрические построения выполняются непосредственно на контуре кон-
конструкции.
Расчетные фрагменты детали VTULKA (рис. 24.4) описываются
с помощью следующих операторов:
XRC=XV2+9.
YRC=YV4+9.
TRC=TKAH (XRC, YRC)
CALL BBP @)
SR50=SHK (TV18, TRC)
SR51 = SHK (TV19, TRC)
CALL BBP C)
PR50=PTA (TV3, 180.)
TR50=TOB (PR5O, SV19, 1)
TR51=TOB (SR50, DV3, 1)
TR52=TOB (SR51, DV3, 1)
SR52=SHK (TR50, TV3)
TV1=TKAH (XVI, YV1)
SR53=SHK(TV1,TR5O)
DR50=D2T (TV3, TR52, 9., 1, 1)
SR54=SHK (TR52, TV19)
SR55=SHK (TR50, TV19)
DR51=D2T (TR52, TR51, 9., 1, 1)
DR52=D2T (TR51, TV4, 9., 1, 1)
SR56=SHK(TR51,TV18)
SR57=SHK (TR51, TV18)
Для каждой оболочки и шпангоута составляется таблица
упорядочения. Например, для оболочки 28 (рис. 24.5) программа
формирования таблицы имеет вид
Т (i)=TV3
Т B)=SV2
Т C)=SV1
Т D)=SR53
Т E)=SR52
NT=5
Для шпангоута 15 (рис. 24.6) таблица упорядочения имеет вид
TA)=TV18
Т B) = SV17
Т C)=SV16
TD)=SV15
Т E)==SV14
Т F)=SV13
Т G)=SV12
T(8)=SV11
Т (9)==SV10
Т A0)=SV9
TA1)=SV8
T A2)=SV7
T A3)=SV6
T A4)=SV5
T A5)=SV4
TA6) = DR52
T A7)=SR56
NT=17

394 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
Имея таблицы упорядочения расчетных фрагментов, поль-
пользователь может построить их координатные модели и сформиро-
сформировать каталоги оболочек и шпангоутов.
Координатная модель оболочки формируется подпрограммой
KIOBL. После описания всех оболочек конструкции и образова-
образования каталога можно распечатать каталог, вызвав подпрограмму
KIPOBL. Часть каталога оболочек, отпечатанного на АЦПУ,
приведена ниже.
КАТАЛОГ ОБОЛОЧЕК
NOB. NYH NYK ИМЯ ДЕТ. ТИП КЛАСС ЧТО NCJ1 АДРЕС IDL
21
20
26
24
23
22
14
15
16
28
27
26
26
25
28
29
30
31
19
20
21
34
33
27
25
24
29
30
31
32
17
19
20
35
34
33
COLICO
COLICO
HAIKA
HAIKA
HAIKA
HAIKA
K0NYC
K0NYC
K0NYC
VTULKA
VTULKA
VTULKA
21
20
25
24
23
22
14
15
16
28
27
26
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
8
12
10
8
8
8
12
15
8
8
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
19
37
57
77
97
115
135
155
511
529
549
18
18
20
20
20
18
18
22
18
18
20
20
ВСЕГО 30 ОБОЛОЧЕК
При необходимости можно также вывести на печать коорди-
координатную модель любой оболочки, обратившись к подпрограмме
KIPOBN. Так, распечатка координатной модели оболочки 28
имеет вид
ОБОЛОЧКА 28 СЛОЙ 1
КООРДИНАТНАЯ МОДЕЛЬ
ЫЭЛ. ТИП ЭЛ. X НАЧ. Y НАЧ. ПАРАМЕТРЫ
1 2. 32.30 41.50
2 2. 32.30 42.50
3 2. 30.00 42.50
4 2. 30.00 41.50 •
Сформированные оболочки можно вычертить на графопострои-
графопостроителе, причем с помощью подпрограмм KIBOBL и KIBOBN можно
изобразить все оболочки конструкции (рис. 24.7) или любую
конкретную оболочку.
С помощью подпрограммы KIBOBD можно вычертить оболочки
какой-либо детали.
Координатная модель шпангоута формируется с помощью под-
подпрограммы KISHP. Описав все шпангоуты, можно распечатать
каталог шпангоутов с помощью подпрограммы KIPSHP. Распе-

Пример использования системы 395
Рис. 24.7
чатка части каталога шпангоутов рассматриваемой конструкции
приведена ниже.
КАТАЛОГ ШПАНГОУТОВ
N ШП.
12
11
1
6
16
10
2
15
ЗСЕГО
N УЗ
26
25
37
1В
28
22
12
27
ИМЯ ДЕТ.
C0LIC0
C0LIC0
C0LS0
FIKSAT0R
HAIKA
K0NYC
0BETHAIK
VTULKA
16 ШПАНГОУТОВ
ЦЕНТР
47.53
5В.21
25.12
269.75
38.82
235.40
274.87
43.93
МАСС
27.06
26.56
70.22
67.96
27.83
25.32
73.77
30.55
ТИП
1
1
1
1
1
1
1
1
АДРЕС
1
65
97
143
157
394
408
434
IDL
64
32
46
14
22
14
26
68
При необходимости можно также распечатать координатную
модель любого шпангоута, обратившись к подпрограмме KIPSHN.
Распечатка части координатной модели шпангоута 15:
ШПАНГОУТ 16
КООРДИНАТНАЯ МОДЕЛЬ
N3JI. ТИП ЭЛ. X НАЧ. Y НАЧ. ПАРАМЕТРЫ
1 2. 36.31 30.37
2 2. 39.76 30.37
3 2. 39.76 26.50
13 2. 46.28 31.35
14 2. 46.28 32.50
15 -4. 41.30 32.50 41.30 41.60
16 2. 37.62 33.29
По сформированным координатным моделям с помощью под-
подпрограмм KIBSHP, KIBSHN и KIBSHD пользователь может
вычертить шпангоуты так же, как оболочки.
Координатные модели оболочек, шпангоутов и их каталоги
должны быть записаны в архив в набор ГЕОМЕТР2. Запись ко-
координатных моделей и каталога оболочек выполняется подпро-

396 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
граммами KIWROC и KIWROB, а аналогичной информации
по шпангоутам — подпрограммами KIWRSC и KIWRSH. Все
данные, хранящиеся в архиве, можно передать в оперативную
память с помощью подпрограмм KIRDOC, K.IRDOB, K.IRDSC
и KIRDSH.
Опоры задаются с помощью подпрограммы KIOPR1. Пол-
Полностью сформированная таблица опор записывается в архив
подпрограммой KIWOPR.
После накопления в архиве информации по всем расчетным
фрагментам конструкции осуществляется формирование сводной
таблицы узлов с помощью подпрограммы TUZLSB.
Заключительный этап в задании расчетных фрагментов —
описание геометрических и механических параметров связей таб-
табличным методом. Запрос на формирование таблиц и часть запол-
заполненных таблиц связей приведены ниже.
*** ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПО СВЯЗЯМ ***
ЧИСЛО СВЯЗЕЙ 19
ЧИСЛО ХАРАКТЕРИСТИК СВЯЗЕЙ ТИПА 1 07
ЧИСЛО ХАРАКТЕРИСТИК СВЯЗЕЙ ТИПА 2 00
********** ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПО СВЯЗЯМ **********
ЧИСЛО СВЯЗЕЙ 19
I МСВЯ INy31INy32ITHniNMEXI XI I Yl I Х2 I Y2 I
I 1 I 37 I 02 I I I 01 10042.5010073.4510045.7910073.451
I 2 I 37 I 01 I 1 I 01 10042.5010073.4510042.5010072.451
I 3 I 17 I 09 I I I 02 10257.2810072.1310257.2810072.131
I 17 I 27 I 26 I 1 I 06 10044.5910029.5010044.5910029.501
I IB I 27 I 26 I I I 06 10048.6110029.5010048.6110029.501
I 19 I 38 I 37 I I I 05 10021.5210072.9510021.5210072.951
ЧИСЛО СВЯЗЕЙ ТИПА 1 07
I N I KU I KW I KF I KV I
I I I 1.0000E+08 I 1.0000E+08 I 1.0000Е+08 I 1.0000Е+08 I
12 1 1.ОО0ОЕ+00 I 1.0000E+08 I 1.0000E+08 I 1.0000Е+00 I
13 1 1.0000Е+08 I l.OOOOE+00 I 1.0000E+00 I 1.0000E+00 I
14 1 l.OOOOE+00 I 1.0000E+08 I 1.0000E+08 I 1.0000Е+00 I
15 1 1.0000Е+08 I l.OOOOE+00 I l.OOOOE+00 I l.OOOOE+00 I
16 1 l.OOOOE+00 I 1.0O00E+08 I 1.0000E+08 I l.OOOOE+00 I
17 1 1.0000E+08 I l.OOOOE+00 I 1.0000E+08 I l.OOOOE+00 I
ИМЯ APXMBA=ARH1
Первая таблица содержит геометрические параметры связей,
вторая — их механические характеристики. Обе таблицы запи-
записываются в набор ГЕОМЕТР2.
Факторы внешней среды описываются граничными условиями
и параметрами действующих на конструкцию нагрузок и задаются

Пример использования системы
397
табличным методом. Пример таблицы с параметрами граничных
условий, наложенных на узловые элементы конструкции:
********** ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ **********
ЧИСЛО УЗЛОВ С ОГРАНИЧЕНИЕМ 02
1ЫУЗЛ11Л\У1ФИ1У1 ДЕЛЬТА U I ДЕЛЬТА W I ДЕЛЬТА ФИ1 ДЕЛЬТА V I
I 38 I 111 I 1I0I0.0000E + 00IO.0000E + 00IO.0000E + OOIO.OOO0E + OOI
I 13 10111 0I0IO.000OE+00I0.0000E+00I0.00O0E+00I0.ООООЕ + 001
ИМЯ APXHBA=ARH1
Нагрузки задают раздельно для каждой из составляющих:
продольной, поперечной и динамической.
Для описания продольных составляющих нагрузок в запросе
на создание шаблонов таблиц указывают общее число нагрузок
и число нагрузок по каждому из четырех типов. Пример запол-
заполнения части каталога и таблицы распределенных механических
нагрузок:
*** ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПО НАГРУЗКАМ ***
*** ПРОДОЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ***
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ОБЩЕЕ 51
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 1 00
ЧИСЛО НАГРУЗОК ЗАКОНА 2 00,КТ2=00
*** ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ НАГРУЗОК ***
ЧИСЛО ВРЕМЕННЫХ ТОЧЕК 00
ЧИСЛО ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ 00
*** КАТАЛОГ ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ***
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ОБЩЕЕ 51
1ТИПЭЛ1 КЭЛ1ТИПНГ1КНАГ1КП0П1НДИН1 NTH NT2I
I 2 I 01 I 2 I 01 I 00 I 00 I 01 I 02 I
I 2 I 02 I 2 I 02 I 00 I 00 I 01 I 02 I
I 2 I 01 I 2 I 03 I 00 I 00 I 01 I 02 I
I-H
I-H
I
2
2
2
I
I
I
28
29
30
I
I
I
2
2
2
I
I
I
49
50
51
I
h-1
1 м
00
00
00
I
I
1 l-l
00
00
00
I
I
I
01
01
01
I
I
I
02
02
02
I-H
I
I
ИМЯ APXHBA=ARH1
ЧИСЛО ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК ТИПА 2 51
I NI
Q1X
Q2X
Q1Y
Q1Z
Q2Z
I 110.O000E+00IО.0000E+00I0.0000E+00I
I 210.O000E+00I0.ООООЕ+ООЮ.ООООЕ+001
I 310. ООООЕ + ООЮ .ООООЕ + ООЮ . ООООЕ+001
14810. ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + ООЮ . ООООЕ + 001
14910. 0000Е + 00Ю. ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + 001
15010. ООООЕ + 0010 .ООООЕ + ООЮ. ООООЕ + 001
15110. ООООЕ + ООЮ. 0000Е + О0Ю. ООООЕ + 001
II.6000E+00I1.6000Е+00 1
II.6000E+OOI1.60 00Е+00Г
I1.6000E+O0I1.6000E+O0I
II.6000E+OOI1.60O0E+O0I
II.60 0 0E+OOI1.60 0 0E+OOI
II . 6000 Е+ ООН. 6000E + 00I
I1.600 0E+00I1.6OO0E+0OI
ИМЯ APXHBA=ARH1

398 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
II I I I
J L
Рис. 24.8
Продольные нагрузки могут быть вычерчены на графопострои-
графопостроителе (рис. 24.8). В рассматриваемой задаче задание нагрузок на
этом заканчивается, так как в схеме нагружения конструкции
отсутствуют поперечные и динамические составляющие. Вся
информация о внешней среде сохраняется в наборе ВН. СРЕДА.
Все последующие этапы формирования PC выполняются
в автоматическом режиме с использованием совокупности сфор-
сформированных в архиве данных. В результате выполнения программ
синтеза расчетные фрагменты преобразуются в элементы PC,
и которым также приводятся действующие на конструкцию на-
нагрузки. Программами синтеза формируются наборы РАСЧ. СХ1
к РАСЧ. СХ2. Правильность выполнения этого этапа работы
подтверждают протоколы программ:
ИМЯ АРХИВА -ARH1
ИМЯ НАБОРА -РАСЧ.СХ1
* *
* КИПР-ЕС 1.0 ПРОТОКОЛ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ 00.00.00 *
* *
* ФОРМИРОВАНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ (СУПЕРЭЛЕМЕНТЫ) *
* ' *
************************************************************
KPR300 О MAIN НОРМАЛЬНОЕ ЗАВЕРШЕНИЕ
****************** КОНЕЦ ПРОГРАММЫ *******************
ИМЯ АРХИВА -ARH1
ИМЯ НАБОРА -РАСЧ.СХ2
************************************************************
* *
* КИПР-ЕС 1.0 ПРОТОКОЛ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ 00.00.00 *
* ¦ *
* ФОРМИРОВАНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ (МАССИВЫ НАГРУЗОК) *
* *
************************************************************
KPR350 О MAIN НОРМАЛЬНОЕ ЗАВЕРШЕНИЕ
****************** КОНЕЦ ПРОГРАММЫ *******************

Пример использования системы 399
Сформированную PC можно вычертить на графопостроителе.
При этом можно заказать визуализацию всей схемы, ее отдельных
участков (например, для заданной совокупности деталей) или
элементов.
Чтобы задать методические параметры расчетной задачи,
необходимо заполнить макет
«?+*********************************************************
* *
* КИПР-ЕС 1.0 МАКЕТ ВВОДА 00.00.00<— *
* *
* ПАРАМЕТРЫ ЗАДАЧИ 1. ¦ *
* НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ *
* ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ. *
* *
************************************************************
ARHK ИМЯ АРХИВА.
ВАРИАНТО< ИМЯ НАБОРА "ПАРАМЕТРЫ ЗАДАЧИ".
01< НОМЕР ЗАДАЧИ (ОСТАВЬТЕ ЭТО ПОЛЕ БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ).
ИМЯ ЗАДАЧИ:
СОСУД ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ <
+1.00000Е-03< ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ.
1 < ЧИСЛО ШАГОВ ИНТЕГР. МЕЖДУ ТОЧКАМИ ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.
10 < МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ПРИБЛИЖЕНИЙ.
0< ЭТО ПОЛЕ НЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ. ОСТАВЬТЕ ЕГО БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ.
0< ЭТО ПОЛЕ НЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ. ОСТАВЬТЕ ЕГО БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ.
К ПЕЧАТАТЬ ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ИЗ ПРОГРАММЫ? (ДА=1/НЕТ=0)
К ОСТАВЬТЕ ЭТО ПОЛЕ БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ.
******************** КОНЕЦ ВВОДА ********************
/*
и выполнить программу ввода методических параметров в архив.
Запись параметров осуществляется в набор ВАРИАНТО. Про-
Протокол выполнения этой программы:
************************************************************
* *
* КИПР-ЕС 1.0 ПРОТОКОЛ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ 00.00.00 *
* ¦ *
* ВВОД ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ *
* *
************************************************************
KPR500 О MAIN ОШИБОК В ДАННЫХ НЕТ
KPR505 О MAIN В АРХИВЕ ARH1 СОЗДАН НАБОР ВАРИАНТО
KPR000 О MAIN НОРМАЛЬНОЕ ЗАВЕРШЕНИЕ
****************** КОНЕЦ ПРОГРАММЫ *******************
Процесс подготовки исходных данных для расчета конструкции
заканчивается выполнением программ формирования файлов FC
и FL, содержащих геометрическую модель PC, приведенные

400 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ
нагрузки и методические параметры задачи:
¦ж**********************************************************
* *
* КИПР-ЕС 1.0 ПРОТОКОЛ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ 00.00.00 *
* *
* ЗАПИСЬ КОНСТРУКЦИИ *
* *
************************************************************
KPR000 0 MAIN НОРМАЛЬНОЕ ЗАВЕРШЕНИЕ
****************** КОНЕЦ ПРОГРАММЫ *******************
************************************************************
* *
* КИПР-ЕС 1.0 ПРОТОКОЛ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ 00.00.00 *
* *
* ЗАПИСЬ НАГРУЗОК *
* *
************************************************************
KPR000 0 MAIN НОРМАЛЬНОЕ ЗАВЕРШЕНИЕ
****************** КОНЕЦ ПРОГРАММЫ *******************
Оба файла размещаются в разделах библиотеки исходных
модулей KIPRID, что обеспечивает возможность их просмотра
и редактирования. Содержимое файлов можно также распечатать
на АЦПУ.
Расчет конструкции, состоящий в определении параметров
НДС, осуществляется с помощью объектно-ориентированной про-
процедуры КРОЮ, исходными данными для которой являются сформи-
сформированные файлы FC и FL. Результат работы процедуры — файл
FW прямого доступа, в котором содержатся компоненты НДС.
Результаты решения задачи могут быть представлены в гра-
графической или текстовой форме.
Для вычерчивания эпюр расчетных силовых факторов в про-
продольных и поперечных сечениях конструкции необходимо пред-
предварительно переписать содержимое файла FW в архив пользова-
пользователя в набор РЕЗУЛЫ1. После этого может быть выполнена
программа визуализации эпюр. Эпюры осевых и окружных на-
напряжений, возникающих в продольном сечении конструкции,
показаны на рис. 24.9 и 24.10 соответственно.
На заключительном этапе работы с системой КИПР-ЕС со-
составляется отчет о решенной задаче. При этом дополнительно
к рассмотренным текстовым и графическим документам форми-
формируется текстовая документация по исходным данным и резуль-
результатам расчетов в постранично-табличной форме.

Пример использовании системы 401
Рис. 24.9
Рис. 24.10
Трудоемкость расчетов для рассмотренного примера состав-
составляет примерно 2 человеко-недели, а для решения аналогичной
по сложности задачи без использования автоматизации б—8 че-
человеко-месяцев. Дополнительное снижение трудоемкости расчетов
обеспечивается также уменьшением числа проектных ошибок и
сокращением сроков подготовки отчетной документации.
Для исследуемой конструкции были рассмотрены различные
варианты нагружения, связанные с заданными условиями экс-
эксплуатации изделия, перераспределения конструкционных мате-
материалов и модификации отдельных конструктивных элементов.
Затраты на подготовку каждого нового варианта расчетов с ис-
использованием интерактивных компонентов системы составили
в среднем 0,5—1 человеко-день. Анализ результатов расчетов
показал, что при действующих схемах нагружения и установлен-
установленных запасах прочности конструкция яляется работоспособной.
Были также разработаны конкретные рекомендации по снижению
массы и повышению технологичности конструкции при сохранении
ее прочности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горшков С. П., Корольков С. С, Мячеиков В. И. Автоматизация кон-
конструирования и прочностных расчетов оболочечных конструкций/УРасчеты иа
прочность. М.: Машиностроение, 1989. Вып. 29.
2. Золотухин Ю. Н. Разработка аппаратуры КАМАК в институте авто-
автоматики и электрометрии СО АН СССР//Автоматизация научных исследований
на основе применения ЭВМ. Материалы Всесоюзной конференции. Новосибирск.
1977. С. 190—193.

402 Список литературы
3. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.
246 с.
4. Марченко Е. В., Филиппов В. И., Шкотин А. В. Сетевая СУБД для
ЭВМ КОМПАС ЕС//Сиетемное и теоретическое программирование. Кишинев:
1983. С. 435—440.
5. Расчеты элементов конструкций на прочность и жесткость. Интегриро-
Интегрированная система автоматизации конструирования и прочностных расчетов изде-
изделий машиностроения КИПР-ЕС: Межвуз. сб. науч. тр./Под ред. В. И. Мячен-
кова. М.: Изд. Мосстанкин, 1987. 188 с.
6. Сезых В. Г. Многоцелевой цветной графический дисплей высокого раз-
разрешения ГАММА—4.2//Методы и средства обработки сложной графической
информации. Материалы II Всесоюзной конференции. Горький. 1985. С. 328—329.
7. Системы управления базами данных для ЕС ЭВМ: Справочник/Под общ.
ред. В. М. Савинкова. М.: Финансы и статистика. 1984.

ПРИЛОЖЕНИЕ
/**************у.ж******** WRDSK ********\*****x******x*x*x/
/* ПРОЦЕДУРА ОБМЕНА МЕЖДУ ОПЕРАТИВНО^ и ВНЕШНЕЙ ¦¦¦ /
/* ПАМЯТЬЮ ЭВМ ' */
/*************^***********^*****^*******\^************ж*^.*/
*WRDSK: PROC(PA,IADR,LR,IN,F);
* DCL PA POINTER, (IADR.LR)BIN S4XEDC31)
* IN FIXED(l), F FILE;
* DCL PB POINTER, BDC420) FL0ATC16) BASED(PB)
* DC42O) FL0ATC16), BAC420) FLO^x(ig) BASED(PA)
* К FIXEDC7),
* J,JH,JK,JHH,JKK,KL,KLH,KLK,LD FL0ATC16)
* INITC3360);
* KLH=CEILCIADR/LD)-1; KLK=CEIL (CIACjr+lr-i) /LD) -1 •
* JHH=ClADR-KLH*LD)/8 + l; JKK= CIADR+^R_KLK + LDw8. '
K=l; KL=KLH-1;
IF IN=1 THEN GOTO MR; ELSE GOTO Mty.
KL=KL+1;
IF KL=KLH * JHH>1 ! KL=KLK * JKK<^D/8 THEN GOTO MR1;
IF KLH=KLK * LR<LD THEN GOTO MR1;
PB=ADDR CBA CK)) ; K=K+420;
READ FILECF) INTOCBD) KEYCKL);
GOTO MR2;
READ FILECF) INTO CD) KEYCKL); JH^. jk=LD/8 ¦
IF KL=KLK THEN JK=JKK; IF KL=KLH ^EN JH=JHH-
DO J=JH TO JK; BACK)=DCJ); K=K+1; END.
IF KL<KLK THEN GOTO MR;
RETURN;
KL=KL+1;
IF KL=KLH * JHH>1 ! KL=KLK * JKK<^D/8 THEN GOTO MW1¦
IF KLH=KLK * LR<LD THEN GDTO MW1;
PB=ADDRCBACK)); K=K+420;
WRITE FILECF) FROMCBD) KEYFROMCKL).
GOTO MW2;
READ FILECF) INTO CD) KEYCKL); JH=t. JK=LD/8-
IF KL=KLH THEN JH=JHH; IF KL=KLK ^EN JK=JKK"
DO J=JH TO JK; DCJ)=BACK); K=K+1; end.
WRITE FILECF) FROM CD) KEYFROMCKL).
IF KL<KLK THEN GOTO MW;
*
*
¦MR:
*
*
*
*
*MRl:
*
*MR2:
*MW:
*
*
*
*
*MWl:
*
*
*
*MW2:
*END WRDSK;
*LDLF1
*
*
*
*
*
*
*
*
¦BEGIN;
*
*
*
/************************ LDLF1 ****************
/* ПРЯМОЙ ХОД ПО МЕТОДУ LDL-T ФАКТ0РИЗАЦИИ */
PROCCNM,M,N(JL,FL.NK) ; ******************/
DCL NM,NQL,M,NK,FL FILE;
DCL (I,10,II,IP,J,J1,K,L,LO,L1,M1 NB NP Npo NE p pl
PD.SDFIXED BIN, CLZ,LZB,LZE,A8'ABD) BIN FIXED C31) ¦
LO=CM+1+NQL)*8; LZ=1024; ' '
NB= CNK*LZ-Cl+NQL)*NM*8)/LO/2;
NP=CEILCNM/NB);
NPO=NM/NB; NE=NM-NPO*NB;
IF NE=O THEN NE=NB;
LZ=LO; LZB=LZ*NB; LZE=LZ*NE;
DCL CCA.A1) CNB.M+1+NQL) ,DCNM,1 + NDL') fCNQL"»
S,T)FLOATC16);
PD=CEILCM/NB); D=0; A,A1=O;
DO P=l TO NP;
LZ=LZB; AB=1+LZ*CP-1); K=NB; io=CP-l)*NB-
IF P<NP-PD THEN S1=O; ELSE S1=P-NP+PD;

404 ПРИЛОЖЕНИЕ
*
*
¦
*
¦
¦
¦
¦
¦
*
*
¦
¦
¦
¦
¦
*
¦
¦
¦
¦
*
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
*
*
*
¦
*
*
¦
*
¦
*
*
¦
¦
¦
¦ END;
¦ END;
¦END LDLF1;
DO P1=O TO PD-Sl;
ABD=AB+LZ*P1;
IF P+P1>NPO THEN DO; K=NE; LZ=LZE; END;
IF P1=O THEN DO;
CALL WRDSK(ADDRCA),ABD,LZ,1,FL);A1=A;
DO 1=10+1 TO IO+K;
DO J=l TO 1+NQL;
D(I,J)=A(I-IO,J+M);
END;
END;END;
ELSE CALL WRDSKCADDRCA1),ABD,LZ,1,FL);
DO IP=1 TO K;
I=IO+P1*NB+IP; I1=I-M-1;
IF KM+2 THEN DO; Ll=M+2-I;Jl=L1+IO;END;
ELSE DO; Ll=l; J1=IO-I1+1;
IF JK1 THEN Jl = l; END;
M1=IO+NB-I1; IF M1>M THEN M1=M;
DO J=J1 TO Ml; T=0;
DO L=L1 TO J-l;
T=T+A1(IP,L)*A(I1+J-IO,L+M+1-J)
*D(I1+L,1);
END;
AKIP, J) = (A1(IP, J)-T)/D(I1 + J, 1) ;
IF P1=O THEN A(IP,J)=A1(IP,J);
END;
IF P1=O THEN DO; S=0; E=0;
DO L=L1 TO M;
S=S+A(IP,L)+*2*D(I1+L, 1) ;
DO J=2 TO 1+NQL;
E(J-1)=E(J-1)+
Al(IP,L)*D(I1+L,J);
END;
END;
D(I,1)=A1(IP,M+1)-S;
DO J=2 TO 1+NQL;
D(I,J)=D(I,J)-E(J-l);
END;
END;
END;
IF P1=O THEN
PO 1=10+1 TO IO+K;
DO J=l TO 1+NQL;
Al(I-IO,J+M)=D(I,J);
END;
END;
CALL WRDSK(ADDR(Al),ABD,LZ,0,FL);
END;
/lit*********************** LDLF2 ***#*********:+:**#****
/* ОБРАТНЫЙ ХОД ПО МЕТОДУ LDL-T ФАКТОРИЗАЦИИ
АКТОРИЗАЦИИ */
¦LDLF2: PROC(NM,M,NQL,IN,NR,NK,FL,DR);
* DCL NM,M,NQL,IN,NR,NK,FL FILE,DR (¦,*)FLOATA6);
* DCL (S,X) (NM)FL0ATA6) , (LZ,AB)BIN FIXEDOl) ,
* (I,II,IP,J,K,L,LO,L1,N1,NB,NP,NPO,NE,P)FIXED BIN;
* LO=(M+1+NQL)*8; LZ=1024; NB=(LZ*NK-NM*16)/LO;

ПРИЛОЖЕНИЕ
405
¦
¦
¦BEGIN;
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦ END;
¦
*
¦
¦
¦
¦END LDLF2;
NP=CEIL(NM/NB); NPO=NM/NB; NE=NM-NPO*NB;
N1=NM/NR; IF NE=O THEN NE=NB;
DCL A(NB,M+1+N(JL)FLOATC16) ;
X=0; S=0; A=0; J=M+1+IN;
DO P=l TO NP;
IF P<NP THEN DO; K=NB; LZ=LO^K;
AB=1+L(HNE+(NP-P-1)+LZ; END;
ELSE DO; K=NE; LZ=LO^K; AB=1; END;
CALL WRDSKCADDR(A),AB,LZ,l.FL);
DO IP=K TO 1 BY -1;
I=NE+(NP-P)^NB+IP-K; I1=I-M-1;
X(I)=A(IP,J)/A(IP,M+1)-S(I);
DO L=l TO M;
L1=I1+L; IF Ll>0 THEN
SCL1)=S<L1)+ACIP,L)*XCI);
END;
END;
END;
DD K=l TO NR;
DO 1=1 TO N1;
DR(K,I)'=X((K-n*Nl + I) ;
END;
END;
** FACTB ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦*/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ */
/¦ LDL-T ФАКТОРИЗАЦИИ ДЛЯ ЛЕНТОЧНОЙ МАТРИЦЫ */
*FАСТВ: PROC(N,М,А,В,X);
Ll,Jl=M+2-I; END;
L1,J1=1; 12=11; END;
);
DCL N,M, СА(*,*) . (В,Х) (¦))FL0ATA6) ;
DCL I,J,L.II.Л,L1,12, (S,T,E)FL0ATA6);
DCL D(N)FLDATA6);
DO 1=1 TO N;
I1=I-M-1; 12=0;
IF KM+2 THEN DO;
ELSE DO;
DO J=J1 TO M;
T=0;
DO L=L1 TO J-l;
T=T+A(I,L)*ACI1+J,L+M+1-J)
¦DCI1+L);
END;
A(I,J)=(A(I,J)-T)/D(I1+J);
END;
S=0; E=0;
DO L=L1 TO M;
S=S+A(I,L)**2*D(I1+L);
E=E+A(I,L)*B(I1+L);
END;
END;
DO I=N TO 1 BY -1;
S=0; IF I>N-M-1 THEN L1=N-I; ELSE L1=M;
DO L=l TO LI;
S=S+A(I+L,M+1-L)+X(I+L);
END;
X(I)=B(I)/D(I)-S;

'i'zV qv'(a)uaav)msohm "nvo
:szi*(s-s+d)+t=ev
Zl N3H1 dN=d i T+dN=<S+d il
•'HZ1=Z1 N3H1 T+dN>S+d JI
:an ox t=s oa
:i-AN=AN N3H1 T+dN<AN+d JI
:dN ox t=d oa
:(9T)XV01J(J'C1UN+w:w-0'SN)S'(IUN+И:О'ЯЮV)IDd
•"t+(aN/w)iiaD=AN
6
:SN=3N N3H1 0=3N JI
:SN*0dN-WN=3N -'aN/WN=0dN : (SN/WN) !I3D=dN
(ie)nis aaxij(av'3zTazTzi)'nih aaxii(ai'n'Di'si
'Z'aN'AN'3N'0dN'dN'aN'H'a'D'S'd'T>!'r'I) 100
•'эти ij '«N'luN'w'WN noa
/*********************************************************/
/* voo/:vj Ktoim ou Vox nowudu */
.к***********************/
:s-(i)a/(i)s=a)x
: аыз
'¦ (W)X*(I'W)Y+S=S
¦я ох т+1=и oa
:o=s
¦ \- ah т oi n=i, oa
¦ аня
'¦аня
:s-(r)a/(r'i)v=(r'i)v
¦ аня
'¦ (WK*(W'I)V+S=S
'¦i-r oi t=w oa
:o=s
:n oi \+r=i oa
: (г)а/(и)а*(и'г)у=(Юз
:т-г oi т=н оа
:i-(r)H=(r)8 :s-(r'r)v=(r)a
:aN3
:(w)H*(H'r)v+i=i
:(w)a*s**(M'r)v+s=s
:т-г oi т=н oa
:о=з 'o=i's
¦я oi т=г oa
:(9T)ivoiJ(i's*(N)C<a)) 'n'r'i ioa
:(9T)ivoij((*)(x'e)'(*'*)v) 'n ioa
:(x'a'v'N)ooad
/*
/*
W0V013W
Х1ЧНИЭНИ1Г ИЭ1ЭИЭ
аыз*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦
*
*
*
*
*
*
tidvj*
*/
¦/
/************************** T10VJ ************¦****¦******/
аыз*

¦ аня *
'¦ (>!+i)x*(o'ii)v/(H"[i)v-(i)x=(i)x *
'¦н-п oi т=я оа *
:(o'ii)v/(ni+w'ii)v (i)x *
:o=n 3S13 :n+nn-i=n nhhi n-wn<i ji *
:i+r-si=n :r-HN*(d-dN)+3N+i=i *
:si ox т=г оа *
¦ си' т 'zTW (v)aaav)MsaaM nv: *
:i=vv :sn*i=zi J3N=si :oa ssis *
:аыз *
d-dN)+i:=vv :hn*i=zi :sn=si *
¦00 N3HI dN>d il *
:dN 01 i=d oa *
: (9T)lV01i(lUN+M:M-'HN)V 10a *
:nid39 *
:HN=3N N3H1 0=3N il *
N*0dN-MN=3N :SN/MN=OdN :(SN/NN)lI30=dN *
:i/(8*mn->in*zi)=sn ^гот=гт :8*(iun+t+m*s)=i *
!NIS a3XIJ(d'TI'SI'OdN'dN'3N'HN'TN'N'T)i'r'I) *
'(Te)Nis aaxu(zTvv) ' (9i)ivoii(MN)x юа *
¦(9I)XV01i(*'*)aa '31Ii li'SN'HN'NI'lUN'W'WN 10a *
: Caa/*nns3H*/'ii')iN'aN'Ni 'iuN'w'MN)ooad :ssnvo*
/*********************************************************/
/* voo^vj /С1Г013И ou Vox tjHHivdgo */
аыз*
:аыз *
/*d*/ :aN3 *
/*s*/ :аыз *
': (u'o'zThV (н)наау)я аам nv: *
/*i*/ :аыз *
:aN3 *
:Cr'i+i)s=cr'i+i)v *
:iun+m ox o=r oa nshi t=s ji :tosvt*
/*a*/ :aN3 *
:аыз . *
:aN3 *
' cr'i)v*j-(z'i)a=(z'i)a *
:»-r=z *
¦n-n oi o=r oa *
:аыз *
: (z'i)v*j-(z'i)a=(z'i)a *
:r+n=z *
:iun ox t=r oa *
: (o'i)v/(>i-'i)a=j *
:oa nshi o=,(>i-'i)a ji *
:toavi oioo nshi п-и<я ji *
:a+o*i-aN*(T-s)=H :a+o-t)*i=i *
: O-t)*(i-t)+si oi т=н oa *
:w+MN-a=n N3Hi w-WN<a ji *
:o=n :i+aN*ct-d)=a *
:si oi t=i oa *
:аыз *
:t-3N=SI N3H1 dN=d JI *
:(r't)a=(r'T)v :iun+w oi o=r oa *
•'o=D :t-3n=si *
:oa N3Hi t=s ji *
:t=d :hn=si *

408
ПРИЛОЖЕНИЕ
* END;
* END;
* END;
* DO K=l TO NR;
* DO 1=1 TO N1;
* DR(K,I)=X((K-1)*N1+I)
* END;
* END;
¦END GAUS2;
/************************ BANDS **************************/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА */
¦BANDS: PROC(N,M,A,B,X);
*
* DCL
* DO
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* END
* DO-
*
*
*
*
*
* END
¦END BANDS;
DCL
(I,
1 = 1
P=0
IF
DO
END
;
I=N
L=O
IF
DO
END
•
N,M, CAC*,*) , CB.X) (*))FL0ATA6) ;
J,K,L,P)FIXED BIN, С FL0ATQ6);
TO N;
J
I>N-M THEN P=I-N+M;
K=l TO M-P;
L=I+K; C=A(L,-K)/A(I,O);
B(L)=B(L)-C*B(I);
DO J=M-P TO 0 BY -1;
A(L,J-K)=A(L,J-K)-C*A(I,J);
END;
;
TO 1 BY -l;
; X(I)=BCI)/A(I.O);
I>N-M THEN L=I-N+M;
J=l TO M-L;
X(I)=X(I)-A(I,J)/A(I,O)*X(I+J);
•

• QN3 *
¦dOlS :(Г'.=Г .'I'.=I.ISI1 dIHS Ш *
'¦ (V'V) C.nTlMdiVW HWVir3V3dU VE , *
'.KOimroxvH (r'i)v 1нэиз1ге.)иаз dixs ma *
•UQ NdHl N<r I N<I I 1>Г I T>I JI *
/* 'viH3W3ire 3MH3hVH? - riv */ *
/* :r=<i -viH3W3ire эмэУни HReotigiroio - r */ *
/* • :viH3W3ire эыэУни nRHhOdio - i */ *
/* :i4diswvdvu SRHVoxa */ *
/* '(f'i)v viH3N3ire йинэоэнуе xoirg :Tdj3isa */ *
:(9T)ivou эза riv '(те)азхи Nia (r'D юа *
: (nv'r'DAHiN3:i:dj3isa*
:NHniaH *
:(MOH'X3N'NI1 *
'VDNSTVXVWN'V'DVia'VriWr'Vl'N'aNDdONODa 11VD *
:o=aNi *
/* 'Ranoovw nie «uvaodHEmrvnfiMHM */ *
: (VXVWN : 89Z.SS-) X3N ' (VXVWN : 89Z.SE-) ЫП *
' (VXVWN : 89Z.SE-) V (NHVia'(N)WH3d *
'(N)dANI'(N)MOH'(T+N)ZN1X'(T+N)anSZNX 31VD011V *
/* "HfMdivH KHHSHVdx bitV пэиооуи яхтгэУпв */ *
•' CIN3 *
:(J303I',=J30DI .ISI1 dI»S md *
:(N)viva di»s ind *
di»s md *
T>N JI *
:69ZSE-vxvwn=vxvwn *
:9E999=VXVWN N3H1 9E999<VXVWN il *
•'N*J300I=VXVWN :T=J30DI N3H1 T=N JI *
:s/N=J30DI N3H1 S/N<J30DI JI ^NN=N *
UH1N3 (dasiOH'danoH *
'dwiznvdajaws'daawuo'doavji'dvoHsz'dONOoa) *
'ODivou эза onvis vriv *
'(ТЕ)азхи Nia 1x3 иэ (*)znix *
1 ODivou эза 1X3 no (C*)ovia'(*)v) *
'(дт)азхи Nia 1x3 иэ *
(MH3d'dANI)'(*)anSZNX'(*)MOH'(*)(X3N'NI1)) *
'(ТЕ)аЗХи NIH 3I1V1S (ONl'Vr'VI'VDN3T VXVWN'N) 1Э0 *
/* "FUOaVd BMH3iHVd)< */ *
/* oi a 'muwvu ^OHamvdSijo lVdivE эинэишгза/; */ *
/* чти;/" хэаоена зинэьуне эоинэшнаУЕ wcue Hdu */ *
/* -'0H4irviH3WMd3U3))e iivdngVou i3/:V3iro лзоэ1 */ *
/* ЛНИЬИ1ГЭа hVVVE VUMi OJOHiSdXHOX OJOV)KV)(. KirlC */ *
/* 'gs'^'e xvir3V3du а /;ниьи1гз8 I3uiraviooo hvVvE */ *
/* XRHiH3W3ireoHh3HO)( uirir 'oiiirvHOJVMV yoHavirj */ *
/* tfou sligiroio woHiro a aoiHswsire хнаэ1Г/;нзн ve */ *
/* -iOahmrO)) 0J3HV3d3 VXHSllO KVHdSWMdll-- J303I */ *
/* !|/jmH3HaVd/; НИЭЮИЭ 4100Hd3WEVd ^ NN */ *
/¦ :Rdi3wvdvu зпн^оха */ *
:(ie)a3xii Nia (J303i'nn) 1эа *
'¦ (J303l'NNK0Ud :0dJ31SH*
/* "инэизю иончи-уиинии tw */
/* -lHdOJITV OU W3HH3hOlTlJdOU^ 0 HMllVEMdOi)(V<ti-l[l] *[a] *[!] */
/¦ HWRHH3ir3lT3dLI0 0НЧ1Г31ИЖ01Г0и О ИИНЭНЗУсНЛ XHXOShMVdg */
/* -3JITV ХННИЭНИ1Г W3iOH3 KHH3IH3d VdiCtT3Tl0dU KVHlHVKdVaHH */
/*x«********************** djsisa ************************/
60fr

4Ю ПРИЛОЖЕНИЕ
* IF KJ ! AIJ=0 THEN GO TO RETl; IND=1;
* /* ЗАНЕСТИ ЭЛЕМЕНТ В МАТРИЦУ. */
* CALL ECONGP(IND,N,I,J.AIJ,DIAG,A,NMAXA,LENGA,LIN,
* NEX,ROW);
* IF IND=-1 THEN DO;
* IF NMAXA>=32767 THEN PUT SKIP LIST
* С ЗАДАЧА СЛИШКОМ ВЕЛИКА ');
* ELSE PUT SKIP EDIT С УВЕЛИЧЬТЕ ЗНАЧЕНИЕ ',
* 'ПАРАМЕТРА ICOEF И ВЫПОЛНИТЕ ПРОГРАММУ ',
* 'СНОВА ')(А,А,А); STOP;
* END;
*ret1: return;
¦rslefp2:entry(linzer,nnlin,icoef);
* dcl linzerc*) bin fixed, nnlin bin fixedC1);
* /* rslegp2: блок треугольного разложения. «/
* /* входные параметры: */
* /* linzer - вектор,содержащий номера уравнений, */
* /* которые подлежат удалению из системы вслед- */
* /* ствие того, что на соответствующие им степе- «/
* /* ни свободы наложены связи; «/
* /* nlin - размерность массива linzer, т.е.число */
* /* степеней свободы,перемещение которых ограни- */
* /* чено; */
* /¦ выходной параметр: */
* /* icoef - оптимальное значение icoef для дан- «/
* /* ной задачи. »/
* . dcl (laold,nlin,maxlnz,nofsub,flag,mss)
* static bin fixedc31),
* ' (copyzerc*),nzsub(*)) ctl ext bin fixedc15),
* (adjncyc*),xadj(*)) ctl bin fixedA5),
* (LNZK*) ,LNZ2(*)) CTL EXT DEC FLOAT A6) ;
* NLIN=NNLIN;
* /* СОХРАНИТЬ МАССИВ НОМЕРОВ УДАЛЯЕМЫХ СТРОК И */
* /* СТОЛБЦОВ. */ IF NLIN>0 THEN DO;
* ALLOCATE COPYZER(NLIN);COPYZER=LINZER;
* END;
* /* СКОРРЕКТИРОВАТЬ МАТРИЦУ С УЧЕТОМ ЛОГИЧЕСКИХ */
* /* НУЛЕЙ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. */
* CALL ZEROAPCN,DIAG,A,LIN,NEX,ROW,LENGA,LAOLD,
* LINZER,NLIN);
* /* ПРОВЕРКА ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. */
* DO K=l TO N;
* IF DIAG(K)<=0 THEN DO;
* PUT SKIP 1Л8Т('НЕВЕРНЫЙ ДИАГ. ЭЛЕМЕНТ1);
* PUT SKIP EDITC'AC ,K, ' , ' ,K, ') = ¦ ,DIAG(K))
* (A,FE),A,FE),A,EA4,7));
* STOP;
* END;
* END ;
* IC0EF=(LAOLD+32769)/N+l;
* IF LENGA<=-32769 THEN DO;
* /* ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА. */
* FREE ROW,A,LIN,NEX; GO TO RET2;
* END;
* IF LENGA>=0 THEN GO TO BIGA;
* ALLOCATE XADJCN+1),
* ADJNCY(-3276B:2*LENGA+32769);
* /* СФОРМИРОВАТЬ СТРУКТУРУ СМЕЖНОСТИ ГРАФА. */
* CALL LFADCP(N,ROW,LIN,NEX,XADJ,ADJNCY);
* /* ВЫЧИСЛИТЬ ПЕРЕНУМЕРАЦИЮ ВЕРШИН ГРАФА ПО */

ПРИЛОЖЕНИЕ
411
* /* МЕТОДУ МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ. */
* CALL GQMDBP(N,XADJ,ADJNCY,INVP,PERM,NOFSUB);
* FREE ADJNCY.XADJ;
* /* ВЫДЕЛИТЬ МАССИВ СТРОЧНЫХ ИНДЕКСОВ. */
* IF N0FSUB-32769O2767
* THEN MSS=N0FSUB-32769;
* ELSE MSS=33767;
* ALLOCATE NZSUB(-32768:MSS);
* /* СНОВА СФОРМИРОВАТЬ СТРУКТУРУ СМЕЖНОСТИ ГРАФА. ¦/
* ALLOCATE XADJCN+1),ADJNCY(-32768:2*LENGA+32769);
* CALL LFADCP(N,ROW.LIN,NEX,XADJ,ADJNCY);
* /¦ ПОЛУЧИТЬ СИМВОЛИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ. ¦/
* MAXLNZ=O;
* CALL SMBFBP(N,XADJ,ADJNCY,PERM,INVP,XLNZ,
* MAXLNZ.XNZSUB,NZSUB,NOFSUB,FLAG);
* FREE ADJNCY.XADJ;
* IF MAXLNZ>65536*2 ! FLAG~=O THEN DO;
* PUT SKIP DATA(MAXLNZ,NOFSUB);
* BIGA: PUT SKIP LISTC3AAA4* СЛИШКОМ ВЕЛИКА');
* STOP;
* END;
* /* ВЫДЕЛИТЬ ПАМЯТЬ ПОД МАТРИЦУ [L]- */
* IF MAXLNZ<=65536
* THEN ALLOCATE LNZ1 (-32768 :.MAXLNZ-32769) ,
* LNZ2U);
* ELSE ALLOCATE LNZ1(-32768:32767),
* LNZ2(-32768:MAXLNZ-98305);
* . /* ЗАПОЛНИТЬ КОМПАКТНУЮ СТРУКТУРУ ЭЛЕМЕНТАМИ */
* /* ИСХОДНОЙ МАТРИЦЫ ... */
* CALL LNZIMP(N,XLNZ,LNZ1,LNZ2,XNZSUB,NZSUB,
* INVP,DIAG,A,LIN,NEX,ROW);
* FREE ROW,A,LIN,NEX;
* /* . . . И ВЫПОЛНИТЬ [L] * [D] * [L].T - РАЗЛОЖЕНИЕ. */
* CALL HOLTBP (N,XLNZ,T.NZ1,LNZ2,XNZSUB, NZSUB, OIAG) ;
*RET2: RETURN;
*RSLEFP3:ENTRY(XX);
* DCL XX(*) DEC FL0ATA6);
* /¦ RSLEFP3: БЛОК ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ПОДСТАНОВКИ. */
* /* ПАРАМЕТР: ХХ(Ю; */
* /* ПРИ ВХОДЕ СОДЕРЖИТ ПРАВУЮ ЧАСТЬ; */
* /¦ ПРИ ВЫХОДЕ СОДЕРЖИТ РЕШЕНИЕ. */
* DCL TEMP(N) DEC FL0ATA6) CTL;
* /¦ УЧЕТ ОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. */
* IF NLIN>0 1HEN DO;
* DO KK=1 TO NLIN; XX(COPYZER(KK))=O; END;
* END;
* IF LENGA<=-32769 THEN DO;
* . /* ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА. */
* DO KK=1 TO N; XX(KK)=XX(KK)/DIAG(KK); END;
* GO TO RET3;
* END;
* ALLOCATE TEMP;
* DO KK=1 TO N; TEMP(INVP(KK))=XX(KK); END;
* /¦ ПОЛУЧИТЬ РЕШЕНИЕ. */
* CALL HOLSBP(N,XLNZ,LNZ1.LNZ2,XNZSUB,NZSUB,
* DIAG,TEMP);
* DO KK=1 TO N; XX(PERM(KK))=TEMP(KK); END;
* FREE TEMP;
+RET3: RETURN;
¦HSLEFP4:ENTRY;

:0=@N31)X3N
•'I=@N31)Nn -'W313=@N31)V
'aN3HV 01 0Э NHHI XVWNON31 JI
:t=onhi nhhx o=onsi ji :;+0N3i=ciN3T
¦ oa N3Hi о=м ii
•'(г)мон=я
¦ аня -'хин oi oo :s-=oni -oa nshi r>i л
•' сшз
•'хнн oi oo :wHi3+(i)ovia=(i)ovia
r=i ji
•'13H oi oo
'NIT'V
- ONI
3MH3md3ave soHiirvwdOH - o=aNi
:КИНЭПНЗаУ? }J?HEMdU
I( XVWN=>DN31 ) X3N'NITV ЗОН
-MOOVW И1Э0ННЗН1Г0и?Е ?HHH?dJ KKHXd39 - 0N3T
R-LH3W3ire 3RH4ir?H0J?Mtr
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/* 1Ч1НЗИ31Ге
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
:о=жон :o=ovia :69zee-=0N3T
•oa nshi o=oni
' (Г>1) nflMdlVW VMKHIirOJXSdJ. 0J3H
iH3W3ire июэнуе vxinuou - s-=oni
:x3N
3HH3HirOU3d3U - 1- = aNI
-'вин
3HH3md3ave soH^irvwdOH - т=сш
- (N)DVia
VH
OlfVhVH ?H
ojohekbo
a
IMHVdX - (N)MOH
эиЛш1Гэ|гэ
(XVWN •" 89ZS?-)X3N
ао1нэиз|ге
3RHh0di0 IMHVdX- (XVWN:89ZSC-)Nn
• :ntiMdJ.vw
ШУаИ1ГиУ^?Н'аИ0Э?И- (XVWN:89ZSe-)V
IXSN'NIVV
M-LOOHdSWEVd ?tlMH?dJ KKHXdsa - XVWN
•'VJ.H3W3ire ЗИНЗЬ?НЁ - W313
:( r=<i онч1гэ1?Екдо )
viH3H3ire о-1ониэон?? э^з^н y
:ViH3W3IT6 OJOWMOOH?E Э»31ГНИ
-'fltlMdiVH 4i30Hd3HE?d
:?iH3W3ire зинзэзнуе - t=aNi
'ВИП?ЕИ1Г?И*1ИНИ - O=ONI
:FU09Vd WMK3d
:|4di3HVdVU 3HHtrOXS */
¦'(9i)ivoij эза (W313'c*)ovia'(*)v)
'Ое)азхы nih (dnstxvwnt'i'n'oni)
'(9Т)азхи Nia (*) (штмон'хзю аэа
: (жоа'X3N'nitdnbVxvwn' Vovia'из!з'r'i 'n'oni)ooad
/*, 'HtlMdiVH MOHH31«3dE?d */
/* W0HhMdi3HHM0 УХОИиЭ OJOHEBaO 0J3HXd3S 3MH?aOdMWdO0 */
- ONI
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
-*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
/*
:азглсюэ ззал
кинз^козоазо
ззал
o<niin ji
*/
3HH3)KOIfHdU

ПРИЛОЖЕНИЕ 413
¦ ROW(J)=LENG; GO TO RET;
¦ END;
¦Ml: ILIN=LIN(K);
¦ IF I=ILIN THEN DO;
¦ • A(K)=A(K)+ELEM; GO TO RET;
¦ END;
¦ IF K = ILIN THEN DO;
¦ LENG=LENG+1; IF LENG=O THEN LENG=1;
¦ IF LENONMAX THEN GO TO ABEND;
¦ ROW(J)=LENG; LIN(LENG)=I;
¦ NEX(LENG)=K; A(LENG)=ELEM;
¦ GO TO RET;
¦ END;
¦ IF NEX(K)=0 THEN DO;
¦ LENG=LENG+l; IF LENG=0 THEN LENG=1;
¦ IF LENONMAX THEN GO TO ABEND;
¦ LIN(LENG)=I; NEX(LENG)=O;
¦ NEX(K)=LENG; A(LENG)=ELEM;
¦ GO TO RET;
¦ END;
¦ KA=NEX(K);
¦ IF I>=LIN(KA) THEN DO; K=NEX(K); GO TO Ml; END;
¦ LENG=LENG+1; IF LENG=O THEN LENG=1;
¦ IF LENONMAX THEN GO TO ABEND;
¦ LIN(LENG)=I; NEX(LENG)=NEX(K);
¦ NEX(K)=LENG; A(LENG)=ELEM;
¦RET: RETURN;
¦ABEND: IND=-1; RETURN;
¦END ECONGP;
/************************ ZEROAP ¦¦¦¦*¦¦¦****¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦/
/¦ УДАЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ НУЛЕЙ ИЗ ВЕРХНЕГО СВЯЗНОГО СПИСКА ¦/
/¦ И УЧЕТ ОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ¦/
¦ZEROAP
¦
¦
¦
*
*
*
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
: P
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/*
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
/¦
PR0C(N,DIAG,A,LIN,NEX,R0W,LENG,LAOLD,LINZER,NLIN);
DCL (DIAG.AK + ) DEC FL0ATC16),
(LIN,NEX,ROW,LINZER)(+) BIN FIXEDC15),
(N,NLIN,LENG,LAOLD) BIN FIXEDC31);
ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: ¦/
N - РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ; ¦/
DIAG(N) - МАССИВ,СОДЕРЖАЩИЙ ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕ- ¦/
МЕНТЫ МАТРИЦЫ; ¦/
A(-3276B:LENG), LINC-32768:LENG), ¦/
NEX(-32768:LENG), ROW(N) - МАССИВЫ,СОДЕРЖАЩИЕ ¦/
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦЫ В ВИДЕ ВЕРХНЕГО СВЯЗНОГО ¦/
СПИСКА; ¦/
LENG - ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА РАЗМЕРНОСТИ МАССИВОВ ¦/
A.LIN.NEX; ¦/
LINZER(NLIN) - МАССИВ,СОДЕРЖАЩИЙ НОМЕРА УРАВ- ¦/
НЕНИЙ С.Л.А.У., ПОДЛЕЖАЩИХ УДАЛЕНИЮ; ¦/
NLIN - РАЗМЕРНОСТЬ МАССИВА LINZER. ¦/
ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: ¦/
A.LIN.NEX,ROW - СВЯЗНЫЙ СПИСОК, В КОТОРОМ ИС- ¦/
КЛЮЧЕНЫ ССЫЛКИ НА НУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ; ¦/
DIAG - СОДЕРЖИТ ДИАГОНАЛЬ МАТРИЦЫ; ЭЛЕМЕНТЫ, ¦/
СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УДАЛЕННЫМ УРАВНЕНИЯМ, ¦/
РАВНЫ ЕДИНИЦЕ; ¦/
LENG - НА 32769 МЕНЬШЕ ОБЩЕГО ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ ¦/
В НОВОМ СПИСКЕ; ¦/

414
ПРИЛОЖЕНИЕ
* /¦ LAOLD - СОДЕРЖИТ СТАРОЕ ЗНАЧЕНИЕ LENG. */
* DCL DAMAX STATIC DEC FL0ATC16), (J,М,I,К,IPERM,KA,
* NUM.KOLD.KANEXT) STATIC BIN FIXEDO1);
* DO J=l TO N-l;
* M=R0W(J); DAMAX=DIAG(J);
* DO WHILE(M~=O);
* IF ABS(A(M))*1E12<DAMAX THEN A(M)=O;
* M=NEX(M);
* END;
* END;
* IF NLIN>0 THEN DO;
¦MA: IPERM=O;
* DO 1=1 TO NLIN-1;
* IF LINZER(I+1)<LINZER(I) THEN DO;
* K=LINZER(I);
* LINZER(I)=LINZER(I+1);
* LINZER(I+1)=K; IPERM=1;
* END;
* END;
* IF IPERM=1 THEN GO TO MA;
* IF LINZER(NLIN)=N THEN DIAGCN)=1;
* DO J=l TO N-l;
* KA=ROW(J);IF KA~=O THEN DO;
* DO K=l TO NLIN; NUM=LINZER(K);
¦CONT: IF NUM=LIN(KA) THEN DO;
* A(KA)=0; KA=NEX(KA);
* IF KA=O THEN GO TO OUT;
* ELSE GO TO ENDK;
* ' END;
* ¦ IF NUM>LIN(KA) THEN DO;
* KA=NEX(KA);
* IF KA=0 THEN GO TO OUT;
* ELSE GO TO CONT;
* END ;
*ENDK: END;
* END ;
¦OUT: END;
* DO 1=1 TO NLIN;
* NUM=LINZER(I); KA=ROW(NUM);
* DO WHILE (KA~=O);
* A(KA)=O; KA=NEX(KA);
* END;
* DIAG(NUM)=1;
* END ;
* END;
* LAOLD=LENG;
* DC J=l TO N-l;
* KA=ROW(J);KOLD=O;
* DO WHILE (KA~=O);
* IF A(KA)=O THEN DO;
* KANEXT=NEX(KA); LENG=LENG-1;
* LIN(KA)=O;
* IF KOLD=O THEN ROW(J)=KANEXT;
* ELSE NEX(KOLD)=KANEXT;
* END;
* ELSE KOLD=KA;
* KA=NEX(KA);
* END;
* END ;
¦END ZERCAP;

ПРИЛОЖЕНИЕ 415
/**********#************* LFADCP ¦**¦***¦****¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦*¦/
/* ФОРМИРОВАНИЕ ПАРЫ (XADJ,ADJNCY) ИЗ ВЕРХНЕГО СВЯЗНОГО ¦/
/* СПИСКА. ADJNCY АДРЕСУЕТСЯ С -32768 */
¦LFADCP: PR0C(N,ROW,LIN,NEX,XADJ,ADJNCY);
¦ DCL N BIN FIXEDC1), ((LIN,NEX)(*),ROW(*),
¦ XADJ(*).ADJNCY(*)) BIN FIXEDA5); '
¦ /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
¦ /* N - ЧИСЛО ВЕРШИН ГРАФА (РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ); ¦/
¦ /* (ROW,LIN,NEX) - ВЕРХНИЙ СВЯЗНЫЙ СПИСОК ГРАФА. ¦/
¦ /* ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: ¦/
¦ /* (XADJ,ADJNCY) - (ПОЛНАЯ) СТРУКТУРА СМЕЖНОСТИ ¦/
¦ /¦ ГРАФА. */
¦ DCL (К,J,IS,ISAVE,L) STATIC BIN FIXEDO1),
¦ WORK(N) BIN FIXEDU5);
¦ XADJ=O; ADJNCY=O; /¦ ПОДСЧИТАТЬ СТЕПЕНИ УЗЛОВ. */
¦ DO J=l TO N-l;
¦ K=R0W(J);
¦ DO WHILE (K~=0);
¦ XADJ(J)=XADJ(J)+1;
¦ XADJ(LIN(K))=XADJ(LIN(K))+l;
¦ K=NEX(K);
¦ END;
¦ END;
¦ ISAVE=XADJA); /* СФОРМИРОВАТЬ ФАКТИЧЕСКИЙ */
¦ XADJA)=-32768; /¦ ВЕКТОР XADJ. ¦/
¦ DO J=2 TO N+l;
¦ IS=XADJ(J);
¦ XADJ(J)=ISAVE+XADJ(J-1); ISAVE=IS;
¦ END;
¦ WORK=O; /¦ ЗАПОЛНИТЬ ADJNCY. ¦/
¦ DO J=l TO N-l;
¦ K=ROW(J); L=XADJ(J)-1+WORK(J);
¦ DO WHILE (K~=O);
¦ L=L+l;
¦ WORK(J)=WORK(J)+1; ADJNCY(L)=LIN(K);
¦ ADJNCY(XADJ(LIN(K))+WORK(LIN(K)))=J;
¦ WORK(LIN(K))=WORK(LIN(K))+l;
¦ K=NEX(K);
¦ END;
¦ END ;
*END LFADCP;
/************************ GQMDBP *************************/
/* УПОРЯДОЧЕНИЕ ГРАФА ПО МЕТОДУ МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ. */
¦GQMDBP: PROC(N,XADJ,ADJNCY,INVP,PERM,NOFSUB);
* DCL (N.NOFSUB) BIN FIXEDO1),
* (XADJ,ADJNCY,INVP,PERM)(¦) BIN FIXEDA5);
* /¦ ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /¦ N - ЧИСЛО ВЕРШИН ГРАФА (РАЗМЕРНОСТЬ СИСТЕМЫ */
* /¦ УРАВНЕНИЙ); */
* /¦ (XADJ,ADJNCY) - СТРУКТУРА СМЕЖНОСТИ ГРАФА. */
* /¦ ВЫХОДНЫЕ ПАРАМТРЫ: */
* /¦ INVP(N) - МАССИВ ОБРАТНОЙ ПЕРЕНУМЕРАЦИИ; ¦/
* /¦ PERM(N) - МАССИВ ПРЯМОЙ ПЕРЕНУМЕРАЦИИ ВЕРШИН */
* /* ГРАФА; */
* /¦ NOFSUB - ОЦЕНКА ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ РАЗМЕРНОСТИ */
* /¦ МАССИВА NZSUB, ФОРМИРУЕМОГО В SMBFBP. */

416
ПРИЛОЖЕНИЕ
¦ /¦ СОДЕРЖИМОЕ МАССИВА ADJNCY НЕ СОХРАНЯЕТСЯ ! */
¦ DCL (DEG,MARKER,RCHSET,NBRHD,QSIZE,QLINK)(N)
¦ BIN FIXEDC15),
¦ (INODE,IP,IRCH,J,MINDEG.NDEG,NHDSZE,
¦ NODE, NP, NUM, NUMP1, NXNODE, RCHSZE-, SEARCH,
¦ THRESH) STATIC BIN FIXEDC31);
¦ MINDEG=N; N0FSUB=O;
¦ DO NODE=1 TO N;
¦ PERM(NODE)=N0DE; INVP(N0DE)=N0DE;
¦ MARKER(NODE)=0; QSIZE(NODE)=1; QLINK(NODE)=O;
¦ NDEG=XADJ(NODE+1)-XADJ(NODE); DEG(NODE)=NDEG;
¦ IF NDEG<MINDEG THEN MINDEG=NDEG;
¦ END;
¦ NUM=0;
*
*M200: SEARCH=1; THRESH=MINDEG; MINDEG=N;
¦M300: NUMP1=NUM+1;
¦ IF NUMP1>SEARCH THEN SEARCH=NUMP1;
¦ DO J=SEARCH TO N;
¦ NODE=PERM(J);
¦ IF MARKER(NODE)>=0 THEN DO;
¦ NDEG=DEG(NODE);
¦ IF NDEG<=THRESH THEN GO TO M500;
¦ IF NDEG<MINDEG THEN MINDEG=NDEG:
¦ END;
¦ END;
¦ GO TO M200;
*M500: SEARCH=J; NOFSUB=NOFSUB+DEG(NODE);
¦ 'MARKER (NODE) = 1;
¦ CALL QMDRAP (NODE,XADJ,ADJNCY,DEG.MARKER,
¦ RCHSZE,RCHSET,NHDSZE,NBRHD);
¦ NXNODE=NODE;
¦MSOO: NUM=NUM+1; NP=INVP(NXNODE);
¦ IP=PERM(NUM); PERM(NP)=IP; INVP(IP)=NP;
¦ PERM(NUM)=NXNODE; INVP(NXNODE)=NUM; DEG(NXNODE)=-1;
¦ NXNODE=QLINK(NXNODE);
¦ IF NXN0DE>0 THEN GO ТО М600;
¦ IF RCHSZE<=0 THEN GO TO MBOO;
¦ CALL QMDUAP (XADJ,ADJNCY,RCHSZE,RCHSET,DEG,
¦ QSIZE,QLINK,MARKER,
¦ RCHSET(RCHSZE+1),NBRHD(NHDSZE+1));
¦ MARKER(NODE)=0;
¦ DO IRCH=1 TO RCHSZE;
¦ INODE=RCHSET(IRCH);
¦ IF MARKER (INODE)>=0 THEN DO;
¦ MARKER(INODE)=0; NDEG=DEG(TNODE);
IF NDEG<MINDEG THEN MINDEG=NDEG;
IF NDEG<=THRESH THEN DO;
MINDEG=THRESH; THRESH=NDEG;
SEARCH=INVP(INODE);
END;
END;
END;
¦ IF NHDSZE>0 THEN CALL QMDQAP(NODE,XADJ,АОJNCY,
¦ MARKER,RCHSZE,RCHSET,NBRHD);
¦ M800: IF NUM<N THEN GO TO M300;
¦ RETURN;
¦END GQMDBP;

ПРИЛОЖЕНИЕ
417
/?*****'***?**?*********** QMDMAP ******¦*¦****¦***¦¦¦¦¦¦**/
/* СЛИЯНИЕ В АЛГОРИТМЕ МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ. ¦/
¦QMDMAP: PROC(XADJ,ADJNCY,DEG,QSIZE,QLINK,MARKER,DEGO,NHDSZE,
NBRHD,RCHSET,VR);
DCL VR BIN FIXEDC15),
OVRLP(l) BIN FIXEDU5) BASED(Al),
(XADJ,ADJNCY,DEG,MARKER,QSIZE,QLINK,RCHSET,
NBRHD) (*) BIN FIXEDA5),
(DECO. NHDSZE) BIN FIXEDOl);
/* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
/* XADJ(*),ADJNCY(*) - СТРУКТУРА СМЕЖНОСТИ; */
/* DEGO - ЧИСЛО ВЕРШИН В ЗАДАННОМ МНОЖЕСТВЕ; ¦/
/* (NHDSZE,NBRHD(*)) - МНОЖЕСТВО ИСКЛЮЧЕННЫХ СУ- ¦/
/¦ ПЕРВЕРШИН,СМЕЖНЫХ С ВЕРШ-МИ ДАННОГО МНОЖЕСТВА.*/
/¦ ИЗМЕНЯЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ: ¦/
/¦ DEG(*) - ВЕКТОР СТЕПЕНЕЙ; */
/* QSIZE(*) - РАЗМЕРЫ НЕРАЗЛИЧИМЫХ СУПЕРВЕРШИН; ¦/
/* QLINK(*) - СВЯЗНЫЙ СПИСОК ДЛЯ НЕРАЗЛИЧИМЫХ ¦/
/* ВЕРШИН; */
/* MARKER(*) - В ЗАДАННОЕ МН-ВО ВХОДЯТ ВЕРШИНЫ , */
/* КОТОРЫМ В MARKER СООТВ. ЗНАЧЕНИЕ 1. ДЛЯ ВЕР-*/
/» ШИН, СТЕПЕНЬ КОТОРЫХ ИЗМЕНЕНА, БУДЕТ УСТА- */
/* НОВЛЕНО ЗНАЧЕНИЕ 2. ¦/
/* РАБОЧИЕ ПАРАМЕТРЫ: ¦/
/* RCHSET(*) - ДОСТИЖИМОЕ МНОЖЕСТВО; . */
/* OVRLP(*) - ВЕКТОР, ХРАНЯЩИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ¦/
/* ДОСТИЖИМЫХ МНОЖЕСТВ. ¦/
DCL (DEG1.HEAD,INHD,IOV,IRCH,J,JSTRT,JSTOP,
LINK, LNODE,MARK,MRGSZE,NABOR,NOVRLP,
NODE,RCHSZE.ROOT) STATIC BIN FIXEDC1);
A1=ADDR(VR);
IF NHDSZE<=0 THEN GO TO RET;
DO INHD=1 TO NHDSZE;
ROOT=NBRHD(INHD); MARKER(ROOT)=0;
END;
DO INHD=1 TO NHDSZE;
R00T=NBRHD(INHD); MARKER(ROOT)=-1;
RCHSZE=O; N0VRLP=O; DEG1=O;
M200: JSTRT=XADJ(ROOT); JSTOP=XADJ(ROOT+1)-1;
DO J=JSTRT TO JSTOP;
NABOR=ADJNCY(J); ROOT—NABOR;
IF NAB0R<0 THEN GO ТО М200;
IF NAB0R=0 THEN GO TO М700;
MARK=MARKER(NABOR);
IF MARK>=0 THEN DO;
IF MARK=0 THEN DO;
RCHSZE=RCHSZE+1;
RCHSET(RCHSZE)=NABOR;
DEG1=DEG1+QSIZE(NABOR);
MARKER(NABOR)=1; GO TO M600;
END;
IF MARK>1 THEN GO TO M600;
NOVRLP=NOVRLP+1;
OVRLP(NOVRLP)=NABOR; MARKER(NABOR)=2;
END;
M600: END;
M700: HEAD=O; MRGSZE=O;
DO IOV=1 TO NOVRLP;
NODE=0VHLP(IOV);
14 П/р В. И. Мячеякоьа

418 ПРИЛОЖЕНИЕ
* JSTRT=XADJ(NODE); JSTOP=XADJ(NODE+1)-1;
* DO J=JSTRT TO JSTOP;
* NABOR=ADJNCY(J);
* IF MARKER(NAB0R)=O THEN DO;
* MARKER(NODE)=1; GO TO Ml100;
* END;
* END;
* MRGSZE=MRGSZE+QSIZE(NODE);
* MARKER(NODE)=-1; LNODE=NODE;
*M900: LINK=QLINK(LNODE);
* IF LINK>0 THEN DO;
* LNODE=LINK; GO TO M900;
* END;
* QLINK(LNODE)=HEAD; HEAD=NODE;
* Ml 100: END;
* IF HEAD>0 THEN DO;
* QSIZE(HEAD)=MRGSZE;
* DEG(HEAD)=DEGO+DEG1-1; MARKER(HEAD)= 2;
* END;
¦M1200: ROOT=NBRHD(INHD); MARKER (ROOT)=0;
* DO IRCH=1 TO RCHSZE;
* NODE=RCHSET(IRCH); MARKER(NODE)=0;
* END;
¦M1400: END;
¦RET:END QMDMAP;
/*********¦¦*¦*¦**¦****¦* QMDQAP ¦¦¦***¦¦¦***¦¦***********/
/¦ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФАКТОР-ГРАФА В АЛГОРИТМЕ МИНИМАЛЬНОЙ */
/¦ СТЕПЕНИ. */
/*Г**¦¦¦*********¦***¦¦¦¦**¦*****¦*******¦¦*¦*************/
QMDQAP: PROC(ROOT,XADJ,ADJNCY,MARKER,RCHSZE,RCHSET,NBRHD);
DCL (XADJ,ADJNCY,MARKER,RCHSET,NBRHD)(*)
BIN FIXEDU5) , (ROOT, RCHSZE) BIN FIXEDOl);
/¦ ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
/¦ ROOT - ТОЛЬКО ЧТО ИСКЛЮЧЕННАЯ ВЕРШИНА. ОНА */
¦ /¦ СТАНОВИТСЯ ПРЕДСТАВИТЕЛЕМ НОВОЙ СУПЕРВЕРШ.; ¦/
¦ /¦ XADJ(*),ADJNCY(*) - СТРУКТУРА СМЕЖНОСТИ; */
¦ /¦ RCHSZE,RCHSET(*) - ДОСТИЖИМОЕ МН-80 ВЕРШИН */
¦ /* ROOT В СТАРОМ ФАКТОР-ГРАФЕ; */
¦ /* NBRHD - ОКРЕСТНОСТЬ ROOT, БУДЕТ СЛИТА С НЕЙ */
¦ /* ПРИ ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ СУПЕРВЕРШИНЫ; */
¦ /* MARKER - ВЕКТОР МАРКИРОВКИ. */
/¦ ADJNCY ПЕРЕХОДИТ В ADJNCY ДЛЯ ФАКТОР-ГРАФА. */
DCL (INHD,IRCH,J,JSTRT,JSTOP,LINK,NABOR,NODE)
STATIC BIN FIXEDC31);
IRCH=O; INHD=O; NODE=ROOT;
¦M100: JSTRT=XADJ(NODE); JSTOP=XADJ(NODE+1)-2;
IF JSTOP>=JSTRT THEN DO;
DO J=JSTRT TO JSTOP;
IRCH=IRCH+1; ADJNCY(J)=RCHSET(IRCH);
IF IRCH>=RCHSZE THEN GO TO M400;
¦ END;
¦ END;
¦ LINK=ADJNCY(JSTOP+1); NODE=-LINK;
¦ IF LINK<0 THEN GO ТО М100;
¦ INHD=INHD+l; NODE=NBRHD(INHD);
¦ ADJNCY(JSTOP+1)=-NODE; GO TO M100;
*M400: ADJNCY(J+1)=O;
¦ DO IRCH=1 TO RCHSZE; NODE=RCHSET(IRCH);

ПРИЛОЖЕНИЕ
419
IF MARKER(NODE)>=0 THEN DO;
JSTRT=XADJ(NODE); JSTOP=XADJ(NODE+1)-
DO J=JSTRT TO JSTOP;
NABOR=ADJNCY(J);
IF MARKER (NABORX О THEN DO;
ADJNCY(J)=ROOT; GO TO M600;
END;
END;
¦M600: END;
¦END QMDQAP;
END;
/************************ (JMDRAP *¦¦¦¦¦¦***¦*¦¦¦¦¦*¦¦¦¦***/
/¦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОСТИЖИМОГО МНОЖЕСТВА В АЛГОРИТМЕ МИНИМА- ¦/
/* ЛЬНОЙ СТЕПЕНИ. */
¦QMDRAP: PROC(ROOT,XADJ,ADJNCY,DEG,MARKER,RCHSZE,RCHSET.
NHDSZE, NBRHD);
DCL (ROOT, RCHSZE, NHDSZE) BIN FIXEDOl),
(XADJ,ADJNCY,DEG,RCHSET,NBRHD,MARKER)(*)
BIN FIXED(IS);
/¦ ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
/¦ ROOT - ЗАДАННАЯ ВЕРШИНА ВНЕ ДАННОГО ПОДМН-ВА; ¦/
/* XADJ(*),ADJNCY(*) - МАССИВЫ ДЛЯ СТРУКТУРЫ */
/¦ СМЕЖНОСТИ; ¦/
/¦ DEGC*) - ВЕКТОР СТЕПЕНЕЙ. DEG(I)<0 ОЗНАЧАЕТ, */
/¦ ЧТО ВЕРШИНА I - В ДАННОМ ПОДМНОЖЕСТВЕ. */
/¦ ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
/¦ RCHSZE,RCHSET(*) - ДОСТИЖИМОЕ МНОЖЕСТВО; */
/¦ NHDSZE,NBRHD(¦) - ОКРЕСТНОСТЬ. */
DCL (I,ISTRT.ISTOP,J,JSTRT,JSTOP,NABOR,NODE)
STATIC BIN FIXEDOl);
NHDSZE=O; RCHSZE=O;
ISTRT=XADJ(R0OT); ISTOP=XADJ(ROOT+1)-1;
IF ISTOP<ISTRT THEN GO TO RET;
DO I=ISTRT TO ISTOP; NABOR=ADJNCY(I);
IF NABOR=O THEN GO TO RET;
IF MARKER(NABOR)=0 THEN DO;
IF DEG(NABOR)<0 THEN GO TO M200;
RCHSZE=RCHSZE+1; RCHSET(RCHSZE)=NABOR;
MARKER(NABOR)=1; GO TO M600;
MARKER(NABOR)=-1; NHDSZE=NHDSZE+1;
NBRHD(NHDSZE)=NABOR;
JSTRT=XADJ(NABOR); JSTOP=XADJ(KABOR+1)-1;
DO J=JSTRT TO JSTOP;
NODE=ADJNCY(J); NABOR=-NODE;
IF N0DE<0 THEN GO ТО М300;
IF NODE=0 THEN GO TO M600;
IF NODE>0 THEN DO;
IF MARKER(NODE)=0 THEN DO;
RCHSZE=RCHSZE+1;
RCHSET(RCHSZE)=NODE;
MARKER(NODE)=1;
*
¦
*
¦
*
*
*
*
*
*
*M200:
*M300:
*
*
*
*
*
*
*
*
*M600:
END ;
END;
END;
END;
END;
*RET:END QMORAP;

420
ПРИЛОЖЕНИЕ
у************************ QMDUAP ****¦********¦**********¦/
/¦ ПЕРЕСЧЕТ СТЕПЕНЕЙ В АЛГОРИТМЕ МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ. ¦/
¦*QMDUAP: PROC(XADJ,ADJNCY,NLIST,LIST,DEG,QSIZE,QLINK,MARKER,
* RCHST.NBRD);
* DCL (RCHS.T.NBRD) BIN FIXEDC15),
* RCHSET(l) BIN FIXEDC15) BASED(Al),
* NBRHD(l) BIN FIXEDC15) BASEDCA2),
* (XADJ,ADJNCY,DEG,LIST,MARKER,QSIZE,QLINK)(*)
* BIN FIXEDC15), NLIST BIN FIXEDC31);
* /¦ ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: . ¦/
* /¦ XADJC*),ADJNCY(*) - СТРУКТУРА СМЕЖНОСТИ; */
* /* NLIST,LISTC*) - СПИСОК ВЕРШИН,ЧЬИ СТЕПЕНИ НУ- */
* /¦ ЖНО ПЕРЕВЫЧИСЛИТЬ. ¦/
* /¦ ИЗМЕНЯЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /¦ DEGC*) - ВЕКТОР СТЕПЕНЕЙ; ¦/
* /* QSIZEC*) - РАЗМЕРЫ НЕРАЗЛИЧИМЫХ СУПЕРВЕРШИН; */
* /¦ QLINKC*) - СВЯЗНЫЙ СПИСОК ДЛЯ НЕРАЗЛИЧИМЫХ */
* /¦ ВЕРШИН; */
* /¦ MARKERC*) - ИСП. ДЛЯ МАРКИРОВКИ ВЕРШИН; */
* /* РАБОЧИЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* RCHSETC*) - ДОСТИЖИМОЕ МНОЖЕСТВО; */
* /* NBRHDC*) - ОКРЕСТНОСТЬ. */
* DCL (DEGO.DEG1,IL.INHD,INODE,IRCH,J,JSTRT,JST0P,
* MARK,NABOR,NHDSZE.NODE,RCHSZE,ROOT)
* STATIC BIN FIXEDC1);
* A1=ADDR(RCHST);A2=A0DR(NBR0) ;
* IF NLIST<=0 THEN GO TO RET;
* DEGO=O; NHDSZE=O;
* DO IL=1 TO NLIST;
* NODE=LIST(IL); DEGO=DEGO+QSIZE(NODE);
* JSTRT=XADJ(NODE); JST0P=XADJ(NODE+1)-1;
* DO J=JSTRT TO JSTOP;
* NABOR=ADJNCY(J);
* IF MARKER(NABOR)~=O ! DEG(NABOR)>=O
* THEN GO TO M1OO;
* MARKER(NABOR)=-1;
* NHDSZE=NHDSZE+1;
* . NBRHD(NHDSZE)=NABOR;
*M1OO: END;
* END;
* IF NHDSZE>0 THEN CALL QMDMAP(XADJ,ADJNCY,DEG,QSIZE,
* QLINK,MARKER,DEGO,NHDSZE,NBRHD,RCHSET,
* NBRHD(NHDSZE+1));
* DO IL=1 TO NLIST;
* NODE=LIST(IL);
* MARK=MARKER(NODE);
* IF MARK>1 ! MARK<0 THEN GO ТО М600;
* MARKER(NODE)=2;
* CALL QMDRAP(NODE,XADJ,ADJNCY,DEG,MARKER,
* RCHSZE, RCHSET,NHDSZE,NBRHD);
* DEG1=DEGO;
* IF RCHSZE>=1 THEN DO;
* DO IRCH=1 TO RCHSZE;
* INODE=RCHSET(IRCH);
* DEG1=DEG1+QSIZE(INODE);MARKER(INODE)=0;
* END;
* ENO;
* DEG(NODE)=DEG1-1 ;
* IF NHDSZE<=0 THEN GO ТО М600;

ПРИЛОЖЕНИЕ
421
*
*
*
*M600: END;
¦RET:END QMDUAP;
DO INHD=1 TO NHDSZE;
INODE=NBRHD(INHD);
END;
MARKER(INODE)=0;
/************************ SMBFBP *************************/
/* СИМВОЛИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ И ФОРМИРОВАНИЕ КОМПАКТНОЙ */
/* СХЕМЫ ШЕРМАНА. */
*/
*/
*SMBFBP
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*M200:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
: PROC(N,XADJ,ADJNCY,PERM,1NVP,XLNZ,MAXLNZ,XNZSUB,
NZSUB,MAXSUB,FLAG);
DCL (ADJNCY,XADJ.INVP,PERM,NZSUB,XNZSUB)(*)
BIN FIXEDA5),
(XLNZC*),N,MAXLNZ,MAXSUB,FLAG) BIN FIXEDC1);
/* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ:
N - РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ;
/*
/*
/*
/*
XADJ(*),ADJNCY(*) - СТРУКТУРА СМЕЖНОСТИ ГРАФА;*/
Й Й
(),
PERMC*),INVP(*) - ВЕКТОРЫ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ
ПЕРЕНУМЕРАЦИИ ВЕРШИН ГРАФА.
/* ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ:
/
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
*/
*/
*/
Д
XLNZ(*),XNZSUB(*),NZSUB(*) - ИНДЕКСНЫЕ МАССИ- */
Й
*/
*/
*/
*/
*/
*/
*/
,,
ВЫ КОМПАКТНОЙ1СТРУКТУРЫ ШЕРМАНА;
MAXLNZ - КОЛИЧЕСТВО ТРЕБУЕМЫХ ЯЧЕЕК ДЛЯ РАЗ-
МЕЩЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНОГО МНОЖИТЕЛЯ;
MAXSUB - КОЛИЧЕСТВО ЗАНЯТЫХ ЯЧЕЕК В NZSUB;
FLAG - ПРИЗНАК ЗАВЕРШЕНИЯ:
FLAG=O : НОРМАЛЬНОЕ ЗАВЕРШЕНИЕ;
FLAG=1 : ПЕРЕПОЛНЕНИЕ МАССИВА NZSUB.
DCL (MRGLNK,RCHLNK,MARKER)(N) BIN FIXEDA5),
((I,INZ,J,JSTOP,JSTRT,К,KNZ,KXSUB,MRGK,LMAX,M,
NABOR,NODE,NP1,NZBEG,NZEND,RCHM,MRKFLG) STATIC,
XNZSB(N+1) CTL) BIN FIXEDC1);
NZBEG=1;NZEND=O;XLNZA)=1;
MRGLNK,MARKER=O;NP1=N+1;
ALLOCATE XNZSB;
DO K=l TO N;
KNZ=0;MRGK=MRGLNK(K);MRKFLG=O;
MARKER(K)=K;
IF MRGK~=0 THEN MARKER(K)=MARKER(MRGK);
XNZSB(K)=NZEND; NODE=PERM(K);
JSTRT=XADJ(NODE);JSTOP=XADJ(NODE+1)-1;
IF JSTRT>JSTOP THEN GO TO M1500;
RCHLNK(K)=NP1;
DO J=JSTRT TO JSTOP;
JJJJ=J;NABOR=INVP(ADJNCY(JJJJ));
IF NAB0R>K THEN DD; RCHM=K;
M=RCHM; RCHM=RCHLNK(M);
IF RCHM<=NABOR THEN GO TO M200;
KNZ=KNZ+1;
RCHLNK(M)=NAB0R; RCHLNK(NABOR)=RCHM;
IF MARKER(NABOR)~=MARKER(K)
THEN MRKFLG=1;
END;
END;
LMAX=0;
IF MRKFLG~=O ! MRGK=O THEN GO TO M350;
IF MRGLNK(MRGK)~=O THEN GO TO M350;
XNZSB(K)=XNZSB(MRGK)+1;

422
ПРИЛОЖЕНИЕ
* KNZ=XLNZ(MRGK+1)-(XLNZ(MRGK)+1);
* GO TO M1400;
*M350: I=K;
*M400: I=MRGLNK(I);
* IF 1=0 THEN GO TO M800;
* INZ=XLNZ(I + 1)-(XLNZ(I)+1) ;
* JSTRT=XNZSB(I)+l; JSTOP=XNZSB(I)+INZ;
* IF INZ>LMAX THEN DO;
* LMAX=INZ; XNZSB(Ю=JSTRT;
* END ;
* RCHM=K;
* DO J=JSTRT TO JSTOP;
* NAB0R=NZSUB(J-32769);
*M600: M=RCHM; RCHM=RCHLNK(M);
* IF RCHM<NABOR THEN GO TO M600;
* IF RCHM~=NABOR THEN DO;
* KNZ=KNZ+1;
* RCHLNK(M)=NABOR;
* RCHLNK(NABOR)=RCHM;
* RCHM=NABOR;
* END ;
* END; GO TO M400;
*M600: IF KNZ=LMAX THEN GO TO M140C;
* IF NZBEONZEND THEN GO TO M1200;
* I=RCHLNK(K);
* DO JSTRT=NZBEG TO NZEND;
* IF NZSUB(JSTRT-32769)>I THEN GO TO M1200;
* ELSE IF NZSUB(JSTRT-32769)=I
* ' THEN GO TO M1000; END; GO TO M120O;
*M1000: XNZSB(K)=JSTRT;
* DO J=JSTRT TO NZEND;
* IF NZSUB(J-32769)~=I THEN GO TO M1200;
* I=RCHLNK(I);
* IF I>N THEN GO TO M1400;
* END;
* NZEND=JSTRT-1 ;
*M1200: NZBEG=NZEND+1;NZEND=NZEND+KNZ;
* IF NZEND>MAXSUE THEN DO; MAXLNZ=0;
* FREE XNZSB; FLAG=1; GO TO RET;
* END;
* I=K;
* DO J=NZBEG TO NZEND;
* I=RCHLNK(I); NZSUB(J-32769)=I; MARKER(I)=K;
* END;
* XNZSB(K)=NZBEG; MARKER(K)=K;
*M1400: IF KNZ>1 THEN DO;
* KXSUB=XNZSB(K); I=NZSUB(KXSUB-327691:
* MRGLNK(K)=MRGLNK(I); MRGLNK(I)=K;
* END;
*M1500: XLNZ(K+1)=XLNZ(K)+KNZ;
* END;
* MAXLNZ=XLNZ(N)-1;
* MAXSUB=XNZSB(N);
* XNZSB(N+1)=XNZSB(N); XLNZ=XLNZ-32769;
* FLAG=0; XNZSUB=XNZSB-32769; FREE XNZSB;
*RET:END SMBFBP;

ПРИЛОЖЕНИЕ 423
/************************ LNZIMP *************************/
/* ПРОЦЕДУРА ПЕРЕНЕСЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ ИЗ ВЕРХНЕГО */
/* СВЯЗНОГО СПИСКА В КОМПАКТНУЮ СТРУКТУРУ ШЕРМАНА */
/Я********************************************************/
*LNZIMP: PROC(N,XLNZ,LNZ1,LNZ2,XNZSUB,NZSUB,INVP,DIAG,
* AA,LIN,NEX,ROW);
* DCL (N,XLNZ(*)) BIN FIXEDC31),
* (DIAG(*),LNZ1(*),LNZ2(*),AA(*)) DEC FL0ATC16),
* (XNZSUB (*) ,NZSUB(*) ,INVP(*) , (LIN.NEX) (*) ,
* ROW(*)) BIN FIXEDC15);
* ' /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* N - РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ; */
* /* DIAGC*),A(*),LIN(*),NEX(*),ROWC*) - ВЕРХНИЙ */
* /* СВЯЗНЫЙ СПИСОК, ХРАНЯЩИЙ МАТРИЦУ; */
* /* INVPC*) " ВЕКТОР ПЕРЕНУМЕРАЦИИ. */
* /* ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* XLNZC*),LNZ1C*).LNZ2C*).XNZSUBC*).NZSUBC*) - */
* /* КОМПАКТНАЯ СТРУКТУРА ШЕРМАНА. */
* DCL CWORKDCN),AIJ STATIC) DEC FL0ATC16),
* СИ,К, J, I, JS) STATIC BIN FIXEDC31);
* WORKD=DIAG;
* DO K=l TO N; DIAGCINVPCK))=WORKDCK); END;
* LNZl=O;LNZ2=0;
* DO 11=1 TO N-l; /* ЦИКЛ ПО СТОЛБЦАМ */
* J=INVP(II); JS=J; K=ROW(II);
* DO WHILE (K~=0);
* I=INVPCLINCK)); AIJ=AACK);
* IF KJ THEN DO;
* JJ=J;J=I;I=JJ;
* END;
* CALL ADDABPCN,I,J.AIJ,XNZSUB,XLNZ,NZSUB,
* LNZ1.LNZ2);
* J=JS; K=NEXCK);
* END ;
* END;
¦END LNZIMP;
/*¦¦****¦¦¦*¦*¦*¦*¦******¦ ADDABP ¦¦****¦*****************/
/¦ ВНЕСЕНИЕ ЭЛЕМЕНТА В КОМПАКТНУЮ СТРУКТУРУ ИЗ ДВУХ MAC- */
/* СИВОВ LNZ1 И LNZ2. */
/а********************************************************/
¦ADDABP: PROCCN,I,J,AIJ,XNZSUB,XLNZ,NZSUB,LNZ1.LNZ2);
* DCL (N.I.J.XLNZC*)) BIN FIXEDC31),
* (AIJ,(LNZ1.LNZ2)(¦)) DEC FLOATC16),
* (XNZSUB,NZSUB)(¦) BIN FIXEDC15);
* /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* N - РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ; */
* /¦ (I,J) - СООТВЕТСТВЕННО СТРОЧНЫЙ И СТОЛБЦОВЫЙ */
* /* ИНДЕКСЫ ЭЛЕМЕНТА, ЗАНОСИМОГО В МАТРИЦУ (I>J);*/
* /* AIJ - ЗНАЧЕНИЕ ЗАНОСИМОГО ЭЛЕМЕНТА; */
* /¦ (XNZSUB,XLNZ) - УКАЗАТЕЛЬНЫЕ МАССИВЫ КОМПАКТ- */
* /¦ НОЙ СХЕМЫ ШЕРМАНА; */
* /* NZSUB - МАССИВ СТРОЧНЫХ ИНДЕКСОВ. */
* /* ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* (LNZ1.LNZ2)(*) - СФОРМИРОВАННЫЙ ЛЕВЫЙ ТРЕУГО- */
* /¦ ЛЬНИК МАТРИЦЫ. */
* DCL (M.K.IM.LINE) STATIC BIN FIXEDC1);
* K=XNZSUB(J)-1;
* DO M=XLNZ(J) TO XLNZ(J+1)-1;

424 ПРИЛОЖЕНИЕ
*
*
¦
*
*
*
*
*
*END
END;
ADDABP;
K=K+l; LINE=NZSUB(K) ;
IF I=LINE THEN DO;
IF M>32787 THEN DO;
1М=М-в5Б36; LNZ2(IM)=LNZ2(IM)+AIJ;
END;
ELSE LNZ1(M)=LNZ1(M)+AIJ;
RETURN;
END;
/*****»****************** HOLTBP *******•«*¦****-¦¦«******/
/* ТРЕУГОЛЬНОЕ [L]*[D]*[L]T РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ СИМ- */
/¦ МЕТРИЧНОЙ РАЗРЕЖЕННОЙ МАТРИЦЫ, ХРАНИМОЙ ПО СХЕМЕ КОМ- */
/* ПАКТНОГО ИНДЕКСИРОВАНИЯ ШЕРМАНА В ВИДЕ ДВУХ МАССИВОВ. */
/* ИСПОЛЬЗУЕТСЯ АЛГОРИТМ ВНЕШНИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ. */
/*********************************************************/
*HOLTBP: PROC(N,XLNZ,LNZ1,LNZ2,XNZSUB,NZSUB,DIAG);
* DCL (N,XLNZ(*)) BIN FIXEDC31),
* (LNZ1,LNZ2,DIAG)(*) DEC FLOATA6),
* (XNZSUB,NZSUB)(*) BIN FIXEDA5);
* /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* N - РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ; */
* /* XLNZ,XNZSUB,NZSUB,LNZ1.LNZ2 - ЛЕВЫЙ ТРЕУГО- */
* /* ЛЬНИК МАТРИЦЫ, ХРАНИМОЙ ПО КОМПАКТНОЙ СХЕМЕ. */
* /* МАССИВЫ ИМЕЮТ СЛЕДУЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТИ: */
* /* XLNZ(N+1),XNZSUB(N+1),NZSUB(-3276B:MAXSUB), */
* /* -DIAG(N); */
* /¦ LNZl(-32768:MAXLNZ-32769),LNZ2A) - ЕСЛИ */
* /* MAXLNZ<=85536; */
* /* LNZl(-32768:32767),LNZ2(-32768:MAXLNZ-98305) */
* /* - В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ. */
* /* (ПЕРЕМЕННЫЕ MAXSUB И MAXLNZ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ПРО- */
* /* ЦЕДУРОЙ СИМВОЛИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ SMBFBP.) */
* /* ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* LNZ1.LNZ2 - СОДЕРЖАТ ТРЕУГ. МНОЖИТЕЛЬ [L]; */
* /* DIAG - СОДЕРЖИТ ДИАГОНАЛЬНУЮ МАТРИЦУ [D]. */
* DCL (JSTRT,JSTOP.L,JSUB.LINE,J,KK,IK,IL,IM,
* KS,M,MS,KA) STATIC BIN FIXEDC1),
* (LNZK.LNZM.WOR) STATIC DEC FL0ATA6);
* DO J=l TO N-l;
* JSTRT=XLNZ(J); JSTOP=XLNZ(J+l)-1;
* JSUB=XNZSUB(J)-1;
* DO L=JSTRT TO JSTOP;
* JSUB=JSUB+1; LINE=NZSUB(JSUB);
* IF L<=32767 THEN DO;
* WOR=LNZ1(L)/DIAG(J);
* DIAG(LINE)=DIAG(LINE)-WOR*LNZ1 (L) ;
* END;
* ELSE DO;
* IL=L-65536; W0R=LNZ2(IL)/DIAG(J);
* DIAG(LINE)=DIAG(LINE)-W0R*LNZ2(IL);
* END;
* IF L<JSTOP THEN DO;
* KK=XLNZ(LINE);KS=XNZSUB(LINE)-1;M=L+1;
* MS=JSUB+1;
* DO KA=KK TO XLNZ(LINE+1)-1;
* KS=KS+1;
* IF NZSUB(KS)=NZSUB(MS)

ПРИЛОЖЕНИЕ 425
*
*
*
¦
¦
¦
*
*
*
*
*
*
*М1:
*
¦
*
*END
THEN DO;
IF M>32767 THEN DO;
1М=М-6ББ36; LNZM=LNZ2(IM);
END;
ELSE LNZM=LNZ1CM);
IF КА>327в7 THEN DO;
1К=КА-вББЗв; LNZK=LNZ2(IK);
END;
ELSE LNZK=LNZ1(KA);
LNZK=LNZK-LNZM*WOR;
IF КА>327в7 THEN LNZ2(IK)=LNZK;
ELSE LNZ1(KA)=LNZK;
M=M+1;MS=MS+1;
IF M>JSTOP THEN GO TO Ml;
END;
END;
END;
IF L>32767 THEN LNZ2(IL)=WOR;
ELSE LNZ1(L)=WOR;
END;
END;
HOLTBP;
/************************ HOLSBP *¦¦¦*¦¦¦¦*¦¦*¦*¦**********/
/* ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПОДСТАНОВКИ В [L]*[D]¦[L]Т - РАЗЛ0- */
/* ЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ. ¦/
/* РАЗЛОЖЕНИЕ ДОЛЖНО БЫТЬ ПОЛУЧЕНО ПРОЦЕДУРОЙ HOLTBP. */
//
¦HOLSBP: PROC(N,XLNZ,LNZ1,LNZ2,XNZSUB,NZSUB,DIAG,RHS);
* DCL (N.XLNZC*)) BIN FIXEDC31),
* (LNZ1,LNZ2,DIAG,RHS)(*) DEC FLOATA6),
* (NZSUB(*),XNZSUB(*)) BIN FIXEDU5) ;
* /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* N - РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ; */
* /* XLNZ,XNZSUB,NZSUB,LNZ1,LNZ2 - МНОЖИТЕЛЬ [L], */
* /* ХРАНИМЫЙ ПО КОМПАКТНОЙ СХЕМЕ; */
* /* RHS - ПРАВАЯ ЧАСТЬ СИСТЕМЫ. */
* /* МАССИВЫ ИМЕЮТ СЛЕДУЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТИ: */
* /* XLNZ(N+1),XNZSUB(N+1).NZSUB(-32768:MAXSUB), */
* /* DIAG(N),RHS(N), */
* /* LNZ1(-32768:MAXLNZ-32769),LNZ2A) - ЕСЛИ */
* /* MAXLNZ<=65536; */
* /* LNZl(-32768:32767),LNZ2(-32768:MAXLNZ-98305) */
* /* - В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ. */
* /* (ПЕРЕМЕННЫЕ MAXSUB И MAXLNZ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ */
* /* ПРОЦЕДУРОЙ СИМВОЛИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ SMBFBP.) */
* /* ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР: */
* /* RHS - СОДЕРЖИТ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ. */
* DCL ((I,II,ISTOP,ISTRT,ISUB,IA,J,JJ) BIN FIXEDC1),
* LNZI FLOAT A6)) STATIC;
* DO J=l TO K-l;
* . ISTRT=XLNZ(J);ISTOP=XLNZ(J+1)-1;
* IF ISTOP>=ISTRT THEN DO;
* I=XNZSUB(J);
* DO II=ISTRT TO ISTOP;
* ISUB=NZSUB(I);
* IF II>32767 THEN DO;
* IA=II-65536;LNZI=LNZ2(IA);
* END;

426 ПРИЛОЖЕНИЕ
*
*
*
*
* END
* DO
* DO
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* END
*END HOLSBP;
ELSE LNZI=LNZi(II) ;
RHS(ISUB)=RHS(ISUB)-LNZI*RHS(J)
1=1+1;
END;
END;
;
j=l TO N; RHS(J)=RHS(J)/DIAG(J); END;
J=N-1 TO 1 BY -1;
ISTRT=XLNZ(J); ISTOP=XLNZ(J+1)-1;
IF ISTOP>=ISTRT THEN DO;
i=xnzsub(J);
DO II=ISTRT TO ISTOP;
ISUB=NZSUB(I);
IF II>32767 THEN DO;
IA=II-65536; LNZI=LNZ2(IA);
END;
ELSE LNZI=LNZ1(II);
RHS(J)=RHS(J)-LNZI*RHS(ISUB);
1=1+1;
END;
END;
;
/**********+************* RSLEGP
/* ИНВАРИАНТНАЯ ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕ- */
/* БРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫМИ */
/* СИММЕТРИЧНЫМИ РАЗРЕЖЕННЫМИ МАТРИЦАМИ МЕТОДОМ СОПРЯ- */
/* ЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ. */
/*********************************************************/
*RSLEGP0: PROC(NN,ICOEF);
* DCL (NN,ICOEF) BIN FIXEDC31);
* /* RSLEGPO: БЛОК ИНИЦИАЛИЗАЦИИ. */
* /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* NN - РАЗМЕРНОСТЬ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ; */
* /* ICOEF - ПРИМЕРНАЯ ОЦЕНКА СРЕДНЕГО КОЛИЧЕСТ- */
* /* ВА НЕНУЛЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ОДНОМ СТОЛБЦЕ ПОД */
* /* ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ. ДЛЯ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ */
* /* ЗАДАЧ СОСТАВЛЯЕТ ВЕЛИЧИНУ В ПРЕДЕЛАХ 8...25. */
* /* ДЛЯ КАЖДОГО КОНКРЕТНОГО ТИПА ЗАДАЧ ВЕЛИЧИНУ */
* /* ICOEF СЛЕДУЕТ ПОДБИРАТЬ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО; */
* /* ПРИ ЭТОМ ЗАВЫШЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫЗОВЕТ ЛИШЬ ¦/
* /* УВЕЛИЧЕНИЕ ЗАТРАТ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ, В ТО */
* . /* ВРЕМЯ КАК ЗАНИЖЕННОЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРИЧИНОЙ ПРЕ- */
* /* КРАЩЕНИЯ РАБОТЫ. ДЛЯ РАЗМЕЩЕНИЯ МАТРИЦЫ СИС- */
* /* ТЕМЫ ПРОЦЕДУРА ТРЕБУЕТ N*ICOEF*12+N*10 БАЙТ */
* /* ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ. */
* DCL (N,NMAXA) STATIC BIN FIXEDC31),
* ((LIN.NEX)(-32768:NMAXA),R0W(N))
* CTL EXT BIN FIXEDA5),
* (A(-32768:NMAXA),DIAG(N))
* CTL EXT DEC FLOATA6),
* (I,J) BIN FIXEDC1), AIJ DEC FL0ATA6),
* (LENGA.IND) STATIC BIN FIXED C1),
* (ECONGP,N0RMAP,ZEROAP,MCGIAP) ENTRY;
* N=NN; IF IC0EF>N/2 THEN IC0EF=N/2;
* IF N=1 THEN IC0EF=l; NMAXA=ICOEF*N;
* IF NMAXA>65536 THEN NMAXA=65536;
* NMAXA=NMAXA-32769;

ПРИЛОЖЕНИЕ
427
IF N<1 ! ICOEF<1 THEN DO;
PUT SKIP LISTOOUIMBKA ИНИЦИАЛИЗАЦИИ RSLEGPO •) ;
PUT SKIP DATA(N);
PUT SKIP LIST С ICOEF=',ICOEF);
END;
/* ВЫДЕЛИТЬ МАССИВЫ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ МАТРИЦЫ */
ALLOCATE DIAG,ROW,A,LIN,NEX; IND=O;
/* ИНИЦИАЛИЗИРОВАТЬ ЭТИ МАССИВЫ */
CALL ECONGP(IND,N,I,J,AIJ,DIAG,A,NMAXA,LENGA,LIN,
NEX.ROW);
RETURN;
(
*RSLEGP1:ENTRY(I,J.AIJ);
* /* RSLEGP1: БЛОК ЗАНЕСЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА A(I.J)
*RET1:
/¦ ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ:
/¦I - СТРОЧНЫЙ ИНДЕКС ЭЛЕМЕНТА;
/* J - СТОЛБЦОВЫЙ ИНДЕКС ЭЛЕМЕНТА; I>=J;
/* AIJ - ЗНАЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТА.
IF Kl ! J<1 ! I>N ! J>N THEN DO;
PUT SKIP EDITC-ЭЛЕМЕНТ A(I.J) НАХОДИТСЯ1,
¦ ЗА ПРЕДЕЛАМИ МАТРИЦЫ')(A,A);
PUT SKIP LISTC"I=',1," J=',J); STOP;
END;
IF KJ ! AIJ=O THEN GO TO RET1; IND=1;
/* ЗАНЕСТИ ЭЛЕМЕНТ В МАТРИЦУ */
CALL ECONGP(IND,N,I,J,AIJ,DIAG,A,NMAXA,LENGA,LIN
NEX.ROW);
IF IND=-1 THEN DO;
IF NMAXA>=32767 THEN PUT SKIP LIST
(' ЗАДАЧА СЛИШКОМ ВЕЛИКА ');
ELSE PUT SKIP EDITC УВЕЛИЧЬТЕ ЗНАЧЕНИЕ ',
•ПАРАМЕТРА ICOEF И ВЫПОЛНИТЕ ПРОГРАММУ ',
•СНОВА ')(А,А,А); STOP;
END;
RETURN;
*RSLEGP2:ENTRY(LINZER,NNLIN,ICOEF);
ICOEF ДЛЯ ДАН-
/*
/* ЧЕНО;
/* ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР:
/* ICOEF - ОПТИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
/* НОЙ ЗАДАЧИ.
DCL (LAOLD.NLIN) STATIC BIN FIXEDC1),
COPYZERC*) CTL EXT BIN FIXEDC15);
NLIN=NNLIN;
/* СОХРАНИТЬ МАССИВ НОМЕРОВ УДАЛЯЕМЫХ СТРОК
/* СТОБЦОВ */ IF NLIN>0 THEN DO;
ALLOCATE COPYZER(NLIN);COPYZER=LINZER;
END;
/* СКОРРЕКТИРОВАТЬ МАТРИЦУ С УЧЕТОМ ЛОГИЧЕСКИХ
/* НУЛЕЙ И КИНЕМАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ */
CALL ZEROAP(N,DIAG,A,LIN,NEX,ROW,LENGA,LAOLD,
LINZER,NLIN);
/* ПРОВЕРКА ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ */
*/
*/
*/
*/
*/
DCL LINZERC*) BIN FIXED, NNLIN BIN FIXEDC1);
/* RSLEGP2: БЛОК УДАЛЕНИЯ И НОРМАЛИЗАЦИИ */
/* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
/* LINZER - ВЕКТОР,СОДЕРЖАЩИЙ НОМЕРА УРАВНЕНИЙ, */
/* КОТОРЫЕ ПОДЛЕЖАТ УДАЛЕНИЮ ИЗ СИСТЕМЫ ВСЛЕД- */
/* СТВИЕ ТОГО, ЧТО НА СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ СТЕПЕ- */
/* НИ СВОБОДЫ НАЛОЖЕНЫ СВЯЗИ; */
/* NLIN - РАЗМЕРНОСТЬ МАССИВА LINZER, Т.Е.ЧИСЛО */
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ,ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОТОРЫХ ОГРАНИ- */
*/
*/
*/
*/
И */
*/

428 ПРИЛОЖЕНИЕ
* DO K=i TO N;
* IF DIAG(K)<=0 THEN DO;
* PUT SKIP ЫБТСНЕВЕРНЫЙ ДИАГ. ЭЛЕМЕНТ1);
* PUT SKIP EDIT('A(',К, ',',К, ') = ',DIAG CK))
* (A,FE),A,FE),A,EA4,7)) ;
* STOP;
* END;
* END;
* IC0EF=(LA0LD+32769)/N+l;
* /* НОРМИРОВАТЬ МАТРИЦУ */
* CALL NORMAP(N,DIAG,A,LIN,NEX,ROW);
* RETURN;
¦RSLEGP3:ENTRY(B,XX,ERROR,ITMAX);
* DCL ((B,XX)(*),ERROR)DEC FL0ATC16),
* ITMAX BIN FIXEDC1);
* /* RSLEGP3: БЛОК ИТЕРАЦИЙ ПО МЕТОДУ СОПРЯЖЕННЫХ */
* /* ГРАДИЕНТОВ. */
* /¦ ВХОДНЫЕ ПАРАМЕРЫ: */
* /* BCNN) - ПРАВАЯ ЧАСТЬ РЕШАЕМОЙ СЛАУ; */
* /* XXCNN) - НАЧАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ; */
* /* ERROR - ДОПУСКАЕМОЕ ОТНОШЕНИЕ НОРМЫ НЕВЯЗКИ */
* /¦ К НОРМЕ РЕШЕНИЯ. ДЛЯ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ ЗАДАЧ */
* /* С ЦЕЛЬЮ ПОЛУЧЕНИЯ ТРЕХ-ЧЕТЫРЕХ ЗНАЧАЩИХ ЦИФР */
* /* В РЕШЕНИИ ДОСТАТОЧНО УКАЗАТЬ ERR0R=lE-5. ЕС- */
* /* ЛИ НАДО ПОЛУЧИТЬ МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНУЮ ТОЧ- */
* /* НОСТЬ, СЛЕДУЕТ ЗАДАТЬ ERROR=O; */
* /* ITMAX - ОГРАНИЧЕНИЕ НА ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ ( ДЛЯ */
* /* КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТЫХ ЗАДАЧ ПРИМЕРНО ITMAX=NN ). */
* /*, ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* XX(NN) - ПОСЛЕДНЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ; */
* /* ERROR - ФАКТИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ НОРМЫ НЕВЯЗКИ */
* /* К НОРМЕ РЕШЕНИЯ; */
* /* ITMAX - ФАКТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ. */
* /* ВЕКТОР B(NN) HE СОХРАНЯЕТСЯ ! */
* IF ERR0R<0 ! ITMAX<=0 THEN DO;
* PUT SKIP EDITC ОШИБОЧНЫЙ ПАРАМЕТР ИТЕРАЦИИ",
* ' НА ВХОДЕ RSLEGP3')(А,А);
* PUT SKIP LIST ('ERROR=',ERROR, 'ITMAX=',ITMAX);
* STOP;
* END;
* /* ОБНУЛИТЬ ПРАВЫЕ ЧАСТИ ВЫЧЕРКНУТЫХ УРАВНЕНИЙ */
* IF NLIN>0 THEN DO;
* DO KK=1 TO NLIN; B(COPYZER(KK))=O; END;
* END;
* /* ОБРАТИТЬСЯ К ПРОЦЕДУРЕ МЕТОДА СОПРЯЖЕННЫХ */
* /* ГРАДИЕНТОВ */ CALL MCGIAP(N,XX,В,DIAG,А,LIN,
* NEX,ROW,ERROR,ITMAX);
* /* ОБНУЛИТЬ КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УЗЛОВ, НА */
* /* КОТОРЫЕ НАЛОЖЕНЫ СВЯЗИ. */
* IF NLIN>0 THEN DO;
* DO KK=1 TO NLIN; XXCCOPYZER(KK))=0; END;
* END;
* RETURN;
*RSLEGP4:ENTRY;
* /* RSLEGP4: БЛОК ОСВОБОЖДЕНИЯ ПАМЯТИ. */
* IF NLIN>0 THEN FREE COPYZER;FREE NEX,LIN,A,ROW,DIAG;
¦END RSLEGPO;

ПРИЛОЖЕНИЕ 429
/************************ NORMAP ¦¦¦¦*¦¦¦¦¦***¦¦¦¦¦**¦***¦/
/* НОРМИРОВАНИЕ СПИСОЧНО ЗАДАННОЙ МАТРИЦЫ К ЕДИНИЧНОЙ */
/¦ ДИАГОНАЛИ: [DIAG]**(-l/2)*[A]*[DIAG]**(-l/2). */
/*¦*******************************************************/
¦NORMAP: PROC(N,DIAG.A,LIN,NEX,ROW);
* DCL N BIN FIXEDC31), (A,DIAG)(*) DEC FL0ATC16),
* (LIN.NEX.ROW)(*) BIN FIXEDC16);
* /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* DIAG(N), A(*),LIN(*),NEX(*),ROW(*) - ЛЕВЫЙ */
* /¦ ТРЕУГОЛЬНИК И ДИАГОНАЛЬ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ */
* /¦ В ВИДЕ СВЯЗНОГО СПИСКА, СФОРМИРОВАННОГО ПРО- */
* /* ЦЕДУРОЙ ECONGP; */
* /* N - РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦЫ. ¦/
* /* ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /* A,LIN.NEX.ROW - НОРМИРОВАННАЯ МАТРИЦА; */
* /* DIAG - СОДЕРЖИТ ОБРАТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ К КВАДРАТ- */
* /¦ НЫМ КОРНЯМ ИЗ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. */
* DCL (I.J.K) STATIC BIN FIXEDC31);
* DIAG=1EO/SQRTCDIAG);
* DO J=l TO N-l;
* K=ROWCJ);
* DO WHILECK~=O);
* I=LIN(K);
* A(K)=ACK)*DIAGU)*DIAG(J) ; K=NEX(K);
* END;
* END;
¦END NORMAP;
/************************ MCGIAP ****¦********************/
/* МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ С ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НОРМИ- */
/* РОВАННОЙ МАТРИЦЕЙ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ. */
PROC(N,X,В,DIAG,А,LIN,NEX,ROW,ERROR,ITMAX);
DCL (N,ITMAX) BIN FIXEDC31), (LIN.NEX.RHW)(*)
BIN FIXEDC15), (X.B.DIAG)(*) DEC FL0ATC16),
(A(*),ERROR) DEC FL0ATA6);
ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
N - РАЗМЕРНОСТЬ СИСТЕМЫ; */
XCN) - НАЧАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ; */
ВСЮ - ВЕКТОР-СТОЛБЕЦ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ; */
DIAG(N) - ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ ОБРАТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ */
К КВАДРАТНЫМ КОРНЯМ ИЗ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕН- */
ТОВ; */
AC*),LINC*),NEX(*),ROW(N) - ЛЕВЫЙ ТРЕУГОЛЬ- */
НИК ИСХОДНОЙ МАТРИЦЫ (В ВИДЕ СВЯЗНОГО СПИСКА),*/
СФОРМИРОВАННЫЙ ПРОЦЕДУРОЙ ECONGP И НОРМИРОВАН-*/
НЫЙ К ЕДИНИЧНОЙ ДИАГОНАЛИ ПРОЦЕДУРОЙ NORMAP; */
ERROR - ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ОТНОШЕНИЯ НОРМ НЕВЯЗ- */
КИ И РЕШЕНИЯ; */
ITMAX - МАКСИМАЛЬНО ДОПУСТИМОЕ ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ.*/
ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
ХСЮ - ПОСЛЕДНЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ; */
ERROR - ФАКТИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ НОРМ НЕВЯЗКИ И */
РЕШЕНИЯ; */
ITMAX - ФАКТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ. */
CRK.P.WORKA)(N) DEC FL0ATC16),
(ITER.ITERS.SQN) BIN FIXEDC31) STATIC,
(ERRQ,ALPHA,RFE,ALF,BETA,SUM1,SUM2,RNORM,
XNORM, AITER.V) DEC FLOATC16) STATIC,
*MCGIAP
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
: PR
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
DCL

430 ПРИЛОЖЕНИЕ
* MULTAP ENTRY;
* IF N=1 THEN DO;
* XA)=BA)*DIAGA)*DIAGA);
* ITMAX=O; ERROR=O; GO TO RET1;
* END;
* DO KK=1 TO N; IF B(KK)~=O THEN GO TO CONT1; END;
* X=O; ITMAX=O; ERROR=0; GO TO RET1;
¦CONT1: ITER,ITERS=O; ERRQ=ERR0R**2;
* SQN=saRT(N); B=B*DIAG; X=X/DIAG;
* CALL MULTAP(N,X,RK,A,LIN,NEX,ROW);
* RK=RK-B; P=-RK; SUM1=O;
* DO 1=1 TO N;
* SUM1=SUM1+RK(I)**2;
* END;
¦IT: SUM2=0;
* CALL MULTAP(N.P.WORKA,A,LIN,NEX,ROW);/* A*P */
* DO 1=1 TO N;
* SUM2=SUM2+P(I)*W0RKA(I);
* END;
* ALF=SUM1/SUM2;
* X=X+ALF*P; RK=RK+ALF*WORKA;
* ITER=ITER+l;
* ITERS=ITERS+1;
* RNORM=SUM1;
* IF ITERS>=SQN THEN DO;
* ITERS=0;
* CALL MULTAP(N,X,WORKA,A,LIN,NEX,ROW);
* WORKA=WORKA-B; RFE=O; XNORM=O;
* -DO 1=1 TO N ;
* XN0RM=XN0RM+X(I)**2;
* RFE=RFE+(W0RKA(I)-RK(I))**2;
* END;
* END;
* IF ITER>=SQN THEN DO;
* AITER=ITER;
* ALPHA=EXP((AITER/N)**2);
* IF RNORM<ALPHA*RFE ! RNORM<=ERRQ*XNORM
* ! ITER>=ITMAX THEN GO TO RET;
* END;
* V=O;
* DO 1=1 TO N;
* IF ABS(RK(I))>lE-35 THEN V=V+RK(I)**2;
* END;
* IF V=O THEN GO TO RET;
* BETA=V/SUM1;
* SUM1=V;
* P=-RK+BETA*P;
* GO TO IT;
*RET: XNORM=O; ITMAX=ITER;
* DO 1=1 TO N;
* XN0RM=XN0RM+X(I)**2;
* END;
* ERROR=SQRT(RNORM/XNORM);
* X=X*DIAG;
* IF ITMAX=1 THEN ERROR=O;
*RET1: END MCGIAP;

ПРИЛОЖЕНИЕ 431
/¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦* MULTAP *¦¦*****¦**¦***¦¦¦¦*****¦/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СПИСОЧНО ЗАДАННОЙ МАТРИЦЫ НА */
/* ВЕКТОР. МАТРИЦА ДОЛЖНА БЫТЬ НОРМИРОВАНА К ФОРМЕ С ¦/
/¦ ЕДИНИЧНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОЦЕДУРЫ NORMAP. ¦/
/*********************************************************/
¦MULTAP: PRQC(N,X,G,A,LIN,NEX,ROW);
* DCL N BIN FIXEDC31),(А(*),(X,G)(*)) FL0ATC16),
* ((LIN.NEX)(*),ROW(*)) BIN FIXEDC15);
* /* ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: */
* /¦ N - РАЗМЕРНОСТЬ СИСТЕМЫ; */
* /¦ ХСЮ - ИСХОДНЫЙ ВЕКТОР; */
* /* (А(*),LIN(*),NEX(*),R0WC*)) - МАТРИЦА, ХРАНИ- */
* /* МАЯ СВЯЗНЫМ СПИСКОМ. */
* /* ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР : */
* /* G(N) - РЕЗУЛЬТАТ УМНОЖЕНИЯ. */
* DCL (XJ,GI) STATIC DEC FL0ATC16);
* G=X;
* DO J=l TO N-l;
* K=R0W(J); XJ=X(J);
* DO WHILE(K~=O); I=LIN(K);
* G(I)=G(I)+ACK)*XJ; K=NEX(K);
* END;
* END;
* DO 1=1 TO N-l;
* K=R0W(I); GI=0;
* DO WHILE(K~=0); J=LIN(K);
* GI=GI+A(fO*X(J) ; K=NEX(K);
* END;
* G(I)=G(I)+GI;
* END;
¦END MULTAP;

432
ПРИЛОЖЕНИЕ
/************************ PR004 ***¦¦*¦¦*¦¦**¦¦¦*¦*¦*****/
/¦ ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ И ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО */
/* ЭЛЕМЕНТА В ГЛОБАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ¦/
/¦¦¦¦¦¦¦*¦¦*¦¦¦**¦*¦**¦¦¦¦¦**¦¦¦¦¦**¦¦¦¦¦¦**¦¦¦¦*¦¦¦¦+¦¦**/
¦PR004: PROC(N,IJ,NH,X,NX,XS,FJ,NQL,NL,QS,ND,NF,
* /*RESULT*/R,Q);
* DCL N.IJ.NX.NQL.ND,(NH.NF)(*,*),NL(*),
* (X,XS,FJ,QS)(*,*), (R.Q)(*.*)FL0ATA6);
* /* N - ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ УЗЛОВОГО ЭЛЕМЕНТА;
* IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА;
* NHCNS.4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНСТРУКЦИИ
*• (NS - ЧИСЛО СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ);
* XXCNR.3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВЫХ ЭЛМЕНТОВ
* (NR - ОБЩЕЕ ЧИСЛО УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ);
* NX - ЧИСЛО СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛМЕНТОВ, ЭКСЦЕНТРИЧНО
* СОЕДИНЯЮЩИХСЯ С УЗЛОВЫМИ;
* XS(NX,0:6) - МАССИВ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОВ СОЕДИНЕНИЯ
* СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЗЛОВЫМИ;
* FJ(NC,6) - МАССИВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
* СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* (NC - ЧИСЛО ТИПОВ СТЕРЖНЕВЫХ ЗЛМЕНТОВ):
* NQL - ЧИСЛО ЗАГРУЖЕНИЙ;
* NLCNQL.2) - МАССИВ ЧИСЕЛ НАГРУЖЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ
* ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ NiJL ЗАГРУЖЕНИЙ:
* QS(SUM(NL(*,2)),0:3) - МАССИВ НАГРУЗОК НА СТЕРЖ-
* НЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ;
* ND - ЧИСЛО СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, НЕ ЖЕСТКО СВЯ-
* ЗАННЫХ С УЗЛОВЫМИ;
* NF(ND,0:12) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ШАРНИРНОГО
* ' СОЕДИНЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЗЛОВЫМИ;
* RB*N,2*N) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА,;
* 4A*N,NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ ДЛЯ NCJL ЗАГРУЖЕНИЙ */
* DCL (LI,(C,C1,C2,C3,C4,K11,K12.K22)(N.N),
* BC,N,N),(Q1.42)(N.NqL))FLOATA6),II.Jl;
* CALL PR00KN, IJ,NH,X,NX,XS,L1,C1 ,C2,C3,C4) ;
* CALL PR002(N.Ll,IJ,NH,FJ,NQL,NL,liS,B,Ql,q2) :
* CALL PR003(N,IJ,ND,NF,N!SL,B)qi,iS2) ;
* CALL MATR2(N,BA,*,*),C3,C);
* CALL MATR2(N,C1,C,KID;
* CALL MATR2(N,BB.*,*),C4,C);
* CALL MATR2(N,C1.C,K12);
* CALL MATR2(N,BC,*,*),C4,C);
* CALL MATR2(N,C2,C,K22);
* DO 11=1 TO N;
* DO Jl=l TO N;
* R(I1,J1)=K11(I1,Jl);
* RCI1,J1+N)=K12(I1,Jl);
* RU1+N, J1)=K12(J1,11) ;
* RCI1+N,J1+N)=K22(I1,Jl);
* END;
* DO Jl = l TO NS3L;
* 4A1.J1)=SUM(C1(I1,*)*Q1(*,Jl));
* 4CI1+N, J1)=SUM(C2(I1,*)*Q2(*, JD) ;
* END;
* END;
*MATR2: PROC(N,A,B,/*RESULT*/C);
* DCL N,(A.B.C)(*,*)FL0ATA6);
* DCL I,J;
* DO 1=1 TO N;
* DO J=l TO N-

ПРИЛОЖЕНИЕ 43S
* C(I,J)=SUM(A(I,*)*B(*.J));
* END;
•> EMD;
¦END MATR2;
*END PR004;
/* ПГИ РАБОТЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ
PR001, РЯ002. PR003 ¦/
PR001 ***=?
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА */
/>* И МАТРИЦ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ */
PKQC(N,IJ,NH,X,NX.XS,/*RESULT*/L1.C1,C2.C3,C4):
DCL N.IJ.NX.NHC*,*),CX.XS)(*,*),
(LI.(Ci.C2,C3,C4)(t,*))FLOATA6):
/* LI - ДЛИНА СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА:
(C1.C2.C3.C4)(N.N) - МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ */
DCL (P.L.S.I,J,K)FIXED BIN,
((X1,X2,X3,T,A)C),AA,L2,
(H1,H2,D)(N,N))FLOATA6);
D,H1,H2=O; I=NH(IJ,1); J=NH(IJ,2);
IF N=6 THEN DO;
K=KH(IJ,3);
X1=X(I,*); X2=X(J,*); X3=X(K.*):
DO L=l TO NX;
IF IJ=XS(L,0) THEN
DO S=l TO 3;
X1(S)=X1(S)*XS(L,S);
X2(S)=X2(S)+XS(L,S+3);
END;
END;
L1=SQRT(SUM((X2-X1)**2)):
L2=SQRT(SUM((X3-X1)**2)):
DO S=l TO 3; D(S.1)=(X2(S)-X1(S))/L1; END:
T=(X3-X1)/L2:
AA)=TB)*DC,1)-TC)*DB,1)!
AB)=TC)*DA,1)-TA)*DC.1);
AC)=T(l)*DB.lX-TB)*D(l,l) ;
*A=SQRT(SUM(A*A));
DO S=l TO 3; D(S,2)=A(S)/AA; END;
D A, 3) =D B ,1) -D C. 2) -D C, 1) *D B , 2) ;
D B , 3) =D C,1) *D A, 2) -D A, 1) *D C , 2) ;
DC,3)=DA,1)*DB,2)-DB,1)*DA.2) ;
DO S=l TO 3;
DO L=l TO 3,- D(S*3.L+3)=D(S,L) ; END:
END;
DO P=l TO 6; H1(P,P),H2(P.P)=1: END;
DO L=l TO NX;
IF IJ=XS(L,O) THEN DO:
H1D,2)=-XS(L,3); H1D,3)=XS(L.2);
H1E,1)=XS(L,3); H1E,3)=~XS(L,
H1F,1)=-XS(L,2); H1(8.2)=XS(L,
H2D,2)=-XS(L,6); H2D,3)=XS(L,5)
H2E,1)=XS(L,6); H2 E,3)=-XS(L,4)
H2(8,1)=-XS(L,5) ; K2 F, 2) =XS (L . 4)
END;
END;
END:
IF N=3 THEN DO;

434 ириложвние
* DO S=l,2; XI(S)-X(I,S); X2 (S) =X( J, S) ; END;
* DO L=l TO NX;
* IF IJ-XS(L.O) THEN
* DO S=i,2;
* X1(S)=X1(S)+XS(L,S);
* X2(S)^X2(S)+XS(L,S+2);
* END;
* END;
* ¦ L1=SQRT((X2A)-X1A))**2+(X2B)-XlB))**2) ;
* DO S=l,2; D(S,1)=(X2(S)-X1(S))/L1; END;
* D(l,2)=-DB,1); DB,2)=DA,1); DC,3)=l;
* DO P=l TO 3; H1(P,P),H2(P,P)=1; END;
* DO L=l TO NX;
* IF IJ=XS(L,O) THEN DO;
* HIC,1)=-XS(L,2); H1C,2)=XSCL,1);
* H2C, 1)=-XS(L,4) ; H2 C , 2) =XS (L, 3) ;
* END;
* END;
* END;
* DO S=l TO N;
* DO L=l TD N;
* Cl(S,L)=SUM(H1(S,*)*D(*,D);
* C2(S,L)=SUM(H2(S,*)*DO,L)) ;
* C3(L,S)=C1(S.L); C4(L,S)=C2CS,L);
* END;
* END; •
*END PROO1;
/****¦******************* PR002 ***¦*********************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ И ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО */
/* ЭЛЕМЕНТА В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ */
*PR002: PROC(N,L1,IJ,NH,FJ,NQL,NL,QS,/*RESULT*/B,qi, Q2) ;
* DCL N,IJ.NQL,(NH.FJ.QS)(*,*),NL(*),
* (LI, В (*,*,*), (Q1,Q2)(*,*))FLOATA6);
* /* BC,N,N) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА
* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ;
* D1,42) <?N,NQL) " ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО
* ЭЛЕМЕНТА В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИ-
КООРДИНАТ ДЛЯ NQL ЗАГРУЖЕНИЙ */
DCL (F,JY,JZ,G,qE),АА)FLOATA6), (S,L,Т,Р)FIXED BIN;
В=О; Т=О; P=NH(IJ,3+N/6);
IF N=6 THEN DO;
F=FJ(P,1); JZ=FJ(P,2); JY=FJ(P,3); G=FJ(P,4);
* DO S=l,3;
* B(S,1,1)=F/L1; B(S,2,2)=12*JZ/L1**3;
* B(S,3,3)=12*JY/L1**3; В(S,4,4)=G/L1;
* B(S,5,5)=4*JY/L1; В(S,6,6)=4*JZ/L1;
* END;
* DO S=l TO 4; BB,S,S)=-BA,S,S); END;
* BB,5,5)=2*JY/L1; ВB,6,6)=2*JZ/L1;
* BA,2,6),BA,6,2),BB,2,6)=6*JZ/L1**2;
* B(l,3,5) ,BA ,5,3) ,BB,3J_b3=-6*JY/Ll>f»2;
* BB,5,3) ,BC,3,5) ,BC,'g73) = 6*JY/Ll**2; —-
* В B, 6, 2) , В C,2, 6) ,BC,6',2")=-6*JZ/L1**2;
* END;
* IF N=3 THEN DO;
* F=FJ(P,1); JZ=FJ(P,2);
* . DO S=l,3;

приложение 435
* BCS, 1 , O-F/Ll; B(S, 2 , 2) = 12*.JZ/L1**3 ;
* B(S,3,3)=4*JZ/Li;
* END;
* DO S=l,2; BB,S,S)=-BA,S,S); END;
* BB,3,3)=2*JZ/L1;
* B(l,2,3),BA,3,2),BB,2,3)=6*JZ/L1**2;
* ВB,3,2),ВC,2,3),ВC,3,2)=-BA,2,3);
* END;
* S=N/2+2; B=B*FJ(P,S); F-F*F J (P , S+l) *FJ (P , S) ;
* DO S=l TO NqL;
* Q=O;
* DO L=l TO NL(S);
* IF IJ=QS(T+L,O) THEN
* DO P=l TO N/2+2;
* q(P)=qs(T+L,P);
a END;
* END;
* DO L=l TO N/2+1;
* qi(L,S),Q2(L,S)=-Q(L)*Ll/2;
* END;
* AA=L1*L1/12;
* IF N=6 THEN DO;
* Q1E,S)=QC)*AA; Q2E,S)=-Q1E,S);
* Q2F,S)=QB)*AA; Q1F,S)=-Q2F,S);
* Q1A,S)=Q1A,S)+F*QE);
* Q2A,S)=Q2A,S)-F*QF);
* END;
* IF N=3 THEN DO;
* Q1C,S)=Q1 B,S)*Ll/6; Q2C,S)=-Q1 C,S);
* Q1A,S)=Q1A.S)+F*QC);
* Q2A,S)=Q2A,S)-F*QC);
* END;
* T=T+NL (S);
* END;
*END PR002;
/************************* PR003 Hi************************/
/* ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ И ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО */
/* ЭЛЕМЕНТА В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ ПРИКРЕПЛЕНИЯ */
/* ЭТОГО ЭЛЕМЕНТА К УЗЛОВЫМ */
/¦**¦***************¦************************¦***+**¦¦**¦*/
*PR003: PROC(N,IJ,ND,NF,NQL,B,Q1,Q2);
* DCL N,IJ,ND,NF(*,*),NQL,
* .(ВС*,*,*) , CQ1.Q2) С*,*)) FLOAT A6) ;
* /* BC,N,N) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА
* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ;
* (Q1.Q2)(N.NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕВОГО
* ЭЛЕМЕНТА В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИ-
* HAT ДЛЯ NQL ЗАГРУЖЕНИЙ */
» DCL (CB*N,2*N+NQL),DB*N+NQL),F,U,V)FLOATA6),
* (I,J,K,S)FIXED BIN;
* DO 1=1 TO ND;
* IF IJ=NF(I,O) THEN DO;
* DO K=l TO N;
* DO J=l TO N;
* C(K,J)=BA,K,J); C(K+N,J+N)=BC,K,J);
* C(K,J+N)=BB,K,J); C(K+N,J)=BB,J,K):
* END;
» DO J=l TO NqL;

436 ПРИЛОЖЕНИЕ
* C(K,2*N+J)=Q1(K,J);
* C(K+N,2*N+J)=Q2(K,J);
* END;
* END;
* DO K=l TO 2*N;
* IF NF(I,K)=1 THEN DO;
* D=C(K,*);
* IF D(K)~=O THEN
* DO J=l TO 2*N;
* F=CCJ,K)/D(K);
* DO S=l TO 2*N+NQL;
* U=C(J,S)-F*D(S);
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*END
END
END;
DO K=l
DO
END
DO
END
END;
END;
END;
PR003;
V=ABS(C(J,S)*lE-5);
IF ABS(U)<=V THEN U=O;
C(J,S)=U;
END;
END;
;
TO N;
J=l TO
BA,K
BC,K
;
J=l TO
QKK,
Q2CK,
N;
,J)=C(K,J); BB,K,J)=C(K,J+N)
,J)=C(K+N,J+N);
NqL;
J)=C(K,2*N+J) ;
J)=C(K+N,2*N+J);
PR004M *************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ МАСС СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА */
/* В ГЛОБАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ */
*PR004M:PROC(N,IJ,NH,X,NX,XS,FJ,ND,NF,/*RESULT*/R);
DCL N.IJ.NX.ND,(NH,NF,XX,XS,FJ)(*,*),
R(*,*)FLOATA6);
/* N - ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ УЗЛОВОГО ЭЛЕМЕНТА;
IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА;
NH(NS,4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНСТРУКЦИИ
(NS - ЧИСЛО СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ);
* XXCNR.3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВЫХ ЗЛМЕНТОВ
* (NR - ОБЩЕЕ ЧИСЛО УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ);
* NX - ЧИСЛО СТЕРЖНЕВЫХ ЗЛМЕНТОВ, ЭКСЦЕНТРИЧНО
* СОЕДИНЯЮЩИХСЯ С УЗЛОВЫМИ;
* XS(NX,0:6) - МАССИВ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОВ СОЕДИНЕНИЯ
* СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЗЛОВЫМИ;
* FJCNC.6) - МАССИВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
* СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* (NC - ЧИСЛО ТИПОВ СТЕРЖНЕВЫХ ЗЛМЕНТОВ);
* ND - ЧИСЛО СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, НЕ ЖЕСТКО СВЯ-
* ЗАННЫХ С УЗЛОВЫМИ;
* NF(ND,0:12) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ШАРНИРНОГО
* СОЕДИНЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЗЛОВЫМИ;
* RB*N,2*N) - МАТРИЦА МАСС СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА */
* DCL (LI,(C,C1,C2,C3,C4,K11,K12,K22)(N,N),

ПРИЛОЖЕНИЕ 437
¦ MC3,N,N))FL0ATC16), II,Л;
¦ CALL PROO1(N,IJ,NH,X,NX.XS,L1,C1,C2,C3,C4) ;
¦ CALL PR002M(N,Ll,IJ,NH,FJ,M);
CALL PR003M(N,IJ,ND,NF,M);
CALL MATR2(N,MA,*,*),C3,C);
CALL MATR2CN,C1,C,K11) ;
CALL MATR2(N,MB,*,*),C4,C);
CALL MATR2(N,C1.C,K12) ;
CALL MATR2(N,MC,*,*),C4,C);
CALL MATR2(N,C2,C,K22) ;
DO 11=1 TO N;
¦ DO Jl=l TO N;
¦ R(I1,J1)=K11(I1,Jl);
¦ R(I1,J1 + N)=K12(I1, Jl) ;
¦ RCI1+N,J1)=K12(J1,11) ;
¦ RCll+N,J1+N)=K22(I1,Jl) ;
¦ END;
¦ END;
*MATR2: PROC(N,A,B,/*RESULT*/C);
¦ DCL N,(A,B,C)C*,*)FL0ATA6);
¦ DCL I,J;
¦ DO 1=1 TO N;
¦ DO J=l TO N;
¦ C(I,J)=SUM(A(I,*)*B(*,J));
¦ END;
¦ END;
¦END MATR2;
¦END PROO4M;
/¦ ПРИ РАБОТЕ ИСПОЛЬЗУЕТ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ
PR0O1, PR002M, PR003M ¦/
/************************ PR002M ¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦*¦**¦¦¦******/
/¦ ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ МАСС СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА */
/¦ В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ */
¦PR002M:PR0C(N,L,IJ,NH,FJ,M);
¦ DCL (NH.FJ) (¦,¦), M(*,*,*)FL0ATie);
¦ /¦ MC,N,N) - МАТРИЦА МАСС СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА */
¦ DCL (L,F,JY,JZ,G,R)FLOATA6),
¦ (P,S,I) FIXED BIN, С FL0ATC16);
¦ P=NK(IJ,N/3+2); F=FJ(P,1); JZ=FJ(P,2);
¦ S=N/2+2; JY,G=O; E=FJ(P,S); R=FJ(P,S+1);
¦ M=O; M(l,1,1),MC,1,l)=140;
¦ M(l,2,2),MC,2,2)=156; MB,l,l)=70; MB,2,2)=54;
¦ IF N=6 THEN DO;
¦ DO S=l,3;
¦ M(S,3,3)=156; M(S,6,6),M(S,6,6)=4+L*L;
¦ END;
¦ МA,2,в),M(l,e,2)=22*L; M(l,3,5),MA,Б,3)=-22*L;
¦ MC,2,6),MC,6,2)=-22+L; MC,3,5),MC,5,3)=22*L;
¦ МB,2,в),MB,6,3)=-13*L; MB,3,5),MB,6,2)=13*L;
¦ MB,3,3)=54; MB,5,5),MB,6,6)=-3*L+L;
¦ END;
¦ IF N=3 THEN DO;
¦ DO S=l,3;
¦ M(S,3,3)=4^L+L; M(S,2,3),M(S,3,2)=22*L*B-S);
¦ END;
¦ MB,3,3)=-3*L+L; MB,2,3)=-13*L; MB,3,2)=13*L;
¦ END;

о(гоии - sn) *
aoiH3W3ire хнниэнон ии-ioirouoi anoovw - (i+jin'sn)xn *
: oJOW3V8Mdivwoovd dswoH unaoxVudou - ri *
:viH3W3ife ojowavandivwoovd aoire* О!гоии - hn */ *
4T)aaxiJMN ' (9t)xvoij(*'*) F'h) *
'(*)in '(*'*)(sO'so'x'hn) 'ifiN'ri ioa *
' ' 'u
(
¦ (б' а/*ппзаа*/' su'
' so'x' hn 'ri ' mn) ooad : Shhj,w*
/* ВИНЭЖ/CdJVH BVh/C!TO OJ3tn3O HVt lVHMVdOO)! */
/* ЗИ310И0 tf0HSIfV90ITJ a VlH3W3lfe OJOHh3HOH OJOHSITOJ/: */
/* -OWBdU И!ГИ OJOHSiTOJ/CSdl k)Mtl)IV3d d01H3a И VtlMdlVW ¦ */
/************************** 6HHJ.W ************************/
:аыа
QN3*
*
*
()а
:n ox т=г oa
:n 01 ;=я oa
¦ ana
¦' ама
:n=(s'r)o
:o=n ызнх A=>(n)sav ji
: (9-at*(s'r)o)sav=A
:(s)a*J-(s'r)o=n
:n*s ox t=s oa
:n*s ox ;=r oa
ыанх о=_(л)а ji .
: (*'эоэ=а
oa ыанх t = Oi'i)jn ji
'¦h*z ox т=л oa
:аыз
()() ()
:(r'M'e)a=(N+r'N+M)o :(г'л'т)а=(г<я)о
:n ox т=г oa
:n ox т=я oa
:oa ызнх co'i)JN=ri ji
:on ox t=i oa
/*
(
/**¦***¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦***¦¦¦*****/
/* wnaoiTE* м ухнзизге ojoie */
/* KMHairu3d>iMdu ИИКИ801ГЭ/С э ииэюхэаюоэ а ¦/
/* viH3W3ire ojos3Hid3io oovh nTiMdivw 3MHvaoevd3O3du ¦/
/************************ HCOOUd ¦¦¦****¦*****¦***¦¦*¦*¦*¦/
' OTjXVOUCA'n'J' CN*S)a'CN*Z'N*Z)O) 100
VlH3W3!Te 0J083HXd310 OOVW VtlMdlVN - (N?N'e)H ¦/
'• (9T)xvoiJ(*'*'*)a' (')
!D*H=n'-OZ*n*d*H=D
аииажо!гиаи

ПРИЛОЖЕНИЕ 439
* X(NR,3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВ (NR - ОБЩЕЕ
* ЧИСЛО УЗЛОВ);
* GS(NC,4) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕН-
* ТОВ (NC - ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
* NQL - ЧИСЛО ВАРИАНТОВ ЗАГРУЖЕНИЙ;
* NLCNQL) - МАССИВ ЧИСЕЛ НАГРУЖЕННЫХ УЗЛОВ ПРИ
* КАЖДОМ ЗАГРУЖЕНИЙ;
* QS(NLS,O:4) - МАССИВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
* НА КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ (NLS - ЧИСЛО НА-
* ГРУЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ВСЕХ ВАРИАНТОВ
* ЗАГРУЖЕНИЙ);
* R(NK*6,NK*6) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
* Q(NK*6,NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ. */
* DCL (SI.S2.S3, (В,С)(NK*6,NK*6),D(NK*6,NQL))FL0ATA6),
* I.J.K;
* CALL PRCSC(NK,IJ,NH,X,SI,S2,S3,C);
* IF NK=3 THEN
* CALL MTR36(IJ,NH,GS,NS5L,NL,QS,S1,S2,S3,R,Q) ;
* IF NK=4 THEN
* CALL MTR46(IJ,NH,GS,S1,S2.NQL,NL,QS,R,Q);
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*END MTRRQ;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ PRCSC, MTR36,
MTR46 */
/************************ PRCSC **************************/
/* ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИЛИ */
/* ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНЧАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ */
/*********************************************************/
*PRCSC: PROCCNK,IJ,NH,X,SI,S2,S3,С);
* DCL NK FIXED(l), IJ, (NH,X) (*,*),
* (SI,S2,S3,C(*,*))FL0ATA6);
* /* NK - ЧИСЛО УЗЛОВ РАССМАТРИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА;
* SI - ОСНОВАНИЕ IJ ТРЕУГОЛЬНИКА UK ИЛИ
* ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL;
* S2 - ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА IJK ИЛИ ПРЯМОУГОЛЬ-
* НИКА IJKL НА СТОРОНУ IJ ИЗ УЗЛА К;
* S3 - РАССТОЯНИЕ Т УЗЛА I ДО ВЫСОТЫ S2
* (ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА - S3 = 0);
* C(NK*6,NK*6) - МАТРИЦА НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ
* ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ТРЕУГОЛЬНИКА
* IJK. */
* DCL (CXI.XJ.XK)C),S)FL0ATA6), I,J,K;
*ON ZERODIVIDE PUT LISTdJ, NH (IJ, *) ) ;
* C=0;
* XI=X(NH(IJ,1),*); XJ=X(NH(IJ,2).*); XK=X (NH (IJ,3),*);
DO
END
DO
END
q=D
I — 1
DO
END
J
1=1
DO
END
DO
END
TO 6*NK;
J=l TO 6*NK;
B(I,J)=SUM(R(I,
J
TO 6*NK;
J=l TO 6*NK;
R(I,J)=SUM(C(I,
J
J=l TO NQL;
D(I,J)=SUM(C(I,
J
*)*C(J,
*)*B(*,
*)*Q(*,
*))
J))
J))

440 ПРИЛОЖЕНИЕ
* S.1=SQRTCSUMCCXJ-XI)**2)) ;
* S2=SQRTCSUMCCXK-XI)**2))
* S3=SQRTCSUMCCXK-XJ)**2));
* XK=CXK-XI)/S2;
* DO 1=1 TO 3; CCI,1)=CXJCI)-XICI))/S1; END;
* XICD=CC2,1)*XKC3)-CC3,1)*XKC2) ;
* XIC2)=CC3,1)*XKC1)-CC1,1)*XKC3) ;
XIC3)=CC1,1)*XKC2)-CC2,1)*XKCD;
S=SQRTCSUMCXI*XI));
DO 1 = 1 TO 3; CCI,3)=XICD/S; END;
CC1,2)=CC2,3)*CC3,1)-CC3;3)*CC2,1);
CC2,2)=cC3,3)*cCi,i)-cCi,3)*cC3,i);
C<3,2)=CC1,3)*CC2,1)-CC2,3)*CC1.1) ;
IF NK=3 THEN DO;
S3=CSl**2+S2**2-S3**2)/Sl/2;
* S2=SQRTCS2**2-S3**2);
* END;
* DO 1=1 TO NK+2-1;
* DO J=l TO 3;
* DO K=l TO 3;
* CCI*3+J,I*3+K)=CCJ,K);
* END;
* END;
* END;
¦END PRCSC;
/************************* MTR36 ¦**¦¦*****************¦*¦/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ */
/* • ЗАГРУЖЕНИЯ */
/¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦*¦¦¦***¦¦¦*****¦****/
MTR36: PROCCIJ.NH,GS,NQL.NL,QS,S1,S2,S3,R,Q);
* DCL IJ.NQL. CNH.GS.QS)С*,*). NLC*),
* CS1.S2.S3,CR.Q)C*,*))FL0ATC16);
* /* RC18,18) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
* QC1B.NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ. */
* DCL CR2C6,6),R3C9.9),Q2C6,NQL),Q3C9,NQL))FL0ATCl6).
* 1,11,J,J1,K1,K2,K3,L1.L2,L3;
* R=O; Q=0;
* CALL MR002(IJ,NH,GS,NQL,NL,QS,Sl,S2,S3,R2,Q2);
* CALL MROO3CIJ,NH,GS,NQL,NL,QS,S1,S2,S3,R3,Q3);
* DO 11=1 TO 3;
* K1=CI1-1)*6; K2=CI1-D*2; K3=CI1-1)*3;
* DO Jl=l TO 3;
* L1=CJ1-1)*6; L2=CJ1-1)*2; L3=CJ1-1)*3;
* DO 1=1,2;
* DO J=l,2;
* RCK1+I,L1+J)=R2CK2+I,L2+J);
* END;
* DO J=l TO NQL;
* QCK1+I,J)=Q2CK2+I,J);
* END;
* END;
* DO 1=1,2,3;
* DO J=l,2,3;
* RCK1+I+2,L1+J+2)=R3CK3+I,L3+J);
* END;
* DO J=l TO NQL;
* QCK1 + I+2,J)=Q3CK3+I, J) ;

ПРИЛОЖЕНИЕ
END;
END;
I=NH(IJ,4);
R(Kl+e,Ll+6)=GS(I,l)*GS(I,2)*Sl*S2/100;
IF I1~=J1 THEN R(Kl+6,Ll+6)=-R(Kl+6.Ll+6)/2;
END;
END;
¦END MTR36;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MR002 И MR003 */
/************************* MR002 I*************************/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ДЛЯ ПЛОСКОГО */
/* НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ */
/*******************¦*****************************¦*******/
¦MR002: PROC(IJ,NH,GS,NQL,NL1QS,S1,S2,S3,/*RESULT*/R,Q);
* DCL IJ.NQL,(NH.GS.QS)(*,*),NL(*),
* (S1.S2.S3.(R,Q)(*,*))FLDATA6);
* /* RC6.6) - МАТРИЦА РАКЦИЙ;
* QC6.NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ. */
* DCL (DC,3),(B.F)C,6),S.AL,U,U1,U2)FLOATA6),I.J.K.M;
* R=O; M=O; Q=O;
* I=NH(IJ,4); AL=GS(I,2)*GS(I,l)*GS(I,4)/(l-GS(I,3))./2;
* CALL MB002(IJ,NH,GS,Sl,S2,S3.D,B,S);
* DD 1=1 TO 3;
* DO J=l TO 6; F(I,J)=SUM(D(I,*)*B(*.J)); END;
* END;
* DO 1=1 TO 6;
* DO J=l TO 6;
* R(I,J)=R(I.J)+SUM(B(*,I)*F(*,J))*S;
* END;
* END;
* DO 1=1 TO NQL;
* DO L=l TO NL(I);
* IF IJ=QS(L+M,O) THEN DO;
* U1=-QS(M+L.1)*S/3;U2=-QS(M+L,2)*S/3;
* U=AL*QS(M+L,4);
* Q(l,I)=U1+U*S2;
* QC3, I)=Ul-li*S2;
* QE,I)=U1; QF,I)=U2-U*S1;
* END;
* END;
* M=M+NL(I);
* END;
¦END MR002;
/* ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА МВ002 */
QB,I)=U2+U*(S1-S3);
QD,I)=U2+U*S3;
/************************ МВ002 ******¦***********¦*******/
/* ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ И */
/* ВЕКТОРОВ РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО МЕМБРАННОГО ЭЛЕМЕНТА */
/¦*******************¦¦*****¦¦******¦¦*****¦¦*****¦¦*¦¦¦¦*/
*МВ002: PRDC(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,/*RESULT*/D,B,S);
* DCL IJ, (NH.GS)(*,*), К,
* (C,S1,S2,S3,S,(D.B)(*,*))FLOATA6);
* /* DC,3) - МАТРИЦА УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА;
* BC,6) - МАТРИЦА СВЯЗИ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ;
* S ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА. */
* D=O; B=O; K=NH(IJ,4); C=GS(K,3);

442
приложение
¦ D(l,l),DB,2)=l; DA,2),DB,1)=C; DC,3)=(l-C)/2;
¦ C=GS(K,2)*GS(K,1)/A-C*C); D=D*C;
¦ BA,1).BC,2)=-S2; BB,2),BC,1)=S3-S1;
¦ B(l,3),BC,4)=S2; BB,4),BC,3)=-S3;
¦ BB,C),BC,6)=S1; S=Sl*S2/2; B=B/S/2;
¦END MB002;
/************************ MR003 #¦¦¦¦•¦•¦*¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦/
/¦ МАТРИЦА И ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ¦/
/* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ДЛЯ ИЗГИБА */
/*********************************************************/
¦MR003: PR0C(IJ,NH,GS,HQL,NL,qS,Sl,S2,S3,R,Q);
DCL IJ.NQL,(NH,GS,QS)(*,*),NL(*),
(S1,S2,S3,(R.Q)(*,*))FL0ATA6);
/¦ R(9,9) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
Q(9,NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ. - ¦/
DCL (DC,3),(B,F)C,9),QR(9),L1,L2,L3,S)FL0ATA6),
I,J,L,M,QZ;
R=O; M=O;
DO L=l TO 3;
IF L=l THEK DO; Ll=0.5; L2=0.5; L3=0; END;
IF L=2 THEN DO; L2=O.S; L3=0.5; L1=O; END;
IF L=3 THEN DO; L3=0.5; Ll=0.5; L2=O; END;
TO 3;
J=l TO 9; F(I,J)=SUM(D(I,*)*B(*.J)); END;
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦END MR003;
DO 1=1
DO
END;
DO 1=1
DO
TO 9;
J=l TO 9;
R(I,J)=R(I,J)+SUM(B(*,I)*F(*,J))*s/3;
END;
END;
END;
DO 1=1 TO NQL;
(JZ=O;
DO L=l TO NL(I);
IF IJ=QS(L+M,
END;
DO J=l TO 9; Q(J,
M=M+NL(I);
END;
O) THEN QZ=QS(M+L,3);
I)=-QZ*S/24*QR(J); END;
/*
ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА МВ003
*/
/************************ МВ003 **************************/
/¦ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ И */
/¦ ВЕКТОРОВ РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО ИЗГИБНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/
¦МВ003: PROC(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,L1,L2.L3,D,В,Ql,S);
* DCL IJ, (NH.GS)(*,*), (S1.S2,S3,L1,L2,L3,S,
* (D,B)(*,*),Q1(*))FLOATA6);
* /* DC,3) - МАТРИЦА УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА;
* BC,9) - МАТРИЦА СВЯЗИ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;
* QK9) - ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ ВЕКТОР ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
* ВКТОРОВ РЕАКЦИЙ;
* LI, L2, L3 - ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ СЕРЕДИН СТОРОН
* ТРЕУГОЛЬНИКА IJK. */
* DCL (X21,X32,X13,Y12,Y23,Y31,C,

ПРИЛОЖЕИИЕ
443
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*PROC1
*
*
*
РF,9),АC.6))FLOAT С16),I.J.K,L,M,N;
Y12=O; Y23=-S2; Y31=S2; X21=S1; X32=S3-S1; X13=-S3;
D=0; K=NH(U,4); C=GS(K,3);
D(l,l),DB,2) = l; DB,l),DA.2)=C; D C,3) = A-C)/2;
C=GS(K,2)*GS(K,1)**3/A-C*C)/12;
D=D*C; S=Sl*S2/2;
A(l,l)=-Y23**2/2; A(l ,~2)=-Y31**2/2
AB,l)=-X32**2/2; AB,2)=-X13**2/2
AA,4)=-Y23*Y31; A(l,5)=-Y31*Y12; ,
AB,4)=-X32*X13; AB,5)=-X13*X21; AB,6)=-X21*X32;
AC,1)=Y23*X32; AC,2)=Y31*X13; AC,3)=Y12*X21;
AC,4)=X13*Y23+Y31*X32; AC,5)=X21*Y31+Y12*X13;
AC,6)=X32*Y12+Y23*X21;
CALL PROC1C1,1,L1,L2,L3,Y12,Y23,Y31,P(*
CALL PROC1{1,2,L2,L3,L1,Y12,Y23,Y31,P(*
CALL PROC1A,3,L3,L1,L2,Y12,Y23,Y31,P(*
call PR0CK2.г^г.ьг.ьз.угг^гз.узг.РСн-.г))
call proc1B.1,l1,l2,l3,x21,x32,x13,p(*,3))
call ррос1B,2^2лз^1,у23^31,у12,р(*))
CALL PR0ClB,2,L2,L3.Ll.X32.X13,X21,P(*
call рносиг.з^з^.ьг.Уз^угг.угз.РС+
CALL PRDC1B,3,L3,L1,L2,X13.X211X32,P(*
DO 1=1 TO 3;
DD J=l TO 9;
В(I,J)=SUM(A(I.*)*P(*.J))/S**2;
END ;
END;
Q1A),Q1D),Q1(.7)=8; Q1B)=Y31-Y12; Ql C) =X13-X21 ;
Q1E)=Y12-Y23; QlF)=X21-X32; Ql (8)=Y23-Y31;
Q1(9)=X32-X13;
PR0C(IN,IK,Ll,L2,L3,Y12.Y23,Y31,H).
DCL (IN,IK)FIXEDA),
(
ACl,3)=-Y12**2/2;
AB,3)=-X21**2/2;
,6)=-Y12*Y23;
)
,1))
,4))
,7))
,))
,6))
.е))
,9))
(Ll,L2,L3,Y12,Y23
IF
IF
IF
IF
IK=1 THEN DO
IK=2 THEN DO
IK=3 THEN DO
IN=1 THEN DO
H(I)=L2+L3;
1=1
1=2
1=3
J=2
J=3
J=l
Y31,H(*))FL0ATA6).
K=3;
K=l;
K=2;
L=4;
L=5;
L=6;
M=S;
M=6;
M=4;
N=6;
N=4;
N=5;
END;
END;
END;
* H(I)=L2+L3; H(J),H(K)=-L1;
* H(L)=L1-L2; H(M)=O; H(N)=L1-L3;
* END;
* IF IN=2 THEN DD;
* H(I)=Y31*L3-Y12*L2; H(J),H(K)=O; C=(Y31-Y12)/4 ;
* H(L)=C*L3-Y12*L1; H(M)=C*L1; H(N)=C*L2+Y31*L1;
* END;
*END PROC1;
*END MB003;
/*********¦*************** MTR46 *************************/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ */
/* ЗАГРУЖЕНИЯ */
/*****¦¦************************************************«*/
*MTR46: PROC(IJ,NH,GS,A,B.NQL,NL,QS,/*RESULT*/R,Q);
* DCL IJ.NQL, (NH,GS,QS)(*,*), NLC*),
* (A,B, (R,Q) (*,*))FL0ATA6);
* /* RB4,24) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
* QB4,NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ;
* A - ОСНОВАНИЕ IJ ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL;
* В - ВЫСОТА IK ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL. */

444 приложение
* DCL (R2(8.8),R3A2,12),Q2(8,NQL),Q3A2,NQL))FL0ATA6)
* 1,11.J,J1,K1,K2,K3,L1,L2,L3;
* R=O; Q=O;
* CALL MTR42(IJ,NH,GS,A,B1NQL,NL,QS,R2,Q2);
* CALL MTR43(IJ,NH,GS.A,B,NQL,NL,QS,R3,Q3);
* DO 11=1 TO 4;
* K1=(I1-1)*6; K2=(I1-1)*2; K3=(I1-1)*3;
* DO Jl=l TO 4;
* L1=(J1-1)*6; L2=(J1-1)*2; L3=(J1-1)*3;
* DO 1=1,2:
* DO J=l,2;
* R(K1+I,L1+J)=R2(K2+I,L2+J);
* END;
* DO J=l TO NQL;
* QCK1 + I,J)=Q2(K2+I,J) ;
* END ;
* END;
* DD 1=1,2,3;
* DD J=1,2,3;
* R(K1 + I + 2,L1 + J+2)=R3(K3+I,L3 + J) ;
* • END;
* DO J=l TO NQL;
* Q(Kl+I+2,J)=Q3(K3+I,J);
* END;
* END;
* I=NH(IJ,5);
* R(K1+6,L1+6)=GS(I,1)*GS(I,2)*A*B/5O;
* IF I1~=J1 THEN R(Kl+6,Ll+6)=-R(Kl+6,Ll+6)/3;
* END;
* END;
¦END MTR46;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MTR42 И MTR43 */
/я************************ MTR42 *************************/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ДЛЯ ПЛОСКОГО */
/* НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ */
/¦*******¦****¦¦¦***********************¦¦****¦¦***«*****«/
*MTR42: PROC(IJ,NH,GS,A,B,NQL,NL,QS,/*RESULT*/R,Q);
* DCL IJ,NQL, (NH.GS.QS)(*,*), NL(*),
* (А,В, (R,Q) (*,*))FL0ATA6);
* /* R(8,8) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
* Q(8,NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ;
* A - ОСНОВАНИЕ IJ ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL;
* В - ВЫСОТА IK ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL. */
* DCL, I,J,M,(Vl,V,C,D,BT,F,U,H,E,V2,QX,QY)FL0ATA6);
* I=NH(IJ,5); H=GS(I,1); E=GS(I,2); V=GS(I,3); M=O;
* Vl=V+(l-V)/2; V2=V-(l-V)/2; C=4/3; D=2*(l-V)/3;
* BT=B/A; F=(l-V)/3; U=2/3;
* DO 1=1 TD 7 BY 2;
* R(I,I)=C*BT+D/BT; R(I+1,I+1)=C/BT+D*BT;
* END;
* R(l,3),R(S,7)=F/BT-C*BT; RB,4),RF,8)=U/BT-D*BT;
* R(l,5),RC,7)=U*BT-D/BT; R B,6),RD,8)=F*BT-C/BT;
* RC,5),R(l,7)=-R(l,l)/2; RD,6),RB,8)=-R B,2)/2;
* R(l,4),RB,5),RF,7),RC,8)=V2;
* RB,3),RA,6),RD,7),RE,8)=-V2;
* R(l,8),RB,7>,RC,4),RE,6)=-V1;
* R(l,2),RG,8),RD,5),RC,6)=V1;

ПРИЛОЖЕНИЕ 445
* DO J=2 TO 8;
* DO 1=1 TO J-l; R(J,I)=R(I,J); END;
* END;
* C=E*H*GS(NH(IJ,5),4)/Cl-V)/2;
* D=E*H/(l-V*V)/4; R=R*D;
* DD 1=1 TO NQL;
* QX,QY,U=O;
* DO J=l TO NL(I);
* IF IJ=QS(J+M,O) THEN DO;
* U=C*QS(J+M,4);
* QX=-QS(J+M,l)*A*B/4; QY=-QS(J+M,2)*A*B/4;
* END;
* END;
* QA,I)=QX+U*B; QB,I)=QY+U*A;
* QC,I)=QX-U*B; QD,I)=QY+U*A;
* QE,I)=QX+U*B; QF,I)=QY-U*A;
* QG,I)=QX-U*B; Q(8,I)=QY-U*A;
* M=M+NL(I);
* END;
*END MTR42;
/************************ MTR43 **************************/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/* В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ДЛЯ ИЗГИБА */
*MTR43: PROC(IJ,NH,GS,A,B,NQL,NL,QS,/*RESULT*/R,Q);
* DCL IJ.NQL,(NH.GS.QS)(*,*),NL(*),
* (A,B,(R,Q)C*,*))FL0ATA6);
* /* RC12.12) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
* QC12.NQL) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ;
* А - ОСНОВАНИЕ IJ ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL;
* В - ВЫСОТА IK ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL. */
* DCL C(L,D) A2,12),C,V1,M1,A2,B2,H,E,V,QZ)FLOATA6) ,
* UA2,12)FL0ATA6), I,J,M;
* U=O;
* I=NH(IJ,5); H=GS(I,1); E=GS(I,2); V=GS(I,3);
* C=E*H**3/(l-V**2)/A/B/3; M=O;
* V1=V*C; Ml=(l-V)*C/2; B2=(B/A)**2*C; A2=(A/B)**2*C;
* C=21; H=1O5;
* UD,4)=45*B2; UF,4),UD,6)=45*V1; UF,6)=4S*A2;
* UE,5)=36*M1; UG,7)=B2*525; U(8,8)=45*B2+18O*M1;
* UE,H),UE,12),UA1,5),UA2,5)=-12*M1*SQRT(C);
* U(9,7).UA0,8),UG,9),U(8,10)=15*V1*SQRT(H);
* U(9,9)=45*A2+180*Ml; UA0,10)=525*A2;
* U(ll,11)=52S*B2+M1*5O4; UA2,12)=525*A2+M1*BO4;
* UA1,12),UA2,11)=525*V1+84*M1;
* CALL MATRL(A,B,L);
* DO 1=1 TO 12;
* DO J=l TO 12; D(I,J)=SUM(U(I,*)*L(*,J)); END;
* END;
* DO 1=1 TO 12;
* DO J=l TO 12; R(I,J)=SUM(L(*,I)*D(*,J)); END;
* END;
* DO 1=1 TO NQL;
* QZ=O;
* DO J=l TO NL(I);
* IF IJ=QS(J+M,O) THEN
* QZ=QS(J+M,3)*A*B;
* END;
* DO J=l,4,7,10; e(J,I)=-l/4; END;
* QB,I),QE,I)=-B/12; Q(8,I),QA1,I)=B/12;

446 ПРИЛОЖЕНИЕ
* QC,I),Q(9,I)=A/12; QF,I),QC12,I)=-A/12;
* Q(*,I)=QC*.I)*QZ;
* M=M+NL(I);
* END;
¦END MTR43;
/* ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА MATRL */
/************************ MATRL **************************/
/¦ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ */
/* РЕАКЦИЙ ИЗГИБН0Г0 ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/********************************************#************/
¦MATRL: PROC(A,B,/*RESULT*/L);
* DCL (A,B,L(+,*))FL0ATA6);
* /¦ A - ОСНОВАНИЕ IJ ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL;
* В - ВЫСОТА IK ПРЯМОУГОЛЬНИКА IJKL;
* LA2,12) - ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЧИСЛОВАЯ МАТРИЦА. */
* DCL I, (A3,A5,A7,C,D,E)FL0ATA6);
* C=3; D=5; E=7;
* L=O; A3=SQRT(C); A5=SQRT(D); A7=SQRT(E);
* L(l.l),LA,4).LA,7),LCI,10)=6;
* LB,l),LC,1),LB,7),LC3,4)=-36;
* LB,4),LB,10),LC,7),LC,10)=36;
* LF,l),LF,10)=14; L(S,4),LE,7)=-14;
* LG,4),LG,10),LA0,7),LA0,10)=2;
* DO 1=11,12; L(I,l),L(I,10)=2; L(I,4),L(I,7)=-2; END;
* LG,1),LG,7),LA0,1),LA0,4)=-2;
* DO 1=3,6,9,12; LB,I)=3*A; L C,I-1)=-3*B; END;
* LB.2),LB,11)=-5*B; LB,5),LB,8)=5*B;
* LC,3),LC.i2)=5*A; LC,6),LC,9)=-5*A;
* DO 1=1,4; L(I,3),L(I,9)=-A; L(I,6),L(I,12)=A; END;
* DO 1=1.6; L(I,2).L(I,5)=B; L(I,8),L(I,11)=-B; END;
* LF,2),LF,8),L(B,5),L(9,8),LA2,2),LA2,8)=B;
* LF.6),LE,11),L(9,2),L(9,11),LA2,5),LA2,11)=-B;
* LE,3),LE,6),L(8,6),L(8,9),LA1,3),LA1,6)=-A;
* LE,9),LE,12),L(8,3),L(8,12),LA1,9),LA1,12)=A;
* DO 1=3,6,9,12; LG,I)=A; LA0,1-1)=-B; END;
* LA,*)=LA,*)/12; LE,*)=LE,*)/60;
* DO 1=2,3;
* L(I,*)=L(I,*)/A3/60; L(I+6,*)=L(I+6,*)/A3/A5/12;
* L(I+9,*)=L(I+9,*)/A3/A7/20;
* END;
* DO 1=4,6; L(I,*)=L(I,*)/AS/12; END;
* DO 1=7,10; L(I,*)=L(I,*)/A7/20; END;
¦END MATRL;
/¦1С********************** PRSG3S *************************/
/* ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНОГО */
/* ПЛАСТИНЧАТОГО ЭЛЕМЕНТА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НАГРУЖЕНИЯ */
¦PRSG3S:PR0C(NS,NH,X,GS,DR,IZ.SG) ;
* DCL NS.IZ,(NH.X.GS.SG)(¦,¦);
* /* NS - ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ;
* NH(NS,4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* X(NR,3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВ (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* GS(NC,4) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ (NC -
* ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
* DR(NR,6) - МАССИВ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;

ПРИЛОЖЕНИЕ 447
* IZ ПАРАМЕТР, РАВНЫЙ +1, ЕСЛИ НАПРЯЖЕНИЯ
* ВЫЧИСЛЯЮТСЯ НА ПОВЕРХНОСТИ Z = +Н/2
* И РАВНЫЙ -1, ЕСЛИ НАПРЯЖЕНИЯ ВЫЧИСЛЯ-
* ЮТСЯ НА ПОВЕРХНОСТИ Z = -Н/2 (Н -
* ТОЛЩИНА ЭЛЕМЕНТА);
* SG(NS,4) - МАССИВ ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯ-
* НИЯ (ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, УГОЛ НАКЛОНА
* 1-Й ГЛАВНОЙ ОСИ К ОСИ X, ИНТЕН-
* СИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ). */
* DCL (S1,S2,S3,L1,L2,L3,SS1,SS2,SX,SY.
* SP1.SP2.H,(D1.D2)C.3),(F1,B1)C,6),
* (F2.B2) C,9) ,Q(9) ,WA8) ,UA8) ,U1F) ,
* U2(9) ,CA8, 18) ,DRС*,'*) ,SCC))FLOATA6) ;
* DO IJ=1 TO NS;
* CALL PRCSCC,IJ,NH,X,S1,S2,S3,C);
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l TO 6;
* W((I-1)*6+J)=DR(NH(IJ,I),J);
* END;
* END;
* DO J=l TO 18;
* U(J)=SUM(C(*,J)*W);
* END;
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=1,2;U1((I-1)*2+J)=U((I-1)*6+J);END;
* DO J=l TO 3;
* U2((I-l)*3+J)=U((I-l)*6 + J + 2) ;
* END;
* END;
* CALL MBOO2(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,D1,B1,SS1);
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l TO 6;
* FKI, J)=SUM(D1 (I,*)*B1 (*, J)) ;
* END;
* END;
* Ll,L2,L3=l/3;
* CALL MBOO3(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,L1,L2,L3,
* D2,B2,Q,SS2);
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l TO 9;
* F2(I,J)=SUM(D2(I,*)*B2(*.J));
* END ;
* END;
* H=GS(NH(IJ,4),1);
* DO 1=1 TO 3;
* SC(I)=SUM(F1(I,*)*U1)/H+
* SUM(F2(I,*)*U2)/H/H*6*IZ;
* END;
* SX=(SC(l)+SCB))/2;
* SY=SQRT((SC(l)-SCB))**2+SCC)**2*4)/2;
* SP1=MAX(SX+SY,SX-SY); SP2=MIN(SX+SY,SX-SY);
* SG(IJ,1)=SP1; SG(IJ,2)=SP2;
* SG(IJ,4)=SQRT(SP1**2-SP1*SP2+SP2**2):
* IF ABS(SCB)-SPl)/SG(IJ,4)<lE-3
* THEN SG(IJ,3)=90;
* ELSE SG(IJ,3)=ATAND(SCC)/(SP1-SCB)));
* END;
*END PRSG3S;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ PRCSC, MB002,
MB003. */

448 приложение
**«* PRSG4S И"************************/
/* ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ */
/* ПЛАСТИНЧАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НАГРУЖЕНИЯ */
*PRSG4S:PROC(NS,NH.X,GS.DR,IZ,SG);
* DCL NS.IZ,(NH,X,GStSG)(*,*);
* /s NS - ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ;
* NHCNS.5) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* X(NR,3) - МАССИ8 КООРДИНАТ УЗЛ08 (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* GS(NC,4) ~ МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ (NC -
* ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
* DR(NRB6) - МАССИВ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;
* IZ ПАРАМЕТР, РАВНЫЙ +1, ЕСЛИ НАПРЯЖЕНИЯ
* ВЫЧИСЛЯЮТСЯ НА ПОВЕРХНОСТИ Z = +Н/2
« И РАВНЫЙ -1, ЕСЛИ НАПРЯЖЕНИЯ ВЫЧИСЛЯ-
* ЮТСЯ НА ПОВЕРХНОСТИ Z = -Н/2 (Н -
* ТОЛЩИНА ЭЛЕМЕНТА);
* SGCNS.4) - МАССИВ ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯ-
* НИЯ (ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, УГОЛ НАКЛОНА
* 1-й ГЛАВНОЙ ОСИ К ОСИ X, ИНТЕН-
* СИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ). */
* DCL (Sl^.SS.SPl.SPa.SX^SY.K.DRC*,*) ,
* WB4);UB4)eUl(8)tU2A2),C1C,12),
* C2C,8),SCC).CB4,24))FL0ATA6);
* DO IJ=1 TO NS;
* CALL PRCSCD,IJ.NH.XSS1,S2,S3,C);
*
* ¦ DO 1-1 TD 4; "
* DO J=l TO 6;
* W((I-l)*e+J)=DR(NHCIJ,I).J);
Ф END;
* END;
* DO J=l TO 24;
* U(J)=SUM(C(*.J)*W);
* END;
* DO 1=1 TO 4;
* DO J=1.2;U1((I-1)*2+J)=U((I-1)*6W) ;END;
« DO J=l TO 3;
* U2(U-l)*3+J)=U((I-l)*6+J->-2);
* END;
* END;
* H=C-S(NH(IJ,6),1);
* CALL PROCSCU,NH-GS,S1,S2)C1,C2);
* DO I=X TO 3;
* SC(I)=SUM(C1(I1*)*U2)/H/H*6*IZ
* +SUM(C2(I,*)*U1)/H;
* END;
* SX=(SC(l)+SCB))/2;
* SY=SQBT((SC(l)-SCB))**2+SCC)**2*4)/2;
* SPl=MAX(SXfSY»SX-SY); SP2=MIN(SX+SY,SX-SY);
* SG(IJ,1)=SP1; SG(IJ,2)=SP2;
* SG(IJ,4)=SQRT(SP1**2-SP1*SP2+SP2**2);
* IF ABS(SCB)-SPl)/SG(JJ,4)<lE-3
* THEN SG(IJ,3)=9O;
* ELSE SG(IJ,3)=ATAND(SCC)/(SP1-SCB)));
* END;
«PROCS: PROC(IJ,NH,GS,A,B,S,C);
* DCL IJ, (NH.C-S) <*.*), (A,B, (S,C)(*,*))FLOATA6);
* DCL (V,DCt3),EC.8))FL0ATA6),1,J,K;

ПРИЛОЖЕНИЕ 449
* I=NHCIJ,5); V=GS(I,3); S=0; D=0; E=0;
* DC 1,1),DB,2)=1;DA,2),DB,1)=V;D C , 3) = A-V)/2 ;
* EC 1,1),EA,5),EC,2),EC,6)=-l/A/2;
* EC 1.3).E(l,7),EC3,4),EC,8)=l/A/2;
* EC2.2),EC2,4).EC3.1),EC3,3)=-l/B/2;
* EC2.6) ,EC2,8) ,EC,5) ,EC3, 7) =l/B/2 ;
* DO K=l TO 3;
* DO J=l TO 8;
* C(K,J)=SUMCDCK,*)*EC*,J))*GS(I,1)*
* GS(I,2)/A-V*V);
* END;
* END;
* SCl.2),SA,5)=V/B; 8A,8),SCI,11)=-V/B;
* SC1.3),SA,9),SC3,6),SC,11)=-1/A;
* SC1.6),SA,12),SC,2),SC,8)=1/A;
* SC2,3),SC2,9)=-V/A; SB,6),SB,12)=V/A;
* SB,2),S B,5),SC,9),SC,12) = 1/B;
* SB,8),SB,11),SC,3),SC,6)=-1/B;
* SC,l),SC,10)=8/A/B; SC,4),SC,7)=-8/A/B;
* SC,*)=SC,*)*(l-V)/2;
* S=S*GS(I,2)*GS(I.l)**3/24/(l-V*V):
*END PROCS;
*END PRSG4S;
/* ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА PRCSC */
/************************* PRSG3 *************************/
/* ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ. МЕМБРАННЫХ ИЛИ */
/* ИЗГИБНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНЧАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ */
/*****************************************¦¦**+******+****/
*PRSG3: PROC(NS,NH,X,GS,N,DR./*RESULT*/SG);
* DCL NS.N, (NH,X,GS,SG)(*,*),DR(*,*)FL0ATA6);
* /* NS - ЧИСЛО ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ; " .
* NH(NS,4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ;
* X(NR,2) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВ (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* GSCNC.3) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕ-
* МЕНТОВ (ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
* N - ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ В ОДНОМ УЗЛЕ;
* DR(NR,N) - МАССИВ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;
* SG(NS,4) - ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ (ГЛА-
* ВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, УГОЛ НАКЛОНА 1-Й ГЛА-
* ВНОЙ ОСИ К ОСИ X, ИНТЕНСИВНОСТЬ НАП-
* РЯЖЕНИЙ) . */
* DCL (L1,L2,L3.SX,SY,S1,S2,AL,SI,AC),S,
* BC,3*N),DC,3), (Q.F.W)C3*N))FLOAT С16),I,J.IJ;
* Ll,L2,L3=l/3;
* DO IJ=1 TO NS;
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l TO K;
* W((I-1)*N+J)=DR(NH(IJ,,I) , J) ;
* END;
* END;
* IF N=2 THEN
* CALL MTRB2(IJ,NH,X,GS,D,B,S);
* IF N=3 THEN
* CALL MTRB3(IJ,NH,X,GS.L1,L2,L3,D,B,Q,S);
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l TO 3*N; F(J)=SUM(D(I,*)*B(*.J)); END;
* A(I)=SUM(W*F);
* END;
Vs 15 П/р В. И. Мяченкова

450
ПРИЛОЖЕНИЕ
* IF N=2 THEN A=A/OS(NH(IJ,4),1);
* ELSE A=A*6/GS(NH(IJ,4),1)**2;
* SX=(A(l)+AB))/2;
* SY=seRT((A(l)-AB))**2+AC)**2*4)/2;
* S1=MAX(SX+SY,SX-SY); S2=MIN(SX+SY,SX-SY);
* SI=SQRT(S1**2-S1*S2+S2**2);
* IF ABS(AB)-Sl)/SKlE-3 THEN AL=9O;
* ELSE AL=ATAND(AC)/(S1-AB)));
* SG(IJ,l)=Sl; SG(IJ,2)=S2; SG(IJ,3)=AL;
* SG(IJ,4)=SI;
* END;
¦END PRSG3;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MTRB2 И MTRB3 */
/************************ MTRB2 И"*********************»***/
/* ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ */
/* В МЕМБРАННОМ ТРЕУГОЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ */
/я********************************************************/
*MTRB2: PROC(IJ,NH,X,GS,/*RESULT*/D,B,S);
* DCL IJ,(NH,X,GS)(*,*),((D,B)С*,*),S)FLOATA6);
* /* IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* DC,3) - МАТРИЦА УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА;
* ВC,б) - МАТРИЦА СВЯЗИ ВЕКТОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ И УЗ-
* ЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТА;
.* S ПЛОЩАДЬ ЭЛЕМЕНТА. */
* DCL CY12,Y23,Y31,X21,X32,X13,C,
* (Х1.Х2.ХЗ)B))FL0ATA6);
* D=O; K=NH(IJ,4); C=GS(K,3);
* D(l,l).DB,2) = l; DB,l),DCl,2)=C; DC,3) = A-C)/2;
* C=GS(K,2)*GS(K,1)/A-C*C); D=D*C;
* X1=X(NH(IJ,1),*); X2=X(NH(IJ,2),*); X3=X(NH (IJ,3),*);
* Y12=X1B)-X2B); Y23=X2B)-X3B); Y31=X3B)-XIB);
* X21=X2A)-X1A); X32=X3C1)-X2A); X13=X1A)-X3A);
* S=(Xl(l)*Y23+X2(l)*Y31+X3(l)*Y12)/2;
* BA,1),BC,2)=Y23; BB,2),BC,1)=X32;
* B(t,3),BC,4)=Y31; BB,4),BC,3)=X13;
* BCl.5),BC,6)=Y12; BB,6),BC,5)=X21;
* B(l,2),B(l,4),B(l,6),BB,l),BB,3),BB,5)=0;
* B=B/2/S;
*END MTRB2;
/************************ MTRB3 ***********************»*»/
/* ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ */
/* В ИЗГИБНОМ ТРЕУГОЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ */
/¦**********¦***¦**¦*¦******¦¦****¦¦***+¦¦*¦¦*************/
¦MTRB3: PR0C(IJ,NH,X,GS,L1,L2,L3,/*RESULT*/D,В,Q1,S);
* DCL IJ, (NH.X.GS)С*,*),
* (L1.L2.L3,(D,B)(*,*),01@,S)FLOAT С16);
* /* IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* LI, L2, L3 - ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
* ТОЧКИ ЭЛЕМЕНТА;
* DC3.3) - МАТРИЦА УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА;
* ВC,9) - МАТРИЦА СВЯЗИ ВЕКТОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ И УЗ-
* ЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТА;
* QK9) - ВЕКТОР РЕАКЦИЙ, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ПОВЕРХНОС-
* ТНОЙ НАГРУЗКОЙ;
* S - ПЛОЩАДЬ ЭЛЕМЕНТА. */
* DCL CX21,X32,X13,Y12,Y23,Y31,(Х1,Х2,ХЗ)B),С,

ПРИЛОЖЕНИЕ
451
*PROC1:
РF.9),AC.6))FLOATA6),I.J.K,L.M,N;
Xl=X(NH(IJ,i).*); X2=X(NH(IJ,2),*); X3=(NH(IJ,3),*);
Y12=XiB)-X2B); Y23=X2B)-X3<2); Y31=X3B)-X1 B);
X21=X2(l)-Xi(l); X32=X3A)-X2A); X13=X1A)-X3A);
S=(XIA)*Y23+X2A)*Y31+X3A)*Y12)/2;
D=O; K=NH(IJ,4); C=GS(K,3);
D(l.l),DB,2)=1; DB,l),DA,2)=C; DC,3)=(l-C)/2;
C=GS(K,2)*GS(K,1)**3/A-C*C)/12;
D=D*C;
A(l,l)=-Y23**2/2; A(l,2)=-Y31**2/2; A(l,3)=-Y12**2/2;
AB,l)=-X32**2/2; AB,2)=-X13**2/2; AB,3)=-X21**2/2;
AA,4)=-Y23*Y31; A(l,5)=-Y31*Y12; A(l,6)=-Y12*Y23;
AB,4)=-X32*X13; AB,5)=-X13*X21; AB,6)=-X21*X32;
AC,1)=Y23*X32; AC,2)=Y31*X13; AC,3)=Y12*X21;
AC,4)=X13*Y23+Y31*X32; AC,5)=X21*Y31+Y12*X13;
AC,6)=X32*Y12+Y23*X21;
CALL PROC1A,1,LI,L2,L3,Y12,Y23,Y31,P(*,1));
CALL PROC1A,2,L2,L3,L1.Y12,Y23,Y31,P(*,4));
CALL PROC1A,3,L3,L1.L2,Y12,Y23,Y31,P(*,7));
CALL PR0CK2, 1,L1,L2,L3,Y12,Y23,Y31,P(*,2)) ;
CALL PROC1B,1,L1,L2,L3,X21,X32,X13,P(*,3));
CALL PR0ClB,2,L2,L3,Ll.Y23,Y31,Y12,P(*,5));
CALL PR0ClB,2,L2,L3,Ll.X32,X13,X21,P(*,6));
CALL PROC1B,3,L3,L1.L2,Y31,Y12,Y23,P(*,8));
CALL PR0ClB,3.L3,Ll,L2,X13,X21,X32,P(*,9));
DO 1=1 TO 3;
DO J=l TO 9;
В(I,J)=SUM(A(I,*)*P(*,J))/S**2;
END;
END;
Ql(l),Q1D),Q1G)=8; Q1B)=Y31-Y12; 41C)=X13-X21;
Q1E)=Y12-Y23; QlF)=X21-X32; Ql(8)=Y23-Y31;
Q1(9)=X32-X13;
PROC(IN,IK,L1,L2,L3,Y12,Y23,Y31,H);,
DCL (IN,IK)FIXEDA),
(L1.L2,L3,Y12.Y23,Y31.H(*))FLOATA6);
IF
IF
IF
IF
IK=1 THEN DO;
IK=2 THEN DO;
IK=3 THEN DO;
IN=1 THEN DO;
H(I)=L2+L3;
1=1; J=2; K=3
1=2; J=3; K=l
1=3; J=l; K=2
L=4
• L=5
, L=6
M=5
M=6
M=4
N=6
N=4
N=5
END;
END;
END;
H(J),H(K)=-L1;
* H(L)=L1-L2; H(M)=O; H(N)=L1-L3;
* END;
* IF IN=2 THEN DO;
* H(I)=Y31*L3-Y12*L2; H(J),H(K)=O; C=(Y31-Y12)/4;
* H(L)=C*L3-Y12*L1; H(M)=C*L1; H(N)=C*L2+Y31*L1;
* END;
*END PROC1;
*END MTRB3;
/************************ MTRMO **************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ МАСС ТРЕУГОЛЬНОГО ИЛИ ПРЯМОУГОЛЬ- */
/* НОГО ЭЛЕМЕНТА В ГЛОБАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ */
/ж********************************************************/
*MTRMO: PROC(NK,IJ.NH,X,GS,/*RESULT*/M);
* DCL IJ, (NH.X.GS)(*,*),
* (М)(*,*)FL0ATA6), NKFIXED(l);
* /* NK - ЧИСЛО УЗЛОВ РАССМАТРИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА;
* IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР РАССМАТРИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА;
15*

452 ПРИЛОЖЕНИЕ
* NH(NS,NK+1) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* (NS - ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ);
* X(NR,3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(NR - ОБЩЕЕ ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ);
GSCNC.5) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ
(NC - ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
M(NK*6,NK*6) - МАТРИЦА МАСС */
DCL (S1.S2.S3,(В,С)(NK*6,NK*6))FL0ATA6),
I.J.K;
CALL PRCSC(NK.IJ.NH,X,S1,S2,S3,C);
* IF NK=3 THEN
* CALL MTR36M(IJ.NH,GS,S1,S2,S3,M) :
* IF NK=4 THEN
* CALL MTR46M(IJ,NH,GS,S1.S2,M);
* DO 1=1 TO 6*NK;
* DO J=l TO 6*NK;
* B(I,J)=SUM(M(I,*)*C(J,*));
* END;
* END;
* DO 1=1 TO 6*NK;
* DO J=l TO 6*NK;
* MCI,J)=SUM(C(I,*)*B(*,J)) ;
* END;
* END;
*END MTRRQM;
/* ПРИ РАБОТЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ
PRCSC, MTR36M, MTR46M */
/************************* MTR36M ************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ МАСС ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА, */
/* РАБОТАЮЩЕГО В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ И НА ИЗГИБ */
/*********************************************************/
*MTR36M:PROC(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,М);
* DCL IJ, (NH.GS) (*,*),
* (S1,S2,S3,(M)(*,*))FL0ATA6);
* /* МA8,18) - МАТРИЦА МАСС ТРЕУГОЛЬНОГО ПЛАСТИН-
* ЧАТОГО ЭЛЕМЕНТА */
* DCL (M2F,6),M3(9,9))FL0ATA6),
* 1,11,J,Jl,K1,K2,K3,L1,L2,L3;
* R=O;
* CALL MTR32M(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,M2);
* CALL MTR33M(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,M3);
* DO 11=1 TO 3;
* K1=(I1-1)*6; K2=CI1-1)*2; K3=(I1-1)*3;
* DO Jl=l TO 3;
* L1=(J1-1)*6; L2=CJ1-1)*2; L3=CJ1-1)*3;
* DO 1=1,2;
* DO J=l,2;
* M(K1+I,L1+J)=M2(K2+I,L2+J);
* END;
* END;
* DO 1=1,2,3;
* DO J=l,2,3;
* M(K1+I+2,L1+J+2)=M3(K3+I,L3+J);
* END;
* END;
* END;
* END;
«END MTR36M;

ПРИЛОЖЕНИЕ 453
/************************* MTR32M ********************¦***/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ МАСС ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА, */
/* РАБОТАЮЩЕГО В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ */
/**********¦****»»***»***»********************************/
*MTR32M:PROC(IJ.NH,GS,S1,S2,S3,M);
DCL (S1.S21S3,C1M(*,*))FLOATAS),(NH.GS)(*,*);
/* МF,6) - МАТРИЦА МАСС ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА.
РАБОТАЮЩЕГО В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ */
М=О; K=NH(IJ,4); H=GS(K,1); RO=GS(K,4);
M(l.l).MB.2),MC,3),МD,4),МE,5),МF,6)=1;
МA,3),МA,б),МB,4),МB,6),МC,1),МC,5).
МD,2),МD,6),МE,1),МE,3),МF,2),МF,4)=0.5;
C=R0*Sl*S2*H/6/2; M=M*C;
«END MTR32M;
/************************* MTR33M ************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ МАСС ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА, */
/* РАБОТАЮЩЕГО НА ИЗГИБ */
•MTR33M:PROC(IJ,NH,GS,S1,S2,S3,Ю;
* DCL H,RO,(Sl,S2,S3,M(*,*))FL0ATA6);
* /* М(9,9) - МАТРИЦА МАСС ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА,
* РАБОТАЮЩЕГО НА ИЗГИБ */
* DCL (А1, А2, A3, В1, В2 , ВЗ, OFL0ATU6) , (NH.GS) (*,*);
* М=О; K=NH(IJ,4); H=GS(K,1); R0=GS(K,4);
* A1=S3-S1; A2=-S3; A3=S1; Bl=-S2; B2=S2; B3=0;
* M(l,1),MD,4),MG,7)=7744; M D , 1) , M G , 1) , M G , 4) =2848 ;
* MB,1)=832*(B2-B3); MC,1)=832*(A2-A3);
* ME,4)=832*(B3-B1); MF,4)=832*(A3-A1);
* M(8,7)=B32*(B1-B2); M(9,7)=B32*(A1-A2);
* MD,2)=304*B2-544*B3; MD,3)=304*A2-544*A3;
* MG.2)=304*B2-544*B3; MG,3)=304*A2-544*A3;
* M(8,l)=304*Bl-544*B2; M (9,1)=304*Al-544*A2;
* M(8,4)=304*Bl-544*B2; M(9,4)=304*Al-544*A2;
* MG.5)=304*B3-544*Bl; MG,6)=304*A3-544*Al;
* ME,l)=304*B3-544*Bl; MF,1)=304*A3-544*Al;
* MB.2)=124*(B2**2+B3**2)-152*B2*B3;
* MC,3)=124*(A2**2+A3**2)-152*A2*A3;
* ME,5)=124*(B1**2+B3**2)-152*B1*B3;
* MF,6)=124*(A1**2+A3**2)-152*A1*A3;
* M(8,B)=124*(B1**2+B2**2)-152*B1*B2;
* M(9,9)=124*(A1**2+A2**2)-152*A1*A2;
* MC,2) = 124*(A2*B2+A3*B3)-76*(A3*B2+A2*B3) ;
* MF,5)=124*(A1*B1+A3*B3)-76*(A1*B3+A3*B1);
* M(9,8)=124*(A1*B1+A2*B2)-76*(A1*B2+A2*B1)
* ME,2)=52*(Bl*B3+B2*B3)-44*Bl*B2-100*B3**2;
* MF,3)=52*(Al*A3+A2*A3)-44*Al*A2-100*A3**2;
* MF,2)=52*(Al*B3+A3*B2)-44*Al*B2-100*A3*B3;
* ME,3)=52*(A3*Bl+A2*B3)-44*A2*Bl-100*A3*B3;
* M(8,2)=52*(B2*B3+Bl*B2)-44*B2**2-100*Bl*B3;
* M(9,3)=52*(A2*A3+A1*A2)-44*A2**2-100*A1*A3;
* M(9,2)=52*(A2*B3+Al*B2)-44*A2*B2-100*Al*B3;
•* M(8,3)=52*(A3*B2+A2*B1)-44*A2*B2-100*A3*B1;
* M(8,5)=52*(BI*B2+Bl*B3)-44*B2*B3-100*Bl**2;
* M(9,6)=52*(Al*A2+Al*A3)-44*A2*A3-100*Al**2;
* M(9,5)=52*(A2*Bl+A3*Bl)-44*A2*B3-100*Al*Bl;
* M(8,6)=52*(Al*B2+A3*Bl)-44*A3*B2-100*Al*Bl;
* DO 1=1 TO 9;
* DO J=I+1 TO 9; M(I,J)=M(J,I); END;
15 П/р В. И. Мячевкова

сшз*
:e/oa*a*v*H=D *
i(fr9)w(9fr)W(e9)w(9e)w *
' (S'8)W (8'S)W (T'A)H' U'T)W *
:г=(г'9)и'(9'г)и *
(8'9)W (g'Z)W' U'9)W (fr'8)W (8'*)W (E'A)W *
)'(9'9)И'(9'9)W *
)'(е'е)и'(г'г)и'(т'т)и *
:(fr'H)SD=OH !(TM)SO=H :(9'ri)HN=M .'0=И *
/* mooxooiru изоаэ a ojaHiovioavd *
'VlH3W3U"e OJOHIITOJ/COHBdU OOVH VtlMdlVH - (8'8)H */ *
:(*'*)(SD'HN)'(9T)lVCni((8'8)W'D'H'V) 100 *
)
/* Miooxooieu изоао a ojstnaviogvd */
/* "viH3H3ife oJOH4iroj*OHBdu oovw ntiMdivw эинз1гоиыча */
/* ws^aiw 'wsfrmw HdiCVsnodu 1злеч1гоиэи sioavd Mdu */
•'aN3 *
:aN3 *
:aN3 *
:aN3 *
: (r+sTi+EM)ew=(s+r+TTs+i+T)i)w *
:е'г?т=г oa *
:e's't=i oa *
:сшз *
:aN3 *
: (r+sTi+sM)sw=(r+TTi+TM)w *
.'s'T=r oa *
:s't=i oa *
(т-тг)=тт *
'¦> ox т=тг oa *
-т1)=т>1 *
ох 1=п oa *
*
*
:о=н *
геТгТтТем'гм'тм'тг'г "ii'i *
' (9T)XV01i((STST)eW (8'8)SW) 1D0 *
/* ivHMirdoo» ЭНЭ1ЭИЭ «OHiifvxoir a vi *
-H3W3ire OJOHIITOJyCOHKdU OOVH VtlMdlVH - (frS'frZ)W *
viH3H3ire ojOHiiroj^oHBdu mi vHOdoio - a *
viHSwsire oJOHiiroj/coHUdu ri VHOdoio - v */ *
: omvoiicc*'*) (и) 'a'v) *
'(*'*)(SD'HN) TI 1D0 *
: (w/*nns3a*/'a' v' so'hn 'ri) Doad:wg^aiw*
/***************************************+*****¦¦**********/
/* gnjEM vh и Miooxooieu иэоао a ojstnoiviogvd */
/* 'viHswsire ojoH^irojycoHKdu oovh nUMdiVH эинэ1/"эиьна */
/************************ M9^UXN Hi************************/
:weeaiw
: *
зинзжо1ги<ш IS*

ПРИЛОЖЕНИЕ 455
/»»»*********************# MTR43M ******¦*****¦***********/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ МАСС ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА, */
/* РАБОТАЮЩЕГО НА ИЗГИБ */
/*»»»»*****Я*******************»********************»****»/
*MTR43M:PR0C(IJ,NH,GS,A,B,M);
* DCL H,RO,(A,B,C,M(*,*))FLOATA6);
* /* MA2,12) - МАТРИЦА МАСС ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА,
* РАБОТАЮЩЕГО НА ИЗГИБ */
DCL (NH.GS)(*.*);
М=О; K=NH(IJ,5); H=GS(K,1); RO=GS(K,4);
MCl.i),MD,4),MG,7),MA0,10)=3454;
МC,3),МF,6),М(9,9),МA2,12)=80*А*А;
МB,2),М(Б,б),М(8,8),МA1,11)=В0*В*В;
МD,1),МG,1),МA0,4),МA0,7)=1226;
МA0,1),МG,4) =394;
МF,4),МA2,10)=461*А; МC,1),М(9,7) =-461*А;
МB,1),М(Б,4) =461*В; М(8,7),МA1,10)=-461*В;
МF,1),МA2,7) =274*А; МD,3),МA0,9) =-274*А;
МG,2),МA0,б) =274*В; М(8,1),МA1,4) =-274*В;
МA0,6),МA2,4)=199*А; МG,3),М(9,1) =-199*А;
МD,2),МE.1) =199*В; МA0,8),МA1,7)=-199*В;
МG,6),МA2,1) =116*А; М(9,4),МA0,3) =-116*А;
МG,5) ,М(Ю,2) =116*В; М(8,4),МA1,1) =-116*В;
МF,3),МA2,9) =-60*А*А; М(8,2),МA1,б) =-60*В*В;
М<9,3),МA2,6) =40*А*А; М(б,2),МA1,8) =40*В*В;
* М(9,6),МA2,3) =-30*А*А; М(8,б),МA1,2) =-30*В*В;
* МF,Б),М(9,8) =63*А*В; МC,2),МA2,11)=-63*А*В;
* МA1,3),МA2,2)=28*А*В; М(8,6),М(9,5) =-28*А*В;
* М(8,3),МF,2),МA1,9),МA2,Б)=42*А*В;
* МE,3),МA1,6),МA2,8),М(9,2)=-42*А*В;
* DO 1=1 ТО 12;
* DO J=I+1 TO 12; M(I,J)=M(J.I); END;
* END; C=H*A*B*R0/6300/4; M=M*C;
*END MTR43M;
/г******»**»**»**»»******* PRM04 ************»************/
/* МАТРИЦА РЕАКЦИЙ ЧЕТЫРЕХГРАННОГО ОБ'ЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/«г*******»***»*»»***»*»»****»»**»»*»***»»****************/
*PRM04: PROC(IJ,NH,X,E,V,/*RESULT*/R);
* DCL IJ,E,V, (NH,X)(*,*), R(*,*)FL0ATA6);
* /* IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* NH(NS,5) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ ЧЕТЫРЕХГРАННЫХ ЭЛЕ-
* МЕНТОВ (NS - ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ);
* X(NR,3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВ (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* Е - МОДУЛЬ УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА;
* V - ОБ'ЕМ ЭЛЕМЕНТА;
* RC12.12) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ. */
* DCL (U,BF,12),DF,6),СA2,6),FF,12))FLOATA6),1;
* CALL MTRB4(IJ,NH,X,U,B);
* CALL MTRD4(E,V,D);
* DO 1=1 TO 6;
* DO J=l TO 12; C(J,I)=B(I,J); END;
* END;
* CALL MTRMT@6,12,D,В,F) ;
* CALL MTRMTA2,12,C,F,R);
* R=R*U;
*END PRM04;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MTRB4, MTRD4, MTRMT */

456
ПРИЛОЖЕНИЕ
L=NH(IJ,4);
XL=X(L,1);
YL=X(L,2);
ZL=X(L,3);
/************************ MTRB4 "О*************************/
/* МАТРИЦА СВЯЗИ ВЕКТОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ */
/* ДЛЯ ШЕСТИГРАННОГО ОБ'ЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/****»»****»»********************************¦***********¦/
*MTRB4: PROC(IJ,NH,X,/*RESULT*/V,B);
* DCL IJ,(NH,X)(*,*),(V,B(*,*))FL0ATA6);
* /* V - ОБ'ЕМ ЭЛЕМЕНТА;
* ВF,12) - МАТРИЦА СВЯЗИ ВЕКТОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ И
* ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. */
* DCL I,J.K.L,(XI.XJ.XK,XL,YI,YK,YL,YJ,ZI,ZJ,ZK,ZL,
* AI,AJ,АК,AL,BI,ВJ,ВК,BL,CI,СJ,СК,CL,
* DI,DJ.DK,DL)FLOAT(ie);
* I=NH(IJ,1); J=NH(IJ,2); K=NH(IJ,3);
* yt=X(I 1)* XJ—XCJ 1)' XK=X(K 1)'
* YI=X(l!2); YJ=X(j|2); YK=X(K,'2);
* ZI=X(I,3); ZJ=X(J,3); ZK=X(K,3);
* AI=XJ*(YK*ZL-YL*ZK)+XK*(YL*ZJ-YJ*ZL)+XL*(YJ*ZK-YK*ZJ);
* AJ=XK*(YL*ZI-YI*ZL)+XL*(YI*ZK-YK*ZI)+XI*(YK*ZL-YL*ZK);
* AK=XL*(YI*ZJ-YJ*ZI)+XI*(YJ*ZL-YL*ZJ)+XJ*(YL*ZI-YI*ZL) ;
* AL=XI*(YJ*ZK-YK*ZJ)+XJ*(YK*ZI-YI*ZK)+XK*(YI*ZJ-YJ*ZI>;
* BI=-(YK*ZL-YL*ZK+YL*ZJ-YJ*ZL+YJ*ZK-YK*ZJ);
* BJ=-(YL*ZI-YI*ZL+YI*ZK-YK*ZI+YK*ZL-YL*ZK)
* BK=-(YI*ZJ-YJ*ZI+YJ*ZL-YL*ZJ+YL*ZI-YI*ZL)
* BL=-(YJ*ZK-YK*ZJ+YK*ZI-YI*ZK+YI*ZJ-YJ*ZI);
* CI=-(XJ*(ZL-ZK)+XK*(ZJ-ZL)+XL*(ZK-ZJ))
* CJ=-(XK*(ZI-ZL)+XL*(ZK-ZI)+XI*(ZL-ZK))
* CK=-(XL*(ZJ-ZI)+XI*(ZL-ZJ)+XJ*(ZI-ZL));
* CL=-(XI*(ZK-ZJ)+XJ*(ZI-ZK)+XK*(ZJ-ZI)) ;
* DI=-(XJ*(YK-YL)+XK*(YL-YJ)+XL*(YJ-YK))
* DJ=-(XK*(YL-YI)+XL*(YI-YK)+XI*(YK-YL));
* DK=-(XL*(YI-YJ)+XI*(YJ-YL)+XJ*(YL-YI));
* DL=-(XI*(YJ-YK)+XJ*(YK-YI)+XK*(YI-YJ));
* V=(AI-AJ+AK-AL)/6; B=O;
* B(l,1),BD,2),BF,3)=BI; ВB,2),ВD,1),BE,3)=CI;
* BA,4),BD,5),BF,6)=-BJ;BB,5),BD,4),BE,6)=-CJ;
* B(l,7),BD,8),BF,9)=BK; BB,8),BD,7),BE,9)=CK;
* B(l,10),BD,11),BF,12)=-BL;
* BB,11),BD,10),BE,12)=-CL;
* BC,3),BE,2),BF,1)=DI; BC,6),BE,5),BF,4)=-DJ;
* BC,9),BE,B),BF,7)=DK; ВC,12),ВE,11),ВF,10)=-DL;
* B=B/V/6;
*END MTRB4;
/************************* MTRD4 *************************/
/* МАТРИЦА УПРУГОСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА */
z*^**^^**^^***********************************************/
*MTRD4: PROC(E,V,/*RESULT*/D);
* DCL E,V, D(*,*)FL0ATA6);
* /* E - МОДУЛЬ УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА;
* V - КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА;
* DF,6) - МАТРИЦА УПРУГОСТИ. */
* D=0; D(l,1),DB,2),DC,3)=1;
* DA,2),DA,3),DB,3),DB,1),DC,1),DC,2)=V/A-V);
* DD,4),DE,5),DF,6)=(l-2*V)/(l-V)/2;
* D=D*E*A-V)/A+V)/A-2*V);
*END MTRD4;

ПРИЛОЖЕНИЕ
457
/»*»»»*»*»»»»»*»»»»»***»»» MTRMT **»***»»»**»***»»***»»**»/
/* ПЕРЕМНОЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ */
*MTRMT: PROC(N, P.A.B.C);
* DCL (N, P)FIXEDB),(А,В,С)(*,*)FL0ATA6), I,J;
* /* N - ЧИСЛО СТРОК В МАТРИЦЕ А;
* Р - ЧИСЛО СТОЛБЦОВ S МАТРИЦЕ В;
* A(N,M), В(М;Р) - ПЕРЕМНОЖАЕМЫЕ МАТРИЦЫ;
* C(N,P) - РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ МАТРИЦА. */
* DO 1=1 ТО N;
* DO J=l TO P; C(I,J)=SUM(A(I,*)*B(*,J)); END;
* END;
*END MTRMT;
/Hi************************ PRM06 *************************/
/* МАТРИЦА РЕАКЦИЙ ПЯТИГРАННОГО ОБ'ЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/*********************************************************/
*PRM06:
*
*
*LAB01:
*
*
*
*
*
*
* '
*
*
PROC(IJ,NH,X,GS,/*RESULT*/R);
DCL IJ,(NH.X.GS)(*,*),R(*,*)FL0ATA6);
/* RA8,18) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ.
DCL I,J.K,II,12,13,14,J1,J2,J3,J4,E,V,
(LH.KH)F,5),R1A2,12)FLOATA6), L;
L=l; R=O; E=GS(NH(IJ,7),1); V=GS(NH(IJ,7),2);
IF L=3 THEN GOTO LAB02;
IF L=l THEN DO;
,LHB,1),LHD,3),LHF,3)=1;
*/
LHC1.1)
LHC1
LHA
3),LHD,2),LHE,1),LHF,2)=2;
2),LHC,1),LHD,1),LHF,1)=3;
LHB,2),LHC,2),LHD,4),LHE,4)=4;
LHA,4),LHB,4),LHC,4),LHE,3)=5;
LHB,3),LHC,3),LHE,2),LHF,4)=6;
END;
IF L=2 THEN DO;
LHA,1),LHB,1),LHE,1),LHF,1)=1;
LHC,3),LHD,3),LHE,2),LHF,2)=2;
LHA,3),LHB,3),LHC.1),LHD,1)=3;
LHB,2),LHC,4),LHD,4),LHE,3)=4;
LHA,4),LHB,4),LHD,2),LHF,3)=5;
LHC1.2),LHC,2),LHE,4),LHF,4)=6;
END;
DO 1=1 TO 6;
DO J=l TO 4; KH(I,J)=NH(IJ,LH(I,J)); END;
END;
DO K=l TO 6;
CALL PRMO4(K,KH,X,E,V,R1) ;
IF L=l THEN R1=R1*2;
DO 1=1 TO 4;
I2=LH(K,I)*3-3;
DO J=l TO 4;
J2=LH(K,J)*3-3;
DO 11=1 TO 3;
I3=(I-1)*3+I1; 14=12+11;
DO Jl=l TO 3;
J3=(J-1)*3+J1; J4=J2+J1;
R(I4,J4)=R(I4,J4)+R1(I3,J3);
END;
END;
END;
END;

458
ПРИЛОЖЕНИЕ
* END;
* L=L+i; GOTO LABO1;
*LAB02: R=R/6;
«END PRMOS;
/* ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА PRM04
*/
,2);
LHC,1)=5; LHD,1)=7;
/************************* PRM08 *************************/
/* МАТРИЦА РЕАКЦИЙ ШЕСТИГРАННОГО ОБ'ЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/ш********************************************************/
*PRM08: PROC(IJ,NH,X,GS,/*RESULT*/R);
* DCL IJ,(NH.X.GS)(*,*),R(*,*)FL0ATA6);
* /* RB4,24) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ. */
* DCL I, J.K.H.I2.I3, 14, Jl, J2, J3, J4,E,V,
* (LH.KH) E.5),R1A2,12)FLOATA6), L;
* L=l; R=O; E=GS(NH(IJ,9),1); V=GS(NH(IJ,9)
¦LAB01: IF L=3 THEN GOTO LAB02;
* LH(*,2)=L;
* IF'L=l THEN DO;
* LHA,3),LHB,4),LHD,2),LHE,3)=3;
* LHA;4),LHC,3),LHD,4),LHE,1)=6;
* LHB,3),LHC,4),LHD,3),LHE.4)=8;
LHA,1)=2; LHB,1)=4
END;
IF L=2 THEN DO;
LHA,4),LHB,3),LHD,2),LHE.3)=4;
LHA,3),LHC,4),LHD,3),LHE,4)=5;
* LHB,4),LHC,3),LHD,4),LHE,1)=7;
* LHA,1)=1; LHB,1)=3; LHC,1)=6; LHD,1)=8;
* END;
* DO 1=1 TO 5;
* DO J=l TO 4; KH(I,J)=NH(IJ,LH(I.J)); END;
* END;
* DO K=l TO 5;
* CALL PRMO4(K,KH,X,E,V,R1);
* DO 1=1 TO 4;
* I2=LH(K,I)*3-3;
* DO J=l TO 4;
* J2=LH(K,J)*3-3;
* DO 11=1 TO 3;
* I3=(I-1)*3+I1; 14=12+11;
* DO Jl=l TO 3;
* J3=(J-1)*3+J1; J4=J2+Jl;
* R(I4,J4)=R(I4,J4)+R1(I3,J3);
* END;
* ENO;
* END;
* END;
* END;
* L=L+1; GOTO LABO1;
*LAB02: R=R/2;
*END PRM08;
/* ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА PRM04 */

ПРИЛОЖЕНИЕ
459
/******#***************** SGM04 а"*************************/
/* ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХГРАННОГО */
/* ОБЪЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/******»***»**»*»»*******»¦****»**»**¦*********¦**********/
*SGM04: PROC(IJ,NH,X,GS,DR,/*RESULT*/S);
* DCL (NH.X.GS)(*,*),DR(*,*)FL0ATA6),S(*);
* /* GS(NC,2) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕН-
* ТОВ (NC - ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
* DRCNR.3) - МАССИВ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* SG) - SEKTOP ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯ-
* • НИЯ ЭЛЕМЕНТА (ИСХОДНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ И
* КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ИНТЕНСИВНОСТЬ
* НАПРЯЖЕНИЙ). */
* DCL (W,DF,S),BF,12),EPF),UA2))FL0ATA6),I,J.E.V;
* CALL MTRB4(IJ.NH,X,W,B);
* E=GS(NH(IJ,5),1); V=GS(NH(IJ,5).2);
* CALL MTRD4(E,V,D);
* DO 1=1 TO 4;
* DO J=l TO 3; U((I-1)*3+J)=DR(NH(IJ,I),J); END;
* END;
* DO 1=1 TO 6; EP(I)=SUM(B(I,*)*U); END;
* DO 1=1 TO 6; S(I)=SUM(D(I,*)*EP); END;
* SG)=SQRT(((SA)-SB))**2+(SB)-SC))**2+6*SD)**2
* +(SC)-S(l))**2+6*SE)**2+6*SF)**2)/2) '•
*END SGM04;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ
MTRB4 И MTRD4 */
/************************ SGM16 **************************/
/* ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПЯТИГРАННОГО */
/* ОБЪЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/*************¦*******************************************/
*SGM16: PROC(NS,NH,X,GS,DR,S);
DCL (NH.X.GS.S)(*,*),DR(*,*)FL0ATA6);
/* GS(NC,2) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕН-
ЭЛЕМЕНТОВ (NC - ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
DR(NR,3) - МАССИВ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (NR - ЧИСЛО
УЗЛОВ);
SG) - ВЕКТОР ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯ-
СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТА (ИСХОДНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ И
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ИНТЕНСИВНОСТЬ
НАПРЯЖЕНИЙ).
DCL L,IJ,I,J,(LH.KH)F,5),СG);
* IJ=O; S=O;
*LABOO: L=l; IJ=IJ+1; KH(*,5)=NH(IJ,7);
*LAB01: IF L=3 THEN GOTO LAB02;
* IF L=l THEN DO;
* LH(l.l),LHB,1),LHD,3),LHF,3)=1
* LHA,3),LHD,2),LHE,1),LHF,2)=2
* LHA,2),LHC,1),LHD,1),LHF,1)=3
* LHB,2),LHC,2),LHD,4),LHE,4)=4
* LHA,4),LHB,4),LHC,4),LHE,3)=5
* LHB,3),LHC,3),LHE,2),LHF,4)=6
* END;
* IF L=2 THEN DO;
* LH(l.l),LHB,1),LHE.1),LHF,1)=1
* LHC,3),LHD,3),LHE,2),LHF,2)=2
* LHA,3),LHB,3),LHC,1),LHD, 1)=3
* LHB,2),LHC,4),LHD.4),LHE,3)=4
*/

480
ПРИЛОЖЕНИЕ
* LHA,4),LHB,4),LHD,2),LHF,3)=5;
* LHA,2),LHC,2),LHE,4),LHF,4)=6;
* END;
* DO 1=1 TO 6;
* DO J=l TO 4; KH(I,J)=NH(IJ,LH(I,J)); END;
* END;
* DO K=l TO 6;
* CALL SGM04(K,KH,X,GS,DR,C);
* S(IJ,*)=S(IJ,*)+C;
* IF L=l THEN S(IJ,*)=S(IJ,*)+C;
* END;
* L=L+1; GOTO LAB01;
*LAB02: IF IJ<NS THEN GOTO LABOO;
* S=S/18;
*END SGM16;
/* ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА SGM04
*/
/************************ SGM18 **************************/
/* ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ШЕСТИГРАННОГО */
/* ОБЪЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/г********************************************************/
*SGM18: PROC(NS,NH,X,GS,DR,S);
* DCL (NH,X,GS,S)(*,*),DR(*,*)FLOATA6);
* /* GS(NC,2) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕН-
* ТОВ (NC - ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
* DR(NR,3) - МАССИВ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* • SG) - ВЕКТОР ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯ-
* НИЯ ЭЛЕМЕНТА (ИСХОДНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ И
* КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ИНТЕНСИВНОСТЬ
* НАПРЯЖЕНИЙ). */
L,IJ,I,J,(LH.KH)E,5),СG);
*
*LAB00:
*LAB01:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
DCL
IJ=O; S=0;
L=l; IJ=IJ+1; KH(*,5)=NH(IJ,9);
IF, L=3 THEN GOTO LAB02;
LH(*,2)=L;
IF L=l THEN DO;
LHA,3),LHB,4),LHD,2),LHE,3)=3;
LHA,4),LHC,3),LHD,4),LHE,1)=6;
LHB,3) ,LHC,4) ,LHD,3) ,LH.E,4)=8;
LHA,1)=2; LHB,1)=4;
END;
IF L=2 THEN DO;
LHC1.4),LHB,3),LHD,
LHC,1)=5; LHD,1)=7;
,2)
,LHE,3)-4;
LHA,3),LHC,4),LHD,3),LHE,4)=5;
LHB,4),LHC,3),LHD,4),LHE,1)=7;
LHA,1)=1; LHB,1)=3;
END;
DO 1=1 TO 5;
DO
END;
DO K=l
LHC,1)=6; LHD,1)=8;
J=l TO 4; KH(I,J)=NH(IJ,LH(I,J)); END;
TO 5;
CALL SGM04(K,KH,X,GS,DR,C);
* S(IJ,*)=S(IJ,*)+C;
* END ;
* L=L+1; GOTO LAB01;
*LAB02: IF IJ<NS THEN GOTO LABOO;
* S=S/1O;
*END SGM18;

ПРИЛОЖЕНИЕ 461
/************************ МТ0321 ********************¦****/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ КОЛЬЦЕВОГО ЭЛЕМЕНТА С */
/* ТРЕУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ */
/I********************************************************/
¦МТ0321:PROC(IJ,NH,X,GS,NQL,NL,QS,/*RESULT*/R,Q);
* DCL IJ.NQL,(NH,X,GS,QS)(*,*),NL(*),
* (R,Q)C*,*)FLOAT(ie);
* /* IJ - ПОРЯДКОВЫИНОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* NHCNS.4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОЛЬЦЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* (NS - ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ);
* X(NR,2) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВ CNR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* NQL - ЧИСЛО ВАРИАНТОВ ЗАГРУЖЕНИЙ;
* NL(NQL) - МАССИВ ЧИСЕЛ НАГРУЖЕННЫХ УЗЛОВ ПРИ
* КАЖДОМ ЗАГРУЖЕНИЙ;
* <JS(NLS,0:4) - МАССИВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
* НА КОЛЬЦЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ (NLS - ЧИСЛО
* НАГРУЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ВСЕХ ЗАГРУ-
* ЖЕНИЯХ);
* RF,e) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
* Q(e,N4L) - ВЕКТОРЫ РЕАКЦИЙ. */
* .DCL I,J.L.M,(S,Si,RC,AL,PR,PZ,DT,BD,6),BTF.4),
* DC4.4),F(e,4),QPF),ETD))FLOATA6);
* CALL MRDBS1(IJ,NH,X,GS,RC,D,B,S);
* DO 1=1 TO 4;
* DO J=l TO 6; BT(J,I)=B(I,J); END;
* END;
* R=0; Q=O;
* CALL MTRMT@6,04,BT,D,F);
* CALL MTRMT@6,06,F,B,R);
* Si=2*RC*S*3141592654E-9; R=R*S1;
* ET=1; ETD)=0; AL=GS(NH(IJ,4),4)*lE-7; M=0;
* DO 1=1 TO NQL;
* DO L=l TO NL(I); '
* IF IJ=4S(L+M,0) THEN DO;
* 4(*,I)=0; 4P=0;
* • PZ=4S(L+M, 1) ; PR=(JS(L+M,2) ; " DT=[JS (L+M, 4) ;
* IF DT~=0 THEN DO;
* CALL MVEKT@6,F,ET,4(*,I));
* Q(*,I)=-4(*,I)*S1*AL*DT;
* END;
* IF PR~=0 ! PZ~=0 THEN DO;
* ЧРС1),4PC),4PE)=PZ;
* QPC2),4PD),4PF)=PR;
* [JP=-4P*Sl/3;
* END;
* a(*,I)=4(*,I)+QP:
* END;
* END;
* M=M+NL(I);
* END;
¦END MT0321;
/¦ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MRDBS1, MTRMT, MVEKT*/

И
OITOHh) ИИНЭК/CdJVE VlHVHdVa
b'lrtT aOire/C XRHHSlUdJVH 1ГЭЭИЬ aMOOVW - (lUlOd'lN *
:aojH3W3ire хпньзнои О1гэиь - sn *
:KMH3I/Cdjve d3W0H MRao^tfKdou - ki */ *
:(9T)XVOli((*'*)DS'(*)Na) *
'C*)dlN'(*'*)(SC'SO'X'HN)'SN'NI 430 *
'¦ (DS'Na'SU'dlN'SD'X'HN'SN'NI)OOM<i: TSVSHd*
/
/* kU30J*dU/C HMdO31 ShVtfVE */
/* ^OHhMdJ.3wwno3oo а изинзьзэ WHH4iroj/:3di э aoiH3W3ire */
/* ХНазТ1Ч1Г0Х BlfV КИНКОЮОЭ OJOHHSXKdUVH Hdl3WVdVU */
:(g*(*'i)V)wns=(i)o 'a ox t=i oa *
/* 'doiwsa tjMHioi<dMi4ir/:e3d - (юз *
:doi)i3a M.vnndivw зf^wзvжoнwзdзu - (к)я '(k'n)v *
:v 3TWdivw a wodio oironh - н */ *
:i'C9T)ivoii<(*)сэ'я)'(*'*)v)¦B)aaxid к ioa *
¦' (Э ' Я ' V' Ю OOMd : ХМЗЛИ*
/* d01W3a VH HtlndlVW tJOHqirOJ/COWKdU 3MH3*0HW3d3U */
сшз*
:(л#г-т)/(л+т)/(л-т)*з*а=а *
:(л-т)/л=(г'е)а'(т'е)а'(т'г)а'(е'г)а'(е'т)а'(г'т)а *
'г/(л-т)/(л*г-т) = (*'*)а :т=(е'е)а'(г'г)а-'(т'т)а -о=а *
;(s'(*'ri)HN)so=A :(г'(*'ri)HK)so=3 *
:»э+и/г*>1а+и/ху=(9'е)я *
:ro+H/z*ra+H/rv=(*'e)a *
:io+H/z*ia+H/iv=(s'e)a *
i'(9's)e ¦'ха=Г9'*)а'(з'т)а *
:е'т)а *
Г(т'т)а *
•IH)=H *
:z/((iz-rz)*au-xu) + (»z-iz)* ан-гн))=s *
• ^ ^^ "^ X ^j "™*Л ^^ • x ^j ^~ ^ О^^Л CX ' «L d ^^ A ^^ ^^ x d ^ ¦• ^j **"Л *
¦ ^\^+ ^ ^^ ^^X ^^ • ^L ^[1 ^^ ^J^^X ^1 " ^* ^л ^ "L ^^ ^ ^[1 * ^^ ^j ^^X I*
4 X ?* ^ л?л "¦ X fc^ ¦ Л Q^x O^ X u • X Q™ Л ^ Л Q"x«'^X* ™
:(s'x)x=xa :(s'r)x=ru :(s'i)x=m *
:(T'M)x=xz :ct'r)x=rz :(t'dx=iz *
:(e'ri)HN=>i :(s'ri)HN=r :(fri)HN=i *
: (9t)xvoii(xo'ro'io'xa'ra'ia'MVrv'iv *
'z'xz'rz'iz'XH'rH'ito 'л'з'я'г'i ioa ¦
иекаэ
tiMdivw - (fr'»a *
'Ж1 viH3W3ire ojotn3V8HdivHoovd o/cnWd HHHVado - и */ ¦
:(9t)xvoij(s'h'(*'*)(a'a))'(*'*)(sd'x'hn)'ri юа ¦
'''/'''')sa
/* изинзьзэ wHH4iroj/C3di э viH3W3ire ojosbTisvox ^ntixvsd */
/* nriHdlVW ИИН31Г0ИЫЧа КГУ Vd/CffSTlOdU KVHSimVJOWOUOS */
ЗИНЗЖО1ГИ<Ш

ПРИЛОЖЕНИЕ 463
QS(NLS,O:4) - МАССИВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
НА КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ (NLS - ОБЩЕЕ ЧИСЛО НАГ-
РУЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ВСЕХ ЗАГРУЖЕНИЙ);
DNB*NR) - ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ IN-ГО ЗАГРУЖЕ-
НИЯ (NR - ЧИСЛО УЗЛОВ);
SG(NS,B) - МАССИВ ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯ-
СОСТОЯНИЯ (ИСХОДНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ НАП-
НАПРЯЖЕНИЯ, ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ). */
DCL I,J,L,(RC,S,SX,SY,S1,S2,AL,DT,DD,4),Т(Б),
(B,F)D,e),(ET,A,Al)D).W(e))FL0AT(ie);
L=O; DT=O;
DO 1=1 TO IN-1;
* L=L+NLP(I);
* END;
* DO IJ=1 TO NS;
* ET=i; ETD)=0; AL=GS(NH(IJ,4),4)*1Е-7;
* CALL MRDBS1(IJ,NHPX,GS,RC,D(B,S);
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l,2;
* WB*I-2+J)=DNB*NH(IJ,I)-2+J);
* END;
* END;
* DO I=L+1 TO L+NLPCIN);
* IF IJ=4S(I,O) THEN DT=4S(I,4);
* END;
* CALL MTRMT@4,06,D,B,F);
* CALL MVEKT@4,F,W,A);
* CALL MVEKT(O4,D,ET,A1);
* A1=A1*AL*DT; A=A-A1;
* TA)=AA); TB)=AB); TC)=AC); TD)=AD);
* TE)=S4RT(((AA)-AB))**2+(AB)-AC))**2+
* (AC)-A(l))**2+6*AD)**2)/2);
* SG(IJ,*)=T;
* END;
*END PRSA31;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MRDDS1, MTRMT, MVEKT */
/**************** ****** * **MR002T**************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ТЕПЛОЕМКОСТИ И */
/* ВЕКТОРА "ТЕПЛОВЫХ СИЛ" СТЕРЖНЕВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/*********************************************************/
*MR002T:PR0C(IJ,NH,GS,X,R,C,4);
* DCL (NH.X.GS)(*,*),
* ((R,C)(*.*),4(*))FL0AT(ie);
* DCL ((XI X2)C),S,(B,D)B,2),F,P,LD,TB,
* AP,CV,R0)FL0AT(ie),1,J,K,L,N;
* /* IJ - НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* NH(NS,3) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНСТРУКЦИИ;
* (NS - ЧИСЛО СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ).
* GS(NC,7) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕ-
* МЕНТОВ;(NC - ЧИСЛО ТИПОВ СТЕРЖНЕВЫХ
* ЭЛЕМЕНТОВ).
* ¦ X(NR,3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ;
* (NR - ЧИСЛО УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ).
* RB,2) - МАТРИЦА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СТЕРЖНЕВОГО
* ЭЛЕМЕНТА.
* СB,2) - МАТРИЦА ТЕПЛОЕМКОСТИ СТЕРЖНЕВОГО
* ' „ ЭЛЕМЕНТА.
* ЦB) - ВЕКТОР "ТЕПЛОВЫХ СИЛ" СТЕРЖНЕВОГО

464 ПРИЛОЖЕНИЕ
* ЭЛЕМЕНТА. */
* I=NH(IJ,1); J=NH(IJ,2); K=NH(IJ,3);
* X1=X(I,*); X2=X(J,*);
* S=SC}RT(SUM((X2-X1)**2)) ;
* B(l,l),BB,2),DA,2),DB,1)=1;
* B(l,2),BB,1)=-1; D(l,1),DB,2)=2;
* F=GS(K,3); P=GS(K,6); LD=GS(K,1); TB=GS(K,5);
* AP=GS(K,4); CV=GS(K,2);
* R=F*LD/S*B+AP*P*S/6*D; C=F*S*CV/6*D;
* [J=AP*TB*P*S/2;
¦END MR002T;
/*************************MR003T**************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ТЕПЛОЕМКОСТИ И */
/* ВЕКТОРА "ТЕПЛОВЫХ СИЛ" ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО */
/* ЭЛЕМЕНТА */
/*********************************************************/
*MR003T:PR0C(IJ,NH,GS,X,/*RESULT*/R,C,[J) ;
* DCL IJ,(NH.GS.X)С*,*),((R,C)(*,*).Ц(*))FLOATA6);
* /* IJ - НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* NH(NS,4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНСТРУКЦИИ;
* (NS - ЧИСЛО ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ).
* GS(NC,7) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕ-
* МЕНТОВ;(NC - ЧИСЛО ТИПОВ ТРЕУГОЛЬНЫХ
* ЭЛЕМЕНТОВ).
* X(NR,3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ;
* (NR - ЧИСЛО УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ).
* RC,3) - МАТРИЦА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТРЕУГОЛЬНОГО
* ЭЛЕМЕНТА.
* СC,3) - МАТРИЦА ТЕПЛОЕМКОСТИ ТРЕУГОЛЬНОГО
* ЭЛЕМЕНТА.
* 4C) - ВЕКТОР "ТЕПЛОВЫХ СИЛ" ТРЕУГОЛЬНОГО
* ЭЛЕМЕНТА. */
* DCL ((R1.R2)C,3),ВB,3),S,S1,S2,S3)FLOATA6),I,J.K.M;
* DCL (XI.XJ.XK)C)FL0ATA6);
* ON ZERODIVIDE PUT LIST(IJ,NH(IJ,*));
* XI=X(NH(IJ,1),*); XJ=X(NH(IJ,2),*); XK=X(NH(IJ,3),*);
* S1=SQRT(SUM((XJ-XI)**2)) ;
* S2=S4RT(SUM((XK-XI)**2)) ;
* S3=S4RT(SUM((XK-XJ)**2)) ;
* S3=(Sl**2+S2**2-S3**2)/Sl/2;
* S2=S4RT(S2**2-S3**2);
* B(l,l)=-S2; BA,2)=S2; B(l,3)=0;
* BB,l)=S3-Sl; BB.2)=-S3; BB,3)=S1;
* S=Sl*S2/2; B=B/S/2;
* I=NH(IJ,4); R1,R2=1;
* DO K=l TO 3;
* DO J=l TO 3;
* R(K,J)=SUM(B(*,K)*B(*.J))*S*GS(I,1)*GS(I,3);
* END;
* Rl(K.K),R2(K,K)=2;
* END;
* C=GS(I,2)*R1*GS(I,3)*S/12;
* R1=GS(I,4)*R1*S/12; R2=GS(I,e)*R2*S/12;
* Q=(GS(I,4)*GS(I,6)+GS(I,6)*GS(I,7))*S/3;
* R=R1+R2+R;
*END MR003T;

ПРИЛОЖЕНИЕ 465
/*************************MR004T**************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ТЕПЛОЕМКОСТИ И */
/* ВЕКТОРА "ТЕПЛОВЫХ СИЛ" ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО */
/* ЭЛЕМЕНТА */
/***************************************>
*MR004T:PR0C(IJ,NH,GS,X,/*RESULT*/R,C,«);
* DCL IJ, (NH.GS.X)С*,*), ((R.C) С*,*),Ц(*))FLOATA6);
* /* IJ - НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* NH(NS,4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНСТРУКЦИИ;
* (NS - ЧИСЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ).
* GSCNC.7) - МАССИВ ХАРАКТЕРИСТИК ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫХ
* ЭЛЕМЕНТОВ;(NC - ЧИСЛО ТИПОВ ЧЕТЫРЕХ-
* УГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ).
* X(NR,3) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ;
* (NR - ЧИСЛО УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ).
* RD,4) - МАТРИЦА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬ-
* НОГО ЭЛЕМЕНТА.
* СD,4) - МАТРИЦА ТЕПЛОЕМКОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО
* ЭЛЕМЕНТА.
* 4D) - ВЕКТОР "ТЕПЛОВЫХ СИЛ" ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО
* ЭЛЕМЕНТА. */
* DCL LHD,4) ,LC) , ((RO.CO) C,3) ,QOC))FL0ATA6) ;
* R,C=O; «=O; LH(*.4)=NH(IJ,5) ;
* DO K=l TO 4;
* IF K=l THEN DO J=l TO 3; L(J)=J; END;
* IF K = 2 THEN LC)=4;
* IF K=3 THEN DO; LB)=4; LC)=3; END;
* IF K=4 THEN LQ)=2;
* DO 1=1 TO 3; LH(K,I)=NH(IJ,L(I)); END;
* CALL MR003T(K,LH.GS,X,R0,C0,[J0) ;
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l TO 3;
* R(L(I),L(J))=R(L(I),L(J))+R0(I,J)/2;
* С (LCI),L(J))=C(L(I),L(J))+C0(I,J)/2;
* END;
* 4(L(I))=«(L(I))+Q0(I)/2;
* END;
* END;
¦END MR004T;
*/* ПРИ РАБОТЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА MR003T */
/************************* МТА321 ****+*******************/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОР РЕАКЦИЙ КОЛЬЦЕВОГО ЭЛЕМЕНТА С */
/* ТРЕУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ ДЛЯ ОЧЕРЕДНОГО */
/* ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА */
/*********************************************************/
*МТА321:PROC(IJ,NH,X,GS,NL,QS,NE,EP,SA,DN,R,Q);
* DCL IJ, (NH,X,GS,[JS,SA) (*,*) , (NL.EP) (*) , NE,
* (R(*,*),(DN,Q)(*))FL0ATA6);
* /* IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* NH(NS,4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОЛЬЦЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* (NS - ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ);
* X(NR,2) - МАССИВ КООРДИНАТ УЧЛОВ (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* NQL - ЧИСЛО ВАРИАНТОВ ЗАГРУЖЕНИЙ;
* NL(NQL) - МАССИВ ЧИСЕЛ НАГРУЖЕННЫХ УЗЛОВ ПРИ
* КАЖДОМ ЗАГРУЖЕНИИ;
* QS(NLS,0:4) - МАССИВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
* НА КОЛЬЦЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ (NLS - ЧИСЛО

ПРИЛОЖЕНИЕ
* НАГРУЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ВСЕХ ЗАГРУ-
* ЖЕНИЯХ);
* NE - ЧИСЛО ТОЧЕК, АППРОКСИМИРУЮЩИХ ДИАГРАММУ
* РАСТЯЖЕНИЯ МАТЕРИАЛА;
* EP(NE) - МАССИВ ДЕФОРМАЦИЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ДИ-
* АГРАММЕ РАСТЯЖЕНИЯ;
* SA(NC,O:NE) - МАССИВ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУАССОНА И
* НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ КАЖДОГО ИЗ NC ТИПОВ
* КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ;
* DNB*NR) - МАССИВ КОМПОНЕНТ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;
* R(e,e), 4F) МАТРИЦА И ВЕКТОР РЕАКЦИЙ ДЛЯ
* ОЧЕРЕДНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НЬЮТОНА-
КАНТОРОВИЧА. */
* DCL I,J,L,KO,(S,S1,RC,PR,PZ,BD,6),(BT,F)F,4),
* DD,4),DP,W)(в),(E,SO)D))FLOATA6);
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=l,2;
* WB*I-2+J)=DHB*NH(IJ,I)-2+J) ;
* END;
* END;
* K0=NH(IJ,4); R=O; 4=0;
* CALL MRCBS1(IJ,NH,X,RC,B,S);
* DO 1=1 TO 4;
* DO J=l TO в; BT(J,I)=B(I,J); END;
* E(I)=SUM(B(I,*)*W);
* END;
* CALL MTDA3(K0,NE,EP,SA,E,D,S0);
* CALL MTRMT@6,04,BT,D,F);
* CALL MTRMT@e,06,F,B,R);
* Sl=2*RC*S*3141592654E-9; R=R*S1;
* CALL MVEKT@e,BT,S0,4); Q=d*Sl;
* DO L=l TO SUM(NL);
* IF IJ=aS(L,O) THEN DO;
* 4P=0; PZ=4S(L.l); PR=4S(L,2);
* QPA),QFC),QPE)=PZ;
* ЧРС2),4PD),4PF)=PR;
* 4P=-4P*Sl/3; d=4+C}P;
* END;
* END;
*END MTA321;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЕ ПРОЦЕДУРЫ MRCBS1, MTDA3,
MTRMT, MVEKT */
/it************************ MRCBS1 ************************/
/* ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ */
/* РЕАКЦИЙ КОЛЬЦЕВОГО ЭЛЕМЕНТА С ТРЕУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ */
/* В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ */
/**++**********************************************+*+**++/
*MRCBS1:PROC(IJ,NH,X,/*RESULT*/R,B,S);
* DCL IJ,(NH,X)С*,*),(В(*,*),R,S)FL0ATA6);
* /* R - СРЕДНИЙ РАДИУС РАССМАТРИВАЬМОГО ЭЛЕМЕНТА;
* ВD,6) - МАТРИЦА СВЯЗИ ВЕКТОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ И
* ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;
* S - ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА IJK. */
* DCL I,J,K,(RI,RJ,RK,ZI,ZJ,ZK,Z,
* AI,AJ,AK,BI,BJ,BK,CI,CJ,CK)FL0ATA6);
* I=NH(IJ,1); J=NH(IJ,2); K=NH(IJ,3);
* zi=x(i,i); zj=x(j,i); zk=x(k,i);
* RI=X(I,2); RJ=X(J,2); RK=X(K,2)

ПРИЛОЖЕНИЕ 467
* AI=ZJ*RK-ZK*RJ; BI=RJ-RK; CI=ZK-ZJ;
* AJ=ZK*RI-ZI*RK; BJ=RK-RI; CJ=ZI-ZK;
* / AK=ZI*RJ-ZJ*RI; BK=RI-RJ; CK=ZJ-ZI;
* S=((RJ-RI)*(ZI-ZK)+(RK-RI)*(ZJ-ZI))/2;
* R=(RI+RJ+RK)/3;Z=(ZI+ZJ+ZK)/3; B=0;
* BCl.l),BD,2)=BI; BC2.2),BD,1)=CI;
* B(l,3),BD,4)=BJ; BC2.4),BD,3)=CJ;
* B(l,5),BD,6)=BK; ВB,в),ВD,Б)=СК;
* BC,2)=AI/R+BI*Z/R+CI;
* BC,4)=AJ/R+BJ*Z/R+CJ;
* BC,6)=AK/R+BK*Z/R+CK;
* B=B/S/2;
*END MRCBSl;
/************************* MTDA3 **********¦****¦*********/
/* ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ */
/* РЕАКЦИЙ КОЛЬЦЕВОГО ЭЛЕМЕНТА С ТРЕУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ */
/* В ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ */
/*********************************************************/
¦MTDA3: PROC(KO,NE,EP,SA,E.D,SO);
* DCL KO,NE,EP(*),SA(*,*),C(E,SO)(*),DC*,*))FL0ATA6);
* /* КО - НОМЕР ТИПА ЭЛЕМЕНТА;
* ЕD) - ВЕКТОР ДЕФОРМАЦИЙ IJ-ГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ
* РАССМАТРИВАЕМОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ;
* DD,4) - МАТРИЦА СВЯЗИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
* ДЛЯ ОЧЕРЕДНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ
* НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА;
* S0C4) - ВЕКТОР, КОРРЕКТИРУЮЩИЙ СВОБОДНЫЕ ЧЛЕНЫ
* РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОЧЕ-
* РЕДНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НЬЮТОНА-
* КАНТОРОВИЧА. */
* DCL I,(EC,EK,K,EI,SI,SD),Е5,S5,DS,А1,А2,A3,А4,
* CD,4))FL0ATA6);
* K=SA(K0,l)/EP(l)/3/(l-2*SA(K0,0));
* EI=S«RT(((EA)-EB))**2+(EB)-EC))**2+
* (ЕC)-ЕA))**2+3*ЕD)**2/2)*2)/3;
* CALL SGEPS(NE,EP,SA(KO,*),EI,SI,EK.EC);
* E5=(E(l)+EB)+EC))/3;
* IF Е1>1Е-в THEN DS=A/EK-1/EC)/SI/SI;
* ELSE DS=O;
* Al=2*EC/3; A2=3*K*E5;
* DO 1=1,2,3; S(I)=A1*(E(I)-E5)+A2; END;
* SD)=EC*ED)/3; S5= (S A)+S B)+S C) )/2;
* A3=l/9/K+l/EC; Ai=l/9/K-l/2/EC;
DO 1=1 TO 3;
C(I,I)=A3+DS*A.5*S(I)-S5)**2;
С (I,4) ,CD,I)=DS*3*SD)*A.5*S(I)-S5);
IF I~=l THEN DO; CA,I),C(I,1)=
A4+DS*A.5*SA)-S5)*A.5*S(I)-S5);
END;
END;
CD,4)=3/EC+DS*9*SD)**2; 1=4;
СB,3),CC,2)=A4+DS*A.5*SB)-S5)*A.5*SC)-S5);
CALL REVERCI.C.D);
DO 1=1 TO 4;
SO(I)=S<I)-SUM(D(I,*)*E);
END;
*END MTDA3;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ SGEPS И REVER */

<шз ¦'(i)v=(iTi)ds :*¦ ox t=i oa *
:os+v=v *
: (Уз'а'*о)хязлк iivo *
Cos'a'оз'vs'da'3N'оя)evaxw iivo *
« : (оз'ол'е'ю).1изли nvo *
- *
:сг+г-ciTi)HN*e)oNa=cr+B-i*s)OM *
:(г+e-ciTi)HN*s)Na=(r+s-i*s)M *
• z' т=г oa. *
:s 01 1=1 oa *
: (s'B'oa'x'HN'ri)tsbomh ^^vэ *
:sn oi i=ri oa *
:(9T)lV01iC(9)(M'OM)'(*)(V'OS'3'03) *
'(t't)a'(9'*)a's'oa)'оя'г'1'ri ^эa *
/* ' (иинэжвсШун чюонаиэнз1ни 'винзжви *
-LJVH 31ЯНЯ1Г31УЭ?» И 3l4H4irVHdOH ЗПНУОХОИ) КИНВ *
-01000 0J0HH3)KKdUVH gOdl3WVdVU диООУН - (g'SN)DS *
:VhM90d01HV)l *
-vhoioi4h ^!Toi3W ou кинэжшгд^и ojowsvandivwo *
-ovd вirу MHH3lH3W3d3u xRaoire^ doiwsa - (aN*e)Na *
: (aoire^ oironh - hn) vhMaodoiHV}) *
-vhoioi4h xVoiaw ou винэ)ки1Г9^и ojslnoixaiosm *
-ITsdu Birff nMH3№3H3d3U xnaoire/: doiHsa - (hn*s)onci */ *
:C9T)ivoij((*'*)ds'(*)(Na'ONa)) *
'(*)(diN'ds)'(*'*)(vs'sO'x'hn)'sn'sn ^эa *
:(OS'Nd'ONO'VS'd3'3N'SU'dlN'X'HN'SN)DQHd:TSVSSd*
/***********************************************¦*********/
/* mooHhHioviru MHdosi 3hvyve */
/* 0OHhMdl3IAIIAIH'KOO Э ИЭИНЗЬЭО 1Ч1ЯНЯ1Г0J*3dl О аО1НЭНЭ1Ге */
/* XHB3J14IJ"OH BITff BMHBOJ')OO OJOHHSlKBdUVH Rdl3HVdVU */
/*************»..******** H.'VSSd *************************/
сшз*
:aN3 *
:(i'i)v/a=(*'i)8 *
(*T)B*(r'i)v-a=a 'н ox i+i=r oa *
:(*'i)x=d *
:i- ab i ox n=i oa *
:aN3 *
:aN3 *
: (*'юх*э-(*'1)х=(*'1)х *
:aN3 *
-(г"i)v=(r'i)v *
:n ox я=г oa *
:n ox т+я=1 oa *
in ox т=я oa *
:aN3 :t=(i'i)x :n ox t=i oa *
:o=x *
:(9I)XV01i((N'N)X'(N)d'D)'Я'Г'I ЧЭО *
/* ¦vTiHdivw BVHivdgo - (n'n)h *
IVtlMdlVH BVHfOXOM - (N'N)V *
:v RtikidivH xoVBdou - и */ *
'¦ (9T)XV01i(*'*) (H'V) IDQ *
'¦ (a'v'fOooiid :азлза*
/*********************************¦*¦¦¦***¦¦¦¦¦*¦*********/
/* HtlMdlVH HOHlVdVvaW 3HH3№Vd90 */
/************************* ИЗЛЗН ********¦****************/

ПРИЛОЖЕНИЕ 469
* SGCIJ 5>-=!(;ЧГ •((ACl)-Av2))**2+(AB)-AC))**a
* *(АC)-АA))**2+6*АD)**2)/2);
* END;
*END P3SA31;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MRCBS1, MTRMT,
MVEKT. */
/************************ MTRP2 **************************/
/* МАТРИЦА И ВЕКТОР РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ */
/* ОЧЕРЕДНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА */
/*********************************************************/
*MTRP2: PROC(IJ,NH,X,Н,NE,ЕР,SG,DR,/*RESULT*/R,Q);
* DCL IJ, (NH.X.SG) (*,*) , (Н,ЕР) (*) ,NE,IN,
* ((R,DR) (*.*) ,C}(*))FL0ATA6) ;
* /* IJ - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР ЭЛЕМЕНТА;
* Nh(NS,4) - МАССИВ ТОПОЛОГИИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
* (NS - ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ);
* X(NR,2) - МАССИВ КООРДИНАТ УЗЛОВ (NR - ЧИСЛО
* УЗЛОВ);
* H(NC) - МАССИВ ТОЛЩИН ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ КАЖДОГО
* ТИПА (NC - ЧИСЛО ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ);
* NE - ЧИСЛО ТОЧЕК, АППРОКСИМИРУЮЩИХ ДИАГРАМ-
* МУ РАСТЯЖЕНИЯ МАТЕРИАЛА;
* EP(NE) - МАССИВ ДЕФОРМАЦИЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ДИ-
* АГРАММЕ РАСТЯЖЕНИЯ МАТЕРИАЛА;
* SG(NC,O:NE) - МАССИВ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУАССОНА И НА-
* ПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ КАЖДОГО ТИПА ЭЛЕМЕНТОВ;
* DRCNR.2) - МАССИВ КОМПОНЕНТ УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;
* .- RF,6) - МАТРИЦА РЕАКЦИЙ;
* - ЦF) - ВЕКТОР РЕАКЦИЙ. */
* , DCL (DC,3) , (B,F) C,6) ,UF) , (CJS.E) C) ,S)FL0ATA6) ,
* (I,J,K,P)FIXED BIN;
* DO 1=1,2,3;
* DO J=l,2; U((I-1)*2+J)=DR(NH(IJ,I),J); END;
* END;
* P=NH(IJ,4);
* CALL MTRBB(IJ,NH,X,B,S) ;
* DO 1=1,2,3; E(I)=SUM(B(I,*)*U); END;
* CALL MTRD2(P,NE,EP,SG,EA) ,EB) ,EC) ,D,[JS) ;
* DO 1=1 TO 3;
DO J=l TO 6; F(I,J)=SUM(D(I,*)*B(*.J)); END;
END;
DO 1=1 TO 6;
* CJ(I)=SUM(B(*,I)*(JS)*S*H(P) ;
* DO J=l TO 6;
* R(I,J)=SUM(B(*,I)*F(*,J))*S*H(P);
* END;
* END;
*END MTRP2;
/* ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MTRBB И MTRD2 */
/************************* MTRBB *********.****************/
/* ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ */
/* РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ */
/* ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ */
/*********************************************************/
¦MTRBB: PROC(IJ,NH,X,/*RESULT*/B,S);
* DCL IJ,(NH.X)(*,*),(ВС*,*),S)FLCATA6);

470
ПРИЛОЖЕНИЕ
DCL (Y12,Y23,Y31.X21,X32,X13,
(X1,X2,X3)B))FL0ATA6);
/* ВC,в) - МАТРИЦА СВЯЗИ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ;
S - ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА IJK
X1=X(NH(IJ,1),*); X2=X(NH(IJ,2),*); X3=X(NH(IJ,3)
Y12=X1B)-X2B); Y23=X2B)-X3B); Y31=X3B)-XIB)
X21=X2A)-X1A); X32=X3A)-X2A); X13=X1A)-X3A)
S=(Xl(l)*Y23+X2(l)*Y31+X3(l)*Y12)/2;
ВA,1).BC,2)=Y23; BB,2).BC,1)-X32;
ВA,3),BC,4)=Y31; ВB,4),BC,3)=X13;
ВA,Б),BC,6)=Y12; BB,6),BC,5)=X21;
ВA,2),BA,4),BA,6),BB,1),BB,3),BB,5)=O;
B=B/2/S;
*/
*);
*END MTRBB;
/************************* MTRD2 *************¦***********/
/* ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ */
/* РЕАКЦИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ */
/* ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ */
/*********************************************************/
*MTRD2: PR0C(P,NE,EP,SG,El,E2,G,/*RESULT*/D,S0);
* DCL (P.NE)FIXED BIN, EP(*),SG(*,*),
* (E1,E2,G,D(*,*),S0(*))FL0ATA6);
* /* E1.E2.G - КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА ДЕФОРМАЦИЙ IJ-ГО
* ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ РАССМАТРИВАЕМОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ;
* DC,3) - МАТРИЦА СВЯЗИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
* ДЛЯ ОЧЕРЕДНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НЬЮ-
* ТОНА-КАНТОРОВИЧА;
* S0C) - ВЕКТОР, КОРРЕКТРУЮЩИЙ СВОБОДНЫЙ ЧЛЕН
* РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОЧЕРЕД-
* НОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НЬЮТОНА-КАНТО-
* РОВИЧА */
* DCL (E,V,EC,K,E3.EI,SI,S1,S2,EK,ES,T,SX,SY,DS,CD,
* (А,С)C,3))FL0ATA6) , I,J;
* E=SG(P,O/EPU); V=SG(P,O);
* EC=3*E/(l+V)/2; K=(l-2*V)/E/3;
¦START: E3=-(E1+E2)*A-2*EC*K)/A+4*K*EC);
* EI=S4RT(((El-E2)**2+(E2-E3)**2+(E3-El)**2+3*G*G/2)*2)/3;
* CALL SGEPS(NE,EP,SG(P,*).EI,SI,EK,ES);
* IF ABS((ES-EC)/EC)>lE-6 THEN
* DO; EC=ES; GOTO START; END;
* Sl=2*ES*(El-E3)/3;
* S2=2*ES*(E2-E3)/3; T=ES*G/3;
* IF EI>lE-6 THEN DS=A/EK-1/ES)/SI**2; ELSE DS=O;
* SX=Sl-S2/2; SY=S2-Sl/2;
* CA,1)=K+1/ES+SX**2*DS;
* CB,2)=K+1/ES+SY*#2*DS;
* СA,2),CB,l)=K-2/ES/4+SX*SY*DS;
* CC1.3),CC,1)=3*T*SX*DS;
* CB,3),CC,2)=3*T*SY*DS;
* CC,3)=3/ES+9*T*T*DS;
* CALL PROC1(C,CD);
* DO 1=1 TO 3;
* DO J=I TO 3;
* A=C; A(I.O,A(*,J>=0; A(I,J) = 1;
* CALL PROC1(A,D(I,J));
* D(I,J)=D(I,J)/CD; D(J,I)=D(I,J);
* END;
* END;

ПРИЛОЖЕНИЕ
471
* SOA)=S1-DA,1)*E1-DA,2)*E2-DA,3)*G;
* S0B)=S2-DB,1)*E1-DB,2)*E2-DB,3)*G;
* S0C)=T-DC,l)*El-DC,2)*E2-DC.3)*G;
¦PROC1: PROC(A.B); DCL (A(*,¦).B)FLOAT(ie);
* B=AA,1)*AB,2)*AC,3)+AA.2)*AB,3)*AC.1)+
* AC,2)*AB,1)*AA,3)-AC,1)*AB,2)*AA,3)-
* AA,2)*AB,1)*AC,3)-AA-,1)*AC,2)*AB.3);
¦END PRDC1;
¦END MTRD2;
/************************ SGEP2 Hi*************************/
/* ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНОГО ¦/
/* КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ */
/* ПЛАСТИЧНОСТИ */
/t********************************************************/
¦SGEP2: PROC(NS,NH.X,NE,EP.SG,DR,/*RESULT*/SS);
¦ DCL NS.NE,(NH.X.SG)(*,*),ЕР(*),
¦ (DR.SS)(*.*)FL0ATA6);
¦ /* NS - ЧИСЛО ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ;
¦ SS(NS,4) - ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
¦ (ИСХОДНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕ-
¦ ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ). */
¦ DCL (DC,3),BC,6),UF),(E.QS)C),S)FLDATA6),
¦ (I,J,IJ,P,IN)FIXED BIN;
¦ IJ=l;
¦START: DO 1=1,2,3;
¦ DO J=l,
¦ END;
¦ P=NH(IJ,4);
¦ CALL MTRBB(IJ,NH,X,B,S);
¦ DO 1=1,2,3; E(I)=SUM(B(I,*)*U); END;
¦ CALL MTRD2(P,NE,EP,SG,EA),EB),EC),D,QS);
¦ DO 1=1 TO 3;
¦ SS(IJ,I)=SUM(D(I.*)*E)+QS(I);
¦ END;
¦ SS(IJ,4)=SQRT(SS(IJ,l)+*2-SS(IJ,1)*SS(IJ,2)
¦ +SS(IJ,2)**2+3*SS(IJ,3)**2);
¦ IJ=IJ+1;
¦ IF IJ<NS+1 THEN GOTO START;
¦END SGEP2;
/¦ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ MTRBB И MTRD2 ¦/
U((I-1)*2+J)=DR(NH(IJ,I),J); END;

472
ПРИЛОЖЕНИЕ
/************************* PRCNB ¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦**¦¦¦******>«**/
/¦ ВВОД МАССИВА NB. */
у/*********************************************************/
*PRCNB: PRDC(N,N1,NA,NB,LAB);
* DCL NB(*,*), LAB LABEL;
* DCL С CHAR(BO), D CHAR(l), I,J,K,L,IJ, F CHARE),
* ND(O:N), IB,IE,ID,KN,K1,K2;
* L=0; F=" NA =p;
* IF N*N1=6 THEN J=l; ELSE J=0;
*LAB01: GET EDIT (C) (A (80)) ;
* GET STRING(C)EDIT(D,IJ,ND,IB,IE,ID,KN)
* (A(l) , B+N-J)FD),XB4-4*N), C+J)FD),
* IF D='f THEN GOTO LAB02;
* IF KN=00 THEN DO; L=L+l; NB(L,*)=ND; END;
* DO K=l TO KN;
* K1=K*ID; K2=(K-1)*(IE-IB+1)+IJ-IB;
* DO I=IB TO IE;
* NB(K2+I,*)=NB(I,*); L=L+1;
* NB(K2+I,0)=NB(I,0)+Kl;
* END;
* END;
* GOTO LAB01;
*LAB02: IF L~=NA THEN DO;
* PUT SKIP EDIT(F.L) (AE) ,FD)) ; GOTO LAB;
* END;
¦END PRCNB;
/************************* PRCXX ¦**¦**¦¦¦*¦¦¦¦¦¦****¦¦¦¦*/
/¦
ВВОД МАССИВА XX.
*/
«*************/
¦PRCXX: PROC(N,NR,XX,LAB);
* DCL XX(*,*), LAB LABEL;
* DCL С CHAR(BO), D CHAR(l), I,J,K,L,IJ. F CHARE),
* (XI,DX)(N),IKC),K1,K2,NK,IB,IE,ID;
* L=0; F=' NR =";
¦LAB01: GET EDIT (C) (A (80)) ;
* GET STRING(C)EDIT(D,IJ,XI,IK,DX)
(AA),FD), CN)FF),XA8-6*N), C)F D) , (N)F E) ) ;
IF D='*' THEN GOTO LAB02;
KN=IKC); IB=IKA);
IE=IKB); ID=O;
IF KN=O0 THEN DO; L=L+1; XX(L,*)=XI; END;
* DO K=l TO KN;
* K1=K*ID; K2=(K-1)*(IE-IB+1)+IJ-IB;
* DO I=IB TO IE;
* XX(K2+I,*)=XX(I,*)+K*DX;
* L=L+1;
* END;
* END;
* GOTO LAB01;
¦LAB02: IF L~=NR THEN DD;
* PUT SKIP EDIT(F.L)(AE),FD)); GOTO LAB;
* END;
¦END PRCXX;

ПРИЛОЖЕНИЕ
473
/************************* PRCWQ *****¦**¦¦¦**¦¦¦*¦¦*¦¦¦¦¦/
/¦ ВВОД МАССИВА WQ. ¦/
/г********************************************************/
¦PRCWQ: PRDC(N,NW,WQ.LAB);
* DCL WQ(*,*), LAB LABEL;
* DCL С CHARC80), D CHAR(l), I,J,K,L,IJ. F CHARE),
* WD(O:N), IB,IE,ID,KN,K1,K2,M;
* L=O; F=p NW =' ;
¦LAB01: GET EDIT(C)CA(80));
* GET STRING(C)EDITCD,IJ,WD,IB,IE,ID.KN)
* (A(l), B)FD), (N)F(8),XB4-8*N), C)F D) , F E) ) ;
* IF D="*'THEN GOTO LAB02;
* IF KN=O THEN DO;
* L=L+1; WQ(L.*)=WD;
* END;
* DO K=l TO KN;
* K1=K*ID; K2=(K-1)*(IE-IB+1)+IJ-IB;
* DO I=IB TO IE;
* WQ(K2+I,*)=WQ(I,*); L=L+1;
* WQ(K2+I,0)=WQ(I,0)+Kl;
* END ;
* END;
* GOTO LABO1;
*LAB02: IF L~=NW THEN DO;
* PUT SKIP EDITCF.L) (AE) ,F D)) ; GOTO LAB;
* END;
¦END PRCWQ;
/¦*¦¦¦¦*¦¦¦¦**¦¦¦*¦¦¦*.**¦¦ PRCNH ¦*¦¦*¦**¦¦**¦¦**¦*¦**¦¦**/
/¦ ВВОД МАССИВА NH. */
/¦*¦*¦¦¦¦¦¦¦**¦¦¦*¦*¦***¦¦¦*¦¦****¦¦***¦¦********¦¦***¦¦¦¦/
¦PRCNH: PROC(N.N1,NS,NH.LAB);
* DCL NH(*,*), LAB LABEL;
* DCL С CHARC80), D CHAR(l), I,J,K,L,IJ, F CHARE),
* NDA:N). IB.IE,ID.KN,K1,K2,M;
* L=O; F=' NS =•;
* IF N1=5 THEN J=25; ELSE J=36;
¦LABOl: GET EDIT(C)(A(B0));
* GET STRING(C)EDIT(D,IJ,ND,IB,IE,ID,KN)
* (A(l),FD).(N-l)F(Nl),X(J-N1*N),E)F(N1));
* IF D='A> THEN GOTO LABO2;
* IF KN=O THEN DO;
* L=L+1; NH(L,*)=ND;
* END;
* DO K=l TO KN;
* K1=K*ID; K2=(K-n*(IE-IB+l) + IJ-IE;
* DO I=IB TD IE;
* NH(K2+I,*)=NH(I,*)+K1; L=L+1;
* NH(K2 + I,N)=NH(I,N) ;
* END;
* END;
* GOTO LABOl;
¦LAB02: IF L~=NS THEN DO;
* PUT SKIP EDITCF.L)(AE),FD)); GOTO LAB;
* END;
¦END PRCNH;

474
ПРИЛОЖЕНИЕ
/************************* PRCOO **¦¦¦***¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦***¦/
/* ОБНАРУЖЕНИЕ ПРИЗНАКА КОНЦА МАССИВА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. ¦/
¦ PRCOO:
*
*
¦
¦
*END PRCOO;
PROC(CLAB);
DCL С CHAR(BO),LAB LABEL,D CHAR(l);
GET/ EDIT (C) (A(80));
GET; STRING(C)EDIT(D)(A(l));
IF D='*' THEN GOTO LAB;
F CHARE).
/********:«**************** PRCQQ *¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦******¦¦¦*¦/
/* ВВОД МАССИВОВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК. */
/б********************************************************/
¦PRCQQ: PROC(NLS,QS,N.LAB);
¦ DCL QSC*,*), LAB LABEL;
¦ DCL С CHAR(80), D CHAR(l), I,J,K,L.IJ,
¦ QC(O:N), IB,IE,ID,KN,K1,K2,M;
¦ L=0; F='NLS =";
¦ M=N; KK=25-5*M;
¦LAB01: CALL PRCOO(C,LABO2);
¦ GET STRINGCC)EDIT(IJ,QC,IB,IE,ID,KN)
¦ (X(l), B)FD), (M-1)FE),X(KK),FE),
¦ IF KN=OO THEN DO; L=L+1; QS(L,*)=CJC; END;
¦ DO K=l TO KN;
¦ K1=K*ID; K2=(K-l)*(IE-IBtl)+IJ-IB;
¦ DD I=IB TO IE;
¦ QS(K2+I,*)=QS(I,*); L=L+1;
¦ QS(K2+I,0)=QS(I,0)+Kl;
¦ END;
¦ END;
¦ GOTO LAB01;
¦LAB02: IF L~=NLS THEN DO;
¦ PUT SKIP EDIT(F,L)(AE),FD)); GOTO LAB;
¦ END;
¦END PRCQQ;
/************************* MPRI5 ¦¦¦¦**¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦*¦¦¦***/
/* ОБ'ЕДИНЕНИЕ ВВОДА МАССИВОВ NB.XX,WQ.NH,GS,NLY И NLP. */
/*********************************************************/
*MPRI5: PROC(N1,N2,NR,NA,NW,NC,NS,NQL,NL,NL1,NB,XX,NH,GS,
* WQ.LAB);
* DCL (NB,XX,NH.GS.WQ)(*,*), (NL.NL1) (¦);
* DCL С CHAR(80), D CHAR(l), LAB LABEL;
* L=l; K=23;
¦LAB01: GET EDIT(D)(A(l));
* IF D="*' THEN DO;
* GET EDIT((D DO J=l TO 79))(A(D);
* GOTO LAB02;
* END ;
* GOTO LAB01;
¦LAB02: IF NA=O THEN GOTO LAB31;
* CALL PRCNB(N1,N2,NA,NB,LAB);
¦LAB31: CALL PRCXX(N2,NR.XX.LAB);
* IF NW=O THEN GOTO LAB21;
* CALL PRCWQ(N2,NW,WQ,LAB);
¦LAB21: L=5; N1=4;
* CALL PRCNH(NI,L,NS,NH,LAB);
* L=l;

ПРИЛОЖЕНИЕ
476
¦LABO3:
*
*
*
*
¦LAB04:
¦LAB05:
*
*LAB06:
*
*
*
¦LAB07:
¦LAB08:
¦LAB09:
*
*
*
*
¦LAB10:
*LAB11:
CALL PRC00(C,LAB06);
DO 1=0, l;
GET STRING(C)EDIT(GS(L,*))
(XB6*I+l).F(e),F(8),B)FF));
IF L=NC THEN GOTO LAB04; L=L+1;
END;
GOTO LAB03;
L=l;
GSC*,4)=GS(*,4)/1E7;
CALL PRCOO(C,LABOB);
DO 1=0 TO 9;
GET STRING(C)EDIT(NL(L))(XF*I + 1),FD)) ;
IF L=NQL THEN GOTO LABO7;L=L+1;
END;
GOTO LAB06;
L=l;
CALL PRCOO(C,LAB11);
DO 1=0 TO 9;
GET STRING(C)EDIT(NL1(L))(XE*I+1),FD))
IF L=NQL THEN GOTO LAB10;
L=L+1;
END;
GOTO LAB09;
*END MPRI5;
*LAB15:
PRDC(NLS,NLY,NLP,NG,QR,QS,QD,LAB);
DCL (QR.QS.QD)(*,*).(NLY.NLP.NG)(¦), LAB LABEL;
DCL С CHARC80), D CHAR(l), F CHARC5),
QCD),1.J.K,L,IJ.IB,IE,ID,KN, NLS;
IF SUM(NLY)=0 THEN GOTO LAB12; L=l;
CALL PRCOO(C,LAB12);
GET STRING(C)EDIT(QR(L,*)) (X(l) ,FD) , B)F(8)) ;
L=L+1; GOTO LAB10;
IF SUM(NLP)=O THEN GOTO LAB13; L=4;
CALL PRCQQ(NLS,QS,L,LAB);
IF SUM(NG)=O THEN GOTO LAB16;
L=0; F='NLG =';
CALL PRCOO(C,LAB15);
GET STRING(C)EDIT(IJ,QC,IB,IE,ID,KN)
CXC1) , C)FD) , B)FA0) ,XA) , D)FD)) ;
IF KN=O THEN DO; L=L+1;QD(L,*)=QC; END;
DO K=l TO KN;
K1=K*ID; K2=(K-1)*(IE-IB+1)+IJ-IB;
DO I=IB TO IE;
QD(K2+I.*)=QD(I,*); L=L+1;
QDCK2+I,1)=QD(I,1)+K1;
QD(K2+I,2)=QD(I,2)+K1;
END;
END;
GOTO LAB14;
IF L~=SUM(NG) THEN DO;
PUT SKIP EDIT(F.L)(AE),FD>); GOTO LAB;
END;
*LAB16:
*END MPRI7;

476 ПРИЛОЖЕНИЕ
/************************ PRA151 ¦¦¦¦¦***¦¦¦¦***¦¦¦*¦¦¦¦¦*/
/* ФОРМИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА ¦/
/* ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ¦/
/г********************************************************/
¦PRA151: PROCCNR.NA.NS.NW.NQL.X.NB.NH.WQ.GS,
* NLY,NLP,NG,QD,QR,QS,M,A,C);
* DCL NR.NA.NS.NW.NQL.M, (X,NB,NH,GS,QR,QS) (*,*),
* (NLY.NLP) (¦),WQ(*,*), (A,C)(*,*)FLOATA6);
* DCL NG(*),QD(*,*),(PI,HZ,HR)FL0ATA6);
* DCL I,J,K,L,I1,Jl,IJ.IR.IA,JR,JA,
* TC) FIXED BIN, (RF,6) , (jF , NQL) )FL0ATA6) ;
* A=O; C=0; K=O;
* DO 1=1 TO NQL;
* DO L=l TO NLY(I);
* J=QR(L+K,O); CB*J-1,I)=QR(L+K,1);
* CB*J,I)=QR(L+K,2);
* END;
* K=K+NLY(I);
* END;
* K=O; PI=3141592654E-9;
* DO 1=1 TO NQL;
* DO L=l TO NG(I);
* I1=QD(L+K,1); J1=QD(L+K,2);
* HZ=ABS(X(J1,1)-X(I1,1));
* HR=ABS(X(J1,2)-X(I1,2));
* CB*J1-1.I)=CB*J1-1,I)+
* ' PI*QD(L+K,3)*HR*(X(Il,2)+2*HR/3);
* CB*I1-1,I)=CB*I1-1,I)+
* PI*QD(L+K,3)*HR*(X(Il,2)+HR/3);
* CB*J1,I)=CB*J1,I)+
* PI*QD(L+K,4)*HZ*(X(Il,2)+2*HR/3);
* CB*I1,I)=CB*I1.I)+
* PI*(JD(L+K,4)*HZ*(X(I1 ,2)+HR/3) ;
* END;
* K=K+NG(I);
* END;
* DO IJ=1 TO NS;
* CALL MT0321(IJ,NH,X,GS,NQL,NLP,QS,R,Q);
* DO 1=1 TO 3;
* T(I)=NH(IJ,I)*2-2;
* END;
* DO 1=1 TO 3;
* DO K=l,2;
* C(T(I)+K,*)=C(T(I)+K,*)-QB*I-2+K,*);
* END;
* DO J=l TO 3;.
* DO 11=1,2;
* IR=2*I-2+Il; IA=T(I)+I1;
* DO Jl=l,2;
* JR=2*J-2+Jl;JA=T(J)+J1+M+1-IA;
* IF JA<M+2 THEN
* A(IA,JA)=A(IA,JA)+R(IR,JR);
* END;
*
*
*
*
*
*
END
DO
END;
END;
END;
;
1=1 TO NW;
J=WQ(I,O); K=2*J-2;
DO Jl=l,2;

ПРИЛОЖБИИБ 477
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦ END
END
DO
END
PRA151
A(K+J1,M+1)=A(K+J1,M+1)+WQ(I,Jl);
END;
;
1=1 TO NA;
IJ=NB(I,0)*2-2;
DO J=l,2;
IF NB(I,J)=1 THEN DO; J1=O;
A(IJ+J,*)=O; A(IJ+J,M+l) = l; C(U+J,*)=o;
L=IJ+J+M; IF L>2*NR THEN L=2*NR;
DO K=IJ+J+1 TO L;
A(K,M-J1)=O; J1=J1+1;
END;
END;
END;
;
•
/*¦¦*****¦¦****¦¦***¦*¦¦* PRORR1 ¦¦¦¦¦¦***¦**¦¦¦*¦**¦**¦¦¦/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В УПРУГИХ И ЖЕСТКИХ ОПОРАХ ¦/
/¦ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ */
/********¦¦*****¦**¦**¦¦¦****¦¦¦•*¦¦**¦¦¦*¦*¦***¦¦*¦***¦¦*/
¦ PRORR1: PROC (NA, NW, NS, NQL,NB,WQ,NH,X,GS, NLP , CJS , DR, RR) ;
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
DCL NA.NW.NS.NQL, (NB, WQ, NH ,X, GS , IJS) (*,*),
NLP(*) ,
DCL I.J.K,IJ.I1
(RF,6) ,QF
RR=O;
DO K=l TO NA;
DO IJ=1 TO
DO 1 = 1
IF
END
END;
END;
END;
DO K=l TO NW;
DO IJ=1 TO
DO 1=1
IF
(DR.RR)(*,*)FLOATA6);
,Jl.I2.K2,
,NQL),WF),R1.R2)FLOATA6) ;
NS;
TO 3;
NH(IJ,I)=NB(K,O) THEN DO;
K2=2*K-1; 12=2*1-1; RE(K2,0)=NB(K.0);
CALL MT0321(IJ,NH,X.GS.NQL.NLP,CJS,R,Q) ;
DO J=l TO NQL;
DO 11=1 TO 3;
DO Jl=l,2;
W(Il*2-2+Jl)=
DR(NH(IJ,Il)*2-2+Jl,J);
END;
END;
R1=SUM(R(I2,*)*W);
R2=SUM(R(I2+1,*)*W);
RR(K2. J)=RR(K2, J)+R1-'Q(I2, J) ;
RR(K2 + 1,J)=RR(K2+1,J)+R2 + Q A2 + 1,J);
END;
;
NS;
TO 3;
NH(IJ,I)=WQ(K,O) THEN DO;
K2=2*(NA+K)-1; 12=2*1-1;
RR(K2,0)=WQ(K,0);
DO J=l TO NQL;
RR(K2,J)=-DRB*WQ(K,0)-l.J)
*WQ(K,1);
RR(K2+1,J)=-DRB*WQ(K,0),J)

478 ПРИЛОЖЕНИЕ
*WQ(K,2) ;
END;
END;
END;
END;
END;
¦END PR0RR1;
/************************ TITLA ¦¦*****¦¦*¦******¦¦¦¦¦¦¦**/
/* ПЕЧАТЬ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА ПРИЛОЖЕНИЯ КОМПЛЕКТА */
/¦ ДОКУМЕНТАЦИИ ПО РАСЧЕТУ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ¦/
/*********************************************************/
¦TITLA: PROC(MM,NP,AA,NR,NA,NW.NQL,NS,NC,M);
* DCL MM,NP,NR,NA,NW,NQL,
* АА CHAR(*),NS,NC,M;
* DCL AC73)CHAR(B2),Z CHARF),W CHAR(8),
* (B,C,D,P,U)CHARC0)VAR;
* IF MM=0 THEN DO; U=": '! ! A5) ' ';B=': ¦; END;
* ' ELSE DO; U=":'!!AO)* ';B=E)" ¦!!':'; END;
* A=':'!!(80)- ¦!!':'; A(l),AG3)=(82)¦-¦;
* Z=DATE; D=' ЭЛЕМЕНТОВ'; C=U!!"ЧИСЛО'; P=' -';
* PUT STRING(A(8))EDIT(U!!D7)' "!!'ПРИЛОЖЕНИЕ',
* NP,E)' ' ! !B) (A,FC) ,A) ;
* AA9)=U!!B5)" '!!"P А С Ч E T " ! ! B9) " " ! ! В ;
* AB1)=U!!C)' '!!AA!!G)' '!!B;
* AB3)=U!!A0)' "!!"(ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА '!!
* 'ТЕОРИИ УПРУГОСТИ) '!! A4) ' 'MB;
* PUT STRING(AC1))EDIT(C!!' УЗЛОВЫХ'!!D!!P,
* NR, C5)' '!!B)(R(L));
* PUT STRING(AC3))EDIT (C! ! ' ЖЕСТКИХ ОПОР -',
* NA,D0)' "!!B)(R(L));
* PUT STRING(AC5) EDITCC!!1 УПРУГИХ ОПОР -',
* NW, D0) ' ' ! !B) (R(L)) ;
* PUT STRING(AC7))EDIT(C!!¦ ЗАГРУЖЕНИЙ -",
* NQL. D2) " ' ! IB) (R(D) ;
* PUT STRING(AC9))EDIT(C!!' КОНЕЧНЫХ"!!D!!P,
* NS,C4)' '!!B)(R(L));
* PUT STRING(AD1))EDIT(C!!' ТИПОВ КОНЕЧНЫХ'
* !!D!!P,NC,B8)' '!!B)(R(L));
* PUT STRING(AD3))EDIT(U!!'ШИРИНА ЛЕНТЫ"!!
* ' МАТРИЦЫ -',М,C8)' '!!B)(R(D);
* W=SUBSTR(Z,5,2) !!'."! ! SUBSTR(Z,3,2) ! ! ' . '
* !!SUBSTR(Z,1,2);
* PUT STRING(AF5))EDIT(U!!B6)' '!!W!!C1)' -!!B)(A);
* PUT EDIT(A)(SKIP,XA4+5*MM),A);
*L: FORMAT(A,FE),A);
*END TITLA;
/************************ PRIAil *************************/
/* ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ КООРДИНАТ УЗЛОВ, ПРИЗНАКОВ НАЛИЧИЯ */
/* ЖЕСТКИХ СВЯЗЕЙ В УЗЛАХ И ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГИХ ОПОР */
* PR1A11: PROC(NT,MM,NR,NA,NW,X,NB,WC)) ;
* DCL MM,NR,NA,NW,(X.NB.WQ)(*,*),NT FIXEDB);
* DCL (B,C)CHARA),D CHARB),E CHARC),
* F CHARD),A@:7)CHARF1);
* B=': '; C=' '; D=B) ' '; E=C)' ';
* F=D)' '; AA),AG)=F1)'-';

ПРИЛОЖЕНИЕ 479
¦ АB) = ':ПОРЯД: '! ! B1) ' '!!': НАЛИЧИЕ :'!!
¦ Е! ! "ХАРАКТЕРИСТИКИ' ! !F! !В;
¦ АC)=В! !С! IF! I В! !D! ! 'КООРДИНАТЫ' ! !D! ! 'УЗЛОВ' ! !D! !
¦ ': ЖЕСТКИХ :'!IE!IE!!'УПРУГИХ'!!F!!F!IB;
¦ AD) = ':HOMEP: '! ! B1)' '!!': СВЯЗЕЙ'!!D!!В!!
¦ EMF! ! "ОПОР" ! !F! IF! !D! !B;
¦ AE)=B!!F!!C!!B!!(S3)'-¦!!B;
¦ АF)=':УЗЛА :'!!F!!'X'!!C!!F!!B!!F!!'R'!!C!!F!!
¦ ": UX : VR :"!!FI!'KX'!!F!!В!!F!!'KR'!!F!!В;
¦ A(O)=B!!C!!F!!B!!REPEAT(A0)' '!!B,1)H
¦ REPEATCF!!B,1)!'REPEAT(CIO)' '!!B,1);
¦ CALL ACPU5(MM,NT,7,NR,A,PR0CS); NT=NT+1;
¦PROCS: PR0C(NT,L);
¦ DCL NT FIXEDB),L;
¦ DCL (HI.H2)CHARE),H3.H4;
¦ H1,H2=E)" "; H3.H4=0;
¦ DO 1=1 TO NA;
¦ IF L=NB(I,0) THEN DO;
¦ IF NB(I,1)=1 THEN Hl=C)' •!!'**¦;
¦ IF NB(I,2)=1 THEN H2=C)' •!!¦**•;
¦ END;
¦ END;
¦ DO 1=1 TO NW;
IF L=WQ(I,O) THEN DO;
H3=WQ(I.l); H4=WQ(I,2);
END;
END;
IF H3=0 t H4=0 THEN
¦ PUT EDIT(L,X(L,*),H1,H2)
¦ CFC5),B)FA1,3),B)AE));
¦ ELSE PUT EDIT(L,X(L,*),H1,H2,H3,H4)
¦ (FC5). B)F(U,3), B)AE). B)EA1,3));
¦END PROCS;
¦END PR1A11;
/************************ PR1A21 ¦*¦¦¦*¦*¦¦¦*¦¦¦*¦¦¦¦¦¦*¦¦/
/* ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ ТОПОЛОГИИ КОЛЬЦЕВЫХ КОНЕЧНЫХ ¦/
/* ЭЛЕМЕНТОВ И ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛА ¦/
/*¦¦**¦******¦**¦¦¦¦*¦¦¦*¦¦¦*¦*¦¦*¦*¦*¦¦¦¦¦¦*¦¦¦**********/
¦PR1A21: PROC(NT,MM,NS,NC,NH,GS);
¦ DCL MM,NS,NC,(NH.GS)(¦,¦),NT FIXEDB);
¦ DCL В CHAR(l), С CHARC), D CHARD),
¦ E CHARF), A@:7) CHARF1);
¦ B=':'; C=C)' '; D=D)' '; E=E)p ';
¦ AA),AC).AG)=F1)--';
¦ AB)=B!!C!1С!!'СТРУКТУРА СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ '
¦ М'И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ'!!С!!С!!В;
¦ АD)=':ПОРЯД:'!!С!!'ПРИВЯЗКА К УЗЛАМ'!!D!I
¦ ': ТИП :'!!D!!Е!!В!!С!!С!IB!!С!!С!!В;
¦ А(б)=':НОМЕР:'!!B3)'-'!!В!!Е!!В !DI!'E'!!D!!
¦ В!!' NJU : ALFA :';
¦ А F) = ' : I Л-ТА: ¦!!C!!'I'!!CMB!!C!!'J'!!C!!B!!C!!'K'!!
¦ . С!!':|Л-ТА:'!!D!!Е!!В!!С!!С!!В!!С!!С!!В;
¦ А@)=В! !Е! !В! !REPEAT(G) ' ' ! ! В, 2) ! !Е ! !В ! DM
¦ Е!!В!!С!!С!!В!!С!!С!!В;
¦ CALL ACPU6(MM,NT,7.NS,A,PR0CS); NT=NT+1;
¦PROCS: PROC(NT,L);
¦ DCL NT FIXEDB),L,K;
'¦ K=KH(L,4);

480
ПРИЛОЖЕНИЕ
¦ PUT EDIT(L,NH(L,*),GS(K,2),GS(K,3),GS(K,4))
* (FC6),(
¦END PROCS;
¦END PR1A21;
/************************ PR1A31 *¦¦*¦¦¦¦**¦*******¦*¦¦¦¦¦/
/* ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ (В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА NN) */
/* УЗЛОВЫХ НАГРУЗОК, ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УЗЛОВ ИЛИ РЕАКЦИЙ ¦/
¦PR1A31: PROC(NT,MM,NN,NR,NA,NW,NQL,NLY.QR,DR,RR);
* DCL MM,NN,NR,NA,NW,NQL,NLY(+),UR(*,*),
* CDR.RR)(*,*)FL0ATA6),NT FIXEDB)
* DCL В CHARA),D CHARB),E CHARC),A @:5)CHARF1),
* С CHARB3), I,K,N1,N2,N3,N4(O:NQL);
* B=':p; D=B)' '; E=C)" "; A A) , AE) = F1)'-' ;
* C=':ПОРЯДКОВЫЙ:ПОРЯДКОВЫЙ:';
* AB)=C!!D!!D!!'СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ"!!D!!
* 'СИЛЫ В УЗЛАХ"!!D!!D!!B;
* AC)=B!!D!!'НОМЕР"!!E!!B!!D!!"НОМЕР"
* !!E!!B!!C7)*-'!!B;
* A D) = ' -ЗАГРУЖЕНИЯ: " ! !D! ! 'УЗЛА" MDHDHBMEM
* 'ВДОЛЬ ОСИ'!!D!!"X"!!E!!B!!E!!
* "ВДОЛЬ ОСИ'!!D!!"R"!!E!!B;
* A@)=B! !REPEAT(A0) ' " ! ! B, 1) ! ! REPEAT ( (IB) " "МВ.1);
* N1=SUM(NLY); N2=NR*NQL; N3=(NA+NW)*NQL; N4=0;
* DO 1=1 TO NQL; N4(I)=N4A-1)+NLY(I); END;
* IF NN=1 * Nl>0 THEN DO;
* CALL ACPU5(MM,NT,5,N1,A,PRDCS); NT=NT+1;
* END;
* AB)=CM" СМЕЩЕНИЯ ЦЕНТРОВ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ'!!D!!В;
* IF NN=2 THEN DO;
* CALL ACPU5(MM,NT,5,N2,A,PRDCS); NT=NT+1;
* END;
* AB)=C!!D!!"РЕАКЦИИ В ЖЕСТКИХ И УПРУГИХ СВЯЗЯХ :";
* IF NN=3 THEN DO;
* CALL ACPU5(MM,NT,5,N3,A,PRDCS); NT=NT+1;
* END;
*PRDCS: PROC(NT.L);
* DCL NT FIXEDB),L;
* IF NN=1 THEN DO;
* DO 1=1 TO NQL;
* IF L>N4(I-1) * L<=N4(I) THEN K=I;
* END;
* PUT EDIT(K,QR(L,*))(FC6),FA2), B)FA9,4)) ;
* END ;
* IF NN=2 THEN DO;
* I=L/NR+1; IF I-1=CEIL(L/NR) THEN 1=1-1;
* K=L-(I-1)*NR;
* PUT EDIT(I,K,DRB*K-1,I) ,DRB*K,I))
* (FC6),FA2),XA), B)FA9,10)) ;
* END;
* IF NN=3 THEN DO;
* I=L/(NA+NW)+1; IF I-1=CEIL(L/(NA+NW))
* THEN 1=1-1; K=L-A-1)*(NA+NW);
* PUT EDIT(I,RRB*K-l,0),RRB*K-1,I),RRB*K,I))
* (FC6) ,FA2) , B)FA9,4)) ;
* END;
*END PRDCS;
*END PR1A31;

ПРИЛОЖЕНИЕ 481
/************************ PR1A41 ¦**¦******************¦**/
/* ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА */
/* КОЛЬЦЕВЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭДЕМЕНТЫ */
/я********************************************************/
*PR1A41: PROC<NT.MM,NLP,NQL,QS);
* DCL MM,NQL,NLP(*),QS(*.*),NT FIXED<2);
* DCL В CHAR(l), С CHAR<4), D CHAR<5), E CHARU3),
* FCHARC19), A@:5)CHARF1).N1,N4<O:NQL);
* B=': '; C=<4)' '; D=E) ' " ; E=A3)' ';
* F=A9)' '; N1=SUM(NLP); N4=0;
* DO 1=1 TO NQL; N4 (I)=N4 (I-D+NLP (I) ; END;
* AA),AE)=F1)'-';
* A<2)=':ПОРЯД:ПОРЯД:¦!!C!!
* 'РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ЭЛЕМЕНТЫ"!!D!!В;
* АC)=":НОМЕР:НОМЕР:'!!D7)'-'!!В;
* АD)=":ЗАГР.:ЭЛ-ТА: ВДОЛЬ ОСИ X : ВДОЛЬ ОСИ R :'
* !!' ПЕРЕПАД ТЕМПЕРАТУР:1;
* А<0)=В!!D!!В!!D!!В!!Е!!В!!Е!!В!!F!!В;
* CALL ACPU5(MM,NT,5,N1,A,PROCS); NT=NT+1;
*PROCS: PROC(NT.L);
* DCL NT FIXEDB),L,K;
* DO 1=1 TO NQL;
* IF L>N4(I-1) ft L<=N4(I) THEN K=I;
* END;
* PUT EDIT(K,QS(L,O),QS(L,1),QS(L,2),QS(L,4))
* (FC4) ,FG) ,F A2,3) ,F A4,3) ,F A5)) ;
¦END PROCS;
*END PR1A41;
/*******+*********+****** PR1AE1 *************************/
/* ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ ЗНАЧЕНИЙ ДАВЛЕНИЙ НА ГРАНИ */
/* КОЛЬЦЕВЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ */
*PR1A51: PROC(NT,MM,NG,NQL,QD);
* DCL MM,NQL,NG(*),QD(*,*),NT FIXEDB);
* DCL В CHAR(l), С CHARB), D CHARC), E CHAR(IO),
* A@:5)CHARF1),N1,N4(O:NQL);
* B=':'; C=B)' "; D=C)' '; E=A0)' ';
* N1=SUM(NG); N4=0;
* DO 1=1 TO NQL; N4(I)=N4(I-1)+NG(I); END;
* A(l),AE)=F1)'-¦;
* AB)=':ПОРЯДКОВЫЙ:•!!C!!"НОМЕР1!!D!!B!!C!!'НОМЕР'!!D
* !!B!!D!!'КОМПОНЕНТЫ ДАВЛЕНИЯ'!!D!!В;
* AC)=B!!C!!'НОМЕР'!!D!!":НАЧАЛЬНОГО:КОНЕЧНОГО :'!!
* B6)¦-"!!B;
* АD) = ':ЗАГРУЖЕНИЯ:УЗЛА ГРАНИ:УЗЛА ГРАНИ:'!!
* 'ВДОЛЬ ОСИ X : ВДОЛЬ ОСИ R :';
* A(O)=B!!E!!B!!EMBME!!B!!E!!CMB!!E!!D!!B;
* CALL ACPU5(MM,NT,5,N1,A,PROCS); NT=NT+1;
*PR0CS: PROC(NT.L);
* DCL NT FIXEDB),L,K;
* DO 1=1 TO NQL;
* IF L>N4(I-1) ? L<=N4(I) THEN K=I;
* END;
* PUT EDIT(K,QD(L,*))(FC7),B)FA1),B)FA4,5));
*END PROCS;
*END PR1A51;

482 ПРИЛОЖЕНИЕ
/¦¦*¦*¦**¦********¦¦***** PR1A61 не************************/
/* ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ */
/* КОЛЬЦЕВЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ */
/***¦*#**#¦*¦¦*******¦¦¦**¦*¦¦*¦¦¦¦*¦*¦¦******************/
¦PR1A61: PROC(NT,MM,IN,NS,SG);
* DCL MM.IN,NS,5G(*,*)FL0ATA6),NT FIXEDC2);
* DCL В CHAR<1), D CHARB), A@:5) CHARC61);
* B=':';D=<2)> '; A(l),AE)=F1)•-¦;
* A<2)=':ПОРЯД:ПОРЯД:'!!D!!D!!'НАПРЯЖЕНИЯ В ЦЕНТРАХ'
* !!D!!'ТЯЖЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ'!!D!!D!!В;
* AC)=':НОМЕР:НОМЕР:'!!D7)'-'!!В;
* АD)=":ЗАГР.:ЭЛ-ТА: SIGMAZ ' ! ! D ! ! ' : SIGMAR'MDM
* ': SIGMAT"!!D!!': TAURZ'!!D!!': SIGMAI :';
* A@)=BMREPEAT(E) ' ' ! ! В , 1) ! ! REPEAT ( (9) ' 'MB,2)
* !!REPEAT((8)' '!!B,1);
* CALL ACPU5(MM,NT,5,NS,A,PR0CS); NT=NT+1;
*PROCS: PROC(NT,L);
* DCL NT FIXEDB),L;
* PUT EDIT(IN,L,SG(L,*))
* (FC4) ,FG) , C)FA0,2) , B)F(9, 1)) ;
¦END PROCS;
¦END PR1A61;
/¦.с********************** LDLFB **************************/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАНЕНИЙ »/
/* МЕТОДОМ LDL-T ФАКТОРИЗАЦИИ */
/********¦**'* *******************************************>«*/
¦LDLFB: PROC(N,M,NQL,A,B,X);
* DCL N.M.NQL,(A,B,X)(*,*)FLOATA6);
* DCL I, J,L,H. J1.L1, 12, IQ, (S,T,D(N) , .
* (E,S1)(NQL))FL0ATA6);
* DO 1=1 TO N;
* I1=I-M-1; 12=0;
* , IF KM+2 THEN DO; Ll,Jl=M+2-I; END;
* ELSE DO; L1,J1=1; 12=11; END;
* DO J=J1 TO M; T=0;
* DO L=L1 TO J-l;
* T=T+A(I,L)*A(I1+J,L+M+1-J)
* *D(I1-L);
* END;
* A(I,J)=(A(I,J)-T)/D(I1+J);
* END;
* S=0; E=0;
* DO L=L1 TO M;
* S=S+A(I,L)*»2*DCI1+L);
* DO ia=l TO NQL;
* E(IQ)=E(IQ)+A(I,L)*B(I1+L,IQ);
* END;
* END;
* DCI)=ACI,M+1)-S; B(I,*)=BCI,*)-E;
* END;
* DO I=N TO 1 BY -1;
* S1=O; IF I>N-M-1 THEN L1=N-I; ELSE L1=M;
* DO L=l TO LI;
* DO 1И=1 TO NQL;
* S1(IQ)=S1(IQ)+A(I+L,M+1-L)*X(I+L,IQ);
* END ;
* END;
* X(I,*)-B(I,*)/D(I)-S1;

ПРИЛОЖЕНИЕ 483
* END;
¦END LDLFB;
*
*
/********¦*¦¦**¦¦***¦***¦ PROCM **************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЛЕНТЫ МАТРИЦЫ */
/*************¦***¦***************************************/
*PR0CM: PROC(N,NN,NS,NH,M); DCL NH(*,*),I,J,K,IJ,ID;
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦ END
ID=O;
DO IJ=1 TO
DO 1 = 1
DO
END
END;
END;
M=(ID+1)*N-
PROCM;
NS;
TO NN-1;
J=I+1 TO NN;
K=ABS(NH(IJ,J)-NH(
IF K>ID THEN ID=K;
J
1;
/************************ TIMES **************************/
/* ПЕЧАТЬ ТЕКУЩЕГО ВРЕМЕНИ */
/*************************¦*****¦***********¦¦************/
¦TIMES: PROC;
* DCL A CHAR(9), В CHARC120);
* A=TIME;
* B=(92)" '!!SUBSTR(A,1,2)!!' ЧАС "!!SUBSTR(A,3,2)
* !!" МИН "!!SUBSTR(A.6,2)!!'."!!
* SUBSTR(A,7) ! ! ' СЕК1 ;
* PUT SKIP LIST(B);
¦END TIMES;
/***¦******¦**¦¦¦*¦****¦¦ ACPU5 **************************/
/* ФОРМИРОВАНИЕ ТАБЛИЦ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ И РЕЗУЛЬТАТОВ */
/* РЕШЕНИЯ */
/*********************************************************/
¦ACPU5: PROC(М,NT,1С,KS,А,PROCS);
* DCL M,KS, NT FIXEDC2), 1С FIXED(l),
* A(*)CHARF1), PROCS ENTRY;
* DCL D CHARA)INITO:'),(B,C)CHARC82)VAR,I,J,K,L,N,K1;
* L=l; K=55-IC; N=KS/K; J=KS-K*N; IF J>0 THEN N=N+1;
* DO 1=1 TO N;
* IF 1=1 THEN DO; Kl=12; С='ТАБЛИЦА"; END;
* ELSE DO; K1=O; C='ПРОДОЛЖЕНИЕ ТАБЛИЦЫ'; END;
* PUT STRING(B)EDIT(D,C,NT,D)
* (A,XE4+K1-5*M),A,FC),XD+5*M),A);
* PUT EDIT((D DO J=l TO 12),B,D,D)
* (C6)R(L1) ,R(L2) ,R(LD) ;
* DO J=l TO 1С;
* PUT EDIT (D,A(J) ,D) (R(L3)> ;
* END;
* DO J=l TO K;
* PUT EDIT(D,A(O),D)(R(L3)); PUT SKIP(O);
* IF L<=KS THEN CALL PROCS(NT,L);
* L=L+1;
* END;
* PUT EDIT(D,F1)•-",(D DO J=l TO 15),(82)'--)
* (R(L3) , G)R(L1) ,R(L2)) ;

484
ПРИЛОЖЕНИЕ
* END;
¦L2: FORMAT(SKIP,XA4+5*M).A);
*L1: FORMAT(R(L2),X(80),A);
*L3: F0RMAT(R(L2),XA5-5*M),A,
¦END ACPU5;
/*****¦¦¦¦***********¦*** R00A21 I*************************/
/* ПРОГ-АММА РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ */
/* УПРУГОСТИ */
/**¦¦¦¦¦*¦*¦*¦*****¦**¦¦*****¦****************************/
¦R00A21: PROC OPTIONS(MAIN);
* DCL AA CHARE5),II,12,13,I4,M, C CHAR(BO),NT FIXEDC2);
* CALL TIMES;
* GET LIST(AA,KT,NP,MM,ISD,IND,INS,INR);
* GET LIST(NR,NA,NS,NW,NC,NQL);
* 11,12=2; 13=3; 14=4; NT=1;
* IF NA=O THEN IA=l; ELSE IA=NA;
* IF NW=O THEN NWY=1; ELSE NWY=NW;
*BLOK1: BEGIN;
* DCL NB(IA.0:2).NH(NS,4),GS(NC.4),X(NR,2),
* (NLY.NLP.NG)(NQL),WQ(NWY,0:2),(DRB*NR,NQL),
* RRB*(NA+NW),O:NQL),SG(NS,Б))FLOATA6);
* IF KT=1 ft NA~=O THEN GET LIST(NB);
* IF KT=1 THEN GET LIST(X);
* IF KT=1 ft NW~=O THEN GET LIST(WQ);
* IF KT=1 THEN GET LISTCNH.GS,NLY.NLP,NG);
* IF KT=2 THEN CALL MPRI6(II,12,NR.NA,NW,NC,NS,
* NQL,NLY,NLP,NB,X,NH,GS,WQ,LAB99);
* CALL PROCMA1,13,NS.NH.M);
* NM=2*NR; RR=O; L=l; IF KT=2 THEN DO;
*LAB01: CALL PRCOO(C.LAB03);
* DO 1=0 TO 9;
* GET STRING (C)EDIT(NG(D) (XE*I + 1) ,F D) ) ;
* IF L=NQL THEN GOTO LAB02; L=L+1;
* END;
*LAB02: GOTO LAB01;
*LAB03: END;
* IF SUM(NLY)=O THEN NLR=1;
* IF SUM(NLP)=0 THEN NLS=1;
* IF SUM(NG)=O THEN NLG=1; ELSE NLG=SUM(NG);
¦BL0K2: BEGIN;
* DCL QD(NLG,4),QR(NLR,0:2),QS(NLS,0:4),
* (A(NM,M+1), С(NM,NQL))FLOATA8);
* IF KT=1 ft SUM(NLY)~=0 THEN GET LIST(QR);
* IF KT=1 ft SUM(NLP)~=0 THEN GET LIST(QS);
* IF KT=1 ft SUM(NG)~=0 THEN GET LIST(QD);
* IF KT=2 THEN DO; CALL MPRI7CNLS,NLY,NLP,NG,QR,
* QS.QD.LAB99);GS(*,4)=GS(*,4)*1E7; END;
* CALL PRA151(NR,NA,NS,NW,NQL,X,NB,NH,WQ,
* GS,NLY,NLP,NG,QD,QR,QS,M,A,C);
* CALL LDLFB(NM,M,NQL,A,C,DR);
* CALL TITLA(MM,NP,AA,NR,NA,NW,N4L,NS.NC,M);
* IF ISD=1 THEN DO; NN=1;
* CALL PR1A11(NT,MM,NR,NA,NW,X,NB,WQ);
* CALL PR1A21(NT,MM,NS,NC,NH,GS);
* CALL PR1A31(NT.MM,NN,NR,NA,NW,NQL,NLY,QR,DR.RR);
* IF SUM(NLP)>0 THEN CALL PR1A41 (NT,MM, NLP,NQL, QS)';
* IF SUM(NG)>0 THEN CALL PR1A61(NT,MM,NG.NQL,QD);
* END ;
ELSE NLR=SUM(NLY);
ELSE NLS=SUM(NLP);

ПРИЛОЖЕНИЕ 485
* IF IND=1 THEN DO; NN=2;
* CALL PR1A31(NT,MM,NN,NR,NA,NW,NQL,NLY,QR,DR,RR);
* END;
* IF INS=1 THEN DO;
* DO IN=1 TO NQL;
* CALL PRSA31(IN,NS,NH,X,GS,NLP,QS,
* DRO.IN) ,SG) ;
* CALL PR1A61(NT,MM,IN.NS.SG);
* END;
* END;
* IF INR=1 THEN DO; NN=3;
* CALL PR0RR1(NA,NW,NS,NQL,NB,WQ,NH,
* X,GS,NLP,QS,DR,RR);
* CALL PR1A31(NT,MM,NN,NR,NA,NW,NQL,
* NLY,QR,DR,RR);
* END;
* END BL0K2;
* GOTO LABOO;
+LAB99: PUT SKIP E)EDIT ( 'ОШИБКИ В ИСХОДНЫХ ДАННЫХ')
* <ХB0),А);
+LAB00: PUT SKIPB);
* CALL TIMES;
* END BL0K1;
*END R00A21;

486 ПРИЛОЖЕНИЕ
KUTT1 **¦***********************/
/* ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО */
/* УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА */
/* Y'=F(X,Y) A) */
/* НА ИНТЕРВАЛЕ [XO.XO+DX] С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ */
/* Y(XO)=YO B) */
/* МЕТОДОМ КУТТА-МЕРСОНА */
/****************************¦****************************/
*KUTT1: PROC(DX,X,Y,NP,FCT);
* DCL NP,(DX,X,Y)FL0ATA6), FCT ENTRY;
/it*************************************************/
* /* DX - ИНТЕРВАЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ <DX); */
* /* X - НАЧАЛО ИНТЕРВАЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ (ХО); */
* /* Y - НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ YO B); */
* /* NP - ЧИСЛО ШАГОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НА */
* /¦ ИНТЕРВАЛЕ (DX); */
* /* FCT - ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕ-*/
* /* НИЯ U);-ЗАГОЛОВОК ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДОЛЖЕН */
* /* ИМЕТЬ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД: */
* /* FCT: PROC(X,Y,F); */
* /* ' DCL (X,Y,F)FL0ATA6); */
* /* ПРОЦЕДУРА ДОЛЖНА ВЫЧИСЛЯТЬ ВЕКТОР ПРАВОЙ */
* /* ЧАСТИ F(X,Y) УРАВНЕНИЯ A) ДЛЯ ЗАДАННЫХ */
* /* ЗНАЧЕНИЙ X И Y; */
* /* РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОЦЕДУРЫ KUTT2: */
* /* X -- ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ XO + DX; */
* /* Y - ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ YCX0+DX) */
/¦jut***********************************************/
* DCL I,(H, (Yl,F0,Fl,F2)FL0ATA6);
* H=DX/NP;
* DO 1=1 ТО NP;
* CALL FCT(X,Y,F0);
* Yl=Y+H/3*F0; X=X+H/3;
* CALL FCT(X,Y1,F1);
* Y1=Y+H/6*(FO+F1);
* CALL FCT(X,Y1,F1);
* Y1=Y+H/8*(FO+3*F1); X=X+H/6;
* CALL FCT(X,Y1.F2);
* Y1=Y+H/2*(FO-3*F1+4*F2); X=X+H/2;
* CALL FCT(X,Y1,F1);
* Y=Y + H/6*(FO + 4*F2 + F1) ;
* END ;
*END KUTT1;

ПРИЛОЖЕНИЕ 487
/************************ KUTT1Z .к************************/
/* ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО */
/* УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА */
/* Y'=F(X,Y) A) */
/* НА ИНТЕРВАЛЕ [XO.XO+DX] С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ */
/* Y(XO)=YO B) */
/* МЕТОДОМ КУТТА-МЕРСОНА */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/и********************************************************/
*KUTT1Z:PROC(DX,X,Y,NP,FCT);
* DCL (DX,X)FL0ATA6),Y FL0ATA6)CPLX,FCT ENTRY;
/*********************************************************/
* DCL I.H FL0ATQ6) , (Yl ,FO,'F1 ,F2)FL0ATA6)CPLX;
* H=DX/NP;
* DO 1=1 TO NP;
* ,CALL FCT(X,Y.FO);
* Yl=Y+H/3*F0; X=X+H/3;
* CALL FCT(X,Y1,F1);
* Y1=Y+H/6*(FO+F1);
* CALL FCT(X,Y1,F1);
* Y1=Y+H/8*(FO+3*F1); X=X+H/6;
* CALL FCT(X,Y1,F2);
* Y1=Y+H/2*(FO-3*F1+4*F2); X=X+H/2;
* CALL FCT(X,Y1,F1);
* Y=Y+H/6*(FO+4*F2+F1);
* END;
*END KUTT1Z;
KUTTN **************************/
/* ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ */
/* УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА */
/* Y'=F(X,Y) A) */
/* НА ИНТЕРВАЛЕ [XO.XO+DX] С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ */
/* Y(X0)=YO B) */
/* МЕТОДОМ КУТТА-МЕРСОНА */
/***********************,************************* ж ж*******/
¦KUTTN: PROC(N,DX,X,Y,NP,FCT);
* DCL N,NP,(DX.X,Y(*))FL0ATA6), FCT ENTRY;
/****************¦**********************************/
N - ПОРЯДОК СИСТЕМЫ <1); */
DX - ИНТЕРВАЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ <DX); */
X - НАЧАЛО ИНТЕРВАЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ (ХО); */
Y(N) - ВЕКТОР НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ Y0 B); */
NP - ЧИСЛО ШАГОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НА */
ИНТЕРВАЛЕ (DX); */
FCT - ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ СИСТЕ-*/
МЫ A); ЗАГОЛОВОК ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДОЛЖЕН */
ИМЕТЬ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД: */
FCT: PROC(X,Y,F); */
DCL (X,(Y.F)(*))FL0ATA6); */
ПРОЦЕДУРА ДОЛЖНА ВЫЧИСЛЯТЬ ВЕКТОР ПРАВЫХ */
ЧАСТЕЙ F(X,Y) СИСТЕМЫ A) ДЛЯ ЗАДАННЫХ */
ЗНАЧЕНИЙ X И Y; */
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОЦЕДУРЫ KUTT2: */
X - ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ XO+DX; */
/* Y(N) ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ Y(XO+DX) */
DCL I,(H. <Y1.FO,F1,F2)(N))FL0ATA6);
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1*
/¦
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*
/*

488 ПРИЛОЖЕНИЕ
H=DX/NP;
DO 1=1 TO NP;
CALL FCT(X.Y.FO);
Yl=Y+H/3*F0; X=X+H/3;
CALL FCT(X.Yl.Fl);
Yl=Y+H/e*(FO+Fl);
CALL FCT(X.Yl.Fl);
Yi=Y+H/8*(F0+3*Fl); Х=Х+Н/в;
CALL FCT(X,Y1,F2);
Yi=Y+H/2*CF0-3*Fi+4*F2); X=X+H/2;
CALL FCTCX.Yl.Fi);
Y=Y+H/6*CFO+4*F2+F1);
END;
¦END KUTTN;
/************************ KUTTNZ *******************¦****¦/
/* ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ */
/* УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА */
/* Y'=F(X.Y) A) */
/* НА ИНТЕРВАЛЕ [XO.XO+DX] С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ */
/* Y(X0)=YO B) */
/* МЕТОДОМ КУТТА-МЕРСОНА */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/г***************************,
*KUTTNZ:PROC(N.DX,X.Y,NP,FCT);
* DCL (DX,X)FLOAT(ie),Y(*)FL0ATA6)CPLX,FCT ENTRY;
* DCL I.H FLOATC16),(Yl,FO,Fi,F2)(N)FLOATA6)CPLX;
* H=DX/NP;
* DO 1=1 TO NP;
* CALL FCT(X,Y,FO);
* Yl=Y+H/3*F0; X=X+H/3;
CALL FCT(X,Y1,F1);
Y1=Y+H/6*(FO+F1);
CALL FCT(X,Y1,F1);
Y1=Y+H/8*(FO+3*F1); Х=Х+Н/в;
CALL FCTCX,Y1,F2);
Yi=Y+H/2*(F0-3*Fl+4*F2); X=X+H/2;
CALL FCT(X,Y1,F1);
* Y=Y+H/6*(FO+4*F2+F1);
* END;
¦END KUTTNZ;

ПРИЛОЖЕНИЕ 489
/************************ ORTON ¦¦¦**¦¦****¦¦¦¦¦***¦¦¦**¦*/
/¦ ОРТОНОРМИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ Y(XS) В S-й ТОЧКЕ */
/¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦»*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦»¦¦*¦¦¦¦¦¦*¦*¦¦¦¦¦¦*/
*ORTON: PROC(N,S,Y,Z,W);
* DCL(Y(*.*),(Z.W)(*,*,*))FLOAT(ie),
• (N,S)FIXED BIN;
/
* /* N - ПОРЯДОК СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ;*/
* /* S - ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР ТОЧКИ 0РТ0ГОНАЛИЗАЦИИ; */
* /* YCN.N/2) - МАССИВ ТЕКУЩИХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦЫ [Y];*/
* /* ПОСЛЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОЦЕДУРЫ - МАССИВ */
* /* ОРТОНОРМИРОВАННЫХ МАТРИЦ [YCXS)]; */
* /* Z(M,N,N/2) - МАССИВ МАТРИЦ [Z]; */
* /* W(M,N/2,N/2) - МАССИВ МАТРИЦ [W] */
* DCL I.J.K, (A.C(N))FLOAT(ie);
* DO K=l TO N/2;
* А=О; С=О;
* DO 1=1 ТО К-1;
* W(S,I,K)=SUM(Z(S,*,I)*Y(*,K));
* A=A+W(S,I.K)**2;
* C=C+W(S,I.K)*Z(S,*,I);
* END;
* W(S,K,K)=SQRT(SUM(Y(*,K)*Y(*,K))-A);
* Y(*,K),Z(S.*,K)=(Y(*,K)-C)/W(S,K,K);
* END;
¦END ORTON;
/************************ ORTONZ *************************/
/* ОРТОНОРМИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ Y(XS) В S-Й ТОЧКЕ */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/¦*¦*+¦*****¦**+**¦*********¦¦****¦**¦**¦*******¦******¦**/
*ORTONZ:PROC(N.S,Y(Z,W);
* DCL(YC*,*),(Z,W)(*,*,*))FL0ATA6)CPLX,
* (N.S)FIXED BIN;
/¦*¦****¦**¦¦**¦¦*¦********¦*¦**********¦***++***+¦+******/
* DCL I.J.K, (A,C(N))FLOAT(ie)CPLX;
* DO K=l TO N/2;
* A=0; C=0;
* DO 1=1 TO K-l;
* W(S,I,K)=SUM(Z(S,*,I)*Y(*,K));
* A=A+W(S,I,K)**2;
* C=C+W(S,I,K)*Z(S.*,I);
* END;
* W(S,K.K)=SQRT(SUM(Y(*,K)*Y(*,K))-A);
* Y(*,K),Z(S,*,K)=(Y(*,K)-C)/W(S.K,K);
* END;
*END ORTONZ;
16 П/р. В. И. Мяченкова

аыз*
:аыа *
: (r 's)oz=(Doa ¦
:(С+'r's)z*(*"s)OM)wns-(r)OA=(r's)oz *
:n 01 т=г оа ¦
:акз ¦
: C(>i'*'s)z*oA)wns=(M's)OM *
¦z/h ox т=х oa ¦
:x'r юа ¦
:nib aaxucs'N)
'XldD(9T)XV01d((*'*'*)Z'(¦'*)(OM"OZ)'(*HA) 100 ¦
: (ом' oz/*nns3H*/' z' oa ' s' ю эоыл: zooxao*
/*********************************************************/
/¦ Cl4HH3W3d3U 3l4HDX3irUW0H ¦ ¦/
/¦ зхьо! и-s a (sx)oa vdoixaa KHtiveHirvHOjoido ¦/
/************************* ZNOXHO *¦¦¦********************/
аыз*
¦
: (r's)oz=(doa ¦
: ((*'r's)z*(*'sHM)wns-(rHA=(r's)oz ¦
:n ox т=г oa ¦
:аыз *
:((M'*Is)z*oA)wns=(x's)oM ¦
¦z/u ox т=м oa ¦
:м'г ioa *
/г**************************************************/
/¦ [ом] sodoi»3e 9hodvw - (г/ы'и)ож ¦/ ¦
/¦ : [oz] aodODoe anoavw - (n'w)oz ¦/ ¦
/¦ : [z] tiMdivw аиээун - (z/n'n'w)z ¦/ ¦
/¦ ![(sx)oa] aodoix3a xHHHveoeHirvHOjoido ¦/ ¦
/¦ enoovw - i4d^lf3Hodu BHHSHirouna siraou ¦/ *
/¦ :[(sx)oa] иинэьуне хи1лляз! anoavw - (n)oa ¦/ ¦
/* inHtivEMirvHOJOidO ияьо! d3W0H ynaoxlfKdou - s ¦/ ¦
/*:idHH3HeVd/C XflH4ICVHnH3d3(t><!>Hlf l4W313Ma XOlfBdOU - N ¦/ *
/**************************************************/
:nib азхисэ'ы) ¦
'(9T)iV01J((*'*'*)Z'(*'*)(OM'OZ)'(*HA) ISO ¦
: @M'0Z/*nnS3H*/'Z'0A'S'N)D0Hd :DOXHO*
/*********************************************************/
/¦ зхьо! и-s a (sx)oa vdoixsa BHtivEHirvHOjoido ¦/
/************************** DOXHO ************************/
06*

ПРИЛОЖЕНИЕ 491
/************************ CROUT ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ¦/
/¦ [А]Х=В ¦/
/* МЕТОДОМ ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА ¦/
/*t*******************************************************/
¦CROUT: PROC(N,А.В./*RESULT*/X);
* DCL N, (AC*,*),(B,X)(*))FLOAT(ie);
/I»*************************************************/
* /¦ N - ПОРЯДОК СИСТЕМЫ; */
* /¦ A(N,N) - МАТРИЦА [А]; ¦/
* /* ВСЮ - ВЕКТОР ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ (В); ¦/
* /* Х(Ю - ВЕКТОР НЕИЗВЕСТНЫХ (X) */
/я*************************************************/
* DCL I,J,K, (C,D(N))FLOAT(ie);
* DO K=l TO N;
* C=ABS(A(K,K)); J=K;
* DO I=K+1 TO N;
* IF ABS(A(I,K))>C THEN DO;
* C=ABS(A(I.K)); J=I;
* END;
* END;
* IF J>K THEN DO;
* D=A(J,*); A(J,*)=A(K,*); A(K,*)=D;
* G=B(J); B(J)=B(K); B(K)=C;
* END;
* DO I=K+1 TO N;
* С=АA,Ю/А(К,Ю ;
* DO J=K TO N;
* A(I,J)=A(I,J)-C*A(K,J);
* END;
* B(I)=B(I)-C*B(K) ;
* END;
* END;
* DO I=N TO 1 BY -1;
* C=B(I);
* DO J=I+1 TO N; C=C-A(I,J)*X(J); END;
* X(I)=C/A(I,I);
* END;
¦END CROUT;
16*

492 приложение
/************************ CROUTZ ¦***¦*****¦*******¦¦¦****/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ */
/* 1 [А]Х=В */
/* МЕТОДОМ ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/¦¦¦¦¦*¦¦¦*¦*¦**¦¦¦**¦¦**¦**¦***¦*¦*¦*¦****¦¦¦**¦¦¦¦¦*¦¦¦¦/
*CROUTZ:PRDC(N,А,В,/*RESULT*/X);
* DCL N, (А(*,*),(В,Х)(*))FL0ATA6)CPLX;
*
*
¦
*
*
¦
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦
*
*
*END
' DCL
DO
ENO
DO
END
CRDUTZ
I.J.K, F FLOATA6),(C,D(N))FL0ATA6)CPLX;
K=l TO N;
F=ABS(A(K,K)); J=K;
DO I=K+1 TO N;
IF ABS(A(I,K))>F THEN DO;
F=ABS(A(I,K)); J=I;
END;
END;
IF J>K THEN DO;
D=A(J,*O; A(J,*)=A(K,*) ; A(K,*)=D;
C=B(J); В(J)=B(К) ; В(К)=С;
END;
DO I=K+1 TO N;
C=A(I,K)/A(K,K);
DO J=K TO N;
A(I, J)=A(I,J)-C*A(K,J);
END;
ва)=вA)-с*в(к);
END;
I=N TO 1 BY -1;
C=B(I);
DO J=I+1 TO N; C=C-A(I,J)*X(J); END;
; -C A 1,1 ,
•

ПРИЛОЖЕНИЕ
493
/************************ STIFM ***********¦*¦¦*****¦¦****/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ "ЖЕСТКОСТИ" ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ¦/
/* ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА *¦
/* Y'=F(X,Y)+B(X) A) ¦/
/* НА ИНТЕРВАЛЕ [XO.XL] */
/*********************************************************/
*STIFM: PROC(IN.N,XO,XL,M,NP,FCTSM,/*RESULT*/K);
* DCL FCTSM ENTRY,(XO.XL,K(*,*))FLOATA6);
/**************************************************/
* /* IN - ПАРАМЕТР, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЙ СИСТЕМУ A); */
* /* ПРИ IN=O СИСТЕМА A) ОДНОРОДНАЯ; */
* /* ПРИ IN=1 СИСТЕМА A) НЕОДНОРОДНАЯ; ¦/
* /* N - ПОРЯДОК СИСТЕМЫ A); */
* /* ХО - НАЧАЛО ИНТЕРВАЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ; */
* /* XL - КОНЕЦ ИНТЕРВАЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ; */
* /* М - ЧИСЛО ТОЧЕК ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ НА ИНТЕРВАЛЕ */
* /* [XO.XL]; */
* /* NP - ЧИСЛО ШАГОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НА ИНТЕРВАЛЕ */
* /* DX=(XL-XO)/M; */
* /* FCTSM - ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ */
* /* СИСТЕМЫ A); ЗАГОЛОВОК ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДОЛ- */
* /* ЖЕН ИМЕТЬ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД: */
* /* FCTSM: PROC(X,Y,F,B); */
* /* DCL (X,(Y.F.B)(*))FL0ATA6); */
* /* ПРОЦЕДУРА ДОЛЖНА ВЫЧИСЛЯТЬ ВЕКТОРЫ F(X,Y) И*/
* /* В(Х) СИСТЕМЫ A) ДЛЯ ЗАДАННЫХ ЗНАЧЕНИЙ */
* /* X И Y; */
* /* K(N,N+IN) - РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА "ЖЕСТКОСТИ" */
* /* СИСТЕМЫ A) */
/**************************************************/
* DCL (I,J,T,S,Q)FIXED BIN,
* (C,YO(N),Y(N,N/2),(V,V1)(N/2.N/2),D,X,DX,
* (R,B)(N/2),Z(M,N,N/2),W(M,N/2,N/2),
* ZO(M.N),W0(M,N/2))FL0ATA6);
*FCT: PROC(X,Y,F); DCL (X,(Y,F)(*))FL0ATA6);
* DCL B(N)FL0ATA6);
* CALL FCTSM(X,Y,F,B);
* IF Q>N THEN F=F+B;
¦END FCT;
* . DX=(XL-XO)/M; T=N/2; Q=O; Y=O;
* DO 1=1 TO N/2; Y(I,I)=l; END;
* DO S=l TO M;
* X=XO+S*DX;
* DO 1=1 TO N/2;
* X=X-DX;
* CALL KUTT2(N,DX,X,Y(*,I).NP.FCT);
* END;
* CALL ORTON(N,S,Y,Z,W);
* END;
* DO 1=1 TO N/2; Vl(I,*)=Z(M,I+N/2,*); END;
* DO Q=l TO N+IN;
* IF Q>N/2 * Q<=N THEN DO;
* DO J=l TO N/2;
* IF Q-N/2=J THEN R(J)=1;
* ELSE R(J)=O;
* END;
* GOTO LAB;
* END;
* YO=O; X=XO;
* IF Q<=N/2 THEN Y0(N/2+Q)=l;

494 ПРИЛОЖЕНИЕ
DO S=l TO M;
CALL KUTT2(N,DX.X.YO,NP,FCT);
CALL ORTOG(N,S,YO,Z,Z0,WO);
END;
DO J=l TO N/2; R(J)=-ZO(M,N/2+J); END;
¦LAB: V=V1; J=N/2;
CALL CROUT(J,V,B,B);
DO J=l TO N/2;
IF Q>T ft Q<=N THEN C=O;
ELSE C=ZO(M,J);
K(N/2+J,Q)=SUM(B*Z(M,J,*))+C;
END;
DO S=M TO 1 BY -1;
DO I=N/2 TO 1 BY -1;
IF 4>N/2 ft 4<=N THEN C=O;
ELSE C=WO(S,I);
D=o;
DO J=I+1 TO N/2;
D=D+W(S,I,J)*B(J) ;
END;
B(I)=(B(I)-D-C)/W(S.I.I);
END;
END;
¦ DO J=l TO N/2; K(J.4)=B(J); END;
* END;
¦END STIFM;
/¦¦¦*¦¦¦**¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦**¦**********************¦*¦********/
/¦ ПРИМЕЧАНИЕ! ПРОЦЕДУРА STIFM ИСПОЛЬЗУЕТ ПРИ СВОЕЙ */
/¦ РАБОТЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ KUTT2,ORTOG,ORTON.CROUT */
/****¦*¦¦¦¦¦*¦*¦¦**¦*¦¦¦*************¦***¦¦*******¦*******/
/***********¦¦¦***¦¦***** STIFMZ **¦**¦**¦*************¦**/
/¦ ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ "ЖЕСТКОСТИ" ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ */
/¦ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА */
/¦ Y'=F(X,Y)+B(X) A) */
/¦ НА ИНТЕРВАЛЕ [XO.XL]; */
/¦ (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
¦STIFMZ:PROC(IN,N,XO,XL,M,NP,FCTSM,/*RESULT*/K);
DCL FCTSM ENTRY,(XO.XL)FLOATA6).
KU,*)FL0ATA6)CPLX;
/i,^*******************************************************/
DCL (I.J,T,S,Q)FIXED BIN, (X,DX)FL0ATA6).
(C,YO(N),Y(N,N/2),(V.V1)(N/2,N/2),0,
(R,B)(N/2),Z(M,N,N/2),W(M,N/2,N/2),
ZO(M,N),WO(M,N/2))FLOATA6)CPLX;
¦FCT: PROC(X.Y.F); DCL (Y,F)(*) FL0ATA6)CPLX, XFL0ATC16);
DCL В(N)FLOATA6)CPLX;
CALL FCTSM(X,Y,F,B);
¦ IF 4>N THEN F=F+B;
¦END FCT;

ПРИЛОЖЕНИЕ 495
* DX=(XL-XO)/M; T=N/2: 4=0; Y=0;
* DO 1=1 TO N/2; Y(I,I)=1; END;
* DO S=l TO H;
X=XO+S*DX;
DO 1=1 TO N/2;
X=X-DX;
CALL KUTT2Z(N,DX.X.Y(*.I),NP,FCT);
END;
CALL ORTONZ(N.S.Y,Z,W);
* END;
* DO 1=1 TO N/2; Vl(I,*)=Z(M,I+N/2,*); END;
* DO 4=1 TO N+IN;
* IF Q>N/2 ft (J<=N THEN DO;
* DO J=l TO N/2;
* IF 4-N/2=J THEN R(J)=l;
* ELSE R(J)=O;
* END;
* GOTO LAB;
* END;
* Y0=0; X=XO;
* IF Q<=N/2 THEN Y0(N/2+Q)=l;
* DO S=l TO M;
* CALL KUTT2Z(N,DX,X,Y0,NP.FCT);
* CALL 0RT0GZ(N,S,YO,Z,Z0,WO);
* END;
* DO J=l TO N/2; R(J)=-Z0(M,N/2+J); END;
*LAB: V=V1; J=N/2;
* CALL CROUTZ(J,V,R,B);
* DO J=l TO N/2;
* IF Q>T к U<=N THEN C=0;
* ELSE C=ZO(M,J);
* K(N/2+J,U)=SUM(B*Z(M.J,*))+C;
* END;
* DO S=M TO 1 BY -1;
* DO I=N/2 TO 1 BY -1;
* IF Q>N/2 ft Q<=N THEN C=0;
* ELSE C=WO(S,I);
* D=0;
* DO J=I+1 TO N/2;
* D=D+W(S,I,J)*B(J);
* END;
* B(I)=(B(I)-D-C)/W(S,I.I);
* END;
* END;
* DO J=l TO N/2; K(J,Q)=B(J); END;
* END;
¦END STIFMZ;
/tt*******************************************************/
/* ПРИМЕЧАНИЕ! ПРОЦЕДУРА STIFMZ ИСПОЛЬЗУЕТ ПРИ СВОЕЙ */
/* РАБОТЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ KUTT2Z,ORTOGZ,ORTONZ, */
/* CROUTZ */
у*********************************************************/

'• (OM'OZ'Z'OA'S'N)OOIHO 11VO ¦
: (ioл' dn' oa ' x' xa' Ю sunn nvo ¦
:n 01 t=s oa *
¦'ox=x :т=Ь *
'¦QH3 *
'¦ (D0A=(S/N+r)OA :0=(D0A *
:s/n 01 т=г oa *
(*'s/n+i'w)z=(*'i)a :s/n oi t=i oa ¦
'¦акэ ¦
two ¦
(I'*)A'X'Xa'N)Slin)i TWO ¦
:xa-x=x ¦
:s/n oi t=i oa ¦
:xa*s+ox=x ¦
'n oi t=s oa ¦
:адз :t=(i'i)a 'z/н oi t=i oa ¦
:o=a :o=B :w/(ox-ix)=xa *
'¦юл адз*
:a*6+i=i : (a'i'A'x)daioi nvo *
: (9T)lV01i((*) (i'A) 'X) 10a •'(i'A'X)OOMd
:(9T)lV01i((S/N'KHM'(N'W)OZ
(S/N'S/N'K)M'(S/N'N'«)Z'(S/N)(8'Ы)
' (Z/N'S/ЮЛ' (S/N'N)A' (N)OA'O)
onivoucxa'x) 'Nia aaxiiCB's'r'i) ioa
/* HHtiveMirvHOJOido змьох и-s а */ *
/* (A) BMH3ffl3d VdOJ.H3a ХНЗНОинОХ BMH3hVHC 1ИЖ ¦/ *
/* -d3lT00 OJOdOlO}) YXOdlO tf-S 'SHOOVH - (N'H:O)BA ¦/ *
/* :a и x ¦/ *
/* иинэьуне xnHHvVve uirt (i) пиэюио (Х)а и ¦/ *
/* (A'x)i ndoixsa янягэиыча vhikitoV ydjctatiodu ¦/ *
/¦ :(9T)ivoii((*)(a'i'A)'x) ioa ¦/ ¦
/¦ :(a'i'A'x)ooMd :aaioi ¦/ *
/¦ :VH8 HHtllOljCVSIfO ЯХЭНИ НЭЖ ¦/ *
/* -iroV HdjCVsHOdU И016 XOaOlfOJVE .'(T) ПИЗЮИО ¦/ *
/¦ K3iovh xnavdu винэ1гоиьпа yd>cr3tiodu - daioj */ *
/¦ : (E) ИИ801ГЭЛ XRHhHHVdJ SHOOVH - (S/NIA ¦/ ¦
/¦ : (s) ииао1гэл xnHhHHVdj anoovn - (s/n)oa */ *
/¦ :w/(ox-ix)=xa ¦/ *
/¦ sirvadsiHM vh BHHvaodMdjsiHH sojvm oironh - dH */ *
/* чтх'ох] */ *
/¦ 3lfVad3J.HH VH HHUVEHIfyHOJOJ-dO XShOJ. ОГОИЬ - H */ *
/¦ -'tfHHyaodMdj3j.HM virvadsiHH Пэнох - тх */ *
/* :»HHyaodMdJ3j.HM yirvad3J.HM 01гуьун - ox */ *
/¦ :(т) 1ЯНЗЮИЭ xoVtfdou - N */ *
/»»»¦¦»¦»»»»¦¦*¦»**¦»******¦»*•¦•****»¦*****»¦¦¦**»/
:(9TIVO1J((*'*)BA'(¦)(lA'OA))'AM1N3 dfllOi *
'(9TIVO1JAX'OX) 'dN'K'N 100 ¦
/* (T) 1ЯН310И0 XOtttdOU - N 3fJ ¦/
/¦ (E) ' (S/N S'T=I) (IIA=(lX'i:+S/N)A ¦/
/¦ (S) ' (S/N S'T=I) (I)OA=(OX'T+S/N)A ¦/
/¦ ИНКИ801Г0Л MHISHhMHVdJ 0 ¦/
/¦ (T) (X)H+(A'X) J=.A ¦/
/¦ [ix'ox] 3iryad3iHH vh vHftfdou ojoadsu k)MH3Hayd>c */
/¦XI4H4irVHnH3d3<t>«>Hff ХПННЗаОНХПЭО ХПНИЗНИГ СШЗХЭИЭ 3HH3in3d ¦/
**¦¦*¦¦*¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦*/

ПРИЛОЖЕНИЕ 497
*
*
*
*
*
*
*
Hi
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
¦ END
END;
DO J=l TO N/2; R(J)=VL(J)-Z0(M,N/2+J); END;
J=N/2;
CALL CROUT(J,V,R,B);
DO S=M TO 1 BY -1;
DO J=l TO N;
Y(J(S, J)=ZO(S, J)+SUM(B*Z(S, J,*)) ;
END;
DO I=N/2 TO 1 BY -1;
C=O;
DO J=I+1 TO N/2;
C=C+W(S,I,J)*B(J);
END;
q/tn_/tj^tn f* мл /n T^^/WfC T T ^ •
B^X^^^D\X^Vrf""IIV4O, J. J J / H \O , A. , X J ,
END;
END;
DO J=l TO N/2;
YQ(O,J)=B(J); YQ@,N/2+J)=VO(J);
END;
BNDPR;
/* ПРИМЕЧАНИЕ! ПРОЦЕДУРА BNDPR ИСПОЛЬЗУЕТ ПРИ СВОЕЙ */
/* РАБОТЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ KUTT2,ORTOG,0RTON,CROUT */
/**************¦********* BNDPRZ ******¦*******¦******¦¦**/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ*/
/* УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА ИНТЕРВАЛЕ [XO.XL] */
/* YP=F(X,Y)+B(X) A) */
/* С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ */
/¦ Y(N/2+l,XO)=V0(I) A = 1,2 N/2), B) */
/* Y(N/2+l,XL)=VL(I) A=1,2 N/2), C) */
/* ГДЕ N - ПОРЯДОК СИСТЕМЫ A); */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/г********************************************************/
¦BNDPRZ:PROC(N,ХО,XL,М,NP,VO,VL,FCTBP,/*RESULT*/YQ);
* DCL N.M.NP, (X0,XL)FLOATA6),
* FCTBP ENTRY, ((VO.VL) (*),YQ(*,*))FL0ATA6)CPLX;
* DCL (I,J,S,Q)FIXED BIN, (X,DX)FL0ATA6),
* (C.YO(N),Y(N,N/2),V(N/2,N/2).
* (R,B)(N/2),Z(M,N,N/2),W(M,N/2,N/2),
* ZO(M,N),W0(M,N/2))FLOATA6)CPLX;
*FCT: PROC(X,Y,F); DCL (Y,F)(*) FLOATA6)CPLX, XFL0ATA6);
* DCL B(N)FLOATA6)CPLX;
* CALL FCTBP(X,Y,F,B); F=F+Q*B;
*END FCT;
* DX=(XL-XO)/M; Q=O; Y=O;
* DO 1=1 TO N/2; Y(I,I)=1; ENO;
* DO S=l TO M;
* X=XO+S*DX;
•* DO 1=1 TO N/2;
* X=X-DX;
* CALL KUTT2Z(N,DX,X,Y(*,I),NP,FCT);
* END;

:1эали ада*
(a*(*'i)v)wns=(i)D -и qi 1=1 oa ¦ ¦
/* (a)*[v] = o) : сэ) doixaa - (Юо ¦/ ¦
/¦ : (a) dcuxaa - ooa ¦/ ¦
/¦ : [V] УЛИсЛУИ - (N'N)V ¦/ ¦
/¦ : [v] пйИсЛуи }ioVi{dou - n ¦/ ¦
: (9t)ivou((*) o'a)' c*'*)v) '
/¦ , C) dOl}Ka УН [V] nflMdiyW (dOHlVdVya}) 3MH3)K0HW3d3U */
/************************** 1ЭЗЛИ ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦*¦/
/* zmoHo ¦/
/* 'ZNOXHO 'ZD01HO 'ZSXiriM fld/CVsriOdU Э1ЧНЧ1ГУЗО1ГJ 3103yd */
/* И30ЭЭ MdU 1ЭКеЧ1ГОиОИ ZHdCINa VdAVSHOdU i3HHyh314MdU ¦/
/»*«*»»»»*¦¦***»¦»***¦*¦¦»»*¦#*¦****¦¦***¦¦¦¦****¦¦¦•*¦¦**/
ад
:(г)ол=(г+г/д'о)Ьл :(г)а=(г'о)ЬА ¦
:s/n 01 т=г oa ¦
:aN3 *
:aN3 ¦
:Ci'i's)*/cci's)o*-o-ci)a)=ci)a ¦
:аыз ¦
:(r)a*(f'i's)»+D=D *
'¦z/n 01 T+i=r oa ¦
:o=o ¦
¦\- аз i oi s/n=i oa ¦
: адз ¦
:((¦'r's)z*a)Kns+(r's)oz=(r's)bA ¦
¦ и oi т=г oa ¦
¦\- аз т oi w=s oa *
nvo ¦
•'s/N=r ¦
oi т=г oa *
:aN3 ¦
: (OAI'OZ'Z'OA'S'N)ZDOIHO 11VO *
: (lOi'dN'OA'X'Xa'N)ZSlin» TWO *
:и oi t=s oa *
:ox=x :t=B *
¦ анэ ¦
: (D0A=(S/N+rHA :0=(ГHА *
¦z/k oi i=r oa ¦
:аыз • (*'s/n+i'wz=c*'i)a 'z/н oi t=i oa *
:акз *
: (aTz'a's'n)znoiho nvo *
аинажснгиаи 86t-

ПРИЛОЖЕНИЕ 499
/************************ MVECTZ **¦***********¦¦**¦****¦*/
/* ПЕРЕМНОЖЕНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ [А] НА ВЕКТОР (В) */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦/
*MVECTZ:PROC(N,A,B,/*RESULT*/C);
* DCL N,.(А(*,*),(В,С)(*))FL0ATA6)CPLX;
¦ DCL I;
* DO 1=1 TO N; C(I)=SUM(A(I,*)*B); END;
¦END MVECTZ;
/ш*********************** MATRM ¦******¦*¦¦***¦¦**¦******¦/
/¦ ПЕРЕМНОЖЕНИЕ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ: [С]=[A]*[В] ¦/
¦MATRM: PROC(N,A.B,/*BESULT*/C);
DCL N. (A,B.C)(*.*)FLOAT(ie);
/
* /¦ N - ПОРЯДОК МАТРИЦ; */
* /¦ A(H.N) - МАТРИЦА [А]; ¦/
* /¦ B(N,N) - МАТРИЦА [В]; ¦/
* /¦ C(N,N) - МАТРИЦА [С] */ ¦/
/***********************¦*¦¦¦¦¦*¦¦**¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦/
* DCL I,J;
* DO 1=1 TO N;
* DO J=l TO N;
* C(I,J)=SUM(A(I,*)*B(*(J)) ;
* END;
* END;
¦END MATRM;
/************************ MATRMZ ¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦/
/* ПЕРЕМНОЖЕНИЕ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ: [С]=[A]*[В] */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) ¦/
/***********>«*********¦*¦¦**¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦/
¦MATRMZ:PROC(N.A,B,/*RESULT^/C);
* DCL N, (A,B,C)(*,*)FLOAT(ie)CPLX;
/¦**¦*¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦/
* DCL I,J;
* DO 1=1 TO N;
* DO J=l TO N;
* C(I,J)=SUM(A(I,*)*B(*.J));
* END;
* END;
¦END MATRMZ;

500 ПРИЛОЖЕНИЕ
/**¦**¦¦¦**¦*¦¦***¦¦*¦*** TRANS «к*************************/
/* ТРАНСПОНИРОВАНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ [А] */
/
¦TRANS; PR0C(N,A);
* DCL N, A(*,*)FL0ATA6);
/*¦¦¦¦¦¦*¦¦**¦**¦¦¦*¦¦*******************¦*****¦*¦¦/
* /* N - ПОРЯДОК МАТРИЦЫ [А]; */
* /* A(N,N) - МАТРИЦА [А]; */
* /¦ РЕЗУЛЬТАТ ВЫПОЛНЕНИЯ - МАССИВ A(N,N) ¦/
* /* ЗАПОЛНЯЕТСЯ ЭЛЕМЕНТАМИ ТРАНСПОНИРОВАННОЙ */
* /* МАТРИЦЫ [А] ¦/
* DCL I,J, С FLOATC16);
* DO 1=1 ТО N;
* DO J=I+1 TO N;
* C=A(I,J); A(I,J)=A(J,I); A(J,I)=C;
* END;
* END;
¦END TRANS;
/************************ TRANSZ «к************************/
/* ТРАНСПОНИРОВАНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ [А] */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) ¦ */
/¦¦¦¦¦¦¦*¦*¦*¦¦¦**¦*¦¦¦***¦***************************¦***/
*TRANSZ:PR0C(N,A);
* DCL N, A(*.*)FL0ATA6)CPLX;
/a********************************************************/
* DCL I,J, С FL0ATA6)CPLX;
* DO 1=1 TO N;
* DO J=I+1 TO N;
* C=A(I,J); A(I,J)=A(J,I)I A(J,I)=C;
* END;
* END;
¦END TRANSZ;

ПРИЛОЖЕНИЕ 501
/************************ REVER К"*************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ [В], ОБРАТНОЙ МАТРИЦЕ [А] */
/*********¦**¦*****************¦¦*¦*¦***¦*¦**¦************/
¦REVER: PR0C(N,A,B);
* DCL (А,В)(*,*)FL0ATA6);
/**************************************************/
* /* N - ПОРЯДОК МАТРИЦЫ [А]; */
* /* A(N,N) - МАТРИЦА [А]; */
* /* BCN.N) - МАТРИЦА, ОБРАТНАЯ МАТРИЦЕ [А] */
/и.*************************************************/
* DCL I,J.K, (C,D(N),X(N,N))FL0ATA6);
* Х=О;
* DO 1=1 ТО N; X(I,I)=1; END;
* DO K=l TO N;
* DO I=K+1 TO N;
* C=A(I,K)/A(K.K);
* DO J=K TO N;
* A(I,J)=A(I,J)-C*A(K,J);
* END;
* X(I.*)=X(I.*)-C*X(K,*);
* END;
* END;
* DO I=N TO 1 BY -1;
* D=X(I,*);
* DO J=I+1 TO N; 0=D-A(I,J)*B(J,*);ENO;
* B(I.*)=D/A(I,I);
* END;
*END REVER;
/************************ REVERZ *************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ [В], ОБРАТНОЙ МАТРИЦЕ [А] */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/*********************************************************/
*REVERZ:PROC(N,A,B);
* OCL (А,В)(*,*)FL0ATA6)CPLX;
/********************************************************+/
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*END
DCL
X=0
00
DO
END
DO
END
REVERZ
I,J,K,(C.DCN),X(N,N))FLOATA6)CPLX;
I
1=1 TO N; x(I,I)=l; END;
K=l TO N;
DO I=K+1 TO N;
C=A(I,K)/A(K,K);
00 J=K TO N;
ACI,J)=A(I,J)-C*A(K,J);
END;
X(I,*)=X(I,*)-C*X(K,*);
ENO;
*
I=N TO 1 BY -1;
D=X(I,*);
DO J=I+1 TO N; D=D-A(I,J)*B(J,*);END;
;B 1>* ~° A I>T '
•

502 ПРИЛОЖЕНИЕ
/************************ GAUSS <'¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦*¦¦¦¦¦¦¦¦¦****/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ */
/* [А]Х=В */
/* С КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЕЙ */
/г********************************************************/
«GAUSS: PHOC(N,A,B./*RESULT*/X);
* DCL H. (A(*,*),(B,X)(*))FL0ATA6);
/**************************************************/
* /* Н - ПОРЯДОК СИСТЕМЫ; */
* /* ACN.K) - МАТРИЦА [А]; */
* У* ВСЮ - ВЕКТОР ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ (В); */
* /* Х(Н) - ВЕКТОР НЕИЗВЕСТНЫХ (X) */
/¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦и.*************************/
* DCL I.J.K, С FLOATC16);
* DO K=l TO H;
* DO I=K+1 TO N;
* С=АA,К>/А(К,К);
* DO J=K TO N;
* A(I,J)=A(I,J)-C*A(K,J);
* END;
* B(I)=B(I)-C*B(K);
* END;
* END;
* DO I=N TO 1 BY -1;
* C=B(I);
* DO J=I+1 TO N; C=C-A(I,J)*X(J); END;
* X(I)=C/A(I,I);
* END;
«END GAUSS;
/п.*********************** GAUSSZ *************************/
/¦ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ */
/* [А^Х=В/Х) */
/* С КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЕЙ (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
Z
*GAUSSZ:PROC(N,A,B,/*RESULT*/X);
* DCL N, (A(*,*),(B.X)(*))FL0ATA6)CPLX;
* DCL I.J.K, С FLOAT(ie)CPLX;
* DO K=l TO N;
* DO I=K+1 TO N;
* C=ACI,K)/A(K.K);
* DO J=K TO N;
* A(I,J)=A(I,J)-C*A(K,J);
* END;
* B(I)=B(I)-C*B(K);
* END;
* END;
*' DO I=N TO 1 BY -1;
* C=B(I);
* DO J=I+1 TO N; C=C-A(I,J)*X(J); END;
*
* END;
«END GAUSSZ;

ПРИЛОЖЕНИЕ 503
/************************ BANDS ¦*****¦**¦*•¦¦¦¦¦•¦¦¦*¦**¦/
/¦ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ */
/* [А]Х=В */
/* С ЛЕНТОЧНОЙ МАТРИЦЕЙ */
/ft********************************************************/
«BANDS: PROC(N.M,A,B,/*RESULT*/X);
* DCL N,M, (A(*,*),(B,X)(*))FL0ATA6);
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*END
/¦ N - ПОРЯДОК СИСТЕМЫ;
/* M - ШИРИНА ЛЕНТЫ;
/* A(N,-M:M) - МАТРИЦА [А];
/* ВСЮ - ВЕКТОР ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ (В);
/* X(N) - ВЕКТОР НЕИЗВЕСТНЫХ (X)
DCL (I,J,K,L,P)FIXED BIN, С FL0ATC16);
DO 1=1 TO N;
P=O;
IF I>N-H THEN P=I-N+JI;
DO K=l TO M-P;
L=I+K; C=ACL,-K)/A(I,0);
BCL)=B(L)-C*B(I);
DO J=JI-P TO 0 BY -1;
ACL,J-K)=A(L,J-K)-C*A(I,J);
END;
END;
END;
DO I=N TO 1 BY -1;
L=0; XCI)=BCD/A(I,O) ;
IF I>N-M THEN L=I-N+M;
DO J=l TO M-L;
X(I)=X(I)-A(I,J)/ACI,O)*XCI+J);
END;
END;
BANDS;
*/
*/
*/
*/
*/
ib ifr ifr ^ kb ъЪ ib J

504
ПРИЛОЖЕНИЕ
/************************ BANDSZ *************************/
/* РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ */
/* [А]Х=В */
/* С ЛЕНТОЧНОЙ МАТРИЦЕЙ (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
*BANDSZ:PROC(N,M,A,B,/*RESULT*/X);
* DCL N,M, (A(*,*),(В,Х)(*))FL0ATA6)CPLX;
/******************************t**************************/
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*END
DCL
DO
END
DO
END
BANDSZ
(I,
1 = 1
P=0
IF
DO
END
;
I = N
L=0
IF
DO
END
J,K,L,P)FIXED BIN, С FL0ATA6)CF
TO N;
;
I>N-M THEN P=I-N+M;
K=l TO M-P;
L=I+K; C=A(L,-K)/A(I,0);
B(L)=B(L)-C*B(I);
DO J=M-P TO 0 BY -1;
A(L,J-K)=A(L.J-K)-C*A(I,J);
END;
J
TO 1 BY -1;
; X(I)=B(I)/A(I,0);
I>N-M THEN L=I-N+M;
J=l TO M-L;
X(I)=X(I)-A(I,J)/A(I,0)*X(I+J);
;
/************************ BANDD **************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ */
/****************#****************************************/
*GAUSD: PROC(N,A,/*RESULT*/S,D);
* DCL (N.S)FIXED BIN, (A(*,*),D)FL0ATA6);
у**************************************************/
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*END
/* N - ПОРЯДОК ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ;
/* A(N,N) - МАТРИЦА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ;
/* D - МАНТИССА;
/* S - ПОРЯДОК;
/* [A]=D*10**S
*/
*/
*/
*/
*/
у**************************************************/
DCL I.J.K, (B,C)FL0ATA6);
D=l; B=0;
DO K=l TO N;
D=D*SIGN(A(K,K));
B=B+L0G10(ABS(A(K,K)));
DO I=K+1 TO N;
C=A(I,K)/A(K,K);
DO J=K TO N;
A(I, J)=A(I, J)-C*A(K, J) ;
END;
END;
END;
S=B; B=B-S; D=D*1E1**B;
GAUSD;

ПРИЛОЖЕНИЕ 505
/************************ GAUSDZ К"************************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/*¦***********¦*****¦***¦***¦¦*¦****¦¦*¦***¦**¦****¦¦¦¦*¦¦/
*GAUSDZ:PROC (N, А, /*RESULT*/S,D);
* DCL (A(*,*),D)FL0ATA6)CPLX,- S FIXED BIN;
/******************************¦**************************/
* DCL I.J.K.L, С FLOATA6)CPLX;
* D=l; S=0;
* DO K=l TO N;
* D=D*A(K,K); L=L0G10(ABS(D)); S=S+L; D=D/10**L;
* DO I=K+1 TO N;
* C=A(I,K)/A(K,K);
* DO J=K TO N;
* A(I,J)=A(I,J)-C*A(K,J);
* END;
* END;
* END ;
*END GAUSDZ;
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ С ЛЕНТОЧНОЙ МАТРИЦЕЙ */
/
*BANDD: PROC(N,M,A,/*RESULT*/S.D);
* DCL (N,M,S)FIXED BIN, (A(*,*),D)FLOATA6);
/***********¦*********¦****************************/
* /* N - ПОРЯДОК ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ; */
* /* M - ШИРИНА ЛЕНТЫ; */
* /* A(N,-M:M) - ЛЕНТОЧНАЯ МАТРИЦА; */
* /* D - МАНТИССА; */
* /* S - ПОРЯДОК; */
* /* [A]=D*10**S */
* DCL (I,J,K,L,P)FIXED BIN, (В,С,F,E)FLOAT A6);
* D=l; B=0;
* DO 1=1 TO N;
* P=0;
* IF I>N-M THEN P=I-N+M;
* D=D*SIGN(A(I,O));
* B=B+L0G10(ABS(A(I,0)));
* DO K=l TO M-P;
*' L=I+K; F=A(L,-K);
* IF F~=0 THEN DO;
* C=F/A(I,0);
* DO J=M-P TO 0 BY -1;
* E=A(I,J);
* IF E~=0 THEN
* A(L,J-K)=A(L,J-K)-C*E;
* END;
* . END;
* ' END;
* ' END;
* s=B; B=B-S; D=D*1O**B;
*END BANDD;

506
ПРИЛОЖЕНИЕ
/************************ BANDDZ **********¦**************/
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ С ЛЕНТОЧНОЙ МАТРИЦЕЙ */
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
*BANDDZ:PROC(N,M,A,/*RESULT*/S,D);
* DCL (A(*,*),D)FLOATA6)CPLX, S FIXED BIN;
DCL (I, J,K,L,P.LDFIXED BIN, С FLOATA6)CPLX;
D=l; S=0;
DO 1=1 TO N;
P=0;
IF I>N-M THEN P=I-N+M;
D=D*A(I,0); L1=LOG10(ABS(D)); S=S+L1; D=D/10**Ll-
DO K=l TO M-P;
L=I+K; C=A(L,-K)/A(I,0);
DO J=M-P TO 0 BY -1;
A(L,J-K)=A(L,J-K)-C*A(I,J);
END ;
END;
END;
*END BANDDZ;
/************************ INTPL *¦*¦**¦¦¦*¦¦*¦****¦*******/
/* ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ С ПОМОЩЬЮ */
/* ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА ЛАГРАНЖА */
/* ДЛЯ РАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ НА ИНТЕРВАЛЕ [X0.XL], */
/* РАЗБИТОМ НА [М] ПОДЫНТЕРВАЛОВ (М=Б) */
¦INTPL: PROC(M,X0,XL,X,Y,/*RESULT*/YX);
* DCL M, (X0,XL,Y(*),YX,X)FL0ATA6);
/¦*************************************************/
* /* М - ЧИСЛО ПОДЫНТЕРВАЛОВ; */
* /¦ ХО - НАЧАЛО ИНТЕРВАЛА; */
* /* XL - КОНЕЦ ИНТЕРВАЛА; */
* /* X - ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА [X]; */
* /* Y@:M) - МАССИВ, ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРОГО СОДЕРЖАТ */
* /* ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Y(XI) , ГДЕ */
* /* XI=XO+I*(XL-XO)/M A=0 М); */
* /* YX - ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ Y(X) */
/¦**¦¦*****¦¦¦*********¦¦¦*¦¦**********************/
* DCL (DX,T,T1,T2,T3,T4,T6,XXO,
* K0,Kl,K2,K3,K4,K5)FL0ATA6),1,10;
* DX=(XL-X0)/M; XXO=X-X0; I=XX0/DX;
* IF KM-2 THEN I0=MAX@,I-2) ;
* IF I>M-3 THEN DO;
* I0=M-6; T=XX0/DX-I0;
* IF T>5 THEN Т=Б; GOTO LAB;
* END;
* T=XX0/DX-I0;
*LAB: Tl=T-l; T2=T-2; T3=T-3
* K0=-Tl*T2*T3*T4*T5/120;
* Kl=T*T2*T3*T4*T5/24;
* K2=-T1*T*T3*T4*T5/12;
* K3=T1*T2*T*T4*T5/12;
* K4=-Tl*T2*T3*T*T5/24;
* K5=T1*T2*T3*T4*T/12O;
* YX=K0*YA0)+Kl*Y(I0+l)+K2*YA0+2)+K3*YA0+3)
* +K4*Y(I0+4)+K5*Y(I0+5);
*END INTPL;
T4=T-4; T5=T-5;

ПРИЛОЖЕНИЕ 507
/************************ INTPLZ ¦**¦¦*****¦**¦¦****¦**¦**/
/* ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ С ПОМОЩЬЮ */
/* ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА ЛАГРАНЖА */
/* ДЛЯ РАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ НА ИНТЕРВАЛЕ [X0.XL], */
/* РАЗБИТОМ НА [М] ПОДЫНТЕРВАЛОВ (М=Б) ¦/
/* (КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) */
/*********************************************************/
*INTPLZ:PROC(M,XO,XL,X,Y,/*RESULT*/YX);
* DCL (X0,XL,X)FLOATA6),
* (Y(*),YX)FL0ATA6)CPLX;
/*********************************************************/
* DCL (DX,T,T1.T2,T3.T4.T6,XXO,
* K0,Kl,K2,K3,K4,K6)FL0ATA6),I.I0;
* DX=(XL-X0)/M; XX0=X-X0; I=XX0/DX;
* IF KM-2 THEN I0=MAX @,1-2) ;
* IF I>M-3 THEN DO;
* Ю=М-Б; T=XX0/DX-I0;
* IF Т>Б THEN T=6; GOTO LAB;
* END;
* T=XX0/DX-I0;
*LAB: Tl=T-l; T2=T-2; T3=T-3; T4=T-4; Тб=Т-б;
К0=-Т1*Т2*ТЗ*Т4*ТБ/120;
К1=Т*Т2*ТЗ*Т4*Тб/24;
К2=-Т1*Т*ТЗ*Т4*ТБ/12;
КЗ=Т1*Т2*Т*Т4*ТБ/12;
К4=-Т1*Т2*ТЗ*Т*ТБ/24;
КБ=Т1*Т2*ТЗ*Т4*Т/120;
* YX=K0*YA0)+K1*YA0+1)+K2*YA0+2)+K3*Y(I0+3)
* +K4*Y(I0+4)+KB*Y(I0+B);
¦END INTPLZ;
/************************ MULER Ко»************************/
/* ОТЫСКАНИЕ НАИМЕНЬШЕГО КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬ- */
/* НОГО УРАВНЕНИЯ */
/* D(Q)=0 A) */
/* С ПОМОЩЬЮ СОЧЕТАНИЯ ШАГОВОГО МЕТОДА И МЕТОДА МЮЛЛЕРА */
/* НА ИНТЕРВАЛЕ [QO.QK] С ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ШАГОМ [DQ] И */
/* ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЧНОСТЬЮ [EPSQ] */
/*********************************************************/
*MULER: PR0C(IP,NO,Q0,QK,DQ,EPSQ,DETRM,ZERO,/*RESULT*/QV);
* DCL (QO.QK.DQ.QV)FLOATA6).ZERO LABEL,
* DETRM ENTRY;
/**************************************************/
* /* IP - ПАРАМЕТР ПЕЧАТИ ПРОТОКОЛА РЕШЕНИЯ; */
* /* IP=0 - КОМПАКТНАЯ ПЕЧАТЬ; */
* /* 1Р=1 - ПОСТРАНИЧНО-ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ; */
* /* N0 - МЕТОДИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР; */
* /* ПРИ РАСЧЕТЕ ОБОЛОЧЕК ДОЛЖЕН БЫТЬ РАВЕН */
* /* ЧИСЛУ ВОЛН В ОКРУЖНОМ ИЛИ ЧИСЛУ ПОЛУВОЛН */
* /* В ПРОДОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ; */
* /* В ОБЩЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ N0=0; */
* /* Q0 - НАЧАЛО ИНТЕРВАЛА [Q0]; */
* /* QK - КОНЕЦ ИНТЕРВАЛА [QK]; */
* /* DQ - ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ШАГ [DQ]; */
* /* EPSQ - ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ [EPSQ]; ¦/
* /* DETRM - ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ [D(Q)]; */
* /* ЗАГОЛОВОК ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДОЛЖЕН ИМЕТЬ ВИД: */
* /* DETRM: PROC(Q,D,K); DCL (Q,D)FL0ATA6); */
* /* РЕЗУЛЬТАТ: [D(Q)]=D*10**K; */
* /* ZERO - АВАРИЙНАЯ МЕТКА; */
* /* QV - ЗНАЧЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО КОРНЯ УРАВНЕНИЯ A) */

508
ПРИЛОЖЕНИЕ
*
*
*
¦START:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*LAB01:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*LAB~02:
*
*PRTKL:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
/¦*¦********¦**¦******¦**¦***¦************¦¦*¦*****/
DCL (SD,SC,SL,SR,SS,LK,SLR,SSS)FIXED BIN,
(DL,DR,QL,QR,DS,QS,DLR,DSS,A,В,С,D,QQ,
U,Z1,Z2,E1,E2,Q)FLOATA6);
LK=l; SC=0; QQ=QO; Q=QO-DQ;
SD=l; DR=0; SR=0;
DO WHILE(SD=1);
QL=Q; DL=DR; SL=SR; Q,QR=QL+DQ;
IF Q>QK THEN GOTO ZERO;
CALL DETRM(Q,DR,SR);
CALL PRTKL(O,LK,NO,Q,DR.SR);
IF Q>QQ+DQ/2 THEN SD=SIGN(DL*DR);
END;
DLR=ABS(DL-DR*10**(SR-SL)); SLR=SL;
Q=QL+DQ/2; QS=Q;
CALL DETRM(Q,DS,SS);
CALL PRTKLCO.LK.NO.Q.DS.SS);
IF SIGN(DL*DS)=1 THEN DO;
DSS=ABS(DS-DR*10**(SR-SS)); SSS=SS;
END; ELSE DO;
DSS=ABS(DL-DS*10**(SS-SL)); SSS=SL;
END;
D=(DSS-DLR*10**(SLR-SSS)) ;
IF D>0 THEN DO;
CALL PRTKLC,LK,N0,CjL,CjR,SS) ;
QQ=QR; Q=QL; GOTO START;
END;
CALL PRTKLU.LK.NO.QL.QR.SS) ;
U=(QR-QS)/((jS-QL) ;
A=U*DR-U*A+U)*DS*10**(SS-SR)+U*U*DL*10**(SL-SR);
B=B*U+1)*DR-A+U)**2*DS*10**(SS-SR)
+U*U*DL*10**(SL-SR);
C=A+U)*DR; D=B*B-4*A*C;
21=QR+(QR-QS)*(-B+SQRT(D))/2/A;
Z2=QR+(QR-QS)*(-B-SQRT(D))/2/A;
IF Z1>QL ? ZKQR THEN Q=Z1; ELSE Q=Z2;
IF Q>QS THEN DO; QL=QS; DL=DS; SL=SS; END;
ELSE DO; QR=QS; DR=DS; SR=SS; END;
El=ABS((QL-<3)/<3) ; E2=ABS((QR-Q)/Q) ; QS=Q;
IF EKEPSQ !. E2<EPSQ THEN GOTO LAB02;
CALL DETRM(Q,DS,SS);
CALL PRTKLCO.LK.NO.Q.DS.SS);
GOTO LABO1;
QV=Q;
IF IP=1 THEN CALL PRTKLB,LK,NO,Q,DS,SS);
PROC(I,L,NO,Q,DS,IS);
DCL I FIXED(l),(Q,DS)FL0ATA6), С CHARD0);
DCL D CHARA)INITC : •) , J.K;
IF L=l * 1=0 THEN DO;
PUT EDITCCD DO J=l TO 12))(R(L2));
PUT EDIT(D,"ПРОТОКОЛ РЕШЕНИЯ',D,D,A6)'--,D,
D,D,D.-N-."Q-,-D",-S",D,D,D)
(B)(R(L1),XC7),A,XB7),
XB8).A.C)
END;
IF 1=3 THEN DO;
PUT EDIT(D,D,D,-B ДИАПАЗОНЕ',Q,' -',DS,
• ВОЗМОЖЕН КОРЕНЬ !!!',D,D)
(R(L2),R(L1),XA5),A,EA1,4),A,
(),A,R(L2));
R(L2),
A,R(L2));

ПРИЛОЖЕНИЕ g08
* L=L+3;
* END;
* IF 1=1 THEN DO;
* PUT EDIT(D,D,D,'УТОЧНЕНИЕ',D,D,(9)¦-',D,D,D)
* (RCL2),B)(R(L1),XD1),A,XC0),A),R(L2));
* L=L+4;
* END;
* IF 1=0 THEN DO;
* PUT EDIT(D,NO,Q,DS,IS,D)
* (R(L1),FB9), B)EC 14,4),FF),XA7),A);
* L=L+1;
* PUT STRING(C)EDIT(NO,Q,DS,IS) (FF), B)EA4,4),
* END;
* IF 1=2 ! L>52 THEN DO;
* PUT EDITCCD DO J=l TO 122-2*L))(R(L2));
* PUT EDIT((82)'-¦) (R(LD) ; L=l;
* END;
*L1: F0RMAT(SKIP,XA4),A);
*L2: FORMAT(RCLl),X(80),A);
¦END PRTKL;
*END MULER;
/************************ MULERZ *************************/
/* ОТЫСКАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬ- */
/* НОГО УРА8НЕНИЯ */
/* D(Q)=0 A) */
/* С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА МЮЛЛЕРА */ */
*MULERZ:PR0C СIP,N0,QR,IMAX,EPSQ,DETRM,ZERO,
* /*RESULT*/QV,EPSR,EPSI);
* DCL (QR,EPSR.EPSI)FL0ATA6), QV FLOATA6)CPLX,
* DETRM ENTRY,ZERO LABEL;
/a*************************************************/
* /* IP - ПАРАМЕТР ПЕЧАТИ ПРОТОКОЛА РЕШЕНИЯ; */
* /* IP=0 - КОМПАКТНАЯ ПЕЧАТЬ; */
* /* 1Р=1 -'ПОСТРАНИЧНО-ТАБЛИЧНАЯ ПЕЧАТЬ; */
* /* N0 - МЕТОДИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР; */
* /* ПРИ РАСЧЕТЕ ОБОЛОЧЕК ДОЛЖЕН БЫТЬ РАВЕН */
* /* ЧИСЛУ ВОЛН В ОКРУЖНОМ ИЛИ ЧИСЛУ ПОЛУВОЛН */
* /* В ПРОДОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ; */
* /* В ОБЩЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ N0=0; . */
* /* QR - НАЧАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ; */
•* /* IMAX - МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ПРИБЛИЖЕНИЙ; */
* /* EPSQ - ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ; */
* /* DETRM - ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ [D(Q)]; */
* /* ЗАГОЛОВОК ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДОЛЖЕН ИМЕТЬ ВИД: */
* /* DETRM: PR0C(Q,D,K); DCL (Q.D)FLOAT A6)CPLX;*/
* /* РЕЗУЛЬТАТ: [D(Q)J=D*10**K; */
* /* ZERO - АВАРИЙНАЯ МЕТКА; */
* /* QV - ЗНАЧЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ A); */
* /* EPSR - ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ */
* /* ЧАСТИ КОРНЯ; */

510
ПРИЛОЖЕНИЕ
* /* EPSI - ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МНИМОЙ ЧАСТИ КОРНЯ */
/г*************************************************/
* DCL (QQR,QQI,Ei,E2,QA,QAl,QA2)FL0ATA6),K,LK,10,II,12,
* (ZO,Z1,Z2,DO,D1,D2,U,A,B,C,F,Q,Q1,Q2)FLOATA6)CPLX,
* SC FIXED BIN;
* SC=O; K=0; LK=l;
* Q,Z0=QR*(l-30*EPSQ);
* CALL DETRM(Q,D0,I0); CALL PRTKLZ@,LK,NO,Q,DO,10);
* Q,Z1=QR*A-16*EPSQ);
* CALL DETRM(Q,D1,I1); CALL PRTKLZ@,LK,NO,Q.D1,II);
* Q,Z2=QR;
* CALL DETRM(Q,D2,I2); CALL PRTKLZ@,LK,NO,Q,D2,12);
¦LAB01: U=(Z2-Z1)/(Z1-ZO); C=A+U)*D2*10**A2-10);
* A=U*D2*10**A2-10)-U*A+U)*Dl*10**A1-10)+U*U*D0;
* B=(l+2*U)*D2*10**(I2-I0)-(l+U)**2*Dl*10**(Il-I0)+U*U*D0;
* F=1-4*A/B*C/B;
* Ql=Z2-(Z2-Zl)*B*(l-SQRT(F))/2/A;
* Q2=Z2-(Z2-Z1)*B*A+SQRT(F))/2/A;
* EPSR,EPSI=1;
* IF ABS(Z2-Q1)<ABS(Z2-Q2) THEN Q=Q1; ELSE Q=Q2;
* IF K=0 THEN QQR,QQI=O;
* IF REAL(Q)~=0 THEN EPSR=ABS((REAL(Q)-QQR)/REAL(Q));
* IF IMAG(Q)~=0 THEN EPSI=ABS((IMAG(Q)-QQI)/IMAG(Q));
* K=K+1; QQR=REAL(Q); QQI=IMAG(Q);
* IF EPSR<EPSQ fEPSKEPSQ ! КЯМАХ THEN GOTO LAB02;
* ZO=Z1; Z1=Z2; Z2=Q; DO=D1; D1=D2; 10=11; 11=12;
* CALL DETRM(Q,D2,12); CALL PRTKLZ@,LK,NO,Q,D2,12);
* GOTO LAB01;
*LAB02: QV=Q;
* IF IP=1 THEN CALL PRTKLZB,LK,NO,Q,D2,12);
* IF K>IMAX THEN GOTO ZERO;
*PRTKLZ:PROC(I,L,N0,Q,DS,IS);
* DCL I FIXED(l),(Q,DS)FL0ATA6)CPLX, С CHARF0);
* DCL D CHARA)INITC: ¦), J,K;
* IF L=l * 1=0 THEN DO;
* PUT EDIT((D DO J=l TO 12))(R(L2));
* PUT EDIT(D,'ПРОТОКОЛ РЕШЕНИЯ",D,D,A6)'-',D,
* D,D,D,'N','QR\ 'QI","DR","DI",'IS',D,D,D)
* , (B)(R(L1),XC7),A,XB7),A),R(L2),R(L1),
* ХAБ),A,D)(X(ll).A),X@4),A,XF),A,R(L2));
* END;
* IF 1=0 THEN DO;
* PUT EDIT(D,NO,Q,DS,IS,D)
* (R(L1),FA6),B)C(EA3,4)),FF),XF),A);
* L=L+1;
* PUT STRING(C)EDIT(N0,Q,DS,IS)(FB),B)C(EA3,4)),
* FF));
* END;
* IF 1=2 ! L>52 THEN DO;
* PUT EDIT((D DO J=l TO 122-2*L))(R(L2));
* PUT EDIT((82)'-') (R(LD) ; L=l;
* END;
*L1:" FORMAT(SKIP,XA4),A);
*L2: FORMAT(R(L1),X(80),A);
*END PRTKLZ;
*END MULERZ;

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Архив 376
А
В
Вектор реакции конечного элемента
в локальных координатах 12
— оболочечного 105, 239
— объемного 97—98
— пластинчатого прямоугольного 81,
85
треугольного 71—72, 74—77
Верхний связный список — См. Список
верхний связный
Вывод на печать исходной и резуль-
результирующей информации 129—132
Гамма-фуикция 175
Гаусса метод — Алгоритм 32 — Про-
Процедуры 32—33 — Формула для оценки
необходимого объема , файла 33
— модифицированный 33—34
Глагол 303
Годунова метод ортогональной про-
прогонки — Математическое обеспечение
155—157, 241—242 — Основные по-
положения 143—152
Грина формула 223
Д
Данные исходные — Внешнее пред-
представление 117—127 — Внутреннее
представление 115—117 — Вывод на
печать 129—132 — Параметры 115 —
Последовательность задания 117 —
Правила формирования массивов 118 —
Пример заполнения таблиц 119—
127 — Способы кодирования 117—
118 — Ч исловые массивы 116— 117
Документация табличная 369
Задача краевая неоднородная — По-
Постановка 148 — Решение 148—152
— теории пластичности плоская 87—
89
Задачи статики и динамики оболочеч-
иых конструкций — Методы решения
143 — 148 — Проблемно-ориентирован-
Проблемно-ориентированные процедуры решения 243—246 —
Программное обеспечение алгоритмов
расчета 241—243
Закон течения ассоциированный 261
Запись информации в архив 320—321
Каталог координатной модели 307
— поперечных нагрузок 334—335
— продольных нагрузок 332—333
Кирхгофа—Клебша модель 214—221
Кирхгофа—Лява модель 178—194
Комплекс программный для расчета
машиностроительных конструкций —
Общая характеристика 114, 133—134
— объемных систем 135—136
— осесимметрнчных систем 136
— плоских и пространственных пла-
пластинчатых систем 135
стержневых систем 134—
137
— пространственных пластинчато-
стержневых систем 136—137
— тонкостенных оболочечных систем
136
Комплект выпуска текстовой докумен-
документации 369—373
Конструкции оболочечные — Методы
решения задач статики и динамики
143—148 — Программный комплекс
расчета 176—178 — Расчетные схемы
138 — Этапы проектирования 287—288
— упругие осесимметричные — Раз-
Разработка программ расчета 114—133
Косииус-преобразоваиие Фурье 18, 175,
182
Кутта—Мерсоиа метод 155—156
Л
Листинг контрольный 321—322

512
M
Массивы исходных данных второй
группы 109
— дополнительные 110
— первой группы 108—109
— GS (NC, К) 109
— GS (NC, 4) 116
— GSE (NCE, 3), GSW (NCW, 3) 109
— MB (NA, 0 : 6) 108
— NB (NA, 0:2) 116
— NF (ND, 0: 12) 110
— NG (NQL) 116
— NH (NS, L) 109
— NH. (NS, 4) 116
— NHE (NSE, 3), NHW (NSW, 2),
NL (NQL) 109
— NLP (NQL), NLY (NQL) 116
— Q B#N, NQL) ПО
— Q A8, NQL) 111
— Q B4, NQL) 112
— QD (SUM (NG), 4) 116
— QM (NM, 0 : 4), QR A : SUM (NL),
6) 109
— QR (SUM (NLY), 0:2) 116
— QS A : SUM (NLS), K) 109
— QS (SUM (NLP), 0:4) 116
— R B * N, 2 * N) 110
— R A8, 18) 111
— R B4, 24) 112
— WQ(NW, 0:2), X (NR, 2) 116
— X(NR + NR1.3) 108
Материалы конструкционные — Типы
317, 346—347 — Характеристики 317—
318, 346—347
Матрица масс конечного элемента 14
— в глобальных координатах 25
— пластинчатого прямоугольного 85—
87
треугольного 78—79
— стержневого 57—58
Матрица реакций конечного элемента
12, 14
— в глобальных координатах 25
— вязкоупругой связи 239
— кольцевого 93
— оболочечного 103, 105—106, 238
— объемного 97—98
— пластинчатого прямоугольного 81,
84—85
треугольного 71, 74, 76—77
*— стержневого 54—57
Матрица сопротивления конечного эле-
элемента пластинчатого прямоугольного
87
— пластинчатого треугольного 79
— стержневого 57, 59
Матрица теплоемкости конечного эле-
элемента 16
— пластинчатого прямоугольного 8
треугольного 80
— стержневого 62, 63
Матрица теплопроводности конечного
элемента 16
— пластинчатого прямоугольного 87
треугольного 80
— стержневого 62, 63
Матрица упругости 13, 17
Матрица устойчивости стержневого
элемента 59, 61
Матрицы жесткостей оболочечных эле-
элементов 152—155
— полюсных элементов 230—234
— узловых элементов 214—235
— упругих и вязкоупругих связей
234—235
— шпангоутов круговых с деформируе-
деформируемым сечением 227—229
с недеформируемым сечением
214-227
Метод Гаусса — См. Гаусса метод
Метод конечных элементов — Сущ-
Сущность 8 — Основные этапы расчета 8
— в форме метода перемещений —
Этапы расчета 10—11
Метод /,?>/.т-факторизации — Алго-
Алгоритм 27—28 — Процедура управляю-
управляющая 47—50 — Процедуры . 29—31 —
Формулы для оценки объема рабочего
файла 30 \
— Мюллера — См. Мюллера метод
— Ньютона—Канторовича — См.
Ньютона—Канторовича метод
— перемещений — Математическое
обеспечение 164—165, 172—175 —
Разрешающие системы уравнений 235—
241
— сопряженных градиентов — Алго-
Алгоритм 40 — Общие сведения 34, 39—
42 — Процедура управляющая 50—51
— шаговый 146—148, 279—286
Методы ввода информации базовые 302
Модели деталей координатные — Фор-
Формирование 308—315
Модель Кирхгофа — Клебша — См.
Кирхгофа—Клебша модель
— Кирхгофа—Лява — См. Кирхго-
Кирхгофа—Лява модель
— ломаной лннни 194—214
— неупругостн обобщенная — Основ-
Основные положения н уравнения 249—
255, 274 — Особенности 256
— осесимметричной конструкции гео-
геометрическая 305—307

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
513
— Тимошенко — См. Тимошенко мо-
модель
Модификатор 303
Модули программные — Определение
176
— математического обеспечения 177
— объектно-ориентированные 177—
178
— проблемно-ориентированные 177
— сервисные 178
Модуль касательный 19
— комплексный 18
— сдвига комплексный 18, 175, 180
— секущий 19
— упругости комплексный 180
Мюллера метод 147, 172, 174
Н
Накопление повреждений 268—273
Напряжения в конечных элементах —
Процедуры вычисления 129
Ньютона—Канторовича метод 145
Операции проектные, обеспечиваемые
КИПР-ЕС — Визуализация проектной
информации 293 — Выбор задачи
292 — Задание факторов внешней сре-
среды 291 — Определение параметров
НДС и динамических характеристик
конструкции 292 — Подготовка и вы-
выпуск расчетно-конструкторской доку-
документации 293—294 — Поиск рацио-
рационального технического решения 293 —
Формирование геометрической модели
конструкции 291 — Хранение инфор-
информации 294
П
Пакет прикладных программ БАЗАД
378—381
— ГРАФИТ — Назначение 296 —
Основные подпрограммы 310—311
Параметры 303
— конструкции основные — Описание
108
Перемещения обобщенные — Опреде-
Определение 12
— узлов в локальных и глобальных
координатах 24
Поверхность нагружеиия 250—251
Подпрограммы: АСАКАС, АСАТ,
АСРКАС, AD, АКАС, АКАСЗР,
АКАН, АКТТТ, АТСР, ВВ, ВВР 310
— ВВР 322
— СВК 310
— CLSSB 383
— CRTNB 382
— D2T, D3T, DCACPP, DCACPT,
DCEKP, DCEKXY, DCEK2P, DCEK2Y
DKACAA, DKACAP, DKACAT.
DKAH, 310
— FNDNB 382
— FNDZP 383
— FORMAT 310
— FORSB 319
— FORSB 1 320
— INDATA, INTEXT 300
— KIBOBD, KIBOBL, KIBOBN,
KIBSHD, KIBSHN, KIBSHP 364
— KIDET 321
— KIFRCR 312
— KILZP 383
— KIMAT 319
— KIPBB 364
— KIPCPM 322
— KIRDCR, KIWRCR 321
— KOH 310
— LEAFXY 322
— MASH 310
— OPNSB 382
— PKACX, PKACY, PKPECT 310
— PRNSSB 322
— РТА, PX (PY) 311
— REDZP 383
— RISSB 364
— SHK, SKACAA, SKACAT, SKAH,
TAP, THA, TKO, TMIN, TOB, TXY
311
— WRTMTL 317
— WRTTIP 321
— YMIN 311
Подсистема анализа НДС и динамиче-
динамических характеристик конструкций —
Общие сведения 296—297 — Описание
внешних воздействий 347—349 — Про-
Программное обеспечение 349—355 —
Структура 344—345 — Формирование
расчетной схемы конструкции 345—
347
— визуализации, выпуска графиче-
графической и текстовой документации —
Комплект выпуска текстовой доку-
документации 369—373 — Общесистемные
средства машинной графики 355—
360 — Общие сведения 297 — При-
Прикладное графическое обеспечение 360—
369 — Структура 355
— обучения пользователей 298
— синтеза конструкций — Назначе-
Назначение 304 — Общие сведения 296 —
Средства контроля и документирова-
документирования работы 321—323 — Средства син-

514
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
теза геометрических моделей 308—
321 — Структура 304—305
— тестирования 298
— формирования расчетных схем кон-
конструкций — Общие сведения 296 —
Программа РЕДАКТОР PC 341—
343 — Средства контроля и докумен-
документирования работы 343 — Средства под-
подготовки расчетной схемы 325—341 —
Структура 322—325
— хранения информации — Общие
сведения 297 — Организация данных
376—378 — Средства взаимодействия
пользователей и архивов 384—386 —
Средства управления и доступа к дан-
данным 378—384 — Структура 373—376
Принцип алгоритмического ввода 177
— модульности 176
Программа записи результатов расче-
расчетов в архив 356—360
— R00A21 исследования НДС осе-
симметричных конструкций управляю-
управляющая 132
— РАЗРИСОВЩИК — Директивы
367—368 — Общие сведения 367—369
— РЕДАКТОРА интерактивная
— Основные директивы 313—
314
— РЕДАКТОР PC — Назначение
384—385 — Основные директивы 319,
341—343
Программы расчета осесимметрнчных
конструкций объектно-орнентирован-
¦ные 353—355
— проблемно-ориентированные —
Этапы разработки 114
Проектирование конструкции — Эта-
Этапы 287—288
Протокол выполнения программ 363
Процедуры алгоритмического ввода
исходных данных 349
— диагностики исходных данных 353
— математического обеспечения вспо-
вспомогательные 243, 350
инвариантные 242
— метода ортогональной прогонки
241—242
перемещений 242
— расчета осесимметрнчных оболочеч-
ных конструкций объектно-ориенти-
рованиые 350—353
— решения задач статики и динамики
оболочечных конструкций проблемно-
ориентированные 243—246
— сервисные 353
— ACPU5 формирования таблиц ис-
исходных данных и результатов реше-
решения — Текст 483—484 — Формальные
параметры 130
— ADDABP внесения элемента в ком-
компактную структуру из массивов LNZ1
и LNZ2 — Текст 423—424
— BANDD вычисления определителя
с ленточной матрицей — Текст 505
— BANDDZ вычисления определите-
определителя с ленточной матрицей (комплексные
переменные) — Текст 506
BANDS решения системы линейных
алгебраических уравнений с ленточ-
ленточной матрицей методом Гаусса — За-
Заголовок и формальные параметры 33 —
Текст 408, 503
— BANDSZ решения систем линейных
алгебраических уравнений с ленточ-
ленточной матрицей методом Гаусса (ком-
(комплексные переменные) — Текст 504
— BNDPR решения систем линейных
обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка — Текст
496—497
— BNDPRZ решения системы линей-
линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка (комплекс-
(комплексные переменные) 497—498
— CROUT решения системы линей-
линейных алгебраических уравнений мето-
методом Гаусса с выбором главного эле-
элемента — Заголовок и формальные па-
параметры 33 — Текст 491
— CROUTZ решения системы линей-
линейных алгебраических уравнений мето-
методом Гаусса с выбором главного эле-
элемента (комплексные переменные) —
Текст 492
— ECONGP формирования верхнего
связного списка симметричной раз-
разрежённой матрицы — Особенности
43—44 — Текст 412—413
— FACT1 решения систем линейных
уравнений методом LDL?-факториза-
LDL?-факторизации для квадратной матрицы — Заго-
Заголовок и формальные параметры 31 —
Текст 406
— FACTB решения систем линейных
уравнений методом /.?>/Лфакториза-
ции для ленточной матрицы — Заголо-
Заголовок и формальные параметры 30 —
Текст 405—406
— GAUS1 прямого хода по методу
Гаусса — Заголовок и формальные па-
параметры 32 — Текст 406—407
— GAUS2 обратного хода по методу
Гаусса — Заголовок и формальные па-
параметры 32 — Текст 407—408

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
515
— QAUSD вычисления определите-
определителя — Текст 504
— GAUSDZ вычисления определителя
(комплексные переменные) — Текст
505
— GAUSS решения систем линейных
алгебраических уравнений с квадрат-
квадратной матрицей — Текст 502
— QAUSSZ решения систем линейных
алгебраических уравнений с квадрат-
квадратной матрицей (комплексные перемен-
переменные) — Текст 502
— GQMDBP упорядочения графа по
методу минимальной степени — Текст
415—416
— HOLSBP прямой и обратной под-
подстановки в /.©//-разложение разре-
разреженной симметричной матрицы —
Текст 425—426
— HOLTBP треугольного L?>LT-pa3-
ложения вещественной симметричной
разреженной матрицы — Текст 424—
425
— INTPL интерполяции функции од-
одной переменной с помощью построения
интерполяционного полинома Ла-
граижа — Текст 506
— INTPLZ интерполяции функции од-
одной переменной с помощью построения
интерполяционного полинома Лагран-
жа (комплексные переменные) — Текст
507
— KTXYM стандартная 106—107 —
Формальные параметры 107
— KUTT1 интегрирования обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка методом Кутта—Мер-
сона — Текст 486
— KUTT1Z интегрирования обыкно-
обыкновенного дифференциального уравне-
уравнения первого порядка методом Кутта—
Мерсона (комплексные переменные) —
Текст 487
— KUTTN интегрирования системы
обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка методом
Кутта—Мерсоиа — Текст 487—488
— KUTTNZ интегрирования системы
обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка методом
Кутта — Мерсона (комплексные пере-
переменные) — Текст 488
— LDLF1 прямого хода по методу
/.?>/-т-факторизации — Заголовок н
формальные параметры 29 — Текст
403—404
— LDLF2 обратного хода по методу
/,?>/-т"факторизации — Заголовок и
формальные параметры 30 — Текст
404—405
— LDLFB решения системы линейных
алгебраических уравнений методом
/,?>/-т-факторизации — Текст 482—
483 — Формальные параметры 128
— LFADCP формирования пары
(XADJ, ADJNCY) из верхнего связ-
связного списка — Текст 415
— LNZIMP перенесения элементов ма-
матрицы из верхнего связного списка
в компактную структуру Шермана —
Текст 423
— MATRL вспомогательная вычисле-
вычисления матрицы реакций изгибного эле-
элемента прямоугольного — Текст 446
— MATRM перемножения квадратных
матриц — Текст 499
— MATRMZ перемножения квадрат-
квадратных матриц (комплексные перемен-
переменные) — Текст 499
— МВ002 вспомогательная вычисле-
вычисления матриц и векторов реакций тре-
треугольного мембранного элемента —
Текст 441—442
— МВ003 вспомогательная вычисле-
вычисления матрицы и векторов реакций тре-
треугольного изгнбного элемента —
Текст 442—443
— MCGIAP метода сопряженных гра-
градиентов с предварительно нормирован-
нормированной матрицей — Вычислительный мо-
модуль 429—430
— MPR15 объединения ввода масси-
массивов В, XX, WQ, NH, GS, NLY и
NLP — Текст 474—475
— MPR17 объединения ввода масси-
массивов QR, QS и QD —Текст 475
— MR002 вычисления матрицы и век-
вектора реакций треугольного элемента
в локальных координатах для пло-
плоского напряженного состояния —
Текст 441
— MR002T вычисления матриц тепло-
теплопроводности, теплоемкости и вектора
«тепловых сил» стержневого конечного
элемента — Текст 463—464
— MR003 вычисления матрицы и век-
вектора реакций треугольного элемента
в локальных координатах для изги-
изгиба — Текст 442
— MR003T вычисления матриц тепло-
теплопроводности, теплоемкости и вектора
«тепловых сил» треугольного конеч-
конечного элемента — Текст 464 '

516
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— MR004T вычисления матриц тепло-
теплопроводности, теплоемкости и вектора
«тепловых сил» четырехугольного ко-
конечного элемента — Текст 465
— MRCBS1 вспомогательная для вы-
вычисления матрицы реакций кольце-
кольцевого элемента с треугольным сечением
в осесимметричной задаче теории пла-
пластичности — Текст 466—467
— MR DBS 1 вспомогательная для вы-
вычисления матрицы реакций кольце-
кольцевого элемента с треугольным сече-
сечением — Назначение 128 — Текст 462
— МТ0321 вычисления матрицы и век-
векторов реакций кольцевого элемента
с треугольным сечением — Текст 461
— МТА321 вычисления матрицы и
вектора реакций кольцевого элемента
с треугольным сеченнем для очеред-
очередного приближения по методу Ньюто-
Ньютона—Канторовича — Текст 465—466
— MTDA3 вспомогательная для вы-
вычисления матрицы реакций кольце-
кольцевого элемента с треугольным сече-
сечением в осесимметричной задаче теории
пластичности — Текст 467
— MTR32M вычисления матрицы масс
треугольного элемента, работающего
в своей плоскости — Текст 453
— MTR33M вычисления матрицы масс
треугольного элемента, работающего
на изгиб — Текст 453—454
— MTR36 вычисления матрицы н век-
векторов реакций треугольного элемента
в локальных координатах для общего
случая нагружения — Текст 440—441
— MTR36M вычисления матрицы масс
треугольного элемента, работающего
в своей плоскости и на изгиб — Текст
452
— MTR42 вычисления матрицы и век-
векторов реакций прямоугольного эле-
элемента в локальных координатах для
плоского напряженного состояния —
Текст 444—445
— MTR42M вычисления матрицы масс
прямоугольного элемента, работающе-
работающего в своей плоскости — Текст 454
— MTR43 вычисления матрицы и век-
векторов реакций прямоугольного эле-
элемента в локальных координатах для
изгиба — Текст 445—446
— MTR43M вычисления матрицы масс
прямоугольного элемента, работающе-
работающего на изгиб — Текст 455
— MTR46 вычисления матрицы и век-
векторов реакций прямоугольного эле-
элемента в локальных координатах для
общего случая нагружения — Текст
443—444
— MTR46M вычисления матрицы масс
прямоугольного элемента, работающе-
работающего в своей плоскости н на изгиб —
Текст 454
— MTRB2 вспомогательная для вы-
вычисления напряжений в мембранном
треугольном элементе — Текст 450
— MTRB3 вспомогательная для вы-
вычисления напряжений в изгибном тре-
треугольном элементе — Текст 450—451
— MTRB4 вычисление матрицы связи
векторов деформаций и перемещений
для шестигранного объемного элемен-
элемента — Текст 456
— MTRBB вспомогательная для вы-
вычисления матрицы реакций треуголь-
треугольного элемента в плоской задаче тео-
теории пластичности — Текст 469—470
— MTRD2 вспомогательная для вы-
вычисления матрицы реакций треуголь-
треугольного элемента в плоской задаче теории
пластичности — Текст 470—471
— MTRD4 вычисления матрицы упру-
упругости для изотропного материала —
Текст 456
— MTRM0 вычисления матрицы масс
треугольного и прямоугольного эле-
элементов в глобальных координатах —
Текст 451—452
— MTRMT перемножения прямо-
прямоугольных матриц — Текст 457
— MTRP2 вычисления матрицы и век-
вектора реакций треугольного элемента
для очередного приближения по ме-
методу Ньютона—Канторовича — Текст
469
— MTRRQ вычисления матрицы н
вектора реакций треугольного и пря-
прямоугольного элементов в глобальных
координатах для оценки общего слу-
случая нагруження — Текст 438—439
— MULER отыскания наименьшего
корня нелинейного функционального
уравнения с помощью шагового метода
н метода Мюллера — Текст 507—509
— MULERZ отыскания комплексного
корня нелинейного функционального
уравнения с помощью метода Мюл-
Мюллера — Текст 509—510
— MULTAP вычисления произведе-
произведения списочно заданной матрицы на
вектор — Текст 431
— MVECT перемножения квадратной
матрицы на вектор — Текст 498

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
517
— MVECTZ перемножения квадрат-
квадратной матрицы на вектор (комплексные
переменные) — Текст 499
— MVEKT перемножения прямоуголь-
прямоугольной матрицы на вектор — Текст 462
— NORMAP нормирования списочно
заданной матрицы к единичной диа-
диагонали — Текст 429
— ORTOG ортогонализации векто-
векторов — Текст 490
— OPTOGZ ортогонализации векто-
векторов (комплексные переменные) —
Текст 490
— OPTON ортонормирования векто-
векторов — Текст 489
— OPTONZ ортонормирования векто-
векторов (комплексные переменные) —
Текст 489
— P3SA31 вычисления параметров на-
напряженного состояния для коль-
кольцевых элементов с треугольным сече-
сечением в осесимметричной задаче теории
пластичности — Текст 468—469
— PRORR1 вычисления реакций в
упругих и жестких опорах осесим-
метричных конструкций — Текст 477—
478 — Формальные параметры 129
— PR001 вычисления длины стержне-
стержневого элемента н матриц преобразова-
преобразований — Текст 433—434
— PR002 вычисления матрицы и век-
вектора реакций стержневого элемента
в локальных координатах — Текст
434—435
— PR002M вычисления матрицы масс
стержневого элемента в локальных
координатах — Текст 437—438
— PR003 преобразования матрицы и
вектора реакций стержневого элемента
в соответствии с условиями прикреп-
прикрепления этого элемента к узловым —
Текст 435—436
— PR004 вычисления матрицы и век-
вектора реакций стержневого элемента
в глобальных координатах — Текст
432—433
— PR004M вычисления матрицы масс
стержневого элемента в глобальных
координатах — Текст 436—437
— PR04 вычисления матрицы реак-
реакций четырехгранного объемного эле-
элемента — Текст 455
— PR1A11 табличной печати коорди-
координат узлов, признаков наличия жест-
жестких связей в узлах и характеристик
жестких опор — Текст 478—479 —
Формальные параметры 131
— PR1A21 табличной печати тополо-
топологии кольцевых конечных элементов
и характеристик материала — Текст
479—480 — Формальные параметры
131
— PR1A31 табличной печати узло-
узловых нагрузок, перемещений узлов или
реакций — Текст 480 — Формальные
параметры 131
— PRIA41 табличной печати распре-
распределенных воздействий на кольцевые
конечные элементы — Текст 481 —
Формальные параметры 131
— PR1A51 табличной печати значе-
значений давлений на гранях кольцевых
конечных элементов — Текст 481 —
Формальные параметры 131
— PR1A61 табличной печати пара-
параметров напряженного состояния коль-
кольцевых конечных элементов — Текст
482 — Формальные параметры 131
— PRA151 формирования разрешаю-
разрешающей системы уравнений метода пере-
перемещений для осесимметрнчных кон-
конструкций — Текст 476—477 — Фор-
Формальные параметры 127
— PRC00 обнаружения признака кон-
конца массива исходных данных — Текст
474 — Формальные параметры 125, 127
— PRCNB ввода массива NB — Текст
472 — Формальные параметры 124
— PRCNH ввода массива NH — Текст
473 — Формальные параметры 125
— PRCQQ ввода массивов распреде-
распределенных нагрузок — Текст 474 — Фор-
Формальные параметры 126
— PRCSC вычисления геометрических
параметров треугольных или прямо-
прямоугольных пластинчатых элементов —
Назначение 111, 112 —Текст 439—
440
— PRCWQ ввода массива WQ —
Текст 473 — Формальные параметры
125, 127
— PRCXX ввода массива XX —
Текст 472 — Формальные параметры
124, 127
— PRM06 вычисления матрицы реак-
реакций пятигранного объемного элемен-
элемента — Текст 457—458
— PRM08 вычисления матрицы ре-
реакций шестигранного объемного эле-
элемента — Текст 458

618
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— PROCM вычисления ширины ленты
матрицы — Текст 483 — Формальные
параметры 128
— PRSA31 вычисления параметров на-
напряженного состояния для кольцевых
элементов с треугольным сечением в
осесимметричиой задаче теории упру-
упругости — Текст 462—463 — Формаль-
Формальные параметры 129
— PRSG3 вычисления параметров на-
напряженного состояния для мембран-
мембранных или изгибиых треугольных пла-
пластинчатых элементов — Текст 449—
450
— PRSG3S вычисления параметров
напряженного состояния для треуголь-
треугольного пластинчатого элемента в общем
случае иагружения — Текст 446—447
— PRSG4S .вычисления параметров
напряженного состояния для прямо-
прямоугольных пластинчатых элементов в
общем случае иагружения — Текст
448—449
— QMDMAP слияния в алгоритме
минимальной степени — Текст 417—
418
— QMDQAP преобразования фактор-
графа в алгоритме минимальной сте-
степени — Текст 418—419
— QMDRAP вычисления достижимого
множества в алгоритме минимальной
степени — Текст 419
— QMDUAP пересчета степеней в ал-
алгоритме минимальной степени —
Текст 420—421
— R00A21 решения осесимметричной
задачи теории упругости — Текст
484—485 — Формальные параметры
132
— REVER обращения квадратной ма-
матрицы — Текст 468
— REVER вычисления матрицы [В],
обратной матрице [А ] — Текст 501
— REVERZ вычисления матрицы [В],
обратной матрице [А ] (комплексные
переменные) — Текст 501
— RSLEFP инвариантная для реше-
решения систем линейных алгебраических
уравнений с положительно определен-
определенными симметрично разреженными ма-
матрицами методом /,?>/.т-факторизации
с упорядочением по алгоритму мини-
минимальной степени — Текст 409—412
— RSLEGP инвариантная для реше-
решения систем линейных алгебраических
уравнений с положительно определен-
определенными симметрично разреженными ма-
матрицами методом сопряженных гра-
градиентов — Текст 426—428
— SGEP2 вычисления параметров на-
напряженного состояния для треуголь-
треугольного элемента в плоской задаче тео-
теории пластичности — Текст 471 .;
— SGM04 вычисления параметров на1-
пряженного состояния для четырех-
четырехгранного объемного элемента — Текст
459
— SGM16 вычисления параметров на-
напряженного состояния для пятигран-
пятигранного объемного элемента — Текст
459—460
— SGM18 вычисления параметров на-
напряженного состояния для шестигран-
шестигранного объемного элемента — Текст 460
— SMBFBP символического разложе-
разложения и формирования компактной схемы
Шермана — Текст 421—422
— STIFM вычисления матрицы жест-
жесткости для системы линейных дифферен-
дифференциальных уравнений первого поряд-
порядка — Текст 493—494
— STIFMZ вычисления матрицы жест-
жесткости для системы линейных дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка
(комплексные переменные) — Текст
494—495
— TIMES печати текущего времени —
Текст 483 — Формальные параметры
132
— TITLA печати титульного листа
приложения комплекта документации
по расчету осесимметричных конструк»
ций — Текст 478 — Формальные пара-
параметры 130
— TRANS транспонирования квадрат-
квадратной матрицы — Текст 500
— TRANSZ транспонирования ква-
квадратной матрицы (комплексные пере-
переменные) — Текст 500
— WRDSK обмена между оператнвг
ной и внешней памятью ЭВМ — Текст
403
— ZEROAP удаления логических ну-
нулей из верхнего связного списка и учета
однородных граничных условий —<¦
Текст 413—41.4
Пуассона коэффициент комплексный
18, 175, 180
Реакции в упругих и жестких опо-
опорах — Процедуры вычисления 129
— обобщенные — Определение 12

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
519
Ржаиицыиа—Колтунова ядро 157, 174
Свойства материалов реологические
16—21
Сииус-преобразоваиие Фурье 18, 175,
182
Система базовая графическая для гра-
графопостроителей 355—357
— интегрированная автоматизации и
прочностных расчетов на базе ЭВМ
ЕС — Назначение 289—290 — Органи-
Организация вычислительного процесса 300—
301 — Основные операпии 290—294 —
Подсистемы 296—298, 304—386 — По-
Поставка и размещение 303—304 — При-
Пример использования 386—401 — Про-
Программное обеспечение 294—298
— Уровни технической реализации
298—300 — Формы взаимодействия
пользователей и системы 302—303
— координат глобальная 21, 140—143
локальная 21, 140—143
— управления оперативными базами
данных 381—384
Система уравнений линейных алге-
алгебраических с разреженными матри-
матрицами 34 — Алгоритмы решения 36—
40 — Методы решения 34—42
— разрешающая — Процедуры реше-
решения 128—129 — Формирование 127—
128 — Формулировка 274—279
Системы проектирования интегриро-
интегрированные 287—289
Соотношения для оболочек канониче-
канонические — Модель Кирхгофа — Лява
178—194 — Модель ломаной линии
194—214
Список верхний связный, 42—44
"— смежности для хранения графа 45
Справка ресурсная 361
Средства программные дли работы
с векторными и цветными растровыми
дисплеями 357—360
Стирлиига разложение асимптотиче-
асимптотическое 175
Структура директивы 302—303
Существительное 303
Схема сборки конструкции — Форми-
Формирование 319
Схемы расчетные оболочечиых кон-
конструкций 138—140
Таблица граничных факторов — Струк-
Структура 331
— координатной модели 307
— упорядочения контура детали 312
Теизор скоростей иеупругой деформа-
деформации 253
Теории пластичности, ползучести и
неупругости при сложном иагруже-
иии — Основные положения н расчет-
расчетные зависимости 256—268
Тимошенко модель 221—227
Уравнение кривой длительной проч-
прочности 270
— — малоцикловой усталости 269
— теплопроводности 15
Уравнения кинетические накопления
повреждений, залечивания и охруп-
чивания 255
— нелинейные функциональные — Ре-
Решение 172—175
— неупругого состояния 260
— обобщенной модели неупругости 274
Условия упругого и неупругого со-
стоиний 254
Файлы исходных данных — Формиро-
Формирование 341
Фрагменты расчетные оболочечиых
конструкций — Типы 138—140
Характеристики геометрические пло-
плоских сечений, составленных из стан-
стандартных профилей 66—67
— нетонкостенных 68—69
— произвольных 63—66
— тонкостенных 66—68
Чертеж контрольный 321, 322
Ш
Шаблон таблицы связей 330
— характеристик материалов 318
Шермана схема 46
Шпангоуты круговые с недеформируе-
мым поперечным сечением — Модель

620
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кирхгофа — Клебша — См. Кирхго-
Кирхгофа — Клебша модель — Модель Тимо-
Тимощенко — См. Тимошенко модель
9
Элемейты конечные типовые кольце-
кольцевые — Алгоритмы расчетов 89—94
Реализация алгоритмов 113—114
— оболочечные — Алгоритмы расчетов
99—107
— объемные — Алгоритмы расчетов
94—99—Реализация алгоритмов 113
— пластинчатые прямоугольные —
Алгоритмы расчетов 80—87 — Реали-
Реализация алгоритмов 112—113
треугольные — Алгоритмы рас-
расчетов 69—80 — Реализация алгорит-
алгоритмов 111—112
— стержневые прямолинейные — Ал-
Алгоритмы расчетов 51—69 — Реализа-
Реализация алгоритмов ПО—111