ФИЗИКА♦ХИМИЯ
МАТЕМАТИКА
ТЕХНИКА
В ТРУДОВОЙ ШКОЛЕ
МЕТОДИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ
ГЛАВНОГО УПРАВЛЕНИЯ СОЦИАЛЬ¬
НОГО ВОСПИТАНИЯ И ИНСТИТУТА
МЕТОДОВ ШКОЛЬНОЙ РАБОТЫ РСФСР
Под общей редакцией
проф. П. П. ЛЕБЕДЕВА
№ 2
1929
«РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ КРУЖОК В ШКОЛЕ И РАБОТА В НЕМ
53
Кроме гого, необходимо при кружковой работе иметь под руками подвиж¬
ную карту звездного неба. Изготовить ее можно без особых хлопот, купив «Под¬
вижную карту звездного неба» проф. А. А. Михайлова, изд. «Научного книгоизда¬
тельства», с объяснительной брошюрой, доступной вполне пониманию учащихся.
Наконец, полезно изготовить ряд стенных таблиц, диаграмм и плакатов, например,
«Сравнительная величина солнца и планет», «План солнечной системы» (NB мас¬
штаб!), чертежи, поясняющие законы Кеплера, карты видимых путей планет для
данного года, плакаты «Лунные и солнечные затмения» и т. д. Впоследствии
можно устроить в школе целый «астрономический уголок». Полезно изготовить
также и «Календарь-планетарий» по Баранову (описание см. у Баранова—«Школь¬
ный астрономический городок», стр. 51—52, или у Набокова—«Рабочая книга по
астрономии для 6-го года обучения», Гиз. 1928, стр. 35—36; описание у Баранова
полнее). Хорошо сделать и упрощенное солнечное кольцо, см. Набоков «Рабочая
книга по астрономии для 6-го года обучения», стр. 52 — 53.
Как видим, работа в астрономическом кружке может быть продуктивной и
интересной, хотя вначале трудности, конечно, могут быть и будут. Однако
школам некоторую помощь в организации и налаживании работы в астрономиче¬
ских ученических кружках может оказать Секция популярной астрономии при
Московском обществе любителей астрономии (СПА при МОЛА). Помня заветы
2-го съезда любителей мироведения, астрономии и геофизики, СПА с большой
охотой примет на себя «шефство» над такими кружками; она уже приняла уча¬
стие в работе астрономического кружка при 36-й школе БОНО и отчасти при
42-й школе БОНО и надеется, что организуются и другие кружки. Всех препода¬
вателей, желающих получить какие-либо указания и справки по организации круж¬
ков, президиум СПА просит обращаться письменно по адресу; Москва 69, Новин¬
ский бульвар, 34, кв. 9, К. Л. Баеву,-в президиум СПА. Помощь всемерно будет
оказана.
Астрономия—наука, выросшая на наблюдениях невооруженным глазом. Вели¬
кие греческие астрономы не знали телескопа, однако создали стройную кинема¬
тическую теорию движения планет. Нам думается, что и регулярные, продуманные
наблюдения участников школьного астрономического кружка могут принести хоро¬
шие в педагогическом и методическом смысле результаты, если даже эти наблю-
пения будут планомерно производиться только невооруженным глазом. Это отнюдь
не значит, что школы не должны обзаводиться трубами и биноклями: роль этих
драгоценных пособий Еесьма велика именно в кружковой работе.
К. Л. Баев.
*
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ.
t
(Решения уравнений 1-й степени с одним и двумя неизвестными.)
Предисловие.
Настоящая статья есть результат доклада, прочитанного мной на
зимней конференции преподавателей школ повышенного типа Канского округа.
Основная тема этого доклада была «Графический метод в школе II ступени».
Имея под рукой сравнительно мало источников и в то же время не будучи
удовлетворен этими пособиями, так как очень часто графическое решение того
или иного вопроса было слишком искусственным, я отказался от мысли восполь¬
зоваться этими пособиями и теми приемами, кои ими предлагались.
Так как большинство конферентов были сельские учителя, преподаватели
семилеток, то я главным образом и строил свой доклад на материале седьмых
групп.
Поэтому центральным местом доклада явилась тема «Уравнения 1-й сте¬
пени с одним и двумя неизвестными». В настоящее время я хочу подвергнуть
предлагаемый метод всесторонней товарищеской критике.

54
Л. О. ГУРВИЧ
В защиту предлагаемого метода с своей стороны я хотел бы высказать
несколько соображений. Одно из самых существенных преимуществ его, с моей
точки зрения, это возможность сравнительно очень просто находить приближен¬
ные решения системы двух уравнений. Для иллюстрации можно рассмотреть ре¬
шение хотя бы системы:
0,24л: -f0,73j/= 0,79 и
0,6Зх-{-0,17у = 0,92 обычными способами.
Графическое решение этой системы обычным методом достаточно сложно.
Еще более затруднений как со стороны вычислений, так и со стороны
построения мы видим при построении системы:
331 х — 241у/ = 138-> и
183х + 253у/ = 1125.
Го же самое можно сказать вообще о решении системы уравнений 1-й степени.
Имеем:	4x-j-9y	=	5	и
8х 15_у = 9,
5	4
откуда:	у	—		^х	и
3	8
у = -г--.15 х.
Нужно решать приближенно, или подыскивать такие значения для х, когда
значения у будут целыми.
Первый способ (приближенного решения) не дает нам точного решения,
второй же способ, пожалуй, окажется не п^д силу даже ученикам девятых групп,
так как придется решать каждое уравнение как неопределенное. Оба эти не¬
удобства избегаются решением уравнения предлагаемым методом.
Второе соображение в пользу предлагаемого метода вытекает из того, что,
каковы бы ни были условия вопроса, придется ли решать систему
ах±Ьу = с и Xzty~cl или ах±by — с и а1х±Ь]у = с1,
независимо ни от знаков, ни от коэфициентов, принцип построения остается
неизменным, и конечно учащемуся легче понять, легче усвоить один общий прин¬
цип, чем много различных приемов построения, как при обычном способе.
И, наконец, следует отметить легкость и доступность самого метода уча¬
щимся, с одной стороны, а с другой стороны—их заинтересованность им, в чем
я мог убедиться на практике.
Правда, и у этого метода есть свои теневые стороны, а именно, когда отно¬
шения коэфициентов соответственных неизвестных сравнительно мало отличаются
друг от друга, но такие затруднения мы видим и при обычном методе.
Графическое изображение дроби.
§ 1. Чтобы представить дробь графически, воспользуемся прямоугольным
треугольником. Условимся считать знаменателем горизонтальный катет, а числи-
d телем—вертикальный катет. Так, чтобы изобра-
5
зить дробь , строим прямой угол: от вершины
его С влево откладываем отрезок АС — 7 едини¬
цам, это будет знаменатель данной дроби; затем
от той же вершины С вверх откладываем отре¬
зок СВ = 5 единицам,—это будет числитель той
же дроби. Проводим гипотенузу АВ, которую в
дальнейшем будем называть графиком данной
w дроби (черт. 1).
ч 1	Таким	образом, всякая дробь характери¬
зуется тем углом, который составляет график
данной дроби с ее знаменателем. Заметим, что точно таким же образом можно
изобразить и всякое целое число; например, чтобы построить число 3, мы

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
55
строим такой прямоугольный треугольник, у которого горизонтальный катет
(т.-е. знаменатель) равен единице, а вертикальный катет (т.-е. числитель) равен
трем таким же единицам.
Наконец, заметим, что после ознакомления учащихся с положительными и
отрицательными количествами и с принципом Декарта, мы можем какую угодно
дробь, положительную или отрицательную, изобразить точно таким же образом.
В дальнейшем, чтобы не повторяться каждый раз, условимся называть точку Л
началом дроби, точку вершиной дроби и точку С—основанием дроби, катет
Л С—знаменателем, катет ВС—числителем и гипотенузу АВ, как уже говори¬
лось,—графиком дроби.
§ 2. Что касается знака дроби, то его можно отнести или к числителю,
или к знаменателю, или к тому и другому одновременно, в зависимости от дроби.
5	+5
Так, дробь -7- может быть представлена и как дру-
и как
— 5
' — 7'
В первом
случае при построении дроби мы
должны от начала дроби отло¬
жить вправо -(-7, при основании
восставить перпендикуляр й на
нем вверх построить } -5; во
втором случае мы должны от
начала дроби отложить влево 7
и при основании вниз постро¬
ить 5. Таким образом, хотя в
обоих случаях мы имеем одну
и ту же дробь, но графически
она изобразится по - разному,
что мы и видим на черт. 2.
‘ Точно так же дробь
 может быть изображена
в
А
— 5	+5
двояко:	или •
вом случае знаменатель
знаменатель строится влево
с в
В пер-
строится
Черт. 2.
а
вправо, а числитель—вниз; во втором случае
числитель—вверх, что мы имеем на черт. 3.
§ 3. Когда учащиеся усво¬
ят достаточно твердо самый
принцип графического изобра¬
жения дроби или целого числа,
необходимо ознакомить их с
графическим представлением
основного свойства дроби: зна¬
чение дроби не изменится, если
числитель и знаменатель умень¬
шим или увеличим в несколько
раз. Не важно, если ученики
еще не знают подобия треугольников. Достаточно проделать с ними несколько
примеров, как они отлично усвоят это свойство.	л
12
Для иллюстрации построим дробь (черт. 4).
Разделив знаменателя сперва пополам,
Б С Б С
четыре части, мы получим дроби
ВС 1
очевидно, будут равны
б,С, _ 6
дроби
АС
12
т-е- 16-
В.,с^
АС-2
затем на
, которые,
но пер-
Так как
вая дробь	а	вторая
ALj	О	 *
при этом угол А остается без изменения, то тем самымл
мы убеждаемся, что значение дроби не изменилось,
Черт. 4.

5b
А. О. ГУРВИЧ
§ 4. Изменение дроби, в зависимости от изменения ее членов. Учащиеся,
конечно, знают, что с изменением числителя или знаменателя дробь изме¬
няется; но очень часто приходится сталкиваться с такими явлениями, когда уча¬
щиеся не вполне отчетливо представляют себе самый процесс изменения дроби.
По крайней мере мне лично приходилось в седьмых и восьмые группах наблю¬
дать, что часто учащиеся затрудняются сразу сказать, увеличится или уменьшится
дробь в зависимости от изменения числителя или знаменателя на какое-либо
количество. Между тем, если ознакомить учащихся с графическим изображением
дроби и с графическим же процессом изменения дроби, то в дальнейшем учащиеся
уже твердо и отчетливо представляют себе весь процесс изменения дроби.
В самом деле, если мы, не
изменяя знаменателя дроби, увели¬
чим или уменьшим числителя, то
угол, соответствующий данной дро¬
би, увеличится или уменьшится,
т.-е. в первом случае дробь уве¬
личится, а во втором—уменьшит¬
ся, и, наоборот, если, не изменяя
числителя, мы увеличим или умень¬
шим знаменателя, то соответству¬
ющий угол в первом случае умень¬
шится, а во втором — увеличится
т.-е. в первом случае дробь уменьшится, а во втором—увеличится.
Все это мы видим на черт. 5а и 5Ь.
В с ВС
Из черт. 5а имеем: дробь ~	,	так	как	угол В1АС> угла ВАС,
дробь
так как Угол В^АС < угла ВАС.
В с
Из черт. 5Ь имеем: дробь
В2С, ВС
АС, > АС
дробь
<
ВС
АС
так как угол В1АС1 < угла ВАС;
> .	,	так	как	угол	В£АС.2	>	угла	ВАС.
.. а + т
Дробь
! 1
§ 5. Еще больше трудностей встречается при изучении изменения дроби,
в случае увеличения числителя и знаменателя на одно и то же число. Опять-таки
мне часто приходилось сталкиваться с таким явлением, когда на вопрос, что
сделается с дробью, если к обоим членам ее прибавить поровну, учащиеся сплошь
и рядом отвечали: «дробь не изменится». Бывали случаи, когда учащиеся, имея
сокращали ее на т и получали:	.	Очевидно, что
учащиеся не вполне усвоили процесс изменения дроби. Правда, в современных
учебниках алгебры этому отделу уделяется очень мало места и времени; что же
касается графического представления дроби, то нам не приходилось встречать
никаких признаков графической интерпретации данного вопроса, а между тем
сколько времени и сколько энергии приходится затрачивать и учителю и ученику,
чтобы преодолеть эти трудности.
„	. а 4- т	а
В самом деле, если нужно сравнить две дроби	и	, то мы должны
привести их к общему знаменателю и найти их разность. Мы должны, кроме
того, рассмотреть, будет ли дробь правильная или неправильная. Между тем
графически вопрос решается и проще и легче, а главное настолько наглядно, что
а -(- т
впоследствии учащиеся никогда не вздумают сокращать дроб
на т, так
как график даст им возможность сразу представить обе дроби: и ^_j_™ и ~.
Для иллюстрации возьмем дробь ~ (пусть а < Ь). Прибавим к обоим членам

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
57
А ‘
А7 X
В
В,
но т (условимся на будущее время сперва увеличивать знаменатель, а затем
числитель).
Черт. 6 дает нам наглядное представление изменения дроби. Данная
дробь ВЯ. — Аг. Дробь	, очевидно, равняет-	в,
/1C О	Л(^1
ВС ~Т B.AI	ci -Г т		 г> л л
ся	'	—	. —	,	так	как	ССХ	=	ВМ	—
АС + СС]	Ь-}-т	1
ВуМ = т . Таким	образом, правильная	дробь	увели-	г	А/
чивается, если числитель и знаменатель увеличим на
одно и то же число. На этом же чертеже видим, что
правильная дробь уменьшается, если от обоих чле¬
нов ее отнять поровну. Пусть	неправильная дробь
(tf > b). Черт. 7 показывает, что от прибавления к	с2	с
обоим членам дроби поровну дробь уменьшается и,	Черт.	6.
наоборот, при вычитании одного и того же количе¬
ства дробь уменьшается, так как в первом случае угол
ABC уменьшается, а во втором случае он увеличивается.
Здесь можно было бы поставить ряд вопросов,
иллюстрирующих процесс изменения дроби, но посколь¬
ку это не касается затрагиваемой основной темы гра¬
фического метода решения уравнений,—я не буду на
этом останавливаться.
Графический метод решения уравнения 1-й степени
с одним неизвестным.
§ 6. Мы видели, что с увеличением или уменьше¬
нием обоих членов дроби на одно и то же количество
дробь вообще изменяется, увеличиваясь или уменьшаясь.
Проследим теперь, как расположатся вершины вновь
НС
образуемых дробей. Пусть данная дробь.
Черт. 8 нам показывает, что вершины всех вновь образуемых дробей будут
лежать на одной прямой, а именно—на прямой, проходящей через вершину В
данной дроби под углом в 45° к знаменателю дроби. Точно так же, если будем
отнимать от числителя и знаменателя
поровну, то вершины вновь образуе¬
мых дробей будут лежать на той же
прямой. Заметим, что при применении
клетчатой бумаги направление этой пря¬
мой определяется диагональю квадрати¬
ков, проходящей через вершину дроби В.
Тот же самый процесс мы можем
наблюдать, если числитель будем уве¬
личивать, а знаменатель уменьшать на
то же количество, или, наоборот, числи¬
тель уменьшать, а знаменатель увели¬
чивать. Весь этот процесс представлен
на черт. 9, где мы видим, что в обоихА'
случаях вершины всех вновь образуе¬
мых дробей лежат на прямой, прохо¬
дящей через вершину данной дроби под углом в 135° к знаменателю данной дроби.
§ 7. Это свойство дает возможность очень просто решать уравнения 1-й
степени с одним неизвестным.
Чтобы в дальнейшем не повторяться, докажем такую теорему:
й£ = — и -ai-±Z = -P-,TOX = k.
b-х q b + k q
Черт. 7.
Черт. 8.
Ci Сз Сэ Си
Если

58
А. О. ГУРВИЧ
Так как две величины, порознь равные одной и той же третьей, равны между
.. „ а 4-х	а-4-k
собой, то _^-=т^т>
откуда имеем:
(ci-'-x) {b-\-k) = {a-\-k) (Ь-\-х)
или, раскрывая скобки,
ab 4- bx -j- ak -\-kx = ab . bk-\-ax kx;
■ут после упрощения получим:
Ьх -f- ak — bk ах;
перенеся х влево, a k—вправо, получим:
bx — ах — bk —1 ak;
Ф'в левой части выносим за скобки х, а в
'правой—k:
~Xyb— a) — k{b — а),
С. откуда:
х = k .
Построение уравнений 1-й степени с одним неизвестным.
§ 8. Рассмотрим общий случай:
дробь
дробь
, а при начале дроби А строим
Графики дробей j и --- про-
При вершине В строим
D
а + х __ _р_
Ъ + х q
Для построения этого уравнения строим дробь
1
~~ .	1	^jjuucrt	^	п - ^
должаем до взаимного пересечения в точ¬
ке D. Проводим DE АС и BF_\_DE.
Тогда BF — DF — Х (черт. 10).
Построение:
ВС = а; АС—Ь.
Bn — тп = 1.
AN=n; MN—m.
DE J_ AE; BE J_ DE.
Доказательство. Так как на основе § 3:
DE _ MN	DE = DF EF — BC + DF - a EDI',
AE — AN '	AE = AC+CE=AC + EE=b+BF,
дробь д^	и	mn = Bn, to	DF = BF;
следовательно:
nj_DF _ MN
b + BE	AN
или
a -r DF   p
b -(- DF — q~'
поэтому, на основании теоремы § 7, x — DF.
Указанный способ построения уравнения является общим, каковы бы ни были
знаки параметров а и Ь, р и q. Точно так же не имеют значения для построе¬
ния уравнения и знаки неизвестного, лишь бы только придерживаться принципа
Декарта.
Рассмотрим несколько общих примеров а затем иллюстрируем их задачами
частного характера.
а — х  р
b — х	q
Построить

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
59
Строим дробь
— 1
При вершине В строим дробь —у, а при начале А
дробь . Продолжаем графики обеих дробей до пересечения в точке D.
Проводим DEj_AC и BF _|_ DF. Тогда BF — DF = х (черт. 11).
Доказательство аналогично предыдущему.
v
Построить: -yzry. —
x — BF — DF (черт. 12).
Построение и доказательство одинаковы; поэтому в дальнейшем я не буд>
останавливаться на этом, а приведу только самое построение, и п
„	а	—	х	п
Построить х _ ь — -jj- ■
Данное уравнение представим в таком виде:
а — х 	 р
ь + х ~~ V ’
Строим дробь	при	вершине	строим дробь , а
при начале—дробь	. В дальнейшем поступаем по пре¬
дыдущему. Тогда x — BF- FD (черт. 13).
Остановимся на доказательстве:
РЕ
АЕ
так как дроби
но
/N
/ А/
г/
N
MN	.-	,,	DE MN р .
и ж равны, то (§ 3)	ae=-- = -L.,
DE — CF = BC — BF=a — BF-
АЕ — СЕ — AC — DF— AC = BF—b\
D следовательно,
a - BF   m
BE — b	n
На основании § 7
BF — x.
Построить'
x a
Строим дробь	—-	и в дальнейшем поступаем по
ГС	О
Черт. 14.	предыдущему:
х = DF — BF (черт. 14).
§ 9. Решим несколько численных примеров, иллюстрирующих данный
метод.

60
А. О. ГУРВИЧ
13
Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю дроби , чтобы
получить дробь	Решение	задачи	сводится	к	построению	уравнения:
13 4-х
17+ х
D
_ _5_
_ 6 '
Черт. 15 дает непосредствен¬
но х — 7.
Какое число надо отнять от числи¬
теля и знаменателя дроби Щ , чтобы по-
_ ■?
3 •
лучить дробь
Задача приводится к построению
уравнения:
13-х _ _2^
17 — jc 3 ’
Черт. 16 дает непосредствен¬
но х — 5.
Какое число надо прибавить к чи¬
слителю и отнять от знаменателя дро-
13
би
17
гъ Ь
чтобы получить дробь -g-?
Задача приводится к уравнению:
13 + х _ _3_
17 - х 2
Черт. 1 7 дает х = 5.
Найти число, которое на столько меньше 19,
на сколько оно больше 7.	^
Задача приводится к нахождению среднего
арифметического между 19 и 7
D
В самом деле, обозначая искомое число через х,
найдем:
19 — х = х—7 или
х-^1 = 1 .
19-х
Построением находим:
х = BF= DF= 13 (черт. 18).
О гцу 40 лет,	D
сыну 8; через сколь¬
ко лет отец будет
старше сына в 3
раза?
А-
An . .
l’\
F
с Задача приво-
Черт -17	дится к построению
уравнения:
4,°4^ = 3 или l-t-=Vv
8 + х	40+х	F1—■	1    	1
Из черт. 19 имеем х = 8.	Черт. 18.
Действительно отцу_через 8 лет будет 48
лет, а сыну — 16 лет; следовательно, отец будет старше сына в 3 раза.
Хозяин нанял работника с условием уплатить ему за год 72 руб. деньгами и
справить одежду. Но работник, прослужив 9 мес., потребовал расчета и получил
деньгами 48 руб. и одежду. Во что ценил одежду хозяина

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
61
Так как заработная плата прямо-пропорциональна времени, то обозначая
стоимость одежды через х, получим уравнение:
72 + дг _ 12
48 1-х ~~ 9"'
Имеем (черт. 20)
х~ BF-=^DF= 24.
Чертеж непосредственно указывает д
1)
годовую плату = DE = 96 руб. и получен¬
ную за 9 мес. = АЕ = 72 руб.
•■Ь
Черт. 19.
Частные случаи построения уравнения 1-и степени с одним неизвестным.
§ 10. / случай. Числитель и знаменатель содержат неизвестное.
Уравнение вида:
х
12 х
D
О
Строим дробь у ■ При вершине
строим дробь у а при начале —
2
дробь -у . Продолжаем оба графика
до пересечения в точке D, опускаем пер- В
В
м_ •-
N	СП
Черт. 21.
пендикуляр DE на АС; тогда имеем X — DF. — CE — 8 (черт. 21).
Построить	*	= 3 .	4
12	3
Строим дробь у; при основании С строим дробь у, а при вершине Б—
дробь j и продолжаем оба графика до взаимного	2?
пересечения в точке D. Опускаем DE _L СЕ и
BF 1 DE\ тогда х — BF= DF=b (черт. 22).
х — 4 _ J_
х	4
Построить
Строим дробь
-4
б
При основании С строим
дробь *у, а при вершине В- -дробь • Дальней¬
шее очевидно из черт. 23. Имеем: x = BF — DF= 16.
16 —X
х
16
Построить	=3	.
Строим дробь у . При основании С строим дробь у, а при вершине В—
дробь —г-] - Дальнейшее очевидно из черт. 24. Имеем: x~DE = BE—4.

b 2
А. О. ГУРВИЧ
II случай. Неизвестное входи г только в числитель или только в знаменатель.
*	7	_l х з
§11. Построить уравнение -уу = у
п	7	3
Строим дробь уг- . При начале А строим дробьу и продол¬
жаем график этой дроби до пересечения с продолжением числителя
ЛдЧ. в точке D; тогда BD и есть искомое неизвестное х (черт. 25).
Доказательство'.
DC__ MN.
AC — AN'
DC — SC-f BD = a-\-BD-,
a + BD _ p .
b — q ’
следовательно,	x — BD = 5 (§ 7).
6 1
Построить уравнение	=	у	•
Строим дробь -^j- . При начале
z>
Л7'
£
Черт. 25.
Черт. 24. А строим дробь у . Через вершину В проводим прямую параллельно
знаменателю до пересечения с графиком дроби -у в точке D. Проводим DE_LAC.
Тсгда х = СЕ = 7 (черт. 26).
В	в
'АС -'
Л
N
§ 1.2. В заключение этой главы я останов¬
люсь немного на самой технике построения урав¬
нения. Так как здесь главную роль играет клет¬
чатая или миллиметровая бумага, то самый чертеж
можно выполнить более упрощенным способом.
Эти упрощения заключаются в следующем:
Черт. 26.	1)	можно	не	проводить	графика	дроби-у, а
только построить знаменатель и числитель данной дроби;
2) можно не строить дробь (или j-), а провести диагональ через
вершины квадратиков, начиная от вершины дроби;
3) можно не строить и дроби , а наметить ряд точек, через которые и
провести график дроби
т
л
Таким
Z)
образом выполнен черт. 27, который пред¬
ставляет упрощенную копию черт. 19.
Графическое решение уравнения.
а + 1Пх р
b —*— пх ' q
Черт. 27.
§ 13. Уравнение —
а А- тх
Ь-' пх
/'
Ч
которобудем называть каноническим
можно привестие к рассмотренному уже случаю:
Для этого в чи-
ьл * q
слителе вынесем за скобки т, а в знаменателе п; тогда получим:

1 РАФИЧЕСКИИ МЕТОД В ШКОЛЕ I! СТУПЕНИ
63
разделив обе часта на —, будем иметь:
а г
  [— X
т 	 рп
b ,	ат
Полагая = ал, — bv рп — р1 и qm — qполучим:
«1+ *— Ж .
bt -f- х ql
Но мы не можем рекомендовать такой способ преобразования, так как он
представляет следующие неудобства:
1)	необходимо произвести преобразования;
^ ~пГ и "7Г могут быть дробные числа;
3) рп и qm могут быть большие числа.
Правда, миллиметровая бумага может оказать существенную услугу в дан¬
ном случае, но можно избежать всех этих неудобств и решить данное уравнение
без всяких лишних преобразований.
Для этого рассмотрим сперва изменение дроби в том случае, когда к числи¬
телю и знаменателю одновременно будем прибавлять или отнимать числа, кратные
какому-нибудь количеству х, т.-е. числа вида тх и пх.
§14. Пусть
ВС
АС
—данная дробь
Проведем через вершину дроби В
прямую ВМ параллельно знамена¬
телю АС и построим при вершине
ffl
дробь— . Продолжим график этой
дроби. Если теперь проведем ряд
перпендикуляров из точек графика
дроби — к прямой ВМ, то очевид¬
но, что все отрезки прямой ВМ бу¬
дут пропорциональны соответствую¬
щим перпендикулярам |черт. 28).
Таким образом, если к чи¬
слителю и знаменателю данной
дроби будем прибавлять или отни¬
мать количества пропорциональные
между собой, то вершины вновь образуемых дробей будут лежать на одной прямой,
проходящей через вершину В.	D,
Точно такой же процесс
мы наблюдаем и в том случае,
если к числителю будем при-1
бавлять, а от знаменателя
отнимать (или наоборот) ко¬
личества пропорциональные
между собой, как это видно
из прилагаемого чертежа 29.
§ 15. Прежде чем при¬
ступить к построению урав¬
нения, докажем такую тео¬
рему:
а 4- тх   р	а-\- тк   р_
b I пх	q	b + nk	q
Если
= —, ТО X — k.

(i4
А. О. ГУРВИЧ
§ 16. Рассмотрим теперь построение канонического уравнения:
а + тх	р .
1.1-^- = -у (чеРт- 3°)
D
и/
в/
N
дробь
- пх
а
~Ь
а при
При вершине В строим
начале А — дробь
Строим дробь
MN _ т_
BN п ’
F	.	Продолжаем	графики	обеих	дробей
до пересечения в точке D. Проводим DE_LAC
Черт. 30.
и BF J. DE. Тогда DF = тх
DF
откуда: х ■
BF - пх,
т
„ DE
BE
или х —
п
и (§ 3) имеем:
^ ; но DE = EF - DF. = ВС ' DF — a-\-DF,
Доказательство. Из равенства дробей - Е
Е =
АЕ = АС-\- СЕ — АС-\- BF— b-f-BF .
АЕ
Таким образом, имеем:
n*-f DF _ j}_
b + BF ~ q
Кроме того, из равенства дробей УУ и JED (§ 3) имеем:
DF
BF
откуда находим:
_ MN
~ BN
DF —
Полагая
BF
= k,
найдем:
DF= mk
а
BN
DF	in
ИЛИ —тгрт = —
BF	п
BF . т
п
и BF— nk.
Таким образом, уравнение	примет	вид:
а поэтому x = k, т.-е. (§ 15):
а
b
BF
mk 	 р
nk ~ q
или
I _ DF
Х т
Так как данное уравнение является типичным, то очевидно, что каковы бы
ни были знаки параметров, как построение, так и доказательство не изменится;
поэтому я не буду останавливаться на разработке всевозможных случаев, так как
этот вопрос достаточно подробно разработан в предыдущей главе.
§ 17. Применим теперь этот метод к решению численных примеров, иллюстри-
Построить уравнение	(черт.	31).
в.
п,У
,А
N
рУ
У
Имеем: 3x = DF—9;
Ax = BF=\2.
9	12
Откуда х =	—	3.
19 — 4х
Черт. 31.
Построить уравнение	=	~2	(чеРт- 32)-
Имеем: 4jc = BF= 8; 5jc = DE= 10.
Откуда: х = 2.

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
65
Построить
Имеем:
Откуда:
4х — 5	3	,	0 ,
15-р 2х = ~5~ (чеРт_ 33).
4.v = DF = 20; 2x = BF= 10.
х = Ъ.
N
Построить
Имеем:
Откуда:
7x=^DF = 2l; 5x^BF~15.
х = 3 (черт. 34).
2х	1
Построить
5 + Зл-
Имеем:
Откуда:
Данное уравнение представляет частный слу¬
чай,'когда Q = 0. Поэтому строим дробь-®-; при
2
вершине С строим, дробь-д-, а при начале А— дробь
2 и получаем точку D (черт. 35).
Имеем:	2х	—	DE = 10; Зл = С7: = 15.
Откуда:	х	=	5.
Построить Ъ*2х 4 = 2‘
 4
Строим дробь —g—. При основании С строим
2	5
дробь -у, а при вершине В— дробь у и опреде¬
ляем точку D (черт. 36).
Ъх = DF= 20; 2x = BFz=W.
х = 5.
5дг
Построить 24 £"з	=1 (черт. 37).
Имеем:	5x = D£’ = 15; Ъх — CF.' — 9.
Откуда:	л;	=	3.
§ 18. Из рассмотрения предыдущих приме¬
ров мы можем сделать вообще такой вывод: если А а
данное уравнение может быть представлено в
виде отношения, содержащего неизвестное в
обоих членах отношения или в одном из них, то его всегда можно решить при
помощи клетчатой бумаги, выбирая соответствующий масштаб.
«1>1микл. химия, м«пt’MUTHKii, томшка. Л» 2	О
Р
-л
с кг
Черт. 35.

»
ьь
Л. О. ГУРВИЧ
В самом деле, если данное уравнение после всех преобразований принимает
вид: ах b = atx bv, то его всегда можно представить в виде
= 1.
I f
/ /
/V
if
о:
вим его в виде:
=. 1 . Черт. 38 дает нам решение дан-
N
Черт.З 6.
а\х "Т "I
Построив это уравнение, мы сразу определяем ах и ахх, откуда находим .т.
D Так. чтобы решить уравнение Ъх 7^=3х	13, предста-
5jc ч- 7
3*	13
ного уравнения. Причем заметим, что при достаточном навыке
вовсе нет нужды в таком преобразовании.	Можно	сразу	по¬
строить дробь, равную отношению свободных	членов;	затем	при
начале дроби строим дробь, равную 1, а при вершине — дробь,
равную отношению коэфициентов при неизвестных. Таким обра¬
зом определим 5х и Зл\
Имеем:	Ъх	—	DF	=15;	Зл: = BF = 9.
if	Откуда:	х	—	3.
Сравнивая данный метод с обычным методом построения
уравнения, мы должны заметить, что самое построение выпол-
Ь —^—■—1—г няется гораздо проще и нагляднее.
Ибо, решая то же уравнение 5.V |-7= Сс 13 обычным ме¬
тодом, мы должны построить 2 графика: у — Ъх 7 и у — Зх 13.
Нельзя	сказать, что такой способ удобен, ибо придется делать по две	под¬
становки	в	каждое из данных уравнений.	D
Правда, у меня было сравнительно
мало опыта в применении этого метода,
но и из небольшого опыта, который я
проделал в минувшем учебном году, я
нахожу, что учащиеся гораздо легче усваи¬
вают этот метод,	чем обычный метод.
Для иллюстрации я	могу привести такой
факт. В минувшем учебном году я пре¬
подавал в четырех седьмых группах в двух
школах. В одной школе я ознакомил уча¬
щихся с обоими методами, а в другой шко-	a	F	ат
ле ознакомил их с	общепринятым мето-	Черт	37.
дом. Затем в обеих	школах я дал одина¬
ковые контрольные	работы, и результат получился довольно	эффектный. В той
школе, где учащиеся познакомились с обоими методами, они избрали новый
метод, и из Ю учеников обеих групп не решили только 2 ученика; в другой
же школе, где знали только обычный метод, из 75 учеников только 55% решили
D правильно данные примеры.
§ 19. Решим теперь несколько задач
на составление уравнений с одним неизвест¬
ным, которые еще ярче нам покажут преиму¬
щества этого метода. Я должен оговориться,
что часть задач составлена мною, часть
заимствована или переделана из современ¬
ных задачников.
В одном резервуаре 1.000 ведер воды,
в другом—400 ведер. Из перлого вода выте¬
кает со скоростью 75 ведер в минуту, а во
второй притекает со скоростью 45 ведер в
минуту. Через сколько минут в обоих ре¬
зервуарах будет поровну?
Обозначая искомое число минут через л.
Черт. 38.	получим	уравнение:

I РЛФ11ЧЕСЫII1 .МЕТОД В ШКОДЕ II СТУПЕНИ
1000 — 75 v = 400- 45л.
Решение представлено на черт. 39 в масштабе 50 ведер — 1 см.
Имеем:	75л = BF= 375; 45x~DF= 225.
Откуда:	л	=	5 м.
Чертеж одновременно показывает, что в обоих бассейнах
останется по DE = АЕ — 650 ведер.
Некто, желая купить сукно, рассчитал, что если он
возьмет требуемое число метров по 6 руб. за метр, то у него
нехватит 7 руб , если же он возьмет то же количество по
47* Руб- за метр, то у него останется 11 руб. Сколько мет¬
ров он предполагал купить и сколько денег у него было?
Обозначая искомое количество метров через л, полу¬
чим уравнение:
6д- — 7 —11	4	7	2л\
 7
Строим дробь ; при начале дроби строим дробь
1 ()
а при вершине дробь -г-^- . Прилагаемый чертеж 40 дае г
1	.	„	..г..	45
ответ на второй вопрос,—а именно, у него было
/)!'	ВГ
а купить он хотел	метров,	или
да л" = 12 метрам.
Имеем:	6.K	— DF—72; 4Av =	’
--- BF = 54.
Откуда	а	=	12 метрам.
Из чертежа же имеем: у него было
денег DF или АЕ. руб., т.-е. 65 руб.
65 руб.,
метров, огку-
Р/
А
а
Двое рабочих работали на одном
предприятии и получали: первый—2 руб.,
а второй —2,5 руб. в день. Через не¬
которое время они прекратили работу	Черт. зч.
и, получив расчет, уплатили из получен-
Р ных денег долг: первый —8 руб., а второй—6 руб., и тогда
у второго осталось денег в 1раза больше, чем у пер¬
вого. Сколько дней пни работали и сколько заработал
каждый?
Обозначая число дней через _v, получим уравнение:
Р.-
А
0[7
2,5а — 6 __ 3
2а—8	— 2 •
Черт. 41 дает ответ на второй вопрос:
М/	первый	заработал 2.v = BF= 24 руб.
Е второй заработал 2,5A'=D/r=30 р> б.
В N	F	Откуда	л*	= 12 дней.
Черт. 40.	Чертеж одновременно показы¬
вает, сколько денег осталось у ка¬
ждого после уплаты долга. Гак, у первого осталось АЕ—\Ь
руб., а у второго DE — i\ руб.
D
М/
а о
Имеются 2 бака: один пустой, другой —содержащий 600
ведер воны. В первый бак вода вливается со скоростью 30 ве¬
дер в минуту, из второго вытекает со скоростью 20 ведер
в минуту. Через сколько минут в первом баке воды будет
втором в 11 'о раза?
N
МАСШТАБ j СМ = 4 РУБ.
Черт. 41.
больше, чем во

68
А. О. ГУРВИЧ
Обозначая искомое число минут через х, получим уравнение:
п	30л-	  3	.
600	20л-	"2
Черт. 42 показывает, сколько воды будет в
каждом баке:
в первом будет DE = 450 ведер,
во втором — АЕ — 300 ведер;
следовательно:	3(Ъс=450	и20л:=300;
откуда	-V	= 15 минут.
с Исследование уравнения 1-й степени с одним
неизвестным.
= -у- после необходимых преобразований, которых я здесь не буду
§ 20. Каноническое уравнение 1-й степени
а ш t
b -\-пх
приводить, дает для неизвестного х значение, равное дроби:
aq — Ьр
рп — дт
Примечание. Заметим, что это значение можно легко получить без
предварительных преобразований, расположив параметры в таком порядке:
а	р	т
b	q	п
Для числителя берем определитель из первых четырех, а для знаменателя—
из последних четырех параметров.
Исследуем теперь на каноническом уравнении характер решения в зависи¬
мости от параметров.
I. Положительное решение. Чтобы х было положительным, необходимо,
чтобы числитель и знаменатель дроби	одновременно	были	или	положи¬
тельные или отрицательные, т.-е.:	i)
aq ^bv и pn^qm,
а это мы можем записать таким образом:
а _ р	т
b	д	я
Пример:	=	1	.
Составляем равенство:
< 1 < -•
8 ^ 1 ^ 2 ’
следовательно, решение должно быть положи¬
тельным, как это мы и видим из черт. 43.
Из чертежа мы видим, что отрезок DF, рав¬
ный 5х, направлен вверх, а отрезок BF=2x —
вправо от вершины данной дроби, следовательно,
значения 5.v и 2х должны быть положительны.
II. Отрицательное решение. Для отри¬
цательного решения необходимо, чтобы числи¬
тель и знаменатель дроби aq ~ Ьр имели
рп — дт
aq S'. bp и рп
чго можно представить таким образом:
различные знаки,
qm,
то-есть,

I P ЛФИЧЕСКИП МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
(->9
Пример:
Имеем:
а р т
Ь ^ q ^ п
15 + 2л- _ J_
25 -f- Зх 2
11 > .L < -2
25	2	3
следовательно, значение х должно быть отрицательным, что мы и видим на
черт. 44.
Из чертежа видим, что отрезок BF, равный 2х, направлен вниз, а отре¬
зок DF, равный Зх,—влево от вершины В; следовательно, оба отрезка отрица¬
тельны, поэтому:
в	м
D
Откуда:
Черт. 44.
2х = — BF- — 10 и Зх'= — DF = — 15 .
///. Нулевое решение. Для нулевого решения числитель дроби ^ должен
равняться нулю, а знаменатель рп — qm ф 0,
откуда можем составить такие соотношения:
/> q 1 п
п	16 4 Ах	2
Пример:	24Ьт	= Т
Имеем:
Ф
24	3	5
следовательно, х = 0, как это видно из черт. 45.
Графики дробей ~ и -1 пересекаются в вершине дроби В. Следова¬
тельно, 4л:=0 и 5л: = 0, откуда:
х = 0.	%
IV.	Неопределенное решение. Для неопределенного решения необходимо,
чтобы Числитель и знаменатель дэоби аС1 - одновременно равнялись нулю,
рп — рт	м
а _ Р т	„	.'1
ПТ - ~q- — ПГ ’
т.-е. соответствующие параметры должны быть пропор
циональны между собой.
16 + 2jc _ 2_
24 + Зх — 3 ’
16 _2_ __ 2
24 ~ 3	3	’
Пример.
Имеем:
следовательно,
2У
X — -
МАСШТАБ jCH=4-
Черт. 46.
Из черт. 46 видим, что все три графика дробей:	,	J*—	и	—■	совпадают;

70
А. О. I УРВИ ч
следовательно, любая точка графика или его продолжения удовлетворяет данному
уравнению.
V.	Бесконечное решение. Для бесконечного решения необходимо, чтобы
числитель дроби а(1 — ьР был больше или меньше о, а знаменатель этой дроби
к рп — дт
равнялся нулю, т.-е. чтобы существовали такие соотношения:
ад — Ьр ф 0 и рп — qm\
11	,	/>	  in
b ^ q п
15 -j <).v _ _3
17 +12jt “ 4
откуда имеем:
Пример:
Гак как
15	3	_
17 '	4
О
12
ВУ
ру
л-
Черт. 47.
то уравнение не имеет решения (черт. 47).
м	Действительно,	графики	дробей и ^
параллельны, т.-е. не пересекаются, или пе-
N ' ресекаются в бесконечности; следовательно,
X — оо .
§ 21. Мы рассмотрели исследование ка¬
нонического уравнения 1-й степени; между
тем здесь могут быть еще три случая в за¬
висимости от знаков при коэфициентах неиз¬
вестного х, а именно:
Р 2) а +тх — ~В~
q '	b пх	q
а — тх   р
b — пх	q
... а — тх
' " 1У пх —
и 3)
для первого:
для второго:
и для третьего:
Соответствующие решения будут таковы:
  aq - bp
пр + mq
aq — bp
- пр — mq
aq — bp
— np -)- mq
Заметим прежде всею, что для всевозможных комбинаций знаков при неиз¬
вестном нулевое, неопределенное и бесконечное решения имеют те же самые
соотношения параметров, что и уравнение общего вида:
а + тх   р
b + пх	q
Что касается положительного и отрицательного решений, то уравнение
В	а	—	тх р
— —сохраняет те же соотношения, что и канони-
Ь + пхд
ческие уравнения, а для второго и третьего случая неравен¬
ства имеют противоположный характер.
Все эти выводы мы можем представить в нижеследующей
А-
МАСШ -~сн^5
Черт. 48.
Имеем:
откуда
таблице (см. стр. 71).
Эта таблица дает возможность заранее определить, ка-
ково будет решение. Иллюстрируем это несколькими примерами.
94 о	94	9	 я
Например, ъ + 4х — у-: так как -у > -у > - j , зна¬
чение неизвестного будет положительно.
— Зд = — BF= —15; Ах — DF — 20.
д ==	5	(черт	48).

ГРАФИЧЕСКИ!'! МЕТОД В ШКОЛЕ I! СТУПЕНИ
71
3 равнение . . .
Решение * . . . .
Положительное .
Отрицательное .
Н\левое - .
Неопределенное
Бесконечное .
1
2
3
4
а
4- тх
р
а
— тх
р
а 4- тх
Р
1
а
— тх
P
4 пх
Ч
Ь
4- пх
ч
Ь
-ПК
Ч
— пх
Ч
aq —
Ьр
1
aq -
Ьр
aq -
Ьр
aq —
Ьр
пр
пщ
пр 4-
пщ
-пр-
- mq
— пр 4-
mq
а
Р
т
а
Р
т
а
Р
<
т
о
P
<
т
Ь
Ч
'
п
1 ь
Ч
п
Ь
Ч
>
п
Ь
Ч
>
п
а
Р
<
т
1 а
Р
<
т
а
Р
in
а
Р
т
Ь
Ч
>
п
! л
Ч
>
п
ft
Ч
п
Ь
ч
п
д
л я
в
с
е \
с
л
V ч
а
е
в
а
ft
=
Р
Ч
ф
111
п
а
Р
т
~Ь
ч
п
а
~Ь
Ф
р
ч
=
т
п
Уравнение:
Так как-?-
О
Имеем:
откуда:
Уравнение
так как
Ч t 2т_
8 - - .V
2
< 3 > _	,	то	значение	х будет положительным
2х- DF— -(-6; — х — — BF= — 3,
х = 3 (черт. 49).
~ имеет положительное решение,
v
Имеем:
следовательно,
Уравнение
Имеем:
■откуда:
; f
МАСШ j(7f. = 2
Черт. 40.
^ > 4"< -1,черт-50)-
— 2x = — BF= 6; — x = — DF=—3.
х =	3-
3 - 2х 1
' — -2 имеет отрицательное решение, так как
ТУ<-Г<-1 f4epT‘ 51)'
— 2х = - DF=-{ 6; — л- — BF= 3,
х — — 3.
в	Уравнение	=	1
имеет тоже положитель-
Di 1^ ное решение, так как
4	-	2
Из черт. 54 имеем:
в
А‘
D
нагш 'си*
Черт. 50.
5 х= \-DF =
4.т~ f BF--
откуда:	л = 4 (черт. 52).
20;
16.
Черт. 51.

72
А. О. ГУРВИЧ
D
А
Решение системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.
§ 22. Графическое решение уравнения 1-й степени с одним неизвестным
дает очень простой способ решения системы с двумя неизвестными, если оба
уравнения приведены к нормальному виду.
В самом деле, если имеем систему:
ах -1 Ьу = с,
°Iх Ь\У— сх,
то, определив одно из неизвестных в зависимости от
другого, например, by и Ь,у, получим:
с — ах — by,
сг — я, а = Ь,у,
а разделив первое равенство на второе, будем иметь:
с — ах Ь
Г] — fljA'	frj
Таким образом, система двух уравнений при¬
водится к каноническому уравнению 1-й степени с
одним неизвестным. Что касается самой техники по¬
строения, то я лично рекомендую проводить его сле¬
дующим образом:
Строим прямоугольник с основанием и высотой с (черт. 53). При вершине А
* PQ Ь	г,	*	MN	—а	„
строим дробь — а при вершине В—дробь =.	Затем через точку
пересечения D проводим прямые EDEх и FDFX, перпендикулярные к сторонам прямо¬
угольника. Так как DEX=BF, DE—FC, DF= ЕС и FXD = АЕ, то мы сразу опре¬
деляем ах, by, atx и Ьлу. Действительно,. DEf =ВЕ— ах, но CF=BC— BF=
= с — ах, следовательно,DE = CF=by. Точни так же DF=a1x, так как FD =
Черт. 52.
Е, N
\
к
л
D
-F F— DF—AC— DF\
ахх, следователь¬
но, b1y = F1D. Поэтому р'
из первого уравнения
имеем:
Е,
ЛГ
X =
DE I
а ’
Е
Черт. 53.
из второго:
DE
X—'— и
*1
РЕ.
Ь ’
РЕ,
У= -ьг'
D
,"'Г
в
Черт. 54.
Преимущество такого построения заключается в том, что мы сразу можем
произвести проверку решения, не производя подстановки, ибо в обоих случаях,
очевидно, должны получиться одинаковые решения.
Рассмотрим теперь несколько примеров и задач на систему двух уравнений.
Пример.
4 а г 9у = 5;
8д; ! 15^ = 9.
95:£ =т-5г(черт- 54>-
1) 4а' = FB = 2; 9у = DE = 3;
2) 8а = DF = 4; 1 Ъу = DF, = 5;
1 1
Решить:
Имеем:
Имеем:
откуда:
X— 2 и -V— з
Заметим, что при построении системы можно обойтесь и без приведения
данной системы к каноническому уравнению 1-й степени, а можно поступить

ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
73
так: строим прямоугольник с основанием с и г,. При одной вершине строим
и поступаем по предыдущему.
дробь — , а при противоположной—дробь £
Л
т>
Черт. 55.
D
Наконец, можно и еще ввести одно упрощение, а именно: не строить дробей
и -f- , а наметить только несколько точек, через которые и провести
о, ь1
соответствующие графики. Так, например, выпол¬
нен черт. 55, представляющий решение предыду¬
щего примера.
Построить систему:
5 А' - 2_v = 11,
4 х — Зу — 6.
Строим прямоугольник АСВК—(6 X 11)
(черт. 56). При вершине А строим дробь а при
вершине В дробь (	•	Графики	этих дробей
пересекаются в точке D. Проводим DE АС и DFt л_ ВС.
Продолжаем стороны прямоугольника до пересечения с этими
перпендикулярами.
К\	 ji	\е<	Тогда	имеем:	5а	=	DE = 15; 2у = DEX — 4 или
4а = /Э/г1 —	12;	3y=DF-=b .
Следовательно,	а = 3	и	у — 2.
Построить систему:	За	—	2у	— 8,
2а-|- З_у = 14 (черт. 57).
Имеем:	3x	=	DE—\2\ 2у = IJE, = 4 или
2а = DFt =	8; 3y = DF= 6;
откуда:	а = 4	и	у = 2.
Из двух деревень, отстоящих друг от друга на рас¬
стоянии 60 км, выезжают два крестьянина. Если они будут ехать навстречу друг
другу, то встретятся через 3 часа; если же по одному направлению—то встреча
произойдет через 15 часов после их выезда. Опреде- j.	D
лить, с какой скоростью они едут и на каком рас¬
стоянии встретятся.
Имеем систему:	За-)-3j> = 60,
1 5а —15у — 60.
Данную систему можно было бы привести к про¬
стой системе
а _|- j- = а,
А — у — Ь,
но тогда мы определили бы их скорости; поэтому
строим квадрат (60X60) и в дальнейшем поступаем по общему правилу.
Из черт. 58 находим: если они поедут навстречу друг другу, то встреча
произойдет в точке D, отстоящей от одной деревни на расстоянии 36 км, а от
другой—на расстоянии 24 км, следовательно, За = 36 и Зу — 24. Если же они
поедут по одному направлению, то ьстреча произойдет на расстоянии 180 км от
одной деревни и 120 км— от другой; следовательно, 15х = 180 и 15j'=120. Таким
образом, имеем: х= 12 и j/=:8.
Двое рабочих взялись окончить некоторую работу в 12 дней, но первый,
проработав 8 дней, отказался от работы, и второй закончил ее после этого через
10 дней.
Определить, во сколько дней окончил бы работу, каждый из них, работая в
отдельности.
Черт. 56.
К
Ei
В
Черт. 57.

74
V (1 ГУРВИЧ
Имеем систему:
12
12
X
у
8
18
X
V
1 ^
Строим квадрат (1X1)- При начале строим дробь	а	при	противопо-
О
ложной вершине—дробь Ц-, дальнейшее ясно из черт. 59.
к
Ft
А
Имеем:
откуда:
Fi
А
в
D
Г1АСШ ^СИ = 10ВЕРСТ
Черт. 58.
-12 — DE = 0,6; — = DE. =0,4 или
Л'	V	1
8
Л"
DFX =0,4;
18.
V
DF-- 0,6;
D
/
/
/
✓
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
: 20 и у — 30.
Купец купил 138 м черного
и синего
сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько он
купил метров того и другого сорта, если синее
сукно стоит 5 руб., а черное 3 руб. метр (За¬
дача из рассказа Чехова «Репетитор». Графи¬
ческое решение ее имеется, у Добровольского
F r его книжке «Графический метод в школе»,
стр. 79, № 20).
Имеем систему:	.к	=	138
5,v —j- 3j» = 540.
Черт. 60 дает нам непосредственно:
.V = DE— 63 м и у — DEX = 75 м.
Чертеж одновременно показывает, что си-
с нее сукно стоило—DFX = 315 руб., а черное —
DF— 225 руб.
Черг. 59.
Исследование системы двух уравнении с двумя неизвестными 1-ii степени.
§ 23. При исследовании системы двух уравнений мы будем опираться на те
выводы, которые сделаны нами при исследовании уравнения 1-й степени с одним
неизвестным, результаты какового представлены таблицей.

ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОД В ШКОЛЕ II СТУПЕНИ
75
Пусть нам дана система:
ял , by = с
J я,х 'г Ь,у — сг
Перенесем члены, содержащие л, вправо и разделим одно уравнение на дру¬
гое; тогда получаем:
с — ах 	 b
г, —	Ьх
Проделав ту же операцию относительно у, мы получим:
г — by 	 а
г, — btv	л,
Пользуясь вышеупомянутой таблицей, мы можем таким образом заранее
определить, каковы будут корни данной системы.
Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров.
Система:	4л	—	Зу	—	18
5л ■ Ay =7
имеет для х положительное значение, а для у— отрицательное. Действительно,
приведя к каноническому уравнению с одним неизвестным, получим:
18 ~4х 	 _	3	18+3i' _ 4
7 — Ъх	4	И	7	4у 5
— 4	w
<	„	, то л—положительно 	££	 »
Так как
J8_ ^	3
7 ^	4
18
и так как >
Л > +3
5—5
то V' — отрицательно, что
п видим из черт. 61.
И меем:	4л	=	=12; — Зу — DE = 6
или 5v = DF = 15 и Ay=DFx = — 8;
откуда	л	—	3 и у— — 2.
Система:	4л—	7j/ = 2,
5у —	6д- : 8
имеет оба решения отрицательные.
2 — 4л	— 7	2 + 7 v __	_	4
8 - 6х — “ 5 ’	8 — 5v	—	6
z>
F,
Имеем:
Черт. 61.
— 7	4
-—g- < _	;	следовательно,	л	отрицательно.
7Г
-4
8 >
г > —
.В
гг
Черт. 62.
^ ; следовательно, _у отрицательно.
Имеем:	4л	— — DE — — 12
7у = — DEг - — 14.
5у= — DF- — ю
6л = — D+, = — 18;
л —3 и у = — 2 (черт. 62).
2л-! Зу~ 18;
Зл , 2у = — 17
имеет оба решения отрицательные.
-18 — 2х __ J5_	—	18	—	Зу	__	2
— 17 — Зх ~ 2 И -17 — 2v ~~3~ ‘
откуда:
Система:
Имеем:
Так как
+ 18
< -2- >
3 , то л отрицательно.
Точно так же имеем
-Г 18
3-17
что мы и видим на черт. 63.
> -з-<
f 17
4-3
—2 ; следовательно, чу отрицательно,

76
Л. О. ГУРВИЧ
Имеем:
откуда:
Система:
2х — — DF = — 8; Зу= — DFl = — 9
Зл- = — Dt\ = —12; 2j> = —	=	—	6,
Х = — 4 и у = —4.
4х —|— 5j.' = О
Зх— 2у = 23 (черт. 64).
Г
В
''
/
/
/
f
/
А
F,
Е.
Черт. 63.
К
Имеем:
Так как
Так как
Имеем:
откуда
 4 т
23 - Зх
2 И 23 -Ъ2у
Л> - -L
23	2
23	3	^
5у
’-й
4
Черт. 64.
_4_
3 ‘
<	3-, то л > 0 .
-g- , то у < 0 .
4л: = DE = -|- 20; 5у = — 20
Зх=С£=15; 2_у = —АЕ = — 8;
х = 5, >' = — 4.
N Ei
Fi
0,63 X =0,73
ctS7f=qa
D
В
Приближенное решение системы двух уравнений с двумя неизвестными
1-й степени.
Одно из самых существенных преимуществ предлагаемого метода, это воз¬
можность сравнительно очень просто находить приближенные решения системы
двух уравнений.
Рассмотрим решение двух примеров.
1-й пример: 0,24л'-(- 0,7Зу — 0,79;
0,63л-f 0,27у = 0,92.
Алгебраическое решение этой системы дает
такое значение: j; = 0,70 и х=1,16, с точностью
до 0.01, и требует довольно сложных вычислений.
Общеизвестно, что графическое решение этой
системы обычным методом довольно сложно.
Решим эту же систему предлагаемым методом.
Строим прямоугольник (0,79X 0.92)- При вег-
шине А строим дробь	■ а при вершине В —
Черт. 65.	дробь	(-q-^)	•	Продолжаем	графики	этих дробей
до взаимного пересечения в точке D.
Дальше поступаем по общему правилу (черт. 65):
Имеем:	0,24л'	=	DE = 0,28; 0,73y = DEi = 0 51
0,63л = DFt — 0,73; 0,27j»= DF=0,19;

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ШКОДЕ 11 СТУПЕНИ
77
откуда имеем:
л = --- = 1,166; у = -^- = 0,698
Л' = ~ = 1,158; у = Щ = 0,704.
Беря средние арифметические значения, найдем:
    1.166 + 1,158 	 2,324
У =
2
0,698 + 0,704
= 1,162 = 1,16;
1,2°2 = 1,701 = 1,70.
точностью.
2-ii пример:	331л j- 24‘1_у = 1385;
183.x: -J- 253у = 1125.
Решение этой системы, не представляя ника¬
ких теоретических затруднений, технически слож¬
но: слишком большие вычисления, которых я здесь
не привожу. Заметим, что данная система имеет
решения: х =2 и у = 3.	т
Черт. 66 дает решении этой системы в мас¬
штабе 1 :100
Имеем:	3,31л' = 6,60;	2,41у/ = 7,20
1,83л' =3,70 и 2,53у — 7,60;
откуда: л = ^ = 1,997; у = |2° = 2,988
4.
•r= М = 2-022; *=-т- =3’004-
Беря среднее арифметическое, найдем:
Л=	W + W22	=	4,0188	= 2)00Л
2,988 + 3,004	_	5,992	_ „ пп<;
\ — 2	2	—
х2, у — Ъ,
причем в обоих случаях ошибка будет менее 0,01.
Канск.
к
||
V
IV
1,8 5х-3,70
/
D
/ ^
/ *°"
/ Ч
/ ^
/
В
Черт. 66.
А.	О. Гурвич.
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ *).
Обычно в учебниках геометрии зависимость между элементами в треуголь¬
нике выражается двумя теоремами, определяющими квадрат стороны треугольника,
лежащей против тупого и против острого угла; при этом доказательство этих
соотношений основывается на теореме Пифагора. Можно, между тем, вывести ряд
обобщающих теорем, дающих зависимости между элементами любого треуголь¬
ника, а затем из этих теорем, применяя их к треугольникам с тупым, острым и
прямым углами, получить, как частные случаи, выражение квадрата стороны тре¬
угольника и теорему Пифагора. Во всех предлагаемых теоремах проводятся в тре¬
угольнике из вершины ббльшего угла прямые линии, образующие с противополож¬
ной стороной одинаковые углы, равные наибольшему углу треугольника. Ради
краткости отрезки этих прямых, считаемые от вершины угла до противоположной
стороны, будем называть просто наклонными. На чертежах 1 и 2 —это будут
отрезки BD и BE.
*) Редакция помещает несколько геометрических теорем, редко встречающихся в обыч¬
ных учебных книгах; приводимые способы доказательства самостоятельно получены учащимся
S-й группы т. Вайнштейн. Для полноты картины редактором С. Н. Жарковым добавлены пять
примечаний.	,

7Н
ВАЙНШТЕЙН
Теорема 1. В любом треугольнике прямые линии, проведенные из вершины
большего угла и пересекающие противоположную сторону под углами, равными
ббльшему углу треугольника, отсекают от последнего два новых треугольника, по¬
добных данному; отрезки проведенных прямых от вершины до противоположной
стороны равны между собою.
Дан треугольник ABC (черт. 1 и 2); / В—больший угол треугольника. Пря¬
мые BD и BE образуют со стороною АС углы, равные углу В.
Требуется доказать, что треугочьники ABD и СВЕ подобны треугольнику
ABC и что отрезок BD равен отрезку BE.
Доказательство. Л Треугольники ABD и ABC имеют общий угол А и равные
по построению углы: / ADB= ^АВС\ следовательно, ДЛБО^ДЛбС. Точно
так же. треугольники ВЕС и ABC подобны, как имеющие общий угол С и по рав¬
ному углу СЕВ и ABC, т-е. /\СВЕ^ДАВС.
2) Чтобы доказать, что BD = BE,
покажем, что треугольник BDE рав¬
нобедренный, и разберем отдельно два
случая.
Первый случаи. Ббльшин угол
треугольника ABC тупой (черт. 1).
Углы ADB и СЕВ, как равные
одному и тому же углу ABC, равны
между собою, но эти оба угла служат
внешними углами треугольника BDE:
отсюда слечует, что два внутренних угла этого треугольника равны между
собою, г.-e. J BDE= BED\ значит, треугольник BDE равнобедренный, по¬
этому BD—BE.
Второй случай. Больший угол треугольника ABC острый (черт. 2).
В треугольнике BDE углы при основании по построению равны межд'- собою,
/ BDE= £ BED, т.-е. треугольник BDE равнобедренный; следовательно.
BD = BE 	(1)
Теорема 2. Каждая наклонная является среднею пропорциональною между
отрезками ббльшей стороны, составляющими вместе
с наклонными стороны углов, равных ббльшему
углу треугольника.
В треугольнике ABC (черт. 1 и 2), где на¬
клонными мы называем отрезки BD и BE, упо¬
мянутыми в теореме друмя отрезками являются
отрезки:
AD = Ь, и CE — bs.
Требуется доказать, что b, • b, = BE2 — BD-.
Доказательство. Треугольники ABD и СВЕ,
подобные одному и тому же треугольнику ABC,
подобны между собою; в этих треугольниках рав-	Черт. 2.
ными углами являются:
/ D = / Е\ / ABD - / С; ( / СВЕ = _ А :
в самом деле:
Д ABD ^ DBH / НВС = j ABC
или
ABD ' D — Чб° 90э— С= _ D;
откуда
/ ABD = / С.
Из подобия треугольников ABD и СВЕ следует:
: BD = BE: Ьг\
так как BD- — BE по теореме 1, то имеем:
. h, =-: BD- = BE2	(2,

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
79
Теорема 3. В любом треугольнике произведение ббльшей стороны на
наклонную равно произведению двух других сторон.
Требуется доказать, что в треугольнике ABC (черт. 1 и 2) имеют место
равен тва:
1) АС • BD = AB ■ ВС	1
2) АС - BE — АВ ВС . .	. . /
Доказательство. Из подобия треугольников ABC и ABD следует:
АС: ВС = АВ: BD,
откуда
АС - BD — AB ■ ВО,
соответственно из подобия треугольников ABC и СВЕ найдем:
ЛС:ЛВ = ВС:ВЕ
или	AC	BE	= АВ ■ ВС.
Теорема 4. Каждая сторона в тр--угольнике является средней пропорцио¬
нальной между ббльшей стороной и ее отрезком, прилегающим к взятой боковой
стороне.
Требуется доказать, что для треугольника ABC (черт. 1 и 2) справедливы
равенства:
1) АС ■	—	АВ-	(
2) АС ■ Ь. = ВО	(
Доказательство. Из подобия треугольников ABC и ABD имеем:
АС-.АВ - AB:AD,
т.-е.	АС	•	Ьх = АВ1.
Из подобия треугольников ABC и СВЕ находим:
АС:ВС=ВС.ЕС
или
АС ■ Ь., — ВС1.
Теорема 5. В любом треугольнике произведение наклонной на одну из
сторон равно произведению другой стороны на отрезок ббльшей стороны, приле¬
гающей к первой стороне.
В треугольнике ABC (черт. 1 и 2) стороне АВ соответствует наклонная BDy
стороне ВС—наклонная BE; требуется доказать, что:
1) BD - АВ — ВС •/;,	1	..
2) BE ВС — АВ Ь.,	/
Из подобия треугольников ABD и СВЕ получаем:
ab-.ad~bc-.be
BE ■ АВ = В - Cfr,.
Из подобия тех же треугольников найдем:
АВ: BD ВС: ЕС
BD ■ ВС ~ АВ -
Так как BD — BE, то в каждом из полученных равенств можно BD заме¬
нить через BE и наоборот; тогда получим равенства (5).
Примечание 1. Равенства (5), выражающие теорему 5, можно получить
пугем почленного деления равенств (3) и (4), т.-е. на основании теорем 3 и 4;
именно:
AC BD _ А В ■ ВС_
АС Д, ^ АВ*	'
откуда
В!) _ ВС
Ь{ АВ
или
ВО - ЛВ.^ВС ■ б,.
или
или

80
ВАЛНШТЕПН
Точно так же имеем:
АС ■ BE _ АВ _ВС.
АС -Ьг~ ВС* ’
отсюда
BE _ АВ
Ь.2 ~ ВС
или
ZJZf • ВС = АВ • б2.
Теорема 6. Во всяком треугольнике квадрат ббльшей стороны равен сумме
квадратов двух других сторон плюс произведение ббльшей стороны на разность
между этой же стороной и суммой двух боковых отрезков ббльшей стороны.
В треугольнике ABC (черт. 1 и 2)—ббльшая сторона АС, как лежащая про¬
тив большего угла В. Боковые отрезки большей стороны—это отрезки Ьх и by
упомянутая в теореме разность равна (АС — bt — b-,).
Требуется доказать, что
АС2 = АВ2-' ВС2- АС (АС — Ьх — Ь.г).
Доказательство. Почленное сложение равенств (4), выражающих теорему 4,
дает:
АС />, = АВ2
АС • б2 = ВС2
AC (b, -f bj = АВ2 -f- ВС2
Прибавляем к обеим частям найденного равенства по выражению
АС {АС — Ьх —Ь-,)\
получаем:
АС (&, + &*) 'г AC (AC — b, — b.,)=^AB2-\-BC2 + AC (АС — Ь. — Ь,)]
после упрощения левой части найдем:
АС‘ = АВ* + ВС*-\-АС (АС — Ьх — Ь.г) . . . . (б).
Примечание 2. Применяемая в теореме 6 разность АС—ЬХ — Ь% равна
отрезку DE ббльшей стороны, лежащему между основаниями наклонных;
причем -отрезок берется со знаком плюс в случае тупого угла (черт. 1) и
со знаком минус—в случае острого угла (черт. 2); это легко усмотреть из
чертежей; таким образом:
АС — ^ — b.2=±DE,
и формула (6) принимает вид
АС2 = АВ'2 -ЕВС2±АС ■ DE	(61).
Эго можно доказать, складывая равенства (4) и заменяя сумму bt , b_t
через АС — DE для тупого угла по чертежу 1 и через AC-\-DE для острого
угла по чертежу 2.
Теорема 7. В тупоугольном треугольнике квадрат стороны, лежащей про¬
тив тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное про¬
изведение одной из этих сторон на отрезок, полученный от продолжения этой
стороны от вершины тупого угла до основания высоты.
За данный тупоугольный треугольник возьмем на чертеже 1 треугольник ВСЕ-, в
нем тупой угол Е\ против тупого угла лежит сторона ВС\ высотой является прямая
ВН\ продолжение стороны ЕС до высоты дает требуемый по теореме отрезок EIE.
Требуется доказать, что
ВС2 BE2 -f ЕС2 |- 2ЕС • НЕ.
Доказательство. При вершине В треугольника ВЕС построим угол СВ А,
равный тупому углу Е данного треугольника; продолжим сторону ЕС до пересе¬
чения со стороной ВА вновь построенного угла СВА. Путем указанного построе¬
ния мы получим треугольник ABC. Проведем в нем из вершины В наклонную
прямую BD. образующую с прямой АС угол D, равный углу Е (черт. 1).
По теореме 4, примененной к треугольнику ABC, имеем:
ВО — АС - by,

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
81
но из чертежа 1 видно, что
АС — Ьг : DE-\-ЕС
или, так как в равнобедренном треугольнике DBE основание DE — 2НЕ, получим:
АС=Ьт'г2НЕ-\-ЕО,
подставляя вместо АС найденное выражение, будем иметь:
ВС2 = (b, -; - 2НЕ 4- ЕС) ь2
или
ВС2 = Ъх />, f 2НЕ ■ /к, + ЕС ь...
но по равенству (2) имеем
Ь, ■ Ь2 = ВЕ\
по чертежу 1 Ь-, = ЕС; следовательно,
ВС2 = BE2 -f ЕС* + 21:С • НЕ	(7),
что и требовалось доказать.
Теорема 8. Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против
острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, минус удвоенное произ¬
ведение одной из этих сторон на отрезок этой стороны, лежащий между верши¬
ною острого угла и основанием высоты.
Воспользуемся чертежом 2 и возьмем в качестве данного треугольник ЕВС
и лроведем в нем высоту ВН. Требуется доказать, что
ВС2 — BE-	ЕС'1—2 ЕС ■ ЕИ.
Доказательство. Сделаем построения, подобные тем, какие мы выполнили
при доказательстве теоремы 7, т.-е. построим угол ABC, равный углу ВЕС; по¬
лучим треугольник ABC. В нем по теореме 4 имеем:
ВС2 = АС - bv
На основании чертежа 2 можем написать:
AC = AD -ЕС—ED;
так как в равнобедренном треугольнике EBD имеем, что
ED = 2ЕН,
получим:
AC = AD-{-EC- 2ЕИ;
подставляя найденное выражение, будем иметь:
BC* = (AD -f ЕС —2ЕН) •/;,
или
ВС2 ~ AD -Ь2 ЕС ■ Ь„ — 2Ь., • ЕИ;
так как (черт. 2) bt = EC, AD — bt, найдем
ВС2 = Ьх ■ Ь, ЕС- — 2ЕС . ЕИ;
по равенству (2) имеем:
bt bt — BE2.
Следовательно,
ВС* —BE* , ЕС* — 2ЕС • ЕИ 	(8),
что и требовалось доказать.
. Примечание 3. Теоремы 7 и 8 можно доказать на основании примеча¬
ния к теореме 6, пользуясь равенством (6 ):
АС2 = АВ2 [ БСа±ЛС • DE.
Для случая тупого угла возьмем чертеж 1 и перерисуем его в ином
расположении (черт. 3). По равенству (6'j для случая тупого угла имеем:
АС2 = АВ2-}- ВС2\- АС • DE.
На чертеже 3 имеем два подобных прямоугольных треугольника АСК
и АВН, имеющие общий угол А; из подобия этих треугольников найдем
пропорцию:
АС АВ	АС	АВ
 —	—	ИЛИ —
КА ~ НА - КВ 4 ВА~ I1D + DA '
Фи 11IK.1, маггматнки. химия, техника. Ла 2	С

82
ВАПНШТЕПН
откуда:
АС ■ HD + AC ■ DA = КВ ■ АВ-' АВ2,
но	DA = b{\ АС ■ &i = (по равенству 4) ЛВ2;
поэтому ЛВ-’ в обеих частях равенства исчезает, и мы получаем:
АС ■ HD — KB ■ АВ-,
так как
Н1)~. J ED,
имеем:
AC ED^2КВ ■ АВ
и в конце-концов получим:
ЛС2 = ЛВ2 + ВС2 + 2ЛВ ВК.
Можно также опустить высоту из вершины А (черт. 3), и в формулу
тогда войдет произведение 2.ВС ■ LB, т.-е. мы получим:
АВ ВК = ВС ■ LB.
Поступая подобным образом с остроугольным треугольником, изобра¬
женным на чертеже 2, получим чертеж 4. Проведем высоту СК\ из подобия
прямоугольных треугольников АСК и АНВ (они подобны, так как имеют
общий угол Л) следует:
АС АВ	АС __ АВ
АК ~ АН ИЛИ АВ - ВК АР - ОН ’
отсюда
АС ■ AD — АС ■ DH = ABi — АВ ■ ВК
по равенству (4) имеем;
Л В- = ЛС ■ bt
или
АВ1 = AQ ■ AD.
Полученное равенство упрощается:
AC DH = AB ■ ВК
или, так как
DH= I DE,
получаем:
AC DE — 2AB ■ ВК\
подставляя найденное выражение в равенство (6') для случая острого угла,
находим:
АС2 = СВ2 ’ - В А2 — 2 ЛВ ВК.

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
83
Рассматривая подобные треугольники (черт. 4) ACL и ВСН (имеющий
общий угол С), найдем:
АС
CL
ВС
— сн или
АС
ВС- BL
ВС
СЕ - НЕ
или
АС ■ СИ-АС ■ НЕ- ВС1— ВС ■ ВЦ
откуда
АС - НЕ = ВС ■ BL.
Сравнивая с ранее полученным равенством, получим:
АВ • ВК—ВС ■ BL,
т.-е. произведение стороны треугольника на отрезок ее от высоты до
вершины угла одинаково для двух сторон, образующих один и тот же угол
треугольника. Это же мы получили и для тупого угла.
Примечание 4. Все доказанные тео-	в
ремы можно применить и к прямоуголь¬
ному треугольнику (черт. 5). В этом тре¬
угольнике те наклонные линии, какие мы
проводили в предыдущих теоремах, долж¬
ны образовать с основанием АС прямые
углы; отсюда ясно, что две отдельные на¬
клонные сливаются в одну, которая яв¬
ляется перпендикуляром, опущенным из
вершины прямого угла на гипотенузу.
Теорема 1 говорит, что высота, про¬
веденная. из вершины прямого угла, делит данный треугольник на прямо¬
угольные треугольники, из которых каждый подобен данному.
Теоремы 2 и 4 дают случаи пропорциональных линий в прямоугольном
треугольнике.
Теорема 3 в применении к прямо-
Р	угольному	треугольнику	выражает	его
удвоенную площадь как произведение ка¬
тетов.’ Применяя теорему б к прямоуголь¬
ному треугольнику, мы должны поло¬
жить (черт. 5):
(?, -|- Ь2 = АС или DE — 0;
в таком случае равенства (6) и (б') при¬
мут вид:
АС* = ВС2- -f А В',
т.-е. получим равенство, выражающее тео¬
рему Пифагора.
Примечание 5. Формула (6'), соот¬
ветствующая теореме б, допускает простое
геометрическое толкование как в случае
тупого, так и в случае острого угла. На
чертеже 6 изображен тупоугольный тре¬
угольник АВС\ на его сторонах построены
квадраты, причем квадрат, построенный на
ббльшей стороне (лежащей против тупого
угла), разбит на три прямоугольника пря¬
мыми линиями, проведенными из точек
D и Е (оснований наклонных D и Е), На основании равенств (4), именно
АС Ьг = АВ*
АС ■ Ц — ВС2,
вытекает, что квадрат AMNB равновелик прямоугольнику ADSR, так как
площадь квадрата равна АВ'1, а площадь прямоугольника равна AR ■ AD —
и*

84
В. РЕПЬЕВ
— АС ■ bv Точно так же квадрат BPQC равновелик прямоугольнику CETU.
Площадь прямоугольника DETS равна DS
видно, что
АО—АС • DE = АВ* ; ВО
или
АО —ALE , ВО-'у- АС • DE,
т.-е. получим равенство (6') для тупо¬
угольного треугольника. На основании чер¬
тежа 7, где построен остроугольный тре¬
угольник ABC, подобно вышеуказанному
получим:
АО4- АС ■ DE — АВ2 -f- ВСЕ
или
АО = АВ'1 ВС1 - АС » DE,
т.-е. равенство (6') для случая острого угла.
Таким образом, чтобы вывести фор¬
мулы, выражающие квадрат стороны тре¬
угольника* можно выбрать такой путь:
доказав теоремы 1 и 4, перейти к тео¬
реме 6, выразив ее при помощи равенств (6'), т.-е. применить примечание 2
после этого, согласно примечанию 5, получим искомые равенства.
Вайнштейн.
т
ТОПОГРАФИЧЕСКИЙ КРУЖОК В ШКОЛЕ.
(Из школьного опыта.)
Организация жизни учащихся летом является одной из важных задач в об¬
ласти социального воспитания и образования. Наша школа весной 1928 г. впер¬
вые практически подошла к вопросу организации жизни учащихся II ступени во
время летних каникул. На ряду с другими детскими организациями, которые
намечаются на лето, был выдвинут топографический кружок с рельефно выраженным
военным уклоном. Таким образом топографический кружок в нашем опыте являлся
одним из видов летней работы учащихся, одним из видов каникулярных занятий
детей.
Как уже было отмечено, кружок имел военный уклон. Его организатором
явилась школьная ячей са Осоавиахима.
Надо отметить, что по ряду причин те геодезические работы, которые
намечены программами математики в течение учебного года, проводятся далеко
не все. Это хотя и плохо, но это все-таки так. Топографический кружок попол¬
няет, конечно, частично этот пробел.
Подготовка к организации кружка ведется параллельно с общей подготовкой
к летней школе. Задачи кружка кратко освещаются при обсуждении вопроса
о летней школе в ячейке ВЛКСМ, учкоме, форпосте юных пионеров. Кроме того,
школьная ячейка Осоавиахима заслушивает специальное сообщение о топографи¬
ческом кружке преподавателя математики, будущего руководителя кружка. В сообще¬
нии подчеркивается необходимость военизации страны с целью поднятия обороно¬
способности, затем специально выделяется роль военной топографии в деле
обороны страны и кратко сообщаются задачи военной трпографии, указываются
в общих чертах работа кружка, его укомплектование, время и виды работы,
руководство и т. д.
В дальнейшем организационно занятия кружка строятся так. Кружок собирается
раз в неделю и проводят беседу теоретического характера на темы о семье
DE или АС ■ DE. Из чертежа

ТОПОГРАФИЧЕСКИ!'! КРУЖОК В ШКОЛЕ
85
планов. Обычно беседа бывает очень кратка, сжата, содержит минимум теоретиче¬
ских сведений, нужных для практики. В среднем на беседу тратится около получаса.
Затем члены кружка общими усилиями быстро припасают нужный инвентарь для
практических работ, делятся на звенья, в соответствии с характером с'емки.
После этого кружок отправляется на практическую работу. Школа, опыт которой
здесь сообщается, находится в центре Н.-Новгорода. Поэтому выход на работу
за город затруднен: тратится много времени на переходы. Это принуждает кружок
вести практическую работу в садах общественного пользования, на бульварах и
площадях. Практическая работа кружка, в виду выполнения каждым звеном с'емки
плана заданного участка тем или другим способом, продолжается около 2 — час.
в течение каждого выхода. Работа по вычерчиванию и иллюминовке планов пору¬
чается звеном одному из своих членов для выполнения на дому. Она заканчивается
к следующему собранию кружка.
Такова в основных и общих чертах организационная сторона работы. Как
видно из изложенного, кружок занимается преимущественно под открытым небом,
ведет главным образом практическую работу.
Метод работы таков, что дает максимальную активность всех членов кружка;
он строится почти исключительно на практических занятиях на местности, а орга¬
низация этих занятий такова, что втягивает в активную работу всех участников
кружка.
У учащихся, в связи с изучением математики и предыдущими геодезическими
работами, имеются некоторые сведения о спосабах с'емки планов. Прежде всего
надо упорядочить эти сведения, классифицировать, а затем пополнить, расширив
их, углубив и придав им практический характер.
Поэтому во время первого и второго занятия
кружка прорабатываются основные виды горизонталь¬
ных с'емок планов.
Рассматривается четыре вида с'емок, четыре
способа с'емок.
Простейший вид с'емки — полярный. Сущность
его—в применении полярных координат на плоскости.
Как известно, для определения положения точки на 0‘
плоскости определяется расстояние от полюса до
интересующей нас точки, т.-е. радиус-вектор, и угол
между осью, проходящей через полюс и радиусом-вектором, т.-е. угол направления
радиуса-вектора (рис. 1), г и v — полярные координаты - вполне определяют отно¬
сительное положение точки Р на плоскости.
В полярном способе с'емки и пользуются по существу этими полярными
координатами. От произвольно выбранной точки местности — полюса—измеряют
расстояния до всех интересных точек местности, т.-е. измеряют радиусы-векторы и
углы между ними. Знания этих элементов достаточно, чтобы построить на бумаге фи¬
гуру, подобную фигуре на местности. В этом сущность полярного способа с'емки.
Другим способом с'емки является способ прямоугольных координат.
На местности разбивается ось - ось абсцисс;
на эту ось из всех характерных точек местности
опускаются перпендикуляры-ординаты. Измеря¬
ются расстояния от начала оси абсцисс до по¬
дошв ординат, а затем ординаты. Таким образом
получаются прямоугольные координаты точек
местности. Они также достаточны для того,
чтобы построить фигуру на плане, подобную
соответствующей фигуре местности.
• ось абсцисс, измеряются абсциссы точек A,B,C,D,E—кон-
тура—Оа, ОЬ, и т. д.; затем измеряются ординаты этих точек аА, ЬВ, сС и т. д.
Полученных резу штатов измерений достаточно, чтобы начертить уменьшенную
фигуру, подобную фигуре ABCDE. Такова сущность с'емки способом прямоуголь¬
ных координат.
Рис. 1.
С
D
А
А
"Т--^ Е
I ч
| >
. Y I
! : I
1 1 1
■ 1 1
> 1
1 1
1 1
1 1
1 1
ah с
d е
Рис. 2.
На рис. 2 ОХ-

80
В РЕПЬЕВ
Третьим видом с'емки плана является способ засечек. Он состоит в том,
что на местности выбирается линия — базис; определяются тем или другим приемом
углы, прилежащие к этой линии в треугольнике, образуемом базисом и снимаемым
пунктом местности. Эти данные достаточны, чтобы построить на плане тре\голь-
ник по стороне и двум прилежащим углам, подобный треугольнику местности.
Так снимаются по отношению к базису и другие предметы местности.
Этот способ засечки носит название прямой засечки. Кружок знакомится
только с прямой засечкой. Другие разновидности способа не изучаются.
Наконец, четвертый способ с'емки — способ хода по ломаной линии или
способ обхода участка. Его сущность заключается в последовательном измерении
сторон ломаной линии и определении углов этой линии. По этим данным представ¬
ляется возможным воспроизвести на бумаге фигуру, подобную ломаной линии
местности.
Кружок знакомится с принципиальной математической стороной дела. Эти
способы, их сущность найдутся в любой работе по с'емке плана.
Кроме того, кружок знакомится и с тем, что каждый из этих способов
недостатками в сравнении
с другими способами, при¬
чем эти преимущества и
недостатки особо сказыва¬
ются в тех или других кон¬
кретных условиях работы.
Поэтому нецелесообразно
пользоваться во время с'ем¬
ки каким-нибудь одним спо¬
собом; лучше пользоваться
несколькими способами,
комбинируя их в зависимо¬
сти от условий работы,
используя тот из них, ко¬
торый в этих условиях
более удобен, экономен и
точен.
Изучение практиче¬
ского использования этих
способов с'емки произво¬
дится прежде всего с по¬
мощью мензулы. Мензула—столик на треножной подставке; для работы на ней
употребляется масштабная линейка с иглами для визирования. Кроме того, нужны
мерная веревка и вехи. Таков инвентарь мензульной с'емки.
В первую экскурсию на местность кружок практически знакомится с при¬
менением полярного способа и способа прямоугольных координат. Кружок снимает
один из садов общественного пользования (рис. 3).
Попутно учащиеся знакомятся с условными знаками, вычерчиванием и окраской
планов.
Работа ведется звеньми, по 6 человек в звене.
Во вторую экскурсию кружок практически изучает два других способа с'емки—
способ обхода и способ засечек. Попутно пользуются и ранее изучеными способами,
комбинируя их применение, используя тот из них, который удобнее в данном
конкретном случае.
Этих двух экскурсий достаточно, чтобы учащиеся овладели практикой
основных способов с'емки планов, познакомились с вычерчиванием планов.
Далее кружок знакомится с шагомерно-глазомерной Семкой; мензула заме¬
няется папкой, мерная веревка — определением линии шагами или на-глаз, вехами
служат предметы местности — телеграфные столбы, деревья, углы зданий и другие
предметы.
обладает некоторыми преимуществами и некоторыми
Рис. 3.

ТОПОГРАФИЧЕСКИЙ КРУЖОК В ШКОЛЕ
87
Выясняется особое значение глазомерной с'емки в условиях военных действий,
выясняются ее преимущества в этом отношении перед другими с'емками.
Работа на папке ведется теми же способами, что и на мензуле. Те же
основные способы - с‘емки проходят в практике детей еще раз. Кружок снимал
часть бульвара вдоль кремлевской стены.
■Снимаемый контур был не замкнут; с'ем-
ка в таком случае имела характер марш¬
рутной с'емки.
В предыдущем изложении очень крат¬
ко описана работа мензулой и с'емка
планшетом. Работа этими приборами, надо
полагать, в настоящее время является в
общем известной педагогам-математикам.
Она за последнее время описана с долж¬
ною подробностью в ряде книжек как для
учителя, так и для учеников1).
Остановимся на с‘емке неровностей
местности.
До сих пор кружок производил толь¬
ко так называемы ^.горизонтальные с'емки.
При этих с'емках вычерчиваются на пла¬
нах уменьшенные горизонтальные проекции
участков местности. По планам таких
с'емок нельзя судить о неровностях мест¬
ности, об ее рельефе. А такие суждения во
многих случаях, в
частности и в воен¬
ном деле, бывают
крайне необходимы. Поэтому на ряду с горизонтальными
с'емками употребляются с'емки неровностей, с'емка рельефа
местности. Такие семки называются вертикальными. По
планам вертикальных с'емок можно судить с той или дру¬
гой степенью точности о характере неровностей.
В беседе с кружком выясняется, как изображать
неровности местности в горизонталях, выясняется, как
изобразятся на плане правильные геометрические тела: пря¬
мой круговой конус, наклонный конус с круговым основа¬
нием, полушар. Прямой круговой конус рассекается парал¬
лельными основанию (горизонтальными) равноотстоящими
плоскостями (рис. 5). В сечении с поверхностью конуса
получаются окружности. Эти окружности вместе с окруж¬
ностью основания проектируются на горизонтальную пло¬
скость; получаются концентрические окружности. Нетрудно
сообразить, что расстояние между окружностями равны.
Эти концентрические окружности, являясь планом конуса,
носят название горизонталей. Прямой круговой конус
изобразится на плане посредством горизонталей в виде
концентрических равноотстоящих окружностей.
Так же проектируется на плостность, параллельную
основанию, наклонный конус с круговым основанием (рис. 6).
Наклонный конус в проекции изобразится с помощью
эксцентрических окружностей с различными расстояниями по различным обра¬
зующим. Наименьшее расстояние получается по гой образующей, которая на-
Рис. 4.
Рис. 5.
') Описание мензульной и глазомерной с'емок имеется, например, в книжках: Орлова —
Первые работы по измерению земли, Знаменского — Математика летом, , В «Рабочих книгах»
по математике, в журнале «Школа и жизнь». Нижгубоно, \'о 12 за 1924 г..№ 8 9 за 1926 г. и
.No 12 за 1927 г. и яр.

88
В. РЕПЬЕВ
клонена к плоскости основания под большим углом; наибольшее расстояние полу¬
чается по той образующей, которая имеет меньший уклон. Полушар изобразится
на плане с помощью горизонталей в виде концентрических окружностей, отстоящих
друг от друга на разные расстояния (рис. 7).
Во всех этих чертежах на планах надо отметить вершины тел. В противном
случае горизонтали не полно изображают тело. Они будут годны и для тех тел,
которые вершинами повернуты вниз.
Конечно, неровности местности не имеют такого правиль¬
ного характера, таких правильных форм, как усмотренные
тела, но и эти неровности также можно изобразить в гори¬
зонталях на основании тех же
соображений, которые помогли
изобразить тела.
Из изложенного делаются
выводы:
1) С изменением угла на¬
клона линии местности меняет¬
ся и расстояние между гори¬
зонталями: с увеличением угла
наклона расстояние между гори¬
зонталями уменьшается, а с
уменьшением угла наклона —
увеличивается; таким образом,
по расстоянию между горизонта¬
лями можно судить о крутизне
ската;
2) по числу горизонталей
между двумя точками на плане
можно судить об относительной
высоте этих точек, т.-е. на¬
сколько одна точка лежит выше
или ниже другой.
Таким образом, проектирование описанным путем простейших геометрических
тел познакомит учащихся с основными принципами изображения неровностей
в горизонталях.
После этих	об'яснений	кружок знакомится	с тем, что с'емка	неровностей
проводится параллельно с горизонтальной с'емкой.	При этом для с'емки	неровностей
используется все та же папка, которая служит для глазомерной с'емки.
Одновременно с горизонтальной с'емкой отмечают на бумаге пунктиром
положение и форму всех характерных частей рельефа: вершины возвышенностей,
подошвы их,	контуры оврагов,	котловины,
седловины и	т. д. Эти пунктирные линии
называются натуральными линиями (рис. 8).
Вместе с нанесением натуральных линий
характер неровностей изображают коротень¬
кими горизонтальками. Связи между собой
эти горизонтальки не имеют, они являются
временными и после проведения настоящих
горизонталей уничтожаются.
Кроме того, пунктиром	проводятся
стрелки, показывающие направление пока¬
тостей. Вдоль стрелок подписывается число
градусов углов наклона линий	к горизон¬
тальной плоскости.	Углы	наклона	определяются на-глаз
На рис.	8	изображены:	А	и	С — вершины возвышенностей, В — седловина,
М и N—горизонтальки; пунктиром показаны стрелки, указывающие направление
и угол наклона линии.
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8.

ТОПОГРАФИЧЕСКИЙ КРУЖОК В ШКОЛЕ
89
Горизонтальки проводятся перпендикулярно к стрелкам.
Далее учащимся сообщают, что после этой предварительной работы по изо¬
бражению неровностей приступают, не уходя с местности, к вычерчиванию горизон¬
талей. Горизонтали проводятся перпендикулярно к стрелкам и параллельно
горизонталькам. Расстояние между горизонталями берется сообразно с надписан¬
ными углами наклона линий и с учетом превышения пункта местности над другими
пунктами.
Горизонтали можно проводить без предварительного нанесения натуральных
линий, стрелок и горизонталек, но это требует большого опыта и при первых
работах учащихся является трудным и недоступным.
Конечно, горизонтали, нанесенные при шагомерно-глазомерной с'емке, выра¬
жают рельеф местности очень неточно; по ним судить об относительных высотах
пунктов местности можно только весьма приблизительно. Горизонтали шагомерной
с'емки выражают
общий характер
неровностей, дают,
так сказать, кар¬
тину этих нероЕ-
ностей.
Этим закан¬
чивается подготов¬
ка к экскурсии,
которая требует
немного времени,
около Ч-, — 3/4 ча¬
са. Основные идеи
изображения не¬
ровностей учащие¬
ся воспринимают
без труда.
Для работы на местности учащиеся разбиваются на звенья. В данном случае
было по два человека в звене, хотя с'емку на папке можно выполнить одному.
Для первой вертикальной с'емки надо выбрать местность с достаточно резко
выраженным рельефом. На такой местности лучше выявлены натуральные линии,
виднее направление горизонталей и проще уловить направление скатов. Вместе
с тем эта местность для первой с'емки не должна отличаться сложностью рельефа.
Кружку дана была задача: снять в горизонталях часть Зеленского с'езда,
около Кремля. Масштаб с емки был выбран с'емщиками по их соображениям:
в сантиметре 10 м. Для изображения неровностей горизонтальные сечения было
предположено взять через 2 м.
Способ горизонтальной с'емки члены кружка выбирали по своему усмотрению.
Большинство пар снимали контур с'езда способом обхода. Некоторые пары делали
ход вдщь одной стороны с'езда, а другую снимали способом засечек.
Попутно определялись, записывались и зачерчивались натуральные линии, на¬
правление и крутизна скатов, превышение одного пункта над другим, горизонтальки.
Существенных затруднений у звеньев не было. Указания схватывались
быстро и правильно.
Результаты работы одной из пар видны на фотографическом снимке (рис. 9).
С'емка заняла около 2 часов.
Каковы же выводы из опыта работы топографического кружка?
1) Прежде всего надо отметить, что топографический кружок с тем практи¬
ческим уклоном, какой он имеет в нашем опыте, успешно может являться одним
из видов летних занятий детей.
2) Кружок своей работой принимал участие в повышении военной грамотности
своих членов в области топографии.
3) Заинтересованность занятиями кружка со стороны его членов была удов¬
летворительная; это является известной гарантией жизненности такого кружка.

90
В. РЕПЬЕВ
4) Из опыта кружка видно, что вертикальная с'емка, с'емка рельефа местности
для учащихся старших групп II ступени вполне посильна, затруднений не вызывает
и проходит успешно.
5) Вместе с тем опыт позволяет наметить следующие возможные улучшения
и изменеия в будущей практике топографического кружка:
а) число членов кружка можно довести до 20; дальнейшее увеличение при
одном руководителе не желательно, так как будет затрудняться инструктирование
во время практической работы;
6) программу кружка можно несколько углубить и расширить, в частности
обратить внимание на чтение военно-топографических карт, на ориентировку по
ним на местности;
в) установить связь в области топографии с воинскими частями, в частности —
с военной школой.
В заключение заметим, что работу такого кружка можно организовать и
в учебное время. Для этого удобнее использовать или раннюю осень (сентябрь
месяц) или позднюю весну (май месяц), т.-е. такое время, когда возможна практи¬
ческая работа под открытым небом.
В.	Репьев.
Н -Новгород.

ОБЗОРЫ И ОТЗЫВЫ О КНИГАХ
КНИГИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ.
Без основательной проработки статьи о при¬
ближенных вычислениях общеобразовательный
курс математики остается незаконченным. Это
было понято уже давно, но в послереволю¬
ционной школе, поставившей на первый план
практические приложения математики, вопрос
этот приобрел исключительную остроту. Все
программы математики для школ повышенного
типа, какие только появились за последние
10 лет, неизменно указывали на необходимость
овладения теми или иными приемами учета
погрешностей в результатах измерений и вы¬
числений, а также на важность усвоения раз¬
личных приемов, упрощающих и сокращаю¬
щих вычислительную работу. Последние про¬
граммы ГУС'а для школы-семилетки (1927 г.)
ставят вопрос вполне определенно, точно ука¬
зывая тот минимум сведений и навыков по
приближенным вычислениям, какой должен
быть прочно усвоен в школе-семилетке. Книги
для учеников постепенно начинают отражать
.эту «вычислительную» тенденцию программ,
но делают это до сих пор еще не вполне до¬
статочно. Сами преподаватели как дореволю¬
ционной университетской подготовки, так и
окончившие советские педагогические вузы не
располагают никакими или почти никакими
сведениями из области приближенных вычис¬
лений: учебные планы педагогических вузов
только в самое последнее время начинают учи¬
тывать важность этой стороны подготовки
будущего преподавателя математики. Тем боль¬
шее значение приобретает вопрос о книгах
по приближенным вычислениям, предназначен¬
ных для учителей. За последние годы появил¬
ся ряд таких книг, а также ряд статей на ту
же тему в различных сборниках и журналах.
Так как все подобные сборники и журналы
имеют малый тираж и широкого распростра¬
нения не получают, то такие статьи сколько-
нибудь заметного значения для учителя-мас¬
совика иметь не могут. Поэтому ограничимся
только рассмотрением отдельных книг по при¬
ближенным вычислениям, вышедших за послед¬
нее десятилетие и предназначенных для учи¬
теля или хотя бы частично могущих заменить
книгу для учителя.
Государственное издательство РСФСР вы¬
пустило по приближенным вычислениям пять
следующих книг:
1.	И. Н. Кавун. Приближенные вычисления.
Курс элементарный. 1-е изд. 1922 г.. 2-е изд
1923 г. Стр. 125. Ц. 60 к.
Первое издание разошлось в количестве
5.000 экземпляров, второе—уже в 10.000, и в
настоящее время книга на складах ГИЗ‘а от¬
сутствует. Это одно уже показывает, что книга
хотя бы до некоторой степени удовлетворяет
существующей потребности. Действительно,
рассматривая ее содержание, убеждаемся, что
она в очень детальной, хорошо продуманной
и тщательно проработанной форме дает изло¬
жение важнейших вопросов элементарной тео¬
рии приближенных вычислений. Освещение
теоретической стороны сопровождается боль¬
шим количеством примеров и задач, частью
с подробными решениями, частью без них, но
с указанием авторов. Не ограничиваясь изло¬
жением научной стороны дела, книга дает и
ряд прямых методических указаний. Книга
вполне доступна студенту педвуза и рядо¬
вому учителю. Существенным ее недостатком
является то обстоятельство, что из трех основ¬
ных способов учета погрешностей (способ гра¬
ниц, способ границ погрешностей, способ
недочета цифр) она больше всего внимания
Уделяет вопросу наиболее совершенному, но
зато и наиболее трудному. Первый же и по¬
следний способы, единственно доступные шко¬
ле-семилетке и даже девятилетке, затронуты
в книге Кавуна лишь вскользь.
Книга Кавуна представляет собой лучшее
из всех существенных пособий по приближен¬
ным вычислениям и, несомненно, должна быть
переиздана, но при обязательном условии ее
переработки в сторону сокращения изложения
способа границ погрешностей и значительного
усиления двух других способов.
2. С. Придатке. Практические вычисления.
1924 г. Стр. 158. Ц. 1 руб.
Книга много внимания уделяет вопросам
второстепенным и третьестепенным (различ¬
ные варианты сокращенных приемов действий
над многозначными числами), совершенно не¬
достаточно рассматривая вопросы основные.
Можно сказать, что не верна установка книги
в целом. Как пособие для студентов техниче¬
ских вузов, книга, быть может, и имеет неко¬
торое значение (так, например, она содержит
изложение теории логарифмической линейки),
но для преподавателя школы повышенного типа
она бесполезна.
3. Я. Безикович и А. Фридман. Приближен¬
ные вычисления. 1925 г. Стр. 132. Ц. 1 р. 40 к.
Книга предназначена для студентов высших
технических учебных заведений и техникумов,
и вопросам элементарной теории приближен¬
ных вычислений уделено около половины ее
объема. Изложение значительно более труд¬
ное и менее обработанное, чем в книге Кавуна.
Как и в последней, основная установка сде¬
лана на способ границ погрешностей. Способ
границ не затронут вовсе, способ же недочета
цифр изложен так неудачно, что учитель>

108
ОБЭОРЫ И ОТЗЫВЫ О КНИГАХ
прочтя книгу, получит убеждение в полной
невозможности применять в школе этот спо¬
соб, рекомендуемый программой ГУС'а как
основной. Это обстоятельство вовсе не позво¬
ляет рекомендовать книгу Безиковича и Фрид¬
мана для учителей.
4. А. Ф. Гаврилов. Практика вычислений
(приближенные вычисления). 1926 г. Стр. 168.
Ц. 2 руб.
Вопросам элементарным, представляющим
ближайший интерес для учителя, посвящено
около 1 /4 книги, остальные 3/4 отведены рас¬
смотрению вопросов неэлементарных. Книга
хороша как пособие для студентов вузов, про¬
рабатывающих более или менее подробный
курс приближенных вычислений. Для учителя
же, желающего выяснить, как ставить при¬
ближенные вычисления в школе, книга дает
очень мало.
5. Н. И. Щетинин. Приближенные вычисле¬
ния («Рабочая библиотека по математике для
школ II ступени» под редакцией А. М. Ворон¬
ца). 1926 г. Стр. 64. Ц. 30 к.
Книжка предназначена для ученика. При
отсутствии же подходящей книги для учителя
и при недостаточности собственной подготов¬
ки учителя в области приближенных вычисле¬
ний книга для ученика могла бы служить и
для первого ознакомления с вопросом учителя.
Однако, книга Щетинина в значительной сте¬
пени обесценивается тем, что в ней. как и в
книге Кавуна, центр тяжести лежит в изло¬
жении способа границ погрешностей, наименее
применимого в школе. Учитель, добросовестно
проработавший книжку Щетинина, приходит
к заключению, что приближенные вычисления
в том виде, как они здесь изложены, в школе
повышенного типа неприменимы.
Гостехиздат выпустил по приближенным вы¬
числениям 4 книги:
1. И. Ф. Слудский. Как надо считать. 1925 г.
Стр. 72. Ц. 1 р. 10 к.
Пока вышел только первый выпуск, посвя¬
щенный точным вычислениям и содержащий
полезный для учителя материал. Второй же
выпуск, где должны излагаться приемы при¬
ближенных вычислений, до сих пор еще не
появился.
2. Ф. В. Дроздов. Счетные машины и про¬
изводство вычислений механическим путем.
1926 г. Стр. 72. Ц. 1 руб. 40 к.
А. Кульман. О взрывчатых веществах. «Биб¬
лиотека красноармейца . Гиз, Москва—Ленин¬
град, 1927 г., стр. 70. Ц. 25 коп.
Брошюра излагает в популярной форме тео¬
рию действия взрывчатых веществ и их при¬
менение. Для того, чтобы подойти к объясне¬
нию явления взрыва с физикохимической
точки зрения, в брошюре по необходимости
имеется ряд глав вводного характера, трактую¬
щих о веществе, свойствах газового состояния,
работе, энергии и химических процессах. Ос¬
новная часть брошюры излагает механизм и
химизм взрыва, детонации и важнейшие свой¬
ства взрывчатых веществ. В конце дан очень
краткий обзор их важнейших представителей.
Как вспомогательные, так и основные отделы
брошюры изложены вполне популярно и в до¬
статочной мере систематично. Наглядные при-
Книга рассматривает важный, но весьма
частный вопрос и имеет значение для специали-
стов-вычислителей, но не для рядового учителя.
3. Н. Н. Павлов. Производство технических
вычислений. 1927 г. Стр. 132. Ц. 1 р. 70 к.
4. Н. М. Абрамов, проф. Технические вычис¬
ления. 1928 г. Стр. 228. Ц. 3 руб. 90 к.
Две последних книги, предназначенные для
студентов технических вузов, техников и ин¬
женеров, могут дать очень много (особенно
вторая) учителю, который пожелает серьезно
поработать над повышением своей квалифика¬
ции и имеет для этого достаточно досуга. Но
книги вовсе не имеют в виду потребности
школы и вряд ли имеют шансы на распростра¬
нение в учительской массе как по своей до¬
вольно высокой цене, так и по большой за¬
груженности многими вопросами, важными
только для инженера.
Несколько книг по приближенным вычисле¬
ниям выпущено другими издательствами. Упо¬
мянем из них книжку проф. Селиванова (изд.
«Сеятель», 1922 г.). И. Н. Богословского (изд.
Денингр. губоно, 1925 г.), проф. А. Виттинга
(изд. «Петроград», 192т г.). Ни одна из них не
разрешает тех затруднений, какие учитель
встречает в области приближенных вычисле¬
ний при проработке программ ГУС‘а. Однако,
самый факт появления в ведомственных и
частных издательствах подобных книг говорит
о спросе на них, спросе, не удовлетворяемом,
продукцией основных издательств.
Издательство «Работник просвещения», основ¬
ной задачей которого является создание посо¬
бий для учителя, совершенно ничего по при¬
ближенным вычислениям не выпустило.
Итак, ни одна из появившихся за последние
годы книг не дает учителю тех знаний, каких
ему не хватает, чтобы успешно проработать
вопросы приближенны»: вычислений, рекомен¬
дуемые программой ГУС‘а. Лучше других книга
Кавуна, но и она нуждается в серьезной пере¬
работке. Любопытно отметить, что программа,
учитывая это отсутствие пособий, особенно
подробно останавливается на соответствующих
пунктах, как бы принимая на себя частично
функции книги для учителя. Рекомендуя же
для более детального ознакомления с вопро¬
сом литературу, программа указывает не на
специальные книжки для учителя, а на статьи
в мало распространенных сборниках.
Тверь.	В.	Брадис.
меры, сравнения и аналогии подобраны весьма
удачно, не выходя за пределы красноармей¬
ского кругозора, и значительно оживляют
изложение. Язык брошюры легкий, и текст
тщательно отредактирован.
Можно указать лишь на кое-какие мелкие
неточности (напр., утверждение, что все взрыв¬
чатые вещества содержат кислород) или пре¬
увеличения (напр., указание, что от окиси
углерода умирают ежегодно десятки тысяч
людей). Описание опыта на стр. 10 —11 ну¬
ждается в некоторых оговорках со стороны
техники (предусмотреть расширение газа от
нагревания; перед открыванием пробки коло¬
кола уравнять давление с атмосферным). На¬
конец, способ испытания взрывчатых веществ,
описанный на стр. 50, служит для определения
их фугасного действия, а не бризантного, как
указано в брошюре.