/
Текст
правочник
ПО СТРОИТЕЛЬ/ /ой
МЕХАНИКЕ
КОРАБЛЯ
В ТРЕХ ТОМАХ
,* У. К.':*
счц
ПЛАСТИНЫ.
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ,
ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
том
465 956
ЛЕНИНГРАД
«СУДОСТРОЕНИЕ»
1982
1*20 12 001.11 ИГ Г.4] (031)
НврниА г лектор пр<ф. докт. техн.
на>'к О. Л1. Памй
. Плате ьсио
[Судостроение], 1982 г.
ОТ АВТОРОВ
Повседневная деятельность инженеров-проектировщиков, строителей судов,
работников исследовательских учреждений, преподавателей и студентов вузов —
всех, кому приходится иметь дело с выполнением расчетов прочности, — не-
мыслима без справочных материалов. Более того, она требует в каждый момент
времени наличия справочника, в котором была бы кратко, систематически и на
современном уровне изложена сумма сведений, которые отражают все многочислен-
ные методы и подходы, применяющиеся при расчетах прочности корпусов судов
самых различных типов. Судостроители 20-х годов хорошо знали «Справочную
книгу корабельного инженера» Ю. А. Шиманского и М. Ф. Гарденина, в 30—40-х
годах использовались 2-й и 3-й тома «Справочника по судостроению» под редак-
цией В. Л. Поздюнина, в 50-х годах были изданы под редакцией Ю. А. Шиманского
три тома «Справочника по строительной механике корабля».
Подобная смена справочных изданий закономерна — она отражает развитие
судостроения в целом и соответствующее ему развитие комплекса дисциплин,
рассматривающих прочность корпуса. Эта же причина побудила авторов присту-
пить к работе над новым «Справочником по строительной механике корабля».
Настоящий «Справочник» существенно отличается от ранее издававшихся.
В нем отсутствует ряд устаревших подходов и расчетных схем, но отведено значи-
тельное место прогрессивным методам, при реализации которых используется сов-
ременная вычислительная техника. Фактический справочный материал подвергся
тщательному отбору: в нем содержатся те основные сведения, которые часто нужны
практическому работнику. Наряду с этим в «Справочнике» достаточно внимания
уделено общим сведениям по всем важнейшим аспектам строительной меха-
ники, физическим представлениям, смыслу и выводу уравнений.
«Справочник» состоит из трех томов, в которых рассматриваются расчеты всех
основных элементов конструкции: балок, стержневых систем, криволинейных
стержней, пластин и т. д.
Том 2 содержит три раздела, которые объединяют двадцать одну главу.
Каждая глава имеет самостоятельную нумерацию параграфов, которые включают
пункты и подпункты. В обозначениях внутритекстовых ссылок на пункты первая
цифра указывает порядковый номер главы.
Настоящий том подготовлен к печати В. А. Постновым, Отдельные главы
написаны: гл. 1—6 (за исключением п. 1.3 и § 3 гл. 5) — А. 3. Локшиным; (
гл. 7— С. В. Петиновы.м; гл. 8, 9, 11—17, а также п. 1.3 и § 3 гл. 5 — В. А. Пост-
новым; гл. 10— В. С. Екельчико.м; гл. 18—21 — В. С. Калининым»
Раздел I
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ,
ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х/ — прямоугольные лагранжевы координаты;
5/ — прямоугольные эйлеровы координаты;
а/ — ортогональные криволинейные координаты;
и1 — проекции вектора перемещения точки на ось
Н[ — параметры Ляме;
// (Т&) — инварианты деформированного состояния в точке;
Ц (Та) — инварианты напряженного состояния в точке;
Е{ — модули упругости в направлении осей х4-;
$1 (I— 1, 2, 3) — проекции заданных поверхностных усилий, отне-
сенных к единице поверхности недеформированного
тела;
Е/у — компоненты тензора деформации;
— компоненты напряжений, действующие в площад-
ках, перпендикулярных к осям
О/у— компоненты напряжений, действующие в пло-
щадках, которые до деформации были перпенди-
кулярны к осям х/;
Ф/у (1 =/= /) — углы сдвига;
^7 0 4= ]') — коэффициенты Пуассона, характеризующие со-
кращение в направлении оси ху при растяжении
в направлении оси х^;
(?/у (I =/= ]) — модули сдвига;
Ц, /= 1, 2, 3)
г, ф, 2 — цилиндрические координаты;
г, ф, 0 — сферические координаты;
Ег, Еф, Ег — модули упругости в направлении цилиндрических
координат;
иг, Иф, и2 — проекции вектора перемещения точки на оси
цилиндрической системы;
6уЦ , ^2Г>
пга в цилиндрической системе;
__ модули сдв ти для изотроПиоГо материала
Е — модуль У для изотропного материала;
0 — модуль СА Пуасс0на для изотропного материала
2<?г_____________________коэффициент Ляме;
(I 4-т) (1 — 2м)
Е — относительное удлинение
в направлении оси у
и , «<р. “0 — проекции вектора перемещения точки на оси сфе.
рическои системы,
г коэффициенты Пуассона в ннлиндрпческой
• . 'гф* 'г2' У2
г<?’ 2 стеме;
Ре — девиатор деформации;
О а — девиатор напряжения;
8/ — интенсивность деформации;
О/ — интенсивность напряжения*;
01, О2, Из — главные значения тензора напряжения-
е1> е2, 83 — главные значения тензора деформ ’
Н13, М2з — компоненты моментных напряжений""’
системе; в Мартовой
Л43 _ объемный момент, приходящийся на »„
щади; ” Иа еАинчцу пло.
О1.. + ^т _ симметричная часть касательных напряжений;
т» =
О12 + ст2, __ аНТИсимметричная часть касательных напряжений;
Г А = --Г
х х —. кривизны;
” “ — моментные напряжения в полярной системе ко-
Р<р2> Рга
ординат;
„ _ коэффициент концентрации напряжении (теорети-
чес кий);
X — отношение напряжений, соответствующих иагру.
жени» пластины в своей плоскости в двух взаимно
перпендикулярных направлениях,
В — параметр, принятый для характеристики кондеи-
” трации напряжений у отверстия в цилиндрической
оболочке;
Р = [3 (I - н2)11/4 [г/(К01/21/2;
д'1 — коэффициент интенсивности напряжений, соответ-
ствующий нормальному раскрытию трещины;
/(п___коэффициент интенсивности напряжений, соответ-
ствующий скольжению поверхностей трещины
в плоскости пластины;
— коэффициент интенсивности напряжений, соответ-
ствующий скольжению поверхностей трещины нор-
мально к плоскости пластины;
I
С* —освобождение энергии деформации при подраста-
нии трещины на единицу длины;
6 — раскрытие трещины, определяемое как нормальное
расхождение поверхностей трещины и измеряемое
обычно у боковой поверхности объектов стандарт-
ных очертаний (образцов);
(Ь — эллиптический интеграл второго рода:
л 2
_ , х Г /, с2 — а- \Ь"2
Ф(ос)= I ------------—---$пГф) с1([ 1,178 4-0,392 (а с);
<1
пт— предел текучести материала;
(] — параметр формы полуэллиптическон трещины:
0 (ф2— 0,212п2/о^)1^2.
Теория упругости ставит своею цепью получение строгих и полных решений
задач, связанных с определением напряжении, деформаций и перемещений, воз-
никающих в упругих телах при действии з «данной системы внешних сил в извест-
ных условиях закрепления этих тел.
При выводе основных уравнений, решающих поставленную задачу, в теории
упругости используются общие предпосылки, которые касаются свойств рас-
сматриваемых тел, но нс зависят от формы тела, х «рактера нагрузки и т. д. Рас-
сматриваемым в теории упругости телам приписывают свойство сплошности, т. е.
предполагают, что тело полностью заполняет занимаемый им объем как до дефор-
мации, так и после нее. Свойство сплошности позволяет применять к изучению
напряженного и деформированного состояния тел анализ бесконечно малых ве-
личин. Погрешность, связанная с использованием указанного свойства, практи-
чески всег ;а допустима, поскольку она может оказаться существенной при оп-
ределении взаимного перемещения точек, первоначальное расстояние между ко-
торыми соизмеримо с расстоянием между молекулами и при определении напря-
жении в площадках, размеры сторон которых также соизмеримы с расстоянием
между молекулами.
Изложению общих зависимостей теории упругости при использовании лишь
свойства сплошности, предположения о линейной зависимости между напряже-
ниями и деформациями посвящены первые три главы раздела. В гл. 4—7 приве-
дены решения частных задач линейной теории упругости, которые имеют важное
практическое значение. Здесь рассмотрены плоская деформация и плоское нап-
ряженное состояние, концентрация напряжении в пластинах с вырезами.
В гл. 8 дается краткое изложение основных теорий пластичности и методов
решения упругопластических задач. Учету деформаций ползучести материалов по-
священы гл. 9 и 10,
ГЛАВА 1. ДЕФОРМАЦИЯ
§ 1. Перемещения. Тензор деформации
Действующие на тело силы вызывают изменение его размеров и формы. Эти
изменения связаны с перемещением частиц (материальных точек) тела.
В теории деформации определяется относительное изменение расстояния
между двумя бесконечно близкими точками и изменение угла между взаимно пер-
пендикулярными направлениями.
Рис. 1.1
Пусть система прямоугольных коорди-
натных осей Ох1 жестко связана с телом до
его деформации. Обозначим перемещения
точек по направлениям этих осей соответ-
ственно через «л, п2> из (& — Щ + и%1 +
эти перемещения в силу сплошности тела
будут непрерывными функциями коорди-
нат х, (/ = 1, 2, 3) (х4- — лагранжевы
координаты; и — вектор перемещения).
Пусть 0%1г ^8 — система прямо-
угольных координатных осей, определяющая
положение точек деформированного тела.
Тогда, считая триэдры единичных базисных
векторов обеих систем совпадающими, можно
записать:
— Х[ -}- П/ (х^, Х2» х§) (г = 1, 2, 3)
(5/ — эйлеровы координаты).
1.1. Относительные удлинения. Относительное приращение длины элемента
(относительное удлинение) в точке М в направлении точки М (рис. 1.1, вели-
чины со звездочками соответствуют положению тела в его деформированном со-
стоянии) равно
где
емк = 811/2 + 822ст2 + V3 + 2е121т + Чз'"" + 2е81П/; 0 -2>
I = соз (ММ, хх); т = соз (ММ,\2); п = соз (ММ'^х^)
— направляющие косинусы линейного элемента ММ до деформации;
перестановкой индексов 1 и /
Остальные значения е^- получаем круговой
(/, /= 1, 2, 3).
Формулы (1 3) могут быть записаны в виде
’ дщ
дх; дх1
дик дик
дх[ ‘ дх;
(1.3')
'Здесь предполагается, что члены, содержащие одинаковые индексы (в дан-
ном случае индекс к), принимают все значения, соответствующие каждому зна-
чению индекса (к = 1, 2, 3), и суммируются (соглашение о суммировании).
Величины 8/у образуют симметричный тензор второго ранга — тензор дефор-
мации
н называются компонентами деформации (компонентами тензора дефорл ации
10
Введя обозначения
. __ 1 ( дщ ди.} \ 1 / дщ ди2 \
“ 2\дх1 + дХ1)' а1~~2\~д^ д^)’
,ч _ 1 / дщ дщ \ 1 / дщ дщ \
2 2 ( дх3 дХ1)' д^)>
формулы (1.3) можно переписать в виде
(1.4)
2б12 — 2в12 4“ Щ1 (^12 — «>з) 4“ ^22 (^12 4~ «з) 4"
+ (с1з — ^г) (е2э 4- Ф1)*
(1-5)
Параметр со, характеризует поворот бесконечно малого объемного элемента
в окрестности рассматриваемой точки вокруг оси 0х[, а параметр ец определяет
величину относительного удлинения проекции на ось 0хг- линейного элемента МЫ.
Если направление МЫ совпадает с направлением одной из осей координат,
го относительное удлинение по этому направлению соответственно равно
Ех, = К1+2ен-1.
(1.6)
1.2. У глы сдвига. Рассмотрим в недеформированном теле два взаимно пер-
пендикуляр ных направления 1\ и г2, выходящих из данной точки М тела и парал-
лельных ос ям Охг, 0х2. После деформации угол между этими направлениями из-
менится на величину <р12. При этом
зш <р1а =
2812
1^(1 4~ 2еи) (1 4- 28.>2)
(1-7)
и, следовательно,
ф12 = ЗГС81П ——
К (1
2812___________
4~ 28ц) (14" 2е22)
Для направлений, параллельных другим координатным осям, величины из-
менений первоначально прямых углов могут быть получены с помощью формулы
(1.7) путем круговой перестановки индексов.
Углы (/ =/= /) называются углами сдвига и считаются положительными,
если происходит уменьшение прямого угла.
Непосредственно из формул (1.6) и (1.7) можно понять геометрический смысл
компонентов тензора Тг: диагональные компоненты тензора еп, е22 и е33 характе-
ризуют относительные удлинения, а компоненты 8,у (I ]) — углы сдвига. Та-
ким образом, тензор деформации полностью определяет деформированное состоя-
ние окрестности данной точки тела.
1.3. Преобразование компонентов тензора деформации при повороте коор-
динатных осей. Компоненты деформации при повороте координатных осей
(х[, х2, х$ — новые оси) преобразуются по закону:
811 ~ е11*11 + 822^12 + 833^13 4“ ^812*11*12 4- 2^13^12 "Ь ^831^1?13;
812 = 8'1 ?11*21 + е22*22*12 + 8ЗзУ 13 + 812 011*22 + *12*21) +
4" е23 (^23^12 4" ^22^1з) 4“ 631 (^23^11 4“ ^21^1з)»
(1 8)
где 8 '}}—компоненты тензора деформации в новых осях Хр х'2, Х3, 1ск — со$ (х', х^).
Значения остальных компонентов 8^- получаются путем круговой переста-
новки индексов.
Используя соглашение о суммировании, формулы (1.8) можно переписать
в виде
I] 1Р ]крк ' '
Направляющие косинусы 1гд удовлетворяют условиям ортогональности:
= $гк* ^гд^кд ~ $гк* (1.10)
где 6гь — символ Кронкера;
( -> 0 при г =/= к;
дгк ~ I 1 г
[ -> 1 при г = к.
Условие (1.10) позволяет выразить компоненты деформации в старых осях
через компоненты в новых осях: = ЦрЬкЧ}.
§ 2. Главные значения и главные направления
тензора деформации
Для каждой точки тела имеются три взаимно перпендикулярных направления.,
для которых относительные удлинения, а следовательно, и линейные деформации
имеют экстремальные значения. Указанные направления называются главными
направлениями тензора деформации (главными осями), а линейные деформации
вдоль главных направлений — главными деформациями. Значения главных де-
формаций, которые в дальнейшем будем обозначать через е2 и е3, равны корням
кубического уравнения
где
®8 - Л (Ге) е? + /2 (Те) е - 13 (Те) = 0,
Л Т е) — е11 4" е22 4” 8зз»
Д (^е) ~ 811822 4“ 822833 4- 6338ц — (812 4~ е|3 4" 631);
Д (^е) = 811822833 4~ 281282з831 — (8ц823 4“ 822831 4~ 833812)‘
(1.12)
Коэффициенты уравнения (1.11) Д (Ге),/2 (Ге), /3 (7е) не зависят от направ-
ления выбранной системы координат и называются соответственно первым, вто-
рым и третьим инвариантом тензора деформации.
Углы сдвига между главными направлениями равны нулю. Следовательно^
при направлении координатных осей по главным направлениям тензора деформа-
ции формулы (1.12) примут такой вид:
Д Те) — 81 4“ е2 4- 8з»
Д Те) — 8182 4“ 8283 4“ 8з81» "
Д Те) — 81828з*
(1.12Д
При использовании соглашения о суммировании формулы (1.12) могут быть
записаны в сокращенном виде
Д Те) = 8/Л
Д Те) — I 8И I-
Косинусы углов, составляемые /-м главным направлением соответственно с ося-
ми координат х1г х2, *з> определяются формулами
сТ
где
°1 ~ (811 “ 8х) (822 — ег)~е12:
= 812823 “ 813 (822 8/)’
С1 ~ 812813 823 (811 ег)’ 8[ —
+ с2'
I 1 I 1 I
В каждой точке тела имеются три взаимно
перпендикулярных направления, для которых компо-
ненты деформации имеют экстремальные
значения. Эти компоненты равны
Шесть компонентов деформации выражаются через производные трех со-
ставляющих вектора перемещений [формулы (1.3)]. Следовательно, задача оп-
ределения перемещений по заданным компонентам тензора деформации не может
быть решена, если 8/у будут произвольными функциями координат точек тела.
Для того чтобы функции 81;- определяли деформацию тела, не нарушающую
его сплошность, они должны быть подчинены шести дифференциальным уравне-
ниям — уравнениям сплошности (условия сплошности).
При использовании некоторых ограничений, касающихся величин удлине-
ний, сдвигов и углов поворота объемного элемента эти уравнения приведены
в § 3.
Выполнение условий сплошности обеспечивает возможность интегрирования
зависимостей (1.4). Однако в случае многосвязного тела для получения однознач-
ных перемещений наряду с упомянутыми выше зависимостями необходимо вдоль
всех разделов, превращающих многосвязное тело в односвязное, выполнение сле-
дующих дополнительных условий (рис. 1.2, разрез а—Ь):
и. и{ .
4 ч
§ 3. Малые удлинения, углы сдвига и утлы поворота.
Классические (линейные) уравнения
теории упругости
3.1. Малые удлинения и сдвиги. Во многих практически встречающихся
случаях можно считать удлинения и сдвиги малыми по сравнению с единицей.
Тогда [см. (1.6), (1.7)]
ЕХ1 = г1(; (1.14)
Суммирование по одинаковым индексам не производится).
Из этих равенств следует, что линейные деформации равны соответствую-
щим относительным удлинениям, а деформации сдвига — половине соответ-
ствующих углов сдвига.
В рассматриваемом случае уравнения сплошности имеют вид
ё>41 Д'Чг о ё>42 1
дх?, 1 дх] дхА дх2
(1 15)
д2ец______д / ^12 ,
дх3дх2 ^Х1 \ ^хз
деп дбц . ^22 / ^Ё12
дх2 дхз ^АТ &хз
। ^зз { 4з< ।
+ -^Г I дх2
дь31 де2з \
дх2 ^Х1 /
де23 дб1й \
дХ1 дх3 7
(1.15)
дбц / де^ । дЕ1з________^®2з \
дхг \ дх3 дх2 ^Х1 7
де22 /о ^е12 деи \_______ де33 / р ^Е13_____.
~~дхГ\ ^1 ~ дх2 / дх* х дХ1 дХз '
Остальные четыре уравнения могут, быть получены путем круговой замены ин-
3.2. Малые удлинения, сдвиги и углы поворота. Если по сравнению с едини-
цей малы не только компоненты деформации 8//, ио и углы поворота (О/, то зависи-
мости (1.5) для компонентов деформации можно упростить. При этом возможны
следующие два варианта:
а' квадраты параметров (О/ имеют такой же порядок, что и порядок ко I оие 1-
тов тогда
еп = еп “ Ь у (<°2 4" <*>|): $12 — ^12 1 1 |
е22 — е22 е31 ~ *31
езз= езз 4 4-°2)» 823 “ С23 “ 1 Л
(1.16)
б) параметры ю, имеют тот же или более высокий порядок малости, чем поря-
док компонентов е^. Тогда
еп^ = д//х дхг У еХ2^ ^12 — 1 2 1 ( диг к дх2 , ди2 1 >
дх^
ди2 1 ( ди2
е22^ ~е22 = 623 ^23 ~ • 1
дх2 ’ 2 к дх3 1 дх2 , ) ?
дп3 1 / ди3
8 33^ ' езз — дх3 ’ 8ЗХ « ^31 = дх± дх3; 4
Параметры (1.17) являются компонентами симметричного тензора второго ранга.
Зависимости (1.17), именуемые часто формулами Коши, используются в линейной
теории упругости;
в) возможны и другие упрощения нелинейных зависимостей (1.3). В част-
ности, в задачах нелинейного изгиба пластин можно пренебречь квадратами про-
изводных от перем щений иь и2 по координатам по сравнению с их первыми произ-
водными и с квадратами производных о г перемещения и3
леж ат в срединной плоскости пластины). Тогда
(оси Охгх2
по хг и х2
еп . , 1 дхг 2 ( ^2. 2е12 ; ^“2 . дхх "* ди3 диз .
дх^ ' дх2 ’
е32 Зиг 1 . дх2 1 2 \ < ^3 V. 1 дх2 / ’ 2^23 ' ^2 ^х3 ди3 . дх<> ’ (1-18)
е33 ди3 . дх8 * 2е31 - . ^3 , дхг ' диг дх2
3.3. Уравнения сплошности линейной теории упругости. При допущениях
п. 3.2,6 уравнения сплошности (1.15) примут следующий вид:
0‘2Ец , д2е22 де12 . |
0х| ‘ дл\ дх1 дх2 ’
д2е22 , 02езя 0е23 .
дх% ' дх* дх2дх3 ’
0'Хзз 02еп = 2 0831 .
0х‘| ‘ 0х| дхудх3' | (1 19)
0 / 0е31 __ 0е23 08]2 \ _ 0?811 .
дхг \ 0Х2 0Хг ' 0Х3 / 0Х2 0А'з ’
0 / 0812 0831 0е23 \ _ 0?822
0х2 \ 0х3 0х2 0хх / дхг 0Х3 ’
0 / 0823 0812 0831 \ 02833
0х3 \ 0ХХ 0х3 ‘ 0х2 / 0ХХ 0х2 ‘ )
§ 4. Девиатор деформации. Интенсивность деформации
При малых по сравнению с единицей удлинениях и сдвигах целесообразно
тензор деформации представить в виде суммы двух тензоров: шарового тензора
8 (Е) и девиатора
Т, = е(Е) + О^
где
Компоненты шарового тензора в указанном случае вызывают лишь изменение
объема элемента, выделенного из тела, и компоненты девиатора деформации
Э/ у — 8/ у 8б; у
(1.21)
вызывают изменение формы этого элемента.
Главные направления девиатора деформации и тензора деформации сов-
падают.
Инварианты девиатора деформации:
11 (Ое) = 0; 1
(°е) = ‘у К8Ч ~ + (622 ~ Ез3)2 |
+ (8зз-8и)2+ 6(ч2+4з+4>)1= ' (Ь22’
= "у К®! ~ ®2)2 + (е2 - 81У + (83 ~ е1)2] 0;
>з Ре) = I °е I = (?! — е) (е2 — е) (е3 — 8). )
Инварианты 1к (Ое), к= 1, 2, 3 являются основными. Наряду с ними при
построении различных зависимостей теории упругости, теории пластичности ис-
пользуются некоторые их производные:
а) интенсивность деформации сдвига
у,: = 2 ]/ 12 (^е) —
] (е11 ~е22)2+(е22“8зз)2+(езз~еп)2+б(е12 + е2з4-ез1);
б) интенсивность деформации
2 ------
в/ = —у V /2 (Ое) —
или, с учетом выражения (1.21),
(1-24)
Рис. 1.3
§ 5. Криволинейные координаты
Для тел, ограниченных криволинейными поверхностями, целесообразно при
описании деформированного состояния применять криволинейные координаты,
специально выбранные, исходя из условий конкретной задачи. Ниже приводятся
основные зависимости теории деформации для системы ортогональных криволи-
нейных координат.
Пусть положение точек недеформированного тела определяется тремя пара-
метрами а/ (/ = 1, 2, 3), изменение одного из которых при постоянных значениях
двух других описывает некоторую кривую линию (рис. 1.3). Параметры а, назы-
ваются криволинейными координатами, а семейство полученных указанным об-
разом кривых называется координатными линиями. Длина элемента координат-
ной линии равна
— Н[ г/а,-. (1.25)
ЛЬюжитель //<, входящий в равенство (1.25), носит название параметра Ляме
и представляет собой длину элемента координатной линии при единичном при-
ращении криволинейной координаты.
В дальнейшем ограничимся рас-
смотрением лишь ортогональных криво-
линейных координат, т. е. таких, у кото-
рых координатные линии а*, сс2, а3
пересекаются под прямыми углами.
Ортогональные единичные векторы
(орты), совпадающие с касательными
к координатным линиям, проходящими
через точку тела, обозначим через
1» 3). Направление этих векторов
изменяется при переходе от одной точки
тела к другой.
5.1. Относительное удлинение. Относи-
тельное удлинение в точкеМв направлении
точки Ы определяется по формуле (1.1)
Гл/У = И1'+2ёД-1. (1.26)
где согласно (1.2)
®Л1^ = 6П/2 + е22т‘ + 8зз"2 + 2е12//П + 2^.’ПП + 2Е31",: ('-27>
/==соз(Л1Лг, ^х); ш = соз(МЯ, *.»): я = соз (МУ, 63).
Компоненты деформации е7/- в (1.26) определяются по формулам(1.5), а входя-
щие в (1.5) параметры е/у и со, выражаются через компоненты вектора перемещения
и = ц1^1 -{- 4~
по формулам
1 дих и2 дНг ( «3 <9/71 . 1
= 77? да, Н^Г2 да3 н7н~з да3 ’
9. -о? / "2 \ • 7/1 6 / «1 \ .
12 21 //, V Н2 ) 'г Н2 да, \ Нх ) '
Г с/
20ц = тге; - — (Я3п3)-------5— (м2Я2) •
Я2Я3 I <9а.2 х 3 3 да3 ] )
(1-28)
(1.29)
Выражения для остальных компонентов е{/- и (о4- получаем путем круговой
перестановки индексов в формулах (1 29).
Относительное удлинение в направлении орта равно
Еа. = 1 14-28^-1.
5.2. Углы сдвига. Углы сдвига между волокнами, имеющими до деформации
направления /г1? /г2, /г3. равны
81П Ср12 =
28
81П ф23 =
2е23
8Ш €Рз1 =
2ез1
(1.30)
Формулы (1.26) и (1.27), определяющие относительное удлинение в ортого-
нальных криволинейных координатах, аналогичны формулам (1.1) и (1.2). Вслед-
ствие этого приведенные в § 2 формулы, определяющие главные значения, глав-
ные направления тензора деформации и его инварианты, могут быть без изменения
применены и в случае ортогональных криволинейных координат.
5.3. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Приведем значения
параметров Ляме и компонентов в/,, со,- для различных систем криволинейных ор-
тогональных координат:
___
а) цилиндрическая система («1 — Л а2 ф, аз >
ди диг. р +
Я1=Яя=1; Я2=г; егг = ^, ^^дТ' ^~~г д(р г
~ -1 , ди9 ш— — — • г^ф . 2б?ф2 — "Г 1 диг диг . ; 2егг-дг + диг
Г 0ф дг
^Гф - г дер 1 дг г
Л- д“г диц. дпг _ да2 . дг дг ’ 2й)2 = - 1 1 диг
2о)ф дг 1 г г
^Г~\г <?<р дг
б) сферическая система («1 - //1 = 1; = г, а2 = ф, а3 /72 = г81п0; = 0; рис. 1.5)
диг . иА 1__2—-р — с1§0; еоо = + "7>
-71; ^<Р = —+ 0ф 1 г ' г г
ди^ 'и^ ( 1 дщ .
2вг(Р~~дг гзтО дц
дио ив । 1 диг .
2еег = ------Г + Т дб ’
1 "ф 1Лл. 1 д“У_-
2^0 —^е г Сё 1>51п0 дф
2а =__1_^в _±^-^4с(?0;
2(°Л (‘г81п0 д(р г дО г
2^-=
1 дщ
Г 00
“0
г
дщ „
дг ’
0Нф ^ф диг 1
2о)° = Н 7 0дГ Г81п0 ’
ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕНИЯ
§ 1. Тензор напряжений
1.1. Компоненты напряжений и тензор напряжений. В теории напряжений
рассматриваются усилия взаимодействия между частицами тела, вызванные дей-
ствием нагрузки.
Если из деформированного тела выделить бесконечно малый объем произволь-
ной формы, то к поверхности этого объема должны быть приложены усилия, за-
меняющие действие отброшенной части тела.
Главный вектор усилий, действующий на элемент дз указанной поверхности,
внешняя нормаль к которому х, равен дудз (рис. 2.1). Здесь о* конечный вектор,
представляющий собой силу, приходящуюся на единицу площади. Вектор а
называется полным напряжением в площадке с нормалью V. В дальнейшем, за
исключением гл. 6, предполагается, чго главный момент усилий, действующих
на элемент поверхности, равен нулю.
Вектор полного напряжения можно разложить на нормальную составляю-
щую — нормальное напряжение и касательную составляющую — каса-
тельное (сдвигающее) напряжение, а также спроектировать на направление ко-
ординатных осей 0^?13 (эйлеровы координаты).
Очевидно, что
-ь т*2>
О*2 = а\’1 + + ^3’
где ву — модуль вектора оу.
В том случае, когца нормаль
к площадке совпадает с направлением
одной из координатных осей, каса-
тельное напряжение в этой площадке
принято заменять его составляющими
по другим координтным осям.
Тогда, например, в площадке,
перпендикулярной к оси 0^ нор-
мальное и касательное напряжения
будут о*, о* , о*3. Первый индекс
указывает на направление нормали
(ось 0^1). а второй на направление
проектирования (оси 0^2’ С^з). Но] малыгые и касательные напряжения в трех
координатных плоскостях, проходящих через заданную точку, образуют сим-
метричный тензор второго ранга (о^. = —тензор напряжения
"Г-2
°22
°32
Нормальные напряжения а*. считаются положительными, если они являются
растягивающими. В площадках, внешняя нормаль к которым совпадает с поло-
жительным направлением координатной оси, положительные касательные напря-
жения направлены в положительном направлении других осей. В площадках с про-
тивоположным направлением внешней нормали положительные касательные на-
пряжения направлены в отрицательном направлении других осей (рис. 2.2, б).
Совокупность векторов а*, определяющих напряжения в различных площад-
ках, проходящих через точку, описывает напряженное состояние в точке.
1.2. Компоненты напряжений в произвольной площадке. Уравнения равно-
весия элементарного тетраэдра. Напряженное состояние в произвольной пло-
щадке с нормалью V, проходящей через заданную точку, выражается через ком-
поненты тензора напряжении по формулам
* ♦ .»
(7у1 ~ а1141
"Ь °21\-2 + °31\’3;
ах2 “ С 12^’1 ^22^x2 "Ь а32^3»
(2.1)
°уЗ ~ а1з41 "Г а2зЧ’2 » стзз4з*
вытекающим из условия равновесия элементарного тетраэдра, ребра которого
параллельны осям ^2, (рис. 2.2, а). Здесь 1^. — направляющие коси-
нусы, характеризующие положение нормали V к площадке по отношению
к осям
Если выделить элементарный тетраэдр у точки, которая лежит на поверх-
ности, ограничивающей тело, то наклонная грань этого тетраэдра будет совпадать
с элементом поверхности, а напряжения отстанут проекциями на оси координат
внешнего напряжения, действующего на тело. В }этом случае уравнения (2.1),
связывающие напряжения внутри тела с напряжениями на поверхности,
Рис. 2.2
будут граничными условиями задачи. Формулы
(соглашение о суммировании)
(2.1) могут быть записаны в виде
(2.2)
Нормальное напряжение в наклонной площадке с нормалью V равно
+ °221Х2 + а3*з\*3 + 2оП1Х11Х2 + 2а2*3^2^3 + ^зЛз^Р (2‘3>
а касательное
т*2 = + ат2 + - °т-
1.3. Преобразование компонентов напряжения при переходе к новым коор-
динатным осям. Компоненты напряжений в новых осях О^'ъ ОЦ, ОЦ выражаются
через компоненты напряжений в осях 0^, 0%2, 0%3 с помощью формул
аГ1 = + °22^12 + °33^13 + 2а12^11^12 "Ь 2а23^13^12 + 2(73?11^13’
а1*2 а21 — а1ЛЛ1 + °22^22^2 + °33^23^13 + а12 011^22 + ^12^21) +
(2-4)
+ °23 (123112 + 12211з) + °31
где /*Л=С08(е;, ^).
Остальные компоненты тензора напряжений могут быть получены из зависи-
мостей (2.4) путем круговой перестановки индексов.
Если воспользоваться правилом суммирования по индексу, то зависимости
(2.4) можно переписать в следующем виде:
Гр /к рк
(2.4')
§ 2. Главные значения и главные направления
тензора напряжения. Наибольшие касательные
напряжения
Тензорный характер напряженного состояния в точке деформированного
тела позволяет утверждать, что в общем случае можно найти три главных направ-
ления, обладающих тем свойством, что в площадках, перпендикулярных к ним
(главные площадки), будут действовать только нормальные напряжения о,-
зорТ^апряжения)ЛЬНЫе Значения “ глС16НЬ1е напряз/сеная (главные значения тен-
20
Главные напряжения О/ являются корнями кубического уравнения
а3 - + !2 Го-) ° - 73 Га*) = °-
Коэффициенты этого уравнения
11 (Т„.) = а?! Ь о2»2 + а‘3 = <4 + с2 + а3;
72 (Г*) = °Г1а22 + °22а33 + °з'з°11 ~ (°12 + °23 + аз’?) =
== 0^2 4~ а2а3 4" с3°1 ’
!3 (М = | °Ь | = а1а2а3
(2.6>
__ инварианты тензора напряжения; их значения не зависят от направлений
выбранной системы координат. _ ь
Косинусы углов, составляемые /-м главным направлением с осями (Д>1>
определяются по формулам (1.13), в которых компоненты тен ора де-
формации следует заменить на соответствующие компоненты тензора напряжения,
а е, па О/. Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести
через заданную точку, можно найти такие площадки, касательные напряжения
в которых будут иметь экстремальные значения
тз — ±
<71 — <72
т2 = ±
<73 —<4 .
2
Эти касательные напряжения действуют в площадках, проходящих через одно
из главных направлений и делящих пополам угол между двумя другими направ-
лениями.
Если о^ > о2 > о3, то наибольшее касательное напряжение в рассматривае-
мой точке равно
<71 — <73
Т^тах —-----п----•
В площадках, где действуют экстремальные касательные напряжения, нор-
мальные напряжения равны полусумме соответствующих главных напряжений.
Например, в площадке, где действует касательное напряжение тг, нормальное
напряжение равно
а* — 02 4~ <73
иУУ “ 9
§ 3. Уравнения равновесия при малых удлинениях
и сдвигах
Внешние силы, действующие на тело, могут быть разделены на следующие
категории: объемные силы, действующие на каждый элемент объема тела, и по-
верхностные силы, действующие на элемент поверхности, ограничивающей тело.
Число различных видов объемных сил невелико: это гравитационные силы, элек-
тромагнитные силы, силы инерции.
Зависимость между указанными внешними силами и внутренними напря-
жениями устанавливается уравнениями равновесия.
3.1. Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда. При малых
по сравнению с единицей удлинениях и сдвигах из условий равновесия элементар-
ного параллелепипеда вытекают следующие две равносильные формы записи урав-
нении равновесия. г
- пяпновесия вытекает из условия равенства нулю
Первая форма। уравне»^стРвуЮЩНХ на элементарный параллелепипед в про-
^кцня°Г<на лагранжевы оси
дх!
д
дх2
дх3
дхг
_3_
З*3
з*1 1Га1 "
+ [(е31 — С02) а21 + (*23 + ю1) а22 4-0 4- ^зз) а2з] +
3*2
4- [(е31 — С02) О31 4- (*23 4- ^1) а32 4- С1 4- езз) азз1 4- ^3 = 0.
ОХ^ х
Вторая форма уравнений равновесия вытекает из условия равенства нулю
главного вектора указанных усилий на орты 11г 1з
Зоц до12 Зсг13 Зец
3*! ~ 3*2 ' 3*8 ' 3*2
. (о ^13 ^33 \ „ I
°и 4" (2
^12 Зе22
дх.
дх3
Зсг12 до22
дх1
Зе12
З*3
д°23
дЕц
3*2
Зе13 Зе23 \
^12 4“ 2
3*]
1*811 ,
дх3 -
3*2
. Зс22
дхг
дХ! ' 3*2
I /о ^е21
З*3 ' 3*2
^е11 ~ I
^е23
(9б22
1 с 3*1 з*2 )М11 з*3
I 2 ( де23 . ^е21 ^Е31 \
1 \ 3*1 ‘ З*3 3*2 /
д°1з I да2Э ( гдо33. ( Зе33 (
дх3 3*2
+ 2-^-с
дх!
= 0;
( (2.8)
3*д Зх2
I /п Г'^32
с?х3
де22
3*2 ^Х3
т 3*2 и33-Г
)о22 + 2}^а
/ дх^
^е32 &12 \
'31____
З*3
п ^е33
2-з-^-°'з2
3*2 32
дх2 дХ! дх3
= 0.
В приведенных уравнениях аг/- = о/7 (без звездочек) напряжения, действую-
щие в площадках деформированного тела, которые до деформации были парал-
лельны координатным плоскостям: х^, х2х3, х^. Направления нормалей к этим
22
площадкам совпадают с ортами Г1, Г2, *з (рис. 2.3), направляющие косинусы ко-
торых приведены в табл. 2.1; Х[ — проекция единичной объемной силы на ось х^
Ху— проекции единичной объемной силы на направления 1.у (} — 1, 2, 3); е4/>
е4у, —определяются формулами (1.3), (1.4).
Таблица 2.1
*2 1з
1 | ди1 1 дХ! диг дх2 ди± дх3
ди2 дхх 1 । диа дх2 ди2 дх3
*3 ди3 дхг ди3 дх2 1 ) дЦ3 дх3
Связь между о/у и компонентами деформации Еху приведена в § 2 гл. 3.
3.2. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра. При малых по сравне
нию с единицей удлинениях и сдвигах из условий равновесия элементарного тет-
раэдра, выделенного в деформированном теле, так что по трем взаимно перпенди-
кулярным сторонам его действуют напряжения о,у, а четвертая сторона его сов-
падает с наружной поверхностью и подвержена действию поверхностных усилий,
вытекают следующие три уравнения, устанавливающие связь между напряже-
ниями о/у и поверхностными усилиями,
^11^1 “Ь Ч- ^13^8 =
°217\1. 4“ °22^2 4~ °23^\>3 = Р
а31^1 + ^32^2 + °33^3 — ^3-
(2.9)
В этих уравнениях (у = 1, 2, 3) — косинусы углов между нормалью к элементу
поверхности, ограничивающей недеформированное тело, который после деформа-
ции будет совпадать с четвертой стороной рассматриваемого тетраэдра и осями ь/
Г^у (/ = 1, 2, 3) — проекции на направления I. заданных поверхностных усилии,,
отнесенных к единице поверхности недеформированного тела.
Уравнения (2.9) в сокращенной форме имеют вид
(/ = 1.2,3). (2.9')
ди.
Уравнения равновесия элементарного тетраэдра могут быть сформулированы
•з следующем виде, содержащем проекции заданных усилии, отнесенных к единице
поверхности недеформированного тела, на оси Ох; (I — 1,4 3):
дХ1/- • д^-°12 + ^Г13] Л1 +
диг \ , дих диг 7
+ АГ22 + а* -’4 "2 +
диг ,
т-Чз 1
дх3 и
(2.9")
где Л* - проекция 33^«”“х "““^"^"“„олуче!»! путем циклической пере-
<тано°киЛинНдексДов. Уравнения (2.9") в сокращенной форме запишутся в виде
/б +^)о^ = ^- (1 = 1. 2,3). (2.9»)
\ 11 1 ох, 7
§ 4. Уравнения равновесия при малых углах поворота.
Уравнения равновесия линейной теории упругости
4 1 Уравнения равновесия при малых углах поворота. Приведенные в § 3
уравнения равновесия упрощаются, если направления ортов ч мало отличаются
от направлений осей Ох,, т. е. малы по сравнению с единицей со, углы поворота
элементарного объема вокруг указанных осей (см. § 3 гл. 1). Если дополни-
тельно при этом со? и е,у - величины одного порядка, то система уравнении (2.7)
принимает вид
-Д- (^11 — °12®з + ЗД) + ~77Г (п21 — «^з + °2з0)2) +
дхг ОХ2
д
4- -5— (<т31 — сг32й)з + ^зз6^) 4~ = О»
д д
—---(О11С1)3 4“ СГ12 — <713й)1) 4" ~7~~ (^21^3 + °22 — О23^1) 4~
(7X1 С/Ло
д } (2-Ю)
4~ —— (а31й)3 4- сг3о — о^) 4~ 2С2 — 0,
д д
(612е0! ~ 4" °1з) 4" (СГ22О)1 — <^21^2 4“ а2з) 4“
4“ “ ^з^з 4~ о’зз) 4“ 2С3 = 0.
Граничные условия при этом будут иметь вид уравнений (2.9), в которых
= Рх'1 — проекции поверхностной нагрузки на оси Охъ Ох2, Ох3.
4.2. Уравнения равновесия линейной теории упругости. В том случае, когда
нелинейные члены, входящие в уравнения (2.10) (члены, содержащие произведе-
ние напряжения на угол поворота), малы по сравнению с соответствующими ли-
нейными членами (напряжениями), уравнения равновесия элементарного парал-
лелепипеда приобретают вид
дап дХ1 . ^а12 дх2 + 5СТ13 (?Х3 + *! = ();
двц 5а22 дсг23 4- Х2 = 0;
дхъ (?Х2 (2.11)
^31 , дхъ 1 ^Х2 4- ^33 <?х3 + Х> = о,
пли
(2.12'
Из рассмотрения уравнений (2.11) следует, что в линейной теории упругости
отождествляются координаты точек до и после деформации и не учитываются из-
менения размеров граней элементарного параллелепипеда и направлений нормалей
к этим граням.
§ 5. Девиатор напряжения. Интенсивность напряжений
Подобно тому, как было сделано в §4 гл. 1, тензор напряжения То можно
представить в виде суммы шарового тензора и девиатора
Главные направления тензора напряжения и девиатора напряжения совпа-
дают.
Инварианты девиатора напряжения:
К (Оо) = 0;
7 2 (^а) = “б~ I (а11 “ а22)2 + (а22 “ °3з)“ +
+ (а33 — а11)2 + * * 6 (°12 + 1 = 1 (2Л5)
= З- Ка1 - а2)2 + (а2 “ аз)2 + (°3 - а1)21:
/зРа) = |^а| = (О’, —о) (а2 —а) (а3 = о). ।
Наряду с основными инвариантами напряжения (2.15) в теории пластичности
и различных теориях прочности используются некоторые их производные:
а) интенсивность касательных напряжений
~ ^2(^0) —
3 а2г)2 + (°22 °3з)2 + (°33 ““ а11)2 + 6 (°12 + а23 + а31) ;
(2.16)
б) интенсивность напряжений
3/2 (^а) ~ ТгЪ ~
V
]/"(а 11 2г)2 + (°22 — зз)2 + (°33 — °11)2 + 6 (°12 + °23 + а31) (2-17)
или, если воспользоваться правилом суммирования по индексу,
(2 18>
где
(2.19)
§
в
6. Уравнения равновесия объемного элемента
ортогональных криволинейных координатах
V кпиволинейными поверхностями, при решении задач
Чтя тел, ограниченных кривол кпя элементарногообъема в криво-
те несообразно использовать ураме. 1? зависнт как уже отмечалось в § 5
инейных координатах. Выбор ^ти- и й рассматриваемое тело
г, 1, от формы поверхности огра удяинениях и сдвигах. Для орто-
6 1 Уравнения равновесия пр удлинениях и сдвигах, малых по
тональных криволинейных коорд вытекаЮЩие из условия равенства нулю
сравнению с единицей этуравн ;яющ||е направление координатных линий
“ (РИС'2'4)’ ИМеЮТ ВИД
(^и) + (Н^2Р31} + |
+ Н,^Р12 + Н2 ^-Р13-Н34~Р22~ I
~ 3 дссъ 12 ' 2 да3 13 3 22
-^^^ + ^2^ = 0; |
(Н2И3Р12) + ~-&Г №^3Р22) + (^1^2РЗг) +
00,1 и«2
+^р-+и^
дН,
даг
Р 21-^1
дН3
да2
Р зз —
(2.20)
-^-^•/’н+/ладх2 = °;
(//2ДзР1з) 4" (^з^Л^гз) + (^г^г^зт) 4*
дН5
даъ
Р31 +
дН3 дНг
Рп-
Ч
1 да3
Р22 Н!Н2Н3Х3 = о,
Рис. 2.4
+ ^2
где (I ~ 1, 2, 3) — параметры Ляме;
Рц = Оц (1 е11) 4“ $12 (е12 — <°з) 4“ $13 (С13 4~ °2)>
Р12 = $11 (^12 4“ «з) 4- $12 (1 4~ е22) 4“ $13 (С23 — С01)’
Р13 = (Тц (<?1з — (02) 4“ $12 (б23 4" Ы1) 4- $13 0 4“ е3з)»
Р21 = $21 П 4“ е11) 4- $22 (^12 — 0)з) 4" $23 (е13 4" ^г)’
?22 — $21 (е12 4- 0)з) 4" $22 (1 4“ е22) 4~ $23 (^23 - 0)1)^
Р23 — О21 (е13 — СО2) 4- 022 (*23 4“ ®1) 4~ $23 0 4" е3з)'
^31 ~ $31 О 4“ е11) 4" $32 (е12 — $>з) 4“ $33 (е13 4“
^32 ~ $31 (^12 4~ ^з) 4~ $32 (1 4" е22$ 4“ $33 (С23 — Сй1)^
^33 — $31 (б13----- ^г) 4“ $32 (е23 4“ <°1) 4“ $33 О 4- ^зз)»
о, у = Оу/ — напряжения, действующие на гранях деформированного параллеле-
пипеда, которые до деформации совпадали с координатными плоскостями (рис. 2.4);
Х[ — проекции вектора объемной силы на орты е/у, со/ — параметры, опреде-
ляемые формулами (1.29) гл. 1. В некоторых случаях условие равенства нулю
главного вектора удобно записать в проекциях на орты — орты, опреде-
ляющие направление осей триэдра деформированного параллелепипеда. Эти орты
можно считать ортогональными при удлинениях и сдвигах, малых по сравнению
с единицей.
Указанные условия равновесия описываются уравнениями
(н»н^ + (Я1Я»°31)]+ '
1 дН, 1 дН2 1 дН2
+ Н,//2 За2 012 ЯхЯз 5а3 °13 Н2Н2 даг °2°~
____1 , 1 <*„
/7,772 даг 33 + Н, да± 11 +
। ( 2 де12_______1 де22 \ , 7 2 де13________1 5е33 \
' \ Н2 да., Нг даг / 22 1 \ Н3 да3 даг ) 33 '
2 д8ц 2 д8ц .
4---ГТ л---- $12 4--7г-Ч---- $13 4“
Я2 да2 Н3 да3
• 9 (-1— ^Е13 ’ * ^е12 де23 \ IV* п-
да, "г И3 да3 даг ) 23 1 “ ’
Т^НТН, (Я3^1^22) + "Д' (^1^2^32) +
, 1 дН2 „ , * б//., ~ 1 дП3
-г Н2Н3 да3 °^+ Н2Н2 да! Н2Н3 да2 °33
(2.21
1 577, ,1
Н2Н, да2 а“ + Н2
де~^п л.( 2 5е« 1 де33у
да, 22 ' \ Н3 да3 II2 да2 )
2 де21
Н1 даг
1 деп
Я2 да2 ) °п
д&22
5ос3
$23 4“
9
+4-4^<т21+2
Яг даг 21 1
1 де21
Я3 да3
— А-^зЛгг г у*
Ях Зах Я2 да2 / 31 “г ' 2
1 Г д /ГГ ГТ ч I д
//хЯ2Я3 [~д^ + ~д^
*
(^3^1$2з) 4“ (^1^2$3з) 4“
1 дН. 1 д/73 1 дНг _ ГГц
+ н,н. даг °31 "Г Н3Н2 да2 °32 ~ Н3Н} дос3
I ^2 „ , 1 дЕ33 ^33 + / 2 ^31 1 дЕц \ - 17- лТ2- ) +
Н3^2 да3 и22 1 Н3 да3 к //1 да.1
/ 2 де32 1 де22 °22 2 । ^езз ^31 + 2 де.3з
+ (яг да2 н з да3 1 даг Н2 да2
+ 2( 1 де32 1 + тт; дЕ31 1 де12 ) °12 + ^3 =
даъ да2 ^3 да3
где \. — проекции вектора единичной объемной силы на орты
Из уравнений (2.20) и (2.21) вытекают соответственно уравнения (2.7) и (2.8),
если принять Н1= “ #3 = 1, а1 ~ Х1> а2 ~ Х2>* а3 — хз- #
Система уравнений (2.20) упрощается в том случае, когда орты й, мало
отличаются от орт (малы по сравнению с единицей углы поворота сог). При этом,
если со,- имеют такой же порядок, что и е//, система становится линейной (Рц =
= <7//).
6.2. Линейные уравнения равновесия для различных систем криволинейных
координат.
Цилиндрическая система (ат — г; а2 = Ф>* аз ~ — Н3 — 1\ Н2= г):
агг-<ТфФ + . -р.
дг г + дг г дер ' Г ’
дО"Гф л ^гф 1
—-----Ь 2------1-------х--|——------{- Хф = 0; /
дг г г дер дг 4
(2.22)
д$Г2
дг
д^ц)2
д(р
-Сферическая система («у = г; а2 = <р; ог8 = 0; Нг = 1; Н2 = г 81'п 0; Я3 = г):
двгг . 1 друг 1 доег
дг * г 81п 0 дер ‘г дб
4~ ~ (2°гг °фф — СГ00 4~ одг с€§ 0) 4- Хг = 0;
д°г<9 1 до^ ! дс^
дг ' Г81П0 дер 00
Н- ~у (2&0(р 6 ф- Зсгг(р) 4- Ху = 0;
д°ге___________________________1 д(%в 1 дам ,
дг г 81п 0 д(р ‘г д0 "I"
+ ~7 ГЗаГ0 4- 0 (аее - Офф)] 4~ Хо = 0.
(2.23)
ГЛАВА 3.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
ИДЕАЛЬНО УПРУГИХ ТЕЛ. ЗАКОН ГУКА.
СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Потенциальная энергия
Совместное решение дифференциальных уравнений равновесия и сплош-
ности возможно лишь при известных соотношениях между компонентами дефор-
маций и напряжений. Общий характер указанных соотношений может быть уста-
новлен из рассмотрения энергии деформации.
Для идеально упругих материалов (работа, затрачиваемая на их деформацию,
не зависит от пути, по которому изменяются перемещения точек тела при пере-
ходе от исходного в конечное состояние; рассматривается медленный процесс
деформации при постоянной температуре) потенциальная энергия единицы объема
(упругий потенциал) равна (соглашение о суммировании)
еи
Г (8,/)= ] (3.1)
где — напряжения, действующие в площадках деформированного тела, ко-
торые до деформации были перпендикулярны к осям Ох1х2х3.
При этом № = 0, если е^- = 0.
Если функция IV (р/у) известна, то
~ е)Е17- •
Дополнительная энергия деформации IVх определяется формулой
($7 /) “ | 1
(IV' = 0, если О/; — 0).
При известной функции IV' компоненты деформации равны
дУ
(3-2)
(3.3)
(3.4)
Упругий потенциал IV и дополнительная энергия деформации IV' не являются
независимыми, поскольку, зная IV, можно найти IV'. Для этого необходимо ре-
шить систему уравнений (3.2) относительно компонентов тензора деформации
Подстановка найденных значений 8/у в левую часть уравнений (3.4) сводит задачу
отыскания функции IV по ее полному дифференциалу. Аналогичным образом мо-
жет быть найдена функция IV при известной функции IV'.
Потенциальная энергия всего тела равна
IV дх1 с1х2 <1х3,
где <1х1(1х2^х3 — элемент объема.
Для линейно-деформируемых тел (компоненты напряжений линейно зависят
ют компонентов деформации) потенциальная энергия единицы объема тела равна
оппортся кврлоатцчной функцией компонентов деформаций (напряжении).
В этом случае упругий потенциал № можно представить в виде (формула Клаипе
фона)
= — О,-.В,-; = 4- (0x1811 + о22ег2 + озэ«зз + 2012812 + 2о23е23 + 2о31В31).
2 2 (3.5)
§ 2. Обобщенный закон Гука
В физически линейных задачах связь между компонентами деформации и ком-
понентами напряжений описывается обобщенным законом Гука (линеино-дефор-
мируемые тела). п.
Для анизотропных тел (материалов) этот закон содержит 21 упругую постоян-
ную. При малых, по сравнению с единицей, удлинениях и сдвигах закон Гука
можно записать в виде
8ц = ^11<7ц Ч" ^12С22 Ч" а13°33 + + а 16^23 Ч" С1ва311
................................................................
(3.6)
— а61Д11 + ^62^22 Ч" #68^33 Ч" ^84^12 Ч~ ^66^23 Ч- С6в<7з1* '
Упругие постоянные ац — ар для однородных материалов зависят от на-
правления выбранных координатных осей.
При малых углах поворота со/ (см. гл. 1), имеющих такой же порядок, что и
е/у, О/у — напряжения, действующие в площадках недеформированного тела, пер-
пендикулярных к осям Охгх2х3.
Система уравнений (3.6) может быть разрешена относительно компонентов
напряжений. Последние будут линейными функциями компонентов деформации
<41 =спе11 Ч" ^12е22 Ч- <?18833 Ч" 2С14812 Ч~ 2о3882з Ч" 2с1683Г,
°з1 — ^б1еп Ч~ с«2522 Ч~ Оез?зз Ч~ 2^812 Ч~ 2гс8е23 Ч~ 2гбве31,
где си = Гу, — упругие постоянные.
Число упругих постоянных, входящих в (3.6), сокращается, если структура
материала обладает элементами симметрии.
2.1. Материалы с одной плоскостью упругой симметрии. В этом случае через
любую точку тела можно провести плоскость так, что два направления, симме-
тричные относительно этой плоскости будут эквивалентны в смысле упругих
свойств (плоскость упругой симметрии).
При наличии одной плоскости упругой симметрии число упругих постоянных
сокращается до 13. Если, например, Ох1х.2— плоскость упругой симметрии, то
Гц = ^15 = ^24 = а.25 = 6'34 = а35 — пс4 = пе5 = 0 (ось Ох3 — главное направле-
ние упругости).
2.2. Материалы с тремя взаимно перпендикулярными плоскостями упругой
симметрии (ортотропные тела). Число упругих постоянных уменьшается до 9.
П}сть направлен! я координатных осей системы Ох^Хз перпендикулярны к трем
плоскостям упругой симметрии (главные направления упругости). Обобщенный
закон Гука в этом случае, записанный с помощью технических постоянных, имеет
8П = <7ц Л ‘ ^2 -а --131 ^3 °33’’ ^12 = <712 . 2О12 ’
е-22 = — Т12 Ег аи Ч- П22 ^32 ^2 Е3 ^33» €23 <723 . 2О23 ’ (3-7)
. - г13 5х "11— - Мао С а22 Ь ” с2 ^38 . 831 — а31 2$з1 )
Здесь: Е^ — модули упругости в направлении осей Ох[ соответственно (I = 1,2, 3);
— $/7 О =# /) — модули сдвига; 'V,-.- — коэффициенты Пуассона, характери-
зующие сокращение в направлении оси Оху при растяжении в направлении оси Ох/.
.Модули упругости и коэффициенты Пуассона связаны равенствами
^7^’/7 /•
(3-8)
2.3. Трансверсально изотропные тела. У трансверсально изотропных тел
1ерез каждую точку проходит плоскость, в которой все направления являются
эквивалентными в отношении упругих свойств.
Если ось 0х3 перпендикулярна к этой плоскости, то (Ех = = Е; 623 =
= $31 = $; ^12 == У21 “ Х31 — У32 ~ Ч’1)
еи — ($п — ^$22)------$зз»
1 > \ ^'1
е22 — "р" ($22 — ^$11)------$38’
езз= ($11 + $?г) 4—>
23 3
р _ °12 .
612—26^’
р < — 081
31 26 ’
(39)
23 .
26 ’
2.4. Изотропные тела. У изотропных тел связь между деформациями и на-
пряжениями не зависит от направления координатных осей (любая плоскость,
проходящая через точку тела является плоскостью упругой симметрии). При
этом число упругих постоянных в законе Гука сокращается до двух
е11 = -у [$ц — V (сг22 4- $зз)]; е22 = [а22 ~ т + азз)1; е33 = [$33 — $ ($22 4~ а11)]’ Упругие постоянные: модуль упругости е12 е23 е31 $12 . 26 ’ а23 . 26 ’ $31 26 • модуль сдвига 6 (3.10) и коэф-
фицпент Пуассона V — связаны зависимостью
е
2(1 4^) ф
[Из равенств (3.10) следует, что относительное изменение объема пропорцио-
нально среднему давлению
&=ЗКо, (3.11)
где е = — (8П ф- е22 4- 833); о = у ($п 4- о22 4~ $зз): К = —т?-коэффи-
циент объемного сжатия.
разрешая равенства (3.10) относительно компонентов напряжений, можно
получить
еТц — 268ц 4~ ЗХе;
$22 ~ 2б822 4~ 3? 8,
$зз — 26е33 4~ 3?^е;
$12 — 26е12;
$23 ~— 2С?8оз, г у
$31 = 26е31, ,
(3.12)
или в сокращенном виде
$/у = 268/у 4- ЗХеб//,
где X =
26у __ Еу
1 — 2у (1 4^) (1 — 2у)‘
Упругий потенциал для изотропных тел (материалов) равен
1Г = [сг^ + <^2+азз “ 2г + °22°зз + аззап) +
2с
В последней формуле первое слагаемое есть упругая энергия изменения объема,
второе слагаемое—упругая энергия изменения формы.
2.5. Криволинейная анизотропия. Для указанных выше анизотропных тел
(материалов) направления, эквивалентные в смысле упругих свойств, в разных
точках были параллельны (прямолинейная анизотропия). Существуют материалы,
у которых эквивалентные направления не параллельны, а подчинены каким-то
другим законам (криволинейная анизотропия).
Наиболее часто на практике встречается цилиндрическая анизотропия.
Цилиндрическая анизотропия характеризуется тем, что в теле имеется ось Ог
(направление), расположенная так, что все направления, перпендикулярные к пей,
между собой эквивалентны; все направления, параллельные этой оси, и все на-
правления, перпендикулярные к указанным двум, также эквивалентны между
собой.
Если в теле с цилиндрической анизотропией выделить элементы А1г Л2,
ограниченные плоскостями, проходящими через ось Ог и перпендикулярными
к ней, а также двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями, ось ко-
торых совпадает с осью Ог, то они будут обладать одинаковыми упругими свой-
ствами (рис. 3.1).
В том случае, когда указанные плоскости и плоскость, к ним перпендикуляр-
ная, будут являться плоскостями упругой симметрии, то тело называется орто-
тропным с цилиндрической анизотропией.
Для этих тел обобщенный закон Гука может быть записан в виде
_ °гг у2Г Сух
" Ег Ес Ег е^~2С^;
°фф Угф
ЁГ°22'’
&Г2 .
е'2=^’
Рис. 3.1.
СГгф
Здесь Ег, Е®, Ег — модули упругости
растяжения и сжатия по направлениям г,
Ф» г; — коэффициент Пуассона;
С’гф — модули сдвига.
Модули упругости и коэффициенты
Пуассона связаны равенствами
-121 = 22^.- хгг .
ЕГ Ег Ег ’
Е(р
§ 3. Схемы решения задач теории упругости
Решение задачи теории упругости, состоящей в определении напряжений,
деформации и перемещений точек упругого тела, подверженного действию из-
вестных внешних сил, связано с интегрированием, в общем случае, системы не-
линейных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях.
Неизвестными в этой системе могут быть либо перемещения, либо напряжения'
В первом случае указанная система уравнений может быть получена, если урав-
нения равновесия элементарного объема с помощью соотношений между компо-
нентами напряжений, компонентами деформации и перемещениями записать
в перемещениях. Во втором случае к уравнениям равновесия элементар-
ного объема следует присоединить уравнения сплошности, записанные в на-
пряжениях.
Нелинейность полной системы уравнений обусловлена двумя независимыми
причинами:
а) нелинейность дифференциальных уравнений равновесия связана с величи-
ной углов поворота (при малых удлинениях и сдвигах) — геометрическая нелиней-
ность;
>б) нелинейность уравнений, связывающих компоненты напряжений с компо-
нентами деформации, обусловлена физическими свойствами материала — физи-
ческая нелинейность.
[Линеаризация первых уравнений основана на оценке величин углов поворота
по сравнению с единицей.
Линеаризация физических уравнений может быть осуществлена в том случае,
когда в пределах определенных значений компонентов деформации справедлив
обобщенный закон Гука. Величины деформаций, при которых реализуется этот
закон, определяются физическими постоянными, зависящими от рассматривае-
мого конкретного материала.
Решение геометрически и физически линейных задач (линейная теория упру-
гости) связано с интегрированием уравнений, в которых удлинения, сдвиги и
углы поворота малы по сравнению с единицей, причем углы поворота имеют та-
кой же порядок как частные производные от перемещений по координатам. Счи-
тается также, что справедлив обобщенный закон Гука.
3.1. Линейные уравнения равновесия в перемещениях. А. Для ортотропного
тела в декартовых координатах. Подставляя в дифференциальные уравнения рав-
новесия (2.11) компоненты напряжения, выраженные через деформации с помощью
формул (3.9), и учитывая связь между компонентами деформации и перемещениями
[см. формулы (1.17)], получаем дифференциальные уравнения равновесия в пере-
мещениях для ортотропного тела
л ( „ д2иг , д [*/„ \ Зиг ,
Сбе-ахГ+С44 дх1 г дхг (Сп ~ С^’
ди2
дх2
ди3 ~
дх3 _
(3.13)
ди±
дхг
___д_
ее дх\ + 66 дх1 1 44 ' дх3
2 Бойцов Г. В. и др.
33
Здесь упругие постоянные Сц равны
1
(3.14)
Для изотропного тела эти постоянные равны
= с22 = Ъз = 26 + к
С44 = С55 = С6в ~
С12 = ^13 = С23 =
(3.15)
Б. Для изотропного тела в декартовых координатах. Уравнения равновесия
в перемещениях для изотропного тела (уравнения Ляме) имеют вид
о Д(, + ^-»+Х1=о (1 = 1. 2,3), (3.16)
где
0/^ . <^2 । .
Е — дхг дх2 дх3
△(
д '2( )
дх'{
д2( )
дх2
, ^ ( )
' дх%
При отсутствии объемных сил уравнения (3.16) принимают вид
ДДпх = 0; ДДп2 = 0; ДДп3 = 0.
В Для изотропного тела в цилиндрических координатах (при
(3.16')
отсутствии
объемных сил)
(3-17)
где иг, иу, и2 — проекции перемещения на осях г, ср, г
^0,1 <?( ) , 1 д2( ) , )
дг2 * г дг * г2 д(р2 ”* дг2
— оператор Лапласа в цилиндрических координатах.
Выписанные выше уравнения равновесия в перемещениях используются для
определения перемещений, возникающих в рассматриваемом теле при действии
на него заданных объемных и поверхностных внешних нагрузок. При этом на от-
дельных участках или точках поверхности и объема тела могут быть заданы вместо
нагрузок перемещения. Внешние поверхностные нагрузки с помощью зависимо-
стей (2 9) выражаются через компоненты напряжений. Последние, если восполь-
зоваться физическими соотношениями § 2 и формулами (1.17), можно записать
34
через компоненты перемещений. В результате получаем граничные условия, вы-
раженные через перемещения точек тела.
3.2. Линейные уравнения сплошности в напряжениях (уравнения Бель-
трами—Митчелла) в декартовых координатах. А. Для изотропного тела в декар-
товых координатах
Лсуп 3 б2 о О дХг V < бх. । дх2 , 6Х3 > I- 1
1 4- V дх2 дХ1 1 — V' дх2 бх3 у »
А о.,, 4- 3 б2о л дХ2 — - 9 — V / 6Х\ дХ2 6Х3 >
1 4- V дх% бх2 1 — V \ дх1 дх2 бх3 > I >
АДзз 3 д2п 9 0Х3 V ( дХ. 6Х3
1 4“ V бх§ ~ дх3 1 — V 1 дх.2 1 бх3 1 >
3 д2с> дХг ^2 А . (3.18)
/А°12 I 1 4- х’ дх1 дх2 дх2 бХ! ) ’
А гт. . 1 3 б2о <5Х2 ,
ПО23 1 1 4- V дх2 дх3 дх3 бх2 ) 1
3 б2о дХг 6Х3\
-зо31 1 1 4- V бх3 б*! дх3 дХ! / 9 1
<52( )
где V - 3 г ~22 1 ~ЗЗМ “К/ - дх2 -Т- Т ^2 •
Б. Для изотропного тела в цилиндрических координатах (при
объемных сил)
отсутствии
2 (°<р(р ®гг) 4 ^о-гф . 3 д2о
г2 г2 бср 1 1 Д- V дг2 • ’
2 (о^ф — оуг) 4 доГа;
----------г---+ —^Г +
| 3 ( Х д(! у 1 даа \
1 4- V \ г дг ' г2 бср2 )
(3.19)
До>Ф-------7Г (аФФ “ °гг)------------Г СГгф -Ь
4- $ / 1 дв \ _
1 -|- V дг \ г бор )
СГ2 2 дсГфг 3 б2 О
гг г2 г2 дер 1 -|- V дг дг
богг 3 1 б2о
бср т 1 4-V г бср дг
Где (Т — — (Огг 4- СУфф 4“ Огг).
Для получения полной системы уравнений линейной теории упругости к при-
веденным выше уравнениям сплошности необходимо присоединить уравнения
равновесия и граничные условия в напряжениях.
3.3. Основные задачи теории упругости. В зависимости от граничных усло-
вий, которым должно быть подчинено решение, в теории упругости рассматри-
ваются следующие основные задачи:
первая основная задача — определение упругого равновесия тела при за
данных внешних усилиях, приложенных к его границам;
вторая основная задача — определение упругого равновесия [ела при
данных перемещениях точек его границ; п там
смешанная основная задача - определение упругого равновесия тела в том
случае, когда на части границы заданы усилия, а на остальной части — переме-
ЩеП Решение граничных (краевых) задач даже линейной теории упругости в об-
щем случае связано с математическими трудностями.
Важные для техники задачи удается решить, применяя полуобратныи метод,
предложенный Сен-Веианом. Способ этот состоит в том, что на основании условии
задачи предугадываются некоторые напряжения и деформации, затем при помощи
приведенных выше основных уравнений находят не только остальные напряжения
и перемещения, но и вызывающие их внешние силы. Если найденные таким об-
разом внешние силы соответствуют условиям задачи и все уравнения теории уп-
ругости удовлетворяются, то задача решена, поскольку решение уравнении ли-
нейной теории упругости является единственным. В противном случае нужно ре-
шать задачу заново при других предположениях о напряжениях и перемещениях.
ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
При решении многих задач, встречающихся в инженерной практике, пред-
ставляется возможным рассматривать явление деформации тела, происходящей
как бы в одной плоскости, формально отбросив одну из координатных осей. В этом
случае уравнения теории упругости значительно упрощаются. Задачи этой кате-
гории относят к так называемой плоской задаче теории упругости.
При рассмотрении плоской задачи обычно различают два следующих ее вида:
задача о плоской деформации и задача о плоском напряокенном состоянии («обоб-
щенное плоское напряженное состояние»). Решение этих задач связано с интегри-
рованием дифференциальных уравнений одного и того же вида.
§ I. Плоская деформация
При плоской деформации перемещение точек тела в направлении одной из
осей равно нулю, а два других перемещения не зависят от координаты, соответ-
ствующей указанной оси.
Пусть н3=0, тогда «1=/1 (хъ х2); и2—[2 (*1> и по формулам Коши (1.17)
находим
$33 — $23 — $31 ~ 0. (4.1)
На основании обобщенного закона Гука можно получить
—
о2з = 0.
(4.2)
Остальные компоненты деформации и напряжении будут функциями лишь
координат х± и х2.
Плоская деформация реализуется в призматическом (цилиндрическом)
теле, образующая боковой поверхности которого параллельна, например, оси Ох?.
1 ело дополнительно ограничено с двух сторон основаниями, перпендикулярными
папя°ллРпкппРИ услов,ш’ что — 0. Нагрузка приложена к боковой поверхности
параллельно плоскости хгх2 и не зависит от координаты х3 (рис. 4.1) Этому усло-
вию должны удовлетворять объемные силы. 1 ' У У
нопм^и?Л°СК0И деФ°Рмации основания цилиндра оказываются загруженными
нормальными напряжениями, равными:
для ортотропного материала
азз — б’зг^ы + У32а22),
где г’зь у32 — коэффициенты Пуассона;
(4.3)
для изотропного материала
$33 — V (фи + ^22)-
(4.4)
Если условие ц3= 0 для концов цилиндра не выполняется (например, концы
совершенно свободны), то для устранения напряжений (4.3) или (4.4) в случае
длинного цилиндра (длина которого велика по сравнению с поперечными раз-
мерами) следует на полученное решение наложить решение задачи о равновесии
рассматриваемого цилиндра, загруженного лишь напряжениями, по величине
равными (4.3) или (4.4), но обратного знака. Эти напряжения можно заменить
статически эквивалентной одной силой, приложенной в центре тяжести сечения,
и моментом.
[По принципу Сен-Всиана суммарное решение будет справедливо в некотором
удалении от оснований.
1.1. Основные зависимости для плоской деформации в декартовых коорди-
натах. Уравнения равновесия
или
Формулы Коши
Уравнение сплошности
д<Тц . до^
дХ] дх2
<5(721 । <5(722
дхг ' дх2
_ 1 / дщ ди] \
84 ~~ 2 \ дХ] ‘ дх1 ) *
д2еп д~ь22 дЧ12
дх% дх] дх! дх2
Граничные условия на боковой поверхности
задачи (рис.
Рис. 4.1
(4-5)
(4-6)
(4-7)
в случае первой основной
сгц соз а п12 81п а = 7^;
(721 соз а + а22 81П а = /\2.
_ (4-8)
Рис. 4.2
В случае второй основной задачи
«4 = ё1 (Л1> 112 ~ (Х1> х^г
пе 0 (х х») е* (х1 лъ) — заданные перемещения точеи^контура.
Формулы преобразования компонентов напряжений и деформации при по-
вороте координатных осей (рис. 4.2)
а'1 = ап со82 а 4- о22 51п2 а + а12 51П 2а;
СГ1О = 0^ 81П2 а 4" С?22 (Т12 81П 2(Х,
г'2 = °22 81п 2а 4- о12 соз 2а;
811 = е11 С05“ а + е22 81°2 а + 812 8’П 2а’
829 = 8Ш“ а 4- 829 С08 а — 8^ 2а,
—— 81П2а 4~ б12соз2а.
Главные напряжения
^,2=± 4- К г» -а^2+4а»-
Максимальные и минимальные нормальные напряжения (главные напряже-
ния) действуют в двух взаимно перпендикулярных площадках, направление нор-
„ лс 1 , 2(712
мал ей к которым определяется углами ср, и ср. ± т-, где срх = — агсгя-- •
2 2 011 — °22
Наибольшие касательные напряжения действуют в площадках с наклоном под
углом 45^ к направлению главных площадок и равны полуразности главных на-
пряжений. В этих площадках действуют также и нормальные напряжения, рав-
ные полусумме главных напряжений.
Главные деформации
е1.2 = -5ф^±4-К(еп-622)2 + <
(ось Охц совпадает с одним из главных направлений деформаций).
Обобщенный закон Гука:
для ортотропного материала
где с„ = —7^2.
__ °12
12 2С12
(4.9)
аИ с11811 + ^12822,’
а22 ~ С21 811 + е22е22',
°12~ ^44^812,
с — Р 1 ~~ У13^31 . _ г
с22 — ь2 —, с44 = (?12;
- 0 ^3^31) (1 — У32Т23) — -^2- ^21 4- г23\’зх)2
21
для изотропного материала
1 — V2 / V \
8И = Т: ( - ”7 С»22 ) •>
1
е22 — ----
~ Л’
°22 --- 7------ 1
* 26 ’
^. = 26^0и +
1 —Vе2 2/ ’
(4.Ю)
°22 — 20 (^р22 '
о12 — 2Се
1 — V Ё11
)
Уравнения равновесия
о д2П1 , п
₽1 +₽4
Р4 + 1%
в перемещениях:
+ (Рд 4~ Рэ)
д2и2
~дхГ
4" (Р4 4- Рз)
д2и2
дх2
д2^
дх1 дх2
где коэффициенты принимают следующие значения:
для ортотропного материала [см. (3.15)]
Р1 = ^Ц> Р2 ~ СТ>\ Рз ~ С12> Р‘1 ~ ^14»
для изотропного материала
р1 = ₽2 = 2О11_Л;
26—-—’
1 — 2м ’
Уравнения (4.11) примут вид
л Г \ । 3 де
6 4" 7--7Г- -Ч--
1 — 2у дх^
где А ( ) = —-А-
' дх{
дх\
ди2 \
дх2 / ’
8 —
О.
(4.12)
1.2. Основные зависимости для плоской деформации в полярных координа-
тах. Уравнения равновесия
д(5гг 1 доГф
дг 'г
г
Формулы Коши
1 //8*фф ^^Гф , Сфф
г дф
дг
0.
диг
I Ди<р «г
г дф "г г
(4.14)
1 I 1
- 2 \ г '
Уравнение сплошности
д~&гг д- (Г8гф)
дф2 дг дф
ди
дф дг
$ (г8фф) дегг
----5-7-------г -3— = 0.
дг- дг
г
^^ф Иф
г
Связь между напряжениями и деформациями (обобщенный закон Гука)
определяется зависимостями (4.9) и (4.10) при замене компонентов напряжений
и деформации соответствующими компонентами в полярной системе координат.
Уравнения равновесия в перемещениях для изотропного материала
г/ д2 . 1 д 1 , 1—2у д2 1
— 1----------=- —Г I иг +
[ дг2 г г дг г'2 ' 2г-
д Г 1 д __ 3 — 4у
дер [2г(1—у) дг 2г2 (1—у)
(I — 2у) _ у -0; (4.16)
<* (1 — V)2
д
дер
д
1 1 д 3 — 4у 1
1 —- 2у г дг 1 — 2у г2
1 . 2(1 — у) 1 д2 ] г
+ [ф' + т дг ~ г3 + 1-2у г3 дфЧ ' Л*(1
Производя в этих уравнениях замену переменных по формуле
г = е* ({ — 1п г),
-—- Хф = О-
можно привести их к уравнениям с постоянными коэффициентами
Г д2 1 - 2у д2 4
[ д12 ’ 2(1 — м) дер2 ] Нг '
। д Г 1 д _ 3 — 4у 1 . 1 — 2у 2/ у л.
' дер [2(1 — у) д1 2(1 — у) ] Ы(р Е* (1 — у)2 у г
д / 1 д 3 —4у \
дер \ 1 — 2у д1 ' 1 — 2у / г ‘
, Г д2 9(1 — у) д2 ] , 2с2/ , , , ч
+ [ дР ~г 1—2у дер2 ] Е*(1 — у) = ^'17)
где Е* = у
§ 2. Плоское напряженное состояние (обобщенное плоское
напряженное состояние)
Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинках, загружен-
ных по контуру усилиями, действующими параллельно ненагруженным плоско-
стям и распределенными симметрично относительно срединной плоскости
(рис. 4.3). Этим же условиям должны
удовлетворять объемные силы.
Если координатная плоскость Охгх2
есть срединная плоскость, то на осно-
ваниях пластины
Рис. 4.3
^33 — ^31 — ^32 — О’
Вследствие малой толщины напряже-
ния ег83 принимаются по всей толщине
пластины равными пулю.
Если ввести в рассмотрение
усредненные по толщине значения
напряжений, поверхностных и объем-
ных сил (например, сп-сР —
П/2
1 Г
= €Гц«^з)> го уравнения равновесия для плоского напряженного со-
-Л/2
стояния совпадают с (4.5) и (4.13).
Уравнения сплошности для усредненных компонентов деформации имеют вид
(4.7) и (4.15), а связь между усредненными перемещениями и деформациями сов-
падает с (4.6) и (4.14).
Зависимости между усредненными значениями напряжений и деформаций
(знаки усреднения опущены) имеют вид:
для ортотропного материала
811 — ~Е^ е22 — ~р~ (а22 — 'У21СГ11)>
812 =
°12 .
2<?12 ’
Е Е
а11 — 1----УТ- "Ь У21822)> а22 = 7---------- (822 ~Ь У12&11)»
1 — Л 12Х 21 1—Л12Т21
012 — 2012812, 013 — 0, 023 — 0.
' (418)
I
для изотропного материала
(7
8ц == -^=г (0ц — ^’Огг)» е22 == (°22 г'°11)’ е12 == 2(5 ’
V Е
833 =-------(а11 °22) > °11 — у-------”Ь уе22)»
Е
022 = 7------72 (822 ~Ь Ле11) > <712 ~ 2С&12‘
1 -- V
(4-19)
Граничные условия, выражения для главных напряжений и формулы пре-
образования при повороте координатных осей для усредненных значений напря-
жений совпадают с соответствующими формулами для плоской деформации.
При плоском напряженном состоянии уравнения теории упругости имеют
тог же вид, что и при плоской деформации, лишь в уравнения обобщенного за-
кона Гука входят другие коэффициенты. Вследствие этого уравнения равновесия
в перемещениях будут иметь вид (4.11) при следующих значениях коэффициентов:
для ортотропного материала
р1 = т—; ₽3 = 1—; Рз =, - ; р4 = <312; 020)
1 —^'12^'21 1 —^12^21 1 —^12^21
для изотропного материала
Р Ру)
Р1 = ₽2=г4^; р»=г5> (421)
и уравнения равновесия запишутся в виде
0 -ф-
3(1 +у)
1 — V
де
дХ[ _
_|_А\=-0 (1 = 1,2).
ь
В полярной системе координат для изотропного материала уравнения равновесия
в перемещениях будут иметь вид (4.16) и (4.17), если заменить в них коэффициент
Пуассона V на а модуль упругости Е* на Е.
§ 3. Функция напряжения
Определение компонентов напряжении, удовлетворяющих уравш ниям равно-
весия. условию сплошности и граничным условиям, в значительной (тепени упро-
щается. если ввести в рассмотрение некотор}7ю дифференцируемую функцию ко-
ординат точек тела, называемую функцией напряжения пли ф} нкцией Эрп.
3.1. Функция напряжения в декартовых координатах. Пусть объемные силы,
действующие на тело, имеют потенциал и, следовательно, их составляющие А^,
ч. ди .. ди ., .
А* определяются формулами А1 =----г—; Л2 — —тт“ (И (хр л2) — потенцпаль-
ОА*1 Ол2
ная функция).
Дифференциальные уравнения равновесия (4.5) могут быть всегда удовлетво-
рены. если компоненты напряжений выразить через функцию напряжения
Г (Л'ь и потенциальную функцию и (уь х2) с помощью формул
ои + </; <Т.,2 = 4^-+ ^; 0-12 = — (4.22)
дх$ дх~ 1 дхг дх2 ' '
Подставляя в уравнение сплошности (4.7) вместо компонентов деформации
их выражения через напряжения и учитывая формулы (4.22), получаем следующее
уравнение, определяющее функцию напряжения.
61
э*г . <У‘Г , . д'р . д-и „ д-и
дх$ + “бз йл-2 дх$ + °2 дх{ 51 дх* 85 дх] '
(4-23)
Входящие в это уравнение коэффициенты 6, принимают следующие значения:
для о р т о т р о и н о г о м а т е р и а л а при плоской деформации
X _ г'12 4" Т13Г32 .
63 2б12 ё; ’
64 = ~ Г13’31 ~ '12 (' + ’
= ~ЁГ 11 ~Л’23'’32 “г'2' (’ + ’
при плоском напряженном состоянии
(4.25)
для изотропного Материала при плоской деформации
0 - 2У)
Г, ° р •>
(4.26)
при плоском напряженном состоянии
6г-б2 = 63 = -^; б4 = б6 = 1—
и Е
Из уравнения (4.23) и формул (4.26) и (4.27) следует, что при отсутствии объ-
емных сил или при постоянной их величине, функция напряжения для орто-
тропного материала должна удовлетворять уравнению
д*р д4Р д*Р
61 ад + 2§3 ад ад + 62 “ад"= 0> (4 28)
а для изотропного материала бпгармоническому уравнению
д^р д*Р д*Р
иь Л2) = + 2 + 4^ = о. (4.29)
3.2. Функция напряжения в полярных координатах. Пусть объемные силы
V V 1
имеют потенциал, т. е. лг---------Лф =---------— (6/ — потенциальная
функция). Тогда дифференциальные уравнения (4.13) будут удовлетворены, если
принять
_ 1 дР 1 д2Р
°гг г дг 1 г2 дф2
д2Р I 7/
а<ГФ — -г и ’
(4.30)
1 дР 1 д2Р д ( \ дР\
г2 дф г дг дф дг \ г дг )
Уравнение, определяющее функцию напряжения Р (г, ф),получим, если восполь-
зуемся уравнением сплошности (4.15) и законом Гука:
д*Р 1 д'Р 1 д*Р .
62 “ад"+ 263 7^" ад ад ' д47*“ ~д^ +
+ 2 62
1 63Г 1 <РР , . 1 д*Р -
г дг3 3 г3 дг дф2 1 * 1 1 3 г4 дф2 _
/ 1 62Г 1 Га дЮ I а 1 д_а 1 дУ 1
1 \ г2 ад г3 дг ) 6 дг2 ' 4 г2 дф2 1 6 г дг ] ’
(4.31)
где коэффициенты 6, принимают значения:
для ортотропного материала при плоской деформации
61 =
1 — Угг^гг.
Ег '
1 — ^гцЛ'фг в 1 ^'пр Ь ^’гг'гф ф
’ 6з = ”20^ К ’
Я _ 1 [ 1 (11 Л'2ФУг2\] .
$5 — ~р ------- ^’ф2^’2ф ^'фГ I ' “Г .. I ’
СФ I \ угф /.
я 2 Л ^^фг\ 1
$6 — I 1 — Чгф^фг-----------р I-------р~ — гг2Лгг 4“ ^гф)»
при плоском напряженном состоянии
1 . к 1 . с ( 1 Ч гФ \ . я Ч гФ .
61 г» > 62 ~Е‘ > 63 ( пл р ) > 64 р »
Сф \2С7^ф 1^г /
1 — ТфГ х _ 2 * + 4>ф .
р » Ов р р »
•^ф х"ф
для изотропного материала при плоской деформации
61 = 62 = $8 —
Е
при плоском напряженном состоянии
61 = 62 = 6з — у ^4 6б бе
В случае отсутствия объемных сил или при их постоянной величине функция на-
пряжения для изотропного материала определяется уравнением
(г, ф) — { , г 6г , { др г дг 'г2 д<[2 /
(4.32^
3.3. Граничные условия для функции напряжения. Граничные условия,
которьнм должна быть подчинена функция напряжения, в случае первой основ-
ной задачи, могут быть установлены с помощью зависимостей (4.8).
Подставляя в указанные зависимости выражения для напряжений (4.22)
(при Е — 0) И учитывая, ЧТО С05 ОС = СОЗ (V, Л'2), зш ос — соз (м, х2), получаем
д2Р , ч д-Р ,
-г-р СОЗ (V, *1)--ч---Д соз (V,
дх- дхк дх2
Х2) — Ру1>
д2Р' д-Р 1
~д^ С05 + -д^008
Интегрирование этих равенств вдоль дуги контура (вдоль границы тела) приводит
к формулам, определяющим производпыеот функции напряжения по координатам
в произвольной точке этого контура
$
(4.33)
где з — координата произвольной точки В, отсчитываемая от некоторой точки кон-
тура А против хода часовой стрелки по дуге контура (рис. 4.4); с2 — постоянные
интегрирования (для односвязного тела они равны нулю).
др дР
Из формул (4.33) следует, что приращения —— и —— при переходе от начали-
ОХ2 ОХ^
ной точки в произвольную точку контура равны соответственно проекциям на
оси 0хъ 0х2 главного вектора усилий, приложенных к указанному участку кон-
тура. В том случае, когда главный вектор усилий, приложенных к каждому кон-
туру многосвязного тела, равен нулю, эти величины будут однозначными функ-
циями. Это условие всегда выполняется для односвязного тела.
Формулы (4.33) позволяют определить функцию напряжения и ее производ-
ную по нормали к контуру в произвольной точке контура
где*?, х?, хь х2—декартовы коорди-
наты начальной и произвольной точки
контура соответственно; с3 — по-
стоянная интегрирования (для одно-
связного тела равна нулю).
Так как из первой формулы (4.34)
вытекают равенства (4.33), независи-
мыми граничными условиями будут
значения на контуре функции на-
пряжения и ее производной по нор-
мали.
.Функция напряжения однозна-
чна, если главный момент усилий,
приложенных к контуру, равен
пулю.
Постоянные интегрирования сд-
для многосвязных тел не могут назна-
чаться произвольно: если на одном из контуров принять их равными нулю, то
на остальных контурах их необходимо определить из условия однозначности
перемещений.
- Из уравнений, определяющих функцию напряжения, и граничных условий
(4.33) следует, что для изотропных одпосвязпых тел при заданных усилиях на
контуре функция напряжения не зависит от упругих постоянных, и, следова-
тельно, в одинаково нагруженных телах одной и той же формы, ио изготовлен-
ных из разных материалов, напряжения равны (теорема М. Леви).
Для многосвязных тел функция напряжения не зависит от упругих по-
стоянных в том случае, когда главный вектор усилий, приложенных к каждому
контуру, равен нулю.
ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ
ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
§ 1. Решение плоской задачи для прямоугольной
пластины в полиномах и тригонометрических рядах
Для определения напряжении в ортотропных и изотропных пластинах,
ограниченных прямоугольным контуром, удобно использовать дифференциальные
уравнения (4.28), (4.29).
1.1. Решение в полиномах. Если интенсивности нормальных (а^) и ка-
сательных (х^ нагрузок, действующих на длинные кромки вытянутой прямо-
угольной пластины (рис. 5.1), можно представить с помощью полиномов
«» "Ч
(*1) = У РцЛг (*1) = Д ^1/Х;
о о
П2 1П2
Да (*1) = X (Х1) = 2
О О
то решение дифференциального уравнения (4.28) можно искать в виде
тс
Г х2) = (х2) х^,
о
где равно наибольшему из чисел: лх-|- 2, н2-|- 2, + 1, /п2Ч" Г
Входящие в (5.2) неизвестные функции (хг) определяются системой диф-
ференциальных уравнений
)
/IV = _2 А. (к + 2) (к + 1) 4+2 (х2) -
_ А (Л 4- 4) (Л + 3) (к 4- 2) (к + 1) Л>+4 М (0-^к-^М — 4);
/;У3(х,) = -2-|-(Л-1)^-2)/;_1(х2); • (5-3)
/^-2(^ = -2АлЧ/у-1)4,(х2):
^(^ = 0; ^(*2) = °-
Откуда
Ш) = I
Л (жг) = °1л2 4лз + С1А2 + 4 (Аг)’ • • ’ (3.4)
4 (хг) = акх2 + 44 + + 4 + % (х2> (к>2)- {
где а^, Ь^, с^, — постоянные интегрирования; ф/г (г2)—совершенно опре-
деленные функции, получаемые при последовательном интегрировании сис-
темы (5.3).
Для определения постоянных следует воспользоваться граничными усло-
Ь
ВИЯМИ при х2 ~ ± —
Рис. 5.1
п условиями на кромке х± = а.
Последние записываются в виде
Ь/2
<?12 Ах2 = — Р\
-Ъ[2
Ь/2
сГц Ах 2 — Т;
-Ь/2
Ь/2
(5.6)
-Ь/2
^11^2 ^х2-----И ^4 .
Пример 1. Определить напряжения в изотропной полосе, нагружен-
ной при = а силой Р и моментом М (рис. 5.1). Осевая сила Т принимается
равной нулю. В рассматриваемом случае = 62 = Далее, — п2— т1 —
= т2 = 0 и, следовательно, Лг = 2. В результате
? (х1» *г) — /о (^2) "Ь 1 (^2) + ^1/2
Учитывая выражения (5.4) и используя граничные условия (5.5) при
/ ь \2
Ргк — Р2к = Я1к = <рг.к = 0. находим = 0; сх = —Заг ( — 1 ; /2 (х2) = 0.
Условия (5.6), записанные применительно к рассматриваемому случаю в виде
Ь/2
Ь/2
Х2
-Ь/2
х,=а
—Ь/2
I ^ = +Л4;
хг =а
Ь/2
Г д2Р
.1 дх, дх.
-Ь/2
Х1—а
дают
Таким образом, функция напряжения равна
„ . . М / 2х2 \3 Р (а — хг) / 2х2 \3 3 РХ]Х.>
**>=—(V) + 4 (-г>
Компоненты напряжений определяются формулами
где
12 ... . п / ч Мх2 , Р (а — %1)х2 ,
Пц = [Мх2 + Р (а — х,) х2] = —р- 4-------------------------2 ,
о22 = 0;
3 п Ь ' — 4*2 Р5
17,2 “ 2 Р Ь3 ~ II’
, 1-Ь:!
/ — — 2-----момент инерции прямоугольного сечения единичной ширины
(толщина полосы принимается равной единице); 5 =
момент отсеченной части.
Ь2 —
8
статический
1.2. Решение в тригонометрических рядах. При сложных видах нагрузки,
Ь
приложенных к кромкам х2 = ± и в том случае, когда эта нагрузка не мо-
жет быть представлена в виде полиномов, решение уравнения (4.28) можно искать
в тригонометрических рядах.
Преобразуя уравнение (4.28) к безразмерному виду
д^Р ( о Й д*Р 1 д^Г п
Эн4 4-2 г 1 Г2
(5 7)
где Г / ; Я - - ; й - ; г - ь.
ряжения Р (^, Т]) принять в форме (решение Рибьера)
можно ф\ нкцшо нап-
оо
^(1, л) = X /п(н)СО5ПЛ^,
п=1
(5.8)
б/х2
Ь V ’
Лх, = Р,
Ьо — 0 —
3 ’
или в форме (решение Файлопа—Белзецкою)
ч)= 2 /«(п) 8'н ня5- (5-9>
/2=1
Выбор той или иной формы решения зависит от граничных условий на кро.м-
КаХ ПриСиспользовании решения (5.8) должны выполняться следующие условия
при 5=0; 5 = 1: , - ,
<т12 — 0. еГц=^=0, 1 (5.10)
щ — 0; 0, 1
и средняя величина усилий р/ (лх) на продольных кромках полосы должна быть
а -
равна нулю, т. с. р;- (л'г) = 0.
о
При использовании решения (5.9) должны соблюдаться следующие у ловия
при 5 = 0, ? = I:
°Н ~ °12 | (5 11)
и2 = 0; П1 0, )
и средняя величина усилий (хт) на продольных кромках полосы должна быть
а
равна нулю, т. е. (л^) = 0.
о
Входящие в решения (5.8) и (5.9) функции (п) определяются следующими
выражениями.
Если < 1 (ортотропная пластина), то
(п (-ф = ап сЬ ллед + Ьп 811 /глзр] ф- <1ц з11 /гл821] ф- сп сЬ «лзд,
(5.12)
где 2 =
Если & =! (изотропная пластина), то
/л(т]) = апскал1] ф- Ьпапт\ скалг] ф- г/2з11ад ф- 4ад$Ьзд, (5.13)
плЬ
где ап =--------
а
Постоянные интегрирования ал, Ьа, сп, с1а определяются из граничных
деловик на кромках г]= ±0,5. Пусть
при I] = 0.5 а22 = <т12 = ?+ (§);
при 1] = - 0.5 0-22 = ®; 0-12 = Я' (5) •
Тогда функции /,;(>]) должны удовлетворять условиям
1
/„ (± 0,5) = -2 (± ) Г р± (?) с°5 «ЛВ
\ пп / ] и ($ш ил^) 5’
о
1
{'п (± о ,5) = 2— Г п± (I) 5111 пл^
' ПЛ ) 4 (— СО8 пл%)
О
(5.14)
. “рху’ т°т««-ч».
Перемещения и напряжения в пластине определяются формулами
ОО
“1 =
/:=1
оо
1
/л> ~ГТ
“ Е±Ь
п=1
1 Ч» /
— /п (>1) — ( V
% 4
ОО
а2
0ц =
п—1
со
62“ ^.1
Л=1
ОО
8Н1 ПЛ%
(—соз пл?-);
12 ~ &){п (,|)
соз пл^
З1п пл^;
„ соз плВ
1 ?
ЗЮ пле;
31П ПЛ&
пл ,
(—СОЗ пл^).
СОЗ ПЛ^
знт пл^;
1 (515)
°12 ~
п=1
)
П р и м е р 2. Определить напряжения в ортотропной пластине, кромки
которой т] — ±0,5 загружены лишь симметричными относительно середины
се длины и осп Ох3 касательными усилиями д (5) (рис. 5.2). Поперечные кромки
пластины = 0; = 1 находятся в условиях Рибьера.
На основании формул (5.14), учитывая также, что р± ©— 0, д* (^) =
= — д ©=?(€), получаем
/п(±0,5) = 0; 1'п (±0,5) = ±Т„ -±,
(5.16)
1
где уп = 2 \д (§) зш пл§ а$.
о
Подчиняя функцию /л (п) [формула (5.12)] условиям (5.16), находим
Л/ (п) Ун
аЬ ск Vп ск ПЛ51П — ск ск пл82т]
(пл)2
Ф(<М, ^п)
где ф (рп, &п) = 5Х зк вул ск ол — з2 ск ьул зк ол,
К'п =
ПП81
ПЛ<?2
2
Используя формулы (5 15), получаем
ОО
а
О11 -
Уп
$1 С11 V^^ с!1 ПЛ5р| — сЬ с11 ПЛ521]
Ф (^/ь Уп)
соз пл^;
п—1
ОО
Ь VI
022 ~
п=1
оо
сЬ ИУп с!1 ПЛ52Т] — ск Vп с!1 ПЛ$Р]
ф (Ц)п, ип)
соз пл^;
05-2 =
п—1
$1 сЬ ип зк пл5хт) — ск юл ск пл5.2т|
81П пл
ф(Ш-., 1>п)
Рис. 5.2
1.3. Редукционные коэффициенты
для поясков широкополых балок. Со-
гласно гипотезе плоских сечений
нормальные напряжения по ширине
поясков балки не меняются. В дей-
ствительности же, вследствие того
что пояски привлекаются к изгибу
балки касательными напряжениями,
возникающими в месте соединения
стенки с поясками, напряжения по
ширине поясков уменьшаются по мере
удаления от стенки балки. По этой
причине применение гипотезы плоских
поясками может привести при оценке
сечений к изгибу балок с широкими
нормальных напряжений к значительной ошибке в опасную сторону.
При применении к изгибу широкополых балок технической теории изгиба
принято заменять действительный поясок балки так называемым приведенным
пояском, который при деформации согласно гипотезе плоских сечений воспри-
нимает то же усилие, что и действительный поясок. Ширина приведенного з
и действительного Ь поясков (при одинаковой их толщине) связаны соотношением
з = фб,
(5.17)
где — редукционный коэффициент; он показывает, какую долю действительной
ширины пояска составляет его приведенная (полезная) ширина.
Если через обозначить величину линейной деформации в месте соеди-
нения пояска со стенкой балки, то напряжения в крайней кромке стенки равны
ЕгПт и по гипотезе плоских сечений должны быть такими же и в присоединен-
ном пояске. Приравнивая воспринимаемые действительными и присоединен-
ными поясками усилия
Ь/2
^Ь1ЕЁЦт = 1 ] О'! 1^2’
-6/2
найдем
где
6/2
о 1 С
] ^11^2 (5.19)
-6/2
— среднее напряжение в пояске; / — толщина пояска. Заменяя взаимодействие
стенки и пояска касательными усилиями д (лу) и решая плоскую задачу, можем
определить и и найти по формуле (5.21) величину редукционного коэф-
фициента.
В общем случае редукционный коэффициент широкополых балок оказывается
зависящим от граничных условий закрепления поперечных и продольных кромок
поясков, закона изменения поперечной нагрузки вдоль длины балки
Подробное исследование редукционных коэффициентов широкополых балок
содержится в работах (5, 6].
§ 2. Решение в полярных координатах
Функцию напряжения для ортотропной пластины с цилиндрической анизо-
тропиеи удовлетворяющую дифференциальному уравнению (4.31) при =
о в 9, можно записать в виде суммы частных решений
р <р) = А0 + В/ + Согг'-‘ + О0га‘ +
+ с±‘ф (а±1г + в±1г 1П Г + С±1Л 4- Р±1А) 4-
(5.20)
где «1, 2 = 1 ±
Т1, 2, 3, 4 — 1 ±
(5-21)
Л/, В/, Су-, Г/ — постоянные интегрирования е^'шр = (соз игр ± / «йи п ср).
Для изотропной пластины выражение (5.20) примет вид
Р (г, ср) = Л0г2 1п г + В0г2 + Со 1п г + Со 4-
+ 屫'<г (Л±/3 + В±хг 1п г + С±1г + О±1г~') +
ОО
+ Е ^,!,',р(^±/! + 'В±,/-п + с±,/'+2 + о±/-«)
4“ Лгср §1п Ср4-ВгС[ соз ср.
(5.22)
В случае осесимметричной задачи (напряжения ие зависят от угла ср) в выра-
жениях (5.20), (5.22) все постоянные, за исключением Ло, Во, Со, Е)о, равны
нулю.
Использование приведенных выражений для функции напряжения позво-
ляет получить, в частности, решение следующих задач.
2.1. Напряжения и перемещения в круговом кольце при действии внутрен-
него и наружного давлений (рис. 5.3). Ортотропное кольцо с цилиндрической
анизотропией
где с —
При
«
ь. Гл
Еф(1-^) г
+ (Ра~РбС^'
Иф — 6,
ГФЛ
(5.24)
Ь Г §2 у Е.г
плоской деформации напряжения определяются формулами (а.23)
при 61 —
'фГ ')
1 — ^'гг^'гг .
62
-----74 . Изотропное кольцо (Ег Е(р -
<Р
иг =
РаС2 — РЬ
1 — С2
Ра~ РЬ
РаС
аФФ " 1 — с2 '
^Гф
Ра — РЬ а2 С1 + V)
! 1 — С-
РЬ I Ра — РЬ
•> /
с- —
с-
2
IV-
г / ’
(5.25)
= 0;
(РаЕ1 ~ Рь) (1
Г
//ф “ 6.
(5.26)
При плоской деформации в формуле (5.26) следует заменить Е па
Е
-----Г, И V
— у'*
на :---.
1 — V
2.2. Чистый изгиб плоского кругового бруса (рис. 5.4). Брус обладает ци-
линдрической анизотропией:
м
°гг ~ Е2Е
1 — ?+1
1 — с~к
к-1
М
Е-Е
1 —
1 — с к
Ь
1 ^-1
1 ~с Л-Н
1-с2к
Ь \* Н .
' (5.27)
где Е =
I-с2 к
2
Изотропный брус (Е^ = Ег~ Е)
М
./г-1
1
1-с9-к
^Гф — 0>
О'ФФ =
к-1
Ь \Л+1
/г =
а
с-~ь’’
где
гг Ь2Е
„ Мг
Е
с
1 к
с-) 1п —
г
— 1п
— с- (1п с)2.
Рис. 5.5
2.3. Изгиб плоского кругового бруса силой, приложенной к
“"“ортотропный брус с цилиндрической анизотропией
Р ± Г/'АУ5_|.сР ГАУ- 1-Х
°ГГ— Г Д 6 / \ Г >
свободному
(5.28)
81П (ср + со);
Р Ь
- ЬРХ г
X 81п (ср Ц- о));
— $ соз (ср-{-со),
Р Ь
°г^~~ ЬРг г
где с = -у-‘, = — с^) (1~Ь-с$)1пс;
0 Г>
Здесь Р] = 1 — с3 + (1 + с-) 1п с.
2.4. Сосредоточенная сила, действующая в неограниченной изотропной пло-
скости (рис. 5.6). Напряжения и перемещения в полярных координатах
Р 3 -I- V Р 1 — V
^ = --4^-7—с°8<р; = —-----— со5<р;
„ Р 1— V . (3 _ V) (1 4-V) , I
= "4л” “Г- 81П Ч’; ~ ' - 4л/- ,П ~ С08 ГС:
(5.29)
При этом предполагается, что точка, находящаяся на осп Ол, на расстоя-
ипи I от начала координат, неподвижна.
2.5. Сосредоточенная сила, действующая на кромку изотропной
скости. Сила направлена перпендикулярно кромке (по оси Олу) (рис.
Напряжения и перемещения в полярных координатах
полупло-
5.7).
2Р соз (р . _ _ п.
(УГ г -------------> Сфф — &г<р —
ОО г ] _ V 1
— 1п г соз ф 4------$— (р зп1 ср I А зп) ф В соз ср
2Р Г/ 1 +'' , , А • 1 — '• 1 , |
— I /—|--------1- 11'4 «ш <р-----2— гс /'] +
4- А соз ф — В 81п ср 4- Сг, I
(5.30)
где А, В, С—постоянные, определяемые из условий закреплений полупло-
скости.
Если точка, расположенная на оси Олу на расстоянии / от начала координат
неподвижна, то перемещения равны
2Р Г, г , 1 — V
--—• 1п -7- СОЗ ср 4 ---- ф 81П ф
яЕ I 2,
2Р Г /. г I 4- V X . 1 — V 1
( Ь1 — + -у- 8И1 ср-----------— ср созср
Напряжения и перемещения в декартовых координатах
2Р х? . 2Р .
°Гп л г4 ’ &22 Л Г4 ’
2Р х.х1 Р Г(1 4- п , 1 , . .
&12 —-----—---=-------------------------Ё------2 П 7 ] 4" (0г2 4- >
Р Г С1 + V) ^1^2 . /, , / . 'V, Л X ’ .
п2 =-^~ |--------->----- + (1 -V) (агс^^г- ~~~2~)] “ ^1 + ^0.
(5.31)
(5.32)
где со, п0, — постоянные, определяемые из условий закрепления полупло
скости; г1 = х1 4~ Сила направлена по оси Ох2 (рис. 5.8).
Напряжения и перемещения в по
лярных координатах определяются фор
\р мулами (5.30), но угол ср должен отсчнты
I ваться от направления действия силы
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Напряжения п перемещения в декартовых координатах
Пц
2Р
лдг.
г4
2Р х2
О ----------------А.
Л г4
°Т2 — —
2Р АДА
тг г4
V) агец*-^-
Х2
и>
Р
пЕ
— 01?! 4- 00,
где г
со м0, о() — постоянные, определяемые из граничных усло-
вий закрепления полуплоскости.
2.6. Сосредоточенная сила, действующая в изотропной полуплоскости,
направленная перпендикулярно к кромке и приложенная на расстоянии а от по-
следней (рис. 5.9.). Напряжения и перемещения в декартовой системе координат
Р
011 2 л
’ (Л'1 — а)3
(1'1 + о) [(ад 4- а)- + 2млд]
Г<>
*2
Ху — а
Г1
4х}х.
Р
111 = “77
2
4
— а) х.7
г
4
_____Р_
(7’2 2 л
•4
Ху — а
(>
2
4
1 —
2
г
Р
^42=-^^
•4
“2 ' 2лЕ
2г?
(*1 — «)2
2аху — а- валд (а гг)2 1
4
2г?
2г2
1П-Ц
а-
1п —
а
у) агс!^
“1 ' 2пЕ
Р
1 — V
2
4
4
6
3
1
2
4
2л
(5.34)
где г'{ ~ (хг — а)2хЬ г! = (.4 + а)2 + <о, и0, м0— постоянные, опреде-
ляемые из условий закрепления полуплоскости.
2.7. Сосредоточенная сила, действующая в изотропной полуплоскости,
направленная параллельно кромке и приложенная на расстоянии а от последней
(рис. 5.10). Напряжения в декартовой системе координат
Р ( Г (Х1 — — Х* 4~ ®аХ1 । 1
он = (< + ')[ 4 + 4 ]
1 — у Г — г:; 4 (а + Х[) X] |.
“ [ гИ П ’
Р (, , г , х1 + 8ах, + 6а2 * , 8вХ1(а + Х1)2
_ ~2Г *2 г + г) [ 7Г + ~------------Т +
1 — у Г г-5 + Згу _ 4хх (а 4- *1) 1 I .
2 [ г{г1 а ] 1
Р ( „ . х Г (*1 — «) х2 , (2ах1 + 4) (а + *1)
а12 = - ^ (! + V) [-----------------------+--------------д------------
8ах: (а-\- хх) х$
3x14*
(5.35)
где г{ = (X! — а)- 4- х-,\ г% =. (х^ 4- л)2 4- х4
Вышеприведенные решения, определяющие напряжения и перемещения при
действии одной сосредоточенной силы, могут быть использованы на основании
принципа сложения действия сил для получения решения при действии других
видов нагрузки (распределенной нагрузки, моментов и т. д.).
Пример 1. Определить напряжения в полуплоскости, нагруженной про-
извольной распределенной нормальной нагрузкой д (х2), приложенной к кромке
(рис. 5.11).
При действии элементарной сосредоточенной силы д (с) с1с в точке х2 — с
напряжения можно определить по формулам (5.32) при замене в них х2 на х2 — с.
Рассматривая действующую на кромку нагрузку как бесконечно большое число
элементарных сил, на основании принципа сложения действия этих сил полу-
чаем 7
х?<7 (с) (1с
И+(х2-с)2]2
2 Г Ч (*2 ~ с)2, д (с) (1с .
л л [4 4(^-4Т ’
ху (х, — с) д (с) дс
Iх! 4- (^ — с)2]2
с[(с) йс
37/
Рис. 5.11
Пример 2. Определить перемещения точек полуплоскости при действии
на кромку нормальной распределенной нагрузки (рис. 5.11) при следующих
условиях закрепления:
* , л ди2 п
при л*1 — х2 — 0 — и2 — — 0.
Определим в начале перемещения точек полуплоскости при действии со-
средоточенной силы Р, приложенной на расстоянии с от начала координат.
Па основании формул (5.32) найдем
Р Г (1 + у) (х2 — с)2 । о । г>1 । »
-------------Ь 2 1п р 4" (0Х2 + ио>
Р (1 4- V) (х2 — с) X} . .. . . ХХ
3---!-----------Г__А_ (1 _ у) агс(ё-------±—
пЕ Р2 ' х2 — с
где Р2 ~ х{ 4- (х2 — с)2.
Определяя постоянные из условий закрепления и суммируя действие элемен-
тарных сил йР = д (с) (1с с помощью операции интегрирования, получаем
2сх2 2с (1г)/2х2
/2 4- 4 (/2 С2)2
д (с) (1с;
е2
1 [ Г О Ч-У)*! (*2~с) , с/([+у) Л , 2Р \
пЕ ] [ х1 + (х2 — с)1 'г Р + с3 V ф Е + с3 /
— С2
2с%1 (1 4- V) Г2 2с (I — хг)
(Г2 4- с2)’2 /2 + &
+ (1 - V) агс(§ 1 9 (Г) Ас'
С ^2 — С) —*
Пример 3. Определить перемещение пх точек кромки полуплоскости,
нагруженной по линии х2 = 0 нормальной к кромке распределенной нагруз-
1------------------) (рис. 5.12), при следующих условиях закрепления:
А
при = х2 — 0 пх = и2 — -• — 0.
С/Х}
Постоянные, входящие в формулы (5.33) и (5.34), при указанных условиях
закрепления равны
п0 — ц, = со ~ 0.
Перемещение «, кромки полуплоскости (х, = 0) при использовании прии-
ципа сложения действия сил равно
§ 3. Чистое кручение призматических стержней
3.1. Основные зависимости. Чистым (сен-венановым) кручением стержня
называют такое, при котором в его поперечных сечениях отсутствуют нормальные
напряжения, а касательные напряжения распределеныпо всем сечениям оди-
наково:
Оц — °22 — °33 — $23 0.
(5.36)
0^12 0; <713 5^ 0.
Ось 0хг направлена вдоль оси стержня, а оси Ох2 и 0х3 располагаются в пло-
скости его поперечного сечения.
При кручении поперечные сечения стержня не остаются плоскими, а испы-
тывают депланацию (искривление), т. е. точки сечений перемещаются в на-
правлении осн Ох,, т. е.
«1 =/ (х2, лз). (5.37)
При допущениях (5.36) и при отсутствии объемных сил уравнения равновесия
(2.11) тождественно удовлетворяются, если ввести в рассмотрение функцию на-
пряжений <р (х2, х3), связанной с касательными напряжениями в сечении зави-
симостями
5ф
013 ~
дер
дх2
(5.38)
Непосредственно из уравнении сплошности (1.19) и закона Гука для изо-
тропного материала (3.10) выводится следующее уравнение Пуассона для опре-
деления функции ф (х2, х3):
д2(р д2ср „
'г'Ч>=^ = —2Оа- (5.39)
где а — угол закручивания на единицу длины стержня, не зависящий от коор-
динаты вследствие постоянства крутящего момента и призматичности стержня.
। На основании условия, что боковая поверхность стержня свободна от на-
грузки (^ = 0; I — 1,2, 3), из уравнений равновесия тетраэдра (2.9) получаем
граничное значение функции ф (х2) х3) на контуре поперечного сечения стержня
ф (*2> хз) = Со = сопз! на 50
(5.40)
50 — внешний контур поперечного сечения стержня).
Рис. 5.13
Если поперечное сечение стержня
представляет собой односвязную область,
то постоянную Со на контуре можно
принять равной любому значению, в том
числе и нулю. Если же поперечное сече-
ние стержня представляет собой много-
связную область (рис. 5.13), то лишь па
одном из контуров, ограничивающем
сечение, постоянная может быть выбра-
на произвольно. Значения постоянных
на других контурах (8г, 1= 1, 2,
находятся из условия однозначности
перемещения при обходе по замкнутому контуру, окружающему каждую вну-
треннюю полость сечения
''2........
Отсюда, если воспользоваться законом Гука и зависимостями Коши,
$) [сг12со5(х2, 5) + ОД3СО8 (х3, 5)] ск = 2Сар1 /=1, 2, . .., т, (5.41)
где р — площадь, ограниченная Гм контуром.
Зависимостью (5.41) выражена так называемая теоре ма циркуляции касатель-
ного напряэ!Сения: циркуляция касательного напряжения по замкнутому ко! туру,
находящемуся в пределах поперечного сечения и не пересекающему его границ,
равна площади, ограниченной этим контуром, умноженной на 26а.
Если далее воспользоваться зависимостями (5.38), условие однозначности
перемещений окончательно запишется в виде
Т _20^1 1 = 1, 2.....т. (5.42)
Крутящий момент равен
Мкр = — ] / (012*3—0,3*2) | | *з + -|т'
Е Е 3
х2 ) (1х2
Здесь двойной интеграл берется по площади сечения Е, занятой материалом
стержня.
Для стержня, поперечное сечение которого имеет т внутренних полостей,
крутящий момент равен
Л4Кг — 2
1 = 1
ФЛ — Ф<Л
Дифференциальное уравнение (5.39), дополненное условиями (5.40) и (5.42)
на внешнем и внутренних контурах, позволяет исследовать напряженно-дефор-
мированное состояние призматического стержня, поперечное сечение которого
имеет внутренние полости.
3.2. Стержень эллиптического сечения. Уравнение контура эллипса с по-
луосями а и Ь
х2 х2
Л2 | Х‘Л ___ 1
а2 Ь2
Граничное условие (5.40) при Со — 0 будет удовлетворено, если принять
Ф (*г> *з) = » ----(). (5 44)
Значение постоянной А определится непосредственно из уравнения (5.39)
Следовательно,
<р (х2, х3) = 6а (\~А---------------------------.
а- + Ь- а2 ь* /
Рис. 5.14
11с пользу я
находим
зависимости
2а?
= __(?» о т~
(?12 —
Мкр = 6а
(5.38) и (5.13),
х3; спз — 6а
яа3Ь3
262
(5.46)
поперечного
Важной характеристикой _
сечения стержня является коэффициент же-
сткости на кручение С, иод которым пони-
„ ж,™-™ коутящим моментом и углом
мается коэффициент пропорционачьносп. между КРНЯЩ
закручивания на единицу длины а.
Л4КР = Со..
(5.47)
частей формул (5.46) и (5.47) находим значение же-
эллиптического стержня
Из сопоставления правых
сткости на кручение для
ла3Ь3
а2 -}- Ьг
6 = 6
(5.48)
Полное касательное напряжение __________
.__________ „ 2агЬ1 2 А । .4
Т = V (ТЬ °13 6 _|_ ^2 а У а?
Если а> Ь, то т достигает наибольшего значения на концах малой полуоси
(х3 = ±Ь)\ 2а2ь 2Мкр
Тщах = 6а а2 р — паЬч
3.3. Стержень прямоугольного сечения (рис. 5.14). Граничное условие
(5 40) на контуре сечения стержня будет удовлетворено, если принять
1, з, ... 1, з, ...
ЕГ? л *ЛХ2 /глх3
Д, Л^ соз соз ь
1=1 к~-1
(5.49)
при записи (5.49) учтено, что сечение имеет две оси симметрии, и, следовательно,
функция напряжений является четной функцией координат х2 и х3.
Внося выражение (5.49) в уравнение (5 39) и используя для его решения ме-
тод Бубнова—Галеркина, получаем уравнение для определения неизвестного
коэффициента Л,*. В результате находим
и, следовательно,
<Р х3) =
Крутящий момент на основании формулы (5 43)
л Ь
Г Г . 2560а<?6 V V ______________________!-----.
Д4КР = 2 I 1 <? *2 хз — „в / р _1_ А
Л Л ,=1. 3. ...Л=1. 3, ... Р + Н 62 )
а Ь
1 Г
При Ь:а > 5
М1(Р«-|-0в?4>а; (5 50)
коэффициент жесткости па кручение
С « 4- 6а3й; (5.51)
4
максимальное касательное напряжение
'Стах ~ Оасс. (5,52)
3.4. Стержень с односвязным сечением, составленным из тонких прямоуголь-
ных полос (приближенное решение). Поперечное сечение состоит из прямоуголь-
ных полос (рис. 5.15), каждая из которых удовлетворяет условию Ь^/а^ 5.
Суммарный крутящий момент
^р=2л1кр)=“Хс'1-^Хах=ас’ (5-53)
I I I
где
с=4 Б & (554)
— жесткость основного профиля на кручение, равная сумме жесткостей всех
отдельных полос, составляющих профиль.
Наибольшие напряжения возникают посередине длинных сторон каждой
полосы:
Т/ шах — баа; —
3?Лкг
2л акьк
1г
3.5. Тонкостенный стержень с многосвязным сечением (рис. 5.16). При
расчете кручения многосвязного профиля в качестве основных неизвестных при-
нимаются значения функций напряжений <рп ф2, ... на всех внутренних контурах,
Рис. 5.16
ограничивающих поперечное сечение. Для их определения используется теорема
о циркуляции касательных напряжений (5.42). Уравнение (5.42) составляется
для каждого внутреннего контура профиля. При обходе каждого из контуров
делящих толщину соответствующих участков профиля пополам, касательное на-
пряжение, совпадающее по направлению с направлением обхода, определяется
по приближенной зависимости
ТГ5/)- дк, (5<)- >
(5.55)
где ф4-—значение функции напряжений на внутреннем
на соседнем контуре.
На основании (5.42) для профиля, показанного на
выписаны следующие уравнения:
контуре; Ф/г — то же
рис. 5.16, могут быть
52
4, 1
1, 2
2, 3
3. 6
Ф1 —
^4
ГТ1- <РзФ = 2<7а/?1,
5,4
] ^7
6, 5
51
Г ф3 - Ф1 ф = 2ок/? ;
5, 2
<$з
Г ^4 —
] ^6
4, 5
5, 6
ф.З --- Фя
7, 4
Л •'Э
6, 8
Г Л = 2СаР3.
Л 'ю
8, 7
(5.56)
Из решения системы уравнений (5.56) определяются значения ф/ (/ — 1, 2, 3):
ф/ = к&Р^а, (5.57)
где /г. _ числовой коэффициент; Ро и — величины, имеющие размерность
площади и длины. Тогда на основании формулы (5.43) (первым членом в ква-
дратных скобках для тонкостенного профиля можно пренебречь) будем иметь
4=3
Л4кр = 2(?/’о/оСС ^2 ^1^1'
4 = 1
(5.58)
Найденный из зависимости (5.58) погонный угол закручивания вносится
в выражения (5.57). Вслед за этим по формуле (5.55) определяются касательные
напряжения в любом сечении тонкостенного профиля.
ГЛАВА 6. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
§ 1. Основные зависимости плоской задачи моментной
теории упругости
Можно предположить, что использование приведенных выше уравнений
теории упругости (как линейных, так и нелинейных) для решения задач,
в которых напряжения имеют высокий градиент, не вполне корректно,
поскольку результаты эксперимента в этом случае не совпадают с теорией.
При больших градиентах напряжений допущение о том, что взаимо-
действие двух частей тела, соприкасающихся по бесконечно малому элементу
62
•м
о х^
<5«
~П 1_1У^
&12 ^„1__ \
в,Х1
&22
^23 + 4“^ &Х1
1г дх1 1
&11 +
^27
О
Рис. 6.1
поверхности, характеризуется лишь вектором <тг, с1$(в*, 6/5), приложенными цен-
тре тяжести элемента поверхности (см. § 1 гл. 2), нельзя считать оправдан-
ным.
В этом случае целесообразно обобщить уравнения теории упругости, вводя
в рассмотрение кроме вектора силы дх (1$ (о^. с1$) еще вектор момента с1ч,
также приложенного в центре тяжести элемента поверхности — конечный
вектор, представляющий собой момент, приходящийся на единицу площади —
моментное напряжение). Такой вектор внутренних моментных напряжений вве-
ден в теорию упругости Фойгтом.
Приведем основные зависимости для плоской задачи простейшего из воз-
можных обобщений уравнений теории упругости, предложенных Коссером.
1.1. Уравнения равновесия. При учете моментных напряжений уравнения
равновесия для плоской задачи имеют вид (рис. 6.1)
-дау ()х1 ^О21 V л ,, Л 4 +х'-°’ Ох,-ь^+х2-0; <6» Ох" + Ох, + + М - °- (6-2)
Здесь: ц/;- — компоненты напряжений (силовые напряжения), а .• =^= а • р13,
р2з — компоненты моментных напряжений; X/ — компоненты единичной объем-
ной силы; М —объемный момент относительно оси 0х;}, приходящийся па еди-
ницу площади.
Из уравнения (6.2) видно, что при учете моментных напряжений касатель-
ные напряжения о12 не обязательно равны о21.
1.2. Связь между напряжениями, деформациями и кривизнами. Для установ-
ления связи между деформацией сдвига и касательными напряжениями разделим
последние па симметричную т5 и антисимметричную части
1 , 1
т5 — ~2" (а12 + а21); тд — ~2" (а12 — $21)- (6.3)
Симметричная часть касательных напряжений связана с деформацией сдвига
зависимостью
(6.4)
Антисимметричная часть касательных напряжений
ными напряжениями в соответствии с уравнением
поворот элемента среды на угол
1 / ди2 диг \
0>3 “ 2 дх2 ) *
уравновешивается момент-
(6.2) и вызывает жесткий
(6.5)
с соответствующими ком-
Связь остальных компонентов силовых напряжении
понентами деформации определяется формулами (4.10), (4.1 У).
Моментные напряжения р13, р2з вызывают искривление элемента. Из пред-
положения, что кривизны пропорциональны моментным напряжениям, следует:
р13 = 4Вуч; р23 = 4Вх2,
(6.6)
Где & — модуль кривизны (изгиба) (новая упругая постоянная, имеющая раз-
мерность силы);
<?со3 ,
’
дхг
д(о3
Х2 — —5—
дх.>
(6.7)
1.3. Уравнения совместности. В дополнение к уравнению совместности
д2Е22
дх% ' дх'1
д2&12
дх! дх2
(6.8)
необходимо присоединить уравнения
совместности для кривизн
д%1 дх2
дх2 дх1
(6-9)
Последнее уравнение следует из равенств (6.7).
Учитывая равенство (6.5), формулы для кривизны (6.7) можно записать
в виде
Х1
&12
дХ!
(6.10)
дх2 ’
дхг дх2
(6.11)
Отсюда вытекает, что компоненты кривизны, а следовательно, моментные напря-
жения являются линейными комбинациями градиентов деформации.
Необходимо отметить, что выполнение условий (6.8), (6.10) и (6.11) влечет
за собой выполнение условий (6.9), так что только три из четырех условий сов-
местности являются независимыми.
Условия совместности, записанные в напряжениях, имеют вид:
плоская деформация
М13 = Вх, = /2 —— (а12 -|- а21) _ 2 [ап _ у (ап + 1 -
г д а > (6.13)
= Вх2 = /2 2-$- [а22 _ V (а„ + а22)] _ (а12 + Стг1) 1>
г~ 2 ) )
в
г 0 постоянная, и леющая размерность длины;
дг( )
дх(
д2(
дх1
плоское напряженное состояние
дг („ -у<т )4 д2 А д2 (012 4~ ^21) Л /0 14
д7Г(°и ™22)Ч дх2 \°22 “ ^°11) — (1 4" х) ' дх.дх, -0; <014)
Н1з — д (П12 4~ °21) 2 дхг 1 4-V е>(ои —уо22) 1 . 1 с)х2
г 2 д д 1 (615)
Н23 ' |_ | + V "дХ1 (°22 '°и) ~ л (012 4~ О21) . и
Из уравнений (6.13) и (6.15) видно, что при / #= 0 и больших градиентах силовых
напряжений могут быть велики и моментные напряжения.
1.4. Функции напряжений. В случае отсутствия объемных сил и объемных
моментов уравнения равновесия (6.1) и (6.2) могут быть всегда удовлетворены,
если компоненты напряжений выразить через две функции Е (хъ х2) и V (хх, х2)
(функции напряжений) по формулам
- д2р д'~У
011 дл% дХ1 дх2 '
д-Е дгУ .
~ дх± дх2 дх% '
дУ .
^13 дх± ’
д-У , д>~Е 1
022 дхг дх2 1 дх{ ’
_ д~р д~У -
а21 дхх дх2 ’ дх'х 1 ’
дУ
И23
(6.16)
Дифференциальные уравнения, определяющие эти функции, могут быть
получены из уравнений совместности.
Подстановка равенств (6.16) в условия (6.12) и (6.13) приводит к уравнениям
(плоская деформация)
&ЛЕ (хъ х2) = 0; (6.17)
Л-(Г-РДГ)=— 2(1— у)/2^Д_д/7. 1
дхг дх* |
д д ( <618>
— (Г-РДУ)=2(1-^^ДГ. |
Дифференцируя первое уравнение (6.18) по хь а второе— по х2 и скла-
дывая, получаем
ду _ /2ДДу = о. (6,19)
Таким образом, в состоянии плоской деформации при отсутствии объемных
сил и объемных моментов функции Е, У должны быть решениями уравнений
(6.17) и (6.19) и связаны равенствами (6.18).
При плоском напряженном состоянии функции У и Е также определяются
уравнениями (6.17) и (6.19); при этом связь между ними устанавливается
соотношениями
_Ё_ (V - Р ДV) ==-----^4— Р ДГ;
дхг • 1-1- V дх2
дг) = т4— I- -4-
ОХ2 1 4- V 0X1
(6.20)
1.5. Граничные условия. В случае первой основной задачи граничные ус-
ловия имеют вид
оп соз (у, X!) + а21 соз (V, х2) = Д;
о>12 соз (V, хх) + о22 соз (V, х2) — /2;
М13 соз (V, X!) 4- р23 соз (V, х2) = тх,
где /Пу — момент, приходящийся на единицу площади, действующей на контуре
области.
3 Бойцов Г. В. и др.
65
„ ч оопотг «я иоитгпе области должны быть заданы
В случае второй основной задачи на конторе оолаии д
перемещения и„ иг и компонент вектора вращения «3 - 2 дХ1 дх2 ) '
1 в Полипные координаты. Напряжения в полярных координатах, выра-
женные ч^ТфуикцТг (г, Ф) >' Ч», определяются формулами
1 дЕ , 1 1 д2У +4- дУ .
°гг ~ г дг ' Г2 дф2 Г дг дф г2 Оф ‘
д^р 1 1 дУ
а<ГФ — дг2 1 г дгдф г2 д(р ,
1 д2Р 1 др _1 дУ 1 д2У
СгЧ> — г дг дф 1 Г2 дф г дг г2 дер2
1 д'Р 1 —+ д2У ,
г дгду 1 Г2 дф д^2 ’
ду . 1 ду
Угг дг ’ У(рг г д(р
Функции Г (г ср), Г (г, Ф) должны удовлетворять уравнениям (6.17) и (6.19),
/ Ч <92 ( ) . 1 д ( ) ,
в которых оператор у7 ( ) должен быть равен д ( ) —
дг2 ' г дг
_________'—, а связь между этими функциями устанавливается формула-
’ г2 дф2
д( )
ми (6.18) и (6.20), в которых производная должна быть заменена на
д( ) д( ) _ 1 д^1)
а производная на -----.
рвязь между напряжениями в полярных и декартовых координатах дастся
формулами:
Огг == огп С08“ ф + С>22 5П12 ф -ф- Т5 81П 2ф;
офф = о11 §1п2 ф 4- а22 соз2 ф — т$ 81п 2ф;
ОГф == ЛИ- 81П 2ф 4- О12 СО82 ф — СГ21 81П2 ф;
о -а. <622>
офГ = - 22 -—Ц— 81п 2<р — а12 51П2 <р + а21 соз2 ср;
Цгг = М13со5 Ф + Маз 81П ср;
Руг = —Рзз 5'п ф + р2з СО5 ф.
ГЛАВА 7. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Опыт показывает, что повреждения и разрушения конструкций судового
корпуса возникают и развиваются, как правило, в тех районах конструкции,
в которых имеются высокие местные напряжения. Местное повышение напря-
жений в инженерной практике принято называть концентрацией напряжений.
Концентрация напряжении возникает у вырезов, в местах изменения площади и
формы сечения элементов конструкции, т. е. в прерывистых связях причем за-
ст°ыГсТязеиИ МеСТН°Й нап₽яженности зависят от формы образования прерыви-
Концентрация напряжений — неизбежный спутник конструкции, и искус-
ство конструктора состоит в умении спроектировать ее с возможно минималь-
ными местными напряжениями.
Концентрация напряжений характеризуется коэффициентами концентра-
ции напряжений при типовых (условных) видах нагружения и деформации эле-
ментов конструкции. Коэффициентом концентрации напряжений называют от-
ношение местного напряжения к среднему или какому-либо другому харак-
терному для рассматриваемого случая деформирования напряжению, определяе-
мому на основе зависимостей сопротивления материалов. Местное напряжение,
как правило, рассчитывается при упругом деформировании элемента, однако
понятие коэффициента концентрации напряжений применяется и при неупругом
деформировании, и тогда, чтобы указать на «упругое» происхождение коэффи-
циента концентрации, его называют теоретическим.
С помощью данных о местных напряжениях, рассчитанных для поверхности
или контура элемента конструкции, можно определить условия возник!овения
повреждения. Для многих конструкций, однако, это событие еще не означает
выхода из строя, и конструкция может использоваться при условии, что повреж-
дение-трещина распространяется достаточно медленно, до тех пор, пока трещина
не разовьется до опасной, критической, длины (глубины). Критическая длина
трещины определяется возможностью внезапного разрушения конструкции,
}траты сю прочности в обычном понимании, водо- или газонепроницаемости,
экономическими или экологическими требованиями.
Для предсказания внезапного разрушения и скорости докритического роста
грещин в конструкции широко используется понятие коэффициента интенсив-
ности напряжений, служащего мерой напряженности материала у вершины
трещины. В отличие о г коэффициента концентрации напряжений коэффициент
интенсивности — размерная величина.
В настоящее время имеются решения, определяющие коэффициенты кон-
центрации напряжений для различных форм образования прерывистых связей
и при разных видах их деформации. Накоплена также обширная информация
о коэффициентах интенсивности напряжений для различных элементов с трещи-
нами также при разных видах деформации. Ниже приводятся результаты таких
решений, представляющие интерес для проектирования прерывистых связей
судового корпуса и расчетов долговечности на стадии инициирования и развития
повреждения.
§ 1. Основные определения. Коэффициент
концентрации напряжений. Основные виды деформации
пластин с отверстиями и коэффициенты концентрации
Для конструкций судового корпуса характерны пластинчатые элементы
(обшивки, настилы, стенки рамных связей и т. п.) с отверстиями, возле которых
возникают повышенные местные напряжения. Методы, с помощью которых
обычно рассчитывается напряженность элементов конструкции, позволяют опре-
делять только средние, номинальные напряжения, и поэтому для характеристики
местного увеличения напряжений возле вырезов, отверстий, изменений формы
сечения и размеров элементов используются коэффициенты концентрации напря-
жений. Обычно наибольшее значение придается максимальным коэффициентам
концентрации напряжений, т. е. максимальным значениям в зоне местного повы-
шения напряжений, отнесенным к номинальному, которое рассчитывается при-
нятыми методами для данной конструкции. Так как практические оценки осно-
ваны на сравнении максимальных коэффициентов концентрации и полная инфор-
мация о местном повышении напряжений используется редко, слово «максималь-
ный» в определении коэффициента концентрации напряжений отбрасывается
с сохранением, однако, физического содержания термина.
Напряженность элементов конструкции судна есть продукт деформирования
под действием различным образом приложенных усилий. Эю деформирование
в известных границах (т. е. в упругой стадии) может представляться как резуль-
тат одновременно осуществляющихся простых видов деформации с использова-
нием принципа линейной суперпозиции. Например, деформация пластины
бортовой обшивки происходит в результате
п глпичлнтя пьной плоскостях, под действием перерезывающих сил и скруч! а
ния Ра также поперечной нагрузки. .Методы строительной механики предусма-
тривают определение внешних усилий и напряженности для каждого вида де-
формации а их суммирование основывается на вероятностных свойствах внеш-
них воздействий. Эго обстоятельство требует определения концентрации напря-
жений в конкретном элементе для каждого возможного вида деформации эле-
мента и тогда максимальное суммарное напряжение может быть найдено с по-
мощью статистической динамики. Можно воспользоваться понятием коэффици-
ента концентрации, который приобретает более широкий смысл.
Средн возможных видов деформации пластинчатых элементов конструкции
выделим растяжение (сжатие) в одном или двух взаимно перпендикулярных
направлениях, чистый изгиб в плоскости элемента и чистый сдвиг в этой же пло-
скости, а также поперечный изгиб.
При растяжении (сжатии) пластины с отверстием коэффициент концен-
трации напряжений определяется отношением максимального нормального на-
пряжения в площадке, перпендикулярной к кромке отверстия, к номинальному
напряжению. Максимальное напряжение должно быть определено на кромке или
возможно ближе к ней; номинальное напряжение может определяться по-разному,
в зависимости от соотношения ширины отверстия и ширины пластины. Если
это соотношение не превышает 0,2, то различия в определении номинального
напряжения несущественны; если ширина отверстия более 0,2 ширины пла-
стины, то номинальное напряжение предпочтительно определять по ослаблен-
ному сечению, как это сделано в настоящем справочнике.
При изгибе в плоскости номинальное напряжение может быть найдено как
с учетом, так и без учета ослабления, вносимого отверстием. Если размеры пла-
стины значительно больше размеров отверстия, то номинальное напряжение
целесообразно определить для того же отстояния от оси изгиба, что и точки
на кромке отверстия, которой соответствует максимальное напряжение, а при-
сутствие отверстия при этом не учитывается. Для пластины конечной ширины
(высоты) в качестве номинальных напряжений можно принять напряжения у про-
дольных кромок, с учетом или без учета ослабления. Отсюда видно, что при поль-
зовании справочными материалами надо обращать внимание на указания к опре-
делению номинальных напряжений.
Коэффициент концентрации напряжений при сдвиге в плоскости представ-
ляет собой отношение максимального нормального напряжения на кромке от-
верстия к номинальному касательному напряжению, которое обычно рассчиты-
вается без учета ослабления пластины отверстием. Заметим, что согласно такому
определению одному и тому же максимальному напряжению при растяжении
и при сдвиге будут отвечать примерно в два раза различающиеся значения коэф-
фициентов концентрации напряжений.
Номинальное напряжение при изгибе пластины под действием поперечной
нагрузки рассчитывается для поверхностей пластины без учета ослабления при
малых размерах отверстия в сравнении с размерами пластины.
§ 2. Виды концентраторов и значение оценки
концентрации напряжений
Местное повышение напряжении происходит не только у отверстий, но и
} сварных соединений. Концентрация напряжений в этом случае существенно
зависит от вида соединения (стыковое, угловое и т. д.), от фор.мы поперечного
сечения наплавленного металла (валика), от формы и протяженности перехода
от наплавленного металла к основному.
Размеры и форма отверстий, вырезов, как правило, задаются при проекти-
ж»нпоетиКп^У^ИИ’ ПоЭтому количественная характеристика местной напря-
к-ниости для этой категории концентраторов дает полезную информацию при
гог’Г ТХнХ" КОНПСТРУКЦ"" ПОД ДеЙСТВнем «атических и п2рХшп7х на-
грхзок Точность определения концентрации напряжений следует связы-
вать с точностью изготовления деталей садового корпуса. Как ввдно ИЗ при-
водимых ниже материалов, небольшие изменения, например, радиуса скругления
угла прямоугольного выреза в пластине весьма существенно влияют на величину
коэффициента концентрации. Поэтому при ограничении техническими условиями
концентрации напряжений (деформаций) целесообразно предъявлять специальные
-требования к точности изготовления тех частей конструкции, форма которых
определяет величину местных напряжений.
Оценка напряженности участков сварных соединений в отличие от таковой
для проектируемых концентраторов может быть сделана только в среднем, для
осредненных форм поперечного сечения элементов. Существенно, что характе-
ристика местных напряжений у соединения имеет практический смысл только
в тех случаях, когда есть уверенность, что в соединении отсутствуют поверхност-
ные и внутренние дефекты. Если такой уверенности нет, сварные соединения
рассматриваются как имеющие трещинообразные дефекты, что позволяет для
оценки сопротивления соединений статическим и переменным нагружениям
использовать методы линейной механики разрушения.
Сравнительная оценка прочности элементов конструкции при статическом
и переменном нагружениях по коэффициентам концентрации напряжений есте-
ственна, когда в зонах действия повышенных напряжений трещины не допу-
скаются, т. е. проектирование ведется в рамках концепции «Эксплуатация без
повреждений». Если во время эксплуатации избежать повреждений не удается,
но требуется исключить возможность опасного состояния конструкции (принцип
«Безопасная эксплуатация»), информация о напряженности конструкции, полу-
чаемая расчетом коэффициентов концентрации напряжений, недостаточна, и
необходимо определять поле напряжений в области, где возможно распростране-
ние трещины. Следует заметить, что в этом случае необходимо знать также поле
остаточных напряжений в сварных конструкциях и учитывать его изменение
яри продвижении трещины.
§ 3. Концентрация напряжений у отверстий
в бесконечной пластине
Пластина считается бесконечной, если ее размеры значительно больше раз-
меров отверстия. Это утверждение практически справедливо, когда соотноше-
ние размеров порядка 10 и более.
3.1. Одноосное растяжение бесконечной пластины с отверстием. Коэффи-
циенты концентрации напряжений определяются по графикам на рис. 7.1 для
круглого, овального и прямоугольного вырезов [10].
Кроме того, для пластины с овальным отверстием коэффициенты концентра-
ции напряжений можно найти по приближенным формулам:
при / > Ь
= 1 + (1+ (Ь/Г)2 (0,39+ 0,61/М)); (7.1)
при /< Ь
К(= 1 + 1,6 (Ы1 + 0,4)2/3. (7.2)
Для расчета концентрации напряжений у пластины с прямоугольным отвер-
стием, углы которого скруглены по дуге окружности, могут использоваться
следующие приближенные зависимости [10]:
при г/Ь = 0,05
К/ = 1 + 3,16 (1 + 0,166 Ы1 — 0,041 (&/02); (7.3)
при г/Ь =0,10
К/ = 1 + 2,24 (1 + 0,2626// — 0,052 (б//)2); (7.4)
при г/Ь = 0,15
Кг = 1+ 1,83 (1 + 0,3306// — 0,048 (6//)2). (7.5)
Рис. 7.2
При эллпптическом отверстии коэффициент концентрации напряжений
К[ = 1 4- 2а/Ь, (7.6)
где а, Ь — полуоси эллипса.
3.2. Чистый изгиб бесконечной пластины с отверстием. Коэффициенты кон-
центрации у круглого, овального и прямоугольного со скругленными углами
отверстий определяются по графикам рис. 7.2 [1].
3.3. Чистый сдвиг бесконечной пластины с отверстием. Коэффициенты кон-
центрации напряжений при сдвиге бесконечной пластины с прямоугольным,
круглым или овальным отверстием определяются по графикам рис. 7.3 [10].
Кроме того, для пластины с овальным отверстием эти коэффициенты рассчи-
тываются по формуле
К1= 4+ 1,2 (Ы1- I)2/3, (7.7)
а при эллиптическом отверстии
= (а ~\~Ь)2/аЬ. (7 8)
3.4. Бесконечная пластина с рядом одинаковых круглых и квадратных от-
верстий. На рис. 7.4 приведены графики, по которым можно определить коэффи-
циенты концентрации напряжений при двух, трех и неограниченном числе (п =
= сю) одинаковых круглых и бесконечном числе квадратных отверстий в пла-
стине, растянутой вдоль линии их центров [10].
Кроме того, для расчета коэффициентов концентрации напряжений в пла-
стине, ослабленной круглыми отверстиями (г —а), можно воспользоваться сле-
дующими эмпирическими формулами [10]:
два отверстия, растяжение вдоль линии центров,
= 3,0 (с/а 4- 0,84)/(с/д 4~ 1,0); (7.9)
при растяжении поперек линии центров концентрация определяется для кромок
перемычки
К = 3,0 (1 4- 0,1 (с/а — 1)) (7.10)
при 1,0 > с/а > 0,05;
три отверстия, растяжение вдоль линии центров,
К/ = 3,0 (с/а 4- 0,64)/(1 4- с/а}\ (7.11)
при растяжении поперек линии центров для кромок перемычки
= 3,0 (1 4- 1,75 (с/а — 1)) (7.12)
при 1,0 > с/а 0,15.
Если число отверстий велико, то коэффициенты концентрации при растя-
жении вдоль линии центров рассчитываются по формуле
К/ = 3,0 (1 — 0,55/(1 4- с/д)), если с/а < 2,5,
(7.13)
К/ = 3,0 (1 — 0,55/(1 4- с/а 4- 1,37 (с/а — 2,5)), если с/а > 2,5. (7.14)
3.5. Бесконечная пластина с рядом одинаковых круглых отверстий при
сдвиге. При чистом сдвиге пластины с рядом одинаковых круглых отверстий
концентрация напряжений рассчитывается по формулам [10]:
при с а > 1 (а — диаметр отверстий, с — расстояние между их смежными
кромками)
К/= 4,0 (1,0 4-2,0/(с/«4- I)2); (745)
при с/а < 1
К, = 4,0 (1 4- 2/(с а 4- I)2 4- 5,94 (1 — с а)2. (1 4~ с/а)2. (7.16)
Рис. 7.3
§ 4. Концентрация напряжений у отверстия
в полубесконечной пластине. Круглое отверстие
Коэффициенты концентрации напряжений в полубесконечной пластине
у круглого отверстия можно определить по графикам на рис. 7.5 для трех уча-
стков пластины: для точки на свободной кромке пластины А вблизи отверстия
и точек В и С на контуре отверстия, максимально и минимально удаленных
от свободной кромки пластины. Данные рис. 7.5 показывают, что свободная
кромка пластины по мере приближения к ней отверстия разгружается, в то время
как на кромках отверстия напряжения растут, что обусловлено изгибом участка
пластины между отверстием и свободной кромкой.
§ 5. Концентрация напряжений у отверстий
в пластине конечной ширины
5.1. Отверстие в растянутой пластине конечной ширины. Концентрация
напряжений в пластине конечной ширины у прямоугольного и круглого отвер-
стии при растяжении пластины может быть определена по графикам рис. 7.6—
7.8 [10], на которых В —- ширина пластины. Коэффициенты концентрации в при-
веденных данных определены как отношение максимальных напряжений на кон-
туре отверстия у начала скругления угла от продольной кромки к средним на-
пряжениям в ослабленном сечении.
5.2. Ряд одинаковых квадратных отверстий в растянутой пластине конечной
ширины. Для расчета концентрации напряжений возле углов регулярных оди-
наковых, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга квадратных
отверстий используются данные рис. 7.9, при условии, что относительные радиусы
скругления углов отверстий не выходят за пределы 0,05 < г!Ь < 0,15. Коэффп-
циент концентрации напряжении дг следует определить для соответствующих
значений г/Ь, I Ь и Ь!В согласно п. 7.5.1 как для единичного отверстия в пластине
конечной ширины. По графикам рис. 7.9 можно также определить концентрацию
74
Рис. 7.6
напряжений у регулярных отверстий в бесконечной пластине при растяжении
ее вдоль линии отверстий. Коэффициент концентрации этом случае нахо-
дится как для бесконечной пластины с соответствующим отверстием.
С небольшой погрешностью (около 5 %) в безопасную сторону в отношении
концентрации напряжений расстояние, на котором прекращается взаимное влия-
ние регулярных отверстий, можно определить по формуле
с,'Ь > 4,5 (1 — (Ь В)0,65) (6//)0’40
(7-17)
при О с Ь/В < 0,7 [10].
§ 6. Подкрепление пластины у отверстий.
Круглое отверстие
Подкрепление пластины у отверстий, т. е. утолщение пластины вокруг
отверстия, устройство окантовок отверстия, преследуют цель двоякую: снизить
концентрацию напряжений благодаря местному увеличению площади попереч-
ного сечения и (или) добиться сохранения требуемого уровня номинальной на-
пряженности конструкции с отверстием. В последнем случае говорят о компен-
сации отверстий. В некоторых конструкциях функциональные элементы обеспе-
чивают в определенной мере как снижение концентрации напряжений, так и
компенсацию потерянной площади. Поскольку повышенные напряжения возни-
кают лишь на части контура отверстия, естественно для снижения концентрации
напряжений увеличивать толщину только части пластины; понятно, что при этом
компенсации не достигается. Местное утолщение, однако, не может быть непре-
рывным продолжением пластины, поэтому в зоне изменения толщины могут
появиться дополнительные повышенные напряжения.
При подкреплении бесконечной растянутой в одном направлении пластины
с круглым отверстием концентрация напряжений находится по графикам
рис. 7.10, где /</1) — коэффициент концентрации для точки /, расположенной
на внутренней поверхности подкрепляющего кольца, а К1~ —для точки 2,
относящейся к соединению кольца и пластины.
Рис. 7.10
§ 7. Коэффициент интенсивности напряжений
Понятие коэффициента интенсивности напряжений введено в механику де-
формируемых тел для характеристики напряженности линейно-деформируемого
материала у вершины трещины. Анализ условий внезапных разрушений материа-
лов и конструкции показал, что во многих случаях, имеющих важное практиче-
ское значение, разрушение происходит, когда коэффициент интенсивности на-
пряжений достигает определенной, критической величины, специфической для-
каждого материала. Скорость распространения трещин усталости в элементах
конструкций также зависит, главным образом, от величины коэффициента интен-
сивности напряжений.
Вытекающая из сказанного практическая важность рассматриваемой ф! зи-
ческой величины делает целесообразным обзор решений для пластин с трещинами
при разных видах деформации и расположениях трещин.
7.1. Определение понятия коэффициента интенсивности напряжений. Рас-
смотрим бесконечную пластину, растянутую равномерно распределенными уси-
лиями ст в двух направлениях, с трещиной, расположенной перпендикулярно
к направлению одной из групп усилий. В результате такого нагружения трещина
раскроется; получающуюся форму смещения поверхностей трещины называют
модой I. Согласно опыту при ограниченном пластическом деформировании ма-
териала у вершины трещины мода I оказывается превалирующей, поэтому в даль-
нейшем рассматривается процедура определения коэффициента интенсивности
напряжении Кт, где I есть признак моды.
Напряженное состояние пластины с трещиной можно найти как решение
плоской задачи теории упругости (на поверхностях пластины — плоское напря-
женное состояние, а на некотором углублении — плоская деформация). Мо-
дель такой задачи — бпгармоническое уравнение
72У2/? (х, у) = 0 (7.18)
и соответствующие граничные условия. Функция напряжений Р (х, у) для пла-
стины с трещиной согласно Вестергорду [24] может быть принята в следующем
виде:
Р (г) = Ке {2 (г)} + У 1т (2 (7)}, (7.19)
где 7 = х + 1у, а комплексные потенциалы 2, 2 и 2 обладают следующим
свойством:
г = -^-7-, -д—г; г' = -4-г. (7.20)
дг дг дг
Компоненты напряженного состояния определяются зависимостями
&Р . _ д-р д-р
~~ ду- ’ дх- ’ ^ху дхду
Подстановка (7.19) в (7.21) с учетом (7.20) дает
ах = Ке 2 — у 1т 2'; '
ву = Ке 2 -]- у 1т 2'; .
^ху = — У Не 2'.
Граничные условия ох (оо, у) = о, о у (х, сю) = о при таком выборе функции
напряжений (7.19) удовлетворяются, как и условия на контуре трещины,
(5У {—а С х < а, 0) = 0;
тх^ (—а < х < а, 0) = 0.
Подходящее решение, отвечающее условию неограниченного возрастания
напряжения (Уу у вершины трещины, можно получить, если принять
(7-23)
где а — половина длины трещины (в связи с симметрией задачи).
Рассматривая область непосредственно перед кончиком трещины, при малых
значениях г (см. рис. 7.11) можно приближенно принять 2 « а, г-}-а^2а.
Обозначим г— а= г* =г ехр 10, что равносильно переносу начала координат
в вершину трещины. Тогда из (7.23) следует
2 = о Vа ехр (—1*0/2) (2г)^2; (7-24)
2' = -а /а ехр (—3/0 2)/(2/)1/2. (7.25)
Подставляя
(7.24) и (7.25) в (7.22) и учитывая, что у — г
о 1 а 0 /, 0 30 \ )
12г 2 V 2 2 /
а ] а 0 / . О . 30 \ ।
(1+5Ш — ып—); I
$1п 0,
получаем
(7-26)
127 2 2
Из формул (7.26) видно, что напряжения пропорциональны постоянной для
данной задачи величине о К а и обратно пропорциональны К г. Постоянная
(при о= 1‘дет и а — 1‘бет) названа Ирвином коэффициентом интенсивности
напряжений: о I ла = К\. Используя это обозначение, выражения для
напряжении можем записать в виде
= (Л1/(2лг)1 2) [г (0); }
= (Л'г (2 лл)(0);
=(Л'1,(2.1г)1/2)/я(0).
(7.27)
Формулы (7.27) охватывают только так называемые сингулярные члены,
пропорциональные 1 Уг. При учете несингулярных членов, не создающих осо-
бого поля напряжений у вершины трещины, уравнения (7.27) записываются
в виде
а,7 = С, (г/аГ1/2 Л ц (6) + С. (г/а)° И ц (6) + С3 (г/а)'12/3 (0) + . . .,
однако по мере приближения к вершине трещины первый член в этих зависимо-
стях оказывается превалирующим. Поскольку условия разрушения материала
у вершины трещины зависят именно от местной напряженности, обычно для опре-
деления напряжений используются формулы (7.27).
I Сходным образом определяются напряжения вблизи носка трещины при дру-
гих видах смещения ее поверхностей, модах II и III, причем аналогичным обра-
зом вводятся коэффициенты интенсивности напряжений, соответствующие этим
В линейной постановке при реализации всех мод смещения
модам, —/Сц и Дш
краев трещины напряжения полу-
чают суммированием [5, 23]:
Рис. 7.11
О'/у = (2лг) 1/Г“ (^1/1 (®) 4“
+ Кп(п О' (е) + А’ш/ш о ($))-
При линейном подходе к решению
задачи необходимо учитывать следу-
ющие положения:
добавление к полю напряжений
вида (7.27) поля, не содержащего осо-
бенности 1/Кг у вершины трещины»
не изменяет величины коэффициента
интенсивности напряжений;
если совмещаемые поля вносят
вклад в коэффициент интенсивности,
результирующее значение /< можно
найти суммированием величин, полу-
ченных в результате независимого
рассмотрения действия полей напря-
жений;
если область с трещиной подвер-
гается действию различных нагрузок
и функции 2 в (7.19) известны для каждого вида нагрузки, эти функции можно
суммировать и по результату определить напряжения и перемещения.
Эти положения широко используются при отыскании значений коэффициен-
тов интенсивности напряжений в практических задачах. Например, в задаче
о растяжении пластины с трещиной возможно добавление фиктивных взаимно
уравновешенных усилий, приложенных к поверхностям трещины, одни из ю-
торых способствуют ее раскрытию, а другие — смыканию. Тогда исходная за-
дача может быть заменена двумя вспомогательными, одна из которых — задача
о растяжении пластины с сомкнутой трещиной, т. е. без трещины, а вторая —
задача о напряженности пластины с трещиной, к поверхностям которой при-
ложены раскрывающие усилия. Сингулярная часть решения, определяющая К\,
находится из второй задачи; способ ее решения рассмотрен ниже (см. п. 7.8 8).
Решение плоской задачи дает возможность также получить перемещения
в окрестности вершины трещины. В случае плоской деформации перемещения,
выраженные в форме зависимости от коэффициента интенсивности напряжений
(мода I), записываются в виде
и = 1 (г/2л)1/2С08 —
V = К1(Г~1 (Г/2Л)1- 2 31П —|—
= О,
. , е
е
С0$ 2
(7.28)
при этом О2 = (Ох4- тЛ2= Ту2= 0.
При плоском напряженном состоянии в формулах (7.28) коэффициент по-
перечной деформации следует заменить величиной |л/(1 10; кроме того, ог = 0,
С = Е 2 (1 4- р.). Следует иметь в виду, что замечания о виде напряженного со-
стояния относятся к малой области перед вершиной трещины, что особенно су-
щественно при возникновении пластических деформаций в этой зоне. Например,
при плоском напряженном состоянии пластинчатого элемента с трещиной в целом
в области перед ее вершиной при определенных условиях возможно осуществле-
ние плоской деформации. Однако возможная ошибка в вычислении коэффициента
интенсивности напряжений по известным компонентам перемещения согласно
(7.28) в зависимости от принятого вида напряженного состояния невелика и не
превышает 5 %.
7.2. Общие приемы определения коэффициентов интенсивности напряжений.
Как следует из формул (7.27), коэффициент интенсивности напряжений при
заданной внешней нагрузке и размерах трещины может быть найден, если из-
вестны напряжения в произвольной точке тела на малом расстоянии г перед
фронтом трещины. Решение задачи существенно упрощается, если заранее можно
указать траекторию трещины для точек, лежащих на линии дальнейшего про-
движения трещины 0 = 0, Д (6) = 1, /2 ($) — 1» /з (®) == Следовательно, до-
статочно знать напряжения Оу (г, 0) или, вообще, значения наибольшего глав-
ного напряжения в площадках, совпадающих с ожидаемой траекторией тре-
щины. Так как при этом отбрасываются несингулярные члены в формулах, опре-
деляющих напряжения, очевидно, что коэффициент интенсивности рассчиты-
вается тем точнее, чем ближе к вершине трещины определено напряжение о^.
Однако практически можно находить напряжения на некотором отстоянии от
вершины трещины в связи с особым характером напряженности рассматриваемой
области. Поэтому общий прием определения заключается в расчете напря-
жений Оу в нескольких точках перед трещиной по ее траектории, вычислении
(2лггУ 2, где г- — расстояния точек I от кончика трещины, и экстра-
поляции найденных значений к г—> 0.
В случае расчета К\ для симметричных относительно трещины деформиру-
ющихся объектов траектория трещины определяется ее продолжением по оси
симметрии. В произвольной ситуации можно руководствоваться правилом,
согласно которому траектория трещины проходит по площадкам наибольшего
главного напряжения перед вершиной трещины. Как следует из сказанного, для
8а
х
Рис. 7.12
6 у (9=0)
оасчета К< может использоваться любой
метод определения напряженного со-
стояния тела с трещиной: эксперимен-
тальный (метод фотоупругости, опти-
чески активных покрытий, метод муара,
накатанных сеток, калиброванных хруп-
ких покрытий, электротензометрип
и т. д ), теоретический (метод сеток,
конечных элементов, граничных инте-
гральных уравнений).
Другой прием расчета коэффициен-
тов интенсивности напряжении основы-
вается на использовании зависимостей
перемещений точек поверхностей тре-
щины от коэффициента интенсивности
(7.28). Для нахождения /Ст требуется
расчетом или экспериментально опре-
делить перемещения при 0 = л.
Распространен метод расчета коэф-
фициента интенсивности напряжений по
величине уменьшения упругой энергии деформации объекта с трещиной при
ее продвижении. Эта величина определяется следующим образом. Пусть имеется
бесконечная пластинка с центральной сквозной трещиной, раскрывающейся
под действием внешних усилий (рис. 7.12). Для определенности принимается,
что приращение длины трещины не сопровождается смещением участков пла-
стины, к которым приложены усилия. Так может быть при испытаниях образца
в испытательной машине, когда при достижении заданного смещения захватов
их положение фиксируется.
Для того чтобы воспрепятствовать продвижению трещины на ба, сомкнуть
ее на этом удлинении, требуется приложить к ее поверхностям усилия, соответ-
ствующие исходной эпюре напряжений, и сместить эти поверхности согласно
перемещениям V при продвижении трещины на бп. Результирующая работа
(по смыслу ситуации с продвигающейся трещиной — уменьшение потенциальной
энергии пластинки на единицу толщины) есть
да
ОуУс1г.
о
(7.29)
Если уменьшение энергии на единицу длины вновь образующейся части трещины
обозначить О* — —ЫМа и ----
для напряжения оу (7.27) и
подставить в (7.29) соответствующие выражения
перемещения V (7.28), то
О
(7.30)
а при плоской деформации и
при плоском напряженном состоянии
О' = К.ЦЕ,
(7.31)
Зависимости (7.30) и (7.31) справедливы также, если трещина продвигается
при постоянной нагрузке. В этом случае изменение энергии деформации удобно
особенно при обработке результатов испытаний небольших образцов находить
по приращению перемещений точек приложения внешних усилий
6* = -ЫЛЬа = -0,5 Р1 6^/Ьа,
(
ГАе усилия; ~ соответствующие им приращения перемещений,
участка объекта пепеаН?Лиза напРяженно-деформированного состояния
ич 0 пеРеД вершиной трещины и весьма просто позволяет находить
ко^иаденты интенсивности напряжений, одиако с Увеличениемразмеров X
екта установить смещения 6ДД-, происходящие в результате подрастания тре-
щины, становится практически невозможным. Поэтому в общем случае «энерге-
тический» подход также базируется на последовательном определении напря-
женно-деформированного состояния области перед вершиной трещины.
В ряде задач удается с успехом определять прибегая к замене основной
задачи вспомогательными на основании принципа линейной суперпозиции, как
указано в п. 7.7.1.
Приведенный краткий перечень методов расчета коэффициентов интенсив-
ности напряжений охватывает наиболее простые приемы и ориентирован на
применение в инженерной практике. Заметим, однако, что, несмотря на прин-
ципиальную простоту рассмотренных методов, процедура нахождения коэффици-
ентов интенсивности номере продвижения трещины в целом довольно сложна,
так как для этого требуется многократное решение соответствующей задачи
теории упругости.
В практических задачах часто бывает достаточно воспользоваться готовыми
решениями (пластины, полосы, стандартные образцы с трещинами, пластины
с отверстием, на кромках которого возникают трещины и т. д.). Ниже приведена
сводка таких примеров.
§ 8. Коэффициенты интенсивности напряжений
в простейших задачах
8.1. Полубесконечная пластина с трещиной на свободной кромке, растяги-
ваемая вдоль кромки. Коэффициент интенсивности напряжений рассчитывается
как для бесконечной пластины с центральной сквозной трещиной (см. п. 7 7.1)
и дополняется поправкой Ирвина, учитывающей, что свободная кромка, о г ко-
торой развивается трещина, не загружена [9]:
К, = 1,122а/лГ. (7.32)
8.2. Пластина конечной ширины (полоса) с центральной сквозной трещиной,
растягиваемая равномерно распределенными усилиями. Коэффициент интенсив-
ности напряжений вычисляется по формуле
К1 = а 1 'ла Г (а Ь), (7.33)
где а — половина длины трещины; Ь — полуширина пластины.
Значения поправки для учета конечности ширины пластины Р (а/Ь) можно
определить по эмпирической формуле (231
Е (а'Ь) = (1 — 0,025 (а;6)2 + 0,060 (а/*)4) (зес (ла/26))|/2. (7.34)
Точность определения Е (а/Ь) по формуле (7.34) — 0,1 °о при любых а!Ь. Раскры-
тие трещины вдоль оси полосы
6 = 4оаГ (а Ь)/Е; (7.35)
V (а/Ь) = —0,071 — 0.535 (а'Ь) ф- 0,169 (а'Ь)1 4- 0,020 (а'Ь)3 —
— 1,071 (1п (1 — а/Ь))/(а/Ь). (7.36)
8.3. Полоса с боковыми симметричными трещинами. Коэффициент интенсив-
ности вычисляется по формуле (7.33), а значения поправки Р (а Ь) рассчитываются
по эмпирической зависимости [23]
Е (о Ь) = (1 + 0,122 соз1 (ла 26)) ((26 ла) (ла 26))1/2. (7.37)
Точность определения Р (а Ь) — 0,5 °о при любых а Ь. Раскрытие трещины,
измеряемое на кромке полосы, рассчитывается по формуле (7.35), в которой
V (а/Ь) = (2Ь/па) (0,159 $1п (ла/2Ь) — 0,065 81П3 (ла 2Ь) —
— 0,007 8н15 (ла 2Ь) -ф- сЬ"1 (зес (ла/2Ь)). (7.38)
8.4. Растягиваемая полоса с трещиной на одной продольной кромке. [Коэф-
фициенты интенсивности напряжений рассчитываются, как и выше, по формуле
(7.33), причем величина Р (а/Ь) определяется по зависимости [23]
I Е (а/Ь) = [0,752 + 2,020 (а/Ь) + 0,370 (1 — 8Ш (ла/2Ь))3] X
х ((26/ла) <е (яо/2*))1 2 /«* (ла/26).
(7.39)
Раскрытие трещины, измеряемое по боковой кромке полосы, определяется за»
внешностью (7.35), в которой
Г (а/Ь) = [ !>46 4- 3,42 (1 — соз (ла/2Ь))]/соз~ (ла/2Ь). (7.40)
В формулах (7.39) и (7.40) а — длина трещины, Ь — ширина полосы ио —
номинальное напряжение вдали от трещины.
8.5. Полоса с трещиной на растянутой кромке при чистом изгибе. Коэффи-
циенты интенсивности напряжений вычисляются по формуле (7.33), а поправка
Р (а/Ь) рассчитывается по формуле [23]
Т7 (а/Ь) — [0,923 ф- 0,199 (1—81п (ла/2Ь))4] ((2Ь ла) 1$ (лц/25))1/2/С08 (ла/2Ь). (7.41)
Раскрытие трещины, измеренное по боковой кромке полосы, определяется фор-
мулой (7.35), в которой принимается
V (а Ь) = 0,80 — 1,70а/Ь ф- 2,40 (а/Ь)2 ф- 0,66 (1 — а/Ь)2. (7.42)
Обозначения такие же, как в п. 7.84.
8.6. Полоса с односторонней трещиной, изгибаемая сосредоточенной силой.
Схема полосы и нагружения показана на рис. 7.13. По такой схеме проводятся
стандартные испытания, когда требуется исследовать рост трещин усталости на
воздухе и в различных средах, установить критическое значение и т. п Коэф-
фициент интенсивности напряжений вычисляется по формуле [23]
К? = а Ула Р (а/Ь); о — 5М/Ь2/ — 1,5Рз/Ь2/.
Поправка Р (а/Ь) рассчитывается по формулам:
при $/Ь — 4
(7.43)
Р(а.Ь) = 1,09- 1,735а/Ь + 8,20 (а/Ь)2 — 14,18 (а, Ь)3 + 14,57 (а Ь)4; (7.44)
при $/Ь = 8
Р (а/Ь)= 1,107 —2,12а/Ь-\-7,71 (а/Ь)2 — 13,55 (а/Ь)3 + 14,25 (а. Ь)*. (7.45)
Раскрытие трещины рассчитывается по формуле (7.35), где
V (а/Ь) = 0,76 - 2,23а/Ь ф- 3,87 (а,Ь)2 — 2,04 (а/Ь)3 + 0,66/(1 — а/Ь)2. (7.46)
8.7. Стандартный компактный образец для испытаний на растяжение. Схема
образца изображена на рис. 7.14. Соотношения размеров образца: Ь = 0,65;
= 0,2755; 0,255; с — 0,255; толщина выбирается в соответствии с зада-
чами исследования. Образцы такого типа широко используются для исследований
Рис. 7.13
Рис. 7.14
закономерностей роста трещин усталости,
для определения критического значения
коэффициента интенсивности напряжений
и пр. [23]. Коэффициент интенсивности
напряжений для компактного образца |
= Р (а/Ь); о = Р/Ы. (7.47)
Значения Р (а/Ь) находятся по формуле
Р (а. Ь) =29,6— 185,5а//? 4" 1
4-655,7(а//>)2 — 1017 (а/Ь)* 638,9 (а/Ь)У
(7.48)
Перемещение, соответствующее раскрытию
трещины на боковой поверхности образца,
вычисляется по формуле
б = РУ (а/Ь)/Е,
Рис. 7.15
где
V (а/Ь) = (11,85+ 14,08 (а/& — 0,25) — 16,60 (а/Ь — 0,25)'-52 +
+ 34,10 (а/Ь — 0,45)2,36 )/1 - а/Ь)*
при 0,3 С а/Ь < 0,7.
8.8. Пластина под действием усилий, приложенных к поверхностям трещины.
Поле напряжений в бесконечной пластине с центральной сквозной трещиной,
к поверхностям которой приложены симметрично распределенные нормальные
усилия о (рис. 7.15), может быть найдено, если воспользоваться функцией
(а \ I
]' (а (|) (<Р - ^),/2/(г-В)) (я (гг _ а’-)),
—а /1
(7-49)
подстановка которой в уравнение (7.19) и определение компонент напряжений
позволяет перейти к коэффициенту интенсивности напряжений [14]
ла .
(7.50)
Эта формула используется, когда известен, задан функциональной зависимостью
закон распределения напряжений вдоль трещины, о = о 0 < % < а. Если
распределение «раздирающих» напряжений вдоль трещины симметрично отно-
сительно оси ОУ и имеет ступенчатый характер, каким оно получается, напри-
мер, при решении задачи методом конечных элементов, то коэффициент интен-
сивности [18]
= а]Лла — (а//о) (агсз’т (Ь;+1/а) — агсз’ш (Ь^/а)), (7.51)
где о — номинальное напряжение; О; — напряжение, рассчитанное для гго
участка вдоль контура трещины; Ь[ — протяженность гго участка контура тре-
щины (длина стороны конечного элемента).
8.9. Трещины у круглого отверстия в бесконечной пластине. Коэффициенты
интенсивности напряжений для трещин, возникших у круглого отверстия в бес-
конечной пластине, растягиваемой в одном или двух взаимно перпендикулярных
направлениях, можно найти по формуле
/<1 = оУ а2 Р (ах/Я> а2/Р, X),
(7.52)
Рис. 7.16
где У7 (671//?, о2/Р, Л) — поправка, определяемая по графикам рис. 7.16 (20];
аь °2 — протяженность участков трещины по обе стороны отверстия; К — соот-
ношение растягивающих напряжений; /? — радиус отверстия.
8.10. Влияние формы фронта поверхностных трещин. Во всех рассматри-
вавшихся выше примерах имелось в виду развитие сквозных трещин от свободной
кромки или из центра пластины, причем фронт трещины считался перпендику-
лярным к боковым поверхностям пластины. Часто, в особенности у сварных со-
единений, трещины появляются на поверхности пластины у основания сварного
шва. Согласно опыту для таких трещин фронт при их подрастании можно пола-
гать полуэллиптическпм, причем малой полуоси отвечает углубление, а боль-
шой— развитие трещины на поверхности пластины (рис. 7.17).
Значения коэффициентов интенсивности напряжений для любой точки
фронта трещины, положение которой характеризуется углом <р, рассчитываются
по формуле [5]
= 1,122а Упа (зт2 <р + (а/с)2 соз- ср)1/4/Ф (а/с),
(7.53)
Рис. 7.17
где Ф (а/с) = 1,178+ 0,392 (а/с).
8.11. Поверхностная трещина в
тонкой пластине. Для поверхностных
трещин в тонких пластинах, когда
о7>> 0, Ь — толщина пластины, не-
обходимо учесть перераспределение
напряжений по мере приближения
трещины к противоположной поверх-
ности. Вводится поправка Р (а! 2с, а 'Ь),
которая позволяет учесть этот эф-
фект [19]. Значения поправки для
трещин разных пропорций находятся
по графикам рис. 7.18. В результате
коэффициенты интенсивности напря-
жений для поверхностной трещины
иолуэллнптической формы в тонкой
пластине рассчитываются по формуле
Ал = 1.122о Vпа Р (<р) р (а/2 у,
[а/Ь^а/с), (7.54)
где Р (<р) = (з1п2 (р + (а/с)2 соз2 ф),/4.
§ 9. Учет влияния пластической деформации
у вершины трещины при расчетах коэффициентов
интенсивности напряжений
У вершины трещины при г—> 0 согласно (7.27) напряжения неограниченно
возрастают, создавая неопределенно высокую концентрацию даже при умеренной
номинальной напряженности рассматриваемого элемента конструкции. Однако
реальные судокорпусные металлические материалы в этих условиях деформи-
руются пластически, а форма и размеры пластической зоны зависят, в первую
очередь, от характера напряженного состояния перед вершиной трещины.
Появление пластической зоны в принципе изменяет характер напряжений
у кончика трещины и делает неприемлемым описание его с помощью коэффи-
циента интенсивности напряжений, т. е. зависимостей линейной теории упру-
гости. Однако при небольших размерах зоны по отношению к длине трещины
искажения напряженного состояния заметны только в малой области, что позво-
ляет для описания напряженности остального упруго-деформируемого материала
перед вершиной трещины воспользоваться понятием коэффициента интенсивности
напряжений. Присутствие пластической зоны обычно учитывается введением,
эффективной длины трещины при вычислении равной
Л? = а +
1де протяженность пластической зоны перед вершиной трещины гр при плоско:,
напряженном состоянии и для диаграммы растяжения без упрочнения равна
приближенно [5, 9, 12]
гр = Л2/2ло2 = о2а/2о2; (7.55)'
от — предел текучести материала.
Воспользовавшись эффективной длиной трещины, определим коэффициент
интенсивности напряжении для бесконечной пластины с центральной сквозноГ-
трещииой
К1 = а |/ лае = 0 /я Iй + гр) = 0 V (14- 0,5а2/о2)1/2 = а I ла Л1р> (7.56:
-где Мр — (1 + О.бо/сг)1 2—поправка на величину пластической зоны. При
плоской деформации эта поправка меньше
Мр = (1 + 0,167<т2/а2)1/2.
(7.57)
Циклическое нагружение приводит к уменьшению пластической области
для циклически стабильных и циклически упрочняющихся материалов и в этом
случае поправка [22]
= (1 4- 0,08о2/о2)1/2. (7.58)
Влияние пластической деформации при определении коэффициентов интен-
сивности напряжений можно учесть при помощи трещины эффективной глубины ае
в формулах (7.53) и (7.54). Для удобства расчетов вводится величина [19]
<2 — (ф2 __ ОД^о'^о2)1'2,
и коэффициенты интенсивности вычисляются по формуле
/<1 = 1,122а Vла /(2 (81П2 <р (а2/с2) соз2 <р)1/4. (7-59)
тшчеиия <2 Для разных отношений о/ат определяются по графикам
Влияние конечности толщины пластины, как и в п. 7.8.11, отражается
поправкой Г (а!2с, а/Ь), значения которой находят по графикам рис. 7.18.
ГЛАВА 8.
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
| При изучении теории упругости предполагалась справедливость закона Гук?,
т. е. наличие линейной зависимости между компонентами деформаций и напря-
жений. ПреДхЮлагалось, что материал обладает свойством идеальной упругости.
После удаления внешних нагрузок изготовленная из такого материала конструк-
ция вновь восстанавливает ту форму, которая она имела до нагружения.
Использование свойства идеальной упругости материала вносит значитель-
ное упрощение, а для многих важных зацач позволяет получить результат, вполне
достоверно оценивающий работоспособность конструкций. К сожалению, боль-
шинство строительных материалов, начиная с некоторого значения напряжений,,
получает остаточные (пластические) деформации.
Реальные конструкционные материалы с достаточной для практики точ-
ностью можно считать упругими лишь до некоторого уровня напряжений, выше
которого будут возникать остаточные (пластические) деформации, которые не
исчезают после снятия напряжений. Способность твердых тел получать остаточ-
ные деформации под действием приложенных к ним сил называется пластич-
ностью. В теории пластичности принято допущение, что пластические деформации
не зависят от времени.
Для современных судовых конструкций остро стоит проблема уменьшения
веса. И одним из путей уменьшения веса конструкций является повышение
удельных нагрузок при допущении в конструкции упругопластнческих деформа-
ций. Даже при упругой работе материала наличие упругопластического расчета
необходимо для правильного суждения о действительных запасах прочности
в исследуемой конструкции.
Все исследования по пластичности материалов можно разбить на два напра-
вления. Первое — физическое—пытается объяснить природу пластических
деформаций с позиций молекулярного, кристаллического, микроскопического
анализа за поведением материала. Второе направление — математическое
основывается на феноменологических теориях и позволяет получить хорошее
приближение к результатам макроскопических экспериментов по пластическому
деформированию материалов. Естественно, что нельзя говорить о резком разде-
лении этих двух направлений: многие из основных положений математической,
теории пластичности, изложение которой дастся ниже, основаны на результатах
исследований физического направления.
В свою очередь, математическая теория пластичности состоит из двух раз-
делов. Первый из них предполагает наличие больших пластических деформаций,
материала, что характерно для целого ряда важных технологических операций
таких как ковка, штамповка, прокат листового и профильного материалов. При
этом упругой составляющей деформации можно пренебречь.
Второй раздел теории пластичности связан с описанием явлений, при кото-
рых упругая и пластическая составляющие деформации являются величинами
одного порядка. В дальнейшем наше основное внимание будет сосредоточено
на изложении второго раздела теории пластичности, поскольку при расчете судо-
вых конструкций наибольший интерес представляет область сравнительно малых
пластических деформаций.
История пластичности как науки начинается с опубликования в 1864 г.
X. Треска экспериментов по пластическому течению металлов с формулировкой
знаменитого критерия пластического течения. Несколько позднее, основываясь
на экспериментальных результатах X. Треска, Б. Сен-Венан и М. Леви раз-
работали основы современной теории пластичности; затем в начале XX столетня
Р. Мизесом, А. Ыадаи, Г. Генки, А. Рейсом, В. Прагером и другими исследо-
вателями был предложен еще ряд теорий пластичности, некоторые из кото-
рых широко используются и в наши дни.
Долгое время не было полной ясности в отношении области использование
той или иной теории пластичности. Такая ясность была внесена А. А. Ильюши-
ным [2], который указал на необходимость строгого различия процессов де
формирования (простое и сложное нагружения). При этом выяснилось, что вс<.
опыты по пластическому течению материалов в условиях простого нагружения
дают один и тот же результат.
С современным состоянием теории п
монографиям А А. Ильюшина [2], Л. М.
В. Ольшака и др. ПО].
ластичности можно ознакомиться по
Качанова [3], И. Н. Малинина [7],
§ 1 Механические свойства материалов при одноосном
напряженном состоянии
1 1 Одноосное растяжение образца. Расчеты за пределом упругости осно-
вываются на экспериментальном исследовании механических свойств материалов
при одноосном растяжении призматического образца (рис. 8.1). Результаты
исследований представляют в виде графика (см. рис. 8.2):
Р А/
е = —; (8.1)
здесь Р — сила растяжения; /—длина образца; А/—удлинение образца;
— первоначальная площадь поперечного сечения.
Зависимость (8.1) не учитывает изменения площади сечения образца в про-
цессе его растяжения и предполагает равномерное деформирование образца
по всей его длине. Поэтому диаграмма, построенная на основе зависимости (8.1),
называется условной диаграммой растяжения (рис. 8.2).
Вначале, при малых нагрузках, связь между напряжением и деформацией
оказывается строго линейной вплоть до точки А, которая определяет предел
пропорциональности материала оиР. Именно в этой области справедливы закон
Гука и основанная на его использовании линейная теория упругости.
При дальнейшем росте нагрузки связь между сие перестает быть линейной,
хотя вплоть до точки В материал остается еще упругим. Точкой В определяется
предел упругости (иногда его называют пределом текучести материала от).
Для большинства строительных материалов разница между пределом про-
порциональности и пределом упругости пренебрежимо мала.
Дальнейшее изменение нагрузки сопровождается ростом деформации образца.
В точке О нагрузка достигает своего максимального значения. Напряжение,
соответствующее точке П, называется пределом прочности или временным сопро-
тивлением. Начиная с этого момента, деформирование образца сопровождается
образованием «шейки» (резкого уменьшения площади поперечного сечения)
в середине его длины. Этот процесс заканчивается в точке Е разрушением образца.
Образование шейки вызывает возникновение объемного напряженного состояния
в средней части образца, и, следовательно, экспериментальные данные справа
от временного сопротивления (точка Р) не могут быть непосредственно исполь-
Рис. 8.1
Рис. 8.3
еост ^0,002
Рис. 8.4
зованы для суждения о связи между напряжением и деформацией в этой о Г
ласти.
Для пластических материалов, таких как углеродистая сталь, пределы про-
порциональности и текучести практически совпадают, а предел прочности при
сжатии больше, чем при растяжении.
Совершенно различны условные диаграммы при растяжении и сжатии для
хрупких материалов, например для чугуна (рис. 8.3).
Пластичность материала оценивается величиной
д = ---у-т , (8.2)
где \10с г — остаточное удлинение образца при разрыве.
Чем материал пластичнее, тем больше величина 6.
Пластичность материала может быть оценена также по величине остаточного
относительного сужения площади поперечного сечения при разрыве
> (8$
г о
где Р — площадь минимального сечения шейки при разрыве.
1.2. Разгрузка образца. Если образец растянуть до напряжения, величина
которого превышает предел текучести от, а затем постепенно разгружать, то кри-
вая разгрузки КМ не будет совпадать с кривой первоначального нагружения.
Она представляет прямую, параллельную участку О А диаграммы. В этом и со-
стоит основной закон разгрузки — при разгрузке материал ведет себя согласно
закону Гука:
°газг — ^$разг- (8.4)
Если на диаграмме растяжения материала площадка текучести отсутствует,
то для таких материалов часто вводится условный предел текучести, под кото-
рым подразумевается такое напряжение,
при котором остаточная (пластическая)
деформация равна 0,2 °0 (рис. 8.4).
1.3. Вторичное нагружение. Наклеп.
При вторичном нагружении растяже-
нием посл.6 разгрузки диаграмма рас-
тяжения совпадает с диаграммой раз-
грузки на всем ее протяжении, а затем
сливается с диаграммой первичного
нагружения (рис. 8.5). При этом про-
исходит повышение предела текучести
материала, т. е. его упрочнение (на-
клей).
Рис. 8.5
1.4. Истинная диаграмма растяжения. Действительное напряжение в образце
определится как
Од~ о(1 + 8),
(8.5)
где о и 8 — напряжения и деформация в соответствии с условной диаграммой
растяжения материала.
Используя зависимость (8.5) и условную диаграмму растяжения, легко
построить связь между од и 8.
1.5. Эффект Баушингера (рис. 8.6). Первичное пластическое деформирова-
ние материала приводит к тому, что пределы текучести при сжатии и растяже-
нии оказываются уже различными. В результате материал приобретает деформа-
ционную анизотропию. Это явление называется эффектом Баушингера.
Учет эффекта Баушингера резко усложняет решение задач при циклическом
нагружении материалов за пределом упругости.
Предложено несколько упрощенных моделей для описания эффекта Баушин-
тера.
1. Предполагается, что в процессе пластического деформирования сумма
пределов текучести на растяжение и сжатие остаются неизменными, рав-
ными удвоенному пределу текучести материала,
а*? 4“ ~ 2ат (см. кривую АВСБЕ на рис. 8.6).
2. Материал
и при сжатии
одинаково подвержен упрочнению как при растяжении, так
о? = о-с (см. кривую АВСБ6 на рис. 8.6).
3. Упрочнение наблюдается лишь при растяжении; при сжатии предел теку-
чести сохраняет свое первоначальное значение
= от (см. кривую АВСНВ на рис. 8.6).
Заметим, что для большинства строительных материалов предел текучести
сжатия о? располагается в промежутке между точками П и Н.
1.6. Влияние скорости нагружения. Повышение скорости нагружения ? =
" & пРивОДит к ро< ту ординат кривой диаграммы растяжения (рис. 8 7).
Здесь / — время
§ 2. Математическое описание диаграммы растяжения
материала
Для производства расчетов различных конструкций в упругопластическок
области необходимо располагать математическим выражением связи о = о (8)
Существует несколько различных вариантов записи этой зависимости.
1. А. А. Ильюшин [2] предложил следующее выражение для описания
зависимости <т = о (е):
о = Ен [1 — со (е)].
(8.6
Очевидно (рис. 8.8, о), что безразмерная функция со (к) зависит от виде
диаграммы растяжения и изменяется в пределах О С со (г) < 1.
2. Кривую диаграммы растяжения часто заменяют совокупностью прямых
(рис. 8.8, б) При этом уравнение для описания диаграммы растяжения записы-
вается в простой аналитической форме.
3. Другой вид аппроксимации диаграммы растяжения с площадкой теку-
чести таков:
при
О 8 8т
(7 = Ее;
при 8Т <: 8 < 8* о = от:
при
8* < 8
где ет — деформация, отвечающая конечной точке площадки текучести; т—
некоторый показатель степени, изменяющийся в пределах текучести от 0 до ’
(рис. 8.8, с).
4. Приведем в заключение еще два вида схематизированных диаграмм рас-
тяжения: диаграмму растяжения идеального упругопластического тела
(рис. 8.8, г) и диаграмму растяжения жесткопластического тела (рис, 8.8, д
§ 3. Простейшие примеры расчета стержней и балок
в упругопластической области
Пример 1. Дана стержневая ферма, нагруженная силой Р (рис. 8.9).
Все стержни имеют одинаковую длину I и одинаковую площадь поперечных
сечений Г. Предполагаем также, что материал стержневой фермы один и тот же
I связь о= о (г) описывается зависимостью
о(г)= Ре [1 — со (8)]. (8.7)
Требуется определить усилия в каждом из стержней фермы.
Решение. Перемещение точки приложения силы Р вызывает удлинение
зторэго стержня на некоторую величину Д2-
Из простых геометрических рассмотрений (см. рис. 8.9, а) можно получить
Л1 = Д3 = Л2 соз 60° = ~ ’Лг. (8 8)
Обозначая усилие в каждом Лм стержне через Р( и проектируя все силы
приложенные в точке А, на направление действия силы Р, получаем следующее
•уравнение равновесия (см. рис. 8.9, б):
Р2 + (Р1 + Рз) соз 60° = Р,
или, если учесть, что Рг = Р3,
Р1+ Р2= Р- (8.9)
Разделив уравнение (8.8) на длину стержня I, получим
1
е1~~2~е2- (8.10)
С учетом зависимостей (8.7) и (8.10), если принять во внимание, что Рг-
— сг/Р, уравнение (8.9) преобразуется к виду
3 1 / е2 \ 1 Р
в2[—_ш(8г)_ ——
(8.11)
Задаваясь рядом значений е2 и строя кривую изменения левой части уравне-
ния (8.11), получаем возможность графического определения неизвестного зна-
чения е2 (Р).
На рис. 8.10 через 8* обозначено искомое
второго стержня.
значение деформации
растяжения
Тогда с помощью зависимости (8.8) определяются
а затем и усилия в каждом стержне
деформации и е.?
А о
Л- = 5е,- [1 — <о (е,)) А.
Рис. 8.9
Рис. 8.10
Пример 2. Призматиче-
ская балка (рис. 8.11) при про-
извольных граничных условиях
закрепления подвержена действию
поперечной нагрузки интенсив-
ности <7 (х) и осевой растягива-
ющей силы Т (сила действует
вдоль линии центров тяжести по-
перечных сечений). Предполагаем,
что действующая внешняя нагрузка
вызывает в материале балки упру-
гопластические деформации. Связь
между и 8Х подчиняется зави-
симости (8.7).
В предположении справедливости
делить прогиб балки.
Рис. 8.11
гипотезы плоских сечений требуется опре-
Решение.
жести поперечных
На основании
Ось Ох направим вдоль линии, проходящей
сечений, ось Ог — вниз (рис. 8.11).
гипотезы плоских сечений
через центры тя-
с!х
(Ри)
(8.12)
где и0 (х) и ш (х) — перемещения точек
осей Ох и Ог.
В каждом сечении по длине балки
очевидных уравнения равновесия:
оси балки соответственно в направлении
должны быть выполнены следующие два
] ох с1Е = Т;
Р
(8 13)
о
' О 0 )
Если далее воспользоваться зависимостями (8.7) и (8.12), то система уравне-
ний равновесия (8.13) может быть преобразована к виду
(8.14)
ЕЛ*//' (х) -4- Е (7 — 7*) цу" (х) = 7И0 — Е^х + 7Ъ
д (х) (1х>-
о о
(8.15)
Здесь введены следующие дополнительные обозначения: г — площадь попереч-
ного сечения балки; 7 — момент инерции площади поперечного сечения;
«(ех) с1Е;
5* =
(8.16)
р
7
Заметим, что если материал работает линейно упруго, то величины Е*
и 7* равны нулю. ’
Разрешим уравнение (8.14) относительно (х).
и'(х}________I.-------а>"(х) 5*=г- (8-17).
«оИ1— 2? (Т7___Р*) ' Р— Р*
Воспользовавшись зависимостью (8.17), исключим и0 (х) из уравнения (8.15)
Получим х х
= + <?ОМ*г + ?'»(*) '
\ г г / оо
(8.18)-
Интегрирование дифференциальных уравнении (8.17) и (8.18), дополненных
граничными условиями для и0 (х) и ву (х), возможно лишь численно с исполь-
зованием процедуры последовательного уточнения значений переменных коэф-
фициентов, входящих в эти уравнения. Алгоритм такого решения заключается
в следующем.
1-е п р и б л и ж е н и е. Материал принимается упругим и, следовательно,
со (8) = 0, Т7* = 5* = /* = 0.
Из уравнений (8.17) и (8.18) соответственно получаем
Т
^0 (Х) ~ р Г ’
Е/к™ (х) = д (х) -Ь Тип (х).
По найденным из этих уравнений значениям г/0 (х) и & (х) с помощью зави-
симости (8.12) определяется деформация ех (х, г).
2-е приближенп е. Найденное в 1-м приближении значение деформа-
ции 8Л- используется для определения функции со (8Л). Затем но формулам (8.16}
с помощью приемов численного интегрирования определяются значения Е* (х),
5* (х) и /* (х). Полученные значения Е*. 5* и /* вносятся в систему уравне-
ний (8.17) и (8.18).
Интегрируя полученные при этом дифференциальные уравнения с перемен-
ными (но уже известными) коэффициентами, получаем уточненные значения пере-
мещений и0 (х) и & (х). При необходимости найденные значения //0 (х) л со (х)
можно уточнить, если повторить еще раз процедур)7 2-го приближения.
По окончательным значениям перемещений ир (х) и со (х) с помощью соотно
шений (8.7) и (8.12) определяется напряжение ох.
§ 4. Условия текучести материала
4.1. Условия текучести для объемного напряженного состояния. При про-
стом растяжении текучесть наступает при о= ат, при чистом сдвиге—при
т = тт (предел текучести при чистом сдвиге). Значительно сложнее установить
условие наступления текучести при сложном напряженном состоянии.
Если учесть, что любое напряженное состояние однозначно определяется
через значения главных напряжений ог-, то для изотропного тела это условие
должно быть симметричной функцией этих величин
А (Л. °2. а3) = О,
или, что, по существу, одно и то же, функцией инвариантов напряжений
А 1Л (°)> 72 7з (о)] = 0.
Эксперименты показывают, что для большинства материалов влияние сред-
него гидростатического давления на условие текучести пренебрежимо мало.
1 огда условие текучести можно переписать в более простом виде
/ (72 (Е)а), /3 (Ео)] = 0. (8.19)
Заметим, что далеко не любая функция главных напряжений (или инва-
риантов девиатора напряжений) может служить в качестве критерия текучести.
Допустимы лишь функции, симметричные относительно главных напряжений.
Если дополнительно принять, что перемена знаков главных напряжений для
пластического тела не изменяет условия текучести, но изменяет знак /3 (По),
то функция / должна быть четной функцией /3 (1)а).
В пространстве главных напряжений п1, о2 и о3 плоскости ^4- е2-Ь ~
— сопз! перпендикулярны к прямой о1 = о2 = °*3, называемой гидростатической
осью. Уравнение (8.19) не содержит среднего давления, поэтому оно определяет
поверхность цилиндра, осью которого является гидростатическая ось. Эту по-
верхность называют поверхностью текучести. Пересечение поверхности текучести
с плоскостью О] + о2-|- = 0 (называемой девиаторной) определяет кривую
текучести, разделяющую упругое и упругопластическое состояния материала
в рассматриваемой точке.
Построение кривой текучести требует проведения для каждого заданного
материала достаточно большого объема экспериментальных исследований
Именно это и послужило поводом для появления более простых критериев, ха-
рактеризующих момент наступления текучести материала.
4.1.1. Критерий Треска — Сен-Венана. Согласно этому кри-
терию текучесть в материале возникает при достижении максимальным касатель-
ным напряжением значения
Типах —
О1 — о3 _ Оф
2 “2
(01 > а2 > а3).
(8.20)
Построенная на девиаторной плоскости кривая текучести, отвечающая этому
критерию, будет иметь форму правильного шестиугольника (рис. 8.12).
Следует заметить, что критерий Треска может быть выписан в виде (8 19?
/ [4 ро)> 'з (°а)] = 4/2 - 27/з - ^‘1 + - ^ = 0. (8.21)
4.1.2. Критерий Губера — Мизеса. Согласно этому критерию
текучесть наступает при достижении /2 Ро) предела текучести
I 2
К (<?! — а2)2 + (а2 — а3)2 + (а3 — ах)2 = ат,
или
2а? = (°> - - аг)- + (<\ - °г)- + 6 (Лу + тлг + туг) = 2< (8-22>
где
О/ — интенсивность напряжений.
Уравнение (8.22) описывает окружность радиуса
у -|~ °т (рнс-
8.12).
при
Наибольшая разница при использовании этих двух критериев получается
чистом сдвиге (0!= о, о2~ с*з — —сг). В этом случае согласно критерию
Треска — Сен-Венана текучесть наступает при о = согласно же крите-
рию Губера — Мизеса — при о = } т. е. критерий Губера — Мизеса дает
2
предел текучести в —— — 1,155 раз больший, чем критерий Треска — Сен-
Венана.
Заметим, что результаты экспериментов для многих металлов, таких как
медь, никель, алюминий, железо, мягкая сталь, лучше согласуются с критерием
текучести Губера —• Мизеса.
4.2. Условия текучести Треска—Сен-Венана и Губера—Мизеса для плоского
напряженного состояния (ст3 = 0). Условие текучести Треска—Сен-Венана пред-
ставляет шестиугольник (рис. 8.13), а условие текучести Губера — Мизеса —
эллипс, уравнение которого имеет вид
°1 “ а1а2 + °2 ~ °т- (8.23)
Область применимости условий текучести Треска — Сеп-Вепана и Губера —
Мизеса ограничена изотропными материалами, имеющими одинаковые пласти-
ческие свойства во всех направлениях, которые к тому же не зависят от знака
напряжений.
4.3. Условие текучести для анизотропного материала. Условие текучести
для анизотропных материалов, у которых свойства зависят от рассматриваемого
направления, но с одинаковыми пределами текучести на растяжение и сжатие,
было предложено Мизесом и развито впоследствии Хиллом [12]. В частном слу-
чае ортотропного материала (в каждой точке такого материала существуют три
взаимноперпенднкулярные плоскости симметрии) условие пластичности Хилла,
отнесенное к главным осям анизотропии (линии пересечения плоскостей сим-
метрии), имеет вид
Н (стх - °у)- + Г (°у- °г)2 + с(°г - + 2ЛтхУ + + 2М^х = 1
(8.24)
где /7, Г, 6, Ь, М — параметры, определяемые из опытов для частных случаев
одноосных растяжений в направлении осей х, у, г и сдвигов между этими осями.
Если обозначить пределы текучести по осям анизотропии для растяжения (сжа-
тия) через охт, Оу?, агТ, а пределы текучести при сдвиге— через тХуТ, Ту2Т, тглт>
то для определения упомянутых выше параметров получим следующие фор-
мулы:
Рис. 8.12
Рис. 8.13
§ 5. Упрочнение материала
В § 1 при рассмотрении диаграммы растяжения материала было обнаружено,
что пластическая деформация приводит к упрочнению металла, к повышению
его предела текучести.
| При простом растяжении (рис. 8.14) для достигнутого состояния А предел
упругости равен Од. Область значений 0 — о^для напряжения может быть на-
звана упругой. При изменении напряжения в этой области происходит лишь
упругая деформация. При нагружении же за точку А вновь будет возникать пла-
стическая деформация. Таким образом, напряжение оживляется как бы «текущим»
пределом упругости, зависящим от предшествующей пластической деформации,
и разграничивает область нагружения (сопровождается дополнительной пласти-
ческой деформацией) и область разгрузки (чисто упругие деформации).
При сложном напряженном состоянии возникает примерно такое же поло-
жение. Пластическое деформирование приводит к расширению кривой течения,
отделяющей область упругого деформирования от области пластического дефор-
мирования. Расширение поверхности течения связано с явлением упрочнения
металла в результате предшествующей пластической деформации.
5.1. Изотропное упрочнение. Форма и положение кривой течения, строго
говоря, зависят не только от текущего напряженного состояния, но и от всей
предшествующей истории нагружения. Предположение о неизменности формы
кривой текучести (гипотеза изотропного упрочнения), которое экспериментально
подтверждается для ряда металлов, существенно упрощает определение этих
кривых на разной стадии упрочнения металла. При этом оказывается достаточ-
ным проследить лишь закон «расширения» кривой текучести в процессе накопле-
ния пластических деформаций и связанного с этим упрочнением металла. Тогда
учет упрочнения материала можно произвести путем введения в правую часть
уравнения (8 19) возрастающей функции некоторого параметра 7, учитывающего
предыдущую пластическую деформацию,
/ (07/) = К [/2 Ра), /з Ра)1 - Г (?) = 0.
(8.26)
Кривые текучести (8.26) на девиаторной плоскости для критериев Губера —
Мизеса и Треска — Сен-Венана будут концентрическими окружностями и пра-
вильными шестиугольниками соответственно.
5.1.1. Энергетическое условие упрочнения. В силу
того, что упрочнение связано с пластической деформацией, была высказана
гипотеза о том, что степень упрочнения является функцией только полной пла-
стической работы 1ГП:
Гп = | а(7 а^., (8.27)
где б/еК—пластическая составляющая приращения деформации.
В (8.27) интеграл берется от некоторого
начального деформированного состояния ме-
талла по действительному пути деформиро-
вания.
Критерии текучести Треска — Сен-Венана
и Губера — Мизеса при учете упрочнения
материала в форме (8.26) перепишутся соответ-
ственно так:
<т,= Г(ГП).
(8.29)
4 Бойцов г. в. и др.
97
Функция Р (П п) может быть
определена из диаграммы о — к,
полученной при растяжении цилин-
дрического образца. В самом деле,
рис 8 15 где А, — первоначальная длина стер-
жня, а / — его текущая длина.
Так как при одноосном растяжении о, = о, условие (8.29) с учетом (8.30)
перепишется так: >
/ Г О б// О“ | г I Г / сМ \ I /о
а = Г ]—---------2Г Г(~7----------Г) Г (8'31)
\/0 ' '/о '
Если построить график зависимости оот 1п (///0) — о/Е, то аргумент функ-
ции Р будет равен площади, расположенной под этой кривой до ординаты о
(рис. 8.15).
Справедливость гипотезы (8.29) была проверена экспериментально для ши-
рокого класса нагружений (например, совместное растяжение и кручение тонко-
стенной трубы).
5.1.2. Условие упрочнения О д к в и с т а. Наряду с гипотезой
(8.29) часто используется и другая гипотеза, связывающая степень упрочнения
материала с определенной мерой полной пластической деформации. Математи-
ческая формулировка новой гипотезы учета упрочнения материала имеет вид
/(%•) = () = 0>
(8.32)
де // — некоторая функция, зависящая от свойств рассматриваемого материала;
=V -г
(8.33)
— приращение интенсивности пластической деформации.
Гипотеза упрочнения (8.29), по существу, связывает упрочнение материала
с разницей между конечной и начальной формами элемента, как следствие пла-
стической деформации. Если бы это было всегда так, материал не получал бы
упрочнения при растяжении, которое последовало вслед за равным ему сжатием.
Эксперименты же показывают, что любая пластическая деформация независимо
от ее закона вносит определенный вклад в упрочнение материала. Именно это
обстоятельство в какой-то мере и отражается гипотезой упрочнения (8.32).
Так как зависимость (8.32) выполняется для произвольного напряженного
состояния, то для определения функции Н можно воспользоваться эксперимен-
тальными данными для растяжения или сжатия стержня постоянного сечения.
В этом случае
Отсюда для случая одноосного растяжения стержня
С учетом экспериментальных данных зависимость (8.34) позволяет построить
график изменения о- в зависимости от | с/е" и тем самым определить функцию //
в (8.32).
Результаты экспериментальных исследований показывают, что для боль-
шинства материалов использование приведенных выше двух гипотез упрочнения
(8.29) и (8.32) приводит примерно к одним и тем же результатам. Более того,
экспериментальные результаты говорят о вполне удовлетворительном выполне-
нии этих гипотез упрочнения в условиях сложного нагружения (см. § 6).
5.1.3. Гипотеза «едино й к р и в о й». Вычисление интеграла (8.32)
заметно упрощается, если главные оси тензора пластических деформаций не
меняют своего положения в процессе нагружения элемента материала, а упру-
гими приращениями деформации можно пренебречь
В этих условиях | ~ и зависимость (8.32) примет вид
= Н (еД (8.35)
т. е. интенсивность напряжений есть определенная функция интенсивности де-
формаций. Причем вид функции И не зависит от характера напряженного со-
стояния, т. е. для различных напряженных состояний мы получаем одну и ту же
(единую) кривую связи между о, и 8/. Так как вид функции Н (&/) не зависит
от характера напряженного состояния, ее можно определить из опытов на простое
растяжение или чистый сдвиг.
5.1.4. Условие упрочнения для ортотропного ма-
териала. Изложенные выше теории изотропного упрочнения можно обобщить
[7, 10, 12] на случай ортотропного материала. При этом для обеспечения равно-
мерного расширения и сохранения формы поверхности течения предполагается,
что «текущие» пределы текучести по главным осям анизотропии растут пропор-
ционально одному и тому же параметру (его значение зависит от принятой тео-
рии изотропного упрочнения) по мере того как материал упрочняется.
5.2. Анизотропное упрочнение изотропного материала. Изложенные в пре-
дыдущем пункте теории упрочнения не позволяют учесть анизотропию, возни-
кающую в процессе пластического деформирования материала. Простейшим про-
явлением такой деформационной анизотропии является эффект Баушингера.
Заметим, что деформационная анизотропия становится особенно заметной при
сложном нагружении (см. § 6). Учесть появление деформационной анизотропии
можно путем предположения, что поверхность пластического течения одновре-
менно с равномерным расширением получает определенное смещение (теория
трансляционного упрочнения). Ю. И. Кадашевичем и В. В. Новожиловым [3]
предложен следующий вариант такой теории:
/ (а./) = 4- <5ч - Р</) (5ч - Рч) ~ Ц (9)]2 =
(8.36)
где р/у — координаты смещения центра поверхности течения, зависящие
от величины пластической деформации,
Ру=* (р/)е?/
р, = у —интенсивность напряжений для центра поверхности
течения.
В качестве параметра д в зависимости (8.36) можно принять, как и в теориях
изотропного упрочнения, либо некоторую меру работы пластической деформа-
ции 1ГП, либо меру полной пластической деформации I Йе".
Рис. 8.16
Из зависимости (8 36) видим,
что кривая текучести на девиатор-
ной плоскости является окружно-
стью, расширяющейся и смещающейся
в процессе нагружения (рис. 8.16).
5.3. Критерии нагружения и раз-
грузки. Важное значение имеют кри-
терии, позволяющие в случае слож-
ного напряженного состояния судить
о том, происходит ли дальнейшая
пластическая деформация (нагру-
жение) или материал стал вновь
деформироваться упруго (разгруз-
ка). Материал нагружается, если
работа пластической деформации
растет (постулат Друкера), т. е.
<ЛГ_ = а,,<й"/>0. (8.37)
Материал получает разгрузку
(протекает по закону Гука),
если
с!о1
0.
(8.38)
§ 6. Простое и сложное нагружение.
Соосность девиаторов напряжений и деформаций
для случая простой деформации и простого нагружения
Простое нагружение характеризуется тем, что компоненты напряжений воз-
растают при росте внешней нагрузки пропорционально одному параметру I:
= /а?.-.
(8.39)
где (А— компоненты напряжения, отвечающие значению параметра 1= I.
На основании (8.39) для компонентов девиаторов напряжений 5/у получим
(«?/ = "?/ - Ау). (8-40)
т. е. главные направления девиатора напряжения при простом нагружении
остаются неизменными.
При совместном действии на тонкостенную трубу растягивающей силы и
крутящего момента простое нагружение реализуется, если оба компонента внеш-
ней нагрузки возрастают пропорционально одному параметру. Всякое отступле-
ние от этого закона изменения внешней нагрузки приводит к возникновению
сложного нагружения, при котором главные направления девиатора напряжений
могут изменяться.
Введем понятие простой деформации, когда рост параметра нагрузки сопро-
вождается пропорциональным увеличением всех компонентов тензора деформа-
ций. При этом главные направления девиатора деформации сохраняют свое
положение.
Для упругого напряженного состояния главные направления девиаторов
напряжения и деформации совпадают. Поэтому для случая простого нагружения
и простой деформации при переходе материала в процессе нагружения в упруго-
пластическую область главные направления девиаторов напряжения и дефор-
мации также будут совпадать
1 2
^Г[°о1=_2^(Ое1- (8.41)
§ 7. Уравнения пластического состояния
Строго обоснованных зависимостей, устанавливающих связь между напря-
жениями и деформациями в упругопластической области не существует. Предло-
жено много различных теорий, каждая из которых имеет свои достоинства и не-
достатки, свою ограниченную область использования. Две такие теории, полу-
чившие наибольшее использование в расчетах пластического деформирования,
излагаются ниже.
7.1. Ассоциированный закон течения:
’ <8 42>
где
^=1/ 4-—==-; (8.43)
V доц’ д&1;
I — функция (см. (8.26), (8.36)), определяющая поверхность течения мате-
риала.
Зависимость (8.42) выражает условие коллинеарности вектора приращения
пластической деформации и нормали к поверхности течения.
Непосредственно из соотношений (8.38) и (8.42) получаем следующие усло-
вия существования нагружения:
/(о,7)=0; А>0 (8.44)
(знак равенства в первой зависимости соответствует идеально пластическому
материалу, не имеющему упрочнения);
Условия существования разгрузки:
-^-а<т,7<0; /(О,7) = 0; Л = 0. (8.45)
ОО, I
Если же
ДуЖт.— О; /(ст,7) = О; <(/. = О,
то конец вектора напряжения движется по поверхности пластичности. Такой тип
нагружения называется нейтральным; он сопровождается изменением лишь
упругих составляющих компонентов деформации.
В заключение заметим, что конкретный вид соотношений (8.42) определяется
содержанием функции / т. е. принятым для данного материала законом
упрочнения.
7.2. Теория течения. Теория основана на использовании ассоциированного
закона течения (8.42) и изотропного упрочнения материала (8.32). В результате
несложных выкладок получаем зависимости теории течения
аео-=4 - а6^-); а = -г+а83 • (8-46)
' х О/ о
Добавляя сюда компоненты приращений упругих деформаций, получаем ком-
поненты приращений полных деформаций
= 16' (а<Тг/ - т+т 6,7 аа) + Т ~оГ ~ аЪп'>' (8 47)
Полученные зависимости называются уравнениями Прандтля — Рейсса.
7.3. Теория малых упругопластических деформаций (деформационная тео-
рия). Уравнения данной теории можно получить непосредственно из зависимости
(Я 471 ест поетотожпть существование простого нагружения, т. е. справедлп-
вость з^внсХстп (839). Интегрируя но пути нагружения уравнение (8.47)
иТчитывая завис мость (8.39), после несложных преобразовании получаем
е,-/ — б,/8 = -у (о,-; — 6,;а),
(8.48)
где Ес =------секущий модуль зависимости о4- (е,-).
При этом относительное изменение объема является упругой д формацией,
пропорциональной среднему давлению,
Б= (8.49)
Значение модуля Ес можно выразить через Е® — секущий модуль диаграммы
(е.г) для одноосного растяжения образца:
1 1 1 — 2у
ЁГ “ ~ ЗЕ ’
с
(8.50)
Уравнения теории малых упругопластических деформаций в форме (8.48) были
получены А. А. Ильюшиным.
Иногда оказывается более удобной другая форма записи уравнений (8.48):
8,-/ = [ а,'/ — 4- 2^- (а/у — аб/у). (8.51)
Первая квадратная скобка отвечает упругой составляющей деформации, а вто-
.. „ _ ЕсЕ
рая — чисто пластической. Здесь гпл =---------—пластический модуль, ко-
Е — Ес
торый обращается в бесконечность при отсутствии пластической деформации.
7.4. Области применения теорий пластичности. Экспериментальные иссле-
дования показывают, что теория малых упругопластических деформаций дает
удовлетворительные результаты не только при простом нагружении, но и при
путях нагружения, близких к простому. В частности, ее использование справед-
ливо, по крайней мере, когда внешние силы, действующие на тело, растут от
начала их приложения пропорционально общему параметру.
При достаточно сложных путях нагружения следует использовать теорию
течения. Заметим, что использование теории течения при простом нагружении
приводит к тем же результатам, которые могут быть получены с помощью теории
малых упругопластических деформаций.
Обе вышеупомянутые теории пластичности предполагают наличие изотроп-
ного упрочнения материала. Учет деформационной анизотропии возможен при
использовании зависимостей ассоциированного закона течения (8.42).
§ 8. Разгрузка. Остаточные напряжения и деформации
Интенсивность деформации может быть представлена в виде суммы интен-
сивностей упругих и пластических деформаций
е.=.еУ + еп (8.52)
где
8?=!/^-?_еУеу • еп — 1/ 2 ₽п рп
1 V 3 ’ е4 ~ у з •
Поэтому диаграмма деформирования материала в; (е4) имеет вид, подобный
диаграмме растяжения о> (ех). В частности, диаграмма разгрузки на графике
102
о4- (е4) будет прямой ВС, параллельной
начальному участку графика (рис, 8.17),
ч г:
агг=4-йт^Е?азг- (8-53)
Из вышеизложенного вытекает следу-
ющая расчетная схема определения
остаточных напряжений о°^т и деформа-
ций е°уТ, которые образовались в теле
в результате его первоначального на-
гружения объемными Х[ и поверхно-
стными силами за пределы упругости
и последующего уменьшения этих сил до
значений X* и
Сначала решается упругопластиче-
ская задача и для уровня внешних на-
грузок Х[ и определяются напряжения о, у и’деформации Е//. Затем для внеш-
них нагрузок X-— Х[ и решается задача о наиряженно-деформиро-
ванном состоянии того же тела в предположении линейной упругости его мате-
риала. При этом получают компоненты напряжений оР?зг и деформаций е??зг.
Тогда
= _ разг
ч ч ч
₽ост _ „разг
еи гч
(8.54)
Предполагается, что в процессе разгрузки материал не выходит вновь
за пределы упругости.
§ 9. Примеры использования деформационной теории
и теории течения. Сопоставление численных результатов
Применение указанных теорий пластичности проиллюстрированы па при-
мере решения задачи пластического деформирования тонкостенной трубы при
совместном приложении растягивающей тилы Р и крутящего момента Л1
(рис. 8.18).
Обозначим средний диаметр трубы через П, а толщину стенки через 6. Нор-
мальное и касательное напряжения опт определяются по формулам (задача
статически определима)
Р 2Л4
о = —; т = —г-гё • (8.55)
лИо лО2о
Для упрощения выкладок материал принят несжимаемым (е() = О, V —
= 0,5), а диаграмма растяжения не имеет упрочнения (см. рис. 8.8, с).
9.1. Деформационная теория пластичности. Применим вначале для решения
задачи теорию упругопластических деформаций. В нашем случае
07/ — О2 — Тхг — ^уг — — О,
Ег 8
^ху — 'И 8Х — 8; 8_у — 82 — — — — —— .
Поэтому по формулам (2.18) и (1.24) получим
(8.56)
Рис. 8.18
Поскольку диаграмма материала
не имеет упрочнения,
о/ = сгт; ] о2 4" Зт- = Ст- (8.57)
С учетом принятого выше пред-
положения о несжимаемости материала
из соотношений деформационной тео-
рии (8.48) получим
а = -^е; (8 58)
Е/ ЗЕ/
или, если учесть выражения (8.56),
КЗ от К3 от
о _ е; т ==—==== У-
/Зе24-у3 3|/Зе2 + Т2
Отсюда, если ввести безразмерные напряжения и деформации
а т /Зт е у У
__, __ • $ - ... ^___=с=в —- _ ----- 1 - — - — . ' ' 1 “
От Тт О’т Ет Ут ЗЕт
получим
Л
д = ; 5 = г •
(8.59)
(8.60)
Из формул (8.60), основанных на использовании деформационной теории
пластичности, видно, что напряжения определяются конечными значениями
деформаций и не зависят от пути нагружения (это не означает, что деформацион-
ная теория справедлива для произвольного пути нагружения).
9.2. Теория пластического течения. Обратимся теперь при решении той же
задачи к теории пластического течения. Для рассматриваемого случая зависи-
мости (8.47) перепишутся так:
/7(Т б/в;1 Ят"
г/е = -^4-—±-а; с1у = + 3 —т; (8.61)
Е ‘ от 6 от
<& = 7Т /Зб/Е"+ ’ • (8-62)
Используя безразмерные обозначения (8.59), зависимости (8.61), (8.57) можно
переписать в виде
= с!д 4~ дЕ —— ; сЕ] — с1з 4- $Е —— ;
От От
д2+ 52= 1.
Из совместного рассмотрения полученных соотношений можно получить следу-
ющие два уравнения:
Путь нагружения в этих уравнениях отражается соответственно производными
др- и .
д г]
С помощью уравнений (8.63) был рассмотрен ряд частных путей деформиро-
вания (нагружения) трубы (см. рис. 8 19):
а) путь О А ВС (после наступления текучести в точке А труба сначала растя-
гивается, а затем только закручивается);
б) путь ОАВС (после наступления текучести в точке А труба сначала за-
кручивается, а затем только растягивается);
в) путь ОАС (внешние силы Р и Л1 растут пропорционально одному пара-
метру, что приводит при однородном напряженном состоянии к реализации про-
стого нагружения).
На рис. 8.19 представлены результаты вычислений безразмерных напря-
жений (5, ц) как по теории течения, так и по деформационной теории. Величины
безразмерных напряжений приведены рядом с соответствующими точками (Л,
В, С, О'); причем в скобки заключены напряжения, подсчитанные по деформа-
ционной теории. Из рассмотрения полученных числовых результатов видим, что
изменение пути нагружения существенно влияет па результат расчета напря-
жений.
§ 10. Метод последовательных приближений
для решения задач теории пластичности
10.1. Теория пластического течения. Уравнения этой теории (8.46) устанав-
ливают соотношения между приращениями пластических деформаций с1&™. и на-
пряжениями оу у для любого текущего напряженного состояния. Наша задача —
определение полной пластической деформации компонентов напряжений о4/-
как функции всей истории нагружения тела вплоть до конечного значения внеш-
ней нагрузки.
Итяк ма-шо тето произвольной формы, загруженное обьемнымп силами
.п.теЯвностью Л'Гн поверхностными-^,- (/=1,2,3). Путь нагружения
к ,, пп тоть ло их конечных значений также задан. Предпола-
гает, я,"X" гпроцессе нагружения в теле возникают упругопластические де-
ф0РВыпишем все необходимые зависимости для решения поставленной задачи
(с целью упрощения выкладок ограничимся рассмотрением геометрически ли-
ценной задачи).
Уравнения равновесия внутри тела (2.1^)
_2. + Л,- = 0 (/=1,2,3).
дх;
Граничные условия на поверхности (2.9')
о,А/ = Лч (1 = I- 2, 3).
Шесть уравнений совместности деформаций (1.19)
д2Ец д~Е22 _ 2 д~Е12
дхг, ' дх{ дх1с1х.
д / де23 де31 , де12 \ <92еп
()х1 V с)х1 ' дх2 ‘ дх3 / дх2 дх3
(8.64)
(8.65)
(8.66)
Следует заметить, что уравнения равновесия и совместности деформаций
не зависят от свойств материала тела.
Разобьем весь путь нагружения на /V приращений нагрузки. Если теперь
предположить, что компоненты пластической деформации для первых /г при-
ращений нагрузки известны, то значение полной деформации в конце к + 1-го
приращения нагрузки определяются из выражения
1 —I V Зу VI
Н-1 = А+1---/Г^+А/ + аТ^[/ + Д8Г/, г + Д8Р/, /г+1- ($-67)
Первые два члена в (8.67) определяют величину упругой составляющей
полной деформации, третий — температурные деформации, четвертый — пласти-
ческую деформацию, накопленную в процессе приложения первых к приращений
нагрузки, последний же член определяет искомое приращение пластической
деформации, вызванное к +- 1-м приращением нагрузки. Здесь а — коэффициент
температурного расширения материала; Т — температура в данной точке тела.
’ Входящие в (8.67) приращения пластических деформаций связаны с компо-
нентами напряжений соотношениями (8.46)
3 ДеГ
Де-7 = ~Т ~й~ (а‘7 ~ а6п)’ (8-68)
где в соответствии с зависимостями (2.18) и (2.19)
= у 4" 5<у5// ; «// = <Уц - аб,-/; (8.69)
Ае" = -|-Де"/Ае7- (8.70)
Переходим к изложению процедуры метода последовательных приближений.
1 е р в а я ступень нагружения. Предполагаем некоторый закон
распределения приращений пластических деформаций Льп. по объему тела Чет-
вертый член в (8.67), который определяет значение полной пластической де-
106
формации к началу рассматриваемой
ступени нагружения, естественно, будет
равен нулю. Получающаяся при этом
система уравнений (8.64)—(8.67) описы-
вает напряженно-деформированное со-
стояние некоторой упругой задачи, реше-
ние которой определяет в первом прибли-
жении значения напряжений и пол-
ных деформаций 8;/- для первой ступени
нагружения. В общем случае для реше-
ния упругой задачи, если она не допу-
скает точного решения, можно воспользо-
ваться вариационными методами, методом
конечных элементов и т. и.
Внося предполагаемые значения Де”.
в (8.70), определяем Де”. По найден-
ному значению Де? и кривой о. = с. (е)
находим значение (рис. 8.20). По зна-
чениям Дг” и а. из уравнений (8.68) определяются уточненные значения при-
ращений пластических деформаций Де”;..
При найденных уточненных значениях Де?;- вновь решается упругая задача
и определяются уточненные значения для напряжении о,,- и полных деформа-
ций 8^-. Одновременно по значениям Де?;. согласно (8.70) находится Де”, а затем
по кривой а, (8/) — соответствующее значение О/. Вновь, обращаясь к зависи-
мостям (8.68), производится очередное уточнение значения для приращений
пластических деформаций Де?;.. Этот процесс последовательного уточнения зна-
чений Де?. продолжается до тех пор, пока разница в значениях двух последова-
тельных приближений для Де?. не будет меньше некоторой допустимой вели-
чины.
Вторая ступень нагружения. Последовательность расчетов,
изложенная выше для первой ступени, полностью повторяется. Однако теперь
4-й член в (8.67) отличен от нуля и равен значениям Де?- для первой ступени
нагружения.
Последовательными догружениями получаем возможность получить полную
историю изменения напряженно-деформированного состояния тела в процессе
всего пути нагружения.
Для обеспечения сходимости изложенного выше решения приращения пла-
стических деформаций Де?- на каждом шаге нагружения должны быть достаточно
11 г"
малыми величинами (на основании имеющегося числового эксперимента не более
0,001).
Последнее требование ограничивает размер шага внешней нагрузки и
приводит к незначительной разнице в значениях , получаемых, с одной стороны,
непосредственно по формуле (8.69), а с другой, по значению Де? с кривой о. (8.),
и обеспечивает тем самым сходимость решения. При сложном нагружении воз-
можно появление в теле зон разгрузки. Поэтому на каждом шаге нагружения
рекомендуется производить проверку критерия Друкера (8.37). При появлении
на каком-либо шаге зон разгрузки следует для материала этих зон использовать
закон Гука.
1 0.2. Деформационная теория пластичности. При использовании деформа-
ционной теории пластичности расчет, как правило, производится для одной сту-
пени нагружения, куда входит вся приложенная к телу внешняя нагрузка. При
этом вместо (8.67), (8.68) и (8.70) следует использовать соответственно следу-
ющие зависимости:
е.. = 2+21о.._^об.. + а7-б,7 + е- (8.71)
(872>
• (8-73)
Последовательность и содержание всех вычислительных операций, исполь-
зуемых при решении упругопластических задач на основе деформационной тео-
рии пластичности, аналогичны изложенным выше для решения тех же задач
на основе теории пластического течения. Сначала задаемся некоторыми значе-
ниями е?. по объему тела. Далее решаем упругую задачу теории упругости,
описываемую системой уравнений (8.71), (8.64), (8.65), (8.66). Решение этой за-
дачи определяет в первом приближении значения напряжений ст,-у и полных де-
формаций Е/у.
Одновременно, внося значения е?. в формулу (8.73), находим интенсивность
пластических деформаций е”. По значению е? из кривой <? (е.) определяем ин-
тенсивность напряжений о/. Обращаясь теперь к зависимости (8.72), получаем
возможность уточнить значения для компонентов пластической деформации
после чего изложенная выше вычислительная процедура повторяется до тех
пор, пока не будет обеспечена требуемая точность в значениях напряжений
и деформаций.
§ 11. Вариационные принципы в теории пластичности
Пусть деформируемое тело занимает объем V, ограниченный поверхностью
5 = 5x4- *52, где — часть наружной поверхности тела, на которую действуют
поверхностные силы 82 —оставшаяся часть поверхности, на которой заданы
граничные условия в перемещениях ис = и°- (/ = 1, 2, 3). На тело действуют
также объемные силы с составляющими Х[. Процесс нагружения также считается
заданным.
Ниже приведены формулировки вариационных принципов, которые могут
быть положены в основу приближенных методов решения задач теории пластич-
ности.
11.1. Вариационные принципы в деформационной теории пластичности.
Вариационные принципы в деформационной теории пластичности аналогичны
принципу возможных перемещений и принципу возможных иапряжений(см гл. 15).
11.1.1. Принцип В 03 мо ж и ы х п е р е м е щ е н и й. Действитель-
ные перемещения удовлетворяют условию стационарности (в данном случае —
минимуму) полной энергии тела
| (оубе,- 4- обе) (IV — | Х^щ (IV ~ | = О,
где
о = —— е. (8.74)
11.1.2. П р и н ц и п возможных напряжений. Действитель-
ное напряженное состояние отличается от всех статически возможных состояний
тем, что оно удовлетворяет следующему условию:
| (еба 4~ ®/ба/) (IV
V
— | щ ЪХ1 (IV — Г о.
И 1
(8.75)
Приближенные методы, основанные на использовании изложенных выше двух
вариационных принципов, излагаются ниже в гл. 15.
11.2. Вариационные принципы в теории течения. 11.2.1, Принцип
в о з м о ж н ы х приращений перемете и и й Действи-
тельные приращения перемещений на каждом шагу нагружения отличаются
от всех кинематически возможных перемещений тем, что удовлетворяют условию
I Г г г
-у I б/е/у (IV — с1Х& с1щ (IV — (1щ (1$ = 0. (8.76)
V V 5,
Входящие сюда приращения напряжений <2о/, выражаются с помощью соот-
ношения (8.47) через приращения деформаций ле/у-, которые, в свою очередь,
с помощью зависимостей Коши выражаются через приращения перемещений Ли-^.
11.2.2. П р и н ц и п воз м о ж н ы х приращений и а п р я ж е-
н п й. Действительные приращения напряжений на каждом шаге нагружения
отличаются от всех статически возможных состояний тем, что удовлетворяют
условию
I </е4-у6 с?о/у (IV — [ (1и[д (1Х[ (IV — 1 бУщб <±5 = 0. (8.77)
V V
Вариационные принципы теории течения во многом схожи с соответствующими
вариационными принципами деформационной теории. Поэтому и методы при-
ближенного решения задач теории течения, основанные на использовании усло-
вий (8.76) и (8.77), аналогичны соответствующим методам решения задач де-
формационной теории пластичности при использовании условий (8.74) и (8.75).
Разница состоит в том, что в деформационной теории пластичности мы оперируем
полными компонентами напряженно-деформированного состояния, а в теории
течения — их приращениями на каждом шаге нагружения.
ГЛАВА 9.
ПОЛЗУЧЕСТЬ МАТЕРИАЛОВ
Модель упругопластического тела предполагает независимость механиче-
ских свойств материала во времени. Однако можно назвать целый ряд современ-
ных строительных материалов (стеклопластики, титан и т. п.), у которых наблю-
дается заметное изменение их механических прочностных свойств в зависимости
от времени, хотя внешняя нагрузка при этом не изменяется. Именно это обсто-
ятельство приводит к появлению с течением времени дополнительных деформа-
ций в стержне при действии постоянной силы, называемых деформациями пол-
зучести.
Второе явление — релаксация напряжений—также связано с возникнове-
нием деформаций ползучести Оно проявляется в том, что в растянутом стержне
с неизменной во времени деформацией е = согг$1 напряжение ос течением времени
уменьшается (релаксирует).
При расчете конструкций, изготовленных из упомянутых выше материалов,
при построении модели материала необходим учет свойств ползучести деформа-
ций и релаксации напряжений.
Следует подчеркнуть, что характерная особенность теорий, которые при-
званы будут учесть описанные выше явления ползучести, — это учет масштаба
времени.
С повышением температуры и уровня напряжений явление ползучести для
большинства строительных материалов резко усиливается. Для некоторых
используемых в судостроении материалов (алюминиевые сплавы, титан, стекло-
пластики) ползучесть проявляется даже при обычной температуре. Вот почему
при расчете судовых конструкций, изготовленных из упомянутых выше мате-
риалов или работающих в условиях повышенных температур, учет свойства пол-
3} чести может оказаться необходимым.
§ 1. Ползучесть металлов
1.1. Кривая ползучести. При экспериментальном нагружении образца его
деформация возрастает от пуля до некоторой величины отрезка ОА на оси орди-
нат (рис. 9.1). Деформация, возникающая при нагружении, складывается из
упругой и пластической еп. С течением времени наблюдается ее рост за счет
развития деформаций ползучести епол (/).
Обычно целью эксперимента является построение кривых ползучести, кото-
рыми описывается изменение во времени полной деформации образца при по-
стоянных напряжении о и температуре Т.
Естественно, что вид кривых ползучести зависит как от уровня напряжения,
так и от температуры, при которых испытывался образец. Повышение напряже-
ния и температуры сопровождается резким ростом интенсивности развития
деформации ползучести.
Типичный вид кривой ползучести представлен на рис. 9.1. Для первой стадии
деформирования (АВ) характерен процесс неустановившейся ползучести, сопро-
вождающийся постепенным снижением скорости деформации ползучести. Во вто-
рой стадии (ВС) процесс ползучести протекает с минимальной постоянной во вре-
мени скоростью ползучести (зависит от уровня напряжения и температуры).
Третья стадия (СО), предшествующая разрушению образца, характеризуется
нарастанием скорости деформации ползучести.
Разрушение образца (точка О), находящегося в условиях ползучести, может
происходить как с образованием шейки (вязкое разрушение), так и без него
(хрупкое разрушение).
Вопрос об аналитическом представлении кривых ползучести сильно упро-
щается предположением об их геометрическом подобии. Последнее позволяет
представить изменение скорости деформации ползучести ёполс помощью зави-
симости
5пол = В (I) / (а). (9.1)
Вид функции / (ст) зависит от вида материала и уровня температуры Т.
Из зависимости (9.1) получаем следующую формулу для определения мини-
мальной скорости установившейся ползучести (II стадия кривой ползучести):
Сл =*/(<?)• (9.2)
Здесь величина к для каждого материала зависит от температуры.
1.2. Обратная ползучесть. Если в какой-либо момент времени произошла
разгрузка, то длина стержня после разгрузки со временем уменьшается (рис 9 2)
Это явление называется восстановлением или обратной ползучестью. Восста-
навливается только часть деформации, накопленной в первом периоде пол-
1.3. Предел ползучести. Пределом ползучести называют напряжение, при
котором деформация ползучести за заданный промежуток времени достигает
величины, установленной техническими условиями. Предел ползучести для дан-
ного материала зависит от температуры и времени испытания, а также от при-
нятой величины деформации ползучести. Заданный промежуток времени пол-
зучести принимают часто равными сроку эксплуатации конструкции.
1.4. Длительная прочность. Предел длительной прочности одл есть напря-
жение, при котором происходит разрушение растянутого образца через задан-
ный промежуток времени. Величина одл зависит от температуры испытаний и за-
данного отрезка времени до разрушения. Последний выбирают равным сроку
эксплуатации конструкции.
§ 2. Технические теории ползучести
[Даже для одноосного напряженного состояния связь между деформацией
ползучести, напряжением, скоростями их изменения и временем весьма сложна.
При объемном напряженном состоянии эта связь становится еще более сложной.
Именно это обстоятельство и привело к появлению так называемых техни-
ческих теорий, которые основаны на экспериментально проверенных предполо-
жениях о наличии функциональной зависимости между отдельными переменными
(напряжения, деформации, скорость деформаций, время).
Многие коэффициенты, которые в дальнейшем войдут в управление связи
между напряжениями, деформациями ползучести, их скоростями и временем,
являются функцией температуры материала.
Переходим к рассмотрению наиболее распространенных технических теорий
ползучести.
2.1. Теория течения. Опа предполагает, чго независимо от вида напряжен-
ного состояния существует определенная связь между интенсивностью ско-
ростей деформации ползучести и интенсивностью напряжений
= Р (ст,, 0
(9.3)
где б2°л—интенсивность деформаций ползучести.
Если учесть, что физическая природа пластичности и ползучести материала
во многом одинакова, то по аналогии с зависимостью (8.46) можно выписать
следующее выражение для определения приращений компонентов деформаций
ползучести:
3 ^о л
= 4-----(Оч-Об,-/). (9.4)
Тогда с учетом соотношения (8.47) для определения приращения полной де-
формации, включающей упругую, пластическую составляющие и ползучесть
материала, получим
у
3
2
(о Ц —
4еРол
3
2
(9.5)
Поделив уравнение (9.5) на сП и учитывая, что приращение интенсивности
деформации пластичности сП,™ от времени не зависит, а также принимая во вни-
мание зависимость (9.1), получаем
Здесь I—время нахождения материала иод нагрузкой.
Функция Е (о,, /) может быть определена из опытов на одноосное растя-
жение
= Г((УХ, 1)вх + ~^^77
(9-7)
Зависимость (9.7) при о, — сопз1 принимает еще более простой вид
^°Л
сП (И
Е(чх, I) о\.
(9 8)
Отсюда следует, что искомая функция Е (сгЛ-, /) для каждого текущего зна-
чения времени / равна тангенсу угла наклона кривой ползучести (рис. 9.3),
деленному на ох:
Г (а,-, /) = Г(ад. 0 = ~~~ •
Если кривые «деформация ползучести — время» при одноосном растяжении
(рис. 9.4) подобны, то
Ф>пол
—= ^°л = Г (аЛ., /) ау = В (I) / (од).
(лъ
(9.9)
Удобной формой аппроксимации / (оу) служит степенная функция
/ .
параметр т зависит от вида материала и уровня температуры Т.
Последнее позволяет представить изменение скорости деформации ползу-
чести (9.9) так:
5"ол = В(1)апх1. (9.10)
Отметим, что при известной функции Е (оу, /) уравнения (9.6) идентичны
соотношениям (8.47) теории пластического течения. Отсюда следует, что для
решения задач ползучести на основе технической теории течения можно исполь-
зовать методы решения задач пластичности на основе теории пластического
течения.
В предположении существования простого нагружения зависимостям (9.5)
можно придать форму соотношений (8.51) деформационной теории пластичности.
С этой целью, считая нагружение простым, проинтегрируем по времени уравне-
ние (9.6). Получим
> Г $ \ 1 Г 1 И"г’ Зу о Г 3
I 2Г„ ,, ~ о</ - — об,-/ -|- | (аГ/ - аб,/)
Здесь
1 ==_____1_ . 1 .
(°7> О ^ПЛ (<?/) ‘ ^гюл(<7р /) ’ (9.12)
О/
/?пол----— составляющая секущего модуля, определяемая деформациями
е4
ползучести.
Теория течения удовлетворительно описывает явление ползучести при до-
статочно больших напряжениях, которые во времени либо постоянны, либо
изменяются достаточно медленно.
2.2. Теория старения. При использовании этой технической теории ползу-
чести предполагается, что для любого напряженного состояния существует опре-
деленная связь между интенсивностью деформации ползучести ^ол и интенсив-
ностью напряжений О/
еР°л = I I) а.,
пли, используя введенное рапсе обозначение для Е’иол, получим
,Л1ОЛ _ ______________
1 ^НОЛ($/» О
(9.13)
Зависимость (9.13) утверждает, что для каждого фиксированного значения
времени I интенсивность деформаций ползучести является функцией интенсив-
ности напряжений, независящей от типа напряженного состояния. Именно это
положение роднит ее с зависимостями деформационной теории пластичности.
По аналогии с физическими соотношениями (8.48) деформационной теории
пластичности, сели учесть несжимаемость материала при ползучести, можно
выписать следующие зависимости для определения компонентов деформации
ползучести:
Суммируя деформации ползучести (9.14) с компонентами упругопластической
деформации (8.51), получаем формулу для определения компонентов полной
деформации
е</ = —+-оР—О-/ —°5</) +-оГ~
\ -спол
(9.15)
('одержание первой скобки отвечает упру! ой деформации, второй член о пре’
деляет чисто пластическую деформацию, а последний член — деформацию пол’
зучестп.
Модуль ползучести ЕЗЬ)31 определяется из опытов на одноосное растяжение
0.16)
ьх
Если учесть, что в качестве исходных данных для уравнений как теории
течения, так и теории старения, служат одни и те же кривые ползучести, то
можно предположить наличие определенной связи между функцией Ёпол(ф, I)
в теории старения и функцией В (/) и параметром т в теории течения. Действи-
тельно, интегрируя по I при ох = сопз! зависимость (9.10), получаем
I
ЕПОЛ __ I В {1} с1В
Л .VI
о
пл», если учесть (9.16),
I
<9Л7>
^пол (Чо Н о
и, следовательно, для функции ^пол(°ъ $ возможна аппроксимация вида
= А (I) <‘4 (9.18)
^ПОЛ
где
Л (/) = | В (/) а/. (9.19)
о
Соотношение (9.17), также как и зависимости (8.51) деформационной тео-
рии пластичности, устанавливает функциональную зависимость между компо-
нентами напряжений и компонентами деформаций, т. е. для каждого фиксиро-
ванного момента времени независимо от истории нагружения существует одно-
значная связь между напряженным и деформированным состояниями. Последнее
обстоятельство позволяет при решении задач ползучести на основе использова-
ния теории старения привлечь методы решения задач деформационной теории
пластичности.
Простота зависимостей теории старения способствовала ее широкому рас-
пространению в инженерных расчетах ползучести.
2.3. Теория упрочнения. В основе этой технической теории ползучести лежит
предположение о том, что скорость интенсивности ползучести является функцией
интенсивности напряжения и интенсивности деформаций ползучести
^'1ОЛ _ л (а,)
л Шол)
(9.20)
вне зависимости от вида напряженного состояния.
Часто принимают
/2(а,) = С0₽; 0Г) = (8Г)“ (9.21)
Значения С, а и ₽ определяются из эксперимента.
Разделим уравнение (9.4) па сП и воспользуемся для исключения скорости
интенсивности деформаций ползучести зависимостями (9.20) и (9.21). Получим
<ол 3 а?"1
сП ~ 2 С (е?ол)а (9.22)
Величина С находится из опыта на одноосное растяжение
сП ^епол)а * (9.23)
Проинтегрировав (9.23) при ох = сопз!, получим [14]
1____Р____1_
«Г = Ш +«) С]1+а * (9.24)
Из сопоставления выражений (9.23), (9.10) и (9.16) с учетом (9.18) и (9.19)
аидем, чго равноценная аппроксимация кривых ползучести по всем изложенным
выше техническим теориям возможна при соблюдении следующих соотношений
Г 1 1
А (I) = В (0 сП = [(1 а) С]Ж* .
(9.25)
Соотношениям (9 22), если предположить существование простого нагвуже
ния, можно придать форму зависимостей (9.51) деформационной теории
ности. С этой целью проинтегрируем (9.22) по времени I Получим
пластич-
рПОЛ _ 3 Г* О?
4 2 (е^ол)а ’
о
или если учесть зависимости (9.20) и (9 21),
пол 3 ~ об// С пол _ 3 %
~ ~2--------------3 1 ~ 2 ~ - аб‘7> “
о
(9-26)
Полученный результат в сочетании с формулами (9.11) и (9 15) убеждает
нас в том, что в условиях простого нагружения все технические теории ползуче-
сти, изложенные выше, оказываются равноценными и приводят к одному и тому
же результату.
Физические соотношения, устанавливающие связь между напряжениями
и деформациями в условиях ползучести при объемном напряженном состоянии,
хотя и совпадают по форме с соответствующими соотношениями теории пластич-
ности, по несколько сложнее их. В физические соотношения теории ползучести
входит дополнительно время.
2.4. Метод решения задач теории ползучести. Можно предложить следую-
щую приближенную схему решения задач теории ползучести Весь процесс
ползучести разбивается на ряд временных отрезков А// (I = 1, 2, 3, ...), внутри
каждого из которых можно пренебречь изменяемостью свойств материала. Эти
свойства для каждого интервала времени определяются непосредственно из
физических соотношений той теории ползучести, которая используется для
решения задачи. В результате в пределах каждого интервала времени поведение
рассчитываемой конструкции может быть описано с помощью уравнений одной
из теорий пластичности: при использовании теории старения — уравнениями
деформационной теории пластичности, при использовании же теорий течения
и упрочнения — уравнениями пластического течения.
При таком подходе к решению задач ползучести нет необходимости в полу-
чении каких-то новых уравнений равновесия, описывающих поведение данной
конструкции (балки, пластины, оболочки и т. п ) с учетом явления ползучести
материала. Достаточно воспользоваться соответствующими уравнениями равно-
весия, описывающими ее поведение в упругопластической области. Жесткостные
параметры в этих уравнениях определяются из физических соотношений теорий
ползучести при некотором фиксированном моменте времени в пре-
делах каждого интервала △//.
ГЛАВА 10. ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ
МАТЕРИАЛОВ
Ползучесть неметаллических строительных материалов (традиционных для
судостроения древесины и бетона, а также относит ль о новых < л лс-
пластиков) лишь внешне протекает подобно ползучести металлов. При более вни-
мательном рассмотрении обнаруживаются существенные отличия...
линейная зависимость деформаций ползучести от напряжении в диапазоне
сравнительно невысоких уровней напряжений, допускаемых в 5слов! ях эксплу-
атации;
отсутствие стадии установившейся ползучееги;
упругое последействие при снятии нагрузки и отсутствие остаточных дефор-
маций в области линейной ползучести для структурно устойчивых материалов;
значительные по величине деформации ползучести при комнаткой темпера-
туре («холодная» ползучесть).
Поэтому изложенные в предыдущей главе технические теории ползучести
металлов, как правило, не могут быть применены для описания ползучести не-
металлических строительных материалов и расчета конструкций из них. Здесь
используется другой аппарат.
§ 1. Линейные уравнения ползучести
1.1. Уравнение Больцмана. Основная идея, используемая при выводе на-
следственных соотношений ползучести, состоит в том, что деформация е (/) зави-
сит не только от напряжений, действующих в тот же момент времени /, а опре-
деляется всей совокупностью напряжений о (т), 0 С т < /, действующих от на-
чала нагружения вплоть до времени /. Если деформацию, соответствующую
мгновенной упругости, выделить в качестве отдельного слагаемого, то для случая
одноосного растяжения стержня получим
I
(0 “ ст (/)//?-|--^-^ К (I — т) о (т) с1т. (10.1)
о
Интегральное соотношение (10.1) впервые было получено Больцманом.
Разностное ядро ползучести К (/ — т) наследственного интеграла в (10 1)
характеризует «память» материала о предыдущих воздействиях и отражает не-
изменность свойств материала во времени (структурную устойчивость). Для мате-
риалов, свойства которых во времени изменяются, необходимо вводить неразно-
стное ядро^/С (/, т). При полном восстановлении в соответствии с принципом
затухающей памяти [10] функция /< (/ — т) монотонно стремится к нулю с ро-
стом аргумента.
Если в качестве ядра используется экспонента пли сумма экспонент
п
К (I — т) = 2 (10.2)
1=1
то интегральное соотношение (10.1) может быть сведено к дифференциальному
с“ст + °^ +— ь^ + ь^ + ь^ + --- (10.3)
Дифференциальные зависимости типа (10.3) соответствуют моделям вязко-
матеРиала» содержащим различным образом соединенные упругие
нич т ВЯЗКИе поршни (м°Аели Максвелла, Фойгта, Кельвина и их обобще-
на). 1акие модели и описывающие их днфференцияльпыс соотношения широко
116
применялись ранее физиками при изучении
течения различных веществ [14], а также не-
которыми механиками [2]. В настоящее время
чаще применяется более общее интегральное со-
отношение (10.1) с иеэкспоненциальиыми ядрами.
1.2. Ядра ползучести. Кривые ползучести
многих конструкционных материалов, и в пер-
вую очередь полимеров и армированных пла-
стиков в области стеклообразного состояния,
часто с хорошей точностью удае7ся аппроксими-
ровать зависимостью
е(/) ^=е0 (1 + с/")'. Ео = ^р и <1. (10.4)
Степенная ползучесть (10.4) может быть по-
лучена из уравнения (10.1) при о (т) — сопз1,
если в качестве ядра использовать степенное
ядро Абеля
/< (/ — т) = /а (/ _ т) =
(/ - т)а
Г (1 + а)
(—1 < а = п — 1 С 0).
(10 5)
Здесь Г ( ) — гамма-функция.
Ядро Абеля принадлежит к
. /А
при 0 скорость ползучести ——
класс}7 слабосингулярных ядер, поскольку
—> сю, но сама деформация конечна. Экспери-
менты показывают, что в начальный момент времени скорость ползучести дей-
ствительно весьма велика и ее измерение затруднительно (рис. 10.1).
Теоретическое построение кривой релаксации о (/) при е (/) = сопз! па основе
(10.1) связано с решением интегрального уравнения Вольтсрра II рода. Решение
имеет вид
г
(0 -) к ц
о
о (/) = Е Е
— т) Е (т) I ,
(10.6)
где Н (I— т) — ядро релаксации, представляющее собой резольвенту ядра пол-
зучести.
^Резольвента ядра Абеля найдена 10. II. Работновым и названа им дробно-
э кс п о и е н ци альной фу н кци ей
ОО
Эа (—Р> I — т) = Ц
11= 0
(-(})" (/ _ т)« (Н-«)
ГЦп 1)(а+ 1)]
(Ю.7)
В случае а — 0 ряд (10.7) определяет обычную (целую) экспоненту
Эо(-Р, /-т) = е-Р</-т>.
(Ю.8)
Если кривая ползучести описывается с помощью дробно-экспоненциальной
функции в форме
Г I 1
е (0 =
Э& (—Р, — т) ст (т) с1т
(10.9)
то кривая релаксации также выражается с помощью дробно-экспоненциальной
функции, но параметр ядра изменяется:
ст (/) = Е
I
е (/) — X | Эа (—Р — К, I — т) е (т) (Н
о
(10.10)
Это свойство характерно не только для Эа-операторов, но и для всех резольвент-
ных операторов [13].
Дробно-экспоненциальная функция, также как и ядро Абеля, обладает
свойством слабой сингулярности Нт Эа (-₽, /) = ос, ио в отличие от ядра Абеля,
/->0
характеризующего неограниченную ползучесть, предел интеграла
I
Игл | Эа (—Р> т) д,х = —й-
Моо Л Р
о
(10.11)
конечен. Поэтому с помощью Эа-функции удается описагь ограниченную пол-
зучесть; величина длительного модуля в соответствии с (10.9) и (10.11) равна
Дробно-экспоненциальная функция Работнова широко применяется для
описания ползучести и релаксации полимеров в широком температурно-времен-
ном диапазоне, охватывающем области стеклообразного и высокоэластического
состояний [5], а также для описания ограниченной ползучести стекло- и угле-
пластиков в направлении армирования.
Для функции и интеграла от нее составлены таблицы [13]; определение
констант по экспериментальным данным производится с помощью графоаналити-
ческого метода или на ЭЦВМ.
1.3. Наследственная теория старения. Уравнение Больцмана (10.1) с раз-
ностным ядром /С (/— т) инвариантно во времени относительно начала отсчета
и поэтому не может описать ползучесть материалов, для которых существенную
роль играет старение, т. е. изменение свойств, происходящее во времени и не
связанное с нагружением. Для бетона, твердеющего после изготовления в течение
длительного времени, необходимо учитывать уменьшение его способности к не-
упругому, а в ряде случаев и к мгновенно упругому деформированию. В связи
с этим в работах Г. Н. Маслова и Н. X. Арупоияна разработана более общая
наследственная теория старения, в которой используются неразностные ядра.
В наследственной теории старения при одноосном растяжении (сжатии)
принимается следующий физический закон:
6 =- Iк (Л г) а (т) (1°-1з)
где неразностное ядро /< (/, т) выражается через модуль мгновенной упругости
Е (т), изменяющийся во времени, и меру ползучести с (I, т)
— константа материала.
Для бетона обычно используются экспоненциальные ядра. При этом в пер-
вом приближении для сравнительно небольшой продолжительности ползучести
[1] ограничиваются одной экспонентой, принимая
с(/, т) = ср(т)[1
/[
ф(т) = О> + — > (10.15)
где с0, Я, у — константы материала.
Интегральное соотношение (10.13) может быть сведено к дифференциальному
так же, как и уравнение (10.1) с разностным экспоненциальным ядром, однако
в данном случае, для стареющего бетона, дифференциальное уравнение имеет
переменные коэффициенты.
Д частном случае, когда <р (т) = сопз1, Е (т) = сопз1, Д = 0, из уравнения
получаем уравнение наследственной георпп упругости Больцмана (10.1).
Другой способ учета старения, связан-
ный с приведенным временем, предложен
в [15].
1.4. Влияние температуры на ползу-
честь. Для полимерных материалов и
древесины повышение температуры резко
ускоряет процессы ползучести и релакса-
ции Поэтому в расчетах судовых конструк-
ций на длительно приложенную нагрузку
следует учитывать температурные эффекты
ползучести.
Для армированных пластиков большой
практический интерес представляют техно-
логические задачи, связанные с расчетом
температурных напряжений, возникающих
на стадии термообработки в процессе изго-
товления. Проведенные исследования пока-
зали, что уточненный расчет температурных
технологических напряжений в конструкциях из стеклопластиков и углепла-
стиков необходимо проводить на основе непзотермических уравнений наслед-
ственной теории упругости, учитывающих влияние температуры на неупру-
гие свойства материала.
Температурные напряжения оказывают существенное влияние на работо-
способность бетонных и железобетонных конструкций, однако влиянием темпе-
ратуры на неупругие свойства бетона часто (например, в диапазоне климати-
ческих изменений температуры) можно пренебречь, что упрощает исследование
и позволяет рассматривать обычные температурные задачи наследствен-
ной теории старения для материала, свойства которого от температуры не
зависят.
Наиболее распространенный способ введения температуры в уравнения на-
следственной упругости связан с использованием принципа температурно-вре-
менной аналогии (ТВА), впервые сформулированного А. П. Александровым
и Ю. С. Лазуркипым. В основе этого принципа лежит экспериментально уста-
нов пенный факт, заключающийся в том, что кривые податливости Оп(0~ -п ,
полученные в опытах на ползучесть в линейной области при различных фиксиро-
ванных температурах Т[ = сопз!, /= 1, 2, .... в координатах Лп — 1§ / могут
быть совмещены в одну «обобщенную^ кривую податливости при базовой темпе-
ратуре путем перемещения кривых вдоль оси абсцисс (рис. 10.2). В темпе-
ратурно-временной аналогии предполагается, что модуль мгновенной упругости
от температуры не зависит, а функция впол(/) представляет собой собственно
ползучесть, т. е. разность между полной деформацией 8 (/) и мгновенно упругой.
Часто построение обобщенной кривой осуществляют для полной деформации
8 (/) без выделения мгновенно упругой. Тогда по оси ординат откладывают зна-
чение податливости Р (/) = 8 (/) о, соответствующее полной измеренной де-
формации.
В соответствии с принципом ТВА повышение температуры в опыте на ползу-
честь от То до Т ио величине достигнутой деформации эквивалентно большей
длительности эксперимента при Ту. Поэтому ТВА используют для прогнозиро-
вания длительной ползучести по результатам кратковременных опытов, т. е.
экстраполяции кривых ползучести [17].
Эквивалентное или приведенное время | определяется из соотношения
/=Ф(Т) =
или
1 = я т I,
(10.16)
где ф(7')—определяемая экспериментально функция температуры, характери-
зующая сдвиг кривых по времени.
В сл\час нестационарной температуры Т — Т (/) приведенное время вычис-
ляется но формуле
В = [ <7 [Г (р)] (10.17)
б
обобщающей (10.16).
Материалы, удовлетворяющие принципу ТВА, называются термореологп-
чески простыми. Для них неизотермическое уравнение наследственной теории
упругости при одноосном растяжении (сжатии) записывается по-прежнему в форМе
уравнения Больцмана с разностным ядром (10.1)
+ (Ю.18)
о
но вместо временных переменных /нт используются приведенные переменные ?
и учитывающие историю изменения температуры во времени ъ
т
5 = = [ <7 И (1>)1 </('• (10.19)
б
Многочисленные примеры использования принципа ТВА для полимеров
приведены в [17]. Различные неизотермпческпе задачи линейной наследственной
упругости (термо-вязкоупругости) рассмотрены в [3,8, 10]. В настоящее время
интенсивно разрабатываются различные варианты нелинейных пеизотермических
уравнений наследственной теории упругости [3, 8, 10, 13, 15]. *
§ 2. Расчет элементов конструкций
2.1. Уравнения ползучести для сложного напряженного состояния. Для
того чтобы компактно записать уравнения наследственной теории упругости для
пространственной задачи, воспользуемся символическим обозначением Воль-
терра для интегрального оператора свертки в уравнении (10.6):
а= /Г (1 — /?*) е. (10 20)
Умножение интегрального оператора /?* на функцию е соответствует вычисле-
нию интеграла, записанного в правой части уравнения (10 6). Соотношение
(10.20) может быть записано еще короче, в форме закона Гука
о=Ж (10.21)
если ввести обозначение:
Е = Е (1 — /?*). (10.22)
Уравнения наследственной теории упругости для изотропной среды в про-
странственной задаче с использованием тензорных обозначений имеют вид
5;/ = 2&,7;
с0 — ЗКч.о, (10.23)
г ле
С'/ — у — п4- у О’рб/ у,
6 = 0(1 — (/*); /<=/<(1-У*);
и V* — ядра релаксации для девиаторной и шаровой составляющих тен-
зора напряжений
Уравнения наследственной теории старения для тяжелых изотропных бето-
нов при сложном напряженном состоянии в первом приближении могут быть
приняты также в виде (10.23), по при этом, естественно, применяются интеграль-
ные операторы с ядром неразностного чипа вида (10.14).
Во многих случаях при сравнительно пебопып™
ческой составляющей для полимеров можно пщщХ "* ЗИачеи,,ях гидростат»,
иом сжатии по сравнению с ползучестью при слю го т ползУчестыо при объем-
ннй (10.23) оператор /< заменяется константой Иио ЛЭ В° “ТОром "3 >'Рав"е-
иое допущение о несжимаемости /( = со в', , да п[1и,'||’1ается более си1ь-
гидростатического давления ситуация резко усттгпоПЗНаЧ11Тель,,0Й величины
ратор сдвига О оказывается зависящим от величии., п ™ ™''К' Т°Г°’ ЧТ0 опе’
называться от линейных уравнений (10 23) Ппиитп,.?’ ПОЭтОму приходится от-
не только в случае применения полимерных'матепияп^^, С ЭТНМ С1алк™аются
. Для анизотропных вязкоупругих: материалов ’ 0 также 11 бетонов,
пластики, легкие бетоны) вводятся тензоры чет^п™^™3’ аРмиРовапные
заменяющие упругие постоянные в законе Ггк-, „„„ раига ~ операторы,
юне 1 у ка для упругих материалов
°‘у (10.24)
Количество различных операторов, входящих в соотношение (10 24) может
быть уменьшено, если принять во внимание соображения симметрии а также
учесть особенности деформирования материала в различных направлениях. На-
пример, эксперименты с образцами стеклопластика, вырезанными из пластин
параллельной структуры укладки, показали, что ползучесть при растяжении
(сжатии) в направлениях армирования по сравнению с ползучестью при сдвиге
сравнительно невелика. Поэтому для ортотропных тканевых стеклопластиков
в случае пло кои задачи целесообразно ввести лишь один оператор — оператор
сдвига в пло ко ти листа, а операторы Ех и Еу заменить длительными моду-
лями Ех са и Еу, оо. Коэффициент Пуассона V изменяется во времени мало
и может быть принят постоянным. В результате приходим к модели сдвиговой
ползучести, применимой для тонколистовых элементов конструкций из армиро-
ванных плас тиков. Для трехмерной задачи ортотропного тела (толстостенные
пластины и оболочки) целесообразно ввести три оператора сдвига, оператор Е ,
поскольку в направлении оси г (по толщине) армирование отсутствует и ползу-
честь достаточно велика, и два операторных коэффициента Пуассона чхг и
Очевидно, что при длительном приложении нагрузки анизотропия ползуче-
сти проявляется в большей степени, нежели анизотропия упругости при мгновен-
ном нагружении.
2.2. Методы решения задач. Полная система уравнений краевых квазиста-
тпческих задач наследственной теории упругости наряду с определяющими соот-
ношениями среды (10.24) включает:
дифференциальные уравнения равновесия
^7 + А.. = 0; (10.25)
дифференциальные зависимости Коши
< дщ
< д г/
(I, / = 1, 2, 3),
(10.26)
а также начальные при /= 0 и краевые условия на границе тела.
Отличие этой системы уравнений от уравнений теории упругости состоит
лишь в использовании временных интегральных операторов ы вместо констант
материала Е^ы- Ввиду переставимости (коммутативности) операций дифферен-
цирования (интегрирования) по координатам и интегрирования по времени имеет
место принцип Вольтерра: решение задачи теории наследственной упругости
получается из решения задачи теории упругости заменой упругих постоянных
материала соответствующими интегральными операторами. Таким образом, если
имеется аналитическое решение упругой задачи, решение задачи наследственной
упругости сводится к обращению (расшифровке) некоторых функций от интег-
ральных операторов Вольтерра. Последнее не представляет практических за-
труднений, если выполняются следующие три условия:
Н) решение упругой задачи выражается с помощью произведения рациональ-
ной функции упругих постоянных на функцию координат;
2) используются резольвентные ядра ползучести, например Эа функция
Работнова что позволяет при расшифровке применить алгебру резольвентных
операторов [12, 13] и привести задачу к вычислению некоторых интегралов;
3) имеются таблицы ядра и интеграла от него, позволяющие довести до числа
полученное в задаче ползучести решение.
Примеры, иллюстрирующие применение принципа Воль герра и алгебры
Эа-операторов, приведены в [13].
Для решения задач наследственной теории упругости
часто применяется
преобразование Лапласа:
1(р) = р(0
о
Применяя (10.27) к исходному соотношению ползучести
релаксации (10.6), получим
<Цр) = Е<> (р)ё(р).
(10.27)
(10.1) и уравнению
(10.28)
Соотношение (10.28) свидетельствует о том, что изображения напряжений и де-
формаций связаны меж цу собой законом Гука, причем коэффициент пропорци-
ональности — преобразованный модуль Е° (р) — выражае ся через изображение
ядра ползучести пли релаксации
Е« (р) =-----=-----= Е [1 - К (р)]. (10.29)
1 + К (Р)
Изображения ядер Абеля (10.5) и Работнова (10.7) имеют вид
/а (Р) - Лрг = За (-₽, р) - + р •
(10.30)
5 Довольно широкий класс слабосингулярных порождающих и резольвентных
ядер, обобщающий ядра Абеля и Работнова, описывается формулой [6]:
У а, р, у, б (А Р) —
_____________1______________
[(Р + 5)а^'1 + р]? + А
(10.31)
Помимо указанных, сюда входят ядро Ржаницына (а = А = 0), ядро Вульф-
сон — Колтунова (а = 6 = 0), ядро Гаврильяка — Негами (А = 0). Случай
(6= 0, а = —2) соответствует ядру Шермергора, для которого сингулярность
отсутствует так же, как и для целой экспоненты (а = 6 = А = 0, у = 1). Пере-
численные ядра находят практическое применение для бетонов, полимеров и
армированных пластиков.
Учитывая (10.28), нетрудно заметить, что полная система уравнений, а также
начальные и граничные условия для изображений напряжений и деформаций
совпадают с системой уравнений, граничными и начальными условиями для
упругой задачи. Отсюда следует принцип вязкоупругого соответствия: для того
чтобы решить задачу теории наследственной упругости, необходимо решить
соответствующую упругую задачу, а затем каким-либо образом перейти от изоб-
ражений к оригиналам. Точные методы обращения, основанные на вычислении
интеграла Римана — Меллина, осуществимы лишь в исключительных случаях.
Поэтому широко применяются численные методы обращения преобразования
Лапласа [11, 16]. Численные эксперименты показали, что наиболее точные
результаты получаются при использовании квадратурных формул наивысшей
степени точности, построенных для полиномов с дробными степенями времени,
и метода В и дд ер а — Поста с усиленной сходимостью [6]. Эти формулы эффек-
тивны для вычисления оригиналов ядер,заданных своим изображением по(10 31),
и наследственных интегралов с таким ядром.
Следует иметь в виду, что как пришит р
кого преобразования Лапласа имеют 1 екотлп,.» Терра> Та« и метол
ной границей. некоторые ограничения в задачах""Тсграл1‘-
Часто используется метод аппроксимации ч„ П°ЛВ"Ж’
^ГнХор^^Т^ применяемый
переменных [12, 15]. Эффективно применен? П0'10Щь’ю метода рдалел?ЫХ
работаиных для наследственно упругих спел и о ?Риацио,,ных принт,™ Ия
В сложных задачах неизоЦ^кМД^ прннц»п°в. раз.
для неоднородного и нестационарного трАТ, наследственной теопим ,
сеточный метод. Сеточный метод а та,<ж" РаТурного успешно пп„ РУГ0СТИ
ближениые аналитические методы решения “В‘<оторые Другие численныеМ®11Я'1СЯ
II рода с неразностным ядром применялась ддаРдада?Х урав”еннй Вольтеру
задач наследственной теории
ползучестью, для
длительные модули
старения.
Некоторые задачи устойчивости
случаев, относящихся к материалам с огоат™ В-[13’ 151- В ряде
оценки критических нагрузок достаточно исполмпВ°“
в решениях упругих задач. использовать
§ 3. Длительная прочность
испытание на ползу-
Если действующее напряжение достаточно велико, то
честь образца при постоянной нагрузке заканчивается его разрушением Раз-
рушение образца может иметь вязкий характер, т. е. происходить при больших
деформациях и сопровождаться появлением шейки, пли может быть хрупким
т. е. происходить при весьма малых удлинениях. Один и тот же материал может
разрушаться вязко при высоких напряжениях (малых временах) и хрупко при
низких напряжениях (больших временах). Существуют и смешанные типы
разрушений.
Прочность материала, находящегося длительное время при постоянной на-
грузке и неизменной температуре, характеризуется величиной предела длитель-
ной прочности. Как уже указывалось в гл. 9, пределом длительной прочности
одч называют величину отношения нагрузки, при которой происходит разруше-
ние растянутого образца через определенный промежуток времени при заданной
неизменной температуре, к первоначальной площади его поперечного сечения.
С увеличением температуры и базы испытаний предел длительной прочности
снижается. Зависимость между одл и временем до разрушения обычно изоб-
ражается в двойных логарифмических координатах. Типичная диаграмма дли-
тельной прочности показана на рис. 10.3.
Слом прямых в точке В соответствует переходу от вязкого характера раз-
рушения (ДВ) к хрупкому (ВС).
Для описания экспериментальных данных по влиянию температуры на дли-
тельную прочность металлических и неметаллических материалов используют
термофлуктуационную (кинетическую) теорию
прочности твердых тел С. Н. Журкова
= 10 ехр
а также различные критерии:
критерий Ларсона—Миллера
Т (с + 1б/*) = Г(одл);
критерий Мэнсона—Хаферда
Т — Та „ , .
18 -18 ~ ( дл ;
(10.32)
(10.33)
Рис. 10.3
(10.34)
критерии Орра—Шербп—Дорна
I'
Г ехр (-^) Л = К(адл). (Ю.35)
0
Здесь Г — абсолютная температура; А— газовая постоянная; Ти, 1^ 1а,
с и0 — константы материала.
В зависимости от принятой модели разрушения (вязкое, хрупкое, смешанное)
расчетные зависимости для определения долговечности оказываются различными.
3.1. Вязкое разрушение. Время вязкого разрушения стержня при одноос-
ном растяжении в соответствии с решением Хоффа можно определить как время,
при котором обращается в нуль площадь поперечного сечения.
В предположении степенной зависимости скорости ползучести от напряже-
ний, принимаемой в теории установившегося течения металлов,
= = е = 1пТг) <10-36)
получим
/* =—!—. (10.37)
Зависимость (10.37) имеет достаточно хорошее экспериментальное подтвер-
ждение. Другие примеры определения времени вязкого разрушения некоторых
простейших элементов конструкций приведены в [9].
3.2. Хрупкое разрушение. Для описания хрупкого (малодеформационного)
разрушения целесообразно ввести новый структурный параметр — сплошность ф
[9) или поврежценность со [12]. Эти параметры связаны соотношением ф == 1 —
— со. В процессе ползучести сплошность убывает от 1 до 0; соответственно
поврежденность возрастает от 0 до 1.
Простейшее кинетическое уравнение имеет вид
= (10.38)
(II \ ф / ' 7
где отах—наибольшее растягивающее напряжение; А, ш— константы материала.
Отношение можно интерпретировать как приведенное напряжение,
возрастающее в процессе ползучести при неизменной нагрузке вследствие умень-
шения эффективной площади поперечного сечения, вызванного растрескиванием.
Время хрупкого разрушения стержня при одноосном растяжении в соответ-
ствии с (10.38) описывается простой формулой [9]
(т+ 1) Ас™’
(10.39)
Констан ы А, т легко могут быть найдены с помощью линейной аппрокенма-
ции экспериментальных данных по длительной прочности в двойных логариф-
мических координатах. Уравнение (10.39) использовалось для оценки времени
хрупкого разрушения тел с различной геометрией [9].
В случае длительного нестационарного нагружения (при переменных
во времени внешних нагрузках) из кинетического уравнения (10.38) следует
известный принцип линейного суммирования повреждений Бейли
Г б/т _
1 =1,
о
(10.40)
где (т) — время разрушения, отвечающее
<т(т) [4, 9].
текущему значению напряжения
раздел II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
КОРАБЛЯ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
I/ — силовая функция работы внешних сил;
П — потенциальная энергия деформируемого
тела;
Э = II — 17 — полная энергия деформируемого тела;
I' — объем тела;
— часть поверхности тела, на которой сфор-
мулированы кинематические граничные ус-
ловия;
82 — часть поверхности тела с силовыми гранич-
ными условиями;
5 = $1 -ф «$2 — полная поверхность тела;
н,- (х, у, г) — компоненты перемещения (/= 1, 2, 3) по
направлению декартовых координат х2- (I =
= 1, 2, 3);
(х, у, г), Ф/г (х, у, г), (х, //, г) — координатные функции деформируемого
тела;
а- (/ — 1, 2, 3) — местная система координат;
х/ (/= 1, 2, 3) — общая система координат;
д.. I = 1} 2, 3) — компоненты тензора напряжений;
2, 3) — компоненты тензора деформаций;
— матрица жесткости /-го конечного элемента;
— вектор узловых неизвестных /-го конеч-
ного элемента;
(О — вектор узловых реактивных усилий взаимо-
действия /-го элемента со смежными эле-
ментами;
— вектор узловых эквивалентных внешних
усилий /-го элемента;
[/<*], ((2}, {Е} — общая матрица жесткости, вектор узловых
неизвестных, вектор узловых эквивалент-
ных усилий в общей системе координат при
расчете конструкции по МКЭ соответ-
ственно.
В связи с резким усложнением конструкции новых типов судов и глубоко-
водных аппаратов для расчета их прочности потребовалось использование уточ-
ненных расчетных схем и современных численных методов, ориентированных
на использование ЭВМ.
Применение ЭВМ отразилось и на составе расчетных методов. При машин-
ном счете предпочтение отдается методам, обладающим большей универсально-
стью, т. е. позволяющим получить решение для более широкого класса задач и
приводящим к вычислительным алгоритмам с большим числом однотипных вы-
числительных операций.
Л1ашинная техника вычислений, которая характерна сегодня для большин-
ства приближенных методов, требует представления расчетного алгоритма в мат-
ричной форме, наиболее приспособленной к использованию машин. Применение
матриц сокращает и упрощает математические выкладки в расчетном алгоритме.
Оперирование матричным языком удобно еще и тем, что современные вычисли-
тельные машины располагают стандартными программами для производства
различных операций над матрицами. Поэтому ниже при изложении различных
численных методов будет широко использоваться теория матриц.
Основное внимание в разделе уделено численным методам, которые получили
наибольшее распространение при решении задач строительной механики корабля
и теории упругости. В разделе приводится большое число числовых примеров,
иллюстрирующих особенности применения того или иного метода к решению
самых разнообразных задач теории упругости и строительной механики корабля.
ГЛАВА 11. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАСЧЕТА
ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ
§ 1. Основные этапы исследования поведения
деформируемых тел
В расчете
можно условно
напряженно-деформированного состояния любой конструкции
выделить следующие основные этапы:
идеализация свойств заданной конструкции и внешних воздействий (по-
строение физической модели); к
математическая формулировка поведения физической модели (постпоение
математической модели); ' Е
выбор метода исследования математической модели и проведение этого ис-
следования;
анализ полученного результата.
Кратко остановимся на содержании каждого этапа.
1.1. Построение физической модели. В общем случае всякая реальная кон-
струкция (или просто какой-то объект, поведение которого под действием задан-
ных внешних воздействий исследуется) имеет бесконечно много ™обХностей
126
геометрии, свойств материала, характера внешнего нагружения пт п н „ > .
тических расчетах учесть все эти особенности при ограниченной мощности ви
числительных средств невозможно. Поэтому исследуемая конструкцня заадщется
некоторой физической моделью, обладающей лишь конечным числом особен остей
„з числа тех, которые присущи конструкции. Некоторые свойства исходной
конструкции при переносе на модель могут подвергаться каким тс™
нениям, которые, незначительно влияя на интересующие пас стороны поведегжя
данной конструкции, могли бы существенно упростить се модельное поел
ставленые. А
Так, принимая модель сплошного тела, мы осрсдняем дискретное взаимо-
действие между отдельными молекулами тела. Принятие для материала Ьич
ческой модели сплошного тела приводит к резкому упрощению математического
описания исследуемых нами явлений в напряженной конструкции
Многие из внешних сил, действующих на конструкцию, изменяются во
времени. Если это изменение происходит настолько медленно что не вызывает
в конструкции значительных инерционных сил, то вполне оправдано предполо-
жение о статическом приложении внешних нагрузок.
Из вышесказанного ясно, что физическая модель располагает часто лишь
частью свойств исходного объекта, а поэтому и проще его.
Следует заметить, что один и тот же объект может быть представлен не-
сколькими различными физическими моделями. При этом часто выбранная моде 1ь
определяет метод исследования ее поведения. Приведем конкретные примеры
наглядно раскрывающие вышесказанное.
Пример 1. Задана балка переменной жесткости Е1 (х), загруженная
поперечной нагрузкой интенсивности д (х) (рис. 11.1, а).
При расчете такой балки можно использовать несколько упрощенных мо-
делей (рис. 11.1, б; 11.1, б). На рис. 11.1, б исходная балка переменного течения
заменяется балкой ступенчато-постоянного течения. Аналогичную схематиза-
цию претерпевает и внешняя нагрузка. В результате балка переменной жест-
кости моделируется балкой, состоящей из нескольких жесткосвязанных между
собой призматических балочных элементов, каждый из которых загружен по-
стоянной нагрузкой. Для расчета этой модели очень удобно использовать обоб-
щенный метод начальных параметров или метод конечных элементов (оба эти
метода рассмотрены в настоящем разделе справочника).
На рис. 11.1, в идея дискретизации жесткостных параметров внешней на-
грузки представлена еще более грубо. Здесь исходная балка моделируется уп-
руго-жесткой системой, состоящей из нескольких абсолютно жестких на изгиб
звеньев, скрепленных между собой упругими элементами, сопротивляющимися
возникновению изломов в этих сечениях. Заметим, что в расчетном отношении
модель, изображенная на рис. 11.1, в, проще модели, представленной на
рис. 11.1, б.
Можно показать, что с увеличением числа участков, на которые разбивается
балка, точность приближенного решения, полученного при использовании опи-
санных выше моделей, возрастает.
Выше приведен пример использования идей дискретизации при выборе фи-
зических моделей. Иногда оказывается более выгодно использовать идею ко ан-
нуализации.
Рис. 11.1
Рис. 11.2
П р и м е р 2. Требуется произвести расчет призматической балки, ле-
жащей на равиоотдаленпых упругих опорах одинаковой жесткости Д’ и загру-
женной поперечной нагрузкой постоянно]’! интенсивности д (рис 11.2, п).
Если число пролетов балки достаточно велико, то при определенном соот-
ношении жесткости балки на изгиб Е1 и жесткости упругих опор К дискретные
упругие опоры можно заменить непрерывным упругим основанием постоянной
жесткости к = К/а (рис. 11.2, б).
В заключение отметим, что от того, насколько удачно выбрана физическая
модель конструкции, зависит трудоемкость расчета и точность оценки поведения
самой конструкции. Здесь многое зависит от опыта расчетчика, его понимания
физической картины поведения конструкции, умения выделить те ее характери-
стики, которые в основном и определяют поведение конструкции в интересующем
расчетчика направлении.
1.2. Построение математической модели. Следующим этапом расчета яв-
ляется математическое описание поведения физической модели, или, как иногда
говорят, построение математической модели. Математическая модель включает
матризованные входные и выходные данные и математически сформулированный
оператор перехода от первых ко вторым.
Выбранной физической модели не обязательно соответствует единственная
математическая модель. При математическом описании поведения физической
модели часто вводятся дополнительные упрощающие предположения о характере
ее отдельных свойств Это служит причиной появления для одной и той же физи-
ческой модели ряда различных математических моделей. Например, при матема-
тическом описании поведения изотропных пластин используется ряд гипотез:
гипотеза прямых нормалей, гипотеза прямой линии, гипотеза о равномерном
распределении касательных напряжений по толщине пластины и т. п. Наконец,
при описании поведения пластин под действием внешней поверхностной нагрузки
можно было бы вообще обойтись без этих гипотез, используя в самом общем виде
зависимости объемной задачи теории упругости.
Введение каждой упомянутой выше гипотезы приводит к построению своей
математической модели. Самой строгой будет математическая модель, включающая
без каких-либо дополнительных ограничений зависимости объемной задачи
теории упругости.
Приведенная выше граница между физической и математической моделями
весьма условная. В самом деле, указанные кинематические и силовые гипотезы
можно было бы представить в качестве дополнительных ограничений на свойства
физической модели.
1.3. Метод исследования математической модели и анализ полученного ре-
зультата. Для каждой математической модели может существовать, как пра-
вило, несколько методов се исследования Так, дифференциальное уравне-
ние (11.2)
\Е1 (х) в»" (х)Г — Ты" (х) + к (х) ю (х) = д (х) (11.1)
в совокупности с некоторыми краевыми условиями образует математиче-
скую модель изгиба нсшризмагической балки пзгибпой жесткости Е1 (х), лежа-
128
Рис. 11.3
щей на упругом основании переменной
жесткости к (х) и подверженной дей-
ствию поперечной нагрузки интенсив-
ности д (х) и осевых сил Т (рис. 11.3).
Исследовать данную математиче-
скую модель, т. е. получить решение
дифференциального уравнения (11.2)
при заданных граничных условиях,
можно с помощью обобщенного метода
начальных параметров, метода Ритца,
метода сеток, метода коллокаций, ме-
тода конечных элементов и т. д.
Следуег заметить, что выбор метода исследования
может существенно сказаться на устойчивости алгопитм! матическои модели
результата решения к неизбежным погрешностям чиг пл 13 чУвствительности
при5 расчете достаточно длинной б ли,? пХщей на уппугоЖ^' НапР™е₽>
зоваиие метода начальных параметров можеГприв^ ? к ™"й"нёус^ойчи’
вости и недопустимо большим погрешностям в результатах Гкпользовашш жё
алгоритму АЛЯ РеШе""И Т°И Ж6 3аДа"" "Р"В0ДИТ К Устойч"вомУ числовому
§ 2. Основные сведения о матрицах
и матричных операциях
Подавляющее число задач строительной механики и теории упругости свя-
зано с необходимостью решения систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений или уравнений в частных производных с переменными, в общем случае,
коэффициентами. Точно проинтегрировать их невозможно, и остается путь полу-
чения приближенных решений с помощью численных методов. Многие из этих
численных методов основаны на матричной схематизации процесса вычислений.
Ниже изложены основные сведения о матрицах и матричных операциях.
1. Матрицей называется совокупность элементов а^, расположенных
в виде прямоугольной таблицы, содержащей п строк и т столбцов. Такая матрица
записывается в виде
Г аИ а12 • • • а1т ~|
Л _ г Л1 = I й21 «22 • • • а2ГП I
1_&п1 ап2 • • • апт.З
Матрица [Л] имеет размеры пХт,
2. Если все элементы а^— действительные числа, матрица [Л | = [а^ |
называется действительной.
3. Матрица
А = И] = . ат] “ [аЛ,
состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.
4. Матрица
Д = {Л) = {ах а2 . . . ап] =
состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором.
5. Матрица размером пХп называется квадратной матрицей порядка п.
6. Квадратная матрица [Л] = [а^] называется:
а) треугольной, если а-^ = 0 при I > к\
б) диагональной, если а^ — 0 при I к\
. , - X ( 0 ПРИ ‘ к
в) единичной, если а^ ~ о.^ = {
( 1 при I = к\
г) симметричной, если а^ = а^.
5 Бойцов Г В. и др. % 121
7. Для диагональной
с. 1 еду ющ! । е обоз 11 а ч ей и я:
и единичной матриц часто использую! соответс венно
(И
А = [А\ =
О ... О
а2 - • • О
О . . . ап_
1
О
О
О
О
8 Под производной от матрицы [Л] = [ад (*)1 г’° аргументу х условно
понимают матрицу [Д]', получающуюся из матрицы [Л] путем замены всех ее
элементов их производными по х,
= -^-М] =
ах
с!х
Частные производные и интегралы от матриц определяются аналогично.
9. Основные операции над матрицами:
а) две матрицы [Л] = [й/д] и [5] = [Ь[к ] размером п,. т равны др} г другу
И] = [В],
если а[к = Ь[к для всех I и Л;
б) сумма двух матриц [Я] и [в] размером лХ/п есть матрица [С] разме-
ром пХт
[С] = [А] + [В] = [а1к] 4- [Ь1к\ = [а1/г + Ь[к\’,
в) произведение матрицы [А] = [агк] размером /гХ/« на скаляр а есть
матрица размером пХт
[С] = а[Л] = а[а4/] = [аа,7];
г) произведение матриц [Д] = [а/у] и [В] = [6гу] определяется лишь при
условии, что число столбцов матрицы [Д] равно числу строк матрицы [В].
Если матрица [Л] имеет размер пХт, а матрица [В] — размер тХг, то
их произведение образует матрицу [С] размером пХг
[С] = [Д] [В] = [а{/] [Ь/к] = [с/к],
где
]—т
С1 к — Х| к •
/=1
Заметим, что из существования произведения [А 1 [В] еще не следует суще-
ствования произведения [В] [Л].
10. Матрица [В] = [Л]-1 будет обратной к квадратной матрице [Л], если
МНВ] = [В] [А] = [/]. (11.2)
Можно_ показать, что достаточным условием существования обратной ма-
трицы |Л] 1 является неособенность матрицы [Д]. Определитель неособенной,
или невырожденной, матрицы пе равен нулю
(Ы [Л] = | А 1=^0.
Если же | А | = 0, то матрица [Л ] называется особенной или вырожденной.
Произведение двух невырожденных матриц и матрица, обратная невырож-
денной матрице, суть также невырожденные матрицы.
11. Если в матрице [Д] = [а^] поменять местами строки и столбцы, то
получим матрицу [Л]т= [а^], которая называется транспонированной мат-
рицей по отношению к [Л], где символ «т» обозначает операцию транспонирова-
ния.
12. Операции над произведением нескольких матриц:
.-») тр тс панированная матрица, произведения нескольких матриц
(И] [В]. . . [С])т = [С]т . . . [В]ТИ]Т; (11.3)
б) обратная матрица произведения нескольких квадратных невырожденных
матриц одного порядка
([Л] [В]. . . [С])-1 = [С]-1. . . [В]-1[Л]-1; (11.4)
в) определитель произведения квадратных матриц одного порядка
де! ([Л] [В] • • [С]) = де! [Л] де! [В] • -де! [С]. (11.5)
13. Собственными, пли характеристическими, числами квадратной матрицы
[Л] будут те значения скалярного параметра К, для которого матрица [Л~X/]
становится вырожденной, т. е.
де! (Л — V] = 0. (11.6)
14. Квадратичная форма V от п переменных лу, х2, .... хп есть многочлен
п п
У = 1Х'ЦЛ]{Х) = у, у ац<Х1хк= IX] 1Л1](Х), (11.7)
1=1 /г=1
где [Лх] =[Л ~Ь Лт] — симметричная часть матрицы [/!]= [а^]
Квадратичная форма (11.7) будет симметричной и действительной, если
[Л] —симметрична и действительна. Наконец, действительная и симметричная
квадратичная форма и соответствующая ей действительная симметричная мат-
трпца [Л] называются погожителыю определенными, отрицательно опреде ген-
ными, неотрицательными, неположительными, или неопределенными, если
соответственно V > 0; V < 0; V > 0; 7<0 или V 0.
Действительная симметричная квадратичная форма будет положительно
определенной, отрицательно определенной, неотрицательной, неположительной
или неопределенной, если собственные числа матрицы [Л] = [а^-] соответ-
ственно все положительные, все отрицательные, все неотрицательные, все не-
положительные или имеют разные знаки.
ГЛАВА 12. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
В настоящей главе приведены лишь те численные методы решения одно-
мерных краевых задач, которые нашли широкое использование в расчетах проч-
ности судовых конструкций.
§ 1. Матричная форма записи основных уравнений,
описывающих краевые одномерные задачи
строительной механики
Краевые одномерные задачи строительной механики описываются системой
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
= Ь (х- У1 (*) Уг • •> У-мп (*)
(Л А'
(/ = 1,2, ...» 2т)
при т краевых условиях соответственно на левом (х— л'о) и правом (х — хг
концах изменения х
X = Ху'. Е^ (х, У у У2> • ♦ •» У2 т) О
(/ = 1, 2, ..т);
, (12.2)
X = Ар (х, уг у2, ..., у2т) = о
(/ = 1,2, .,т).
Здесь у1 (х) являются неизвестными функциями, подлежащими. определению.
Получение точного аналитического решения краевой задачи, описываемой
системой дифференциальных уравнений (12.1) при граничных условиях (12.2),
возможно только для сравнительно простых задач строительной механики.
Во всех остальных случаях приходится довольствоваться получением прибли-
женных решений с помощью численных методов.
Уже отмечалось выше, что машинная техника вычислений, которая харак-
терна сегодня для большинства численных методов, требует представления рас-
четного алгоритма в матричной форме.
Получение матричной формы записи основных уравнений краевой одно-
мерной задачи покажем на частном примере сложного изгиба непризматпческой
балки, лежащей на упругом основании переменной жесткости. Ее изгиб описы-
вается обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка с пе-
ременными коэффициентами
[Е1 (х) и" (х)]" — Ты” (х) -Е к (х) ы (х) = д (х),
(12.3)
которое можно переписать в виде совокупности четырех дифференциальных
уравнений первого порядка
ъэ (х) = 6 (х);
Е1(х)М(х}'’
М' (х) = К (х);
Т
Е! (х)
М (х) — к (х) ш (х).
Полученная система может быть представлена одним матричным уравнением
№'(х) = А(х) 1Г(х)4-^(х),
(12.4)
где введены следующие обозначения:
^(х) =
(12.5)
(Л7 (х)
0
0
л (х) =
1 О
О —-—
г/ (х)
о о
о
Е1 (х)
О
О
1
О
Обратимся к граничным условиям. Пусть левый и правый концы балки
оперты на упругие опоры с коэффициентами податливости А, и А2 и одновре-
менно упруго защемлены с коэффициентами а, и а2, т. е.
при х — О
при х— I
— с^ЕЫ'-,
(Е1и/у -Ти>' =
Д1
щ' = — а2Е/и/';
(Е/а>")' -Тю’
71о
(12.6)
или, если воспользоваться обозначениями для элементов вектора IV
[ 0 (0) - (0) = 0;
при х = 0 <
I ьу (0) — ТА$ (0) 4- ДХМ (0) = 0;
при X =
е (/) 4- а2М (/) = 0;
щ(/)4-7Л20(/) —Л2Л;(/).
Полученные условия можно переписать в матричной форме:
где
(0) =
при х = 0 С1 (0) IV (0) = (0);
при х = / С2 (/) IV (/) = Р2 (0,
(12 7)
’ 0 | 1 | -01 ; 0
1 !—ТАГ\ 0 !
Р1 (0) =
(12.8)
В результате все основные зависимости, описывающие изгиб рассматривае-
мой балки, представлены в матричной форме: уравнение изгиба (12.3) в форме
матричного дифференциального уравнения (12*4), а граничные условия (12.6)
в виде двух матричных зависимостей (12.7).
§ 2. Метод начальных параметров
Под единым названием «метод начальных параметров» понимается группа
методов, основанных на прямой замене краевой задачи для одномерного процесса
рядом задач Коши, т. е. задач с начальными условиями.
Идея метода начальных параметров применительно к линейным задачам
весьма проста: заданные граничные условия на одном из краев конструкции
дополняются такими начальными параметрами (на этой стадии гони [неизвестны
и задаются обычно в буквенном виде), чтобы образовавшаяся при этом совокуп-
ность начальных условий полностью определила деформированное состояние кон-
струкции. Неизвестные начальные параметры, заданные на одном краю конст-
рукции, проходят в процессе решения задач Коши по всей конструкции и опре-
деляются из краевых условий на другом краю. Метод начальных параметров мо-
жно использовать и для решения нелинейных одномерных задач, если ввести
в алгоритм процедуры проб [16, 19].
2.1. Первый вариант метода начальных параметров. Пусть некоторая крае-
вая задача описывается системой 2т линейных дифференциальных уравнений,
которая представлена в виде матричного уравнения (12.4)
УГ (х) = Д (х) IV (х) 4- В (х) (12.9)
при краевых условиях (12.7)
№ 0;
х~1;
СхИЧО)- А(0); |
С21У(/)-Р2(0. /
(12.10)
где А (л) ~ квадратная матрица размером 2т; (Д, С2 прямоугольные матрицы
размером 2/пХ т (2т — число столбцов, т — число строк) ВЛ В векторы раз-
мером 2т; векторы размером т.
Общий интеграл матричного уравнения (12.9) можно записать в виде
2/п
и/ (х) = И4> (х) 4- У С1^1 (х),
1=1
(12.11)
где 1Кп(х) — частное решение уравнения (12.9), удовлетворяющее нулевым на-
чальным условиям IV (0) = 0; ИЛ (*) — частное решение однородного урав-
нения, соответствующего уравнению (12.9),
(12.12)
удовлетворяющее начальным условиям: МЛ (0) = {00 ... 1 ... 0 —(здесь все
элементы равны нулю, за исключением 4-го, который равен единице); — неиз-
вестные постоянные интегрирования.
Внося построенное указанным путем решение (12. 11) в граничные условия
(12.10), получаем необходимую систему линейных алгебраических уравнений
дтя определения неизвестных постоянных интегрирования С[ (I — 1, 2, 2т).
2.2. Второй вариант метода начальных параметров. Решение краевой задачи
можно строить и более рационально. Для этого частное решение 1У0 (х) следует
подчинить не нулевым, а начальным условиям, которые являются каким-либо
решением первого из уравнений/12.10). При этом число функций ИЛ (х) сокра-
щается до т. Каждая из функций ИЛ (х), являясь решением однородного урав-
нения (12.12), удовлетворяет при х = 0 одному из т линейно независимых
решений первого из уравнений (12.10) при равенстве нулю правой части.
В результате общее решение уравнения (12.9) примет вид
Н/(х) = И7(х) + у; а ^г-(х). (12.13)
4=1
Внося далее (12.13) во второе уравнение (12.10), получаем систему линейных
алгебраических уравнений для определения неизвестных параметров т (/ ™
= 1, 2, ..., т).
[Видим, что если в^первом варианте метода начальных параметров требо-
валось получить решение 2т 4~ 1 задач Коши, то во втором варианте число
решений уменьшилось до т 4- 1.
Для получения решения каждой задачи Коши для линейного уравнения
типа (12.9) с переменными коэффициентами при заданных начальных условиях
можно воспользоваться известными численными методами интегрирования обык-
новенных дифференциальных уравнений. Некоторые из них изложены в следую-
щем параграфе.
§ 3. Численные методы решения задачи Коши
Пусть требуется найти на отрезке [х = 0, х = /] решение системы 2т диф-
ференциальных уравнений, представленной в матричной форме,
И'' (х) = А (х) Ж (х) 4- В (х) (12.14)
при заданных начальных условиях
х = 0: IV = 1Г0. (12.15)
Разобг .1 весь интервал изменения х на п участков точками
>• - 0 <- X, < х2 < . < хк_1 < хА < -ХЫ < ... < = /.
3.1. Связь между значениями вектора IV для смежных сечений X/ и х, ^.
Зависимость между IVи IV/, необходима для построения расчетного алгорш 1а
решения задач Коши.
Приведем несколько возможных вариантов указанной зависимости под
названием соответствующего ей численного метода решения задачи Коши.
3.1.1. Метод Эйлера
- Ак^к + Вк + 0 (△?) > (12.16)
где введены следующие обозначения:
и^=1У(х^); Л* = Д/?Д/гВк~^Ви\
Л/г=Л(Х/е); Вк = В(ХкУ, Ай = Х^+1—Х/г. .
Последним членом в правой части формулы (12.16) определяется
погрешности.
3.1.2. Метод трапеции
«У+1 = Л^ + В*+°(А*)>
где
— /2 \-1 /2 \ '
Д& = I — А к+1) ’
Вк ~ ( ~т~ I — -^А+1 ) (Вк + Вк+1)'
\ &к /
3.1.3. М е т о д Рунге —К у т т а
^+1=Л^+^+о(д1).
где
Аи^=1 + "7Г (Ак + 4Ак д. 1 +
(1217)
порядок ее
(12.18)
(12.19)
(12.20)
1
(12.21)
^14 Разложение решения в ряд Тейлора. Если
\ у, * достаточно мало по сравнению с отрезком хп — Л'о, на котором
гпявненпя (12 9) то изменениями коэффициентов в матрицах
ищется решение уравнении . можно пиенебвсчь
.4 (л) и В (г) этого уравнения на отрезке х Е 1*Ь л/е+11 можно щ нсорсчь
и положить
А (х) ~ А (х/? 4- ОА^) — А/г+0>
В (л.) = В (Л'л -Н ОДА;) = #Л+0
х€[л>, х*+1]> 0<0<1. ,
(12.22)
В практических расчетах можно принять 0 = Тогда для х С *л+1)
уравнение (12.14) перепишется так:
уу' (г) = А ! IV (х) -Ь В ! .
Л + ~2 /г + Т
(12.23)
Раскладывая функцию \У (х) в окрестности точки х = хк в ряд Тейлора и
сохраняя, например, первые пять членов ряда, можно написать следующее
выражение для определения \У (х) в точке х = х&+1:
Л2 \3 Л4
^+1 « + + + . (12.24)
Исключая с помощью зависимости (12.23) значения производных в правой части
выражения (12.24), будем иметь
^+1 = 4А1УЙ +5,4-0 (Д’). (12.25)
где введены следующие обозначения:
$
3!
л3
А*
тг
л4
л2
4
41
л3
(12.26)
1 4
2
1 •
2
1 ’
Заметим, что, поскольку (12.23) является уравнением с постоянными коэф-
фициентами, очень часто для определения зависимости (12.25) удобнее пользо-
ваться непосредственно общим аналитическим решением этого уравнения.
3.2. Алгоритм численных методов решения задачи Коши. Используя, в за-
висимости от требуемой точности, один из методов, изложенных в п. 12.3.1,
находим
1Г/М1 = 7, И7, 4- вк. . (12.27)
Далее путем последовательного перехода от сечения х0 = 0 к сечению хг,
затем х2 и т. д., если последовательно пользоваться зависимостью (12.27), можно
получить
^-Н==Л>о + ^- (12.28)
Входящие сюда значения матриц А^ и В^ определяются по рекуррентным
формулам
л, = л,л;_р Вк = АкВ*к_х 4- Вк (12.29)
при А'о = Д, В'ь = Ви.
С помощью зависимости (12.28) определяются значения вектора 1У(х) в ка-
ждом из сечений хк (4 I. 2, .... п) по длине интересующего нас интервала
х 6 ко 0, хп = /I.
§ 4. Обобщенный метод начальных параметров
Пусть требуется получить решение краевой задачи для упругой системы
поведение которой в интервале х [х0 = 0, хп~ I] описывается системой
линейных дифференциальных уравнений (12.9) при граничных условиях (12.10).
Разобьем весь интервал [0, /] на п участков точками х0 = 0< х < <
... <С Хп. ~ Используя один из методов решения задач Коши, изложенных
в предыдущем параграфе, находим
^Л+1 = АкХУк 4- В/е. (12.30)
а затем
ИД+1 = АкЪ'о + В'ь, (12.31)
где А и В*к определяются по формуле (12.29).
На основании зависимости (12.31)
Ил„ = Л*_11Г0 + В,'1_1. (12.32)
Зависимость (12.31) позволяет определить элементы матрицы XV в любой
/г-й точке по длине отрезка [0, /]. в функции от параметров внешней нагрузки и
значения пока неизвестной матрицы XV (0) = 1У0-
Для определения следует уравнение (12.32) дополнить граничными усло-
виями при х = 0 и х = /, представленными в матричной форме (12.10). Из совме-
стного решения полученной системы уравнений найдем значения векторов IV
и
Уравнение (12.32) часто называют уравнением переноса граничных условий
с одного конца (х = 0) на другой конец (х = I) интервала изменения х.
При м е р. Пусть требуется определить элементы изгиба балки (рис. 12.1)
переменного сечения, загруженной поперечной нагрузкой, изменяющейся по
линейному закону
/ Ч у \
<?(х) = ?о(4- + -7-)- (12.33)
Жесткость балки также изменяется по линейному закону
на = /о(-|-+-т)-
Левый конец балки шарнирно оперт на жесткую опору, а правый — жестко
заделан
при х = 0 ш — и) = 0; )
I (12.34)
при х = I ну = ю' = 0. )
Решение. Ограничимся разбиением балки и поперечной нагрузки на
три равных участка (рис. 12.2). В пределах каждого участка согласно изложенной
выше процедуре метода жесткость балки и се нагрузка заменяются их по. оян-
ными значениями и 7/г- определяемыми но среднему сечению /г-ю участка
балки. , . „
Тогда изгиб балки в А’-м интервале (х/. < х А'/г-х) °УЛег описываться
уравнением
Е1к^’ (х) = <7Ъ (12 35)
которое можно представить (см. § 1) в виде совокупности четырех дифференци-
альных уравнений первого порядка и переписать в матричной форме
(12.36)
где
И7(А) -
Г ГУ (х)
О (х)
АОД ’
А7 (а)
1Г' (х) = ЛЛ1У(*)+^й,
0 1 0 0
1 0
о о -Д— о 0
Л А ; в к = о
0 0 0 1
^?А
0 0 0 0
(12.37)
Здесь 6 (х) — угол поворота сечения балки; И (х) и Л (х) —соответственно из-
гибающий момент и перерезывающая сила в сечении х.
Располагая значениями матриц А к и В к 'по формулам § 3, определяют зна-
чения матриц А к и Вг. Однако в рассматриваемом случае найти эти матрицы
можно проще. Проинтегрируем последовательно четыре раза подряд уравнение
(12 35) и, располагая начало координат в сечении х = х/г, с помощью полученных
при интегрировании уравнений определим элементы вектора IV в А 4~ 1-м се-
чении по значениям того же вектора в /?-м сечении н внешней нагрузки в А’-м
пролете. В результате получим
+ Л'*“6Г7Г + + °аАа + к'":
А к Аг, \.
о*. х Чк -6-^- + -Vк + Мк ~ + 0А.;
А/
-Ь Л'аАа Ай;
А'а+1 — Ук^к - Ук,
или, используя матричную форму записи,
где
^й+1 — А к В'А И- Вь,
(12.38)
।
И'а - Ч 1 7 /
Ай
Л А ,
Г । । 1
1 0 1 1
Е!к
0 0 1
0 0 0
к’а = ^а; Оа
Я =
“ ^к-
А/Д;
'а - аХ;
(12.39)
( 1 1
21Л7/, |
1 !
(12.10)
П^4ХУЛбэ',ки2'40) П0АСЧ"ТЙСМ 3,1аче""я матР»'1 Ак " Вк для каждого из трех
уЧЛСТКОо г
Далее с помощью рекурентпых зависимостей (12.29) последовательно опре-
деляются числовые значения матриц д* „ й* в сечениях к = 0, 1, 2 по длине
балки.
с учетом найденных значений
(12.41)
Уравнение перевоза граничных условий (12.32)
для матриц Д.Т и В* примет следующий вид:
1 3 157 419 617 4
&У3 407?/о 120Е/0 24О.Е7о
«3 о 1 47 25 |б. 13
- М, 2ОЛ/о 8В/0 Т1о ’ 4/-/0 (Ц.
,Л/3 0 0 0 0 1 0 з 1 м 16 3
— 1. 4 )
Если учесть, что согласно граничным условиям (12.31)
- 0; Л'1о = О; й3 = 0; 03 = (),
то из матричною уравнения (12.36) получим значения оставшихся неиз-
вестными элементов изгиба балки на левом и правом ее концах
0о — 0,65 ; Уо — — 1,25^0; Л!3 = 1,59(7О; — 2,75г7(„
Л 'о
откуда, если учесть соотношение (12.39),
7 /3
0о = 0,024 -Д- ; Ыо = — 0,416<?„(; ,М3 = 0,177</о/
Л/о
О,92^о/.
Итак, все составляющие матрицы нам известны. Известны и значения
матриц А и В . Тогда с помощью зависимости (12.31) при желании можно
определить интересующие нас элементы изгиба в промежуточных сечениях по
длине балки.
Приведенный числовой пример наглядно демонстрирует ясность механи-
ческого содержания и простоту расчетного алгоритма обобщенного метода на-
чальных параметров. Не представляет труда составить машинную программу
этого метода. Наличие такой программы позволяет сравнительно просто решать
весьма широкий класс задач строительной механики корабля.
§ 5. Погрешность и достоверность численных расчетов
Результаты использования численных методов должны быть проанализиро-
ваны с целью проверки их достоверности и оценки точности.
Причин возможных погрешностей много- неадекватность главных свойств
физической модели и исследуемого объекта (конструкции), введение дополни-
тельных упрощающих гипотез при рассмотрении математической модели, при-
ближенность выбранного метода исследования математической модели и, нако-
нец, неточность задания исходных данных и накапливаемые при числовых опера-
циях в ЭВМ погрешности из-за округления значащих цифр.
‘ Большинство из указанных причин полностью устранить нельзя, но всегда
можно с помощью определенных дополнительных мер снизить их отрицательные
последствия.
Очень важно на каждом этапе расчета располагать оценкой его погрешности.
В самом деле, не имеет особого смысла продолжать исследования, если физи-
ческая модель не достаточно точно отражает интересующие нас свойства моде-
лируемого объекта, если математическая модель нс в состоянии с требуемой
строгостью описать поведение физической модели или если численный алгоритм
для исследования математической модели не обладает хорошей устойчив < /ыо.
5.1. Погрешность физической модели. Оценка погрешности при построении
физической модели (как и математической) можно произвести путем сопоставле-
ния полученных результатов с идентичными резульга.ами для уточненных мо-
телей На этой стадии расчета многое зависит от квалификации и опыта расчет-
чика, от его умения выделить в моделируемом объекте главные чс рты ин ресу-
ющего нас явления с целью последующего их включения в физическую модель.
Физическая модель должна обладать такой же устойчивостью, т. е. степенью
ч\вствительности на изменение своих входных данных, какой обладает и модели-
руемый объект. Обычно это требование легко выполнимо.
5.2. Погрешность дискретизации. Исходная математическая модель, адек-
ватно отображающая все главные свойства физической модели, часто оказывается
неудобной для построения расчетного алгоритма. Это вынуждает произвести пре-
образование математической модели. Например, краевая задача зам няв1Ся ре-
шением ряда задач Коши, пли от исходных дифференциальных уравнений пере-
ходят к алгебраическим, используя метод конечных разностей. При этом вознн-
I кает так называемая погрешность дискретизации, связанная с погрешностью
собственно метода (переход к математической модели с конечным числом степенен
свободы). Последнее может носить явный характер, как, например, в методе ко-
нечных элементов, и неявный при использовании вариационных методов, когда
сохраняется в разложениях для искомых функций ограниченное число варьи-
руемых параметров.
Пусть исходные данные задачи определяют в пространстве исходных данных
точку’ х2. Система дифференциальных уравнений и краевых условий математиче-
ской модели — своего рода некоторый неявный оператор Ь (х) — однозначно
(предполагается однозначность решения) преобразует точку х1 в точку уг про-
странства искомых результатов. Координата ух есть интересующий нас результат,
а совокупность х1 и оператора Ь (х) представляет исходную математическую
модель физической модели.
Точная расчетная схема вполне эквивалентна оператору Ь (х), а прибли-
женная схема, основанная, например, на замене дифференциальных зависимо-
стей их конечно-разностными отношениями, дает уже некоторый оператор
А* (х), преобразующий значение х1 не в уг, а в некоторую близкую к ней точку
У* ~ Ух + АуДНСКР, Здесь Д^дпскр определяет погрешность дискретизации.
Приемлемость принятого для исследования конкретного приближенного
решения оценивается полностью величиной А^ДПСКР. Если получаемая величина
погрешности дискретизации выходит за пределы допустимых значений, то вводят
уточнение в оператор Е* (х). Например, уменьшают шаг в конечно-разностных
схемах или размер элементов в методе конечных элементов.
5.3. Погрешность округления и числовая устойчивость алгоритма решения.
Погрешность дискретизации, дополненная погрешностями от замены объекта
его физической моделью, точно определяла бы погрешность расчета, если бы
все вычислительные операции, в том числе и задание исходных данных, могли
выполняться абсолютно точно. В практических же расчетах, выполняемых на
ЭЕЛ1, происходит округление значащих цифр, а исходные данные задаются с не-
которой погрешностью \хР При этом вводится понятие хорошо и плохо обуслов-
ленной задачи, устойчивого и неустойчивого алгоритма (метода) решения задачи.
Метод устойчив, а задача хорошо обусловлена в точке х1г если в некоторой об-
ласти б около этой точки преобразование I (хх + Ах) дает точку у<> = ш + До
лежащую в пределах достаточно малой области 8 около точки у., Если ^выходит
за пределы допустимых значений в, то задача плохо обусловлена и алгоритм ее
решения обладает слабой числовой устойчивостью (применительно к данной
зада че).
•7А-тл1аЛрИ :ер’'аЛГ0?“™ мегода начальных параметров не всегда обладает удов-
за™ы №^,'ХГТ0ИЧ,'В?гТЬЮ ДеЛ° С Т0М’ "то в ос"°ве этого г
лв!! ш и КраеБ0И задачи с0в0кУП||0с'ГЬ10 задачи Коши. Решения же от-
Это ииро^т независимой переменной х сильно возрастают,
разноси, бт икну иГ0 "скомь'е элеме»™ изгиба определяются через малую
11 н добиться удовлетворительной точности числовых
расчетов становт я затруднительным. Повысить точность расчета можно то
бы путем увеличения числа значащих цифр в мантиссе чисел. К сожалению
возможности используемых в настоящее время электронных числовых машин
ограничены: большинство из них ведет числовые расчеты при сохранении в ман-
тиссе чисел лишь 8—9 десятичных знаков. Такая точность часто оказывается
недостаточной.
Заметим, что слабые стороны метода начальных параметров проявляются
тем сильнее, чем слабее влияние краевых условий закрепления одного конца рас-
сматриваемого интервала на поведение искомой функции в районе другого конца
Следовательно, при расчете, например, балки на упругом основании с помощью
обобщенного метода начальных параметров увеличение ее длины или жесткости
упругого основания будет сопровождаться ростом погрешности в числовых ре-
зультатах. Однако именно для этих задач ряд методов, которые будут изложены
в дальнейшем, обеспечивают хорошую числовую устойчивость алгоритма.
Погрешнс I гь, связанная с неточным заданием исходных данных и округле-
нием значащих цифр при выполнении вычислительных операций в машпне/при-
нято называть погрешностью округления.
5.4. Полная погрешность расчета. Полная погрешность результата расчета
конструкции складывается из погрешности А//ф. м, связанной с отсутствием стро-
гой адекватности между конструкцией и ее физической моделью, погрешности
дискретизации А//ДИСКР ” погрешности округления Аг/0КР
А// — А//фе м -ф- Лг/дПС1-Р А{/0КР. (12.42)
При расчете сложных инженерных конструкций весьма трудно определить зна-
чения отдельных составляющих Аг/. Для оценки А// можно рекомендовать про-
ведение такого численного эксперимента: незначительно варьируя данными (о),
смотрим, как при этом изменяется результат счета (е). Анализ получаемой при
этом зависимости е (6), если учесть пределы возможного разброса исходных
данных и допустимую погрешность в результатах, позволяет судить о степени
устойчивости схемы и о ее пригодности для данного расчета.
Для повышения уверенности в результатах расчета сложных и ответственных
конструкций рекомендуется выполнение расчетов с помощью разных методов.
При этом очень полезно умелое сочетание строгих численных методов с прибли-
женными. Приближенные методы позволяют в первом приближении очертить
область ожидаемого результата и тем самым осуществить, хотя бы грубый, кон-
троль над результатами расчета по уточненным численным методам.
Следует подчеркнуть, что надежность расчета не может гарантироваться стро-
гостью математического аппарата. Она в значительной степени зависит от квали-
фикации, опыта и интуиции расчетчика, от его умения понять основные черты
в поведении изучаемой конструкции и его способности выбрать наиболее подхо-
дящий для данной задачи математический метод.
§ 6. Метод парциальных откликов (метод прогонки)
Основные идеи метода сначала применительно к расчету дискретных систем,
а затем и систем с непрерывными параметрами были изложены в работах [3,
22]. Метод сразу же получил широкое использование в расчетах прочности кон-
струкций. Почти одновременно были опубликованы основные положения метода
прогонки применительно к численному решению обыкновенного уравнения
второго порядка [7]. Дальнейшие исследования [3] показали, что метод парци-
альных откликов и метод прогонки для линейных одномерных краевых задач
приводят к получению одного и того же расчетного алгоритма, хотя авторы этих
методов исходили из разных физических предпосылок.
В § 4 уже отмечалось, что при использовании метода начальных параметров
для определенного класса одномерных краевых задач наблюдается слабая устой-
чивость численного алгоритма. Именно для этого же класса краевых задач метод
парциальных откликов (метод прогонки) позволяет получить устойчивый рас-
четный алгоритм при численном интегрировании обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с переменными коэффициентами.
6 1 Основные зависимости метода. Дифференциальные уравнения и гранич-
ные условия, описывающие рассматриваемую двухточечную краевую задачу,
предоставляются в .матричном виде (см. § !)•
дифференциальное уравнение
1Г(х) = А (х) И7 (х)-ф-2? (х), (12.43)
где И7 (л) — вектор из 2т неизвестных функций х; А (х) квадратная .матрица
порядка 2/л; В (х) — вектор размером 2т,
граничные условия (см. (12.7))
при х — 0: С] И7 (0) = ’’ )
} (12.44)
при х = I: СоВ7 (0 = Да» )
г те и С, — прямоугольные матрицы размером т 2т (число строк— /п,
столбцов — 2т); Ог и — векторы-столбцы из т элементов
Вектор \У (х) разбивается на два вектора по т неизвестных функции в каждом
IV (А) = { И7! (л) И72 (х)} - (12.45)
Заметим, что нс всегда безразлично, в какой из дв} х векторов \У ]У2 вклю-
чать тот или иной элемент неизвестного вектора И7 (х). Конкретные рекомендации
по выбору содержания вектора И7!, а следовательно, и век ор<: 1У2 приводятся
ниже. Воспользовавшись представлением (12.45) для искомого вектора И7 (х),
перепишем уравнение (12.43) в виде системы двух матричных уравнений
+ ^12^2 + ^1’
и7' = л21и71 + л22и72 + ^2. ,
Изменим формул}' записи и граничного условия при х = 0:
КпС12] {И7! 1У2)
отсюда
УУ^)^^ (0)+Ль
где Сп и С12 — квадратные блоки матрицы Су
~ Сп 1С[2; 7?0 —
Предполагается, что матрица Сп — неособенная.
Решение системы уравнений (12.46) ищется в виде
И7! (х) = (] (х) XV 2 (х) + К (х),
где С} (х) и /? (х) — неизвестные матрицы, имеющие вид
(12.46)
(12.47)
(12.48)
(12.49)
<?(Ч=| Гй1 (V) ' 721 (*) <712 (X) • ?22 М • • 7141 (х) • • 7241 (^) ' П (х) г2 (л) •
-Ят1 (х) 7/42 (х) . . Я шт (х)_ г т (х) )
Матрица С} (х) определяется из решения задачи Коши для дифференциаль-
ного уравнения
(12.50)
О М = -<Э(х) [л21 (х) (? (х) + А22 (х)1 4- лп (х) (? (х) -Н 112 (X) (12.51)
при начальном условии
= (12.52)
Матричное уравнение (12 51) при начальном условии (12 52) можег быть
решено с помощью многих численных методов. Если, например, воспользоваться
методом Эйлера, то переход от Л-го сечения
/, 1-му определится зависимостью вида
ио длине бачки к последующему
<2а+1 - — {вк (л21 (-Ч-) вк -’г 4-22 (^)] — Ди (х/,) (?к — Д12 (хЛ)) д/? _|_
(12.53)
Неизвестная матрица 7? (х) является решением также задачи Коши опи-
сываемой дифференциальным матричным уравнением
/? (х) = [Ди (х) — ($ (х) Д21 (х)] В (х) В1 (х) — <2 (х) В> (х) (12.54)
при начальном условии
Я(О) = /?о. (12.55)
Линейное дифференциальное уравнение (12.54) (матрица $ (х) считается
уже известной) при начальном условии (12.55) может быть решено любым числен-
ным методом, изложенным в § 3.
Внося найденные значения функций (х) и В (х) при х == / в зависимость
(12.49), получаем
(') = <? (О 1У2 (/)Ч-/?(/). (12.56)
Дополняя (12.56) граничными условиями при х = I (вторая формула (12.14)),
получаем необходимую систему алгебраических уравнений для определения
(/) и ГИ2 (/).
Зная XV (!) — (/) \Х/2 (0) можно было бы проинтегрировать исходное
уравнение (12 43) в направлении от х = I к х— 0 (так называемая обратная про-
гонка).
Для обеспечения большей точности целесообразнее поступить иначе: проин-
тегрировать второе уравнение системы (12.46) с предварительным исключением
из него с помощью зависимости (12.49) вектора (х).
Получим
^2 м = [А21 (*) в м + 422 (х)] ГГ2 (х) + д21 (х) В (х) 4- в2 (х). (12.57)
Интегрируя (12.57) по х от х= / в направлении х = 0 при известном значении
XV(О, находим 1У2 (х). Затем из зависимости (12.49) определим (х). В ре-
зультате все элементы матрицы IV (х) найдены.
6.2. Физический смысл матриц (х) и В (х). Физический смысл матриц в (х)
и В (х) зависит от содержания векторов и‘ТКо.
В задачах строительной механики неизвестные обычно делятся на две груп-
пы — перемещения (т неизвестных) и силовые факторы (тоже т неизвестных).
Если под понимать столбец перемещении, а под Р/2 — столбец силовых фак-
торов, то, как видно из формулы (12.49), 0, (с) представляет матрицу податли-
вости части системы, расположенной слева от текущего сечения х = с, при дей-
ствии в этом сечении силовых факторов. При этом В (с) определяет перемещения
той же части системы в сечении х = с от внешней нагрузки, приложенной слева
от сечения х = с. Наоборот, если включает силовые факторы, а Ж2 переме-
щения, то в (с) будет матрицей жесткостей, а В (с) определит усилия, которые
возникают в сечении х = с при 1У2 (с) = 0 от действия внешней нагрузки, при-
ложенной слева от сечения х = с.
Поясним вышесказанное на примере изгиба балки переменного сечения, ле-
жащей па сплошном упругом основании (рис. 12.3).
Включим в вектор перемещения оу (х) и 0 (х), а в вектор 1У2 усилия (\)
и ТУ (х). Тогда непосредственно из формулы (12.49)
(с) = (с) М. (х) 4~ 712 (с) /V (с) -г Н (с);
0 (с) = 721 (с) М (с) 4- 722 (с) (с) + га ( с),
и функцию () (с) можно рассматривать как матрицу коэффициентов податли-
вости левой части балки (0 х с) 01 действия единичных усилий, прнложепш <\
в сечении х = с. Так, элемент матрицы (с) численно равен прогибу ю (с) конц ।
левой отсеченной части балки (О -С х с) ог действия единичного положитель-
ного момента, приложенного в сечении х~ с (рис. 12.4, а).
Величиной 7? (с) определяется перемещение правого конца левой отсечен-
ной части балки (0 х С с) от внешей нагрузки д (х), приложенной в интервале
О С х < с. Например, г2 (с) — второй элемент вектора-столбца 7? (с) есть угол
поворота правого конца левой части балки (0 < х' < с) от действующей на нее
внешней нагрузки (рис. 12.4, в).
Если бы мы включили в состав вектора 1У1 усилия, а в состав \У2 перемеще-
ния, то матрица (с) характеризовала бы матрицу жесткости правого конца ле-
вой отсеченной части балки (0 с х < с) на действие единичных смещений сече-
ния разреза х = с. Величиной же (с) характеризовались бы усилия М (с)
и /V (с), которые возникают в сечении х — с'(при условии полного его закрепле-
ния в отношении перемещений) от действия внешней нагрузки д (х), приложенной
слева от х = с.
Наличие ясного физического смысла для отдельных элементов матриц С} (д')
и 7? (д') позволяет в отдельных случаях для их определения либо воспользоваться
уже имеющимися решениями, либо построить необходимые решения с помощью
известных методов строительной механики, исключая тем самым сравнительно
трудоемкие операции численного интегрирования уравнений (12.51) и (12.54).
6.3. Разбиение вектора XV (х) на два составляющих вектора (х) и Йг2 (х).
Рациональный выбор того или иного варианта распределения элементов изгиба
по векторам XV} и НЛ зависит от характера граничных условий при х — 0. Если
ври х = 0 перемещения равны нулю (сс = 0 = 0), то в состав 1ЕХ необходимо вклю-
чить эти перемещения. Включение в этом случае в состав вектора Жх усилий при-
вело бы к тому, что элементы матрицы жесткости по мере приближения сечения
х = с к левой опоре сильно возрастали, а при х = 0 вообще оказались бы рав-
ными бесконечности.
Если же при х — 0 усилия равны нулю (М = /V = 0), то в ИЛ1 следует вклю-
чить усилия, а в Ж2 — перемещения. Функция (2 (х), играющая в этом случае
роль матрицы жесткости, с уменьшением х убывает, а при х — 0 становится рав-
ной нулю.
Тогда же, когда, например, при х = 0 го = М ~ 0, именно последние вели-
чины и следует включать в состав вектора ХХГ1. Наконец, если левое сечение балки
оперто па упругую опору и одновременно упруго заделано, то в качестве элемен-
тов вектора может быть выбрана любая из следующих комбинаций: (со 0)
(го, .V), (.V, Л1), (0, /V).
Иногда целесообразно разбить
балку по ее длине на ряд участков
и в пределех каждого из них, ориен-
тируясь в основном на возможность
получения достаточно ограниченных
значений функции ф(х'), вводить раз-
личные варианты состава вектора \У1.
6.4. Последовательность вычисли-
тельных операций. Расчетный алго-
ритм метода очень прост и включает
выполнение следующих последователь-
ных операций:
а) С1,
7 Л
А’Р
V ЯГ
V а,
т ё
\/7=7
X
^ю(с)=дГ1(с)
^п>7~
1"Дё(с)^21(с)
Р=1
г
г
/Ч(^)
Е1(х) К(х)
д(х)
В)
,т * ^ТпТГГГ}
с
___X
до (с^г^с)
7^ 0(с)=?7^(с)
2
Рис. 12.3
Рис 12.4
1. /Матричная запись исходного диск
ференциального уравнения, описываю
щего рассматриваемую задачу, в (Ьопмр
(12.43). Определение, как следствие такой
записи, матриц А (х) и В (х)
2. Представление граничных условий
балкн П/лП х~ ° В форме равенства
(12.47). Определение матриц
3. Распределение неизвестных функ
ций в зависимости от характера гоа
яичных условий х = 0 между векторами
Рис. 12.5
и
4. Представление основного матричного уравнения задачи в виде системы
двух уравнении (12.46). Определение матриц Дп (х), Д12 (х), А21(х), А22(^,
5. Вычисление матрицы С2 (х) в дискретных точках х= х^ (/г = 1 2 3
.... п) по длине балки в результате численного интегрирования матричного
уравнения (12.51) при начальном условии ф(х=О)=фо
6. Вычисление матрицы В (х) в точках х = хк в результате численного
интегрирования уравнения (12.54) при начальном условии /?(х=0)= Р
7. Составление матричного уравнения (12.56). 7
8. Решение уравнения (12.56) совместное граничными условиями пои г== /
Определение векторов (/) и 1Г2 (2). ' Р
9. Вычисление, вектора 1Г2 (х) в точках х== х> путем численного решения
уравнения (12.57) при начальном условии IV 2 (/).
10. Вычисление вектора (х) в точках х= хк из зависимости (12.49).
6.5 . Пример. Проиллюстрируем особенности использования метода про-
гонки на числовом примере расчета балки, изображенной на рис. 12.1. Заме-
тим, ч о в § 4 эта балка была рассчитана с помощью обобщенного метода началь-
ных параметров. Интересно сопоставить результаты расчета балки по двум раз-
личным и в известной мере конкурирующим между собой методам. Именно по
этой причине мы хотя и разделим балку на шесть равных участков, но изменение
жесткости и нагрузки сохраним таким, каким оно показано на рис. 12.2. Нуме-
рация промежуточных сечений балки приведена на рис. 12.5.
Решение. Для получения решения задачи необходимо последовательно
выполнить описанные выше этапы расчетного алгоритма метода прогонки.
1. Основное матричное уравнение (12.43) для изгиба балки, загруженной
лишь поперечной нагрузкой, запишется в виде
где
(12.58)
Л4 (х)
Л (X)
IV' (х) = Д (х) IV (х) + В (х),
“0 1 0 0-
0 0 1 0
А (л) = Е1 (-V)
0 0 0 1
_0 ООО.
2. Поскольку на левом конце балки х— 0 прогиб и момент равны нулю,
в состав вектора IV]. следует включить именно эти элементы изгиба. Получаем
П71== Л1); IV, = {0 /V).
3. Граничные условия балки при х— 0: го О, И 0 перепишем в
в виде матрицы (12 47)
1^(0) = <?оЖ2(О) + /?0,
где
О
О О
@0 —
; /?о =
О
О О
4.
нений,
Представляя уравнение (12.58) в виде системы двух ма’ । ичных урав-
получаем
1г;= Л111У1-!-Л121К2 + ^1;
П>2 — Л । + Л22 22 ~Ь ^2’
где
>111
о о_
Лх,
01 (О
; В1 =
1 !о.
Л21 —
Е1(х) ;
^22
го
7 (*)
О О
О
о
О О
О
О
О
( О
В,-={
5. Поскольку матрицы Ли и Л22 в нашем случае равны пулю, формула
(12.53) упрощается и принимает вид
@ (%к+1) ~ (.Хк) — (#к) >$21 ’•*&) Ф (^к) >112 (*'&)] (^7<и х Х/г).
С помощью этой зависимости, если учесть, что
ГО 01
(0) =-^о =
О О
можно, переходя последовательно от 0-го к 1-му сечению, затем ко 2-му и г д
определить все матрицы (?( х) в сечениях х ~ х/, подлипе балки. Приведем окон-
чательные их значения:
О 01
<2 Ы =
Г16 0 1
<?(0)
о о_
О /;6_
//3 112\(>Е10
'о'Р'Г/з'
» О (А'е) —
439 /з ~
4320 /?/0
I
о
I
6. Используя для численного
. . . интегрирования
(12.54) метод Эйлера, для рассматриваемого случая
матричного уравнения
полу чаем зависимость
К (Хк^) = К (X/,) - ю (хк) Л21 (хк) К (X,.) + (Х/!) в. (хк)] (х/е+1 - Хк).
С помощью этой зависимости, если учесть, что
(0)
* (0) - /?о
Х^1ГвторО:ИЛ(л-ВГ''СЛСИ,'еМ ЗДЦи $ (ГА) определить
Я(О) =
г°'1
01
(О,
0,0827-^-
/"/о
0.630 !иГ-
о
; ЯМ -
7. Уравнение (12.56), если внести в него найденные выше значения мят
рви У (0 и К "Р,1мет следующий вид: значения мат-
М(1)
1 439 /з
== 4320 Е1о
0 1
0,0827-^-
с/0
—О,63Одо/2
8. Отсюда, если учесть, что ю (/) = 0 (/) = о, можно получить
Л4 (/) = О,185уоР; Л' (/) = О,815?о/.
9. Используя метод Эйлера для численного интегрирования уравнения
(12.57), получаем следующую матричную зависимость: У
1^2 (Л'/г-1) — ^2 (хк) — ! Л21 (х/г) (х,ь) 1У2 (хк) 4- д22 (ХЛ) (Х/г)
+ л21 (х/г) К (Х/>) 4- В2 (хк)} (хк — х^_т).
Последовательно передвигаясь от сечения к сечению с правого конца балки
к левому, с помощью этой формулы определим значения матриц ]У2 (хк):
0 - 0,0191 -^-1
^2 Ш = ; ^2(хб) = Е1о
[О,815г/о/] О,537до/ * X
^2 (0) =
0,0105
тыо
10. Внося найденные матрицы (хь), (хА) и /? (хк) в уравнение (12.49),
сможем определять матрицы (х/г).
6.6 . Дополнительные замечания. Если сопоставить числовые результаты,
полученные для рассмотренной задачи с помощью изложенного выше метода,
с точным решением, то можно убедиться, что при сравнительно малом числе участ-
ков разбиения балок, которое принято в нашем примере, погрешность метода
прогонки больше погрешности метода начальных параметров. Это связано с осо-
бенностями метода прогонки, который требует некоторого разгоночного участка.
При использовании этого метода рекомендуется первые несколько участков, рас-
положенных вблизи левой опоры, делать более короткими.
Результаты, полученные по методу парциальных откликов, можно значи-
тельно уточнить, если для численного интегрирования уравнений (12.51), (12 54)
и (12.57) вместо метода Эйлера использовать более точные методы — методы
Рунге—Кутта пли процедуру метода начальных параметров.
В заключение приведем еще несколько замечаний и советов по практиче-
скому использованию метода прогонки.
' Иногда при численном интегрировании уравнения (12.51) все же появляются
быстро растущие решения, которые приводят к очень большим значениям опре-
делителя | ф |, составленного из элемента матрицы (х).
В результате полученные матрицы (х) могут содержать значительные, а
подчас и недопустимые погрешности. Поэтому в процессе интегрирования урав-
нения (12.51) рекомендуется [5] на каждом шаге вычислять значения определи-
теля | ф |. И если па каком-то шаге окажется, что | <? |> 1, то производится об-
ращение матрицы (?. Найденные при данном фиксированном значении х* значе-
ния обратной матрицы Т (х*) — ф 1 (х ) используется в качестве начального
значения для определения матрицы Т (х) путем интегрирования следующего диф-
ференциального уравнения:
Т’ (х) = — Т (х) [Л12 (х) Т (х) + Ли (х)] + Л22 (•<) т М + С2-58)
При этом на каждом шаге вновь следует контролировать значение определи-
теля । Т | и в случае необходимости опять перейти к матрице и к уравнению
(12.58') для ее определения.
Следует отметить, что затруднения, связанные с построением матрицы (х),
характерны лишь для задач теории колебаний и устойчивости. При исследова-
ниях же задач о напряженном состоянии конструкций они не возникают.
Изложенный выше метод парциальных откликов применим олько для ли-
нейных задач. Для решения нелинейных краевых задач он используется в со-
четании с итерационными процедурами [16].
§ 7. Метод Годунова
Метод начальных параметров - один из простейших методов численного
решения краевых одномерных задач, — как уже отмечалось, обладает сущест-
венным недостатком, а именно: при некоторых параметрах задачи в процессе
численного интегрирования с увеличением х в матрице А'1 (х) уравнения (12.31)
появляются быстро возрастающие и быстро убывающие элементы, что ведет
к потере точности решения.
Метод прогонки (парциальных откликов) в значительной мере свободен
от указанного недостатка, но и он в задачах устойчивости и свободных колебаний
может привести к появлению быстро возрастающих и убывающих членов.
В 1961 г. Г. С. Годунов [8] предложил достаточно простой и вместе с тем
эффективный способ численного интегрирования систем линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений, лишенный упомянутого выше недостатка.
Пусть двухточечная краевая задача описывается дифференциальным урав-
нением 2гп-го порядка
№'(х) = А(х) V (х)В (х) (12.59)
при граничных условиях [см (12.7)}:
х = 0 С1Иг(0)=Р1; ]
(12.60)
х=1 С2УУ(1)=О2. )
Интервал [0, /] изменения х разбивается на п участков точками 0= х0<
<С лу Л*2 <с ••• <С ~ I-
Для интегрирования уравнения (12.59) на каждом участке используется
метод начальных параметров. При этом участки должны быть достаточно корот-
кими, чтобы не происходило накопления ошибок из-за появления быстро возра-
стающих и убывающих частных решений в общей формуле метода начальных па-
раметров (12.31)
т
(X)\У0 (х) + у: С^1(Х),
1=1
(12.61)
где (х) — частное решение уравнения (12.59), удовлетворяющее граничным
условиям (12 60) при х = 0; ТУ/(х)— частные линейно-независимые решения
однородного уравнения
Ж; (х) = А (х) IV1 (х)
при однородных граничных условиях:
(12.62)
х = 0 СхЖг-(0) = 0. (12.63)
Система начальных векторов для численного решения уравнений (12.59)
и (12.62) на первом участке [х0, хх] берется в виде
К0(х0), Кх(х0), К2(х0), ...» Гт(х0), (12.64)
где Уо (х0) — какое-либо частное решение неоднородной системы граничных
условий (12.60) при х= 0; (х0) — линейно-независимые решения однородной
системы тех же условий
С1Ж(0) =0.
(12.65)
При интегрировании уравнения (12.59) с начальными условиями К(х„) получаем
некоторое решение, (х); при интегрировании уравнения (12.62) при начальных
условиях. V[ {Хо) \1 1,2, т) получаем систему решений IV- (И а ~ 1
2..... т). В результате решение краевой задачи может быть представлено в виде
Н'’ (х) = IV 0 (х) -|- у с,1У((х). (12.66)
1=1
В конце первого участка х = хх получаем систему векторов
^0 Ы- 1УХ (хх); ЦЛ2 (хх), . . \Ут (хх).
Полученная система подвергается далее операции ортонормирования (за исклю-
чением вектора IV 0 (хх), который лишь ортогонализируется).
Полученные в результате этой операции значения векторов У1 (хх) (I = 0
1, 2, т) принимаются в качестве начальных условий при интегрировании
уравнения (12.59) и (12.62) в пределах следующего участка: хх < х< х2. Значе-
ния получаемых при этом решений на правом конце участка х = х2 вновь орто-
гонализируются и нормализируются. Этот процесс повторяется по всем участкам
вплоть до точки х = I.
Таким образом, характерной особенностью метода является наличие операции
ортогонализации и нормализации, которые и препятствуют появлению в формуле
(12.66) быстро возрастающих и убывающих частных решений.
Система полученных в каждой точке х^ (к — 1, 2, 3, п) ортогональных
векторов позволяет, как будет показано ниже, определить значения IV (хк).
Введем обозначение некоторой операции действие которой над векторами
V/ (х/г) таково, что [/Ид» ] По (х&) есть результат интегрирования в к-м интервале
(х С хАч-11) уравнения (12.59) с начальными условиями IV (х/>) = Ко (х/<),
а [Л1/г] (х/г) (/ = 1, 2, ш) есть результат интегрирования однородного
уравнения (12.62) при начальных условиях IV,- (х^) = V,- (х^).
Тогда, если принять при х = х0
(*о) = = 0» Е 2, ..т)
и проинтегрировать на участке от х0 до хх уравнение (12.59) для I = 0 и урав-
нение (12.62) для I = 1, 2, 3, ..., т, получим значения некоторых векторов
(*1) = [Мо] У1 (*о) (* = 0, 1,2, ..., т).
Далее производится ортогонализация и нормирование векторов \Г,- (хх),
за исключением вектора \У (хх), который лишь ортогонализируется. Полученные
в результате этих операций векторы обозначаются через V, (хх) (I — 0, 1, 2, 3, ...
..., гл).
Формулы ортогонализации (скобками обозначается скалярное произведение)
и нормализации векторов IV, (х^) запишутся в следующем виде:
/2т
1^ =
V ( “М-
1 1 “11 1’
2гп _______________
(021 = (^2> У1) ~ X) ^25У15*> ^22 “ 1/ (^2’ ^2) <021 ~
5=1
К, = — | IV, - й)21У1}
со22
Ц;2$ - «21У]$ 1 .
«22
«31
= (1У3, Ир; ®з2 = (Ил3, К2); ®33 = |Л(1Г3, И^)— и31 — <4>;
И3 = —— {И\< — ®з1 V, — ®з2^2) ;
«33
у „ — —!— { V/т — мт1 У\ — й)/й2К2 — • — С0/л, I ♦
®тт
<оР1 — (И70, V)); «оз — (И7 о» ^2)’ • • •; %/п = (^о»
И0 ~ I ------ С001 - «02 К> - ’ - 0)0/П^/71| • (12.67)
Совокупность всех операции (12.61) над векторами И7-(/= 0, 1, 2, .... т)
в точке х~ хк обозначим символом [Л7(’г)]. Для каждого сечения хк (/г ~ 1,
2, п _ I) при выполнении операций, включенных в вырабатывается
треугольная матрица состоящая из чисел
СО
со(/г>
Ш22
«31 • ’ • «/П1 «01
0)(/г) «31 . . со<А2 со(/г) «02
со(Л) 10 33 • • • «л/З С0(А>) «03
СО(/г)
III ГН
(12.68)
(/г ~ 1, 2, .. п — 1).
Матрицы (12.68) потребуются ниже.
Последовательно проходя по участкам интервала (0, /), строится система
векторов:
и,(а) = 1а'<”]{л/ог,(л-о)); г,-(х2) = 1^2’] (Л^иилм;; ...;
V/ (л'л) = [Л V1)] (хп-1)' (12.69)
(/ = О, 1,2, ,.., т).
В результате для значения вектора ИД/) можно написать следующее выра-
жение:
т
^(0 = И0(х„)+V ср’И,(.г„). (12.70)
г-=1
Входящие в формулу (12.70) коэффициенты определяются из второго
граничного условия (12.64) при г = /.
Теперь вернемся к вопросу определения значений !У(л') в точках х = хь
по длине отрезка (0, /).
Значения вектора IV(л/,) находятся по формуле
т
Р/ (х/<) = Ко (*л) + }; (хк). (12.71)
1=Н
Коэффициенты 4'г) по рекуррентным зависимостям определяются через
(/?+П пз решения системы алгебраических уравнений с треугольной
С1
матрицей
(12 72)
где
\С^\ = \с^с^ ...
(12.73)
Использование метода С. Г Годунова
вала изменения х сохранить линейную |,её^ёг‘.РеТ "а всем протяжении „,.ТРп
бежать чрезмерного роста их числовых значений Мож "аСТНЫХ решен“‘‘ « из-
желоп операцией в этом методе явчяст..«Д; ' Можио сказать что С-...Л 3
(12.72). Однако зга с,тетех,а вполне КтХв РёТ РеШе,,ня с««ё.мы ураТн н™й
ределнтель .может быть сделан сколь угодно бшт,°ЛЬКУ ®е ,1оР'1ИРованный он
точно мелкого разбиения интервала интён-пп ёЛ ' “ сд,,и«“е выбором дё<^ё
Метод легко может быть реализован па сёврсХых °ТДеЛьные Участки.
шинах. временных вычислительных ма-
В заключение отметим что нзтоженн “
луч,кт широкое использование в песлсдова,1няГ1ю> тёоо.ш "а?Т0ЯЩее время ио-
(О, ш теории пластин и оболочек
§ 8. Метод решения одномерных задач,
основанный на использовании квадратурной формулы
Микеладзе—Ланцоша
Метод применим для численного решения как линейных, так и нелинейных
одномерных и многомерных краевых задач. Он основан на использовании квад-
ратурных фор дул, г озволяющих выразить определенный интеграл через значе-
ния подынтегральной функции н ее производных в концевых точках интервала
интегрирования. В частности, в расчетной практике находит широкое примене-
ние формула, предложенная К. Ланцошем [13, с. 4201,
хк+1 , Цр.1
«- (Ч ~ 7^ У. №к + (-»('^(Л) (4+1)1.
3 /ди к
0 п
(12.74)
где Iх — число членов разложения; Л/, = а>+1 — ад.;
подынтегральной функции;
(/)—].я произвольная
О?
(2)1 —/ — 1)!
(12.75)
Например, при — 4 формула (12 74) примет такой вид.
&У (х) с/х « — (Х/г+1) + (хкУ[ “Г
хк
3 . Д?
г 28 Л* (хк> ~ Рл+1)] + ТГ 1 + Ш ^+'4 +
А4
+л^Ъ)--Ъ+1)1- <12-76>
Изложим существо метода применительно к решению краевой задачи, описы-
ваемой дифференциальным уравнением порядка 2т,
к(х), </(х)|=-- 0 (>2 77)
пр» точечных граничных условиях
^(^(0)1=0; /?/ (/)] = О (/= 1, 2, ..., ш). (12.78)
Здесь Ь (2т\ (&, 7?/ суть заданные операторы, над функцией гм (х). В общем слу-
чае упомянутые операторы могут быть нел! пенными.
8.1. Основные зависимости метода. Разобьем область определения функ-
ции (О с х <: I) на п участков точками 0 == х0 < х, < х2 <2 • • •< хп == I и примем
в качестве неизвестных значения основной функции и ее 1 ко 1ьк х первых фоиз-
водны.х в сечениях, расположенных в непосредственной б н зости справа и слова
от сечений хк, т. е. при х = х/г 4~ 0 и х = хк О
с!1 щ (х)
с!х1
А1 и) (х) \
/х=хк~о
(/ = 0, 1, 2, ..2т + р; /г = О, 1, 2, ..., л). (12.79)
Понятно, что в крайней левой точке (х0 = 0) неизвестные выбираются лишь
для сечения х = х0 + 0, а в крайней правой точке хп — I — для сечения х —
хп 0.
Если теперь в формуле (12.74) вместо-подынтегральной функции последова-
тельно принять гм'1) (х) и учесть, что
I
(х) с/х = а/' (х/с+1) — сйЛ 1} (х/г),
(12.80)
то для каждого /?-го участка можно составить по 2т уравнений вида
(: п , /• I 2/«4-Ц—/
ю — ®(/ 0 (хк) = - У р2т+ц-/+1д5+1
г)<.гп-1-ц—/4~1 2л $4-1 X
о 5=0
X М'+5> (хк) + (-1)5 &/+* (хку] (I = 1, 2, ..2т).
(12.81)
Входящие в формулу (12.81) производные порядка 2т и выше с помощью
дифференциального уравнения (12.77) можно выразить через значения искомой
функции и ее низких производных (] С 2т — 1).
Необходимую для этих целей систему дополнительных зависимостей получим,
если продифференцируем уравнение (12.77), выписанное для /г-го участка, после-
довательно р раз по х и внесем в найденные при этом выражения значения х =
= х/. + 0 и х = х/г — 0:
(1Р[IV (х), д (х)] \
/х=х/г4-0
с1рЬ(к2т} [ш (х), д (х)] \
(1хр /х=х/г-о
(р = 0, 1, 2, ..., р).
(12.82)
В дополнение к зависимостям (12.81) и (12.82) необходимо составить для
каждого из сечений хк(к= 1, 2, ..., п— 1) по 2т условий сопряжения. Если
152
в точках х х& отсутствуют разрывы в коэффициентах уравнения (12.77), то это
обеспечит непрерывность в этих же точка х самой функции и ее производных
сР оу (х)
т/х1
х=х/г+0
с11и) (х)
дх1
Х=Х/-О
(I = 0, 1, 2, ..., 2т — 1; /г = 1, 2, ..п — 1), (12.83)
что почти вдвое сокращает число неизвестных.
Несколько сложнее представить условия сопряжения для тех точек х — х^,
в которых некоторые коэффициенты уравнения (12.77) имеют разрывы 1-го рода.
В задачах строительной механики это связано с изменением скачков жесткостных
параметров системы, внешней нагрузки и т. п.
В этом случае для получения условий сопряжения нужно составить следую-
щие зависимости:
хА*+°
х^—0 (2т— I—1)
... = о
(/= О, 1, 2, ...» 2т — I; к = I, 2, ..п — I). (12.84)
Объединяя уравнения (12 81) по всем участкам (/г = 1, 2, 3, ...» /г), найдем
2тп уравнений, которые совместно с 2т краевыми условиями (12.78), с 2 (р+1) п
вспомогательными зависимостями (12.82) и 2т (и — 1) условиями сопряжения
(12.84) образуют систему 2п (2т + р + 1) алгебраических уравнений для опре-
деления основных неизвестных (12.79).
Точность решения задачи можно повысить как увеличением количества участ-
ков разбиения, так и увеличением числа неизвестных (12.79) путем включения в их
число производных от искомой функции еще более высокого порядка.
8.2. Пример. Проиллюстрируем использование изложенного метода на
примере решения задачи об изгибе балки переменной жесткости Е/ (х), загружен-
ной произвольной поперечной нагрузкой д (х). Для определенности примем левый
конец балки (х = 0) свободно опертым на жесткую опору, а правый (х = /) жестко
заделанным.
Решение. Дифференциальное уравнение изгиба балки и ее граничные
условия запишем соответственно в виде
[Е1 (х) о/' (х)Г = д (х);
при х = 0 пу = ну7 = 0; '
при х — I ну = и)' = 0. .
Разобьем балку, например, на три одинаковых участка, для каждого из кото-
рых введем осредненные постоянные значения
Внешняя нагрузка в пределах каждого
участка остается равной заданному значению
(рис. 12.6).
Тогда для к-го участка вместо уравнения
(12.85) сможем написать такое уравнение:
Е1ки>1у (х) = я (х) (к = 1, 2, 3). (12.87)
Для каждого участка балки можно на-
писать систему уравнений (12 81). Представим
эту систему в общем виде для /г-го участка, при-
(12.85)
(12.86)
жесткости Е71, Е12> Е1$.
чем ограничимся сохранением в уравнениях (12 Ж) произвол ых .нпиьдопя от
порядка включительно. Получим
и'/г — ёС'л+1 + Лц 4- ЬУЛ+1) 4- Л 2 (и7с “ ^7г+1) А/г 4
4" Лз (™к + и’А’4-1) А/г 4"^_14
4- Л15 4~ ^4-1) А/г 4" • ’ ’ —
и'к ~~ и'А-4-1 4" ^21 (^'а- + ^4-1) А/г 4“ ^22 ~ ^/г4-1) 4“
4- ^23 4" ^4-1) АА 4- ^24 (1С'к — а’А4-1) Д/г 4" • • • = 0;
™к “ ^4-1 4" Л31 (в% 4" :с'Н-1) Ал 4“ Л32 (^А’У ^1+1) &к 4"
4~ лзз (^’У 4- ^4-1) 4- . . • = 0;
ШАг ~ ^4-1 4“ Л41 4- ^У) А/г +
4- Лг (™к ~ ^4-1) 4- • • • = ° (А» = 1, 2, 3),
(12.83)
^г-/4-1
где Ац — —-—т-т-у; г — порядок высшей производной, оставленной в уравнения
1 г\Г 14”!
^0
(12.88). Заметим, что г > 2т.
Система (12.88), написанная для всех трех пролетов балки, содержит 12 урав-
нений. Общее же число входящих в нее неизвестных
ш (0), ы (0), иУ (0), ..., юу (0);
V) (Хк — 0), о»' (хк — 0), Ы (Хк — 0), ..., (Хк — 0); 1
V/ (12.89)
^(Хк -НО), ьу (ха-4-0), с<у (х/г4-0), ..., оЛ (х/,4-0);
м (/), и/ 1^' (/), (/), ..ауу (/) (/г = 1, 2)
равно 36.
Значения производных о>1У и юу (члены с этими производными в системе
(12.88) подчеркнуты штриховой линией) легко выразить через значения низших
производных, если воспользоваться системой уравнений (12.82), которая в нашем
случае приведет к следующим уравнениям:
Е1 к^ (х^ 4~ 0) — <7 (хк)\ Е1к^ (Хк — 0) — (хд,);
Е1^ + (хкУ, Е/к1^ (хк~0) = д' (хк).
(12.90)
Система (12.90) позволяет сразу исключить из (12.88) все 12 входящих в нее про-
изводных четвертого и пятого порядков. В результате в (12.88) останется 24 не-
известные величины.
Обратимся теперь к составлению уравнений совместности (12.84), которые
если у гь общ. и в> д уравнений изгиба балки (12.85), можно записать для /?-й
точки так;
| {[Е/ву" (х)]" — д (х)} ах = 0;
.^-0
х
хЛ-° хк-0
Х/Н~° х
| | | {[С^’®Г-<7(?)}^а^^ = 0;
ХГ° х/г~° хк~^
(12.91)
ХА?+0 X Ь
/ / / /
х/г~0 хЛ-0 х^-О х^-0
(*= 1. 2).
Отсюда, если учесть, что элементы изгиба балки на /?-м участке определяются
из уравнения (12.87), можно получить
(хк - 0) = Е1к (хк + 0);
Е1,^ (хЛ. - 0) = Е1к^' (хк + 0);
(хк — 0) = IV' (Хк 4“ 0); ЬУ (х^ — 0) = IV (хк -|- 0)
(/г = 1, 2).
(12.92)
Система (12.92) включает восемь равенств. Их использование позволяет пони-
зить число неизвестных в уравнениях (12.88) до 16.
Дополняя, наконец, уравнения (12.88) системой четырех граничных условий
(12.86), получаем необходимую систему 16 уравнений для определения оставшихся
16 неизвестных величин, после чего при желании нетрудно определить любой
элемент изгиба балки в каждом сечении с координатами х0 = 0, хг ~ 1/3, х2 =
= 21/3, х3 = I.
Отметим, что изложенный выше метод применим и для решения многомерных
краевых задач. В частности, его использование для двухмерных краевых задач
(плоская задача теории упругости, изгиб пластин, вынужденные поперечные ко-
лебания балок) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для интегрирования полученной системы можно воспользоваться одним из мето-
дов, изложенных в предыдущих параграфах настоящей главы, либо методом, рас-
смотренным в настоящем параграфе.
Уже отмечалось, что метод применим для решения нелинейных задач. При
его использовании для решения одномерных нелинейных краевых задач получаем
для определения основных неизвестных нелинейную систему алгебраических
уравнений. В случае же двухмерных нелинейных задач приходим к системе не-
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
В заключение главы отметим, что выше были рассмотрены лишь некоторые
меч оды численного решения одномерных краевых задач, описываемых системой
обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными в общем случае
коэффициентами.
Наряду с этими методами для решения одномерных краевых задач широко ис-
пользуются вариационные и разностные методы, метод коллокаций и метод конеч-
ных элементов Все эти методы излагаются ниже.
ГЛАВА 13. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Можно назвать несколько основных причин появления нелинейных членов
в основных зависимостях теории упругости и строительной механики:
а) учет нелинейной зависимости о= о (е), которой характеризуется материал
конструкции в упругопластической области;
б) учет геометрической нелинейности, когда перемещения конструкции вызы-
вают значительные изменения ее геометрии, так что уравнения равновесия состав-
ляются для деформированного состояния.
При этом в общем случае математическая модель исследуемой конструкции
будет включать зависимости, содержащие нелинейные члены относительно опре-
деляемых неизвестных величин.
Ниже будут изложены методы (сеточные, вариационные, метод конечных эле-
ментов и т. п.), которые применяются к решению нелинейных задач. Использова-
ние любого из них приводит к получению разрешающей системы нелинейных алге-
браических уравнений относительно определяемых неизвестных параметров. Эта
система может быть представлена в форме следующего матричного уравнения:
{?} = {/’). (13.1)
где {д} — {дтд2 ... дп] — вектор неизвестных величин; {Р} = {Р1Р2 ••• Рп] —
вектор, элементы которого характеризуют внешнее заданное воздействие па рас-
сматриваемую конструкцию; [/< (д)] — квадратная матрица размером пХп,
элементы которой зависят не только от свойств материала конструкции, но и от
ее напряженно-деформированного состояния, выражаемого через вектор [д].
Именно это обстоятельство и приводит к тому, что решение системы (13.1) может
быть получено лишь с помощью итерационных методов. Остановимся на тех из
них, которые наиболее часто употребляются в инженерных расчетах.
§ 1. Метод последовательных приближений
Метод состоит в том, что значение общей матрицы [Д’ (7)] на каждом этапе
решения системы (13.1) определяется через значение вектора {</}, полученного па
предыдущем этапе,
{?}(5> = (Р), (13.2)
где з — номер приближения.
На первом этапе (5= 1) значения неизвестных д1 (/ = 1, 2, ..., л), от кото-
рых зависят отдельные элементы матрицы [Д], можно положить равными нулю.
Последнее приводит к тому, что все члены, связанные с учетом нелинейных факто-
ров, обращаются в нуль. В результате получаем обычную матрицу [Д]л для ли-
нейной задачи.
Процесс последовательных решений уравнения (13.2) с процедурой уточне-
ния значения матрицы [ Д ] на каждом шаге продолжается до тех пор, пока раз-
ница между результатами решения, полученными на данном и предыдущем шагах,
не будет достаточно малой (рис. 13.1).
Описанный выше процесс последовательных приближений при всей своей
простоте обладает тем существенным недостатком, что при сильной нелинейности
оказывается слабо сходящимся (рис. 13.1, а), а иногда расходящимся (рис. 13 1, б).
г^^Х0^ИМ0СтЬ на кажД°м шаге решать систему уравнений для новой матрицы
1л 1 заметно увеличивает трудоемкость метода.
В заключение заметим, что этот метод был предложен И. А Биргером для
решения задач теории пластичности и ползучести [3, 4]. В литературе по строи-
тельной механике и теории упругости он также часто именуется методом
переменных жесткостей.
§ 2. Метод упругих решений
Метод был предложен А. А. Ильюшиным для решения задач деформацион-
ной теории пластичности [8]. Этот метод по сравнению с предыдущим приводит
к определенному уменьшению общей трудоемкости вычислительных операций.
Он основан на выделении из матрицы 1К] ее линейной составляющей
(13.3)
где второй член в правой части полностью связан с наличием нелинейных факто-
ров в рассматриваемой конструкции.
С учетом (13.3) уравнение (13.1) перепишется в следующем виде:
1К]Л(?} = {Р}-№{?}•
(13.4)
К решению матричного уравнения (13.4) можно применить процедуру после-
довательных приближений согласно следующему алгоритму:
где
(П, !?(5Ч = {р'5-11).
(13.5)
(13.6)
Видим, что на каждом этапе последовательных приближений приходится
решать систему линейно алгебраических уравнений с одной и той же матрицей
коэффициентов [7<]л, что требует лишь разового обращения матрицы [К]л.
Значения правых частей в системе уравнений (13.5) уточняются на каждом
шаге с помощью результатов, полученных на предыдущем этапе (см. рис. 13.2, л).
Метод упругих решений очень прост. Следует заметить, что число необходи-
мых приближений сильно зависит от точности начального приближения. Проце-
дура плохо сходится при большой разнице между линейными н нелинейными
решениям», в частности, при больших пластических деформациях. Более того,
при некоторой форме кривой Р (д) процесс может оказаться расходящимся
(рис. 13.2, б).
§ 3. Метод Ньютона—Рафсона [2, 10, И]
При медленной сходимости метода последовательных приближений или ме-
тода упругих решений часто используют уточненную процедуру Ньютона—Раф-
сона.
П>сть для 5-го приближения при выполнении уравнения (13.1) получена не-
вязка
=-[ки>нчи)}+{Р). (13.7)
Дадим неизвестным {?' '( некоторые малые приращения {Д</8)}, а затем невязку
{6} для положения системы, определяемого неизвестными {7 Д^}^1), разло-
жим в ряд Тейлора
!«(? + Д<?)($+1)} = {6 (?)<”) + (4{|г) I +°(1д<7(5,02 • (13.8)
Сохраняя в разложении (13.8) лишь первые два члена ряда и полагая, что
выбранное приращение |Д</5+1)( обращает невязку {б (д + Д?}/5^1) в нуль,
получаем
- (4т|г) I {д?}(8) = {«(?)}<5)- (13.9)
М=М<5>
Внося в левую часть равенства (13.9) выражение (13.7) и выполняя необхо-
димые операции дифференцирования, получаем
{Д<?}(8) = {6 (<?))(з), (13.10)
где [/С]т—так называемая тангенциальная матрица, значения элементов кото-
рой к^ определяются по формуле
п
+ (13'1)
А?—! 7
Рис. 13.3
.' Из решения системы линейных алгебраических уравнении (13.10) опреде-
ляется вектор а тем самым и уточненное значение {<?}
{<?)'5+1> = ы'5) + {Л9)<5>.
(13.12)
Графическое изображение процедуры Ньютона—Рафсона дано на рис. 13.3, <2.
Видим, что использование этого метода резко уменьшает число итера-
ций, хотя [на каждом 'шаге вычислений]} Дд приходится иметь делос новой си-
стемой линейных алгебраических уравнений.
Процесс обычно оказывается сходящимся, но если нулевое приближение
сильно отличается от результата, то возможна расходимость (рис. 13.3, б).
§ 4. Модифицированный метод Ньютона—Рафсона [10, 11]
Недостатком метода Ньютона—Рафсона является необходимость уточнения и
обращения матрицы [/(]т на каждом шаге. Этого можно избежать, правда, ценой
увеличения необходимого числа итераций, если для определения поправок {Дд}
вместо уравнения (13 10) воспользоваться уравнением вида
Зависимость (13.13) выражает собой
так называемый модифицированный
метод Ньютона — Рафсона. Процеду-
ра этого метода изображена на
рис. 13.4.
§ 5. Метод шагового
нагружения [4, 9, 10]
Хотя процедурно изложенные
выше методы различны между собой,
их объединяет общее стремление
ликвидировать невязку {6}, которая
(13 13)
служит оценкой отклонения положения си-
стемы от ее действительного равновесного со-
стояния.
Возможен и другой подход к построению
методов решения нелинейных задач^Он основан
на предположении (в подавляющем большинстве
задач вполне оправданном), что в процессе на-
гружения отдельные составляющие внешней на-
грузки изменяются пропорционально общему
параметр}'’ нагружения
{Р} = Л (Л)}- (13.14)
Дифференцируя равенство (13.1) по параметру А
и учитывая зависимость (13.14), получаем
[К]т{<7} = !?<>). (13.15)
где точкой обозначена производная по А.
Для интегрирования уравнения (13.15) могут быть использованы любые тро-
цедуры решения задач Коши. В частности, алгоритм решения удобно представить
в форме шагового увеличения параметра нагружения А. Для этого ин ервал из-
менения А разбивается на ряд отдельных участков точками Ао = 0 < Ах < А2 < ...
... < А5 < ...< А/ = 1, что позволяет переписать уравнение (13.15) для 5 + 1-го
шага нагружения в таком виде:
И(?)]^ = П3.16)
Тогда
{?/5+” = {?)(5,.+ {Л?)(5)- (13.17)
С помощью зависимостей (13.16) и (13.17), последовательно переходя от пулевой
ступени нагружения (5 = 0) к первой (5 — 1), от первой ко второй (з= 2) и т. д.,
получим значение вектора {9} при интересующем нас уровне нагружения (А/ = 1).
Последовательность операции метода шагового нагружения легко прослеживается
по рис. 13.5.
Недостатком метода является наличие «дрейфа» приближенного решения от
точного (см. рис. 13.5). Поэтому через каждые несколько шагов нагружения накоп-
ленную величину невязки {6} рекомендуется ликвидировать с помощью одного из
изнеженных выше методов. При этом в качестве нулевого приближения исполь-
зуется результат шаговой процедуры.
§ 6. Самокорректирующий метод 110, 12]
Метод основан на использовании уравнения
{6} 4-2 {6} = 0, (13.18)
справедливость которого очевидна. Здесь 7 — некоторый скалярный множитель,
выбираемый из условия получения наилучшей устойчивости расчетного алго-
ритма. Излагаемый метод обладает достоинствами как методов, направленных па
непосредственную ликвидацию невязки {б}, так и методов, использующих усло-
вие минимизации невязки по параметру нагружения А.
Внося в уравнение (13.18) выражение для {6} из зависимости (13.7), после
необходимых преобразований получаем
{?} - {Ро} + г [/<] {</} - /А {Ро} = 0. (13.19)
Для решения нелинейного матричного уравнения (13.19) можно использовать из-
ложенный выше шаговый метод нагружения в сочетании на каждом шаге нагру-
жения с процедурой последовательных приближений.
На основании расчетной практики [12] рекомендуется значение множителя
/ выоирать из следующего условия:
160
1 < 7- АА < 1,3.
(13.20
)
в заключение отметим, что сходимость изложенных выше итерационных ме-
тодов решения нелинейной системы алгебраических уравнений сильно зависит от
«качества» начального приближения. При выборе начального приближения в не-
линейных задачах пр к нче ки можно ориентироваться лишь на линейное при-
ближение той же задачи. И если влияние нелинейности мало, то начальное при-
ближение оказывав ся дос а очно близким к решению задачи, что обеспечивает
сходимость решения. В противном случае, когда отклонение начального прибли-
жения о г решения задачи значительно, процесс решения может оказаться не-
устойчивым.
Воспользоваться какими-либо априорными оценками условий сходимости
достаточно трудно. Большинство таких оценок «работает» вблизи искомого реше-
ния и, следовательно, косвенно предполагает наличие хорошего начального при-
ближения. Поэтому расчетчику приходится в основном полагаться на имющийся
в его распоряжении опыт решения аналогичных нелинейных задач и на анализ
получаемых в процессе численного решения результатов.
ГЛАВА 14. СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ
В главе рассмотрен ряд методов решения многомерных краевых задач: метод
кочлокаций, метод наименьших квадратов и метод сеток. Их объединение в одной
г шве в известной мере условно. Общее в них — наличие «сетки» с узловыми точ-
ками. м .
В методе коллокации и методе наименьших квадратов приближенное реше-
ние краевой задачи строится путем точного удовлетворения основных дифферен-
циальных уравнений для рассматриваемой краевой задачи в узловых точках об-
ласти. В методе же сеток упомянутые дифференциальные уравнения заменяются
конечно-разностными алгебраическими уравнениями, содержащими в качестве
неизвестных значения искомых функций в узловых точках.
Во всех этих методах мы при ходим к системе алгебраических уравнений для
отыскания некоторых параметров, через которые и определяются приближенные
значения искомых функций в рассматриваемой области.
§ 1. Метод коллокаций
Метод коллокаций [5, 8, 9. 13], позволяет найти приближенное решение
краевой задачи не в виде числового массива, а с помощью функций. В этом отно-
шении он близок к вариационным методам. „
1.1. Основные зависимости метода. Пусть методом коллокации требуется
найти приближенное решение краевой задачи, удовлетворяющее внутри области
V уравнению
[ш (х, у У> 2) О4-!)
при краевых условиях на 5
С/ [щ (х, у, г)] = (х, у, г) 0=1, 2..... т), (14.2)
где 1.<2т> и <2,— заданные операторы; ? (х, у, г) н (х, у, г) — заданные функ-
ЦПП Приближенное решение для функции » (х, у, г) можно представить в вид.
суммы
д'
® (х, у, 2) = У акч>к (X, у, г),
к=\
(14.3)
гпр а, — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению; Фа (г, у, г)
система линёйно-иезавиепцых функций, удовлетворяющая условию полноты.
6 Бойцов Г. В. и др.
Ё общем случае шцмжеине (14.3) не удовлетворяет дифференциальному
иравненню (14 1) н граничным условиям (14.2). Поэтому подстановка выражения
(14 3) в •, равнения (I 1.1) и (14.2) приводит к появлению невязок А и о,-.
А (л, у, г) =
а/г <Гк (х, у> г)
Л=1
— д (*> у, г) в
V;
б/ (х, //, г) = С};
~ V
V Я/гф/г (х, у, 2)
_Л=1
—(Л, X, 2)
(И.4)
(14.5)
(I = 1, 2, .т) на 5.
Для получения приближенного решения необходимо, чтобы невязки Д и 6/
обратились в нуль хотя бы в конечном числе заблаговременно выбранных в об-
ласти Г и на поверхности 5 точек (л/,///. г/), где I == 1, 2, ..., А\ - -„У2- В ре-
зультате получим систему алгебраических уравнений для опредеченпй неизвест-
ных коэффициентов п/.:
Заметим, что
△ (*/, У;> ?/) = 0 (I = 1, 2, ..Л\);
б/ (*/> у;, = 0 (/ = Л\ 1, ,.л\ + а2)
(/ =1,2, ...» т).
+ тУ2 = Д'.
(14.6)
Д 14.7)
(14.8)
Если принятое выражение (14.3) для пу (х, у, г) тождественно удовлетворяет
всем граничным условиям (14.2), то параметры а& определяются лишь из условий
(14.6) для внутренних точек области I7. Если же выражение для ьу (х, у, г) удов-
летворяет уравнению (14.1), то уравнения для определения параметров п/г полу-
чаем из условий (14.7) для точек коллокаций, расположенных на поверхности 5.
Недостатком метода коллокации является известный произвол в выборе по-
ложения точек коллокаций.
1.2. Примеры расчета. Приведем примеры, поясняющие применение метода
коллокаций. Пример 1. Определить методом коллокаций упругую линию
призматической балки, изображенной на рис. 14.1.
Решение. Поведение балки описывается дифференциальным уравнением
Е/ье? у (х) = д = сопз!
при граничных условиях:
х = 0 ш = о/ = 0;
х = I ш = 0.
(14.9)
(14.10)
(14.Н)
Точки коллокаций расположим по длине балки на
стоянии (/74).
Выражение для упругой линии балки зададим в
равном друг от друга рас-
впде степенного ряда
Рис. 14.1
ПУ (х) =
(14.12)
Выражение (14.12) при произвольных
не удовлетворяет ни дифференциальному
уравнению (14 9), ни граничным условиям
(14.10) и (14.11). Поэтому число неизвестных
коэффициентов #/г должно быть таково, чтобы
могли быть выполнены четыре граничных
к=-о
условия п удовлетворено уравнение (14.9) в трех т<|ки.х но покати, / 7 1
Таким образом, в сумме (11.12) необходимо оставить семь первых членов:’ ’ '
, . ! Х ! / X X ? / V X 3 / V \ I
= а„ Н- а,— -|- а2 ) + из (-у а, (2С) _|_
/ х \:> , х X6
-I- «з + «6 . (14.13)
Внося выражение (14.13) в граничные условия (14.10) и (14.11), получаем
«о = О> «1 = 0;
«о + Й1 “Ь «2 4- «з + «| + «5 -ф а6— 0; -
2«2 + С«з 4- 12аЛ -ф- 20а5 -ф 30дс = 0.
(14.14)
Подставляя далее выражение (14.13) в уравнение равновесия (14.9) и требуя
его выполнения в точках коллокаций ( х, = х2 = х-> — бу тем иметь
X 4 2 4 /’
24«, + 30а5 + 22,5ав = ;
24а, + 60а5 + 90а6 = ;
24а, + 90а6 + 202,5ае = .
(1415)
Решая систему уравнений (14.14) и (14.15) совместно, получаем
п п Я14
а„-0, а, — 0; а3------;
24Е/ ’ а& — — 0"
Внося найденные значения коэффициентов в формулу (1 4. 13), получаем для
прогиба балки окончательно такое выражение:
Ш = Т7
_1_ __5_
_ 16 \ I ) 48
(14.16)
Формула (14.16) определяет точное
решение нашей задачи; она тождественно
удовлетворяет уравнению (14.9) и гранич-
ным условиям (14.10) и (14.11).
Пример 2. Методом коллокаций
определить приближенное выражение для
упругой поверхности ьу (х, у) жестко заде-
ланной на опорном контуре квадратной
изотропной пластины постоянной толщи-
ны, загруженной поперечной нагрузкой
д — сопз! рис. (14.2).
Решение. Изгиб пластины попе-
речной нагрузкой д в безразмерных коор-
<. х и
дпнатах Е =------, п = описывается
а а
дифференциальным уравнением
д4й> о сРк? _ да4
дг]2 1 дту1 ПД
(14 17)
при граничных условиях:
<7 IV ,,
— ± 1 IV = 0, ,«. -- О,
(14.18)
< / Цй/
Ч = ± 1 ® = °> -7ЙГ = °-
Здесь й) = -у-, & (а-, у)
квадратной пластины
прогиб; Л — толщина пластины; 2а — размер стороны
ГА3
О =-----------г .
12(1 —V2)
Прогиб пластины ищется в виде
ад = (1 — 52)2 (1 — П2)2 («1 + а2с,- + сдл]2 “1“ ЯД2Л2)-
(14.19)
Выражение (14.19) удовлетворяет всем граничным условиям (14.18) и обеспечи-
вает симметрию изгиба пластины относительно осей координат.
Уравнения для определения трех неизвестных параметров а& получим, если
потребуем выполнения уравнения равновесия в трех заранее выбранных точках
коллокаций Точки коллокации следует располагать для обеспечения большей
точности как можно равномернее по плоскости пластины Этому условию удовле-
творяют точки с координатами (0, 0), (1/2, 0), (1/2, 1/2). В результате получим
следующую систему трех алгебраических уравнений:
4
80а^ — 128а2 -В 8ц3 — ;
45,5а, + 31,375а. — 15,25а3 = ;
29а, 4- 62,5а, 4- 20,84а3 = -угг •
Юп
Откуда
а2 = 0,28а1; а3 = 0,288а!', а! = 0,2192 .
(14.20)
(14.21)
Прогиб пластины в центре равен
и> (0, 0) = На, = 0,2192 , (14.22)
а изгибающий момент посередине длины кромок пластины
Л4 (1, 0) = 0,200876г2. (14.23)
Более строгое решение [см. гл. 19] дает для этих величин следующие значения:
= 0,2192 ; м = 0,2052?а2. (14.24)
Прогиб совпадает с полученным выше приближенным значением, а момент
отличается от (14.23) примерно на 2%.
§ 2. Метод наименьших квадратов [5, 2, 9]
Вновь рассмотрим краевую задачу, описываемую внутри области V уравне-
нием 2т-го порядка
Д(?ш) [ш (х, у, г)] = 7л(х, у, г) в V (14 25)
при краевых условиях
|ю (х, у, 2] = /у (х, у, 2) на 5 а = 1, 2, .... т).
Выражение для искомой функции ю (х, у, г) задаем в виде суммы
/V
(х, У, ?) = V (X, у, г),
6=1
(14.26)
(14.27)
где а^ — неизвестные параметры, подлежащие определению; (х, у, г) — си-
стема линейно-независимых функций, удовлетворяющая условию полноты.
В общем случае выражение (14.27) не удовлетворяет дифференциальному
уравнению (14.25) и граничным условиям (14 26).
Для определения неизвестных параметров ад, поступают следующим образом.
Выбираем определенное число точек коллокации Л\ внутри области V и .У2 на ее
поверхности 5. Важно при этом подчеркнуть, что число этих точек должно удов-
летворять неравенству
Л\Ч- ш/У2> /V. (14 28)
Точность решения повышается как с увеличением числа неизвестных параметров
в сумме (14.27), так и с относительным ростом левой части неравенства.
Подставляя выражение (14.27) в дифференциальное уравнение (14 25) и крае-
вые условия (14.26), получаем определенную невязку в каждой точке коллокации
(I = 1, 2, .... + ^г):
Д4- =
~ /V
У
_/г=1
?[) Я (^, У[>
(/= 1, 2, Д\);
(14.29)
б// — Ф]
- У
У аьерь (XI, у1,
.к-Л
(] = 1, 2, ...» т, I = 1, Д\ 4- 2, ..Л\ Д- До-
полученные значения невязок являются размерными величинами. Представим их
в безразмерном виде. С этой целью разделим их на и //, имеющими соответ-
ственно размерности д (х, у, г) и /у ( х, у, г). Получим
д9 = (I =1,2, ..Л\); б^- = (• = ДГ14-1» • • •»
/ = 1, 2, ,.т).
Тогда суммарная квадратичная погрешность при удовлетворении уравнений
(14.25) и (14.26) по всем точкам коллокации определится по формуле
Л71+Л72 т
△2=Т(Д?)2+ I Ш2 (14'30)
1 = 1 1=Л 1Т1 ]— 1
Полученное выражение (14 30) является сложной функцией неизвестных па-
раметров а/г (/г = 1, 2, . , Л). ,
Из условия минимума суммарной квадратичной погрешности V получ ем си-
стему алгебраических уравнений относительно параметров ар а2, • ••> Ду-
дЛ3
да/г
= 0 (/г = 1, 2, /V).
(14.31)
Для нелинейной кпаевой задачи система (14 31) будет нелин .1 и
Изложенный выше метод часто называют точечным методом, наименьших
квадратов. Если вместо неравенства (11 28) выполне) о условие (14 8), т( е шы
метод наименьших квадратов переходит в метод коллокации.
Увеличение числа точек коллокации всегда приводи г к повышению точно». ы
и числовой устойчивости системы уравнений Л- я определения а/г.
Если же число точек коллокации беспредельно увеличить и занять ими весь
объем Г и всю поверхность 5, то в выражении (14.30) мы должны будем суммы
заменить соответствующими интегралами
т
у, у, г))2 дв,
(14.32)
где
(/ = 1, 2, ..т);
Го и 50 — произвольно выбранные величины, имеющие размерность объема и
площади соответственно. Желательно также, чтобы Уо и 5(1 не слишком отличались
по своей величине соответственно о г объема и поверхности рассматриваемого
тела.
Подставляя Д2 из формулы (14.32) в зависимость (14.31), получаем систему
алгебраических уравнений для определения коэффициентов а^. Изложенный ме-
тод, базирующийся на использовании выражений (14.32) и (14.33), принято назы-
вать интегральным методом наименьших квадратов.
Получающиеся при этом уравнения очень схожи с уравнениями обобщенного
метода Бубнова—Галсркина.
§ 3. Метод сеток
Метод сеток, или, как иногда говорят, метод конечных разностей, с появле-
нием быстродействующих вычислительных машин нашел широкое использование
для решения самых разнообразных краевых задач механики деформируемых тел
[1, 4, 7, 8. 12, 13].
При использовании метода сеток все дифференциальные уравнения и крае-
вые условия заменяют приближенно уравнениями в конечных разностях,
которые, как правило, получают из дифференциальных уравнений и краевых
условий путем замены в них производных и различных дифференциальных выра-
жений их приближенными представлениями через разностные отношения или зна-
чения функций в отдельных точках. Эти точки являются узлами сетки, наложенной
определенным образом на область задания функции.
3.1. Интерполирующие полиномы для функции одной переменной. Интер-
полирующий полином позволяет получить приближенное аналитическое выраже-
ние некоторой функции / (х) по ее значениям при некоторых частных значениях
независимой переменной х, находящихся в интересующем нас интервале измене-
ния л С [а, 6] Приведем краткие сведения из теории интерполяционных фор^
мул [6].
Пусть даны произвольные значения я0, а19 •..., ап независимой переменной х
и соответствующие им значения функции / (п0), / (п^, ..., / (ал).
Рассмотрим разностные соотношения, построенные по правилу:
_ (14 34)
а1 иц Я} —
Выражения (14.34) называют разностными отношениями
ним образуют разностные отношения второго порядка*
первого порядка. По
/ («2» «1. «о) = — 1 °о) .
«2 — «0
/ (о3> «2, «,) = -!<а* а,) (14-35)
й.З а1
затем разностные отношения третье!о порядка
I (а3, аг, аь а0) = 1(°з. с». «О - / (о,, 01, а„)
а3-«о (1436)
и т. д.
Для равноотстоящих значении аргумента а0, п1 = -|- /, 0>— а
...» ан = Щ)+ пН разностные отношения перепишутся в виде’
/(^,«0) = ^^; /(°2. «а = ^ ; 1(а3, а3) = ^Д, ...
I («2, 01, 0„) = ; I (а3, й2> 01) = ^,(«1) ...
/(«,, о3, а2, а„ = , .... (14.37)
где △/ («/) = / (й/+1) — / (пг) = /1+1 — /\;
АД (а,) = А (А/ («/)) = А (Д+1 - Д) = Д/, + 1 _ д/. = /.+2 _ /.+1 _ ;.+г =
— Л‘+2 — 2/“/+1 Ц- Д-;
А3/ (<Ъ‘) — Л+з — ЗД+2 3//+1 —
△4/ ($/) ~ 11+4 — 4/1+д -|- 6/4+2 — 4/1+1 -|-
△5/ («/) = Л+Б - 5Л-+4 + 10//+3 - 10Л+2 + 5Л-+1 - Л-. (14.38)
Разности (14.38) называются правыми разностями.
Используя введенные выше разностные соотношения, можно получить выра-
жение для так называемого интерполирующего полинома Ньютона степени п:
/ (х') = { («о) + (х — а„) [ (а0, а^ + (х — а0) (х — дх) / (н0, аГ, с/2) +
-|----1- (х — а0) (х — «О ... (х — «„_!) / («о, «г ... ол). (14.39)
Приведем частные случаи этой формулы при постоя ином шаге для аргумента,
равном Л.
3.1.1. Формула Ньютона для интерполирования
вперед
/ (X) = / (а) + V (а) + (Х - 0) ~ Л) V/ (а) +
, (х — а) (х —а —К) .
п 1 Нп
Ап1(а) (14.40)
определяет функцию / (г) по заданным ее значениям для следующих равноотстоя-
щих значений аргумента: п0 = а\ их — пД- й; а2~ о -|- 2/г, ...; ап а + пН.
3.1.2. Формула Ньютона для и п т е р п о л п р о в а н и я
назад
/ (Л-) = / (а) + А/ (а - А) + Д7 (а - 2Л) + .. •
(х-а)(х—а А) ... [х —а-{-(»—0^1 д п? (а _ (14.41)
пЦ1п
определяет функцию / (х) по заданным ее значениям для значений аргумента
а() = а, а1= а -— Л, а2 — а — 2/1, ..., ап = а — нН.
Формулы (14.40) и (14.41) удобны при вычислении значении самой функции
и ее производных для значений х, близких к значению а.
3.1.3. Ф о р м у л а Ст п р л и н г а
/ М = / (а) + (а) - 4- Д2/ (« - 1‘) + - +
(х — а) [(х — а)2 — /г2]
зГа5
&>[ (а -11)—-^- Д'1/ (о — 2Л) 1 +
(х — а)2 [(х — а)2 — А2] .... ... лп.
+ ---------- ^4- - ------------ А4/ (а — 2А) + • • • (14.42)
с тужит для определения функции / (х) по заданным ее значениям для следующих
равноотстоящих значений аргумента: а — нН, ...» а — А, а, «+ А, ..., а 4- п/1.
Формула удобна при вычислении значений самой функции и ее производных
вблизи среднего из узлов интерполяции.
3.2. Формулы для определения производных. Формулы для определения
производных от функции / (х) получаем путем дифференцирования интерполяцион-
ных полиномов (14.40), (14.41) и (14.42).
3.2.1. Формулы для определения производных
в узловой точке по значениям функции в узлах интер-
поляции, расположенных справа (в положительном
направлении переменной х)
Г = ~Г Г У (а)---------4 (°> + 4 А>)----------------] ’
Г (“) = /4 [Д2/ Ю + 44 (а) —] :
(а) = -2. [дз/ (а) —1 дV (й) + 2_ Д5 / (а)--------;
/1у (а) = ~ [ д4/ (а) - 2Д5/ (а) + -2 Д6Г (а) - •
(14.43)
И т. д.
Входящие в выражения (14.33) конечные разности А/ (а), А2 / (а), ... опре-
деляются по формулам (14.38).
Производные, определяемые по формулам (14.43), принято называть правыми
производными.
3.2.2. Формулы для определения производных в уз-
ловой точке по значениям функции в узлах и н т е р п о-
л я ц И и, расположенных
правлении пере м с н н о й
С л е в а (в от р и ц а т е л ь и о м
и а -
К [Л/(а~Л)+4'Д2/(а-2Л) + -|-ДЗ/(а-ЗЛ)+...1; '
/" (о) = -^ [ Д7 (а - 21г) + Дз/ (а - ЗЛ) + Д1/ (а _ 4Л) + 1.
/" (“) = д3/ (а - ЗЛ) + А Д1/ (а _ 4/1) + _1_ Д5/ (а _ 5Л) + 1.
(а) = И (а ~ 4Л) + 2Д5/ <а - 5/0 + 4 дб/ (с - 6Л) + ... 1
и т. д.
(14-44)
Для определения входящих
А2/ (а — 2/?),.., непосредственно
следующие формулы:
в (14.44) конечных разностей \1 (а — Н\
на основании зависимостей (14.38) получаем
Д/(а-Л) = /0_/_1;
Д-/ (« - 2Н) = [„_ + /_2;
Д3 4/ (а - ЗЛ) = /0 _ з/_г + 3/ г _ /
Д7 (“ - 4Л) = /о - 4/_2 + 6/_2 - 4/_3 + /
(14 45)
и т. д.
Производные, определяемые по формулам (14 44^
производными. ‘ '*
принято называть левыми
Формулами (14.43) и (14.44) очень удобно пользоваться
условии уравнениями в конечных разностях
3 2.3. Ф о р м у л ы для определения
при замене граничных
л
п
р
о
о
о
в
л
н
о и точке
Я Ц II
О Т
и, р а
расе
„ „ „ , производных в
п о з и а ч е н и я м функции в узлах и и
с положенных
матриваемого
снимет
узла:
р и ч и о с обеих
т
с
у 3-
е р-
т о-
Г (а)
1 Д3/ (а — Л) 4- дз/ (П _ 2Л)
3! 2 г
4 А5/ (а — 2Л) + Д3/ (а - ЗЛ)
5! 2 '
I Г 9
/ = - К) - АД (а - 2Л) +
(14.46)
Производные, определяемые по формулам (14.46). принято называть ц н-
тральными. Формулы (14.46) используются при замене дифференциальных урав-
нении краевых задач уравнениями в конечных разностях
3 3 Простейшие интерполяционные формулы для производных с погреш-
ностью О (Л2). При выполнении числовых расчетов по методу сеток для опреде-
ления значений производных в узловых точках обычно используют про' тейшие
интерполяционные формулы с погрешностью О (И2), которые получаются из выра-
жений (14 43), (14 44) при сохранении в них двух первых членов и выражений
(14 16) для центральных производных при сохранении в них одного первого члена.
Приведем эти формулы для первых четырех производных в > й узловой точке.
3.3.1 Правые производные
Ц = I + <4-1 — ^+2);
/<’ = ТГ (2/ I — 5/<4-1 + ‘ +2 — / «4-з) '•
/"' = 2^ (- 5/,- + 18/,,н - 24/,.+2 + 14/,.+3 - 3/,+<);
/^ = ' (.3/, - 14/,.+1 + 26/,-+2 - 24/, +3 4- 11/,+4 - 2/,+5).
1 I
3.3.2 . Левые производи ы е
Л' = ^-(3/,-4/,_1 + /,._2);
Г( = (2Л - Ч-! + Ч-2 - Л-з);
/7 = (5/,. - 18/,+ 24/,_2 - 14/,_3 + 3/,_4);
/!У = V (3/‘ ~ |4/- -1 + 26/‘-2 ~ 24/'-3 +1 ,/‘-4 _
3 3.3. Центра л ь н ы е произвол и ы с
Л = ^4'+1
/< = 2ЛГ^‘+1 — 2^ + А-1);
/Г = 2^ (/.+2 - 2А+1 + 2//-1 - А-2);
/,'У = (/<4-2 - Ч-Н + 6Л - Ч-1 + /,'-2) • }
(14.47)
(14.48)
(11.49)
3.4. Применение метода сеток для решения одномерных краевых задач.
13 качестве примера рассмотрим изгиб непризматической балки, лежащей на
сплошном упругом основании и загруженной поперечной нагрузкой интенсив-
ности <7 (х) л осевыми растягивающими силами Т.
Дифференциальное уравнение изгиба для такой балки имеет вид
А (оу) = \Е1 (х) и)" (х)]" — Тш" (х) + к (х) ш (х) — д (х) == 0, (14.50)
или
А (ш) — а (х) оу1у (х) Ь (х) ш" (х) с (х) (х)
+ (х) М — д (х) 0, (14.51)
где у 7
<1 (х) к (х); а (х) Е1 (х); Ь (х) - 2/7' (х); с (х) - Л7" (х) - Г. (14.52)
В дополнение к уравнению (14.50) следует написать по два граничных село-
впя на каждом торцевом сечении балки (х = 0; х= I). Однако граничными уело-
впямп мы займемся несколько позже, а сейчас остановимся на операции заметил
дифференциального уравнения (14.51) системой уравнений в конечных разностях.
С этой целью разобьем интервал^ (0, I) изменения переменной х на п. равных участ-
ков точками х0= 0< %!= —< х2= — < ... < хг-< ... < хп = I и для
каждой из внутренних точек х = Х[ (I = 1, 2, ..., и — 1) выпишем конечно-раз-
ностную аппроксимацию уравнения (14.51). Для этого необходимо в уравнении
(14 51) входящие в него производные заменить их приближенными разностям ,и
формулами (14/19). Получим
о /<) (^-г —+ 6гу,- — 4ш(,14-да,+2) А-4-
+ ь (*<) (— и’г-г + — 2и>,+14- и>(42) +
+ ‘ (а,) (и',-! — 2а/( 4- ш,.1) ~ 4- 4 (%,) да,- _ ц (Х() - о
или сокращенно
(I = 1, 2, 3, ..., п— 1), (И 53)
(ю) = 0 (/= 1, 2, 3, .... п — 1),
гдеЛ4 ( ) — конечно-разностный оператор, вид которого легко усматривается
непосредственно из формулы (14.53).
Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения (14.51) разност-
ным (14.53) имеет порядок 0 (А2). Для увеличения точности расчета по методу
ссгок можно либо идти на уменьшение размера шага/г, либо применять при полу-
чении конечно-разностного уравнения (14.53) уточненные выражения для произ-
водных (14.46).
Если изменение жесткости балки Е1 (х) задано графически, то переход от
уравнения (14.50) к уравнению (14.51) становится затруднительным. В этом слу-
чае целесообразно, используя формулы (14.49), поступать с первым членом в урав-
нении (14.50) так:
\Е1 (х) и>" (х)]^Л. = -------I/ 1 ( 1 '-1.' ,
по
/<-----------Л5--------
и, следовательно,
‘Р ,Г! ,.л /=//.1^,42 — 2(Н1Ч14-/-/,)Ш1+1 ,
ю =-------------------------&--------------+
(Е!/ + 1 — 2/:/1 4~ ^Л-1) ^1 — 2 / + ^Л-1) Ц\~-1 4" (14.54)
Имея полученное выражение (14.54), уже без особых трудностей сможем вы-
писать для уравнения (14.50) его конечно-разностную аппроксимацию.
Система уравнений (14.53) наряду с перемещениями для внутренних узловых
точек содержит неизвестные перемещения граничных (контурных) точек (д'о — 0,
хп — I) и внешних (законтурных) точек (х_г = —Л, хп+1 = / 4- Л). В связи с этим
выражение (14.53) должно быть дополнено еще четырьмя уравнениями, которые
можно получить путем конечно-разностной аппроксимации граничных условий
(по два на каждом торце балки).
При замене производных в граничных условиях их конечно-разностными
соотношениями желательно использовать, как и при аппроксимации основного
дифференциального уравнения, зависимости (14.49). Однако если в граничные ус-
ловня входят члены, содержащие третью производную, то использование для этом
производной соответствующей зависимости из (14.49) приводит к появлению узло-
вых перемещений для двух законтурных точек. Поскольку два граничных условия
на каждом торце балки могут дать лишь два дополнительных уравнения для опре-
деленных неизвестных в контурной и одной законтурной точке, то узловое пере-
мещение во второй законтурной точке оказывается «лишним». Появление второй
законтурной точки, а следовательно, и лишнего неизвестного узлового перемеще-
ния можно избежать, если для аппроксимации третьей производной па торце балки
использовать зависимость из (14.47), позволяющую выразить значение призвод-
ной в узловой точке через значения искомой функции в узлах, расположенных
справа', а для аппроксимации третьей производной на правом торце использовать
соответствующую зависимость из (14.48), которая выражает значение производ-
ной в контурной точке через значения искомой функции в узлах, расположенных
слева, т. е. во внутренних узлах балки.
Рассмотрим несколько вариантов закрепления левого торцевого сечения
балки:
а) балка свободно оперта на жесткую опору
при х = 0 — 0; а/' = 0, (14.55)
Используя из формул (14.49) выражение для второй производной, вместо вы-
ражений (14 55) получаем два следующих разностных отношения;
сс'о = 0; оу_1 4-^=0; (14.56)
б) левый конец балки жестко заделан на жесткой опоре
при х= 0
^=0;^ =0. (14.57)
Разностные отношения условий (14.57)
&’о = 0, = 0; (14.58)
в) левый конец балки оперт на упругую опору с коэффициентами податливо-
сти А и упруго заделан с коэффициентом упругой заделки а
при х = 0
= аЕ1ю"\
(ЕМ)’ — Та>' = —
(14 59)
Для первого граничного условия, если воспользоваться выражениями произ-
водных через центральные разности (14.49), получим
2аЕ/0
(йУх — 2ау0 №_!).
(14.60)
Во втором граничном условии для первой производной от функции Е1&' вос-
пользуемся первой из формул (14.47) с сохранением в ней двух членов ряда
(для обеспечения погрешности аппроксимации 0 (А2)]
4 (Е1^ | = - А- <ЕМ">° + -7Г{ЕМ’^ ~
х=0
Внося в полученное выражение значения вторых производных через централь-
ные разности, получаем
I__ 3/>/0 . о । \ । 2Е1±
(1Х ) I ~ ~~ 2®° + Н--------дз~~ (^2 — 2^1 + йУ0) —
х=0
Е/2 ,
- 2^Г - 2йу2 + о>1). (14.61)
с учетом (14.61) разностная аппроксимация второго
окончательно запишется так:
граничного условия из (14.59)
ЗЬ70
2/г3
(^'1 — 2и/0 — ьу ) а
/I3
(ш2 — 2оу1 -}- ЬУО) —
Е12 , т
2Лз-О'= - 2ш2 - шП-__(Ю1_да1) =_^_ (14 62)
/Аналогично можно произвести замену гпаш <
конце соответствующими конечно-разностными мсплПпСЛ°В,1Й балк" "а "Равом
Совокупность разностных уравнений (14 531 с г ями-
ставленными в конечно-разностной форме обтзсрт г^г^^ЧНЬ™И Услов»ями, пред-
печий, решение которой позволяет оппедепить ‘У алгебРаических урав-
По найденным значениям узловых перемещений определяютсяВППУ?’1ОВЬ,Х точках-
ним и все интересующие нас элементы изгиба рчссмятп..»^ ? производные, а по
изгибающие моменты и перерезывающие силы |‘,'Риваем°и балки, в том числе
Пример. Составить систему конечно
для расчета па изгиб призматической балки Р>кестко'™ Х₽авиеи|,й метода сеток
мерно распределенной нагрузкой а. Левый кон™ к,™ ’ загРУженной равно-
(х =_[) свободен (рис. 14 3). 1 6 К" жсстко заделан, а правый
Р е ш е и и е. Изгиб
ным уравнением
рассматриваемой балки описывается дифференциаль-
при граничных условиях
х = 0:
(х) = д
к» ~ 0;
х = I:
и/ = 0;
(14.63)
V)" = 0; '
ш"' = 0.
(14.64)
Разобьем балку на пять равных участков
(14.49), перепишем граничные условия (14.64) в
&'о = 0; -
х = 0:
(рис. 14.4). Используя формулы
конечно-разностном виде
. •* — О I " О ~ >
X — Г.
—^з 4~ — 2и»6 -|- ьу7 = 0.
(14.65)
Уравнение равновесия (14.63) преобразуется для
щее уравнение в конечных разностях:
гй узловой точки в следую-
^1-2 — ^1-1 + 6ш/ — 4^-+1 4~ ^1+2 — •
(14.66)
Совокупность четырех уравнений (14.65) с уравнениями (14.66), написанными
для узловых точек I = 1,2, ,3, 4, 5, образуют систему из девяти линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно девяти неизвестных узловых перемещений а»;
(/ = —1, 0, 1, ..., 7).
В заключение заметим, что при конечно-разностной аппроксимации гранич-
ных условий (14.61) всюду (вплоть до третьей производной) использовались цен-
тральные разностные отношения, а не левые разности согласно рекомендациям
3.4.2. Это привело к появлению на правом
конце балки уже двух законтурных узлов.
Недостающее для определения узловых
перемещений уравнение было получено из
Рис. 14.4
Рис. 14.3
условия выполнения уравнения (14.66) не только во внутренних узлах
{I 1. 2. 3. 4), но и в контурном узле (г = 5).
3.5. Применение метода сеток для решения двухмерных краевых задач.
Пусть на некоторую двухмерную область наложена ортогональная сетка, обра-
зованная семейством прямых
л- = /7?л-; у — кку (Л & = 1, 2, ...).
В этой области задана некоторая функция / (>-, //). Вводя для точки с ко орд и
патами а-, гм обозначение (г, Л) (см. рис. 14.5) и используя выражения для цен-
тральных производных (14.49), легко получить интересующие нас формулы для
уп-\-П}
определения смешанных производных --------- в любой узловой точке. Через
дхтдуп
узловые значения функций / (х, у):
/ д! X ___ Л+1. /г — /1-ъ Л . / д/ А
\ дх ) ц> 2кх ’ \ ду ) ц<
(-Д') = 4- (/<«. 4 - 2/,к + Л-ь 4);
\ дх2 / 1к /4
//. к+\ к-1 .
211 у
д'/ А
ду- ) (к
= 1. Л+1 — 2/[к 4“ /1. к-1) •
а3/ х________1_
дх3)[к~ 2Н3Х
(/1+2, к — 2//+1, 4~ 2//_1, к /1-2, к)>
/ Э3/ X 1 • г 9Г
( Л“ п.2, " М'+Ь /г+1 — /1+1. к-1 ^11, /г+1
\ <)х . у / 1к 2ИхКу
4" 2/1, к-1 4“ /1-1. /г+1 — /1-1. /г-1)»
д3/ X
дхду2 ) Це
~—~тг (/1+1, к+1 — /1-1- /г+1 — 2// +1, /г 4"
2НхИу
4“ ^1-1, к + /1+1. к-1 — /1-1. к-1)\
д4? \ 1
дх4 ) Це
(/1+2> /г — 4//+11 /е 4" 6/г7г — 4/г-_1, 4" /1-2, /г)>
(14.67)
д4[ \
дх-ду: / Це
,0,9 (/1+1- А’+1 "Ь //+1’ /г-1 — 2/д+1, к — 2н, к+1 4~
ЛхЛ/
4- 4/171 — 2/г’, /г_! — !е 4- /1-1, /г+1 4" /г-1, А-1)1
X 1
ду1 ) 1к Плу
к+2 — Л+1 4- 6/, к — к-1 4- /1- /г-г)-
Погрешность формул (14.67) имеет порядок 0 (/г2)-
Приме р. Решить методом сеток задачу об изгибе прямоугольной квадрат-
ной пластины, загруженной равномерно распределенной нагрузкой д. Кромки
пластины х = соп81 свободно оперты, а кромки у = сопз1 жестко заделаны
(рис. 14.6).
Решение. Изгиб рассматриваемой пластины описывается дифферен-
циальным уравнением
дхл дх-ду- дул
(14.68)
О
при граничных условиях
, а
л = ± — ш — О,
а
у = ± -тр до = О,
ду
= 0-
Наложим на пластин) сетку с квадратными ячейками, размер сторон кото-
рых равен (рис. 11.7). Легко видеть, что для рассматриваемой пластины пере-
мещения в узловых точках, симметрично расположенных относительно координат-
ных осей, одинаковы. Это позволяет сократить число неизвестных узловых пере-
мещений.
Дополнительно к внутренним узловым точкам па рис. 14.7 нанесен ряд на-
ружных узловых точек, которые входят в разностные уравнения равновесия и
граничные условия.
Согласно граничным условиям
П а а
IV — 0 при X = ± И у = ± —
перемещения в узловых точках, расположенных вдоль контура пластины, равны
нулю и из числа основных неизвестных исключаются.
Приступим к составлению системы разностных уравнений для определения
десяти неизвестных узлов перемещений. Эта система объединяет разностные урав-
нения равновесия типа
। / д4до д4до - \ . .
Л* + 2 '+ ~дуг) 1к “ (/,+2’к ~ Л+1‘-к + 61‘к~
— 4Д_Ь /г -|~ //-2.7г) + 2с (//+1, /г+1 + //+1, /г-1 $//+1, /г 2//, /?+1 ф- 4/Д
— 2Л, /г-1 — 2//_1, /г -|- Л_х, +Л-1, /г-1) + с* /г+2 “ V/, /г+1 + 6//Л ~
+ <=-§- (ню)
для внутренних узловых точек /, 2, 3 н 4 и разностные уравнения для тех границ-
пых условий па опорном контуре пластины, которые остались невыполненными.
Наглядное представление о структуре разностной аппроксимации оператора
АЛ.\7-\72 ( ) [левая часть уравнения (14.69)1 дает рис. 14 8, где в кружках при-
ведены значения числовых коэффициентов, стоящих перед соответствующими
Рис. 14.8
Рис. 14 7
узловыми значениями функций. Каждый из упомянутых кружков расположен на
месте тон узловой точки, для значения функции которой вписан в этот кружок
числовой коэффициент.
Разностные уравнения равновесия (14.69), если учесть нумерацию узловых
а
точек (см рис. 14.7), а также, что в рассматриваемом случае пх = Пу — при-
нимают вид
20^ — 16сС2 — 16ву3 -р 8о>1 = ’
лсд
— 8^4-21^24-4^3— 16^1 4-
асд
— 8о>! + 4о»2 + 21и’з — 16(1»! + го8 = 256Р :
0Ч.Л1 I ОО.Л1 I ТЛ1 I ГЛ1 ___________—
(14.70)
256Е> *
Граничное условие
д-ю
дх
0 в узловых точках кромки
а
х = - — приводит
к следующим разностным отношениям:
4~ = 0> ^4 4~ ^5 — Ш7=0,
а граничное условие
ношениям вида
дю а
в узловых точках кромки у = —
— ^8 = 0.' <^'4 — ^9 = 0, оу1о — 0.
(14.71)
к разностным ог-
(14.72)
Уравнения (14.70), (14.71) и (14.72) образуют систему десяти линейных алге-
браических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений ю,-
а= 1, 2, .3, ..., 10).
3.6. Аппроксимация граничных условий на криволинейном контуре двух-
мерной области. Пусть на криволинейном контуре (рис. 14.9) сеточной области
для некоторой краевой задачи заданы значения искомой функции
либо ее
нормальной производной
(И (5) = ф (5)
(14.73)
(14.74)
Если контур $ заменяется ступенчатой ломаной линией 8—7—1—6—5, то для
установления величины функции ю ла границе сеточной области по известным зна-
176
пениям функции на криволинейном кон™по
Фу„ц„„ умс,
“ 1сние в точке /1
№в — Шд Юд — цц
откуда __ 1юд — (1~12)ю1 " /2 • (И.75)
дю
Нормальная производная — в контурном узле Е (рис. 14.9) определится
по формуле / дю \ \ ду ) ( дю \ ( дю \ Е~\ дх )ЕС05“Е+('^'-)Е5,ПаЕ.
откуда / дю > \ ду ) 1 ~ В, 1 4-51паЕ. (14.76) г. Л-о
Точно также можно получить выражение для конечно-разностной аппрокси-
мации любой высшей производной, заданной на контуре. Располагая же разност-
ными выражениями для производных, сможем представить в конечно-разностной
форме любые заданные на криволинейном контуре граничные условия и тем самым
получить для рассма риваемой краевой задачи недостающие разностные уравне-
ния для определения значений узловых функций сеточной области.
3.7. Метод . е о. для двухмерной области при произвольном расположении
узловых точек. Использование прямоугольной сетки может привести к значитель-
ным погрешностям в конечно-разностном представлении граничных условий для
определяемой функции на криволинейном контуре. Точность представления
краевых условий, а тем самым и точность решения самой краевой задачи, можно
было бы повыси. ь, если аппроксимировать контур области ломаной линией с узло-
выми точками, расположенными на контуре (рис. 14.10).
Любое дифференциальное алгебраическое уравнение 2т-го порядка для двух-
мерной области
А(-"!) (х, у)] = ? (х, у) (14.77)
можно переписать в виде
— п00^00 + ^10^1.0 + «01^0,1+ ^20^2,0 + ^11^1,1 + ПО2^'о,2 + аЗо^З,О +
Рис. И.9
Рис. 14 10
где Дав — известные функции х, //, а
д
^а' дхаду$
Например, гармоническое уравнение -= я в соответствии с уравнением
(14.78) запишем так:
дш р. дш . । л г 1 — а (х ц\
\ -ш = Ош 4- 0 -г о + 1 -^г- 4- 0 дхду +1 ду> <? (••-/)
(14.79)
Далее можно показать, что для 1-го узла при произвольном рас положении (о-
седних узловых точек (/ = 1, 2, р) дифференциальное уравнение (14.78)
заменяется разностным уравнением вида
/=и
2 ] (йУу — ПУ/) 1 — тцкц = Я1>
/=1
(14.80)
где величины Л/у определяются из совместного решения системы алгебраических
уравнений
/г,/ = — аоо (*ь ///)’
и
2^ (ху — х,-) /г/у = а10 (*;, У()\
р
22 (у/ - у^ кп
/=1
(14.81)
(Ау - х/)а (//у - /у,)3 Л _ п пЛ
------------------------------«// — «сер Ри РП-
Число уравнений в системе (14.81) определяется числом коэффициентов яар,
которое зависит от порядка 2т дифференциального уравнения (14.77). С другой
стороны, число подлежащих определению /?/у, зависящее от числа р, должно быть
равно числу уравнений в системе (14.81). Отсюда легко получить значение мини-
мального числа смежных точек р в зависимости от порядка дифференциального
уравнения 2/п;
2т 2 3 4 . . . 2т
р 5 9 14 . . . т (2т -р 3)
Если число смежных точек больше р, то уравнение (14.78) следует дополнить
членами с более высоким порядком производных, например, членами вида
0^2ЛП+1,0; (Ц),2/Л+1 И Т. д.
Внося найденные из решения системы (14.81) коэффициенты в уравнение
(14.80), получаем окончательный вид искомого разностного уравнения.
Пример. Для дифференциального уравнения (х, у) — я (х, у) тре-
буется получить соответствующее ему разностное уравнение.
Р с ш е и и е. Поскольку в нашем случае 2т = 2, число смежных узлов
должно быть не меньше р = 5. Этим требованиям будет удовлетвори гь треуголь-
ная сетка, изображенная на рис. 14. П,
178
Рис. 14.11
Сопоставляя уравнения (14.79) и (14.78), находим значения коэффициентов
о'оо ~ 6/01 ~ 0; ~ 0; я20 = 1; пп — 0; п02 — 1. (14.82)
Используя данные на рис. 14.11, легко переписать для рассматриваемого слу-
ч1Я систему уравнений (14.81). Имеем
Для получения симметричного рисунка расположения смежных узловых то-
чек выше был введен дополнительный шестой узел. Эго привело к появлению в си-
стеме (14.83) одной лишней неизвестной. Поэтому одним из коэффициентов к^
можно было бы задаться произвольно либо определить его значение с помощью
одного из дополнительных условий:
6/30 — О’, — 0; ^12 — б, 0.
Однако более целесообразным будет, если мы, используя симметрию, напри-
мер, расположения точек / и 4, предположим, что кц = к^. Тогда из выражений
(14.83) получим окончательно значения коэффициентов /?/,:
2 1
й,/ = 0; = (/ = 1,2,....6).
О [ I
Внося найденные значения к^ в 5 равнение (14.80), получаем искомое разност-
ное уравнение
(14 84)
/==1 . 2
которым аппроксимируется значение дифференциального уравнения \ -
7 (V, //) в 1-й узловой точке с погрешностью 0 (/Г2).
Рисунок конечно-разностного оператора V- для треугольном сетки, дающий
полное представление о содержании левой части уравнения (14.84), приведен на
рис 14 12. Здесь на месте расположения каждого /-го узла приведены числовые
значения коэффициентов при неизвестных к’у уравнения (14.81).
Изложенная выше процедура составления разностных уравнений весьма
проста и может быть запрограммирована с целью автоматического получения с по-
мощью ЭВА1 необходимой системы разностных уравнений для каждого внутрен-
него узла рассматриваемой области.
Хотя всюду выше и предполагалось, что смежные точки / (1, 2, .... р) про-
извольно расположены относительно узла /, все же для получения удовлетвори-
тельной числовой устойчивости при решении системы (14 81) нужно стремиться
равномерно распределить точки / в окрестности узла /.
3.8. Применение метода сеток для решения трехмерных краевых задач.
Все основные положения метода сеток, изложенные выше для решения одномер-
ных и двухмерных краевых задач полностью сохраняются при рассмотрении трех-
мерных задач, таких как определение напряженно-деформированного состояния
в объемных телах при действии на них заданных внешних нагрузок. Поэтому счи-
таем возможным остановиться лишь на получении конечно-разностных формул
для смешанных производных функции трех независимых аргументов х, у, г.
Пусть область изменения функции / (х, у, г) разбита па отдельные одинако-
вые параллелепипеды со сторонами 1г у, с помощью плоскостей, параллель-
ных координатным плоскостям. В силу громоздкости в общем случае конечно-
разностных формул для смешанных производных типа--------—~— ------ огра-
дхаду^дгу
„ д3/ (х, у, 2)
кичимся выводом выражения для производной —дх ду'дгв точке с кООРдипа'
та.ми хт, уп, гк:
д5/\ - д* / д/
дхдудг )т,п,к дхду \ дг
т—2, п~1~1,к
т—1, п—1,к
I
4ЛЛ7^.
(Лл+1,/7+1, /г+1 — /т+1, п+1, Л-1) —
1
2^
(//Л+1, П-1, /.’+! — Лп+1
1 1 /Г
п-1, к-1) (/т-1, п+1, к+1—
/т-1, п+1, /г-1) 4- (/т-1, п-1, /г+1 — /т-1, п-1, /г-1)
1
(/т+1, п+1, к+1 — /
т+1, п+1, /г-1 — /т+1, п-1, к+1 —
/т~1, п+1, к+1 4~ /т-1, п-1, к+1 4~ /т-1, п+1, к-1 4~
4" /т+1, п-1, к-1 — /т-1, п-1, к-1)- (14.85)
Аналогично могут быть получены смешанные производные более высоких
порядков для функции / (х, у, 2).
ГЛАВА 15. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Состояние равновесия или движения деформируемых систем, как известно,
наряду с дифференциальными уравнениями может описываться с помощью вариа-
ционных принципов. Так, положение равновесия консервативной системы есть
положение, в котором силовая функция работы всех сил системы имеет минималь-
ное значение.
казанное обстоятельство позволяет заменить проблему решения систем
дифференциальных уравнений равнозесия рассматриваемой механической системы
проблемой определения функций, обеспечивающих минимум некоторого функ-
ционала, в данном случае силовой функции работы всех сил, действующих на си-
стему Для определения этого минимума используются так называемые прямые
вариационные методы, основы которых были заложены в работах Рэлея и Ритца.
Е В общем случае поведение деформируемых систем описывается условием
стационарности некоторого функционала. И это условие стационарности эквива-
лентно основным уравнениям, которые описывают поведение деформируемой си-
стемы .
Большинство задач теории упругости и строительной механики не может быть
решено точно. Использование вариационных принципов позволяет получить при-
ближенное решение и при этом, по существу, с любой наперед заданной точностью.
В настоящей главе для сплошных тел, находящихся в равновесии, формули-
руются два основных вариационных принципа: принцип возможных перемещений
и принцип возможных напряжений. Приведены некоторые обобщения этих прин-
ципов.
В общем случае оба основных вариационных принципа носят статико-гео-
метрический характер, т. е. справедливы для любых свойств материала тела.
Каждый вариационный принцип утверждает, что для некоторого класса задач,
если заданы условия задачи, из всех мыслимых состояний и процессов, совмести-
мых с этими условиями, в действительности реализуется такое состояние или про-
цесс которые придают определенному характерному для этого принципа и класса
задач функционалу стационарное значение.
Иногда, о чем уже упоминалось выше, можно говорить не о стационарном, а
об экстремальном значении функционала, что имеет близкий, ио не всегда рав-
ноценный смысл.
Вариационное исчисление, в котором излагаются вариационные принципы и
методы решения вариационных задач, в настоящее время является одним из важ
нейших разделов теоретической и прикладной математики [2, 6, 7, 9, 10]. Вариа-
ционные принципы позволяют с единых идейных позиций рассмотреть поведение
совершенно различных физических процессов. Они нашли широкое использование
и при решении задач механики деформируемых сред [1, 8, 17, 19. 24]. Ниже при-
водится краткое изложение их основных идей, проиллюстрированное примерами.
§ 1. Принцип возможных перемещений
1.1. Принцип возможных перемещений и уравнения равновесия. Рассмотрим
некоторое тело, загруженное объемными силами Х[ и поверхностными на ча-
сти поверхности 51. Оставшаяся часть поверхности тела 52 имеет заданные пере-
мещения (кинематические граничные условия)
и/= й/ на 52. (15.1)
Предположим, что состояние равновесия тела характеризуется компонен-
тами перемещения иь шестью компонентами напряжения о,/ и шестью компонен-
тами деформации 8г->. Далее, пусть перемещения тела в его равновесном состоянии
получили малые приращения, совместимые с геометрическими и кинематическими
связями, наложенными на тело. Такие дополнительные перемещения принято
называть возможными.
Гогда согласно принципу возможных перемещении для тела, находящегося в по-
ложении равновесия, сумма работ всех действующих на него внешних и внутренних
сил на любой системе возможных перемещений равна нулю
где
| | — О,
(15.2)*
(15.3)
6П - [
=ЛI
V
— приращение потенциальной деформации тела; второй член в левой части равен-
ства (13.2) определяет работу внешних объемных сил на возможных перемещениях,
третий член — работу па тех же перемещениях внешних сил, приложенных на ча-
сти поверхности
Принцип возможных перемещений в формулировке (15 2) справедлив при
любых свойствах материала тела, т. е. при произвольном законе связи между ком-
понентами напряжений и компонентами деформаций, и при произвольном законе
кинематической связи между компонентами перемещений щ и компонентами де-
формаций е,Им можно пользоваться и в случае неконсервативных внешних сил,
т. е. сил, работа которых зависит от всей истории нагружения тела.
Выполнение условия (15.2) приводит к тождественному выполнению всех
уравнений равновесия по объему тел<1 и естественных (силовых) граничных усло-
вий на части поверхности 52. Поскольку решение уравнения (15.2) строится на
классе геометрически возможных перемещений и, следовательно, условия сплош-
ности тождественно выполняются, то компоненты щ, удовлетворяющие уравнению
(15.2), будут истинными.
1.2. Консервативные системы. При использовании принципа возможных
перемещений для решения консервативных задач удобно ввести в рассмотрение
потенциал внешних сил
(15.4)
С учетом выражения (15.4) зависимость (15.2) перепишется в виде
где
6Э, = б (П — б)) = О,
(15.5)
Э1 = П- П = П-
V
— полная энергия деформируемого тела, П — потенциальная энергия тела.
Равенство (15.5) показывает, что для консервативных систем из всех возмож-
ных сточки зрения сплошности тела и условий его закрепления (15.1) перемещений
истинными перемещениями будут те из них, при которых полная энергия Э1
Н1 внимает стационарное значение. При этом возможны следующие положения
равновесия:
устойчивое
Э{ — пн’п; 6Э; = 0; б2Э{ > 0;
неустойчивое
Э1 = гл ах; 6ЭГ == 0; 62Э} < 0;
безразличное
Э[ — соль!; 6Э1 = 0; 6-Э1 = 0.
Приведенные условия ^составляют сущность принципа Дирихле, представ^
ляющего собой достаточный критерий для оценки состояния равновесия консер-
вативных систем. 1
пом Лап?анжаИ°ННЫЙ принцип’ сраженный этой формулой, часто именуют принци-
182
Вь1ше приведены две формулировки принципа возможных перемещений:
к2ч___ наиболее общая формулировка, которая может быть использована для
пения физически и геометрически линейных и нелинейных краевых задач при
реШствии консервативных и неконсервативных внешних сил; (15.5) — справед-
ДСва при действии на рассматриваемое тело консервативных внешних сил.
*ПП В следующих параграфах будут изложены приближенные методы, основан-
е па использовании принципа возможных перемещении Эти методы позволяют
Н“пуЧИТь решение вариационной задачи в ее исходной постановке, без перехода
•11 уравнениям Эйлера. В силу этих причин они получили название прямых мето-
дов вариационного исчисления.
§ 2. Метод Ритна
2.1. Основные положен ия_ метода. Пусть имеется тело, загруженное объем-
ными и поверхностными силами на части поверхности На оставшейся
части поверхности 8? наложены определенные геометрические связи
= (/=1,2,3). (15.6)
Неизвестные компоненты перемещений //, (х. //, ?) ищем в виде
/V.
Щ (X, {/, 2) = ц/о (*> (х, у, г), (15.7)
/е=1
где
н/о = й[ на 82;
/ |-(г, и, 2) ('г = 1, 2, ..., Л/) — так называемые координатные функции, удов-
летворяющие при каждом фиксированном значении I {I — 1, 2, 3) условиям ли-
нейной независимое гп и полноты, а также условию= Она ацг— параметры,
подлежащие определению. При таком подходе к выбору функций пг0 и выраже-
Н1 я (15.7) будут удовлетворять геометрическим связям (15.6).
Следует заметить, что в отдельных случаях при применении вариационных
методов и, в частности, метода Ритца можно получить вполне удовлетворитель-
ную точность пои использовании в выражениях (15.7) систем функций, неудовлет-
воряющих условиям полноты. Говоря точнее, условие полноты систем функций
I ___лишь желательное условие, но не обязательное.
1 Для отыскания постоянных ацг следует предварительно получить выражение
для потенциальной энергии II в функции от компонентов перемещения.
Подстановка выражений (15.7) для компонентов перемещения в основное
I авсиство принципа возможных перемещений (15.2), если учесть произвольность
вариаций позволяет получить систему основных уравнений метода Ритца
45.8)
V
(I = 1, 2, 3; /г= 1, 2, Л/г)
для определения неизвестных параметров пг/г.
При действии консервативных внешних сил уравнения метода
принимают следующий вид:
531 = 0 а = 1,2. 3; к = 1,2..V;).
да: к
Риша (15.8)
(15.9)
где Э| = П— (7 — полная энергия тела. Потенциал внешних сил V в выраже-
нии для Э. определяется по формуле (15.4).
Расчетный алгоритм метода Ритца очень прост и включает выполнени
следующих основных операций:
1) выбор координатных функций /)& и запись
для компонентов перемещений
на их основе выражений (1о 7)
2) подстановку выбранных вы-
ражений для перемещений в уравне-
ния метода Ритца (15.8) или (15.9)
при действии консервативных внеш-
них нагрузок. После выполнения всех
необходимых вычислительных опера-
ций получаем систему линейных /'для
линейных задач) или нелинейных алге-
браических уравнений относительно
параметров ац<\
3) определение параметров
из совместного решения системы
алгебраических уравнений, получен-
ных в п. 2;
4) определение компонентов перемещений по формулам (15.7);
5) определение интересующих компонентов деформации и напряжения
по найденным в п. 4 компонентам перемещения с помощью соответствующих
зависимостей теории упругости.
2.2. Примеры использования метода для исследования изгиба балок. Степень
успешности применения метода Ритца для решения практических задач во многом
зависит от степени удачности выбора координатных функций. Разумно выбранная
система координатных функций позволяет ограничиться в решении малым числом
членов ряда и существенно сократить объем вычислений. Подбор координатных
функций при решении конкретных задач требует определенного навыка. Очень
важно научиться удачно выбирать эти функции для одномерных задач, поскольку
при решении двух- и трехмерных задач координатные функции, как правило,
задают в виде произведения одномерных функций.
Пример 1. Определить с помощью метода Ритца упругую линию сво-
бодно опертой по концам призматической балки, загруженной равномерно рас-
пределенной нагрузкой интенсивностью д (рис. 15.1).
Решение. Упругую линию балки ш (х) будем искать в виде
ОО
ш(х) = ак{к(х).
(15.10)
Функции (х) в (15.10) должны быть линейно независимыми. Кроме того,
желательно, чтобы их система удовлетворяла условиям полноты Наконец,
в методе Ритца принятое выражение для упругой линии должно обязательно
удовлетворять кинематическим граничным условиям задачи:
при х = 0, х = I
щ = 0
и ни в коем случае не накладывать дополнительных кинематических ограничений
(например, закреплять какое-то сечение балки по ее длине). Эти требования
будут выполнены, если в качестве координатных функций примем
//г (х) = 81Г1
Лях
/ '
1,2,...) .
(15.11)
Заметим, что функции (15.11) удовлетворяют также и силовым граничным ус но-
ви ям:
при х = 0, х= I
и>"(х)=0. (15.12)
Удовлетворение силовым граничным условиям в методе Ритца хотя и необя-
зательно, но желательно, поскольку при этом повышается быстрота сходимости
решения. С учетом (15 11) выражение (15.10) перепишется в виде
НУ
ак 81п
7г ях
~Г
(15.13)
Чтобы воспользоваться основными
уравнениями метода Ритца (15.9)
дЭ д(П — Ц)
дак ~ дак
= 0 (& = 1,2, ...),
(15.14)
необходимо предварительно определить выражения для потенциальной энергии
балки и работы силовой функции поперечной нагрузки д (х).
Если ограничиться учетом лишь деформаций изгиба балки, то
ды (х)
~дх^~
2
(1Х ,
(15.15)
или. после подстановки (15 13) в (15.15)
о I А?=1
(15*16)
Силовая функция внешних сил (см. (15.4))
/ I ОО
{Г 1 /?ЗТХ
д (х) оу (х) с/х = д 1 5 а/г $ ш —— с/х.
о о
(15.17)
Внося полученные выражения для П и (/ в уравнение (15.14), получаем
д (П — С/) / кп V / д1 71 , . _
------~ — = Е1 ( —— ) —— ак--~ (1 — соз кл) = 0 •
дак--------------------------------------\ I ) 2 К кл у '
Откуда
( 4<7 /4 / 1 О С
~~ ПРИ К =1,3, 5,... /1Е 1О\
ак = Е! къл° н (15.18)
I 0 при к = 2, 4, 6,...
С учетом результата (15.18) выражение для упругой линии балки оконча-
тельно примет следующий вид:
ОО
. X 4^?/4 1 • /1Г 1ПХ
2и -1Г8т—- (1519)
/г=1, 3,..,
Интересно оценить точность решения при сохранении в ряду (15.19) лишь
нескольких первых членов. Подсчитаем прогиб балки в середине пролета (х =
= при сохранении в (15.19) лишь первого члена
т (4)=4- 4г ~ °’°13071 4г • (15-20)
Точное решение дает
-ЗЙ<Г“"'ООТ8ТГ-
Погрешность результата (15.20) составляет всего 0,4%.
Пример 2. В методе Ритца не всегда можно воспользоваться какой-либо
известной системой функций в качестве координатных функций. Систему коорди-
натных функций часто приходится строить непосредственно при решении задачи.
В качестве примера покажем, как можно построить систему координатных функ-
ций для балки, один конец которой жестко заделан, а второй — свободно оперт
на жесткую опору (см. рис. 15.2).
Рис. 15.2
к
Граничные условия такой балки имеют вид:
при х — 0 йУ = — 0; )
_ „_п <1521)
при х = I ш — щ — 0. ;
Зададим упругую линию балки в форме степенного ряда
и>(х) = 2 а^’ (15.22)
А’=0
Кинематические условия при х — 0 удовлетворяются, если положить а0 = а1~ 0.
Подчиняя далее выражение (15.22) условию ш (/) = 0, получаем
~Н У । = О*
/г=3
Откуда
а2 = — ак1к^-
к=3
В результате упругая линия балки примет вид
(*) = Е 2 (15.23)
/г=1
Непосредственно из (15.23) получаем искомое выражение для координатных
функций
(х) = х2 (х/г“2 —/й“2) (/г =3,4, . . .). (15.24)
Каждая из функций (15.24) удовлетворяет всем кинематическим условиям задачи
//г(0) = 0; 4(0) = 0; //г (/) = 0 (/г = 3, 4, . . .).
П р и м ер 3. С помощью метода Ритца определить упругую линию не-
призматической балки, лежащей на сплошном упругом основании переменной
жесткости к (х). Внешняя нагрузка и условия закрепления балки изображены
на рис. 15.3. Здесь через а обозначен коэффициент податливости упругой за-
делки, а через А — коэффициент податливости упругой опоры.
Р е ш е и и е. Из граничных условий балки лишь условие ш (0) = 0 является
кинематическим. Оно будет удовлетворено, если выражение для упругой линии
балки задать в виде ряда
а'(х) = а^к (х), (15.25)
к—1
где
[к(х)=хк (* = 1,2, ...). . (15.26)
Определим предварительно значение функционала Э = П —/7.
186
Потенциальная энергия П складывается из потенциальной энергии изгиба
балки, потенциальной энергии упругого основания, потенциальной энергии упру-
гой заделки и потенциальной энергии упругой опоры
I I
П = -I- [ (х) [цу (Л')1- с1х [ /г (х) оу2 (х) (1х 4-
о о
+ ~ !«-' (0)Г + 4г1ш (/)’2
(15.27)
Силовая функция внешних сил (7 содержит члены, учитывающие работу
поперечной нагрузки д (х), сосредоточенной силы Р и момента /VI:
I
1} — д (х) щ (х) (1х Рп) (а) — Ма/ (&).
о
(15.28)
При определении знака для каждого слагаемого в (15.28) следует помнить,
что работа положительна, если направление действия нагрузки совпадает с поло-
жительным направлением перемещения, на котором эта нагрузка совершает
работу.
Подставляя (15.25) в выражения (15.27) и (15.28), получаем
(15.29)
к=1 /=1 к=1
где
I I
АЫ = | Е1 (х)Гк (х) (х) ах 4- | к (х) (х) (х) + (0) /• (0) +
о о
+ 4г7* (0 МО;
I
вк = \ Я м /к М 4- Р!и (а) - мгк (Ь).
о
Воспользовавшись далее уравнениями метода Ритца (15.9), получим систему
уравнений для определения параметров ак
— В к — 1, 2, . • .).
г=1
Зная параметры ак, можно с помощью выражения (15.28) найти упругую
линию, а затем и все остальные элементы изгиба балки.
2.3. Примеры использования метода для исследования изгиба пластин.
Принципиальная схема определения элементов изгиба пластин с помощью ме-
тода Ритца не отличается от схемы расчета балок на изгиб, хотя и связана с боль-
шим объемом выкладок.
2.3.1. Выбор выражения для упругой поверхности
п л а с т и и. Упругую поверхность прямоугольной пластины .можно предста-
вить в виде двойного ряда
Ю {-V. У) = Е Е (х) Vп (//),
т п
(15.30)
где Хгп (х) и Уп (у) суть, например, формы свободных колебаний или формы
потери устойчивости призматических балок с условиями закрепления кромок
пластины х=сопз1 и //=соп^ соответственно. В качестве функций \т (х)
И Уп (у) можно принять также любую систему линейно-независимых функций,
удовлетворяющих тем же кинематическим граничным условиям.
Приведем несколько примеров выбора йу (х, у) для пластин с различными
граничными условиями. Размеры пластин в плане примем равными а и Ь, соот-
ветственно по направлениям х и у.
А. Все четыре кромки пластины свободно оперты:
при х = 0, х = а м — — О»
при у=0, у — Ь —
Для призматических свободно опертых балок (отвечают условиям закреп-
ления пластины при х — сопз! и у = сопз! соответственно) формами свободных
колебаний (как и формами потери устойчивости) являются функции вида
(х) = 8П1
П1ЛХ
а *
(/и = 1, 2, . . .) (П = 1,2, . . .),
что позволяет в соответствии с (15.30) выписать следующее выражение для упру-
гой поверхности свободно опертой пластины:
ч VI VI Л тпх ппу
V (X. У) = / , / , Атп 81П 81П
(15.31)
т п
Б. Все четыре кромки пластины
жестко заделаны
У = 0; у = Ь:
дм
М =
дх
дм
—т—
ду
= 0;
= 0.
х = 0; х — а :
У П (у) = 51П
Л Л// ,
Формы свободных колебаний призматической жестко заделанной балки
длиной а определяются по выражению
"V I \ / I. I. С. X $11 4" 81П к та . , , , ,
Хт (х) = (ей ктХ - соз ктХ) - х__— (8Ь ктХ _ з,п ктХ), (15.32)
где кт — т-й корень характеристического уравнения,
сЬ &7-СО8 ка — 1=0.
По аналогии с (15.32) можно выписать выражение и для Уп (у). Подставив
выражения для Хт (х) и Уп (у) в (15.30), получим искомую формулу для упругой
поверхности жестко заделанной по всем кромкам пластины.
_ В. Пластина, у которой кромка х~ 0 является жестко заделанной, кромки
х — а и у = 0 свободно оперты и кромка у = Ь совершенно свободна (провисает).
Граничные условия такой пластины имеют вид:
при х = 0 м = 0, -^.= 0- дх
при х = а м =0. ^ = 0-
при у==0 м = 0, дх2 -^=0; ду^
при у = Ь М2 (х) = п ( д1^ г
/о . д2м 1 (2
г2 (х) = —П
д3м
Подчеркнутые граничные условия относятся к категории кинематических
и должны быть удовлетворены соответствующим выбором координатных функций.
Эти требования выполняются, если для упругой поверхности пластины принять
выражение
оо оо
ч>(х, у) = у. Атп (хт — х-ат~2) уп. (15.33)
ГП—3 П — 1
2.3.2. Пример. На изотропную свободно опертую пластину в точке
с координатами (х1} уг) действует сосредоточенная сила Р. Требуется определить
упругую поверхность пластины в предположении, что прогибы пластины малы.
Решение. Упругую поверхность свободно опертой пластины задаем
в виде ряда (15.31)
. ч X1 1 П17ХХ ПЛУ ,,г о,ч
ы (х, у)= 2 , / ] Атп --- - 81П —. (15.34)
т—1 п—1
Для пластины малого прогиба достаточно учитывать лишь потенциальную
энергию изгиба (18.62)
с1х (1у.
(15.35)
Внося выражение (15.34) в формулу (15.35), получаем
Силовая функция внешних сил при действии лишь сосредоточенной силы
Р (%!, г/х) определяется зависимостью
{/ = Рву(ль = У 8Ш--^Х . (15.37)
т=\
Подставляя полученные выражения для П и 17 в систему уравнений метода
Ритца (15.9), находим следующую совокупность независимых алгебраических
уравнений:
А °аЬ
птп .
4
~ п . тпхл .
— Р 8111-------— 81П
а
_п
Ь
(т = 1, 2, . . .; п = 1, 2, . . .).
Внося найденное отсюда значение Атп
в формулу (15.34), получаем
оо оо
§ 3. Обобщенный метод Бубнова—Галерки на
3.1. Основные положения метода. Обобщенный метод Бубнова—Галеркина
основан на использовании принципа возможных перемещений и является, но
существу, несколько иной формой записи основных уравнений метода Ритца
(15 8). *' _
Пусть имеется тело, загруженное объемными силами А/ и поверхностными
/7 на части поверхности На оставшейся части поверхности наложены гео-
метрические связи (15.6).
При решении задачи в качестве неизвестных компонентов перемещений
принимаются, как и в методе Ритца, выражения (15.7).
Система основных уравнений метода может быть получена непосредствен по
из (152). Для задачи линейной теории упругости опа имеет следующий вид:
(IV
= о (/' = 1,2, 3).
(15.38)
Внося сюда выражения для вариаций перемещений
= У (*, У, 2)
к=1
(15.39)
и учитывая произвольность и линейную независимость между собой полу-
чаем систему уравнений обобщенного метода Бубнова—Галеркина для определе-
ния параметров
/ / ' ?) <& = 0.
$1
(I = I, 2, 3; к = 1, 2, . . ., АД. (15.40)
Обращает иа себя внимание, что в уравнениях (15.38) и (15.40) в круглых
скобках под знаком интеграла стоят соответственно основные уравнения равно-
весия объемной задачи теории упругости и силовые (естественные) граничные
условия. Именно по этой причине метод Бубнова—Галеркина особенно эффекти-
вен, если для рассматриваемой задачи уже известны дифференциальные уравне-
ния равновесия и естественные краевые условия. Это позволяет, по существу,
сразу выписать систему разрешающих уравнений метода (15.40), избежав тем
самым подчас весьма громоздких выкладок, связанных с вычислением потенциаль-
ной энергии как функции параметров При этом, конечно, требуется предва-
рительно переписать все уравнения равновесия и силовые естественные гра-
ничные условия в компонентах перемещений.
3.2. Примеры использования метода. При использовании метода для решения
задач строительной механики, теории изгиба пластин и т. п. возникают опреде-
ленные трудности, связанные с определением знака перед тем пли иным членом
в общих уравнениях метода (15.38). Как обойти
эти затруднения, будет ясно из приведенных ниже
двух примеров.
Пример 1. Для консольной призмати-
ческой балки (рис. 15.4), загруженной на конце
силой Р, требуется с помощью обобщенного метода
Бубнова—Галеркина определить приближенное
выражение упругой линии
ш (х) = ад! (х) Д- ад2 (х), (15.41)
где
Рис. 15 4
(х) = х2; (р2 (х) = х3.
р е ш е и и е. Выпишем уравнение изгиба и граничные условия балки,
уравнение изгиба = о;
л /<л питпирн;] для удобства дальнейших рассуждении.
Па'Эпичные условия с учетом принятого в т. I правила знаков для изгибают! •
м< ментов и перерезывающих сил запишутся так.
при х— О
при х ==/
ю = О, и/ — 0;
М — Е1ы" = 0, /V — Е 1ы' - 0.
Заметим, что для рассматриваемой балки:
при х— Г Л4=0. Д/=-Р. <1542)
Выражение (15.41) для упругой балки удовлетворяет двум кинематическим
граничным условиям при .г = 0; оба же силовых граничных условия при V I
оказываются невыполненными.
Выпишем для нашей задачи уравнение обобщенного метода Ьуонова—1а-
леркина; перед отдельными членами уравнения пока вместо действительного
знака (+ пли —) поставим знак вопроса (?).
I
? | (7?/&у1у — с!х ? | (М — Е1и)’') бог/
6 Л—/
(/V — Е/ы'")
= 0. (15.43)
Уравнение (15.38) есть интегральное условие равенства нулю работы внеш-
них и внутренних сил на соответствующих возможных перемещениях. Для
определенности будем в дальнейшем полагать работу внешних сил, которые совпа-
дают по направлению с положительными направлениями соответствующих этим
силам перемещений, положительной.
К числу внешних сил следует отнести внешнюю нагрузку д (х), момент Л/
и силу А7 на правом конце балки. Положительные направления этих усилий
приведены на рис. 15.5. Поперечная нагрузка д (л) и момент Л1 производят поло-
жительную работу, а сила Л7 — отрицательную. Отсюда сразу следует, что перед
1-м членом в равенстве (15.43) нужно поставить знак минус, перед 2-м членом —
знак плюс и перед 3-м — знак минус:
I
— | (А7ш!у _ д) бщ ах _|_ | (м _ бда-
(М — Е1и>") ёа> = 0.
х=/
Поскольку для рассматриваемой задачи д (х) = 0. Л1 = 0 М — —Р Гем П 5 19! I
окончагельио уравнение обобщенного метода Бубнова—Галеркина запишется
I
| (X) бщ (х) ах + I Е1т"ёт’
- | (ЕГю"' + Р) ёчи
х—1
= о. (15.44)
Из равенства (15.44),
определения неизвестных
если учесть выражение (15.41), можно
«1 и а2 следующие два уравнения:
полу чить для
(Е1ю Р) <р1
л=/
(/?/№“ + Р)Ч2
-- 0;
--- 0.
Н х+Зх)
'М1х, + &х)
Рис. 15.6
2 Я/х)
Рис. 15 5
Подставляя сюда и) (х) и выполняя
И г/ Р1 .
4^1 4~ 6ш2 — »
все необходимые операции, получаем
Р1
ва^ -ф- 121 а2 = ,
откуда
Р1
а* ~ 2Е1 '
Р1
а'2 ~ 6Е/
и, следовательно,
, ч ^/3
х2 _х3
6 Г2 I3
Полученное выражение является точным решением рассматриваемой задачи*
Пример 2. С помощью обобщенного метода Бубнова—Галеркина тре*
буется решить задачу об изгибе прямоугольной изотропной пластины малого
прогиба, загруженной поперечной нагрузкой интенсивностью д (х, у). Кромки
пластины х = 0 и х = а свободно оперты, кромка у — 0 жестко заделана, а кромка
у — Ь свободна (рис. 15.6).
Решение. Дифференциальное уравнение изгиба изотропной пластины
имеет вид
Я?2?2^ (х, у) — д (х, у) = 0,
где
V2?2 (
д4( _2
дх*
дх2 ду2 ду1
Граничные условия
при
х = О,
пластины (см. § 3 гл. 15):
х = а
У = Ъ
ш = 0, - , = 0;
дх2
при
при
у=ь
_ ди)
ш = 0, -г— — 0;
ду
(15.45)
Здесь
М2
д2ш
\ дг
~ду^~ +
д '2 и) \
~д^~ )
д3и)
дх2 ду
= 0.
М2 (х) = 0; г2 (х) = 0.
Положительные направления интенсивности изгибающих моментов Л42 (х)
и перерезывающих сил г2 (х) для кромки у—Ь приведены на рис. 15.7 (см. § 3
гл. 18). Прогиб пластины будем искать в виде ряда
Г2 М &
ОО
“> у)= X й<(₽<
/=1, 2. 3 ...
(15.46)
Рис. 15.7
Выражение для ш (х, у) удовлетво-
ряет граничным условиям пластины при
х = 0, х = а и у — 0. Не удовлетворяют-
ся лишь силовые граничные условия на
кромке у = Ь.
Из рис. 15.7 видим, что усилие г2 (х)
совпадает с направлением положитель-
ного перемещения боу (вдоль осп Ог), и
его работа будет положительной. Направ-
ление момента М2 (х) не совпадает с положительным направлением поворота
би»', и, следовательно, работа момента М2 будет отрицательной.
’ С учетом вышеуказанного уже не представляет особого труда переписать урав-
нение обобщенного метода Бубнова—Галеркина (15.38) применительно к рассма-
триваемой задаче
— | | [ЛУ2У2ш (х, у) ~д (х, г/)] бш (х, у) с!х <1у —
о о
а
М2 (х) + О
0
Учитывая далее значения М2 (х) I и г2 (х) | из (15.45) и принимая во вни-
у—Ь у=Ь
манне, что
„ V* Я ббйУ X1 Я дф,
= Ди бй‘^: ’
I I
получаем
а Ь
] | [Лу-у-ш (х, у) — д (х, у)] ф/ (х, у) с!х йу +
о о
а
д2Ш
а
о
ду2
дх2
с1х —
У~Ь
д//3
Ф;
с!х = 0
(15.47)
у=Ь
' д3^
о
д3ш
Подставляя в уравнение (15.47) выражение для (х, у) из формулы (15.46)
и производя необходимые операции интегрирования, находим систему линейных
алгебраических уравнений для определения неизвестных параметров
§ 4. Метод Бубнова—Галеркина
4.1. Основные положения метода. Если выбранные выражения для переме-
щений И[ наряду с кинематическими граничными условиями удовлетворяют
также и силовым условиям, то в уравнениях обобщенного метода Бубнова—Га-
7 Бойцов г. в. и др.
193
(еркина (15 381 поверхностные интегралы исчезают, н они для геометрически
линейных задач теории упругости принимают следующим вид:
Л |^^.+ х^6и,.</И = 0 (/=1,2,3). (15.48)
V 1
У равнения (15.48) являются уравнениями метода Бубнова—Галеркина.
При приближенном решении задачи неизвестные компоненты перемещений
1ц пишутся в таком виде:
щ(х, у, з) = (*, У> г). (15.49)
к=1
Система линейно-независимых функций (х, у, 2) выбрана так, что все краевые
условия рассматриваемой задачи тождественно выполняются. Внося (15.49)
в (15.48), получаем для определения неизвестных параметров следующую
систему уравнений:
) |’ А()/М(х, I/, г)</Г = О (‘ = 1'2, 3; /<=1,2..........А/,).
V 7
(15.50)
Если уравнения равновесия (выражение, стоящее в круглых скобках под
знаком интеграла) записаны в напряжениях, то, используя физический закон
связи между компонентами напряжений и деформаций, а также кинематические
соотношения между компонентами деформаций и перемещений, необходимо эти
уравнения переписать в перемещениях.
Метод Бубнова—Галеркина применим и для приближенного решения диф-
ференциальных уравнений, необязательно связанных с какой-либо вариационной
проблемен В самом деле, пусть некоторая краевая задача описывается дифферен-
циальным уравнением 2/и-го порядка
1(2ш) [и (х, у, г)] -Ч(х, у, г) = ОС V (15.51)
при краевых условиях
<?/("(*» У. г)]=^/(х> у, 2) (/=1, 2, . . ., т) (15.52)
где/<-70 ( ) и Оу ( ) — заданные дифференциальные операторы; д (х, у, г)
п /; (х, у, 2) — заданные функции.
Запишем искомую функцию и (х, у, г) в форме (15.49):
«(*> У, 2) = «Л(х, у, 2) (15.53)
Л=1
и выберем систему линейно-независимых функций //г (х, у, г) гак, чтобы все крае-
вые условия задачи (15.52) тождественно выполнялись. Если теперь предполо-
жить, что и (х, у, г) является точным решением рассматриваемой задачи, то урав-
нение (15.51) будет ортогонально к любой совокупности функций и, в частности,
I. системе функций (х, у, г)
[ ] ] (и)--Ч(х, у, г)]//г(х, у, г) б/Е = 0 (/г=1,2 . . ., /V). (15.54)
V
Уравнения (15.54) по своей структуре тождественны уравнениям (15.50).
Внося в (15.54) вместо функции и (х, у, г) выражение (15.53), получаем систему
алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров «/г.
4.2. Примеры использо ания метода. Пример 1. Найти прогиб призма-
тической свободно опертой балки жесткостью на изгиб Г/, загруженной рав-
номерно распределенной нагрузкой интенсивностью д
Реше 11 п с. Изгиб рассматриваемой балки описывается дифференциальным
уравнением
Е!и№ (х) — г/ = О
при граничных условиях
х = 0, х — /: ш — 0, ы" = 0.
Прогиб ищем в виде
ОО
^(х) = акз\п~~. (15.55)
/г=1, 2, ...
Выражение (15.55) удовлетворяет всем граничным условиям. Это позволяет
для определения параметров ак воспользоваться методом Бубнова—Галеркина
I
| [Е1и>™ (х) — д] 8ш = 0 (I ~ 1, 2, . . ., оо).
о
Подставив сюда выражение для прогиба из (15.55) и выполнив необходимые
вычислительные операции, найдем значение параметра а/, а затем по формуле
(15.55) сможем получить искомое выражение для прогиба балки
к—1, з, ...
Ряд, стоящий в правой части, суммируется в замкнутом виде, и поэтому
что является точным выражением для прогиба рассматриваемой балки.
Пример 2 Найти прогиб призматической балки, левый конец которой
свободно оперт, а правый — жестко заделан. Поперечная нагрузка изменяется
по закону 7 (х) =
Решение. Изгиб балки описывается дифференциальным уравнением
Е1и>п (х) — = 0 (15.56)
при граничных условиях
х = 0: ьу = ю" — 0; х = I: &> = ш' = 0. (15.57)
Если пытаться сразу представить искомую функцию оу (х) в форме ряда
(15.49), удовлетворяющего всем граничным условиям (15.57), то могут возникнуть
затруднения с подбором функций (х). В этом случае целесообразно воспользо-
ваться приемом, предложенным Ю. П. Кочановым [5].
Решение уравнения (15.56) ищется в виде
со
ш (х) = (х) 4- У акЧк (Х),
к=1
(15.58)
где ср/е (х) — функции, образующие полную систему и обладающие, по возмож-
ности, свойством ортогональности; (х) — некоторая функция, выбираемая
так, чтобы при уже выбранной системе функций ср^ (х) выражение (15.58) удовле-
творяло всем граничным условиям (15.57).
Л1Я рассматривавмой задачи функцию ш, (х) можно задать полиномом третьей
стспотп. а ф/.. (л) выбрать в виде синусов кратных аргументов. Тогда
X X2 Xя , V1 • кпх /|к т;
и(х) = с1 + с2 А+гз-^4- 51п~Г" (15-59)
А=1
Подчиняя (15.59) граничным условиям (15.57), получаем систему уравнений
для определения постоянных С[. В результате
ОО
С1 = с3 = 0; с.2 = — с4, = 4" 2 1)/+' ,Мк'
/г=1
Подставляя найденные значения сг в выражения для прогиба (15.59), по-
лучаем
СО
и, (X) = ( - 4- + 4)4 У, (->)Л+1 (X), (15.60)
\ * I / Л X™**
к=1
где
СО
(х) = ак 5Ш —у— ’ (15.61)
Л=1
Внося (15.60) в уравнение (15.56), получаем дифференциальное уравнение
для определения функции (х)
(х) — (х) = 0, (15.62)
где
^1М (15.63)
Интегрируя вновь полученное уравнение (15.62) по методу Бубнова—Га-
леркина, получаем систему уравнений для определения неизвестных параме-
тров а/г
/
о
Д|ак 51п
к=1
клх
~~г
— (х) з!п [1х = 0 (1 = 1,2,..
Отсюда находим
ак ляЕ1
что позволяет переписать выражение для прогиба (15.60) в виде
Л , 2^4 V (~Р*+1 к^х
1 ; 90Е/ I \ Iя ) + пяЕ1 2.1 кя П I ’
А=1
или, если учесть, что ряд в правой части суммируется в замкнутом виде,
/ \ х /, х2 \2
ю (х) = - (1 - -г) • <15-64)
Выражение для прогиба (15.64) является точным решением рассматриваемой
задачи.
§ 5. Метод Треффца [8, 14, 22]
Если функции для компонентов перемещений выбраны так, что они удовле-
творяют кинематическим граничным условиям и являются частными решениями
уравнений равновесия по объему тела, то в уравнениях (15.39) обобщенного
метода Бубнова—Галеркина объемные интегралы обращаются в нуль и уравне-
ния принимают вид
I I V/) = О (1= 1, 2, 3). (15.65)
Система уравнений (15.65) является математической формулировкой метода
Треффца.
Внося сюда выражение для вариаций перемещений (15 39), получаем
| | (°7А/+ Л/Л*, У> г) 6/5 = 0 (4= 1, 2, 3; /г = 1, 2, . . Л\). (15-66)
Если уравнения равновесия в подынтегральных выражениях записаны в пе-
ремещениях, то, используя для перемещений выражения (15.7) и производя не-
обходимые вычислительные операции, получаем систему алгебраических урав-
нений для определения параметров «д,,. Если же уравнения равновесия записаны
в напряжениях,™, предварительно используя физические уравнения связи между
напряжениями и деформациями, а затем зависимости Коши, следует переписать
уравнения равновесия в перемещениях.
§ 6. Принцип возможных изменений
напряженного состояния
Для решения краевых задач может быть использован принцип возможных
изменений напряженного состояния, который в какой-то степени является анти-
подом принципа возможных перемещений. Принцип этот может быть сформулиро-
ван как для линейных, так и нелинейных задач теории упругости и строительной
механики. Однако его использование для решения геометрически нелинейных
задач наталкивается на определенные вычислительные трудности. Мы ограни-
чимся изложением принципа возможных изменений напряженного состояния
лишь для решения геометрически линейных задач.
6.1. Вариационная формула Кастильяно. По аналогии с понятием возмож-
ных перемещений вводится понятие статически возможных изменений напряже-
нии 6д7, при которых не происходит нарушения уравнении равновесия тела.
Статически возможные изменения напряжений удовлетворяют следующим
однородным уравнениям равновесия по объему:
—X—6сгеу = 0 (<=1,2, 3)€ V (15.67)
у
и на его поверхности
6а/7/у/ = О (/= 1, 2, 3)(15.68)
Принцип возможных изменений напряженного состояния формулируется
так: если деформация системы согласуется со всеми внутренними и внешними
связями, то сумма работ, производимых возможными изменениями всех внешних
и внутренних сил на действительных перемещениях тела, равна нулю. Его мате-
матическая формулировка имеет вид
8/удо4-7 дУ — || = 0 (15.69)
5 а
ш
V
И/III
(15.70)
где
ГТ
1Г (IV =
(IV =
I ]’ ] <Г, А/ ау - п
V
(15.71)
— так называемая дополнительная потенциальная энергия тела. Здесь XV —
дополнительная потенциальная энергия единицы объема тела. Если поведение
материала подчиняется закону Гука, то П' = П.
Зависимость (15 69) носит название вариационного уравнения Кастильяно.
Напряженное состояние, вариации которого удовлетворяют уравнению
(15.69), отличается от всех других статически возможных напряженных состоя-
ний тем, что удовлетворяет не только уравнениям равновесия внутри и па поверх-
ности тела, но и всем условиям сплошности по объему тела и кинематическим
условиям на части поверхности 52. А если это так, то такое состояние и будет
действительным напряженным состоянием, возникающим в теле под действием
заданной совокупности внешних сил.
Таким образом, если принцип возможных перемещений заменяет собой все
уравнения равновесия, то принцип возможных изменений напряженного состоя-
ния заменяет собой все условия сплошности (дифференциальные уравнения
Сен-Венана и кинематические краевые уравнения на 52).
6.2. Начало наименьшей работы. В частном случае жесткого закрепления
точек тела на поверхности 52
й/ = 0 52
вариационная формула (15.70) упрощается и принимает вид
6П' = 0. (15.72)
Зависимостью (15.72) выражается известное начало наименьшей работы.
Из (15.72) следует, что из всех статически возможных напряжений истинными
будит те. при которых дополнительная потенциальная энергия ГТ принимает
стационарное значение.
6.3. Применение принципа возможных изменений напряженного состояния
к решению задач теории упругости. Пусть некоторое тело загружено внешними
объемными силами X/, поверхностными — па 51 и кинематически закреплено
«/ = й/ (/= 1, 2, 3) па части поверхности 5.,.
Компоненты искомого напряженного состояния задаем в виде
л'-7
= <*?/ + Г 4''’/*"’ (X. и, г), (15.72')
гдеа^'/) — неизвестные параметры, подлежащие определению; о9- и — не-
которые функции координат, подбираемые так, чтобы выражение (15 72') удовле-
творяло всем уравнениям равновесия.
да И
(/=1,2,3) € (15.73)
иХ у
а = 1, 2, 3) е ‘Ь’ь (15.74)
Это условие выполняется, если в качествео^-взять какие-либо частные решения
уравнений (15.73), удовлетворяющие граничным условиям (15.74). Одновременно
с этим для каждой фиксированной совокупности индексов (//') функции
должны быть л ш иво-и-зависимыми и удовлетворять однородным уравнениям
равновесия, т. е. гл
-^—=0 (/-1,2,3) СИ; (15.75)
//г,;)/у/ = 0 (/ - 1, 2, 3) С (15.76)
(Очевидно, ч о величины о., условиям сплошности не удовлетворяют, так как
в противном случае они давали бы точное решение поставленной задачи.
Предположим, чго связь между компонентами напряжения и деформации
может быть представлена зависимостью вида
= (15.77)
где к!1] ( ) — в общем случае нелинейный алгебраический оператор.
Используя зависимость (15.77) и учитывая, что на основании (15 72')
Л// -
е<70' = 1 Ц''V* у) (* У’ (15.78)
/г=1
из вариационной формулы Кастильяно (15.69) получаем систему алгебраических
уравнений относительно неизвестных параметров
[ [ [ Л’о- (^/) ( й & = о
V 5?
(/, / = 1, 2, 3), (* = 1,2,.. .,
(15.79)
Внося в формулы (15.72') параметры найденные из совместного решения
системы алгебраических уравнений (15.79), получаем искомые значения действи-
тельных компонентов напряжений. Компоненты деформаций определяются по
формулам (15.77). Несколько сложнее определяются компоненты перемещения.
Для их определения требуется проинтегрировать уравнения, связывающие де-
формации с компонентами перемещения.
Пример Используя принцип возможных изменений напряженного
состояния, определить напряженное состояние призматического стержня при
действии внешних скручивающих моментов Л1КР, приложенных к торцевым сече-
ниям стержня. Материал стержня изотропен и подчиняется закону Гука.
Решение. Задача о кручении призматических стержней сводится к разы-
сканию функции напряжений ср (х, у), связанной с компонентами напряжений
тАг и зависимостями [т. 1, гл. 3(
_ - а<Р •
” “ ду ’
дер
Хуг = “ ~д7
при условии на контуре поперечного сечения одпосвязного стержня
ср = 0.
(15.80)
(15.81)
При этом все уравнения равновесия по объему и условия отсутствия внешней
нагрузки на боковой поверхности тела строго выполняются. Следовательно, для
определения значения ср (х, у) можно воспользоваться вариационной формулой
(15.69), выполнение которой приводит к тождественному выполнению всех усло-
вий сплошности.
Торцевые сечения стержня (г = 0, г = /) загружены крутящими моментами
Л1Р. Однако закон распределения касательных напряжений тхг и по площади
торцевых сечений неизвестен — он определяется из условий совместности де-
формаций тела стержня
Л1Я компонентов перемещения, которые потребуются при составлении
основной зависимости принципа возможных изменении напряженного состояния
(15.69). примем используемые в теории кручения призматических стержней
выражения
и — <ху%\ п = —сегх,
ГДе а — угол закручивания на единицу длины стержня; подлежит определению.
Принимая во внимание, что компоненты перемещения точек торцевого сече-
ния 2 = 0, а также неизменность компонентов напряжения и компонентов де-
формации по длине стержня, уравнение (15.69) применительно к рассматривае-
мому случаю перепишется в следующем виде:
I [ [ (а</6тлг — албт;,г) ах Лу — I | ] (Тл-26тдг + у^бт^) (1х ау = О,
г Р
или, если воспользоваться законом Гука и выразить компоненты деформации
через компоненты напряжения,
[ | (“'Ахг — ахвт^) ах ау — е ) ] (%дг + Туг) ах ау = о. (15.82)
г г
Здесь /и Е — длина и площадь поперечного сечения стержня соответственно.
Далее, внося в выражение (15.82) тЛг и хуг из формул (15.80), получаем урав-
нение для определения неизвестной функции напряжения ср (х, у)
Е
Полученное равенство можно упростить, если два последних члена в левой
части проинтегрировать по частям и использовать граничное условие (15.81).
Окончательно для определения функции ср будем иметь следующие вариационное
уравнение:
е Г Г Г / / д(р \2 Л
б) ] ('йг) + (Д-) - 4Са,р *^ = °- (1583)
Е
Уравнением (15.83) выражается условие стационарности функционала
Эп=11 [(^г)2+ с1хс!!'-
Е
Таким образом, задача свелась к определению функции ср (х, у), удовлетворя-
ющей на контуре поперечного сечения стержня условию ср = 0, а внутри кон-
тура — условию стационарности функционала Эц.
Сразу же возникает вопрос о выборе подходящего выражения для ср (х, у).
Можно поступить гак. Пусть Ф (х, у) ~ 0 есть уравнение контура поперечного
сечения рассматриваемого стержня. Тогда выражение
00 оо
<р(х, г/)=Ф(х, у) у Лптх"у'п (15.84)
п— 0 т- 0
удовлетворяет, с одной стороны, контурному условию ср =- 0, а с другой, позво-
ляет аппроксимировать любой закон изменения функции ср (х, у) по площади
поперечного сечения стержня.
Подставляя выражение (15.84) в функционал Эц, из условия его стационар-
ности (15.83), если учесть произвольность вариаций ЬЛнгп> получаем для опре-
деления коэффициентов следующую систему (в нашем случае — линейных алге-
браических) уравнений.
г7Эп
^--о (п = 1, 2, 3, . . .; т I, 2, 3, . . .).
§ 7. Принцип возможных изменений напряжений
для стержневых систем
Математическая формулировка принципа может быть получена непосред-
ственно из вариационной формулы Кастильяно (15.69) для сплошной среды.
При расчете стержневых систем вместо компонентов напряжений в каждом сече-
нии по длине стержня вводят усилия (осевые и перерезывающие силы, изгиба-
ющие моменты и скручивающие моменты), которые связаны с компонентами
напряжений известными зависимостями (т. 1, разд. II). Это позволяет вариацию
дополнительной потенциальной энергии 6П' применительно к стержневым си-
стемам представить в виде
6П' = [ (Ху&Му 4* иг8Мг 4- у -|- Ухг^^г ехбТ) с1х, (15.85)
где Му (х), Мг (х) — изгибающие моменты внутренних сил в сечении х относи-
тельно оси Оу п Ох соответственно; Мх (х) — крутящий момент внутренних сил
в сечении х; 1Му (х), Мг (х) — проекции перерезывающей силы в сечении х на
направление осей Оу и Ох соответственно; Т (х) — осевая сила в сечении х;
х2, Хх> Тх/л Тхг» 8х — соответствующие вышеуказанным усилиям компоненты
деформаций (изгиб в плоскостях хОх и хОу, закручивание, сдвиг в плоскостях
хОу и хОх, растяжение в направлении Ох).
Для стержневых систем, материал которых подчиняется закону Гука, выра-
жение (15.85), если воспользоваться известными зависимостями между компо-
нентами деформаций и усилиями
Т (х) = ЕЕ (х) е (х);
Л4Х =
^1/ --- 6(1)у (X) уху‘,
Му = Е! у (х) у.у\
(х) Тхг»
Мг = Е1гу.г,
(15.86)
можно переписать в виде
6П' = 6П,
(15.87)
где
"4
(х)
М*
(X) М~(х) 42(х) (х) | г(х)
_ 0/Кр (х)
Е1 у (х) ~ Е1г (х) 1 (зЫу (х) Ссог (х) ЕЕ (х)
с1х
(15.88)
— потенциальная энергия рассматриваемой стержневой системы.
Второй член в формуле (15.69) при рассмотрении стержневых систем опреде-
ляет вариацию энергии, которая вызывается вариациями внутренних усилий
стержня в сечениях с заданными перемещениями.
Приме р. Для балки, изображенной на рис, 15.8 и имеющей заданные
вертикальное смещение (/) и угол поворота й)' (/) правого торцевого сечения,
требуется раскрыть статическую неопределимость. Балка испытывает изгиб
в плоскости хОх.
Решение. Для раскрытия статической неопределимости воспользуемся
вариационной формулой Кастильяно (15.70), которая применительно к рассма-
триваемому случаю запишется так:
или
где
6П + 6Р (/) й) (/) — 6Л1 (/) (/) = 0,
б (П — И') = 0,
ГЛТ2(х) , М2(х) 1 , . А
[ Е1 (х) Сео (х) ] ^2
Ро 4" ~2
(15 89)
(15.90)
— потенциальная энергия системы, включающая потенциальную энергию соб-
ственно балки, потенциальную энергию упругой опоры и потенциальную энергию
упругой заделки; /1Сам
II' = 41 (/) й\(/) — Я (/) й (/) (15 91)
Рис. 15.8
работа внутренних усилий
на заданных перемещениях се-
чении, в которых действуют
зги усилия.
Рассматриваемая балка
дважды статически неопредели-
ма. В качестве лишних неизве-
стных, значения которых не
могут быть определены из ура-
внений равновесия, целесооб-
разно принять внутренние уси-
лия: реакции и Л/о на правом
конце балки. При таком выборе
лишних неизвестных легко выразить все элементы изгиба балки, входящие
в выражения (15.90) и (15.91), через параметры внешней нагрузки п значения
подлежащих определению лишних неизвестных /?() и ЛГ0:
X
Л (.V) -=-/?„ + ]\(х)Л + || Р'.
0 Х'^С1 I
X ь
л/ (х) = л/о - /?ох + [ ]’ д (^) с1^ -I- | Р (V - П) - Г 111.
6 О Сд с2 )
(15.92)
Внося зависимости (15.92) в формулы (15.90) и (15.91) и используя затем условие
стационарности полной энергии П — СР
дро ’ дМ0
(15.93)
получаем систему из двух линейных алгебраических уравнений. Решение этой
системы позволяет определить неизвестные Р(} и /Ио, а тем самым раскрыть ста-
тическую неопределимость рассматриваемой балки.
§ 8. Смешанные вариационные принципы
В расчетной практике возможны случаи, когда при использовании принципа
возможных перемещений затруднительно подобрать выражения для компонентов
перемещений, удовлетворяющих всем кинематическим граничным условиям,
или выражения для компонентов напряжений, удовлетворяющие всем уравне-
ниям равновесия при использовании принципа возможных изменений напряжен-
ного состояния. Очевидно, что применение при этом принципа возможных~пере-
мещений и принципа возможных изменений напряженного состояния в чистом
виде (в каком они были изложены выше) становится невозможным.
Более того, использование принципа возможных перемещений "при решении
задач с учетом физической и геометрической нелинейности может оказаться
практически непригодным из-за больших трудностей представления потенциаль-
ной энергии тела в виде функции компонентов перемещения. В силу этих причин
в отдельных случаях целесообразно расширить число варьируемых величин и
дополнительно к компонентам перемещения щ подсоединить в качестве неиз-
вестных компоненты деформаций 8/у и компоненты напряжений о, у.
Пусть имеем тело, находящееся под действием внешних объемных нагру-
зок X , поверхностных сил на части поверхности На оставшейся части
поверхности 52 заданы компоненты перемещения й4-.
Ограничимся рассмотрением геометрически линейной задачи. При этом
для истинного равновесного состояния должны выполняться (гл. 1—3) следующие
основные зависимости:
до,/ _
-^-4-А/ = 0 (/ = 1,2,3) С V; (15.94)
0• *= 2, 3) 5!; (15.95)
(4 = 1» 2, 3) <$2; (15.96)
+ € 1/’ 5; <15-97)
°ч = 4г;€ 5- <15-98)
где № — потенциальная энергия единицы объема тела, выраженная через компо-
ненты деформации.
8.1. Функционал Вашицу, обеспечивающий независимое варьирование
компонентов перемещения, деформации и напряжения. Зависимости (15 94)—
(15.98) будут выполнены, если потребовать выполнения условия стационарности
следующего фун кцион ал а:
Функционал (15.99) содержит 15 варьируемых величин: 6 компонентов
деформации 8,у, 6 компонентов напряжения о, у, и 3 компонента перемещения
И[. Их значения определяются из условия стационарности
П (5- - ч)ау - Ш [е- / - 4- й;+тй]6о'-ау -
V ’ V
-1 Л (у + би,- ау +11 - д.,) б»,- л- -
V 7 5Х
— | (н, — и,)= 0, (15.100)
которое приводит к автоматическом} выполнению зависимостей (15.94)—(15.98).
Таким образом, условие стационарности (15.100) описывает действительное рав-
новесное состояние рассматриваемого тела. Функционал Эщ был предложен
Вашицу [24].
Неизвестные величины, входящие в условие стационарности (15.100), ищем
Каждая система функции <р^>, ф^’/) (при фиксированных значениях
индексов / и у) должна удовлетворять свойствам полноты и линейной незави-
симости. е
Внеся выражения (15.101) в условие стационарности (15.100) и воспользо-
вавшись произвольностью вариаций для определения неиз-
вестных параметров и получаем следующую систему алгебраиче-
ских уравнений:
111 (X+ау+Л * -0
Г
(/ = 1, 2, 3; /г = 1, 2, . . /V/);
Ш (5" “ ^'7) = ° ('> /=1' 2. 3; /г=1, 2...М,7);
V 7
[ [ I [6‘7 - 4 ( ёг + 5е)] + П * = 0
V 52
(/, /= 1, 2, 3; /г = I, 2, . . ., Р,у). (15.102)
8.2. Функционал Рейсснера—Хеллингера, обеспечивающий независимое варь-
ирование компонентов перемещения и напряжения. Если компоненты деформа-
ции 8/у связаны определенными однозначными соотношениями с компонентами
напряжения
&//* — / ($/<?/)>
(15.103)
то, используя формулу (15.103), можно исключить компоненты деформации
в выражении (15.99). Получим
где
Э1у = - Л / №" («</) -
V
($7/А?/ Р\ч) 1
$г
щ (IV 4-
(15.104)
117' (а-у) = =
у 6^8/у
— дополнительная потенциальная энергия единицы объема тела.
Функционал (15.104) был предложен в работах Э. Рейсснера [18] и Э. Хел-
лингера [24], а поэтому часто именуется функционалом Рейсснера—Хеллингера.
Он содержит девять варьируемых величин: 6 компонентов напряжения о,у и
3 компонента перемещения п,.
Из условия стационарности функционала (15,104):
(15.Ю5)
которое эквивалентно выполнению всех уравнений равновесия (15 94), (15 95)
и уравнений сплошности (15.97), (15.96), после подстановки в него выражений
для и( и о- из (15.101) для определения неизвестных параметров а^ и
находим следующую систему уравнений:
Ш (Л+-5г) ау+И *=о
У
(I = 1, 2, 3; /е = 1, 2, . . Л^);
Ш К (а«) - 4 (5г+5г)1 +11 (“• -м м,7) *=о
V 82
(I, / = 1, 2, 3; /г= 1, 2, . . ., Рг/). (15.106)
Методы, основанные на использовании условий стационарности так называе-
мых смешанных функционалов ЭщнЭуу, называют, в свою очередь, смешанными
вариационными методами.
При использовании этих методов для решения задач строительной механики
корабля и теории упругости уже не требуется предварительного выполнения
каких-либо условий равновесия или сплошности. При этом каждая неизвестная
величина ищется в виде ряда разложения по некоторой системе линейно-неза-
висимых функций, удовлетворяющих условиям полноты.
Из условия стационарности (15.105), как частный случай, могут быть полу-
чены математические формулировки принципов возможных изменений переме-
щений и напряжений, которые были изложены в предыдущих параграфах.
§ 9. Модифицированный принцип возможных перемещений
Изложенный в § 1 принцип возможных перемещений требует, чтобы выбран-
ные перемещения удовлетворяли условию = 0 (I = 1, 2, 3) на 32.
Это ограничение можно устранить, если воспользоваться обобщенной форму-
лировкой принципа возможных перемещений, которую получим непосредственно
из условия стационарности функционала Рейсснера—Хеллингера (15.105),
а также если учесть, чго при решении задачи в перемещениях условия сплошности
по объему тела выполняются автоматически
6Эу=-Ш(х'+5г)б"-а,/+Л
V 5,
(Оху/уу VI.)
ИЛИ
6Эу
п^убё/у (IV
(15.107)
щ) ск = 0.
(15.107х)
Условие стационарности (15.107) выражает собой так называемый модифи-
цированный принцип возможных перемещений.
Неизвестные компоненты перемещения ищутся в виде
и( = X (х> У> 2)’ (15.108)
ы
где от системы функций (х, у, г) требуется выполнение их линейной незави-
симости и условия полноты.
Используя далее кинематические соотношения между компонентами пере-
мещения « ’и компонентами деформации е,у, физические зависимости между
компонентами напряжения сг/у и компонентами деформации 8/у сможем выразить
через перемещения сначала деформации 8/у, а затем и напряжения О/у:
5=3
= X 2 ак>ок)ц у- (15.109)
5 = 1 Л=1
Внося выражения «/ и огу соответственно из (15.108) и (15.109) в условие
стационарности (15.107), получим следующую систему алгебраических уравнений
для определения неизвестных параметров а^:
111 (Л+59 ду+II +
V 51
+ / |(иг-йг)Д/^;)г/Л=-0 (к= 1, 2, . . /V,-. /=1,2,3). (15.110)
52
§ 10. Вариационные принципы нелинейной
теории упругости
Изложенные выше вариационные принципы могут быть приспособлены для
решения геометрически и физически нелинейных задач теории упругости. Для
этого необходимо внести некоторые изменения в математические формулировки
вариационных принципов. Суть этих изменений состоит в следующем:
а) вместо линейных компонентов 8/у следует внести нелинейные компоненты
деформации 8 у, определяемые по зависимостям (1.3);
б) уравнения равновесия по объему заменить на соответствующие уравнения
нелинейной теории упругости (2.7), а уравнения равновесия на поверхности —
уравнениями (2.9);
в) поверхностные усилия Гу,: на части поверхности 52 определить с помощью
зависимостей (2.9).
Ниже приведены полученные таким путем математические формулировки
основных вариационных принципов нелинейной теории упругости. Заметим,
что в общем случае предполагается наличие геометрической и физической нели-
нейности.
10.1 . Принцип возможных перемещений
6Э]
^/б8/у — 11 | (IV —
V
| | /\/бп/ (15.111)
Основные неизвестные при использовании этого принципа — компоненты
перемещения «/, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям на 52
[см. выражение (15.7) для этих перемещений].
Выполнение условия (15.111) приводит к удовлетворению всех уравнений
равновесия.
10.2 . Модифицированный принцип возможных перемещений
/ I ] ~ ] / ] А/би/ — I I (1$ —
1 I 5.
| [/\,Лб Л -I- | ЪЕуу - 0. (15.112)
•< 5,
Основные неизвестные— компоненты перемещения и., которые можно
искать в виде выражс! ин (15.108). Выражения (15.108) не удовлетворяют граним-
ным условиям на г>2.
Входящие в (15.112) величины о,; и исключаются с помощью физиче-
ских, геометрических соотношений и уравнений равновесия на поверхности тела.
10.3 . Принцип возможных изменений напряженного состояния
бЭП = | ] I в/убсг/уЛ/ — [ | 6/6^45 = 0. (15.113)
У 52
Основные неизвестные компоненты напряжения <7 у, которые можно искать
в вите выражений (15.72). Выражения (15.72) удовлетворяют всем уравнениям
равновесия (2.7) и (2.9).
Выполнение условия стационарности (15.113) приводит к тождественному
удовлетворению всех условий сплошности.
10.4 . Смешанный вариационный принцип Вашицу
бЭшИ 11 - Мбе -
V 1
1
2
. дни
дх1 дх.
дик \
дх; /
<5(7, у (IV —
~И.|{Л‘ 1ГхТ ! (6'> + 5“) ь
й/)бГу/^ = О. (15.Н4)
Основные неизвестные — компоненты перемещения н/, напряжения О/у
и деформации е,у.
Выполнение уравнения (15.114) приводит к автоматическому удовлетворе-
нию всех условий равновесия, условий сплошности и зависимостей, устанавли-
вающих связь между компонентами напряжения и компонентами деформации.
10.5 . Смешанный вариационный принцип Рейсснера—Хеллингера
~ЩХ; + 5? [ (6"+ 5р)а"']) 6"‘ау +
где
IV" (а,;) = (аи) - Г (а,,). (15-116)
Основные неизвестные — компоненты перемещения ц, и компоненты напря-
жения сг/у. Выполнение уравнения (15.115) приводит к автоматическому удовле-
творению всех условий равновесия и условий сплошности нелинейной теории
упругости.
§ 11. Применение вариационных принципов
в задачах динамики
Рассмотрим деформацию тела под воздействием нагрузок: объемных сил X/
и поверхностных сил на части поверхности 5г, изменяющихся во времени.
На части поверхности тела 52 заданы перемещения п, — (х, //, г, /)•
Согласно принципу Даламбера задачу динамики можно заменить соответ-
ствующей задачей статики при условии включения инерционных сил
ЛГ=-Р-^- (' = 1.2,3) (15.117)
С/V
(р — плотность материала тела) дополнительно в состав внешних объемных
нагрузок.
11.1. Принцип возможных перемещений. С учетом (15.117) из выраже-
ния (15.2) для принципа возможных перемещений получаем
Г [ Г <7,/бе,7 ау - / Л (А-,- - р б«,- аV -1 / ЗД * = о. (15.118)
V' V ‘ 51
Уравнение (15.118) справедливо как для упругого, так и неупругого тела,
для линейных и нелинейных соотношений между компонентами перемещений
и деформаций. При использовании метода Ритца для решения вариационной
задачи, определяемой условием стационарности (15.118), перемещения ищутся
в форме (15.14). Следует лишь при этом помнить, что коэффициенты а%у 5/г и с/>,
входящие в эти выражения, являются неизвестными функциями времени I.
После выполнения всех операций метода Ритца, получаем систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений второго порядка для определения неиз-
вестных функций а/> (/), Ьк (I) и сц (/).
Для решения полученной системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений можно воспользоваться методами, излагаемыми в гл. 12, 13.
Начальные условия для функций аъ (/), Ьъ (?) и с/г (/) получаем непосред-
ственно из начальных условий для тела >
/ = 0: и,- = < (х, у, г); —р = у, (х, у, г), (15.119)
где б/ и §, — заданные функции координат точек тела.
При свободных колебаниях физически и геометрически линейного тела
внешние силы Х(- и7\>г равны нулю, а кинематические граничные условия и[ ~
= й/ 82 не изменяются во времени. При этом перемещения, деформации и на-
пряжения будут изменяться во времени по гармоническому закону
и. (х, уу г, I) = цЧ (х, уу а) з1п л/;
8.;. (х, у, 2, = у, г)$тМ; !>
а.у (х, у, 2, /) = огР;. (х, у, 2) 81п иу )
где 1 — частота свободных колебаний.
С учетом вышесказанного из уравнения (15.118) получаем
6 (По_ 7°) =0,
(15.120)
(15.121)
где П° — максимальное значение потенциальной энергии колеблющегося тела;
Т® — АУ — максимальное значение кинетической энергии.
V
Внося в выражение для П° и Т° компоненты перемещения и'} (х, у, г) в форме
(15.7), получаем
По =
1=1
(15.122)
А/
г° = Т 2 2 а‘ка‘ак>
[=1 Л=1
(15.123)
где сц; и а!к суть некоторые коэффициенты эяН1«-о.,.
ционпых параметров тела; ак — неизвестные каягЫт от жесткостных и имев
НИЯХ для «у, и? и и«. звестиые коэффициенты в принятых выраже
Подставляя выражения (15 122) и (15 123) п
получаем следующую систему линейных (для лХВ^ТаВДОНарнос™ (>5.121)
алгебраических уравнений: линейной системы) однородных
.и
XI (П/г — ^2«//г) «/г = 0 (/= 1, 2, . . ., /V). (15-124)
/г=1, 2
Число уравнений этой системы равно
в выражениях для перемещений ц<\ и суммарному числу коэффициентов а.
Решение системы (15.124), отличное от нуля (только ..
колебания тела), получаем при условии равенства ри этом и возможны
и енства нулю основного определителя
Д (2.) — | | — 0.
(15.125)
Корни частотного уравнения (15.125) и явпяшто0
стот А.,- свободных колебаний упругого тела ' значениями искомых ча-
дованию колебаний упругих тел рассмотрим пр3^НЫХ перемещений к иссле-
призматической балки₽жесткостью^изг^^ТлемщегД^^ свободно опертой
основании жесткости ки = сопз(. Длина бачки — I погони сплошном упругом
Решение. Выражение для формы свободных к<Хний^-Та ~
балки можно задать в виде • оании свободно опертой
(15126)
/г=1
Потенциальная энергия складывается из потенциальной энергии изгиба
балки и потенциальной энергии упругого основания энергии изгиба
I I
П° = [ [оу0" (х)Р дх + -у- | [оу0 (х)]- с/х.
6 о
(15-127)
Подставляя (15.126) в выражение (15.127), получаем
Кинетическую энергию балки определяем по формуле
Т° = I [и0 (*)12 = т\1- X “*•
0 *=1
Внося найденные значения П» и 7° в условие стационарности (15.121), по
(15.128)
(15.129)
Из равенства (15.129) находим формулу для определения частот свободных
колебании рассматриваемой балки
- -<ч/7Т^~
'< = '-'‘У '+ ЁПЛИ’
;Н _ *~л~~ I/ есть частота свободных колебаний Л-го топа свободно
А /2 I щ
опертой призматической балки без учета влияния упругого основания.
П.2. Принцип Ваши цу. Условие стационарности Вашицу (15.100) для задач
динамики примет вид (для упрощения записи рассматривается геометрически
линейная задача)
бЭ1п - ЛI _ (т,/) й'‘",/1/ ~ .И I в‘у + аф)х
V V
V
+ [ [ (^//г/ — — 11 ) М°-7 0. (15.130)
Вариационное уравнение (15.130) отличается от уравнения Вашицу в ста-
тике (15.100) добавлением инерционных сил к заданным объемным силам в подын-
тегральном выражении третьего интеграла.
Неизвестные величины и-, к,; и о, у, входящие в условие стационарности
(15.130), ищем в виде (15.101), с той лишь разницей, что теперь параметры
11 ск^ являются неизвестными функциями времени /.
Выписывая далее зависимости типа (15.102), получаем
Совместное рассмотрение второй и третьей систем алгебраических уравнений
(15.131) позволяет выразить для любого фиксированного момента времени /
значения параметров и через параметры (/). С учетом этого резуль-
тата из первой зависимости (15.131) получаем систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений второго порядка для определения неизвестных параметров
с/д, ^ (/). Начальные условия для функций а[,‘> (/) мо1ут быть получены непосред-
ственио из начальных условий для тела (15.119).
Считаем возможным яс останавливаться на изложении остальных прин-
ципов (принципа Рейсснера, модифицированного принципа возможных переме-
щеппй), которые излагались выше применительно к решению статических зяляч
теории упругости. Основанием для этого служит то, что принципиальные позиции
использования вариационных принципов для задач динамики были достаточно
подробно рассмотрены при изложении принципа возможных перемещений и
принципа Вашицу, тем более, что принцип Вашицу является наиболее общим
вариационным принципом, из которого, как частный случай, вытекают все осталь
ные вариационные принципы. ‘
ГМВА 16. ПОНИЖЕНИЕ МЕРНОСТИ
ИСХОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Для решения многомерных краевых задач, описываемых дифференциальными
уравнениями в частных производных, можно воспользоваться вариационными
методами, методом сеток и методом конечных элементов, которые были изложены
в предыдущих главах.
Однако в отдельных случаях может оказаться более целесообразным с по-
мощью специальных методов понизить мерность исходной краевой задачи и вместо
дифференциальных уравнений в частных производных (или соответствующего
условия стационарности функционала от функции нескольких переменных)
получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (или условие
стационарности функционала от функции одной переменной), описывающих
уже одномерную краевую задачу. Решение одномерных задач проще и может
быть выполнено с помощью методов, рассмотренных в гл. 12, 13.
Ограничимся изложением лишь трех методов понижения мерности исходных
краевых задач -- метода Канторовича, метода Власова и метода прямых.
§ 1. Метод Канторовича
Метод представляет собой развитие метода Ритца для функционалов от
функции нескольких переменных. Он состоит в следующем {4, 5].
Пусть имеем вариационную задачу, которая сводится к определению, на-
пример, неизвестной функции к; (х, у) двух переменных из условия стационар-
ности некоторого функционала Э (х, //)].
В отличие от метода Ритца в методе Канторовича в качестве коэффициента
разложения искомой функции ду (х, у) по координатным базисным функциям
вместо неизвестных констант берутся неизвестные функции от некоторой одной
переменной. Например, для двухмерной области, изображенной на рис. 16.1,
функция (х, у) представляется в виде
л'
Д у | /____
ш (*.'/) = Ч’* Ц, у) Д («), (16.1)
или, в частности, в таком виде
К
Щ(х, //) V €|/г(//)Л>(х). (16.2)
А’=1
Функции ср/г (х, у) или ф/г (//) принимаются л
заранее так, чтобы они удовлетворяли транич- Р 0 -
пым условиям па контуре 5 за исключением,
может быть, прямых .г а н л Ь. Рис. 16.1
Внося выражение
интегрирования по у,
^(х) = 1, 2, 3. ....
функционала
(16.1) в функционал Э [&у (х, //)] и выполняя операции
приходим к задаче определения неизвестных функций:
/V) из условия стационарности уже нового упрощенного
9' (Л (х), /2 (х), ..., х].
Таким образом, краевая задача относительно функции ш (х, у) двух перемен-
ных заменяется краевой задачей относительно неизвестных функций (х) одной
переменной.
Граничные условия для функций (х) вытекают из граничных условий для
функции &у (х, у) на сторонах контура х = а и х = Ь.
Решая эту последнюю одномерную краевую задачу с помощью методов,
изложенных в гл. 12, получаем значения функций /7, (х), а следовательно, и при-
ближенное выражение для ш (х, у}.
Пример Требуется определить с помощью метода Канторовича прибли-
женное выражение для прогиба жесткой прямоугольной изотропной пластины,
нагруженной поперечной нагрузкой интенсивностью д (х, у). Граничные условия
на кромках пластины:
при х = 0. х = а
при у = 0, у — Ь
дх
(16.3)
Решение. Если воспользоваться для решения принципом возможных
перемещений, то задача сводится к определению минимума следующего функ-
ционала:
э=п—и=
д2ш д2м
~дхг ду2 _
дх ду —
а Ь
I / <7 (*, у) пу (х, у) дх ду.
о о
(16.4)
Выберем прогиб пластины в виде
Л-1
/гл//
81П ----
Ь
(16.5)
При таком выборе функции прогиба тождественно удовлетворяются все гра-
ничные условия пластины на кромках у = соп$Е
Внося выражение (16.5) в формулу (16.4) и производя интегрирование по у.
получаем
а
ЭЬ
2
э’ =
~г) 14 м 4 м + (Ю.6)
где }
ь
<?* М ~ Т" 1 я (X, у) $1п йу. (16.7)
о
Задача свелась к определению неизвестных функций (х) в интервале 0 <
< х < а обеспечивающих минимум функционалу Э'.
Граничные условия для функций Гь М ипи,„
граничных условий для Фтиий да (х,'«) „ри х = "«»УЧп Ь из Рассмотрения
г <-ОЛ81. 11ОЛучИМ
при х = О, х = а ; /Их) = /'(х) = 0
Каждую неизвестную функцию {к (х) будем искать в вида ('6'8)
Гк « = Ак^ (х).
4=1 (16.9)
где ср,- (х) — система линейно-независимых сЬуиюшй ...
ним условиям типа (16.8). функции, удовлетворяющих границ
Неизвестные параметры Ак! можно определить г „
гг , , , нределить с помощью метода Ритца
_дЭ [Л (*), /2(х), , , „ ^(х)]
^7 _ ~0 (16.Ю)
(*=*’2........./=1-2, 3, .... ,УгА).
получаем систему линейнь'х^ал^еб^ичёских урХениГот3' ”3 Ф°рмулы <16-6)-
них параметров Л/,,-. уравнении относительно неизвест-
§ 2. Метод Власова [2, 3]
Пусть краевая задача для дифференциального уравнения с частными произ*
водными относительно функции двух переменных хи// описывается дифферен-
циальным уравнением
Г(2т) [да (х, у)] — / (х, у) = 0 еУ (16.11)
при граничных условиях на контуре
(х, */)] €-5 (I— 1, 2, т).
(16.12)
Функцию о/ (х, //) можно искать в форме (16.1) либо в форме (16.2). При этом
предполагается, что принятое выражение для функции ю (х, у) удовлетворяет
всем граничным условиям на контуре 5 за исключением, может быть, прямых
х = а и х~ Ь (см. рис. 16.1).
Для определения функций Д (х) служит следующая система уравнений:
У} у)!к(х)
ф/(х, у)с1у = 0 (16.13)
(/-1,2,..., Л\),
которую получаем путем использования процедуры метода Бубнова—Галеркина
для приближенного решения уравнения (16.11). После выполнения всех необ-
ходимых операций интегрирования получаем систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений относительно функций Д (х). Граничные условия для функ-
ции Д (х) находятся из граничных условий (16.12).
Пример. Проиллюстрируем использование метода Власова на примере,
рассмотренном в предыдущем параграфе.
Решение. Решение дифференциального уравнения изгиба пластины
РГЧЛй/ (х, у) — д (х, у) == 0 (16.14)
будем искать в форме (16.5), удовлетворяющей граничным условиям па кромках
у — соп$1.
Для определения функций /Л. (х) воспользуемся условием ортогональности
(16.13), которое в рассматриваемом случае запишется так:
Г [о ( 4"Т- + 2 ->д2УГ~ + ~~ У (*> //) 1 81,1 = °- <1б-15)
.1 I \ дх' дх2 ду- ду* / 3 о
6
Внося в уравнение (16.15) выражение (16.5) для а/ (х, у) и выполняя интегри-
рование, получаем систему независимых обыкновенных дифференциальных
уравнений для определения функций /у (х)
/‘у(х)-2 (ЛГ) + = (Ю.16)
величина у, (х) определяется по формуле (16.7).
Каждое уравнение системы (16.16), дополненное граничными условиями
при х — 0, х = а: Ц (х) — (х) = 0, (16.17)
описывает одномерную краевую задачу. Методы решения одномерных линейных
краевых задач рассмотрены в гл. 12.
Изложенный выше метод имеет много общего с методом Бубнова—Галеркпна.
Отличие состоит лишь в форме задания приближенного выражения для искомой
функции нескольких переменных: в методе Бубнова—Галеркина в качестве ко-
эффициентов при координатных функциях берутся неизвестные константы, для
определения которых составляется система алгебраических уравнений, а в ме-
тоде Власова роль коэффициентов уже играют неизвестные функции одной из
независимых переменных. Эти неизвестные функции определяются из решения
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 3. Метод прямых
Метод прямых [2, 5, 7], как и методы Канторовича и Власова, обеспечивают
замену краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производ-
ными краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения.
В этом методе производные по одной из независимых переменных в двухмер-
ных задачах и по двум независимым переменным в трехмерных задачах заме-
няются приближенными разностными выражениями. Такой путь приводит к за-
мене исходного дифференциального уравнения или системы уравнений в частных
производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Идею метода прямых изложим на примере решения краевой задачи для
линейного дифференциального уравнения.
Пусть требуется, например, найти решение ш (х, у) дифференциального
уравнения
д4и> , л дЧи , д4ю с/ (х, у)
дх* дх*ду2 ' ~ду* Ъ ’ (16.18)
которым описывается изгиб изотропной пластины, загруженной поперечной
нагрузкой интенсивностью у (х, у).
Условия закрепления пластины на прямоугольном контуре примем сле-
дующими:
х — 0, х = а :
//-0:
У Ь :
~^Г = ^2(У)>
а?' = 0;
ду2
дю
ду
д2&>
дх-
= 0;
(16.19)
= <?з (*);
д312)
,1М . .................
Для полук-шт но методу г... „.„т...
жен но го решения краевой задачи опмн»11; -
зависимостями (16.18), (16.19), "’пр”Грял
равноотстоящих прямых, параллельных одной
113 координатных осей, например, оси Ом (см
рис. 16.2). >
На каждой такой прямой дщЬЬепенн!»„..
нос уравнение (16 18) приближенно 7Хяеы
обыкновенным дифференциальным уравнений
для определения функций к> <х и\ ,,
этого в уравнении (16.18) производные по г
заменяются разностными отношениями
V
Рис. 16.2
С/2ЬУ
дх2 ду2
1 Г д2ш , Л2„. ™
х- хк ' ' II2 I ~дуГ‘ ^Хк*1’ У^~2 (-4-1), у) ];
дх^
~ Л4 ^+2* 4ю(лд.+1, !/)-Ь6а/(х^, у) — 4ьу у)-|-
Х
+ ^(А7е-2, у)]
(/г - 1, 2, . . н —I),
ГДС II = ---- .
п
(16.20)
Введем сокращенные обозначения:
ш (хк, у) = (у); (х/г; у) - (у);
~д^~(хк< У) = “Т(у)'> Ч(хк< у) = Ч/г (у).
Фз Ы = ф3/г; ф4 (х^ = ф4*.
Тогда, подставляя выражения (16.20) в уравнение (16.18), получаем еле
дующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
г <2. ’>
“Т (у)+1к’1+1 (у) - ^'к (у) + ^'к-\ (у>) +
+ [“’А+г (у) — 4^7,,! (у) 4- 6ш/е (у) — 4№ц_1 (у) ф- (у)] = <1к (у)
(16.21)
(к= 1, 2, . . ., л — 1).
Кроме того, в силу краевых условии (16.19) имеем
и’о (У) = Ф1 (У)\ -т~г к-1 (У) — 2^0 (у) -Ь- (г/)] = ср2 (у)\ )
1 (16.22)
(у) = Ф1 (у)-, к„_1 (у) — 2и>н (у) + ЬУПЧ1 (у)] = ф2 (у). )
С помощью зависимостей (16.22) исключаем из уравнений (16.21) функции
О»_1 (//), (//), (у) И IVп (у).
В результате выполненных операций вместо линейного дифференциального
уравнения (16.18) с частными производными мы получаем систему из п— 1
обыкновенных дифференциальных уравнений с п — 1 неизвестными функциями
^'1 О/)» (^)» •••’ (у}‘ „ л . 1
Краевые условия для полученной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений получаем непосредственно из краевых условий пластины па кромках
у == 0 и у ®= Ь
У=®-
ю* = 0; = 0; у = Ь : &у/г (“Ь-Н ~ 2йУл । ^-1) “ с₽з&;
У = ь : (
’^'к + '2 дз " (“^+1 “ + ^-1) = (?4к
(к — 1, 2, , . п — I).
(16.23)
тл ..„пп^ине системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами (16.21) при граничных условиях (16.23) принци-
ПИа’Ес“и коэййициен™ зависели бы от у, то метод прямых
Еп л , к системе линейных обыкновенных уравнении с переменными коэффи-
привел оы к си которой можно было бы воспользоваться вариационными
Ж"о^в Р^ен“я одномерных краевых задач, изложенных
В ГЛМетод прямых можно рассматривать как частный случай метода сеток, если
считат! что шаг сетки по одной координате беспредельно уменьшается.
ГЛАВА 17. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ)
В последние годы исключительно широкое использование в расчетах проч-
ности строительных, авиационных и судовых конструкций получил метод конеч-
ных элементов (МКЭ). Широкое использование Л4КЭ в значительной мере объясня-
ется наличием машинных программ, обладающих высокой степенью автоматиза-
ции трудоемких операций составления и решения систем алгебраических уравне-
ний, автоматизации сеточного представления области, минимумом требований
к исходной информации и оптимальной формой выдачи результатов.
Метод конечных элементов, действительно, позволяет произвести расчет
сложных судовых узлов. Он способен достаточно полно учесть геометрические
формы и реальные условия работы конструкций, распределение в пространстве и
изменение во времени внешних нагрузок, граничные условия, температурные
факторы, а также физические свойства используемых в конструкциях мате-
риалов.
В методе конечных элементов конструкция с помощью воображаемых разре-
зов разделяется на ряд частей — конечных элементов. Размеры элемента обычно
малы по сравнению с размерами всей конструкции, по они имеют конечные значе-
ния. В этом отличие метода конечных элементов от методов теории упругости,
где при составлении основных уравнений равновесия тело делится на бесконечно
малые элементы. В теории упругости поведение рассматриваемого тела описыва-
ется системой дифференциальных зависимостей, а в МКЭ — системой алгебраиче-
ских уравнений.
Ниже изложена сущность метода конечных элементов и его использование
для решения краевых задач механики любых сплошных сред. Приведены значения
матриц жесткости различных конечных элементов. Изложены вопросы использо-
вания МКЭ для расчета стержней и стержневых конструкций, пластин и про-
странственных задач теории упругости Показаны особенности использования
МКЭ при учете геометрической и физической нелинейности материала конструк-
ций. Освещен вопрос использования МКЭ для решения задач устойчивости, неста-
ционарных и динамических задач.
§ 1. Сущность метода конечных элементов.
Основные операции в процедуре метода
и его характерные черты
1.1. Краевая задача и ее вариационная формулировка. Пусть для оассча-
триваемой краевой задачи поведение искомой функции ш (х, у, г) внутри заданной
ограниченной области V описывается некоторым дифференциальным уравнением
2т-го порядка
Л * (да. К, х, у, г) = Ч(х, у;г) (17Л)
Здесь К — параметр, характеризующий свойства сплошной среды в объем.
|/. д (х, у, г) — внешнее воздействие.
Уравнение (17.1) дополняется совокупностью т краевых условий:
а) главных, в которые входят производные от искомой функции по координатам
не выше а + р + ? = т — 1-го порядка,
/ З’+Р+Уц, \
1;Г •••• У’ г)=Л(Х’ У’ г}
(1 С а р 4“ Т < /и— 1; / — 1, 2, . . ., г); (17.2)
б) естественных, уравнения которых содержат хотя бы один член с производ-
ной порядка а + Р I у > т,
. I х с
ЕТ.........1?^? ’ Л' у- г)=г‘{х- у-г) <17-3)
(/п < (а р 4- у)п1ах 2т — 1; I = г 1, ..., т).
Известно, что для определения функции ю (х, у, г) вместо совместного рас-
смотрения уравнений (17.1), (17.2) и (17.3) можно воспользоваться условием
стационарности некоторого функционала
63 (цу) = 0.
(17.4)
функционал Э (ку) содержит производные от со (х, у, г) до т-го порядка [вместо
производных до 2т-го порядка в дифференциальном уравнении (17.1)]. Это
облегчает подбор аппроксимирующих функции для со (х, у, х), поскольку для
получения однозначного функционала Э (со) требуется обеспечить непрерывность
функции со (х, у, г) и ее производных лишь до т — 1-го порядка включительно.
Вышеизложенного вполне достаточно, чтобы понять и правильно сформули-
ровать необходимые и достаточные условия, соблюдение которых при выборе
аппроксимирующей функции для (х, у, и) обеспечивает сходимость решения по
Л1КЭ с точным при уменьшении размеров конечных элементов, на которые разби-
вается рассматриваемая область Г.
1.2. Основные операции в процедуре метода. Процедура метода конечных
элементов состоит из следующих основных операции:
1.2.1. Дискретизация области. Разбиение области V на под-
области (конечные элементы) 1Д (/? = 1,2, ..., М) является первым шагом на пути
к решению задачи. Этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство
разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Несовершенное
разбиение будет приводить к значительным погрешностям расчета, если даже все
остальные этапы метода выполнены с достаточной точностью.
Использование слишком мелких элементов, хотя, как правило, и повышает
точность, но приводит к увеличению общей трудоемкости расчета. В районах
области, где ожидается резкое изменение результатов, следхет использовать
мелкую разбивку на элементы. Там же, где ожидаемый результат изменяется по
области сравнительно слабо, можно использовать при дискретизации более
крупные элементы.
Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера
рассматриваемой задачи и от той точности решения, которую требуется обеспечить.
Например, при решении одномерных задач распространения тепла и в задачах
Рис. 17.1
строительной механики при расчете стержневых конструкций область разбивается
на одномерные конечные элементы, взаимосвязанные между собой по концам. При
решении плоских задач (плоское напряженное состояние, плоское обтекание тела
потоком жидкости, задача теплопроводности в пластине и т. д.) аппроксимация
области производится треугольными, четырехугольными плоскими конечными
элементами (рис. 17.1). Если рассматривав гея трехмерная область, то обычно она
идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоугольных паралле-
лепипедов либо неправильных шестигранников (рис. 17.2).
При замене исходной конструкции совокупностью дискретных элементов
стараются обеспечить как можно большую идентичность в поведении конструкции
и ее дискретной модели. Для некоторых конструкций можно подобрать такую
Дискретную модель, которая будет точно описывать поведение исходной конструк-
ции. Эго характерно для конструкций, которые уже состоят из отдельных элемен-
тов с дискретным сочленением их между собой.
Если же элементы реальной конструкции вдоль своей границы имеют непре-
рывные связи со смежными элементами, то при построении дискретной модели
вводят некоторые априорные предположения о характере силового или кинемати-
ческого взаимодействия между смежными элементами. В этом случае дискретная
модель будет приближенно отражать поведение исходной конструкции.
Приведем примеры разбиения конструкции на конечные элементы:
I ;П ример 1. Плоская ферма, изображенная на рис. 17.3, состоит из прямо-
линейных шарнирно-сочлененных между собой стержней. Каждый стержень
фермы работает лишь на растяжение-сжатие.
(Если за элементы принять отдельные стержни, то дискретная модель будет
точной копией реальной конструкции. В качестве основных неизвестных прини-
маются линейные перемещения узловых точек.
Рис. 17.2
П р и м е Р 2. Стержни кон-
струкции, изображенной на рис. 17.3,
* жестко скреплены друг с другом.
В этом случае общий вид дискретной
модели остается прежним. Однако
характер взаимодействия между стерж-
нями в узловых точках становится
более сложным: наряду с осевыми
усилиями появляются перерезываю-
щие силы и изгибающие моменты. Это приводят к увеличению числа неизвестных
(к линейным перемещениям узловых точек добавляются их углы поворота).
При м с р 3. Треугольные и прямоугольные конечные элементы широко
используются в расчетах прочности судовых конструкций. На рис. 17.4 приведена
схема идеализации поперечной рамы супертанкера.
1.2.2. Выбор основных неизвестны х. В качестве основных
неизвестных в МКЭ принимаются узловые значения искомой функции и ее частных
производных до ш-го порядка. Правда, для обеспечения условий сходимости
метода достаточно включить в число узловых неизвестных лишь определенную
часть из общего числа производных /и-го порядка. Более того, иногда вообще
производные /и-го порядка полностью исключаются из числа узловых неизвестных.
Например, при решении краевых задач, описываемых квазигармоническим
уравнением (2 т — 2), в качестве неизвестных в каждой 1-й узловой точке доста-
точно принять значения определяемой функции ьу,. Если же рассматривается
плоская краевая задача, описываемая бигармоипческим уравнением (2щ 4),
то здесь при строгом соблюдении условий сходимости метода в каждой узловой
точке следует уже принять в качестве неизвестных
дт) \ / дно \ / д2йУ \
дх ) I ’ \ ду ) [ ’ \ дх ду ) с ’
Видим, что в первом примере в число узловых неизвестных производные щ-го
порядка не входят, во втором — они входят лишь частично.
Общее число неизвестных определяет число степеней свободы, от которого
зависит точность определения искомой функции в объеме каждого конечного
элемента, а следовательно, и во всей области V. Увеличить точность решения
можно либо путем увеличения числа конечных элементов, на которые разбивается
область, либо путем увеличения числа узловых точек, т. е. числа степеней свободы
для каждого конечного элемента. Примеры таких высокоточных элементов при-
ведены на рис. 17.5.
1.2.3. Построение интерполирующего полинома и
условия сходимости М К Э. После выбора узловых неизвестных стро-
ится интерполирующий полином, которым выражается закон измененья искомом
функции го (х, у, г) по объему конечного элемента через значения его узловых
неизвестных.
Основная трудность построения состоите том, что полученные интерполирую-
щие полиномы для каждого конечного элемента должны обеспечить непрерывность
функции ьу (х, у, г) и ее производных до т — 1-го порядка включительно во всей
области V. Что же касается производных ш-го порядка, то в каждом из интерполи-
Рис. 17.5
рующих полиномов должны содержаться члены, обеспечивающие их переход
к постоянным значениям при уменьшении размеров конечного элемента. При
этом производные ш-го порядка могут иметь разрывы первого рода по граням
стыковки смежных конечных элементов. Выполнение этих условий обеспечивает
сходимость МКЭ и возможность в дальнейшем при определении значения функ-
ционала Э для всей области V воспользоваться следующей зависимостью:
м
Э(о>) = (17.5)
1=1
где Э — значение функционала Э (го) в замкнутом объеме 1-го конечного
элемента.
При этом с увеличением числа конечных элементов сумма в правой части
равенства (17.5) будет равномерно стремиться к точному значению функционала
Э (го) для всей области V.
} В дальнейшем вопросы построения интерполирующих полиномов для конеч-
ных элементов определенной геометрии и определенного класса задач будут рас-
смотрены подробно. Пока же предположим, что интерполирующий полином для
1-го конечного элемента определен и может быть представлен в виде
г
(х, г/, г) = 2 (х- У’ У’ «И(0 {<?}<0> (17.6)
где [Л^(х, у, г)]вектор-строчка, элементами которой являются известные
функции координат точек. Вид функций (х, у, г) определяется геометрией
элемента, классом задачи и содержанием вектора — вектор перемеще-
ний 1-го конечного элемента, состоящий из г узловых неизвестных. Заметим, что
каждый элемент матрицы имеет два индекса; один из которых фиксирует его
принадлежность к конкретному конечному элементу, а второй индекс определяет
его положение среди г узловых неизвестных элемента. Тогда аппроксимация за-
кона изменения искомой функции со (х, //, г) по всей области У определяется сум-
мой
М Л1
и>(х, У, г) = Iх, У> {?}(° (17.7)
4«=1
или
№(х, у, г) = (Л’(х, у, г)] (у),
(17.8)
где
Я(х, у. г) = ЦЛ'](1> . к/у]Л1];
Щ = 1{9}(1){<1)(2) • . . [д}м\
_ Бектор узловых перемещений для всей совокупности конечных элементов
области.
1 2.4. Пол у ч ен и е ос нов нои я __________
V р а в и с и и й. Минимизируя функционал Э (ш) по всем элементам вектора (д)
'сей области, получаем
!дЭ (ор
системы
разрешающих
Если справедлива зависимость (17.5), то последнее уравнение принимает вид
М
дЭ(хи)^)
д {д} д{д}^
(17.9)
Каждый член правой части выражения (17.9) может быть представлен в виде
ЗЭ (ку^О
{у}(О _
(17.10)
где [/<](’) — квадратная матрица размером гХг в местной системе координат Его
элемента Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды. Для
нелинейных задач матрица [К1(1) будет функцией вектора {д)(и; (Р}(,) — вектор
размером г. Он определяет внешнее воздействие на узлы Его элемента в местной
системе координат.
Направления узловых перемещений конечного элемента обычно ориентируют
по направлениям осей местной, связанной с элементом, системы координат.
Однако получение основной системы уравнений МКЭ упрощается, если вместо
вектора {д)(1^ ввести в рассмотрение вектор узловых перемещений Его элемента
в общей для конструкции системе координат {д}
{у}<0 = [7’](>) (у}(0, (17Л1)
где [7]__матрица перехода к узловым перемещениям в общей системе координат
хуг. При этом по аналогии с (17.9) и (17.10) можно написать
дЭ(и>) _ уч дЭ(а>(1>) _ (17.12)
д{ч} 5{у}(0
дЭ (у}<‘> — {Р}((). (17.13)
С учетом (17.13) уравнение (17.12) перепишется в виде
-^Г = ^1 - (Р} = <17'14)
где м
[ха = 2 м<0 = • •[Л1<Л1)1 (1715)
1=1
— квазидиагональная матрица размером гМХгМ в общей сие геме координат.
{Р}==|{Р}(1){Р)(2) ... (17.16)
__вектор узловых внешних усилий всей совокупности кон шых элемен ов
в общей системе координат размером гД1
\ равнение (17.11) не учитывает того обстоятельства, что в силу условии
неразрывности узловые перемещения не зависят ог «ирнпс1длсжпо< ш ювой
точки к тому или иному из примыкающих к ней элементов.
Введем в рассмотрение вектор основных неизвестных (перемещения узловых
точек) в общей системе координат
{Ф} ~ {ФгФа •••
где .V— общее число узловых неизвестных для всей области.
Между элементами векторов {<7) и {<2} существует определенная связь:
{<?}, (17.17)
где [7/] — матрица размером г/И ХМ» Ее структура определяется геометрией
элемента, классом краевой задачи и принятым порядком нумерации для элементов
векторов {7} и {<2).
Если теперь принять в векторе тот же порядок нумерации компонентов,
который использован в векторе го, умножая уравнение (17.13) слева на
матрицу [/7]^ и учитывая зависимость (17.17), получаем
Г/С*]г{<2) “ 1Л =0- (17-18)
где
[7Щ = К/]ГИЙ1 [Я] (17.19)
— общая матрица коэффициентов при основных неизвестных в общей системе
координат для всей области. Размер квадратной матрицы [/<*] равен №х№',
(?} = [Н]т [Р) (17.20)
— вектор узловых внешних нагрузок для всей области в общей системе координат
размером №.
'Полученное матричное уравнение (17.18) и есть искомая система алгебраи-
ческих уравнений метода конечных элементов для определения основных узловых
неизвестных.
1.2.5. Совместное решение системы алгебраических
уравнений (17.18). О п р е д е л е и и с «в ы х о д н ы х» параметров
краевой задачи. Для линейных краевых задач система уравнений (17.18)
линейна. Для ее решения обычно используются методы Гаусса, Халецкого,
Зейделя, сопряженных градиентов и иногда, при очень высоком порядке системы,
итерационные методы.
?Для нелинейных краевых задач система уравнений (17.18) нелинейна, по-
скольку матрица Г№*] является функцией определяемых неизвестных параметров
(&. При решении нелинейной системы алгебраических уравнений используются
итерационные методы. Некоторые из этих методов изложены в гл. 13.
Пусть вектор {(2) найден. Тогда с помощью зависимости (17 17) можно опре-
делить вектор {с/}, а затем, воспользовавшись выражениями (17.11) и (17.7), —
вектор и функцию ш (г, у, г) для всей области V. Значения производных от
функции щ (х, у, г), которые нас также могут интересовать при решении краевых
задач, определяются либо дифференцированием полученного выражения для
го (х, у, г), либо непосредственно через узловые значения искомых производных,
если последние входят в состав вектора {<2} -
1.3. Характерные черты метода конечных элементов. МКЭ впитал в себя
преимущества сеточных и вариационных методов решения задач математической
физики, отбросив их слабые стороны.
Сеточный характер МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгеб-
раических уравнений оказываются хорошо обусловленными с редко заполненными
матрицами и, что очень важно, формирование таких матриц резко упрощается.
МКЭ можно трактовать как специфический метод Ритца. Специфика состоит
в выборе координатных функций. Координатные функции в МКЭ отличны от пуля
только в окрестностях соответствующего узла и, следовательно, носят локальный
222
характер. Эго обеспечивает Значительное
С классическими вариационными методами "₽е"''У'Цесгво МКЭ по сравненп.о
Метод конечных элементов немыслим л» авненшо
На сегодня большинство трудоемких онеп ^"?льзов«»ия ЭВМ
программами. Последние в совокупности ° от- ™ “ П ПроцедУРв МКЭ обеспечено
чертами и обеспечили методу конечных элементов ие^''ЫМ" 1,ыше положительными
использования при решении самых Р^юобраз^^^^^
§ 2. Интерполирующие полиномы
Одной из наиболее ответственных операций метода конечных элементов явля-
ется построение интерполирующих функций для приближенного отображен я
закона изменения искомой функции и (х, у, 2) пообьему конечного элемента чепез
значения узловых неизвестных. Операция часто оказывается весьма трудоемкой
Ес основная трудность состоит в том, что построенные 1штерполИру1ощи1фу„кщ,„
для каждого конечного элемента должны обеспечить непрерывность функции
ш (х, у, г) и се производных до т - 1-го порядка во всей области. Производные
ш-го порядка М01ут имен, Разрывы первого рода по граням стыковки смежных
конечных элементов (см. п. 1.2.3).
Выиолпе и* указанных выше 1 рсбовании ооеспечнваст сходимость решения
ПО МКЭ с точным при уменьшении размеров конечных элементов. Естественно, что
при выбранной геомс грин конечною элемента для обеспечения условий сходимости
необход ю ре пола1а1ь в и тсриол и реющей функции определенным минимумом
произвольных параметров. Дальнейшее увеличение числа произвольных пара-
метров в 1.1. ери лнрующей функции связано с появлением дополнительных
узловых । ензв т 1ых. В результате получаем так называемые высокоточные
конечные элементы.
Ниже при изложении вопроса построения интерполирующих функций,
последовательно рассматриваются одномерные, двухмерные н трехмерные задачи
2.1. Одномерная область. Пусть замкнутый интервал [0, /| изменения х
разбит внутренними точками
0 А0<Х1<Х2<" <Х,-1<**< • •<ХМ 1 С7-21)
па А1 замкнутых участков-элементов
[Х(), Л-,1. [V,, X,]...К*.!-*/..]- • • 1АЛ, (-*„] (|7-22)
Изменение искомой функции к.» (х) для /г-го элемента аппроксимируем полиномом
рЕ) (х) п-й степени
р^ (х) — V с^х1, (17.23)
X € [•*&--!> Л/г] — I, 2, . . /VI).
Непрерывность функции ш (х) и ее производных до т — Его порядка в интер-
вале 10, /) будет обеспечена, если степень каждого из полиномов (х) удовлетво
ряет зависимости
п+1>2т (17.24
и для определения непзвсс пых параметрова4- среди п -|- Его условия для каждого
/Его участка будут содержаться следующее 2т условия;
д1р^
дх*
(•'>-1) ~ —— Си*-г)’
дх1
д1р^
~д\1
/ х д'™ I \
о.\
(17.25)
(/ = О, 1, • . т — О-
Прпя-Ь 1 > 2/п недостающие для определения параметрона, условия состав-
ляются но аналогии с условиями (17.25), по для некоторых промежуточных узло-
вых точек.
Ниже приведены два примера построения интерполирующих полиномов для
простейших одномерных конечных элементов с расположением узловых точек по
ею концам. При этом степень полинома
п = 2т — 1.
(17.26)
Пример I. Для функции ьу (х) одномерной краевой задачи, описываемой
дифференциальным уравнением второго порядка (2т = 2), построить интерполи-
рующий полином для /г-го конечного элемента. Заметим, что уравнением такого
типа описываются некоторые задачи растяжения и кручения стержней.
Решение. Согласно равенству (17.26) степень полинома п = 2т — 1=1
н, следовательно, интерполирующий полином (17.23) запишутся в виде
Р{к) (х) = а0 + «1%.
(17.27)
Неизвестные параметры а/ определяются из условий (17.25), которые для
2т = 2 дают следующие два условия:
Отсюда
Р (х/г_1); р (хЛ) = ау (хЛ).
__ щ (хк„1) хк—и) (хк) хк_А .
0 - ^=^1 ’
Р(А) (х) = и>(хк_!) Хк ~ Л
— хк-1
Ш (Хк) — «У (Хк г)
Хк — *к-г
+ (хк)
х — Хк 1
Хк — Хк-1
(17.28)
Подставляя найденные значения а0 и в формулу (17.27), получаем следую-
щее выражение для интерполирующего полинома Л-го конечного элемента.
Пусть для определенности интервал изменения х (рис. 17.6, а) был разбит па
четыре конечных элемента. Тогда «склеивая» интерполирующие полиномы по
отдельным элементам, получаем аппроксимирующую функцию ш (х) для всей
области (рис. 17.6,6). Полученную функцию (х) можно представить в виде
суммы
4 4
& М = X' Р{к} (*) = 2' (*/) фг (*) (17.29)
Л=1 М
Отсюда видна отмеченная ранее «локальность» координатных функций (р, (х),
каждая из которых оказывается отличной от нуля лишь в области конечных
элементов, непосредственно примыкающих к данному узлу (рис. 17.6, в). Такое
свойство координатных функции в МКЭ позволяет как бы набирать искомое реше-
224
ние из отдельных «универсальных киппк
ч11Ков». Именно в этом причина больший'
ства положительных черт метода коцечХ'
элементов.
Пример 2. Для функции ш М
одномерной краевой задачи, описываемой
дифференциальным уравнением четвептпго
порядка (2т = 4), построить Интерпол™
рующни полином для конечного элемента
К этому классу задач относится задача из’
Рис. 17.7
гиба балок.
решение. Согласно равенству (17.26) в данном случае п — 2т — 1 = 3,
и интерполирующий полином будет иметь вид
Р (х) — а0 с^х + сс2х2 4- азх3.
(17.30)
Неизвестные параметры сс/ в выражении (17.30) определяются согласно
равенству (17.25) из следующих четырех условий (рис. 17.7):
р (0) — (0); р(а) = ю(а);
др /ох т\- дР ( \ \ (17.31)
1Г(°) = ^г(0). ~д7 (а)-
Введем для узловых значений функции (х) обозначения
ди)
ш (0) = Чх, (0) = <у2; и (а) = 93; (о) = <?4.
(17.32)
Положительные направления этих величин приведены на рис. 17.7. Внося выра
жение (17.30) в формулы (17.31) с учетом обозначений (17.32), находим
«1 = <71; «3 = (—3?! — 2 а 2а 4- З^3 — <?4а); '
сс2 = </2; С44 = -^-(2^4-^2а —2^34-^п).
(17.33)
Подставляя найденные значения параметров в выражение (17.30), получаем
для интерполирующего полинома элемента выражение вида
1=4
М = В (х)>
4=1
(17.34)
где
Л'г (х) = 1_зА- + 2^-;
л'з о)=з 4- -2 4- >
д ' а3 а3
. х2 . х3
(17.35)
— так называемые одномерные функции Эрмита, удовлетворяющие следующих
свойствам:
^(0)= 1; ]Ч{ (0) = 0; Л'1 (а) = 0; А ', (а) = 0; '
(0) = 0; Л4(0)= и Л'2 (а) = 0; Л;2 (О = 0; (17.36)
(0) = 0; (0) = 0; Л^(а) = 0;
(0) = 0; Л-' (0) = 0; Л'4 (а) = 0; ,У;(а)=1.
8 Бойцов Г. В. и др.
2.2. Двухмерная область. Ограничимся
построением интерполирующих полиномов
для прямоугольного и треугольного конеч-
ных элементов. Именно эти два простейших
конечных элемента наиболее часто исполь-
зуются при дискретизации двухмерных обла-
стей .
2.2.1. Прямоугольный э л е -
м с и т. Пусть некоторая двухмерная область
разбита на совокупность конечных прямо-
угольных элементов. Стороны каждого эле-
мента 1Д. (Л=Е 2, • А1) параллельны осям Ох
и Оу области V к-
Изменение искомой функции к? (.г, у) в об7>емс/г-го элемента представим в виде
полинома
п п
(х, у) = V У сщх1у],
1=0 /=0
(17.37)
который является простым произведением двух одномерных полиномов вида
(17.23).
Общее число неизвестных коэффициентов равно (п + I)2. Среди (/? + I)2
условий для определения коэффициентов а,/ полинома (17.37) должны присут-
ствовать 4т2 условий
дх^ду* {Х1' дх^ду»
1Л)
(17.38)
(а, 0 = 0, 1, 2, . . ., т— 1; 1=1, 2, 3, 4).
Только при этом получаемые аппроксимирующие функции р^ (х, у) обеспечат
непрерывность функции
Л1
™ (*> у) = X; (*> у)
/г=1
и ее производных до т — 1-го порядка во всей области V. Минимальное число
членов полинома (17.37) равно
№ — (п + I)2 = 4 т2.
(17.39)
Если же М = (я Ч- 1)2> 4т2, то 4т2 условий (17.38) необходимо дополнить
аналогичными условиями, но написанными для некоторых других узловых точек,
расположенных, например, посередине каждой стороны прямоугольного элемента
(рис. 17.8) — точки фр (22, <23 и ф4.
Приведем два примера построения интерполирующих полиномов для прямо-
угольного элемента с узловыми точками, расположенными в его углах.
Пример 3. Для функции ш (%, 11) двухмерной задачи, описываемой диффе-
ренциальным уравнением второго порядка (2т = 2), построить интерполирующий
полином для прямоугольника, изображенного на рис. 17.34.
Решение. Согласно формуле (17.39) число узловых неизвестных г =
4т2 = 4, показатель степени полинома (17.37) п = 2т— 1=1. Следова-
т?льно, интерполирующий полином будет иметь вид
р (х, у) = а0 + а10& + а011] + аи(-т] = а0 + + ед + аДт|. (17.40)
Неизвестные коэффициенты о/ определяются из условий (17.38), которые
в данном случае примут вид
₽(—I, —!) = «>(—1, —1) = <711 р(1, —1) = и»(1, —1) = ?2;
р(1, 1) = <73; р (—1, 1) = о>(—1, 1) = <?4.
(17.41)
После определения коэффициентов п, получаем для полинома ш (В,, и) конеч-
ного элемента выражение вида
1=4
«'(I. П)= I! (5, Ч), (17.42)
1 = 1
где
», (Е, „) _ ; «, ,Е. . ,11 + »<'-1> ;
'Ме.В- <'+Я('+1>; Л||Ь .„.Л^И' + п) . "’лз»
4 4
Пример 4. Требуется построить интерполирующий полином для функции
(х, у) в краевой задаче, описываемой дифференциальным уравнением четвертого
порядка (2т — 4).
Р е ш е н и е. Согласно формуле (17.39) число узловых неизвестных конечного
элемента — 4т? — 16, а показатель степени полинома (17.37) п — 2т — 1 = 3.
Следовательно, интерполирующий полином будет иметь вид
з з
Р (*> у) = X х- 1х У1 ~ а°° 4~ 4~ 4~ ^20^ 4- ^иху 4~ ^02У- 4-
1=0 /=0
4- сс30х3 4- а21х2*/ 4- а12ху- 4--р а33х3/Д (17.44)
Для определения 16 неизвестных коэффициентов в каждой из четырех
узловых точек прямоугольного элемента нужно составить четыре условия типа
(17.38)
др . . ди»
~д7<х‘’
др дш (17.454
(х,-. й) = ^-(х.-. л);
ч--Д (*/, У1) = (X/, У{) (I = 1, 2, 3, 4).
дх ду ' дхду ' )
Подстановка выражения (17,44) в равенства (17.45) приводит к получению
системы 16 алгебраических уравнений относительно коэффициентов а/у. Решение
этой системы позволяет выразить значения коэффициентов а,; через узловые
„ , , ди» дю д-и»
значения искомой функции и» (х, у) и ее производных ——, ~ду~} дх ду *
которые в МКЭ принимаются в качестве основных неизвестных. Внося найденные
значения в полином (17.44), получаем окончательное выражение для интерпо-
лирующего полинома-
2.2.2. Треугольный э л е м е и т. Пусть некоторая двухмерная
область V разбита на совокупность треугольных конечных элементов \'ъ (к =
= 1,2, ..., Л1). Изменение искомой функции и» (х, у) в объеме /г-го элемента ищется
в виде полинома
(х, у) = V V <х^х1у^, (17 46)
$=0 Г+/=5
Здесь для каждого 5, пробегающего последовательно значения 0, 1, .,
суммируются все члены, для которых сумма показателей степеней I и / равна
т. е. /4~ / — 5.
Число коэффициентов в полиноме (17.46) определяется зависимостью
// = ?у1+21. (17 47>
Использование степенных полиномов (17.46)
может обеспечить получение аппроксимиру-
ющей функции ш (х, у) непрерывно дифферен-
цируемой до т — 1-го порядка во всей об-
ласти V, если степень полинома п удовлетво-
ряет условию
("+ЩЯ + 2) 8тг _ 6т _|_ 1. (17<48)
Для определения коэффициентов поли-
нома (17.46) составляется необходимое число
условий, обеспечивающих в заранее выбран-
ных узловых точках равенство значений поли-
нома, значений искомой функции оу (х, у) и неко-
торых их производных.
Обычно в качестве узловых точек для треугольного элемента (рис. 17.9)
выбирают три его вершины (точки Рь Р2, ^з)» центр тяжести (Ро) и по несколько
{в зависимости от потребности) точек, расположенных по сторонам треугольника
{точки С}}, ^3, •••).
Тогда в соответствии с формулой (17.48) при /п = 1 полином (17.46) может
содержать лишь три коэффициента аФ для определения которых достаточно
в каждой из вершин потребовать выполнения
р(Р/-)=:^(Р1) (/ = 1,2,3).
Значения ш (Р/) принимаются за основные неизвестные.
При т = 2 полином (17.46) содержит уже 21 коэффициента^. Набрать
необходимое 21 условие для определения а<р можно различными путями, каждый
из которых приводит к определенной совокупности узловых неизвестных конеч-
ного элемента. Вот некоторые из возможных вариантов задания узловых неиз-
вестных:
0)№(Л); ^(^);
д-и>
(Рс) и
д-цу
дх ду
(Р.)
для каждой вершины треугольного элемента. В результате получаем 18 неизвест-
ных. В качестве оставшихся трех неизвестных можно принять либо значения
дю п п п г дю дю
производной по нормали в точках Ц2, С/3, либо значения ю, и ~
в точке Ро;
б) ю, и в точках Р1у Р2, Р3, и Ро.
2.3. Пространственная область. Ограничимся построением интерполирую-
щих полиномов для прямоугольного параллелепипеда и элементарного тетраэдра,
поскольку именно эти два простейших элемента наиболее часто используются при
идеализации пространственных областей.
2.3.1. Прямоугольный параллелепипед. Пусть некоторая
пространственная область V с помощью течений, параллельных координатным
плоскостям, разбита па совокупность параллелепипедов И/г (/г — 1, 2, 3, ..., М).
Изменение искомой функции ш (х, у, г) в объеме /?-го элемента можно пред-
ставить в виде полинома
п п п
Р(к) (*. у, г) = 2 2 2 а,/5х‘Уг5,
/=0 /=о <;=о
(17.49)
получаемого простым перемножением одномерных степенных полиномов (17 23)
соответственно по направлениям х, у, 2.
Минимальное число членов полинома (17.49), при котором оказываются
выполненными условия сходимости метода, равно
#тш = (и + I)3 = 8т3. (17.50)
При этом значения коэффициентов определяются из следующих 8т3
условий (см. рис. 17.10):
а/(х‘’ У1’ г‘}= (х‘’ у‘’ г,}
(а, р, у = 0, 1, 2,...» т — 1; 1 = 1, 2,..8).
(17.51)
Если же Л’ > 8т3, то для определения значений коэффициентов условие
(17.51) следует дополнить аналогичными условиями для других узловых точек,
расположенных, например, в центре каждой грани прямоугольного параллелепи-
педа (рис. 17.10).
Пример 5. Для функции о» (^, П, О трехмерной краевой задачи, описы-
ваемой дифференциальным уравнением второго порядка (2т = 2), построить
интерполирующий полином для прямоугольного параллелепипеда (рис. 17.38).
Решение. Согласно выражению (17.50) число узловых неизвестных
Л^тш— ~ показатель степени полинома (17.49) п = 2т — 1 = 1. Следова-
тельно, интерполирующий полином имеет вид
Р (%» О — а000 + а100^ 4~ ^ОЮЛ 4" а001^ + а110^Л 4-
4" аю1К 4" «ои< 4-
(17.52)
Неизвестные коэффициенты а^5 определяются из условий (17.51), которые
в рассматриваемом случае примут вид
Р (—1, -1, 1) = ю(-1, -1, 1) = ^; '
р(-1, -1, —1) = щ(—1, -1, -1) = </5:
р(—1, 1, 1) = и>(— 1, 1, 1) = д2;
р(-1, 1, -1) = щ(-1, 1, -1) = дв;
р(1. 1. 1) = к>(1, 1, 1) = %;
р(1, 1. -1) = ®(1, 1, -) = <ь;
р(1, -1, 1) = и>(1,—1, 1) = ?4;
Р (1, -1, -1) = и>(1, -1, -1) = 9в-
Окончательное выражение для искомого интерполирующего полинома
»=8
Р& П. □ = Г <7^1 (6. >1. ?).
1=1
где
; /Уг = 1(1-|)(14-п)(1+У; '
О о
4О + В(1 + Ч><! + В: -11•
л'6 = 4-(1-5)(1-п)(1-5); л;« = 4-(1-Ш1-Н1)(>-?); '
о о
О о .
(17.54)
(17.55)
Рис. 17.10
Рис. 17.11
2.3.2. Тетраэдр. На сегодня не су ществует общей теории интерполирую-
щих полиномов для конечного элемента в форме тетраэдра. Поэтому мы ограни-
чимся лишь записью некоторых степенных полиномов, которые могут быть исполь-
зованы при решении ряда практических задач.
Введем обозначения. Р3, Р2, Рз, Р* — вершины тетраэдра; ..., —
середины ребер тетраэдра; Р1} Я2, Р-1 — центры тяжести граней тетраэдра
(рис. 17.11).
Линейный полином
Р1 (х, у, г) = -г а2г + сс3у 4- а4? (17.56)
определяется в тетраэдре через значения
Р1(Л’) (1= 1,2, 3,4).
Полином второй степени
р2 (х, у, 2) == рг (х, у, 2) + авх2 4- аву2 4- а7г2 4- а8ху 4- а9хг 4- а10#г (17.57»
определяется через значения
р2(Р() (1 = 1, 2, 3, 4); р^) (/ = 1, 2,...,6).
Кубический полином
Рз (*, у, 2) = р2 (х, у, г) 4- апх3 4- а12г/3 4- а13г3 4- а14х~у 4-
-Ь «15х!/2 + 4- акхг2 4- а18у2г 4- а19//г2 4- а20хуг (17.58)— (17.63)
определяется через значения
Рз (Р.У (Р.У- (Р.У (Р.) (« = 1. 2, 3, 4); р3 (К,) (! = 1.2, 3, 4).
Использование приведенных выше полиномов приводит к построению интер-
полирующих функций, которые обеспечивают условия сходимости решения но
методу конечных элементов для краевых задач, описываемых дифференциальными
уравнениями второго порядка. В отдельных случаях полином 3-й степени может
обеспечить сходимость решения и для краевых задач, описываемых дифферен-
циальными уравнениями четвертого порядка.
§ 3. Метод конечных элементов в задачах теории
упругости и строительной механики
3.1. Вводные замечания. В § 1 настоящей главы изложены основы метода
конечных элементов для решения краевых задач механики сплошных сред, в том
числе и деформируемых сред. И все же наличие в теории упругости и строп гельвой
механике определенной специфики позволяет придать многим вычислительным
операциям ясный физический смысл.
3.2. Основные разновидности МКЭ. Система взаимосвязанных между собой
элементов статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости
можно прибегнуть к одному из двух основных методов строительной механики —
методу перемещений или методу сил. В первом случае получаем МКЭ в варианте
метода перемещении, а во втором — МКЭ в варианте метода сил.
3.2.1. М е т о д п е р е м е щ е н и й. За основные неизвестные принимаются
перемещения узловых точек. Для определения этих неизвестных составляется
необходимое число уравнений равновесия узловых точек. Узловые усилия, кото-
рые войдут в эти уравнения, исключаются с помощью матриц жесткости. В резуль-
тате получаем систему неоднородных алгебраических уравнений для определения
основных неизвестных — узловых перемещений.
3.2 2. Метод си л. За основные неизвестные принимаются узловые усилия
взаимодействия между элементами в узловых точках. Для их определения состав-
ляются уравнения совместности перемещений в узловых точках. Компоненты
узловых перемещений затем выражаются через узловые усилия. В результате
получаем систему алгебраических уравнений для определения основных неизвест-
ных — узловых усилий.
Как правило, порядок системы уравнений в методе сил оказывается выше,
чем в методе перемещений. В этом кроется одна из основных причин того, что
сегодня при расчете инженерных сооружений преимущественно используется
МКЭ в варианте метода перемещений. Этому варианту МКЭ ниже уделяется основ-
ное внимание Однако заметим, что в последние годы завоевывает все большую
популярность и смешанный метод, в котором часть неизвестных является переме-
щениями, а другая часть — узловыми усилиями взаимодействия.
§ 4. Матрица жесткости и вектор узловых
внешних нагрузок
4.1. Матрица жесткости. При использовании метода перемещений за основ-
ные неизвестные принимаются компоненты перемещения узловых точек. Наличие
связи между конечными элементами вызывает в узловых точках усилия взаимодей-
ствия. Каждый конечный элемент оказывается загруженным этими усилиями
= ... которые по отношению к рассматриваемому 1-му
элементу являются внешней нагрузкой.
Вектор усилий как и вектор перемещений {7}<4) ~ {7172 ••• 7г}<х)»
однозначно определяют напряженно-деформированное состояние элемента. При
этом предполагается, что внешние нагрузки, действующие непосредственно на
данный элемент, заменяются приложенными в узловых точках сосредоточенными
усилиями, эквивалентными по своему действию заданной нагрузке. Эти сосредото-
ченные узловые усилия учитываются при составлении уравнений равновесия
в узлах.
Между векторами {Р}(1) и существует определенная связь
{«}<*) = [К]»> (17.64)
где [К]^— есть матрица, встречавшаяся ранее в § 1. Ее коэффициенты опреде-
ляют упругие свойства элемента.
Для определения матрицы жесткости 1-го элемента как правило,
используется вариационный способ, причем в форме, которая позволяет раздельно
определять для каждого элемента матрицу жесткости и вектор внешних
эквивалентных усилий {Р)^.
Пусть имеется произвольный объемный элемент, для которого выоран вектор
узловых неизвестных {7} = (7172 ... 7г} 11 Для каждого компонента перемещения
и, V, IV построены соответствующие интерполирующие полиномы
ц = |/У]ц{7); ц = [Л/’к{7); ьу = [Л’]о){7}
или для 1-го элемента
{{/)<<> = [^(0 (17.65}
где
(У} = {нош); [ЛГ] = ЦП, |ЛМЛ%1
— прямоугольная матрица размером ЗХг, элементы которой зависят от положе-
ния рассматриваемой точки.
Используя далее геометрические соотношения и физический закон для мате-
риала, получаем выражение для компонентов деформации (е) и напряжения {о}
/го элемента
(17.66)
{о)<« = [5о]<'> {?}<‘>. (17.67)
где [29], [Еа] — некоторые прямоугольные матрицы, элементы которых в общем
случае зависят от координат положения рассматриваемой точки и значений компо-
нентов вектора {<?}. Элементы матрицы [До ] дополнительно зависят от параметров,
которыми характеризуются упругие свойства материала тела в пределах объема-
рассматриваемого конечного элемента.
Если выражения (17.65) удовлетворяют всем условиям п. 1.2.3, то для опре-
деления матрицы жесткости можно воспользоваться математической формулиров-
кой принципа возможных перемещений в форме [можно получить непосредственно
из (15.2)]
!8?}г {/?)=[ {бе)г{сг) (17.68)
V
Отсюда, если предварительно определить с помощью зависимости (17.66) вариацию
{бе} = [Я*] {6*7} (17.69)
и учесть выражения (17.66) и (17.64), получим формулу для определения матриць?
жесткости конечного элемента
[К] = | р*]т[Еа] (IV. (17.70)
V
Элементы матрицы [О*] определяются из зависимости
г
к=\
где (1ц —элементы матрицы [29]. Для геометрически линейной задачи [29*] =
= [Я].
При выводе формулы (17.70) не вводились какие-либо ограничения, касаю-
щиеся формы конечного элемента, поэтому полученное выражение для матрицы
жесткости может быть использовано для самых разнообразных форм конечного
элемента. Матрица [/<] является квадратной; ее порядок равен числу степеней
свободы рассматриваемого конечного элемента.
Для линейной упругой системы общее выражение для потенциальной энер-
гии можно представить в виде
П = {?) (17.71)
или в развернутом виде
г г
п=-г22^‘7а’ (|7-72)
1=1 Л=1
• В целях упрощения записи I — порядковый номер элемента — в дальнейшем
опущен.
где — элементы матрицы жесткости:
(К] = [*(4]. (17.73)
Отсюда следует, что для получения матрицы жесткости линейной системы
достаточно располагать выражением для потенциальной энергии конечного эле-
мента в форме (17.72).
4.2. Вектор узловых внешних нагрузок. В методе конечных элементов внеш-
ние распределенные на элемент воздействия: объемные силы {/V} {ХУ7},
поверхностные силы {/%} = {ХуУуХу}, начальные деформации {в0} = ...
Ууг\ и т. п. заменяются эквивалентными узловыми величинами:
•от действия объемных сил интенсивностью {Гу}
(Ру) = | (.VI7’ (Гу) ау; (17.74)
V
от действия поверхностных сил интенсивностью {Гу}
{Р„)= |^]7'{Гг,} <18; (17.75)
5
от наличия начального деформированного состояния {в0}
[^еКе’НК (17.76)
V
где матрицы [ V], ] и [Ее] определяются на основании зависимостей (17.65),
(17.67) и (17.69).
Таким образом, в общем случае при составлении уравнения равновесия
/-го узла в МКЭ вместо действительной узловой силы {Р}^ (если таковая имеется)
следует внести величину
1^},= {Р)г+Е {р^ + р^ + р^.
к
(17-77)
Здесь суммирование производится по всем /г-м конечным элементам, сходя-
щимся в /-м узле.
Заметим, что при учете начальных деформаций компоненты напряжений
{о} в каждом элементе определяются из зависимости
{а} ^[Ее] {г_ео}. (17.78)
Если размер конечных элементов достаточно мал по сравнению с габаритами
целой конструкции, то при определении эквивалентных узловых нагрузок вместо
зависимостей (17.74)—(17.76) можно использовать более простые зависимости,
основанные на ряде упрощающих допущений: равномерности распределения
внешней нагрузки по поверхности или объему конечного элемента, приложение
равнодействующей внешней нагрузки в центре тяжести элемента, пренебрежение
моментными составляющими в векторе эквивалентных узловых внешних нагрузок
и т. п.
§ 5. Преобразование матрицы жесткости и вектора
узловых нагрузок при повороте координатных осей
В практических расчетах, как правило, используются готовые полученные
ранее матрицы жесткости для отдельных типовых элементов конструкции. Может
оказаться, что местная система координат ху у, г элемента не совпадает с общей
системой координат для конструкции х, у, 2. В результате возникает необходи-
мость в получении выражения матрицы жесткости и вектора узловых усилий
элемента в общей системе координат.
Если связь между местной и общей системами координат известна
М = [/] {*}. (17.79)
[/] — матрица направляющих косинусов; //; — соз (Х[, х^; /, 1=1, 2, 3, то
легко установить связь между векторами узловых перемещений в местной и
общей системах координат
{?} = 1Л {<?}. (17.80)
Тогда матрица жесткости и вектор внешних узловых нагрузок конечного
элемента в общей системе координат определятся соответственно по формулам
[К] = [ТУ [К] [7]; (17.81)
{Р) = (7’]т {Р). (17.82)—(17.84)
§ 6. Простейшие типы конечных элементов
Приведем наиболее характерные типы конечных элементов, употребляемых
в МКЭ в варианте метода перемещений для расчета различных конструкций.
Элемент стержня, работающего е условиях одноосного напряженного состояния
на растяжение-сжатие (рис. 17.12). В каждом торцевом сечении вводится по од-
ному реактивному осевому усилию. Число степеней свободы и порядок его матрицы
жесткости (МЖ) равны 2.
Элемент стержня, работающий на растяжение-сжатие в осевом направлении^
на скручивание и изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 17.13).
В каждом торцевом сечении элемента вводятся две перерезывающие силы, осевая
сила, два изгибающих момента и скручивающий момент. Число степеней свободы
конечного элемента и порядок его матрицы жесткости равны 12.
Плоский треугольный элемент пластины при рассмотрении плоской задачи
теории упругости (рис. 17. И). В каждом узле вводится два реактивных усилия.
Порядок матрицы жесткости равен 6.
П рячоугольный плоский элемент пластины при рассмотрении плоской задачи
(рис. 17.1^). Общее число узловых усилий и порядок матрицы жесткости равен 8.
Тетраэдр (рис. 17.16). Конечный элемент такой формы используется при
решении объемной задачи теории упругости. Порядок матрицы жесткости опре-
деляется общим числом неизвестных
реактивных узловых усилий и, сле-
довательно, равен 12.
Плоский прямоугольный элемент
' задачах жестких пластин (рис. 17.17).
В каждой из четырех узловых точек
вводится два узловых изгибающих
момента и одно перпендикулярное к
плоскости пластины усилие. Общее
число реактивных усилий, которым
и определяется порядок матрицы же-
сткости, равно 12.
Рис. 17.13
Рис. 17.12
Треуго1ьный элемент произвольной оболочки (рис. 17.18). В каждой узловой
точке вводятся три усилия и три момента. Общее число неизвестных узловых
усилив, как и порядок матрицы жесткости, равен 18.
§ 7. Элемент балки
Ниже для ряда призматических элементов, используемых при расчете стерж-
невых систем по МКЭ, приведены необходимые формулы для вычисления матриц
жесткости, вектора узловых внешних нагрузок, зависимости для перехода от
местной к общей системе координат.
7.1. Призматический элемент, работающий на растяжение-сжатие. 7.1.1. М а-
трица жесткости. Элемент, изображенный на рис. 17.12, загружен уси-
лиями взаимодействия со смежными элементами {/?} = Вектор {/?}
связан зависимостью (17.64) с вектором узловых перемещений {д} —
Положительные направления компонентов векторов {/?} и {д} приведены на
рис. 17.12. Для одномерной краевой задачи второго порядка (2т — 2) выбор
интерполирующего полинома для искомой неизвестной функции (в нашем случае
для продольного перемещения точек оси элемента и (х)) был подробно рассмотрен
б п. 17.2.1 (пример 1). На основании (17.28)
и (х) — д^г (х) 4- д2\т2 (%), (17.85)
где
^(х)=1---------Л'2(Х) = -^- (17.86)
— одномерные функции Эрмита для краевой задачи 2-го порядка.
Потенциальная энергия растяжения-сжатия элемента
а 2 2
ПР = 2- } ЕР (х) [»' (Х)р (1х = 4" XX к‘кЯ‘Чк- (17 87)
О 1=Л=!
где
а
к1к = ЕР | ЛГ. (х) Кк (х) ах
О
(17.88)
и есть [см (17 73)] элементы искомой матрицы жесткости конечного элемента
кь = [*/Л
Матрица [АГ]р связывает узловые усилия {/?}Р и узловые перемещения {Др
{/?}р — [7С]р {^}р-
(17.89)
Индекс «р» указывает на связь данной величины с деформациями растяжения-
сжатия элемента.
В резвернутой форме зависимость (17.89) запишется так:
__ Ер Г 1 “ Ч /Я1
^?г/р а . —“1 1_р 1^2
(17.90)
р
7.1.2. Вектор узловых нагрузок. Для определения эквивалент-
ных узловых усилий {/>} следует воспользоваться формулой (17.74), которая для
рассматриваемого случая примет вид
{Р} = { [^(х)^(х)]тр(х)ах, (17.91)
о
где р (х) — интенсивность продольной осевой внешней нагрузки для элемента-
стержня.
Отсюда получаем следующую формулу для определения гго элемента ма-
трицы {?}:
Рг = | Р (X) К; (х) ах (1 = 1,2). (17.92)
о
Для р (х) = р0 — соп$1
{Р}р = ^1 {1, 1); (17.93).
для р (х) = р0
{Р)р = -^ {1, 2}. (17.94)
7.1.3. Преобразование матрицы жесткости и век-
тора эквивалентных узловых нагрузок при переходе
к общей системе координат. Преобразование полученной матрицы
жесткости при переходе к общей системе координат х, у, г осуществляется с по-
мощью зависимости (17.81)
(Ч = Ц# [К]р [Г]р> (17.95)
где
Г[/]Р 0 ]
^Р 0 > Мр [^хх^ху^хг]' (17.96)
_ Полненная матрица [ЛГ] осуществляет связь между вектором узловых усилий
{/?}р ~ {РхР2 ••• и вектором узловых перемещений {о}Р = {д^ ... дв} в общей
системе координат.
_ Вектор эквивалентных узловых внешних усилий в общей системе координат
{Р}1> определяется с помощью зависимости
Р1р = 1Лр {Г}р. (17.97).
Нумерация и положительные направле-
ния узловых усилий и перемещений
в общей системе координат показаны на
рис. 17.19.
7.2. Призматический элемент, работа-
ющий на чистое кручение. 7.2.1. Ма-
трица жесткости. Нумерация и по-
ложительные направления узловых усилий
(крутящие моменты) и узловых перемеще-
ний (углы закручивания) приведены на
рис. 17.20. Здесь вектором с двумя стрел-
ками указано положительное направление
поворота, связанное с движением штопора
в направлении вектора.
По аналогии с зависимостью (17.90)
для случая чистого кручения связь между
узловыми крутящими моментами и узлами
закручивания запишется в виде
О = №(0»
(17.98)
где 6/к — жесткость стержня при чистом кручении. Индекс «к» указывает на
связь рассматриваемых величин с деформацией кручения.
7.2.2. Вектор узловых нагрузок. Их значения можно получить
по формуле (17.92), если вместо р (х) внести интенсивность крутящего момента
т (х). В результате получим:
при т (х) = т0 = сопз1
{Р}к = ^{1, 1}; (17.99)
при Т(х) ==т0-~
= 2). (17.100)
7.2.3. Преобразование матрицы жесткости и век-
тора узловых нагрузок при переходе к о б^Щ ей системе
координат. Преобразование матрицы жесткости [7<]к и вектора эквивалент-
ных узловых усилий {Рр} при переходе к общей системе координат х, у, х осу-
ществляется с помощью зависимостей, аналогичных соответственно формулам
(17.95) и (17.96).
7.3. Призматический элемент балки, работающий на изгиб в одной плоскости.
Ось х совмещена с осью балки, а оси у и г — с главными центральными осями
инерции поперечного сечения. Рассматривается изгиб элемента^балки в плоскости
ху (рис. 17.21).
7.3.1. Матрица жесткости. Элемент загружен усилиями взаимо-
действия со смежными элементами {Р} = {Р1₽2^Л}. Вектор {/?} связан зави-
симостью (17.64) с вектором узловых перемещений {д} — {д^д^з^}- Положитель-
ные направления компонентов векторов {/?} и {д} приведены на рис. 17.21.
Для рассматриваемой одномерной краевой задачи выбор функции прогиба
^интерполирующего полинома) V (х) был рассмотрен в п. 3.1 (пример 2). На осно-
вании (17.34)
и(х) = V 9,.у. (х), (17.101)
1=1
где Л’, (х)— функции Эрмита, определяемые по формулам (17.35).
Потенциальная энергия изгиба элемента
а 4 4
п=4-1е' м [а" ах=т 2 X
0 1—1 Л=1
где
к.к—Е1 | V' (х) /V" (х) дх (г, к = 1, 2, 3, 4) (17.102)
о
и есть [см. (17.73)] элементы искомой матрицы жесткости конечного элемента,
которая связывает узловые усилия {/?} и узловые перемещения элемента {д}
{7?)и = [/<]и {<?}«
(17.103)
В развернутой форме зависимость (17.103) запишется так:
(17.104)
Индекс «им указывает на связь данной величины с изгибными деформациями
элемента.
7.3.2. Вектор узловых нагрузок. Для определения эквивалент-
ных узловых усилий {Р}и следует воспользоваться формулой (17.74). В результате
получим
а
Я (х) (х) дх (1 = 1,2, 3,4). (17.105)
о
Отсюда для д (х) = д0 = сопз1
( Р\ /1 а т О- ) . /1-71 ОЛ\
I* 2 [У* 6*1* б/’ (17.106)
для д (х) = д0
(пх _ № (о 2 1
20 V’ 3 а' 7* )
(17.107)
7.3.3. Преобр азование
матрицы жесткости и
вектора узловых нагру-
зок при переходе к об-
щей системе координат.
Рис. 17 22
Значения матрицы жесткости [?С]Н и вектора эквивалентных усилий {Р)и в об-
щей системе координат хуг определяются с помощью зависимостей
где
[Ли-
1Ю„ = [7]^ [/<)„ [Т]и,
(17.108)»
Ни Г
^ух 1уу
0 0
0‘ .
1 ’
(17.109)
Нумерация и положительные направления элементов вектора перемещений
{ди}, векторов усилий {Р)и и {Р}п показаны на рис. 17.22.
7.4. Элемент стержня, работающий на изгиб, растяжение-сжатие и кручение.
На элемент стержня длиной а, жесткостью на изгиб Е1У и Е1г (соответственно
в плоскостях ху и хг), на растяжение ЕЕ и кручение 6/к действуют поперечная
нагрузка интенсивностью ду (х) и дг (х) (соответственно в направлении осей у и г),
продольная нагрузка интенсивностью р (х) и крутящий момент интенсивностью
т (х).
7.4.1. Матрица жесткости. Если заданные внешние усилия при-
вести к 5злам, то положение элемента стержня однозначно определяется заданием
12 узловых перемещений: трех поступательных перемещений для каждого узла
соответственно в направлении осей х, у, г и трех углов поворота каждого из узло-
вых сечений вокруг этих же осей.
Для узловых перемещений и узловых усилий, нумерация и положительные
направления которых показаны на рис. 17.23, ниже приведено уравнение связи
(17.110) между вектором узловых усилий {/?} — ••• #1-»} и вектором узло-
вых перемещений {д} — {д^ ... </12)
4Е7
Заметим, что принятая здесь нумерация для перемещений и усилий является
наиболее удобной, если возникает необходимость преобразования матрицы жест-
кости при переходе к другой системе координат.
7,4.2. Вектор узл ов ы х нагрузок. Если интенсивности внешних
нагрузок постоянны, ду = дуг дг — дг, р (х) = р0, т (х) = т0, то вектор экви-
валентных узловых усилий примет вид
р, _ [ Ро« ?°а ’га т„а <?г° ф'
I 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 12“’ “12“’
Роа чуа ^га тоа
2 ’ 2 ’ 2 ’ ~12-’--------12Г (17111)
Если интенсивности внешних нагрузок изменяются по линейному закону:
о х п 9 X ___ X
с1у~Чу~^> Р \х) ~ Ро~> т (х) — т0 —, то вектор эквивалентных
узловых усилий запишется так:
„ _/Роа 3<?°а V ч’а2
I 6 ’ 20 ’ 20 ’ 6 ’ 30 ’
ф2 Ро« 7<?°а 7<?«а тоа 4°^
30 ’ 3 ’ 20 ’ 20 * 3 ’ 20 ’ 20 )* 1/‘
7.4.3. Преобразование матрицы жесткости и век-
тора узловых нагрузок при переходе к общей си-
стеме координат. Преобразование матрицы жесткости [К] и вектора
эквиватентпых узловых усилий {Р} при переходе к общей системе координат
хуг выполняется с помощью зависимостей
[Х] = Г17[/<] [Т|;
(Р) = 1Т]Г(Р) [Т],
(17.ЦЗ)
(17 114)
где матрица преобразования [Г] имеет вид
(17.Ц5)
I- I -I -
XX ху XX.
I -I -I _
ух уу уг
I -I -I -
XX гу 22
(17.116)
— матрица ориентации местной системы координат хуг относительно общей си-
стемы хуг. Заметим, что в общей системе координат хуг принят тот же порядок
нумерации и те же направления для положительных узловых перемещений (уси-
лий), чго и в местной системе координат (рис. 17.24),
Значения направляющих косинусов в (17.116) определяются через значения
координат концов элемента стержня в общей системе координат
, У}~У1 . 1 ^1-^1
1\х — а ’ хй а ’ Х2 а 9
а = К (х/ — Х/У2 + (у; — у,) + (г, — г,)2
иде
— длина элемента стержня.
Оставшиеся шесть направляющих косинусов в матрице [/] находятся из
гзвестных тригонометрических соотношений
/2 /2 _ -4- _ = 1; /2 —I- 1~ _ Д- /2 _ — ।
ух I уу Т уг гх “ гу • хг *»
I л _ 4-1 .1 _ 4-1 _/ _ = 0;
хх ух • ху уу * хг ух ’
^хх^хх 4” ^ху^ху 4" ^хх^хх
дополненных информацией о расположении главных центральных осей инерции
сечения элемента: 1гу = соз Р; I д = соз у.
Углы Р и у показаны на рис. 17.25.
7.5. Элемент балки, работающий на изгиб и сдвиг в одной плоскости. В ка-
честве узловых перемещений принимаются суммарные (изгибная плюс сдвиговая
составляющие) прогибы (^1? д3) и углы поворота поперечных сечений (д2, д4) по
концам элемента. Нумерация узловых перемещений (усилий) и их положительные
направления указаны на рис. 17.21. Связь между вектором усилий {/?} и вектором
перемещений {д} имеет вид
С(о — приведенная жесткость элемента на сдвиг.
о
где р = —у
шоп-
Для определения эквивалентных узловых усилий можно воспользоваться
зависимостями п. 7.3.2. Значения матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок
в общей системе координат определяются с помощью формул п. 7.3.3.
7.6. Элемент балки, лежащий на упругом основании и работающий на изгиб
в одной плоскости (рис. 17.26). Для учета упругого основания матрица элемента
[см. (17.104)].дополняется матрицей упругого основания [С], элементы которой
определяются зависимостью
к —'С
а
1 Л\- (х) А'(х) с1х (I, /г = 1, 2, 3, 4).
где с — интенсивность жесткости упругого основания.
Матрица [С] имеет следующий вид:
(17.118)
Связь между' узловыми усилиями и переме-
щениями
{/?) {д}. (17.119)
7.7. Сложный изгиб элемента балки. С уче-
том влияния осевой растягивающей силы '.Т по-
тенциальная энергия элемента при сложном из-
гибе запишется в виде
а а
П = А Е1 | [V" (х)]2 Л+ 4 I (у' <ЛЛ2 дк'
Рис. 17.26 о о
(17.120)
или, если воспользоваться выражением для упругой линии г (х) из (17 101),.
4 4
п=4- 2 2 +9А’
1=1 /?=1
где к,^—элементы матрицы жесткости [/<] балки при работе
(17.10$);
(17.121)
на изгиб (см.
а
5..=Т I
0
— элементы так называемой геометрической матрицы [5 ]
6
5а
10
6
5а
1
10
2а
15
1
10
а
30
[5] = 7
(17.122)
Симметрично
6
5а
10
2а
15
Связь между узловыми усилиями {7?} и узловыми перемещениями {д}
в виде
(«}=[/< + 5] (?)
запишется
(17.123)
Нумерация и положительные направления узловых усилий (перемещений)
соответствуют приведенным на рис. 17.21.
Матрица [/С ~Ь 5 ] используется при решении задач сложного изгиба и устой-
чивости стержней и стержневых систем. Заметим, что для определения эквивалент-
ных внешних нагрузок и матриц жесткости в общей системе координат для эле-
ментов, рассмотренных в п. 7.5, 7.6 и 7.7, можно воспользоваться зависимостями
л. 7.3.2 и 7.3.3.
7.8. Стесненное кручение элемента стержня. Потенциальная энергия тонко-
стенного стержня с учетом депланации поперечного сечения при кручении
1 Г
~ [Ф* (*)]2 <1х -]—Г 61 к [ф' (х)]2 Дху
О о
(17.124-
где "О (х) угол закручивания; — секториальный момент инерции’ //.—
момент инерции чистого кручения.
Используя (17.124), можно получить выражение для матрицы жесткости
[К]деп элемен а стержня при стесненном кручении, а следовательно, и установить
связь между узловыми усилиями и перемещениями
{^}деп — 1^]деи {$}>
(17.125
где
{Я}деп —{Мк (0)В(0) Мк(а)В(а)};
{д} = {$(0)Г (0) а (а) (а)}.
1^]деп ~
126/ю 66/к а3 1 5а 677^ . Ык а* "Г' 10 12е/ю а3 5а । ^7к а* + 10
. 261 ка а 1 15 61к а? 10 2Е/№ 61 ка а 30
Симметрично 12Е/Ю ,66/* а3 5а а2 10
ЬЕ1^ 261 ка а + 15
(17.126
Мк (х) — крутящий момент; В (х) — бимомент.
§ 8. К вопросу составления общей системы уравнений МКЭ
Составление общей системы уравнений МКЭ (17.18), по существу, сводится
к определению матрицы [/<*] (17.19) и вектора узловых внешних нагрузок {7}
(17.20).
Логическая матрица [И], осуществляющая взаимосвязь между вектором
неизвестных в местной , д] и общей системах координат, имеет, как правило,
большую размерность, что влечет за собой необходимость большого числа единиц
оперативной памяти машины для хранения и перемножения матриц в соответствии
с зависимостями (17.19) и (17.20). С целью лучшего пояснения содержания матрицы
[Я] ее значения для плоской рамы, изображенной на рис. 17 27, выписаны ниже
[см. (17.128)]. Заметим, что в пустых клетках матрицы предполагаются нулевые
элементы. Начало местной системы координат для каждого элемента рамы распо-
лагается в узле с меньшим номером. Направления осей местной и общей систем
координат совпадают.
Рис. 17.27
Известен способ сокращения порядка перемножаемых матриц в (17.19) и
^17.20) путем применения блочной формы их записи, в соответствии с которой
и*] = [Я]г[Кд] [Щ =
= [(Я],Г [Я]’’...
[К](1> [0] ... [0]
[0]Й]<2> ... [0]
[0][0] ...(К]<Л,)
= [Я)/;
/=1
' 1^11
[^2
. • / =
ч )
(17.127)
/=М
{Г} = [Я]Г{Р}= [Н]Т(Р}^-
/=1
При таком подходе появляется также возможность формировать матрицы
[/<*] и {Е} последовательными частями, используя для этой цели соответствую-
щую группу матриц [/7]у, [К] и {Р}(/). Это позволяет дополнительно сократить
объем необходимой для расчета конструкции оперативной памяти. И все же для
конструкций, которые разбиваются на большое число элементов, указанные выше
мероприятия не приводят к удовлетворительным результатам, так как матрицы
содержащие большое число нулей, являются весьма неэкономичной формой
представления информации. Более компактно эта информация выписывается
в виде так называемой матрицы индексов, которая вместе с тем позволяет сравни-
тельно легко выписать элементы матрицы [Д'* ] и вектора {Г}. Приведем для
примера матрицу индексов стержневой рамы (рис. 17.27, а):
№ стержней Индексы узловых перемещений
1 1 2 1 3 4 5 1 6
Индексы перемещений узловых точек (г /)
1 0 0 3 4 5 6
2 4 5 6 7 8 9
3 0 11 12 7 8 9
4 0 0 3 0 11 12
Яг
4з
Яа
Яь
4 5 )
^1(2)
42
*7з
' 41
4ъ
I
1
1
I
1
1
I
1(3)
41
42
4з
4*
4ь
^6
41
42
I 4з
41
4ь
4 с
1(4)
1
1
1
(17.128)
Каждая строка матрицы индексов показывает для /-го элемента, какие неизвест-
ные из общей системы приложены к его узлам. Причем их расположение в строке
соответствует принятому порядку узловых перемещений элемента (рис. 17.27, б).
Если в силу наложенных па систему кинематических связей те или иные
перемещения узловых точек рамы равны нулю ((^ = 0_2 = ф1П = 0), то в соответ-
ствующие ячейки следует занести нули.
Из определения матрицы жесткости вытекает, что произвольный элемент к^
общей матрицы жесткости [К*] будет равен сумме реакции в рассматриваемом
узле от всех сходящихся в нем стержней по направлению $-го перемещения при
Следовательно, например,/?44 = ^Р>
^49 =~ ^16 д. Здесь — //-й элемент матрицы жесткости /-го элемента (нуме-
рация узловых перемещений соответствует таковой для типового элемента,
изображенного на рис. 17.27, б).
Перебирая строки матрицы индексов, т. е. значения $ и /, машина находит
соответствующие им значения I и /, по которым для элемента, соответствующего
рассматриваемой строке матрицы индексов, определяется значение элемента
матрицы жесткости элемента к^.
Перебрав все строки матрицы индексов, машина автоматически формирует
все элементы к^ общей матрицы жесткости [/<*].
Матрица индексов позволяет также решить задачу автоматического формиро-
вания правых частей основной системы уравнений МКЭ, т. е. вектора {У7}. При
этом вместо матрицы жесткости для элемента в виде двухмерного массива вводится
в рассмотрение вектор реакций от внешних нагрузок в виде одномерного массива
с числом элементов в нем, равном числу обобщенных перемещений для конечного
элемента. Номер столбца матрицы индексов указывает, какой элемент должен
быть взят из вектора реакции от нагрузок, а содержание этого же столбца для
рассматриваемого элемента указывает, куда его заслать [12].
§ 9. Пример расчета стержневой конструкции по МКЭ
Проиллюстрируем содержание метода конечных элементов на примере
расчета стержневой шпангоутной рамы судна. Рама имеет ось симметрии, которая
совпадает со следом диаметральной плоскости. Для таких конструкций целесо-
образнодействующую на раму нагрузку представить в виде наложения симметрич-
ной и антисимметричной частей, что позволяет при расчете рассматривать лишь
одну половину конструкции. Ниже рассматривается действие на раму симметрич-
ной составляющей внешней нагрузки (рис. 17.28).
9.1. Исходная информация о конструкции. Стержни рамы предполагаются
призматическими. Последнее в сочетании с заданным законом изменения внешней
нагрузки позволяет все узловые точки расположить лишь в точках соединения
отдельных стержней рамы и в опорных сечениях стержней.
С целью получения ленты разрешающей системы уравнений минимальной
ширины при нумерации узлов следует, начав с крайнего узла, нумеровать их
в порядке натурального ряда чисел, придерживаясь того направления сетки
стержней, в котором расположено меньше узловых точек (см. рис. 17.28).
Геометрические, жесткостные и нагрузочные параметры каждого элемента
рамы приведены ниже
^12 ^13 ^34 ^35 4>5' Лг Лз Л1
Л 4) 4) 4) 4) Л Л Л
1,0 0,6 1,0 1,5 4,0 1,0 0,6 1,0
Лэ Л Лб Л к 4> Д^Л Л2Я/о $ 91 </о 42 4о
2,0 4.0 0,15 0,10 0,05 0,10 1,0 1,0
Здесь через и /,у обозначены длина и момент инерции /у-го элемента.
Положение общей системы координат ху указано на рис. 17.28. Местную
систему координат хцуц для любого п-го элемента условимся располагать так
(см. рис. 17.29):
ось х/у направляем вдоль стержня от узла с меньшим номером к узлу с боль-
шим номером:
ось ///у ориентирована по отношению к оси х/у так же, как ось у по отношению
к оси X.
9.2. Выбор основных неизвестных. Поскольку стержни рамы полагаются
иерастяжимыми, с учетом характера опорных закреплений в каждом узле появится
угол поворота, а в узлах 2 и 4 дополнительно возникнут линейные вертикальные
перемещения. Нумерацию неизвестных перемещений узлов в общей системе
•соординат производим в порядке последовательного обхода узлов так чтобы,
Рис. 17.29
5' ^5Г
с возрастанием номера узла возрастал бы и номер неизвестного узлового переме-
щения (рис. 17.30). Положительные направления элементов вектора {<2) показаны
на рис. 17.30.
9.3. Определение матрицы жесткости конечных элементов в местной системе
координат. В общем случае балочный элемент имеет четыре неизвестных пере-
мещения (рис. 17.31). Матрица жесткости такого элемента определяется формулой
(17.104). Выражению для матрицы жесткости можно придать безразмерный вид
если представить узловые перемещения и реакции элемента в безразмерно!'
форме согласно следующим зависимостям:
ч/з .
г/1 = — 5 — ^2' Яз ~ > Яь = У*’
*0 10
#1 — гЛ ^1’ ^2 — р °7 ^2: %3 — р I ^3' ^4 — р г
ино Ео'«
Тогда зависимость (17.103) для ц-го элемента примет вид
{^}// — {^1:/’
Рис. 17.31
где
см 1 /2 -12 | И Л? ^0 %
1Ю-- 1 и ^0 6.0-р- 4,0 —6,0^2- 2,0
— р со Л) Л-/ I2 -12—- /?. ч _бА 1ч 12А -6 А
е.оА. Ч/' 2.0 —6.0 -р- 4,0
Ниже выписаны результаты вычислений матриц жесткости элементов рамы
(см. рис. 17.29).
" 12,0 6.0 — 12,0 6,0”
6,0 4,0 — 6,0 2,0
И)12 = — 12,0 —6,0 12,0 — 6,0
6,0 2,0 — 6,0 4,0
“ 33,3 10,0 — 33,3 10,0
10,0 4,0 — 10,0 2,0
К]13 — — 33,3 — 10.0 33,3 — 10,0
10,0 2,0 — 10,0 4,0_
” 0,75 1.5 —0,75 1,5
1,5 4,0 — 1,5 2,0
1^55- = — 0,75 -1,5 0,75 — 1,5 (17.129)
1,5 2,0 — 1,5 4,0_
9.4. Определение вектора эквивалентных узловых нагрузок конечных эле-
ментов в местной системе координат. Учитывая ориентацию местной системы
координат (рис. 17.29), характер внешних нагрузок, действующих на отдельные
стержни (рис. 17.28), на основании формул (17.105) получаем следующее значение
эквивалентных узловых нагрузок в безразмерной форме:
{^)12 = {0);
РЬ= (0);
{Р)з4 = {0);
, р\ ___ *7</о ( 1 41 1 ^35 2 Ср 136 1
' (ЗБ “ ^0/0\3 <70 10 ’ 30 9о Г3 ’ 3 /0 1„ ’ ~20"?Г /-
= -%Т-{0,5; 0,075; 0,5; —0,112);
С'0
(17.130)
Р)55- ‘.33- 2; -1,33).
9.5. Матрица индексов. Матрица индексов составляется на
чых о положительных направлениях неизвестных {(2} (см. рис.
основании дан-
17.30), узловых
смещений элемен’ов {д}[], показанных на рис. 17.31 и с учетом ориентации местны •-
систем координат элементов (рис. 17.29).
№ стержней Индексы стержней 1 —/ Индексы узловых перемещений элемента (1,
1 1 2 1 3 1 4
Индексы перемещений узловых точек (х /)
I 11 III IV V 1—2 1—3 3-4 3—5 5—5' 0 0 0 0 0 1 1 4 4 7 2 0 5 0 0 3 4 6 7 8
9.6. Составление основной системы уравнений МКЭ. Правило отысканий
элементов общей матрицы жесткости ]? <7 описано в § 8. Дополнительные
пояснения требуются при определении компонентов к*2, к*31 к'^ и Лев-
Компонент Л22 равен силе, приложенной в узле 2 рамы и способной вызвать
его единичное смещение (ф2 == 1, 2= $)• Отсюда следует, что для определения
Л% необходимо к величине этого коэффициента, найденного с помощью матрицы
индексов, добавить коэффициент жесткости правой опоры стержня 1—2 (1 Д0
В безразмерной форме
Аналогично
= (Л33)12 + = 12 + 20 = 31.
= (*зз)з4 + = 12 + 10 = 22.
Компонент Л33 равен моменту, приложенному в узле 2 рамы и способному
вызвать в нем единичный угол поворота (ф.. = 1, Р»>з= °)- ОтС1°Аа следует, что
для определения к величине этого коэффициента, найденного с помощью
матриц индексов, необходимо добавить коэффициент жесткости упругой заделы
правой опоры стержня 1—2 (1/(11). В безразмерной форме
*з*з = = 4,0 + 6,67 = 10,67.
Аналогично
Ке, = (ЛХ + -ГТГ = 4’° + 10,0 = 14’°’
«2^^ 0
Напомним, что матрица [К*]— симметричная, поэтому, помимо диагональных
следует определять лишь элементы, расположенные выше (ниже) главной диаг
нали. Получим
1 2 3 4 5 6 7
8,0 — 6,0 2,0 2,0 0 0 0 “
— 6,0 32,0 — 6,0 0 0 0 0
2,0 — 6,0 10,67 0 0 0 0
|К*] = 2,0 0 0 13,34 -6,0 2,0 2.67 . (17.131)
0 0 0 — 6,0 22,0 — 6,0 0
0 0 0 2,0 -6,0 14,0 0
0 0 0 2,67 0 0 7,34_
При составлении матрицы (17.131) было учтено, что в силу условий симметрии
работы рамы = —($8, что позволило исключить из числа неизвестных компо-
нент (?8.
Вектор узловых нагрузок {5} определяется с помощью матрицы индексов
по правилам, которые были изложены в § 8. В результате получаем
Р1 = (Р2)12 =0; Е2 ~ [(^з)12 = 0; Р з ~ (^4)12 = 0>
Л = ЛЬ + ЛЬ-КЛЬ = 0,075-ДД-;
•с0/0
Р& — (Р 3)34 — 0;
= (Р4)з4=о; Л =:(Р4)35+ль, = 1,22 -ДД
Таким образом, вектор эквивалентных узловых нагрузок рамы в общей системе
«оординат запишется так:
{?) = ДД-{0; 0; 0; 0,075; 0; 0; 1,22).
(17.132)
Основная система уравнений МКЭ, для определения безразмерных перемещений
{0 примет следующий вид:
т (« = {?},
(17.133)
где матрица [Д'*] и вектор {Д) определяются выражениями (17.131) и (17.132).
9.7. Определение основных неизвестных. Решая систему (17.133), получаем
значения компонентов вектора С},, а затем значения действительных переме-
щений
<?, = 0,0105-§Д; (?2 = 0,00179-ДД; <?з = —о,000963
<?„ =-0,0357 -ДД; (?6 =-0,00944-ДД; (?6 = 0,00105 ДД-;
г:/0 Ы 0
С. = 0,176-ДД-.
9.8. Определение перемещений узловых сечений элементов. Эти перемеще-
ния определяются с помощью матрицы индексов
{?)12 = {0; О,; (?2; &}; {?)13=(0; 0; $>};
!?)з4={0; $4; §6; (?,}; {?}36 = {0; & 0; $,);
= (0; $7; 0; -$7).
(17.134)
9.9. Определение усилий в узловых сечениях элементов. Усилия, возникаю-
1ие в узловых сечениях элементов, вызываются смещениями концевых сечений
и приложением к элементу распределенной внешней нагрузки
Здесь {/?}/у узловые (перерезывающие) силы и изгибающие моменты в опор-
ных сечениях 4/-го элемента. Значения входящих в последнюю зависимость ма-
триц векторов 'д ц и {Р ц определяются соответственно из выражений
(17.129), (17.134) и (17.130).
Действительные выражения компонентов вектора /?} определяются по фор-
мулам
= = /?3 = -кк/?3;
г0 *0 /б
Найденные значения усилий ' должны удовлетворять условиям уравновешен-
ности узлов рамы:
(Я2)12 + (^2)13 — 0,
(^4)13 (^2)34 4~ (^2)35 — 0*»
(^)35 + (/?^ =о.
Располагая значениями усилий в узловых сечениях для отдельных стержней
рамы, не представляет особых затруднений построить для этих стержней эпюры
перерезывающих сил и изгибающих моментов.
§10. Элемент пластины для решения плоской задачи
теории упругости
К необходимости решения плоской задачи теории упругости приводят многие
важные задачи строительной механики корабля: об изгибе широкополых балок
и судовых перекрытий со вторым дном, концентрации напряжений вокруг выре-
зов в судовых пластинах, напряженном состоянии в шпангоутных рамах супер-
танкеров, об изгибе судового корпуса как пластинчато-оболочечной упругой си-
стемы и т. п. При этом чаще всего используются два типа конечных элементов:
пластинки треугольной и прямоугольной формы, для которых ниже и будут
выписаны соответствующие матрицы жесткости.
Рассматриваемая задача относится к классу двухмерных задач, описываемых
дифференциальными уравнениями второго порядка (2т — 2). Следовательно,
для обеспечения условий сходимости метода интерполирующие полиномы для ком-
понентов перемещения должны удо-
влетворять условиям непрерывности по
всей области.
10.1. Треугольный элемент с тремя
узловыми точками. 10.1.1. Компо-
ненты перемещений. Закон
изменения каждого компонента переме-
щения (и, V) по полю конечного элемен-
та (см. рис. 17.32; нумерация вершин,
которая определяет направление их об-
хода, производится против часовой стрел-
ки) можно аппроксимировать степен-
ными полиномами вида
и(х, у) = «1 + а3х + а5у,
V (х, у) — а2 а4х 4" ааУ-
(17.135)
Если выразить неизвестные параметры ах- через значения компонентов узловых
точек элемента: «г- и VI (I = I, 2, 3), то выражения (17.135) перепишутся в виде-
и = {[//23 (х — *з) ~ х2з (У — Уз)] "1 -г П/з1 (х—х^ — х31 (у — г/х) ] и2 +
4" [—//21 (X — Х2) + Х21 (У — //2)1 «з) ’
Г == 2^- <[//53 (X — Х3) — Х23 (у — //3)] Пх 4- [//31 (Х — Хх) — ХзХ (у — //!)] С2
4“ [—1/21 (х — Х2) 4~ Л21 (у — //2)] уз) >
(17,136).
где 2Г = х2з//з1 — л'3^23 — удвоенная площадь треугольника;
х.. = х. — ху.. — у. — у..
I / I / 'У • I
(17.137)
Зависимости (17.136) можно
переписать в форме одного матричного уравнения:
{6} = [Л/]{<?},
(17.138}
где {С/) = {« г); {?} = {и^ад^з}; [Л/] — матрица, элементы которой оп-
ределяются непосредственно из сопоставления зависимостей (17.136) и (17.138).
10.1.2. Компоненты деформаций и напряжений. Выра-
жения (17.136) позволяют найти компоненты деформации плоской задачи теории
упругости
{е} =Р] {</), (17.139),
где {е) = {6x8^},
1 У-23 0 Уз1 0 У‘2} 0
- 2Р 0 *23 0 Х31 0 Л*21 (17.140}
__—Х23 У'23 —Х31 У 31 Л*21
Гука для ортотропного материала
— матрица деформаций.
В матричной форме закон
записан в виде
может быть
Здесь (<7) =Ю) {е). (17.141)
Г г, г,V, - 1 — УХУ2 1 — ур’2
{а} — {(Ух^у^ху}» [Г€] = Г2ух Е2 д 0 0 6 ; (17.142}
^1, уу, Л’2, 6 — параметры, характеризующие упругие свойства ортотропного
материала.
Если далее в формуле (17.141) исключить с помощью (17 139) вектор
получим *
{о} = [Еа] {?}, (17.143)
где
[Еа] = [Ее] [Е>] (17.144)
— матрица напряжений. Ее значение
Ес = 1< X
2Р (1 — тл’г)
«1 V! а2 У2 “з
.7'23 —^г23 7з1 Х 2Х31 —1/21 *2*21
^2^23 V., - —х2, ^31 ^2 - —Х31 — ^2У21 V! Х21 , (17.145)
_ ^1^23 —Д1Х31 а1!/з1 П1Х.21 — аи/21_
6
где
Е1
10.1.3, Мат
ж
р и ц а
жесткости
, есткости. Для определения матрицы_______________
[/<] можно воспользоваться формулой (17.70), которая в рассматриваемом случае
приводится к виду
[XI = [О]г [Ео] НГ,
(17.146)
где Л — толщина элемента.
Непосредственно из формулы (17.146) получаем окончательное выражение
для матрицы жесткости треугольного элемента, изготовленного из ортотропного
материала [см. выражение (17.147)].
10.1.4. Эквивалентные узловые нагрузки. Если конечный
элемент загружен действующими в его плоскости поверхностными [Еу) —
= {Х^Уу) и объемными силами {Г;/} = {X/}, то эквивалентные узловые уси-
лия можно определить по формулам (17.75) и (17.74).
При достаточно малых размерах конечного элемента можно ввести в рассмо-
трение осредненные значения интенсивностей внешних нагрузок по полю конеч-
ного элемента
Л\. = Х°; = Х = Х°; V = У0.
Тогда для эквивалентных узловых нагрузок получим следующие выражения:
{₽! =
#23 4* а1Х23
(°1 ~Г Тг) Л'32#23 ~ *23 4“ °1#23
! С/Л У2зУз1 4” Д1л'23х31 а1х131/23 4“ х2Х32Уз1 Уз1 4' а1!/з1
1 4Г(1 —тр2) ^2У а1Х32Уз1 4“ г’2Х13#23 То , *23*314“ а1У2зУз1 Ъ (С1 4“ ^г) х1зУз1
Рзл Й1Х12Л'23 4“ #12#23 Й1Х21#23 4- Х2Х32У12 а1х12хз1 4- У12У31
^зу а1Х32У12 4“ Х2Х21У23 Т2 . —— Х12Х234- П1У12#23 а1Х1зУ\2 4" ^2Х21#31
где Р1 = - + ЛА'° Д- р - з л’ 2 где 2Е = х2зУз1 ~ хз1У23' О °1= Е1 С1 — У® + НУ0 = —^-5 Г; (17.148) о
Л — толщина плоского элемента; Г — его площадь.
10.1.5. Преобразование матрицы жесткости и век-
тора узловых нагрузок при переходе кобщей системе
координат. Полученные выше выражения для матрицы жесткости и век-
тора узловых нагрузок справедливы при произвольном расположении координат-
ных осей. Если принять направления местной системы координат каждого эле-
мента одинаковыми и совпадающими с направлениями общей системы коорди-
нат ху, то мы сразу получаем матрицы жесткости и векторы узловых нагрузок
конечных элементов в общей системе координат. Тем самым исключается доста-
X
Рис. 17.33
точно трудоемкая операция преобра-
зования матриц [/<] и векторов {Р}
к общей системе координат с помощью
зависимостей (17.81) и (17.82).
10.2. Треугольный элемент с
шестью узловыми точками. Для по-
вышения точности расчетов можно
использовать треугольный элемент,
в котором, кроме естественных трех
узлов, вводятся еще три дополнитель-
ные узловые точки в серединах каждой
его стороны (рис. 17.33).
При этом элемент будет обладать
12 степенями свободы.
В рассматриваемом случае в ка-
честве местной системы координат
удобно использовать однородные ко-
ординаты [6]. Положение произволь-
Г
Симметрично
>
~~ Х11 4- °1Уз1 г1 ^2
«1^21 «/31 + Т2Х131/12 У12 4~ а1Х12 «3
^2 । Х12Х31 4" а1У12Уз1 («! 4~ У2) Х21*/12 “Л Х12 4“ а1Рг2 '1 ^3 )
XI, = X) — х{; уи = У1 — у,; К — толщина пластины. (17.147)
ной точки А (х,у) находящейся внутри треугольника (рис. 17.33), определяется
тремя координатами
ь2=А; ^=у, (17.149)
где ръ Г2, Р5 — площади треугольников; Р — Р± + Р2 + Р3 — общая площадь
треугольника.
Координаты удовлетворяют очевидному соотношению
”1“ ^2 4~ ^з — 1 •
(17.150)
Тогда положение узловых точек треугольника в Ь — координатах опреде-
ляется так:
точка 1(11=1, Ь2 = 0, Ь3 = 0); точка 2 (Тг = 0, Ь2 = 1, Ь3 = 0);
точка 3 (Тх = 0, Т2 = 0, ^з = °); точка 4(1^ = — ,
Ь2 — , Ь2 — о) ,
точка 5 I = 0, Ь2 = —, 1.3 = — 1;
точка 6 (Р1 — >
9, — ~2~) '
Координаты 1; связаны с декартовыми координатами соотношениями
-|- ^/х4 (^ — 1> 2, 3).
(17.151)
9 Бойцов Г. В. и др.
Коэффициенты а,, Ь,, с, зависят от координат вершин треугольника
П1 = С1 = Д_^. (17.152)
Остальные коэффициенты в (17.151) получаем из (17.152) путем круговой пере-
становки индексов 1, 2, 3.
Используя квадратичную аппроксимацию поля перемещений, можно полус
чнть следующие выражения для компонентов перемещений:
6 6
Ц (7-1, 7-2» ^з) ~ Х-1 V (^1> ^2> ^з) ~
4=1 4=1
(17.153)
где
ДЛ = (27,/ — 1) для /=1, 2, 3;
Д/^ = 47-1^0» = 47.2^31 Д/д = 47^з7.-^.
(17.154)
Используя зависимости Коши
для плоского напряженного состояния, получим
6 6
ди ~~дх дх ду ду у д^^ ду 1)1
1=1 6 /=1
ди . ду VI / дМ [ дК, \
Ухи = ~5~ + "V" = 7 и1 + Ч ) *
у ду дх А-Л \ ду дх )
/=1
(17.155)
Значения производных по х и у от функций однородных координат Л/ определя-
ются по формулам
йк!( _ У23 I Уз1 дМ[ У12 ОМ; .
дх 2Л ЙК, 2Л дЦ ~Г 2Г дЬ3 ’
ОН; х32 дк!, х,3 дк/1 х21 <ЭЛГ( I
ду ~ 21; дЦ + 2Г дЬ3 + 2Р дЬ3 ’
Здесь х. = х. — х.; г/.. = //. — у..
Ч 4 / ч •• 1
Используя зависимости (17.155) и (17.156), нетрудно получить окончательные
выражения для компонентов деформаций
где
{б)=Р(7-1, Л2, А3)]М,
{е} =5= {еЛ, 8^, уху}\
(17.157)
М = {«1^1 «4^4 и‘^2 ^3 ^е^б)-
(7)] — матрица, элементы которой являются функциями однородных коорди-
нат Л/ (г = 1, 2, 3).
Для определения матрицы жесткости следует воспользоваться формулой
(17.70). Заметим, что при вычислении элементов матрицы жесткости операция
интегрирования функций однородных координат заметно упрощается благо-
даря следующей формуле:
2,: <,7.1эд
В заключение заметим, что пока ист
оснований полагать о большой] эффектив-
ности использования элементов с шестью
узловыми точками по сравнению с ис-
пользованием элементов с тремя узлами,
но при делении области на большее число
конечных элементов.
При достаточно мелком разбиении об-
ласти на конечные элементы вектор узло-
вых эквивалентных внешних нагрузок
можно положить равным
{Р} = {^ООРЛООР^ОО},
Рис. 17.34
где значения параметров Рх и Р2 определяются по формулам (17.148).
10.3. Прямоугольный элемент с линейным законом изменения компонентов
перемещения вдоль контура. Компоненты перемещения по полю прямоугольного
элемента (рис. 17.34) аппроксимируются выражениями
4 4
«(5, 4)= У Н5» П)= Е (*, т])оь (17.159)
4=1 ;=1
где
Л'1 = 4- (1 - 5) (1 -п); Л'а = 4- (1 + 5) (1 - п);
"з = 4- С1 + 5) (• +>!); = -ф (1 - ?) (1 + п);
[ (17.160)
)
Используя зависимости Коши и выражения для компонентов перемещений
(17.159), определяем компоненты деформаций
{8} = [О][^, (17.161)
где {е} = {д} = {1^11.11311^^^1};
г/л = — 1 3 2а -(1-п) 1—Т) 14-т) -(1+П) 0 0 0 0
0 0 0 0 -ж(1-^) -т(Ш) т(1+Б) т(1-&)
-т(Ш) т (1+1) т (1-4 -(1-Н) 1-11 1+п -(1+П)
(17.162)
Подстановка выражения (17.161) в зависимости от закона Гука для ортотропного
материала позволяет определить компоненты напряжения
= (17.163)
Зависимость (17.163) в развернутой форме записана в виде (17.163').
°х а Е* | У 2 (1—“УхУг) а
-(1-П) 1—п Н-П -(1+п)
—г’2(1—п) у2(1—Т1) ^2(1+п) — 'У2(1Ч"'п)
—а1т(1— —0^71(1+^) ЛПП(14-^) «1ЛП(1—В)
О1 = -р-(1-У1т2); 1 = —;
^1Х
^2Х
^ЗХ
^ЛХ
4Х|
I
^1У
^2У
рзу
Р
V
Здесь т — ~ ; сц =
—
-ту2 (1-^) - >пУ2(1-Н) шу2(Ш) т\’2(1— *
У-> -VI (1-Б) -«^•(1+5) VI (1+Ь) » 1 т (1-|)
—«1(1—Л) сх(1-п) «1(1+П) -«1(1+П)
—
а
2//_.
Ь
п =
,п~ Ь '
(17.163')
VI «2 й3 V*
у2+«1 4 У2—«1 4 _ у24~« 1 4 —у24-«1 । 4
—У2+Д1 4 Уг4~Д1 4 с 1 сч ?> 4 1
_ Уг~Ьа1 4 —У2+«1 4 У2+«1 4 У-^—«1 I и 4 “3
У2-«1 4 У2+«1 4 —у24~«1 4 у24-Д1 1 4 Г* 1
т , 01 з ”+-з^Г ГИТ) «! 6 Зт /П1] Й! 6 6т
VI , «1 3 3/п ущ , Д1 3 1 6т ДИ) «1 1 6 6т I 2
т , О1 — ”+з^Г тп «1 /* о ! 6 Зт I
т ,<2111 — ” + ^г г*
0 /1 X Е2
(17.164)
Рис. 17.35
Располагая значениями матриц [И]
и (7?а] по формуле (17.70) определяем
матрицу жесткости |д], что позволяет
выписать связь между узловыми усилиями
/?} и узловыми перемещениями {д}
(17.164). Приближенно вектор узловых
эквивалентных нагрузок можно положить
равным
{Р) = [РЛРЛР^Р-Л]. (17.165)
где Р1 —
х;+лх° У» +ЛУ°
=-------Г; Р>2 =----л-г.
10.4, Четырехугольный изопараметрический элемент с прямолинейными
кромками. Совсем необязательно, чтобы система координат (х, у) была прямо-
угольной, она может быть косоугольной и даже криволинейной. Это позволяет
изменять ориентацию сторон четырехугольника относительно общей системы ко-
ординат х, у. Пример четырехугольного элемента общего вида показан на
рис. 17.35. Началу координат соответствует точка пересечения двух линий,
делящих пополам противоположные стороны элемента.
В местной системе координат (^, т]) выражения для компонентов перемеще-
ний (по направлениям осей х и у) и функция формы тождественны выражениям
(17.159) и (17.160):
[—4 I 4
“ (Т п) = 2 (5. я) «<; (§,п) = 2 (§. п) щ,
4=1 4=1
где
Л\ = -^(1-Ч)(1-П); (1 + (1—>!);
^з = -^-(1 + Е)(1+’1); ^ = ^-(1- Щ1+л)-
(17.166)
(17.167)
Для установления связи между координатами местной (|, ц) и общей (х, у) систем
удобно использовать функции формы (5,1]), введенные ранее для аппроксима-
ции искомых компонентов перемещений
4=4 1—4
•V = У (?» Ч) *1'> У = У л// (6» Ч) Уь (17.168)
4=1 4=1
где х,, у^ — координагы /-й узловой точки четырехугольника в общей системе ко-
ординат.
Получаемые при использовании преобразования координат (17.168) элементы
называются изопараметрическими.
Используя зависимости Коши, выражения для перемещений (17.166), а также
формулы (17.168) для преобразования координат, можно получить необходимые
выражения для определения компонентов деформаций, напряжении, матрицы
жестI'ости в общей системе координат.
Компоненты деформаций
{?)>
(17.169)
где {(/} {гг1П2 . . . . . .} — вектор узловых перемещений в системе коорди-
н ат х, у\
дх Ю)
[О] = 10) <И'У) ду 1 (17.170)
ДЬУ| ду [ У| дх
[Л/] = 1^2| ...
Входящие в (17.170) значения производных определяются из соотношения
дх
»Л ]
Оу
I
АЖГ
а»]
где
дх
дт|
ду
Оу
дг}
д^1
01
д^1
дт]
V 01М1
ъ-дгу‘
I
Е0М1 _
дт) У‘
I
—У1 У2~У Уз — У4 1
—У1 — Уз 4- Уз 4~ #4.1
(17.171)
— матрица Якоби (якобиан).
Компоненты напряжений в общей системе координат
{а} = = [Ее] [О] {/?};
(17.172)
[^е! — матрица, определяемая по формуле (17.142).
Матрица жесткости в общей системе координат
+1 +1
[/<]= | | Р]г[ЕеИР]де1[/И^п-
—1 —1
(17.173)
Хотя пределы интегрирования простые, подынтегральное выражение в (17.173)
очень сложное. Поэтому точное интегрирование произвести достаточно сложно,
и приходится прибегать к численному интегрированию.
Вектор узловых эквивалентных нагрузок конечного элемента приближенно
определяется по формуле (17.165).
10.5. Четырехугольный изопараметрический элемент с криволинейными
кромками. Кроме угловых узлов элемент имеет еще четыре узловые точки, рас-
положенные посередине каждой из его сторон (рис. 17.36). Выражения для ком-
понентов перемещений по направлениям х и ух
8 8
и (Ь Ч) = X (ъ. Я) «<; V (В, я) =* Ц (5> >1)
(=1 1=1
л^=4-(1+5)(1+,1)(5+г1-1); лв=4' (’-^о+ч);
л'7 = -^-(1-?) (1+4) (В-п + О; ^8 = -А. (1-112)(1-^).
Компоненты деформаций, напряжений, матрица жесткости и вектор узловых
внешних нагрузок определяются на основании соответствующих зависимостей
предыдущего пункта.
§ 11. Элемент пластины для решения плоской задачи
теории упругости в упругопластической области
В определенных условиях эксплуатации в отдельных судовых пластинах мо-
гут возникать зоны упруго пластических деформаций. В настоящее время в прак-
тических расчетах используются два варианта уравнении упругопластического
состояния тел — теории течения и теории малых упругопластических деформа-
ций (деформационная теория А. А. Ильюшина). Ниже ограничимся использова-
нием лишь деформационной теории, получившей в последние годы широкое
применение. На основании этой теории связь между компонентами напряжений
и деформаций в упругопластической области для плоской задачи теории упругости
может быть представлена в виде
{е} = [7?плГ1 {<*)• (>7-174)
Здесь
(8} = {ъ^уУху}; (а) = {ОхвуЧху}
Я . 1 1 2 (1
где I — -----—----- (индекс «пл» указывает на пластичес-
кую стадию работы материала); Ес = —------секущий модуль; о, = |/ а- + >
____________________8/ *
+ а2{/4~ахаг/ — интенсивность касательных напряжений; е,. =
К 2 ---------------------------------______
----3~ // (ех — 8гД2 + (8у —8г)2 + (82—ех)2_Ь^хг/ — интенсивность касательных
деформаций.
При упругой работе материала Япл = оо зависимость (17.174) принимает
вид закона Гука для изотропного материала.
Используя формулу (17.70) и зависимость (17.174), получаем значение ма-
трицы жесткости
[Кил] = | [О*]Т [Епл] [О] ‘1У. (17.176)
V
связывающей между собой узловые усилия и узловые перемещения при упруго’
пластических деформациях. Формулой (17.176) можно воспользоваться для полу'
чения упругопластической матрицы жесткости любых конечных элементов, рас*
смотренных в предыдущем параграфе. Для геометрически линейных задач И * = О.
Как правило, при решении нелинейных задач используется процедура по-
следовательного шагового нагружения. При этом требуется использование ма-
трицы жесткости, устанавливающей связь между приращениями узловых нагру-
зок {(!%} и приращениями узловых перемещений {ск]}:
{<№} = [Кпл! №}•
Матрица жесткости [Кпд] определяется по формуле
Ипл)= |[О*]т1епл1[О]<1У.
V
(17.177)
где
(17.178)
_^31 ^32 ^33_
1 1 —2у . / 1_______-
Л11 “ Ес ЗЯ X ЕК ЕС / ’
1 1 _2У , / 1______1_\ •
/ 22 — Ес ЗЯ + \ ’
з
/113 == Л31 == Л23 == Л32 == 0; 133 = —р— ,
сс
(17 179)
л л 1 -2ч’
/112 = /121--ЗЯ”
с бу . е __ _ °Х .
~ бх 2 > 2 ’
дсу
Ек = —--------касательный модуль чупругости.
Значения модулей Як и Яс определяются непосредственно по кривой о, —
— о, (Е/) для данного материала, строящейся на основании экспериментальных
265
данных по одноосному растяжению-сжатию образцов, изготовленных из данного
материала.
В общем случае вычисление интеграла в правых частях (17.176) и (17.177)
осложняется тем, что матрицы [П], [Епл] и М-лл] зависят от координатных то-
чек. Лишь для треугольного элемента с тремя узловыми точками эти матрицы
не зависят от координат, и формулы (17.176) и (17.177) существенно упрощаются
и принимают вид
Ипл] = Р]ГРпл]Р]ГЛ; (17.180)
[Кпи] = РГ Рпл! [О] (<7.181)
Вектор узловых внешних нагрузок определяется на основании соответствующих
зависимостей § 10.
§ 12. Объемные элементы
12.1. Тетраэдр. Этот элемент наиболее широко используется в МКЭ при
идеализации объемных тел (рис. 17.37).
Если в каждой г-й вершине тетраэдра ввести по три неизвестных узловых пере-
мещения VI, иу соответственно по направлениям координатных осей х, у иг,
то компоненты перемещения по объему элемента можно аппроксимировать сле-
дующими формулами:
4 г=4
и(х, у, г) = (а1 + Ь[Х-{- сцуа&щ =-$р- I (*> У* г) и1> (17.182)
/=1 /=1
где
1 *2 У г. Ч
—объем тетраэдра;
(17.183)
*з !/з *з
Уь
У2 1
Уз 1
У4 I
Значения других постоянных определяются с помощью круговой перестановки
узловых индексов /, 2, Зу 4. Нумерация вершин тетраэдра производится так:
находясь в любой из вершин, нумеруем вершины противоположной грани путем
после1 овательного обхода их по часовой стрелке (/, 2 3). Оставшейся вершине
присваивается номер 4.
По аналогии с (17.183) выписываются выражения для V (х, у, г) и ш (г. у, г).
Дифференцируя компоненты перемещений, находим выражения для компо-
нентов деформации
{в) = [О] {//}, (17.184)
где
(в) = {^х^у^гУхуУугУхг, '
В результате, если воспользоваться зависимостью (17.70), получим следующую
формулу для определения матрицы жесткости тетраэдра:
[К] = [О]т [Ее] Р] V, (17.186)
где V — объем тетраэдра, а матрица [7?е] для изотропного тела имеет вид
(17 187)
Матрицу жесткости тетраэдра (17.186) не имеет смысла записывать в развер-
нутом виде. Все необходимые вычисления в (17.186) целесообразно оформить
в виде отдельной подпрограммы, подключив ее к основной программе расчета
с помощью ЭВМ рассматриваемой конструкции.
Рис. 17.38
Матрица [X] связывает вектор узло-
вых усилий {/?} = /?1г^2Л • •
/?4г] и вектор узловых перемещений {д}
{/?) = 1/<1 {?).
12.2. Объемный элемент, имеющий
восемь узлов. В каждом узле элемента
вводится по три неизвестных перемеще-
ния П/, V; и пу/. Следовательно, общее
число неизвестных узловых перемещений
элемента равно 24. Это позволяет аппро-
ксимировать закон изменения компонен-
тов перемещения по объему элемента сле-
дующими полиномами:
п (х, у, г) = ф- а2х а3у ф- а5ху 4- авх2 ф- щуг 4-
О (х, у, 2) — 4- а10х 4- апу 4- а12г 4- а13ху 4-
4- «11X2 4- а1ьуг 4- а16у*;
Ц) (х, у, г) = а17 4- а,8х а19# ф- а20г 4- а21ху 4-
4- а22хг 4- <х23уг 4- сх21г2,
(17.188)
или, в матричной форме,
{^} = [Л] («}.
(17.189)
Непосредственно из (17.188) определяется вектор узловых перемещений
М = [3]{а), (17.190)
что позволяет для вектора {У} получить выражение
{^} = [Л;[ [ч}< (17.191)
где
ГАЧ = [Л] [В]-1. (17.192)
Если все грани объемного элемента параллельны координатным плоскостям,
то он переходит в параллелепипед (рис. 17.38). Для параллелепипеда выражения
(17.191) в развернутой форме имеют следующий вид:
4=8 4=8 4=8
и = и = У V) = 2 (17.193)
4=1 4 = 1 4=1
где функции формы определяются по формулам
А', = —(I -5) (1 л;2 = -ф (!-?)(! 4-11)1(1+5);
о о
А'з = -ф (1+5) (1+11).(1+5): (1+1) (1-3]) (1+5);
А^ф-(1-5) (1-11) (1-5); А'с = 4-(1-5)(1+г])(1_5);
^ = -ф(1+5)(1+11)(|"?): л'в = ф-(1+?)(1-11)(1-5); :
(17.194)
а, Ь, с — размеры граней параллелепипеда.
Используя выражения (17.193), находим компоненты деформации
{е} = Ю] {?},
268
12.3. Кольцевой элемент с т^тм-ш
симметричной деформации тело вращения обычно"^ При Рассы°трении осе-
явля^7Рф7ХХи°щРеЧ,'ЫМ Се"е,1ИеМ (Р"с‘ >7 39). н1ХТиноТХНя°“:
шестью ^'"^^ми^в^од^^рис^^^О^^^жн^аппво™ элемента, обладающего
полиномами: А можно аппроксимировать следующими
и (г> 2) = <Х1 а2г а 2\ IV (г г) = а_|_гуГ1
или, если выразить параметры а- через узлоянр + + (17’ 196>
тричную форму записи, Р У ые перемещения и использовать ма-
где
{У) = [/У] (9),
{С/} — {н®); {<?} = ;
(17.197)
Используя
[А7] = [Л][В]-1; [Л] =
[В] =
№1] О '
0 [В11Г
г
0
“1
1
.1
'г
гз
О О'
г г.
гЛ
•
г3-1
далее зависимости Коши для осесимметричной задачи
д/дг
(17.198)
ео
Угг
о
д/дг
0
0
д/дг
д/дг
и учитывая (17.197) и (17.198), можно получить
где
{8} = [О] {<?),
Ра] =
теории упругости
(17.199)
(17.200)
(17.201)
1
0
г
0
0
1
Закон Гука для изотропного тела в матричной форме запишется в виде
{«) = иу и,
(17.202)
где
{<т} = {а,ае<т2т,2};
(17.203)
5(1 - V)
(1 + V) (1 _ 2т)
V 1 — 2 V
1 — V ' " 2 (1 — V)
Воспользовавшись выражением (17.70), получим применительно к рассматривае-
мому случаю следующую формулу для определения матрицы жесткости:
где
[Л) [П [Д-'Ь
2л
(Л = I / [Оа1Т [Л] Ра] г <16 йР,
() г
(17.204)
(17.205)
Г — площадь сечения кольцевого элемента.
Непосредственно из (17.205) можно получить
[ 7’] = 2л
Из ( 1 а2) 2 Из 0 0 а2^2
2(1+а2)/Л (1 +«2)Я4 0 0 2п2//1
а3^1 + ^6 0 п3/71 1
0 0 0
Симметрично 0
Я1
(17.206)
где введены обозначения:
уЗ - гЗ г3
Ях = (*2-|б1) - (*, - *2) -|- (&! - Ь3) -Т- +
О о о
9 2 9
+ (С2 - Г,) -А- + (с3 - с2) -Т- + (О - с,) -ТЕ ;
Н, ~ (Л2 - &,) А + (Л3 - /,2) А + (*, _ 6з) А .|.
+ (Сг — П) 6 -|- (с3 — с,) г2 + (С1 — с3) г,;
"> (1>2 - М Г1 I (Л., __ ь2) г2 -|. (/,, _ /,:1) Г:> +
-|- (<2 — <~1) 1п Г| (с3 — с,) 111 г2 -|- (с, — с;1) 1п г3;
и*=4 [ 4+® 4+<'’ - &з> 4+
+ 2 (Ь.,с2 — Ь^) -у- + 2 (&3с3 — Ь2с2) + 2 (Ь1с1 — Ь3с:1) -2.
+ (4 — с1) Г1 + (с$ — с|) г2 4- (с| — ф) г3];
1Г-’=4 (4 -&1) 4+(ьз - 4 4+4+
+ 2 (Ь2с2 — 61с1) Г1 4- 2 (Ь3с3 — &2с2) г2 4- 2 (Ь^ — 63с3) г., 4-
4- (с'1 - с\) 1п гг 4- (с’ - <%) 1п г2 4- (с] - ф 1п г,1 ;
"о=4 [ <*? - 4+<ьз -4+- Ьз) 4+
-ь 3 (Яс. - ЬЧс.) -I- з (Цс3 - ^С.,) -^-4-3 (Чч - ^С3) А 4-
4_ 3 (4’с? — ^1с1) Г14" 3 (4$4 — г2 4~ 3 (Ь^ — гз 4
4- (4 — с1)1п Г14- — с^) 1п г2 -|- (с? — с*) 1п Г31 ;
61 = г 2 — Г! • ** ?? со О» М II ^00 гТ* < -О’
г1Г8 ~ Г1г8 . г8 —гх = = _ И — г 2 Г2 — г 3
Следует заметить, что компоненты узловых сил в *Р) приложены по всему
периметру узловой линии элемента. Поэтому при составлении уравнений равно-
весия в узлах величины внешних нагрузок, действующих вдоль узловых линий,
включаются полностью. Например, для гго узла
Здесь р: — нагрузка на единицу длины кольцевого периметра.
12.4. Кольцевой элемент с прямоугольным сечением. Элемент имеет восемь
неизвестных узловых перемещений (рис. 17.41). Закон изменения по объему коль-
цевого элемента можно принять в виде
и (г, г) = <хт 4- а2г 4- «з2 4“ а1г2> 1
V (г, г) = аБ 4- ^вг 4~ а72 4" )
(17.208)
Окончательное выражение матрицы жест-
кости, связывающей вектор узловых уси-
лий 1 К} = • • ^4Г^1г • • • ^421 И
вектор узловых перемещений =
= {«!... 11^1 . . . Ю4!, имеет вид
1А’] = [В-,Г [Т] [В]-1,
Рис. 17.41
(17.209)
где
Т/угГ1 <М е| <з 04 тт/7 (8° + г$) со <3 + С1 СЧ о со <3 ^3 “Г а3^ 12
а2^4 зГ С4 « 04 <м <3 дГ С-4 а 04 о о
О О дГ со <3 01 со о со <3
о О о о о Симметрично
1'- <з’ 2(1 + а2)//! С-1 СО <3 о <3 2 (1 + а2) 4~ #з^з
со 4#(г®+ I) со О о йГ
'’Н (г» + 1) <3 -Ь 04
с
к
04
о*
//, = 2- (г3 —г,)^ —г?); 1
= -у* (гз - г1) (4 - 4)1 »4 = (г3—г,) (г2 - г,);
Я5=(2з-г1)1п-2; Нс = 2-(г2_2’1)(гЗ-ф;
я, = 2-(4-4)(/-2-/-О; я8 = 2_(г2_22)1п2к; ( (17-212)
" 2 Гу
нэ = 4" (4 - 4) ('•з - Ч); Н1О = 2- (г-з _ 23) 1п .
нп = 4- <г'з- г'1) <4 - 4); я» = 4- <4 - 4)-
§ 13. Прямоугольный элемент пластины при изгибе
При использовании МКЭ для решения задачи изгиба пластин применяется
та же дискретизация, которая рассматривалась выше в плоской задаче теории уп-
ругости: пластину представляют в виде совокупности плоских конечных элемен-
тов. При расчете пластин на изгиб по МКЭ наибольшее распространение получили
простейшие конечные элементы: прямоугольный и треугольный.
1 13.1. Прямоугольный элемент жесткой ортотропной пластины с 12 степенями
свободы. 13.1.1. Матрица жесткости. В каждой узловой точке эле-
мента (рис. 17.42) вводится по три обобщенных перемещения: перемещение в на-
правлении оси г и два угла поворота соответственно вокруг осей х и у. Тогда поло-
жение срединной поверхности прямоугольного элемента пластины приближенно
определится 12 обобщенными узловыми координатами (по три координаты на
каждый узел). Следовательно, упругую поверхность пластины можно аппроксими-
ровать некоторым степенным полиномом, содержащим 12 неизвестных параметров
су (х, у) = «1 + а2х 4- а3у а4х2 4- аьху 4- сс6//2 4~
4- а-х3 4- ос8х2// 4- а^ху1 4- а10!/3 4- 4- «12хг/3,
или 12
иу(х, у) = 2 (17.213)
1=1
Использование полинома (17.213) для прогиба к/ (х, у) конечного элемента обес-
печивает непрерывность перемещений, но приводит к нарушению условия непре-
рывности углов поворота вдоль линий стыковки смежных элементов. Если
Рис. 17.12
параметры а, представить через координаты 7/, выражающие перемещения ц
углы поворота узловых точек, то зависимость (17.213) перепишется в виде
12
ю(5,11) = у; (?, и),
<=1
(17.211)
где
7! = ш (О,
0); 93 = (0, 0); 9з = - (0, 0); . . 9)3 = - (0, Ь)-
(17.215)
Щ (^, г1) —функции Эрмита:
Л'1 Й, П) = 1 - 3^ - “ ЗП2 + 2^3 + 35ц2 -к 2ц3 - 2^'п - 2?ц3 + 354
к2 (€» п) = Сп — &п — 2п2 4- 25ц2 + л3 — 4);
Кз а, 11) = а (- 4- + %=>2 - 252Ц - 53 + 53П)>'
& ц) = 3^ -к &1 - 253 - 34 + 253Ц + 25ц3 - 354
Кб (5, Л) = ь (?Ц — 25ц2 Ч- 4);
Къ (I, 1]) = а — 53 — 52Ц -|- 53ц); (17.216)
к? (I. ц) = —&п 4- з?2ц 4- 35ц2 — 253ц — 24;
кз Й» л) = ь (—4- + 4);
Л^9 Й, 1]) = а (§2л — 63Т1);
кю Й> т)) = 31]2 4- 5п — 4 — 34 — з&2л 4- 24 +
Кц (5-1]) = ь (—т]2 ч-113 + 4 — 4);
К12 (ъ, т)) = а (—&] 252т] — 54;
• х . 7
где 5 = —,
При определении матрицы жесткости [/< ] можно воспользоваться выражением
для потенциальной энергии элемента пластины, которое для ортотропной пластины
запишется так:
а Ь
п — 1 г г Г г) ( V сл (V ।/п । п ч ।
п,иг ~ т Ш7)1 {-д^-) + {-0^) + +
0 0
/ Л’пу \21
+ 4РЦ5^) \аха^ <17-217)
где
/Л=______________ • О, - Е^3 1),-°^ Н7 9ЛМ
12(1-^^2) ’ 2 12(1-тл2) ’ /;----12- (1Л218)
— толщина пластины.
(17.217) мож,ТЬпХХть “’Р^еиием (17.213), то правую часть
из г =
где
12 12
гЕУ^(кЯМк*
/=1 6=1
(17.219)
д'^к , д^к
7)^ ду* + йл.3
сУ-М,
-1 4 Г) к 1
к~дГд^~д^\дхд!> (>7 220)
Внося в пУггоГви^ 1 ИЦЫ жес|кости элемента пластины.
ные операции, получим₽3мчен^(7лсьгентов™ат7^Я ,,еобходимые вычислитель-
Матрица жесткости ппо Т0В матРиЧЬ1 жесткости.
(рис. 17.42) может быть предстХ^Гв^едуюадвад: °рТОТропиой Бастины
ГК] =
1 2 . 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
«I Од, «б «в «7 «з «в «10 «и ' «12 «13 «14
— а2 «1Б «7 «1в «17 °1О «18 «17 -«1з «10 «17
— «3 ?! «17 «20 -«11 «17 «21 «14 «17 ^2 2
—-. - - «4 ~«Б «12 «13 -«14 «0 «10 а11
«2 ~ «16 —«13 «19 «17 —«10 «18 «17
0 с «3 . ~«14 «17 ^22 «11 «17 «21 > (17 221)
«1 ~«4 «Б «в «7 —«8
«2 «16 ~«7 «1в «17
«3 «в «17 «20
«1 ~«4 «6
«2 “ «1 Ь
1 «3
—
где введены следующие обозначения:
/ » О. ,
1
28 Рк .
#з
ти /
8 Рк
5 Р
а
4
Р2 } 8 Рк
15
[ 2
#Б — -- ( <
\ т-
2
5
О1
Ок
о,
а-; —
Р*
О1
3 Р1 г
, 2 Рк
25 Г1
а-
( о ^2
\ О1
2 По
#9 — •> гГ”
9 т- Р1
#п =
1
т2
2 Рк
5 Рг
#13 —
#18 —
5 Рг
Ь;
л;
5 Г>х
с0 =---+ 2т--^- — 2у2
1П
#8 =
2 Рк
28 И/г .
5
#ю —
02
О1
5 Рх
2
т- —
28 Рк .
5 Ях ’
а;
Ок
5 Р±
2
#; #12 = —т
т2
0-2 , 2 О/{
О1
5 Рх
#14 =
с15 = —х2оЬ;
Р2 т2
2
Рг 3 г 15
/ 2
Ь
#20 —
Г71 /
2 Ок
Зт2 15 Р
#22 =
— 4 т2 ------- 2у2 —
Ок 2
28 Р}, .
О, ’
1
т2
2 Ок
5 О1
а;
02
р± т
#ю =
8 Рк
5 Ох
2 Р2
3 Рг
Ь2;
т- —
а-
2
а17 — 0; -
15 О1 }
1 . _2_Ок\ п-
Зт1 ' 15 О1 /
8 Ок
Зт'2 15 Рг
а-.
(17.222)
13.1.2. М а т р и ц а у с и л и й. Изгибающие моменты с сечениях пластины
(см. гл. 18) определяются из соотношения
где
{М}=[ЕМ] М,
(17.223)
д'2ш
[Ом] =
Г
Г^Х
{М} = Му
0
Ор'
О,
о
о
о
Ок
Е/г3
12(1 — V2)
V
V
1
0
0
1
дх2
д2^
ду'2
2
дх ду
-—для ортотропного материала; (17.224)
о
о
— V
~2~
— для изотропного материала.
Компоненты напряжения в элементе пластины на основании известных
зависимостей теории изгиба пластин
я* ' ’МХ '
{а} = Му
^ху К3 МХу
(17.225)
Компоненты вектора {и) определяются дифференцированием функции про-
гиба элемента пластины ш (х, ^). В результате получаем
(х) = [И] {д}. (17.226)
С учетом зависимостей (17.223) и (17.226) из выражения (17.225) получим
матричную зависимость для определения компонентов напряжений
= {<?}»
где
122
1^] = [ад 1Щ- (17.227)
В общем виде выражение (17.227) весьма громоздко. В практических расчетах
вполне достаточно располагать матрицей (17.228), позволяющей определять ком-
поненты напряжений в узловых точках конечного элемента (см. с. 278).
При достаточно малом размере элемента для оценки напряжений можно вос-
пользоваться формулой (17.229), которая вычисляет среднеарифметическое от со-
ответствующих значений узловых компонентов напряжений.
13.1.3 . Вектор узловых нагрузок. Значения эквивалентных
узловых сил, заменяющих действие на элемент распределенной внешней нагрузки
интенсивностью д (х, у), определяются по формуле
р1 = ] (х, у) Мс (х, у) <1х(1у. (17.230)
г
Нумерация и положительные направления для Р[ соответствуют таковым для уз-
ловых перемещений (см. рис. 17.42,а).
Для д (х, у) = д0 = сопз! на основании (17.230) получим
Ь а Ь
б”’ “б”’ "б”’
(17.231)
Для внешней силы Р, приложенной в центре прямоугольного элемента,
=“4) 4’ “ 4 ’ 4 ’ 4 ’
Ь а
Т’ Т’
Ь
4 ’
(17.232)
13.2. Прямоугольный элемент жесткой пластины с 16 степенями свободы.
Выражение (17.214) для упругой поверхности, хотя и удовлетворяет условиям
непрерывности самого прогиба во всей области, но приводит к появлению «сло-
мов» при переходе через границу двух смежных элементов. Следует отметить, что
формулу (17.70), как и зависимость (17.71), можно применять лишь при условии,
( ПА °У >•'01 °х '°У ' 1 Тд^2 12^ 1 2 3 4 5
6 — 6х>т т — 4х’2а 4Ь 6 ГП 0
Т„ 6 — 6т — х 2 х\ т л л’з — 4а V, 46 V, 6 т 4 2 0
2 /?1<Р . ‘С*КР 2& — ^кр 2а Ох -2 ^КР /л -2й^₽ о.
6 т 0 - 2Ь 6\’, т т — 4ах’г
сч СО | 5 0 — 26у2 с V, бУо х\ т л V., — 4а —2-~. VI
2 />КР О| п1 0 а Р»<Р -26^2. «1
1* №аЬ °х °у Тл^3 V ГИ ^Тлт/ ( Л 0 0 0 6тх'2 2а Уа
0 0 0 6т — VI а Vо 2а —=- VI
2 Ркр 0 0 -2 ^кр Я1 0
6т\>2 2ах^ 0 0 0
о 53 •ф 2а -^- VI 0 0 0
2 Пкр - О, 0 ^кр 20 о ' -2 П|<Р ^>1 0
0е?
.ср
х//
1 2 3 4 5 6
0 ь 0 ^2° — ь
ба, 2 Л’о — а — а VI
1^аЬ 0 0 — Х'-гЬ
) 1 ^к|> 7>,” 26^ о ^КР -2лаГ , аК|, 1>! — 2/2^ а. -2а'^-
7 8 9 10 И 12 ~
0 — Ь 0 ь 1/1
0 ^г“ — Ьх2 0 А о — а VI 1 1 ч'2& 1 .
4^2 Р1 -Р1 2а _4^«! 1>1 2Л^₽ 2а -ут2- ^1 6/12 —
(17.229)
когда принятые выражения для компонентов перемещения удовлетворяют всем
условиям сплошности, включая условия кинематической стыковки смежных ко-
нечных элементов. Получаемая при этом матрица жесткости называется совмест-
ной. Нарушение этого условия приводит при использовании формулы (17.70)
к получению так называемых несовместных матриц жесткости. Использование та-
ких матриц жесткости в практических расчетах таит в себе большую опасность,
поскольку наряду с удовлетворительным результатом для одной задачи оно мо-
жет привести к получению ошибочного решения для другой задачи.
Из вышеизложенного следует, что матрица жесткости (17.221) является не-
совместной. Однако для подавляющего большинства интересующих пас задач
изгиба пластин использование матрицы (17.221) приводит к получению вполне
удовлетворительных численных результатов. Именно этим и объясняется широкое
использование матрицы жесткости (17.221) в практических расчетах пластин
по МКЭ.
Еще более падежные результаты при расчете пластин на изгиб по МКЭ
получаем при использовании прямоугольного конечного элемента с 16 степенями
свободы, по четыре узловых неизвестных в каждом из узлов
(I = 1, 2, 3, 4).
Прогиб такого элемента можно представить в следующей форме:
1=16
^(х, У) = 2
1=1
где
(дю \ / дю \ / д2ю \
<?///! 3 \ дх /1 п \ дхду /1’
/ дю \ / д2ю \
Цк — Сл — ( —х— ) > • • •> У 1в — ( —п— )
2 0 \ ду /2 \ дхду ) 1
— элементы вектора узловых перемещений. Их положительные направления
приведены на рис. 17.42, б (вектор с горизонтальной чертой у основания опреде-
ляет вторую производную); К[ (х, у) — функции Эрмита для двухмерной прямо-
угольной области, принимаемые в виде произведения определенных одномерных
функций Эрмита (17.35) соответственно по направлениям х и у\
(х, у) = Л71 (х) (у)', Л'» (*, .'/) = мз (х) ^з(у)-
К2 (*> у) = Кг (х) К2 (у); к3 (х, у) = —К2 (х) К± (у); ^4 (X, у) = К2 (х) К2 (У)'» (х, у) = Л'з (х) Ы4 (у); Иц (х, у) = (х) /У3 (у); 'у12 (х, у) = ЛГ,(х) Мя(у); (17.234)
К5 (х, у) = К3 (X) /Ух (у); Кв (*> У) = К3 (х) К2 (у); д7(х, у) = —К4 (х) Кг (у); К8 (*, у) = /У4 (X) К2 (//); л'1з (х, у) =М1 (х) Мя(у); (х, у) = Л'т (х) 1У4 (у); ^15 (х, у) = — К'„ (х) Л'’3 (у); ^1е(х, У) = ^2(x)^^(у).
Внося выражение (17.233) с учетом (17.234) в формулу (17.217), сможем
получить значение совместной матрицы жесткости прямоугольного элемента орто-
тропной пластины, связывающей узловые усилия с узловыми перемещениями
{Я}=ИН<7).
(17.235)
Матрица жесткости [/(] в развернутом виде приведена ниже [см. (17.236) ].
II
к
(Ц - 156 (о 4- с2) 4- 72с3 4- 144г4;
Ло== (4$х 4~ 52с2 4~ $$з Ч- 16сх)1
$3 = 0“ (52гх 4~ 4г2 4~ Зг3 Ч~ 16$4)»
й4 = Ь (22сх 4- 78с, 4- З6с3 4~ 12с4);
а6 = —а (78с\ 4- 22г2 4~ З6с3 4~ 12с4);
а6 = 54сх — 1 56с2 — 72с3 — 144с4);
ад = —Ь (13<?х — 78с2 — 6с3 — 12с4);
ахх = а (—27сх 4~ 22с2 4- З6с3 4- 12с4);
$13 = —54 (гх 4~ $2) Ч" 72с3 4~ 144сх;
$Х4 = —Ь (—13сх — 2/ с2 4~ 6с4 4~ 12с4)^
$Х8 —— —а (27сх 4~ 13с2 6$3 — 12г4),
$хз == —156сх 4~ 54 с2 — 72 с3 — 144с4;
$ю = —Ь (22сх — 27 с2 4- З6г3 4“ 12с4);
°21 — ~~а (78сх — 13с2 -}- 6с3 4- 12с4);
$28 == —С1 Ч” 11 С2 Ч~ 8с3 4“ ^4)?
я2б ~ Ч" 26с2 — 2с3 — 4с4);
(13 \
2 — 11 ^2 — 2г3 — с4 \ ,
°28 — (3^1 Ч~ ^С2 Ч- 2с3 4“ 4с4);
с / 13 ,13 с3 \
д29 — —( 2 С1 ”* 2~* 2 ’
а31 = Ь2 (—4сх 4~ 13с2 — 8с3 — 16с4);
$32 — (—11$1 Ч~ — З<?3 — с4);
$б = — $4-
$7 — $6’
$10 = —$9’
$12 = —$11>
$15 ~ —$14’
$17 = —й16>
$20 = —а19>
$22 = —й21»
$24 ~ —а23»
$27 = —$26’
$30 == —а2^
$33 “ —а32>
а38 ~ а3^
$10 — —$39»
$42 = —«41»
$44 “ —$43»
$40 == «45»
$48 — —
$60 “ —«49»
< . / 3 13 Со с л \
«ы — аЬ- ( •— ^'1 --г— с, -4--2- —1. V п .. .
\ 2 Ь 6 3 / ’ 52----аы>
( 13 3 с, с \
= 0-Ь ------- С1 - — С, - ~ ) ; йм = _аьз.
о» ~ аЬ ( 11С1 Я 2~ с- ^сз — <ч) а6в = —а65;
я6, = аЬ2 (—2с, + -— с2 — — с3 — -1. ; а58 = — о„;
а™>~ ®Ч- 3 1 + ТС2 + гз+ —); и00 = — аи;
ав1 = а-Ь'1 (-$- С! + ~ с.2 + А Сз .
, / 2 2 4 X
«б2 = а21г ег 4- — с2--------— с3 — — с0 ;
а — а2Ь2 (_______—_______
°63 -а о { 2 2 ф 18 + 9 ) ’
2
4
ДС
Я64 —
С1 С2 “д' С3 д~ ^4 ) )
35т-
т2 О 2
С2-“35~ТГ;
12(1-г^2);
с3 =
О2 =
Л. с __
25 ’ 4“
Е2Дз
. Г) __
т= — , Ох-
12 (1 — х^х'з)
1 Рк .
25 И! ’
П 12
Вектор эквивалентных узловых нагрузок для частного случая д (х, у) =
= = сопз1 имеет следующее значение:
^аЬ_(. ±_ _±_ 0 ! Ь_ _а_
И) - 4 р? 6 ’ 6 ’ ’ ’ 6 ’ 6 ’ и’ ’
0-, -у> °> ь (•“» "б"’ °)* (17.237)
После определения для каждого конечного элемента вектора ;д, возникает
вопрос, связанный с определением компонентов напряжений. Для этого необхо-
димо определить в узловых точках значения изгибающих моментов Мх и Му.
Эго можно сделать, воспользовавшись непосредственно зависимостью (17.235),
из которой, в частности, с учетом правила знаков для изгибающих моментов,
которое принято в теории изгиба пластин и в теории МКЭ для обобщенных уси-
лий (рис. 17.42), следует
\
^=1
16
Л1//! = Р2 = > | (17.238)
1=1 !
16
^1/4 ~ ^1-1 ~ ^14,
1=1
Точность определения изгибающих моментов можно повысить, если ампли-
тудные значения каждого из узловых моментов Л1о Л17, определясь как
среднеарифметическое амплитуд соответствующих узловых моментов конечных
элементов, сходящихся в данном узле.
13.3. Прямоугольный элемент пластины средней толщины. 13.3.1. М а-
т р и ц а жесткости при использовании принципа воз-
можных напряжений. При расчете пластин средней толщины (для
таких пластин требуется учет влияния деформаций сдвига по толщине) па изгиб
по МКЭ хорошо себя зарекомендовали так называемые гибридные конечные эле-
менты, основанные на использовании принципа возможных изменении напря-
жений. Матрица жесткости и вектор эквивалентных нагрузок одного из таких
гибридных элементов будут получены в настоящем пункте.
Зададимся выражениями для усилий пластины, работающей на изгиб, в виде
Мх ’ “100x0“ а/
Му 0 10 0г/ а2
Мху 1 . — 0 0 10 0 а3 = М] {а}
0 0 0 1 0
Л’х, 0 0 0 0 1
(17.239)
Зависимости (17.239) тождественно удовлетворяют однородным уравнениям
равновесия элемента пластины. Связь между моментами и кривизнами, попереч-
ными силами и сдвиговыми деформациями для ортотропного материала, главные
направления ортотропии которого совпадают с осями х и у, запишется в виде
где
' Мх
Му
Мху
'О1
^2^1
о
0 -
о
Ок
0 '
АС2з
д2ю
дх2
д212)
2ПГ-ЗГ-
дхду
Е2Ъ? .
2 12(1~ ^т2)’
= {*};
С12^3
12
(17.240)
(17.241)
#1 =
о
0
д2ш
Е2, 612, 613, С23, у2 — параметры, характеризующие механические свойства
ортотропного материала.
Если пластина изготовлена из изотропного материала, то
Е1 — Е2 — Е; — г2 — V; С12 — С13 = С23 = О = тут-Л ;
2(1-Н)’
Совокупность зависимостей (1 /..240) и (17.241) перепишем в форме одного
матричного уравнения
1
Мх е, ^1\*2 0 0 0 {«)
Му О, 0 0 0
(<?}= Мху. — о 0 О/г 0 0 = [Ее]{е}. (17.242)
Нх 0 0 0 ЛО13 0
"у 0 0 0 0 Л62:! {?}
1 1
На основании принципа возможных изменений напряжений (15.70) для эле-
мента пластины, за! ружейного вдоль своего контура усилиями взаимодействия
ео смежными конечными элементами, будем иметь
{У}/г*) = о,
(17.243)
где
V
(17.244)
V
— потенциальная энергия элемента; {0.}]^ —усилия на контуре элемента, ко-
торые определяются на основании зависимостей (17.239);
Мх (0, у)
-"х (0, У) - (0, у)
—Мх(а, У)
(а, у) + —(а, у)
Му (х,.0)
(х, 0) - (X, 0)
—Л1</(х, Ь)
ыу (х, Ь) -|- (х, Ь)
—с<1
—С/ч — С4ЦХ
I 641
1 а2 } = 1Л1Ца}; (17.245)
—а2 — аьЬ
I “6 I
{I/}и — вектор перемещений вдоль контура конечного элемента.
Естественно выбрать такой закон перемещений для элемента (рис. 17.42, а),
который приводил бы к удовлетворению кинематических граничных условий на
контуре конечного элемента
1=4 1=4 Т
{X, у) = У (х, у); ₽ (х, у) = У, (X, у); I
1=1 1=1 |
б(х, У)= У №{(х, у), I
>=1 )
(17.2-16)
а ( ^^изг\ с ( ^^изг \
где Рд = — I —; бд = —) —значения пол-
4 г \ дх ]х^х.,у=у^ \ ду )х^хС,у=у1
ного нормального перемещения и углов поворота сечения от изгиба по направ-
лениям осей х и у в узловой точке (х/, у[)\ IV(х, у) — функции Эрмита, определя-
емые по формулам
^(х, </) = (>—
На основании зависимостей (17.246) и (17.247) можно выписать следующие
выражения для контурных перемещений, па которых совершают работу усилия
' ₽ (0, //) ’
ш(0, у)
₽(а, у)
®(а, у)
' 6(х, 0)
IV (X, 0)
8(х, Ь)
! ДО (х, Ь)
или, в матричной форме,
{^ = [^4 {?}.
(17.248)
где элементы вектора {</}
соответственно равны
91 = «ь; <7г = 61! <?3 = ₽1! <7« = «Ъ...........................<712 = Р«-
С учетом (17.244), (17.245) и (17.248) зависимость (17.243) может быть приве’
дена к виду
6 (“Г (“) ~ 1Л {<?}) = О, (17.249)
где
а Ъ
Ш / /мГ^еГЧЛ]^; [7] = (17.250)
0 0 $конт
Из (17.249) следует
[Л](а}-[7] {</}=(),
отсюда
{а} = [А]"1 [Л {<?}• (17.251)
Тогда выражение (17.244) с учетом зависимости (17.251) может быть приве-
дено к виду
п = 4{9’Г(/<1
где
И] = [Л7" [Л (17.252)
есть искомая матрица жесткости прямоугольного элемента пластины. Значитель-
ная громоздкость элементов этой матрицы затрудняет ее выписывание в развер-
нутом виде. 1 1
Следует заметить, что при использовании матрицы жесткости (17.252) для
решения задач изгиба пластин по МКЭ усилия в пластине определяются из зави-
С^7 2^Т1) (17*23$) ПРИ значении {а}, вычисленном предварительно по формуле
13.3.2. Матрица жесткости при использовании прин-
ц и п а в о з м о ж н ы х перемещений. Матрицу жесткости для пластины
средней толщины можно получить также путем использования метода пере-
мещений. С учетом введенного в п. 13.3.1 правила знаков для углов поворота
перпендикуляра к срединной поверхности р (х, у) и б (х, у) имеем
^- = б(х,У).
Тогда углы сдвига
дпу , п . . ди)
Ух=~дГ + Р (х' у}' Т" = ~дТ ~ 6 (*’ у)' (17.253)
Если учесть соотношения (17.253) и зависимость (17.242), то непосредственно
из выражения (17.244) можно получить следующую формулу для определения
потенциальной энергии элемента изотропной пластины с учетом деформации
изгиба и сдвига:
П (р, 6, ку) =
др дб
дх ду
р
дх ду.
(17.254)
Внося в (17.254) выражения для ау (х, у), Р (х, у) и б (х, у) из (17.246), можно полу-
чить выражение для матрицы жёсткости [К], связывающей вектор узло-
вых усилий с вектором узловых перемещений {у}:
{Я} = [К] {<?}, (17.255)
где
{ч} = {<7192”-<712} = {^б1Р1^2б2”-Р4}. (17.256)
Однако полученная таким путем матрица жесткости приводит к ощутимой погреш-
ности при расчете пластин, для которых влияние деформаций сдвига мало. От-
меченные недостатки можно устранить, если для вывода матрицы жесткости вос-
пользоваться методом двойной аппроксимации *.
Выражение (17.254), если воспользоваться зависимостями (17.253), можно
а Ь
Ц2- ахЛу + 4 1И 62х + 07-257)
о о
♦ Болдычев в. П. Двойная аппроксимация угла поворота при расчете пластин
средней толщины методом конечных элементов. — Известия ВНИИ! . 1. 133, ш/у,
с. 68 -74.
Значения функций ух и у/7 в (17.257) определяются из эквивалентных зависимо-
стям (17.253) двух следующих условий стационарности:
дх ду = стац.;
г
ди) _
"3-----о
ду
= стац.
(17.258)
Примем для и у у постоянные значения по площади конечного элемента
у* = у У = у°у-
С помощью зависимостей (17.258) сможем выразить величины у” и у{)у через эле-
менты вектора {9}.
Используя полученные таким образом значения у° и у°, можно придать фор-
муле (17.257) вид
П=-^-{?}г[Л] {<?}, (17.259)
где [Л]— искомая матрица жесткости прямоугольного элемента изотропной
пластины средней толщины.
Значения изгибной и сдвиговой составляющих матрицы
[ЛЛ] = Ки] + Ис1
(17.260)
приведены ниже [см. (17.261) и (17.262)].
§ 14. Треугольный элемент пластины при изгибе
14.1. Элемент жесткой изотропной пластины с 9 степенями свободы. При
определении матрицы жесткости такого элемента (см. рис. 17.43)
Л \ ди) . . ди) ,
41 = № (Х1, У1У 4г = (Х1, Л); <7з =----(*1, уг), . . .
Рис. 17.43
4(а2 + х&2) -Зод(\’+х) 2а2-4уЬ2 ЗаЬ(У-х) ~2(а* + хЬ2) ЗаЬ(у+у) 2уЬ2-4а2 Зад(х~\’)
4 (а' + Х&г) Зо6(Т-}-Х)
ь<
Ю Бойцов Г. В. и др
289
Яг^ (гЯ 4" г») 8
выражение для нормального прогиба задается в виде полинома 3-й степени
№ (х> //) ~ ~г + аз!/ 4" а±х- 4- <хъху -|-
-к ав//2 4- «7х3 4- а8 (х2у 4- ху2) 4- (17.263)
Значения посюянных сс-/ можно выразить через обобщенные перемещения тре»
угольного элемента
{<?) = [В] {а}, (17.264)
где
{я} = {Я1Я2 - • {а} = {«!«.>• • ае);
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 0 0 0 0 0 0 0 I1
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1г
0 —1 0 0 0 0 0 0 0 з
1 0 У- 0 0 У1 0 0 Уз 1
0 0 1 0 0 2Уз 0 0 З1/2 Ь
0 —1 0 0 ~У> 0 0 — У-2 0 Г
1 Уз 4 хзУз Уз у'2 Лз Уз |
0 0 1 0 хз %Уз 0 2*зУз 4~ 4 3</5
0 —1 0 —2х3 —Уз 0 -3x1 — (44~2х3//3) 0
(17.265)
Исключая из (17.263) с помощью зависимости (17.264) вектор {а} и внося полу-
ченное при этом выражение для ш (х, у) в формулу для потенциальной энергии
изгиба элемента (17.217), получим
П = 4- (17-266)
где
[X] = [В-1]7 1К“1 [В] (17.267)
— искомая матрица жесткости для треугольного элемента пластины при его из-
гибе.
1 О а Матрица [ /<а 4 5 ] в развернутом виде: 6 7 8 9 ~
0 1
0 0 2
0 0 0 Симметрично 3
0 0 0 4Л, 4
[Ка]= о 0 0 0 0 2(1—V) Л4 5
0 0 0 4уЛ» 0 4 А1 6
0 0 ы 0 12Л2 0 12\*ЛЯ 36Л3 7
0 0 0 4(\/12-Р + Л4) •1(1-V) X X (Л 2 + 14-Л 4) 2. 1( 12-1- ~г 4Л4) 12(\'Л2 + + Л4) (12—8у) (Л3 + + 2Лв А 6) — -8(1-у) Лв 8
0 0 0 12уЛ4 0 12Л4 ЗбуЛ, 12 (А6 У/1 в) 36ДЬ 9
где А 4 = А 1 6 1 . л — ^2 ~~ ~ х3Уг (Уг + Уа)> Аа ^6— 24 Л 0 хгУ2* ^3 — |2 ^8^2’ = 12 х3у2 (у1 + у2у3 + з (.Уа "к 2//з). <17.26 (17.26 8) 9)
14.2. Матрица жесткости для конечного элемента треугольной формы с пря-
мым углом. Используя зависимости (17.265), (17.267) и (17.268), матрицу жестко-
сти для конечного элемента треугольной формы с прямым углом (рис. 17.44)
можно представить в развернутом виде [см. выражение (17.270)], Эта матрица
позволяет связать узловые усилия элемента {/?} с его узловыми перемещениями
к).
Рис. 17.44
где А
14.3. Преобразование матрицы жесткости для треугольного элемента при
переходе к общей системе координат. Введем в рассмотрение матрицу нап-
равляющих косинусов
"/0 0
0 I т
0 —т I
(17.271)
где / = соз (х. х); т — соз (х, у).
Матрица [/] определяет положение местной системы координат хху конечного
элемента относительно общей системы координат гху.
С помощью матрицы [/] определяется связь между узловыми усилиями (/?}
и перемещениями {7} в общей системе координат с узловыми усилиями {7?) и
перемещениями {7) в местной системе координат (см. рис. 17.45):
{7?)=т{/?); («) = [Ш (17.272)
Здесь
"[/] 0 0 ’
(7-) = 0 т 0 . (17.273)
0 0
С помощью зависимостей (17.272) получаем
{«} = К] {?}, (17.274)
где _
= [Гр [И (17.275)
— матрица жесткости в общей системе координат.
14.4. Изотропный элемент пластины средней толщины с 12 степенями сво-
боды. Треугольный элемент имеет произвольное расположение узловых точек
(см. рис. 17.46). Элемент имеет 12 степеней свободы: каждая вершина треуголь-
ника по три степени свободы (07, 6/, р/) и каждый узел посередине сторон по одной
степени свободы (цуу). Нумерацию вектора узловых перемещений элемента примем
по порядку обхода узловых точек элемента против часовой стрелки
{7) = {71^2-• ^12} = {^161Р1^4^2б2₽2^5-(17.276)
Положительные направления компонентов вектора {7} приведены на рис. 17.46.
С целью упрощения выкладок, связанных с построением матрицы жесткости,
введем так называемые Т-координаты [6], которые связаны с декартовыми коор-
динатами х, у соотношениями
^1 = О1-}-Ь{х+ с[У (/=1, 2, 3). (17.277)
Здесь коэффициенты Ъ[у С( зависят от координат вершин треугольника
а, = ^Уз ХзУ2. = ; с, = *32//г ; (17.278)
остальные коэффициенты в (17.277) получаются из (17.279) путем круговой пере-
становки индексов 1, 2, 3; Г — площадь треугольника.
Для функций 0 (х, у) и 6 (х, у) используем линейную аппроксимацию
4=3 1=3
₽ (х, У) = 5 РА (*. уУ 6 (х, у)=Е (х, у), (17.279)
4=1 4=1
а для функции пу (х, у) — квадратичную
ПУ (х, у) = (2кг —1)^4- Л2 (2Г2 1) пу2 4-
4' Лч (2^3 1) ^к^к^Ш^ 4“ 4“
(17.280/
1“ 'О СО. а а •о т>
04 Г-Ч — 1 со — — — [1
Г~ч I- > 1 1 ^1з4~Хс1з 00 1 01 «О > 1 со см м ?| т п ^3 > р 1 00 к 4- 00 »0 1
о •—< со + со г « Т Соз 4" Х^->3 См « л »♦ 1 + СО м
о — — — — —
ОО — —
г- X |~ 0* 7 •и + см <г С* с» 1 «ч «а + С1 е» «О
см + С1 1 7 с* С1 7с + 01
ю о I* ь, О1 1 о» 04 1 о
'Г ь «V X О г 01 1 < см 1 5
со »-Ю 1 •ч 4- <г + к и. С1 л ’““ч
С1 -с? + <г 11 •*-ч о
т—<
Рис. 17.46
Подставляя в формулу (17.254) выражения для функций р (х, у), 6 (х, у) и ьу (х, у)
и выполняя все необходимые вычислительные операции, получаем
’/ = 4- !")т 1К) ('?),
где
И] = Ии] + [ХсЪ (17.281)
Выражения для коэффициентов изгибной матрицы жесткости [Ки] и сдвиговой
[7<с] приведены на с. 295, 296 [см. соответственно формулы (17.282) и (17.283)].
В случае действия на элемент пластины равномерной нагрузки д (х, у) = д^
вектор узловых эквивалентных нагрузок равен
{/>} = (100010001000).
о
По найденному в процессе решения задачи вектору {7} можно определить
для рассматриваемого конечного элемента вектор узловых усилий
Значение вектора {/?} позволяет найти значения узловых моментов Мх и Му
в вершинах треугольного элемента. Положительные направления моментов со-
ответствуют положительным направлениям соответствующих углов поворота 6
и Р, которые приведены на рис. 17.46. По найденным моментам с помощью формул
(17.225) определяются фибровые значения нзгибных напряжений^ и оу в вер-
шинах треугольного элемента.
§ 15. Применение метода конечных элементов
к решению задач устойчивости упругих систем
Ниже рассматриваются лишь задачи эйлеровой формы потери устойчивости,
когда при достижении внешних нагрузок их критических (эйлеровых) значений
происходит смена равновесных форм. При этом сохраняются, по существу, все
основные положения МКЭ.
Потенциальная энергия упругих систем дополняется членами, связанными
с учетом влияния нагрузок, вызывающих потерю устойчивости. Последнее при-
водит к тому, что матрица жесткости дополняется новой матрицей, называемой
матрицей геометрической жесткости.
15.1. Устойчивость стержней. Дополним потенциальную энергию элемента
стержня членом, учитывающим влияние осевой сжимающей силы Т. Получим
П =- | [V* (х)]^х (х)]2
О 6
296
297
Внося в (17.284) выражение для упругой линии из формулы (17.101), полу-
чаем
4 4
П = 1 У 2 (Ьк - Ик) <Мк, (17.285)
1~к=1
где — элементы матрицы жесткости [Д’] конечного элемента стержня при его
работе на изгиб [см. (17.104)];
а
81к = Т | И ^(*) (17.286)
О
— элементы геометрической матрицы жесткости [5]
6/5а 1/10 — 6/5(7 1/10 -
1/10 2а/15 — 1/10 — а/30
[5] = Т . (17.287)
— 6/5(7 — 1/10 б/5а —1/10
1/10 —я/30 — 1/10 2а/15
Вводя далее в рассмотрение вектор узловых перемещений элемента стержня
{</) — {71<72<7з<74} (см. рис. 17.21) и учитывая содержание матриц [/<] и [5], выра-
жение (17.284) можно переписать в следующей матричной форме:
П = 4-МГГ/<-51{<7}- (17.288)
Отсюда связь между узловыми усилиями элемента стержня {/?} и его узло-
выми перемещениями {<7} запишется в виде
{Л} =[К-5] (?}. (17.289)
Вводя далее в рассмотрение вектор узловых перемещений всей конструкции
в общей системе координат с помощью рассуждений, аналогичных приведен-
ным в и. 17.1.1, для рассматриваемого случая получаем
[/(* — $*] {(?} =0, (17.290)
где
[5*] = [Н]г (5г] [Я] (17.291)
— матрица геометрических жесткостей всей конструкции в общей системе коорди”
нат; — квазидиагональная матрица, элементами которой являются матрицы
геометрических жесткостей конечных элементов конструкции в общей системе
координат.
Если вместо силы 7/ для Его элемента ввести величину
= (17.292)
где /0 — некоторая величина, имеющая размерность силы, то уравнению (17.290)
можно придать вид
[/<’ — /05‘] (0> =0. (17.293)
Приравнивая пулю основной определитель системы уравнений (17.293), получаем
искомое уравнение устойчивости конструкции
I К* — 108* | = 0. (17.294)
Наименьший корень /0 уравнения (17.294) и определяет с помощью зависи-
мости (17.292) искомые значения эйлеровых сил для рассматриваемой стержневой
конструкции.
Заметим, что матрица жесткости [/(*] в сочетании с матрицей геометрических
жесткостей [5^] позволяет решать проблему продольно-поперечного изгиба для
стержневых систем. В этом случае основное уравнение равновесия конструк-
ции запишется в виде
[/<*_ 5*] {(?} = {Е}, (17.295)
где (Е) —вектор узловых внешних поперечных усилий стержневой конструкции
в общей системе координат.
15.2. Устойчивость пластин. Пусть в рассматриваемом пластине под дей-
ствием заданных внешних сил, действующих в ее срединной плоскости, возникает
напряженное состояние, характеризуемое компонентами напряжения о°, о0
и т?ху. Для определения ох, и то^ М0Гут быть использованы аналитические ме-
тоды решения плоском задачи теории упругости либо метод конечных элементов.
Обычно внешние силы, действующие на пластину, изменяются пропорцио-
нально одному параметру, который обозначим через о0. При этом докритичсское
напряженное состояние можно представить так:
4 = а0Ф1 (х, у); о° =0о<р2(х, у); г°ху = а0<р3 (х, у). (17.296)
При некоторой величине параметра Оо первоначальное плоское напряженно-
деформированное состояние пластины оказывается неустойчивым и возможно
существование смежного искривленного равновесного состояния пластины.
Ограничимся случаем, когда исходная пластина разбивается на совокупность
прямоугольных конечных элементов, соединенных между собой в узловых точках.
Полная потенциальная энергия элемента пластины будет складываться
из энергии изгиба (17.217) и потенциальной энергии срединной поверхности
= Пизг 4" Г1ср. нов» (17.297)
где а Ь
„ Г [ Г о / \2 , о / ди> \2 о ди) дш "I , ,
Пгп пгт = -о“ I I °\- ( -5----5— дх ду.
ср. пов 2 3 3 [ х \ дх ) * \ ду ) хи дх ду ]
о о
15.2.1. Матрица геометрических жесткостей прямо-
угольного элемента пластины с 16 степенями свободы
(рис. 17.42, б). После подстановки ш (х, у) в форме (17.233) в (17.297), находим
16 16
п = у У (/ад + о0ад) <?,</*,
1=1 /г=1
где являются элементами матрицы жесткости [К] [см. (17.236)1, а
. Г Г Г д^1 дЫк , 61У/ д^к , т Г д^ дХ к
О о
+ -к-^- —т-1- ) дх ду
” дх ду ) .
— элементы матрицы геометрических жесткостей прямоугольного элемента
пластины [5] = 1(17.298)
Если предположить, что докритичсское напряженное состояние пластины
при о0 = 1 известно (решение плоской задачи теории упругости), то при доста-
точно малых размерах конечных элементов докритическое напряженное состояние
рассматриваемого конечного элемента можно представить в виде
Ф1 (*> У) = (ао = 9 = Л1 + ^2 ~
фо (х, У) = (а0 = 1) = ---г) *
Фз (*> У) = ^ху (ао = 0 = (17.299)
где _дг- — постоянные параметры, которые в общем случае различны для разных
элементов. /1*7
Матрица геометрических жесткостей для напряженного состояния (17.2У6)
может быть представлена в виде
[5] = * (± А1 [5Х] + 4 А2 [5,1 + 4 Лз[5,1 + 4 л4 [54] + Л6 Ь%1) ,
350 \ а а (17.300)
гдей-толщинаэлемента; [5,1, [521, ..[56]-матр>щы, значения которых при-
ведены ниже [(17.301)—(17.305)],значение матрицы [5] подсчитано Жесткой В. Ф.
9 10 11 12 13 14 15 16 —
-54 136 9 а 2 13 А -—Об 54 — 136 I о 1 I3 А --Об 1
—136 362 13 л - 12 оЬ аЬг 4 136 -362 1.3 (10 аЬ- 2
12 4
9 — а 2 13 . аЪ 12 1 СО О ю - « 36 9 2 а 6а2 4- 1 3
13 а — — аЬ 12 -Н2 13 ,, . 6 12 042 13 ь иаЬ “ТоИ - '1 -4-а’б2 О 1 4
51 -136 9 — а о 4- —54 136 9 2 ° 13 / ~паь 1 3
136 — 362 13 . аЪ 12 тя62 -136 36 2 13 > 12 ВЬ -4- аб2 4 6
9 Vе 6а2 4^ 9 2 й 13 1 12 06 3 ~~2аг -4|-а26 7 36 1
13 , аЬ 12 Тй63 13 2Г йЬ - — а-Ь~ 3 13 > ись “Та?ь 4«го 36 12^ 8 : (17.301)
156 —226 13а 11 1 -~йпь -156 226 13а 11 >, ~аЬ 1 9
4б2 -4яЬ -ТаЬ2 226 -462 11 >. -~6-яд — аЬ2 I 10 к5 I
4- 22 2. -9- «Ч> —13а и «. — аЬ 13 , 3 а“ - 4^- а24 и 1о 1
4 _ -$-а262 11 л --б-'"6 1 А2 —- аЬ2 О — а21 18 > --уа2б’ 12
156 -226 —13а - -У- аЬ 13 6 1
46’ И. а —-аб 6 * 4>аЬ2 и о I
। . ,1 с» СаЗ| о К> 22 1А ХГ а2Ь 115
4 1 —а2Ь- 16 9 ।
9 10 11 12 13 14 15 16 —
0 Ь 2 0 аЬ ~24~ 0 Ь 2 0 аЬ ~2Г 1
Ь " 2 0 аЬ 24 0 Ь 2 0 аЬ 24 0 2
0 аЬ тг 0 а2д ~72~ 0 аЬ ' 1Г 0 агЬ 18 3
аЬ 24 0 а2Ь 72 0 аЪ “24" 0 а2Ь 18 0 4
0 Ъ 2 0 ад ~2Г 0 ь__ 2 0 аЬ 24 5
Ь 2 0 оЬ "24" 0 Ъ 2 0 ад "24" 0 6
0 аЬ ~21 0 а2/) 18 0 аЬ ’ ~24~ 0 а2Ь 72 7
аЬ 24" 0 а2Ъ 18 0 аЬ ~24 0 а2Ь ~~1Г 0 8 ; (17.302)
42 -46 1а ад ~3~ -42 46 1а 2 аЬ ~3~ 9
Ь2 2 аЬ з" аЬ2 ‘24 46 __ &2 аЬ аЬг 24“ 10
14д2 3 4а2Ь 9 Та 2“ аЬ 1а2 6 а26 9 11
а2Ь- 18 аЬ Г аЬ2 24 а2Ь 9 — а2&3 72 12
42 -46 1а 2 аЬ 3 13
62 2 аЬ аЬ2 24 14
14<72 3 4а26 15
а2Ь2 18 16
9 10 11 12 13 14 15 16 “
-54 96 2 —13а 13а5 12 -156 136 22а Наб 6 1
96 2 35 2 2 13а 5 12 13а52 36 -135 1362 3 Паб 6 __ Паб2 18 2
13а 13я5 12 За2 а2Ь 4 22а Паб ~б"~ -4а2 а26 3 3
13аб 12 13аб2 " 36 _ аЧ) 4 а252 12 Паб 6 Паб2 18 агЬ ~з-~ аг62 9 4
—156 135 -22а Паб 6 -54 96 9 13а 13аб 12 о
-135 1352 3 Паб 6 Паб2 18 95 2 362 ’~2 13аб 13аб2 ЗС~ 6
—22« 11 аЬ 6 —4а2 а25 3 —13о 13аб 12 За2 а26 ~4~ 7
1\а1) 6 Цаб2 18 а25 3 а252 9 13аб 12 13а63 56 агЬ 4 а262 12 8 ; (17.303)
156 -135 22а Паб 6 54 96 2 -13а 13аб 12 9
525 2 3 11а5 6 _ 22а52 9 95 2 6б2 13а 6 12 13аб3 9 10
1а2 а25 3 13а 13а 6 12 -За2 а25 4 11
4а252 9 13а5 12 _ 13п^г 9 — а2Ь 4 а262 3 12
156 —136 -22а Наб 6 13
5262 3 Наб 6 22аб2 9 14
4а2 а26 3 15
4а262 9 16
305
Г 1 2 3 1 5 6 7 8
1 —42 76 4а аЪ 0 0 а аЬ
2 3 2 24
1462 3 аЪ ~з“ _ 4аЪ2 9 0 0 аЬ 2' аЬ 2 “18“
а2 о а2Ь 24 а 2~ аЬ 21 0 0
а-Ь2 18 аЬ ”2Г аЬ2 18 0 0
42 7Ь 2 1а а!) 3~
П6а 3 аЬ ~3~ 4а Ь2 9
а2 “2~ а2Ь 21
а2Ь2
Симметрично
9 10 11 12 13 14 15 16 "
-175 356 —35а —7а6 0 0 35а 7а6 1
— —356 356 2 6 —7а6 7а62 6 0 0 7а6 7а62 6 1 2
35а —7а6 35а2 6 7а26 6 —35а 7а6 0 0 3
—7аЬ 7 — а6“ 6 _ 1а~Ь 6 _ 7а2Ьг 36 7а6 7а62 6 0 0 4
0 0 35а 7а6 175 —356 —35а —7а6 5
0 0 7а6 7а63 6 356 356 2 6 —7аЬ 7а62 6 6
—35а 7а6 0 0 35а —7а6 35а2 6 7а26 6 7
7аЬ 7а62 6 0 0 —7а6 7а62 6 7а-Ъ 6 7а-Ъ2 36 8
175 0 0 —7аЬ 0 356 0 7а6 9
0 —7 об 0 —356 0 7аЪ 0 10
0 0 0 7а6 0 7а26 6 11
0 7аЬ 0 _ 7а2Ь 6 0 12
-175 0 0 —7аЪ 13
0 —7аЬ 0 11
0 0 15
0 16
(17 305)
15.2.2. Матрица геометрических жесткостей прямо-
угольного элемента пластины с 12 степенями сво-
боды (рис. 17.42, а). Значение указанной матрицы может быть получено не-
посредственно на основании формулы (17.300), если во входящих сюда матрицах
[5, ] понизить порядок (до 12) путем вычеркивания 4, 8, 12 и 16-х строк и столб-
цов.
Обобщенные узловые силы /-го элемента пластины определяются на основа-
нии зависимости
{/?}(', = [/< + ог()5](‘) (17.306)
Переходя далее от местной системы координат к общей системе для пластины
в целом, составляя систему уравнений равновесия узловых точек и принимая во
внимание, что суммарная реакция в каждом узле равна нулю, получаем уравне-
ние
И* + <7050] {0} =о. (17.307)
Здесь [/<*] — общая матрица жесткости рассматриваемой пластины на изгиб*
] —^"-общая матрица геометрических жесткостей пластины.
Условия существования искривленных равновесных состояний пластины
| К* + О03* | = 0.
(17.308)
Наименьший корень о» уравнения (17.308) определяет искомые значения эй-
леровых усилий пластины.
§ 16. Применение метода конечных элементов
к решению задач динамики
16.1. Уравнение движения. Движение любого тела во времени обусловлено
наличием приложенных к нему внешних нагрузок, сил инерции и сил внутреннего
и внешнего сопротивления. В общем случае силы сопротивления связаны нели-
нейной зависимостью с перемещениями и скоростью тела. Ниже для упрощения
выкладок ограничимся учетом только линейного сопротивления вязкостного
типа. Тогда уравнения движения можно записать в форме уравнении статического
равновесия, если распределенные внешние силы р (х, у, 2, I) заменить экивалентом
< , .. . .. дш (х, у, 2, д-и) (х, у, 2, I)
/ (х, у, г, 1) = р (х, у, г, I) — р-- р--------------* ,
(17.309)
где р — коэффициент вязкого сопротивления; р — массовая плотность.
Конечно-элементная дискретизация уравнений статики подробно обсужда-
лась в § 1. При заданной для каждого конечного элемента аппроксимирующей
функции
к=г
и» =2 Мк(х, У, г) Чк (17.310)
6=1
было получено основное матричное уравнение равновесия в общей системе коор-
динат
[К*Ш}-{Л}=0. (17.311)
Вектор внешних усилий {Т7] определялся с помощью зависимостей (17 15^
и (17.20)
{Г) = [Я]Г{Р); (17.312)
{/>) = {{Р)<» {Р)(2Ь. .{Р}<л,>}. (17.313)
Отдельные же элементы вектора внешних нагрузок {Р\^ /-го конечного эле-
мента находились по формуле
рк} = | р (* у. 2) Кк (*. V. г) (17.314)
Заменяя теперь нагрузку р (х у, г) величиной / (*, у, г, /) и производя вфов-
ле (17.3И) необходимые преобразования, получаем н
/(') = \гмкм- | (17315)
1'( V,. V,
т ля вектор эквивалентных узловых усилий соответствующий дей-
1СЛ Ли элемент распределенной нагрузки / (х, у, г, 0. определится зависи-
ствию 1 ** 1 '
мостыо Ш °> = {д)<0 - (</)<“>, (17.316)
соответственно матрица сопротивления и матрица масс
где I с 1
элемента.
Элементы этих квадратных матриц вычисляются
V, I
= ) Р^кЫ-
по формулам
(17.317)
V,
С учетом результата (17.316) и зависимостей (17 3121 и П7
(17 311) получаем искомое уравнение движения * 1113 Уравнения
т {<?) +к*] {<2}+ [/(*]((?}+ ;п =
Матриц,,, [ЛГ] и [С*] строятся из подматриц Ш](О „ (СШ)
строения матрицы [/( ] нз " *
(17.318)
по правилу по-
ложитьЛто и°,"^,Хм^Т:^Н0М071ЭДеМеНТа- Если "₽™°-
конечного элемента можно з^ени^ь З^миТх о реднщ.Х,’1 *'Р В °бЪеМе
то упомянутые формулы упростятся и примут следующий вид значениями.
= И ]
V;
= р ]
V-
(17.319)
С помощью формул (17.319) были подсчитаны значения матриц масс и матриц
сопротивления для двух простейших конечных элементов.
16.2.1 . Б а л о ч и ы й элемент. Балочный элементе погонной массой р/7
совершает поперечные движения ш (х, /)• Здесь Р— площадь поперечного сечения.
Подставляя выражения (17.35) для функций Эрмита во вторую формулу
(17.319), получаем значения элементов матрицы масс балочного элемента при
учете его поперечных движений (при этом нумерация узловых перемещений про-
изведена в соответствии с рис. 17.7):
[/V/] = раР 1 2 3 4 (17.320)
13 35 11 210 а 9 70 13 420 °
11 210 " —-— а2 105 13 1
420 140
9 70 13 420 ° 13 35 11 210 й
13 420 ° 1— а2 140 11 210 а 105 “
СМ
со
56052 4-11аЬ
—1,39а -о с СП ”Т « <3 о со см -812а с о СП 1 е, <3 О см 1
ев м 43
С4 о о сч о> «—4 о е со
•—4 с> СО см »-и
1 т С-» 1
а
58 925 СО ,76 -о см с см
00 т—4 1 см со со
ев
с сз о с "с е> С
со ГП СО О
С1 4^7*1 со
00 Г-Н т—< см С1
А1 €1 43
•4^ “С-! СЗ
о» о е О т}4
о С-1 СП
со см о> *$* см
1 Г-Н 1
о 43 с ОС 43 сз сп
С4 00 О СО
С1 оо 1 со Г“<
С1
у е е С^ ев
о со <3 сз
г?* о; т—« о
—ЗТ* * ' ю
«—< см 1 со ю
43
ев С . Ич. СЧ
с5 43 т-’ со »С)
О се СГ> о» см со
»—* СМ 1 СО иэ
сз
00 о СМ о О1
ю СО
со »-н г-н С1
с 40
со С ев
од »—4 <3
чН4 о
со ч^р со
1 1 ио
е»
со
о
со ю
С1
см
С*) сз
а со
о см
ГМ *
со 1
-с> *о
а со
см
СП СМ со 1
с со
СМ
СП
•—« СМ
<3 со см СО сз Р“< 560а2
16.2.2 . ПрямоуГОлЬ|1ый элече„т
пый элемент пластины размером « а гпп ’ с т п л а ст и и», г г
На основании (17.319) для о11ределеннГэлв°',С₽е',"ие ^УГ°ЛЬ’
элемента пластины получаем следующу10"ф0^'та матрицы масс ко'Геч^^о
а Ь
= у)^к{х, у)1)хс1
00 У‘ (17.321)
_толщина элемента пластины.
Г С В окончательном виде матрица масс прямоугольного элемент* пп*^
/рис 17 37) приведена на с. 312 [см. (17.322)] У элемента пластины
Из сравнения первой и второй формул (17.317) следует, что для получения
матриц сопротивления достаточно в полученных выше выражениях для ™,
масс вместо р внести коэффициент сопротивления и ма.риц
16.3 . Свободные колебания упругих систем. При свободных колебаниях без
сопротивления {/.(/))=0; [О] = 0; {(, (/)) =
И уравнение (17.318) принимает вид
[К*-1Ш*]{<2)=0. (17 324)
Приравнивая определитель системы линейных алгебраических уравнений
нулю, получаем уравнение для частот свободных колебаний
И*-^И*|=0. (17.325)
Для определения ?., (I =1,2....(V) из уравнения (17.325) могут быть нс-
пользованы методы, изложенные в т. 3 справочника.
16.4 . Нестационарные задачи. В общем виде система уравнений при исполь-
зовании МКЭ для решения нестационарных задач имеет вид (17.318).
Для нелинейных задач некоторые матрицы этого уравнения зависят от иско-
мых узловых неизвестных.
Уравнением (17.318) при заданных начальных условиях
{<2(7 = 0)) = {<?}„; {<2(7 = 0)) = {р}0
описывается задача Коши.
Существует два основных подхода к решению таких задач.
16.4.1 . М е т о д главных координат. Он используется в том
случае, если заранее известно, что ожидаемое решение может быть описано ли-
нейной комбинацией гармоник, отвечающих нескольким низшим частотам си-
стемы. Это будет тогда, когда высшие гармоники в разложении мало влияют
на поведение рассматриваемой системы. Этот метод подробно изложен в т. 3.
16.4.2 . Шаговый метод по времени. Существует несколько
вариантов шаговой процедуры интегрирования уравнений движения (17 318)
по времени, отличающихся друг от друга формой конечно-разностного представ-
ления функций {$(/)) и {?(/)}.
В частности, широко используется одношаговая процедура Вильсона [II].
Под одношаговой понимается такая процедура, которая обеспечивает определе-
ние всех характеристик движения системы для I = 1г + А? по их значениям при
* = /г.
Л1етод Вильсона, который излагается ниже, основан на использовании
следующих вспомогательных соотношений между отдельными параметрами
движения системы в различные моменты времени (/и т):
{<Ж+г = -|- ((<2)<« - {0)0 - 2 !<2)( —{СЬ + 0 (т3); (17.326)
{<?!т = -4- ({<2Жх - {<?)/) -4- (<?)/ - 2 {<21/ + о (т«). (17.327)
Внося выражения (17.326) и (17.327) в уравнение движения (17.318). вы
писанное для / • т, получаем
[5*] = И*1/+т + 0(т’), (17.328)
где
(5*1 = [К*1 + -2- (С*( + -А- (М*(; (17.329)
(^Чмг = Лм + [М*] ( 2<2 + 4 Ц + ~г О | +
+ 1сч(-7-$+ +4 Ок' (17-330)
Из уравнения (17 328) и соотношений (17.326) и (17.327) с погрешностью
порядка 0 (т3) определяются значения {<2)/+т, {^}/+т 11 'Ф}/+т-
Уравнение (17.328) очень просто в использовании и позволяет определить
значения искомых функций на каждом шаге по времени через известные их
значения в предыдущем шаге. Метод Вильсона относится к числу условно
устойчивых методов.
Условия устойчивости вычислительного процесса накладывают жесткие
ограничения на выбор шага по времени. Шаги по времени получаются очень ма-
лыми. Поэтому с помощью метода Вильсона практически можно производить
расчеты лишь достаточно быстро протекающих процессов.
При расчетах же длительных нестационарных процессов более эффек-
тивными оказываются другие схемы. При этом объем вычислений на каждом
шаге возрастает. Но увеличением шага по времени можно получить значи-
тельную экономию в объеме вычислений.
В методе Вильсона можно несколько повысить устойчивость численного ал-
горитма введением на промежуточных этапах расчета измененного интервала
времени т, определяемого по формуле
т = ЛД/,
где Д/ — шаг по времени; к — числовой коэффициент, значение которого рекомен-
дуется выбирать в пределах 1,35—1,5.
Располагая значениями параметров движения при I и / т, определяются
значения {(?), {<2 и для момента времени /+ Д/
(ё)/+д/ =(•—г) +
= «?)/ + л/ {<?), + -4- (2 {<?)/ + М+дД
(17.331)
Заметим, что требуемые на первом шаге значения {(2,, {(2} и {0*} при I — 0
получаем из совместного рассмотрения начальных условий системы и уравне-
ния движения (17.318), написанного для I = 0.
Общая погрешность расчета в первую очередь зависит от отношения Ы1Т,
где Т — период основной гармонической составляющей внешнего возбуждения
системы.
В заключение отметим, что часто во избежание известных трудностей ре-
шения задач статического деформирования механических систем с большим чис-
лом степеней свободы (неустойчивость вычислений либо чрезмерное время счета)
решение статической задачи подменяется исследованием движения изучаемой
системы возле ее статического равновесия. Этот прием был предложен
В И. Феодосиевым.
При этом уравнение статического равновесия системы дополняется инер-
ционными и демпфирующими членами и принимает вид уравнения (17.318).
Если выбранные матрицы инерционных членов [Л4*| и демпфирующих
членов [С* ] положительно определены, то независимо от начальных условий дви-
жение системы будет иметь характер затухающих колебаний возле положения
статического равновесия либо характер лимитациоппого движения, асимпто-
тически приводящего систему также в положение равновесия.
При этом возникает вопрос выбора таких значений матриц [М* ] и [С*],
которые приводили бы к устойчивому численному алгоритму при минимальных
затратах машинного времени. Рекомендации по выбору «оптимальных» значений
упомянутых матриц содержатся в работе О. М. Палия [10],
§ 17. Универсальный алгоритм метода
конечных элементов. Программа для ЭВМ
Основные блоки алгоритма метода перемещений в МКЭ и последователь-
ность их выполнения приведены для наглядности на рис. 17.47.
В настоящее время действует большое число программ расчета инженерных
конструкций на ЭВМ с использованием МКЭ. Эти программы являются автомати-
ческими в том смысле, что инженер обязан лишь описать идеализированную
конструкцию и действующую на эту конструкцию внешнюю нагрузку. Все же
необходимые программы для выполнения полного расчета уже имеются в библио-
теке и приводятся в действие в надлежащей последовательности автомати-
чески.
Кратко изложим содержание основных этапов существующих программ
расчета конструкций по МКЭ с использованием ЭВМ.
17.1. Дискретизация конструкции. Тип элементов и их количество зависят
от вида конструкции, от требуемой точности, от вида внешней нагрузки и ог
ограничений, связанных с объемом памяти ЭВМ. Нагрузка предполагается при-
ложенной в узлах, и поэтому в случае распределенной нагрузки для более
точного ее моделирования иногда желательно введение дополнительных
узлов.
Сама операция разбиения конструкции на совокупность конечных элементов
является одной из наиболее трудоемких. Но уже сегодня имеются программы,
позволяющие автоматизировать этот процесс для стержневых, пластинчатых и
объемных конструкций.
17.2. Матрица жесткости. Расчеты по МКЭ различных конструкций отли-
чаются принципиально друг от друга только применяемой матрицей жесткости
(МЖ) и матрицей перехода от обобщенных перемещений к внутренним усилиям
(МУ). Поэтому основная часть программы остается неизменной; меняются лишь
стандартные подпрограммы для построения МЖ и МУ, которые выбираются из
библиотеки стандартных подпрограмм вычисления МЖ и МУ для различных
типов конечных элементов. Машина автоматически включает указанные подпро-
граммы в состав основной программы.
17.3. Описание топологии конструкции для формирования общей матрицы
жесткости. Одной из важнейших проблем при расчете конструкций по МКЭ
на ЭВМ является задача автоматического формирования в машине коэффициентов
системы алгебраических уравнений для всех конструкций. Общее число неизвест-
ных в МКЭ достигает сотен и даже нескольких тысяч.
При этом число коэффициентов общей системы уравнений оказывается по-
рядка 105—107. Отсюда ясно, что формирование общей матрицы жесткости дол-
жно быть автоматизировано.
В общем случае формирования системы уравнений необходимо знать топо-
логическую схему конструкции и краевые условия, геометрические и физические
параметры элементов (размеры, жесткость и т. п.), вид, интенсивность и места
приложения внешних нагрузок.
Взаимная связь элементов и краевые условия задаются специальной матри-
цей индексов [Т]. Она имеет размеры МХг, М — число элементов, аг —
число обобщенных перемещений для одного элемента. Матрица индексов [7’1
21
Рис. 17.48
состоит из строк, а каждая 1-я строка задает отображение обобщенных коовлинят
1-го элемента в множество обобщенных координат всей конструкции
[Т] = [///] (/ = 1,2,..., Му, (/ = 1, 2, . . ., г),
Здесь 1, 2, г — номера узловых неизвестных отдельного элемента в собст-
венной нумерации (местная система координат); — номера узловых неизвест-
ных конструкции, совпадающие по направлению с перемещениями отдельного
элемента.
(Таким образом, матрица индексов устанавливает связь между векторами
узлов перемещений в местной и общей системах координат. Составленная ма-
трица индексов используется для автоматического фомировання коэффициентов
системы уравнений метода конечных элементов.
17.4. О порядке нумерации узлов для получения ленты минимальной ширины.
При решении задач по МКЭ структура общей матрицы жесткости существенным
образом зависит о г порядка нумерации и обхода узлов конструкции, а также от
порядка нумерации неизвестных внутри одного элемента. При рациональной
нумерации уз нов система уравнений имеет ленточную структуру. Чем меньше
ширина ленты, тем удобнее для решения полученная система уравнений МКЭ
(меньше требуется машинного времени, выше точность решения, меньше исход-
ной информации и т. п.).
Рекомендуется придерживаться следующих положений:
для конструкций с регулярной сеткой обход следует производить вдоль мень-
шего размера конструкции (рис. 17.48, а);
для конструкций, имеющих замкнутый контур, обход узлов и их нумерацию
нужно производить симметрично относительно некоторого начального узла
(рис. 17.48, б);
в любом другом случае следует стремиться, чтобы разность между соседними
номерами узлов была наименьшей.
§ 18. Метод суперэлементов в расчетах прочности
Выше уже говорилось об огромных возможностях МКЭ для расчета сложных
инженерных конструкций. Но и эти возможности постепенно оказались исчер-
панными вследствие повышения сложности современных инженерных сооружении.
Именно этим можно объяснить появление в последние годы разных модификации
МКЭ, позволяющих учесть специфику тех или иных конструкций, структуры раз-
решающей системы уравнений МКЭ и т. п.
Рис. 17.49
Повышение требуемой точности расчета и, следовательно, увеличение числа
конечных элементов влечет за собой увеличение трудоемкости всего расчета,
сложнее становится расчетная схема, больше времени затрачивается на под-
готовку исходных данных, возрастают объемы вводимой и перерабатываемой ин-
формации. Так появляется опасность возникновения ошибок, вероятность ко-
торых повышается с увеличением объема исходных данных.
С ростом сложности задачи существенно увеличивается время непосред-
ственного ее решения на ЭВМ. Часто возникает такая ситуация, при которой
современная ЭВМ уже не в состоянии решить поставленную задачу с помощью
МКЭ.
Для устранения возникающего противоречия были разработаны различ-
ного рода модификации алгоритма МКЭ, цель которых состояла в увеличении
вычислительных возможностей программ. Содержание этих модификаций в об-
щих чертах можно представить как разделение того или иного наиболее трудоем-
кого этапа алгоритма на несколько более простых подэтапов.
Существенное сокращение информационных объектов достигается при ис-
пользовании алгоритмов, исключающих необходимость хранения полной системы
уравнений, В этом случае отдельные части-блоки системы обрабатываются сразу
по мере их формирования. Такой подход позволил соединить поэтапное состав-
ление расчетной схемы с поблочным решением системы уравнений. На этой основе
появился метод суперэлементов (Л1СЭ) [5, 8, 21, 23]. С его помощью могут
быть решены задачи большей сложности и размерности при значительно мень-
ших затратах машинного времени по сравнению с МКЭ. МСЭ целесообразно
применять для расчета конструкций, превосходящих определенную степень
сложности. Расчетная схема в этом случае строится не сразу для всей конструк-
ции, а в несколько этапов-уровней, причем описание конечных элементов вы-
полняется на самом нижнем уровне. Полная конструкция представляется в виде
318
совокупности иерархически соподчиненных подконструкций различных
уровней.
При расчете по МСЭ, например, грузовой части корпуса нефтеналивного
судна строят описания сначала простейших плоских и балочных элементов кон-
струкции; из них последовательно собирают пространственные узлы, блоки и,
наконец, полную конструкцию (см. рис. 17.49).
Повторяющиеся при этом части конструкции представляются типовым опи-
санием и в процессе расчета могут использоваться многократно. Такое построе-
ние схемы позволяет сократить время на подготовку исходных данных и выпол-
нение расчета.
Отметим, что любое изменение местных параметров, а также замена части
конструкции не вызывает полного пересчета всей задачи, поскольку коррек-
тировке в таких случаях подлежат лишь описания отдельных конструкций.
МСЭ продолжает активно развиваться. В ряде стран на его основе уже раз-
работаны и успешно функционируют мощные программные комплексы [21, 23,
24]. Подробное описание основных положений МСЭ и разработанного на этой
основе программного комплекса «К\СКЛД»-2 содержится в [8].
Раздел III ИЗГИБ ПЛАСТИН
ГЛАВА 18. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА
ТОНКИХ ПЛАСТИН
§ 1. Основные определения, обозначения и допущения
1.1. Описание пластин. Пластиной называется плоское тело (рис. 18.1),
у которого один размер (толщина К) существенно меньше наименьшего из дру-
гих габаритных размеров («диаметра» йт|П).
Более строго форма пластины описывается так. На перпендикуляре к каж-
дой точке части плоскости 2=0, ограниченной кривой Г (х, у) = 0 (или не-
сколькими кривыми
г+ = Л (х, у) и г~=
Г4- (х, у) = 0, I = 1, 2, ..., п), откладываются отрезки
1
2
/г(х,у). Тогда геометрические места точек (х, у, 2+)—
одна поверхность пластины и точек (х, у, г ) —другая, Л (х, у) — толщина,
плоскость 2 = 0 — срединная плоскость пластины (на рис. 18.1 заштрихована).
Перпендикуляры в точках кривой Г (кривых Г^) образуют кромку или край
(кромки, края) пластины — часть цилиндрической поверхности. В конструкциях
могут встретиться пластины с краями, поверхность которых не перпендикулярна
к срединной плоскости. Эту особенность края излагаемая пиже классическая
общая теория пластин учесть не может, поэтому наклонный край так или иначе
приближенно заменяется нормальным.
Если имеются внутренние замкнутые контуры Гд, пластина — многосвяз-
ное тело; если же поверхности 2+ (х, у) и 2" (х, у) ограничены единственной ци-
линдрической поверхностью Г (х, у) — 0, то пластина — тело односвязное.
В зависимости ог ориентации и расположения пластины в конструкции поверх-
ности 2+ и 2 называются либо внешней и внутренней, либо верхней и нижней,
либо левой и правой. По форме кривой Г различают прямоугольные, треуголь-
ные, круглые, эллиптические и другие пластины.
Если ф = -т1п 1 (>20), пластину называют тонкой, при 3 < ф < 5—
•1тах
толстой или плитой, при 5 ф <: 20—пластиной средней толщины. Это де-
ление условно; иногда пластины делят только на толстые (ф с 5) и тонкие (ф>
> 5). Однако в последнее время из таких тонких пластин все чаще выделяют пла-
стины средней толщины, при расчете которых деформации поперечного или
межслойного сдвига могут быть существенны (п. 19.9).
Ниже рассматриваются тонкие пластины и лишь частично пластины средней
толщины. Толстые пластины рассчитываются по уравнениям трехмерной теории
упругости (раздел I).
При Н (х, у) ~ сопз1 пластину называют пластиной постоянной толщины,
если /г изменяется лишь скачками на некоторых линиях срединной плоскости,—
пластиной ступенчато-переменной толщины. У таких пластин не обязательно
срединные плоскости всех ступеней лежат в одной плоскости.
Срединный слой пластины может быть слегка искривленным, преднаме-
ренно или при изготовлении и эксплуатации конструкции. Такую пластину на-
Рис. 18.1
зывают пластиной с начальной по-
гибыо (начальным несовершенст-
вом), а ее срединный слой—средин-
ной поверхностью; если же на-
чальная погибь достаточно суще-
ственна, то — оболочкой, панелью,
реже — кривой пластиной.
1.2. Обозначения теории пла-
стин. Ниже использованы следу-
ющие обозначения (в скобках ука-
зана размерность, отличная от
нулевой):
у, 2 — декартовы координаты точки пластины (длина);
г> (Р, 2 — цилиндрические координаты (длина, радиан,
длина);
а, Ь — габаритные размеры срединной плоскости пла-
стины (длина);
а
Л--------характеристика формы пластины;
{ /1 — толщина (длина);
ьу0 — начальная погибь срединной поверхности — отсто-
яние ее точек от плоскости ху (длина);
и, V—тангенциальные перемещения точки пластины по
осям х, у (по радиусу г и по перпендикуляру
к нему в плоскости г(р) (длина);
щ — прогиб или поперечное перемещение по оси г
(длина);
— углы поворота нормали в плоскостях хг, уг и
гг, фг (радиан);
Е, С — модули Юнга и сдвига (си- I изотропного
ла/длина2) / материала;
^х»
*>х = -
^=-
Их// , ,Ц//2
12(1— II2)
— модули упругости (сила длина2)
— коэффициенты Пуассона
ортотропного
материала;
Е^_
12(1 — Нх^Н^/х)
ЕуК*
12(1 — НхуР'//х)
— цилиндрическая жесткость изотропной пластины
(сила-длина);
’ — цилиндрические жесткости ортотропной пла-
стины при изгибе в плоскостях х2, уг (силах
X Длина);
^х//
0ху*3
12
— жесткость ортотропной пластины при кручении
(сила-длина);
8%, &//, 82 = О,
Уху, Уух> Тгх» ег» еф>
82 = 0, Угф> Угг, Тф2
— компоненты тензора деформаций в системах
хуг, г(рг;
О'х> &уг $2 =
^Х//> ^//2» ТгХ» °Г> °0>
=• О, Тг0, ТГ2, Тф2
И Бойцов Г. в. и др.
— компоненты тензора напряжений в системах
хуг, прг (сила/длина2);
321
Е2 @ху, &у2, Сгх
7 — интенсивность рас пределен 11011 нагрузки (давление
(сила/длина2);
Д' — функция напряжений (сила);
П — потенциальная энергия (сила*длина);
Гх, Ту\ Гг, 7Ф — погонные * нормальные танген- 1
цпальпыс силы (сила,длина);
5 — погонная касательная тангенци-
альная сила (сила/длина);
Д'х, к у; кгг, Агф— погонные поперечные (перере-
зывающие) силы (сила/длина);
Мх, Му, Мг, — погонные изгибающие моменты
(сила);
// — погонный крутящий .момент
(сила);
гл, Гу, гг, Г(р — интенсивности реакций опорных
в координат-
ных ** попе-
речных сече-
ниях, нормаль
к которым па-
раллельна на-
правлениям,
указанным в
индексах;
контуров, сов-
падающих с координатными линиями л, у, г,
ср = сопз! (сила/длина);
( )° — величина ( ) в точках срединной поверх-
ности.
1.3. Цепные и изгибные напряжения. Пластина предназначена, как правило,
для восприятия поперечной нагрузки д (х, у), нормальной к срединной плоскости.
Нагрузка пластин корпуса судна чаще всего— разность давлений разделяемых
ими сред (воды п воздуха, топлива и масла и т. п.). Воспринимаемая пластиной
нагрузка передается ее краями на опорный контур, обычно образованный бал-
ками набора корпуса и краями других пластин, точно или примерно перпенди-
кулярных к данной пластине. Пластины палуб, бортов, переборок и днища явля-
ются взаимными опорными контурами, они нагружают друг друга на краях
силами, лежащими в их плоскостях и потому называемыми тангенциаль-
ными. Часто их называют мембранными или цепными, подчеркивая, чго они воз-
никли вследствие способности пластины сопротивляться усилиям в ее плоскости
(названия условны, так как в цепи и мембране возможны лишь растягивающие
силы).
Поперечная нагрузка д вызывает в основном изгиб пластины, тангенциаль-
ные краевые усилия — в основном растяжение, сжатие и сдвиг пластины в ее
плоскости. Однако изгиб в общем случае сопровождается деформацией в средин-
ной плоскости, тангенциальные же усилия влияют на изгиб. Поэтому напряжения
в поперечных сечениях пластины — сумма изменяющихся ио толщине (по ли-
нейному закону) изгибных напряжений и постоянных по толщине цепных (мем-
бранных) напряжений. При определенных условиях одно из слагаемых много
меньше второго, и им можно пренебречь (п. 18.4).
1.4. Основные допущения классической теории тонких пластин. Эти допу-
щения обобщают допущения технической теории изгиба балок (классическую
теорию пластин иногда тоже называют технической, чтобы отличать ее от более
сложных теорий, непосредственно следующих из теории упругости при упро-
щении трехмерных зависимостей за счет малости Л/б/щщ)- И так же, как в теории
балок, эти допущения позволяют свести решение трехмерной задачи о напряжен-
но-деформированном состоянии пластины к двухмерной задаче (в теории балок —
к одномерной) об отыскании формы срединной поверхности, в которую превра-
щается срединная плоскость после деформации.
Основные допущения классической нелинейной теории пластин Кармана:
1. Справедлива «гипотеза прямых нормалей» Кирхгофа, согласно которой
материальные прямые элементы пластины («нормали»), перпендикулярные до
деформации к ее срединной плоскости, после деформации остаются прямыми, пер-
пендикулярными к срединной поверхности, причем расстояния между точками
каждой нормали не изменяются (нормаль не растягивается и не сжимается: г2=0).
* Силы и моменты в поперечных сечениях, отнесенные к единице длины средин-
ной плоскости в этих сечениях; иначе — интенсивности сил и моментов, приведенных
к срединной плоскости.
*• Координатное поперечное сечение —сечение, перпендикулярное к координат-
ной линии в срединной плоскости.
2. Нормальные напряжения пг в площадках, параллельных срединной
плоское (и, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями
в поперечных сечениях.
3. Ь глы 0л., (МО,-, Оф) поворота нормален настолько малы, что их квадра-
тами можно пренебречь по сравнению с единицей, причем углы поворота вокруг
осей л, г/ много больше по модулю угла поворота вокруг оси г.
4. Порядок малости компонентов тензора деформаций равен порядку мало-
сти квадратов углов поворота нормали вокруг осей х и у (г и ср),
5 Справедлив закон Гука.
Согласно допущению 1 в теории тонких пластин, во-первых, автоматически
выполняются условия сплошности в объеме пластины, если сохраняется сплош-
ность срединной плоскости, и, во-вторых, при описании геометрии деформации
пренебрегается второстепенным вкладом в нее имеющихся поперечных сдвигов.
Допущение 2 учитывает свойство тонких пластин сопротивляться поперечной
нагрузке д главным образом за счет изгиба, из-за чего максимальные, и, следо-
вательно, расчетные, изгибные напряжения в поперечных сечениях возникают
при значениях примерно на два порядка меньших. Максимальная же вели-
чина напряжений о2 имеет порядок д (на нагруженной поверхности пластины
= —д, на ненагруженной о2 = 0). Вторая часть допущения 3 оправдывается
малостью отношения А б/т1П, из-за которой пластина существенно жестче при де-
формировании ее «в плоскости», чем «из плоскости». Первая же часть и допущение
4 просто ограничивают область применения теории малыми углами поворотов
нормали и еще более малыми компонентами деформации.
Из допущений 3 и 4 следует, что | и |, |о|, ] цу | Иногда это след-
ствие и допущения 3, 4 меняют местами, что в общем случае ошибка: при малых
перемещениях углы поворота и компоненты деформации могут быть большими.
Лишь в случае постоянства знака прогиба и плавкости изменения прогиба в пре-
делах пластины малость перемещений повлечет за собой малость углов поворота
и компонентов деформации. В таких случаях можно говорить, что допущения
3 и 4 ограничивают область применения теории пластин Кармана задачами, в ко-
торых | и1 |тах < А (иногда область применения расширяют до 2/1). Имея в виду
только такие случаи, можно в систему основных допущений теории вместо огра-
ничений углов поворота и деформаций вводить ограничения на перемещения.
Допущение 5 при рассмотрении деформации пластин в упруго-пластической
области и при ползучести заменятся другими физическими зависимостями (гл. 8).
Построенная на допущениях 1—5 теория пластин Кармана линейна физи-
чески, но геометрически нелинейна. При более жестких ограничениях эта теория
может быть линеаризована. Соответствующие зависимости приведены в п. 18.4.3.
Являясь приближенной, теория пластин в некоторых второстепенных де-
талях противоречива. Так, согласно гипотезе Кирхгофа материальные нормали
не меняют своей длины, что при наличии напряжений в поперечных сечениях
возможно лишь благодаря существованию нормальных напряжений в площад-
ках, параллельных срединной плоскости, т. е. напряжений, принимаемых в те-
ории пластин равными нулю. Другой пример: углы поперечных сдвигов у2Х и
у2у приняты равными нулю, тогда как соответствующие им касательные на-
пряжения вопреки закону Гука считаются отличными от нуля и учитываются
при составлении уравнений равновесия элемента пластины (п. 18.2.4).
§ 2. Основные зависимости теории изотропных
и ортотропных пластин Кармана в декартовой
и цилиндрической системах координат
Приводимые ниже зависимости соответствуют допущениям 1—5 п. 18.1.4.
2.1. Перемещения пластины. Перемещения п° (х, у), о0 (х, у), ш (х, у)
точки А (х, у, 0) срединной плоскости и перемещения и (х, у, г), V (х, у, г),
(х, у, г) точки В (х, у, г) на той же нормали связаны формулами (рис. 18.2
для плоскости хз)
и = цо __ 0лг; у — уо __ О^г; щ = су°. (18 1)
Углы поворота недеформнру-
смой нормали
дю ' __ дю
~дГ’ у~~д^ ’
(18.2)
что позволяет переписать (18.1)
в виде
и = и° — г
V = У0 — 2
отличаются от деформаций е°, у® в точке
маниями изгиба
дю
длГ;
(18.3)
Вторые слагаемые в (18.1)
и (18.3) обусловлены изгибом.
2.2. Деформации пластины.
Деформации еа, уху в точке В
А срединной плоскости дефор-
ь“=г*х- Еу = гку- Уху=2гКху’
пропорциональными кривизнам хА, срединной поверхности
хг, уг и ее кручению иху,
дОх дг™ . д, дву _ д-ю .
к*~ дх ~ дх2 ’ *у~ ду ду* ’
аех гЖ, дЪя
У'ху ду дх дхду
(18.4)
в плоскостях
(18.5)
Сами относительные удлинения и
угол сдвига в срединной плоскости
6
О __ । 1 ( д® А2. _ । * / \2. '
ди° । _1_ I 0$-6)
Тх// — ду “Г "Г дх ду I
Полные деформации в произвольной точке
О । 0 0 . О । 0 0 .
ех = 8х + гКх = 8 V — ? -4-4- ; 8., = 87. + 2И,. — & — 2 -д~ч- *,
<* X X X 1 у У 1 У У ду2
^ху ~~ Уху + %нху2 ~ Уху ”” дх ду * О®-?)
Исключение с помощью первых двух уравнений (18,6) из третьего двух
тангенциальных перемещений н°, ц° приводит к уравнению сплошности или ус-
ловию совместности деформаций срединной поверхности (тангенциальной и из-
гиба)
а2е° Л° д^у Г , д^> ^2]
ду2 дх2 дхду дх2 ду2 \ дх ду )
Правая часть (18 8) есть гауссова кривизна Г срединной поверхности пластины,
выражаемая через кривизны и кручение формулой
г = -(хЛ-ху.
(18.9)
о
Если срединная поверхность развертывается па плоскость (цилиндр, конус),
то независимо от выбора направлений осей х, у гауссова кривизна Г и правая
часть уравнения (18.8) обращаются в нуль, т. е. условие совместности деформаций
пластины превращается в первое условие Сен-Венана (§ 3 гл. 1).
2.3. Погонные усилия и моменты. Напряжения в поперечных координатных
сечениях пластины приводятся к линии срединной плоскости по формулам
0,5/1 0,5/1
Тх = | стА- йг’, Ту— | Оу (1г-, 5 = 8Х = 8у =
—0,5/1 —0,5/1
0,5й
| Чху &}
-0,5/г
0,5/г
] (1г\
—0,5/1
0,5/1
у — Т>У2 (12}
-0,5/1
(18.10)
при этом возникают моменты
0,5й
0,5/1
Мх — Ох2 &} Му — Оу2 &}
—0,511 —0,5/г
0,5/г
Н == Нх — Ну — ^ху2 (1г.
—0,5/г
(18.11)
Все эти силы и моменты суть интенсивности соответствующих сил и моментов,
приложенных к линии срединной плоскости в сечении после приведения к ней
напряжений. Поэтому их называют погонными силами и моментами. Их поло-
жительные направления в соответствии с правилом знаков напряжений (§ 1
гл. 2) и формулами (18.10), (18.11) показаны на рис. 18.3.
2.4. Уравнения равновесия. Уравнения равновесия деформированного эле-
мента срединной плоскости площадью йхйу (рис. 18.4) с точностью до членов
второго порядка малости относительно (1х, йу:
а) главный вектор
б) главный момент
+ ^У + ^У1 ~ = 0> (18.13)
моментов,
где— ТХ, —ТУ, —МХ, —МУ — векторы
приложенных к левой и задней кромкам,
равнодействующих сил и
причем
Г / с)тп) \ _ /„ .. дм \ —
Т- = [(г* - "аг) 1 + ~дГ) 1 +
+ (Л,»+7’^_а7 + 54'_аг) \ ах’
Мх = (Мх/— Нх1) Лу; Му = (—Ми1 + Н.<•/) Их. (18.15)
Структура формул (18.14) п (18.15) поясняется на примере Т для правой
кромки, изображенной в деформированном состоянии повернутой относительно
_______________________ / дш-----------------.г дш \
осей х, //, а с ортами г, /, к (рис. 18.5). В (18.15) члены ^Л7Л -^-г1х — -) к ду
(„ дц> ди) \ —
\ у~д^~ Му~дГ) кЛх
опущены из-за их малости по сравнению с остав-
ленными.
После подстановки (18.14) и (18.15) в (18.12) и (18.13) получаются скалярные
уравнения равновесия:
дМх , дН КТ дН , дМи
дх ду ’ у дх ‘ ду
(18.16)
(18.17)
Уравнения (18.16) после дифференцирования произведений
в систему линейных уравнений относительно выражений / —
[дТу д!Чх д1Уа , ах
+ н Г—ч- <7 с решением (малые члены тина А'х
и г. и. опущены)
ЗТХ д8 __ д2ю д2ю
дх + ду ~ +
- 1 дТУ — М $2ю д'и
дх 1 ду ~
превращаются
д5_. 38
ду ’ дх
д-IV / <9сг’ \2
дх2 \ ду /
А
(18.18)
)Л\ дМу =__п __т 3~у) д2ю д-ю
3х ду х дх2 у ду2 дх 3у *
Уравнения (18.18) можно получить непосредственно, проектируя все силы
на подвижные оси, жестко скрепленные с элементом дхду и совпадающие
с неподвижными осями х, у, г до деформации. Следовательно, системы уравнений
(18.16) и (18.18) эквивалентны с точностью, принятой в нелинейной теории Кар-
мана, и потому их нельзя противопоставлять друг другу.
Влияние перерезывающих сил Л\, Му и прогибаю на цепные усилия
Тх, Ту, 5 растет по мере увеличения ю. Однако пока справедливы основные до-
пущения 3 и 4, роль правых частей в первых двух уравнениях равновесия
(18.18) весьма мала, поэтому вместо этих уравнений принято использовать уп-
рощенные
= д8 1
дх ' ду ’ дх ду
(18.19)
совпадающие с уравнениями равновесия плоской задачи теории упругости (гл. 4)
и потому позволяющие ввести функцию цепных напряжений или просто напря-
жений Г (х, у) по формулам
Оо _ . по = 2к=_^_- то 5 э'2р
х Л ду2 ’ у й дх2 ’ ху Н дх ду ’
(18.20)
где о®; о°; т® — равномерно распределенные по толщине пластины й цепные
напряжения. Определение цепных напряжений по формулам (18.20) означает
тождественное выполнение уравнений равновесия (18.19).
Исключение из третьего уравнения (18.18) перерезывающих сит с помощью
(18.17) и использование (18.20) приводят систему пяти уравнений равновесия
(18.17), (18.18) к одному эквивалентному
д2Р д2ю д2Р д2ю ? д2Р д2ю \
ду2 дх2 " дх2 ду2 дхду дхду)'
(18.21)
Таким образом, поведение пластины описывается всего двумя разрешающими
уравнениями: уравнением равновесия (18.21) и уравнением совместности дефор-
маций (18.8). В первом из них левая часть может быть выражена только через
прогиб ш, во втором — только через функцию напряжений Р. В итоге получается
система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Однако конкретный
вид этих уравнений зависит от физических свойств материала.
2.5. Основные зависимости для изотропной пластины. В случае изотропного
материала согласно закону Гука (§ 2 гл. 3) при ог — 0
= -(-------—г (Ех + 1Л): °у — । _ ..Т (е.у + ‘Це*)’
1 — }Л А I*1
Е 1 — р.
- 1 _ 2 Ь 7
(18.22)
или с учетом (18.7) эти суммарные нормальные напряжения в сечениях
п Ег / д-ш д2и) \
ах = °х 1 _ ц2 \ дх2 ' ду2 )
Ег
1 — р
Хху гху
д2цу
дх ду
(18.23)
складываются из цепных напряжений
°х = №+ие°); °°= (е° + !'е°);
то _ __ 1 ~~ '1
< 'ху 1— 11-5 2 УхУ
и изгибных, зависящих явно от прогиба и линейно изменяющихся по
(18.24)
толщине,
и Ег / д2до , д2ю \ . и Ег
/ д2и) , д2хм \ и Ег /л . д2м
\ ду2 г г дх- / ХУ 1 — р,- к г 7 дх ду
Касательные напряжения тхг и хуг в силу гипотезы
(Тхг ~ Уух ~ 0) п0 закону Гука определены быть не могут,
ловий равновесия прямоугольного элемента слоя пластины
приводящих после использования (18.17) к формулам
(18.25)
прямых нормалей
Их находят из ус-
„ Н
ТОЛЩИНОЙ 2,
(18.26)
— балочным формулам Журавского для прямоугольного сечения.
Погонные моменты в соответствии с (18.11), (18.23) и перерезывающие силы
по (18.17) выражаются только через прогиб ш:
где
Н = НХ = НУ = ;
у дхду
ых = -о-Е.х =
ох * ду
И =___
12(1-^)
(18.27)
(18.28)
(18.29)
— так называемая цилиндрическая жесткость пластины — жесткость при из-
гибе балки-полоски прямоугольного сечения высотой Н и шириной равной еди-
нице длины.
Согласно (18 20) и (18.24), тангенциальные деформации выражаются только
через функцию Е:
О °х — 1 ( д~Р д^Р \
&х Р ~ Р { ду^ ~
.0 _1_/ дгР д2Р\, ।
у Р Р \ дх* И ду* ) ’
0 _ 2(1+|л) 0 2 (1 +|х) д*Р
'/хи Р х» Е дхду'
(18.30)
Подстэповка в левУю часть уравнения (18.8) и подстановка (18 27)
в (18.21) дают в окончательном виде разрешающую систему дифференциальных
уравнении теории пластин Кармана:
ОУ2У2ы = д
Г( д2ш \2 д'и) д'и) 1
\\дхду) дх2 ду2 . ’
д2Е д2ш
ду2 дх2
д2Е д~и)
дх2 ду2
д2Р д2ы
дх ду дх ду
(18.31)
Бигармонический оператор
А Г д2 А _ , о 51 1
дх2 г ду2 ) \ дх2 1 ду2 ) дх* + дх2 ду2 + ду* '
(18.32)
Решив систему (18.31) при заданных граничных условиях (§ 3). можно по
формулам (18.20) найти цепные напряжения; изгибные же напряжения вычис-
ляются по формулам (18.25), которые с учетом (18 27) записываются более ком-
пактно:
пи_ 12М.
х №
г;
и 12Л4у „ 127/
О = -------— 2\ Т — ----------
У № ху И?
(18.33)
Экстремальные значения пзгибных напряжении (при г = ±Н/2)
I °х |шах Д2 ’ I °У 1тах /р2 ’ | лху |тах /:з ' 18.34)
Из формул (18.20), (18.26) и (18.33) видно, что напряжения в сечениях,
перпендикулярных к срединной плоскости, определяются величинами погонных
моментов и сил, передаваемых через эти сечения. Конкретный закон распределе-
ния по пластине внешних нагрузок учитывается только через величины погонных
усилий и моментов. Если две различные по распределению нагрузки вызвали
в некотором сечении одинаковое по величине усилие (пли момент), то и соот-
ветствующие этому усилию напряжения будут тоже одинаковыми. Это — еще
одно проявление приближенности (п. 18.1.4) теории пластин, построенной на
основных допущениях и гипотезах 1—5.
2.6. Основные зависимости для ортотропной пластины. В случае ортотроп-
ного материала согласно закону Гука (§ 3 гл. 3) при ст2 = 0
Е Е , )
’х = “1-ГГ~й-----(8х + 0У = 1 _ и ц I
1 —Рлт/Цг/х 1 —ЕЛЧ/Н//Х 7 (18 35)
Х.\у — @хуЧху* )
Поэтому цепные и изгибные напряжения равны
___—_____ (рР । 11 г1) )* сР =---
1-Нч'!^ х' [ух у}’ " 1-М.г^х
(18.36)
т° = О Т ’
ху ху*ху>
°х 1 — ^ху1Ч/х \ дх2 + ду2 ) ’
„ Е-,г ( , д'~& \ .
°у= “ 1-Рх^г +’
- -96 7 д'~™ -
тхг/ ^ху* дх ду ’
(18.37)
Не связанные с законом Гука формулы (18.26) для касательных напряже
ний т2Л, х2у справедливы п для ортотропной пластины.
Формулы (18.27), (18.28) и (18.29) заменяются следующими:
ЛД
д2ю \ . п / д2ау д'и) \ . )
+ Н//Х ) > му ~ »у ду2 + 1 ху дх2 ) ' I
д2^)
И^Их = Иу^-Еху^
(18.38)
д
дх
д2ш \
дх2 ) ’
(18.39)
г, Еу1^_ о _ 0^
1 12(1-рхг,м„д) ’ у 12(1- м,,)’ л" 6
/?0 — ^хУ-ух "Т ®ХУ — &у11 <у . ’ &ХУ'
(18.40)
(18.41)
При Ех= Еу= Е, Цху = !лух = V цилиндрические жесткости Ох, Оу,
О0 превращаются в О, а Оху— в О (! —р).
Система основных дифференциальных уравнений нрпнимас вид
Ж , / ?х
дх4 ' \ 6ху
— 2,иду')
0^+20°^-,
А дх4 1 дх2 ду
д4Г Ех д4Е ? Г / д2ш \2 д2и> д"ю 1 .
дх2 ду2 ~ ~Еу ду4 4 Цдхдг/ ) дх2 ду2 ] ’
д4ш / д2Е д2^ , д2Г д2ш
у ду4 1 1 \ ду2 дх2 дх2 ду2
о д2Е д2м \
дх ду дх ду / ’
(18.42)
2.7. Учет начальной погиби. Все приведенные выше зависимости справед-
ливы для пластин, идеально плоских в недеформпрованном состоянии. Реальные
же пластины при изготовлении и предшествующей эксплуатации могут получить
остаточное (сохраняющееся после снятия нагрузки) искривление. Некоторые
ехдовые пластины искривлены преднамеренно (листы наружной обшивки в око-
нечностях и в районе скулы). Все такие пластины называют пластинами с на-
чальной погибыо, за каковую принимают функцию йУ0 (г, у), значения которой
равны расстояниям точек искривленной срединной поверхности пластины от
плоскости ху. Кривизна пластины вносит произвол в выбор ориентации коорди-
натных осей. Поэтому вид функции 1м0 (х, //) зависит о г взаимного положения
плоскости ху и пластины.
Если начальная погибь пу3(х, у) удовлетворяет основному условию 3, т. е.
/ дш0 \2 / дю0 \2 | ди)0 дш0 'I
-ч— ) — ) <С I; —г— —х— <1, ее считают малой и пластину
\ дх ) •* \ ду / $ I дх ду | 7
рассчитывают по теории пластин. Если же начальная погибь существенна, пла-
стину считают оболочкой и для расчета применяют теорию оболочек.
Для ненапряженной в ненагруженном состоянии пластины с малой началь-
ной погибыо часть приведенных выше формул п уравнений изменяется. При
этом они принимают вид (прогиб и; (х, у) отсчитывается от искривленной
срединной поверхности)
Г гу
(^о +
дх
ди® ду°
ду дх ’
(18.43)
д (сО0 ф- к>) д (ц/0 -|- ц>) ди;ц
дх ду дх ду у
^+(_^__2и А д'Р
дх' + к СХ!) ) дх'ду' + ~у -^Г =
& (ц>0 + К.) 12 _ / д2ш0 \2 & (о,0 4- «,) д! (О10 4- а>)
дхду ] \ дхду ) дх2 ду1
Г) -| 20 — 4- п
°х дх' 2 “ дх'ду' + °"’
1 др д2(Ц'о + ^)
д1гд
ду'
дх'- ду’
д2о>о д2и) 4
дх2 ду2 | ’
, , [ дЧ
дЧ
I ду2 дх-
д2 (а?0 -}- и>) 1
дхду дхду
- — 2
)
(18.14)
Для изотропной пластины левые части системы (18 44) упрощаются, при
этом они совпадают с левыми частями уравнений (18.31).
2.8. Теория круглых пластин. Круглые пластины удобнее рассчитывать,
используя цилиндрическую систему координат (рис. 18.6). Формальный переход
к пей от декартовой осуществляется по формулам (г — текущий радиус-вектор;
ср — угол между ним и осью Ох)
х — г соз ср; у— гзнкр; 2 = 2, (18.45)
которые при отождествлении направления радиуса-вектора с осью Ох, а пер-
пендикулярного к нему направления в срединной плоскости (т. е. касательного
к окружности радиуса г) — с осью Оу превращают приведенные ранее зависимо-
сти в нижеследующие.
Перемещения: радиальное и, окружное V и поперечное и.' произвольной точки
пластины
и — и0 — 0Г2; о = г° — б^г; ш и’*. (18.46)
Углы поворота недеформируемой нормали
е,=-^-; еф = 4-^. (18.47)
дг * г оср
Кривизны вдоль радиуса-вектора и перпендикулярно к нему, кручение
д~ю # 1 д~л} 1 д’и' .
Кг==~~о^’' ХЧ, = —"7
(18.48)
д / 1 дш \ I
Хгф \ г д^р ) ’ I
’<ф
Относительные удлинения в тех же направлениях и угол сдвига:
в срединной плоскости
0 ди° I / \2. о _ 1 ^° । * / 1 V.
= ~~дг~ ~ \ дг ) у гЧ>~ г дер + 2 \ г дер ) '
0 1 ди° ди0 . 1 дм дм .
*^Ф ~ г дер ' дг ' г дг дер ’
в произвольной точке
о д2& о / 1 дм . I д2м \ .
ег-ег“2-^Г» еФ~8Ф~Цг дг + г2 дер2}’
о о / 1 \
ул — уу 2? -----/--------| .
»гФ »гф дг \ г дер /
Зависимость цепных напряжений от функции напряжений
0_ 1 дР , 1 а2Г . ло _
г дг г2 дер2 ’ Ф дг2 ’
0 _________д /1 д/7 X
ТгФ дг \ г дер ) '
(18.49)
(18.50)
(18.51)
Моменты изгибающие и крутящий в случае изотропного материала
д2м
дм
дг
I д2м X'
г2 дер2 /_
Л4ф = ~О
1 дм 1 д2м д2м ] .
~~дг~ + ~г* + |Х дг* ] ’
(18.52)
Яг = //ф = Я = -О(1-ц)
1 дм
г дер
Перерезывающие силы в поперечном сечении, перпендикулярном к радиусу-
вектору и проходящем через него,
ы = -о Л- 1*1,„ =-!} — -%- V2®, (18.53)
дг ф г дер
где оператор Лапласа
V2 = — + — -4- + -4--А-. (18 54)
дг2 г дг ' г2 дер2
Система нелинейных уравнений Кармана
Пд /1 дм \ 12
-у- (-----V- —
дг \ г. с/ер / ]
О^2^2М = Я (г, ер) -\-Н | (—
[ дг2 \ г дг
г- дер- / дг \ г
Бигармонический оператор
д2м / 1 дм 1 д2м XI
дг2 \ г дг г2 дер»2 ) | ’
д“г ( 1
1 г2 дер- / дг2 \ г дг
дР X д / 1 дм X
дер / дг \ г дер / ] *
(18.55)
Г72Г2 / ’ 1 1
У2\/2 = Ч------------------х-
\ дг- г дг
1 д2 Х2
г2 дер2 /
(18.56)
Аналогично преобразовываются зависимости в случае ортотропного ма-
териала.
2.9. Потенциячьная энергия пластины. При
циальная энергия пластины
°2 ~~ Ухх — Угу 0 потен-
I /1/2
П ~ 2 III + ^хуУху} дх ду<1г,
—Н/2
(18.57)
(18.58)
поверхности
или с учетом (18.7), (18.23)
~ ПСр. пов + Пизг,
где потенциальная энергия таиггнциальнои деформации срединном
Пср. пов и потенциальная энергия ее изгиба Пи-,г суть
Чаще используются тождественно преобразованные сЬоемулы
вающие (18.9; и (18.28), р у
(18.7))
(18.60)
учиты-
пср. нов 2(1 —пЛ) II (4+ е^)2 —2(1 — И)
(18.61)
Г7 _ & Г Г Г Ш2Гйц2 о и Г ( д’ю I ' . . ,
п-г- —] -2г,-<'Чл^~(-^)]}<^=
= "Г П + 2 -1‘) Г’1 а* ЛУ- (18 62)
Через функцию напряжений ПГР> пов изотропной пластины выражается так
ПСР.пов = -^г ] ]{(7гО2 + 2(1 + Н)
(18.63)
При необходимости в формулу (18.60) включают весьма малую по величине
потенциальную энергию поперечных сдвигов.
§ .3. Граничные условия
Общее решение уравнений Кармана из-за их нелинейности не построено,
не сфюрмулированы в общем виде и граничные условия, поскольку слишком
велико разнообразие вариантов соединения кромок пластины с контуром опоры.
Поэтому каждая нелинейная задача решается индивидуально при конкретных
граничных условиях для Р (х, у) и (х, //). Однако ряд общих моментов можно
отметить.
3.1. Число граничных условий на кромке. В каждой точке граничного кон-
тура срединной плоскости материальная нормаль к ней — образующая граничной
цилиндрической поверхности (п. 18.1.1) — может получить 5 перемещений.
дю л дю
Например, на кромке х = сопз!: и0, о0, и», 0х = Однако число
степеней свободы — число независимых перемещении но[ мали — всего четыре,
так как задание прогиба ю (у) кромки определяет и угол поворота ^у(у) в ^пло-
скости кромки. Внешними же усилиями и моментами Тх (//); 5 (у) Лх (у),
М*х (у) и Н* (у) кромка х = сопз! может быть нагружена совершенно про-
333
2Н
Рис. 18.7
невольно, поскольку эти усилия
и моменты создаются на кромке
независимыми друг от друга
цепными и изгибными напря-
жениями.
Степень произвола общего
решения уравнений Кармана
недостаточна для удовлетворе-
ния на каждой кромке 5 неза-
висимых граничных условий:
порядок системы восьмой, аргу-
ментов два, поэтому в решении
не может быть больше 16 про-
извольных функций, в частно-
сти, постоянных, интегрирова-
ния, т. е. на каждой из четырех
кромок можно распорядиться
не больше чем четырьмя про-
извольными величинами.
Это противоречие приближенной теории пластин по предложению Г. Кирх-
гофа устраняется заменой на кромках крутящего момента, вызванного парал-
лельными срединной плоскости касательными напряжениями тх//, на равный кру-
тящий момент, создаваемый дополнительными к перерезывающим силам и им
параллельными усилиями. Такая вынужденная замена согласно принципу Сен-
Венана искажает напряженное состояние только вблизи кромок на глубине по-
рядка толщины /?.
Интенсивность дополнительных сил устанавливается из равенства работ
заменяемого и заменяющего крутящих моментов. Па кромке х — а (рис. 18.7)
действующие на участок длиной Ну перерерывающая сила 1^с1у и крутящий
момент Иду при перемещении этого элементарного участка на величину ю [у)
и вызванном этим перемещением повороте 0/7 (у) = произведут работу
(с учетом правил знаков)
^ = (л\К)-77-^)г/г/=[(^ + -^-)И-А»] (18.64)
Из правой части равенства следует, что интенсивность дополнительных
усилий, производящих работу на прогибе кромки ш (у), есть величина дН/ду.
Из-за наличия члена д (НиН) ду работа силы дН;ду в каждой точке кромки не
равна работе Ндш/ду заменяемого крутящего момента. Поэтому накладывается
требование, чтобы эти работы были равны на полной длине кромки
что приводит к появлению в углах пластины сосредоточенных сил, численно рав-
ных удвоенным значениям крутящих моментов (рис. 18.7), поскольку на кром-
ках у = 0; Ь ситуация аналогична.
Таким образом, на кромках внутренние и внешние ТУ*, ДО* пере-
резывающие силы и крутящие моменты Н и Н* приравниваются друг другу не
по отдельности, а в комбинациях
д/7 * ,
"д-- ~ ГУ — Му 4
ду х х 1
дН _ * Л/* .
дх ГУ У
< дН* 1
дН*
дх
(18.66)
При этом в интегральном равновесии пластины учитываются угловые силы
« ь
[ [Гу(х, 0)4-г7(х, Ь)]Лх4-1 кх(0, у)-|-гх(а, у)]ду-\-
" О
4
+ 2^Л 4- | | Я (X, у) (1х 4у = 0.
(18.67)
Интенсивности гх и гу суммарных усилий на опорных кромках ортотроп-
ной пластины, называемые иногда приведенными перерезывающими силами
выражаются через прогиб ш так:
= 4
гу — уЛ
дН
ду
дН_
дх
д
дх
д-4?
дх2
д-12)
(18.68)
В случае изотропной пластины
дх
д2ш
дх2
д2
гу = — П
(18.69)
Итак, в теории пластин на каждой кромке, например при х ~ сопз!, могут
быть заданы только четыре величины: либо перемещения и0, с°, ьу, 0х, либо
усилия и момент Тх, 8, гх, Мх, либо частично перемещения и частично усилия,
не работающие на этих перемещениях, либо, наконец, уравнения связи между
усилиями и перемещениями.
3.2. Частные виды граничных условий. Граничные условия для Р ставятся
лишь тогда независимо от ну, когда на всех ее кромках заданы внешние танген-
циальные силы Т* и 8* и соответственно Т*, 8*. В этом случае оба граничных
условия для Г записываются совершенно так же, как в плоской задаче теории
упругости (гл. 4). Если же на кромках заданы тангенциальные перемещения
и0*, о0*, то, сохраняя произвол в решении уравнений Кармана, следует про-
интегрировать уравнения (18.6) относительно и г>°, считая ю (х, у) извест-
ным, и приравнять заданным найденные перемещения
где для изотропной пластины согласно (18.6) и (18.30)
Из-за громоздкости получаемых та-
_ ким способом граничных условий ряд
х авторов решают задачи непосредственно
в перемещениях у0, да, выражая
через эти перемещения уравнения равно-
весия (18.18)3 и (18.19).
Особенно сложно записываются
условия сопряжения кромки пластины
с гибким ребром, прогибы которого,
а также угол кручения зависят от осевых
растягивающих или сжимающих сил,
прикладываемых к нему пластиной.
Граничные условия, непосредственно определяющие изгиб, т. с. условия
для да, формулируются проще, особенно в случае изотропной пластины.
Если кромка х = а свободно оперта на жесткую опору, то на ней
Ш = 0; 4^=0- <18'72)
дх2
Если кромка х — а жестко заделана па опоре, то
ш = 0; 4^=0- (18'73)
дх
Если прогиб кромки х = а задан в виде функции да* (у) и к кромке при-
ложен еще внешний изгибающий момент Мх (у), то граничные условия имеют вид
* , . „ / д2да , сГда \ .
® = и> (//); О (-0-7- + Н ~дуГ) = ~мх №>
(18.7!)
Если кромка х = а совершенно свободна, то на ней должны выполняться
условия
д-да . д2и» _ д3да д3да
—?—Ь Г "Т~7" — 0’ а ч—г (2 — в) > — 9, (18. < 5)
дх2 ‘ ду2 дх3 дх ду2
вытекающие из Мх — гх = 0. Если же к такой кромке, не связанной с опорой,
приложено поперечное заданное внешнее усилие гх (/у), то второе из условий
(18,75) следует заменить на
О
д
дх
Г д2ю
ц дх2
(18.76)
Наконец, если кромка х = а оперта на упругое ребро, обладающее изгиб-
ной жесткостью Е1 (в плоскости, перпендикулярной к срединной плоскости
пластины) и крутильной С (рис. 18,8), то условия сопряжения кромки с ребром
имеют вид
г д3ю _________] / д2да д-да \ .
дх ду2 \ дх2 ' ду2 ) ’
Г1 п Г д3да . ,о д3да
Е 1 ~г~г — тт Ч- (2 — Г)
ду* дх3 дхду2
(18.77)
Условия записаны в предположении, что ребро не является гибким, т. е.
его изгиб и кручение не зависят от осевых сил.
3.3. Граничные условия для круглых и кольцевых пластин. Эги условия
на кромках записываются аналогично приведенным выше, только дифферепци-
336
альные операторы оказываются иными Так п »
изотропной пластины ’ ’ н полярной системе координат для
1 дН
---— = —О
г дф
(18.78)
Г д
дг (^2о>) 4. (I __ |д) .-д- / 1 дщ
д г ',г^ч> \ г а<[>
Гф = 'Ч-|--5Г=-^ | — ^М + а-^ЛйП].
д'* \ Г й([ ) >
другие операторы указаны в § 2 ' л
Отличными от граничных условий прямоуголып™
криволинейных, вырезанных из кругового кочГп,™" пласти» (в том числе и
являются условия периодичности по угловой кооп™ ралиальными разрезами)
и моментов круглой и полной кругоУвойВколКЬЖйНплаХ1шРеМеЩе,,ИЙ’ уСИЛИ«
ф (г, <р) = Ф(г, гр 4-2л),
где Ф (г, гр) — любая из названных характепистнк „ (18-79)
ного состояния. При осесимметричной деформации условия^ яН7о?е,1>ОрМИрова"-
тождественно. 1 4 и условия (18.79) выполняются
Новым также является требование конечности перемещений ,, -
ментов в центре круглой пластины без центрально™ ™,Т \,усилии и м°-
такого требования возникает из-за обращения в ГиЛа реза’ Необходимость
частных интегралов уравнений (18 55) при г = 0(п ”19 5)СТЬ НеКоторых из
§ 4. Классификация пластин
Стандартной классификации пластин нет ии-мс.
принятая в строительной механике корабля Она оснпЛгВеЛеИЗ классиФика,1ия.
влияния цепных усилий на изгиб и изгиба"На ?епХ усилия ТТпВЗаимиого
лить классы пластин, которые можно рассчитывать не иеиппк™ Е 1 Выде'
нелинейные зависимости общей теории Кармана °Л 3уЯ В полном объеме
ние щи РИсуХХ^ по^^ взаимное влия-
без упрощений. Под большим прогибом понимается прогиб* не превышающий 2?
Часто такие пластины называют пластинами конечной жесткости 2
4.2. Гибкие пластины небольшого прогиба. У таких пластин влияние цеп-
пых усилии на изгиб существенно; наоборот, малые прогибы па цепные усилия
влияют настолько мало, что этим влиянием можно пренебречь В результате вто
рое из уравнении Кармана - уравнение равновесия - не изменяется уравне^е
же сплошности теряет правую часть и превращается в уравнение плоской задачи
теории упругости (гл. 4)
= 0>
если пластина изотропна, и в уравнение
(18 80)
№ . / 9|1 \ сГГ , Ех д*Е
дх4 \ Оху 1Х!1) дх-ду’- Еу ду* ~ (18.81)
если опа ортотропна.
После решения уравнения сплошности (18.80) или (18.81) при заданных тан-
генциальных граничных условиях уравнение равновесия’,соответственно (18.31)2
или (18.42)2 становится линейным уравнением 4-го порядка с переменными коэф-
фициентами.
Теория таких пластин была предложена Сен-Венаном еще до разработки
более общей теории Кармана. Теория Сен-Венана, являющаяся фактически те-
орией сложного изгиба пластин, заметно упрощается, если усилия не зависят
от х и //, что обычно наблюдается при нагружении кромок пластины постоянными
по их длине цепными усилиями. Тогда уравнение равновесия изотропной пла-
стины приобретает вид
— (/ - - Тх —— - 7 ч -у-т- - - 28 . (18.82)
1 1 (Ч*- ду- дхду
4.3. Жесткие пластины. Это класс пластин, к кромкам которых внешние
цепные усилия не приложены, а цепные усилия, возникающие при изгибе пол
поперечной нагрузкой, настолько малы, что ими можно пренебречь. Уравнение
равновесия изотропных пластин этого класса (уравнение Софи Жермен)
= (18.83)
принадлежит к числу наиболее изученных уравнений математической физики,
ненамного сложнее и уравнение жестких ортотропных пластин
д4& д4да г-х д*12)
Ох -, 'т—Ь 2П0 -—}- Оу _ 4 = <7 (18.84)
дх* дх-ду- ' ду* ' 7
4.4. Абсолютно гибкие пластины, или мембраны. В противоположность
жестким пластинам у мембран пенные напряжения намного больше максималь-
ных изгибных, которыми поэтому допустимо пренебречь. Формально это озна-
чает, что изгибная жесткость О полагается равной нулю, из-за чего второе урав-
нение Кармана изотропной пластины принимает вид
д-Т д-ю , д-Г „ д-’Г &’т _ д .
ду2 ду2 1 дх2 ду2 “ дх ду дхду Л ’ '
уравнение же сплошности не изменяется.
Соответственно упрощаются и граничные условия по го, число их сокраща-
ется до одного.
В частном случае, когда во всех точках опорного контура мембраны к ней
приложено только нормальное к контуру постоянное усилие Т (Тх ~ Ту ~ Т,
8 = 0), причем настолько большое, что прогибы ш от давления у малы и не вли-
яют на величину 7\ уравнение (18.85) существенно упрощается:
, д2сУ д2и> а
= -^ + --7- = --—. (18.86)
дх2 ду- 1 4 7
В составе корпуса судна очень редко встречается пластина, которую можно
рассчитать как мембрану. Чаще мембранами считаются резинотканевые эле-
менты, например гибкие ограждения судов па воздушной подушке.
Приведенная классификация относительна. Одна и та же пластина при не-
изменных условиях закрепления па опорном контуре в зависимости от величи-
чины у может быть отнесена ко всем указанным выше классам. Фактически,
чтобы правильно определить класс пластины, нужно ее рассчитать по полной те-
ории Кармана. Однако опыт показывает, что если уравнение (18.83) приводит
к максимальному прогибу о^пах < пластина может считаться жесткой.
При лучше сразу использовать теорию Кармана. Промежуточная
же теория Сен-Венана чаще всего применяется при исследовании устойчивости
пластин.
ГЛАВА 19 ИЗГИБ ЖЕСТКИХ ПЛАСТИН
В главе приведены основные зависимости теории изгиба жестких ортотроп-
ных и изотропных пластин. Большая часть главы посвящена прямоугольным
пластинам, меньшая — круглым и кольцевым. Помимо численных таблиц для
расчета пластин при различных граничных условиях и поперечных нагрузках
даны имеющиеся аналитические решения.
Ввиду единообразия расчетных формул для частных задач применение
численных таблиц иллюстрируется решением всего нескольких конкретных при-
меров.
мх>
В дополнение к обозначениям п. 18.1.2 используются следующие обозна-
ченИЯ* оу* — стрелка прогиба в точке 7 (рис. 19.1) — центре прямо-
угольной (х = а/2, у — Ь'2) и круглой (г = 0, ср) пла-
стин или в произвольной точке внутренней кромки вы-
реза круглой кольцевой пластины (длина);
— значение погонного изгибающего момента Мх в точке I
(рис. 19.1; номера характерных точек одни и те же при
всех граничных условиях) (сила);
— то же для момента Му,
Рх — полная реакция опорной кромки х = соп$1 (сила);
— полная реакция опорной кромки у=:сопз1;
ц — 2Н — сосредоточенная реакция вершины угла опорного кон-
тура (сила);
г
Ми1
— момент инерции площади поперечного сечения балки
опорного контура относительно нейтральной оси (длина4);
— безразмерный параметр;
24 (1 —
& 2Ь безразмерный аргумент;
Р
Ь
С ' п + 1
— площадь поперечного сечения упругого ребра, подкреп-
ляющего пластину (длина2);
— расстояние между подкрепляющими ребрами (длина);
— условное обозначение кромки пластины, свободно опер-
той на жесткий опорный контур;
— — условное обозначение кромки, свободно опертой на упру-
гую балку;
-условное обозначение кромки, жестко заделанной на
жестком опорном контуре;
условное обозначение совершенно свободной кромки
прибли
. (18.84.
таблиц практически еще не доведены из-за шиппСмх до расчетных
дулей упругости и коэффициентов Пуассона. Поэтому иижГприадекГтотХ
одна такая таблица. приведена только
Точные аналитические решения частных задач об изгибе поямогготьиых
пластин построены методами К Навье (1820 г.) и М. Леви (1899 г ), круглых -
методом А. Клебша (1862 г.). Здесь под точными понимаются решения позволя-
ющие аналитически определить любой член ряда, в который разложено’ решение
Приближенные решения уравнения (18.83) по- ршквии
лучены методами, изложенными в разделе II.
§ 1. Решения Навье, Леви и Клебша
1.1. Решение Навье. Решение уравне-
ний (18.83) и (18.84) в форме Навье соот-
ветствует свободному опиранию всех четы-
рех кромок прямоугольной пластины
гс ~ = ® (х = 0; а)',
дх-
ю ="^==0 =
и имеет вид двойного тригонометрического ряда Фурье
ОО ОО
VI УЛ тлх . плу
ДО — О'ГПп. 81П - 81П ,
т—1 п=1
(19.2)
в котором коэффициенты атп пропорциональны соответствующим коэффицИ-
ентам дтгг аналогичного ряда для поперечной нагрузки д (х, у), определяемым
по формуле
а Ъ
Из уравнения (18.84)
&тп —
с,тп~~^ь'} ]
о о
тлх . плу . ,
81П----81п —-г— ах аи.
а Ь
(19 3)
лЧ О
— для ортотропной
пластины,
/?г4
а4
из
атп —
ЛАО
Ятп
уравнения (18.83)
Ятп
21 2
,4
(19.4)
(19.5)
— для изотропной.
В обоих случаях
углы поворота нормалей
ОО ОО
атп
т—\ п=1
ОО ОО
тл тлх .
---СОЗ----- 81П
ЛЛ(/
"У ’
пл тлх
°« = 2и 2и°т'‘~5,Г1“С05
плу
~Ь~
(19.6)
Изгибающие и
ОО ОО
т—\ п—1
скручивающий моменты в ортотропной пластине
Мх = п2О
т=1 п=1
тлх
81П ----81П
а
плу
е
а
а
ОО ОО
Му — л2Иу у 1
т=1 п=1
тлх .
81П----- 81П
а
ПЛ//
~Ь~ ’
(19.7)
оо оо
и о гл V1 V1 тп тях
И = ~пЮху 2 , 7 , атп соз —— соз
т=1 п=1
в изотропной пластине
со оо
тлу
~Ь~’
Л/А- = л2/)
тлх . пли
81П----- 8Ш —:
а Ь 1
ОО ОО
. тлх . пли
8Ш------81П —;
а Ь 1
(19.8)
оо оо
н __(I — р) атп соз
«1=1 «=1
тлх пли
----СОЗ---7^-
а Ь
Му = Я-О
Перерезывающие силы в ортотропной пластине
оо оо
Интенсивности реакций взаимодействия опорных кромок ортотропной пла-
стины с опорным контуром Г г
оо оо
Ш=1 н=1
т
--атп
а
оо оо
ГУ =
т=1 п=1
п
-- Отп
а
(ТУ + <°«+ (4У ™|
и х « / \ о ) и а Ь ?
I) (т 1 п \ ( т \21 • гпдх пли
I X о / \ а ) а Ь
изотропной пластины
(19.11)
Гх = Л3/?
Гу = л8/?
со
(19.12)
Значения коэффициентов агпп, вычисленные по формуле (19.3), приведены
ниже в частных задачах. Ряды для и), Мк, А1?/, Н сходятся при любом законе
распределения нагрузки д (х, //), для сил Л\, А^, гх, 'у тоже сходятся (значи-
тельно медленнее), за исключением точек, в которых приложены сосредоточен-
ные силы. Эти ряды расходятся и на линиях приложения погонных нагрузок.
1.2. Решение Леви. Решение в форме Леви уравнений (18.83) и (18.84) можно
получить только тогда, когда две противоположные и, следовательно, парал-
лельные кромки прямоугольной пластины свободно оперты на жесткие опоры.
Если вдоль свободно опертых кромок направлена ось О/;, то
ГТ гт
и) = - — 0 при х = 0, х — а
дх~
(19.13)
и решение в форме Леви имеет вид ряда Фурье с переменными коэффициентами
ОО
V* г , ч . тпх
У)'-= 2^ т У^1П а ’ (19.14)
т=1
Коэффициенты (у) — решения уравнения
ои^-^0^-Гт + ^^-^ = ят(у) (19.15)
в случае ортотропной пластины и уравнения
иг л2/п2 , л4/н4 г 1 , ч
/т ~ 2 —а !т~ [) Ут № (19.16)
в случае изотропной; в обоих случаях
а
9 Г
Ут = Т ] ? (*’ дх (19.17)
О
— коэффициенты Фурье нагрузки д (х, у).
Корни Л/ характеристических уравнений, соответствующих уравнениям
(19.15) и (19.16),
, /ИЯ I/ ' ! Л 1--• ’ ^0 •
А1, 2, 3,4 = ± —— е I 1 ± I 1 — 5- , С- — & , 5 ~ ; (19
Л|>2=±—> ^8.4 — 9. (19.19)
Поэтому в случае изотропной пластины (/гп0 (//) — частное решение)
гуч г уч. 1 т7и! . 1 пгпУ । тпУ м тТ[У । /?Щ// , тли
!т(у)— }тъ(у)-\~съ Ь —- (\ $11 Со $11 4_ 6з 77~"с^—
(Л \ (Л 1Л 1Л а 1
(19.20)
в случае ортотропной пластины: а) при $ < 1
г / ч г / ч , . тло^у , . тлс^у ,
Лл (у) — Лло (//) 4" гос1]---Ь ----------[-
(Л
, тла2у , , тпа9у
+ С-СЬ а + Гз 5,1 —а ’ <19-21)
«1 = еУ 1 I 1 — 53; а2 = е] I — У I —з-; (19.22)
б) при $> I
У (у) = гто (у) + госЬ С08 + с> сЬ 5(п ,
л а а а *
Г „ . тлау . тл\\у . . тлау
+ 25,1---а 51,1-----^- + сз511----^-С05------— ; (19.23)
(Л (Л (Л 7
Л. ___ р _____
«=-ру!г;+1; р=-7=-Г5-1; (19.24)
в) При 5=1
!т (у) = Лпо (у) + гось + Г1 зЬ +
а а 1
+ с2-=5Ь^ + Сз»сЬЛ. (19.25)
В случае изотропии е — 1 и (19.25) переходит в (19.20).
Постоянные интегрирования с оппа
вин на кромках у = 0, 6, причем'^г«,ЛЯюгся из четное?
1.3. Решение Клебша. Это решен ! условия могут быть л!пЛа”ИЧНЫх усло'
сткой пластины (и. 18 4), уравнение 6 получеио Для круглой ЫМИ’
^Равнение равновесия которой °“ ИЗОтР°"ной
‘ ( ' * 1 Л2 \ / л*
же-
дг2
д
дг
' 1 \ ,
г- (г> Ч>) =
к™............................„....2,2
Про,»,»,,,, ,,„РВ„ ,,, „
(]со 0
9 (г> Ч) = 2_, Чек (Г) соз А(р+ V (г) 5)П к<1.
/е—0 Л=1
2л о
। л 2л
Я (г, (р)со$/гфбЛр;
(19.27)
(19.28)
о
Прогиб ьу (г, <р) ищется в виде такого же ряда
ЬУ (г,
(г) ^ск (<) СО8 &Ср \ 5щ
^=0 к=1
(19.29)
коэффициенты которого
циальных уравнений
ьу к И и и.'<у< (г) — решения обыкновенных
дифферен-
2л 3
О
о
сР , 1 д к- \ 2 , ч
^ + ~Т~Г--------------75~) И’М'') = ЧН') (Й = 0. 1, ...); (19.30)
функциям шск соответствуют правые части функциям ш$к — Ц&к- В (19.30)
и в других уравнениях, где это не может вызвать недоразумения, индексы с
и 5 опущены, так как зависимости по виду оказываются общими.
Интегралы уравнений (19.30) при дъ (г) — 0
(г) — соо + О)1/'“ т с021п г 4~ созг21п г’
о>1 (4 = Но' 4- Н1'-3 4- 4- 1п г; , (19 31)
^к (/ ) = 4- 4- ск2г~к 4- ^Зг~л’+2 (& > 2).
Входящие в них произвольные постоянные Ск1 {1~ 1» 2, 3, 4) определяются
из граничных условий. Частные решения уравнений (19.30) находятся по общим
правилам теории дифференциальных уравнений.
§ 2. Изгиб жестких ортотропных и изотропных пластин,
загруженных равномерной поперечной нагрузкой
2.1. Пластина, свободно опертая на всех кромках (рис. 19.2). В
Навье (19.2) для ортотропной пластины коэффициенты
решении
------------
зтс тп
_______________167
л I о/) 22^
г ах 1 " 0 а-Ь^
//
в случае изотропной пластины
О
Г
2
5
• / 5
Рис. 19.2
перенесена так, чтобы
— — ) >
- 2 /’
(т, п = 1. 3, . . .) (19.33)
В обоих случаях а„ш = 0, если хотя бы
одно из чисел т, п четное.
В решении Леви (19.14) (для упро-
щения решения симметричной задачи ось Ох
параллельные ей кромки имели координаты у =
ей сй 2
Ь
------------о
сп —$—------сй
«1 и а2 определяются по формулам (19.22), е и 5—по (19.18),
1ту{у) (/пл)5 Оу
(19.34)
У
4
1
тлЬ
Н/П - ----
а
тл
(19.35)
Изгибающие моменты согласно (19.38)
4да-О
~л3Щ
т3
т=1, 3, ...
4(/а2
л3
1
т3
т=1, 3, ...
ей
-«1Сиху-«2)
с 11
агит
- сй
сй
а2иту
8Ш
81П
тлх
тлх
СЙ
&Л11тУ
ей
~2~
(19.36)
сЬ
Расчетные моменты в точке 1 — центре
пластины
(19.37)
МХ1 =
со
4<7а2Дх
т—1
т3
т—\, з, ...
М
—
1 - Му/4
2
а2 — а1
1
Ь
С11 а2итУ
И1 -НуХ)
ь
2
а
1
с^2
Ь
а
с!1
2 1 )
со
4да?
Муг —
т=1, 3, ...
П1—1
) 2
т3
1 ‘11ху
<М - а[
ху
ск-^2.
2
ху
б) при $> 1
4да4
1т — (тл)5 Оу
сЬ _^п
2
аит
— С°5
Ш'П , рпт
2^2
2
_ (/(52 — I)-1 — 111 —2т \
аир определяются по формулам (19.24), и
Изгибающие моменты
4да2О
Мх ““ л-О
л и ц
оо
(19.39)
3-1
ШЛ м. аитУ „ЛС $иту
I VII « . '
\ ) ь ь
)5Н^«51П^Й, (19.40)
’т — по (19.35), е и $ — по (19.18).
+0-2
2
гп=1, 3
Рнт \
2 )
1
т3
1 — I сЬ
аит Р»т
2 ~Г“
сснт
2
1р $и’п
* 2
Му =
_оЛ V, ШУпУ
— “) )сЬ —соз
&УпУ
Ь
. ^игп
2^2
-1>х!/е-^ )8Ь^^-51п-^
. тлх
зт----
а
(19.41)
4 да2
л3
ОО
т3
I
1- Гсь-^со8-^.
2.
ОШт 1 о
2 45
- ц-Л“2
аитУ _ №гг
Ь Ь
- ц-Л-2
•ц*/х
аиту
Ь
Расчетные моменты в точке 1
оо
~ 1)-! 1§-^
.1 иМт +
01 —
Р^т
2
зт
Ь
81П
тлх
а
(19.42)
4да2О:
мхг -
т=1, 3, ...
гл—1
2
т3
1 —
ск —— СОЗ
с^Ищ
2
х_. Р*Мг
18 —
а«т 18.;
(19.43)
1 —
в) Пр» 5 = 1
г , 1 4да'
/т (У) — /,м-т\5 1
У
м
Му1 л'з “ Рл-у/
. (УЛ1(Н
С11 --у- СО5
Изгибающие моменты
оо
4да2Рх
713Ру
т3
т=1, 3, . .
т
еит ,
4
М =
4да2
л3
СО
т3
/п=1, 3, ,..
еиту
сЬ~г~
сП-^
ОО Н1 -1
•V
7723
^Чт . ₽«п/
2*2
5Ь^
еиту Ь
2Ь , еит
сь—
Расчетные моменты в точке 1
. 4да2Р
т—1, 3, ...
^да2
М//г - —3“ Мч/
/72=1, 3, . . .
аУт т .>
2 ё
, еиту
СП---;--
Ь
с1^
~4~
тих
8111-----
а
с11 еитУ
1Л2\ ^1тУ Ь
т—1
2
т3
т—1
2
т3
2Ь
I —
(19.44)
811 еи™У
еиту Ь
26 . еит
сп -~-
2
(19.45)
с!1 —
ь
сЬ-^2.
(19.46)
(Шт
4
(Ь
еит
2
» бит
сь—
' 81П
птх
а
(19.47)
сЬ
сЬ
—‘Ь
еит
2
(19.48)
"2~
еигп
Гели пластина изотропная, то е~з~ 1 иг,. = = .. Р _ г
в результате формулы (19.45)—(19.49) принимают вид7* х
Iт (У) (гил)5 О
м* ==
оо
4да2
Л3
1
т3
т=1, з, ...
зЬ^.
иту Ь
2Ь
л3
С11-^М
о
аЬ-(М. "
11тУ Ь
сЬ-^_
. тпх
81П-----
а
2Ь
ит
(19.50)
сЬ
ь
и ит
Л-2-
(19.51)
со
4?а2
МУ " я3
т=Л, 3,
с11 итУ
ъ
ГП3
иту
"тУ
2Ь
с1,27
тлх
81П ----
а
„к ит
сь—
(19.52)
оо
^да1
т—1
)~
т3
т —1, 3, ...
ОО
т— 1
к/Я2
л3
Ш=1, з,
т3
1)
I Нт
с1’—
II.
Т1Ь~
сЬ-^у-
(19.53)
(19.51)
4
2
—
к
в -
и-т ч,п
4 2
Ь
1 —
И -
Для ортотропной пластины приведенное выше решение табулировано лишь
для одного значения з» = 1, когда О„ = /ад». М. Губер, составивший табл
19.1, привел расчетные формулы в принятых здесь обозначениях к виду 117]
дЬк
= * -п- *
иУ
(19.55)
Мух = (Уъ 4" **) )
А\3 = ^х5 = [V!! + ^’12 (2е-2 - М е2]
/\у2 — [т22 ^21 (2е-2 4- Вху — 2В</х) е
Гхз = ГХ5 = 1'11 + у12 (4е“2 — ЗВ(/.г) е“1 <7^е’
Гу. = гу4 = [т23 4-^1 (4е-3 + 1^у - 4р^) Г2]
(19.56)
(19.57)
(19.58)
ь
о
а
’ 2 ~ 3-%.) е21 чЬ-е;
— 4п
ху ух
) е~ 2] даЬ\
(19.59)
о
Я = т34 (е2 — Нлт/) е 1(1Ь2-
Все числовые коэффициенты в табл. 19.1 зависят от параметра
(19.60)
х =
X
(19.61)
Б. Г. Галеркин [5] построил таблицы для расчета изотропной пластины
для ц = 0,30 и р = 0,25. В табл. 19.2 приведены безразмерные коэффициенты
расчетных формул (р — 0,30; Ь < а)
= V ; МХ1 = VI!?*2; МУ1 = ^’217*2;
Л'л-з = ''33<7*; Куг — ч^дЬ', гхз = у63?6; гУ2 = Ус,.дЬ;
(19.62)
Р = у.дЬ', Кх — \едЬ', Р,, = \ядЬ.
Таблица 19.1. Значения коэффициентов в формулах
для расчета ортотропной пластины рис. 19.2
V VI V2 V 12 V22
1,0 0,00407 0,0368 0,0368 0,219 0,119 0,219
1,1 0,00488 0,0359 0,0447 - —
1,2 0,00565 0,0344 0,0524 — — .
1,3 0,00639 0,0324 0.0597 — —
1,4 0,00709 0,0303 0,0665 —- — .
1,5 0,00772 0,0280 0,0728 0,199 0,164 0,335
1,6 0,00831 0,0257 0.0785 — -II
1,7 0,00884 0,0235 0,0837 — —
1,8 0,00932 0,0214 0,0884 — —1 —.
1,9 0,00974 0,0191 0,0929 —
2,0 0,01013 0,0174 0,0964 0,189 0,181 0,410
2,5 0,01150 0,0099 0,1100 0,188 0,183 0,453
3,0 0,01223 0,0055 0,1172 0,187 0,185 0,476
4,0 0,01282 0,0015 0,1230 —
5,0 0,01297 0,0004 0,1245 0,186 0,186 0,499
1 °° 1 0,01302 0,0000 0,1250 0,186 0,186 0,500
1 х V' 12 V' 22 V' 21
| 1,0 0,119 0,157 0,093 0,157 0,093 0,0466
| 1,5 0,089 0,145 0,122 0,241 0,081 0,0611
1 2,0 0,055 0,138 0,133 0,299 0,066 0,0663
| 2,5 0,031 0,137 0,134 0,338 0,054 0,0670
1 3,0 0,017 0,136 0,135 0,365 0,045 0,0675
1 5,0 0,001 0,136 0,136 0,419 0,027 0,0679
1 сю 0,000 0,136 0,136 0,500 0,000 0,0679
Таблица 19.2. Значения коэффициентов в формулах для расчета изотропной пластины рис. 19.2
Пример. На свободно опертую всеми четырьмя кромками изотропную
пластину действует равномерное давление столба воды высотой 12 м. Размеры
пластины: а = 1 м; Ь — 0,50 м; Л — 0,01 м; модуль упругости Е — 2-10° МПа
коэффициент Пуассона [I ~ 0,30. Найти максимальную стрелку прогиба, макси'
мальное пзгибпое напряжение и полную реакцию длинных сторон опорного кон'
тура.
Согласно формулам (19.62) и табл. 19.2 при Л = а/Ь — 2 и <7= 0,12 МП
максимальная стрелка прогиба (в точке /) ’ а
со, = 0,1106 = 0,00415 и = 0,415 см;
наибольший изгибающий момент (момент Му в точке /)
МУ1 = 0,1017-0,12-0,50?= 0,00305 МН = 305 кге;
ему соответствует согласно (18.34) максимальное напряжение
_ 6МУ1
~ ~иг
6-0,00305 ,оо мг. _
----2— ----= 183 МПа = 1830 кге.см2;
10~4
полная реакция каждой длинной кромки
= 0,364-0,12-1 -0,5 = 2,18-10“? МН = 2180 кгс.
2.2. Пластина, жестко заделанная на всех кромках (рис. 19.3). Аналитиче-
ских точных решений не имеется. Результаты приближенных аналитических и
численных решений для изотропных пластин (|Л = 0,30) приведены в табл. 19.3.
В дополнение к расчетным формулам (19.62) используются
Мхз = МУ2 = у22дЬ2. (19.63)
2.3. Пластина, свободно опертая на две параллельные кромки и жестко
заделанная на двух других (рис. 19.4). Здесь параллельно свободно опертым
кромкам направлена ось Ох, т. с. решение в форме М. Леви имеет вид
со
Уе ч . тти/'
(х) 5111 —й—. (19.С4)
Ш=1
Соответственно изменяются и зависимости (19.50)—(19.54) и им аналогичные.
В табл. 19.4 приведены численные коэффициенты для расчетных формул (19.62)
и (19.63), в которых при а <Ь везде следует Ь заменить на а.
2.4. Пластина, жестко заделанная на одной кромке и свободно опертая
на трех других (рис. 19.5). Численные значения у для формул (19.62) и (19.63)
приведены в табл. 19.5. Изгибающий момент посередине жестко заделанной
кромки (точка 5)
Мх6 = (19.65)
При а < Ь следует в (19.62), (19.63), (19.65) Ь заменить на а.
Рис. 19.1
Таблица 19.3. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.3
а Ь при а > Ь и Ь а при а < Ь а > ь а < Ь
V | V» Т21 ^22 V V22
1 0,0214 0,0332 0,0244 0,0698 0,0214 0.0332 0,0244 0,0698
1.1 0,0276 0,0370 0,0309 0,0788 0,0228 0,0356 0,0230 0,0739
1.2 0,0349 0,0401 0,0377 0,0868 0,0243 0,0374 0,0216 0,0770
1.3 0,0425 0,0426 0,0447 0,0938 0,0255 0,0388 0,0202 0,0793
1.4 0,0504 0,0446 0,0517 0,0998 0,0262 0,0399 0,0189 0,0808
1.5 0,0582 0,0460 0,0585 0,1049 0,0270 0,0406 0,0172 0,0829
1.6 0,0658 0,0469 0,0650 0,1090 — — •— —
1.7 0,0730 0,0474 0,071 1 0,1124 — —. —
1,8 0,0799 0,0476 0,0768 0,1152 — — — •—.
1.9 0,0863 0,0476 0,0821 0,1173 — — — —_
2 0,0987 0,0474 0,0869 0,1191 0,0284 0,0421 0,0142 0,0842
3 0,1276 0,0421 0,1144 0,1246 — — —
4 0,1383 0,0390 0,1223 0,1250 — —. —_
5 0,1412 0,0379 0,1243 0,1250 — —. — — м
ОО 0,1422 0,0375 0,1250 0,1250 0,0284 0,0417 0,0125 0,0833
Таблица 19.5. Значения коэффициентов в формулах
для расчета пластины рис. 19.5
а : Ь V V!! '^15
0 0,057 0,062 0,019 0,125
1 : 2 0,053 0,060 0,023 0,122
1 : 1,5 0,046 0,054 0,028 0,111
1 : 1,4 0,044 0,052 0,030 0,108
1 : 1,3 0,041 0,050 0,031 0,103
1 : 1,2 0,038 0,047 0,032 0,098
1 : 1,1 0,035 0,043 0,033 0,091
1,0 0,030 0,039 0,034 0,081
1,1 0,038 0,042 0,041 0,092
1,2 0,047 0,044 0,049 0,098
1,3 0,055 0,045 0,056 0,104
1.4 0,063 0,047 0,063 0,109
1.5 0,070 0,048 0,069 0,112
2,0 0,101 0,047 0,094 0,122
со 0,142 0,037 0,125 0,125
2.5. Пластина, свободно опертая на трех кромках и совершенно свободная
на одной кромке (рис. 19.6). Численные коэффициенты формул (19.62) приведены в
табл. 19.6. Прогиб и изгибающий момент посередине свободной кромки (точка 5)
аЬ*
Юб = х Муъ = г’28(?62' (19.66)
2.6. Пластина, свободно опертая на двух параллельных кромках, на одной
жестко заделанная и на параллельной ей кромке совершенно свободная (рис. 19.7).
Максимальный прогиб и изгибающий момент Муъ посередине свободной кромки
вычисляются по формулам (19.66), момент Мхз — по формуле (19.63). Численные
коэффициенты указаны в табл. 19.7. При а<Ь в расчетных формулах для
и Л4ГЯ Ь заменяется на а,
2.7. Пластина, жестко заделанная на двух смежных кромках и свободно
опертая на двух других (рис. 19.8). Численные коэффициенты формул (19.62)
и (19.63) приведены в табл. 19.8. При а < Ь величина Ь заменяется на а.
Рис. 19.11
12 Бойцов Г. В. и др.
Рис. 19.12
а : Ь V V' тп т21
1 • 2 0,0416 0.0775 0.0223 0,0385 0,0602
115 0,0593 0.1057 0,0302 0,0551 0,0833
1:14 0,0636 0,1117 0,0320 0.0591 0,0882
1-1,3 0,0689 0,1192 0,0338 0.0639 0,0944
1 : 1.2 0.0744 0,1265 0,0356 0.0689 0,1003
1 : 1.1 0,0806 0,1345 0,0373 0,0744 0,1069
1 0,0866 0,1404 0,0390 0,0799 0,1118
1,1 0,0929 0,1464 0,0403 0,0853 0,1167
1.2 0,0984 0,1511 0,0411 0.0901 0,1206
1,3 0,1033 0,1547 0,0417 0,0943 0,1235
1,4 0,1077 0.1575 0,0420 0,0980 0,1258
1,5 0,1116 0,1596 0,0421 0,1012 0.1276
2,0 0,1355 0,1646 0,0414 0,1125 0,1317
3,0 0,1375 0,1660 0,0391 0,1237 0,1329
ОО 0,1422 0,1662 0,0375 0,1250 0,1330
Таблица 19.7. Значения коэффициентов в формулах
для расчета пластины рис. 19.7
Коэффициенты а 4 Ь
0 1/3 0,5 2/3 1 1,5 2,0 3,0 ОО
Vх 1,37 1,03 0,635 0,366 0,123 0,154 0,164 0,166 0,166
Л’13 0,500 0.428 0,319 0,227 0,119 0,124 0,125 0,125 0,125
0 0,0078 0,0293 0,0558 0,0972 0,123 0,131 0,133 0,133
2.8. Пластина, жестко заделанная на трех кромках и на одной кромке сво-
бодно опертая (рис. 19.9). Численные коэффициенты формул (19.62) и (19.63)
приведены в табл. 19.9. При а < Ь величина Ь заменяется па а.
2.9. Пластина, жестко заделанная на двух параллельных кромках, на одной
кромке свободно опертая и совершенно свободная на ей противоположной
(рис. 19.10). Численные значения коэффициентов формул (19.62), (19.63) и
(19.66)! приведены в табл. 19.10. Изгибающий момент Му в точках 5 и 6
Муь = ^25^7^“’ ^//6 — у2б7^2' (19.67)
В случае, когда а < Ь, во всех формулах а заменяется на Ь и Ь на а.
2,10. Пластина, жестко заделанная на трех кромках и на одной кромке со-
вершенно свободная (рис. 19.11). Моменты Л4Л-3 и Му2 вычисляются не по форму-
лам (19.63), а по формулам
Мхз = ^Тз^2; Му2 = \'22да2. (19.68)
Численные коэффициенты первых трех формул (19.62), формул (19.66), (19.68)
и второй из формул (19.67) приведены в табл. 19.11. При а < Ь во всех формулах а
заменяется на Ь и Ь на а.
2.11. Пластина, свободно опертая на прямоугольный контур, две стороны
которого абсолютно жесткие, а две другие представляют собой балки с изгиб-
ной жесткостью Е1 (рис. 19.12).
Таблица 19.8. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.8 а : Ь 1 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 : 0,9 1 0,8 1 : 0,7 1 0.6 2 1 0,0511 0,0456 0,0393 0,0336 0,0281 0,0229 0,0281 0,0336 0,0393 0,0456 0,0511 0,0581 0,0434 0,0478 0,0416 0,0359 0,0304 0,0313 0,0310 0,0302 0,0275 0,0240 0,0240 0,0275 0,0302 0,0310 0,0313 0,0304 0,0359 0,0416 0,0478 0,0434 0,0581 0,1184 0,1091 0,0988 0,0875 0,0773 0,0674 0,0711 0,0747 0,0766 0,0776 0,0784 0,0784 0,0776 0,0766 0,0747 0,0711 0,0674 0,0773 0,0875 0,0988 0,1091 0.1184 । Таблица 19.9. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.9 а : Ь 0,6 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 : 0,9 1 : 0,8 1 ' 0,7 1 : 0,6 2 0,0491 0,0419 0,0346 0,0282 0,0223 0,0172 0,0200 0,0224 0,0245 1 0,0264 0,0277 1 0,0564 0,0498 0,0428 0,0358 0,0292 0,0236 0,0231 0,0218 0,0196 1 0,0174 0,0149 1 0,0259 0,0289 0,0308 0,0312 0,0297 0,0278 0,0312 0,0349 0,0377 1 0,0402 1 0,0415 0,1126 0,1018 0,0887 0,0758 0,0644 0,0545 0,0554 0,0564 0,0565 0,0562 0,0559 0,0780 0,0770 0,0745 0,0704 0,0654 0,0597 0.0660 0,0717 0,0771 0,0811 | 0,0835 |
Коэффи- циенты Л Коэффи- циенты *ТЛ 1ТЛ л
Таблица 19.10. Значения коэффициентов в
Таблица 19.11. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.11 а : Ь 1 ОКМФСОООЮ г- хг — |П </? сс ОООО ° О о о о о о о о д' о о о о
1.5 О о —< со сп оо со со СО — СО ТГ-г о СЧСО—'СО^СЧС^ОО СО 0 00 0 0-00^ д д д с д о д д
1.2 СП Ь- СЧ СП СО Ь* 'чГ ОО сосог-со^оосо^ СЧСО’—•СО'^СОГ'-СО со о со со со о о о о с о о о о о
г--* Г-ОьОСП'гР'—1 о ф О со ю о ю СЧ со —* со НО СО оо оОСО СО СО СО СО СО о о о со о о со о
0,9 СЧСО^СОСО—'СЭО СП СП СО ОО СЧ СП -о НО ^-<СЧ—'СЧ-сГСОСООО о о оо о о о о о о" о со о" о со со"
8'0 Йг^г-спсою — оо К? ОО 41 ю - СО СО ‘СЧ—'СЧх^ООЮОО о со со о О СО СО о о" со" о" со" о" со со о
о —«ХГГ-^СОСОЬ- г^Г'-.счсчоооспсо СЧ СЧ СО —' ’^Г оо о °„ А. А. °„ о" о со" о" со о со"
0,6 НЗспЮсОСОсОсОоО ЛзСООСОСОГ-’— СП 1; о ! о - тг (- с оо о^о^с о ' о" о со" со" со" со" ср"
0,5 Х^ОСОСООО^ШСП спошсчсососоо ОСЧСО—^0'.СОСО('- соосоососчоо о" о" со" со со" со" со" о" 1 1 1
о ^^•г-сосососчю ,0^00^сс^<- Ж г-- о О —' О} Ю со о о со сч со со о" о со" со" о" со" о" III
0.3 оЬс^ОСЧООсО^СО сч -С ( сс со со О^соососо — СО О о °„ °„ °. со" о" °"
Коэффи- циенты Ь’л пл л У л С1 О1
Материал упругих ребер и пластины один » ,
„олучеио пр» граничных условиях (18.75), и I Я 77? же- Рс"'е'"’е типа М пе
балок-опор не учитывается. л и <18-'7)2. т. е. кпутил,.,,,/. М' Леви
Расчетные формулы для максимального п„ г ЛестК0С1Ь
ний а„ и о„ в центре пластины (точка " "°РМаль„ых папря!те.
= 0,156(1-^2)-^- (19Ю)
1=1, з, ...
оо
пх1 = 0,775-^- -А-(0,3-;-0Ж-2Л',)81п-^-; (19.70)
1=1, 3, ...
оо
^, = 0,775-^- -1(|_0,7Л1(-0,6.\'()«1п^-. (19.71)
1 = 1, 3, ...
Л 61 01/1 .. ° \ •
где /г =• -2^-> х ~ 24 0 ~ »
., 0,21//гс11 /7? — 0,39 §й 1к 4- х(7г (2 ей Иг -|- Иг $й 1к) . '
1 2,31 $11 Иг сй 1к — 0,4917г -|- 2х1к ей2 Иг ’
У 0,21 $1и7г -|- сй 1к (19.72)
' ‘ ^2,312Н1/гс1п7г —0,491Й4-2и^с112^ ’
Порядок расчета:
I) по заданным элементам пластины а, Ь, /г, ди/ вычисляют значения х и /г;
2) вычисляют величины ЛД и по выражениям (19.71), полагая в них I = 1;
3) подставляя найденные значения АД и Л\ в выражения (19.69)—(19.71)
и учитывая в суммах только первые члены, вычисляют в первом приближении
^1» °*х1 11 °УП
4) для получения второго приближения повторяют вторую и третью опера-
ции, полагая I — Зи учитывая в суммах только члены с этим номером, после чего
вычисленные по выражениям (19.69)—(19.71) величины прибавляют как поправки
к величинам первого приближения.
Дальнейших приближений (/ = 5, 7, ...), как правило, не требуется, так как
уже второе приближение дает лишь незначительные поправки.
П р и м е р. Дано: а = 100 см; Ь — 50 см; к = 1 см; / — 100 см1; д =
= 0,12 МПа; Е = 2 -105 МПа.
24 0,91100 0, й. , 3,14-100
х== юо~— = 21>8> *“~Т5Г“3,4,
Полагая 1= 1, находим: Иг =3,14; $11 Иг = 11,53;. ей Иг ~ 11,57; 11! =
= 0,219; Л\= 0,0426.
Подставляя найденные значения и в формулы (19.69)—(19.71) и сохра-
няя в этих формулах лишь члены с / = 1, получаем в первом приближении
и’! = 0,156 0,91
0,12-501
1 — 0,218
2 105 I3 I5
= 0.42 см;
оЛ! — 0,775
(0,34-0,7-0,218 — 2-0,0426) 1 =85,4 МГН,
Г2 I3
сг/,1 = 0,775
0.12-502
I2
Д(|-0,7 0,21К-0.6 0.0426)1 = 191,1 ЧГМ.
1 н V VII У21 1 . 2 * V VI1 V2X
0 0,1430 0,1160 0,0057 6,0 0,0495 0,0514 0,0455
0,5 0,0826 0,0744 0,0315 10,0 0,0474 0,0500 0,0465
1.0 0,0681 0,0643 0,0376 30,0 0,0454 0,0486 0,0473
2,0 0,0578 0,0571 0,0419 100,0 0,0447 0,0481 0,0477
4,0 0,0515 0,0528 0,0447 оо 0,0443 0,0479 0,0479
Поправки к величинам первого приближения: /И3 — 0,1/00922; — 0,000081;
1^= 0.0022 см; ДаЛ1 = —2,6 МПа; До^ = -8,6 МПа.
Таким образом, во втором приближении. = 0,42 см; <тЛ1— 82,8 МПа;
0^= 182,5 МПа.
В третьем приближении уже и значения напряжений не изменяются.
В случае квадратной пластины наибольший прогиб и наибольшие изгиба-
ющие моменты в центре пластины могут быть подсчитаны по следующим фор-
мулам:
МХ1 = Уц^а2; Му1 = х'21да2. (19.73)
Коэффициенты V, уп, находятся из табл. 19.12 в зависимости от относи-
тельной жесткости подкрепляющих упругих балок, характеризуемой пара-
х 12(1—
метром -----------^5------.
2.12. Пластина, свободно опертая на прямоугольный упругий контур
(рис. 19.13). Для квадратной пластины (а — Ь) при одинаковой жесткости ба-
лок. составляющих ее контур, пользуются следующими расчетными формулами:
Таблица 19.13. Значения коэффициентов в формулах
для расчета пластины рис. 19.13
Коэффициенты 12 (1 — ц2) I аН3
0 0,5 1 2 3 4
V 0,2892 0,1321 0,0982 0 0751 0,0661 0,0614
Г11 0,1109 0,0691 0,0601 0,0539 0,0515 0.0502
12 (1 - и2) /
Коэффициенты аК3
5 10 25 50 100 оо
V 0,0584 0,0522 0,0483 0,0470 0,0463 0.0457
• I I 0,0494 0,0177 0,0467 0,0463 0,0462 0,0460
для максимального прогиба (в неитпл
пластины)
а а'
а>1 * Е№ ’ (19-74)
ДЛЯ изгибающих моментов в центре
пластины
= Му\.~ уи7°“- (19.75)
Численные значения коэффициентов V
и тп в зависимости от относительной
рис. 19.13
жесткости упругого контура, характеризуемой отношением — 12
2 I з
приведены в табл. 19.13.
§ 3. Изгиб жестких изотропных и ортотропных
прямоугольных пластин, загруженных
гидростатической нагрузкой
3.1. Пластина, свободно опертая на поямоугппкиищ
(рис. 19.14). Коэффициенты в решении Навье ^п. 19 11) жестким контур
(«=1. 2, 3, . . ,!=1. 3> 5
где — интенсивность нагрузки па кромке х= а.
^Остальная часть параграфа посвящена только изотропным
Функциональные коэффициенты в решении Ч. Леви (п.
тропной пластины
/т (у) —
пластинам (р ==
19.12) для изо-
27о«Ч-1)'п
(тл)5 I)
Ищ X
сЬ-^С
о
сЬ-^-
2
. иту Ь
2ь сЬ-^.
2
ггтЬ
Нт--------
а
т = 1, 2, . .
если ось Ох делит длины кромок х = 0 и х — и пополам.
Расчетные формулы для изотропной пластины при сохранении нумерации
характерных точек (рис. 19.1) приведены к виду (р = 0,3)
а > Ь а <Ь 1
ЕН3 ’ . Ш. = V —— - , 1 а» ’
Д1Ч1 = Уц(]оЬ2', Л1л1 — л’и<70а2;
Мух = у21?об2; (19.76)
А Л‘3 — ^’зз^о0’ ^лз ~ ' зз*7о$’
Л'лз = \’35%а: ^ГД5 = у35(/оЙ’
~ У А ~ У12^0^’ У2 = УА ~ ХА >Уо^-
Рис. 19 14
<7о -= П^г= 10%сг =
Численные значения коэффициентов V
приведены в табл. 19.14.
П р и м е р. Свободно опертая пря-
моугольная пластина является стенкой
коробчатой цистерны, полностью запол-
ненной водой. Длина пластины (высота
цистерны) о, = 3 м, ширина Ь ~ 1 ?л
толщина К = 1 см. Найти изгибные
напряжения в центре пластины (точ-
ка /).
Интенсивность давления воды на
дне цистерны (М — масса столба воды
высотою а и площадью сечения 1
ц —- 9,81 м/с)
103-3,0-9,81 29,1 • 10' Па.
Изгибающие .моменты в точке 1
Л4Л1 = = 0,0202-29,4-103-12 = 594 И;
= х21дйЬ2 = 0,0594-29,4- 103- I2 = 1746 И.
Изгибные напряжения в этой точке
6Л1А1 6 594
=- д2
10“4
= 35,6 МПа = 356 кгс/см2;
„ _ 6/И,У1
п----------
—= 104,8 МПа = 1048 кгс/см2.
3.2. Пластина с одной жестко заделанной кромкой и тремя свободно опертыми
кромками. Возможны два случая.
3.2.1. Нагрузка изменяется вдоль параллельных свободно опертых кромок
от максимальной величины д$ па заделанной кромке до нуля на свободно опертой
(рис. 19.15).
Помимо расчетных формул (19.76) используются следующие;
при а> Ь = х13д0Ь2;
при а < Ь Мхз = х13д0а2.
(19.77)
Численные значения коэффициентов V в формулах (19.76) и (19.77) при-
ведены в табл. 19.15.
3.2.2. Нагрузка изменяется вдоль параллельных свободно опертых кромок
от максимальной величины д0 на свободно опертой кромке до нуля на заделанной
(рис. 19.16).
Д<полнптельные к (19.76) и (19 77) расчетные формулы:
при « > Ь
при а <Ь
—
^шах — ’
^'шах — V ,
Мл6 - Нб<7Оа2.
(19.78)
Максимальный прогиб пластины достигается левее точки /. Значения коэф-
фициентов V приведены в табл 19.16.
3.3. Пластина с двумя жестко заделанными кромками и двумя свободно
опертыми. 3.3.1. Нагрузка изменяется вдоль свободно опертых кромок
(рис. 19.17). Расчетные формулы (19.76)—(19.78) с коэффициентами V
из табл. 19.17.
3.3.2. Нагрузка изменяется вдоль заделанных кромок (рис. 19.18).
Т аблица 19.14. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.14
с» § 3 2 § 2 2 § § - §. 1 ° ° ° ° ° ° О о о- 2 1 § § | 1
со М М & 1 1 1 § о о 2 2 О $ со „ о о О О о О 2 о- 2- 2 2 о- В
д>г и л 1 !Л =Л 3 М ? ? 3 § & & ° о о О О о о- о- -- 5 | | |
СХ с <3 ;> СО'гГ^Й^^ОсООи^^*. о о о о о о о § § ол 2 22 ° ° ° °" " - о § § § § § § § |
> 1 I н § ? и й о- о- § 2- 2 § В 2 2 2 2 2 2 2 2
111111318818^3 = ° ° ° ° ° = § § § § 5 § 3 3 3
м е* 5 5 5 2 2 "« $ - °ооооооо©оооосо
ю ? СО 1_О СО О1 •—। О] СО Ю СО . и .л _ 1 о" <о сГ о*- о” о' о” о“ о- о~ о" о" §
а : Ь при а>Ь со СО §^^3^1Л^^сососо^оо о о о о о О О <О о о о о о о 1 оооооо"о"ооооооо" |
о о о о о о о о о о о о о о 1 о о о" о" о сГ о сГ о о о со сГ о" со
СП О СМ СО СО О СО О Ю 04 С1 04 Г- Г- 1 оохгю1-от^гг+«т^сососоо©сосс 04 04 04 04 04 СМ 04 04 04 04 04 О1 — »— ооооооо^оооооооо о о о о* о о о о о о о о о о о
’-'ЮООООШ — С00400040000000 — 04 О О СО 04 Ю> ОО О СО 1О ОО О О —< I 04 О4С0С0С0^'^'^,Юи0ъ0©Г^.Г^Г^1 О~ О~ О. О_ О_ О_ О_ О' О' О_ О, о о о о о" о- о о~ о~ о о" о" о" о о о" о” о"
1 —04 СО тг ио О_ Г- 00 04 О О’ О~ О д _ ^_г _С4 со о о !
8 ______________________Табл и ц а 19.15. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.15
Коэффи - циенты а : Ь
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1 : 0,9 1 ; 0,8 1 ; 0,7 1 0,6 2,0
V 0,0240 0,0222 0,0202 0,0182 0,0161 0,0140 0,0183 0,0237 0,0304 0,0390 0,0487
ти 0,0282 0,0269 0,0250 0,0230 0,0209 0,0188 0,0207 0,0228 0,0237 0,0239 0,0236
У21 0,0111 0,0123 0,0136 0,0146 0,0155 0,0158 0,0197 0,0248 0,0307 0,0379 0,0456
т13 —0,0653 0,0629 —0,0597 —0,0561 —0,0523 —0,0495 —0,0549 —0,0612 —0,0689' -0,0764 —0,0840
Таблица 19.16. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.16
Коэффи- циенты а ; Ь
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 ; 0,9 1 ; 0,8 1 ; 0,7 1 ; 0,6 2,0
V' 0,0309 0,0285 0,0256 0,0229 0,0201 0,0174 0,0225 0,0229 0,0370 0,0461 0,0575
V 0,0292 0,0271 0,0242 0,0217 0,0191 0,0165 0,0212 0,0268 0,0342 0,0429 0,0526
^11 0,0320 0,0301 0,0280 0,0254 0,0230 0,0203 0,0218 0,0225 0,0239 0,0241 0,0231
У21 0,0124 0.0143 0,0161 0,0170 0,0177 0,0181 0,0224 0,0274 0,0340 0,0408 0,0486
'То —0,0560 —0,0531 —0,0490 —0,0446 —0,0402 —0,0352 —0,0378 —0,0402 —0,0411 —0,0405 —0,0377 .
О
Т 6 3 т 1- Ц а 19,17. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.17 . а Ь I 2,0 о ь- о СО СО и- СО хп 04 о о о О СО о" о" о" Т аблица 19.18. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.18 ; а : Ь о сч со О О- х* Г- —1 04 —• — О 04 хЬ со со со о со о" со со со со
1 : 0,6 _< со 00 О О ГО со о 5^ СО 04 1^- СО СО о со со со со о" о о" со" о 1 0,6 •сГ оо —' СО СП со со оо со —1 —< —’ СО 04 хГ о со о со^ о со" со о" о
1 : 0,7 _ Г- О 04 о о 04 Г-> 'Г1 г> 04 04 СО со 04 со о со со со о" о со о" о" 1 1 1 : 0,7 о со оо ю СО СП со о —< —< О 04 о о со СО со о" со со о со
1 : 0,8 СО 1^- »о СО СО сп со г- сч о ОД 04 ю СО 04 о о со. о. со. со о со со «О —1 —' со 04 О СП СП —4 —Н — СО о о о О о о" о" о со" со"
1 0,9 04 со ио О 04 а г з о о о о о о о
1 : 0,9 О1 и- °о оо СО О СП и0 1 о о о о" со" о со о
о |О 04 Г- СП о со сч со —' — —' со о СОЛ <о со о о" со" о" о о"
1,0 ьО ь О1 Ь С4 о го со со О1 00_,^О4’-' о со со о о о со со со о
04 04 00 СП ^+< ио оо сп _ г-• —< СО о со <о о, о" со о" со" со"
0,9
6‘0 со о со о ио < оо ьо ст> 1 —< —' 04 —• о о СО о. со. о" о" о со о
0,8 со со со со — СП СО О ио —. —< 04 04 со со_ о~ со со со со о о"
со о —< 04 СП М4 04 СП Г"- СО СО —. —< со о со со со со. со" о" о со о
-И —. о п- СП со со Г- 04 со 04 04 04 О1 ио о О О СО со со со со со со"
0,7
о 0,0131 0,0200 п гма^ —0,0324 0,0095
0,6 Ь^СОСОСО’—' СО О О СО ОО 04 1Л со СО со со о со со о о~ о о о 1 1 9'0 04 04 ио иэ со 1(0 ио со ю со со со 04 ио о со. со <э со со о" со" со
о со со СО о тг ’Т а о о о. О СО СО о" сГ со" о со
ю о тг со 04 СО —1 —« •—> со о- ~ О1 Ю со О со со со со со о о' со" о" со 1 1 0,5
Коэффи- циенты 1 Чл. Чч 8ТЛ ИЛ л Коэффи- циенты ггЛ Чг Л
функциональные коэффициенты в решении М. Леви (п. 19 11)
= — -—соз тл
'1П (тл)0 О
“т со5-^- + 2 5|12!!2.
-------—-------------2 “тЧ 1
“т + зЬ и,п С" ~ +
2 зЬ
2
итУ
Ь
Ь .
(19.79)
К расчетным формулам (19.76)—(19.78) добавляются следующие формулы:
при а > Ь М,у1 .
при и < 1> М!12 = Л1„, - \-2.,Чпйг. )
(19.80)
Значения V приведены в табл. 19.18.
3.4. Пластина с тремя жестко заделанными кромками и одной свободно опер-
той кромкой. 3.4.1. Нагрузка изменяется вдоль параллельных заделанных кро-
мок от максимальной величины д0 на третьей заделанной кромке до нуля на сво-
бодно опертой (гнс. 19.19).
Расчетные формулы — (19.76)—(19.78) и (19.80), значения V приве-
дены в табл. 19.19.
3.4.2. Нагрузка изменяется вдоль параллельных заделанных кромок от
максимальной величины с/[} на свободно опертой кромке до нуля на заделанной
(рис. 19.20).
Расчетные формулы — (19.76)—(19.78) и (19.80), значения V приведены
в табл. 19.20.
3.5. Пластина, жестко заделанная на всех кромках (рис. 19.21). Расчетные
формулы — (19.76)—(19.78) и (19.80), значения м приведены в табл. 19.21.
3.6. Пластина с тремя свободно опертыми кромками и одной совершенно
свободной кромкой (рис. 19.22). Нагрузка изменяется вдоль параллельных сво-
бодно опертых кроме ж от максимальной величины д1} на свободно опертой кромке
до куля на совершенно свободной.
К расчетным формулам (19.76)—(19.78) и (19.80) добавляются следующие
формулы:
при а > Ь к»б — ^-3- ; = \'25д062;
\ : (19.81)
при а < Ь 'сС'5 = V -“д- = \’25д0а2. |
Значения V приведены
Значения V приведены в табл 19.22.
3.7. Пластина, свободно опертая на двух параллельных кромках, на одной
жестко заделанная и на одной совершенно свободная (рис. 19.23). Нагру
изменяется вдоль параллельных свободно опертых кромок о г максимальной ве-
личины да на заделанной кромке до нуля па совершенно своооднои.
Расчетные формулы - (19.76)—(19.78), значения V приведены
3.8. Пластина, жестко заделанная на двух паРалл“ь”“х.кРОн'±х’ “®а Д ,е.
свободно опертая и на одной совершенно свооодная (рис. >9.24) Нагрузка изяе
яяется вдоль заделанных кромок от максимальной величины 9о на свободно опер
той кромке до нуля па совершенно “ободной и ,1Ш1те,1ЬИЬ1е
Расчетные формулы — (19./о) (1 Д./о), р»-о \ ;
при а > Ь
при а < Ь
Мув — ^‘2о7о^ ’ I
А/ у$ ’
(19.82)
паченпя V прг.зе щны в габ. 19 21
366
Т а б л н ц а 19.19. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.19
Коэффи- циенты __ а : Ь
0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 0,9 1 0,8 1 : 0,7 1 : 0,6 2,0
V' 0,0222 0,0189 0,0158 0,0130 0,0104 0.00808 0,0095 0,0108 0,0120 0,0134 0,0154
V 0,0222 0,0189 0,0158 0,0130 0,0104 0,00808 0,0095 0,0108 0,0118 0,0127 0,0135
УП 0,0264 0,0237 0,0205 0,0172 0,0144 0,0117 0,0117 0,0117 0,0103 0,0091 0,0078
^21 0,0119 0,0133 0,0142 0,0143 0,0140 0,0131 0,0149 0,0169 0,0183 0,0199 0,0207
У13 —0,0614 —0,0565 —0,0505 —0,0445 —0.0389 —0,0340 —0,0362 —0,0384 —0,0406 —0,0428 —0.0448
У22 —0,0362 —0.0358 —0,0347 —0,0328 —0,0306 —0,0285 —0,0313 —0,0345 —0,0375 —0,0397 —0,0412
Таблица 19.20. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.20
Коэффи- циенты а ; Ь
0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0 1 : 0,9 1 0,8 1 : 0.7 о 0.6 2.0 1
V' 0,0287 0,0241 0,0199 0,0162 0,0128 0,0098 0,0117 0,0133 0,0145 0,0154 0,0161
V 0,0270 0,0229 0,0188 0,0152 0,0119 0,0091 0,0104 0,0116 0,0127 0,0136 0,0142
Г11 0,0300 0,0261 0,0222 0,0185 0,0148 0,0120 0,0112 0,0104 0,0095 0,0083 0.0072
^21 0,0139 0,0156 0,0165 0,0166 0,0156 0,0148 0,0162 0,0180 0,0199 0,0202 0,0208
^15 —0,0512 —0,0453 —0,0382 —0,0313 —0,0255 —0,0205 —0,0192 —0,0179 —0,0158 —0,0134 —0.0111
^22 —0,0419 —0,0411 —0,0399 —0,0375 —0,0346 —0,0314 —0,0336 —0,0362 —0,0396 —0,0414 —0,0423
Таблица 19.21. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.21
Коэффи- циенты V' V ^21 г‘13 ^22 0,5 0,0136 0,0136 0,0206 0,0079 —0,0494 —0,0323 0,0280 0,6 0,0128 0,0128 0,0194 0,0093 —0,0474 —0,0308 0,0281 0,7 0,0114 0,0114 0,0178 0,0106 —0,0444 —0,0278 0,0280 0.8 0,0100 0,0100 0,0158 0,0113 —0,0408 —0,0245 0,0275 0.9 0,0084 0,0084 0,0136 0,0116 —0,0370 —0,0211 0,0266 а Ь 1.0 0,0070 0,0070 0,0114 0,0114 —0,0330 —0,0176 0,0253 1 : 0.9 0,0084 0,0084 0,0116 0,0136 —0,0359 —0,0174 0,0290 1 0.8 0,0100 0,0100 0,0113 0.0158 —0,0383 —0,0169 0,0326 1 0,7 0.0114 0,0114 0,0106 0.0178 —0,0406 —0.0155 0.0362 1 : 0,6 0,0129 0,0128 0.0093 0,0194 —0,0428 —0,0135 0,0391 <п о о 2,0 0,0152 0.0136 0,0079 0,0206 —0,0448 —0,0110 0,0409
таблица 19.22. Значении коэффициентов в формулах для расчет п мегин .. р. с
а Ь
Коэффн* циенты 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0.9 1,0 1,2 1.5 2,0
V V" V’! 0,00556 0,00928 0,0059 0,0059 0,0086 0,0097 0,0163 0,0094 0,0099 0,0138 0,0139 0,0220 0,0128 0,0140 0,0190 0,0180 0,0267 0,0156 0,0182 0,0234 0,0223 0,0309 0,0178 0,0224 0,0271 0,0264 0,0335 0,0198 0,0264 0,0297 0,0310 0,0353 0,0211 0,0298 0,0313 0,0340 0,0367 0,0220 0,0330 0,0327 0,0407 0,0374 0,0231 0,0389 0,0334 0,0487 0.0352 0,0233 0,0456 0,0314 0,0583 0,0307 0,0223 0,0531 0,0275
СО О
Таблица 19.25. Значения коэффициентов в
для расчета пластины рис. 19.25
формулах
Коэффи- цненты а . Ь
0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 1
V м V г’и ^21 ^22 Нз ^25 ^26 Коэффн - цненты 0,00088 0,00186 —0,0007 0,0005 —0,1369 -0,0048 0,0024 —0,0083 0,00175 0,0033 0,0007 0,0024 —0,1147 —0,0079 0,0048 —0,0131 0,0027 0,0048 0,0026 0,0041 —0,0916 —0,0117 0,0068 —0,0158 0,0043 0,0062 0,0049 0,0064 —0,0728 —0,0160 0,0083 —0,0166 * ж. 0,0059 0,0065 0,0071 0,0089 —0,0565 —0,0202 0,0092 —0,0164
а : Ь 1
0,8 0,9 1,0 1,2 1,5 2,0 |
V V" г’21 ^22 Х’13 $>5 ^26 0,0073 0,0064 0,0092 0,0113 -0,0453 — 0,0241 0,0099 - 0,0156 0,0081 0,0062 0,0105 0,0131 —0,0390 —0,0272 0 0099 -0,0138 0,0089 0,0058 0,0108 0,0140 —0,0345 —0,0301 0,0095 -0,0119 0,0111 0,0050 0,0108 0,0158 —0,0260 —0,0347 0,0082 —0,0 ЮС 0,0127 0,0038 0,0093 0,0175 —0,0182 - 0,0382 0.0063 —0,0074 0,0135 0,0025 0,0077 0,0194 —0,0112 —0,0412 0,0041 —0,0046
3 9. Пластина, жестко заделанная на трех кромках и на одной совершенно
вободная (рис. 19.25). Нагрузка изменяется вдоль параллельных заделанных
кромок от максимальной величины (?0 на заделанной кромке до нуля на совер-
ШСНЬрасче1б1°ыеформулы — (19.76)-(19.78), (19.80)—(19.82), значения V при-
ведепы в табл. 19.25.
§ 4. Изгиб жестких изотропных и ортотропных
прямоугольных пластин при некоторых других
видах нагрузки
4.1. Пластина, свободно опертая
доточенной силой (рис. 19.26). При
точки приложения сосредоточенной
(и. 19.1.1)
4Р .
ЦщН — Т~ $ П
аЬ
тт\а
-----814
а
на кромках и загруженная в центре сосре-
произвольяых координатах х~сс, у р
силы Р коэффициенты в решении Навье
(т, и- 1, 2, 3, . . .)•
Ь '
(19.83)
Если же с< — а. 2, Р — Ь/2, то
4Р . тл . пл 4Р пт +п ~~ 2- (/и, 1, 3, . . •)•
стп -8!П—81П-ЙГ- 1} 2 к
2 2 ай )
Ашпиуты с табулированными коэффнциси
Приведенные ниже расчетные фор у.-- . и сгруженной в центре,
там.. V относя ..-я только к изотропно., пластине (|Л - 0,3), наг, у
ЗоУ
Рис. 19.26
О
Рис. 19.27
Рис. 19.28
Рис. 19.29
Рис. 19.30
Прогиб в центре пластины (в точке /)
И)1 = V —
Коэффициент V приведен в табл 19 26
Изгибающие моменты для точек осн > >
вычисляются по формулам Х ’ Олизких
(19.85)
К то,,ке приложения силы,
М
Р
4л
М
р
4 л
2а 81п ЁЁ
а
лг
2а <пп -Ё_
а
~лг
(19.86)
где с - координата х точки осп х', в которой вычисляются
значения и у.
приведены в табл. 19.27
моменты,
а
г = —
2
4.2. Пластина, свооодно опертая на кромках и загруженная линейной нагота-
кой, равномерно распределенной по отрезку линии, параллельной одной из стопон
(рис. 19.27). Если в общем случае линия приложения погонной нагрузки
ч (сила/длппа) параллельна осп Ох, начинается в точке х= а. ц = й и закан-
чивается в точке х — «2, У — Р. то коэффициенты в решении Навье (п. 19 1 1)
(]тп
/ила, шла.,
соз ------1---соз-------
а а
«ЛР
81П~^— (т> и=1, 2, ...). (19.87)
У~
Если же Л1 ния приложения нагрузки расположена
0 и у = Ь и простирается по всей пластине (сх^ = 0,
посередине кромок
а2 — а, Р ~ 6'2), то
8д
дтп~^ьат
пл
8д
2 тлЬ
п — 1
2
(/И, П = 1,
з, 5. . . .). (19.88)
Для этого случая расчетные формулы:
при
Мп — У^дЬ; Му1 = м21^;
(19.89)
при
Мл-1=У21$а; = у.пда.
(19.90)
= V
— V
ЕН3 ’
Ёй3"’
Численные значения всех V приведены в табл. 19.28.
4.3. Пластина, свободно опертая на кромках и загруженная нагрузкой в виде
треугольной призмы (рис. 19.28). Решение в форме М. Леви
со
/п=1, 3, ...
т-1
I) 2
тс'
2----------
. тлб
сп —-—
2а
тлЬ
2а
ХсЬ^_^8112^
(19.91)
X
а
а
а
. тлх
? 81П-----
। а
Расчетные формулы имеют вид (19.76), значения коэффициентов V приведены
в табл. 19.29.
Комбинируя решения для постоянной нагрузки (п. 19.2.1) и нагрузки в виде
треугольной призмы, можно с помощью таблиц 19.2 и 19.29 рассчитать свободно
опертую пластину, загруженную нагрузкой, изображенной на рис. 19.29.
Таблица 19.26. Значения V в формуле (19.85)
Ь а 1,0 1,1 1,2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 ОО
1 г 0,1265 0,1381 0,1478 0,1621 0,1714 । 0,1769 0,1803 0,1846 0,1849’ •
Т а 6 л » И а 19.27. Значения?^ и у2 в формулах (19.86)
Коэффи- циенты 1 Ь : а —— 1
1,0 1.2 1,4 1.6 1,8 2.0 — ОО
Т1 1 ” 1 —0,0565 0,1.35 —0,350 0,115 —0,211 0,085 —0.125 0,057 —0,073 0,037 -0,042 0,023 0 0
4.4. Пластина, свободно опертая на три кромки и совепшенип ™ г
кой (рис. 19.30). Решение
погонной нагруз-
4./и/>3 1 VI
л^О 3 4-м Л|
ш=1. а.
1 Г тл (а — х)
т4 [ Ь
2
_ пт (а— л)
] е " И^!1
-* ь
Максимальный
прогиб в точке с
координатами х = ау
(19.92)
У~ Ь2У
, _ 4^3 1,98
л4/) (3 р) (1 — р)
(19.93)
Максимальный изгибающим момент в той же точке
^5 =
8ЧоЬ
_2_
/?г2
81П
тл
Р.с^Ь
= —4-0,913
1 + Р
з р
(19.94)
Т5-..ПТстина- заделанная по двум параллельным кромкам, по одной
- „о одной совершенно свободная, загруженная вд™
последней равномерно распределенной
погонном нагрузкой (рис. 19.31). Мяк.
Симу пг.иг ил -----------------------------------п _ '* л
кромке свободно опертая и
симальиый прогиб в точке 5 с кооп-
. у = //2 1
по приближенной формуле
Шпатами
Рис. 19. Л
х = а,
вычисляется
ау, — 0,01257 - .
а : Ь 8 0,2275 0,0750 0,2500
С) 0,1779 0,0889 0,2134
»о 0.1366 0,0944 0,1811
1,4 0,1257 0,0950 0,1723
со 0,1138 0,0952 0,1626
0,1011 0,0948 0,1520
1,1 0,0876 0,0937 0,1406
0,0736 0,0920 0,1274
Г1 I 0,0810 0,0980 0,1271
б‘1 1 0,0872 0,1029 0,1264
I 1,3 0,0922 0,1068 0,1257
1 1,4 0,0963 0,1099 0,1249
1О 0,0995 1 0,1123 0,1241
О» •—< 1 0,1078 0,1184 0,1218
Коэффи- циенты 1?Л ТТА А
Таблица 19.29. Значения коэффициентов в формулах для расчета пластины рис. 19.28 | у а при а < Ь «•» <* оооооо^^х0''0-0- 1 ^Ф>ОООООО I
94 =°оооооо-ЙЙ»- ’
ОО ср 0-1 го гу4 1
>* §Ж111ЦйЙГ О о о о ОО о о о О О О О
Г* ОО О Ю о о § 52 ° 01 00 О» ° ° ° О О о'о'о~ о" о‘ о"
। а о при а > о сч С- С О о О о о” О' о" О' о’ о” о~
С-5 > о 'О ОФ О] „ _<сосч О СО чО '“О ОЛ ,₽“=* ''‘“1 ГТ). гм еч сч 22 | с о О о* о о о о о' ООО
2Й5йРч>со'^^с’и0'~,'^и0тгсо 5? ^0 4 >-О ОС —-"4* Ю СС ф М СО СО ’гг '.О Ю иО О О 'О О Г• ~ с сэ О СО 0^0 000 о о о о о оооооооо'ооооо
Г-СООСЧ—'ОЮ — ф -'ООО СЧ СО СО СО СЧ 04 СЧ —' —1 о ь о ОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСЧСЧ 0 0.0^0^000^0 о о о о о о о о о о о’ о" О О О о' О' о
? Ь-СО<Х’СПГ'--СЧС4 0СЧСЧСГ>100 СОгГСП-^ГО-ФОО—'ЮХОЮ-' СЧ со СО ТГ тТ1ЛЮООО1>00О ООООООООООООО ООООООООООООО
а Ь\ Ъ а (О —СЧ СО Ю со Г- ос О О О, —Г г-Г —Г —Г -7 сч со" 0
§ 5. Симметричный изгиб жестких круглых пластин
5.1. Пластина,
распределенной по
(п. 19.1.3):
прогиб
ш =
свободно опертая по контуру и
всей поверхности нагрузкой (рис.
загруженная равномерно
19.32). Решение Клебша
да*
640
— Р2
(19.96)
угол поворота пластины в меридиональной плоскости
13
дд3 / з +
160 ‘ \ 1 рь
(19.97)
изгибающие моменты
•Ч-=-^-(3 + Ю(1-р’); Л1<р = -^[3 + }1-(1+311)рН; (19.98)
поперечные силы
Аг = —0,5.д/р; /Уф = 0.
(19.99)
В центре пластины в точке / (р — 0)
3 ,о . . да2
°п1а.х — —СГф1 — — (3 -Н В) » (19.100)
5 4- ц да*
“,^ = “’> = ТТУГ-64О’’ <19-10')
чго при [I = 0,3 цает
^шах — 0,637 3— 5 о"п)ах ~ 1,238 д2~ •
5.2. Пластина, свободно опертая по контуру и загруженная равномерно
распределенной по поверхности центрального круга радиуса Ь нагрузкой
(рис. 19.33). Все обозначения разъяснены в предыдущем пункте. Решение Клебша
(л. 19 1 3);
Рис. 19.32
г Иг.
Рис. 19.33
а) для точек центрального круга (0 < р < р —
= 64 (1 4- |Х) о [4(3 Ю-(7 + Зц)₽2 + 4(1 +и)р.1п₽
— 2 [4 — (1 — р) р2 — 4 (1 + ц) 1пР]р2 + 1±Д ,1.
па3Р2 Ги /1 ча, * .
«г =----16(1 +н)Т>р I4 ( -1Ч₽--4(1+ц) |Пр_1+м_
Р“ I
Мг = ^16“ I 4 — (1 — 10 Р2 - 4 (I + и) 1п Р _ 2 р ./
р- 1
Л1<р = [4 - (1 - и) Р"- -4(1 + ,() 1П Р-1+Зн („1 .
Яг = —0,57«<>; уУф = о.
В центре пластины (р = 0)
(19.102)
(19.103)
(19.104)
(19.105)
(19 106)
йУтах 64(1 + р.) Р 3К) ₽2 + 4 (1 р) рз 1п р]; (19.Ю7)
3(/а2Р2
Птах — ап — аф1 — - [4 — (1 — р) р-> _ 4 ([ _1_ ^) 1п р]. (19 108)
б) для ненагружепных точек пластины (р < р < 1)
«< = ~32 а + ц')~о !12 (3 + - (1 - Н) Р-) (1 - р2) +2 (1 + и) р21пр +
+ 4 (1 + }1)(г 1пр); (19.109)
О, ------цГц + ц) р — (1 —II) р-] > — (1 +р) рг-к_4(1 + ц) р1п(А;
(19.110)
Мг ="Лб [(1 1) ~4(1 + |')1пр] ; (19.111)
= [4-Р1 (-^-+1)]-4(1+101"|А; (19.Н2)
Л'г = — 0,5даЬ’ -у-; А'ф^О. (19 113)
5.3. Пластина, свободно опертая по контуру и загруженная равномерно
распределенной нагрузкой по кольну, ограниченному внешним контуром пластины
и концентрической окружностью радиуса Ь (рис. 19.34). Обозначения такие же,
какие приняты в п. 19.5.1 и 19.5.2. Решение Клебша (и. 19.1.3):
а) для точек центрального ненагруженного круга (0 с р < ₽)
КУ =
<п ([5 + Р ~4 (3 + И) Р2 + (7 + И) РЧ~ 2р2 [3 + н-4р2 +
64 (1 4- р) Р
+ (1 - и) РЧ - 4Р2 (р2 + 2р2) (1 + и) 1П Р); (19.114)
Мг =Л!((1 = ^ [3 + р _ 4р2 + (1 - р) Р1 + 4Р2 (1 + Н) 1п Р1 = соп81; (19.115)
^^^^ч,=0; (19.Н6)
б) для точек внешней нагруженной части (р < р С I)
и ~ 64 (1<?+|л)П (5 + ’’ ~ 4 (3 + р' + 2 (1 ~ И) Р “ 2‘‘21(3 + |1) (1 ~ 2^> +
+ (1 - |<) РЧ + (1 + |0 (<* - 4р- (1 -|- и) (Р2 + 2р2) 1п р); (19.1]7)
Мг = р (I + |.() р21п (> + (3 -|- И) (1 - (Г) -I- (1 + !•) Р1 (I - ;
(19.118)
•Иф = [♦ (1 + !') Р-1'4’ - <1 + V) V- + 3 |- р - 4 (1 - р) р* +
+ (1 — 1')Р'р+-р)] 1 (19.119)
/В2 X
Д/г =: 0,5(/« ----; Л\р = 0. (19.120)
Максимальные значения изгибающих моментов досыпаются в точках пс-
нагруженной центральной части.
5.4. Пластина, свободно опертая по контуру и загруженная в центре сосре-
доточенной силой (рис. 19.35). Обозначения такие же, какие приняты в и. 19.5.1
и 19.5.2. Считается, что сила Р равномерно распределена по площади централь-
ного круга малого радиуса Ь (р = Ь и <<С 1), т. е. Р — яЬ^с/. Решение Клебша
(п. 19.1.3):
а) для непагруженной части пластины (р > р)
РсР Г 3-1-и 1
№==-1б^г (1У121)
Ра / 1 X
^”-^Чтиг-|пр); (1У122)
Мг = -А(|+р)]п(); Л)ф=Л.||_р_(1+р)1пр], (19.123)
Мг = -^Т’ ^ = 0; (|9'|21)
б) для центральной нагруженной части пластины (р С р)
[ггПСТГ <' -+ *2|пр] “яп({-ми р- <‘9-’25>
Рис. 19 35 Рис. 19.36 рис. 19.37
Последнее слагаемое учитывает кики .
В центре пластины (р 0) р рмацию поперечного
№,)и< Ц
Юл/) । -
сЛвига
(п. 19.9,.
4л
При стремлении р к
(19.127)
При стремлении р к пулю формула ПО г.,.
пластин, перс тает быть правильной Игн.Гт 2^’ полУчеиная о
пяя часть пластины описывается тпехмА, же,,,10е Решение Т®0|,"и тонких
приводит к формуле д ,я Растягивающих напш' УРап,,е«"ями тео *°Т°Р°М '₽'*
„ей поверхности пластины (г = 0. г Iйх, '««Фяжеиий в це„Т1)а“ри" Упругости
п г. ’ ‘ я 2) в виде [ 17| ои т°чке ни*.
в виде [17]
(7
И1с1Х
Т г 0,52
для сжимающих же напряжений в точке п. ,
к формуле кс Рриложения
'0,48 .
птях
ЗР
2л/Р
силы {г
0; 2
(19.128)
-Н 2)—
М.
А1Ф
1 — н Ь- ]
4 а-
лб- [ 2
(19.129)
значения коэффициента а приведены в таб 1 10
Хотя при а Ь—ь-оо о~ сг+ ппппп/„„ 'зи'
тах тах’°ПРеДсляТЬ размер коугчпй пи
дуег по о+ах, так как прочность металла при всесторои У асти,|Ь| еле-
больше прочности металла при растяжении а мест.. „ С'КаТ"" “° м"ого Раз
ложсиия силы очень локализована и не оказывает п, «“Учесть в точке при-
цию пластины. ает влияния на общую деформа-
5.5. Пластина, жестко заделанная на контуре и зато»..
пости равномерно распределенной нагрузкой Гпис ш ш\У™- я 110 всей поверх-
какне приняты в и. 19.5.1 и 19.5.2. Решение Клсбад. (п0^3"3’,®"”’' такие же-
и, = _^'_п_
640 '
(19.130)
^ = -^&о-р2)р;
[1 4-11 — (3 ф- р) р2];
— |0 (I +11 — (1 + Зр) р2];
(19.131)
(19.132)
(19 133)
* г (/С1
г 2~р; ;У<р = 0- (19.134)
I.» центре пластины (р = 0) прогиб
^1Пах~14/Т; (19.135)
Таблица 19.30. Значения а в формуле (19.129)
2Ь : К 0,1 0,25 0,50 0,75 1,00 1,50 2,00 2,50
а 0,0106 0,0466 0,1234 0,200 0,263 0,348 0,386 0,398
максимальные напряжения
1 = ~7Г ( 1 4" Р) ^,2 * (19.136)
На контуре пластины в точках 2 (р — 1) максимальные напряжения
&п = -^7- '> аф2 = "4“ Iх дг ’ (19.137)
5.6. Пластина, жестко заделанная на контуре и загруженная равномерно
распределенной нагрузкой по поверхности центрального круга радиуса Ь
(рис. 19.37). Обозначения такие же, какие приняты в п. 19.5.1 и 19.5.2. Решение
Клебша (п. 19.1.3):
а) для центральной нагруженной части пластины (0 р •< Р)
и1 = «и Г4—3Р2+4₽2 |п р—2 (Р2—4 ,п Р) р2+-ег] ; 64/7 1 Р о (19.138)
<?о3р* “ 160 Л,'-==~'Пр[(1 + р(р--4|пр— и) (р- — 4 1п Р) р2 р-] ; (19.139) (19.140)
Л4Ф = [(1 + М) (₽2 - 41п Р) - Р3] ; (19.141)
Л', = - - р; Л'ф = о. (19.142)
В центре пластины (р — 0) прогиб “’1 = -^(4-3Р'2+4₽г1п₽); максимальные напряжения »П = ^1 = 8 (1+м) (₽2 4 1п р) ; (19.143) (19.144)
б) для внешней ненагруженной части пластины (Р р 1) = Иг 1(2 - Р2Н' - Р2) + 2 (Р2 + 2р2) 1п р]; (19.145)
<?а3Р2 "г 160 р Мг =’л?-[л4+(1- .₽2(1-^)-41пр]; Р)-|г + (1+н) (Р2-41п р)] ; (19.146) (19.147)
Мф = -^-[-4И-(1- Р)-Й- + (1 + 1‘)(Р2-4 1пр)| ; (19.148)
Лг- (19.149)
На контуре пластины (р = 1) максимальные напряжения 3 да-Ь- д:, _ Зр даУ- й„ <2 4 ^2 (Р х.), СГф2 4 -^2 (Р —2). (19.150)
5.7. Пластина, жестко заделанная по контуру и загруженная в центре сосре-
доточенной силой (рис. 19.38). Обозначения такие же, какие приняты в п. 19.5.1,
9.5.2 и 19.5.4. Решение Клебша (п. 19.1.3) получено в предположении, что
сила Р равномерно распределена по площади центрального круга малого ра-
диуса Ь (Р - Ь а < 1), т. е. Р = пЬ2д (п. 19.5.6): 1
16лО (1~^ + 2('21пр); .
Ра ('ЭЫ)
(19.152)
л,' = -у[> + (1 + (1)1Пр1: (19153)
^ = -^ + (1+р)1пр]; (19154)
2яар ’ ^Ф-О. (19.155)
б) в центре пластины (р = 0) прогиб
Ра2
СС’тяк = —---- *
л тах 16лР ’ (19.156)
максимальные напряжения ф 0)
<тп = а<п = ____(1+и)|пр (19.157)
Формулы, уточненные с помощью теории упругости [17] (см. п. 19.5.4):
для сжимающих напряжений в точке приложения силы (г = 0; г = —й/2)
_ 3 Р Г.. . ., а 1 — и 62 1 Р Г14- 2ц 1
ашах “ ~2 пП2 Р1 П~Ь 4 о2”] [ 2 ’
(19.158)
значения а приведены в табл. 19.30;
для растягивающих напряжений в центре нижней поверхности пластины
(г — 0; 2 = -р-Л 2)
Р / о, \
атах=-р-(1+р) (0,485 1п — 0,52) . (19.159)
§ 6. Симметричный изгиб жестких кольцевых пластин
6.1. Пластина, свободно опертая по наружному контуру и загруженная рав-
номерно распределенной по всей поверхности нагрузкой (рис. 19.39). Решение
Клебша (и. 19.1.3);
Ц» = -ёп (т4— [(3 + 1-0(1- 2|Р) + /0(1- (Г) — (1 — Р’) —
041/ | 1 “Г В
-----—1п р — 8Р р-1п р! ; (19.160)
I-!1 I
^=-^[-тТ7г(3 + !'-4РЧ-/о-р3 + т^г-г+4^1пр];
(19.161)
М, = -^- [(3 4-,.) (1-р2) + А’ (|--р-) +4(1+10 Р21пр] ; ()9 |62)
= -^[2(1- }.) (1 - 2Р3) + (1 + Зр) (1 - р») +
4~ 1 4~ 4~ 4 (1 + В) Р2 1° 5 (19
Л,г = —4~(Р —"р”)’ Л'ф = 0; (19.164)
*= Р3 р + Р + 4 (I +|0 [_ I • (19.165)
На внутреннем контуре пластины в точках 3 (р = (3)
штах = &\1У 1 4- р ($ “Н’) (1 — Р2)2 — 0 ~ Р4) —
4Р2 1П Р [о , .. , и/, , .л Р2М 11.
---1 _2р [3 + в4-4(14-р)уз7р- ]|, (19.166)
Отах = Оф = 4 р2^ 1$ 4" В + Р4 0 ““ В) ~ 4Р2 + 4 (1 4~ р) р ]п
(19.167)
При р = 0,3 максимальные значения прогиба и нормальных напряжений
на наружном (точки 2) и внутреннем контурах (точки 3)
^тах = Ш3 = Vх
7«4
(19.168)
Оф 9 — ^22
да2
~ЙГ;
Офз — А’2з
да2
(19.169)
где
V = 0,696 - 1,733р2 + 1,037Р> - 3,22₽* 1п ₽ - (р2 !п р)2;
V.,., = (1 - Р2)-1 (0,525 + 0,9р2 — 1,425Р4 + 3,9Р4 1п Р);
V,., = (1 - р2)-1 (2,475 - ЗР2 + 0.535 Р1 + 3,9р2 1п р).
(19.170)
Численные значения V , ^’2з при некоторых значениях р = Ь, и предста-
влены в табл. 19.31.
Приведенные выше формулы для прогиба достаточно точны, пока ширина
кольца а Ь не очень мала. При а — 5 <: Зй/2 рекомендуется вводить (при-
бавлять) поправку ’
= 0,375 (1 — р24- 2Р 1п Р), (19.171)
чишваюшлчо деформацию поперечного сдвига (н. 19.9)
ЗаО
Таблица 19.31. Значения коэффициентов «
для расчета пластин рис. 19.39—19.42 ' °В В Ф°рмУлах
222л " Ь а
Формулы V 1/6 = 0,1667 0,20 ю С1 о 0.30 1/3 = 0,333 0.35 0.40 ю о 1.Э
(19.170) V' ^2 2 ^2 3 0,559 2,261 0,813 0,572 2,125 0,830 0,592 2,083 0,611 1,963 0,824 1.880 0,6.30 1.839 0,644 1.710 0,653 о 0,664 0,656
V' 0,704 0,42 2,42 0,725 0,449 2.17 0,731 0,482 1.978 1.578 1.443
(19.180) ^2 2 \’23 —. 0.734 0,516 1,88 0.73 0.516 1.820 0,715 0,551 1,686 0,70 0,586 1.578 0.672 0.622 1.182
V' 1,310 0,725 5,09 1,300 0,731 4,31 —
(19.190) ^2 2 '’23 0,692 5,75 0,767 3,69 1,220 0.786 3,34 0.793 3,18 0,810 2.75 0,815 2.37 0,902 0.807 2.05 0,551 4.73 0,717 1.419
(19.202) V' —У13 ~'’22 ~^23 1 11 1 2,20 10,79 1,710 3,29 1,815 9,50 1,554 2,85 1 .516 8,29 1.389 2,49 1.313 1 .221 7,23 1.223 2,170 0,968 6,31 1,058 1.892 0.738 5,48 0,898 1,644
Формулы V 0,55 0,60 0,65 2/3 = 0,667 -п 1 II 0,70 0,75 о 00 о 0,85 0,90 |
(19.170) V' У22 ^23 0,650 1,305 0,635 1,165 0,608 1,024 0,414 0,976 0,569 0,881 0,515 0,734 0,184 0,447 0,592 0,363 0,446 0,260 0,297
(19.180) V' ^2 2 ^23 0,63 0,656 1,399 0,57 0,691 1,325 0.54 0,726 1,261 0,52 1,26 0,50 0,760 1,203 0,43 0.794 1,151 0,34 0,827 1.104 0,30 0,860 1,061 0,10 0,892 41.023 г- »’ «н
(19.190) Л V' ^22 ^’гз 0,787 1,759 0,754 1,499 0,707 1,263 1,19 0,648 1,015 0,574 0,814 0,187 0,656 0,385 0,479 0,270 0,313
(19.202) гх V' VI» Уа2 ^’гз 0,398 4,05 0,607 1.215 0,276 3,43 0,483 1.029 0.182 2,87 0,363 0,859 0,1565 0.113 2.34 0,265 0,703 0,064 1.866 0,183 0,559 0.0319 1.427 0,117 0.125 0,0132 1,021 0.0643 0,307 0.0033 0.654 0,0292 0,196
2
Рис. 19.40
Рис. 19.42
6.2. Пластина, свободно опертая по наружному контуру и загруженная рав-
номерно распределенной по внутреннему контуру линейной нагрузкой (рис. 19.40).
Решение Клебша (п. 19 1.3):
<?а3Р г 3 + р + 2/ 8/? Ь 1 4" И (1 Р2) + , „ 1пр + 2р2 1п р (19.172)
Л - ( - 20 \ ' 1 — к к 1 \ — р р 1п р ; 1 + Р 1 — И Р / (19.173)
мг=^- *(-4-— 1) — (1 +н) 1п р] ; (19.174)
р — к (1 + ) (1 + р) 1п рр (19.175)
Мг~- = --7Г; ^ = 0; Г (19.176)
к = (1 4-Р-) 1 _ рз • (19.177)
При р = 0.3 максимальные значения прогиба (при р = [3) и нормальных
напряжений на наружном (точки 2) и внутреннем (точки 3) контурах
где
/о о->
^’шах = -- V 2лр- —
°чз — ^232л ;
V' = 0,551 — Р3.. 4. 1,614 1п2 Р
Р' 1 — ₽-
у23 = 0,334 — 1,242 1п ;
1 р
=: 0,331 — 1,242 —1п
(19.178)
(19.179)
(19.180)
Пф2
-V 2л ’
V 22^-1 д2 ,
Численные значения V', у22, у23 при некоторых значениях
‘ При а — Ь < ЗА. 2 к ^П1ах следует прибавить величину
Р приведены
Дш,„ах = -0,239 (19.181)
уЮ деформацию поперечного сдвига (п. 19,9).
учитываюшу тина^ свободно опертая по внутреннему контуру и загруженная по
6'д‘ рпхности равномерно распределенной нагрузкой (рис. 19.41). Решение
всей нов Р
Клебша (и- '
(-гтт- К3 + (₽’ ~2) + /е1 ~ ~
" 640 \ 1 -1- И
(19.183)
(19.184)
(19.185)
(19.186)
Мг =л^- [(3 + н) (Р2-Р2) + к (1--^-) +4(1 4-И))п-В_] ;
Л4Ф = [2 (1 - Ц) (Р2 - 2) + (1 + Зр) (р2 - р2) +
+(1 + ~5~) + 4 (1 + и) 1п -у ;
й = 3 + р + 4(1 + И)-т^|г.
Максимальный прогиб па наружном контуре пластины (точки 2)
Ютах = 3( 16ЕИ?4 [7 + 3,11 — 4 (3 + [О Р2 +
(19.187)
4(1+И) (3 + Ю
1 — )1
Р2 1п Р + 16 0.1 И)*
(19.188)
О'
Максимальные нормальные напряжения на внутреннем контуре (точки 3)
Зб7П2
шах — О'фз — 4(1__р2) /г2 №Р2 — 4 (1 ф- р) 1п р 4~ (1 — Н) Р — (1 + Зр)].
(19.189)
При р = 0,3 максимальные значения прогиба (при р = 1) и нормальных
напряжений на наружном (точки 2) и внутреннем (точки 3) контурах опреде-
ляются но формулам (19.168) и (19.169), в которых
V'
037 + 0,696р4 — 1,733Р2 + 3,22Р21п р + 5,07
= (1 — Р2)-1 (2,474р4 — ЗР2 + 0,525 - 3,9Р21п р);
(1 _ р2)-1 (0.525Р4 + 0,9р2 - 1,425-3,9 )п р).
(19.190)
' б 11С*19,31>1е 311ачеи,,я '22 11 У’23 ПРП нек0т0Рь,х значениях р приведены
При о — Ь< 3// 2 к й,'1Пах следует прибавить величину
АК'„т = 0,375 (Р - 1 - 2 1п Р),
\ чнтывающую деформацию поперечного сдвига (и. 19.9).
6.4. Пластина, жестко заделанная на внутреннем контуре и загруженная
равномерно распределенной по наружному контуру линейной нагрузкой
(рис. 19.42). Решение Клебша (п. 19.1.3):
Г( 1 + 2/С) (Р2 - р2) + 4/ф- 1П + 2р2 1п
(19.192)
•0г — г. 2Г) [ (19.193)
л/г = -4-р(Н р) - 1 + (< — — (' + в) 1" у]; (19.194)
л, С>а Л1Ч> ~ -в+(1 -(1-в)*-^--(' + в)1"4]: (19.195)
-- ; А^ф = 0; р (19.196)
1 — (1 + и) 1п Р
к-1 + в + (1 — в) ₽2 ' (19.197)
Максимальный прогиб на внешнем контуре (точки 2)
&'гпах №2- [(1 + 2/г)(1-Р2) + 21пР(14-2й₽2)]. (19.198)
Максимальные нормальные напряжения на заделанном контуре
Зда (1-р)(Р3- 1) + 2(1 + |л) 1п р
Ошах-агз- /(2 1+и. + (1_и)р2
(точки 3)
(19.199)
При р, = 0,3 максимальные значения прогиба (при р = 1) и нормальных
напряжений на наружном (точки 2) и внутреннем (точки <?) контурах опреде-
ляются по формулам
сУшах = ; (19.200)
а а а а а а
°>3 = т13 -ут- ; О(р2 — '?22 -ут- 5 °ДЗ — ^23 > (19.201)
где
у' (1,3 4-0,7₽2)-1 (4,50 —3,55р2 — 0,956^4-10,92Р2 1п Р —7, юр2 1н2₽); '
т13 = (1,34- 0,7р2)-1 (—2,10 4- 2, ЮР2 + 7,80 1п Р);
^22 = (I »3 4- 0,7р2)-1 (—2,73 4- 2,73Р2 — 5,47₽2 1п р);
т23 = (1.3 4- 0,7р2)-1 (—0,628 4- 0,628р2 4- 2,35 1п р).
(19.202)
Численные значения этих коэффициентов при некоторых значениях р при-
ведены в таб I. 19.31.
При а — Ь <С 3/1 к о/щах следует прибавить величину Англах, определяемую
по формуле (19.181).
§ 7. Изгиб пластин различных очертаний
7.1. Пластина в форме эллипса, свободно опертая на контуре и загруженная
равномерной нагрузкой по всей поверхности. Точное решение в эллиптических
координатах получено Ь. Г. Галеркиным [5]. При р — 0,3 расчетные формулы
384
й формулах
(19.203)"Ца 19'32’ Значения коэффициентов
а : Ь V VII V21
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 2 3 4 5 оо 0,70 0,83 0,96 1,07 1,17 1,26 1,58 1,88 2,02 2,10 2,28 0,206 0,215 0,219 0,223 0,223 0,222 0,210 0,188 0,184 0,170 0,150 0,206 0,235 0,261 0,282 0,303 0,321 0,379 0,433 0,465 0,480 0,500
для максимальных прогиба и изгибающих моментов в центре пластины имеют вил с//;4 ЕЛ3 ’ УИх = т-п<?6-; Му = х21дЬ\ (19.203)
Значения коэффициентов приведены в табл. 19 32 в зависимое™ ™
ния полуосей эллипса а : Ь (а - большая полуось, Ь - малая полуось) ‘
Приближенные формулы для и наибольшего напряжения в центре
= 2,5
№
о -3 962
• (1 - 0,735 А')
\ а )
1,13-0,735—V
а /
(19.204)
7.2. Пластина в форме эллипса, жестко заделанная на контуре и загружен-
ния Р(а8 83) ПО] НаГРУЗК0Й "° ВСеЙ поверхности- Точное решение уравие-
да (X, у) = Ц)о ( 1 — X — X
\ а- ь1
(19.205)
гд$ к’о — максимальный прогиб в центре пластины
да* 1 а
-----2--------; Л=Т>Е <19206)
1 + -т?.2 + >-4
О
Изгибающие моменты в центре пластины
Мх1 = -^-(1 +Д2) С; М,л = X— (и + 7.2) С; (19.207)
в точках кромок на концах диаметра, совпадающего с осью Ог,
|х=±а, у=0 з да1С,
(19.208)
в точках кромок на концах диаметра, совпадающего в осью Оу,
Му |х=0, „=±6 = - у даЧ.’-С, (19.209)
где
с =--------4---------• (19-210)
1+ 7.2+ ).1
О
13 Бойцов Г. В. и др.
385
Наибольшее пзгпбпое напряжение у конца малой осп при ц ~ 0,3
аг/ |х = о, у=±Ь = 2
да2
(19.211)
7.3. Свободно опертая пластина в виде равностороннего треугольника, за-
груженная равномерной поперечной нагрузкой (рис. 19.43). Точное решение [17]
уравнения (18.83)
®(х, = б~4аВ~ Р3 — 3у’Х ~ ° + + 4т~] ----Х"~ у2)4 (*9-212)
Максимальный изгибающий момент — на биссектрисах углов треуголь-
ника.
На оси Ох при р = 0,3
I М* |шах = 0,02487а2 при х =—0,062а; |
| Му |шах = 0,02597а2 при х — 0,129а. )
В центре пластин
Оте
(19.213)
(19.214)
7.4. Свободно опертая пластина в виде равнобедренного прямоугольного
треугольника, загруженная равномерной поперечной нагрузкой (рис. 19.44).
Решение в форме Навье (п. 19.1.1), полученное как для половины квадратной
пластины, нагруженной кососимметрично относительно диагонали квадрата —
гипотенузы треугольника
[17]
I—
у) =
167а4
л6/?
П 8Ш
тпх . плц
-----81П --—
а а
т (л2 — пг2) (т2 + я3)2
/1=2, 4, ...
(19.215)
Ряд быстро сходится. Расчетные формулы имеют вид (точки I = 0, 1, 2, 3
указаны на рис. 19.44)
аа4
— У^удо2, (19.216)
МХ[ = МУ1 = Уцда2.
Значения числовых коэффициентов приведены в табл. 19.33.
(19.216? 19'33' Значсиия коэффициентов в формулах
1 0 1 2 3
VI 0 0,005 0,0094 0,0077
0 0,0090 0,0181 0,0029
''и1 —0,0134 0,0014 0,0181 0,0208
VV^ 0,0134 0,0166 0,0181 0,0130 1
§ 8. Изгиб жестких пластин на упругом основании
В теории тонких пластин (без использования уравнений трехмерной теории
упругости) упругое основание, на котором лежит пластина, считается випклеро-
вым, т. е. его реакция в каждой точке равна кии (х, у), где к — модуль основания
или коэффициент постели, ш (х, у) — прогиб пластины в данной точке. Уравнение
изгиба жесткой изотропной пластины (18.83) усложняется
(19.217)
граничные условия сохраняются прежними, если только упругая балка, под-
крепляющая край пластины, сама не лежит на упругом основании.
При статической деформации пластин корпуса судна обусловленное про-
гибами ш изменение расчетного давления д, как правило, настолько мало, что
его можно не учитывать. Иное дело в динамике (т. 3). Поэтому учет упругого
основания излагается ниже схематически. Приведенные зависимости могут быть
использованы для расчета пластин наружной обшивки, опирающихся на киль-
блоки, и плавающих ледовых полей.
8.1. Прямоугольная пластина. Уравнение равновесия (19.217) при свобод-
ном опирании всех четырех кромок допускает решение в форме Навье (п. 19.1.1),
причем коэффициенты разложения
(19.218)
коэффициенты Фурье дтп поперечной нагрузки д (х, у) по-прежнему вычисляются
по формуле (19.3).
Поэтому из приведенных в п. 19.2—19.4 решений для свободно опертых
пластин без упругого основания с помощью формулы (19.218) получаются реше-
ния для пластин с упругим основанием.
Если две противоположные кромки прямоугольной пластины свободно
оперты, то решение уравнения (19.217) можно представить в форме М. Леви
(19.14) (п. 19.1.2) при функциях />п(у), определяемых уравнением (19.21), в ко-
тором коэффициенты аргументов и а2 вычисляются по формулам
(19.219)
а не по формулам (19.22). В (19.219) о - расстояние между свободно опертыми
кромками;
(19.220)
+ кю — д,
Как правило,
при всех П1.
из-за малости к величина п/0> а и - вещественное число
8.2. Круглая пластина под осесимметричной поперечной нагрузкой. Диффе-
ренциальное уравнение равновесия круглой пластины в полярных координатах
(п. 18.2.8), лежащей на сплошном упругом основании, при ее осесимметричном
изгибе имеет вид
г / с.2 1 с1 \2 , к 1 . . д (г)
[(^ +“^) СМ)
Введение безразмерных величин
(г) = IV (х) /0; г = х10; д (г) = 0 (х) /?/0, (19.222)
где /0 определяется по формуле (19.220), приводит уравнение (19.221) к виду
г / /72 1 /7 х 2 1
(^ + 4-^) + 1 = (19.223)
\ С* Л» Л С+-Л уг
Его интеграл выражается через модифицированные функции Бесселя, на-
зываемые функциями Кельвина [19]. Именно:
IV (х) = (х) + сх Ьег х~г с2 Ье1 х+ с3 Ьег х-|- с4 Ье! х. (19.224)
Частное решение 1Е0 (х) определяется по обычным правилам в соответствии
с видом функции (х). Произвольные постоянные находятся из граничных усло-
вий на внешнем круговом краю радиуса а при х — а : /0 и внутреннего (если он
есть) радиуса Ь при х = Ь : /0 = р. При отсутствии внутреннего кругового края
накладываются условие ограниченности IV (0) и условие IV7 (0) = 0 из-за осевой
симметрии IV (х).
Функции Кельвина Ьег х, Ье! х, Вег х и Ье1х и их производные при веще-
ственном аргументе х вещественны и табулированы [19]. При малых х справед-
ливы асимптотические представления
Х^ X2 X®
Ьегх= 1—-^-Н-Ье! х = — 2304
11егх = --^-4--^-(1,П593-1пх)+
X2
Ье! х = —0,073803 4- 0,63662 1п х-— + ...;
О
при больших X
(19.225)
/ зт X / эт X
Ьег х ~ ' соз ( о----— ); Ье 1 х ~ - г з!п ( о-----— );
/2лх к 8 ) 1<2лх к 8 7
__________________ ______ ►
Ьег х~ — 1/_______81п (а Д- -2-^); Ье! х~ — 1/‘-^—е~°соз (а 4- -2Л
(19.226)
где а = х : / 2.
Вторые и третьи производные, необходимые для подчинения интеграла
(19 224) граничным условиям, вычисляются с помощью формул
Ьег"х — — Ье! х — Ьег7 х . X Ье!" х = Ьег х — Ье!7 х , > х ’
Ьег" х = —Ье! х — Ьег7 х х : Ье!" х = Ьег х — Ье!7 х х * (19.227)
При этом нужно иметь в виду, что при стремлении аргумента к нулю и к -фоо
функции Кельвина, их производные и некоторые интегралы имеют пределы,
приведенные в табл. 19.34.
Таблица 19.34. Предельные значения функций
Кельвина, их производных и некотпп^ ....’
функции Л 0 оо Функции интеграл X ов от них
_1 оо
Ьег х 1 +оо ~~ Ьег' х 0 ОО
Ье1 х Ьег х 0 1 2 ±оо 0 в6*' х ~ Ьег х 1 2 оо —оо 0
Ье1 х —оо 0 1 и - ~ Ье1 х —оо 0
Ьег' х 0 +оо X х Ьег хе/х 0 0 оо
ЬеИ х 0 +оо X х Ье1 хб/х 0 0 —оо
Ьег' х 0 0 X | х Ьег хбх 0 0 сч К
ЬеГ х оо 0 X х Ье! хйх б 0 0
Пример. Изгиб бесконечной пластины, лежащей на сплошном упругом
основании и нагруженной по поверхности малого круга радиуса Ь постоянным
давлением д.
При использовании безразмерных величин (19.222) частное решение [10, 17]
№о = Р = ~тт~ — соп5( при х < р = ;
«*о *0
1Г0 = 0 при х > р.
При условиях в центре нагруженного круга
№ (0) =/= оо; (0) = 0
прогибы определяются уравнениями
IV7 (х) = р (1 -г И Ьег х + с2 Ье» х), х < Р;
П' (х) = (2 (с3 Ьег х + с, Ье! х), х> р.
Выражение (19.231) удовлетворяет условию затухания при
к со. Постоянные интегрирования
С1 Л (₽) = - !*, (₽) Ьег' ₽ + к2 (₽) ЬеГ ₽]; |
с, Д (р) = — [кг (р) Ьег' Р — кг (Р) ИеГ р]; I
с3 Д (Р) = - [*! (Р) Ьег' р + к., (Р) Ье!' Р];
с4Д(р) = МР)Ье!'Р-*2(₽)Ьег'р, )
(19.228)
(19.229)
(19.230)
(19.231)
стремлении х
(19.232)
Таблица 19.35. Значения с1 из уравнений (19.232)
Коэффи- циенты 0 —
0,10 0,14 0,21 0.28
С1 — 0,9950 — 0,9924 — 0,9830 — 0,9701
— 0,0146 — 0,0253 — 0,0481 — 0,0741
с3 — 0,0079 — 0,0154 — 0,0346 — 0,0645
г‘ 1 0 0,001 0,002 0,007
0
Коэффи -
циенты 0,35 0,42 0,70 1,47
— 0,9530 —0,9347 — 0,8336 — 0,456
с2 — 0,1028 — 0,1320 — 0,2494 — 0,442
Г3 — 0,0960 — 0,1385 — 0,3844 — 1,65
^4 0,0015 0,0030 0,0235 0,456
где
А (Р) = *1(Р)+ *н₽);
(Р) — Ьег Р Ьег' р — Ьег' р Ьег р — Ьс1 рЬе!' Р -|- Ье1' р Ье1 р;
(Р) = Ьег Р Не!' р — Ьег' р^Ье! р 4- Ье1 РкЬег' р — ЬеГ Р Ьег р.
(19.233)
Численные значения при некоторых значениях р приведены в табл. 19.35.
Изгибающие моменты при х = О
1/ Я 1 4- Ц
Чпах = | Ч |х=0 = | ЧР |х=О У -к---------С2- (19.234)
§ 9. Изгиб жестких прямоугольных ортотропных пластин
с учетом деформаций поперечного сдвига
9.1. Вводные замечания. Изложенная в гл. 18 классическая теория пластин,
построенная на гипотезе прямых нормалей Кирхгофа (п. 18.1.4), хорошо описы-
вает напряженно-деформированное состояние лишь тех тонких пластин (п. 18.1.1),
у которых деформации (углы) поперечных сдвигов у2Х, у2У по модулю суще-
дш дю ..
ственно меньше углов поворота-^-, У изотропных пластин углы сдвига
экстремальны вблизи опорного контура, точек и линий приложения, сосредото-
ченных и распределенных по линиям сил, а также вблизи вырезов. Именно в этих
районах классическая теория и дает наибольшие ошибки в величинах напряже-
ний. Однако если тонкая пластина анизотропная и модули поперечного сдвигу
много меньше модулей 'продольной упругости в направлениях, параллельных
« дю
срединной плоскости, то углы сдвига у2Х, у2У оказывается сравнимыми с>
дю
и вдали от указанных районов, т. е. во внутренней области пластины. Из-за
этого классическая теория приводит к заметным ошибкам во всех точках пла-
стины.
Из пластин корпуса судна повышенной податливостью к поперечным сдвигам
обладают композитные пластины, главным образом из стеклопластика. Эти пла-
стины в расчетах прочности сводятся, как правило, к ортотропным пластинам
(и 18 2 6) Именно такие пластины ниже и рассматриваются.
Предложено много различных вариантов уточненных теорий пластин, отли-
чающихся нс только совокупностями принятых гипотез и учитываемых факторов,
Пренебрегаемых в классической теории
В динамике и в теории устойчивости наибол1,ДМетодаМ11 построения (4 в 71
уточненная теория, обобщающая теоппю пР»энанне получила ппл/Ф 7
в позволяющая достаточно точи вы ляТ НК° "згиба балок с уч^Т(.епН‘иая
СТИНЫ (критические нагрузки, часто ы Го.ебХГ^''^ Характ'Р'юти'к^
„згибных и сдвиговых волн). Однако в этой тсопш’ 1°рости Распространения
„ касательные напряжения т„, постоянны по ?^'?ефОрмаци" сЛ«‘>,га V "
речит отсутствию на поверхностях пластины 7 ЩИНе пластины, что пост™»
основной нагрузки - равномерного давле™ я Поэ?оМЬНЫХ нагРУЗ°к в Случае
деформированного состояния пластины ^аше ™ ™'У В расчетах напряженно!
в которых и пропорциональные им т пР"ме,|як>т уточненные теории
пение с имеющимися точными решениями ™ХпРТ"П”е по толщ"не Срав’.
17] показало что наименьшие погрешности мют ^? Теор,,и Упругости [16
принято параболическое изменение т„г по толшш,НРеННЫе теори"- ” которых
жено, что пр., больших значениях отношений мо1улйГчпп СТИН^ 1161' Обнару-
а также при больших значениях коэффициеитш/п, Упругостп Ех ЕгпЕи-.Е,
мальных напряжений ог, перпендикулярных кфеф.''3 Рхг' «еучет нор!
в расчет погрешность, сравнимую с погрешностью ™плоскости, вносит
яггда**-- - » к я,
С. А. АмСариу-
9.2. Дифференциальные уравнения изгиба. Принято-
1) касательные напряжения меняются на то'
дратичной параболы олщине пластины по закону ква-
,2
Ухх —
тУг —
(19.235)
где тр — ср (х, у) — искомая функция сдвига с размерностью силы;
2) прогиб ю — ьу (х, у) не зависит от координаты г;
3) материал ортотропен (п. 18.2.6);
4) компоненты деформации и углы поворота элемента срединной поверх-
дю дю
кости-----и —г------величины одного порядка малости, притом по модулю много
дх ду
меньше единицы.
При V 2 =/= Ууг Ф 0, о2 =/= 0 вместо (18.35) закон Гука имеет вид
/;
°х = + Нухеу) + ^х^>
* — НхуРух
Еу /р । ц с 14-Л а ’ (19.236
о у — п-----——----(2 у -ф Рхуех) П“ ЛуО2>
1 “ Рх//Их/х
'Уху — Сд у'Ух!/’ тхг = бхгУхх’’ 'Уух ~ ^угУух^
где коэффициенты
Мгх 4~ НухКгУ _
&х 1 — Р-хуНух
Д — Еу Кг// Ф РхуРгх __
7 ^х 1 — РхуНух
Рхг 4~ РугРху .
1 — Рху»11ух
Руг ~Ф РхгРу <
1 — РхуРух
(19.237)
Напряжение о2 находится интегрированием по г третьего однородного урав-
нения равновесия элементарного параллелепипеда (гл. 2) при граничных усло-
виях на поверхностях пластины
УУх
%, !/,
-4)--’'‘-й' (И'да
что приводит к формуле
о2(х, у, г) =---^~4(х> //) — Ф (?) Х'2Ф (х, //)>
где
Кг2 \ / 4 г2 \
1-4-р-)аг=г(1-^-лг)>
о
(19.239)
(19.240)
и к интегральному уравнению равновесия элемента пластины Ус1х(1у по отноше-
нию к перемещениям по оси Ох
9
— Л?2ср (х, у) = — д (х, у).
О
(19.241)
Использование уравнения (19.241) позволяет явно выразить ог через нагрузку
(19.242)
Два последних уравнения Коши (§ 3 гл. 1), формулы (19.235) и закон Гука
(19.236)4)5 после интегрирования по х с учетом постоянства ш по толщине дают
тангенциальные перемещения
х дю , Ф д(р .
“ (х. У> г) = —х ,
. . дю , Ф дф
V (X, у, 2) — —2 —---------- -----5— ,
ду 1 6у2 ду ’ '
(19.243)
которым согласно формулам Коши соответствуют деформации
д2о> Ф д2(р . г дх2 1 Охг дх2 ’ Уху = —2г + Ф ( ГЛУ дх ду ’ д2ю Ву~ г ду2 ( 1 > к ^хг ^ух Ф д2(р а в“ ' (11244) 1 ^2Ф дх ду
и по закону Гука (19.236) — напряжения
Ехх / д2ю д2ю \
°х ~ 1 — РхуР-ух \ дх2 + ^ух Ну2) +
ЕХФ / 1 д2ч> ц,/х д2<р \ .
1 — Р'хуР'ух \ @хх @ух ду2 /
Еу2 / д2ю д2ю \
°у 1 — Р-хуР-ух \ ду2 + ^ху дх2 ) +
/:,УФ / 1 <Э2<р Мху д2<р .
1 - МхуМух I Сух ду2 6„ дх2 )
. _ ОЛ , I Г т /' 1 , 1 А д2ф
’ху ~ ~2°ху2 ~д^ +°ху® {.'С^'+ ~С^ ) ~д^ду
(19.245)
Все эти напряжения, деформации и перемещения зависят от 2 нелинейно; напря-
женное состояние пластины уже не является плоским, как в классической те-
ории.
Согласно формулам (18.10), (18.11)
чески эквивалентны погонные силы и
напряжениям (19.235)
моменты
11 (19 245) стати-
Мх -
Му —
д2и>
дх2
д2ш
~д^
м = •
х 3 дх '
д2оу \ 4
+ Их//
Н = —Р
ду2
д2щ \ 4
'дх2') + *5
д2ш 2
д№
То
\6уг ду2 + дх2 )
>ху
х хг Оуг ) дхду
Л»;
3 ду ’
(19.216)
Цилиндрические жесткости определяются формулами (18 40)
Слагаемые 4хаг и Ауог в (19.245) дают цепные усилия Тх = ~ Ахф Ту=
= К0Т°Рые в Уточненной теории жестких пластин не учитываются из-за
их малости. Поэтому, как и в классической теории жестких пластин имеется
всего три уравнения равновесия: уравнение (19.241) и два уравнения моментов
(18.17). Последние, после подстановки в них сил и моментов по (19 246) нои
нпмают вид ' ' ' ‘I
й3ю <7‘а' 2Л д<р И . ду
~ 1Г + -То-А ' +
.__Л | РХ д3ф р ухРХ . РХ1/ / 1 . 1 \ 1 д3(р ) в
5 [ СГ2 дх2 _ Оуг ‘ 2 \ 6Х2 ’ Оуг /] дхду2 )’
П д'3^ л п 2/г д<Р . Л3 д(? , ।
у ду3 п' °~дх2ду “ 3 ду +
. Л ( Ру д3у Г \ьхуРу . Рху / 1 , 1 \д3<р )
5 [ Су2 дхъ [ Охг 2 \ Схг Оу* /] дх2ду ]
(19.247)
Дифференцирование первого из них по х, второго — по у и сложение ре-
зультатов приводят с учетом (19.241) к основной системе уравнений уточненной
теории жестких ортотропных пластин
?2ф==
3</ .
2/1 ’
Р
X
дх*
2°° дх2ду2
+ ^У
д(А 10 I х дх* + у ду* )
, 4 [ Ох а'<р , п / 1 , 1 \ 5’ф , Ду '
Н 5 [ 6хг дх* + 0 К 0хг + Оуг ) дх*ду* Оуг ду' ] •
(19.248)
После решения первого уравнения второе уравнение превращается в основное
уравнение классической теории изгиба жестких ортотропных пластин (18 84)
с измененной за счет сдвига поперечной нагрузкой.
9.3. Граничные условия. Система (19.248) имеет 6-й порядок, поэтому ее
решение на каждой из четырех кромок пластины может быть подчинено трем
граничным условиям, а не двум, как в классической теории, в которой основное
уравнение имеет только 4-й порядок (п. 18.3).
Поэтому на свободном краю можно приравнять нулю поперечить
изгибающий и крутящий моменты по отдельности, не прибегая к введению при
веденных реакций гх и гу (п. 18.3.1). В частности, на свободном краю х= соп$1
граничные условия имеют вид
Л\ = Д4Х = я == О,
или в развернутом виде
д2а> д2и) 4 / 1 д2<р цух д2ф _ д№ Ах .
'дТ^ + ,1ух~ду* 5кб1Г 6у2 ду2 / " 10 Их ’
д-ю 2 / 1 , 1 \ да<р 0
дх ду 5 \ 6Х2 ’ 0у2 /дхду
Учет деформации сдвига позволяет отличать шарнирное опирание кромки
без стеснения тангенциальных перемещений V вдоль этой кромки, когда
ау = 0; Мх — 0; II — 0 при х — сопзС
(19.250)
от шарнирного опирания, при котором при некоторых г— ±г0 тангенциальные
перемещения V отсутствуют,
цу = Мх — V (сопз!, у, ±г0) — 0 при л = соп$1. (19.251)
Устранить перемещение V всех точек кромки уточненная теория не может.
Поэтому она, как и классическая теория, описывает напряженное состояние
вблизи кромок и других линий и точек искажения (п. 19.9.1) лишь интегрально.
Назначение этой теории другое — уточнение основного напряженного состояния
во внутренней области пластины, т. е. вдали от всех линий и точек искажения.
Более достоверные данные о напряженном состоянии вблизи края позволяет
получить теория погранслоя [6].
Жесткая заделка кромки тоже может быть различной:
с) оу —
ди)
дх
= Я = 0;
б) и) — и (сопз1, у, ±г0) -//=«- 0;
ПУ = = V (СОП81, у, ±г0) = 0;
г) и) = «(сопз!, у, ±г0) = V (сопз!, у, ±^о) =0.
при х — соп?1;
(19 252)
Условия (а) позволяют точкам края иметь тангенциальные перемещения, по за-
прещают срединной плоскости пластины поворачиваться вокруг линии опорного
контура (край скользит без трения в щели высотой /г). Наоборот, условия (б)
ди)
разрешают поворот ——, но при г= ±г0 запрещают нормальное к кромке тан-
С/Л
гепциалыюе перемещение и и т. д. Часто влияние напряжений о> пренебрежимо
мало по сравнению с влиянием деформаций поперечного сдвига. Соответству-
ющие этому более важному для практики случаю зависимости и уравнения полу-
чаются, если положить Ах = Ау = 0 (учитывая, что Ег = оо) в (19.245)—
(19.249). Видно, что упрощение не является принципиальным.
9.4. Методы решения системы (19.248). Вследствие четности порядка
производных, входящих в основные уравнения (19.248) и в выражения (19.246)
для Мх и Му, можно получить решение в форме Навье (и. 19.1.1)
оо оо
и(х, у) = 2^ > атп 51П —— $ш ;
/Л=1 /2 = 1
оо оо
Ф у} = Ьтп 81П 51П ,
т—1
(19.253)
разложив ? (л, //) в двойной ряд Фурье С ко^нЬинирп-т
шенис, как это видно из (19.243), точно удовлетв, и нет гп».'?"’" П° (19 3)' Р«‘
стеснении из кромке тангенциальных перемещений ' ' грв"нчным Условиям при
Коэффициенты атп и Ь,п„ определяются по формулам условвям типа (19 251).
^тп 3(]тп 2/ш2 Г( т \2 / Кт) +( п Ь )21 / .] >
атп Л2Й2 10 {А т2 \ х а2 1 Л п* \ . 6д2 + ^)+-5Г ' / т \4 - ^хг \ 0 / +
1 т2п2 + °° п2Ь~ \ бхх 6уг / । ( п_' буг \ Ь \4’ П2 \-Г а2 Ь2 ) X (19.254)
X (»Г- —-1- ст и _т2п2 . । р (^Ь2 п' \- ) 1 ^,пп Л1
Результаты вычислений в первом приближении [81 (а ± (1 „ - о
т >2, п > 2) для квадратной пластины (а = М при Е = Е С 0 ПР"
= Ц</х, Игл- = 1‘гг/ в случае, когда Схц = 0,2С,, ц,„ = 0 15 и"’ = л а ~
в табл. 19.36 и 19.37. В первой даны относительные максимальные' прогиби
^ах-^ах = «ц Д-я пластины с а : Н = 5, в0 второй 2 длГ.Хины
с а . К 20. П} огиб ^тах Оц максимальный прогиб (при х ~ а/2 у = Ь 2)
этой же пластины без учета деформации поперечного сдвига и напряжений о,.
Система (19 48) при граничных условиях на двух противоположных кром-
ках типа (19.251) допускает решение и в форме М. Леви (п. 19.1.2)
(X, у) — /т (у) 5Ш —— ; Ф (X, у) = фтл (^) 8]П . (19.255)
п1~ [
Таблица 19.36. Относительные максимальные прогибы
пластины при а/к = 5
Сх : Схг
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0
0,0 1,000 1,311 1,622 1,934 2,245 2,556
2,0 0,926 1,237 1,548 1,859 .2,170 2,482
4,0 0,851 1,163 1,474 1,785 2,096 2,407
г6,0 0,777 1,088 1,399 1,711 2,022 2,333
8,0 0,703 1,014 1,325 1,636 1,947 2,259
Таблица 19.37. Относительные максимальные прогибы
пластины при а/Н — 20
Ех : Е2 ЕX : ^Х2
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 1,000 0,995 0,991 0,986 0,981 1,020 1,015 1,010 1,006 1,001 1,039 1,034 1,030 1,025 1,020 1,058 1,054 1,049 1,045 1,040 1,078 1,073 1,069 1,064 1,059 1,097 1,092 1,088 1,083 1,079
> равнения тля утп (у) и (у) имеют вид
ЗЯт (у)
2Л
(19.256)
П № о 'п2д2
У1 а2
О0^ + ^°,Уп=<!т(у)-
л2Л2
’ “НГ
т2л2 г
~а2~
л
а2
Ят — А
6*2 0у2
4 г т*л1Ох
7 5
о.»
Эту систему целесообразно решать не
численных значениях ее коэффициентов.
а46
ф/н —
в общем виде, а при
(19.257)
конкретных
(т — 1, 2, . . .).
§ 10. Изгиб изотропных неразрезных пластин
В расчетах корпуса судна в подавляющем числе случаев в качестве пластин
фигурируют участки наружной обшивки, настилов палуб и платформ, полотнищ
переборок, ограниченные подкрепляющим их набором. Таким образом, пластины
корпуса судна являются неразрезными, и рассчитывать каждый их участок в от-
дельной прямоугольной ячейке набора как изолированную пластину можно лишь
в тех случаях, когда из-за симметрии нагрузки и конструкции относительно ли-
ний опорного контура можно считать на этих линиях пластину-ячейку жестко
заделанной. Обязательные расчетные случаи как раз и попадают в эту категорию.
Однако иногда возникает необходимость рассчитать неразрезную пластину,
опирающуюся на балки набора, поставленные на разных расстояниях друг от
друга, или пластину, нагруженную в разных ячейках неодинаково, или, наконец,
пластину, у которой в каждой ячейке своя толщина. В общем случае налицо
могут быть все три фактора.
Судовые пластины-ячейки, как правило, прямоугольны и удлиненны вдоль
судна при продольной системе набора и поперек — при поперечной. У таких
пластин, если ребра можно считать абсолютно жесткими опорами *, влияние
граничных условий на коротких кромках длиною Ь на напряженное состояние
в средней части быстро ослабевает с ростом а/Ь, где а — длина длинной кромки.
Так, из табл. 19.3 и 19.4 для жестко заделанной на всех кромках пластины и
пластины, жестко заделанной на длинных и свободно опертой на коротких сто-
ронах опорного контура, следует, что уже при а : Ь — 2 граничные условия
на коротких кромках практически не влияют на расчетные величины. Поэтому
принято (в безопасную сторону) короткие кромки считать свободно опертыми,
что существенно упрощает расчет пластин типа пластины, изображенной на
рис. 19.45, так как позволяет применять принцип наложения с использованием
точных решений в форме М. Леви (п. 19.1.2), Более громоздок расчет методом
наложения пластин, неразрезных в двух направлениях [15].
Как и в теореме трех моментов для неразрезных балок, статическая неопре-
делимость неразрезной пластины раскрывается с помощью уравнений неразрыв-
ности углов поворота пластины на опорных линиях. Так, для пластины на
рис. 19 45 уравнения неразрывности имеют вид
(19.258)
где иу/, I = 1, 2, 3, 4 — прогибы каждой из четырех пластин. Как и в теореме
трех моментов, каждая пластина считается на всех кромках свободно опер-
(й действие смежных пластин одной на другую заменяется изгибающи-
Изгиб пластин на упругих ребрах -—см. п. 19.11.
мп моментами Л4/у, приложенными
к соответствующим кромкам.
Практический расчет суще-
ственно облегчается, если исполь-
зовать функции
о зЬ и — и
ио------------— •
и4 с!12 ~
2
6 = ~2'-- ((19.259)
1 2и&№и ’
Р и с 11 и —- зй и
и з112 и ’
Рис. 19 45
значения которых приведены в таби 19 яя
[18] для р — 0,3. При малых и
составленной 10. Л. щ,,манск„м
при и> 4л
01 («)
би
—, 0„ (и) = 02 (и) 0
Функции 0ю, 0, и 02—коэффициенты влияния ня гми „„
свободно опертой пластины, вытекающие из решений типа М пГ™ КР°МОК
ственно при равномерной нагрузке а шгибяглгпт ТИ а М- Леви соответ-
кромке, угол поворота которой вычисляется, и нэп бдащТммоХТТ''0'1 "а
ном на противоположной кромке оающсм моменте, приложен-
м. “ х*™'™ “• ...........««...
ОО | . Чп = Е <51п-Т; т=1, 3, ... ОО 2 | „мод т=1, 3, ... ОО Ч3’ = 2 Ч3’^. гп=1, 3, ... Таблица 19.38. Значения функций 04-
и е» («) 01 («) $2 («) и $0 («) 01 («) 02 (и)
0 0,1л 0,2л 0,3л 0,4 л 0,5л 0,6 л 0,7л 0,8л ОО 0,543 0,251 0,153 0,099 0,059 0,047 0,034 0,026 0,667 0,657 0,631 0,596 0,554 0,507 0,458 0,415 0,377 0,333 0,325 0,303 0,274 0,237 0,196 0,161 0,129 0,102 0,9л л 1,2л 1,4л 1,6 л 1,8 л 2,0л 2,5л 3,0л 4,0 л 0,019 0,014 0,008 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,343 0,304 0,263 0,227 0,200 0,178 0,160 0,127 0,106 0,080 0,077 0,059 0,034 0,020 0,011 0,006 0,003 0,001 0,000 0,000
Тогда условия неразрывности (19.258) дают бесконечную последовательность
независимых друг от друга систем из трех уравнений каждая относительно пе'
известных коэффициентов с общим номером т:
-[-77-4 °оЮ + -йг^,01 (“"’)] =
= ,4-е« +4г <"«'’) - Ж ;_г
Ч4?4ш2,)+=
=^|м4з,)+4<2,М“а+4^®; ’ (,9'26,)
- % (О+ж («»)+Ж <>е> Н3’)] -
где — цилиндрическая жесткость;
— аргумент функций Ю. А. Шиманского для /-й пластины.
После решения достаточного для точности расчета числа систем (19.261)
каждая пластина с использованием принципа наложения рассчитывается неза-
висимо от остальных.
§11. Изгиб жестких пластин, подкрепленных
упругими ребрами
При упругих промежуточных опорах неразрезной пластины использование
метода наложения (п. 19.10) становится громоздким. При небольшом числе опор
целесообразнее непосредственно использовать решение в форме М. Леви
(и. 19.1.2), приспособленное к применению метода начальных параметров [10].
Если же число упругих опор больше 5, следует изотропную пластину с ребрами
свести к ортотропной без ребер.
11.1. Форма решения М. Леви, приспособленная к методу начальных пара-
метров. Метод начальных параметров (метод Клебша) позволяет учитывать
в виде поправок к основному решению влияния разрывов в функции ьу (.?, //)
и в ее производных, в частности из-за изменений законов распределенных нагру-
зок. Введение поправок особенно просто, если общий интеграл однородного
уравнения представляется в виде
з
/т (у) — сгщФ/
1=0
(19.263)
/ тлу\
где спц — произвольные постоянные интегрирования, а Ф/ ( —\ — частные
решения однородного уравнения, принимающие при у = 0 вместе с их первыми
производными значения
Ф</г) (0) = ПРИ = г>
(0) =0 при к 4= I
(19.264)
п имеющие следующие аналитические пред тавлепия
фо
тлу
а
= с!т тПУ_____________к тпУ
<»!
Ф.,
= . иду.
2 О2а сп-7~’
тлУ \ _ 1 тлц щлу
а ) 2 а 8(1 V1
= —4-зЬ-^. ' 2 сЬ '«О'/
2 о ' 2 а
(19.265)
« 2 ц
а ’
При дифференцировании эти функции переходят одна
другую, кроме
В
д
“7-фо
/ИЛ
<!>,; 4-Ф, = ^ф„;
ду 1 а 0
-Д-Фг = —(ф1 + 2ф3); _2.фя = ^Дф
<11/ - а 1Г ЗЛ ау 3 а 2‘
(19.216)
а
функции Ф/введены П. Ф Папковичем [10] в 1931 г. и табулированы \ С Ма-
лаевым в 1937 г.
В случае скачкообразного изменения на линиях у — с — сопз! прогиба ш
да)
угла моментов Мх и приведенной перерезывающей силы г,, (и. 18 3.1)
и нагрузки у к основному решению, описывающему а) (с, у) при у < с, на этих
линиях добавляются поправки вида
з
Му (х, у — с) =
1=0
тч (у — с)
а
(19.267)
Постоянные интегрирования апц определяются из условия, чтобы при у
разрыв в величине одной из упомянутых выше характеристик изгиба
с
ди>
—
ду
и т. д.) был равен заданному. Сколько имеется разрывов, столько вводится
и поправок вида (19.267).
11.2. Свободно опертые пластины с небольшим числом подкрепляющих
ребер [10]. 11.2.1. Свободно опертая на всех кромках пластина подкреплена
одним средним упругим ребром жесткости Е1 (рис. 19.46), нагрузка у равно-
мерно распределена по всей площади пластины. Материал ребра тот же, что
и материал пластины. В момент инерции
поперечного сечения ребра включается
присоединенный поясок с поперечным
,, , а
сечением если Ь> -х-, и с сече-
а
пнем Ыг, если Ь < Из-за симметрии
о
задачи относительно у = 0 можно рас-
смотреть лишь правую часть пластины.
Граничные условия свободного
опирания при х = 0, х— а в решении
М. Леви (19.14) выполняются тожде-
ственно. Граничные условия для ?гп(у),
У
I <1
Рис 19 16
вытекающие из граничных условий для ш (х, у) при у — Ь и из условий на ребре
(18.77),
Л „Г Л . д3ш 1 Е1 д4ш Л
_ = 0, —О 4- (2 — Р) дх2 = ~2 дх^~ ПрИ у' ’ <19-2б8)
записанных с учетом симметрии задачи, имеют вид
4 (0) = 0; Гт (0) - (2 - р) <й (0) + (0) = 0;
а (19.269)
УМ>)=° (/П= ’’ 3’
В данном случае при у = 0 наблюдается разрыв функции г у. Однако по-
скольку строится решение только для // :> 0, достаточно общий интеграл взять
в виде суммы поправки (19.267) и частного решения (с — 0)
{щ (у) — р~ (I 4~ а/П()Фо 4" °7П1Ф1 4" агП2^2 4- сшзФз)» (19.270)
основное же решение, соответствующее области у < 0 (до разрыва), опустить *.
Свойства функций (19.264) и (19.266) позволяют сразу записать систему алге-
браических уравнений относительно апц
Л.
ат1 — О,
~ . Е1 тп ,, .
Отз — (2 — р) С1/П1 4" ~20 (1 4” ато) ~ Ф
I (19.271)
(^/п) 4~ Я/гцФх (^т) 4” а1П2^2 (ит) 4" атз^з (Нт) — 1>
—(ит) — °7?цФз (^/н) 4“ ат2 (Фо (ат) 4~ 2Ф2 (ит)] 4“
4“ атз [Ф1 (^/н) 4- 2Ф3 (Пш)] = 0. .
В итоге, после решения системы (19.271),
(тп^О I1 'Д(М
ГА„ (ит) Ф„ (л^.) + д2 Ф2 _
-Д3(Ит)Фз(^)]} («=1, 3,
(19.272)
Л (^;п) — [Фо [®0 (^г«) 4“ 2Ф2 (&/;:)] 4~
4 Фа (^/п) {®2 (^т) 4“ [Ф1 (^гп) 4- 2Ф3 (^т)]) >
Ло (^/п) — (^т — 1) [Фо (^т) 4" 2Ф2 (^/н)] —
— 6/?г [Ф1 (^/п) 4“ 2Ф3 (&/п)) Фа (^лп)> 1
Л2 (^т) == (^т — О Ф2 (^т) 4~
6т [Фо (^т) 1] [Ф^ (/^т) 4“ 2Ф3 (^т)]>
Л3 (^гп) ~ Ьт [Л (&;и) 4“ Ло (^т)] =
{[Фо (^т) 4“ Фг (ит)]2 — Фд (^т) — 2Ф2 (ит)} I
(19.273)
Е1тп . тлЬ
2Оа 1 Щп 7Г
(19.274)
Данную простейшую задачу при четырех граничных условиях (19 269) можно
решить и без использования метода начальных параметров*
11.2.2. Свободно опертая на
всех кромках пластина подкре-
плена двумя одинаковыми упру-
гими ребрами жесткости Е1, деля-
щими пластину на три равные
части (рис. 19.47); все остальное—
как в задаче 11.2.1. Функция /т(7)
для правой половины пластины
(у > 0) и Граничные условия для
нес имеют вид *
4да1
(тп)* О
!'т (0) = (т (0) = 0;
Условия же на ребре
Два последних условия сопряжения записаны с учетом дв^х первых. Из
свойств функций сразу следует, что условия (19.277) выполняются только при
а то — агп1 = ат2 — т- е- поправка Дш, учитывающая реакцию ребра, состоит
лишь из причем
атз — —1 + сто®о (кт) + (мт)], (19.278)
где6т, ит определяются по формулам (19.274). Первых два граничных условия
(19.276) выполняются при сШ1= сгпз = 0. Оставшиеся при каждом т две кон-
станты сгт} и сгп2 находятся из граничных условий (19.276) при у= ЗЬ 2, что
целесообразно делать численно при конкретных значениях исходных данных.
11.3. Пластина, подкрепленная большим числом (больше пяти) равноуда-
ленных друг от друга одинаковых упругих ребер жесткости ** Е/, параллельных
оси х. 11.3.1. Пластины эффективно рассчитываются как конструктивно орто-
тропные пластины. Считается, что наличие ребер не изменяет изгибную жесткость
пластины в направлении, перпендикулярном к линиям ребер, т. е. по оси у : Оу—
= О. По направлению ребер приведенная жесткость при изгибе
Е1
с
(19.279)
Жесткость при кручении ортотропной пластины также считается прежней. Таким
образом, уравнение конструктивно ортотропной пластины в соответствии с (18.84)
имеет вид
Е1 \ дЧ) (19.280)
+ 2 дх-ду^ ду* О *
* Выражение справа от символа Бубнова || учитывается только при у>Ь'2,
Ь/2
выражение слева — при всех у. „.^тины шипипойс
** Величина / вычисляется с учетом присоединенного пояска пластины шириной с,
где с — расстояние между ребрами.
Таблица 19.39. Значения коэффициентов в формулах
Д1Я расчета пластины, подкрепленной большим числом
упругих одинаковых ребер
к. 1 0 а
0 0,10 0,25 0,50 0,75 1,00
0 0,0130 0,0130 0,0130 0,0130 0,0130 0,0130
0,25 0,0130 0,0130 0,0130 0,0130 0,0129 0,0128
0,50 0,0130 0,0130 0,0130 0,0121 0,0112 0,0101
0,75 0,0130 0,0130 0,0117 0,0094 0,0078 0,0066
1,00 0,0130 0,0126 0,0096 0,0066 0,0050 0,0041
0 0 0,0037 0,0093 0,0185 0,0278 0.0375
0,25 0 0,0037 0,0102 0,0194 0.0281 0,0384
&2 0,50 0 0,0037 0,0120 0,0252 0,0357 0,0464
0,75 0 0,0072 0,0197 0,0341 0,0434 0,0504
1,00 0 0,0128 0,0262 0,0378 0,0438 0,0479
0 0 0,0125 0,0313 0,0625 0,0940 0,1250
0,25 0 0,0125 0,0318 0,0623 0,0930 0,1235
&3 0,50 0 0,0125 0,0322 0,0600 0,0820 0,1017
0,75 0 0,0138 0,0313 0,0508 0,0626 0,0713
1,00 0 0,0145 0,0283 0,0389 0,0440 0,0479
0 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 Ребра
0,25 0,125 0,125 0,125 0,124 0,123 отсут-
&4 0,50 0,125 0,125 0,125 0,115 0,105 с гв у ют
0,75 0,125 0,125 0,111 0,088 0,073
1,00 0,125 0,117 0,092 0,061 0,045
Решается оно описанными выше методами в зависимости от граничных условий.
11,3.2. Пластина свободно оперта всеми кромками, нагрузка 7=соп81.
Длина стороны, параллельной ребрам, равна а, длина другой Ь. Характеристики
Е и [л материала пластины и ребер одинаковы.
При Ь/с > 2 приближенные расчетные формулы имеют следующий вид [12]:
прогиб в центре пластины
/ ЬАс сУ \
^ = (^^- + 0,0284-^),;
(19.281)
изгибающие моменты в центре пластины посередине расстояния с между
ребрами
МХ1 = -I- —</; Ми1 = — » (19.282)
изгибающие моменты в центре пластины и ребер
/ с2 \ / С2 \
Мх2= Мт= Л (19.283)
изгибающий момент в пластине у середины крайнего ребра
дс2
= (19.284)
,1;111ос,льш„й изгибающий момент в поперечном сече|„,и ,
Мр ~
величины 1ц в зависимости от относительной жесткост,, „
“«костн пластины и р(.бра
а = —- = Зс
Е1 . (19.285)
Л отношения сторон Р — у : а приведены в табл. 19 39
гЛАВА 20. СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ ЖЕСТКИХ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН,
ЗАГРУЖЕННЫХ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКОЙ
§ 1. Решение задачи о сложном изгибе в форме М. Леви
1.1. Основные зависимости. Особенностью пластин корпуса судна является
наличие помимо поперечных еще и тангенциальных растягивающих, сжимающих
и сдвигающих нагрузок, приложенных к их кромкам. Наиболее типичный и важ-
ный случай сложный изгиб пластины при действии на нее поперечной на-
грузки 7 и нормальных к кромкам тангенциальных усилий Тх = сопз1, Ту —
— сопз! (рис. 20.1). Поведение такой изотропной пластины описывается уравне-
нием Сен-Венана (18.82) при 5=0
О\/^=д+Тх~ + Т!1-^г. (20.1)
ОХ" СуЬ ' '
Из-за вытянутости судовых прямоугольных пластин в одном направлении
граничные условия на коротких кромках слабо влияют на напряженно-деформи-
рованное состояние в средней части (п. 19.10). Поэтому для упрощения решения
короткие кромки принято считать свободно опертыми на жесткий опорный кон-
тур. В этом случае точное решение уравнения (20.1) представляется в форме
М. Леви (п. 19.1.2).
ОО
№ (*. У) = 1т (у) 51П , (20.2)
т=1
если ось Ох направить перпендикулярно к свободно опертым коротким кромкам.
Функциональные коэффициенты (т(у) определяются из уравнении
.IV /9 ™3я2 , Ту \ /- , ( ’М У ( \ _
'Г а- + й ) 'т+ \ а ) \ & + О )
= (т=1) 2. ...),
(20.3)
в которых Ут(у) — коэффициенты Фурье нагрузки у (х, у), определяемые форму-
лой (19.17).
Граничные условия на кромках у = сопз! могут быть любыми.
Корин характеристического уравнения
1^,у,-УА ₽»*>
Рис. 20.1
Вид общего интеграла однород-
ного уравнения (20.3) зависит от со-
отношения 1Х и 1У.
1.2. Частный случай: Ту= 0.
Тогда и 1У = 0, поэтому
V1 ±У=*Х.
а
^1-4 ~
(20.5)
При 1Х = 0 имеем разобранный в п.
19.1 2 случай. При /Л-> 0 корни
комплексны; решение однородного
уравнения имеет вид
Ли (//) = с'о сЬ уту соз т\ту 4- с, сЬ уту 81П ть// +
4- с2 8Й у,пу 8Ш т\ту 4- с3 зИ уту СОЗ
(20.6)
Тт= ’ «1К1 + Г1+2/*;
у 2 а
1 тл
’1т /2~
(20.7)
|/1-/1+2<Л
При -1<
/х < 0 псе корпи А, вещественны и
/т (</) = со сЬ атУ + «И ату 4- «2 сЬ Р,„(/ + с3 $Ь ртр;
(20 8)
ат== —/ 1+/=2Т;; рт = _^|/ (20.9)
а ь*
при /х <-----у- числа ат, по-прежнему, вещественны, рт — чисто мнимые и
(У) = с0 сН а,„У + С1 811 атУ + С2 С08 + С3 8‘П (2°' *°)
₽о; = ^/ Г-2/х-1. (20.11)
К общим интегралам (20 б), (20 8) и (20.10) однородного уравнения необходимо
добавить соответствующее частное решение /ЛПО, которое обычно подбирается
непосредственно по виду функций дт (у).
1.3. Частный случай: Тх — 0. Тогда 1Х0, а корни
{ + V21 у + ‘у (20' 12>
при Л/>0 все вещественны. Интеграл однородного уравнения (20.3) при 6/> 0
имеет вид (20 8), но
(20.13)
Если < 0, то при —2 < 1У < 0 все комплексны и ( (у) имеет вид (20 6), но
Т/л = - - 1 + "2" Цт ~ 2~^Уг (20.14)
при <11 < ~~2 вс0 Л1-‘ Ч"СТ0 мп”мь,е- Ап (у) принимает вид
Iт (У) — со со8 “»'!/ + С18'4 а„,у ф с2 СО8 р,„у ф с3 51п $ту,
е вещественные числа 0.щ и (),,, вычисляются по формулам
(20.15)
а,п = 1ат; ₽т = 1₽т>
(20.16)
в которых ат, р,„ берутся по (20 13) а ! = 1/-г
Формально приведенные выше решения я„„~ ’
числа удерживаемых в суммах членов к бег.т.,1 '°ТСЯ Т0Ч11ими при стремлен.,.,
(20.1) правильно описывает поведение планО** УрХ
скольку усилия Тх > 0, Ти> 0 уменьшают ® при МаЛЫХ "Р°™бах. По-
(20.1) оказывается в этом случае справедливым боХ ° "агрузке?, уравнение
пения д, чем уравнение С. Жермен (18.83) НаобовотппРтКОМ «напа30"е изме-
ведливо противоположное утверждение. Р ’ при Тх< о, Т!/< о спра-
§ 2. Пластина, жестко заделанная двумя параллельными
кромками и свободно опертая другими,
загруженная равномерной поперечной нагрузкой
и нормальными тангенциальными усилиями
на свободно опертых кромках
пример,’ пластины наГу^^й'Хш^^^Х'Тна^ На’
настилов палуб и платформ при продольной системе набора тТкТаТгрщ^ные
условия жесткой заделки на коротких кромках могут быть заменены м границ
ные условия свободного опирания (рис. 20 2) на границ-
Решение получено и табулировано Б. И. Слеповым [11.
При любом знаке Тх и при д = сопз! частное решение
/то — —л—т—тг = сопз( (т=1, 3, ...);
(тл)3 (т2л2О + Тха-} ' 1 (20.17)
/то(у) = О (т = 2, 4, ...).
2 2. Случай растяжения вдоль длинных заделанных кромок (Тх - 0)- '.
при а> ь отвечает /т(у) в форме (20.6). Поскольку кромки у- ±Ь,2 жестко
заделаны, граничные условия для )т(у) имеют вид
В результате
, 2итУ _ь9
ХС11—^-СО8—+ 2
Мщ сЬ Нт 81П 4“ Ищ СОЗ Ущ
$1П 2ц^ —р зЬ 2ит
ит ит СО8 Ут — Ут сЬ ит 81П Ут
пт81П 2ц;п4-цт5Ь 2ит
I (20.18)
1
X зЬ
2итц . 2ути \ . тлх
—8ш —81п-------;
Ь Ь / а
УтЬ . __ 2^
и1П = —’ и™ 2
Рис. 20 2
Расчетные формуль/.*
а) прогиб и изгибающие моменту
в центре пластины (точка /)
10-2 •
^'1 — ^'тах * — 10 “V >
МХ1 = Ю-^и^’2; [(20.19)
МУ1 =- Ю-2у21^2;
б) изгибающие моменты посередине заделанных кромок (точка 2)
Л/х2 = цМУ2 = - 10-Ч’12^2; Му2 = — 10-2у22^-. (20.20)
В табл. 20.1—20.5 приведены коэффициенты V для
Тх : 7\0, где
ряда значений а : Ь и
(20.21)
лЮ
а2
— эйлерово значение усилия Тхэ при сжатии (7\э> 0) свободно опертовой
пластины, вычисляемое как наименьшее из значений (20.21) при всех пг~
= 1, 2, 3, ... В табл. 20.1 приведены значения V, в табл. 20.2—м11, в
табл. 20.3—у21, в табл. 20.4 — у12, в табл. 20.5 — м22.
Из таблиц видно, что растяжение вдоль длинных заделанных кромок суще-
ственно уменьшает прогибы, а следовательно, и изгибающие моменты. Чем ближе
значение а Ь к единице, тем существеннее полезное влияние Тх.
2. 3. Случай сжатия вдоль длинных заделанных кромок (7\<:0). Ему при
всех гп, за исключением, быть может, начальных, отвечает /ш(//) в форме (20.8).
Решение имеет вид
(20.22)
Расчетные формулы — формулы (20.19) и (20.20), но с другими значениями
ко ффициентов. Величины V приведены в табл. 20.6; тп — в табл. 20.7; г21 —
I абл 20.8; т12 — в табл 20.9; м22— в табл. 20.10; во всех случаях коэф-
фициент Пуассона р = 0,30. Из таблиц видно, что с ростом а!Ь продольное сжа-
тие оказывает все более слабое влияние на изгиб пластины.
Т а б л и ц а 20.1. Значения V в форму не (20
для пластины, растянутой вдоль длинных кромок
а Ь Т : Т х хз
• 1 3 5 10 50
1 1,411 0,852 0,606 0,346 0,072
1,5 2,146 1,497 1,146 0,715 0,164
2,0 2,490 1,974 1,615 1,105 0,297
2,5 2,691 2,299 1,986 1,462 0,453
3,0 2,756 2,496 2,239 1,766 0,642
5,0 2,850 2,750 2,730 2,490 1,340
Таблица 20.2. Значения ч»п в формуле (20.19).,
для пластины, растянутой вдоль длинных кромок
а : Ь Т : Т X хэ
1 3 5 10 50
1 1,646 0,943 0,645 0,348 0,048
1,5 1,480 1,036 0,788 0,481 0,074
2,0 1,375 1,101 0,921 0,621 0,122
2,5 1,319 1,175 1,026 0,752 0,177
3,0 1,280 1,210 1,109 0,893 0,230
5,0 1,250 1,240 1,209 1,128 0,615
Таблица 20.3. Значения \’21 в формуле (20.19)3
для пластины, растянутой вдоль длинных кромок
Т : Т _
а : Ь X .УЭ
1 з 1 5 10 50
1 2,245 1 1,207 0,789 0,369 0,015
1,5 3,242 2,135 1,580 0,894 0,084
2,0 3,721 2,838 2,296 1,483 0,236
2,5 3,0 5,0 3,956 3,349 2,253 2,029 0,421
4,069 3,690 3,317 2,610 0,650
4,158 4,089 3,970 3,622 1,954
407
а : Ь Т : Т х хэ
1 3 5 10 50
1 1,650 1,018 0,801 0,565 0,251
1,5 1,969 1,506 1,222 0,871 0,374
2,0 2,240 1.865 1,587 1,180 0,502
2.5 2,396 2,100 1,860 1,452 0,641
3,0 2,440 2,211 2,016 1,674 0,775
5,0 2,480 2,455 2,391 2,181 1,323
Таблица 20.5. Значения V22 в формуле (20.20)2
для пластины, растянутой вдоль длинных кромок
а : Ь Т : Т X ’ А Э
1 3 5 10 50
1 5,490 3,391 2,670 1,884 0,837
1.5 6,570 5,023 4,075 2,904 1,246
2,0 7,480 6,218 5,290 3,936 1,673
2,5 7,990 7,000 6,195 4,840 2,137
3,0 8,140 7,372 6,718 5,580 2,582
5,0 8,280 8,181 7,970 7,270 4,410
Таблица 20.6. Значения V в формуле (20.19)х
для пластины, сжатой вдоль длинных кромок
а : Ь Т : Т х хэ
— 1 — 0,75 —0,5 — 0,25 0
1 4,02 3,25 2,73 2,40 2,09
1,5 3,61 3,34 3,09 2,87 2,71
2,0 3,03 3,05 3,01 2,95 2,84
2,5 2,60 2,87 2,89 2,89 2,85
3,0 2,76 2,82 2,87 2,92 2,85
5,0 2,80 2,80 2,84 2,85 2,85
ОО 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85
40Х
Таблица 20 7 Зн
_______________^^“аТ0Й в-ь (20.19),
а : Ь —1 4,78 1,94 0,87 0,88 1,12 1,24 1,25 т 7~т~~ ' ' ' х 1 хэ
— 0,75 3,86 1,99 1,20 1,06 1,16 1,24 1,25 -0,5 3,24 1,95 1,31 1,18 1,23 1,25 1,25 Значения эй вдоль ДЛИ! -0.25 2,81 1,87 1,41 1,25 1,23 1,25 1,25 0 2,44 1,78 1,43 1,29 1,25 1,25 1,25
1 1,5 2,0 2,5 3,0 5,0 ОО
Табл для пл< И ц а 20.8. С истины, сжал
в формуле 1ных кромок (20.19),
а : Ъ Т : Т х хэ
— 1 -0,75 -0,5 -0,25 0
1 6,52 5,30 4,44 3,82 3 33
1,5 5,40 5,03 4,68 4,38 4,09
2,0 4,34 4,50 4,40 4,34 4,22
2,5 4,04 4,14 4,18 4,24 4,21
3,0 3,98 4,08 4,16 4,20 4,18
5,0 4,16 4,16 4,17 4,20 4,17
ОО 4,17 4,17 4,17 4,17 4,17
Таблица 20.9. Значения л>12 в формуле (20.20),
для пластины, сжатой вдоль длинных кромок
а : Ь т ; т X ' хэ
—1 -0,75 —0,5 -0,25 0
1 3,70 3,10 2,67 2,38 2,11
1,5 3,16 2,94 2,75 2,58 2,47
2,0 2,60 2,65 2,64 2,59 2,53
2,5 2,39 2,50 2,54 2,54 2,53
3,0 2,42 2,47 2,51 2,50 2,52
5,0 2,51 2,51 2,50 2,49 2,51
ОО 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50
Таблица 20.10. Значения г22 в формуле (20.20)2
для пластины, сжатой вдоль длинных кромок
а : Ь Т : Т к ЛЭ
-1 -0,075 — 0,5 -0,025 0
1 12,40 10,32 8,88 7,92 7,01
1,5 10,48 9,82 9,18 8,64 8,23
2,0 8,68 8,82 8,80 8,62 8,43
2,5 7,96 8,32 8,46 8,47 8,42
3,0 8,06 8,22 8,35 8,34 8,39
5,0 8,38 8,36 8,33 8,29 8,36
оо 8,33 8,33 8,33 8,33 8,33
§ 3. Пластина, жестко заделанная двумя параллельными
кромками и свободно опертая другими,
загруженная равномерной поперечной нагрузкой
и нормальными тангенциальными усилиями
на жестко заделанных кромках
К таким пластинам приближенно могут быть отнесены, например, пластины
наружной обшивки, второго дна, нагруженных участков настилов палуб и плат-
форм при поперечной системе набора (рис. 20 3).
Решение получено и табулировано Ф. В. Волькович [1]. Расчетные фор-
мулы приведены к виду:
а) в центре пластины (точка /)
№цих= 10 ''-^5-; Мп = МУ1 = Ю~^21дЬ2; (20.23)
б) посередине длинных заделанных кромок
Мх2 = — 10-Ч12?62; М,,, = — 10-^22<7б3. (20.24)
За единицу тангенциальных усилий Ту
квадратной сво-
принято^эйлерово усилие
бод но опертой пластины
т 4л27)
э“
(20.25)
Табл. 20.11—20.15 соответствуют
растяжению (Ту > 0), табл. 20.16—
20 20 — сжатию (Т^< 0). Коэффициен-
ты V приведены в табл. 20.11 и 20.16;
—в табл. 20.12 и 20.17, V21 — в
табл. 20.13 и 20.18, у12 — в табл. 20.14
и 20.19, 4^22 — в табл. 20.15 и 20.20. Из
таблиц видно, что растяжение и сжатие
вдоль коротких кромок существенно влияет
на изгиб пластин.
Т а б^л п^ц^а 20.11. Значения V в формуле (20 23)
а : Ь Т : Т У уз
1 3 5 10
1 1,И 0,585 0,320 0,125
1,5 1,21 0,650 0,365 0,175
2,0 1,30 0,715 0,420 0,225
2,5 1,38 0,755 0,458 0,250
3,0 1,38 0,756 0,468 0,260
Таблица 20.12. Значения V!! в формуле (20.23)2
при Ту > 0
а : Ь Т : Т У Уз
1 3 5 10
1 1,32 0,640 0,470 0,384
1,5 1,05 0,520 0,355 0,283
2,0 0,80 0,380 0,245 0,165
2,5 0,64 0,265 0,170 0,100
3,0 0,55 0,230 0,140 0,065
Таблица 20.13. Значения в формуле (20.23)3
при > 0
а : Ь т * т У УЗ
1 3 5 10
1 1,22 0,690 0,380 0,150
1,5 1,48 0,735 0,420 0,195
2,0 1,60 0,775 0,415 0,211
2,5 1.69 0,792 0,450 0,220
3,0 1,75 0,793 0,462 0,230 ли
Таблица 20.14. Значения V12 в формуле (20.24)х
при Т» > 0
а : Ь Т ‘ т 1 у • уь
1 3 5 10
1 1,24 0,862 0,682 0,585
1,5 1,27 0,890 0,730 0,675
2,0 1,35 0,930 0,810 0,720
2,5 1,36 0,964 0,864 0,741
3,0 1,43 0,994 0,885 0,756
Таблица 20.15. Значения V22 в формуле (20.24)2
при Ту > 0
— т У : Т ' 1 уз
а : Ь 1 3 5 10
1 4,13 2,89 2,27 1,95
1,5 4,77 3,25 2,60 2,25
2,0 5,10 3,50 2,80 2,44
2,5 5,13 3,62 2,88 2,47
3,0 5,38 3,74 2,95 2,52
Таблица 20.16. Значения V в формуле (20.23)1
при Ту < 0
а ; Ь Т : Т У Уэ
0 -0,25 — 0,50 -0,75 — 1,0 — 1,25 — 1,50
1 2,09 2,45 2,88 3,77 5,13 8,06 20,4
1,5 2,71 3,45 4,45 6,53 16,45 — —
2,0 2,84 3,79 5,21 9,09 31,53 — —
2,5 2,85 3,85 5,55 10,92 40,4 — —
3,0 2,85 3,97 5,65 11,38 — — —>
Т абл ица 20.17. Значения
при < 0
в формуле (20.23)2
а ' Ь ~ Т \ т ' “ У уз
0 — 0,25 | -0,50 1 -0,75 | -1.0 | -1.25 | -1,50
1 2,44 3,01 3,46 4,81 6,68 10,61 28,49
1,5 1,78 2,35 3,01 5,48 12,6 —
2,0 1,43 1,97 2,83 6,30 24,2 —
2,5 1,29 1,86 2,79 7,35 31,0 —
3,0 1,25 1,73 2,74 9,1 — — —
Т абл ица 20.18. при Ту < 0 Значения \’21 в формуле (20.23)3
Т : Т У УЗ
а : Ь 0 -0,25 — 0,50 -0,75 -1.0 -1,25 -1,50
1 3,33 3,78 5,06 7,01 10,4 16,9 42,15
1,5 4,09 5,20 7,00 11,35 24,5 — —
2,0 4,22 5,70 8,34 15,38 27,4 — —
2,5 4,21 5,81 9,00 18,0 38,0 — —
3,0 4,17 5,88 9,13 19,3 — — —
Таблица 20.19. Значения у12 в формуле (20.24)1
при < 0
а : Ь т • т у' уэ
0 -0,25 -0,50 -0,75 -1.0 -1.25 -1.50
1 2,11 2,32 2,59 3,00 3,75 5,28 11,46
1.5 2,47 2,87 3,45 4,74 8,88 — —
2,0 2,53 2,93 3,83 6,10 18,54 — —
2,5 2,53 3,06 4,00 7,21 23,40 — —
3,0 2,53 3,08 4,10 8,67 — — 1
Таблица 20 20. Значения т22 в формуле (20.24)2 при Т о
а : Ъ Т : Т У 1 уэ
0 — 0,25 — 0,50 — 0,75 — 1,0 — 1,25 — 1.50
1 7,01 7,75 8,58 9,00 12,57 15,10 38,24
1,5 8,23 9,52 10,35 15,78 29,63 — —
2,0 8,45 9,74 12,77 19,51 60,14 — —
2,5 8,42 10,15 13,36 24,00 78,00 — —
3,0 8,33 10,26 13,66 24,10 — — —
§ 4. Пластина, жестко заделанная двумя параллельными
кромками и свободно опертая двумя другими,
загруженная равномерной поперечной нагрузкой
и равномерно распределенными вдоль всех кромок
нормальными тангенциальными усилиями
В таких условиях находятся пластины наружной обшивки днища и пастила
второго дна, участвующие одновременно в продольном изгибе судна и попереч-
ном его днища (рис. 20.1).
В соответствии с (20.2) расчетные формулы имеют вид бесконечных рядов [3],
которые быстро сходятся, так что для практических расчетов достаточно удер-
живать члены до п = 7—9.
Прогиб и изгибающие моменты в центре пластины (точка 1)
а’™х = ~~^О 2 (20-26)
т—1, 3, ...
сю
.. Ф2 V1 / тл2Ь . и \ . тл
М» = ~Ы Ъ (-й-<р"г+7гМ81П"2-; (20'27)
т=1, 3, ...
.. (/^2 X"1 ( 7.1т , тп-Ь \ . тл
(Лт + ^^Г-Н 5111 — ’ (М28)
/77=1,3, ...
изгибающий момент посередине жестко заделанных кромок (точка 2)
со
/71=1, 3, ...
Функции срт, уЛгп и %2т зависят от двух аргументов
—4^ —4/>- ,2“;
в которых
Т^2П^ + Т,_,. (20.30
Значения ф,„, для всех т общие, приведены в табл. 20.21, значения
в табл 20 22, г/г,а — в табл. 20.23. В этих таблицах I — К "—И.
О1 01
О1 О)
ю
ел со оо
л со
со ю
О! 00 О
10 СО
иО О
1*0 Ю о ’о о
СП СП 00 00 00
О1 О) см
ит
2,0 1,5 17 1,0 УТ 0,5 уТ 0 0,5 1,0 1,5 2,0
3,0 4,0 5,0
8,0/ — —
7,0/ — — — — —— — —0,186 —0,011
6,01 — —- — — — — — —0,047 —0,008
5,0/ — - — — — 0,069 —0,020 —0,006
4,0/ — - — — 7,100 0.048 —0,011 —0,004
3,0/ — — — 0,886 0,043 —0,006 —0 003
2,0/ 2,470 1,620 1,320 1,180 1,150 1,120 15,400 13,506 12,400 5,700 1,550 0,470 0,039 —0,003 —0 003
1,5/ 1,0/ 0,5/ 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 — 8,450 4,220 3,220 2,880 2,780 1,830 1,360 1,140 1,040 1,010 0,980 1,799 1,343 1,130 1,030 1,000 0,972 1,780 1,325 1,120 1,020 0,991 0,960 1,466 1,115 0,985 0,900 0,878 0,858 0,823 0,691 0,621 0,598 0,576 0,566 0,340 0,313 0,293 0,283 0,279 0,275 0,039 0,038 0,038 0,038 0,038 0,038 —0,002 —0,001 —0,001 —0,001 —0,001 —0,001 —0,002 —0,002 —0,002 —0,002 —0,002 —0 002
— 2,350 1,020 0,900 0,894 0,890 0,800 0,537 0,265 0,037 —0,001 —0 002
— — 1,765 0,890 0,790 0,788 0,785 0,700 0,486 0,254 0,037 0,000 —0,002
1,325 0,748 0,676 0,673 0,670 0,608 0,442 0,233 0,036 0,000 —0,002
3,0 — 0,755 0,508 0,469 0,467 0,465 0,435 0,334 0,196 0,035 0,001 —0 001
4,0 1,900 0,440 0,335 0,322 0,320 0,317 0,300 0,245 0,157 0,034 0,002 —0,001
5,0 0,648 0,282 0,232 0,224 0,224 0,222 0,216 0,183 0,126 0,033 0,003 0,000
6,0 0,330 0,194 0,167 0,162 0,162 0,160 0,152 0,138 0,101 0,031 0,004 0,000
7,0 0,208 0,141 0,125 0,121 0,121 0,120 0,111 0,102 0,082 0,030 0,005 0,000
8,0 0,139 0,105 0,095 0,093 0,093 0,093 0,092 0,084 0,066 0,028 0,006 0,000
9,0 0,103 0,082 0,076 0,074 0,074 0,074 0,073 0,065 0,055 0,026 0,007 0,001
10,0 0,079 0,065 0,061 0,060 0,060 0,060 0,058 0,054 0,048 0,024 0,007 0,001
Таблица 20.23. Значения в формУле (20.29)
14 Бойцов Г. В. и др.
г 1,5 2,0 ' 3,0 4,0 5,0
Х)т 1,о УТ 1 0,5 У1 1 0,5 1 1,0
2,0 // 1,5 V/ 0,090 0,095 0,097 0,096 0,095 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,094 0,093 0,093 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060
8,0/ 7,0/ 6,0/ 5,0/ 4,0/ 3,0/ 2,0/1 1,5/ 1,0/ 0,5/ 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,С 6,( 1 7,( | 8,( 1 9, 2,620 1 1,130 0,772 ) 0,552 } 0,467 3 0,376 6,530 3,510 2,800 2,620 2,490 2,190 1,755 1,425 0,988 0,725 0,577 0,477 0,409 0,356 0,317 0,285 1,780 1,400 1,250 1,160 1,130 1,110 1,050 0,980 0,880 0,715 0,580 0,498 0,428 0,374 0,335 0,304 0,273 8,350 1,460 1,205 1,080 1,020 1,005 0,990 0,945 0,883 0,810 0,680 0,566 0,480 0,417 0,367 0,328 0,296 0,270 7,396 1,436 1,192 1,074 1,017 1,000 0,984 0,939 0,876 0,806 0,672 0,563 0,480 0,417 0,367 0,328 0,296 0,270 6,760 1,415 1,180 1,063 1,010 0,993 0,975 0,930 0,873 0,802 0,669 0,562 0,479 0,416 0,366 0,327 0,296 0,270 3,210 1,205 1,030 0,955 0,910 0,899 0,885 0,855 0,805 0,745 0,640 0,540 0,454 0,391 0,350 0,320 0,292 0,266 1,021 0,754 0,700 0,670 0,653 0,648 0,642 0,628 0,608 0,581 0,522 0,460 0,400 0,358 0,330 0,307 0,266 0,252 0,165 0,463 0,433 0,413 0,404 0,400 0,398 0,397 0,397 0,394 0,388 0,381 0.366 0,346 0,325 0,304 0,285 0,266 0,250 0,234 0,138 0,157 0,164 0,165 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,166 0,165 0,161 0,159 0,157 0,154
1 1 и.о/о
ГЛАВА 21.
ИЗГИБ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
КОНЕЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ
(ГИБКИХ ПЛАСТИН),
ЗАГРУЖЕННЫХ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКОЙ
§ 1. Особенности изгиба пластин конечной жесткости
В соответствии с классификацией (п. 18.4) пластинами конечной жесткости
называются такие пластины, при изгибе которых изгибные и цепные напряже-
ния — величины одного порядка, из-за чего прогиб ш (х, у) и функция напряже-
ний Г (х, у) существенно влияют друг на друга. Изгиб пластин описывается
полной системой нелинейных уравнений Кармана (18 31) в прямоугольной де-
картовой системе координат и (18.55) в цилиндрической. Уравнения (18.31)
в случае ортотропии материала имеют вид (18.42) для первоначально плоской
пластины и (18.44) для пластины с начальной ненапряженной погпбыо оу0 (х, у).
Уравнения Кармана для пластин конечных размеров при заданной нагрузке
д (х, у), в частности и при д — сопз!, до сих пор точно не проинтегрированы.
Точно решены лишь обратные задачи [6], в которых задан прогиб щ (х, у), на-
ходятся же Г (х, у) и д (х, у). Лишь для сильно вытянутой прямоугольной пла-
стины, строго говоря, при Ь : а = сю, II. Г. Бубнов [1 ] получил точное решение
для равномерного давления д и проанализировал напряженно-деформированное
состояние. В этом случае пластина изгибается по цилиндрической поверхности
(§ 3) и ш = нэ (х) определяется из уравнения сложного изгиба (т. 1, гл. 6) балки-
полоски единичной ширины, а не из уравнений Кармана *.
В конструкциях, в частности в корпусе судна, пластины соединены (обычно
сваркой) с другими элементами и потому являются статически неопределимыми.
Статически неопределимы они и по отношению к тангенциальным или цепным
реакциям на кромках (Тх, Ту, 5), которые на поведение пластин конечной же-
сткости оказывают сильное влияние. В судостроении связи корпуса, препятству-
ющие свободному смещению кромок пластины в ее плоскости и потому вызыва-
ющие статически неопределимые кромочные цепные реактивные усилия, принято
называть распорами. Однако при изгибе неразрезной пластины (рис. 19.45)
даже при отсутствии распор реактивные цепные усилия на кромках отдельной
пластины-ячейки все равно возникают: поперечная нагрузка, прогибая пластину,
стремится сблизить ее кромки, чему препятствует нагрузка соседней пластины,
стремящаяся сместить общую кромку (например, ЕЕ) в противоположную сто-
рону. Наконец, при отсутствии соседних пластин и любых других распор в пла-
стине возникают цепные усилия Тх, Ту, 8 за счет самого изгиба, точнее его нерав-
номерности, которая приводит к удлинениям и сдвигам срединной поверхности,
обусловленным последними слагаемыми в формулах (18.6). Поэтому, даже при
заданных равномерно распределенных вдоль кромок цепных усилиях (рис. 20.1 —
20.3), их распределение по изогнутой пластине конечной жесткости неравномерно.
Поскольку прогибы пластины вызываются поперечной нагрузкой, а сами
они существенно влияют на величины цепных усилий, которые в свою очередь
сильно сказываются на прогибах, зависимость между д и а следовательно,
и между ц и цепными (а", а®, т® Д пзгибными (а“, о", и полными или сум-
мерными напряжениями
Первые в мировой литературе решения И. Г. Бубнова [1] нелинейных задач
т _>рии пластин опубликованы раньше (1902 г.), чем было завершено построение нели-
н ином теории пластин Кармана (1907 г.).
(21-1)
оказывается нелинейной. Поэтому принцип наложения при расчете пластин
конечной жесткости неприменим.
Имеющиеся численные решения свидетельствуют, что пластины конечной
жесткости очень чувствительны к ограничениям на кромках тангенциальных
перемещеиий п0, с'о
и менее, чем жесткие пластины, чувствительны к ограниче-
ниям углов поворота кромок
ди) ди)
Весьма чувствительны они и к началь-
ной погиби которая сильно влияет на цепные напряжения.
§ 2. Методы решения уравнений Кармана
К настоящему времени имеется значительное число решенных по теории
Кармана частных задач об изгибе пластин конечных размеров (прямоугольных
и круглых). Составлены и первые таблицы для расчета таких пластин [5], со-
держащие результаты, полученные методом конечных разностей.
Этот метод, а также другие численные методы, применяемые для решения
уравнений Кармана, изложены в разделе II. Ниже описываются лишь два метода,
специфических для нелинейных задач теории пластин и оболочек.
2.1. Метод П. Ф. Папковича [б]. Искомый прогиб представляется в виде,
ряда
У'. У атпХ (х) У (у), (21.2)
т п
в котором линейно-независимые функции X, V известны и выбираются так
чтобы на кромках пластины выполнялись изгибные граничные условия. Ряд
(21.2) с неизвестными коэффициентами атп подставляется в правую часть урав-
нения сплошности из системы (18.31) или ей аналогичной. После этого ставшее
линейным относительно Р (х, у) уравнение сплошности решается при поставлен-
ных тангенциальных условиях на кромках. Функция напряжений Р (х, у) полу-
чается квадратической функцией коэффициентов аГПп- Затем уравнение равно-
весия — второе уравнение системы Кармана — приближенно интегрируется
методом Бубнова — Галеркина (п. 15.4) при аппроксимации ш (х, у) рядом (21.2)
и Р (х, у) — найденным решением уравнения сплошности: ш (х, у) и Р (х, у)
подставляются в уравнение равновесия, которое по очереди домножается на каж-
дую координатную функцию Хт(х) Vп(х) и интегрируется по всей площади пла-
стины. Как видно, структура правой части уравнения равновесия такова, что
метод Бубнова — Галеркина приводит к системе алгебраических кубических
уравнений относительноатп. Эта система решается численно любым подходящим
способом. Из-за больших вычислительных трудностей в ряду (21.2) обычно удер-
живается один — три первых члена. Лишь в решении С. Леви было удержано
семь членов. Таким методом получено большинство приближенных аналити-
ческих решений задач изгиба пластин конечной жесткости.
2.2. Метод В. 3. Власова [3]. В этом методе функция напряжении
Р (х, у) представляется в виде ряда, независимого от ряда для ш (х, у),
Е Е ЬтпХ,п (х) Уп (у), (21.3)
Ш П
где Хт(х), Уп (у) — известные линейно-независимые функции, выбираемые так,
чтобы на кромках выполнялись тангенциальные граничные условия. Далее
используется процедура метода Бубнова — Галеркина.
Ряды (21.2) и (21.3) подставляются в уравнения Кармана, первое из них
(уравнение сплошности) по очереди домножается на все удержанные в ряду (21.3)
произведения Хт (х) У п(у), второе (уравнение равновесия) — на все удер-
жанные в (21.2) функции Хт(У) Уп (у). Затем производится интегрирование
уравнений по всей площади пластины. В результате получается система ква-
дратных уравнений относительно коэффициентов атп, Ьтп.
Иногда в обоих методах вместо процедуры Бубнова — Галеркина приме-
няется эквивалентная ей процедура метода Ритца (п. 15.2).
Рис. 21.1
§ 3. Цилиндрический изгиб вытянутых
прямоугольных пластин
3.1. Основные уравнения. Пластины кор-
пуса судна обычно имеют вид удлиненного пря-
моугольника. Если Ь : а > 2, то с достаточной
для практики точностью изгиб такой пластины
под действием равномерно распределенной
вдоль длинной стороны поперечной нагрузки
можно считать цилиндрическим и вместо расчета
всей пластины рассчитывать мысленно выде-
ленную из ее средне:! части балку-полоску
единичной ширины с прямоугольным попереч-
ным сечением Л-1 = Л (рис. 21.1). Уравнения
Кармана в частных производных заменяются
обыкновенным дифференциальным уравнением
Л-[О
Лх4
Лх2
—
(21.4)
описывающим сложный изгиб стержня прямо-
угольного поперечного сечения.
Сложный изгиб стержней изложен в гл.
6 т. 1. Особенностью изгиба балки-полоски яв-
ляется статическая неопределимость цепного
напряжения которое, как это следует
из первого уравнения (18.19), не зависит от координаты х, хотя ау — к; (х).
Для раскрытия статической неопределимости о^ И. Г. Бубнов вывел условие
совместности деформаций балки-полоски и опорного контура [1,6]
а
О
(21.5)
если о° — следствие ограничения сближения длинных кромок пластины, и усло-
вие |1, 6]
I
о° = ораеп--^-)1К + :о')2-ш6]^. (21-6)
О
если опорные связи (распор, препятствующий сближению длинных кромок)
растягиваются или сжимаются не только из-за изгиба пластины (например, еще
и в результате общего изгиба корпуса судна или в результате изгиба днищевого
перекрытия); оРасп — нормальное напряжение в распоре.
В (21.5) входит коэффициент распора
где Е— площадь распора, приходящаяся на единицу длины длинных сторон.
Применение зависимостей сложного изгиба (г. 1, гл. 6) с использованием
условия (21.5) приводит к следующим расчетным зависимостям для стальных
пластин " (Е = 2,15-Ю6 кгс/см2’ 0,30) при ? = соп>1.
’ Используется техническая система единиц, так как обширные расчетные таб-
лицы составлены именно в этой системе.
бопно опертая пластина. Коэффициент опорной пары х =
3’2’- М* == °> где М ;аЛ И М*а’1- ~ опорные изгибающие моменты на длин-
= Мзад: А заЛ во3никаюшие при данном закреплении и при жесткой заделке
,,х сторона^ одной и 70Й же наГру3ке <,.
^0МНапряжения и перемещения
Порядок расчета. По заданным размерам а и Л, интенсивности
нагрузки д и коэффициенту распора К вычисляется вспомогательная величина
]аг) и по табл. 21.1 находится аргумент
(21.9)
т. е. раскрывается статическая неопределимость цепного напряжения о'- Пои
этом значении и по той же таблице определяются значения „т *' ₽
функций Фо («). %0 («), отражающих влияние о<> на прогиб щ, и изгибно™р™
жение о« посередине пролета. Напряжение о,, - полное напряжение на не-
нагруженной поверхности пластины.
При необходимости по данным 'табл. 21.1 производится интерполяция лтя
вычисленного значения 1§о или строятся кривые, позволяющие более точно м
ходить ф0 и ум. с 10ЧН0 на
3.3. Жестко заделанная пластина (х = 1). Напряжения и перемещения
(21.10)
Порядок расчета. По первым двум формулам (21.8) вычисляются
1$ у и цепное напряжение ох при использовании данных табл. 21.1 для х = 1.
Затем по формулам (21.10) и табл. 21.1 находятся наибольшее полное напряже-
ние аЛ1 посередине пролета на ненагруженной поверхности и оА-2 — полное
напряжение на нагруженной поверхности в заделке на длинной стороне опорного
контура.
3.4. Упруго заделанная пластина (0 < х < 1). Обычно коэффициент опор-
ной пары х судовых неразрезных равнопролетных пластин принимается равным
единице. Однако на практике встречаются случаи, когда о<2 > от — предела
текучести материала. В этих случаях, если допускаются местные пластические
деформации, расчету подлежит пластина с неизвестным значением х.
В судостроении поэтому принято сперва определять и>1, ох1 и оЛ2, полагая
х = 1. Если оЛ-2 < ат> т0 найденные значения считаются истинными. Если же
°г» то расчет повторяют при х = 0 и за истинные значения принимают
полусуммы и сгг1 из расчетов при х = 1 и х = 0.
Т а б т и Ц а 21 1 Значения вспомогательных функций
для расчета цилиндрического изгиба пластин конечной
жесткости
и При х = 0 При х = 1
16 V <Ро («) Хо («) 1$ V <Гж (м) Ул («) Ха («)
3,0 * 1,935 * —0,386 —0,449 2,506 * 11,201 13,49 7,348
2,5 * 2,251 * —0,660 —0,720 2,166 * 2,703 3,05 2,086
2,0 * 2,740 * — 1,621 — 1,702 2,054 * 1,672 1,799 1,436
1,5 * 3,713 * 11,38 11,68 2,066 * 1,291 1,343 1,192
1,0 * 3,060 * 1,684 1,702 2,177 * 1,111 1,130 1,074
0,5 * 3,182 * 1,113 1,116 2,443 * 1,026 1,030 1,017
0 ОО 1,000 1,000 оо 1,000 1,000 1,000
0,5 3,093 0,908 0,905 2,421 0,976 0,972 0,984
1,0 2,687 0,711 0,704 2,090 0,909 0,894 0,939
1,5 2,377 0,532 0,511 1,867 0,817 0,788 0,876
2,0 2,115 0,380 0,367 1,685 0,715 0,673 0,806
2,5 1,888 0,281 0,268 1,524 0,617 0,563 0,736
3,0 1,690 0,213 0,200 1,377 0,529 0,467 0,672
3,5 1,515 0,166 0,153 1,244 0,453 0,386 0,614
4,0 1,359 0,132 0,120 1,120 0,388 0,320 0,563
4,5 1,218 0,107 0,097 1,005 0,335 0,267 0,519
5,0 1,090 0,088 0,079 0,898 0,291 0,224 0,480
5,5 0,972 0,074 0,066 0,798 0,254 0,189 0,440
6,0 0,865 0,063 0,055 0,705 0,223 0,162 0,417
6,5 0,764 0,054 0,042 0,617 0,197 0,139 0,391
7,0 0,671 0,047 0,041 0,535 0,175 0,121 0,367
7,5 0,584 0,041 0,036 0,457 0,156 0,106 0,347
8,0 0,502 0,036 0,031 0,383 0,141 0,093 0,328
8,5 0,425 0,032 0,028 0,313 0,127 0,083 0,311
9,0 0,353 0,029 0,025 0,246 0,115 0,074 0,296
9,5 0,283 0,026 0,022 0,183 0,105 0,066 0,283
10,0 0,218 0,024 0,020 0,122 0,096 0,060 0,270
10,5 0,155 0,021 0,018 0,064 0,088 0,054 0,259
11,0 0,096 0,020 0,017 0,009 0,081 0,050 0,248
11,5 0,039 0,018 0,015 1,955 0,075 0,045 0,238
12,0 Г,984 0,016 0,014 Г,906 0,069 0,042 0.229
• Отрицательные значения величин и, 1& V.
опнт применения этого расчетного приема показал его достаточ-
Золыиои
это отмеченным в п. 21.1.1 ослаблением зависимости решения
яОсть. Об^С” еишо с изгибом жестких пластин.
т х по СР л ..... иля расчета удлиненных пластин конечной жесткости. И.Г.Буб-
3.5- Т д щимаНский составили [6] таблицы 21.2 и 21.3, сводящие расчет
нов и 1°- л* ‘изгиба пластин под равномерной нагрузкой к элементарным
циЛИНДРиче(д°одНЬ1мИ данными служат размеры пластин а, Н, коэффициент рас-
операцИЯМ‘ коэффициент опорной пары и, интенсивность нагрузки д
пора К, т0ЧНС^,оГ0 столба). Выходные данные — полное приведенное напряже-
(В метрах водя и непагруЖенной поверхности посередине пролета (табл. 21.2)
вне со (1 И„от1ПР мяппяжримр м — ц’)о“ (табл- 21-3)- Напряжения даны
'«л \- .
и приведенное цепное напряжение (1 - .*
В кгс/см2. При составлении таблиц принято- Р- о 0 ,п.
По табл 21.2 и 21.3 составлена табл 2Н в ко^п С''5’ “ = °-30-
нагрузки ?_(в метрах водяного столба), при котсрь^7Рп7асХСеТ,,Ь' ЗНа"е""я
При V К — 0,7— 1,0 возникают максимальные И е с Данными а/к
емому напряжению одсп = 2400 кгс/см2, обычно ХТачаемо^'’ РаВ,ше спуска,
непроницаемых переборок. ° назначаемому для листов водо
Данные таблиц позволяют сделать важные выводы-
1) оА1 при заданных значениях о и а/Н весьма
причем влияние К и х тем меньше, чем больше п/й от К> <
2) максимальное (расчетное для водонепроницаемы?' п. ,
ние ох1 чрезвычайно слабо возрастает при уменьшении перебо₽ок) вапряже-
(изгибное напряжение падает, цепное растет сумм!™.Атолщины пластины Л
особенно при а 100; Р ’ УМЛ,аРиое почти нс меняется),
3) цепные напряжения сильнее влияет г
чем на изгиб жестко заделанных; 6 свободно опертых пластин,
4) параметр цепных напряжений и оппрпрпо^гп..''
изгиб пластины, существенно зависит от’величины Л«з затетТ ВЛИЯНИЯ их "а
стипа при малых нагрузках, пока и <4,, является жесХй ! п™Та ЖС пла’
нии д становится пластиной сперва конечной есткои’ а ?РИ возраста-
кой (мембраной). Р НЁ 'Н°" Жесткости' а затем абсолютно гиб-
3.6. Приближенное определение параметра и. Таблицы 21.2 и 21 3 позволяют
быстро рассчитать только. плоские пластины, у которых о<; обусловлено ли^
наличием распора. Учет влияния на изгиб начальной погиби и внешних
растягивающих или сжимающих пластину вместе с распором тангенциальных
усилии на основе точного решения уравнения сложного изгиба балки-полоски
приводит к очень сложным трансцендентным уравнениям. Поэтому И Г Бубнов
предложил, а С. П. Тимошенко реализовал [6, 10] использование решений урав-
нении сложного из иба в рядах Фурье. Сравнение с точными решениями показало
что в каждом из рядов достаточно удержать по одному первому члену т. е. ап-
проксимировать пу (х) и Ц'о (л) выражениями
. лх
а-’о (х) = с08ш —
лх
ш (х) = «о 5’П ’
(21.П)
для свободно опертой пластины и выражениями
т (х) =
2л х
С08------
а
— для жестко заделанной. При этом уравнения
дятся к кубическому уравнению Тимошенко
х3 4 Ах2 = В,
-т('-со8~;
совместности (21.5) и (21.6) сво-
(21.13)
единственный положительный корень которого определяет значения параметра
л .г------------------------------------г (21.14)
11 ~ 2
есчи пластина свободно опертая,
и = л
(21 15)
Таблица 21.2. Приведенные полные напряжения
посередине пролета на ненагруженной позецхности
удлиненной пластины конечной жесткости
! Напряжение (1 - ц2)
] к
' О При х = 0 При о < = 1
1.0 ‘ 0.9 0,8 0.7 1.0 0.9 0, 0,7
[ а : А = 400
1 — — — — — — —
9 — — * — —.
з 1330 1290 1230 1160 1260 1220 1170 1140
4 1570 1510 1450 1380 1490 1440 1380 1340
5 1790 1720 1650 1580 1700 1650 1580 1510
6 1990 1910 1840 1760 1900 1840 1760 1690
7 2160 2100 2010 1920 2080 2010 1930 1840
8 2340 2280 2180 2070 2280 2190 2080 1990
9 2510 2450 2340 2220 2460 2340 2240 2140
10 2490 2370 — 2500 2390 2270
11 — — — 2510 — — 2540 2410
а : И = - 360
1 2 1 990 960 950 930 900 925 915 915
3 1260 1210 1170 1140 1170 1150 ИЗО 1110
4 1500 1450 1390 1330 1420 1360 1330 1290
5 1710 1659 1590 1510 1630 1560 1510 1460
6 1910 1840 1760 1690 1810 1740 1690 1630
7 2100 2020 1930 1850 1990 1910 1850 1780
8 2260 2190 2090 2000 2150 2060 2000 1920
9 2430 2340 2240 2150 2300 2210 2150 2060
10 2590 2490 2390 2290 2450 2360 22°0 2200
11 — 2640 2530 2430 2580 2510 2430 2320
12 — — 2670 2560 — 2650 2560 2450
13 — — — 2700 — —• 2700 2570
а : /1 = 320
2 970 950 920 900 920 900 880 880
3 1210 1190 1150 ИЗО 1150 ИЗО 1110 1100
4 1440 1400 1350 1320 1360 1330 1300 1280
5 1640 1580 1530 1490 1550 1500 1470 1450
6 1820 1750 1700 1650 1730 1670 1630 1590
7 2000 1930 1850 1800 1890 1840 1770 1730
8 2160 2080 2000 1940 2040 1990 1910 1860
9 2320 2230 2150 2060 2180 2130 2050 1990
1 10 2470 2360 2280 2200 2390 2260 2180 2100
11 2610 2510 2400 2320 2460 2390 2300 2230
12 — 2650 2540 2450 2600 2520 2430 2340
13 — 2660 2560 — 2650 2550 2450
а : Л = 280
2 [ 940 | 915 1 900 1 885 890 [ 890 890 885
3 1180 | 1150 | 1120 1 1100 ню 1 1100 1100 1080
с -т ж е н и е табл 21.2 На пряжение (1 — р?) “
1* (1 — — -—
— При у = 0 и к — При у = ]
1,0 I 0,9 0.8 0.7 10 1 0.9 | 0.8 0 7
4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 1390 1580 1750 1910 2060 2210 2350 2500 350 1 530 [700 1850 2000 2130 2260 2400 2540 310 490 650 1800 1940 2060 2190 2300 2430 2550 1290 1450 1600 1740 1870 2000 2110 2220 2340 2400 1310 1490 1650 1810 1950 2090 2220 2350 2480 2610 1290 1450 1610 1750 1890 2030 2160 2280 2400 2500 1270 1430 1580 1710 1850 1970 2100 2220 2340 2440 1250 1400 1550 1670 1800 1920 2030 2140 2250 2350
а : Н ~ 240
3 ИЗО 1120 1110 1100 1090 1090 1100 1100 1960
I * 1 4 1320 1300 1280 1270 1260 1270 1260
5 1500 1480 1450 1420 1430 1420 1410 1410
6 1670 1640 1600 1560 1590 1560 1550 1550
| 7 1820 1780 1750 1700 1730 1700 1680 1670
8 1970 1910 1870 1840 1860 1830 1800 1790
9 2100 2040 1990 1960 1990 1950 1920 1900
10 2220 2170 2100 2060 2110 2070 2030 2010
И 2350 2290 2190 2160 2220 2170 2140 2110
а : Н - 200
3 1100 1090 1090 1100 1070 1090 1120 1180
4 1290 1270 1260 1260 1240 1250 1270 1300
5 1450 1430 1420 1420 1400 1400 1420 1430
6 1600 1580 1560 1550 1540 1530 1550 1560
7 1740 1710 1690 1680 1620 1660 1620 1680
8 1880 1840 1810 1800 1790 1780 1780 1790
9 2010 1960 1930 1910 1910 1890 1890 1900
10 2130 2080 2040 2010 2020 2000 2000 2000
1 11 2250 2190 2150 2010 2120 2110 2100 2100 '
12 2360 2310 2250 2210 2240 2200 2190 1 2190
1 13 2470 2430 2360 2310 2340 2300 2290 2280
14 2570 2550 2470 2400 2440 2400 2370 2360
15 2670 2670 2570 2500 2540 2490 2460 2450
а : Н = 160
[1 3 1080 1090 1110 1100 1030 1060 1090 1110
4 1250 1260 129С 1270 1220 1240 1260 1310
5 1410 141С 144( ) 1410 1380 1390 1420 1470
6 1550 155( ) 157( ) 1550 1510 1530 1560
7 8 9 10 И 1681 1800 192( 2031 214 ) 167( ) 179< ) 190 3 201 0 211 ) 167( ) 179 0 190 0 200 0 209 3 1690 0 1800 0 1900 0 2000 0 2100 1640 1750 1860 1970 2070 1650 1760 187 С 198( 207( 1690 1800 1910 2010 ) 2100 1720 1840 1940 2040 2190 ।
— 425
Продолжение т а б л. 21.2
я Напряжение (1 — У-2) _
) К
При и = 0 При х — 1
1.0 | 0,9 | 0.8 0.7 1.0 0,9 0.8 0.7
12 13 14 15 16 2250 2350 2440 2530 2620 2210 2310 2410 2510 2610 2080 2280 2370 2460 2560 2180 2270 2360 2440 2530 2160 2260 2350 2430 2520 2170 2260 2340 2420 2500 2180 2280 2360 2450 2530 2230 2310 2390 2470 2550
а : Л = = 120
3 4 5 6 1060 1240 1390 1080 1250 1400 1100 1280 1430 1120 1300 1460 г 1080 1250 1100 1280 1110 1300 1120 1320
1530 1540 1570 1600 1400 1440 1470 1500
7 1650 1660 1690 1720 1550 1580 1620 1650
8 1760 1770 1800 1840 1680 1710 1750 1790
9 1860 1880 1910 1940 1790 1830 1880 1920
10 1960 1980 2010 2040 1900 1940 1990 2040
11 2060 2070 2100 2130 2010 2040 2100 2150
12 2150 2160 2180 2220 2110 2140 2190 2250
13 2230 2250 2270 2310 2200 2230 2290 2350
14 2320 2340 2350 2390 2280 2320 2380 2440
1 15 2410 2430 2440 2460 2370 2400 2460 2520
16 2490 2520 2520 2540 2440 2480 2550 2610
17 2580 2600 2600 2610 2520 2560 2620 2690
а : 1г = 80
4 ИЗО 1160 1190 1230 . . — —
5 1300 1330 1370 1410 — — — —
6 1450 1480 1520 1570 — — — —
7 1590 1620 1660 1720 — — — —
8 1710 1750 1790 1850 1180 1100 1030 900
9 1830 1860 1910 1970 1370 1310 1250 1160
10 1930 1970 2020 2080 1540 1480 1440 1360
н 2030 2070 2120 2190 1680 1620 1600 1540
12 2130 2160 2220 2290 1800 1750 1740 1690
13 2220 2260 2310 2380 1910 1860 1860 1820
14 2310 2340 2400 2470 2000 1970 1980 1950
15 2390 2430 2480 2560 2090 2070 2080 2070
16 2470 2510 2560 2640 2160 2160 2180 2180
17 2550 2590 2640 2720 2220 2240 2270 2280
Таблица 213 п удлиненной пластины₽кпеДеНнь «чины конем НОУ !е»Мпные «алряжени»
и
УК А8) сх
я При х == 0
1,0 0,9 0,8 0,7 1,0 I При и 0,9 | =
а : / 1 = 400 1),о 0,7
3 1020 950 880 810
4 1240 1150 1070 970 920 850 770 96П 720 1
5 1440 1350 1250 ИЗО 1130 1050
6 7 8 9 10 1630 1800 1980 2160 2350 1510 1680 1840 2000 2160 1400 1550 1700 1850 1980 1290 1430 1570 1700 1830 1320 1500 1670 1840 2000 2160 1230 1400 1550 1700 1850 2000 ИЗО 1290 1430 1570 1700 1840 880 1030 1170 1310 1440 1570 |
1 1700
а : /1 = 360
2 3 710 940 660 870 620 810 570 740 630 580 560 530
4 5 1150 1340 1060 1250 1000 1150 900 1050 оо и 1020 1200 1.Ч7Л 690 820 660 770 620 710
6 1510 1410 1300 1190 960 900 810
7 1680 1560 1450 1320 1540 1680 1110 1020 920
8 1830 1700 1580 1450 12о0 1150 1030
9 1980 1850 1710 1570 1390 1270 1140
10 11 2130 2270 1980 2120 1840 1960 1680 1800 ЮОи 1970 2110 2250 1520 1640 1750 1870 1390 1500 1250 1 1360 1
12 2410 2250 2080 1910 1620 1730 1460 1560
а : /1 = 320
2 3 4 680 870 1060 620 820 990 580 750 920 530 700 840 570 760 940 520 700 870 480 650 800 440 590 730 840 030
5 1240 1150 1060 970 1100 1020 940
6 1400 1300 1200 1100 1250 1160 1060
7 1550 1440 1330 1210 1390 1280 1180 1010
8 1690 1570 1450 1330 1520 1410 1300 1090
9 1830 1700 1580 1440 1650 1540 1410 И60
10 1960 1830 1690 1550 1760 1660 1520 1230
И 2090 1950 1800 1650 1880 1790 1640 1310
12 2220 2070 1910 1770 1990 1910 1750 1380 !
а : Н = 280
2 600 570 520 480 490 450 420 380
3 800 750 690 630 670 620 560 520
4 970 910 840 770 840 770 770 650
5 ИЗО 1050 970 890 980 910 830 770
6 1280 1190 1100 1000 1120 1040 950 880
-
Продолжение т а б л. 2 1.
Напряженно (1 — Ц8) Од-
Г А'
1 1 [ри X — 0 При у = 1
1 1 1.0 0,9 0,8 0.7 1.0 0.9 0,8 0.7
1410 1320 1220 1120 1250 1160 1070 980
я 1540 1440 1330 1220 1370 1280 1180 1080
9 1670 1560 1440 1320 1490 1390 1280 1180
10 1800 1680 1550 1420 1600 1500 1380 1270
11 1920 1790 1650 1510 1720 1620 1480 1360
12 2050 1900 1750 1600 1830 1730 1530 1450
а : Н = 240
о 550 500 1 465 425 410 380 350 325
3 710 660 610 555 565 520 475 430
4 865 805 745 680 710 650 600 535
5 1010 935 865 790 840 770 710 640
6 1140 1060 980 895 960 885 815 735
7 1270 1180 1090 995 1080 990 910 825
8 1390 1290 1200 1090 1190 1100 1010 910
9 1500 1400 1290 1180 1300 1200 1100 995
1 10 1620 1500 1380 1270 1400 | 1290 1190 1080
' и 1720 1590 1470 1 1360 1500 I 1390 1280 1160
а : й = = 200
2 465 435 405 370 435 290 260 235
3 615 575 530 480 455 415 375 330
4 755 700 645 590 575 525 480 425
5 880 820 755 690 685 630 575 520
6 1000 930 855 780 795 730 665 600
7 1110 1040 950 870 895 825 750 675
8 1220 ИЗО 1050 955 995 915 835 750
9 1320 1230 1140 1040 1090 1010 915 825
10 1420 1320 1220 1120 1180 1090 995 895
И 1520 1410 1300 1190 1270 1170 1070 965
12 1610 1500 1380 1260 1350 1250 1140 1040
13 1700 1570 1460 1330 1430 1320 1210 1100
14 1790 1640 1530 1400 1510 1400 1290 1160
15 1870 1710 1600 1470 1580 1470 1360 1220
16 1950 1780 1660 1530 1650 1540 1420 1280
17 2020 1850 1720 1590 1710 1610 1480 1340
а : Л = 160
2 390 360 335 285 200 175 150 135
3 510 475 435 390 310 280 245 215
4 630 585 535 400 415 375 335 290
5 740 685 630 575 510 4С0 415 365
6 840 780 720 655 595 545 490 435
7 985 865 800 730 680 620 560 500
6 1030 950 880 800 760 695 630 560
_____ ГС Р 0 Д 0 л жен не т а б л. 21 г
я 11 пряжение (1 — Оо
V к ——————
Ирм И = 0 При и 1
1,0 0,9 0,8 0.7 1.0 0.9 0.3 0.7
9 10 11 12 13 14 15 16 17 1110 1200 1280 1360 1430 1510 1580 1660 1730 1040 1120 1190 1260 1340 1400 1470 1540 1600 955 1030 1100 1170 1230 1300 1360 1420 1470 870 985 1000 1060 ИЗО 1190 1250 1300 1350 835 910 985 1060 ИЗО 1200 1260 1330 1390 770 840 910 970 1040 1100 1160 1230 1290 695 760 825 890 945 1000 1060 1110 1160 620 680 740 795 850 ’ 900 950 1000 1050
О X- 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 280 380 475 570 655 730 805 875 945 1010 1080 1140 1210 1270 1330 1390 250 340 440 525 600 675 749 810 875 940 1000 1060 1120 1180 1230 1290 220 305 390 475 550 615 680 740 800 855 910 965 1020 1070 1120 1170 а : й = 200 275 350 425 495 560 620 675 730 780 835 880 930 980 1030 1080 120 85 150 213 280 345 410 470 530 590 650 700 755 810 860 910 955 70 1 130 190 250 305 364 420 475 530 580 630 680 730 780 830 880 55 110 160 210 265 315 365 415 460 510 560 605 650 690 735 775 1 1 45 90 135 180 230 275 320 365 410 450 490 530 570 610 650 685
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 120 190 260 325 385 445 500 555 610 660 710 755 800 845 890 930 ПО 170 230 285 345 400 455 510 560 605 650 695 740 780 820 860 90 145 200 255 305 360 410 455 500 545 590 630 670 710 750 785 а : Ь. ~ 80 125 170 220 270 315 360 400 445 485 525 555 600 640 675 710 = 80 65 95 125 155 185 215 240 270 300 330 360 390 50 75 100 130 155 180 210 235 260 290 315 340 30 50 75 100 125 150 170 195 220 245 265 290 10 30 55 75 95 115 135 155 180 200 220 240
429
Таблица 21.4. Значения нагрузки, при которых
максимальные напряжения равны допускаемому
а : й ) К
Нагрузка д, м вод. ст. при х = 0 Нагрузка д, м вод. ст. при х = 1
1.0 0,9 0,8 0.7 1,0 0,9 0.8 0,7
400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 • 200 ' 180 160 140 120 100 80 8,35 8,52 8,76 9,10 9,50 9,95 10,4 11,0 11,5 11,7 12,3 12,9 13,6 14,3 14,9 15,1 15,1 8,72 9,06 9,40 9,80 10,2 10,6 11,0 11,5 12,0 12,3 12,7 13,3 13,9 14,4 14,7 14,7 14,7 8,40 9,71 10,1 10,5 10,7 11,3 11,7 12,1 12,5 12,9 13,3 13,9 14,3 14,5 14,6 14,4 14,0 10,2 10.4 10,7 11,2 11,6 12,0 12,5 12,9 13,3 13,7 13,9 14,3 14,5 14,5 14,2 13,7 13,2 8,66 9,14 9,65 10,1 10,5 10,9 11,3 11,8 12,5 13,1 13,6 14,1 14,6 15,0 15,4 16,3 19,8 9,72 9,66 10,1 10,5 10,7 11,4 12,0 12,7 13,4 13,8 14,0 14,4 14,7 14,8 15,0 15,6 18,8 10,1 10,4 10,7 11,2 11,6 12,1 12,7 13,4 14,0 14,2 14,3 14,4 14,4 14,3 14,2 14,6 17,9 10,9 11,2 11,5 12,0 12,4 12,9 13,4 14,0 14,4 14,5 14,4 14,3 14,1 13,8 13,6 13,8 16,0
•если она жестко заделанная. Коэффициенты Л и В для первой пластины
лля второй пластины (жестко заделанной)
л2Е
0.75К (-у-)2—13-10-
\ п /
(21.17)
<?а4 (1 — I1'2)
32№
а4
~ 1.4-
л3
В (21.16) и (21.17) напряжение а* — либо то напряжение, которое действует
в смежных с пластиной связях корпуса (распорах) при его общем изгибе, и тогда
надо считать К — 1, либо
♦ Т
°х== Р^+ьй
(21.18)
♦
а
к
_ условное среднее по площади попере.„,огп „
пора Г,., соответствующее общему уснпийт сече,,ия пластин., нн
тощему (< 0) конструкцию «пластина Л? ' Гастягиваю№мч ипвсего ее рас
Определив по (21.14) или (211 б^ппУ ’ У (> 0) Или с*има
делить прогиб ш, и напряжения а” „ а ₽ пбликжснное значение «
бодио оперта, и но формулам (21 Ип <₽°РмУлам (21.8) ес™ с„ледует опре-
заделана. При этом значения вспомоЛЙ"ОЧаю1цим > если ПЛасТина св°-
7л («к Хз <“) берутся из табл. 21 1 телЬ|"« функций т„ Лластина жестко
При а; = 0, с0 = 0. с, = о приближен,,, ,й п 'Х° * <“>•
незначительно отличающиеся от данных табл. РСЗуль^ы. лишь
§ 4. Прямоугольная пластина с ко
4.1. Свободно опертая пластина с неискон» ечным отношением сторон
ствием равномерной нагрузки д. Одночлен^ прХижениТ”КаМИ под «*-
методу П. Ф. Папковича (п. 21.2.1) при XV = 5,п ЛТ ПОЛуче|1ное 110
бическому уравнению а 51п~~Ь~' пРив°Дит к ку-
Л4 / I 1 .
ЕК (-----1_\ з .
64 \ а1 ‘ 64 / аИ
тде сх и о„ средние на кромках соответственно х = 0 (а) и л ал
реактивные напряжения, определяемые формулами У ~ ° (Ь) цепные
. ч Ь- )
4= л2Е
= -Т7-Г
а-
-----г а\\ ‘>
— и - И’
(21.20)
♦ л°-Е
8Ь4
а-
Входящие в них коэффициенты
ЬН
аН
У р
ГУ
(21.21)
— отношения площадей сечений пластины ЬН и аН к
чений Рх и Ру соответствующих стержней-распоров,
мочные напряжения о* и о* найдены из условия прямолинейности сближающих-
ся при изгибе кромок (пластина неразрезная, ячейки между ребрами одинаковы).
При ух = у у = 0 кромки не смещаются, при ух = уу = оо средние на кром-
ках цепные напряжения а* = а* = 0, но на кромках х=0их=а о°^0,
площадям поперечных се-
Реактивные средние кро-
на кромках у = 0 и у ~ Ь о® Ф 0.
Во втором предельном случае данное решение, вообще говоря, требует уточ-
нения, ибо при отсутствии связи неразрезной пластины с ребрами-опорами,
т. е. при отсутствии конструктивных распоров, реактивные кромочные напряже-
ния и о* нулю не равны из-за взаимодействия одинаково изгибающихся
смежных пластин-ячеек. Если же пластина не является неразрезной и свободно
скользит по опорам, то равными нулю будут не только средние напряжения о*,
о*, но и во всех точках кромок цепные напряжения о^,о^. Сами же кромки искри-
вятся в плоскости пластины.
На рис. 21.2 показана зависимость [41 относительного максимального
прогиба
" = (21.22)
ъ а
Ь
квадратной пластины от безразмерного параметра нагрузки
= (21-23>
Уравнению (21.19) при ух = уу = сю отвечает штриховая линия, сплошная
построена по более точному решению С. Леви [4], штрихпунктирная линия
отвечает линейной теории жестких пластин. Заштрихована область эксперимен-
тальных точек, отвечающих несколько искривляющимся кромкам. Видно, что
пластина очень чувствительна к степени закрепления ее кромок в тангенциальной
плоскости.
4.2. Жестко заделанная на опорном контуре пластина с неискривляющимися
кромками под действием равномерной нагрузки д. Одночленное приближенное
решение уравнений Кармана (18.31), полученное по методу П. Ф. Папковича
(п. 21.2.1) при ХУ = 51'п251'п2 ——, приводит к кубическому уравнению [4]
/Л - вч , Г 1 1
(1024 * Р И (28 [ (4а-+ г
I 1 «'Р* ]
(а?-| 4₽')2 ] 32 (а?р-)Ч
^"^11 —Н
+ {тб +V-2)л+(3 (“4 + О +°и - ^=0- <21-24)
в котором
* а" о ,
°х = 3262 (1-|- уг) (I Д- - и2 а И ’ } (21.25)
* _ Зл-Е ф л ' а1
На рис. 21.3 показана следующая из (21.24) зависимость С (п°) в случае
ух = уу= 0 и а= Ь. На рис. 21.3 ----------- 4 5
нижняя сплошная линия отвечает случаю
Ух — Уу = оо, остальные линии имеют
те же значения, что и на рис. 21.2.
Из обоих рисунков видно, что замет-
Г а б л и ца 21.5. Безразмерные прогибы и напряжения
свободно опертой пластины со свободно сближающимися
кромками
7 ах1 °У1 4 ^'1 6А1 °У1
% = 1 = 1,5
2,50 0,109 0,180 0,180 2,50 0,207 0,192 0 302
3,75 0,163 0,272 0,272 3,75 0,309 0,293 0,453
5,63 0,244 0,409 0,409 5,63 0,457 0,442 0,872
8,44 0,361 0,612 0,612 8,44 0,666 0,661 0,981
12,7 0,527 0,906 0,906 12,7 0,9-19 0,967 1,39
19,0 0,753 1,31 1,31 19,0 1,31 1,37 1,90
28,5 1,04 1,82 1,82 28,5 1,75 1,87 2,48
42,7 1,39 2,41 2,41 42,7 2,26 2,49 3,11
64,1 1,80 3,06 3,06 64,1 2,86 3,25 3,77
96,1 2,28 3,76 3,76 96,1 3,54 4,19 4*45
144,2 2,82 4,52 4,52 X = 2
216,2 3,45 5,36 5,36 2,50 0,272 0,181 0,378
%= 1,25 3,75 0,406 0,277 0,563
2,50 0,162 0,192 0,248 5,63 0,602 0,423 0,834
3,75 0,241 0,290 0,371 8,44 0,881 0,643 1,22
5,63 0,358 0,437 0,555 12,7 1,26 0,964 1,74
8,44 0,525 0,653 0,819 19,0 1,76 1,42 2,39
12,7 0,753 0,955 1,18 28,5 2,37 2,02 3,17
19,0 1,05 1,35 1,63 42,7 3,09 2,81 4,05
28,5 1,41 1,83 2,17 X = 3
42,7 1,84 2,39 2,74 2,50 0,332 0,158 0,444
64,1 2,33 3,04 3,35 3,75 0,497 0,242 0,665
96,1 2,90 3,80 3,98 5,63 0,742 0,372 0,995
144,2 3,56 4,72 4,61 8,44 1,10 0,579 1,48
12,7 1,63 0,906 2,18
19,0 2,36 1,41 3,15
4.3. Расчетные таблицы. Таблицы составлены на основе численного решения
в конечных разностях [5], повторены в [2]. Здесь приведены таблицы только для
случая равномерно распределенной по всей площади пластины нагрузки а.
В табл. 21.5 приведены значения безразмерных величин (р = 0,30)
^1
& . _
х1~ 4Е&
а//1 —
4№
(21.26)
в центре пластины (<очка /) со свободно сближающимися кромками в зависимости
от безразмерной нагрузки
дЬ±
(21.27)
при А, а/Ь — 1; 1,25; 1,5; 2,0 и 3,0. Аналогичные результаты
в табл. 21.6 для шарнирно-закрепленной пластины с неподвижными
приведены
в се плоско-
15 Бойцов Г. В. и др.
133
Таблица 21.6. Безразмерные прогибы и напряжения
<7 К’1 ал1 4 ау
2,50 3,75 5,62 8,44 12,7 19,0 28,5 42,7 64,1 96,1 144,2 216,2 0,107 0,158 0,228 0,320 0,435 0,565 0,710 0,869 1,04 1,23 1,44 1,67 0,182 0,275 0,408 0,591 0,832 1,12 1,46 1,86 2,33 2,90 3,55 4,40 0,182 0,275 0,408 0,591 0,832 1,12 1,46 1,86 2,33 2,90 3,55 4,40 0,009 0,020 0,041 0,082 0,150 0,255 0,402 0,607 0,886 1,25 1,71 2,32 0,009 0,020 0,041 0,082 0,150 0,255 0,402 0,607 0,886 1,25 1,71 2,32
2,50 3,91 6,10 9,54 14,9 23,3 36,4 56,8 88,8 138,8 0,156 0,233 0,334 0,458 0,600 0,758 0,933 1,13 1,35 1,59 %== М 0,191 0,293 0,437 0,608 0,850 1,12 1,45 1,86 2,36 3,01 >5 0,252 0,389 0,584 0,841 1,16 1,56 2,04 2,63 3,36 4,29 0,013 0,029 0,060 0,099 0,197 0,318 0,487 0,711 1,04 1,46 0,018 0,040 0,082 0,155 0,267 0,427 0,645 0,930 1,31 1,84
2,50 3,75 0,196 0,278 Х= 1,1 0,188 0,272 0,309 0,453 0,016 0,033 0,028 0,058
сти кромками (р = 0,30).
Дополнительно даны цепные напряжения
а0 Ь2 _ (5®Ь2
х . л-0 У_
4Е& ’ у 4№
(21.28)
возникающие посередине соответствующих кромок.
Табл. 21.7 соответствует жестко защемленной на контуре пластине (р. =
= 0,30), загруженной нагрузкой д= сопз! по всей поверхности; кромки пла-
стины свободно скользят в заделках. Помимо суммарных напряжений в центре
свободно О "=Ртой пластины с „е..оЛВ„Ж|1мчи кромкамн
ч вХ1 п ,
5,62 8,44 12,7 0,379 0,498 0,630 0,380 0,512 0.661 0,641 0,878 1,15 1,49 1,87 2,32 2,87 3,50 0,062 0,108 0,106 0,185
19,0 0,774 0,834 0,175 0,289
28,5 0,931 1,03 0,265 0.150
42,7 1,10 1,27 0,388 0 650
64,1 96,1 1,29 1,50 1,56 1,92 0,555 0,780 1,06 0.915 1.25 1,69
Л = = 2
2,50 3,91 6,10 9,51 0,242 0,341 0,456 0,585 0,167 0,242 0,332 0,415 0,375 0,552 0,774 1,05 1,39 1,80 2.31 2,95 3,76 0,018 0,035 0,063 о.ои 0.082 0,145
14,9 0,728 0,579 0,108 0,211
23,3 36,4 56,8 88,8 0,887 1,06 1,27 1,50 0,747 0,952 1,22 1,58 0,167 0,248 0,348 0,489 0,695 0,372 0,550 0,790 1,11 1,53
Х= з
2,50 0,278 0,140
3,75 0,369 0,189
5,62 0,472 0,247
8,44 0,584 0,316
12,7 0,707 0,395
19,0 0,841 0,495
28,5 0,990 0,618
42,7 1,16 0,771
64,1 1,34 0,962
95,1 1,55 1,20
0,421 I *» 0,053
0,578 — 0,094
0,767 — 0,155
0,987 — 0,234
1,24 — 0,312
1,55 — 0,499
1,91 — 0,678
2,35 — 0,932
2,89 — 1,27
3,57 — 1,71
пластины и оу\ приведены безразмерные изгибные напряжения посередине
кромок
о"Ь2 _ о“Ь2
ои =--------* 0й =-----------.
х 4Е/Г2 ’ У 4Е№
(21.29)
В табл. 21.8 приведены аналогичные данные для жестко защемленной на
контуре пластины с неподвижными в ее плоскости кромками. Напряжения цеп-
ные посередине соответствующих кромок определены по формулам (21.28).
Во всех четырех случаях тангенциальные условия на кромках выполнялись
не интегрально, как в одночленных решениях, приведенных в п. 21.4.1 и 21.4.2,
а точно, насколько это возможно в методе конечных разностей при сетке 8x8
Таблица 21.7. Безразмерные прогибы и напряжения
й ах1 <>х _н
8,44 0,116 К = 0,294 0,294 —0,632 —0,632
12,7 0,173 0,443 0,443 —0,948 -0,948
19,0 0,258 0.667 0,667 — 1,42 —1,42
28,5 0,381 1,00 1,00 —2,11 —2,11
42.7 0,557 1,48 1,48 —3,13 -3,13
64,1 0,796 2,13 2,13 —4,58 -4,58
96,1 1,10 2,95 2,95 —6,60 -6,60
144,2 1,48 3,91 3,91 —9,35 -9,35
216,2 1,92 4,96 4,96 —13,0 -13,0
324.4 2,44 6,12 6,12 —17,9 — 17,9
486,5 3,05 7,41 7,41 —24,3 —24,3
5,63 0,111 1= 1Д 0,194 >5 0,266 —0,452 —0,452
8,44 0,166 0,293 0,401 —0,677 -0,826
12,7 0.248 0,444 0,602 — 1,01 — 1,24
19,0 0,368 0,671 0,900 — 1,52 — 1,84
28.5 0,540 1,00 1,33 —2,26 -2,72
42,7 0,777 1,47 1,92 —3,34 —3,98
64,1 1,09 2,08 2,68 —4,90 —5,72
96,1 1,47 2,84 3,56 —7,10 —8,04
144,2 1,93 3,74 4,53 — 10,2 — 11,1
216,2 2,48 4,81 5,57 — 14,3 — 15,1
324,4 3,12 6,12 6,67 — 19,8 -20,2
5,63 0,134 Л = 1,{ 0,176 0,310 —0,450 —0,632
8,44 0,200 0,267 0,467 —0,674 —0,946
§ 5. Свободно опертая круглая пластина
5.1. Основные уравнения. Уравнения Кармана в цилиндрических коорди-
натах (18.55) в случае нагрузки д, зависящей только от радиуса-вектора г, суще-
ственно упрощаются:
V2?2/7 =
Е (Ри)
г с1г (1г1 ’
А. (
г \ с!г
с/2/7 && \
с/г2 с/г / ’
(21.30)
где теперь
V2?2 =
г с1г
(21.31)
Я?2^ = д +
а^~+
г-тт; г,-»#. <2132>
л- 1,5
12.7 19,0 28,5 42,7 64,1 96,1 144,2 216,2 0,299 0,444 0,651 0,936 1,31 1,78 2,34 3,01 0,407 0,618 0,931 1,38 1,98 2.77 3,79 5,08 0,699 1.04 1,53 2,20 3,04 4,04 5,16 6,38 -1,01 । -1,51 | -2,27 —3,38 -5,01 -7,36 -10,7 —15,2 -1,41 —2.10 -3,11 -4,52 —6,46 —9,01 — 12,4 —16,7
5,63 8,44 12,7 19,0 28,5 42,7 64,1 96,1 0,155 0,232 0,347 0,518 0,767 1,12 1,61 2,25 /. = 0,139 0,212 0,323 0,498 0,770 1,19 1,83 2,76 = 2 0,346 0,519 0,777 1,16 1,72 2,51 3,58 4,96 —0,420 -0,631 —0,946 —1,42 -2,14 —3,21 -4,84 —7,26 -0,697 — 1,04 — 1,56 2,33 —3,47 -5,10 —7,40 — 10,5
4=3
5,63 8,44 0,161 0,242 0,109 0,165 0,355 0 532 — -0,708
12,7 0,363 0,250 0 801 — — 1,06
19,0 0,545 0,383 1 21 — — 1,59
28,5 0,819 0,594 1 82 — —2,40
42,7 1,23 0,^42 2,75 —- —3,60
64,1 1,85 1,52 4*12 — —5,41 —8,12
Умножение уравнений (21.30) на гс1г
интеграл системы [6]
и интегрирование их по г Дает первый
г -г- \ “Г (г) —-----------I ----- I •
<1г 2 \ с!г ) ’
г, по / ч , скм с1Е г
(г) - Л — — = | 9 (Г) г*.
(21.33)
в котором произвольные постоянные интегрирования приняты равными нулю
б/ву б//7
И3'3а ~йг~ = ~д7 ~ 0 при г ~ 0 в силу симметрии ю (г) и Е (г) относительно
центра пластины.
Система (21.33) в общем виде не интегрируется. Получены пццлъ приближен-
ные решения.
Таблица 21.8 Безразмерные прогибы и напряжения
я ах1 оН <0
Х = 1
5,63 0,077 0,197 0,197 0,426 0,426
8,44 0,115 0,298 . 0,298 0,641 0,641
12,7 0,171 0,448 0,448 0,958 0.958
19,0 0,252 0,675 0,675 1,44 1,44
28,5 0,365 0,996 0,996 2,12 2,12
42.7 0,513 1,44 1,44 3,10 3,10
64,1 0,696 1,99 1,99 4,44 4,44
96,1 0,909 2,66 2,66 6,22 6,22
144,2 1,15 3,43 3,43 8,53 8,53
216,2 1,41 4,32 4,32 11,5 11,5
324,4 1,69 5,37 5,37 15,2 15,2
486,5 1,98 6,65 6,65 19,7 8,44
729,8 2,31 8,25 8,25 24,6 24,6
X = 1,25
3,75 0,074 0,129 0,178 0,302 0,370
5,62 0,110 0,195 0,270 0,454 0,555
8,44 0,164 0.295 0,407 0,682 0,835
12,7 0,242 0,443 0,612 1,02 1,25
19,0 0,351 0,656 0,906 1,51 1,85
28,5 0,495 0,946 1,31 2,22 2,71
42,7 0,674 1,31 1,82 3,20 3,87
64,1 0,882 1,75 2,44 4,51 5,40
96,1 1,11 2,27 3,15 6,22 7,39
144,2 1,37 2,86 3,97 8,39 9,92
216,2 1,64 3,59 4,92 П,1 13,1
Х= 1,5
3,75 0,089 0,117 0,210 0,301 0,424
5,62 0,133 0,177 0,316 0,452 0,638
8,44 0,197 0,267 0,476 0,678 0,956
5.2. Пластина радиуса а, шарнирно-закрепленная на круглом жестком кон-
туре и загруженная по всей площади давлением д — соп8{ 19]. Расчетные зависи-
мости (ре = 0,30; а, Л — в см; а — в кгс/см2)
Ф(«) = 3,24 ^ = 0,092^ (А)2;
(1 - Ц‘) аг1 = 0,7а», + 0,866? (^-)2 -/_•(«);]
(1 — р2) а“ = 0,866? (-^-)2/(и); =0,7^-
(21.34)
Порядок расчета. По рациусу а, толщине Л, интенсивности на-
грузки д и птощади распоров ЕР, приходящейся на единицу длины опорного
контура 2л а, вычисляется значение функции Ф (и) и по табл. 21.9 определяют-
ся соответствующее значение аргумента и и отвечающие ему значения функ-
ций ф (и), 7 (и), / (и), {алее по формулам (21.34) вычисляются цепные напря-
жестко заделанной пластин., „
е «еподвижНк.Ми „
(] от в плоскости кромками
VI п
4
1
12,7 19,0 28,5 42,7 64,1 96,1 144,2 216,2 0,288 0,412 0,570 0,758 0,973 1,21 1,47 1,75 0,398 0,582 0,822 Л 1,11 1,46 1,87 2,37 3,00 0,710 1,04 1,47 2,00 2,63 3,34 4,16 5,13 1,01 1,50 2,18 3,12 4,36 5,94 7,91 10,2 1,43 2,10 3,03 4,26 5,87 7,92 Ю,5 13,8
Х = = 2
3,75 5,62 8,44 12,7 19,0 28,5 42,7 64,1 96,1 144,2 0,103 0,153 0,225 0,326 0,459 0,623 0,813 1,03 1,26 1,52 0,093 0,140 0,210 0,310 0,447 0,622 0,838 1,10 1,43 1,85 0,235 0,354 0,530 0,783 1,13 1,56 2,08 2,69 3,39 4,21 0,281 0,422 0,632 0,942 1,39 2,01 2,84 3,90 5,20 6,73 0,468 0,703 1,05 1,56 2,27 3,13 4 50 6,14 8,22 10,9
х = = 3
3,75 5,62 8,44 12,7 19,0 28,5 42,7 64,1 96,1 144,2 0,106 0,158 0,232 0,334 0,467 0,629 0,818 1,03 1,27 1,53 0,074 0,112 0,168 0,248 0,358 0,502 0,682 0,903 1,17 1,51 0,240 0,361 0,538 0,791 1,13 1,56 2,07 2,67 3,37 4,19 0,476 0,713 1,06 1,57 2,28 3,23 4,48 6,11 8,21 10,9
жеиия на контуре о^, приведенные напряжения в центре пластины на „енагр женной поверхности (1-^)ог1, если Гр^оо,и (1-^о~ ес,и Р = с (абсолютно жесткий контур в его плоскости). Если Рр = о, тоФ (и) = 0 и и = V- ю 0.
§ 6. Жестко заделанная круглая пластина
В случае сопз! расчетные зависимости имеют вид [9]
ф, („) = о, 194 (А\2 ( « у . Оо = 0т М у 1
\ с / \ п / гр п \ а I
(1 - р ) 0,2 = О,7с°2 + 0,68? (А)2 Х[ (и);
(I - М2) а“ = 0,68? ( А)2 Л („); = 0(17 X ^у Ч1 (к)
(21.35)
Таб япца 21.9. Значения вспомогательных функции
для расчета круглой свободно опертой пластины
конечной жесткости
и ф(«) Ч(и) х(«) и ф(«) <р(«) Х(«) /(«)
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 0,000 0,282 0,627 1,047 1,542 2,77 4,37 6,40 8,88 11,90 15,43 19,5 1,000 0,945 0,892 0,845 0,806 0,734 0,674 0,623 0,579 0,541 0,507 0,476 1,000 0,942 0,888 0,840 0,797 0,724 0,662 0,609 0,564 0,525 0,491 0,461 1,000 1,005 0,972 0,937 0,904 0,844 0,789 0,741 0,698 0,660 0,627 0,597 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 24,3 29,7 35,8 42,8 50,6 59,5 68,9 79,2 90,5 102,5 116,0 0,451 0,427 0,406 0,387 0,370 0,354 0,339 0,326 0,313 0,301 0,290 0,434 0,410 0,388 0,368 0,350 0,334 0,319 0,305 0,293 0,281 0,270 0,569 0,545 0,522 0,500 0,481 0,464 0,447 0,432 0,419 0,406 0,394
Таблица 21.10. Значения вспомогательных функций
для расчета круглой жестко заделанной пластины конечной
жесткости
и Ф1(«) Х1(«) Л(«) и Фх(«) Ф1(«) 7л(«)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 0,000 0,206 0,423 0,652 0,892 1,143 1,408 1,685 1,975 2,278 2,594 2,923 3,27 3,63 1,000 0,986 0,973 0,960 0,948 0,935 0,923 0,911 0,900 0,889 0,878 0,867 0,857 0,847 1,000 0,992 0,984 0,976 0,968 0,961 0,953 0,946 0,939 0,932 0,926 0,919 0,913 0,907 1,000 1,010 1,009 1,007 1,003 1,000 0,995 0,991 0,986 0,981 0,977 0,972 0,968 0,963 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 4,00 4,38 4,78 5,19 5,62 6,07 6,53 7,00 7,49 8,00 8,52 9,05 9,61 10,19 0,837 0,828 0,818 0,808 0,799 0,790 0,781 0,773 0,765 0,757 0,750 0,742 0,735 0,728 0,901 0,895 0,889 0,883 0,877 0,872 0,867 0,861 0,856 0,850 0,845 0,841 0,836 0,832 0,959 0,954 0,950 0,945 0,940 0,936 0,932 0,927 0,922 0,917 0,913 0,909 0,905 0,902
Обозначения приведены в п. 21.5.2; дополнительно обозначено:
максимальное приведенное напряжение на контуре пластинь! при р =/= ,
_ .,2)о~ — то же при Р = ос. При Рр = 0 Ф1(и)—и—0.
Схема расчета совпадает с описанной в п. 21.5.2. Вспомогательные функции
приведены в табл. 21.10.
§ 7. Абсолютно гибкая пластина (мембрана)
Еспи изгибные напряжения при расчете пластины конечной жесткости ока-
зываются пренебрежимо1 малыми по сравнению с цепными, го пластину можно
отнести к категории абсолютно гибких (мембран).
расчет мембран существенно проще.
I. Например, для прямоугольной мембпа,.,,
подвижными кромками из уравнений (21.19) ₽(г“ 201 Иеискркм’"0Щимися не
; ). при о _ 0 следует при-
ближенная формула для прогиба точки 1(х
а
Ь
4а
4(1 — р2) ца
(3 —р2)(1+??) + 4и)2 ЁН’
(21.36)
по которой с помощью формул (21.20) легко найти цепные напп
ап = ®1- Цепные напряжения, положив
Если прямоугольная мембрана вытянута вдоль л
пию (21.4) при О = 0, д = сона! ее прогиб а, (*) _ папайе ™ о °.гласно УРавне-
ксимальным значением ' 7 “ораоола 2-и степени с ма-
8ф ’ (21.37)
где цепное напряжение
КЕд2
24(1 — р2)
а_\2
/I /
(21.38)
2. Для круглой мембраны на жестком контуре в слу/чпр п — г™ ।
напряжение определяется по формуле (21 38) пои л — 4 51 Цепное
Максимальный прогиб У 1 ’ РИ а ради>се опорного контура.
да2
Шт = ——.
4о?/1
(21.39)
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 1
1. Кац А. АГ Теория упругости. АГ, Гостехтеоретиздат, 1956.
2. Л у р ь е А. И. Теория упругости. АГ, Наука, 1970.
3. Л я в А. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935.
4. М е и з Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. АГ, Мир, 1974.
5. Новожилов В. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958.
К главе 2
1. Кац А. М. Теория упругости. АГ, Гостехтеоретиздат, 1956.
2. Лурье А. И. Теория упругости. М., Наука, 1970.
3. Л я в А. Математическая теория упругости. АГ, ОНТИ, 1935.
4. Мей з Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М., А1пр, 1974.
5. Новожилов В. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958.
К главе 3
1. Л е х н и ц к и й С. Г. Теория упругости анизотропного тела. АГ,
ГИТТЛ, 1950.
2. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., ГИТТЛ, 1957.
3. Л у р ь е А. И. Теория упругости. АГ, Наука, 1970.
4. Л я в А. Математическая теория упругости. АГ, ОНТИ, 1935.
5. Н о в о ж и л о в В. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958.
6. П а п к о в и ч П. Ф. Теория упругости. АГ, Оборонгиз, 1939.
К главе 4
1. Курдюмов А. А., Локшин А. 3., ИосифовР. А. и др.
Строительная механика кораб1я и теория упругости. Т. 2, Л., Судостроение,
1968.
2. Лехницки й С. Г. Анизотропные пластинки. М., I ИТТЛ, 1957.
3. Лурье А. И. Теория упругости. АГ Наука, 1970.
4. П а п к о в и ч И. Ф. Геори I упругости. АГ, Оооронгиз, 1939.
5. Т и .юшен ко С. П., Гудьер Дж. Тория упругости. М , Наука,
1975
К главе 5
1 К V Р Аюы0В А- &•> Локшин А. 3., Иосифов Р. А. и др. Стро-
„яя механика корабля и теория упругости. Т.2, Л., Судостроение, 1968.
птельна> ю м 0 в А. А. О решении в полиномах плоской задачи теории
гости Для прямоугольной анизотропной полосы. — ПММ. Т. IX,
^945, пып. 4.^ и ц к и $ с г Анизотропные пластинки. М. , ГИТТЛ, 1957.
ГНоъе А. И. Теория упругости. М., Наука, 1970.
г’ пт и к О в и И п. ф. Теория упругости. М., Оборонгиз, 1939.
п > с т нов В. А., М о д и г а М. К вопросу определения присоеди-
6‘ ° «ска пои изгибе широкополых балок. — Судостроение, 1971, № 10.
нешюго поясь и
К главе 6
ха11ИкаК°зЙ!РМ.В4-, 1965™ НаПР“ В УПРУГИ.-Ме
напряжений. - МехаНРиКаД-
Киев, Изд-во КГ^ 1965°СНОВЬ' ЗЗДаЧИ М0МСОТН0Й 1ео',"и У"РУГОС™-
К главе 7
1. Барабанов Н. В., Иванов Н. Л., Новиков В В и лп
Повреждения судовых конструкций. Л., Судостооенпе 1477 Ар’
2. Б а р а б а по в Н. В., И в а н о в Н. А₽, Чи’б и р я к И. М., Ш е -
менд ппгттл* ^ Концентрация напряжении в прерывистых связях корпуса
судна. ДВИИ, 1У/О. г ’
3. Барабан о в Н. В., О к и ш е в В. А., Новиков В. В. Кон-
центрация напряжений в прерывистых связях корпуса судна. ДВПИ, 1971
4. Бойцов Г. В., Палий О. М. Прочность и конструкция корпу-
са судов новых типов. Л., Судостроение, 1979.
5. Б р о е к Д. Основы механики разрушения. М., Высшая школа, 1980.
6. Гарбуз В. С. Концентрация напряжений в прерывистых связях
судового корпуса. Л., Судостроение, 1967.
7. М о р о з о в Е. М., Н и к и ш к о в Г. П. Метод конечных элементов
в механике разрушения. М., Наука, 1980.
8. Н е й б е р Г. Концентрация напряжений. М., Гостехиздат, 1947.
9. Н о т т Д. Ф. Основы механики разрушения. М., Металлургия, 1977.
10. П а л у б ы и платформы. Расчет и конструирование узлов корпуса
в районе палубных вырезов. Л., Отраслевой стандарт РС 1023—69, 1969.
11. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. М , Мир,
1977.
12. Разрушение. Математические основы теории разрушения. Т. 2.
Под ред. Г. Либовица. М., Мир, 1975.
13. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий. Киев,
Изд-во АН УССР, 1968. „
14. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., Наука, 1976.
15. Справочник по строительной механике корабля. Т. 1. Под ред.
Ю. А. Шиманского. Л., Судпромгиз, 1958, с. 233 247.
16. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М., Наука,
1974'17. АатосП В. АррПсаБоп о! 1Ье ГтНе Е1етеп1 Ме1Ьо(1 1о РгоЫетз
т Ьшеаг апё ЫопПпеаг ЕгасЬге МссЬатсз “И™’ ’ 1п1еп-
18 А 1 Ь г е с 11 I Р., V а т а (1 а К. Каргй СакиЫюп о! 81ге$$ 1вП
ы1у РасЬге. - Ргос. о! 1Ье А5СЕ, Лоита1 о( Ше 81гис1ига1 Окииоп, 1977,
уо1. 103, р. 377—389.
19. Латаме То1егапГ ПезГ^п НапдЬоок. МС1С—НВ—01, ВаНеПе, Со-
1итЬиз ЕаЬога(опез, 1972.
20. К а г 1 $ з о п А., В а с к 1 и п д Л. Зшптагу оГ 81гсзз 1п1епз11у ЕасГог
Пезщп СгарИз Гог Сгаскз РтапаПп^ Ггот Слгси1аг Но!ез. — ГпГсгпаГюпа! Лоигпа!
оГ РгасГиге, 1978, уо1. 14, Но. 6, р. 585—596.
21. 1 огласку О. е( а1. СгШса! Реу1е\у оГ РгасГиге Апа1уз1з. №уа1
8Ыр КезеагсЬ апд Пеме1ортеп1 СепГег, ВеГйезда, Магу1апд, 1972.
22. Л1 а д д о х 8. Л. Ап апа1уз1‘з оГ РаН^ие Сгаскз 1п Р111с( \Уе1дед ЛотГз.
1пЕ—Лоигпа] оГ РгасГиге, 11, 1975, р. 221—243.
23. Тада Н., Р а г г* з Р., I г\у! п 6. Тке 81гезз Апа1уз1з оГ Сгаскз
НапдЬоок. Бе1 Резеагск СогрогаПоп, Не11егГо\уп, Репп., 1973.
24. ХУезГег^аагд Н. Лк, Веапп# Ргеззигезз апд Сгаскз. — Тгапз.
А8Л1Е, Лоигпа! оГ Арр1. Меск., 1939, уо1. 61, р. А—49.
К главе 8
1. Б и р г е р И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пла-
стичности.— ПЛ1М, Т. 15, 1951, вып. 6.
2. Ильюшин А. А. Пластичность. Лк, Изд-во АН СССР, 1963.
3. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности,
учитывающая остаточные микронапряжения. — ПМЛк Т. 22, 1958, вып. 1,
с. 78—89.
4. Качанов Л. Лк Основы теории пластичности. Лк, Наука, 1969.
5. Кнетс И. В. Основные современные направления в математической
теории пластичности. Рига, Зинатне, 1971.
6. К о й т е р В. Общие теоремы теории упругопластичсских сред. Лк,
ИЛ, 1961.
7. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести.
Лк, Л1ашиностроение, 1975.
8. Н а д а и А. Пластичность и разрушение твердых тел. Лк, ИЛ. Т. I,
1954; Т. II, 1969.
9. Новожилов В. В. О пластическом разрыхлении. — ПЛ1Л1, 1965,
№ 4.
10. О л ь ш а к В., Л1 р у з 3., П е ж и п а П. Современное состояние тео-
рии пластичности. Лк, Л1ир, 1964.
II. Теория пластичности. Под ред. Ю. А. Работнова. Лк, ИЛ, 1948.
12. X и л л Р. Математическая теория пластичности. Лк, ГИТТЛ, 1956.
13. Ходж Ф. Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций.
Лк, Л1ашгиз, 1963.
14. Ч у в и к о в с к и й В. С., Палий О. Лк, Спиро В, Е. Оболочки
судовых конструкций. Л., Судостроение, 1966.
К главе 9
1. К а ч а н о в Л. Лк Теория ползучести. Лк, Наука, 1969.
2. К а ч а и о в Л. Лк, Теория ползучести. — Прочность. Устойчивость.
Колебания. Справочник в 3-х томах. Т. 1. Лк, Л1ашиностроение, 1968, с. 89—ИЗ.
3. Л1 а л и н и н Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести.
Лк, Л1ашиностроение, 1975.
4. Р а б о т н о в Ю. Н., Л1 и л е й к о С. Т. Кратковременная ползучесть.
Лк, Наука, 1970.
5. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. Лк, Наука,
1966.
6. Ч у в и к о в с к и й В. С., Палий О. Лк, Спиро В. Е. Оболочки
судовых конструкций. Л., Судостроение, 1966.
К главе 10
1. А р у т ю и я и П у и.
ГИТТЛ, 1952. • Некоторые вопросы
Блеи
2.
Д Д. Теория линейной
ТСг РИИ ползучести. М.—Л
3- Бугаков II. й. Ползучесть ЗеХХериа^’Л
•’ паука,
1973.
4. Г о л ь д е н б л а т И И
длительная прочность в> машиностроении,? м" ° А Л - Коппов в ,
для
диапазоне. - Нзв. АН СССР, в
6. Екельчик В. С., Рябов В М Об „ ’ ' ’
наследственных ядер в линейных уравнен™ ? Л использовании одного ....
димеров, 1981, № 3, с. 393-404 Уравни,нях вязк°Упругости.ССа
7. Е к е л ь ч и к В. С. Сложный г «-«"ика по-
пластика с учетом ползучести. — Труды ГП п!1"13Отропных пластин из
оболочек и пластинок. М„ НаукаУ 1970 с К°"ф€рс,,ции по теории
8. И л ыо ш и н А. А., П о б е д р , к Р ? ’'
рии термо вязкоупругости. ЛЕ, Наука 1970 ис"овы математической тсо-
9. Качанов Л. М Основы
10. К р и с т с н с с и Р. Введение в теопнт РУШения- Наука, 1971
1974. в те°Рн'° вязкоупругости. М„ Л1„р
11. Крылов В. И., С к о б п я Н С С г
обращению преобразования Лапласа Минск нЛВ^ЧНаЯ КНига по численному
12. Работнов Ю. Н. Ползучесть И техника» 1968.
1966. У элементов конструкций. М.» Наука
Бажанов В. Л
13. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.
М., Наука, 1977.
14. Рейнер 14. Реология. М., Наука, 1965.
15. Рж а н и цын А.» Р. Теория ползучести. М., Изд-во лит-ры по строи-
тельству, 1968.
16. Рябов В. М. О многочленах, возникающих при численном обращении
преобразования Лапласа. — Методы вычислений. ЛГУ, 1981, вып. 12, с.46—53.
17. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М., ИЛ, 1963.
К главе 11
1. Бл ехман И. II.» Мышкис А. Д., П а и о в к о Я. Г. Прикладная
математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев, Наукова думка,
1976.
2. Г а и т м а х е р Ф. Р., Теория матриц. М., Наука, 1967.
3. П о с т н о в В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.
Л., Судостроение, 1977.
4. Чувиковский В. С. Вопросы устойчивости в строительной меха-
нике корабля. Л,, Судостроение, 1971.
К главе 12
1. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы. М., Наука, 1973.
2. Березин И. С., Жидков Н. П. хМетоды вычислений. Т. II.
М., Физматгиз, 1959.
3. Б и д е р м а и В. Л. Применение метода прогонки для численного ре-
шения задач строительной механики. —Известия АН СССР, МТТ, 1967, № 2,
с. 62—66.
4. Б и р г е р И. А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости,
пластичности и ползучести. — Успехи механики деформируемых сред. М., II лука,
1975, с. 64—73.
5. В а л и ш в и л и Н. В. Расчет оболочек вращения на ЭЦВМ. М., Ма.
шиностроение 19/6. Лекции п0 методам вычислений. М., Наука, 1971
7 Г с 'I ь ф а н ц И. М., Локуциевскпй О. В. Метод прогонки дпя
разностных уравнений. — Введение в теорию разностных схем (Годунов С. К
Рябенький В. С.) М., Физматгиз, 1962.
8 Годунов С. Г. О численном решении краевых задач для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. — Успехи математических наук
Т. XVI, М., ГНФМЛ, 1961, вып. 3, с. 171 — 174. * •
9. Г р и г о р е н к о Я. М., М у к о е д А. П. Решение задачи теопи»
оболочек на ЭВМ. Киев, Вища школа, 1979. 1 и
10. Демидович Б. П., М арон II. А. Основы вычислительной мЯ
тематики. М., Наука, 1966.
11. Ильюшин А. А. Пластичность. М.—Л., Гостехиздат, 1947
12. К о р о т к и н Я. И., Постнов В. А., Сиверс Н. Л. Стро
тельная механика корабля и теория упругости. Л., Судостроение, 1968 И
13. Ланцош К- Практические методы прикладного анализа. М * ф
матгиз, 1961. ’’ из’
14. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики. М., Наука 197г
15. М и к е л а д з е Ш. Е. Новые квадратурные формулы и их при тоже
ния к интегрированию дифференциальных уравнений.—ДАН. Г 61 Юд»
№ 4, с. 613—615. ’
16. Пали й О. М. .Метод динамических возмущений для численного реше
ния статических задач строительной механики.—Прочность судов транс
портного флота (Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова). Л., 1969, вып 251
с. 3—9.
17. Пали й О. М. О рациональных путях использования ЭВМ в расчета
прочности конструкций судового корпуса. — Проблемы прочности судов По*
ред. В. С. Чувиковского. Л., Судостроение, 1975, с. 151 —181. ’ °Д
18. П о с т н о в В. А. Численные методы расчета судовых констпукп **
Л., Судостроение, 1977. рукции.
19. Фео досьев В. И. Об одном способе решения нелинейных задач
устойчивости деформируемых систем. — ПММ, 1963, вып. 2, с. 265______274 А
20. Ф и л и н А. П. Приближенные методы математического анализ
используемые в механике твердых деформируемых тел. Л., Изд-во литом 3’
строительству, 1971. " р 1 по
21. Ч у в и к о в с к и й В. С. Численные методы решения одномерных задач
строительной механики корабля. Л., Судостроение, 1976. *
22. Ч у в и к о в с к и й В. С., Палий О. М., Сп и ро В. Е. Оболочки
судовых конструкций. Л., Судостроение, 1966. " 1
К главе 13
1. Алгоритмы и программы решения задач механики твердого тепа
Под ред. Я. М. Григоренко. Киев, Наукова думка, 1976. * ’
2. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы. М., Наука, 1973.
3. Б и р г е р И. А. Некоторые общие методы решения задач теории та-
стичности.—ПММ. Т. 15, 1951, вып. 6.
4. Б и р г е р И. А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости
пластичности и ползучести. — Успехи механики деформируемых сред М ’
Наука, 1975, с. 61—73. р ’’
5. В а л и ш в и л и Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВА1
М . Машиностроение, 1976.
6. Григоренко Я. М., М у к о е д А. П. Решение задач теории обо-
лочек на ЭВМ. Киев, Вища школа, 1979.
7. Демидович Б. П., М а р о н И. А. Основы вычислительной ма-
тематики. М., Наука, 1966.
8. Ильюшин А. А. Пластичность. М.—Л., Гостехиздат, 1947.
9. Капустин С. А., Коротких Ю. Г. О применении метода после-
ьных на! ружений и сходимости метода переменных параметров упру-
446
гости. — Методы решения задач улм,™
1969. вып. 89, с. 62—66. (учен У аРУ пСТи н Частичности г
10. Постнов В. А. Числеиш'1рГ2РЬКОВСК0Г0 ун-та) Ср' 'Меха"ика>
Л., Судостроение, 1977. ’е мет°ДЫ расчета №Лп»
И. Стриклин Дж„ Хейслеп о л Инструкций,
дов решения задач строительной механики В" Р и 3 е м а н В п,
свойствами материала и (или) геометрией ’ Ладинейность котпп„ ,,ка мс™-
1973, № 3, с. 45-56. Стриеи - Ракетная техника РЫХ связа"3 со
12 Стриклин Дж., Хейспеп в „ ХНИКа " ^'онтвтика
корректирующихся начальных значений Р и 3 е ” а и В МРт
Ц„й. - Ракетная техника „ космонавтика. (етГ №°Д меха"«е ?онс?рук
’ с. 213—215 ю
К главе 14
1. В арвак П. М.» Варвак Ч П м
строительных конструкций. М„ Стройиздат. 1977°* “Т°К ” ЗЗДачах Расчета
З’. Г о д у и о в С. К..’ р\К бе н"ь к и Й^В Наука, 1971
пых схем. М.. Физматгиз, 1962. В. С. Вш-чо»--
4- г С Н к ° я- м- М У К О е д
лочек на ЭВМ. Киев, Вища школа, 1979
5. Д ем и дов ич Б. П., М а’п о и ’м л Ль
матики. М., Наука, 1966. • Р И. А. Основы
В. С. Введение
в теорию разност.
А. П. Решение
задач теории обо-
вьтчислителыюй мате-
6. К а н т о р о в и ч Л. В., К р ы лов
высшего анализа. М.—Л., Физматгиз, 1962 ..ч'^иженные методы
7. К о р и и ш и и М. С. Нелинейные задачи теории пчаст..., .. „
оболочек и методы их решения. М., Наука, 1964 Р пластин и пологих
8. О г и б а л о в П. М., Колтунов М л
МГУ, 1969. У О$олочки и пластины.
9. Постнов В. А. Численные
Л. Судостроение, 1977.
10. Рихтмайер
методы расчета судовых конструкций.
,, м- ?п’-7оМ° Р т0 н К* Разностные методы решения
краевых задач. М., Мир. 1972.
11. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., Наука 1978
12. У г о дч и к о в А. Г., Дл у г а ч М. Ч., С т е п а н о в А.’е. Реше-
ние краевых задач плоской теории упругости на ЭВМ. М., Высшая школа, 1970
13. Ф и л и н А. П. Приближенные методы математического анализа,
используемые в механике твердых деформируемых тел. М,— Л., Изд-во лит-ры
по строительству, 1971.
К главе 15
1. А б о в с к и й Н. П.» А и д р е е в Н. П., Д е р у г а А. П. Вариа-
ционные принципы теории упругости и теории оболочек. М., Наука, 1978.
2, А х чезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. М., Гос-
техиздат, 1955.
3. Б у б и о в И. Г. Отзыв о сочинениях проф. С. П. Тимошенко, удо-
стоенных премии им. Жуковского.—Сборник института путей сообщения.
Спб., 1913, вып. 81, с. 13—36.
4. Галимов К. 3. К вариационным методам решения задач нелиней-
ной теории пластин и оболочек. — Изв. Казанского филиала АН СССР, 1956, № 10.
5. К о ч а н о в Ю. П. Об одном способе решения краевых задач строи-
тельной механики корабля. — Судостроение и морские сооружения. Изд-во
Харьковск. ун-та, 1972, вып. 12, с. 77—82.
6. Курант Р., Г и л ь б е р’т Д. Методы математической физики.
Т. I. М.—Л., Гостехиздат, 1951.
7. Л а н ц о ш К. Вариационные принципы механики. М., Мир, 1965.
8. Л е й б е н з о н Л. С. Вариационные методы решения задач теории
упругости. М., Гостехиздат, 1943.
9. М и х л и н С. Г. Численная реализация вариационных процессов.
М Наука, 1966.
10. Ч и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике.
.4 . Наука, 1970.
11. Новицкий В. Теория упругости. М., Мир. 1975.
12. Новожилов В. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958.
13. Оги ба лов П. М., Колтунов ЛЕ А. Оболочки и пластины.
МП . 1969.
11. П а п к о в и ч П. Ф. Теория упругости. Л., Оборонгиз, 1939.
15. Пап кович П. Ф. Строительная механика корабля. Ч. II. Л.,
Судпромгиз, 19-11.
16. Постнов В. \ Численные методы расчета судовых конструкций.
Л., Судостроение, 1977.
17. Пратуссвич Я. И. Вариационные методы в строительной механике.
ЛЕ, Гостехиздат, 1918.
18. Р е й с с и е р Э. О некоторых вариационных теоремах теории упру-
гости. — Проблемы механики сплошной среды. (Сборник, посвященный 70-
летию со дня рождения акад. Н. И. Мусхелишвили). ЛЕ, АН СССР, 1961.
19. Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем.
Л., Изд-во Ленинградск. ун-та, 1978.
20. Суслов В. П., Кочанов Ю. П., С п и х т а р е н к о В. Н.
Строительная механика корабля и основы теории упругости. Л., Судостроение,
1972.
21. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости. —Меха-
ника. (Сборник переводов). М., 1969, № 5, с. 124 —138.
22. Т р е ф ф ц Е. Математическая теория упругости. ЛЕ, Гостехиздат, 1932.
23. Филин А. П. Приближенные методы математического анализа,
используемые в механике деформируемых тел. Л., Сгройиздат, 1971.
24. XV а з Ь 1 ? 1 К. УапаНопа! Ме1йос18 т Е1а$НсИу апс! Р1а$Нс11у. —
\. У., Рег^агпоп Ргезз, 1975.
К главе 16
{.Березин И. С., Ж и д к о в II. П. Методы вычислений. Т. II., М.
Физматгиз, 1959.
2. В л а с о в В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике.
ЛЕ—Л.. Гостехиздат, 1949.
3. В л а с о в В. 3. Строительная механика корабля тонкостенных про-
странственных систем. Л1., Госстройиздат, 1949.
4. Канторович Л. В., К р ы л о в В. И. Приближенные методы выс-
шего анализа. М.—Л., Физматгиз, 1962.
5 Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. ЛЕ,
Наука, 1970.
6. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.
Л., Судостроение, 1977.
7. С л о б о д я н с к и й ЛЕ Г. Способ приближенного интегрирования урав-
нений с частными произво ными и его применение к задачам теории упругости.—
ПЛЕЧ. Т. 3, 1939, вын. 1, с. 75—82.
К главе 17
1. А р г и р и с Дж. Современные достижения в методах расчета конструк-
ций с применением матриц. М., Стройиздат, 1968.
2. Б у р м а и 3. И., Лукашенко В. И., Тимофеев М. Т. Рас-
чет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с при-
менением ЭЦВЧ. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1973.
3. В и л и п и л ь д Ю. К-, X а р х у р и м И. Я. Расчет упругих систем
по 1ето’:у конечных эцементов. Вып. 1—108. М.. Гипротис, 1969.
4. Городсц к и й А. С. Численна
;;г»..Сох"Г“,"“ .............;
'5. Городецкий А. С. Вычисли™ - в’ ЬуДивель|1ик,
тельных конструкций на ЭВМ «Мипск-32» п Ыи комп-чекс для
проектирования, 1976, вып. 9. ~ Организация, меДЛЯНечета стрОи.
г 6. 3 е н к е в и ч О. Метод конечных =„ технология
М., Мир 1975. °Неч"ы* элементов в технике. Пер с я
7. Масленников Л. М Метол и Р' ’1гл-
п0 теории упругости. Под ред. П. М. Вапвайя^Т'! Тентов - Сипя»
иик, 1973. ъаРвака и А. ф. Ряб08а к СпРДвоЧНик
8. Метод суперэлементов в расчетах ‘ Ьуднвель-
стпов, С А. Дмитриев, Б. К. Елтышев, А А Ро,е"ерных сооружений /в л п
9- МЧрм° Р 9 расчета «пневыхсистем Л" Суд4Хе
зеванием ЭВМ. В 2-х частях/Д. В. Александров Б Яп" " оболочек с Й'сл
““Гб. п "с „й”‘те ’ "н ша“-:
...I97?,„с' '>-»«-
' и’*°п"Р?"б “’в'А X »|СТЮ.«Л.
12. Постнов В. А., X а р х у п и м и а м
’Тз'Те ™
М.» Стройиздат, 1971. дач стР°ительнои механики на ЭВМ
14. Р о з и н Л. А. Основы метода конечных- *„л
Л., Изд-во Лепинградск. политехи, ин-та 1979* лсме,1ТОв в теоРии упругости.
15. Р о з и и Л. А. Стержневые сигтДпл
Л., ЛГУ, 1976. истемы как системы конечных элементов
16. Р о с т о в ц е в Д. М. Расчет сложных пям <- „
мещепии в матричной форме. Л., ЛКИ, 1976 помощью метода пере-
конструкций корпуса судаа.^ Л^л’ки"’’'^^1071 Расчета прочности стержневых
[97918. С е г е р л и и д Л. Применение метода конечных элементов. М„ Мир,
шгализа. - Расчету других коистружциГ“и™ользоваЙйм Э^ГпиТИЧеСК°Г°
ПОД ред. А. П. Филина. Л., Судостроение, 1974. В' ' П ₽' с а,,гл-
Мир, 197бУ Р 6 И Г Г” Ф И К с Д ж‘ Теория метода конечных элементов. М.,
21. А г а 1 <1 з е п Р. О. Рогеп Р лт ч т
из1п§ 8иреге1етепК Тйе 8Е8АМ — 69 81гнсй’ ~ СлпГ п™ е ,Мс^Ю(1
о! 51нр ЗегиМ Апа1У51з апН Оез1§п Вегк1еу Цпк-егмЦ- оГсаШогпи.'^ЭТО3
ЗоЬп ШШеу, 1975 К’ Н’ ® Е 1етеП‘ ЛИЬо<1 {ог Еп^неегэ. - Д. У.,
г1п1з231962А№Т12^ А М Сотри1ег Рго8гат *°г 51гнс1ига1 Апа1у813. - 5АЕ Ргер-
\ а Й а 1 К., Рике Н. бепега! Ригрозе Рго^гат о! р!апе
8йезз Апа1уз18 Ьу (шЧе Е1стсп1 Л1е11юс1 апс! Из АррПсаИоп. — 1Н1 Еп§1пееппй
1<еу., 1972, уо1. 5., Мо 1.
Р г х е щ 1* е п 1 е с к 1 Л. 8. Ткеогу о! та!г1х 81гис(ига1 Лпа1уз1з. — X. У.,
Мсбгаху. — 11Ш Воок Сотрапу, 1968.
к главе 18
1. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика.
М-, Машиностроение, 1977. гпгтрхичпат 1953
2. Б у б и о в И. Г. Труды по теории пластин. М. Гостехи д а
3. Воль мир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., Гостехиздат,
1956.
4. Курдюмов А., Локшин Х.З., Иосифов Р. А. и др. Стро-
ительная механика корабля и теория упругости. Г. 2. Л., Судостроение, 1968.
5. П а п к о в и ч П. Ф. Труды по строительной механике корабля. Т. 3.,
Л., Судпромгиз, 1962.
6. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. Т. 1. Под ред.
И. А. Биргера и Я. Г. Паповко. М„ Машиностроение, 1968.
7. Суслов В. П., Кочанов Ю. П., Спихтаренко В. Н.
Строительная механика корабля и основы теории упругости. Л., Судостроение
1972.
8. Тимошенко С. П.. В о й повский - Кригер С. Пластинки
и оболочки. М., Физматгиз, 1963.
К главе 19
1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М., Физ-
матгиз, 1967.
2. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М
Наука, 1974.
3. Вайнберг Д. В., В а й и б е р г Е. Д. Пластины, диски, балки-
стенки. Киев, Госстройиздат УССР, 1959.
4. В о р о в и ч И. И. Общие проблемы теории пластин и оболочек. Труды
VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М., Наука, 1966.
5. Г а л е р к и н Б. Г. Упругие тонкие плиты. М., Госстройиздат, 1933.
6. Г о л ь д е н в е й з е р А. Л. Теория упругих тонких оболочек. Изд
2-е. М., Наука, 1976.
7. Гр и гол юк Э. И., С е л е з о в И. Т. Неклассические теории коле-
баний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники. Механика твердых
деформируемых тел. Т. 5. М., ВИНИТИ, 1973.
8. К у р н а е в В. М. Расчет ортотропных пластин с учетом поперечного
сдвига. ЛКИ, 1976.
9. Л е х н и ц к и и С. Г. Анизотропные пластинки. М., ГИТТЛ, 1957.
10. П а п к о в и ч П. Ф. Строительная механика корабля. Ч. II. Л., Суд-
промгиз, 1941.
11. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 1. Под ред.
И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М., Машиностроение, 1968.
12. С и в е р ц е в И. И. Давыдов В. В., Маттес II. В., Т р я -
п и н И. И. Учебный справочник по прочности судов внутреннего плавания.
М., Изд-во МРФ СССР, 1950.
13. С о л о м е н к о Н. С., А б р а м я и К. Г., Сорокин В. В.
Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. Л., Судострое-
ние, 1967.
14. Спр авоч н и к по строительной механик корабля. Т. 2. Под ред.
Ю. А. Шиманского. Л., Судпромгиз, 1958.
15. С п р а в о ч и и к по теории упругости. Иод ред. П. М. Варвака и
А. Ф. Рябова. Киев, Будивельник, 1971.
16. Т а р н о п о л ь с к и й 10. М., Розе А. В. Особенности расчета
деталей из армированных пластиков. Рига, Зинагне, 1969.]
17. Т и м о ш е н к о С. П., В ой и о в с к и й - К р и г е р С. Пластинки
и оболочки. АГ, Физматгиз, 1963.
18. Шиманский Ю. А. Изгиб пластин. Л.—М., ОИТИ, 1934.
19. Янке Е.» Эм де Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Изд. 2-е,
М., Наука, 1968.
20. Р 1 1 к е у XV. И., С 11 а п я Р. У. Мос1егп ГоытнПаз Гог в! а Нез апё с!у-
лапнез. МсСгаху—НП1 Воок Согпрапу. И. У., 1978
К главе 20
1. Пап ко вич П. Ф. Строительная механика корабля. Ч. II. Л., Суд-
промгиз, 1941.
2. Папкович П. Ф Труды по строительной механике корабля. Т. 3.
Л., Судпромгиз, 1962.
3. Сивер пев И. И., Дав,,„„ „ -
нии И. И. Учебный справочник го ппА в В' в- Матт
№д-во МРФ СССР. 1950. П0 "Юности судов вн^'' В., Т „
4. Тимо ш ей ко с. 17., Войн У Р 0 ПЛавания ₽м
и оболочки. М., Физматгиз, 1963. СКий'КригСп г ' ”
" Остинки
К главе 21
1. Бубнов И. Г. Тоучм пл
2. Вайнберг Д. В Сипая™. Те°РИи пластин. М Гл
баниям пластай. Киев, Будивельник 1973"° Проч"ос™. Усго^ХТ^’ ’953-
3. В л а с о в В. 3. Общая теооияАк МоСти „ коле.
4. В о л ь м и р А. С. Гибкие пластины°^К>М'’ Госте*издат |94С1
5. Корнишин М. С И о а « к » и оболочки ГИТТп’ .тй?*
„ели. М„ Наука, 1968. - Исанбаева Ф. С. Гибк. ™-'9на6-
6. П а и к о в и ч П. Ф Ствоитс^,. "детины „ па.
промгиз, 1941. • троитадЫ1ая механика корабля Ч II п г
7. Прочность. Устойчивого V *’ Суд'
ред. И А. Биргера и Я. Г. Паповко 'мК°МашИЯ' Справоч‘"|к. Т 1 Плп
8. С о ло м е и к о Н. С., А б р а м я I, к ?"°гТроение- >968. ' Под
ность и устойчивость пластин и оболочек судового’^р” Р ° Кп« н ГВ- в- Проч-
9. С и р а в о ч и и к по строитечьной ' УДОСтрое|1ие’
Ю. А Шиманского. Л., Судпромгиз, 1958 аинке к°Рабля. Т. 2. Под ред
Ю. Т и м о ш е н к о С. П., В о й н о в г ••
И оболочки. М., Физматгиз, 1963 Кии-Кригер С. Пластинки
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов............................................................ 5
РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ ... 7
Основные обозначения ......................................• ... 7
Глава 1. Деформация................................................... 9
§ 1. Перемещения. Тензор деформации.............................. 9
1.1. Относительные удлинения (10). 1.2. Углы сдвига (11). 1.3. Преобра-
зование компонентов тензора деформации при повороте координатных
осей (11).
§ 2. Главные значения и главные направления тензора деформации 12
§ 3. Малые удлинения, углы сдвига и углы поворота. Классиче-
ские (линейные) уравнения теории упругости..................... 13
3.1. Малые удлинения и сдвиги (13). 3.2. Малые удлинения, сдвиги и
углы поворота (14). 3.3. Уравнения сплошности линейной теории упру-
гости (15).
§ 4. Девиатор деформации. Интенсивность деформации.............. 15
§ 5. Криволинейные координаты .................................. 16
5.1. Относительное удлинение (16). 5.2. Углы сдвига (17). 5.3. Цилиндри-
ческая и сферическая системы координат (17).
Глава 2. Напряжения .................................................. 18
§ 1. Тензор напряжений.......................................... 18
1.1. Компоненты напряжений и тензор напряжений (18). 1.2. Компо-
ненты напряжений в произвольной площадке. Уравнения равновесия
элементарного тетраэдра (19). 1.3. Преобразование компонентов напря-
жения при переходе к новым координатным осям (20).
§ 2 Главные значения и главные направления тензора напряже-
ния. Наибольшие касательные напряжения........................... 20
§ 3. Уравнения равновесия при малых удлинениях и сдвигах ... 20
3.1. Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда (21). 3.2. Урав-
нения равновесия элементарного тетраэдра (23).
§ 4. Уравнения равновесия при малых углах поворота. Уравнения
равновесия линейной теории упругости ............................ 24
4.1. Уравнения равновесия при малых углах поворота (2 1). 4.2. Урав-
нения равновесия линейной теории упругости (21).
$ 5 Девиатор напряжения. Интенсивность напряжений
? 6 уравнения равновесия объемного элемента в ортогональных
* ’ криволинейных координатах...................._
п I Уравнения равновесия при малых удлинениях и сдвигах (чи
6 2 Линейные уравнения равновесия для различных систем криволи-
нейные координат (28).
26
Глава 3. Потенциальная энергия деформации
Закон Гука. Схемы решения задач '
§ I. Потенциальная энергия И" УП₽УГОСТИ . .
§ 2. Обобщенный закон Гука ' ' ' ' ‘ ‘ .
”Д^ЬН0 упРУги* тел.
2.1. Материалы с одной плоскостью упругой ‘
риалы с тремя взаимно перпендикулярными илпскпУЛ" (30) 2'2' Мат<>
метрии (ортотропные тела (30). 2.3. Трансверсалы^ УПругой
2.1. Изотропные тела (31). 2.5. Криволинейная анХропм <3‘’
§ 3. Схемы решения задач теории упругости
3.1. Линейные уравнения равновесия в перемещениях о' * *
пенные уравнения сплошности в напряжениях (упавпри,,] г ’ 3'2, Ли’
Митчелла) в декартовых координатах (35). 3.3 Основи иЛ Б„ Трами~
упругости (35) ыс 3аДачи теории
Глава 4. Плоская задача .............................
§ 1. Плоская деформация ......................
1.1. Основные зависимости для плоской деформации в декартовых ко-
ординатах (3/). 1.2. Основные зависимости для плоской деформации
в полярных координатах (39). деформации
§ 2. Плоское напряженное состояние (обоощенное плоское напря-
женное состояние) ............................. 1
§ 3. Функция напряжения.........................
3.1. функция напряжения в декартовых координатах (4*>) 3 2 Функция
напряжения в полярных координатах (13). 3.3. Граничные условия чтя
функции напряжения (44).
Глава 5. Некоторые решения плоской задачи...........................
§ 1. Решение плоской задачи для прямоугольной пластины в по-
линомах и тригонометрических рядах............................
1.1. Решение в полиномах (45). 1.2. Решение в тригонометрических
рядах (47). 1.3. Редукционные коэффициенты для поясков широкополых
балок (50).
§ 2. Решение в полярных координатах..........................
2.1. Напряжения и перемещения в круговом кольце при действии вну-
треннего и наружного давлений (рис. 5.3) (51). 2.2. Чистый изгиб плос-
кого кругового бруса (рис. 5.4) (52). 2.3. Изгиб плоского кругового бруса
силой, приложенной к свободному концу (рис. 5.5) (53). 2.4. Сосредо-
точенная сила, действующая в неограниченной изотропной плоскости
(рис. 5.6) (53). 2.5. Сосредоточенная сила, действующая ни кромку изотроп-
ной полуплоскости (54). 2.6. Сосредоточенная сила, действующая в изо-
тропной полуплоскости, направленная перпендикулярно к кромке и при-
ложенная на расстоянии а от последней (рис. о,9) (55). 2.7. Сосредото-
ченная сила, действующая в изотропной полуплоскости, направленная
параллельно кромке и приложенная на расстоянии а от последиеи
(рис. 5.10) (56).
§ 3. Чистое кручение призматических стержней..................
3.1. Основные зависимости (58). 3.2. Стержень> э^иптнческого «чей и я
(59). 3.3. Стержень прямоугольного сечения (60). 3.4 Стержеиь д
связным сечением, составленным из тонких многосвязиым
ближсинос решение) (61). 3.5. Тонкостенный стержень с многосвяз
сечением (61).
Глава 6. Моментная теория упругости................................
§ 1. Основные зависимости плоской задачи моментной теории 5 пру
гости .....................................................
29
29
30
33
36
36
40
42
45
45
50
58
62
1 1. Уравнения равновесия (63). 1.2 Связь между напряжениями, де-
формациями в кривизнами (63). 1.3. Уравнения совместности (64). 1.4. Фун-
кции напряжений (65). 1.5. Граничные условия (65). 1.6. Полярные ко-
ординаты (66).
Глава 7 Концентрация напряжений ....................................... 66
§ 1 Основные определения. Коэффициент концентрации напря-
жений. Основные виды деформации пластин с отверстиями и
коэффициенты концентрации........................................ 67
§ 2. Виды концентраторов и значение оценки концентрации напря-
жений ........................................................... 68
§ 3. Концентрация напряжений у отверстий в бесконечной пластине 69
3.1. Одноосное растяжение бесконечной пластины с отверстием (69).
3.2. Чистый изгиб бесконечной пластины с отверстием (71) 3.3. Чистый
сдвиг бесконечной пластины с отверстием (/1). 3.4. Бесконечная пла-
стина с рядом одинаковых круглых и квадратных отверстий (71). 3.5. Бес-
конечная пластина с рядом одинаковых круглых отверстий при сдвиге
§ 4. Концентрация напряжений у отверстия в полубескопечной
пластине. Круглое отверстие....................................... 73
§ 5. Концентрация напряжений у отверстий в пластине конечной
ширины............................................................. 73
5.1. Отверстие в растянутой пластине конечной ширины (73). 5.2. Ряд
одинаковых квадратных отверстий в растянутой пластине конечной
ширины (73).
§ 6. Подкрепление пластины у отверстий. Круглое отверстие ... 75
§ 7. Коэффициент интенсивности напряжений.......................... 76
7.1. Определение понятия коэффициента интенсивности напряжений (77).
7.2. Общие приемы определения коэффициентов интенсивности напря-
жений (79).
§ 8. Коэффициенты интенсивности напряжений в простейших за-
дачах .............................................................. 81
8.1. Полубесконечная пластина с трещиной на свободной кромке, растя-
гиваемая вдоль кромки (81). 8.2. Пластина конечной ширины (полоса)
с центральной сквозной трещиной, растягиваемая равномерно распреде-
ленными усилиями (81). 8.3. Полоса с боковыми симметричными тре-
щинами (81). 8.4. Растягиваемая полоса с трещиной на одной продоль-
ной кромке (82). 8.5. Полоса с трещиной на растянутой кромке при
чистом изгибе (82). 8.6. Полоса с односторонней трещиной, изгибаемая
сосредоточенной силой (82). 8.7. Стандартный компактный образец для
испытаний на растяжение (82). 8.8. Пластина под действием усилий,
лрило енных к поверхностям трещины (83). 8.9. Трещины у круглого
отверстия в бесконечной пластине (83). 8.10. Влияние формы фронта
поверхностных трещин (84). 8.11. Поверхностная трещина в тонкой
пластине (84).
§ 9. чет влияния пластической деформации у вершины трещины
при расчетах коэффициентов интенсивности напряжений ... 85
Глава 8. Теория пластичности ........................................ 87
§ 1. Механические свойства материалов при одноосном напря-
женном состоянии................................................. 88
1.1. Одноосное растяжение образца (88). 1.2. Разгрузка образца (89).
1.3. Вторичное нагружение. Наклеп (89). 1.4. Истинная диаграмма растя-
жения (90). 1.5. Эффект Баушингера (90). 1.6. Влияние скорости на-
гружения (90).
§ 2. Математическое описание диаграммы растяжения материала 91
§ 3. Простейшие примеры расчета стержней и балок в упруго-
пластической области ............................................. 92
§ 4. Условия текучести материала.............................. 94
4.1. Условия текучести для объемного напряженного состояния (94).
4.1. 1. Критерий Треска—Сен-Венана (95)'4.1.2 Критерий Гу-
бера Мизеса (95).
4.3. Условия текучести Трсска^Сен-Веиан . и г х
ского напряженного состояния (а, = 01 л * Убера-мн,ег_ »
анизотропного материала (96). ’ (Л’> 4-3. Уеноввс ™о-
§ 5. Упрочнение материала
5.1. Изотропное упрочнение (97) ' ' ' ' ' •
5.1.1. Энергетическое условие
нения Одквиста (99). 5.1.3 Гипотез-! ЕННЯ 51-2- Уследи
ловие упрочнения для орто^роп^о м^‘°Й кР«вои» (99?%ТГГ*
5.2. Анизотропное упрочнение изотропного ,/Л“ала ’ Ус’
терки нагружения и разгрузки (100). материала (99). 5.3. Кри.
§ 6. Простое и сложное нагружение Соогипгт-
пря гений и деформаций для случая ппОстпвД“жТ°ров ,|а-
простого нагружения.............. стои реформации и
§ 7 Уравнения пластического состояния........................
7 1. Ассоциированный закон течения (101) 7 9т
7.3. Теория малых упругопластических деФопмяпиЭТ 1ечс,1ИЯ О0|).
теория) (I 01). 7.4. Области применения теорий^ пластичности'(То")ННая
§ 8. Разгрузка. Остаточные напряжения н деформзпш,
§9. Примеры использования деформационной теории и теоп,.,;
течения. Сопоставление численных результатов Р
9.1. Деформационная теория пластичности (103) 9 9 т₽пп.«о
ского течения (104) Ь . . 1еория плвстиче-
100
101
102
103
§ 10. Метод последовательных приближений для ре1давдя ,,1Я„
теории пластичности ...................... 1 ия задач
10.1. Теория пластического течения (103). Ю.2 ПеЛопмя.игА»
пластичности (107). 7 ц / Деформационная теория
§ 11. Вариационные принципы в теории пластичности.
11.1. Вариационные принципы в деформационной теории пластичности <1 оч%
11.1.1. Принцип возможных перемещений (108) 11 1 2 Пт.ш ,т
возможных напряжения (108). * р цип
11.2. Вариационные принципы в теории течения (109) Ц > 1 Поичпмп
возможных приращений перемещений (109) П 2 2 ‘ Ппиипип
возможных приращений напряжений (109) ' ’ ‘
Глава 9. Ползучесть материалов................................
§ 1. Ползучесть металлов.............................
1.1. Кривая ползучести (110). 1.2. Обратная ползучесть (ПО). 1.3. Пре-
дел ползучести (111). 1.4. Длительная прочность (111).
§ 2. Технические теории ползучести ......................... III
2.1. Теория течения (111). 2.2. Теория старения (113). 2.3. Теорняупроч-
нения (114). 2.4. Метод решения задач теории ползучести (115)
Глава 10. Ползучесть неметаллических материалов....................
§ 1. Линейные уравнения ползучести...........................
1.1 Уравнение Больцмана (116). 1.2. Ядра ползучести (117). 1.3. На-
следственная теория старения (118). 1.4. Влияние температуры на пол-
зучесть (119).
§ 2. Расчет элементов конструкций...........................
2.1. Уравнения ползучести для сложного напряженного состояния (120).
2.2. Методы решения задач (121).
§ 3. Длительная прочность ..................................
3.1. Вязкое разрушение (124). 3.2. Хрупкое разрушение (124).
РАЗДЕЛ II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И СГРОИТ1 -льном М1 ХЛНИКИ КОРАБЛЯ............................... 125
Г лава 11 Основные этапы расчета деформируемых тел Краткие сведе-
ния о матрицах................................................... 126
§ 1. Основные этапы исследования поведения деформируемых тел 126
1.1. Построение физической модели (126). 1.2. Построение математиче-
ской модели (128). 1.3. Метод исследования математической модели и ана-
лиз полеченного результата (128).
§ 2. Основные сведения о матрицах и матричных операциях . . . 129
Глава 12. Методы решения одномерных линейных задач строительной
механики ......................................................... 131
§ 1. Матричная форма записи основных уравнений, описывающих
краевые одномерные задачи строительной механики .... 131
§ 2. Метод начальных параметров.............................. 133
2.1. Первый вариант метода начальных параметров (133). 2.2. Второй
вариант метода начальных параметров (13 1).
§ 3. Численные методы решения задачи Коши.................... 134
3.1. Связь между значениями вектора IV для смежных сечений
11 хк+1
3.1.1. Метод Эйлера (135) 3 1 2. Метод трапеций (135). 3.1.3. Ме-
тод Рунге—Кутта (135). 3.1.4. Разложение решения в ряд 'Гей-
лора (136).
3.2. Алгоритм численных методов решения задачи Коши (136).
§ I. Обобщенный метод начальных параметров.................... 137
§ 5. Погрешность и достоверность численных расчетов........... 139
5.1. Погрешность физической модели (110). 5.2. Погрешность дискре-
тизации (I 10). 5.3. Погрешность округления и числовая устойчивость
алгоритма решения (1 10). 5.4. Полная погрешность расчета (111).
§ 6. Метод парциальных откликов (метод прогонки).............. 141
6.1. Основные зависимости метода (142). 6.2. Физический смысл матриц
Ц (х) и 7? (х) (143). 6.3. Разбиение вектора \У (х) на два составляющих
вектора IV, (л) и Нл2 (л) (14 1). 6.4. Последовательность вычислительных
операций (1 14) 6.5. Пример (1 15). 6.6. Дополнительные замечания (147).
§ 7. Метод Годунова........................................... 148
§ 8. Метод решения одномерных задач, основанный на использо-
вании квадратурной формулы Миксладзе—Ланцоша .... 151
8.1. Основные зависимости метода (152). 8.2. Пример (153).
Глава 13. Методы решения нелинейных задач............................ 156
§ 1. Метод последовательных приближений....................... 156
§ 2. Метод упругих решений.................................... 157
§ 3. Метод Ньютона—Рафсона [2, 10, 11]........................ 158
§4. Модифицированный метоц Ньютона—Рафсона [10, 11]. . . 159
§ 5. Метод шагового нагружения [4, 9, 10]..................... 159
§ 6. Самокорректирующий метод [10, 12]........................ 160
Глава 11. Сеточные методы........................................... 161
§ 1. Метод коллокаций......................................... 161
1.1. Основные зависимости метода (161). 1.2. Примеры расчета (162)
§ 2. Метод наименьших квадратов [5, 2, 9]..................... 164
§ 3. Метод сеток.............................................. 166
3.1 Интерполирующие полиномы для функции одной переменной (166).
3.1 1 Формула Ньютона для интерполирования вперед (167).
3.1.2. Формула Ньютона дпя и.
3.1. . Формула Стирлинга (Ю8> ' рг1ол,,Рования
3,2. Формулы для определения производи.х иД (,б8>-
3.2.1. Формулы д <я определения пп
значениям функции в узлах пи рппЕ ИЗВоДных в узлонпг.
(в положительном направчею и Р»а ЯЦИИ’ Распол^™..Точке во
мулы для определения !фоизводиых₽? "ум®*-Ч (168>- 3 2 г'Т"’1
функции в узлах интерполяции оасип™ °" точкс ио з„ „ *°Р-
тельном направлении перем, и ?4СУ!° «иных слеш 7, че""яч
определения производных в у, ?“ х) <"»)•
в узлах интерполяции, расположенных4^?’0 3,,ача"'ям ф™КД”
рои от рассматриваемого узла (|69) си«®трич„о с обеих ста
З.з. Простейшие интерполяционные ФопмЛ
грешностью О (/г2) (170). Формул
... 1 Для производных с
3.3.1. Правые производные (170) з 3 о и
В З.з. Пеитплльнк^ -----------> ?_3-2- Левые производные (170)
3.3.3. Центральные производные (170?
3.4. Применение метода сеток для решен «а ™
(17С). 3.5 Применение метода сето/для решения'Х'х'4 КраеВих 3^ч
задач (174). 3.6. Аппроксимация граничных уСложн\\Мерных краевых
контуре двухмерной ооласти (176). 3.7. Метод Й?™ „ кР»вОДииейиом
ласти при произвольном расположении узловых т^Я,?-ухмоР«°" об-
менсние метода сеток для решения трехмсонпх „Л 3-8. При-
‘ кРасвих задач (180).
Глава 15. Вариационные методы .............
§ 1. Принцип возможных перемещений
1.1. Принцип возможных перемещений и -
1.2. Консервативные системы (182). ^Р< 1ения Равновесия (181).
§ 2. Метод Ритца ...............
2.1. Основные положения метода (183) 2.2. Ппимепн
года для исследования изгиба балок (184). 2 3 Пппмепм°'ваования ме’
метода для исследования изгиба пластин (187). Р * РЫ использ°вания
2.’з.2.’ Пр^иер'!1(189)еИ,,Я АЛЯ упругой поверхности пластин (187).
181
181
183
§ 3. Обобщенный метод Бубнова—Галеркина 190
3.1. Основные положения метода (190). 3.2. Примеры использования ме-
тода (190).
§ 4. Метод Бубнова—Галеркина ................................. 193
4.1. Основные положения метода (193). 4.2. Примеры использования
метода (191).
§ 5. Метод Треффца [8, 11, 22] ............................... 197
§ 6. Принцип возможных изменений напряженного состояния . . 197
6.1. Вариационная формула Кастильяно (197). 6.2. Начало наименьшей
работы (198) 6.3. Применение принципа возможных изменений напря-
женного состояния к решению задач теории упругости (198).
§ 7. Принцип возможных изменений напряжений для стержневых
систем.................................................... 201
§ 8. Смешанные вариационные принципы ..................... 202
8.1. Функционал Вашицу, обеспечивающий независимое варьирование
компонентов перемещения, деформации и напряжения (203). В..’. Функ-
ционал Рейсснера —Хеллингера, обеспечивающий независимое варьиро-
вание компонентов перемещения и напряжения (204).
§ 9. Модифицированный принцип возможных перемещений .... 205
§ 10. Вариационные принципы нелинейной теории упругости
10 1 Пппнпип возможных перемещений (206). 10.2. Модифицированный
принцип возможных перемещения,(206) 10.3 Принцип
при^п Реясс-
нера —Хеллингера (207).
§ 11 Применение вариационных принципов в задачах динамики
).). Принцип возможных перемещений (206). 11-2- Принцип Вашицу (-1е)
207
Глгва 16. Л( нижекие мерности исходной краевой задачи..............
§ 1. Метод Канторовича .......................................
§ 2. Л1етод Власова [2, 3]....................................
$ 3. Метод прямых ............................................
Глава 17. Л1его( конечных элементов (МКЭ)...........................
$ 1. Сущность метода конечных элементов. Основные операции
в процедуре метода и его характерные черты.....................
* 1.1. Краевая задача и вариационная формулировка (217). 1.2. Основные
операции в процедуре метода (217).
1.2.1. Дискретизация области (217). 1.2.2. Выбор основных не-
известных (219). 1.2.3. Построение интерполирующего полинома
и условия сходимости МКЭ (219). 1.2.4. Получение основной си-
стемы разрешающих уравнений (221). 1.2.5. Совместное решение
системы алгебраических уравнений (17.18). Определение «выход-
ных» параметров краевой задачи (222).
1.3. Характерные черты метода конечных элементов (222)
§ 2. Интерполирующие полиномы...................................
2.1. Одномерная область (223). 2.2. Двухмерная область (226).
2.2.1. 11рямоугольнын элемент (226). 2.2.2. Треугольный элемент
(227).
2.3. Пространственная область (228).
2.3.1. Прямоугольный параллелепипед (228). 2.3.2. Тетраэдр (230).
§ 3. Метод конечных элементов в задачах теории упругости и
строительной механики .........................................
3.1. Вводные замечания (230). 3.2. Основные разновидности МКЭ (231)
3.2.1. Метод перемещений (231). 3.2.2. Метод сил (231).
§ 4. Матрица жесткости и вектор узловых внешних нагрузок . .
4.1. Матрица жесткости (231). 4.2. Вектор узловых внешних нагрузок (233)
§ 5. Преобразование матрицы жесткости и вектора узловых
нагрузок при повороте координатных осей.........................
§ 6. Простейшие типы конечных элементов.........................
§ 7. Элемент балки .............................................
,7.1 . Призматический элемент, работающий на растяжение—сжатие (235).
7.1.1. Матрица жесткости (235). 7.1.2. Вектор узловых нагрузок
(236). 7.1.3. Преобразование матрицы жесткости и вектора экви-
валентных узловых нагрузок при переходе к общей системе ко-
ординат (236).
7.2. Призматический элемент, работающий на чистое кручение (237).
7.2.1. Матрица жесткости (237). 7.2.2. Вектор узловых нагрузок (237).
7.2.3. Преобразование матрицы жесткости и вектора узловых
нагрузок при переходе к общей системе координ; т (237).
7.3. Призматический элемент балки, работающий на изгиб в одной пло-
скости (237).
7.3.1. Матрица жесткости (237). 7.3.2. Вектор узловых нагрузок
(238). 7.3.3. Преобразование матрицы жесткости и вектора узловых
нагрузок при переходе к общей системе координат (239).
7.4. Элемент стержня, работающий на изгиб, растяжение—сжатие и
кручеиие (239).
7.4.1. Матрица жесткости (239). 7.4.2. Вектор узловых нагрузок
(/41). 7.4.3. Преобразование матрицы жесткости и вектора узловых
нагрузок при переходе к общей системе координат (2 41).
7.5. Элемент б^-лки, работающий на изгиб и сдвиг в одной плоскости (242)
7-6. Элемент балки, лежащий на упругом основании и работающий на
изгиб в одной плоскости (рис. 17.26) (243). 7.7. Сложный изгиб элемента
балки (-44). 7 8. Стесненное кручение элемента стержня (245)
§ 8. К вопросу составления общей системы уравнений МКЭ. . .
§ 9. Пример расчета стержневой конструкции по МКЭ ....
9.1. I ходная информация о конструкции (248). 9.2. Выбор основных
неизвсст! ых (218). 9.3. Определение матрицы жесткости конечных эле-
ментов в местной системе координат (249). 9.4. Определение вектора
эквивалентных > оювых нагрузок конечных элементов в местной системе
координат (-5С). 9.5. Матрица индексов (250). 9.6. Составление основной
системы уравнений .МКЭ (251). 9.7. Определение основных неизвестных
211
211
213
214
216
2(7
223
230
231
233
234
235
245
248
. 0 а Определение перемещений узловых сечений элементов (252)
(°Г) (шре'дечеиие усилий в узловых сечениях элементов (252).
^0 Элемент пластины для решения плоской задачи теории упру-
ъ ' гости ...................................................
-гг^гольный элемент с тремя узловыми точками (253).
1°.1- Е Компоненты перемещений (253). 10.1.2. Компоненты де-
ций и напряжений (254). 10.1.3. Матрица жесткости (255).
1014 Эквивалентные узловые нагрузка (255). 10.1.5. Преобра-
я пие матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок при пере-
V пр к общей системе координат (256).
п-рхгольиый элемент с шестью узловыми точками (256). 10.3. Пря-
10 2. ‘ РеН ЭЛемент с линейным законом изменения компонентов пере-
МОУголЪПЫ..п< л контура (259). 10.4. Четырехугольный изопараметрнче-
мещеиия * а прямолинейными кромками (262). 10.5. Четырехугольный
ский элемен п элемент с криволинейными кромками (263).
пзопар<^,еТР
П теме НТ пластины для решения плоской задачи теории
§ 1 упругости В упругопластической области...................
§ 12. Объемные элементы ...............
264
266
12 .1. Тетраэдр (266). 12.2. Объемный элемент \.............
(268 ). 12.3. Кольцевой элемент с треугольным сёче1и^и1'гс|\В0?оМЬ 1’злов
цевой элемент с прямоугольным сечением (271) ( 69)- 12л- Коль-
§ 13. Прямоугольный элемент пластины при изгибе
13. 1. Прямоугольный элемент жесткой ортотпопнпй
пенями свободы (273). ортотропной пластины с 12 сте-
13.1.1. Матрица жесткости (273) 13 1 9 лл ™
13.1.3. Вектор узловых нагрузок (277) 2' Матр,ща усили& (276).
13.2. Прямоугольный элемент жесткой пластины с 16 степенями г
<277>- ЬЗ-о. Прямоугольный элемент пластины средней толщи” ы 08 пОД"
13.3.1 . Матрица жесткости при испольчпваиии (->»).
пых напряжений (284). 13.3.2. Матрица жесткосто'прТиспольз^
вании принципа возможных перемещений (287). р яспользо-
§ 14. Треугольный элемент пластины при изгибе
14.1. Элемент жесткой изотропной пластины с 9 степенями свободы (>яю
14.2. Матр ица жесткости для конечного элемента треугольной формы с пря-
мым углом (^92). 14.3. Преобразование матрицы жесткости для тре\то-ь-
ного элемента при переходе к общей системе координат (294) 14 4 Изо
тропный элемент пластины средней толщины с 12 степенями свободы
(294).
§ 15. Применение метода конечных элементов к решению задач
устойчивости упругих систем ....................................
15.1. Устойчивость стержней (297). 15.2. Устойчивость пластин (299).
15.2.1. Матрица геометрических жесткостей прямоугольного эле-
мента пластины с 16 степенями свободы .(рис. 17.42, б) (299).
15.2.2. Матрица геометрических жесткостей прямоугольного эле-
мента пластины с 12 степенями свободы (рис. 17.42, а) (310).
§ 16. Применение метода конечных элементов к решению задач
динамики .......................................................
16 1. Уравнения движения (310). 16.2. Матрицы масс и сил сопротивле-
ния конечного элемента (311).
16.2.1. Балочный элемент (311). 16.2.2. Прямоугольный элемент
пластины (313).
16.3. Свободные колебания упругих систем (313). 16.4. Нестационарные
°аДа 1И ($ Метод главных координат (313) 16.4.2. Шаговый метод
по времени (313).
§ 17. Универсальный алгоритм метода конечных элементов. Про-
грамма для ЭВМ.................................................
17 1 Пмскпетизания конструкции (315). 17.2. Матрица жесткости (315)
17 3 Опис пне топологии конструкции для формирования общей матрицы
«емкости (315) ПЛ О порядке нумерации узлов для получения ленты
минимальной ширины (317).
§ 18. Метод суперэлементов в расчетах прочности................
273
297
310
315
317
РАЗДЕЛ Ш ИЗГИБ ПЛАСТИН .............................................. 320
Глава 18. Общая теория изгиба тонких пластин......................... 320
§ 1. Основные определения, обозначения и допущения.............. 320
1.1. Описание пластин (320). 1.2. Обозначения теории пластин (321).
1.3. Цепные и изгибные напряжения (322). 1.4. Основные допущения
классической теории тонких пластин (322).
§ 2. Основные зависимости теории изотропных и ортотропных
пластин Кармана в декартовой и цилиндрической системах
координат....................................................... 323
2.1. Перемещения пластины (323). 2.2. Деформации пластины (324). 2.3. По-
гонные усилия н моменты (325). 2.4. Уравнения равновесия (325). 2.5. Ос-
новные зависимости для изотропной пластины (327). 2.6. Основные за-
висимости для ортотропной пластины (329). 2.7. Учет начальной погиби
(330). 2.8. Теория круглых пластин (331). 2.9. Потенциальная энергия
пластины (333).
§ 3. Граничные условия ........................................ 333
3.1. Число граничных условий на кромке (333). 3.2. Частные виды гра-
ничных условий (335). 3.3. Граничные условия для круглых и кольцевых
пластин (336).
§ 4. Классификация пластин...................................... 337
4.1. Гибкие пластины большого прогиба (337). 4.2. Гибкие пластины не-
большого прогиба (337). 4.3. Жесткие пластины (338). 4.4. Абсолютно гибкие
пластины, или мембраны (338).
Глава 19. Изгиб жестких пластин ..................................
338
§ 1. Решения Навье, Леви и Клебша............................ 339
1.1. Решение Навье (339). 1.2. Решение Леви (341). 1.3. Решение Клебша (343).
§ 2. Изгиб жестких ортотропных и изотропных пластин, загру-
женных равномерной поперечной нагрузкой ..................... 343
2.1. Пластина, свободно опертая на всех кромках (рис. 19.2) (343). 2.2. Пла-
стина, жестко заделанная на всех кромках (рис. 19.3) (350). 2.3. Пластина,
свободно опертая на две параллельные кромки и жестко заделанная на
двух других (рис. 19.4) (350). 2.4. Пластина, жестко заде ганная на одной
кромке и свободно опертая на трех других (рис. 19.5) (350). 2.5. Пла-
стина, свободно опертая на трех кромках и совершенно свободная на одной
кромке (рис. 19.6) (352). 2.6. Пластина, свободно опертая на двух па-
раллельных кромках, на одной жестко заделанная и на параллельной ей
кромке совершенно свободная (рис. 19.7) (352). 2.7. Пластина, жестко
заделанная на двух смежных кромках и свободно опертая на двух других
(рис. 19.8) (352). 2.8. Пластина, жестко заделанная на трех кромках и
на одной кромке свободно опертая (рис. 19.9) (354). 2.9. Пластина, жестко
заделанная на двух параллельных кромках, на одной кромке свободно
опертая и совершенно свободная на ей противоположной (рис. 19.10)
(354). 2.10. Пластина, жестко заделанная па трех кромках и на одной
кромке совершенно свободная (рис. 19.11) (354). 2.1 1. Пластина, свободно
опертая на прямоугольный контур, две стороны которою абсолютно же-
сткие, а две другие, представляют собой балки с изгибной жесткостью
/:/ (рис. 19.12) (354). 2.12. Пластина, свободно опертая на прямоуголь-
ный упругий контур (рис. 19 13) (358).
§ 3. Изгиб жестких изотропных и ортотропных прямоугольных
пластин, загруженных гидростатической нагрузкой................... 359
3.1. Пластина, свободно опертая на прямоугольный жесткий контур
(рис. 19.14) (359). 3.2. Пластина с одной жестко заделанной кромкой и
тремя свободно опертыми кромками (360). 3.3. Пластина с двумя жестко
з деланными кромками и двумя свободно опертыми (360). 3.4. Пластина
с тремя жестко заделанными кромками и одной свободно опертой кромкой
(365) 3.5. Пластина, жестко заделанная на всех кромках (рис. 19.21) (365).
3.6. Пластина с тремя свободно опертыми кромками и одной совершенно
свобод! он кромкой (рис. 19.22) (365). 3.7. Пластина, свободно опертая
из двух параллельных кромках, на одной жестко заделанная и на одной
совершенно свободная (рис. 19.23) (365). 3,8. Пластина, жестко заделан-
н я на двух параллельных кромках, на одной свободно опертая и нй
11ПЙ совершенно свободная (рис. 19.24) (365). 3.9. Пластина, жестко
Сделанная на трех кромках и на одной совершенно свободная (рис 19 25)
(369)-
С 4 Изгиб жестких изотропных и ортотропных прямоугольных
’ пластин при некоторых других видах нагрузки.................
. 1 пластина, свободно опертая на кромках и загруженная в центре
глсоедоточенной силой (рис. 19.26) (369). 4.2. Пластина, свободно опертая
С° коомках и загруженная линейной нагрузкой, равномерно распределен-
на.. ‘,о отрезку линии, параллельной одной из сторон (рис. 19.27) (37п
д°3 Пластина, свободно опертая на кромках и загруженная нагрузкой
пипе треугольной призмы (рис. 19.28) (371). 4.4. Пластина, свободно
Врптая на три кромки и совершенно свободная на кромке, загруженной
^пиомерно распределенной вдоль нее погонной нагрузкой (рис. 19.30)
^791 4.5. Пластина, жестко заделанная по двум параллельным кром-
\10 одной кромке свободно опертая и по одной совершенно свободная,
1<с_ ’ кенпая вдоль последней равномерно распределенной погонной
нагрузкой (рис. 19.31) (372).
Ч 5 Симметричный изгиб жестких круглых пластин..................
г 1 Пластина, свободно опертая по контуру и загруженная равномерно
гппсдепенной по всей поверхности нагрузкой (рис. 19.32) (371). 5.2. Пла-
Р Г свободно опертая по контуру и загруженная равномерно распре-
СТ пенной по поверхности центрального круга радиуса Ь нагрузкой
А с 19 33) (374). 5.3. Пластина, свободно опертая по контуру и загру-
Р|ная равномерно распределенной нагрузкой по кольцу, ограниченному
Жен1иим контуром пластины и концентрической окружностью радиуса Ь
внеш * (375). 5.4. Пластина, свободно опертая по контуру и загру-
(РиС- я в центре сосредоточенной силой (рис. 19.35) (376). 3.5. Пластина.
жс,’1‘ заделанная на контуре и загруженная по всей поверхности
жс гпмргио распределенной нагрузкой (рис. 19.36) (377) 5.6. Пластина,
р3 Лкп заделанная на контуре и загруженная равномерно распределен-
жсстко м . поверхности центрального круга радиуса Ь (рис.
5 7 Пластина, жестко заделанная по контуру и загружен-
пая в иептре сосредоточенной силой (рис. 19.38) (378).
$ 6 Симметричный изгиб жестких кольцевых пластин .....
а 1 ' Пластина, свободно опертая по наружному контуру и загруженная
6 ^„Гмепно распределенной по всей поверхности нагрузкой (рис. 19.39)
Р^ омерно рас Р А своб опертая по наружному контуру и загру-
(3 павномерно распределенной по внутреннему контуру линеинои
женная РаР“°меРд 10) (382) 6.3. Пластина.свободноопертаяповнутрен-
пагрузкон (рис 1^. м -ая по поверхности равномерно распре-
нсму контуру и з РУ б 4 Пласти|1а> жестко заделанная
деленной нагрузко (р • загруженная равномерно распределенной по
.“^^Ж'кои^^н^иой^агрузкой (рис. 19.42) (384).
374
379
§ 7. Изгиб пластин различных очертаний...................
7.1. Пластина в форме эллипса, свободно опертая на контуре и загружен-
ная равномерной нагрузкой по всей поверхности (384). 7.2. Пластина
в форме эллипса, жестко заделанная на контуре и загруженная равномер-
ной нагрузкой по всей поверхности (385). 7.3. Свободно оперт я пла-
стина в виде равностороннего треугольника, загруженная равномерной
поперечной нагрузкой (рис. 19.43) (386) 7.4- Свободно опертая пластина
в виде равнобедренного прямоугольного треугольника, загруженная
равномерной поперечной нагрузкой (рис. 19.14) (386)
§ 8. Изгиб жестких пластин на упругом основании...............
8.1. Прямоугольная пластина (387). 8.2. Круглая пластина под осесим-
метричной поперечной нагрузкой (388).
§ 9. Изгиб жестких прямоугольных ортотропных пластин с уче-
том деформаций поперечного сдвига ............................
9.1. Вводные замечания (390). 9.2. Дифференциальные уравнения изгиба
(391). 9.3. Граничные условия (393). 9.4. Методы решения системы
(19.218) (394).
§ 10. Изгиб изотропных неразрезных пластин....................
§11. Изгиб жестких пластин, подкрепленных упругими ребрами
11.1. Форма решения М. Леви, приспособленная к методу начальных па-
раметров (398). 11.2. Свободно опертые пластины с небольшим числом
подкрепляющих ребер (399). 11.3. Пластина, подкреп.ченн я большим
числом (больше пяти) равноудаленных друг от Друга одинаковых у ру*
1 их ребер жесткости Е1, параллельных оси х (401).
384
387
390
396
398
Глава 20. Сложный изгиб жестких прямоугольных пластин, загруженных
равномерно распределенной поперечной нагрузкой..................... 103
§ 1. Решение задачи о сложном изгибе в форме Лк Леви .... 403
1.1. Основные зависимости (403). 1.2. Частный случай: Т= 0 (401).
1.3. Частный случай: Тх = 0 (404).
§ 2. Пластина, жестко заделанная двумя параллельными кром-
ками и свободно опертая другими, загруженная равномерной
поперечной нагрузкой и нормальными тангенциальными уси-
лиями на свободно опертых кромках............................. 405
2.1. Введение (405). 2.2. Случай растяжения вдоль длинных заделанных
кромок (Тх > 0) (505). 2.3. Случай сжатия вдоль длинных заделанных
кромок (Тх < 0) (406).
§ 3. Пластина, жестко заделанная двумя параллельными кромками
и свободно опертая другими, загруженная равномерной попе-
речной нагрузкой и нормальными тангенциальными усилиями
на жестко заделанных кромках................................... 410
§ 4. Пластина, жестко заделанная двумя параллельными кром-
ками и свободно опертая двумя другими, загруженная равно-
мерной поперечной нагрузкой и равномерно распределенными
вдоль всех кромок нормальными тангенциальными усилиями 414
Глава 21. Изгиб изотропных пластин конечной жесткости (гибких пла-
стин), загруженных равномерно распределенной поперечной
нагрузкой............................................................ 418
§ 1. Особенности изгиба пластин конечной жесткости............... 418
§ 2. Методы решения уравнений Кармана............................ 419
2.1. Метод П. Ф. Папковича (419). 2.2. Метод В. 3. Власова (419).
§ 3. Цилиндрический изгиб вытянутых прямоугольных пластин 420
3.1. Основные уравнения (120). 3.2. Свободно опертая пластина (421).
3.3. Жестко заделанная пластина (у = 1) (421). 3.4. Упруго заделанная
пластина (0 < х < 1) (421). 3.5. Таблицы для расчета удлиненных
пластин конечной жесткости (423). 3.6. Приближенное определение па-
раметра и (423).
§ 4. Прямоугольная пластина с конечным отношением сторон 431
4.1. Свободно опертая пластина с неискривляющимися кромками под
действием равномерной нагрузки д (431). 4.2. Жестко заделанная на опор-
ном контуре пластина с неискривляющимися кромками под действием
равномерной нагрузки д (432). 4.3. Расчетные таблицы (433).
§ 5. Свободно опертая круглая пластина........................... 436
5.1. Основные уравнения (436) 5.2. Пластина радиуса а, шарнирно-за-
крепленная на круглом жестком контуре и загруженная по всей пло-
щади давлением д — сопз! [19] (438).
§ 6. Жестко заделанная круглая пластина......................... 439
§ 7. Абсолютно гибкая пластина (мембрана)........................ 440
Указатель литературы................................................... 442
Справочник по строительной механике корабля./
С74 Бойцов Г. В., Палий О. М., Постноз В. Л., Чувяков-
ский В. С. — В трех томах. Том 2. Пластины. Теория
упругости, пластичности и ползучести. Численные
методы,—Л.: Судостроение, 1982. — 464 с., ил.
Второй том Справочника по строительной механике корабля содержит
справочный материал но теории упругости, пластичности и ползучести, по
изгибу пластин. Изложены современные численные методы решения задач
теории упругости и строительной механики корабля.
Книга предназначена для инженерно-технических работников судострое-
ния, студентов и аспирантов кораблестроительных вузов. Она может быть
использована также студентами, аспирантами, инженерно-техническими работ-
никами других отраслей техники, изучающими строительную механику или
занимающимися расчетами прочности инженерных сооружений.
„ 3605030000—036 ..
С 048 (01)—82” 18~82
39.427
Геннадий Владимирович Бойцов
Олег Маркович Палий
Валерий Александрович Постнов
Владислав Сергеевич Чувиковский
СПРАВОЧНИК ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ КОРАБЛЯ.
В ТРЕХ ТОМАХ.
ТОМ 2. ПЛАСТИНЫ.
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ,
ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Редактор Н. П. Саяпппа
Художественный редактор О. П. Андреев
Технические редакторы: А. И. Казаков, Р. К. Чистякова
Корректоры: Т. Г. Малышева, Л. Н. Степнова
Переплет художника В. В. Белякова
ИБ № 689
Сдано в набор 25.01.82. Подписано в печать 02.06.82. М-25625.
Формат 60Х901'1в. Вум 1га типографская №2 Гарнитура
литературная. Печать высокая. Физ. печ. л. 29,0. Физ. кр.-отт. 29,0.
Уч.-изд. л. 34,9. Тираж 10 000 Изд. № 3685—81. Заказ .\е 33. Цена 2 р.
Издательство «Судостроение», 191065, Ленинград, ул. Гоголя, 8.
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Зна-
мени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении
Соколовой Союзполш рафпрома при Государственном комитете СССР
ио делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193141, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.