УДК 531@7)
ББК 22.31
П12
Рецензенты:
заведующий кафедрой теоретической физики факультета физико-
математических и естественных наук Российского университета друж-
дружбы народов профессор Ю. П. Рыбаков;
профессор кафедры теоретической механики и мехатроники меха-
механико-математического факультета Московского государственного уни-
университета им. М. В. Ломоносова Д. В. Трещев
Павленко Ю. Г. Задачи по теоретической механике: Учеб.
пособие: Для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. - 536 с. - ISBN 5-9221-0302-4.
В книге приведены решения 560 задач по всем разделам курса теоретиче-
теоретической механики. Цель сборника — помочь читателю овладеть фундаменталь-
фундаментальными методами теоретической механики и научить применению математиче-
математического аппарата теории для исследования конкретных систем. Рассмотренные
задачи относятся к анализу движения заряженных частиц в электромагнит-
электромагнитных полях, космических аппаратов в ньютоновом поле тяготения, проблеме
коррекции орбит космических аппаратов, небесной механике, колебаниям
линейных и нелинейных систем, динамике твердого тела, электромеханике,
релятивистской динамике. Существенная особенность книги — математиче-
математические аспекты гамильтонова формализма представлены как мощный аппарат
анализа широкого спектра задач на основе разработанных автором методов
интегрирования систем общего вида.
Для студентов физико-математических факультетов университетов
и высших технических учебных заведений, обучающихся по специальностям
«Механика», «Прикладная математика», «Физика», «Астрономия»,
аспирантов и преподавателей.
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
ISBN 5-9221-0302-4 © Ю. Г. Павленко, 2003

Учебное издание
ПАВЛЕНКО Юрий Григорьевич
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор О. В. Салецкая
Оригинал-макет: Н.Ю. Савченко
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 16.10.02. Формат 60x90/16
Бумага офсетная. Печать офсетная
Усл. печ. л. 33,5. Уч.-изд. л. 36,85. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099 Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0302-4
785922 103022

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 7
Глава 1. Уравнения Ньютона 9
1.1. Кинематика 9
1.2. Одномерное движение 25
1.3. Интегрирование уравнений движения 38
1.4. Движение частиц в электромагнитных полях 49
1.5. Задача Кеплера 64
1.6. Космодинамика 77
Глава 2. Уравнения Лагранжа 97
2.1. Уравнения Лагранжа первого рода 97
2.2. Уравнения Лагранжа в независимых координатах 105
Глава 3. Динамика системы частиц 122
3.1. Задача двух тел 122
3.2. Рассеяние частиц 131
3.3. Динамика систем многих частиц 142
3.4. Движение тела переменной массы 163
Глава 4. Линейные колебания 171
4.1. Собственные колебания одномерных систем 171
4.2. Собственные колебания многомерных систем 177
4.3. Вынужденные колебания 196
Глава 5. Нелинейные колебания 218
5.1. Метод усреднения 218
5.2. Системы с медленно изменяющимися параметрами 228
5.3. Движение в быстроосциллирующем внешнем поле 235
Глава 6. Динамика твердого тела 241
6.1. Тензор инерции. Кинематика 241
6.2. Уравнения Эйлера 247
6.3. Уравнения Лагранжа 263
6.4. Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения . 300
6.5. Электромеханика 311
Глава 7. Уравнения Гамильтона 344
7.1. Канонические уравнения и канонические преобразования 344
7.2. Линейные канонические преобразования 360
7.3. Системы специального вида 370

Оглавление
7.4. Уравнение Гамильтона-Якоби 385
Глава 8. Каноническая теория возмущений 393
8.1. Введение 393
8.2. Интегрирование уравнений движения 396
8.3. Реакция системы на внешнее возмущение 401
8.4. Гамильтонова теория специальных функций 416
Глава 9. Решение канонических систем методом усреднения 423
9.1. Введение 423
9.2. Квадратичные системы 425
9.3. Нелинейные системы 433
Глава 10. Метод удвоения переменных 443
10.1. Введение 443
10.2. Специальные приложения метода удвоения 447
10.3. Интегрирование уравнений движения 453
10.4. Гамильтонова теория специальных функций 459
10.5. Сингулярно-возмущенные уравнения 463
Глава 11. Релятивистская динамика 472
11.1. Кинематика 472
11.2. Релятивистская динамика 483
11.3. Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 507
Справочные данные 527
Литература 529

Предисловие ко второму изданию
Ignorantia juris nocet
Предисловие ко второму изданию
Первое издание книги опубликовано издательством Московского
университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения
160 новых задач. Включена новая глава 11 «Релятивистская механика».
Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрирующих при-
приложения методов теоретической механики к исследованию широкого
круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической
механики: динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы,
динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелиней-
нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения
Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромехани-
электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также
42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в извест-
известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляющих различ-
различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сбор-
сборника. Значительно расширен раздел, включающий множество задач,
иллюстрирующих применение новых методов интегрирования систем
нелинейных уравнений общего вида, представленных в гамильтоновой
форме.
Существенно дополнены новыми задачами главы 1, 4, 6, 7. В главу 1
введен новый раздел «Космодинамика». Здесь собраны задачи, в кото-
которых вектор Лапласа используется для анализа коррекции траектории
космического аппарата в пространстве и относительного движения в
окрестности траектории космического аппарата. Приведено решение
задачи о движении в космосе с малой тягой и задача о «гравитацион-
«гравитационном ударе» при облете планеты. Изложены решения задачи двух тел,
упругого рассеяния частиц, ограниченная задача трех тел, рассмотрен
вклад Луны в ускорение свободного падения. В главу 6 вошли задачи
о движении маятника Пошехонова, гирокомпаса, кельтского камня,
гироскопической стабилизации и пределе Роша. Раздел «Электромеха-
«Электромеханика» содержит 20 задач, в которых рассмотрены бесконтактные под-
подвесы, космическая электростанция, униполярный генератор Фарадея,
электромагнит, асинхронный двигатель, проводники во вращающемся
магнитном поле, движение диэлектриков и парамагнетиков в неодно-
неоднородном поле.
Главы 8-9 посвящены важнейшему разделу механики — гамильто-
нову формализму. Основная цель этого раздела — представить мате-
математические аспекты гамильтонова формализма как мощный аппарат
решения широкого круга задач механики, физики и прикладной мате-
математики. Здесь следует отметить задачи, связанные с линейным и нели-
нелинейным параметрическим резонансом, движением магнитного момента
в переменном магнитном поле, континуальным пределом дискретной

Предисловие ко второму изданию
цепочки атомов, гамильтоновой теорией специальных функций. Осо-
Особый интерес представляют задачи главы «Каноническая теории воз-
возмущений». В этом варианте теории эволюция произвольной динамиче-
динамической переменной определяется рядом, каждый член которого содержит
интегралы от мультискобок Пуассона, связанных с многовременными
функциями Грина. Приведена задача, в которой поставлена пробле-
проблема определения мощности спонтанного и индуцированного излучения
электронов, движущихся в открытом резонаторе.
Последняя глава «Релятивистская механика» посвящена примене-
применению лагранжева и гамильтонова подходов к решению задач реляти-
релятивистской механики в параметрическом представлении. В этом случае
координаты и время зависят от одного параметра — собственного
времени, а уравнения движения ковариантны относительно преобра-
преобразования Лоренца. Следует отметить важную для приложений задачу о
движении частиц в плосковолновых полях и релятивистскую задачу
Кеплера. Приведены задача о движении релятивистской частицы в
гиперболическом волноводе, представляющая интерес для проблемы
сепарации частиц по энергии и удельному заряду, и задача об автофа-
зировке протонов в синхрофазотроне.
«Задачи по теоретической механике» вместе с книгой автора «Лек-
«Лекции по теоретической механике» (М.: Физматлит, 2002) представляют
собой единое руководство по теоретической механике. В книге при-
приводится множество задач, решение которых может заинтересовать не
только студентов, изучающих механику, но и специалистов.
Я пользуюсь возможностью выразить благодарность заведующе-
заведующему кафедрой теоретической физики Университета дружбы народов
профессору Ю. П. Рыбакову и профессору кафедры теоретической
механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ
им. М. В. Ломоносова Д. В. Трещеву за интерес к моей работе.
Ю. Г. Павленко

Предисловие к первому изданию
Физика там, где есть Действие.
Неизвестный автор
Предисловие к первому изданию
Содержание книги составляют около 400 задач, которые в течение
ряда лет предлагались студентам физического факультета Московско-
Московского университета на лекциях и практических занятиях. Основная цель
сборника состоит в том, чтобы помочь студентам овладеть методами
интегрирования уравнений движения для исследования конкретных
физических проблем.
Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу 1—4
главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи
остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса «Методы ин-
интегрирования канонических систем». В отличие от лагранжева форма-
формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как ка-
каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосред-
непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм явля-
является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближен-
приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1].
Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегрированию нелинейных
уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению,
определению собственных векторов и собственных значений, гамиль-
гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества
дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канони-
канонический формализм для решения нового класса задач: алгебраических
и трансцендентных уравнений, сингулярно-возмущенных уравнений,
построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Ши-
Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью
приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и
универсальностью используемых методов интегрирования.
В силу этих причин характер изложения задач имеет особенности.
Условия приводятся в самой общей форме. В ряде задач о движении за-
заряженных частиц во внешних полях не указаны скалярный и векторный
потенциалы. Отсутствуют данные о массах тел, размерах, характерных
масштабах и возможных ограничениях. Эта ситуация, характерная
при формулировке реальных проблем, стимулирует развитие навыков
самостоятельной работы. В результате анализа поставленной проблемы
и ряда упрощающих предположений возникает несколько моделей яв-
явления. В сборнике приводится одно из возможных решений с указанием
области применения. Ряд задач, представляющих различные аспекты
одной проблемы, собраны в § 1.5, 3.2, 4.1, 4.3, 6.4, 7.1-7.3, 8.3, 8.4, 10.2,
10.4-10.6. Решения этих задач образуют, по существу, единое целое.
Надеюсь, что эта книга окажется полезной не только для студентов,
но и для специалистов в области механики и прикладной математики.

Предисловие к первому изданию
Я глубоко благодарен сотрудникам кафедры квантовой механики
Ленинградского государственного университета профессору А. Г. Жи-
личу и профессору Л. Н. Лабзовскому за конструктивные замечания и
предложения, сделанные ими при рецензировании рукописи. Я также
признателен профессору Я. П. Терледкому за обсуждение ряда про-
проблем, затронутых в книге. Мне приятно выразить искреннюю благо-
благодарность Ю. А. Афиногенову и С. И. Зеленскому за помощь в работе
над книгой и множество ценных замечаний, сделанных при чтении
рукописи.
Ю. Г. Павленко

Глава 1
УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА
1.1. Кинематика
1.1.1. Частица движется по эллипсу x{t) = a\ cos (cot + ai), y(t) =
= a2 cos (out + a2). Найти величины осей и ориентацию эллипса [2].
Решение. Представим закон движения в комплексной форме:
x{t) = Rer(t)ni, y(t) = Rer(*)n2,
r(t) = (aieieim + a2eia*n2) el»\ A)
ni = (l, 0, 0), n2 = @, 1, 0).
Найдем теперь два действительных перпендикулярных друг к другу
вектора и\ (А = 1, 2), направленных по главным осям эллипса. Пусть
/3 — угол между векторами ni ищ. Тогда
r(t) = [Uletp + и2ег^'2)] e™t = (Ul + ill2) etp+tutm B)
Из B) находим [2]
rr* = uj + u2., [г*г] = 2г [uiu2]. C)
Подставляя A) в (З), получим систему
2,22,2 с с
а1 -\- а2 = и1 -\- u2, clicl2 sin о = и\и2, о = ol2 — ai,
из которой находим в случае $ > О
1
A
a| + 2aia2 sin $ d= a2 + a| — 2aia2 sin S
Ориентацию эллипса определим из условия Re (r*u2)(rui) = 0. Под-
/1Л , г, о 2а1а2 cos S
ставляя A), получим tg2р = ^ %— •
а\ — а2
1.1.2. На рис. 1.1.2 расстояния ОС = Я, ON = а2/R, а < R. Точ-
Точка Р движется по поверхности, удовлетворяющей условию NP/CP =
= a/R. Найти уравнение поверхности /(г) = 0, где г = (ж, у, z) —
радиус-вектор точки Р.
Ответ: г2 = а2.
1.1.3. Частица движется в плоскости z = 0. Найти уравнение
траектории, если отрезок касательной, заключенный между точкой

10
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
о
\ p
N
Рис. 1.1.2
С х
О
С
Рис. 1.1.3
касания Т и точкой пересечения с осью х С', имеет постоянную длину р
(рис. 1.1.3).
Решение. Поскольку ТС = р, то
— = tg а, У = Р sin а.
Интегрируя уравнение
получим траекторию
ж _
da
cos2 a
х = р In tg — + р cos а + С, У = р sin a
.2
в параметрической форме. Пусть у(тг/2) = р, ж(тг/2) = 0, тогда G = 0,
х = р In :
Эту кривую называют трактрисой, или «собачьей кривой». Пусть по
оси х бежит собака, а ее хозяин бежит так, что поводок длиной р все
время натянут. Тогда ТС является отрезком касательной. Если собака
бежит с постоянной скоростью vq, то ОС = х — р cos a = v$t. Следо-
Следовательно, tga/2 = exp (/
х = vot - p th
vot
У =
Р
ch(vot/p) '
Очевидно, при t > p/vq хозяин бежит практически вдоль оси х на
расстоянии р от собаки [3].
Отметим, что поверхность постоянной отрицательной кривизны, об-
образованная вращением трактрисы вокруг асимптоты, представляет со-
собой псевдосферу (псевдо, от гр. pseudos — ложь) Э. Бельтрами A868 г).
Внутренняя геометрия псевдосферы локально совпадает с геометрией
Лобачевского.

1.1]
Кинематика
11
1.1.4—1.1.5. Простое преследование на плоскости.
1.1.4. Радиус-вектор точки В на рис. 1.1.4 R(t) = (ut, 6, 0). Точ-
Точка А преследует точку В со скоростью v, направленной в точку В.
Величина скорости постоянна. Найти уравнение траектории точки А.
Решение. Пусть радиус-вектор и скорость точки А соответственно
равны r(t) = (ж, 2/, 0), v(t) = (vi, ^25 0). Согласно условию v2 -\- v% =
\
= -(ui-a;), v2{t) = -(b-y), с2 = (ut - xJ + (b - уJ.
Следовательно, координаты удовлетворяют двум уравнениям
х = - (ut - ж), у = - F - 2/).
Котангенс угла наклона кривой О А
ut — х
dx
dy
b-y
A)
B)
Поскольку скорость точки А постоянна, то, вводя длину дуги О А,
равную s = vt, представим B) в виде
C)
где k = u/v. Далее, дифференцируя C) по
2/, получим уравнение
(Ь-у)
d2x . ds
—о- = к
dy '
D)
О
В
Ut
Рис. 1.1.4
Из соотношения ds2 = dx2 + dy2 следу-
следует выражение для производной ds /dy =
= 1 + (dxIdyJ. Вводя обозначение производной g = dx/dy, полу-
получим из D) уравнение
Учитывая начальные условия g"@) = 0, получим решение уравнения E)
1п(#+ 1 + g) = -к 1
Отсюда находим

12 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Рассмотрим два случая.
А. Если к ф 1, то в результате интегрирования получим уравнение
траектории
V1 &
Расстояние между точками А и В равно
Б. В случае & = 1 уравнение траектории
y+g. G)
При значениях & > 1 расстояние с возрастает, у —> 6, ж —>• оо.
При значении & = 1 имеем с —> 6/2. В случае к < 1 искомая кривая
пересекает прямую у = Ь.
1.1.5. Найти расстояние c(t) между точками А и В в случае fc = 1.
Решение. Вычислим производную dc/dt. Дифференцируя с2, полу-
получим
ее = —F — у) у -\- (ut — х) (и — х) = ~vc + &сж —>• с = —^ + ^ж-
Отсюда находим новое представление функции с = b-\-kx — vt. Исклю-
Исключая производную ж-координаты, получим уравнение
ее
е = —2vc + (и2 — v2) t
которое линейной заменой аргумента приводится к интегрируемому
однородному уравнению.
В частном случае v = и получим неявную зависимость c(t):
При ut ^> b имеем с « F/2) [1 + exp [—{Avt/b + 1)]]. Таким образом,
с-^ (ft/2).
1.1.6. Расстояние меж:ду двумя движущимися частицами постоян-
постоянно, т.е. \r2(t) — r1(t)\ = С. Показать, что rri = rr2, где r(t) = r2(t) —
()
()
Решение. Дифференцируя соотношение (r2 — riJ = G2, получим
rvi = rv2.
1.1.7. Нить перекинута через вертикальную стенку и прикреплена
к частице. Найти ее скорость, если нить тянуть со скоростью и. Угол

11]
Кинематика
13
между нитью и горизонтальной пря-
прямой равен a(t) (рис. 1.1.7).
Решение. Координата частицы
x(t) = h ctga, а длина нити l(t) =
= h/sina. Очевидно, что / = —и.
Следовательно,
х = —
h
sin a
а = —-
cos a
Рис. 1.1.7
Получите этот результат, используя решение задачи 1.1.6.
1.1.8. Концы стержня длины / скользят по двум направляющим,
образующим прямой угол, причем хв = ut (рис. 1.1.8). Найти уравне-
уравнение траектории, скорость и ускорение точки С (середины стержня).
Решение. Координаты точки С х = A/2) cos а, у = A/2) sin а.
Исключая a(t), получим уравнение траектории х2 + у2 = A/2J. По-
Поскольку / cos a = ut, то
I
х = --
у = - cos a • а =
• _ u
'a~~ 2'
и ut
 VlT^
1.1.9. В точке возврата О циклоиды х — а((р —
у = —а A — cos<£?), —тг ^ (р ^ тг, подвешен математический маятник
длиной /. При качании в плоскости ху часть нити маятника прилегает
У
О
Рис. 1.1.8
к дугам циклоиды. Показать, что при / = 4а маятник движется по
циклоиде.
Решение. Пусть Т — точка касания нити и циклоиды с координата-
координатами ж, у (рис. 1.1.9). Длина дуги
8=\ X'2 + y'2 ,
0
=Aa(l-
cos |

14 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Угол 7 между отрезком касательной ТМи вертикалью определяется
соотношением tg G + я"/2) = dy/dx : 7 = ^/2. Следовательно, коорди-
координаты маятника
х\ = х -\- (I — s) sin 7 = а, ((р + sin у?) + (/ — 4а) si
yi = у — (I — s) cos 7 = — а C + cos у?) — (/ — 4а)
Полагая / = 4а, находим, что х±, у\ связаны уравнением циклоиды.
Поскольку длина дуги ЕМ равна si = 4а sin у?/2, то у\ = —4а+ 8^/8а.
1.1.10. Частица движется по эллипсу в плоскости ху. Проекция
секторной скорости az постоянна. Найти x(t), y(t).
Решение. Условия задачи имеют вид
Вводя параметрическое представление уравнения эллипса: х = a cos £,
у = b sin £, получим из A) £ = Baz/ab) t + Co- Следовательно,
Со), У = Ь sinf-^ t + (о) •
х = a c
1.1.11. Вектор v может быть разложен по трем некомпланарным
векторам а, Ь, с: v = аз. + /ЗЪ + 7е- Найти коэффициенты а, /3, 7-
Решение. Умнож:им v на вектор [be]. В результате получим
_ V [Ьс] _ emnsVmbnCs
а [Ьс] SmnsCLmbnCs '
Аналогичным образом найдем /3 и 7-
1.1.12. Зависимость x(t) определяется уравнением
х = a sin (wt + кх), х@) = 0.
Найти x(t).
Решение. Запишем уравнение в параметрической форме
х = a sin £, cut = £ — ка sin £.
Поскольку x(t) — периодическая функция, то ее можно разложить
в ряд Фурье:
оо
х = хп sinnuit,
71 = 1
Т 2тг
хп = — \ x(t) sinnuit dt = — x(t) sinncut — d£.
* J ^ J ^s

1.1] Кинематика 15
Интегрируя по частям, получим
2тг 2тг
1 Г dx а Г
хп = — — cos nuot d^ = — cos £ cos [n(£ — ka sin £)] <i£.
ТГТЪ I йц ТГТЪ I
о о
Далее, в подынтегральном выражении пишем cos£ = (cos£ — 1/ka) +
-\-l/ka . Тогда интеграл от первого члена равен нулю. Используя опре-
определение функций Бесселя, получим [4]
2тг
If . 2
xn = —- cos \n (£ — ka sin £I d£ = —- Jn(nka).
тгтък J L vs /J ъ nk v y
о
Следовательно,
OO r>
Jn{nka) sin mot.
оо
ПК
п=1
При z <C n значения функции Бесселя весьма малы [5]:
Поэтому при ka <С 1 ж(£) — a [sin o;t -f (ka/2) sin 2o;t + ...].
1.1.13. Ортогональный репер efx(t) вращается относительно непо-
неподвижного репера е\ (Л = 1, 2, 3). Найти угловую скорость подвижного
репера.
Решение. Компоненты одного и того лее вектора v в двух системах
координат связаны преобразованием
v'i=Aik(t)vk, A)
где Aik(t) — матрица, определяющая ориентацию подвижного репера
относительно неподвижного, причем detA = 1. Поскольку vf = v'?, то
hikKs = hs, B)
т. е. обратная матрица ЛГ1 = Ajk совпадает с транспонированной.
Запишем вектор v в виде разлож:ения по базисам е\ ие'А. Тогда
v'ie'i = viei. C)
Подставляя A) в C), получим
ei=Akie'ki е[=Аъкек. D)

16
Уравнения Ньютона
[ Гл. 1
Очевидно, матрица 7ы = Л^ = Л^1 позволяет представить новые
базисные векторы е^ в виде линейной комбинации старых векто-
векторов е\ : e'i = 7fciefc- Элементы 7ы являются направляющими коси-
косинусами: 7ы = e'kei.
Обратное преобразование следует из A) после умножения на Л^:
= vs.
E)
Рассмотрим подвижную систему как твердое тело и предположим,
что v[ — постоянные величины. Тогда компоненты вектора v(t) =
= Vi(t)ei являются функциями времени. Дифференцируя E), получим
va =
F)
Введем тензор
и запишем F) в виде
Va = Ul3aV{3. G)
Дифференцируя условие ортогональности преобразования Л7/дЛ7СК =
= 5ар, получим уравнение Л7/дЛ7СК + Л7/дЛ7СК = 0, из которого следует,
что ujap является антисимметричным тензором: соар = —и}ра. Сле-
Следовательно, Шар определяется тремя функциями — вектором угловой
скорости вращения
(t) (8)
(9)
A0)
Таким образом, компоненты угловой скорости твердого тела
Записывая ea/g7eMi/7 = SajJbSj3u —
находим соотношение
Подставляя A0) в G), получим va = sa7pL07vp, следовательно,
v(t) = [«(t)v(t)]. (И)
Компоненты тензора преобразуются по закону A):
^ Ajk —
1.1.14. Частица движется по прямой r(t) = b + u(t), bu = 0. Найти
угловую скорость частицы.

1.1] Кинематика 17
Решение. Расположим плоскость ху перпендикулярно вектору [bu].
Выберем оси координат так, чтобы b = @, 6, 0), и = (и, 0, 0). Совме-
Совмещая ось х' подвижной системы отсчета с прямой, проходящей через
начало координат и частицу, получим матрицу преобразования (г =
62 + {ut
л =
-1
1
г
ut
-b
0
6
ut
0
0
0
1
, л-1
-1
1
r
ut -b 0
b ut 0
0 0 1
Следовательно, тензор
, 0-10
A-i; bu ^00
— — 2 2 2
6 +ui 0 0 0
определяет вектор угловой скорости 17 = [bu]/r2.
1.1.15. Два вращающихся базиса. В теории гироскопов при-
приходится вводить несколько вращающихся базисов: е^а^ — неподвиж-
неподвижный базис, e(b\t), e(c\t) — два подвижных базиса. Матрица S^ba^
определяет переход от базиса е^а^ к базису e^(t), матрица R^cb^ —
переход от базиса е^ (t) к базису е^с^ (t). Найти тензор угловой скорости
базиса e(c\t) относительно базиса е^а^.
Решение. Пусть р(са) = R(cb^ S^ba^ — матрица преобразования
базиса е^а) в базис е^с\ Обозначим ио^са^ — тензор угловой скорости
базиса е(с) (t) относительно базиса е^а^, а/с6) — тензор угловой скорости
базиса e(c\t) относительно базиса e(b\t), oo^ — тензор угловой ско-
скорости базиса e^b\t) относительно базиса е^а^. Вычисляя производную,
получим
РтР = STRT (RS + RS).
Согласно определению а/са) = РТР, uj^ba^ = STS — компоненты
тензоров в базисе е^а\ uo^cb^ = RTR компоненты тензора в бази-
базисе e^b\t). Следовательно,
«Абсолютная» угловая скорость базиса e^c\t) равна сумме угловой
скорости базиса eSc'(t) относительно базиса e^(t) и «абсолютной»
угловой скорости базиса e^b\t). Компоненты вектора угловой скорости
, Аса) _ 1 Г (cb) q q (ba)]
1.1.16. Найти скорость и ускорение частицы в цилиндрических
координатах.

18 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
1.1.17. Частица движется в плоскости z = 0 по логарифмической
спирали р = aekip с равной нулю радиальной составляющей ускорения.
Найти v = v((p), tp(t), (f(t).
Решение. Используя уравнение траектории, найдем
(к, 1, 0). A)
Из условия задачи р — р(р2 = 0 получим уравнение
кф + (А;2 - 1) ф2 = 0. B)
Пусть начальные условия имеют вид (р@) = 0, ф@) = ujq. Поскольку
ф = — <^, то из B) следует уравнение
dip
[(i-*H- <з>
решение которого
Подставляя C) в A), получим v(^) = auj^e^^ (к, 1, 0). Возвращаясь
к уравнению B), найдем
и0 к k2 1
1.1.18. Частица движется в плоскости z = 0 по гиперболе у =
= с2/х. Проекция секторной скорости crz постоянна. Найти интервал
времени Д£, за который частица сместится из точки с координатой х\
в точку с координатой х^ {хъ > х\).
Решение. Поскольку Х2 > #i, <£>2 < <£ъ то az = — &о < 0- Следова-
Следовательно,
-а0 = - (ху - ху) = -— х. A)
Z X
Интегрируя, находим
(У О Х\
Одновременно мы обнаруживаем любопытное свойство гиперболы.
Учитывая, что az = р2ф/2, получим
- р2 dtp — у{х) dx.
Таким образом, площади ОА1Л2О и х\А\Ачх<1 на рис. 1.1.18а одинако-
одинаковы.

1.1]
Кинематика
19
В безразмерных переменных у' = у /с, х' = х/с уравнение гипер-
гиперболы у' = 1/х'. Площадь заштрихованного криволинейного треуголь-
треугольника на рис. 1.1.185 S — In ж'. Если площадь S = 1, то х' равен осно-
основанию натуральных логарифмов е. В нашем случае площадь S растет
линейно: S = а/£, си = (То/с2. Действительно, из A) получим х' = ешЬ.
По существу мы пришли к определению экспоненты, аналогичному
1 х'
б
Рис. 1.1.18
определению тригонометрической функции cos cot как проекции на ось
конца вектора, «заметающего» сектор площадью cot.
1.1.19. Найти скорость и ускорение частицы в сферической системе
координат.
Решение. В сферических координатах радиус-вектор г = гег, а уг-
угловая скорость сферического репера ег, е#, е^ равна 17 = ве^ + ф^г-
Учитывая, что ez = cos# er — sin# e#, получим Q = ф cos# er —
— ф sin в ев + Ое^. Следовательно,
ёг = [Пег] = See + ф sin в е^,
ее — [Пев] = —0ег + ф cos в е^,
ё(р = [fte^] = — ф sin в ег — ф cos в eg.
Дифференцируя, находим
^ г sin 0 <^
г = гег
гёг = гег
г = (г - гв2 - г sin26> ф2) ег + (^ -^ г2в - гф2 sin в cos 6>
dt

20 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
1.1.20. Частица движется по поверхности сферы. Скорость ча-
частицы образует постоянный угол а с меридианом. Найти уравнение
траектории.
Решение. Очевидно, что
_ ув _ в _ 1 d6
Vp sin в ф sin в dip
Интегрируя, находим
п
tg- = С ехр(<£ ctga). A)
Кривая A) называется локсодромией.
1.1.21. Частица движется по кривой ха = xa(s), где s — длина
дуги. Записать скорость и ускорение частицы в естественных коорди-
координатах.
Решение. Свяжем с пространственной кривой репер, образованный
единичными векторами ei, е2, направленными по касательной, норма-
нормали, и вектором ез = [е^]. Скорость и ускорение частицы
dr . dr ...
v = Tss = seu ei = d7' A)
r = sei + sei.
Поскольку el = 1, то ei —~ = 0. Следовательно, вектор -—- перпен-
CbS (JLS
дикулярен вектору ei. Введем единичный вектор в2, направленный по
главной нормали соотношением
! __ dei _ d2r
~RB2~ ds ~ ds2 '
где R — радиус кривизны. Тогда
B)
r =
Третий орт е3 = [ехвг] параллелен бинормали [6]. Очевидно, е2 =
= [езвх]. Подставим в эти соотношения A), B), получим
ез = тз ["], е2 = Т4 [[гг]г].
S S
Из последнего равенства следует выраж:ение для радиуса кривизны
-ij = i-6 [rf]2 = Г^ ^|12 = Г6 \г2г2 - (ггJ1.
Я2 L J Us ds2l L V ' J

1.11
Кинематика
21
1.1.22. Частица движется в плоскости z = 0 по логарифмической
спирали р = Сек(р с постоянной проекцией секторной скорости az =
— сто > 0. Найти тангенциальную и нормальную компоненты ускорения
как функцию р.
Рис. 1.1.22
Решение. Пусть а — угол между тангенциальным ортом ег и осью х.
Тогда декартовы компоненты ортов (рис. 1.1.22)
Поскольку
то
er = (cos a, sin а, 0), en = (—sin а, cos а, 0),
ер = (cosy?, sin у?, 0), е<^ = (-sin у?, cosy?, 0).
г = wTeT + wnen = wpep + г^е^,
wT = wp cos ц + Wy sin ji,
wn = —wp sin ц + Wy cos ji,
(i)
B)
где /i = a — <p — угол меж:ду ортами er и ер. Заметим, что по
определению логарифмической спирали к = ctg ii.
Согласно условию w^ = 0,
следовательно,
Wo =
BaoJ
C)

22 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Из A)-C) находим
Отметим, что p(t) > 0, p(t) < 0.
1.1.23. Частица движется в плоскости z = 0. Тангенциальная w\
и нормальная w<i компоненты ускорения постоянны. Найти уравнение
траектории. Начальные условия г@) = 0, v@) = (vq, 0, 0).
Решение. Согласно условию
Умнолсая первое уравнение на s, получим первый интеграл
s2 = vl + 2w1s. B)
Следовательно,
R= — (yl + 2wi8). C)
Радиус кривизны R = ds/da, где а — угол между ортом ег, касатель-
касательным к траектории, и осью х:
u>2 v y
da
Из этого уравнения находим
.(а) = ^(^-1),
где /и = Wi/w2. Найдем теперь решение уравнения dr/ds = ег:
dx ds v0 2ка
-г- = -г- cos а = — cos a e ,
аа da W2
dy ds . vl . 2А,а
-г— = -r- sin а = — sin а е^к«.
da da W2
Интегрируя, получим уравнение траектории в параметрической форме
2
х = xq Н г—^ ~т- Bk cos a + sin а) е2ка,
w2{l + 4k2) y J
2
У = У° Н //° ,,24 B^ Sin a ~ COS Л) е2кСХ1
и>2 A + 4А; )

Кинематика
23
1.1.24. Найти угловую скорость вращения ортогонального репера,
связанного с пространственной кривой ха = xa(s).
Решение. Найдем производную
de3 Tdei I . Г de2] Гг -, de2~\
~di = ЬН + [ei 1п\ = [[е2ез] -lil = "
Введем кручение кривой [6, 7]
de2
Л;
ds3
и кривизну кривой k = R \ Тогда de%/ds = — хв2- Аналогичным
образом мож:но показать, что d^/ds = —ke\ + >^ез. Таким образом,
где о? — угловая скорость трехгранника Френе, а? = ke% +
1.1.25. Самолет садится на корабль, движущийся со скоростью Vi
в восточном направлении. Скорость ветра V2 направлена на север.
Самолет снижается по отношению к кораблю вертикально со скоро-
скоростью Уз- Определить скорость самолета по отношению к движущемуся
воздуху.
Решение. Скорость точки а в системах отсчета S и 5', движущихся
поступательно относительно друг друга, можно записать в виде vos =
— vaS' +VS'S? где vo6 — скорость тела а относительно тела Ь. Очевидно,
vab = — Vfco. Обозначая буквами М, К, В, С соответственно море,
корабль, воздух и самолет, получим
= vck - vbk = vck - vbm 4-
Поскольку векторы в правой части взаимно перпендикулярны, то
12 3
1.1.26. Окружность равномерно вращается вокруг оси, которая
проходит через одну из ее точек и расположена перпендикулярно ее
Рис. 1.1.26

24
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
плоскости. По окружности движется частица со скоростью Vq относи-
относительно окружности. Найти скорость частицы в лабораторной системе
отсчета.
Решение 1. В инерциальной системе координаты частицы
(рис. 1.1.26а) х — a cos £lt + a cos (Ш + в), у = a sin Ш + а sin (Ш + 0),
здесь а — радиус окружности, Ct — угловая скорость вращения, 6(t) —
известная функция времени. Дифференцируя, находим
х = -аи sinfit- a(il
у = аи cosut + а(п
= a2ft2 + а2 (п + <9J
соз(Ш
cos 0.
A)
Решение 2. Выберем неинерциальную систему отсчета с началом
в точке О (рис. 1.1.265). Тогда v = [£2r']+r',r' = (a+a cos0, a sin0, 0),
г' = ав(- sin (9, cos (9, 0). Величина v2 = [fir']2 + 2 [г;г7] П + г/2 =
= 2Г^2а2 A + cos0) + 2а2Г^0 A + cos0) + «202, разумеется, совпадает
сA).
Решение 3. Выберем неинерциальную систему отсчета с началом
в точке С. Тогда г = а + г;, а = [На],
Проекции векторов на оси подвижной системы отсчета а = (а, 0, 0),
г' = (а cos0, а sin0, 0), г' = ав{- sin0, cos0, 0).
1.1.27. Найти скорость, с которой диск движется вдоль оси ж, если
частица, перемещающаяся по оси у, скользит по его ободу (рис. 1.1.27).
Решение. Введем две системы координат S и S' с началом в центре
диска радиуса а. В момент времени t = 0 обе системы координат совпа-
совпадают. В предположении, что частица дви-
движется с постоянной скоростью х = 0, у =
= a — vt. Используя преобразование Галилея,
получим
0 =
+х\
а — vt = у'.
х х> Поскольку точка (ж', у') должна лежать на
окружности, то х2о, Н- (а — vtJ = а2, следо-
следовательно,
Рис. 1.1.27
xof = Bа — vt) vt,
(а — vt) v
0 < t ^ — ,
vO' =
V'{2а- vt)vt
1.1.28. Радиус-вектор частицы изменяется по закону r(t) =
= (f(t), 0, 0). Найти закон движения и уравнение траектории частицы

1.2]
Одномерное движение
25
в системе отсчета, вращающейся вокруг оси z. Начала координат си-
систем ж, 2/, z и ж', у\ z1 совпадают.
Решение. Пусть система координат S неподвижна, а система ко-
координат Sf вращается вокруг оси z в направлении движения часовой
стрелки. Координаты частицы в системах S и 5" связаны преобразова-
преобразованием
х1 = х cos fit — у sin Ш, у' = х sin Ш + У cos Ш.
Следовательно, х1 = /(£) совШ, у' = /(£) втШ. Полагая Ш = <р,
получим уравнение траектории в полярных координатах
-'GO-
A)
У
Если изготовить эксцентрик, профиль которого определяется функци-
функцией A), то появляется возможность преобразовать равномерное враща-
вращательное движение в поступательное движение стержня, скользящего
по оси х.
1) Улитка Паскаля. Положим f(t) = с + а совШ. Уравнение кривой
р — с Л- a cos (p. Равномерно вращательное движение эксцентрика
преобразуется в гармонические коле-
колебания стержня.
2) Кардиоида. Полагая f(t) =
— а A -Ь совШ), получим профиль
р(<р) = а A + cos <p) — уравнение
кардиоиды.
3) Спираль Архимеда. Положим
f(t) = vt. Уравнение профиля
р(<р) = v<p/£l. Вращательное дви-
ж:ение преобразуется в равномерное
движ:ение стержня.
4) В технике особую роль играет
логарифмическая спираль р = аек(р.
Если лезвие ножа очерчено по дуге
логарифмической спирали, то угол ц
между осью х и касательной к дуге
в точке пересечения ее с осью х со-
сохраняет постоянное значение (рис. 1.1.28) (это обстоятельство весьма
важно для создания постоянного давления в процессе резания). Дей-
Действительно, ctgu = —— = к [31.
р d(f L J
1.2. Одномерное движение
1.2.1. Найти решение уравнения тх = F(t) в терминах функции
Грина [8, 9].
Решение 1. Запишем уравнение в виде
Рис. 1.1.28
Lx(t) =
L — га-
dt2
A)

26 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Вводя обратный оператор L, запишем решение A):
1 B)
Будем понимать под функцией Грина G(t, tf) результат мгновенного
воздействия «силы» 6(t — tf) в момент времени tf. Тогда
G(t, t') = L-18{t-tt). C)
Как с помощью функции Грина выразить результат преобразования B)
заданной функции F(t)l Для этого представим F(t) в виде
F(t)= | dt' F(t'N(t-t').
— ОО
Следовательно,
оо
x(t) = L-1 | dt' F(t'M(t-t') =
— ОО
ОО
= | dt' F(t')L-1S(t-t')= | dt'G(t,t')F(t'). D)
Функция Грина C) удовлетворяет уравнению
mG = S(t - tf) E)
с начальными условиями
G(t = tf -e, tr) = 0, G(t = tf -e, tf) = 0. F)
Проинтегрируем уравнение E) в пределах tf — е ^ t < tf + е, где е —
бесконечно малое время. В результате получим
т
dG
dt
t' — e
G)
т.е. при t = tf имеем конечный разрыв. Поэтому функция G(t, tf)
непрерывна при t = tr:
6?|J^ = O-^6?(t; + e, O = 0. (8)
Следовательно,
л _ о, t< f,
'>- At + B, t>t'.

1.2] Одномерное движение 27
Из начальных условий G), (8) получим А = т~\ В = — At' = —m~ltr.
В результате находим
G(t, tf) = O(t-t')-(t-tf), (9)
777/
здесь в (г) — разрывная функция Хевисайда,
^^~ 0, т<0.
Подставляя (9) в D), получим решение A)
t
x(t) = - f dt' (t-t')F(t'). A0)
777/ J
Этот результат согласуется с принципом причинности — координата
в момент t зависит только от значений функции F(t) в предыдущие
моменты времени [10].
Разумеется, зависимость x(t) может быть получена двухкратным
интегрированием A)
t tX
(t) = — [ dt! I dt2F(t2).
777- J J
— oo —oo
Изменяя порядок интегрирования, получим
t t t
x(t) = — I dt2F(t2) I dt± = — I dt2{t-t2)F{t2).
Tfl J J 777- J
— oo t2 —oo
Решение 2. Если L — линейный оператор, то для определения
функции Грина удобно использовать метод Фурье-преобразования. По-
Поскольку A) является уравнением с постоянными коэффициентами, то
функция Грина зависит только от разности t — tr:
G(t,t') = ^Gae-Mt-f\ (И)
— OO
Учитывая, что
oo
S(t-t')= I ^е-™«-*'\ A2)

28 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
находим после подстановки A1), A2) в E) Сш = — (тиз2)~\ т.е.
Это выражение не определено, пока не задано правило обхода полюсов.
Поскольку G(£, tf) = О при t < tf, то контур интегрирования следует
замкнуть в верхней полуплоскости переменной из. Это обстоятельство
можно учесть, сдвигая полюсы в нижнюю полуплоскость из. С этой
целью производят замену из —> из + is,
A3)
Таким образом, аналитичность функции Грина обусловлена принци-
принципом причинности.
1.2.2. Броуновское движение. Одномерное движение частицы
в среде описывается уравнением
тх
где F(t) — случайная сила, с которой среда в результате теплового
движения воздействует на частицу. Средние по ансамблю значения
(F(t)) = 0, (F(t)F(t')) = 27kBT S(t - t'),
где Т — температура среды, кв ~ постоянная Больцмана. Найти кор-
корреляционную функцию g(r) = (v(t) v(t -Ь т)) и значение среднеквад-
среднеквадратичного смещения частицы.
Решение. Решение исходного уравнения
x(t)= J dt'G[t-t')F[t')
представим в терминах функции Грина G(t — t'), удовлетворяющей
уравнению
e~iu}t
2тгга J (из + ij/m) (из ■
— оо

1.2] Одномерное движение 29
Следовательно,
оо
dt'G(t-t')G(t + r-t') =
тгт2
Интеграл вычисляется методом теории вычетов. При значениях т > О
контур интегрирования в комплексной плоскости ио = uor -\- гио"
следует замкнуть в нижней полуплоскости, при т < О контур за-
замыкается в верхней полуплоскости. В результате получим g(r) =
= (квТ/m) exp (-|r|7/m). При г = 0 имеем (mv2/2) = kBT/2.
Найдем теперь средний квадрат смещения за промежуток време-
времени t:
t t
(Ах2) = ([x(t) - ж@)]2> = Jdtj \dt2 g(t2 - h) =
о о
= B1квт/,) Т Ц ^;тЛ ■
J w (m oo + 7 )
— oo
При t ^> m/7 получим (Аж2) = BквТг//у). Здесь мы использовали
соотношение
оо
-^ f(uo) A - cosoot) —> t7rf(O) при t—> оо.
J W
— 00
В случае сферической частицы коэффициент 7 вычислил в 1851 г.
английский ученый Дж. Стоке: 7 = бтгтуа, где а — радиус сферы, г] —
коэффициент вязкости.
В теории броуновского движения необходимо вычислить основную
характеристику — средний квадрат смещения (Дж2) = BквТЬ//у).
Эта задача впервые решена А. Эйнштейном в 1905 г. Он показал, что
(Дж2) = 2Dt, где D — коэффициент диффузии. Следовательно, D =
= квТ/^. В серии экспериментов, проведенных в 1908 г., французский
физик Ж. Перрен измерял расстояния ж, на которые перемещалась
частица каждые 30 с. Вычисляя средний квадрат смещения, Перрен
нашел значение постоянной Больцмана и определил число Авогадро
(Нобелевская премия, 1926 г.). Это был решающий эксперимент, убе-
убедивший ученых в существовании молекул.
Задачу о случайном блуждании можно свести к уравнению

30 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
где p(t, х) — плотность вероятности нахождения частицы в точке х
в момент времени t [52]. При начальном условии р@, х) = 5@) решение
уравнения A)
/. ч 1
Средний квадрат смещения
оо
(Ах2) = [ dxx2p(t, x) = 2Dt.
— оо
1.2.3. Частица движется в потенциальном поле U(x) = —Uoex/a.
Найти x(t). Начальные условия — х@) = 0, х@) = vo ^ 2Uo/m •
Решение. Из интеграла энергии получим уравнение
I тх2 - Uoex/a = Е, Е = \ mv\ - Uo.
Предположим, что Е > 0. Вычислим интеграл
dx
Г
J
—- sh~2 \(T — t) - -— ,
Uo L a m J J
Таким образом, частица уходит в бесконечность за конечное вре-
время Т. Следует отметить, что решение нелинейного уравнения тх =
= —- ех1а содержит движущуюся особенность, зависящую от началь-
ных условий [11].
Пусть Е = 0. Тогда получим уравнение х = v$exl2a, из которого
следует x(t) = —2а In f 1 — ir-t)- Частица достигает бесконечности за
время to = а 2т/Uo •
1.2.4. Частица движется в поле U(x) = —Щ ch~2kx. Найти x(t),
если полная энергия Е = — Ео < 0.
Решение. Из закона сохранения энергии получим уравнение
- тх2 — Uo ch~2hx = —Eq.

1-2]
Одномерное движение
31
Переходя к переменной интегрирования z =
Ео
- Ео
sh kx, получим
1 i
— sin (cut + а), си = к
т
Период движения можно вычислить независимо:
Т = 2
dx
хг -[Е- U(x)}
III
2тг
Т
здесь #i, #2 — корни уравнения Е1 — /7(ж) = 0.
1.2.5. Потенциальная энергия частицы (рис. 1.2.5)
с2 \x3
"(*) = -— +зГ •
Начальные условия ж@) = 0, ж@) = Л, Л = Зет/Л. Найти решение
уравнений движения ж(£).
Решение. Полная энергия Е = 0.
Из графика потенциальной энергии вид-
видно, что имеем две точки поворота х = 0
и ж = А. Частица начинает смещать-
смещаться в отрицательном направлении оси х.
Поэтому из первого интеграла энергии
получим уравнение
х = -/(ж),
Производя подстановку А — x = z2, по-
получим
dx 2 dz dz
Щх)
*/_
За х
X
Рис. 1.2.5
x y/A — x A — z
Следовательно,
. у/А + у/A - x a . Л
out = \n^= ;==, u= —^x(t) = ^2
ch2ut/2
Очевидно, при cut ^> 1 частица прибли^сается к окрестности начала
координат.

32 Уравнения Ньютона [Гл. 1
1.2.6. Потенциальная энергия частицы (рис. 1.2.5)
2 л 3
ах лх
Начальные условия ж@) = 0, х@) = 6, хо < b < Зжо/2, хо = 2а/Х.
Найти решение уравнений движения x(t).
Решение. Из первого интеграла следует уравнение
/(*) = l(E-U), A)
III
III
где полная энергия Е = (Л62/б) (Ь - Зсг/Л) < 0.
Найдем вначале решение A) в случае движения частицы в окрест-
окрестности дна правой потенциальной ямы х = xq. Полагая х = ж о + q,
\q\ < жо, получим
В том же приближении положим b = xq + а, где а — амплитуда
колебаний, а <^С Xq. Полная энергия
сгх0 ста2 ста3 ^ стх0 ста2
Тогда из A) следует решение уравнения движения
x(t) = хо + a coso;ot, loq = — . B)
Перейдем теперь к интегрированию уравнения A). Найдем вначале
корни уравнения Е — U = 0:
х\ >Ж2>жз,жз<0. Точкам поворота соответствуют корни х\ и Ж2-
Функция /2(ж) — полином третьей степени:
f2(x) = ^ (Ж1 - ж) (ж - ж2) (ж - х3).
Для того чтобы представить интеграл в терминах эллиптического
синуса, произведем в A) замену переменных х = Х\ — (х\ — x<i) и2.
Тогда имеем
Г dz rt^ C)
о
_
_ A(a?i - ж3) ,2 _
— , К —
З
Зт х\ —

L2J_
Одномерное движение
33
Следовательно, решение уравнения движения
х = х1-{х1- х2) sii2(y'
D)
Получим приближенное решение B) из D). Полагая b = хо + а,
получим
— а,
4а
2 '
UJ :
Поскольку к <С 1, то sn(o;t/2, к) ж sin (о;£/2),
x(t) ж (жо -\- а) — 2а sin2f -^- J = жо + a cos o;ot.
1.2.7. Потенциальная энергия частицы (рис. 1.2.7)
2 Л 4
Г7у ч ах Ах
Щх) = -— + -Г.
F)
Начальные условия х@) = 0, ж@) = 6, 0 < b < жо, жо = сг/Л.
Найти решение уравнений движения x(t).
Решение. Из анализа начальных условий следует, что частица на-
начинает движение в положительном направлении оси ж. Поэтому из
первого интеграла получим уравнение
ж = /(ж),
Щх)
f(x)= i-(E-
A)
\
где полная энергия Е = —ab2j2-\-
+ Л64/4 < 0.
Найдем вначале решение A) в слу-
случае движения частицы в окрестности
дна правой потенциальной ямы ж =
= жо, т.е. при |ж — жо| <^С жо- Полагая
х = жо + q, b = Жо — а, получим
W(q) = U(x + q) = ~ + aq2
X
Рис. 1.2.7
а
Л
л 3 2
—— (а — 4жо) ^ ~7Т + аа •
Тогда из A) получим решение
x(t) = xq — а
2а
т
B)

34 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Перейдем теперь к интегрированию уравнения A). Представим
функцию /2(ж) в виде
f2(x) = ^ (х2 - х\) (х\ - ж2), хх = 6, х\ = -у - Ь2.
Переходя к переменной z = ж/ж2, получим эллиптический инте-
интеграл [131]
z
Г dz u>t C)
2 '
где о; = Х2 2А/га, fc7 = х\/х2- Интеграл в C) заменой переменной
z2 = 1 — к2и2, к2 = 1 — к'2 приводится к табличному эллиптическому
интегралу
uot _ cn(uit/2, к) ,.ч
~ ~2 ~^ U ~ dn(u;£/2, A;) ' ^ '
Здесь сп (</?, к) — эллиптический косинус — четная периодическая
функция с периодом 4/С, dn (</?, к) — эллиптическая четная периодиче-
периодическая функция с периодом 2К, К — полный эллиптический интеграл;
— 1 ^ сп((/р, /и) ^ 1, kr ^ dn (</?, fc) ^ 1. В обозначениях Глешера
сп (</?, fc)/ dn ((/p, /g) — это функция cd ((/p, к) [131]. Отметим, что
2' / ~
Из D) следует решение уравнения A):
/^ -. ^2 ы2Ы/2, к) /е.
V У dn2(o;^/2, A;)
Учитывая, что сп @, &) = 1, dn @, к) = 1, получим ж@) = х\.
Полезно получить приближ:енное решение B) из E). Полагая b =
= жо — а, получим
2 4а 2А _
Х\ — Жо — ft, Ж2 ^ Жо Н~ ft, fa tt , UJ tt Xq — ^0*
Xq УТЬ
Поскольку к < 1, то en (o;t/2, к) « cos (wt/2), dn (wt/2, к) « 1,
+ a) 1~( — ) cos2-^-^ жо — a coso;ot. F)
\ Жд / ^

1.2] Одномерное движение 35
1.2.8. Потенциальная энергия частицы (см. рис. 1.2.7)
Начальные условия ж@) = 0, ж@) = х2, Х2 — 2а/X. Найти решение
уравнений движения x{t).
Решение. В этом случае полная энергия Е — 0. Тогда точки пово-
поворота х = 0, х2. Введем обозначение и = х/х2- Из закона сохранения
энергии следует соотношение
, А Г ds 1 1 + Vl - и2 m
x2t -— = - —. = - In . . A)
l
Разрешая A) относительно ж, получим решение
, ч Ж2 ^ Л СГ
(^) П = Ж2 т^— = — •
2т т
При Ш ^> 1 функция ж(£) Pd 2^2 exp (—lit) стремится к нулю.
1.2.9. Потенциальная энергия частицы (см. рис. 1.2.7)
Начальные условия ж@) = 0, ж@) = а, а > х2 = 2а/Л. Найти
решение уравнений движения x(t).
Решение. В этом случае полная энергия Е = —аа2/2 + Ла4/4 >
> 0. Тогда точки поворота х\^ — =Ь&- Функция /2(ж) = (А/2га) (а2 —
- ж2) (ж2 + g), g-2 = а2 - 2сг/Л. Вводя функцию и = х/а, основной
и дополнительные модули [131]
»ъ — , . К —
g
/a* + g*'
получим из закона сохранения энергии соотношение
и
at X f dz
Следовательно, x(t) = a cn(a;t, k), uo = (a/k) X/2m =
= (A/ra) (a2 — а /Л). Период колебаний
= -\

36 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
подстановкой 1 — z2 = s2 приводится к полному эллиптическому инте-
интегралу: Т = АК(к)/со.
Если частица движется в потенциальной яме, соответствующей
потенциальной энергии U(х) = Аж4/4, то полагая а = О, получим к =
= 1/л/2 и решение
x(t) = a cn(ujt, —рJ, из = а —.
В этом случае полный эллиптический интеграл КA/\/2) = 1,85.
1.2.10. Частица движется в поле U(x) = —Uq cosx/l. Найти x(t),
если х@) = 0, х@) = — .
Решение. Полная энергия Е = Uq. Из интеграла энергии получаем
уравнение
х = vo cos ж/2/, vo = x@).
Произведем замену z = sin x/'21. Тогда
2/^=2/T = Wln
cos (ж/2/) 1-z 1-z
После интегрирования находим
vot . 1 + sin x /21
следовательно, sin — = th —- . При t —у оо х —у тг/. Функция U(х)
представляет собой потенциальную энергию математического маят-
маятника, где х — длина дуги. В теории солитонов решение A) обычно
представляют в виде
1.2.11. Частица движется в поле потенциального барьера U(x) =
= Uo exp (— |ж|/а) с полной энергией Е > Uq. Найти разность между
временем движения от х\ = — оо до Х2 = оо в поле барьера и временем
свободного движения с той же энергией.
Решение. Искомая разность
т = hm — ах
т Г
y/E-U(x) \ГЁ
— Li
Вычисляя интеграл, находим
2m .
= 2а -=- In

1-2]
Одномерное движение
37
1.2.12. Частица движется в неконсервативном поле. Потенциаль-
Потенциальная энергия частицы U(t, х) = —ах4/2 — btx2/2 + сх/2, t ^ 0. Найти
решение уравнения движения при значениях параметров а = т/ Ь2т2,
b = m/т3, с = mL/т2.
Решение. Переходя в уравнении движения
с, Q
тпх = 2ах + btx — -
к безразмерным переменным х = Lz, t = rs, получим
ds2 1Z + SZ 2 •
Это уравнение возникает в процессе нахождения автомодельных ре-
решений уравнения Кортевега—де Вриза после преобразования Миуры.
Можно проверить, что решение имеет вид z{t) = din F(ps)/dt, где р =
= 2~1//3, F(u) удовлетворяет уравнению Эйри d2F/du2 + uF = 0:
F(u) = v^
Здесь J±i/s( - u3/2 j — функции Бесселя [4, 5].
1.2.13. Частица движется по кольцу, расположенному в верти-
вертикальной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен ji. Найти
зависимость величины скорости от координаты частицы.
Решение. Выберем в качестве координаты угол в между отрез-
отрезком О А и радиус-вектором ОМ (рис. 1.2.13). На частицу действуют си-
сила тяжести, сила реакции N и сила тре-
трения F = —jiNvjv. Из второго закона
Ньютона
mr = mg + N — fiNv/v
в проекциях на касательную и нормаль
к окружности имеют вид
mR9 = mg cos в — fiN, A)
mRO2 = N-mg sin(9, B)
Рис. 1.2.13
где R — радиус окружности, в = со —
угловая скорость. Перейдем в A), B)
к переменной в: в = {duj/dO)uj. Исключая N из A), B), получим
уравнение
du
= —2fiuj2 + 2uJq (cos в — fi sin в),
C)

38 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Wq = g/R. Пусть в начальный момент времени частица находится
в точке Л, о;@) = ft. Решение уравнения C)
~2"е + ттЬ [3мС08в+A -V) sin(?] •
Полагая в = тг, о;(тг) = 0, найдем начальную скорость vo = SIR,
которую необходимо сообщить частице, для того, чтобы она достигла
точки В:
2 _ ^
1.3. Интегрирование уравнений двилсения
1.3.1. Тело движется в среде, сила сопротивления которой про-
пропорциональна квадрату скорости. В начальный момент времени тело
покоилось на высоте Н от поверхности Земли. Найти зависимость
скорости и вертикальной координаты от времени.
Решение. Выберем начало числовой оси z на поверхности Земли
и направим ось вертикально вверх. Из второго закона Ньютона тг =
= mg - kr |r| находим уравнение mz = —mg + kz2, которое удобно
записать в виде
• 2
z = -g(l - ^2 J, с2 = mg/k.
Очевидно, с — скорость установившегося движения. Полагая z = v1
находим решение
z(t) = -c th^. A)
Заметим, что th# = 1 — 0,005 при х ~ 3. Следовательно, через
промежуток времени t > Sc/g скорость тела становится равной с.
Интегрируя A), получим
H ^
Поскольку при х <^ 1 сЬж~1 + ж2/2, In A + х) ~ х, то в интервале
t <^С с/g влияние сил трения еще не проявляется: z(t) ^ Н — gt2/2.
Скорость тела в момент Т падения на Землю
z(T) = -c 1
1.3.2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью г?о-
Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости те-
тела. Найти решение уравнений движения.

1.3] Интегрирование уравнений движения 39
Решение. А. Подъем тела. Начало координатной оси z, направ-
направленной вертикально вверх, находится на поверхности Земли. Из второго
закона Ньютона получим уравнение
с2 = mg/k. Начальные условия z@) = 0, £@) = ^о- Полагая £ = v,
получим уравнение первого порядка, решение которого
-• а)
Из условия z(ti) = 0 найдем время подъема тела на максимальную
высоту t\ = ас/g. Интегрируя A), имеем
B)
() (
v ' g \ cos a
Максимальная высота подъема Н = z(ti),
g cos a
При v0 <^i с высота подъема Я = vl/2g.
В. Падение тела. Согласно решению задачи 1.3.1
z(t) = -с th- (t-tx),
о
= -— In [cos a ch^it-h)]. C)
g V с J\ v J
Полагая zfa) = 0, найдем время падения Т = t<i — t\ из уравнения
cos a chgT/c = 1. Величина скорости в момент падения на землю
vm = с th — = с sin а = ° = . D)
Учитывая D), представим Т в виде
~ 2g П c-vo '
Очевидно, время падения больше времени подъема тела.

40 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
1.3.3. Падение капли. Силу сопротивления воздуха, действую-
действующую на сферу радиуса а, вычислил в 1851 г. английский ученый
Дж. Стоке: F = —(ytrrjav, где rj = 1,825 • 10~5 кг/(м-с). Закон Стокса
дает удовлетворительную точность при значениях числа Рейнольдса
Re <C 5, Re = 2avp/r}: р — плотность воздуха. Найти решение уравне-
уравнений движения капли при падении с высоты Н.
Решение. Наиболее характерный размер облачных капель 5-10 мкм,
концентрация капель — 100-200 в I см3. Поскольку плотность воды
больше плотности воздуха, то водяные капли должны падать. Почему
же не все облака дают осадки? Рассмотрим движение капли массой га.
На нее действуют сила тяжести, сила сопротивления воздуха и вы-
выталкивающая сила, которой можно пренебречь по сравнению с силой
тяжести.
Направим ось z вертикально вверх, начало координат находится на
поверхности земли. Из второго закона Ньютона получим уравнение
m'z = —mg — Girrjaz. A)
Начальные условия z@) = H, i@) = 0. Положим г = 6тгг)а/т =
= 2ра2 /(9rj), где р — плотность воды. Тогда уравнение A) приобретает
вид
v0 = gr. Отсюда находим
z(t) = vo[e-t/T-l], B)
z(t) = H + vOT(l-e-t/T)-vot. C)
При увеличении скорости растет сила сопротивления и ускорение
уменьшается. Через конечный промежуток времени г ускорение при-
приближается к нулю, а величина скорости — к постоянному значению vq.
В этом случае сумма всех сил равна нулю: при t ^> r координата капли
z(t) -> Н - vot.
При падении капли воздух будет перетекать снизу вверх. Мож-
Можно учесть реакцию воздуха на ускорение капли, вводя эффективную
массу, равную сумме массы капли, и присоединенной массы. В случае
сферической поверхности присоединенная масса равна половине массы
вытесненной среды — воздуха.
Почему «плавают» облака? Пусть на высоте Н = 600 м образова-
образовалась капля радиуса а = б мкм. Вычисляя г = 4,4 • 10~4 с, получим
значение установившейся скорости падения ^о = 4,4 мм/с = 16 м/час.
Капля могла бы достигнуть поверхности Земли за интервал времени
Т = H/vo, T = 37,5 час. Она падает настолько медленно, что во время
падения может испариться или, попадая в восходящий поток воздуха
снова взлететь. Лишь когда капли имеют радиус порядка 0,1-г-0,2 мм,
то они падают на Землю в виде дождя.
1.3.4. Тело движется в потоке воздуха, поднимающемся верти-
вертикально. Сила сопротивления, действующая на тело, пропорциональна

1.3] Интегрирование уравнений движения 41
квадрату относительной скорости тела и потока. В начальный момент
времени v@) = @, 0, zq). Найти зависимость скорости тела от времени.
Решение. Второй закон Ньютона
гаг = rag - к (г - и) |г - и|
приводит к двум уравнениям
mi = —mg — k(z — иJ, z > и, A)
mz = —mg + k(z — иJ, z < и. B)
В первом случае сила трения при подъеме тела совершает отрицатель-
отрицательную работу, а во втором — положительную.
Пусть zq > и. Переходя к переменной v = z — и, получим из A)
решение
./,ч с tggt/c- v0 . mg
z(t) =U- С °* ' —- , Vq = Zq - ti, С = -~ .
v0 tg gt/с ~\- с к
В момент времени t\ = (c/g) arctg(^o/c) скорость частицы станет
равной и. Интегрируя уравнение B) с начальным условием z(t\) — и,
получим
z(t) = и — с th — (t — ti). t > t\.
Если и > с, то частица будет двигаться вверх со скоростью асимптоти-
асимптотически приближающейся к величине и — с. В случае и < с скорость
частицы обратится в 0 при значении t<i — t\ + (g/c) arcth (и/с).
В интервале t > t^ тело падает на Землю: z(t) = —с th — (t — t^) •
Пусть 0 < zq < и. Переходя к переменной v = и — i, получим
решение уравнения B)
./,ч vi + с th#£/c
Z[t) =U- С — б / , Vi = ti - 20
Если гг > с, то асимптотическое значение скорости равно гг — с. В случае
и < с функция z(t) обращается в 0 при значении £'l5 удовлетворяющем
уравнению
gt[ _ czq
с с - гл + wi0
1.3.5. Частица движется в сферически-симметричном поле с потен-
потенциальной энергией U = U(\r\). Найти первые интегралы.
Решение. Сила, действующая на частицу,
_д£ _ _dU_dr^ _ dU r
~ дг ~ дг дг ~ дг г'

42 Уравнения Ньютона [Гл.1
Умножая скалярно уравнение движения
mi=_dU_ цч
на г и интегрируя, получим интеграл энергии
i тг2 + £/(г) = £7.
Далее, вычисляя производную момента импульса
М = m frr] =
находим еще три интеграла: М = Mq. Умножая скалярно это равенство
на г, получим
Мог = 0. B)
Соотношение B) является уравнением плоскости, перпендикулярной
Мо и проходящей через начало координат.
В общем случае переменные разделяются только в сферических
координатах.
Пусть г@) = го, v@) = vo- Если ось z декартовой систе-
системы координат выбрать параллельно вектору Мо = m[ro, vo], то
функция z(t) = 0. Далее решение задачи о движении в центрально-
симметричном поле может быть получено в полярных координатах.
1.3.6. Потенциальная энергия частицы U = muj2r2/2. Найти зави-
зависимость координат от времени и уравнение траектории.
Решение 1. Траектория лежит в плоскости, перпендикулярной век-
вектору момента импульса. Выбирая ось z параллельно вектору Мо, за-
запишем два интеграла:
тг2ф = Мо,
ТП /.о 9 • 9\ 1 99 г-г
— (г2 + г2(р2) + - тпио2г2 = Е.
Исключая ф, получим уравнение
•2 2 Г
" ~т „. ЭФ7 B)
Из условия г2 ^ 0 находим границы области движения по коорди-
координате г: b ^ г ^ а,
а,Ь=\ c\ + 2cl± 4-24 ,
-тг- — C)
_ _2 _ Мо
тпи гпш

1.3]
Интегрирование уравнений движения
43
Найдем уравнение траектории. Пусть г@) = Го, v@) = vo- Из A), B)
получим
г
dr
2 с2 - 4/г2 - г2
здесь (рт определяется условием r((pm) = b. Используя подстановку
и = 1/г, находим
г2 =
с\+
D)
Мы получили уравнение эллипса с полуосями а и b (рис. 1.3.6). Дей-
Действительно, используя C), представим D) в виде
аЧ2
a cos ((р — (fm) + b sin ((p —
Интегрируя уравнение B), найдем
= \ [с2 - с\-
E)
F)
где tm — ближайший к t = 0 момент времени прохождения частицей
точки г = Ь. Соотношение F) удобно представить в виде, аналогичном
E):
г2 = b2 cos2u) (t - tm) + a2 sin2и (t - tm). G)
Наконец, подставляя G) в A), получим
<p(t) =
(р
Из G) следует, что параметриче-
параметрическое представление искомой траекто-
траектории в системе координат ж', у' (см.
рис. 1.3.6) имеет вид
x'(t) = b cos из (t — tm),
y'{t) = a sinu) (t-tm).
Решение 2. Рассматриваемая систе-
система является вырожденной, поскольку
допускает решение в декартовых и сфе-
сферических координатах. Найдем внача- Рис. 1.3.6
ле решение уравнений Ньютона гаг =
= — Vf/. Подставляя £/(г), находим г + из2г = 0. Решение можно
представить в виде
r(t) = A cos U3t + В sin U3t,

44 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
где А и В — постоянные векторы. Скорость частицы
r(t) = —со A sin uot + о; В cos cot.
Момент импульса М = т [rr] = 2moj [АВ] является первым интегра-
интегралом. Очевидно, Mr = 0 — траектория лежит в плоскости, проходящей
через начало координат. Выбирая ось z параллельно вектору М, полу-
получим
x(t) = а\ cos (uot — ai), y(t) = a<i cos (uot — аг), z(£) = 0,
0,2 sina2 = By.
Следовательно, траектория частицы представляет собой эллипс. Вели-
Величина осей и ориентация эллипса относительно системы координат ж, у
найдены в задаче 1.1.1.
1.3.7. Частица движется в консервативном поле U = U(r). По-
Получить уравнения, определяющие траекторию частицы с известным
значением полной энергии, и найти соотношения, аналогичные закону
преломления Снеллиуса.
Решение. Из закона сохранения энергии найдем скорость частицы
v = B/га) (Е — U). Переходя к новому аргументу t —> s, где s —
длина дуги, представим второй закон Ньютона в виде
d dr _ dv
ds ds dr
Это уравнение формально совпадает с дифференциальным уравнением
для световых лучей [12, 13]:
d dr _
ds ds
здесь п — коэффициент преломления.
А. Пусть U = U(z). Тогда сохраняются величины
dx ^ dy ^
Если частица движется в плоскости zx, то dx/ds = sin 7, где 7 — угол
между осью z и касательной к траектории. Соотношение
v(z) зтф) = d A)
аналогично закону преломления n(z) sin 7B) — const для плоскосло-
плоскослоистых сред. Однако п = с/Уф, где Уф — фазовая скорость света.
Возникает вопрос: верно ли данное утверждение? Согласно квантовой
механике в малой окрестности пространства волновой фронт является
плоским, причем частота и величина волнового вектора
и = ^ , к = | 2т(Е - U).

13]
Интегрирование уравнений движения
45
Групповая скорость волны вероятности v = duj/dk = 2т (Е — U).
Плоскости постоянной фазы распространяются со скоростью Уф =
= и)/к = E/mv. Поэтому A) действительно совпадает с законом
преломления в оптике (Е/туф) sin 7 = const.
В. Пусть среда сферически симметрична U = U(\r\). Тогда со-
Г dr] гл
храняется вектор v г — . Отсюда следует, что траектории являются
L ds \
плоскими кривыми. Вдоль каждой траектории выполняется условие
W sin 7 = const,
где 7 ~ угол между вектором г и касательной к траектории.
1.3.8. Пучок частиц с одинаковой скоростью рассеивается
сферически-симметричным «ядром». Потенциальная энергия вза-
взаимодействия ядра и частицы
U(r)= "TV1
о,
г ^ с,
г > с.
Показать, что частицы со скоростями ^о — Uo/m фокусируются
в одной точке независимо от величины прицельного параметра р <
< с.
Решение. В области г > с частица движется прямолинейно
(рис. 1.3.8). Внутри области взаимодействия траектория представляет
часть дуги эллипса. Согласно условию
задачи Е = С/о/2, М2 = mp2t/0,
sin (ро = р/с. Используя решение зада-
задачи 1.3.4, найдем параметры с2 = 2 (Е/Щ +
+ 1/2) с2 = 2с2, с\ — рс. Уравнение траек-
траектории в плоскости z = О
с2 sin2<£0
1 + cos (po cos 2 ((p — >
(i)
-~-V
Рис. 1.3.8
Полагая в A) г = с, (р = (ро, получим
значение угла (рт = тг/2 + (ро/2. Найдем
теперь значение угла (pi в точке выхода ча-
частицы из области взаимодействия. Полагая
в A) ср = y?i, г = с, получим уравнение
cos<£o + cos 2 (<^i — (рт) = 0, из которого
следует (pi = тг. Таким образом, траектории всех частиц пучка пере-
пересекают ядро в одной точке. Угол рассеяния в между векторами Vin
и vout равен (ро: р = с sin#. При квантово-механическом рассмотрении
этой задачи инверсия волнового фронта налетающей частицы приведет
к рассеянию назад под углом тг — в.
В оптике и технике СВЧ применяется линза Лунеберга, показатель
преломления которой внутри сферы радиуса с равен п(г) = 2 —
— (г/сJ [132]. Каждый луч пучка параллельных лучей на рис. 1.3.8
представляет собой касательную к дуге эллипса на поверхности сферы.

46 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
1.3.9. Потенциальная энергия частицы
U (г) = - Uo
Найти уравнение траектории, если полная энергия равна нулю.
Решение. Поскольку сохраняется вектор Мо — момент импульса,
то траектория лежит в плоскости гМо = 0. Совместим ось z с век-
вектором Мо и выберем начальные условия так, чтобы z(t) = 0. Тогда
первые интегралы принимают вид
тг2ф = Мо, A)
о V г / ' V / * \ /
Пусть г@) = го, v@) = vo- Начальные положение и скорость должны
быть связаны условием
Ш 9 Un
с
Исключая из A), B) ф, получим уравнение
 е/() и ^
/1>
Из условия г2 ^ 0 найдем границы области движения частицы
Мо
Точки поворота существуют при условии 0 < Мо < с mUo/2. Ес-
Если Мо = 0, то возможно падение на центр.
Найдем уравнение траектории. Пусть r((fo) = П), г((рт) = гт-ш .
Тогда из A), C) получим
Мо dr
2
г
тг 2
т
Преобразуя интеграл к виду
г
VI- 4А;2 - к2 (с-1 г - сг-1J
Г-min

1.3]
Интегрирование уравнений двиэюения
47
находим
с2 = г2 + — 1 — Ак2 cos (у? —
Это соотношение можно представить как уравнение окружности
а2 = г2 + б2 + 2r6 cos (у? - (рт), D)
b = — 1 — 4&2, a = c2 + b2 = — ,
с радиусом а, центр которой С находится на прямой ОР на рас-
расстоянии b = \СО\ от начала координат. На рис. 1.3.9а изображена
траектория частицы при Mq > 0. Соотношение D) является следстви-
Рис. 1.3.9
ем теоремы косинусов для треугольника СОМ. Заметим также, что
К^т + ж Ify — с- Период движения частицы
Т = 2
dr
fmin ~~'
Точки, лежащие на произвольной хорде
нием инверсии
М03
^, связаны преобразова-
преобразоваE)
По этой же причине rmax = c2/rm\n. Время движения двух частиц,
испущенных из точки Го со скоростями vi@) = vo и V2@) = — vo, до
точки Mi одинаково. Для определения угла срт положим в D) ср = сро:
г-ri
2г0
= Ь
- <Pm)-

48 Уравнения Ньютона [Гл. 1
Учитывая E), находим, что левая часть равна отрезку КО. Это обстоя-
обстоятельство приводит к удивительному следствию: траектории множества
частиц (с различными скоростями), испущенных в точке Мо, пересекут
точку Mi (рис. 1.3.96).
В оптике аналогичные траектории лучей — окружности возможны
Г /тЛ2!
в среде с коэффициентом преломления п(г) = щ 1 + ( - J . Та-
Такая среда называется «рыбьим глазом», и ее свойства были впервые
рассмотрены Д. К. Максвеллом в 1858 г. [14]. «Рыбий глаз» является
безаберрационным прибором, в котором отображение осуществляется
преобразованием инверсии.
1.3.10. Частица движется в поле с потенциальной энергией U(r) =
= —а/г + /3/г2. Найти уравнение траектории.
Решение. Эта задача может быть решена стандартным методом в ре-
результате использования законов сохранения момента импульса и пол-
полной энергии. Здесь мы приведем решение, позволяющее не прибегать
к вычислению интегралов. Из второго закона Ньютона следуют два
уравнения:
т(г-гф2) = ~4 + НГ> m
г г A)
тг2ф = Мо.
Произведем замену аргумента t —> (р:
. _ dr . _ Мо d /1 \
dip m dip\rj'>
dtp
получим из A) уравнение
d и
—-2 +(!-«) ti=-, и=-,
2 + A s) г/ , и
d<p2 У ;Р г
Р =
М2 2/3 B)
та ар
Если s < 1, то решение B)
Переходя к координате г, получим уравнение траектории
/ ч Р A — в)
Г{(р) = ^-у=== ,
1 + е cos (v 1 — s ip + 7)
где е = Ср A — s). Траектория представляет собой незамкнутую кри-
кривую. В случае s > 1

1.4] Движение частиц в электромагнитных полях 49
Наконец, при s = 1 имеем траекторию
При а = О траектории называют спиралями Котса [15].
1.3.11. Частица движется в поле с потенциальной энергией U(r) =
= —Uo(ro/rJ In (r/го). Найти уравнение траектории, если полная
энергия частицы равна нулю.
Решение. Записывая первые интегралы в координатах г, (р (z = 0),
получим уравнение
г
г
М dr
2 '
mr 2
-(Е- иэф(г))
М2 гт (го\2 , го
Вычисляя интеграл, находим
l ,2 M2
1.4. Движение частиц в электромагнитных полях
1.4.1. Электрон движется в электрическом поле ондулятора Е(г) =
= (Е cos kz, 0, 0). Найти г(*), если г@) = 0, v@) = @, 0, v0).
Решение. Из уравнений движения
тх = —еоЕ cos kz, у = 0, z = 0,
находим y(t) = 0, z(t) = vot,
W_ 2e0E . 2kvot
— о q Sin. •
mk2vl 2
1.4.2. Две сетки, через которые могут проходить электроны, распо-
расположены в плоскостях zi = h и Z2 = Н > h. Разность потенциалов
между сетками V = Ч>\ — 4>i > 0. В начальный момент времени
г@) = 0, v@) = (^o cos a, 0, ^о sin а). Показать, что существуют три
траектории, пересекающие ось х в одной точке.
Решение. Из второго закона Ньютона следуют уравнения
тх = 0, ту = 0,
m'z = 0, z < h, mz = —еоЕ, h ^ z ^ Я,

50 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
где Е = V/(H — К). Предположим, что mv2 sin2a < 2e0V. Дальность
полета электрона
1(а) = 2/г ctg а -\—- sin 2а, а = —у^-Т—г-т- .
а тп [И — а)
Найдем максимальную дальность полета. Производя замену и = tg а,
получим функцию
и а 1 + и
Из уравнения dl/ди = 0 найдем положения экстремумов функции 1(и):
2 _ 1 - 2с ± л/1 -8с _ /ш
^2' х ~~ 2 (с + 1) ' с ~ ~~2 '
При h = 0 получим известный результат а = тг/4. Если
ah^v2 ^ а(Н - /г), A)
то существуют два экстремальных положения дальности /mjn и /тах-
Значения углов, при которых частица достигнет заданной дальности /о
в интервале/min < /о < /тах5 определяются уравнением и3 — (к + е) и2-\-
+ и — е = 0, к = 2г?о//о°ц £ — 2/г//о- Следовательно, при условии A)
существуют три траектории, пересекающие ось х в одной точке.
Рассмотренная задача аналогична задаче о распространении элек-
электромагнитных волн при наклонном падении на линейный слой ионо-
ионосферы.
1.4.3. Найти амплитуду колебаний свободного электрона при дей-
действии на него излучения радиостанции мощностью Р = 100 кВт,
находящейся на расстоянии г = 10 км. Длина волны Л = 500 м.
Решение. Для описания взаимодействия нерелятивистских частиц
с электромагнитной волной достаточно ограничиться дипольным при-
приближением [2]. В этом случае уравнение движения имеет вид
mr = eEo cos uit. (I)
Выберем начальные условия в виде г@) = 0, v@) = vo- Интегрируя
A), находим
r(t) = 2 Ео A - cos cut) + vot.
тш
Для вычисления амплитуды колебаний электрона а = еЕо/тш2 най-
найдем величину напряженности поля. Для изотропного излучателя
Р=ELтгг2, S=^-E2,
4тг
где S — величина вектора Умова-Пойнтинга, следовательно, Е$ =
/ р \ / Л \2 2 Р
= 2Р/сг2 . Амплитуда колебаний а = [ — ) ( -— ) — ^0,3 см.
' \тг) \2tvcJ с

1.4] Движение частиц в электромагнитных полях 51
1.4.4. Заряд движется в среде в однородном магнитном поле. Найти
расстояние от точки влета до точки остановки заряда.
Решение. Пусть сила сопротивления Fc = —kv. Начальные условия
г@) = 0, v@) = vo- Из второго закона Ньютона
[B]k w
получим уравнение
^ = -kv2, E = mv2/2,
Сии
из которого следует, что при t ^> г (г = т/к) кинетическая энергия
частицы стремится к нулю. Первый интеграл уравнения A)
т (у - v0) = - [гВ] - кг. B)
Пусть напряженность магнитного поля В = (О, О, В). Из B) найдем
поперечное расстояние рш от точки остановки до оси z и смещение
частицы zm вдоль оси z:
vot o qB
1.4.5. Наложение сильного магнитного поля на атом приводит
к ограничению движения в плоскости, перпендикулярной вектору на-
напряженности поля и, как следствие,— превращению трехмерной потен-
потенциальной ямы в одномерную. Поэтому задача о движении электрона
в атоме водорода и сильном магнитном поле напряженностью В =
= (О, О, В) сводится к задаче движения в одномерном кулоновом
поле, эффективный потенциал которого (p(z) = — e/(\z\ + а), где а ~
~ (еВI/2 — параметр обрезания [133]. Найти период движения элек-
электрона.
Решение. Полная энергия электрона Е = —Eq. Согласно определе-
определению периода
Zq — Z
0
где zq = a (k — 1), к = e2/uEq. Вычисляя интеграл, получим
T = 4а -^- Vk — 1 - к arctg -
1.4.6. Заряд движется в однородном постоянном магнитном поле.
Найти первые интегралы.

52 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Решение. Пусть п — единичный вектор, параллельный вектору
индукции: В = Вт. Умножая уравнение движения
тг = е- [гВ] A)
скалярно на п, находим тгт = pZQ. Запишем теперь закон изменения
момента импульса
dM е
После свертки с вектором п получим
dMn еВ , . .ч еВ d ,, ч2 2\ еВ d x i2
-ЧГ = — (nrnr-rr) = — - ((nr) -r ) = -— ^[ш] ,
следовательно, Mn + (eB/2c) [rn]2 = Mzq. Это выражение совпадает
с проекцией момента обобщенного импульса
на направление вектора п. Умножая A) на г, получим третий интеграл
тг2 /2 = Е, следовательно, кинетическая энергия частицы остается
постоянной величиной.
1.4.7. Пучок электронов движется в однородном постоянном маг-
магнитном поле, вектор индукции которого В = (О, О, В) перпенди-
перпендикулярен плоскости экрана. Начальные скорости электронов v@) =
= (vo cos a, vq sin а, и) отличаются значением угла а. Найти условие,
при котором электроны фокусируются в одной точке.
Решение. Поместим начало координат в точку вылета электрона,
а ось z направим параллельно вектору индукции В. Уравнения движе-
движения имеют вид
У = LJX, Z = 0. B)
Из уравнений B) находим z(t) = ut и первый интеграл
у - их = у0. C)
Решение системы уравнений A), C)
х = —- A — cos cut) -\—- sin cut.
D)
У° - j. i ^° /-1 j.\
у = — smut -\ A — cosujt).

1.4] Движение частиц в электромагнитных полях 53
Полагая vo = Яо;, представим D) в виде
х = — Я sin a + Я sin (ujt + a),
у = R cos а — R cos (cut + a).
Проекцией траектории на плоскость ху является окружность
(х + Я sin аJ + (у - R cos аJ = Я2.
Пусть г — время пролета электронов до экрана, расположенного на
расстоянии L от точки вылета: L = иг. Электроны, вылетающие под
различными углами а, фокусируются в разных местах экрана. Однако
при условии ujt = 2тгп (п — целое число) все электроны фокусируются
в точке (О, О, L). Следовательно, длина трубки должна удовлетворять
условию L = 2тг (гпси/еоВ) п. Например, при В = 100 Гс, и = 107 см/с,
п = 4 длина трубки L = 14,3 см. Частота вращения v = о;/2тг =
= 280 МГц.
1.4.8. Электрон движется в однородном магнитном поле. Найти
решение уравнений движения в цилиндрических координатах.
Решение. Запишем первые интегралы в цилиндрических координа-
координатах:
mz = pz, A)
тр2ф-^ср2В = Мг, B)
= (р* + pV + *») = £?. C)
Из A)-C) находим z = zot + г0,
2m 2mp
Введем обозначения
тш тс
тогда
2
= —2 [4р2го "~ (р2 ~ Я2 + ^оJ] • D)

54 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Границы движения |Я — го| ^ р ^ Я + ro по координате р, получаемые
из условия р2 ^ 0, определяют в плоскости ху кольцо, внутри которого
расположена траектория электрона. После интегрирования D) полу-
получим [16]
p2(t) = R2 + Го + 2Яг0 cos о; (t - t0).
Зависимость (p(t) определяется уравнением B):
<p(t) = lu(t-to)+ arctg ]Il2~r°J tg | (t - t0).
Из B), D) находим уравнение проекции траектории на плоскость ху
d[p-{R2-rl)/p]
4r2_[p_{R2__r2)/p]2
R2 = р2 + г% - 2pr0 cos ((р - (f0).
Очевидно, R является радиусом окружности, а го — расстояние между
началом координат и центром окружности. Если Mz > 0, то R > г о —
окружность охватывает начало координат; если Mz < 0, то R < го —
окружность не охватывает начала координат.
1.4.9. Электроны движутся между обкладками цилиндрического
конденсатора в аксиально-симметричном постоянном магнитном поле
(ось симметрии совпадает с осью конденсатора). Начальная скорость
электронов, испущенных внутренней обкладкой, равна нулю. Найти
значение индукции В, при котором сила тока обращается в нуль.
Решение. Потенциальная энергия электрона U = —
где Uq — разность потенциалов между обкладками, а, 6 — радиусы вну-
внутренней и внешней обкладок. Из законов сохранения энергии, момента
и импульса получим
2 -2
р<р
In
£ ^с z = z0.
Полагая v0 = 0, ф@) = 0, z0 = 0, р = 6, получим систему
ЬВ =
2с 2с

1.4] Движение частиц в электромагнитных полях 55
Исключая
Ф(Ь),
находим
в;
" ъ
2Ъс
2-а2
2mU0
.
е0
1.4.10. Электрон движется в скрещенных однородных, постоянных
магнитном и электрическом полях Е = (О, Еу 0), В = @, 0, В), Найти
r(t), если г@) = 0, v@) = v0.
Решение. Уравнения движения
х = -шу, z = 0, A)
у = и± - еЛ Е ш = foB B)
т тс ч у
Из уравнений A) находим z(i) = z$t и первый интеграл
х + шу = х0. C)
Подставляя C) в B), получим уравнение
У + Ш2у = CjJXq Е,
777/
решение которого
\
)
Из D), C) находим
Л е0Е\ . .
ж = ж0 cos а;£ - уо sin o;t H
V та; У
и V ти ) ч у ш
та; У
1 /. е0Е\ . . , Уо s . t\ , ео^ . /сч
ж = — жо sino;t Н (coscjr — 1) Н г. (о)
а; V тш / со тио
Эксперимент Томсона. В 1897 г. Дж. Дж. Томсон открыл первую
элементарную частицу — электрон. Он разгадал природу катодных лу-
лучей и показал, что они представляют собой поток частиц с наибольшим
значением отношения заряда к массе ео/тп — электронов.
Пучок электронов влетает со скоростью v@) = (г?о, 0, 0) в конден-
конденсатор — две параллельные пластины длиной / в области 0 ^ ж ^ /.
В конце трубки в плоскости ж = / + s расположен экран, покрытый
сернистым цинком.
В первой фазе эксперимента электрон движется в электрическом
поле. Полагая В = 0, получим из D), E)
~Et, y(t) = --^Et2. F)

56 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
В момент вылета из конденсатора t\ = 1/vq компонента скоро-
скорости y(ti) = —eoEl/(mvo). Далее электрон движется с постоянной
скоростью в интервале времени s/vq. Величина отклонения по оси у
равна Ay = — d, d = eQEls/(mvl).
Можно исключить неопределенную в эксперименте скорость элек-
электрона г?о, помещая конденсатор в магнитное поле индукцией В =
= (О, О, В). Теперь из D), E) следует, что при значении индукции
магнитного поля В = Е/vq (или vq = e$E/тио) электроны в скре-
скрещенном электрическом и магнитном полях будут двигаться по прямой
линии: x(t) = vot, y(t) = О, z(t) = 0. Отношение е$/т принимает вид
ео/т = Ed/(lsB2). В опыте Томсона Е = 104 В/м, В = 3,6 • 10~~4 Тл,
/ = 0,05 м, s = 1,1 м, d = 0,1 м.
1.4.11. Электроны движутся в плоском конденсаторе. Плоско-
Плоскости у = 0, у = d являются катодом и анодом. Разность потенциалов
между ними равна Uq. Вектор магнитной индукции постоянного од-
однородного поля В = @, 0, В). Электроны эмитируются с начальной
скоростью vo = 0. Найти значение В, при котором ток отсутствует.
Решение 1. Полагая в решении предыдущей задачи Е = —Uo/d,
vq = 0, получим
y(t) = ^ sin**, y(t) =
mdtv
По условию задачи в момент времени t — т у (г) = d, у (г) = 0:
следовательно,
~ GqUq (л ч .
= 0, 2 \\ ~~ cos UJT) — "?
mduj
2. Потенциальная энергия электрона U = — ео<£, (р = Uy/d. Исполь-
Используем интегралы энергии и обобщенного импульса
— *2 - — —П * 4- —П ' — П
Полагая у = d, у = 0, получим соотношение A).
1.4.12. Частица движется в однородных постоянных электрическом
и магнитном полях. Найти v(t).
Решение. Уравнение движения частицы
тпт = еЕ Н—
после замены
[ЕВ]
г = с -—7Г-
В1

1.4] Движение частиц в электромагнитных полях 57
преобразуется в уравнение rav' = е (В/В2) (ЕВ) + (е/с) [v'B]. Далее,
подстановка v' = е (В/га) (ЕВ) t + v приводит к уравнению mv =
= (е/с) [vB]. Введем три орта
В [ЕВ]
ез= Gl = e2
Полагая v = vnen, получим систему
V\ = LJV2-, V2 = —C
решение которой
vi = С\ cos ujt + С2 si
v2 = — Ci sin o;t + C2 cos o;t,
^3 = C3,
следовательно,
r(()c +
Первое слагаемое в A) — скорость дрейфа, второе слагаемое обуслов-
обусловлено ускоренным движением в направлении вектора В.
1.4.13. Заряд движется в однородных постоянном поле тяжести g =
= @, 0, —g) и магнитном поле индукции В = (О, В, 0). Начальные
условия г@) = @, 0, Я), v@) = @, 0, v$). Найти границы области
движения по координате z.
Решение. Из уравнений движения
..6 б
тх = — zB, ту = 0, mz = —mg -\— хВ
с с
находим два интеграла
х + ujz = и)Н, у = 0.
Исключая ж, у из закона сохранения полной энергии
777- / . о «2 • 2\
— [х +у + z ) y
получим уравнение
i2 = 2g(H-z)- lj2 (Я - *J + ^о-
Полагая z2 = 0, получим значения верхней и нижней границ движения
= Я + о; 2 (-
, 2 = Я + о; 2 (-# ± g-2 + ^2

58 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
1.4.14. Электрон движется в магнитном ондуляторе, индукция
поля которого В = @, 0, Bq cos ay). Найти решение уравнений дви-
движения, если г@) = 0, v@) = @, ш/а, 0).
Решение. Из уравнений движения
х = —си cos ay у, z = 0
найдем первые интегралы
х -\ sin ay = 0, z = 0.
CL
Далее, из закона сохранения энергии получим уравнение у =
= (и/a) cos ay, следовательно,
sinay = tho;t, x = — Inchest.
CL
1.4.15. Протон движется в неоднородном постоянном магнитном
поле с индукцией В = @, 0, Во ch~2 ky), образующем магнитную стен-
стенку, параллельную оси х. Начальные условия г@) = @, — оо, 0), v@) =
= @, г?о, 0). Найти условия прохождения протона сквозь магнитную
стенку и уравнение траектории.
Решение. Из уравнений движения
У «л еВо
х = lj —5— ? г = 0, и) = ,
ch2 ку тс
находим z(t) = 0 и первый интеграл
*~1 thky=lH' ^
Подставляя теперь ж, z в закон сохранения полной энергии, получим
уравнение
y2=v2o-f(y), /M=(£J(l+th*yJ. B)
Поскольку 0 ^ f(y) ^ Bш/кJ, то при vq < 2uj/к протон отразится от
магнитной стенки. При vq > 2uj/к протон пройдет через магнитную
стенку. В этом случае из A), B) найдем уравнение траектории
У
_ ш_ Г d
х~к J ^
+ thky)

1.4] Двиэюение частиц в электромагнитных полях 59
Переходя к новой переменной и = 1 — th ky, вычислим интеграл
и получим уравнение траектории
и
-J
ds
/q + 4s - s2
2
_ _1_ q \/4c2 - A + th kyJ + 2q2 + 1 - th ky
~ 2kq П c(c + q)(l-thky)
При ky ^> 1 величина 1 — th &?/ ^ exp (—2ky). В этой области траекто-
траектория представляет собой участок прямой х = у/q.
1.4.16. Тонкая магнитная линза образована полем, вектор-
потенциал которого [17]
р
= Az = О, А^ = - J p B(p, z) dp.
о
Функция В(р, z) быстро спадает в области \z\ > L. Найти фокусное
расстояние линзы.
Решение. Индукция магнитного поля в цилиндрических координа-
координатах
D — f_ D — П D — п А
oz р ор
Уравнения движения электрона зарядом е = — во имеют вид
^ ' с
т d о . ео /. дАф Ь д л
дВ , .
— . C)
о
Из уравнения B) следует первый интеграл
D)
Предположим, что объект находится в точке с координатами р\ = О,
z\ = —d. Для параксиального пучка электронов из D) следует
г)~О. E)

60 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Подставляя ф в A), получим уравнение
Область, занятая магнитным полем, мала, поэтому можно пренебречь
правой частью C). В этом приближении z ~ и, где и — проекция
начальной скорости электрона на ось z. Переходя к аргументу t —> z:
dp .. d2 p о
^ P=U
получим из F) уравнение
d2p
В случае произвольной функции В@, 2;) уравнение G) не интегрирует-
интегрируется в конечном виде. Найдем приближенное решение G), предполагая,
что на протяжении линзы p(z) ~ р@) меняется адиабатически медлен-
медленно. Интегрируя G), получим
Для параксиального пучка
dp\ _ p@) (dP\ _ р@)
dp\ _ p@) (dP\ _ р@)
zJZl~ d ' \dz)Z2- f '
где / — расстояние между линзой и изображением. Подставляя (9) в (8),
получим формулу линзы
1- 1
F 1 (
F ' * ~ \\ 2mcu
где F — фокусное расстояние линзы. Заметим, что изображение про-
протяженного объекта повернуто на угол
Пусть В@, z) = Bq ch 1(z/a). Тогда фокусное расстояние F
1 Bтси\2 Л7 ^ л еоВоа
= — —=— . Угол поворота изобралсения Аю = — тг.
2а V еоВо ) 2тси

1.4] Двиоюение частиц в электромагнитных полях 61
1.4.17. Электрон движется в однородном нестационарном магнит-
магнитном поле с индукцией В = @, 0, B(t)), B(t) = Во/ (l + (t/rJ). Найти
решение уравнений движения [18].
Решение. Изменение магнитного поля порождает вихревое электри-
ческое поле. Из уравнения Максвелла rot E = — и теоремы Грина
с at
находим (^-компоненту электрического поля Е^ = — (р/2с) (dB/dt).
Следовательно, вектор-потенциал А = [Вг]/2. Вводя переменную £ =
= х + г у, представим уравнения движения в виде
"
t
Замена £ = w exp — — / dt\ приводит к уравнению
w+ [-у) w = 0.
Переходя к переменным w = v/ s'mO, ctg^ = t/r, получим уравнение
Таким образом, решение исходного уравнения
[-^ \f{t)dt],
представлено в параметрической форме. Сп, 7п — постоянные инте-
интегрирования.
1.4.18. Электрон движ:ется в однородном постоянном магнитном
поле с индукцией В = (О, В, 0) и электрическом поле квадрупольного
конденсатора, потенциал которого (р = (Uo/2a2) (x2 — у2). Найти
решение уравнений движения при условии В > (с/а)
Решение. Из уравнения
mv = е0 V<£ - ^ [гВ]

62 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
получим систему
х = пх + пг, п% = ^, п=^-, A)
та тс
у = -П1у, z = -Six. B)
Из B) находим у = Л2 cos (f^ + #2)- Подставим теперь z из первого
интеграла
z + Six = С C)
в уравнение A):
х + п\х = ПС, Sll = Sl2-Sll> 0. D)
Решение D) имеет вид
х = Аг cos (fti* + ai) + -^ С. E)
Подставляя E) в C), найдем
Среднее значение кинетической энергии
Среднее значение потенциальной энергии
Часть полной энергии, соответствующая дрейфовому движению, отри-
отрицательна.
1.4.19. Электрон движется в электростатическом поле с потенциа-
потенциалом (р = —2 (Х^ "Ь У2 ~ 2z2) и в аксиальном магнитном поле с индук-
2а
цией В = @, 0, В). Найти r(t) при финитном движении электрона [19,
20].
Решение. Эта задача может быть решена в декартовой и цилиндри-
цилиндрической системах координат. Уравнения движения в декартовой системе
х-±П%х + Пу = 0, y-\n\v-ux = Q, A)
= 0, п\ = -^ , п =

1.4] Движение частиц в электромагнитных полях 63
Из последнего уравнения находим z = Zq cos {Sl^t + 7). Далее, вводя
комплексную координату £ = х — г у, получим из A) уравнение
Будем искать решение в виде £ = ue~tXt. Характеристическое уравне-
уравнение А2 — QX -\- Q3/2 = 0 имеет действительные корни
All2 = ¥ 1±
при условии !П2 > 2!Пз- Таким образом, общее решение B) имеет вид
Переходя к координатам ж, у, получим решение A)
х = Re£ = C\ cos (Ait + 71) + С2 cos (A2t + 72),
у = - Im£ = C\ sin (Ait + 71) + C2 sin(A2t + 72).
Заметим, что потенциал ср(т) удовлетворяет уравнению Лапласа и мо-
может быть реализован системой гиперболических электродов [21]. Мо-
Модификация электродов приводит к потенциалу [22]
где р2 = х2 + у2, также удовлетворяющему уравнению Лапласа.
1.4.20. Электрон движется в магнитном поле, создаваемом током
силой /, протекающим по длинному тонкому проводу. Найти первые
интегралы.
Решение. Из уравнений движения в цилиндрических координатах
т d 2 • п •• е° • о о 2/
— ~ р (р = U, TflZ = РВиэч Е>ц> =
р at с ^ ^ ср
находим два интеграла
тр2ф = MZ1 z -\ ^- In — = zq. A)
тс Ро
Сохраняется также кинетическая энергия электрона Е = (m/2) x
х (р2 + р2ф2 + i2). Учитывая A), получим уравнение
[
2ео1 р\2
т (.
Ро

64 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
1.4.21. Частица движется в магнитном поле, создаваемом закреп-
закрепленным магнитным зарядом. Найти первые интегралы.
Решение. Совместим начало системы координат с магнитным заря-
зарядом, так что В = gr/r3, где g — величина магнитного заряда. Очевидно
сохраняется кинетическая энергия. Преобразуем далее производную
момента импульса:
М = [гг] = Щ [г [гг]] = Щ (гг2 - г(гг)) =
_ eg /r г \ eg d r
с \г г2 / с dt r '
Следовательно, сохраняется обобщенный момент импульса
J = М - ^ г/г.
с '
1.5. Задача Кеплера
1.5.1. Найти потенциальную энергию взаимодействия однородного
шара и частицы. Рассмотреть предельный переход к однородному полю
тяжести.
Решение. Потенциальная энергия взаимодействия шара массой М,
радиусом R с частицей, находящейся на расстоянии г от центра шара,
п [ mdM
где ^, г — радиусы-векторы элементарной массы шара dM и частицы т.
Введем сферические координаты с началом в центре шара, тогда
Я 7Г ^
U(r) = -Gp \t2dt\iede d
J [r +r-2r£cos0]L
0 0 о
я
_ 2-KGpm
г
о
следовательно,
mM
Для тела, находящегося вблизи поверхности Земли г = R+r' (r'
находим
П(г') ~ f/(R) + г' — = mgr',

1.5] Задача Кеплера 65
Если плотность шара является функцией координаты г, то поле вне
шара не отличается от поля точечной массы. Этот результат принад-
принадлежит И. Ньютону. Позднее Дж. Бирхгоф заметил, что симметрично
пульсирующий шар создает поле, также не отличающееся от поля
точечной массы.
Полагая т\ = R + h и r<i = Я — /г, можно доказать, что силы
притяжения, действующие на частицу, имеют одинаковую величину
при h = (л/5 - 1) Я/2 « 0,618Я. Пропорция Ь/а = 0,618 известна
с древних времен как результат деления отрезка длиной а + 6 на две
неравные части а и 6, удовлетворяющие условию Ь/а = а/(а + 6). Лео-
Леонардо да Винчи назвал ее золотым сечением. Различные реализации
золотого сечения хорошо известны в архитектуре и живописи.
1.5.2. Частица движется в потенциальном поле U(v) = —а/г.
Найти первые интегралы.
Решение. Из второго закона Ньютона получим уравнение
mr = —а -д • A)
Два интеграла уже известны (см. задачу 1.3.5):
г .-, __ гаг а „
m [rr] = М, — = Е.
В 1799 г. французский математик Лаплас открыл еще три интегра-
интеграла, которые отражают скрытую симметрию задачи Кеплера. Умножим
векторно обе части A) на М:
Из B) следует, что
dt r3
Учитывая, что г2 = г2, гг = гг, получим
d г.д/r-i d r
dt dt r
следовательно, сохраняется вектор Лапласа [гМ] — ar/г. Выберем
нормировку этого вектора так, чтобы его величина совпадала с экс-
эксцентриситетом, т. е. введем вектор

66 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Очевидно, (еМ) = 0, т. е. вектор Лапласа лежит в плоскости траекто-
траектории. Умножая C) скалярно на г, получим
М2
ег = р - г, р =
та
Обозначая через х угол между векторами виг, найдем уравнение
траектории г = р A + е cosx) в плоскости, перпендикулярной М.
1.5.3. Найти решение задачи Кеплера в сферических координа-
координатах [23-25].
Решение. Из второго закона Ньютона получим три уравнения:
т[
i(r - rO2 - гф2 sin20) = -4 , A)
г
- j- (тг2в) - тг2ф2 sin в cos в = 0, B)
г sin в dt
Заметим, что в сферических координатах
М = тг2 @е^ — ф sinfleg), D)
где eg, е^ — орты сферической системы координат: е# =
= (cos в cos (p, cos в sin (p, -sin в), е^ = (- sin (p, cos (p, 0). Из C)
находим первый интеграл
mr2 sin2^ ф = Mz. E)
Следствием уравнений A)-C) является закон сохранения полной энер-
энергии
Найдем еще один первый интеграл. С этой целью подставим ф из
E) в B) и умножим обе части на тг2в. В результате, учитывая D),
получим
{mrHf + Щ^=М\ G)
sin в
где М — величина момента импульса. Исключая из F) ф, 0, с помощью
E), G) найдем уравнение
1(^ *) (8)
2тг
Пусть (р@) = ср0, 0@) = тг/2, ^@) > 0, 0@) < 0. Полагая Mz = M cos г,
получим из E), G)
rf(ctgictg0)
J у/1 - {cbgi cbgO)* V ;
тт/2

L5]_
Задача Кеплера
67
Из (9) находим ctgi ctgO = sin (<р — (р0). Это соотношение является
следствием условия Mr = 0, поскольку сферические углы вектора
равны г и Sir /2 + tpo: М = (sin г simpo, — sin г cos tpo, cos г) (рис. 1.5.3а).
Найдем теперь уравнение проекции траектории на плоскость, пер-
перпендикулярную вектору М. Из G), (8) следует, что
M dr
тг
1(Е~
т \
М2
2тг2
- sin в d9
у sin2^ — cos2 г
A0)
Введем параметр р и эксцентриси-
эксцентриситет е соотношениями
р =
М2
та
2ЕМ2
(и)
та
и совершим замену переменной в:
cos 0 = sin г sin ф, где ф — угол меж-
между векторами Го и г. Обозначим ф$
угол меж:ду вектором Го и вектором
Лапласа. Тогда из A0) получим
A2)
Отметим, что из (8), A2) сле-
следуют уравнения Mr = ае sin%,
тг2х = М.
Очевидно, значению х = 0 соот-
соответствует г = rmin .
Движение по эллиптической
траектории. В этом случае Е =
= -Ео < 0, е < 1. Полагая в A2)
X = 0, тг, получим расстояния до
перигея и апогея
Гр ~ 1 + е '
Га =
1-е
Длина большой полуоси
_
а ~~ 2
ч _
1-е2

68
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
Используя основное свойство эллипса, найдем длину малой полуоси
b =
а2 —
(а — грJ =
На рис. 1.5.36 изображены график эффективной потенциальной энер-
энергии иэф(г) = М2/Bтг2) — а/г и одна из траекторий в плоскости х'у',
перпендикулярной вектору М. Все возможные траектории принадле-
принадлежат кольцу, ограниченному окружностями радиусов гр и га. Разделяя
переменные в (8), найдем
г
=i f
rdr
из =
Г-min
Выбирая момент времени tm прохождения перигелия равным нулю,
получим с помощью подстановки г = аA — е cos£) уравнение Кеплера
1_
U)
A3)
Заметим, что период движ:ения по эллипсу Т = 2тг/о; молсет быть
найден независимо. Интегрируя уравнение М = mr2x, найдем
М ,
2т
М
Поскольку площадь эллипса равна тгаб, то а; = — 3-
Для спутников Земли период обращения удобно представить в виде
Т = То (а/ЯK/2, где То = 2тг R[g = 84,48 мин.
Найдем далее зависимость декартовых координат частицы от вре-
времени. С этой целью параметризуем траекторию, вводя параметр £.
На рис. 1.5.3в построена окружность радиусом а. Координаты точки m
х1 = г cos х — а (cos £ —
= 6 sin£.
у' = г
A4)
Заметим, что из уравнения m (xfyf —
— х'у') = М следует соотноше-
соотношение A3). В небесной механике пара-
параметр £ называется эксцентрической
аномалией, \ ~~ истинной аномалией.
Из A4) можно найти несколько полез-
полезных соотношений:
г A =Ь cos х) = а A ± е) A ± cos £),
Рис. 1.5.3в

1.5] Задача Кеплера 69
1.5.4. Найти явную зависимость от времени декартовых коорди-
координат xf(t), yf(t) частицы в плоскости, перпендикулярной вектору М [26].
Решение. Функции xf(t), yf(t) — периодические с периодом Т =
= 2тг/о;. Представим x'(t), y'(i) в виде ряда Фурье:
oo
x'(t)= xne~inwt, y'(t)= у„е-Ыш*.
n= — oo n= — oo
При вычислении Фурье-компонент
Т/2
tx'{t)einujt = ^ [ dtxf(t)einujt
О -Т/2
учтем соотношение cot = £ — e sin £ и представление функций Бесселя [5]
7Г
Найдем вначале
Т/2
j dtx'{t) = ^ [ d$ (I - е cosf) (cos$ - e) = -- ae.
-Т/2 -7Г
Для п/Ов результате интегрирования по частям имеем
2тгп
— 7Г
Jn(£-e sin£) _
[ d£ sin£ ein(^~£ sin^ = -
J n
Следовательно,
Г 3 °° 2 1
f(t) = a\ — -e+ — J'n(ne) cosnout , A)
L 2i ti J
71 = 1
26 °° 1
yf(t) = — — Jn(ne) sinncut. B)
e n

70 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
В случае е <С 1 имеем
x'(t) = a cos wt + ^ (-3 + cos 2wt) + . .. ,
Поскольку r = a A — e cos £), то
2 °°
(t) = a 1 + —— — J^ (ne) cos ncjd .
l
n=l
Ряды A), B) являются частными случаями рядов Кептейна [5, 26].
Из A), B) можно получить значения некоторых сумм Кептейна. На-
Например, полагая в A) t = 0 (£ = 0), найдем
е °°
—- — = Jn(ne).
1.5.5. Радиус-вектор частицы, движущейся в ньютоновом поле тя-
тяготения, может быть представлен в виде r(£) = xf(t)e\ + yf(t)e2 +
+ 0 • ез, где единичный вектор ei направлен параллельно вектору
Лапласа, в2 = [Mei]/M, третий орт ез = М/М. Записать радиус-
вектор в исходных декартовых координатах [24].
Решение. Для того чтобы перейти к системе координат К' на
рис. 1.5.3а, необходимо произвести три последовательных поворота во-
вокруг осей 313 на эйлеровы углы ifoi h Фо- Используя обозначения
задачи 1.5.3, получим
х(х) = r(x) [cos<£o cos(V>o + х) - sinifo cos г sin (ф0 + х)],
У(х) = r(x) Isin <Ро cos (V^o + х) + cos <Po cos г sin (V^o + х)],
^(х) = r(x) sin г sin(^o + x)-
1.5.6. Найти величину скорости частицы, движущейся по эллипсу,
как функцию 1) угла х, 2) параметра £.
Решение. 1) Учитывая уравнение М = тг2х, получим
2) Постольку х' = —a sin£^, yf = b cos£^, то
A-е cos О
1.5.7. Космический аппарат (КА) движется по эллиптической ор-
орбите. Найти средние за период значения кинетической и потенциальной
энергий, радиуса-вектора и скорости.

1.5] Задача Кеплера 71
Решение. Введем два орта: ei — параллельный вектору Лапласа,
в2 = [Mei]/M. Тогда радиус-вектор КА можно представить в виде
x'(t) = a (cos£ - e), y'(t) = a 1-е2 sin £,
uot = £ — e sin £, uj = 2 .
ma
Среднее значение произвольной динамической величины Л (г, v) равно
Т 2тг
(А) = — \ dt А (г, v) = — d£ A — е cos£) A (r, v).
О О
Кинетическая энергия
к — — ( 'f2 -\- 'f2\ — - 2 2 ^ + £ cos $
следовательно,
2тг о о
2 2
/ г,ч Г7га w f
(/if) = ^^ j
0 7710- CJ СК
Поскольку г = а A-е cos £), то (U) = —а/а. Очевидно, полная энергия
Е = —а/2а. Далее находим (r(t)} = —Saeei/2. Среднее значение
скорости (v) = 0. Среднее значение угловой скорости (х) = uj.
1.5.8. Космический аппарат движется в поле тяготения Земли.
В начальный момент времени г@) = Го, v@) = vo- Определить
ориентацию большой оси относительно векторов Го, vo-
Решение. Запишем вектор Лапласа в виде
е= Г|-1 --^^v0, A)
где г?1 — местная первая космическая скорость, r$v2 = a/m. Из A)
находим (рис. 1.5.8)
cos^o = - (к sin27 — l), sin^o = sin 7 cos 7, B)
к = (—) , e2 = 1 - B - к) к sin27.
1.5.9. Ракете сообщили вторую космическую скорость, причем век-
векторы г@) и v@) образуют угол 7- Найти положение оси симметрии
траектории ракеты.

72
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
Рис. 1.5.8
Рис. 1.5.9
Решение. Введем единичные векторы е, п соотношениями v@) =
= л/2^ie, n = Го/го- Тогда е = п — 2е(пе), следовательно, е = 1,
cos фо = - cos 27, sin фо = — sin 2j. Угол ^0 = ^ + 27 (рис. 1.5.9).
1.5.10. На поверхности Земли телу сообщили скорость vo <С VgR
(R — радиус Земли). Найти приближенное выражение для уравнения
траектории, из которого в случае плоской Земли следует известное
уравнение параболы.
Решение. Угол между вектором начальной скорости vo и плоско-
плоскостью, касающейся Земли в точке запуска, равен а. Найдем вначале
положение вектора Лапласа. Значение угла /3 между вектором Лапласа
и радиус-вектором Го получим из решения за-
задачи 1.5.8:
cos/3 = - (к cos2a - 1),
n/3 = — sin 2a, к = —^ .
A)
Следовательно, эллиптическая траектория тела
r((f) = -
Р
+ £ COS <f
находится в окрестности апогея, р = kR cos2a
Рис. 1.5.10 (рис. 1.5.10). При значении (р = /3 имеем R =
= р/A + е cos/3).
Обозначим х = R((p — /3) — длину дуги окружности большого круга,
пересекающего поверхность Земли в плоскости траектории. Поскольку
к = v^/gR <С 1, то г = R + г, z <^ Я. Разлагая функцию г(<р) в ряд
Тейлора в точке (р = /3, получим
R + z =
P
1 + е cos/3
p£ sin/3 ж
A + e cos/3J Я
ре cos/3 2p£2 cos2/3
A + e cos/3J A + e cos/3)'

1.5] Задача Кеплера 73
Учитывая A), найдем из B) уравнение траектории в случае «плоской»
Земли — параболу
z « х tg a - fX 2 ,
2г?0 cos a
представляющую собой локальную часть эллипса в окрестности апогея.
1.5.11. Тело движется в поле тяжести Земли в области высот
h <^ R. Найти приближенное представление первых интегралов, учи-
учитывая кривизну поверхности Земли.
Решение. Полагая в решении задачи 1.5.3 в = тг/2, запишем инте-
интегралы момента импульса и энергии:
тг2ф = М, A)
™2 , гг / ч _ jp jr (.ч _ Л!_ _ rngR2 ( ,
Перейдем к координатам z = г — Я, х = R(p и разложим A), B) в ряд
Тейлора. В результате получим интегралы
mRx = М,
у (ж2 + z2) + U(z) = С, C = E + mgR-
U(z) =
2mR2
Из (З) следует, что влияние кривизны Земли приводит к эффективному
изменению ускорения свободного падения.
1.5.12. Найти уравнения, описывающие эволюцию интегралов дви-
движения М, Е, е при действии возмущающей силы F.
Решение. Используя второй закон Ньютона гаг = —ar/rs + F,
находим
М = [гР], E^rF,
as = 2r(rF) - г(гР) - F(rr).
1.5.13. Найти первые интегралы задачи о движении тела в ньюто-
ньютоновом поле при наличии постоянной силы F.
Ответ. MF = Сь mv2/2 - а/г - rF = E, eF + (l/2a) [rF]2 = C2 •
1.5.14. Найти решение задачи Кеплера в параболических коорди-
координатах.
Решение. Параболические координаты вводятся согласно форму-
формулам х = л/v/v costp, у = yfu~v sin (p, z = (и — v)/2. Координаты u, v
пробегают значения от нуля до оо. Координатные поверхности и и v
представляют семейства параболоидов вращения. Величина радиуса-
вектора г = (и + г?)/2, квадрат скорости
v2 = - (и + v)( 1 ) + иуф2.
4 v f \ и v )

74 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Для решения задачи достаточно записать три первых интеграла: закон
сохранения полной энергии
г;2\ т .2 2а
J +
проекцию момента импульса на ось 2;
Mz = muv(py B)
проекцию на ось z интеграла Лапласа
2
т ,2/ ч ol (и — v)
ut,V7(ut;)
Исключим из A), C) величину ф, а затем разрешим уравнения отно-
2 г; 2
сительно и2, г?2:
Uyfw\ (и + v) ' Ул/Ш} {и + и) '
, . 2 / а - С МI \
Wl(u) = — £4 ^ ,
v У гтг\ гх 2ти2)
D)
2/С71
М2
2тш;2
Из D) следуют два уравнения с разделенными переменными:
Из B) и D) находим третье уравнение
_ Mz \ и у 1 ( v
Уравнения E)-F) интегрируются в конечном виде.
Заметим, что решение задачи о движении ракеты с постоянной
тягой или интегрирование уравнений движения электрона атома водо-
водорода в постоянном однородном электрическом поле возможно только
в параболических координатах.
1.5.15. При исследовании эффектов, обусловленных несферично-
несферичностью земной поверхности, Земля рассматривается как однородный
эллипсоид вращения. Найти потенциальную энергию взаимодействия
Земли и частицы, находящейся на расстоянии, значительно превышаю-
превышающем средний радиус Земли.
Решение А. Потенциальная энергия взаимодействия частицы мас-
массы т и Земли массы М

1.5] Задача Кеплера 75
где г, £ — радиус-векторы частицы и элемента dM. Начало координат
в центре симметрии эллипсоида, полуоси которого Я, Яз- Поскольку
г ^> Я, Яз, то, разлагая подынтегральное выражение в ряд Тейлора,
получим
тт( \ _
здесь Dik — тензор квадрупольного момента. Направим £з по оси
симметрии. Тогда интегрирование по объему эллипсоида может быть
сведено к интегрированию по объему сферы заменой £i = Щ[, £2 =
^ ^ RC
Dn = D22 = \M (R2 - Rl), D33 = § M (Rj - R2).
Недиагональные элементы D^ равны нулю. В результате точных из-
измерений получено значение (Я2 - Я|)/2Я2 ~ ~ 3,2732 • 10~3.
В сферических координатах A) принимает вид
U(r, e,<p) = -?;-^4-{l-3cos20), B)
v 2V
где а = GmM, к = (Я2 - Я|)/5Я2.
Решение В. Используя соотношение
п=0
где Рп(х) — полиномы Лежандра, х ~ угол меж:ду векторами ги^,
найдем
00 1 г
U(r) = -Gm r1 UM С Pn
п=0
п=0
Поскольку
Р0{х) = 1,
то
Интегрируя по объему эллипсоида, получим выражение B).
1.5.16. Определить вес тела массой m = 1 кг на географической
широте ср. Угловая скорость вращения Земли uj = 2тг/B4 • 60 • 60) =
= 7,2921 -10~5 с.

76
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
Решение. Пусть тело лежит на поверхности Земли. Известно, что
Земля не имеет формы шара. Земля сплюснута у полюсов: эквато-
экваториальный радиус а = 6 378,16 км больше полярного радиуса b на
величину с = 21,382 км. В первом приближении ее представляют
в виде эллипсоида вращения, напоминающего сплюснутый у полюсов
шар. В гравиметрии — науке, исследующей поле тяготения Земли —
поле притяжения, соответствующее эллипсоиду, называется нормаль-
нормальным. В точке М поверхности Земли, находящейся на широте (р, на
расстоянии г от центра Земли, вектор ускорения свободного падения g
расположен в мериодиональной плоскости и определяетя двумя компо-
компонентами. Компонента g в направлении центра Земли
gr = go(l-a)(^) + goa(^) A-3 sin2у?),
где g0 = 9,78 м/с2, а = A - Ь/а) = 1/298,2 « 1,1 • 10~3. Другая
компонента gm = goa(a/rL sin 2^ перпендикулярна радиусу-вектору
точки М и направлена к экватору.
Найдем теперь вес тела Р. На него действуют сила притяжения
Земли mg и сила реакции N. Вес тела равен силе давления тела на
подставку, величина которой равна N. Тело вра-
вращается вместе с Землей с угловой скоростью ш.
Согласно второму закону Ньютона имеем урав-
уравнение гаа = rag + N. Сила реакции образует
некоторый угол 7 Ф ф с прямой, перпендику-
перпендикулярной к оси вращения, в мериодиодиональной
плоскости.
Выберем на рис. 1.5.16 начало координат
в центре Земли, ось х лежит в плоскости эквато-
экватора, ось у проходит через полюс. В проекции на
оси ж, у получим уравнения
Рис. 1.5.16 muo2r cos ip = mgr cos ip — mgm sin (p — N cos 7,
0 = —mgr sin (p — mgm cos (p + N sin 7.
Из этих уравнений, содержащих две неизвестные величины iV и 7,
найдем вес тела
Р((р) = га g2
> - uj2r) cos2(p
sin 2<p.
Рассмотрим три предельных случая.
A. Тело находится на полюсе. Тогда (р = тг/2 и вес тела Р = mg.
Б. Тело находится на экваторе. В этом случае широта ip = 0 и вес
тела Р ~ т (g — uj2a) принимает наименьшее значение. Следовательно,
тело массой 1 кг имеет вес Р = A — 0,0033) кгс. Из-за вращения Земли
вес тела на экваторе на 0,3 % меньше веса на полюсе.
B. Если бы Земля вращалась с угловой скоростью uj = g/a, то
тела на экваторе были бы в состоянии невесомости. В этом случае
линейная скорость тел на экваторе равна первой космической скорости.

1.6] Космодинамика 77
Отметим, что эллипсоид является не точной, а приближенной фигу-
фигурой Земли. Обычно в качестве модели Земли принимают так называе-
называемый геоид. По современным данным расстояние между поверхностями
геоида и эллипсоида не превосходят величины порядка 150 м, т. е.
значительно меньше отклонения эллипсоида от сферы.
1.5.17. Показать, что потенциальную энергию взаимодействия ча-
частицы с Землей, учитывающую сжатие у полюсов, можно представить
как энергию взаимодействия
у( \ _ х GrnM I GrnM
2 |г-сп| 2 |г + сп| + ' "
частицы с двумя точечными массами, находящимися на расстоянии,
равном мнимому числу (п — единичный вектор, направленный по оси
вращения) [32, 33].
Решение. Потенциальная энергия взаимодействия частицы с дву-
двумя точечными массами mi и Ш2, координаты которых @, 0, ci),
@, 0, -с2),
П(Г) = -G -г^^- - G -^^- . A)
v ' |г - cin| |г + c2n| v f
|г - cin| |г + c2n
Разложение A) в ряд Тейлора
эквивалентно разложению по полиномам Лежандра. Приравнивая ко-
коэффициенты разложений П(г) и f/(r), полученного в задаче 1.5.15,
находим
т\ + ТП2 = М, т\с\ + тп2с\ = —kR2M,
m\C\ — ГП2С2 = 0, micf - rri2c\ = 0.
Из этой системы находим с\ = с2 = г л/k Я, тп\ = rri2 = М/2.
1.6. Космодинамика
1.6.1. Тело брошено с поверхности Земли с начальной скоростью
vo ^ л/gR под углом /3 к горизонту. Найти дальность полета s (s
отсчитывается по дуге большого круга).
Решение. Определим вначале ориентацию большой оси. Из формул
задачи 1.5.8 следует, что угол фо лежит в третьей четверти (рис. 1.6.1).
Вводя угол х между вектором Лапласа е и г(£), получим уравнение
траектории г(х) = рA + е cosx)", p = kR cos2/3, e2 = 1 — B —
— к) к cos2/?, к = Vq/gR. Поскольку траектория симметрична относи-

78
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
Рис. 1.6.1
тельно направления вектора s, то г (тг
± s/2R) = Я, следовательно,
= 2R arccos[(l — p/R)e]. Если vq =
то p = R cos2/?, e2 = sin2/?, i0o = Зтг/2 - /3,
s = Я (тг — 2/3). Максимальное удаление от
поверхности Земли Я sin/3.
При заданной скорости vq даль-
дальность so < s может быть достигнута
при углах бросания /3i и /З2:
±х B -кJ х2 — 4A — fe)l,
где ж = cos (so/2R). Максимальная дальность полета определяется из
условия /3i = /32 = /30 при 50 = smax:
cos
2-А;
cos2/3o =
2-k '
В случае к <^ 1 /30 ^ тг/4.
1.6.2. Мелсконтинентальный перелет. Космическому аппарату
(КА) на поверхности Земли сообщили начальную скорость, равную
первой космической скорости, на-
направленную под углом а к горизон-
горизонту. Определите ориентацию эллип-
эллиптической траектории и параметры
эллипса.
Решение. Ориентация большой
оси эллипса определяется векто-
вектором Лапласа
rovi
= — sin a
Рис. 1.6.2
Его величина равна эксцентрисите-
эксцентриситету эллипса £ = sin а. Угол фо меж-
между векторами г о и е равен Зтг/2 —
— а (рис. 1.6.2). Параметр эллипса
р = Я cos2а. Длина большой по-
полуоси а = Я, длина малой полуоси
b = Я cos а. Подставляя в уравне-
уравнение эллипса координаты точки пересечения эллипса с поверхностью
Земли г = Я, (р = рв, получим уравнение cos фв = — sin а, из которого
находим (рв = Зтг/2 — а. Следовательно, отрезок А В — малая ось
эллипса.
1.6.3. Найдите максимальную высоту подъема К А над поверхно-
поверхностью Земли и дальность полета (см. условие задачи 1.6.2).

1.6] Космодинамика 79
Решение. Полагая в уравнении эллипса (^? = тг, получим расстояние
до апогея ra = Я A + sin а). Расстояние до перигея rp = Я A — sin а).
Максимальная высота подъема hm = Я sin а. Дальность полета тела
по дуге большого круга s(a) = R (тг — 2а). В двух частных случаях
з@) = Ятг, hm = 0; в(тг/2) = 0, Ат = Я.
1.6.4. Космический лифт. Предположим, что на экваторе воз-
возведена конструкция, в которой действует лифт. Найдите высоту, на
которой скорость груза массой т станет равной местным первой и вто-
второй космическим скоростям.
Решение. На груз действуют сила натяжения каната N, сила тяже-
тяжести и центробежная сила инерции. Если груз находится на расстоянии г
от центра Земли, то N = mg (R/rJ — тио2г или N = muj2 (r^T/r2 —
— г), где uj — угловая скорость вращения Земли, rCT = [gR2/a;2]1/3 —
радиус орбиты геостационарного спутника (гст « 6,7Я = 42164 км).
Если г < гст, то для подъема с постоянной скоростью к грузу необходи-
необходимо приложить силу величиной N = mg (R/rJ — muJr, направленную
вертикально вверх. Величина скорости груза в инерциальной системе
отсчета v = йог. На расстоянии гст от центра Земли N = 0: груз
приобретет скорость vCT = cjrCT, равную местной первой космической
скорости. Если его не удерживать, то он будет неподвижен относитель-
относительно лифта. При подъеме груза на расстояние г > гст центробежная сила
становится больше силы притяжения — груз необходимо удерживать.
Из закона сохранения полной энергии найдем величину расстояния г2,
на котором груз приобретет местную вторую космическую скорость:
2 Г2
7*2 = 53 123 км; если его освободить, то он навсегда покинет Землю. Вот
еще одна возможность запуска космических аппаратов.
Энтузиастом этой идеи выступает известный писатель-фантаст Ар-
Артур Кларк. Сейчас он проживает на Цейлоне и уже нашел там место для
привязки лифта. Конструкцию для лифта надо строить с крыши. Со
стационарного спутника выпускают два троса — вверх и вниз. Затем
подбирают их длину так, чтобы вся система вращалась как целое
с угловой скоростью uj в процессе увеличения длины тросов. После за-
зацепления нижнего конца за Землю можно заняться устройством лифта.
Основная трудность — отсутствие материала необходимой прочности.
1.6.5. Космический аппарат выводят на эллиптическую орбиту
в точке, находящейся на расстоя-
расстоянии го от центра Земли. Найти усло-
условия, необходимые для того, чтобы
траектория аппарата не пересекала
поверхность Земли [27].
Решение. Эффективная потен-
потенциальная энергия
Рис. 1.6.5
г sin27 mgR2
2

80
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
где vq — начальная скорость, 7 ~ угол между векторами vo и го, R —
радиус Земли. По условию задачи точка поворота должна удовлетво-
удовлетворять условию rp ^ Д. В этой области £/эф(Д) ^ Е, где Е = mv2/2 —
— mgR2 /ro, следовательно,
2ga
sin7/#) -1
r0
^ R -a
sin 7 > — = sin p.
Вектор vo должен лежать вне «запретного конуса» с вершиной в точке
запуска и касающегося поверхности Земли (рис. 1.6.5).
1.6.6. Падение с «низкой» орбиты. Космическому аппарату
(КА) на высоте h <С Д сообщили начальную скорость vq = v\ (I — 5)
параллельно поверхности Земли, v\ = gR2/ro, г о = Д + /i, S > 0.
Эксцентриситет эллипса в = 1 — /2, параметр р = П)/2, / = vo/^i?
большая полуось а = го/A-\-е). Начальная точка траектории является
апогеем: r(to) = Пь <^(to) = £(to) = тг, uito = тг (рис. 1.6.6). Найти
интервал времени падения К А на поверхность Земли.
Решение. А. Полагая в уравнении эллипса (p(to + Atm) = 2тг, г (to +
+ Atm) = Д, получим условие, при котором КА приземлится в перигее
на поверхности Земли: A + vq/R) f2 = 2, или
S ~ /г/4Д. Далее, подставляя в уравнение Кепле-
Кеплера £(to + Atm) = 2тг, получим о;(to + Atm) = 2тг:
/
Б. Найдем условие приземления в точке <
+ Ati) = Зтг/2: R = p, или /2 = Д/г0, S « Л/2Д.
В. Пусть в точке приземления у?(to + т) = тг +
+ /Зт, /Зт "С 1. К А падает по «короткой» дуге
эллипса:
Д = рA - е cos/3m), ->
-> (I-/2) cos/3m =
ro/2
Д
Рис. 1.6.6
sR
В этом случае / С 1/ l-\-2h/R. Максимальное
смещение по длине дуги большого круга хт = vq hro/2geR.
Г. В интервале времени to ^ t ^ to + т угловая координата <^(t) =
= тг + /3(t), уравнение траектории /3 = f (tq — г) jгг. Найдем теперь
функцию г(i). Поскольку £(t)-Tr <C l,Tocos£(t) = -l+Ц (AtJ/2+. ..
Из уравнения Кеплера находим значение производной в начальной

1.6] Космодинамика 81
точке £о = сс;/A+е). Исходя из параметрического представления r(t) =
— а A — г cos £), получим явную функцию времени
r(t) = го - ae£ ^ ^
где ^эф = #е (R/гоJ. Интервал времени падения на поверхность Земли
г = (ro/Я) 2h/gs. При г?о "С vi получим тривиальное решение
Д<« 2hfg.
Полезно получить величину ^эф из закона сохранения полной энер-
энергии
mr2 mgR2 mgpR2
-^ = Е + — ^~-
Дифференцируя по времени, получим
gR2 ( gpR2
= "g-эф •
1.6.7—1.6.8. Относительное движение в окрестности траек-
траектории космического аппарата.
1.6.7. К А д вижется по круговой орбите радиуса г о со скоростью
vq = gR2/vq. Один из космонавтов, работающий в открытом космо-
космосе, получил приращение скорости Av в направлении вектора Vo- Найти
закон движения космонавта в системе отсчета, жестко связанной с КА.
Решение. Начальная скорость космонавта v = vo (I + Av/vq). Учи-
Учитывая, что roVo = 0, найдем вектор Лапласа
e =
Величина эксцентриситета е ~ 2Дг?/vq. Параметр, значения полуосей,
расстояния до перигея и апогея с точностью до величин ~ е2 соответ-
соответственно равны
Р = г0 (l
A)
Следовательно, космонавт двилсется по эллипсу, охватывающему кру-
круговую орбиту КА. Период движения
Т = 2ж/ш, ио = R -^ ,
а
ljq = R 4-

82
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
Космонавт стартует в перигее и обгоняет КА, поднимаясь по вос-
восходящей ветви эллипса. Однако поскольку период обращения космо-
космонавта Т больше периода То, то в какой-то момент времени космонавт
и станция окажутся на одной прямой,
проходящей через центр Земли: К А про-
проходит под космонавтом и обгоняет его —
неожиданный эффект с точки зрения
«здравого смысла». Затем космонавт
продолжает подниматься вверх и отстает
от станции (рис. 1.6.7).
Запишем теперь уравнение траекто-
траектории космонавта. В системе отсчета с на-
началом в центре Земли введем систему
координат с осью ж, направленной в пе-
перигей орбиты. В этой системе
Рис. 1.6.7
х = a (cos£ — е), y =
ujt = £ - е sin£.
Перейдем в систему отсчета К' с началом на КА и вращающуюся
с угловой скоростью ujq:
х' = X COS OJQt + у Sin LJQt « р COS (£ — LJQt) — Sp COS LJQt — Го,
y' = —x sin ujot + у cos uj$t & p sin (£ — uj$i) -\- sp sin uo^t.
то при значениях
Поскольку ujq A — 3e/2)£
из A)-C) получим
x1 = sr0 A -
— s
у1 = —- evot +
0 smujot.
B)
C)
< 1
D)
Траектория космонавта представляет собой «эллипс», центр которого
дрейфует вдоль оси у1 со скоростью ЗДг?:
/х'
V
-£го\
его /
у'
2гго У
=
После завершения космонавтом полного витка станция сместится по
орбите на расстояние As = Зетгго- Проблемы относительного движе-
движения приходится решать при приеме космической станцией грузовых
кораблей.
1.6.8. К А движется по круговой орбите радиуса г о со скоростью
г?0 = gR2/го- Космонавт, работающий в открытом космосе, бросил
заклепку со скоростью Av в направлении к центру Земли. Найти закон
движения заклепки в системе отсчета, жестко связанной с КА.
Решение. Введем два единичных вектора е = vq/vq, п = го/го,
начальная скорость заклепки v = у$е — Аг?п. Учитывая, что nvo = О,

1.6
Космодинамика
83
найдем вектор Лапласа
- l]
J
lv0
n +
H
Av
V0
- Avn) = e — .
Величина эксцентриситета в = Av/vo <C
<C 1, параметр эллипса р = tq.
Найдем момент времени to, в который
тело находится в перигее (рис. 1.6.8а).
В системе координат с началом в центре
Земли ось х направлена в перигей х@) =
= 0, у@) = -го,
х = a (cos£ — е), у = b sin£,
uj (t — to) = £ — е sin £.
Полагая t = 0, £ = £o5 получим уравне-
уравнения
из которых находим £о ~ —тг/2 + £,
о;to ~ тг/2 — 2е. Следовательно, уравне-
уравнение Кеплера принимает вид £ w си (t —
— to) — s cos o;t. В этом приближении рас-
расстояния до перигея и апогея с точностью
до величин rsj s2 соответственно равны
^Р ^ П) A - ^M ^а ^ ^о A + ^)- Период
движения
Т7 - 27Г ,, - Р ^
7 - — , о; - Я -з ,
^ а
а;
Рис. 1.6.8
= R ^ •
Следовательно, заклепка движется по эллипсу, смещенному относи-
относительно круговой орбиты КА.
Перейдем в систему отсчета Kf, вращающуюся с угловой скоро-
скоростью cjo, и поместим начало координат на К А. Ось х1 проходит через
центр Земли и КА, ось у1 направлена параллельно скорости КА. Тогда
xf = х
Полагая в A), B) а
— у cosujQt — го, A)
у1 = х coscjo^ + У sinujot. B)
пь b ~ го, получим уравнение траектории
—его
0 (I —
C)
D)

84
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
Отметим интересную особенность — траектория в системе отсчета,
связанной с Землей, представляет собой эллипс с полуосями а ж пь
6 ^ го; в системе отсчета, связанной с КА — эллипс с полуосями его,
2ег0 (рис. 1.6.85).
Решение задач 1.6.7-1.6.8 получено независимо в задаче 3.3.12.
1.6.9. Парадокс спутника. Показать, что для траекторий, близ-
близких к круговым, из уравнения движения
mr = —G —з~ г - k(v) r
г
следует уравнение mv = kv.
Решение. В отсутствие сил сопротивления спутник движется по
круговой орбите радиуса г со скоростью v = GM/r с полной энергией
тМ
A)
В результате действия сил сопротивления спутник движется по неко-
некоторой спиралеобразной кривой. Величины радиуса-вектора и скорости
становятся функциями времени, а полная энергия изменяется согласно
уравнению
Ё = -kv2. B)
Предполагая, что для орбит, близких к круговым, сохраняется соотно-
соотношение A) между E(t) и v2(t), получим из A) и B)
mv = kv.
C)
2kv
kv
Отсюда видно, что величина скорости спутника растет. Поскольку для
спутника отношение к/т меньше, чем для ракеты-носителя, то ракета
«обгоняет» спутник. Действие сопротивления атмосферы приводит
к тому, что спутник начинает «па-
«падать», при этом его потенциальная
энергия убывает. Полная энергия со-
согласно B) тоже убывает, однако при-
приращение кинетической энергии оказы-
оказывается положительным. Следователь-
Следовательно, потенциальная энергия убывает
настолько быстро, что обеспечивает
убыль полной энергии при одновре-
одновременном росте кинетической.
В проекции на направление v урав-
уравнение движения имеет вид
О
Рис. 1.6.9
mv = Fv — kv,
D)
где Fv — проекция силы тяжести. Сопоставляя C) и D), приходим
к выводу, что Fv = 2kv (рис. 1.6.9).

1.6] Космодинамика 85
Оценим приращения радиуса-вектора и периода обращения за один
оборот. Учитывая C), находим
г =
-2
к
т
г,
о к
т
Коэффициент k ~ pSv, где S — площадь поперечного сечения спутни-
спутника, р — плотность атмосферы [31],
Н = 7170 м, ро = 1,225 кг/м3. Полагая га = 100 кг, S = 1 м2, г = R +
+ 160 км, найдем р ~ 10~9 кг/м3,
дг ^ _?^ гТ ^ _5,37 км, AT = -— Т2 = -6,4 с.
m m
Несмотря на то что на высотах ~ 200 км плотность воздуха в миллиард
раз меньше, чем на уровне моря, спутник быстро снижается и через де-
десять часов сгорает. На высотах ~ 300 км время существования спутника
~ 20 сут, на высоте ~ 400 км — до 160 сут.
1.6.10. Два спутника с равными массами соединены канатом и дви-
движутся по круговым орбитам вокруг Земли, находясь на прямой, про-
проходящей через ее центр. Найти силу натяжения каната.
Решение. Пусть масса каната пренебрежимо мала по сравнению
с массой спутников. На каждый спутник действуют силы притяжения
Земли и силы упругости канатов Ni и N2. Пусть г — радус-вектор
центра масс спутников, uj — угловая скорость вращения, 21 — длина
каната. Пренебрегая силой гравитационного притяжения между спут-
спутниками, получим уравнения
(г-0
J + N. B)
Из A), B) находим
о GM
N = Gj ъг^е
г (г2 - I2J V }
Сделаем два замечания. 1. Рассмотрим два связанных спутника
как одно протяженное тело массой 2га, движущееся по окружности
радиуса г. Тогда для него не выполняется третий закон Кеплера —

Уравнения Ньютона [ Гл. 1
лишнее напоминание о том, что законы Кеплера справедливы для
материальных точек. Скорость первого спутника меньше, а второго
больше местной первой космической скорости.
2. Из D) следует, что канат натянут. Предполагая, что / <С г,
получим значение силы натяжения
1.6.11. Космический аппарат движется по эллиптической траекто-
траектории. Расстояния от поверхности Земли до перигея и апогея соответ-
соответственно равны hp = 170 км, ha = 400 км. Определить приращение
скорости в апогее и перигее, необходимое для перехода на орбиту
приземления.
Решение. Из законов сохранения энергии и момента импульса
mgR2 _ mvl mgR2
найдем скорости КА в перигее и апогее при движении по произвольной
эллиптической траектории:
v2 = 2gR2 га у2 = 2gR2 rv
v = у =
Р Га + Гр Гр ' а Га + Гр Га '
Поскольку /гр, /га <С Я, то
hp —
A)
Если траектория приземления начинается в апогее, то скорость в апогее
орбиты приземления vfa = ^/gR(l — 3/га/4Я). Приращение скорости,
необходимое для перехода на эту орбиту,
Дг>а = < - г;а = - gR -^ •
Рассмотрим тормо^сение в перигее исходной орбиты. Поскольку эта
точка должна быть апогеем орбиты приземления, то v'l = y/gR(l —
/). Приращение скорости при тормолсении в перигее
Следовательно, торможение в апогее более выгодно. Подставляя чи-
числовые данные, находим Ava = —53 м/с, Avp = —124 м/с.
1.6.12. Космический аппарат находится на круговой орбите ради-
радиуса го- Найти величину тангенциального приращения скорости Av для

1.6]
Космодинамика
87
перехода на эллиптическую орбиту с полуосью а > г о и время перелета
до апогея новой орбиты [30].
Решение. Вектор Лапласа новой орбиты
At;.
е = \(^-Y - ll n, n = ^ ,
[\VlJ J Го
Параметр р = vq{v' /v\J. Поскольку а = р (l — £2) , то
Av= — -1+ 2-— .
mro a
Время перелета tn = тг/uj = тг (та3/а)
1.6.13. Космический аппарат, движущийся по круговой орбите
радиуса го, получает тангенциальное приращение скорости Av. Опре-
Определить время полета до пересечения с орбитой Луны.
Решение. Согласно задаче 1.5.8 вектор Лапласа новой орбиты
го
Параметр р = A + Av/v\Jro. Предполагая, что орбита Луны —
окружность радиуса ri, найдем из неравенства га = р/A — е2) ^ г\
условие, обеспечивающее пересечение орбит К А и Луны: Av ^ Avm,
Avm =
2ri
'О + 7-1
Предполож:им, что Av ^ v\ (л/2 — 1), т. е. орбита КА является эллипсом
(рис. 1.6.13). Время движения t\ по дуге эллипса до точки пересечения
с орбитой Луны определяется уравнением Кеплера ujt\ = £i — s sin£i.
Значения параметра £i точек пере-
пересечения найдем из уравнения г\ =
= а A - е cos£i):
cos£i =
а — п
аг
а =
Очевидно, значению £i = тг соот-
соответствует траектория, касающаяся
окружности радиуса г\ в единствен-
единственной точке.
Пусть v = vi + Av = 10,95 км/с.
Учитывая значение г\ = 384 400 км,
получим £i = 1,422, t\ = 59,4 ч =
= 2,46 сут.
Рис. 1.6.13

Уравнения Ньютона
[Гл. 1
1.6.14. Запуск спутника «Молния» на эллиптическую орбиту с апо-
апогеем ra = Я + 40 000 км и перигеем rp = Я + 500 км происходит в два
этапа. Сначала его выводят на промежуточную орбиту с rpi = Я +
+ 200 км, rai = Я + 500 км, а затем в апогее сообщают тангенциальный
импульс скорости Av. Найти величину Av, необходимую для этого
маневра, и отклонение апогейного рассто-
расстояния рабочей орбиты при ошибке в вели-
величине Дг;, равной 1 м/с [28] (рис. 1.6.14).
Решение. Из законов сохранения мо-
момента импульса и полной энергии получим
2 =
al
= 2gR2rpl
rai(ral+rpi)
v2 = 2gR2ral
pl rpi(rai+rpi)
Подставляя числовые значения, находим
vai = 7,53 км/с. Поскольку апогей проме-
промежуточной орбиты rai совпадает с периге-
перигеем рабочей орбиты гр, то
B)
Tal (rai + Га)
следовательно, vp = 10,05 км/с,
= ^n - Vai = Я ^-
2,52 км/с.
Высота апогея весьма чувствительна к ошибкам в величине Av. Пред-
пол ожим, что в результате ошибки скорость vp приобрела значение
vp + Sv. Из B) находим приращение Ara = Dа2/gR2) vp6v. Если Sv =
= 1 м/с, то Ara = 75 км.
1.6.15. При выведении спутника на круговую орбиту направление
скорости отклонилось от расчетного на угол S. Найти ориентацию
большой оси эллиптической траектории спутника.
Решение. В точке запуска vo = vie, следовательно, вектор Лапласа
(рис. 1.6.15) е = —е (ne), n = tq/tq. Полагая 7 — тг/2 — S, получим (см.
задачу 1.5.8) г = sin 6, cos фо = — sin 5, sin ф0 = — cos 6, следовательно,
ф0 = Зтг/2 — S. Параметр эллипса р = М2/та1 = го cos2£. Расстояния

1.6
Космодинамика
до перигея, апогея, большая и малая
полуоси соответственно равны
_ р _ го cos S
р 1 + е 1 + sin S '
_ го cos2S
Га ~~ 1 - sin S '
Р
а =
b =
1-е
Р
= Пь
= Го COS S.
Рис. 1.6.15
Пред пол ожим, что S <С 1. Тогда
отклонение от расчетной траектории
в перигее Агр = гр — г о ~ — Stq. Пусть
Го = R + h, h = 300 км, J = 1°.
Подставляя числовые данные, получим |Агр| = 111 км.
1.6.16. При выведении космического аппарата на круговую орбиту
радиуса г о величина скорости отклонилась от расчетной на А г;. Опре-
Определить ориентацию большой оси, эксцентриситет и параметр орбиты.
Решение. В момент выведения К А начальная скорость vo = vi A +
+ Av/v\. Учитывая, что roVo = 0, найдем вектор Лапласа
Момент импульса М = т [tqV\] A +Av/vi), следовательно, эксцентри-
эксцентриситет и параметр эллиптической траектории КА равны
£ =
V\ /
Расстояние до перигея и апогея
р
r = =r0 r
4Д?А
1.6.17. При выведении космического аппарата на круговую орбиту
радиуса Го расстояние до Земли отклонилось от расчетного на Аг.
Найти параметр и эксцентриситет орбиты.
Решение. Заменяя в выражении для вектора Лапласа величины
vq —> v\, v\ —> v\ A + Ar/ro), получим
Ar\2_
го / I го
e=
Момент импульса М = т [rov{\ (I + Дг/го), следовательно,
\2 / Аго\2

90 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
1.6.18. При выведении К А на эллиптическую орбиту с парамет-
параметром р и эксцентриситетом € направление большой оси отклонилось
от расчетного положения на угол S <С 1. Показать, что в результате
двойной коррекции с помощью тангенциального импульса скорости
положение орбиты можно совместить с расчетным положением.
Решение. Направим ось х параллельно вектору Лапласа эллипти-
эллиптической орбиты (рис. 1.6.18). При действии тангенциального импуль-
импульса скорости Av <С v составляющие вектора Лапласа новой орбиты
е'у ~ 2 (Av/v) sin ^, е'х ~ £, где ф — угол между осью х и положением
радиуса-вектора К А в точке коррекции. Вектор е' образует с осью х
угол /3 ~ е'у1е'х — {^Av/ve) ътф. Сообщим в точке ф = 7г/2 импульс
скорости
определяемый условием 5/2 = 2Av/ev\. Большая ось повернется на
угол /3 = 8/2. При этом изменится период обращения КА, поскольку
Да1 = (mv2/2a) sa25. Далее, в точ-
точке траектории, определяемой углом
ф1 = 37г/2 в системе координат ж', у'',
сообщим импульс Дг?2 = — Av\. Тогда
большая ось сместится на угол д/2,
а величина большой полуоси получит
приращение Да2 = —Aai. В резуль-
результате двойной коррекции большая ось
повернется на угол 5, а ее величина не
изменится. Однократная коррекция
оси на угол S привела бы к увеличе-
увеличению величины большой оси и периода
Рис. 1.6.18 обращения. Поэтому при выводе на
орбиту спутников связи «Молния»,
имеющих период Т = 12 ч, применяют двухимпульсную коррек-
коррекцию [28].
1.6.19. Космический аппарат на круговой орбите получил прира-
приращение скорости, равное по величине местной параболической скоро-
скорости, направленное перпендикулярно радиусу-вектору и под углом 135°
к вектору скорости. Используя интегралы Лапласа и момента импуль-
импульса, определить ориентацию и форму новой траектории.
Решение. Введем единичные орты ei, в2, ез, направленные по
радиусу-вектору, скорости и моменту импульса. Тогда Ду = v\ (ез —
— в2), а новая скорость v' = г^ез, следовательно,
Момент импульса М; = [rrav'j = — mrv\e2. Новая траектория яв-
является окружностью, лежащей в плоскости, перпендикулярной векто-
РУ е2 [29].

1.6] Космодинамика 91
1.6.20. Спутник на круговой орбите радиуса г о получил прира-
приращение скорости и, направленное по радиусу. Определить ориентацию
большой оси, параметр и эксцентриситет новой орбиты.
Решение. Введем единичные векторы e = v\/v\,n = ro/ro (en = 0).
Подставляя в выражение для вектора Лапласа Vo = v\e + im, получим
{(vie + unJ ] и ( и \ и
£ = п S— Ч е ^ п = ~е ~ >
L г>1 J vi V vi / vi
£ = и/г?ь Значение параметра р = (гагд/а) [n (vie + ип)]2 = tq.
Если и < v\, то новая траектория является эллипсом.
1.6.21. Космический аппарат движется по орбите с параметром р
и эксцентриситетом е. В точке г аппарат получил тангенциальное при-
приращение скорости V—»v/ = v(l + Av/v). Найти положение большой
оси новой эллиптической траектории, приращения периода и большой
полуоси.
Решение. Вектор Лапласа новой траектории
) A)
v = — (l + 2е cos Y + £2) ->
тр v y
где х ~~ угол между радиусом-вектором г и вектором Лапласа е.
Учитывая, что а = —а/2Е, найдем приращения большой полуоси
А A да А v да дЕ 2т А
Аа = Av ^- = Av - —- -д- = — аАг;
^v v ^£J dv a
и периода AT = Av (дТ/dv) = ST (Aa/a)/2.
1.6.22. К А движ:ется по эллиптической орбите. Найти точки траек-
траектории, в которых в результате радиального приращения скорости К А
перейдет на круговую орбиту, приращение скорости и радиус круговой
орбиты.
Решение. Пусть г — радиус-вектор КА, (р — полярный угол радиус-
вектора. Вектор Лапласа
£ = \[ — ) -
где n = r/r, v — скорость КА, nv = г — радиальная компонента скоро-
скорости, v\ — значение местной первой космической скорости на расстоянии
г((р) = р/A + £ cos (f) от фокуса, р — параметр эллипса,
г = ей sin (р, гф = и A + £ cos (p),
а
V\ = U д/1 + £ COS (f. U =
v ^ тр

92
Уравнения Ньютона
[Гл. 1
В результате приращения скорости Av = nAv вектор Лапласа
е -> е' =
2
- v2) п - (nv + Av) v]
Полагая е' = 0, получим два уравнения Av = — nv,
г?2 +
— г?2 = 0 —»
= г?2
Из последнего уравнения находим (fi,2 — тг/2, 37г/2 (рис. 1.6.22).
В положении cpi = 7г/2 приращение скорости Av = — еип. Радиус
орбиты равен р, величина скорости v1 — ие.
1.6.23. К А движется по эллиптической орбите. Найти точки тра-
траектории, в которых для перехода на круговую орбиту необходимо
изменить только направление скорости, не изменяя ее величину.
Рис. 1.6.22
Рис. 1.6.23
Решение. Очевидно, следует найти точки на траектории, в которых
скорость КА равна местной первой космической скорости: cos^i?2 =
= —£. Этому условию удовлетворяют две точки на концах малой
оси на расстоянии а = р/A — е2) от фокуса (рис. 1.6.23). Величина
приращения скорости при переходе на круговую орбиту
Av =
I — 1-е2,
a
та
1.6.24. К А движется к Земле по гиперболе. Скорость К А на гра-
границе сферы действия Земли — vs. Найти тангенциальное приращение
скорости в перигее при одноимпульсном переходе КА на круговую
орбиту и значение радиуса орбиты, при котором величина приращения
скорости минимальна.
Решение. Изменяя значение прицельного параметра 6, можно пере-
перевести КА на любую круговую орбиту. Для гиперболической траектории
момент импульса М = mvsb, полная энергия Е = mv2/2, параметр
и эксцентриситет гиперболы
р = — mvs b ,

1.6] Космодипамика 93
расстояние до перигея гр = р/A + s).
Из закона сохранения момента импульса vsb = vprp найдем ско-
скорость КА в перигее при фиксированном значении прицельного пара-
параметра vp = vsb/rp. Поскольку скорость на орбите радиуса гр равна
а/тгр, то приращение скорости
A OL Ь ,л ч
Av = vs — . A)
mrp rp
Для определения радиуса оптимальной окружности введем параметр
х = 6/с, с = a/mv2. Учитывая, что
2 1,2 с#2
представим A) в виде
Av(x) = A - VTTe) -7== • B)
Экстремальным значениям ет = 3, жт = 2у2 соответствуют прицель-
прицельный параметр 6т = 2д/2с, скорость КА в перигее (vp)m = г?8д/2, при-
приращение скорости (Av)m = —г?8/д/2, радиус оптимальной окружности
(г \ — <)г (г \ _о
скорость движ:ения по окруж:ности (г;р)т = г?8/д/2.
1.6.25. К А движется по гиперболе с эксцентриситетом е = 3
и параметром р = 8Я, где Я — радиус Земли. Найти тангенциальное
приращение скорости, которое необходимо сообщить К А в перигее для
перехода на круговую орбиту.
Решение. Поскольку расстояние от фокуса до перигея гр = р/A +
+ е), то радиус круговой орбиты гр = 2Я. Из уравнений
Р= —> M = mvprp, a = mgR2
та
найдем значение скорости в перигее vp = yJ2gR. Скорость КА на круго-
круговой орбите радиуса 2Я равна v\ = gR/2. Следовательно, приращение
скорости Av = — gR/2.
1.6.26. Метеорит массы mi движется по гиперболе с эксцентриси-
эксцентриситетом е = 3 и параметром р = 8Я, где Я — радиус Земли. В перигее
происходит неупругое столкновение с К А массы rn-2, движущимся по
круговой орбите. Определить форму траектории образовавшегося ком-
композита.

94 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Решение. Скорость метеорита в перигее vp = ^2gR, скорость К А
на круговой орбите — v\ = gR/2.
Рассмотрим случай встречного столкновения. Из закона сохранения
тангенциальной компоненты полного импульса найдем скорость обра-
образовавшегося тела:
2777-1 — 777-2
V = ; V\.
777-1 ~г 777-2
Далее найдем эксцентриситет
£2 = 1-
Следовательно, при 2га-\ — т^ траектория — окружность. В случае
2га2 - 8raira2 - га| > 0 траектория — гипербола.
1.6.27. Движение в космосе с малой тягой. Реактивная сила
F = /v/v, действующая на ракету, направлена по касательной к тра-
траектории, / — константа, а = / /га <С g. Найти решение уравнений,
описывающее начальный участок траектории [134].
Решение. Ракета движется по круговой орбите радиуса г о со скоро-
скоростью v\ — a/raro, ol — mgR2. В момент времени t = 0 включают
двигатель. Реактивное ускорение, создаваемое ионными двигателями,
ар ~ мм/с2.
Используя решение задачи 1.5.12, в которой рассмотрена эволюция
интегралов движения задачи Кеплера, получим уравнения
E = fv, A)
М = М — , B)
mas = [vM] Ц-. C)
Из B) следует, что траектория лежит в плоскости, перпендикулярной
вектору Мо = М@). Из A) находим первый интеграл:
Е = Ео + fa, D)
где s — длина участка траектории ракеты, Eq = — а/2го, г о = г@).
Поскольку / <^С rag", то ракета начинает движение по спиралеобраз-
спиралеобразной кривой: на каждом витке скорость и расстояние до центра Земли
связаны соотношением
777-г>2 а 2 <* /г\
= —ту , или v = . E)
г г гпг
Полная энергия ракеты Е = —mv2/2. Подставляя Е в A), получим
уравнение
v = —а, а = — , F)

1-6]
Космодинамика
95
Рис. 1.6.27
из которого следует, что величина скорости ракеты уменьшается. Ана-
Аналогичный парадокс рассмотрен в задаче 1.6.9. Здесь необходимо учесть,
что, согласно уравнению A), полная энергия увеличивается и при
некотором значении t = tp обратится в нуль. Величина скорости
г?р = v(tp) в этот момент времени достигнет наименьшего значения
vp = 2a/mrp, rp = r(tp). При значениях t > tp скорость ракеты
возрастает и она удаляется от Земли по квазигиперболической траек-
траектории. Следовательно, из F) находим
v(t) = vi - at, 0 ^ t < tp.
Из A) имеем уравнение
G)
mvv + а ~2 = fv,
г
где г = v cos 7, 7 ~~ угол меж:ду радиус-вектором и скоростью. Полагая
£(£') ~ 0, t' & tp, r(t') ~ rp, cos7(t;) j^ 1/2, получим значения гр =
= a/2ma, v^ = 2 2aa/m. Согласно G) tp = (vi - vp)/a. В момент
времени t = tp длина траектории
s(tp) = Vltp -\^l = Ya Ы ~4)=\ («i + vpK-
При a = 1 мм/с2 значение Е = 0 достигается через 80,8 сут. на
расстоянии 554 700 км, а скорость 3 км/с [134].

96 Уравнения Ньютона [ Гл. 1
Найдем теперь полное число витков N в интервале 0 ^ t < tp.
В результате анализа численных расчетов была получена эмпирическая
формула N = OfiAg/a. Очевидно,
О
Вычисляя интеграл, получим
На рис. 1.6.27 изображена траектория разгона с круговой орбиты,
полученная численным интегрированием уравнений движения [134].
Цифры вдоль траектории соответствуют безразмерному времени дви-
движения.

Глава 2
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
2.1. Уравнения Лагранжа первого рода
2.1.1. Частица движется по гладкой неподвижной наклонной плос-
плоскости. Найти закон движения и реакцию плоскости.
Решение. Пусть п — единичный вектор, перпендикулярный плоско-
плоскости. Тогда уравнение связи и уравнение движения примут вид пг = О,
гаг = rag + An. A)
Дифференцируя, получим пг = 0. Отсюда, учитывая A), находим А =
= -ragn, следовательно, г = g — (gn) n = [n[gn]],
причем nr@) = 0, nv@) = 0. Реакция плоскости N =
= -ra(gn)n. Если n = (sin а, 0, cos а), g = @, 0, —g), то N =
= mg cos a (sin а, 0, cos a).
2.1.2. Частица движется по поверхности сферы. Найти реакцию
как функцию координат и скорости.
Решение. Исходная система уравнений имеет вид
/ = г2-а2 = 0, A)
гаг = rag + AV/, B)
а — радиус сферы. Из A) находим г2 + гг = 0. Исключая г с помощью
B), получим
Поскольку связь стационарна, то гаг2 /2 — ragr = Е, следовательно,
А = -B# + 3mgr)/2a2.
Рассмотрим частные случаи.
1) г@) = 0, г@) = @, 0, а). Реакция обращается в нуль при z =
= 2a/3 (координата точки отрыва).
2) г@) = @, 0, а), г@) = @, 0, </ga). Полная энергия Е =
= Smga/2. Реакция обращается в нуль при z = a.
2.1.3. Частица движ:ется по поверхности сферы. Найти закон дви-
движения и реакцию сферы.
4 Ю. Г. Павленко

/ =
m
-- p2 + z2
(p ~ РФ'
m d 2
~f)~dtP
' -
ф
a2=0,
= 2Ap,
= 0,
98 Уравнения Лагранжа [Гл. 2
Решение. В цилиндрических координатах с началом в центре сферы
и осью г, направленной по вертикали вверх, система уравнений имеет
вид
A)
B)
C)
mz = —mg + 2Xz. D)
Из C) получим интеграл
тр2ф = Mz. E)
Из теоремы об изменении полной энергии находим
Исключим из F) р, р, ф, совершая замену
= /1.2 -
— zz . Mz
р= a*-z*, р= , „ , , ¥> = з7-2 тч
т(а2 -z2) '
Тогда из F) находим квадратуру
Z
\ -¥= = t-t0, G)
Q{z)
д(г) |[(г)(аг)|
V ; o2 [\mg Л ; 2m2g
В общем случае интеграл G) выражается в терминах эллиптических
функций. Рассмотрим ряд частных случаев.
1) В случае Гринхилла задаются начальные условия г@) = (а, 0, 0),
г@) = @, «о, 0). Тогда
Область движения по координате z

2.1] Уравнения Лагранэюа первого рода 99
Из E), G) находим
a2 - z2 2g V 2 4a
2 4
J
2) Найдем условия, при которых частица движется по горизонталь-
горизонтальной окружности в плоскости zq. В этом случае Q(zq) = О, dQ/dz = О,
или
Отсюда находим
2
следовательно, z0 < 0, у? = о;0£ + <^о5 ^о = g1^2 (—^o)^2-
3) Рассмотрим движение в окрестности положения равновесия г
= @, 0, zo). Разлагая Q(z) в ряд Тейлора, получим
Теперь интеграл G) вычисляется в терминах элементарных функций.
Проще, однако, продифференцировать уравнение i2 = Q(z):
Таким образом, z = z0 + A cos (ft t + а),
2 2
a - z0
a2-z£-2z0A cos(£lt + a)
2.1.4. Частица движется по циклоиде. Найти реакцию связи и закон
движения.
Решение. Расположим циклоиду в вертикальной плоскости. Ось у
направим вертикально вверх. Уравнение циклоиды в параметрической
форме х = a((f — sin у?), у = — а A — cosy?). Запишем второй закон
Ньютона в естественных координатах:
ti + N, B)

100 Уравнения Лагранжа [ Гл. 2
где N — величина силы реакции, R — радиус кривизны. Возьмем в ка-
качестве независимой переменной длину дуги s = 8а sin2</?/4. Поскольку
У = s + ^ , 0 ^ s^ 8а, C)
то из A) следует уравнение s + oo2s = g, и;2 = g/4a, следовательно,
s = 4а + A cos (о; t + ao) • D)
Если начальные условия выбрать так, чтобы А ^ 4а, то частица совер-
совершает гармонические колебания, причем частота колебаний не зависит
от амплитуды (в отличие от математического маятника). Эта особен-
особенность впервые отмечена X. Гюйгенсом в 1659 г. Для уменьшения трения
можно заставить тело двигаться по циклоиде без прямого контакта
с ней. Для этого достаточно изготовить шаблон в виде двух одинаковых
полуарок циклоиды, имеющих общую точку возврата (см. рис. 1.1.9).
В точке возврата прикрепляется нить длиной / = 4а с шариком на
конце. Шарик будет двигаться по циклоиде, совершая изохронные
колебания с периодом Т = 4тг a/g. Из B), C) находим
Для вычисления радиуса кривизны можно воспользоваться формулой
Я = [х12 + у/2) \х'у" — ж"^'! или следовать определению R =
= ds/da, где а — угол между тангенциальным ортом е и осью х.
Вычисляя tga = dy/dx, находим а = тг/2 + </?/2,
Подставляя D), F) в E), получим реакцию как функцию времени.
2.1.5. Частица движется по гладкой кривой, лежащей в вертикаль-
вертикальной плоскости. Найти время движения частицы между двумя точками
на кривой.
Решение. Выберем ось у, направленную вертикально вверх. Урав-
Уравнение кривой у = у(х). Поскольку v2 = (l + y/2)x2, то из закона
сохранения полной энергии
следует
t =
2
X! —[E-mgy(x)]
тп

2.1] Уравнения Лагранжа первого рода 101
2.1.6. Даны две точки А и В, не лежащие на одной вертикали. Най-
Найти уравнение плоской кривой, двигаясь по которой частица скатится из
точки А в точку В за кратчайшее время.
Решение. Время движения
r=\dx F(y, у'), F(y, у') =
Ji
о) -
зависит от вида функции у(х). Каждой функции у(х) соответствует
определенное значение т; тем самым г = т[у] является функционалом,
а задача состоит в нахождении экстремума функционала. Найдем,
как изменяется значение г [у] при переходе от функции у (х) к функ-
функции у(х) + £Г](х), где £ < 1, г](х) — любая гладкая кривая, г](а) = 0,
г](Ь) = 0. Приращение г [у] можно записать в виде
6 6
Ar = J dx F(y + er), у' + erj') - J dx F(y, у') =
Интегрируя второй член по частям, получим
ъ
Условие экстремума функционала приобретает вид
d dF _ dF
dx ду' ~ ду '
Умножая на yf, получаем интеграл
ду
Подставляя F, найдем уравнение
1/2 ^ A)
Пусть точка А находится в начале координат, тогда из A) получим
уравнение

102
Уравнения Лагранжа
[Гл.2
Произведем параметризацию, поло-
положив у = — ЯA — cos (f). Из B) полу-
получим х = R (<р — simp). Таким обра-
образом, искомой кривой является цик-
циклоида.
Эта задача была поставлена и ре-
решена И. Бернулли в 1696 г. до
создания дифференциального ис-
исчисления. Он использовал оптико-
Рис. 2.1.6
механическую аналогию, предполо-
предположив, что движения частицы и лу-
луча света подчиняются одинаковым
закономерностям. Коэффициент преломления в этом случае п ~
~ у (а) — у . Можно дать простой рецепт построения искомой циклои-
циклоиды. Построим произвольную циклоиду с началом в точке А (рис. 2.1.6).
Затем соединим точку А с точкой В прямой, которая пересечет циклои-
циклоиду к точке В'. Совершая далее преобразование гомотетии с коэффици-
коэффициентом АВ/АВ', получим искомую циклоиду. Интересно отметить, что
точка минимума на циклоиде лежит ниже уровня точки В: частица
приобретает большую скорость и быстрее поднимается к месту назна-
назначения [8].
2.1.7. Две частицы масс mi и т2 закреплены на концах стержня
длиной /. Масса стержня т <С mi, m2. Эта система движется в од-
однородном поле тяжести. Найти решение уравнений движения и силы
реакций.
Решение. Уравнение связи и уравнения движения
/ = (Р2 " Г1J - /2 = 0,
?! = -2А (г2 - ri) +
r2 = 2А (г2 - ri)
(i)
B)
C)
Перейдем к новым координатам r2, ri —> rc, г = г2 — ri, где гс —
радиус-вектор центра масс. Тогда из A)-C) получим систему
г" = I*,
fir = 2Ar.
D)
E)
F)
Найдем решение уравнений E), F). Дифференцируя уравнение связи,
получим
rr = 0,
r2 + rr = 0.
G)
(8)

2.1] Уравнения Лагранжа первого рода 103
Образуем скалярное произведение правой и левой частей F) с г и учтем
G). Тогда получим закон сохранения кинетической энергии относитель-
относительного движения
/i-^-= 4Агг = 0, r2 = Vo,
где vo = r@) — начальное значение относительной скорости частиц.
Согласно G) rovo = 0, где го = г@).
Подставляя F) в (8), найдем 2А = —ji{vq/1J. Теперь из F) следует
уравнение
' -J (9)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, име-
имеет вид
r(t) = Го cos и) t + ( — ) sin и) t. A0)
Поскольку r(t) — вектор постоянной длины, то r(t) долж:ен удовлетво-
удовлетворять уравнению г = [о;г]. Отсюда находим u?ro = 0, угловая скорость
системы а? = [rovo]//2. Силы реакции Ri = —R2 = /icj2r.
2.1.8. Частица двилсется по плоскости, которая вращается с угловой
скоростью Г2 вокруг вертикальной оси. Найти реакцию плоскости как
функцию радиуса-вектора и скорости частицы.
2.1.9. Частица движется по эллипсоиду. Сила, действующая на
частицу F = —тиJт. Найти множитель Лагранжа и первые интегралы.
Решение. Дифференцируя уравнение связи
получим
r^V/ + fV/ = 0.
Далее, используя уравнение движения
тг = -muj2r + AV/, A)
получим
Интеграл энергии Н = тг2 /2 + muj2r2/2. Покажем, что имеется еще
один интеграл. Умножим A) на — V/ и учтем B):

104 Уравнения Лагранжа [Гл.2
Поскольку г — V/ = 0, то сохраняется величина
аъ
Интегрируемость системы на эллипсоиде в поле U = то;2г2/2 была
доказана Якоби [34].
2.1.10. Частица движется по сфере в поле U = knx\j1. Найти
первые интегралы и множитель Лагранжа.
Решение. Уравнение связи и уравнение движения имеют вид
/= ^-а = 0, A)
тха = —каха + Ха~1ха. B)
Равенство A) совместно с уравнением B), поэтому из условий хаха =
= 0, хах^ + ж2 = 0 находим
Подставляя C) в B), получим нелинейную систему уравнений
i 1 / -2 I 2\
/vyi /у* [/> /у* I /vy) * I/* г*. *у* 1 nt*
a
интегрируемость которой мы хотим установить. Действительно, кроме
интеграла энергии
Ц Zrn f2 -I- — к т2 (А\
Li Li
существует еще один интеграл
/ = МакаМа - к^кзХак^ХаГпа2, E)
где М = т [гг]. Эта задача исследовалась К. Нейманом еще в 1859 г.
Алгебраический интеграл E) был найден Уленбеком и Девани [35, 36].
Вместо D), E) удобно ввести три зависимых интеграла:
F-r2 + — \еь*РмР) -г2 \ т Стт -т т Л2 (к- -к Г1
а,/3 А*т^*
Нетрудно проверить соотношения
-,3 г 3 3

2.2] Уравнения Лагранэюа в независимых координатах 105
2.2. Уравнения Лагранжа в независимых
координатах
2.2.1. Частица движется по кривой линии. Записать лагранжиан,
уравнение Лагранжа и первый интеграл.
Решение. Кривая является линией пересечения двух поверхностей.
Уравнения связи fi(x, у, z) = 0, /2(ж, у, z) = 0 равносильны парамет-
параметрическому заданию кривой Х{ = Xi(q), где q — параметр. Лагранжиан
q) = \mh(q)q2-V(q),
Поскольку dL/dt = 0, то имеет место интеграл энергии. Уравнение
Лагранжа
1 с/л .2 av
эквивалентно уравнению
••- _Ё^ ^Е - L ^Х.
1718-~ дт Ts~~~Sh dq '
где s — длина дуги, s = \fh q. Если в качестве параметра выбрать длину
дуги Xi = Xi(s), то лагранжиан приобретает вид L = ms2/2 — £/(r(s)).
2.2.2. Частица движется по винтовой линии. Найти закон движе-
движения.
Решение. Параметрическое представление винтовой линии х =
= a cos q, у = a sin q, z = bq. Направим ось z под углом а к вертикали,
а ось х расположим горизонтально. Лагранжиан
V(q) = -mga sin a sin q + mgbq cos a.
Используя интеграл энергии, получим решение
-J
J m (a2 + b2)
dq
2[E-V(q)\-
Если ось винтовой линии расположена вертикально, то
gb t2
Q = qo + Qot
2 2
а + 6
Поскольку шаг винтовой линии Н = 2тг6, длина одного витка /
= 2тг\/л2 + б2, то g(t) можно представить в виде

106 Уравнения Лагранжа [Гл. 2
Пусть до = 2тг, до — 0- Тогда время спуска Т = I 2/(gH).
2.2.3. Частица движется по гладкой кривой у = а sin/еж. Ось х
горизонтальна, а ось у образует угол а с вертикалью. Найти функцию
Лагранжа и первый интеграл.
2.2.4. Точка подвеса маятника движется в вертикальном направ-
направлении по закону s = s(t). Найти лагранжиан и уравнение движения
частицы.
Решение 1. Направим ось z вверх по вертикали, а ось х — в плоско-
плоскости качаний маятника. Обобщенная координата — угол (р отклонения
маятника от вертикали. Тогда х = I sin <p, z = s — l cos <p, следовательно,
L = — (s2 + 2ё1ф sin (f + 12ф2) — Tng (s — / cos <p). A)
Учитывая, что
... d .
scp simp = — — s cos<p + s cos </?,
и опуская в A) функции времени и полные производные функций,
зависящих от координат и времени, получим
L = ^l2(p2 + m(g+e)l costp. B)
Уравнение движения ф + l-1(g + s) sin cp = 0.
Решение 2. В неинерциальной системе с началом в точке подвеса
х' = I sin</?, z' = —I cos (р. Обобщенная потенциальная энергия Uoe =
= —mgrf + mwr', где w(t) — ускорение поступательного движения
неинерциальной системы, w = @, 0, s), следовательно, £/об — ~m (g+
+ s) I cos ср. Поскольку v'2 = 12ф2, то лагранжиан совпадает с B).
2.2.5. Частица движется по поверхности в потенциальном поле
U = £/(х). Найти лагранжиан и уравнение движения в независимых
координатах.
Решение. Пусть уравнение поверхности имеет вид ха = /a(#i, #2)?
где gi, #2 — гауссовы координатные параметры (криволинейные коор-
координаты на поверхности). Скорость частицы
r A)
Векторы df/dq\ образуют базис в плоскости, касательной к поверхно-
поверхности в точке х. Квадрат скорости
Соотношение B), представленное в виде ds2 = g^v dq^dqv^ назы-
называется первой квадратичной формой поверхности [6, 7, 37, 38]. Эта

2.2] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 107
форма определяет метрику двумерного многообразия (совокупности
точек на поверхности). Координатные векторы е\ = df/dq\ образуют
локальный базис. При замене криволинейных координат q\ —> q\ их
дифференциалы преобразуются по правилу
dqa = ^dqp. C)
Любой объект Аг, преобразующийся по аналогичному закону:
it _ дп Ak
oqk
называется контравариантным вектором. Второй тип векторов обра-
образуется величинами дФ/dqi, где Ф(#) — скалярная функция точки
на поверхности. Согласно правилам дифференцирования дФ/dqi =
= (дФ/dqk) (dqk/dqi). Любой объект Bi, который преобразуется со-
согласно закону Bi = (dqk/dqi) В/^ называется ковариантным вектором.
Можно показать, что g^v является ковариантным тензором. Тензор
gcxC _ (g--i)a/3j обратный к gap, с элементами gaf3 = (l/g) dg/dgap\
11 _ g22_ 12 _ _gl2_ 22 _ 5JJ_
8 g ' g g ' g g '
является контравариантным тензором. Предположим далее, что мет-
метрика является эллиптической: g > 0. Согласно C) дифференциалы
координат являются контравариантными векторами. Поэтому, начиная
с этого момента, мы будем на всех координатах ставить индекс вверху.
Вектор V связан со своими контравариантными компонентами Vм
соотношением V = V^e^, где Vм = g^aVa- Произведение ковариант-
ной и контравариантной форм этого вектора V^V^ = V2 определяет
скалярную величину — квадрат длины вектора [7, 39]. Выбирая qx
в качестве независимых координат, получим лагранжиан частицы
Учитывая симметрию тензора g^v = gy^, уравнения Лагранжа
d .p m dgfxu .ц .и д(р
можно представить в виде
р _ !_ (dgak dgqj _ Ogjk\
2 V dq dq vq /

108 Уравнения Лагранжа [Гл. 2
Величины Га ik называются символами Кристоффеля. Вводя символ
rffc = ё^а^ос,гк^ получим уравнение движения
т[Г + Г^дк]=-<р^. F)
Символом (р]^ = g^a(d(f/dqa) обозначены контравариантные компо-
компоненты градиента функции ср. Интересно проследить, как уравнение E)
связано с уравнением
™ = -^ + N G)
для точек ха = fa(q), принадлежащих поверхности. Подставляя г =
= qkek в G), получим
_+N. (8)
Базисные векторы позволяют представить символы Кристоффеля в ви-
виде ^fi,ik — efi(dek/dql) [40]. Умножая (8) на е^ и учитывая соотноше-
соотношения
dU д(Р тчт п
eMefc = g^, — ем = -^ , e^N = 0,
получим уравнение E). Поскольку (dq^/дхп) {дхп/dql) = 5%, то
символы Г^. определяются следующим образом [41]:
г„ = дд» д2хп
ik дхп dqldqk '
Система E) имеет первый интеграл
Если (f(q) = 0, то траекторию частицы называют геодезической линией
в двумерном пространстве. Поскольку эта линия лежит на поверхно-
поверхности, то она не является «прямой», а реальное движение частицы не
будет прямолинейным равномерным. Понятие геодезической связано
с производной вектора по направлению. Следует отметить, что в кри-
криволинейных координатах производная вектора дА^/dqa не является
тензором. Величина Г^. также не образует тензора. Тензором является
конструкция
дА^ fj, .k
ka '
л
;ск ~~ dqa
которая носит название ковариантной производной [2]. Для ее обо-
обозначения используется точка с запятой. Ковариантная производная
метрического тензора равна нулю. Пусть и — вектор, касательный

2.2] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 109
к некоторой кривой qa = qa(t) на поверхности. Говорят, что вектор А^
переносится параллельно вдоль этой кривой, если
^ ^fa + r^aAkua = 0. (9)
В том случае, когда параллельно переносится сам касательный вектор
иа = dqa/dt, то уравнение (9) совпадает с F): и?аиа = 0.
2.2.6. Частица движется по сфере. Найти решение уравнений дви-
движения в отсутствие внешних сил.
Решение. Метрика двумерной поверхности, образованной точками,
лежащими на сфере радиуса а, есть ds2 = a2 [(dOJ + sin20 (d(pJ~\, т. e.
gee — я25 g(p(p = a2 sin20. Не обращаются в нуль лишь следующие
символы Кристоффеля: Г^ = —a2sin0cos0, Г^ = a2ctg0. Следова-
Следовательно, уравнения движения имеют вид
Tt)-a *т
d ( 2 -2/1 d(p\
Частными решениями этой системы являются семейства линий
(р = const, в = Got + #0,
которые представляют соответственно «меридианы» и «экватор» по от-
отношению к выбранной в качестве «полюса» точке. «Широтные окруж-
окружности», на которых 0 имеет постоянные значения, не удовлетворяют
уравнениям движения. Таким образом, большие круги на сфере явля-
являются геодезическими линиями.
2.2.7. Частица движется по поверхности постоянной отрицательной
кривизны с метрикой gn = 1, g2 = ехр B/гд1), gi2 = gi\ — 0. Найти
решение уравнений движения.
Решение. Полагая q1 = и, q2 = v, получим лагранжиан
Первые интегралы
где a, b, с — константы. Если b = 0, то частное решение системы A), B)
v = г?о, и = uq + ct.

110 Уравнения Лагранжа [Гл. 2
В случае b ф 0 исключим из A), B) и, и. В результате получим
уравнение
(с - kbvJ + bv = a2. C)
Интегрируя C), B), находим
v = — [—с + th (kat + a)],
и = к~х In | — | ch {kat + <
В новых координатах ж = ft exp (—few), у = v траекторией частицы
является окружность х2 + (у + c/kbJ = (a/kbJ.
2.2.8. Частица движется по геодезической на двумерной поверхно-
поверхности. Компоненты метрического тензора не зависят от координаты q1.
Доказать, что ковариантная компонента импульса р\ постоянна.
Решение. Поскольку ра = mqa = mgapq^, то уравнения Лагранжа
можно представить в виде
Полагая а = 1, получим
dt ~ mV^vlV P ~ 2m
q1
Следовательно, первый интеграл — mg\pqP = const.
2.2.9. Частица движется по поверхности, метрические свойства
которой заданы тензором
1 — kCotpq q
Са(з — постоянная 2x2 матрица, к — некоторая константа. Найти
решение уравнений движения.
Решение. Афинная связность — символы Кристоффеля равны
Г?к = kq^gik- Учитывая интеграл энергии g^vq^q" — v2), получим
замечательно простое уравнение геодезических
Г + kvlq» = 0. A)
При к > 0 решение A)
= a^ cosujt + № sino;£, о;2
Рассмотренное двумерное пространство может быть получено следую-
следующим образом. Пусть в плоском трехмерном пространстве (g1, q2, z)
квадрат скорости частицы v2 = C^yq^cf + k~xz2. Можно вложить

2.2] Уравнения Лагранэюа в независимых координатах 111
2-мерное пространство в трехмерное, ограничивая значение перемен-
переменных g, z поверхностью
kC^qv + z2 = l. B)
На этой поверхности
2 = tfiC^dq»J
2 =
l-kCaCqaq
aq13
Тогда v2 принимает вид v2 = g^q^q1' [41]. Рассмотренная метри-
метрика форминвариантна относительно преобразований координат q^ —>
—> д'м = R£q", где Я — любая 2x2 матрица, подчиняющаяся соотно-
соотношению
(з)
В этом случае геометрия поверхности обладает симметрией: существу-
существует такое векторное поле £м, что при смещении множества точек на £м dt
все метрические соотношения между точками множества останутся
неизменными. Векторное поле £м называется полем Киллинга. Найдем
теперь уравнение, определяющее вектор £м. Условие форминвариант-
ности метрики имеет вид [41]
, . dq'a ддф . , ...
SvM) = -qJT -Q^r gap{q )• D)
При инфинитезимальном преобразовании
q'a = qa + e£a(q), e < 1, E)
условие D) в первом порядке по е приобретает вид
Его мож:но переписать через производные ковариантных компонент
k
или в более компактном виде
^;fc+a;<=0. F)
Векторное поле £м(#), удовлетворяющее уравнению F), образует век-
векторы Киллинга метрики g^v{q). В нашем случае выберем преобразо-
преобразование E) в виде
\ С^п* + СаиЩ = 0.

112 Уравнения Лагранжа [Гл.2
Следовательно, векторы Киллинга £^ = Wqv.
2.2.10. Пусть ^(q) — векторное поле Киллинга, и^ — вектор,
касательный к некоторой геодезической. Показать, что скалярное про-
произведение ^ци^ постоянно вдоль геодезической.
Решение. Дифференцируя, находим
,, 4>1ли — <,jj,;au и г q^U. aU .
Второе слагаемое равно нулю, поскольку и^ — вектор, касательный
к геодезической. Первое слагаемое
^;aUaU» = \ (£M;Q + Za^)uaU» = 0
в силу уравнения Киллинга. Следовательно, вдоль геодезической
£^г^ = const.
2.2.11. Частица движется по поверхности с метрическим тензором
= 5ap [fi(qi) + /2(^2)] в потенциальном поле
Найти решение уравнений движения.
Решение. Лагранжиан системы
L = у (А + /2) (<7? + q\) ~ д+ ^ •
Очевидно, сохраняется полная энергия
у (/l + /2) (<7i + ^2) + f -\- f = ^' ^
Умножая уравнение Лагранжа
d / » « ч . ?7i dfi / .2 «2\ fli + 0,2 dfi I dfti
на (/i + /2) <7i и учитывая A), получим интеграл
где /3 — константа. Комбинируя A) и B), получим

2.2] Уравнения Лагранэюа в независимых координатах 113
Из B), C) следует решение задачи
dq2
г «** г
J \/P-ai + fiE J
hE
= = const,
f . fldQl + f . hdQ2 ^-(t + to).
J y/p-ax + frE J ^-t3-a2 + f2E rn
Физически интересный случай разделения переменных соответствует
потенциальной энергии взаимодействия частицы с двумя неподвижны-
неподвижными массами, закрепленными на расстоянии 2с:
U(x, у) = --
у/(х - сJ + у2 у/(х + сJ + у2 '
Введем на плоскости ху эллиптические координаты х = с ch q\
у = cshqi sin q2. Тогда /i = с2 ch2gi, /2 = —с2 cos2g2, «i = -Gm(mi +
+ ГП2) с ch gi, a,2 = —Gm (mi — ГП2) с cos ^2-
2.2.12. Найти решение уравнений движения, порождаемых лагран-
лагранжианом
j / . \ ТП / \ . . 1 п5Х
МХ5 Х/ =z ~^~ ^"mnixj xmxn — 2 ^ _ х 2 J
где Л, к — постоянные величины.
Решение. Запишем первые интегралы М = m [rr],
2
в сферических координатах. Поскольку
mr2 sin2в ф = Мг, m2r4@2 + sin2(9 <£2) = М2, B)
то из A), B) находим
следовательно,
.2
га
2
2
га
1
[
г
-
Е
2
Хг2 '
1
1 2га
М2
2гаг2
2 М2
2гаг
1
2
2
1
-
1
2
Лг2
21
; J v ;
Выберем начальные условия так, чтобы 6(t) = тг/2. Тогда решение
уравнений B), C) следует из формул задачи 1.3.4 о движении гармо-
гармонического осциллятора после замены Е —> Е + AM2/2m, та;2 —> & +
7. Траектория представляет собой эллипс.

114 Уравнения Лагранжа [Гл.2
2.2.13. Математический маятник прикреплен к частице, находя-
находящейся на горизонтальной прямой. Найти функцию Лагранжа и инте-
интегралы движения.
Решение. Пусть mi, mi — массы частицы и маятника. Обобщенная
координата s определяет положение mi на прямой, (р — угол отклоне-
отклонения нити маятника от вертикали. Направляя ось у вверх по вертикали,
получим х\ = s, yi = О, х2 = I sin (р + s, г/2 = —I cos (р. Лагранжиан
системы
L = - mis2 + - rniis1 + 2к1ф со$(р + 12ф2) + m<igl cos (p.
А А
Сохраняются обобщенный импульс
6L , ч .
р = -7Г7- = (mi + m2) s + m2l(p cos <£
и полная энергия.
2.2.14. Частица движется в северном полушарии в поле тяжести
Земли. Найти решение уравнений движения частицы.
Решение. Расположим начало координат К' в точке О на широте в.
Ось z1 направим вертикально вверх, ось х' — по меридиану к полюсу
(рис. 2.2.14). Начальные условия г'@) = 0, v'@) = @, 0, vq). Очевидно,
уравнения движения имеют наиболее компактную
форму в системе координат К, повернутой отно-
относительно исходной на угол тг/2 — в:
х1 = х sin6 + z cos в, z' = — х cos#-f z $in6. A)
В системе К угловая скорость вращения Зем-
Земли Ct = @, 0, ft), ускорение свободного падения
g = (g- cos в, 0, —g sin в). Лагранжиан, описываю-
описывающий движение частицы
Рис. 2.2.14 т 2
L = — [v + (ftr)\ + mgr.
Поскольку [ftr] = (—fty, ftx, 0), то
L = у [(i - DyJ + (у + ^жJ + i2] + mg- (ж cos в - г sin (9).
Уравнения Лагранжа
x-2fty-ft2x = g cos (9, B)
y + 2flx- ft2y = 0, C)
z = —g sin^. D)
В новых координатах начальные условия г@) = 0, v@) =
( ^, 0, ^о sin0).

2.2] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 115
Решение уравнения D)
z = (~gt2/2 + vot) sin в. E)
Вводя комплексную координату £ = х + гу, получим уравнение, экви-
эквивалентное B), C):
2 F)
Решение E) — комплексная функция
где А, В — постоянные. Из начальных условий £@) = 0, £ = — v$ cos 0
находим
А = С, В = -v0 cos 0
a Z
Переходя к действительным переменным, получим
х = Re£, ж = С(-1 + cos fit + Ш cos^t) - vot cos0 cos^t, G)
у = Im £, у = С (- sin Ш + Ш cos fit) + vot cos 0 sin fit. (8)
Поскольку ft <C vo/g, то G), (8) необходимо разложить в ряд Тейлора:
х= {^Ц- -vot) cos (9, у= (-^- + v0t2^)n cos в. (9)
Подставляя G)-(9) в A), получим решение в исходной системе коорди-
координат
x'(t) = 0, y'(t)= (-^+ ^0t2)ficos0, z'(t) = -2f + v0t. (Ю)
Найдем координаты точки приземления частицы. В момент време-
времени t = Т, ^'(Т7) = 0, у'(Т) = 4fi^Q cos0/3g-2 — точка приземления
смещается на запад.
2.2.15. Заряд движется в магнитном поле Земли. Найти границы
движения в меридиональной плоскости.
Решение. Направим полярную ось сферической системы координат
вдоль вектора магнитного момента /л. Компоненты вектор-потенциала
Аг = 0, Aq = 0, Ар = /лг~2 sin#. Составляющие магнитной индукции
В = 3r (fir) г~ъ - fir'*: Вг = 2/лг~3 cos (9, Вв = /аг~3 sin (9, В^ = 0.
Поскольку угол а между векторами Виг определяется соотношением
tga = BqB~x = tg#/2, то уравнение силовой линии rdO/dr = tgO/2.
Интегрируя это уравнение, находим г = a sin20 sin~20Oj гДе а ~ РаДиУс

116
Уравнения Лагранжа
[Гл. 2
Земли, #о — значение угла, при котором силовая линия пересекает
поверхность Земли. Лагранжиан заряда
L = ^(r2 + тЧ2 + г2 sin20 ф2) + ^
Используя интегралы v2 = г2 + г2в2 + г2 sin20<£2,
ф.
sin2
шг sin 6/ ф -\——
= Mz,
находим
Точки поворота в координатах г, в определяются условием
/., е/л sin20\2 , . л\2
( Mz — I ^ (mvor sin в) .
\ С 7* /
Пусть r@) = го, 0@) = тг/2, ф@) = 0. Тогда Mz = efi/cro, следова-
следовательно,
го гп sin в
г sin0
mcvo
Величина ао имеет размерность длины. Например, для протона, дви-
движущегося со скоростью vo = 0,1 м/с в магнитном поле Земли (fi =
= 0,312а3 Э, а — радиус Земли), а0 = 1,61 • 105 км. Если г0 <С а0, то
область движения протона ограничена контуром силовой линии г =
= Го sin20. В общем случае одна область, в которой может находиться
частица, ограничена кривой
г =
2ro sin^
ао )
Другая область лежит между кривыми
П,2 =
2ro sin 0
i± 1-
V а0
2.2.16. Частица движется в поле магнитного диполя, вращающего-
вращающегося с постоянной угловой скоростью uj. Найти лагранжиан и уравнения
движения [42].
Решение. Вектор-потенциал магнитного диполя с моментом /j,(t)
А = [fir] r~3, следовательно, лагранжиан
т л

2.2] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 117
Уравнение Лагранжа
/л = [w/x], В = Зг (/аг) г~5 -
Закон изменения кинетической энергии
d mr2 e . r .,
и момента импульса
Таким образом, вращение нейтронной звезды, обладающей магнитным
моментом, приводит к появлению вихревого электрического поля и к
ускорению заряженных частиц.
2.2.17. Частица движется в аксиально-симметричном магнитном
поле. Найти первые интегралы и уравнения движения.
Решение. В цилиндрических координатах г, (р, z компоненты
вектор-потенциала Аг = О, А^ = А (г, z), Az = 0. Лагранжиан
частицы с зарядом е, движущейся в магнитном поле:
Tfl / . о 2*2 «24 ^ «л/ \
Поскольку dL/d(p = 0, dL/dt = 0, то сохраняются проекция обобщен-
обобщенного импульса Mz = dL/дф и кинетическая энергия частицы,
Mz = тг2ф -\— г А, A)
Е=™(г2 + г2ф2 + г2). B)
Два оставшихся уравнения Лагранжа
.о е . д(гА) /оЧ
тг = тгф -\— ф —^—- , C)
.. е . дА
мож:но представить в форме, удобной для анализа траекторий. Под-
Подставляя у? из A) в B), получим первый интеграл в виде
Е = у (г2 + z2) + Е/Эф(г, z), иэф(г, г) = -±-^Мг-е- гА]\

118 Уравнения Лагранжа [Гл.2
Е = тг?о/2, vo = v@). Теперь после подстановки ф в C), D) уравнения
приобретают вид
at/эф .. оиэф
dr dz
Область движения частицы ограничена условиями
Е > иэф(г, z),
е
Mz г А
2.2.18. Частица в бессиловом магнитном поле. В 1976 г.
Дж. Б. Тейлор закончил публикацию своей теории релаксации плаз-
плазмы [134]. Совпадение предсказаний теории и результатов эксперимен-
экспериментов, полученных на различных установках, оказалось уникальным.
Он ввел новую характеристику силовых трубок магнитного поля —
спиральность и предположил, что спиральность плазменного шнура
в отсутствии диссипации сохраняется. В этом случае rot А = Л А, Н =
= ЛА, rotH = АН. Согласно уравнению Максвелла rotH = Dtt/c)j,
т. е. [jH] = 0 — магнитное поле оказывается бессиловым. Вектор-
потенциал бессилового поля
Ар = 0, Av(H0/X)Ji(Xp), Az = (H0/\)J0(\p),
где Jo (Ар), Ji(Ap) — функции Бесселя нулевого и первого порядков.
Исследовать движение пробного заряда в бессиловом магнитном поле.
Решение. Учитывая соотношения, следующие из теории функций
Бесселя, dJo(u)/du = —Ji(u), duJ\{u)/du = uJo(u), получим компо-
компоненты напряженности магнитного поля
Нр = 0, Hip = -dAz/dp = Но Ji(Ap),
Hz = A/р) (dpA^/dp) = Но Jo(Xp).
Лагранжиан, описывающий движение заряда
L = у (Р2 + Р2Ф2 + i2) + ^ [РФ Ji(Xp) + z МХр)].
Очевидно, сохраняются кинетическая энергия
^ = у (Р2 + Р2Ф2 + *2) A)
и обобщенные импульсы
2^ B)
= mz+ -^~ J0(Xp). C)

2.2] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 119
Подставляя ф, z из B), C) в A), получим уравнение
Iм*
Область движения по координате р ограничена неравенством Е —
— иэф(р) ^ 0. ^-компонента скорости обращается в нуль при условии
Pz = (еЯо/А) J0(\p).
Для исследования движ:ения частицы в области Хр <С 1 используем
первые члены разложения
Jo(u) = 1 - и2/4 + • • •, Ji(u) = (и/2) A - и2/8 + ...).
В этом приближении магнитное поле оказывается квазиоднородным —
частица движется в ограниченной области р < 1/Л в окрестности оси z.
2.2.19. Найти решение уравнений движения электрона атома водо-
водорода в постоянном однородном электрическом поле.
Решение. Лагранжиан, описывающий движение электрона с заря-
зарядом е = -е0,
Z r
Переменные разделяются в параболических координатах £, rj, (p: x =
— л/^П cos<£, у = </£rj sin(p, z = (£ — rj)/2. Направляя ось z по
вектору Е, запишем лагранжиан
Интегралы энергии и момента импульса имеют вид
-,) = f, A)
т£г]ф = М. B)
Запишем третий интеграл (см. задачу 1.5.13)
^ ^ ]2
[М] Е - ^ гЕ - ^ [гЕ]2 = СЕ
l j r 2 L J
в параболических координатах

120 Уравнения Лагранжа [ Гл. 2
Система A)-C) решается аналогично задаче Кеплера 1.5.14 в пара-
параболических координатах.
2.2.20. Записать лагранжиан свободной частицы во вращающейся
системе отсчета. Найти r(t).
Решение. Искомый лагранжиан L = т (г' + [ftr']) /2. Уравнение
Лагранжа г' = —2 [fir'] — [ft [ftr']\. Пусть ft = @, 0, ft), тогда имеем
уравнения
х' - 2Пу' - ft V = 0, у' + 2пх' - п2у' = 0, z" = 0.
Вводя комплексную координату и = х' + гу', получим уравнение и +
+ 2ifiu — ft2и = 0, решение которого и = (А + Bt) e~lut. Пусть в инер-
циальной системе координат начальные условия имеют вид г@) = Го,
г@) = 0. Учитывая, что г'@) = — [Пго], находим А = хо + iyo, В = 0,
т.е.
х' = хо cos fit + уо sin ftt,
у' = —хо sinftt + уо cosftt.
В этом случае решение представляет собой, по существу, преобразова-
преобразование координат.
2.2.21. Найти решение задачи Кеплера в системе отсчета, вращаю-
вращающейся с угловой скоростью ft.
Решение. Лагранжиан
г гп /. г~ -,\2 а
L = — (г + L^rJj H— •
В сферических координатах с полярной осью, направленной по векто-
РУ ^,
L = ?± (г2 + г2в2 + г2 8ш20ф2) +
+ тг2Пф sin2^ + у r2ft2 sin20 + J . A)
Из A) следует, что сохраняются проекция момента импульса на ось z
mr2 sin20 (ф + О) = MZ B)
и полная энергия
Умножая уравнение Лагранжа
-г тг в = mr sine/ cos# (<z> + S2) =
d 2л 2 • л л / • , о\2 Mz cos в Ml д
mr2 sin36> 2шг2 дв sin20

2.2] Уравнения Лагранэюа в независимых координатах 121
на тг2в, получим первый интеграл
Подставляя ф, в из B), D) в C), получим уравнение
1тг
Таким образом, решение следует из формул задачи 1.5.3 после замены
Е -» Е + Mzu, ц> -> ip + ilt.

Глава 3
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
3.1. Задача двух тел
3.1.1. Первая ядерная реакция. (Резерфорд, 1919). Порог ре-
реакции 4Не + 14N = 170 + *Н равен £0 = 1ДЗ МэВ. В лабораторной
системе ядро азота до столкновения неподвижно. Найти минимальное
значение энергии а-частицы, при которой может идти реакция.
Решение. По условию энергия относительного движения должна
превосходить величину £q: /it?2/2 ^ f0? M — тп\тъ (mi + гаг), гДе
v = vi — относительная скорость; rai, m<i — массы а-частицы и ядра
азота. Искомая энергия
vl VH±2Hq = 1,45 МэВ.
2 ГП2
Заметим, что, записывая величину К\ в виде (R — скорость центра
масс)
тВ2 aw2 _ mi ш2 -,
мож:но убедиться, что часть энергии (т\/т) К\, соответствующая
энергии центра масс, не участвует в реакции.
3.1.2. Частица находится на прямой, проходящей через центр тон-
тонкого диска перпендикулярно к его плоскости. В начальный момент
система покоится. Найти относительную скорость частицы и диска
в момент соударения.
Решение. Направим ось z системы центра масс по прямой, соеди-
соединяющей центр диска и частицы. Потенциальная энергия взаимодей-
взаимодействия частицы массы т и диска массы М
GmdM ,,, М . .
аМ = —ту о dp dip,
где а — радиус диска, следовательно,
-2GmM
U(Z) = 2 ( а + Z ~ Z) •
Теперь используем закон сохранения полной энергии в системе центра
масс:
(i)

3.1] Задача двух тел 123
здесь / — расстояние между частицей и центром диска в начальный
момент времени, v — относительная скорость в момент соударения.
Из A) получим
v2 = Щ- (т + М) (а + / - а2 + I2).
а
Если / ^> а, то
В случае 1«аи2- 4G/ (га + М)/а2.
3.1.3. Получить условия, при которых возможен переход к пред-
представлению о движении частицы mi в поле тяжести, создаваемом ча-
частицей ГП2.
Решение. Пусть pi, P2, К±, К^ U — импульсы, кинетические энер-
энергии и потенциальная энергия взаимодействия двух частиц в момент
времени t. Поскольку импульс и полная энергия замкнутой системы
сохраняются, то
Pl+P2=Pi+P2, A)
Кг + К2 + U = К[ + К'2 + U'. B)
Штрихом отмечены указанные величины в момент времени tf. Обозна-
Обозначая q = р[ — pi = р2 — р2 — импульс, переданный частице rai, найдем
приращение кинетической энергии
C)
Если в процессе взаимодействия выполняются условия
D)
Ег = Кх + £/, Е[ =К[ + U',
то частица т<1 играет роль источника внешнего поля, в котором дви-
движется другая частица, не влияя на «источник поля». В такой постанов-
постановке сохраняется полная энергия, но не импульс частицы т\\
pl=Pi+q, E1 = E[. E)
Полученные законы выполняются приближенно. Если не учитывать
это обстоятельство, то можно прийти к множеству парадоксов. На-
Например, рассмотрим движение тела по вертикали вблизи поверхности
Земли с начальной скоростью v\ = 0. Из закона сохранения энергии E)
получим
0 + mlgh = ^- + mlgh', v[2 = 2gAh , Ah = h-h'.

124 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоро-
скоростью и = ^2gAh по направлению к поверхности Земли. Используя E),
получим абсурдный результат
Однако все инерциальные системы равноправны в соответствии с прин-
принципом относительности Галилея. Действительно, переходя к новой си-
системе отсчета, движущейся со скоростью и, заменим в A), B) vn ->
—» vn + u, v^ —> v^ + u. Уравнение A) не изменится, а соотношение B)
примет вид
\ mi (vi + uJ - \ mi (vi + uJ + AU = -AK2 - m2 (v'2 - v2) u. G)
После использования закона сохранения импульса G) приобретает
форму C). Теперь становится ясна ошибка, допущенная в F): допол-
дополнительное слагаемое в правой части G) оказывается одного порядка
с «основными» членами в левой части.
3.1.4. Энергия взаимодействия двух частиц f/(ri, Г2) = (fe/2) (Г2 —
-TiJ. Найти ri(*),r2(t).
Решение. Введем обозначения, которые будем использовать в этой
главе: сумма масс и приведенная масса т = mi +Ш2, /i = т\т<1 (т\ +
+ ТП2)~\ радиус-вектор и вектор, соединяющий частицы rai и rri2
(рис. 3.1.4),
R = — (miri + m2r2), r = r2 - ri.
Лагранж:иан задачи
, г2, гь г2) = g l + *
Переходя к переменным ri, r2 -> R, г:
■г» гп2 -г» , 7711
r Rr r R+

3.1] Задача двух тел 125
получим новый лагранжиан
L(R, r, R, г) = \ mR2 + \^ - \ г2.
Уравнения Лагранжа
raR = 0, /ir = —кг
имеют решения R(£) = R@) + R@)£,
к
r(t) = a cos cut + b sina;£, a; = - . B)
Подставляя B) в A), получим ri(t), Г2(£). Пусть
причем lvo = 0, vq = и I. В этом случае
П (t) = A cos ujt-\—- sin uot),
v J m \ ш J
r2(^) — —- A cosa;tH—- sina;t).
4 ' m V ш J
Частицы движутся по окружностям радиусов (т2/т) I и (rai/ra) / со
скоростями A712/т) vo и (mi/га) г?о вокруг центра масс, оставаясь на
расстоянии /.
3.1.5. Система двух тел состоит из однородного шара и точечной
частицы. Найти первую и вторую космическую скорости.
Решение. Обе скорости являются относительными скоростями од-
одного тела относительно другого. Поэтому, переходя в с. ц. м., получим
уравнение /ir = —ar/r3. При относительном движении с наименьшей
скоростью центр шара массой М, радиусом а и частица массой га
движутся по окружностям радиусов (га/га + М) а и (М/т + М) а
вокруг центра масс. Из уравнения движения находим
2
М- = -г, v=|v2-v1|,
следовательно, первая космическая скорость
a
vi= — =
Используя закон сохранения полной энергии /it?2/2 — а/а = 0, найдем
вторую космическую скорость v\\ =

126 Динамика системы частиц [ Гл. 3
3.1.6. Найти лагранжиан двух тел во вращающейся системе отсче-
отсчета.
Решение. В системе отсчета, вращающейся с угловой скоро-
скоростью £l(t), лагранжиан
L = \ mi (гх + [Пгг]J + \гп2 (г2 + [Пг2]
Производя замену переменных ri, г 2 —> R, г, получим
Уравнения Лагранжа
3.1.7. Два заряда движутся в однородных постоянных электриче-
электрическом и магнитном полях. Найти функцию Лагранжа.
Решение. Произведем в лагранжиане
r2 - ri|
замену ri, r2 —> R, г. В результате получим
.L = — ?7iri H~ ^ei + e2j Л/xl H [xlrij о ■
1 / 9
+
2m с
+ 1 (е2Ш1 - eim2) (Ег + ^ [Rf] В + ^ [rR] в).
Для позитрония (ei = — е2 = е, ??ii = m2 = М) лагранж:иан упроща-
упрощается:
L = MR2 + \ My1 + — - eEr - — [Rr] В - — [rR] В.
4 г 2с L J 2c L J
3.1.8. Два разноименных заряда движутся в постоянном однород-
однородном магнитном поле. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов
f/(ri, r2) = k (гг — riJ/2. Найти решение уравнений движения.

3.1] Задача двух тел 127
Решение. Пусть е\ = е, е<± = —е. Используя результаты зада-
задачи 3.1.7, получим
L= - тк2 + - /ir2 - - кг2 - ^ (mi - т2) [гг] В -
Уравнения Лагранжа имеют вид
mR=--[rB], A)
/ir = -кг - — (mi - m2) [гВ] - - [RB]. B)
Г~ шс V / L J c L J \ /
Из A) следует первый интеграл
mR+^[rB] = P. C)
Исключая R из B), получим уравнение
"* = -kr~i-c(mi - m2) [tB] - -& tB[rB]] - i[PB]- D)
Из D) находим еще один интеграл
Выберем систему координат с осью z, параллельной вектору В. Пред-
Предварительно исключим последнее слагаемое в D) с помощью замены
fimc
2 к л еВ
сип , iln
и [i n тпс
Подставляя E) в D), находим
ei + (со2 + fixfia) ^i + (П2 - fii) 6 = 0, F)
6 + (о;2 + fiifi2) 6 - (П2 " fii) ti = 0, G)
z + o;22; = 0. (8)

128 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Ищем решение системы F), G) в виде £n = Keu~lXt:
(-А2 + о;2 + п1п2) i*i - г (п2 - ui) Хи2 = О,
г {П2 - fii) Atxi + (-А2 + uj2 + ^1^2) и2 = О.
Корни характеристического уравнения
До i — ~ ^0 ' 1 ""г" 2 (" — "'l) 0 "^ \"'l ~г 2
Извлекая корень, получим
П (9)
Общее решение системы F), G)
6 = Л! cos (Ax* + ttl) - Л2 ^A2+(^2^f sin (A2t + а2), A0)
6 = -Ах ^Ai+(^2^x)A sin (A^ + ах) + Л2 cos (A2* + а2), (И)
z = A3 cos(uj0t-\-a3). A2)
Заметим, что система F), G) сводится к одному уравнению для функ-
функции £i - г£2-
Если mi ^> rri2, то рассмотренная выше модель соответствует
взаимодействию ридберговских атомов с магнитным полем и образует
так называемый «магнитный атом» [46]. Как известно, энергетический
спектр атома водорода описывается формулой Е(п) = —Ео/п2, где
Ео = 13,6 эВ. В ридберговских атомах п = щ ^> 1. Разлагая Е(п)
в ряд, получим
т-,/4 Eq f ч 2Eq
Ь(п) = з" + ^о (^ - ^о), noJo = —з~ .
п0 п0
Второе слагаемое характерно для спектра изотропного осциллятора.
Поскольку размеры атома ~ 5,3 • 10~9 см, то при п = 500 ради-
радиус атома достигает сотой доли миллиметра. Последние эксперименты
с «магнитными атомами» обнаружили новые интересные явления [47].
Однако в настоящее время теоретическое описание поведения атомов
в магнитных полях остается далеко не полным. Основная причина
в том, что из-за различия симметрии взаимодействия зарядов между
собой и с магнитным полем переменные не разделяются.
При ujo ^> f£2, ft2 ^> ^i влияние магнитного поля проявляется
в смещении частоты колебаний электрона. Из (9) находим

3.1] Задача двух тел 129
В обратном случае ujq <С Г£2 влияние магнитного поля становится
определяющим:
Решение A0), A1)
£i ~ A1 cos (fix* + ai) + Л2 sin
£2 - -Ai sin (Sltf + ai) + A2 cos (ft2t +
отражает существование новой симметрии в поведении атома.
3.1.9. Два разноименных заряда, энергия взаимодействия которых
f/(ri, Г2) = к (г2 — riJ/2, движутся в электромагнитном поле, задава-
задаваемом 4-потенциалом
Ло = h ^+у2~ 2z2">' А = I ("у> ж'0)-
Найти лагранжиан системы.
Решение. Пусть е\ = е, е2 = —е. Перейдем к переменным г = r2 — ri
и радиусу-вектору центра масс. В этих переменных
-~ (Rxy +
о г> \ еВ
2Я)
г (ху - ху)+
zc тп
3.1.10. Движение системы заряд-монополь Дирака. Заряд е
массы rai взаимодействует с «магнитным» зарядом g массы га2. Найти
решение уравнений движения.
Решение. Пусть ri — радиус-вектор монополя, г2 — радиус-вектор
заряда. Напряженность магнитного поля, создаваемого монополем,
В (г) = gr/r3, г = г2 — ri. В с. ц. м. уравнение движения
где /1 — приведенная масса. Отметим, что сохраняется вектор (см.
задачу 1.4.21)
т г •-j &ё Y_ /п\
Образуя скалярное произведение с вектром г, получим уравнение тра-
траектории Jr/r = —eg/с.

130 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Найдем решение уравнения A) в сферических координатах в рамках
лагранжева формализма. Компоненты вектор-потенциала магнитного
поля Ar = Aq = 0, Аи, = g A — cos в)/г sin в. Лагранжиан, соответ-
соответствующий уравнению B),
L = ^fi(r2 + г2в2 + г2 sin2 в ф2) + ^ A - cos 0)ф.
Отметим, что слагаемое, равное полной производной, может быть
опущено. Тогда обобщенную потенциальную энергию взаимодействия
U[nt = —(eg/c)vA можно представить в виде U-mt = (eg/с) fir/r, где
tt — угловая скорость сферического репера,
Q = ф cos в ег — ф sin в ее + Ое^.
Поскольку (р — циклическая координата, то сохраняется проекция
момента обобщенного импульса dL/дф, или Jz = Mz — (eg cos в/с),
Jz = fir2 8т2вф cos#. C)
Очевидно, сохраняется кинетическая энергия относительного движе-
движения
Е = \ ц (г2 + г2^2 + г2 sin2 в ф2). D)
Уравнение Лагранжа, соответствующее проекции A) на орт е#, имеет
вид
/i —.— = fir2 sin в cos в ф2 -\—— sin в ф. E)
После подстановки ф из C) в E) получим соотношение
dr20 _ 1 dG п(й\- 1 ^, + М
с
из которого следует первый интеграл
2d2 F)
Постоянная С = J2 — (eg/cJ определяется из равенства J2 = (jir26J-\-
+ (fir2 sin0 фJ + (eg/сJ, следующего из B). Наконец, подставляя ф,
в из C), F) в D), получим уравнение
^\ G)
Комбинируя уравнения C), F), G), можно разделить переменные и по-
получить полное решение задачи — найти траекторию и закон движения
/i-точки. Представляется весьма важной проблема — возможно ли при
значении С > 0 движение типа орбитирования, приводящее к квази-
квазисвязанному состоянию?

3.2] Рассеяние частиц 131
3.2. Рассеяние частиц
3.2.1. Частица массы mi = Зга2, движущаяся со скоростью vi,
сталкивается с частицей массы т^ движущейся со скоростью V2 =
= — vi. Показать, что при лобовом столкновении v^ = 0, v2 = 2vi
Указание. Используя законы сохранения энергии и импульса, нахо-
находим
2vi = 3v; + v2, Avj = 3v[2 + v'£,
где v[ 2 ~ скорость частиц после рассеяния.
3.2.2. При неупругом взаимодействии частицы с ядром полная
энергия ядра изменяется. Найти наибольшую величину энергии, пе-
переданной ядру частицей.
Решение. Пусть до столкновения ядро покоилось, а частица обла-
обладала энергией К\. Согласно закону сохранения энергии
2 /2
flVX _ UV
где v7 — относительная скорость после столкновения. Полагая vf =
= 0, получим величину энергии возбуждения ядра А£ = fivf/2 =
1) т\ <С Ш2, ТП2 — масса ядра. В этом случае А£ ~ К\ — происходит
почти полная передача энергии. Заметим, что при упругом ударе ядро
получает ничтожную часть энергии частицы.
2) mi > ш2, Д£ ~ (m2/mi) Кг<^К^.
3) mi = ш2, А£ = Кг/2.
3.2.3. Известны скорости частиц до столкновения и угол рассеяния
в системе центра масс. Найти скорости и импульсы частиц после столк-
столкновения.
Решение. Обозначим индексом «in» («out») величины, относящиеся
к частицам до (после) рассеяния, v = V2— vi — относительная скорость,
и — скорость центра масс. В случае упругого рассеяния
где п — единичный вектор, определяющий кинематику рассеяния.
Скорости частиц до рассеяния
1 т т
Согласно A) скорости частиц после рассеяния
vout=u_m2 vout =иГП1
1 т ' 2 т
Импульсы частиц после рассеяния
°ut p2Ut = m2u

132 Динамика системы частиц [ Гл. 3
3.2.4. Одна из частиц до столкновения покоилась. Найти кинетиче-
кинетические энергии и углы рассеяния частиц в системе покоя мишени в виде
функций угла рассеяния в в системе центра масс.
Решение. Предположим, что vi = 0. Тогда из формул задачи 3.2.3
следует
РГ = /iv2 - /i^2n, p°ut = ^ v2 + »v2n. A)
Учитывая A), получим
К[ = {-?f£ = i^f (l-cos0) = ^K2 sin2f ,
1 2mi mi z к ' m 2
Kf2 = —2 ^2 (m2, + 2mirri2 cos 0 + m2).
m2
В сферической системе координат с осью z, параллельной вектору V2,
из A) следует
2
COS в2 = — V2 + /i^2 COS (9,
771
P2Ut sin ^2 —
Очевидно,
7712 + 7711 COS 0
Аналогичным образом получим
Из этих соотношений найдем тангенс угла разлета #12 = 0\ + ^2-
7П2 + 7711 , 0
Ctg
Очевидно, при ТП2 = mi ^12 = тг/2. Разрешим B) относительно cos в:
cos 6> = -k sin2(92 ± cos (92 1 - к2 sin2<92 , fe = — . C)
772/1
Из C) следует, что при к > 1 одному и тому лее углу рассеяния #2
соответствуют два угла рассеяния в системе центра масс. Кроме того,
существует предельный угол рассеяния ^m (sin#2m — mi/77^2M соот-
соответствующий углу вт = тг/2 + в2т- При к < 1 в C) следует взять знак
«+» перед радикалом. Из соотношений A) находим
Таким образом, геометрическим местом концов векторов p°ut и р^111
является сфера радиусом jiV2- На рис. 3.2.4 изображен импульс p5ut

3.2] Рассеяние частиц 133
Рис. 3.2.4
при к > 1. Отметим, что в общем случае векторы p°ut и p2Ut лежат
в различных плоскостях: при фиксированном угле в угол между плос-
плоскостями (p2n, P2Ut) и (Р2П5 P?ut) зависит от характера взаимодействия
частиц.
3.2.5. Найти соотношение между углом рассеяния в в с. ц. м. и уг-
углом рассеяния в системе отсчета, связанной с одной из рассеивающихся
частиц.
Решение. Пусть v^n, v°ut — скорости s-й частицы до и после рассея-
рассеяния. В с. ц. м. cos 0 = vinvout/^2, где vin = v2n - vj", vout = vfl - v?ut -
относительные скорости частиц до и после столкновения, vin = vout =
— v. В системе отсчета Ki, связанной с частицей mi, аналогичное
соотношение для угла рассеяния 021 частицы т<± имеет вид cos 02i =
— ^1У21*/У12 5 гДе V2i = V2 — vi, V21 — скорость частицы г?22 в системе
Кг. Поскольку v2n = v1/1 + v^i, v^ut = v?ut + v§f, то (9 = 021.
3.2.6. Неупругое столкновение сопровож:дается рож:дением новых
частиц с кинетической энергией Q. Найти скорость выделения энергии.
Решение. Пусть дифференциальное сечение неупругого рассеяния
частиц 6 на частицах а равно а. Вероятность неупругого взаимодей-
взаимодействия (в течение интервала dt) частиц, движущихся с относительной
скоростью v = va — Vfc, dW = пьсгу dt, где пь — концентрация частиц
сорта 6. Если с мишенью взаимодействует не одна, а Na частиц, то
число столкновений в элементе объема dV в течение времени dt равно
dv = сгупапь dt dV. Следовательно, удельная мощность реакции
=nanb(va(v))Q.
Символ () означает усреднение с функцией распределения по относи-
относительным скоростям v.
3.2.7. Показать, что динамические переменные
v ' m
t = -cz

134 Динамика системы частиц [ Гл. 3
инвариантны относительно преобразования Галилея. Найти значения
s, t в системе центра масс.
Ответ, s = fiv2/2, t = 4/i2^2 sin20/2.
3.2.8. Найти соотношения между дифференциальными сечениями
упругого рассеяния в лабораторной системе и системе центра масс.
Решение. В начальном состоянии г имеем два пучка частиц, плотно-
плотности которых п\ и П2\ скорости частиц Vi и V2, относительная скорость
частиц v = V2 — vi, энергия относительного движения Е = fiv2/2.
Для определения сечения рассеяния сталкивающихся частиц необхо-
необходимо перейти в систему покоя одной из частиц, например, частицы с
индексом «1». В этой системе скорость второй частицы v2i = ^2 — vi =
= v, плотность потока сталкивающихся частиц j = n2V2i = n2v.
Рассмотрим определенный канал реакции — рассеяние, который
обозначим буквой /. Пусть dWif — дифференциальная вероятность
того, что при столкновении частиц произойдут переходы г —» / из на-
начального состояния в конечное за интервал времени Т. Чтобы получить
характеристику процесса взаимодействия частиц, не зависящую от
плотности частиц, объема и времени Т, нужно разделить вероятность
рассеяния на плотность потока частиц. Определенная таким образом
величина
da =
n2vT
называется дифференциальным сечением рассеяния. Размерность
Аа — м2.
Отметим, что направляющие косинусы вектора п в системе покоя
одной из частиц и в с. ц. м. совпадают. Поэтому сечение можно пред-
представить в виде плотности дифференциального распределения сечения
рассеяния частиц массы т2 в элемент телесного угла dO = d cos в dtp
в направлении вектора п:
da = сг(<9, (p)dO. A)
Общее число переходов в объеме V в течение времени Т
AiSif = dWif n\V = vn\n2 da VT.
Следовательно, при переходах i —> f начального состояния в конеч-
конечное состояние частицы эффективно взаимодействуют в пределах пло-
площадки da, расположенной перпендикулярно относительной скорости
частиц.
Упругое рассеяние. Предположим, что плотности пучков на-
настолько малы, что можно пренебречь многократным рассеянием. В слу-
случае упругого рассеяния переход из состояния vln в состояние vout опре-
определяется ветвями неоднозначной функции 6@), неявно зависисящей от
потенциальной энергии взаимодействия частиц. Если пренебречь кван-
товомеханическими эффектами, то дифференциальное сечение упру-
упругого рассеяния в с. ц. м. A) можно представить в терминах якобиана

3.2] Рассеяние частиц 135
перехода переменных 6@), /3 —> 0, ср:
da = b db dp = <т@, (р) dcos 6 dtp, Ba)
Если потенциальная энергия взаимодействия частиц f/(ri, Г2) =
= /(|r2 -ri|),To/3 = у?:
Полное сечение рассеяния at(E) следует из Bа) в результате инте-
интегрирования по телесному углу. Отметим, что математический аппарат
квантовой теории рассеяния приводит к сечению da(E) в форме инте-
интегралов по фазовому объему рассеянных частиц в терминах интегралов
da(E) = -Л dVi dV2 *C)(Pi + Р2 - Pi - Р2) х
V^ a
x S(E1 + E2-E[- Er2) a@), C)
содержащих дельта-функции Дирака, явно учитывающие закон сохра-
сохранения энергии — импульса.
Действительно, в с. ц. м. Pi + Р2 = 0, р'2 = —р[ = р', Е\ + Е<± = Е,
Е[ + Е'2 = p/2/2/i. Первая J-функция устраняется интегрированием
по с/3^, дифференциал d3p2 = p'2 dp1 dO. Интегрирование C) по dp1
тривиально благодаря свойству j-функции:
)= Slf>7*v> /(*n) = 0, n = l,2, ... D)
Теперь можно перейти к дифференциальному сечению одной из частиц
в любой инерциальной системе отсчета. Эта процедура эквивалентна
вычислению якобиана перехода к новым переменным.
Дифференциальные распределения в лабораторной систе-
системе. Пусть в этой системе pi = О, Р2 = т^У- Найдем дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния частиц мишени в лабораторной системе.
После интегрирования C) по d3pf2 остается J-функция, аргумент ко-
которой (p^/2/i) (р[ — 2/iv cos#i) обращается в нуль при значении р[ =
= 2[iv cos0i. В результате интегрирования
= \p?dp[
- р[ - Р'2) S(E2 -E[- Е'2) =
E2-^ pf - ^ (p'x - P2J] = 4«М21dOl I cosвг

136 Динамика системы частиц [ Гл. 3
получим сечение
da/dcosOx = <ji@i), <7i@i) = 4 | cos0i| сг@). E)
При замене переменных следует учесть, что в с. ц. м. угол рассеяния
частицы mi равен тг — 0, в лабораторной системе в\ = (тг — 0)/2.
Найдем теперь дифференциальное сечение рассеяния частиц на-
налетающего пучка в лабораторной системе. После интегрирования C)
по d?pi остается S(g)-функция, аргумент которой
р2
g = 2j;(P2- Pt) (Р2- Р2)>
= ijlv \k cos 02 =Ь 1 — к2 sin202 ,
, ГП2
К = .
7711
При значении к > 1 два корня р2 соответствуют одному и тому же
углу рассеяния 0 в с. ц. м. В этом случае в результате интегрирования
C), учитывая D), получим
2A + fc2c°S2'W Fa)
При значении к < 1 имеем
dcos02 ~  ^"  ^' ~ L ' ' ^х _ fc2 si
F6)
Соотношения E), F) можно записать в терминах якобиана преоб-
преобразования к новым переменным
3.2.9. Найти скорость частицы после упругого столкновения с плос-
плоскостью, движущейся с постоянной скоростью.
Решение. Пусть v — скорость частицы, и — скорость плоскости, п —
единичный вектор, перпендикулярный плоскости. В системе отсчета,
связанной с плоскостью, скорость частицы до столкновения равна v —
— и. После столкновения ее скорость v — и — 2 (nv — пи) и. В лаборатор-
лабораторной системе скорость после столкновения vout = v — 2 (nv — nu) n.
3.2.10. Пучок частиц, движущихся в направлении оси z, рассеи-
рассеивается на поверхности вращения z = р2/2а, р = х2-\-у2. Найти
зависимость прицельного параметра Ь от угла рассеяния.
Решение. На рис. 3.2.10 х ~~ угол падения частицы в точке Р с ко-
координатой F, z), в — угол рассеяния, 2^ + 0 = тг. Поскольку угол

3.2]
Рассеяние частиц
137
Рис. 3.2.10
Рис. 3.2.11а
наклона касательной, проведенной в точке Р, определяется соотноше-
соотношением tgx = dz/dp, то dz/dp = ctg#/2. Для параболоида вращения
получим b = a ctg 0/2.
3.2.11. Энергия взаимодействия частиц f/(ri, r2) = —а/\г2 — ri|.
Используя уравнение траектории в с. ц. м., найти зависимость прицель-
прицельного параметра 6 от угла рассеяния в.
Решение 1. Уравнение траектории г(х) = рA + £ cosx)~\
где х ~ угол между радиусом-вектором r(t) и большой полуосью.
Из рис. 3.2.11а видно, что г(х) —> сю при х ~^ Хоо5 следовательно,
Поскольку 2 (тг — Хоо) = тг —
Учитывая, что
о . 2ЕМ2
2
flOL
= 0- A)
9, то Хоо = (тг + <9)/2, sin(9/2 = 1/е.
Е = —- , М = /i6v,
получим
Решение 2. В процессе упругого рассеяния вектор относительной
скорости изменяет направление:
v111 =
vout = vn,
где no, n — единичные векторы, угол между которыми в (рис. 3.2.115).
В системе центра масс полная энергия Е = fiv2/2 = а/2а, момент
импульса М = /i[bv], где а — полуось гиперболы, b — прицельный
параметр. Вектор Лапласа
£ = — [vM] + п0 = —h п0.
A)

138
Динамика системы частиц
[Гл. 3
Очевидно, е2 = (Ь/аJ + 1. Образуя скалярные
произведения A) с по и Ь, получим
еп0 = 1,
a
sin- = 1,
в Ь
e cos - = - .
2 a
\e .
>- Следовательно, b = a ctgO.
// \ Отметим, что в системе координат с ортами
ei = е/е, в2 = [езв1]? ез = М/М параметриче-
параметрическое уравнение траектории
г(t) = а (е — ch £) ei + b sh £ e2,
= ech£-£, a;= —3=-
fj,a
Рис. 3.2.116
можно представить в виде
r(t) = - as [е^ - е] n + - as [e -
n0.
3.2.12. Рассеяние заряженных частиц. Найти дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния a-частиц на ядрах.
Решение. Пусть т\, Ze — масса и заряд ядра, m<i, 2е — масса и заряд
a-частицы. Потенциальная энергия взаимодействия U(r) = а/V, а =
= 2Ze2. Кинетическая энергия относительного движения Е = fiv2/2,
инвариантный квадрат переданного импульса £ = Bfivsm6/2J. Диф-
Дифференциальное сечение рассеяния в с. ц. м.
°{0) = i
Прицельный параметр и угол рассеяния a-частицы связаны соотноше-
соотношением Ь = (а/2Е) ctg6/2. Следовательно, а(в) = {2afi/tJ.
3.2.13. Обратная задача рассеяния. Восстановить энергию взаимо-
взаимодействия G(|г2 — i*i|) частиц по известной зависимости дифференци-
дифференциального сечения от угла рассеяния.
Решение. Полное решение задачи можно найти в монографиях [48,
49]. Ограничимся более простым случаем восстановления потенциаль-
потенциальной энергии по данным рассеяния частиц высоких энергий.
Для сферически-симметричного потенциального поля U(r) угол
рассеяния определяется как функция прицельного параметра и энер-
энергии Е известным соотношением
\{к-в{Ъ,Е)}=
Ъ dr
'I1-**-!
1/1 1/2
A)

3.2] Рассеяние частиц 139
где гт-ш — точка поворота. Для частиц высоких энергий Е ^> |£/|, после
разложения A) в ряд Тейлора получим
_ Г dr frt/(r)|
»(SJ о
Из B) следует, что в пределе малых углов или больших энергий сечение
становится функцией автомодельной переменной г = E0(b, E) [50]:
rF) = -fc f ^ dr . C)
6
Из определения сечения
2 I sin 6^| du
следует, что функция б2 (г) должна иметь вид
о(т)^. D)
Функцию fo(r) мож:но определить по графику зависимости функции
/(г, Е) = 20 | sin#| сг(^, Е) от г при различных значениях энергии Е.
Все кривые на этом графике должны асимптотически стремиться
к /о(т) при малых г. Это обстоятельство весьма существенно, посколь-
поскольку все данные, соответствующие широкому интервалу энергий, будут
представлены одной функцией.
Таким образом, задача определения U(r) сводится к решению ин-
интегрального уравнения Абеля C), в котором левая часть — известная
функция. Используя значение интеграла
sinaTr

140
Динамика системы частиц
[Гл. 3
найдем композицию уравнения C) с его ядром [51]:
т(Ь),
ОО ОО
dr
г
,ДГ2 - b2) (Ь2 - х2)
Г dU , f
J dr J
bdb
(Ъ
тг Г , dU тг ти ч
- х2) 2 J ^ 2
Следовательно, в результате обращения интеграла Абеля находим
3.2.14. Найти потенциальную энергию взаимодействия а-частицы
и ядра по данным рассеяния при малых углах: сг@, Е) = (аЕ/т2J,
г =
Решение. Согласно решению задачи 3.2.13 функция /о(т, Е) =
= 202а(в, Е) = 2 (а/тJ. Следовательно,
Потенциальная энергия взаимодействия
а
—
г
3.2.15. Найти сечение рассеяния при взаимодействии точечных
частиц с частицами, представляющими твердые шарики.
Решение. Из рис. 3.2.15 следует, что прицельный параметр b и угол
рассеяния в связаны соотношением b =
— a cos в/2, где а — радиус шарика. Сле-
Следуя определению дифференциального сече-
сечения рассеяния
da = аF, (р) do, аF, (р) =
д(Ьх, Ьу)
>, ф)
Рис. 3.2.15
найдем а (в, </?) = а2/4. Полное сечение рассе-
рассеяния at = тга2 равно площади поперечного се-
сечения шарика. Этот результат не согласуется
с экспериментальными измерениями полного

3.2] Рассеяние частиц 141
сечения рассеяния частиц на ядрах. Правильный ответ дают вычис-
вычисления по методу квантовой механики at = 2тга2. Рассеяние частиц
описывается волновой функцией, которая представляет суперпозицию
двух слагаемых. Одно из них описывает отражение от шарика и дает
вклад в сечение, равный па2. Другое — тенеобразующее — возника-
возникает в силу того, что за шариком возникает область тени, в которой
вероятность найти частицу мала. Интерференция падающей волны
с тенеобразующей волной и приводит к образованию области тени.
Вклад этого слагаемого в сечение равен тга2. Полное сечение равно
2тга2. Следует отметить, что подобный результат был получен Г. А. Ми
в 1908 г. при вычислении сечения рассеяния света на шариках задолго
до создания квантовой механики. Именно дифракционное отклонение
на малые углы в < А/а, где Л = h/p, приводит к дополнительному
вкладу в сечение рассеяния. В этой области сечение рассеяния сг(в)
имеет острый максимум. Однако при больших углах (в > Л/а) сечение
рассеяния стремится к классическому пределу а = а2 /4 [52].
3.2.16. Найти условие применимости классической теории рассея-
рассеяния при больших значениях прицельных параметров [53].
Решение. В классической механике полное сечение рассеяния
оо
<ткл = J 2nb db A)
о
для произвольных функций U (г) обращается в бесконечность. Кванто-
Квантовая механика в квазиклассическом приближении приводит к выраже-
выражению
<rt = 8тг [ dbb sin25F), B)
о
где 5{Ь) — фаза рассеянной волны [54].
При малых длинах волн А < а следует ожидать, что частицы
будут двигаться по классическим траекториям. Однако даже в этом
случае сечение B) не равно классической величине A). Если харак-
характерный масштаб изменения U(r) равен а, то в области b > а фаза
5(Ь) ~ —A/2) (а/26J6/л весьма мала [52]. Поэтому вкладом этой
области можно пренебречь. В области b < а фаза S(b) ~ —а/А -Ь
+ (тг/2) F/Л) +. .. Поскольку здесь sin25 быстро осциллирует, то, заме-
заменяя sin25 средним значением, получим из B) at = 2па2. Расходимость
сечения A) связана с нарушением применимости классической меха-
механики в области больших значений Ь. Действительно, угол рассеяния
при больших значениях b равен 0кл ~ |Др|/р. Приращение импульса
можно оценить, используя закон сохранения полной энергии:
следовательно, 0КЛ ~ (m/p2) \U(b)\. С другой стороны, соотношение
неопределенностей позволяет сделать вывод, что всегда существует

142 Динамика системы частиц [ Гл. 3
неустранимый разброс импульсов Аркв, связанный с неопределен-
неопределенностью прицельного параметра: |Аркв|А6 > К. Явление квантово-
механической дифракции приводит к рассеянию на угол
_ |ApKB[ h h
Для применимости классической механики необходимо, чтобы вкв <С
<С 0кЛ: \U(b)\ ^> hv/b. Для потенциалов U ~ а/гп, убывающих
быстрее, чем кулоновский, это неравенство нарушается при значении
b ~ 6о = (a/hvI^n~1\ для которого 0КВ ~ 0КЛ. Для кулоновского вза-
взаимодействия рассеяние будет классическим при условии Ze2/hv ^> 1.
Здесь следует отметить, что в квантовой механике сечение рассеяния
одинаковых частиц [54]
da=(
\2uv2/ |_sin4@/2) cos4@/2)
i cog г_ 2 в] do
sin2 @/2) cos2 @/2) COS hv g 2j
отличается от формулы Резерфорда. Причина этого в том, что класси-
классическая механика принципиально не в состоянии описывать поведение
систем тождественных частиц. Только в квантовой механике разрабо-
разработан математический аппарат для анализа систем одинаковых частиц —
бозонов (частиц с целым спином) и фермионов (частиц с полуцелым
спином). Тождествен ность частиц проявляется в несиловом, так назы-
называемом обменном взаимодействии. Например, согласно теории вероят-
вероятность обнаружить два фермиона с одинаковыми значениями проекций
спина на расстоянии г = |г2 — ri | уменьшается до нуля при г -> 0.
Рассмотрим, например, фермионы — ядра 3Не и бозоны — ядра 4Не.
Поскольку заряды ядер одинаковы, то в классической теории сечения
упругого рассеяния процессов 3Не + 3Не, 3Не + 4Не, 4Не + 4Не должны
слегка отличаться из-за различия в массах ядер. Однако установлено,
что при столкновении двух пучков ядер 4Не вероятность рассеяния на
угол 90° в четыре раза больше, чем при столкновении ядер 3Не и 4Не.
В другом эксперименте вероятность рассеяния на 90° при столкновении
пучков ядер 3Не согласно теории оказалась равной нулю.
3.3. Динамика систем многих частиц
3.3.1. Сила, действующая на частицу массы та со стороны частицы
массы ть, Fa^ = —ктатъ (ra — r&). Найти решение уравнений движе-
движения системы, состоящей из N частиц.
Решение. Уравнение движения частицы массы та
mara = -k mamb(ra-rb). A)
6

3.3]
Динамика систем многих частиц
143
Пусть R — радиус-вектор системы частиц. Тогда из A) находим R = О,
R(t) = ЩО) + R@)t. Произведем далее замену переменных г -> г':
ra = R + г'а. Из A) получим
гааг'а = -kmarfa
кта тъг'ь = -ктатг'а,
ь
где т — масса системы, следовательно, r^ + kmrfa = 0. Решение
каждого из этих уравнений
r^ = Ca cos ujt + Da sin a;t, uj = Vkm ,
где Са, Da — постоянные векторы, удовлетворяющие условиям
rnaCa = 0, maDa = 0.
Общее решение системы
ra(t) = R@) + R@)t + Ca cos cot + Da sin a;*
содерж:ит 67V произвольных постоянных.
3.3.2. Записать лагранжиан системы N + 1 тел в системе отсчета
с началом координат на частице массы то.
Решение. Положение частиц будем определять векторами ra (a =
= 0, 1, ..., N). Введем обозначение гаь = ть~та. Масса системы га =
= rao+rai-K . . Произведем замену переменных го, i*i,. .. -> R, 1*01,.. .,
где Я — радиус-вектор центра масс системы. Введем далее вектор rf0,
соединяющий центр масс с частицей гао- Тогда ra = R + rf0 + roa-
Поскольку Y2 гпа (го + г0а) = 0? то го = "~гп~1 2 гпаг0а- Кинетическая
энергия
К = i raR2 + i raa (r'o + r0aJ = \ mR2 - i rar'o2 +
Потенциальная энергия взаимодействия частиц
a>b
ГаЬ
a>b
1*06 —
Запишем 3 (N + 1) уравнений Лагранжа: R = 0,
тпс .. 8U
гпсгОс гпагОа = --—, с=1,
777- OVqc
A)

144 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Из A) следует соотношение
т0 .. 8U
ТП
учитывая которое представим A) в виде
dU mc 8U
_ c
7ПСТ()С — —
дгос то дгоа '
а
Если то ^> гас, то второй член в B) играет роль возмущения.
Запишем уравнения B) в явном виде. Найдем вначале соотношения
при с ф 0:
dU ^ 1*0а — 1*0с
^- - -G татс - ^з
а — 1*0с
ГОс
|l*0a — 1*0с
з, C)
N eu _ N roc
—— = Gmo тс—з~
с=1 с=1 с
Учитывая C), выделим в правой части B) слагаемые с номером а = с.
В результате получим уравнение
mcrOc = -Gmc (m0 + mc) -^ + Gmc ma ^ - — .
ГОс ,0 ЧГ0а-Г0с| Г-Qa-1
,0
3.3.3. Записать лагранжиан трех частиц масс rai, ra2, гтгз в системе
координат с началом на частице mi. Найти уравнения движения.
Ответ. В переменных R, r12, ri3 (рис. 3.3.3)
Г12 ^13
где rrtik = тгц + га&, гтг = гтгг + т<± + гтгз- Уравнения двилсения R = 0,
n^j m
mi dri2 mi dri3
.. _ _mis jM/_ _ шз dU_
3 13 mi 0ri3 mi 0ri2

3.3] Динамика систем многих частиц 145
3.3.4. Движение космического аппарата в неинерциальных
системах, связанных с Землей и Солнцем. Пусть К А массы га2
движется в гравитационном поле, создаваемом Солнцем и Землей масс
тс = miH т3 = газ- Получить уравнения движения в системе отсчета,
с началом на Солнце, исходя из второго закона Ньютона.
Решение. Поставлена проблема, решение которой найдено в зада-
задаче 3.3.3. В инерциальной системе отсчета радиус-векторы Солнца, КА
и Земли равны соответственно ri, г2, гз- Согласно второму закону
Ньютона уравнение движения КА
m2a2 = Fi2 + F32, A)
где F12, F32 — силы, действующие на тело со стороны Солнца и Земли:
Fi2 = -Gm1m2 -|^ , F32 = -Gmsm2 -§^ , B)
Г1 + Г12 = Г2, Г3 + Г32 = Г2, Г] + Г13 = Г3.
В нашем случае Gm3 = 3,986 • 105 км3/с2, Gmc = 1,327 • 1011 км3/с2.
Наша задача — получить уравнение движения тела в системе отсче-
отсчета, связанной с Солнцем. Перейдем в A) к новым переменным ri, г2,
r3 -> R, г 12, г 13- С этой целью введем вектор rOi, соединяющий центр
масс всей системы — точку О с центром Солнца (рис. 3.3.4),
ri = R + rOi, r2 = R + roi +Г12, r3 = R + rOi+Г13. C)
Следовательно, а2 = aoi + ai2, где ai2 — ускорение КА относительно
Солнца. Подставляя а2 в A), получим уравнение движения тела в си-
системе координат с началом в центре Солнца:
m2ai2 = F12 + F32 - m2a0i. D)

146
Динамика системы частиц
[ Гл. 3
m2
Рис. 3.3.4
1пъ В правой части D) появилось слагаемое
FHH = — ra2aoi — сила инерции в системе
отсчета, связанной с Солнцем.
Наша задача — получить зависимость си-
силы инерции от координат. Поскольку
miri + ra2r2 + ra3r3 = raR,
m = rai + ra2 + газ,
то после подстановки из C) i*i, r2, Г3 получим
rarOi = -(ra3ri3 + ra2ri2).
Дифференцируя это равенство, найдем соотношение между ускорени-
ускорениями
raaOi = -(ra3ai3 + ra2ai2). E)
Ускорение Земли относительно Солнца ai3 можно исключить, исполь-
используя уравнение движения Земли относительно Солнца, аналогичное D)
ra3ai3 = Fi3 + F23 - ra3a0i, F)
P13 = -Gmim3£r. G)
Вычисляя сумму правой и левой частей D) и F), получим соотношение
ra2ai2 + ra3ai3 = F12 + F32 - ra2a0i + Fi3 + F23 - ra3a0i.
Учитывая E), находим
(P + F)
aoi = —
7
777/1
Подставляя aoi в D), получим окончательно уравнение движения в ге-
гелиоцентрической системе отсчета
Заменяя индексы «2», «3», получим явный вид уравнения F)
m3ri3=(l + — )F13 + F23 + ^F12. (9)
\ 777-1 / 7771
777-1
Эта процедура демонстрирует преимущества используемых обозначе-
обозначений, адекватно отражающих симметрию системы. Для того чтобы
перейти к системе уравнений в системе отсчета с началом в центре
Земли, достаточно в (8) заменить индекс «1» индексом «3», а в (9) —
индекс «1» индексом «3», индекс «3» — индексом «2».

3.3]
Динамика систем многих частиц
147
3.3.5. Записать лагранжиан задачи трех тел в переменных Яко-
Якоби [55, 56].
Решение. Введем следующие обозначения: гаь = ть~га, таъ = та-\-
ь, т = rai -\-rri2 + т$ и переменные Якоби R, г, Г13 соотношениями
_. 777-2
R г
m
r3 = R
ТП2
m
т\ , 13
r2 = R + г,
m
Рис. 3.3.5
Вектор г соединяет центр масс частиц rai и газ с частицей га2, R —
радиус-вектор центра масс системы (рис. 3.3.5). Лагранжиан системы
L= - raR2 + - fir2 + - /ii3r23 - E/(r, Из),
2
1 1
— = — + —
/Лз mi m3
ГП1ГП2
ГП2ГПЗ
m13
Г13
Г13
777-1
Г77-13
Сохраняются момент импульса и полная энергия относительного
движения

148 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Если т\ ^> 1712, тз, то потенциальную энергию взаимодействия можно
представить в виде U = Щ + At/,
1Т ^упхтпч ~ rai газ
UQ — —Gr С
ЛН л 1 1 ~
AU =-Gm1m2 -G
ГП2ГПЗ
m3
г + пз
г
rai
Г13
rai3
В нулевом приближении лагранжиан с потенциальной энергией t/o
описывает промежуточные орбиты [56], эволюция параметров орбит
определяется функцией At/.
3.3.6. Задача Ж. Лагранжа A772). Три частицы движутся так,
что в любой момент времени находятся в вершинах равностороннего
треугольника. Показать, что на частицу т\ действует сила
_, ^raiM Л/Г [га^ + газ + га2га3]3 2
г = — G з— ГЬ М = — ~2— ,
7*1 (rai + ТП2 + газ)
где ri — радиус-вектор частицы rai в системе центра масс.
Решение. Поскольку потенциальная энергия взаимодействия ча-
частиц
jj _ _р ГПЦП2 _ „ тцпз _ ^ га2га3
Г12 Г13 Г23
то, переходя в систему центра масс ra = R + г^, получим уравнения
движения
г\ г т
rair'i = т = G —V~ (r9 ~ ri) + G —Ц—^ (гч ~ ri )•
Учитывая, что расстояния меж:ду частицами а одинаковы и соотноше-
соотношение Yl mara — О? ПОЛУЧИМ
Возводя в квадрат обе части соотношения тг[ = m^ii + г?гзгз1?
находим т2^2 = (га2, + га2 + га2га3)а2. Аналогичным образом мож-
можно показать, что равнодействующие сил, действующих на массы ra2
и газ, проходят через центр масс системы. Мы приходим к выводу, что
каждая частица движения по коническому сечению, фокус которого
находится в центре масс. Начальные скорости масс должны составлять
один и тот же угол с прямой, соединяющей массы с центром масс,
а величины начальных скоростей пропорциональны расстоянию до
центра масс.
3.3.7. Трем одинаковым частицам, расположенным в вершинах
равностороннего треугольника, сообщим одинаковые скорости, направ-
направленные от одной частицы к другой. Определить наибольшее и наимень-
наименьшее расстояния частиц от центра масс.

3.3]
Динамика систем многих частиц
149
Решение. Согласно условию и результату, полученному в задаче
3.3.6, частицы движутся по коническим траекториям в одной плоско-
плоскости. Положение частиц определяется функциями Т\ = г2 = гз = г,
(fi = </?, </?2 = У? + 2тг/3, (fs = ip + 4тг/3. Законы сохранения приводят
к уравнениям
= E, A)
тг2ф = M. B)
Пусть в начальный момент времени сторона треугольника равна а,
а начальная скорость vo = Gm/a. Тогда Е = —Gm2/2а, М =
= A/2) га Gma/З . Исключая ф из A), получим уравнение
а
ж1
a L 2 24г
Полагая г = 0, найдем границы движения по координате г:
3.3.8. Ограниченная задача трех тел. Частица массой га2 дви-
движется в поле тяготения системы двух тел, массы которых кп\ и газ-
Предполагается, что частица не влияет на движение системы тел, т. е.
£(t) = гз — ri и радиус-вектор центра масс системы H(t) — известные
функции времени. Найти лагранжиан частицы m<i'> а) в инерциальной
системе с началом в центре масс системы кп\ и газ; б) в системе отсчета
с началом в центре масс и вращающейся с угловой скоростью tt(t)
вектора £(£); в) в системе отсчета с началом на теле rai.
Решение, а) Пусть г2 — радиус-вектор частицы массой ra2. Лагран-
Лагранжиан
L = - m2rl
G
ГП2ГП1
тп13
G
777-2777-3
г2
mi
777,13
A)
б) Во вращающейся системе отсчета г7 — радиус-вектор частицы,
вектор £ не изменяет ориентации,
777,2777,1
G-
777,2777,3
777,1
777,13
B)
Здесь, в отличие от A), изменяется величина, но не ориентация векто-
()
£()
в) Произведем в A) замену переменных (газ/га1з)£ + r2 =
и учтем, что

150
Динамика системы частиц
[Гл. 3
Искомый лагранжиан
U = -
, t),
C)
- G
ГП2ТП1
—
3.3.9. Записать лагранжиан тела, движущегося в поле, создавае-
создаваемом системой Земля-Луна, и найти вклад Луны в ускорение свободного
падения.
Решение. Пусть mi, m% — массы Земли и Луны. Тогда лагранжи-
лагранжиан C) задачи 3.3.8 является решением поставленной задачи. Уравнение
движения имеет вид
Ш2г12 = -G
- Gm2m3 ± -
— 1*12
A)
Предполож:им, что частица двилсется вблизи поверхности Земли
в окрестности точки Р (рис. 3.3.9). Полагая ri2 = а + г (г <С а),
получим после разложения правой части A) в ряд Тейлора
га2г = m2 (go + Ag), g0 = -G Щ- a,
^ Га 3€(а^I dV
здесь V — «приливный» потенциал,
_ _
ч
В точках В, Z), лежащих на прямой, перпендикулярной вектору £,
величина ускорения свободного падения gB,D — go + Gra3a/£3. В точ-
точке Л на стороне, обращенной к Луне, и в точке С на противоположной
стороне Земли величина ускорения свободного падения одинакова:
Рис. 3.3.9

3.3] Динамика систем многих частиц 151
gA, с — go — 2Gmsa/^3. Относительное изменение силы тяжести
Ag/go ~ (тз/mi) (а/£K = 5,7 • 10~~8. Ничтожное различие в силе
притяжения приводит к повышению уровня воды в точках А и С.
В результате суточного вращения Земли вокруг своей оси двугорбая
водяная поверхность перемещается. Это и есть приливы [57].
Сила трения, действующая со стороны воды на земную поверхность,
приводит к торможению вращения Земли. Угловая скорость враще-
вращения уменьшается — продолжительность суток возрастает. Приливное
воздействие Луны приводит также к деформации Земли как упругого
тела. Когда-то породы Луны были в расплавленном состоянии. Прилив-
Приливное трение замедляло вращение Луны, и теперь она обращена к Земле
одной стороной.
Угловая скорость вращения Земли превышает угловую скорость
Луны на орбите. Поэтому из-за трения приливный выступ достигает
максимума не в точке на прямой, соединяющей центры Земли и Луны,
а в точке, смещенной в направлении вращения Земли. Более того, из-
за различия наклонов плоскости земного экватора B3°) и плоскости
орбиты Луны E°) к эклиптике, вращение Земли выносит приливный
выступ из плоскости орбиты. Гравитационное взаимодействие Земли
и Луны становится асимметричным относительно прямой, соединяю-
соединяющей их центры. В результате возникают моменты сил, действующих
на оба тела. Кинетическая энергия вращения Земли переходит в тепло
и полную энергию орбитального движения Луны — расстояние между
Луной и Землей возрастает.
3.3.10. Записать лагранжиан частиц масс mi и га2, взаимодей-
взаимодействующих между собой и третьей частицей массы газ, закон движения
которой известен: Гз = Гз(£).
Ответ. L = mir\/2 + ra2r|/2 - £/(rx, r2),
л — Gm\rri2 Grnirri3 n ГП2ГП3
U — — -.C
3.3.11. Две частицы движутся в поле тяготения неподвижного тела
массой 777,0, причем радиус-вектор R центра масс — известная функция
времени. Предполагая, что расстояние между частицами |г2 — гх| <С Я,
получить лагранжиан, определяющий эволюцию вектора г = г2 — гх-
Решение. Произведем замену переменных гх = R — гга2/га, г2 =
= R + rrax/га, где га = гах + га2. Потенциальная энергия системы
TU х\ П 777-1777-2 ^ 777-07721 ~ 777-0777-2
c/fr, t) = —G G G
4 J Г 777-2
777-
Учитывая разлож:ение в ряд Тейлора функции
1 xR I /3(xRJ
я я3+1
x2\
2
/3x2(Rx) 5(RxK
l fis R7

152
Динамика системы частиц
[Гл. 3
получим лагранжиан L(r, r, t) = fir2 /2 — f/(r,
[3(RrJ r2 1
mi - m2 |r2(Rr) 5(Rr)
L
|r2(Rr) 5(RrK1 ,>
L Д5 Я7 Г l j
3.3.12. Центр масс системы космонавт-космический корабль дви-
движется по круговой орбите радиуса Я. Записать лагранжиан движения
относительно центра масс и решение
уравнений движения.
Решение. С необходимой точностью
лагранжиан, описывающий движение
космонавта и корабля, имеет вид (см. за-
задачу 3.3.11)
M'.M) = V + £TL-S
где R = cos ujt ei + sino;t e2, uj2 =
= Gitiq/R3, ei?2 — постоянные орты
инерциальной системы отсчета с началом
в центре Земли. Перейдем в систему от-
отсчета, вращающуюся с угловой скоростью а? = а;ез- Тогда лагранжиан
задачи приобретает вид
Рис. 3.3.12
Уравнения Лагранжа
/ir' = 2/i [r'w] + /i [ш [r'w]] + /ia;2CR#-2(Rr') - г7).
Совмещая ось ж' с вектором R (рис. 3.3.12), получим систему (опуская
штрихи) [32]
х - 2иу - Зи2х = О,
у + 2их = О,
(i)
B)
z + u?z = 0. C)
Положение тел определяется векторами Г2 = (rai/ra) r, ri =
= —A712/171) г. Пусть ?77,2 — масса космонавта, mi — масса спутника.
Тогда ri ~ 0, Г2 — г. Интегрируя систему A)-C) с начальными
условиями г@) = 0, г@) = (жо, уо, 0), получим
y(t) = -^ sino;t Н

3.3] Динамика систем многих частиц 153
Если ?/о — 05 то r(t) описывает эллипс с полуосями xq/uj, 2xq/uj. Значе-
Значениям ?/о Ф 0 соответствует незамкнутая траектория, перемещающаяся
со средней скоростью — 3^fo B направлении оси у'. Следует отметить,
что в системе отсчета, связанной с Землей, траектория космонавта —
эллипс (см. задачу 1.6.7-1.6.8).
3.3.13. Две частицы движутся в поле тяготения тела массой гао,
причем вектор г = Г2 — ri — известная функция времени. Предпо-
Предполагая, что г <С Я, где R — радиус-вектор центра масс тел, записать
лагранжиан, определяющий эволюцию вектора ()
Ответ. L(R, R, t) = ^ R2 - t/(R, t),
p /3(RrJ r2
3.3.14. Гравитационная рогатка. Двойная звезда, массы ком-
компонент которой ?77,i и w&2 5 налетает на черную дыру массы гао- В ре-
результате захвата «дырой» звезды массы mi вторая звезда приобретает
скорость V2- Покажите, что величина V2 намного больше скорости
двойной звезды.
Решение. Происходит «реакция» rai2+rao —> moi+m2. Обычно mi,
777,2 ^ 777,o- Рассмотрим процесс столкновения в системе покоя черной
дыры. Скорость двойной звезды — и. До столкновения двойная звезда
находилась на бесконечно большом расстоянии от черной дыры. Поэто-
Поэтому полная энергия системы равна сумме 777,12и2 /2 — Л12 кинетической
энергии двойной звезды и полной энергии относительного движения
Ei2 = —^4125 гДе ^412 — энергия связи. После столкновения полная
энергия системы при достаточно большом расстоянии между новыми
объектами равна 777,2^2/2 + ^оь ^oi — ~^оъ гДе ^oi — полная энергия
связанной системы черная дыра-звезда массы mi. Из закона сохране-
сохранения полной энергии получим уравнение
из которого следует, что кинетическая энергия звезды массы 777,2 равна
2 2
2 = —2 *~ ^ 01 "" 12>'
Энергия связи звезды и черной дыры Ло1 ^> А^- Поэтому v<i ^> и.
3.3.15. Гравитационные возмущения движения К А в си-
системах отсчета, связанных с Землей и Солнцем. КА движется
в поле тяготения Земли и Солнца. Оценить влияние Солнца на гео-
геоцентрическое движение КА и влияние Земли на гелиоцентрическое
движение К А [60].
Решение. В инерциальной системе отсчета радиусы-векторы Солн-
Солнца, К А и Земли равны соответственно ri, Г2, Г3, массы — mi, 777,2, тп>з-
Вектор £(t) = Г3 — ri — известная функция времени.

154 Динамика системы частиц [Гл. 3
Лагранжиан, описывающий движение К А в системе координат с на-
началом в центре Земли (см. задачу 3.3.8):
r "b^M , ri ГП2ГП3 ~ /^1 , £Г32 \
2 Г32 \|^ + г32| $ /
r32 — r2 — r35 ri2 — r2 ~ ri — ^ + Г32 (рис. 3.3.15). Запишем уравнения
движения в виде
Г32 = W^ + Aw32, Aw32 = W12 - W13, A)
^ , W12 = -Gmx ^ , w13 = -Gmx ^ .
r32 r12 r13
Здесь AW32 — разность ускорений, сообщаемых Солнцем КА и Солнцем
Земле. Из A) следует, что в случае тела, движущегося в окрестности
Земли (г 12 ~ гхз), вектор AW32 играет роль возмущающего ускорения.
Пусть космический аппарат находится на линии Земля-Солнце
на расстоянии гза — 500 000 км от Земли и на расстоянии
гса — 149100 000 км от Солнца (среднее расстояние £ = гсз —
= 149 600 000 км). Величина «основного» ускорения г^д = 1,594 х
х 10~6 км/с2. Ускорение, сообщаемое аппарату Солнцем г^сл —
= 5,97 • 10~6 м/с2 больше величины г^зд- Однако Солнце не оказывает
существенного влияния на движение аппарата, так как ускорение,
т3
Рис. 3.3.15
сообщаемое Земле Солнцем г^сз — 5,93 • 10~6 км/с2 и возмущающее
ускорение равно всего лишь Аг^зА — 0,04 • 10~6 км/с2. Отношение
Аэдза/^за = 0,025 — возмущающее ускорение составляет 2,5% от
ускорения, сообщаемого Землей аппарату.
Если же аппарат находится на линии Земля-Солнце на расстоянии
гза = 1500 000 км от Земли и на расстоянии гса = 148 100 000 км
от Солнца, то ситуация изменится. Величина «основного» ускорения

3.3] Динамика систем многих частиц 155
г^зл — 1,771 • 10~7 км/с2, ускорение, сообщаемое Солнцем аппарату
и Земле wqa = 6,05 • 10~6 м/с2, г^сз = 5,93 • 10~6 м/с2. Отношение
Л^за/^за = 0, 677 — возмущение Солнцем геоцентрического движе-
движения составляет почти 70% ускорения, сообщаемого Землей аппарату.
В этом случае следует рассматривать движение аппарата в системе
отсчета, связанной с Солнцем.
Заменяя индексы «3» <-> «1», получим уравнение движения КА
в системе координат с началом в центре Солнца, которое представим
в виде
Г12 = W^ + AW12, AW12 = W32 -W31, B)
wi2} =-Gwii^ , w32 = -Gm3^, w3i = -Gm3 ^ .
П2 Г32 Г31
Здесь Awi2 — разность ускорений, сообщаемых Землей аппарату и Зем-
Землей Солнцу, Г32 = — £ + 1*12- Полагая гса — 148100 000 км, получим
значение «основного» ускорения Wq& = 6,05 • 10~6 км/с2 и ускорений,
сообщаемых Землей аппарату и Солнцу г^зА = 1,771-10~7 км/с2, г^зс —
= 1,781 • 101 км/с2. Теперь возмущение Землей гелиоцентрического
движения не составляет и трех процентов: /ca
3.3.16. Сфера действия Земли. Найти уравнение поверхности,
разделяющей области «основного» влияния Земли и Солнца на движе-
движение К А [32].
Решение. При вычислении траектории космического аппарата необ-
необходимо учитывать силы, действующие со стороны Солнца и планет.
Однако в небесной механике известно точное решение только одной
задачи — задачи о движении двух тел. Поэтому в астродинамике по-
получили развитие приближенные методы расчета траекторий. Один из
методов основан на анализе гравитационного возмущения траектории
К А в окрестности планеты.
Приведенные в задаче 3.3.15 оценки позволяют понять, что отноше-
отношение |A^3a/^3aI характеризует величину возмущения геоцентрической
кеплеровой траектории Солнцем, а отношение |A^ca/^caI ~~ величи-
величину возмущения гелиоцентрической траектории Землей. Условие
48
Awca
A)
определяет уравнение поверхности Г32 = г(ж, г/, z), разделяющей две
области пространства, в которых аппарат движется по различным
кеплеровым траекториям. При переходе через поверхность необходимо
«сшить» траектории. Поскольку Г32 *C ri2, rsi ^ £, то из решения
задачи 3.3.15 находим
л Gmi ~ Г 3$(гЛ] л „ г
Aw32 « —73- Gmi \r - -^rl\, Awi2 « -Gm3 -3 .

156 Динамика системы частиц [Гл. 3
Следовательно, из A) получим
2
mi r
пц
Это уравнение определяет поверхность, близкую к сфере радиуса s^i =
= £(газ/miJ/5 с центром в центре Земли — ее называют сферой
действия Земли относительно Солнца, $зс — 924 820 км.
Радиус сферы действия Луны относительно Земли здз — 66 280 км.
Орбита Луны находится внутри сферы действия Земли. Поэтому
радиус-вектор системы Земля-Луна описывает кеплерову траекторию.
Однако Солнце заметно влияет на движение Луны относительно Зем-
Земли. Орбита Луны лежит почти точно в плоскости орбиты Земли.
Если орбиту Луны повернуть на 90°, то расчеты показывают, что
в результате эволюции параметров орбиты, Луна достигла бы Земли
через 52 оборота за 4,5 года (М.Л. Лидов, 1961 г.). Следует, однако,
учесть, что Луна не является точечным телом и может быть разорвана
гравитационными силами при достижении предела Роша, равного трем
радиусам Земли (см. задачу 6.4.8). Предел Роша — расстояние, на
котором сила, действующая на «половинку» Луны со стороны Земли,
достигает значения силы притяжения другой «половинкой».
3.3.17. Вторая космическая скорость. На поверхности Зем-
Земли космическому аппарату сообщили вторую космическую скорость.
Определить траекторию, по которой движется КА после выхода из
сферы действия Земли.
Решение. Найдем начальную скорость vq, которую необходимо со-
сообщить телу относительно Земли, чтобы на расстоянии г от Земли оно
приобрело скорость и. Силы сопротивления атмосферы не учитываем.
Тогда полная энергия тела Е = гаи2/2 — mgR /г — постоянная
величина. Полная энергия на поверхности Земли Е = гаг?2,/2 — m,gR.
Из закона сохранения полной энергии следует уравнение
n mu2 mgR2
-mgR=- —.
Если Е = 0, то значение vq = г?ц,
v\\ = 2gR, ^п = 11,186 км/с
называют второй космической скоростью. Очевидно, что v\\ = \/2v\.
Можно ли утверждать, что на «бесконечно большом» расстоянии
от Земли скорость тела станет равной нулю? Нет, нельзя, так как
радиус сферы действия Земли #зс = 924 820 км. На расстояниях г >
> <$зс основной силой, действующей на тело, является сила притя-
притяжения Солнца — влиянием Земли на движение тела в этой области
можно пренебречь. Если телу на поверхности Земли сообщить вторую
космическую скорость, то скорость тела на расстоянии $зс окажет-
окажется равной и = vs = 2gR2/ssc<> vs — 0,926 км/с. Если скорости

3.3] Динамика систем многих частиц 157
Земли и тела коллинеарны, то скорость тела относительно Солнца
на 0,926 км/с больше скорости Земли относительно Солнца г?зс —
= 29,785 км/с. Следовательно, тело станет спутником Солнца. Афелий
эллиптической орбиты тела находится за Солнцем на расстоянии 21 млн
км от орбиты Земли.
3.3.18. Третья космическая скорость. Найти наименьшее зна-
значение скорости аппарата относительно Земли, необходимое для того,
чтобы аппарат покинул Солнечную систему.
Решение. Обозначим v^ — скорость тела i относительно тела к.
Очевидно, Wik = Vin + vn&. Рассмотрим вначале движение аппарата от
места старта на поверхности Земли до пересечения со сферой действия
Земли $зс- Из закона сохранения полной энергии получим
1 2 Gm^ _ 1 2
2 Va3 R - 2 ^
где идз — скорость тела на расстоянии #зс от центра Земли. С доста-
достаточной точностью имеем
(^) A)
Перейдем теперь в гелиоцентрическую систему, в которой Земля дви-
движется с «местной первой космической» скоростью г?зс — Grac/гзс?
г?зс = 29,785 км/с; скорость аппарата в этой системе vac — и аз + V3C-
Для того чтобы аппарат покинул Солнечную систему, его скорость vac
должна удовлетворять условию
Gmc п . п 2гсз
Поскольку гзс ~ гас, to vac = л/2 ^зс? ^ас = 42,122 км/с. Предпола-
Предполагая, что векторы Ua35 V3C коллинеарны, найдем необходимое значение
скорости относительно Земли в окрестности сферы действия ^аз —
= ^ас - ^зс, ^аз = (л/2 - 1) ^зс, ^аз = 12,337 км/с. Теперь из A)
получим значение третьей космической скорости
= (л/2-1) v%c + 2gR, vA3 = 16,653 км/с.
3.3.19. Космический аппарат стартовал с третьей космической
скоростью. Показать, что при пересечении траектории любой внешней
планеты величина гелиоцентрической скорости входа в сферу действия
планеты uac — ^пс\/2, где vuc ~ гелиоцентрическая скорость плане-
планеты [60].
Решение. При отлете с третьей космической скоростью гелиоцен-
гелиоцентрические скорости аппарата г?ас? ^ас в точках 3 и П на рис. 3.3.19
связаны соотношением
1 2 Gmc 1 2 Gmc
0 ~ - vir = - иАГ
2 АС гзс 2 АС
virиАГ
2 АС гзс 2 АС тс

158
Динамика системы частиц
[Гл. 3
Поскольку vUc = Gmc/rnc, то
= г?пс\/2. Планетоцентрическая скорость
входа uBX = uac — vnc- Отсюда находим
UL — C - 2л/2 cos в) у^с. Угол 0 между
скоростями аппарата и планеты найдем из
соотношения гпс^ас = Гзс^зс и закона со-
соРис. 3.3.19
^аз = ^а
ас зс
хранения момента импульса гпс^ас cos# =
= ^зс^ас- В результате получим UgX = C —
- 2 2г3с/гпс) ^пс-
3.3.20. Найти скорость, которую необхо-
необходимо сообщить космическому аппарату для
того, чтобы он упал на Солнце.
Решение. Используя обозначения зада-
задачи 3.3.18, находим
2gR3.
Поскольку при выходе из сферы действия Земли скорость аппарата от-
относительно Солнца должна быть равна нулю, то идз = — V30 Искомая
скорость
= 31, 816 км/с.
Эту скорость иногда называют четвертой космической скоростью [25].
Падение можно рассматривать как полет по вырожденному эллипсу
с большой осью 2а = гзс- Время падения т = тг a3/GMC = То/4л/2
(То — период обращения Земли) оказывается равным 65 сут.
3.3.21. Найти начальную скорость, которую необходимо сообщить
К А, чтобы он двигался по орбите Земли в направлении, противополож-
противоположном движению Земли.
Решение. В этом случае vac — ~V30 Поскольку vac — UA3 + V3C5
то UA3 — —2v3c- Из уравнения A) в решении задачи 3.3.18 находим
+ 2gR ,
= 60,61 км/с .
3.3.22. Перелет на Марс. Оценить скорость г?Аз5 которую необ-
необходимо сообщить КА относительно Земли для перелета на Марс по
траектории, касающейся орбит Земли и Марса [60].
Решение. При подлете к границе сферы действия Земли КА при-
приобретает скорость UA3- Из закона сохранения полной энергии имеем
уравнение
= "аз
A)
За пределами сферы действия Земли КА движется в поле тяготения
Солнца. Переходя в гелиоцентрическую систему отсчета, учтем соот-
соотношение между скоростями vac — UA3 + V30

3.3]
Динамика систем многих частиц
159
Для оценок предположим, что орбиты Марса и Земли находятся
в плоскости эклиптики (рис. 3.3.22). Расстояния от Солнца до перигея
и афелия равны соответственно Lp = 206,7 млн км, La = 249,2 млн км.
Длина большой полуоси, по которой движется КА, 2а = Lp +
Полная энергия КА в гелиоцентрической системе
E = —— = - mv\c , a = Gmmc.
2a 2 гас
Рис. 3.3.22
Здесь где ~~ расстояние от Солнца до КА в момент старта. Из этого
уравнения находим
2 _ а
гзс
Начальная гелиоцентрическая скорость выхода на орбиту перелета
г?АС = 32,083 км/с, геоцентрическая скорость выхода идз — 2,298 км/с.
Поскольку и аз — ^ас ~ г;зс5 то
АЗ = ^З
+
\2
1) + 2gR, vA3 = 11,422 км/с.
Гелиоцентрическую скорость входа в сферу действия Марса можно
найти из закона сохранения момента импульса
-p-^5 ^am — 23,23 км/с.
Поскольку гелиоцентрическая скорость Марса г?мс — 26,48 км/с,
Марс догоняет КА. Планетоцентрическая скорость входа г?дм =
= 3,25 км/с. На границе сферы действия Марса относительно Солнца

160 Динамика системы частиц [ Гл. 3
(s = 0,577 млн км) параболическая скорость щ\ = BGrriM/sI^2 =
= 0,3845 км/с. Поэтому траектория К А внутри сферы действия Мар-
Марса — гипербола.
Время перелета г = а/гзс ^Ъ/2, где ТЬ = 1 год, займет около г =
= 258,9 сут. Момент старта должен быть выбран так, чтобы траектории
Марса и КА пересекались одновременно. Рассмотренная орбита переле-
перелета, касающаяся орбиты планеты-цели, называется полуэллиптической
или гомановской — по имени немецкого ученого В. Романа.
3.3.23. Найти значение прицельного параметра 6, при котором КА
проходит по траектории, прилегающей к поверхности планеты.
Решение. Пусть г?вх — планетоцентрическая скорость К А внутри
сферы действия планеты, v — скорость КА в точке симметрии тра-
траектории, расположенной на минимальном расстоянии R от планеты.
Из законов сохранения полной энергии и момента импульса получим
два уравнения
1 2 1 2 Gmmn ,
-mv^ = -mv —, mbmvBx
из которых находим
_ 2Gmn
Vu ~ ~1Г~'
Максимальная величина прицельного параметра, при которой КА мо-
может достичь планеты, называется эффективным радиусом планеты.
3.3.24. Облет планеты как способ увеличения гелиоцентри-
гелиоцентрической скорости [60, 136]. Поля тяготения массивных планет Юпи-
Юпитера и Сатурна можно использовать для разгона аппарата при полете
к удаленным планетам или для отбрасывания к центру Солнечной
системы.
Внешняя по отношению к Земле планета догоняет аппарат, движу-
движущийся по эллиптической траектории перелета. Траектория аппарата
внутри сферы действия любой планеты всегда является гиперболой.
Эта ситуация в терминах задачи двух тел соответствует рассеянию
частиц. Найти приращение скорости аппарата при облете планеты.
Решение. Пусть величина скорости аппарата vac меньше значения
скорости планеты vnc. В системе отсчета, связанной с планетой, ско-
скорость аппарата на границе сферы действия vin = van = vac — vnc.
После облета планеты скорость аппарата на границе сферы действия
vout = van = vac — vnc- Угол рассеяния — угол в между векторами vin
и vout определяется соотношением tg@/2) = a/(mv2b), v = vm = vout,
приведенным в задаче 3.2.11, а = Gmmn, b — прицельный параметр.
Аппарат после облета получает приращение скорости Avan = vout —
" vin = vac - vac.
Производя коррекцию прицельного параметра, можно изменить
направление скорости vout в пределах 0 ^ в ^ 0тах- При достаточ-
достаточно малом значении прицельного параметра можно было бы изменить
направление скорости почти на противоположное. Однако наименьшее

3.3]
Динамика систем многих частиц
161
Рис. 3.3.24
значение b = Ьт-Ш должно соответствовать траектории, касающейся
точки, находящейся на пересечении оси симметрии траектории и гра-
границы атмосферы планеты на расстоянии гр равном приблизительно
радиусу планеты R. На рис. 3.3.24 изображен облет внешней планеты,
когда планета догоняет аппарат. Из законов сохранения полной энергии
и момента импульса имеем систему
1 2 , г> 1 2 Gmmn
Исключая vp, находим
где V\ = Gmn/R. Следовательно,
tg"
2 x V2 + x2 ' vi '
Величина приращения скорости
дv = 2v sin ^ = 2vi —^
достигает максимального значения
(Av)max = vi при v = гл; ^тах = тг/3.
На границе сферы действия величина гелиоцентрической скорости
выхода аппарата может существенно превысить значение vm. Двигаясь
по новой траектории, аппарат может достичь следующей планеты.
Например, при полете американской станции «Пионер-11» к Сатурну
был использован гравитационный удар в поле тяготения Юпитера.
«Вояджер-2» разгоняли по очереди Юпитер, Сатурн и Уран. Полет

162 Динамика системы частиц [ Гл. 3
к Урану по гомановской траектории продолжался бы 16 лет, а к Непту-
Нептуну — 30 лет. Подходящая для разгона аппарата конфигурация внешних
планет ожидается в 2155 г.
3.3.25. Получить уравнение состояния неидеального газа на основе
теоремы вириала Клаузиуса [52, 61].
Решение. Согласно теореме вириала сил для частиц, находящихся
в ограниченном объеме,
n
2 "va"a ~ 2
\mav\ =-\ MFa + Fr1) • A)
a=l
В состоянии теплового равновесия левая часть
а=1
B)
Правая часть A) включает силы взаимодействия между частицами F
и силы Fext, действующие на частицы со стороны стенок сосуда. Вклад
последних можно представить в виде
tra\ = -pi rds = -р \dV divr = -SpV. C)
Если межмолекулярные силы обусловлены потенциальной энергией
взаимодействия, то из A)—C) следует уравнение состояния
raVaf/).
Пренебрегая взаимодействием молекул, получим уравнение состояния
идеального газа.
3.3.26. Используя теорему вириала сил, найти среднюю кинетиче-
кинетическую энергию системы частиц, связанных силами тяготения.
Решение. Согласно теореме вириала сил
N
Уа=1
Вводя обозначения rba = га — гь, преобразуем правую часть:
raFa = G mamb-^- = — —~b r
а a,b a афЬ а
G
2 гаЬ

3.4] Движение тела переменной массы 163
где U — потенциальная энергия взаимодействия частиц системы. Из A)
следует (K) = -(U)/2.
Пред пол ожим, что частицы общей массы М движутся в области,
представляющей сферу радиуса а. Пусть р — плотность системы. Энер-
Энергия взаимодействия шара радиуса г < а и элементарной массы dm,
расположенной на поверхности этого шара,
dU = _G
3 ) г ■
Следовательно, собственная гравитационная энергия шара радиуса а
° 3 GM1
3 J D ft
О
В этом случае средняя кинетическая энергия частиц системы (К) =
= 3GM2/10a.
3.3.27. Обобщить теорему вириала сил для частиц, движущихся
в магнитном поле.
Решение. Умножим обе части уравнения движения
гаг = F + - [гВ]
с L J
скалярно на г и, учитывая, что
d . .2 1 d2r2 .2
ГГ = — ГГ — Г = - 5 Г ,
dt 2 dt2
найдем
т d г .2 т. , е т-> г -1
— mr = rF + - В гг 1.
2 dt2 с [ J
Если система зарядов движется в ограниченной области пространства,
то после усреднения получим
а=1
где К — кинетическая энергия системы, М = га [гг] — момент импульса
частицы.
3.4. Движение тела переменной массы
3.4.1. Получить уравнение движения тела переменной массы.
Решение. Закон изменения импульса Р системы частиц
— - Fext A)
At * l }

164 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Предположим, что в момент времени t скорость тела — v(£), масса тела
равна m(t). В момент времени t + At масса тела стала равной га + Ага,
а скорость тела — v+Av. В лабораторной системе отсчета масса (—Am)
имеет скорость с. Приращение импульса системы
АР = (га + Ага) (v + Av) + (-Arae) - rav = raAv - Ага (с - v).
Разность с' = с — v является скоростью массы (—Ага) относительно
тела. Из A) следует уравнение
гаг = гас' + Fext, B)
впервые полученное русским математиком И. В. Мещерским в 1897 г.
Для получения замкнутой системы уравнение B), содержащее четы-
четыре переменные величины г и га, должно быть дополнено еще одним
уравнением вида /(v, г, т) = 0, или условием экстремума некоторого
функционала.
Запишем теперь закон изменения кинетической энергии системы
АК = Fext Аг + 6 А,
где 6А — элементарная работа внутренних сил. Поскольку
АК = - (га + Ага) (v + AvJ - Am ^- - ^- = mvAv+
2 2 2
+ 1дто(г,2-с2),
то, переходя к пределу At —> 0, получим
i2-c2)=vFext + Q. C)
m(uc)=vF + Q.
2
Используя уравнение Мещерского, находим мощность внутренних сил:
Q = -\mc'\ D)
При неупругом присоединении массы (например, при конденсации)
величина Q < 0 — часть приращения внутренней энергии переходит
в теплоту. При «сверхупругом присоединении» массы (в случае ракеты
га < 0) Q > 0. Если Q ~ га, то величина относительной скорости
постоянна. Это условие является обоснованием гипотезы Циолковско-
Циолковского о постоянстве относительной скорости истечения газов реактивной
струи. Однако для многих ракетных двигателей постоянной величиной
является мощность Q. Следует также отметить, что при движении
ракеты с постоянной тягой гас' = — f мощность Q = fc /2.
3.4.2. Капля движется в однородном поле тяжести в среде. Вслед-
Вследствие конденсации происходит увеличение массы капли по закону га =
= aS, где S — площадь поверхности. Найти скорость капли.

3.4] Двиэюение тела переменной массы 165
Решение. Поскольку с' = — v, то уравнение Мещерского имеет вид
dmv
dt
Учитывая, что га = aS, находим
A)
\ B)
3/9 /
где р — плотность воды. Из B) следует
га = [kt + га0 ) , rriQ = га@). C)
Подставляя C) в A), получим
V ==
t
g Г
m(t) J
о
В частности, если т@) = 0, v@) = 0, то v = gt/4.
3.4.3. Капля падает по вертикали в однородном поле тяжести
в среде, причем т = а5|г|, сила сопротивления среды F = —jvSv,
где S — площадь поперечного сечения. Найти зависимость скорости от
вертикальной координаты.
Решение. Направим ось z вертикально вниз и рассмотрим систему
(v = z)
— mv = mg — jSv2, A)
m = aSv B)
с начальными условиями га@) = rao, v@) = 0. Поскольку га =
= 4тгрг3/3, то из B) находим
r=^pz + r0, C)
где го = г@). Переходя в A) к аргументу г, получим уравнение
dr
Интегрируя, находим
а [1 +6 A +7/а)] I го V г ) I* У}
а)] I го V г

166 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Из D), C) следует искомая зависимость v(z). Вычисления существенно
упрощаются, если го = 0. В этом случае z — y/2gz [1 + 6A + j/a)]^2.
Интегрируя, находим z(t) = gt2 [1 + 6 A + ^/а)\~^ /2.
3.4.4. Несколько звеньев однородной цепи свешивается с края сто-
стола. Остальная часть цепи сложена в кучу на краю стола. В начальный
момент времени скорость цепи равна нулю. Найти ускорение цепи.
Решение. Направим ось z вертикально вниз, начало координат —
на уровне поверхности стола. Пусть z — координата нижнего конца
цепи — точки A, z — проекция скорости точки А. Масса движущейся
части цепи т = pz. Из уравнения Мещерского получим
dzz , ч
A)
Рассмотрим частный случай, соответствующий начальным услови-
условиям z@) = 0, i@) = 0: первоначальная длина свисающей части цепи
ничтожно мала.
Для получения решения уравнения A) умножим обе части на zz.
Тогда уравнение можно представить в виде производной функции
F(z, z):
. dzz 2 • dF 1 , .ч2 1 з
Следовательно, F = С:
\{zzf-\gz^ = C. B)
Согласно начальным условиям С = 0. Из B) находим z2 = 2gz/S.
Дифференцируя по времени, получим ускорение движущейся части
цепи
zz=8-z, -> , = §.
Интересный результат: ускорение в три раза меньше ускорения
свободного падения. Отметим, что решения этой и следующей зада-
задачи были опубликованы в первом издании книги профессоров Кем-
Кембриджского университета П. Тэта и У. Стила в 1856 г. Первым гла-
главой Кембриджской лаборатории, открытой в 1874 г., был великий
Джеймс Клерк Максвелл, затем Дж. Дж. Томсон, Рэлей, Резерфорд,.. .
3.4.5. Однородная цепь АВ массы М висит вертикально, касаясь
концом В поверхности пола. Цепь отпускают. Найдите зависимость
величины силы давления цепи на пол. Покажите, что в момент падения
конца А на пол величина силы давления равна SMg [137].
Решение. Масса цепи длины / равна М = р/, где р — линейная плот-
плотность цепи. Направим ось z вертикально вверх, начало координат —
на уровне поверхности пола. В момент времени t координата точки А
равна z, проекцию скорости точки А на ось z обозначим z.
Масса движущейся части цепи m(t) = pz (рис. 3.4.5). На нее
действуют сила тяжести и сила реакции N со стороны части цепи

3.4]
Движение тела переменной массы
167
массы М — m(i), лежащей на полу.
На эту часть цепи действуют три
силы — сила тяжести, сила дав-
давления —N со стороны движущей-
движущейся нити и сила реакции пола R.
Из уравнения Мещерского полу-
получим систему
d(pzz) _
dt
= -(M - m) g - Nz
A)
B)
Отметим, что присоединение элемента pAz к неподвижной части
цепи имеет характер удара — его скорость мгновенно изменяется от
значения — z до нуля. Приращение импульса pzAz сообщает сила
реакции N: pzAz = NzAt. Переходя к пределу At —> О, получим Nz =
= pz2. Следовательно, из A), B) получим
Rz=p(l-z)g + pz2.
Поскольку начальные условия z@) = /, v@) = О, то
C)
D)
z(t) = -gt, z(t) = l--gt2. E)
Из D), E) получим величину силы давления цепи на пол — вес цепи:
Конец цепи А достигает пола в момент времени Т = 21/g. В этот
момент времени вес цепи R(T) = SMg.
3.4.6. Ведро массы М тянут из колодца на веревке с постоянной
силой F. Вода массы га вытекает из ведра с постоянной скоростью.
В течение интервала времени Т вся вода вытекает. Найдите скорость
ведра в момент времени Т.
Решение. Положим в уравнении Мещерского d — 0. Тогда
га dv/dt = —mg + F. Из решения уравнения имеем
3.4.7. Голова кобры поднимается вертикально вверх с постоянной
скоростью v. Покажите, что вес кобры возрастает на величину Mv2//,
где М —масса кобры, / — длина кобры.
3.4.8. Ракета движется вертикально вверх в однородном поле тя-
тяжести. Найти скорость и положение ракеты после сгорания топлива.
Скорость истечения газов постоянна.

168 Динамика системы частиц [ Гл. 3
Решение. Направляя ось z вертикально вверх, получим уравнение
mz = —mcr — mg. A)
Для отрыва от стартового стола должно выполняться неравенство
|га| > m@)g/c\ с' « 3 км/с. Например, при стартовой массе системы
«Сатурн-5»-«Аполлон» га@) = 2950 т скорость сгорания топлива
\т\ ~ 104 кг/с.
а) Предположим, что скорость истечения газов cf и расход топлива
постоянны: га = к. Начальные условия z@) = 0, i@) = 0, га@) = гао-
Интегрируя систему, находим
z = с' \п —- — gt, га = гао - kt. B)
ТП
Пусть М — масса топлива, тогда в момент времени t\ = М/к
^. C)
mo - М кс 1 v ;
Полож:им mo/m(ti) = 5, с' = 2,5 км/с. В этом случае первое сла-
слагаемое в C) равно 4,02 км/с; величина второго слагаемого зависит
от скорости сгорания топлива. Из B) находим z(t) = c't — gt2 /2 —
— cfkm(t) \nmo/m(t). Полная высота подъема ракеты
z\
тт сМ g (М\2 с, Л/Гч . m0 , z\
к 2 \ к J ку и } то - М 2g
б) Предположим теперь, что га = — am; масса топлива М. Под-
Подставим га в A), получим уравнение z = ас' — g. Скорость V\ ъ конце
активного участка
n = {ac'-g)tu t1 = l, s = ln^^, D)
где s — число Циолковского. Полная высота подъема ракеты
Я - (ас1 -*)*! + !£- ^'(')
п -{ас g) 2+ 2g-
2g- 2ag
Для вычисления ортимального значения а запишем уравнение
дН/да = 0, из которого находим а = оо. Это означает, что при
мгновенном сжигании всего топлива ракета поднимется на высоту
Ятах = {scfJ/2g. Из формулы D) vi = с' A - g/acf) s следует,
что чем больше реактивное ускорение ар = ас', тем меньше
гравитационные потери скорости. В реальных условиях выбор
оптимальной величины ар связан с учетом влияния перегрузок на
состояние космонавтов и усложнения конструктивных элементов
ракеты [60].

3.4]
Движение тела переменной массы
169
3.4.9. Определить закон изменения массы ракеты при вертикаль-
вертикальном подъеме в однородном поле тяжести: а) с постоянной скоростью;
б) с постоянным ускорением. Скорость истечения газов постоянна.
Решение, а) Полагая в уравнении Мещерского z = const, по-
получим уравнение 0 = —тс' — mg, из которого находим m(t) =
()(//)
()(g/)
б) Если ускорение z = а, то из уравнения Мещерского находим
m(t) = m@) exp\-(a + g) -1.
L с 1
Когда ракета достигнет скорости vi, ее масса станет равной
m(h) = т@) ехр\-(а + g) Л1,
L ас J
= — .
а
3.4.10. Определить закон изменения массы ракеты при вертикаль-
вертикальном подъеме в однородном поле тяжести. Мощность N в струе посто-
постоянна.
Решение. Из системы
mz = —me — mg, N = —
получим уравнение т = —т2 (z + gJ/2N, следовательно,
t -, -i
где mo = m@), z(t) — функция, которая находится минимизацией
интеграла
\(z + gJ
dt.
3.4.11. Космический аппарат движется по окружности, располо-
расположенной в плоскости, параллельной плоскости экватора на расстоя-
расстоянии Н от нее («широтный» спутник).
Найти условие оптимального сгорания
топлива при постоянной скорости исте-
истечения газов.
Решение. Рассмотрим ради упроще-
упрощения формул К А, движущийся в плос-
плоскости, касающейся полюса Земли (по
окружности, равной радиусу Земли а
(рис. 3.4.11). Из уравнения Мещерского
находим
тио2а = —fz — тс' sin/?,
О = ^^ + mcf cos/?,
Рис. 3.4.11

170 Динамика системы частиц [Гл. 3
где тг/4 + /3 — угол между скоростью с' и вектором g, следовательно,
cos C
Оптимальное значение /3 = 0,
Скорость КА —

Глава 4
ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
4.1. Собственные колебания одномерных систем
4.1.1. Найти решение уравнения х + jx + uJqX = 0 [9].
Ответ. 1. о;0 > Ы/2, ж = е~7*/2Л cos (Ш + а),
2. а;0 = Ы/2, х = (d + C2t) <
3. а;0 < Ы/2, ^ = е~^/2Л ch (И + а),
*= G/2J-а;2.
4.1.2. К частице, движ:ущейся по гладкой горизонтальной прямой,
прикреплена пружина. Другой конец пружины закреплен на расстоя-
расстоянии h от прямой. Найти частоту линейных колебаний частицы в окрест-
окрестности положения устойчивого равновесия.
Решение. Выберем в качестве обобщенной координаты угол <р меж-
между вертикалью и пружиной. Лагранжиан частицы L = К — U,
2 ' cos4(z? '
~ 2
где >с — жесткость пружины, /о — длина в ненапряженном состоянии.
Положение равновесия определяется из условия равенства нулю обоб-
обобщенной силы:
dU _ ( h , \ h simp _ _
д<р \costp ) cos (p
Следовательно, частица имеет три положения равновесия
(fi = U, h > /о? cos(^2,3 — ~г ' h < iQ.
Вычисляя вторую производную
— о^ = >с I о ) ~1~ ^h I ^о) I I ч ) •>
дш V cos ш / \cos(z? / \cos(z? cos ш /
COS ^7 / \ COS (f / \ COS (f COS y?
находим
(—^) =nh(h-l0), (t-2") =^(^o-^2Ol- B)

172 Линейные колебания [ Гл. 4
Частота линейных колебаний определяется выражением
Из A)-C) находим частоты колебаний в трех положениях устойчивого
равновесия:
4.1.3. Частица движется по плоской кривой. Найти частоту линей-
линейных колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия.
Решение. Пусть кривая, расположенная в вертикальной плоско-
плоскости у = О, задана уравнениями х = ж(д), z = z(q), где q — параметр.
Лагранжиан системы L = К — U,
U = -mgr(g).
Из условия
8U dr
получим положения равновесия q = qeq. Поскольку ds = \[h dq, то A)
имеет прозрачный геометрический смысл: ger = 0, er = dr/ds [175,
с. 34]. Учтем далее, что deT/ds = A/Я) е„, где R — радиус кривизны,
д U hi i-i/'idh /оч
oq Я I dq
Из A), B) следует, что в точках локального минимума вектор нормали
к кривой должен быть равен еи = — g/g". Разлагая U(q) в ряд Тейлора
в этой точке, получим
U(q) = U(qeq) +~mg—-(q- qeqy + . . .
Решение уравнений Лагранжа в окрестности положения равновесия
Я = Qeq + Л cos (cut + а), и) = — .
Но
4.1.4. Частица движется по логарифмической спирали, располо-
расположенной в вертикальной плоскости. Найти частоту линейных колебаний.
4.1.5. Частица движется по винтовой линии. Найти частоту линей-
линейных колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия.

4.1] Собственные колебания одномерных систем 173
Решение. Параметрическое представление винтовой линии х =
— a cos q,y = a sin q, z = bq. Выбирая q в качестве обобщенной коорди-
координаты, найдем v2 = (a2 + 62)g2. Расположим, далее, ось х горизонтально,
а ось z — под углом а к вертикали (\а\ < тг/2). Тогда потенциальная
энергия
U = —mgr = —mga sin a sin q + mgbq cos a.
Положение устойчивого равновесия определяется условиями cos q =
— (hja) ctga, sing > 0, поскольку d2U/dq2 = mga sin a sing. Пред-
Предполагая, что b | ctga| < a, получим частоту линейных колебаний
V a2 sin2 a — b2 cos2 a
4.1.6. Частица движется по линии пересечения плоскости и прямого
вертикально расположенного кругового цилиндра. Найти частоту ли-
линейных колебаний частицы вблизи положения устойчивого равновесия.
Решение. Пусть ось z совпадает с осью цилиндра радиуса а, п =
= (sin а, 0, cos а) — единичный вектор, перпендикулярный к плос-
плоскости. Линией пересечения цилиндра с плоскостью является эллипс.
Параметрическое уравнение эллипса в системе координат, повернутой
относительно исходной на угол а вокруг оси у в отрицательном направ-
направлении
х = х' cos a + z1 sin а, у = у'r, z = —x' sin a + z' cos a,
имеет вид
х' = cos£, у' = a sin£, z1 — 0.
cos а
Лагранжиан частицы L = К — U,
,~ та ( sin £ 2/Л /2 г г ±. s-
К = —— ( —^- + cos £ 1 £ , и = -mga tg a cos £.
L \ cos ol /
В окрестности положения устойчивого равновесия £ = 0, о;2 =
= (g/a) tga.
4.1.7. Частица движется по окружности, вращающейся с постоян-
постоянной угловой скоростью ft вокруг вертикальной оси, лежащей в плоско-
плоскости окружности и проходящей через ее центр. Найти частоту линейных
колебаний частицы в окрестности положения устойчивого равновесия.
Решение. Направим ось z неинерциальной системы отсчета, связан-
связанной с окружностью, по оси вращения. Выбирая в качестве обобщенной
координаты полярный угол 0, получим L = К — U,
- \та2п2 sin20,
где а — радиус окружности, ft — угловая скорость вращения окружно-
окружности. Положение равновесия определяется из условия U'F) = 0: в\ = 0,

174 Линейные колебания [ Гл. 4
#2 = тг, cos #з,4 — —g/aft2. Далее, найдем
t/"@i) = -mga - та2п2 < О,
U"{02) = mga - ma2ti\ П2 < g/a,
t/"@3|4) = та2П2 - ш(|J, П2 > g/a.
Следовательно, частота линейных колебаний определяется соотноше-
соотношениями
, ,2 _ g О2 2 _ о2
4.1.8. Упругая нить длиной 1а в ненапряженном состоянии пе-
перекинута через два горизонтальных параллельных стержня, располо-
расположенных на одном уровне на расстоянии а друг от друга. Концы нити
прикреплены к шарику. Определить частоту вертикальных колебаний
шарика, если в положении равновесия нить образует равносторонний
треугольник.
Решение. Выберем в качестве обобщенной координаты угол 20 меж-
между нитями, прикрепленными к шарику. Кинетическая и потенциальная
энергии К = та2в2 sin~40 /8,
Положение равновесия определяется условием
8U _ mga 2f 1 -Л cosfl _
дв 2 sin2в Vsin0 ) Sin20
при в = тг/6, следовательно, к = mgja\fb. Далее, найдем {/"(тг/б) =
= A4/V3) mga; и? = G/2^3) (g/a).
4.1.9. Два пункта на поверхности Земли соединены гладким тон-
тоннелем, прорытым по хорде. Записать лагранжиан тела, движущегося
в тоннеле, и найти решение уравнений движения.
Решение. Предположим, что расстояние от центра Земли до тоннеля
равно с (рис. 4.1.9). Пусть х — координата тела. Согласно задаче 1.5.1
потенциальная энергия тела
где а — радиус Земли. Лагранжиан L = тх2 /2 — mgx2/2а. Таким
образом, период колебаний тела Т = 2тг a/g = 84 мин совпадает
с периодом обращения спутника, движущегося с первой космической

4.1]
Собственные колебания одномерных систем
175
скоростью V\. Пусть ж@) = a cos а, х@) =
— О — тело падает в тоннель, прорытый на
широте а. Тогда x(t) = a cos a -coscut, со =
= g/a • Таким образом, время движения
по тоннелю из точки А в точку В равно
42 м. Амплитуда скорости
vm =
cos a = v\
2-- -
a \a
где h — максимальная глубина тоннеля.
Длина тоннеля / = 2 ^/2ah — h2 . При h <С
<С a vm ~ V\ 2h/а , / ~ 2 \[2ah . Полагая
/г = 10 км, получим vm = 0,44 км/с, / = Рис 4 i g
= 700 км.
4.1.10. Частица движется по циклоиде, расположенной в верти-
вертикальной плоскости. Направим ось у вертикально вверх, ось х — по
горизонтали. В этой системе координат параметрическое уравнение
циклоиды:
х = а((р — cos (р), у = —а A - cosy?), 0
2тг.
Найти частоту колебаний.
Решение. В качестве обобщенной координаты выберем длину дуги
s = 4а A — cos <p/2) (см. задачу 1.1.9). Потенциальная энергия частицы
U(s) = mgy = mg
Из уравнения dU/ds = 0 найдем значение координаты в положении
равновесия seq = 4а. Поскольку потенциальная энергия является
положительно-определенной квадратичной формой координат, то ко-
колебания изохронны, т.е. частота колебаний, как и в задаче 4.1.9, не
зависит от амплитуды. Лагранжиан частицы:
уравнения Лагранжа:
Общее решение уравнения
1 к
s{£) = A cos ujt + В sin cut + 4а, lu = - — .
A CL
Пусть s@) = 0, s@) = 0. Тогда s(t) = —4а cos cut + 4а. Амплитуда
колебаний в два раза больше глубины потенциальной ямы!

176 Линейные колебания [ Гл. 4
4.1.11. Две частицы масс mi и т2, соединенные пружиной прене-
пренебрежимо малой массы, могут двигаться по прямой линии. Жесткость
пружины — к, длина в ненапряженном состоянии — /q. В начальном
состоянии скорости частиц равны нулю. К первой частице приклады-
прикладывается ударная постоянная сила F, направленная от первой ко второй
частице, в течение интервала времени т, удовлетворяющему условию
сит <С 1, со2 = кт/(т\т2), т = mi + т2. Импульс силы / = Ft —
конечная величина. Найдите амплитуду колебаний расстояния между
частицами после действия силы.
Решение. Введем ось х параллельно прямой, х2, х\ — координаты
частиц (х2 > xi). Согласно второму закону Ньютона
m\Xi = к (х2 — Х\ — /о) + F, A)
т2х2 = —к (х2 — х\ — /о). B)
Пусть начальные значения координат х\@) = 0, х2@) = /q. В ре-
результате действия ударного импульса частицы не смещаются. Из A),
B) следует, что частицы приобретают скорости v\ = I /mi, v2 = 0.
Поэтому приращение полной энергии системы Е — 0 = I2 /2т±, где
1-т 1 «2 1 «2 "^ / i\2
Е = - т1х1 + - т2х2 + - [х2 - хх - /0) .
L А А
Из закона изменения импульса системы частиц АР/At = F находим
проекцию полного импульса на ось х: Р = I.
После действия силы сохраняются полный импульс Р и полная
энергия системы частиц Е = Ес + Ео. Здесь Ес = Р2/2т — кине-
кинетическая энергия центра масс, Ео = fix2 /2 + кх2 /2 = к А2 /2 — полная
энергия относительного движения частиц, А — амплитуда колебаний
расстояния х = х2 — х\ между частицами. Теперь из уравнения
/2 /2 кА2
2m
находим амплитуду колебаний
А = I
4.1.12. Частица массы т движется в потенциальном поле Эккарта
U(x) = athkx \— , 26 > а.
ch кх
Найти частоту колебаний в окрестности дна потенциальной ямы.
гл 2 / Г, ( а \] 2Ь
Ответ: or = я 1 — [ —- — .
L V26/ J m

4.2] Собственные колебания многомерных систем 177
4.2. Собственные колебания многомерных систем
4.2.1. Потенциальная энергия двумерного осциллятора
Найти собственные частоты и собственные векторы. Записать лагран-
лагранжиан в нормальных координатах.
Решение. Подставляя в уравнение движения
Хт + UmnXn = 0 A)
х.т в виде ите~гХ\ получим систему
-Х2ит + Umnun = 0. B)
Из условия det | — X2Smn + f/mn| = 0 находим собственные значения
А?, 2 = \ (Ull + U'22 ± (f/ll - f/22J + 4^ ) .
Собственные векторы
МтA)-7Ж f/i2 ' НтB) = 7Ж Ai-t/n
Поскольку
Spt/ -
то движение системы финитно при условии Sp U > 0, det U > 0. Отме-
Отметим, что в случае симметричной положительно определенной матрицы
всегда справедливо неравенство
(Spt/J >4detf/. D)
Неравенство D) выполняется в любом базисе, так как det £/, Sp t/
являются инвариантами. Собственные векторы представляют столбцы
матрицы AmAt = г/ш(м) преобразования к системе координат, в ко-
которой базисные векторы совпадают с собственными векторами. Об-
Общее решение A) является суперпозицией частных решений: хт =
— Am^cijj, co^X^t + ам). Из B) следует, что при Ai ф Х<± собственные
векторы мож:но подчинить условиям

178 Линейные колебания [ Гл. 4
Поскольку Sp U = А2 + А2,, то из E) следует
N1 = N2 = UnXl - 2А2А2 + U22\\.
Удобно параметризовать векторы C), вводя угол 7 соотношением
tg7 = 2£/i2/(£/ii — U22)- Учитывая, что
U12 g 2 ' U12 ~ S 2 '
получим [1]
_ cos 7/2 _ -sin 7/2
ит{1)~ sin7/2 ' М2)- cos 7/2 •
Если f/ц = f/22? то 7 = тг/2. В этом случае
Собственные значения Л^ 2 — C/n±|C/i21- Полагая Uyi — 0, получим вы-
вырожденную систему. Перейдем теперь к нормальным координатам д^,
совершая замену х —> q : хш = Дшм^м, Учитывая соотношение E),
получим L = т (ql - \lql)/2.
4.2.2. Точки подвеса двух одинаковых математических маятников,
соединенных пружиной, находятся на одном уровне. Найти решение
уравнений движения в окрестности положения устойчивого равнове-
равновесия. Исследовать эффект биений.
Решение. Пусть длина пружины в ненапряженном состоянии Iq
равна расстоянию между точками подвеса маятников, / — длина маят-
маятника. Обобщенные координаты <^i, (p2 — углы отклонения маятников
от вертикали. Потенциальная энергия
Ф2) = —rngl cos<£i - mgl cos<£2 +
k Г I
+ - (/0 + / sin ip2 - I sin <£iJ + (/ cos <f2 - I cos <^iJ - /0
в окрестности положения равновесия (pi eq = (p2 eq = 0 имеет вид
Лагранжиан системы
L = - ml2 \ф2 + ф\ — ft2

4.2] Собственные колебания многомерных систем 179
где cuq = g/l, ft2 = k/m. Система уравнений Лагранжа имеет общее
решение
рт = Ащ^а^ cos (wpt + аД A)
где Ат/Л = tim(M),
_ 1 1 _ 1 -1
^m(l) — ^ I j umB) — ^ 1 5
= а;2,
Эффект биений проявляется в случае uj\ « о;2, т.е. при П <
Полагая сг = (uu2 — ^i)/2 ^ П2/2о;о и представляя решение в виде
^ =7fRe I «ieiai+ "} a2eia2+2i
= Re
получим
Cl,2 = 2 al + 2a
a\ cosai =F «2 cos (at + a2) = \/2Ci,2 cos 71,2, B)
ai sin ai =F a2 sin (at + a2) = л/2 Ci5 2 sin 7^ 2 •
Представление решения в виде <рп = Cn(t) cos [uo^t + 7n(^)] имеет
смысл при адиабатически медленном изменении амплитуды и фа-
фазы: \с\ <^С o;qc, I7I <^С ^oItI- Пределы изменения амплитуды \а\ —
— fl21 ^ Ci,2 ^ ai + ft2- Среднее значение полной энергии каждого
маятника за период Т = 2тт/сио
Еп * (?f (ф1 + „№)) = \ ml^lCl. C)
Энергия маятников изменяется с периодом тг/сг (эффект биений). Этот
эффект будет наибольшим при а\ ~ «2- Пусть начальные условия
имеют вид (fi@) = 0, (f2@) = <^o? ^i(O) — ^2@) = 0, тогда ai =
= «2 = 0, а\ = п2 = (fo/V2. В этом случае
С\ = <fo\ sin at\, C2 = (fo I cos at\,
где сг/2 — частота модуляции. Из B), C) следует
\ Ео = ^

180 Линейные колебания [ Гл. 4
Таким образом, маятники периодически обмениваются энергией [62].
4.2.3. Лагранжиан двумерной системы
Щ, q) = \gapqaq0 -\uapqaqP,
где ga/з, Ua/3 — симметричные матрицы с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Найти решение уравнений движения.
Решение. Найдем вначале собственные значения и собственные век-
векторы уравнения
(-X2g + U) v = 0 ->• (-X2gа? + Ua0) v0 = 0. A)
Преобразуем A) в уравнение (-А2 + g~1U) v = 0:
(-Х6* + G%) v? = 0, B)
где G% = g^UaC, g^ = (g-1)^,
U g12 = g21 = ~gi2/g, g22
Из уравнения det (—A + 6?) = 0, G = g~xl)\ найдем собственные
значения
Из B)
найдем
cos
sin
собственные
(/3/2)
@/2) '
SpG±
векторы
ex
B)
(SPGJ-
- sin (/3/2)
cos (/3/2)
4detG
]•
re R
gP
2G\
G\ - G2
нормированные условием У?^уа(п) = Smn. Общее решение уравнений
движ:ения:
qa = v?m) [am cos Xmt + bm cos Amt].
Движение системы финитно при условии Sp G > 0, det G > 0.
4.2.4. Частица движется по поверхности жп = fniQ1, Q2)- Найти
решение уравнений движения в окрестности положения устойчивого
равновесия.
Решение. Обобщенные координаты подчиняются уравнению F),
полученному в задаче 2.2.5,
т[Г + Г^дк]=-ё^^. A)
Потенциальная энергия частицы
\2 \q2), B)

4.2] Собственные колебания многомерных систем 181
где г = f(g) — уравнение поверхности в параметрической форме.
Положение равновесия определяется условием g(df/dqa) = gea = 0.
Определим вектор нормали к поверхности
-1/2 г df df i г df df i2
В точке локального экстремума q = qo вектор нормали п должен
находиться на вертикальной прямой. Пусть g = ng. Разлагая B) в ряд
Тейлора, получим
где £ = q — qo. Это выражение можно представить в терминах тензора
внешней кривизны
Учитывая C), находим
\^ia. D)
Ограничиваясь случаем линейных колебаний, получим из A), D) урав-
уравнение
e = 0, KSl=g^Kua. E)
Ищем решение в виде £м =
B )<* = o. F)
Поскольку главные радиусы кривизны поверхности Дх, R,2 определя-
определяются соотношениями [6, 63]
+
то корни характеристического уравнения \\ 2 = g/Ri,2- Собственные
векторы системы F)
Общее решение уравнений движения E)
Я1* = Яо + Ама(«а cosAat + 6a sin\at),
где А^а = и^а\ аа, Ьа — постоянные.

182 Линейные колебания [ Гл. 4
4.2.5. Маятник Фуко. Найти решение уравнений движения ма-
маятника Фуко в окрестности положения равновесия.
Решение. Для того чтобы получить лагранжиан маятника, необхо-
необходимо в лагранжиане свободной частицы
L = 2m (v + [^г]J + 2
Uo6 = -mv [Пг] - - т [fir]2 - mgr,
перейти к обобщенным координатам, обращающим уравнения голоном-
ных связей в тождество.
Расположим начало координат в точке О на широте ф в северном
полушарии Земли. Ось z направим вертикально вверх, ось ж — по
меридиану к полюсу. Точка подвеса находится на расстоянии длины
маятника / от поверхности Земли. Уравнение связи / = О,
f = x2 + y2 + (z-lJ-l2, A)
угловая скорость вращения Земли ft = (ft cos ф, 0, ft sin0).
Выберем в качестве обобщенных координат декартовы коорди-
координаты ж, у и разрешим A), ограничиваясь учетом величин (ж//J,
(y/lJ: z = (ж2 + у2)/21. С той лее точностью находим [fir] r =
= [гг] Г2 ~ ft sin ф (ху — ух). Пренебрегая вкладом центробежной
энергии, получим
Uo6 = -П sinO(xy - ух) + ^ (ж2 + г/2).
Лагранжиан, описывающий движение маятника
Уравнения Лагранжа
х-2П $тфу + иIх = 0, B)
у + 2ft sin(/>i; + u;22/ = 0, C)
о;2, = g/l. Начальные условия г@) = г(жо, 0, 0), v@) = @, г?о, 0).
Вводя комплексную координату £ = ж + iy, получим уравнение,
эквивалентное B), C):
0. D)
Начальные условия £@) = ж0, £ = iv0. Общее решение D)
A Aat, E)
1? 2 = Г^ sin ф dz (П sin 0J -h с^о ^ ^ sin 0 dz

4.2] Собственные колебания многомерных систем 183
Из начальных условий находим г^, i = (хо ± г?о/<^о)/2. Переходя в E)
к действительным переменным х = Re£, у = Im£, получим
ж = - ( жо j cos (ujo + £2 sin </>)£ +
+ ( Хо -\—- ) cos (uoo — fi sin 0) t ,
V CJo/ J
1 Г / V0\ . / , о . ,ч , ^
у = — \ — I Xo I sin (ujo + S2 sin 0J t +
L
+ ( ж0 + — ) sin (o;0 — fi sin 0) t .
Рассмотрим несколько частных случаев.
А. Пусть г?о = жо/с^о- В этом случае
х = хо cos (о;о — ft sin 0) t, у = х$ sin (cjq — ft sin 0) t.
B. Пусть г?о = —xo/ujo. В этом случае
ж = хо cos (о;о + О sin ф)г, у = —хо sin (o;o + ft sin 0) t.
В каждом случае маятники движутся по окружности с разными угло-
угловыми скоростями.
C. Положим г?о = 0. Тогда маятник колеблется:
x(t) = хо cos (ft sin ф t) cos uiot,
F)
y(t) = —xo sin (ft sin (/> t) cosc^^
Плоскость качания вращается вокруг вертикали с угловой скоро-
скоростью ft sin ф.
Вращение Земли можно рассматривать как результат циклического
медленного изменения параметра, внешнего по отношению к маятнику.
Сохраняет ли маятник «память» о вращении Земли? Полагая в F) t =
= Т, Т = 24 ч, находим у(Т)/х(Т) = — tg Bтг sin0). Следовательно,
через 24 ч маятник не возвращается в исходное положение — плоскость
качаний будет смещена на угол 2тг sin ф, называемый углом Ханнея.
В 1851 г. французский физик Ж. Фуко установил в Пантеоне Па-
Парижа маятник массой 28 кг на тросе длиной 67 м. Такой же маятник
массой 54 кг на тросе длиной 98 м был недавно демонтирован в Исаа-
киевском соборе Санкт-Петербурга.
4.2.6. Получить первые интегралы уравнений Лагранжа для маят-
маятника Фуко в сферических координатах.
Решение. Расположим начало координат в точке О на широте ф.
Ось z направим вертикально вверх, ось х — по меридиану к полюсу.

184 Линейные колебания [ Гл. 4
Введем обобщенные координаты: в — угол отклонения между нитью
маятника и вертикальной осью и азимутальный угол ср между плоско-
плоскостью качаний и плоскостью у = 0. Тогда квадрат скорости v2 = I2 (в2 +
+ sin20 ф2}, ху — ух = I2 sin20 ф. Ограничиваясь анализом линейных
колебаний в <С 1, получим лагранжиан
L = -ml2 (в2 + 02ф2) + ml202ft Бтфф-1 mglO2.
Z Z
Поскольку ср — циклическая координата, то сохраняется проекция
обобщенного момента импульса на ось z:
М = т12в2ф + гп1202П sin ф. A)
Другой первый интеграл представляет собой полную энергию
„ хдь.дь _
Е = 6 —г + (f -тгг ~ L.
Подставляя L, находим
E = \ml2 (в2 + в2ф2) + \ mglO2. B)
Из A), B) получим уравнение
Е=\т12в2 + и^{0), C)
4 (М - т1Ц2п sin ^J + \
Система уравнений A), C) интегрируется в элементарных функциях
(см. задачу 1.3.6).
4.2.7. Найти решение уравнений движения плоского двойного ма-
маятника в окрестности положения устойчивого равновесия.
Решение. Рассмотрим упрощенную систему: в неподвижной точке
закреплена нить длиной /, к которой прикреплена частица массы т.
К этой частице подвешен идентичный математический маятник. Пусть
^Ъ ^2 — углы отклонения первой и второй нитей от вертикали. Лагран-
Лагранжиан системы
L = у 12ф\ + у I2 [ф\ + 2фхф2 cos (<р2 - <pi) + Ф\] - и((ри <Р2),
U = —mgl Bcos^?i + cos^2)«
В положении устойчивого равновесия срг = ср2 = 0
^^l2 [2ф\
\
f .

4.2] Собственные колебания многомерных систем 185
Собственные частоты uj\ 2 = л/2 (л/2 =F 1) ш$ и собственные векторы
1 1
Общее решение
(pi = a cos (uJit + а) + 6 cos (o^t + /3),
^?2 — ~л/2а cos (o;it + а) + л/2 6 cos (o^t + /3).
4.2.8. Определить частоты продольных и поперечных колебаний
линейной трехатомной молекулы.
Решение. Пусть массы атомов образуют последовательность: rai,
?7i2, газ- Введем обозначения М = т\ + га2 + газ, гаа& = гаа + га&,
R — радиус-вектор центра масс, г2 — вектор, соединяющий центр масс
с атомом ?722, гаь = га — г^. Произведем замену переменных
га = К + Г2 + г2а, г2 = -— (га1Г21 + га3г2з),
которая соответствует переносу начала системы отсчета на атом rri2
(см. задачу 3.3.2). Кинетическая энергия молекулы равна
R +Г + ГГ
Положим га = гао + иа, где гао — радиус-вектор полож:ения равновесия
атома гаа, иа — вектор смещения. Пусть гао — Г20 = ^2а, где в2а —
единичный вектор. Для линейной молекулы в2з = —^21 = A, 0, 0).
Рассмотрим далее движение атомов в плоскости и введем полярные
координаты р2? ^25 Pi? ^i векторов U23 и Ui2- Потенциальная энергия
взаимодействия атомов
При вычислении первого члена, описывающего зависимость U от рас-
расстояния между атомами, учтено, что
(|га0 - Г20 + U2a| - 0 = (e2aU2aJ + • • •
Второе слагаемое определяет потенциальную энергию изгиба молеку-
молекулы. Кинетическая энергия слабовозбужденной молекулы
К = - MR2 + - gap (рар{з + 12фаф{з),
_ 771177123 ГП1ГП3 ГП3ГП12

186 Линейные колебания [ Гл. 4
Лагранжиан молекулы L = К — U. Перейдем к нормальным коорди-
координатам, совершая замену переменных
рг = q\ cos ^ - q2 sin ^ , р2 = q\ sin ^ + q2 cos ^ ,
В новых переменных лагранжиан приобретает вид
£_1л,ГЕ>2 | _1 „ л2 , М /2д2 , gllg22~ gri j2/%2
J.TJ.J.*; { ел Cx^iry ' ел ' г» чу
Z Z ATI ATI
~ окя1~ о^Ф21 A)
o-i, 2 = 2]j7 [^1^23 + rn3m12 =F (^1^23 - rn3m12J + km\m\ J
n = gn+ g22 + 2#i2 = (m2m13 + 4mim3) M.
Продольные колебания. Из A) находим частоты колебаний
2 _ _^_ _ ^ [_L + — /JV +
2 ,2 2 7711 ГП2
2 _ _^_ _ ^ [_L + — — /J —V + —
1>2 СП2 771 ГП Ш W Ш/ ^
В частности, для симметричной молекулы (mi = т% = т, т2 = то)
то
1
1\
.
ту
В случае изомерной несимметричной молекулы (т\ = т2 = га, газ =
= гп0)
' т т то
Поперечные колебания. Поскольку g\\g22 — g\2 = т\т2 х
тзМ~\ то из A) получим частоту
х
\77li 7712
Заметим, что введение коллективных координат позволяет найти не
только собственные колебания, но и исследовать поведение молекулы
в электромагнитном поле.
4.2.9. Две частицы могут скользить по двум прямым, образующим
угол тг/3. Частицы связаны между собой и с вершиной угла пружинами.

4.2] Собственные колебания многомерных систем 187
Пружины, закрепленные концами в вершине угла, имеют в ненапря-
ненапряженном состоянии длину /, а пружина, соединяющая частицы, — L.
Найти собственные частоты линейных колебаний.
„ о Sk о k Sk (I - L)
Ответ: cut = — , uoi = у^
1 т ' 2 т т
т ' 2 т т B1 + L)
4.2.10. В качестве модели взаимодействующих нейтральных ато-
атомов рассмотрим два линейных диполя, расположенных на одной пря-
прямой на большом расстоянии друг от друга. Диполь образован протоном
и электроном. Частота колебаний электрона изолированного диполя
равна ujq. Найти собственные частоты колебаний системы.
Решение. Пусть протоны расположены в точках @, 0, 0), (Я, 0, 0).
Положение электронов определяется координатами х\ и х2: (#i, 0, 0),
(Я + х2, 0, 0). Смещения \хп\ <С Я. Потенциальная энергия системы
В окрестности положения равновесия Х\ = ж 2 = О
U = -тп2Х1х2 + \ тш% {х\ + х\), п2 =
2е2
rnuol (х\ + xQ, ft = з •
^ тп J~t
Далее запишем уравнения Лагранжа
х1 + uj^xi — П2х2 = 0, х2 + ш2х2 — ft2xi = 0. A)
Из характеристического уравнения (о;^ — cj2) = ft4" найдем собствен-
собственные частоты а?251 = и2, dz ft2. Общее решение A)
a cos(o;i* + a) + —р 1 6 cos (о;2^ + /3)-
л/2 х
XJ = —= _, a cos(o;i* + a) + р
Х2 V2 х л/2
При рассмотрении этой задачи в квантовой теории молекул энергия
системы принимает дискретные значения
2)^
где ni, П2 = 0, 1, 2, ... — квантовые числа. Энергия основного состо-
состояния
Следовательно, взаимодействие нейтральных атомов приводит в кван-
квантовой теории к появлению потенциальной энергии ~ — Я~6. Сила
притяжения, действующая на каждый осциллятор, ~ Я~~7 называется
силой Ван-дер-Ваальса [64].
4.2.11. Ограниченная задача трех тел (К. Г. Якоби, 1835 г.). Век-
Вектор £ (см. задачу 3.3.8) описывает окружность (рис. 4.2.11а). Найти

188 Линейные колебания [Гл. 4
ограниченное решение уравнений движения в окрестности «треуголь-
«треугольных» точек Лагранжа [56, 65].
Решение. Совместим ось х с вектором £. Тогда
L = у (ж2 + у2 + £2) + тп (ху - ух) - U(x, у, z),
где
Первый интеграл
Полагая г = 0, получим уравнение поверхности Е = U, определяющей
границу области пространства, в которой может находиться частица.
Уравнения движения имеют вид
^=m[xf (r) + Сд13* (гГ23 - г3-23)], D)
f = m»/(r), ^ = тг[/(г) + П2], E)
/(г) = -ft2 3 ^
r12- (x-x1J + y2 +z2 , r32 = (x - x3J + y2 + z2 .
Приравнивая Vf/ нулю, найдем положение точек го относительного
равновесия — так называемые точки либрации (от лат. libra — весы).
Ограничимся рассмотрением движения в окрестности точек Лагранжа
(«треугольные» точки), для которых z = 0, у ф 0. Из D), E) находим
/(г) = 0, Г32 = Г12,

4.2]
Собственные колебания многомерных систем
189
Рис. 4.2.11
Координаты второй «треугольной» точки (жо, — Уо, 0) (рис. 4.2.11а).
В окрестности точки Го потенциальная энергия
f/(r) = f/(r0) - у [fcj (ж - х0J + 2k12 (х - хо) (У - |/о) +
2, F)
4 77ii3 4 4
Переходя к переменным х'п = хп — жпо, получим из A)-C) систему
х! — 2flyf = к\х' + к\2у'', G)
г/' + 2^ж' = feiaa;7 + к2у', (8)
Из последнего уравнения следует z = zo cosftt + io^ sinf^t. Найдем
далее ограниченные решения системы G), (8) х'п = Keune~lXt (n =
= 1, 2). Характеристическое уравнение
(9)
4 77113
Его дискриминант должен быть положительным. Таким образом, усло-
условием финитного движения в окрестности положений равновесия явля-
является неравенство 27/ii3 < тгз- Собственные значения

190
Линейные колебания
[ Гл. 4
Извлекая корень, получим
1>2 = ~2
Ш13
1-3
A0)
Для того чтобы общее решение системы G), (8) приобрело наглядный
физический смысл, удобно произвести переход к локальной системе
координат, совершая поворот ж, у -> </i, q^\
A1)
х - х0 = qi cos ((f/2) + <72 sin
У -Уо = -qi sin (p/2) + <?2 cos
где tg y? = д/З (mi — ms)/mis. Если mi ^> Шз, то у? = тг/3 (рис. 4.2.1)
В переменных #i, ^2? 2; лагранж:иан, описывающий линейные колеба-
колебания, имеет каноническую форму
L = у
+ Й +
- £/,
A2)
A3)
Решение уравнений, порождаемых лагранжианом A2),
9О \
q\ = a cos (Ait + ot) +
2
+ сг2
А2
+ а
sin
+ b cos
+ /3),
+ /3).
4.2.12. Заряд движется в неоднородном магнитном поле, реали-
реализующем «мягкую» фокусировку. Вектор-потенциал поля в цилиндри-
цилиндрических координатах вблизи плоскости z = 0 имеет вид [17]
Ар = Az = 0,
где В(р) = Во(го/р)Я) 0 < q < 1, q, го — постоянные. Найти частоту
линейных радиальных и аксиальных колебаний в окрестности равно-
равновесной орбиты.
Решение. В явном виде (^-компоненту вектора-потенциала можно
представить в виде
v)в{р)-

4.2] Собственные колебания многомерных систем 191
Используя решение задачи 2.2.17, запишем уравнения движения элек-
электрона зарядом е = — е$:
ди
эф
Эффективная потенциальная энергия электрона
]2 B)
где проекция обобщенного момента импульса Mz > 0. Подставляя А<р
из A) в B), получим
Положение равновесной орбиты определяется условиями д11эф/др = 0,
dU/d = 0:
Mz eo/l-g g(l + q)z2\ . , _
из которых находим
I 1/B-9)
= 0.
Разлагая U в ряд Тейлора в точке р = R, z = 0, получим
,, ер В{К) ,
uJq = . (о)
тс
Очевидно, o;i, UJ2 — частоты радиальных и аксиальных колебаний
в окрестности равновесной орбиты. Частоты колебаний порядка часто-
частоты вращения шо на равновесной орбите. Из C) следует, что радиальные
колебания устойчивы при условии 0 < q < 1 (мягкая фокусировка).
4.2.13. Потенциальная энергия трехмерного осциллятора
ГИтс) — ™ (ы2г -к2Л -к k k )т т
L/ ^л.^ — yjj cmn jv urnn ~r г^гп^п) djm'L"n'
Тензор ешп представляет собой диагональную матрицу с элементами
£ц = £22 = £, £зз = £з- Найти решение уравнений движения. Записать
лагранжиан в нормальных координатах.

192 Линейные колебания [ Гл. 4
Решение. Будем искать решение уравнений
хт + Птпжп = 0, Птп = uj2£mn - k25mn + kmkn A)
в виде хш = Re ume~lXt. Вектор иш удовлетворяет системе алгебраиче-
алгебраических уравнений Птпип = Х2ит. Условие det | — А2/ + П| = 0 приводит
к уравнению
iee3\ =0,
= k\ + k\. Собственные значения
A2 = u*e - A;2 . B)
Предположим, что выполняются условия, при которых движение фи-
финитно. Собственные векторы системы A)
cos cp cos а/2 — sin (p
«m(i) = sin (p cos а/2 , umB) = cos Ч> ,
-sin а/2 О
cos (p sin а/2
umC) = sin у? sin а/2
cos а/2
2>скз к2 sin 26
tg а = —2 2 2" = —2 2 •
uj (ез — е) + к3 — ж ш (ез — е) + к cos 20
Здесь 6, (р — сферические углы вектора к. Заметим, что при Ап = О
соотношения B) совпадают с дисперсионными уравнениями для плос-
плоской электромагнитной волны в анизотропном кристалле [13]. В этом
случае U(n) — векторы поляризации. При е = ез (а = 26) векто-
векторы U(n) совпадают с ортами сферической системы координат. Общее
решение A) хт = ДтмЛм cos (X^t + ol^)- Столбцами матрицы Ат1Л =
= um(M) являются собственные векторы, которые удовлетворяют усло-
условиям нормировки
Переходя к нормальным координатам х -> q: xn = m
получим лагранжиан L = (д2 - А2д2)/2.
4.2.14. Модель одномерного кристалла. Найти решение урав-
уравнений движения атомов, расположенных в узлах кристаллической ре-
решетки, в гармоническом приближении [66].
Решение. Рассмотрим кристалл с одним атомом массы т в элемен-
элементарной ячейке. Положение ячейки хп = пс/, где d — период трансляций.

4.2] Собственные колебания многомерных систем 193
Пусть ип — смещение атома от равновесного значения хп. Предполо-
Предположим, что электроны в кристалле успевают следовать за конфигураци-
конфигурацией, отвечающей минимальной энергии. В гармоническом приближении
энергия взаимодействия атомов
тт-1 п гг - 2
U - 2 nmnUmUn, 11ТОП -
ш п - J>rndunJu=o'
Коэффициенты Птп зависят только от разностей т — п, поскольку
силы взаимодействия атомов могут зависеть лишь от относительного
положения ячеек в решетке. Обозначая Птп = Ят~п, запишем потен-
потенциальную энергию в виде
U =- Rsu и
га, s
Очевидно, Rs = R~s. Ограничимся далее учетом взаимодействия
только соседних атомов: R° = 2x, R1 = Я = — к, остальные коэффи-
коэффициенты равны нулю. Поскольку dukjдип = 5km TO сила, действующая
на п-й атом,
F --*"--- R°u ~-кBи -и ,-« Л
дип
Лагранж:иан кристалла
L = - тй2п - - Rsunun+S.
п п, s
Уравнение Лагранжа
тйп + Rsun+S = 0. A)
S
Ищем решение A) в виде ип ~ Keene~lu>t. Собственные векторы
удовлетворяют уравнению
-muj2en + Rsen+s = 0- B)
Система B) имеет решения еп = etknd, e~inhd при условии
S
где uJq = к/т, к — произвольное число. Частное решение A) можно
представить в виде
ип = Re ^AeiMt-iknd + Beiujt+iknd).

194 Линейные колебания [ Гл. 4
Рассмотрим краевую задачу, налагая граничные условия щ = un+i =
— О, т. е. атомы с номерами n = 0nn = N + l закреплены. Из усло-
условия щ = 0 находим А = — В. Другое условие приобретает вид sin k(N+
+ l)d = О, следовательно, к = kv, ш = ujv,
Собственный вектор
Общее решение системы A)
v
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) N = 1. В этом случае и = 1,
U\ = &i COS
2) TV = 2. Колебания являются суперпозицией двух мод с частотами
UJ\ = LJq И CJ2 = V0CJO5
ui = —р Го-i cos (o;it + c^i) + ft2 cos (o;2t + CK2)] 5
V2
1
u2 = —?= di cos (c^it + c^i) — d2 cos
V2
4.2.15. Найти спектр частот одномерного кристалла с двумя ато-
атомами в элементарной ячейке.
Решение. Пусть mi, m2 — массы атомов в элементарной ячейке,
ип, а — смещение атома а от равновесного значения в ячейке с но-
номером п (а = 1, 2). В гармоническом приближении потенциальная
энергия
1
причем Д£^ = ДГ^. Если ограничиться учетом взаимодействия бли-
ближайших соседей, то Д?х = Д22 = 2х, Д?2 = Д21 = ~^5 Д21 = ДГ21 =
= — х, остальные коэффициенты равны нулю. Уравнения Лагранжа
т^+ Я'аи„+.,а=0. A)
Ищем частное решение A) в виде монохроматической плоской волны
,-iut+iM B)

4.2] Собственные колебания многомерных систем 195
где к — волновое число, d — период кристаллической структуры. Под-
Подставляя B) в A), получим систему
-шмо;2Лм + NpaAa = О, C)
здесь N^a = ^2 RSfiaetskd ~~ эрмитова матрица:
Nn = N22 = 2х, N12 = Щг = ~х sin ^ e-ikd'2.
Система линейных однородных уравнений C) имеет отличное от нуля
решение при условии det | — о;2гам£ма + N^] = О, из которого нахо-
находим [67]
2
sin
^ mim2 —±..^~~ 2
ттг = 77ii + rri2- При kd <C 1 эти частоты имеют вид
cji ~ — , ui2 — — sin —- .
/Л 771 2
Функция ui2(k), стремящаяся к нулю при к -> 0, называется акустиче-
акустической ветвью колебаний. Функция ио\{к) определяет оптическую ветвь.
4.2.16. Цепочка Тоды [68]. Найти волновое решение уравнений
движения N частиц с энергией взаимодействия
U = Uq (f (жп+1 — хп), ф{г) = ехр (—аг) + аг,
п
где хп — отклонение n-й частицы, U$(p{r) — энергия взаимодействия
ближайших соседей.
Решение. Уравнения движения цепочки нелинейны и в общем слу-
случае произвольной функции (р(г) неразрешимы. «У меня, — писал
Тода, — не было никакой определенной стратегии, кроме надежды,
что методом проб и ошибок я могу найти одновременно потенциал
и решение» [69]. Уравнения движения
жп = Uoa {ехр [-а(хп - хп-х)\ - ехр [-а(жп+1 - хп)]} A)
после введения нелинейных импульсов тхп = сп — cn_i можно пред-
представить в виде системы
сп = Uoa (е~аГп - 1), тгп = 2сп - сп+1 - сп_ь B)
где гп = хп — жп_1. Это преобразование «линеаризует» члены взаимо-
взаимодействия. Из B) следует уравнение

196 Линейные колебания [ Гл. 4
Для стационарной бегущей волны сп = ЕF), в = cut — рп. Функ-
Функция Е(в) должна удовлетворять уравнению
Е"
Ограничимся отысканием решения в виде уединенной волны — солито-
на. Следуя Тоде, заметим, что
th@ + р) + th@ - р) - 2 th0 = - 2 2 ,
сп с/ + sn p
следовательно, полагая
Е(в) = th(u)t-pn),
получим решение уравнений движения A):
ехр(—агп) = 1 + sh2p ch~2(cut — рп).
В оригинальной работе Тода было получено решение в терминах эллип-
эллиптических функций. Впоследствии на основе метода обратной задачи
рассеяния была построена полная теория. В частности, получены N-
солитонные решения и показано, что солитоны обладают свойствами
частиц — после встречного столкновения сохраняют первоначальную
форму [70].
4.3. Вынужденные колебания
к
4.3.1. Найти решение уравнения х + -$ х = 0 при различных
значениях к.
Решение. Будем искать частное решение в виде х = tx [9, 71].
Параметр А удовлетворяет уравнению А (А — 1) + к = 0, следовательно,
Ai, 2 = 1/2 =F 1/4 — к . Возможны три типа решений:
11&<г1/4 т — ditXl -\- dot^2-
2) к = 1/4, х = y/i (С\ + С2 In t)\
3) к > 1/4, х = y/t С cos ( к — 1/4 \nt + a).
В теории дифференциальных уравнений точка t = 0 называется
правильной особенностью.
4.3.2. Найти решение уравнения
2
х = 0.
Решение. Перейдем к новым аргументу 0 и функции г?, совершая
замену

4.3] Вынужденные колебания 197
Тогда искомое уравнение преобразуется к виду
^ + k2v = 0, к2 = 1 + (о,тJ,
аи
следовательно, решение в параметрической форме
х = sin^ (Ci coskO + С2 sin&0), t = r ctg#.
4.3.3. Две частицы, соединенные пружиной, могут двигаться по
вертикальной гладкой прямой. Одна из них колеблется
по закону s(t) = so cos cut (рис. 4.3.3). Найти условие,
при котором амплитуда вынужденных колебаний второй
частицы относительно первой меньше so-
Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень
свободы. В неинерциальной системе с началом на первой
частице лагранжиан
т т .2 к , j Ч2
L = — х — — (х — to) — mgx — msx.
Уравнение Лагранжа 0
тх
имеет решение
х = —к (х — /о) — rag + ttisquj2 cos cut
s(t)
2
x = /0 - j; + a cos (coot + ot) H 2 g° 2 cos ujt, Рис. 4.3.3
5 CJ CJ
где o;o = &/m. Искомое условие: /с > 2тш2. Рассмот-
Рассмотренная система является моделью амортизатора.
4.3.4. Две частицы соединены пружиной и находятся на гладкой го-
горизонтальной прямой. К частице массы m<i приложена сила Fo coso;t,
направленная по прямой, соединяющей частицы. Записать лагранжиан
системы, найти закон движения частиц. При каком условии амплитуда
вынужденных колебаний частицы m<i равна нулю.
Решение. Пусть xi, х<± — координаты частиц гп\ и т^ на прямой.
Лагранжиан системы
L = — хх + -у х2 - - (ж2 - Ж1 - /о) +
Перейдем к новым переменным #i, Ж2 —> ж, q:
X = — (miXi + 7712^2), 771 = 771i + 7712,
7ТЬ

198 Линейные колебания [ Гл. 4
В новых переменных
2
Уравнения Лагранжа
тх = Fq coso;t,
ад = —к (q — /о) Н Fo cos cut
m
имеют решение
Fo
х = C\t + С2
тпш
q = lo + a cos (cuot + a) -\ ^ % cos cut,
где ujq = k/ji. Вклад внешней силы в функции #i, Ж2 имеет вид
muj (ш — ш)
(т2шо - тш2
Х2 = • • • +
- тш2) Fo
(Ш — Шо)
следовательно, искомое условие: ш = kjm\.
4.3.5. Найти решение уравнения х + ш^х = f
Ответ, х = a cos (cuot + а) -\- -— t sin uj^t.
4.3.6. Найти решение уравнения
A)
ТП
Начальные условия х@) = жо, х@) = хо-
Решение. Представим решение исходного уравнения в виде
B)
где x(°\t) — решение однородного уравнения. Функция Грина удовле-
удовлетворяет уравнению
G + <yG + u>%G = S(t-tf). C)

4.3] Вынужденные колебания 199
Подставляя в C) фурье-разложение
оо
, t')= \~ *(«) e-*«-*'\ D)
получим
g(uj) = -(ш - wi) (о; -
n, fi = ^о
Полюсы подынтегрального выражения D) лежат в нижней полу-
полуплоскости комплексной переменной uj = a/ + iuff. По этой причине
D) обращается в нуль при t < t'. Действительно, при t < t' реальная
часть —iuj(t — £'), равная uj"{t — tf), отрицательна в верхней полу-
полуплоскости, где замыкается контур интегрирования. При t > tf контур
интегрирования замыкается в нижней полуплоскости. Таким образом,
учет сил трения автоматически обеспечивает выполнение принципа
причинности. Вычисляя интеграл D), получим
оо f
G(t, t') = - \ p- . 6~7Г*} х = 9{t - t') D(t - t% E)
V ' J 2ТГ (U) — UJl) (U) — UJ2)
D{t) = U'1 exp(-^) sin fir.
Заметим, что функция D(t — t') обладает свойствами
и удовлетворяет однородному уравнению. Интегральное представление
функции D{t) совпадает с D), однако контур интегрирования проходит
по часовой стрелке, охватывая все полюсы [10, 72]. Поэтому общее
решение A) можно представить в виде
t ,
x(t) = 7 D(t) x0 + D(t) xo + D(t) xo+\— D(t- t1) F(tf). G)
о
4.3.7. Доказать, что вещественная часть фурье-разлож^ения функ-
функции Грина при некоторой частоте, определяется значениями мнимой
части при всех частотах (и наоборот).
Решение. Условие причинности G(r) = 0, г < 0, позволяет предста-
представить g(uj) в виде функции
оо оо
g(co)= [ drG(r)eiuJT = ldrG(r)eiujT, 1тш > О,
— оо О

200 Линейные колебания [ Гл. 4
голоморфной в верхней полуплоскости комплексной переменной uj. По-
Поэтому g(uj) называют причинной трансформантой. Поскольку g(uj) —
квадратично интегрируемая функция, то согласно теореме Титчмарша
имеем интегральное представление [10]
Рассмотрим случай, когда точка из лежит на вещественной оси.
В теории обобщенных функций известно, что при стремлении из к ве-
вещественной оси сверху
lim — = Р—-, Ь гтг 6(изг — из), е —> 0.
из — и) — ге из — из
Отделив вещественную и мнимую части в A), получим интегральные
уравнения
j da, -^A lmg{u) = --P j
dw
B)
связывающие действительную и мнимую части функции g(uj). Эти
уравнения называются дисперсионными соотношениями.
Впервые дисперсионные соотношения получены Г. Крамерсом
в 1926 г. для комплексной диэлектрической проницаемости изотропной
среды г {из). Связь между дисперсионными соотношениями и условием
причинности была установлена Р. Кронигом в 1942 г. В классической
электродинамике сплошных сред вектор электрической индукции D
связан с напряженностью поля Е соотношением D = £qE + Р, где
Р = enr(i) — плотность дипольного момента в СИ, г — радиус-
вектор электрона, п — концентрация электронов. В классической
модели потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром
U = гпиз^г2/2. В этом случае
2 °°
= ^ J dt'G(t-t')E(t').
Переходя к фурье-представлению Dw = е0Еш + Pw, введем функ-
функцию е(из) соотношением Dw = е(из) еоЕ^. В результате получим
Очевидно, что из B) следуют дисперсионные соотношения для функ-
функции e(uj).

4.3] Вынужденные колебания 201
4.3.8. На осциллятор действует сила F(t) = —mqS(t — т) ж, где
6(t) — дельта-функция Дирака. Найти решение уравнения движения.
Решение. Уравнение движения
ж+ [u>% + qS(t-T)]x = 0, A)
соответствующее осциллятору с переменной частотой, представим в ви-
виде интегрального уравнения Фредгольма
оо
x(t) = u(t)- | dt'G(t-t')qS(t' -T)x(t'). B)
Здесь u(t) — решение уравнения х -\-из^х = 0 с начальными условиями,
заданными в момент времени to < т, G(t — t') = D(t — t') 6(t — t') —
функция Грина, D(t — t1) = A/uj0) sinuj0 (t — tr). Из B) получим
x(t) = u(i) - G(t - r)qx{r). C)
Полагая в C) t = г, находим х(т) = и(т) и решение уравнения A):
x(t) = u(i) - G(t - r)qu{r). D)
Следовательно,
x(i) = u(t), t^r; x(i) = u(i) - D(t-r)qu(r), t^r.
Отметим, что при значении t = т возникает скачок скорости Ах =
= -qu(r).
4.3.9. Определить вынужденные колебания слабозатухающего ос-
осциллятора под влиянием силы F = F$ cos cut. Начальные условия
х@) = 0, х@) = 0.
Решение. Рассмотрим случай, когда из = ujq + е, е <С uq. Из форму-
формулы G) задачи 4.3.6 получим
x(t) ~ ^ Re jdt' D(t - t1) e~iujt> = Re Ae~iujt-ia, A)
- exp(-| + iet)j (Wo2 - a;2 - ia,7). B)
Фаза и амплитуда являются медленными функциями времени: \А\ <С
<С Аиз, \а\ <С |ск|сс7. Из B) находим
A(t) = Fo [1 - 2е-^/2 cos et + е"^]1/2.
2
Исследуем три частных случая переходного реж:има [62].

202
Линейные колебания
[Гл.4
1. 7 Ф 0, £ = 0. В этом случае
2. 7 = 0, е ф 0. Тогда
3. 7 = 0, £ = 0.
. et
sin у
A(t) =
Fot
2mu)o
Функция A(i) изобра^сена на рис. 4.3.9.
A(t)
A(t)
A(t)
у У 0, £ = 0
= 0, £ = 0
Y = 0, s^O
\s\r\r\,
Рис. 4.3.9
4.3.10. Сила, действующая на слабозатухающий осциллятор,
F(t) = Fo cos ujt (t ^ 0). Исследовать стационарный реж:им движения
осциллятора.
Решение. Уравнение движения в стационарном режиме (t ^> 7)
имеет решение
= ^ Re
2 2
= С cos (ujt + (p),
cos ip = (ujq — uj) D *, sin (f = — ujjD \

4.3] Вынужденные колебания 203
Заметим, что С (oj) достигает максимума при
«=
Рассмотрим три случая.
1. uj <C ojq, тогда ер ~ 0, ж(£) = Со coso;t, Co = F/Q
Смещение определяется амплитудой силы и жесткостью как в стати-
статическом режиме.
2. uj = ojq. Фаза колебаний <р = — тг/2, амплитуда С = QCo, Q =
= о;о/7? здесь Q — добротность осциллятора.
3. о; ^> ojo. Фаза колебаний у? ~ —тг, амплитуда G ~ (ujq/ujJCq <C
<С0.
Из закона изменения полной энергии находим Е = Pext + Ртр,
pext _ х F(i), -Ртр = —rwyx2. Сумма среднего значения мощности
внешней силы
{jpext) = _1 ^оа;С sin^
и среднего значения мощности силы трения (Ртр) = — m/yoj2C2/2 равна
нулю.
4.3.11. Сила F(t) = f(t) cosojt действует на осциллятор в ин-
интервале времени t ^ to. «Амплитуда» силы удовлетворяет условию
\df/dt\ <C cj\f\. Начальные условия x(to) = жо, x(to) = x$. Найти
решение уравнения движения в установившемся режиме колебаний.
Решение. При t — to ^> I/7 B установившемся режиме решение
1 7
(t) « ^ Re I dt' G(t - t') f{t') e~iujt.
x(t) « ^
to
Переходя к новой переменной т = t — tf, получим
t-t0
0
J drG(r)f(t-T)eiujT.
— oo
Поскольку t — to ^> 7", то верхний предел можно положить равным
-boo и учесть, что основной вклад в интеграл дают значения ojt <C 1.
В результате получим
оо
x(t) = -Re e~iut f dr G(t) eiwT [f(t) - r/ + ...] =
777/ J

204 Линейные колебания [ Гл. 4
где g(uj) — [uJq — lj2 — i^uj) . Введем действительные функции С и ср
соотношениями g(uj) f(t) = С exp (—i(f).Тогда
x(t) = C(t) cos [wt + <p] + ...,
C(t) =
m (wg - a;2J + Ga;J
2 2
UJn — 00 .
COS (f = — — , Sin (f = — -
4.3.12. Найти вынуж:денные колебания одномерного осциллятора
N
в результате действия силы F{t) = ^ vn S(t — tn). Начальные условия
х@) = 0, х@) = 0 [9].
Решение. Из формулы G) задачи 4.3.6 находим в интервале ts-\ <
<t <ts
s-l
x(t) = (mft)-1 vn
n=0
Пусть vn = v, tn = пт, тогда
exp |-
n=0
После вычисления суммы геометрической прогрессии со знаменателем
q = exp [ir (ft — ij/2)] получим
Im
q — 1
Пусть период толчков г = 2тг/Л. Тогда
4.3.13. Найти энергию, переданную осциллятору в результате дей-
действия силы F(t), t ^ 0.
Решение. Полную энергию осциллятора в момент времени t можно
представить в виде

4.3] Вынужденные колебания 205
Предположим, что в начальный момент времени осциллятор покоился.
Если 7 <С сс?о, то
х ~ (гш^о) [ Л7е-7(*-*'>/2 sino;o (t - t') F(t'), B)
о
t
х ~ m J Л' e^"*')/2 coso;o (* - t') F(t'). C)
о
Подставляя B), C) в A), получим
Г Г 1 2
E(t) = — \dtf F(tf) exp \(-- - шЛ (t - £') • D)
v 7 2m J v ; |_\ ^ / v 7J v 7
о
Если промежуток действия силы At <C Uq1, to
9
О
В отсутствие трения полное приращение энергии осциллятора
\FU l2
^L, Fu= J dtF(t)eiujt.
4.3.14. В момент времени to —> —сю осциллятор покоился в начале
координат в положении равновесия. Найти приращение энергии неза-
незатухающего осциллятора в результате действия силы
Б. т„ .
тутг
В. F(t) = Fo Л(*) cosIW, h{t) = 1, |t| < |; ft(t) = 0,
Решение. А. Вычисляя интеграл
7ГГ J l+(t/TJ
находим Д£? = A$/2тп) ехр (—2wot) [138]. Если шог <С 1, то
{1Ц2m). В этом случае F(<) и /0

206
Линейные колебания
[Гл.4
Б. Указание:
В. Указание:
sin(n-w)T/2 sin (ft + u>
ft
т/21
4.3.15. Сила, действующая на незатухающий осциллятор
(рис. 4.3.15)
В момент времени to —> — оо осциллятор покоился в начале координат
в положении равновесия. Найти приращение полной энергии в резуль-
результате действия внешней силы.
-Т/2
Т/2 t
Рис. 4.3.15
Решение. Учитывая значение интеграла [53]
"" Hf(,b,t f(f , .л _„•_ exp(-iwp)
получим фурье-компоненту
Энергия, переданная осциллятору АЕ = Е(оо) = \Еш\2/2т,
АЕ = т-*п ( —; —J .
Рассмотрим два частных случая.
А. Плавный фронт импульса силы
дача энергии экспоненциально мала:
1). В этом случае пере-
переАЕ *^

4.3] Вынужденные колебания 207
Б. Импульс силы с крутым фронтом (ujqt <C 1). В этом случае
= О, t<0.
Функция F(t) соответствует прямоугольному импульсу длительностью
Т. Приращение энергии осциллятора
Если uj0T < 1, то АЕ « /£/2га, /0 = F0T, F{t) « /0 ()
4.3.16. Сила, действующая на незатухающий осциллятор, F(t) = 0,
£ < 0, t > r; ^(t) = Fq, 0 ^ t ^ т. Найти решение уравнения движения
и энергию, переданную осциллятору. В начальном состоянии ж@) = 0,
£@) = 0.
Решение. Согласно формуле G) задачи 4.3.6 при 0 ^ t ^ r
x(t) = dt smujQ It - t) =
о
В интервале t > т
= dt sin o;o (t — t ) = о sin —— sin ujq 11 — — I.
Если a;oT = 2тг, то осциллятор совершит одно полное колебание и после
прекращения действия силы успокоится. Энергия осциллятора
Если о;от <С 1, то Е(оо) = (l/2m) (FqtJ. В этом случае F(t) мож:но
представить в виде F(t) = Fqt S(t).
4.3.17. Сила, действующая на незатухающий осциллятор,
= Fo —j- -T7— , uj2
FJ2 — ^lj t
В момент времени t —} — oo осциллятор покоился в полож:ении равно-
равновесия. Найти энергию, переданную осциллятору.
Решение. Учитывая значение интеграла
dtt~x sino;t = 7Г sin a;,

208
Линейные колебания
[Гл.4
(О,
Рис. 4.3.17
(О2 (О
получим фурье-компоненту силы
оо
Fwo = | dt' F{t') е'ш°*' = 0("/-,.и\ [siSn (W2 " w°) " si§n (Wl " w°)] •
Z F^2 —
Таким образом, исходный сигнал представляет функцию с ограничен-
ограниченным спектром шириной Да; = UJ2 — ^i (рис. 4.3.17). Если ujq лежит
в области Да;, то энергия
Т?( \ ! |р |2 1 /7Г^о\2
Заметим, что при условии До; <С о;2 + o;i ^(t) мож:но представить
в виде почти гармонического колебания с медленно изменяющейся
амплитудой F(t) = A(t) coso;ot,
sin - До;*, ^0=2 ^ + a;^'
4.3.18. Аналитический сигнал. Дан график квазипериодиче-
квазипериодической функции E(t). Найти критерий, позволяющий представить эту
функцию в виде E(t) = A(t) созФ(£) [73, 74, 132].
Решение. Строго монохроматическое колебание частоты uj задается
при —оо < t < оо выражением u(t) = a cos<£>, a = const, (p = cut + a.
Комплексная запись колебания
w(t) = u(t) + iv(t) = aeiip
получается при введении мнимой части, равной га sin (p. Амплитуда,
фаза и частота определяются выражениями
а = и2 + v2
cos ш — — ,
а
sin <р =
uj = a (vu - uv).
(i)

4.3] Вынужденные колебания 209
Преобразование Гильберта обобщает правило построения мнимой ча-
части на произвольные функции E(t):
В результате получим функцию
оо
^\t'TJ^±-o. C)
Если подвергнуть функцию E(t) фурье-преобразованию
оо
E(t) = } £ e(W) в—
и учесть значение интеграла
00 • i
- \ dt' ,е '"* =в(о
тг J t — t + гО
— оо
то получим
оо
= ^ J duj е{ш) e~iujt. E)
Нетрудно проверить, что Re W(i) = E(t). Функция W(i), называемая
аналитическим сигналом, впервые введена Д. Табором A946). Таким
образом, E(t) можно представить в виде E(t) = A(t) cos<J>(£), где
A(t)=
Мгновенная частота определяется аналогично A):
u){t) = \W\~2 \mWW*.
Представление E) позволяет корректно выделить огибающую функ-
функции E(t) и исключить высокочастотные составляющие, не проводя
усреднения в явном виде. Теперь становится очевидным, что переход
от выражения E(t) = Eo(t) cosuiot к комплексной записи
£?(*) = Re/(t), f(t) = E0(t)e~iwot

210 Линейные колебания [Гл.4
столь же произволен, как мнимая часть. Аналогичная запись в тер-
терминах аналитического сигнала имеет вид E(t) = ReW(t), где W(t)
определяется формулой E), причем
= [ dt E(t) e
iujt
Очевидно, спектры комплексных функций f(i) и W(t) не совпадают.
Практическая важность аналитического сигнала связана с методом
измерения мгновенной мощности любого квазипериодического процес-
процесса E(t) = A(t) cosuj$t. Рассмотрим детектор, имеющий время откли-
отклика г, малое по сравнению с характерным временем изменения «ампли-
«амплитуды», но большое по сравнению с периодом То = 2тг/о;о- В этом случае
детектор измеряет, по существу, мгновенную мощность
t\r
*+т/2
J '
t-r/2
Запишем теперь E(i) в виде
E(t) = Re [е1ш»г F(t)], F(t) = e~iujQt W(t).
Функция F(t) изменяется медленно на временном интервале г. Тогда
с достаточной степенью точности мгновенная мощность равна половине
квадрата модуля аналитического сигнала: P(t) = A/2) \W\2.
4.3.19. Сила, действующая на незатухающий осциллятор,
В момент времени to ^ —oo осциллятор покоился в положении равно-
равновесия. Найти энергию, переданную осциллятору.
Решение. Учитывая значение интеграла
0; е(и>) = -1, ш < 0,
— оо
получим фурье-компоненту
оо
Fu = tc F(ntc) einut0, -шс^ш^ шс;
п= — оо
¥ш — 0, uj > ujc, и; < —ujc.
Отметим, что семейство функций F(t), введенных впервые в 1933 г.
В. А. Котельниковым, обладает замечательным свойством. Спектр

4.3] Вынужденные колебания 211
функции F(t) ограничен отрезком [—о;с, о;с], а функция F(t) опре-
определяется счетным множеством своих значений. Приращение энергии
осциллятора при значениях частоты ujq < ujc равно
4.3.20. Найти энергию, переданную осциллятору заряженной про-
пролетающей частицей (в дипольном приближении) [75].
Решение. Предположим, что осциллятор представляет электрон,
движущийся в поле ядра. В рамках классической теории энергию
взаимодействия электрона и ядра можно выбрать в виде U = ти1$г2/2.
Следовательно, уравнение движения электрона
тг + тш^ог = -е0Е (г - H(t)), A)
R(j) = b + u£, bu = 0,
здесь Е — напряженность электрического поля, создаваемого проле-
пролетающей частицей, b — прицельный параметр, и — скорость пролетаю-
пролетающей частицы. В дипольном приближении можно пренебречь зависимо-
зависимостью поля от положения электрона, полагая
^ B)
Подставляя B) в A), запишем решение в виде
dt'Gmn(t-t')En(t'), C)
где Gmn(t — t') — функция Грина,
Gmn(t - t') = 0(t - t') Smnimuio)-1 sinLj0 (t - *'), D)
удовлетворяющая уравнению
Gmn + w02Gmn = — 5mn 5(t - t').
TTt
Энергия, переданная при пролете,
= -е0 [ dtr(t)E(t) =
= е20 | dt | dt'Gmn(t-t')Em(t)En(t'). E)
— оо
оо оо
— ОО —ОО

212 Линейные колебания [Гл. 4
Подставляя фурье-разложение функции Грина, получим
о
здесь gmn(uj) — тензор обобщенной восприимчивости,
gmn(u) =
Учитывая соотношение
lim — = Р — i гтг 6(х).
£_^о х =F is x
получим
/ \ * / \ 2тгг г г-/ 2 2\
gmn{U) ~ gnm{Cd) = 0шп 0{U) - LO0),
т
следовательно,
А£ = —~ ^(с^о)!2. F)
Нетрудно убедиться, что это выраж:ение совпадает с полной энергией
электрона
G)
в момент времени t = оо. Действительно, подставляя C) в G), получим
оо 2
at rjyt ) e v ' .
-oo
Очевидно, £(oo) = A£. Теперь найдем амплитуду Фурье
оо
г ,
J
— оо
Учитывая значения интегралов
(Кп(ау) — функция Макдональда), получим

4.3] Вынужденные колебания 213
Подставляя (8) в F), получим
Если £ ^> 1, то К„(£) ~ тг/2£ е ^ и, следовательно,
2^
^^ — 2,2 S e
77Ш О
В этом случае передаваемая энергия весьма мала. Если же £ <$С 1, то
#o@ ~> -ln^/2, Кг(£) -+ f, поэтому А£ ~ 2egQ2/^^2^2- Таким
образом, передаваемая энергия возрастает в случае близких пролетов
частиц. Сечение возбуждения электрона оказывается равным
da = 2тг6 db = ^ т •
ти2 S2
4.3.21. Найти решение системы уравнений Ктпхп + Umnxn =
= Fn(t). Матрицы Ктп и Umn — действительные и симметричные.
Начальные условия х@) = 0, х@) = 0.
Решение 1. Запишем решение неоднородного уравнения в виде
xn(t)= j dt'Gns{t-t')Fs{t'), A)
— OO
где функция Грина Gns(t — tr) удовлетворяет уравнению
Представим далее Gns(t — t') в виде разложения в интеграл Фурье:
оо
Gsn(t-t')= \ ^gr.n(w)e-iw<*-*'>. C)
После подстановки C) в B) получим систему алгебраических уравне-
уравнений
Sg = I, Smn = -LJ2Kmn + Umn. D)
Из D) следует, что g = 5. Обозначим ит^ собственный вектор
уравнения {-^Кшп + Umn) tim(/i) = 0. Матрица Amfl = tim(/i) удо-
удовлетворяет соотношениям ортогональности
КтпАт^Ап,; = Ojj,», L/mnAmiUAnz/ = LO^O^. E)

214 Линейные колебания [Гл. 4
Представим S в виде S = АК, А = —uj2I + UК~\ Тогда g =
= К~гА~\ Поскольку матрицы К и U приводятся матрицей А к
диагональному виду, то
f{UK~l) = АА'1 f(U К'1) АА'1 =
= Af(A-1UAA-1K~1A)A-1 = Af(A-1UA)A~\ F)
Следовательно, [/(t/Ar~1)]mn = Дт/*/(^)£/л/Дш/ [9]. Полагая в F)
/ = К~гА~\ находим gmn = AmA,AnA,(-o;2 + a;^) и функцию Грина
оо
n{t t)-
j
I1 —oo
= 0(t - t') Am^An^LJ-1 Sin OV (* - 0-
Следовательно, решение исходной системы
t
xn[t) = ^dtf An^As^-1 sin^ (t - t') Fs(t').
0 »
Решение 2. Лагранжиан, порождающий исходную систему,
Произведем замену переменных х —> q: xm = Am^q^. Учитывая E),
получим лагранжиан в нормальных координатах
Решение уравнений Лагранжа
Яа + и>аЯа = fa(t), fa = AnaFn,
можно представить в виде
= jdt'
oo
')- s f du3 e ~ -
— oo
= 9{t - t') S^cj-1 sinwv (t - t').

4-3]
Вынужденные колебания
215
1Ф-
Рис. 4.3.22
4.3.22. Два одинаковых маятника соединены пружиной. К одному
из них приложена сила F(t) = Fq cos ujt, направленная по горизонтали.
Исследовать зависимость амплитуды линейных колебаний маятников
от частоты внешней силы (рис. 4.3.22).
Решение. Используя обозначения задачи 4.2.2, запишем лагранжи-
лагранжиан системы
ml2 г.
[Фг + Ф\~
и ¥2, t),
где U — энергия взаимодействия с внешним однородным полем,
U = - raFa(t) = -x2F2x ~ -(/о + 1<Р2) Fo coswt.
a=l,2
Уравнения Лагранжа, учитывающие сопротивление среды, имеют вид
d dL _ dL _ dD
dt дфп дфп дфп
где Z)(</?n, фп) — диссипативная функция. Ограничимся рассмотрени-
рассмотрением сил сопротивления, линейных по скоростям, тогда
где к — постоянный коэффициент. Перейдем к нормальным координа-
координатам (рп —> qn: (fin = {±nvqv. Новый лагранжиан
= ml2\-ql-- "Wri +
m
+ Я2) cosujtl .
J
Диссипативная функция D(gi, q2) — ml2/y {q2 + q^ji, 7 = k/m.
Решение уравнений движения
Яп
тр
COS Ut

216 Линейные колебания [Гл.4
в стационарном режиме
Fr —ibjt
О ту е
Яп = /= ^е —2 2
mlV2 шп — ш — j
Следовательно, вынужденные колебания описываются функциями
2 2
о7
Ami
Fo
Отношение амплитуд Ci, C^2 колебаний маятников
Если и) ^> lji,
Для частоты
а
, то
" [("
с2
2
(
(
-2 + а,?-
«. «г-
7i л1 w2 -
2w2J + 4"V]1/2
- cj2 ^i
2+72
-^2 ^ 1
Следовательно, связанные осцилляторы являются «полосовым филь-
фильтром» — ослабляют влияние внешней силы частотой о;, лежащей вне ин-
интервала (ui2-, ui) [62]. Отметим чрезвычайно важный эффект сужения
резонансной кривой. Определим ширину резонансной кривой Сп(ш)
как интервал частот Auin = uj — o;n, в пределах которого значение
амплитуды не опускается ниже величины 1/д/2 Сп(и)). Для изолиро-
изолированного осциллятора |Ао;п| = 7- Однако при возбуждении двух мод
ширина резонансной кривой |До;п| = 7/2-
4.3.23. Найти среднеквадратичное смещение броуновского линей-
линейного осциллятора [76].
Решение. Из уравнения движения броуновского осциллятора
тх = —тшцХ — Хх + F(t).
Учитывая соотношение хх = A/2) (d2x2/dt2) — х2, получим
т d2x2 .0 о о Л dx2
Усредним это уравнение по большому числу систем как по ансамблю.
Полагая в первом приближении (xF) = 0, получим

4.3]
Вынуэюденные колебания
217
где &б — постоянная Больцмана, Т — температура.
1. Пусть Л2 > 8m2u)Q, тогда
(x2) = ^
,2=2
m
^-
A)
Из A) следует, что при t —> оо величина (ж2) = к^Т/muj^. Это соотно-
соотношение является следствием теоремы о равнораспределении энергии по
степеням свободы.
2. Пусть Л2 < 8т2о;2, тогда
cos (Ш
"=

Глава 5
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
5.1. Метод усреднения
Метод усреднения — широко применяемый асимптотический метод,
позволяющий строить решения сложных дифференциальных уравне-
уравнений [77-80].
Применим метод усреднения для построения решения уравнения
х + ш^х = е /(ж, х, wt), г <С 1.
Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить
более простой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно
пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим
приближением по параметру е решения x(t, г) называется такая функ-
функция x(t, e), что разность x(t, e) — x(t, e), называемая остаточным
членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения t, если
параметр е <С 1. Одним из достоинств метода усреднения является то,
что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем,
совпадающие при t = to, асимптотически близки на интервале \t — to\ ~
~ е~1. В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит
к неравномерно пригодному разложению решения [78]. Ограничимся
далее нахождением решения в первом приближении метода.
Произведем замену переменных ж, х —> А, Л*, вводя комплексное
представление координаты и скорости:
х=\ (Ae-iuJot + к. с), х = -^ (Ae~iuJot - к. с). E.1.1)
В новых переменных исходное уравнение эквивалентно двум уравне-
уравнениям первого порядка:
А = е F(A, Л*, ujot; *), Л* = е F*(A, Л*, uiot; t), E.1.2)
Представим теперь Л в виде суммы плавно меняющегося (в масштабе
То = 2тг/о;о) члена и вибрационных слагаемых:
С, *) + ••-, E.1-4)
и предположим далее, что усредненная система
, С, *) + ••• E-1-5)

5.1] Метод усреднения 219
содержит в правой части функции, изменяющиеся адиабатически мед-
медленно: \dvn/dt\ <С wo\vn\- Функции ип, vn подлежат определению.
Из D), E) следует
дил
0tii * ,
Разлагая функцию F в ряд по е, получим из B) в первом приближении
^ ). E.1.6)
Произведем усреднение правой части F) по периоду То с единственной
целью выделить слагаемое
г F(£, Г; *) = (г F(t, Г, ^о*; *)>, E-1-7)
изменяющееся адиабатически медленно. Дальнейшая процедура явля-
является характерной особенностью метода — мы приравниваем в обеих
частях F) медленно изменяющиеся члены: i;i(£, £*, t) = F(£, £*; t).
Тогда функцию U\ можно найти интегрированием уравнения F):
иг = |dt[F(t, Г, uot; t) - F(t, Г; *)]•
о
В первом приближении метода усреднения имеем
^0*, x = Re(-icJoZe~ialot),
E-1.8)
)eiMo*>-
Функцию Ф(^, ^*, uj$t\ i) мож:но представить в виде ряда Фурье:
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Пусть \df/dt\ < wo I/I- Тогда
f
, Г; *) = - Ф1К, Г;«) = f- f Л; е^*'ФК, Г,
E.1.9)
следовательно,

220 Нелинейные колебания [ Гл. 5
В ряде задач удобно использовать действительные переменные вме-
вместо £, £*. Произведем в A0) замену £, £* —} а, а : £ = ае"ш. Тогда
уравнение A0) приобретает форму
2тг
£
а = —
2тго;о
dip f(x, ж, ujt) sin?/?, E.1.11)
о
2тг
2тгао;о
О
Г dt/;f(x, х, u)t) cos^, E.1.12)
здесь х — a cos?/?, ж = — clujq sin^, ^ = а^ + «. Уравнения A1),
A2) совпадают с уравнениями первого приближения метода Крылова-
Боголюбова [77].
2. Предположим, что /(ж, ж, i) — периодическая функция с перио-
периодом Т = 2тг/о;, тогда
В этом случае
где S — (п - 1) шо + s_^ <C о;0-
Если о; > о;0, то F($, ^*; *) = 0.
5.1.1. Найти решение уравнения математического маятника в пер-
первом приближении метода усреднения.
Решение. Представим уравнение
х + ujI sinx = 0,
в стандартной форме
ж + uj^x — е/(ж), s f{x) = cjq (ж - sin ж).
Если ограничимся изучением движения в окрестности положения рав-
равновесия, то е/ ^ (cjq/З!) ж3. В рассматриваемом случае функция
)
следовательно,
Функция ^ удовлетворяет уравнению £ = (го;о/16) |£|2£, решение кото-
которого ищем в виде £ = а е"ш. Тогда
^0 9
= -—а,

5.1] Метод усреднения 221
отсюда находим а = ао, а = — (а;о/16) a^t + a,
1 — -^ J .
Сопоставим приближение и точное выражения для периода колебаний
математического маятника
Т __ „ . dx
2 .
Ж1 2 (^ + 77г<§'^ cos х)
ml
где Ж1, Ж2 — корни уравнения Е -\-mgl cos x = 0. Введем вместо полной
энергии Е1 константу ао, которая играет роль амплитуды линейных
колебаний: Е = —mgl + muj\a\l2 J2. Тогда
= f\ dx a)
2
Подстановкой sinu = B/ao) sin (ж/2) приведем A) к виду
тг/2
ио J
J /
0 l(
Периодическому режиму слаболинейных колебаний соответствуют зна-
значения ао <С 2,
тг/2
+ 2sin2u + ...) = (l + f|
8 u / uo \ 16
5.1.2. Параметрический резонанс. Найти в первом приближе-
приближении метода усреднения решение уравнения х + u2(t) x = 0, где
uj2(t) =u2-k cosut, к < cjq.
Решение. В этой задаче ef — к совШ • ж,
Г,
1. В случае Г^ <$С о;о функцию cosf^t можно вынести за знак
интеграла: sF(£, £*; t) = (ik/2ujo) собШ • ^, следовательно, ^ =
= (ik/2ujo) cosftt • £,
ж = ао cos ф, ф — \ dt ljo A 2 cos ^

222 Нелинейные колебания [ Гл. 5
Это решение можно получить, используя формулу B) задачи 5.2.1, так
как uj(t) ~ о;оA - (к/2и)$) соэШ).
2. В случае ft ~ 2о;о введем расстройку S = ujq — ft/2, тогда
Для исключения явной зависимости от времени произведем замену £ =
= rjelSt, г) + i5rj — iarj* — 0. Полагая г] — z\-\- iz2, получим систему
z\ — (& + £) ^2 = 0, z2 — (сг — 6) z\ — 0.
Решение этой системы ищем в виде zn = KeuneXt.
Пусть \S\ < сг, тогда Ai,2 = Т^5 п — л/сг2 - S2 . Для первого
частного решения Ai = — п получим
па _ сг — 6
cr + д ст
Для второго частного решения А2 = n находим
, а + 6 , о + E ,
U2 = О, Ui = О = г О.
П СГ — О
Следовательно,
п
па
2;2 =т
а + о
Общее решение (см. также 9.2.1)
nt + bent.
ж = z1 cos —- + z2 sin —.
Таким образом, если частота ft лежит в интервале 2о;о —
— k/2ujQ ^ ft ^ 2о;о + k/2ujQ, то в системе возникает параметрический
резонанс. Амплитуда возрастает по экспоненциальному закону.
В области устойчивости \ft — 2ujo\ > k/2ujo решение представляет
суперпозицию гармонических колебаний с частотами
a;ij 2 = -^ i m, m — S2 — сг2 .
3. Если ft ^> a;o5 то F(£, £*; t) = 0, а решение имеет вид ж =
= а0 cos(u0t + a0).
5.1.3. Человек на качелях. Подставка движется по окружности
радиуса /q, расположенной в вертикальной плоскости. Центр тяжести

5.1]
Метод усреднения
223
человека, стоящего на подставке, находится на
расстоянии /2 = /о — s(i) от точки подвеса
(рис. 5.1.3). Найти решение уравнений Лагранжа
I рода и оценить работу силы реакции. Масса
человека — Ш2, подставки — mi.
Решение. Введем полярные координаты с на-
началом в центре окружности. Уравнения связи
/i = гг - /о = 0, /2 = г2 - п + s(t) = 0.
Лагранжиан системы
L = \
[т\ + т\ф2\ + ^ m2 [f|
COS if + Vfl2gT2 COS if + Ai/i + A2/2-
Уравнения Лагранжа I рода
W&1 (^1 — Г1Ф2) = mig cos (f + Ai — A2,
cos<^ + A2,
+ ГП2Г2) g sin<^.
ri = /0, r2 = /0 - s(*).
Из уравнений A), B), D) найдем силы реакции
Ai = — (га/о + nri2s) ф2 — mg cos у?,
A2 = — Ш2 (/о — s) Ф2 — ТП28 — nfl2g COS у?,
Рис. 5.1.3
—
A)
B)
C)
D)
E)
F)
где т — гп\ + rri2- На рис. 5.1.3 стрелки соответствуют силам реакции:
Т = — Ai, N2 = — А2, Afi = А2. Полная энергия системы Е — К + f/,
у?) = —mglo cos у? + rri2gs cos у?.
Мгновенная мощность, переданная системе dE/dt = —dL/dt, равна
мощности, развиваемой силой реакции N2'. dE /dt — — SA2,
Пусть
d#
/0?
= ??i2s [(/0 ~ s) ф2 + 5 + g cos у?]. G)
<C 1. Тогда из C), G) получим уравнения
— =m2sl0 \(р

224 Нелинейные колебания [ Гл. 5
где ujI =g/l0.
Рассмотрим два случая.
А. Пусть s(t) = so — h собШ, so > h. Используя метод усреднения,
подставим в (8) (р — Ке£е~гш°г, £ = ае~га. В результате получим
уравнение
При условии 3ah > \и>о — ft/2 + aso\ амплитуда колебаний возрастает.
Полагая в (9) (р = a cos (cjot + а), найдем среднее значение мощности
/dE\ 3 2 2 .
( -77- ) = о rn2loriilujoa sin 2a.
\ at / о
-п\ и П х\+ BА; + 1)Т01 , П х\. кТ0]
s(t) = h 6\t-± -£*■ J-ft *Г ~"J'
В. В импульсном режиме скорость центра тяжести человека
^Т01
_ Т '
где То = 2тг/ljq. Полагая в (9) (р = a cos(uJot + а), найдем значение
работы, совершаемой силой реакции за период А — 3rri2lohujQa2 cos 2a.
Если а = 0, то согласно A0) при прохождении положения равновесия
центр тяжести человека поднимается, а в положениях наибольшего
отклонения центр тяжести опускается.
5.1.4. В уравнении х + и)$х — £ f(x, x) правая часть учитывает
влияние силы трения. Найти решение в первом приближении метода
усреднения при a) ef — —7 sign ж; б) ef — —jx; в) ef — —jx \x\.
Решение, а) Используем метод усреднения в действительных пере-
переменных: х — a cos?/?, х — —aujQ sin?/?, ф = uj$t + а. Из формул E.11),
E.12) находим d = 0,
2тг
а = — с1ф у-.—7-т = — ——, а ф 0; а = 0, а = 0,
о
следовательно,
27
x(t) = (а0 — t) cos (ujot + а0).
V тга;о /
При t = (тга;о/27) ^о движение прекращается,
б) В этом случае
2тг
а = -^ [ Aф sinV = -^ , ol = 0.

a = -kaz, к = -j-—, а = О,
отг
5.1] Метод усреднения 225
Решение исходного уравнения
x(t) = а0е~7*/2 cos (ujot + а0).
в) Из уравнений
получим
5.1.5. Частица находится на горизонтальной шероховатой поверх-
поверхности ленты, натянутой на два шкива и движущейся со скоростью и.
Частица прикреплена к пружине, закрепленной в неподвижной точке
(рис. 5.1.5). Найти амплитуду автоко-
автоколебаний в стационарном режиме. 4 ААЛЛЛЛЛЛА I I
Решение. Уравнение движения те- 3 VVVyv—V_j—| ^_^
(С) (Г)
т'ё — —mujQ (s — /о) + F(s — и),
Рис. 5.1.5
где F(v) — сила трения, зависящая
от скорости частицы v = s — и относительно поверхности ленты.
В положении равновесия s = so,
О = -mwl (s0 - /о) - F(-u).
Произведя замену х — s — «о? получим уравнение
тх + itiujqX = F(x — и) — F(—u). A)
Функция F(v) имеет участки, где dF/dv > 0. Пусть скорость и
удовлетворяет условию Fff(—u) — 0, т. е. v — — и является координатой
точки перегиба. В этом случае
Уравнение движ:ения A) приобретает вид
i ^(), 2
Применяя метод усреднения, находим
а2
1, Л а2\ 2
а— -кха I 1- -И, Ъ =
* \ Ь /

226 Нелинейные колебания [ Гл. 5
следовательно,
-1/2
В стационарном режиме а (ос) = Ь.
5.1.6. Модель анкерного механизма. Найти решение уравнения
х + uJqX = ef(x, ж), ef = vx S(x) — jx в первом приближении метода
усреднения.
Решение. Из формул E.11), E.12) находим а — О,
а = —■£- dij) sin2^/? [7 ~ v8(a cos^)l = —- ja -\— . A)
Z7T J L J 2 7Г
0
Из A) находим
При t ^> 7 устанавливается стационарный режим, а (ос) = — ,
7Г7
2г
ж(*) = — cos
Нетрудно проверить, что среднее за период значение суммы мощности
внешней силы
т
■fldt vx2 S(x) =
и силы трения
т
Т
о
равно нулю.
5.1.7. В общей теории относительности уравнение траектории пла-
планеты в метрике Шварцшильда определяется интегралом [2]
где £о — полная энергия, М — момент импульса, rg = 2тпо'у/с2 —
гравитационный радиус Солнца, то — масса Солнца. Найти поправку
к кеплеровой траектории.

5.1] Метод усреднения 227
Решение. Полагая £о = тс2 + Е, представим A) в виде
2аМ2 М2 ( dr\2
()
о /„ , а М2 \ Е2
V г 2шг2/ с2
гас2 г3 г
где а = GmrriQ. После замены переменных и = Ро/г, ро — М2/та
получим уравнение
тс2р0 ) ol V гас2
Продифференцировав это уравнение по у?, найдем
—^ + U = 1 + 2— ^ ' C)
ау? ?пс р
За 2
2
у ?пс р
Произведем подстановку х — и — 1, тогда C) приобретает вид
e =
тс2ро
Для планет Солнечной системы величина £ С 1. Используя метод
усреднения, находим х = a cos ((р + а), а' = О,
2тг
da e
dip 2тга
dij) (a cos?/? + IJ cos?/? = —e.
о
Полагая (р@) = 0, получим х — а$ cos [A-е) у?]. Подставляя и((^) в B),
получим ао = е с точностью до £2, где е — эксцентриситет. В результате
находим уравнение траектории
г = ЕЯ D)
1 + е cos A - е) ер ' v }
Из D) следует, что траектория планеты является незамкнутой. Угловое
смещение кеплерового эллипса за время одного оборота dip = 2тг£ =
= бтг а /(тс2 ро).
5.1.8. Многомерные системы. Рассмотрим систему
Получить уравнения первого приближения метода усреднения.
Решение. Для того чтобы найти решение системы методом усред-
усреднения, перейдем к новым переменным х —ь z: хш — Тш^х^. Здесь Т —
матрица, приводящая матрицу К к жордановой форме; Т~ХКТ — J.
Умножая обе части исходного уравнения на Т, имеем

228 Нелинейные колебания [ Гл. 5
В случае некратных корней J^v = А2(^, А2 > 0 — собственные
значения матрицы К.
Ищем решение z^ в виде
z^ = Re A^e~iX^\ iM = - Re гЛм AMe~*M
В первом приближении метода усреднения А^ = £м = ам ехр (—гам),
Г),
— (г F (A £*
Л» х
Здесь Fm(^, ^*, t) — вектор-функция /(ж, ж), в аргументах которой
произведена замена
хт =
5.2. Системы с медленно изменяющимися
параметрами
5.2.1. Частота осциллятора удовлетворяет условию \ui\ <C о;2. Най-
Найти решение уравнения
x + u;2(t)x = ef(x, i), е<1, A)
в первом приближении метода усреднения.
Решение. Ищем решение в виде
х = Re w-^Ae"^, i = Re (-i^/^e^), B)
где ip = \lj dt. Из B) находим уравнение
-^ + к.с. = 0. C)
Подставляя х в A), получим еще одно уравнение
Из C), D) следует
A = ^f(X,i)e^ + lA*e^. E)
Если е — 0, то нулевое приближение определяется формулами B),
где А = const. Условием применимости этого приближения является

5.2] Системы с медленно изменяющимися параметрами 229
неравенство \АТ\ <С \А\, где Т — 2тг/uj. Учитывая E), получим \uj\ <С
<С uj2. Решение B) в окрестности точек to, удовлетворяющих условию
о;(to) = 0, становится неприменимым. Определим окрестность \t — to\,
в которой еще можно использовать B). Пусть uJ2(t) имеет в точке to
простой нуль: uJ2(t) = b(t — to), тогда \t — to\ > б/3.
Вернемся к уравнению E). В первом приближении метода усредне-
усреднения
о
где ж, х определяются формулами B). Переходя к действительным
переменным Л, Л* —ь а, а: А = ае~га, представим F) в виде
2тг
а = — ——— dip /(ж, ж) sin yip + q), G)
о
2тг
^= [ dy? /(ж, £) cos (у? + а). (8)
о
5.2.2. Длина математического маятника изменяется по закону / =
= l(t). Найти решение уравнения движения маятника в окрестности
положения равновесия.
Решение. Лагранжиан маятника, описывающий линейные колеба-
колебания,
L = -т12ф2 - -mgl(p2.
Представим уравнение движения
в стандартной форме
j
При адиабатическом изменении длины |/| <С ujI (|/| <^ y/gl) решение
B) имеет вид
t
ю — -^= cos \ uj dt + а \.
Используя формулы G), (8) задачи 5.2.1, находим а = —(l/l) a, a = О,
следовательно,
t
= СГ3/4 cos И | dt + oj . C)

230 Нелинейные колебания [ Гл. 5
Пусть / = Iq + vt. Тогда условие медленности изменения длины имеет
вид v <^ л/gl. Из C) находим
^ = СГ3/4 cos [^ #/ + а0]. D)
5.2.3. Длина нити математического маятника изменяется по закону
) = /0-f vt. Найти точное решение уравнения движения в окрестности
положения равновесия. Исследовать случай v <С \/~gl.
Решение. Лагранжиан, описывающий движение в области (р <С 1,
L = -т12ф- -mglif2.
Переходя в уравнении Лагранжа к переменной /, получим
Решение этого уравнения в области / > 0
где Ji(^), N\(x) — функции Бесселя и Неймана первого индекса.
В случае v <^ \fgl можно воспользоваться асимптотикой
J\[x) —ь — cos ж —), Ni(x)—> — sin ж —).
v / -кх V 4 / v / -кх \ 4 /
Тогда решение приобретает вид
СГ3/4 cos [^ 7l +
где С, 7 ~~ произвольные постоянные. Таким образом, мож:но получить
аппроксимацию функций Бесселя Jn(x) в области х ^> п.
5.2.4. Планета движется вокруг звезды по эллиптической орбите.
Масса звезды вследствие излучения медленно уменьшается. Найти
адиабатический инвариант системы [16].
Решение. Из закона изменения полной энергии находим
dE _ n Mm , v
Усредняя A) по периоду, получим (г) = а (см. задачу 1.5.7).
Поскольку Е = —GmM/Ba), то
^ = 2Е™ B)
dt М К '

5.2] Системы с медленно изменяющимися параметрами 231
Из B) находим адиабатический инвариант Е / М2 = С. Учитывая это
соотношение, найдем адиабатические инварианты Ма и Mb. Следова-
Следовательно, орбита планеты остается подобной.
5.2.5. Предполагая, что гравитационная постоянная G — медленная
функция времени, найти адиабатические инварианты планеты, движу-
движущейся по эллиптической орбите вокруг звезды.
Ответ. EG'2 = С, Ga = Сь Gb = С2.
5.2.6. Частица движется в однородных переменных электрическом
и магнитном полях, удовлетворяющих условиям
|Ё|<П|Е| |В|<П|В| fi
Найти скорость ведущего центра.
5.2.7. Магнитная бутылка. Частица движется в постоянном
неоднородном аксиально-симметричном магнитном поле в окрестно-
окрестности оси симметрии системы некоторой конфигурации проводников, z-
компонента напряженности поля на оси системы — функция B(z).
Найти адиабатический инвариант.
Решение. Из первой пары уравнений Максвелла div В = 0 следует,
что напряженность магнитного поля имеет компоненту Вг. В цилин-
цилиндрической системе координат
1 дгВг ,dBz_
г or dz
Из второй пары уравнений rot В = О, полагая В = rot А, получим
уравнение
1 д дА д2 А А
— -ZT— Г —р. 1 о 9~ ~ О*
v от от Qz т
В приосевой области [17]
Компоненты напряженности
r dB
dz 2 dz
Я
Уравнение силовой линии dr/ds = В /В, где s — длина дуги.
Следовательно, dr/dz = Br/Bz. Отсюда находим уравнение силовой
линии г Ау(г, z) = const.
A. Для витка с током радиуса а, расположенном в плоскости z = h
с центром на оси z, функция B(z) = /а/BсЯ3), где R2 = а2 + (z — /гJ,
/ — сила тока.
B. В случае магнитной бутылки B(z) = b (l + z2/2h2 + ...).

232 Нелинейные колебания [ Гл. 5
Уравнения движения
( \) A)
B)
Из последнего уравнения находим
d mz2 e
dt 2
Используя интеграл энергии
_ mv\ mz2
~ ~2 2~ '
представим D) в виде
d
^1 ^. F)
Заметим, что F) следует независимо из A), B). Представим х, у в виде
Х = Х° + 7Г sin ^' 2/ = 2/о Н- ^ cosi/?, G)
где жо, 2/о5 ^± ~ медленно изменяющиеся функции. Подставим G) в F)
и усредним по периоду 2тг/ft. В результате из уравнения
d vnv\ vnv\ В
~dt 2 ~ 2 ~В
получим адиабатический инвариант
Существование инварианта приводит к интересным следствиям. Под-
Подставляя (8) в E), найдем уравнение
£2 = - \E-CB(z)].
Если функция B(z) возрастает, то в точке zo, определяемой условием
Е — С B(zo) = 0, частица отразится — составляющая скорости z изме-
изменит знак. Поверхность z = zq, непроницаемая для частиц, называется

5.2] Системы с медленно изменяющимися параметрами 233
магнитным зеркалом. В магнитной бутылке область движения частиц
ограничена условием
\z\<h ii E -1
5.2.8. Частица движется в постоянном неоднородном магнитном
поле. Найти решение уравнений движения в первом приближении ме-
метода усреднения.
Решение. Скорость заряда удобно разложить по ортам
В dr г
Здесь т — орт, направленный по касательной к силовой линии маг-
магнитного поля, орт Т2 направлен по главной нормали к силовой линии,
р — радиус кривизны, s — расстояние, отсчитываемое вдоль силовой
линии. Уравнение силовой линии dr/ds = В (г) /В (г). В однородном
магнитном поле частица движется по винтовой линии, ось которой
параллельна вектору В. Скорость частицы г = vi + st. Радиус окруж-
окружности R = v±/ft, ft = eB/me. Если поле является слабонеоднородным
(Я|УВ| <С В), то качественно картина движения почти не меняется,
однако появляется возможность дрейфа частицы в направлении, пер-
перпендикулярном вектору В. В связи с этим решение уравнений движе-
движения
тт = -с [гВ(р)] A)
будем искать в виде
г = г0 + R. B)
Здесь го — радиус-вектор ведущего центра, R(t) — описывает попереч-
поперечное по отношению к силовой линии движение частицы в окрестности
точки Го(£):
R= -^- si
R = v± cos ipTi — v± sin
Скорость ведущего центра Го — u + &т- Заметим, что R(t) является
быстроосциллирующей функцией с частотой И, а и и s изменяются
адиабатически медленно: |u| <^ fi|u|, |s| <^ £l\s\. Подставляя г в A)
и разлагая В (г) в точке Го, получим
m (г0 + R) = ~с [(fo + R) (В(г0) + (RV) В + ...)]. C)
После усреднения C) по фазе быстрого движения найдем уравнение
^] ^ D)

234 Нелинейные колебания [ Гл. 5
Вычитая D) из C), получим
mk=- [RB] + - [fo(RV)B]. E)
Вычислим теперь среднее значение второго слагаемого в D). Подстав-
Подставляя R = (тс/еВ) [tR], находим
Fi = \ ([R(RV)B],) = % <[R([rR] V)B].) =
= ^ ^ikl^rnnsTn^rnBl (RkRs) = -V^f ^iB.
Здесь учтено, что (RkRs) = v\5ks/2, £цк£тпк = Sim5in - 5in5im,
divB = 0, BiViBi = BViB. Следовательно, уравнение D) приоб-
приобретает вид
(б)
Найдем адиабатический инвариант задачи. Умножая E) на R, получим
после усреднения
d mv i . _. mv i . _,_. mv i dB
___ = _stF = __stVjB ==____,
следовательно,
# = С G)
Теперь из F) в проекции на орт т найдем
mv2± OB /сА
Умнож:ая далее (8) на s и учитывая G), получим первый интеграл
В дрейфовом приближении (й = 0, s = 0) из F) следует выражение
для скорости ведущего центра
тс s2 , mv\ с

5.3] Движение в быстроосциллирующем внешнем поле 235
5.3. Движение в быстроосциллирующем
внешнем поле
5.3.1. На частицу, движущуюся в потенциальном поле U(q), дей-
действует быстроосциллирующая сила Q(q, t) с частотой ш ^> То-1 (То —
характерный масштаб времени движения в поле U{q)). Найти уравне-
уравнение движения частицы по «сглаженной» траектории [23, 81, 82].
Решение. Решение уравнения движения
Mij = ~ + Q(q,t) A)
ищем в виде суммы медленно изменяющейся функции £ и быстроосцил-
лирующей функции и: q = £ + и. Поскольку ш ^> Т^\ то амплитуда
вибраций мала и, следовательно, |£| ^> \и\. Поэтому уравнение A)
мож:но представить в виде
0 )) + «| + ... B)
Усредняя B) по периоду 2тг/о;, найдем
Оставляя в B) быстроосциллирующие слагаемые, получим уравнение
из которого находим
Поскольку
dQ d Г 8Q
и = U\dt
то среднее значение
Следовательно, уравнение C) можно представить в виде

236
Нелинейные колебания
[ Гл. 5
D)
~
Таким образом, действие быстроосциллирующей силы проявляется
в изменении потенциальной энергии. Вклад второго слагаемого в E),
квадратично зависящего от амплитуды переменной силы, существенно
влияет на поведение системы в критических точках.
5.3.2. Точка подвеса маятника, прикрепленная к невесомому
стержню, движется в вертикальном направлении по закону s =
— so cos ust, us ^> g/l = ujo. Найти эффективную потенциальную
энергию и положения устойчивого равновесия маятника.
Решение. Лагранжиан системы (см. задачу 2.2.4)
L = - т12ф2 + ml (g* —
cos uj£) cos (p.
ou
Уравнение движения
ml2(p = —
U = —mgl cos <£, Q =
Эффективная потенциальная энергия
cosuit si
tt < \ Л
иэф{(р) =-mgl \cos (f -
2
sin
Из уравнения диэф/dtp = 0 найдем возможные положения равновесия
= -2
\SqUJ/
Вычисляя
находим, что
dip2
ip=n
Если ш > л/2 (I/so) ujo, то поло^сение ср2 = тг является устойчивым. Эта
ситуация соответствует так называемому динамическому равновесию.

5.3] Движение в быстроосциллирующем внешнем поле 237
Частота колебаний ui2 — ^о т: ( ~г~) ~ 1 • Интересно, что при uj =
2 \ 1шо J
= 2A /sq)ujq частота колебаний а; 2 = ^о-
5.3.3. Уравнение Матье. Найти приближенное решение уравне-
уравнения Матье
—I + (/i + 2v cos 2s) x = 0
(is
в окрестности значений |/i|, |i/| <C 1 в первой зоне устойчивости [139,
140].
Ответ: х = w 1 + - cos 2s L —^ + SqW = 0, Sq = (/i + — ).
[ ^ J (is \ 2 /
5.3.4. На частицу, движ;ущуюся в потенциальном поле U(q),
действует быстроосциллирующая сила Q(q, t) = Qi(q) cosfM +
+ Q2(q) cosf^2^ где fli, ^2 ^ ^o (^o ~~ характерный масштаб
времени дви^сения в поле U(q)). Найти уравнение, описывающее
движение частицы по «плавной» траектории £()
Ответ.
5.3.5. Индукция поля, создаваемого квадрупольной магнитной лин-
линзой В = BqV^, у? = —xy/R. Частица влетает под малым углом к оси z
системы, образованной линзами толщиной d/2 со знакочередующейся
полярностью. Найти решение уравнений движения по плавной состав-
составляющей траектории [83].
Решение. Уравнения движения частицы
х = — zx f(z), y = -—zy f(z),
z = —R (хх ~ УУ) f(z), ^о = — ,
1, (n-l)d^z < Bn-l)d/2,
^^~ -1, Bn - 1) d/2 < z <: nd,
где n = 1, 2, .. ., N, N — число линз. Предположим, что |ж@)|,
\у@)\ <С i@) = v. В первом прибли^сении z(t) = vt,
я/(vt)' у = -y-ft-f(vt)-
Если TV ^ 1, то функция /(г?£) является быстроосциллирующей с пе-
периодом Т = d/v. Поэтому движ:ение частицы может быть описано
в терминах эффективной потенциальной энергии (см. задачу 5.3.1)

238 Нелинейные колебания [ Гл. 5
Вычисляя среднее значение
найдем иэф(х, у) = (m/8) {uj$d/ RJ (х2 + у2). Уравнения движения по
плавной траектории
Если частицы влетают под малым углом к оси системы, то реализуется
динамическая фокусировка пучка.
5.3.6. Частица движется в электромагнитном поле, которое яв-
является суперпозицией статических полей Ео(г), Во (г) и переменного
быстроосциллирующего поля Е^(г, £), B^(r, t). Найти уравнение дви-
движения частицы по плавной составляющей траектории [84].
Решение. Ищем решение уравнения
6 - с Г -' A)
F<°> = еЕ0 + -с [гВо]
в виде г = х + и, где |и| <С |х|. Тогда A) можно представить в виде
т (х + й) = F<°> (х) + (иV) F<°) + (и ^) F<0) + е Е„ (х) +
+ е (uV) Е„ + - [*В„] + - [*(иУ)В„] + - [йВ„]. B)
Усредняя B), получим
шх = F^(x) + е ((uV) Е^ + -с [х (uV) В.] + ^ [йВ^]), C)
тй = (uV) F^ + (и 4~) ^@) + еЕ^ + - [хВ^]. D)
Далее предполож:им, что переменное поле реализуется в резонаторе,
в котором возбуждена некоторая мода частотой ш:
Е„(г, t) = Е(г) cosut, B^(r, t) = В (г) sin о;*,
В (г) = -- rotE(r).
Опуская два первых члена в правой части D), получим
е / 1 \
и = 2 (Е cos Lot Л— [жВ] sin ujt 1. F)

5.3] Движение в быстроосциллирующем внешнем поле 239
Теперь подставим F) в C), учтем E) и опустим члены ~ х2/с2, в ре-
результате найдем
е2
mx = F<°> (х) — ((EV) Е + [Е rot E]).
Поскольку VE2/2 = (EV) E + [Е rotE], to получим уравнение
x = F@)- VC/(x),
5.3.7. Электрон движется в поле стоячей волны с вектором напря-
напряженности электрического поля E(r, t) = Eq cos kz cos ust. Найти урав-
уравнение движения, описывающее плавную составляющую траектории.
Решение. Поскольку v <С с, то время г ~ Л/г?, за которое элек-
электрон проходит расстояние порядка длины волны, велико по сравнению
с периодом волны. Поэтому электрон движется в усредненном поле,
обладая потенциальной энергией
2
[/(х) = —^-2 El cos2 kz.
Уравнение движения mz = —(dU/dz) после замены z —> (р: (р = 2kz —
— тг совпадает с уравнением математического маятника
п 2l feEok\2
5.3.8. Прямоугольный волновод ограничен плоскостями в области
О^ж^ а, 0 ^ у ^ Ь. Найти эффективную потенциальную энергию
заряда в электромагнитном поле бегущей поперечно-электрической
волны ТЕю.
Решение. Вектор-потенциал бегущей ТЕтп-волны
t, Xj-rOtW ~{ду , дх ,U),
ду
скалярный потенциал Aq = 0, где W — потенциал Герца:
W=@, 0, W^x\y)),
x) = C cos(rrnr-) cos(nTT^) cos(wt-kxz),
X = (m, n = 0, 1, 2, ...), k\ = femn,

240 Нелинейные колебания [Гл. 5
(тгту , (-кп
= с {—) + ^-£-
скшп = w2 - ш^п , wmn = с
wmn — критическая частота волновода, С — константа [141]. Напря-
Напряженности электрического и магнитного полей волны
д л()
, х) = -^- , H(t, x) = rot A<m\
Практический интерес представляет ТЕю-волна, для которой кри-
критическая частота не зависит от величины Ь. Вектор-потенциал и на-
напряженность электрического поля
£, х) = CA(m)(x) cos(ut-kz), А(т) = @, Л, 0),
А = J sin ^ , E(t, х) = СЕ^ sin (wt - fc^), Е<т) = (о, ^ , о),
где к = кю = тг/а. Эффективная потенциальная энергия
U(r) = — (-— sinz—.

Глава 6
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
6.1. Тензор инерции. Кинематика
6.1.1. Показать, что тензор инерции тела аддитивен по отношению
к частям, из которых это тело состоит.
Решение. Поскольку компоненты тензора /^ зависят линейно от
элемента dra, то для сложного тела, состоящего из частей Л, В, .. .,
получим
Iik(A + В + ...) = ЫА) + Iik{B) + ...,
d3x p(x.)
6.1.2. Найти тензор инерции половинки тонкого диска в системе
координат с началом в центре масс.
Решение. Согласно решению задачи 6.1.1 искомый тензор /^ =
= /^Bга)/2, где /^Bга) — тензор инерции диска массы 2га. В системе
координат, изображенной на рис. 6.1.2, диагональные компоненты
hi(m) = ^\dSу2, I22(m) = ^\dSх2, /33 = -^ [dS (х2 + у2),
тга J тга J тга J '
где а — радиус диска. Поскольку из-за симметрии области интегри-
интегрирования ^dSx2 = ^dSy2 = l/2^dS(x2 + у2) = тга4/4, то /п =
= /22 = гаа2/4, /зз = та2/2. Найдем теперь положение центра масс
половинки диска:
а тг/2
хт = —2JPdP j dip р cos ip=^, Ут = 0.
О -тг/2
Тензор инерции /j^ B системе координат с началом в центре масс и ося-
осями, направленными вдоль главных осей инерции, связан с тензором /^
соотношением
l\f = Iik-m{c26ik-ciCk), A)
где с = (—4а/3тг, 0, 0). Подставляя значения /^ в A), получим
тЫ) т т(гп) та2 2( 4 \2 Т(т) та2 М2

242
Динамика твердого тела
[Гл.6
6.1.3. В системе координат х, у, z тензор инерции имеет компо-
компоненты Iik- Найти тензор инерции I'ik в системе координат ж', у', z'\
xfa = Аархр, где Л — матрица поворота.
Решение. Заменяя в выражении
N
а=1
координаты х' через х: х'а =
, 6ар =
^с^, получим Ifa/3 =
6.1.4. Найти тензор инерции тонкой однородной прямоугольной
пластины относительно осей ж, у, z (рис. 6.1.4) (АВ = а, ВС = Ь).
х, х
Рис. 6.1.2
Рис. 6.1.4
6.1.5. Найти тензор инерции однородного шара.
Решение. В системе координат с началом в центре шара радиуса а
осевые моменты инерции
Очевидно, \dVx2 = \dV у2 = \dVz2 = A/3) \r2dV, поэтому Iik =
= 2ma2 dik/Ъ.
6.1.6. Найти тензор инерции однородной призмы, имеющей в осно-
основании равнобедренный треугольник.
Решение. Пусть L — длина призмы, h — высота равнобедренного
треугольника, а — длина его основания. Найдем тензор инерции l\k
в системе координат с началом в центре масс. С этой целью вычислим
предварительно тензор инерции 1ц. в системе координат с началом
в вершине О основания; плоскость ху расположена перпендикулярно
граням призмы и проходит через середины ребер призмы (рис. 6.1.6).

6.1]
Тензор инерции. Кинематика
243
В
Найдем вначале координаты хш и уш центра масс в плоскости ху:
учитывая уравнения прямых О В [у = 2hx/ а) и О А [у = — 2hx/a),
h ay/2h h ay/2h
xm = ^7 j dy j dx x = 0, ym = ^ j dy j dxy = -h.
0 ~ay/2h 0 -ay/2h
Осевые моменты инерции
L/2 h ay/2h
/ /
iu = y f dz\dy f
-L/2 0 -ay/2h
/22 = ""
m/i2
24
12
24
Am)
Недиагональные элементы равны нулю. Искомый тензор /^ связан
с Iik соотношением I)™' = Iik — m (a25ik — a^ak), где а = @, -2/з^5 0),
следовательно,
т(т) 1 I 2 i 1 г 2 г(«г) г г("г) ^ i 2 , 1 2
11 = 18 Ш 12 т ' ^2 = 22' *3 - 18 m/i + ^4 Ша *
Если основание является равносторонним треугольником, то
, v3 т(т) 1 2,1 г 2 г(т) 1 2
h = ~Т п' I1 36 + 12 т ' зз - g ша •
6.1.7. Известны скорость и ускорение точки А твердого тела. Найти
скорость и ускорение произвольной точки В тела.
6.1.8. Ориентацию твердого тела относительно референциальной
системы отсчета можно задать тремя углами Эйлера (р, в и ф, каждый
из которых связан с матрицами Л, В, С. Найти угловую скорость
твердого тела.

244 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Решение. В движущейся системе отсчета тензор угловой скорости
^а/З =Aai/A/9i/, A)
где Л — матрица преобразования х[ = Л^ж&, Л = С В А. Подставляя Л
в A), получим
о/ = (С В А + СВА + С В А) А-1 В'1 С'1.
В тензорных обозначениях
^а/з = CaiBijCpi'Bi'j'AjkAj'k.
Компоненты вектора угловой скорости
u's = -еза/3и>'аC. C)
Матрицы А, В, С соответственно равны
cos (p sin (p 0 10 0 cos ф sin ф 0
— sin (^ cos(p 0 , 0 cos^ sin# , — sin^fr cos^? 0 .
0 0 1 0 -sine cos(9 0 0 1
Далее, найдем матрицы CC~1, BB~1, AA~1:
0 ^ 0\ / 0 00\ о ф 0
^oo, о о ё , -^oo .
ooo/ \°-^°/ ooo
Учитывая эти выражения, получим отличные от нуля компоненты
антисимметричных тензоров uj'^ и ио'^:
/F) Л . , /F) Л I
Ш^3' = Q sin^, ^23 = ^ СОБф,
^12° = ^ c°s^ tJi3 — ^ sin^ cos^ о;2з = ^ sin# sin^
Таким образом, согласно B), C) найдем компоненты вектора угловой
скорости в движущейся системе отсчета:
aj[ = о;23 = Ф sin в sin ф + в соБф,
оог2 = CJ31 = ф sin 0 cos ^ - 0 sin ф,
^з — ^12 — Ф cos 0 + Ф-

6.11
Тензор инерции. Кинематика
245
Компоненты вектора а? в лабораторной системе: ujs = е^а/з/
u)af3 = hvochvp = Л^Л^. Подставляя Л = С В А, получим ш =
= а/а) + а/6) + а/с\ а/а> = А-1 А, а/6) = А^В^ВА, ио^ =
= А~1В~1С~1СВА. Вычисляя компоненты тензоров а/а\ ш^ь\ ио^с\
находим
а)
2 = Ф cos^,
F) л •
а;}3; = -в sin у?,
з — Ф coscp sin^,
= 0 cos у?,
^ — Ф simp
следовательно,
^i = ^23 = ^ cos (p -\- ф simp sin 0,
о;2 = ct?3i = 0 sin tp — ф cos у? sin 0,
ф + Ф COS 0.
6.1.9. Шар катится без проскальзывания, касаясь дна и стенок вер-
вертикального цилиндрического стакана. Найти кинетическую энергию
шара.
Решение. Мгновенная ось вращения проходит через точки Р и Q
соприкосновения шара с плоскостью дна и стенки (рис. 6.1.9). Центр
масс находится на расстоянии с = а/у/2 от этой оси; а — радиус шара,
Q
N
Рис. 6.1.9 Рис. 6.1.10
следовательно, 0 = R + [а?с], |R| = 1/д/2 и)а, где R — скорость центра

246
Динамика твердого тела
[Гл.6
масс. Положение шара зададим углом ср между фиксированной пря-
прямой ON в плоскости дна стакана, проходящей через центр О, и прямой,
соединяющей точку О и точку Р. Тогда Я2 = F — аJф2\ b — радиус
дна стакана. Кинетическая энергия шара — 9га F — аJф2 /10.
6.1.10. Блок массы М, радиуса 2г может вращаться вокруг непо-
неподвижной горизонтальной оси С (рис. 6.1.10). На оси блока закреплена
нить, намотанная на второй блок массы m<i\ другой конец нити при-
прикреплен к грузу массы т\ и намотан на первый блок. Нить не скользит
по блокам. Найти кинетическую и потенциальную энергии системы.
Решение. Мы имеем систему с одной степенью свободы. Введем
числовую ось х\ х\ — ж-координата груза, ж 2 — ж-координата оси
второго блока. Скорость груза V\ = ж. Очевидно, V\ = и)\2г, где ио\ —
угловая скорость первого блока. Скорость центра масс второго блока
V2 = Х2- Поскольку х + 2ж2 = const, то V2 = — ж/2. Угловая скорость
второго блока о;2 = х/2г. Следовательно,
т, 1
К = 2
М\ .2
~2)х '
0 —
Отметим, что скорости точек а и b на рис. 6.1.10 равны va = Уь = —х.
6.1.11. Двухступенчатый барабан с радиусами валов Я и г может
вращаться вокруг неподвижной горизон-
горизонтальной оси О\ (рис. 6.1.11). Осевой мо-
момент инерции барабана — 1\. Нить, намо-
намотанная на ступени барабана, охватывает
блок массы га2- Нить не скользит по блоку
и барабану. Найти кинетическую энергию
системы.
Решение. Мы имеем систему с одной
степенью свободы: угол поворота барабана
(р однозначно задает положение системы.
Обозначим х — координату центра масс
блока. Поскольку 2х — (R — г) (р = const,
то скорость центра масс блока х = (R —
— r)u>i/2, где LJi = ф — угловая ско-
скорость барабана. Найдем теперь угловую
скорость блока иJ- Поскольку скорости то-
точек а и b на рис. 6.1.11 va = Ruii, Уь =
— х + (R + r) Ш2/2 одинаковы, то шъ — ш\.
Следовательно, кинетическая энергия
Рис. 6.1.11
6.1.12. Стержень О Л, вращающийся вокруг горизонтальной оси,
соединен шарниром со стержнем АС. Конец стержня С связан шар-
шарниром с ползуном, движущимся по горизонтальным направляющим.
К стержню О А приложен постоянный момент силы N, к ползуну
приложена постоянная сила F (рис. 6.1.12). Массы каждого стержня га,

6.2]
Уравнения Эйлера
247
////////////// р '///////.
Рис. 6.1.12
длина — а, масса ползуна М. Найти кинетическую и потенциальную
энергии системы.
Ответ: К =
| + 9 sin2y>
+ 2М а V,
U = mga sin cp — Ncp — 2Fa cos у?.
6.2. Уравнения Эйлера
6.2.1. Записать уравнения Эйлера в тензорной форме.
Ответ.
= — Fa,
ТП
6.2.2. Однородный стерж:ень А В движется в вертикальной плос-
плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку А. Найти
закон движения стержня и силы реакции,
действующие со стороны оси.
Решение. Направим орт ез подвижной
системы координат по стержню. Обобщен-
Обобщенной координатой является угол в между
вертикалью и ортом ез, следовательно, уг-
угловая скорость а? = ве2 (см. рис. 6.2.2).
Радиус-вектор центра масс R = /е3/2,
где / — длина стержня, момент стержня
М = /0е2- Момент инерции относительно
точки A I = ml2/3. Скорость центра масс
v = R = 1[ше'3]/2 = 1ве[/2. Уравнения
Эйлера в координатах имеют вид
mvn
га [wv]n = mgn + Ne'n, A)
B)
Рис. 6.2.2

248 Динамика твердого тела [ Гл. 6
где N — реакция оси. Из A), B) находим
\mlO = -mg sine+ N[, C)
A
0 = N'2, D)
--mie2 = mg cos0 + TVg, E)
A
10 = -\mgl sin в. F)
Из последнего уравнения следует первый интеграл
\lO2 - \mgl cos (9 = Е
А 2
и решение в квадратурах
Г d6 . „
- [е + - mgl
После определения 6(t) найдем компоненты силы реакции
G)
cos0 - -j- . (8)
Из G) следует интересная особенность: реакция имеет компоненту N[.
В случае математического маятника длиной 1/2 величина N[ = О,
поскольку / = га(//2J.
6.2.3. Удар стержня о преграду. Центр удара. Закрепим
тонкий прут параллельно оси вращения стержня и пересекающий ось z
в точке К на расстоянии Zk = h от оси (рис. 6.2.3). В начальный момент
времени стержень А В отклонен на угол в = —во. Найти условие, при
котором поперечная компонента силы реакции при ударе равна нулю.
Решение. При ударе по пруту на стержень действует сила Т =
= (—Т, 0, 0) со стороны прута; момент силы М = @, — Т/г, 0). Полагая
в = 0 в уравнениях C), F) задачи 6.2.2, получим систему уравнений
i mW = N[-T,
А
10 = -hT,
из которой находим N[ = Т A — mlh/21). При значении h = 2//ml =
= 2//3 поперечная компонента силы реакции обращается в нуль. В этом
случае точка К называется центром удара. Вращающиеся ударные

6.2]
Уравнения Эйлера
249
►N,
Рис. 6.2.3
Рис. 6.2.4
устройства (маятниковые копры, курки ружей и т.д.) конструируются
так, чтобы точка К была по отношению к оси вращения центром удара.
6.2.4. Вертикальная ось и прикрепленный к ней стержень образуют
угол а. Эта система вращается с постоянной угловой скоростью. Найти
реакцию опор оси.
Решение. Пусть М — середина стержня (см. рис. 6.2.4), AM = a,
ВМ = 6, длина стержня равна /, угловая скорость — luq. Поскольку
скорость центра масс равна нулю, то 0 = rag + N^ + N#. Из этого
уравнения находим N# = —rag + Ny, Ny = -N^. Радиусы-векторы
точек приложения сил реакций гд = МА = ае, г в = MB = —be (e —
единичный вектор, параллельный В А). Поэтому момент сил реакции
и силы тяжести
L = [vaNa] + [rBNB] = (о + 6) [eN^].
Поскольку а? = (а;о sin а, 0, luq cos а), М = (/а;о sin а, 0, 0), то, про-
проектируя второе уравнение Эйлера
[wM] = (а + b) [eNA]
на ось у', получим Л/д = Iujq sin a cos a/(a+b). Таким образом, несмот-
несмотря на то что центр масс неподвижен, асимметрия системы приводит
к возникновению сил давления со стороны оси на подшипники.
6.2.5. Шар катится без проскальзывания по внутренней поверхно-
поверхности вертикального цилиндра. Найти закон движения и силы реакции.
Решение. Рассмотрим решение задачи в цилиндрических координа-
координатах с ортами е\. Радиус-вектор центра масс шара
R = pei + ze3, p = с- а,
где с, а — радиусы цилиндра и шара. Поскольку ёд = ^[езвд], то
производная угловой скорости шара а? = ш\е\ равна
A)

250 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Уравнения Эйлера имеют вид
raR = rag + N, B)
/^ = a[e1N], C)
где N — сила реакции. Дифференцируя уравнение связи
R + a [wei] = 0, D)
найдем соотношение
R=y[ei[eiN]]-a£[we2]. E)
Подставляя E) в B), получим уравнение
ша2 / тчт\ Л , ша2\тчт , • Г Л
—J- ei (eiN) - ^1 + —— IN = rag + гаа^ [а?е2],
из которого найдем силу реакции N = N\e\:
Ityi
7Vi=raa^a;3, Д^2 = 0, N3 = -— (g3 + афил). F)
Теперь, учитывая уравнение связи D),
z = аои2, рф =—аоиз, G)
мож:но получить из B) и F) систему
£ f £ff3. (8)
Зададим следующие начальные условия: R@) = ре\ + ^овз, R@) =
= pfte2 + ioe3- Тогда из (8) получим у> = П. Для определения a;i, a;2
достаточно записать проекцию уравнения C) на орт ei. Учитывая A),
получим из C)
O7i - ftu;2 = 0. (9)
Решение уравнений (8), (9)
u,2 = f cos fflt, «i = ^§ + f ^- fn*. A0)
Интегрируя первое уравнение G), находим
, io 7 . 2
^ = ^° ТТ 2 Sm 7

6.2] Уравнения Эйлера 251
Из F) следует зависимость N\(t):
gs + z0Sl j sin - mj .
6.2.6. Шар на вращающейся плоскости. Шар движется без
проскальзывания по шероховатой горизонтальной плоскости, вращаю-
вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ft.
Найти решение уравнений Эйлера.
Решение. Введем орт е, перпендикулярный плоскости. Уравнения
Эйлера имеют вид
raR = rag + N, A)
J« = -a[eN], B)
где N — сила реакции плоскости, а — радиус шара, / = 2та2/5.
Скорость точки касания шара с плоскостью
[ПК] = К - [we] а. C)
Дифференцируя уравнение связи, получим
2
R = [ПК] + [we] а = [ПК] - у [[eN]e], D)
где ft = fte — угловая скорость вращения плоскости. Из A), D) следует
уравнение
tvt (л та2\ та2 , _тЧ г^хЧт
N11 + —— J j-e(eN) = -rng + ш[ПК],
связывающее скорость шара и силу реакции N = N^ + Ny,
N_L = -mg, N,, = |m[nR]. E)
Подставляя E) в A), получим уравнение
f F)
Выберем начальные условия в виде К@) = Ко, К@) = [ПКо]. Из F)
получим систему х = —2fty/7, у = 2£1х/7, решение которой
7 2 7 2 5
х = ~ ^ Уо sin - ftt 4- - х0 cos - ftt - - х0, G)
7 2 7 2 5
У = g 2/о cos - Sit + - Xq sin - ftt - - Уо- (8)

252 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Таким образом, центр масс шара движется по окружности радиусом
G/2) Xq + у\ с центром в точке с координатами (—5жо/2, —Бг/о/2, 0).
Угловая скорость вращения центра масс не зависит от начальных
условий. Подставляя E) в B), получим уравнение и? = E/7а) ПК, из
которого следует, что вертикальная составляющая а; остается постоян-
постоянной:
6.2.7. Переход скольжения шара в качение на неподвиж-
неподвижной плоскости. Шар, скользящий по неподвижной горизонтальной
плоскости, начинает катиться. Найти решение уравнений Эйлера.
Решение. Введем вектор е, перпендикулярный плоскости, и век-
вектор г, соединяющий начало координат с точкой Р касания шара и
плоскости. Радиус-вектор центра масс К = г + ае. Сила реакции
плоскости N = rag + Т. Пусть u(t) — скорость точки шара Р, касаю-
касающейся плоскости. Тогда сила трения скольжения Т = —fimgep, где
ji — коэффициент трения скольжения, ер = и/и — единичный вектор.
Систему уравнений движения
mv = Т, A)
/w = -o[eT], B)
дополним соотношением
и = г - а [а?е], C)
связывающим скорости центра шара С и точки касания Р. Теперь диф-
дифференцируем C) и преобразуем правую часть, используя уравнения A),
B), также как в задаче 6.2.6. В результате следует уравнение
^„. D)
Начальное значение u@) = Uo- Образуя скалярное произведение D)
с вектором и, получим уравнение
решение которого
^ u(t) = 0, t>tc
В момент времени tc скольжение шара переходит в качение. Из урав-
уравнений D), E) следует, что ер — постоянный вектор:
dep й и Л uo
—г- = и -^ = О, ер^с= — .
dt и и ио

6.2] Уравнения Эйлера 253
Теперь уравнения A), B) приобретают вид
г = -/xg-c, F)
вс]. G)
ли.
Очевидно w(t)e = 0, о?(£)с = 0. В интервале времени 0 ^ t ^ tc
решение уравнений F), G)
r(t) = r@) + v@) t - \ figct2, (8)
Направим ось z параллельно вектору е. Пусть в начальный момент
времени г@) = 0
v@) = (г?1, v2, 0), v2 > 0, ^@) = (o;i, ш2, о;з), оо2 = — .
а
Тогда и@) = @, v2 + u)ia, 0), с = @, 1, 0). Отметим, что при движении
шара без проскальзывания v2 + uj\a = 0. Поэтому шар начинает
скользить. Из (8), (9) получим
x(t) = vit, y(t) = v2t — -
A
UJx(t) = UJ\ — t, My(t) = 6^2, Mz(t) = LJ3.
В интервале времени 0 ^ t ^ tc шар движ:ется по параболе. Пола-
Полагая vy(to) = 0, находим to = v2/fig, oox(to) = wi — bv2/2a — шар
по-прежнему скользит по плоскости. В момент времени tc значения
скоростей
vxc = vx(tc) = vu vyc = vy(tc) = - (bv2
При t > tc выполняется соотношение v2 + ouia = 0 — шар движется
без проскальзывания с постоянной скоростью v = (i?i, vyc, 0). Если на-
начальное значение угловой скорости uji > 5v2/2a, то tc > to, vyc <
< 0; при значениях t > to шар скользит в отрицательном направлении
оси у по параболе, а при переходе в режим качения движется по
прямой — игроки на биллиарде знают, как заставить шар вернуться
назад. При v\ = 0 шар движется по оси у в обратном направлении,
так же как «закрученный» обруч на соревнованиях по художественной
гимнастике.

254 Динамика твердого тела [ Гл. 6
6.2.8. Движение катушки по плоскости. Катушка ниток нахо-
находится на шероховатой горизонтальной плоскости. К нити приложена
постоянная сила F (рис. 6.2.8). Найти скорость центра масс и угловую
скорость вращения катушки (га — масса катушки, 6 — радиус бобины,
а — радиус обода, осевой момент инерции катушки — /).
Решение. Шероховатая горизонтальная плоскость задана уравне-
уравнением у = 0. Скорость центра масс катушки v(t) = (v, 0, 0) и угловая
скорость u(t) = @, 0, uj).
На катушку действуют сила трения Т = (Тж, 0, 0), сила тяжести
rag = @, —rag", 0), сила реакции N = @, 7V, 0) и внешняя сила F =
= (F cos a, F sin а, 0), где а — угол между вектором F и осью х.
Из уравнений Эйлера получим систему
N-mg + F sin а = 0, A)
т^- = Fcosa + Tx, B)
I^ = bF + aTx. C)
Скорость точки обода, касающейся плоскости, u(t) = (и, 0, 0), и = v +
+ аш.
А. Рассмотрим вначале режим чистого качения. В этом случае и =
= 0, v = — gluj. Из уравнений B), C) получим
тх--
paBi
dv
dt
- F
= F
I cos a + mab
I + ma2
a (a cos a — b)
I + ma2
Очевидно, при значении а = а&, cosa& = Ь/а ускорение равно нулю.
Этот результат очевиден из теоремы о трех силах. Если 0 < а < а&, то
v(i) > 0, uj(i) < 0 — катушка движется в положительном направлении
оси х. Нить наматывается на катушку
Б. Рассмотрим режим скольжения катушки. Пусть начальные зна-
значения v@) = 0, о;@) = о;о: катушку раскрутили и поставили на плос-
плоскость. Начальная скорость точки касания обода с плоскостью и@) =
= aujQ > 0. В этом случае катушка начинает скользить по плоскости.
Вектор с = u@)/|u@)| = A, 0, 0); поэтому проекция силы трения Тх =
Теперь необходимо ответить на вопрос: возможен ли переход сколь-
скольжения в чистое качение? С этой целью, дифференцируя уравнение и =
= v + аио по времени и учитывая уравнения B), C), получим
du dv duo
+
mw
at at at
^( , mab\ , „ . 4/1 , ma2\
= FI cos a H — J - ji [mg — F sin a) ( Ц — J.

6.2]
Уравнения Эйлера
255
N
ada
Рис. 6.2.8
Рис. 6.2.9
Если w > О, то движение катушки не перейдет в режим качения.
6.2.9. На горизонтальной шероховатой плоскости лежит однород-
однородное кольцо. Кольцо раскрутили вокруг вертикальной оси симметрии
и сообщили ему начальную скорость. Найти закон движения кольца по
плоскости.
Решение. Пусть R — радиус-вектор центра кольца, R — скорость
центра масс кольца, а? — угловая скорость, а — радиус кольца. На каж-
каждый элемент длины дуги a da кольца действует сила
= -kmg--,
v = R + [um] a,
где к — коэффициент трения, п — единичный вектор (рис. 6.2.9).
Интегрируя, находим
2тг
Г А
F = -kmgti -^ [R2 + ш2а2 + 2Ruoa sin a]
kmgll
-1/2
7г V Яиз а
где Q-i/2(x) — функция Лежандра второго рода [5]. Упростим задачу,
ограничиваясь рассмотрением ситуации, в которой из ^> |R|/a. В этом
случае из A) находим F ~ — (kmg/иза) R. Момент сил трения относи-
относительно центра масс
L = а \[п d¥] ~ —kmga — .
J из
Уравнения движения кольца в режиме быстрого вращения имеют вид
B)
к я~ к я~
х = х, у = у. Iuj = —kmga.
иза иза

256 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Начальные условия R@) = (г?о, 0, 0), ^@) = шо ^> vo/a. Из уравнения
B) получим
Эти решения справедливы при условии иоа ^> \х\. Таким образом,
быстрое вращение кольца приводит к тому, что его скорость уменьша-
уменьшается по линейному закону, причем эффективный коэффициент трения
кэф = kvo/ujoa <С к.
6.2.10. Записать уравнения Эйлера для осесимметричного тела
в подвижной системе координат с осью z', осью узлов £ и третьей осью,
перпендикулярной к осям z', £.
Решение. При исследовании движения осесимметричных тел (h =
= I2 ф h) удобно воспользоваться «проскальзывающим» репером.
Орт пз направим по оси симметрии тела. Он образует угол в с осью z.
Другой орт ni направим по линии узлов в плоскости ху. Он образует
угол <р с осью х неподвижной референционной системы координат,
третий орт n2 = [n3ni]. Обозначим ед (А = 1, 2, 3) — орты рефе-
референционной системы координат. Тогда
ni = cos <p ei + sin <p в2,
П2 = — sin <p cos в е\ + cos <p cos в в2 + sin в ез,
пз = sin <p sin 0 е-[ — cos <p sin 0 в2 + cos 0 ез-
Угловую скорость подвижного репера обозначим ft. Пусть ш — угловая
скорость тела. Поскольку вращение репера не связано с изменением
угла ф, то, полагая ф = 0, ф = 0 в эйлеровых формулах для а?, найдем
проекции а? и П на орты репера пд:
fi = @, у> sin#, ф cosO), ш = (£li, H2, И3 + ^).
Первое уравнение Эйлера wv = F в координатах имеет вид
mva 4- meap7ilpvlf = Fa.
Момент импульса
М = / @ni + ф smO n2) + /з (ф cos6 + ф) п3.
Поскольку пд = [Ипд], то уравнение Эйлера М = L приобретает вид
Iuji 4- (^2^з^з - ^з^2^) = Ь\, A)
Iuj2 + (^3^1/ - ^1^3/3) = I/2, B)
/Зо;з = L3. C)

6.2] Уравнения Эйлера 257
Заметим, что уравнения A), C) могут быть представлены в виде
_^ дК_ _ ЬК^ _ d дК _
dt дв дв ~ ь dt дф " 3'
где К — кинетическая энергия вращения,
К = \ I (в2 + ф2 sin20) + \ h (Ф cos в + фJ.
6.2.11. Диск и стержень, прикрепленный к его центру перпендику-
перпендикулярно поверхности, образуют жесткую систему. Другой конец стержня
шарнирно закреплен в точке на расстоянии равном радиусу диска от
горизонтальной шероховатой плоскости, по которой диск катится без
проскальзывания. Найти реакции связей в точке шарнирного закреп-
закрепления и в точке касания диска с плоскостью.
Решение. На рис. 6.2.11 Р — точка соприкосновения диска с плоско-
плоскостью, А — основание оси, длина штанги ОМ = h, радиус диска МР =
= а. Положение любой точки диска определяется углом между пря-
прямой АР и произвольной фиксированной прямой, проходящей в горизон-
горизонтальной плоскости через точку А. При равномерном вращении диска
ф = Но, угловая скорость диска а? направлена параллельно мгновенной
оси вращения РО: а? = £1ое — (h/a) ^0^3, где е — единичный вектор,
параллельный АО. Радиус-вектор центра масс R = /ге3, скорость
центра масс R = h [Г1е'3] = JiCLq [ee'3]. Ускорение центра масс
R = Шо [е [и?е'3]] = -Ш^е'3.
Из уравнения Эйлера — mhQ,Qef3 = rag + Np + N находим
l = Ns, A)
где Щ = Ne. Поскольку момент импульса М = Шое — /3 (h/a
то
Из второго уравнения Эйлера получим
-73 - ^о [ее'3] = [fte'3e] (NP - mg),
следовательно, Np = mg + /3^01а- Подставляя в A), находим N\\ =
6.2.12. Диск катится по шероховатой горизонтальной плоскости.
Найти условие устойчивости при движении диска в вертикальной плос-
плоскости.

258
Динамика твердого тела
[ Гл. 6
Рис. 6.2.11
Рис. 6.2.12
Решение. Используя систему координат, введенную в задаче 6.2.10
(рис. 6.2.12), запишем условия качения без проскальзывания: 0 = v —
[], где а — радиус диска. Ускорение центра масс
R = a\ —— n2 4- a [ft [o?n2]].
Ha диск действуют сила тяжести mg и сила реакции N. Учитывая, что
g = —gez,ez = n2 sin в + n3 cos 0, из уравнения Эйлера raR = mg + N
получим
ma (—ujs + ^1^2) = N1, A)
-та (uj\ 4- о;3^3) = —mg sin 0 + N2, B)
ma (d;i 4- W3W2) = —mg cos 0 + N3. C)
Из уравнения Эйлера для момента импульса найдем систему
Iuji 4- (о;2о;з/з - ^3^2/) = ~aN3, D)
/ 4- (^3^i/ - u)iu)sh) = 0, E)
F)
Исключая o;i?3 из A), C) с помощью D), F), получим компоненты
силы N:
iVi = та -j- ujiuj2,
N3 = jrlrng cosO 4- таи>2Шз\1 - у) 4- таи;2^з |,
где /з = /з 4- ша2, I' = I + та2. Подставив эти выражения в D), C),
получим уравнения, содержащие только активные силы:
G)
(8)
(9)
I'uji = —mga cos 0 4-
/о;2 = cji @J3I3 -Ct31).

6.2] Уравнения Эйлера 259
Из этих уравнений следует первый интеграл
i (I \ £ sin (9 = #.
Рассмотрим теперь движение диска с начальными условиями ф@) =
= 0, 0@) = О, ф@) = о;о, 0@) = тг/2, которые соответствуют качению
в вертикальной плоскости по прямой со скоростью vo = ио^а. Для иссле-
исследования устойчивости положим 0 = тг/2 + ж (|ж| <С 1), ^ = о;о + £, |е|,
\ф\ <^С о;о. В этом случае oji ~ ж, о;2 — у>, о;з — <^о + ^5 ^з — 0. Оставляя
в G)-(9) только члены первого порядка малости, получим систему
+ Мг, A0)
I'х = mgax — 1'3
следовательно,
1'х + (^ ш20 - mga
) х = wo f Мг. A1)
Если /3/3^0 > mgal, то движение диска устойчиво относительно
возмущений. Для диска (/з = 2/, / = та2/А) получим Vq > ga/3,
для обруча — Vq > ga/A. Компоненты реакции
iVi = та — хф, N2 = mg cos x — max2,
h
N3 = jj \-mgx 4- mauj0^1 - уJ^J.
Из A0), A1) получим
Для диска к2 = 4 Co;q - g/a)/5, для обруча к2 = 2 (Aujq - g/a). Таким
образом, при незначительном отклонении диск движется не по прямой,
а в окрестности окружности радиуса IГ к2 / (I$mg\x@)\).
6.2.13. Осесимметричное тело вращается вокруг оси, которая жест-
жестко связана с некоторым движущимся объектом. Угловая скорость отно-
относительного движения равна постоянной величине фо. Ориентация оси
определяется углами Эйлера 0 и (р. Определить момент сил реакции
при известном маневре объекта.
Решение. Согласно условию задачи закон движения тела известен:
скорость центра масс тела v = v(t), 0 = 0(i), <p = (p(t), ф = ip(t).

260 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Из первого уравнения Эйлера находим равнодействующую сил, прило-
приложенных к вращающемуся телу (см. задачу 6.2.10),
Момент сил реакции относительно центра масс представим в виде
Li = /ili + (J3 - I) П2П3 + П2<ф13,
ь2 = т2 - (/3 - ^
L3 = /3^
В большинстве практических приложений скорость центра масс и ори-
ориентация объекта изменяются адиабатически медленно: \Ctn\ <С П^,
Щ < |^о|, \Ф\ < |^О|. В этом случае L ~ [ПМ0], где Мо =
= @, 0, 1зфо) — вектор собственного момента импульса тела. Следова-
Следовательно, при движении объекта по криволинейной траектории
F = m[f2v], Ь = [ПМ0].
Вектор Jjg = — [fiMo] называют гироскопическим моментом сил, дей-
действующих на объект со стороны вращающегося тела [85, 142, 143]. На-
Например, при движении по окружности со скоростью v угловая скорость
объекта и гироскопический момент
В случае движения мотоцикла (vMo = 0) гироскопический момент
Jjg = v (MoF)/(mv2). Для одномоторного самолета (FMo = 0) имеем
Lg = -F(Mov)/(mv2).
Пусть горизонтально расположенная ось гироскопа массы т за-
закреплена на двух подшипниках в точках а и 6, со стороны которых
действуют силы реакции Na и N5. Поместим начало подвижной си-
системы координат К1 в центр масс гироскопа. Сумма моментов всех
сил относительно центра масс L = [raNa] + [^N5]. Полагая гь =
= -га = с, получим L = [с (N& - Na)]. Представим Мо в виде Мо =
= сМо/е. Следовательно, dM0/dt = [ПМ0], (М0/с) [Пс] = [с (Nb -
— Na)]. Отсюда следует важный результат
Сумма моментов сил, действующих со стороны оси гироскопа на под-
подшипники Jjg = — [17Мо], или lig = Мо [с17]/с. Вводя единичный вектор
пз = с/с, полезно представить hg в виде Lg = (Juj^o) г ^"

6.2] Уравнения Эйлера 261
Отметим, что при движении объекта с постоянной скоростью из
уравнений
О = mg + Na + N6, Na - N6 = 0
получим Nfc = Na = -mg/2. Соотношение A) представляет собой
основной результат теории быстровращающихся гироскопов: если к оси
гироскопа приложить пару сил, то он приобретает угловую скорость ft
или наоборот — при повороте гироскопа изменяются силы реакции.
6.2.14—6.2.15. Гироскопический момент. Ось ротора турбины
расположена вдоль оси корабля и закреплена двумя подшипниками
в точках а и 6 на расстоянии / друг от друга (рис. 6.2.14).
6.2.14. Корабль выполняет поворот по окружности радиуса R с уг-
угловой скоростью ft = fini. Угловая скорость вращения турбины —
uj ^> Ct. Найти силы давления на подшипники при движении корабля.
Решение. Момент сил реакций Na и N&, действующих на ось турби-
турбины L = (//2) [пз (Nfc — Na)]. Поскольку Mo = М0П3, то имеем систему
уравнений
^l , A)
из которой находим
Ne, ь = \ (т [ПК] - mg ± | Mofi). B)
Подставляя в B) R = Дп2, R = R [Пп2] = Q,Rn3, получим
N6 = (i mg - £ шп, -\ mU2R, о),
Na = (i mg + ^ wfi, -\ mU2R, o).
Силы давления на подшипники Р&? а = — Т$ь,а- Гироскопический мо-
момент \jg = [МП] = /зо;Г£п2, создаваемый парой сил давления на
подшипники, приводит к смещению носа корабля вверх и кормы вниз.
Аналогичный эффект возникает при плоском развороте одновинтового
самолета.
В разделе физики, известном как «Физики шутят», упоминает-
упоминается о розыгрыше, автором которого был выдающийся американский
физик-экспериментатор Роберт Вуд. Перед поездкой он укрепил в че-
чемодане гироскоп. Вышел из вагона, запустил гироскоп с помощью
ремня и подозвал носильщика. Когда они огибали угол, чемодан стал
разворачиваться в вертикальной плоскости и вырвался из рук испуган-
испуганного носильщика.
6.2.15. Найти гироскопический момент и силы давления, возникаю-
возникающие при килевой качке с угловой скоростью ft = fl(t) ri2-
Решение. Полагая в B) задачи 6.2.14 R = 0, получим
Nb(t) = (i mg, -^ шП, О), Ne(t) = (^ , у шп, о).

262
Динамика твердого тела
[Гл.6
Гироскопический момент Lg-(t) = [М17] = — /3o;fJni, порождает выну-
жденные колебания оси корабля в горизонтальной плоскости.
Рис. 6.2.14
Рис. 6.2.16
6.2.16. Используя метод усреднения, определить движение быстро-
быстрого осесимметричного волчка с закрепленной точкой.
Решение. Пусть R — радиус-вектор центра масс, проведенный из
точки закрепления. В отсутствие поля тяжести из уравнения Эйлера
М = [Rmg]
A)
находим М = Mq. Ось волчка нутирует вокруг постоянного вектора М
с угловой скоростью Пн = М/7. Угол а на рис. 6.2.16 определяется
соотношением cos а = Мо//зПо-
Мо//зПоследующее приближение описывает движение вектора М с угловой
скоростью ш. Для определения ш усредним A) по периоду нутации:
м
(R) = -/cosa. B)
Подставляя B) в A), получим уравнение
• ml г .. _,
М = — — cos a [gMJ,
из которого находим а; = —mlM~l cosag. Следовательно, вектор М
прецессирует с угловой скоростью ш.
6.2.17. Задача Фейнмана [175, с. 170]. Тонкий диск запустили
вверх с подкруткой так, что плоскость диска параллельна вертикальной
плоскости. Найти частоту колебаний диска вокруг вертикальной оси.
Решение. Поскольку момент силы тяжести равен нулю, то из урав-
уравнений, полученных в задаче 6.2.10, следуют три интеграла:
/Зо;з = М3, IuJ sin в + М% cos в = М3, - {и)\ + ш%) = const.

6.3] Уравнения Лагранэюа 263
В обозначениях задачи 6.2.10 начальные условия 0@) = тг/2, ф@) = 0,
0@) = 0о, ^@) = о;3о- Следовательно, М'ъ = /за;зо, М3 = 0,
1ф sin20 + /3^30 cos 0 = 0, A)
\@2 + ф2вт*б) = \91 B)
Подставляя у> из A) в B), получим уравнение
\Р + и@) = \%, и(в) = \(^р)\ЧЧ. C)
В равновесном положении 0 = 0eq, 0eq = тг/2. Полагая в C) 0 = тг/2 +
+ ж, |ж| <^С 1, получим уравнение
В случае тонкого диска 1% = 21, uj$ = 2о;зо-
6.3. Уравнения Лагранжа
6.3.1. Лагранжиан твердого тела
L(R, R, а„, о„) = у R2 + \ 1%]и'аи'р - ЩП, а„),
где ап — углы Эйлера. Показать, что обобщенные импульсы и произ-
производные лагранжиана по эйлеровым углам являются проекциями мо-
момента импульса тела М и момента внешних сил L на ось z, ось узлов
и ось z'.
Решение. Направляя координатные оси системы координат К1, свя-
связанной с твердым телом, по главным осям инерции, получим момент
импульса
и кинетическую энергию
К(а,а) = \1^ш>1 B)
Угловая скорость твердого тела
ш = фе3 + Oez + фе'3, C)
где е^ — орт в направлении оси узлов. Компоненты угловой скорости
в движущейся системе
ш'п = (ше'п) = ф (е3<) + 6 (e^e'J + ф (е'3е'п). D)

264 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Учитывая A), D), получим
- Цк_ - см ) - м - дк
дв дф
Потенциальная энергия взаимодействия твердого тела с другими тела-
телами
N
t/(R, а„)= П(гв), ra = R + r'a.
а=1
Моментом силы, действующей на твердое тело, называют вектор
N
L(R, ап) = - jra ^j.
a=l
Подставляя ra = R + r'a, получим L(R, an) = [R, F] + L<m)(R, an),
F(R,an) = - |^ = -|g, LW(R,an) = - [r'a g].
a a=l
Приращение f/(R, an) при бесконечно малом повороте твердого тела
AU = Е(дП/дга) Аг'а. Поскольку
а
Дг'а = [Шг'а] At = [е3г'а
ТО
—AU = +1/т)езА<^
следовательно,
6.3.2. Найти лагранжиан, описывающий движение однородного
стержня вблизи поверхности Земли. Перечислить первые интегралы.
Решение. Положение стержня определяется радиусом-вектором
центра масс и углами Эйлера. Искомый лагранжиан
L = Ц (i2 + у2 + i2) + \ I {О2 + ф2 si
+ i /3 (<£ cos 0 + фJ - mgz. A)
Из A) видно, что движ:ение центра масс и вращение стержня независи-
независимы (в отличие от движения в неоднородном поле тяжести). Первыми

6.3] Уравнения Лагранэюа 265
интегралами являются полная энергия стержня, полная энергия центра
масс, горизонтальные проекции импульса центра масс и вектор момен-
момента импульса стержня.
6.3.3. Тонкий стержень скользит по вертикальной неподвижной ни-
нити, проходящей через отверстие, проделанное в его середине. Записать
лагранжиан, найти решение уравнений движения.
Решение. Система имеет три степени свободы. Вводя в качестве
обобщенных координат эйлеровы углы 0, ср и координату центра масс z,
получим лагранжиан
L = II i2 + i1 (в2 + ф2 sin20) - mgz.
А А
Из уравнения Лагранжа mz = —mg находим z = zo + z$t — gt2/2. Два
интеграла имеют вид
I(psin2O = Mz, A)
\l (О2 + ф2 sin20) = E. B)
Полагая и = cos#, получим из A), B)
Дифференцируя, получим уравнение
u + a;2u = 0, co2 = ^f-. C)
Пусть (9@) = 0о, Ф@) = wo, 0@) = 0. Тогда о;2 = и2 sin2(90. Решение
уравнения C)
cos 0 = cos во cos (ljq sinQot). D)
Подставляя D) в A), получим
g(cd0 sin60t)
6.3.4. Найти лагранжиан твердого тела в неинерциальной системе
отсчета, вращающейся с угловой скоростью ft(t).
Решение. Кинетическая энергия тела
К=\ Jrfm(r+[fir]J A)
Пусть R — радиус-вектор центра масс, ш — угловая скорость твердого
тела, r = R + r',r = R+ [wr'j. Из A) получим
= ^ (R + [SIR]J + \ Jdm [(П

266
Динамика твердого тела
[Гл.6
Последнее слагаемое можно записать в терминах тензора инерции,
эйлеровых углов ап и производных ап:
Лагранжиан твердого тела
L = у R2 + -
- Uo6,
Uo6 = -
t/(R, ап).
6.3.5. Конец невесомой нити, намотанной на обруч, закреплен
в некоторой точке. Записать лагранжиан,
описывающий движение обруча в верти-
вертикальной плоскости.
Решение. В качестве обобщенных ко-
координат введем угол в отклонения нити
от вертикали и длину нити s (рис. 6.3.5).
Декартовы координаты центра масс х =
= s sin в + a cos в, у = s cos в — a sin 0, где
а — радиус обруча. Следовательно, кинети-
кинетическая энергия центра масс т [(s — 0аJ +
+ 02s2~\ /2. Для вычисления энергии враще-
вращения перейдем в систему отсчета, вращаю-
вращающуюся с угловой скоростью 17 = @, 0, —
— в). В этой системе угловая скорость об-
обруча ш = @, 0, s/a). Энергия вращения
/ (и + пJ/2 = та2 (s/a - вJ/2. Таким об-
образом, кинетическая энергия К = та2 (s —
— авJ + ms2O2/2. Потенциальная энергия U = —mg (s cos 0 — a sin в).
Уравнения Лагранжа
Рис. 6.3.5
— 2 (s - ав) = g cos в + m(92s,
(Ли
-^ [-2 (s -ав)а + Os2] = -g (s sin в + a cos 0).
A)
B)
Найдем частное решение 6(i) = С. Из условий совместности системы
A), B) получим 0(t) = О, S = g/2.
6.3.6. Концы тонкого стержня скользят по параболе с вертикально
расположенной осью. Найти частоты линейных колебаний стержня.
Решение. Уравнение параболы у = х2/2а. Выберем в качестве
обобщенной координаты угол 0, образуемый стержнем и осью х. Пусть

6.3] Уравнения Лагранжа 267
ri (r2) — радиус-вектор левого (правого) конца стержня длиной /, R —
радиус-вектор центра масс. Тогда
XI, 2 = Хш Т - / COS 0, У1,2=УтТ 2l SlYl в-
Подставляя эти выражения в уравнение параболы
1 • л 1 ( 1 А2
Ут Т 2 sm0 = 2а \Хт Т 2 C°S J '
находим
хш = a tg (9, Vm = ja-{12 cos2(9 + 4а2 tg2(9).
Лагранж:иан стержня в поле тяжести
L = —j—h —-г- cos^ sin# + а 9 + —— в —
2 [4в V 4 20/ J 24
—j—h —-г- cos^ sin# + а 9
2 [cos4в V 4а cos20/ J
!М (/2 cos2(9 + 4a2 tg2(9).
oft
Пололсения равновесия — 0X = 0, cos^2 — 2a/I. Вычисляя d2U/d02,
находим частоты колебаний
2 3g 4ft2 - I2
j-i = 9 9 , / < la.
1 a 12ft2 + I2 '
6.3.7. Диск катится без проскальзывания по внутренней поверхно-
поверхности параболоида вращения. Найти частоту линейных колебаний диска
при движении в вертикальной плоскости.
Решение. Пусть уравнение параболоида имеет вид z = (х2 -\-у2) /2с.
В качестве обобщенной координаты выберем значение проекции точки
касания диска Р с параболоидом на ось х (рис. 6.3.7). Координаты
центра масс хт = х — a sin а, хш = х2/2с + a cos а, здесь а —
радиус диска, а — угол наклона касательной в точке Р, tga = х/с.
Следовательно,
— X
Кинетическая энергия диска К = М(х)х2/2,
Л/Г/ ч Зт

268
Динамика твердого тела
[Гл.6
Потенциальная энергия диска
имеет минимум при х = 0. Если в точке х = 0 радиус кривизны
параболоида с > а, то значение второй производной
Квадрат частоты линейных колебаний со2 = (f//r@)/M@)) = 2#/3 (с —
— а). Определим теперь условие качения без проскальзывания. Введем
два орта, направленных по нормали и касательной в точке Р: ei =
= (cos а, 0, sin а), в2 = (—sin а, 0, cos а). Из уравнения Эйлера тг =
= mg + N находим составляющие силы реакции
N\ = mg sin a + m (xm cos a + zm sin a),
УУ2 = mg cos a + m(—жт sin a + zm cos a).
Условие качения — /1N2
ния.
i, где fi — коэффициент трения скольже-
скольжеРис. 6.3.7
Рис. 6.3.8
6.3.8. На горизонтально расположенных рельсах находится катуш-
катушка, на которую намотана невесомая нить. К концу нити прикреплен
груз. Записать лагранжиан плоскопараллельного движения системы.
Исследовать движение с постоянным ускорением.
Решение. Положение системы определяется заданием двух коор-
координат: (р — углом между осью у и прямой МЛ, проходящей через
центр масс катушки и произвольную точку А обода, в — углом между
нитью и вертикалью (рис. 6.3.8). Масса обода М, а — внутренний,
6 — внешний радиусы, m — масса груза. Угловая скорость катушки
ш = @, 0, —ф). Скорость центра масс R = (фЬ, 0, 0). При в = 0

6.3] Уравнения Лагранэюа 269
длина свисающей части нити / = Iq -\- ар, следовательно, кинетическая
энергия катушки Г ф2/2, V = Mb2 + /, где / — осевой момент инерции.
Найдем кинетическую энергию груза. Его координаты
х = bp + a cos 0 + (/о + ар + ав) sin в,
у = a sin в — (/о + а у? + ав) cos в.
Скорость груза определяется выражением
v2 = (а2 + б2) ф2 + (/о + а<£ + авJ в2 + 2а6 sin О ф2+
+ 26 (/0 + а<£ + afl) cos в Оф.
Лагранжиан системы
L = \ [I1 + т (а2 + b2 + 2a6 sin (9)] ^2 + у (/о + ар + а<9J<92 +
+ шб (/0 + а<£ + ав) cos 0 Оф — mga sin в + m# (/о + ар + ав) cos в.
Ввиду сложности уравнений Лагранжа ограничимся отысканием част-
частного решения, для которого Q(t) = во. В этом случае получим два
уравнения:
[/' + т (а2 + б2 + 2а6 sin в)] ф = mga cos в,
6 cose ф = —g sine.
Условие совместности системы приводит к уравнению
3&i sin20 - k2 sin в - fei = 0, A)
к± = mab, k2 = If + т (a2 + б2).
Из A) находим
sin<90 = ^j~ (*2 - &! + 12&i ) < 0.
Таким образом, ускорение катушки Ьф = —gtgOo > 0. Рассмотрим
два частных случая:
1) М > ш, sin в0 = —mab/If,
2) М < m, sin в0 = - (ab/(a2 + б2)), <£ = ga/л/а^ + б4 .
Из уравнений Эйлера можно найти силу реакции N, действующую
на катушку со стороны плоскости:
Nx = -(М + т) g tg в0, Ny = (M + m) g".
Двилсение без проскальзывания возмож:но при условии Nx/Ny ^ /i,
где /i — коэффициент трения скольжения. Следовательно, решение
справедливо при Ьф < \ig.

270
Динамика твердого тела
[Гл.6
6.3.9. Диск движется без проскальзывания по наклонной плоско-
плоскости. Центр масс диска находится на расстоянии с от геометрическо-
геометрического центра. Записать лагранжиан, найти частоту линейных колебаний
в окрестности положения равновесия.
Решение. Введем систему координат ху (рис. 6.3.9). Положение
диска зададим углом (р между прямой, перпендикулярной к плоско-
плоскости, и прямой, соединяющей геометрический центр с центром масс т.
Рис. 6.3.9
Точка М описывает укороченную циклоиду: х = а<р — с sin <£>, у =
= а — с cos <£>, где а — радиус диска. Потенциальная энергия U(ip) =
= mgh((p),
h(ip) = a (cos a — if sin a) — с cos ((p + a).
На рис. 6.3.9 изображена траектория центра масс. Очевидно, функ-
функция h((p) совпадает с координатой у' центра масс т в системе коорди-
координат х'у1', повернутой относительно исходной на угол а. Кинетическая
энергия К = mv^/2 + 1ф2/2. Учитывая, что v^ = ф2Ь2 (Ь = |РМ|),
получим лагранжиан
L = -[т(а2 + с2 - 2ас cos (р) + /] ф2 - U((p),
U {if) = —mgacp sin a — mgc cos (cp + a).
Положения равновесия определяются из условия с sin (у? + а) —
— a sin a = 0. Отсюда находим два положения равновесия (в пределах

6.3]
Уравнения Лагранжа
271
одного цикла):
Поскольку
д2и
тг
1,2 — 77 ~
Z
= mgc
a .
cose = — sin a.
с
д2и
= —mgc sine,
то положение (f = (f2 неустойчиво. В окрестности положения равнове-
равновесия ср = <£>i, лагранжиан
L = —- [а2 + с2 - 2ас sin (а + е)] ф2 + - <^2 —— g-c sin е (<р -
Решение уравнений Лагранжа ср = cpi -\- В cos (W + /3),
sin e
m [a2 + c2 — 2ac sin (a + e)] + /
6.3.10. Наклонная плоскость (клин) находится на горизонтальной
гладкой поверхности. На наклонную плоскость помещают шар, кото-
который начинает двигаться без про-
проскальзывания. Определить уско-
ускорение клина (рис. 6.3.10).
Решение. Рассмотрим плос-
плоскопараллельное движение клина
и шара. Масса шара — т, его
радиус — а; масса клина — М.
Высота клина — Я, угол накло-
наклона—а. Введем две обобщенные
координаты: Si — координата ле-
левого торца клина, #2 ~ расстоя- Рис. 6.3.10
ние, отсчитываемое от вершины
клина до точки касания шара. Координаты центра масс шара Х2 =
= si + S2 cos a, г/2 = Н -\- a cos a — S2 sin а. Скорость центра масс
определяется выражением v\ = s\ + s\ + 25x^2 cos a. Скорость точки
соприкосновения vp = (si, 0, 0) и скорость точки М связаны условием
качения: vp = V2 + [wr^/p], из которого находим и: = @, 0, — к^/сь)-
Теперь можно записать лагранжиан системы
у
S
1
■О
V///////////////
11
L = - Ms2 + - m
Из уравнений Лагранжа
+ s2. +
cos a
1 о^
) + - / -| +
sin a.
si + т [к\ + S2 cos a) = const,
т («2 + §i cos a) Н—о ^2 — шё sin a
a

272
Динамика твердого тела
[Гл.6
находим
= —g sin a cos a I 1 -\
Л)
— cos а
-1
6.3.11. На обруче закреплена точечная частица. Записать лагран-
лагранжиан плоскопараллельного движения обруча по горизонтальной шеро-
шероховатой плоскости. Найти частоту линейных колебаний.
Ответ, ио2 = (rri2/mi) (g/2a), где т\ — масса обруча, а — радиус,
ГП2 — масса частицы (рис. 6.3.11).
Рис. 6.3.11
Рис. 6.3.12
6.3.12. Одна из половинок однородного цилиндра находится на
шероховатой горизонтальной плоскости. Найти частоту линейных ко-
колебаний полуцилиндра.
Решение. Выберем обобщенную координату — угол <р между верти-
вертикалью и прямой ОМ, соединяющей геометрический центр О и центр
масс (рис. 6.3.12). Угловая скорость ш = @, 0, ф). Пусть а — радиус
цилиндра. Центр масс находится в точке М, \ОМ\ = 6,
= ±bydS =
а 7г
—2 \dp\d(f p2
7га J J
sin <p = — a.
Зтг
Найдем теперь скорость центра масс v. Пусть с — вектор РМ, где
Р — точка касания. Поскольку уравнение связи 0 = v — [we], то v2 =
= с2ф2, с2 = а2 + Ъ2 — 2ab cos ср. Далее найдем осевой момент инерции.
Поскольку /зBт) = 2/з(т) (где /зBт) — осевой момент цилиндра),
то /з(?тг) = та2/2. Осевой момент инерции относительно центра масс
/з — hi171) — mb2. Лагранж:иан, описывающий плоскопараллельное
движение половинки цилиндра,
- U,
U = mg (а — b cos (p).

6.3]
Уравнения Лагранжа
273
Частота линейных колебаний
U"@)
g
m(a-bJ
9тг - 16
6.3.13. Одна из половинок тонкой цилиндрической поверхности
находится на шероховатой горизонтальной плоскости. Найти частоту
линейных колебаний.
Ответ. Сохраняя обозначения задачи 6.3.12, находим b = 2а/'тг,
/3(ш) = та2, со2 = (тг - 2)-1ga~\
6.3.14. Одна из половинок тонкостенной сферы находится на ше-
шероховатой горизонтальной плоскости. Найти частоту линейных коле-
колебаний полусферы.
Решение. Пусть а — радиус полусферы. Далее, используя обозначе-
обозначения задачи 6.3.12, находим
2
2
= 3
2 3 g
4 а
Если полусфера находится на гладкой поверхности, то ио2 = 6g"/5a.
6.3.15. Одна из половинок шара находится на шероховатой гори-
горизонтальной плоскости. Найти частоту линейных колебаний.
Решение. В этом случае
а тг/2 2тг
b = i Г dr [ sin в dO [ d(pr3 cos в = ? a.
Поскольку /з(ш) = 2/5ma2, то с<;2 = 15g"/26a.
6.3.16. Эллиптический цилиндр находится на горизонтальной ше-
шероховатой плоскости. Записать ла-
лагранжиан плоскопараллельного дви-
движения цилиндра. Найти частоту ли-
линейных колебаний.
Решение А. Введем неподвижную
систему координат К (ж, у, z) и си-
систему координат К'(х', у', z'), свя-
связанную с эллиптическим цилиндром
(рис. 6.3.16). В системе К радиус-
вектор центра масс R = (ж, —/г, 0),
h = ОН, вектор g = @, g, 0). По-
Положение системы К' относительно К
определяется углами Эйлера (р, в =
= 0, ф = 0. Следовательно,
Я
Рис. 6.3.16
\у'
= cos<£>
e2,
= sin у? е^ + cos (p e2,
= e(j
A)
Уравнение поверхности цилиндра в системе К' имеет вид
/(ж', у', z') = 0,/(ж', у', z') = (ж7«J+B/7^J-1-ВпаРаметРической
форме х' = a cos и, у' = b sin и.

274 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Пусть г — радиус-вектор точки касания эллипса Р и плоскости, г =
= ОР, г = х'е[ + у'е2. В точке Р единичный вектор внешней нормали
к поверхности равен вектору е2,
V'/ cos и , svau ,
e2~WT\' e2~^D"Gl + TD"e2' B)
1
D= (cos и/аJ + (sinu/6J , h = re2, h=—.
Из A), B) находим
sin u = — cos y?, cos u = — sin y?, h = a2 sin2^? + b2 cos2(p.
Квадрат длины г2 = (a4 sin2<£> + 64 cos2<£>) /h2.
Рассмотрим качение цилиндра в отсутствие скольжения. Тогда
мгновенная ось вращения проходит через точку Р. Следовательно, ско-
скорость центра масс v и угловая скорость со = фе^ связаны соотношением
0 = v + [wr], C)
v2 = (фгJ. Осевой момент инерции
Переходя к переменным р,6: х' = ар cos 6, у' — Ър sin в, получим /33 =
= т (а2 + б2)/4. Лагранжиан L = К — U, где
Т, m a4 sin24? + b4 cos2<p .2 , m , 2 , L2\ -2
* a sin if + 6 cos у? о v 7
t/ = mg a2 sin2 у? + b2 cos2 у?.
Положение устойчивого равновесия — <р = 0. Частота линейных коле-
колебаний определяется соотношением
_ 4g (a2 -
Ct? — ;—^
b{a2 + bb2) '
Решение В. Получим решение задачи, используя уравнения Эйлера
mv = mg + A, D)
Г • Г \ "I /К\
где Л — сила реакции. Получим вначале интеграл энергии, образуя
свертку D) с v, и E) с о?. В результате имеем

6.3] Уравнения Лагранжа 275
Найдем теперь силу реакции. Дифференцируем условие связи C),
О = v + [иг] + [wr]
и подставляем из D), E) производные скорости и угловой скорости:
O = g + A + Mi + M. F)
Из F) находим
i \ , m2r / г -п г -и 1 1 . mr>2
кХ = -mg + —z— (gr + r[u?r]j - ra[c*jr], fc = 1 + —=— .
Исключая силу реакции из E), получим
(тг2 + /з) а? = — ra[gr] — racj(rr).
В проекции на ось z имеем уравнение
d / 2 i г\ • а — b
— \тг + 1з)Ф = : mg sin у? cos<z>.
d / 2 i г\ • а — b
г + 1)Ф
Если центр масс цилиндра находится в точке х' = жо, у' = 0, то
потенциальная энергия U = mg (h — хо sin у?). Положение равновесия
ср = (ро определяется уравнением dU/d<p = 0:
bxo
(a2 — b2) — (ж0аJ
Докажите, что центр масс находится на вертикальной прямой, прохо-
проходящей через точку Р.
6.3.17. Цилиндрическая поверхность прикреплена легкими спица-
спицами к горизонтально расположенной оси. На внутренней шероховатой
поверхности находится шар (рис. 6.3.17). Найти частоты линейных
колебаний системы при плоскопараллельном движении.
6.3.18. Стержень согнут в виде прямого угла и подвешен на го-
горизонтально расположенную ось. Найти лагранжиан, описывающий
плоскопараллельное движение угла. Определить частоту линейных
колебаний.
Решение. Найдем величину радиуса-вектора центра масс R = \ОС\
как функцию обобщенной координаты <р, <р — угол между вертикалью
и отрезком ОС (рис. 6.3.18). Пусть a, b — стороны угла, b > а.
Тогда R = \Лг4 + ЬА (а + 6)~1/2. Момент инерции относительно оси,
проходящей через точку О, /зз = (т/3) (а3 + б3) (а + б). Кинети-
Кинетическая энергия стержня — /33ф2/2. Потенциальная энергия U((p) =
= —mgR cos (р. Лагранжиан системы L = К — U. Частота линейных
колебаний определяется соотношением
2 (а3 + б3)

276
Динамика твердого тела
[Гл.6
К
Рис. 6.3.17
Рис. 6.3.18
Полагая 6 = 0, получим частоту ш = д/3 g/y/2a линейных колебаний
стержня длиной а.
6.3.19. Вершина конуса шарнирно закреплена на вертикальной
шехороватой плоскости (рис. 6.3.19а). Записать лагранжиан конуса,
катящегося по плоскости, найти частоту линейных колебаний.
Решение. Пусть h — высота конуса, а — радиус основания. Поло-
Положение конуса определяется углом ср между вертикалью и линией ОР
соприкосновения конуса с плоскостью. Кинетическая энергия конуса
— 1пш'п/2, где 1п — главные моменты инерции по отношению к осям
с началом в вершине конуса, ио'п — проекции угловой скорости на оси ж',
2/', z'. Потенциальная энергия U(ip) = —mgb cos a cos (p. Здесь b —
расстояние от вершины до центра масс, tg a = a/h. Найдем вначале Ь.
Вычисления следует проводить в цилиндрической системе координат
Рис. 6.3.19

6.3] Уравнения Лагранэюа 277
(рис. 6.3.195):
h ztga 2тг
b = — \dz dp dip pz, V = - 7ra2h.
ooo
Вычисляя интеграл, находим b = З/г/4. Далее получим моменты инер-
инерции
h tga
т т 27ГГП Г
hl=l22 = —]dz
0 0
/зз = ^ ma .
Найдем теперь ио'п. Пусть v — скорость центра масс. Поскольку центр
масс движется по окружности радиуса 6 cos a, то v2 = (b cos а фJ.
Из условия связи 0 = v + [и:с] находим ио = ф ctg a, следовательно,
Ct?2 = — ио cos a, uo'2 + uj'2 = uo2 sin a. Кинетическая и потенциальная
энергии приобретают вид
ТуГ Suih (^ ^ 9 \ «9 тт 3 ,
К = A + 5 cos а) ^ , с/ = — mg- - д cos a cos у?.
Квадрат частоты линейных колебаний
^9 5^ cos a
л 1 + 5 cos а
6.3.20. Тонкий стержень подвешен на двух нитях, прикрепленных
к наклонной прямой. В положении равновесия стержень расположен
горизонтально. Найти частоту линейных колебаний стержня в верти-
вертикальной плоскости, проходящей через стержень [65].
Решение. Пусть длины нитей равны а и 6, длина стержня — /.
Положение системы при плоскопараллельном движении определяется
заданием функции 0(t) (рис. 6.3.20), где в — угол между вертикалью
и прямой, соединяющей центр масс и середину отрезка А'В'. Введем
вспомогательный угол (р между осью х и прямой АВ. Пусть хо =
= R sin О, г/о = R cos^ — координаты центра масс стержня. Кине-
Кинетическая и потенциальная энергия равны
К = f (Я2 + Я202) + =£ ф\
U = —mgR cos0.
Для того чтобы найти К и U как функции 6,6, запишем декартовы
координаты концов стержня:
хА = х0 - - cos (p, Уа = Уо~ g sm ^' A)
хв =хо + - cos(p, у в = 2/о+ 2 sm(P- B)

278
Динамика твердого тела
[Гл.6
Рис. 6.3.20
Рис. 6.3.21
Поскольку концы стержня Аи В движутся по окружностям радиусов а
и 6, то
[хА + -J + [уА - - tg7j = а ,
+ 2 tg7) =б2'
C)
D)
где b — а = / tg7- Подставляя A), B) в C), D), получим систему, из
которой находим
2 L cos 7
a + b
E)
F)
Ограничимся рассмотрением линейных колебаний при значениях в
<^С 1, (р <^С 1. Из E), F) получим
Я2 ~ Rl - ^ tg7,
-yfl§tg7 = 0.
Таким образом, Я2((9) = Щ[1 - (Ь - аJв2/АаЬ].
Оставляя величины ~ в2, б2, получим L — К — U,
= -mRod, U = mg—-.

6.3] Уравнения Лагранжа 279
Частота линейных колебаний определяется соотношением
В частном случае а = b лагранжиан системы L = та2в2/2+mga cos в.
Стержень движется поступательно.
6.3.21. К концу стержня привязана нить и закреплена на гвоз-
гвозде, вбитом в вертикальную стенку. Записать лагранжиан плоскопа-
плоскопараллельного движения системы. Найти частоты линейных колебаний
(рис. 6.3.21).
Решение. Система имеет две степени свободы. Введем (pi — угол
между вертикалью и нитью, (р2 — угол между вертикалью и стержнем.
Кинетическая энергия стержня
Здесь га, а — масса и длина стержня, со = (О, О, ф2) — угловая скорость
стержня. Пусть длина нити равна /. Тогда координаты центра масс
Rx = I siny?i + (l/2) a sin <£>2, Ry = —I cos<£>i —A/2) a cos<£>2- Вычисляя
скорость центра масс, получим
К = У Г ^1 + Т ^2 + la^1^2 cos (V1 ~ ^2)J + 2 7^'
Потенциальная энергия U = —mg (I cos (pi + (а/2) cos ^2)- Лагранж:и-
ан, описывающий линейные колебания,
г т ( . а . \2 1 г .2 1
Т V ^Х 2 ^2) + 2 ^2 ~ 2
2 , а
1 + 2
Введем новые переменные xi = fii/y?i, Ж2 = ^2^^2/2, fi? = g"//, ^| =
= 2g-/a и представим лагранжиан в виде
г _ т и т 2 /-j\
fcu = П±2, k12 = (fiifia), &22 = | ^2- B)
Уравнения Лагранжа ктпхп + жт = 0. Полагая жп = Reune~lXt,
получим уравнение (—Х2ктп + £mn) un = 0, из которого находим
собственные частоты
А2,2 = Bdet Z^) [Sp К =F (Sp /^J - 4det К ]. C)
Учитывая, что А2 = A^2, найдем собственные векторы
cos/3/2 -sin/3/2
МП" sin/3/2 ' wmB)- cos/3/2 .

280 Динамика твердого тела [Гл. 6
Общее решение хт = Дтма^, Ат/Л = ит(м), х^ = А^ cos (X^t + ам),
где A^, а^ — постоянные. Подставляя B) в C), найдем собственные
частоты
\\ 2 = I
Угол /3 определяется соотношением tg/З = бГ^ГЬ Cfi| "" ^i )-1-
6.3.22. Картина помещена в прямоугольную рамку со сторонами а
и 6. К концам отрезка длиной b прикрепили нить длиной / и повесили
на гвоздь, вбитый в вертикальную стенку. Найти частоты линейных
колебаний картины в окрестности положений устойчивого равновесия.
Решение. Положение картины при плоскопараллельном движении
определяется двумя углами: в — углом между вертикалью и прямой,
соединяющей точку подвеса О и центр масс М, (р — углом между
радиусом-вектором центра масс R = ОМ и прямой ЯМ, соединяющей
середины сторон АВ и DC (рис. 6.3.22а). Введем 7 — угол ЯМ Л,
tg7 = b/a, АО = /i, OB = 12. Из треугольников АОМ и ВОМ
находим
l" = R + Ш -^cosG + ^, A)
где с = \/а2 + b2 . Подставляя A), B) в уравнение / = /i + /2, получим
a cos <р + (J2 - б2) A - (c2/l2) si
R((f) =
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
в) = -mgR((p) cos0.
Положение равновесия ^ = 0, 9 = 0 определяется условием dU/dcp =
= dU/dO = 0. В окрестности минимума потенциальная энергия
U(<p, в) = -mgRo + у g (R0e2 + sip2),
До = \ (а + VW^W), а = ^ [а (I2 - 2Ъ2) - (b2 - a2)

6.3]
Уравнения Лагранэюа
281
Рис. 6.3.22
Коэффициент s равен нулю при I = l0 = be/а. В окрестности \в\ <С 1,
\ср\ <С 1 лагранжиан
Уравнения Лагранжа имеют вид
I (в + ф) + mgsip = О,
C)
D)
где /' = / + шД§.
А. Рассмотрим случай / = be/а. Найдем решение C), D) с началь-
начальными условиями 0@) = —ip@) = 0(ь 0@) — ^@) = 0- Движение
картины определяется функциями
0(t) = в0
, (f(t) = -в0 cosilot,
Следовательно, картина движется поступательно. Интересно, что в по-
положении равновесия (Яо = с2/2а) углы О AM и О ВЫ равны тг/2
(рис. 6.3.225). Этот результат может быть непосредственно использо-
использован на практике.
В. Пусть / ^ /о- Введем новые переменные х\ = в, х<± = <р
и будем искать решение системы C), D) в виде хп = Re une~lXt. Корни

282 Динамика твердого тела [ Гл. 6
характеристического уравнения
где ft2 = (gs/R2) (/'//). Общее решение является суперпозицией соб-
собственных векторов:
6 /Л1 А
<р mgRo — /'A2 x
mgs - /А?, л /х . , ч
+ т\2 Л2 cos(A2£ + а2).
Полагая s = 0, получим Ai = О, А2 = ^о-
6.3.23. Колебания автомобиля в вертикальной плоскости.
Центр масс автомобиля расположен на расстояниях /2 и h от верти-
вертикальных плоскостей, в которых кузов крепится к шасси, к^ и &2 —
коэффициенты жесткости рессор переднего и заднего шасси, га — масса
кузова автомобиля, / = rap2 — момент инерции кузова относительно
оси, проходящей через центр масс перпендикулярно продольной верти-
вертикальной плоскости. Найти условия, при которых возможно независимое
возбуждение колебаний центра масс («подпрыгивание») и угловых
колебаний («галопирование»).
Решение. Обозначим z — координату центра масс, ср — угол между
главной осью момента инерции в вертикальной продольной плоскости
и горизонтальной плоскостью (рис. 6.3.23). Кинетическая и потенци-
потенциальная энергии системы
„ _ mz2 га (рфJ
~ ~Y~ 2 '
W = mgz + -^{z + h4>- loJ + у (z - hip - /oJ.
Из уравнений dW/dz = 0, dW/dtp = 0 найдем значения координат
в положении равновесия:
7 /2
i гь'аь'д ~\ Kill К21% Kill
Zeq = lO-mg f f /7 , f ч2 , (feq = rng
Перейдем к новым координатам #i = г — zeq, ж2 = р(у? — ^eq)« Тогда
кинетическая энергия
га (£? + х\)
К= 2 *
Потенциальную энергию удобно представить в виде
q + Xi, (peq-\ ) = COnst -\
JT k2 + ki TT TT

6.3]
Уравнения Лагранжа
283
Рис. 6.3.23
Решение уравнений движения получены в задаче 4.2.1. Если \]\ч = О
или k^li = kill, то имеем два независимых уравнения. Более того,
частоты колебаний совпадают при условии р2 = lil<i-
6.3.24. Осесимметричный волчок вращается в отсутствие внешних
сил. Найти зависимость эйлеровых углов от времени.
Решение А. Рассмотрим вращение волчка в инерциальной системе
покоя центра масс. Уравнения Эйлера приобретают вид
Iuji + (/3 - /) ^2^3 = О,
1иJ + (/ - /3) ^3^1 = О,
/Зо;з = 0.
A)
B)
C)
Пусть o;i@) = 0, ^(О) = о;2о, ^з(О) — ^зо- Из A)-C) находим
^3 = ^30? ^1 = ^20 Sinf^t, UJ2 = ^20 COS fit, D)
где ft = (I — Is) CJ30//. Следовательно, сохраняются поперечная и про-
продольная по отношению к оси симметрии волчка составляющие угловой
скорости: uj± = uj2 + lc\ , ujs — ^зо-
Перейдем теперь к определению абсолютного движения волчка
в пространстве. С этой целью найдем зависимость эйлеровых углов
от времени, выбрав ось z параллельно постоянному вектору момента
импульса М = Mez. Учитывая, что
ez = sin в sin ф ех> + sin в cos ф еу> + cos в ez/,
найдем проекции вектора М на оси подвижной системы координат:
Mxi = М sin# sin -0, My' = М sin# cosi/>, Mz> = M cos 6.
Поскольку М cos^ = /3CJ30, то угол в сохраняет начальное значе-
значение: 6{t) = во. Поэтому вектор а? равномерно вращается с угловой
скоростью o;2o/sin0o5 оставаясь неизменным по величине. Величины

284 Динамика твердого тела [ Гл. 6
компонент угловой скорости в подвижной системе определяются выра-
выражениями
2 M2 . 2 л м а
UJ_|_ = —2~ Sm ^0? ^30 — ~Г~ COSC7Q.
Интегрируя далее кинематические уравнения
ф sin 0 sin ^ + 0 cos ^ = о;2о sin Ш, E)
<^ sin 0 cos ^ - 0 sin ф = ш2о cos Ш, F)
<^ cos 0 + ф = о;зо? G)
найдем ф = UJ20 (sin^o)? Ф — ^зо — ^20 c^g^o — ^- Переходя к дина-
динамическим переменным М sin^o — ^20? М cos^o — ^з^зо? получим
(f = -у- , </> = М COS в (^— - у J .
На рис. 6.3.24 изображены векторы М, а?. Наблюдаемое движение оси
волчка определяется вектором
ezr (t) = sin в sin ip ex — sin в cos cp ey + cos ^ ez,
где в = 00,(p = (M/I) t,ip = M cos 0O Us" - J) *•
Решение В. Выбрав в качестве обобщенных координат углы Эйлера,
получим лагранжиан
L(a, а) = { @2 + ^2 sin20) + ^ (^ + Ф cos0J-
Решение задачи становится возмож:ным благодаря существованию трех
интегралов:
dL 0L _ . дЬ
Обозначая через Mz, Mzi проекции момента импульса на оси z и z\
получим три уравнения
1ф sin20 + /3 (Ф + Ф cos0) cos0 = Mz, A)
7(^ + ^cos0) = Mz4 B)
Пусть ^@) = ф@) = 0, 9@) = в0, ф@) = ф0, 0@) = 0, ^@) = ф0.
Поскольку сохраняется вектор момента импульса волчка, то удобно
направить ось z параллельно М, тогда

6.3] Уравнения Лагранэюа 285
Кинетическая энергия волчка
Е
М2 /sin20о cos20
_ М2 /sin2
Из A), B) находим угловую скорость регулярной прецессии вокруг
оси z
. _ Mz — Mzi cos 0 _ М
^ ~ / sin20 ~ Т
и угловую скорость
ф = —^- — ф cos 0 = М cos 0о ( г ) •
6.3.25. Найти условия движения осесимметричного волчка с за-
закрепленной точкой, при которых отсутствует нутация.
Решение. Лагранжиан, описывающий движение волчка,
L(a, а) = — (в2 + ф2 sin20) + -£- (ф + ф cos0J = mgl cos0,
А А
здесь /з — осевой момент инерции относительно точки закрепления О,
/ — расстояние от точки О до центра масс волчка. Поскольку лагран-
лагранжиан не зависит от ср, ф и времени, то существуют три интеграла:
1ф sin20 + /3 (ф + ф cos0) cos0 = Mz, A)
\- (в2 + ^2 sin20) + у (^ + ^ cos 0J + mg-/ cos в = E. C)
Введем переменную гх = cos0. Из A), B) получим
Mz,-Mzu
Подставляя в C) у? из D) и учитывая B), найдем
й2 = F(u), E' = E-^,
F(u) = ]{E'- mglu) A - и2) - ^ (Мг - Мг,мJ.
Полагая й = й = 0, получим систему
2/ (£" - mg-b) A - и2) - (Мг - Mz,uJ = О,
-Imgl A - и2) - 21и (Е* - mglu) + М*/ (Mz - Mz,u) = 0,

286 Динамика твердого тела [ Гл. 6
из которой следует
M2z,-Umglu\.
Очевидно, должно выполняться условие М2, > Almglu, которое опре-
определяет область допустимых значений Mzt и и. Из D) получим угловую
скорость прецессии
^'2 = 2Iu~ Mz' T M*' ~
В случае быстрого волчка М\, ^> Almglu,
mgl . Mz/
Отсюда видно, что ф\ соответствует медленной прецессии, а угловая
скорость ф2 — быстрой прецессии, не зависящей от ускорения свобод-
свободного падения g (как в случае свободного волчка). Угловая скорость
^ 2 = Mzi —r- h wj ( Mzi ± M|, — Almglu j.
Для быстрого волчка
• ^ Mz/ • , , / — /3 mglu
/3 ' z //3 Mz/
6.3.26. Найти решение уравнений движения осесимметричного
волчка с закрепленной точкой (случай Ж. Лагранжа).
Решение. Воспользуемся первыми интегралами, найденными в пре-
предыдущей задаче, и зададим следующие начальные условия: </?@) =
= ^@) = 0, 0@) = в0, ф@) = ф0, 0@) = 0, ^@) = фо- Из рис. 6.3.26
следуют соотношения
Моу> = 1фо sin в0 = Мо sin @О - 7)? A)
MOz/ = /3 (^0 + Фо cos в0) = Мо cos G - в0), B)
где 7 — угол между вектором Мо = М@) и осью г,
Mz = Моу' sin во + Moz' cos во = Мо cos 7- C)
Вводя переменную и = cos в, получим уравнения
Мо а — Ъи , / л \ / а \
b = cos G -в0), D)

6.3]
Уравнения Лагранжа
287
G)
где f(u) = (а - ей) (l — и2) — (а - ЬиJ, а = sin2 G — 60) + е cos0o,
е = 2Imgl /Mq. Функцию f(u) можно представить в виде
f(u) = -(и - Щ) [и - U10 + € A - U2)] ,
щ = cos 0о, ихо = cos B7 — 0о) •
Очевидно, f(u) обращается в нуль в трех
точках их, г
(8)
причем — 1 ^ их ^ и2 ^ 1 < us при
условии 4:е(ихо — е) < 1. Область измене-
изменения и = cos 0 определяется неравенством
f(u) ^ 0. Запишем F) в виде
и2 = —f £ (и - их) (и - и2) (и - и3) (9)
и преобразуем это выражение, вводя обозначения
к =
г'
у
щ
|\
\ 1
Zt
\
\
\ \
\У
Г"
М
z
\
it
/у'
У
Рис. 6.3.26
w =
и — и\
U2 - U\
и2 - и\
us — и\
Из (9) найдем w2 = р2 A — w2) (l — k2w2). Решением этого уравнения
является эллиптический синус: w(t) = sn (pt; к), следовательно,
и = их + (Ц2 — их) sn2 (pt; к), A0)
а период движ:ения по углу в Т = B/р) К (к), где К — полный эллип-
эллиптический интеграл. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.
А. Свободный волчок. Положим g = 0. Тогда функция f(u) имеет
два нуля их = cos B7 —#о)? ^2 — cos^o- В этом случае к = 0, р = Мо/2/
(и% ~ е), sn (pt;O) = sinpt. Решение A0) приобретает вид
cos в = их + (и2 — их) sin2pt = - (и2 +
+ -
= cos G — 0о) cos 7 + sin G ""
- их) cos —г^ £ =
1
in 7 cos ~т~ ^-
Это решение может быть получено независимо интегрированием урав-
уравнения F). (С этой целью, дифференцируя F), удобно перейти к урав-
уравнению осциллятора.) Период движения по углу в Т = 2тг//Мо- Пред-
Представляя ф, ф в виде
• — Ml (a + b a-b
^1+
~b

288 Динамика твердого тела [ Гл. 6
и учитывая A1), получим <p(t), ф(г), например,
а — b
J / 1 — и\ J Mo \
arctg tg —у t)
Ц1 Mo
Заметим, что при 7 — 0 u(t) = cos во, а = 1, b — cos во.
B. Спящий волчок. Положим #о = 7 — О- В этом случае ию = щ =
= 1, f(u) = A — иJ [еA + и) — l]. Исследуем устойчивость волчка
при его вращении вокруг вертикальной оси. Полагая и = 1 — х, х <^
<С 1, разложим f(u) в ряд Тейлора: f(u) = A — 2е) х2 + ... Таким
образом, колебания по углу в будут устойчивы при условии 2е < 1
(Mq > Almgl).
C. Быстрый волчок. Предположим, что параметр е <С 1. В этом
случае кинетическая энергия собственного вращения волчка велика по
сравнению с потенциальной энергией в поле тяжести. В этом случае из
G) получим и\ с^ ию — £ (l — и20), и^ — £-1. Мы видим, что нижняя
граница движения по углу в увеличивается на малую величину ~ е.
Поэтому функцию f(u) можно аппроксимировать выражением
f(u) ^ -{и - щ) (и - и2), A2)
которое мож:но получить, разлагая f(u) в ряд Тейлора в точке (и\ +
+ uq)/2. Подставляя A2) в F), получим решение
cos в = гх@) (t) - | A - и210) (l - cos ~ tj,
где u(°\t) — решение A1). Запишем решение в случае 7 — #о- Тогда
ию = щ. В отсутствие силы тяжести ось волчка неподвижна (ф = 0),
а угловая скорость ф = М0//з- При £ < 1 происходит нутация по
закону
cos0 = cos0o - ^ sin20o(l - cos —j^ t)
и возникает прецессия вокруг вертикальной оси с угловой скоростью
,._rngl(, _ Mo
Вследствие трения в точке закрепления нутации быстро затухают
и волчок движется со средней скоростью прецессии (ф) = mgl/Mo.
Такое движение волчка называется псевдорегулярной прецессией.
6.3.27. Волчок на гладкой плоскости. «Основание» симмет-
симметричного волчка может перемещаться по гладкой горизонтальной плос-
плоскости. Найти первые интегралы.

6.3]
Уравнения Лагранэюа
289
Решение. В отличие от случая Лагранжа волчок на плоскости —
система с пятью степенями свободы. Выберем обобщенные координаты:
х, у — проекции радиуса-вектора центра масс на плоскость и три эй-
эйлеровых угла. Радиус-вектор центра масс R = (ж, у, I cos#), скорость
центра масс R = (ж, у, —16 sin#). Лагранжиан волчка
L = Т± (±2 + у2 + 12в2 sin20) + I (в2 + ф2 sin20) +
тг (Ф + Ф cos
Первые интегралы
тх =
Mz> = 1з(Ф + ф cos^)
Mz = 1ф sin2^ + 13(ф + ф
COS0.
A)
B)
D)
\ {О2
ф2
у
cos
cos
Полагая Е' = Е — р^х/2т — pQy/2m, получим из C)-E) уравнения,
решения которых приведены в задаче 6.3.25.
6.3.28. Кинематика карданова подвеса на вращающейся
платформе. Гироскоп на кардановом подвесе установлен на вращаю-
вращающейся платформе (рис. 6.3.28). Гироскоп состоит из внешней рамки,
ось вращения которой z^ закреплена
на платформе. Внутренняя рамка может
вращаться вокруг оси х^2\ жестко свя-
связанной с внешней рамкой. Ротор гиро-
гироскопа вращается вокруг оси z^\ закреп-
закрепленной на внутренней рамке. Все три оси
пересекаются в одной точке. Ориентация
платформы относительно неподвижного
базиса щ (к = 1, 2, 3) задана азимуталь-
азимутальным и полярным углами а, /3 вектора ез
базиса en(t) (п = 1, 2, 3), жестко свя-
связанного с платформой. Угловая скорость
платформы ft = ftnen, f^i = —a sin/3,
Ct2 = /3, Cts = a cos/3. Найти угловые
скорости рамок и ротора.
Решение. Следует отметить, что тер-
термины кардан, карданов подвес и формула
ш
Рис. 6.3.28

290 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Кардано для корней кубического уравнения связаны с именем выдаю-
выдающегося итальянского математика Джероламо Кардано A501-1576).
Обозначим <pi — угол поворота внешней рамки относительно плат-
платформы, вп — единичные векторы, направленные параллельно глав-
главным осям инерции рамки. Преобразование поворота ортов базиса рамки
относительно платформы
е^ ' = cos <pi ei + sin <pi в2, eij = — sin <pi ei + cos <pi в2, ejj = ез.
Поскольку ё = [fie], то вычисляя производную ед , получим соотноше-
соотношение ёп = [сд/^вп ], из которого найдем компоненты угловой скорости
внешней рамки
ш^ ' = ft2 sin ipi + Cti cos y?i, с^2 — ^2 cos ipi — Cti sin y?i,
и>з = фг +^з-
Ориентацию внутренней рамки относительно внешней зададим углом
поворота (f2'.
B) A) B) A) , . A)
е1 — е1 5 ^ = COS у?2 ©2 + Sin <f2 ек3 ,
B) • A) , A)
eg = — sin ^2^2+ cos <f2 ejj •
В результате вычисления производной ё^2) = [а?^2^е^2^], получим ком-
компоненты угловой скорости внутренней рамки
Cjp = ф2 + U)i\ UJ2 — ^2 COS ^2 + CJg Sin y?2j
B) A) A) .
^3^3 COS ^2—^2 8*П ^2-
Угол поворота ротора относительно внутренней рамки обозначим у?з-
Преобразование поворота
C) B) , . B) A) . B) . B)
е} = cos у?3 ei + sin (p3e\\ ey2J = - sin (p3 e\ J + cos ^e^ ,
Теперь имеем ё^3) = [а?^3^е^3^]. Компоненты угловой скорости ротора
C) B) . B) . C) B) B) .
CJJ ' = uj\ COS <fs + 0^2 Sin у?з? ^2 ^2 COS ^3 ~ ^1 sin ^3?
C) . , B) ^
^3=^3+^3 '
Отметим, что углы ipn представляют собой эйлеровы углы поворотов
вокруг осей 3, 1, 3. Используя A)-C), можно прийти к исследованию
множества проблем движения гироскопов (см. задачи 6.3.29-6.3.32).

6.3] Уравнения Лагранжа 291
6.3.29. Гироскоп на кардановом подвесе. Гироскоп находится
на неподвижной платформе (см. рис. 6.3.28). Ось внешней рамки совпа-
совпадает с вертикалью. На оси ротора z^ прикреплена частица массы т
на расстоянии s от оси х^2\ Найти лагранжиан и первые интегралы
[142, 143].
Решение. Пусть /}-,/ = /33 = 1^\ I22 = ^о главные моменты
инерции внешней рамки, /}-,/ = /33 = 1^2\ I22 = ^о главные
моменты инерции внутренней рамки, /}-,/ = /22 = 1^3\ /33 = ^о
главные моменты инерции ротора. Учитывая решение задачи 6.3.28,
получим кинетическую энергию системы
К = \ 1A)Ф\ + \ /B) (Ф1 + ф\ cos2^2) + \ 42) (ф iJ +
\ 1C) (Ф1 + Ф\ i2) + \
\ 1 (Ф1 + Ф\ sin2^) + \ 43) (Фз + ф\ cos ip2f.
Подставляя g = — ge%, получим потенциальную энергию системы
U = msge^e\ = mgs cos (р2. Лагранжиан гироскопа L = К — U.
Вычисляя производные
Мг = дЬ/дфи М'3 = дЬ/дф3,
Е = фхдЬ/дфх + ф2дЬ/дф2 + фздЬ/дф3 - L,
найдем первые интегралы
з + Ф\ COS ip2) COS (p2, A)
B)
\ 42) (ф i Ы2 + \ /C) {Ф\ + Ф\
\ 4 (ф, sin Ы2 + \ /C) {Ф\ + Ф\
м'2
м
Н ^у - М'^фх cos ф2 — mgs cos y?2- C)
щ
Если моменты инерции всех рамок полож:ить равными нулю, то уравне-
уравнения A)-C) соответствуют уравнениям движения симметричного волч-
волчка. Исключая из C) ф\, получим уравнение ф2 = F((p2), правая часть
которого содержит рациональную алгебраическую дробь. Наличие ра-
рамок приводит к новым эффектам. Из уравнений A), B) находим
+ JW cosV +

292
Динамика твердого тела
[Гл.6
Угловая скорость прецессии гироскопа меньше скорости прецессии
симметричного волчка с закрепленной точкой.
6.3.30. Маятник Пошехонова. Маятник может свободно вра-
вращаться вокруг горизонтальной оси, закрепленной на рамке, располо-
расположенной в вертикальной плоскости. Рам-
Рамка установлена на диске, который мо-
может вращаться вокруг вертикальной оси
(рис. 6.3.30). Найти частоту линейных коле-
колебаний маятника и угловую скорость враще-
вращения диска.
Решение. Система имеет две степени сво-
свободы. В соответствии с решением зада-
~ чи 6.3.28 положим П = 0, <pi = <р, <р2 = #,
у?3 = 0. Угловые скорости внешней рамки
и маятника
Рис. 6.3.30 ^A) = @, 0, Ф),
о?B) = @, ф sin (9, ф cos в).
Пусть /q — осевой момент инерции диска и рамки, /, /з — главные
моменты инерции маятника. Лагранжиан системы
L = ^ ф2 + ^ (О2 + ф2 sin2<9) + v ф2 cos2<9 + mgl cos 0,
где / — расстояние от оси х^ до центра масс маятника.
Найдем первые интегралы:
М3 = (/о + / sin2<9 + h cos2<9) ф, A)
Е = у ф2 + ^ (О2 + ф2 sin2<9) + у ф2 cos2<9 - mgl cos в. B)
Исключая ф из A), B), получим уравнение
Е = - в2 + f/e, t/e = -Wig/ COS 0 + — о ГТ ' C)
^ 2 (/о + / sin в -\- Is cos 0)
Положение равновесия маятника найдем из уравнения dUe/d0 = 0.
Поскольку в реальной установке /з <С /о, то
dUe
MJI cos 6
д2£/е
д'2в
- mgl
COS0 —
Ml
(/о +
/
7
cos26>
sin20J
+ ■
М32
/Г |
1 -* 0 1
/2
-/
sin226>
sin2^K
В окрестности положения равновесия 6eq = 0 решение уравнения C)

6.3]
Уравнения Лагранэюа
293
Угловая скорость диска
М3
[/о + I A2 cos2 (wt + a)]
представляет собой периодическую функцию, максимальное значе-
значение которой М3//0 значительно превосходит минимальное значение
А^з/(Л) + IA2). При прохождении маятника через положение равнове-
равновесия наблюдается скачок угловой скорости диска.
6.3.31. Гирокомпас. Гирокомпас представляет собой гироскоп
с осью ротора, закрепленной на рамке, кото-
которая может вращаться вокруг вертикальной оси
(рис. 6.3.31). Гирокомпас установлен на широте Л,
ось ротора направлена на север. Величина угло-
угловой скорости вращения Земли — ft. Исследовать
линейные колебания оси гирокомпаса в окрестно-
окрестности положения устойчивого равновесия.
Решение. Единичный вектор ei направлен на
север по касательной к меридиану. Вектор угло-
угловой скорости вращения Земли ft лежит в плоско-
плоскости, перпендикулярной вектору в2- Система имеет
две степени свободы. В соответствии с решением
задачи 6.3.28 положим f^i = ft cos Л, f^ — 0? ^з —
= ft sin Л, <pi = <р, (f2 = ф, (рз — 0- Угловые
скорости рамки и ротора
Рис. 6.3.31
;± ' =
4 =
= —SZi sin <
>1 = ip
i cos <£,
^2 = —ft\ sin <p cos ф + (ф +
^з)cos Ф + ^ism ф sm Ф-
sin
Пусть /}i = /33 = Z^1), /22 = /q — главные моменты инерции
тB) т тB) тB) т
рамки, i-jj = 7о? ^22 = ^зз — * ~~ главные моменты инерции ротора.
Лагранжиан системы
L=\ /<х> [(у. + П3J
cos ^J
sin ^J
+ П3J + (Пх sin ^J] + i /о (^ + fii cos ^J.
Первые интегралы
3
„ . дь -. дь
Е = (р— +ф—- - L,
= /0 (^ + fii cos у?),
A)

294 Динамика твердого тела [ Гл. 6
- \ [D1] + I) sinV + (/о + /A)) cosV] «1 + С, B)
Исключая ф из B), получим уравнение
Е=\ (/« + 1)ф2 + t%), C)
U(<p) = С + ^- - М&± cos <p -
- \ [/<*> COS ^2 + D1}+/) Sin ф2Щ.
Найдем положение равновесия оси гирокомпаса из уравнения -р— = О,
jt = Af£fii sin if - (-/A) + 41} + /) fi? sin p cos y?.
Обычно реализуется условие М% ^> /q fii, /fii. Тогда в окрестности
устойчивого положения равновесия <^eq = 0 решение уравнения C)
Ось гироскопа колеблется перпендикулярно плоскости меридиана.
6.3.32. Гироскопическая стабилизация. На рис. 6.3.32 изобра-
изображен вагон однорельсовой дороги. Устойчивость вагона обеспечивается
гироскопом с осью ротора, закрепленной на рамке, которая может
вращаться вокруг оси, жестко связанной с корпусом вагона. Массы
вагона и ротора — га, газ, расстояния от рельса до центра масс вагона
и оси рамки — /, /2, расстояние от оси рамки до центра масс ротора — s.
Найти решение уравнений линейных колебаний системы в окрестности
устойчивого положения равновесия.
Решение. Система имеет три степени свободы. В соответствии с ре-
решением задачи 6.3.28 свяжем неподвижный базис, задаваемый векто-
векторами пд., и базис, образованный векторами е&, преобразованием пово-
поворота вагона на угол /3 вокруг орта е2, направленному по рельсу:
ei = — sin /3 П3 + cos /3 ni, е2 = n2, ез = cos f3 пз + sin /3 ni.
Угловая скорость ft = FL^k, ^ — @, $•> 0)- Положим <pi = 0, <^2 = 0,
ips = ф. Поскольку (fi = 0, то ек = е&, ft = u/1) — угловая скорость
вагона. В нашем случае
e<3)=ef) = -8m0eA)+co8eeA).

6.3] Уравнения Лагранэюа 295
Угловые скорости рамки и ротора
ш[2} = 0, 42) =/3 cos в, 42) = -/3 sin 0,
ш^ > = 0 cos ф + /3 cos 0 sin ?/?, ui2 — /3 cos 0 cos ф — в sin ?/?,
а;C) =ф- /3 sin (9.
Пусть /22 = / — момент инерции вагона, /^ = /д3 = /^2\ /22 —
= /q — главные моменты инерции подвижной рамки, /33 = /q ,
/^^ = /^2^ = /C) — главные моменты инерции ротора. Кинетическая
энергия
системы
rfl2 _l 1 /B)
H 2
1 [(92 + (/3 sin<9J
_|_ T^ ' (й рпч
z
! + (/3cos^J] +
- Р sin
Найдем теперь потенциальную энергию системы. Вектор пз направ-
направлен вертикально вверх, g = — ^Пз- Радиусы-векторы центра масс ваго-
вагоур
на и ротора соответственно равны /е^ и /263 + se% . Потенциальная
энергия системы
U = (ml + rush) #п3ез + m3sgn3e^ =
= (ml + газ/2) £Г cos /3 + m%sg cos /3 cos 0.
Лагранжиан системы L = К — U. Поскольку I^2\ /q ' <C /^3\
/q , то можно пренебречь кинетической энергией рамки. Очевидно,
сохраняется проекция момента Ms = Iq (ф — /3 sin#). Уравнения
Лагранжа имеют вид
-£ A$ + I{3)/3 cos26» - М3 sin в) =
= (ml + 7713/2) £Г sin /3 + Tn^sg sin /3 cos 0, A)
-^(/C)(9) = -/<3)/32 cos (9 sin(9-M3/3cos(9H-ra35g-cos/3 sin (9. B)
Линеаризуя систему A), B) в окрестности положения равновесия /3eq =
= 0, 0eq = 0, получим
/is/3 - М3в = moLg/З, (З)
D)

296
Динамика твердого тела
[Гл.6
Здесь /13 = / + /^3\ гп0Ь = ml + га3 (/2 + s), га0 = m + ra3.
Из решения характеристического уравнения следует, что положение
равновесия устойчиво при условиях
s > 0.
Следовательно, центр масс ротора должен находится выше оси подвиж-
подвижной рамки.
Рис. 6.3.32
Рис. 6.3.33
6.3.33. Эллипсоид на горизонтальной шероховатой плос-
плоскости. Эллипсоид вращения с полуосями а и с > а движется без
проскальзывания по горизонтальной плоскости. Введем неподвижную
систему координат К (ж, ?/, z) и систему координат К'(х', у\ z'), свя-
связанную с эллипсоидом. В системе К ось z направлена по вертикали
вниз. Положение системы К' относительно К определяется углами Эй-
Эйлера (р, в, 1р. На рис. 6.3.33 изображены оси системы К' при значениях
углов <р = 0, 0 ф 0, ф = 0. Центр масс эллипсоида находится в точке
х'с = 0, у'с = —р, z'c = 0. Компоненты тензора инерции в системе К'
имеют вид /ц = /ь /22 = /2, /зз = h, hi = 0, /23 = 0, /i3 = -e.
Эллипсоид с подобным распределением массы представляет собой одну
из реализаций кельтского камня (celts) [173]. Найти решение уравнений
движения в окрестности положения равновесия.
Решение. Пусть г — радиус-вектор точки касания эллипса Р и плос-
плоскости, г = x'e'i + у'е2 + z'e3, г = О Р. В системе К' уравнение
поверхности в гауссовых координатах u, v имеет вид х' = a sin и cos v,
у' = asinu sin г?, z' = с cos и. Единичные векторы, касательные к
поверхности
= — cos и cos v ei + -7 cos и sin г? е2 + -7 sin ue3,
= (a cosuJ + (c sinuJ , E2 = (— sin г?, cos г?, 0).

6.3] Уравнения Лагранжа 297
Единичный вектор внешней нормали
n=[EiE2], n = - sin u cos v e[ + - sinu sin г? e2 + -7 cosu e3. A)
В точке Р единичный вектор внешней нормали к поверхности п =
= -е3:
ез = sin в sin ф е'г + sin в cos ф е2 + cos в е3. B)
Из A), B) находим гауссовы координаты точки касания: v = Зтг/2 — ф,
sin и — (a/h) sin#, cosu = —(c/h) cos#, h = a2 sin26 + c2 cos26,
<i = ac/h. Координаты точки касания
2 2 2
x' = —— sin# siпф, yf = —— sin^ cost/;, zf = — — cos^.
д д h
Пусть R = (Я1, Я2, Я3) — радиус-вектор центра масс. Условие
движения без проскальзывания приводит к неголономным связям: ско-
скорость центра масс R и угловая скорость а? связаны соотношением
0 = R+[ws], C)
где s = г — гс — радиус-вектор, направленный из центра масс в точку
касания Р, гс = — pef2.
Потенциальная энергия эллипсоида U = mgRs, Я3 = —ns:
U@, ф) = mg (h — p sinO cos^). Положение равновесия эллипсоида
определяется условиями dU/дв = 0, dU/дф = 0.
В положении устойчивого равновесия 0eq = тг/2, ^q = 0.
Положим в = тг/2 + xi, ф = Х2 и учтем в кинетической энергии
величины второго порядка малости по координатам и скоростям xi,
Х2- В этом приближении компоненты угловой скорости в системах К'
и К имеют вид
LJi = Х2 sin <р + х\ cos <£, 0J2 = —Х2 cos <p + xi sin у?, D)
Кинетическая энергия вращения К = - 2
/^ = - hx\ + - /2^ + 2 /з^2 - ^3^^2^i + (h - h) фх
Получим теперь уравнения движ:ения эллипсоида. Представим
уравнения связи
= 0, Я2 - 53cji + 5icj3 = 0,
= 0 E)

298 Динамика твердого тела [ Гл. 6
в явном виде. В линейном приближении s[ « — ах2, sf2 ~ — Sq,
53 ~ ro^i, где го = с2/a, q = ro — so,so = a — p. Компоненты вектора s
в системе К связаны с матрицей поворотов Sik соотношением Sk =
si = -рж2 cos у? + g^i sin <p, s2 = —px2 sin <p — qx\ cos <p, s3 = — s0.
F)
Подставляя D), F) в E), получим уравнения связи в виде СагЯг = О,
qi = (Д1, Я2, Я3, у?, я?1, х2), а = 1, 2, 3:
Я1 — ^>«2 ~~ so (^1 sin (р — Х2 cos у?) = 0, Gа)
Я2 + Ф$1 + ^о (^1 cos у? + ^2 sin <p) = 0, G6)
Яз - qxixi — рх2х2 = 0. Gв)
Лагранж:иан эллипсоида на плоскости
L = i mR2 + i /^о;? - mg-Яз-
Согласно общему методу Лагранжа получим шесть уравнений, со-
содержащих три неопределенных множителя, определяющих силы реак-
реакции Ni = XaCai [23]:
X (86)
Mz-~ = -XlS2^X2su (9)
d dL dL /л л • \
Tt Ш^ ~ ~д^[ = s° ( 2 cos ^ ~ г sin ^ ~
d dL dL /л
Здесь
Mz = — , Mz = /2^+(/1-/2)ж1Ж2-/зЖ2Ж1+£(ж1Ж1-Ж2Ж2)- A2)
В линейном приближении следует ограничиться учетом величин
линейных по скоростям и координатам переменных х\ и х2. В этом
приближении из Gв) и (8в) находим Лз = mg. Введем новые перемен-
переменные
Лх = Л2 cos ip — \i sin <£, Л2 = Л2 sin ip + Ai cos y?,
в терминах которых уравнение (9) приобретает вид
Mz = -рх2Аг + qx1A2. A3)

6.3] Уравнения Лагранэюа 299
Из уравнений Gа, б), (8а, б) находим
A4)
d_ .
dt
Л 2 d . .0 /.. . . ч
— — —Q -j~ фх\ — рх2ф — Sq \х2 — фх\).
тп dt
Из A4), A3) следует уравнение Mz « О, MZ = Mz0. Полагая в A0),
A1)^> = а;,а; = Mzo/12, получим линеаризованную систему, которую
удобно представить в переменных \/~Ах\ = z\, \/~С х2 = z2:
z\ — kz2 + fiii2 + ^1^1 = 0?
z2 — kz\ — £l2zi + ^2^2 — 0. A6)
Здесь введены обозначения
о ?7l(/ / 9\ 9 TTip /
С =
[/1 - /2 + С - msop], ^2 = -^= [/i - /2 + С -
fit = 7=
Характеристическое уравнение системы A5), A6)
р4 A - к2) + р3 (fii - fi2) + р2 (и2 + о;| + fiifi2) + cj2^ = 0.
Согласно критерию Раусса-Гурвица амплитуды колебаний экспоненци-
экспоненциально возрастают (в пределах применимости линейного приближения).
Из A2) следует, что при начальных условиях ф@) = 0, #i@) = 0,
£i@) — 0? х2@) = х2о > 0, х2@) = х2о > 0 эллипсоид начинает
вращаться с угловой скоростью ф(ъ) < 0, а при начальных условиях
ф@) = 0, х2@) = 0, х2@) = 0, xi@) = х1О > 0, ii@) = ii0 > 0
эллипсоид начинает вращаться с угловой скоростью ф{г) > 0.
Рассмотрим случай движения шара с симметрично распределенной
относительно двух перпендикулярных осей плотностью массы, полагая
/х = /2 = /з = /, с = а, р = 0. Тогда
£li = П2 = и), к = —, А = та2 + /, из\ = 0, о;2 = 0.
После подстановки в A4), A5) £i, z2 ~ ехр (—i\t) находим, что ха-
характеристическое уравнение A2 (l — к2) — uj2 = 0 приводит к двум
действительным корням Ai52 — =ЬА, А = ш)у/\ — к2 . Общее решение
представим в виде суперпозиции собственных векторов, соответствую-
соответствующих собственным значениям Ai, A2:
_ оЛ А п *>-ibt _lr^ к + *Vl - к2 п i\t
— ne u , ,Гл ^ °i e -h rte ^ Ие ,
A7)

300 Динамика твердого тела [ Гл. 6
где С±, С2 — константы. Очевидно реализуется обмен энергией двух
мод колебаний шара. Из A2), A7) следует, что среднее значение скоро-
скорости прецессии
(ф) = и + (x2xi) = и + Ц^- [С? + G\
6.4. Движение космического аппарата в ньютоновом
поле тяготения
6.4.1. Найти потенциальную энергию взаимодействия тонкого
стержня с Землей.
Решение. Положение стержня длины / определяется радиусом-
вектором центра масс R и углами Эйлера. Потенциальная энергия
стержня в неоднородном поле тяжести
1/2
/
-1/2
где п = 1/1. Вычисляя интеграл, получим
£/(R, n) = -G — In 2R_n/J|_/ + 2Rn • A)
2|R-n//2|-/-
Единичный вектор, задающий направление стержня, п =
= sin (f sin в exf — cos(p sin0 eyt + cos0 ezr. Вводя сферические
координаты вектора R = R(sina cos/3, sin a sin/3, cos a), запишем
скалярное произведение Rn = cos a cos0 + sin a sin# cos (^ — /3).
Если R ^> /, то из A) следует
где / = ml2/12. Найдем приближенное выражение A) при движении
стержня на расстояниях |R — а| <С а, где а — радиус Земли. Полагая
в B) R = а + г, получим
(/(г, п) = _«!^ _TOgr + ще Ь -з(^J1 - М(-J
а 2а |_ \ о / J а \ а /
6.4.2. Найти потенциальную энергию взаимодействия твердого те-
тела с Землей, если его размеры малы по сравнению с расстоянием между
центром Земли и центром масс тела.
Решение. Положение тела определяется радиусом-вектором центра
масс R и углами Эйлера ап относительно референционной системы
отсчета. Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей
р(х) dsx

6.4] Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 301
Если размеры тела а С й, то подынтегральное выражение можно
разложить в ряд Тейлора:
1 1 0 11 д2 1
d "^ о XiXk
|R + x| Д ' ~г<9Я; Я ' 2 г к dRidRk R
3(xRJ
" Я Я* + 2 l
Учитывая, что свертка тензора инерции
/«а = hi + ^22 + /ЗЗ = 2 J С/3Ж р(х)
получим
f/(R, ап) = -G -^- И- ^з" [3Iik~tf Inn\
где R[ = e'R, e^ — базисные векторы системы отсчета, связанной
с телом. Таким образом, сила, действующая на твердое тело, зависит от
его размеров и ориентации. Только для однородного шара Aа/з — I^ap,
Iota. = 3/) второе слагаемое равно нулю.
6.4.3. Центр масс осесимметричного спутника движется по кепле-
ровой траектории. Найти лагранжиан, описывающий движение спут-
спутника относительно центра масс.
Решение. Обозначим R — радиус-вектор центра масс спутника,
dn — углы Эйлера. Лагранжиан спутника в инерциальной системе
отсчета
> тЬ @) • @)\ 1 тЧ2 i 1 г @) @) Г7-/-Г» @)\ /i\
l, R, <х£}, аI}) = - тК + - I^uj^^uJq — c/(R, orn }). A)
L 2 P
Поскольку размеры спутника L <^С Я, то потенциальная энергия
определяется приближенным выражением, найденным в задаче 6.4.2.
Лагранжиан A) порождает систему, состоящую из шести связанных
уравнений. Три из них имеют вид
Б Mm 3 GM
mRn = -G —з~ Rn ~ т> —5~
Для реальных космических аппаратов отношение второго к первому
члену ~ (L/RJ <^С 1. Следовательно, собственное движение спутника
(неизменных размеров) относительно центра масс незначительно влия-
влияет на характер траектории. Поэтому рассмотрим задачу в приближении
заданного движения центра масс R = R(£), где R(t) — закон движения

302 Динамика твердого тела [Гл. 6
по кеплеровой траектории. Опуская в A) члены, зависящие явно от вре-
времени, получим лагранжиан движения спутника относительно центра
масс
Ц0)(«Ю, «£», t) = \ lik«T«f - | ™ huR!A. B)
Далее удобно перейти в систему отсчета, вращающуюся с угловой
скоростью ft вектора TL(t): ет = Amk{t) щ. Здесь щ — базисные орты
инерциальной системы отсчета; em = [Hem], fti = Ctei = Simk^ms^Jk-
В новых координатах
L(an, а„, 0 = 5 7** (ш
D)
где R'i = e^R, e^ = *Sim(£) em, Sik(t) — матрица поворотов на эйлеровы
углы, ё[ = Simem + Simem = [(о; + П)е']^ Учитывая соотношение
апдЬ/дап = ujndL/dujn, получим обобщенную энергию относитель-
относительного движения
Н{ап, апу 4=2
Uo6(an, t) = -\ 1{кП,Пк + ^ ^f IikHimHknRmRn, E)
где i/ifc = SimAmki Ri = Rnj. Первый член в E), пропорциональный
квадрату угловой скорости Г£2, аналогичен центробежной энергии. Ес-
Если центр масс движется по окружности, то dL/dt = 0. Обобщенная
энергия сохраняется. Направим ось z референциальной системы отсче-
отсчета с началом в центре масс спутника параллельно вектору П, а ось х —
к центру Земли. Тогда R(£) = —R(t)ex, ft = ftez. Векторы ez и ех
представляют линейные комбинации базисных векторов ед' подвижной
системы, связанной со спутником:
ех = (cos (p cos ф — sin (p cos в sin ф) ext — (cos (p sin ф +
+ sin (p cos 0 cos ф) eyt + sin (p sin в ezr,
ez = sin ^ sin ф ex> + sin ^ cos ф еу> + cos 0 ez/.
Подставляя в C), D) векторы а? и R, получим
L(an, an, t) = — [в2 + (ф + ftJ sin2^] +
+ y [(<p + il) cosO + ф]2 -U'(an, t), F)
U'(an, t) = ^f [I-(I- h) sin2^ sin2^]. G)

6.4] Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 303
6.4.4. Центр масс осесимметричного спутника движется по круго-
круговой орбите. Найти собственные частоты колебаний спутника относи-
относительно центра масс.
Решение. Пусть R(£) — радиус-вектор центра масс. Его величина
связана с угловой скоростью вращения спутника соотношением ft2 R3 =
= GM. Поскольку H(t) — известная функция времени, то, используя
результаты задачи 6.4.3, получим лагранжиан
L(an, <*n) = 5 [^2 + (^ + ^Jsin2(9] + у [ф + (ф + fi) cos0]2 +
+ Щ~ (I - /з) sin20 sinV A)
Учитывая первый интеграл 1зф + /з (Ф + О) cos0 = M3, запишем два
уравнения Лагранжа
^ [/(<£ + п) sin2(9 + М3 cos в] = ^П2 (I - Is) sin2(9 sin 2<^, B)
10 = (ф + п) [I (ф + fi) cos (9 - М3] sin 0 + | ft2 (/ - /3) sin 2(9 sinV
C)
Пусть ф@) = ф@) = 0. Полагая <р, в равными постоянным величинам,
получим из B), C) уравнения, определяющие положения равновесия
спутника:
sin20 sin2<^ = 0,
sin 0 [Ш cos 0 - М3 + 3 (/ - /3) ft cos в sin2^] = 0.
Предположим, что /3 | cos ^@)| ^ 4/ — З/з, и рассмотрим движение
в окрестности положения равновесия
М3
=
^u- 2 , wouu- D/_3/з)п-
Вводя новые переменные х\ — <р — тг/2, х2 = 0 — 0о? получим из B), C)
линейную систему
/ sin2 0ожх + i C/3 - 2/) П sin 20о ж2 + 3 (/ - /3) ft2 sin20o xx = 0,
1х2 - \ C/3 - 2/) П sin 20О жх + D/ - 3/3) Ct2 sin20o x2 = 0.
Общее решение соответствует колебаниям связанных осцилляторов.
Если 0@) = тг/2, то 0о = тг/2. В этом случае
Х\ = ^4х cos (^1^ Н~ CKl) 9 Ж2 = Л2 COS (сс?2^ Н~ ^2M

304 Динамика твердого тела [ Гл. 6
6.4.5. Исследовать прецессию и нутацию оси Земли, обусловленную
моментом сил, действующих со стороны Солнца.
Решение. Вращательный момент обусловлен сплюснутостью Зем-
Земли у полюсов. Предполагая, что Земля представляет симметричный
эллипсоид с полуосями а = b ф с, найдем осевые моменты инерции
I = М (а2 + с2)/5, /з = 2Ма2/5. Экваториальный момент инерции
/ = 8,042 • 1037 км-м2, полярный /3 = 8,068 • 1037 км-м2. Поскольку
эксцентриситет орбиты Земли е = 0,0168 весьма мал, то будем рас-
рассматривать движение центра масс по окружности радиуса R. Угловая
скорость^ = (GMc/Я3I/2 (Mq — масса Солнца). Период Т = 2тг/ft =
= 1 год.
Используя обозначения задачи 6.4.4, запишем первые интегралы
и одно из уравнений Лагранжа:
13(ф + П) cos<9 = M3, A)
dMz 3fl
jf = 2" (h ~ I) sin20 sin2^, C)
где Mz = I (ф + ft) sin2^ + M3 cos0. Найдем решение этой системы
с начальными условиями ф@) = —ft, 1зф@) = Мо, 0@) = 0о, 0@) = 0,
где ^@) — угловая скорость суточного вращения Земли. В отсутствие
внешнего поля из A)-C) следует 0(t) = 0о, ф(Ь) = —ft. Представим
<p(t) в виде <p(t) = — fit + <pi. После усреднения A)-C) за год получим
систему уравнений
.. /1 1\ М0 /1 — UoU\ , ..
(и) = е (и2 - tig) A - и2) - (и - uoJ, E)
л а 3 (/з - /) /О2
U = COS 0, Uo = COS #o, £ = - 5 •
2 Мо
Очевидно, величина е < 1. В этом случае f(u) можно представить
в виде
f(u) ~ -(и - i*i) (u - u0), tii ~ u0 (I + 2е sin2^0)
и получить решение E)
и = - I (и0 И- tii) И- (ио - t*i) cos yd =
= uo + £Uq sin2^o A — cos —y-1J.

6.4] Двиэюение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 305
Из D) найдем угловую скорость прецессии
, . . 3 G3-/)П2 3 (а2 ~ с2) п2
Ы) = "о м COS°0 = ~d 2 77^ COSl90-
^ Мо 4 а -0@)
Угол в0 - 23°, (а2 - с2)/Bа2) - C05)"\ следовательно, фг =
= — П/81 000. Различие между найденным периодом, равным 81000 го-
годам, и наблюдаемым, равным 26 000 годам, объясняется взаимодей-
взаимодействием Земли и Луны.
Смена сезонов вызвана обращением Земли вокруг Солнца и накло-
наклоном ее оси к плоскости эклиптики на 23° 27'. Из-за того, что Земля
сплюснута у полюсов, моменты сил, действующих на нее со стороны
Солнца и Луны, приводят к вращению оси вокруг нормали к плоскости
эклиптики с периодом 26 000 лет.
Первые запечатленные наблюдения за движением Солнца на фоне
звездного неба, относятся к эпохе IV—III тыс. до н. э. В III тыс. до н. э.
шумерские астрономы определяли начало нового года — день весеннего
равноденствия — по вступлению Солнца в созвездие Тельца. В этот день
плоскость экватора совпадает с плоскостью эклиптики. Интересно, что
контур созвездия Тельца, похожий на букву Л, послужил прообра-
прообразом первой буквы алфавитов большинства языков индоевропейской
группы. Почти за 2 000 лет точка весеннего равноденствия сместилась
навстречу видимому перемещению Солнца и во II в. до н. э. оказа-
оказалась в созвездии Овен. Это явление обнаружил величайший астро-
астроном древности Гиппарх (II в. до н. э.) и назвал его прецессией —
предварение равноденствий. Сейчас она находится в созвездии Рыб,
передвигаясь ежегодно на 50,26". Поэтому Солнце, последовательно
проходя через все созвездия зодиака, вернется к исходному положению
через 26 000 лет. Происхождение прецессии объяснил И. Ньютон.
6.4.6. Гравилет. Центр масс космического аппарата, выполненно-
выполненного в виде гантели, движется по эллиптической траектории. Ось сим-
симметрии гантели перпендикулярна плоскости орбиты. Используя метод
усреднения, исследовать эволюцию траектории при периодическом из-
изменении длины гантели [32].
Решение. Пусть R — радиус-вектор центра масс. Гантель массы т
образована двумя одинаковыми шарами, центры которых находятся
на расстоянии / друг от друга, радиусы шаров а <С /• В этом случае
осевые моменты инерции I(t) = ml2/4, /3 = 0. Предполагая, что / <С
<С Я, запишем лагранжиан системы
L(R, R, t) = JmR2-[/(R, t),
.v „ mM GM
5 Ч — -ь- —5- +
Я ' 2 я3
Сила, действующая на гантель,

306 Динамика твердого тела [ Гл. 6
зависит от ее длины. Из A) следует весьма важный вывод: величина
силы, действующей на тело конечных размеров, меньше силы, дей-
действующей на материальную точку той же массы, помещенную в центр
масс. Это обстоятельство можно использовать для целенаправленно-
целенаправленного изменения параметров траектории, в частности для увеличения
эксцентриситета (или полной энергии). С этой целью длину гантели
следует изменять так, чтобы в течение времени, когда выполняется
условие Fv > 0, длина гантели была бы минимальной. В течение
остальной части периода, когда Fv < 0, длина гантели должна быть
максимальной. В результате мощность внутренних сил за период бу-
будет положительной. Этот эффект возможен только в неоднородном
внешнем поле. Используя результаты задачи 1.5.12, запишем уравне-
уравнения, определяющие эволюцию динамических переменных, — полной
энергии, момента импульса и вектора Лапласа:
М = 0,
E ^\ B)
. C)
Отметим, что уравнение B) можно получить из соотношения
Запишем уравнение траектории в параметрической форме (см. зада-
задачу 1.5.3):
2, D)
ж(£) = a(cos£- е), у(£) = а 1-е2 sin £,
uot = £ — е sin £, и) = з •
та
Учитывая D), находим
sin£, E)
R (RR) - Rtf2 = ^ [RM] = ^ (y(£) ei - x@ e2). F)
В соответствии с проведенным выше анализом предположим, что
функция /(£) является периодической, причем
0, T/2<t< T,

6.4] Двиэюение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 307
где Т = 2tt/uj — период. Подставляя E) в B) и усредняя по периоду,
получим уравнение, определяющее систематическое изменение полной
энергии:
Е = 4? 2^ A-е2K ■ G)
Произведем замену переменных Е = —а/2а. Из G) следует уравнение
^ £, а@) = ао. (8)
ll
Dа - р) \/а- р 4тгр
Интегрируя (8), находим неявную зависимость а(£):
а0
где ао = а@). Если а$ ^> р, то из (9) получим асимптотику решения
2тг ^ а
a(t)
lot
р То
п —
тпр
при значениях t >> То (р//оJ «о/р. Период обращения по «расши-
«расширяющейся» эллиптической орбите
Возрастание полной энергии, являющееся следствием параметрическо-
параметрического резонанса, подобно увеличению амплитуды колебаний при периоди-
периодическом изменении положения центра масс человека на качелях.
6.4.7. Частица и однородный тонкий стержень движутся по пря-
прямой, совпадающей с его осью. Найти напряжение р(х) в произвольном
сечении стержня.
М
О
zo
О
Рис. 6.4.7
Решение. Пусть масса стержня равна га, длина стержня — /, ко-
координата центра масс — z, координата частицы массы М равна zo
(рис. 6.4.7). Найдем напряжение в сечении, отстоящем от левого конца

308 Динамика твердого тела [Гл. 6
стержня на величину х. Это сечение делит стержень на две части
массами rai и т2\ mi + rri2 = га. Очевидно, координаты центров
масс изучаемых тел равны z\ = z — 1/2 -\- ж/2, Z2 = z + ж/2, z =
= М (М + m)~1r, z0 = —га(М + га)?", r = z - zo. Обозначим
через Fi, F2 силы притяжения, действующие на частицу М со стороны
двух частей стержня, Fi2 — силу притяжения, действующую на часть
стержня mi со стороны части стержня массы rri2\ N — величина сил
реакции, действующих в сечении стержня. Из второго закона Ньютона
следует
'z = N - Fi + F12, m2z = -N - F2 - F12,
Mzo = F! + F2,
z-l/2+x z+l/2
j [ dxx~2, F2 = GMj [ dzz-2.
z-^/2 z-l/2+x
Из этих уравнений находим TV = A712/171) F\ — (mi/m) F2 — F\2. Ес-
Если M/m ^> (г//K, то последним слагаемым можно пренебречь. В этом
случае искомое напряжение
/ ч х (I — x) GMm
**)=*> Цг-1/2 + х ()
где S — сечение стерж:ня. Функция р(х) достигает максимального
значения ртах — Bро/0 (г ~ г2 — (//2J) при ж = г2 — (//2J — г +
+ //2.
6.4.8. Два одинаковых, скрепленных шара образуют тело массы га,
взаимодействующее с планетой массы М. Планета и шары движутся по
круговым орбитам относительно центра масс системы. Найти величину
силы реакции в точке соединения шаров.
Решение. Реально задача состоит в выяснении условий существова-
существования спутников планет, которые могут быть разорваны гравитационны-
гравитационными силами, действующими со стороны планеты. Впервые эту задачу
поставил в 1848 г. французский математик Э. Рош. Предел Роша —
расстояние, на котором разность сил притяжения, действующих на
каждую из «половинок» спутника со стороны планеты, начинает пре-
превосходить силы, притягивающие обе «половинки».
Рассмотрим задачу в системе отсчета с началом в центре масс С
трех тел (рис. 6.4.8). Пусть i*i, r2 — радиусы-векторы первого и вто-
второго шаров, Го — радиус-вектор планеты. Обозначим через Fi (F2)
силу притяжения, действующую на первый (второй) шар со стороны
планеты, F12 (F21) — силу притяжения, действующую на первый шар
со стороны второго (на второй — со стороны первого), Ni (N2) — силу
реакции, действующую на первый шар (на второй шар). Из второго

6,4 ] Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 309
Рис. 6.4.8
закона Ньютона находим
Mir о = -Pi - F2.
Пусть г — радиус-вектор центра масс скрепленных шаров,
МР длины /, а — вектор РО2, тогда
= г - а, г2 = г + а,
М . т
A)
B)
— вектор
C)
Поскольку планета и шары движутся по круговым орбитам, то
£ = [а? [«£]] = -а;2^, a = -o;2a,
где а? — угловая скорость вектора £. Учитывая C), D), получим из A),
B) уравнения
m 2( M
G m2 GmM
т 2 ( М
G т2 G тМ
E)
F)

310 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Складывая E) и F), найдем
2 _ n m + M I2 + a2
Вычитая E) из F), получим
) G 21 (Г а2J \-М C/ + п)+т (^ + °)] •
Предположим, что площадь сечения в месте соприкосновения шаров
равна S. Тогда напряжение материала контакта
8а3 [М C12 + а2) + т (I2 + а2)] ] G
2-а2J
Пусть т <С М. Тогда функция аA) существенно упрощается:
здесь рп, рс — плотности планеты и шаров. При / ^> R функция аA)
стремится к постоянному значению его, равному напряж:ению, создава-
создаваемому притяжением шаров. При значении / = /о,
1/3 /п Ч1/3
288Я(^) , G)
функция аA) обращается в нуль. В области R + 2а ^ / < /о функ-
функция принимает отрицательные значения и убывает с уменьшением /.
При / = R + 2а она достигает значения ~ сгоA — 24рп/рс) — растяги-
растягивающее напряжение превосходит величину сжимающего напряжения.
Для разрыва шаров достаточно, чтобы относительное удлинение «пе-
«перемычки» превысило ~ 10", т. е. при значении |сг| ^ Ю"^ перемычка
разрушится гравитационными силами, действующими со стороны пла-
планеты. Это условие приводит к неравенству
-2
amin «й<Я, amin ~ 10
Границы запретной зоны (предел Роша) определяются выражением
G). Наибольший интерес представляет вычисление предела Роша для
системы «Земля — Луна». В этом случае рп = 5,5 • 103 кг/м3, R =
= 6380 км, рс = 3,34 • 103 кг/м3, а = 0,27Я, Е ~ 1011 Па — модуль
Юнга горных пород. Подставляя числовые данные, находим ат-ш ~
~ 50 км, /о = 3,4Я. Любопытно, что наша оценка близка к результату
точного расчета, равного /о = 18 300 км ~ ЗЯ.

6.5] Электромеханика 311
Фотоснимки, сделанные космическим аппаратом «Вояджер», пока-
показали, что поверхность ближайшего к Марсу спутника — Фобоса — ис-
исчерчена параллельными бороздами. Они могли возникнуть вследствие
того, что находящийся сейчас на расстоянии 9450 км от Марса Фобос
приблизился к пределу Роша. При плотности Фобоса ~ 2 • 103 кг/м3
предел Роша соответствует расстоянию от 10 400 км.
Недавно мы стали очевидцами крупнейшей за всю историю ци-
цивилизации космической катастрофы в Солнечной системе — 16 июля
1994 г. комета Шумейкер-Леви столкнулась с Юпитером. Она была
открыта 24 марта 1993 г. Годом раньше она близко подошла к Юпи-
Юпитеру и была разорвана приливными силами примерно на 20 осколков,
растянувшихся на миллионы километров вдоль траектории. Поэтому
последний осколок упал 22 июля. Размер наиболее крупного осколка
порядка километра.
6.5. Электромеханика
Электрическое и магнитное поля индуцируют в жидких и твер-
твердых телах (проводниках, диэлектриках и магнетиках) токи, дипольный
и магнитный моменты. В результате взаимодействия токов и наведен-
наведенных моментов с неоднородным переменным полем на жидкость или
твердое тело действуют электромагнитные силы. Появляются каче-
качественно новые возможности управления движением тел. Такие зада-
задачи возникают во многих областях современной техники и техноло-
технологии — при создании бесконтактных подвесов, новых видов транспорта,
устройств для сепарации, транспортировки и упаковки деталей, очист-
очистки воды от диэлектрических примесей — нефти, мазута [45, 144-145].
Широко ведутся работы в области ферродинамики по созданию прибо-
приборов и устройств, использующих содержащие ферромагнитные частицы
жидкости, движущиеся в электромагнитом поле [146]. Другое направ-
направление исследований связано с созданием систем пассивной и активной
стабилизации спутников, тросовых космических систем в режимах тяги
или генерации электроэнергии в магнитном поле Земли [147, 148].
В рамках релятивистской электромеханики показано, что черная дыра,
вращающаяся в магнитном поле, играет роль батареи, преобразующей
энергию вращения в массу покоя и энергию выбросов в магнитосфере
квазаров и активных ядрах галактик [149].
Последние работы открыли новую перспективную область иссле-
исследований, связанную с разработкой микро- и мезоустройств (от греч.
mesos — средний, промежуточный) для научных и прикладных целей:
микромоторов, микроманипуляторов для управления дисководом или
конструктивными элементами роботов, микронасосов, микроцентри-
микроцентрифуг, датчиков ускорения [150].
Лагранжиан системы проводников. Для анализа электроме-
электромеханической системы, содержащей резисторы, конденсаторы и катушки
индуктивности с подвижными элементами, генераторы напряжения,
соединенные с подвижными или неподвижными проводниками, боль-
большие преимущества представляет лагранжев формализм. В качестве

312 Динамика твердого тела [ Гл. 6
обобщенных координат, определяющих положение проводника а в про-
пространстве, выберем радиус-вектор центра масс И^ и углы Эйлера а4
(п = 1, 2, 3). На участках проводников, соединяющих соседние узлы
в замкнутом контуре, необходимо выбрать положительные направле-
направления. Функция Qa(t), определяемая как количество заряда, протекшего
через поперечное сечение проводника а в положительном направле-
направлении за интервал времени [0, £], играет роль обобщенной координаты,
связанной с обобщенной скоростью — силой тока Ja — соотношением
Qa — Ja- Положительное направление на контуре однозначно задает
вектор внешней нормали к внешней поверхности, натянутой на контур,
который необходимо ввести при вычислении потока магнитной индук-
индукции. При выборе обобщенных координат и токов следует учесть, что
заряд изолированной части цепи сохраняется, в каждом узле выполня-
выполняется условие соленоидальности токов.
Лагранжиан электромеханической системы представляет собой
сумму лагранжиана механической системы, лагранжианов элек-
электрического поля зарядов конденсаторов, магнитного поля токов
в проводниках и лагранжиана взаимодействия зарядов и токов
с внешним электромагнитным полем. Энергия магнитного поля
играет роль «кинетической» энергии, энергия электрического поля —
«потенциальной» энергии. В СИ имеем
L = - Lab(qa, qb, t) QaQb — i^ С~ь (qa, qb, t) QaQb + ^мех + LB3,
a, b a,b
F.5.1)
где Lab = Lba — коэффициент взаимной индукции проводников а
и 6, Laa — коэффициент самоиндукции, СаЬ — симметричная матрица
коэффициентов электростатической индукции, LMex(t, g, q) — лагран-
лагранжиан подвижных элементов схемы, qa — параметры, определяющие
пространственную конфигурацию подвижных элементов [44]. Лагран-
Лагранжиан взаимодействия
LB3= Qa^\qa,t)- Qa<fiext(qa,t), F.5.2)
где Фех*(да? t) — поток магнитной индукции внешнего магнитного по-
поля, <^ext(^a? t) — потенциал внешнего электрического поля. Джоулевы
потери и сторонние ЭДС учитываются введением обобщенных сил
в уравнениях Лагранжа
Ttw-£k = -®nRn+£n{t)- F-5-3)
В СИ единица емкости — фарад (Ф), индуктивности — генри (Гн),
напряженности электрического поля — В/м, индукции магнитного
поля — тесла (Тл). Электрическая постоянная £q = 10~9/Збтг Ф/м,
магнитная постоянная /io = 4тг • 10~7 Гн/м, £оМо = с~2.

6.5] Электромеханика 313
Сила Ампера, действующая на проводник во внешнем магнитном
поле
Величина Мп = Jd<l>ext/etan (n = 1, 2, 3) является проекцией момента
силы Ампера на базисные векторы ni = ез, П2 = е^, Пз = е3 системы
координат, которую необходимо ввести для задания углов Эйлера а\ =
Силу Ампера и момент силы Ампера можно представить в терминах
магнитного момента проводника
D(m) = -
о
Если ограничиться приближением квазинеоднородного поля, то сила
Ампера FA = p\m) дВ{/дК.
ЭДС индукции можно представить в явном виде:
S(t) C{t)
Первое слагаемое обусловлено вихревым электрическим полем, вто-
второе — движением элементов контура.
Твердое неферромагнитное тело в магнитном поле. Внеш-
Внешнее поле индуцирует в диа- и парамагнетиках плотность тока j(t, x), ко-
которую можно представить в терминах плотности магнитного момента:
j = rot m. Энергия взаимодействия проводника с внешним магнитным
полем индукцией В = rot А имеет вид:
W(t, R, g) = -J
f t, R + x').
В приближении квазинеоднородного внешнего поля W(t, R, ап) =
= — p(m) B(t, R) + . . ., р^т^ — магнитный момент проводника,
р<т> = \d3x'm(t, х') = \ \d3x' [x'j(f, x')].
Полагая pW = p'ke'k(an), B'k(t,R,an) = e'k(an) B(t, R) =
= Skm{an) Bm(t, R), получим
W(t, R, an) = -p'k Skm(an) Bm(t, R).
Здесь p'k — компоненты магнитного момента в системе покоя провод-
проводника. Сила и момент силы, действующие на проводник в магнитном

314 Динамика твердого тела [Гл. 6
поле:
Fn(t, R, ап) = -|£ = p'k Ski(an) |fi = р^ Ц-, F.5.4а)
M.(t, R, «„) = -|^ = pi ^Bi = ns [p<TO>B]. F.5.46)
Последнее равенство следует из соотношения dSki/das =
= -Skm£mji(ns)j, где £m^ — тензор Леви-Чивита, ni = е3, п3 =
= е3, П2 = е^ — орт, направленный по линии узлов. Угловая скорость
твердого тела и: = ns das/dt.
Вычисление магнитного момента представляет собой задачу элек-
электродинамики движущихся проводников. Из решения уравнений Макс-
Максвелла следует линейное соотношение р'к(ш) = 7fcn(^) hfn(uj)V/fio меж-
ду фурье-образами магнитного момента pfk(u) и магнитной индукции
b'n(t) = B'n(t,R(t),as(t)):
ОО
h'n(u>)= | Л &'„(*) е'"*, F.5.5)
1кп() — тензор магнитной поляризуемости неферромагнитного про-
проводника, V — объем проводника [13]. Магнитный момент, характери-
характеризующий отклик проводника на внешнее поле,
p',-- dt'Gkn(t-t')^l, F.5.6)
можно представить в терминах запаздывающей функции Грина
ОО
Gfcn(T) = -^ | duj Gkn{u) exp [-»(w + гО)т], F.5.7)
Gkni^) = 7kn(u) V/(iujjJ,o)-> удовлетворяющей условию причин-
причинности: Gkn(r) — О ПРИ т < 0. Производная функции b'n(t) =
= Smn(as(t)) Bm(t, K(t)) в F.5.6) равна
S{t) V Y^ [R] F58)
Согласно F.5.6), F.5.8) магнитный момент проводника [151-154]
ОО
p^it) = SkiP'k = - | dt'Ski(t)Gkn(t-t')Snm(t')Vm(t'). F.5.9)

6.5] Электромеханика 315
Соотношение F.5.9) представляет собой интегродифференциальное
уравнение Кирхгофа.
Ферромагнетик в магнитном поле. Если шар состоит из
«магнито-мягкого» ферромагнетика, то вектор плотности магнитного
момента параллелен вектору напряженности магнитного поля Н.
Начальный участок кривой зависимости намагниченности от величины
напряженности магнитного поля — отрезок прямой линии. В слабых
полях магнитный момент р(т) = 3 (/i — l)/(/i + 2)HV, ц — магнитная
проницаемость материала.
Твердое тело в электрическом поле. Внешнее поле напряжен-
напряженностью G поляризует диэлектрик. В результате возникает дипольный
момент р\е* = aikGkV, где aik — тензор поляризуемости, V — объем
тела. Энергия взаимодействия тела с внешним полем
We = -\aikGiGkV. F.5.10)
Определение коэффициентов c^fc — проблема электродинамики сплош-
сплошных сред. В случае эллипсоида вращения
€о (£-1) _ £0 (£ ~ 1)
«11 = «22 = ТТ"—? TV-^Г , «33 =
[1 + (е - 1) п] ' "** [1 + (е - 1) п3] '
где £ — диэлектрическая проницаемость вещества тела, п, пз — коэф-
коэффициенты деполяризации, удовлетворяющие условию 2п-\-пз = 1 [13].
A. Диэлектрический шар. В этом случае пз = п = 1/3, а = as,
а = Зео[(е-1)/(е + 2)].
B. Вытянутый эллипсоид. В этом случае
1-е2 [1
Для металлической сферы Щк = «^ifc, « = Зб:о-
6.5.1. Конденсатор с подвижной пластиной. В схеме на
рис. 6.5.1 электрическая цепь образована конденсатором, резистором
и батареей с ЭДС равной V. Конденсатор представляет собой две плос-
плоских пластины площадью S, скрепленных двумя пружинами. Нижняя
пластина закреплена. Конденсатор помещают во внешнее поле напря-
напряженностью Eext = G(t), G = @, 0, G), потенциал которого <^ext(£, z) =
= —G(t)z. Получить уравнения движения системы.
Решение. Положение верхней подвижной пластины конденсатора
массы т определим значением координаты z на числовой оси с нача-
началом на нижней пластине. Положительное направление тока Q указано
стрелкой на рис. 6.5.1. Лагранжиан системы
L = i mz2 - W,

316
Динамика твердого тела
[Гл.6
^ R_
Рис. 6.5.1
W = k (z - /0J + mgz +
Уравнения Лагранжа
Q2
2C(z)
= k(z- /оJ + mgz + ^ - QGz.
mz = -2k (z - /o) -mg - -^— + QG,
n _ 4Z i /^^ i т/
(i)
B)
Пластина в положении равновесия. Полагая z = 0, Q = 0, получим
систему уравнений
О = -2fc (г - г0J - т# - ^ + QG,
O = -^ + Gz + V.
Равновесные значения координат и заряда можно найти приближен-
приближенными методами или численным расчетом на компьютере.
Теперь получим закон изменения полной энергии Н = mz2 /2 + W:
dH
ai
л ,2
dH dG
ЧГ = ~Qz ~m
Qv ~ Q R'
6.5.2. Бесконтактный подвес. Тонкая металлическая пластинка
помещена между обкладками двух одинаковых конденсаторов, к кото-
которым подключены два электрохимических элемента (рис. 6.5.2а). ЭДС
элементов — £i, £2? внутренние сопротивления — ri, r2- Найти условия
равновесия пластинки [145].
Решение. Введем обозначения: 2h — расстояние между обклад-
обкладками конденсатора, S — площадь обкладки, т — масса пластинки.
Направим ось х вертикально вверх, начало координат расположим

6.5]
Электромеханика
317
о —
Рис. 6.5.2
на расстоянии h от нижней обкладки, x(t) — координата плоскости
пластинки. Эквивалентная схема системы изображена на рис. 6.5.26.
Емкости конденсаторов
£0S
h-x'
С2 =
£0S
h + x '
?0 — СI + С2 — 72 2
h — х
Полож:ительные направления токов Qi и Qi показаны на рис. 6.5.25
стрелками, соответствующим токам, связанными с производными
функций Q\ и Qi — зарядами на обкладках конденсаторов, Qo = Q\ +
+ Q2 — заряд на правой обкладке конденсатора Со. Следовательно,
система имеет три степени свободы.
Лагранжиан системы
1И2-х2Л
1h
Уравнения Лагранжа имеют вид
Q2J f
n Qi Q1 + Q2
+ £2-
A)
B)
C)
В положении равновесия х = #о, Qi — ^1? Q2 — ^2- Из B), C) находим
значения
e0S[3h-
[
З/i
+ qi = - (Ci£i + С2£2)-

318
Динамика твердого тела
[Гл.6
Положим для упрощения вычислений £i = £2 = U. Тогда q\ =
= C\U /2, q2 = C2U/2, ж-компонента силы, действующей на пластинку
в электрическом поле,
Fx =
xoh
В положении равновесия — mg-\- Fx{xq) = О, dFx/dx > 0 — положение
равновесия неустойчиво. Согласно теореме, доказанной английским
математиком С. Ирншоу (S. Earnshaw), система неподвижных зарядов
не может быть устойчивой.
6.5.3. Пластинка в переменном электрическом поле. Тон-
Тонкая подвижная металлическая пластинка представляет собой нижнюю
обкладку конденсатора, которая может перемещаться в вертикальном
направлении. Обкладки конденса-
конденсатора присоединены к ЬЯ-цепи, со-
содержащей генератор переменного
напряжения £(t) = U coso;t, t ^ 0
(рис. 6.5.3). Найти условия равнове-
равновесия пластины.
Решение. Направим ось х вер-
вертикально вниз, начало координат
расположим на верхней обкладке,
x(t) — координата плоскости пла-
пластинки. Положительное направле-
направление тока Q показано на рис. 6.5.3
О
Рис. 6.5.3
стрелкой. Лагранжиан системы
L = - тх2 + mgx + - LQ2 -
Уравнения Лагранжа имеют вид
тх = mg —
От
COS Ujt.
(i)
B)
Пусть из ^> 1/Т, где Т — характерное время движения пластины.
Найдем решение уравнений A), B), используя метод усреднения. Пред-
Представим х и Q в виде сумм плавных и быстроосциллирующих функций:
х = z + u, Q = q + e: (и) = (е) = 0. Подставляя х и Q в A), B), получим

6.5] Электромеханика 319
уравнения
^ + (e2)), C)
D)
Lq = —±(qz + (eu))-qR, E)
L'e = (qu + ez) — eR + U cosuit. F)
Ищем решение F) в стационарном режиме в виде
е = — sin(ujt + a). G)
Подставляя G) в D), находим и « (Ak/uj3) sin (о;^ + ск), fc = q/(m£oS).
Подставляя и в (б), получим А = U/Z, где Z — «импеданс» цепи,
Теперь уравнения C) и E) приобретают вид
В положении равновесия г = го, Q = Яо- Из (8), (9) находим
qo = 0, zo = eoSu;\xL- r2 - R2 ] , г2 = ^—Т , г > Я.
Переходя к уравнениям, описывающим систему в окрестности поло-
положения равновесия, находим, что при значениях t ^> L/R, решение
уравнения (9) q(t) —> 0. Из уравнения (8) следует, что положение рав-
равновесия z = zo устойчиво. Частота вертикальных колебаний пластинки
в окрестности положения равновесия равна ft,
6.5.4. Конденсаторный микрофон. Найти лагранжиан и урав-
уравнения Лагранжа конденсаторного микрофона (рис. 6.5.4).

320
Динамика твердого тела
[Гл.6
Решение. Пусть х — координата верхней пластины конденсатора,
/о — длина пружин в ненапряженном положении. Емкость конденсато-
конденсатора С = £qS/x (S — площадь обкладок). Лагранжиан системы
L = - тх2 — к (х — /оJ —
+ х
Уравнения Лагранжа
Запишем теперь закон изменения полной энергии:
Умножим обе части первого уравнения на ж, второго — на Q и сложим
полученные соотношения. В результате имеем
Элементарная работа, совершаемая внешней силой
0°
J
Рис. 6.5.4
Рис. 6.5.5
Q2
Q2RAt-eAQ.
6.5.5. В вертикальной плоскости расположены два проводника
(рис. 6.5.5). По неподвижному проводнику течет ток силой Jo. Концы
другого проводника, по которому течет ток J, прикреплены к оди-
одинаковым пружинам. Найти частоту линейных колебаний проводника
в окрестности положения устойчивого равновесия.

6.5] Электромеханика 321
Решение. Пусть к — жесткость пружины, /0 — длина в ненапряжен-
ненапряженном состоянии, т — масса подвижного проводника длиной s. Предпо-
Предположим, что неподвижный проводник находится на расстоянии а > 1\ =
= /о + mg/2k от оси у. Ограничимся далее изучением плоскопарал-
плоскопараллельного движения проводника. В этом случае его положение опреде-
определяется координатой х (рис. 6.5.5). Сила, действующая на проводник
F = mg-2k(x-lo)+
2тг(а-х) '
обращается в нуль при
Поскольку
a — x\
то устойчивое положение равновесия соответствует значению х\. Ча-
Частота линейных колебаний
[Ак Х% — Х\
т а — х\ J
При с <С а — 1\ частота
2* L
UJ ~ 1 —
m f 2{a-h
6.5.6. Зарялсенное кольцо в переменном магнитном поле.
По поверхности тонкого диэлектрического кольца радиуса а равномер-
равномерно распределен заряд q. Кольцо может вращаться вокруг оси, про-
проходящей через центр перпендикулярно плоскости кольца. Поместим
кольцо в соленоид так, чтобы ось совпадала с осевой линией соленоида.
Индукция магнитного поля Bz(t) = Во, t ^ 0; Bz(t) = B(t), t > 0.
Найти угловую скорость кольца uj(t).
Решение. Определим положение кольца углом поворота (р. Угловая
скорость кольца uj = ф. Движению поверхностного заряда на кольце
соответствует ток силы J = ааф, где а = д/Bтга) — линейная плот-
плотность заряда. Лагранжиан кольца
где / = та2, Ф(£) ~ ira2 B(t). Из уравнения Лагранжа находим первый
интеграл
1ф + <таФ(*) = С,-^ф + ^- B(t) = С1.

322
Динамика твердого тела
[Гл.6
Пусть w(t) = 0 при t ^ 0. Тогда С" = qB0/2m, u{t) = (q/2m) [Bo -
— B(t)~\. Если B(t) = О, то кольцо приобретает постоянную угловую
скорость.
При изменении индукции магнитного поля возникает вихревое элек-
электрическое поле, силовые линии которого представляют собой окружно-
окружности с центром на оси соленоида. Касательная компонента напряженно-
напряженности поля Е = —(а/2) dB/dt. В результате на поверхностный заряд
кольца действует сила, вращающая диск.
6.5.7. Электромагнитная пушка. Двухпроводная идеально про-
проводящая линия, расположенная в горизонтальной плоскости, подклю-
подключена к источнику ЭДС. Вдоль линии
может двигаться проводящая пере-
перемычка. Вся система находится в од-
однородном магнитном поле. Найти ре-
решение уравнений Лагранжа.
Решение. Пусть т — масса пере-
перемычки, / — ее длина, R — сопротив-
сопротивление. Положение перемычки опреде-
определяется координатой х. Для вычисле-
Рис. 6.5.7 ния магнитного потока введем век-
вектор п, перпендикулярный плоскости
контура. Задание вектора п определяет одновременно положительное
направление на контуре (показано направленной линией на рис. 6.5.7).
Лагранжиан системы
L=\ тх2 + \ L{x) Q2 + BlxQ,
2 2
где L(x) — коэффициент самоиндукции замкнутого контура. Уравне-
Уравнения Лагранжа
A)
8. B)
Рассмотрим два случая. 1) Магнитный поток внешнего поля В 1х зна-
значительно превышает поток LQ собственного поля тока. Исключая из
A), B) Q, находим
тх + х = и, т =
mR
и =
В1 '
Следовательно,
х = и A -
/Т, J(t) = \{£~ v0Bl)
где Vo = х@). Очевидно, J = 0, х = и — сила тока и скорость
перемычки при установившемся движении. При Vo < и ток течет
в положительном направлении.

6.5] Электромеханика 323
2) В = 0, мы имеем электромагнитную ускоряющую систему (рель-
сотрон). Из уравнения A) следует
dW тд/ 1 тЛ2
Перемычка движется под действием сил давления, создаваемых маг-
магнитным полем. Пусть р — объемная плотность энергии магнитного поля
проводящей линии. Тогда dW/dx = pS, где S — площадь бокового
сечения перемычки. Подставляя т = pSd (p — плотность материала
перемычки), получим ускорение а = р/pd. Величину pd называют
эффективной толщиной. Положим pd = 102 кг/м2. Значению р =
= 400 атм соответствует В = 10 Тл. При этих условиях а = 4 • 105 м/с2
~ 4- 104g\ Скорость v = 10 км/с достигается на длине S = 125 м. Время
разгона ~ 2,5 • 10~2 с. Перемычка массы т = 2 кг приобретает энергию
100 МДж.
Получим теперь закон изменения энергии системы — суммы кине-
кинетической энергии перемычки и энергии магнитного поля
Умножим A), B) на v, I и сложим полученные соотношения. Поскольку
v dhjdx = dL/dt,
rdLJ 1 т9 dL 1 dLJ2
j \JU M-J *J J. j^ \Jb M-J J.
dt 2 dx 2 dt '
то закон изменения энергии приобретает вид
f = J8 - J*R.
at
6.5.8. Космическая электростанция. В последнее десятилетие
возрос интерес к применению тросов в качестве элементов космических
систем. Значительный интерес представляют тросовые системы, взаи-
взаимодействующие с магнитным полем Земли — проводящий трос можно
использовать как элемент двигателя или генератора [148].
Два спутника, вращающиеся по круговым орбитам радиусов г\ =
= г —1/2, г2 = г+ 1/2, соединенны изолированным проводящим тросом
длиной / <С h, г = а + /г, где а — радиус Земли, h — расстояние
от поверхности Земли до центра масс связки (рис. 6.5.8). Плоскость
орбиты лежит в плоскости магнитного экватора. Магнитное поле почти
однородно в пределах кольца, по которому движется трос: В (г) =
= Bq (а/гK, где Bq = 4,2 • 10~5 Тл. При контакте концов троса
с ионосферной плазмой возникает замкнутая цепь электрического тока,
текущего по изолированному тросу и вдоль силовых линий магнитного
поля, сближающихся у полюсов в области слоя Е плазмы с высокой
проводимостью. Найти систему уравнений, определяющих динамику
тросовой системы.

324
Динамика твердого тела
[Гл.6
Рис. 6.5.8
Решение. Рассмотрим ограни-
ограниченную задачу, предполагая, что
трос находится на прямой, проходя-
проходящей через центр Земли. Положение
троса задается вектором 1 — направ-
направленным отрезком A\A<i. Пренебре-
Пренебрегая неоднородностью поля тяжести
в области ~ /, запишем силу при-
притяжения в виде F = —mga2r/r3,
где т — масса спутников, г =
= (ж, у, 0) — радиус-вектор центра
масс с началом в центре Земли. Си-
Сила сопротивления, действующая на
связку в верхних слоях атмосферы,
Fc = —kp(r)Svv. Здесь S — общая
площадь сечения спутников в плос-
плоскости перпендикулярной скорости, р(г) — плотность воздуха, к —
коэффициент порядка единицы. На трос действует также сила Ампера
Fa = J [IB(г)], где J — сила тока, протекающего через трос. Из второго
закона Ньютона получим уравнение движения центра связки:
т— = —mga2 -g - S p{r)
at т
(i)
Полная система, содержащая три неизвестных функции ж, у и J, дол-
должна быть дополнена уравнением, следующим из закона Ома и закона
электромагнитной индукции
где R — полное сопротивление электрической цепи.
Оценим ЭДС индукции. Приращение магнитного потока через коль-
кольцо АФ & vBlAt, где v = ^(a/rI/2, v\ = (gaI/2 — первая космическая
скорость. Следовательно, в тросе наводится ЭДС, равная разности
потенциалов точек А\ и A<i'. e = vBl = Bo(a/rO/2lv\ ( рис. 6.5.7).
Полагая / = 20 км, г = а + h, h = 400 км, получим е ~ 5000 В.
Запишем теперь закон сохранения энергии. С этой целью образуем
скалярное произведение A) с v, затем умножим B) на J и сложим
полученные выражения. В результате находим
C)
где E(t) = mv2/2 — mga2/r — полная энергия.
Рассмотрим движение связки по некоторой спиралеобразной траек-
траектории, близкой к окружности радиуса r(t) со скоростью v(t), равной
местной первой космической скорости v(i) = ga2/r. Тогда полная
энергия E(t) = —mv2/2, а из B) следует уравнение
= s-vlB(r)
D)

6.5]
Электромеханика
325
Подставляя E(t) в C), имеем
mvv = S p(r) v3 - Je + J2R.
Исключая J из E), получим уравнение
E)
mv = S p(r) v2 +
R
£
~R
F)
из которого следует, что при е = О величина скорости растет, хотя сила
сопротивления и сила Ампера направлены в сторону, противополож-
противоположную вектору скорости v. Действие этих сил приводит к уменьшению
высоты полета связки. Полная энергия согласно C) убывает. Подстав-
Подставляя v = a/r I7i, «I = (gaI/2 и v = -(a/rK/2vi/Ba) r в D), F),
получим систему уравнений для определения функций r(£), J(t).
6.5.9. Кольцо в постоянном неоднородном магнитном поле.
На рис. 6.5.9 изображены силовые линии магнитного поля вблизи верх-
верхнего торца соленоида. Магнитное поле обладает осевой симметрией:
индукция магнитного поля в точке Р(х, у, z) зависит от координаты z
и расстояния г от оси z до точ-
точки Р. Вектор В в точке Р имеет
осевую Bz = b(z) и радиальную
Вг = —(г/2) dbz/dz компонен-
компоненты. Тонкий проводник в форме
кольца расположен в плоскости,
перпендикулярной оси z, центр
кольца может перемещаться по
оси z. Масса кольца — т, ра-
радиус — а, сопротивление коль-
кольца — Я, коэффициент самоин-
самоиндукции — L. Получить уравне-
уравнения движения кольца и закон со-
сохранения полной энергии.
Решение. При движении
кольца возникает ЭДС индук-
индукции — по кольцу протекает ток
силой J = Q. Положительное
направление тока указано стрел-
стрелкой на рис. 6.5.9. Лагранжиан
системы
Рис. 6.5.9
L = ±mz2 + ^LQ2 + QSbz(z) - mgz,
где bzS = Ф — поток магнитной индукции через плоскость, ограничен-
ограниченную кольцом, S = тга2 — площадь кольца. Уравнение Лагранжа
mz = QS -г^ — mg.
CLZ
(l)

326 Динамика твердого тела [ Гл. 6
На каждый элемент кольца А/ действует сила AFZ = —JBrAl
и радиальная сила, приводящая к деформации кольца. Очевидно, z-
компонента полной силы, действующей на кольцо, Fz = JSdbz/dz =
= -2iraJBr.
Второе уравнение Лагранжа имеет вид
j-t(LQ + Sbz) = -QR, -> LQ + RQ = -S(dbz/dz)z. B)
Из B) следует, что ЭДС, индуцируемая в кольце, е = —<№>/dt =
= -S(dbz/dz)z.
Закон изменения полной энергии
?±^\ \ C)
имеет вид dH/dt = —J2R.
А. Пусть L = 0. Подставляя Q из B) в A), получим уравнение
,dbz\2.
решение которого определяет функцию z(t). Отметим, что при z > 0
компонента силы Ампера Fz < 0 — кольцо притягивается к соленоиду;
при z < 0 компонента силы Ампера Fz > 0.
В. Рассмотрим сверхпроводящее кольцо, полагая R = 0. В этом
случае имеем первый интеграл
LQ + Sbz = <bQ. D)
Подставляя Q из D) в C), получим уравнение первого порядка
\ mz2 + ± [Фо - Sbz]2 + mgz = Но.
6.5.10. Кольцо в переменнном магнитном поле. Тонкое коль-
кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси z, центр кольца
может перемещаться по оси z (рис. 6.5.9). z-компонента индукции маг-
магнитного поля 6(£, z) = J(t) f(z), f(z) — известная функция, J(t) =
= Jo cosa;£, t ^ 0. Получите уравнения движения кольца.
Решение. Пусть масса кольца — т, радиус — а, сопротивление — Я,
самоиндукция кольца — L. Поток магнитной индукции через поверх-
поверхность кольца Ф = b(t, z)S, где S — площадь кольца. При движении
кольца возникает ЭДС индукции — по кольцу протекает ток силой
Q. Положительное направление тока указано стрелкой на рис. 6.5.9.
Лагранжиан системы
\ QS J(t) f(z) - mgz,

6.5] Электромеханика 327
где bzS = Ф — поток магнитной индукции через плоскость, ограничен-
ограниченную кольцом, S = тга2 — площадь кольца. Уравнения Лагранжа
mz = QJS £ - mg, A)
-> LQ + RQ = -S^f. B)
Пусть Luj > Я. Тогда Q я -S J(t) f(z)/L,
.. _ J2S2 df
После усреднения по периоду переменного тока получим уравнение
Jo о а/
Пусть магнитное поле создается соленоидом длины h с N витками
в области — h ^ z ^ 0. В этом случае функция
+
Поскольку df / dz < 0, то кольцо молсет находится в полож:ении равно-
равновесия z = zo при условии
т2 С2 ,/-2
Мощность, рассеиваемая кольцом в виде джоулева тепла
[J0S f(zo)/L]2R/2. Для кругового витка L = fioa [in (Sira/r) — 1,75],
г — радиус сечения провода.
6.5.11. Униполярный генератор Фарадея. Принцип действия
генератора, предложенного Фарадеем в 1831 г., основан на том, что
при вращении металлического диска в магнитном поле возникает на-
напряжение между центром и наружным краем диска. Из множества
применяемых генераторов этого типа рассмотрим случай генератора
с самовозбуждением, в котором магнитное поле создается выходным
током самого же генератора (рис. 6.5.11а). Внешняя цепь состоит из ка-
катушки индуктивности самоиндукции L$ и резистора сопротивления R.
Найти силу тока в цепи генератора.
Решение. Осевой момент инерции диска / = та2/2, а — радиус
диска. Электромеханическая система имеет две степени свободы: сила
тока, проходящего через диск и катушку — J(t), угол поворота диска
(p(t). Угловая скорость диска — uj{i). Подсоединим катушку к централь-
центральной и периферической щеткам так, чтобы поток магнитной индукции,

328
Динамика твердого тела
[Гл.6
Центральная
щетка
Периферическая
щетка
(О0»(Ос
Ротор
Рис. 6.5.11
создаваемый магнитным полем тока в катушке, был Ф = —Bza2(p/2,
Bz ~ J(t). Тогда лагранжиан системы
A)
где L((p) = Lo — k(p, к — постоянный коэффициент. Уравнения Лагран-
жа
dt
L((p)J = -JR,
Закон изменения полной энергии имеет вид
d
dt
B)
C)
D)
Для запуска генератора необходимо внешнее магнитное поле или
начальный ток. Пусть в момент времени t = 0 сила тока равна Jo,
угловая скорость о;@) = ujq. Из B) следует уравнение
L((p)J = kJ {uj — иос).
E)
Здесь ljc = Я/&, ЭДС индукции е = kJuo. Очевидно, что возрастание
силы тока возможно только при условии ljo > ljc.
Из уравнений C), D) получим первый интеграл
(в)
Постоянная интегрирования С определяется начальными условиями.

6.5] Электромеханика 329
Система уравнений C), F) интегрируется в квадратурах. Ограни-
Ограничимся решением при условиях L((p) ph Lo, ujq ^> ljc, Jq <C Iuj2./ Ь$. В
этом случае С2 « Iuj2/L0. Из E), F) получим уравнение
т
решение которого
\С J kwo
О ! to О
ch — = — .
ch (to — t) Iт ' t Jo
На рис. 6.5.115 изображен график функции J(t) [144]. Сила тока
достигает максимального значения Jm = С при t = to.
6.5.12. Генератор переменного тока. В генераторе переменного
тока имеются два контура. Один из них (ротор) подключен к источнику
ЭДС и вращается под действием постоянного момента сил М. Другой
(статор) подключен к нагрузке сопротивления R2. Найти угловую ско-
скорость вращения и силу тока в стационарном режиме [44].
Решение. Пусть (р — угол поворота ротора. Лагранжиан системы
L = \ (LiiQ? + 2 L12(<p) Q1Q2 + L22Q2) + \ 1ф2 + М(р.
Уравнения Лагранжа
— (LnQi + L\2Q2) = ~R\Qi ~\~ £i
— (L\2Q\ + L22Q2) = ~~^2Ч?25
d т . dh\i A A . . ,
В стационарном режиме Qi = Ji = £/Ri, Q2 = J2, ф = uj,
^ajJ1 = -J2R2, Q = J1^llj
dip dip
Следовательно,
Li2 MR2
j2 = -
R2 dip ' Jl (dL12/d<p)
2
6.5.13. Электромагнит. В конструкции многих электротехниче-
электротехнических устройств входят магнитные цепи — совокупность ферромагнит-
ферромагнитных тел, через которые проходят и замыкаются силовые линии маг-
магнитной индукции. Неразветвленная магнитная цепь является основой

330
Динамика твердого тела
[Гл.6
Рис. 6.5.13
устройства с подвижным якорем — электро-
электромагнита, изображенного на рис. 6.5.13. Сер-
Сердечник выполнен из стали в виде цилин-
цилиндрического стержня сечения 5, якорь пред-
представляет собой пластинку массы га. Обмотка
сердечника электромагнита, содержащая N
витков, подключена к генератору напряже-
напряжения, ЭДС которого равна е. Сопротивление
цепи — R. Получить полную систему уравне-
уравнений электромагнита и найти силу, действую-
действующую на пластинку (е = 1 В, Я = 0,5 Ом,
N = 125, S = 10~~4 м2, длина средней линии
магнитопроводов — сердечника и якоря —
/ = 30 см).
Положение пластинки определяется ко-
координатой х — толщиной зазора между
пластинкой и сердечником. Положительное
направление на контуре цепи обозначено
стрелкой, сила тока в цепи — Q = J. Лагранжиан системы
L = - тх2 + - L(x) Q2 + mgx - k (x — /0J,
A)
где L(x) — коэффициент самоиндукции электромагнита с воздушным
зазором, к — жесткость пружины. Полная система уравнений, описы-
описывающих электромагнит с подвижным якорем,
1 то UiJ rki/
тх = mg +-J 2к(х —
dLJ
dt
dx
= -JR + e.
B)
C)
Для определения L{x) необходимо найти энергию магнитного поля
электромагнита Um = LJ2/2 — это проблема электродинамики сплош-
сплошных сред.
Пусть Н, В — напряженность и индукция магнитного поля в стали,
Но — напряженность поля в зазоре. Величина индукции данного сорта
стали зависит от напряженности поля: В = f(H), где /(//") — известная
функция. Энергия магнитного поля электромагнита
D)
Соотношение между напряженностями магнитного поля в стали и в за-
зазоре найдем из закона Максвелла—Ампера
E)

6.5] Электромеханика 331
Пренебрегая краевыми эффектами, получим из E) соотношение
HI + 2Нох = JN. F)
Поскольку на поверхности раздела сердечник—якорь нормальная к по-
поверхности стали компонента вектора В в сердечнике и якоре непрерыв-
непрерывна, то В = (IqHq. Следовательно, имеем два уравнения для определе-
определения В и Я:
+ 2х В(Н) = fi0JN, В = /(Я). G)
Положим х = 0. Тогда из C), G) находим J = Jc, Jc = e/R =
= 2 А, Я = Яс, Яс = eN/Rl = 1000 А/м. Из графика функции
/(Я) для электротехнической стали 1511 найдем значение индукции
Вс = /(Яс), Вс = 1,5 Тл и коэффициента магнитной проницаемости
цс = Вс/ц$Нс = 1200. При х ф 0 магнитная индукция в воздушном
зазоре в jic раз больше индукции в отсутствии стального сердечника.
Поэтому в уравнении G) можно положить В ~ jicjiqH. В этом прибли-
приближении из G) получим
Подставляя (IqHq = В в D), и учитывая (8), найдем
Um = \ BS (HI + 2хН0) = i BSJN = \ L(x) J2,
L{-X) = l^V* •
Из уравнений B), C) следует закон изменения полной энергии электро-
электромеханической системы
4§ = eJ- J2R, E = \mx2- mgx + k(x- l0J + J L(x) J2.
Из B) следует, что со стороны магнитного поля на якорь действует
сила F = (Fx, 0, 0), Fx = (J2/2) dL/dx = dUm/dx, которую можно
представить в виде Fx = —B2S/fio. Подставляя значения х = 0, В =
= Вс, 1/fjbo = 8 • 105 А2/Н, получим Fx@) = -180 Н; при х = 1 см
значение Fx = —27 мН.
Отметим, что в электротехнике поток магнитной индукции в маг-
нитопроводе представляют в виде Ф = JN/Rm, величину Rm =
= L/(N2ficfio) = S(l/ficfio + 2x/fio) называют магнитным сопротив-
сопротивлением цепи (reluctance).
6.5.14. Магнитный мотор. Ротор в электрических часах пред-
представляет собой ферромагнитный брусок, который вращается в зазоре
электромагнита. Обмотка сердечника электромагнита, содержащая N
витков, подключена к генератору напряжения. ЭДС генератора e(t) =
^ t > 0; сопротивление цепи — R. Магнитное сопротивление

332
Динамика твердого тела
[Гл.6
цепи Rm = а — 6 cos 20, где О —
угол между вертикалью и осью бруска
(рис. 6.5.14). Найти частоту колебаний
бруска в окрестности положения устой-
устойчивого равновесия.
Решение. Лагранжиан системы
L =
A)
Рис. 6.5.14
/ = ml2/12, т — масса бруска, / — длина
бруска. Уравнения Лагранжа:
-77 ~Б — —JR + Vo COS UJOt, A)
ul rim
-Г tell-- ^
Рассмотрим движение бруска в стационарном режиме при условии
сь>о 3> |^|- В этом случае из A) находим
J(t) = -^ cos (ujot + а),
C)
Z=
N2
cosa = |
sin a = — -
«Медленное» двилсение бруска описывается уравнением
(J2)iV2
10 = -
b sin 20.
После подстановки J(t) из C) получим уравнение
19 = - У1МЧ ._.,.„ sin 26».
D)
В окрестности положения устойчивого равновесия 0eq = 0 уравнение
D) приобретает вид
Здесь Г£ — частота линейных колебаний бруска,
VoN2b
6.5.15—6.5.16. Трехфазный асинхронный двигатель. В асин-
асинхронном двигателе токи в обмотках статора порождают бегущее маг-
магнитное поле, которое индуцирует токи в витках ротора и, взаимо-
взаимодействуя с этими токами, создает вращательный момент сил Ампера.

6.5]
Электромеханика
333
У
Bu(t0, ф)
Рис. 6.5.15
Для получения бегущего магнитного поля в трехфазной системе ис-
используют три обмотки, поперечные оси симметрии которых образуют
друг с другом углы, равные 120°. Обмотки включают в сеть трехфаз-
трехфазного напряжения по схеме «звезда». На рис. 6.5.15а показано сечение
обмотки одной фазы статора в плоскости ху. Проводники обмотки
равномерно намотаны на одну треть площади внутренней поверхности
статора. Две другие обмотки заполняют соседние участки статора.
Тонкий воздушный зазор отделяет статор от ротора, выполненного
из медных стержней, торцевые концы которых замыкаются накоротко
медными кольцами (так называемое «беличье колесо»). Ось вращения
ротора проходит через точку О и направлена по оси z.
6.5.15. Найти индукцию магнитного поля, создаваемого обмотками
в зазоре, отделяющем статор от ротора.
Решение. Найдем вначале индукцию магнитного поля, создаваемого
током, протекающим через обмотку одной фазы. Проведем вокруг
части проводников обмотки замкнутый контур и используем закон
Максвелла-Ампера. Ток силы J\(i) = Jc cosujt, проходящий через об-
обмотку с осью, направленной по оси х на рис. 6.5.15а, создает магнитное
поле, силовые линии которого пересекают статор и ротор. Поскольку
величина магнитной индукции в воздушном зазоре значительно боль-
больше магнитной индукции в металле, то можно считать, что магнитное
поле распределено только в зазоре; вектор индукции перпендикулярен
поверхностям статора и ротора. Из закона Максвелл а-Ампера полу-
получим радиальную компоненту индукции поля в зазоре Bir(t, (р), где
(р — угол, отсчитываемый от оси х. На рис. 6.5.155 изображен график
функции Bir(to, ср) при фиксированном значении t = to (k = [i^N/2d,
N — число витков, d — толщина зазора, области линейной зависимо-
зависимости ограничены интервалами, равными тг/3). Обычно для упрощения
последующего анализа радиальную компоненту магнитной индукции
записывают в виде
B\r = kJ\{t) sin (p.

334 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Итак, в воздушном зазоре индукцию магнитного поля, создаваемого
током J\{i), можно приближенно представить в виде радиального поля
Bi(t, ф) = k Ji(t) sin (p n((p), n = ei cos (p + е2 simp,
где ei = A, 0, 0), е2 = @, 1, 0) — единичные векторы, направленные
по осям х и у.
Ось первой обмотки направлена по единичному вектору wi = ei.
Ориентацию осей двух других обмоток зададим единичными вектора-
векторами
/2тг\ . /2тг\ /4тг\ . /4тг\
w2 = ei cos^—J +e2 sin^—J, w3 = ei cos^—J +e2 sin^—J.
Через эти обмотки протекают токи J2(£) — Jc cos (ut — 2тг/3) и J3{i) =
= Jc cos {wt — 4тг/3), которые создают магнитные поля. Радиальные
компоненты магнитной индукции в зазоре
B2r(t, ф) = к J2(t) sin((p - 2тг/3), B3r(t, ip) = к J3(t) sm((p - 4тг/3).
Три обмотки создают в зазоре радиальное магнитное поле
Br(t, ф) = Blr(t, ф) + B2r(t, ф) + B3r(t, ф) =
= kJc cos oot sin (p + cos ( oot — 1 sin ( y? — J +
2тг
+ —
2тг\ .
— ) si
о /
После тригонометрических преобразований получим радиальную ком-
компоненту индукции в зазоре в виде поля бегущей волны
Br(t, ф) = В sin (ср — wi),
где В = 3kJc/2. Следовательно, некоторое значение радиальной ком-
компоненты вектора индукции «бежит» в воздушном зазоре с угловой
скоростью и) в положительном направлении, противоположном направ-
направлению движения часовой стрелки. Компоненты вектора В(£, ф)\
Bx(t, ф) = Br(t, (^)cos^, By(t, ф) = Br(t, (f)sin(p, Bz(t, ф) = 0.
Для того, чтобы изменить направление распространения бегущей
волны достаточно изменить порядок подключения двух любых пар
обмоток к генератору трехфазного напряжения. Например, переклю-
переключение первой и второй обмоток приводит к радиальной компоненте
магнитной индукции
B'r{t, ф) = klc \cos(wt |j sin (p-\-coswt sin((p |j
-j = В sin (у? + wt — J.

6.5] Электромеханика 335
6.5.16. Ротор в бегущей волне магнитного поля. Найти ре-
решение уравнений движения асинхронного двигателя.
Решение. Ориентацию средней плоскости сечения ротора С площа-
площади S зададим единичным вектором п((р) = (— simp, costp, 0). Угловая
скорость вращения ротора ft = @, 0, ft), ft = ф. Сопротивление цепи
ротора — Я, коэффициент индукции, обусловленный потоком рассея-
рассеяния магнитного поля — L. Сила тока в цепи ротора J = Q.
Учитывая A), найдем поток магнитной индукции через цилиндри-
цилиндрическую поверхность ротора, опирающуюся на контур сечения С ротора
площади S:
Ф(£, (f) = Ф0 COS (ujt - (f),
где Фо = BS. Лагранжиан электромеханической системы
L = - LQ2 + -1ф2- М0(р + <ЭФ0 cos (cot - (р),
где / — осевой момент инерции ротора, М$ — момент внешних сил.
Уравнения Лагранжа:
I,p = -Mo + J^, A)
j-t{LJ + <b) = -JR. B)
Проекция на ось z момента сил Ампера, действующих на ротор
0Ф
Mz = J — , Mz = J<fr0 sin (wt — <p),
ЭДС индукции в цепи ротора
^Ф
£ = —-ТГ 5 £ = Фо(^ — О) sin (wt — (р).
Поскольку направления вращения магнитного поля и ротора совпа-
совпадают, то при ft = uo сила тока, протекающего в цепи ротора, равна нулю.
Обычно в рабочем режиме значение ft = 0,95a;: ротор и магнитное поле
вращаются с разными угловыми скоростями — асинхронно, а силовые
линии магнитного поля «скользят» относительно ротора. Поэтому при
анализе работы двигателя с постоянной скоростью вводят величину 5,
называемую скольжением uj — ft = suj. Тогда (р = ftt,
e(t) = sV0 sin (sojt), Mz = J$o sin (swi),
где Vo = о;Фо- В стационарном режиме уравнение цепи ротора B)
и условие вращения с постоянной угловой скоростью ft приобретают
вид
L^f + JR = sV0 sin (suit), C)
Сии
0 = М-Мо, D)

336 Динамика твердого тела [ Гл. 6
М = {J<I>o sin soot) — среднее значение момента сил Ампера.
Решение уравнения C) ищем в виде J(t) = A sin (визt + а). Под-
Подставим J(t) в C) и приравняем нулю коэффициенты при cos (suit)
и sin (suit). В результате найдем амплитуду А и фазу а:
R . sXL
где X/, = oo L. Вычисляя среднее значение момента сил Ампера, полу-
получим
1 suR<5>1 /гЧ
Г E)
Функция M(s) достигает максимального значения Мт = изФ^/D:
при s = 5кр, 5кр = R/Xl. Следовательно, M(s) = 2Mm/[sKp/s
+ 5/^кр]- Обычно 5кр ~ 0,1. При старте 5 = 1 — ротор заторможен.
Величина момента в начале пуска М{1) « 2MmR/X[J.
В современных двигателях реальные характеристики не вполне точ-
точно описываются зависимостью E). При больших значениях скольжения
s сопротивление R растет, так как ток вытесняется к поверхности
ротора. В результате удается увеличить пусковой момент и сократить
время разгона двигателя.
Отметим, что поле бегущей волны Br(t, ф) = В sin (у? — uji) и вра-
вращающееся поле Br(t) = В sinojt представляют собой принципиально
различные явления. Поэтому «анализ» работы трехфазного асинхрон-
асинхронного двигателя как результата движения ротора во вращающемся поле
лишен смысла.
6.5.17. Неферромагнитный проводящий шар радиуса а движется
по горизонтальной плоскости в постоянном однородном магнитном
поле индукции В. Найти решение уравнений движения в случае S ^>
^> а, где S = (jiqctuo/2)/2 — глубина скин-слоя, а — проводимость
материала шара, из — угловая скорость шара.
Решение. В однородном магнитном поле на шар действует момент
силы Ампера F.5.46). Тензор магнитной поляризуемости шара 7fcn =
3 Г 3 3 1
аМ ^оЬ""^^1' q = ka = (l + i)rj, (I)
^ iq Q J
где к = (iuojiQcrI/2, rj = a/S, S = (цоаоо/2)/2 — глубина проникнове-
проникновения поля в проводник, а — проводимость материала шара [13]. Фурье-
трансформанта функции Грина Gkn — GSkn-> &(из) = aV/(iuj/io).
В случае 6 <С а из A) следует приближенное выражение
a(uj) « — C/2)A — Si/q). Для идеально диамагнитного шара
a(uj) = —3/2. Рассмотрим движение шара с угловой скоростью из,
соответствующей приближению S ^> а. В этом случае, используя
аппроксимацию Паде [122], представим G{uo) в виде рациональной
дроби
20^0
era V

6.5] Электромеханика 337
в широкой области частот до значений и) ~ 2/(fiocra2) [153]. Функция Z
представляет собой импеданс шара, а величины го и L — эффективные
сопротивление и индуктивность; размерности [го] = Ом-м~4, [L] =
= Гн-м~~4. Отметим, что эффективные сопротивление и индуктивность
сферы толщиной d <С а соответственно равны го = 6/cra2V, L =
= 2fiod/aV [153].
Из F.5.6) следует, что магнитный момент шара удовлетворяет урав-
уравнению Кирхгофа
г dp , / db
В этом случае функция Грина F.5.7)
Gkn(r) = Skn -j^- ехр у—— J,
где в(т) — функция Хевисайда. Закон изменения обобщенной энергии
Я = rnR2/2 + /о;2/2 + Lp2/2 имеет вид
dH ов 2
Полагая в F.5.9) t' = t — г, находим, что при условии о; <
основной вклад в интеграл вносит окрестность точки г = 0. В этом
приближении магнитный момент
Р4«- | dTG(r)Vi{t),
и момент силы Ампера М = [рВ].
Пусть шар движется без проскальзывания. Используя обозначения
задачи 6.2.7, запишем уравнения движения
гаг = Т, A)
B)
/ = 2?тга2/5, которые дополним условием качения без проскальзывания
0 = r-a[we]. C)
Дифференцируем C) и преобразуем правую часть, используя уравне-
уравнения A), B), так лее, как в задаче 6.2.6. В результате находим
т =
та
2
та
7[е[рВ]].

338 Динамика твердого тела [ Гл. 6
Рассмотрим движение шара, при котором вектор магнитной индук-
индукции В = Be перпендикулярен плоскости. Тогда
т Вр: , Т= Вр> D)
та + / 7а
а, = _1[е[«е]], E)
где г = 7гпа2го/5В2. Из E) находим первый интеграл ojso = с<;е-
Подставляя в E) о; = шзое + ?7, получим решение rj{t) = щ exp (—t/r).
Скорость центра масс v(t) = v0 exp (—t/r), v0 = a [r/oe]. Шар катится
по отрезку прямой
r(t) = r@) + vor [I - exp (-t/r)].
Магнитный момент р = vo (B/aro) exP (~VT)? касательная компонен-
компонента силы реакции
Условие качения Т < fimg приобретает вид /i > vo/gr, где /i —
коэффициент трения.
Отметим, что из A)-D) следует закон изменения кинетической
энергии K(t):
= рГ0) к = mf + /W = ташо +
Следовательно, за время движения в шаре выделится количество джо-
улева тепла
Q = I
Т
го = j^
6.5.18. Неферромагнитный проводник в форме эллипсоида с полу-
полуосями а = 6, с находится во вращающемся однородном магнитном поле
индукции В(£) = Bo(cosftt, sinCtt, 0). Вектор B(t) перпендикулярен
оси вращения, проходящей через центр масс. Найти угловую скорость
вращения осесимметричных проводников — сплюснутого и вытянутого
эллипсоидов.
Решение. Пусть ось вращения направлена по оси z. В результате
поворотов на эйлеровы углы <p(t), 0 = тг/2 расположим ось симметрии
тела в плоскости, перпендикулярной оси z (рис. 6.5.18). Угловая ско-
скорость тела ио = @, 0, ф). Элементы матрицы поворотов
5ц = -532 = cos Pi ^12 = 5з1 = sin (f,
Sl3 = S21 = S22 = £33 = 0, $23 = 1-

6.5]
Электромеханика
339
Учитывая A), получим из F.5.46) ^-компоненту момента силы, дей-
действующей на проводник:
L3 = Во sin (Ш - ф) р[ + Во cos (fit - ф) р'3. B)
В системе покоя осесимметричного тела К1 компоненты тензора по-
поляризуемости 7i 1 — 722 = с^^/мо, 7зз = с^з^/мо- Соответствующие
функции Грина обозначим б?ц = G22 = G(r), G33 = С?з(т). Вектор
F.5.8)
V = (y>-fi)B0(sinJW, -созШ, 0). C)
Подставляя C) в F.9), получим магнитный момент в системе покоя
проводника:
оо
р[ = Г dt' [П - 4>{t')\ G(t - t') Bo sin [Ш' - у?(*7)], P2(t) = 0,
Л7 [fi - v?(t')] G3(t - *7) Bo cos [fit7 - <p(t7)]. D)
Из B), D) находим момент силы
оо
L3 = Bl \ dt' [fi - (p{t')] {G(t - t') sin {VLt - ф) sin [fit' - (f(tf)] +
—00
+ 6?3(t-t7) cos (fit-y?) cos[fit7-y?(t7)]}. E)
Основной вклад в интеграл вносит окрестность точки t7 = t. Произве-
Произведем в E) замену переменной t7 = t—r и опустим быстроосциллирующие
слагаемые. В результате имеем
L3 = \ Bl [П - ф{1)] | dr Щт) + G3(t)} cos [пт - ф{1)т] =
(U - ф) Re [G(U -ф) + 63(п- ф)]. F)

340 Динамика твердого тела [ Гл. 6
А. Найдем угловую скорость вращения «диска» — сплюснутого
эллипсоида с длинами полуосей а = b ^> с. В этом случае [151]
Ю
G3 = — , Г0 = 277 '
го аа V
Gs ^> G(uj). Пусть момент силы трения Mfr = —к1ф. Решение уравне-
уравнения движения
1ф = гЬ S°2 {п ~ ф) ~ к1ф G)
с начальным условием ^@) = 0 имеет вид
При значениях t ^> т/A + кг) угловая скорость ф{Ь) —ь fl/(l + fcr).
В. В случае вытянутого эллипсоида вращения на рис. 6.5.18 с длина-
длинами полуосей а = b <£L с фурье-образы функций Грина б?(о;) = 2б?з(сс;),
Ю
г3 =
j , L3 = гг
ста V (V
Момент силы Ампера
г 3 2 . , ^ ЗБ02 (П - 93) гз
ьз= ~В0 (SZ - у?) ReG3 = -г- г 2 ^2Т2Т-
Характерный интервал времени перехода к стационарному режиму т =
= 2/ro/3BQ, / = mc2/5. При значениях L3 <C ^r3, t > г угловая
скорость у? —»• П.
6.5.19. Двилсение частицы в поле цилидрического конден-
конденсатора. Сферическая диэлектрическая частица движется между об-
обкладками цилиндрического конденсатора радиусов R\ и #2, к которым
приложено напряжение Uq. Найти решение уравнений движения.
Решение. Компоненты вектора напряженности электрического поля
в цилиндрических координатах Е(г, ф, z) = (—Uo/r, 0, 0). Из F.5.10)
получим потенциальную энергию частицы
a =
V = 4тга3/3 — объем частицы, а — радиус частицы.
На частицу действуют сила тяжести, сила сопротивления Стокса
Fc = —Qirrjadr/dt, rj = 1,8 • 10~5 кг/(м-с) и, согласно F.5.4а),
Fn(t, R, ав)

6.5] Электромеханика 341
Из второго закона Ньютона получим уравнение
т -^ = F + rag - бтггуа -^ . A)
Предположим, что интервал времени движения частицы до столкно-
столкновения с электродами значительно меньше величины гаДбтгтуа). Тогда
можно пренебречь силой сопротивления.
Направим ось z цилиндрической системы координат г, 0, z верти-
вертикально вверх. Из A) получим уравнения
C)
m'd?
d2z
где М — проекция момента импульса на ось z. Уравнение C) —
следствие сохранения проекции момента импульса частицы на ось z.
Начальные условия г@) = Го, 0@) = 0, z@) = 0, v@) = vo-
Для качественного анализа характера движения запишем закон
сохранения полной энергии «поперечного» движения в плоскости ху
Границы области движ:ения определяются неравенством Е ^ И/Эф(г).
Если /3 = М2/(тК) > 1, Е > 0, то область движения ограничена
кольцом п ^ г ^ #2, г\ = [К (/3 — 1)/2Е~\ .В случае /3 < 1 область
движения при значениях полной энергии Е < 0 ограничена кольцом
а < г < га, г2 = [К A - /3)/2£7]1/2, г2 < Д2.
Найдем теперь уравнение траектории. Переходя в уравнении B)
к новому аргументу t —у ф и учитывая C), последовательно находим
dr dr d^ dr^ M M d П
dt d(f) dt d(j) mr
2
d2r M2 d2
Вводя переменную и = 1/r, получим из B), E) уравнение, совпадаю-
совпадающее с уравнением гармонического осциллятора

342 Динамика твердого тела [ Гл. 6
где /3 = М2/(тК) = M2/{maVU$).
A. /3 > 1. Решение уравнения F) и = A cos (И^ф + ск), где А, а —
произвольные постоянные, П^ = A — 1//3I/2. Траектория представ-
представляет собой незамкнутую кривувую г(ф) = 1/[А cos(^«0 -Ь а)], Го =
= I/A cos а. Частица достигает внешнего электрода при значении ф =
— фч, удовлетворяющем условиям R<i cos {£1{фъ + а) = го cos a, £^02 +
+ а < тг/2.
Б. /3 < 1. Решение уравнения F) и = С ch(^/0 + 7)? гДе ^/ —
= A//3 — II/2. Уравнение траектории г(ф) = 1/ [С ch (flfф + 7)] ? го —
= 1/С cos7-
B. /3 = 1. Решение уравнения F) — спираль Котса 1/г = а\
() /( )
6.5.20. Две параллельные металлические полосы, расположенные
в горизонтальной плоскости, соединены перемычкой 0G, содержащей
резистор (рис. 6.5.20). По полосам как на-
направляющим может перемещаться про-
проводник. Вся система находится в магнит-
магнитном поле, создаваемом током в длинном
проводе, находящемся в горизонтальной
плоскости на расстоянии s от ОС. Найти
, ^r w зависимость скорости проводника от х-
/ г s ^ координаты.
Решение. Пусть Jo — сила тока в про-
Рис. 6.5.20 воде, h — расстояние между направляю-
направляющими полосами, т — масса проводника.
Система имеет две степени свободы. Обо-
Обозначим ж-координату центра масс проводника, Q — заряд, протекший в
положительном направлении в интервале времени @, t). Лагранжиан
системы
1
~ 2
Уравнения Лагранжа имеют вид
_
ШХ ~
2тг (в + х) '
Исключая Q из A), получим уравнение
_ usx _
mRs{ 2тг

6.5 ] Электромеханика 343
Выберем начальные условия х@) = О х@) = vq. Переходя к перемен-
переменной х = v(x), получим решение уравнения C)
, ч UX
v(x) = Vq -
S + X
Рассмотрим три случая.
A. Пусть vq > и. Тогда при х ^> s получим предельное значение
скорости проводника v(x) —»• v$ — и, и силы тока Q —ь- 0.
B. Если vq = и, то при х ^> s скорость проводника v(x) —} 0.
C. Если vq < u, то проводник остановится, на расстоянии хс =
= svq/(u — vq) от начала координат.
Найдите решение уравнения C) при начальных условиях х@) = xq,
Xq > 8, Х(О) = -Vq.

Глава 7
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
7.1. Канонические уравнения и канонические
преобразования
Скобки Пуассона (СП) функций /(ж, р), g(x, р) определены соот-
соотношением
г/ ffi= a/ flg a/ Qg
ос
Канонические преобразования (КП) ж, р —ь- xf, pf, реализуемые
производящими функциями (ПФ), имеют вид [7, 23, 86-89]
1. F = Рг(х, х>, t),p=^,p' = -|^; G.1.1)
2. F = F2(x, p', t),p=^,x> = ^-, G.1.2)
3. F = F3(p, x', t), x = -^ , р' = -|J; G.1.3)
4. F = F,{p, p>, t), х = -в£,х> = ^.. G.1.4)
В новых переменных гамильтониан
(x,p,t) + f£) , G.1.5)
ОЪ / z=z(z', t)
где z = (ж, р), г7 = (ж', р7).
7.1.1. Лагранж:иан математического маятника L = ф2/2 — uj2 A —
— cos (p). Найти гамильтониан, выбирая в качестве обобщенной коорди-
координаты х = 2 sin (р/2.
Ответ. Н(х, р) = р2 (l - ж2/4)/2 + и2х2/2.
7.1.2. Записать гамильтониан и уравнения движения свободной
частицы в электромагнитном поле.
Решение. Обобщенный импульс ра = тха + е/сАа, гамильтониан

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 345
Уравнения движения
дН е ЭА/з дер ^ '
yc-Wc'4- дХо1-с"РдХа *дХа-
Дифференцируя A), находим
.. _ е дер е дАа
Поскольку
то из B) следует уравнение
гаг = еЕ+ - [гВ1.
с L J
7.1.3. Записать гамильтониан и уравнения движения свободной
частицы в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью tt(t).
Решение. Лагранжиан частицы
1 \ 2
L(x, х, t) = - га (х + [Ох]) - £/(х).
Определяя обобщенный импульс р = т (х+ [fix])? получим гамильто-
ниан
Я(х, р, *) = -L (р - га [fix]J - ^ [fix]2 + f/(x) =
2га
2
Уравнения Гамильтона
ха = [ха, Н] = ^ - [Пх]а,
Ра = [Ра, Щ = [рП]а - — .
7.1.4. Заряженная частица, движущаяся с постоянной скоростью,
сталкивается с неподвижным атомом водорода. Записать гамильтониан
в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью радиуса-вектора
частицы [90].
Решение. Поместим ядро (протон) атома водорода в начало коорди-
координат. Пусть г — радиус-вектор электрона, R = b + ut — закон движения

346 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
частицы зарядом Ze, bu = 0. В инерциальной системе и = (и, 0, 0),
b = @, 6, 0). Угловая скорость вектора е = R/Д равна ft = [Ьи]/Я2.
Искомый гамильтониан
Н=Ь trP] tbu]
Направим ось х неинерциальной системы по вектору е, а ось z совме-
совместим с вектором ft. Тогда
. ч Ьи el Zee0
В дипольном приближении
р2 , /. . ч bu eo Zeeox
7.1.5. Лагранж:иан системы
Hi, Я) = 2 ^«/з(д) ga^ + V^(g) gM - (p(q), gpa = ga/3.
Найти гамильтониан.
Решение. Канонический импульс
тг - — -е- о1" 4- V
Если det
д2Ь
0, то, умножая A) на обратную матрицу
= (g 1)Atf/, получим qa = gocfJ"irIJi — ga^V/j,. Гамильтониан
7.1.6. Найти геодезические на поверхности постоянной отрицатель-
отрицательной кривизны с метрикой g\\ = 1, g22 = exp Bg1), gik = 0, i ф к.
Решение. Перейдем к новым координатам у = e~q , х = q2. В но-
новых переменных метрика приводится к конформному виду gik'. g\\ =
= g22 — A/уJ? gi2 — g2 — 0? называемому метрикой модели Клейна
геометрии Лобачевского [7]. Лагранжиан
L = к— .
Обобщенные импульсы и гамильтониан частицы

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 347
Каноническая система
* = У2Рх, У = У2Ру, Рх = О, ру = -у (р2х + р2у)
имеет два решения
х = с, у = е~\ рх = 0, ру = -е\
x = atht-\-b, у = a ch~ t, px = — , Ру — — sht,
а а
где а, 6, с — постоянные. Геодезические представляют либо лучи, парал-
параллельные оси у, либо окружности радиусом а с центром в точке F, 0).
7.1.7. Ограниченное движение системы с двумя степенями свободы
описывается гамильтонианом Н = p^/2+Umnxmxn/2, t/ц = ио\, U22 =
= о;|, f/i2 = f/21 = к- Найти решение канонических уравнений (см.
задачу 4.2.1).
Ответ. хп = Ап„х'„, рп = Ап„р'„,
2/
х'„= ~ cos(uvt + yv), р'„ = ~ 21упу sin (Slyt + ipv).
7.1.8. Найти гамильтониан движения осесимметричного спутника
относительно центра масс.
Решение. Используя лагранжиан спутника (см. задачу 6.4.4), полу-
получим обобщенные импульсы
Р(р = (/ sin20 + /3 cos20) (ф + S1) + 13ф cos0,
рв = 10, рф = I [(ф + SI) cos 0 + ip].
Гамильтониан спутника
н'^ЛьГе^-Р* "»*? + £ +&-а'*-
— | О2 (/ — /3) sin2^ sin26>.
7.1.9. Найти КП, порож:даемое ПФ F2(x, p', t) = p'afa(x, t).
Ответ. xfa = /а(^5 t), pa — (dfp/dx^p'p — это единственное
преобразование, допустимое в лагранжевом формализме.
7.1.10. Найти КП, порождаемое ПФ F2(p, <p, pi, P2) = Pip cos(p +
+ Р2Р simp.
Ответ. Каноническое преобразование
1
Х\ = р COS (f, pi = Рр COS (р Рф Sin (f,
%2 — Р sin <£, р2 = Рр sin ср -\— ру cos (р

348 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
реализует переход к полярным координатам [86].
7.1.11. Гамильтониан частицы Н = р2 /2т. Найти новый гамиль-
гамильтониан и КП, порождаемое ПФ
F!(x, x', t) = g (x - х'J, F2(x, р', t) = хр' - ±- р'Ч.
Ответ, х = х' + (р'/т) *>Р = р'> Н'{х', р1', J) = 0.
7.1.12. Найти новый гамильтониан и КП, порождаемое ПФ
^г(ж, pf, t) = хр' — ир'£ + raxu.
Ответ. Искомая замена переменных является преобразованием
Галилея: х = х' + и£, р = р' + ти, Н' = Н — up'.
7.1.13. Найти гамильтониан свободной частицы, остающийся фор-
минвариантным при калибровочном преобразовании, порождаемом
nOF2(x, p', *) = хр;-/(х, t).
Решение. Согласно G.1.2)
ха-ха, ра-ра дх^.
Новый гамильтониан
Уравнения Гамильтона
Х«- тКРа dx'J'
m \Pi dx'J дх\дх'а dxfadt
Мы видим, что исходный гамильтониан Н = р2 /2т неинвариантен
относительно калибровочного преобразования, хотя уравнения второго
порядка х'а = 0 сохраняют свою форму. Можно восстановить инвари-
инвариантность гамильтониана, если ввести дополнительное калибровочное
поле заменой
Н -> Н + е у?(х, £), р ->• р - - А(х, t)
и потребовать, чтобы при переходе к новым координатам функции
преобразовывались по правилу
Следовательно, форминвариантный гамильтониан должен иметь вид
' Р' *) = 2^ (Р ~ ~с А^Х'

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 349
Таким образом, требование форминвариантности Я(х, р, t) относи-
относительно калибровочного преобразования приводит к необходимости вве-
введения электромагнитного поля. Аналогичное условие, используемое
в квантовой теории поля, явилось основой для построения калибро-
калибровочной теории элементарных частиц.
7.1.14. Адиабатическое представление многомерной систе-
системы. В гамильтониане Н = Hq + R, Но = р2/2га + £/(ж), R = Яо(д, тг) +
+ f(x, д), ж, р — координаты и импульсы медленной подсистемы, д,
тг — координаты и импульсы быстрой подсистемы. Найти калибровоч-
калибровочное преобразование, позволяющее исключить гамильтониан быстрой
подсистемы.
Решение. Уравнения
. п df . OR OR {л.
порождаемые гамильтонианом Н = Я(ж, д, тг), позволяют рассматри-
рассматривать движение быстрой подсистемы при фиксированных координатах
медленной подсистемы. Решение системы A): q = g(£, t), тг = тг(£, t),
г
= pf - \dt
j
., df(x', </(£, *'))
dx
где ^ — совокупность переменных ж', g', тг', В результате КП ж, р, д,
тг —>- z': xf, pf, д', тг' новый гамильтониан
Исключение гамильтониана быстрой подсистемы порождает «калибро-
«калибровочный потенциал», представляющий собой аналог поля Янга-Миллса.
В квантовой теории эффективные калибровочные поля возника-
возникают в адиабатической трактовке систем молекул с вырожденными
электронными состояниями. При пересечении потенциальных кри-
кривых возникает знаменитая геометрическая фаза Берри (Berry M. /
Proc. R. Soc. Lond. 1984. V. 52. P. 2111.)
7.1.15. Частица движется в однородном поле тяжести. Найти новый
гамильтониан и КП, порождаемое ПФ F2(x, p', i) = хр' + mg'x.t.
Ответ, х = х', р = р' + rag*, Я' = A/2га) (р' + mgtJ.
7.1.16. Гамильтониан осциллятора
Найти новый гамильтониан и замену переменных, порождаемую ПФ
a) F2(x, р') = A/2) (ipf2 - imujx2 + 2 д/2гао; хр1); б) F^x, x1) =
= -(l/2)mujx2 tgx'\ в) Fi(z, ж', t) = -{l/2)mujx2 tg (ж' + wt).

350 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Ответ.
ж = . (ж — гр ), р = —г —— (ж + гр ), Я = —гшрх;
2rnu) *
6) х = —— cos ж', р = —
771 Cd
в) ж =
7.1.17. Найти КП, реализуемое ПФ a) F2(x, p') = х2р'/2;
б) F2{x,p') =
Ответ, а) р = \/2ж' р',х = у/2х'; б) р = \/2р', ж = л/Зр7 ж'
7.1.18. Найти КП, реализуемое ПФ a) F2(x, р1) = ж lnp';
б) F2(x, р') = р' In ж; в) ^(ж, ж') = жж'.
Ответ, а) ж' = же~р, р' = ер; б) ж = ех, р = р'е~х ; в) ж = —р',
р = ж'.
7.1.19. Даны две системы локальных координат в окрестности
точки фазового пространства. Показать, что при бесконечно малом КП,
порождаемом функцией F2(x, p', t) = xp'-f £ G(x, p', £), приращение
динамической переменной F(x, p, i) равно 5F = е [F, G].
Решение. Учитывая G.1.2), находим
л / &G Л / dG
Opn UXn
следовательно,
OF 3F
Смещение системы как целого задается функцией eG = £аР, где Р —
полный импульс. Если гамильтониан при смещении остается инвари-
инвариантным, то сохраняется величина Р: [ЯР] = 0. Поворот системы как
целого определяется функцией eG = £%М, где М — момент импульса.
Если при повороте гамильтониан инвариантен, то сохраняется момент
импульса М: [Я, М] = 0.
7.1.20. Известен первый интеграл /(ж, р, t) = С, ха — цикличе-
циклическая координата. Показать, что дп f / дх™ — первый интеграл.
Решение. Дифференцируя соотношение
о = !£ + [/, я],
получим
7.1.21. Доказать равенство
] [ [
[А((рг{х, р, £)), В((р2{х, р

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 351
7.1.22. Гамильтониан системы имеет вид
Я = Я(<£?(ж1, pi), ж2, Р2, • • •)•
Показать, что <p(xi, pi) — первый интеграл.
7.1.23. Гамильтониан системы
Я(£, Ж, р) = Я[^!(Ж1, pi), . . . , (pa(x!, Pl), t].
Найти решение уравнений движения.
Решение. Полная производная d(pk(xk, pk)/dt = 0, к = 1, 2, ...
Следовательно, <^&(ж&, р&) = С& — первые интегралы. Разрешая эти
соотношения относительно р&, получим уравнение р& = gk(xk, C&)-
Подставляя р& в уравнение р& = —дН/дх^, получим решение в квад-
квадратуре
7.1.24. Задача Кеплера. Показать, что полная энергия, момент
импульса и вектор Лапласа являются первыми интегралами.
Решение. Гамильтониан Н = р2/2т — а/г. Поскольку Н = dH/dt,
то Н = Hq. Далее найдем
Ма = [Ма1 Н] = еар7 [ж/зр7, Я] = еа^хр [р7, Я] +
+ £ар<уР<у [хр, Я] = -еО1р1хрх1 ^ + еа^р^ррт'1 = 0.
г
Производная вектора Лапласа
еарч [рр, Щ М7 - | —, я] = g
еа =
7.1.25. Одномерная задача Кеплера. Гамильтониан частицы
Найти решение уравнений, порождаемых КП ж, р —> ж', р':
ж = 2р/2 sin2^, р = — ctg^, ж' = 2£ - sin 2^.
Р
Ответ: Я'(ж', р1) = -1/2р/2, ж' = ж" + t/p'3, р' = р".
7.1.26. Гамильтониан трехчастичной цепочки Тоды [68]
Я = - тг2 -

352 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Найти первые интегралы.
Решение. Очевидно, сохраняется полный импульс системы тго =
= TTi + 7Г2 + тгз и полная энергия Е = Н((р, тг). Далее, учитывая
уравнения движения, найдем специфический интеграл
/ = -тратта + тг^32 + тг2е^13 + 7г3е*21.
Существование трех независимых интегралов обеспечивает интегриро-
интегрирование уравнений цепочки. Заметим, что КП
1 1/1
=3^3+
B )
" 271'
| -^ B<72 + <7i), <Pi3 =
порож:даемое ПФ
F2(<fn, Рп) = з (^1 + ^2 + <Рз)РЗ +
+ 2 ^ ~ ^2^ ( 2 Р2 ~ Pl) + 2 ^3 " ^2^ ( 2
приводит гамильтониан к виду
Потенциальная энергия в окрестности положения равновесия может
быть представлена в виде ряда Тейлора:
Слагаемое с кубической нелинейностью было использовано Хеноном
и Хейлесом при изучении движения звезды в модели галактики с ци-
цилиндрической симметрией [68]. Тода показал, что КП, порождаемое ПФ
71 = 1
а = const, сохраняет форму гамильтониана [69]. Такие преобразования
известны для некоторых нелинейных уравнений и называются преоб-
преобразованиями Бэклунда [70]. Они позволяют получать новые решения,
используя известные частные решения (даже тривиальные). Поскольку
ф = тг, ф' = тг', то

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 353
Полагая, например <рп = фп = О, получим ф'п из уравнения первого
порядка ф'п = 2 ch (p'n — а.
7.1.27. Найти гамильтониан задачи трех тел в системе отсчета
с началом на одной из частиц (см. задачу 3.3.3) [1].
Решение. В инерциальной системе гамильтониан
Произведем КП га, ра -» х, r12, r13, р, pi2, P13, порождаемое ПФ
F2(ra, р, р12, рхз) = Rp + (Г2 - Ti) pi2 + (Г3 - Г!) р13,
где R — радиус-вектор центра масс. Из G.1.2) находим
7721 777,2
Pi = Р - Р12 - Pl3, P2 = Р + Р12,
777/ 777/
РЗ = — Р + Р13, X = R, Г12=Г2-ГЬ Г13=Г3-Г1.
777/
После замены переменных получим
здесь m = mi + ?тг2 + ттгз, Маб ~~ приведенная масса частиц а и 6.
Очевидно, р — полный импульс. Если mi ^> Ш2, ттгз, то ^ можно
представить в виде Н = Р2/2га + i/i2 + //13 + Д#,
г/ Pin ^ rnirrin д ц 1 ^ ^ Gm2m3
п = G А// РР
Aflln Г\п 777/1 |Г12 — Г1з|
Составляющая гамильтониана А Я может быть учтена как возмущение.
7.1.28. Коллективные координаты в задаче трех тел. Найти КП,
которое при га2 <С rai, ттгз приводит к задаче о движении частицы ттг2
в поле двух «центров».
Решение. Помещая начало координат на частицу ттг2, получим
Выберем ПФ
которая реализует КП R, r2a, P, P2a -^ Qo, Qa, ^Го, ^Га^
Г7г2 / Ql \ ТП2
г21= -^ q2-^J, г23= ^-
М21 V ^ / М23
М21 fTT2 \ №3
Р21== ^It-^J' Р23= ^

354
Уравнения Гамильтона
[Гл.7
— Qo? Р — ^о- Новый гамильтониан Н = тг^/2т + Н^ + #2?
1712
-1
ГП2
2M2
Л/Г rn2 1
Mi = — 1 -
2 ГП21ГП23
-l
- Gm2m3 ^
7722
-1
, М2 = 2m2 I +
77217723
ГП21ГП23
-1
Поскольку при ТП2 <С mi, тз массы Mi — /ii3, М2 — Ш2, то гамильто-
гамильтониан
л ТГг ^ 77217723
описывает движение системы частиц mi, ттгз по кеплеровой траекто-
траектории. Гамильтониан
приводит к задаче двилсения частицы ?тг2 в поле двух центров. Преоб-
Преобразование A) позволяет в адиабатическом приближении рассмотреть
процессы перестройки гп1 + (тзт2) —> m3 + (rriim2) в связи с расчетами
сечений перезарядки [91].
7.1.29. Задача трех тел. Показать, что ПФ
Ц! +77г3Гз1
r2 тг2
F2 = Rtt0 + (r3 -
реализует КП к переменным Якоби (см. задачу 3.3.5).
Решение. Из G.1.2) находим
7712
7722
777-3
777-1
Т721
ТП\
7722
= —^0 + ^2,
772з 772з
= —7Г0-—
В новых переменных гамильтониан
^77227723
, га-з
q2 H qi
77213
772i
q2 qi
77213

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 355
где ц~1 = т^з
7.1.30. Найти решение системы с гамильтонианом Н =
— (I1/I2) siny?i cos ip 2 + cos (fi sin(f2 [92].
Указание. Производящая функция
i + (<£l
реализует КП /i;2 = Pi =Ьр2? ^1,2 — (Ж1 =Ь #2)/2. Новый гамильтониан
Я(ж, р) = — sin^i Н — sin#2.
Pi — Р2 pi — pi
Первый интеграл //o(Pi ~ P2) = Pi sin^i H-P2 siriX2- Отсюда находим
С = Яор1 - pi sin^i, G = Я0Р2 +Р2 sinx2.
Поскольку
Pi . pi
COSX P2 = COSX2,
Pl pi
Pl i, P2
Pi — pi Pl — pi
то эти уравнения равносильны системе
dpi _ dpi pi dpi pi dpi _ .
/„= vl - (C - Я0р„J .
7.1.31. Введем новые координаты z2^ = Xk и импульсы 2;2fc = pk
(к = 1, 2, .. ., s). Записать канонические уравнения в переменных zn,
п = 1, 2, ...,25.
Решение. Введем набор функций сиа@ = —cj^a, представляющих
матрицу, имющую блочный вид, причем на ее диагонали выстроены
2 х 2-матрицы с элементами o"i2 = — cr2i = 1, <тц = <Т22 = 0:
а 0 ... 0
0 а ... 0
и) И =
0 0
Скобкой Пуассона функций А и В является кососкалярное произведе-
произведение их градиентов. В новых переменных СП приобретает форму
Уравнения Гамильтона в переменных zn имеют вид градиентной си-
системы с «кососимметричным градиентом» [7]:
*" = [*", Я] = w""|£.

356 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Фундаментальные СП являются инвариантом КП z —> z'\
[za,z^}z=[za(z',t)z^z',t)]z,=u,^,
поскольку
7.1.32. Показать, что
7.1.33. Доказать, что якобиан КП z = z(z', t) является постоянной
величиной.
Решение. Якобиан преобразования
Л2 ^д.
Bz
Согласно правилу дифференцирования определителя
j = JSpA-U = JiA-1)^. A)
Поскольку
•a , ,0:7 и п. : q, ay
д2Н
то, учитывая соотношения (Л-1)^Л^ = 5^, о; = —о;7", получим
(Л)^^ = О, J = 0. Правило A) следует из цепочки соотношений [41]
(Hndet Л = lndet (Л + 5К) - lndetA = In det(A + *A) =
4 ' det Л
= lndet A + Л-^Л) = In A + SpA'^A) ~ SpA JA.
7.1.34. Действие оператора La определяется скобкой Пуассона:
LAF = [F, А]. Показать, что [LA, LB]-F = L[AyB]F, где [LA, LB]~ =
= LALB — LBLA — коммутатор операторов.
Решение. Поскольку
[LA, LB]_F = LA [F, B] - LB [F, A] = [[F, B], A] - [[F, A], B],
то, используя тож:дество Якоби, получим искомое соотношение, кото-
которое, по существу, эквивалентно тождеству Якоби в операторной форме
LALBF + LFLAB + LBLFA = 0.

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 357
7.1.35. Дана аналитическая функция s = s(zf) и оператор Us =
= expLs. Показать, что преобразование z —> z', определенное соотно-
соотношением z*1 = Uzf^, является каноническим [72, 93].
Решение. Произвольная функция F(zf) выражается через новые
переменные z по формуле
F'(z', t) = UF(z') = F{Uz') = F(z(z')).
Учитывая теорему Лейбница о дифференцировании произведения
Ln F(z') G(z') = [L(F) + L(G)]nF(z') G(z')
(L(/) — оператор, действующий только на функцию /), находим
UF(z') G(z') = —.C*Lk F(z') Ln~k G(z') = UF(z') U G(z') =
ft!
n, k
= F(z(z'))G(z(z')).
Следовательно, преобразование zf —> z сохраняет СП
U[F(z% G(z')]z, = [UF(z'), UG(z')] = [F(z), G(z)]z
и является каноническим. Штрихованные переменные удовлетворяют
уравнениям z' = [zf, H'{z% где H'{z') = U H{z').
7.1.36. Найти КП, генерируемое функцией s(zf) = —Xxfpf.
Решение. Для вычисления Us введем вспомогательный параметр Л
заменой Us —> exp XLS (прием, широко используемый в квантовой
механике [94]) и разложим экспоненту в ряд Тейлора около точки Л =
= 0:
exp[AL,]= -\-—)^= -L.L....L..
П П
Следовательно, произвольная аналитическая функция преобразуется
по закону
F(z(z')) = UF(z') = 1 [... [[F(z'), s(z')]8].. .]«]• A)
п=0
Полагая F = z^ (fi = 1, 2), находим х = exx', p = e~xp'. Найдем
преобразование простейшего гамильтониана Н = р. Из A) находим
U1 = е~ V
7.1.37. Модель одномерного кристалла. Найти гамильтониан
одномерной цепочки атомов в гармоническом приближении и решение
уравнений движения (см задачу 4.2.14).

358 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Решение. Используя обозначения задачи 4.2.14, перейдем к нор-
нормальным координатам д&. Будем считать, что выполняются периоди-
периодические граничные условия ип = ип+дг. Тогда значения к = 2ns/Nd
(s = 0, il, ±2, . . .) пробегают квазинепрерывный спектр. Смещения
ип можно разложить в ряд Фурье:
«п= ?*«*, vkn = ^L=einkd. A)
vN
Подставляя A) в лагранжиан и учитывая соотношения
N N
A(k — k')nd \т г „>~ '
n=l n=l
получим
, q) = 2 l
к
Определяя кинетический импульс pk = dL/dqk = Я-к, получим га-
гамильтониан
Н = 2 {PkP-k + u2kqkq-k) •
Произведем теперь КП к комплексным координатам q'k = c& и импуль-
импульсам р'к = гс*к:
= -т= (ск + с*_к),
\ JLUOk
В новых переменных гамильтониан Нг = ^2^кС%Ск- Произведем еще
одно КП, порождаемое ПФ
F2{c\ a,t) = i akc*keiWht.
к
Из G.1.2) находим с& = ак ехр (—iu>kt)-> следовательно, решение A)
приобретает вид
%eiu}kt-iknd
a%e
).
Преобразование q, p —> а, га* реализует переход к «представлению
взаимодействия» [1, 67].
7.1.38. Найти решение задачи Коши ип@) = /(гг), йп@) = h(n).

7.1] Канонические уравнения и канонические преобразования 359
Решение. Функция un(t) удовлетворяет уравнению
hmsUs = 0, A)
/ d2 \
Ams = ( —2 + ^0 jdrns — ^0 (^m, «+1 + ^m, s-l)-
Имеем дифференциально-разностное уравнение, в котором произведе-
произведение nd играет роль координаты. Согласно теории дифференциальных
уравнений второго порядка в частных производных решение задачи
Коши
un(t) = Dns(t, 0) h(s) + Dns(t, 0) f(s), B)
где Dms(t, t') — решение уравнения A), удовлетворяющее началь-
начальным условиям Dns@, 0) = 0, Dns@, 0) = Sns. В квантовой теории
поля Dms(t, t') представляет собой перестановочную функцию Пау-
Паули. В классической теории Dms(t, tf) можно представить в терминах
скобок Пуассона: Dms(t, tf) = m[um(t), us(tf)]. Подставим решения
уравнения A) и учтем значение скобок Пуассона [а&, га*] = 5kq- В ре-
результате получим
- t') i(m-s)kd
6
Отметим, что запаздывающая функция Грина Gsn(t, tf) уравнения A)
имеет вид Gsn(t, t') = Dsn(t, t') 0(t — t'), где 6{t) — обобщенная
функция Хевисайда.
7.1.39. Модель одномерного кристалла в континуальном
приближении. Найти гамильтониан и каноническую систему уравне-
уравнений в предельном случае непрерывного распределения масс.
Решение. Ведем числовую ось х. В континуальном приближении
частице с номером п соответствует положение равновесия в точке
с координатой х = nd. Одномерному полю деформации и(х, i) соот-
соответствуют смещения un(t), п = 1, 2, .. .,
un+s{t) = u(x, t) + {sd) -^ + ^- -^ + ... A)
Пусть р, Е ~ линейные плотность и модуль Юнга. Произведем в ла-
лагранжиане задачи 4.2.14 замену
тп —> \ dx p, kd2
п -> \dx p,
и учтем приближение A). В результате после интегрирования по частям
запишем функционал
= ^ [p{dtuJ - Е(дхиJ].

360 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Уравнение Лагранжа-Эйлера
я dL 8L 8L f .
приводит к линейному уравнению
V2 ~д? " в? = °' C)
где v = Е / р — скорость звука в среде.
Импульс поля деформации р = dL/ddtU, p = pdtu. Для перехода
к гамильтонову формализму введем согласно Швингеру новый лагран-
лагранжиан
L' = L-±-{p- pdtuf = pdtu - Н,
Ар
Уравнение B) (после замены L —>• L') имеет вид
Уравнение Лагранжа-Эйлера, связанное с вариацией функции р(ж, t)
1 ddtv x ддхР dp
приводит к каноническому уравнению
д^и _ дН_ д^и _ р , v
dt " dp ' ~* ^ " р ' l j
Канонические уравнения D), E) эквивалентны уравнению C).
7.2. Линейные канонические преобразования
7.2.1. Найти КП, порождаемое ПФ
F1(x, x'\ i) = (а22Х2 - 2xxf + ацж/2),
2ai2 ч 7
Ответ, х = ацх' + ai2pr, р = «21^' + а22Р', скц«22 — «i2«2i = 1-
7.2.2. Преобразование подобия. Найти условия, при которых
КП ж, р -> х1', р', порождаемое ПФ Fi(^, ж', t) = (аж2 —
+ сж/2)/2, сохраняет форму уравнения ж + w(i) x = 0 [95].

7.2] Линейные канонические преобразования 361
Решение. Учитывая G.1.1), находим
х = б (схг + р'), р = б (Ах' + ар'),
х'= b~1(ax-p), p' = b~1(-Ax + cp), A)
где Д = ас — б2. Новый гамильтониан
1 1
2о о
+ ^ [Д2 + с2 (w + а) - 2с66 + сб2] ж/2. B)
Подчиняя функции а, 6, с условиям
а + w + а = о , 0 = 6 (с —aj, (oj
получим
Я^ж', р', *) = ^- + w'(t) ^— , гу7(*) = w + а2 - с2 + а + с. D)
Заметим, что при а = х^х^1, b = х^1, с = х\х~^} (х±, х<± — два линейно
независимых решения) гамильтониан Н'(х', р', t) = 0.
Преобразование Беклунда. Пусть w(t) = —X2 — U(t), w'(t) =
= -Л2 - U'(t), b2 = s2 - X2 > 0. Из (З), D) получим систему
а2 - U(t) + а = s2, -U1 {t) = -U(t) + 2а.
Полагая t/r(t) = 0, приходим к тривиальному уравнению х! — Л2х' = 0:
х1 = n\e~Xt + ri2eXt. Тогда, исключая f/(t), имеем
а = а2 — s2 —ь а = — s th st, U — «— •
ch st
Следовательно, решение нетривиального уравнения
X [ /\ ~i~ о IX — U
V ch2st)
определяется преобразованием Беклунда A).
7.2.3. Преобразование Дарбу. Найти КП, связывающее реше-
решения двух уравнений [95]
x + w(t)x = 0, x' + w'(t)xf = 0, A)
где
w(t) = 2 [Е- U(t)], w'(t) = 2 [Е- U'(t)]. B)

362 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Решение. Исходные уравнения являются одномерными уравнения-
уравнениями Шредингера. Пусть xo(t) — частное решение уравнения
х0 + 2 [Ео - U(t)] х0 = 0. C)
Полагая в формуле B) задачи 7.2.2 а = с = хохо , 6 = 2 (Е —
получим
w'(t) = 2 [Е- U'(t)], U'(t) = U(t) --^f- D)
Таким образом, искомое КП
/у* — О | 1ут /т r\ I I т* т* 1 1^1
A. Полагая в C) Ео = 0, х0 = е~^, получим U(t) = (ф2 - ф)/2.
Тогда из D) следует, что U'{t) = [ф2 + ф)/2. Решения уравнений A)
связаны преобразованием Дарбу.
B. Пусть Ео = -1/2, U(t) = t2/2, тогда х0 = е*2/2. Полагая в B)
Е = 1/2, получим х = ехр (—t2/2). Из D) следует, что функция ж',
удовлетворяющая уравнению A) с Uf(t) = t2 /2 — 1, соответствует
собственному значению Е' = Е + 1 = 3/2. КП E)
/ 1 Л d \
г = —= [t - —) х
л/2 V dtj
эквивалентно действию оператора рождения на вакуумное состояние
[94]. В результате n-кратного преобразования E) получим функцию
с собственным значением п + 1/2.
7.2.4. Найти алгоритм диагонализации гамильтониана //(ж, р, t) =
= р2/2 + w(t) х2/2 на интервале, где w(t) > 0. Функция w(t) изменя-
изменяется адиабатически медленно: w2 <^C \w3\ [95].
Решение. Произведем КП ж, р —> х\, р\, реализуемое ПФ
Fi(x, xi, t) = - [ахх2 - 2Ъхххх + с2х\). A)
Из формулы B) задачи 7.2.2 следует, что если подчинить функции а, 6,
с условиям а2 + w = 0, А2 + c2w = 0, то старый гамильтониан в новых
переменных будет иметь диагональную форму. С другой стороны,
условие c\h\ — Ъ\Ъ\ = 0 устраняет вклад диагонального слагаемого
в новый гамильтониан от производной ПФ. Полагая
ах = iw1!2, Ъ\ = iV^w1^4, c\ = г,
мы удовлетворим указанным выше условиям и получим КП
?у,-1/4 .1/4
х = —д- (Ж1 -ipi), р = -^(ж1+гр1), B)

7.2] Линейные канонические преобразования 363
которое диагонализирует старый гамильтониан. Однако вклад ПФ дает
недиагональную составляющую:
tfiOn, ръ t) = -iw1/2x1p2 - I J (Й + ±*у (з)
Решение уравнений, порождаемых первым членом в C),
t
х\ = V7 ехр(-гФ), pi = i\fl ехр(гФ), Ф = \y/w dt + <p, D)
является КП х\, р\ —>• (р, I. После подстановки D) в B) найдем первое
приближение ВКБ
t
х = у2/ w~1/4: cos \^Jwdt-\-^p .
Для построения высших приближений можно исходить из уравнений,
порождаемых гамильтонианом АН = —A/4) (w/w)I sin2^. Однако
в гамильтоновском формализме существует уникальная возможность
получить п-е приближение, не используя предыдущие приближения.
С этой целью произведем КП х\,р\ -* х^р^ порождаемое ПФ типа A)
Fi(a?i, ж2, t) = - (а2х\ - 2Ь2х±х2 + с2х\).
Сущность метода состоит в том, что необходимо, как на первом этапе,
обратить в нуль коэффициенты при р\ и х\ в гамильтониане и коэф-
коэффициенты при х2р2 в производной ПФ. В результате получим систему
а2 = с2, а\-Ъ\ = 1, w1/2a2 + - — (l + af) = 0. E)
Новый гамильтониан приобретает вид
Н2(х2, р2, t) = -i&2~2 \w1/2 (а\ + l) + ^ у x2p2 +
+ "^— (P2-^2J- F)
Для определения функций а2, b2 произведем параметризацию, поло-
положив а262~1 = и, b^1 = v, и = ch «2? ^ = sh a2. Тогда из E) следует, что
th2a2 = —uj\w~xl2, uj\ = w/Aw. Используя соотношения
) (^), A2= w-w*,
получим явную форму КП
х\ = их2 Л- vp2, pi = vx2 + ир2 G)

364 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
и новый гамильтониан
, t) = -i\2x2p2 ~ ^ (pi ~ xl),
Подставляя
G)
В
B)
и2
, имеем
--1/4 г,
1
2
w
а!
гг;)
Диагонализация гамильтониана линейным КП может быть неогра-
неограниченно продолжена. Если ограничиться вторым шагом, то решение
уравнений, порождаемых первым членом в (8),
Отметим, что в излагаемом решении каж:дый шаг — точное преобразо-
преобразование исходного уравнения.
7.2.5. Найти КП, порождаемое производящей функцией
F\(q, Qf, t) = aqxq2 - bq^ - dq2q[ + cq[qf2,
где а, 6, с, d — функции времени.
Решение. Из соотношений G.1.1) находим
Ql = b'1 (cq[ +р72), g2 = d'1 (cqf2 +p[),
pi = сГ1 (api + Ag2), p2 = b-1 {apr2 + A^),
где A = ac — bd. Это преобразование оставляет инвариантной величину
ЯгРг — Q2P2- Полагая а = с = ctgA, b = d = (sinА), получим
преобразование поворота:
qx = q'x cos A + р'2 sin A, q\ — q2 cos A + p[ sin A,
P\ = —q2 sin A + p[ cos A, p2 = —q[ sin A + p'2 cos A.
Полагая а = с = cth A, 6 = d = sh~ А, получим еще одно преобразова-
преобразование. Заметим, что производящая функция
F1(q,p\t) = - [Aqiq2 - р[р2 + bqxp\
реализует то ж:е преобразование A).
7.2.6. Найти КП, порождаемое ПФ
F2(x, p7, t) = (ахг + 6ж2)р/1 + (d^i + сх2)р2 =

7.2] Линейные канонические преобразования 365
где а, 6, с, d — функции времени.
Решение. Из соотношений G.1.2) находим х'а = Аа„х„,ра = Лмар^.
Вычисляя матрицу Л, получим преобразование в явном виде:
х\ = А (сх[ — bx'2), x2 = A (-dx[ + аж2M
рг = ар\ + dp;2, р2 = бРг + ср72,
где А = det Л = ас — bd. Нетрудно проверить, что КП сохраняет СП
при произвольных значениях параметров а, 6, с, d. Если Л — матрица
направляющих косинусов,
д _ cos (f sin (f
~ — sin (p cos (p '
то A) представляет преобразование координат на плоскости при пово-
повороте на угол ip(i). В этом случае вклад производящей функции в новый
гамильтониан можно представить в виде
/ / / / Л Л
Угловая скорость вращения wf3 = езаршга/3/2 = (p(i).
7.2.7. Найти ограниченное решение двумерной канонической систе-
системы с гамильтонианом
Н = 2 \Рт + 2 bmiXi) \Р
b) + 2 Ьт'х*) + 2
где bmi = -bim (г, т = 1, 2).
Решение. Канонические уравнения
Хт =Рт+ 2 ЬтпХп, Ps = ~^ Xmbms - ksXs A)
эквивалентны уравнению второго порядка
Хт ОтпХп ~г К>тХт ~~ U.
Полагая жт = Reiime~*At, приходим к алгебраической системе
[(-Л2 + кт) 8шп + iA6mn]^n = 0.
Приравнивая нулю детерминант, получим собственные значения
^,2 = \
здесь 621 = 6 > 0. В этом случае \2 < к < \\.

366 Уравнения Гамильтона [Гл. 7
А. Предположим, что к\ = lj2, к2 = ^1? тогДа
б2 + (с^2 + u;iJ =Ь Ъ2 + (ш2
Собственные векторы, соответствующие собственным значениям Ai,
А2,
umil) = N1 Х\~£* , umB) = N2 wl~^ .
Представим решение как КП к постоянным координатам и импульсам.
С этой целью найдем из первого уравнения A) собственные векторы
vm(fi)^ соответствующие решению системы для импульсов:
VmB)~ 2
Общее решение системы A) представим в виде
хт = Кеит^)а^е~гХ^\ рт = Кеу
Выбирая a^, ia^ в качестве координат и импульсов, найдем
ЛГ1= [2A!(A?-a;?)(A?-A^]-1/2, N2 = [2А2 {ш\-\\) {\\-
В. Предполож:им теперь, что к\ = —о;2, к2 = —ш^ тогда
б2 - (Wi + CJ2J ± б2 - (Wl - CJ2
Заметим, что А2 < 0.
7.2.8. Электрон движется в электромагнитном поле ловушки Пен-
нинга, задаваемом 4-потенциалом Ло(х) = Ba2) U(х2 + у2 — 2z2),
А(х) = 2 В(—у, ж, 0). Потенциал Ло(х) удовлетворяет уравнению
Лапласа и может быть реализован системой гиперболических электро-
электродов, изображенных на рис. 7.2.8. Найти КП, приводящее гамильтониан
к диагональному виду, и решение уравнений движения [1] (В2 >
eoa
Решение. Гамильтониан задачи
mft

7.2]
Линейные канонические преобразования
367
Рис. 7.2.8
_
е0 В
Произведем вначале КП
1
х = -= (ал
V2
V2
1 / . ч i
Гамильтониан приобретает вид
л
Для полной диагонализации гамильтониана совершим КП хп, рп —>
—> х'п = ап, р'п = ia*n, порождаемое ПФ F2(xn, p'n) = -i(mA/2)xiX2 +
! + х2р'2) + ViP2:
Ж1 = a3,
- a2),
| (a* - a2), P2 = -
В новых переменных гамильтониан
Н = uoia\a\
^1,2 = (fi =Ь А)/2. Переходя к переменным действие-угол
= Д е-"*-'*1, а2= 12егш^~1^, а3= 13 е"'"»*-'*'»,

368 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
получим решение уравнений движения
ел
х= ^-д [ h cos(u;i£ + <£i) + h cos (w2t - <p2)],
+ (рг) + л/72 si
sin (wi* + (рг) + л/72 sin
о г
2?= —— cos^t + 993), Рз = -^2muzh sin
Pi = - -it- [Vh sin (cji* + (pi) - \fh sin (u2t - <р2)],
y cos (cji* + (fi) - л/h cos (u2t - (p2)].
Нетрудно проверить, что сохраняются СП, вычисленные по новым
переменным. В новых переменных гамильтониан Н((р, I) = 0. Полная
энергия электрона Е = uiih — ш212 + 00%!%.
7.2.9. Заряд движется в магнитном поле с вектор-потенциалом
А(х) = (—By, 0, 0). Найти КП к гамильтониану, описывающему од-
одномерный осциллятор.
Решение. Исходный гамильтониан
Используя ПФ F2 = хр' + (ml)) p[p2, находим
Х = Х Р'2' У = Х'2 ~ p
Px=Pl, Py=P2, Рг=Рз-
В новых переменных гамильтониан
описывает одномерный осциллятор, движущийся в направлении оси z.
Два первых интеграла совпадают с координатами центра окружности
( V)
([, ()Vi)
7.2.10. Электрон движется в статическом электромагнитном поле,
задаваемом 4-потенциалом Aq = Bа2) U(x2 — у2), А = В@, 0, —х).
Найти КП к переменным, описывающим систему невзаимодействую-
невзаимодействующих осцилляторов.
Решение. Исходный гамильтониан

7.2] Линейные канонические преобразования 369
где D = е$В/тс, ш\ = e$U/та2. Произведем КП
, П , ft
ж = жН зРз, У = х2, z = x3-i зРь
Px=Pl, Py=P2, Pz=P3, ul=£l2 -W%,
используя ПФ F2 = xpi + ур2 + zps — D (mw2)'1 pip%. В новых пере-
переменных
2m 2 х х 2m 2 2 2
7.2.11. Гамильтониан частицы, движущейся в однородном поле
тяжести, Н = р2/2т — mgx. Найти гамильтониан в неинерциальной
системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью П.
Решение. Пусть п\ — орты неподвижного базиса, и е\ — орты ба-
базиса, вращающегося с угловой скоростью И, связаны преобразованием
ei(t) = Aik(t)nk. A)
Производящая функция F2 = Лма(£)р^жа реализует преобразование
Ра = -q^t = Лмар^, ж^ = 0-г = Л^ажа. B)
Поскольку матрица Л ортогональная (Л~^ — Л^^), то жа =
Очевидно, КП B) сохраняет СП:
[ха, рр] = А^аА^р [х'цр',,] = А^аА^р = Sap.
Новый гамильтониан
р1, t) = %-- mgx'
Очевидно, ха = Apaxfp + Apaxfp. Умнолсая это выраж:ение на па
и используя A), получим v = v' + [П'х']. Из B) следует, что р =
= р' = р'аеа. Поскольку вектор И' связан с тензором угловой скорости
соотношением из'^у = s^^gft^ то гамильтониан

370 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
7.3. Системы специального вида
7.3.1. Простейшая модель биоценоза, описывающая два биологиче-
биологических вида «хищник-жертва», приводит к системе уравнений
ui = а A - и2) ui, й2 = -Ь A - щ) и2,
где а, 6 — постоянные параметры [96, 97]. Представить уравнения
в гамильтоновой форме и найти решение в окрестности положения
равновесия.
Решение. Введем замену и\ = еж, и2 = ер, которая приводит
к каноническим уравнениям
х = аA-ер), р = -6A-еж)
с гамильтонианом
Я(ж, р) = а (р - ер) + 6 (х - ех).
Первый интеграл системы — Н(х, р) = Е. Разлагая Н(х, р) в ряд
Тейлора в точке х = 0, р = 0, получим Н = —(ар2 + Ьх2)/2. Решение
канонической системы
/a\i/4 /бЧ1/4
х = I — ) (xf cos uot — р1 sino;t), p=f—J [x! sino;t + p; coso;t),
где а; =
7.3.2. Записать систему
ft+A(t)f-C(t)g = O, ^-
в гамильтоновой форме.
Ответ. i/(/, g", £) = (Cg2 — 2Afg+Bf2>)/2, где / — «координата»,
g" — «импульс». Рассмотренная система получается из уравнения Дира-
Дирака для атома водорода после отделения спиновой и угловой частей [98].
7.3.3. Записать систему уравнений
описывающую генерацию второй гармоники в нелинейной среде [13]
в гамильтоновой форме. Найти решение канонических уравнений.
Решение. После замены с\ = 21/2а^~ ' ai, c2 = 2а^ а2 система
приобретает гамильтонову форму с гамильтонианом
Я = к (а\а*2е-^ + afa2e^), к = а^а~1/2,
ап — координаты, га*п — импульсы. Произведем замену а^ = &i, a2 =
= Ь2 е~*7, порож:даемую ПФ
F2(a, 6*, t) = ia\b\ + га^е11.

7.3] Системы специального вида 371
Новый гамильтониан
#' = -<yb*2b2 + * F^6* + bfb2).
Перейдем далее к переменным (р, I: bn = \/7п ехР (~^п)?
#' = -7/2 + 2fc/i 7^ cos(<£2 -2y?i). A)
Следующая замена переменных
Pl = y?i, у?2 = <Р2- 2^1, /l = /( ~ 2/^, /2 = /2,
порождаемая ПФ
приводит A) к виду
Я' = -7/2 + 2к A[ - 2If2) T2
Первый интеграл — /{ = С\. Полож:им у = qt, тогда существует еще
один интеграл
= Я0. B)
Теперь система может быть проинтегрирована в квадратурах. Учиты-
Учитывая B), уравнение 12 = [12, Н'\ можно представить в виде
1'2 = -/(/£), /(ж) = -16&2ж3 + (q2 + 16*2Ci) ж2 -
-2BkC2-qH0)x + H2. C)
Пусть /(ж) имеет три вещественных корня жх<Ж2<жз-В области
Жх < 12 < ж 2 функция /(/2) < 0. Если произвести замену
то из C) получим
где £ = (жг — жх) (жз — Жх). Интегрируя D), находим
1'2 = х\ + (жг — жх) sn2(r, £), г = 2Ы\/х?> — жх •
Угловые переменные определяются квадратурами
Яп + ah ,.

372 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
7.3.4. Записать систему уравнений
описывающую нелинейное взаимодействие трех волн [70] в гамильто-
новой форме. Найти первые интегралы (кп — постоянные параметры).
Решение. После замены переменных vn = ^/~k^ ип система приобре-
приобретает вид
йп = [ип, Я], Н = к [и\и2и1е~11 + к. с),
где к = \/&1&2&з •> ип — координаты, iu^ — импульсы. Производящая
функция F2(u, a*, t) = iuia\ + %u2a\ + iu%a\e11 порож:дает замену
и\ = di, u2 = а2, щ = а^е~п и новый гамильтониан
Я = -7
Перейдем теперь к переменным действие-угол, произведя замену ап =
= д/7п e~llfn, а затем преобразование (р, I —> (pf', /', порож:даемое ПФ
F2((p, I') = (fil[ + ^2/2 + (^1 - ^2 + ^3) /3.
Учитывая G.1.2), находим
Новый гамильтониан
/', t) = -7^ + 2k (I[ + I>3) (^ - I'3) I'3 cos ip'3.
Очевидно, I[ = Gi, 12 = C2 — первые интегралы. Положим
Тогда существует еще один интеграл
Но = -дЦ + 2к (d + /3) (С2 - /£) /^ cos у?;з.
7.3.5. Преобразование Фрелиха. Гамильтониан системы Я =
= Но + V,
kXk, V = к (a1
k=i
Найти КП, которое позволяет исключить из гамильтониана члены ~ ^.
Решение. Произведем КП а, а* —> с, с*, генерируемое функцией
s = s(zf) (см. задачу 7.1.35):
H'(z') = H(z') + [Н, s] + l [[H, s],s]+...

7.3] Системы специального вида 373
Генератор преобразования, содержащий малый параметр 7? выберем
в виде s = г^с\с2с\ + к. с. Величина 7 ~ к подлежит определению.
Собирая члены одного порядка малости, находим
ЯV) = Но + [Но, s] + V+ [Q [Ho, *] + К) ,*]+... A)
Используя фундаментальные СП [с£, с&] = г^п^, вычислим предвари-
предварительно величину
[Но, s] + V = (—7 (k*2 — cc?i — о;з) + /г)с*С2Сз + к. с.
Полагая j = к (иоъ — ш\ — а;з)~\ получим
Для вычисления последнего слагаемого в A) достаточно найти СП
г [c[c2cl, clC*2c3] = -|С1|2 |с2|2 + Ы2 (|с!|2 - |с2|2).
Переходя к переменным действие-угол: сп = \/7п ег(Рп, запишем га-
гамильтониан A)
U4 П 3 Т , fe2 (/1/2-/3 (/1-/2)) ^
Я (у?, /) = UnIn + ^7- -Т " + • • •
п_1 1^2 — Ш\ — ^3J
Если /з@) <^С /i, /2, то второе слагаемое можно интерпретировать
как энергию взаимодействия между частицами 1 и 2, обусловленную
обменом частицей 3 [94]. Замена переменных имеет вид
ап = сп + [cn, s] + ... = сп + 7 (£п1С2Сз ~ <Wic3 + <*„зс1с2) + • • •
7.3.6. Вектор S и скаляр N определены соотношениями S =
= (р*<т(р/2, N = (р*(р/2, где (р — двумерный спинор с компонентами ai,
^25 сг« ~ матрицы Паули. В комплексном пространстве с координатами
ап и импульсами ia^ гамильтониан Н = (е^1*?2 + e^S^ + £^5з)/2.
Найти уравнение, которому удовлетворяет вектор спина S. Получить
решение уравнений движения.
Решение. Поскольку
1
#1 = 2
то, используя фундаментальные СП [a£, a^] = г^п^, получим
[Sa,N} = 0. A)

374 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Соотношения A) совпадают по форме с перестановочными соотно-
соотношениями для оператора плотности магнитного момента во вторично-
квантованной теории. Сферические углы 0, (р вектора S вводятся соот-
соотношениями аг = л/2 cos @/2) е~^/2, а2 = л/2 sin @/2) ei(p/2. Учитывая
A), находим
Sa = [Sa, Н] = [Sa, Sp] -7Гд- = £aC~/ -qW~ S7. B)
Следовательно, система B)
Л ^3 — £2 o c A Si — £з c c A £2 —
после замены Sa —> —Sa совпадает с уравнениями Эйлера для свобод-
свободного асимметрического волчка [23]. Решение C) следует, по существу,
из соотношений, связывающих эллиптические функции [5]:
— sn z = en z dn z, — en z = — sn z dn z, — dn z = —к2 sn z en z.
dt dz dz
Переходя к переменным действие-угол ап =
Si = hh cos (y?i - (p2), S2 = hh sin ((рг - (p2),
$3 = \(h-h), N=\(h + I2), D)
запишем исходный гамильтониан
8£з
Ограничимся далее решением в случае е\ = £2 = £- КП (рп, 1п —у жп,
Рп-
t t
t t
2e 4^3
порож:даемое ПФ
t t ч2
обращает новый гамильтониан в нуль. Из D), E) находим решение
системы C)
Si = \Jp1P2 cos (uot + xi — X2), S2 = \JP1P2 sin (uot + x\ — Ж2),
1 / -1 -i\
2

7.3] Системы специального вида 375
Заметим, что гамильтоново представление уравнений C) позволяет
использовать методы теории КП для исследования асимптотического
поведения эллиптических функций.
7.3.7. Гамильтониан системы
Я = Епа*пап + V(t) a\ax + V*{t) a\a2
п=1,2
приводит к уравнениям, описывающим взаимодействие двухуровне-
двухуровневого атома с излучением. Показать, что вектор S (см. задачу 7.3.6)
удовлетворяет уравнению S = [12S],
«(*)= (V + V*, -i(V-V*), E1-E2).
Указание. Представить гамильтониан в виде Н = (Е1 + Е2) N + ttS.
Таким образом, эволюция двухуровневой системы может быть описана
в терминах фиктивного вектора S [99].
7.3.8—7.3.9. Движение магнитного момента частицы в маг-
магнитном поле. Энергия взаимодействия частицы с магнитным полем
U(t, х) = — дВ(£, х), где /л = g^eS — среднее значение оператора
магнитного момента, S — эффективный средний спин, g — фактор
Ланде, \хв = eh/2me, \хв — 5,787 • 10~5 эВ/Тл — магнетон Бора.
7.3.8. Найти решение уравнений движения момента в постоянном
квазинеоднородном поле индукцией В(х) методом теории канониче-
канонических преобразований [155].
Решение. Вектор S удовлетворяет уравнению
f
где SI = —7В, 7 — #№А [54]. Очевидно, S2(t) = Sq — первый
интеграл.
Для нейтрона и протона gfxB -> gn:PfJ<N, где gn = -3,826, gp =
= 5,586, цм = 3,15 • 10~8 эВ/Тл — ядерный магнетон. Магнитный мо-
момент ферромагнитной частицы ц = MV, где М — объемная плотность
магнитного момента, V — объем частицы; Mmax ~ Ю7 (Дж/(Тл-м3)).
Уравнение A) — результат усреднения гейзенберговских уравнений
движения оператора спина по суперпозиции состояниий квазиклас-
квазиклассического волнового пакета. Поэтому оно не принадлежит к лагран-
жевым или гамильтоновым уравнениям и не следует из какого-либо
вариационного принципа. Однако уравнение A) можно представить
в гамильтоновой форме, используя подход Швингера, установившего
связь между оператором момента импульса и спаренными операторами
«рождения» и «уничтожения», которые можно ввести при рассмотре-
рассмотрении двух гармонических осцилляторов.
Введем согласно условию задачи 7.3.6 «координаты» и «импульсы»
qk = o>ki Pk — 1A% Щ — 1? 2) с фундаментальной скобкой Пуассона
(СП) [qi, pk] = Sik- Поскольку СП [Si, Sj] = EijkSk, то уравнение A)

376 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
приобретает гамильтонову форму dS/dt = [S, Я] с гамильтонианом
Н = ПБ.
На траектории частицы tt(t) = — 7В(£), B(t) = В(х(£)). В терми-
терминах канонических переменных гамильтониан
Я = i [a^a2ft_ + a5aifi+ + (ajai - a^a2) П3], B)
где fl± = fli ± Ш2. Уравнения движения dcik/dt = [a&, Я] имеют вид
~ = -гНкпап, к = 1,2, C)
где #п = П3/2, Я12 = П_/2, Я21 = П+/2, Я22 = -П3/2.
Для диагонализации гамильтониана найдем вначале решение зада-
задачи на собственные значения Xvn = —HnkVk- Из уравнения det (Я +
+ XI) = 0 получим собственные значения Ai?2 = ±Ао, Ао = П/2, где
£1 = Л2 -f ^2 + ^з • Подставляя А = Ai?2, найдем ортонормирован-
ные собственные векторы vn^ и vnB)-
Q — Q3 Q_
! 3 D)
Мож:но параметризовать собственные векторы, вводя сферические
углы в и (р вектора В соотношениями В\ = B\i cos (p, B<± = B\i sin (p,
B12 = В sin0, В3 = В cosO, B12 = B\ + B\.
Запишем гамильтониан B) в форме Я = —iHmnpmqn и произведем
КП qu = a>k, Рк = ia*k -^ Qk = ск, р'к — ^^порождаемое производящей
функцией
( ; 0
зависящей от старых координат и новых импульсов. Здесь Ат1Л =
— итAл) — унитарная матрица, столбцами которой являются собствен-
собственные векторы матрицы Всг/2В, совпадающие с D) с точностью до
фазового множителя:
в в
мод = cos - е"^/2, uiB) = - sin - е"^/2,
о в E)
1*2A) = sin - ег¥?/2, и2{2) = cos - ei(f/2.
Каноническое преобразование qfa = $F2/$p^, pm = 9F2/9gm, по-
порождаемое производящей функцией F2, имеет вид
Qn = КаЯа, Pm = (A)+m^.

7.3] Системы специального вида 377
Поскольку (Л)+Л = К(а)]*, то
Чп = ип{ос)^, рш = [ит{1л)]* р'р. F)
После замены переменных новый гамильтониан Н1\qf', p1', i) = (Н +
+ 8F2/dt) равен Н' = Н'о + ti:
H'0(q', р', 0 = -Ш'^р'^ h'{qf, р', t) = ш^р'^ G)
где Н'^а = (Л)+тЯтпЛпа = -Ам^а, а;ма(*) = Л+^Л^а. Следователь-
Следовательно, каноническое преобразование приводит гамильтониан H^q*, р', £)
к диагональной форме Hf0(q/, p;, t) = — Anc^cn, или
Я^ = -1^)(|С1|2-|с2|2). (8)
Предполож:им, что индукция магнитного поля на траектории ча-
частицы удовлетворяет условию Icc^l <^C £l(t), ц, а = 1, 2. Тогда
H'(q'\ р', t) « — Anc^cn. Решение уравнений, порож:даемых гамиль-
гамильтонианом Я', представляет собой КП с& -^ 6^:
С1 = М^/2, с2 = 62е-^2,
2 62 =
С и /3 — постоянные интегрирования. Общее решение уравнений C)
имеет вид ап = Апаса. В результате подстановки ап = Лпаса получим
компоненты вектора Sn = Rn(a)Sfa, где Rn(a) —декартовы компоненты
действительных векторов R(a) (а = 1, 2, 3):
Я1A) =
J- D -» (Ml
-D12 -О
Я_ B12 D _ n D _ Вз
3A) — ^~~? ^3B) — u? ^3C) — ~g~-
Компоненты вектора 5^ получим после замены ап —У сп в компонен-
компонентах 5а приведенных в решении задачи 7.3.6:
S[= Si-С2 cos(r7-h/3), 52 = - Si-С2 sin fa +/9), 5j = С.
A0)
Поскольку BS = В G, то в квазиоднородном магнитном поле величина
G = BS/B — проекция вектора S на касательную к силовой линии, яв-
является адиабатическим инвариантом. Среднее значение (S) = Из С =
= вс/в.

378 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Отметим, что КП ак —> ск задает переход к новому базису пк —> п'к
(к = 1, 2, 3), в котором вектор В направлен по орту П3. Действительно,
Eik = (R-1)ik — матрица поворота вокруг осей 323 на эйлеровы углы
(р1 = (р, (f2 = 0, (рз = 0, которые представляют собой обычные
сферические углы оси z'. Тогда в новом базисе S[ = EikSk', компоненты
угловой скорости lj[ = — ф sin0, ио'2 = 0, ujf3 = ф cos0. Подставляя
Sm = S'nEnrn в A) и учитывая соотношение dEnrn/dt = enskEsmu)fk,
получим уравнение
dSydt = siknn'kS'n. A1)
Компоненты ftfk = E^s^s — ш'к соответственно равны
fti = (fti cos (p + H2 sin (p) cos в — (Us — ф) sin в, A2)
П2 = —Hi sin <P + ^2 cos (p + 6,
ilf3 = (Hi cos (p + H2 sin (p) sin в + (Г^з — y>) cos ^,
где il(t) = —7B(t). Решение уравнения A)
51 = (S( cos 0 + £3 sin 0) cos p - S£ sin p, A3)
52 = (S[ cos 0 + 5з sin 0) sin (p + £2 cos y?,
S3 = -Si sin0-hS3 cos0.
Полагая B(t) = i?(sin0 cos^, sin0 sin(^, cos0), получим угловую ско-
скорость A2) во вращающейся системе координат Н[ = ф sin0, il'2 = 0,
ilf3 = П — ф cos0. Отсюда следует, что адиабатический инвариант С =
= BS/B существует при условии ^ ^> (о;'!-
Сделаем два замечания. 1. Представим уравнение A) в тензорной
форме: dSi/dt = A^Sk^ где Ац, = €ijkHj(t) — антисимметричный
тензор; А21 = ^з? ^32 = ^1? ^413 = ^2- Тогда векторы
VA) = -^(RA) + tRB)), VB) = [VA)r, VC)=RC)
представляют собой собственные векторы уравнения aVi = AijVj
((j(n) — матрицы Паули, п = 1, 2, 3), соответствующие собственным
значениям ai = — Ш, (?2 = Ш, сгз = 0. Векторы V(a) образуют
ортогональный базис [V(a)]* V^) = 5ар [156].
2. Уравнения Лагранжа-Эйлера для функционала
(a*k, ak, t),
x dan~\ Т1( ^ ч
L(a*k, ак, 1)=2[ап
имеют форму уравнений Гамильтона. Существенным достоинством
гамильтонова формализма является возможность применения новых

7.3] Системы специального вида 379
методов интегрирования канонических уравнений движения [1, 157,
158]. Введение функционала позволяет использовать прямые вариаци-
вариационные методы типа Бубнова-Галеркина.
7.3.9. Классическая теория магнитного резонанса. Частица
движется в магнитном поле, индукцией В(£) = Во + Вр(£), Во =
= (О, О, 60), BP = bp(coscut, -sino;*, O)f(t),f(t) = 0, при t < 0, t > т,
f(i) = 1 в интервале 0 ^ t ^ т. Найти решение уравнений движения
магнитного момента при условии со = По, ^о — 7^0-
Решение. Гамильтониан частицы
Я = -i [a\a2Slpeiu}t + a5aifipe"*wt + (ajai - a^) По], 0 ^ t^ r,
A)
где Пр = 76р. Два последовательных КП а —> q —> с: а\ =
(it/2) a<i = q<i exp(—г^/2)
с/о "о "о "о
q\ = С\ cos —— с2 sin — , q2 = с\ sin — + с2 cos — ,
А А А А
Sin С/о — _ , COS С/о — ~pz , " Ь — г) ~т~ V 0 ^)
приводят гамильтониан к диагональной форме Н —у /г,
Решение канонических уравнений, порождаемых гамильтонианом B)
С\ — 0\€- , с2 — о2е , 1 /
где &i = у/1 + С ехр (г/3/2), 62 = у/1 - С ехр (-г/3/2), G и /3 —
постоянные. В новых переменных вектор момента
S[= 1-С2 cos (Sit+ 0), Sf2 = - 1-C2 sin (Sit+ 0), So = C.
D)
Переходя к новым переменным а —^ с, получим решение канонических
уравнений S(t) в области 0 ^ t ^ г:
51 = E( cos #о + *^з s*n 0о) cos ^^ ~Ь *^2 sin cot,
52 = ~(S[ cos#o + *?з sin^o) sina;t + Sf2 cos cut, E)
53 = — S[ sin^o + S3 cos до-
довели выполняется условие резонанса си = По? то $о — тт/2. Компоненты
угловой скорости в новом базисе П^ = ^2 = 0, Sl'3 = —£lp соответству-
соответствуют эффективной индукции В' = @, 0, Ьр). Решение E) в интервале
времени 0 ^ t ^ r приобретает вид:
Si = £3 COSUJt + Sf2 sina;t, F)
S2 = -S3 si

380 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Пусть S@) = @, 0, 1). Тогда из D), F) находим S'@) = (-1, 0, 0),
С = 0,/3 = тг,
S[ = - cos ilpt, S'2 = sin Slpt, S'3 = 0. G)
Следовательно, компоненты вектора S(t) в интервале времени
0 ^ t ^ r соответственно равны
Sxit) = smSlpt sin Slot, (8)
S2(t) = sinSlpt cosSlot, Ss(t) = cosSlpt.
Скалярное произведение SBP = 0, т. е. вектор S вращается вокруг
оси z' с угловой скоростью ttp, оставаясь ориентированным перпен-
перпендикулярно вектору Вр(£).
Рассмотрим два случая.
A. тг-импульс. Если переменное поле включено в интервале г,
удовлетворяющем условию Slpr = тг, то S'(r) = A, 0, 0), S(r) =
= @, 0, -1). При t ^ г имеем S^t) = 0, S2(t) = 0, S3{t) = -1.
Резонансный «тг-импульс» переворачивает магнитный момент.
B. «90°-градусный импульс». Если переменное поле включено
в интервале г, удовлетворяющем условию £1рт = тг/2, то S'(r) =
= @, 1, 0). При t ^ r после выключения переменного поля момент
прецессирует в плоскости, перпендикулярной вектору Во:
S^t) = Sf2(r) sinfi0 (t-т), S2(t) = S'2{t) cosfi0 {t-r),
В результате возникает переменный магнитный поток, который может
индуцировать ЭДС индукции в катушке, содержащей образец из иссле-
исследуемого материала [159].
7.3.10. Найти решение канонических уравнений с гамильтонианом
Я = -2/iBS, B(t) = B(sin0 cos u;t, sin0 sin a;*, cos^).
Решение. Исходный гамильтониан
H = -ин sin(9 (a\a2e~iujt + (ца^е™*) - шн cos(9(|ai|2 - |a2|2),
где и)н = цВ. Произведем КП а\ = Ь\е~гшг/2, a<i = b2elUJt/2, порождае-
порождаемое ПФ
F2(a, 6*, t) = i (aibleiwt/2 + а2Ь$е-*ш*'2).
Новый гамильтониан
Н' = -SI sin/3 (Ь$Ь2 + Ь%Ьг) - SI cos/3 ({b^2 - |62|2), A)
ujh sin О = SI sin /3, uj/2 + a;H cos 0 = f^ cos /3.
Следующее КП 6, 6* —ь с, с*:
61 _ cos/3/2 -sin/3/2
62 " sin/3/2 ClH~ cos /3/2 C2

7.3] Системы специального вида 381
приводит A) к диагональной форме: Н" ~ — fJ |ci|2 + fJ |с2|2. Решение
канонических уравнений с\ = Aielflt, c<i = А^еГ1^11. Если подставить
ап в выражение (р*сг(р/2, то получим S(t).
7.3.11. Решение уравнения Шредингера
г^ = Нф, H = H0 + V(t, x) A)
можно искать в виде разложения
ф{Ь, х) = ca(t) Ф10)(х) ехр(-г#@)*) B)
8 = 1
по собственным функциям Ф^ (х) уравнения ЯоФ^ = Е8 Ф8
(Eg — собственные значения). Показать, что коэффициенты ca(i)
удовлетворяют канонической системе.
Решение. Уравнение A) является решением вариационной задачи
для функционала
I = \ dt d?x - (dti/)*il) — ф*dt^) + ф*Нф . C)
J L2 J
Подставляя B) в C), найдем после интегрирования по координатам
новый функционал
I=\dtL, L=l- (c*ncn - <с„) + Н(с, с*, t),
D)
H(c,c*,t)= Vn,nc*n,cnex.v(iun,nt).
п, п'
Здесь и)п'п = Ent — Еп, Vn'n — матричный элемент,
Вариационные уравнения Лагранжа
d dL _ dh^ d dh_ _ dL
~di ~dWn ~ ~dcZ ' ~dt~dc~n~ ~dc~n
принимают форму уравнений Гамильтона
сп = [сп, Я], с* = [сп, Я] E)
с координатами сп и импульсами ic^. Фундаментальная СП [с£, Ck] =
= iSnk- Из E) находим
гсп = Vns(t) cs exp (iu)nat). F)

382 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Существенным преимуществом представления E) является возмож-
возможность применения мощных методов теории КП для отыскания прибли-
приближенных решений уравнения Шредингера.
7.3.12. Двухуровневая система. Найти решение системы с га-
гамильтонианом
Я = Уа\ахеш + V*a\a2e~i8\ S = uj21 - ш.
Начальные условия ai@) = 1, а2 @) = 0.
Решение. После КП <ц = 6ie"i<5*/2, а2 = Ь2еш/2 (см. задачу 7.3.10)
получим гамильтониан
Я = Vb*2bx + V*blb2 -\б (N2 - |62|2).
Пусть V = Vbe*7. Канонические уравнения имеют решение
6i _ cos /3/2 ^ s/
b2 ~ -ъшр/Ъе* г + cos /3/2
п sm/3 = V0, п cos/3 = i, п= V02
Заметим, что КП а —ь А сохраняет СП. Учитывая начальные условия,
находим А\ = cos/3/2, А2 = ег1 sin/3/2,
а2 = -г ^ sinfit
При 5 = 0 имеем а\ = cos Vot, a2 = —ie%1 sin Vot [54].
7.3.13. Двумерный комплексный вектор gm удовлетворяет уравне-
уравнению ^ш + £mn(£) ^n = 0, где ешп = £*ш — эрмитов тензор. Записать
систему в гамильтоновой форме. Найти решение в первом приближении
метода ВКБ.
Решение. Гамильтониан системы
Произведем вначале диагонализацию квадратичной формы. С этой
целью найдем решение уравнения ешпип = Х2ит. Обозначая Е\2 =
1|^г<5, получим собственные векторы

7.3] Системы специального вида 383
соответствующие собственным значениям
Произведем КП q, р -> <?', р1: qn = A*n^, pn = ^vnV'v> порождаемое
ПФ F2 = k^mp'^qm 4- к. с, где А"^ = tiTO(/i) = А+^ — унитарная
матрица, удовлетворяющая условиям ортогональности:
V ^)/iv — т/л т^ — ^[ivч ^тп^т/л nv — ^/л l^v-
Поскольку А+А = /, то вклад производной ПФ можно представить
в виде
8F2 , Л л*
-jfj- = u^vP^qv + к. с, ш^ = A/iTOAJ/TO.
В новых переменных гамильтониан
н' = рХ + Л^% + ("v>pWv + к-с-)-
Произведем теперь КП
порож:даемое ПФ
Новый гамильтониан
h = Лм (а^а^ + 6* 6М) - г ^ (а^ - а* 6*) +
Общее решение в ВКБ-приближ:ении
<pll=\\lldt.
Заметим, что рассмотренная система описывает распространение волн
в плоскослоистой плазме при нормальном падении [100] или задачу
двухканального рассеяния скалярных частиц [50].
7.3.14. Преобразование Крейна. Показать, что гамильтониан
Н = [р2 + &2ж2)/2 — Ахр, где функция A(t) удовлетворяет уравнению

384 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Риккати А — A2 + u(t) — 0, порождает уравнение Шредингера х + [к2 +
+ u(t)]x = 0.
7.3.15. Система с континуальным числом степеней свобо-
свободы. Гамильтониан системы
H=\d3p Г/(р) а?рар + \ g(p) (а*ра*_р + ара_рI.
Фундаментальные скобки Пуассона координат ар и импульсов iap
[а% ,ap] = i 6{3) (к - р), [aJ, а*р] = [ак, ар] = 0.
Найти каноническое преобразование, приводящее гамильтониан к диа-
диагональной форме.
Решение. Произведем К А ар, iap —>• ср, гс*:
р — ucp vc_p, ap — ucp vc-p. [i)
Для определения функций и, v необходимо получить два уравнения.
Одно из них следует из условия сохранения СП
и2 - v2 = 1. B)
Второе уравнение получим из условия того, чтобы преобразованный
гамильтониан принял вид
h = ^d3pupc;cp. C)
Подставляя A) в //, имеем
иор = (и2 + v2) f - 2uvg, D)
wf - \ {и2 + v2) g = 0. E)
Произведем параметризацию, полагая в B) и = chip, v = ship. Под-
Подставляя и, v в E), получим и2 + v2 = ch2(p, 2uv = sh2(p, th2(p = g/f.
Далее из D) находим иор = f2 — g2 . Используя соотношения
найдем явный вид канонического преобразования. Производящая
функция преобразования A)
Fi(о, с*) = ^ | d3p (sh рс!2р + 2арС; - sh ра2_р).

7.4] Уравнение Гамильтона-Якоби 385
Во вторично-квантованной теории сверхтекучести гамильтониан Н
описывает систему слабовозбужденных бозонов, ар, а* — операторы
уничтожения и рождения бозонов [44, 67]. Однако аналогичное КП,
из-за некоммутативности операторов приводит к результату, который
отличается от C).
7.4. Уравнение Гамильтона—Якоби
7.4.1. Частица движется по поверхности параболоида вращения.
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
Решение. Поместим начало координат в фокус параболоида. Тогда
уравнение параболоида х2 + у2 = а2 + 2az, где а/2 — расстояние от
фокуса до вершины. В параболических координатах £, rj, <p уравнение
связи rj = а (см. задачу 2.2.19). Лагранжиан частицы
Вводя импульсы, равные р% = (т/4£) (£ + а) £, р^ = т£аф, получим
функцию Гамильтона
Имеем уравнение
dS\2 1 .. , , OS
Его решение ищем в виде S = —Et + М<^ + /(£),
7.4.2. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для
частицы, движущейся в однородном постоянном электрическом поле.
Решение. 4-потенциал поля можно задать выражениями (р = — Ех,
А = 0 или (р = О, А = — сЕ£, связанными калибровочным преобразо-
преобразованием. Во втором случае
A)
Будем искать решение уравнения
OS 1 /OS
Ot 2m V #x

386 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
в виде S = сх + f(t). В результате находим
Решение уравнений движения х' = dS/dc, р = dS/dx. имеет вид
х = х' + — t + -1- eEt2, p = с.
т 2т ^
Заметим, что ПФ F<± = хр' — еЕх£, реализующая КП G.1.2) х = х',
р = р' — eEt, приводит гамильтониан A) к более привычной форме
7.4.3—7.4.5. Задача Кеплера. Частица движется в поле тяготе-
тяготения, создаваемого однородным шаром.
7.4.3. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и ре-
решение уравнений движения.
Решение. В сферических координатах гамильтониан задачи Кепле-
Кеплера
тт _ Рг , Рв , P<f OL
п — 7* г ~ о Т-
Рг , Ре , Р%
2m 2rnr2 2mr2 sin26>
Уравнение Гамильтона-Якоби
as I (dSf I /05\a 1 /Э5\2 а^
в* t2UJ 22U^y 22i26l \^У
2mr2sin26l \^У г
Решение A) следует искать в виде S = —Et + W,
Для разделения переменных положим
Тогда функция Si(r) удовлетворяет уравнению
а_
Следовательно, из B), C) получим
/~» i c\ I r-i 1V1 UC \ ^ linn /TO
Sx = \dr 2m[E о + ~ Ь S2 = - \ dO M2 T-
1 V 2mr2 r)" J sin2 в
тг/2
м2

7.4] Уравнение Гамильтона-Якоби 387
Найдем теперь решение системы канонических уравнений, вводя
константы
8S , OS OS ...
t * D)
Ограничимся рассмотрением эллиптических орбит, полагая в D)
Е = —Eq < 0. Вычислим интеграл
dr-
2
m \ 2mr
с помощью подстановки
• = a(l-£ cos£), a=WW~i £ =1-
a л 1 2EQM2
та
В результате получим uo(t — tp) = £ — е sin^. Для вычисления второго
интеграла
= - dr[
J
\тг2) lrn\ u 2mr2 rJl
в
1-1/2
- I dOM1"'* 'v'~
sin^6>J
7Г/2
положим Mz = Mcosi, cos^ = sin г sin^ (см. задачу 1.5.3). Тогда
имеем
Pi . (I i М-1 М'
г = _р 1 + £ cos (w — wo)\ , р= .
L ч /J ma
Последний интеграл
0
mz
J sin 6> M2-Af2/sin26l
тг/2
вычисляется с помощью подстановки ctgi ctgO = sin и: и = (р — (ро-
7.4.4. Адиабатические инварианты. Записать полную энергию
частицы в терминах адиабатических инвариантов эллиптического дви-
движения.
Решение. Адиабатические инварианты, введенные Эренфестом,
представляют собой интегралы по области движения частицы
dr
2тг V 2mr
= -— dO M2 - —#- , J^ =

388 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
Для вычисления первого интеграла произведем замену г —ь и: г =
= (г2 - г\) и/2 - (r2 + ri)/2, где г2, Т\ — точки поворота [86]. Подста-
Подстановкой v = \/1 — и/у/1 + и подынтегральное выражение приводится
к рациональной функции. В результате интеграл вычисляется методом
теории вычетов:
Далее находим Jq = М — Mz, J^ = Mz. Следовательно, Е =
= -mo2/[2(Jr + MJ].
7.4.5. Задача Кеплера в переменных действие-угол. Введем
импульсы — «действия» J% = J^ = Mz, J2 = Je + Jp — M, J\ = Jr +
+ Jq + J^ и координаты — «углы» wi, w2, w%. Найти КП: г, в, (р, pr,
Po, Pip —* ^n? Jn (n — 1? 2, 3), порож:даемое производящей функцией
J V 2Jl 2mr2 r) J
2 sin2 61
тг/2
Решение. Поскольку wn = dF<ijdJn, то, учитывая решение зада-
задачи 7.4.4, получим
uot 4- w\ = £ — £ sin^, г = аA — е cos^),
cos в = sin г sin ф, г = р [l + e cos (^ — ш2)] ,
ctgz ctg^ = sin (у? - ws).
Здесь р = J^/ma, e1 = 1 — (J2/JiJ, a = J\jma. В новых переменных
старый гамильтониан Я = —ma1j2J\. Частота вращения по орбите
и) = дН/dJi = ma2/Jf. В результате КП новый гамильтониан обра-
обращается в нуль: импульсы Jn и координаты wn — константы.
7.4.6. Гамильтониан, описывающий одномерное движение частицы
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
Решение. Произведем КП к переменным действие-угол. Полный
интеграл уравнения Гамильтона-Якоби S = —Et + W(x, E),
Х0
W(x, Е)= \dx 2тп(е - ^-ж4), х0 = (-I/2 ЕХ1\ A)

7.4] Уравнение Гамильтона-Якоби 389
Введем новый импульс-действие:
2тг V 4 /T7-\/-r/l ^'
Учитывая тождество
интегрируем по частям и подстановкой u2 = 1 — z2 приведем результат
к полному эллиптическому интегралу:
1 - п - * i dz
\du П?-2\ du -A
0 0 0
где КA/\/2) « 1,85. Следовательно,
Подставляя Е1 в A), найдем производящую функцию КП ж, р —>• у?,
/: F2(x, I) = W(x, E(I)}. После приведения интеграла к нормальной
лежандровой форме получим
1 1
_ 8F2, _ гп^дЕ_ Г du _ тг Г
~~дГ~ 2Ё ~дТ J VI - и4 " 2^? J
x/xq x/xq (^ — y^t
^4l/2//Nl/3
Далее находим
/\2/з
(p- r \ / F\
-C; — I — А у A/i I I Ы1 UIl
4 / \a/ тг тг
В новых координатах гамильтониан h(I) = G/aL/3. Частота колебаний
Используя соотношения, связывающие эллиптические функции, убе-
убедимся, что СП [ж, p]¥,j / = 1.

390 Уравнения Гамильтона [Гл.7
7.4.7. Частица движется в поле U = U(x). Найти производящую
функцию Fi(x, х', t) канонического преобразования к постоянным ко-
координатам и импульсам: 1) U(x) = 0; 2) U(x) = muj2x2/2.
Решение. Функция 5(х, i) является решением уравнения Г-Я
8S ,
Пустьх = х(х', р', £), р = р(х', р', t) —решениеуравнений движения,
являющееся КП к постоянным значениям х' и р'. На траекториях
системы функция /(х;, р', t) = 5(х(х', р', t), t) удовлетворяет урав-
уравнению
df 8S OS . . ( , , ,
-di = ^+d^Xa = -H + PaXa = /(Х ' Р ' 1)'
Определяя из уравнений х = х(х', р;, i) значение р' = тг(х, х', £),
соответствующее траектории, проходящей через точки х' и х = х(£),
получим искомую ПФ
t
Fi(x, x', t) = \dt' l(x!, тг(х, x', t), t'). A)
0
1) Из уравнений движения следует х = х' + (р; /т) t, р = р', / =
= р'2/2т,
о
2) Решение канонических уравнений
х = х1 cos uot -\ sin ujt, p — —тиох' sin Lot + p1 cos out.
mnu)
Подынтегральное выражение
l(xf, pf\ tf) = —- (p12 - т2ио2х'2) cos2uot' - uox'p' sin2a;*7
после подстановки pf приобретает вид
[x12 cos 2uj (t - t') + x2 cos 2uot' - 2xx' cos a; Bt; - t)].
2
тш
2 sin2cj^
Из A) находим

7.4] Уравнение Гамильтона-Якоби 391
7.4.8. Найти решение задачи Коши для уравнения Г—Я с начальным
условием 5(х, 0) = 5о(х).
Решение. Общее решение уравнения Г-Я 5(х, t) на траекториях
системы 5(х(х', р', £), t) = /(х;, р', t) имеет вид [89]
t
/(х', р', t) = 5o(x') + |dt'/(x', p', *')•
О
Решение канонических уравнений определяет траекторию частицы,
выходящей из точки х' с импульсом р' в момент времени t = 0.
Из начальных условий следует, что вектор р' имеет в точке х' вполне
определенное значение р' = dSo/dxf. Подставляя р' в уравнение
траектории х = х(х', р', t), найдем координату точки Xq(x, t), из
которой выходит траектория, проходящая в момент времени t через
точку с координатой х. Следовательно, решение задачи Коши
5(х, i) = /(xUx,<), р'(х'0(х, t)),t).
Пусть для свободной частицы 5о(х) = ах2/2, тогда
/(x'>p'>t) = iex« + ^*.
Поскольку р' = ах', то из уравнения х = х' + (р;/га) t находим
7.4.9. Частица движется в поле U = £/(х). Найти функцию КП
F(x, x', t) к постоянным координатам и импульсам в виде ряда теории
возмущений. Рассмотреть случай U(x) = —mgx.
Решение. Будем искать решение уравнения Г-Я в виде
>2 оо
F(x, x', t) = Щ- + Г^(х,х'), ^ = х-х/. A)
П=1
Функции Fn(x, x') удовлетворяют системе рекуррентных уравнений
(n + £ada)Fn = у?п(х),
1 B)
<рг = -t/(x), ^2 = 0, ^з = -^ @2
Следуя Фоку [101], запишем тождество
1

392 Уравнения Гамильтона [ Гл. 7
учитывая которое получим решение B)
1
о
Очевидно, выполняется соотношение F(x, х', t) = F(x', x, t). Пола-
Полагая t/(x) = — ragx, получим точное решение уравнения Г-Я
F(x, x', t) = ^ + mg(x + x/) i-mg2^. C)
Из G.1.1) находим КПх = х' + (р'/га) J + g (t2/2), p = p' + mgt. Новый
гамильтониан в соответствии с G.1.5), C) равен нулю.

Глава 8
КАНОНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУ ЕНИЙ
8.1. Введение
Рассмотрим систему 2п уравнений
iM = [*м, Я], H(z, t) = H0(z, t) + e h{z, t). (8.1.1)
Фундаментальные СП [z^, zv] = uj^v [1]. Предположим, что уравнения
H = [*/*> Яо] (8-1-2)
имеют решение z = z{z!, t). Координаты z'^ подчиняются уравнению
z'p = [z'p, eh'(z', tj\, eh'(z', i) = e h(z(z'\ t), t). (8.1.3)
Решение этой системы z'^ = z'^u, t, e) является КП z' —>• и к посто-
постоянным координатам и^, в которых новый гамильтониан равен нулю.
Таким образом, точное решение уравнений A) имеет вид
2/Д*) = ZAZ'^ *> г)' 0- (8.1.4)
Пусть z'^to) = и^. Тогда при е = 0 имеем
zfa, t0, 0) = иц, z^ = zn(u, t), h(z(u, t), t) = h'(u, i).
Будем предполагать, что выполнены условия теоремы Пуанкаре о раз-
разложении решения в ряды по степеням малого параметра е
z^= en^n)(ti, *), (8.1.5)
п
Следовательно, решение исходного уравнения представлено в терминах
коэффициентов разложения в ряд Тейлора решения уравнения C):
п=0

394 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
Для определения z1 (n\(u-> t) подставим F) в C). После вычисления п-й
производной по е от обеих частей C) положим е — О, тогда получим
систему линейных дифференциальных уравнений
dh'ju, t) d2h'(u, t) ,
г„A) = шаа, duai , zaB) = 2uaa, dU z
Интегрируя эти уравнения, найдем из E) решение исходной системы
ОО t t\ *n-l
zn = гп Г dt\ \dt2... f <ftnx
n=0 to to to
x [... [z^z'q, 0, Л(^ь *i)]M*2, *2)] • • -]Л(^п, *п)], (8-1.7)
где ^ма = z^z'q, ta), z'^a = z'^(ta). СП вычисляются по переменным
<(*о) [1].
Произвольная динамическая величина F = F(^, t) удовлетворяет
в силу системы A) уравнению
f^f + [F,H]. (8.1.8)
Решение (8) таклсе может быть представлено в форме G)
оо t ti tn_i
F(t)= en J dti J d*2 - - - [ *nx
n=0 t0 t0 t0
x [... [F(z(t), t), h(zu ti)]A(*2, *2)] • • -]Л(^п, tn)]. (8.1.9)
При конкретном вычислении членов рядов G) или (9) возникают СП
вида
г \(- J. \ г>(- ± м ®А г_ _ -, дВ
[A(za, ta), B(zb, tb)\ = ^— [Zpa, Zvb\ -qZ— ,
которые можно представить в терминах запаздывающих функций Гри-
Грина
G^ta, tb, Zo) = -0(ta - tb) [гм(*в), Zu{tb)]zl • (8.1.10)
Заметим, что в качестве гамильтониана нулевого приближения можно
взять Но = 0. Если гамильтониан Н не зависит от времени, то в этом
случае (8.1.7) приобретает форму ряда Тейлора:
z/j.(t) = z/J,0 + [ZpOi H(zo)\ (t — to) + |_[^0? ^(^o)] H(zo)\ ^] h • • •
" (8.1.11)
Исследование сходимости полученных решений может быть проведено
на основе метода мажорантных рядов Коши или методом сжатых отоб-
отображений.

8.1] Введение 395
Пример 1. Найдем решение уравнения [102]
x = -— + ef(x, t), £<1.
Гамильтониан задачи Н = Но + eh,
2
Но = \ + U(x), е h(x, t) = e и(х, t),
f = -ди/дх. Полагая в (8.1.7) ям = х, получим х(t) = ж@)(£)+жA)(£) +
+ ..., х(°> = х = х(х'о, р'о, t) — решение невозмущенного уравнения,
= - | <fti G(t, tu x'o, p'o
to
Согласно (8.1.10)
zQ) = -6(t -
— - — —y
Очевидно, функции £\{t) = дх/дх0, £2A) — дх/др0 являются
линейно-независимыми решениями уравнения £ + £(d2U/dx2) = 0,
а функция Грина — решением уравнения
Заметим, что в переменных действие I = р0-, угол <р = х0 исходное
уравнение имеет вид
. дН0
F(<p, I, t) = /(x(»)(p, /, t), t), Ho = H0(I).
Пример 2. Найти решение уравнения х = a(t) x + b(t). Гамильто-
Гамильтониан задачи Я(ж, р, t) = р (ах + Ь) (см. гл. X). Представим Я в виде
Н = Но + eh, Но = арх, eh = bp. Решение уравнений (8.1.2)
Г t -1 1- t -1
х = х' exp dt\ a{t\) , p — р' ехр — dt\ a(t\)
U J L / J
to t0
является КП х, р —>> х', р1. Теперь следует найти решение уравнений
г 1 л
(8.1.3), где е ti(xf, pf, t) = b(t) pf exp - J dtx a{tx) . Полагая в (8.1.7)
L to J
to

396 Каноническая теория возмущений [Гл. 8
z^ = ж (ж', р1, £), находим, что ряд обрывается на втором члене, и мы
получаем точное решение
|-t -it i-t -j
x(t) = x'o exp [ dh a{ti) + [ dtx b(h) exp [ dt1 a{t') .
L J L J
t t t
t0
8.2. Интегрирование уравнений движения
8.2.1. Найти приближенное решение уравнений движения частицы,
движущейся в поле тяжести U(x) = —ragx в системе отсчета, вращаю-
вращающейся с постоянной угловой скоростью П.
Решение. Гамильтониан задачи
2
Н(х, р) = — - mgx + u^p^Xv,
где uj^v = e^s^Ls- Выберем гамильтониан нулевого приближения Но =
— 0. Тогда все СП в (8.1.11) могут быть выражены через две специаль-
специальные СП
[Xs, Н] = — + UJsvXv, [ps, H] = mgs + UJsvPv
ТП
Действительно,
[[жт, Я] Я] = т [рт, Я] + u)mi/ \xv, Я] =
= grn + 2m~1UJmi/pl/ +
[[[xm, H] H] H] = tlu:rnvgv !
[.. . [жт, Я] ... Я] = SwmvWv
4 раза
Для упрощения этих выражений воспользуемся соотношениями
= [[АП]П]т,
а = -U2 [АП]т.
Учитывая начальные условия ха@) = х'а, ха@) = va = ра/т +
+ MafiXpfo), ПОЛуЧИМ
x(t) = х' + vi + (g - 2 [Пу] - [П [fix']]) ^ +
3 [П [Qv]] - 2Л2 [fix']) | +
П] + 4Л2 [fiv] + 3 [П [fix']]) ^ + • • •

8.2] Интегрирование уравнений движения 397
8.2.2. Найти приближенное решение задачи Кеплера.
Решение. Гамильтониан Я(х, р) = р2/2т + £/(х), £/(х) = —а/|х|.
Несмотря на то что решение уравнений движения может быть найдено
в квадратурах, для получения явной зависимости координат от време-
времени необходимо использовать приближенные методы. Полагая в (8.1.11)
Zfj. = Xfj.1 получим
Вычисляя производные, найдем х^ — u\(t) х'^ + v>2(i) р'^, где
линейно независимые решения уравнения движения
a t*_ 3<* х'р'
Ul — ± з О! 2
тг & т г
_
2 5 QI
г о!
15 (ХУ J
_ (
3\ 5 7
т \ г г
 = -*-Ч^£ + -^^1ГЖ + --- B)
т ш г 3! т г 4! v '
Ряды A), B) при определенных условиях быстро сходятся и могут быть
использованы при определении элементов орбит К А [24].
8.2.3. Найти зависимость переданного импульса от прицельного
параметра при рассеянии высокоэнергичных заряженных частиц.
Решение. Выберем Hq = р2/2т. Тогда ха = xfa + p'at/m, pa =
= pfa. Эволюция новых переменных определяется гамильтонианом
Я'(х', р', t) = -а|х' + p't/m\-\ Полагая в (8.1.7) z^ = p^ eh =
= Я'(х', р', t), получим
to
t
(a?' + p^i/m)a , Пч
1 -Т~ГГ 7Г1—[з" + • • • У1)
|х +р ti/m\
to
Пусть b — прицельный параметр. Полагая в A) х' = b, p'(to) = mv,
to —>> — оо, (bv) = 0, получим
-f-vb+... B)
Переданный импульс q = р(оо) - mv = —Ba/vb2) b. Заметим, что B)
можно представить в виде [103]

398 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
8.2.4. Найти решение уравнения тх + тио^х = F(t).
Решение. Гамильтониан задачи Н = Hq + А Я,
Найдем решение
х = xf cos o;ot H sin o;ot, p = —muj$x' sin cdot + p' cosuj$t
уравнений, порождаемых гамильтонианом Hq. Эволюция штрихо-
штрихованных переменных определяется гамильтонианом H'{xl', pf, i) =
= —x(x',pf,t) F(t). Вычисляя СП в (8.1.7), находим, что ряд
обрывается и дает точное решение
t
x(t) = x(t) - J dtf [x(t), x(t')] F(tf). A)
Введем функцию Грина соотношением (8.1.10)
G(t, tf) = -0{t-tf) [x(t), x(t')) = Otb-t')^1 $mujQ{t-tf). B)
Тогда A) приобретает вид
x(t) = x(t)+1 dt'G(t, t')F{t').
to
Найдем уравнение, которому подчиняется функция Грина. Из B) по-
последовательно получим
^ = S(t - tf) [x(t), x(t')) - 0(t - t1) [5@, x(t')] =
= -±-O(t-t')[p(t),x(t')]1
ПОСКОЛЬКУ p = \p, Hq] = —171UJqX, TO
dt2 u m
8.2.5. Найти приближенное решение уравнения
2
X + ф = ^ XS.

8.2] Интегрирование уравнений движения 399
Решение. Система канонических уравнений с гамильтонианом
A)
эквивалентна исходному уравнению. Представим A) в виде Н = Но +
+ ДЯ, где Но = р2/2 + тио^х2/2. Решение уравнений, порождаемых
2/
x= — cosfcdnt + <p), V — — 21u)o sin
является КП ж, р —>> у?, /. Эволюция новых переменных определяется
гамильтонианом Н'(<р, /, £) = — (cjq/4!) ж4(<^, /, t). Полагая в (8.1.7)
z = х, eh = Н'\ получим
t
!(t) = S(t) + j
В И'
dh [x{t), xih)] -^
to
t
to to
j dt2 [x(t), x(h)] Ущ- [x{tx), x(t2)] 1^. + ... =
to
oo oo
dt2 G(t, h) ^ ж2(*!) G(tb t2) |f x\t2) + ... B)
Здесь G(t, t') — функция Грина (8.1.10). Поскольку ряд B) определяет
общее решение, то вклад интегралов на нижнем пределе t = to можно
не учитывать. После вычислений получим x(t) = x(t) + x^\
)
2 4!
3 1
+ - cos (wot + у?) - - cos 3 (о;0^ +
z 4
cos V + ^ B3 sin V - 3 sin
^ A38 cos ф - 39 cos 3^ + cos

400 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
где ф = ujot + р-
8.2.6. Найти приближенное решение уравнений движения заряжен-
заряженного анизотропного осциллятора с потенциальной энергией £/(х) =
= 17100^x^/2 в слабом однородном магнитном поле с индукцией В [104].
Решение. Гамильтониан осциллятора
представим в виде Н = Hq -f А Я,
Найдем вначале решение уравнений, порождаемых Яо,
2/
Xa = — COS (ujat + if(x)t Pa = — 2mIaUJa Sill (LJat + (fa).
TflUJ
Полагая в (8.1.7) z = жа, eh = H'(ip, /, £), получим
t
xa(t) = xa(t) + I dtl ([xa(t),
to
СП пропорциональные функциям Грина соответственно равны
[xa(t), xp(h)] = -(muJa^Sap sinuja(t - ti),
Ограничимся величинами ~ 5, тогда АЯ = — (
следовательно,
е /21пип\1/2
хос\Ч — ^а(^) + 7^73: £осипВ„[ — ) X
t
х
d£i (— sino;a(t - ti) sin(o;nti + <pn) —
J V^a
cosa;a(t - t\) cos(a;nti -f ipn)).
Вычисляя интеграл, получим
2/
COS (U)at + V?a)
771 u/
^^~ 2 П 2 Sin

8.3] Реакция системы на внешнее возмущение 401
где tt = (е/тс) В.
8.2.7. Электрон движется в электромагнитном поле, 4-потенциал
которого
Л0(х) = \ (x2 + y2-2z2), А(х) = f (-у, х, 0).
Найти решение уравнений движения при наличии переменного высо-
высокочастотного поля, 4-потенциал которого Ao(t, х) = —хЕ(£), A = 0.
Решение. Гамильтониан задачи Я(х, р, t) = Яо(х, р) -f eoxE(t)
содержит слагаемое Яо, определяющее движение электрона во внеш-
внешнем поле. Учитывая решение задачи 7.2.8, заключаем, что эволюция
<£, / определяется гамильтонианом Я'(у?, /, I) = еох(<^, /, t)E(t).
Из (8.1.7) находим, что ряд обрывается и дает точное решение
оо
xm{t) = xm(t) - е0 J dtf Gmn(t - tf) En(tf).
to
Здесь Gmn(t - tf) = -6(t - t1) [xm(t), xn(tf)] — функции Грина:
Gn(r) = (mA)~16(r) (sina;ir - sino;2T) = G^M?
Gi2(r) = (mA)~16(r) (cosujit — cosuj2t) = G2i(r),
Остальные элементы тензора Gmn(r) равны нулю.
8.3. Реакция системы на внешнее возмущение
8.3.1. Гамильтониан, описывающий некоторую систему частиц,
взаимодействующих с внешним полем
Я(ж, р, t) = Я0(ж, р) + Нг(х, р, t), Я1 = - Ва(х, р) Va(t).
При to —> — оо система находится в статистическом равновесии с из-
известной функцией распределения /)(ж0, Ро)? гДе жо = ж(^о)? Ро — р(^о)-
Найти приращение среднего значения произвольной динамической ве-
величины Аа(х, р), обусловленное взаимодействием системы с внешним
полем.
Решение. Обозначим координаты и импульсы единым символом
z = (ж, р). Пусть г = ^(^о? ^) ~~ решение уравнений, порож:даемых
гамильтонианом Hq(z). Среднее значение произвольной динамической
переменной Aa(z) в равновесном состоянии
(АаH = \dr'oAa(z(z'o, t)) Do(z'o), dT'o = d3x'o d3p'o.

402 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
Далее адиабатически включается взаимодействие, и среднее значе-
значение становится равным
r'0Aa(z(z', t))Do(z'o), A)
где z' = zf(zf0, t) — решение канонической системы с гамильтонианом
Hf = Hi(z(zf, £), t). Подставляя в A) выражение
t
Aa = Aa(z(zf0,t))+ J dt1[Aa(z(z'o,t)),Bp(z(z'o,t1))]Vfi(t1) + ...,
— оо
найденное по канонической теории возмущений (8.1.9), получим в ли-
линейном приближении
оо
t' G%B\
(Аа) = {АаH + | dt' G%B\t - t') Vp(t') + ..., B)
— OO
(t-t') = -6(t-t')([Aa(z(z'o,t)),Be(z(z'o,t'))]z,). C)
Здесь Gaa (t — tf) — запаздывающая двухвременная температурная
функция Грина. Соотношение B) для линейной реакции системы яв-
является формулой Кубо [105]. Выберем в качестве динамической пере-
переменной обобщенную энергию ро, равную значению гамильтониана на
фазовых траекториях. Поскольку ро = dfHi, то приращение
оо оо
— оо —оо
Др= | dt(dtH1) = - | Л1(Ва(г(*1))Ка(*1)>. D)
— ОО —ОО
Пусть (Ва)о = 0. Полагая в B) А = В и подставляя (Ва) в D), получим
оо
J dt2G(£B)(t1-t2)Va(t1)Vp(t2) + ... E)
—оо
Далее удобно перейти к спектральному представлению функции Грина:
£ ^„В)Н e-i("+i°K F)
Подставляя F) в E), получим
В) АВВ) ). G)

8.3] Реакция системы на внешнее возмущение 403
Для вычисления gaa \uj) представим среднее значение СП в виде
7Г
— оо
а(Ь), B0(t2)]) = -± | с1шя%В)(ш)е-^^\ (8)
Согласно определению наа (о;) — эрмитов тензор: к^ (о;) =
= х!а (^)- Используя фурье-представление ^-функции, вычислим
оо
интеграл J dr в (г) ехр {гиот) = i(uj -f гО). Теперь найдем
(9)
Это соотношение связывает тензор обобщенной восприимчивости
8осв У00) с его антиэрмитовой частью. Действительно, поскольку
Im (х + гО) = — тт5(х), то получим соотношение
"
(вв), ч 1 г (вв)( \ *(вв)
позволяющее представить G) в виде
ч 1 г (вв)( \ *(вв), м
оо
Дро = ^ J
Используемая здесь техника вычисления обобщенных восприимчиво-
стей применима лишь к слабонеравновесным состояниям, поскольку
ряд B) соответствует теории возмущений.
8.3.2. Система N трехмерных осцилляторов взаимодействует
с внешним электромагнитным полем. Найти в дипольном приближении
тензор диэлектрической проницаемости среды и приращение энергии
осцилляторов.
Решение. Гамильтониан системы невзаимодействующих осциллято-
осцилляторов н = но + ни
Пх = -е [dVqE(£, x'
а
Здесь р, R, тг, q — импульсы и координаты центра масс и /i — точки.
Решение уравнений с гамильтонианом Но: р = р',
R = R' + — t, qn= qn{s, I) exp [-i(sft)t - i(stp)]

404 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
является КП р, R, тг, q —> z1 = (р', R/, /n, ipn), (sft) = siWi -f
-f S2UJ2 + S3UJ31 (S(f) — 5iy?i + 52^2 + ^з^з- Для решения задачи введем
индукцию D(t, х) = Е + 4тгР [13]. Вектор электрической поляризации
системы
t, х) = <d(i, х, *')>> d = e q(i, <р
а
Полагая в (8.1.9) F = d(t, x, zf), eh = Hi, получим
d4x' I d4x" Gmne{?, П En(x') Es{x") + ..., A)
где x» = (t, x), £'" = (t - *', x - x'), e = (f ~ t", x' - x"), G -
температурные функции Грина:
(x, z% dn(x', z')]), B)
x ([[dm(x, z'), dn(x\ z')]ds(x", z')]} + {x1 +* x").
Отклик системы характеризуется линейной и нелинейной проницаемо-
стями. Эти величины вводятся следующим образом. Представим Е(ж)
в виде Е(ж) = Ке^2с(х\х)е~гкхХ, кх = uot — kx, c^x\x) — медленная
Л
функция координат и времени. Тогда, учитывая A), находим
2 л
Л, о-
Здесь тензор диэлектрической проницаемости егпп(к) связан с Фурье-
образом gmn(k) функции Грина Gmn(^) соотношением
£mn(k) = Smn H-47Tg-mn(/c), gmn(k) = I б/4^ Gmn(O ^ • C)
Нелинейная восприимчивость

8.3] Реакция системы на внешнее возмущение 405
Ограничимся вычислением тензора gmn(k). Поскольку dm — динами-
динамическая переменная аддитивного типа, то B) содержит одночастичную
функцию распределения
у /(р') F(I) = \dz'2 ... dz'N D0(*i, 4, • • •, z'N),
где V — объем, занимаемый системой. При усреднении по фазам в B)
удобно воспользоваться соотношением [106]
([А, В]) =- 4гА1Г- '
XL ' J/v> dla д<ра
Вычисляя среднее значение
([dm(x, z'), dn(x', z')]) = ie2 у | dV x
x | d3l /(p') F(I) Sa ^- 9m(e, 7)«,;(«, 7) exp [-»(
о (s)
получим
оо
д
a; - s^-
Если символ гО, задающий правила обхода полюсов, заменить величи-
величиной ij/2, то полюсы, gmn{k) в ниж:ней полуплоскости ио приобретают
реальный смысл: /у~1 является средним временем жизни начального
состояния.
Рассмотрим систему линейных осцилляторов: xn(s, I) = х^(—
— s, /) = 5Sj I (/„/2/ic^oI^2 Sni. Поскольку для линейных осцилляторов
подынтегральное выражение в D) не зависит от /, то
£rnn(k) = Smn\l-
Далее, вычисляя тензор
Г^з / /(р') 1
d6pf —2—-— JK**/ .
J w - (wo + kp /m) -\-iujjj

406 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
получим приращение энергии системы
оо
Де = —f dcjd3k>cmn(k)E^(k)En(k).
О7Г J
о
Таким образом, система линейных осцилляторов поглощает внешнее
излучение [107].
8.3.3. Частица, движущаяся в заданном электромагнитном поле,
взаимодействует с полем излучения. Найти скорость изменения полной
и обобщенной энергий.
Решение. Гамильтониан задачи
Я(х, р, t) = ± (р - е- Aext - е- АJ + еАТ + еА0,
где ;4^xt, A^ — 4-потенциалы внешнего поля и поля излучения. Полная
энергия
£ = ^- (р - - Aext - - А? +
2т \ с с )
Обобщенная энергия ро равна значению гамильтониана на траекториях
системы: ро = Я(х(^), р(£), t). Вычисляя СП, получим
S=^ + [S,H] = exE + e(dt А^ - \ xatAext),
mx = p--Aext--A, En = --dtAn-dnA0.
С С С
С другой стороны,
Ро = ^г = e(dtA^ - \ x9tAext) + e(dtA0 - \ х0*а) .
Заметим, что ро = £ + е dAo/dt.
8.3.4. Электроны движутся во внешнем постоянном поле, задава-
задаваемом 4-потенциалом Л^(х) = (Лдх1;(х), Aext(x)). Найти в дипольном
приближении приращение обобщенной энергии электронов, обуслов-
обусловленное взаимодействием с переменным электромагнитным полем, воз-
возбуждаемым в резонаторе.
Решение 1. В дипольном приближении 4-потенциал поля электро-
электромагнитной волны A^(t, х) = @, А(£)). Разложение поля по модам
резонатора дает
1 ^ + к.с). A)
Здесь Am — векторы, определяющие пространственную конфигура-
конфигурацию моды на частоте и)\. Предполагая, что поле излучения является

8.3] Реакция системы на внешнее возмущение 407
эргодическим [73], введем корреляционную функцию второго порядка
)е-^-г*\ B)
При лоренцевой форме распределения энергии моды w\ величина
(а;) имеет вид
= ^-wx [(„2 - а,2 J + с2тА-2] -\ C)
где т\ = 2Q\/lj\, Q\ — добротность резонатора. Гамильтониан систе-
N
мы электронов Н = ^ Яа(ха, ра, t),
а=1
Индекс «а» в дальнейшем опустим. Предположим, что при t = to —>•
—» — оо поле излучения отсутствует и система находится в состоя-
состоянии статистического равновесия. В момент времени to «включается»
взаимодействие с электромагнитным полем. Основной динамической
величиной, характеризующей взаимодействие частиц и поля, является
обобщенная энергия ро? равная значению гамильтониана Н на траек-
траекториях системы. Мощность, потребляемая системой электронов после
«включения» взаимодействия
Ро = -щ; = — x0t A, E)
а
тхп =Рп + ^ А%*{х) + ^ An(t).
Для определения Аро в рамках теории возмущений представим Н
в виде Н = Hq -f //"i,
Яо = i (Р + ? АеХ*
Я1= ^
Предположим, что известно решение уравнений х = х(х;, р', t), p =
= р(х', р', t), порож:даемых гамильтонианом Но. Произведем замену
переменных х, р —> х', р' в гамильтониане взаимодействия i/i(x, p, t),
получим функцию Я((х', р', t), определяющую эволюцию штрихован-
штрихованных переменных. Следуя канонической теории возмущений, получим
t
Ро(О = P(o\t) + J dh [p(°\t), Н?О\Ь)] +... F)
to

408 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
Индекс «0» означает, что динамические переменные взяты в момент
t = to, причем Хт (t) = Vm (x0, р0, t). Подставляя E) в F) и усредняя
Аро по начальному распределению фазовых координат и возможным
реализациям поля излучения B), найдем приращение энергии электро-
электронов:
t оо t ti
(Ар0) = Q dt'po(t')} = 2iriel I duo Гх(и) j dtx | dt2 x
* Л
Поскольку после усреднения СП зависят только от разности t\ — £2, то
удобно ввести, как и ранее, двухвременную температурную функцию
Грина
Gx(h-t2) = -9{tx - t2) <[MA(*i), МЦЩ), G)
a
Переходя к пределам to —> — cxd, t -^> cxd, найдем мощность, потребляе-
потребляемую системой электронов:
I rfa; Гл(а;)
л 0
оо
dTGx(T)e^+i0K (9)
Решение 2. В некоторых случаях величину Apo/At удобно пред-
представить в терминах дипольного момента системы. С этой целью произ-
произведем КП х, р —»• q, тг: х = q, р = тг + (е/с) A(t), порождаемое ПФ
^(х, тг, t) = Х}(Х7Г "^ (еа/с) х A(t)). В новых переменных гамильто-
a
ниан D) приобретает вид
На = 2^: Ьа ~ ^ АеХ*(х«)] + е« ^oxt(xa) - eaxa E(t), A0)
где Е = — A/c) (dA/dt). Далее представим A0) в виде Н = Яо + Ri,
= -e0 xe.

8.3] Реакция системы на внешнее возмущение 409
Мощность, потребляемая системой, определяется уравнением ро =
= dH/dt = — dE(t). Вычисляя dm{i) согласно теории возмущений
(8.1.9)
t
dm(t) = d%>(t) - J dt2
to
получим среднее значение
t oo
(Дро> = - } dh | dt2 Gtl\h - t2) (£?m(ti
to t0
Здесь мы ввели двухвременную функцию Грина
Gtn\h - h) = -6(tl - t2)([d^(tl),
После усреднения по распределениям частиц и полей разонатора полу-
получим среднюю мощность, потребляемую системой,
И, A1)
где g^ (о;) — фурье-образ функции
iV t1), N*x(t2)]),
Заметим, что фурье-образ функции Грина Gmn (т) связан с тензором
диэлектрической проницаемости соотношением
где по — концентрация электронов.
8.3.5. Спонтанное и индуцированное излучение классиче-
классических систем. Если ускорение заряженной частицы не равно нулю,
то из решения уравнений Максвелла с заданным током можно найти
интенсивность спонтанного (от лат. spontaneus — самопроизвольный)
излучения электромагнитных волн. Для того чтобы учесть эффек-
эффекты взаимодействия частиц с полем, и найти, в частности, интенсив-
интенсивность индуцированного излучения, необходимо рассматривать частицы
и электромагнитное поле как единую систему.
В регулярной электродинамической структуре, стенки которой сов-
совпадают с поверхностями криволинейной ортогональной системы коор-
координат, можно возбудить счетное число собственных волн, отличающих-
отличающихся пространственной конфигурацией электромагнитного поля и соб-
собственными частотами [13, 75, 102, 141]. Различные типы волн называют

410 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
модами. 4-потенциал поля излучения <p(t, x) = Ao(t, х), А(£, x) можно
представить в терминах однокомпонентных потенциалов Герца
и W^m\ описывающих два типа волн [141]:
A0(t, х) = div W(e), A(t, х) = -^^- + rot W(m).
Потенциалы Герца удовлетворяют однородным волновым уравнени-
уравнениям, которые следуют из уравнений Максвелла в отсутствии токов,
и граничным условиям. Эволюция системы частицы-поле определя-
определяется решением самосогласованных уравнений движения и уравнений
Максвелла.
Рассмотрим следующую задачу: найти приращение энергии поля
при движении электронов в резонаторе в постоянных полях, задавае-
задаваемых потенциалами ловушки Пеннинга (см. задачу 7.2.8)
Решение. Если разложить потенциалы по собственным функциям
однородных уравнений, то гамильтониан системы можно представить
в виде суммы гамильтонианов частиц, поля и взаимодействия частиц
с полем:
#tot = Hp(q) + Hf + #i(<7, ak, a*k).
Гамильтониан электромагнитного поля
Hf = ujnana^.
(n)
Здесь q — совокупность канонических координат частиц, ап — коэф-
коэффициенты разложения потенциалов по собственным функциям, к —
набор собственных чисел. Переменные а&, mj£ играют роль канониче-
канонических координат и импульсов, фундаментальные СП [аш, га*] = 5тп.
Каноническое преобразование dk, a*, —> Ck, с*,: а^ = Ck exp(-i)
порож:даемое производящей функцией
F2(a, гс*, t)=i <aneiWwt,
п
исключает Hf из полного гамильтониана. Новый гамильтониан
Я = Hp(q) + Hx(q, ск exp(-iu)kt), ck exp(iu)kt)).
Отметим, что в квантовой электродинамике координате а соответству-
соответствует оператор уничтожения фотона, координате а* — оператор рождения
фотона.
Подставляя в (8.1.9) любую динамическую переменную F, получим
решение канонических уравнений в виде ряда. Отметим, что гамиль-
гамильтониан Н не описывает непосредственно кулоновское взаимодействие.

8.3]
Реакция системы на внешнее возмущение
411
Рис. 8.3.5
Однако ряд теории возмущений содержит
члены ~ е2, е4, .. ., соответствующие куло-
новскому взаимодействию во всех порядках
по е2 — как и в квантовой электродинамике,
взаимодействие частиц реализуется «вирту-
«виртуальным» электромагнитным полем.
При взаимодействии частицы с полем ре-
резонатора возможено индуцированное погло-
поглощение или излучение, которое принципиаль-
принципиально отличается от спонтанного излучения —
направление распространения, поляризация,
частота и фаза излучаемой волны полностью
тождественны характеристикам волны резо-
резонатора.
Для генерации вынужденного высокочастотного излучения исполь-
используют пучок электронов, движущийся в резонаторе во внешнем электро-
электромагнитном поле. Найдем мощность излучения электронов в модифици-
модифицированной ловушке Пеннинга, в которой поверхность бокового электро-
электрода гофрирована (от фр. gaufrer — складчатая поверхность) и разделяет
р пар резонаторов. Сечение поверхности в виде гофры изображено на
рис. 8.3.5. В этой периодической структуре могут распространяться
медленные волны, эффективно взаимодействующие с электронами.
Рассмотрим излучение «магнитной» волны, длина которой Л значи-
значительно больше расстояния между резонаторами. В этом случае потен-
потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. В цилиндрических координа-
координатах г, 0, z, потенциал Герца W^m^ = (О, О, W), скалярый и векторный
потенциалы
A0(t, r, 0, z) = 0, Ar = - -^-
В резонаторах образуются стоячие волны. В одномодовом приближе-
приближении частное решение волнового уравнения в области 0 ^ г ^ R
представляет собой медленную стоячую волну частоты о;, поджатую
к поверхности г = R:
W ~ Re
= | (^)Р sin (рв) sin [^ (* + Я)].
Здесь опущен множитель, учитывающий угловые размеры резонато-
резонаторов.
Ограничимся рассмотрением случая плоского движения электронов
в области z <С Я, полагая / « (R/p)(r/R)p sin(p#). Далее удобно
перейти к декартовым компонентам
Ах = Ar cos в — Ав sin в, Ау = Ar sin в + Aq cos 0,

412 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
и представить вектор-потенциал в виде
Ax{t,r,O)= ^ [c>lW(r> 9)e-iut+K.c], A)
Ay(t, г,в)= ^ [сА^\г, в) е--* + к. с],
= (i) cos [(р ~1)в^ А»т) = - (i) sin [(р ~1} 0] •
B)
Постоянная V, представляющая собой эффективный объем резонато-
резонатора, определяется из условия нормировки
Угловые скобки обозначают усреднение по времени; область интегри-
интегрирования ограничена рабочим объемом резонатора.
Энергия электромагнитного поля
Ро = ис*с. C)
Переменные с, г с* играют роль канонических координат и импульсов,
фундаментальные СП [с, гс*] = 1. Гамильтониан, описывающий эво-
эволюцию системы N электронов и поля
N
н= 27"|
а=1
— во |_ty^eX (ха) ~1~ ^4о(^? ха)| •
Здесь Лдх1(х)? Aext(x) — потенциалы статического поля ловушки. По-
Потенциалы поля излучения будем искать в виде A), предполагая, что
коэффициенты с, с* зависят от времени.
Найдем приращение энергии поля Ро в рамках канонической теории
возмущений. Для этого представим гамильтониан Н в виде Н = Но +
N
Но = ——
а=1
N во
h = 2J — va A(t, xa)
a=l C
mva = pa + eo Aext(xa). Решение уравнений, порождаемых гамильто-
гамильтонианом Яо, представляет собой КП х = x(t, х', р'), р = p(t, х', р'),
которое позволяет исключить вклад Но в полный гамильтониан Н.

8.3] Реакция системы на внешнее возмущение 413
В результате КП, приведенного в задаче 7.2.8, х, р -> х', р' -> (рп,
/п, новый гамильтониан /г'(£, с, с*, (рп, 1п) представляет собой функ-
функцию /г, в которой следует произвести замену переменных. Эволюция
полевых и новых переменных определяется гамильтонианом
N
h1 с~: рл (о А/Т * f>~luJt _|_ ts г \ А/Т * — \г А ^гп^ (V /? ^
^ а=1
Энергия поля излучения. Полагая в (8.1.9) F = Ро, h = Ы и огра-
ограничиваясь величинами ~ е^, получим
t t ti
АРо = [ dtx [Po, ft7(ti)] + f rf*i f dt2 [[Po, ft'(*i)] fe/(*2)] + • • • D)
[Po, /г'(^1)] = —iuok M(t\) с*егш 1 H- к. с,
[[Po, h'ih)] h'(t2)] = Ljk2{M(h) M*{t2) -
- i [Af(ti), M*(t2)] cc*} eiw^-^ + к. с,
где k = eoB7r/wVI/2.
Мож:но устранить ограничение области интегрирования, используя
соотношения
t ti t t
\dt! \dt2 (T(ti)T*(t2) + K. c.) = [ dti \dt2 ReT(ti)T*(t2),
to to to to
t tl t t
I dti I dt2 ([T(h), T*(t2)} - к. с.) = г J dtj | di2 Im [Т(^), T*(t2)].
to *o *o *o
E)
Отметим, что СП вычисляются по значениям переменных при t =
= to. Для сопоставления с экпериментальными данными необходимо
усреднить D) по начальному распределению электронов и возможным
реализациям поля излучения A). В результате усреднения приращение
энергии поля D) приобретает вид
(АРо) = ^ | Мг | dt2 {Re
to t0
Поскольку результат усреднения квадратичных величин зависит толь-
только от разности координат t\ — £2, то можно ввести двухвременные

414 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
функции Грина
Giih - t2) = -0(*i - t2) ([M{h), M*{t2)]),
F)
G.(h -12) = efa -12) (M(tt) M*{t2)).
Статистические свойства электромагнитного поля резонатора характе-
характеризуются корреляционной функцией J{uj) = (ее*) [73].
Переходя к переменным t\^ — £±т/2, получим среднюю мощность
излучения в виде
Цр ), G)
gi,.{w)= | dTG4,e(T)ei(w+teK (8)
Величина е —* 0 введена для того, чтобы полюсы gi^s(uj) соответствова-
соответствовали запаздывающей функции Грина. Первое слагаемое в G) — мощность
спонтанного излучения, второе — мощность вынужденного излучения
или поглощения.
Вычислим теперь фурье-образы (8) функций Gs(r) и Gi{r) F).
Предварительно отметим, что согласно B),
R
vA(m) = Re (i + iy) (А)™* - iA^}) = Re (i + iy)
Для упрощения вычислений зададим начальные условия, при которых
12^> 1\- Тогда, подставляя х и у из решения задачи 7.2.8, получим
С [T2i exp (—i
s
+ T22 exp (-isLJ22t +
2 W2 _ p/2
Здесь коэффициенты n22 = P, ^21 = (p — 1), пц = 1; индекс
принимает значения ±1.
Среднее по фазам произведение в F)
п2 -is

8.3] Реакция системы на внешнее возмущение 415
Согласно определению СП
,А в1_ д (Адв\ д (АдВ\
Учитывая периодичность А и В по угловым переменным, имеем [106]
Следовательно, среднее по фазам СП
<[M(t!) M*(t2)]) = -iNC2 s(nlk A - n2k
Используя фурье-представление тэта-функции
0(r)= ]dt6(t)e =
_оо
получим из F), (8)
Th
После вычисления суммы по индексу s имеем
(nlk A - n2k A) Т2\ , (9)
2
00 — Ш2к
Для того чтобы учесть эффекты, обусловленные столкновениями
электронов с молекулами воздуха в резонаторе, необходимо усреднять
F) с функцией распределения по «времени жизни» электрона. Эта
операция соответствует замене е конечной величиной 7/2, где /у~1 —
среднее время жизни электрона. В результате получим необходимые
для вычисления мощности излучения F) соотношения
Im , I ,. = -, , 27" „, (Ю)
Re-

416 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
Теперь, учитывая A0), окончательно получим мощность спонтанного
W) =
и вынужденного излучения
2тте0
-nlk frr + n2k-?гг) т-2 ттт—7—^2 • A1)
Cii oi2/ (lj — ш2к) + (т^)
Мы приходим к выводу, что в резонаторе реализуется мазерный
эффект — возникает индуцированное излучение на частоте о;22 =
мощность которого
dt = ^Г
Л2 — B/2/ттгАI/2. Излучение частоты a;2i = (р — 1) Ш2 + c^i погло-
поглощается при условии (р — 1J/2 ^> /i. В случае гладкого резонатора
(р = 1) вынужденное излучение на частоте о;2 рассмотрено в рамках
классической и квантовой теорий [19, 108]. Отметим, что при условии
^2 возникает индуцированное излучение на частоте lj 12 = (р —
) 2 2
Подставляя F = xa(t), ya(t) (a = 1, 2, . .. , N) в (8.1.9), полу-
получим решение уравнений движения в виде ряда, содержащего вклады
кулоновского взаимодействия электронов пучка и электронов с полем
резонатора.
8.4. Гамильтонова теория специальных функций
8.4.1. Представить уравнение
в лагранжевой и гамильтоновой формах.
Решение. Умножая уравнение на неопределенный множитель
наложим условие d(XA)/dt = \B, учитывая которое, получим
d , ч dq 1 / \
_т(т)_ = _А;(т),д,
тп(т) = ХА, k(r) = XC, A =
Следовательно, лагранжиан [109]

8.4] Гамильтонова теория специальных функций 417
описывает в терминах механики движение частицы переменной массы,
связанной с пружиной переменной жесткости. Вводя импульс тг =
= т dq/dr, получим гамильтониан
тг2
В частности, для вырожденной гипергеометрической функции q =
= Ф(а, с, t): А = г, В = с - г, С = -а, Л = е~ггс-1, т = rce~r,
к = —атс~1е~Т. Эта функция играет большую роль в физических
задачах. Различным значениям параметров соответствуют полиномы
Эрмита, Лагерра, функции Бесселя и т.д.
8.4.2. Произвести замену независимой переменной г —> t: т = r(t).
Найти новый гамильтониан и уравнения движения. Рассмотреть слу-
случай т = t~\
Решение. Производя в функционале
замену Q = g(r(t)), P = тг(т(£)), г = т(£), найдем новый гамильтониан
ВД, Р, t) = fh(q, тг, т)|т=т(|)= ±Р2 + \ *Q2,
где M(t) = тт'1, н{г) = кт. Канонические уравнения
Q = [Q, R] = М-1 Р, Р = [Р, Q] = -xQ. A)
Замена т — t~x используется для исследования решений в окрестности
бесконечно удаленной точки. В этом случае система A) эквивалентна
уравнению
Вычисление х, М существенно упрощается, если преобразование т —> t
задано в дифференциальной форме т = /(т).
8.4.3. Произвести КП Q, Р -> х, р, порождаемое ПФ
Решение. Из G.1.2) находим
^(^) A)

418 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
Новый гамильтониан
Функцию VK(£) можно представить в виде W(i) = A/2) {М, t} +
/М, где {G, £} — производная в смысле Шварца [110]:
Канонические уравнения х = р, р = — W(t) x эквивалентны уравнению
х + W(t) х = 0, не содержащему первой производной функции х.
Замена A) является обобщением преобразования Уиттекера. Полагая
т = 1, находим Q(t) = q(t), P{t) = тф), M(t) = m(t), n{t) =
1 Г , В ( В \ 1 Г , E
H2j4' V 2A J H 2j A
2 dt A 4\AJ A'
В частности, для вырожденной гипергеометрической функции
(с~2)с
Приведем также другую форму замены, полагая т = t2, т. е. f = 2-у/т .
В этом случае
д = ф(», с, B) = Vie'''2*
8.4.4. Найти преобразование Уиттекера цилиндрических функций.
Решение. Цилиндрические функции q = Zu{gr) удовлетворяют
уравнению
d q I dq
dr2 r dr

8.4] Гамильтонова теория специальных функций 419
В обозначениях задачи 8.4.1 А = 1, В = 1/т, С = g2 — v2/т2, Х = т.
Полагая т = t, получим замену
8.4.5. Найти решение уравнения q + (b/t) q + (c/t2) q = 0, для
которого t = 0 является регулярной особой (или правильной) точкой
[109].
Решение. После КП Уиттекера
получим гамильтониан
Решение уравнений
ж = [ж, Н] = р, р = [р, Н] = —2 ;
является КП ж, р —»• ж', р':
ж = u1(t) х1 + г/2(*) р', р = ui(t) ж' + Щ
где Ui(t), u2(t) — два линейно независимых решения.
A. 4fc < 1. В этом случае
= a~1/2tx\ u2 =
Б. 4k > 1.
ti2 = (fe - i)"VV/2 sin ( fc-i lnt).
B. 4fc = 1. В этом случае ui = уД, и2 = \[t In t.
8.4.6. Найти решение уравнения ж + VK(t) ж = 0, где
4+ /(*), *<l/4, /(t)=
* n=l

420 Каноническая теория возмущений [Гл. 8
Решение. Функция W(t) удовлетворяет условию Фукса. Поэтому
необходимо представить гамильтониан в виде
H = H0 + h, Н0 = \р2 + ^х\ h=\f(t)x2.
Решение уравнения, порождаемого гамильтонианом //о, является КП:
х = ui(t)x' + u2(t)p', р = ui(t) х' + u2{t) pf,
Vo~ y
Гамильтониан, определяющий эволюцию штрихованных переменных
Полагая в (8.1.7) z^ = ж, z^ = х(х'о, pf0, t), получим решение исходного
уравнения
t
x(t) = x(t) - J dh g(t,
где x{i) = ui(*)a?'o + u2(t) p'o, g(ta, tb) = [x(ta) x(tb)]x,pf =
- (I/a) (t^t*1 - txa4l2). Отметим, что G(t, t') = -0(t - t') g(t, t') -
функция Грина уравнения первого приближения
G + ^G 8
Ряд (8.1.7) содерж:ит интегралы вида
о
В результате интегрирования находим
х =
,т-\-п
где Di(m) = m BAi + т — 1). Второе линейно независимое решение
следует после замены индексов 1 —> 2.

8.4] Гамилыпонова теория специальных функций 421
Пусть f(t) = /З2, к = 1/4 — и2. Тогда решениями исходного уравне-
уравнения являются функции Бесселя x(t) = л/t J^(
В этом случае Л2, i = 1/2 ±
Следовательно, ^(/3*) = (/3/2)^ Bz//tI/2 ГA + г/) e2{t).
8.4.7. Преобразование Лиувилля—Грина [110]. Произвести КП
гамильтониана Н = р2/2 + w(t) ж2/2, порож:даемое ПФ
Ответ.
t
x= 2pf w~1/4 sin (x1 +
1 + f
1/4 cos fж' + f yfw dtj,
H'(xf, pf, t) = ^
8.4.8. Преобразование Прюфера [109]. Произвести КП га-
гамильтониана Н(х, р, t) = p2/[2m(t)] + k(t)x2/2, порож:даемое ПФ
Fi(ar, ж', t) = (l/2)x2ctgx'.
Решение. В новых переменных ж = д/Зр7 sin ж', р = л/2р' cos ж'
гамильтониан
Н'(х', р', t) = р'{- cos2^' + к sin2^').
Важ:ность преобразования связана с тем, что уравнение
х' = [ж', Я7], xf = - cosV + к sinV
т
не содержит функции р', которая определяется с помощью простой
квадратуры из уравнения р1 = р1 (т'1 — к) 8т2ж'. В терминах меха-
механики р', х' являются переменными действие-угол.

422 Каноническая теория возмущений [ Гл. 8
8.4.9. Произвести КП гамильтониана Н — р2 /2 + w(t) ж2/2, поро-
порождаемое ПФ F2(x, p') = х2р'/2.
Решение. Из G.1.2) следует ж = \/2х', р = p'V2xf, //'(ж', р', t) =
= х1 (р/2 -\- w(t)). Уравнения Гамильтона
х' = [х1, Н'} = 2х'р', р' = [р1, Н'} = -р'2 - w(t).
Новый импульс р' = р/х = х/х — логарифмическая производная
функции ж, удовлетворяет уравнению Риккати.
8.4.10. Найти решение уравнения Эйри х — tx = 0.
Решение. Гамильтониан задачи
Н(х, p,t) = £-\ x\
Полагая в (8.1.7) z = ж, eh = Н, получим
х = х' + p't + х' 113 + р' | tA + ж' 116 + • • • = tii @ ж' + u2(£) р7. A)
Здесь ui(t), u2(t) — два линейно независимых решения, которые могут
быть представлены в терминах функций Макдональда [111]:
Аналогичным путем найдем р = й\х' + u<iV>'• Решение A) является КП
ж, р —> ж', р'. Действительно, поскольку ui@) = ^2@) = 1, ui@) =
= ^2@) = 0, то фундаментальная СП [ж, р] = u\U2 — U2U1 = 1. Заме-
Заметим, что в теории дифференциальных уравнений решение A) следует
в результате громоздкой процедуры с использованием рекуррентных
соотношений для коэффициентов разложения по степеням t. Другая
пара решений может быть получена линейным КП
Подставляя B) в A), получим ж = Ф(£) х" + (p(t) p". Здесь
оо
ds cos
0

Глава 9
РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ
УСРЕДНЕНИЯ
9.1. Введение
Пусть гамильтониан H(z, t) = Ho(z) + AH(z, t). Произведем КП
z = z(z!, £), которое исключает Hq из полного гамильтониана. Но-
Новый гамильтониан е h(z', i) = AH(z(zf, £), t), где е — неотрицатель-
неотрицательный параметр, введение которого — удобный прием, позволяющий
построить КП, обладающее заданными свойствами. Произведем теперь
преобразование к медленным переменным. С этой целью построим
произвольное преобразование z' — zf(u, t, e) к переменным иа =
= (д, тг), порождаемое некоторой функцией eW(z', £, e), играющей
роль гамильтониана: z^ = [z'^, eW(zf, t, e)], причем z'^to) = u^.
Потребуем, чтобы новые переменные удовлетворяли системе уравнений
йм= [и^еК(и, е)], (9.1.1)
поскольку функцию eW(z', t, e) мож:но выбрать так, чтобы гамильто-
гамильтониан
еК[и, е) = eAh(z'(u, t, e), t, e), (9.1.2)
Ah(z', t, e) = h(zf, t) - W(z', t, e),
не зависел от времени. Из B) следует, что неопределенная пока функ-
функция eW(zf, t, е) должна иметь вид е W = eS(zf, £, е) + eC(z', e).
Для определения составляющих eS(zf, t, e), eC(zf, e) явно и неяв-
неявно зависящих от времени, наложим два условия. 1) Составляющая
S компенсирует зависящую явно от времени часть гамильтониана
£ A/i(z'(u, £, е), £, е) и одновременно дает вклад в замену z' —> и. 2)
Составляющая С дает вклад в гамильтониан е К (и, е) и одновременно
компенсирует в замене z' —у и, не зависящие явно от времени состав-
составляющие, которые привели бы к возникновению секулярных членов.
В этом — основной принцип интегрирования методом усреднения.
Для определения функций S и С необходимо произвести замену
z1 —У и в гамильтониане е h(z'', t) pi в функции eW(zf, t, e), которая
неизвестна и в то же время определяет искомую замену. Эта нереальная
на первый взгляд процедура осуществляется соотношением (8.1.9).

424 Решение канонических систем методом усреднения [ Гл. 9
Искомое КП имеет вид [1]:
za = ua+e[ua, Vh] + e2v([ua[Mh, Vh]] + [[«„, Vh]Vh]) + ...,
(9.1.3)
2 3
eK(u, e) = M(sh+^- [Vh, Vh] + у [[VA, VA] Vh] + ...), (9.1.4)
где /г = h(u, t). Здесь символ М обозначает операцию выделения
функции, не зависящей явно от времени, V f = / — М f — переменная
_ t
составляющая /, Vf = J dtVf. Следует отметить, что оператор М
вводится лишь для того, чтобы исключить появление секулярных чле-
членов, ухудшающих сходимость решения C). Поэтому предложенный
метод интегрирования можно использовать для произвольных гамиль-
гамильтонианов Ho(z, t): функции za = za(zf, t) могут соответствовать апе-
апериодическим степеням свободы.
Пример. Линейное сингулярно-возмущенное уравнение
ev + b(t) v + c(t) v = 0, е < 1.
Полагая v = х ехр (—у?), <р = J k dt, к = Ь/2е, находим, что x(t)
удовлетворяет каноническим уравнениям с гамильтонианом
Щх, p,t) = \P2 + l w(t) x2, w(t) = -k2-k + -s.
Произведем теперь КП
(aj'e^-p'e-*>), p= \(x'e*+p'e-*),
порож:даемое ПФ
F2(x, pf, t) = ^ [kx2 + 2л/2* е-*хр' + е~2^р/2].
Новый гамильтониан
eh = lb (с - ft) е-2^'2 + ^ (ft - 2с) жV + ^ е2^'2
Перейдем к медленным координатам ж', р' —> q, тг. Пусть действие
оператора М приводит к исключению экспоненциальных функций е±(р:
Meh =^-(b- 2c) qn.
Интегрируя по частям, находим
Veh = е [^ е2^2 - ^ (с - 6) е^2] + о{е2).

9.2] Квадратичные системы 425
Учитывая значение СП [д2, тг2] = 4дтг, получим
М [Veh, Veh] = —1 (с - 6) дтг.
о
Из C), D) следует искомая замена
х = q ^ {с — b) е~~2</?тг + . . . , р = тг — е —% e2(pq + . . .
6 b
и гамильтониан, определяющий эволюцию медленных переменных,
Теперь найдем решение системы (9.1.1)
t
q = g0em61/2, тг = тгое^Ь'1^ т = \ dt s(t).
Решение исходного уравнения
Приближ:енное и точное решения асимптотически близки на интервале
\At\ rsj s~x (см. такж:е задачу 10.5.1).
9.2. Квадратичные системы
9.2.1. Параметрический резонанс. Найти решение уравнения
осциллятора с переменной частотой
z + (о;2, + к cos о;*) 2 = 0, A)
где к < о;2, о; « 2о;0.
Решение. Замена переменных a;t = 2s, x(s) = zBs/lj), ц =
— Ba;0/a;J, и = 2к/ш2 преобразует A) к стандартной форме урав-
уравнения Матье [131,139, 140]
^4 + (М + 2i/ cos 2s) x = 0. B)
Гамильтониан, приводящий к уравнению Матье
Я(ж, р, s) = - р2 + - (/i + 2i/ cos 2s) ж2.
Произведем КП ж, р —>> а, га*:

426 Решение канонических систем методом усреднения [ Гл. 9
и для нахождения приближенного решения в области ц ~ 1 представим
гамильтониан в виде Н = Но + Hi,
Hq = A + и cos 2s) aa*,
АН = i (// - 1) аа* + i (/i - 1 + 2i/ cos 2s) (a2 + a*2).
Отметим, что СП [a, a*] = —г. Решение уравнений а = [а, Но],
— = — г A + г/ cos 2s) a,
порож:даемых гамильтонианом Но
а = А ехр ( —is — г — sin 2s j,
представляет собой КП к переменным а, га* —у A, iA*.
Учитывая соотношения, следующие из теории функций Бесселя [5]
ею
ехр(-гг/ sin2s) = Jn{v) ехр(-2ггг$),
п= — оо
г d
cos 2s ехр[-гг/ sin 2s] = — — ехр (-гг/ sin 2s),
запишем гамильтониан АН в новых переменных
е h'{A, iA\ s) = i Jn(i/) (/i - 1 + 2n) ехр [-2г (n + 1) s] Л2 +
В первом приближ:ении метода усреднения вклад в сумму дают слага-
слагаемые с п = —1. Поскольку J_i(z/) = —Ji[y), то
eK = SAA* + la(A2 + A*2), C)
S = (/i — 1)/2, <т = C — /i) Ji(i/)/2. Отметим, что при значениях г/ ^С 1,
J, И = (^/2)(l-^2/8 + ...)•
Найдем решение уравнений, порождаемых гамильтонианом C).
С этой целью произведем вначале КП Л, г А* —> q, тг: А = (q + ш)/у/2,
где д, тг — координата и импульс. Это преобразование приводит C)
к гамильтониану гармонического осциллятора
£^=1 [($-<,Or2 + (J + *)G2]. D)

9.2] Квадратичные системы 427
На этом этапе решение B)
x(s) — q cos 7 + тг sin 7, 7 = s + т; sin 2s. E)
Медленные переменные удовлетворяют уравнениям
% = (б-*)«, % = -(* + *)*. F)
А. Пусть S2 < а2. В этом случае система F) имеет два собственных
вектора
11 11 G + 8
U
соответствующих собственным значениям Ai?2 = =Ь^, ^ = (&2 — S2I/2.
Каноническое преобразование д, тг —>> qf, тг':
приводит гамильтониан D) к диагональной форме sNf = rnr'q'. Сле-
Следовательно, qf = go exp(ns), тг' = ttq exp (—ns). Полагая A/rI/2 =
= Bcr/nI/2 cos a, (rI/2 = Bcr/nI/2 sin a, получим экспоненциально
возрастающее решение E):
ж = — [exp (ras) cos G + a) go + exp (—ns) sin G — a) тго].
В. Пусть б2 > а2. Собственные векторы системы E)
соответствуют собственным значениям Ai52 = =Ь^Ао, Ло = (S2 — сг2I/2.
Каноническое преобразование
приводит гамильтониан D) к диагональной форме eN' = Лосе*. Сле-
Следовательно, с = со ехр (—гАо$). В этом случае решение уравнения B)
ограничено.
Следовательно, условие |/i — 1| = | C — /i) J\ A/) | задает на плоскости
ци границы областей, разделяющих в окрестности /i ~ 1 устойчивые
и неустойчивые решения. В теории уравнения Матье установлено, что

428
Решение канонических систем методом усреднения
[Гл.9
каждой точке в заштрихованной обла-
области на рис. 9.2.1 соответствуют ограни-
ограниченные решения уравнения B). Гранич-
Граничные кривые пересекают ось ji при значе-
значениях ji = 1, 4, 9, ...
В поставленной задаче A) и <С 1,
jj C - ji) J\(v) ~ у. В обозначениях урав-
уравнения A) неустойчивое, экспоненциаль-
экспоненциально возрастающее решение реализуется
при условии \lo — 2сс?о| < k/2u)Q. Это яв-
явление называют параметрическим резо-
резонансом.
9.2.2. Параметрический резонанс в магнитном поле. За-
Заряд движется в переменном магнитном поле, задаваемом вектор-
потенциалом А(£, х) = (В/2)f(t) (—у, ж, 0), f(t) = 1 — k coso;t, k <^ 1.
Найти решение уравнений движения при uj ~ £1 = еВ/тс [83].
Решение. После замены переменных х, у —> и, и*:
Рис. 9.2.1
t
= x + iy = \flu ехр(-гр), У = тт dtf(t),
A)
соответствующей переходу в систему координат, вращающуюся с угло-
угловой скоростью <p(t), лагранжиан приобретает вид
г 771/..
L = — (ж_ж
4г
• * • 1 -2 /^ Л2 *
= ти и + - mz — га( — / 1 и и.
Определяя импульсы
дй
дЬ
v = ^r=mu^ v'=-^=mui P3 = ^x = mi, B)
д±
получим гамильтониан
-v*
m
2^UU+2^
Произведем далее КП и, и*, z, v, v*, рз —> и', и*', z', vf', v*', pf3:
(M'cosf+v*'sinf)' ^=/+S*'
и =
C)
v = — {-u sin — + v cos у

9.2] Квадратичные системы 429
Новый гамильтониан
Я' = 2[8 + £ (/2 - 1)] [|u'|2 cos2^ + \v'\2 sin2^ +
^(u'v' + u*'v*') sinwij,
где S = (ft2 — w2)/4w. Перейдем к медленным переменным и', v' —> q,
тг. В первом приближении метода усреднения
eK(q, тг) = 5(\п\2 + \q\2) + а{\ж\2 - \q\2), D)
а = k ft2/4a;. Рассмотрим два случая.
А. Движение в области неустойчивости \5\ < а. Используя КП д,
E)
г = n (J + сг), п = а2 — б2 ,
приведем гамильтониан D) к диагональной форме еК' = —п (тг'д' +
+ тг*'^*'). Решение канонических уравнений qf = qoe~nt, тг' = TToent.
Рассмотрим движ:ение при точном резонансе E = 0). Тогда из A)-C),
E) находим
_nt
(i-nt + ^71*) ^
(iqoe + тг^е) ехр ^-г - t - г<£ - г ^
При га£ ^ 1 частица периодически приходит в окрестность начала
координат. Пусть ж+@) = р, ж+@) = 0. Тогда кинетическая энер-
энергия частицы A/2) mft2p2 sh2nt. Рассмотренная система молсет быть
использована в качестве ускорителя ионов [112].
Б. Движение в области устойчивости \5\ > сг. Используя КП
l^-iflV), * = ±
приведем гамильтониан D) к диагональной форме еК' = i\ (тг*'д*' +
+ тг'д'). Решение канонических уравнений qf = qoelXt, тг' = тгое~гА*.
9.2.3. Гамильтониан электрона, движущегося в скрещенном поле
(см. задачу 7.2.8) и взаимодействующего с электромагнитной волной,
можно представить в виде Н = Hq + i/1?
Яо = LJih — W2I2 + ^з^з + ^^5 Hi = pi — 4a IIn cosipn

430 Решение канонических систем методом усреднения [ Гл. 9
Последнее слагаемое в гамильтониане — гамильтониан электромагнит-
электромагнитного поля (см. задачу 8.3.5). Найти /2(^M I(t), предполагая, что uj ~ uj2.
Решение. Решение уравнений с гамильтонианом Но: 1п — рп, фг^з =
= ^1,3 + ^1,3^? Ф2 = (P2 — u2t, I = р,ф = (p+Lut. В первом приближении
метода усреднения
еК = /Зр — 2а^/рр2 cos [(uj — uj2) t + (p + ^2] •
Произведем КП (р = (pf — E — /3)t, (p2 = Ф2 ~ ^? P = P*-> P2 = P21
порождаемое ПФ F2 = p' [(S —/3) t + cp] +pf2 Et + (p2)i где 26 = uj — uj2 +
+ /3- Заметим, что преобразование описывает сдвиг частот колебаний
поля и электрона. Новый гамильтониан
еК' = -2а p'pf2 cos (<р' + <р'2) + 6(р' + Р2)
не содерж:ит явно времени. Переходя к комплексным координатам а\ =
= л/р* e~lip\ а2 = p2e~lip2 и импульсам га\ = ^/р7 ег1р\ га2 =
= р2 ег(р2, получим гамильтониан
еК"(а, а*) = -а (а\а*2 + ага2) + <*(|ai |2 + \а2\2),
который представляет общую квадратичную форму. Его можно диа-
гонализировать методом Боголюбова—Тябликова [94]. Прямой путь со-
состоит в решении линейной системы
Q>i = [flij еК"] = —г (Sai — cra2), a2 = i Fa2 — aai).
Однако значительно проще воспользоваться КП an, га^ —ь q, g*, тг, тг*:
Тогда новый гамильтониан совпадает с гамильтонианом D) зада-
задачи 9.2.2, следовательно,
^( ent), тг = -^ {тгоепЬ - qlre~nt), B)
г = п E + сг)~\ п = сг2 — S2 .
Из A), B) находим решение
ai = \ [qoe~nt (I - ir) + i**oent A - гг~1)] ,
\ C)
A - tr) + гтгое"* A - ir)].

9.2] Квадратичные системы 431
Эти формулы определяют КП к постоянным коллективным коорди-
координатам до 1 ^о? описывающим новые невзаимодействующие возбужде-
возбуждения, образованные суперпозицией состояний электрона и поля. Пусть
ai@) = аю, 02@) = a2o- В этом случае
ai(t) = аю ch nt — гп~1 shnt (Saw — (та^о),
a2 — a20 c^ nt — in~1 sh nt (aaw — Sa^o)-
В случае резонансного взаимодействия (S = 0) энергия поля
ш I(t) = со [1@) ch2at + /2@) sh2a£] D)
экспоненциально нарастает. Два слагаемых в D) соответствуют вкла-
вкладу индуцированного и спонтанного излучений. Кинетическая энергия
электрона также возрастает. Однако полная энергия системы сохраня-
сохраняется.
9.2.4. Найти решение уравнений (см. задачу 7.3.11)
п',п
в первом приближении метода усреднения.
Решение. Если собственные значения энергии не вырождены, то,
переходя к медленным переменным сп —> ап, получим из (9.1.3), (9.1.4)
+ ... = as- ' ^ one<fc"»*, A)
Usn
п
еК= AEsa*sas, J^L
Здесь мы учли, что Umn = U^nn. Поскольку гамильтониан еК является
диагональной формой, то интегрирование системы (9.1.1) приводит
к решению as = As exp(—iAEst). Подставляя c8(t) из A) в формулу
B) задачи 7.3.11, получим [54, 94]
где Es = Eg + AES — спектр собственных значений уравнения
Шредингера.
9.2.5. Найти решение уравнений, порождаемых гамильтонианом
Я(ж, р) = р^/2 + kmnxmxn/2 в первом приближении метода усред-
усреднения. ктп = кпт — постоянная матрица, det к > 0.
Решение. Точное решение получено в задаче 7.1.7. Произведем КП
хп = Bujnr1/2 (с„е-<м»* + <е^»*). A)

432 Решение канонических систем методом усреднения [Гл. 9
Новый гамильтониан
eh = Н{п)е-1{пш)\ (пи) = гциц +
(п)
2? k= W
Нерезонансный случай ш\ ф UJ2- Переходя к медленным пере-
переменным z' = (с, гс*) —> и = (а, га*), находим из (9.1.3), (9.1.4)
Z'm = Um+ ' (£у [ит, Щп)] е-(««)* +
(п)
Решение уравнений (9.1.1) ап = \/7n exP {—i^ojnt — i(pn).
Сравнивая приближенное решение
2/i Г/ л ч 1
Х\ = cos (cji + Acj] )t-\-(pi\ —
LJl L J
/Si2 2/2 r,
^ T COS I UJo -
с точным, можно заметить, что первое можно получить из второго,
разлагая Пп, Ап1/ в ряд по малому параметру ki2 {ш\ — cj^)-
Резонансный случай uj\ = 002 = (jOq. Теперь гамильтониан
Но = к(с*с2 + c5ci), H2 = kcic2, к =
Замена переменных (9.1.3)
Усредненный гамильтониан (9.1.4)
еК =
с помощью КП ai?2 = 2/2 (Ai =F ^2), приведенного в задаче 7.2.6,
приобретает диагональную форму

9.3] Нелинейные системы 433
Следовательно, Ап = \/^n exP {—i^ojnt — i(pn),
Xl= -(l-т1) cos [(wo + Awi) t + <p1]-
cos I
Заметим, что, полагая k\2 = 0, мы получим не исходное приближе-
приближение A), а суперпозицию решений нулевого приближения. Более того,
полученные таким образом собственные векторы нулевого приближе-
приближения являются взаимно ортогональными [54]. Таким образом, метод
усреднения позволяет определять собственные значения и собственные
векторы.
9.3. Нелинейные системы
9.3.1. Локализация энергии в нелинейной системе. Гамиль-
Гамильтониан связанных ангармонических осцилляторов Н = Hq + А Я,
Но = \ (р2п + ф1), АН =
А
Найти решение в первом приближении метода усреднения.
Решение. В нулевом приближении
2/п
хп= —^ cos (wot + (рп), Рп = ~ 21пи:о sin (w0t +<рп). A)
Wo
Поскольку среднее значение нового гамильтониана не равно нулю, то,
сохраняя прежние обозначения, получим из (9.1.4)
( + /22), B)
к = x/2cjo, T] = А/16а;2,. Произведем КП (р, I —> q, тг, порож:даемое ПФ
F2((f, тг) = l/2( ) 1/2( )
Тогда B) приобретает вид
£ /f'(<7, ТГ) = к ТГ2 - ТГ| COS 2g2 - 77 (ТГ2 + 7г|) .
Очевидно, £/f' = Со, TTi = С — первые интегралы. Пусть при £ = О
первый осциллятор неподвижен, а второй отклонен на угол а. Полагая
(pi@) = тг/2, /i@) = 0, <^2@) = 0, /2@) = о;0«2/2, найдем начальные

434 Решение канонических систем методом усреднения [ Гл. 9
условия #1,2@) — =^^/4, Pi?2@) = сооа2/2 = /q. Следовательно, С =
= /о, Со = —tjIq. Представим уравнение
7Г2 = [тг2, еК1], тг2 = 2fc тг2 - тг| sin2q2
в виде
*2 = /Ы, /(тг) = -(тг2 - /2) fr2 (тг2 - /02) +4Л2]. C)
Решение уравнения C) существенно зависит от соотношений между
значениями к, г\ и /о-
A. Положим к = 0, т.е. осцилляторы независимы. Тогда 7Г2(£) = /о-
Далее находим ^i, г(^) — ~г]1^ =Ь тг/4. Решение усредненной системы
<pi(*) = тг/2, /i(*)'=0, (p2(t) = -\аЧ/16ио + к/2, I2(t) = /0.
Б. Пусть ту = 0, т. е. имеем два связанных линейных осциллятора.
Тогда /(тг) = 4&2 (/q - тг2), тг2 = - /(тгг): тг2 = /о cos2kt. Следова-
Следовательно, полная энергия
E2,i(t) =wol2,i(t) = ^coI0(l±cos2kt). D)
В этом проявляется эффект биений — периодический обмен (с частотой
2к = h/ujq) энергией осцилляторов.
B. Пусть 77/0 < 2к. Область изменения |тг2| ^ /о- Эффект биений
сохраняется.
Г. Пусть 77/0 = 2к. В этом случае тг2(£) = /о ch1
Д. При условии s = 2k/rjlo < 1, соответствующем а2 > 32ycjЛ, об-
область допустимых значений тг2 ограничена неравенствами 1\ ^ ТГ2 ^ /о,
()
Если s < 1, то /i « /оA — s2 /2). Максимальное значение энергии
первого осциллятора
#lmax =2^° (/о ~ 7l) ^ 4
В этом случае первый осциллятор почти не возбуждается. Подстанов-
Подстановкой ТГ2 = Iqu решение уравнения C)
1
J
r]I
мож:но записать в терминах эллиптической функции ТГ2 = /о
х dnG7/o^, s). Энергия осцилляторов
Е2,1 = х cjo^o [I ± dn G7/0*, 5)].

9.3] Нелинейные системы 435
Частота биений nrjlo/К, где К — полный эллиптический интеграл.
Ангармоничность осцилляторов приводит к подавлению эффекта би-
биений — в нелинейных системах возникают высоковозбужденные лока-
локализованные состояния [113].
9.3.2. Параметрический резонанс в нелинейной системе.
Найти решение уравнения
ж + (cjq — к cos uji) x = — ж3, к <С о;2,
в первом приближении метода усреднения.
Решение. Гамильтониан задачи
Я(ж, р, i) = - р2 + - (а;2 - к cos ujt) x2 - jy ж4.
Производя КП х = Bpf /woI/2 cos ж', р = —{2pfujoI^2 sin ж', запишем
Я в виде Я = Яо -h АЯ,
АЯ = —-—pf cos cot cos2x' - — ( — ) cos4 ж'.
2(^o 4! V wo /
Далее КП ж' = usot — v sinuit + (pf (v = k/2uiu:o), p' = I' позволяет
привести АН к виду
eh = —yl' {nw + —} ~2 ) JnBv) cos [Bcjo — пш) t + 2y/] —
n
Л //2 /
- ту —2 I 3 + «/n Dv) cos [Dcj0 - no;) ^ -h 4i
0 n
Рассмотрим резонансный случай, полагая cjo = suj/2 + S, где s — целое
число, \S\ <C о;. Перейдем к медленным переменным. Поскольку мы
ограничимся первым приближением, то преобразование (9.1.3) являет-
является тождественным. Поэтому, не изменяя обозначений, найдем
еК1 = -all cos B<p; + 2St) - А7/72,
где а = A/2)sujJsBv), Xf = X/IGujq. Производящая функция
F2((pf, /, t) = (ipf + Si) /, реализующая замену (pf = (p — St, V =
= /, позволяет получить гамильтониан, не зависящий явно от времени:
I) = F-a cos 2у>) / - Л72.
Учитывая, что еК = С является первым интегралом, запишем урав-
уравнение / = [/, еК] в виде
-4(C-SI + Л72J + 4а2/2. A)

436 Решение канонических систем методом усреднения [ Гл. 9
А. Пусть Л = 0. Переходя к уравнению второго порядка / + 4 (б2 —
— a2) I = 4SC, получим решения
I(t) = /о cos (Ш + tp0) + ^f , П2 = 4 F2 - a2) > 0,
I(t) = /0 ch [yt + ip0) - Щ- , v2 = 4 (a2 - 52) > 0.
Щ
Условие S2 < а2 определяет границу областей неустойчивости
k \ г ( k
J 1
о - \ su
Область разрешенных значений / ^ С /(а + S).
Б. Если А ф О, то все решения уравнения A) конечны. Это об-
обстоятельство обусловлено тем, что с ростом амплитуды уменьшается
частота колебаний и нарушается условие синхронизма B). Полученный
результат весьма важен для нелинейной оптики — интенсивная волна,
падающая на периодическую среду под брегговским углом, проходит
через нее практически без ослабления.
В. Стационарный режим определяется условиями 1 = 1 = 0.
При \5\ < а из A) находим / = (S + сг)/2А/, cos2^ = —1. В этом
случае
_ ст + 8 . / ш к
х — ~i sin i s ~~~ ъ |~
А \ 2i
9.3.3. Найти решение уравнений бетатронных колебаний
\ •* 2 /2 2\ /-i\
в резонансном случае ио2 = 2cji [1].
Решение. Гамильтониан Я = Я0-ЬАЯ, Яо = р£/2 + о;£ж£/2, АЯ =
= (А/2) (a?2a?i - ж|/3). После КП жп = 21п/шп cos (о;п£ + у?п), Рп =
= — л/21пиоп sin (u:nt + (pn) новый гамильтониан имеет вид
е h((p, /, t) = Rnin2 ехр [-г (пш) t - i (rup)],
ni, n2
= A; BI1uj-1 - I2u>^)^/h, R03 = -^
Д21 = Й2-1 = ()
Все остальные коэффициенты равны нулю. В случае W2 = 2wi, wi =
eh(<p,I,t) = —kh 7^cos(^2-2^i)+ /г„е-'"Ш()*.
Wo

9.3] Нелинейные системы 437
Здесь Я2 = Roie-**, Я4 = R2ie~2i^-i^, Я6 = Д0зе^2. Усред-
Усредненный гамильтониан приводит к уравнениям, решения которых полу-
получены в задаче 7.3.3. Заметим, что в работе [114], посвященной изуче-
изучению галактических моделей, рассмотрено уравнение движения звезды
в окрестности положения равновесия, которое совпадает с A). Решение
этой задачи детально исследовано в [115-117] численными методами.
9.3.4. Конфигурация поля в плоском магнетроне определяется 4-
потенциалом Ф(г) = Еу, А(г) = В@, О, у). Электроны эмитируются
катодом (плоскость у = 0) с нулевой начальной скоростью. Плоскость
у = d является анодом. При 2ro < d {tq = и/ft, ft = е^В /тс, и =
= сЕ/В) магнетрон заперт. Показать, что бегущая волна с потенциа-
потенциалом Ф^ = Eq/к sh ну sin (wt — kz) при точном синхронизме (о; = ки)
отпирает магнетрон [102]. Найти уравнения движения ведущих центров
в первом приближении метода усреднения.
Решение. Гамильтониан системы
Н = i № + Ру} + 2^ (Pz + тПу^ ~ 6оЕу " еоФ-
Произведем КП рх = pi, ру = p<i->Vz = Рз> х = х\, у = х2-рз/гпп-\-г0,
z = х% + ut — p2/mft, порождаемое ПФ
F2 = xPl + (у - ro)p2 + (z - ut)p3 +
В новых переменных гамильтониан Н = Hq + АН,
Решение уравнений с гамильтонианом Но, х\ = х[ + p'-^/mt, p\ = р[,
= х'з, Рз = Рз,
2/ /
х2 = — —7т cos (ftt -h ф), P2 = \2Imft sin (ftt + <p).
Возвращаясь к исходным переменным, получим уравнение проек-
проекции траектории в плоскости yz:
(у - й2J + (z - R3 - utf = ^2
где #2 = го —pf3/mft, Яз = х3 — координаты ведущего центра. Задавая
начальные условия г@) = @, 0, Zq), v@) = 0, получим значения
канонических постоянных х[ = 0, (р = 0, х3 = Zq, р[ = 0, / = т&Гц/2,
pf3 = 0. Поскольку кх2 <С 1, кго <^ 1,то можно использовать дрейфовое
приближение, полагая
еК = ° shkRz sin kR3.

438 Решение канонических систем методом усреднения [ Гл. 9
Из уравнений движения
Я2 = и shx#2 cos/гЯз, R% = ——и c
к
и первого интеграла shx#2 sin/гЯз = shxro sin &^о следует, что при
cos kzo > О ведущие центры смещаются к аноду. Часть электронов, для
которых cos kzo < О, поглощается катодом.
9.3.5. Заряженная частица в высокочастотном поле резона-
резонатора. Электроны движутся в высокочастотном поле прямоугольного
резонатора, помещенном в статическое электромагнитное поле, задан-
заданное потенциалами <^ext (x) и Aext (x). Найти эффективный гамильтони-
гамильтониан взаимодействия электронов с электромагнитным полем резонатора,
соответствующий плавной компоненте траектории.
Решение. Резонатор ограничен металлическими плоскостями
О^ж^а, 0^у^&, 0 ^ z ^ с. Вектор-потенциал поля стоячей волны
-—
у дх '
скалярный потенциал А$ = 0, напряж:енности электрического и маг-
магнитного полей волны
Здесь VK^m^ — потенциал Герца,
W(m) = @, 0, W(A)(x, n)),
WwCx, п) ~ cos cos —r^- sin coso;^,
\ a J \ о J \ с J
где uj = ujmnk, оошпк = стг [(m/aJ + (п/ЬJ + (k/сJ] — возможные
частоты волн при заданных размерах резонатора, га, п, к = 0, 1, 2, ...
Пусть в резонаторе возбуждена волна простейшего типа
Вектор-потенциал и напряженность электрического поля
, х) = CA<m)(x) cos И), А<т)(х) = @, Л, 0),
, 7Г . /7ГЖ\ . (TSZ\
А = — sin — sin — ,
а V a J V с /'
, х) = CE<m> sin (с*;*), Е^) = (о, ^, о),
где uj = cjioi, С — константа.
Запишем гамильтониан электрона
н = i [р
ext (

9.3] Нелинейные системы 439
в форме Н = Hq + Л/",
Яо = i [р+т Aextw]2 - eo^ext(x),
iV = ^PA(i, x) I^A2(t, x), P = p+ ^ Aext(x). A)
«Медленная» компонента траектории определяется гамильтониа-
гамильтонианом
Я(х, Р) = #о
где VW(x, £) — переменная компонента функции Af(x, t). Подставляя
A) в B), получим
Я(х, р) = Яо + -^ [С Л<т>(х)]2 + ...
4mc L J
Этот результат можно представить в более общем виде [84]
2
Я(х, р) = Я0 + Ц
9.3.6. Влияние сплюснутости Земли на движение спутника.
Найти эволюцию элементов кеплеровой траектории орбиты, обуслов-
обусловленную сжатием Земли у полюсов (см. задачи 1.5.15, 6.4.5).
Решение. Гамильтониан задачи Н = Но + /г,
2 2 2
° 2
2rar2 2mr2
где R — экваториальный радиус Земли, к ~ 10~~3. Перейдем к пере-
переменным действие-угол, введенным в задаче 7.4.5: cos^ = sin г sin^,
cos г = J3/J2, Ф = Х + ^2,
р Jl та2
1 + е cos х ' отп ' J3
Учитывая, что согласно решению задачи 1.5.3 тг2х = ^2-> найдем
средние значения
Т 2 2тг
1 \ _ 1 \ dt _ am ш Г
о 2 о
sin2(x + W2

440 Решение канонических систем методом усреднения [ Гл. 9
и гамильтониан в первом приближении метода усреднения
Возмущения элементов орбиты определяются уравнениями (9.1.2):
SkR2
2
л 9 (л О 2 Л J.
1 — е* [1 — о cos г] cut,
SkR2 (л к 2Л ,
W2 = W20 2~ (/ "" 5 cos г] wt,
SutkR2
w3 = w30 —5— cos г.
2p
Следовательно, все элементы орбиты периодически изменяются. Зна-
Значение го = 63°26' (cosio = 5/2) определяет критическое наклонение
плоскости орбиты. При г > г'о перигей движется в отрицательном на-
направлении, при г < г'о — в положительном. При умеренном наклонении
орбиты приращение Aw2 порядка 4° в сутки [24]. Фиксируя угол г'о,
можно добиться того, что спутник будет двигаться по терминатору (от
лат. terminare — ограничивать) — линии разграничения дня и ночи.
В этом случае освещенность Земли в окрестности орбиты зависит
только от широты и времени года.
9.3.7. Система N одномерных осцилляторов движется в потенци-
потенциальной яме U(x) = mujQX2/2 + k3x3/3! + &4ж4/4!. Найти отклик систе-
системы на приложенное электрическое поле E(t) в приближении ~ Е2.
Решение. Производя КП ж, р —> (р, тг:
х = хге~{шо* + к. с, р = -imLj0x1e~iuJot + к. с,
xx = (о;7гI/2е l(f, a = Bmw0) x,
получим гамильтониан £/i = Яо + ^2 йпе~ш^°
Да = | ■
Перейдем далее к медленным переменам у?, тг —> ф, I. Согласно (9.1.3)
получим х = ^2 ип exp [—in (uiot + ф)],
п=0

9.3] Нелинейные системы 441
В соответствии с (9.1.4)
3
Из (9.1.1) следует ^ = (deK/dl) t + ^', / = /'• Гамильтониан взаимо-
N
действия системы с электрическим полем Hi = —dE(t), d = е J^ xa.
a=l
Полагая в (8.1.9) F = d, eh = Hi, получим
= (dH+ | dt1G(t-t1)E(t1) +
dt1dt2G{2)(t-t1,t-t2)E(t1)E(t2) + ...,
где G, G^ — температурные функции Грина:
G(t - h) = -0(t - h)([d(t), d(h)]), G^(t -h,t- t2) =
\ - t2)([[d(t), d(h)} d(t2)] ) + (<!«■ t2).
Пусть Е = Re J^ c\e гш*г. Тогда получим
Л
Л, а
\ е{шх, W<r) CA^e-'^1-')* + e(wA, -ш^схс^е-*^^* + к. с.
Величина s(uj) вычислена в задаче 8.3.2. Нелинейная проницаемость
второго порядка
ша)= | dTidT2GB)(Tb t2) ei
_ _
2
2 П' S [CJI + CJ2 + (n + S) CJo] (Wl +
n. s

442 Решение канонических систем методом усреднения [Гл. 9
Вычисляя величину
о /д1 , 2 д ( дип
найдем /i,_! = /_м = -/0,i = -/o,-i = B/о;0) ^з«3, /1,1 =
= /-i,-i = -/2,-1 = —/-1,2 = B/Зо;о) ^з^3- Остальные коэффи-
коэффициенты равны нулю. Для монохроматического поля с частотой о; [99,
с. 322]

Глава 10
МЕТОД УДВОЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
10.1. Введение
Рассмотрим систему нелинейных уравнений
%и = Fp(x, t), /i = 1, 2, .. ., s.
Приведение этой системы к гамильтоновой форме может быть реали-
реализовано введением фазового пространства R2s с координатами Zk = ж&,
— Pki B котором определим СП функций А и В:
[А, В] = пар —-,—-, пар = _Е Q , а, C = 1, ...,2s.
Здесь Е — единичная s-мерная матрица [1, 118]. Если теперь построить
гамильтониан
H{x,p,t)=p^F^{x,t), A0.1.1)
то исходная система является гамильтоновой. Вторая группа уравне-
уравнений
. _ 8FV
является ассоциированной системой.
Предлагаемый метод позволяет привести к гамильтоновой форме
системы уравнений, полученные феноменологически и не являющиеся
экстремалями какой-либо вариационной задачи. Особый интерес пред-
представляют уравнения, описывающие химические реакции, различные
экономические или экологические системы. После приведения к га-
гамильтоновой форме решение уравнений может быть получено на основе
мощных методов теории КП.
Пример 1. Найдем решение уравнения х = /(ж), используя кано-
каноническую теорию возмущений. Гамильтониан канонической системы
Н(х, р) = р f(x). Выберем гамильтониан нулевого приближения Но =
= 0. Из (8.1.11) находим
', р'f(x')]p'
n=l

444 Метод удвоения переменных [Гл. 10
Пусть f(x) = х2. Интегрируя уравнение х = х2, получим х~г = С~г —
— t, где С — константа. С другой стороны, ряд теории возмущений B)
также приводит к точному решению
/2, , „/з,2 , _ _ х'_
х = х' + x'2t + x/3t
1-xt
10.1.1. Представить уравнение Льенара и = —f(u) и + g(u) в га-
мильтоновой форме.
Решение. А. Полагая и = xi, и = х<±, получим систему [119]
xi = х2, х2 = g(x<i) - /(a?i) x2
с гамильтонианом
Н = Р1Р2 + Р2 (g(xi) ~ f{x1) X2) •
Б. Положим и = у, х = —у — F(y), где dyF = f(y). Тогда исходное
уравнение эквивалентно системе
x = -g(y), y = -x-F(y). A)
В фазовом пространстве с координатами ж, у и канонически сопряжен-
сопряженными импульсами р, тг гамильтониан
Н = -pg(y) - * [х + F(y)].
Если f(x) = —е A - ж2), g(x) = —ш2х, то из A) получим уравнение
Ван-дер-Поля
у - е A - у2) у + ш2у = 0
и связанное с ним уравнение
/ х3 \
х - slj2 (х - —J + uolx = 0.
10.1.2. Записать уравнение Риккати х + а$х2 -\~ c{t) = 0 в гамиль-
тоновой форме. Найти КП, обращающее гамильтониан в нуль.
Решение. В координатах ж, р гамильтониан
Н(х, р, t) = -р (а0х2 + c(t)).
Подстановка х = q/'a$q преобразует исходное уравнение в линейное
q + ao c(t) q = 0. Пусть ui, u2 ~ два линейно независимых решения
с вронскианом uiu2 — и2й\ = 1. Построим далее ПФ
F3(p, x , t) =
ao
7
u2x

10.1] Введение 445
В соответствии с G.1.3) находим
1 гб1 Ч- йчх , , /ч2
х = 7, р = а$р (ui + и2х ) .
clq и\ + и2х
Новый гамильтониан равен нулю.
10.1.3. Найти решение уравнений, порождаемых гамильтонианом
Н(х, р) = о;р\/1 — х2 , и производящую функцию КП к постоянным
координатам.
Решение. Решение уравнений
x = [x,H] = w 1-х*, р=[р,Н] = -^Ж=
является КП, ж, р —>• ж', pf:
г
х = sin (wt + xf), p = —^ т- .
v " у cos(ujt + xf)
Производящая функция преобразования A) Fs(p, x\ t) = —p sin (u:t-\~
+ х') удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби в р-представлении
G.1.3)
et +*
10.1.4. Найти решение уравнения х = f(x/t) методом канониче-
канонических преобразований.
Решение. Гамильтониан, приводящий к исходному уравнению
Н(х, р, i) = p f(x/t). Произведем КП с помощью ПФ F2(x, p', t) =
dF2 p , dF2 x
Новый гамильтониан Н' = (р1/t) [f(x') — х'~\. Теперь уравнение
i' = [x',H'] = l[f(x')-x']
имеет решение
dx
f(x') - х' '
10.1.5. Метод адиабатического исключения быстрых пере-
переменных. В ряде задач переменные, описывающие подсистему, могут
достичь стационарных значений гораздо быстрее, чем переменные,
относящиеся к другой подсистеме, взаимодействующей с первой подси-
подсистемой. В этом смысле говорят о «быстрых» и «медленных» перемен-
переменных. В гамильтониане
Н = и> (pix2 - р2хг) - (yipixi + J2p2x2),

446 Метод удвоения переменных [Гл. 10
с коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам 72 ^> 7ъ ш ^
<С 72? координаты Ж2 h^i представляют собой быструю и медленную
переменные. Найти гамильтониан, описывающий эволюцию медленной
подсистемы.
Решение. Первая группа канонических уравнений не содержит им-
импульсов:
±1 =
Х2 = -UJXi - 72^2- B)
Из B) следует интегральное уравнение
t
X2(t) = ж2@)е2* -u)\dt' е-72(*-*'} Xl(t').
о
Если время релаксации I/72 координаты х2 намного меньше, чем время
релаксации координаты ж1? то функцию x\(t) можно вынести за знак
интеграла. В результате при значениях t ^> I/72 получим адиабатиче-
адиабатическое приближение х2 = —u)X\j^2. В этом приближении получим из A)
уравнение для адиабатической переменной
B ч
порождаемое гамильтонианом
Л = - —+ -
4 72
Медленная подсистема подчиняет себе и управляет быстрой подсисте-
подсистемой — координата х2 мгновенно следует значениям координаты х\.
Поэтому координату х\ называют параметром порядка. Исключая бы-
быстрые переменные в системе нелинейных уравнений, можно получить
замкнутую систему уравнений для параметра порядка.
Наиболее изученная система — лазер, содержащий поле и атомы,
возбуждаемые накачкой. Полевая подсистема подчиняет себе атомную
подсистему. В результате атомы переходят в новое высокоорганизован-
высокоорганизованное на макроскопическом уровне состояние, обеспечивающее высокую
когерентность излучения.
Сопоставим C) с уравнением
х\ + (о;2 + 7172) хх — -Gi + 72) ±ъ D)
которое получим в результате исключения х2 из A). При сильном
затухании второй производной в D) можно пренебречь.

10.2] Специальные приложения метода удвоения 447
10.2. Специальные приложения метода удвоения
10.2.1. Найти разложение в ряд Тейлора функции (р(х) в точке ж',
используя метод удвоения переменных.
Решение. Рассмотрит уравнение х = 1, которое является частью
системы, порождаемой гамильтонианом Н = р. Полагая в (8.1.9) F =
= (р(х), eh = Я, получим
t t t!
ф) = ф')+\<Их [ф% p']+\dty | dt2
дх'п п\' v^
п=0
Поскольку x(t) = xf + t, то A) представляет собой ряд Тейлора функ-
функции (р(х) = ip(xf + t').
10.2.2. Представить биномиальные коэффициенты в терминах ско-
скобок Пуассона.
Решение. Пусть в решении задачи 10.2.1 tp(x) = xn. Тогда получим
функцию
/п /п / Г /п / /1 ^
= х1п + nxln+1t + п (п - 1) х/п~2 Ь- + .. .
Полагая х1 = 1, находим
A + £)п= С^^ Ск = — \.. Ах'п pf] v1}... ю'1
к=0
10.2.3. Дано алгебраическое или трансцендентное уравнение
ip(x, у) = 0. Найти гамильтонову систему, эквивалентную этому
уравнению. Рассмотреть случай (р = х2 — у.
Решение А. Предполагая, что выполнены условия существования
неявной функции х = х(у), получим
д(р д(р dx _ _ , ч
ду дх dy
Полагая для удобства у = t, запишем уравнение
"Х~1- B)
Если известно решение х = х^ уравнения (р(х, t) = 0 в некоторой
точке t = to, то решение задачи Коши x(to) = x^ для уравнения

448 Метод удвоения переменных [Гл. 10
B) является решением исходного уравнения [120]. Переходя к фазо-
фазовому пространству ж, р, запишем гамильтониан Я = pF(x, t) [118].
Если (р(х, у) = у — f(x), то х = х(у) — функция, обратная /.
Пусть (f(x, t) = х2 — t. Искомое уравнение эквивалентно задаче
Коши x(to) = ^/% для уравнения х = Bх)~\ Гамильтониан задачи
Н = рBх)~\ Решение канонических уравнений
является КП ж, р —>• ж', р' к постоянным координатам ж', р':
х=
Полагая х' = ^/%, получим очевидное решение х = y/i.
Решение Б. Если ввести параметр £, то уравнение A) можно пред-
представить в виде системы
Х ~ ду ' У ~ дх ' ^
которая в фазовом пространстве (ж, р = у) имеет гамильтонову форму
с гамильтонианом Н(х, р) = (р(х, р). Если известно решение уравне-
уравнения (р(х, у) = 0 в некоторой точке (жо, у о), то решение задачи Коши
х@) = жо, р@) = у о для системы C) позволяет найти корни исходного
уравнения в параметрической форме.
Вернемся к рассмотренному примеру. Теперь гамильтониан задачи
Н(х1 р) = х2 — р. Решение канонических уравнений х = х' — £, р =
= р' — 2x't + t2. Полагая х' = ^/уо , р' = уо? получим х = -у/р = ^/уп.
10.2.4. Найти корни x(t) уравнения х2 — 2х — t = 0, используя
канонический формализм.
Решение. Положим t = 0. Тогда уравнение имеет два решения
xi 2 = 0, 2. Для определения корней запишем уравнение B) зада-
задачи 10.2.3 и гамильтониан:
Используя A0.1.2), получим
t2 It3
+
х = х+ 2(ж'-1) " 8 (Х' - IK + 16 (х' - IM
Полагая х' = х\ = 0, получим первый корень

10.2] Специальные приложения метода удвоения 449
Полагая в A) xf = х^ = 2, найдем второй корень
10.2.5. Найти корни уравнения ах3 + Ьх2 + сх + t = 0 в области
t < 1 (б2 > 4ас).
Решение. Полагая t = 0, получим три решения ж-j/ =0, ж^ 3 =
= (—6 =F Vb2 — 4ас)/2. Поэтому для определения каждого корня необ-
необходимо решить задачу Коши х@) = Хп (п = 1, 2, 3) для уравнения
ж = — (Зах2 -\-2bx + с) . Гамильтониан соответствующей канонической
системы Н(х, р) = —р (Зах2 + 2Ьх + с) . Используя теорию возмуще-
возмущений, находим
х = х/ * , (Заж' + 6) £2
Ж ~ Ж Заж/2 + 2Ъх + с (Заж/2 + 2Ъх + сK
Полагая ж' = 0, получим приближенное выражение для первого корня:
t bt2
Аналогичным образом найдем разложение второго и третьего корней:
_ (о) t
*2'3"*2'3 ЗаD0)зJ + 2б40)з + с
10.2.6. Найти решение уравнения Кеплера х — е sin ж = ut, e < 1
[24, 25].
Решение. Дифференцируя, получим уравнение х = ио A-е cos ж),
порождаемое гамильтонианом Н = pf(x), f(x) = uj A — е cos ж).
Полагая в A0.1.2) х' — 0, получим
- wt e (cotK
Х +
10.2.7. Найти функцию, обратную еж, используя канонический
формализм.
Решение. Положим <р(х, i) = ех — t. Тогда зависимость x(t) опре-
определяется из решения канонического уравнения, порождаемого гамиль-
гамильтонианом Н(х, р) = ре~~х. Из A0.1.2) находим
х = х' + e-.'(t _ to) _ e-a.' (*ZL*2)! + 2е-з*' (±^1 + .. .
Поскольку жA) = 0, то, полагая to = 1, х' = 0, получим
п=\

450 Метод удвоения переменных [ Гл. 10
10.2.8. Обращение интегралов. Функция x(t) является обрат-
обратной по отношению к интегралу
х
dx
J J\X)
0
Получить гамильтонову форму обращения интеграла на основе метода
удвоенных переменных. Рассмотреть случай
f(x)= A-х2)A-к2х2).
Решение. Рассматриваемый интеграл является решением диффе-
дифференциального уравнения х = f(x) с начальным условием ж@) = 0. Вво-
Вводя фазовое ж, р-пространство и гамильтониан Н = р f(x), мы получим
возможность использовать методы теории канонических преобразова-
преобразований. Рассмотрим функцию Якоби х = sn (t, к) — эллиптический синус.
В этом случае / = A — ж2) A — к2х2). Найдем sn (£, к), используя
каноническую теорию возмущений. Поскольку sn @, к) = 0, то, полагая
в A0.1.2) х1 = 0, получим известное разложение [5]
= t - A + к2) ~ + A +
Uk2
10.2.9. Найти алгоритм вычисления чисел Эйлера, используя ка-
канонический формализм.
Решение. Производящая функция [121]
1 °° tn
для чисел Эйлера Еп удовлетворяет уравнению
х = /(ж), f(x) = —х 1 — х2 ,
которое имеет гамильтонову функцию Н = —ржд/1 — ж2 . Следуя тео-
теории возмущений, получим
x{t) = x'-x'(l- xf2I/2 t - xf Bxf - 1) l- +
Поскольку х@) = 1, то хг = 1. Следовательно, числа Эйлера опреде-
определяются мультискобкой Пуассона:
En = [...[x,pf]pf]...]pf]x>=1.

10.2] Специальные приложения метода удвоения 451
Вычисляя СП, находим .E^n+i = 0, Eq = 1, Е2 = —1, Е^ = Б, .. .
10.2.10. Найти полиномы Эрмита в терминах СП.
Решение. Производящая функция
t"
x{t) = exp [-t2 + 2ut] = Нп(и) —
п=0
для полиномов Эрмита удовлетворяет уравнению х = f(x)-> f(x) =
= 2х\/и2 — \пх. Полагая в A0.1.2) хг = 1, получим
Hn(u) = [...[x,pf]pf]...]pf]x,=1.
Вычисляя СП, находим [5] Hi(x) = 1, Н2(х) = 2х, Н3(х) = 4ж2 - 2, ...
10.2.11. Функция x(t) удовлетворяет уравнению q = f(q). Найти
аппроксиманту Паде функции q(t).
Решение. Исходное уравнение порождается гамильтонианом Н =
()'> гДе ^ ~~ импульс. Произведем КП д, тг —> ж, р:
2
X р
р 2
В новых координатах гамильтониан R = (р2/2) f(x/p). Полагая
в (8.1.7) Z/j, = ж, р, получим аппроксиманту Паде [N, M](t), соответ-
соответствующую N, М —> сю [122].
10.2.12. Получить приближ:ение функции q(t) = In (I + t) рацио-
рациональной дробью.
Решение. Функция q{t) является решением канонического уравне-
уравнения с гамильтонианом H(q, тг) = тге~я. Произведем КП q, тг —> ж, р:
В новых переменных гамильтониан Я(ж, р) = (р2/2) ехр(—х/р). По-
Полагая в (8.1.7) z = х, р, eh = Я, получим
x' + [x',R]t + ...
Поскольку q@) = 0, то, полагая после вычисления СП х1 = 0, р1 = 1,
получим
l + t/2-tV8+... ' A)
Полож:им теперь в (8.1.9) F = q, eh = H(q, тг). Тогда получим ряд
теории возмущения
n=l

452 Метод удвоения переменных [Гл. 10
коэффициенты которого совпадают с коэффициентами разложения A)
в ряд Тейлора. Следовательно, A) представляет аппроксиманту Паде
[N, M](t) при N = М = оо [122].
10.2.13. Найти решение задачи Коши ж@) = 0 для уравнения ж =
= /(ж, t). Рассмотреть случай уравнения Риккати /(ж, t) = ж2 + t2.
Решение 1. Гамильтониан задачи Я = р/(ж, t) представим в виде
Я = Но + АЯ, Но = р/@, 0, Ая = Р [f(x, 0 " /@, *)]• Решение
уравнений с гамильтонианом Hq
t
х = х' + <p(t), tp{t) = J dtf /@, t'\ p = pf.
0
Новый гамильтониан
H'(x', p', t) = p' [f(<p(t) + x', t) - /@, t)].
Полагая в (8.1.7) z = ж', eh = Я', получим решение в виде ряда теории
возмущений. Полагая /(ж, t) = х2 + t2, найдем [123, с. 25]
Х{г>~ 3 + 7-9 + 3-7-9-11 + G-9J-15
Развитый здесь подход является гамильтоновой формой метода Ча-
Чаплыгина.
Решение 2. Представим Я' в виде Н' = Н$ + АН',
#о = Р' [f(v{t), t) + x'8xf{v, t) - /@, t)].
Решение уравнений с гамильтонианом Hf0
t
xf = x" exphKt, 0)] + Jd*i [/(^(*i), *i) - /@, h)] e^^\
A)
p' = p" exp [-t/>(t, 0)], ф(г, tx) = J ds dxf((p(s), s).
ti
Эволюция переменных ж", рп определяется гамильтонианом Нп. В слу-
случае / = ж2 + t2 из A) следует решение задачи Коши
B)
Интегрируя по частям, находим, что B) совпадает с решением, найден-
найденным по методу Ньютона-Канторовича [123, с. 28].

10.3] Интегрирование уравнений движения 453
10.3. Интегрирование уравнений движения
10.3.1. Найти решение уравнения тг = — Vf/(r) в виде ряда теорий
возмущений.
Решение. Искомое уравнение тхп = — dnU эквивалентно системе
xn = vn, mvn = -dnU A)
с гамильтонианом Н = pv — m~17rVU. Здесь р, тг — импульсы, кано-
канонически сопряженные координатам х, v в пространстве Я12. Полагая
в (8.1.11) Zjj, = x^, получим решение уравнений движения:
(ср. с задачей 8.2.2).
10.3.2. Система с быстровращающейся фазой. Найти прибли-
приближенное решение уравнения <£ + sin (р = 0. Начальные условия <р@) = О,
<р@) = а > 2.
Решение. Используя первый интеграл а2/2 — 1 = ф2/2 — cos(p,
заключаем, что при а <С 2 постоянная а играет роль амплитуды линей-
линейных колебаний. Запишем теперь уравнение маятника в виде системы
х = — sin<^, (р = а + х
с гамильтонианом Н = I (a + x)—p sin (р. После КП (р = at + (p'', / = /',
х = xf, p = pf, порож:даемого ПФ F^ = хр' -\- ((р — at) /', получим новый
гамильтониан Hr = Vxr — pf sin (at + у?'). Полагая в (8.1.7) z = (p, eh =
= Я', найдем
о + \dti xf0 - (iti
= at + у?о + \dti xf0 - (iti rft2 sin
Учитывая, что ^'@) = 0, xf@) = 0, получим решение
(p(t) = at -\—2 s*n at h • • • B)
Это выражение получено в работе [79, с. 52] в результате обширных
расчетов второго приближения в предлагаемом авторами методе. За-
Заметим также, что, вопреки общепринятой точке зрения, решение B) по
методу быстрой фазы описывает не только вращательное движение,
но и колебания в окрестности положения равновесия. Действительно,
вычисляя следующие члены ряда A) и предполагая, что а <С 1, получим
решение в виде ip = a sin t.
10.3.3. Представить уравнение
= F(t), 7

454 Метод удвоения переменных [Гл. 10
в гамильтоновой форме. Найти решение, используя каноническую тео-
теорию возмущений. Определить мощность, поглощаемую осциллятором.
Решение. Полагая х\ = и, х2 = й, получим систему
±i = Х2, Х2 = -
порождаемую в пространстве Я4 гамильтонианом
Я(ж, р, t) = рхх2 - Рч GЖ2 + ^ож1 ~
Произведем теперь КП
х\ = —= е~^" {х\ совШ + xr2 sinOt) x =
Vfi.
V\ = —^, P2 = 7/^ eT (-Pi si
где il = lJq — G/2J . Эволюция штрихованных переменных опреде-
определяется гамильтонианом Н' = р2(рг', t) F(i). Полагая в (8.1.7) z = xi,
eh = Hf, находим точное решение исходного уравнения
оо
xx(t) = хг(Ь) + J dtr G12(t - tr) F(tr),
G12(t-t') = 0(t-tf)[x1(t),p2(tf)] =
-yjt-t')
= 0{t-tf)u-1e-~~^r- sinU(t-tf).
Мгновенная мощность W = uF = x2F, поглощаемая осциллятором,
следует из (8.1.9):
W(t) = W{t) + J dtf [x2{t)F(t), Hf(tf)] + ... =
to
oo
= x2(t) F(t) + J dtr G22(t - tf) F(t) F(t'), A)
to
G22(t - t') = 0{t - t1) [x2(t)> P2(t')] = 0{t - tf) dtG12(t - t').
10.3.4. Найти решение уравнения й + lJqU = е /(u, u), e <C 1,
используя метод усреднения канонических систем. Рассмотреть урав-
уравнение Ван-дер-Поля е f(u, и) = j A — и2/с2) й [126].

10.3] Интегрирование уравнений движения 455
Решение. Полагая и = х±, й = ж2, запишем исходное уравнение
в виде системы
xi = ж2, х2 = -ulxx + е /(a;i, х2)
с гамильтонианом
Я = ргх2 ~ ы1р2хх + ер2 /(ж1, ж2).
Произведем КП к новым координатам а, у? и импульсам р, /:
а?1 = a cos (u)Ot + у?), ж2 = —aojQ sin (a;ot + у?),
Pi = р cos (а;о* + у?) sin (uot + у?), A)
p2 = sin (wot + ip) cos (u)Ot + (f). B)
Это преобразование реализует, по существу, переход от декартовых
к полярным координатам [86]. В новых переменных гамильтониан име-
имеет вид
1 \p sin (o;0* + Ч>) + - cos(cjo* + Ч>)\ F(a, <p, t), C)
eh = -
где F(a, <p, t) = /(^i(a, (p, i), ж2(а, (р, t)). Канонические уравнения
движ:ения совпадают с системой E.1.2). Таким образом, канониче-
каноническое преобразование A), B) позволяет представить метод Крылова-
Боголюбова в гамильтоновой форме.
Представим функцию F(a, (p, i) в виде ряда
F{a,v,t)= Fn(a,v)e-in"°\ Fn(a, ф) = /n(o) e~in\ D)
где fn(a) — коэффициенты разлож:ения функции /(a cos ф, —clujq sin ф)
в ряд Фурье. Следовательно, гамильтониан C)
ф = (Jot + (р. В первом приближении метода усреднения из (9.1.3),
(9.1.4) находим
Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля. В этом случае коэффициенты
ряда D)
= jacuo (л а2 \ j _ уашо а2

456 Метод удвоения переменных [ Гл. 10
В первом приближении гамильтониан (9.1.4)
Из уравнений (9.1.1) следует
a(t) = а0е^2 [l + ^ (е* - 1)] "^ <р = <р0.
Если 7 > 0, то при t ^> 7 1 имеем предельный цикл: а = 2с.
10.3.5. Найти решение системы уравнений брюсселятора [124]
й\ = п — (т + 1) и\ + и\и2, и2 = ти\ —
в первом приближении метода усреднения.
Решение. Стационарное состояние определяется значениями и\ =
= n, u<i = т/п. После подстановки и\ = п + xi, и^ = т/п + х^
получим систему
хт = ктпхп + Fm(xu ж2), т, га = 1,2, A)
где кц = т- 1, к2\ = -т, к12 = -к22 = п2, Fi = -F2 = (т/п) х\ +
+ 2пх\х2 + х\х2. Представим систему A) как каноническую с гамиль-
гамильтонианом
Я(Ж, р) = ктпРтХп + PmFm.
Предположим, что
a2=detk- Q Sp^) =i [(п + 1J-ш] [ш - (n - IJ] > О,
и произведем КП ж, р —> xf, pf, диагонализующее квадратичную часть
гамильтониана Но = ктпртхп:
х = ^Х Р
здесь А^р = ит(м). Собственные векторы
системы ктпип = Хит, соответствуют собственным значениям \±2 =
= A/2) Sp к =F icr. Матрица Amfl образована собственными векторами

10.3] Интегрирование уравнений движения 457
ассоциированной системы — кшпуп = Xvm, соответствующими соб-
собственным значениям Ai52 = — Ai52- Очевидно, при Sp к < 0 точка
xi = х2 = 0 является устойчивым фокусом, а при Sp к > 0 —
неустойчивым фокусом. Если п = 1, то при т = 2 возникает ди-
динамическая бифуркация [125]. При докритических значениях т < 2
возмущения затухают, а в интервале 2 < т < 4 возникает устойчивый
закритический предельный цикл. В новых переменных гамильтониан
приобретает вид Н' = Н'о + АН', Н'о = ia^p^x'^ alj2 = Т°,
АН* = \ Sp Аф'Х + И„1 - А,2) р
+ 2nAlv А2а %„ха + Alu Ala A2p xvxax^ . B)
Перейдем теперь к медленным переменным ж', рг —ь q, тг, производя
КП х^ = q^ ехр(гсгм^), р^ = тгм exp (—icr^t). Подставляя ж', р1 в B),
получим в соответствии с (9.1.4)
= 7ГК71 [\ Sp k + ^ BAi + Л2 - 3fcn
+ 7Г292 [\ Sp А: - 0 BЛ2 + Ai - ЗЛц) 9i«ft] + ... C)
Далее удобно перейти к действительным координатам а, <р и импуль-
импульсам р, I:
Решение исходных уравнений
и\ = п + — a cos (сг£ + (р),
и2 = 1—t ( - Sp к — fcn ) cos (crt + у?) — cr sin (crt + cp) .
^ \<jk\2 L\^ / J
В новых переменных C) принимает вид
- ±- Cfcu - 2 Sp fc)
[2 det к + Sp к Cfen - 2 Sp к)] + ...
16<7
В режиме предельного цикла амплитуда а постоянна,
a2 = 4aSp^C^1] -2Sp^) = 2 m D - т) ^—^
777/ ~\~ А.

458 Метод удвоения переменных [ Гл. 10
10.3.6. Найти решение уравнений Лотки-Вольтерра (см. зада-
задачу 7.3.1) й\ = аA — u2)ui, й2 = -6A - ui)u2, используя метод
усреднения.
Решение. Приравнивая нулю правые части, найдем стационарную
точку и\ = и2 = 1- Переходя к переменным xi = ui — 1, х2 = и2 — 1,
получим систему
х\ = — ах2 A + xi), х2 = Ьх1 A + х2)
с гамильтонианом
Я = —apix2 + bp2xi + (bp2 —
Произведем КП жп, рп —> х, х*, р, р*:
"■ - Ж
а = д/о6, исключающее квадратичную часть гамильтониана. В новых
переменных гамильтониан
- х*2е
*2езш
) + к. с.
Перейдем в соответствии с (9.1.3), (9.1.4) к медленным перемен-
переменным д, тг:
Решение уравнения (9.1.1) имеет вид
q(t) = ~= С exp 1-iAat - i7], Да = -^ С2,
где G, 7 ~ постоянные. Следовательно, решение исходной системы
\ С cos (wt + 7) + ^" [2 | cos Bwt + 27) -
- sin Bcj* + 27)] + ...,

10.4] Гамильтонова теория специальных функций 459
)
-) С sin (u>t + 7) + %r [sin Bwt + 27) -
\Qj / О L
-2 - cos Bwt + 27)] + ...,
где о; = а + Act — частота, зависящая от начальных условий.
10.4. Гамильтонова теория специальных функций
10.4.1. Найти решение уравнения
методами гамильтоновой динамики [118].
Решение. Уравнение A) можно представить в виде системы
A)
х\ = ж2, х2 = -Вх2 — Сх\ B)
с гамильтонианом
Я(ж, р, t) = рхх2 - Р2 (Вх2 + Схг) = Hmn(t) ршхп,
где Нг1 = 0, #12 = 1, Н21 = -С, Н22 = -В. Если B(t), C(t) -
аналитические функции, то, полагая в (8.1.7) z^ = xi, получим решение
в виде ряда по степеням t.
Пусть B(t), C(t) удовлетворяют условиям Фукса [109] в точке t = 0:
B(t) = ^ + b(t), b(t) = bntn~\
n=l
j.n-2
C)
), c(t) = cntn~2.
1 n=l
В этом случае t = 0 является регулярной особой или правильной
точкой. Выделим матрицу НтЬ, описывающую поведение решения
в особой точке: Нтп = НтП + hmn,
П —1
7 Т ' h=~ с Ь '
и представим гамильтониан в виде Н = Hq + А Я,
Я0 = Н^РтХп = Р\Х2 -p2\-rX2Jr-^X1),
АЯ = НтпРтХп = —р2 (рХ2 + СЖх).

460 Метод удвоения переменных [Гл. 10
Фундаментальная
порождаемых Яо,
1
система
&г=х2
Со
Рг = 7
зависит
A-6о±
решений уравнений
. _ bo со
' t t
от корней
Р2,
1
+ 2Ьо
1 2
- 46о>
D)
E)
характеристического уравнения s (s — 1) + 60s + со = 0. Пусть 4fc < 1.
Тогда решение уравнений D), E) имеет вид (см. также задачу 8.4.5)
Ж
Здесь А^„ — элементы матрицы, столбцами которой являются соб-
собственные векторы системы D):
tSl
сг = 52 — si. Заметим, что матрица Ат11 образована собственными
векторами
системы E). Решение F) является КП z —>• z', причем эволюция
переменных zf определяется гамильтонианом
H\z\ t) = hmnA^A-lp'^ = -р2(р', t) [b(t) x2(x', t) +
+ с(^)ж1(ж/, t)] = a'^p^xy.
Полагая в (8.1.7) z^ = xi, eh = Я', получим решение уравнений B)
Xi(t) + J <fti GiTO(t, *i) Я^п(*1) 5n(*i) +
о
J<fti J Л2 Girn(^, *x) Я^п(*х) Gnfe(*i, *2) Я^.(*2) ^-(*2) + • • • G)
о о

10.4] Гамильтонова теория специальных функций 461
Здесь Girn(ta,tn) = -[xi(ta),pm(tb)] — двухвременные функции,
пропорциональные функциям Грина. Ряд G) содержит СП двух типов:
После интегрирования G) имеем
Х1 = -у= [тфх'ю + U2(t)X20] , (8)
где ui(i), u^it) — два линейно независимых решения уравнения A).
При вычислении интегралов воспользуемся обозначениями, введенны-
введенными Трикоми [109, с. 281]:
fn(s) = sbn + cn, f(s) = s (s - 1) + bos + c0 = (s - si) (s - 52),
поскольку подынтегральные выражения содержат характерные струк-
структуры
оо
sb(t) + tc(t)= fn(s)tn-\
n=l
Пусть сг не равно целому числу. Тогда, учитывая значения интегралов
Г tn f ntn~1
I d*i Gi2(*, ti) t"~2 = jT-r, j dt\ G22(t, ti) t"~2 = ,
о о
получим
/(n + ei) /(m + n + si)/(n + si)
L n=l n,m=l J
Второе независимое решение v,2(i) следует из (9) после замены si —> S2.
В том случае, когда si — s2 = а — целое полож:ительное число, функция
() содерж:ит 1п^:
n=i
Гамильтонов подход к решению линейных уравнений с переменными
коэффициентами существенно проще классического метода интегри-
интегрирования с помощью рядов.

462 Метод удвоения переменных [ Гл. 10
10.4.2. Найти решение уравнения для вырожденной гипергеомет-
гипергеометрической функции и = F(a, 7? t):
Решение. Используя обозначения задачи 10.4.1, найдем 6q = 7э ^1 —
= —1, с\ = —а, остальные коэффициенты равны нулю. Гамильтониан
Н = Но + АЯ, #о = ргх2 - -JP2X2, АЯ = р2х2 + j
Учитывая значения корней si = 0, 52 = 1—7? получим два независимых
решения:
W1 а а (а
= ! + " * + 7G
U2(t) = t1 (
t
2!
Ill
■ь... = ф(.
11~^Ф(а-
a,
7
75 i
+ 1.
, 2
~75
где Ф(а, 7, i) — ряд Куммера [5, 121]. Если произвести КП х'о, р'о —>•
" "
(, 7
ж", р":
ж20 = ~7= Х2 ?
Ко = -7= Pl> P20 = V°P2, СГ = 1 - 75
то решение приобретает вид
хх = Ф(а, 7, *) «'/ + A - 7) i1 Ф(а - 7 + 1, 2 - 7, -*) *2 • B)
Найдем теперь решение A), не выделяя в гамильтониане неаналитиче-
неаналитическую составляющую Н$. Полагая в (8.1.7) z^ = x\, eh = Я, получим
[2 2
*-7*Aп*-1) + V + ^Г Aп2^-2 In*+ 2)-
Здесь для упрощения формул взято значение а = 0. В этом случае
т = Ф@, 1, i) = 1. Можно заметить, что второе независимое решение
представляет собой точное решение
A - 7)1 ехр (-7 In t) ФA - 7, 2 - 7, 0>
разложенное в ряд Тейлора по степеням 7- Возникновение логариф-
логарифмических вкладов обусловлено применением теории возмущений для

10.5] Сингулярно-возмущенные уравнения 463
гамильтониана, неаналитического в точке t = 0. Аналогичная лога-
логарифмическая расходимость появляется в квантовой теории поля.
10.4.3. Построить алгоритм диагонализацнн гамильтониана
H{x,p,t) = Hmn(t)pmxn. Рассмотреть случай Нп = Я22 = 0,
#12 = 1, #21 = R(t) > 0 при t > 0 [95].
10.5. Сингулярно-возмущенные уравнения
Теория возмущений занимает центральное место среди приближен-
приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Однако
в задачах с малым параметром е при старшей производной сколь угодно
малые изменения параметра приводят к конечным приращениям ре-
решения. При е = 0 понижается порядок уравнения. Различие фазовых
траекторий исходной и вырожденной систем существенно усложняет
получение приближенных решений. Сингулярные уравнения встреча-
встречаются в механике, релятивистской теории поля и, в основном, в теориях
движения плазмы, жид кости и газа.
Трудности решения подобных систем явились причиной создания
нескольких асимптотических методов [77, 78,126-128]. Известные мето-
методы внешних и внутренних разложений, сращивания, многих масштабов
и другие, представляют весьма громоздкую процедуру; в ряде методов
отыскивается лишь решение конкретной краевой задачи, отсутствует
алгоритм построения высших приближений.
Гамильтонов подход в теории сингулярно-возмущенных уравнений
существенно упрощает вычисления. Более того, необходимость оста-
оставаться в группе движений кососимметричной метрики позволяет по-
построить единый алгоритм общего решения [1, 126].
Рассмотрим систему
ех = /(ж, у, t), y = <p(x,y,t), e < 1. A0.5.1)
Введем пространство Я4 с координатами ж, у, импульсами р, тг и га-
гамильтонианом
Я(ж, у, р, тг, t) = -pf(x, у, t) + 7T(p(x, у, t). A0.5.2)
Первая пара канонических уравнений совпадает с A), а вторая образует
ассоциированную систему
При е = 0 система A) становится вырожденной. Определяя из первого
уравнения A) х = х^(у, £), получим уравнение
y = <p{xW(y,t),y,t). A0.5.5)

464 Метод удвоения переменных [Гл. 10
Решение вырожденной системы у = y^(t), x = x^(jj^°\t), t) соот-
соответствует медленному движению с характерным временем Т.
Основой известных методов решения A) является исследование эво-
эволюции на многообразии вырожденной системы. Ниже развит подход,
в котором первый этап связан с исследованием решения на много-
многообразии быстрых движений при е <С 1. Структура гамильтониана
B) показывает, что основной вклад в первом приближении должны
вносить траектории, порождаемые составляющей
pf(,y,t). A0.5.6)
Соответствующие канонические уравнения
ex = f(x,y,t), y = 0, A0.5.7)
ер = -рд/х, е* = -р% A0.5.8)
существенно проще исходной системы. После интегрирования G)
x = R(x',y',t), y = y' A0.5.9)
уравнения (8) — линейная система с переменными коэффициентами:
dR\-x d OR . .,
) (
Ее решение можно представить в виде
\-1df f (dRY1 d dyf /1ПС1Пч
\{oJ) лГЙ7' A0-5Л0)
где z' — постоянные, играющие роль новых канонических переменных.
В этом приближении решение (9) правильно описывает быстрое дви-
движение в области вне кривой х = х^°\у, t), т.е. обладает свойствами,
характерными для пограничных функций. Более того, из (9) следует
соотношение R(xl, у'', t) -> х^\у'', t) при е -^ 0. Медленная эволюция
штрихованных переменных определяется гамильтонианом H'{z', t) =
= АЯ(ф', *), *),гдеДЯ(г, ^) = тг^(ж, у, t).
Выделим в H'(z'', t) составляющую Hf0(zf, t), которая позволит
получить первый член равномерно-пригодного решения системы A).
Наложим требование, согласно которому переменные zf определяют
медленное движение в окрестности кривой х = x^°\yf, t). Тогда доста-
достаточно ограничиться приближением
R(x', у', t) = Я@, у', t) + х' (|4),о + • • •,

10.5] Сингулярно-возмущенные уравнения 465
, у', t) = ,(R@, у', t), у', t) + х> (f*)^ (fg)^ + ...,
y () ,
Х / х'=О \Oxf / R=R0
где Яо = Я@, у, t). Гамильтониан
KW, t) = Jim [*V(K@, „', t), „', t) + v.x. (hi ||)^] =
Заметим, что решение уравнения
у'=[у', Hb(z',t)]=<p(x<-°\y', t), у', t)
совпадает с решением вырожденной системы E). Решение второго
уравнения х1 = [ж', Яо(^', £)] определяет медленную эволюцию пе-
переменной х1. Решение полной системы
z'a = [z'a, H'0(z', t)] A0.5.12)
является КП zf —> zff. На этом этапе вычислений решение исходной
системы A) имеет вид z = z{z!{zh', t), t). Эволюция переменных
z" определяется гамильтонианом Hn(z", t) = АН' (z'(z", t), t), где
AHf(zf, t) = Hf(zf, i) — H'0(z', t). Теперь высшие приближения могут
быть получены на основе канонической теории возмущении.
10.5.1. Найти решение уравнения
+ c(t)u = O, £<1. A)
Решение. Полагая х = и, у = ей + Ьи, получим систему
ех = у — Ьх, у = F — с) х
с гамильтонианом A0.5.2), где f = у — 6ж, (р = (Ь — с) х. Решение
вырожденной системы A0.5.5)
х = Ь"ху, у = 6e~w, m = \dt | .
Решение системы A0.5.7), A0.5.8) у = yf,
L' + |jdilexp(^)] exp(-^), 7 = \dtb(t),
х= L' + |

466 Метод удвоения переменных [Гл. 10
Гамильтониан A0.5.11)
Решение системы, порождаемой Яд,
xf = a/'b^e™, у1 = у"Ъе-ш,
pf =p"be-m, тг' = тг"Ь-1егп.
Решение A) на этом этапе имеет вид
и = х'Ъ^е™^^ + у"е-т, у = уЧе'™. B)
Решение A) в стандартном каноническом формализме приведено
в § 9.1. Пусть b(t) = 2t + l,c = 2 [78, с. 163]. Из B) находим
9 //
[t -\- t~\ 2?y
-b .
£ J Z6 + 1
Решение краевой задачи и@) = а, иA) = /3, приведенное в [78],
получим при хп = -3/3 + а, у" = 3/3/2.
10.5.2. Найти решение задачи Коши и@) = 0, й@) = v уравнения
ей + й + и = 0, £ < 1. A)
Решение. Уравнение A) описывает движение осциллятора «массой»
£ в среде с линейным трением. Соответствующая A) система опреде-
определяется гамильтонианом
#(ж, р) = -pf + n(p, f = y-x, (f = ~x.
Точное решение уравнений A0.5.3), A0.5.4) является суперпозицией
собственных векторов (и = х)
х
У
= Л2 - Ль
Это решение представляет КП г —>• z', обращающее гамильтониан
в нуль. Очевидно, сохраняются СП, вычисленные по новым перемен-
переменным. Поскольку е <!С 1, то Ai ~ 1 — 1/е, А2 — — 1. Учитывая начальные
условия, получим
ж(*) ~ ev (е-' - е*"*/£), y(t) ~ eve"* B)

10.5]
Сингулярно-возмущенные уравнения
467
Графики этих функций изображены
на рис. 10.5.2 цифрой 2. Проследим,
как с каждым шагом приближенное
решение асимптотически стремится
к точному. После первого шага
Решение задачи Коши
x(t) = ev(l-e-t/£), y = ev
изображено на графиках с цифрой 1
(рис. 10.5.2). Функция x{t) правиль-
правильно описывает решение в небольшой
окрестности t < е. Однако уже второе
приближение
х' = х"е\
р' = р"е-г,
приводит к общему решению
х =
у"е~\
C)
У = у"
У
8V
Рис. 10.5.2
из которого следует B). Эволюция переменных zff определяется га-
гамильтонианом
H"(z", t) = -7г"х"е2г-г/£+р"у"
Полагая в (8.1.7) z^ = х"\ у"', eh = Нп\ найдем
Подставляя эти функции в C), получим решение исходного уравнения
Решение линейного сингулярно-возмущенного уравнения на основе
методов внешних и внутренних разложений, сращивания или метода
многих масштабов существенно сложнее изложенного здесь подхода.

468 Метод удвоения переменных [Гл. 10
10.5.3. Найти общее решение уравнения [126]
ей + \и\ й - и = О, е <С 1. A)
Решение. Полагая и = ж, получим систему
х2
ех = у- F(x), y = x, F(x) = — signx
с гамильтонианом A0.5.2), / = y — F(x), (p = х. Ограничимся решением
в области х > 0, у > 0. Решение вырожденной системы
x=
Решение системы A0.5.7), A0.5.8)
х= Vt
Заметим, что сохраняются СП, вычисленные по переменным z1. Га-
Гамильтониан A0.5.11)
H'0(z', t) = тг' 2у'-^=.
Решение системы A0.5.12)
У - 2
На этом этапе равномерно-пригодное решение A) имеет вид
Аналогичное уравнение рассматривал Коул [129, с. 41].
10.5.4. Найти решение уравнения Ван-дер-Поля [126]
ей
й- A - и2) й + и = 0, е < 1. A)
Решение. Положим и = х, ей + F(w) = 2/, F(w) = u3/S — и. Тогда
A) эквивалентно системе
ех = у- F(x), у = -х

10.5] Сингулярно-возмущенные уравнения 469
с гамильтонианом A0.5.2), где / =
= у — F(x), (р = —х. Исключая
£, запишем уравнение интегральной
кривой [у — F(x)) dy/dx = —ex.
При е <С 1 для всех точек (ж, у) ^
(исключая точки, близкие к кривой ~^Хс -2/3
у = F(x)) поле направлений гори-
горизонтально. Исходя из этого, видим,
что интегральная кривая, выходя-
выходящая из произвольной точки, будет
притягиваться к внешним (|ж| > 1) участкам кубической параболы
у = F(x) (рис. 10.5.4). Если точка К определяет начальное положение,
то система быстро приближается к кривой F(x) (поскольку ж велико),
затем медленно перемещается влево. После достижения точки В про-
происходит быстрый скачок в точку С, затем следует медленное движение
в области —2 ^ х ^ — 1 до точки D и снова скачок в точку А [130].
Далее система совершает циклическое движение по контуру ABCDA.
Период колебаний определяется приближенно выражением
в
Рис. 10.5.4
Рассмотрим вырожденную систему. В области —2/3 < у < 2/3 уравне-
уравнение у = F(x) определяет три действительных корня хп(у), п = 1, 2, 3.
При у < —2/3 остается действительный корень Х\{у), а при у > 2/3 —
действительный корень х$(у).
Получим решение системы A0.5.7), A0.5.8) в области у > —2/3,
х > Х2(у). Тогда основной вклад в интеграл
ь
dx _ t
+ F(x) =~~e
дает область х ~ х$(у), в которой
/(ж, у) ~ -(х - хз) (х\ - 1) - (х ~ х3J х3.
Интегрируя, получим решение A0.5.10)
Очевидно, [ж, р] = 1. Поскольку thz ~ 1 при z ~ 3, то B) описывает
быстрое движение системы.

470 Метод удвоения переменных [Гл. 10
Найдем теперь x${t). Гамильтониан A0.5.11)
xi-1
Для получения решения системы A0.5.12) произведем предварительно
КП у', тг' -)• ж3, v:
, OF
Т дх3 '
порождаемое производящей функцией F3^3, тг') = — тг' F(xs). В пере-
переменных ж', жз, р' гамильтониан
, _ ухз ух
0 ~~ 2 — 1 2 — 1
приводит к системе
Ж ~ т2 - 1 '
C)
хз + 1 , 2рГжгж3
Из первого уравнения C) находим
£ = t + x'a. D)
Определяя из D) функцию жз = жз(^), получим решение оставшихся
уравнений C)
х' = х"х^, р1 =: р"х3, v = v(x", х'3, р", v1).
Подставляя в B) функции Жз(£), x'(t), получим равномерно-пригодное
решение уравнения Ван-дер-Поля.
Основная трудность в реализации последнего шага — неявная зави-
зависимость Жз(£). Используем гамильтонов подход для решения этой про-
проблемы. С этой целью запишем первое уравнение C) как каноническое
с гамильтонианом h:
x = [x,h], h = - Iх . E)
х — 1
При исследовании решения E) в области х ~ 1 представим h в виде
h = ho + А/г, где
х (х - 1)

10.5] Сингулярно-возмущенные уравнения 471
Решения
х= [1+ 1-4(* + ж')]1/2, p = -p'x(t) [x2(t)-l]
уравнений
г . i 1 • г i 1 Зж2 +1
X — [X, flQ\ — 2
порождаемых гамильтонианом /го, является КП ж, р —)• ж', р'.
Эволюция штрихованных переменных определяется гамильтонианом
h'(x', р', tr) = р' l-4:(t + x'). Полагая в (8.1.9) FM = ж2, eh =
= Ы(ж', р', t), получим
t
ж2 = ж2(ж0, t) + j d*i [ж2(ж0, t), /г'К, р7о, *)]+...=
Этот результат совпадает с приведенным в работе [129, с. 53]. Для на-
нахождения решения в области ж ^> 1 представим h в виде h = Ко -\-АК,
где
р
V0= х
Решение уравнений, порождаемых Kq,
х= 2 (ж' - t), р = р7 2 (ж' - *).
В новых переменных
Из (8.1.7) следует решение в виде ряда теории возмущений
х=
Решения F), G) определяют xs(t) в наиболее важ:ных областях. Под-
Подставляя xs{t) в B), найдем равномерно-пригодное решение уравнения
Ван-дер-Поля. Движение в области у < 2/3, ж < Х2{у) можно рассмот-
рассмотреть аналогичным образом.

Глава 11
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
11.1. Кинематика
Пространство Минковского частной теории относительности состо-
состоит из точек, называемых событиями. Четыре числа х^ (/х = 0, 1, 2, 3)
представляют собой локальные координаты события: значения х1 = ж,
х2 = у, х3 = z определяют положение частицы в декартовой системе
координат, х° = ct — временную координату события, с — скорость све-
света, t — момент времени, фиксируемый по часам, помещенным в точку
ж, у, z [2, 160].
Пространственно-временной интервал ds между событиями х^
задается квадратичной формой
giiu = dmg A, — 1, — 1, —1) представляет собой контравариантный тен-
тензор второго ранга. Скалярное произведение 4-векторов а^ = (ао, а),
b^ = Fq, b) определяют соотношением
a^b^ = g^ayhv = aobo - ab.
Здесь а^ = g^a^ — («о, —а). Обычно используют упрощенную форму
записи скалярного произведения ab — ам6^, а2 = а^а^ = а^ — а2.
Преобразование Лоренца. Пусть х^ — координаты события
в инерциальной системе К, х'^1 — координаты того же события в си-
системе отсчета К', движущейся относительно системы К со скоростью
и. Координаты события связаны преобразованием Лоренца
х = х' + 7L/3 [^0^ + ct'] , A1.1.1)
где C = и/с, 7l — A — и2/с2) Х12. Обратное преобразование следует
из A) после замены t —)• tf, x —»• х', /3 —> —f3.
Скалярное произведение 4-векторов инвариантно относительно пре-
преобразования Лоренца.
Энергия и импульс частицы массы т, движущейся со скоро-
скоростью V,
Е = тс2<у, p = mv7, 1= , 1 , A1.1.2)

11.1] Кинематика 473
представляют собой компоненты 4-вектора импульса р^ = (Е / с, р).
Отметим, что (Е/сJ — р2 = (тсJ или р^р^ = (тсJ — масса частицы
инвариант.
Масса системы невзаимодействующих частиц. Массы двух
невзаимодействующих частиц — mi и m<i- Энергия и импульс этой
системы Е = Ei + Е2, р = Pi + Р2- После подстановки Е и р
в A1.1.2) можно говорить о составной частице массы га, движущейся со
скоростью v = р/Е. Инвариантную массу М найдем из соотношения
М = (рцР^ /с2I/2, где р^ = Pi + р%- Значение массы М одинаково во
всех инерциальных системах отсчета. Отметим, что каждая из частиц
rai и ТП2 может быть рассмотрена как составная [2].
Рождение новых частиц при столкновении двух частиц масс
rai и ТП2- Если рождаются две частицы масс rai и га2, то процесс
столкновения называется упругим. При неупругих столкновениях мо-
могут рождаться новые частицы в реакции rai+7722 —> mx = гааН-гаь + . • .
Законы сохранения энергии и импульса
Ei + Е2 = Еа + Еь + ..., pi + Р2 = Ра + Рб + •. •
выполняются независимо от характера столкновений. Условием реали-
реализации реакции является неравенство
М ^ гаж, тпх = тпа + тпь + • • • A1.1.3)
Из этого условия можно найти значение пороговой энергии, т. е. наи-
наименьшее значение кинетической энергии сталкивающихся частиц, при
котором рождаются частицы общей массы тх. При М = тх все
родившиеся частицы неподвижны в системе отсчета, движущейся со
скоростью v.
11.1.1. Распад д-мезона. В 1937 г. в космических лучах бы-
были обнаружены нестабильные элементарные заряженные частицы —
мюоны (устаревшее название — /х-мезоны, от греч. mesos — средний)
массы равной 207 массам электрона. Время жизни мюона г = 2,2 мкс.
Одна восьмая часть мюонов, образовавшихся на высоте Н = 60 км,
достигают поверхности Земли. Найти скорость мюонов и интервал
времени, за который мюоны достигли поверхности Земли.
Решение. Если в момент времени t = 0 число неподвижных мюо-
мюонов равно No, то через 2,2 мкс половина из них распадется, рождая
электрон и два нейтрино. Половина оставшихся мюонов распадается
в следующие 2,2 мкс и т.д. Следовательно, в момент времени t останется
N(t) = No A/2)*/г мюонов.
Рассмотрим мюоны, образовавшиеся на высоте Н = 60 км в момент
времени ti = 0. Предположим, что все мюоны летят вертикально вниз
с одинаковой скоростью. Найдем время полета мюонов ^2 по часам
наблюдателя, находящегося на Земле, и величину скорости мюонов
и. В системе отсчета, связанной с движущимися мюонами, прошло
время £2, в течение которого осталась одна восьмая часть от общего
числа: N(tf2) = Nq/8 или t'2 = Зт. Согласно Эйнштейну в системе

474 Релятивистская динамика [Гл. 11
К соответствующий интервал времени t<i = 7^2? 7 = A ~~ и2
Поскольку Н = uti, то из уравнения Н/и = Ът A — и2/с2)'1/2 находим
и = сН [(ЗгеJ + Я2] «с. Время полета
t2= CrJ+( —) « H/c = 200mkc.
Движущиеся мюоны распадаются медленнее неподвижных мюонов.
Если бы ход времени во всех системах отсчета был бы одинаков, то
время полета до поверхности Земли соответствовало бы t^jr « 90 пе-
периодам полураспада. После 90 периодов осталась бы лишь N(t2)/N0 =
= A/2)90 « A0)~27 часть от первоначального числа мюонов (мы учли,
что 210 « 103).
11.1.2. Частица движется в однородном постоянном магнитном
поле в плоскости z = 0 по окружности радиуса Я:
x(t) = Я sino;t, y(t) = ЯA - cosut).
В момент времени t = 0 скорость частицы v = (о;Я, 0, 0). Найти урав-
уравнение траектории в системе К1\ движ:ущейся относительно системы К
со скоростью v.
Решение. Из A1.1.1) получим преобразование Лоренца
[fv\2 1
ujt — f - J smujt ,
x' = 7 (x — vt) = 7Я (sinujt — cut), у1 = у = R A — cosujt).
Траектория частицы представляет собой циклоиду. Для частицы, дви-
движущейся со скоростью v ~ с, величина 7 ^ 1. В интервале лаборатор-
лабораторного времени £, удовлетворяющего условию ^ио \t\ ~ 1,
Уравнение траектории — кубическая парабола у' = (Я/272) x
х (б72|ж/|/ЯJ/3. Производная dy'/dx' имеет разрыв.
11.1.3. Фотографирование стержня. Стержень длины А дви-
движется по оси х со скоростью и. Найти длину стержня, измеренную по
данным на фотографии стержня [161].
Решение. Измерение длины стержня — процедура, не связанная
с фотографированием стержня. Когда мы видим или фотографируем
какое-нибудь тело, мы регистрируем излучение, одновременно пришед-
пришедшее к сетчатке или к фотопленке. Пусть на концах стержня а и b
находятся источники света. Если наблюдатель, находящийся в начале

11.1]
Кинематика
475
координат системы отсчета К,
видит удаляющийся стержень
в момент времени to, то на
фотографии получится «иска-
«искаженное» изображение, посколь-
поскольку стержень занимал различные
положения, когда источники а
и b излучили волны, одновре-
одновременно достигшие фотопленки.
На рис. 11.1.3 изображены ми-
мировые линии источников и двух
лучей хла(сг) и хлЬ(сг): первый
испущен источником а в точке
xa(ctai) B момент времени tai,
второй — источником b в точке
xb(ctb2) в момент времени tb2:
Xna(ct) = Xa(ctal) - C(t- tal),
Ж I f*"t 1 I —I— ll~fr -1
Наблюдаемая длина стержня d равна разности оптических длин
c(to ~ tai) = xa(ctal), с (t0 - tb2) = xb(ctb2) лучей а и b: d = c(tb2 -
— tai). Две волны падают на фотопленку одновременно, если жла(с£о) =
= хль(&о). Из этого уравнения получим 0 = А/7 — (и + с) (tb2 — ta\).
Следовательно, видимый размер стержня d = X/[j (l-\-u/c)] окалсется
далее меньше, чем длина стержня / = Л/7, измеренная в системе
К. Если стержень приближается к фотографу, то видимый размер
стержня //(/ — и/с).
11.1.4—11.1.5. Измерение скорости тела.
11.1.4. Пусть тело, к которому прикреплено зеркало, движется
вдоль луча зрения наблюдателя, удаляясь от него. Световой импульс,
посланный к зеркалу в момент времени ti, возвращается в момент
времени t%. Найти скорость тела.
Решение. Мировые линии сигналов до отражения Xf(t) = c(t — t±),
после отражения xr(t) = c(t — £3) и тела x(t) = fict изображены на
рис. 11.1.4. Из условий x(t2) = Xf(t2) = xr(t2) находим
CtaX Ctb2 CtQ\
Рис. 11.1.3
= xb(ctb2) - c(t-tb2),
Л
1-
Следовательно, скорость тела
и =
Найдем момент времени прихода сигнала к телу по часам системы
К1. Подставляя в преобразование Лоренца ct2 = 7l [ct2 — C x(t2)] зна-
значение x(t2) = Cct2, найдем t2 = tillh- Световая вспышка наблюдается
в системах К' и К в моменты времени t2 = kt±, £3 — ktr2 = k2t±.

476
Релятивистская динамика
[Гл. 11
Ч ct
Рис. 11.1.4
Т k2T k4T
Рис. 11.1.5
ct
11.1.5. Наблюдатель после посылки сигнала поставил зеркало, ко-
которое отражает лучи обратно к движущемуся телу. Найти последова-
последовательность моментов времени, в которые световой импульс отражается
от обоих зеркал.
Ответ: см. рис. 11.1.5.
11.1.6. Движение со сверхсветовой скоростью. В настоящее
время в научной литературе продолжается обсуждение проблемы суще-
существования частиц, движущихся со скоростью большей скорости света.
Они получили название тахионов (от греч. tachys — быстрый). Анализ
экспериментальных данных не позволяет пока говорить о реальности
этих объектов. Докажите, что хронологический порядок событий а
и b на мировой линии тахиона будет различным для наблюдателей,
находящихся в разных системах отсчета.
Решение. Обсудим, какие «сюрпризы» могут ожидать нас при
встрече с тахионами.
Пусть наблюдатель в системе К' встретился с наблюдателем в си-
системе К в момент времени t = t' = 0 и удаляется от него со скоростью
и. Оба наблюдателя регистриру-
регистрируют положение тахиона, движу-
движущегося со сверхсветовой скоро-
скоростью гц, > с. Рассмотрим два
события: (ta, ха = 0) — встреча
тахиона с наблюдателем в систе-
системе К и (tt, хь) — встреча та-
тахиона с наблюдателем в систе-
системе К'. В момент времени ta та-
тахион излучил сигнал, который
примет наблюдатель в системе
К' в момент времени t[. Сравни-
Сравнивая информацию о состояниях
тахиона в моменты времени t'b
и t[, он может сделать заключе-
заключение о процессах перехода из одного состояния в другое в интервале
t'b — t'a. С другой стороны, наблюдатель в системе К, приняв в момент
времени t<i сигнал, излученный тахионом в момент времени t'b, получит
свою информацию о тех же процессах, происшедших за интервал вре-
времени гъ — ta. На рис. 11.1.6 изображены мировые линии наблюдателя
ct\
1 ^
Act)
Рис. 11.1.6

11.1] Кинематика 477
xs(ct), тахиона xT(ct) и двух лучей xn(ct), xn(ct):
xs(ct) = Pet, C = — , xT(ct) = /3Tc (t — ta), /3T = —- ,
с с
xn(ct) = c(t - ta), хл{сЬ) = xs(ctb) - c(t- tb).
Из условия xs(ctb) = xT(ctb) находим tb = ta/(l - u/uT) > ta.
Величину t\ получим из условия xs{et\) = жл(с^): t\ = ta/(l —
— и/с). Момент времени t2 найдем из условия хл(&2) = 0: t2 =
= A + u/c)tb = A + u/c)ta/(l — и/иТ). Поскольку и < с < иТ,
то t\ > tb. Очевидно, что t[ > t'b. Следовательно, с точки зрения
наблюдателя в системе К тахион сначала пролетел мимо него (событие
а), а потом мимо наблюдателя в системе К' (событие 6). Наблюдатель
в системе К' сначала «увидит» событие b в момент времени t'b, а потом
событие а в момент времени t[. Мы приходим к выводу, очевидному
из рис. 11.1.6, что хронологический порядок событий а и b будет раз-
различным для каждого из наблюдателей. Пред пол ожим, что параметры,
характеризующие состояние тахиона, удовлетворяют уравнению неко-
некоторого необратимого процесса. Если наблюдатель в системе К видит
«старение» тахиона, то наблюдатель в системе К' увидит обратную по-
последовательность событий — тахион «молодеет». Причина и следствие
меняются местами и появляется возможность влиять на прошлое —
на уже реализовавшиеся события. По мнению некоторых физиков, это
ограничивает область существования тахионов малыми интервалами
пространства-времени, в которых строгая упорядоченность событий
утрачивает свою универсальность. Другие ученые считают, что эту
трудность можно обойти за счет более расширенной трактовки смысла
причинно-следственной связи.
11.1.7. Инвариантная масса двух частиц. Частица массы т2
сталкивается с неподвижной частицей массы mi. Найти инвариантную
массу двух частиц и импульсы частиц в системе центра масс (с. ц. м.).
Решение. Масса двух частиц М2 = т\ + 2pip2/c2 + m2. Вычислим
правую часть в системе покоя частицы mi, в которой р± = (rriic, 0),
р% = (Е2/с, Р2), Е2 = Т2 + т2с2:
су су
М2 = т\ Н—2 E2mi + т2 = (mi + т2J -\—% T2mi.
с с
В системе центра масс
Р? = (- #ю, -Ро), РЧ = (- #20, Ро), с2Р2 = Е20 - т\е\
Раскрывая 4-произведение (pi + p2)^pi/j, в с. ц. м. и в системе покоя
первой частицы, получим уравнение МЕю = mi (mic2 + E2), из
которого находим
Рп =
М

478 Релятивистская динамика [Гл.11
/
Нерелятивистское приближение. В лабораторной системе Еп
тпс2 + mnvl/2, рп « mnvn,
Me2 « (mi + ш2) с2 + - /x(vi - v2) ,
11.1.8. Найти Ttr — пороговую кинетическую энергию тг+-мезона
при неупругом рассеянии на неподвижном протоне в реакции тг+ + р —}
—} р + 7Г+ + 7Г+ + 7Г~.
Решение. Полагая т1 = шр, т2 = тп, Е2 = (тпсJ + Т2, получим
квадрат инвариантной массы М2 = (гтгр+г?г7ГJН-2г?грТ2/с2. Из условия
рождения A1.1.3) находим
Ttr = 2тп \l + ^!^L1 с2, Ttr = 0,36 ГэВ.
11.1.9. Найти пороговую энергию фоторождения тг°-мезона при
взаимодействии 7-кванта с неподвиж:ным протоном в реакции 7 + Р ^
-^Р + 7Г°.
Решение. Полагая в уравнении A1.1.3) т2 = 0, Е2 = hv, mi =
= та = гтгр, ть = тппо, получим hv = mno[l + mno/Bmp)]c2, hv =
= 0,145 ГэВ.
11.1.10. Рождение антипротона. Найдите энергетический порог
рождения пары протон-антипротон в реакции р + р = 3р + рв случаях
неподвижной мишени и встречных пучков.
Решение. А. Столкновение с неподвижной мишенью. Ес-
Если первая частица покоится, то в лабораторной системе отсчета Е\ =
— rriic2, pi = 0, Е2 = гп2с2 + Tl. Инвариантная масса удовлетворяет
неравенству
2
M = (mi + т2J Н—2 miTb ^ ^^а + ^6 + • • •,
с
из которого находим пороговую энергию рождения частиц
Ть ^ TL пор, ^l пор = ^— [\та + ть + . ..) - (mi + m2) J.
В нашем случае массы всех частиц одинаковы и равны массе протона
тр. Следовательно, Ть пор — 6гпрс2. Подставляя значение трс2 =
= 0,938 ГэВ, получим Ть пор = 5,628 ГэВ. При значении Ть = Ть пор
масса сталкивающихся протонов М = 4тр.
Б. Столкновение встречных пучков. Рассмотрим столкнове-
столкновение одинаковых частиц, импульсы которых удовлетворяют условию
Pi + Р2 == 0- Полагая mi = m2 = mo, E\ = Е2 = m$c2 + Tq,
получим значение массы М = 2 (mo + Tq/c2). Из условия рождения

11.1] Кинематика 479
новых частиц следует неравенство
2(га0 + -^-То ) ^ та + га6 + .. ., -> Т0^Т0пор,
V с /
[ / _|_ _|_ \ 1 2
О ПОР г» \''"CL I >'"Ь I " ' ') lit О I С .
В случае реакции рождения пары протон—антипротон получим крите-
критерий рождения То ^ То пор = гарс2 = 0,938 ГэВ. При значении То =
= То пор инвариантная масса М = 4гар. Таким образом, для рождения
четырех частиц в первом случае необходимо разогнать один протон до
энергии Tl = 6гарс2, а во втором — каждый протон до энергии То =
= гарс2. Выигрыш очевиден, поскольку в первом случае энергия 4гарс2
бесполезно переходит в энергию центра масс системы и в процессе
взаимодействия протонов не изменяется.
Специально для детектирования реакции рождения пары протон-
антипротон был построен ускоритель в Беркли (США) — «беватрон»
с энергией пучка протонов 6,3 ГэВ. Антипротон был открыт в 1955 г.
(Нобелевская премия, 1959 г.).
11.1.11. "Ускорители на встречных пучках. Найти кинетиче-
кинетическую энергию относительного движения частиц равных масс.
Решение. Рассмотрим столкновение частиц равных масс т\ — т<± =
= га, движущихся навстречу друг другу; импульсы частиц р^ =
= (Е/с, р), р^ = (Е/с, — р). Кинетическая энергия частицы — Т.
Найдем кинетическую энергию относительного движения частиц
Тг = тс2 hr-l], 7r = --=^=,
1- —
где vr — скорость одной из частиц в системе покоя другой частицы.
Для этого запишем инвариант Р1Р2 = (MeJ/2 — (тсJ в системе покоя
первой частицы. Полагая р± = (тс, 0), р^ = (Ег/с, рг), Ег = тс2гуг,
получим p\pi = jrm2c2,
г,-± „„-„«■-!££-*«>.
В лабораторной системе Мс2 = 2 (Т + гас2). Следовательно, Tr = 4T +
+ 2Т2/(гас2).
Мы получили чрезвычайно важный результат. В ньютоновой меха-
механике всегда Тг = 4Т, т. е. возможен лишь четырехкратный выигрыш
в энергии при использовании встречных пучков частиц. В реляти-
релятивистском случае, когда Т ^> гас2, получаем существенное увеличение
энергии:
от2
Тг и ±4 > AT.

480 Релятивистская динамика [Гл.11
Самый большой в мире синхрофазотрон — «Тэватрон» Фермиев-
ской национальной ускорительной лаборатории в Батавии (США) раз-
разгоняет пучки встречных пучков протонов и антипротонов до энергии
Т = 1 ТэВ A ТэВ = 1012 эВ). Поскольку масса протона гар =
= 938,2796 МэВ/с2, то этот ускоритель эквивалентен обычному с энер-
энергией одного пучка Тг ~ 2 • 103 ТэВ.
11.1.12. Происходит реакция rai + m2 —> mi + m2: неупругое
столкновением электрона массы rai с неподвижным атомом массы
?7i2. В результате абсолютно неупругого взаимодействия образуются
электрон и возбужденный атом массы га2. Найти величину га2.
Решение. Пусть Е±, pi = (pi, 0, 0), Е2 = m2c2, pi = 0, Е[, р[ =
= (Pi, 0, 0), Е^, р2 = (р2, 0? 0) — энергии и импульсы частиц до и после
рассеяния. Из закона сохранения энергии-импульса следует уравнение
(£7х + ГП2С2J - с2р* = {Е[ + Etf - с2 (р[ + p'2f. A)
Поскольку столкновение абсолютно неупругое, то электрон и возбуж-
возбужденный атом неподвижны в системе центра масс, движущейся со ско-
скоростью v = (?p\j{E\ + rri2с2)- Следовательно, правая часть A) в соот-
соответствии с A1.1.3) равна [(mi + га2)с2] . Тогда из A) находим
m2 = (mi + m2)z -\
с
В предельном случае малых энергий Т\ <^С (mi + m<i) с2, Т\ к, miv2/2.
Используя разложение бинома Ньютона A + еI/2 « 1 + е/2, е <^С 1,
получим известный из классической теории результат:
т'2с2 и m2c2 + Q, Q =
777,1 + 777-2
Второе слагаемое, равное приращению полной энергии атома, свя-
связано с приращением массы атома т2 — m2 = Q/с2. Напомним, что
когда вторая частица представляет собой макроскопическое тело, то
величину Q называют приращением внутренней энергии тела.
11.1.13. Кинематика упругого рассеяния частиц. Частица
массы т2 сталкивается с неподвижной частицей массы т\. Найти
энергии частиц после упругого рассеяния, в — угол рассеяния в с. ц. м.
Решение. Интересно сопоставить решение задачи с результатами
нерелятивистской теории и получить новую информацию о кинематике
рассеяния релятивистских частиц.
Законы сохранения энергии и импульса можно записать в виде
закона сохранения 4-импульса:
В лабораторной системе р± = (mic, 0), р% = {Eijc, P2). Найдем
соотношение, связывающее угол рассеяния в в с. ц. м. и угол рассеяния

11.1] Кинематика 481
налетающей частицы в2. Для того чтобы исключить 4-импульс р-^
частицы rai, перепишем A) в виде
и возведем обе части в квадрат. Поскольку р^рП/л = р'пРпи = (mnC2J,
то
Раскроем 4-произведения в правой части в лабораторной системе:
pip2 = т\Е2, pip2 = m\E2. В с. ц. м.
Е'п0 = Епо, р2р2 = (га2сJ + Pq A - cos в), C)
где Ро — vn\P2jM. Подставляя эти выраж:ения в B), находим
Учитывая закон сохранения энергии rai с2 + Е2 = Е[ + Е'2, находим
li М2
Из E) следует, что в процессе рассеяния энергия первой частицы —
мишени приобретает наибольшее значение при в = тг: отношение мини-
минимального значения кинетической энергии налетающей частицы после
столкновения к значению кинетической энергии до столкновения
Е2 — m2c2 _ (mi — m2J , ,
Е2 - т2с2 ~ М2 ^
Предположим, что т2 <^С mi. Согласно классической механике
легкая частица может передать мишени небольшую часть энергии
Т[ « 4:(mi/m2)T2 <^C Т2. Ситуация меняется в случае релятивистских
энергий: если Т2 ~ raic2, то отношение F) мож:ет быть порядка 1/3 [2].
Рассеяние тождественных частиц rai = m2 = га. В класси-
классической механике угол между импульсами рассеянных частиц 6i2 =
— тг/2. Покаж:ите, что в лабораторной системе минимальный угол
разлета частиц в7^ определяется соотношением cos в7^ = Т2/(Т2 +
+ 4гас2). При Т2 <^С тс2 имеем классический предел.
11.1.14. Рассеяние фотонов на электронах. В начальном со-
состоянии 4-импульсы электрона и фотона соответственно равны р^ =
= (Е/с, р), hk^ = (hi//с, /шп/с), где п — единичный вектор в на-
направлении движения фотона. В конечном состоянии соответствующие
величины равны р'^ = (Е'/с, р'), hkffJ> = (hv'/c, hv'n'/c). Найти

482 Релятивистская динамика [Гл.11
частоту v1 как функцию единичного вектора п', направленного по
импульсу рассеянного фотона.
Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса системы
частиц рм + hk^ = p/fl + hkffl. Для того чтобы исключить импульс
рассеянного электрона, перепишем это соотношение в виде рм +
— hk/fJ/ = p/fJ/ и возведем обе части в квадрат: р^к^ = р^к'^ +
В результате получим
,,/_,, Е-рпс
Е -рп с + his A-nn) ' v ;
Полагая в A) p = О, E = тс2, найдем частоту фотона, рассеянного
на неподвижном электроне. Самый главный результат — увеличение
длины волны
А'= 4, А7 = А+ —A-пп7),
is тс v '
не зависящее от длины волны падающего излучения. Максимальное
смещение А А = 2/i/rac наблюдается при рассеянии назад (п; = — п).
Величину Ас = h/mc, Ас = 2,426 • 10~3 нм называют комптоновской
длиной волны. Этот эксперимент, проведенный в 1922 г. американским
физиком А. Комптоном, убедил ученый мир в том, что взаимодействие
электронов с рентгеновскими лучами происходит в результате столк-
столкновения частиц — электронов и фотонов (Нобелевская премия, 1927 г.).
Комптон-эффект является основной причиной возникновения
мощного электромагнитного импульса (ЭМИ) длительностью
менее 1 с непосредственно после атомного взрыва. Образующиеся
после деления урана-235 кванты имеют энергию hv та 0,8 МэВ.
Взаимодействуя с воздухом, они выбивают из атомов электроны,
которые приобретают релятивистские энергии. Асимметрия движения
электронов в вертикальном направлении анологична импульсу тока
в проводнике. В результате генерируется мощное излучение, образую-
образующее начальный импульс, и происходит разделение электронов и ионов.
Затем электроны движутся в обратном направлении, порождая новый
импульс. Поражающее действие импульса связано с возбуждением
ЭДС индукции в цепях радиоэлектронной и электротехнической
аппаратуры.
Преобразование света в рентгеновское излучение. Направим
световое излучение лазера частоты v навстречу пучку электронов,
движущихся с релятивистскими энергиями. Полагая в A) п = — р/р,
п' = р/р, получим частоту рассеянного излучения
Е-рс
Отсюда следует, что даже при взаимодействии фотонов небольших
энергий hv <С (гасJ/Е с релятивистскими электронами (Е ^> тс2)
частота
(
\
Е-рс \тс

11.2] Релятивистская динамика 483
Длина волны рассеянного «света» Л' = Л/472- При Е = 250 МэВ,
инфракрасный фотон (Л = 1 мкм) преобразуется в рентгеновский (А' =
= 10 нм).
11.2. Релятивистская динамика
Преобразование Лоренца электромагнитного поля. После
создания теории относительности стало ясно, что электрическое и маг-
магнитное поля представляют собой две формы единого электромагнит-
электромагнитного поля. Закон преобразования напряженности электрического поля
и индукции магнитного поля, измеренных в инерциальных системах К
и К1', движущихся со скоростью и = (и, 0, 0), имеет вид
Е'Х = ЕХ, E'y = lL(Ey-^Bz), E'z = lL(Ez + -cBy), A1.2.1)
7l = A — u2/c2)-1/2. При этом преобразовании сохраняются инвари-
инварианты ЕВ и Е2 — В2. Обратное преобразование получается из A1.2.1)
перестановкой штриха и изменением знака при скорости и на противо-
противоположный.
Пусть в системе К вектор Е = 0, В = @, 0, В). Тогда в системе К1:
£?; = 0, Ey = ~lLBz, E'z=0, A1.2.2)
в'х = о, в'у = о, в; = 1lb.
В наиболее важном случае, когда и « с, величины векторов Е' и В'
одинаковы. При малых скоростях w<c имеем
Е « Е' + - [В'и], В « В' - - [Е'и].
Уравнения двилсения зарялсенной частицы. Для того чтобы
уравнения движения сохраняли свою форму при преобразовании Ло-
Лоренца, второй закон Ньютона следует записать в виде
^ = еЕ+^ [vB], A1.2.3)
где р = ?nv7, 7 = [1"~ (^/сJ]/2. Очевидно, что при скоростях vCc
уравнение (9.6.3) совпадает со вторым законом Ньютона. Кинетическая
энергия частицы
Т = (тс2J + (рсJ - тс2 = тс2 | * - 11 .

484 Релятивистская динамика [Гл.11
Найдем теперь закон изменения кинетической энергии. Вычислим про-
производную dTjdt = v dp/dt и подставим сюда величину dp/dt из
A1.2.3). В результате получим
lit = 6EV* A1.2.4)
Лагранжиан, порождающий уравнения A1.2.3),
L = -тс2 1 - (v/cJ - e<p(t, r) + -vA(t, r),
где Aq = (р, А — скалярный и векторный потенциалы электромагнит-
электромагнитного поля, напряженности электрического и магнитного полей
8 А
Е=—^p-Vp, В = rot A.
act
Уравнения движения в представлении собственного вре-
времени.
В теории относительности пространство и время представляют
собой «компоненты» единого пространства-времени реального мира.
Однако в уравнении A1.2.3) время t играет выделенную роль. Для того
чтобы упростить решение уравнений, восстановим симметрию четырех
координат ж, у, 2; и жо = d, вводя параметр г соотношением dt = j dr.
Очевидно, т имеет смысл собственного времени частицы. Теперь ми-
мировую линию частицы можно представить в параметрической форме
х = х(т),* = *(т).
Для определения х(т) и t(r) необходимо найти решение четырех
уравнений движения A1.2.3), A1.2.4). Произведем в A1.2.3), A1.2.4)
замену t —> т. Обозначая точкой производную по г, получим
dx dx dr
J = t, 7V = 7- = 7--=x.
Очевидно, что координаты связаны соотношением
(с*J - х2 - у2 - z2 = с2. A1.2.5)
Отметим, что mc2i = Е, Е — релятивистская энергия,
di _ •• dr _ i
dt dt 7 '
Следовательно, уравнения A1.2.3), A1.2.4) приобретают симметрич-
симметричную форму
гпх = etE+ -[£B], A1.2.6)
тпсЧ= ехЕ. A1.2.7)

11.2] Релятивистская динамика 485
Запишем эти уравнения в ковариантной форме, вводя 4-потенциал
поля А^ = (Ло, А). В терминах тензора электромагнитного поля
уравнения A1.2.6), A1.2.7) можно записать в виде [2]
? = - F^x», A1.2.9)
где £" = dx^/dr, х» = 7 (с, v), 7 = [1 - г;2/с2]/2.
Лагранжиан, порождающий уравнения A1.2.9)
L = -\тх^ - - А^х» - \ тс2. A1.2.10)
Z с 2
11.2.1. При производстве пленки широкая тонкая полоса пластмас-
пластмассы протягивается со скоростью и через два последовательно располо-
расположенных ролика. В процессе обработки поверхность пленки приобретает
плотность поверхностного заряда а. Оцените индукцию магнитного
поля вблизи поверхности в центре пролета между роликами.
Решение. Пусть пленка расположена в плоскости ху, скорость плен-
пленки и = @, и, 0). В системе отсчета, связанной с пленкой, напряжен-
напряженность электрического поля в окрестности центра поверхности найдем
из закона Гаусса: Е' « @, 0, а/2ео), z > 0. Поскольку w < с, то
в неподвижной системе отсчета В = (fioau/2, 0, 0), Е = @, 0, Efz),
z>0.
11.2.2. Движение электрона в электрическом поле. Найти
решение уравнений движения электрона в постоянном однородном
электрическом поле. Потенциал поля (р(у) = Gy.
Решение 1. В этом случае Е — постоянный вектор. Пусть Е =
= @, —G, 0), 0 ^ у ^ d. Заряд электрона е = —ео- Уравнения A1.2.3)
приобретают вид [2]
Найдем решение A) при начальных условиях г@) = 0, v@) = 0. Из A)
получим
mV =e0Gt, vz=0. B)
у/1 - (v/cJ
Отсюда находим vx(t) = 0, vz(i) = 0, vy = v(t),
v(t) = , CoGt . C)
/l + (Gt/J

486 Релятивистская динамика [Гл. 11
Для значений £, удовлетворяющих условию t <С rac/(eoG), получим
знакомое выражение v(t) « eoGt/m. Для большего промежутка вре-
времени t ^> тс/ e^G имеем релятивистское приближение
Скорость частицы приближается к скорости света.
Найдем теперь скорость как функцию у-координаты. Из A1.2.4)
получаем уравнение Т — е$Еу = гас2, или
^с2. E)
Из E) найдем скорость в точке у = d. Поскольку потенциал поля
ip(y) = Gy, то разность потенциалов Vq = <p(d) — (f@) = Grf,
/^ _ 2е°Уо V1 + e0Vb/Bmc2)
m 1 + eoVo/mc
Очевидно, при eoVo/(mc2) ^C 1 имеем v(d) « BeoVb/?nI/2: реляти-
релятивистские эффекты несущественны. При значениях eoVo/(тс2) ^> 1,
v(d) « с.
Решение 2. Запишем систему уравнений A1.2.6), A1.2.7) в представ-
представлении собственного времени:
5 = 0, A)
ту = e0Gi, B)
5 = 0, C)
mc2i = e0Gy. D)
Из B) получим первый интеграл
После подстановки E) в D) следует уравнение
t = a2t, a = — G -+ t = - sh ar. F)
me a v y
Из E), F) получим формулу C) решения 1:

11.2] Релятивистская динамика 487
Из E) и F) имеем уравнение у = с sh ar, решение которого
11.2.3. Движение заряда в магнитном поле. Найти решение
уравнений движения заряда в однородном постоянном магнитном поле.
Решение 1. Из уравнения A1.2.4) следует, что сохраняется кинети-
кинетическая энергия частицы: v2 = const. Поэтому уравнение A1.2.3) можно
представить в виде (в СИ)
где 7 = [1 — (г?/сJ]-1/2. Оно отличается постоянным множителем j от
соответствующего уравнения нерелятивистской теории. Если началь-
начальная скорость v@) = vo перпендикулярна вектору В, то траектория
частицы представляет собой окружность. Из A) следует уравнение
тТ^ = %В, B)
где R — радиус окружности, v = vq. Поскольку величина импульса р =
— mjv, то р = eBR/c. Учитывая соотношение (рсJ = Т (Т + 2тс2),
представим B) в терминах кинетической энергии:
2mc2) = eBR. C)
Полагая в B) v = uj Я, получим частоту вращения частицы по окруж-
окружности:
еВ еВс п
или °° = 9 ?
+ Т 1 + Т/тс
где f£ = еВ /тс. В практике ускорительной техники частоту связывают
с радиусом орбиты:
еВ еВс п ...
UJ = = s или °° = 9 ? D)
гп7С шс + Т 1 + Т/тс
T + me2
Запишем полученные результаты в форме наиболее удобной для оценок
(в СИ):
] = зоовдям, ^[мгц] = ^ = f+mJ
Здесь Т выралсается в МэВ.
Решение 2. Пусть В = (О, О, В). Из A1.2.6), A1.2.7) следуют урав-
уравнения
х = Пу, у = -Пх, 5 = 0, 2 = 0, A)-D)

488 Релятивистская динамика [Гл.11
где ft = еВ/тс. Выберем начальные условия в виде
*@) = 0, х@) = 0, /@) = 7,
7 = * (° )
- (v/сУ
Тогда решение уравнений A)-D)
/ ч о (л ^ ч /ч О'Гк ТУ V°2
х[т) = R A — cosSZr), У\т) = Я sinSZr, Я = -=- ,
11.2.4. Бетатрон — первый ускоритель электронов. В 1940 г.
американский физик Д. Керст использовал переменное неоднородное
магнитное поле В (£, г) для ускорения электронов по окружности посто-
постоянного радиуса Я. Созданная им конструкция, получившая название
бетатрон, представляет собой вакуумную камеру, расположенную меж-
между полюсами электромагнита. Переменное магнитное поле порожда-
порождает переменное электрическое поле. Найти условие, которому должен
удовлетворять магнитный поток, пронизывающий круговую орбиту
постоянного радиуса Я.
Решение. Электрон движется в переменном аксиально-симметрич-
аксиально-симметричном поле, вектор-потенциал которого
-1?
Р }
о
В бетатроне Керста индукция магнитного поля
Магнитный поток Ф через поверхность круга радиуса Я равен
р
Ф{Ь) = 2п \dppB(t, р, 0).
Проекцию напряженности электрического поля на касательную
к окружности Ek можно найти из закона Максвелла-Фарадея
Edr= --г-:,
dot
В случае неоднородного магнитного поля имеем 2тгcREk = —d^/dt.
Подставляя значение Е^ в A1.2.4), получим уравнение
dT _ eov ^Ф A,
dt ~ 2-kcR dt '

11.2] Релятивистская динамика 489
Поскольку при движении по окружности р = cqBzR/ с, то из соотно-
соотношения dT/dt = v dp/dt следует
dT Dv dBz f .
R <2>
Сопоставляя A) и B), получим уравнение dBz/dt = A/2тгЯ2) d$/dt.
Пусть Bz@) = О, Ф@) = 0; в конце цикла ускорения Bz = Вш, Ф =
= Фт. Тогда Фт = 2(тгЯ2Вт). Это так называемое бетатронное пра-
правило «2:1»: полный поток через орбиту должен быть в два раза больше
потока, который создавало бы однородное поле индукции Вт [43].
В цепи электромагнита бетатрона Керста, содержащей катушки
индуктивности и конденсатор, возбуждались электромагнитные коле-
колебания с частотой v = ио/2тг = 180 Гц. Электроны с зарядом q = — ео
в течение четверти периода вращаясь по круговой орбите постоянного
радиуса а, ускорялись электрическим полем и приобретали кинетиче-
кинетическую энергию 20 МэВ на орбите радиуса R = 18,75 см при значении
Bzm — 0?36 Тл. Поскольку Т > гас2, Т « рс = eocBzmR. Запишем
это соотношение в форме наиболее удобной для численных оценок: Т =
= 300Bzm (Тл)Д(м) МэВ.
11.2.5. Бетатронные колебания в электронном синхро-
синхротроне. В электронном синхротроне электроны движутся по окруж-
окружности постоянного радиуса R со скоростью, близкой к скорости света.
Энергия электрона возрастает при прохождении ускоряющего проме-
промежутка в результате действия высокочастотного электрического поля.
Для обеспечения устойчивости пучка электронов полюсные наконечни-
наконечники магнита создают магнитное поле, вектор-потенциал которого в ци-
цилиндрических координатах
г
Ar = Az = 0, A^t, r, z) = - \t
z2 dB
о
B(t, r) = B0(t)(—) , 0 < n < 1.
Здесь Bft(t) — медленная функция времени. Найти частоту линейных
радиальных и вертикальных колебаний.
Решение. Компоненты напряженности магнитного поля
о _ дАу _ _^ du r\ d _ п В — х ^' ^v rsj u(+ г\ (л)
r dz г ' ^ ' z r дг '
Обозначим (^-компоненту вектора-потенциала электрического поля
в ускоряющем промежутке Л(£, г, z).
Лагранж:иан электрона, движ:ущегося в электромагнитном поле,
L = -тс2 [ 1 - (г2 + г2ф2 + z2)/c2 - — riplA^t, r, z) + A(t, tp, z)].

490 Релятивистская динамика [Гл. 11
Здесь точка обозначает производную по лабораторному времени. Урав-
Уравнения Лагранжа имеют вид
der _ .2 . и-i s-чр /п\
dt От '
— [ег2ф - ceorAp - ceorA] = -сеогф ^—, C)
d . . дАр , v
-r- g^ = —се^фг _ , D)
at oz
где £ = тс2 / 1 — (v/сJ — полная энергия электрона. Из закона
сохранения энергии следует уравнение
de . д{А^ + А)
at ■
Учитывая A), представим уравнения B)-D) в виде
= £Гф2 _ сеофг Bz(t, r), E)
2• л 1 • дгА , .агл , за , л
ery- ceorA^l = сеог -^— + ceoz -^— + се0 -^- , F)
d_ ^^2 • .i • ^^^ . • ^^^ , dA
dt
_ £i = -сеопгф Bz(t, r). G)
Ограничимся анализом фокусировки пучка электронов. В синхро-
синхротроне частота высокочастотного поля из равна частоте обращения элек-
электронов по орбите постоянного радиуса ф = с/ R. Тогда из E) следует,
что e{i) « eoRBz(t, Я). Энергия электронов медленно увеличивается
со скоростью, определяемой скоростью возрастания напряженности
магнитного поля.
Подставляя ф = П, ft = ceoBz(t, R)/e(t), r = R в G) получим
уравнение
— ez = —ceonzft Bz(t, R).
аи
Поскольку е <^ eft, то имеем уравнение вертикальных колебаний
z + il2zz = 0, Slz(t) = y/nSl(t). (8)
В том же приближении из E) получим уравнение
sir = егф2 - сеофг Bz(t, r),
правая часть которого при ф = П, г = R равна нулю. Полагая в E)
ф = с/г, г = R + р, и разлагая правую часть в ряд Тейлора, получим
уравнение радиальных колебаний
р + П2гр = 0, nr(t) = л/П^1 fi(t). (9)

11.2] Релятивистская динамика 491
В первом приближении метода усреднения решения уравнений (8), (9)
p(t) = -^= cos \dtttr(t) + >y , z{i) = -^= cos \dtUz(t) + a .
Отсюда следует весьма важный для техники ускорителей вывод —
с увеличением напряженности поля и энергии электронов амплитуды
бетатронных колебаний убывают. К концу цикла ускорения площадь
сечения пучка становится порядка нескольких квадратных миллимет-
миллиметров.
11.2.6. Движение в кулоновом поле. (Релятивистская задача
Кеплера.) Электрон взаимодействует с протоном, который движется
с постоянной 4-скоростью и^ по прямой х^(т) = 6м + и^т. Электро-
Электромагнитное поле, создаваемое протоном, определяется запаздывающим
4-потенциалом Льенара-Вихерта [1, 75]
Г^(х) = [х — ж(т)]М 2 U^ [Х ~ Х(Т)]и — (Х — ^)М 2 U^ (XU ~ Ьи),
Г^Га = (Х - ЬJ j (XU — ЬиJ.
С
Здесь sJ—г^Гу, — инвариантное расстояние от протона до точки на-
наблюдения в один и тот же момент времени. Найти решение уравнений
движения электрона в поле неподвижного протона.
Решение. Заряд электрона е = — ео- Лагранжиан системы в пред-
представлении собственного времени
L = -\mx^ + — A^.
Z с
В системе покоя протона и^ = (с, 0) 4-потенциал совпадает с куло-
новским потенциалом. Помещая протон в начало координат, запишем
лагранжиан в трехмерной форме:
2 ^ ' г
В сферической системе координат
L = \m(r2 + г2в2 + г2 sin в2 ф2 - c2i2)
Поскольку dL/dt = 0, то dL/di = const = —Н:
тт 21 ее0
Н = me t .
г

492 Релятивистская динамика [Гл.11
Учитывая соотношение с2 = c2i2 — х2, получим закон сохранения
полной энергии
1 .2 Я ево 1 2/^еео\2 1 / гг2 2 4\
2 шс2 г 2 \ г J 2mc2 V У
Очевидно сохраняется момент импульса и проекция момента на ось z:
Mz = ■—- = rnr2 sin в2 ф.
Полагая в = тг/2, получим закон сохранения полной энергии в виде
ФЧ ; 2тг [ z \ с J \ тс2 г
Отметим, что это решение имеет смысл при условии (еео/сJ < М2.
В нерелятивистском приближении Н = тс2 + Е, Е <^ тс2 эффек-
эффективная потенциальная энергия
11.2.7. Заряд в плосковолновом поле. Найти 4-скорость заряда
во внешнем поле, задаваемом потенциалом А^(х) = h(ip) а^, (р = кх.
В специальной системе
^ = @,1,0,0), к» = -п», ^ = A,0,0,1), kx = ujt--z.
Решение. Тензор электромагнитного поля A1.2.8)
Очевидно п2 = 0, a2 = — 1, na = 0. Эти соотношения существенно
упрощают интегрирование уравнений движения A1.2.9):
х» = — (к»ах - а»кх) |^ . A)
тс v ; д(р
Начальные условия х^ = 0, жм@) = v^ заданы в области, где h((p) = 0.
Образуя свертку A) с к^, найдем первый интеграл кх = kv. Следо-
Следовательно, на траекториях (р(т) = кх = kvr. Образуя свертку A) с ам,
получим еще один интеграл,
ах = — h(kvr) + av.
me v ;

11.2] Релятивистская динамика 493
Исключая ах из A), получим уравнение
тс L \тс ) J dtp
Интегрируя B), находим
» » + (Jк» ^ + k»h
х = v + ()к + kh ~
\mcj 2kv тс kv тс
Учитывая соотношения
запишем уравнение C) в виде
C)
A. Пусть h((p) = -(с/и>)Е0(р. Тензор F^ = -(c/u>) Eof". Век-
Векторы напряженности Е = (Eq, 0, 0), В = @, Е'о, 0) соответствуют
постоянному скрещенному полю.
B. Положим h((p) = —bcos<p. В этом случае тензор F^v =
= b sin (p f^u определяет линейно-поляризованную волну.
11.2.8. Заряд в поле электромагнитной волны. Линейно-
поляризованная монохроматическая волна, распространяющаяся в на-
направлении оси z, падает на свободную частицу заряда q. Напряжен-
Напряженность электрического поля волны [2]
E(t, х) = Е cos(ut - ^z\ E = (Е, 0, 0),
магнитная индукция
, х) = В cosLot - ^z), В = @, Е, 0),
где uj — частота волны. Найти решение уравнений движения.
Решение. В задаче 11.2.7 получено решение в ковариантной форме.
Здесь используем примитивный метод решения дифференциальных
уравнений.
Из A1.2.6), A1.2.7) следуют уравнения
тх = qE(i- ^)cos\u(t- |)J, A)
ту = 0, B)
тех = qEx cos ш( t — - j , C)
mc2i = qEx cos\wlt ) . D)

494 Релятивистская динамика [Гл.11
Начальные условия: t@) = 0, г@) = 0, i@) = 7, *@) = 7@, 0, v),
7=[l_(v/cJ]-l/2
Найдем скорость частицы v(t). Решение этой задачи позволяет
провести строгое исследование взаимодействия частиц с лазерным из-
излучением.
Из B) получим у (г) = 0. Вычитая C) из D), находим
(^) E)
Следовательно, на траектории частицы
t~-c=gr. F)
Учитывая E), F), получим из A)
тх = qEg cos (wgr), —> х(т) = sin (wgr)
mguj
Далее из системы уравнений A1.2.5) и E) следуют уравнения
G)
(9)
Из уравнений G)—(9) найдем неявную зависимость скорости и коор-
координат от времени. Особый интерес представляет предельный переход
w->0k случаю движения частицы в постоянном скрещенном поле.
11.2.9. Частица в поле плоской волны круговой поляриза-
поляризации, распространяющейся параллельно вектору напряженно-
напряженности постоянного магнитного поля. 4-потенциал поля
где (р = kx, £ — безразмерный параметр интенсивности волны с круго-
круговой поляризацией / = ±1. В специальной системе координат
е£1} = @, 1, 0, 0), е£2) = @, 0, 1, 0),
п» = A, 0, 0, 1), А^
Найти решение уравнений движения [162, 163].

11.2] Релятивистская динамика 495
Решение. Отметим, что в специальной системе 4-потенциал
с2£
(л тс2£ . By ,гас2£ I
= 0, sin у? +-г**-, Z -cos<£--i?a:, 0 ,
в z в L
= cot z.
Тензор электромагнитного поля A1.2.8)
Выберем начальные условия жм@) = 0, жм@) = и^. Решение
уравнений движения A1.2.9) будем искать в виде разложения по 4-
векторам:
B)
Здесь ггм = A, 0, 0, —1), х^ = dx^/dr — 4-скорость частицы, х^ =
= 7(с, v), 7 = [1 - ^/с2]/2. Из B) следует, что i = qs - q^ ci = q3 +
+ q4j ci - z = 2q4.
Образуем свертку A1.2.9) с вектором пм. Поскольку n^F^ = 0, то
пх = пи — первый интеграл, пх = пит, (р = кит. Из B) находим q4 =
= пи/пп (пп = 2). Далее из уравнений ci — z = пи и A1.2.5) получим
d, * = ±\nu+^u- (с2 + ж2 + у2). C)
Теперь, учитывая соотношения
Ч)*%) ()M f2) ()^ ^
/A) 6BI/ = fB)eQ> = 0' f{?)n» = 0'
найдем решение уравнений A1.2.9), соответствующих значениям \± —
= 1, 2. Образуя свертку A1.2.9) с векторами е^ч, е^ч, получим систему
ж = fty + с^/сгл cos у?, у = —Пх + lc£ku sin у?, D)
П = еВ/тс, (р = кит. Подстановкой х + гу — W{t) приведем систему
D) к уравнению первого порядка
W + iuW = c£kueilkuT. E)
А. Нерезонансный случай ки ф ft. Применяя метод вариации
постоянной, получим решение
W = Сое~тт - гс^ки е "I ~ 6ог Г , Со = иг + iu2.
iku + \l

496 Релятивистская динамика [Гл.11
Отсюда находим
^ . ~ , ., sinur + sin Ikur , v
ж = г^1 cos 12т + г^2 sin12т + с£/ш — , (ба)
1ки —п S2
. ~ гл s-i COS ^т ~~
у = —u\ sin 12т + г^2 cos 12т + c£ku
LrvU -\- * Z
В. Резонансный случай / = — 1, ки = £1:
х = (ui + с^12т
Fb)
у = —\u\ + с^12т) sin 12т + v>2 cos 12т.
Последующее интегрирование уравнений C) и F) приводит к парамет-
параметрическому представлению траектории.
Пусть и\ = u<i = 0. Тогда х = с^Г2т cosDt, у = —с^Г2т sinf2T.
Из C) находим
В этом случае решение уравнений в параметрическом представлении
имеет вид
х = -£■ (£1т sinUT H-cosDt - 1), у = -£ (Г2т cosDt - sinflr),
* z * z
Если в начальный момент времени скорость частицы равна нулю, то
пи = с. Энергия частицы е = mc2i, е = тс2 [1 + (£Г2тJ/2] возрастает.
11.2.10—11.2.12. Движение частицы в двумерной ловушке
Пауля — гиперболическом волноводе. Открытый волновод обра-
образован двумя парами металлических поверхностей у2 = х2 — R2 и у2 =
= х2 + Я2, к которым может быть приложено напряжение с постоян-
постоянной и высокочастотной составляющими (рис. 11.2.10). Основная ТЕМ-
волна, которую можно возбудить в волноводе, имеет критическую ча-
частоту равную нулю и распространяется со скоростью света в вакууме.
Решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее граничным усло-
условиям на поверхностях волновода, можно представить в терминах 4-
потенциала
^ _ (еB)а;J]
= кх. В лабораторной системе
е£1} = @, 1, 0, 0), е£2) = @, 0, 1, 0), п» = A, 0, 0, 1),
к» = -

11.2]
Релятивистская динамика
497
и) — постоянная величина, W((f) — произвольная функция.
11.2.10. Найти уравнения движения частицы в поле основной вол-
волны [164, 165].
Решение. 4-потенциал удовлетворяет условию Лоренца д^А^ = 0.
Очевидно, А2 = 0. Напряженности электрического и магнитного полей
соответственно равны
^-аг,у,О), A)
В = -^{у,х,0). B)
Отметим, что Е2 - В2 = ЕВ =
= 0. Уникальная особенность рас-
рассматриваемой открытой системы со-
состоит в том, что конфигурация поля
основной волны и поля в статическом
случае совпадают. В случае движения
пучка нерелятивистских частиц эта
электродинамическая система, пред-
предложенная В. Паулем (Нобелевская
премия, 1989 г.), позволила создать
масс-спектрометр высокого разреше-
разрешения [166-168].
Подставляя в A1.2.6), A1.2.7) напряженности поля A), B), получим
систему
mx = —-
Рис. 11.2.10
А
mz = -—2 (xx - yy) W((p), mc2t = -—3 (xx - yy) W((p).
cH К
E), F)
Начальные условия: t@) = 0, x@) = (жо? 2/о? 0), t@) = щ, х@) = u.
Из уравнений E), F) находим первый интеграл
*-§=*, G)
где g = (ио — uz)Iс — константа. Следовательно, на траекториях t —
— z/c = gr, <р(т) = uogT. Тривиальный первый интеграл системы
(з)-(б)
(ciJ - х2 - у2 - z2 = с2. (8)
Из уравнений G), (8) находим
с - 2+2g[1+
\1+ЧЧ-
A0)

498
Релятивистская динамика
[Гл. 11
Подставляя G) в C), D), получим уравнения
y = -^f W[(p(r)] у.
(и)
A2)
11.2.11. Найти решение уравнений движения в случае 2W((p) =
= Vo -\- V cos (p.
Решение. Переходя в A1), A2) к безразмерным переменным s =
= (р(т)/2, а = AecVo/(и2gR2), 6 = 2ecV/(со2gЯ2), получим уравнения
-j-^ + (а + 26 cos 2s)u = О,
— {а + 26 cos 2s)v = 0,
d2v
A3)
A4)
которые представляют собой частные случаи уравнения Матье
+ (ц + 2v cos 2s) M = 0. A5)
d2M
0,5
Для реализации движения частицы необходимо, чтобы решения
удовлетворяли условиям |ж(т)| < Я, |у(т)| < R. Из теории функЦии
Матье известны два клас-
класса решений — ограничен-
ные и неограниченные [139,
рс0 / 140]. Области устойчиво-
устойчивости и неустойчивости ре-
решений в плоскости пара-
параметров (// = a, v =
— 6) и (ц = —а, v = —
— 6) разделены семейством
симметричных кривых ц =
— fik(v)- Отметим, что па-
параметры а и 6 в уравнениях
A3), A4) лежат на прямой
1л = BVq/V)v в областях
и ^ 0 и и ^ 0. Ограничен-
Ограниченное решение уравнения A5)
существует в первой обла-
области устойчивости, которая лежит справа от кривой /ico(^) и ограничена
кривыми /ici(^) при v > 0 и /isi(^) = /ici(—i/) ПРИ v < 0- Эта область
изображена на рис. 11.2.11. В нашей задаче представляют интерес толь-
только те значения параметров а и 6, для которых одновременно устойчивы
решения уравнений A3), A4).
Для анализа общей области устойчивости произведем преобразо-
преобразование инверсии относительно оси v и найдем множество значений
Рис. 11.2.11

11.2] Релятивистская динамика 499
параметров, на которых области устойчивости решений уравнений A3),
A4) перекрываются. Общая область устойчивости в (//, и) плоскости
ограничена на рис. 11.2.11 криволинейным треугольником с вершинами
в точках @, 0), (ас, Ьс), @, 6т), где ас = 0,237, Ьс = 0,706, Ьт = 0,92.
Отметим, что в ультрарелятивистском случае, т.е. при vz ~ с, |г?ж|,
\vy\ <С vz, g ж тс2/2s, € — начальная энергия. Изменяя отношение
Vo/V в интервале 0 < Vo/V < ac/2bc = 0,168 можно управлять
размерами области пересечения рабочей прямой с зоной устойчивости,
а изменяя частоту, можно пропускать через волновод электроны в огра-
ограниченном интервале энергий [164].
11.2.12. Дираковская «гребенка». Структура поля в ловушке
Пауля формируется периодической последовательностью волновых им-
импульсов противоположной полярности с амплитудами Vi, V2, длитель-
длительностью ti, £2 со скважностями q± = T/ti, q<i = Тjt<i, T — период волны
[164]. Найти решение уравнений движения частицы, полагая
W(kx) = h П 6[£ - Bs - 1) Т] - /2 " 5[£-2вТ\, fi = ViU.
8=1 8=1
Решение. В квантовой теории кристалла эта функция получила
название гребенка Дирака. Уравнения A1), A2), полученные в задаче
11.2.10, имеют вид
х = -/(т)х, jj = f(r)y, A), B)
/(г) = £■ " 6[т - Bs - 1) То)] - Ц- " 6[т - 2sT0], C)
8 = 1 8 = 1
То = T/g, bi = eViT2/(qigmR2), i = 1, 2. Из A) следует интегральное
уравнение Фредгольма
оо
х(т) = и(т)- | dr'G(T-r')f(r')x(r'), D)
где G(r — т') = (т — т') в(т — тг) — функция Грина уравнения G =
= 6(т — т'), и{т) — решение уравнения х = 0 с начальными условиями
х@) = хо, х@) = 7о^Ож? 7о — [1 — (^о/сJ]^2- Подставляя C) в D),
получим уравнение
х(т) = и(т) - ^ G(t - То) ж(Т0) + ^-G(t- 2То) хBТ0) -
-to -to
-^G(r-3To)xCTo) + ... E)
Введем фундаментальную систему решений уравнения х = 0:
и[8) = 1, 4S) = т^- - s, s = 1, 2, ...

500 Релятивистская динамика [Гл.11
Из E) находим: в интервале 0 ^ т < То решение х(т) = и(т), или
х(т) = Ciuf\ d = ж@), С2 = х@) То,
в интервале 0 ^ т < 2Т0 решение х(т) = и(т) — biG(r — Т0)х(Т0)
молено представить в виде
an = ai2 = 1, «2i = —fti, «22 = 1 — 6i;
в интервале 0 ^ £ < ЗТо решение
Очевидно, что в интервале 0 ^ т < Bп + 1) То решение уравнения A)
х(т) = с1п)и\п\ C\n) = {Mik)nCk, Mik=/3isask. E)
Для вычисления матрицы А = Мп и исследования решения найдем
собственные значения Л матрицы М, элементы которой
Мп = 1 - &i, Mi2 = 2 - &i, M2i — Ьч — Ъ\ — 6i&2,
М22 = 1 - &i + 262 - 6i62.
Аналогичная задача возникает при исследовании областей пропуска-
пропускания оптического излучения многослойными средами [132]. Из уравне-
уравнения det (M — А/) = 0 получим значения
Ai,2 = 2 SpM±z 1- (-^—J .
Условие ограниченности решения имеет вид |SpM| < 2. Полагая
SpM = 2 cos 0, получим Ai?2 = exp (±г0). Введем далее проекционные
операторы
р М-Л2/ р М-Ах/
удовлетворяющие условиям Р2 = Р^, Р1Р2 = P2P1 = 0, Pi + P2
= /. Учитывая, что М = А^РЬ матрица А = Мп = A?Pi + A2
Следовательно,
= M
l2
21 = M2i . , Л22 = -г-т [М22 sin пв — sin (n — 1N].
sin. t/ sin. и

11.2]
Релятивистская динамика
501
Решение уравнения B) следует из E) после замены начальных
условий и элементов матрицы М —ъ- М'\ Ь\ —ьЪ\ = —Ъ2,Ъ2 —> 62 = —Ь\.
Общая область устойчивости решений уравнений A), B) определяется
условиями Sp M < 2, Sp M1 < 2,
•>-§
&2 - - &1&2
представляет собой в плоскости F162) криволинейный четырехуголь-
четырехугольник OLMR на рис. 11.2.12, ограниченный прямыми &i = 2, 62 = 2
и кривыми &2 = 2&i/B + 61), 62 =
= 26i/B —61). Полезно отметить, что
при 61 = 62 = л/2 параметр 0 = тг/2
решение — периодическая функция.
Электродинамическая система
двумерной ловушки представляет
возможность разделения ионов по
параметру е = mg/e, зависящему о
от массы, заряда и энергии частиц
релятивистского пучка. Необходимо,
чтобы при изменении Vi, V2 и Т все
ионы с различными значениями е
последовательно попадали в область
устойчивости по рабочей прямой
62 = /261, к = /г/Д. Оптимальный
режим работы реализуется в окрест-
окрестностях точек L и Я. Например,
при значениях к, незначительно
отличающихся от 2, рабочая
прямая пересекает диаграмму устойчивости, в области наиболее
чувствительной к величине параметра г.
11.2.13-11.2.15. Движение частицы в поле бегущей волны
тока. Электромагнитное поле задано 4-потенциалом
1
ъ\
Рис. 11.2.12
х) = \ [(е2х) е» - (е.х) е%] В(кх),
где х» = (ct, х, у, z), ef1} = @, 1, 0, 0), е^2) = @, 0, 1, 0), п» =
= A, 0, 0, 1), к^ = (о;/с) ггм, кх = uot — ljz/c, B{kx) — произволь-
произвольная функция, удовлетворяющая естественным граничным условиям:
В{кх) —> В\ при кх —> —оо; В(кх) —ь- В2 при кх —> +оо, где В±, В2 >
> В\ — постояные величины. 4-потенциал удовлетворяет волновому
уравнению дудуА^ = 0 и условию Лоренца д^А^ = 0.
11.2.13. Найти общее решение уравнений движения [169].
Решение. Тензор электромагнитного поля
" - (е2х) /^] В',
A)

502 Релятивистская динамика [Гл.11
V / v / v / V / v / V / v / v /
В' = dB/d(kx). Напряженности электрического и магнитного полей
соответственно равны
= (\ykoB', -\xk0Bf, О), В= (±xk0B', \ук0В', Б),
Е
&о = ио/с. Очевидно ЕВ = 0. Векторы напряженностей Е и В представ-
представляют собой решения уравнений Максвелла в свободном пространстве.
Для получения рассматриваемой конфигурации полей внутри цилин-
цилиндрической области радиуса ро необходимо возбудить на поверхности
р = р0 ток плотностью
р = х2 + у2. Отметим, что в случае В = const имеем однородное
постоянное магнитное поле в области р < ро- «Бегущий» аксиальный
ток индуцирует вихревые тангенциальное электрическое и радиальное
магнитное поля в плоскости, перпендикулярной оси симметрии систе-
системы.
Решение уравнений движения частицы A1.2.9) будем искать в виде
х» = -(еA)ж)е^1) - (еB)£)е^2) + q3n^ + q±n». B)
Здесь ггм = A, 0, 0, —1), х^ = dx^/dr — 4-скорость частицы, х^ =
= 7(с, v),7 = [l-^Vc2]-1/2. Начальные данные жм@) = @, ж0, 2/о, 0),
i^@) = ^,^ = 7o(c, v0).
Образуя свертку C) с векторами п и гг, находим q% = ггж/2, q± =
= пх/2. Условие F^n» = 0 приводит к первому интегралу пх = пи
уравнения A1.2.9). Следовательно, кх = сг(т), а = кит, q^ = пи/2.
Поскольку х2 = с2, то #з = (с2 + ж2 + у2)/Bпи). Учитывая значения
q3 = (ci + i)/2, g4 = (ci — z)/2, находим
C)
z = -±nu+^(c2 + x2 + y2)=uz + ^[x2 + y2- (и2 + u2)].
Подставляя B) в A1.2.9) получим уравнения
0, D)

11.2] Релятивистская динамика 503
Подстановкой х + гу = ж+(т), где
т
х+(т) = Хе-^'\ 0(т) = ^ } <1вВ[о{в)},
приведем систему D) к уравнению осциллятора с переменной частотой
(или к уравнению типа Шредингера):
с начальным условием х — ехР (—*o;it/2), ш\ = eBi/mc при г —»• —оо.
Пусть х = w(i)(T)i WB)(T) — Два линейно независимых решения
уравнения E). Тогда общее решение системы E) имеет вид х = Яеж+,
2?/;B)_|е ^' , (oj
где Qi, Q2 — Две произвольные комплексные константы.
В дальнейшем нас будет интересовать решение уравнения E) при
г —»• оо, когда функция В(сг) достигает постоянного значения В<±-
В этом случае асимптотика решения [54, 94]
х = Cie-^W2 + C2eiW2^2, o;2 = ^ . G)
Отметим, что для нахождения коэффициентов С\ и С2 можно
использовать решения, известные в квантовой механике, поскольку
асимптотика соответствует задаче рассеяния на одномерном потенци-
потенциале. Величины 1/Ci и С2/С1 играют роль амплитуд рассеяния вперед
и назад для волны, падающей на потенциал справа [49]. Поскольку
определитель Вронского пары решений не зависит от г, то из усло-
условия сохранения вронскиана ЭДA)ЭДB) ~~ ^A)^B) следует соотношение
uj\/uj2 — |Ci|2 — l^l2- Если 1/р — характерный масштаб изменения
функции В (а), то в адиабатическом случае \dB(a)/dr\ <C ркиВ(а)
отношение С2/С1 ~ exp (—irwi/pku) имеет экспоненциальную малость
[53].
11.2.14. Найти решение уравнений движения в случае резкого
скачка функции В (а):
\{В\- В22) thp (а - <т0)
4ch>(<7-<7o)]
где Bl > Bl - В}.
Решение. Наибольший интерес представляет случай рки 3> и>\,
соответствующий резкому скачку В(а). В этом случае В(а) и В\, <т <
< сто; В(ст) ~ В2, ст > <7о. Поскольку на траекториях системы а — (Jq =
= ки(т — тс), тс = сго/ки > 0, то, интегрируя уравнения D) по малой

504 Релятивистская динамика [Гл.11
окрестности точки г = тс, получим граничные условия — приращения
компонент скорости частицы
Ах = - (и2 - их) у{тс), Ау = --(и2- ui) х(тс).
В соответствии с G) два линейно-независимых решения уравнения D)
имеют вид г^(!) = w, *
w=
w = — (De-'W2T/2 + Se*"^/2), т ^ тс,
>, S = (Do, So)e-iWlT°'2±iw*T°'2, Do, So = \
Пусть ж0 = 0, 2/o > 0, v0 = (vi, 0, 0). Тогда i^@) = (гх0, гль 0, 0),
i, /3 = uj\t — /Зо- Подставляя (8) в F) и полагая г = 0, находим
2- Qte*''2 = iR, — g2e"»»/2 = < (уо - Я), Я = - •
В интервале 0 ^ г ^ тс уравнение траектории х(т) = R sino;ir, у(т) =
= R cosujit + (уо — Я), z(t) = 0. Частица движется по окружности
радиуса Я, координаты центра @, уо — Я, 0). После подстановки /3 =
= иJ (т — тс) + o;irc — /Зо и (8) в F) получим решение уравнений D)
в области г ^ тс: ж(т) = Яеж+, у(т) = 1тж+,
= г
Полагая [Do^ exp(-wirc) + So (уо — R)] = #2 ехр(-ггу), получим
компоненты 4-скорости
х(т) = и2 cos [uJ(r - Тс) + ту], y(r) = -u2 sin [г - тс) + ту], (9)
где г^2 = u2R2- Из C) находим значения кинетической энергии Т =
= mc2i — me2 и продольного импульса pz = mz:
A0)
^-компонента трехмерной скорости vz = (и2, — и2)/[2с + (г^ + г^)/с].
Частица движ:ется по винтовой линии радиуса R2, ось которой нахо-
находится на расстоянии г2 = |5о Я ехр (—iuoirc) + Do B/0 — Я)| от оси г.

11.2] Релятивистская динамика 505
Отметим, что в случае v\ = 0 имеем х(т) = и2 cosu;2 (r — тс), у(т) =
= —и2 sino;2 (т — тс), Я2 = 5оУ(ь ^2 = Doyo. В другом частном случае
Уо = Я находим ж(т) = ?z2 cos [о;2 (т—tc)+o;itc], у(т) = —и2 sin [о;2 (т —
- гс) + o;irc], Я2 = £>о#, г2 = £0Я.
Пусть гл2 > их, и\ < с. Тогда i « 1 + A/2) (и2/сJ, z « гх|/2с,
кинетическая энергия частицы Т « тпи^/Я, продольная и поперечная
компоненты трехмерной скорости частицы
"* 2 + («а/с)а> х^ у 2
После прохож:дения скачка магнитного поля ^-компонента скорости
и энергия частицы возрастают.
11.2.15. Движение частицы в монохроматическом поле.
В другом важном случае 4-потенциал определяется функцией Ь{кх) =
= Bq + 6 cos kx. Найти уравнения движения.
Решение. Из E) получим уравнение
^ + i [По + wo cosа(т)]\ = 0,
Г^о = еВо/гпс, ljo = eb/mc, которое представляет собой уравнение
Хилла. Полагая
получим стандартую форму уравнения Хилла
—2~ + (м + 2g cos 2s + 1q2 cos 4s) w = 0. A1)
Показатель экспоненты /3(r) = Пот + (соо/ки) sin (/g?xr + fc^o). Анализ
областей устойчивости решений приводит к выводу о возможности
реализации ускорения частиц в режиме параметрического резонанса
и сепарации частиц по удельному заряду.
11.2.16. «Бетатронный» режим ускорения. Известно, что для
предотвращения потерь частиц необходимо использовать фокусирую-
фокусирующее магнитное поле, убывающее с увеличением расстояния от оси
системы. Неоднородное бегущее поле задано в цилиндрической системе
координат компонентами 4-потенциала
р
Aq = Ар = Az = 0, Ау = — \ dp p B(p, kx), kx = uot z.
о
Найти условия движения частицы по цилиндрической поверхности
постоянного радиуса Я и энергию частицы в конце цикла ускорения.

506 Релятивистская динамика [Гл.11
Решение. Лагранжиан, описывающий движение релятивистской ча-
частицы, запишем в представлении собственного времени (в СИ)
р
L = - т [р2 + р2ф2 + i2 - c2i2] +e(p\dppB(p,wt-—z).
2 JVc/
о
Уравнения Лагранжа-Эйлера имеют первый интеграл кх = сг(г),
сг(т) = кит-\-кхо. Найдем решение уравнений движения, рассматривая
цикл ускорения частицы на цилиндрической поверхности постоянного
радиуса. Полагая ф = f£, p = Я, имеем систему
у), A)
B)
C)
dE
dr
ешО. dQ
2тг da
mR2
d
mft -
~dr~~
l2z
eu
AФ
1t~
;Q с
f ,
0
*).
= o,
где Ф — полный магнитный поток, пронизывающий орбиту. Из урав-
уравнений B), C) находим б/Ф/dr = 2тгЯ2 dB/dr. Интегрируя по циклу
ускорения с начальными условиями В (Я, сг) = 0, Ф(сг) = 0 при т = 0,
получим аналог «бетатронного правила»: Ф(сгт) = 2тгЯ2В(Я, сгт),
<тш = кит га + кхо. Подставляя Ф и ft в A), D), найдем значения
кинетической энергии Т = Е — гас2 и ^-компоненты 4-скорости:
e R В (
E(rn)=mc
Пусть В(Я, crm) = Вш — максимальное значение индукции, £@) =
= 0. Тогда 7о = 1? кинетическая энергия частицы в конце цик-
цикла ускорения Т(тш) = е2Я2В^/\2т). Поскольку ecRBm = 300
[Я(м)Вт(Тл)] (МэВ), то величину Т(тш) можно представить в виде
Т{тш) = 45 R №** (Тл) ГэВ>
тс (МэВ)
При ускорении протонов Тр(тш) = 45 [Я2(м)Б2а(Тл)] МэВ, при уско-
ускорении электронов Тс(тш) = 90 [Я2(м)Б^(Тл)] ГэВ. Отметим, что
в случае обычного бетатронного механизма ускорения кинетическая
энергия частицы
Т(тт)=

11.3] Гамилыпонов формализм в релятивистской динамике 507
11.3. Гамильтонов формализм в релятивистской
динамике
Канонические уравнения. Наиболее последовательный подход
к гамильтонову формализму классической динамики основывается на
предельном переходе в квантовополевом лагранжиане системы дира-
ковских электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем.
В классической динамике Ю. Швингер использовал новый подход.
В соответствии с A1.2.10) 4-импульс частицы
8L . е Л
Л
Каноническая система уравнений Лагранжа-Эйлера следует из лагран-
лагранжиана Швингера в пространстве Я8 с координатами жм, р^\
1 / е \2
Ls = L(x, х) + — (р - тх А \ = -рх - Я(ж, р),
и представляет собой уравнения Гамильтона, где Я (ж, р) — гамильто-
гамильтониан. В терминах скобок Пуассона
А" - [ж", Я], рм = [рм, Я]. A1.3.2)
Фундаментальные скобки Пуассона [жм, р17] = —g^v.
Система уравнений A1.3.2) имеет первый интеграл Н(х, р) =
= const. Если начальные данные жм@), рм@) удовлетворяют урав-
уравнению Я(ж@), р@)) = 0, то const = 0: на траекториях системы
Н(х, р) = 0. Из A1.3.2) следуют уравнения A1.2.9).
Канонические преобразования. А. Если КП ж, р —> xf1pf
определяется уравнениями
порож:даемыми производящей функцией Fi(x, x', т), то новый га-
гамильтониан
Н'(х', р', т) = Н(х(х', р1, т), р(х', р', г)) +
В. Производящая функция ^(ж, , р', г) порож:дает каноническое
преобразование

508 Релятивистская динамика [Гл.11
Новый гамильтониан
Н'(х', р', г) = Н(х(х', р', т), р(х', р1, т)) +
+ -^F1(x(x',p',t),P',t). A1.3.4)
Уравнение Гамильтона-Якоби. Полагая Н'(х', р', т) = 0, по-
получим уравнение
Полный интеграл F = F(xf, р', г) + Со должен удовлетворять усло-
условию dF/dr = 0. Выбирая, например, постоянные См = р'^ в качестве
новых импульсов, получим производящую функцию F = ^(ж, //, г).
Уравнения A1.3.2) представляют собой характеристики уравнения
Гамильтона-Якоби. На траектории частицы 4-импульс
где d^F = dF/dx^. Подставим полный интеграл в уравнение A1.3.5)
и возьмем 4-градиент д{ обеих частей:
xkdi (-dkF --Ak)= -xkdfkF - - x
\ С / С
kxi + - xkdkAi - -xkdiAk = 0.
с с
Поскольку xkdkXi = Xi, получим уравнение двилсения второго порядка
mxi = -Fikxk.
с
Законы сохранения системы частицы-поле. 4-импульс части-
частицы 7Ti = —diF — (e/c)Ai удовлетворяет уравнению непрерывности
дг/1(хOг{ = 0,
= тпа \dr 6^4\х - жа(т)),
где fi(x) — плотность массы. Тензор энергии-импульса системы невза-
имодействущих частиц Тгк = цк1^ удовлетворяет уравнению
fix) = еа | dr хЦт) <5<4> (х - ха(т)) =

11.3] Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 509
где jl(x) = (ср, pv) — плотность тока, р — плотность зарядов. Вторая
пара уравнений Максвелла dnFin = —(Att/cjj1 согласуется с уравне-
уравнением непрерывности dij1 = 0 [2].
Вводя тензор энергии-импульса электромагнитного поля tl , можно
доказать закон сохранения суммы энергий и импульсов поля и частиц
dk(Tik + tik) = 0[2].
11.3.1. Релятивистская частица в поле бегущей волны тока.
Получить точное решение гамильтоновых уравнений движения реля-
релятивистской частицы в поле электромагнитной волны, возбуждаемой
бегущей волной тока в аксиально-симметричной электродинамической
системе (см. условия задачи 11.2.13). 4-потенциал электромагнитного
поля
А»(х) = \ [(е2х) в» - (е.х) е£] В(кх), A)
где ж" = {ct, х, у, z), е^ = @, 1, 0, 0), е^ = @, 0, 1, 0), п" =
= A, 0, 0, 1), Л" = (а,/С)„м.
Решение. Гамильтониан A1.3.1) частицы, движущейся в электро-
электромагнитном поле, задаваемом 4-потенциалом A),
+\ m°2- B)
Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона (СП)
[жм, ру] = —g^y^ получим систему
х» = [х», Я], mF = р» - - А», C)
е
е дА
» = [P/i, Я], р^ = -х* -^jr • D)
Начальные условия жм@) = @, ж0, 2/о, ^о), х^@) = и^у и^ = 7о(с, v0),
7 [(/)]
Система C), D) обладает тремя интегралами. Один из них найдем,
образуя свертку уравнения D) с 4-вектором к^. В результате получим
kp = гаки. Далее, образуя свертку C) с к^, будем иметь кх = ки, или
в координатной форме
ct — z = пи. E)
Следовательно, фаза волны на траектории частицы кх = кит + кхо-
Другой тривиальный интеграл системы C), D) имеет вид х2 = с2 или
-i2 = c2. F)
Разрешая E), F) относительно t, z, находим
i \±c2 + x2 + y2), G)

510 Релятивистская динамика [Гл.11
Первый интеграл E) следует, по существу, из системы четырех
уравнений C), D), соответствующих значениям ji = 0, 3:
met = po, mz = pz,
^° = Тс k° (yi ~ Х^ В' Р* = Тс
Приращение кинетической энергии частицы Е = mc2i обусловлено
вихревым электрическим полем:
dE dE е
E
Полагая в C), D) /i = 1, 2 и подставляя первый интеграл E),
запишем уравнения как гамильтонову систему
тх = рх + ^уВ(а), ту = ру-^хВ(а), A0)
Рх = -^уВ(а), ру = -^хВ(а), A1)
а (г) = кит + кхъ, порождаемую частью гамильтониана B), не завися-
зависящей от компонент импульса р$ и pz:
= \m [pi + р2у] + j^ [t/p, - orp^] B(a) + ^ (x2 + у2) В2(а).
A2)
Уравнения A0), A1) имеют первый интеграл — проекцию момента
обобщенного импульса на ось z
Mz = m (ху -ух) Л- yc (^2 + У2) Bia)-
Закон изменения энергии (9) приобретает вид
тс
Из уравнений (8) находим cdpz/dr = dE /dr. Отсюда следует весьма
важное следствие — одновременно с увеличением энергии возрастает
продольный импульс частицы.
Решение уравнений A0), A1) можно найти в результате ряда ка-
канонических преобразований (КП). Произведем вначале КП ж, ?/, рж,
1 '''
рр
ру -> х1, у',р'х,р'у:
Х=
у^х-р'у)- A3)

11.3] Гамилыпонов формализм в релятивистской динамике 511
В новых переменных гамильтониан A2) имеет вид
iL W - *V->в + Ш
Теперь исключим из A4) второе слагаемое, производя КП
в В[а@)}. A5)
Новый гамильтониан —
нЪ = рхР2 + (£$^А- A6)
Решение канонических уравнений
dr ~ \2mc)X2> dr ~ \2mc)
можно представить в виде
, _ 1
Pl~T2
где ai, 0,2 — константы, w^(r), WB)(t) — два линейно-независимых
комплексных решения уравнения осциллятора
w = 0 A8)
с вронскианом w^wq) ~ ^A)^B) = 2г. Подставляя A5), A7) в A3),
получим решение уравнений движения A0), A1):
X = .— Re (W(\}CL\ + WB)a2)e 5
л/т
т / i *\ —гв/1 (л с\\
lm \W(\\(L\ + WB)a2)e ' \*-У)
Подставляя A9) в G), найдем функции t(r) и z(t).
В дальнейшем нас будет интересовать решение уравнения A8)
с начальным условием w = 2/lji exp (—iu)ir/2), uj\ = еВ/mc при

512 Релятивистская динамика [Гл.11
т -У -оо и решение при г —> сю, когда функция В(кх) достигает
постоянного значения В2. В этом случае асимптотика имеет вид
w = ±. [Cie--W2 + с2е^Т'2}, w2 = ^ . B0)
ш\ L J me v J
Отметим, что поскольку вронскиан линейно независимых решений
= w, гУB) = w* равен 2г, то решение A7) представляет собой КП
х'п, р'п —> хп = ап, рп = ia^ (п = 1, 2), порож:даемого производящей
функцией, зависящей от старых и новых координат:
, _ dF\ _ dF\
Рп " дх'п ' Рп " аЖп '
Учитывая значение вронскиана, находим, что после замены перемен-
переменных новый гамильтониан h = H[f2 + dF-[/ дт обращается в нуль.
11.3.2. Частица в плосковолновом поле. Найти полный инте-
интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и решение канонических уравне-
уравнений. 4-потенциал поля А^(х) = h((p) aM, ip = кх (см. задачу 11.2.7).
Решение. При движении в плосковолновом поле полный интеграл
можно искать в виде
F(x, р', т) = -р'х +(jjL--!?
где pf2 = me2. Поскольку dFjdx^1 = —р^ + k^dw/dip, то уравнение
A1.3.5) принимает вид
dip с с2
Следовательно, производящая функция КП —
F2(x, pf, т) = -р'х + ( тг 7г-)т Н—г~т d(p[—2 - pf A
4-импульс частицы —
11.3.3—11.3.4. Интегрируемая гамильтонова система — ре-
релятивистская частица в поле волны, бегущей в гиперболиче-
гиперболическом волноводе.

11.3] Гамилыпонов формализм в релятивистской динамике 513
11.3.3. 4-потенциал электромагнитного поля в электродинамиче-
электродинамической системе ловушки Паули (см. задачу 11.2.10)
Ло = Az = —2 (х2 - у2) cos (wt - kz), Ax = Ay = 0.
itt
Найти решение канонических уравнений движения частицы [170].
Решение. Гамильтониан частицы
Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона [х^, pv] =
— ~ё^1'•> получим систему
х* = [я^, Я], тх» =Р^~1 А*, A)
е дАа
Р» = [рм, Я], р^ = -ха -^jr B)
с начальными условиями х^@) = х'^ ^
Система A), B) обладает двумя интегралами. Один из них найдем,
образуя свертку уравнения B) с 4-вектором к^ = (о;/с) пм, п^ =
= A, 0, 0, 1). В результате имеем кр = кр'. Далее, образуя свертку
A) с к^, получим ткх = kpf, или в координатной форме
d-z = ^-. C)
Следовательно, фаза волны на траектории частицы
кх = — кр'т + кх'. D)
Другой тривиальный интеграл системы A), B) имеет вид х2 = с2
или
2-x2-y2-z2 = c2. E)
Разрешая C), E) относительно t, i, находим
Таким образом, задача фактически сводится к решению линейных
уравнений для поперечного движения частицы. Полагая в A), B) /i = 1
и учитывая соотношения C), D), получим уравнение
, eVnp \кр'т
-\ 2~~S" COS
m cR
\крт Л _
"T~ rZX X — U,
L m J

514 Релятивистская динамика [Гл. 11
которое в безразмерных переменных
2ecV
s = -
приобретает следующий вид:
^-f+ 26 cosBs)x = 0. (8)
ds
Полагая в A), B) ц = 2, аналогичным образом получим уравнение
^4 -26 cos Bs)y = 0. (9)
ds
Уравнения (8), (9) относятся к типу уравнения Матье, которое
в стандартной форме имеет вид [139]
—2" + Ы + 2<7 cos 2s)u = 0. A0)
Пусть два линейно независимых решения M(/i, g, s) и N(/i, g, 5) удо-
удовлетворяют условиям
M(fx, q, 0) = j-g N(», q, 0) = 1, ^ M(/i, 9, 0) = N(jm, q, 0) - 0.
Тогда решения уравнений (8), (9) имеют форму канонического преоб-
преобразования
^b,s)p'x, A1)
у = М@, -6, в) у' + -^ 7V@, -Ъ, s)p'y, A2)
где pfx, pfy — контравариантные компоненты вектора p/At. Подставляя
выраж:ения A1), A2) в уравнения F), G), получим решение системы
A), B) в форме канонического преобразования к постоянным коорди-
координатам и импульсам.
Анализ устойчивости движения частицы. Пусть начальные
условия имеют вид жм@) = х1^ х^@) = j(c, v), 7 = A - v2/^)/2,
величина npf = m^f{c — V3). Найдем мнолсество начальных данных,
для которых решения уравнений (8), (9) ограничены. Из теории функ-
функций Матье следует, что уравнение A0) имеет два класса решений —
ограниченные и неограниченные. Области устойчивости и неустойчи-
неустойчивости решений в плоскости параметров (/i, q) разделены семейством
симметричных кривых [139]. В нашей задаче представляют интерес
только те значения параметра 6, для которых одновременно устойчивы

11.3] Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 515
решения уравнений (8), (9): это множество точек @, —6), @, 6), где b G
G QW представляет собой отрезок [q^ \ q^R'] (k = О, 1, .. .). Из таблиц,
значений функций Матье имеем
Q(o) = [0; 0,92], QW = [7,51; 7,58], QB) = [21,309; 21,312], ...
Условие b G Q^ приводит к финитному движению по координатам
х и у. Отсюда найдем ограничения на величину пр1, зависящую от
начальной скорости
(к) ^ 2ecV (к) j n 1
Q<^7W<q * = 01
Для реализации этого условия необходимо, чтобы поперечные коор-
координаты частицы удовлетворяли неравенствам |ж(т)| < R, \у(т)\ < R.
Полученные неравенства определяют полосы пропускания волновода
по скоростям частиц.
11.3.4. Найти решение уравнения Гамильтона-Якоби.
Решение. Каноническое преобразование ж, р —> xf, pf порождается
производящей функцией ^(ж, //, г):
/fX
Х» ~ dp
Новый гамильтониан Hf(xf, pf, г) следует из выражения Н(х, р) +
+ 8F/дт после замены х, р —> х1\ р1. Произведем каноническое пре-
преобразование ж, р —> ж', pf, обращающее новый гамильтониан в нуль.
В этом случае функция F удовлетворяет уравнению Гамильтона-
Якоби A1.3.5)
дт 2m\dxfl ^ с
Полный интеграл уравнения B) F(x^, C^, т) должен удовлетворять
условию dF/дт = 0. Выбирая Сц = р'^ в качестве новых импульсов,
найдем производящую функцию F(xAt, p'^ г).
Ищем полный интеграл уравнения B) в виде
где /^ = (/°, 0, 0, /3), s = кх/2. Подставляя выражение C) в уравне-
уравнение B), имеем укороченное уравнение Гамильтона-Якоби
2е
_

516 Релятивистская динамика [Гл.11
эквивалентное хорошо известному уравнению в случае квадратичного
гамильтониана двумерной системы. Разделяя переменные, представим
полный интеграл в виде суммы квадратичных трехчленов
(p(s, х, у) = y?i(s, x) + (p2(s, у),
1 [у dMi 0,0/ 2ЛГ1 /
1 \kf dM2 2 „ , 2ЛГ2 ,
Здесь индексами 1, 2 обозначены линейно независимые решения урав-
уравнения Матье, соответствующие значениям параметров q = b и q = — b.
Подставляя C) в A) и полагая
о _ пр тс2 з _ пр' ■ гас2
1 + J +
2
получим решение, приведенное в предыдущей задаче.
11.3.5. Найти решение уравнений движения релятивистской части-
частицы во внешнем поле, используя каноническую теорию возмущений (см.
главу VIII).
Решение. Гамильтониан частицы
Полагая в (8.1.11) 2М = жм и заменяя t —> г, получим решение в виде
КП ж, р -> ж', р':
2 3
ЖМ = ^ + UpT + U^^y + UM^ + • • • , A)
пм = [[[а;^, Я] Я] Я] = — daF
uauu
Отметим, что для однородного постоянного поля из A) следует
точное решение уравнений движения в виде матричной экспоненты х =
= ехр ((е/?тгс) Fr^u. В случае скрещенного поля
A"(x) = h(<p) e", h{ip) = -- £;ОУ, ^ = кх,

11.3] Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 517
ряд A) обрывается и совпадает с точным решением D), полученным
в задаче 11.2.7.
11.3.6. Ускорение протонов в синхрофазотроне. Синхрофа-
Синхрофазотрон — наиболее современный циклический резонансный ускори-
ускоритель, предложен в 1943 г. профессором Бирмингамского университета
М. Олифантом. Протоны движутся по окружности постоянного радиу-
радиуса Я в переменном магнитном поле и ускоряются в электрическом поле,
создаваемым электродами, расположенными в окрестности плоскости
х = 0. Вектор-потенциал магнитного поля Am(£, x), вектор-потенциал
электрического поля А(£, x) = (A(t, x), 0, 0),
1 гу
Am(t, х) = - B{t) (у, -х, 0), A(t, х) = -— 5(х) f(z) sing(t),
где S(x) — дельта-функция Дирака. Не учитывая проблем фокусиров-
фокусировки, исследовать методом усреднения канонических уравнений процесс
ускорения протона и получить уравнение фазовых колебаний [171].
Решение. Гамильтониан протона, взаимодействующего с электро-
электромагнитным полем
=■>-!*'■->]'•
Представим гамильтониан Н в виде Н = Но + /г,
2 2 -,
/>vA(t,x)+,A(t,x),
с 2тс
rav = р — (е/с) Am(t, х). Произведем вначале КП: £, ро —> ^? Ро?
B)
< = <' + ^т, ро = Ро, C)
порож:даемое ПФ
Новый гамильтониан

518 Релятивистская динамика [Гл.11
формально совпадает с «поперечной» частью гамильтониана в задаче
7.2.8. Для того чтобы ввести координаты центра окружности и коор-
координаты, описывающие движение протона по окружности, произведем
КП ж, у,рх, ру -> хп,рп:
1
Рх = 71 ^Xl + Х2>>' Ру =
-j=(x2-x1), D)
г
71 ^Pl ~ Р2^
и КП хп, рп —> xfn, pfn1 порождаемое ПФ
F2(xn, p'n, т) = -г7^- Xlx2 + V
где П(г) = eB(t)/mc, t = tf + р'от/пгс. Из G.1.2) получим замену
переменных
Переходя к действительным каноническим переменным х'п =
= д/7п ехр(-гу?„), р'п = гд/7п exp (i(pn) (n = 1, 2), получим из
D)-E) параметрическое представление траектории протона
еу
Х= —-[ h COs((^ + (y9i)+ /2COS(y92],
_ F)
О
2/ = ^^ [л/7Г sin (у? + (pi) - Vh sin y?2] •
Очевидно 2/i/mfi — радиус окружности, (rcos<^2> —rsin<^25 0) —
координаты центра окружности, г = 2l2jm£l. Каноническое пре-
преобразование позволяет исключить вклад гамильтониана Hq в полный
гамильтониан. Новые переменные /п, (рп удовлетворяют каноническим
уравнениям с гамильтонианом G.1.5)
Поскольку среднее за период Т = 2тт/ft значение гамильтониана НЦ
равно нулю, то эволюция медленных переменных определяется гамиль-
гамильтонианом B), в котором следует произвести замену переменных C),

11.3] Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 519
F). Полагая в B) z = О, f(z) = 1 и пренебрегая вкладом второго
слагаемого, получим
hf = — х5(х) sing(r), G)
), g(r) = J drf ^ + J
x = — sin
m
о
Производная медленной переменной ро удовлетворяет уравнению
/ dti \ dti eV .
Учитывая правила обращения с ^-функцией, вычислим интеграл
т
if,, dti eVU sinwn , a,
0
'(^-il)+eo, во = [ dt W(t) -
Здесь wn — корни уравнения \/77 cos w + \/72 cos y?2 = 0.
Пусть центр окружности находится в окрестности начала коорди-
координат. Тогда /2 <C /i, cos w « O,tt;i = тг/2,г^2 = Зтг/2. Обозначая энергию
протона £ = Рос, получим уравнение
sin0. (9)
В этом лее приближении находим /i = (—dhf/dtpi), ф\ = (dhf
или
Л = ^^ sinfl, ^i = 0. A0)
тгтпе
Равновесная энергия ^о(^) = (me2J + (eBRJ , связанная с ча-
частотой генератора соотношением uj(t) = Ct(t) тс2/eo(t), удовлетворяет
уравнению, следующему из (9);
eVU . а (ЛЛ,
So = Sin 0о- A1)
Протоны движутся по окружности постоянного радиуса Я. По-
Поскольку радиус орбиты R = 2/i/mft, то

520 Релятивистская динамика [Гл.11
Следовательно, для сохранения постоянного значения радиуса орбиты
напряженность магнитного поля должна возрастать по линейному за-
закону со скоростью dB/dt = BcV/irR2) sin#o-
Уравнение фазовых колебаний. Поскольку ф\ = 0, то производная
фазы
в = (е - е0) -^ ■ A2)
тс
Из (9)-A2) получим уравнение [171, 172, 176]
d в еУп
dr и тгтс2
(sin 0 - sin0o)-
В окрестности равновесной фазы sin# = sin#o + @ — во) cos#o- Фазы
частиц, пришедших к зазору в некотором интервале фаз в окрестности
равновесной фазы, при последующих прохождениях зазора совершают
колебания в окрестности значения во (область захвата). Механизм
автофазировки приводит к тому, что при достаточно медленном возрас-
возрастании величин uj и В энергия частиц, находящихся в области захвата,
автоматически принимает значение, близкое к резонансному, т. е. все
эти частицы ускоряются. Протоны, для которых выполняется условие
cos во < 0, находятся в области захвата и ускоряются высокочастотным
полем генератора в режиме нормальной работы синхрофазоторона.
Механизм автофазировки открыт независимо в 1944 г. советским
физиком В. И. Векслером и в 1945 г. американским физиком Э. Мак-
Милланом. Первый синхрофазотрон — космотрон на 3 ГэВ (Брукхей-
вен, США) был запущен в 1952 г. Синхрофазотрон с максимальной
энергией протонов 6,3 ГэВ, получивший название беватрон (Берк-
(Беркли, 1953 г. США), был специально создан для детектирования пары
протон-антипротон (Нобелевская премия, 1955 г.). В 1956 г. был от-
открыт антинейтрон, в 1965 г. получено первое антиядро-антидейтрон —
связанное состояние антипротона и антинейтрона.
Дальнейшее увеличение энергии связано с применением новых ме-
методов фокусировки частиц. Для того чтобы достичь энергии, скажем
10 ГэВ, протон совершает 4,5 млн оборотов, проходя путь в 2,5 раза
больший, чем расстояние от Земли до Луны. Поэтому необходимо
обеспечить такую устойчивость пучка, чтобы небольшие отклонения
от равновесной орбиты не приводили бы к потере частиц. В 1950 г.
греком Н. Кристофилосом и независимо в 1952 г. американцами Е. Ку-
Курантом, М. Ливингстоном и Г. Снайдером был открыт новый тип
магнитной фокусировки, получившей название сильной или эюесткой
фокусировки. Они предложили собрать магнит в виде периодически
чередующихся секторов, каждый из которых фокусирует частицы по
одной поперечной к скорости координате и дефокусирует по другой.
В результате возникает эффективная фокусировка по радиальному
и вертикальному направлениям. Значительно сокращается стоимость
магнита и системы питания. Именно это открытие сделало возможным
создание синхрофазотронов на сверхбольшие энергии.

11.3] Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 521
11.3.7—11.3.8. Метод удвоения переменных в релятивист-
релятивистской динамике.
11.3.7. Представить уравнения движения заряда в электромагнит-
электромагнитном поле в пространстве Я16 координат (хг, иг) и импульсов (р^, ^),
где иг = хг.
Решение. В стандартном подходе гамильтониан частицы, взаимо-
взаимодействующей с электромагнитным полем содержит 4-потенциал А^(х).
Можно построить теорию в терминах тензора электромагнитного поля
F^v{x). С этой целью представим уравнение движения в виде системы
первого порядка
ул. ^ ул. ТрОСи ( \ ( 1 \
X — U , U — Г \X\Uq. I _1_ 1
тс И v '
Введем фазовое пространство координат (хг, иг) и импульсов (р$, qi)
с фундаментальными СП
[хг, uk] = [pi, qk] = [x\ qk) = [иг, рк] = 0, [хг, рк] = [иг, qk] = -5k.
Тогда в соответствии с IX-1 гамильтониан
порож:дает уравнения
- дРп> ~ ад„
совпадающую с A), и ассоциированную систему
дН . е
дН . е _, {
q"=du^ -+ Vn = -Pn- — Finq\
Удвоение числа переменных позволяет развить новый метод интегри-
интегрирования уравнений релятивистской динамики в виде ряда теории воз-
возмущений, п-й член ряда содержит только п-ю степень напряженностей
поля.
11.3.8. Найти решение уравнений движения в виде ряда теории
возмущений.
Решение. Представим гамильтониан в виде Н = Но + А Я,
Но = -Piul, ^
Решением уравнений, порождаемых гамильтонианом #о, являются КП
Xi = х\ + u-т, щ = u-, pi = p'i, qi = q'i- p\r.

522 Релятивистская динамика [Гл. 11
Члены ряда теории возмущений (8.1.7) содержат СП вида
Gik{ru т2) = [^(ri), qk(r2)] = Sik(ri - т2),
Vik{ru т2) = -[ut(ri), qk(r2)] = Sik.
Полагая в (8.1.7) z^ = Ui, получим решение уравнений движения
иа(т) = «'в + JL J dn Vai(r, n) Fik(Tl) uk +
т0
2 f Tl
i) J dTl I dT2 Ki(T' Tl) d-Fik^ ukGcm(n, r2)
+
то 'о
+ Vaiij, Ti) F% (ti) Vjfem(Ti, T2) Fmn(T2) Un + . . .
В случае движения частицы в скрещенном поле FMI/ = f^ dh/d(p,
jiiv — g[k^av — к"а^), первые члены ряда
г 2 г п
то т0 г0
представляют собой точное решение (см. задачу 11.2.7).
11.3.9—11.3.12. Движение частицы в гравитационном поле.
Гравитационное поле в общей теории относительности определяется
метрическим тензором gik(x), который играет роль «потенциалов по-
поля» поля тяготения [2, 40, 41, 63].
11.3.9. Гамильтониан частицы в релятивистской теории тяготения
1 2
Найти уравнения движения частицы.
Решение. Частица движется по геодезической кривой хг(т), где т —
истинное или собственное время.
Перейдем от канонических уравнений
• t дн •% гс
х =~Wi' mx =g Vc"
к уравнению второго порядка
%i^b A)

11.3] Гамилътонов формализм в релятивистской динамике 523
Преобразуем первое и второе слагаемые, учитывая соотношения
dkgicxk^ = dkgicgcaxkxa = -\ gic (dkgca + dagck) xkxa,
ись FaPb — IILUcb bak'L Pb — flL& uc&ak'L Pb — IIL uc&ak'L «^ •
В результате получим из A) уравнение движения
5 + rifciei*=0.
Здесь
Кк = \ (dkgca + Qagck ~ dcgak)
символы Кристоффеля (см. задачу 2.2.5), которые определяют «напря-
«напряженность» гравитационного поля.
11.3.10. Частица в слабом гравитационном поле. Из реше-
решения уравнений Эйнштейна-Гильберта следует, что метрический тензор
в нерелятивистском предельном случае слабого поля имеет вид
gik(x) = r]ik + hik(x), hOo = -^i hOa=0, hap = г" <W ,
с с
где rjik — галилеева метрика плоского пространства: 7700 — 1? Ща —
— 05 Va/3 — —fiotC, <^(x) = —GM/r — гравитационный потенциал тела
массы М [2, 40, 41]. Здесь опущены слагаемые, зависящие от скорости
и момента импульса тела. Найти уравнения движения пробного тела.
Решение. Поскольку поле стационарно, то все производные
dgabIdt = 0. Следовательно,
ъс
Г г ё f\ „
00 = ~"у Vcgoo-
В случае слабого поля можно ввести почти декартову систему коорди-
координат, в которой
По = "^ dch00 = -\ dlhm = (О, 4г
Из уравнений х + Г^с2^2 = 0 следует система
эквивалентная второму закону Ньютона t = г, d2x/dt2 = — V(f.
11.3.11. Задача рассеяния. Найти зависимость переданного им-
импульса от прицельного параметра при рассеянии частицы массы т
в слабом гравитационном поле glk{x) ~ г]гк(х) — Нгк(х).
Решение. Представим гамильтониан в виде Н = Но + /г,
Я° = ~Ьп ^кр^к + \ шс2' AH=^i hik^ PiPk

524 Релятивистская динамика [Гл.11
и произведем КП х = х' + р'т/т, р = р'. Эволюция штрихованных
переменных определяется гамильтонианом Н' = АЯ(ж(ж', р', г), р').
Полагая в (8.1.11) zn = рп и заменяя t —> г, получим решение в виде
ряда теории возмущений:
т
Рп(т) = р'п(т0) + } dTl [p'n, H'(n)] +... A)
Известно, что решения нелинейных уравнений обладают подвижными
особенностями, зависящими от начальных условий [11]. Построив все
аналитические продолжения каждого из элементов решения A), можно
найти общее решение для геодезических кривых.
В приближении слабого поля [1]
uikf х 2GM
ЛГг2 .„
rk(x, R) = (x- R)k - (xu -Ru)\, Rk(r) = sk + икт, B)
С
где М, ик — масса и 4-скорость частицы, создающей гравитационное
поле. Гамильтониан
GM Г. (up)
771С У"^
переходя в A) к пределам г —>> оо, го —> — оо, получим приращение
4-импульса
Полож:им р'п = mvn. На траектории частицы х(т) = х' -\-vr. В системе
покоя частицы М прицельный параметр Ьп = х'п — sn, bn = @, b),
bv = 0, bnvn = 0, bnun = 0.
Представим вектор B) в виде
гк(х, т) = Ък -~ Ъиик + (Vk - \ Vuuk)r,
с \ с /
(\
с \ с
где Vn = vn — ип. Из C) находим
cV(««/c2J - 1 {bu/cf -b2
D)

11.3] Гамилыпонов формализм в релятивистской динамике 525
Отметим, что
\ 1 г
где v2 — инвариантный квадрат относительной 3-скорости. В нереля-
нерелятивистском пределе из D) получим qn = @, q), q = —2ah/vrb2, a =
= GMm (см. задачу 8.2.3).
11.3.12. Отклонение луча света Солнцем. Уравнения Макс-
Максвелла, позволяющие найти векторы напряженности электромагнитного
поля, не содержат коэффициентов преломления. Однако, если искать
решение уравнений Максвелла в весьма грубом приближении геомет-
геометрической оптики, то благодаря условию существования нетривиаль-
нетривиального решения системы однородных уравнений, можно ввести новые
понятия — лучи и два коэффициента преломления. В оптике лучи
представляют собой математический объект — семейство кривых ор-
ортогональных фронту волны [2, 40, 41].
Приближение геометрической оптики в гравитационном поле спра-
справедливо при выполнении двух условий: 1) длина волны А « L, где
L характерная длина, на которой изменяется напряженность поля;
2) Л <С Я, где R характерный радиус кривизны пространства-времени.
Гамильтониан, описывающий траекторию луча в гравитационном поле,
Н(х, р) = -~gab(x)papb,
где рг — волновой 4-вектор размерности м. Уравнение траектории
луча хг = xl(s), где s — некоторый аффинный параметр. На траекто-
траекториях луча Я (ж, р) = 0. Найти угол отклонения светового луча в поле
тяготения Солнца.
Решение. Производная dxl /ds задает касательную к световой гео-
геодезической — лучу света от звезды в гравитационном поле Солнца.
Учитывая решение задачи 11.3.11, запишем гамильтониан
В нулевом приближении Н = Hq уравнение траектории луча х = х' -\-
+ pfs, р = р'. Полагая р' = к, к2 = 0, получим приращение волнового
вектора
А п о ик Ъп-Ьиип
где rg = 2GM/с2 — гравитационный радиус Солнца. Пусть иг =
= (с, 0), к1 = (к0, к0, 0, 0), Ь1 = @, 0, 6, 0). Следовательно, Арп =
= @, 0, 2korg/b, 0) — угол отклонения луча света 7 — 2rg/b. Наи-
Наибольшее значение угла 7m = 2rg/R, R — радиус Солнца, 7 = 1,75".

526 Релятивистская динамика [Гл.11
При прохождении луча света вблизи Солнца должна проявиться
кривизна пространства: световой луч отклоняется от первоначального
направления. Эйнштейн предложил сопоставить видимое положение
звезд у края солнечного диска во время затмения с их положениями но-
ночью за шесть месяцев до затмения, когда те же звезды видимы с Земли
на противоположной стороне от Солнца. Английская группа в 1919 г.
получила хорошее согласие с эйнштейновским предсказанием. Этот
эффект поразил уставших от первой мировой войны A5 авг. 1914 г.-
11 нояб. 1918 г.) европейцев и впервые привлек внимание широкой
публики к теории относительности.

Справочные данные
527
Справочные данные
Физические постоянные
Гравитационная
постоянная
Атомая единица массы
Постоянная Больцмана
Постоянная Авогадро
Элементарный заряд
Масса электрона
Отношение заряда
электрона к массе
Масса протона
Масса нейтрона
Электрическая
постоянная
Магнитная постоянная
Скорость света
Постоянная Планка
G = 6,6720 • 101 Н-м2/кг2
а. е. м.= 1,66056 • 10~27 кг
к, А:б = 1,38-1(Г23 ДжК
NA = 6,022 • 103 моль
е = 1,6021-109 Кл
те = 9,1095 • 1(Г31 кг= 0,511 МэВ/с2
е/ше = 1,7588-1011 Кл/кг
тр = 1,67265 • 1(Г27 кг= 938,2796 МэВ/с2
тп = 1,67495 • 10~27 кг= 939, 5731 МэВ/с2
so = 8,85419-102 Ф-м
до = 4тг-10 Н/А2 = 1,256637-Ю Гн-м
с = 2,99792458 м/с
h = 6,626176 • 10~34 Дж-с= 4,134 • 10~15 Эв-с
Соотнон1ения мелсду внесистемными единицами и единицами
систем СИ, СГСЭ и СГСМ
1 А = 0,1 нм.
1 Дж = 6,24 • 1018 эВ, 1 эВ = 1,6021892 • 10~19 Дж,
1 мм рт. ст. = 133,332 Па, 1 Па = 7,5 • 10~3 мм рт. ст.,
1 атм = 1,01 • 10б Па.
1 Эв/(he) = 8065,479 см, Лс/AэВ) = 1242 нм,
1 эВ/h = 2,4179696 • 1014 Гц.
1 Кл = 3 • 109 СГСЭ(д), 1 В = A/300) СГСЭ((р),
В(гаусс)=Н(эрстед), 1 Тл = 104 Гс, 1 А/м = 4тг • 10~3 Э.
Солнечная система
Планеты
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Расстояние от
Солнца, млн км
57,9
108,209
149,597
227,941
740,814
1426,99
2870,93
4498,51
5912
Радиус,
км
2440
6052
6371
3393
71400
60400
24300
25050
1500
Масса
(Земля -1,0)
0,055
0,816
1
0,107
318
95
14,6
17,2
0,0017

528 Справочные данные
Астрономическая единица (среднее расстояние от Земли до Солнца)
1а. е. = 1,495978 • 1011 м,
Световой год, 1 св. год = 9,46053 • 1015 м,
Парсек (пк), 1 пк = 3,085678 • 1016 м.
Масса Солнца гас = 1,989 • 1030 кг,
Средний радиус Солнца 6,96 • 105 км.
Гравитационный параметр Солнца Gmc = 1,32712 • 1011 км3/с2.
Масса Земли газ = 5,976 • 1024 кг,
Средний радиус Земли 6371,03 км.
Гравитационный параметр Земли Bгаз = 3,9860 • 105 км3/с2.

Литература 529
Литература
1. Павленко Ю. Г. Гамильтоновы методы в электродинамике и в квантовой
механике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Физматлит, 2001.
3. Виленкин Н. 51. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1985.
4. 51нке Е., Энде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.
5. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М.: Наука, 1971.
6. Бюшгенс С. С. Дифференциальная геометрия. М.: ГИТТЛ, 1940.
7. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геомет-
геометрия. М.: Наука, 1979.
8. Зельдович Я. Б,, Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики. М.:
Наука, 1972.
9. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1985.
10. Нуссенцвейг X. М. Причинность и дисперсионные соотношения. М.: Мир,
1976.
11. Филиппов А. Т.//Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1980. Т. 11,
вып. 3. С. 735.
12. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред.
М.: Наука, 1980.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.:
Физматлит, 2001.
14. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. С. 149.
15. Уиттекер Е. Аналитическая динамика, М.-Л.: ОНТИ, 1937.
16. Ольховский И. И., Павленко Ю. Г., Кузьменков Л. С. Задачи по
теоретической механике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.
17. Глазер В. Основы электронной оптики. М.: Гостехиздат, 1957.
18. Анкундинов Б. А., Кельман С. М., Сысоева Л. Г.//ЖТФ. 1964. Т. 34.
С. 23.
19. Павленко Ю. Г., Гальцов Д. В.//Изв. высш. учеб. заведений. Радиофизи-
Радиофизика. 1966. Т. 9. С. 1232.
20. Дементьев А. С, Павленко Ю. Г.//ЖТФ. 1974. Т. 44. С. 1101.
21. Миногин В. Г.//УФН. 1982. Т. 137, вып. 1. С. 173.
22. Van Dyck Re. S., Schwinberg P. В., Dehmelt H. G.//Phys. Rev. D. 1986.
V. 6. N 3. P. 727-736.
23. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Наука, 1973.
24. Рой А. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981.
25. Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965.
26. Ватсон Дж. Теория бесселевых функций. Т. 1. М.: ИЛ, 1949. С. 607.
27. Пекер Ж.-К. Экспериментальная астрономия. М.: Мир, 1973.
28. Полет космических аппаратов. Примеры и задачи. М.: Машиностроение,
1980.
29. Балк М. Б., Демин В. Г., Куницын А. Л. Сборник задач по небесной
механике. М.: Наука, 1972.

530 Литература
30. Поляхова Е. Н. Сборник задач по динамике точки в поле центральных сил.
Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974.
31. Справочник по космонавтике. М.: Воениздат, 1966.
32. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1978.
33. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тя-
тяготения. М.: Наука, 1968.
34. Якоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ, 1936.
35. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых си-
стем//УМН. 1981. Т. 36, вып. 5. С. 109.
36. Грановский Я. И., Жеданов А. С.//ТМФ. 1987. Т. 71, № 1. С. 143.
37. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. М.: ИЛ, 1960.
38. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.
39. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965.
40. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. Т. 1. М.: Мир, 1977.
41. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975.
42. Терлецкий Я. П.//ЖЭТФ. 1946. Т. 16, вып. 5. С. 403; ДАН. 1945. Т. 47. № 2.
С. 104.
43. Терлецкий Я. П.//ЖЭТФ. 1941. Т. 11. С. 96.
44. Левич В. Г., Вдовин Ю. А., Мямлин В. А. Курс теоретической физики.
Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1962.
45. Сермонс Г. Я. Динамика твердых тел в электромагнитном поле. Рига:
Зинатне, 1974.
46. Клепинер Д., Литтман М., Циммерман М.//УФН. 1982. Т. 137, вып. 2.
С. 339.
47. Харош С.//Физика за рубежом. Сер. А. Исследования. М.: Мир, 1985. С. 89.
48. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969.
49. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния.
М.: Мир, 1980.
50. Никитин Е. Е., Овчинникова Н. Я.//УФН. 1971. Т. 104, вып. 3. С. 379.
51. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: ИЛ, 1960. С. 57.
52. Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические
процессы. М.: Мир, 1976. С. 294.
53. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975.
С. 40.
54. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Т. 3. М.: Физматлит,
2001.
55. Себехей В. Теория орбит. М.: Наука, 1982.
56. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966.
57. Мельхиор П. Земные приливы. М.: Мир, 1968.
58. Гребеников Е. А., Демин В. Г. Межпланетные полеты. М.: Наука, 1965.
59. Рябов Ю. А. Движение небесных тел. М.: Наука, 1977.
60. Левантовский В. И. Механика космического полета. М.: Наука, 1980.
61. Гиршфельд Дж., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и
жидкостей. М.: ИЛ, 1959.
62. Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука, 1974.

Литература 531
63. Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по
теории относительности и гравитации. М.: Мир, 1979.
64. Борн М. Атомная физика. М.: Мир, 1967. С. 303.
65. Татаринов Я. В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во Моск. ун-
унта, 1984.
66. Фейнман Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1975.
67. Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. С. 41.
68. Тода М. Теория нелинейных решеток. М.: Мир, 1984.
69. Тода М. Нелинейная решетка//Солитоны/Под ред. С. П. Новикова. М.: Мир,
1983. С. 163.
70. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
71. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
72. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. М.: Наука, 1977.
73. Перина 51. Когерентность света. М.: Мир, 1974.
74. Вакман Д. Е., Вайнштейн Л. А.//УФН. 1977. Т. 123. С. 657.
75. Джексон Дж:. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965.
76. Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики. М.: Нау-
Наука, 1973.
77. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, 1958.
78. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.
79. Волосов В. М., Моргунов Б. Н. Метод осреднения в теории нелинейных
колебаний. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971.
80. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.
81. Капица П. Л.//УФН. 1951. Т. 44. С. 7.
82. Капица П. Л.//ЖЭТФ. 1951. Т. 21. Ш 5. С. 588.
83. Вшивцев А. С, Павленко Ю. Г., Селимов Б. К.//Изв. высш. учеб.
заведений. Физика. 1978. № 5. С. 145.
84. Гапонов А. В., Миллер М. А.//ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 242; 751.
85. Ишлинский А. Ю., Борзов В. И., Степаненко Н. П. Лекции по теории
гироскопов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
86. Борн М. Лекции по атомной механике. Т. 1. Киев: ОНТИ, 1934.
87. Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
88. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975.
89. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука,
1979.
90. Лисица В. С.//УФН. 1977. Т. 122, вып. 3. С. 449.
91. Соловьев Е. А.//ЯФ. 1986. Т. 43, вып. 3. С. 775.
92. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1980. С. 149.
93. Джакалья Г. Е. О. Методы возмущений для нелинейных систем. М.: Наука,
1979.
94. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
95. Павленко Ю. Г., Афиногенов Ю. А., Зеленский С. И.//Вестн. Моск.
ун-та. Сер. Физика. Астрономия. 1988. Т. 29, № 5. С. 29.
96. Волькенштейн М. В. Биофизика. М.: Наука, 1981.

532 Литература
97. Алексеев В. В.//УФН. 1976. Т. 120. № 6. С. 647.
98. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассея-
рассеяния. М.: Мир, 1972.
99. Ярив А. Квантовая электроника. М.: Сов. радио, 1980. С. 288.
100. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.:
ГИФМЛ, 1960.
101. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. М.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
С. 141.
102. Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по высокочастотной электро-
электронике. М.: Сов. радио, 1973. С. 370.
103. Байер В. Н., Катков В. М., Фадин В. С. Излучение релятивистских
электронов. М.: Атомиздат, 1973. С. 46.
104. Коткин Г. Л., Сербо В. Г. Сборник задач по классической механике. М.:
Наука, 1977. С. 35.
105. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука,
1971.
106. Боголюбов Н. Н. Избранные труды. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1971. С. 14.
107. Гапонов А. В., Петелин М. И., Юлпатов В. К.//Изв. высш. учеб. заве-
заведений. Радиофизика. 1967. Т. 10. С. 1414.
108. Павленко Ю. Г.//ЖЭТФ. 1666. Т. 50, вып. 5. С. 120.
109. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962.
110. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.:
Наука, 1978.
111. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: ОГИЗ, 1947.
С. 52.
112. Соколов А. А., Павленко Ю. Г.//Атомная энергия. 1971. Т. 31. С. 292.
113. Овчинников А. А., Эрихман Н. С.//УФН. 1982. Т. 138. С. 289.
114. Contopoulos G.//Astr. J. 1964. V. 69. P. 73.
115. Henon M., Heilles C.//Astr. J. 1964. V. 69. P. 73.
116. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.
М.: Мир, 1984.
117. Форд Дж. Физика за рубежом. А. Исследования. М.: Мир. 1984. С. 186-209.
118. Павленко Ю. Г., Зеленский С. И.//Вестн. Моск. ун-та. Сер. Физика.
Астрономия. 1987. Т. 28, № 1. С. 8.
119. Картье П.//УМН. 1984. Т. 39, вып. 2. С. 75.
120. Кирия В. С.//Труды Тбилисского ун-та. 1951. Т. 44.
121. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.:
Наука, 1965. С. 55.
122. Baker G. A. The Pade' Approximant in theoretical physics. N. Y.; London:
Academic Press, 1980.
123. Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения диф-
дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.
124. Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах
М.: Мир, 1979.
125. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике М.:
Мир, 1985.
126. Павленко Ю. Г., Зеленский С. И.//Программное оборудование и вопро-
вопросы принятия решений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. С. 224-237.

Литература 533
127. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений
сингулярно-возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
128. Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым
параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.
129. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.
130. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 2. М.: Мир, 1984. С. 167.
131. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж:. Н. Курс современного анализа. Часть вто-
вторая. М.: ГИФМЛ, 1963.
132. С. Солимено, Б. Крозиньяни, П. Ди Порто. Дифракция и волноводное
распространение оптического излучения. М.: Мир, 1989.
133. Буреева Л. А., Лисица В. С. Возмущенный атом. ИЗДАТ, 1997.
134. Охоцимский Д. Е. Исследование движения в центральном поле под дей-
действием постоянного касательного ускорения//Космические исследования.
1964. Т. 2. № 6.
135. Taylor J. В. Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magnetic
field//Phys. Rev. Let. 1975. V. 33.
136. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического
полета. М.: Наука, 1990.
137. Пановко 51. Г. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1985.
138. Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: Изд-во Моск. ун-
унта, 1991.
139. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье. М.: ИЛ, 1953.
140. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. М.: ИЛ, 1960.
141. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. М.:
Сов. Радио, 1956. С. 517.
142. Магнус К. Гироскоп. Теория и применения. М.: Мир, 1974.
143. Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980.
144. Кнопфель Г. Сверхсильные магнитные поля. М.: Мир, 1972.
145. Мартыненко Ю. Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных
полях. М.: Наука, 1988.
146. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. М.: Мир, 1989.
147. Белецкий В. В., Хентов А. А. Вращательное движение намагниченного
спутника. М.: Наука, 1985.
148. Белецкий В. В., Левин Е. М. Динамика космических тросовых систем.
М.: Наука, 1990.
149. Черные дыры. Мембранный подход. Под ред. К. Торна, Р. Прайса, Д. Мак-
дональда. М.: Мир, 1988.
150. Стикс Г. Микронные механизмы//В мире науки. 1993. № 1. С. 68.
151. Павленко Ю. Г., Петров Ю. М. Лагранжевы уравнения движения мас-
массивного проводника в магнитном поле//Изв. Вузов. Физика. 1994. № 7. С. 63.
152. Павленко Ю. Г., Петров Ю. М. Об одном механизме формирования по-
потенциальных ям для неферромагнитного проводника в переменном магнит-
магнитном поле//Изв. Вузов. Физика. 1994. № 9. С. 93.
153. Павленко Ю. Г., Петров Ю. М. Лагранжиан массивного проводника в
квазистационарном поле//Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика.
1995. № 3. С. 48.
154. Павленко Ю. Г., Бакшеев А. И. Автоколебания проводника в высокоча-
высокочастотном магнитном поле//Изв. Вузов. Физика. 2001. № 1. С. 59.

534 Литература
155. Павленко Ю. Г. Локализация и излучение частиц магнитной ловуш-
кой//ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 8. С. 25.
156. Yukalov V. I.//Laser Phys. 1997. V. 7. No. 4. P. 998.
157. Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения.
М.: Наука, 1987.
158. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алге-
алгебры Ли. М.: Наука, 1990.
159. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. М.: Мир, 1967.
160. Тейлор Э., Уиллер Дж. Физика пространства-времени. М.: Мир, 1971.
161. Вайскопф В. Видимая форма быстродвижущихся тел//УФН. 1964. Т. 84,
вып. 1. С. 183.
162. Redmond R. J.//J. Math. Phys. 1965. V. 6. P. 1163.
163. Багров В. Г., Гитман Д. М., Тернов И. М., Халилов В. Р., Шапо-
Шаповалов В. Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новоси-
Новосибирск: Наука, 1982.
164. Павленко Ю. Г., Наумов Н. Д. Релятивистская частица в квадрупольном
волноводе//ЖТФ. 1997. Т. 67. № 7. С. 98.
165. Павленко Ю. Г. Новый класс решений уравнения Дирака//ТМФ. 1999.
Т. 120. № 2. С. 315.
166. Пауль В. Электромагнитные ловушки для заряженных и нейтральных
частиц//УФН. 1990. Т. 169, вып. 12. С. 109.
167. Dawson P. H. Quadrupole Mass Spectrometry and its Application. Amsterdam:
Elsevier, 1976.
168. Pradip K. Ghosh. Ion Traps. The international series of monographs on physics.
Clarendon PRESS. OXFORD, 1995.
169. Павленко Ю. Г. Движение спина релятивистской частицы в поле бегущей
волны тока//ТМФ. 2001. Т. 126. № 2. С. 271.
170. Павленко Ю. Г., Наумов Н.Д. Интегрируемая гамильтонова система —
релятивистская частица в поле бегущей неоднородной волны//Вестник Моск.
ун-та, сер. 1. Математика. Механика. 1998. № 1. С. 42.
171. Ливингстон М. Стенли. Ускорители. М.: ИЛ, 1956.
172. Лебедев А. Н., Шальнов А. В. Основы физики и техники ускорителей.
М.: Энергоиздат, 1991.
173. Walker J. The mysterious «rattleback»: a stone spins in one direction and them
reverses//Scientific American. 1979. No. 10. P. 984.
174. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью.
М.: Наука, 1992.
175. Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман. Москва.-Ижевск: РХД,
2001.
176. Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: Физматлит, 2002.