Digital and Sampled-data
Control Systems

JULIUS T TOU

Associate Professor of Electrical Engineering
Purdue University

McGRAW-HILL BOOK COMPANY. INC

New York Toronto London

195©
h '/0 Юлнус T Ту

ЦИФРОВЫЕ

И ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ

Перевод с английского

инж Богомолова О. Д. и инж Бородина Ю. И.

Под редакцией

д-ра техн наук проф В В Солодовникова

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва-1964
УДК 62 50 503 (022)

подробно изложен -метод

бразования и его модификации.


1 См., например Я 3 Цы
гиз, 1958; В. П. П е р о в Статг
гкое радио», 1959 Л Т Куз:
управления, М., Мащгиз, 1962
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Эта книга написана для научных работников и инженеров
как доступное, методически отработанное современное руковод
ство по основам теории и методам анализа, а также проектирования
цифровых и импульсных систем автоматического управления и
решения смежных проблем Материал книги состоит в основном
из обработанных записей лекций, впервые прочитанных автором
в 1956 г для студентов старших курсов школы Моора Пенсиль-
ванского университета в течение двух семестров

За последнее время в результате большого интереса к цифро-
вому и импульсному регулированию достигнуты большие успехи
в развитии теории и методов анализа и синтеза систем автомати-
ческого управления, в состав которых входят цифровые машины
В течение последних десяти лет цифровые и импульсные системы
автоматического управления стали одной из важных областей
техники автоматического регулирования и управления Однако
изложение материалов, относящихся к рассматриваемому пред-
мету, было разбросано по различным техническим журналам
и трудам различных конференций Поэтому изучить состояние
данного вопроса было весьма трудно Эта книга является попыт
кой последовательного и систематического изложения методов
и основных принципов рассматриваемого предмета В книге имеется
некоторое количество оригинального материала, однако его
большая часть составлена на основании других литературных
источников, что отмечено ссылками.

Данная книга может быть использована как в качестве учеб
ника, так и в качестве справочника. Материал расположен в по
рядке возрастающей сложности рассматриваемых проблем Для
студентов он представляет интерес как последовательное изло-
жение основ теории и наиболее важных методов, для инженеров —«
как систематически изложенный справочный материал При
написании кпиги автор стремился к тому, чтобы по возможности
большее количество глав было самостоятельным или хотя оы от-
части независимым При этом предполагалось, что читатель
знаком с курсом теории автоматического регулирования и хорошо
знает преобразование Лапласа и теорию функций комплексного
переменного

При изложении материала основное внимание уделено раз-
витию основ теории В тексте приведено большое количество ре-
шенных примеров для пояснения отдельных вопросов теории
и для иллюстрации рассматриваемых методов. Отличительной
чертой книги является унифицированный, четкий и определен-
ный математический аппарат Около 70 задач различной сложности
помещено в конце книги

Книга может быть разделена на три основные части вводную
часть анализ систем, синтез систем Гл 1—3 являются по суще-
ству вводными и содержат краткий обзор основных понятий и
принципов Читатель, знакомый с основами теории автоматического
регулирования, может пропустить гл 2 Вторая часть состоит
из гл 4—7 В гл 4 рассмотрен частотный метод анализа систем,
основанный на применении обычных методов В гл 5 читатель
знакомится с методом z преобразования и его модификациями,
что является основой для последних глав книги Третья часть
включает гл 8—10 В гл 8 изложены методы и средства преобра-
зования непрерывных величин в цифровые, а гл. 9 и 10 посвящены
принципам и методам синтеза В книге рассмотрены вопросы рас
чета систем с конечной длительностью замыкания В последней
главе изложен метод анализа на основе т преобразования и рас
смотрено несколько приближенных методов В конце книги при
ведены таблицы z преобразований и модифицированного z пре
образования, а также задачи
ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ

1 1 ТИПЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
параметрами.

В линейных САР соотношения между сигналами также ли
нейны Линейная САР с постоянными параметрами состоит из
линейных элементов, которые могут быть описаны линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами,
а также передаточными функциями Проблема расчета линейных
САР такого типа является довольно простой и решается с помощью
обычных средств

САР с изменяющимися коэффициентами которые являются
явными функциями времени называется САР с переменными
параметрами Примерами таких систем служат САР для управляе
мых снарядов с ракетными двигателями для сверхзвуковых само-
летов, истопрокатных станов и бумагоделательных машин
Обычно САР с переменными параметрами относятся к линейным
системам с переменными параметрами, которые могут быть пред-
ставлены линейными дифференциальными уравнениями с пере-
менными коэффициентами

Анализ линейных САР с переменными параметрами более
сложен чем анализ линейных САР с постоянными параметрами
Временная характеристика линейной САР с переменными пара-
метрами является функцией двух независимых переменных-
времени приложения входного сигнала или возмущения и вре
мени в которое данная временная характеристика измеряется
В линейной САР с постоянными коэффициентами временная ха
рактеристика является функцией одного переменного предста
вляющего собой разницу во времени между приложением вход
ного сигнала или возмущения и временем измерения данной вре-
менной характеристики Поведение линейных САР с переменными
параметрами существенно отличается от поведения линейных САР
с постоянными параметрами и не может быть-представлено про-
стыми экспоненциальными функциями
Строго говоря, линейные САР являются идеализированными
системами так как большинство элементов входящих в их состав,
является линеиными лишь для малых значений действующих
сигналов. В любой реальной следящей системе всегда существуют
некоторые нелинейности Их влияние зависит от величины воз-
мущений, которым подвергается система. Например сервомотор
не всегда может развить крутящий момент, пропорциональный
управляющему сигналу-. При постоянно возрастающем сигнале
сервомотор в конце концов достигнет границы своей выходной мощ
ности вследствие магнитного насыщения или других причин
При большом значении входного сигнала электронные усилители
вносят нелинейные искажения САР, состоящие из элементов,
которые являются нелинейными для рабочего диапазона управ
ляющего сигнала, называются нелинейными САР В нелинейной
САР соотношение между входным и выходным сигналами можно
точно описать с помощью нелинейных дифференциальных уравне
ний Следящая система, в которой используются реле, является
нелинейной САР Иногда нелинейности в следящей системе воз

1 К u Y Н. Analysis and Control of Nonlinear Systems The Roland Press
Company New York 1958.
системы являются модулированными функциями Наиболее часто
применяются САР на постоянном токе Наиболее общим типом САР
на переменном токе является следящая система переменного тока,
в которой используется несущая высокой частоты. В этих системах

честве несущей применяются синусоидальный сигнал, (фиг 1 1—
3, а), а также сигналы, изображенные на фиг 1 1—3, б, в

В импульсной САР регулирование осуществляется с помощью
некоторой функции от ошибки, которая прерывается с постоянной
частотой В системах такого типа управляющий сигнал в какой-то
части САР представляет собой ряд импульсов На фиг 1. 1—4
показана структурная схема типичной импульсной САР, в которой
управляющий сигнал на выходе импульсного элемента образуется
САР могут быть также классифицированы как модулирован
ные (с несущей) и немодулированные (без несущей) Импульсная
система относится к первой категории В этом отношении импульс
ные САР похожи на САР на переменном токе В последних си

m(t)	m(t)	m(t)

Ь п n f

‘ 1г	v

стемах несущая представляет собой синусоидальный сигнал, а в
импульсных САР несущая представляет собой ряд очень узких
импульсов единичной высоты, образуемых импульсным элементом

В некоторых импульсных системах время между двумя сосед
ними импульсами непостоянно оно изменяется периодически или
регулируется по некоторой функции от сигнала, действующего на
входе импульсного элемента Например, в некоторых случаях
импульсный элемент работает со скоростью, пропорциональной
степени флюктуаций входного сигнала Такие системы можно
называть импульсными системами с переменным периодом преры
вания
с выхода импульсного элемента
е * (/) представляет собой последовательность узких импульсов,
амплитуды которых определяются значениями сигнала е (/) на
входе импульсного элемента для моментов времени О Т, 2Т, ЗТ,
и т д Информация, содержавшаяся в непрерывном сигнале
ошибки заключается в амплитудах импульсов Импульсная САР
основного типа содержит следующие составные части

1	Регулируемый объект.

2	Устройство для измерения ошибки

3	Регулятор

4	Запоминающий элемент

5	Импульсный элемент.

Следящая система радиолокационной станции является при-
мером импульсной САР Луч радиолокатора в процессе сканиро
вания выполняет функцию преобразования данных об азимуте
и угле возвышения в информацию, содержащуюся в импульсах

В импульсных САР управляющий сигнал преобразуется в им
пульсы с равными интервалами Иногда значения сигнала в ди
Преобразователь Ц Н

Фиг 1 2—2 Структурная схема типичной цифровой САР

сведена к импульсной САР основного типа, если кодированный
сигнал декодируется в импульсные сигналы с амплитудной моду-
ляцией и работа цифровой вычислительной машины описывается
передаточной функцией эквивалентной импульсной схемы Экви
валентная импульсная цепь или цифровой фильтр оперирует
с последовательностями импульсов так же. как вычислительная
машина оперирует с цифровым кодом или цифровой информацией
Эффект выхода эквивалентной импульсной схемы эквивалентен
эффекту цифрового выхода вычислительной машины Методы
расчета импульсных систем применимы для расчета цифровых
САР Цифровая система автоматического регулирования основного
типа содержит следующие основные части

1	Регулируемый объект

2	Управляющий элемент

3	Преобразователь цифровых величин в непрерывные

4	Преобразователь непрерывных величин в цифровые.

5	Цифровое оборудование для обработки информации или
вычислительная машина.

Цифровая вычислительная машина играет важную роль в обра
ботке информации и коррекции системы В некоторых случаях она
может служить для выработки решений, входить в состав системы
автоматического управления. Преобразователи непрерывных вели
чин в цифровые и цифровых в непрерывные служат для сопряже-
ния непрерывных и цифровых частей системы, а также для под-
ключения измерительных приборов Таким образом, в цифровой
САР осуществляются три новые операции кодирование величин
на входе вычислительной машины, программирование или обра
ботка цифровой информации и процесс декодирования на выходе
вычислительной машины Цифровой системой автоматического
регулирования называется САР, в которой информация передается
в виде цифрового кода Структурная схема типичной цифровой
следящей системы показана на фиг 1 2—2 Примером такой
системы может служить цифровая следящая система для управле-
ния станком

1 3 ЗНАЧЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ МЕТОДОВ
ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

После окончания второй мировой войны наступил период
быстрого развития цифровых вычислительных машин благодаря
тому, что их применение для научных вычислений обеспечивает
высокую точность и быстроту, а также гибкость и универсаль
ность, которыми не обладают аналоговые машины. Так как преиму-
щества цифровых методов перед аналоговыми стали очевидными,
то естественно, что в САР стали применяться цифровые средства
Применение импульсного принципа передачи сигналов в САР
позволило создать простые, чувствительные и эффективные сред
ства регулирования Импульсные методы позволяют управлять
большой мощностью с помощью маломощных измерительных
элементов с высокой чувствительностью, а также уменьшать влия
ние нагрузки на чувствительные приборы.

Использование импульсных и цифровых элементов в САР
позволяет производить разделение по времени работы отдельных
частей системы, что является наибольшим преимуществом цифро
вых САР Разделение по времени дает возможность использовать
один и тот же элемент системы для выполнения нескольких функ
ций. Это также облегчает координацию различных частей системы
Поскольку информация, представленная в виде импульсов, может
быть легко закодирована, сигналы в цифровых САР принимаются
и передаются в виде цифрового кода, что обеспечивает почти без
ошибочную передачу информации даже при наличии помех.
Единственной помехой при передаче сигналов с цифровым коди-
рованием является ошибка квантования Таким образом, благо
даря гибкости и универсальности цифровых вычислительных ма
шин можно улучшить характеристики последних Кроме того
методы цифрового управления делают возможной коррекцию
систем посредством нелинейного программирования, самонастрой-
ки и самооптимизации Следовательно, методы цифрового упра
вления обеспечивают большие преимущества САР

Цифровые вычислительные машины широко применяются как
элементы в разрабатываемых системах автоматического управле
Р Щ Яв РУ УР Я еу р в В ЯЦ ц ФР в стемы

==.я»Г ~ ~

деляет текущее состояние пХ накопленных Данных опре

^тл/О"=.''

то»лВе»ТТХ1^	автоматизации для ивро

системы, использующие Zn™ Деталеи первые промышленные
аиеьвавиаииои’Г-ЙЕ’ХЙГ-: paOTa®^
систем Массачусетского технологического института и несколько
ведущих авиационных и станкостроительных компаний занима
лись разработкой цифровых систем управления станками Основ-
ные принципы цифрового управления нашли применение не только
в самолетных системах и системах управления станками но и дтя
решения других задач автоматического управления Использование
цифровых методов целесообразно для управления различными
процессами В химической промышленности на нефтеперерабаты-
вающих заводах а также в фармацевтических лабораториях огром
ное количество информации должно обрабачываться как вручную,
так и автоматически Вследствие ограниченности обычных методов
для решения задач управления, возникающих в связи с успожне
нием процессов производства, появилась необходимость в новых
методах управления Для обеспечения ритмичности эффективно
сти рабочего процесса и высокого качества продукции на этих
предприятиях будут широко применяться методы цифрового
управления

Цифровые системы имеют возможность управлять работой
всего завода В процессе работы цифровые вычислительные ма
шины могут выбирать сырье при его минимальной стоимости,
предусматривать устранение неполадок в системе управления и в
работе завода определять оптимальные режимы и т п Цифровая
система автоматического управления на заводе может рассматри-
ваться как некоторый оператор, который на основании очень слож
ной инструкции выполняет арифметические вычисления следит
за показаниями приборов и управляет рабочим процессом непре
рывно и автоматически Однако цифровая система управления
может работать более эффективно чем оператор особенно в тех
случаях, когда регулируемые величины и соотношения между ними
изменяются настолько быстро что операторы не успевают напра
влять процесс по наиболее эффективному пути С помощью вычис
лительных и логических операций цифровая вычислительная
машина может анализировать состояние рабочего процесса учи
тывая предыдущий опыт, принимать целесообразные решения и та
ким образом оптимизировать процесс управления С помощью
вычислительной машины может быть достигнута более высокая
степень автоматизации производственных процессов, чем с по
мощью обычных методов регулирования Автоматизация в конеч
ном итоге приводит к существенному увеличению производитель
ности, а также к повышению качества и количества продукции
с одновременным снижением себестоимости

Первой вычислительной машиной, спроектированной для упра
вления производственными процессами, сбора информации и стен-
довых испытаний была цифровая вычислительная машина типа
RW-300, которая отличалась значительной гибкостью и универ-
сальностью Операции, выполняемые этой управляющей маши
ной, определялись программой, заложенной в ее блоки памяти
Ее использование для решения различных задач требовало лишь
изменений программы Конструктивно управляющая вычисли-
тельная машина выполнена таким образом, что входные и выход-
ные устройства промежуточные преобразующие устройства, пре-
образователи непрерывных величин в цифровые составляют с ней
единое целое Это позволяет просто подключать машину к измери-
тельным приборам и управляющим исполнительным устройствам
Количество входных и выходных соединений превышает 500
На вход машины типа RW 300 можно подавать 96 пневматических,
64 температурных и 32 специальных электрических сигнала (вклю-
чая сигналы с масс-спектрометра, манометров хроматографов и
т п.). На выходе можно получить 64 пневматических и 32 электри
ческих сигнала

Таким образом, эффективность быстродействующих вычисли-
тельных машин при использовании их в научных исследованиях
и в промышленности несомненна С появлением компактных и уни-
версальных вычислительных машин на полупроводниковых эле-
ментах цифровые методы проникают в область управления
Нетрудно предсказать что преимущества цифровых и импульсных
методов обеспечат цифровым системам автоматического управления
еще более широкое применение в будущем

1 4 МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Благодаря возросшему значению импульсных и цифровых,
систем в последние несколько лет к ним проявляется большой
интерес Опубликовано большое количество работ по их анализу
и синтезу Основными методами анализа таких систем являются
следующие

1	Метод дифференциальных уравнений

2	Обычный метод частотных характеристик

3	Метод импульсных переходных характеристик

4	Методы, основанные на z преобразовании и модифицирован-
ном z преобразовании

5	Метод синтеза в плоскости w посредством билинейного
преобразования

6	Метод корневого годографа

Сущность этих методов состоит в том. что аналитический дис-
кретный метод применяется к непрерывной части системы или
обычные методы непрерывных систем используются для дискрет-
ной части системы Недостаток применения аналитического
Дискретного метода к непрерывной части системы заключается
в том что выход большинства систем автоматического управле-
ния является непрерывной величиной и должен быть выражен
в виде непрерывной функции времени, кроме того, в импульсных
Системах по значительной их части проходят непрерывные сигналы,
поэтому многие элементы этих систем могут быть описаны обыч
ными передаточными функциями

Первый метод состоит в решении дифференциальных уравне
ний, описывающих импульсную систему автоматического управ-
ления второй — в обобщении обычного частотного анализа и син
теза на импульсные САР С помощью этого метода строятся ампли
тудно фазовые характеристики импульсных систем; в этом слу
чае применим амплитудно-фазовый критерий устойчивости и сохра
няется обычная последовательность расчетов Третий метод осно-
ван на оценке реакции системы на импульс. Реакция системы на
последовательность импульсов определяется суммой реакций на
эти импульсы При использовании четвертого метода элементы
импульсной системы представляются передаточными функциями,
являющимися функциями z Устойчивость системы определяется
на основании амплитудно фазового критерия или по -критерию
Шур Кона (Schur Cohn) Реакция системы определяется с по
мощью обратного модифицированного z преобразования Метод
синтеза в плоскости w основан на построении передаточной функ-
ции разомкнутой импульсной системы в плоскости w посредством
билинейного преобразования Метод корневого годографа может
также применяться к импульсным САР Первоначально он был
разработан для обычных САР Построение корневого годографа
характеристического уравнения системы в плоскости z определяет
характеристики импульсной САР

Все эти методы основаны на предположении, что квантование
по времени осуществляется мгновенно и ширина импульсов бес-
конечно мала или равна нулю. Таким образом, при анализе им-
пульсы в САР представляются либо идеальными, либо импуль-
сами эквивалентной площади Однако это допущение справедливо
лишь в том случае, если длительность импульса значительно
меньше постоянных времени системы или после импульсного эле-
мента в системе расположен запоминающий элемент нулевого
порядка. Однако в реальных импульсных САР квантование не
осуществляется мгновенно, и длительность импульса может быть
сравнима с постоянными времени системы Если длительность
импульса значительна, то указанные выше метопы не обеспечат
необходимой точности В конце книги изложен метод т преобра
зования для анализа импульсных САР с квантованием на конечном
интервале времени

1	5 ПРИМЕРЫ ЦИФРОВЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Цифровые и импульсные системы автоматического управления
широко применяются как в военном деле, так и в промышленности
Для получения общей картины рассмотрим несколько примеров
таких систем В качестве примера импульсной системы автомати-
ческого управления может служить система наземного наведения
перехватчиков противовоздушной обороны. В процессе работы
этой системы в воздухе одновременно находится большое коли-
чество самолетов перехватчиков и вражеских целей Положение
перехватчиков определяется с помощью наземного радиолокатора,
который посылает сведения об их расположении боевому расчету
другого радиолокатора, определяющего расположение целей. Здесь
вычерчивается траектория полета перехватчика, вычисляется его
необходимый курс и эти снедения передаются непрерывно по радио
пилоту перехватчика до его встречи с предписанной для него
целью В этой системе автоматического управления человек опе-
ратор играет роль элемента системы управления

В настоящее время такая система при огромных скоростях как
целей, так и самолетов не может решить проблему перехвата из-за
своей низкой точности и скорости, поскольку информация обра-
батывается вручную Возникла проблема создания новой более
совершенной системы противовоздушной обороны. Эту задачу
может решить система, способная непрерывно определять картину
воздушной и наземной обстановки на обширной территории страны,
быстро и точно управлять современными видами вооружения,
кроме того, давать командному составу противовоздушной обо-
роны четкую картину обстановки боя

Этим требованиям отвечает система Сейдж (Semi-Automatic
Ground Environment), которая является примером цифровой
системы автоматического управления противовоздушной оборо
ной В системе используется большая вычислительная машина
для обработки сведений, получаемых от радиолокационных стан-
ции, и выработки команд для перехватчиков Сейдж является
широкодиапазонной электронной системой воздушного наблюде-
ния и управления средствами противовоздушной обороны, со-
стоящей из трех основных частей: оборудования для получения
данных наблюдения и передачи его в центры обработки информа
ции, оборудования для преобразования информации в сведения,
описывающие обстановку, и для выработки команд, подаваемых
на системы управления оружием; оборудования для передачи
команд на системы управления оружием, на командные пункты,
промежуточные центры и другие точки В системе Сейдж вся
информация подвергается цифровому кодированию в местах рас
положения радиолокаторов и передается по телефонным проводам
в центры обработки информации Сейдж является замкнутой си-
стемой, так как выходные данные цифровой машины передаются
по каналам связи на перехватчики для управления их полетом

В качестве второго примера рассмотрим систему цифрового
Управления металообрабатывающими станками Методы цифро
вого управления механическим движением, например рабочего

жение, начать или остановить операцию сверления и т д Все
эти команды записаны в виде цифрового кода с помощью перфо-
ленты или карт, которые подаются в считывающее входное устрой-
ство системы при ее включении В этой системе должно быть
чувствительное устройство для получения информации о точном
осевом расположении сверла Эти данные подаются на вход для
сравнения со входными командами Разница между входным
сигналом и сигналом обратной связи используется для пуска,
останова и регулировки скорости исполнительных двигателей
станка, для пуска сверлильной головки и перемещения перфоленты
Исполнительные двигатели перемещают рабочий стол и сверлиль

При наличии входного сигнала сверлильная головка станка
перемещается в направлении X, а его рабочий стол — в напра
влении Y до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое положе
ние, которое определяется нулевым значением входа цифрового
сравнивающего устройства В этом положении сравнивающее
устройство канала Y выдает сигнал запуска сверлильной головки
После завершения операции сверления подается сигнал для пере
мещения перфоленты в следующее положение
ГЛАВА 2

НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

2	1 ВВЕДЕНИЕ

Импульсные системы автоматического регулирования во многих
отношениях сходны с непрерывными системами. Поэтому, прежде
чем переходить к изложению теории импульсных и цифровых
САР, целесообразно изложить основы теории непрерывных систем.
Непрерывная система автоматического регулирования обычно
состоит из трех основных частей:

1)	объекта регулирования, положение или состояние которого
регулируется;

2)	регулятора, который состоит из измерительного устройства,
усилительных и исполнительных элементов,

3)	сравнивающего устройства, или чувствительного элемента,
который определяет отклонение выхода от входа

На фиг 2 1—1 изображена структурная схема простой САР,
в которой г (/) — управляющее входное воздействие, с (/) — регу-
лируемая величина, е (/) — сигнал ошибки, b (t) — сигнал обрат-
ной связи В соответствии с сигналом ошибки регулятор воздей-
ствует на регулируемую систему таким образом, чтобы получи-
лось требуемое значение регулируемой величины. Простым при-
мером системы с обратной связью является автомобиль, управляе-
мый человеком. Водитель стремится удержать автомобиль (регу-
лируемая система) на соответствующем расстоянии от края дороги
Он выполняет это непрерывно, наблюдая за положением радиа-
тора автомобиля по отношению к дороге Центральная линия
требуемого пути может считаться управляющим входным воздей
ствием. Положение радиатора автомобиля является регулируемой
величиной, которая измеряется с помощью глаз и подается в моз:
для определения отклонения действительного положения от тре
буемого Следовательно, мозг водителя играет роль сравниваю-
щего устройства В соответствии с этим отклонением вырабаты-
вается соответствующий сигнал, на основании которого водитель
Фиг 2 1—1 Структурная схема САР

Фиг 2 1—2 Структурная схема системы шофер управляет авто-
Идея передаточной функции охватывает всю теорию САР и яв-
ляется основой применения частотного метода Связь между
входом и выходом отдельных элементов САР описывается пере-
даточными функциями, а элементы изображаются блоками на-
правленного действия, которые образуют структурную схему
САР, показывающую пути распространения сигналов через си-
стему Таким образом, структурная схема САР является функ-
циональной а не физической схемой. Для инженеров структурная
схема САР имеет большее значение, чем система уравнений,
описывающих САР, так как структурная схема до некоторой
степени напоминает физическую систему, а уравнения абстрактны
Структурная схема показывает графически прохождение сигнала
в системе и взаимосвязь составляющих элементов системы, с дру-
гой стороны, система уравнений математически выражает связи
между переменными в физической системе Кроме того, структур-
ная схема дает представление о влиянии изменений отдельного
параметра на характеристику всей системы, в то время как система
дифференциальных' уравнений не обладает такой наглядностью
Таким образом метод структурных схем в анализе САР получил
широкое распространение

При анализе и проектировании САР с помощью частотного
метода обычно выполняются следующие операции:

1	Получение передаточных функций или передаточных харак-
теристик всех элементов системы из дифференциальных уравне-
ний, описывающих элементы, или из физических измерений

2	Составление структурной схемы системы

3	Упрощение сложной структурной схемы САР до простой
схемы с одной обратной связью, имеющей передаточную функцию
в прямой и обратной цепях.

4	Определение передаточной функции разомкнутой системы
и преобразования для ее выхода из упрощенной структурной

5	Построение амплитудно фазовой или логарифмических ча-
стотных характеристик

6	Определение параметров корректирующих устройств на
основании деформации амплитудно-фазовой или логарифмических
частотных характеристик в соответствии с техническими требо-
ваниями.

Кроме перечисленных операций, проектировщик должен иссле-
довать влияние изменения отдельных параметров, возмущающих
воздействий, различных типов корректирующих устройств, а также
допусков элементов, и, наконец, он должен провести испытание'
или моделирование системы

Передаточная функция устройства или элемента определяется
как комплексное отношение выхода устройства к его входу, или
как отношение преобразования Лапласа выходной величины ко


где Eo и E — преобразования Лапласа соответственно для выхода
и входа. Следовательно, передаточная функция элемента чистого
Запаздывания равна

= £-Г‘-	(2 1-3)
2 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Структурные схемы большинства САР содержат несколько
контуров, и, следовательно, передаточные функции систем в разомк-
нутом состоянии не могут быть определены непосредственно из
структурной схемы Для облегчения определения передаточной
функции системы в разомкнутом состоянии и преобразования
Лапласа выхода системы сложная структурная схема преобра-
зуется в простую одноконтурную схему, из которой определяются

устройство

образующих структурную схему.

обе эти величины

На фиг. 2 2—1 изображены
три основных элемента, из кото-
рых состоят структурные схемы
динамические элементы, сумма-
торы и узлы Основным прин
ципом упрощения структурных
схем является перемещение сум-
маторов влево от основного кон-
тура и сдвиг узлов вправо Основ-

ные правила преобразования структурных схем даны ниже

Правило 1 Последовательное соединение N элементов с пере-
даточными функциями Gj (s), Ga (s), . , GN (s) эквивалентно

элементу с передаточной функцией G (s) = П Gk (s)

Правило 2 Перестановка элементов суммирования
Правило 3 Перегруппировка элементов суммирования

Правило 4 Перемещение точки съема за суммирующий элемент



Правило 5 Перемещение точки съема с выхода элемента на вход

Правило 6 Перемещение точки съема со входа элемента на
выход

Правило 7 Перемещение точки на вход суммирующего эле-
мента

К
Правило 10 Удаление элемента системы из цепи обратной

aG(sj	. GH(s) a aG(s)

’*GH(s)	°’l*GH(s)H(s) 1*BH(s)

Правило 11 Удаление параллельной прямой цепи

при упрощении структурных схем САР необходимо Выполнить
следующие операции

1	Заменить простые контуры, включающие последовательные,
параллельные прямые и обратные цепи, эквивалентными динами-
ческими элементами Эта операция выполняется с помощью пра
вил 1, 11 и 12

2	. Передвинуть суммирующие элементы и точки съема таким
образом, чтобы можно было исключить перекрещивающиеся связи
между контурами Правила 2, 3, 4, 7, 8, 9 используются для пере
мещения суммирующих элементов в требуемое положение, пра
вила 4, 5, 6 и 7 — для перемещения точек съема.

3	Заменить неперекрещивающиеся внутренние контуры от
дельными динамическими элементами, чтобы привести всю струк-'
турную схему к одному контуру Эта операция связана с приме-
нением правила 12 Правило 10 используется для преобразования
системы с неединичной обратной связью в систему с единичной
обратной связью

2 3 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Анализ систем автоматического регулирования с обпатной
связью обычно состоит из трех этапов анализа устойчивости
системы, ее поведения в переходном режиме и ее поведения в уста
новившемся режиме Устойчивость является основным требова
нием к САР. Система считается устойчивой, если ее реакция на лю
бой ограниченный входной сигнал является абсолютно интегри
руемой функцией Предположим, что вход и выход линейной
системы соответственно е (t) и е0 (/), а импульсная переходная
функция (функция веса) — w (/), тогда система устойчива, если

J[w(/)|d/<OT	(2 3-1)

Это является, как было доказано Джеймсом и Вейссом, необ
ходимым и достаточным условием устойчивости. Уравнение
(2 3—1) определяет условие устойчивости во временной области^
т е в этом случае устойчивость определяется по поведению функ4
ции веса w (/) системы	I

В частотной области или в области s устойчивость системы
может быть определена по передаточной функции системы W ($),
которая определяется как отношение преобразования Лапласа
выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала
W (s) = Ео (s)/Et (s). Для импульсного входного сигнала W (s) =
= Ео (s), следовательно, W (s) является преобразованием Лап
ласа импульсной переходной функции системы
Полагая s = с + /со, функцию W (s) можно представить в виде
W (s) = J w (Г) e~ct (cos at — j sin at) dt

которая меньше, чем J | w (t) | dt, так как с положительно

Можно показать, что w (t) стремится к нулю, когда t стремится

к бесконечности, и что выражение f | w (/) | dt конечно, если пере

=	(2 3-3)
Коэффициенты третьего ряда находятся перекрестным пере
множением
Новые ряды образуются таким же -образом до тех пор, пока
таблице (2 3—6) не появится п + 1 рядов. В ходе определения
« коэффициенты любого ряда могут умножаться или делиться
на положительное число без изменения характера таблицы Рауса.
Это значительно упрощает численные расчеты, связанные с опре-
делением коэффициентов последующих рядов. '

Если таблица (2 3—6) полностью составлена, то согласно кри-
терию Рауса все корни уравнения (2 3—5) лежат в левой полу
плоскости, если выполняются следующие условия:

1)	коэффициенты ak уравнения (2.3—5) имеют один и тот же знак,

2)	все коэффициенты первой колонки имеют один и тот же
знак Количество корней уравнения (2. 3—5) в левой полупло
скости равно количеству перемен знака коэффициентов первой
колонки таблицы Рауса

Этот критерий имеет два исключения, на которые необходимо
обратить особое внимание Первое исключение возникает, когда
первый член любого ряда равен нулю, а любой из остальных чле
нов этого ряда не равен нулю Попытка вычислить коэффициенты
следующего ряда обычным способом неприемлема, потому что
коэффициенты в этом случае обращаются в бесконечность Для
преодоления этой трудности нуль в первой колонке заменяется
произвольно малым действительным числом 8 и вычисления затем
проводятся обычным способом Количество изменений знака
в первой колонке не зависит от знака произвольного 8 Второе
исключение возникает, когда все коэффициенты во втором или
в любом другом полученном ряду равны нулю Этот результат
указывает на существование корней одинаковой кратности, ле
жащих друг против друга и на равных расстояниях от начала
координат Процесс может быть продолжен образованием вспо
могательного полинома по убывающим степеням $2 порядка
п — k + 1, коэффициенты которого являются коэффициентами
последнего ненулевого ряда, причем п является порядком урав-
нения (2 3—5) и k — номер последнего ненулевого ряда Нули
этого ряда заменяются коэффициентами вспомогательного поли
нома, продифференцированного по s Затем коэффициенты после-
дующих рядов определяются обычным способом

Условия устойчивости для САР третьего и четвертого поряд-
ков относительно просты и даются ниже:

1	Система третьего порядка Характеристическое уравнение
системы третьего порядка имеет следующую форму:

Если коэффициенты уравнения (2 3—9) положительны и ни
один из них не равен нулю, то условие устойчивости записывается
в виде
2	Система четвертого порядка Характеристическое уравне

Если все коэффициенты уравнения положительны и не равны
нулю, то условие устойчивости записывается в виде

ах (а3а2 — «4ar) — а23а0 >0	(2.3—12)

Для иллюстрации применения критерия Рауса разберем при

Пример 2 3—1. Рассмотрим структурную схему САР, изобра-
женную на фиг. 2 3—2 Требуется определить максимальное зна
чение коэффициента усилия К. при одновременном обеспечении
устойчивости системы Передаточные функции системы в разомк
нутом и замкнутом состоянии легко получить из фиг. 2 3—2

Характеристическое уравнение имеет вид
0,06s3 + 0,7s2 + s + К = 0

Устойчивость системы может быть проверена, если установить
отсутствие корней уравнения (2 3—15) в правой полуплоскости
Применяя критерий Рауса или уравнение (2 3—10), получаем

Согласно первому условию (2 3—10) К. должно быть больше
нуля Уравнение (2 3—16) дает

Следовательно, система станет неустойчивой, если коэффициент
усиления К. будет больше 11,65

Применение критерия Рауса не вызывает затруднений для
систем с характеристическими уравнениями невысокого порядка
Для систем с уравнениями высокого порядка вычисления стано-
вятся слишком громоздкими Следует отметить, что критерий
Рауса устанавливает абсолютную устойчивость системы, но по
нему трудно судить о запасе устойчивости Между тем, для боль
шинства случаев анализа САР недостаточно знать, является ли
система устойчивой или неустойчивой Таким образом, основной
П Раз	„	,	с / \

Для вывода критерия Найквиста из этой теоремы функция / (s)
представляется в виде 1 + A (з), где A (з) — передаточная функ-
ция системы в разомкнутом состоянии, а контур С охватывает всю
правую полуплоскость плоскости s (фиг 2 3—3) Можно пока-
зать, что

5ЬфТ§-* = 5!гД|аг8|1тЛ(з)1| = Й. (2 3—19)

где й — количество оборотов графика 1 + А (з) вокруг начала
координат, в то время как з изменяется вдоль замкнутого кон-
тура по часовой стрелке Приравнивая уравнения (2 3—19)
и (2 3—18), получим

Уравнение (2 3—20) может быть непосредственно использо
вано для анализа устойчивости САР.

Легко видеть, что когда з изменяется вдоль контура С, охва-
тывающего всю правую полуплоскость по часовой стрелке, вектор
1 + А (з) поворачивается один раз вокруг начала координат
вокруг начала координат в направлении, противоположном ча

Q - Р

(2 3-21)

Из сказанного следует, что при применении критерия Най-
квиста первый шаг заключается в определении числа полюсов
в правой полуплоскости передаточной функции системы в разомк
нутом состоянии A (s), второй шаг состоит в построении гра
фика A (s) для последовательности значений $ вдоль контура,
охватывающего правую полуплоскость против часовой стрелки;
третьим шагом является подсчет числа оборотов графика A (s)
против часовой стрелки вокруг критической точки (—1 + /0)
Очень часто первый шаг довольно труден. Однако если передаточ-
ная функция системы в разомкнутом состоянии А ($) представлена
в виде аналитического выражения, количество полюсов А (s),
расположенных в правой полуплоскости, может быть определено
Это становится еще более очевидным, когда передаточная функ
ция A (s) представляет собой произведение элементарных мно
жителей. Второй шаг обычно требует значительной затраты вре
мени, особенно если A (s) имеет высокий порядок и содержит
трансцендентные члены Третий шаг не вызывает никаких затруд-
нений

Так как на мнимой оси действительная часть комплексной
переменной «равна нулю, а мнимая часть равна /ю, то A (s) пере
ходит в А (/а) и это справедливо на бесконечной полуокружности
s = /<в, о = со и A (s) = А (/и) = 0, или постоянной величине
для реальных систем Поэтому при практическом построении гра-
фика передаточной функции комплексная переменная s заме
няется /со График передаточной функции в полярных координа-
тах для значений /со, изменяющихся от —;со до +/со и далее
по бесконечной полуокружности, называют диаграммой Най
квиста или амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Этот
график для диапазона частот от —со до 0 является зеркальным
отражением графика для диапазона частот от 0 до +оэ относи
тельно горизонтальной оси Таким образом, для построения гра
фика передаточной функции в полярных координатах можно
использовать часть мнимой оси, соответствующую диапазону
частот от 0 до + со, а также часть бесконечной полуокружности,
идущей к положительной части действительной оси

Неооходимо отметить, что для передаточной функции, со
держащей полюсы на мнимой оси, контур С необходимо изменить
с помощью изгибов так, чтобы на его границе не было полюсов,
как показано на фиг 2 3—3; в противном случае условия спра
ведливости уравнения (2 3—18) будут нарушены. Полюсы могут
быть либо исключены из контура С, либо включены в него посред
ством полуокружностей малого радиуса (обычно вычерчиваемых
справа от мнимой оси). Для полюса в точке s = /со значения s на
полуокружности около него определяются в виде

s = /сох 4- re'9,	(2 3—22)

где г — радиус полуокружности, в пределе стремящийся к нулю
и угол 0. изменяющийся от-----£-до-у- против часовой стрелки,

если полюс исключен из контура, и от —л до в том же направ-
лении. если полюс включен в контур Когда полюсы на мнимой
оси включены в контур С, они должны быть учтены при оценке
величины Р в уравнениях (2 3—20) и (2 3—21)

Амплитудно-фазовые характеристики A (s) могут быть разде
лены на три категории в зависимости от свойств системы

1	График не делает ни одного оборота вокруг критической
точки (—1 + /0). Система устойчива, если A (s) не имеет ни одного
полюса в правой полуплоскости Если же A (s) имеет полюсы
в правой полуплоскости, система неустойчива

2	График делает обороты по часовой стрелке вокруг крити-
ческой точки Система неустойчива, так как имеются нули 1 +
+ A (s) в правой полуплоскости Количество оборотов по часовой
стрелке равно разности между нулями, расположенными в правой
полуплоскости, и полюсами выражения 1 + A ($)

3	График делает несколько оборотов против часовой стрелки
вокруг критической точки Система устойчива только в том слу-
чае, если число оборотов против часовой стрелки равно числу
полюсов А ($) в правой полуплоскости

Критерий Найквиста имеет некоторые преимущества по срав
нению с критерием Рауса Критерий Найквиста может быть при
менен к анализу систем, передаточная функция которых в разомк-
нутом состоянии содержит наряду сполиномами трансцендентные
члены вида e~Ts Экспериментально определенные частотные
характеристики линеинои системы могут быть использованы для
построения амплитудно фазовой характеристики без перехода
к математической модели Эта характеристика позволяет судить
Z2,

Плоскость

re!n 6
re;n/3
rem/2

co |_0°

co |270°

На фиг. 2 3—4 изображен график A (s)

(2 3—24)

(2 3-25)

(2 3 -26)

(2 3-27)
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии, ко
торая получается при размыкании основной цепи обратной связи,

40 000

+ s2 + 1000 ’

необходимо перемножить модули амплитудно фазовых характе-
ристик элементов для каждой частоты, что представляет большие
затруднения Однако при использовании логарифмических частот-
ных характеристик значение эквивалентной передаточной функ-
ции для каждой частоты может быть найдено из соответствующих
значений передаточных функций элементов простым сложением,
так как операция логарифмирования преобразует умножение
в сложение Следовательно, использование логарифмических ча-
стотных характеристик может значительно сократить работу

Логарифмические частотные характеристики состоят из двух
кривых амплитудной характеристики и фазовой характеристики
Первая является графиком амплитуды или усиления в логарифми-
ческих единицах в функции логарифма частоты, а вторая кривая
представляет собой график фазового угла в градусах (или радиа
нах) в зависимости от логарифма частоты Логарифмические
частотные характеристики обладают следующими важными свой

1	Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
сложной рациональной передаточной функции представляет собой
простую линейную комоинацию логарифмических амплитудных
характеристик, множителей передаточной функции

2	Логарифмическая амплитудная характеристика (Л А X )
может быть легко аппроксимирована посредством прямых ли
ний — асимптот

3	Для большинства передаточных функций, которые при
надлежат к минимально фазовому типу, амплитудная частотная
характеристика полностью определяет (однозначно) фазовую ха
рактеристику и наоборот

Согласно первым двум свойствам построение логарифмических
амплитудных частотных характеристик даже сложных систем до
вольно просто Кроме того, первое свойство может быть исполь
зовано для облегчения выбора требуемой коррекции системы.
Третье свойство позволяет проектировщику обходиться во всех
расчетах лишь одними логарифмическими амплитудными ха
рактеристиками Вследствие этих свойств логарифмические ча
стотные характеристики широко применяются при анализе и проек
тировании САР

Как указано выше, рациональная передаточная функция мо
жет содержать полюсы и нули в начале координат, действитель
ные полюсы и нули, а также комплексные сопряженные полюсы и
нули, которые приводятся к шести элементарным формам

1)	з — нуль в начале координат,

2)	—--полюс в начале координат,

3)	1 + Ts — действительный нуль,

4)	; J ?-действительный полюс,
— пара комплексных сопряженйых нулей

6) .———1 	g-— —пара комплексных сопряженных полюсов

Логарифмические частотные характеристики этих основных
передаточных функций изображены на фиг. 2 4—1 Частота,
при которой асимптоты пересекаются, называется сопрягающей
частотой сов Для звена первого порядка со„ = 1/Т и для звена
второго порядка сов = со„ Так как логарифмические частотные
характеристики сложной передаточной функции могут быть по
строены по характеристикам составляющих звеньев, то это значи
тельно упрощает их построение

При проектировании САР с помощью логарифмических ха
рактеристик очень часто используются асимптотические лога
рифмические частотные характеристики Эти характеристики
можно построить легко, если передаточная функция выражена
в виде комбинации звеньев первого и второго порядков Однако
построение их не всегда является столь простым Для неминималь
нофазовых передаточных функций фазовая частотная характери
стика становится очень важной. Асимптотическуюфазовуюлогариф
мическую частотную характеристику можно построить по асимпто
тическим фазовым характеристикам звеньев первого и второго
порядков входящих в состав передаточной функции, путем ело
жения Если известны наклоны и сопрягающие частоты асимпто-
тических фазовых характеристик для звеньев первого или второго
порядка, то такие характеристики легко построить Звенья первого
порядка соответствуют

Р = k arctg а>Т

Как следует из фиг 2. 4—2 график фазы стремится к линии
Р = 0 при и1, стремящейся к 0 и стремится к линии р =
при со стремящейся к со При со = со„ = 1/Т, которая является
сопрягающей частотой асимптотической амплитудной частотной
характеристики G, (/со), фазовый сдвиг р равен Ал/4. Асимптоти
ческая фазовая частотная характеристика состоит из трех частей
Наклоны низкочастотной и высокочастотной частей равны нулю,
а наклон среднечастотной части равен наклону фазовой частотной
характеристики при со= 1/Т, который может быть легко опре
делен из уравнения (2 4—2) Дифференцируя это уравнение,
получаем

kT

Учитывая соотношение

d (log со)

производная от Р по logco равна

dp = dP dco	= 1 kl

TT(log со)	dco d (log co) log e 1 \-Т2ш2

(2 4-4)

(2 4-5)

Таким образом,

(2 4—7)

(2 4-8)

(2 4-9)

(2 4-10)
Уравнение (2 4—13) показывает, что наклон среднечастотной части асимптотической фазовой характеристики G,(jw) обратно		
пропорционален коэффициенту демпфи рования t		lz<y/67	/
В соответствии с фиг 2 4	—3 можно	
получить		
rt/2	1		(2 4-14)	|
log — log йЦ	gloge’		Г L
л/2 ,	1	(2 4-15)	J	/н
log w2 — log 0)n g log e		
	(2 4-15) 	
Уравнения (2 4—14) и		Oli	ц ып	Соды
дают следующие значения	сопрягаю	
щих частот асимптотической фазовой		Фиг. 2 4—3 Асимптотичес
частотной характеристики		кие логарифмические ампли тудная и фазовая характери
W1 = (4 81ГЧ.	(2 4-16)	стики вида Go (s) = (s2 -у
со2 -(4 81)S«n	(2 4— 17)	L2? <v+o>2„)
и <в2 = (4,81)?oj„, На этих частотах ошибка, вводимая асимптоти
ческим представлением фазовой характеристики, вычисляется по
уравнению (2 4-—12). Таким образом, ошибка по фазе равна

Ре = arctg^-^4-81-^^-	arctg-2;(4’^1)£	(2 4—19)

Г8 6 W2_(4glr2Sffl2	&(481)2£-1	’

и полностью определяется величиной £ Для коэффициента демпфи-
рования 0,4—0,9 максимальная ошибка лежит в пределах 30—25°

Построение асимптотической логарифмиче-
юй характеристики для функции вида
100s(l-f-s/5)

U (14- s/50) («а 4- 6s 4- 25)
Для звена (s2 + 6s + 25)= 5 рад/сек и £ = 0,6. Наклон
среднсчастотнои части асимптотической фазовой характеристики
равен —-2,370,6 = —3,84, а сопрягающие частоты равны

1,95,

12,8

При построении полной асимптотической характеристики пере-
даточной функции G (з) первым шагом является построение асимп-
тотических фазовых характеристик элементарных звеньев G (s),

как это показано на фиг 2

Асимптотическая фазовая ха

рактеристика затем находится с помощью простого сложения ха
рактеристик элементарных звеньев, как показано на той же фи
гуре

2 5 КОРРЕКЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ

Проектирование САР обычно состоит из четырех основных
этапов. Первый этап заключается в получении определенной инфор
мации о проектируемой системе, к которой относятся закон регу
лирования, требуемая точность, характер нагрузки и внешних
возмущении, скорость отработки, допустимая величина перерегу
лирования, среднеквадратичная ошибка, время переходного про
цесса и т п Второй этап заключается в представлении этих дан
ных в виде технического задания на проектирование САР и в вы-
боре подходящих элементов системы. При этом выборе необходимо
учитывать их надежность, потребляемую мощность, вес, габариты
и стоимость К основным элементам САР относятся источники
питания, исполнительные элементы, усилители, а также выпрями
тели и соединительные элементы. Третий этап заключается в полу-
чении передаточных функций всех элементов, составлении струк
турной схемы, а также предварительном анализе системы. Четвер
тый этап состоит в синтезе корректирующих устройств с целью
улучшения характеристик предварительно составленной системы
в соответствии с техническими требованиями Кроме этих основ-
ных этапов, необходимо провести исследование влияния допусков
и изменения параметров Сложные САР обычно проектируются
с использованием средств вычислительной техники и моделиро
вания. В последующих параграфах кратко излагаются методы
коррекции САР.

Проектирование САР можно выполнять как в частотной об
ласти, так и во временной Требования к частотным характеристи-
кам обычно включают данные о допустимых значениях ошибки
в установившемся состоянии, о запасе по амплитуде, запасе по
фазе, о максимальном отношении амплитуд выходного и входного
синусоидальных сигналов Мр (иногда называемом резонансным

4 юлиус т Tv	49
пиком), о резонансной частоте сог, полосе пропускания В и наклоне
частотной характеристики системы. Ошибка в установившемся
состоянии определяет точность системы Запас по фазе, запас по
амплитуде и резонансный пик Мр определяют относительную
устойчивость, о которой упоминалось выше Резонансная ча
стота ыг, определяемая как частота, при которой отношение
амплитуд максимально, тесно связана с быстродействием системы.
Высокая резонансная частота соответствует быстрой реакции,
а низкая резонансная частота — медленной реакции

Полоса пропускания В связана со сложностью и стоимостью
системы и определяет время нарастания переходного процесса
фильтрующие свойства и по
мехоустойчивость системы
САР с широкой полосой про-
пускания обычно имеют более
короткое время нарастания

реакции, но при большой
полосе пропускания увеличи-
вается уровень шума Кроме
того, в системе может возник

стороны, уменьшение полосы
пропускания улучшает ха
рактеристики подавления шу
ма и фильтрации и может упростить коррекцию Наклон частот
ной характеристики системы также влияет на ослабление шума
При большом наклоне характеристики можно добиться значитель
ного подавлейия шума, поступающего вместе с входным полезным
сигналом и имеющего наибольшую мощность на частотах, лежащих
выше верхней границы спектра полезного сигнала.

Во временной области требования к системе обычно формули
руются в виде требований к переходной функции, представляющей
собой реакцию системы на ступенчатую функцию Обычными коли
чественными характеристиками при этом являются коэффициент
демпфирования £ недемпфированная собственная частота со„;
частота колебаний переходного процесса coz, максимальный за
брос Мт, время нарастания Тг, время переходного процесса Т\
и время задержки Td Типичная реакция САР на ступенчатую
функцию показана на фиг 2 5—1 Коэффициент демпфирования
показывает, как быстро затухает переходный процесс Он часто
используется как мера качества системы. Перерегулирование,
которое определяется как процентное отношение максимального
заброса к установившемуся значению реакции, также является
мерой качества САР Величина перерегулирования зависит от
коэффициента демпфирования и возрастает с его уменьшением
кратко излагается ниже

1 Зависимость Мр от Мт и £ Обычно (1 |- Л4т) меньше,
чем Мр Резонансный пик возрастает с уменьшецием коэффициента

демг

ания Система с общим коэффициентом демпфирова
),8 обычно имеет резонансный пик, не превышающий

1,35 для частотной характеристики замкнутой системы

2	Зависимость оь от оъ и Т.,. Вообще резонансная частота
мало отличается от основной частоты колебаний, которая при t,

3. Время задержки возрастает

меньше 1 равна =

с уменьшением резонансной частоты

3	Зависимость В от Тг и 7\. Произведение времени нараста
ния Тг на полосу пропускания В непосредственно связано с пере
регулированием Обычно чем больше произведение Тг В, тем
больше перерегулирование Системы с незначительным перере-
гулированием имеют величину Тг В около 1,9, а системы с пере

выражено в секундах, а В — в рад/сек Время переходного про
цесса обычно уменьшается с увеличением ширины полосы про
пускания

Выбор передаточного коэффициента Если предварительный
анализ САР указывает на то, что система неустойчива, или что ее
динамические свойства неудовлетворительны, то необходимо изме
нить характеристики системы Наиболее простым и непосредствен
ным способом изменения характеристик является варьирование
передаточного коэффициента системы. Однако во многих САР тех
нические требования нельзя выполнить при изменении только пе
редаточного коэффициента вследствие чего появляется необхо
Димость введения в контуры управления корректирующих уст
ройств

Соответствующее значение передаточного коэффициента САР
может быть определено с помощью амплитудно фазовой характе-
ристики и окружности постоянного М или с помощью логарифми
ческой амплитудно-фазовой характеристики и номограммы для
замыкания системы
хелЬного контура Корректирующее устройство может обеспечить
устойчивость для всех значений передаточного коэффициента,
оно может улучшить как переходные, так и статические характе
ристики системы, а также уменьшить ее ошибку Корректирующие
устройства подразделяются в соответствии с их характеристиками
на три типа устройства, дающие опережение по фазе (дифферен
пирующие), устройства, дающие отставание по фазе (интегри
рующие) и устройства, дающие как опережение так и отставание
по фазе (интегродифференцирующие) Дифференцирующие
устройства обычно используются для изменения высокочастотной
части логарифмических частотных характеристик системы в ра
зомкнутом состоянии и улучшения поведения системы в переход
ном процессе Интегрирующее корректирующее устройство обычно
применяется для изменения низкочастотной части логарифмичес
кой частотной характеристики и улучшения статических характе
ристик системы

Несмотря на то, что изменение амплитудно фазовой характе
ристики системы в разомкнутом состоянии может быть выполнено
в комплексной плоскости, простота и легкость, с которыми могут
быть изменены логарифмические характеристики в соответствии
с техническими требованиями, делают эти методы очень удобными
Пример, иллюстрирующий использование логарифмических ха
рактеристик для определения последовательной коррекции, при
водится ниже

Пример 2.5—1 Спроектируем позиционную следящую систему
на постоянном токе, использующую в качестве чувствительных
элементов многооборотные потенциометры, усилитель постоян
ного тока, обеспечивающий заданный коэффициент усиления,
и генератор постоянного тока, управляющий исполнительным
двигателем, который связан с нагрузкой через зубчатую передачу
Требования к системе 1) запас по фазе должен быть более 40°;
2) допустимая ошибка системы при скорости изменения входного
сигнала 1 рад/сек должна быть около 1 % от входного значения

Схематическое изображение САР дано на фиг 2 5—4, а
Постоянные времени системы равны 0,1 и 0,01 сек Передаточная
функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид

д =___________522------ о 5—1'i

Структурная схема этой системы показана на фиг 2 5—4, б
Как видно из логарифмической амплитудной характеристики
системы, показанной на фиг. 2 5—5, требования к системе нельзя
выполнить с помощью изменения только передаточного коэффи
циента По видимому, необходимо введение корректирующего
устройства, дающего опережение по фазе
фазе равен —16,3° Следовательно, необходим дополнительный
фазовый сдвиг в 56,3° Для этого следует ввести корректирующее
устройство, обеспечивающее опережение по фазе и требуемое ка-

Выберем передаточную функцию корректирующего устройства
в виде

W = T+W? =-Т+т^-	V

Фазовый сдвиг этой цепи при частоте со = со( определяется
выражением

Pee==arctg^--arctg-g-	(2 5-4)


этого корректирующего устройства Примем = 69°, тогда из
уравнения (2 5—6) получим

При последовательной коррекции фазовый сдвиг Ас (з) на
частоте среза определяется выражением

Подставляя = 40°, т е требуемый запас по фазе, в урав
некие (2. 5—8), получаем

10 ____	___ ша_________Шс

сос 100 сос сой

18

(2 5-9)

ю

<ос 100

(2 5—10)
системы, если передаточный коэффициент контура достаточно
Фиг 2 5—7 САР с коррекцией в обратной связи

Для внутреннего контура передаточная функция в разомкну
том состоянии равна

а выход и вход контура связаны выражением

Из этих двух уравнений следует, что если передаточный коэф

фициент внутреннего контура существенно меньше 1 I Лт(/ы)| « 1,	(2 5-17)  (2 5—18)

(2 5—19)

(2 5—20)
Передаточная функция скорректированной системы в разомк

(2 5—21)

(jm) Gj (/со) G2 (/со) = А (/и),

(2 5-22)

или в функции от

(2 5-24)

2 6 МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Предыдущий параграф был посвящен краткому изложению
цесса, тесно связаны с корнями характеристического уравне
ния САР, которые являются полюсами передаточной функции
замкнутой системы Если эти корни определены, то можно опре
делить различные параметры переходного процесса Следова
тельно, для того чтобы спроектировать САР на основании требо-
ваний, заданных во временной области, необходимо знать, каким
образом изменение характеристических корней будет влиять на
переходную характеристику системы Эти данные можно легко
получить из траектории корней САР в зависимости от коэффи
циента усиления системы как параметра График такого рода
обычно называется корневым годографом

Метод проектирования системы с помощью корневого годо
графа основан на изучении влияния перемещения корней на ее
поведение в переходном режиме по графику корневого годографа
системы С помощью корневого годографа проектирование САР
можно выполнять простым подбором нулей передаточной функции
системы, корней характеристического уравнения и передаточного
коэффициента системы в разомкнутом состоянии таким образом
чтобы добиться нового расположения нулей и полюсов переда-
точной функции разомкнутой системы, удовлетворяющего пока
зателям качества переходного процесса. Метод корневого годо
графа позволяет учитывать как частотную характеристику, так
и переходную характеристику, связывая таким образом широко
используемый частотный метод синтеза с довольно трудным мето
дом синтеза во временной области.

Так как метод корневого годографа, первоначально разрабо
тайный для расчета непрерывных САР, может быть легко распро
странен на импульсные и цифровые САР, необходимо краткое
изложение некоторых важных аспектов этого метода Основные
правила составления корневых годографов, освещенные в боль
шинстве книг по линеинои теории следящих систем, здесь при
водиться не будут Данный параграф в основном посвящен рас
смотрению методики проектирования с помощью метода корне
вого годографа Этот материал будет впоследствии использован
при изложении метода проектирования импульсных САР б по
мощью метода корневого годографа в параграфе 9 8

На основании рассмотренной структурной схемы САР, изо
браженной на фиг 2 6—1, можно записать характеристическое
уравнение в виде

где A (s) = G (s) H (s) — передаточная функция системы в ра
зомкнутом состоянии
Уравнение (2 6—2) может быть переписано в виде

X(s) = —1	(180° ±«3604	(2 6-3)
и уравнение (2 6—7) преобразуется к виду

Приведенное соотношение справедливо лишь для > 1
Пересечение с отрицательной частью действительной оси опре-
деляется из уравнения (2 6—9)

г„ = 3/?1 - .	Г2 В—1СА

Р1		1	
0  2  3  5  10	1,5  1,8 2,14 25	0 0,578 0,707  0,774 0,845  0 968	°8  10,7  14,4  24,2

(2 + Р1) со2 — Р1 = О,

(2 6—12)

(1 + К) а2 - (1 + 2Р1) = О

(2 6—13)

61
Решением этих уравнений является
ю = ±	(2 6—14)

которое определяет точки пересечения мнимой оси Величина

К =	62 6—154
в системе возникают непрерывные колебания, если значение X
возрастет до 9, в то время как при рг = 10 незатухающие колеба
ния появятся лишь при К = 24,2.

Пример 2.6—2 Влияние перемещения нуля передаточной
функции-

Рассмотрим САР, имеющую передаточную функцию в разомк
нутом состоянии:

Исследуем влияние изменения zr на корневой годограф системы,
построив годографы для нескольких значений zr

Корневой годограф этой системы состоит из трех ветвей, из
которых две стремятся к бесконечности, так как передаточная
функция системы в разомкнутом состоянии A (s) содержит три
полюса и один нуль Ветви годографа начинаются в полюсах
р0 = 0, р! = —2 + 4/ и р2 = —2 — 4/. Ветвь на отрицательной
действительной оси представляет собой отрезок от s = 0 до s =
— —Zp Две другие ветви стремятся к асимптотам, расположен-
ным под углами ±90 по отношению к действительной оси: эти
две асимптоты пересекают действительную ось при

причем эта точка на действительной оси является центром распо
ложения нулей и полюсов Когда z± = 4, хс = 0 и годограф при
ближается к мнимой оси асимптотически При zt < 4 центр ле
жит на отрицательной половине действительной оси, а при zt > 4
центр располагается на положительной части действительной оси

Пересечения годографа с мнимой осью можно легко определить
по характеристическому уравнению системы

s3 + 4s2 + (20 + К) s - Kzj - 0	(2 6—18)

На мнимой оси s = /со, и уравнение (2 6—18) принимает вид

—/со3 — 4®2 -l / (20 + К) со + Kzj = 0,
из которого получаем систему из двух совместных

(2 6-19)
уравнений

®2 — (20 + К) = 0

Решениями этих двух уравнений являются
		yi		°pl
0  2  8	—2  0  2	775  6 32	40  20	90  63 5  37  18 5  72

система становится устойчивой для всех конечных значений К
так как при zx < 4 невозможно пересечение годографа с мнимои
осью В особом случае при zx = О передаточная функция A (s)
имеет второй порядок и корневой годограф представляет собой
линии, параллельные мнимой оси, выходящие из сопряженных
комплексных полюсов и стремящиеся к бесконечности в противо
положных направлениях

Соображения по проектированию Вследствие простоты и лег
кости, с которыми строятся корневые годографы САР по нулям
и полюсам разомкнутой системы, а также вследствие возможности
определять по корневому годографу влияние изменений пара
метров системы на ее характеристики, метод корневого годографа
широко применяется для проектирования САР Этот метод может
быть использован для определения передаточного коэффициента
исходя из требований к качеству системы во временной области
для оценки максимального перерегулирования переходного про
цесса, а также для нахождения необходимой коррекции улучшаю
щей характеристику системы

Так как влияние изменения передаточного коэффициента как
на временную, так и на частотную характеристики при построении
корневого годографа становится очевидным, то определение его
значения, удовлетворяющего техническим условиям можно легко
выполнить с помощью этого метода Во временной области качество
часто характеризуется коэффициентом демпфирования пары пре
обладающих комплексно сопряженных полюсов (или в некоторых
случаях наиболее значительной временной постоянной реакции
системы) Преобладающие сопряженные комплексные полюсы
записываются в следующем виде

где С — коэффициент демпфирования,

<о,г — недемпфированная собственная частота колебаний, соот
ветствующих паре преобладающих полюсов

В комплексной плоскости геометрическому месту точек с посто
янным значением £ соответствует полубесконечная прямая линия
проходящая из начала координат под углом ф к отрицательной
части действительной оси, причем

Эта линия, соответствующая постоянному значению £, часто
называется линией постоянного демпфирования Чем меньше
угол ф, тем выше коэффициент демпфирования Когда коэффи
циент демпфирования задается в технических условиях, линия
демпфирования соответствующая требуемому значению £, про

а сопряженный корень

Так как

Г,+Гг+Г1=^4),

(2 6—35)

(2 6-36)

(2 6—37)

то третий корень равен

(2 6—38)

-К
Т\Т^

(2 6—39)

ПиСле ЮГО как с помощью корневого годографа определены
все корни системы, можно легко построить ее частотную харак-
теристику Перерегулирование можно легко определить по распо-
ложению корней характеристического уравнения (фиг 2 6—
5,5). Преобразование Лапласа выходной координаты для воз
действия единичной ступенчатой функции имеет вид

(2 6-40)

Разлагая на множители, получаем

С (S) =	+ -Л1_ _	+ _Jk_ ,

(2 6-41)
где члены К1вг^ + К#'** соответствуют демпфированным колеба
ниям и определяют максимальное перерегулирование. Из гео
метрического расположения корней характеристического уравне-
ния получаем

= | —|е-/ф»	(2 6-43)

Тогда





(2 6—44)

(2 6-45)

+ er2tKss = _L_ | _Та_ | е-м cos	- л - Ф, - Ф2) -

= у== | “т; | е“м cos W - л - Фх - Ф2) (2 6-46)

Значение первого максимума, которое имеет место при t «=
= (л + Ф! + Ф2)/а>1, определяется из уравнения

Так как член К3ег>* стремится уменьшить перерегулирование
системы, то максимальное перерегулирование будет

(2 6-48)

Передаточная функция требуемой последовательной коррек
тирующей цепи также может быть определена с помощью корне
вого годографа системы. Обычно используются следующие виды
коррекции: введение интеграла производной а также коррекция
за счет сдвига нулей и полюсов Интегральная коррекция исполь
зуется для увеличения скоростной постоянной без ухудшения
качества, коррекция введением производной применяется для
увеличения фазового угла в районе частоты среза, коррекция за

Фиг 2 6—7 Структурная схема САР

4±|Щ4>7-, (2 6-51)
	4  коррекции	Асимптота
Р,	h Ро	0	

Из уравнений (2 6—50) и (2 6—52) видно, что скоростная
постоянная системы с коррекцией возрастает в k раз. Корневой
годограф при введении цепи отставания перемещается вправо
как показано на фиг 2 6—8 Величина сдвига зависит от рас
стояния между корректирующим нулем и полюсом. Если они
близки друг к другу, сме
щение корневого годогра
фа не велико. Таким обра
зом, для получения боль
шой величины скоростной
постоянной (большого зна
чения k) без большого фа
1 зового сдвига (отставания)
вносимого цепью отстава
ния, необходимо, чтобы как
. корректирующий полюс,
' так и корректирующий
нолн располагались вблизи
от начала координат (Дру
гимн словами, цепь отста
вания- часто используется
для изменения низкочас
тотной части частотной ха-
рактеристики разомкнутой
системы.)

Если необходим фазо
вый сдвиг вблизи частоты
среза, то часто применяет
ся коррекция дифференци
рующим звеном Для системы, изображенной на фиг 2 6—7,
при введении опережающей цепи с передаточной функцией

передаточная функция скорректированной системы в
том состоянии будет

разомкну

(2 6—54)

Корневой годограф системы, который изображен на фиг 2 6—9,
сдвигается влево при введении опережающей цепи Увеличение
Таким образом, возрастание угла выхода равно фазовому
сдвигу вносимому цепью опережения Как видно из фиг 2 6—
9, Фо возрастает с увеличением расстояния между корректирующим
нулем и полюсом Если коэффициент усиления заранее известен,
то опережающая цепь необходима для осуществления заданного
демпфирования, определяемого из графика корневого годографа
Это может быть осуществлено с помощью оценки желаемого
расположения нового корневого годографа и угла выхода Линия
требуемого демпфирования должна пересекать новый корневой
годограф в точке, которой соответствует коэффициент усиления
больший, чем установленное значение Требуемую цепь опереже
ния можно найти посредством вычисления угла выхода нового
годографа Удовлетворительный результат может быть получен
с помощью нескольких пробных расчетов

В случае, когда требуемое демпфирование невозможно обеспе
чить за счет введения простой реализуемой опережающей цепи,
требуются более счожные корректирующие цепи Передаточная
функция сложной цепи, которая состоит из нескольких простых
пар нулей и полюсов, может быть определена из корневого годо
графа с помощью применения указанного выше порядка действий
для каждой пары нуль — полюс. Каждая такая пара будет улуч
шать корневой годограф системы. Совместный эффект пар нуль —
полюс приведет систему в соответствие с требуемыми характери-
стиками Однако в САР, передаточные функции которых содержат
пару комплексных сопряженных полюсов, близких к мнимой оси,
опережающая коррекция не является эффективным средством
В этом случае необходима коррекция за счет сдвига полюсов
и нулей
Наиболее общим методом коррекции является коррекция с по
мощью сдвига нулей и полюсов которая заключается в переме
щении нулей и полюсов в требуемое положение с помощью частич
ного или полного сокращения нулей и полюсов в передаточной
функции системы в разомкнутом состоянии. С помощью такой
коррекции весь корневой годограф может быть перемещен в новое
положение в котором корни характеристического уравнения
системы будут удовлетворять требуемым частотной и переходной
характеристикам Рассмотрим САР, структурная схема которой
изображена на фиг 2 6—7 Передаточная функция регулируемой
системы представлена в виде	7

Когда С4 мало пара сопряженных комплексных полюсов G, (з)
располагается поблизости от мнимой оси и коррекция с помоДью
цепей опережения, имеющих простые полюсы и нули не приводит
к требуемым результатам Однако легко показать, что если эту
пару комплексных полюсов удалить от мнимой оси то динамиче
ская характеристика системы может быть значительно улучшена
Перемещение комплексных полюсов может быть выполнено с по
мощью введения корректирующей цепи с передаточной функцией

a. (s) -	,	(26—61)

(s J- ас- ($ -L ас

причем а, = и Ml = Ю1 Тогда пара комплексных сопряжен
ных нулей сократится с комплексными полюсами G1 (з) в резуль
тате чего передаточная функция в разомкнутом состоянии будет

Ас (з) - G, (s) Gc (s) = —---______________ /2 6__62)

s (s д-ас —/сое) (s + ас 4-/<£>с)	° °2'

Эта передаточная функция содержит пару новых комплексных
сопряженных полюсов Корневые годографы нескорректирован
нои и скорректированной систем изображены на фиг. 2 6—
10, а и б Полное сокращение нежелательных комплексных полю
сов с помощью нулей корректирующего устройства трудно реали
зовать на практике Обычно можно расположить нули корректи
рующего устройства вблизи от нежелательных полюсов переда
точной функции разомкнутой системы, чтобы получить частичное
сокращение, а вводимые новые полюсы поместить в некоторое
требуемое положение В этом случае передаточная функция
в разомкнутом состоянии будет
коррекцией (пол
следящих системах Наиболее распространенным типом САР
с модуляцией является следящая система на переменном токе
которая характеризуется передачей информации в виде огибаю
щей несущей частоты амплитудно-модулированного сигнала пере
менного тока Чаще всего используется частота несущей в 60 гц
и 400 гц

Примерами САР на переменном токе являются следящие си
стемы, в которых в качестве исполнительного элемента исполь
ауются двухфазный асинхронный двигатель, сельсины и вращаю

стам, то электромеханические модуляторы иногда считаются более
приемлемыми, чем модуляторы на электронных лампах Обычно
в качестве модуляторов используются вибропреобразователи,
электромеханические прерыватели, балансные потенциометры,

детектор D а передаточные функции усилителей и цепей перемен
ного тока обозначены через Gc (/со) В следящих системах на пере
менном токе в качестве несущей используется синусоидальный
сигнал с частотой, значительно большей частоты сигнала, несущего
информацию Сигнал несущей модулятора изменяется, как cos ®ct
а сигнал на выходе модулятора — как 2 cos (сос 1+ 0С), где Шс —
частота несущей, а0с — фазовый угол, который может изменяться
Входной информационный сигнал (f) модулирует несущую
в модуляторе М, в результате чего на выходе модулятора полу
чается модулированный сигнал х2 (/), который определяется выра-
жением

Х2 (0 = ХХ (О COS <j)ct

(2 7-1)

уравнение (2 7—1) преобразуется к виду

х2 (/) = 4 (е/м^ + Х1 (t)

X, (s) = ~ [5? {е1а^Х1 (/)} щ	=

= ~ [Хг (s — jcoc) FXJs+jkO]

(2 7—4)

Xr (s)~ X К (/)}, X2(s) = 5?K(/)}

Подставляя выражение для Х2 (s) в уравнение (2 7—4) и упро
щая его, можно найти преобразование Лапласа сигнала на выходе
элементов переменного тока

хз (s) =- 4“	(s~~ Ж) + (s + l^c)] Gc(s) (2 7—6)
+	(2 7-8)

С помощью уравнения Эйлера

е±1Юс‘ = cos act ± j sin сос/	(2 7—9)

уравнение (2 7—8) можно представить в виде

*з (0 = ХР cos У ]xq (t) sin act (2 7—10)
в котором

Хр(1) = ±.%-'{[Ос(5 h/coc) r Gc(s-/«.)]%! (s)} (2 7-11)

здесь xp (t) и xv (0 — низкочастотные сигналы.

Уравнение (2 7—10) показывает, что реакция элементов на
переменном токе х3 (i) представляет собой модулированный сиг
нал, состоящий из двух составляющих, сдвинутых по фазе на 90°
Низкочастотный сигнал хр (i), который находится в фазе с несу
щей. называется синфазной составляющей, а низкочастотный
сигнал Хр (/), сдвинутый на 90° относительно несущей, называется
квадратурной составляющей Выход синхронного детектора х0 (/)
определяется по информационному сигналу содержащемуся
В фуНКЦИИ 2х3 (О COS ((oct + Ос)-

Выходной сигнал х0 (t). который получается из этой функции
с помощью фильтрации и детектирования, может иметь различные
формы, зависящие от величины фазового угла 0С

Используя уравнение (2 7—10), получаем

+ [cos 0ccos 2(i>ct + sin 0C sin 2(0^] xp (/) -y-
X9(s)= X[G4s----/^\.)-GJs4 pU]X1(S) (2 7-17)

Определяя

Gp (s) = 4" lG< (s + -r Gc (s - /(of)] cos 0c (2 7-18)

Gq (s) = 4~ (s — /“₽) — GAS r jraf)] sin 0c

X0(S) = IGp(S)-l/G(7(S)] XJs)

(2 7-19)

(2 7-20)

Затем, разделив обе части уравнения (2 7—20) на Xr (s)
и обозначив отношение преобразования выхода к преобразованию
входа через Ge (s), получим

(2 7-21)

= Gp (s) + jG? (s) =

= lGc (S H- /“c) + Gc(s — j(£>c)] cos ec +

(2 7-22)

+ j-L[Gc(s~1^)-Gc(s + ]^c)] sinOc (2 7-23)
Ge (s) = Gc (s + ](£>c) cos 0c

Ge (s) = Gc(s — i(ac) cos 0f

(2 7—25a)

(2 7— 256)



Ge (s) = Gc (s 4- jcoc)

Ge (s) = Gc (s - jcof)

(2 7—27a)
(2 7-276)


ГЛАВА 3

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕРЫВАНИЯ
И КВАНТОВАНИЯ

3 1 ПРОЦЕСС ПРЕРЫВАНИЯ

Импульсные и цифровые системы автоматического регулиро
вания коренным образом отличаются от непрерывных САР
В импульсной САР сигнал в одной или более точках подвергается
процессу прерывания, который иногда называют квантованием
по времени В цифровой САР сигнал в некоторой части системы
квантуется как по времени, так и по величине В зависимости
от кода применяемого для одновременного квантования по вре-
мени и по величине управляющего сигнала, цифровые САР под-
разделяются на системы- с десятичным, двоичным, двоично-
десятичным кодом и т д Для арифметических вычислений обычно
применяется десятичная система, использующая цифры от 0 до 9
Однако в цифровых управляющих и вычислительных машинах
применяется двоичная система, основанная на использовании
только двух цифр 0 и 1, а также двоично кодируемая десятичная
система Процессы цифрового кодирования и декодирования
в цифровых САР рассматриваются в гл. 8 В данной главе в каче
стве введения к изучению импульсных и цифровых САР дается
краткое изложение процесса прерывания и основ теории кванто
вания по времени и уровню

Процесс прерывания или квантования по времени может вы
полняться с постоянной частотой, с переменной частотой или же
случайно Далее рассматривается процесс прерывания с постоян
ной частотой Изображенный на фиг 3 1 — 1 прерыватель, или
импульсный элемент, действует с постоянной частотой и с перио
дом равным Т сек.. Импульсный элемент пропускает входной сиг
нал лишь в течение короткой части т периода прерывания и не
пропускает сигнал в течение другой части этого периода Время
прохождения сигнала т значительно меньше периода прерыва
ния Т Если входной сигнал импульсного элемента представляет
собой непрерывную функцию времени х (/) то на его выходе сигнал
существует лишь в течение промежутка времени т, достаточно
малого по сравнению с периодом прерывания Величина выходной
функции импульсного элемента в интервале т соответствует вели
чине входной функции в этом же интервале Иными словами,
выходная функция импульсного элемента представляет собой
3 2 АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЕДИНИЧНЫХ
ИМПУЛЬСОВ

импульсов играет важную роль в исследовании процесса преры
вания Знание характеристик этой функции является существен
ным для изучения поведения импульсных устройств и импульсных
систем Ниже приводится анализ функции единичных импульсов

Так как функция единичных импульсов U (xrt) которая состоит
из последовательности одинаковых импульсов единичной высоты
(фиг 3 1—2, 6), является периодической функцией, то она может
быть представлена в виде ряда Фурье Предположим что

®s = 2Hfs

(3 2-2)

£/(T, t) = Спе'п^

(3 2-3)

где Сп — коэффициенты Фурье, определяемые по формуле

= U(x,t)e~lna>^dt

единичных

то уравнение (3 2—4) можно преобразовать к виду

Cn^-Lfe-Jn^dt =
Легко показать, что для п -= О

Подставляя уравнение (3 2—6) в (3 2—3), получим





(3 2-8)

Следовательно,

и (г?) = т + Т S "'"Хт7,1 с“ " <“' ~ ф). <3 2-9>

(3 2—10)
y(f) = -^x(t)+^-^^^P-x(t)C0Sn(^-<S>) (3 3-1)
Из уравнений (3 3—1) и (3 3—2) следует, что импульсный
гнал может быть записан в виде

у (Г) = ~ cos (ю0? + %) + У Sinnni/f 7~)' cos № +

+ 90) cos п (ast — Ф) =е ~ cos (&V + 90) +

+ 7 i............cos К“о -*• г + 90 - пФ] +

+ ^^^^^[^0-nai)t + Q0 + n^]	(3 3-3)

у (О = -у- У sinn^7^~'~cos [(®° +	/ + е0 — пФ] =



+^e-/\i;s-s-)-g/n^-,(m°+nmsM (3 3~4)

Коэффициенты при ed
по формуле

этого уравнения определяю!

(3 3—5)

а„« 90 —пФ

(3 3-7)
Так как коэффициенты сп являются комплексными, то для
полного описания спектральной функции необходимо построить
два графика Для этого обычно выбираются графики ампли-
туды I сп | и фазового угла ап Графики | сп | и ап в функции частоты
называются соответственно амплитудным и фазовым спектрами
временной функции у (/). Например, | ck | и ak являются ампли
тудой и фазой спектральной функции на частотах со = ± (соо -|~
1- fecoj Так как <о0 и <os постоянны, то | сп| и ап являются функ
циями п Так как п может быть только целым, положительным
или отрицательным числом, то графики этих функции представ
ляют собой не непрерывные кривые а серию вертикальных линий
представляющих величины |сп| и ап, соответствующие различным
значениями Нафиг 3 3—1, б представлен график амплитудного
спектра импульсного сигнала у (f), который является дискретной
функцией частоты. Дискретный частотный спектр иногда называют
линейчатым спектром вследствие того, что он состоит из верти
кальных линий. Энергия, содержащаяся в периодическом сигнале
концентрируется на отдельных частотах Линейчатые спектры
периодического сигнала дают представление об информации
содержащейся в этом сигнале

Результаты процесса прерывания иллюстрируются фиг. 3. 3—1
и уравнением (3 3—3) Из фиг 3. 3—1 видно, что вследствие
прерывания в частотном спектре прерываемого сигнала появляется
бесконечное количество боковых частот (<о0 ± n<os) Уравне
ние (3 3—3) показывает, что прерывание вызывает ослабление
сигнала в х/Т раз и приводит к добавлению бесконечного числа
синусоидальных составляющих с амплитудой
-Шо


3 4 ЗАПОМИНАНИЕ

запоминание осуществляется только в течение части периода
прерывания (частичное запоминание), или преобразуется в сту
пенчатую функцию (фиг 3 4—2), если запоминание осущест
вляется в течение всего периода прерывания (полное запомина
ние) В этом параграфе излагается влияние запоминания

На фиг 3 4—1, а изображена блок-схема импульсного эле
мента, на выход которого включен запоминающий элемент Для
ЙЖС Ь I' <’

У (0 =	2	cos [(О)0 + no)s) t + e0 - пФ], (3 4-3)

△i/ (0) =	2 51пПЛТ^Г cos «“o + rt“b) t +

+ So-----------
„ И\-У_ V 2 sin [(ш° + aTP cos [((Op + nms) (t - aT/2) + 60
i/HO T	(®o + «®s)

^aV S -S‘U(0+t^Hc/2/2 C0S [<“o+^s) (/—Tc/2)-Oo] (3 4-11)


+ nas) —4") + 0oJ
(3 4-16)

(3 4-17)

Следовательно, передаточная функция запоминающего эле
мента имеет вид

Подставляя /со вместо s в уравнение (3 4—18), получаем ча
стотную характеристику

Фазовая характеристика запоминающего элемента
Ф (со) = —со
наивысшей частоты, содержащейся в непрерывном сигнале
Вспппетвие этого устройство для передачи с широким диапазоном
частот можно использовать для передачи сигналов по нескольким
каналам без взаимных помех Поэтому импульсные методы нахо
дят широкое применение в системах связи как средство уплотне
ния каналов связи и в САР как средство разделения во времени
работы отдельных элементов САР

Для доказательства основной теоремы прерывания предполо
жим, что комплексный частотный спектр сигнала f (t) равен F (со)
Тогда интеграл Фурье для f (0 примет вид

причем комплексный частотный спектр определяется выражением

Уравнения (3 5—1) и (3 5—2) образуют пару формул преоб
разования Фурье функции f (t) Так как предполагается, что
функция F (со) равна нулю вне пределов частотного диапазона /0
то уравнение (3 5—1) можно переписать в виде

где

со0 = 2л/0	(3 5-4)

Далее, если функция / (0 прерывается с постоянной частотой
Д = 2/0, то в любой момент прерывания

величина сигнала равна

^лТ) = -2Г f F^)ef^da

В уравнениях (3 5—5) и (3 5—6) п представляет собой любое
положительное или отрицательное целое число

Частотная функция F (со) определяется в интервале

и может быть представлена в виде ряда Фурье на этом интервале
здесь коэффициенты Фурье определяются по формуле

(3 5-9)

Вынося знак суммирования за интеграл, получим
так как

Т = -Х = А_	(35-14)

Уравнение (3 0—13) можно записать в виде



(3 5—15)
f4kT) = ^f*(t)U (/)

(3 5-21)

Подставляя уравнение (3 5—20) в (3 5—21), получим

Z2 (kT) lim р (0 4- 2 2 Р (0 cos n<osZ	j =

=- f2 (0 + 2 2 P (0 cos nast

(3 5—22)

Среднее значение функции /2 (t) cos nast, взятой на очень боль
шом интервале времени, равно нулю, несмотря на то, что /2 (/)
100


что и требовалось доказать

3 6 КВАНТОВАНИЕ ПО АМПЛИТУДЕ

вается кодированием

Так, в системе с двоичным кодом кодовая группа coctohi из
нескольких импульсов, причем присутствие импульса обозна-
чается с помощью 1, а его отсутствие 0. Кодовая группа, состоящая
из п посылок (посылка означает присутствие или отсутствие им-
пульса в определенном месте кодовой группы) может определить
2" уровней амплитуды дискретного значения сигнала Процесс
прерывания, квантования по амплитуде и кодирования в цифровых
системах частот называется аналого-дискретным преобразованием
Посредством этого процесса значение физической величины пре
образуется в числовой код, являющийся средством передачи
и обработки информации в цифровых вычислительных устрой
ствах Квантование и прерывание оказывают основное влияние


y(t)
где

q — величина шага квантования,

с, t) — мгновенное отклонение выходного сигнала от
входного и

о < е (q, x,t)<q
Для входного сигнала показанного на фиг 3 6—2, а оши£>ка
квантования в функции времени изображена на фиг 3 6—2, б
Следует отметить, что любое изменение входного сигнала в преде
лах одного шага квантования не изменяет выходной сигнал
и искажения, вызываемые ошибкой квантования, равносильны
искажениям, вводимым от источника шума. Поэтому ошибка
квантования может рассматриваться как шум, который вводится
в систему в результате квантования Частота этого шума зависит

(3 6-3)
также справедливо, если сигнал на выходе квантователя является

c(t)

в)
для анализа и проектирования большинства систем Так ка^
в цифровых САР сигнал вначале преобразуется в импульснуф
форму, а затем квантуется и кодируется перед подачей в цифровое
устройство, то ниже рассматривается амплитудное квантование
импульсных сигналов Из предыдущего видно, что для уменьшения
ошибки квантования необходимо, чтобы шаг квантования был
мал Далее предполагается, что квантование осуществляется
с очень малым шагом Следовательно, квантователь можно рас
сматривать как источник белого шума и можно считать, что ошибка
квантования некоррелирована с сигналом на входе квантователя

Р(х)

Если предположить, что входной сигнал квантователя состоит
из последовательности импутьсов, которые являются случайными
и статистически независимыми друг от друга, то характеристикой
входного сигнала может служить его одномерная плотность распре
деления вероятности. При этом для статистического анализа про-
цесса амплитудного квантования необходимо найти одномерную
плотность распределения вероятностей U7* (х) сигнала на выходе
квантователя. Плотность распределения вероятностей сигналов
на выходе квантователя, ошибок квантования и их характеристи
ческие функции определяются в последующих параграфах

На фиг 3 6—4 показана кривая функции распределения ве
роятности сигнала на входе квантователя, которая является
непрерывной функцией переменной х, так как предполагается,
что входная переменная имеет непрерывный диапазон изменения
амплитуд Характеристики квантованного сигнала позволяют
сделать вывод, что вероятность появления на выходе квантователя
величины с уровнем, лежащим между уровнями квантования,
равна нулю В соответствии с фиг 3 6—4 вероятность того, что
значение входной переменной х лежит в пределах

(3 6-6)
определяется площадью фигуры abed над шагом квантования
с центром в начале координат Так как в этом диапазоне изменения
входной переменной сигнал на выходе квантователя равен нулю,
то площадь фигуры abed также представляет вероятность того,
что выход квантователя равен нулю Эта вероятность определяется
выражением

где интегрирование производится от —q/2 до +q/2 (q — шаг
квантования). Аналогичным образом вероятность того, что зна
чение входной переменной лежит в пределах

определяется площадью фигуры с центром в q (фиг 3 6—4)
Следовательно, вероятностью того, что квантованный выход со
держит один шаг квантования, является выражение

W(q)~

Из тех же самых соображений вероятность того, что квантован
ный выход содержит два шага квантования, равна

W (2q) = J Р (х) dx,

что определяется площадью фигуры с центром в 2q В общем,
вероятность того, что квантованный выход содержит k шагов
квантования, определяется выражением

W(kq)

что равно площади фигуры с центром в kq.

Следовательно, давая k все положительные и отрицательные
целые значения, с помощью уравнения (3 6—11) можно описать
распределение вероятности величины на выходе квантователя
Как показано на фиг 3 6—5, кривая функции распределения
вероятности выхода является дискретной функцией переменной х
Так как квантованный сигнал может принимать только дискретные

прерывания Uq (величина обратная шагу квантования) должна
вдвое превышать частоту наивысшей гармонической составляющей,
содержащейся в W (х) Соответствующей заменой переменной
уравнение (3 6—14) можно преобразовать к виду

№(х) = f Р q)dx-^ Р (х +4-^) dx (3 6_15)

Далее, полагая, что F(- (и) и F (и) являются соответствующими
характеристическими функциями распределения вероятностей Р (х)

Л («)-=_! e~luxP(x)dx,

(3 6-16)

P(x)-^]yX“F^du’

(3 6—17)

F(u)= J e IUXW (x)dx	(3 6—18)

W (x) = _L f e>xuF («) du (3 6-19)

Характеристическая функция распределения вероятности яв-
ляется ее преобразованием Фурье

Взяв преобразование Фурье от обеих частей уравне
ния (3 6—15), получим

F (“) = F‘ <“> - Л (И) =

"У’-г.и

sin (ди/2)
(qu/2) ’

(3 6-20)

(3 6—21)

уравнение (3 6—20) можно переписать в виде

Это уравнение означает, что характеристическая функция
распределения вероятности W (х) равна произведению характери
стической функции распределения вероятности входной перемен-
ной и характеристической функции Fn (и), которая зависит от е-
личины шага квантования q Fn (и) и может рассматриваться как
Интегрируя, получим

что представляет собой однородное рас
пределение. На фиг 3 6—6 изображены
характеристическая функция и распре
деление вероятности ошибки квантования Распределение Q (х)
часто из-за его формы называют прямоугольным распределением

Из сказанного ёледует, что квантователь эквивалентен устрой-

ству, состоящему из сумматора

импульсного элемента

(фиг 3 6—7) Это устройство может быть названо эквивалентным
статистическим импулосным элементом Распределения вероят
ностей действительного входа квантователя и ошибки квантова

ПО
ния образуют сигналы на входе эквивалентного импульсного
элемента, а распределение вероятности выхода квантователя
является выходным сигналом эквивалентного импульсного эле

Среднеквадратичное значение ошибки квантования опреде
ляется по второму моменту ёе распределения вероятности Q (х),
которое можно определить, найдя вторую производную от его
характеристической функции Fn (и) при и ~ 0 Таким образом,

Этот результат совпадает с уравнением (3 6—5), полученным


ГЛАВА 4

ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ

4 1 СВОЙСТВА ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕМЕНТА

Основным элементом импульсной САР является импульсный
элемент, показанный на фиг 4. 1—1 Этот элемент преобразует
непрерывный сигнал в последовательность узких импульсов
появляющихся в дискретные моменты времени О, Т, 2Т, ЗТ,
пТ, , где Т — интервал времени между соседними импуль
сами, называемый периодом прерывания Величина f0 = \/Т

I	I	I I	I

9	Г	2Т ЗГ 4Т
мится к нулю и, следовательно, они не могут появиться на выходе
импульсного элемента, если он подключен к реальной цепи
Следовательно, чтобы представить узкие импульсы в виде экви
валентных импульсов, необходимо предположить, что к импульс-
ному элементу или к включенному последовательно с ним запоми
нающему элементу подводится энергия

Пусть х (0 — непрерывный входной сигнал, а х* (/) — сигнал
на выходе импульсного элемента, тогда выходной и входной сиг

x(kT) = J x(Z)6(/ — kT)dt

дающим площадь k го эквивалентного импульса


где

2л „ ,
io = -у- = 2nfs

(4 1-5)

модулятору

(4 1-6)

Так как



J bT(t)e inastdt= J 6(t)dt= 1,

(4 1 7)

мо=4-£

(4 1-8)
то сигнал на выходе импульсного элемента равен

Уравнение (4 1—11) означает, что при входном сигнале с ча
стотои со и амплитудой V, выход импульсного элемента содержит
входной сигнал, ослабленный в \/Т раз, и другие составляющие
с амплитудами VJT и частотами, отличающимися от со 0 на целое



число частот прерывания cos. С учетом этих формул уравне-
ние (4 1—9) можно переписать в виде



Первый член правой части уравнения (4 1—12) представляет
собой ослабленный первичный или входной сигнал, а второй
член — дополнительные сигналы, появляющиеся в результате
процесса прерывания. Дополнительные сигналы имеют те же ам
плитуды, что и первичный сигнал, но их частоты сдвинуты относи-
тельно частоты первичного сигнала на !Ш., как показано на

Преобразование Лапласа уравнения (4 1—9) дает
х* (s)=4- i ь ® e,™st}

На основании теоремы смещения

где X (s) — преобразование Лаптаса от входного сигнала импульс
ного элемента
Если все полюсы X* (s) расположены в левой полуплоскости s
то преобразование Фурье выходного сигнала может быть полу
чено из уравнения (4 1—14) заменой s на /со Таким образом

Уравнение (4 1—14) означает, что преобразование Лапласа
сигнала на выходе импульсного элемента является периодической
функцией от s с периодом, равным jas, т е

здесь k — целое число.

Периодические свойства X* (s) видны из частотного спектра,
построенного на фиг 4 1—5 Это является одним из основных

свойств процесса прерывания Вообще периодические временные
функции имеют дискретные частотные спектры, в то время как
дискретные временные функции которые получаются в резуль-
тате процесса прерывания, имеют периодические частотные спек-
тры. Знание частотного спектра эквивалентно знанию соответ
ствующей функции времени Если частотный спектр сигнала на
входе импульсного элемента известен, как показано на фиг 4 1—
5, а то частотный спектр сигнала на выходе импульсного элемента
может быть легко определен по уравнению (4 1—15)
На фиг 4 1—5, б изображен частотный спектр сигнала на выходе
импульсного элемента Он состоит из спектра первичного сигнала
и спектров дополнительных сигналов Спектр первичного сигнала


первичный и дополнительный сигналы накладываются так, как
показано на фиг 4 1—6, и, следовательно, полезный сигнал не
может быть извлечен из сигнала на выходе импульсного элемента
путем фильтрации Следовательно, за исключением нескольких
частных случаев, сигналы с частотой, равной со/2 или выше, не
могут быть переданы с помощью импульсного элемента Это было
показано в гл 3 Частота прерывания накладывает ограничения
на диапазон частот сигналов, которые могут быть переданы
Для передачи сигналов с широким частотным спектром необходимо
увеличивать частоту прерывания

элемент

Некоторые выражения, описывающие импульсный
Подставляя уравнение (4 1—2) в (4 1—1), получим

X* (0 = х(0л=2 JV-nT)

X* (/) =

2 x(nT)6(t — пТ),

(4 1-18)
здесь

V(0 = Zx(nT)&(t-nT)

(4 1-20)

Преобразование Лапласа уравнения (4 1—18) дает

Х*(«) = ^{х*(0} = Дх(пТ)^{6(/-пТ)} (4 1-21)

(4 1-22)

X*(s) = X(s)*Ar(s)	(4 1-23)

Из уравнения (4 1—2)

Ar(s)= 2гЯ'5-1 । е Ts + e~2Ts+ (4 1-24)

Этот ряд сходится, и его сумма равна

Ar(s)== --L1-rs-	(4 1-25)

и условии, что

кГ1<1	(4 1-26)
rfX.

Из теоремы свертки в комплексной области следует, что

где сх — контур интегрирования, который включает все по
люсы Ar (s), как показано на фиг 4. 1—7 Значение а лежит
между (сх — с2) и 0, где сх — действительная часть комплексной
переменной s(s=cx + jcox) и с2 — наибольшая действительная
часть полюсов X (s). Полюсы Аг (s) могут быть легко определены
приравниванием знаменателя уравнения (4 1—25) нулю и реше
нием его относительно s Итак,

7. Контур интегри-
авнения(4. 1—28.)

откуда

где n — целое числе

Так как coa = 2л/Т то полюсы Ar(s)
равны

Интеграл уравнения (4 1—28) мо
жет быть легко вычислен с помощью
теоремы вычетов 1

где sk полюс Аг(х), и суммирование производится по всем полю
сам, находящимся внутри контура сх Уравнение (4 1—32)
справедливо, если X (s — %) не содержит полюсов на мнимой оси
плоскости х Вычет Аг (х) в sk = равен

ilm	hm 1	= ‘	(4 1-33)

Поэтому из уравнения (4 1—32) следует, что

Jj X(s + /n®s)

Этот результат согласуется с уравнением (4. 1—14), получен-
ным выше Выражение (4 1—34) устанавливает связь между ча
статными спектрами входного и выходного сигналов импульсного
элемента и показывает, что прерывание вводит дополнительные

1 Р 1 р е s L A Appliec
McCraw Hill Book Company,

sicists P 525
сигналы, помимо желаемого первичного сигнала Решая совместнс
уравнения (4 1—14) и (4 1—22), получаем

у- п 2 х (S + /я®) = Д х («Л е~nTs

(4 1-35

(4 1-36)



(4 1-39)

где Р (s) и Q (s) — рациональные полиномы от s и порядок Q (s)
выше, чем порядок Р (s), то вычет X (%) при х = sk равен



ZM.

(4 1-40)

где



(4 1-41)
‘41-44>

Х* <s> = Т i +а = Т S s+^Lr + a- <4 1-47)
I ак как величина п го дискретного значения х (/) есть х (п1) -
г~апТ, то из уравнения (4 1—22) найдем

(4 1-48)

при условии, что |e~(s+a) |<1

Применение уравнений (4 1—37) или (4 1—38) приводит
к равенству

X* (s) =	-(s-s^T Res X (х) при х - sk = — а

Так как вычет X (х) = 1/(х + а) при х = —а равен единице,
то преобразование Лапласа сигнала на выходе импульсного эле
мента имеет вид

4 2 СРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И_ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ

У (I) = J X (т) w (t — т) dr	(4 2—1 а)

y(t) -\w(r)x(t — r)dr
Если на входе действует сигнал в виде единичной импульсной
функции

то выходной сигнал равен функции веса системы, т е

У (t) = w (/)	(4 2-3)

Если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией

то из уравнения (4 2—1) следует, что реакция системы равна

К (/со) = f y(t)e saitdt

Применяя уравнение Эйлера
e—14st _ cos	sin

выражение (4 2—8) преобразуем к виду

У (/®) = Г У (О cosco/d/ — / f у (0 sin a>t dt,

(4 2-8)

(4 2-9)

(4 2—10)
у (t) — J А (со) cos tea da>

Как показано дальше, в импульсных системах существуют
соотношения, аналогичные приведенным выше соотношениям для
непрерывных систем

Импульсные системы. На фиг 4 2—2, а, б, в даны различные
блок-схемы простой линейной импульсной системы, на вход

хп^х(пТ)	(4 2-12)

Уп~У(пТ)	(4 2-13)

Входная импульсная функциях* (/) и ее значение в п й момент
х (пТ) связаны уравнением

£х(пТ)д(/-пТ)	(4 2-14)
Аналогично у* (О и у (пТ) связаны уравнением

у* (0- 2 У(пТ)6(/~пТ)	(4 2-15)

В противоположность уравнениям (4. 2—1а) и (4 2—16)
непрерывная выходная функция импульсной системы определяется
суммой, а не интегралом, так как вход является дискретной функ
цией времени Таким образом, для 0 < t < пТ выход у (t) равен

2 w (t — kT)x(kT)	(4 2—16а)

На фиг. 4 2—2, а импульсный вход х* (t) представлен в виде
последовательности идеальных импульсов с различными „ампли
тудами. Следовательно, реакция на вход представляет собой сумму
реакций на отдельные импульсы, т е для 0 < t < пТ

) w (t - kT) х (kT) +	+ w (t - пТ) x (nT),

что можно записать в виде уравнения (4 2—16а)
Для моментов пТ уравнение (4 2—16) дает

у(пГ) = £w(nT-kT)x(kT)

(4 2-18а)

У % х(пТ~ kT) w(4 2~186)

Учитывая уравнения (4. 2—12) и (4 2—13), предыдущие два
уравнения могут быть записаны в виде

У. =~ 2 xkwn-k



X*’-

(4 2—196)

Из сравнения уравнений (4. 2—1а) и (4 2—16) видно, что
последовательность wn импульсной системы соответствует весо-
вой функции w (/) непрерывной системы Поэтому wn часто назы-
вают весовой последовательностью импульсной системы, функ
ции wn и w (0 связаны уравнением
Если вход является идеальным импульсом с единичной высо|
той, который можно представить единичным эквивалентны!!
импульсом, то

[1 для k

и на основании уравнения (4 2—18) получим

(4 2—22)

11

для О < k < п
для k > п

(4 2- 23)

то из уравнения (4 2—18) получаем



(4 2 24)
Применяй уравнение Эйлера, выражение (4 2—27) можно
записать в виде

А* (®) + jB* (®) = 2 у (пТ) (cos пТк> — ] sin пТа>) (4 2—28)

А* (©) = 2 У (пТ)cosпТа>

(4 2—29)

В* (<в) = — 2 У (п?)Sln пТ®

(4 2-30)

Эти два уравнения аналогичны уравнениям (4. 2—6) и (4 2—7)
соответствующей непрерывной системы Уравнения (4. 2—29)
и (4 2—30) показывают, что А* (ш) и В* (ю) являются периодиче
скими функциями (о Это следует из того, что, как установлено
в параграфе 4 1, У* (/со) является периодической функцией (о
Уравнение (4 2—29) представляет собой действительную часть
У* (/со) в виде косинусной части ряда Фурье, а уравнение (4. 2—30)
представляет собой мнимую часть У* (/со) в виде синусной части

у (пТ) ~ ~ j А* (со) cos nTiod®

(4 2-31)

у (пТ) — —J В* (со) sin nTada (4 2—32)

Заменяя (о 7 через 9, эти уравнения можно привести к виду

А* (в) cos rtOdO

(4 2-33)

у(пТ) = —	| В* (0) sin п0 <Z0	(4 2—34)

о
	Непрерывная система	Импульсная система
1 Вход и выход	У (t) = W (t)  У (0 = j ™ (т) dr y(t)-\w(r)x(t r)dr y(t)-\x(T)^(t-T) dr	Уп = ™п  уп- 2 Wk k=0  yn = 2o WkXn k  Уп= 2 xkwn k
2 Частотные функции	Y (/co) = A (co) + ]B (co)  A (co) — [ у (t) cos at dt  В (co) = — \ У (f) sin at dt	Y (ja) = A (co) -)- ]B (co)  A* (co) = 2 У (ni) cos nT® n—0  В^{а)=~^у(пТ) smoTa n=0
3 Функции вре	у (t) = —— C A (co) cos^co da Q	у (n7) = -Ay AK (0) cosn0d0 с/(пГ)--^-ув*(0)51пп0с/е
4 Условия устои	>(0^<oo	2кк°о n=0
5 Математиче	уравнений	В виде разностных урав
4 3 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ САР

= ^g(t-kT)X(kT)	(4 3-1)

Преобразуя по Лапласу обе части уравнения (4 3—1), полу
чим

Г(«) = j [Д^-АТ)х(АТ)]е-’'Л	(4 3-2)

9 Юлиус! Ту	129
Преобразуя и заменяя dt дифференциалом d (t — kT), найдем

K(s)- J	g (t — kT) e~s^~kT^d(t — kT) (4 3_3)

Нижний предел интегрирования равен 0, потому что g (t — kT) =
— О при t < kT Используя уравнение (4 1—22), получим преоб
разование Лапласа выхода у (I)

G<'“>=4gh

у (S) = Ф £ о (S + х- (s ь я»,)	(4 3—7)

Так как функция X* (s Н /n<os) периодична, то
(4 3—7) можно переписать в виде

уравнение

(4 3-8)

Следовательно, согласно уравнению (4 1 — 14) преобразование
Лапласа системы У* ($) равно

а частотная функция
где G* (]о>) — передаточная функция всей импульсной системы,
определяемая по уравнению

G* (/®) =" 4" S G 'S +

(4 3-11)

Уравнение (4 3—9) означает что преобразование Лапласа
импульсного выхода у* (f) равно произведению преобразования
Лапласа импульсного входа на пере
даточную функцию всей импульсной

сигналы в эквивалентной импульсной цепи являются импульс
ными, но не кодированными Другими словами, сигналы, прохо
дящие через вычислительную машину, подвергаются импульсно
кодовой модуляции, в то время как сигналы, проходящие через
эквивалентную импульсную систему, имеют амплитудно-импульс
ную модуляцию Преобразование непрерывного сигнала в сиг
нал с импульсно кодовой модуляцией обычно включает процессы
прерывания и квантования по амплитуде. Как прерывание, так
и квантование осуществляются преобразователем непрерывных
величин в цифровые, который по существу является одновременно

в)
а для запоминающего устройства и сглаживающего фильтра в виде

Замкнутые системы Импульсные САР могут иметь различные
структурные схемы. Схема, которую можно рассматривать как
основную, изображена на фиг 4 3—7 В данной системе преры-
ванию подвергается сигнал ошибки Gh (s), Gb (s) и H (s) обозна
чают передаточные функции соответственно запоминающего эле
мента регулируемого объекта и элементов обратной связи В боль
шинстве САР дополнительные вредные составляющие, пояёляю
щиеся вследствие прерывания, должны быть отфильтрованы,
прежде чем управляющий сигнал достигнет выходного элемента
регулируемой системы Эти помехи в значительной мере филь
труются элементами регулируемой системы, которые ведут
себя как низкочастотные фильтры

Однако для обеспечения лучшего сглаживания пульсации
часто в импульсных САР применяется запоминающий элемент,
который фиксирует дискретные значения, как показано на
фиг. 4 3—7 Запоминающий элемент преобразует импульсный
управляющий сигнал в непрерывный приблизительно воспроиз
водящий действительный сигнал ошибки, который получается на
входе регулируемой системы. Одним из простейших запоминаю
щих элементов является запоминающая цепь нулевого порядка
или устройство в котором величина входного импульса (ампли
туда эквивалентного ему импульса) удерживается постоянной
до прихода следующего импульса На фиг 4 3—8 показаны формы
134
входного и выходного сигналов запоминающего элемента нулевого
порядка

Согласно уравнению (4 1 — 1) действующим импульсный сиг

нал ошибки равен

£*(s) = + S

+ ]м>„) (4 3-18)

Из фиг 4 3—7 видно,
что

C(s)-G(s)£*(s), (4 3-19)

где

G (s) =	(s) Gs (s)(4 3-20)

Подставляя уравнение (4 3—22) в (4 3—21) и преобразуя

£,М = ТТ®т	<43’23>

Из уравнения (4 3—18) следует, что

£* (а) =----------------------- (4 3-24)

1 +Т 1 2 Gtf(s + /n®s)
C(S) =-----------------------------

i + r-1 2 <w + «n®s)

(4 3—25)

Следовательно, частотная функция выходного сигнала имеет
вид

Функция

1 2 ^(/ш +/n<os)

С(/М) =---------------------------

1 + Г 1 2 GH(j<o + in<os)

(4 3-26)

GH* (s) = 4* S GH (s +

(4 3—27)

называется передаточной функцией импульсной САР в разомкну
том состоянии Уравнения (4 3—24) и (4 3—25) определяют
основные характеристики импульсной САР, изображенной на
фиг 4 3—7

Уравнения (4 3—24) и (4 3—25) для импульсной САР пред
ставляют собой аналоги соответствующих уравнений, описываю-
щих САР без импульсного элемента Для лучшего понимания по
ведения импульсных САР и свойств их передаточных функций
на фиг 4 3—10 приведено сравнение структурных схем и переда
точных функций непрерывных и импульсных САР

Для импульсных САР невозможно выразить отношения
Е (s)/R ($) и С (s)/R ($) через передаточные функции системы,
так как импульсный элемент является множительным устройством,
а прерывание — процессом модуляции, вследствие чего этот эле
мент нельзя описать простой передаточной функцией Вместо
этого для импульсных систем можно найти отношения

-------------- и --------. (A Q

2 fi(s + /n»s)

GH (ja),

(4 3—29)
4- 2g//(im+w-

(4 3—30)

ЗМалентная структурная



~R(si~ "+GH(s)

Cfs) G(s)
В правой части уравнения (4 3—31) функция GH (/со) яв
ляется передаточной функцией системы в разомкнутом состоянии
без учета импульсного элемента или операции прерывания По
лярный график уравнения (4. 3—31) для различных значении о>
обычно называют амплитудно фазовой частотной характеристикой
или диаграммой Найквиста импульсной САР. Способ построения
амплитудно фазовой частотной характеристики импульсной си
стемы по полярному графику GH (/со) излагается в следующем
параграфе

4 4 ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ

=-^-[СЯ(/со) h СЯ (/со +/<os) ф-

G/Г (/со) = ~ У GH(](»-*- jna>s)

(4 4—2)
характеристика GH* (/со) для диапазона частот от - со до Н со
идентична характеристике для диапазона частот от 0 до со Более
того, так как GH* (/со) симметрична по отношению к действитель
ной оси т е годограф для диапазона частот от cos/2 до cos
является зеркальным отражением годографа для частотного диа
пазона от 0 до со/2.

Представляет интерес рассмотрение амплитудно фазовой ха
рактеристики импульсной САР только в частотном диапазоне от

О до cos/2. С возрастанием
частоты амплитудаGH (/co)
стремится к нулю и, следо
вательно для больших зна
чений п величина (co+n cos)
становится большой, а ам
плитуда GH (/со + jna>s) —
пренебрежимо малой.Здесь



до соь/2 При построении
амплитудно фазовой ха
рактер ск	ь гой

САР по Т 1GH (/со) мож
но, следовательно ограни
читься вычислением только
для низкочастотной части
характеристики и исполь

T 'GH(ju+2a

	
, Пт’бН(/и)	

ство составляющих векто
ров в уравнении (4 4—1)
Количество необходимых
векторов обычно зависит
от ширины полосы системы и определяется в процессе построения
В большинстве случаев достаточно нескольких членов векторной
суммы. Когда частота прерывания сщ велика по сравнению с ши
риной полосы системы уравнение (4 4—1) можно аппроксимиро
вать первыми тремя членами без большой потери точности

~ GH(jti) +	GH(jai) +	— jas) p

Первый член правой части уравнения (4 4—3) является
главным, второй является основным корректирующим а третий
139
1	2 GH 0“ + /nMs) является периодической функцией ча-

стоты с периодом, равным j cds

2 Амплитудно фазовая характеристика ^2^СЯ (/«-г jncoj
для диапазона частот — со < со < + со такая же, как для час
тотного диапазона 0 < со < со$

140
3 При <о = со/2 У GH (/со + /«cos) является деиствите ь
ной величиной При со = со/2 выражение

GH (/со + /ncos) = GH(-ф-) + GH (Др-) +	+

+ GH (^) + GH (-^J +

= 2 [ReGH (Д^-) + ReGH	+	]

£ GH [] (co + jncoj] = GH (/co) + GH[! (co - cos)] +

и GH (/co) = oo при co — 0 и GH (/co — /cos) = oo при co —
= cos, то амплитудно-фазовая характеристика равна бесконеч
ности при этих двух частотах

Пример 4. 4—1. Построим амплитудно фазовую характери-
стику разомкнутой импульсной САР, изображенной на
фиг 4 4—3 Частота прерывания равна 8 рад! сек, а постоянная
времени регулируемой системы равна 0,5 сек

Передаточная функция непрерывной части системы в разом
кнутом состоянии (фиг 4 4—3) имеет вид

)<.,) +,0 5..)	(44“4>

Амплитудно фазовая характеристика (4 4—4) при К = 1
приведена на фиг. 4 4—4 (кривая а) Для импульсной системы
передаточная функция в разомкнутом состоянии определяется вы
ражением

GH* (/co) = у J GH(ja -i- /«©>



(4 4-6)
где Т - 2л/up — период прерывания в сек В качестве первого

два члена уравн
Таким образом,

G/ГЧш

устойчивости системы При

Из уравнения (4 4—6) видно
410 при

со-8 рад/сек |GИ* (/со) | — оо

Построение амплитудно-фазо
вой характеристики показано на
фиг 4 4—4 Величина Т 1 2
GH (ja> + /ncos) является действи
тельной величиной при co=cos/2 =
=4 рад/сек Для частот, больших
половины частоты прерывания
амплитудно фазовая характеристи-
ка уходит в верхнюю часть ком-
плексной плоскости Часть харак
геристики в окрестности частоты
cos/2 представляет наибольший
интерес и в некоторых случаях
является важной при изучении
увеличении частоты прерывания

величина Т1 2 (/со — ]na>s) стремится к нулю и поляр

ный график GH* (/со) приближается

к амплитудно фазовой

характеристике GH (j со)

Из сказанного видно, что построение точной амплитудно фазо
вой характеристики импульсной системы по годографу ее непре
рывной части Т rGH (/со) является довольно громоздкой one
рацией, если только передаточная функция GH <s) не является

достаточно низкочастотной чтобы можно было отбросить члены
высшего порядка в уравнении (4 4—1) Однако этот метод ста
новится более практичным, когда годограф системы Т~] GH (]а>)
может быть определен только по экспериментальным данным
Более простои и прямой метод построения амплитудно-фазовои
характеристики дан в гл 5 после обсуждения методов г-преобра
зования

фиг 4 4—5 Структурная схема импульсной САР

Частотная характеристика системы в замкнутом состоянии
Согласно фиг 4. 4—5 передаточная функция импульсной САИ
в Q3MKHVT0M состоянии определяется выражением

	-в,	
J"' G4j^)		

ка замкнутой системы полу
чается из уравнения (4 4—7)
заменой s на ^fco т е

Go (?w) =

Уравнение (4 4—8) мо
жет Оыть записано в виде

==|о;(/со)|е'ф(м\

где | Go (jco)|—модуль Go (j со)
и Ф (со) — фазовый угол

Амплитудно фазовая характеристика в замкнутом состоянии
может быть графически построена по амплитудно фазовой час
тотной характеристике системы в разомкнутом состоянии

Точка Рг на фиг 4 4—6 соответствует частоте 0 ц Из фигуры
видно, что векторы 0Рх и СРх равны

СРх-1 b G* (/со) - СР^2
Таким образом,	__

Уравнение (4 4—12) может быть записано в виде
, х OP, cos Ф + jOPt sir Ф

Go (J®) =-------------------

(4 4-12)

(4 4-13)

(4 4-14)

а мнимая частотная характеристика



(4 4—16)
4 5 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ

Одной из основных проблем анализа САР является проблема
анализа устойчивости Этот параграф касается некоторых основ

них соображений об устойчивости импульсных

которые

могут быть получены из анализа амплитудно фазовой характери-
стики Детальный анализ критериев устойчивости для импульсных
систем изложен в гл 6

В параграфе 4 3 указано, что преобразование Лапласа выхода
импульсных САР (фиг 4 3—7) определяется выражением

10 Юлиус Т Ту

Gts^T-1 2 ^(s + jnws)

С (s)	,

1+7-1 2 GH(s + Ina>s)
GH*(ja) — ~ <ЗЯ(/со -f /псоа)

(4 5-4)

для диапазона частот от нуля до бесконечности. Так как амплитуд
но-фазовая характеристика (4. 5—4) является периодической
функцией с периодом /со5 >о можно построить бесконечное ко
лйчество амплитудно фазовых характеристик внутри диапазона
от нуля до бесконечности Характеристики для частотных

являются одинаковыми, а характеристика для диапазона частот
or cos/2 до cos является заркальным отражением характеристики
для диапазона частот от 0 до со/2. Таким образом, для анализа
устойчивости импульсной САР необходимо рассматривать ампли
тудно фазовую характеристику GH* (/со) только для частотного
диапазона от 0 до со ,/2

Подобно непрерывным САР импульсные САР могут быть как
устойчивыми, так и неустойчивыми в разомкнутом состоянии.
Условие устойчивости для импульсной системы которая устой-
чива в разомкнутом состоянии состоит в том что амплитудно фа
зовая характеристика системы в разомкнутом состоянии (4 5—4)
для частот, изменяющихся от 0 до cos, не должна охватывать кри
тическую точку (—1 0) комплексной плоскости. Критерий устой
чивости для импульсной системы, неустойчивой в разомкнутом со
стоянии рассматривается в параграфе 6. 2.

За исключением условно устойчивых систем устойчивость им
пульсной САР уь	в	усиления системы

Как было найдено в примере 4. 4—1 при К = 1 амплитудно
фазовая характеристика GH* (/со) пересекает отрицательную
действительную ось на расстоянии 0,255 единицы от начала коор-
динат Амплитудно-фазовая характеристика пересекает действи-
тельную ось только один раз и не охватывает критическую точку

уровне коэффициента устойчива Однако если коэффициент уси
ления увеличится в 4 раза, то амплитудно-фазовая характерисгика
ОЯ* (/со) пересечет отрицательную действительную ось при —1,02
(кривая г на фиг 4 4—4) что указывает па неустойчивость си
стемы. Более того при отсутствии импульсного элемента система
устойчива, если К == 4 (кривая в фиг 4 4—4) Следовательно
причина неустойчивости может быть связана с процессом преры
вания

Может показаться что дискретное регулирование может
вызвать ухудшение характеристики системы вследствие потери
информации Кривая б на фиг 4 4—4 показывает что импульс
ная САР менее устойчива чем соответствующая непрерывная
система (при отсутствии импульсного элемента) Если частота
прерывания уменьшается то вектор Т lGH (jay — jcos) для дан
ной частоты со возрастает по модулю и немного поворачивается

влево а другие члены в формуле Т 1 2 GH (] со ± jn cos) кото

рыми ранее пренебрегали при вычислении амплитудно фазовой
характеристики по уравнению (4 4—3) становятся значительными
и должны учитываться В результате уменьшение частоты преры-
вания вызывает смещение амплитудно-фазовой характеристики
импульсной системы в разомкнутом состоянии влево, Совершенно
очевидно из фиг 4 4—4 что смещение амплитудно-фазовой
характеристики влево уменьшает относительную устойчивость
или даже приводит к неустойчивости Таким образом введение
процесса прерывания в САР приводит к уменьшению устойчи
вости; а частота прерывания является важным фактором опре
деляющим степень устойчивости системы. Дальнейший анализ
устойчивости импульсных САР дается в гл 6 и 9

Кроме того можно сказать, что введение импульсного эле
мента в САР представляет собой специальный метод изменения
4 в СВОЙСТВА ЗАПОМИНАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

В большинстве импульсных САР высокочастотные дополни
тельные составляющие, появляющиеся в результате процесса
прерывания, должны быть отфильтрованы, прежде чем действую
щий сигнал достигнет выходного каскада Несмотря на то, что
большая часть нежелательных дополнительных сигналов филь
труется элементами системы (например, серводвигателем), часто
становятся необходимыми более совершенные сглаживающие
устройства — запоминающие элементы Они преобразуют импульс-
ные сигналы в непрерывную форму посредством интерполяции
или экстраполяции входных импульсов, в результате чего вое
148

запоминающим элементом k го порядка Запоминающий элемент
высшего порядка дает лучшее воспроизведение временной функции
по дискретным значениям входной величины

Так как запоминающий элемент получает информацию только
в дискретные моменты времени то значения этих производных
могут быть вычислены только на основании импульсной информа
ции. Первая производная при t = пТ определяется простым
выражением

Приблизительное значение второй производной при t - пТ
у™ (пТ) -	ПИ	(4 6__5)

Производная к го порядка приближенно определяется следую
щим образом при t = пТ

У{к) (пТ) =

Подставляя уравнение (4 6—4) в (4 6—5) получим
^(2) („7 ) =	,

и вообще приближенное значение k й производной при t
может быть получено из

yw(пТ) ~~{уm -ky\(n-\)T\

- J (-l)^[(«-fe)T]j

'у[(п 2)Т] —

(4 6-8)

Из уравнений (4 6—4), (4 6—7) и (4. 6—8) видно, что для
получения значения производной у (/) минимальное количество
импульсов должно быть, по крайней мере равно порядку произ-
водной' плюс 1 Например для вычисления первой производной
в дискретный момент необходимо знать значение двух последова
тельных импульсов а для приближенной оценки второй произ
водной требуется знание трех последовательных импульсов Та
ким образом для вычисления производной высокого порядка тре
буется больше времени Задержка, вводимая запоминающим’эле
ментом высокого порядка ухудшает устойчивость системы. С дру
гой стороны, чтобы получить лучшее воспроизведение желаемой
функции времени из входных импульсов и уменьшить пульсации
в импульсных САР желательно использовать запоминающие
элементы более высокого порядка Следовательно, при проекти
Запоминающий элемент нулевого порядка Работа простейшего
запоминающего элемента нулевого порядка основана на быстром
заряде и медленном разряде конденсатора В дискретные моменты
времени конденсатор запоминающего элемента полностью заря
жается. в промежутки между последовательными моментами пре
рывания конденсатор медленно разряжается. Принципиальная
схема типового запоминающего элемента показана на фиг. 4 6—2
Запоминающим конденсатором в этой цепи является С Входной
сигнал нормально отсоединен от выхода вследствие смещения,
вводимого цепями ЯгСг и Т?2С2 образующегося под действием на
них синхроимпульса, т е импульса прерывания Положитель
ный синхроимпульс, приложенный к сеткам ламп Va и Vb, вызы
вает проводимость как для положительных так и для отрицатель
ных сигналов. Значения сопротивлений и конденсаторов смещаю

тих цепей выбраны

что постоянные времени значительно

больше периода прерывания Если входной сигнал имеет импульс
ную форму, это ^тройство является запоминающим элементом
нулевого порядка, если же входной сигнал является непрерыв
ным то это устройство осуществляет прерывание и запоминание
Gh0(s)
xk(t) = Kk^t-kT),

преобразования Лапласа

Тогда сигнал на входе запоминающего элемента имеет вид

х*(0 = хо(0Ч xx(0 + x2(0+	+xk(t)+	=

= 2/W-£T)	(4 6-14)

А=0

^образование Лапласа равно

X*(S)==X0(s) + X1(S) + X2(S)+	+ Xk (s) +	=

- 2 Kke~kTs	(4 6-15)
Ук (0 - Кке- (W	[и (t - kT) - и [Z - (k + 1) Т]}

преобразования Лапласа

17)

Выходная временная функция имеет вид

У (0 = Уо (0 + У! (О + 1/2 (0 +	+ % (0 +

= 2о Kke~{t-kT}/T° {u(t — kT) — u[t — (k + 1)Т]} (4 6—18)

а ее преобразование Лапласа равно

K(s) = K0(s) ^KJs) | y2(s)'- +Кй(з) h

=--гтЬг(1-е-г/Гое“7’5)Д^е kTS

(4 6-19)
(4 6—22)

(4 6-24)

Следовательно уравнение (4 6—20) преобразуется к виду



(4 6—25)

собой 2 e~kTs

k = 0

а преобразование Лапласа выходной функции
Подставляя /<о вместо s и 2n/<os вместо Т в уравнении (4 6—26),
получим выражение для частотной характеристики

Уравнение (4 6—27) можно упростить до

Из уравнения (4 6—28) следует, что фазовая и амплитудная
характеристики запоминающего элемента нулевого порядка опре
деляются выражениями

Ф(ю) = --^-ю	(4 6-29)

l^o(/co)H^ |S1XTS)| <4 6-30>

Уравнение (4.6—29) показывает, что запоминающий элемент ну
левого порядка вносит запаздывание в TI2 сек Аплитудная и фазо
вая частотные характеристики показаны нафиг 4 6—6 и 4 6—7

Из фиг 4 6—6 видно, что запоминающий элемент нулевого
порядка является низкочастотным фильтром который пропускает
низкочастотную первоначальную составляющую и фильтрует
сдвинутые высокочастотные дополнительные составляющие, поя
вляющиеся в результате процесса прерывания Несколько значе
ний частотной характеристики приведено ниже

На частоте, равной половине
частоты прерывания, усиление
по сравнению с усилением на
нулевой частоте составляет

63)6/0

	Ф°	1 G/i0 (/со) |
		2 л
		
	—45	0 901 — cos
~2~	-45	0636 к
3	- 135	0300 7Г
1	—180	0

Амплитудная характеристи
ка этого фильтра не умень
шается резко с ростом частоты,
хотя фаза уменьшается очень
быстро. Если входной сигнал
изменяется незначительно, то
запоминающий элемент нулево
го порядка является эффектив
ным сглаживающим устрой-

ством В большинстве случаев запоминающий элемент является
интегрирующей частью прерывателя (фиг 4 6—3)

Действие неточного запоминающего элемента описывается
уравнением (4 6—20) Постоянная времени разряда То оказы-
156


б)

Фиг 4 6—7 Полярный график Т~1 Он 0 (/со) = (1 — ё~3t£,r')/]a>T

линейной функцией (4. 6—3), наклон которой определяется накло
ном линии, проходящей через точки (п — 1) Т] и (хп, пТ)
При t = пТ хп = Кп и у (пТ) — Кп В интервале пТ < t <
< (п + 1) Т

Уп (0 =	+ У (пТ) (t ~ пТ)	(4 6-32)
У (пТ) -

(4 6-33)

y0(t)=^0-r^t,
£/1(0 = (1 h4-)w(0“2(i

Ч'



омй-т- + Ч-2(т + Ч)е-Г! + (Ч + Ч)‘"’г‘ “

(4^37)



(4 6- 38)

I^.WI^(i +ЧгГ(^У <46~4»


фиг 4 6—10 показана структурная схема импульсной САР
Период равен 1 сек, а передаточная функция регулируемой си
стемы имеет вид

= <46~42)
влияют на устойчивость системы Из этой фигуры следует, что без
запоминающего элемента система устойчива а при введении за
поминающего элемента первого порядка система становится неу
стойчивой Запоминающий элемент нулевого порядка увеличивает
запас по амплитуде с 1 09 до 1,31 но уменьшает запас по фазе
с 15 до 8° Следовательно запоминающий элемент нулевого по-

рядка ведет себя как цепь запазды-
вания и при надлежащем выборе ча
стоты прерывания и постоянных вре
мени системы он может улучшить
устойчивость импульсной системы
если стабилизация системы требует
коррекции введением отставания по
фазе Так как запоминающий элемент
первого порядка дает слишком боль
шои фазовый сдвиг то он обычно
уменьшает степень устойчивости им
пульсной САР

4 7 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
И НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

В САР возмущающие сигналы мо
гут быть приложены к любой точке
Возмущения обычно воздействуют на
определенные элементы системы.
Одним из основных требований
предъявляемых к САР, является ее
способность подавлять влияние вред
ных возмущении на выход системы

запоминающих цепей на

Хорошо спроектированная САР должна минимизировать или по
крайней мере, ограничивать влияние возмущении на выход си
стемы.

Для изучения влияния возмущений на выход САР рассмотрим
структурную схему, показанную на фиг 4 7—1 Возмущающий
сигнал U (s) поступает на регулируемую систему Gs (s) которая
состоит из фиксированных элементов Gsl (s) и Gs2 (s). Для ана
лиза эффективности системы в подавлении возмущения предпо
лагается что на нее действует только возмущающий сигнал
и (/). Пусть Ed (s) сигнал поступающий на оконечный элемент
Gs2 (s), являющийся результатом воздействия на систему возму-
щения U (s).

Тогда р.1Л^г/1,,\_п 1<лС,1лН1ЛР к\	14 7— П

После преобразований получаем
Влияние возмущений на выход может быть минимизировано

при условии, если

или

Gc(/(d)GsQ(d)HGw)»1	(4 7-5)

для частотного диапазона возмущающего сигнала и (/) Таким
образом, для подавления возмущения усиление разомкнутого кон-

тура должно быть большим на всем частотном диапазоне возму-


так и дополнительные составляющие с равными амплитудами
Только первичная составляющая действующего сигнала способна
уменьшить влияние возмущения Дополнительные составляющие
вызывают пульсации и ухудшают характеристики системы

Сигнал на входе импульсного элемента состоит из двух частей

где

здесь Еа (s) является результатом действия возмущающего сиг
нала и (t) Eb (s) появляется вследствие импульсного сигнала
ошибки е* (/) Сигнал на выходе импульсного элемента полу
чается из уравнения (4 7—6) в виде

Из уравнения (4 7—7) и (4 7—8) следует что

Тогда уравнение (4 7—9) можно переписать в виде

Так как сигнал на входе выходного элемента Gc2 (s) опреде-
ляется выражением

то, учитывая уравнения (4 7—13) и (4 7—14), получаем

Соответствующая частотная характеристика имеет вид
Во многих случаях уравнение (4 7—17) может быть аппрокси
мировано в виде

Тогда ура] е (4 7—16) приобретает вид

Уравнение (4 7—19) показывает, что возмущение подавляется,
если второй член в скобках равен единице в диапазоне частот воз
мущающего сигнала Отношение

можно использовать как параметр, определяющий способность
импульсной САР подавлять возмущающий сигнал определенной
частоты или диапазона частот

Частота возмущающего сигнала ю,, может оыть лиоо меньше
половины частоты прерывания, либо больше ее Рассмотрим эти
два случая

Случай 1 Если

частота возмущающего сигнала составляет менее половины ча
стоты прерывания, то частоты дополнительных составляющих
действующего сигнала ошибки превышают «/2 и поэтому могут
быть отфильтрованы низкочастотными элементами в прямой
цепи Gc (s), Gs (s). Низкочастотные возмущающие сигналы обычно
влияют незначительно

Случай 2 Если 04 >-у-, частота возмущающего сигнала
превосходит половину частоты прерывания, то частота некоторых
дополнительных составляющих действующего сигнала ошибки
менее чем со/2. Эти низкочастотные составляющие которые появ
ляются в результате прерывания, образуют возмущающий сигнал
с большой амплитудой, поступающий на выходной элемент си
стемы Gs2 (s), который является более нежелательным, чем пер
воначальный возмущающий сигнал

Следовательно, в этом случае действие обратной связи ухуд
шает характеристику системы вследствие введения низкочастот-
ного возмущения большой амплитуды на выходе Одним из путей
решения этой проблемы является фильтрация высокочастотного
возмущающего сигнала таким образом, чтобы он не попадал
на импульсный элемент. Это можно выполнить, поставив между
точками, в которых действуют высокочастотные возмущения,
164
начальная составляющая действующего сигнала ошибки будет
взаимодействовать с дополнительными составляющими в нели-
нейных элементах, в результате чего появятся новые дополнитель-
ные составляющие, которые образуют нежелательный шум в си-
стеме Если наивысшая частота входного сигнала значительно
больше половины частоты прерывания, шум, появляющийся
вследствие взаимной модуляции первичной и дополнительных
составляющих в нелинейных элементах, имеет высокую частоту
и может быть легко отфильтрован в выходном каскаде системы.
Однако, если частотный спектр входного сигнала захватывает
частоты, близкие к половине частоты прерывания, эффект взаим-
ной модуляции в нелинейных элементах становится более замет-
ным Взаимная модуляция первичной и дополнительных состав-
ляющих приводит к появлению новых дополнительных составляю-
щих. частота которых может быть меньше частоты первичной
составляющей действующего'сигнала В результате этого низко-
частотный шум не может быть отфильтрован без искажения желае
мого первичного сигнала

Таким образом, взаимная модуляция в нелинейных элементах
является сложной проблемой, для решения которой необходимо
уменьшение нелинейностей системы В противном случае в системе
необходимо применять эффективные низкочастотные фильтры для
подавления дополнительных составляющих на выходе импульс
ного элемента прежде, чем они достигнут нелинейных элементов
Другим способом является увеличение частоты прерывания до
величины, значительно большей, чем удвоенная наивысшая ча
стота входного сигнала Однако отметим, что иногда нелинейные
элементы специально вводятся в САР для улучшения ее харак
теристики

4	8 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой главе были рассмотрены частотные методы анализа
цифровых и импульсных САР Выход импульсного устройства
может быть описан тремя различными выражениями (4 1—14),
(4. 1—22) и (4 1—37) На основании этих соотношений выведены
передаточные функции (со звездочкой) импульсных цепей и си
стем. Первое выражение особенно полезно для обобщения обыч
ного частотного метода на цифровые и импульсные САР Исполь
зуя это выражение, можно построить амплитудно фазовую харак
теристику импульсной системы по характеристике соответствую-
щей непрерывной системы Второе и третье выражения лежат
в основе z преобразования, которое рассматривается в следующей
главе

Прерывание дает нежелательные дополнительные сигналы
Хотя большая часть этих нежелательных сигналов может быть
отфильтрована низкочастотными элементами системы, обычно
более полное сглаживание выполняется с помощью запоминаю
щего элемента Наиболее широко используется запоминающий
элемент нулевого порядка, иногда применяются элементы первого
порядка Несмотря на то, что запоминание увеличивает фазовый
сдвиг в контуре управления и таким образом уменьшает устой-
чивость системы, запоминающий элемент на практике является
необходимым также для подачи сигнала управления на непрерыв-
ную часть системы
ГЛАВА 5

ТЕОРИЯ z-ПРЕОБРАЗОВАН И Я

5	1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ z-ПРЕОБРАЗОВАН ИЯ И ИМПУЛЬСНОЙ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

В настоящее время инженерный анализ и проектирование
всецело основываются на математических методах. Преобразо
вание Лапласа является основой анализа и проектирования непре-
рывных САР Соответственно z преобразование является основ
ным методом анализа импульсных и цифровых систем Идея z-пре
образования, впервые предложенная Гурвицем, была впоследствии
разработана во многих трудах, в частности Баркером (в Англии)
и Заде и Рагаццини (в США) В настоящее время методы z пре
образования наиболее широко используются для анализа импульс
ных и цифровых САР В данной главе детально излагается теория
z-преобразования

В параграфе 4 1 показано, что импульсный элемент
(фиг. 4 1—1) может быть описан уравнением (4 1—22), которое
имеет вид

X* (s) = X {х* (/)} = ±х (пТ)е~пТ*,

и сокращенное обозначение X (г) для получающейся функции от г.
Таким образом,
Которое может служить другим определением z преобразования
Уравнения (5 1—3) и (5 1—8) являются двумя основными урав-
нениями теории z преобразования

Рассмотрим импульсную систему с импульсными элементами,
которые работают синхронно с одинаковой частотой (фиг 5 1—1).
Используя уравнение (5 1—3), определим z преобразование вы-
хода импульсной системы

^(г) = ЗЫ0} = io</(«nz~n.	(5 1-9)
Величина у (пТ) может быть получена из непрерывной выход-
ной функции у (0 системы, которая согласно уравнению (4 2—16)

y(t)

X(z) = Дх(/гТ)2~А

(5 1-16)

Y (?) = G (z) X (?)

(5 1-17)

169

3 {G (s)} = G (z),

(5 1-26)
йа поведение системы в целом Таким образом можно просто опре-
делить характеристики всей системы при изменении ее структуры

Имея в виду эти преимущества, желательно применить этот
метод для анализа импульсных систем Как было объяснено в пре-
дыдущем параграфе, импульсные и цифровые САР могут быть
описаны импульсными передаточными функциями так же, как
непрерывные системы описываются обычными передаточными
функциями Для анализа импульсных систем методом переда-
точных функций необходимо знать способы получения z пре-
образования временных функций и импульсных передаточных
функций (или z передаточных функций) для отдельных элементов
системы

Основываясь на приведенных выше определениях z преобра-
зования временной функции и импульсной передаточной функции,
можно вычислить импульсные передаточные функции элементов
системы по их обычным передаточным функциям или по z-преоб
разованиям их импульсных переходных функций Из уравнения
(5 1—3) можно легко получить z преобразование временной функ-
ции Сравнение уравнений (5 1—15) и (5. 1—36) показывает,
что импульсная передаточная функция системы представляет
собой z-преобразование импульсной переходной функции си-
стемы Это дает путь для определения импульсной передаточной
функции импульсной системы. Следующие параграфы иллюстри-
руют процесс получения z-преобразований и импульсных пере-
даточных функций В конце этого параграфа приведена краткая
таблица z-преобразований функции, наиболее часто применяемых
на практике, а в конце книги дана более подробная таблица
z преобразовании

Вычисление z преобразований некоторых основных функций
с использованием уравнения

G(z)= fg(nT)z-“	(5 2-1)

показано ниже Если функция g (/) является некоторой импульс-
ной функцией, то g (пТ) представляет собой площадь импульса
в момент t = пТ, а не значение g (f) в этот момент Далее предпо-
лагается, что процесс прерывания совпадает с началом временной
функции

1. Импульсная функция

При t ~ пТ площадь импульсной функции g (/) определяется
выражением
Из уравнения (5 2—1) следует, что z преобразование импульс-
ной функции, имеющей площадь К, определяется уравнением

В данном случае z преобразование импульсной функции

по Лапласу

равно ее преобразованию

2 Ступенчатая функция

G (2) - TTZT для ।2
что представляет собой z преобразование ступенчатой функции

Подстановка в уравнение (5 2—6)
пТ вместо t дает весовую последова
тельность

g (пТ) = Ки (пТ) = К (5 2-8)

Предполагается, что начало преры
вания совпадает с началом ступенчатой
функции Используя уравнение (5.2—1),

3. Функция с постоянным наклоном

Из уравнения (5 2—11) при t = пТ получаем
g (пТ) = КТп,	(5 2-13)

где п — целое число. Подставляя выражение (5. 2—13) в (5 2—1),

получим z преобразование функции с постоянным

. +(^ + 1)^ -Ь ••] =

для | г"11 


G (Z) =	ДЛЯ I Z'1 | 

Правая часть уравнения (5 2—15) дает z преобразование
функции с постоянным наклоном, а также является импульсной
передаточной функцией для системы с обычной передаточной

gm

функцией G (s) = K/s2

4 Степенная функция

Производящая функция для ряда (5 2—19) равна

Весовая последовательность опре
деляется выражением

А (пТу (5 2-18)

уравнению (5 2—1)
z преобразование имеет вид



ё (/) = Kbit- kT),

(5 2—21)

G(s) - $ {g (t)\ = Ke-*?*,

(5 2—22)

где k — целое число При t = nT площадь данной функции g (I)
определяется выражением

g(»T)=	(5 2- 23)
Подставляя его в уравнение (5 2—1), получим

G (z) = 2 в (пТ) z~n = Kz~k

(5 2—24)

6 Экспоненциальная функ

g(f) = Ke~at, (5 2—25)

(5 2—26)

G & =	при |	1 < 1	(5 2-29)

7. Произведение степенной и экспоненциальной функций
g (f) =tre~at,	(5 2-30)

G(s) = ^ {gW =	<5 2~3I)

Так как уравнение (5 2—30) можно записать в виде
g^ = (~^7r^e~at’	<5 2~32)

175
то весовая постедовательность определяется

g(nT) = (-!)'А

(5 2-33)

Подставляя это выражение в (5 2—1), получим

(5 2-34)

Преобразование уравнения (5 2—34) приводит к виду

G(z) = (-iy 4^2 (г~1е~аТ)п

тучим

0W = (-!)'4 М

(5 2—35)

(5 2-36)

(5 2-37)

(5 2—38)

° н = 2 VSr sS- (—-V;_, ) (5 2-39)

9 Синусоидальная функция

g (0 = Sin G>0 (0>

G(s) = -^-.
s +<%

при t = пТ

g (пТ) = sin (йопТ =	- 1а'Т

ПС)

(5 2—40)

(5 2-41)

(5 2-42)
Функции g (f) и g (nT) изображены на фиг 5. 2—4 Подставляя

ом-2-^'

Суммирование дает

Упрощая, получим

д(пТ)

11111 *

(5 2-46)



Упрощая, получаем

г (г — cos со0Т)
г2 — 2г cos а0Т +1

(5 2-50)

(5 2-51)

177
для физически реализуемых систем этот ряд сходится;

5) если обычная передаточная функция системы G (s) является
сложной, то ее необходимо разложить на составляющие и при-
менить правила 2, 3 и 4

Пример 5 2—1 Определим импульсную передаточную функ
цию системы, показанной на фиг 5. 2—5

Передаточная функция всей системы

(5 2—53)

Весовая функция и весовая последовательность соответственно

(5 2-54)

По определению импульсная передаточная функция

Последнее выражение может быть записано в более компактной
форме

При упрощении G (?) принимает вид
X* (s) = -^2oX(s + /nc,)S)	(5 ;	2—59)
X* (s) = ix(nT)e~^,	(5	2-60)
X* (s) = 2 Res ,,^-тГ X to) при x	= Sk, (5 i	2-61)

G(z) -^l^g(nT}z-n,

G (2) = 2 Res tJV-Vx пРи x = s*

(5 2—66)

(5 2-67)
G (z) =2"-----Res G W при X = sk (5 2-68)



(5 2—70)

здесь К и a — постоянные

Вычет G (s) в полюсе s = — а равен К- Подстановка вычета
в уравнение (5 2—68) дает импульсную передаточную функцию
системы в виде

= = (52”72’

Это выражение совпадает с выражением (5 2—28), выведенным
предыдущем параграфе

2 Передаточная функция системы имеет двукратный полюс|

функция G (s) может быть записана в виде
й импульсная передаточная функция определяется выражением



Используя уравнение (5 2—72), получаем импульсную пере
даточную функцию

=	I”-”)

G (s) =

(5 2—78)

где k — целое число

G (s) можно представить в виде

G (s) = (-!)* 4 & (7^)

(5 2-79)

Определяя г преобразование от обеих частей этого равенства,
лучим



(5 2-80)

4 В уравнении (5 2—19) z преобразование, соответствующее

°^ = -£т>

(5 2-82)
Краткая таблица z преобразований

	G(s)	g(0	G(s)	g(.nT)
	/	6 (0	1 или z~~ 0	d(nn
		6(t-kT)	z-k	d (nT - kT)
	1			
	S	=-ln a			
	J-	U(t)	-Ц-	U (ПТ) или 1
	4-			nT
	4	~Wt2	-n *<*_+>	Л~(пту
	-1* -It	e-at	a™0 (*-1)1 ^a*-1 (z-e-ar) z~^-aT	{е-апТ) е- апТ
	(s + a)2	te~ at	~ /, _ »- аТ)г	(ПТ) е-^Т
	i	t* e_at	( n* 1 f *	\	<-1)й1-4
	(S + fl)*+l		k< dak z _ e-aT ) (\-e~aT)z	kldak ^е~апТ^
		_at	(z-1) (г-е-аГ)	1 — е~~ апТ
	s2 (s + a)		(z-I)2	a(z- l)(z — e~a^)	
	a>„		z sin CO о T	
	s2 +		22-2z cos и „7-+ 1	sm п coo Т
		COSOof	z (Z — COS C0Q T)	
	s2 + <^		z- - 2 z cos coo T + 1	
	o>O		2(1 -COS (Op T) (z+ 1)	
	s(s2 + co0)		(z — 1) (z2 — 2 z cos coo г + 1)	
	COo		ze~aT sin (Oo T	
	(s+a)2+tOQ		' z*_2e-aT z cos Ио T + e 2aT	
p 2~84>

3 |ag(/)} = aG (z)	(6 3—la)

5{g1(0±^W} = Gi(2)±G2(z)	(5 3-16)
ъ U (t - nT)} = Sg (kT - nT) z-k,

(5 3-4)

которое можно записать в виде

пТ)} = z~^g[(k - ri) Т} z-^-V	(5 3-5)

Используя определение G (z), выражение (5 3—5) преобра-
зуется к виду (5 3—2). Последнее означает, что умножение на
z~n соответствует временной задержке на пТ сек

Соотношение (5 3—3) может быть выведено следующим обра-
зом Для g (t + пТ) z преобразование определяется выражением

8 |g (^ + пТ) = g (пТ) +g(nT+ Т) Z’1 + g (пТ + 2Т) z"2 +

+ g(nT + ЗТ) z~3 + • • = z« \g (nT) z~a + g[(n + 1) T] z-(«+') +

+ g [(« + 2) T] z-("+2> + g [(n + 3) T] z-<«+3) + ...} (5 3-6)

Если g (kT) = 0 при 0 < k < n — 1, уравнение (5 3—6)
можно записать в виде

%\g(t + пТ)} = z« {g (0) + g {T)z~i + g (2T) z-2 + • • +

+ g[(«- 1) Л z-<«-» Д g(nT) z-" -rg[(n + 1) T] z-<n+D +

+ g [(« + 2) Л z-<«+2) + g [(n + 3) T] z-(«+3) • • •} =

^z^g(kT)z~^


Согласно уравнению (5 3—2)

Следовательно,



(5 3-8)

(5 3-9)

(5 3-10)

Подставляя

b\e^g(t)\^ 2r<’Wg(nT)

(5 3-14)

(5 3—15)

выражение (5 3—14) можно переписать в виде

i\e±atg(i)\ + 2g(nT)Z1-« = Gfe) (5 3-16)

Подставляя уравнение (5 3—15) в (5 3—16), получим соот-
ношение

что и требовалось доказать

t\e^g(t)} = G(e^z),

(5 3-17)
Пример 5.3—2 Найдем с помощью доказанной выше тео-
ремы z преобразование функции te~at

Так как

(5 3-18)

то согласно уравнению (5 3—12)

(5 3-19)

(5 3-20)

g (/) =	(/) + 2 Кте~ат t + 2 V е-Ч‘ (5 3-22)

Тогда при t, стремящемся к бесконечности, предел g (/) стре
мится к К, так как



lim 



G(z) =

Умножая это уравнение на-?—- и устремляя z к 1, получим
hm	G (z)} = К	(5 3 -21
Таким образом,

1™ G (z)} =- lim (/)}

(5 3-27)



(5 3-28)

(5 3—29)

Предел G (z) при z, стремящейся к единице, определяется



(5 3—30)

hm{&(l — е~аТ)\ — b

(5 3—31)

G (?) = 2 Я (пТ) z~n = g (0) + g (Т) z -1 + g (2Т) z-2 -L

+ g(3T)z-3+	(5 3-33)

187
При z, стремящемся к бесконечности, G (z) становится равным
g (0), что соответствует пределу

lim {£(/)}	(5 3-34)

Пример 5.3—4 Для иллюстрации теоремы о начальном
значении рассмотрим следующую пару функций, связанных друг
с другом z преобразованием

Начальное значение должно быть равно

hm{g (/)}=!

(5 3—38)

Пример 5.3—5 Покажем, что если G (г) = % \g (t)} и

lim =• lim \zG(z)}

Так как

G (z) — %\g(f)\,
то из теоремы 2 следует, что
zG(z) = b\g(t + T)\

Используя теорему о начальном значении, получим
lim \g(t + T)} = lim \zG(z)}	(!

Следовательно,

lim {g(0} = lim \zG ( )}

Можно легко показать, что, если g (kT) = 0 при 0 < k < п—1,
5 4 СВОЙСТВА ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

В предыдущих параграфах были изложены методы вычисле
ния z преобразования и импульсной передаточной функции
системы Перед тем как переходить к подробному изложению
способа построения годографа z преобразования и вычисления
обратного z-преобразования, необходимо рассмотреть некоторые
важные свойства импульсных передаточных функций, которые
играют существенную роль при анализе и синтезе импульсных
систем

1	Периодичность Импульсная передаточная функция G* (s) =
= G (z)|z=e Ts является периодической функцией е периодом jas,
где (os — частота прерывания Свойство периодичности импульс-
ных передаточных функции следует из уравнения (4. 1—14)
Таким образом полярный график импульсной передаточной функ
ции G (z) в частотном диапазоне от 0 до ®s такой же, как в диапа-
зоне частот от ka>s до (k + 1) ®а, где k — целое число

2	Значение импульсной передаточной функции G (z) всегда
действительно при z = 1 (со = 0) и z = —1 (ю = n®s/2), G (z)
конечна при z = 1 если G (s) не имеет полюса в начале координат.
Это означает что полярный график импульсной передаточной
функции пересекает действительную ось при нулевой частоте
и при любой частоте, кратной половине частоты прерывания
Для иллюстрации этого рассмотрим следующие передаточные
функции

a) G (s) содержит полюс в начале координат



(5 4-1)

Соответствующая импульсная передаточная
вид

функция имеет

(5 4-2)

(l-e~ar)z

При z = 1 (ю = 0 или nas) G (z) = oo
При z = —1 (ю — ncos/2)

2(1 +е-аТ)

зтих двух вели-
При z = 1 (со = О или ncos)

При z = —1 (со = ncos/2)

При z = 1 значение G (z) конечно

3 Полюсы импульсной передаточной функции G (z) в плоско
сти z связаны с полюсами G (s) в плоскости s соотношением

(5 4-5)



(5 4-6)

где предполагается, что

(5 4—7)


конечен при z = 1

Чтобы обойти точку z = 1, на фиг 5 4—2, а около нее прове
дена малая полуокружность, внешняя по отношению к окруж
ности единичного радиуса Уравнение этой полуокружности
й при z, стремящемся к 1, получим

Ст. М lim £^2-

(5 4-14)
	
	Плоскость z
	\ Ы'О
07=^- у °	Re
	3us

Таким образом, отрезок мнимой оси лежащей между <» = О
и <» = <»s, отображается в единичную окружность плоскости z
Если ю возрастает от <ds до 2cos, значения z вновь проходят по
единичной окружности Этот процесс повторяется, когда <» уве
личивается или уменьшается в диапазоне <»s

В любой точке плоскости
Подставляя уравнение (5 5—1) в (5 5—2), получим
г = е<,те!<лт	(5 5—3)

плоскости)

Назовем кривую, описываемую функцией G (z) при изменении
независимой переменной z вдоль единичной окружности плоско-
сти z, годографом z-преобразования Годографы z-преобразований
играют важную роль при анализе и синтезе импульсных и цифро
вых САР Например, вид и расположение годографа z преобразо-
вания импульсной системы определяет ее устойчивость и каче-
ство, что будет подробно рассмотрено в следующих главах

Для сложной импульсной системы z преобразование можно
рассматривать как комбинацию нескольких основных элементар-
ных z-преобразований, годографы которых являются простыми
геометрическими фигурами Такгм образом, необходимо изучить
конфигурацию и характеристики годографов нескольких основных
z-преобразований, из которых состоят более сложные z преобра
Рассмотрим следующие основные г преобразования

(5 5-5)

и подставляя это в уравнение (5 5—5), получим

Покажем, что действительная часть равна

(5 5-6)

(5 5-7)

(5 5-8)

(5 5-9)

мнимая часть

(5 5-10)

Ниже приводятся значения и и и, соответствующие различным

частотам

(0	0	л/2Т	л/Т	Зл/2Т	2л/Т
и		’/з			
°	-ОО		0		ОО

На фиг 5. 5—3 изображен годограф G (z) = z/(z — 1) в пло-
скости z, представляющий собой линию, параллельную мнимой
оси и проходящую справа от нее на расстоянии У2 единицы
Упрощая, получим

G = 2(008^^1)-

(5 5—13)

Ниже приводятся значения G (z) для различных частот

(0	0	л/2Г	п/Т		2Л./Т
0(2)	ОО	— Г/2	— Т/4	1	ОО
и с центрами, расположенными в точках с координатами

(5 5-21)
Это уравнение описывает семейство окружностей с радиусами
равными

(5 5—25)

и с центрами, расположенными в точках с координатами
(5 5-29)

Соответствующее z преобразование

К(1

Таким образом, годограф G (z) может быть построен при по
мощи векторного сложения годографов

которые описывают на плоскости О (z) соответственно прямую
линию и окружность
Один основан область ласти z z-преобра получить ных мом	из методов вычисления переходного процесса системы на преобразовании уравнения (5.6—1) во временную Математическая операция перехода от выражения в об выражению во временной области называется обратным зованием Метод обратного z преобразования позволяет временную функцию, справедливую лишь для дискрет ентов времени  x(t) r  Фиг 5 6 1 Схема простои импульсной системы
Из пр из време значным С1И S ЯЕ	едыдущих параграфов видно, что преобразование функции иной области или области s в область z является одно Но переход из области z к временной области или обла шяется неоднозначным Для данного z преобразования  1т  Плоскость s  	LW2	  Дополнительная полоса  —^Основная полоса	д	/?е  Х \ \\ \ \Х\\ <\\VW  Дополнительная по юса -jJios/2  Фиг 5 6—2 Плоскость s, разделенная на некоторое  количество полос.
МОЖНО I ЯВЛЯЮЩ1 функция	юлучить бесконечное число обратных преобразований, 1ХСЯ функциями от t (или s), так как преобразующая  z = е"	(5 6-2)
являете? Все знач ковые зн полосы, частоте :  200	I многозначной при переходе от плоскости z к плоскости s [ения s, отличающиеся друг от друга на /ws дают одина- [ачения z Если плоскость s разделить на горизонтальные как показано на фиг 5 6—2 с шириной полосы, равной прерывания cos, то каждая полоса в плоскости s отобра
G(z) = ^g(nT)^

(5 6-3)

g(nT)-± $0^-' dz,

(5 6-4)

(5 6—5)

обратное преобразование

g(o=^X

G (s) eZs ds



(5 6-7)

где для удобства переменная s заменена комплексной перемен

Интегрирование производится вдоль линии, параллельной
мнимой оси и расположенной от начала координат на расстоя
нии с, где с — абсцисса сходимости. Если путь интегрирования
разделить на равные отрезки, соответствующие основным и допол
нительным полосам, причем длина каждого отрезка равна <>>s
(фиг 5 6—3), то уравнение (5 6—7) можно переписать в виде



j G^e^dl +

С помощью подстановки

g(nr)=^JL f G(s+

где k — целое число, уравнение
(5 5—8) можно преобразовать к виду

+ jk<os) enTs ds (5 6—10)

Меняя местами интегрирование
т суммирование, получим

Используя уравнение (4 1—14), можно написать

2л/

при подстановке z вместо е1

z 1dz,

контур интегрирования преобразуется в окружность с радиусом есТ
и с центром, расположенным в начале координат z плоскости г
(фиг 5 6—4) При этом уравнение (5 6—12) сводится к виду

что совпадает с формулой обратного z преобразования (5 6—4)
единичного радиуса

Методы вычисления обратного z преооразования

а) С помощью формулы обратного преобразования Этот метод
требует вычисления интеграла (5 6—4) С помощью теоремы
вычетов Коши значение интеграла опре
деляется как сумма всех вычетов вну
три контура Г, т е

S(n7-) = SResO(z)z'-l^1, (5 6—17)

где G (г) zn~l — рациональная функция
от z, которая конечна на всем пути
интегрирования; контур Г — окруж
ность с центром в начале координат
плоскости z (или любой другой замк
нутый контур), охватывающий все по

Пример
функции

5 6-1 Определим обратное преобразование для

° И = <z-ow+)++ + <>8)	(5 6-18)

Полюс	Вычет

z = 0,8

z = 0,5 + 0,74

z = 0,5-0,74

— 19,1 х 0,8

18,75

0.89 I + 56 5° 1.751+85°

0,89 | — 56 5° 1,75|-85°

Обратное z преобразование можно получить по формуле
(5 6—17), т е

g(nT) = — 19,1 (0,8)n+1 +18,75 + (0,89 jSe.S0)^1 (1,75185°) +
+ (0.89 Н 56,5°)»+1 (1.75|—85°)	(5 6—19)

203
Из этого выражения можно легко вычислить значения g (пТ)
длй различных дискретных моментов времени Некоюрые зна

п	° 1 1	2	3	4 1 6
ё(пТ)	1	|	3 80	8 20	124	14 68 |	16 62

G1 (г —~0 8) (г — 1) (г2 — г + 0 8)

(5 6-21)

Эту функцию можно разложить па следующие простые дроби
G, (?\ =	____+3__	-1,2+./х

уравнение (5 6—20) принимает вид

бг(г) = 18,75

15,3 /J-0 22 +(- 1 2 + /) —
Это выражение можно привести к виду

g (0 - 18 75 и (/) — 15 Зе-° ™!т — е~° I2t/r (2,4 cos +

(5 6-26)

Однако уравнение (5 6—26) справедливо только для дискрет-
ных моментов Несколько значений g (/) приводятся ниже

t	0	т	2Т	ЗТ	1	5Т
	1	38	82	' 12 4	14 68 |	16 62

g* (0 = jbf (пТ) S (/ - пТ) = £(0) 6 (0 -t-g(T) 6 (/-?) +

+ g (27) 6 (t — 2Т) -г +£(п7)6(/ —п7) +	(5 6-27)

Находя z преобразования обеих частей уравнения (5 6—27),
получим

(5 6-28) •

момента времени

При выполнении деления полиномы следует располагать по
убывающим степеням z так, что
Разложение G (г) получается в виде

Пример 5 6—3 Вычислим с помощью данного метода обрат
ное преобразование функции (5 6—18)

(2-0 8) (2-1) (2

Деление выполняется следующим образом

3 80 + 8 20

—2 24+0 61 1— 2,80+ 3,40—2,24+0,64

8.20^10,67-'- 7,88- 2,44

8 20- 23 07+ 27,90-18,36+ 5 25

12’40-34>0+4030 -27^80+7 94

14 68-24 38+22 55-7 94

Для определения переходного процесса прежде всего необхо
димо найти импульсную передаточную функцию системы G (s).
Для этого разложим передаточную функцию G (s) на простые дроби

(5 6-35)
Импульсная передаточная функция равна

(5 6—36)

При использовании z преобразования структурная схема на
фиг 5 6—5, а приводится к схеме на фиг 5 6—5 б. Легко пока-
зать, что z-преобразовапия ошибки и выходного сигнала опреде-
ляются выражениями

Подставляя значения
G (z) в уравнение (5 6—38),



Если на входе действует единичная ступенчатая функция
г (0 = и (/), для которой преобразование Лапласа R (s) = Vs
и z преобразование

то z преобразование выхода системы принимает вид
______________________________2632г2_______

С помощью последовательного деления разложим уравнение

+ 1 14z"4 + l,04z-5+ - •

Обратное преобразование этого уравнения

+ 1 146 (t — 47) + 1,046 (/ — 57) +• •	(5 6—43)

описывает реакцию системы па единичную ступенчатую функцию
для дискретных моментов времени Реакция системы для дискрет
ных моментов времени, называемая иногда выходной последова
тельностью, показана на фиг. 5 6—6
дить вычисления с помощью вычислительных машин

Из изложенного видно, что обратное г-преобразование не дает
точной информации о поведении временной функции между
моментами замыкания Следовательно, полная реакция импульс
ной системы не может быть определена с помощью метода z пре
образования, несмотря на то, что выход системы является импульс
ным сигналом Это является недостатком данного метода Способ
решения этой проблемы представлен в следующем параграфе

5 7 МОДИФИЦИРОВАННЫЕ1 г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

D)

«м yt<t) _

LOI.
Для уравнения (5 7—2) z преобразование имеет вид

YD(z) = 2у(кТ-ЬТ)г*

GD(z) = z-^g(kT)r-*

и z преобразование примет вид

Yd^)

^y(kT + mT)z *

(5 7-9)
Сигнала у (f) в моменты пгТ, тТ + Т, ml + 2Т, шТ + ЗТ,
которые обозначим через у" (Л т) В символическом записи
yD(kT) = у (kT, т)	(5 7-10)

и

=	(5 7-11)

Y (z,m) = z 1'%y(kT +mT)z~k

(5 7-13)

s y(kT — T)6(t — kT)

(5 7-15)
у (2,0) = z 1 2 У (kT) = z~lY (z)	(5 7-16)

Это означает, что при tn = 0 выходной сигнал у (/) задержан
на период прерывания

При т = 1

Г (Л1) = ^y(kT)b(t-kT) = y*(t)	(5 7-17)

Y(z,\)-z~^y(kT T)z~k = Y(z)	(5 7-18)

G (z tn) = z 1 2 £ (kT + mT) z~k,

(5 7-20)
и последовательность значений у (t) в моменты t = пТ — тТ,
(/? + 1) Т — тТ, (п + 2) Т — тТ, , описывается выражением

Модифицированное z преобразование от у (t) равно

У (г, m) = z~n у (kT тТ) z~k (5 7-24)

При п = 1 уравнение (о 7—24) сводится к уравнению
(5 7-13)

Другие определение модифицированного z-преобразования Выше
модифицированное г преобразование было выведено в виде суммы
бесконечного ряда Применение приведенного ранее выражения
зависит от возможности и простоты определения суммы ряда
В большинстве случаев на практике сумму ряда можно легко
определить Однако, если возникают трудности в сведении беско-
нечного ряда к замкнутой форме, необходимо использовать дру-
гое выражение, определяющее модифицированное z преобразова
ние функции или модифицированную импульсную передаточную
функцию системы

Как показано в параграфе 5 2, в основу определения z пре
образования (или импульсной передаточной функции) может
быть положена любая из формул (5 2—66) и (5 2—67) Благодаря
тесной связи с z преобразованием модифицированное z преобра-
зование можно также определить двумя различными способами
Из фиг. 5 7—2 видно, что для импульсной системы с фиктивным
запаздыванием справедливы выражения

где

кой;

D = /.Т* нА — правильная дробь,

G (s), Gd (s) и G*d (s) — преобразования Лапласа соответ
ственно импульсных переходных

Так как

то соответствующее преобразование со звездочкой имеет вид

что можно записать в виде
где Дг (s) — преобразование Лапласа от бг (f) Ранее было по-
казано, что

Учитывая (5 7—25), уравнение (5 7—29) можно записать



Gb(S)^e-^G(S)*Ar(s)

(5 7-31)



(5 7-32)

% {g(t-D)] = e-T‘£ \g*(t + mT)} = G*(s,m)	(5 7-35)

Так как

£ \g* (t + mT)} = % \g(t + mT) dr (/)} =	g (s)* Дг (s) =

= - 2Чг|d*>	(5 7~36)

то из уравнения (5 7—35) следует, что
Применяя теорему вычетов, уравнение (5 7—37) приводим
к виду

G* (s, т) - Res-p;_(gTxe-7-s " ПРИ X = sk’ (5 7~38)

где sk — полюс G (х) и G (х) = G (s)/s=x.

В случае, когда G (s) не имеет кратных полюсов, уравнение
(5 7—38) можно записать в виде

G* (s т) - e~Ts ) вт^-тГ Res G (у) при Х ~ Sk (5 7-39)

Используя подстановку z = eTs, уравнения (5 7 -38) и
(5 7—39) можно привести к виду

G (г т) = г’12 Res	П ПРИ X - sk (5 7—40)

и

G (г, т) = г”1 Jp t Res G (X) ПРИ X = sk (5 7-41)

Уравнение (5. 7—40) является другим способом определения
модифицированной импульсной передаточной функции системы
G (s) или модифицированного z преобразования ее импульсной
переходной функции g (/)	„

Вычисление модифицированных z преобразовании Модифици
рованное z преобразование функции можно легко определить
с помощью уравнения (5 7—20) или (5 7—40) Таблица обычно
используемых модифицированных z преобразований дана в при-
ложении 1 Ниже иллюстрируется вычисление модифицированных
z преобразований

1. Ступенчатая функция

Согласно уравнению (5 7—20) модифицированное z преобра
зование равно

G(2,m) = 2 1	тТ)2-А =

= г-1^ (1 + г-1 -J- z 2 п-	)	(5 7-43)

G (2) т) = _Л_	(5 7-44)
где О (z) ее z преобразование

2 Линейно-возрастающая функ

Модифицированное z преобразо
вание равно



= z-1 [тКТ + (т -X- 1) KTz~! + (т + 2) КТz'2	+

+ (m + k) KTz~k +	] = KTz 4/n(l +Z’1 Vz 2 ф	+

+ z~*J ) bz-41 2г 1 + 3z-2 +	^kz-^ К	)] =

= KT’z-1	]	(5 7"47)

(5 7-48)

Легко видеть, что при т = О X = 1,

G^- °)= z~1(j

где

(5 7-50)

3. Экспоненциальная функция

g Ц) = e~atu {t) g (kT + тТ) =	T

(5 7-52)

217
Используя уравнение (5 7—20), найдем модифицированное
г-преобразование

G (z, т) = z-1 2 е~“ Т z~k = г-1 [е~атТ + е~а (1+m) тг~1 +

] = z~le-amT [J e-aTz-l g^aTg-l J--------] =

ИЛИ

G пг} g~aT

(5 7-54)

G =

(5 7-56)

Отсюда следует, что при m = 0, G (z 0) = z~lG (z), однако при
m = 1, G (z, 1) G (z). Это является следствием того, что функ-
ция g (0 имеет разрыв в точке t — 0 В действительности



(5 7-57)
Эту функцию можно записать в виде

g(O’

но

g(kT + mT)

(5 7-62)

Из уравнения (5 7—20) получаем модифицированное г пре-
образование

я

которое приводится к виду



(5 7-64)
здесь контур Г охватывает все особые точки G (z, т) Z'7-1
Уравнение (5 7—65) можно получить таким же образом, как

и обычное обратное z преобразование Действительно,



2nj

Полагая



(5 7-67)

уравнение (5 7—66) можно преобразовать к виду

|	GD(s + }k(sQenTs ds

При подстановке z = eTs функция

4- 2	+	=

(5 7-68)

(5 7-69)
Этот интеграл можно вычислить с помошыо теоремы Выиетов

Res



(5 7-75)

(5 7-76)

равны — 1/8е/(п+'п-1)(»1,г>

Следовательно,

-= 1 — cos (/г-г т — 1)и0Т	(5 7—77)

Второй метод вычисления обратного модифицированного z пре
образования основан на разложении в степенной ряд Согласно
этому методу G (z, tri) разлагается в степенной ряд по z-1 с по
мощью последовательного деления, при котором величина т по
латается постоянной Коэффициент при члене z~n является функ
цией от т, совпадающей с соответствующей временной функцией
g (пТ, т), в течение n-го периода прерывания, если т изменяется
от 0 до 1 В качестве примера найдем с помощью данного метода
обратное модифицированное z-преобразование уравнения (5 7—71)
Разлагая правую часть уравнения (5 7—71) в степенной ряд
по степеням z-1, получаем

Можно показать, что если модифицированное z преобразова
ние получается непосредственно по функции времени, то выраже
ние (5 7—81) позволяет найти всю функцию времени при изме

I g(nT, т) —	аТ,

(5 7—82а)
(5 7—826)

(5 7—83)
Начальное значение равно
lim { zG (z, tri)}

(5 7-84)

В самом деле



", что определяет вре-

менную функцию в течение первого периода прерывания, когда
пг изменяется от 0 до 1 Кроме того, выражение

(5 7-86)

определяет временную функцию при всех моментах времени при
условии, если т изменяется от 0 до бесконечности

Теорема о конечном значении. Если функция g (t) имеет моди-
фицированное z-преобразование G (z, т), которое не имеет по
люсов на окружности единичного радиуса или снаружи от нее
на плоскости г, то

= hm{g(nT, m)}-hm{g(0}	(5 7-87)

Пример 5.7—4 Рассмотрим следующую пару функций, свя-
занных друг с другом модифицированным z преобразованием

g(0

(5 7—88а)
(5 7—886)

G (z, т)

(5 7-89)

При z -> 1 предел lim (z— 1
Проверим этот результат

lim { 1 — (

(5 7-91)

С помощью применения этих двух теорем можно определить
начальные и конечные значения переходной функции без вычисле-
ния обратного преобразования
На фиг 5 8—1 показана блок схема идеальной Выход у (0 и вход х (0 связаны выражением	э интегратора
y(t) = \ x(t)dt	(5 8-1)

Преобразуя по Лапласу обе части этого уравнения, получаем

K(s) = 4'X(S)	(5 8—2)
t2, tn Тогда данная функция х (?) может быть приближенно
представлена с помощью более простои функции или полинома
Р (f) который имеет те же значения, что х (?) в моменты t0, tA,
t2 tn Определение x (?) с помощью Р (?) на данном интервале
независимой переменной называется интерполированием, а функ
ция Р (?) называется функцией интерполирования Функция/3 (?)
может иметь различные формы Если Р (?) является полиномом, то
процесс замены х (?) на Р (?) называется полиноминальным интер
полированием Наиболее важными формулами интерполирования
являются формулы Ньютона, Стирлинга и Бесселя В данном
параграфе для выполнения численного интегрирования приме-
няется формула Ньютона

Основной идеей численного интегрирования является, во пер-
вых, приближенное представление данной функции х (?) на корот
ком интервале t с помощью функции ити полинома р (?) и, во
вторых, интегрирование этого полинома, а не функции х (?).
Преимущество метода заключается в том, что, если даже х (?)
трудно или практически невозможно проинтегрировать полином
Р (?) обычно легко поддается интегрированию Согласно формуле
Ньютона в интервале ?0 < ? < ?0 + пТ функция х (?) может
быть представлена с помощью следующего полинома

Р (0 = Р (t0 + Tu) = f (и) = х0 + пДх0 + А8%о +

хп — значения х (?) в моменты впемени t0 -}- Т,

t0 + 2Т,

Величина интеграла

t,+nT
f x^)dt
может быть найдена по приближенной формуле

°] x(t)dt = Р (t)dt = т\>Р Tu)du = r]f(u)du (5 8—9)

В этом выражении

dt = Tdu	(5 8—10)

и / (и) = Р (t0 + Ти) определяется по уравнению (5 8—4) Под
становка уравнения (5 8—4) в (5 8—9) и почленное интегриро
вание позволяют почучить

л ~ т р + 4 Дх. ь (4 - 4) pL +

44 -+ (4 ~ т+т - М +
144_2„.+р_р+1рр + (4_р +

+ w_®p™„6o4P+ . ] (5 8—11)

Уравнение (5.8—11) представляет собой общую формулу числен
ною интегрирования, из которой можно получить различные част
ные случаи, полагая п = 1 2, 3 и т д

Процесс численного интегрирования легко выполняется на
цифровой вычислительной машине Если определенный интеграл
вычисляется с помощью численных методов, то оператор интегри
рования (или передаточная функция цифрового интегратора) мо
жет иметь различные формы, зависящие от применяемых правил
численного интегрирования и формул экстраполирования Не
которые простейшие и часто используемые правила численного
интегрирования и формулы интерполирования приводятся в еле
дующих параграфах Для них даются соответствующие z преобра
зования.

а) Интегрирование на основе прямоугольной аппроксимации
Непрерывная кривая может быть аппроксимирована ступенчатой
кривой, а площадь под этой кривой может быть представлена
в виде прямоугольников (фиг. 5 8—3) Значение интеграла, или
площадь под функцией, вычисляется с помощью последователь
кого сложения площадей прямоугольников Пусть xk — значение
х (/) при t = kT и yk^ — площадь, ограниченная кривой в интер-
вале от t = 0 до t = (k — 1)Т Тогда площадь, ограниченная
кривой х (?) в интервале t = 0 до t = kT приближенно опреде
ляется как сумма из площади yk_x и площади заштрихованного
прямоугольника, т е
F(z) = z-1F(z) + TX(z)

(5 8-14)

Из этого уравнения можно получить импульсную передаточ
ную функцию цифрового интегратора или оператор численного
интегрирования

Соответствующее преобразование со звездочкой имеет вид

(5 8-16)

Подставляя /со вместо s, получаем частотную функцию этого
цифрового интегратора

вид

Следовательно, амплитудная и фазовая характеристика имеют

| D*a (/®) | =	| C0SeC | ’

(5 8-18)
/z>w

a)


значений х (/) нельзя получить разность выше первого порядка
Таким образом,

Имея в виду выражение (5 8—6), учитывающее первую раз
ность, уравнение (5 8—22) упрощается до

Отсюда следует формула экстраполирования (5 8—21) и, пе-
реставляя члены, получим

^(\^z~l)X{z)

Г (?)(!-.

Таким образом, импульсная передаточная функция цифрового
интегратора определяется выражением

которое иногда называют оператором численного интегрирования,
основанным на правиле трапецеидальной аппроксимации. Соот-
ветствующее преобразование со звездочкой имеет вид

(5 8-26)

Частотная функция этого цифрового интегратора находится из
уравнения (5 8—26) с помощью подстановки s = /со

D* (нл\ = -С  ! +е ‘WT — — , JL Met	fP. Я_97\

Амплитудная и фазовая частотные характеристики равны

(5 8—29)

Из частотных характеристик, приведенных на фиг 5 8—6,
видно, что хотя оператор интегрирования, основанный на трапе-
цеидальной аппроксимации, имеет идеальную фазовую характе-
ристику, его амплитудная характеристика значительно отличается
от идеальной кривой

в) Интегрирование с помощью правила Симпсона V3 Экстра-
поляционная формула основанная на правиле Симпсона х/3, мо-
?кет быть легко получена из уравнения (5 8—11), если положить
У2 = Уо + -^- (х2 +	+- х0),

(5 8-31)

Следовательно, импульсная передаточная функция этого циф
роврго интегратора равна

(5 8—34)
Подставляя е^т вместо z, получим частотную функцию циф

рового интегратора

(5 8-35)

Таким образом, амплитудная и фазовая характеристики имеют
РИД





(5 8—36)

(5 8-37)



б)

J х (/) dt = ys - у0 = Т (Зх0 + 4 Ах0 + 4 АЧ + ~ А%)

(5 8-38)

231
. ST .	, о , „	,	.

Уз = уо + (Ь 4- 3^2 + 3%! + х0),

(5 8-39)

+ ** (f-ЗТ)]

(5 8—40)

(1 - z-8) Y (z) =	(1 + 3z-1 + 3z-« + z~8) X (z)	(5 8-41)

Из уравнения (5. 8—44) следует экстраполяционная формула,
основанная на правиле Веддла:

У* (0 = у* (/ - 6Т) +	[х* (0 + 5х* (t - Т) -а- х* (t - 2Т) +

4- 6х* (t — ЗТ) + х* (t — 4Т) + 5х* (t — 5Т) + х* (/ — 6Т) (5 8-45)
232
Определяя z преобразование уравнения (5 8—44), получим

(1 _г-в) у (г)	(1 + 5г-1 + z~* + 6г’3 г-‘ щ 5г‘5 + z-) X (г)

(5 8—46)

(5 8—47)

этих четырех операторов численного интегрирования и идеаль-
ного оператора интегрирования

Из фиг 5. 8—8 видно, что правило Симпсона V3 лучше, чем
более сложное правило Симпсона 3/4, а в определенном диапазоне
частот прав-ила Веддла дает наивысшую точность, хотя оно
является наиболее сложным из всех четырех Правило трапецеи
дальной аппроксимации наименее точно на низких частотах и
дает лучший результат, чем правило Симпсона на высоких часто
тах. С другой стороны, численное интегрирование, основанное на
правиле трапецеидальной аппроксимации, является не только
простым в программи] овзнии, но также вводит ослабление на
высоких частотах, уменьшая влияние внешних возмущений. Ка-
чество аппроксимации по сравнению с идеальным интегрирова-
нием в диапазоне частот от со = 0 до со = со/2 иллюстрируется
следующим примером Предположим, что синусоидальный сиг-
где

щг=2(0+4 + 4^  ).

(5 8—51)

(5 8-52)

уравнение (5 8—50) можно переписать следующим образом

v -I- рз/З 4- и5/5 +

(5 8-53)

Последовательное деление дает ряд Лорана

=	_______v_	4у3	44^

2 \ v 3	45	945

) (5 8-54)
Так как этот ряд сходится довольно быстро, он может быть
аппроксимирован главной частью, т е

Правая часть уравнения (5 8—55) называется z формой соот
ветствующей s-1

Возводя в квадрат обе части уравнения (5 8—54), получим

Аппроксимируя этот ряд главной частью и постоянным чле
ном, получим

Учитывая уравнение (5 8—2) найдем

Правая часть уравнения (5 8—58) называется z формой, соот
ветствующей s 2

Аналогичным образом можно получить разложение в ряд s~k
с помощью возведения обеих частей уравнения (5. 8—54) в k ю
степень

Если использовать главную часть и постоянный член разложе
ния в степенной ряд для s~k, то может быть вычислена z-форма,
связанная с s~k В табл 5 8—1 дано несколько z-форм.

	z форма
s 2	Т 1-Z 1  Г2 1 + Юг-1 + г-2 12	(1 — г~’)2  — -(1_г 1)2  71 г 1 + 4г-2 + г з	п  6	(1_г-1)4	120  24	(1 - г i)S
Эти z формы можно использовать Для определения npi бли*
женного обратного преобразования Лапласа Предположим, что
G (s) является преобразованием Лапласа от g (?) Тогда выраже
ние для обратного преобразования Лапласа примет вид

£+/»

£(0=^ J G(s)etsds

(5 8-59)

g(t)^ga(t)^^~ j G(s)etsds

-т/т

(5 8-61)
при условии, что период Т выбран соответствующим образом
В уравнении (5 8—61) ga (0 определяется как аппроксимация g (7)

Заменяя в уравнении (5 8—61) t = пТ, получим значения
приближенной временной функции в дискретные моменты

ga(nT)

| G(s)enTsds

Для того чтобы применить г формы, в уравнение (5 8—62)
необходимо подставить z вместо s Используя уравнение (5 8—49)
и упрощая его, получим

где контур Г — окружность единичного радиуса в плоскости z

Сравнение уравнения (5 8—63) с уравнением (5 6—4) пока-
зывает, что правая часть уравнения (5 8—63) с точностью до
постоянного множителя 1/7 совпадает

с обратным z преобразованием Так как
G [(1/T)lnz] является трансцендентной



функцией О'1, 2, то вычисление интегра- | ______________

ла (5 8—63) довольно трудно Однако

эту трудность можно обойти, если ис Фиг а 8—10 САР для при-
пользовать г формы, рассмотренные вы-	мера 5 8“

ше Так как G (s) можно представить

как отношение двух рациональных полиномов по s’1 (или разло
жить в степенной ряд по s-1), то, применяя 2 формы для s~*,
функцию G [(l/71nz) можно представить в виде отношения двух
рациональных полиномов по z-1 (или степенной ряд по z-1)

Затем вычисление обратного преобразования согласно уравне-
нию (5 8—63) легко выполняется с помощью методов, изложен-
ных в параграфе 5 6В качестве иллюстрации применения
г форм приведем пример.

Пример 5.8—1. Рассмотрим САР, показанную на фиг 5 8—10
Передаточная функция регулируемой системы равна

G(s)

Определим реакцию системы на единичную ступенчатую функ-
Легко видеть, что передаточная функция данной системы равна
5 9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

° а.
прерывания значительно выше полосы пропускания частот си
стемы Третий метод является наиболее простым. Он используется
лишь в тех случаях, когда требуется найти только несколько пер
вых значений временной последовательности.

Для того чтобы можно было определить переходный процесс
импульсной САР в любой момент времени вводится модифициро
ванное z-преобразование Однако по сравнению с основным z-npe
образованием, модифицированное z преобразование имеет второ-
степенное значение Обратное модифицированное z преобразова
ние можно найти либо с помощью выражения (5 7—70), либо
посредством разложения в степенной ряд Первый из этих методов
может дать общее выражение временной функции, в то время как
второй метод используется для определения временной функции
в течение первых нескольких периодов прерывания Хотя метод
z преобразований был разработан преимущественно для решения
линейных разностных уравнений, а также для анализа и синтеза
линейных импульсных систем, однако он может также применяться
для анализа непрерывных систем при условии, что непрерывная
система заменена ее импульсной моделью

Глава заканчивается рассмотрением методов численного инте
грирования формул экстраполяции и метода z форм При числен
ном интегрировании импульсная передаточная функция может
принимать различный вид в зависимости от применяемых правил
интегрирования Рассмотрены наиболее простые и часто приме
няемые правила численного интегрирования Процесс интегриро
вания может быть выражен в виде функций от z которые назы
ваются z формами Метод z форм позволяет вычислять реакции
непрерывных систем с помощью z преобразования. Кроме того,
метод z-форм может применяться для решения обычных дифферен
пиальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами
Использование метода z-форм облегчает решение таких задач на
цифровой вычислительной машине
ГЛАВА 6

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

6 1 СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И Z ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕЛИЧИН
НА ВЫХОДЕ ИМПУЛЬСНЫХ САР

Одним из основных средств анализа систем автоматического
регулирования с обратной связью является метод структурных
схем Согласно этому методу система представляется в виде соеди
нения структурных элементов направленного действия Каждый
элемент характеризуется обычной или импульсной передаточной
функцией Таким образом, структурные схемы графически изоб
ражают направление распространения сигналов в системе, а также
взаимосвязь составляющих ее элементов Для того чтобы произ
вести анализ импульсной и цифровой САР с помощью метода
2 преобразования, прежде всего составляется структурная схема,
показывающая пути прохождения информации в системе а также
взаимосвязь ее элементов С помощью структурной схемы можно
найти z преобразование или модифицированное 2 преобразование
выхода системы, а также вывести характеристическое уравнение,
составленное относительно 2 По преобразованию выхода можно
найти реакцию системы на заданный входной сигнал, а с помощью
характеристического уравнения по 2, используя аналитические или
графические методы, легко провести анализ устойчивости системы

В этом параграфе рассматриваются методы преобразования
структурных схем импульсных и цифровых САР, а также методы
определения импульсных передаточных функций и 2 преобразо
ваний выходных переменных Для иллюстрации применения ме
тодов рассмотрено несколько примеров

а)	Рс замкнутые системы. Простая импульсная система с пре-
рыванием на входе Из фиг 6 1 — 1 видно, что преобразование
Лапласа выхода определяется выражением

С (s) = G (s) P* (s)	(6 1-1)

Используя определение преобразования со звездочкой

с* (S) = 4" 2 С (s L /псо5),

(6 1-2)
уравнение (6 1—1) можно преобразовать к виду

C*(s)==4' 2 G(s + jnas) tf*(s + jnas) (6 1-3)

Вследствие периодичности передаточной функции со звездоч
кой это уравнение можно переписать в виде

C*(s)= /?* (s)f-l- 2 G (s + jncos)j (6 1-4)

В результате замены s (1/T) Inz уравнение (6 1—5) преобра
зуется к виду

откуда стедует, что z преобразование выхода равно произведе-
нию z преобразования входа на импульсную передаточную функ

r(t)

-*«) 1—
G(s)

'K(t)r

?’(t)

стемы можно представить в виде
1-19)

1-20)
Определяя преобразование со звездочкой уравнения (6 1—18),
получим

здесь через GXG\ (s) обозначено преобразование со звездочкой,
соответствующее Gx (s)G2 (s), определяемое выражением

(6 1-22)

Следовательно, z преобразование и модифицированное z пре-
образование величины на выходе системы определяются уравне

C(z)-=G1G2(z)7?(z),	(6 1-23)

С (z, т) - GjG2 (z, m) R (z)	(6 1—24)

Из уравнения (6 1—23) видно, что если две линейные системы
не разделены импульсным элементом то их общая импульсная
передаточная функция G (z) не равна произведению импульсных
передаточных функций этих двух линейных систем а равна z пре
образованию, соответствующему произведению их обычных пере
даточных функций Gj (s)G2 (s) Символически

G(z) = G1G2(z) = 3{G1(S)G2(s)}	(6 1-25)

Как видно, выражение С±С2 (z) существенно отличается от
выражения Gj (z)G2 (z). Первое означает z-преобразование, соот-
ветствующее G1(s)G2(s); второе представляет собой произведе-
ние z-преобразований, соответствующих Gx (s) и Ga (s)

Пример 6. 1—1 Две линейные системы соединены последо-
вательно (фиг 6 1—2 или 6 1—3), причем

Определим общую импульсную передаточную функцию для
каждого из этих случаев

Для систем, соединенных последовательно, как изображено
на фиг 6 1—2, общая импульсная передаточная функция равна

G(z) = G^G2(z),	(6 1-27)

(6 1-28)

(6 1-29)
Таким образом,

<61~30)

Для схемы, изображенной на фиг 6 1—3, общая передаточ-
ная функция имеет вид

<е ‘-31>

Из формулы 11 краткой таолицы z преобразований получаем

(61^2)

C(s) = G2(s)£*(s)

(6 1-34)

Определяя преобразование со звездочкой уравнения (6 1—33),
получим

(6 1—35)
Соответствующее z преобразование можно записать b виде

что является ^-преобразованием выхода системы. Модифицирован
ное z преобразование выхода системы легко можно почучить из
уравнения (6. 1—36):

C{z,m) = Gi(z,m)G1R{z).	(6 1-39)

б)	Замкнутые системь Система с прерыванием сигнала
ошибки На фиг 6 1—5 изображена типичная САР с импульсным
элементом в цепи передачи сигнала ошибки Здесь G (s) обозна-
чает передаточную функ
цию элементов прямой цепи,
Н (s) — передаточную функ
цию элементов обратной свя-

ветственно вход, действую
щий сигнал ошибки и выход
Из фигуры видно, что пре
образования Лапласа действующего сигнала ошибки входного
и выходного сигначов связаны друг с другом выражением

Е (s) = R (s) — Н (s) С (s)	(6 1 —40)

Так как выход и вход системы связаны уравнением

то выражение (6 1—40) можно переписать в виде
E(s) = R(s)-G(s)H(s)E*(s)

(6 1-42)

Преобразование со звездочкой уравнения (6 1—42) имеет вид

Преобразование и упрощение этого уравнения дает

что представляет собой преобразование Лапласа выхода импульс
кого элемента Из уравнении (6 1—41) и (6. 1—44) можно полу
чить зависимость между выходом и импульсным входом системы

<61-45)

Вследствие начичия импульсного элемента зависимость между
С (s) и R (s) не может быть найдена в явной форме Так как со
гласно уравнению (6 1—41)

(6 1-46)

245
то выход С* (s) связан со входом R* (s) уравнением

(6 1-47)

Соответственно г-преобразование выхода, определяющее зна
чение выхода в дискретные моменты времени, имеет вид

С^ = ~Т+Он?г)	(6 1-48)

Модифицированное г преобразование выхода системы можно
получить из уравнения (6 1—45)

 GH (г)

Система с импульсным эле
ментом на выходе Такая сис
тема показана на фиг 6 1—6
Она описывается уравнениями

£(s)-=7?(S)-tf(S)C* (s)

(6 1-50)

С (s) - G (s) Е (s)	(6 1-51)

(6 1-53)

Следовательно, z преобразованием выхода системы является



(6 1-54)

E(s) = 7?(S)-//(S)C*(S)

(6 1-55)

C(s) = G(s)£*(s)

(6 1—56)

Преобразования со звездочкой приводят уравнения (6 1—55)
;б 1—56) к виду

Е* (s) = 7?* (s) - Я* (s) С* (s)	(6 1-57)
Исключая Е* (s) из уравнений (6 1—57) и (6 1—58), получим

связи На фиг. 6 1—8 изо

№> П7П М	= * (S)	<S>С* М

—^0—ад I—~г—^	(6 1-61)

____	Умножая обе части уравне

--------1 H(s)	—I	ния (6 1—61) на G (s) и учиты-

17	вая что С (s) = G (s) Е (s), по-

Фиг 6 1—8 Система с прерыванием ЛуЧПМ

сигнала обратной связи	С (s) = G R (s) - GH (s) C* (s)

(6 1-62)

Преобразование co звездочкой этого уравнения имее! вид

C*(s)= G7?*(s)-G//*(s)C*(s),	(6 1-63)

откуда

(6 1-64)

(6 1-65)

Если теперь наити модифицированное преобразование со зве-
здочкой уравнения (6 1—62), получим модифицированное пре-
образование выхода

С* (s, т) == GR* (s, m)~GH* (s, т) С* (s),	(6 1—66)

a)

R^z^G^kz)	(6 1-71)
C(S) = G7?(S)-T-+Gg^(s) G7?*(s)

(6 1-74)

C(2) =

GR (г)

(6 1-75)

C(S)

6)
я(5) = 4	(6 1—77)

На основании этих данных составим передаточные функции

G R (s) = G (s) R (s) =	(6 1 -78)

GH(s) — G (s) Н (s) —

(6 1-79)

Для периода прерывания 0 2 сек z преобразования, соответст
вующие этим уравнениям, имеют вид

GR (z)

1) (г —0 368)

(г - 1) (г-0 368)
+ J	(s) - G*H^* (s)l (6 1~86)

25?
(6 1-87)

C (z, т) = G4HsR (z, т) +	{H^R (г) “	(z)]

(6. 1—88)

Замкнутая система, имеющая импульсную и непрерывную па-
раллельные связи. Типичная система такого вида* показана на
фиг 6 1—13 Прямая цепь разветвляется на две цепи, в одной

Выход С1 (s), обусловленный с входом R (s), можно найти,
если положить Е* (s) равным нулю Из структурной схемы ясно,
354

структурной схемы, приведенной на фиг 6 1—13, если положить
R (s) = 0 На фиг 6 1—14 следует, что

(6 1-90)

Складывая уравнения (6 1—89) и (6 1—90), получаем преоб
разование Лапласа выхода системы

(6 1-91)

Из фиг. 6 1—13 следует, что

Это уравнение можно преобразовать к виду

(6 1 -93)

Находя преобразование со звездочкой от обеих частей и упро
щая, получим

(6 1-94)

Подставляя уравнение (6 1—94) в (6. 1—91), получим вы-
ражение, связывающее преобразования Лапласа входа и выхода
системы, с передаточными функциями элементов системы. Из этого
выражения легко найти z преобразование выхода системы Сле-
дует отметить, что структурная схема данной системы не может
быть приведена к схеме с прерыванием сигнала ошибки

6 2 ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ;

КРИТЕРИЙ ШУР-КОНА, БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Основными проблемами теории автоматического регулирова-
ния являются проблема устойчивости, проблема качества или
эффективности передачи информации, а также проблема помехе
устойчивости На практике необходимо, чтобы выход системы
соответствовал требуемому выходу, а влияние возмущающих сиг
налов, точки приложения которых не совпадают со входом, было
минимальным Способность САР преобразовывать информацию
и подавлять возмущения зависит от ее переходной характери
стики и анализируется с помощью изучения поведения системы
при подаче на ее вход типовых или случайных сигналов Вопросы
обработки информации в САР могут рассматриваться как про
блемы теории информации Проблема устойчивости возникает,
когда ошибку системы стремятся уменьшить за счет увеличения
передаточного коэффициента или чувствительности САР Вели
передаточный коэффициент превосходит допустимое максимальное
256
Известно, что устойчивость определяется относительным рас
положением амплитудно фазовой характеристики А (/со) и кри
тической точки на комплексной плоскости. Этот метод можно обоб
щить на анализ устойчивости импульсных и цифровых САР,
когда эти системы исследуются с помощью z преобразования
Как указано в параграфе 6 1, знаменатель z преобразования вы-
хода импульсной системы имеет вид 1 + GH (z) или 1 +
4 G (z) Н (г) в зависимости от расположения импульсных эле
ментов. Функции GH (г) и G (z) Н (г), называемая импульсными
передаточными функциями разомкнутой системы, будут обозна

того чтобы найти импульсную передаточную функцию разомкну
той системы, необходимо определить z преобразование передаточ
ных функции контура Например, импульсная передаточная
функция разомкнутой системы на фиг 6 1—5 равна

A(z) = S{Gtf(s)HGtf(z),	(6 2-2)

а для системы на фиг 6 1—7

A(z) = 3{G(s)}S{tf(s)} = G(z)tf(z), (6 2-3)

17 Юлиус т ту	257
Импульсная передаточная функция импульсной САР в разом
кнутом состоянии может быть определена при размыкании системы
в точке, где прерывается сигнал

Характеристическое уравнение импульсной или цифровой
системы можно наити, если приравнять нулю знаменатель пре
образования выхода системы Например, характеристическое
уравнение для системы на фиг 6.1—5 имеет вид

1 -гСЯ(2) = 0,
а для системы на фиг 6 1—7

(6 2-5)

Вообще характеристическое уравнение имеет вид

Корни уравнения (6 2—7) определяют устойчивость системы
и ее поведение в переходном режиме. Как указывалось в гл 5,
z преобразование может рассматриваться как конформное пре
образование. При этом z — eTs является отображающей функцией
Эта функция отображает мнимую ось плоскости $ в единичную
окружность в плоскости z, а левую полуплоскость $ — в область
внутри этой единичной окружности (фиг. 5 5—2). Следовательно,
импульсная или цифровая система устойчива, если все корни ха
рактеристцческого уравнения (6 2—7) лежат внутри единичной
окружности с центром в начале координат плоскости z

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы
Д(г) может быть выражена в виде отношения двух полиномов

Предположим, что порядок полинома P(z) равен т, а порядок

Уравнение (6 2—10) можно записать в виде

где zk — нули, a pk — полюсы W (г)

люсов, то годограф W (г) делает р оборотов вокруг начала коор
динат по часовой стрелке Таким образом, из всего сказанного
следует, что если функция W (г) имеет внутри единичной окруж
ности N нулей и р полюсов, то годограф IF(z) = 1 + А (г) со
вершает вокруг начала координат (N — р) оборотов, когда z
обходит один раз единичную окружность против часовой стрелки
(т е частота изменяется от 0 до 2п/Т рад! сек).

Построение годографа функции W (z) является процессом
отображения, позволяющим перейти от плоскости z к плоскости
W (z) Из характеристического уравнения

IT (z) = 1 +Л(?) = 0	(62—12)

видно, что отображающая функция некоторой фигуры из плоско
сти z в плоскость W имеет вид

(6 2-13)

а для перехода от плоскости z к плоскости А

Начало координат плоскости А отображается в точку W = 1
в плоскости W, а корни W (г) = 0 отображаются в начало коор
динат плоскости W Другими словами, точке W = 1 в плоскости W

Если полюс z = 1 импульсной передаточной функции А (г)
отнести к единичному кругу, как показано на фиг 6 2—4, а,
то система считается устойчивой в разомкнутом состоянии
Тогда п = 2 и р = 2 Рассмотрение годографа A (z) (фиг 6 2—
4, б) позволяет сделать вывод, что Q = О

Фиг 6 2—4. Единичная окружность плоскости г с включением
полюса при z= 1 (а); годограф z-преобразования для A (z) из

Уравнение (6 2—19) удовлетворяется и поэтому система
устойчива

Все нули функции 1 + А (z) лежат внутри круга единичного
радиуса, что видно из уравнения (6 2—2):

Характеристическое уравнение системы

(6 2-23)

(6 2—24)

что свидетельствует об устойчивости системы, так как нули урав
нения располагаются в точках ±0,707

Так как полюс z = 1 находится на единичной окружности,
его можно обойти, как показано на фиг 6 2—5, а. Отсюда еле
дует, что система в разомкнутом состоянии неустойчива. Годо
граф A (z), изображенный на фиг 6 2—5, б, несколько отличается
от кривой на фиг 6 2—4, б, так как он получен при других спо
собах обхода точки z = 1 Годограф на фиг 6 2—5, б замыкается
в бесконечности в левой полуплоскости, а годограф на фиг 6 2—
4, б замыкается в бесконечности в правой полуплоскости Из
фиг 6 2—5, б видно, что годограф А (г) делает один оборот
против часовой стрелки вокруг критической точки (—1 + /0)
и, следовательно, Q = 1 Система устойчива, так как П = 2,
262

N = Q + p -= - 1 + 2 = 1

(6 2-28)

zs + z-0,5 = 0

(6 2-29)

Период прерывания равен 0,2 сек
чивости данной системы

Проведем анализ устои-
имеет вид

Gft(s)==kl£_2,

(6 2-31)

Соответствующее г преобразование есть G(z), причем

G(z)-(1	2	S3(S+1O)(S + 2O) ) ~

=	+	<6 2—зз)

Уравнение (6 2—34) представляет собой также импульсную
передаточную функцию А (г) разомкнутой системы, так как об-
ратная связь единичная Для исследования устойчивости построим
полярный график G(z), изменяя г вдоль единичной окружности

Из фиг 6 2—7, в видно, что полярный график не охватывает
критическую точку (—1 + /0), т е 2 = 0 Так как при построе-
нии графика полюс при z = 1 функции G(z) лежит внутри
единичной окружности при выбранном способе его обхода
(фиг 6 2—7, б) то все полюсы 1 + G(z) лежат внутри единичной
окружности Таким образом, уравнение (6. 2—19) удовлетворяется
и система устойчива

б) Критерий устойчивости Шур Кона. Анализ устойчивости
линейных непрерывных САР можно производить с помощью ана-
литических критериев устойчивости Рауса и Гурвица Согласно
методу Рауса устойчивость системы может быть определена по
коэффициентам характеристического уравнения Аналогичным
образом устойчивость цифровых и импульсных САР можно ана-
лизировать аналитически с помощью критерия Шур Кона Для
применения этого критерия необходимо составить характеристи-
ческое уравнение по z Как указывалось выше, устойчивость
системы зависит от расположения корней характеристического
уравнения, причем система устойчива, если все корни распола
гаются внутри окружности единичного радиуса. Критерий Шур-
Кона дает метод определения наличия корней характеристиче
ского уравнения вне единичной окружности плоскости z

Характеристическое уравнение имеет вид полинома

F (г) = а0 + a^z + а2г2 + ф- anzn = 0,	(6 2—35)

где F (г) — числитель 1 + A (г).

При использовании критерия Шур Кона необходимо распо
ложить коэффициенты а в виде определителя

где k = 1, 2,_ 3, 4,	, п, л — порядок характеристического

уравнения и ап — сопряженное значение ап

Определитель Дй имеет 2k рядов и 2k столбцов Все корни
характеристического уравнения лежат вне единичной окружно
сти, и система устойчива, если коэффициенты уравнения (6 2—35)
удовлетворяют следующим условиям

ДА<0 для нечетных значений k,

ап Следовательно,

Определитель Д2 имеет четыре ряда и четыре столбца:

2.>6
Аналогично для k = 3

(6 2-39)

А & ~ (2,45г + 1) (2,45г - !)'

Характеристическое уравнение системы равно

F(z) = 6z2 + z—1 = 0

(6 2—40)

(6 2-41)

Подстановка соответствующих коэффициентов в
(6 2—36) позволяет получить

уравнение

= 161

F (г) = (2г + 1) (Зг — 1) = 0,	(6 2-44)

г- — V2, z = 1!i	(6 2—45)
Отсюда видно, что, по крайней мере, один корень этого харак
теристического уравненйя находится вне единичной окружности
Следовательно, система неустойчива.

Решение характеристического уравнения дает следующие зна-
чения корней:

что. согласуется с результатом, полученным из критерия Шур
Кона

Пример 6.2—6 Рассмотрим систему с передаточной функ-
цией в разомкнутом состоянии

Характеристическое уравнение системы имеет вид

Определители Шур Кона соответственно равны
имеют вид

1)	И(0)|<1,	(6 2—56а)

2)	F(l)>0,	(6	2-566)

3)	F(—1)>0	(6 2—5бв)

F (z) = z2 + az 4- b = О

F (0) = b = z,z2

(6 2-58)
F(Z)

причем Tm является постоянной времени двигателя, a k —
передаточным коэффициентом Известно, что непрерывная САР
второго порядка устойчива независимо от величины коэффициента
усиления Однако при введении импульсного элемента система
второго порядка становится неустойчивой, если передаточный
коэффициент превосходит определенное значение Определим

Л (s) = G (s) =

(6 2—61)
где Т — период прерывания Характеристическое уравнение си-
стемы имеет вид 1 + A (г) = О

F (z) = z2 + [К (1 — е~Т/Тт) — (1 + e~~T/Tm)] z +

+ e~T/Tm = 0	(6 2 -63)



F(-l)=	+

+ (1+е T/Tm)+e т/т™\ >0

(6 2-66)

Система устойчива, если ее параметры удовлетворяют этим
неравенствам Первые два условия выполняются при любых зна
чепиях К и Т/Тт. Третье условие
налагает ограничения на коэффи
циент усиления, зависящие от от
ношения периода прерывания к по-
стоянной времени двигателя Урав-
нение (6 2—66) показывает, что
система устойчива лишь в том
случае, если имеет место неравен

На фиг 6 2-11 Область устой- ст“ передаточный коэффициент
чивости показана в виде заштри д я 5СТОИ в т мы'
хованной площади под кривой. Например, если период прерыва-
ния равен постоянной времени двигателя, то максимальное зна
чение передаточного коэффициента при котором система еще
устойчива, равно
Отображающая

в предыдущих главах, плоскость s можно рассматривать как
состоящую из бесконечного числа горизонтальных полос шириной
<os где — угловая частота прерывания (фиг. 6 2—12) Полоса
содержащая начало координат плоскости s, называется основной
полосой Вследствие периодических свойств преобразование со
звездочкой [например GH*(s)] имеет одинаковые значения
в точках различных полос плоскости s, совпадающих друг с дру
гом при их наложении Если любая полоса может быть отобра-
жена на всю плоскость, например плоскость w, то отображаю-
щая функция будет преобразовывать многозначную трансцен-
дентную функцию от s уравнения (6 2—69) в однозначный поли
ном от w Такое преобразование позволяет использовать критерий
Рауса и упрощает применение широко используемого метода ло
гарифмических частотных характеристик к импульсным системам.

Как уже указано выше, z-преобразование превращает транс
цендентную функцию от s [например, 1 + GH* (s)| в полином
от z [например, 1 + G/Z(z) ]

Однако при этом основная и дополнительные полосы, распо-
ложенные слева от мнимой оси плоскости s, преобразуются в еди
ничный круг плоскости z, что не согласуется с требованиями кри
териев Рауса и Найквиста Из теории функций комплексного пере-
менного известно, что билинейное преобразование

, =	/R 9-7П

отображает единичный круг плоскости z во всю левую полупло-
скость плоскости w (фиг 6 2—12) и полином от z преобразуется
в отношение двух полиномов w того же порядка Таким образом,
z преобразование совместно с билинейным преобразованием ото-
бражает часть полосы слева от мнимой оси в плоскости s во всю
левую полуплоскость w и преобразует трансцендентную функ-
цию от s в полином от w В плоскости w условием устойчивости
является отсутствие нулей полинома в правой полуплоскости
Следовательно, методы, используемые для анализа устойчивости
непрерывных САР, могут применяться и для анализа импульс-
ных САР Анализ устойчивости системы с помощью билинейного
преобразования иллюстрируется следующим примером

Пример 6.2—8. Рассмотрим импульсную САР с запоминаю
щим элементом нулевого порядка изображенную на фиг 6 2—7, а
Период прерывания равен 0,2 сек, передаточная функция этемен
тов прямой цепи

s(l 0 Is) (1 4-O 05s) ’

a z преобразование, соответствующее G(s), определяется выра
жением (6 2—34) и снова приводится ниже:

Характеристическое уравнение от z определяется выражением

которое дает

(6 2-75)
273
2) й1а2 —а0а3 = 3,28 5 36 — 0,714 0 706 = 17,1

(6 2—77)

лена в виде

0 152 (г+ 0,05) (г+ 1,065)	„ _Q.

г-1) (г-0 135) (г-0 0185)	(6 2 78)
Логарифмическая амплитудная характеристика изображена на
Фиг 6 2—13 Из нее видно, что частота среза составляет около
0,190 рад/сек Асимптотическая фазовая частотная характеристика
построена на фиг 6 2—14 Легко видеть, что фазовый сдвиг —
180° имеет место при частоте 0 78 рад/сек. Из этих двух кривых
следует что запас по фазе равен 65°, а запас по амплитуде равен
4,75 Максимально допустимый с точки зрения устойчивости пере
даточный коэффициент равен 2 х 4,75 = 9 50

С помощью метода билинейного преобразования и логарифми
ческих частотах характеристик можно выполнять не только ана

лиз устойчивости но и синтез

^/М/	__________________ импульсных систем в плоско

001  0001						сти W Передаточная функция разомкнутой импульсной систе- мы в плоскости w не является минимально-фазовой Поэтому  Г  0,1	05 'l 2 3 5 10	50 100 500^V  —ч!'
						
			\	2		
						
						
	0!	U				Logv	дф			
систем Необходимость вычисления определителей высокого по-
рядка ограничивает область применения этого критерия простыми
системами

Критерий Найквиста лежит в основе графического метода ана
лиза устойчивости импульсных и цифровых САР Для примене
ния этого метода необходимо построить годограф z преобразова
ния импульсной передаточной функции системы в разомкнутом
состоянии. Каждый раз, когда изменяется какой-либо параметр
или постоянная времени необходимо строить новый годограф
Если импульсная передаточная функция имеет простую форму,
то годограф z-преобразования может быть построен непосред
ственно по ее виду Если импульсная передаточная функция яв
ляется сложной, то построение годографа ее z-преобразования
является нелегкой задачей.

Критерий Найквиста обладает тем преимуществом, что экспе-
риментально снятые частотные характеристики разомкнутой си
стемы могут использоваться для построения годографа z-преоб-
разования или амплитудно фазовой характеристики без состав
ления дифференциальных уравнений. Кроме того, годограф z
преобразования может быть использован для определения не
только абсолютной, но и относительной устойчивости системы.
Когда импульсные и цифровые САР анализируются с помощью
метода z преобразования, то обычно применяется именно крите-
рий Найквиста, несмотря на трудность построения годографов
z преобразования сложных импульсных передаточных функций

Метод билинейного преобразования дает простейший способ
анализа устойчивости импульсных и цифровых САР Этот метод
позволяет использовать критерий Рауса и Гурвица и облегчает
применение логарифмических амплитудно фазовых характеристик
для импульсных систем Следовательно, билинейное преобразо
вание позволяет воспользоваться при анализе и синтезе импульс
ных и цифровых САР как простотой критериев Рауса и Гурвица,
так и большим удобством метода логарифмических частотных ха
рактеристик

6 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ДИСКРЕТНЫЕ
МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ

Анализ импульсных и цифровых САР так же как и непрерыв-
ных САР, обычно состоит из следующих трех этапов

1)	анализа устойчивости системы.

2)	анализа поведения в переходном режиме,

3)	определения статических характеристик

Методы определения устойчивости импульсных САР изложены
в предыдущем параграфе. Ниже рассматривается метод анализа
поведения импульсных систем в переходном режиме Основными
276
Параметрами переходной характеристики являются максималь-
ный заброс (или перерегулирование), время достижения первого
максимума, время переходного процесса, количество колебаний
за время переходного процесса и скорость нарастания реакции
системы Переходные характеристики определяются наилучшим
образом по реакции системы на ступенчатую входную функцию
Вообще САР имеет приемлемые переходные характеристики,
если переходный процесс быстро затухает. Подробный анализ
переходных характеристик дается в гл 7 В данном и следующем
параграфах рассматривается вычисление реакции системы на еди-
ничное ступенчатое входное воздействие

Рассмотрение переходных процессов в импульсных системах,
вызываемых типовыми воздействиями, требует определения функ
ций, характеризующих динамику всей системы в целом Для ха
рактеристики импульсной САР часто применяется импульсная
передаточная функция, которая может быть легко найдена с по
мощью структурной схемы системы. Зная импульсную передаточ
ную функцию, которая определяется как отношение г-преобра
зований выхода и входа системы можно найти г преобразование
выхода Для разомкнутой импульсной системы, показанной на
фиг 6. 1—1, связь между выходом и входом определяется соот
ношением

Для замкнутой фиг 6 1—5 преобр структурной схемы,*	импульсной системы, показанной на шзование выхода системы, полученное из  G^=~-+GH^)	(6 3~3)
Реакция системы z преобразованием bi это подчеркивалось чение реакции тольк чения реакции систе выходной последовав на входную ступенча примерами  Пример 6. 3—1. ную систему на фиг	на данный входной сигнал определяется сражений (6 3—2) и (6 3—3). Однако, как обратное г-преобразование дает точное зна .о для дискретных моментов времени Зна- мы в дискретные моменты часто называют гельностью Вычисление реакции системы .тую функцию иллюстрируется следующими  Рассмотрим простую разомкнутую импульс 6 3—1, а Передаточная функция системы  ° <*> °	00) '	<6 3—4>  277
W________ г—-]_ C(z)

---------C(z) |-------------•

Для единичной ступенча
той функции

г (t) = и (/), R (г) =

Следовательно, согласно
уравнению (6. 3—2) преоб
разование выхода системы
равно

Разлагая выражение (6 3—7) на простые дроби, получим

Функция C (z) может быть также записана в виде

С/ (/) = -L + _ -LCos 20/ - 4 ---tnw07, sin 20/	(6 3"~10)

278
cf (/) = 10/ + 0,5 — 0,5 cos 20/ — 0,321 sin 20/	(6 3—11)

Следует отметить, что cf (/), определяемое уравнением (6 3—
10), не является единственной переходной функцией, соответствую

щей преобразованию выхода С (z)
Из уравнения (6 3—7) с помощью
обратного z преобразования можно
найти несколько переходных функ
ций. Однако все они будут давать
точные значения выхода только
в дискретные моменты времени
Полный переходный процесс мож
но определить с помощью метода
модифицированного z-преобразо
вания рассматриваемого в следу
ющем параграфе

Приведенные выше рассужде
ния иллюстрируют способ опре
деления реакции системы с исполь
зованием таблицы z-преобразо-

Однако реакция системы в дискретные моменты может быть
найдена гораздо быстрее с помощью метода разложения в степен-
ной ряд По этому методу уравнение (6. 3—7) разлагается по сте-
пеням z 1 для Т = 0 1 сек в виде

C(z) = 1,415г-1 + 3,07г 2 + 3 12г~3 т 4 25z 4 Н

+ 6,13z 5 + 6 31z"6 + 7 2k 7 J-

(6 3-12)
в дискретные моменты Следовательно, реакция системы для ди-
скретных моментов может быть записана в виде

с* (0 = 1,4156 (t — Т) + 3 076 (t — 2Т) + 3,126 (t — ЗТ) 4-

н- 4 256 (/ — 4Т) + 6,136 (/ — 5Т) 4-

4-6,316 (^ — 6Г) 4-7,216 (/ — 7Т)+ 	(6.3—13)

Период прерывания равен 0,1 сек, а передаточная функция ре-
гулируемой системы

G(s) =

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы

Л(г)^О(г) = г,_°^ 0 368

(6 3-15)
Система устойчива, если условия (б 2—56) выполняются При-
менение этих условий к уравнению (6 3—16) дает

1)	|F(0)| = 0,368 <1,	(6 3—17а)

2)	F (1) = 0 632/С > 0,	(6 3-176)

3)	F (— 1) = 2,736 — О 632К >0	(6 3—17в)

Тогда

е-(х+1У)Т = 0,052-/0,605	(6 3—22)

е~Тх cos {Ту) = 0,052, е~Тх sin (Ту) = 0,605	(6 3—23)

Тх = 0,5, Ту = 1,487

(6 3—24)
Следовательно,

z — (0,052 - /0,605) = г — е-° i (5+/м 87)
Анало) ично

(6 3-25)

г — (0,052 + /0,605) = z — е~°	87)
/ = О выход равен 0, а при t = Т выход равен 1,264 Обратное
z преобразование уравнения (6 3—29) дает

с*(?) = 2 264б(^ — Т) + 1 3966(г1 — 2Т) + О 945б(^ — ЗТ) +

+ 0 851 S(/ — 4Т) + 1 0086(7 — 5ТН 1 05д(/ — 6Т) +

4- 1,00S(/ — 7Т) + 0,9766(7 — 8Т)	(6 3—30)

Это выражение определяет выходную последовательность си
стемы при воздействии единичной ступенчатой функции, т е
коэффициенты являются значениями с(7) в дискпетные моменты

В данном параграфе вычисление выходной последовательности
импульсной системы в случае подачи на вход типового воздей
ствия было рассмотрено и проиллюстрировано на двух числовых
примерах для разомкнутой и для замкнутой импульсных систем
Необходимо отметить, что простейшим методом вычисления не
скольких первых значений выходной последовательности является
метод разложения в степенной ряд с помощью последовательного
деления Этот метод обычно используется на практике Однако
в некоторых случаях, таких как пример 6 3—2, приближенная
реакция импульсной системы может быть определена с помощью
обратного преобразования посредством таблицы z преобразования
Этот вопрос подробнее рассматривается в следующем параграфе

6 4 РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ В ТЕЧЕНИЕ ПЕРИОДОВ
ПРЕРЫВАНИЯ

При вычислении переходного процесса импульсных систем
с помощью z преобразования переходная функция времени,
полученная с помощью обратного z преобразования, не дает точ
ной информации о значении выхода между дискретными моментами
времени Это происходит из-за того, что процесс обратного преоб
разования не является однозначным Одному и тому же преобра
зованию выхода C(z) могут соответствовать различные функ-
ции с(0 Все эти функции времени с(/) имеют одинаковые
значения в дискретные моменты, но они могут значительно отли
чаться между этими моментами, т е в течение периода прерыва-
ния Поэтому полученная таким образом функция c(t) не опре
деляет выход системы в течение периодов прерывания Однако
функция времени c(f) будет давать довольно точную аппрокси
мацию переходного процесса если он имеет нормальную форму

Переходный процесс для всех моментов времени можно полу
чить, если воспользоваться методом модифицированного z преоб
разования, изложенным в параграфе 5. 7 Для определения пере
ходного процесса с помощью этого метода прежде всего необхо
димо найти модифицированное z преобразование выхода системы
D = kT, % = 1 — m,	(6 4—3)
^C(s) = r^G(s)E^s)

CD(s) = GD(s)E* (s)

(6 4-6)

(6 4—7)

Действительно, применяя порядок действии, изложенный
в параграфе 6 1, уравнение (6 4—11) можно вывести из преоб-
разования Лапласа выхода системы, изображенной на
фиг 6. 4—2, а, которое равно

(6 4-12)
системе, для которой затем вычисляется выход
следует, что

* (г)

Фиг 6. 4—4 Структурная схел
системы*из примера 6 4—1
и соответствующая модифицированная импульсная передаточная
функция имеет вид

(6 4-17)

С (г) G (г) R (г) =	,	(6 4-18)

(6 4—19)

(6 4—20)

Применяя теорему вычетов Коши, получим

с(пТ, иг) = Res

Упрощая получим

= 11гпс(пТ, т) = р—

(6 4—23)
Функция времени, соответствующая уравнению (6. 4—24),
может быть легко определена из таблицы z преобразований-

Если t стремится к бесконечности, то cf (Q становится равным

что является установившимся значением выхода системы

Для значений а = 5 и Т = 0,1 сек кривые с {nT, иг) и cf (/)
построены на фиг 6 4—5 Следует отметить, что, хотя кривые

сД/) и с(пТ, tri) совпадают друг с другом в моменты прерывания,
они отличаются между этими моментами Функция с(пТ, tri)
описывает действительную реакцию системы, а ф} нкция cf (/)
представляет реакцию, на самом деле не существующую и дающую
правильные сведения о выходе системы только в дискретные мо
менты Уравнение (6. 4—22) не справедливо для т = 1, так как
реакция системы не является непрерывной, как показано на

Разобранный пример очень прост, поэтому реакция системы
в моменты времени, находящиеся внутри периодов прерывания,
может быть определена без вычислений. Тем не менее, этот пример
дает ясное представление о способе вычисления реакции разомк-
нутой импульсной системы в период прерывания с помощью ме-
тода модифицированного г-преобразования. Следует отметить,
что в этой системе функция времени, полученная с помощью об
ратного z преобразования, адекватна действительной функции
времени

Пример 6.4—2. Определим переходный процесс системы,
приведенной на фиг 6 3—1, а для единичной ступенчатой функ
ции на входе
288
Передаточная функция системы имеет вид

_	400	_ J______L (	1 _ь __

w ~ s*(s2 + 400) s 2 \ S + /20 -г в -

Модифицированное z преобразование, соответствующее этому
уравнению, равно

При единичной ступенчатой функции на входе для преобразо-
вания выхода получим



(6 4-296)

Обратное преобразование уравнения (6 4—29а)
пТ, т) =- 2^- (£ С (z, ni) zn~x dz = % Res C (z, т)2~1

имеет вид

(6 4-30)



можно преобразовать к виду

1 в г = е*'207", равный
e/20(m+n)T	e-/20(m+n)T

можно переписать в виде

J_ Ггпс 90 (т _ Т_________sin 20Г...

Следовательно обратное преобразование определяется урав
нением

[cos 20тТ — cos 20 (т |- ri) Г] +

+ isin 20mT -sin 20 <т +

19


с (tiT, tri) == п------[cos 2m — cos 2 (m + и)] +

+ 0,321 [sin 2m — sin 2 (m + n)]	(6 4—36)

C(z, 1) = 1,415г"1 J-3,О7Г2 4-3,12г-3 +

+ 4,25z“4 + 6 13г"8 +	(6 4—38)

й соответствующая функция времени

с*(^, 1) = 1,4156 (г1— Т) + 3,076 (£— 271) + 3,126 (/— ЗУ) +

+ 4,256 (t-riT) + 6,136 (t - 5Т) Ь •	(6 4-39)
Разложение этого уравнения в степенной ряд по z-1 равно

С (z, т) = (2 — 2е~т} z’1 + (1,472 — 0,208г~+ z~2 +

+ (0,683 + 0,712е~т) z~3 4(0,796 4 0, lor^) z"4 +

+ (1,1 —0,248e'm)z 5 + (1,07 —0,062e’m)z-6-(- •• (6 4—47)

19*	29J
правой части уравнения (6 4—47)

с* (t, т) = (2 — 2е~т) 6(t — T) + (1,472 —
- 0,208<?~m) 6 (f — 2T) + (0,683 + 0,712e~m) 6 (t — 37) +
+ (0,792 + 0,15r’«) 6 (t — 47) + (1,1 — 0 248e~m) 6 (t — 57) +

Д (1,07-0,062^) 6 (/-67) Д (6.4-48)

Для tn = I

c*(7 1) = c*(/) = 1,2646(/ - T) + 1,3966(/ - 2T) +
+ 0,945б(/ — 37) + 0,8516(Z — 47) + l,0086(/ — 57) +

+ 1,056(^-67) +	,(6 4-49)

что согласуется с уравнением
(6 3-30)

Для т = 0,75

с*(Л 0,75) = 1,О566(/ — Т) +

+ 1,3726(2“ — 2Т) + 1,019б(/ —
— 37) + 0,8676(2“ — 47) +
+ 0,9836(/— 57) 1,046(/ —

— 67) +	(6 4—50)

Для m = 0,50

с*(/, 0,50) = 0,7866(/ — 7) +
4-l,3466(i-27) + 1,11б(/ —
— 37) + 0,8876(/ — 47) +

+ 0,9456(/ — 57) -г 1,0346(2“ —

- 67) +	(6 4-51)

Для m = 0,25

c\t, 0,25) = 0,4426(/ — 7) + 1,3106(/ — 27) +
+ 1,2386(^ - 37) + 0,9136(/ - 47) + 0,9076(/ - 57) +

-Ь 1,0226(^- 67) +	(6 4-52)
ванного z преобразования В тех случаях, когда с помощью
z-преобразования невозможно получить требуемых сведений,
методы модифицированного z преобразования могут дать хоро-
шие результаты Однако в некоторых случаях приближенное
выражение для реакции системы может быть получено и с по
мощью z-преобразования Степень приближения метода z преоб
разования зависит от частоты прерывания, сглаживающего дей-
ствия G(s) и величин мнимых частей комплексных полюсов G(s).

В первом примере из за того, что система G(s) не является
достаточно эффективным низкочастотным фильтром, результаты
вычисления реакции системы на основании z преобразования
ее выхода являются неудовлетворительными Однако если между
прерывателем и системой G(s) включен запоминающий элемент
нулевого порядка, то реакция такой системы, определенная с по
мощью z преобразования, будет представлять собой действитель
ный выход импульсной САР при воздействии единичной ступен
чатой функции При наличии запоминающего элемента нулевого
порядка преобразование Лапласа выхода системы имеет вид

C(s) =	> fl*(5),	(6 4—53)

где R*(s) — преобразование со звездочкой
tf(s) = 1/s.

Соответствующее z преобразование равно

соответствующее

(6. 4-55)

Данное выражение определяет действительную реакцию им-
пульсной системы на ступенчатую функцию, если система имеет
запоминающий элемент нулевого порядка Это объясняется тем,
что запоминающий элемент нулевого порядка преобразует им-
пульсную ступенчатую функцию в непрерывную ступенчатую
функцию и поэтому уравнение (6 4—55) определяет реакцию
системы G(s) = l/(s + а)

Из второго примера видно, что метод z преобразования может
применяться для приближенного вычисления переходного про
цесса в тех случаях, когда система G(s) является хорошим низко
частотным фильтром, а мнимые части полюсов G(s) значительно
меньше, чем частота прерывания. Третий пример показывает
что переходный процесс, полученный с помощью z преобразования
6 5 УСТАНОВИВШАЯСЯ ОШИБКА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ
МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ



нием

(6 5-1)

Предполагается, что e(z) не имеет полюсов, расположенных
вне единичного круга плоскости z Применяя теорему о конеч-
ном значении, можно наити установившуюся ошибку в виде

ess - lim е (О



(6 5-2)

(6 5-7)
иТЛ назь[Вается ошибкой импульсной системы по уско
рению Из этого уравнения видно, что если lim G(z) существует,
то ошибка по ускорению бесконечна

нойТЛЛЛ СЛеДует’ что Установившаяся ошибка импульс-
точной Функ ии С( РаС у™*™ П°ЛЮС0Б импУЛьсной переда-
точной функции 0(2) Установившаяся ошибка может быть
сделана конечной ес^и G(z) имеет полюс при z Л

Непрерывные САР часто классифицируются в соответствии
с .ис,.о„. nov.^con передаточной функции разомкнутой систем---
расположенных в начале координат плоскости s Если переда’-
АартГойХрм”” ₽а’ОМК“УТОЙ “стемь|	» ста»-

G(s, = 7wT	(6 5-ю)

I?™™?/ Q(S) "МеЮТ	’лены, не зависящие от si

то Степень п определяет тип САР

мой Hvn^nrn’ 2И П = ° СиСгема называется астатической систе
ским ™ порядка, при п = 1 система относится к астатиче

а, Рво 0 °РЯД Аналогично испульсные САР

J ссиф,.ц„ровщ1Ься ь соответствии с -шедо™ по-ю^о"

ской иЛ2 ° ПР.И 2 = !> может быть названа астатиче
оой ЛЛсистемой нулевого порядка Система, для кото
ческой(и)мпХРЖИ' П°ЛЮС П?И Z=1’ М0Жет быть названа кстати
ческой импульсной системой первого порядка

епп™ импУЛЬсН0Й системы, изображенной на фиг 6 5—1
справедливы следующие соображения	Ф

(6 5—7) и (6 5—9) дает следующие значения установившихся
ошибок

Ошибка по положению — 0	(6 5—20)

Ошибка по скорости — 0
Ошибка по ускорению = Q = -G-
В уравнении (6 5—22) постоянная Ка, равная

(6 5-21)

отношению

квадрата периода прерывания к установившейся ошибке системы
на входе которой действует единичная квадратичная функция,
называется добротностью системы по ускорению Из уравнения
(6 5—22) следует, что добротность по ускорению можно вычис
лить по импульсной передаточной функции G(z) при помощи
формулы

Порядок или тип	°ШИбКаНПиюП0Л0Же	Ошибка по скорости	0ШИбКаии°юУСК0Ре
2  3	0  0  0	0  0	8 8

6 6 КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБКИ

В предыдущем параграфе был изложен способ определения
коэффициентов ошибки системы, характеризующих ее качество
при подаче на вход типового воздействия Основной недостаток
этого способа состоит в ограниченном количестве информации,
получаемой при определении лишь одного коэффициента ошибки
(по положению, по скорости или по ускорению) Однако понятие
коэффициентов ошибки можно обобщить Такое обобщение обес-
печивает простои метод рассмотрения свойств реакции САР на
почти любое входное воздействие В этом параграфе дается опре
деление коэффициентов ошибки импульсных и цифровых САР

Коэффициенты ошибки имеют такой же смысл для импульсных
и цифровых САР, как и для непрерывных САР В непрерывных
системах обобщенные коэффициенты ошибки зависят от поведения
передаточной функции We (s) = Е (s')/R (s) при низких частотах
Аналогично для импульсных систем
коэффициенты ошибки могут вычи-

сляться по импульсной передаточной
функции №. (z) — Е (z)/R (z). Для
облегчения понимания смысла коэф
фициентов ошибки для импульсных
систем ниже кратко излагается спо
соб анализа непрерывных систем
с помощью коэффициентов ошибки

L Структурная схема

На фиг. 6 6—1 показана структурная схема САР с единич
ной обратной связью Здесь G(s) — передаточная функция ре
гулируемой системы, a /?(s), E(s) и C(s) — преобразования Лап
ласа соответственно входа, действующего сигнала и выхода си
стемы Преобразование Лапласа ошиоки системы

Е (s) - R (s) - с (s)

и преобразование Лапласа входа

7?(s) связаны

(6 6-1)

соотношением

W-T+W;-'11'-»	<66-2>

E(s) = We(s)R(s),

(6 6—3)
r (t - т) - г (t) - тг'(t) + - J Г (0 - -£ г ' (О +

где	производная от r(t) по переменной t, a R„

остаточный член, который определяется уравнением

Rm = (п'+1)Г г(”+1) — Дт)’ 0 < Ат < 1	(6 6—6)

Легко показать, что остаточный член стремится к нулю, когда п
стремится к бесконечности Подставляя уравнения (6 6—5)
в (6 6—4), получим

Уравнение (6 6—7) определяет ошибку для любого t, боль-
шею чем t + 0+ Предположим, что необходимо определить
установившуюся ошибку (если она существует), т е найти

hm е (t) = ess (t)	(6 6—8)

В этом случае все верхние пределы интегралов становятся

равными бесконечности, а все г(л)(/) принимают
значения По определению

(1 —)л ГтХ(т)ат,

установившиеся

откуда следует, что
Установившаяся ошибка системы может быть выражена в виде

ряда

«и(0“Сог (0 + С1г'(0 + ^гг"(0 +

+ -+>^(0 +

(6 6-13)

По определению

We(s) = $we(r)e~‘xdx

(6 6-14)
Последовательное дифференцирование по $ дае!
= — ( XW. Me~sxdx.

daWe(s)

(6 6-15)

(6 6—16)

(6 6—17)

(в б-»)

когда s стремится к 0, равен

(— \)n\tnwe(x)dx,	(6 6—20)
ЦИЯ ошибки системы равна

№е(з)

Используя уравнение (6 6—21), определим
ошибки

коэффициенты

(6 6—25)

Максимальное значение амплитуды установившейся ошибки

равно

+ (<0/10)2

500---------

(6 6—29)
е т = Д т г (ПТ) - kTwe (kT) г' (пТ) +

+ ^ue(kT)r\nT)+ • +

+ (- if we (kT) (пТ) +	}	(6 6-34)
Если коэффициент при т й производной этого ряда обозначить

то ряд можно записать в виде

е (пГ) - С „г (пТ) + CJ (пТ) 4- S- г’ (пТ)

(6 6-35)



(6 6—36)

Из этого выражения видно, что установившаяся ошибка си-
стемы в любой дискретный момент пТ состоит из членов, пропор
циональных входному сигналу, его скорости, ускорению и по
следующим производным входного сигнала в дискретный момент
времени пТ Уравнение (6 6—36) определяет ряд ошибки им

пульсной САР, а постоянные Со, Сь С2,

называются

коэффициентами установившейся ошибки Эти коэффициенты
могут использоваться для вычисления установившейся ошибки
системы в дискретные моменты. Ряд ошибки, определяемый урав
пением (6. 6—36), достаточно точно определяет ошибку системы
только через значительный промежуток времени после начала
переходного процесса, необходимый для затухания переходных
составляющих, соответствующих полюсам We (z) Применимость
уравнения (6. 6—36) зависит от скорости сходимости ряда По-
кажем, что коэффициенты ошибки могут вычисляться по формуле

, (6 6-37)

+ k+ •

(6 6—38)

+ cz3S(Z — ЗГ)+ • +akb(t — kT) +	(6 6—39)

20 Юлиуе т Ту	305
Последовательное дифференцирование дает

+ kake~kTs+ )	(6 6-42)

= Т2 - 22a2e~2Ts . З2«3е-3- +	+

+ ^ake-kTs +	)	(6 6-43)

= (- 1)тТ" (a.e~Ts 4 2ma2e~^ +

+ 3ma3e^Ts+ +kmake~kTs +)	(6 6-44)

При s = О

We (0) = cot fij т 4 Т 4 - -Г ak +	(6 6—45)

Используя уравнение (6 6—40), можно уравнение (6 6—45)

№е*(0) = J>(Z?T)

Аналогично получаются следующие уравнения
|s=o= - (Та. (2Та2 + ЗТа3 +
+ kTak+ )^~%kTWe(kT),

-S (S) (s=o = T*a. + (2T)2a2 + (3T)2a3 +

(6 6-46)

+ (kT?ak +	=2 (kT^we (kT) (6 6-48)
£^±1	(_ if [Tmai + (2Т)% + (ЗТ)та3 +	+

Ф (kT)mak + ] - Д(- l)m (kT)mwe (kT) (6 6-49)

Из определения коэффициентов ошибки (6 6—35) видно, что
правая часть уравнения (6. 6—49) равна коэффициенту ошибки Ст.
Таким образом, коэффициенты ошибки можно вычислить по им
пульсной передаточной функции ошибки W*(s) с помощью после
довательного дифференцирования и нахождения значений произ
водных при s = 0 Приравнивая левые части выражений (6 6—49)
и (6 6—35), получим формулу (6. 6—37), которая определяет
коэффициенты ошибки Сравнение выражений (6 6—21) и (6. 6—37)
указывает на аналогию выражений коэффициентов ошибки для
импульсных и непрерывных систем.

Ряд ошибки, подобный выражению (6. 6—36), можно получить
для ошибки системы в моменты прерывания, вызванной любым
возмущением, приложенным к импульсной САР Если возмущение,
действующее на систему, есть n(t), то ошибка системы, вызванная
этим возмущением, равна

8 (kT) = Con (kT) + Сщ (kТ) +	п (kT) +	+

(6 6-50)

Однако коэффициенты ошибки уравнения (6. 6—50), вообще
говоря, отличаются от коэффициентов уравнения (6 6—36)
Коэффициенты уравнения (6 6—50) выводятся по импульсной
передаточной функции ошибки, связывающей выход системы
с возмущением Например, для возмущения п (f) коэффициенты
ошибки должны определяться по Weri(z) = C(z)/N(z), где С (г)
и N(z) соответственно г преобразования c(t) и n(t), и c(t) яв
ляется выходом системы, обусловленным данным возмущением

Импульсная передаточная функция системы We(z) дает пол
ное представление о динамических свойствах системы Полюсы
импульсной передаточной функции We(z) являются также полю-
сами передаточной функции замкнутой системы и поэтому опреде
ляют вид и постоянные времени переходного процесса Если
импульсная передаточная функция We(z) имеет k нулей в точке
z = 1 плоскости z, то первые k коэффициентов ошибки импульс
ной САР равны нулю, а первый отличный от нуля коэффициент
ошибки будет С,. Это легко показать Действительно, так как
20*	307
функция We (z) имеет k нулей в точке z *= 1, то ее можно предста
вить в следующем виде

Соответствующее выражение для преобразования со звездочкой
имеет вид

При s = 0 имеем равенство

(6 6—52)

и первые (k — 1) производных 1Ге*($) также равны нулю

—>	|s=0=° Для и= 1,2,	, (Л- 1) (6 6-54)

Это означает, что первые k коэффициентов ошибки равны
нулю Первый ненулевой коэффициент ошибки равен

Интересно отметить, что первый ненулевой коэффициент
ошибки импульсной САР можно значительно уменьшить, если
приблизить нули We(z) к точке (1,0) плоскости z, а полюсы №e(z)
удалить от этой точки

Коэффициенты ошибки можно также определить, разложив
We(z) в степенной ряд по (1 — z”1) Ряд ошибки (6 6—36) можно
записать в виде

(6 6—56)

Преобразуя по z обе части уравнения (6 6—56), получим

На основании уравнения (6 6—30)
Если разложение We(z) в степенной ряд по (1 — г *) предста
вить в виде

IF, (?) ~ d0 + Ml - г"1) + bt (1 - Г1)» + Ml ~ г"1)8 +	+

+ bm(l— z~1)m+ •	(6 6—59)

(6 6-60)

(6 6—61)

Подставляя уравнение (6 6—61) в уравнение (6 6—58),
получим

НМД) = Со + -у- (1 -г-1) + -2^г (1 -г’1)2 +

+	(1 - Г1)3 + . +	(1 - z~4m+	(6 6-62)

Из уравнения (6 6—62) следует, что

С помощью формулы (6 5—5), получим

(6 6-64)

Для системы с астатизмом первого порядка Со = 0и уравне
ние (6 6—62) приобретает вид ♦

Следовательно,

С1 =	Мс (г)] = 11т"{(г"31) С(ДГ ’ (6 6“66)

309
Используя уравнение (6 5—18), получим

(6 6-67)

Из уравнения (6 6—68) легко видеть, что

Используя уравнение (6 6—23), получим

(6 6—68)

(6 6—69)

(6 6—70)

G (s) = G, (s) G2 (з) =	(6 6~72)

Соответствующая импульсная передаточная функция равна
° « = ?-пёгтозй	<66~73>
с помощью Z преобразований систему можно представить
структурной схемой, изображенной на фиг. 6 6—4 Для системы
с единичной обратной связью действующий сигнал ошибки равен
сигналу ошибки. Таким образом,

®	= » + С(г) =	(6 6~74)

Р*(0) —1, Р* (0)^-0,4187,

Р*(0)~ —1,972	(6 6—80)

Подстановка этих величин в формулы (6 6—77) — (6 6—79)
дает коэффициенты ошибки:

С1 = т==0,1,	(66-81)

С2 = 0,58272 = 0,00582	(6 6—82)

С3 = — 1,73673 =—0,001736	(6 6-83)

Следовательно, ряд ошибки равен

«-г(п7) +

(6 6—84)
6 7 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЧАСТОТАМИ
ПРЕРЫВАНИЯ

До сих пор при анализе импульсных САР предполагалось
что их импульсные элементы работают синхронно, с одинаковой
частотой прерывания Такие системы можно назвать импульсными
системами с одной частотой прерывания Хотя большинство
импульсных САР принадлежит к этому типу, существуют, однако,
системы, в состав которых входят один или более импульсных
элементов, работающих синхронно, но с разными частотами
прерывания Такие системы часто называются системами с не
сколькими частотами прерывания Прерывание с различными

частотами может применяться
в системах управления поле-
том, когда вычислительная ма-
шина работает на частоте, отли
чающейся от частоты радиоло
катора Различные частоты пре-
рывания могут применяться,
использующей цифровой регу-

например, в импульсной САР,

лятор с несколькими частотами или корректирующее устрой
ство для улучшения характеристик системы. Метод преры
вания с различной частотой является средством уменьшения
пульсации выходного сигнала и увеличения скорости реакции
системы. В этом параграфе дается анализ импульсных САР с не
сколькими частотами прерывания

На фиг. 6 7—1 изображена структурная схема импульсной САР
с несколькими частотами прерывания в разомкнутом состоянии
В данной системе имеются два синхронных импульсных элемента,
один из которых работает с частотой прерывания 1/Т, а другой —
с частотой в п раз большей, причем п — целое число С первого
взгляда кажется, что вследствие наличия второго импульсного
элемента, период работы которого отличается от первого, анализ
данной системы весьма сложен. Однако при ближайшем рассмо
трении оказывается, что импульсный элемент, частота прерывания
которого равна п/Т, можно заменить п несинхронными парал
дельными импульсными элементами, работающими с частотой \/Т
(фиг 6 7—2) Эквивалентные импульсные элементы So, Sn S2,
S3>	, Srt_x не синхронны по фазе Импульсный элемент 30 сраба-


прерывания Т/п, последнее обозначается далее через опера
тор За- Полагая zn = z1/ra, уравнение (6 7—2) можно записать



Следует отметить, что С(г„) получается при подстановке z =
= z” в C(z)„, а не в C(z), если C(z) не зависит от периода пре
рывания Т
a z преобразование выхода равно

C(z)„ = C0(z)+2 5 {С; (О),

Аналогично преобразование выхода импульсного элемента Sp

Подстановка уравнения (6 7—7) в (6 7—5) дает преобразо
вание выхода импульсного элемента s в виде

С (z)n = Со (г) + 2 2~Р,ПЪ [^р/пс (s)}	(6 7-8)

j{^C(S)} = zjm(C(S)}|mc=x=

= zC(z, m) |m=x=zC(z, X).	(6 7—9)
Подставляя уравнения (6 7—11) и (6 7—12) в (6 7—8) и укро-
щая, получим преобразование выхода системы

С (z)m = [g (г) + S {&Tsp,nG ($)} ] R (г) (6 7-13)

Используя уравнение (6 7—9), преобразование C(z)rt можно
записать в виде

C(z),= [<7(г) + 2^’Лв(г, -2-) ]/ОД (6 7—14а)

с (-£) = 2'WS (4т~m7j (6 7-16)

Подставляя выражение (6 7—16) в (6 7—2), получим z пре-
образование выхода

с(?)„ = 2 Jr (mT)(z~k/n)	(6 7-17)

317
к виду
йЛЙ	п-1

G (z)n ^G(z)+^ zl~p/n G(z,^	(6 7-26)

Формула (6 7—25) устанавливает интересную связь между
z преобразованием G(z) и ^-преобразованием G(zn) Для иллю
странии рассмотрим следующий пример Пусть

G(S) = ^	(6 7-27)

G(z) =

(6 7-28)

(6 7-29)

2*/. (г2/. +	+ е ZaT/S)

--------_——-----------

(6 7-30)

на основании которого можно получить реакцию системы на
вход г(/).
z преобразование равно

c(O = MO+SMO

(6.7—33)


(6 7-35)

z преобразование c(Z) имеет вид

С (г) = G (z) R (г) + 2 3 {еТ*Р П R (s)i 3 {^Tsp nG (s)}

В этом выражении g {e^p/* R (s)} и j {e-rsp/n G (s)} могут
быть вычислены из модифицированных z преобразований R (z т)
и G (z, т) соответственно

Из уравнения (6 7—9) следует что если R(s) и G(s) рацио
нальные функции от s то

и z преобразование e~TsP/n
ставив (1 — pin) вместо т

Следовательно, преобразование выхода системы

можно привестн к виду (6 7—24), если принять п = 1

Таким образом воспользовавшись выражением (6 7—37),
можно наити общее решение, которое обычно используется дтя
импульсных систем со многими частотами прерывания и обратной
связью Однако анализ разомкнутой импульсной системы с двумя
частотами прерывания на фиг 6 7—5, а можно упростить, если
подойти к ее анализу с другой точки зрения. Низкочастотный
импульсный элемент системы можно представить в виде синхрон
ных высокочастотного и низкочастотного импульсных элементов,
соединенных последовательно (на фиг. 6 7—5, в) Введение фик
тивного высокочастотного импульсного элемента^ между систе
мой G(s) и низкочастотным импульсным элементом So никоим
образом не влияет на характеристику системы Низкочастотный
импульсный элемент дает ноль на выходе в тех случаях, когда
высокочастотный импульсный элемент замкнут информация пере
дается только тогда, когда низкочастотный и высокочастотный

21 Юлиус т Ту	321
r(t)

ю систему

;р сдаточные

(6 7-43)

C(z„)-G1(z„)G2(z„)/?(z")	(6 7-44)

Так как /•(/) = u(t) и R(z) = z/(z — 1), то подстановка
вместо z дает

Соответствующие г„ преобразования для G^s) и G2(s) равны
(zrt) =	(6 7-46)

и

G2(zra) = --Z^	(6 7-47)
__________z2__________________

1 187z^-0 7z^ + 1,187z2- 0,301

(6 7-53)

С помощью последовательного деления уравнение (6 7—53)
можно представить в виде степенного ряда

+ 2,81гГ5 + 3,46?Г6 + •	(6 7—54)

Таким образом, выходная последовательность равна

+ 2,146 (t —-^) + 2,916 (t — 2T} +
+ 2,816 (/-—) +	,

(6 7-55)
C(Zs) (4->Ж-s)

(6 7 -56)

Его можно разложить в степей
ной ряд

C(z3) - 1 + 1,394~1+ 1,49гГ2^
+ 2 464~3 + 2,75гГ4 + 2,73гГ5 +
+ 3,56гз6 + 3,744"7 + 3,6 кГ8 +

Е4,34^9-г 4,42<Г'0--	(6 7—57)

Таким образом, выходная после

довательность определяется уравне-

с* (03 = 6(0-5- 1,396 (1-^) +

+ 1,496 (f — Др) +2 466(1 — Т) 4-

+ 2,75б(1 - -Ц-) +2,73б(1- ДР) +

+ 3,566 (1 — 2Т) + 3,746 (t —+

+	,	(6 7—58)

E(z) = /?(z)-B(z),

(6 7-59)

C(s) = G(s)£* (s),	(6 7-60)

C(z) =« G(z)E(z),	(6 7-61)

B0(z) = Zf(z)C(z)	(6 7—62)

b(t) = bB(t)+^bp (0

(6 7—63)
Для сигнала обратной связи b(t) можно Получить z преобра
зование из выражения (6 7—63)

где Вр (z) — z-преобразование сигнала обратной связи bp(f)
от р го запаздывающего импульсного элемента которое опреде-
ляется формулой

Используя выражение (6 7—60), Bp(z) можно записать как
Вр (z) - Е (z) 5 \eT^“G (s)} 5 {е-	(s)}	(6 7-66)

Подставляя уравнения (6 7—66) (6 7—62) и (6 7—61) в фор
мулу (6 7—64), получим

(6 7—67)

Тогда z-преобразование действующего сигнала ошибки, кото-
рый получается при исключении B(z) из уравнений (6 7—59)
и (6 7—67), равно

где /?(z) — z преобразование входа r(t).

Характеристическое уравнение этой системы можно получить,
___________ ------------------- IP. 7

приравнивая нулю знаменатель выражения
образом,

G (z) Н (z) + 2 3 {e^G (s)} 5 \е	-

Для устойчивости необхоцимо. чтобы все корни уравне
ния (6 7—69) лежали внутри единичной окружности плоско
сти z Для того чтобы проверить, все ли корни лежат внутри еди
ничной окружности, можно применить порядок действий, изло
женный в параграфе 6 2 Если импульсный элемент S работает
с периодом прерывания Т (п = 1), то сумма в левой части }рав
нения (6 7—69) становится равной нулю и характеристическое
уравнение принимает вид

Для иллюстрации анализа

импульсных САР со многими

импульсного элемента на характеристику системы приводится

числовой пример

Пример 6. 7—2. Проанализируем импульсную САР с двумя
импульсными элементами, структурная схема которой изобра-
жена на фиг 6 7—11 Период прерывания низкочастотного им
пульсного элемента равен 1 сек Высокочастотный импульсный
элемент работает с частотой в 3 раза большей В прямой и обрат-

(6. 7-79)

О(г,т)^^<|-^)дХ?0368)|' <67~82>

z преобразование, соответствующее Д(з), равно

н (г) = S {' ~ДГ"3} = 3 {тгре {тА <6 7-83>

Полагая Ях(з) = 1/s2 и используя выражение (6 /—75),
получим

(6 7—84)
Так как

(z) = 8	= (7~Тр ’	(6 7—85)

н & = 3(^Г) =-з(Г-1) ’	<6 7~86)

z преобразование, соответствующее eTs 3G(s), равно

( K„Ts/3,	^—2Ts/3]

5 \eT‘^G (s)} - 5	(6 7-87)

Полагая, что

ад = Г(ЯГТ)>

из формул (6. 7—74) и (6 7—75) следует, что

5 \eT^G (s)} = zG, (z, tn) \m=l/3 — Gx (z, tn) |m_i_2/3 =

_ (г - 1) G, (Z, m) k=l;3 = (г - 1)

= 41

Аналогично можно найти

5{^/3G(s)} = (z-l)G1 (z,m)M/3 =

0 486KZ + 0,146/C

г - 0 368

(6 7-89)

s|e-n/3//(s)K5{^_£^} =

= tfx (z, m) |m=2/3 - 7/x (z, m) |m=1/3 -	, (6 7-90)

-//x(z, т^/з-г-^Иг) у^ту (6 7-91)

Подстановка z преобразований, полученных выше, в фор
мулу (6.7—80) дает z преобразование выхода системы

С = г2 + (0 258# - 1,368) г	+ 0 368”)	7—92)
Характеристическое уравнение этой системы

z2 + (0.258Х — l,368)z + (0.376Х + 0,368) = 0 (6. 7—93)

Для определения максимально допустимого передаточного
коэффициента можно применить упрощенный критерий (6 7—56)

0,634К

0,118К

(6 7—94а)
(6 7—946)
(6 7—94в)

Условия (6 7—94а) и (6 7—946) выполняются для всех поло
жительных значений К Из условия (6. 7—94а) можно найти мак
симально допустимый передаточный коэффициент равный

Для изучения влияния высокочастотного импульсного эле
мента необходимо вывести г преобразование выхода соответствую
щей импульсной системы с одной частотой прерывания При п = 1
выражение (6. 7—71) приводится к виду

здесь z преобразование G(z) определяется уравнением (6 7—81)
г преобразование H(z) отличается от выражения (6 7—86)
так как запоминающее звено запоминает импульс на период
прерывания Т. a H(z) определяется формулой

(67“97)

Подставляя выражения (6 7—81) и (6 7—97) в форму ту
(6 7—96) и упрощая, получим

r .	0.632K(z — 1)(z)	7

С ~ г2— 1,368г+ (0 6327(4- 0 368)	(6 7—98)

Характеристическое уравнение

z2 — 1,368г + (0,632/С + 0,368) = 0,

(6 7-99)

и максимально допустимое значение передаточного коэффициента
равно (из условий устойчивости)

Хт-1	(6 7-100)

Приведенный выше анализ показывает, что система с несколь
кими частотами прерывания имеет большее значение максимально
допустимого передаточного коэффициента, чем соответствующая
система с одной частотой прерывания Отсюда видно, что высоко
частотный импульсный элемент обеспечивает системе большую
устойчивость
Разлагая правую часть уравнения (6 7—101) в степенной ряд
по z-1, получим

С (г) = 0,316г-1 + 0,392z 2 + 0 31 lz 3 - 0,168z	0 0348z 5

c(t)

06

— 0 0503г 6 —0,0817г-7 —
-0 0736г-8-0 0458г 3-

с = 05(12=-g2i22t0^^6~0368)z

(6 7-103)

С (г 0,5)

0,197г2 + 0,119г

г2-1,24г+ 0,556

(6 7-104)

Разлагая правую часть (6 7—104) в степенной ряд по г“
получим

-0,018г 5 —0 0692г-6 —0 758г

(6 7—105)

Коэффициенты этого ряда представляют собой значения выхода
системы для средних точек периодов прерывания Аналогичным
образом можно получить другие значения выхода

На фиг 6 7—12 построены реакции на единичную ступенча-
тую функцию импульсной системы с двумя частотами прерывания
и соответствующей импульсной системы с одной частотой преры-
вания, имеющей передаточный коэффициент 0 5 Эти два графика
показывают влияние импульсного элемента с большой частотой
прерывания на поведение системы в переходном режиме
E(z) = R(z) - C(z)

M(s) = £>(s)E*(s),
M(z) = D(z)E(z),
C0(z) = G(z)M(z),

Cp (z) = з \e^P/nM (s)} з \e~rsP/nG (s)|

(6 7—107)

(6 7—108)

(6 7—109)

(6 7-110)
Подставляя уравнение (6 7—107) в (6 7—111) и упрощая
получим

Cp(z) = E(z)5^/^(S)}S^^G(S)}	(6 7-112)

Алгебраическое преобразование приводит уравнение (6 7—110)
к виду

Исключая С(г) из выражений (6 7—106) и (6 7—113), полу
чим связь между z-преобразованиями действующего сигнала
ошибки и входного сигнала

Е(?)

Ясно, что 2-преобразование выхода системы непосредственно
находится из уравнений (6 7—113) и (6 7—114)

С (z)n = G (г)п М (г)„ = D (z)n G (z)„ Е (?)

то, подставляя формулу (6 7—114) в (6 7—115) и (6 7—116),
получим 2 преобразование и модифицированное z преобразование
выхода импульсной системы с несколькими частотами прерывания

Приравнивая знаменатель формулы (6 7—114) нулю, получим
характеристическое уравнение системы

Легко видеть, что при п — 1 уравнение (6 7—117) упрощается
и принимает вид

1 + D (z)G (z) = 0	(6.7—118)

Это уравнение является характеристическим уравнением соот
ветствующей системы с одной частотой прерывания Сравнение
уравнений (6 7—117) и (6. 7—118) показывает, что характеристи-
ческое уравнение импульсной системы с двумя частотами преры
вания отличается от характеристического уравнения соответствую
щей системы с одной частотой прерывания наличием дополнитель
ной суммы. За счет этой суммы устойчивость системы и ее переход-
ная характеристика могут быть улучшены. Кроме того, регулятор
с несколькими частотами прерывания сглаживает пульсации на
выходе, уменьшая время установления системы. Ниже дается
пример анализа импульсной системы с регулятором, работающим
с двумя частотами прерывания

Пример 6. 7—3. Проанализируем импульсную систему,
ивображенную на фиг 6. 7—15 Период прерывания низкочастот-
ного импульсного элемента равен 1 сек; высокочастотный импульс-
ный элемент работает в 2 раза быстрее. После каждого импульсного
элемента стоит запоминающий элемент нулевого порядка Пере-
даточные функции регулируемой системы и регулятора равны

6 7—15 Структурная схема системы с несколькими часто

Gs (s) = K/s и Dc (s) = l/(s + 1) Исследуем устойчивость системы
и определим ее реакцию на единичную ступенчатую функцию
для К = 0,5

Из структурной схемы на фиг 6 7—15 видно, что передаточ-
ные функции £)(s) и G(s) равны

D(s) =

(6 7—119)

G (s) = -

(6 7—120)

Так как п = 2
ошибки имеет вид

то г преобразование действующего сигнала

(6 7-121)

Для £>(s), G(s), eTs'2, £»(s) и e~Tsf2G(s) соответствующие
г-преобразования имеют вид

0,632

(6 7—122)

(6 7-123)



(6 7-124)

a |e-?w(s)} =

(6 7-125)
коэффициента, равное

Km—1,46 (6 7-128)

Легко показать, что макси
мально допустимое значение
передаточного коэффициента
для соответствующей системы
с одной частотой прерывания
равно 1 Таким образом прове
ден-ный анализ показывает что
введение высокочастотного им
пульсного элемента обеспечи
вает системе большую устойчи

Если передаточный коэффи
циент равен 0,5, а на вход си
стемы подается единичная сту
пенчатая функция, то уравне
ние (6 7—126) примет вид

г»- 1,368г2 + 0,368г

£ г2 - 2 27г2 -J- 1,856г - 0 586 ~

= 1 r 0 902z 1 0,560г Ч 0,183г	0,095г 4 — 0,22&~5 —

— 0,235г-6 — 0 166г 7 — 0 075г-8 —0,001г »+

+ 0,042г10(6 7—129)

Это уравнение описывает ошибку системы в дискретные мо
менты Так как

С(г) = Я(г) - Е(г)

(6 7—130)

1г 4 + г 2 + г 3 + ^44-	,(6 7—131)
6 8 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСИНХРОННЫМИ
ИМПУЛЬСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Sr(t)
второго импульсного элемента зд отстают на некоторую часть
периода Т от соответствующих моментов замыкания первого им-
пульсного элемента (фиг 6. 8—1, б) Другими словами, второй
импульсный элемент отстает от первого на АТ сек,, где А является
дробью и называется коэффициентом отставания Для того чтобы
применить широко используемый метод г преобразования, необ-
ходимо запаздывающий импульсный элемент 8д представить экви-



представить в виде основного импульсного элемента, перед кото-
рым включено звено опережения, а после — звено запаздывания.
Таким образом, структурная схема несинхронной системы преоб-
разуется к виду, изображенному на фиг. 6 8—2, а Так как сигнал
на входе элементов б2 («) остается одинаковым в обоих случаях,
то структурная схема на фиг 6 8—2, а эквивалентна структурной
схеме на фиг. 6 8—1, а. При замене несинхронной системы экви-
валентной синхронной системой становится возможным применение
метода 2-преобразования

Из фиг. 6 8—2, а видно, что г преобразование и модифици
рованное г преобразование выхода системы равны

Как указывалось в предыдущем параграфе, г преобразования
соответствующие e^G^s) и e~&TsG2 (s), можно записать в ком
пактной форме, используя модифицированные г-преобразования,
соответствующие GJs) и G2(s). Если Gj(s) и G2(s) являются
рациональными функциями от s, то из уравнения (6 7—9) и опре
деления модифицированного г преобразования следует, что
c* (t, т) - с* (/ —ДТ, т)

(6 8-7)

(6 8-8)

(6 8-9)

Устойчивость этой системы определяется расположением кор-
ней характеристического уравнения
(6 8 12)

«единичной обратной

Оно определяет устой
чивость системы и пара
метры ее переходного про
цесса. Преобразование вы
хода более сложных несин
хронных импульсных си
стем можно получить с по
мощью тех же методов
что и для обычных им
пульсных систем заменяя
несинхронные системы

мет вид

1 -h G(z)tf(z) = О,

(6 8—14)
в 9 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМ
ИЗМЕНЕНИЕМ ЧАСТОТЫ ПРЕРЫВАНИЯ

В предыдущих параграфах рассматривался анализ импульсных
и цифровых САР с постоянной частотой прерывания Независимо
от того являлась ли импульсная система системой с одной частотой
прерывания, с несколькими частотами прерывания или несин
хронной периоды прерывания импульсных элементов оставались
постоянными Такие импульсные системы относятся к категории
импульсных систем с постоянной частотой прерывания. Наряду
с такими системами существует другой класс импульсных систем,
в которых период прерывания не остается постоянным, а изме
няется циклически или представляет собой некоторую функцию
от входного сигнала импульсного элемента Такие САР обычно
называются импульсными системами с переменной частотой
прерывания Простейшим типом импульсных систем с переменной
частотой прерывания являются системы с циклическим изменением
частоты прерывания Импульсная или цифровая САР с переменной
частотой прерывания характеризуется тем, что сигнал в ней
прерывается с периодически изменяемой частотой Функцию
прерывания можно рассматривать как частотно модулирован
ную функцию Частота прерывания импульсного элемента изме
няется в соответствии с определенным периодическим модули
рующим сигналом В этом параграфе дается анализ импульсных
САР с циклическим изменением частоты прерывания

На фиг 6 9—1 изображены периодический модулирующий
сигнал с периодом Т и модулированная последовательность
импульсов (импульсная функция). Частота прерывания пропор
циональна наклону модулирующего сигнала m(t). Между момен
тами времени 0 и t3 частота прерывания равна 1/Га в течение
интервала времени от ts до t6 частота прерывания равна 1/TS,
в течение интервала от ta

до Т частота прерывания
равна \/Тс Импульсная
функция повторяется в те
чение следующих периодов
модулирующего сигнала
Анализ вида импульсной
функции показывает, что
расстояние между соответ
ствующими импульсами
для двух последователь
ных периодов импульсной
функции постоянно и рав
но периоду Т

Таким образом, пери
одически модулируемая
импульсная функция мо

щаяся функция прерывания

жет быть представлена в виде суммы многих простых импульс
ных функций с постоянным периодом прерывания Т. Им
пульсный элемент, работающий с циклически изменяемой ча
стотой прерывания, можно представить в виде нескольких импульс
ных элементов, работающих с постоянной частотой прерывания
причем каждый из них должен запаздывать по отношению к дру
тому на интервал времени, равный расстоянию между двумя
соседними импульсами (фиг 6 9—2). Другими словами, импульс
ный элемент с частотой прерывания циклически изменяемой
с периодом Т, эквивалентен группе, состоящей из п несинхронных
импульсных элементов с постоянным периодом прерывания Т
Коэффициент отставания k го импульсного элемента равен tk!T
Основываясь на соображениях, изложенных в предыдущем пара
графе, каждый запаздывающий импульсный элемент может быть
представлен в виде основного импульсного элемента, перед кото
рым стоит звено опережения, а после — звено запаздывания
В этом случае импульсная система, изображенная на фиг. 6 9—2,6,
может быть приведена к виду на фиг. 6 9—2, в

Структурная схема импульсной САР с обратной связью и
циклически изменяемой частотой прерывания изображена на
342

E (s) = R (s) - C (s) = R (s) - [Go (s) ED*0 (s) +

+ Gr (s) ED\ (s) + + Gk (s) ED- (s) +

+	+ Gn_± (s) ED*n^ (s)]	(6 9-4)

Преобразуя no z обе части уравнения (6 9—3), получим

C(z) = S Gk(z)EDk(z)	(6 9-5)

44-0

Умножая обе части уравнения (6 9—4) на Dk (з) преобразуя
по z и производя перегруппировку членов, найдем

G0Dk (z) ED0 (z) + GiD* (z) ED± (z) +	[1 + GkDk (z)] EDk (z) +

+ G„_x^ (z) EDn_, (z) = RDk (z)	(6 9-6)
[G£>] {ED} = {RD},	(6.9-7)

где {ED} и {RD} — колонки матриц, элементы которых являются
функциями EDk(z) и RDk(z), т е

Ж (2) ]

ЕО^г) |

{££>}=	[,	(6 9-8)

ЕОа(2) I

EDn 1(2) J

RD0(z)

RD, (2)

W=	(6 9-9)

КО, , (г)
и [GD] — квадратная матрица порядка п
[GZ)] =

l + G0O0(z)	0^(2)	GAO0(z)

GqD, (z) 1 + 0,0, (z) GkD, (z)

~ G0Dk (z) G,Dk (z)	1 + GkDk (z)

G0Dnl(z) G,Dn j (z) GkDnl(z)

B(z) -
И уравнение (6 0—7) имеет единственное решение определяемое
выражением

^(г) = -^-,	(6 9—13)

где Qk (2) — определитель, образуемый заменой элементов k й
колонки определителя системы соответственно через
T?Z?0(2), RD^Z), , RDk(z), , RD^z).

Следовательно, подставляя уравнение (6 9—13) в уравне-
ние (6. 9—5), получим г-преобразование выхода системы

Аналогично модифицированное г преобразование выхода си
стемы равно

Например, для системы с двумя параллельными ветвями
(п = 2) г преобразование и модифицированное г преобразование
определяются выражениями

 [/?£>! (г) + RDr (г) G0D0 (z) — RD0 (г) GaD. (г)] Gt (г)

U?D0(z)

При подстановке уравнений (6 9—1) и (6 9—2) в (6 9—4)
или (6 9—15) устойчивость импульсной системы с циклически
изменяющейся частотой прерывания можно исследовать обычным
образом, а реакцию системы на произвольный входной сигнал r(t)
можно найти, определив обратное преобразование правой части
уравнения (6 9—15) Следовательно, введение импульсного эле-
мента с циклически изменяющейся частотой прерывания в импульс-
ную систему не представляет какой-либо сложной проблемы
С помощью эквивалентных импульсных элементов анализ импульс
ных САР с циклически изменяющейся частотой прерывания и дру-
гие задачи можно решить с помощью широко используемых мето
дов г преобразования и модифицированного 2 преобразования
Ниже приведено несколько числовых примеров для иллюстрации
анализа импульсных САР с циклически изменяющимися частотами
346

Выражение (6 9—16) можно использовать для определения
реакции системы на единичную ступенчатую функцию Для
применения выражения (6. 9—16) необходимо наити вначале
г преобразование, соответствующее следующим передаточным

функциям:

=	(6 9-24)

(69-25>

ДДД0-- (6 9-26)

<6 9-27)

(6 9-28)

(«) = —’	(6 9-29)
зования

G<A(2) =


Применение этих условий к уравнению (6 9—38) дает следую
щие неравенства

•4,42К — 20,15

№ -4,41К+ 11,69 > 0	(6.9-42)

Неравенство (6 9—42) удовлетворяется для действительных
значений К Из неравенств (6 9—40) и (6 9—41) получаем

Следовательно, максимально допустимое значение коэффи-
циента равно

Кт = 5,39	(6 9-44)

Далее, когда передаточный коэффициент К = 4, то при соот-
ветствующей подстановке уравнение (6 9—16а) принимает вид

с (А =	0,662г2-0,245г	=

= 0,662г"1 ~г 0,777г 2 + 0,798г'3 + 1,169г'4 -)-... (6 9—45)

Коэффициенты ряда (6. 9—45) представляют собой значения
реакции системы в дискретные моменты времени t = 0, Т, 2Т,
ЗТ, Реакцию системы внутри периодов прерывания можно
определить по уравнению (6 9—166) обычным методом. Напри-
мер, для вычисления реакции в моменты t = kT + 774 необхо-
димо найти модифицированные z-преобразования G0(z, m) и
С1(г, т) для m ~ 1/i Таким образом,

0 884г

(6 9-46)



Из уравнения (6. 9—166) после соответствующей подстановки
и упрощения следует

п , j. .	0,884 гз - 0,549г2 + 0,079г

С " г3 - 1 545г2 + 0 607г-0 0613 ~

0,884 4- 0,812г'1 +• 0,794г'2 0,794г'3 + .. (6 9-48)
Аналогичным образом можно найти
г?

О 884г + 0,952
г - 0 368

0,536?

г — 0,368 ’

1 575?+ 0,416
г - 0 368

(6 9—49)

(6 9—50)

(6 9-51)

(6 9-52)

С (г, */2) =

__	0,795г3 - 0,426г2 + 0 046?

г3 - 1 545г2 + 0 607г - 0 0613 ~

и-

= 0,794 + 0,802г'1 4 0,800г 2 4-

+ 0,803г'’ +	(6 9—53)

_	0,719г3-0,395г2 + 0,02г	_

~ г3 — 1 545г2 + 0 607г — 0 0613 “

= 0,719 4- 0,786г-1 + 0,799г-2 + 0,801г-3	(6 9-54)

Реакция системы на единичную ступенчатую функцию изобра

в 10 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С ЧИСТЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ляет собой систему с несколькими постоянными времени и чистым
запаздыванием; в цифровых САР время вычисления и время
преобразования непрерывных величин в цифровые также приво-
дит к запаздыванию в системе Наличие чистого запаздывания

z + (z-V)G0(z, 1-ТД) = 0

(6 10—5)

с помощью билинейного преобразования переведено в плоскость w,
то для анализа устойчивости можно использовать критерии Рауса
и Гурвица Однако если характеристическое уравнение имеет
второй порядок, то упрощенный критерий, устанавливаемый
равенством (6 2—56), вероятно, является наиболее простым
методом анализа устойчивости и определения максимально допу
стимого передаточного коэффициента Выходную последователь
ность системы при действии на ее входе произвольного сигнала г(/)
можно легко вычислить по преобразованию выхода

(6 10—6)

Исследуем влияние чистого запаздывания на

системы

устойчивость

23 Юлиус Т Ту

353
Импульсная передаточная функция разомкнутой системы равна

G = ?{ S(1 +7mS) e~TdS\ =	{ 5 (1 + TmS) J \m^_Td/T =

Характеристическое уравнение

1 + G (z) - 0

Подставляя уравнение (6 10—8) в (6 10—9)
получим

и упрощая.

+ Ke~(T-TdVTn

Применяя упрощенный критерий устойчивости
получаем неравенство

(6 10—10)

(6 10—12)

Так как /С Т и Тт всегда положительны, то неравенство
(6 10—12) удовлетворяется Упрощая неравенство (6 10—11),
приводим его к виду

Аналогично неравенство (6 10—13) можно преобразовать
к виду

Эти два неравенства (6 10—14) и (0: 10—15) определяют
границу устойчивости системы Для определенных значений Т
и Т,п драницами устойчивости являются кривые, связывающие
максимально допустимые значения передаточного коэффициента К
с чистым запаздыванием Td; одна из кривых изображена на
фиг 6 10—3 Неравенство (6 10—15) устанавливает предел
максимально допустимого передаточного коэффициента для малых
значений чистого запаздывания Td, а неравенство (6 10—14)
устанавливает максимально допустимые значения передаточного
коэффициента для значений Td, больших чем некоторая часть

устойчивости Реакция импульсной системы на некоторый входной
сигнал может быть легко вычислена с помощью определения
обратного z преобразования или модифицированного z преобра-
зования выхода системы

Цифровые и импульсные САР можно классифицировать в соот
ветствии с количеством полюсов г = 1, содержащихся в импульс
ной передаточной функции разомкнутой системы G(z). Например,
систему с передаточной функцией G(z), не имеющей ни одного
полюса z=l, можно назвать системой типа 0 Если передаточная
функция G(z) имеет один полюс z = 1, то система относится
к типу 1 В импульсных системах отработка системой определен-
ного входного сигнала характеризуется параметрами, обычно
называемыми коэффициентами ошибки Коэффициенты ошибки
для импульсной системы имеют тот же смысл, что и для непрерыв
ной системы. В непрерывных системах коэффициенты ошибки
используются для вычисления установившейся ошибки системы,
а в импульсных системах — для определения установившейся
ошибки системы в дискретные моменты времени Коэффициенты
ошибки импульсной САР можно легко найти по импульсной пере
даточной функции ошибки, представленной в виде преобразова
ния со звездочкой

Понятие эквивалентных импульсных элементов позволяет
выполнять анализ и синтез импульсных САР со многими частотами
прерывания, систем с циклически изменяющейся частотой преры
вания, импульсных систем с несинхронными импульсными эле-
ментами на основе широко применяемых методов z преобразова
ния и модифицированного z преобразования Метод прерывания
с различными частотами является средством для уменьшения
пульсаций на выходе системы и увеличения скорости ее реакции
Кроме того, этот метод может также использоваться при анализе
нелинейных импульсных САР1 Метод введения несинхронного
прерывания является средством улучшения устойчивости импульс-
ных САР Введение чистого запаздывания не вносит новых проблем,
метод z преобразования полностью применим и в этом случае
Устойчивость САР с распределенными параметрами и чистым
запаздыванием можно улучшить с помощью операции прерывания
ГЛАВА 7

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
И ОШИБОК ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

7 1 ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ
В ПЛОСКОСТИ Z НА ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ В ПЕРЕХОДНОМ
ПРОЦЕССЕ

В предыдущей главе рассмотрен анализ импульсных и цифро-
вых САР с помощью методов z преобразования и модифицирован
ного z преобразования Устойчивость и качество системы можно
определить из годографа г-преобразования импульсной переда
точной функции разомкнутой системы или с помощью изучения
корней характеристического уравнения по г Как указывалось
в параграфе 6 2, для устойчивости системы необходимо, чтобы
все корни характеристического уравнения импульсной САР рас
полагались внутри единичной окружности плоскости г Относи

(7 I-D

или
1 + Gff(z) = О,

1 + G(z)7f(z) = O

(7 1—4'’

~R&

(7 1—5)
C(z) =

(7 1-10)

К П (г-гк)

N	г~

~ Рк^


(7 1—14)

9, =- arctg (₽,/а,),
o^|P(p,)-|a-i-|Q (a)

(7 1 — 15)

(7 1-16)
Расположение полюсов замкнутой	Вид переходного процесса
Вне единичной окружности  Внутри единичной окружности  ' а) действительный полюс в пра вой половине единичного круга  б)	действительный полюс в ле вой половине единичного  в)	комплексные полюсы внутри единичной окружности	Устойчивый  а)	затухающая выходная после довательиость  б)	знакопеременная выходная последовательность с умень- шающимися амплитудами  в)	затухающая колебатетьная последовательность
жается в плоскости г в полюс

(7 1-17)

Полюс s = —а отображается в плоскости z в полюс

(7 1—18)

7 2 МАКСИМАЛЬНОЕ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЕ И ВРЕМЯ НАСТУПЛЕНИЯ
ПЕРВОГО МАКСИМУМА ВЫХОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Максимальные и минимальные значения непрерывной функ-
ции определяются по первой производной этой функции По анало-
гии максимальные и минимальные значения функции в виде после-
\с(Г)~с(2Т)—с(Т),

&с(2Т) — с(ЗТ)-—с(2Т),

^с(пТ) = с[(п+1)Т]-с(пТ)

(7 2—2)
Вследствие сложности уравнения (7. 1 — 12) получить простую
и компактную расчетную формулу, связывающую перерёгулиро
вание и время наступления первого максимума с полюсамйТГ'й’у s
лями импульсной передаточной функции системы, очень трудно
Однако приближенные выражения этих величин могут быть полу
чены, если предположить, что импульсная САР имеет пару ком
плексных сопряженных полюсов в плоскости г, преобладающих
или доминирующих, над остальными Преобладающим, или доми
пирующим, полюсом называется такой полюс, который расположен
ближе всех остальных полюсов к единичной окружности пло
скости г Иными словами, все остальные полюсы лежат в окрест
ности начала координат плоскости z, в то время как пара доми
пирующих сопряженных комплексных полюсов располагается
довольно далеко от начала координат На фиг 7 2—2 показана
диаграмма расположения полюсов и нулей импульсной переда-
точной функции системы Оо(г), на которой пара комплексных
сопряженных полюсов р0 и рт является доминирующей Так как
все остальные полюсы лежат в окрестности начала координат, то
их модули значительно меньше единицы

Следовательно, переходный процесс, обусловленный этими
полюсами, затухает довольно быстро и их влияние на общий пере
364
| ЫМЫ cos [(я +1) e0 + Фо - COS (< + Фо)] I

(7 2—12)

где kc — коэффициент поправки, определяемый уравнением
kc = cos q 0О + sin <70о	(7 2-22)

2	~	2 ^pk ~

(7 2-23)

Время наступления первого максимума такой системы опре

деляется выражением

(7 2-24)



(7 2-25)

где 0О — фазовый угол полюса р0 = а0 -ф ]$0 системы второго
порядка (фиг. 7. 2—3) Из фигуры видно, что время первого макси-
мума уменьшается с увеличением 0О. Таким образом, пара ком-
плексных сопряженных полюсов, расположенных вблизи положи
тельной действительной оси, приводит к увеличению времени
наступления первого максимума Тр
С помощью уравнений (7 2—16) и (7 2—21) первый максимум
можно приближенно определить, используя Тр и нули и полюсы
замкнутой импульсной САР Аппроксимация является достаточно
хорошей при условии, что доминирующие сопряженные комплекс-

перерегулирование и время
Действительный полюс (или комплексный полюс, располо-
женный вблизи действительной оси) в правой половине единичного
круга плоскости z будет давать отношение 11 — pk\ lak меньшее,
чем полюс в левой половине единичного круга, а действительный
ноль (или комплексный ноль, расположенный вблизи действи-
тельной оси) в левой половине единичного круга будет давать
отношение bk! 11 — zk | меньшее, чем нуль в правой половине
единичного круга Следовательно, для того чтобы спроектировать
импульсную САР с умеренным перерегулированием в переходном
процессе, необходимо стремиться к расположению полюсов в пра-
вой половине, а нулей в левой половине единичного круга Кроме
того, из фиг. 7 2—4 также видно, что фазовый угол Qpk увели-
чивается, если полюс pk смещается в правую половину единичного
круга, и фазовый угол 0 г/г уменьшается, если нуль гг смещается
в левую половину единичного круга. Это указывает на то, что рас-
положение полюсов и нулей, соответствующее малому перерегу-
лированию, будет вызывать слишком большое время наступления
первого максимума Тр Следовательно, необходим компромисс
при выборе Тр и перерегулирования

В качестве иллюстрации применения изложенного метода для
определения Тр и перерегулирования выходной последователь
ности импульсной САР рассмотрим простой числовой пример

Пример 7.2—1 Проанализируем импульсную САР на
фиг 6 3—3 Период прерывания равен 0,1 сек, а передаточная
функция регулируемой системы имеет вид

Определим время первого максимума Тр и перерегулирова-
ния Мт выходной последовательности системы при единичном
ступенчатом воздействии на входе

В параграфе 6 3 найдено, что импульсная передаточная функ-
ция замкнутой системы имеет вид

4U" = 90 (2) = г2 _ 011046г4+ 0 368	<7 2~28)

Разлагая знаменатель на множители, получим

с , , = ___________________1,264г__________________

0 W	[г - (0 0о2 + /О 605)] [г - (0 0^2 - /0,605)]

Система имеет пару комплексных сопряженных полюсов
р0 = 0,052 -ь /0,605, Р1=- 0,052 -/0,605	(7.2-

и нуль в точке
Итак,

изображена на

0О = arc tg (0,605/0,052) = 85,1°,



(7 2-32)
(7 2-33)
(7 2-34)

(7 2—35)

	.^Плоскость г  *PiFOO52+jO6O5
\ г°	\р,-0052-!0605

<7 — 2 — 1,115 — 0,885 (7,2-36)

Следовательно, из уравнения
(7 2—20) получаем

Тр = 2Т (7 2—37)

Для вычисления перерегулирова

ния вначале определяется коэффи
цент поправки kc из уравнения

(7 2-22)-

kc = cos (0,885 х 85,1 °) ф-

4~ —Q go'g'— sin (0,885 х 85,1 °) = 1,774

(7 2—38)

Так как имеется лишь один нуль при z = 0, то

П = | Ро I = 0,606	(7 2-39)

П (|1 — pk\ /ak) |, входящее в формулу (7 2—21), равно единице

После подстановки этих значений в уравнение (7 2—21) находим
первый максимум (перерегулирование)

Mm - kc | Ро |3 = 1,774х (0,606)3 = 0,396	(7 2—40)
меньше, чем действительное перерегулирование переходного про
цесса, показанного на фиг 6 3—4, хотя разница незначительна
Действительный максимум, обычно имеющий место вблизи Тр,
находится из формулы (7 2—20).

Если все нули и полюсы, за исключением доминирующей
пары полюсов р0 и ри находятся очень близко к началу коорди-
нат плоскости г, то приближенно можно положить

£зги-щг’ цДтт^'’-1	<72-41>

Mm^kc\p0\M~N+2\p0\Tp/T

(7 2—42)

М	К

Д егА (Л1 -г I) е0,

(7 2-43)

-^^-(M+l) + N + q

(7 2—44)

Выражение для первого максимума можно упростить до

Mm kc\ Ро |<Ж+«/29о)

(7 2-45)



/?*(s) = -^- 2 ^(s + /n<Ds)

Gtf*(s) = 4- 2 GH(s + jnas),

(7 3—5)

I + gL)

(7 3-6)

E(z) = fl(z)-B(z)

B (?) - GH (z) E (z)

(7 3-7)

(7 3-8)

Следовательно, выходная последовательность c(nT) и после
довательность действующей ошибки е(пТ) импульсной системы
можно найти выполнив инверсию уравнений (7 3—6) и (7 3—9)

е (пТ) - J"1 J x + qH{2
c(t)

для nT < t < (п + 1) Т
В этом случае передаточную функцию прямой цепи можно запи
сать в виде

G (s) = Gx (s) + G2 (s) + • +Gft(s)+ ••• + G„(s) = (7 3—15a)

= 2Ш	(7 3-156)

полюсы являются простыми, хотя иногда возможны и полюсы
с кратностью 2 Таким образом, все члены Gk(s) являются про
стыми дробями вида

s + а ’ (s + 6)а ’
Ошибка системы между моментами замыкания определяется

уравнением

е (0 - cd (t) - Д ck (t),

(7 3-18)

шемся состоянии между периодами замыкания

L |

(7 3-19)
реакция на последовательность импульсов е*(0 легко опреде
ляется с помощью уравнения (7 3—20) с использованием пр ин
ципа суперпозиции Каждый импульс e*(t) дает на выходе реак
цию, пропорциональную ць (f) В течение интервала

реакция на выходе Gk(s) является суммой (п + 1) отдельных
реакции (фиг 7 3—5):

с/г (/) = ke (пТ) е-а«-пТ' + Ke [(п — 1) Т] е~а У- П +

- 2) Т] е~а V- +	+ Ke (Т) е~

+ Ке (0) e~at = Ке~а ^~пТ^ { е (пТ) +

+ е(Т}е~“	+е(0)е~“

Так как значение ck{t) при t = пТ равно

ck(nT) = k 2 e[(n-k)T].

то выражение (7 3—22) можно переписать в виде
Ck(t)^ek(nT) e-a(t-nT^

(7 3—24)

в котором значения ck(nT) могут быть найдены с помощью обрат
ного z-преобразования-

ckm = ^\Gk(z)E(z)\,	(7 3-25)

здесь Gk(z) является z преобразованием, соответствующим G/;(s)
a E(z) определяется уравнением (7. 3—9).

Аналогично можно определить реакции на последователь
ность импульсов других параллельных каналов схемы на
фиг. 7 3—4, передаточные функции которых будут иметь иную
форму, чем функция (7 3—19) В табл 7 3—1 приведены реакции
на последовательность импульсов нескольких основных видов
Gk(s)

Для комплексных сопряженных полюсов анализ становится
не таким простым. Реакция на последовательность импульсов
линеинои цепи, имеюшеи пару комплексных сопряженных полю
сов вычисляется следующим образом

Предположим, что передаточная функция этого канала равна
GHs)	ck(t) для nT< t <(n+ 1)7
—	Ck(nT) u (t — nT)
V	ck (nT) + (/ - nT) [ck (nT) + e (nT)}
s 4-a	ck (nT)e-a(t-nT'>  ck (nT) eanT sin bt — ck (0) sin b(t-nl) _at
(s + a)2 + 62	MbnT 	
Упрощая, получим

(7 3-33)

Используя выражения (7 3—31) и (7 3—33), получим

Xcos ЬпТ — ct (0) е~апТ] + Ci (пТ) е~а %

Xcos ЬЦ — пТ)	(7.3-34)

После упрощения выражение (7 3—34) можно записать в виде

„ ,Л Cl (пТ) еапТ Sin bt — ei(P) Sin b (t — пТ) p-aT	w

сг(/) =--------------------------------- ,(7 3-35)

здесь Gi(z) является z преобразованием, соответствующим Gz(s),
а £(z) определяется формулой (7 3—9).

Пример 7. 3—1 Рассмотрим импульсную САР показанную
на фиг 7 3—6
G (s) = Gh (s)Gs (s) =

(7 3—38)

(7 3-39)

Тогда z преобразование ошибки системы определяется урав

нением

£(z) =

1) (г-0,606)

г _ г - 0,606г

Х г - 1 ~ г - 1 5г 4- 0,697

= 1 + 0,894г-1 +

4 0,643г-2 + 0,342г-3 + 0,065г-4 +	(7 3—40)

Из этой фигуры видно, что г преобразование входа ei(t)
для Ga(s) имеет вид

Ех(г) = (1- z~r) Е (z) —	(7 3—42а)

= 1-0,106г-1-0,251г-2-0,301г-3-

— 0,277г-4— •	(7 3-426)

Таким образом, сигнал на входе Ga(s) определяется выраже
нием

е* (г) = 5 (i) — 0,1066 (t—T) — 0,2516 (t — 271) —

— 0,301 6 (Z — 37) — 0,2776 (t — 47) -	(7 3—43)
Простые дроби Ga(s) имеют вид
^(0- г2 — 1 5г-f-0,697 ~~	(7 3 50а)

=—[1 + 0,894г'1 + 0,643г'2 + 0,342г3 + 0,065г'4— •], (7 3—505)

Сз & = •p—f-sFj 0,697 =	<7 3~51 а>

= 1 + 0,5г'1 + 0,053г'2-0,27г'»-0,424г'4-	(7 3-^516)

Таким образом, выходные последовательности равны

4 (7) = 0,56 (t - Т) + 0,9476 (t - 27) + 1,276 (t -

-37) 4- 1,446(7-47)+ .,	(7 3-52)

С2 (7) = — [6 (7) + 0,8946 (7 — 7) 4- 0,6436 (7 — 27) +
+ 0,3426 (7 — 37) + 0,0656 (7 — 47) —	],	(7 3—53)

с3‘ (t) - б (7) + 0,56 (7 — 7) + 0,0536 (7 — 27) —

— 0,276 (7 — 37) — 0,4246 (7 — 47) —	(7 3—54)

Так как реакция системы определяется уравнением

с(7) = С1(7) + с2(7) + с3(7),	(7 3-55)

то, используя табл 7 3—1, находим, что в интервале пТ < 7 <
< (п + 1) 7

с (0 =	(п7) + (7 - п7) [с, (пТ) + ег (п7)][ - с2 (п7) х

X и (7 — лТ) + с3 (п7) е~	{7 3—56)

здесь е^пТ), с^пТ), с2(пТ) и с3(п7) определяются соответственно
выражениями (7 3—43), (7 3-52), (7 3—53) и (7 3-54). Сле
довательно, для интервала 0 < 7 < 7 выходная реакция равна
с(7) = (0 + 7) — 1 7	= 7 + е~' —1,	(7 3—57)

и ошибка системы

е (7) = 1 — с (7) — 2 —7 —	(7 3-58)

Для интервала 7 < 7 < 27

с (7) = [0,5 4- (7 — 0,5) (0,5 — 0,106)] — 0,894 + 0,5г- U-о.б) =

= — 0,394 + 0,394 (7 — 0,5) + 0,5е~	5>, (7 3—59)

е (7)- 1,394-0,394 (7-0,5)-0,5е-(^5) (7 3-60)
Для интервала 27 <7 < 37

с (7) = [0,947 + (7 — 1) (0,947 — 0,251)] — 0,643 +

-г- 0,ОЗЗе-^-1)^ 0,313+о,696 (7 — 1) + 0,053г-(7 3—61)
е (7) = 0,687 — 0,696 (7 — 1) — 0,053г-	(7 3—62)
Если е^пТ), С1(пТ), с2(пТ) и с3{пТ) получены с помощью
формулы (5 6—4), то можно получить общее выражение для c(t).

Метод модифицированного z преобразования. Ошибка САР с
обратной связью под действием некоторого входного сигнала
равна разности между требуемым выходом и действительным
выходом, при этом первый из них задается, а второй вычисляется.
Таким образом, для определения ошибки необходимо вычислить
действительный выход системы. Выше был изложен простой метод
определения действительного выхода системы, с помощью кото-
рого можно определить ошибку системы и пульсации в промежут-
ках между моментами замыкания. В гл 6 указано, что действи
тельный выход импульсной системы можно легко найти с по
мощью модифицированного z-преобразования Вследствие этого
для определения ошибки и пульсации системы необходимо приме-
нить метод модифицированного z-преобразования При примене-
нии метода модифицированного z преобразования вычисление дей-
ствительного выходного сигнала заключается в определении
обратного модифицированного z преобразования

Используя порядок действий, описанный в параграфе 6 1,
модифицированное z преобразование выхода импульсной системы,
показанной на фиг 7 3—1, записывается в виде

где G(z, т) — модифицированное z преобразование, соответ
ствующее G(s).

Действительная реакция системы на вход r(t) определяется
с помощью обратного преобразования уравнения (7 3—63), т е

?(nT, m) =

(7 3-64)

здесь контур Г включает все особенности подынтегрального выра-
жения Интеграл (7 3—64) можно легко вычислить с помощью
теоремы вычетов Коши

Таким образом, в течение периода (и — 1) Т < t < пТ ошибка
системы определяется следующим образом

где cd (t) — требуемый выход системы, который при анализе вы-
ходных пульсаций можно принять за выход без пульсаций Так
как (и — 1) Т < t < п'Т и 0 < m < 1, то вместо t в уравне-
нии (7 3—65) можно подставить (п + m — 1) Т При этой под-
становке уравнение (7 3—65) примет вид

е [(и + tn - 1) Т] - cd [(и + иг - 1) Т] - с (пТ, т),
При изменении параметра т от 0 до 1 это уравнение описывает
ошибку системы между любыми двумя последовательными мо
менгами замыкания (п — 1) Т < t < пТ Предел при п, стре
мящемся к бесконечности, определяет установившееся значение
пульсаций на выходе системы. Установившиеся пульсации можно
также легко определить с помощью модифицированного z преобра
зования выхода системы, применяя теорему о конечном значении
рассмотренную в параграфе 5 7

В данном параграфе излагаются два аналитических метода
определения пульсации импульсных и цифровых САР Первый
метод требует разложения на простые дроби передаточной функ
ции G(s) и вычисления реакций на последовательность импульсов
Если все полюсы передаточной функции прямой цепи G(s) яв
ляются простыми то вычисление пульсаций является легкой за
дачей, так как реакции на последовательность импульсов для
основных видов простых дробей G(s) представлены в табл 7 3—1.
Однако наличие кратных полюсов в передаточной функции G(s)
значительно усложняет вычисление пульсаций с помощью этого
метода. Второй метод достаточно прост С помощью полной таб
лицы z преобразований и модифицированных z преобразований

метод

можно значительно облегчить вычислительные

особенно полезен для определения установившихся пульсаций на
выходе системы. Для сложных систем оба рассмотренных метода
требуют значительной вычислительной работы Поэтому в данном
случае аналоговое моделирование является наиболее удобным
способом получения быстрого решения

7 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПРЕРЫВАНИЯ,
КОЭФФИЦИЕНТ ПУЛЬСАЦИЙ

В предыдущем параграфе рассматривались методы вычисле
ния ошибки и пульсаций импульсных и цифровых САР и было
выведено уравнение, позволяющее определить ошибку и пульса
ции системы как функции времени t и периода прерывания Т
Для определенного значения периода прерывания Т уравне

позволяют определить, находятся ли

ошибка и пульсации в допустимых пределах Как уже указыва
лось, ошибка системы вследствие пульсаций зависит от частоты
прерывания системы. Чем выше частота прерывания, тем меньше
пульсации на выходе системы Следовательно, имеется минималь
ная частота прерывания, при которой пульсации еще не превы-
шают заданного уровня Так как уравнения ошибки импульсной
или цифровой САР, (7 3—18) или (7. 3—66), дают для любого
момента времени связь между ошибкой и периодом прерывания,
то требуемую частоту прерывания, при которой ошибка не превы
шает заданного значения, можно определить любым из этих урав
386
г (0 = Ае^* (7. 4—2)

1 + GH* (s)

Предположим, что вход этой
системы имеет одну частотную со
ставляющую Такой входной си
гнал можно записать в виде

Преобразование со звездочкой, соответствующее 7?(s), равно

#*(*) = + 2 (s + J»cos) = А 2 X
s = j (a> —

(7 4-6)

то установившаяся составляющая определяется выражением

А У <? [/ (а - пю»)1

7 nA»1	— nws)]

где cs (0 — рациональная функция от t Используя свойство
периодичности преобразования со звездочкой

СЯ* [/ (<о - ncos)] - GH* (j®),	(7 4-8)

выражение (7 4—7) можно привести к виду

У G» (<о —-ncos)]

(7 4-9)

Составляющие выражения (7 4—9) для и =£ 0 (дополнитель-
ные составляющие) дают ошибку или пульсации системы, которые
определяются следующим образом
le(0]2- k(0-cH0]2>

(7. 4-13)

Следовательно, среднее значение квадрата ошибки можно за-
писать в виде

[8 (0]a=[<U01a-[M0]a

(7 4-16)

(7 4-17)

Величина, равная квадратному корню от правой части урав-
нения (7 4—17), называется коэффициентом пульсаций и обо-
значается kr Таким образом,

V Ш 1

(7 4-18)

<74~19)
Л 2 G [/ (со - ncos)] e~W

Cs	7 [1 -f- Gtf*(/M)J

(7. 4—20)

и абсолютное значение выходной функции равно

(7 4-21)

У ! G (JO) — jncos)l Is
| G(/<o)|« '

(7 4-24)

Равенство (7 4—24) показывает, что относительная состав-
ляющая пульсации зависит только от передаточной функции
прямой цепи и не зависит от передаточной функции цепи обратной
связи H(s) системы. Это является важным свойством, которое
можно использовать при проектировании импульсных и цифро-
вых САР, когда ошибка системы является определяющим фак
тором
№
Выражения (7 4—23) и (7 4—24) можно упростить Пусть

У(8) = G(s) G(-s)

Тогда преобразование со звездочкой уравнения
примет вид

y*(s) = -y- L G(s — jncos)G(—s + /ncos) (7 4—26)

Для s = /со уравнение (7 4—26) становится

У* (/со) =	5 G [/ (со — ncos)] G [—/ (со — ncos)J =

и приводится к виду

= 4’nJ?JG fH® —na)»)HS

nJSjG[j (со-псо5)1|2 = ТУ* (/со)

(7 4-28)

Подставляя уравнение (7 4—28) в (7. 4—24), получим формулу
для относительной среднеквадратической ошибки

У* (/со) = У (г)	=е;2лй>/а>s.

(7 4-31)

элемента нулевого порядка,

остается рациональныи
экспоненциального входа, можно также применять и для периоди-
ческих и случайных входных сигналов

Для иллюстрации применения выражения (7 4—30) ниже
дается числовой пример Рассмотрим импульсную систему, изо-

1—2 Структурная схема системы

браженную на фиг 7 4—2 Передаточная функция регулируемой
системы равна

Анализ начинается с определения У*(/и)
запоминающего элемента нулевого порядка

|<?(/со)|а Без

(7 4—33)

y(s)=G(s)G(-s) =

z преобразование, соответствующее У(з), равно

Таким образом,

У* (/со) =- У (г) |2

(7 4—36)

Из уравнения (7 4—33) следует, что

I G (/“) |2 = у-ру

Решая совместно уравнения (7 4—36), (7 4—37) и (7 4—30),
получим

Для заданной величины Т данное уравнение устанавливает
связь между коэффициентом пульсаций kr и частотой входного
сигнала со На фиг 7 4—3 изображена кривая, показывающая

зависимость kr от

сек Аналогичные кривые
коэффициента пульсаций (kr в зависимости от со/со) можно по-
строить для различных значений Т по уравнению (7 4—38)
Если коэффициент пульсаций задан, то с помощью этих кривых
можно определить требуемую частоту прерывания

Запоминающий элемент нулевого порядка позволяет значи-
тельно уменьшить пульсации, как это показано ниже. Переда-
точная функция прямой цепи с запоминающим элементом нуле-

вого порядка имеет вид

Gft(S)G8(s)-

(7 4-39)

G<s) = T(Fnj-’ (74~4°)

Y(s)^G(s)G(-s) = -^T}

(7 4-41)

Легко показать, что z преобразо-
вание, соответствующее E(s), равно

_ Tz	sh Т

Y W ~ (г — 1)а “ 2ch7’— (г + г 9

(7 4-42)

Следовательно,

У* (/со) У (2)|г=е;ит	4sm2(a>7’/2)	2 (ch Т — cos со?)

(7 4-43)

Из уравнения (7 4—40)
igw=	(7 4~44)

Решая совместно уравнения (7 4—43), (7 4—44) и (7 4—30),
лучим

2(e>r-W~1 <74“45>

Для различных значений периода прерывания Т кривые коэф
фициента пульсаций можно построить с помощью этого уравне-
ния На фиг. 7 4—3 показана кривая коэффициента пульсаций
для Т = 0,693 сек Эти кривые коэффициента пульсаций показы-
вают влияние запоминающего элемента на пульсации на выходе
системы. Из фиг 7 4—3 видно, что для получения коэффициента
пульсаций менее 15% необходимо выбрать частоту прерывания
в 4 раза больше максимальной частоты входного сигнала для дан-
ной системы с запоминающим элементом нулевого порядка С дру-
гой стороны, для той же системы без запоминающего элемента
и с той же частотой прерывания коэффициент пульсаций состав
ляет около 55%

В этом параграфе изложен метод определения коэффициента
пульсаций и частоты прерывания для получения допустимой
среднеквадратической ошибки Так как при вычислении коэффи
циентов пульсаций необходимо учитывать относительно малые
разности больших чисел, то очень желательно применение арифмо
метров В данном параграфе было показано, что коэффициент
пульсаций зависит от частоты прерывания и элементов G(s)
в прямой цепи между импульсным элементом и выходом и не зави
сит от других элементов системы. Таким образом, при определении
частоты прерывания импульсных и цифровых САР, удовлетворяю
щей требованиям заданной среднеквадратической ошибки, необ
ходимо рассматривать только передаточную функцию G(s). Метод
анализа, рассмотренный в данном параграфе, можно распростра
нить на оолее сложные системы

7 5 ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ
ЗАМЫКАНИЯ

Для любой САР желательно, чтобы регулируемые переменные
или выход системы были связаны со входом определенным и извест
ным соотношением Для этой цели систему необходимо спроекти
ровать так, чтобы переходные процессы, вызываемые возмуще
ниями, затухали достаточно быстро Система, обладающая спо
собностью демпфировать свой собственный переходный про
цесс, вызванный изменением состояния или возмущением, назы
вается устойчивой Система, на выходе которой возможны неза
тухающие колебания, называется неустойчивой. Известно, что
колебания на выходе САР не только нежелательны, но и опасны,
так как они вызывают износ элементов системы и делают ее не
управляемой Следовательно, устойчивость системы является
непременным требованием, вне зависимости от остальных требо
ваний,’предъявляемых к характеристикам системы.

Устойчивость импульсных и цифровых САР рассматривалась
в гл. 6 Импульсная САР устойчива, если все корни характери
стического уравнения по z лежат внутри единичной окружности
в плоскости z Критерии устойчивости, приведенные в пара
графе 6 2, являются фактически методами определения наличия
любых корней характеристического уравнения вне или на единич
ной окружности Необходимо отметить, что эти критерии сфор
мулированы на основе теории z преобразования, которая не
дает точной информации о поведении системы внутри периодов
594
прерывания Проверка устойчивости систеМь!, оснбванная на Мето-
дах, изложенных в параграфе 6 2, показывает, как быстро зату-
хает выходная последовательность системы, а не вся выходная
реакция

Существуют импульсные САР, в которых, несмотря на то,
что временно приложенное возмущение вызывает хорошо задемп-
фированную выходную последовательность в моменты замыкания,
полная функция времени на выходе системы может оыть колеба-
тельной вследствие колебаний между моментами замыканий.
Очевидно, для таких систем условия устойчивости, определяемые
с помощью метода z преобразования, могут быть недостаточными,
так как они не учитывают возможности колебаний между момен-
тами замыкания Эти высокочас-
тотные колебания иногда назы
вают скрытыми колебаниями, не-
устойчивость системы вследствие
колебаний между моментами за-
мыкания иногда называют скры-
той неустойчивостью Высокоча-
стотные колебания между мо-
ментами замыкания называются
скрытыми пульсациями, так как

они скрыты в выходной последовательности, и метод z-npe-
образования не может их обнаружить Не подлежит сомнению,
что скрытые пульсации ухудшают качество импульсных САР
Таким образом, при анализе импульсных САР необходимо учи-
тывать возможность появления высокочастотных пульсаций между
моментами прерывания

Как видно из фиг 7 5—1, основными причинами появления
высокочастотных пульсаций между моментами замыкания яв-
ляются колебательный характер импульсной переходной функ
ции элементов, включенных между импульсным элементом и вы
ходом системы G(s), и большая величина периода прерывания
системы В большинстве импульсных САР импульсная переходная
функция, соответствующая передаточной функции G(s) системы,
принимает одну из нескольких основных форм. Эти формы яв
ляются либо колебательными, либо монотонными (фиг. 7 5—2)
Импульсная переходная функция затухает монотонно, если
в передаточной функции G(s) число полюсов превышает число
нулей на один или более, а все полюсы действительные и отри
Нательные. Если импульсная переходная функция, соответствую
щая передаточной функции G(s), относится к одному из указанных
видов, то никаких высокочастотных пульсаций между моментами
замыкания не может быть

Если же передаточная функция G(s) содержит комплексные
сопряженные полюсы, то импульсная переходная функция будет
колебательной, как показано на фиг. 7 5—2, в, г, д В этих трех
случаях, если период прерывания системы больше, чем половина
периода колебаний импульсной переходной функции, имеют
место высокочастотные пульсации между моментами замыкания
Следовательно, наличие скрытых пульсаций в импульсной САР
зависит в основном от импульсных переходных функций, соот-
ветствующих передаточным функциям прямых цепей систем,
и от величины периода прерывания

В параграфах 6 3 и 6 4 указывалось, что если реакция им
пульснои САР имеет хороший вид (не имеет пульсации между
моментами замыкания), то с помощью метода z-преобразования
можно получить приближенные значения реакции системы между
моментами замыкания Однако если реакция системы имеет коле-
бательный характер с частотой колебаний, превышающей частоту
прерывания, то информация о выходе системы в промежутках
между моментами замыкания, полученная с помощью а-преобразо-
вания, будет целиком неверной В этом случае необходимо приме-
нить другой метод анализа. Одним из наиболее общепринятых
и мощных методов вычисления реакции системы в течение перио-
дов прерывания является метод модифицированного z-преобра-
зования Как показано в предыдущих главах, анализ с помощьк
модифицированного z преобразования является прямым обобще
нием основного метода z преобразования. Метод модифицирован
396
ного z-преобразования так же, как метод z-преобразования, позво
ляет анализировать импульсные системы вполне ясно и после-
довательно После того как наличие скрытых пульсаций импульс-
ной САР определено из импульсной переходной функции, соот-
ветствующей передаточной функции прямой цепи системы, метод
модифицированного z преобразования становится наиболее удоб-
ным для определения величины этих высокочастотных пульсаций.
Метод модифицированного z преобразования позволяет обнару
жить скрытые пульсации и скрытую неустойчивость импульс
ной САР Рассмотрим разомкнутую импульсную систему, изобра-
женную на фиг 7. 5—3 Передаточная функция системы G(s)
Пусть z-преобразование и модифицированное z преобразование,
соответствующее G(s), выражены двумя полиномами по г:

С(г)

G(s)

G (z, т) = -Р>

(7 5-2)

где Рг (г, т) — полином по z с параметром т, изменяющимся
от 0 до 1 Система устойчива, если все полюсы G(s) лежат в левой
половине плоскости s (за исключением возможного полюса в на-
чале координат). Иными словами, для устойчивости полюсы G(z)
и G(z, т) должны лежать внутри единичного круга плоскости z
Расположение этих полюсов внутри единичного круга определяет
различный характер поведения в переходном режиме в дискретные
моменты времени (см параграф 7 1) Полюсы G(z) обычно совпа
дают с полюсами G(z, т), но модифицированное z-преобразова-
ние G(z, т) может иметь больше полюсов, чем соответствующее
z преобразование G(z) в зависимости от импульсной переходной
функции, соответствующей передаточной функции G(s), и от ча
стоты прерывания системы. Для иллюстрации предположим, что

передаточная функция G(s) на фиг

имеет вид

G(S) , [(s + a)2 + ^J

(7 5-3)
С помощью таблицы z преобразований (см приложение 1)
находим
кого типа, изображенной на фиг 7 5—1, видно, что вход и выход
ее связаны соотношением

С<!)’Тда8'(1>	(7 5-10)

Ранее было показано, что z-преобразование и модифицирован
ное г преобразование, соответствующие C(s) из формулы (7. 5—10),
имеет вид

(7 5-12)

(7 5—13)

(7 5-14)

(7 5—15)

(7 5—16)



D (z) = Q (z)/Qa (г)

(7 5-17)

(7 5-18)
ходкого процесса (тес помощью дополнительных полюсов
G(z, т), которые отличаются от полюсов GH(z). Из уравнения
(7 5—16) видно, что анализ с помощью z преобразования не дает
составляющих переходного процесса, вызванных дополнительными
полюсами, имеющимися в G(z, m)

Если некоторые корни P(z) + Q(z) ~ 0 (корни характеристи
ческого уравнения) лежат вне единичного круга плоскости z,
то выходная последовательность системы будет бесконечно воз-
растать Как z-преобразование, так и модифицированное z пре-
образование [уравнения (7. 5—16) и (7 5—18)1 позволят уста-
новить, что система неустойчива Если же все корни уравнения
P(z) + Q(z) = 0 лежат внутри единичной окружности, то анализ
с помощью z преобразования покажет, что система устойчива
Однако это не дает полной уверенности в устойчивости системы.
Это условие лишь показывает, что выходная последовательность
системы ограничена

Система может быть устойчивой в моменты замыкания и в то же
время в ней могут наблюдаться и незатухающие колебания в те
чение периодов прерывания, если дополнительные полюсы G(z, m)
лежат вне единичной окружности Вследствие того, что анализ
с помощью z-преобразования не выявляет этот вид неустойчиво
сти, последний часто называется в литературе скрытой неустой
чивостью. Скрытая неустойчивость может появиться тогда, когда
передаточная функция прямой цепи G(s) имеет полюсы в правой
полуплоскости и G(z, m) имеет больше полюсов, чем G(z) Если
G(s) является передаточной функцией элементов между импульс-
ным элементом и выходом системы, то мало вероятно, чтобы G(s)
имела полюсы в правой полуплоскости s и чтобы имелась возмож-
ность наличия скрытой неустойчивости Скрытая неустойчивость
может иметь место, если система имеет местную обратную связь
в прямой цепи, и контур этой'обратной связи неустойчив. Не-
смотря на то, что вероятность появления скрытой неустойчиво-
сти в импульсных САР незначительна, ею все же не следует
пренебрегать при исследовании этих систем Для того чтобы исклю-
чить возможность появления скрытой неустойчивости, контуры
местной обратной связи импульсных САР обычно делают устой-
чивыми

Ниже рассматривается пример, иллюстрирующий вычисление
высокочастотных колебаний в течение периодов прерывания
в импульсной САР Рассмотрим импульсную САР с единичной
обратной связью, в которой имеется местная обратная связь
(фиг 7 5—4, а) Передаточные функции элементов этой системы
равны
^(8)^-2-

(7 5-20)

fi)

Легко показать, что передаточная функция прямой цепи си
стемы определяется

a z преобразование, соответствующее G(s), имеет вид

g (*) = т4т

Так как

®0Т = 2®7’ = 4л, аТ = 2,

то уравнение (7 5—23) можно привести к виду



(7 5-23)

(7 5-24)

(7. 5—25)

401
Как известно, z преобразования выхода и входа системы
связаны уравнением



(7 5-26)

здесь G(z) определяется выражением (7 5—25) а
к (г) -	(7 5~27)

Подставляя выражения (7 5—25) и (7 5—27) в (7 5—26)
и упрощая получим преобразование выхода

1)(г2 —+270г+5 13бУ	(7 5“28)

+ 0,8412 5 + 0,798г-6 Н

(7 5-29)

скрытые колебания можно легко обнаружить, применяя анализ
с помощью модифицированного z преобразования Модифициро
ванное z преобразование, соответствующее функции G(s), опреде
ляемой уравнением (7 5—22), имеет следующий вид

G (z, m) =	~

е-атт> (7 5-3!)
подставляя в выражение (7 5—31) известные величины получим

(г — 0 135)(г — 1)

Для одноконтурной системы с единичной обратной связью,
изображенной на фиг. 7 5—4, б, модифицированное z преобра
зование выхода C(z, tn) определяется выражением

Подставляя выражения (7. 5—25) и (7 5—32) в (7 5—33),
получим модифицированное z-преобразование выходной реакции
системы на единичную ступенчатую функцию на входе

(z— l)(z2

-	2 [(г — 0 135) — (г — 1) e~~2fn cos 4/ил]	(

-	(г — 1)(г3 — 0 270г + 0 135)	V

Начальное и установившееся значения реакции системы
легко найти из формулы (7. 5—34) с помощью теорем о начальном
и конечных значениях, рассмотренных в параграфе 5 7 Началь-
ное значение реакции системы определяется следующим соот-
ношением

О 865z2

Таким образом, выход системы равен нулю при t — ।
логично установившееся значение реакции системы равно

Это означает, что в установившемся состоянии выходной
сигнал системы равен входному

В параграфе 5 7 указано, что реакцию системы в течение пер
вою периода прерывания можно найти с помощью модифициро
ванного г преобразования выхода системы без обратного преоб
разования В течение интервала времени 0 < t < Т
c(tnT) — 1 —е~атТcos 4тп = 1 —e~2mcos4mn (7 5—38)

Выражение (7 5—38) определяет импульсную переходную
функцию, соответствующую G(s) при t = тТ

Из выражения (7 5—38) видно, что высокочастотные колеба
ния появляются между моментами замыкания. Максимальные
и минимальные значения этих колебаний легко определить с по
мощью обычных правил Положительные и отрицательные макси
мумы с(тТ) имеют место при таких значениях т, которые удо
влетворяют уравнению

dc(mT') _ 0

m	с (шТ)	Перерегу- в %
0,2375 0,4875 0,7375  0,9875	1614 0,629 1,226 0,863	61 4  226  —13,7

(7 5—39)

(7 5-41)

т = 0,2375, 0,4875, 0,7375, 0,9875	(7 5-42)

Максимальные и минимальные значения с(тТ), вычисленные
по уравнению (7 5—38), приведены в таблице

Необходимо отметить, что при наличии скрытых колебаний
для оценки максимального перерегулирования нельзя применят
уравнение (7 2—21)

Выход системы в течение n-го периода прерывания (в течени
интервала времени (п — 1) Т < t < пТ) определяется с пс
404
ci'"- ^ = ~Sirx



Этот интеграл легко вычислить с помощью теоремы вычетов

На фиг. 7 5—5 изображены выходная последовательность
и выходная функция времени системы, на вход которой подана
единичная ступенчатая функция Из
предыдущего анализа видно, что нали-
чие скрытых колебаний между момен-
тами замыкания невозможно обнару-
жить с помощью z-преобразования, в то
время как применение модифицирован-
ного z преобразования, которое яв-
ляется дальнейшим развитием z пре-
образования, позволяет получить всю
необходимую информацию.

На основании приведенного анализа можно заключить, что
скрытые колебания будут отсутствовать, если комплексные по
люсы регулируемой системы лежат внутри основной полосы
плоскости s Если же комплексные полюсы регулируемой системы
лежат вне основной полосы плоскости s, то в системе будут скры
тые колебания Для систем управления самолетами и снарядами
необходимо тщательно проверять возможность появления скрытых
колебаний, так как высокочастотные резонансные пики, соответ
ствующие механическим или другим колебаниям конструкций
самолетов и снарядов, могут иметь место на частотах значительно
превышающих частоту среза системы управления
Круга, соответствует выходная последовательность в виде зату
хающих колебаний. В данной главе изложены два аналитических
метода определения пульсаций системы между моментами замыка
ния и ее ошибки

Первый метод состоит в разложении передаточной функции
прямой цепи на простые дроби и вычислении реакции на после
довательность импульсов Второй метод основан на применении
модифицированных z преобразований Было рассмотрено вычисле
ние коэффициента пульсаций и среднего значения квадрата
ошибки. Если задано допустимое среднее значение квадрата
ошибки, то требуемая частота прерывания импульсной системы
автоматического регулирования может быть найдена с помощью
формулы для коэффициента пульсаций В последней части главы
рассмотрены скрытые колебания и скрытая неустойчивость им
пульсных систем. Возможность появления скрытых колебаний
на выходе импульсной системы зависит, прежде всего, от вида
импульсных переходных функций прямой цепи системы и периода
прерывания Скрытые колебания могут возникнуть в случае
когда комплексные полюсы передаточной функции регулируемой
системы лежат вне основной полосы левой полуплоскости s
ГЛАВА 8

ПРИНЦИПЫ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

использовании цифровых вычислительных машин и цифровых
методов в системах автоматического управления Это — проблема
аналого-цифрового преобразования

Цифровые системы являются системами автоматического
управления, в которых для обработки информации применяется
цифровое оборудование Такие системы ‘ можно подразделить
на две основные категории цифровые разомкнутые системы и
цифровые системы с обратной связью На фиг 8 1—1 изображена
упрощенная структурная схема цифровой разомкнутой системы,
в которой устройства для обработки цифровой информации служат
для управления обычной непрерывной САР Входная информация
для такой цифровой системы записывается на перфолентах,
перфокартах и т д в форме цифровой программы. Программи
руемая информация вначале поступает на цифровую мдщину для

N = anan-ian-2 ak ata0	(8 2—2)

В десятичной системе

г = 10, ak = 0,1,2,	,9	(8 2—3)

и число записывается в виде

В двоичной системе

г = 2, ak — 0 или 1
Таким образом,

^ = a,1X2n + flл-1X2л-1 +	+ МП

Их^хг0

(8 2—4)

(8 2-5)

(8 2-6)

(8 2—7)

Например, десятичное число 100 представляется в виде

100 = 1 х 2е + 1 X 25 + 0 X 24 + 0 X 2s -1- 1 X 24 0 X

X 21 + о X 2»	(8 2—8)

Следовательно, в двоичной системе счисления это число запи-
шется как 1100100 и
10,625 = 1 х 101 + 0 х 10» + 6 X IO’1 + 2 X 10-2 + 5 x

X 10-»	(8 2-12)

В двоичной системе это число представляется в виде

Следовательно,

Знак в верхнем левом углу означает, что необходимо занять

здесь п выбирается таким образом, что 2п является ближайшим
целым числом, меньшим числа W Если разность положительна,
ее нужно перевести в следующую колонку, если разность отрица-
тельна, уменьшаемое также переводится в следующую колонку
Цифры Nв легко определяются по коэффициентам ак k я цифра
равна 1, если ак 0, и k я цифра NB равна нулю, если ak < 0
410
В качестве иллюстрации рассмотрим число

В соответствии с изложенным получаем

Преобразование двоичного числа к десятичному эквиваленту
очень просто и выполняется с помощью последовательного ело
жения Например, рассмотрим двоичное число NB = 1101010
Десятичный эквивалент непосредственно определяется по формуле

Несмотря на то, что десятичная система является наиболее
распространенной при обычных вычислениях, она не подходит
для использования в быстродействующих вычислительных ма-
шинах Использование двоичной системы в цифровых устрой-
ствах для обработки информации имеет большие преимущества
по сравнению с десятичной системой Арифметические операции
в двоичной системе очень просты. Для представления числа
с помощью двоичного кода требуется меньше оборудования, чем
при десятичном коде, и в этом случае можно использовать наиболее
надежные электронные устройства с двумя устойчивыми состоя-
ниями, соответствующими цифрам 0 и 1 Следовательно, с инже
нерпой точки зрения в цифровых устройствах для обработки
информации наиболее целесообразно использовать двоичную си
стему счисления Однако десятичная система может быть исполь-
зована, если каждая десятичная цифра представлена группой
из четырех двоичных цифр Такая система счисления называется
двоично кодированной десятичной системой. Четыре двоичные
цифры могут образовывать 16 различных комбинаций, но из них
только 10 приписываются 10 различным десятичным цифрам
Эта система счисления обладает некоторыми свойствами двоичных
и десятичных систем, тем не менее она неэкономична и малоэф
фективна.

Двоично кодированная десятичная система образуется с по
мощью десяти двоичных представлений чисел от 0 до 9. Например,
десятичное число 106 будет в двоично кодированной десятичной
системе 0001 0000 ОНО Соответствующее представление этого
числа в двоичной системе имеет вид 1101010 Следовательно, для
представления числа между 000 и 999 требуется 10 разрядов для
двоичной системы и 12 разрядов для двоично-кодированной
десятичной системы Любой десятичный код обычно менее эффек-
тивен, чем двоичный код Десятичные коды используются в цифро-
вых машинах только для связи между оператором и машиной.

В табл 8 2—1 приведены первые 16 десятичных чисел (от О
до 15) и их эквивалентные представления в двоичной, двоично
кодированной десятичной и циклической двоичной системе
Из второй колонки таблицы видно, что в обычной двоичной системе
при переходе от одного числа к другому в любом направлении

возможны изменения от состояния

к состоянию ...1

и наоборот одновременно в нескольких элементах кода. В резуль-
тате небольшая позиционная ошибка или несогласование считы-

Деся-	Дн°аяЧ	ично кодирр-	Цикличе-	Деся-я	Ци°аяЧ	Система дво-	скТЛзо:
00  01  02 03 04  05 06 07	0000 0001 0010 ООН 0100 0101 оно 0111	000000 000001 000010  000011  000100 000101 000110  000111	0000 0001 ООН 0010 оно  0111 0101  0100	08  09  10  12  13  14  15	1000 1001  1010 1011  1100 1101  1110 1111	001000 001001 010000 010001  010010 010011  010100 010101	1100  1101  1111  1110  1010  1011  1001  1000

которой изображен рисунок кода преобразователя

Предположим, что считывающее устройство расположено над
рисунком, соответствующим 0100 Если линия считывания дви-
На практике широко применяется двоичный код с единич
ным расстоянием, называемый циклическим двоичным кодом
или кодом Грея Циклические двоичные коды для первых 16 деся
тичных чисел приведены в последней колонке табл 8 2—1
Из нее видно, что между двумя последовательными числами
происходит изменение лишь одного элемента кода от 0 к 1 или
наоборот Так как здесь изменяется лишь один элемент кода при
переходе, то небольшая позиционная ошибка может изменить
результат лишь на одну цифру по сравнению с правильным зна
чением, в то время как в обычной двоичной системе незначитель-
ная позиционная ошибка приводит к большой разнице между
истинным и снимаемым значениями Если преобразователь по-
строен по принципу циклического двоичного кода, то как пре-
дыдущее, так и последующее числа считываются правильно,
несмотря на некоторое рассогласование линии считывания
(фиг 8 2—1).

Пусть обычное двоичное представление десятичного числа N

а в циклическом двоичном коде число N записывается в виде
^с-=ЬпЬп-1Ьп-Ъ bk bxb0,	(8 2—17)

здесь значения ak и bk — либо 1, либо О

Представление числа в циклическом двоичном коде имеет
следующие свойства:

1	Основная формула циклической двоичной системы имеет
РИД	п
В формуле (8 2—18) знак плюс берется для наибольшей зна
чащей цифры, знак минус для следующей за ней справа и т д
Каждое последующее значение ak, не равное 0, отличается по
знаку от предыдущего Для пояснения применения формулы
(8. 2—18) рассмотрим табл 8 2—1 Число 9 в циклическом двоич-
ном коде запишется как 1101 Применяя формулу (8 2—18),
находим, что

2	Соответствие Nc является четным или нечетным в зависимо
сти от того, каково значение

О или а0

(8 2-20)

Соответствие Nc определяется как сумма цифр bk цикличе
ского двоичного представления Nc до модуля, т е соответствие

3	Цифры NB и Nc связаны следующими соотношениями

1, если ak =£ аА+1’

I 0, если ak = bk
t 1, если ak + bk

(8 2-24)

Например, обычное двоичное и циклическое двоичное представ
ления числа 9 NB = 01001 и Nc = 01101 Для этого случая
А _ 1 I П — 1 А _ n -I. О _ П „ _ n 1 — 1 о _ 1

4 Циклические двоичные представления любых двух после
довательных чисел N и N + 1 отличаются только в одной колонке
Это является важным свойством, которое делает циклическую
двоичную систему очень удобной в аналого-цифровых преобра-
зующих устройствах Далее рассматривается метод преобразова-
ния двоичного циклического кода в обычный двоичный код и
наоборот

Используя эти свойства, циклический двоичный код можно
получить из обычной двоичной записи с помощью сдвига одной
колонки с последующим логическим сложением (т е сложением
без переноса)


что является обычной двоичной записью данного числа

8 3 ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ПРЕОБРАЗОВАНИЮ
функцией количества разрядов двоичного кода, используемого
в преобразующем устройстве. Например, для обеспечения разре
шающей способности V1Ooo требуется 10 разрядов двоичного кода

Как показано в параграфе 3 6, квантование вносит искажение
в измеряемую величину Это искажение называется ошибкой
квантования При числовом анализе ошибка квантования экви
валентна ошибке округления, которая появляется вследствие
ограниченной числовой емкости цифровой части преобразующего
устройства, так как любое изменение входного сигнала в пределах
одного шага квантования не изменяет выходного сигнала Для
увеличения точности и разрешающей способности преобразую
щего устройства необходимо иметь достаточно малый шаг кван
тования

Время преобразования Временем преобразования называется
интервал времени между моментом, в который преобразуемый
входной сигнал подается на преобразующее устройство, и мо-
ментом, в который выходной сигнал устанавливается с заданной
точностью Иными словами, это — время, необходимое для вы
полнения кодирования или декодирования Время преобразо
вания связано с частотой прерывания и должно быть значи
тельно меньше периода прерывания Частота преобразования,
являющаяся величиной, обратной времени преобразования, по
добна полосе пропускания непрерывной системы. С увеличением
частоты входного сигнала, подаваемого на преобразующее устрой-
ство, точность выхода уменьшается, если частота преобразования
остается постоянной. Частота преобразования процессов кодиро
вания и декодирования связана с постоянными времени преобра-
зующего устройства, так же как полоса пропускания непрерывной
системы связана с различными постоянными времени системы.

Если точность выходного сигнала преобразующего устройства
поддерживается в любой момент времени в пределах одного
шага квантования, то новое значение выходного сигнала необ-
ходимо устанавливать каждый раз, когда входной сигнал изме-
няется от одного к другому уровню квантования Частота изме
нений уровней входного сигнала зависит от наклона кривой
входного сигнала и величины шагов квантования преобразующего
устройства При малых шагах квантования время, необходимое
для того, чтобы входной сигнал изменился от одного к другому
уровню квантования, приблизительно равно отношению величин
шагов квантования к наклону кривой входного сигнала Это
соотношение можно использовать для оценки верхнего предела
времени преобразования

Время преобразования является одной из составных частей
общего запаздывания разомкнутого контура цифровой САР Так
как слишком большое запаздывание нежелательно, то время
преобразования должно быть небольшим Значение времени
преобразования зависит от типа преобразующего устройства и
обычно находится в пределах от нескольких микросекунд до
десятков миллисекунд В случае, когда преобразующее устройство
обслуживает несколько каналов, разделенных по времени, осо
бенно желательны небольшие значения времени преобразования

Однозначность Как указывалось выше, в аналого-цифровом
преобразователе, использующем обычную двоичную систему,
существует проблема неоднозначности при переходе к соседнему
числу Числовая ошибка обычно появляется, когда значение
сигнала находится между двумя возможными положениями 0 и 1.
Для решения проблемы неоднозначности применяются двоичные
коды с единичным расстоянием, в частности циклический двоич
ный код Кроме того, для устранения ошибок вследствие неодно
значности при переходе применяются метод двойного съема
метод V развертки и однозначные цепи

Требования к временной памяти При преобразовании непре
рывных величин в цифров\ ю форму необходимо, чтобы непрерыв
ная входная величина, которая измеряется (или прерывается),
оставалась постоянной в течение периода преобразования Для
этого требуется временная память или удерживающее устройство,
которое сохраняет значение входного сигнала до тех пор, пока
не закончится процесс преобразования. Устройство временной
памяти находит также и другие применения в цифровых САР
Например, в системах управления дискретные данные, которые
появляются в произвольные моменты времени на входе некого
рого устройства (вычислительной машины), необходимо запомнить
до тех пор, пока они не будут использованы. Временная память
также необходима, когда выход вычислительной машины системы
управления должен оставаться постоянным между двумя последо
вательными решениями

8 4 МЕТОДЫ КОДИРОВАНИЯ

Процесс преобразования непрерывных величин в цифровую
форму часто называется процессом кодирования Для преобра
зования непрерывных (аналоговых) величин в цифровую форму
необходимо выполнить три основные операции

1)	разбить ось времени на некоторое число равных интерва
лов, что фактически является процессом прерывания,

2)	измерить амплитуду кривой входного сигнала в каждом
интервале (процесс считывания);

3)	выразить измеренную амплитуду в форме числового кода,
например двоичного Эта операция включает процесс кванто-
вания

На фиг. 8 4—1 проиллюстрированы эти три шага Сигнал
в непрерывной форме е(/) необходимо преобразовать к цифро-
вому виду. Вначале сигнал прерывается в моменты О, Т, 2Т,
Каждое дискретное значение сигнала затем измеряется, кван
туется и представляется в виде двоичного кода Например, дискрет
ное значение при t = 0 представляется как 010; дискретное зна
чение при t = Т — как 100, дискретное значение при t = 2Т —
как 101 и т д

Хотя процесс преобразования информации из непрерывной
в цифровую форму может выполняться с помощью нескольких
различных схем, обычно все кодирующие устройства работают
на базе одного из четырех фундаментальных принципов вре
менного кодирования, пространственного кодирования, коди
рования с помощью сравнения или взвешивания и кодирования
с обратной связью. Временное кодирование включает промежу
точное преобразование в интервалы времени Аналого-цифровые
преобразователи, основанные на

010 100 101 101

цифрового преобразования.

принципе временного кодирова
ния часто называются кодирую
щими устройствами типа счетчи
ков, так как они выполняют one
рацию счета При пространствен
ном кодировании используется
пространственная геометрия для
непосредственного считывания в
форме кода Поэтому аналого ци
фровые преобразователи харак

теризующиеся пространственным кодированием обычно назы
вают кодирующими устройствами считывающего типа

При кодировании с помощью сравнения или взвешивания опор
ные напряжения, каждое из которых соответствует некоторой
степени 2, последовательно сравниваются с входным аналоговым
напряжением Аналого-цифровые преобразователи, работающие
по этому принципу, часто называются кодирующими устройствами
взвешивающего типа Кодирование с обратной связью основано
на сравнении дискретного входного напряжения с напряжением
обратной связи, которое изменяется управляющей цепью до тех
пор, пока эти два напряжения не становятся равными Аналого
цифровые преобразователи, основанные на этом принципе коди
рования иногда называются кодирующими устройствами с обрат
ной связью Ниже рассматриваются эти четыре метода кодиро

Временное кодирование и кодирующее устройство типа счет
чика. Кодирующие устройства типа счетчиков являются наиболее
разработанными аналого цифровыми преобразователями, которые
используют последовательность дискретных меток или импульсов
выражающих величину непрерывного входа в унитарном коде
В этом кодирующем устройстве электронный ключ находится
в проводящем состоянии в течение измеряемого .интервала вре
418


вале обратно пропорционально величине шагов квантования
дискретных значений сигнала Если частота импульсного гене-
ратора выбрана так, что генерируются 128 импульсов в течение
интервала измерения (полного интервала включения), то разре-
шающая спосооность составит V^g. Так как максимальное коли
чество импульсов за полный интервал измерения постоянно, то
количество импульсов, проходящих через ключ, дает не только
значение амплитуды непрерывного кодируемого напряжения,
но и точное время его измерения Так как непрерывный сигнал
может измениться в течение интервала измерения, то обычно

используется временное запоминающее

удерживающее

устройство для того, чтобы запоминать дискретные значения
непрерывного сигнала, взятые через равные интервалы, и удер
живать напряжение постоянным во время периода измерения
Таким образом, можно получить считывание с постоянными интер-
валами Точность устройства кодирования по времени опреде-
ляется линейностью включающего сигнала и точностью цепи
сравнения Время преобразования таких кодирующих устройств
зависит от скорости счета vc счетчика и максимального значения
числа N, которое должно быть закодировано Если время, необ-
ходимое для считывания и Сороса счетчика, составляет то
время преобразования tc определяется уравнением

Наивысшая рабочая частота реального счетчика равна около
5 Мгц-, а обычно требуется минимум 1 мксек для считывания
и сброса счетчика Таким образом, наименьшее время преобра-
зо^дния, которое можно получить в таком устройстве кодиро-
вания по времени, равно
перебрасывается каждым 2048 м импульсом с выхода 11-разряд
ного двоичного счетчика то кодирующая цепь может иметь период
покоя в течение 1024 импульсов за каждый цикл преобразования
Непрерывное кодируемое напряжение и пилообразное напряже
ние сравниваются в амплитудно сравнивающей цепи Когда эти
два напряжения становятся равными, цепь сравнения генерирует
останавливающий импульс для размыкания ключа и считывания
со счетчика Через некоторое время управляющая цепь посылает
импульс сброса на счетчик для последующего открывания ключа

Импульсный генератор представляет собой либо мультивибратор,
либо кварцевый генератор В качестве генератора пилообразного
напряжения обычно используется фантастрон (фиг 8 4—5)
Существует большое количество различных схем- сравнения
В качестве сравнивающих устройств (по напряжению) обычно
используются триггерная цепь Шмитта (фиг 8 4—6) и регенера
тивный усилитель с диодным управлением На фиг 8 4—7 изо
бражена структурная схема элементарного двоичного счетчика
использующего триггеры

Устройства кодирования по времени просты по конструкции
^ти устройства используют лишь несколько стандартных цепей
и не включают сложных логических схем Точность преобразо
вания кодирующих устройств данного типа ограничивается цепью
сравнения так как увеличение точности чувствительного эле
мента является сложной проблемой при проектировании высоко
качественных цепей сравнения амплитуд Кроме того, на точность
преобразования влияет линейность цепи включения. Частота
триггеров счетчика накладывает ограничение на скорость работы
таких кодирующих устройств, что показано уравнением (8 4—1)

и опорные метки на барабане можно образовать не только меха
нически, но и бесконтактным магнитным способом Разрешаю
щая способность этого преобразующего устройства определяется
числом квантующих меток, нанесенных по окружности барабана,
а точность преобразования зависит от точности считывающих
головок

Пространственное кодирование и кодирующие устройства
считывающего тийа Метод пространственного кодирования осно-
ван на использовании геометрических конфигураций для непо-

средственного считывания в кодовой форме В кодирующем
устройстве этого типа аналоговый сигнал сравнивается с про
странственным рисунком кода Для иллюстрации принципов
пространственного кодирования ниже рассматривается несколько
кодирующих устройств считывающего типа

Двоичное кодирующее устройство считывающего типа На
фиг 8 4—9, а дано схематическое изображение упрощенного
двоичного кодирующего устройства считывающего типа, которое
состоит из диодной матрицы, соединенной с сегментами (пласти
нами) коммутатора Это кодирующее устройство преобразует
линейное или угловое перемещение в двоичный код Входом
данного кодирующего устройства является положение щетки
Цифровой выход снимается с зажимов А, В и С Если на зажиме
отрицательное напряжение, то это соответствует 1, если же на
зажиме нулевое напряжение, то это соответствует О В диодной
матрице записана таблица двоичных чисел Например, если щетки
касаются сегмента 5, то на зажимах А и С появляется отрица-
тельное напряжение, а на зажиме В нет напряжения В этом слу-
чае считанное значение выхода будет 101, т е позиция 5 закоди-
рована в двоичную запись 101 Если щетка перемещается от одного'
сегмента коммутатора к другому, то на выходных зажимах обра-
зуются различные двоичные комбинации Число различных


<f)

считывающего типа, часто решается с помощью перехода к коду
с единичным расстоянием, описанному в параграфе 8 2. На
фиг. 8 4—9, б схематически изображено кодирующее устройство
считывающего типа с циклическим двоичным кодом Диодная
матрица преобразована так, что положение сегментов представ-
ляется циклическим двоичным кодом Если сегменты 3 и 4 зако-
рочены щеткой, то на выходе будет снято число 110, что соответ-
ствует 4 в десятичной системе

Цифровой преобразователь углового перемещения. Это пре-
образующее устройство преобразует положение вала в цифровой
код с помощью механически вращающегося вала и кодирующего
диска. Кодирующий диск тщательно центрирован на валу, угло-
го диска, потенциальная воз
можность этого кодирующего устройства велика. Кроме того
разрешающая способность цифрового преобразователя может
быть улучшена благодаря применению двух кодирующих дис
ков вместо увеличения диаметра и числа каналов на одном
диске В этом случае один диск соединяется с другим с по
мощью редуктора с необходимым передаточным коэффициентом
С применением связанных дисков можно получить разрешающую
способность до Vi00000().

Для обеспечения однозначности в цифровых преобразователях
часто используется циклический двоичный код. Если же необ
ходим обычный двоичный код, то для предотвращения ошибок
на границе сектора применяется метод сдвоенных щеток Одна
щетка скользит по наибольшему кольцу (кодовой дорожке)
соответствующей цифре 2° (наименьшая значащая цифра), а по
каждой из остальных кодовых дорожек скользят две щетки
Одна из этих щеток сдвинута вперед по отношению к кодируе
мому угловому положению, а другая щетка отстает на такой же
угол от этого положения Расстояние между двумя щетками равно
угловой ширине сегмента наибольшей кодовой дорожки комму-
татора При таком расположении щеток возможная ошибка не
превышает наименьшей значащей цифры, соответствующей деся
тичной записи

Другим видом цифрового преобразователя углового положе
ния является преобразователь со стеклянным диском, на к угором
нанесен специальный кодовый рисунск в виде прозрачных и непро
зрачных секторов, образующих концентрические кодовые дорожки,
соответствующие разрядам 2° 21, 22	, 2п Сбоку от кодирую

щего диска располагается экран с радиальной щелью, вдоль кото
рой помещаются фотоэлементы, которые и считывают угловое

положение в цифровом коде. Это
устройство может иметь очень
высокую точность

Кодирующее устройство по
напряжению с двоичной маской
Это преобразующее устройство
использует двоичную маску для
непосредственного считывания
в кодовом виде. Типичным коди
рующим устройством данного ви
да является кодирующее устрой
ство на электронно лучевой труб
ке Двоичная маска распола
гается внутри электронно-луче
вой трубки между электронной

1 Од	\	УШ  Циклическая

лучевой трубки

пушкой и анодом причем плоскость маски перпендикулярна
горизонтальной оси На фиг 8 4—11 показана типичная двоич
ная маска, на которой заштрихованная поверхность обозначает
отверстия маски При отсутствии сигнала на отклоняющих пла
стинах по Y пилообразный сигнал, подаваемый на отклоняющие
пластины по X, осуществляет развертку электронного луча
по ряду, соответствующему нулю В этом случае ток анода от
сутствует, так как в указанном ряде маски нет отверстий Если
к отклоняющим пластинам по Y прикладывается напряжение,
то на выходе появляется последовательность двоичных чисел,
которые соответствуют вертикальному отклонению электронного
луча Это происходит вследствие горизонтальной развертки луча
по двоичной маске Используя трубку с плоским лучом, можно
получить параллельное цифровое считывание

Для кодирования можно использовать обычную электронно
лучевую трубку, если ее экран закрыть двоичной маской, рас
положенной перпендикулярно горизонтальной оси, а напротив
расположить фотоэлемент дня считывания На фиг 8 4—12
изображена схема простого кодирующего устройства, в котором
используется прямоугольная кодирующая маска в виде экрана
Если на горизонтальные пластины подается развертывающее
Nc -* bnbn^	bk	b^o

NB ~ anar^	ak	ахай,

(8 4—3)

(8 4 -4)
зано, что

(8 4-5)

входного непрерывного напряжения на период сравнения исполь
зуются импульсный элемент и запоминающее звено Цепь сравне
ния и логическая цепь служат для сравнительной оценки входного
и опорных напряжений В состав цепи сравнения входят делитель
напряжений для получения опорных напряжений Триггеры
опрокидываются с помощью опорных напряжений только тогда
когда неизвестное напряжение или его остаток превосходит
опорное напряжение Кольцевой счетчик служит для управления
соответствующими ключами Цепь суммирования подключает
выходы триггеров к одной выходной линии, исключая связь между
ними

Точность кодирующих устройств взвешивающего типаограничи
вается точностью опорного напряжения и цепи сравнения напря
жений Если опорные напряжения получаются с делителей на
пряжений, то точность преобразования также зависит от стабиль
ности и точности источника напряжения и сопротивлений, ис
пользуемых в делителях напряжений. Скорость преобразования
кодирующих устройств этого типа больше чем при временном
кодировании Используя лампу с коммутируемым лучем типа
магнетрона, можно достигнуть времени преобразования в 10 мксек
Основным недостатком этого кодирующего устройства является
наличие логической цепи Обычные переключающие цепи очень
8 5 БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩЕЕ КОДИРУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО
НА ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЯХ

повторяется для всех кодирующих устройств Каждая ячейка
генерирует двоичную цифру и дает сигнал напряжения для еле
дующей кодирующей ячейки В принципе кодирующее устрой
ство на п двоичных чисел можно собрать соединив последова
тельно п простейших кодирующих цепей Цепь кодирования —
декодирования объемом в 1 бит можно осуществить с помощью
амплитудной цепи сравнения, например цепи Шмитта, описан
ной в параграфе 8 ’4, или операционного усилителя с большим
усилением, выход которого ограничен двумя фиксированными
уровнями
напряжения Для каждой ячейки Уравнение (8 5—2) гра
фически изображено на фиг. 8 5—4 Передаточные характе
ристики по напряжению, необходимые для каждой ячейки коди
рующего устройства последовательного типа, имеют пилообразную
форм} Следовательно, с помощью последовательного соединения
одноразрядных кодирующих ячеек, передаточные характеристики
которых определяются уравнениями (8. 5—1) и (8. 5—2), можно
собрать двоичное кодирующее устройство, преобразующее любое

входное напряжение в параллель
ный цифровой сигнал В качестве

Фиг. 8 5—3. Передаточ
рующей ячейки осуществляется с помощью двух операционных
усилителей, которые являются усилителями постоянного тока
с высоким коэффициентом усиления и балансными выходами
Схема'цепи одноразрядной кодирующей ячейки изображена на
фиг 8 5—5 Первый усилитель выполняет функцию одноразряд-
ной кодирующей — декодирующей цепи Если Vk меньше, чем
Уд то ak равно 0 и выходной сигнал усилителя равен 0 Если
Vk превышает Уд, то ak = 1 и выходное напряжение усилителя
Vk равно Уд Диоды используются для ограничения выходного

напряжения, которое должно быть равно либо 0, либо Уд если
эго ограничение невозможно осуществить на выходном каскаде
усилителя. Для улучшения формы ступенчатой переходной ха-
рактеристики кодирующей ячейки можно использовать положи
тельную обратную связь, как показано пунктирными линиями
на фиг 8 5—5. Вследствие этой положительной обратной связи
усилитель будет неустойчивым для любых значений выхода, от
личающихся от 0 или Уд

Это обеспечивает быстрое переключение из одного состояния
в другое и ограничивает ошибки кодирования, вызываемые не-
однозначностью цифрового выхода, если вход очень близок к на-
пряжению Уд Второй усилитель служит в качестве вычитающего
устройства, которое формирует требуемое напряжение УА_Х для
следующей ячейки, равное разности между входным сигналом УА
и выходным напряжением У/г первого усилителя Второй усили-
тель подключается так, что если Уй < Уд, то У^г = 2Ук, и если
Vk > VR, то yfe_x = 2 (yft — akVд) Таким образом, условия урав

Другим методом реализации ступенчатой характеристики
является применение амплитудно-сравнивающей цепи
(фиг. 8 5—6) Эта цепь выполняет функцию кодирующей — де-
кодирующей цепи одноразрядной кодирующей ячейки
436
Последовательный цифровой
йналого цифровым преобразующим устройствам Точность пре
образования определяется шагами квантования и числом коди
рующих ячеек использующихся в кодирующем устройстве

Если необходим последовательный цифровой выходной сиг
нал, то кодирующая цепь может быть существенно упрощена
В этом случае требуется только одна одноразрядная кодирующая
ячейка и линия задержки, которые соединяются в замкнутый кон
тур (фиг. 8 5—7) Одноразрядная кодирующая ячейка исполь
зуется многократно для последовательного получения всех цифр
На фиг. 8 5—7 Vk — напряжение (дискретное значение), которое
необходимо закодировать Выходное напряжение Vk , в данный
момент времени становится входом кодирующей-ячейки в следую
щий момент времени Таким образом, входное напряжение ко
дируется в виде цифр образующих регулярную последователь
ность с наибольшей значащей цифрой вначале

8 6 МЕТОДЫ ДЕКОДИРОВАНИЯ

Преобразователь цифровое величины
в аналоговую

рывную Первая операция часто называется декодированием, а вто

рая — запоминанием Процесс преобразования цифровых вели
В двоичной записи число N представляется в виде

4-01X2 +о0х2°	(8 6—2)

Из этого уравнения видно, что каждому положению в двоич
ной записи соответствует позиционное значение При переходе
справа налево позиционные значения последовательно возрастают
в 2 раза. Первое значение справа (наименьшее значащее положе
ние) имеет позиционное значение 1, второму положению справа
соответствует позиционное значение 2 и (Н 1)-му положению
справа соответствует позиционное значение 2/г Кривая распреде
ления позиционных значений имеет экспоненциальную форму
При представлении двоичного числа в виде сигнала с импульсно
кодовой модуляцией импульс кода в каждом положении соответст
вует значению которое можно назвать импульсным значением
Оно равно произведению позиционного значения и соответствующей
цифры. Например импульсное значение, представленное первым
импульсом справа, а0 х 2° Оно равно нулю, когда а0 = 0, и еди-
нице. когда ап = 1 Импульсное значение (k -1- 1) го импульса
равно ak х2* В качестве примера на фиг 8 6—2 приведены по-
зиционные и импульсные значения двоичного числа 1100100
Следовательно, из уравнения (8. 6—2) получаем величину,
представленную группой двоично кодированных импульсов,
равную сумме импульсных значений в каждой позиции. Так как
декодирование является процессом нахождения значения, пред-
сгавленного группой двоично-кодированных импульсов, то деко-
дирующее устройство выполняет арифметические операции, пред-
ставленные уравнением (8 6—2) Так как кривая распределения
позиционных значений имеет экспоненциальную форму, то про
цесс декодироввния можно выполнять используя известное свой-
ство конденсатора, разряд которого через сопротивление также
происходит по экспоненциальной кривой.

Qk = Qoe-^RC,

(8. 6-4)

здесь Qo = CV9 Подставляя в уравнение (8 6—4) 2Г вместо е,
получим



(8 6—5)
Далее, если значения емкости и сопротивления RC цепи вы
браны так, что

уравнение (8 6—5) приводится к виду

Подставляя Qo = 2П, уравнение (8 6—7) приводим к виду
QA = 2”-ft,	(8 6—8)

откуда получаем

т е значения заряда конденсатора в моменты t = 0, р, 2р,
Зр, . пр можно выразить как степени 2 Это наводит на мысль,
что данная простая RC цепь может быть использована для декоди
рования

Если на катушку реле последовательно подаются п ненулевых
импульсов кода, то конденсатор С будет заряжаться в моменты
t = 0, р, 2р, Зр, , (п — 1) р и разряжаться через сопротивле-
ние R в течение периодов между импульсами В этом случае в мо-
мент времени t = пр первый импульс кода вызовет накопление
заряда в 2° кулонов на конденсаторе, второй кодовый импульс
вызовет заряд конденсатора в 21 кулонов, третий импульс кода
вызове, заряд в 22 кулонов на конденсаторе, . . и п й кодовый
импульс вызовет заряд в 2Л-1 кулонов Следовагельно, значения
зарядов, накопленные на конденсаторе к моменту времени t = пр,
в результате последовательного приложения ненулевых импуль
сов кода представляют позиционные значения n-разрядной двоич
ной записи Импульсное значение равно позиционному значению,
когда соответствующий импульс кода положителен, импульсное
значение равно нулю, когда соответствующий кодовый импульс
равен нулю

Таким образом, значения зарядов, накопленных конденсатором,
к моменту времени t = пр после последовательного приложения
п кодовых импульсов двоичного числа с наименьшим значащим^
кодовым импульсом в начале кода представляет собой импульсные
значения в каждом положении Если на обмотку реле RC цепи
подается последовательно п импульсов кода двоичного числа, на-
чиная с наименьшего значащего числа импульса кода, то общий
заряд, накопленный на конденсаторе С к моменту времени
t — пр, равен значению, соответствующему данному двоичному
числу Таким образом, RC цепь, изображенная на фиг 8 3—3,
выполняет операцию декодирования

писью 1100100 Таким образом, RС цепь полностью выполняет
операцию декодирования Необходимо указать что если RC цепь,
изображенная на фиг 8 6—3, используется для декодирования
цифровой информации в двоичном коде то конденсатор С должен
полностью разряжаться после каждой операции декодирования
(преобразование группы кодированных импульсов к эквивалент-
ному импульсу).

Реальная декодирующая цепь для последовательного двоич

ного кода изображенная на фиг 8 6—5 называется

декодирую
щимися сопротивлениями1, которая может выполнять операцию
параллельного декодирования, если значение любого из парал
лельных сопротивлений равно

(8 6-10)

t. e параллельные сопротивления двоично взвешены Переклю-
чения этой декодирующей цепи представляют собой двоичные
цифры ak в каждом положении двоичного числа Считая слева,
первый ключ представляет наибольшую значащую цифру ап,
а последний ключ — наименьшую значащую цифру а0

Если ключ открыт, то цифра, которую он представляет, равна
нулю, если же ключ замкнут, то цифра, которую он представляет,
равна единице. Эти ключи нормально разомкнуты и управляются
кодовыми импульсами двоичного числа, которое необходимо де
кодировать Положительный импульс кода (цифра 1) замкнет
ключ и подсоединит соответствующее сопротивление к цепи Ну-
левой импульс кода (цифра 0) оставляет ключ открытым, и сопро-
тивление не подсоединяется Если величины параллельных со-
противлений удовлетворяют уравнению (8 6—10), то величины

logy 1953‘
444

and Design of Digital-to-analog Decoder
aboratory, Massachusetts Institute of Techno
(8 6-11)

здесь ak есть 0 или 1; в зависимости от того, имеется этот разряд
в числе NB или нет* Так как величина, выраженная двоичным
числом, имеет вид

^ = Д^х2*.

то уравнение (8 6—11) дает

(8 6—12)

(8 6—13)

(8 6-14)

NVr
N-\~а

(8 6—16)

445
Это уравнение можно разложить следующим образом

>^4Н>-4+(4)44)4 ]

Если а значительно больше N, уравнение (8 6—17) можно
заменить аппроксимацией

Это уравнение означает что если а значительно больше N вы
ходное напряжение Va пропорционально величине представлен
ной двоичным числом, и следовательно операция декодирования
осуществляется полностью

Из сказанного легко видеть, что точность преобразования этого
декодирующего устройства определяется отношением Nia Для
более высокой точности преобразования требуется, чтобы N было
намного меньше а Когда значение N возрастает линейная за
висимость между Va и N больше не выдерживается и точность пре
образования становится низкой Разрешающая способность дан
ного декодирующего устройства зависит от количества разрядов,
используемых для представления числа Так как параллельные
сопротивления двоично взвешены то значения сопротивления
используемого в декодирующем устройстве данного типа, должны
иметь очень широкий диапазон

Необходимость применения больших номиналов сопротивлений
вызывает существенные затруднения в том случае когда требуется
малая величина времени нарастания выходного сигнала Кроме
того, так как величина а должна быть очень большой а сопротивле
ние Rs малым по сравнению с другими сопротивлениями цепи то
полная величина выходного напряжения будет меньше 1 в

Это декодирующее устройство можно улучшить, если до
биться того что знаменатель уравнения (8 6—16) станет постоян
ным, в результате чего будет получена линейная декодирующая
цепь Уравнение (8 6—16) можно записать в виде

= .. N/R .	(8 6—191
(8 6—22)

Подставляя уравнения (8 6—14) и (8 6—20) в (8 6—22),
получим

(8 6-23)
Это уравнение можно записать в виде

(8 6-24)

(8 6-26)

Следовательно, выходное напряжение Va определяется выра-

жением

у =_____________у = . Л..._ д/

° Re + RL r Nm + a’

(8 6-27)
(8 6-28)

где ak = 1, когда ключ разомкнут цифрой 1, а,
замкнут цифрой О В этом случае

О, когда ключ

(8 6-29)

является величиной, представленной двоичным числом NB

8	7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналого-цифровые преобразователи играют важнук«рольвци ф-
ров! х е < автоматического управления Так к^к Цифровое
оборудование и системы управления используют информацию
в различных видах, то их нельзя связать друг с другом без про-
межуточных устройств Аналого-цифровые преобразователи слу-
жителя преобразования непрерывной информации в цифровые
КОДЬ.Ди наоборот. При проектирован.,., преобразующих устроиств
необходимо учитывать такие показатели, как частота прерывания,
разрешающая способность время преобразования, однозначность

и временная память
В данной главе кратко рассмотрены системы счисления, при-
меняемые в цифровом управлении, а также несколько основных
методов кодирования и декодирования и способы их реализации
Основным и наиболее разработанным аналого-цифровым преобра
зователем является кодирующее устройство типа счетчика Цифро-
вой преобразователь преобразует положение вала в цифровой код
Кодирующее устройство на электронно-лучевой трубке имеет наи-
высшую скорость преобразования На практике большинство из
декодирующих цепей для двоичных чисел, заданных в параллель-
ной форме, построено на переключающихся двоично взвешенных
сопротивлениях Кодирующие и декодирующие устройства на
операционных усилителях особенно полезны при моделировании
цифровых систем автоматического управления на аналоговой вы
числительной машине
ГЛАВА 9

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

9	1 ВВЕДЕНИЕ

Предыдущие главы были посвящены изложению основной тео-
рии и принципов анализа импульсных и цифровых систем автома
тического управления Теперь естественно применить эти прин
ципы для проектирования импульсных систем В гл. 4 был рас
смотрен метод анализа импульсных систем основанный на обоб-
щении обычного частотного метода, применяемого для анализа
непрерывных систем Вопросы устойчивости и других динамиче
ских свойств импульсных систем рассматривались с помощью
построения частотных характеристик систем в разомкнутом состоя
нии почти так же, как и при анализе непрерывных систем По-
видимому, обычный частотный метод можно применить также и
для проектирования импульсных систем исходя из определенных
требований к их динамике

В гл 6 и 7 рассмотрены методы анализа с помощью z-преобра-
зования и модифицированного г преобразования Качество импуль-
сной системы автоматического регулирования определяется по-
люсами и нулями передаточной функции в плоскости z Поведение
системы можно также исследовать с помощью годографа z преобра
зования импульсной передаточной функции разомкнутой системы
с помощью корневого годографа в плоскости z или преобразова-
ния выходного сигнала В связи с этим следует указать, что ме
тод z преобразования является мощным средством не только ана-
лиза но и синтеза импульсных систем

Благодаря простоте и легкости перестроения логарифмических
амплитудно фазовых характеристик систем автоматического регу-
лирования в соответствии с предъявляемыми к ним требованиями
этот метод приобрел исключительно большую популярность как
средство анализа и синтеза непрерывных САР Поэтому вполне
естественно попытаться обобщить метод логарифмических ампли-
тудно фазовых характеристик для синтеза импульсных систем
автоматического регулирования, Как указывалось в параграфеб. 2,
ствующая непрерывная сАР (б)

(9 1-2)

здесь

Ao(s)=GH\s)

Ay(z) — GH(z)

(9 1-3)

(9 1-4)
обозначают передаточную функцию импульсной системы в разомк-
нутом состоянии Первое выражение является функцией от s (или
более точно от eTs) и иногда называется передаточной функцией
со звездочкой Второе выражение представляет собой функцию
от z и обычно называется импульсной передаточной функцией.
С помощью подстановки

A*(s), являющаяся функцией от eTs, легко преобразуется к A0(z)
Передаточная функция Ао(«) представляет собой периодическую
функцию от s с периодом / a»s, где a»s — частота прерывания
в рад/сек Порядок знаменателя передаточной функции Xj(s) по
e~Ts [или импульсной передаточной функции A0(z) по z"1] равен
порядку соответствующей передаточной функции системы в разом-
кнутом состоянии A0(s) без импульсного элемента Если соот
ветствующая передаточная функция A0(s) не содержит полюсов
в начале координат плоскости s, то частотная характеристика
разомкнутой системы Ло(/®) всегда действительна при и = О
и и = nas/2, где п — целое число Форма годографа z преоб
разования от Ло (z) (полярный график A0(z) при z, движущемся
по единичной окружности против часовой стрелки) обычно зави-
сит от числа полюсов Л0(г) при z = 1 (фиг. 9 1—2)

На фиг 9 1—2, а изображен полярный график Л0(г) при от
сутствии полюсов на единичной окружности (в системе нет интег
рирующего звена) В этом случае импульсная передаточная функ
ция конечна для всех значении z и действительна при z = 1 и
z = — 1 Если Л0(г) не содержит полюсов на единичной окруж-
ности, за исключением одного полюса при z = 1, полярный гра-
фик стремится к бесконечности при z = 1 и замыкается в беско-
нечности бесконечной полуокружностью в правой половине пло-
скости Ло (фиг 9. 1—2, б) Необходимо отметить что годограф
z преобразования Л0(г) с одним полюсом при z = — 1 может
пересекать действительную ось плоскости Л0(г) более, чем в одной
точке (кроме точки, соответствующей z = —1). Если Л0(г) не
содержит полюсов на единичной окружности за исключением двой-
ного полюса при z = 1, полярный график замыкается в бесконеч-
ности двумя полуокружностями бесконечного радиуса в верхней
и нижней половинах плоскости Ао (фиг 9 1—2, в) Полюс при
z = 1 плоскости z отображается в бесконечно удаленную точку
плоскости Ао Если же A0(z) не содержит полюсов на единичной
окружности, за исключением тройного полюса при z = 1, поляр-
ный график замыкается в бесконечности с помощью двух 3/4
окружностей (фиг 9 1—2, г). Из этих почярных графиков видно,
что коррекцию САР с высоким порядком астатизма очень трудно
рсуществить с помощью линейных цепей
Фиг 9 1—2 Различные формы годографов z-преобразова
ния Л0(г) а — А0(г) не имеет полюса при г= 1,6 —Л0(г)
имеет единственный полюс при г= 1,в—Л0(г) имеет двойной
полюс при 2=1, г—Ао(?) имеет тройной полюс при г — 1.
Если из предварительного анализа импульсной САР в его
простейшем виде следует что общая характеристика не удовлетво-
ряет требованиям, то необходимо применить тот или иной метод
коррекции для улучшения свойств системы. Коррекция означает
улучшение свойств системы с помощью деформации годографа
ее импульсной передаточной функции в разомкнутом состоянии
Изменение передаточного коэффициента системы является наи-
более простым способом изменения ее свойств. Однако для боль-
шинства импульсных систем технические требования нельзя вы

полнить при изменении только передаточного коэффициента Не
обходимо часто вводить в контур управления корректирующие
или компенсирующие устройства Так же как и при проектирова
нии непрерывных систем автоматического регулирования, коррек
цию импульсных САР можно выполнить либо вводя корректирую-
щий элемент последовательно с другими элементами системы, либо
подключая его параллельно одному или нескольким элементам
и образуя таким образом местный контур обратной связи Первый
метод называется методом последовательной коррекции, второй
обычно называют методом параллельной коррекции или коррек
цией с помощью обратной связи Однако наличие прерывания
в импульсной САР затрудняет применение параллельной коррек

В отличие от непрерывных систем последовательную коррек-
цию импульсных САР можно выполнить с помощью двух основных
методов (фиг. 9 1—3) Первая схема представляет собой иллюст
рацию первого метода последовательной коррекции, последователь
ной коррекции с помощью непрерывных устройств или схем, на
9 2 СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
то соответствующая синусоидальная последовательность записы-

вается в виде

г (пТ) = a sin (wnT + 6),

(9 2—2)

Если весовая последовательность системы щ(в) на фиг 9 2—1
равна шп, то выходная последовательность определяется выра-
жением

= а 2 sin [со (п — k) Т + 0]

Так как

sin [со (п — k) Т + 0] = Im [е' [“ {п~к} г+9])

(9 2-3)

(9 2—4)

выражение (9 2—3) можно записать в виде

с (пТ) = Im [а Д wke! [м {n~k} г+0]| -
= Im |ае' (Mn7'+0) 2	,

(9 2-5)

F(s) = Ywke-kTs,

(9 2-6)
что является преобразованием со звездочкой импульсной пере-
ходной функции системы w (/) или преобразованием Лапласа
для импульсной функции w*(t) Подставляя /® вместо s в фор-
мулу (9 2—6), получим

W* (j®) - 2 /fec

Используя это соотношение, преобразуем уравнение (9 2—5)
к виду

c(nT) — Im {ael{e,nT+9}W*(](i>)}

Далее выражение (9 2—8) можно записать в виде

где |Г*(/®)|
угол 1Р*(/ю).

а — соответственно амплитуда

фазовый

Следовательно, выходная последовательность си-

стемы определяется уравнением

Это выражение означает что при подаче на вход импульсной
системы (фиг 9. 2—1, а) синусоидального сигнала с частотой ®
на выходе получается последовательность импульсов, огибающая
которых также является синусоидой той же частоты, но с ампли
тудой, уменьшенной в | W*(ja)\ раз, и фазовым углом, увеличен
ным па а

Таким образом легко видеть, что в системе с прерыванием
сигнала ошибки (фиг 9 2—2) выходная последовательность при
подаче на вход синусоидального сигнала (9 2—1) определяется
уравнением

с (пТ) =

-a sin (ыпТ -t- 0 + а),

где а — фазовый угол импульсной передаточной функции замкну-
той системы

Иными словами, а — угол между векторами С*(/м) и
1 + G’(/w) в плоскости G*(/m) как показано на фиг 9 2—3.
Таким образом в импульсных САР данного типа огибающая вы-
ходной последовательности, имеющей место при синусоидальном
Сигнале па входе является также синусоидой частота которой
равна частоте входного сигнала Из фиг 9 2—2 видно, что им
пульсная передаточная функция замкнутой системы равна
Импульсную передаточную функцию можно записать и в виде



(9 2-14)

Подставляя /и = s, получим

(9 2—15)

частотной характеристикой замкнутой импульсной системы, а вы
ражение (9 2—15) — частотной функцией замкнутой системы
Фиг. 9 2—3 и уравнение (9 2—15) показывают что частотную
характеристику замкнутой системы легко получить с помощью
амплитудно-фазовой характеристики G”(/w) которая обычно
строится для анализа устойчивости Однако с помощью вводимых
ниже вспомогательных кривых определение частотной характе
ристики замкнутой системы можно упростить.

Как показано во многих книгах по линейной теории следящих
систем, отношение амплитуд выхода ко входу в непрерывных САР
характеризует реакцию этой системы. Максимальное отношение
амплитуд Мр часто используется как один из параметров, зада
ваемых при проектировании При этом обычно используются
вспомогательные кривые, представляющие собой геометрическое
место точек постоянного отношения амплитуд в плоскости G(/co)
С помощью кривых постоянного отношения амплитуд легко опре
делить необходимую деформацию амплитудно-фазовой характери
стики для обеспечения требуемых динамических свойств спот
метод можно применить для импульсных САР используя для них
амплитудно фазовые характеристики. Рассмотрим вновь систему,
459
(-д^Т-О)	(9 2-18)

9 3 ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ГОДОГРАФА ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

При проектировании систем с помощью частотного метода
коррекция производится так, чтобы изменить соответствующим
образом форму годографа частотной характеристики разомкнутой
системы. В параграфе 6 1 указано, что для импульсной САР с пре-
рыванием сигнала ошибки существует импульсная передаточная
функция замкнутой системы, независящая от входного сигнала
Например, импульсная передаточная функция системы, изобра-
женной на фиг 9 1—1, а, имеет вид

1 4 GH (г) ’
Из фиг 9 1—1, б видно что передаточная функция, соответ
ствующая непрерывной САР в замкнутом состоянии равна

Так как

(9 3 -9)
уравнение (9 3—8) преобразуется к виду

(9 3-11)

(9 3—12)

что равно передаточному коэффициенту К

Проектирование последовательных корректирующих устройств
рассматривается в следующих параграфах

а)

f)

САР


(9 4-5)

(9 4-6)

(9 4-7)
gcg*(s)=4- S ga(s+/«®s)=

= -i- [G^! (s) + GtGi (s — ;cos) + GCG1 (s ф jcos) ф

+ GCG1 (s — ;2cos) +	]

(9 4-10)

Так как в большинстве САР регулируемая система является
низкочастотным фильтром и функция GcGl (ja) затухает быстро
на высоких частотах то члены, соответствующие высшим часто
там, имеют второстепенное значение Кроме того запоминающее
звено, часто используемое в системе в качестве сглаживающего
устройства, также является низкочастотным фильтром с поло
сой пропускания равной частоте прерывания, как указывалось
в параграфе 4 6 Следовательно в качестве первого приближе
ния в правой части уравнения (9 4—10) можно ограничиться
двумя первыми членами

GcG;(s)ss-^[Gc(s)G1(s) +Gf(s —yco^G^s —/(os)]	(9 4—11)

Эта аппроксимация справедлива, если s = /со и частота со
находится в пределах 0 < со < cos/2 модуль передаточной функ

частоты прерывания Все остальные члены выражения Gc(s)G-i(s)
зависят от частот, оольших. чем частота прерывания, и поэтому
ими можно пренеоречь Дополнительные члены неооходимо вво
дить в рассмотрение только в тех случаях, когда частота среза
превышает частоту прерывания

На основании аппроксимации уравнения (9 4—11) можно
применить обычный метод коррекции формы годографа для опре
деления Gc (s) требуемой корректирующей цепи Однако наличие
второго члена в правой части уравнения (9 4—11) слегка услож
няет анализ влияния коррекции, так как требуется определить
сумму произведений передаточных функций, а не просто произ
ведение передаточных функций Первый член является домини
рующим и определяет основную область, в которой может распо-
лагаться годограф передаточной функции скорректированной
466
системы. Второй член можно рассматривать как поправочный,
дающий после векторного сложения с годографом

приближенным вид годографа GcG’(s)

Следовательно, коррекция формы годографа G* (/<о) сводится
к коррекции формы годографа Т 'Gj (/ю) с учетом некоторого
коэффициента запаса, компенсирующего влияние поправочного
члена в уравнении (9.4—11). Эта поправка обычно стремится
сдвинуть годограф скорректированной системы влево как указы
валссь в параграфе 4 4 Таким образом, для определения требуе
мой передаточной функции G£(s) из полярного графика T~lG1 (/со)
необходимо задаваться величиной отношения амплитуд вход-
выход Мр, меньшей чем требуемая величина Мв для того чтобы
годограф GCG*(/со) скорректированной системы удовлетворял
требуемой величине Мв Выбор Мр делается на основе оценки
геометрической связи между годографами Т 1GcC1(/co) и
GcG‘(/co). Эта оценка может быть произведена на основании
рассмотрения геометрической связи между полярными графи
ками Т 1G1(/co) и Сф/со) причем последние можно получить из
z преобразования 6х(г) при однократнбм изменении 2 вдоль еди
ничной окружности. Таким образом, проектирование последо
вательного корректирующего устройства является процессом по
следовательных проб и зависит от опытности проектировщика
Графическое определение частотного годографа требуемого кор
ректирующего устройства показано на фиг 9 4—2

Таким образом, для получения передаточной функции Gc(s)
корректирующей цепи в соответствии с требуемым значением Мр
необходимо выполнить следующие операции

1 Построить амплитудно фазовые характеристики Т 3 С\(/со)
и С^(/со) для нескорректированной системы исходя из переда
точных функций или из экспериментальных данных

2 Построить М окружности для М

Мр соотвел

ственно. где меньше, чем требуемое значение Мр, и может
быть определено из графиков Т	и Gi(/co)

3	Применяя обычный порядок действий проектирований кор
ректирующих цепей для непрерывных систем, определить пере
даточную функцию требуемого непрерывного корректирующего
устройства Gc(s) так, чтобы годограф 7’*1GcG1(/co) касался окруж
ности Мр при требуемой частоте. Это можно сделать непосред
ственно с помощью амплитудно-фазовых характеристик как по
казано на фиг 9 4—2, или с помощью метода логарифмически
амплитудно фазовых характеристик, как кратко показано в гл 2
4	Используя метод рассмотренный в параграфе 4 4 построить
по Годографу Т 1GcG1(ja) приближенный годограф GcGi(jm)

5	Если приближенный годограф близок к окружности Мр
то полученная при этом передаточная функция Gc(s) будет'удов
летворять поставленным условиям Чтобы убедиться в этом,
производится окончательная проверка этой аппроксимации с по
мощью построения точной амплитудно фазовой частотной харак
теристики разомкнутой корректируемой системы Так как пере

Характеристика T“1G1(/®) сдвигается так, что она (кривая в)
почти касается окружности Мр = 1,1 В соответствии с обычным
порядком проектирования корректирующих цепей непрерывных
САР определяются параметры корректирующего устройства
Gc(s) Исходя из вида кривых T~1G1Gc(ja) строится приближен
ная .амплитудно фазовая характеристика G1Gr(]<i>) (кривая г)
Из фиг 9. 4—4 видно, что приближенная амплитудно фазовая
характеристика скорректированной системы не пересекает тре-
буемую окружность М, но близка к ней. Таким образом, переда-
точная функция Gc определяемая уравнением (9 4—15), может
считаться удовлетворительной Это подтверждается тем, что годо
граф z-преобразования GxGc{z) касается окружности Мр = 1,35
при требуемой частоте (кривая д)

б) Аппроксимация с двумя частотами прерывания Из преды-
дущего видно, что проектирование непрерывной корректирую-
щей цепи для импульсной САР сильно упрощается, если переда
точная функция со звездочкой заменяется соответствующим при-
ближенным выражением В предыдущих параграфах приближен
ное выражение для GcGi(s) было получено из выражения (9. 4—9)
в виде суммы нескольких членов Эта аппроксимация не вызывает
возражения при условии, если функция G^G^s) быстро зату
хает на частотах, больших половины частоты прерывания. Другое
удобное выражение для передаточной функции со звездочкой,
позволяющее упростить проектирование корректирующих цепей
импульсных САР, может быть получено на основании фундамен
тальной теоремы прерывания, данной в параграфе 3. 5 Точность
аппроксимации рассматривается в следующих параграфах

с полосой

В параграфе 3 5 оыло показано, что сигнал

частот co., =-• 2nf0 рад/сек можно воспроизвести по его импульс
ным значениям, если частота их следования равна удвоенному
значению наивысшей частоты f0 Сигнал f(f) и его дискретные

значения f(kTn) связаны уравнением (3 5—15),
ведено ниже

которое при

но- J fm-

;сь Тп = л/®0 — период прерывания
Полагая

уравнение (9 4—16) можно записать в виде

2 ws(t-kTn)f(kTn)
ws(t)	Ws(]u)
где п — положительное целое число Если наивысшая частота
сигнала в точке включения вспомогательного импульсного эле-
мента равна

(9 4—22)
в 2 раза частоту основного импульсного элемента s импульсной
САР Следовательно, импульсную САР, изображенную на
фиг 9 4—7, можно представить в виде импульсной системы
с двумя частотами прерывания (фиг 9 4—9) Частота прерывания
вспомогательного импульсного элемента Sa равна удвоенной ча-
стоте основного импульсного элемента S Справедливость этой
аппроксимации зависит от характеристики С?г(/со) низкочастот
ной части системы Эта аппроксимация остается справедливой
даже при отсутствии запоминающего элемента, когда регулируе
мая система Gs(/<o) не пропускает частоты, лежащие выше ча
стоты прерывания основного импульсного элемента

Ниже показано, что, используя данную аппроксимацию
с двумя частотами прерывания, можно получить выражение

(9 4—25а)

или эквивалентное выражение

GXGC (г)	~ Gc (s) Gx (z2) h Ц- Gc(s - jcos) Gx (- z2), (9 4-256)

здесь z22 = z и G^e1/27"5) и Gi(z2) относятся к периоду прерывания
TI2 В результате данной аппроксимации функция Gc(s) стано-
вится независимой от GjG^s) и влияние последовательного кор-
ректирующего устройства Gc(s) на форму годографа импульсной
473
При переходе к z преобразованиям уравнение (9 4—26) при-
мает вид

Е (z) = 7? (z) — С (z)	(9 4-27)

Из фиг 9 4—9 можно также найти

Е± (s) = Е* (s) G± (s)	(9 4-28)

Если обозначить г2-преобразования, соответствующие E^s)
и G,(s) соответственно через ЕДг,) и G1(z2), то

EJz^EOG.fe),	(9 4-29)

где по определению

z = ers	(9 4-30)

(9 4-31)

здесь z преобразование функции соответствует периоду преры-
вания Т сек, z2 преобразование является z преобразованием,
соответствующим периоду прерывания 772 сек; z и z2 связаны
уравнением

a z2 преобразование выхода системы можно записать в виде

(9 4-33)

Исключая Ei(z2) и E(z2) из уравнений (9 4—27), (9 4—29)
и (9 4—33), получим

С (z2) = [7? (г) - С (z)] G± (z2) WSGC (г2)	(9 4-34)

Таким образом, z2 преобразование C(z2) определяется выра
жением



(9 4-36)
которое можно разложить в ряд

С (z2) = с (0) + с (4 )	+ с (Т)	+ с +

+ с(2Т)^ +

(9 4-37)

Подставляя —z2 вместо z2, уравнение (9 4—37) можно при-
вести к виду

С (- г,) = с (0) - с (|) z^ т с (Т) Z^ -

Из уравнений (9 4—32) и (9 4—39) получаем

+ c(2T)z^ + . + c(kT)^+	] С

Подстановка выражения (9 4—32) в (9 4—39) дает
С (z2) + С (—z2) = 2 [с (0) + с (Т) z"1 + с (2Т) z * +

+ с (kT) г-* +	] = 2 2 с (kT) Z-*	(9 4-40)

Таким образом, из уравнения (9 4—40) и определения
z-преобразования следует

Это соотношение играет важную роль при упрощении уравне-
я (9 4—35).

Подставляя в уравнение (9 4—35) —z, вместо z2, получаем

Следует отметить, что так как z

то функции C(z) и

R(z) остаются после этой подстановки без изменения Легко ви-
деть, что C(z,) и С(—z2) можно исключить из уравнений (9 4—
35) и (9 4—42), если их сумму заменить с помощью выражения

G1(~z2)xWsGc(-z2)]C(z)^
4- [Gx (za) Ws Gc (z2) + Gx (- z2) WSGC (-z*)]

С (z) =	-----------------------------------------R (z) (9 4-44)

1 4- -у- [Gi (z2) WSGC (z2) + Gi (- z2) WSGC (- z2)J

Ho z-преобразования входа и выхода первоначальной системы
с последовательным корректирующим устройством Gc(s)
(фиг 9 4—7) связаны друг с другом соотношением

c & = ТтётЬ R

(9 4-45)

где GA/z)— z-преобразование, соответствующее G1(s)Gc(s),
и Gj(s) == Ga(s)Gs(s). Выражение (9 4—44) дает приближенное
z-преобразование выхода, в то время как выражение (9 4—45)
является точным.

Сравнивая выражение (9 4—44) с (9 4—45), получим

(9. 4-46)

Выражение (9 4—46) дает приемлемую аппроксимацию
z-преобразования, соответствующего G1(s)Gc(s) системы на
фиг 9 4—7 При вычислении z преобразований эта аппрокси-
мация нарушает простую связь между передаточной функцией
корректирующего устройства Gc, которую необходимо определить,
и известной передаточной функцией G2 регулируемой системы
и запоминающего звена Это усложняет проектирование непре-
рывных корректирующих цепей для импульсных систем Однако
полученная приближенная формула позволяет получить годо-
граф z преобразования импульсной передаточной функции скор-
ректированной системы непосредственно из годографов z преоб-
разования импульсной передаточной функции нескорректирован-
ной системы и корректирующего устройства Очевидно эта при-
ближенная формула упрощает проектирование требуемого кор-
ректирующего устройства Формула (9 4—46) может быть при-
ведена к еще более простому виду

Используя определение z-преобразования и правило суммиро-
вания Пуассона, получим равенство

^Afe) |z

У Ws (s + j2Acos) X
или в развернутой форме

WSGC (z2) |Z2=e^/’ = [W7S (s) Gc (s) T №s (s -

= WsG*(eTs 2e-<n)

(9. 4-53)

Так как 2п,/Т = ffis, выражение (9 4—53) можно записать
виде

WSGC (~z2) |Z2=/s/2 = WSG* (e/2T^ia>s))	(9 4-54)

Применение правила суммирования Пуассона дает

^sGe(-z2)|22=e^/2 = А 2 №s(s-jcos +

+ j2kas) Gc (s - jcos - j2£cos)	(9 4-55)

или в развернутой форме

W s Gc ( -z2) |	= A [Fs (s - M) Gc x

X (s - jcos) + №s (s J- jcos) Gc (s + jcos) +

+ Ws (s - /3cos) Gc (s - /3cos) 4- Ws (s +

+ ;3cos) Gc (s -f- j3cos) +	+ Fs (s + ]k®s) X

X G( (s + ]kas) + • ]	(9 4—56)

47?
Учитывая выражение (9 4—49), находим, что в диапазоне

(9 4-57)

G А (г) 4 Gi G‘ ® + 4 Gi х

X Gc(s — jas)

“о

(9 4-59)

(9 4-60)
Сравнивая уравнения (9. 4—62) и (9 4—45), находим что если
уравнение (9 4—60) справедливо, то можно получить приближен-
ное выражение

Далее по определению

Учитывая, что

Ws (s + ]k^ \s=ie> = 0

Следовательно, в пределах диапазона частот

выражение (9 4—64) принимает вид

и уравнение (9 4—63) упрощается

Таким образом если пользоваться приближенным уравнением

в явной форме в результате чего проектирование требуемой кор-
ректирующей цепи сильно упрощается

В итоге приведенные выше рассуждения приводят к следую-
щим заключениям:

1	Если наивысшая частота составляющих выходного сигнала
G^s), существенно отличающихся от нуля, равна (или меньше)
половине частоты прерывания основного импульсного элемента,
то частота прерывания вспомогательного импульсного элемента
равна частоте прерывания основного и для диапазона частот
0 < со < <bs/2 функция G1Gr(z) аппроксимируется следующим
образом:

2	Если наивысшая частота составляющих выходного сигнала
G± (s) существенно отличающихся от нуля равна (или несколько
меньше) частоте прерывания основного импульсного элемента,
то частота прерывания вспомогательного импульсного элемента
479
Должна быть, по крайней мере, вдвое больше основной частоты
прерывания и для диапазона частот 0 < со < cos/2 функция
G1GC(z) может быть приближенно представлена в виде

3	Если наивысшая частота составляющих выходного сигнала
G^s), которые еще нужно учитывать, равна ncos/2 то частота
прерывания вспомогательного импульсного элемента должна быть
по крайней мере, в п раз больше частоты прерывания основного
импульсного элемента, как это показано на фиг. 9 4—8

9 5 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ КОРРЕКЦИЯ
С ПОМОЩЬЮ ИМПУЛЬСНЫХ ЦЕПЕЙ

В предыдущем параграфе рассматривалась коррекция импульс
ных САР с помощью непрерывных цепей Несмотря на то, что та-
кая коррекция является удобным и экономичным способом улуч-
шения характеристик импульсных САР, непосредственное опреде
ление передаточной функции требуемого корректирующего
устройства довольно сложно Для упрощения проектирования
вводятся приближенные методы, позволяющие применять обыч-
ные способы изменения формы годографов и таким образом упро-
щающие проектирование систем Но, как отмечалось в параграфе
9 1, коррекция импульсных САР может также осуществляться
с помощью импульсных цепей Если для коррекции системы ис-
пользуются импульсные цепи или устройства, то для определения
импульсной передаточной функции корректирующего устройства
по известному годографу z преобразования разомкнутой нескор-
ректированной системы можно применять обычный метод измене
ния формы годографа так же как и для непрерывных систем

Из структурной схемы импульсной САР, изображенной на
фиг 9 5—1, видно, что при включении импульсной корректирующей
цепи £>(?) или £>*(s) последовательно с другими элементами
G^s) системы первоначальная импульсная передаточная функ-
ция разомкнутой системы

изменяется и принимает вид

где через Л0(г) и Ас(г) обозначены импульсные передаточные
функции нескорректированной и скорректированной систем
в разомкнутом состоянии, a G^z) является z преобразованием,
соответствующим СДз)
Из уравнения (9 5—2) следует, что годограф z-преобразования
Ас(г) скорректированной системы можно легко построить по годо-
графам z-преобразований G^z) нескорректированной системы
и D(z) импульсной цепи и что влияние корректирующей цепи
на форму годографа z-преобразования при изменении нулей и по-
люсов импульсной цепи легко проследить и проконтролировать.
Таким образом, изменение формы годографа z преобразования пол-
ностью зависит от проектировщика и определение 1ребуемои
импульсной корректирующей цепи не вызывает затруднений,
хотя выбор коррекции и представляет собой по-прежнему про-

C,(s)

б)

цесс последовательных проб Проблемы коррекции импульсных
и непрерывных САР совершенно аналогичны При проектировании
импульсной САР методом изменения формы годографа с помощью
импульсной корректирующей цепи проектировщик имеет почти
такую же свободу выбора реализуемой импульсной передаточной
функции требуемого корректирующего устройства £>(z), как и
при проектировании непрерывной САР с помощью того же ме-
тода

Простота и легкость определения необходимой импульсной
корректирующей цепи в некоторых случаях заставляет предпо
честь данный метод коррекции методу коррекции с помощью не-
прерывных цепей Определение передаточной функции импульс-
ной корректирующей цепи можно осуществлять с помощью ампли-
тудно-фазовых характеристик или синтеза посредством анализа
распределения нулей и полюсов Однако метод логарифмических
амплитудно фазовых характеристик нуждается в некоторых из-
менениях Прежде чем перейти к определению импульсных кор-
ректирующих цепей, желательно кратко остановиться на условиях
реализуемости и устойчивости импульсных цепей Для того

31 Юлиус Т Ту	481
t отои Вход и выход линейной импульсной цепи в дискретные
моменты связаны передаточной функцией от e~Ts или от z"1, кото-
рая часто называется импульсной передаточной функцией На

или

D(z) = f^|

(9 5-4)

Имея в виду что z преобразования £,(z) и E0(z) являются
рациональными функциями от z, £)(z) можно представить в виде

отношения двух полиномов от z 1 Таким образом,
содержит равное количество нулей и полюсов, то

если D(z)

D(z)

а если D(z) содержит т нулей и п полюсов, то

где т + г = п

Уравнение (9 5—5а) приводится к (9 5—56), когда ak = О
для 0 < k < г

Импульсная цепь считается физически реализуемой, если вы
ходной сигнал цепи не завист от будущей информации обходном
482
сигнале Из выражений (9 5—4) и (У 5—5а) после еремножения
получим

(\ + ^bkz-k^E0(z)=^akz~kE^z) (9 5-6)

Следовательно выходной сигнал импульсной цепи определяется
выражением

во(О-

a/i (i) + S a^i V -kT)-^ bke* (t - kT)

-------------------------------- (9 5-8)

Уравнение (9 5—8) означает, что если

(9 5-9)

(t - Т) + Дbke\ (t - kT) = %ake\ (t - kT), (9 5-10)

откуда



a/t (0 + 5 ake* (t-kT)-^ bke* (tk- T)

=----------------g--------------- (9 5-11)

31*	483
Уравнение (9 5—11) означает, что выходной сигнал е*(/ — Т)
зависит не только от настоящей информации о входном сигнале
и прошлой информации о входном и выходном сигналах, но также
и от будущей информации о входном сигнале аое* (/), которая к мо-
менту вычисления выходного сигнала, к сожалению, неизвестна
Поэтому функция е*(/—Т) в выражении (9. 5—11) может быть
определена и, следовательно, соответствующая импульсная цепь
нереализуема

Необходимым и достаточным условием физической реализуе-
мости импульсной передаточной функции (9. 5—5) является не-
равенство нулю коэффициента Ьа Импульсная передаточная
функция D(z) может быть представлена как отношение двух
полиномов от г В этом случае условие реализуемости состоит
в следующем Импульсная передаточная функция D(z) физиче-
ски реализуема, если £)(z) содержит нулей не больше, чем полю-
сов В общем же случае, т е при любом виде D(z), условие физи
ческой реализуемости импульсной передаточной функции можно
сформулировать следующим образом: разложение в ряд Лорана
функции D(z) относительно начала координат не должно содер-
жать положите гьных степеней z

Устойчивость импульсной цепи можно исследовать в области
s или z При исследовании в области з об устойчивости системы
судят по отсутствию полюсов £>*(з) в правой половине плоскости
з и на мнимой оси, за исключением одного полюса в начале коор
динат, как было указано в параграфе 6. 2. Графически это можно
установить по полярному графику jD*(/w) [или по годографу
z-преобразования D(z~)]. Условие устойчивости требует, чтобы
амплитудно-фазовая характеристика D*(ja) не охватывала на-
чала координат Кроме того, расстояние амплитудно-фазовой
характеристики от начала координат является мерой запаса устой-
чивости В плоскости z для устойчивости системы требуется чтобы
полюсы D(z) не находились на единичной окружности или вне
ее Расположение этих полюсов можно определить с помощью
критерия Шур-Кона, изложенного в параграфе 6 2 Импульсная
система устойчива, если полюсы D(z) лежат внутри единичной
окружности, за исключением одного полюса при z — 1 Радиаль
ные расстояния от полюсов до единичной окружности определяют
запас устойчивости. Нули D(z) могут располагаться вне единич-
ного круга, но это обычно приводит к нежелательным результа-

Устойчивость импульсной цепи можно также исследовать в об-
ласти времени. В качестве примера рассмотрим импульсную цепь
с передаточной функцией


которая имеет полюс в Ьл1Ьй В результате перемножения и обрат
ного преобразования получим

+ 092 <(^-2Т)+	.], (9 5-15)

+ [^b(t-2T)+...+ ^kb(t~kT)+...] (9 5-16)

Дискретное значение выхода в k-и момент замыкания равно

Следовательно, если



(9 5-17)



(9 5-18)

(9 5-19)
дискретные значения выхода будут стремиться к нулю, а при

(9 5-21)

1т

'скорректированная)

<№

—4. Деформация годографа
z преобразования

(9. 5—20) или (9 5—21) удовлетворяется, импульсная цепь счи-
тается устойчивой.

Основной вопрос проектирования импульсной САР заклю
чается в выборе надлежащей импульсной корректирующей цепи
D(z), обеспечивающей удовлетворительные характеристики си
стемы. На фиг 9 5—3 изображен годограф z-преобразования
Gj(z) импульсной САР с единичной обратной связью и прерыва
нием сигнала ошибки (фиг. 9 5—1, а) Предположим, что все
полюсы G,(z) лежат внутри единичной окружности плоскости z,
стоме, а кривая 6 представляет собой годограф z преобразования
Gx(z) Z)(z) скорректированной системы Первоначальный годо
граф деформируется с помощью введения импульсной цепи

W) = 4^-	(9 5-22)

Корректирующая цепь Z)(z) сдвигает точку а в а', b в b ,
а кривую а к кривой б скорректированной системы Точка а
соответствует пересечению годографа нескорректированной -си-
стемы с единичной окружностью, а точка Ь является первой
точкой пересечения этого годографа с действительной осью комп
лексной плоскости Для того чтобы сделать систему устойчивой,
необходимо, чтобы фазовый угол вектора Оа был увеличен на
угол, больший, чем ф Угол ф — это угол между вектором Оа
и отрицательной действительной осью Увеличение фазового
угла (в положительном направлении) обеспечивается импульсной
цепью Z)(z). Пусть фазовый угол Z)(z) на частоте со равен Ф
Тогда угол Ф равен «хРрх (фиг 9 5—5), где «х — нуль, рх — по
люс, а Р — точка единичной окружности, соответствующая ча
стоте со или углу 0 Частота со и угол 0 связаны уравнением

где Т — период прерывания системы.

Следует указать, что удобно в качестве параметра при пострре
нии годографа z преобразования рассматривать не частоту со,
а угол 0, нанося его различные значения на график Из

импульсная цепь Z)(z) имеет фазовый сдвиг Фа, больший, чем
угол ф вектора Оа, и усиление^ меньше 1, то годограф z-преоб
разования скорректированной системы не будет охватывать кри
тическую точку и система будет устойчивой Запас устойчивости
можно увеличить с увеличением фазового угла Фа при задан
ном угле положения 0а Величина Фа непосредственно связана
с расположениями нуля и полюса рх и увеличивается с увели
чением расстояния между ними Таким образом, если найти из
годографа z-преобразования нескорректированной системы ф, соа и
требуемый угол Фа, то величины ах и [Д можно легко определить

Процесс деформации годографа в импульсных САР не более
сложен, чем в непрерывных В обоих случаях имеет место выбор
необходимого корректирующего устройства с помощью процесса
проб Коррекцию импульсных САР можно еще более упростить,
если использовать тесную связь между усилением и фазой
импульсной цепи и расположением ее нулей и полюсов. Переда-
точная функция корректирующей импульсной цепи обычно имеет
несколько нулей и полюсов внутри единичной окружности пло-
скости z Наличие комплексных полюсов в импульсной цепи
D (z) = D1(z)D2(z),	(9 5—26)

Di (z) = -^=^- = 1 - c^z-1	(9 5-27)
что фазовый сдвиг на

(9 5—29)
амплитуд (или усиле
частоте, равны
Итак, усиление £>(z) на этой частоте определяется формулой

(9 5-32)

Следовательно, после того как определены усиление и фа-
зовый угол Di(z) и £>2(z), по уравнениям (9 5—29) и (9 5—32)

и нулем aj можно установить гео-
метрически. Таким же образом
можно найти соотношение между
усилением и фазой D2(z) и полю-
сом Pt Определение требуемой
импульсной корректирующей це
пи jD(z) упрощается при исполь
зовании уравнений (9 5—29) и
(9. 5—32), если имеются номо-

отрицательных полюсов усиление меньше единицы в диапазоне

частот О

: и больше единицы в диапазоне частот
1Я отрицательных нулей и положительных

полюсов усиление превышает единицу в диапазоне частот 0 <
< со < tos/4 и меньше единицы, когда cos/4 < со < cos/2. Таким
образом, выбор нулей и полюсов требуемой импульсной цепи за
висит от диапазона частот, внутри которого необходимо дефор
мировать годограф нескорректированной системы Применение
этих номограмм очень просто Например, для данного угла поло
женин 0о (или частоты =QaT) значения нуля и полюса про
стой импульсной цепи, обеспечивающей дополнительное опере
жение по фазе Фа, можно найти по номограммам фазы и усиле
ния В процессе определения «х и необходимо обращать особое
внимание на диапазон частот, при котором годограф нескорректи
рованной системы находится вблизи критической точки (—1 ф /0),
например диапазон частот от а>ь до соа на фиг 9 5—4

Определенная таким образом элементарная импульсная цепь
будет сдвигать годограф в необходимое положение Однако если
с помощью введения простой импульсной цепи невозможно обес
печить выполнение таких требований, как величину запаса
устойчивости, резонансную частоту и т д , то необходимо исполь
зовать более сложные корректирующие цепи Передаточную
функцию сложной корректирующей цепи, которая может вклю
чать несколько простых пар полюсов и нулей, можно определить
с помощью изложенного порядка действий последовательно для
каждой пары полюс — нуль Каждая пара полюс — нуль должна
улучшать форму годографа Совместное влияние этих пар приве-
дет систему в соответствие с требуемыми характеристиками
Для иллюстрации процесса проектирования последовательного
корректирующего устройства с помощью изложенного порядка
действий рассмотрим пример.

Пример 9.5—1 На фиг. 9 5—10 изображена структурная
схема импульсной САР с прерыванием сигнала ошибки Период
прерывания равен 0,1 сек В качестве сглаживающего устройства
применяется запоминающее звено нулевого порядка Передаточная
функция регулируемой системы имеет вид

(9 5-33)
номограмм фазы ь усиления (фиг 9 5—8 и 9 5—9) устанавливаем
что необходимый фазовый сдвиг может обеспечить импульсное
корректирующее устройство с нулем в 0,5 и полюсом в —0,5
Из этих графиков получаем на частоте со = 15 рад/сек или фазо-
вом угле 0 = со Г = 1,5 рад, или 86°, корректирующее устройство,
которое имеет фазовый сдвиг 54° и усиление 1,06 Для первой пробы
выберем импульсную передаточную функцию корректирующего
устройства в виде



(9 5-36)

В следующем параграфе рассмотрены вопросы реализации
импульсных передаточных функций.
9 6 РЕАЛИЗАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ

Реализация импульсной передаточной функции состоит в опре-
делении импульсной цепи или устройства, выход и вход которого
связаны требуемой импульсной передаточной функцией Сущест-
вуют три основных метода синтеза импульсных передаточных
функций.

1	Цифровое программирование Импульсную передаточную
функцию можно реализовать с помощью цифрового программиро-
вания, если система управления содержит цифровую вычисли-
тельную машину (ЦВМ) Эта машина может играть роль устрой-
ства с требуемой импульсной передаточной функцией, если ей за
дать соответствующую программу

2	Цепи на линиях задержки Импульсную передаточную
функцию можно реализовать с помощью цепей на линиях задержки
(которые иногда называются схемами обработки импульсной
информации), использующих элементы задержки, потенциометры
и суммирующие усилители, если применение ЦВМ невозможно
или неэкономично

3	Импульсные RC цепи Импульсную передаточную функцию
можно также реализовать с помощью импульсной цепи, состоя
щей из сопротивлений и конденсаторов Применение индуктив
ностей нецелесообразно, так^как для обычного частотного диапа-
зона цифровых и импульсных САР размеры и вес требуемых
индуктивностей очень велики Импульсные ^С-цепи имеют
преимущества в простоте и экономичности реализации

Первый метод применяется, когда система автоматического
управления имеет в своем составе ЦВМ Реализация цифровой
программы довольно проста Второй метод является более гибким
при регулировке параметров и используется, когда коэффициенты
импульсной передаточной функции требуют независимой на
стройки Третий метод наиболее прост и экономичен, хотя и наи
менее гибок В этом параграфе рассмотрены указанные методы
синтеза импульсных передаточных функций

Цифровое программирование Цифровое программирование со
стоит в подготовке задачи для ЦВМ в приемлемой для нее форме
и введении составленной программы в блок памяти Задача, ре
шаемая ЦВМ, должна быть выражена в соответствующих терми
нах так, чтобы ЦВМ могла их обрабатывать В системах автома
тического управления, использующих ЦВМ, метод реализации
импульсной передаточной функции с помощью цифровой про
граммы обладает простотой, удобством и гибкостью Реализацию
программы можно выполнять тремя различными методами пря
мым программированием, итеративным или последовательным
программированием и параллельным программированием.
Физически реализуемая импульсная передаточная функция
D(z), имеющая т нулей и п полюсов, в общем виде может быть
записана в виде

(9 6-1 а)

где т + 2 = п Если г = 0 и т = п, уравнение (9
водится к виду



(9 6—26)

Сигнал е*(/) =	\Е0 (z)| должен быть вычислен ЦВМ

С помощью перекрестного умножения и нахождения обратного
преобразования уравнения (9 6—1а) получаем

е*0 (0 =	~ kT) - (t - kT) (9 6-2а)

Применяя аналогичную операцию к уравнению (9 6—16),
получаем

ео	(t - kT) - Д bke*Q (t - kT) (9 6-26)
(9 6—6)
--0я

Ниже даны п программирующих функций для п импульсных
эедаточных функций:

< (0 = < (/) + «(t - Т) - Р1е\ (t - Т),

е*2 (/) - е\ (0 4- z2< (I - Г) - р2е*2 (t ~ Т)

е'т Ю = С-1 (0 + 2™C-i V - Т) - /’Х « ~ Т)’

C+1W



е^)-Ке*п_^-Т)-рпе^-Т)

Вычисления, необходимые для решения уравнений (9 6—11),
могут быть легко выполнены обычной ЦВМ Уравнения (9 6—11)
показывают, что для решения этой системы уравнений необхо
дима программа для выполнения (т + и) сложений и вычитаний
Пусть простые дроби импульсной передаточной функции D(z)
имеют вид

Каждую импульсную передаточную функцию, определяемую
уравнением (9 6—12), можно реализовать с помощью простой

цифровой программы Йз уравнения (9. 6—13) видно, что импульс
ную передаточную функцию D(z) можно реализовать с помощью п

простых цифровых программ, действующих параллельно
(фиг 9. 6—2). Это называется параллельным программированием
Перекрестное умножение и обратное преобразование уравнения
(9. 6—12) дает соответствующую систему программирующих функ
ций:

е* (0 = tt-T)- Р^а (t-T),


При этом выходной сигнал определяется уравнением

= £ ktf (t - Т) - £ pke*k (t - T)	(9 6-15)

Из уравнения (9 6—15) видно, что для решения данных урав
нений необходимо выполнить (2п — 1) сложений и вычитаний,
2п перемножений и (п 4- 1) передач

С точки зрения эффективности вычислений последовательное
программирование кажется наиболее удобным. Поэтому этот
метод часто используется при численном анализе. На выбор метода
программирования влияет не только время вычисления и коли
чество регистров памяти, необходимых для данной программы,
но и тип ЦВМ, а также код команд Например, введение в код
ЦВМ команды типа Вирлвинд, которая изменяет объемы арифме
тических блоков и избирательного регистра памяти, делает метод
прямого программирования более эффективным, чем итератив
ныи метод

Метод прямого программирования вносит наименьшее запаз
дывание при вычислении, так как все члены уравнения (9 6—26),
за исключением aoe:(f), можно вычислить до подачи входного
сигнала <?..(/) Запаздывание при вычислении является резуль
татом наличия чистого запаздывания в ЦВМ, которое обычно
ухудшает характеристики системы Следовательно, необходимо
уменьшать время на вычисление Если нескодько членов £>(z)
уравнения (9 6—16) равны нулю (или полюсов больше, чем нулей),
то метод прямого программирования может стать более удобным,
чем итеративный, так как при прямом программировании время
вычисления сокращается благодаря пропущенным членами Z)(z)
Однако итеративное программирование обеспечивает промежу
точные результаты, которые иногда весьма необходимы Метод
итеративного программирования является также более гибким,
когда импульсная передаточная функция и соответствующая
цифровая программа создаются экспериментальным путем Кроме
того, если проектирование основывается на распределении нулей
и полюсов, то удобно применить именно метод итеративного
программирования, так как полюсы и нули импульсной переда-
точной функции Z)(z) образуют коэффициенты программирующих
функций уравнения (9.6—11). Влияние изменения полюсов и
нулей импульсной передаточной функции легко исследовать с по
мощью соответствующих коэффициентов уравнения (9.6—11)
Хотя метод параллельного программирования имеет свои прей
мущества, он обычно не используется, так как при этом затруд
няется проектирование ЦВМ
S)

Фиг 9 6—3 Схема линии задержки для О(г)=а0+ аг (г)-1

(9 6-17)
ветственно с весовыми коэффициентами а0 и br Таким образом,
для реализации данной импульсной передаточной функции тре
буются элемент задержки на время Т, суммирующий усилитель
и два потенциометра Структурная схема этой цепи на линиях



(9 6—20)

Уравнение (9 6—20) можно записать в виде

D(z) = D1(z) + D2(z),	(9 6-21)

Е , (z 4- Е„, (z) = ID, (z) 4- D„ (z)l E, (z) - En (z (9 6 -24)
^02 (2) —	2 ^01 (2)

(9 6-25)

Следовательно, эта цепь на линиях задержки также реализует
импульсную передаточную функцию (9 6—23) при условии, что
Учитывая аналогию между уравнениями (9. 6—27) и (9 6—19),
следует ожидать, что релейная схема, реализующая импульсную
передаточную функцию (9 6—26), будет похожа на цепь, пока
занную на фиг 9 6—4, б Эта цепь состоит из п элементов с за
паздыванием на Т сек каждый, (п + 1) потенциометров и сум
мирующего усилителя с (n + 1) входами Структурная схема
этой цепи изображена на фиг. 9 6—6 Элементы задержки, сое
диненные последовательно, образуют п отдельных линий задержки
с общим запаздыванием (пТ) сек Сигналы обратной связи после
довательно снимаются с каждого элемента задержки и соответ
ствующим образом взвешиваются перед подачей на суммирующий
усилитель Выход цепи па линиях задержки снимается с выход
ных контактов вычитающего устройства, которое можно рассмат
ривать как часть суммирующего усилителя со многими входами

Далее, используя схемы и методы, рассмотренные выше, легко
выполнить синтез импульсной передаточной функции общего вида

1 1+^

Очевидно, что£> (z) выражения (9 6—28) можно записать в виде

D(2) =-----------

1+ ^bkz~b

, bkz~

1 + 2 bkz~h

где
Так как Dx(z) идентична импульсной передаточной функции
(9 6—26), то цепь на линиях задержки, реализующая Dx(z),
аналогична изображенной на фиг 9 6—6, б Сигналы с первого,
второго, и п го элемента задержки являются выходными
сигналами, задержанными соответственно на Т, 2Т,	., пТ сек,

что соответствует e*(t — Т), е*(/— 2Т), e*(t — пТ) Цепь,
изображенная на фиг 9 6—6, б, может также реализовать им
пульсную передаточную функцию (z) при условии, если сигнал
с / го элемента задержки умножается на коэффициент о/о0 и рас-
сматривается как вход цепи на линиях задержки Следовательно,
согласно уравнению (9 6—29) импульсная передаточная функция
(9 6—28) синтезируется с помощью надлежащего взвешивания
сигналов, получаемых с элементов задержки (фиг 9 6—6, 6) Как
показано на фиг 9. 6—7, б эта цепь состоит из п элементов за
держки, (2п + 1) потенциометров и двух суммирующих усили

Из всего сказанного можно сделать следующее заключение
Для реализации импульсной передаточной функции с п полю
сами при помощи цепи на линиях задержки обычно требуется п
элементов задержки, каждый из которых вносит запаздывание на
период прерывания Количество требуемых потенциометров опре
деляется количеством коэффициентов заданной импульсной пе
редаточной функции Столько же должно быть входов у суммирую
щего усилителя Для реализации импульсной передаточной
функции, имеющей один или более нулей, которые не расположены
в начале координат плоскости z, требуются два суммирующих
усилителя в цепи линии задержки

Импульсные RC цепи Импульсную передаточную функцию
можно реализовать с помощью импульсной RC цепи Основными
структурными схемами импульсных цепей являются последова
тельная схема и схема с обратной связью Каждая из этих им
пульсных RC цепей состоит из одной обычной пассивной RC-
цепи и запоминающего элемента нулевого порядка, которые
соединяются последовательно либо в прямой цепи (фиг 9. 6—8),
либо в обратной связи (фиг 8 6—9) Импульсная передаточная
функция основной последовательной цепи имеет вид

GhGc(z) — z преобразование, соответствующее Gft(s)Gc(s),
GH(s) — передаточная функция запоминающего элемента
нулевого порядка,

Gc(s) — передаточная функция RC цепи основной по
следовательной цепи

уравнением

d;(S)

Фиг 9 6—9 Основная параллельная структура импульсной цепи i
эквивалентное изображение (б)
связью можно подсоединить непосредственно к регулируемой
системе. Иными словами, один и тот же запоминающий элемент
используется как для импульсной цепи, так и для регулируемой
системы При этом следует отметить, что схема с обратной связью
содержит на один запоминающий элемент меньше за счет блока
вычитания

С помощью комбинации этих двух основных схем можно
получить много других цепей. Среди них наиболее широко исполь-
зуются каскадная последовательно обратная и параллельная
последовательно-обратная структура, а также более общая
структура с обратной связью Как будет показано далее, после
довательная схема и схема с обратной связью имеют ограничен
ное применение Однако, комбинируя эти две схемы, можно син
тезировать любую рациональную физически реализуемую импульс
ную передаточную функцию в виде импульсной 7?С-цепи.

Основная последовательная структурная схема. Реализация
импульсной передаточной функции с помощью основной после
довательной структурной схемы состоит в определении передагоч
ной функции Gc(s) и соответствующей RC цепи таким образом,
чтобы z-преобразование, соответствующее Gft(s)Gc(s) (или
Gc(s), если не используется запоминающий элемент), было
равно требуемой импульсной передаточной функции Ds(z)

Допустим, что заданная импульсная передаточная функция
£>s(z), имеющая т нулей и п полюсов, равна

 <9б-з4>
Выражение (9. 6—38) означает, что Gc(s)/s — преобразование
Лапласа, соответствующее импульсной передаточной функции
Ds(z)7(l — z-1). Следовательно, передаточную функцию Gc (s)
можно определить, если найти преобразование Лапласа для
функции, z-преобразование которой равно Ds(z)/(1 — z-1). Пре
образование Лапласа удобно находить с помощью разложения на
простые дроби z преобразования Преобразования Лапласа, соот
ветствующие простым дробям, затем определяются с помощью
таблицы z преобразований Если импульсная передаточная функ
ция Ds(z) не содержит кратных полюсов, то Ds(z)/(1 — z-1)
можно представить в виде

при условии, что Z)s(z) не имеет полюса при z = 1

Если Ds(z) имеет простой потюс при z = 1, то Ds(z)/(\ — z"1)
можно записать в виде

+ 2-

где Т — период прерывания

Преобразование Лапласа, соответствующее каждому члену
правой части уравнения (9 6—39) и уравнения (9. 6—40), можно
найти по таблице z-преобразований. Из краткой таблицы z-npe-
образований, приведенной в параграфе 5 2, видно, что преобра-
зования Лапласа, соответствующие первому и второму членам
уравнения (9 6—40), равны /C0(s) и K0/s2, а преобразование Лап-
ласа, соответствующее /(2/(1 —Рг^"1), равно

здесь рг и аг связаны уравнением

где Т — период прерывания

Подставляя уравнение (9. 6—38) в (9 6—39) и определяя
соответствующие преобразования Лапласа для каждого члена,
получим

Gc(s) = Ло_

(9 6-42)

Однако
уравнения

следует указать, что преобразования Лапласа
(9 6—42) являются главными преобразованиями
<W = K. + i^7

(9 6-43)



(9 6—45)
Заданную передаточную функцию можно реализовать посред
ством основной последовательной структурной схемы, так как
полюсы D(z) удовлетворяют условиям реализуемости Так как
z-преобразование, соответствующее Gc(s)/s, равно

то, разлагая выражение (9 6—46) на простые дроби получим

Таким образом,

здесь а определяется уравнением

(9 6—48)

(9 6-49)

Уравнение (9 6—48) преобразуется к виду
откуда получаем

(9 6—53)

(9 6- 54)
(9 6-56)

(9 6—57)

где с0 = b0 — 1; ck = bk — ak

Таким образом, уравнение (9 6—54) можно записать в виде

= (9 6-58>



(9 6-59)

+	+	<9 6-60)

яс(5) = м,-2-

здесь Ьг связано с zr уравнением

(9 6—61)

(9 6—62)

где Т — период прерывания
Аналогично из уравнения (9 6—60) получим

Так как для реализации передаточной функции Hc(s) с по
мощью ₽С-цепи необходимо, чтобы полюсы Hc(s) были действи
тельными, простыми, конечными и неположительными, то zr
в уравнениях (9 6—59) и (9. 6—60) должны быть действитель
ными, простыми и лежать в интервале 0 < zr < 1. Следовательно,
импульсная передаточная функция реализуема в виде RC цепи
основной структуры с обратной связью, если данная импульсная
передаточная функция содержит равное количество нулей и полю
сов, причем нули действительные, простые и положительные
и лежат внутри единичного круга. Это определяет условия реа
лизуемости импульсной передаточной функции при помощи основ
ной структурной схемы с обратной связью Интересно отметить,
что эта структура позволяет реализовать импульсную переда-
точную функцию, полюсы которой лежат вне единичного круга,
если выполняются указанные условия

Для того чтобы пояснить способ реализации импульсной пе
редаточной функции посредством основной структурной схемы
с обратной связью рассмотрим пример.

Пример 9 6—2 Дана импульсная передаточная функция

D (г)

(9 6—64)

где О

1 Необходимо реализовать эту импульс-

ную передаточную функцию с помощью импульсной RC цепи.

Так как данной импульсной передаточной функции соответ-
ствует неустойчивая система, ее нельзя реализовать в виде основ-
ной последовательной импульсной RC цепи Однако заданную
импульсную передаточную функцию £>(z) можно реализовать
в виде основной структурной схемы с обратной связью, как
показано на фиг 9 6—9, а, так как нуль D(z) действительный,

положительный и ра
уравнения (9. 6—54)
щее Hc(s)/s

засположен внутри единичного круга. Из

находим

преобразование, соответствую-

(9 6-65)

Таким образом,
здесь а определяется уравнением

(9 6—68)

Уравнение (9 6—67) преобразуется к виду

=	(9 6-69)
структурная схема.

определяется уравнением

D (г) = Ds (2)^(2),

(9 6-70)

где

(9 6-71)

(9 6-72)

D(z) = Da(z)Dft(z)

(9 6-73)

нулей Dh{z) стало равным количеству ее полюсов. Одновременно
с этим в Da(z) вводятся полюсы, равные введенным дополнитель-
ным нулям так, чтобы заданная импульсная передаточная функ-
ция D(z) оставалась без изменения

Кроме рассмотренной выше каскадной последовательно обрат-
ной структуры, возможны некоторые другие комбинации Основ-
(фиг 9 6—14) Реализацию импульсной передаточной функций
легко выполнить с помощью этих структурных схем, следуя рас-
смотренному методу

9 7 СИНТЕЗ В ПЛОСКОСТИ w С ПОМОЩЬЮ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Выше дано обобщение обычного метода амплитудно фазовых
характеристик для проектирования импульсных и цифровых
САР. Для коррекции импульсных систем можно использовать как
непрерывные, так и импульсные цепи, причем проектирование
импульсных корректирующих цепей проще непрерывных Если
импульсная передаточная функция требуемой корректирующей
цепи определена, то можно применить методы реализации импульс
ной передаточной функции с помощью цифровой программы,
блока обработки импульсной информации или импульсной RC
цепи, рассмотренные в параграфе 9 6

Так как метод логарифмических амплитудно фазовых харак-
теристик наиболее широко используется при проектировании
непрерывных САР, целесообразно обобщить его для синтеза
импульсных и цифровых САР. При проектировании непрерывных
САР метод амплитудно фазовых частотных характеристик приме
няется в основном для систем, которые имеют достаточно сложные
передаточные функции или когда исходные данные можно полу
чить только экспериментально Если же передаточные функции
заданы в виде произведения элементарных сомножителей, то
обычно используются логарифмические амплитудно-фазовые харак-
теристики вследствие простоты легкости их изменения и построе-
ния Можно ожидать, что использование этого метода облегчит
проектирование импульсных САР. В этом параграфе метод лога
рифмических амплитудно-фазовых характеристик используется
для проектирования импульсных и цифровых САР

Значение метода логарифмических амплитудно-фазовых харак-
теристик как средства проектирования непрерывных систем
автоматического регулирования велико Однако метод становится
неудобным, если передаточные функции системы регулирования
не являются рациональными функциями от s и не могут быть выра-
жены в виде линейных и квадратичных множителей. В гл 4 и 6
показано, что характеристическое уравнение от s импульсной САР
является трансцендентным уравнением, а передаточная функция
разомкнутой системы — трансцендентной функцией от s Труд-
ности построения логарифмических характеристик для транс-
цендентной функции препятствуют применению этого метода при
проектировании импульсных САР Как указано в гл 5, г-преоб-
разование превращает трансцендентную функцию от s [например,
GH*(s)] в рациональную функцию от г, однако это преобразование
Действительная частота со и фиктивная частота v тесно связаны
Из уравнения (9 7—2) получаем

(9 7—4)
Это уравнение дает связь между фиктивной частотой v и дей
ствительной частотой со Из уравнения (9 7—5) видно, что фик
тивная частота v является периодической функцией от со с перио-
дом равным cos т е частоте прерывания системы. Если деис'тви
тельная частота со увеличивается от 0 до cos/2, то фиктивная
частота v изменяется от нуля до бесконечности Если со увеличи-
вается от cos/2 до cos v возрастает от —оо до 0 Этот процесс повто-
ряется при со, большем cos Соотношение между фиктивной часто-
той v и действительной частотой со для диапазона частот от О
до cos/2 показано на фиг 9 7—1

Следовательно, с помощью указан-
ного процесса двойного отображения
(z-преобразование и билинейное преоб-
разование) любая из полос в левой поло-
вине плоскости $ вначале отображается
в область внутри единичной окружно-
сти плоскости z, а затем преобразуется
во всю левую половину плоскости w,
как показано на фиг 6 2—12. Часть
положительной действительной оси,
расположенная внутри единичного кру-
га плоскости z отображается в часть
отрицательной действительной оси плос-

кости w от 0 до —1 Отрицательная действительная ось плоскости z,
расположенная внутри единичного круга, преобразуется в часть
отрицательной действительной оси плоскости w от — 1 до со

Начало координат плоскости z отображается в точку w = — 1
плоскости w Если s изменяется от 0 до /cos/2 вдоль мнимой оси, z
изменяется от 1 до —1 вдоль единичной окружности и w изменяется
от 0 до оо вдоль мнимой оси В плоскости w можно с успехом приме-
нить метод логарифмических амплитудно-фазовых характеристик

С помощью z преобразования передаточная функция со звез-
дочкой G*(s) импульсной системы преобразуется в G(z); затем
с помощью подстановки выражения (9 7—2) можно выполнить
w преобразование импульсной передаточной функции G (г) и полу-
чить функцию G (ау), которую можно рассматривать как обычную
передаточную функцию от w Когда s увеличивается от 0 до ycos/2
вдоль мнимой оси, передаточным функциям G*(s), G(z) и G(oy)
будут соответствовать три годографа, имеющих один и тот же вид
Другими словами, частотная характеристика G(/v) для диапазона
фиктивной частоты от 0 до оо совпадает с годографом z преобра
зования G(z) который) в свою очередь, совпадает с частотной
характеристикой G*(jco) для диапазона частот от 0 до <os/2. Дей-
ствительная частота со и фиктивная частота v связаны уравнением
С ~ 1 +GH(z) R



где D(z}GH(z) — импульсная передаточная функция скоррек-

тированной системы в разомкнутом состоянии
С другой стороны Z преобразование выхода нескорректиро-
ванной системы можно получить из уравнения (9 7—7), под
ставляя

Тогда

СИ

R&),

(9 7-10)

где R(w) и С(ау) — w преобразования входа R(z) и выхода C(z)

соответственно;

GH(w) — w преобразование GH(z)

Аналогично w преобразование выхода скорректированной си-
стемы определяется из уравнения (9 7—8):

си

R И

Следовательно, включение импульсной цепи последовательно
с неизменяемой частью импульсной системы приводит к замене

передаточной функции разомкнутой системы GH(w) выраже
нием D(w)GH(w) Устойчивость и качество нескорректированной
системы зависящие от расположения полюсов и нулей передаточ
ной функции (9 7—10) в плоскости w, можно исследовать с помо
щью логарифмических амплитудно фазовых характеристик функ
ции GH(w) Корректирующее устройство D(w), необходимое для
обеспечения заданных требований, можно определить используя
обычный метод проектирования непрерывных систем.

С помощью уравнения (9 7—5) значения действительной
частоты со можно перевести в значения фиктивной частоты v
Например, если требуемая резонансная частота сог, то соответ
ствующая резонансная частота в плоскости w равна tg(co2772).
Связь между амплитудно фазовой характеристикой для G*(s)
[или годографом z преобразования G(z)[ и амплитудно фазовой
характеристикой для соответствующего w преобразования G(w)
показана на фиг 9 7—4. Если логарифмическая амплитудно
фазовая характеристика пересекает уровень единичного усиления
нечна, то величина

s, при которой G~(s) действительна и ко

G(^|_/oo=G*(s)|s=/^

(9 7-12)
вместо импульсной корректирующей цепи необходимо применить
непрерывною цепь, то передаточную функцию непрерывного
корректирующего устройства можно найти из полученной выше
импульсной передаточной функции D(z) Из фиг 9 7—5 видно,

525
(9 7-15)

т. e. z преобразование, соответствующее Gc(s)Gh(s)G,(s), должно
быть равно D(z)GhGs(z) В символической записи

%\Gc{s)Gh(s)Gs(s)\ = D(z)G Gs(z) (9 7-18)



(9 7-19)



(9 7—20)
Выражение (9 7—20) получается разложением

(9 7-21)

Аналогично легко показать, что если Gs (s) не имеет полюса

+ 2^

Тогда для рг действительного, положительного и меньшего
единицы



(9 7-26)
В соответствии с фиг 9 7—5, a z преобразование ошибки системы



(9 7-27)
+ k0 + члены c w в качестве множителя^ , (9 7—36)

то можно записать следующим образом

G(M=	““г) J-

что вдвое превышает передаточный коэффициент G(w)

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим пример
Пример 9. 7—1. На фиг 9 7—6 изображена импульсная
САР с запоминающим элементом нулевого порядка Неизменяемая
часть системы имеет передаточную функцию

(9 7-39)

Период прерывания равен 0 1 сек. Спроектируем импульсное
корректирующее устройство, удовлетворяющее следующим тре
бованиям:

1	Добротность по скорости должна быть не меньше 3

2	Запас по амплитуде должен быть не менее 6

3	Запас по фазе не менее 50°

4	Резонансный пик около 1. 3

Первая операция проектирования состоит в определении
импульсной передаточной функции нескорректированной разомк-

нутой системы A0(z) которая в этом случае явтяется z преобразо-
ванием, соответствующим Gft(s)Gs(s). Из фиг 9 7—6	•—

передаточная функция непрерывной части системы

видно, что
имеет вид

Для Л 0(s) z преобразование равно

(9 7 -42)

При Т = 0,1 сек уравнение (9. 7—42) приводится к виду

0 17< (0,368г +0,264)
(г-1) (г-0,368)

(9 7-43)

Переходя к переменной w с помощью подстановки z — (1 +
+ W) (1 — w), получим

2® (0,639 + 1,368®)

7С(1 — ш) [1 + (ш/0 607)]
20® [1 + (®/0 462)]

(9 7-44)
Передаточный коэффициент Д0(и>) равен К/20 Так как Доб-
ротность по скорости вдвое превышает этот передаточный коэф-
фициент. получаем
Фиг. 9. 7—7 Логарифмические
частотные характеристики
для примера 9. 7—1.
Л^-1,3, vr = 0,10
Фиг. 9 7—9 RC цепь для Gc(s) = (1 + 0,683s)/(l + 5,05s) (а); структурная
схема системы скорректированной с помощью последовательной импульсной
цепи (б)
9 8 МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА В ПЛОСКОСТИ 2

Целесообразно рассмотреть возможность применения широко
распространенного метода корневого годографа для анализа
и синтеза импульсных систем В параграфах 7 1 и 7 2 показано,
что поведение импульсной системы в переходном режиме целиком
определяется характером нулей и полюсов передаточной функции
замкнутой системы. Эти полюсы являются корнями характеристи-

G(s)

сов передаточной функции или корней характеристического
уравнения на переходный процесс системы. Эти сведения легко
получить из годографа корней характеристического уравнения
импульсной системы, когда передаточный коэффициент рассма-
тривается как параметр Такой график называется корневым
годографом Знание свойств годографов, по которым происходит
миграция корней характеристического уравнения, позволяет
определить поведение системы. С помощью корневого годографа
регулируемой системы и элемента обратной связи Общая переда-
точная функция замкнутой системы имеет вид

где G*(s) — преобразование со звездочкой,
G(s) = Gft(s)Gs(s)

соответствующее

A* (s) — преобразование со звездочкой, соответствующее
A(s) = Gft(s)Gs(s)H(s).

Характеристическое уравнение этой системы по s

Форма корневого годографа будет зависеть от распределения
полюсов и нулей A*(s) Как легко видеть преобразование со
звездочкой A*(s) имеет бесконечное количество полюсов и бес
конечное количество нулей. Полюсы A*(s) являются полюсами
A (s) и расположены вдоль линий параллельных мнимой оси
на расстоянии у со друг от друга Нули А*(з) можно определить
из A(s) с помощью уравнения

здесь А(х)

Так как A*(s) имеет бесконечное количество полюсов то
корневой годограф имеет бесконечное количество ветвей Следо
вательно в отличие от корневого годографа для непрерывных
систем построение корневого годографа для импульсных систем
по передаточной функции со звездочкой является довольно слож
ной задачей Кроме того, сложность построения корневых годо-
графов в плоскости s для импульсных систем затрудняет изучение
влияния дополнительной коррекции Вследствие сложности и
трудности построения корневых годографов в плоскости s они для
проектирования импульсных систем не применяются

Однако указанные трудности можно преодолеть, если исполь
зовать метод z-преобразования С помощью z-преобразований
общую передаточную функцию системы на фиг 9 8—1 можно
записать в виде

здесь A(z) = GH(z) является ^-преобразованием, которое соот
ветствует G(s)H(s), и называется импульсной передаточной
функцией разомкнутой системы. Функция G0(z) называется им
пульсной передаточной функцией замкнутой системы. Характе
ристическое уравнение имеет вид
С помощью подстановки

(9 8-9)

z-pk = ak\%k, z-zk = bk\^ (9 8-10)

выражение (9 8—9) можно записать в виде
В этом случае уравнения амплитуд и фазовых углов принимают
вид

(9 8—12)

*2 0гА — *5 0рА = 180° ± п360°	(9 8—13)

Соответствующее г преобразование имеет вид

(9 8-18)

где

(9 8—19)

(9 8—20)

(9 8-21)
Расположение нулей

полюсов для А (г) показано на

фиг 9 8—3, а Можно построить корневой годограф в плоско-
сти г для характеристического уравнения
нуль, то корневой годограф ее состоит из двух ветвей, одна из
которых конечна

4асть корневого годографа в виде окружности можно аналити
чески определить из уравнения фазовых углов Из уравне
ния (9 8—23) следует, что

Пусть

тогда

С помощью уравнения фазовых углов находим

Решая это уравнение, получим

Производя перекрестное перемножение, приводим уравнение

Уравнение (9 8—31) можно записать в виде

что является уравнением окружности с центром в точке 0)
и радиусом равным [(zj — рг) (zx — 1) ]'/г. Таким образом часть
корневого годографа является окружность о с центром в нуле
разомкнутой системы z = zx и радиусом, равным l(zx — pj X
X (zx — 1)1 А Точки пересечения окружности с действительной
осью определяются уравнениями

X = zx-[(zx-px)(zx-l)]'/2	(9 8-34)

Так как z-преобразование отображает левую половину плоско
сти s в область расположенную внутри единичной окружности
плоскости z то для абсолютной устойчивости необходимо чтобы
все полюсы импульсной передаточной функции замкнутой системы
(или в более общем случае все полюсы z преобразования выхода)
лежали внутри единичной окружности Другими словами для
устойчивости необходимо чтобы корневой годограф импульсной
системы ограничивался единичной окружностью Передаточный
коэффициент, при котором система становится неустойчивой,
соответствует точке пересечения корневого годографа с единичной

(9 8—35)

(9 8—36)

У __	3fl + z1P1)]	.	(9 8_37)

Передаточный коэффициент, при котором в системе появляются
незатухающие колебания, можно получить из уравнения

(9 8—38)

Так как Ко = аТК, то максимально допустимый передаточный
коэффициент

(8 8-42)

(9 8-43)
При постоянном значении k уравнение (9 8—46) представляет
собой уравнение равнобочной гиперболы. Номограмма макси-
мально допустимых передаточных коэффициентов для системы
второго порядка изображенная на фиг 9 8—4, состоит из се-
мейства равнооочных гипербол

Выражения для максимального передаточного коэффициента,
определяемые уравнениями (9 8—41) и (9. 8—42), справедливы
только тогда, когда нуль zx удовлетворяет уравнению (9. 8—43).
В этом случае неустойчивость имеет место, если корневой годограф
пересекает единичную окружность, как показано на фиг. 9 8—3, б
Если Zi превышает значения, определяемые уравнением (9 8—43),
круговая часть корневого годографа не будет пересекать единич-
ную окружность и неустойчивость будет иметь место, если корне-
вой годограф пересечет единичную окружность в точке —1
В данном случае одним из характеристических корней будет
Из второго соотношения находим что система неустойчива при
значениях Ко, определяемых уравнением

(9 8—49)



(9 8-516)
и величины рг и гг должны удовлетворять соотношению

(9 8—52)

(9 8—54)
выше рассуждения Сдвиг полюса

Максимально допусти
мое значение Ко является
наибольшим когда нуль Z!
и полюс рг удовлетворяют
уравнению (9. 8—54). Это
подтверждает приведенные

можно осуществить с помощью введения нуля для сокращения
нежелаемого полюса и нового полюса в требуемой точке

На фиг 9 8—7 показано влияние неточного сокращения
нуля Первоначальный корневой годограф изображен пунктирной

В параграфе 2. 6 показано, что для системы с передаточной
функцией, характеризуемой с определенной точностью этой
парой доминирующих комплексных сопряженных полюсов, время
переходного процесса приближенно определяется формулой

7,=» А	(9 8—57)
U-21)2 + //2=(z1-p1)(21-l)

(9 8-59)

(9 8-60)

(9 8-61)
_ Co-piHziO + pi)
2г!

{^(%-Pi-O-^-Pi)] [Zi(2ro + Pi + 1) +

______________________________

2zx

(9 8-63)

Соответствующий передаточный коэффициент, полученный с по-
мощью уравнения (9 8—38), равен

Уравнение (9 8—64) справедливо лишь тогда, когда р3
удовлетворяют уравнению

(9 8-65)
полюсов Квадратичный трехчлен, соответствующий этим полю
сам, имеет вид

[8 + (г-/ГТ^)<о„п« + (г+уГг^)<о„]’ (9'8 68)

где £ — коэффициент демпфирования, а — недемпфированная

ф = arc cos I

(9 8—69)


Так как

(9 8-72)

отрицательным частотам,
изображена пунктирной лиш

шей. Можно считать, что линия не-

стоянного демпфирования в плоскости s состоит из бесконечного
числа отрезков. В соответствии с фиг 9 8—10 отрезок линии
постоянного демпфирования оа, лежащий внутри основной полосы,
отображается в часть спирали от о до а в плоскости z Отрезки
линии от а до & и от & до с соответствуют частям спирали от а до &
и от & до с Для отрицательных частот отрезки линии оа , а b ,
b с', отооражаются в соответствующие части спирали
(фиг 9 8—10, б) Часть основной полосы, лежащая слева от линии
демпфирования, отображается во внутреннюю часть круга в плос
кости z, охваченную кривой постоянного значения £ оаа о
(фиг 9 8—11) Пот} е о еч1 е т (гра \ ел ду основ
ной и дополнительными полосами) от а и а до оесконечности
отображаются в отрезок отрицательной действительной оси плос-
кости z от а (и а') до начала координат

Для обеспечения заданного коэффициента демпфирования
необходимо, чтобы все характеристические корпи (или полюсы
передаточной функции замкнутой системы) в плоскости s лежали
слева от линии, соответствующей заданному демпфированию
[аким образом, характеристические корпи в плоскости z
должны лежать внутри области, ограниченной спиралью демпфи
рования для положительных и отрицательных частот Имея в виду
тот факт, что внутренняя область стремится к нулю как к пре
делу, видим, что нельзя получить требуемое значение коэффициента
демпфирования для импульсных систем Однако на практике
некоторые элементы прямой цепи САР по своей природе являются
пичкочастотпыми и вносят затухание па высоких частотах, что
уменьшает роль высокочастотных полюсов В результате внутрен
няя область, ограниченная спиралями, никогда не будет равна нулю

Если частотная характеристика элементов прямой цепи быстро
затухает на частотах, превышающих 3®/2, то имеют значение лишь
полюсы в основной и двух смежных дополнительных полосах
плоскости s, а полюсами остальных дополнительных полос можно
пренебречь. В этом случае для получения требуемого коэффициента
демпфирования необходимо, чтобы характеристические корни
лежали внутри области, ограниченной кривой постоянного зна
чения tbcc'b’, соответствующей отрезку линии демпфирования
от b до с и от Ъ' до с' (фиг 9 8—10). Если частотная характери
стика элементов прямой цепи импульсной системы быстро затухает
на частотах, превышающих частоту прерывания ®s, то внутренней
областью будет область, ограниченная кривой постоянного зна-
чения ^abb'a!, соответствующая отрезкам линии демпфирования
от а до b и от а до b Кроме того, если частотная характеристика
системы быстро затухает на частотах, превышающих частоту ®/2,
то для получения требуемого значения коэффициента демпфиро
вания импульсной системы необходимо, чтобы характеристические
корни лежали внутри кривой постоянного значения ^оаа'о, соот-
ветствующей отрезкам линии демпфирования оа и оа внутри
основной полосы (фиг. 9 8—11)

Эту кривую постоянного значения £ можно назвать основным
годографом постоянного значения коэффициента демпфирования
При заданном коэффициенте демпфирования допустимый переда-
точный коэффициент импульсной системы затем можно определить
по точке пересечения корневого годографа системы в плоскости г
и годографом постоянного значения коэффициента демпфирования

В качестве иллюстрации применения метода корневых годо
графов для синтеза импульсных и цифровых систем ниже рас
смотрено несколько примеров

Пример 9. 8—1. На фиг 9 8—12 изображена структурная
схема системы с прерыванием сигнала ошибки, в -которой для
сглаживания применяется запоминающий элемент нулевого по
рядка Период прерывания равен 0,1 сек Передаточная функция
регулируемой системы имеет вид
график корневого годографа Передаточная функция разомкнутой
системы в области s имеет вид

Л.(s) = G„ (s) G,(s) =	• <9 «~ге)

фициент при заданном значении демпфирования, на фиг 9 8—13
также изображен годограф коэффициента демпфирования для t, =
= 07 При коэффициенте демпфирования 0 7 допустимый переда-
точный коэффициент равен примерно 2,6 При данном значении
усиления нескорректированной системы

Kv = КТ = 0 26

(9 8—77)

что значительно меньше требуемого значения Если же увеличить

передаточный коэффициент, необходимо применить также коррек
Im

z-0,368

z + 0 950

(9 8—78)
при котором демпфирование равно 0,7, возрастает до 17,1. Если
выбрать передаточный коэффициент равным данной величине,
то скоростная постоянная скорректированной системы будет
равна 1,71, что удовлетворяет заданным требованиям Следова-
тельно, корректирующее устройство с импульсной передаточной
функцией Gc(z), определяемой уравнением (9 8—78), считается
приемлемым

После того как определена импульсная передаточная функция,
необходимо реализовать корректирующее устройство В качестве
иллюстрации рассмотрим реализацию импульсной передаточной
функции G((z) в виде импульсной RC цепи Так как Gc(z) имеет
действительный отрицательный полюс, то ее нельзя реализовать
с помощью основной последовательной структурной схемы, ее
можно реализовать с помощью основной структурной схемы с об
ратной связью Используя уравнение (9 6—54), получим

( Нс (s)) =	1 — Gc (г)	_	1,318 г

Из уравнения (9 8—80) следует, что
Нс (s) _ 2 08	2,08

(9 8—81)
Следовательно, Нс (s)

(9 8-82)

9 9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
йулйсных САР Так как числитель Импульсной передаточной функ
ции разомкнутой системы по z не всегда может быть представлен
в виде произведения элементарных сомножителей, то соответ-
ствующее w преобразование также не будет произведением эле-
ментарных сомножителей. При построении асимптотических лога-
рифмических амплитудно-фазовых характеристик числитель им
пульсной передаточной функции разомкнутой системы необходимо
разложить на элементарные сомножители Несмотря на то, что
разложение полинома можно выполнять различными методами,
например с помощью метода Ольденбургера и Лина, для систем
высокого порядка это является трудоемкой задачей. Для уменыие
ния объема вычислительной работы желательно числитель импульс
ной передаточной функции по z разложить на множители перед
преобразованием импульсной передаточной функции в область w

Применение метода корневого годографа Эванса (вначале
разработанного для непрерывных систем) для синтеза импульсных
систем автоматического регулирования является естественным
и очевидным Правила построения корневых годографов непрерыв-
ных САР можно непосредственно применять для построения
корневых годографов в плоскости z импульсных САР Максимально
допустимое значение передаточного коэффициента определяется
по точкам пересечения корневых годографов с единичной окруж
ностью Если основным требованием является обеспечение задан
ного относительного демпфирования, то максимально допустимый
передаточный коэффициент импульсной системы равен передаточ
ному коэффициенту, соответствующему пересечению корневого
годографа со спиральным графиком требуемого демпфирования
Методы деформации корневых годографов импульсных САР для
обеспечения заданных требований в принципе не сложнее, чем для
корневых годографов непрерывных САР
ГЛАВА 10

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

С ПОМОЩЬЮ ЦИФРОВЫХ МЕТОДОВ КОРРЕКЦИИ

10 1 ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей главе показано, как методы проектирования
непрерывных систем можно применять для расчета импульсных
САР В сущности коррекция систем автоматического регулирова
ния состоит в обеспечении требуемой устойчивости и показателей
качества. Практически все обычные методы можно применять для
анализа и синтеза импульсных и цифровых систем автоматиче
ского управления До настоящего времени основные усилия
в области автоматического управления были направлены на опти-
мизацию и самооптимизацию этих систем Обычно стремятся
спроектировать систему автоматического управления, имеющую
оптимальные характеристики Термин оптимальное управление
означает такую настройку параметров контура управления или
коррекцию системы, которые обеспечивают наилучшее возможное
управление при наличии возмущений

Проектирование оптимальной системы основывается на кри-
терии оптимальности, выбор которого обычно зависит от специ
фических требовании и особенностей применения системы. Напри
мер, систему автоматического управления можно спроектировать
на основании требований к переходному процессу на ступенчатое
воздействие или требования минимума среднеквадратической
ошибки Следовательно никакой способ оптимального управления
не может быть универсальным. Система автоматического управле
ния, оптимальная с точки зрения одного критерия, может не иметь
оптимальных характеристик в смысле другого критерия В этой
главе рассматривается оптимальное управление импульсных систем
с помощью цифровой коррекции

При проектировании оптимальных систем автоматического
управления необходимо учитывать несколько важных факторов
1) назначение системы, 2) характеристики входных воздействий
3) критерий качества, на основании которого проектируется
система, 4) свободу выбора при проектировании, 5) стоимость
системы Критерий качества при проектировании оптимальной
системы управления зависит от специфических требований, опре
деляемых областью применения Часто для некоторых типов
импульсных систем автоматического управления условиями опти
мальности считаются минимум времени переходного процесса
и нулевая установившаяся ошибка выхода системы при подаче
на ее вход типовых воздействий (ступенчатой, линейно-нарастаю
щей или параболической функции). Для некоторых других типов
систем автоматического управления оптимизация состоит в на-
стройке параметров, обеспечивающей минимум суммы квадратов
дискретных значений ошибки В импульсных системах автоматиче
ского управления, на которые воздействуют случайные возму-
щения, в качестве критерия оптимальности принимается минимум
среднеквадратической ошибки Ниже будет рассмотрено опти-
мальное управление импульсными системами автоматического
регулирования с помощью цифровой коррекции на основании
одного из указанных критериев


где П7е(г) — импульсная передаточная функция ошибки ИмпулЬс
ная передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет
вид

В параграфе 6 6 показано, что дискретные значения ошибки
системы е(пТ) можно представить в виде ряда

где Т — период прерывания, а г(пТ) — импульсный

вход,

Кр, Kv, Kq К],  обозначают соответственно добротность по
положению, скорости, ускорению и т д

Для уравнения (10 2—3) г преобразование имеет вид

Решая совместно уравнения (10 2—1) и (10 2—6), получим
разложение в ряд для Ц7е(г) в виде

Из уравнения (10v 2—3) следует, что условиями нулевой
установившейся ошибки в дискретные моменты времени являются

1	Кр = со для ступенчатой входной функции

2	Кр = Кг. = со для линейно нарастающей входной функции

3	Кр = Kv = Ка = со для параболической входной функции

Как видно из уравнения (10. 2—7), для того чтобы реакция
системы на ступенчатую, линейно нарастающую или параболиче
скую функцию заканчивалась в конечное время, необходимо,
чтобы импульсная передаточная функция ошибки системы IFe(z;
представляла собой конечный полином от г-1 Например, если
входом является ступенчатая функция, то г-преобразование
ошибки определяется уравнением

Е (г) = R (г) We (г) =	(10 2-8)

Так как We(z) содержит (1 — z x) в качестве сомножителя,
то £(г) может представлять собой либо бесконечный ряд, либо
полином от г-1 в зависимости от вида We(z). Аналогичное положе
ние имеет место для линейно нарастающей и параболической вход
ных функций. Следовательно, импульсная САР будет иметь нуле-
вую установившуюся ошибку и конечное время переходного про
цесса выходной последовательности при типовом входном воздей
ствии, если удовлетворяются следующие условия

1	Для ступенчатой входной функции

We{z) = (\-z~1)F(z}	(10 2-9)

2	Для линейно нарастающей входной функции

(10 2-10)

3	Для параболической входной функции

4	Для входа, имеющего г преобразование,



где Nk(z) — полином *по г 1

ГДг) = (1 — z-^Fiz)	(10 2—13)

В этих уравнениях F(z) — рациональный полином по z"\
который необходимо выбрать

Время переходного процесса зависит от порядка We(z) Ясно,
что We(z) будет иметь минимальный порядок, если F(z) равно
единице или постоянной величине Таким образом, при этих
условиях реакция системы на ступенчатую, линейно нарастающую
и параболическую входную функции заканчивается соответственно
за один, два и три периода прерывания Действительно, эти
величины представляют минимальные значения времени переход
кого процесса, которые можно получить в импульсной системе
с единичной обратной связью и прерыванием сигнала ошибки
Рациональный полином F(z) нельзя выбирать произвольно
Его следует выбирать так, чтобы импульсную передаточную функ
цию D(z') можно было физически реализовать Из уравне
ний (10 2—1) и (10 2—2) следует, что импульсная передаточная
функция D(z) требуемого корректирующего устройства опре
деляется уравнением

D(z) =


Так как за некоторыми исключениями G(z) обычно содержит
в качестве сомножителя z \ то для того, чтобы D(z) можно было
реализовать, импульсная передаточная функция замкнутой си-
стемы

G0(z)= 1-№е(г)	(10 2-15)

должна содержать z"1 в качестве сомножителя Следовательно,
F(z) необходимо выбрать так, чтобы функция lFe(z) представляла
собой полином от z-1, содержащий постоянный член 1

В табл 10 2—1 приведены выражения W„(z) для импульсной
САР, переходный процесс которой при типовом входном воздей-
ствии заканчивается за минимальное время Однако, как будет
показано ниже, эти выражения применимы только в том случае,
если G(z) является импульсной передаточной функцией устойчи-
вой системы без чистого запаздывания и не содержит нулей на
единичной окружности или вне ее
G0(z) = 2г"1 — z 2

(10 2—22)
для параболической входной функции

== z 2 + 3,5Г3 + 7z 4 + 1 l,5z-6 +	(10 2—26)

Выходные последовательности скорректированной системы для
этих трех типовых воздействий изображены на фиг 10. 2—2
Из фиг. 10 2—2, а видно, что при ступенчатом входном воздей*
ствии выходная последовательность системы устанавливается
за два периода прерывания, однако имеется перерегулирование
в 100% при t = Т, что, конечно, нежелательно. Из фиг. 10 2—2
видно, что при входном параболическом воздействии ошибка равна
1 (т е Т2) Ясно, что данная скорректированная система не
является оптимальной при входных воздействиях, отличающихся
от линейно нарастающей функции, для отработки которой система
специально спроектирована Приведенный пример показывает
что управление, которое является оптимальным с точки зрения
некоторого критерия (или критериев), может быть неоптимальным
(или даже неприемлемым) с точки зрения других критериев

Весь переходный процесс скорректированной системы легко
вычислить с помощью модифицированного z преобразования,
как показано в параграфе 6 4В соответствии со структурной
схемой системы (фиг. 10 2—1) модифицированное z преобразова-
ние выхода системы определяется выражением

и (г) и (г т) п

(10 2—27)

где G(z, tri) — модифицированное z преобразование, соответст
вующее передаточной фукции прямой цепи G(s), определяемой
уравнением (10 2—18) Модифицированное z преобразование вы
хода скорректированной системы с помсщью соответствующей
подстановки получается из уравнения (10 2-27) Таким образом,
для линейно-нарастающей входной функции получаем

+ 10.368 (m — 2) + <

(10 2—28)

Определяя обратное модифицированное z-преобразование, по-
лучаем реакцию скорректированной системы на линейно-нарастаю-
щую входную функцию Соответствующие кривые построены на
фиг 10 2—2, б Необходимо отметить, что на выходе системы
имеются допустимые пульсации, что и следовало ожидать Дейст
вительно, импульсные САР, обладающие минимальным временем
переходного процесса, вообще говоря, могут иметь пульсацйи'на'
выходе Система считается удовлетворительной, если пульсации
не превосходят заданного значения

Из уравнения (10. 2—14) видно что если импульсная переда-
точная функция G(z) не имеет нулей на единичной окружности
в плоскости z или вне ее и соответствует устойчивой системе, то
из табл 10. 2—1 можно выбрать импульсную передаточную функ
цию ошибки системы IFe(z), обеспечивающую минимальное время
переходного процесса Однако если G(z) неустойчива или имеет
нули, расположенные на единичной окружности или вне ее, то
выражения We(z), приведенные в таблице 10 2—1, неприменимы
В этом случае при использовании данных выражений функция
D(z), определяемая уравнением (10. 2—14), будет физически не
реализуемой импульсной переходной функцией Следовательно-,
при определении We(z) необходимо обеспечить физическую реали-
зуемость импульсной передаточной функции Z)(z) (10 2—14)
Из уравнения (10. 2—14) следует, что импульсная переда*
точная функция замкнутой системы имеет вид

G0(z)-D(z)G(z)We(z)	(10 2-29)

Для обеспечения устойчивости эта импульсная передаточная
функция не должна иметь полюсов на единичной окружности в пло
скости z или вне ее Таким образом, любой полюс G(z), лежащий
вне единичной окружности, необходимо устранить Из уравне
ния (10. 2—29) видно что нежелаемый полюс G(z) можно компен
сировать с помощью нуля цифрового корректирующего устройства
D(z) или за счет импульсной передаточной функции ошибки си
стемы We(z), т е для обеспечения устойчивости необходимо,
чтобы совершенно отсутствовали неустойчивые полюсы. Однако
компенсация полюсов с помощью нулей цифрового корректирую-
щего устройства D(z) недопустима, так как всегда возможен не
значительный сдвиг его нулей, что приведет к несовершенной
компенсации, вызывающей неустойчивость системы На практике
система должна быть устойчивой при малых изменениях пара
метров Следовательно, для того чтобы избежать несовершенной
компенсации, все неустойчивые полюсы должны соответствовать
нулям We(z) Так как функция Z>(z) не должна иметь полюсов
лежащих вне единичной окружности в плоскости z и We(z) пред-
ставляет собой полином от г1, то нули G(z), лежащие на единич
ной окружности или вне ее, нельзя компенсировать с помощью
полюсов D(z) или We(z). Эти нули G(z) будут являться нулями
импульсной передаточной функции системы в замкнутом состоянии

Такие рассуждения позволяют сформулировать следующие
условия, которым должна удовлетворять функция We(z), обес
печивающая минимально допустимое время переходного процесса

1	Функция We (z) должна иметь нули, равные полюсам G(z)
расположенным на единичной окружности плоскости z или вне ее

2	. Функция G0(z) или 1 — Fe(z) должна иметь в качестве
нулей все нули G(z), расположенные на единичной окружности
плоскости z или вне ее

3	Функция G0(z) или 1 — We(z) должна содержать в ка
честве сомножителя z 1 Из уравнения (10 2—13) видно, что по
лином F(z) можно положить равным единице только в том случае,
если G(z) является импульсной передаточной функцией, соот-
ветствующей устойчивой системе, и не имеет нулей на единичной
окружности плоскости z или вне ее. Если же G(z) является не-
устойчивой импульсной передаточной функцией, то E(z) должна
содержать в качестве нулей все полюсы G(z), лежащие на единич
ной окружности плоскости Z или вне ее (за исключением полюсов
при z = 1) Если G(z) имеет нули, расположенные на единичной
окружности или вне ее, то эти нули должны быть нулями Go (z) =
= 1—(1—z“1)feE(z) В этих двух случаях наименьшее время пере
ходного процесса превышает минимальное время переходного про-
цесса, которое можно получить для системы с устойчивой импульс-
ной передаточной функцией G(z), не имеющей нулей на единичной
окружности плоскости z или вне ее Для иллюстрации этих рас-
суждений приводится числовой пример

Пример 10 2—2 Рассмотрим импульсную САР, структурная
схема которой изображена на фиг 10 2—1 В системе исполь-
зуется запоминающий элемент нулевого порядка Передаточная
функция регулируемой системы имеет вид

Gs(s)- о is)(i о 05s)

(10 2—30)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих
дем

членах, най-
(10 2-36)

0,- 1,065^	(10 2-37)

считаться оптимальной только в том случае, если пульсации на
выходе не превышают допустимого предела. Проектирование им
пульсных САР, не имеющих пульсаций, рассматривается ниже

Переходный процесс скорректированной системы, вызванный
ступенчатой входной функцией, может считаться оптимальным
в таких случаях когда пульсации на выходе являются несущест
венными Однако система не будет вести себя удовлетворительно
когда на входе регулируемой системы Gs(s) будет действовать
внешнее возмущение Структурная схема данной системы, под
вергнутой действию внешнего возмущения U(s), изображена на
фиг 10 2—4 Для выхода системы C„(s), вызванного возмуще-
нием U(s), z-преобразование легко наити из структурной схемы

1 + D(z)SG^Gh (г)

(10 2—43)

10______________

s3(l +0 Is) (1 + 0 05 s)

(10 2—44)

и соответствующее z-преобразование

0 76z-i(l +0,05г-1)(1 + 1,065г *) ПП9

UG‘ (?) - (i _ г-1? (1 _ о 1352-1) (1 - 0 01857-Д (10 2~45)

569
Знаменатель уравнения (10 2—43) равен

1+в(г)0(г) = -^ = .-г_г,)(|'+|

(10 2-46)

Подставляя выражения (10. 2—45) и (10 2—46) в (10 2—43),
получим z преобразование выхода системы

Гбг 1-р 1,24г"2 + 0,478г 30,0209г 4	/1П9 ,7.

-1 1535 г-^ГбДббг-2 -0,0025г"3	<10 2“47>

С помощью обратного z преобразо-
вания получаем выходную последова
тельность при воздействии возмущений
которая изображена на фиг. 10 2—5
С помощью теоремы о конечных значе
ниях можно показать что установив
шееся значение выхода (ошибка) рав
но 2,16, что, конечно, неприемлемо
Приведенный анализ показывает, что
данная система неудовлетворительно
реагирует на внешние возмущения

Проектирование импульсных САР со многими входами рас
сматривается в параграфе 10 5

10 3 ПОДАВЛЕНИЕ ПУЛЬСАЦИЙ В ТЕЧЕНИЕ ПЕРИОДОВ ПРЕРЫВАНИЯ

Выше показано, что импульсные САР с минимальным временем
переходного процесса имеют некоторые недостатки, одним из ко-
торых является наличие пульсаций на выходе системы Однако
в некоторых системах пульсации являются крайне нежелатель-
ными. Это особенно касается САР, в состав которых входят меха
нические элементы. Пульсации не только дают ошибку системы
но и вызывают потерю мощности и приводят к износу механиче
ских передач Когда в САР пульсации являются недопустимыми,
оптимальное проектирование должно быть направлено на исклю-
чение этих пульсации. Подходящим критерием в этом случае
является следующий: реакция системы на основной вход не должна
иметь пульсаций через промежуток времени, равный наименьшему
возможному времени переходного процесса В данном параграфе
излагается метод проектирования систем, свободных от пуль

Так как метод z преобразования не дает точной информации
в течение периодов прерывания, то, очевидно, для проектирования
систем свободных от пульсации, лучше всего применять метод
модифицированного z-преобразования, рассмотренный в гл 6 и 7
Из структурной схемы импульсной САР основного типа
(фиг 10 2—1) видно, что модифицированное z преобразование
выхода скорректированной системы определяется соотношением

С (z, т) = Е1 (z) G(zm ]= Ge (z) G (z, tri) R (z), (10 3—1)

где E^z) — z преобразование ошибки;

G(z, m) — модифицированное z преобразование соответст
вующее G(s)

Ge(z) — импульсная передаточная функция ошибки, опре-
деляемая уравнением

Обратное модифицированное z преобразование выражения
(10 3—1) позволяет найти переходный процесс системы. Можно
показать, что необходимым условием отсутствия пульсаций в реак-
ции системы на основной вход после короткого переходного пе
риода является возможность представления импульсной переда
точной функции Ge(z)G(z, т) в виде полинома от г1. Другими
словами, импульсная передаточная функция ошибки Ge(z) должна
быть полиномом от z-1, и все полюсы G(z, tri) или G(z) должны
являться ее нулями Следует отметить, что полюсы G(z, т)
обычно совпадают с полюсами G(z) Из соотношения

видно, что для системы свободной от пульсаций необходимо,
чтобы импульсная передаточная функция замкнутой системы
G0(z) =1 — ШДг) являлась полиномом от z 1 и включала в ка
честве нулей все нули G(z). Дополнительными ограничениями,
налагаемыми на We(z) являются следующие: Fe(z) должна быть
полиномом от z 1 должна содержать в качестве своих нулей все
полюсы G(z, m), которые лежат на единичной окружности пло-
скости z или вне ее, We(z) должна удовлетворять условиям нуле-
вой установившейся ошибки полученным в параграфе 10 2 Если
We(z) определена, то импульсная передаточная функция D (z)
искомого цифрового корректирующего устройства получается не-
посредственно из уравнения (10 2—14).

Из изложенного следует что импульсная система, спроектиро-
ванная на основе критерия отсутствия пульсаций, обычно имеет
меньшее быстродействие, чем система спроектированная на основе
минимума времени переходного процесса Таким образом, систему
свободную от пульсаций, можно получить за счет увеличения вре
мени переходного процесса Числовые примеры данные ниже,
поясняют проектирование импульсных САР, свободных от пуль
(10 3—4)

G(z,m)= lOz-f-^^ + ^i^- + (m—1)] (10 3-6)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих членах обеих
частей уравнения получим

at = 0,718&0,

о дает решения

^ = 0,418, Ьо-= 0,582
Следовательно,

We(z) -= (1 — z”1) (1 + 0,418 г”1),

1 — F, (z) = 0,582 z”1 (1 + 0,718 z”1)

(10 3—10)
(10 3—11)

(10 3-12)

(10 3—13)

(10 3—14)
С помощью соответствующей подстановки в уравнение (10. 3—1)
получим модифицированное z преобразование выхода скорректи-
рованной системы при воздействии на
ее вход единичной ступенчатой функ-

+ ('1ZoX" +(”-1)] (10 3-17)

После разложения в степенной ряд по z-1 с помощью последо-
вательного деления в уравнении (10 3—17) получаем

С (z, т) = 1,582 (т — 1 + е~т) г-1 +

+ (2,164— 0,582 m — 1,582 е~т) г’2 +

с (Т, т) = 1,582 (m — 1 + е~т)

(10 3—18)

(10 3—19)

В течение периода Т < t < 2Т выход определяется выраже-

с (2Т, т) = 2,164 — 0,582m — 1,582е~т,	(10 3-20)
1 582г a(l-z i) (1 -0 368г J)

(г tn) - —-------------------------

Ч-оХ" -И"1-')] (10 3-21)

4- 0,582) г 3 Кт

-у 1 582) г 4 + (т +
+2 582) г-5 +

(10 3—22)

Фиг. 10. 3—2. Реакция скор- Коэффициенты данного ряда опреде-
ректированной системы на ляют реакцию на линеино-нарастающую
входную линейно-нарастаю ВХ0ДНую функцию в течение соответ-
щую функцию^ля примера ствующего периода прерывания
(фиг 10 3—2). Несмотря на то, что выход
системы не имеет пульсаций, на выходе системы имеется ошибка
равная 1,418. Этого и следовало ожидать так как импульсная
передаточная функция прямой цепи скорректированной системы
£>(г)О(г) имеет лишь один полюс при z = 1 Эти рассуждения
показывают, что импульсная САР, спроектированная из условия
минимально возможного времени переходного процесса, при от
сутствии пульсации и ошибки в установившемся состоянии не
удовлетворительно реагирует на входной сигнал, отличный от
заданного при расчете Данные соображения иллюстрируются
следующим примером

Пример 10. 3—2. Рассмотрим ту же импульсную систему, что
и в предыдущем примере. Необходимо спроектировать цифровое
корректирующее устройство, исходя из следующих требований-
1) система не должна иметь пульсаций и ошибок в установившемся
состоянии при воздействии на вход линейно нарастающей функ
ции- 2) время переходного процесса должно быть наименьшим
Проектирование по-прежнему начинается с определения им
пульсной передаточной функции дшибки We(z) В соответствии
Изложенными принципами проектирования предположим,

ГДг) = (1-г-1)а(1 - а^1),

(10 3—23)

Модифицированное z-преобразование выхода скорректирован
ной системы при воздействии на ее вход единичной линейно-на-
растающей функции можно найти из уравнения (10 3—1) с по-
мощью соответствующей подстановки

। (l-z-Qe-1
1 -0,368г-

(т — 1)]

(10 3-30)

Разлагая правую часть этого уравнения в ряд получим выра-
жение

С (z, т) = 3,83 (т — 1 + е~"’) г~а + (3,65 + 0,175т — 2 24е-т) z"8+
+ (т+3)г"4 + (т + 4)г-5+	+ (т -J- k — 1) z~k +	(10 3—31)

575
Коэффициенты данного степенного ряда определяет реакцию
на линейно-нарастающую функцию. Переходный процесс закан
чивается за три периода прерывания без пульсаций На

фиг. 10. 3—3 изображен график этого
переходного процесса. Предъявляв
мые к системе требования удовле
творяются при использовании цифро
вого корректирующего устройства
имеющего передаточную функцию
(10 3—28) Однако изложенный метод
проектирования не является совершен
ным. Недостаток оптимального проекта
рования, основанного на критерии от
сутствия пульсаций, вскрывается при

С (г, т) = 3,83г'1 (1 - 0,368г х) (1 - 0 586г’1)	+

+	+ (т~ ’)] = 3-83- 1 +	(7,48- 3,65m-

— 6,07e-m) г-2 + (0,825m — 0,65 + 2,24e~m) г~3 у
спроектирована на основе компромисса между требованиями
к величине пульсаций, времени переходного процесса и перере
гулированием для получения наилучших характеристик

10 4 МИНИМИЗАЦИЯ ОШИБКИ СИСТЕМЫ

Импульсные системы автоматического регулирования, рассмот
ренные в предыдущих параграфах, имели серьезные недостатки
Если система спроектирована исходя из оптимальной реакции на
линейно-нарастающую функцию, то при ступенчатом воздействии
имело место слишком большое перерегулирование, вследствие чего
система оказалась непригодной. Наличие чрезмерного перерегули
рования ограничивает область применения систем, оптимальных
только с точки зрения времени переходного процесса и имеющих
нулевую установившуюся ошибку Для обеспечения компромисса
между временем переходного процесса,’" п} лЪсациями и перере
гулированием применяется метод проектирования, основанный
на минимизации суммы квадратов дискретных значении ошибки,
вызванной типовым воздействием

В большинстве случаев качество импульсной САР считается
удовлетворительным, если ошибка не превышает некоторого
уровня, и неудовлетворительным, если этот уровень превышается
В этом случае подходящим критерием качества может быть отно
сительное время в течение которого ошибка превышает допусти
мый уровень Малая величина этого относительного времени ука-
зывает на хорошее качество САР Этот критерий кажется совер-
шенно простым и понятным К сожалению, решить математически
проблему минимизации ошибки системы на основе этого критерия
невозможно При других условиях оптимальное качество дости-
гается при минимизации максимальной ошибки импульсной САР,
на вход которой подано типовое воздействие Однако проблема
минимизации максимальной ошибки также не решается анали
тически Но проблема минимизации суммы квадратов ошибки
может быть решена аналитически для довольно широкого класса
сигналов Кроме того, при минимизации суммы квадратов дискрет-
ных значений ошибки имеется тенденция к ограничению макси-
мальной ошибки импульсной САР, если эту ошибку можно контро
лировать

Прежде чем применить критерий минимума суммы квадратов
дискретных значений ошибки к проектированию импульсных САР,
выведем важное соотношение, связывающее сумму квадратов им-
пульсной последовательности с ее г-преобразованием. Предполо-
жим, что импульсная последовательность сигнала е(/) предста-
вляет собой е(&Т), а его г-преобразование£,(г). Тогда

2 (kT^= ^$Е(г>Е (2-1)2-1 dz

(10 4-1)
Это уравнение можно получить следующим образом
Применяя обратное г преобразование (5 6—4) получим выра-

жение

(10 4—2)

E(z !) = %e(kT)zk	(10 4-6)



+v "\<W 4-7)
довательности Из уравнения (10. 4—7) легко видеть, что харак-
теристическое уравнение скорректированной системы имеет один
корень при z = а и все остальные корни при z = 0

Коэффициенты ап в выражении А(г) и весовой коэффициент а
выбираются так чтобы 1) импульсная передаточная функция
ошибки системы We(z) включала в качестве нулей все полюсы G(z),
которые лежат вне единичной окружности плоскости z; 2) импульс-
ная передаточная функция замкнутой системы G0(z) содержала
в качестве пулей все пули G(z): которые лежат вне единичной
окружности плоскости г, 3) сумма квадратов дискретных значений
ошибки е(АТ) была минимальной или равна некоторой компро-
миссной величине, выбранной с учетом того, что на систему могут
подаваться входные воздействия дбух типов: ступенчатая функция
и линейно нарастающая функция Применение этого метода проек-
тирования легче всего объяснить с помощью примера

Пример 10.4—1. Рассмотрим ту же импульсную САР, что
и в предыдущем примере Требуется спроектировать цифровое
корректирующее устройство так, чтобы можно было обеспечить
компромисс между временем переходного процесса и перерегули
рованием выходной последовательности при подаче на вход ступен
чатой функции и линейно-нарастающей функции Скорректиро
ванная система должна иметь нулевую установившуюся ошибку
в дискретные моменты времени при отработке линейно нарастаю-
щей входной функции

Передаточная функция прямой цепи нескорректированной си
стемы в плоскости s имеет вид

а соответствующее г преобразование равно

г, х _	0 76г-Ч1 +0 05г-1)(1 + 1,065г-1)

° (z) - (I _ г-1) (1-0 135г-1) (1-0 0185г-1)

We(z) = (1~~	1}'’	(1° 4~10>
и приравнивая коэффициенты при одинаковых членах обеих
частей полученного равенства, находим тфи уравнения

&0«2-а,-а,	(10 4-12)

6, I- 1,06560 = 2а, - 1

1,0656, = - а.

(10 4—13)

(10 4-14)

g = 2^14^77^*	0» 4-1?)

5™-

(10 4—18)

Исключая а, из уравнений (10 4—15) и (10 4—18), получаем



(10 4—19)
равна 1,611, если а — 0 и достигает наименьшего значения 1,035
при а =- —1.

При воздействии на вход единичной ступенчатой функции
z преобразование ошибки системы равно

(10 4—20)

- 2Н7	=

=	(10 4-21)

Подставляя уравнение (10 4—15) в (10 4—21), получаем еле
дующее выражение

V [е (kT)]2 = 1 659 + 1 264а-0391аа

(10 4—22)

график которого изображен на фиг 10 4—1 Сумма квадратов
дискретных значений ошибки уменьшается с увеличением а от
—1 она равна 1,659 при а = 0 и достигает наименьшего значе
ния 1,266 при а — 1

В данном примере нельзя найти минимум, одновременно обес-
печивающий оптимум как для ступенчатой, так и для линейно-
нарастающей входных функций. Из фиг. 10 4—1 видно, что зна-
чения суммы квадратов дискретных значений ошибки для этих
двух типовых входов равны, если весовой коэффициент равен
0,02, что соответствует точке пересечения двух кривых Однако
при этом значении весового коэффициента реакция на ступенча
тое воздействие имеет большое перерегулирование, которое обычно
неприемлемо Если а = 0 (что соответствует случаю отсутствия
весового коэффициента), то выходные последовательности на сту
пенчатое и линейно-нарастающее входные воздействия затухают
в течение трех периодов прерывания при нулевой установившейся
ошибке Однако реакция на ступенчатое воздействие имеет пере
регулирование 95%, как показано на фиг 10 4—2, а Если весо
вой коэффициент принимает отрицательные значения, система
становится колебательной. Отрицательному весовому коэффици
енту соответствует отрицательный действительный характеристи
ческий корень (полюс замкнутой системы) Как показано в пара
графах 7 1 и 7 2, отрицательный действительный характеристи-
ческий корень дает колебательную составляющую переходного
процесса



тую функцию Весовой коэффициент 0,6 обеспечивает компромисс

&0= 1,218 —

— 0 734а, (10 4—23)

Ь, - -0,735 +

-г 0,25а	(10 4—24)

Если выбрать а = 0,6,
то величины alt b0 и Ьх
согласно уравнениям
(10 4-15), (10 4—23) и
(10 4—24) равны
ах = 0,622,	1

в0 — 778	(10 4—25)

б1= —0 585 J
Разлагая данное выражение в ряд по степеням г"1 с помощью
последовательного деления, получаем

C(z) =

+ 1,493z~2 + 1,299г 3 + 1,180 V

+ 1,115г-5 + 1,067г 6 +	(10 4-28)

Аналогично находим, что г преобразование реакции системы
на линейно-парастающую входную функцию равно

C(z) =

(1 -0 6г-1)

После разложения в ряд получаем

С (z) = 0,7787V2 2 271 Tz~3 + 3,57 ITz”4 + 4,7517V5

5,861 Tz~* + 6,9287V7 + 8,979Тг-8 +

(10 4—30)

Коэффициенты степенных рядов (10. 4—28) и (10 4—30) опре
деляют выходные последовательности системы при воздействии
на ее вход единичной ступенчатой или^Гейно-нарастающей функции

Импульсную передаточную функцию D(z) требуемого цифро
вого корректирующего устройства можно легко получить из урав
нения (10 2—14) при подстановке уравнений (10 4—9)—(10 4—
11). Таким образом при весовом коэффициенте а = 0 6 и значе
ниях коэффициентов ах, Ьо и Ь, определяемых уравнением (10 4—
25), имеем

D 1025 (1 — 0 0185г *)(1 — о,135г *)(1 — о,752г i)

-----(1 4-0.05г'1) (1 — Z VI 4- 0 632г - (10 4“31)

Данную импульсную передаточную функцию можно реализо
вать с помощью методов, изложенных в параграфе 9 6

Как видно из уравнений (10 4—15), (10. 4—23) и (10 4—24),
введение весового коэффициента не усложняет требуемую цифро
вую программу. Для сравнения ниже приводится импульсная
передаточная функция требуемого цифрового корректирующего
устройства для а = 0

n,.	1 602(1 -0,0185г-1) (1-0,135г-1) (1 -0,603г’)

=-----(Г+ТС^(Г-гД(1 +0.782г 0------ <10 4~32)

Из сравнения уравнений (10 4—31) и (10 4—32) видно, что
в обоих случаях требуется одинаковое количество запоминаний
в цифровой программе и разница состоит лишь в значениях пере
даточного коэффициента и расположениях нуля и полюса D(z),
которые не содержатся в импульсной передаточной функции разом-
кнутой нескорректированной системы G(z) Однако это отличие
не приводит к усложнению реализации цифровой программы.
10 5 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ

В предыдущих параграфах основное внимание было обращено
на проектирование импульсных систем автоматического регулиро
вания с одним входом Однако на практике системы могут быть
не столь простыми. Часто система может подвергаться несколь
ким одновременным воздействиям, приложенным в разных точ
ках Например, возмущения обычно воздействуют на регулируе
мую систему или объект Хорошо спроектированная САР должна
минимизировать влияние внешних возмущений Как указывалось
в примере 10 2—2, импульсная САР, спроектированная для обес
печения наименьшего времени переходного процесса в соответст

вии с методом, изложенным в параграфе 10 2, плохо подавляет
внешнее возмущение В этом смысле проектирование системы суче
том одного входа может считаться неудовлетворительным В дан
ном параграфе кратко рассматривается проектирование импульс
ных САР с несколькими входами

На фиг 10. 5—1 показана структурная схема импульсной САР,
на вход которой подан сигнал Aj(s), а на входе объекта регулиро
вания — внешнее возмущение U(s) Метод проектирования ли
нейных импульсных САР, находящихся под влиянием внешних
возмущений, состоит в раздельном исследовании влияния вход
ного сигнала и возмущений на выхрд системы. Если на систему
действует один входной сигнал, то оптимальное проектирование
может выполняться на основе критериев качества рассмотрен
ных в предыдущих параграфах Если на систему действует только
возмущение, то выход должен быть равен нулю, так как любой
выходной сигнал, появляющийся вследствие возмущения, дает
ошибку системы. В этом случае можно выбрать критерий качества
основываясь на значении выхода системы (или ошибки). При опти-
мальной характеристике выход системы, вызванный внешним воз
мущением должен быть минимизирован. Следовательно, при
проектировании корректирующего устройства необходимо обра-
щать особое внимание на вредное влияние внешних возмущений
Цифровое корректирующее устройство D1(z) необходимо спроекти-
ровать так, чтобы выходная реакция на возмущение затухала за
минимально возможное время и не давала ошибки в установившемся
состоянии Если внешнее возмущение является определенной

щения на выход можно уменьшить, если сделать величину 1 +
-±D* (/ и) G* (/ и) большой в пределах этого диапазона частот В со
ответствии с порядком действий, изложенным в гл. 9, можно вы
брать цифровое корректирующее устройство, обеспечивающее тре
бование минимизации влияния внешнего возмущения и условие
устойчивости Если возмущение представляет собой ступенчатую,
нинейно-нарастающую или другую простую определенную функ
цию, проектирование цифрового корректирующего устройства
Dj(z) может быть основано на следующих критериях, обеспече
нии минимально возможного времени затухания реакции на это
возмущение (ошибки) или обеспечении минимальной суммы квад
ратов дискретных значений ошибки как было показано в преды
д>щих параграфах Если же возмущение является случайным, то
проектирование системы основывается на минимизации средне
квадратической ошибки

После определения импульсной передаточной функции кор
ректирующего устройства DJz) следующий этап состоит в опре
делении необходимой коррекции системы без возмущения Со
гласно уравнению (10. 5—1) импульсная передаточная функция
замкнутой системы G0(z) относительно входного сигнала (при
отсутствии возмущения) имеет вид
г'1 Следу что G0(z) лежащие следует и единично пульсная устойчивс импульсн	ющим ограничением, налагаемым на G0(z), является то, голжна включать в качестве своих нулей все нули G(z), вне единичной окружности плоскости z Это ограничение з уравнения (10 5—5) Если нули G(z) лежащие вне окружности, не сокращаются с нулями G0(z), то им передаточная функция D3(z) будет соответствовать не й цепи Если эти условия выполняются, то требуемую ую передаточную функцию замкнутой системы G0(z)
МОЖНО  Г	пределить с помощью метода, изложенного в пара  ।	-| л 1	1 1	lz/w
p(s)	
L.	Y	’	|
Фиг 1(	) 5—3 Структурная схема системы с условной обратной связью
графе 10 передаточ (10 5—5)  Проек МОЖНО BL функцию от DJz), 1 щее у стр. отсутстви. выражени	2 Посредством надлежащей подстановки импульсную ную функцию D3(z) затем получаем из выражения тирование требуемого корректирующего устройства .шолнить другим способом Импульсную передаточную замкнутой системы G0(z) удается сделать независящей если в систему включить дополнительное корректирую- ойство D2(z) (фиг 10. 5—3) Легко показать, что при и внешнего возмущения выход системы связан со входом  с(г) а	R(г)	(10 5—6)
и импульс	шая передаточная функция замкнутой системы имеет вид  0.<г> = 'С-1г)1?1+оио.МР,(г)1'	(1° 5~7>
Однак,	о если выбрать D2(z) так, что  O2(z) =D3(z)G(z),	(10 5—8)
то уравш	:ние (10 5—7) принимает следующий простой вид  Go (г) = D2 (г) = D3 (z) G (z)	(10 5-9)
где UGs(s) — преобразование со звездочкой, соответствующее
U(s)Gs(s) Этот действующий сигнал ошибки стремится с по-
мощью обратной связи уменьшить до нуля или минимума влияние
возмущения на выход системы. Следовательно, обратная связь
работает только при наличии внешнего возмущения Замкнутый
контур в данной системе служит для подавления внешних возму
щений В соответствии с этим выбирается цифровое корректирую-
щее устройство Dj (z)

Из уравнения (10 5—9) видно, что если

то импульсная САР имеет равные нулю время переходного про-
цесса и ошибку в дискретные моменты времени. Так как поведение
системы рассматривается в дискретные моменты времени, то при
этих условиях система может считаться оптимальной. Для этого
необходимо, чтобы цифровое корректирующее устройство имело
передаточную функцию

(10 5-12)

К сожалению, эту импульсную передаточную функцию нельзя
физически реализовать, так как импульсные передаточные функ
ции почти всех регулируемых систем или объектов включают в виде
сомножителя z-1 Однако если выбрать G0(z) в виде

то требуемое цифровое корректирующее устройство можно реали
зовать, если регулируемая система не имеет чистого запаздывания

Из уравнения (10 5—13) видно, что в дискретные моменты
бремени выход скорректированной системы совпадает со входом
и отстает от последнего на период прерывания Т Это время за
держки зависит от частоты прерывания Чем выше частота преры
вания, тем меньше время задержки В некоторых случаях такая
небольшая задержка вполне допустима. Импульсные САР, имею

щие передаточную функцию

можно спроектировать,

используя параллельную компенсирующую цепь Из выраже
ния (10 5—9) следует, что импульсные передаточные функции
требуемых корректирующих цифровых устройств имеют вид

(10 5—15)

Выше везде предполагалось, что система устойчива и G(z) не
имеет нулей на единичной окружности плоскости z или вне ее

Часто в САР задержка выхода по отношению ко входу является
нежелательной. В этом случае система должна быть спроектиро
вана так, чтобы задержки во времени не было Это можно выпол
нить, выбрав другую импульсную передаточную функцию замк
нутой системы, отличающуюся от функции (10 5—13). Обычно
система проектируется таким образом, чтобы она имела наиболее
короткое время переходного процесса и нулевую ошибку в дискрет
ные моменты времени в установившемся состоянии, когда на ее
вход подаются типовые воздействия При проектировании системы
на основании этих критериев должны выполняться ограничения
на G0(z), установленные выше. Кроме того, регулируемая система
(или объект) должна быть устойчивой Если требуемая импульсная
передаточная функция G0(z) выбрана, то из уравнения (10 5—9)
легко получить импульсные передаточные функции H2(z) и D3(z)
цифровых корректирующих устройств Несмотря на то, что при
веденные соображения касались только импульсных САР основ
ного типа с одним входным сигналом и одним внешним возмуще
нием, их легко обобщить также для систем с несколькими вхо
дами, если эти входы можно рассматривать отдельно и принцип
суперпозиции применим

10 6 ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
С НЕСКОЛЬКИМИ ЧАСТОТАМИ ПРЕРЫВАНИЯ

В параграфе 6 7 дан анализ импульсных систем с несколькими
частотами прерывания Показано, что прерывание с несколькими
частотами имеет определенные преимущества перед прерыванием
с одной частотой С этой точки зрения логично изучить проекта
рование корректирующих устройств с несколькими частотами
прерывания. На фиг 10 6—1 изображена структурная схема
импульсной САР, использующая корректирующее устройство с не-
сколькими частотами прерывания Сигнал на выходе цифрового
корректирующего устройства прерывается с частотой, в п раз
C(z)„ = G0 (г)„£(г)

здесь

(10 6-2)

(10 6-3)

является импульсной передаточной функцией ошибки системы и

Решая совместно уравнения (10 6—3) и (10 6—4), получим

Go (z)n = D (z)n G (z)„ We (z)	(10 6-6a)

или	G0(z„) = D(z„)G(zjIFc(z"),	(10 6-66)

где функция We{znn} получается из выражения IK(z) с помощью
подстановки z = z„

Интересно отметить, что когда п — 1, уравнение (10 6—6)
превращается в уравнение (10 2—29), которое соответствует
5Q1
Пусть на входе системы действует сигнал

тогда соответствующие z преобразование и
определяются уравнениями

„-преобразование


(10 6-14)

С помощью подстановки уравнений (10 6—13) и (10 6—14)
(10 6—10) получаем

(10 6—17)

(10 6-18)
из которых определяем коэффициенты полинома P(zn) После
определения P(zn) импульсную передаточную функцию замкну-
той системы G0(zrt) получаем из уравнения (10 6—15) С помощью
подстановки найденных функции в уравнение (10 6—7) опреде-
ляем импульсную передаточную функцию D(zn) Следует отме
тить, что приведенный порядок действии при проектировании
справедлив, если импульсная передаточная функция разомкну
той нескорректированной системы G(z„) не имеет нулей и полю
сов на единичной окружности в плоскости z или вне ее

Если G(z„) содержит нули и полюсы на единичной окружно
сти или вне ее, то при определении G0(zn) и IFc(z„) вводятся
дополнительные ограничения Как указывалось в параграфе
10 2 с помощью цифрового корректирующего устройства нельзя
сократить нули и полюсы импульсной передаточной функции не
скорректированной системы, лежащие на единичной окружности
или вне ее Согласно уравнению (10 6—6) по этой же причине
нули и полюсы G(zn), лежащие на единичной окружности или
вне ее нельзя сократить с помощью D(zn). Следовательно, такие
нули функции G(z„) должны быть оставлены в качестве нулей
импульсной передаточной функции замкнутой системы G0(zn),
а такие полюсы G(z„) должны быть сокращены за счет We(z„)
Это приводит к следующим ограничениям: 1) G0(z„) должна содер
жать в качестве своих нулей все нули G(zn), которые лежат на
единичной окружности или вне ее, 2) We(zT) Должна включать
в качестве своих нулей все полюсы G(zn), которые лежат на еди
ничной окружности или вне ее

Первое ограничение не требует пояснении, а второе требует
дальнейшего рассмотрения, так как G(z„) является z„ преобра
зованием и IF^Zn) — z-преобразованием, в котором z заменено
Zn Для сокращения полюса G(zn) требуется нуль, равный этому
нежелаемому полюсу плюс (п — 1) дополнительных нулей
в U7e(z^) так как IFe(z„) является функцией от z?'1 Если функ
ция We (z^) должна содержать в качестве сомножителя (гл — а)
то она должна иметь нуль при z = znn = ап Нуль (или полюс)
вида zn = а не появляется один в IFjz„), а всегда сопровождается
дополнительными нулями (или полюсами) Следовательно, для
сокращения полюса G (z„) при zn = а необходимо, чтобы импульс
ная передаточная функция ошибки W„(z) имела нуль при z =

I-W-M)

(10 6—19)
Нули полинома в скобках являются дополнительными нулями
для нуля zn = а

Однако, как видно из уравнения (10 6—7), все дополнитель
ные нули We(zty будут образовывать полюсы £>(?„), усложняя
реализацию цифровой программы для корректирующего устрой-
ства, что нежелательно Эту проблему можно решить с помощью
введения в G0(z„) сомножителя (1 — Л-") так, чтобы дополни
тельные нули IFe(z") не появлялись в D(z„) в качестве полю
сов вследствие сокращения. В этом случае цифровая программа
будет упрощена за счет времени переходного процесса

10 7 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Методы проектирования, изложенные в предыдущих парагра
фах и в гл 9, основаны на предположении, что требования к си
стеме задаются исходя из ее реакции на ступенчатую, линейно
нарастающую и синусоидальную функции САР проектируется
так. чтобы обеспечивалась удовлетворительная реакция на типо
вые входные сигналы, которые выбираются на основании некото
рых знаний о входном сигнале В качестве типовых сигналов наи
более часто используются синусоидальные и простые аперио
дические сигналы, например ступенчатая и линейно-нарастающая
функции Применение данных методов проектирования во многих
случаях приводит к удовлетворительному решению Однако дей-
ствительный входной сигнал импульсной или цифровой САР,
возмущение нагрузки, наложенный шум и действительный выход
ной сигнал системы обычно имеют случайный характер и поэтому
могут быть описаны лишь статистически Любая общая характе-
ристика сигналов, воздействующих на систему, должна быть ста-
тистической Характеристики слмчайных сигналов определяются
на основании осреднения по времени Ниже рассматриваются
статистические принципы проектирования импульсных и цицзро
вых систем автоматического управления

Так как импульсная САР во многом напоминает непрерыв
ную систему автоматического регулирования, то статистические
принципы проектирования непрерывных систем можно приме
нять для расчета импульсных и цифровых САР Вначале кратко
остановимся на основных аспектах статистического проектиро
вания непрерывных систем Далее рассмотрим лишь стационар
ные случайные процессы Стационарный случайный процесс ха
рактеризуется функциями распределения вероятности, которые
не зависят от начала отсчета времени Иными словами, случай-
ный процесс не изменяется во времени Для стационарных
случайных процессов важно сделать предположение: среднее
по времени равно среднему по совокупности Это — так назы
ваемая эргодическая гипотеза, которая означает, что большое
количество наблюдений, сделанных над одной системой из совокуп
ности систем в случайно выбранные моменты времени, будет иметь
такие же статистические свойства, как и то же самое количество
наблюдений, сделанных над случайно выбранными системами
одновременно

Основой статистического проектирования систем является
теория Винера — Колмогорова Эта теория решает проблему ми
нимизации среднеквадратической ошибки между действительным
и желаемым выходными сигналами фильтра или системы При
использовании этой теории качество системы автоматического
регулирования оценивается на основе критерия среднеквадрати

ческой ошибки Однако это не единственный критерий, на котором
основывается статистический расчет САР Другими возможными
критериями могут являться, например, критерии минимума сред
него абсолютного значения ошибки, минимума интегральной или
взвешенной ошибки и минимума вероятности того, что ошиока
превосходит некоторую заданную величину Действительно, ми
нимизация среднеквадратической ошибки часто не обеспечивает
наилучшего качества, однако этот критерии имеет преимущество
с точки зрения простоты анализа систем

Проблему статистического проектирования можно сформули
ровать, пользуясь фиг 10, 7—1, где G0(s) — передаточная функ
ция линейной САР, на вход которой подается управляющий сиг
нал rs(f) и шум rn(t), Gd(s)—желаемая передаточная функ
ция, с (/)—действительный выход; сД/) — желаемый выход
Входным сигналом системы является

а ошибка системы определяется выражением

e(O = C(Z)-Cd(O = ^(O+^(/)-^(/), (Ю 7—2)
где cs(Z) — реакция системы на управляющий сигнал rs(Z),
а с„(/) — реакция системы на шум rn(t)
Среднеквадратическая ошибка системы определяется как

е2(0= Игл ~ f е2(0^

(10 7-3)

Подставляя выражение (10 7—2) в (10 7—3) и упрощая,
получим

е2 (0 = hm. -±- [ [с2 (/) + с* (0 + С2 (0 + cs (0 + Сп (0 +

+ сп (t) cs (t)- сп (0 cd (0 -cd(t) сп (0 - cs (0 cd (0 - cd (0 cs (t)]dt =
= 4(0 + 4(0 + 4(0 + cs(0<U0 + cn(t)cs(t) -

-cn(0^(/)-cd(0cn(0 — cs(t)cd(t)-cd(t)cs(t) (10 7—4)

Проектирование состоит в получении желаемой передаточной
функции замкнутой системы G0(s), обеспечивающей минимум
среднеквадратической ошибки, определяемой уравнением

Корреляционная функция и спектральная плотность Если
в качестве критерия качества принимается минимум средне
квадратической ошибки, проектирование системы начинается с опи
сания сигналов посредством корреляционных функций и спект
ральных плотностей. Автокорреляционная функция сигнала x(t)
определяется уравнением

lim

Взаимно корреляционная функция сигналов x(t) и y(f) on
ределяется как

Ф^(т) = Вт | x(t)y(t +r)dt, (10 7—6а)

Ф^(т) = hjn[ y(t)x(t + r)dt

(10 7-66)
Фхх(®)= [ Ф^(т)е /СиТ dr

<Ьх(т)=2^ f Ф„(“)е/ТСи^о)	(10 7—8)

(10 7-9)

Ф^ (т) = 2^ J (“) е/Т“ d<J)

(10 7—10)

Из уравнения (10 7—5) видно, что если т = 0. то автокорре
ляционная функция имеет вид

Фхх (0) =rhm ~ j л2 (0 dt = X2 (t)

(10 7-11)

Фхг/(0) = Ит J x{t)y^dt^x(t)y(t)> (10 7-12)

Ф«(°) = ~ f фхх(®)^	(10 7-13)
Из уравнений (10 7—11)—(10 7—14) получим

^(0 = Фхх(0) = ^ f Ф„(о>)б7о>

(10 7-15)



(10 7—16)

+ фед« (0) — (репса (0) — Уеаеп (0) —

-ф^(0) —ф^(0),

(10 7—17)

е2 i f (®) + ф™" <®) 1 ф^са (®) д

Фс

Эти два выражения для среднеквадратической ошибки весьма
сложны. В данном виде нельзя осуществить минимизацию сред
неквадратической ошибки, так как все корреляционные функции
и спектральные плотности неизвестны Однако спектральные
плотности, входящие в уравнение (10 7—18), можно выразить
с помощью спектральных плотностей входных сигналов и переда
точных функций системы, если использовать некоторые свойства
корреляционной функции и спектральной плотности, которые
рассматриваются ниже

1 Фхх (т) является четной функций, т е <рхд. (т) = ср„ (—т)

ная функция от Фхх(ю)

^Ху 1®) = wyx (—(О) = 1±>ух (СО)

Эти четыре свойства легко вывести из уравнений, определяю
щих корреляционную функцию и спектральную плотность Осталь
ные важные соотношения не столь очевидны и выводятся ниже




2, б и в) Согласно фиг 10 7—2, б реакция G(s) на входной сиг
нал <рхх(т) определяется уравнением

f g (М Фхх (Т — М =

= f g(X)dMim ~о f х(/)х[/ + (т-Х)1^ =

= hm f x(t)dt fg(X)x[(/ +г)-МД =

= lim

f x(f)y(t + r)d/,

(10 7—19)

f g W %x (r - X) dX =	(t)	(10 7-20)

Используя свойства 3 и 4 и уравнения (10 7—22) и (10 7—23)
получаем уравнение (10 7—21)
7 Взаимно-корреляционная функция и взаимная спектраль
ная плотность выходных сигналов систем G^s) и G2(s) обладают
следующими характеристиками На фиг. 10 7—3, а и б, изобра
жены две линейные системы: Gx(s) и G2(s) Их входы хД/) и
х2(0 коррелированы между собой, а выходы равны соответственно

дается фх,Х1(т), то выходом будет фх„г/1(т), если на систему
Ga(s) подается входной сигнал <р^х,(т), то реакцией будет

Фу1У>(т) (Фиг- Ю 7—3, а) При подаче на вход системы Gx(s)
сигнала	выход равен

f £1(Х)ФХа;Г1(т-Х)<а =

= f g. (X) d'K х lim, 2^ f x2 (0X1 \t + (т - X)] dt =

=^^277 f x^dt f x [(/ + r)-X]dX =

=t^277 f*2(0Z/i x (t + r)dt

(10 7—24)
При подаче на вход системы бДз) сигнала фЛЛ-г(т) выход
равен

f g2^)q>^,(T-X)dX= f g2(K)dKx

x Iim f У1 (0хг [/ + (т- X)] dt ~

2^ I У1 dt f + r) - X] d'K =

= hm^- [ y1(t)y2(t + x)dt (10 7—26)

° -J-»

овательно,

w = f ё2 (^) Ф^2 (T - X) dK	(10 7-27)

Аналогично получаем соотношения

Фх1И2(т)= J £2(Мфхл (т — K)dK (10 7-28)



(10 7-29)
X Ф^ (®) + Go (/Ю) [Go (-/Ю) - Gd (-/«)]	(«) +

+ Go (-/«) [Go (/о) - Gd(j®)] ФГЛ (®) +

^G0(j®)G0(-/®)®r^(®)}d®,	(10 7-36)

что является выражением среднеквадратической ошибки в частот
ной области Как указывалось выше, проектирование оптималь
ной системы состоит в определении физически реализуемой пере-
даточной функции Go(/co), обеспечивающей минимум средне-
квадратической ошибки при заданных функциях Gd(]M),
ФГЛ(и), Ф^Дсо) и Ф,Л(®) Процесс минимизации можно ocv
ществить применяя вариационное исчисление к интегралу
(10. 7—36) Это является основой теории Винера — Колмогорова,
предназначенной для оптимального проектирования фильтров и
систем Известно, что решение данной задачи имеет вид

1 f Gd (s) [Ф^Лз//) + Фг

(10 7—37)

и символ { }+ обозначает операцию выбора части функции от
s с полюсами, расположенными в левой половине плоскости s
Уравнение (10 7—37) полностью определяет характеристики
оптимальной системы, так как в правой части этого уравнения
находятся только заданные функции

Выше были кратко рассмотрены основные принципы статис-
тического проектирования непрерывных систем автоматического
регулирования Теперь необходимо распространить эти прин
ципы на цифровые и импульсные САР В качестве основного кри
терия проектирования цифровых и импульсных систем автомати-
ческого регулирования также принимается критерий минимума
среднеквадратической ошибки Теория оптимальной фильтрации
и предсказания Винера—Колмогорова применяются в данном
случае следующим образом Понятия корреляционной функции
и спектральной плотности также вводятся при проектировании
цифровых и импульсных САР Для того чтобы сделать анализ
и синтез более легкими и понятными, задача статистического про-
ектирования импульсных САР будет рассматриваться в тесной
связи с задачей статистического проектирования непрерывных
систем Как будет показано ниже, большое число уравнений,
описывающих статистические свойства непрерывных сигналов,
имеют свои эквиваленты
для импульсных сигналов.

Импульсная среднеквад-
ратическая ошибка. Поста
новка задачи статистиче
ского проектирования ил
люстрируется фиг. 10 7—4,
на которой показано вы-
числение ошибки цифро
вой САР На ее вход пода
ются импульсный случай-

ный управляющий сигнал rs(nT) и импульсный случайный шум
гга(пТ) Предполагается, что сигнал и шум являются стационар
ными случайными функциями На фиг 10. 7—4 G0(z) является
общей импульсной передаточной функцией цифровой САР,
Gd(z) — требуемой импульсной передаточной функцией при от
сутствии шума. с{пТ) — действительным импульсным выходом
и Cd(nT) — требуемым импульсным выходом Входной сигнал
определяется уравнением

r(nT) = rs(nT) + гп(пТ),	(10 7—39)

и последовательность импульсной ошибки системы имеет вид

где cs(nT) — реакция системы на управляющий сигнал rs(nT),
а сп(пТ) — реакция системы на шум гп(пТ).

Среднеквадратическое значение импульсной ошибки системы
определяется уравнением

е*(пТ) = lim

(10 7-41)
Подставляя уравнение (10 7—40) в (10 7—41) и упрощая,
чучим

^(HD-lim^p- 2 [С2(пТ)+^(пТ)+С|(пПт

+ cs (пТ) сп (пТ) + сп (пТ) cs (пТ) - сп (пТ) cd (пТ) -

- cd<nT) сп (пТ) - cs (nT)cd (пТ) - cd (пТ) cs (пТ)] =

= cl(nT) + ^T)+^T) +

Т- Cs (пТ) сп (пТ) + сп (пТ) cs (пТ) —

- сп (пТ) cd (пТ) - cd (пТ) сп(п!) -

— cs(nT)cd(nT) — cd(nT)cs(nT) (Ю7—42)

Целью проектирования является определение импульсной
передаточной функции замкнутой системы G0(z), обеспечивающей
минимум импульсной среднеквадратической ошибки При син
тезе первый шаг состоит в определении характеристик входных
сигналов Для того чтобы применить теорию Винера — Колмого-
рова для статистического проектирования импульсных САР, не
обходимо ввести понятия корреляционной последовательности
и импульсной спектральной плоскости

Корреляционная последовательность и импульсная спектраль
ная плотность Понятие корреляционной последовательности
вводится по аналогии с понятием корреляционной функции,
устанавливаемым уравнениями (10 7—5) и (10 7—6) Автокор
реляционная последовательность импульсного сигнала х*(/) или
х(пТ) определяется уравнением

^™-2Г+1 Ё ^mx(nT + kT) (10 7-43)
реляционная посчедовательность связаны уравнениями

Фхх(г) = 2	к (10 7—45)

ФхДе^г) = ФхИ/®)= 2 ^AkT)c-!kaT (10 7-49)

Уравнения (10 7—56) и (10 7—57) можно также выразить
в зависимости от частоты

х2(пТ) = <рхх(0) = J Ф^(/®)с/и	(10 7—58)

____________ “s/2

х(пТ)у(пТ) = фХ4(0) =	[ Ф^(/и)б(®, (10 7—59)

<PVs (°) + ‘PVn (°) +	(°) +	(°)

Pvd (°) -	(°) ~	(°) - ’PVs (°)’ (10 7~6°)

;(г)+фс,

(10 7-61

Для выполнения процесса минимизации необходимо, чтобы
подынтегральное выражение в уравнении (10 7—61) было оп-
ределено в зависимости от импульсных спектральных плотностей
входного сигнала rs(nT) и шума г (пТ) Это можно легко выпол
нить, используя некоторые свойства корреляционной последо
вательности и импульсной спектральной плотности которые
рассматриваются ниже
Свойства корреляционной последовательности и импульсной
спектральной плотности

1 Автокорреляционная последовательность является четной
функцией и, таким образом,

<fxx(kT) = флл. (—kT)

(10 7—62)

2 g(nT)^xx(kT-nT) =

- 2 £(пТ)Шп 2^1-т 2	+ &Т-пТ)}^

= Шп 2^-у 2 х аГ) S S (пТ) х [ЦТ + kT) - пТ] =

= hm2NTT S xG.T)y(1-T-kT) (10 7-66)

5=

39 Юлиус Т Ту	609
а)	б)	в)

2 g(nT)4yx(kT-nT) = yyy(kT)

(10 7-68)

6 Импульсные спектральные плотности входных и выходных
последовательностей импульсной системы G(z) связаны уравне
нием

Фда(г)~ G(z)G(z 1)Фхх(г)

(10 7-69)

Из уравнений (10 7—67) и (10 7—68) следует что

Фху (z) = G (z) Фхх (z)	(10 7—70)

Фуу(г)-=0(г)Фух(2)	(10 7-71)

Используя уравнения (10 7—70) и (10 7—71), а также свой
ства 3 и 4 получаем уравнение (10 7—69)
2 g^m^ikT-nT)^

= 2	2 x2&T) x^T + (kT - пТ)] =

2ЛГТТ 2	2 m xi [&T 4 kr> ~nT^=

=jl»2VTT 2 х.ат) У1(1Т + kT) (10 7—72)

Используя определение взаимно корреляционной последова
тельности, уравнение (10 7—72) можно записать в виде

Ф^(йГ) = 2 й(«Лфзд(4Г-яГ) (10 7-73)

Выходная последовательность системы С2(г) при воздействии
фЯх,(^Л имеет вид

2 ё2т^Хг(кТ-ПТ)^

= 2 g2 mhrn 2 У1 m + (kT - nT)] =

-л^2ЛПн 2	2 gAnT)x2mT + kT)~nT]^

~^2(v4t 2 У1№Ш1Т + кТ) (10 7-74)
Следовательно,

Ф^(^) = 2 Sz(nT)^yiX2{kT — пТ) (10 7—75)

Аналогично можно вывести соотношения

^Х1Уг	2 §2 (”Т) Фх,х2 (kT - пТ), (10 7-76)

(^) = 2 gi m (kT ~ пТ) (1° 7~77)

Как легко видеть, данные соотношения, связывающие взаим
ные корреляционные последовательности, аналогичны соотно
шениям (10 7—25) и (10. 7—27) —(10. 7—29), определяющим вза
имные корреляционные функции непрерывных систем По анало
гии из выражений (10 7—76) и (10 7—77) следует, что импульс
ные спектральные плотности входных и выходных последователь
костей связаны уравнениями

С1(2)Фхг>

(10 7-78)

®W1(z) = G2(z)®№(z)	(10 7-79)

Фзд, (z) = G2 (z) Фзд (z),	(10 7-80)

Ф^(г)-С1(г)фг/Л(г)	(10,7-81)

На основании свойства 4 уравнение (10 7—79) можно записать
в виде

Ф^2 (z) = G2(z)©X1„ (г'1)

(10 7—82)

Решая совместно уравнения (10 7—82) и (10 7—78), получим

Ф^г И = G1(z'1) G2 (г)ФЖгХ, (г’1)

(10 7-83)

Используя свойство 4, уравнение (10 7—83) можно преобра
зовать к виду

Ф,1У2 (г)

G1(z‘1) G2(z)®X1X2 (z)

(10 7-84)

Ф^, (z) - Gi (?) G2 (z"1) Фхл (z)	(10 7-85)
спектральной плотности, рассмотренные выше будут теперь ис
пользованы для решения задачи минимизации С помощью уравне
ний (10. 7—69), (10 7—84) и (10 7—85) выражение среднеквадра-
тической ошибки (10 7—61) можно привести к виду



(10 7—86)

где

(10 7-87)

В этом уравнении все функции от z являются известными,
за исключением импульсной передаточной функции Gn(z) замкну
той системы.. Проблему минимизации можно решить, применяя
вариационное исчисление к интегралу (10 7—86)

Для определения условий минимума импульсной среднеквад
ратической ошибки предположим что G0(z) в уравнении (10 7—
86) получает малую вариацию ц (z) Тогда вариация первого по-
рядка импульсной среднеквадратической ошибки бе2 (пТ) полу
чается из уравнения (10 7—86) с помощью подстановки G0(z) +
___________ п /~\ г. п /--1 I	Г.	Татгтллл nrt.

бе2 (пТ) -	(£ г] (z) {Go (Г1) Ф (z) - Gd (z’1) [QVs (z) +

+ Фг5ГП } 2-1 dz 'гНГ П G° Ф ~~ G<i PVs +

где

s(z) (10 7-89)

Следует отметить, что для обеспечения устойчивости все по
люсы и нули G0(z) и n(z) должны лежать внутри единичного
круга плоскости z, а нули и полюсы G0(z-1) и ti(z-1) — вне еди
ничного круга

Используя уравнения (10 7—64) и (10 7—65), легко пока
зать, что

(10 7-90)

Используя это свойство, уравнение (10 7 разевать к виду  де2(пТ> -= гну I WW)^-1)/ fGd(z i) 1Фу5(г) + Фу„(г)]| ]г_ + ~ (6 п (г”1) F (г-1) ГGn (z) F (г	Чг = 0, (10 7—94)  -4z = 0 (10 7-95)  —92) можно преоб  '(г’1)-  ldz +  0 -

2ЯР

(10 7—96)

Тогда условия оптимальной импульсной передаточной функ
ции замкнутой системы можно записать в виде

(10 7-97)

Следовательно, оптимальная импульсная передаточная функ
ция определяется уравнением

(10 7-98)

Необходимо отметить, что при отсутствии шума получаем

Фг

0 и F (?) F (г’1) ФГЛ (2),

и е(пТ) = 0 Однако если имеется шум, то общая передаточная
функция замкнутой системы не идентична желаемой импульсной
передаточной функции и импульсную среднеквадратическую
ошибку нельзя полностью исключить даже в оптимальной системе
После определения оптимальной импульсной передаточной функ
ции замкнутой системы G0(z) проектирование требуемого цифро
вого корректирующего устройства £>г осуществляется с помощью
обычных методов
10 8 САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ

няются во время эксплуатации в результате нормального износа
элементов системы, изменения рабочих условий и т. д Несмотря
на то, что небольшие изменения параметров компенсируются
обратной связью, САР, спроектированная на основании заранее
известной передаточной функции, не обеспечивает заданных пока

58-IRD—6 '

К Au Adaptive Humidity Control System ASME paper
с характеристиками входных сигналов или измеренными перемен
ными системы Экстремальная система и гомеостат1 проекта
руются на основе самонастройки параметров системы Системы
с самонастройкой характеристик приспосабливаются с помощью
измерения передаточных характеристик
деляются ее импульсной переходной функцией, то целесообразно
применять в качестве пробного сигнала последовательность им-
пульсов Структурная схема такой самонастраивающейся системы
изображена на фиг 10 8—1. На вход системы, кроме управляю
щего сигнала, подается пробный сигнал в виде последовательности
Критерий качества, характеризующий относительную устои
чивость системы, легко вычислить по ее импульсной переходной
функции Рассмотрение нескольких типичных импульсных пере
ходных функций показало, что отношение их положительных
и отрицательных площадей является мерой демпфирования системы
и ее устойчивости Для недемпфированных систем отношение этих
площадей равно единице, для задемпфированных — превышает
единицу, для передемпфированных — равно бесконечности. Таким
образом, критерий качества можно записать следующим образом

(10 8-1)

здесь выражение

W (/) - ы+ (/) I- w_ (t)

(10 8—2)

(10 8—3)
легко показать, что отношение площадей импульсной переходной
функции равно

Подставляя выражение (10 8—5) в (10 8—1), получим для
критерия качества системы второго порядка

где £0 — желаемый коэффициент
демпфирования.

На фиг 10 8—2 показаны гра
фики, иллюстрирующие зависи
мость критерия качества от коэф
фициента демпфирования Точки
пересечения кривых с осью абс
цпсс соответствуют желаемому
коэффициенту демпфирования

Так как пробные импульсы могут вызвать нежелаемые искаже
ния, то самонастройку данного типа можно использовать лишь
в ограниченных случаях Андерсон и другие предложили тип
<pZ0(T) = w(x)

(10 8—8)

ной самонастраивающейся системе уровень пробного шума необ
ходимо поддерживать достаточно низким, чтобы не вызвать неже
лаемых искажений

Самонастраивающиеся системы могут быть реализованы и без
введения пробных сигналов Калманом была предложена система,
в которой для вычисления импульсной переходной функции регу-
лируемой системы или какого либо процесса используется цифро
вая вычислительная машина Упрощенная структурная схема
такой системы изображена на фиг 10 8—4 Сигнал с выхода ЦВМ,
определяющей импульсную переходную функцию, подается на
вычислительное устройство, которое вычисляет желаемые пара
метры цифрового регулятора Проектирование оптимального ре
гулятора определяется двумя соображениями. 1) природой вход
ного и пробного сигналов системы и 2) принятым критерием ка-
чества Например, иногда настройка регулятора осуществляется
10 9 МОДЕЛИРОВАНИЕ

До сих пор рассматривались аналитические методы анализа
и синтеза цифровых и импульсных систем автоматического управ
ления Наиболее мощный аналитический метод является одним
из трех способов проектирования систем. Двумя другими способами
считаются моделирование и экспериментальные испытания Моде-
лированием называется имитация поведения действительной си-
стемы с помощью другого устройства, которое проще по конструк
ции и легче в изготовлении Аналитический метод и метод, исполь
зующий моделирование, являются более дешевыми, а экспери
ментальные испытания требуют, как правило, больших затрат
Математический анализ является наиболее мощным в том случае,
когда линеаризация системы возможна С увеличением сложности
САР, а также при наличии человека в контуре управления такой
анализ невозможен

В таких случаях на помощь математическому анализу прихо
дит моделирование. Хотя в принципе возможно исследовать изго
товленную систему при действительных условиях, даже для
622
систем средней сложности стоимость их изготовления и необхо-
димое дтя этого время часто ограничивают возможность таких
испытаний Действительно, из экономических соображений со-
вершенно немыслимо изготовить сложную систему, испытать ее
и отбросить за ненадобностью. Моделирование позволяет быстро
и с малыми затратами исследовать характеристики системы
В инженерной практике, особенно при изучении сложных систем,
как правило, необходимо исследовать динамику всей системы с по
мощью моделирования, которое позволяет легко определить влия
ние изменении параметров системы на ее характеристики Доста
точно сложную систему автоматического управления, например
систему управления снарядом, нельзя спроектировать без приме
нения моделирования. С увеличением сложности системы модели
рование играет все большую роль при проектировании, в то время
как математический анализ используется только в начальной ста
дии проектирования и на последнем этапе

Для выполнения моделирования обычно используются анало
говые и цифровые вычислительные машины. В соответствии с ти
пом применяемого вычислительного устройства моделирование
можно разделить на три вида: аналоговое моделирование, цифровое

Цифровые и импульсные системы автоматического управления
состоят как из непрерывных, так и из дискретных элементов,
вследствие этого их иногда моделируют с помощью аналоговых
и цифровых вычислительных машин, причем на аналоговых вы
числительных машинах моделируются непрерывные элементы,
а на цифровых машинах — дискретные элементы. Применяемые
для моделирования вычислительные машины часто называются
моделирующими установками В соответствии со способом исполь
зования моделирующей установки существуют два типа модели
рования физическое моделирование и математическое моделиро
вание. При физическом моделировании только часть системы авто-
матического управления представляется в математической форме
и набирается на моделирующей установке, а другая часть пред-
ставляет собой элементы реальной системы. При математическом
моделировании вся система описывается математическими уравне-
ниями, которые затем набираются на моделирующей установке
и решаются

При физическом моделировании обычно пытаются воспроиз
вести в лабораторных условиях реальную обстановку, в которой
работают элементы системы. При использовании в моделировании
элементов реальной системы определяются характеристики, ко
торые невозможно получить или которые не учитываются при ма
тематическом моделировании Однако при использовании реаль
ных элементов моделирование необходимо осуществлять в реаль
ром времени Это ограничивает возможности моделирования

Фиг 10 9-1

i
выполнить на аналоговом вычислительном устройстве Как ука
зывалось выше, преимущество комбинированного аналого-цифро-
вого моделирования импульсных систем заключается в том, что
при этом можно использовать реальные элементы Сопряжение
аналоговых и цифровых вычислительных машин для моделиро
вания в реальном времени позволяет максимально использовать
преимущества цифрового и аналогового методов Цифровая вы
числительная машина наиболее широко применяется для вычисли
тельных операций Аналоговая вычислительная машина служит
не только для сопряжения цифрового оборудования и реальных
элементов моделируемой системы, но также для выполнения
некоторых операций, не требующих высокой точности. Этим обе
спечивается уменьшение объема вычислительной работы, выпол
няемой ЦВМ, что позволяет снизить частоту прерываний, с кото
рой работает ЦВМ 1 При комбинированном аналого цифровом
моделировании аналоговые и цифровые вычислительные устрой
ства взаимно дополняют друг друга Следовательно, комоипиро-
ванный метод более подходит для моделирования цифровых и
импульсных систем автоматического регулирования

10 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой главе рассматривались вопросы цифровой коррекции
систем автоматического управления С помощью цифровой коррек
ции довольно легко может осуществляться оптимизация систем
автоматического управления Импульсные САР проектируются
так, чтобы обеспечивалось либо минимальное время установле
ния и нулевая установившаяся ошибка в дискретные моменты
для реакции на типовой входной сигнал, либо отсутствие пульса
ций в течение периодов прерывания Как показано выше, скоррек
тированная система не обеспечивает оптимальной реакции, когда
на ее вход подается сигнал, отличающийся от принятого при рас
чете типового сигнала В импульсной системе автоматического
управления, реакция которой имеет наименьшее время установле
ния и нулевую ошиоку при воздействии линейно-нарастающей
входной функции, будет наблюдаться слишком большое перере
гулирование при подаче на вход ступенчатой функции Эта про
блема решается с помощью введения весовых коэффициентов
Нежелательное перерегулирование существенно уменьшается за
счет увеличения времени установления

Обычно на САР действует несколько входных сигналов При
проектировании линейных импульсных систем все входные сиг-

1LegerR. М andCreensteinJ L. Simulate Digitally, or by Combining
Analog ^and Di|ital Computing Facilities Control Eng. vol. 3, N 9, pp 145—153.
налы можно рассматривать изолированно, так как применим
принцип суперпозиции Хорошо спроектированная САР значи-
тельно уменьшает вредные влияния внешних возмущений на вы
ходной сигнал

В данной главе были также рассмотрены вопросы коррекции
с несколькими частотами прерывания и принципы статистичес-
кого проектирования Проектирование корректирующих устройств
с несколькими частотами прерывания, обеспечивающих опре-
деленный критерий качества, не является более сложной задачей,
чем проектирование корректирующих устройств с одной частотой
прерывания. Методы оптимального проектирования импульсных
систем с одной частотой прерывания можно применять для проек
тирования корректирующих устройств с несколькими частотами
прерывания Основой статистического проектирования систем
автоматического регулирования является теория Винера —Колмо-
горова. При использовании этой теории качество систем автомати-
ческого управления оценивается на основе критерия средне-
квадратической ошибки Данный критерий не всегда является
лучшим, однако он обладает преимуществом простоты при анализе
систем. Проблема статистического проектирования цифровых и
импульсных систем может рассматриваться в тесной связи с мет<эч
дами статистического проектирования непрерывных систем

В этой главе коатко рассматривались вопросы самонастройки
и методов моделирования. При проектировании систем автомати-
ческого управления используются три метода: аналитический рас-
чет, моделирование и экспериментальные испытания. С возраста-
нием сложности систем автоматического регулирования математи
ческий анализ часто требуется сопровождать моделированием
Физическое моделирование позволяет сопрягать элементы реаль
ной системы с элементами моделирующего устройства, а при ма
тематическом молелировании требуется полное описание системы
автоматического управления с помощью математических уравне
ний При моделировании цифровых и импульсных систем автома-
тического регулирования средней сложности наиболее предпочти-
тельным является аналого-цифровой метод Цифровое управле
ние облегчает реализацию самонастраивающихся систем По-види-
мому, наиболее важным и перспективным применением концепции
цифровых систем автоматического управления является построе
ние на их основе самонастраивающихся систем
ГЛАВА И

АНАЛИЗ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
С КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ЗАМЫКАНИЯ

11 1 ВВЕДЕНИЕ

Анализ и синтез импульсных систем автоматического регу
лирования, изложенный в предыдущих главах, основан на пред
положении, что замыкание импульсного элемента осуществляется
мгновенно и импульсы имеют бесконечно малую ширину При та
ком предположении импульсный сигнал в САР может рассматри
ваться как последовательность идеальных или эквивалентных
импульсов, площади которых равны значениям соответствующего
непрерывного сигнала в соответствующие моменты замыкания
Это важное допущение существенно упрощает анализ и синтез
импульсных САР Это допущение также справедливо для цифро
вых и импульсных САР, если длительность замыкания (или ши
рина импульсов) очень мала по сравнению с постоянными вре
мени САР или когда после импульсного элемента включен запоми
наюшии элемент.

Однако в реальных импульсных САР замыкание производится
не мгновенно и поэтому шириной импульсов нельзя пренебрегать
Анализ таких систем с помощью вышеприведенных методов при
водит к неверному решению, так как рассмотрение импульсного
элемента как импульсного модулятора несправедливо, если дли
дельность замыкания становится значительной Тем не менее ме
тоды, изложенные в предыдущих главах, можно обобщить так,
чтобы учитывались ширина и форма импульсов на выходе импульс
ного элемента В данной главе рассматриваются два метода ана
лиза импульсных САР с конечной длительностью замыкания
Один метод основан на применении задержанного z преобразова
ния (или преобразования со звездочкой) и т преобразования
Длительность замыкания обозначается буквой т, а т преобразова
ние выводится из задержанного z преобразования, тесно связан
ного с модифицированным z преобразованием, рассмотренным
628
11 2 ИМПУЛЬСНЫЙ ЭЛЕМЕНТ И ЗАДЕРЖАННОЕ
Z ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Основным элементом импульсной САР является импульсный
элемент, который преобразует непрерывный сигнал в импульсно
модулированный. В гл 4 и 5 показано, что, основываясь на поня
тии импульсной модуляции, выходное преобразование идеаль
ного импульсного элемента можно представить в виде



(И 2—2)
Преобразование Лапласа для выхода импульсного элемента
имеет вид

х! (s) = 2 х (пТ) e-nrs (11 2-5)

(11 2—9)
X(z, \)^h^x (пТ я- A) z-(«+A/n
n=0

Преобразуя выражение (И 2—12), получим

X (z, А) =- hz-^T J х (пТ )- А)

(11 2-12)

(11 2—13)

Аналогично

X* (s, А)-= £ {<(/)} =^д К (0}

(11 2-15)
	ХТниЯ	Задержанное г преобразование
а  5 (s + а)  s2 +0)2	1 - e~at	he~a^z-~^T  1_е-^_(е-*Л + е-«Г)г-1 (1-г-)(1-е--г-)  h -МТ ( sin сооД + г 1 sin и0 (Т - Д))  1 1 - (2 cos coo?) г'1 + г 2 J  А -д/т f cos (ОрЛ — z 1 cos Ир (Г — Д)) ( 1 — (2 cos сооТ) г"1 + z 2 J

и соответствующее преобразование со звездочкой равно

(11 2-18)

Следовательно,

(11 2-20)

и задержанное г преобразование равно

(И 2—21)

Пример 11. 2—2. Определим задержанное
ние, соответствующее X(s) = 1/ (s + а).

Для данного X(s) z преобразование равно

z преобразова
и соответствующее преобразование со звездочкой рйвно

(11 2—23)

Так как функция времени, соответствующая X(s) = l/(s + а),
'ь x(t) = e~at, то х (пТ + Д) = е~а^пТ+^ Из уравнения
. 2—11) следует, что

X* (s Д) = h 2 е~а (^+д>е- (пт+д) s =

= he-&(s+a) 2 e-<s+a>r,	(112—24)

X* (s, Д) =	= е~^X*h (s) (11 2-25)

X (z, Д) -	_ e-^z-^Xh{z)	(11 2—26)

11 3 ИМПУЛЬСНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С КОНЕЧНОЙ
ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ЗАМЫКАНИЯ И т-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ


2 Д + 37, , а +й импульсный
элемент —в моменты йД, йД+7,

«п(0 -	НД)1-

— и {/ —[n7 + (fe + 1) Д]})

(11 3-1)

< (0 =

где

(11 3-2)

X\^t) = X(t)UTk(t)
Подставляя выражение (11 3—1) в (11 3—3) и преобразуя
по Лапласу, получим

\^x(nT + k\)e-^

где Д — ширина импульса, которая очень мала

Учитывая выражение (11 3—2), можно представить преобра
зование выхода импульсного элемента S в виде

здесь X*(s, йД) получается из уравнения (И 3—4) Для выхода
х*(0 импульсного элемента z преобразование можно получить
из уравнения (11 3—5) с помощью подстановки z = eTs Так
как Хг(з, т) и соответствующее z преобразование являются
функциями длительности замыкания т, то для удобства их назы
вают т-преобразованием хт(/). Таким образом, выход идеального
импульсного элемента характеризуется X*(s), а выход реального
импульсного элемента характеризуется т) Определение
т-преобразований иллюстрируется несколькими примерами

Пример 11.3—1. Сигнал на входе импульсного элемента
с длительностью замыкания т определяется выражением x(t) =
— e~at. Найдем т-преобразование выходного сигнала xx{f)

Задержанное преобразование х*(/) равно

Выражение (11 3—6) можно получить из табл
Из уравнения (11 3—5) находим т-преобразование

При k& = 0, стремящемся к нулю, получаем



(11 3—8)

Таким образом, импульсная система вырождается в непрерыв
ную систему, когда длительность замыкания равна периоду преры-
вания Если т = Т, уравнение (11 3—8) приводится к виду
что, очевидно, представляет собой преобразование Лапласа от
х(0 = e~at. Таким образом,

и т преобразование является более общим выражением Кроме
того, если т = h, которое очень мало, уравнение (11 3—8) приво
дится к виду

что, как видно из уравнения (11 2—23), является преобразова
нием со звездочкой от х(0 = e~ai; следовательно, преобразова-
ние со звездочкой или z преобразование тесно связано с соот-
ветствующим т-преобразованием, которое сводится к преобразова-
нию со звездочкой, когда ширина импульса очень мала

Пример 11.3—2. Сигнал на входе х(/) импульсного эле
мента с длительностью замыкания т представляет собой единичную
ступенчатую функцию Определим т-преобразование сигнала на
выходе импульсного элемента

Из выражения (11 2—20) определяем задержанное преобра
зование

тогда т-преобразование х*(/) равно

Если Д стремится к нулю, получаем

что является т преобразованием единичной ступенчатой функции

Коэффициенты х-преобразования Если X(s) =	{x(Z)( яв

ляется отношением двух полиномов от s, причем порядок знаме
нателя выше порядка числителя, то X(s) можно разложить на
простые дроби в виде

Предполагается, что в уравнении (11 3—15) X(s) содержит
(n + 1) простых полюсов Используя выражения (11 3—8) и
(И 3—14), можно найти т преобразование для х*(0 в виде
(11 3—17)

преобразование от х*(0 можно записать в виде

(11 3—19)

Коэффициенты у0(т, s) и ут(т, s') называются коэффициентами
т преобразования Для функции получается т преобразование,
если коэффициенты т-преобразования умножить на соответствую
щие члены преобразования Лапласа этой функции Таким образом,

Таблица 11 3 1

K=aa	Коэффициент Т преобразования у(т s)
4	
	1 - (1 4- ST) е- ST - (1 - sT)e~ sr + [1 + s (т - T)] е ~(t+r>s
	(1 —е~ sr)a
Т+Т	l-e-<s+a>r
О)2	соо — e~ ST (coo cos coot + s sin coot) — e~sT (coo cos cooT — — x sin o)oT) + e~ (7~+T) [<o0 cos o>0 (Г — t) s sin <oo (7" — t)]
	[1 — 2 (cos <ooT) e~sT + e~2sr]
S2 + 0)2	s — e”sx (s cos coot+ coosin coot) — e—sr (s cos cooT—<o0 sin coo^)+ + e~s <r+T> [s cos w0 (T — t) - <oo sin <oo (T - r)J
	s [1 — 2(cos a>f)T)e~sT -f- e~2sT

637
коэффициенты т-преобразования можно считать преобразующими
множителями Следует отметить, что

(11 3-20)

(11 3-22)

11 4 АНАЛИЗ СИСТЕМ
г преобразование выхода импульсного элемента определяется вы
ражен ием

Rr (s, т) = 5* R' (8, *Д)	(11 4-1)

X*(s, Д) = /г5 х(пТ + &) е-(^+д8)

(11 4-3)

(11 4-5)
где А = h Преобразуя и упрощая уравнение (11 4—7), получим

-As стремится к Дз Следо

Если Д стремится к нулю, то 1
вательно,

X'T(s

(11 4-9)

Rx(s, т) = 1-^ R* (s).

(И 4-10)

C(s) = ^(l-e-Ts)7?’(s)

(11 4-11)

Полагая, что



(11 4-12)

где

C^fC^-GJa, l-r)]7?(z),	(114-14)

(11 4-15)

и Gx(z, tn) — модифицированное z преобразование, соответствую
щее Gj(s). Выходную последовательность при воздействии произ
вольного входного сигнала r(f) можно легко вычислить по выра
жению (11 4—14) с помощью обратного z-преобразования

Из выражения (11 4—13) получаем модифицированное z преоб
разование выхода системы, равное

C(z,m) = (l-z-r/r)G1(z> m)R(z) (114-16)
Вычисление обратного преобразования для выражения
(11 4—16) дает реакцию системы на произвольный входной
сигнал г(0 Следует отметить, что вычисление обратного преобра
зования для выражения (11. 4—16) можно упростить, применяя
порядок действий, установленный в параграфе 6 8

Типичная замкнутая импульсная САР с конечной длитель
ностью замыкания показана на фиг 11 4—3, где r(f) — вход,
e(f) — действующий сигнал ошибки, е*(0 — импульсная ошибка
с конечной шириной импульсов, G(s) — передаточная функция
регулируемой системы или объекта и c(t) — выход системы
Очевидно, точный анализ замкнутых систем этого типа довольно
сложен Однако в большинстве
реальных импульсных САР дли-
тельность замыкания значи
тельно меньше периода преры-
вания и действительные импуль-
сы можно аппроксимировать
эквивалентными прямоуголь-
ными импульсами Если это
предположение справедливо, то

замкнутые импульсные САР с конечной длительностью замыка-
ния можно анализировать довольно просто.

Согласно уравнению (11 4—9) т-преобразование импульсной
ошибки е*(0 определяется уравнением

E*(s, т) = 1^_Ге*(з)	(114-17)

Из фиг 11 4—3 видно, что преобразование выхода системы
имеет вид

C(s) = G(s)E;(S> т)

(11 4-18)

где G^z, 1—т) определяется уравнением (11 4—15) Из фиг
П 4—3 видно, что

£(z) = tf(z)-C(z).	(114-22)
Исключая E(z) из уравнений (11 4—21) и (11 4—22) и упро
щая, получим

С & ~ 1 +GA?)-(!1 4—23)

1 + Gi(z)~ G1(z, 1 — т) = О

(11 4-24)

I+zG.^D-G^z, 1-|)=0	(114-32)

(11 4-33)

с (пТ, tn) =

Обратные преобразования, определяемые уравнениями
(11. 4—26) и (11 4—34), легко вычислить, применяя методы,
данные в гл 5

Из сказанного видно, что если допустима аппроксимация дей-
ствительных импульсов с помощью эквивалентных прямоуголь-
ных импульсов, то анализ и синтез импульсных САР с конечной
длительностью замыкания не представляют никакой новой
проблемы и не являются сложными Точный анализ импульсных
систем автоматического регулирования с конечной длительностью
замыкания более сложен

Аппроксимация трапецеидальными импульсами Выше была
рассмотрена аппроксимация прямоугольными импульсами, кото
рая была удовлетворительной, если длительность прерывания
сравнительно невелика Можно получить лучшее решение, если
действительный импульс аппроксимировать эквивалентным тра
644
e(t;~ у e'rftl
a)
идальных импульсов можно рассматривать как комбинацию двух
последовательностей треугольных импульсов с одинаковыми осно-
ваниями (фиг. И. 4—8) Пиковое значение 4,(0 соответствует
величинам входного сигнала е(0 в начале процесса замыкания
(т е в моменты t = 0, Т, 2Т ), а пиковые значения треуголь
ных импульсов exb(f) соответствуют значениям e(t) в конце каж
дого периода замыкания (т е в моменты t = х х Т т + 2Т,	)

На основании этого идеальный импульсный элемент и трапеце
идальный запоминающий элемент можно прецставить дв’-мч
идеальными импульсными элементами и двумя треугольными за
поминающими элементами, которые соединены как это показано
на фиг 11 4—7 в Сигнал на
входе импульсного элемента Sb
сдвинут вперед на интервал вре
мени, равный длительности за
мыкания т Эти два импульсных
элемента Sa и Sb работают син
хронно с периодом прерыва-
ния Т На фиг. 11. 4—7 в

даточными функциями этих двух
треугольных запоминающих
элементов, которые выводятся
следующим образом

Запоминающий элемент а
преобразует последовательность

идеальных импульсов в последовательность треугольных импуль
сов (фиг. 11 4—8 а) а запоминающий элемент b преобразует по-
следовательность идеальных импульсов в последовательность
треугольных импульсов (фиг. 11 4—8, б) Суммирование этих дв\ х
последовательностей треугольных импульсов дает желаемую по
следовательность трапецеидальных импульсов Из фиг 11 4—8
видно, что импульсные переходные функции запоминающих эле
ментов а и Ь определяются уравнениями

(11 4-35)

ghb(t)
Ghb(s) ==^~--(И 4—38)

на аппро

D0(s) =1, Djs) = eTS
Числа элементарных импульсных элементов с очень малой дли
тельностью замыкания Затем предполагается, что система состоит
из нескольких параллельных ветвей, причем в каждой из них
имеется импульсный элемент и реакция системы в моменты замы
кания и в течение периодов прерывания определяется с помощью
обычного анализа с использованием структурных схем, а также
методов z преобразования и модифицированного z-преобразования

Как показано в параграфе И 2, импульс шириной т можно
представить в виде п очень узких импульсов шириной х/п Импульс-
ный элемент S с длительностью замыкания т сек можно заме
нить п импульсными элементами So, Slt S4, . , Sn-1 с длитель



E(s)_ Et(s,t[

Преобразование Лапласа Входной функции равно

Я(з)-у	(11 5-11)

(*) = Т^Т

(11 5-17)

Коэффициенты этого степенного ряда образуют выходную
последовательность системы при подаче на ее вход единичной сту
пенчатой функции

В предыдущих параграфах рассматривался анализ импульс
ных САР только основного типа. Однако изложенные методы

Dk(s) = eekx/nD(s)

Gk(s) ~ e~skx/rl(l—е~ех/п)^-~

(11 5-21)
Для анализа устойчивости и качества этой системы можно
применить рассмотренный выше метод

импульсного сигнала посредине импульсов В этом случае уравне
ния (11 5—4) и (11 5—5) принимают вид

(11 5-23)
схема импульсной системы на фиг 11 4—3 принимает вид. изо
браженный на фиг 11 5—7 Так как эта структурная схема не

числения качества можно воспользоваться уравнениями (6. 9—14)
и (6 9—15) но это требует большой вычислительной работы

11 6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обычно длительность замыкания в импульсных САР не яв
ляется бесконечно малой величиной Очевидно что анализ, не
учитывающий этого обстоятельства основанный на простом по
нятии импульсной модуляции может привести к ошибочным
результатам В этой главе рассматривался анализ импульсных
САР с конечной длительностью замыкания на основе метода
т-преобразования Этот метод позволяет решить проблему точ
ного анализа системы с конечной длительностью прерывания
Как и следовало ожидать, точный анализ требует большого объема
вычислительной работы

Если длительность прерывания относительно мала для упро
щения анализа можно применять различные приближенные прие
мы В данной главе были рассмотрены способы приближенной
замены действительных импульсов прямоугольными и трапецеи
дальными импульсами Если аппроксимация прямоугольными
импульсами является достаточно точной, то наличие конечной
длительности замыкания не представляет сложной проблемы
В этом случае для расчета импульсных САР с конечной длитель
ностью замыкания легко применить методы анализа и синтеза,
основанные на импульсной модуляции и г-преобразовании. Однако
анализ системы при этом трубует все же большей вычислительной
работы, хотя эти вычисления относительно не сложны.

Если длительность замыкания не достаточно мала по сравне
нию с периодом прерывания, то приближения основанные как на,
прямоугольных, так и на трапецеидальных импульсах, становятся]
неточными и возможно непригодными В этом случае можно счи-1
тать, что действительный импульс состоит из некоторого числа!
узких прямоугольных или трапецеидальных импульсов В случае!
такого приближения можно также использовать обычные методы
z-преобразования Если же треоуется высокая точность, то необ-
ходимо выполнить большой объем вычислительной работы и поэ-
тому данный метод имеет академический интерес, а не практиче-
ское значение В действительности длительность замыкания боль-
шинства импульсных САР относительно мала и поэтому аппро-
ксимация прямоугольными или трапецеидальными импульсами
обеспечивает достаточную точность для большинства инженер-
ных расчетов Эти два способа приближения не сложны, дают
удовлетворительные результаты и могут быть рекомендованы для
практического использования
ЗАДАЧИ

Глава 4 1 Определить преобразование со звездочкой, соот-
ветствующее

б) х (/) = (sin юоОа

3 Дана передаточная функция

+UOS,)

Фиг 1

4 На фиг 1 изображена структурная схема системы автома-
тического регулирования с прерыванием сигната ошибки Пере-

даточная функция регулируемой си
стемы имеет вид	——

c(t)
Фиг 3

Gha (s) = (1 -ae~^} Gl0(s) + у [6Ao (s)p,
10 С помощью правила суммирования Пуассона вычислить

сумму бесконечного ряда

--&)* +

(s + *)[(s + «)3+«02] ’

12 На фиг. 6 изображена структурная схема простой импульс-
ной САР. Период прерывания 0,1 сек Постоянная времени равна
0,05 сек, а передаточный коэффициент равен 15 Устойчива ли
данная система? Чему равен запас по фазе в данной системе?
Построить годограф z-преобразования импульсной передаточной
функции данной системы в разомкнутом состоянии

13 Вычислить обратное z-образование для

а) с помощью формулы обратного преобразования б) с по
мощью метода разложения на простые дроби и в) с помощью ме
тода разложения в степенной ряд

14 Определить модифицированное z преобразование, соот
ветствующее следующим передаточным функциям

15 Вычислить обратные модифицированные z преобразова-
ния для

sin (1 — m) а>йТ ] <

16 С помощью метода z-преобразования решить разностное
уравнение

17 С помощью метода z преобразования решить разностное
уравнение

18 Используя метод z преобразования, найти реакцию на
ступенчатую функцию непрерывной системы, имеющей передаточ-
ную функцию

G(s)

(Примечание Аппроксимировать данную систему им-
пульсной моделью).
24 Применяя метод г форм, найти реакцию на ступенчатую
функцию непрерывной САР с единичной обратной связью и пере-
даточной функцией в разомкнутом состоянии

Глава 6 25 Найти г преобразование и модифицированное
г-преобразование выхода импульсной САР, изображенной на
фиг. 7 Все импульсные элементы работают синхронно с периодом
прерывания Т

26	. Определить г преобразование и модифицированное г пре-
образование выхода цифровой САР, показанной на фиг 8

27	Вывести упрощенный критерий Шур-Кона для импульсных
САР третьего порядка
Фиг 8

30	Найти коэффициенты ошибок и ряд ошибки импульсной
САР, изображенной на фиг 10, которая имеет место при входном
воздействии rtf)

31	На фиг И изображена структурная схема импульсной
САР, период прерывания которой равен 0,2 сек Предполагается,


Фиг 10

u(t)

Фиг 11
в) Заменить второй импульсный элемент S2 импульсным эле
ментом, работающим синхронно с импульсным элементом S3 и
с одинаковой частотой прерывания Выполнить пункты «а» и «б»
для этого случая Сравнить результаты.

33 На фиг 13 изображена структурная схема импульсной
САР с несколькими частотами прерывания Периоды прерывания
импульсных элементов соответственно равны V2 и V3 сек, как по
казано на схеме Предполагается, что начало процесса прерыва
ния совпадает с моментом подачи входного сигнала и что импульс
ные элементы работают синхронно Как в прямой, так и в обрат
ной цепи включены запоминающие элементы нулевого порядка

а)	Найти максимально допустимый передаточный коэффициенту
при котором система еще устойчива

б)	Вычислить реакцию системы на входную единичную ст
пенчатую функцию при К = 1
34 На фиг 14 изображена структурная схема импульсной
САР с несинхронными импульсными элементами Импульсные
элементы и S2 работают с одинаковыми периодами прерывания,
равными 0,5 сек, и несинхронны. В данной системе в качестве
сглаживающего устройства применяется запоминающий элемент
нулевого порядка

r(t) +г'х У [Запоминающий I ГЛ у [запоминающий I Г\ 1 c(t)
гН^ГТ"

а)	Определить максимально допустимый передаточный коэф
фициент, при котором система остается устойчивой, если коэф
фициент отставания импульсного элемента S2 равен 0,25, 0,5,

б)	Какой коэффициент отставания обеспечивает наилучшую
устойчивость системы

35.	Импульсная САР имеет структурную схему, показанную
на фиг 15 Импульсный элемент S работает с циклически изме

няющейся частотой прерывания Замыкания происходят в моменты
времени t = 0; Т/3 Т; 4773; kT, (k + V3) Т Период
цикла равен 1,2 сек В качестве запоминающего элемента исполь-
зуется элемент нулевого порядка

а)	Исследовать устойчивость этой системы

б)	При К = 1 определить переходный процесс системы для
единичной ступенчатой и линейно нарастающей входных функций

в)	Заменить импульсный элемент с циклически изменяю-
щейся частотой прерывания на импульсный элемент с постоянной
частотой прерывания, период которого равен половине периода
импульсного элемента Sv Повторить для этих условий пункты «а»
и «б» и сравнить результаты

36	В системе, изображенной на фиг 15, использовать запоми-
нающий элемент первого порядка Повторить для этих условий

37	. На фиг 16 изображена структурная схема импульсной
системы с двумя различными частотами прерывания Импульсный
а) Показать, что передаточный коэффициент разомкнутой си
стемы по положению Кр связан с полюсами и нулями передаточной
функции замкнутой системы выражением

+ (п — т)
Прерывания 0,2 сек Передаточная функция регулируемой системы

как функцию периода прерывания Т и входной частоты о По
строить кривую коэффициента пульсаций (kr в зависимости от
to/(os для Т = 0,693 сек)

Глава 8 42. Спроектировать аналого-цифровой преобразова
тель на транзисторах, работающих на принципе временного ко
Дирования Диапазон входного преобразуемого напряжения изме
няется от 0 до 100 в, полная шкала цифрового выхода равна 210
Частота прерывания равна 20 гц Время преобразования должно
быть минимальным

43.	На фиг 17 показано устройство преобразования цифровых

величин в непрерыЕ
сопротивления Вел

авные, в котором используются взвешивающие

тичины сопротивление

двоичным числам 2 (10) Ключи управляются

пропорциональны
с помощью реле,

представляющих цифры двоичного числа Ключ замкнут, если
соответствующее репе представляет нуль, и разомкнут, если реле
представляет единицу

а)	Показать, что Va — напряжение, пропорциональное вход
ному двоичному числу

б)	Что представляет собой Va7
т я/? т	R/2
тель, а затем на тот же усилитель через запоминающую цепь и
сглаживающий фильтр. Стабилизирующий усилитель почти сво.
боден от дрейфа в результате использования прерывистой обрат,
ной связи

а) Составить структурную схему одного канала этой системы
стабилизации нуля
Период прерывания этой .системы равен 1 сек Используется
запоминающий элемент нулевого порядка

а)	Спроектировать корректирующее устройство Hc(s) и вы
брать передаточный коэффициент К так, чтобы система имела хо
роший переходный процесс и малую установившуюся ошибку при
ступенчатой и линейно нарастающей входных функциях

б)	Построить реакции скорректированной системы на ступен
чатую и линейно-нарастающую функции
в)	Вычислить коэффициенты ошибки данной системы

г)	Сравнить коррекцию с помощью местного контура обратной
связи и коррекцию с помощью импульсного и цифрового фильтра.

49 На фиг 23 изображена структурная схема импульсной
САР Период прерывания этой системы равен 0,5 сек. Применяется
запоминающий элемент нулевого порядка

а) Найти максимальное значение передаточного коэффициента,
51 Синтезировать импульсную RC цепь, реализующую еле
дующие импульсные передаточные функции:

a) D (z) = 1 — 2z-1 + 2z~2,

«) 0(2) = -!-^-;

В) D(z) = Yi"



гателя имеют место возмущающие сигналы с полосой менее
20 рад'сек. Вследствие переменности насыщения и величины тре-
ния передаточный коэффициент выходного элемента по постоян
ному току может изменяться на 30%. Система должна следить
с некоторой ошибкой за ломаной кривой, состоящей из отрезков
прямых линий, причем число изломов не превышает одного в се-
кунду, а наклоны отрезков кривой не превышают 2,54 мм!сек
Необходимо выбрать минимальное значение частоты прерывания
для этой системы и спроектировать систему, характеристики ко-
торой не отличались бы от'характеристик непрерывной системы.

53	На фиг. 24 изображена упрощенная структурная схема
системы управления отклонением луча катодно-лучевой трубки
Система предназначена для управления отклонением луча посред-
VioT.

Выходным импедансом усилителя мощности можно пренебречь.-
Спроектировать систему так, чтобы переходный процесс при вход-
ной ступенчатой функции не выходил за пределы 10%-ной трубки
за два периода прерывания, а реакция на ступенчатое возмущение
на нагрузке затухала до 10% за два периода прерывания

54	Импульсная САР, изображенная на фиг 10. 2 1, имеет
период прерывания 0,2 сек, запоминающий элемент нулевого по-
рядка Передаточная функция регулируемой системы “равна

е,	U________
постоянной Точное регулирование температуры осуществляется
с помощью системы, изображенной на фиг 27 В данной системе
один цифровой регулятор поочередено подключается к 10 ректи-
фикационным колоннам Период прерывания этой цифровой

объекта
термопары

у—мв!°С,

преобразователя



Передаточный коэффициент усилителя Ка = 4 в/в.

а) Составить структурную схему одного канала этой системы
регулирования температуры с учетом изменений управляющего

61 Структурная схема импульсной САР изображена на
фиг 30 Передаточные функции элементов системы равны



62 Для химического процесса необходимо точное регулиро
вание концентрации раствора соли Регулирование осуществляется
по схеме, изображенной на фиг 31 В такой системе регулирова
ния концентрации цифровой регулятор поочередно подключается
к каждому из 10 одинаковых баков с раствором соли Период
прерывания этой цифровой САР равен 10 сек Концентрация
раствора измеряется pH-метром и сравнивается с опорным зна
чением Отклонение от требуемой величины pH преобразуется
в напряжение, усиливается и подается на регулирующий орган
Сигнал на выходе pH метра равен нулю, если концентрация рас
твора также равна нулю (т. е в растворе присутствует одна вода),
и равен 10 в если концентрация соли равна 100%

Приток qs концентрированного раствора соли пропорционален
перемещению регулирующего вентиля х При х = 0 отсутствует
центрация раствора в баке равна концентрации раствора, выте
кающего из бака Кроме того, можно пренебречь запаздыванием
pH метра и ошибкой квантования

а)	Спроектировать цифровое корректирующее устройство, обес
печивающее хороший переходный процесс при ступенчатой вход
ной функции Кроме того, необходимо чтобы реакция вызванная
возмущением нагрузки в форме изменения концентрации подавае
мого раствора соли, быстро затухала без перерегулирования

б)	Вычислить реакцию скорректированной системы на ступен
чатую функцию

63 На фиг 32 изображена структурная схема системы пред
приятия пищевой промышленности В данной системе жидкость А
смешивается с жидкостью В для получения жидкости С ТеЦпе
ратура жидкости С точно регулируется с помощью подачи пара
В системе используется цифровой регулятор, который поочередно
подключается к 15 одинаковым системам Жидкость А, которая
имеет теплоемкость 1 1 ккал/кг-°C и температуру 25 ± 5° С,
поступает в бак № 1, причем ее расход равен 0,3 кг!сек Темпера
тура жидкости А может колебаться с периодом в 10 мин
676

фицированная» импульсная спектральная плотность выходного
сигнала системы y(t) равна

(2, m) = G(z,m)G(z \ т) ФХЛ. (z).

где

У^пТ, т) = -~jG(z,m)G (z^m) Фхх (z) z'1 dz,

G(z, tri) — модифицированное z-преобразование, соответствую
щее G(s), Фхх(г) — импульсная спектральная плотность вход
ного сигнала, а контур Г — единичная окружность в плоскости z

Г лава 11 66 Определить за
держанные z преобразования,
соответствующие следующим
передаточным функцями

,	(g-fe)2 + wg

(s + b) [(S + а)2 + «о]

68 В импульсной системе, изображенной на фиг 33г передаточ
ная функция регулируемой системы равна
Фиг 34

б)	Спроектировать корректирующее устройство, обеспечиваю
щее при передаточном коэффициенте К. = 10 коэффициент демп
фирования 0,6

в)	Вычислить реакцию системы на единичную ступенчатую
функцию

70	В импульсной САР, изображенной на фиг. 34, импульсные
элементы работают с одинаковым периодом прерывания Т = 1 сек,
но несинхронно Импульсный элемент замыкается в моменты
времени 0, Т\ 2Т,	, а импульсный элемент S2 замыкается

в моменты Т/2, 37/2, 57/2, Длительность замыкания обоих
импульсных элементов равна 0,1 сек

а)	Определить максимальное значение передаточного коэф
фициента, при котором система еще устойчива

б)	Вычислить реакцию на ступенчатую функцию при значе-
нии А, равном половине максимального передаточного коэффи-
циента

в)	Повторить пункты «а» и «б» для синхронных импульсных
элементов


N	O(s)	g(t)	G(z)	
4 01		ЗП <M	z2 —2z cosroo 7’ + l	г s n те>0Т + sin(l — OT)a>or
4 02	7а + “’02	cos a,t	z2—2zcos<o0 T + 1	_z COS ^r2~oCsOSM(1 ~ 7 И°Г
4 03		sh aot	z2 — 2z chrooT + 1	zsh mo)0r 4-sh (l-m)M.r
4 04		chWot	z2-lz~chVr+ 1	z2 — 2z ch u>0T + 1
4 05	ю0  s(s2- ®о)	ch W-l	z (z — ch <uor)	z  z2 - 2z ch <o„T + 1 z —1	zchma>„T — ch (1 — m) а,Г	1
4 06		‘-cos		1	г cosma0r — cos (1 — m) e>„T  г—1	z2 —2z cos ш,Г + 1
4 07	S(S>+ о,*)	a — а зес 6 соз (a„t + 6) где 8 = arc tg ——	__ az2 — az sec e cos (а0Г + 6)	T=~i~  a sec 8 {z cos (ma0T -f 8) — _ --cos[(l-m)Mor + 8]}
5 01	(s + a) (s + b) |	e~at _ ,-bt	~7-l-a-F~~--\~bT	e-amT	e -bmT
5 02	(Ь — a) (s 4-c) (s + a) (s + b)	(c — a) e~a<+ (b — c) e~bt		(c—a)e—amT [ (b — c)e~bmT

N	G(s)	|	g(0	G(z)	G(z m)
5 03	з (s + a) (s + b)	1+	e-at _ _5_ e-bt	г-l + (a-b)(z-e-ar)	bh1
5 04	s(s + a)(s + b)	c +	e-at +	г->+ (а-Ь)(г-е-аП + |	a(b-c)z	+ (а_Ь)(г_е-Ь7-)
5 05	sMs+a) (з + Ь)	abt — (a + b) —	(z- I)2 T=~i  + (a - b) (z ~ е-Ы)	abr	abmT — (a + b) _  (a - b) (z - e-bT)
506	a2l2..<S +£)__ s2 (s + a) (s + b)	abet+ [аЬ-с(я+ &)]-  _ °2 <fc~c) e~bt	(z-l)2+	z-1  (a — b} (z — e—aT)  (e-b) (z-e-b?")	abcT	ab (1 + cm7~) — c (a + b)  (z-l)2+'	z-1	'  b2 (c-a) e-amT  (a-b} (z-e-aT)
685


лг	G(s)	g(O	G(z)	G(z m)
8 02		e~atcos		[z cosm<o„r —  _ e~aT cos(l-m) а>0Т] е~атГ z2 —2ze—a7” созсОдГ + е-207,
			z’-2ze-aT cosa°T+e-2aT	
8 03	(a - b)‘ +	e—bt_e—at sec $ x  X cos	— 8)  e = arctg'^r_	Z-e-bT ~	e-bmT z-e-ЬТ ~  sec 6 {z cos (ma>aT + 0) —  - ё~аТ cos f(l -m) ш0Г — 9]} e-amT
	(s + b) [(s+a)4-«o]			
			^-fe^^cos <oo7' + e-2ar	
				z2 — 2ze~aT cos <ts,T + e—2aT
8 04	[(а-Ь)«+й^ (s+а)	X sec 6 cos (<o0f + 6)  (a — a) (b— a)+ <Og	(a-b)^-^secex  	X cos (cooT + 8)]		(a — b) e~bmT _  — (a — b) sec 6 {z cos (rnffl.T + 0) — e-aT cos [(1 - m) W'T 4- 0]} e~amT
	(s+b) [(s+a)4-«o]			
			z'—ize-aT cos g)(17'-H'-2“7'	
				z2 — 2ze~aT cos <о,Г + е~^т
N	G(s)	g(O	|	G(z)	G(z m)
s“	[(a-b)!+“o] <s' + (s+Ь) [(s+o)2+<d2J	(&2 - ba + ₽) e~bt + 4-ft»e~a^sec 0cos«M+9)  *» = a’+ o>g—2at> + t>a—P ak1— (a2+«°) <a — b) +	(b‘-ba + $)z , fez [z:_ze—a7'seC 0 cos (ш„Т+8)]	k2 sec 0 (z cos (mm,Г 4-0) —  - e-«T cos f(1 - zn) <a,T + 0]} e-a"17-
				+	..-Zze-a^os^.T-b^'
9 01	s[(s -x-a). + в>§]	l—e—at sec 0 cos (<M + 0)  9= arc	^-Zse-^cosauT + e-*»	rh~  sec 9 (z cos (mra.r 4-0) —  _ e~a rcos [(1 - zn) ю,Г 4- 61) е~атГ z2 — 2ze~a T cos ffl.r 4 e~'zaJ
	(a» + Q>o) (s +b)  S[(S + a)« + ®2]	b — be—atsec 0 cos (<M + 0)  0=arc ‘s—M;	b [z2 — ze~aT sec 0 cos (шоГ+б)	,	b sec 0 (z cos (m<o,T 4- 0) —  -	-e~a7-cos f(l - zn) <c„T-4- 0]} e-affir  z2 - 2ze-aT cos Й.Г 4- e-207"

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоматическое управление, 9

Амплитудно-фазовая характеристика
42

Аналоговое моделирование, 623

Аналого-цифровое преобразование
требования, 415—417

Аналого-цифровые преобразователи
408 417-438

Андерсон Дж В 620

Аппроксимация

— конечной суммой, 466—470

— прямоугольными импульсами 638—

— трапецеидальными импульсами
644-647

Арифметические действия в двоичной
системе, 410—411

Асимптотическая фазовая характери
стика, 43—47

Асимптотическая характеристика уси

ления, 42-43 275, 531

Билинейное преобразование 273—276
520-524

— связь с полюсами и нулями пере
даточной функции замкнутой си
стемы, 367-371

Время переходного процесса, условия
конечного значения 560—561

Время преобразования, 416

Выходная последовательность,278—284
— вычисление 128 278—284

Генерация скрытая, 393—403

Годограф постоянного демпфирования
549-551

— в плоскости s 550

— в плоскости г, 550, 551

Годограф частотной характеристики
137-145

— построение 137—145

—, свойства, 145

Годографы постоянного значения М
462, 463

Годографы z-преобразования 191 —

198, 452, 453

— характеристики, 193—197,

— построение, 191—193

Гомеостат, 619

Гомеостатические механизмы 619

Гурвиц В., 168, 209

Вариационное исчисление 612

Величина импульса, 440

Весовая последовательность 124

169

125

Весовая функция, 30 121, 168

Весовая функция ошибки системы
299

Возмущения внешние, 162—165 586
— минимизация влияния, 586—589
— подавление, 162—165 586—588

Временная память, 408

Время наступления максимума 36о
— вычисление 365—367

Двоично-взвешенные сопротивления

Двоичный код, 411
— циклический (
двоичный код)

Двоичный счетчик, 423

Двустороннее z-преобразование 605

606

— определение 605

— обратное, 606

Декодирующие устройства 408—444

—, моделирование, 448, 447

— параллельные 444—447
— на переключающихся сопротивле ниях, 4'45—449  — последовательные 408—444  — Шеннона—Рэка, 408  Дополнительные сигналы, 89, 114—  116, 131, 372  Дополнительные элементы (см Допол нительные сигналы)  Дуальность между сигналами и им- пульсными переходными функ- циями 179	— корректирующих устройств с не сколькими частотами прерывания 594  — модифицированные, 214—282  — оптимальные, 616  — определение, 168, 169, 179, 180  — ошибки системы, 304  — реализация, 494—517  — систем с запаздыванием или one режением, 315, 321, 338  —, свойства, 189—192  Импульсные системы с двумя частотами прерывания, 474—478
Заде Л. А 167  Задержанное z преобразование 630—  Запоминание 93—97  — неидеальное 158  Запоминающая цепь (см Запоминаю щий элемент)  Запоминающий эчемент, 132, 148—160  —. влияние на характеристики си- стемы., 160, 161  — высокого порядка, 149 643  — нулевого порядка, 149, 151—157  — первого порядка, 149	157—159  — трапецеидальный, 643  — треугольный, 644 , 645  Запятая основания, 424	Импульсные системы с несинхронными импульсными элементами, 338—342 — анализ, 339—341  Импульсные системы с несколькими частотами прерывания, 311—338 — замкнутые, 324—338  — понятие эквивалентного импульс ного элемента, 312, 339, 347, 647  —, преобразование к эквивалентной импульсной системе с одной часто- той прерывания, 312—315 324—  — разомкнутые, 312—324  Импульсные системы с переменной частотой прерывания 342—352  —, анализ, 343—348  Импульсные 7?С-цепи 505—516  —, комбинация	последовательной
Импульсная аппроксимация с двумя частотами прерывания, 473—477  Импульсная переходная функция 30 122, 168, 397, 398, 619  Импульсная спектральная плотность, 608-614  — взаимная 608, 609, 611—614  —, свойства 611—614  Импульсная среднеквадратическая ошибка, 606  — минимизация 614—617  Импульсная цепь, 479, 480  —, синтез по импульсной передаточной функции, 494—517  —, условия физической реализуемости 483, 511, 514  — — с помощью основной структур- ной схемы с обратной связью, 514 	с помощью основной последова- тельной структурной схемы 509— 511  — устойчивость, 483—485  Импульсные передаточные функции,  — вычисление, 171—184  — замкнутых систем. 240	структурной схемы и структурной схемы с обратной связью, 514—516 — основной структурной схемы с об  ратной связью, 510—514  —, условия физической реализуемо  сти, 484, 509, 513  Импульсный элемент, ПО, 115  —, математическое описание, 115—120  Интеграл обратного преобразования  202, 203, 219, 220  Интеграл свертки 122 Интерполяция, 148, 223—225 — формула Ньютона 224  Калман Р. Э 621  Квантование по амплитуде, 110—109,  Квантователь как генератор шума,  Квантующие метки 424  Код Грея (см Циклический двоичный  Кодирование по времени, 419—423  Кодирование с обратной связью (см  Кодирующие устройства)

Метод модифицированного г преобра зования, 285  Метод прерывания с переменной часто той, 621  Метод сдвоенных щеток, 429  Метод частотных характеристик 25 128-138  Метод V-развертки, 421  Метод г-преобразования, 168	272  519-535  — модифицированное 285  Моделирование, 141 434 449 621— 624  — в реальном времени, 622  — декодирующих устройств 449 450  — квантователя 623  — кодирующих устройств 434—438  — операции запоминания 141—142  — физическое 622—624  — цифровое, 622—624  Модифицированная импульсная пере даточная функция, 214, 284  Модифицированное г-преобразование 210-224, 284, 285, 315, 316  — вычисление, 217—221  — для определения поведения системы между моментами замыкания и скрытых генераций 284—296, 392—  —, таблица, 680—691  —, определение, основанное на вы числении вычетов, 215—217  	основанное на последовательном суммировании, 212—215  — систем с задержкой и опережением 316, 321, 338  — теопема о конечном значении 222 223  — теорема о начальном значении 221, 223  Модуляция амплитудная 16  — взаимная, 166  — импульсная, 112  — импульсно-кодовая 16  Н	Нулевая установившаяся ошибка 559-592  — ^проектирование 559—570 592—  — условия в моменты замыкания 560-595  — г„-преобразование, 317  Нули разомкнутой системы 60 543  — неточное сокращение, 545 546 — сдвиг 60—63, 543 544  О  Область г, 186 187  —, г-форма для интегрирования 234—  —, применение 236—239  Обратное модифицированное г преоб разование, 219—221  Одноразрядная кодирующая ячейка  Одноразрядная кодирующе декоди рующая цепь, 435  Операционные усилители, 434 448  — для декодирования, 448, 449  — для кодирования, 434—438  Определение частотной характеристики замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой си стемы 143-146  Оптимальная импульсная передаточ ная функция, 614  Оптимальное управление, 558, 559  Оптимизация, 558  — вариационное исчисление 612 — самооптимизация, 558  Основание, 405, 406  Основная теорема прерывания 96—98  Основное преобразование по Лапласу 202, 510, 527  Отношение амплитуд, 461, 462, 466  Отношение площадей импульсной пере ходной функции, 618 619  Ошибка квантования 17, 99—101  —, распределение вероятности 105—  — среднеквадратическое значение 99-101, 108
Нелинейности в импульсных системах 165, 166, 356  Нелинейные системы автоматического регулирования, 12  —, методы анализа, 13  Неоднозначность, 420  Номограммы для проектирования им пульсных систем, 486—490  Номограммы максимально допустимого передаточного коэффициента 542	—, статистический анализ, 104—106  Ошибка системы, 296, 374, 577  — вычисление 373—388  — минимизация 577—585  П  Параллельно-декодирующая	цепь  Первичная составляющая (см Первич ный сигнал)

Раггацини Дж. Р., 167 380

— в моменты замыкании 279—285

— в течение периодов прерывания
286-298

—, вычисление, 276—296

Ряд Лорана, 234

Ряд Тейлора 300-302
Статистический эквивалентный им пульсный элемент, НО  Статистическое проектирование цифро вых систем автоматического управ ления, 595—614  Стационарный случайный процесс, 596  Структурные схемы импульсных си стем, 241—257  Сумма последовательности квадрата ческой ошибки минимизация, 577— 585  Сумма свертки 124	Ф  Фантастрон 423  Физическое моделирование 622—625  Фиктивная частота, 519  Фильтр для подавления пучьсаций  Формулы квадратур 202  Функция единичных импульсов, 86—89  Функция распределения вероятности, 597  Функция частотной характеристики разомкнутой системы 135—142
Т  Таблицы, задержанных z преобразова ний, 632  — модифицированных г преобразова ний, 680—691  — преобразовании выходов импульс ных систем основных типов, 251  —, импульсных передаточных функ- ций ошибки системы, обеспечиваю- щих минимальное время переход ного процесса, 563  — коэффициентов т преобразований 638  — z-форм, 236  — z-преобразований 183, 680—691  Теорема о конечном значении, 186—187  Теорема о начальном значении, 187— 188  Теория Винера—Колмогорова 597—  Трапецеидальный запоминающий эле мент, 644  Трапецеидальный импульс, 644  Трапецеидальный импульсный эле мент, 644, 645  Требования во временной области, 51, 358, 365  Треугольный запоминающий элемент, 645, 646  Триггер Шмитта 425	X  Характеристическая функция, 100, 101  Характеристические корни, 60, 533  Характеристическое уравнение си стемы автоматического регулирова ния 35 60  ц  Цепи на линиях задержки 4у4 499— 505  Цепь с переключающимися сопротив лениями, 445 447, 449  Циклический двоичный код, 414—416  —, преобразование в обычный двоич иый код, 416, 430  —, свойства 416, 417  Цифровая коррекция, 494—559  Цифровое моделирование, 623 625  Цифровое программирование 494  — итеративное, 497, 498  — параллельное, 498—499  — прямое, 496—497  Цифровое управление металлообраба тывающим станком 20  Цифровой код, ПО  Цифровой преобразователь углового перемещения, 427, 430  Цифровые системы автомати юского управления, самолетные, 15  —, импульсный эквивалент, 130—132
	—, статистическое	проектирование  595—615
Управляющая ЦВМ 17, 18  Усилители (см Операционные усили  Условия физической реализуемости им пульсных 7?С-цепей, 483 510  Установившаяся ошибка в моменты замыкания, условия равенства нулю, 561-595	Частота прерывания 82, 387  —, определение по заданной средне квадратической ошибке 351—359  Частота сопрягающая, 42  Частотная характеристика замкнутой системы, связь с частотными харак теристиками разомкнутой системы
Частотная характеристика разомкну
той системы, 137—140

Частотно-модулированная функция

Частотный спектр 88—92 130 131

— амплитудный, 90—92

— линейный, 90—92

— фазовый, 90

Чистое запаздывание 352

—, влияние. 356

Ширина импульса 627

Эквивалентный импульсный элемент

313, 338, 346, 649

Экстраполяция, 148

Экстремальная система 617

Эргодическая гипотеза, 597
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие


183

189

импульсных CAP ..............

Графический анализ устойчивости критерий Шур Кона; били

Реакция системы в течение периодов прерывания .

Импульсные системы с несколькими частотами прерывания

Импульсные системы

тульские системы <

ереходных процессов и ошибок импульсных систем

дение системы в переходном процессе	. .

7 2 Максимальное перерегулирование и время наступления первого

8. 5 Быстродействующее кодирующее устройство на операционных


автоматического регулирования

558

558

т-преобразование

11.4.	Анализ систем

11.5.	Другой метод

преобразовании




Печ. л. 44,0 Уч.-изд. л. Ь

Тираж 8000 экз

Формат 60Х901/!