Зоран Пеневски, Мирко Дейич

Иллюстратор Душан Павлин
Мирко Дейич
Зоран Пеневски

Иллюстратор Душан Павлич

• НАУКА Ь ШУТКУ И ВСЕРЬЁЗ •

$

Москва
УДК 087.5:51
ББК 22 1я92

Д27

Дейч, Мирко.

Д27 Увлекательная математика / Мирко Дейч, Зоран Пенев-
ский ; [перевод с сербского Л. С. Белякова]. - Москва :
Эксмо, 2026. - 160 с. : ил. - (Наука в шутку и всерьёз).

18ВЫ 978-5-04-227313-1

«Увлекательная математика» - научно-популярное издание для школь-
никоь В книге собраны старинные задачи, занимательно1е логические
головоломки и необычные загадки, которые помогают по-новому взгля-
нуть на привычные вычисления и открывают занимательный мир чисел
Любопытные факты из истории математики, рассказанные с легким юмо-
ром знакомят читателя с удивительными идеями и открытиями великих
учёных. Игровые задания и нестандартные задачи способствуют разви-
тию сообразительности, логического мышления и внимания. Материал
изложен в доступной и увлекательной форме и поможет школьникам
лучше понять математику, пробудить интерес к предмету и увидеть её
неожиданную и увлекательную сторону

УДК 087.5:51

ББК 22.1я92

15ВИ 978-5-04-227313-1

© 2024, 2огап Репеузк), М!гко Сере
РиЫ!зЬе<1 Ьу адгеетеп! ултЬ Ьадипа, 5егЫа
АН пдЫз гезегуеск

© Оизап РауИс, 2024

© Беляков Л- С., перевод на русский, 2026

© Издание на русском языке. Оформление.
ООО «Издательство «Эксмо», 2026
СОДЕРЖАНИЕ

ЛУЧШЕ НЕ СКАЖЕШЬ.........................8

МАТЕМАТИКА...............................11

Математика - не естественная наука .... 12

Вначале появились арифметика
и геометрия..........................13

Зарождение математической науки .....14

Нерешенные математические проблемы... 16

Гипотеза Каталона....................18

Зачем мне математика в жизни?........18

Десять правил успешного математика .... 21

Дискалькулия ....................... 22

Проверь себя.........................23

Эйнштейновская формула успеха........24

ОСТРЫЙ УМ ..............................25

Догадайся ...........................27

Странные задачи - странные ответы .... 29

Гипотеза Петара......................31

БОЛЬШИЕ ЧИСЛА...........................32

Миллион - это сколько?...............34

Животная арифметика..................34

Растительная арифметика..............35

Научное чаепитие ................... 36

Сложение и вычитание.................37

Как сокращают дроби?.................38

Нуль, всемогущий и бессильный........39
МАТЕМАТИКА - ЭТО	ЛЮБОВЬ .............. 43

Пирамида Фалеса........................44

Легенда о шахматной	доске............45

Конец света............................46

Удвоение куба..........................47

Квадратура круга ......................50

Самый древний магический квадрат.......51

Магический квадрат Дюрера..............52

Антимагический квадрат.................54

Как взвесить корову?...................55

Крупные или мелкие?....................56

Как добраться до острова?..............57

Круглая или квадратная крышка? ........58

Магия числа и..........................58

Абсолютно безумный способ..............60

Всемирный день числа п.................62

Математикам не дают Нобелевскую
премию.................................63

Почему нельзя говорить «большая
цифра».................................64

Почему нельзя говорить «арабские
цифры» и «римские числа»...............64

ПАМЯТНАЯ МАТЕМАТИКА.......................66

Диофант (III век)......................66

Архимед (287-212 гг. до н. э.).........67

Якоб Бернулли (1654-1705)..............68

Людольф ван Цейлен (1540-1610)........ 69

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)........ 69
МАТЕМАТИКА = ВЕДЬМИНА НАУКА .............70

Влияние религии на формирование
математических	понятий................71

Нуль..................................71

Комбинаторные	идеи...................72

Земля круглая, потому что это центр
мира..................................73

Житейская мудрость ...................74

Часть за частью.......................74

Досчитать до миллиарда................74

Сайгаку...............................75

Золотое сечение ..................... 75

Золотое сечение и пропорции
человеческого тела ...................77

Витрувианский человек ............... 78

Предварительные выводы................80

«Божественная формула»
на рентгеновском снимке...............81

От кроликов до чисел Фибоначчи........82

Подсолнух и математика................83

Пчелиная математика...................84

Ахилл и черепаха......................85

Чудесная бесконечность .............. 86

Произведение числа 11 и любого
двузначного числа.....................88

Числовые палиндромы ..................88

Доказательство того, что 2 = 1........90

Число Шахерезады......................90

Число 9...............................92

Натуральные числа.....................93
Нарциссические числа ............... 94

Совершенные числа....................95

Дефектные числа......................96

Магия числа 481......................97

Потрясающие свойства числа 37........98

Арифметическая головоломка...........98

Ещё немного математической магии....100

НЕОБЫЧНЫЕ ИСТОРИИ О МАТЕМАТИКАХ . 102

Математик, ставший папой римским....103

Небезумный математик................104

Решающее опоздание..................105

Вечный бродяга Эрдёш................106

Несчастливый гений Галуа............107

Абель: короткая жизнь, гениальные
открытия............................109

Великий труженик Эйлер...............НО

Божественные формулы............... 112

Число Рамануджана.................. 113

Рассеянный Винер....................113

Автор «Алисы в стране чудес» был
математиком.........................114

Паскалина...........................115

Математическое детство Гаусса...... 117

Элементы........................... 119

Первая женщина-математик............120

Первая женщина-профессор........... 121

Очарованная математикой.............123

Сербские женщины-математики.........124

Вопрос от бравого солдата Швейка .... 126
ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ .........................127

Без отрыва..........................128

Парадокс, от которого заболит голова . 129

Парадокс лжеца......................130

Кто стрижёт Брадобрея?..............131

Лента Мебиуса.......................132

Головоломка с пони .................133

Способы записи чисел................134

Пальцы вместо калькулятора ........ 136

Кто здесь сумасшедший?..............137

Реши с помощью логики...............139

Разговор двух математиков...........140

Родственные связи...................140

Сколько детей в семье? ............ 141

Встреча кораблей....................142

Сумма цифр .........................144

Пончики.............................145

Бактерии............................146

Правда и ложь.......................147

Возраст детей.......................148

СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ .... 150

Распределение верблюдов.............151

Куда исчезли 100 динаров?...........152

Волк, коза и капуста................153

Борьба за наследство .............. 154

Хитрый Петар........................155

Хитрая невеста......................156

Два брата, две дороги...............157

Сумма 18............................158
ЛУЧШЕ НЕ СКАЖЕШЬ

Если в каком-то деле нельзя
применить математику или лю-
бую другую науку, основанную
на математике, пиши пропало.

Леонардо да Винчи (1452-1519)
итальянский изобретатель,
художник и математик

Невозможно быть математиком,
не будучи в душе поэтом.

Софья Ковалевская

(1850-1891)
зая в миРе
математики

Математика - это
музыка разума.

Джеймс

(1814-1897)

СИЛпХий математик
английским
Норберт Винер

(1894-1964)
американский математик

Леонард Эйлер
(1707-1783)

швейцарский, прусский
и российский
математик и физик
её как
если е

Математик	тоЛЬко

но И

Бертран Рассел (1872-1970)
британский философ и математик

Бог создал целые числа,
а всё остальное - дело рук
человеческих.

Леопольд Кронекер
(1823-1891)
немецкий математик

Всё. что может пригодиться
в жизни, изучается до четвёртого
класса. Всё остальное - это
высшая математика.

Петар

вечный ученик
маме

Слово «математика» происходит от древнегре-
ческого слова «матема» (таИпета), что в пе-
реводе означает «наука, учение». Да, если бы
не было мыслителей Древней Греции, то и ма-
тематики бы не было. Пифагор и его после-
дователи выделяли целых четыре «матемы»:
арифметику, музыку, геометрию и астрономию.
Знания, которые приобретали пифагорейцы,
хранились в строжайшей тайне, и каждого, кто
делился этими сведениями с непосвящёнными,
наказывали не двойкой за четверть, а кое-чем
гораздо серьёзнее!
=

СЖ



По общепринятой классификации математику
причисляют к естественным наукам. Но если
вдуматься, что в ней естественного? То, что
изучает математика, - не существует! В реаль-
ном мире нет точки, прямой, числа, плоскости;
их нельзя увидеть или пощупать. Однако ма-
тематические формулы прекрасно применяются
в повседневной жизни.

ни

Р^У не есгиестВ<5и
наука/

ы&тещд___
ВНАЧАЛЕ ПОЯВИЛИСЬ
АРИФМЕТИКА
И ГЕОМЕТРИЯ

Предмет изучения математики менялся от эпо-
хи к эпохе. Сначала появилась арифметика,
или наука о числах, затем геометрия, а сего-
дня существуют сотни самых разных областей,
которыми занимается математика.

Арифметика

Слово «арифметика» происходит от гре-
ческого слова «арифмос» (аг^Нтоэ)
«число». Таким образом, арифметика - это
наука о числах и вычислениях. Первона-
чально арифметика изучала только целые
положительные числа и их свойства. Пер-
вая печатная книга по арифметике была
издана в Италии в 1478 году неизвестным
автором. Видно, умный человек был!

З’пмтпап.и «ч р::<псз п <ЯгоЫп« лгпЬт
« гыйЬо&по «I гьок грст I»а от 1а п>. к1л
ЛлтиНаи.» а ги1..»11киа (аг гс ст ЪЫюДо.

|>	Кг$есоро г |-ы ст'» г I акНич

)си<п ьп-< п.о!го стклАпи .к
лк ггпЛиаг.о « стяиг и ок г
игт ||пигс1ч*Ьппа,,1грк
«тон тгр>а№	в

по ригI о.» тог$к т и > । йооаЬк Гг (ипХапУго
<Пи|иП>ТГ11Г >1ПП< 1«1'|1т№ ГИ1ваП<чПК
|>Ыи, I <- Ц1и>| ю сслКп СТО рГ ЛПО? И |оии <1
т1Дк? «4 гпиист пт <1  ряв пХапо * <;аг11. -Хе
И- 1Л>1> «Илии «I т»&По*|',010
«МЬтгоГсИоап опаял риг или ГзаП.гг •
ого-елосЬг 1о:отаггоокстиХгги гак киаост
стилг (х (Гглк>.Зп потг ст сто мжН: го»,Ьо
рст рларо )пю < I ило ст (Ц.от41т» пХ| ст<4, о.

I Сст аиг'к <оГ«иЫ ы и । ппм оя^тс
Ыло г »Ь:)о । гоЛмтгппгст г-естм гг
питггоГстгоПе 1стп»4г.«гс'П <стг< кя
пстЪвло ст кг п'бГ'Хихк. р« о ле Ь «орг л опт
стгоа к О.Х <ч«||аркп. 1 г гшг|Г11и , < иг
(ПП*ггк1,рр(|ГОппо:р111ПоГ1г11(<еопх!е ел-
го й ! р.'|о<пО|к*йгг-1 Тпиитог гл з а <-1ши.
<!тг«пргв-<зсигто1Г.Г<г л.-.Хз те н ц)в «11.

л» е1 п«ио сч то г миХтхспк г .1. < I > 01 к
«|о ро ю г пксткг ишаггстлЬс 1г ииесгЛа о*
пгаёк г^л-Йзо-'а :ст>Ьсл 1го<Г1 «гГ« Ястпа
гм.Н» &М. поГ-рчН Й яиошлни ст пг
пиистг.^1 рашо-Гк! гзп-агспиюМг| ЬстX I
гготп1тгто111ии1о.Х11к1)о1ес1.и<п11 и>мп>

Первая страница первой
печатной арифметики
(Тревизо, Италия, 1478)
Геометрия

Геометрия зародилась ещё в Древнем Египте.
После каждого наводнения, когда река Нил
возвращалась в берега, египетским земледель-
цам приходилось заново измерять участки зем-
ли под посевы. Чаще всего эти участки имели
форму простых фигур - квадратов, треуголь-
ников. Постепенно египтяне научились вычис-
лять площади фигур и сравнивать их.

Там. где широкий Нил несёт свои воды.
Геометрию людям подсказала природа!

ЗАРОЖДЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ

Математика как наука возникла в Древней Гре-
ции Примерно в VII веке до нашей эры там
появились первые философско-математические
школы, в которых были заложены принципы
научного мышления.
Одной из первых сформирова-
лась Милетская школа. Основал
её торговец, астроном, математик
и философ Фалес (около 624 г.
до н. э. - 546 г. до н. э.). Фалес
много путешествовал и подолгу жил
в Египте. Знания, которые нако-
пили египтяне, ревностно охраня-
лись египетскими жрецами. Однако
Фалес получил к ним доступ, так
как египтяне провозгласили его одним из семи
мудрецов, а они почитали их почти так же.
как своих божеств. Легенда гласит, что Фалеса

возвели в ранг мудрецов за то, что он сумел
измерить высоту пирамиды Хеопса, используя
её тень.

Вернувшись в родной Милет, Фалес основал
философскую школу. В его работах впервые
в истории математики встречаются доказатель-
ства теорем. Он доказал, что углы в основа-
нии равнобедренного треугольника равны, что
сумма углов в каждом треугольнике равна
180 градусам, что диаметр делит круг на две
равные части и т. д.

_ хоцеШк, сказать
Погоди. "I” пирамида
это тень ог" " %&ойке
еиноза1^3 ₽	, учительница

п0 математике-	₽ том.

меряет.	« &ычислить

что я не	Но я оедн

е«соту
НЕРЕШЕННЫЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ

В математике до сих пор остаётся много не-
решённых проблем, которые ждут своего часа.
А вдруг именно ты сумеешь с ними справить-
ся? Одна из проблем касается совершенных
чисел. Совершенные числа - это числа, дели-
тели которых при суммировании дают то же
самое число. Таковы, например, 6 и 28. Де-
лители числа 6 - это 1, 2, 3. Проверяем:
6 = 1 +2 + 3. Аналогично делители числа 28 -
это 1. 2, 4. 7, 14. Проверяем: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Совершенные числа очень редки. Только
в 1460 году было найдено пятое совершенное
число: 33 550 336. На сегодняшний день с по-
мощью компьютерных технологий обнаружено
всего около пятидесяти совершенных чисел.
А общее у всех найденных сегодня совершен-
ных чисел то, что все они чётные. Но неза-
крытым остаётся вопрос: ещё не обнаружен-
ные совершенные числа тоже чётные?
Ещё одна нерешённая проблема тоже свя-
зана с совершенными числами. Математики
пока не знают, существует ли бесконечное
множество таких чисел.

Другая проблема касается простых чи-
сел. Это числа, которые делятся на единицу
и на самих себя, например 2, 3, 5, 7. 11, 13...
На протяжении последних двух веков матема-
тики пытаются выяснить, существует ли бес-
конечное количество простых чисел-близнецов.
Два простых числа называются близнецами,
если они отличаются только на 2 - это наи-

меньшая разница между простыми числами.
Примеры близнецов - это, например, пары
простых чисел 5 и 7 или 17 и 19.

Простые числа не так просты, как кажутся.
Проблем с ними немало. В 1742 году прусский
математик Христиан Гольдбах (1690-1764) пред-
положил, что все чётные числа можно раз-
ложить как сумму двух простых чисел. Напри-
мер. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8=3 + 5, 10 = 5 + 5 и т. д.
Однако до сегодняшнего дня никто не нашел
этому окончательного подтверждения. Эта про-
блема так и называется - гипотеза Гольдбаха.

Ещё одна нерешённая проблема - так назы-
ваемая гипотеза вечного ученика Петара. Она
гласит: как за 2000 динаров купить кроссовки,
которые стоят 12 000 динаров?
ГИПОТЕЗА КАТАЛОНА

Учёные часто выдвигают гипотезы, то есть
предполагают, что нечто истинно, но ещё
не могут это доказать. Иногда на доказатель-
ство какой-нибудь гипотезы уходят столетия.

Одной из таких «долгоиграющих» гипотез
считается так называемая гипотеза Каталана,
которую в 1844 году выдвинул математик Эжен
Шарль Каталан. Согласно ей, нет никаких дру-
гих степеней, кроме 23 = 8 и 32 = 9, которые
отличаются всего на 1. Справедливость этой
гипотезы доказал румынский математик Преда
Михайлеску в 2002 году, а опубликована она
была в 2004 году. Не прошло и двух веков!

(Ж
МММ
I ® ЖЗК®0№

Для чего я учу математику? Вопрос впол-
не логичный, ведь большинство школьников
не видит смысла во многих предметах, кото-
рые им приходится изучать. Давай рассмотрим
её полезные стороны (помимо того, что эту
книгу интересно читать!).

Знание математики требуется в любой про-
фессии. Каждый школьник мечтает когда-ни-
будь стать пилотом, инженером, ученым, вра-
чом, программистом... Представляешь инженера.
который не в состоянии рассчитать максималь-
ную нагрузку несущих опор моста? Одна его
ошибка - и мост обрушится от тяжёлого гру-
зовика. Без знания геометрии и пропорций не-
возможно стать хорошим художником. А многие
науки вообще основаны на математике, напри-
мер экономика, 1Т-индустрия, машиностроение,
электроника, робототехника... Именно поэтому
в каждом смартфоне обязательно есть каль-
кулятор!

Математика учит нас верить только тому, что
можно проверить. Когда мы решаем матема-
тические задачи или доказываем теоремы,
то учимся искать истину и проверять вер-
ность решения. Думаешь, с помощью матема-
тики нельзя выяснить, почему подруга не при-
гласила тебя на день рождения? Ошибаешься,
еще как можно...

Математика учит нас правильно мыслить. Даже
если мы не применяем знания, которые получи-
ли в школе, математика учит нас мыслить логи-
чески и системно. Без логики никто не сумеет
успешно выполнять свою работу, в какой бы
сфере деятельности человек ни трудился.
А в повседневной жизни математика помогает
отличать правду от лжи, правильное от непра-
вильного и т. д. Например, один раз кто-то
может тебя обмануть, но в сто тридцать вто-
рой раз у него этот номер не пройдёт!

Математика учит нас справляться с проблемами.
При решении математических задач мы изучаем
исходные данные, находим связь между ними
и ищем, что требуется. Когда мы поняли задачу,
приступаем к её решению. Так мы тренируем
наш ум на решение проблем, которых не так
уж мало в повседневной жизни.

Математика учит нас быть точными. Матема-
тические символы, формулы и определения
всегда имеют строго определенное значение.
И если использовать их корректно, решение
обязательно будет верным, и ответ сойдется.
Так и в реальной жизни: чем точнее и кон-
кретнее мы формулируем мысли, тем меньше
вероятность того, что кто-то поймет нас не-
правильно.

Математика учит нас мыслить стратегически.
При решении задач, как при игре в шахматы,
мы должны быть сконцентрированы и думать
на несколько шагов вперёд. Это помогает пра-
вильно выбрать шаг, ведущий к цели. А твоя
ближайшая цель - не получить двойку по ма-

тематике...
ДЕСЯТЬ ПРАВИЛ
УСПЕШНОГО МАТЕМАТИКА

1.	Решай задачу несколькими способами. Если
не знаешь сразу, как решить, попробуй
мыслить нестандартно.

2.	Решай задачи самостоятельно. Цени время
своих родителей.

3.	Проявляй настойчивость, решая задачи.
Теорему Ферма математики решали более
300 лет Вот это упорство!

4.	Используй чужой опыт. Найди тетрадь того,
кто учился в твоём классе годом раньше.

5.	Научись ценить интересные задачи и насла-
ждаться их решением. Всегда помни, что
у любой задачи есть решение. Надо только
его найти!

6.	Обязательно перепроверяй решение - осо-
бенно на контрольной.

7.	Много работай, и успех гарантирован. Полу-
чить двойку - проще простого, а ты по-
пробуй добиться пятёрки по математике!

8.	Постарайся самостоятельно ставить пробле-
мы. Не создавать, а ставить! Это большая

разница.

9.	Постарайся полюбить математику. Хотя бы
так же, как любишь пиццу...

Сг*1<?п' с^оп1 Л
^ое пра&ило*е


ДИСКАЛЬКУЛИЯ

У некоторых детей бывают сложности с мате-
матикой. Они путаются и ошибаются, выполняя
элементарные вычисления. У этой проблемы
есть научное название - дискалькулия. Труднее
всего детям с дискалькулией приходится, ко-
гда нужно выполнять арифметические действия
с несколькими числами и при сложных вычис-
лениях. Полная неспособность к усвоению ма-
тематики называется акалькулией. Исследова-
тели утверждают, что дискалькулия встречается
у 6% людей.




Ответь или «ЭДЁГ?® на следующие вопросы.

а)	Любишь ли ты решать сложные математи-
ческие задачи? 

6)	Ищешь ли ты помощи при решении слож-
ных математических задач? 

в)	Если не удается решить сложную задачу
сегодня, возвращаешься ли ты к решению
на следующий день? 

Если твои ответы:

ДА, НЕТ, ДА - эта книга не для тебя;

НЕТ, НЕТ, НЕТ - с тобой всё в порядке;
НЕТ, ДА. НЕТ - эта книга будет тебе полезна.

Все остальные комбинации - поступай как

знаешь.
эйнштейновская

ФОРМУЛА УСПЕХА

Формулу
Эйнштейн

успеха великий Альберт
(1879-1955) записал так:

а = х - у + 2,
где а - успех, х - работа, у - раз-
влечения, т — умение держать язык
за зубами. Как видим, Эйнштейн под-
чёркивает важность упорного труда
как главного фактора успеха. Тако-
го же мнения придерживались и дру-
гие великие учёные.

Когда Исаака Ньютона (1643-1727)
спросили, как ему удалось совершить
открытия в астрономии, предвосхитив-
шие работы всех его предшественни-
ков, он ответил: «Потому что я по-
стоянно думал об этом».
Материалы

О карандаш

О бумага

О мозг среднего размера

Что делаем

Реши эти необычные задачи как можно бы-
стрее:

1)	Бутылка с пробкой стоит 11 динаров. Сама
бутылка на 10 динаров дороже пробки.
Сколько стоит пробка?

2)	У брата и сестры было одинаковое коли-
чество яблок. Брат дал сестре 4 яблока.
На сколько яблок у сестры теперь больше,
чем у брата?

3)	Какое число должно стоять следующим
в этом ряду: 0, 1, 3, 6, 10. 15, 21, ...?

4)	В возрасте 7 лет мальчик был ростом
85 см, а когда ему исполнилось 14 лет,
его рост составил 170 см. Какого роста он
будет в 21 год?
5)	Найди три четырёхзначных числа, которые
не изменятся, если их перевернуть «вверх
ногами».

6)	Два отца подарили своим сыновьям лошадей.
Первый подарил своему сыну 12 лошадей,
а другой подарил своему сыну 10 лоша-
дей. Когда сыновья пересчитали лошадей,
их оказалось 12. Может ли такое быть?

7)	Биба и Боба пошли на матч. Биба хваста-
ется. что может угадать результат до на-
чала матча. Не врёт ли он?

8)	Пётр сказал: «Сын моего отца - не мой
брат». О ком говорил Пётр?

9)	Если 5 кошек могут поймать 5 мышей
за 5 минут, то сколько кошек поймают
100 мышей за 100 минут?

10)	Как разделить 5 яблок между 6 мальчи-
ками так. чтобы все получили равные ча-
сти и чтобы ни одно яблоко не делилось
на 6 частей?

Ответы

1) 50 копеек; 2) На 8 яблок; 3) 28; 4) Ни-
кто не знает; 5) 6889, 6009. 9006; 6) Речь
идет о дедушке, его сыне и внуке; 7) Биба
прав: до начала матча результат 0:0; 8) Пётр
говорил о самом себе: 9) Те же самые 5 ко-
шек; 10) Делим 3 яблока пополам и получаем
6 половинок. Делим 2 яблока на 3 части каж-
дое и получаем шесть третей. Каждый мальчик
получит одну половинку и одну треть яблока.


Материалы

О карандаш (желательно не сломанный)

□ двое взрослых (для помощи или чтобы на-
доедать им с просьбой купить тебе элек-
тросамокат)

□ удача

Что делаем

1)	Если шофер из Белграда водит автобус
в униформе, то доезжает до Пожареваца
за 80 минут, а если, двигаясь с той же
скоростью, сидит в кабине в обычной оде-
жде. то доезжает за 1 час 20 минут. По-
чему это происходит?

2)	Полтора кирпича весят 3 килограмма. Како-
ва масса двух кирпичей?

3)	Может ли яйцо пролететь 7 метров
и не разбиться?

4)	Какое число составляют 11 сотен, 11 десят-
ков и 11 единиц?

5)	В корзине лежит 12 яблок. Как их разде-
лить между тремя сёстрами так, чтобы каж-
дая получила по 4 яблока и ещё 4 яблока
остались в корзине?
6)	Два путника вышли к реке и увидели лодку.
Они хотели переправиться на другой берег,
но в лодке может поместиться только один
человек. Однако оба путника переправились
на лодке. Как у них это получилось?

7)	Корова съедает сноп сена за 15 минут,
бык съедает такой же сноп за 10 минут,
а коза - за 30 минут. За какое время они
съедят один сноп сена вместе?

8)	Какое наибольшее число можно написать,
используя только четыре единицы?

Ответы

1) Униформа здесь не играет никакой роли.
Водитель до Пожареваца доезжает за одно
и то же время, потому что 80 минут - это
то же самое, что 1 час и 20 минут. 2) Два
кирпича весят 4 кг. 3) Может, если его бро-
сить с высоты больше 7 метров. 4) 1221.
5) Двум сёстрам нужно дать по четыре яблока,
а третьей - корзину с оставшимися четырьмя
яблоками. 6) Путники находились на разных
берегах реки. 7) Вместе животные съедят сноп
сена за 5 минут. За 30 минут корова съест
2 снопа, бык - 3 снопа, а коза - 1. Полу-
чается, что вместе за 30 минут они съедят
6 снопов (2 + 3 +1). Следовательно, 1 сноп они
съедят за 5 минут (30 : 6). 8) Обычно думают,
что это 1111. Но на самом деле это число 11
в 11-й степени (II11).
Материалы

О карандаш

О 300 г смекалки

О юо г ответов в газообразном состоянии

О стакан сока

Что делаем

Прочитай задачи, немного удивись, подумай
над ответами и отхлебни сока. Ответь на во-
просы, а затем сравни свои ответы с теми,
что найдёшь на следующей странице.

1)	Может ли человек прожить без сна 20 дней
подряд?

2)	Ты участвуешь в соревновании по бегу.
Тебе посчастливилось обогнать последнего
бегуна. На каком ты сейчас месте?

3)	Человек пришел в магазин и сделал компли-
мент продавщице, сказав ей. что она очень
красивая. Она спросила его: «Вы полицей-
ский?» Тот ответил: «Да». Как она догадалась?

4)	В кафе заходит человек и просит стакан
воды Официант достаёт пистолет и при-
ставляет его к виску посетителя. Ничуть
не испугавшись, этот человек благодарит
официанта и выходит, так и не выпив воды.
Как это объяснить?

5)	Женщина без водительских прав движет-
ся по улице с односторонним движением
навстречу потоку транспорта. Дорожный
патруль видит её, но никак не реагирует.
Почему?

6)	Жена сидит, а муж не может сесть на её
место, даже если жена встанет и уйдёт.
Где сидит жена?

7)	В десятилитровом ведре находится 3 литра
воды. Сколько воды в нём будет, если до-
бавить еще 8 литров?

8)	Кто может сказать своему папе: «Ты мой
отец, а я не твой сын»?

9)	У одного короля родился сын. На радостях
он приказал уменьшить наполовину сроки
наказания для всех заключённых в стране.
Однако возникла проблема с заключёнными,
которые были приговорены к пожизненно-
му сроку, ведь никто не знал, сколько они
будут жить. Но в полиции всё же сообра-
зили, как поступить, и пожизненно заклю-
ченным тоже сократили сроки наказания
наполовину. Как это возможно?

Ответы

1) Может, если будет спать ночью. 2) Мно-
гие, не подумав как следует, торопливо отве-
чают, что они предпоследние. Но как можно
обогнать последнего бегуна? Если ты бежишь
за ним, значит, он не последний! Так что
правильный ответ: последнего бегуна обогнать
невозможно. 3) Человек был в полицейской
форме. 4) У этого человека был приступ икоты.
Официант знал, что икота прекращается, если
вызвать у человека шок. Так как от испуга
икота действительно прошла, довольный посе-
титель поблагодарил официанта и ушёл. Воды
он так и не выпил, потому что она была ему
больше не нужна. 5) Женщина идёт пешком.
6) Жена сидит у мужа на коленях. 7) В ведре
будет 10 литров воды (больше просто не вой-
дёт). 8) Дочь. 9) Приговорённые к пожизненно-
му сроку один день сидели в тюрьме, на сле-
дующий день гуляли на свободе, потом опять
день в тюрьме, и так далее.

ГИПОТЕЗА ПЕТАРА

Учительница: Петар, можешь ли ты
одиннадцать картофелин разДеА-ь
между пятью друзьями так чтобы
каждому досталось поровну.

Петар: Запросто! Я сделаю пюре
и каждому дам поровну.
БОЛЬШИЕ ЧИСЛА

Названия для больших чисел, которые исполь-
зуются сегодня, были введены в XIV и XV ве-
ках. Так, в начале XIV века итальянцы ста-
ли употреблять слово «миллион» для числа
1 000 000. Это слово использовал Марко Поло
при описании богатства китайцев.

Первое известное зафиксированное ис-
пользование слов «миллиард» и «триллион»
встречается в работе француза Жана Адама
в 1475 году. Девять лет спустя, в 1484 году,
французский математик Никола Шюке в работе
«Трёхкнижие о науке чисел» использовал слова
«миллиард», «триллион», «квадриллион», «квин-
тиллион», «секстиллион», «септиллион», «октил-
лион», «нониллион». В работе французского
математика Пелетье, написанной в 1549 году,
термин «миллиард» использовался в значении
«миллион миллионов».

Сегодня существуют два способа наиме-
нования чисел больше миллиона. В России
и в Америке миллиард - это тысяча миллионов
(1 000 000 000), а во многих других странах -
это миллион миллионов (1 000 000 000 000).
Самое большое число, имеющее название,
и которое можно записать на бумаге, - это
гугол (доодоС). Оно записывается как 10]а0 или
в виде единицы со ста нулями:
10 000.000 000 000 000 000.000 000.000,
000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
000.000.000.000.000.000.000 000.000.000.000.
000.000

Это число настолько велико, что превыша-
ет число атомов в видимои Вселенной. Оно
стало общеизвестным после того, как создате-
ли поисковика Ооод1е немного изменили слово
доодо1. Это число ввёл в оборот в 1938 году
американский математик Эдвард Каснер (1878-
1955). А само слово «гугол» придумал его
девятилетний племянник по имени Милтон Си-
рота. Однако Каснер на этом не успокоился,
придумал гораздо большее число и дал ему
название «гуголплекс» (доодо1р1ех). 1 гугол-
плекс = 10гугол, то есть 10 в степени гугол. Это
число невозможно записать. Для его записи
не хватило бы места, даже если бы мы отпра-
вились на край Вселенной, записывая по пути
сплошной ряд нулей.

Если от перечисленных чисел у тебя ещё
не болит голова, то получай! Существует чис-
ло гораздо большее, чем гугол и гуголплекс.
Это число Грэма. На данный момент это самое
большое число, которое используется в матема-
тике. Оно названо в честь математика Рональ-
да Грэма (1935-2020). В 1980 году это число
было внесено в Книгу рекордов Гиннесса, Оно
настолько велико, что его невозможно выразить
с помощью возведения в степень. Раз-

меры всей Вселенной гораздо меньше
пространства, необходимого для запи-
си этого числа!
миллион

это сколько?

Мы запросто оперируем словом

«миллион»,

легко его записываем, но имеем ли мы пред-
ставление. сколько это? К примеру, миллион
секунд - это 11 суток, 13 часов, 46 минут
и 40 секунд. Если бы муху, чей размер около
7 мм. увеличили в миллион раз, мы получи-
ли бы чудовище длиной в 7 км. Миллион лю-
дей, стоящих плечом к плечу, образовали бы
цепь длиной 500 км. Книга в миллион стра-
ниц была бы толщиной 50 метров. Миллион
дней - это более Т7 столетий, так что от на-
чала нашей эры не прошло еще и миллиона
дней.

А миллион часоэ
это 114- лет
и 50 дней!

ЖИВОТНАЯ

АРИФМЕТИКА

Существует несколько видов животных, кото-
рые умеют считать. Это шимпанзе, пчёлы, ля-
гушки, а также рыбки гуппи, крысы и собаки.
Ворон по имени Якоб мог распознать число
пять в различных задачах, а жако Алекс счи-
тал до шести. Другие исследования пока-
зывают, что голуби тоже способны к счёту,
если долго их обучать. Муравьи умеют считать
до 20, а также складывать и вычитать числа
в пределах 5.
РАСТИТЕЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

Растение-хищник венерина мухоловка умеет
считать до двух и до пяти, чтобы поймать,
а затем переварить свою добычу. Когда насе-

комое впервые прикасается

к растению, ло-

вушка сразу же готовится к захлопыванию.
Но закроется она только в том случае, если
произойдёт второе касание в течение примерно
двадцати секунд после первого. Переваривание
добычи начнётся только после пяти движений

пойманного насекомого. Растение должно убе-
диться, что поймало живое насекомое, достой-

ное того, чтобы его переварить.

НАСТОЯЩИЙ МАТЕМАТИК

Два аэронавта, летевшие на воз-
душном шаре, увидели, что надвига-
ется буря, и решили приземлиться.
Снизившись, они заметили какого-то

человека

и, обрадовавшись, крикнули ему:
- Где мы сейчас находимся?

После долгих раздумий человек ответил:
- В корзине воздушного шара!

Аэронавты переглянулись. Один шепнул

другому:

- Это наверняка математик!

Его товарищ удивился:

- А как ты это понял?

- Во-первых, прежде чем ответить, он дол-
го думал. Во-вторых, то, что он сказал, - это
истинная правда. Ну а в-третьих, от его отве-
та нет никакой пользы!
МАТЕМАТИКА
ЕВКЛИДА

Один из учеников спросил Евклида, для
чего нужна математика, которую он изучает
в его школе. Евклид приказал дать ученику
монету в награду за изучение математики,
а затем выгнал его из школы.

НАУЧНОЕ ЧАЕПИТИЕ

Физика и математика попросили написать,
как бы они заварили чай. Физику дали ввод-
ные: у него есть не включённая плита, чайник
с водой, чашка и пакетик чая. Физик решил
задачу так: включить плиту; поставить на неё
чайник с водой; дождаться, пока вода закипит;

положить пакетик чая в чашку; налить кипя-
ток и подождать пять минут, пока чай зава-
рится. Затем математик получил такие вводные:
у него есть включённая плита, чайник с водой,
чашка и пакетик чая. Математик решил задачу
следующим образом: сначала надо выключить
плиту, а затем задача решается так же, как
предыдущая.

МАТЕМАТИКА В СФЕРЕ ТУРИЗМА

Один турист в Египте спросил гида, сколько
лет одной из пирамид. Тот ответил:

“ Ей 2503 года.

-	Откуда у вас такая точная информа-
ция? - удивился турист. Гид ответил:

-	Три года назад, когда я устроился сюда
работать, мне сказали, что гробнице 2500 лет.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

В Древнем Египте знак сложения обозначался
иероглифом, изображавшим ноги шагающего
человека, по направлению письма. Движение
в противоположном направлении означало вы-
читание. Термин «плюс» происходит от латин-
ского слова р1из (больше), а «минус» - от ла-
тинского слова ГП1ПИ8 (меньше).

Привычные нам знаки «+» и «-» впервые
встречаются в 1489 году в работе немецко-
го математика Иоганнеса Видмана (1460-1498).
Учёные пока не установили, как именно по-
явились эти знаки. Согласно одной из гипо-
тез, их придумали виноторговцы. При продаже
на бочке отмечали количество оставшегося

вина горизонтальной линией («-» - вина стало

меньше). Когда в ту же бочку вино добавляли,
горизонтальную линию зачеркивали («+» - вина

стало больше).

я

4 + Т ФЛсЬнЪоа Ш’зГ»
4—  I > (ел оЪегОсрд1су*
3 + 3° Феа ео(игшее
-----»р Ькзсиипег гпЬ

3 + 44 IIе-ппи голода^
5 4“ 11 —пл*

ЗепШй 3-—11

3 4- Оегрлпй №пС>сп
4-----40 9 Ь се®

? + 44 Ьи Ме депЪма
3 т Зй № детафесб
3 —г	/

3 + 9 + *П

Ъапй39Ъ«ге(1>?пО>$ тта«. Лиа
Г>1с Ьи (йе §о1<з	аНиися (оГ

(ин1еде{141Ь.'Х>пЪ&а«(|11 3 твГх4-
«пЪтафсз 11 Ц> 0>аг)йа&&игОдв —>
Ьдв1(1>^1ы»пОй>«9епЗ»>. Оте (ив*
па^ит »«п4$3$><Х>пЪ в1еуЬеп4' Т*
И>. Липф2|ф । оо (ЬОав 1(1 «пдосвег
|хО4^| п?«е1ппкп4 К* Й> опЪГшпв
I >» 04^с1(сг?1ОЙ1(ггсфсдовЗД



Знак «±» впервые использовал в 1626 году
голландский математик Жирар (1595-1632).
КАК СОКРАЩАЮТ ДРОБИ?

Рассмотрим дробь 19/95.

Если числитель и знаменатель разделить на 19,
то получим 1/5. Это и есть сокращение дро-
би. Но проще сокращать (хоть это и непра-
вильно с точки зрения математической логики)
следующим образом:

19 = 1

95	5

Аналогично и для следующих дробей:

16 = ф 49 = 4

64 " 4’’ 98 " 8

И ещё кое-что.

Если последнюю цифру числителя мы допи-
сали бы еще несколько раз, а первую цифру
знаменателя точно так же дописали ровно
столько же раз, то всё равно эту дробь мож-
но было бы сократить указанным выше спо-
собом. Например:

19 _ 199 _ 1999 _ 1

95 995 9995 5
НУЛЬ, ВСЕМОГУКЦИИ
И БЕССИЛЬНЫМ

Нуль можно применять двумя способами.

1.	Для того чтобы показать, что в каком-то
разряде отсутствует число. Например, в числе
3102 нуль показывает, что десятков в нем нет.
Есть тысячи, есть сотни, есть единицы, а де-
сятки отсутствуют. Если бы не было нуля, по-
лучилось бы число 312.

2.	Для того чтобы показать, что чего-то
нет. Например, если мы говорим, что скорость
равна 0 км/ч, это значит, что автомобиль сто-
ит на месте.

Нуль - единственное число, кото-
рое делится на все числа (0 : а = 0,
если а^О), и единственное, на кото-
рое нельзя делить ни одно число. Нуль
не является ни положительным, ни от-
рицательным числом. Когда мы из чис-
ла вычитаем то же самое число, полу-
чаем нуль. Он «бессилен» в сложении

(а + 0 = а), но «всемогущ» в умноже-
нии (а х 0 = 0). Сегодня нельзя пред-
ставить, как можно обойтись без
этой цифры, хотя когда-то люди
не имели о нуле никакого понятия.

Термин «никакой знак» встреча-
ется в рукописях арабских матема-
тиков XII века. В европейских пе-

реводах арабских работ для обозначения нуля
начали использовать знак «0». Термин «пиНа»

впервые встречается в 1484 году в рукописи
французского математика Николы Шюке (1445-
1500), а также в первой печатной арифметике
(1478), изданной в итальянском городе Тревизо.
9 ? 4 7
4 । 4

9 3 4

1 3 о х __________

г 9 5 г -г 6 ] г

Оа Гл1аГоттлгэгдие11ех>1севЛо.6.е1 днак.б.е
Не Гсгшеге эаессо Госсо днеЦо.б.а Ьд(То Госсо 1а г»
Зд.рос 101131. з.е.^.Гл.'а.Гсгип.-а.ве! Гио 1позо Гос
сог>оие1с паГснсо.рос 101131.х.е.з.Гд.$.е.7.Галх.
Гспш.х.е иеп.иро! 1О1131дпе11ол.а.9.(дл о.е.з-Га
л з.Гспш.з.НгессоГоссо дне! 1иозоооие паГсисо.
е Ссевл.рос юпзиЗ.ел.сЬе сепии Гл.9.Гсгнн.9.Гос
Со.З.ро! со111дие(.х.е ГспнНо Госсо а! Гно (подо.?
Гага гшасо. КеГропЖ аНосЬахсЬе.з 14.Г1Л.9 34.
Га.г 93x76.

СГозкапНо рапой аге 1о рае Ако ГсасЬсегохсоЦ! р*
то 1а раоид ое.9 34.С0Л1.з.е.^.Га.э.теш цпеЬ
(ол.рег тезо 1а Гоа ро.'1л Гпоаа 1а пз <.ро» со!
|< 11 района •ое.з 14.тясепДо.з.е.1,Га.4.е.4.Га.З.
теш ГппеЬпепсге чие!. З.Гпоаа ,ое 1а пза р т?зо
1а Гоа ро^а.рос токсркса зиеИе по раиоие гпа р
1з!сга О1сеш1о.7.ка.3.1гл.$ 6.гс4иссп4о.> 6.а.1е
Гое отса4е:ес1сеп4о.$.е.6.Га.1 1.есаиап4о.9.го
тап.х.рег района ратссра1е.х>е Гсгшеге ЬдЛо Го
га 'ол 1а пзл е рег тезо 1а Готта.'^ос зпагНд Ге
!а раиопа-тЗе !а Готта гневе ш.г.хясепНо.г.е.з.
Га.5- е.г.Га.7. е.т.Гал 4»саиа.9.готап.5.г.6.Га
»с 1.саиа.9.готап.г.Г1сЬе !а глебе (Га Ьепс.е рег
дне(1о то4о ро? лс Г те озпе згапНе ГслсЬсего.

дпе/Го се Ьа(Н р еЛег (Гасо х>ес!я га се !е сге та.
миге ххй то1пр11саге.
СГойко рего сЪе д> ЬзгепЛ Ле Голо яТггг тоЛ т>е
то1прПслге рег ГсясЬ1его:Ь дпяк 1яЯзго я! ЯпЛ
е гиолпеггепДо к етешрк кн Гоктепее ш Голпя.
соте рог» ое4еге дт Гогсо

X)? годк т» Елге!ор?есй юГсасЪгето.^ор.у 14.
йя.9 з 4.е носа « Гягк>рег!| диагго той соте
фп оа Гопо.
ХЬгг «отэпДаЯНЛе 0.1 х з4.6в.$4 *« ЗР
рег к пня? пихй 4л ГопоГсши.

5 6 ч 3 9	'} 6 1 3 ?!

х г 1 » 5 6 /4________4 х з 4|

I 1 о 5 6 э	х г ч 15 6[

• » 3 5 *2 3 /1 I 1 О 3 6 ?

5 6 *г 3 9 Xх >	» I з $ ч 3

Зйа? о сП » г <> ) $ б_э 3 ?________

Ю1Ш14. 1 о о 1 '"7 6x6
уПС! Извиняемся,
попало нес	АОисЬиет

из первой
на италь:
что мы
читая ее.

к нашей

Или тебе, М°Ж средневековый
______^явился средн

МАТЕМАТИКА — ЭТО ЛЮБОВЬ

- Кого ты больше любишь, меня или математи-
ку? - спросила профессора математики его жена.

-	Конечно, тебя, дорогая!

-	А докажи! - велела жена.

-	Как бы тебе это объяснить... Если мы при-
мем любовь за бесконечный ряд натуральных
чисел, которые мы хотим разложить на множи-
тели путём деления на простые числа...
ПИРАМИДА ФАЛЕСА

Веками египетские жрецы смотрели на вер-
шину пирамиды Хеопса, мечтая понять, како-
ва ее высота. Выяснить это им удалось лишь
в VII веке до нашей эры, когда в Египет
приехал молодой греческий математик Фалес.
В разговоре со жрецами Фалес узнал об их
проблеме с определением высоты пирамиды
и пообещал, что решит эту задачу.

Он взял палку и, отойдя от пирамиды, во-
ткнул её в песок. Затем он начертил круг,
центром которого стала палка. Радиус кру-
га был равен длине палки. Затем Фалес сел
в тень пирамиды и время от времени погля-
дывал на круг. Вдруг он вскочил и начал из-
мерять тень пирамиды. Измерив, он сообщил
жрецам высоту пирамиды - 145,75 метра. Свой
метод Фалес объяснил так: «Тень от палки,
которая вначале была в центре круга, с те-
чением времени коснулась линии круга. Зна-
чит, в этот момент длина палки стала равна
длине её тени. Мне только и оставалось, что
как можно быстрее измерить длину тени. Так
я и узнал высоту пирамиды». Египетских жре-
цов настолько поразила простота решения, что
в знак благодарности они провозгласили Фа-
леса одним из семи мудрецов.
ЛЕГЕНДА О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Легенда гласит, что шахматы изобрёл мудрец
по имени Сисса бен Дахир. Он показал эту
игру правителю Индии Шахраму. Тому настоль-
ко понравилась игра, что он, желая отблаго-
дарить изобретателя по-царски, предложил ему
самому выбрать себе награду. Мудрец попро-
сил столько зёрен пшеницы, сколько поме-
стится на шахматной доске. На первую клетку
нужно было положить одно зерно, на вторую
два, на третью четыре и так далее до шесть-
десят четвёртой клетки, каждый раз увеличивая
количество зерен вдвое.

Шахрам удивился такой скромной, на его
взгляд, просьбе. Он приказал немедленно при-
нести зерно. Слуги принялись таскать зёрна
и раскладывать их по шахматной доске Сна-
чала они опустошили все амбары царского
дворца, затем собрали зерно со всей Индии,
но так и не смогли выполнить просьбу Сисса
бен Дахира. Если бы Шахрам знал, что тре-
буемое количество зерен настолько велико, что
записывается двадцатизначным числом 1 + 2 +
+ 22 + 23 + ... + 263 = 264 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615,
он никогда бы не согласился исполнить поже-
лание Сиссы бен Дахира.
Если бы Шахрам был находчивым человеком,
да ещё и математиком, он попросил бы самого
Сиссу бен Дахира считать зёрна и раскладывать
их на шахматной доске. Отсчитывая по одному
зерну ежесекундно, за сутки он успел бы от-
считать всего 86 400 зерен. А чтобы закончить,
ему понадобилось бы примерно 585 миллиардов
лет без сна и отдыха отсчитывать зёрна сут-
ками напролёт.

КОНЕЦ СВЕТА

Ещё одна математическая легенда пришла
к нам из Древней Индии. В городе Варана-
си есть храм Каши Вишванатх. Там находятся
три столбика из драгоценного камня, кото-
рые оставил бог Брахма, когда создавал мир.
На один из столбиков нанизаны 64 золотых
диска разного диаметра, от большого к ма-
ленькому. Брахма приказал жрецам переместить
диски на пустой столбик так, чтобы их поря-
док остался прежним - от большего к мень-
шему. При переносе можно использовать все
три столбика. За один ход разрешается пере-
мещать с одного столбика на другой только
верхний диск, при этом больший диск нельзя
класть на меньший Согласно легенде, когда
будет выполнен последний ход, мир исчезнет.
Количество перемещений, которые придётся
совершить жрецам, составляет 2м - 1.

Если тебе кажется, что конец света про-
изойдёт с минуты на минуту, не пере-
живай. Даже если бы жрецы перемеща-
ли диски каждую секунду, чтобы сделать
18 446 744 073 709 551 615 ходов, им потребова-
лось бы примерно 585 миллиардов лет. Это
чрезвычайно долго, если учесть, что Вселенной
всего около 13,8 миллиарда лет, а Земле чуть
меньше 5 миллиардов лет, точнее 4,6 миллиар-
да. А человечество существует всего каких-то
300 000 лет.

УДВОЕНИЕ КУБА

Многие поколения математиков, от античных
времён до XIX века, ломали головы над про-
блемой удвоения куба. Суть задачи состоит вот
в чём: с помощью линейки и циркуля нужно
построить куб, сторона которого будет в два
раза больше заданного куба. По преданию, эта
задача появилась ещё во времена Пифагора,
примерно в 540 году до нашей эры. Суще-
ствует несколько легенд о появлении этой за-
дачи. Самая известная из них связана с про-
рочеством Дельфийского оракула. Греки верили
во многих богов. Среди них были и хорошие,
но гораздо больше было злых и мстительных.

Однажды злые боги решили уничтожить на-
селение острова Делос. Бедствия обрушились
на жителей, началась паника. Тогда мудрецы
собрались, чтобы решить, какой жертвой умило-
стивить богов. Они обратились к Пифии, жрице
Дельфийского оракула. После многих дней не-
прерывного сна Пифия очнулась и произнес-
ла то, что сказали ей боги: нужно построить
новый жертвенник для храма бога Аполлона.

По объёму он должен быть в два раза
больше старого. Вняв воле богов, жители Де-

лоса пригласили лучших мастеров, которые со-
орудили новый жертвенник, и водрузили его
на старый.

Однако бедствия продолжали сыпаться
на остров. Тогда Пифия вновь объявила волю
богов: новый жертвенник должен быть в два
раза больше прежнего и иметь форму куба.
Мастера увеличили вдвое все стороны старого
жертвенника, но боги всё равно разгневались:
в Делос пришла чума. Оказалось, если увеличить
все стороны куба вдвое, то объём его станет
больше не в два, а в восемь раз. Если ста-
рый жертвенник имел длину стороны а, то его
объём был равен а3. Каждая сторона нового

жертвенника увеличилась в два раза, то есть
стала 2а, а его объем составил (2 а)'=8 а3.

• Л.И» • -ч
*“	-» .,|'й	-р* Л.'|

""Г' *

Расстроенные, жители острова
обратились за помощью к знамени-
тому Гиппократу. Он объяснил им,
как рассчитать сторону нового жерт-
венника, чтобы его объём был ровно
в два раза больше старого. Обра-
довавшись, жители построили новый
куб, но боги вновь наслали на них
несчастья. И Пифия сообщила новое
желание богов: сторона жертвенни-
ка должна быть построена только
с помощью линейки и циркуля.

Делосской проблемой занимался
Леонардо да Винчи.
В конечном счёте воля богов так и не была
исполнена. Задачу решили только в XIX веке.
Оказалось, что с помощью линейки и цирку-
ля невозможно построить сторону куба, объём
которого в два раза больше заданного куба.
А доказал это французский математик Пьер
Ванцель (1814-1848) в 1837 году.

ШОФЁРСКАЯ ЛОГИКА

Молодой водитель автобуса спрашивает
старшего коллегу:

- Если из восьми вычесть десять
и прибавить два, то получится ноль.
Бессмыслица какая-то! Разве так мо-
жет быть?

Пожилой водитель объясняет:

- Да запросто! Представь, что у тебя
в салоне едут восемь пассажиров.
На первой остановке десять человек
выходят. Значит, на следующей оста-
новке должно зайти ещё двое, чтобы
автобус опустел. Что тут непонятного?
КВАДРАТУРА КРУГА

Ещё одна вековая математическая головолом-
ка - проблема квадратуры круга. Её фор-
мулировка звучит очень просто: с помощью
линейки и циркуля нужно построить квадрат,
площадь которого равна площади заданного
круга.

Неизвестно, кто и как придумал эту задачу,
ведь произошло это в незапамятные времена.
Может, человек просто заметил пару плоских
фигур и понял, что одну можно
построить циркулем, а для другой
нужна линейка, и захотел понять, как
построить квадрат с той же площа-
дью, что и круг. Математики разных
стран на протяжении многих веков
бились над решением, но никому
не удалось дать ответ, удовлетво-

ряющий условию: задача должна быть решена
исключительно с помощью линейки и циркуля.

Поскольку площадь квадрата Р = а2, а пло-
щадь круга Р = Р2п, из условия равенства
площадей следует, что а2 = Р2тг. А число л
не может быть выражено с помощью арифме-
тических операций, это было доказано в кон-
це XIX века. Что уж там говорить о линейке
Сегодня мы знаем, что построить квадрат,
площадь которого была бы равна площади
заданного круга, можно, однако это доказа-
тельство выходит за рамки чистой геометрии.
Решение выглядело бы как на рисунке с пре-
дыдущей страницы (радиус для простоты ра-
вен 1).

Так что, если сталкиваешься с чем-то не-
разрешимым, смело можешь говорить, что это
какая-то квадратура круга.

САМЫЙ ДРЕВНИЙ
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Магический квадрат - это квадрат, разделённый

на п * п меньших квадратов, но магическим его
делает то, что сумма чисел в каждом столбце,
каждой строке и по обеим основным диаго-
налям всегда одинакова. Считается, что пер-
вые магические квадраты появились в Древнем
Китае за 2000 лет до нашей эры.

Один из старейших магических квадратов,
под названием Ло Шу, упоминается в леген-
де о людях, которые пытались принести дары
божеству реки Ло. Каждый раз, когда люди
приносили дары, появлялась черепаха и про-
ползала мимо этих даров. Это повторялось

до тех пор, пока люди не заметили странные

знаки на её панцире. Это был
магический квадрат. Жрецы вы-
числили его сумму и истолковали
её. По их словам, речное боже-
ство желало, чтобы ему принесли
ровно столько даров, сколько за-
писано на спине черепахи.
Цифры на панцире были нане-
сены в виде белых и чёрных кру-
жочков. Этот магический квадрат
широко использовался в магических
обрядах. В концепции ин-янь нечёт-
ные числа этого квадрата представ-
лены белыми кружками, поскольку
ян - это символ рая, а чётные
числа обозначены чёрными кружка-
ми, поскольку инь - символ земли.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Очень интересный магический квадрат изобра-
жён на медной гравюре «Меланхолия» немец-
кого художника Альбрехта Дюрера (1471-1528).
Это магический квадрат 4 х 4, в котором рас-
положены числа от 1 до 16, а суммы по стро-
кам. столбцам и диагоналям составляют 34.
Но у Дюрера квадрат не просто магиче-
ский, он супермагический! Число 34 также
дают следующие суммы:

•	четыре числа по углам квадрата:

16 + 13 + 4 + 1 = 34

•	числа из середин первого и последнего ряда:
3 <- 2 + 15 + 14 = 34
•	числа из середин первого и последнего
столбца:

5 + 9 + 8 +12 = 34

•	суммы чисел в каждом из четырёх меньших
угловых квадратов:

16 + 3 + 5 + 10 = 34; 9 + 6 + 4 + 15 = 34

7 + 12 + 14 + 1 = 34; 2 + 13 + 11 + 8 = 34

•	сумма чисел в центральном квадрате:
10 + 6 + 7 + 11 = 34.

Любопытная особенность этого магического
квадрата заключается в том, что Дюрер сумел
внести в два соседних поля на четвёртой
строке числа 15 и 14, что в совокупности даёт
год создания этой гравюры - 1514. В том же
году умерла мать художника, отсюда и общий
печальный мотив.

АНТИМАГИЧЕСКИИ КВАДРАТ

Девять полей квадрата нужно заполнить
цифрами от 1 до 9 так, чтобы все сум-
мы - по горизонтали, вертикали и двум
диагоналям - были разными.

Решение приведено на рисунке.

1	5	3
2		6
4	8	9
и

Ю@Р@[ёЖ

Материалы

О корова

О небольшие

О лодка

весы

Что делаем

На острове живёт фермер, который занима-
ется разведением коров. Одну корову он ре-
шил продать, вот только сколько она стоит?
Понять это можно, только взвесив животное,
а у фермера есть лишь весы для небольших
предметов и лодка, в которую помещается ко-
рова. Как фермеру взвесить корову?
Объяснение

Фермеру нужно завести корову в лодку и от-
метить уровень, на который лодка погрузи-
лась в воду. Затем вывести корову на берег,
а лодку наполнять камнями до тех пор, пока
она не погрузится в воду до отмеченного
уровня. Наконец, ему нужно взвесить каждый
камень и сложить полученные цифры. Общая
масса камней будет равна массе коровы.

КРУПНЫЕ ИЛИ МЕЛКИЕ?

Какие мандарины выгоднее покупать, крупные
или мелкие?

Объяснение

Лучше покупать крупные, ведь у них мень-
ше несъедобной кожуры. С увеличением ра-
диуса мандарина уменьшается соотношение его
поверхности к объёму. Другими словами, чем
крупнее мандарин, тем меньше у него кожуры
и больше съедобной мякоти.

С/  56	Я беру только без косточек!  И только сладкие!
а©

Материалы

О круглый остров о верёвка длиной 50 м

О два дерева	О мозг

Что делаем

На рисунке изображено круглое
озеро диаметром 50 м В середине
озера находится остров, на остро-
ве растёт дерево. На берегу озера

есть ещё одно
чет попасть на
плавать. В его
длиной, равной

дерево. Человек хо-
остров, но не умеет
распоряжении только верёвка

диаметру озера

человеку
верёвки?

добраться до острова с

50 м. Как
помощью

Объяснение

Человеку нужно привязать верёвку к дереву
на берегу и двигаться вокруг озера, держа ве-
рёвку в поднятой руке_ Когда он обойдёт озеро
и снова окажется у дерева на берегу, верёв-
ка обмотается вокруг дерева на острове. Ему
останется только привязать к дереву свободный
конец веревки и перелезть по ней на остров.
КРУГЛАЯ ИЛИ КВАДРАТНАЯ
КРЫШКА?

На мостовых любого города можно увидеть
круглые крышки люков. Почему их делают
именно круглыми, а не квадратными?

Решение. Квадратная крышка при откры-
вании люка легко может упасть в отверстие
по диагонали, потому что диагональ квадрата
длиннее его стороны. Круглые крышки не мо-
гут провалиться в люк, потому что их диа-
метр больше диаметра отверстия. Дело в том,
что крышка обязательно должна опираться
на кольцо люка, и поэтому она в любом слу-
чае шире отверстия, которое закрывает.

МАГИЯ ЧИСЛА ТС

Самая знаменитая математическая константа
не перестает интриговать математиков. Ее мож-
но увидеть во множестве математических фор-
мул, а обозначается она греческой буквой тг
(произносится как «пи»). Чтобы получить чис-
ло тг, нужно длину окружности любого круга
разделить на длину диаметра

Иначе эта величина называется константой
Архимеда, или числом Лудольфа, а её обо-
значение, тг - это первая буква греческих
слов «окружность» (тгЕрирЕрЕюс) и «периметр»
(тгЕрфЕтрос;). Символ тг предложил использовать
Уильям Джонс в XVIII веке. Величина тг не-
много больше 3, и чаще используют её при-
близительное значение: тг^3,14.
Люди веками пытались вычислить все деся-

тичные знаки числа я и точно записать его.
но это невозможно, потому что и имеет бес-
конечно много десятичных знаков и представ-
ляет собой так называемое иррациональное
число. Компьютеры позволяют находить боль-
шое количество знаков после запятой. Напри-
мер, число л, вычисленное до 64 десятичных
знаков, выглядит так:

я^З,1415926535897932384626433832795028841
971693993751058209749445923...

В докомпьютерную эпоху многие математики
старались найти как можно больше десятичных
знаков числа я. Самый известный среди них -
голландский математик Людольф ван Цеилен
(1540-1610), в честь которого это число назы-
вается людольфским. Голландцу удалось вычис-
лить 35 знаков после запятой.

И в наши дни люди одержимы
Существуют даже соревнования по
нию его десятичных знаков. В Кни-
ге рекордов Гиннесса зафиксиро-
вано, что индиец Раджвир Мина
за 9 часов и 27 минут смог про-
диктовать 70 000 цифр числа я.
Существует и неофициальный ре-
корд японского инженера Акиры
Харагути, который произнёс по па-
мяти 100 000 цифр. Для диктовки
ему потребовалось 16 часов.

числом я.
запомина-

1ТЭО|,ГЙ|»СКТ1(м
АБСОЛЮТНО БЕЗУМНЫЙ СПОСОБ

Один из самых необычных способов получе-
ния приближённого значения числа тт состоит
в бросании иглы на плоскость с начерченны-
ми на ней параллельными и равноудаленны-
ми прямыми. Нужно произвольно бросать иглу
с одной и той же высоты много раз и фик-
сировать, сколько раз она упадёт, пересекая
одну из линий.

Формула, по которой вычисляется п, выгля-
дит так:

2 х Iх п
п =----зг-.

т х а

где: I - длина иглы, с! - расстояние между
параллельными прямыми, и - количество брос-
ков иглы, гл - количество пересечений парал-
лельных прямых.
Если бы длина иглы была ровно в два

раза меньше расстояния между параллельными
линиями, то число тг вычислялось бы по фор-

муле:

и =

количество бросков
количество пересечений

Итальянский математик Марио Лаццари-
ни в 1901 году, бросая иглу, получил число
3,14159292, которое совпало с п до шестого
знака после запятой. Его игла была длиной
2,5 см, а расстояние между параллельными
линиями составляло 3 см. Иглу он бросал
3408 раз, и 1808 раз она пересекала одну
из прямых.

ПРОБЛЕМА

Йовица дел®еТ6 ^Мпетаре оХри^ телевизор,
матине, а ее брат иетар

с °яной

задачей

- Лука на день рождения купил
7 питоов выпили его
тров сока.	пука с родителями.

3 литра выпил Лука с Р д	а

КО сока осталось, если

17 ли-
друзья.
Сколь-
выпила

бокомысленно спрашивает:

- Как, ты говоришь, зовут

а затем глу-
этого парня?

Лука?
всемирный день числа л

О том, насколько это число важно для че-
ловечества, говорит тот факт, что 14 марта
2009 года объявлено в США днём числа л.
Эта дата была выбрана, потому что она соот-
ветствует числу 3.14,

Дело в том, что американцы записывают
даты, указывая сначала месяц, а затем число.
Таким образом, 14 марта записывается как 3/14
(месяц/день). Интересно и то, что эта дата
связана с именами двух великих физиков: Аль-
берт Эйнштейн родился 14 марта 1879 года,
а Стивен Хокинг умер 14 марта 2018 года.

«Праздник» л отмечают во всем мире.
В этот день в разных странах не только
вспоминают о числе л, но и всеми способами

популяризируют математику среди самого ши-
рокого круга людей. В некоторых школах уче-
ники соревнуются в том, кто запомнит больше
цифр этого числа после запятой.
МАТЕМАТИКАМ НЕ ДАЮТ
НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ

Шведский химик Альфред Нобель (1833-1896),
изобретатель динамита, завещал большую часть
своего состояния на присуждение ежегодных
наград за значимые вклады в развитие науки
и культуры.

Впрочем, математики учредили награ-
ду, сопоставимую с Нобелевской, - Филд-
совскую премию. Впервые она была выдана
в 1936 году. Филдсовская премия присуждает-
ся раз в четыре года на Международном ма-
тематическом конгрессе двум, трём или четы-
рём математикам моложе 40 лет Официальное
название этой награды - Международная
медаль за выдающиеся математические
достижения.

Филдсовская медаль изготовле-
на из золота, и на ней изображен
один из величайших математиков
всех времен - Архимед. На лице-
вой стороне медали выбита цитата
Архимеда на латыни: «Поднимись над собой
и пойми мир», а на обороте тоже на латыни
написано- «Математикам всего мира воздаёт-
ся должное за выдающуюся работу». Среди
шестидесяти четырёх филдсовских лауреатов
всего две женщины: Мариам Мирзахани (2014)
и Марина Вязовская (2022).

Ещё одна важная математическая пре-
мия - Абелевская. Эту награду с 2003 года
выдает Норвежская академия наук в качестве
международной награды за выдающийся вклад
в развитие математической науки.
ПОЧЕМУ НЕЛЬЗЯ ГОВОРИТЬ
«БОЛЬШАЯ ЦИФРА»

Нередко можно услышать, кан люди, которые
хотят сказать о большом количестве чего-либо,
говорят: «Это очень большая цифра». На самом
деле так говорить нельзя. Скажем, на Земле

проживает примерно восемь миллионов человек.
Кто-то скажет: «8 000 000 - это небольшая
цифра». Неверно! Это число состоит из семи
цифр. Цифра - это не число. Число - это
количество чего-либо, цифра - всего лишь
обозначение для числа.

В нашей десятичной системе счисления
число пять, например, мы записываем цифрой
5. Но древние римляне записывали его ци-
фрой V. Древние славяне, которые использова-
ли буквы в качестве цифр, число пять писали
в виде буквы Е, а сверху ставили знак ~ (тит-
ло). Получается, одно и то же число можно
записать разными цифрами или символами.

ПОЧЕМУ НЕЛЬЗЯ ГОВОРИТЬ
«АРАБСКИЕ ЦИФРЫ»
И «РИМСКИЕ ЧИСЛА»

Многие люди привыкли использовать выраже-
ния «арабские цифры» и «римские числа». Пра-
вильнее было бы говорить «индииско-арабские
цифры» и «римские цифры». Нашу десятичную
систему счисления придумали индийцы. Ара-
бы познакомились с ней не раньше VII века.
Их заслуга состоит в том, что они переняли
индийскую систему и в Х1-ХП поделились ей
с европейцами. Получается, индийцев вычеркну-
ли из истории, и чтобы справедливость востор-
жествовала. нужно говорить «индийско-арабская
система счисления», «индииско-арабские цифры».

Кроме того, поскольку числом обозначается
только количество чего-либо, то число не мо-
жет быть ни римским, ни арабским. Вместо
«римские числа» следует говорить: «римские
цифры».

ЛЮБЛЮ — НЕ ЛЮБЛЮ

-	Петар, а у тебя есть нелюбимый школь-
ный предмет?

-	Конечно, есть, даже два. Или три, томно
не знаю...

-	И какие же?

-	Математика.

ЧИСЛО 2520

2520 — наименьшее число, которое при
делении на любое число от 1 до 10 даёт
целое число.
Диофант (III век)

О том, сколько и как жил греческий математик
Диофант, путник мог узнать из надписи на над-
гробии. Эта надпись была сформулирована как
математическая задача. Вот как она звучала:

«О путник, здесь покоится прах Диофанта.
Цифры скажут тебе, сколько и как он жил
Одну шестую часть жизни он прожил в без-
заботном детстве: половину шестой части он
провёл юношей с едва пробивающейся боро-
дой: седьмую часть жизни провел он в браке
без детей; ещё через пять лет у него родил-
ся прекрасный первенец, которому злая судь-
ба дала только половину земной жизни отца;
и в глубокой печали старик умер через четы-
ре года после смерти сына».

Если обозначить знаком х количество лет,
прожитых Диофантом, мы можем многое узнать
о вехах его жизни. Согласно условию задачи:
Решив это уравнение, мы выясним, что
х = 84. Получается, Диофант прожил 84 года.
Женился он в 21 год, стал отцом в 38 лет,
а потерял сорокадвухлетнего сына, когда ему
было 80 лет.

Архимед (287-212 гг. до н. э.)

Архимед, великий математик античности, заве-
щал, чтобы на его надгробном памятнике был
изображён цилиндр с вписанным в него кону-
сом и сферой. Через несколько веков Цицерон,
находясь на Сицилии, нашёл могилу Архимеда
в Сиракузах. Об этом событии Цицерон писал:
«Во время пребывания в Сицилии я с лю-
бопытством расспрашивал о могиле Архимеда
в Сиракузах... Мне удалось её найти благода-
ря изображению шара, вписанного в цилиндр.
Выйдя из сиракузских ворот, я оказался

Архимед, картина Доменико
Фетти. 1620
на пустыре с многочисленными заброшенными
могилами. Внимательно осмотрев их, я вдруг
заметил небольшой памятник, вершина кото-
рого возвышалась из бурьяна. На нём я рас-
смотрел фигуру шара, вписанного в цилиндр.
Я сразу сказал представителям властей Сира-
куз, которые меня сопровождали, что перед
нами, без сомнения, могила Архимеда. И дей-
ствительно, как только вокруг памятника были
скошены сорняки, мы увидели надпись у его
подножия».

Сегодня мы не знаем, где находится могила
Архимеда и существует ли она вообще.

Якоб Бернулли (1654-1 705)

Швейцарский математик Якоб Бернулли был
очарован логарифмической спиралью. Ее уди-
вительные свойства так восхищали учёного, что
он назвал её зр!га т1гаЬЮз (удивительная спи-
раль). Вот что Бернулли писал о ней.

«Всегда рождается сама из себя и сама
себе подобна, всегда одна и та же, если мы
её скручиваем или раскручиваем, отражаем или
делим; ее можно считать символом силы, на-
стойчивости и неизменности, а также символом
человеческого тела, которое после всех сво-
их изменений, даже после смерти, воскресает
в своем истинном и совершенном облике».

Неудивительно, что Бернулли завещал, что-
бы эта спираль с надписью Еадет
ти1а1а гезигдо (Изменяясь, я вновь
воскресаю) была изображена на его
надгробии.
Людольф ван Цейлен (1540-1610)

На надгробном памятнике этого голландского
математика в церкви Святого Петра в городе
Лейдене выбиты 35 десятичных знаков числа
п. Этому вычислению Людольф ван Цейлен
посвятил треть своей жизни. Памятник со вре-
менем был утрачен. Жители Лейдена 5 июля
2000 года торжественно установили новый па-
мятник, копию предыдущего.

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Карл Фридрих Гаусс в 1796 году сумел по-
строить правильный многоугольник с 17 сто-
ронами. Воодушевлённый этим открытием, он
выразил желание, чтобы такой семнадцати-
угольник выгравировали на его надгробии.
Желание Гаусса не осуществилось: каменотёс
заявил, что получилась бы фигура, которая
не отличается от круга. Однако на памятни-
ке Гауссу в Брауншвейге этот многоугольник
все же выгравирован.

Карл Фридрих Гаусс, картина
Кристиана Альбрехта Йенсена.
1840
мжгашит ®

вдмт та»

В «Кодексе Феодосия», первом собрании
законов Римской империи, сказано: Ыето
Кагизрюет сопзи1а1 аи! таИзетаИсит, пето
Ьагю1ит (Никто да не ищет совета у матема-
тика и гадателя).

В 529 году императорским указом была за-
крыта последняя школа в Афинах под предло-
гом запрета «многобожного обучения».

«Кодекс Юстиниана» (около 483-565 гг.).
изданный в августе того же 529 года, содер-
жит, среди прочего, закон под заголовком:
□е та1е-Г!с'нз, та11тета1|С13 е! сае^епз 31тМЬиз
(О злодеях, математиках и им подобных).
В нем есть параграф Агз аи^ет та^Ьета^са
датпаЫОз 1п1егсИс1а ез! отпито (Полностью
запрещается математическое искусство, достой-
ное осуждения).
В’ЛИЯНИЕ

ЕЗДИ

СТ

мико

©ДОТЕ





©ШйОТ

Р

Многие математические понятия и теории воз-
никали и развивались в том числе под влия-
нием религии: «бесконечность», «иррациональное
число», «число как абстракция», «бесконечные
порядковые числа», «вероятность» и т. д.

Нуль

Древние греки, хоть им и принадлежит нема-
ло великих математических открытий, не при-
нимали идею нуля по религиозным и философ-
ским причинам, ведь нуль - это ничто, то есть
небытие. Они верили, что абсолютной пустоты
нет, божества позаботились об этом, и не су-
ществует чего-либо, что являлось бы ничем.

В отличие от античного взгляда на мир,
в Древней Индии всё обстояло иначе. Это-
му способствовало религиозное учение Во-
стока, индуизм. В его основе лежит дуализм.
Бог Шива одновременно и создатель, и раз-
рушитель мира. Он представляет собой ничто,
пустоту. Следовательно, индусы были
хорошо знакомы с понятием «ничто»,
и именно они ввели в математику
цифру О.
Комбинаторные идеи

Комбинаторика уходит корнями в античный
и средневековый мистицизм. Так, например,
слову АБРАКАДАБРА люди приписывали чудес-
ные свойства. В Европе считалось, что этим
словом можно лечить болезни. Комбинаторная
составляющая заключалась в способе написа-
ния и чтения этого слова. Древнеримский врач
Серен Саммоник утверждал, что его нужно
писать в форме треугольника и носить как
амулет от трёхдневной лихорадки:

Абракадабра
Абракадабр
Абракадаб
Абракада
Абракад
Абрака
Абрак
Абра
Абр
Аб

Читать это слово следовало, начиная с каж-
дой заглавной буквы А в каждой строке до
последней а в правом верхнем углу, двигаясь
в горизонтальном направлении и наискосок
вправо вверх. Так его можно было прочесть
1024 способами (210). Это число могло быть
и больше, если бы допускались другие воз-
можные способы чтения.

Иногда такое чтение помогало, ведь пока
больной перебирал все возможные способы,
трёхдневная лихорадка проходила сама. Если
же она длилась дольше трёх дней, врач всегда
мог утверждать, что пациент где-то ошибся.
Земля круглая, потому
что это центр мира

Древние греки считали Землю круглой, ис-
ходя из представлений о совершенстве круга
и сферы. Для них Земля была центром мира,
как и для христиан на протяжении долгих ве-
ков до открытий Коперника (1473-1543), Кеплера
(1571-1630) и Галилея (1564-1642). Греки считали,
что Земля совершенна, а значит, имеет форму
шара. Кроме того, к идее шарообразности Земли
древние греки приходили, наблюдая за кораб-
лями, появляющимися из-за горизонта: сначала
виднеется верх мачты, а затем становится виден
и весь корабль. Если бы Земля была плоской,
такой эффект был бы невозможен.

Подтверждение тому, что Земля имеет сфе-
рическую форму, дал греческий математик Эра-
тосфен (275-194 гг. до н. э.). Он заметил, что
тени двух одинаковых палок, воткнутых в землю
в Асуане и Александрии, разной длины. Так как
солнце находится далеко от нашей планеты, его
лучи падают на неё под одним и тем же уг-
лом. Если бы Земля была плоской, длины теней
были бы одинаковыми в любой точке мира.
Гипотеза Эратосфена о сферической фор-
ме нашей планеты укрепила древних греков
в мысли о том, что Земля совершенна, как
сфера. Такое совершенство могло появиться
только по воле божеств.

ДОСЧИТАТЬ ДО МИЛЛИАРДА
Если ты попробуешь считать до^миллиарда,
ежесекундно произнося по одному
тебе понадобится на это 31 Д

251 день.

ЖИТЕЙСКАЯ МУДРОСТЬ

Люди ошибаются, когда говорят, что
математика им ни к чему. Так, раз-
ворот на 180 градусов - это да-
леко не то же самое, что на 360.
о чём понятия не имеют некоторые
политики...

ЧАСТЬ ЗА ЧАСТЬЮ

- Петар, если кусок мяса разрезать на две
части, что получится?

- Половинки.

- Правильно. А если и их разрежем попо-
лам, что получим?

- Четвертинки.

- Верно. А если и их пополам?

- Шестнадцатые части.

- Молодец. А что мы получим, если и их
разрежем пополам?

- А это уже будет фарш!
САНГАКУ

С начала XVII и до второй половины XIX века
Япония жила изолированно от остального
мира. Чтобы обмениваться знаниями, японские
математики записывали свои открытия и зада-
чи на деревянных табличках. В основном это
были геометрические задачи с цветными ри-
сунками. Таблички вешали под крышами хра-
мов и святилищ. Большинство задач сопро-
вождались картинками с кругами, вписанными
в квадраты, треугольники и т. д. Эти задачи
можно было комментировать, исправлять и ре-
шать. Сайгаку не имели отношения к религии,
просто в храмах было много людей, которые
могли их видеть.

До сегодняшнего дня сохранилось большое
количество таких табличек. Помимо значения
для математической науки, они имеют высокую
художественную ценность.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Отрезок АВ мы можем разделить на беско-
нечное множество неравных частей, но только
одна точка М делит этот отрезок по золотому
сечению, или божественной пропорции.

Точка М будет делить отрезок АВ по золо-
тому сечению, если большая часть относится
к меньшей, как весь отрезок к большей части.
Это можно записать таким образом:
а

— =1,6180339887...

Константа <р представляет собой золотое
сечение и всегда равна 1.6180339887...

Золотое сечение встречается повсюду: в поэ-
зии, музыке, морфологии растений и животных,
анатомии человека, психологии, генетике, мате-
матике... Отсюда и название - «божественная
пропорция». Человек строит, изобретает и рису-
ет в соответствии с чувством прекрасного. Всё,
что наиболее привлекательно и гармонично,
скрывает в себе идеальные пропорции, то есть
соответствует золотому сечению. Предложите
человеку на выбор несколько предметов, и он
наверняка скажет, что самый красивый - имен-
но тот, который построен по золотому сечению.

Немецкий философ, физик и эксперимен-
тальный психолог Густав Теодор Фехнер (1801-
1887) показывал участникам эксперимента десять
различных объектов в форме прямоугольника
разной длины и ширины и просил выбрать
«самый красивый». Прямоугольник, выбранный
в качестве «самого красивого» большим ко-
личеством участников, имел размеры (34: 21).
Из всех предложенных прямоугольников
это соотношение ближе всего к золо-
тому сечению ср.

Чтобы придать гармонию и эстетиче-
скую завершённость Моне Лизе и дру-
гим своим картинам. Леонардо да Вин-
чи использовал золотое сечение при
построении композиций своих работ.

*/'

А золото?
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ПРОПОРЦИИ
ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ТЕЛА

Золотое сечение иногда называют божествен-
ной пропорцией, ведь его соотношения можно
увидеть в человеческом лице. Чем ближе про-
порции человека к золотому сечению, тем он
выглядит привлекательнее. Лицо девушки на ри-
сунке ниже создано с учётом этих пропорций.

Пропорции частей тела человека тоже близки
к золотому сечению. Его можно увидеть в со-
отношениях суставов пальцев, ладони и длины
пальца, предплечья и кисти. Золотому сечению
соответствуют также отношения длины туловища
к голове, длины ног к длине туловища и так
далее.
ВИТРУВИАНСКИИ ЧЕЛОВЕК

О пропорциях человеческого тела подробно
писал римский писатель, архитектор и инженер
Марк Витрувий Поллион (I век до н. э.), автор
знаменитого архитектурного трактата «Десять
книг об архитектуре». Эту работу Витрувия,
в которой он подробно описывал пропорции
человеческого тела, высоко ценил видней-
ший итальянский деятель эпохи Возрождения,
изобретатель, инженер, скульптор и художник
Леонардо да Винчи (1452-1519).

Его рисунок «Витрувианский человек» (око-
ло 1490 г.) изображает фигуру обнажённого
мужчины в двух положениях: с соединенными
и расставленными ногами и разведенными ру-
ками. Тело человека вписано в круг и квадрат.

Опираясь на выводы и предположения Ви-
трувия, Леонардо да Винчи описал идеальные
пропорции человеческого тела.

• Ладонь должна быть равна ширине 4 пальцев.
• Стопа должна быть равна ширине 4 ладоней.
• Расстояние между подбородком и макушкой
должно составлять 1/8 роста человека.

•	Длина кисти должна составлять 1/10 роста
человека.

•	Длина уха должна составлять 1/3 длины лица.

•	Рост человека должен быть равен 4 его
шагам, или 24 ладоням.

•	Размах рук человека должен быть равен его
росту.

•	Расстояние между линией волос на лбу
и нижней частью подбородка должно со-
ставлять 1/10 роста человека.
•	Максимальная ширина плеч не должна пре-
вышать 1/4 роста человека.

•	Расстояние между серединой груди и макуш-
кой должно равняться 1/4 роста человека.

•	Расстояние от локтя до кончиков пальцев
должно соответствовать 1/4 роста человека.

•	Расстояние от локтя до подмышки должно
составлять 1/8 роста человека.

•	Расстояние между нижней частью подбород-
ка и носом должно быть равно 1/3 высоты
головы.

•	Расстояние между линией волос на лбу
и бровями должно равняться 1/3 длины лица.

•	Длина стопы человека должна составлять
1/6 его роста.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫВОДЫ

Все люди в мире делятся на три
типа: те, кто умеют считать, и те,
кто не умеют.

Это очевидно, но тот факт, что это
очевидно, не так уж и очевиден.

У параллельных линий так мно-
го общего... жаль, что они никогда
не встретятся.

Почему растения не любят математи-
ку? Боятся, что кто-нибудь извлечёт
их корень.

Какая самая тёплая часть комнаты?
Угол, ведь там всегда 90 градусов.
«БОЖЕСТВЕННАЯ ФОРМУЛА»
НА РЕНТГЕНОВСКОМ СНИМКЕ

На рентгеновском снимке руки раненого охот-
ника можно увидеть пример золотого сечения.
Этот снимок был сделан в 1896 году серб-
ско-американским физиком Михаилом Пупиным.
Об этом снимке Пупин говорит в своей кни-
ге «От пастуха до учёного». В частности, он
пишет, что немецкий физик Вильгельм Рентген
опубликовал свою работу об открытии рент-
геновских лучей 28 декабря 1895 года. Через
две недели после этой публикации Михаил
Пупин получил свой первый рентгеновский
снимок. Знаменитый нью-йоркский хирург от-
правил к нему пациента с выстрелом в левую
руку - в ней находилось около ста дробинок!
За несколько секунд Пупин сделал снимок ра-
неной руки. Далее он пишет:

Рентгеновский снимок,
сделанный Пупиным
«На фотографической пластине показалось
множество свинцовых шариков, как будто
кто-то нарисовал их карандашом или черни-
лами. Доктор провёл операцию и извлёк все
дробинки до одной... Это была первая хирур-
гическая операция, проведённая в Америке
на основе рентгеновского снимка».

Рассмотри внимательно этот знаменитый
снимок. Если не обращать внимание на дро-
бинки, ты сумеешь увидеть соотношения раз-
меров косточек, дающих «золотое» число:

АВ + ВС _ АВ _ ВС + СЭ _ СО + ЭЕ , ,, о
АВ ВС = ВС = СО 'ф = 1'618

ОТ КРОЛИКОВ ДО ЧИСЕЛ
ФИБОНАЧЧИ

а) каждая

Прославленный математик средне-
вековья. Леонардо Пизанский (1180-
1240), известный как Фибоначчи
(сын Боначчо), в книге под назва-
нием «Книга счёта» формулирует
такую задачу: «Сколько пар кро-
ликов можно получить в течение
одного года от одной пары, если,
пара каждый месяц рождает новую

пару, которая уже со второго месяца способ-
на к размножению; б) кролики не умирают».

При решении этой задачи получается по-

следовательность чисел: в первый месяц -

одна пара кроликов, во второй месяц - та же

самая пара, в третий месяц рождается ещё
пара, в четвёртый - три пары, в пятый -
пять, в шестой - восемь и т. д.
Таким образом, получается последователь-
ность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Французский математик Эдуард Люка (1842-
1891) назвал эту последовательность «числами
Фибоначчи». В этой последовательности, начи-
ная с чисел 1 и 1, каждое следующее число
равно сумме двух предыдущих.

ПОДСОЛНУХ И МАТЕМАТИКА

Если внимательно рассмотреть цветок под-
солнуха, можно заметить, что семена в нём
расположены по спиральным линиям. Одни
спирали закручиваются по часовой стрелке,
другие - против. Если мы посчитаем сначала
те спирали, которые идут по часовой стрел-
ке, а затем те, что против, мы получим два
числа. Оба они принадлежат к последователь-
ности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55...) и соседствуют в этой последовательно-
сти. Например, это могут быть 34 и 55 или
любые два из последовательности Фибоначчи.

Если мы рассмотрим ананас или еловую
шишку, мы также обнаружим спирали, распо-
ложенные в двух направлениях, и опять-таки
их количество будет соответствовать последо-
вательности Фибоначчи.
ПЧЕЛИНАЯ МАТЕМАТИКА

Пчёлы в ульях строят из воска соты, которые
представляют собой ряды шестиугольных (гекса-
гональных) ячеек. В этих сотах хранится мёд

и развиваются личинки пчёл Каждая
сота в улье имеет форму правильной
шестиугольной призмы. Но как пчелам
удаётся без циркуля и линейки, в пол-
ной темноте, строить идеально правиль-
ные ячейки в форме шестиугольника,
с минимальным количеством воска?
И при этом максимально использовать
весь объём, без малейших зазоров?

Почему пчёлы используют имен-
но правильные шестиугольники? По-
тому что если заполнять ровную
поверхность, например, правильны-
ми пятиугольниками или правильными
восьмиугольниками, то между ними
будет оставаться пустое пространство,
и расход строительного материала
станет выше. Без пустот можно за-
полнить пространство только квадра-
тами, равносторонними треугольниками
и правильными шестиугольниками. Од-
нако в случае треугольников или ква-
дратов общий периметр сот был бы
больше, а это потребовало бы больше
воска на единицу площади, чем для
строительства ячеек в форме шести-
угольников.

Принципы пчелиного строительства
учёные применяют для создания проч-
ных конструкций, пространство в ко- _
торых расходуется оптимальным обра-
зом. Например, авиаконструкторы
используют панели, сделанные по образцу пче-
линых сот, для строительства самолётов. Они
прочнее и легче панелей из цельного металла,
а следовательно, и экономичнее в плане рас-
хода топлива.

АХИЛЛ И ЧЕРЕПАХА

Греческого философа Зенона (около 490 г.
до н. э. - 430 г. до н. э.) чрезвычайно за-
нимал вопрос бесконечности. Ему принадлежит
парадокс, который называется «Ахилл и чере-
паха».

Если черепаха находится немного впереди
быстроногого Ахилла, он никогда не сможет
её догнать, утверждает Зенон. Пусть даже
Ахилл дает 100 метров форы черепахе и бе-
жит в 10 раз быстрее её.

По рассуждению Зенона, когда Ахилл про-
бегает 100 метров, он оказывается в точке,
в которой черепаха находилась в начале гонки.
Следовательно, она пройдёт десятую часть пути
Ахилла и будет на 10 метров впереди него.
Ахилл пробегает и эти 10 метров, но тем вре-
менем черепаха проползает десятую часть это-
го пути и всё ещё впереди Ахилла на 1 метр.
Чтобы догнать черепаху, Ахилл пробегает этот
метр, а она тем временем проползает десятую
часть этого расстояния. Она будет впереди
Ахилла на 10 сантиметров. Ахилл пробегает
и эту десятую часть метра, но черепаха всё
равно впереди, потому что проползает деся-
тую часть от десятой части метра, то есть
1 сантиметр. Как бы Ахилл ни приближался
к черепахе, она все равно будет впереди хоть
на волосок, и так до бесконечности.
Разумеется, Зенону и его современникам
было ясно, что Ахилл догонит и обгонит че-
репаху. Но в чём тогда ошибка, когда с точ-
ки зрения логики всё доказано безупречно?
Сегодня мы легко можем разобраться, в чём
заблуждался Зенон, потому что у нас есть ал-
гебра, но во времена Зенона некоторые мате-
матические истины ещё не были известны.

ЧУДЕСНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Знаменитый древнегреческий математик Евклид
сформулировал следующую аксиому:

Целое больше своей части.

Это верно в привычном нам мире, где всё
имеет свой предел. Но когда мы имеем дело
с бесконечностью, то сталкиваемся с други-
ми истинами. Можем ли мы утверждать, что
всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, ... больше,
чем только четных чисел, которые, по здравом
рассуждении, являются частью множества нату-
ральных чисел?

По нормальной логике, это утверждение
не может быть истинным. Правда в том. что
всех натуральных чисел столько же, сколько
чётных, то есть столько же. сколько нечётных
чисел. Следовательно, чётных и нечетных чи-
сел вместе столько же, сколько чётных. Чтобы
убедиться в этом, расположим числа следую-
щим образом:

1	2 3 4 5 ... М ... бесконечность

2	4 6 8 10 ... 2И ... бесконечность

Как мы можем убедиться, нет ни одного
натурального числа, которое было бы «из-
быточным» по отношению к четным числам,
и для каждого числа М существует число 2М

Теперь перейдём в область геометрии. Рас-
смотрим два отрезка: допустим, длина одного
равна 10 м, а длина другого - 1 м. И здесь
мы тоже имеем дело с бесконечностью (беско-
нечным количеством точек). На каком из этих
двух отрезков точек больше? Как ни странно,
на обоих отрезках количество точек одинако-
вое - ему нет числа.

А вот еще более неожиданное утверждение.
Число точек на отрезке АВ, который находит-
ся на прямой р, равно числу точек на всей
этой прямой.

р-------------1------1--------------

А В

В этом мы можем убедиться так: начертим
круг с центром О на перпендикуляре отрезка
АВ, проведённом из его середины. Относи-
тельно центра окружности каждой точке пря-
мой (р) соответствует точка на отрезке АВ,
и наоборот. Например, точке С на прямой (р)
соответствует точка Сх на отрезке АВ.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА 11

И ЛЮБОГО ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА

Пример 1. Нужно получить результат произ-
ведения 11 х 35. Сначала складываем цифры
множителя (3 + 5 = 8). Полученное число ставим
между цифрами 3 и 5 и получаем результат
произведения: 11 х 35 = 385.

Если при сложении цифр двузначного чис-
ла получается число больше 10, то поступаем
следующим образом.

Пример 2. Нужно получить результат произве-
дения 11 х 68. Сложив 6 и 8, получаем число
14. Добавляем 1 к цифре десятков множителя
(6 +1 = 7). Затем между числом 7 и единицей
множителя (число 8) ставим цифру 4 (единицу
полученной суммы 8 и 6) и получаем резуль-
тат произведения: 11 х 68 = 748.

ЧИСЛОВЫЕ ПАЛИНДРОМЫ

Если слово, число, словосочетание или пред-
ложение читаются одинаково слева направо
и справа налево, то говорят, что это палин-
дром. Слово палиндром происходит от гре-
ческого слова раПпбготоз («возвращающийся,
обратный»). Например: числа 1111, 78 987, слова
«дед», «шалаш», «топот», предложения «А роза
упала на лапу Азора», «Нам сила - талисман»
и т. д.

Первый палиндром был обнаружен исследо-
вателями в античном городе Помпеи, он отно-
сится 1 веку нашей эры. Он написан на ла-
тыни и звучит так: «5а1ог Агеро 1епе! орега
го!аз». Одна из версий перевода: «Сеятель
Арепо управляет плугом».
Числа-палиндромы обладают интересными
математическими свойствами. Существует инте-
ресная гипотеза, связанная с числовыми па-
линдромами. Она гласит: если взять любое на-
туральное число и добавить к нему обратное
число (те же цифры, но в обратном порядке),
а затем продолжить этот процесс с получен-
ной суммой, то через конечное число шагов
мы получим палиндром.

В некоторых случаях это происходит уже
на первом шаге, например: 123 + 321 = 444.
Обычно требуется выполнить несколько опе-
раций, например:

78 + 87 = 165: 165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353; 1353 + 3531 = 4884.

Здесь мы пришли к палиндрому после че-
тырёх шагов. На данный момент эта гипотеза
ещё не опровергнута. С помощью компьюте-
ров в некоторых случаях к палиндрому при-
ходят и после тысячи шагов. Для некоторых
чисел, несмотря на тысячи шагов, палиндром
пока не найден, но это не значит, что его
не существует. Именно поэтому это гипотеза,
а не утверждение!

Ещё одна гипотеза о палиндромах утвер-
ждает, что существует бесконечное множество
простых чисел-палиндромов (которые делятся
только на 1 и на самих себя). Примеры про-
стых палиндромов:

181, 191, 313, 353, 373, 383, 727,

757, 797, 919, 929...

Такие числа всегда имеют нечетное количество
цифр.

Существует интересная задача, связанная
с числами-палиндромами.
Водитель посмотрел на счётчик спидометра
и увидел число 15 951. Легко заметить, что это
число-палиндром. Через два часа на приборе
снова появилось число-палиндром. Сколько ки-
лометров проехал водитель за эти два часа?

Решение. Следующее пятизначное число-палин-
дром - это 16 061. Следовательно, водитель
за два часа проехал 16 061 - 15 951 = 110 км.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО того, что 2=1

а = Ь
а2 = а * Ь
а2 - Ь2 = а х Ь - Ь2
(а - Ь) * (а + Ь) = Ь * (а - Ь)
а + Ь = Ь
Ь + Ь = Ь

2 * Ь = Ь

2 = 1

ЧИСЛО ШАХЕРЕЗАДЫ

Помнишь историю о Шахерезаде, которая, что-
бы спасти свою жизнь, рассказывала жесто-
кому правителю Шахрияру сказки на протяже-
нии 1001 ночи? Если бы не сказочный сюжет,
большинство людей не обращало бы на число
1001 никакого внимания. Однако у этого числа
есть красивые арифметические свойства: оно
равно произведению трёх последовательных
простых чисел, то есть 1001 = 7 х 11 * 13.
Если его умножить на трёхзначное число,
получается результат, состоящий из дважды
написанного трёхзначного числа, например:
1001 х 456 = 456 456.

Эти свойства ты можешь использовать, что-
бы угадать число и удивить друзей. Попроси
кого-нибудь из них задумать и записать лю-
бое трехзначное число. Затем пусть припишет
к этому числу справа то же самое число; по-
лучится шестизначное число. Теперь пусть раз-
делит его на 7, а затем второй твой приятель
разделит полученное число на 11 и, наконец,
третий друг пусть разделит то. что получи-
лось. на 13.

Разумеется, эти результаты ты не видишь
и не знаешь Наконец, скажи приятелю, заду-
мавшему число первым, что результат деления,
который получил третий друг, - это как раз
и есть то самое число, которое было зага-
дано. Перепроверяем, удивляемся.
ЧИСЛО 9

Самое удивительное свойство числа
9 - это то, что на него делится
любое число, сумма цифр которого
делится на 9. Например, возьмём
число 3546, Оно делится на 9, по-
тому что сумма цифр этого числа
3+5+4+6= 18, а это число делит-
ся на 9. Проверяем:

3546 : 9 = 394.

Следующие правила помогут определить,
делится ли число на 9:

а)	Разность между любым числом и сум-
мой его цифр всегда делится на 9. Напри-
мер: 156 234 - (1 + 5 + 6 + 2 + 3 + 4) = 156213. Число
156 213 делится на 9, так как сумма его цифр
(1 + 5 + 6 + 2 + 1 + 3 = 18) делится на 9

б)	Разность двух чисел с одинаковыми ци-
фрами, записанными в разном порядке, делит-
ся на 9. Например, 426 791-172 946 = 253 845.
Это число делится на число 9, так как сумма
его цифр (2 + 5 + 3 + 8 + 4 + 5 = 27) делится на 9.

в)	Сумма двух чисел, составленных из цифр
О, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9 (при этом ни одна
цифра не должна повторяться), делится на 9.
Например: 3 620 + 145 798 = 149 418. Эта сум-
ма делится на 9. так как сумма его цифр
(1 + 4 + 9 + 4 + 1 + 8 = 27), а это число делится
на 9.

г)	Разность двух чисел, чья сумма цифр
одинакова, например 925 - 547 = 378, также де-
лится на 9.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Два натуральных числа тип образуют дру-
жественную пару чисел, если сумма всех соб-
ственных делителей первого числа равна второ-
му числу и наоборот, сумма всех собственных
делителей второго числа равна первому числу.

Наименьшая пара дружественных чисел - это
220 и 284. Она была известна ещё во време-
на античности. Некоторые источники утвержда-
ют, что Пифагор (около 580-500 гг. до н. э.),
на вопрос, кто его друг, ответил: «Тот, кто яв-
ляется моим вторым я, как числа 220 и 284».

Собственные делители числа 220: 1, 2, 4,
5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и ПО, а их сумма
равна 284. Собственные делители числа 284:
1. 2, 4, 71 и 142. Их сумма равна 220.

Следующую пару дружественных чисел,
17 296 и 18 416, независимо друг от друга,
нашли марокканский математик Ибн аль-Банна
аль-Марракуши (1256-1321) и три столетия спу-
стя, в 1638 году, французский математик Пьер
де Ферма (1601-1665).

Сегодня с помощью компьютеров най-
дено более 600 дружественных пар. Напри-
мер, в диапазоне до 100 000 их всего 13:
220 и 284. 1184 и 1210; 2620 и 2924, 5020
и 5564: 6232 и 6368: 10 744 и 10 856; 12 285
и 14 595; 17 296 и 18 416; 63 020 и 76 084;
66 928 и 66 992; 67 095 и 71 145; 69 615
и 87 633; 79 750 и 88 730.
НАРЦИССИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Мир чисел полон тайн и необычных законо-
мерностей. Некоторые числа настолько кра-
сивы, что воспроизводят сами себя. Таково,
например, следующее число из 39 цифр:

115132219018763992565095597973971522401

Если бы каждую цифру этого числа мы воз-
вели в степень 39 и всё это сложили, мы
получили бы то же самое число:

р9 + |39 + 539 + ^39 + 339 +	+ 439 + 039 + 139 _

= 115132219018763992565095597973971522401

Это число принадлежит к классу чисел,
которые называют числами Армстронга, или
нарциссическими (влюблёнными в самих себя).
Нарциссическими в математике называют чис-
ла из п-ного количества цифр, которые равны
сумме п-ных степеней их цифр Таковы, напри-
мер. и следующие трёхзначное, четырёхзначное
и пятизначное числа:

Доказано, что существует ограниченное ко-
личество нарциссических чисел. Максимальное
количество цифр в таком числе - 58.
СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

Особое место среди чисел у пифагорейцев
занимали те, которые они называли «совер-
шенными». Это числа, которые равны сумме
своих делителей. Вот первые четыре совер-
шенных числа, о которых знали пифагорейцы:

6=1+2+3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 +
+ 1016 + 2032 + 4064

Согласно христианству, Бог сотворил мир
за шесть дней Теолог Аврелий Августин (354-
430 гг.) объясняет, почему Богу потребова-
лось именно шесть дней, чтобы создать мир,
хотя, будучи всемогущим, он мог сделать это
мгновенно. По словам Августина, число шесть
не стало совершенным из-за Божьего решения
создать мир за шесть дней, наоборот, Бог со-
здал мир за шесть дней именно из-за совер-
шенства числа шесть самого по себе.

Пифагорейцы открыли и ряд других свойств
совершенных чисел. Например, совершенные
числа всегда представляют собой сумму не-
скольких последовательных целых чисел:

6 = 1 + 2 + 3

28=1+2+3+4+5+6+7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127
ДЕФЕКТНЫЕ ЧИСЛА

Итак, если число равно сумме своих делите-
лей, оно считается совершенным. Тогда воз-
никает вопрос: существуют ли числа, сумма
делителей которых на единицу меньше само-
го числа? Оказывается, да, существуют. Такие
числа называют дефектными. Первым на них
обратил внимание ещё Пифагор.

Например, делители числа 4	— это

1 и 2, а 1 + 2 = 3; делители числа 8 - это 1,
2 и 4, а их сумма равна 7; делители числа
16 - это 1, 2, 4 и 8, их сумма равна 15 и т. д.

Математики нашли немало дефектных чи-
сел. Их занимает вопрос, существуют ли такие
числа, сумма делителей которых на единицу
больше самого числа. Ещё древние греки ис-
кали такие числа, но не нашли их, и дока-
зать, что те не существуют, тоже не смогли
Этот вопрос актуален и по сей день.

Математики до сих пор пытаются найти
такое число или доказать, что его не суще-
ствует.
МАГИЯ ЧИСЛА 481

Возьмём любое двузначное число, удвоим его
и к результату припишем нуль справа. Если
к этому числу добавить выбранное двузнач-
ное число и умножить эту сумму на 481, по-
лучится число, состоящее из цифр, которые
представляют собой повторённое (записанное)
три раза подряд выбранное двузначное число.

Например, возьмём число 18. Умножаем
на 2 - получаем 36. Приписываем к нему
нуль - получаем число 360. Добавляем к нему
18 - получаем 378. Затем 378 х 481 = 181 818.

Или выберем число 23. Проделываем все
те же действия. 23 х 2 = 46. приписываем нуль,
получаем 460. добавляем 23. получаем 483.
И, наконец, 483 х 481 = 232 323.

Объяснение

Выбираем любое двузначное число п. Ко-
гда мы удвоим его и припишем нуль, мы
получаем число 20 * п. Когда мы добавим
к этому числу п, мы получим 21 х и. Далее,
21 х п х 481 = п х ю 101. Когда 10 101 умножается
на любое двузначное число, то получается
число, в котором это двузначное число повто-
ряется три раза.
ПОТРЯСАЮЩИЕ СВОЙСТВА
ЧИСЛА 37

1)	I Ф—Т = 37;	2?2 9 = 37:	3^3 -, = 37:

’ 1 + 1 + 1	2 + 2 + 2	3 + 3 + 3

444___=	555	77 __666_ _77

4 + 4 + 4	' 5 + 5 + 5	; 6 + 6 + 6	'

777	_	888	_ 7	999___

7 + 7 + 7 ’	: 8 + 8 + 8	; 9 + 9 + 9	'

2)	37 х (3 + 7) = З3 + 73.

3)	Если число 37 умножать на числа, деля-
щиеся на 3. мы всегда будем получать трёх-
значное число, у которого все три цифры
одинаковые:

37 х 3 = 111; 37 х 6 = 222; 37 х 9 = 333;

37 х 12 = 444;

37 х 15 = 555; 37 х 18 = 666; 37 х 21 = 777;

37 х 24 = 888; 37 * 27 = 999.

4)	Если мы возьмем любое трехзначное число,
делящееся на 37. и поменяем в нем цифры ме-
стами, то и эти новые трёхзначные числа тоже
будут делиться на 37. Например, число 296 де-
лится на 37. Меняем цифры местами - получа-
ем 629 и 962. Эти числа тоже делятся на 37!

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ГОЛОВОЛОМКА

Оказывается, если оперировать цифрами от 1
до 9, не меняя их порядок, составляя из них
различные числа и используя знаки «+» и «-»,
можно получить в результате число 100. На-
пример: 123 - 45 - 67 + 89 = 100.

Помимо этого, существует ещё 10 решений:
123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100

123 + 45-67 + 8-9 = 100

123-4-5-6-7-8-9 = 100

12-3-4 + 5-6 + 7 + 89 = 100

12 + 3 + 4 + 5- 6- 7 + 89 = 100

1+ 23-4 + 5 + 6 + 78-9 = 100

1 + 2 +34 - 5 +67- 8 + 9 = 100

12 + 3- 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

1 + 23-4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100

1 + 2 + 3- 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100

То же самое число 100 можно получить,
если расположить числа в обратном поряд-
ке - от 9 до 1. Всего существует 15 вари-
антов решения:

98 - 76 + 54 + 3 + 21 = 100

9 - 8 + 76 + 54 - 32 + 1 = 100

98-7-6-5-4 + 3 + 21 = 100

9-8 + 7 + 65-4 + 32-1 = 100
9-8 + 76-5 + 4 + 3 + 21 = 100

98-7 + 6 + 5 + 4- 3- 2-1 = 100
98 + 7-6 + 5-4 + 3-2-1 = 100
98 + 7 + 6- 5- 4- 3- 2-1 = 100
98 + 7- 6 + 5- 4- 3 + 2 + 1 = 100
98-7 + 6 + 5- 4 + 3- 2 + 1 = 100

98-7 + 6- 5 + 4 + 3 + 2-1 = 100
98 + 7- 6- 5 + 4 + 3- 2 + 1 = 100
98-7-6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100
9 + 8 + 76 + 5 + 4- 3 + 2-1 = 100

9 + 8 +76 + 5- 4 + 3 + 2 + 1 = 100
ЕЩЕ НЕМНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОМ МАГИИ

121 -

22 х 22

1 + 2 + 1

12321=

333 х 333
1+2+3+2+1

1234321=

4444 *_4444

1+2+3+4+4+3+2+Г

123454321=

55 555 х 55 555

1+2+3+4+5+4+3+2+1

123454321=

666 666 X 666 666

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1

123454321=

2777777x2777 777

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +’ 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

123454321 =

88 888 888 * 88 888 888_______

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1

123454321=

999 999 999 х 999 999 999

1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1
2.	Произведения некоторых двузначных чисел не меня-
ются, если в каждом множителе поменять цифры
местами.

12 х 42 = 21 х 24	24 * 63 = 42 х	36

12 х 63 = 21 х 36	24 х 84 = 42 х	48

12 х 84 = 21 х 48	26 х 93 = 62 х	39

13 х 62 = 31 * 26	36 х 84 = 63 х	48

23 х 96 = 32 х 69	46 х 96 = 64 х	69

3.	Числа 2 438 195 760, 3 785 942 160, 4 753 869120
и 4 876 391520 содержат все цифры от 0 до 9,
причём каждую только один раз. Все они облада-
ют интересным свойством - делятся на все числа
подряд от 2 до 18.
ИМ»
М®РШ
МАТЕМАТИК, СТАВШИМ
ПАПОЙ РИМСКИМ

Многие математики прошлого, прославившиеся
своими исследованиями и открытиями, отно-
сились к духовному сословию. Один из них
в 999 году стал папой Сильвестром II. В миру
его звали Герберт из Орильяка (930-1003).

В молодости он был послушником в Орильяк-
ском монастыре. Настоятель монастыря, заме-
тив способности мальчика к наукам, отправил
его на учёбу в Испанию. После исключитель-
ных успехов в изучении арабских наук (мате-
матики, астрономии и т. д.) Герберт отправился
в Рим, где его представили папе и императору
Оттону I. Позже по ходатайству
императора Оттона II Герберт сде-
лал церковную карьеру и в конце
концов его избрали папой римским.

Герберт писал книги по ариф-
метике, геометрии и астрономии
и особенно интересовался астро-
номическими методами измерения
времени. Он сыграл большую роль
в ознакомлении европейских учёных
с индийско-арабскими цифрами.
В его работах появляются такие

термины, как «делимое» и «делитель». Кроме

того, Герберту приписывают изобретение меха-

нических часов.

НЕБЕЗУМНЫЙ МАТЕМАТИК

Арабский учёный Ибн аль-Хайсам, или, как
его называли в Европе, Альхазен (965-1039),
преуспел во многих науках, и главным образом
в математике. Его считают основоположником
экспериментального метода в научных иссле-
дованиях. Родился и вырос Альхазен в Ираке,
а затем по приглашению египетского правителя
аль-Хакима отправился в Египет. Там, с помо-
щью математических вычислений, он пытался
предсказывать наводнения Нила, но ему это
не удалось.

Опасаясь гнева правителя, Альхазен решил
имитировать сумасшествие, из-за чего его
поместили под домашний арест, где матема-
тик и провёл остаток жизни. Когда Альхазен
не притворялся безумным, он занимался вы-
числениями и вёл записи.
РЕШАЮЩЕЕ ОПОЗДАНИЕ

Джордж Данциг (1914-2005) - известный аме-
риканский математик. Однажды, будучи ещё
студентом университета, он опоздал на заня-
тие и переписал с доски уравнения, думая,
что профессор задал их в качестве домашнего
задания. О том. что было дальше, он расска-
зывает сам:

«Это было в первый год учёбы в Беркли.
Я	пропустил	большую	часть	лекции	профес-

сора Ноймана. Придя наконец в аудиторию,
я	переписал	с доски	два каких-то	задания

и	выполнил	их дома.	Через	несколько дней

я	извинился	перед Нойманом	за то,	что мне

потребовалось так много времени на домаш-
нее задание - оно оказалось сложнее, чем
я думал. Профессор попросил меня положить
работу на его стол. Я сделал это неохотно,
потому что стол был завален множеством бу-
маг, и я боялся, что мое домашнее задание
потеряется там навсегда.

Прошло около полутора месяцев, и вот
однажды рано утром в воскресенье меня
разбудил громкий стук в дверь Это был
Нойман. Он вбежал с бумагами в руках
и взволновано сказал: "Я только что написал
введение к вашей работе. Прочтите, и я сра-
зу отправлю его на публикацию! Сначала
я даже не понял, о чём речь. Оказалось,
те уравнения, которые я решил, думая, что
это домашнее задание, на самом деле были
двумя известными нерешёнными проблемами
в статистике».
ВЕЧНЫЙ БРОДЯГА ЭРДЁШ

Венгерский математик Пал Эрдёш (1913-1996)
написал около 1500 научных работ. Однако
в одиночку он работать не любил - в тече-
ние жизни у него было более 500 соавторов.
У этого выдающегося ученого не было посто-
янного места жительства и постоянной рабо-
ты. Свою жизнь он провёл в университетах,
кампусах и исследовательских центрах, ночуя
у коллег и сотрудников. С чемоданом в руке
Эрдеш появлялся в дверях кого-нибудь из кол-
лег и говорил: «Мой мозг свободен», имея
в виду, что готов поработать в соавторстве.
Гостил он до тех пор, пока не создавал
с приютившим его хозяином несколько работ,
а затем спрашивал совета, к кому бы ему
еще поехать погостить и поработать.

Гонорары от публикаций он делил со сво-
ими коллегами, а также просто давал деньги
тем, кому они были нужнее, чем ему. Умер Эр-
дёш в 83 года, находясь на научной конферен-
ции в Варшаве. Он сам для себя сочинил эпи-
тафию: «Наконец-то я перестал быть глупее».

НЕСЧАСТЛИВЫЙ ГЕНИЙ ГАЛУА

Французский математик Эварист Га-
луа (1811-1832) - один из величай-
ших математических гениев, основа-
тель современной высшей алгебры.
До 12 лет Галуа не ходил в шко-
лу и учился дома. Уже в 16 лет
он читал научные труды великих
математиков, полностью игнорируя
школьную программу по математике.

Один из его учителей заявил: «Этим маль-
чиком овладело математическое безумие. Я ду-
маю, его родителям следовало бы позволить
ему заниматься только математикой. Здесь,
в школе, он напрасно теряет время». Желая
полностью посвятить себя математике, Галуа
пытался поступить в знаменитую парижскую
Политехническую школу. Несмотря на блестя-
щие способности, юноша провалил вступитель-
ный экзамен. Дело в том, что Галуа давал
правильные ответы на вопросы, но не считал
нужным разъяснять ход решения. Экзаменаци-
онная комиссия попросту не понимала его.

Невезение сопровождало Галуа на протяже-
нии всей его короткой жизни В те времена
во Франции начинающие математики обяза-
тельно отправляли свои работы в Академию
наук, а та пересылала их известным ученым
для проверки. Одна из работ Галуа попала
в руки математика Огюстена Коши (1789-1857),
добросовестного, но забывчивого академика.
В результате он попросту потерял присланные
ему бумаги.

В возрасте 18 лет Галуа вновь попытался по-
ступить в Политехническую школу, но и в этот
раз потерпел неудачу, опять-таки из-за непо-
нятливости экзаменаторов. Галуа делал вычисле-
ния любой сложности в уме. Этим он смущал
комиссию, которая требовала, чтобы абитури-
ент всё записывал на доске, пользуясь мелом
и тряпкой, как все. Один из членов комиссии
даже заявил, что у Галуа серьёзные проблемы
с математикой. Взбешённый такой несправед-
ливостью. Галуа швырнул в него мокрой тряп-
кой. После этого об учёбе в Политехнической
школе нечего было и мечтать.

В возрасте 19 лет Галуа написал о своих
открытиях математику Жану Батисту Фурье,
чтобы иметь возможность участвовать в кон-
курсе на приз Академии наук (одна из са-
мых серьёзных наград в области математики
того времени). Неудача и в этот раз настигла
талантливого молодого человека: через не-
сколько дней Фурье умер, а рукопись Галуа
затерялась среди его бумаг.

Юный математик погиб на дуэли, защищая
честь дочери владельца небольшой гостиницы,
в которой он остановился. Всю ночь напролёт
перед дуэлью он писал своему другу письмо
Этот документ на 60 страницах содержал три
его неопубликованные работы, имевшие бес-
ценное значение для математики. Рано утром
30 мая 1832 года состоялась дуэль, на кото-
рой Галуа был смертельно ранен.

Работы Эвариста Галуа, посвящённые урав-
нениям, получили признание позже. Юноша,
проживший всего 20 лет, намного опередил
научную мысль своего времени.

АБЕЛЬ: КОРОТКАЯ ЖИЗНЬ,
ГЕНИАЛЬНЫЕ ОТКРЫТИЯ

Норвежский математик Нильс Хенрик Абель
(1802-1829) за свою недолгую жизнь успел
сделать вклад во многие области математики.

В возрасте 13 лет его определили в со-
борную школу в Христиании (так в то время
называлась столица Норвегии Осло). Математи-
ку ему преподавал выдающийся педагог Бернт
Микаэль Холмбоэ (1795-1850), который заме-
тил способности юноши и уделял ему особое
внимание, занимаясь по углублённой программе.
Благодаря хорошему учителю и собственному
упорству Абель, ещё будучи студентом универ-
ситета, знал математику лучше, чем кто-либо
другой во всей стране. Это стало понятно,
когда юный математик начал публиковать са-
мостоятельные работы.
Абель получил финансовую по-
мощь от преподавателей универ-
ситета, а впоследствии и государ-
ственную стипендию за публикацию
научной работы о дифференциаль-
ных уравнениях. В 1825 году Абель
приехал в Берлин, где встретился
с известным немецким математи-

ком Августом Леопольдом Крелле (1780-1855)
Тот помог Абелю стать сотрудником берлин-
ского математического журнала, чтобы норвежец
имел возможность публиковать свои работы. Там
Абель опубликовал большую часть своих иссле-
дований. Французский математик Шарль Эрмит
впоследствии заявил: «Абель оставил математи-
кам столько материала, что они могут работать
с ним в течение следующих пятисот лет».

В 1908 году Норвегия воздала должное
Абелю, воздвигнув ему памятник в парке пе-
ред королевским дворцом в Осло. Премия
Абеля в 6 миллионов норвежских крон (око-
ло 750 000 евро) присуждается с 2003 года
Норвежской академией наук в качестве между-
народной награды за выдающийся вклад в об-

ласти математики.

ВЕЛИКИЙ ТРУЖЕНИК ЭЙЛЕР

Швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-
1783) - самый продуктивный математик в ис-
тории. Его наследие собирали и системати-
зировали в течение 50 лет. Всего собрано
более 850 работ, которые были объединены
в 70 томов. Эйлер творил непрерывно, а са-
мую последнюю работу написал за несколько
дней до смерти.
Большую часть научных исследований он про-
вел в Российской Академии наук в Санкт-Пе-
тербурге. Труднейшие математические проблемы
Эйлер решал без всяких затруднений. В Рос-
сии он прожил с 1726 по 1741 год, после
чего уехал в Германию.

В 1766 году по приглашению российской
императрицы Екатерины Великой Эйлер вер-
нулся в Россию, где продолжил плодотворно
работать. В России Эйлеру предоставили рос-
кошный дом для его большой семьи и при-
слугу. в том числе личного повара. Под конец
жизни математик полностью ослеп, но, несмо-
тря на это, продолжал по-прежнему напря-
женно работать. Он обладал отличной памятью
и делал вычисления в уме. Эйлер диктовал
своим сыновьям сложные формулы, попутно
поясняя, как их нужно записывать.
БОЖЕСТВЕННЫЕ ФОРМУЛЫ

Индийский математик Рамануджан
Сриниваса (1887-1920) был ревност-
ным последователем индуизма. Он
утверждал, что все его формулы
ему внушали во сне индуистские
божества. Эти формулы якобы были
написаны на божественных свитках,
и Рамануджан, проснувшись, спешил
записать их на бумаге.

В молодости Рамануджан работал мелким

чиновником и увлекался математикой. Не по-
лучив систематического образования, он читал
все учебники и научные публикации по мате-
матике, какие только мог достать. Свои соб-

ственные исследования он прислал знаменито-
му британскому профессору математики Годфри
Харди (1877-1947). Тот сначала счёл их вздо-
ром, но. внимательно изучив, сказал, что нико-
гда не видел ничего подобного и что некото-
рые из умозаключений неизвестного индийца
его просто поразили. В своей книге «Раману-
джан: двенадцать уроков» Харди написал, что
эти формулы должны были быть правильными,
так как придумать неправильные формулы по-
добной сложности ни у кого не хватило бы
воображения

Рамануджан был принят в Общество Трини-
ти-колледжа, а также в Королевское общество,
став одним из самых молодых его членов.
К сожалению, талантливый индийский матема-
тик умер в 32 года. В последний год жизни
он написал 138 страниц сложнейших формул,
которые не изучены до конца даже сегодня.
ЧИСЛО РАМАНУДЖАНА

Когда Рамануджан лежал в больнице, его на-
вестил старый приятель. Зная, что тот любит
числа и обожает находить закономерности
между ними, посетитель сказал, что при-
ехал на такси с номером 1729 и что, на его
взгляд, в этом числе нет ничего интересного.
Рамануджан моментально увидел красивую за-
кономерность для числа 1729. Он заявил, что
его можно представить, как сумму двух кубов,
сразу же назвав два варианта:

1729 = I3 + 123

1729 = 93 + 103

РАССЕЯННЫЙ ВИНЕР

Существует расхожее мнение, что многие ве-
ликие математики, занятые решением трудней-
ших задач, рассеянны, несобраны и с тру-
дом ориентируются в пространстве и времени.
К числу самых рассеянных относят знамени-
того математика Норберта Винера (1894-1964),
«отца кибернетики».

Одна из забавных историй о его забывчи-
вости связана с переездом в новый дом. При-
нимая во внимание рассеянность Винера, его
жена взяла на себя все хлопоты по переезду,
Сам Винер в этом не участвовал. Жена дала
ему подробную инструкцию, как найти их новый
дом, когда он вернётся с работы. Однако с ра-
боты Винер пошёл по старому адресу, забыв
и о том, что они оттуда уже съехали, и об ин-
струкции, которую дала ему жена. Стоя в заме-
шательстве и не зная, что делать, он обратился
к девушке, стоявшей возле его старого дома:
-	Добрый день1 Не знаете ли вы случайно,
куда переехали Винеры из этого дома?

-	Знаю, папа. Мама так и знала, что ты
придёшь сюда, и послала меня, чтобы про-
водить тебя.

АВТОР «АЛИСЫ В СТРАНЕ
ЧУДЕС» БЫЛ МАТЕМАТИКОМ

Англичанин Льюис Кэрролл (1832-1898) был
очень разносторонним человеком - писателем,
математиком, священником и фотографом. Его
настоящее имя - Чарльз Латуидж Доджсон,
а Льюис Кэрролл - псевдоним, которым он
подписался, когда опубликовал романтическую
поэму «Одиночество». С раннего возраста он
сочинял стихи и рассказы, но прославился
благодаря книгам «Алиса в Стране чудес»
и «Алиса в Зазеркалье». Кэрролл окончил уни-
верситет в 1854 году и в течение следующих
26 лет работал преподавателем математики
в Оксфорде.
Кэрролл-писатель затмил Кэрролла-ученого,
хотя в области математики он тоже добился
значительных результатов. Он написал и опуб-
ликовал десятки книг по математике. Некото-

рые задачи он помещал и в свои литератур-
ные произведения.

Английская королева Виктория. придя
в восторг от приключений Алисы, попросила
писателя посвятить ей следующую книгу. Кэр-
ролл не мог не откликнуться на эту прось-
бу. В 1867 году он послал королеве свою
книгу под названием «Элементарное руковод-
ство по теории детерминантов». Королева была
весьма озадачена!

Кэрролл тяготился своей известностью. Сам
он однажды заявил: «Я ненавижу быть знаме-
нитым и иногда жалею, что вообще написал
эти книги». Он искренне не понимал людей,
которые стремились к славе, и поэтому ис-
пользовал псевдоним.

ПАСКАЛИНА

Французский математик Блез Паскаль (1623-
1662) в возрасте 22 лет сконструировал меха-
ническую счетную машину. Молодой человек
хотел облегчить работу своему отцу, который
служил в налоговом ведомстве. Аппарат по-
лучил название «Паскалина». В течение сле-
дующих нескольких лет Паскаль сделал для
продажи около 50 таких устройств. Однако
продавались они плохо, потому что нередко
ломались, а починить их мог только сам Пас-
каль. Да и возможности у них были скром-
ные: эти машины могли только складывать
и вычитать.
Принцип работы основывался на вращении
зубчатых колёс, а вычисления делались в диа-
пазоне до 9 999 999. Цифры набирались путём
вращения металлических колесиков, а ответы
появлялись в отверстиях над ними.

Паскалина

Паскалина была первой счетной машиной в ис-
тории. Она положила начало всем калькулято-
рам. да и компьютерам тоже. Изобретение Пас-
каля дало импульс другим изобретателям. Так,
великий немецкий математик и философ Гот-
фрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) изобрел
механическую машину, которая могла складывать,
вычитать, умножать, делить и извлекать корень.

Машина для вычисления Лейбница
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ДЕТСТВО ГАУССА

Немецкий учёный Фридрих Гаусс (1777-1855) -
один из величайших математиков всех времён,
наравне с Архимедом и Ньютоном. Способно-
сти к математике Гаусс проявил необычайно
рано. Когда ему было всего три года, он уже
исправлял арифметические ошибки в счетах
своего отца. Когда Фридрих учился в треть-
ем классе, учитель велел детям сложить все
числа от 1 до 100 Как только учитель про-
диктовал задание, у Гаусса уже было готово
решение - 5050. Это был точный результат.
Второй ответ один из учеников дал только
через час, но он был неверным. К решению
Гаусс пришёл очень простым и рациональным
способом. Будущий учёный увидел, что сумма
первого и последнего числа равна 101, сумма
второго и предпоследнего - также 101, треть-
его в начале и третьего в конце - опять же
101 и т. д. Всего таких пар 50, а значит,
общая сумма будет 5050 (50 х 101). Уже тогда
этим решением Гаусс заявил о себе как о та-
лантливом математике.

Гауссу сопутствовала удача: в школе по-
мощником учителя работал Мартин Бартельс
(будущий учитель великого русского матема-
тика Николая Лобачевского). Бартельс очень
помог Гауссу на первых порах. Он представил
своего ученика влиятельным людям, которые
порекомендовали его герцогу Брауншвейгскому,
Карлу Вильгельму Фердинанду.

Гауссу было всего 14 лет, когда его при-
нял герцог. В 15 лет благодаря рекомендации
герцога он поступил в Каролинский колледж
в Брауншвейге. Кроме того. Карл Вильгельм
Фердинанд назначил Гауссу стипендию, и тот.
не испытывая материальных затруднений,
успешно окончил колледж, а затем и универ-
ситет в Геттингене.

Однажды преподаватель заявил Гауссу:

- Я задам тебе два вопроса. Если сможешь
ответить на первый, то на второй отвечать
не нужно. Итак, скажи мне, сколько иголок
на этой ёлке?

Не раздумывая, Гаусс отчеканил:

- Шестьдесят семь тысяч пятьсот тридцать
четыре!

- Как ты их так быстро сосчитал? - спро-
сил профессор.

- А это уже второй вопрос! - ответил Га-
усс.

В 12 лет Гаусс обнаружил несовершенство
евклидовой геометрии, а в 16 лет начал заду-
мываться о неевклидовой геометрии. Ещё бу-
дучи студентом колледжа, он в совершенстве
выучил латинский язык, а в зрелом возрасте
освоил русский - специально для того, чтобы
читать труды Лобачевского в оригинале.
ЭЛЕМЕНТЫ

К III веку до нашей эры античными учеными
было накоплено много знаний в области гео-
метрии. Все эти знания требовалось объеди-
нить, чтобы сформировать геометрию как науку.
За эту тяжёлую работу взялся Евклид (около
325 г. до н. э. - около 265 г. до н. э.). Он
собрал всё, что до него было известно в об-
ласти геометрии, и изложил это в тринадцати
книгах под названием «Элементы».

Влияние «Элементов» на человечество не-
оценимо. Некоторые положения из этих книг
и сегодня почти в неизменном виде изуча-
ются в наших школах Уже к концу XV века
существовало более 500 изданий «Элементов»
на разных языках. В разных странах Европы
на протяжении долгих веков чтение и изуче-
ние «Элементов» Евклида считалось
ным при дворе, причём как для
придворных, так и для правителей.

Существует предание о том, как
древний властитель Птолемей, же-
лая как можно скорее освоить гео-
метрию, заявил Евклиду:

- Разве пристало мне, царю,
обременять свой мозг, изучая все
тринадцать твоих книг? Я, конечно,
должен знать геометрию, но на
чтение их всех у меня нет вре-
мени. Приказываю тебе найти для
меня более короткий способ изуче-
ния геометрии!

Старый мудрец Евклид отве-
тил, что в математике нет царско-
го пути, и если Птолемей желает
изучить геометрию, ему придётся потратить
время на прохождение всех «Элементов».

Известны также четырнадцатая и пятнадца-
тая книги «Элементов», но считается, что их
написал уже не Евклид. В «Элементах» мож-
но найти материалы по планиметрии, стерео-
метрии, а также многие вопросы, касающиеся
теории чисел и методов измерения площадей
и объёмов.

ПЕРВАЯ
ЖЕНЩИНА-МАТЕМАТИК

Первой женщиной в истории, которая внес-
ла значительный вклад в развитие матема-
тики, была Гипатия из Александрии (370-415),
дочь известного математика и астронома Теона
Александрийского.

Существует немало историй и легенд
о жизни Гипатии. Она занималась математикой,
астрономией и философией. Вместе с отцом
комментировала произведения древнегреческих
учёных. Гипатия составляла астрономические
таблицы, изобрела гидрометр (инструмент для
определения плотности жидкости) и астролябию
(инструмент для определения географической
широты и положения небесных тел). Жизнь Ги-
патии оборвалась трагически. Она была убита
в 415 году, став символом преследования
ученых и свободомыслия.

В честь Гипатии назван лунный
кратер, расположенный рядом с Мо-
рем Спокойствия - большой
равниной на Луне, видимой с
Земли невооружённым глазом.
ПЕРВАЯ
ЖЕНЩИНА-ПРОФЕССОР

Софья Ковалевская (1850-1891) - первая жен-
щина. ставшая членом Российской академии
наук и одновременно первая женщина в Евро-
пе, ставшая профессором университета. Кроме
того, она была лидером движения за эманси-
пацию женщин в вопросах высшего образова-
ния.

Математику Ковалевская полюбила ещё
в детстве благодаря домашнему учителю, поль-
скому дворянину Юзефу Малевичу, а также
родному дяде, который познакомил девочку,
в частности, с проблемой квадратуры круга.

Было и ещё одно обстоятельство, способ-
ствовавшее развитию у Софьи любви к ма-
тематике. Стены её комнаты в родительском
доме вместо обоев были оклеены листами
с конспектами лекций, исписанных формула-
ми. Записи принадлежали ее отцу, который
когда-то посещал лекции знаменитого рус-
ского математика Остроградского (1801-1862).
Для девочки эти «иероглифы» символизировали
недосягаемую премудрость. Так она с детства
проникалась глубиной и серьёзностью матема-
тики. дав себе клятву ее изучить.

Из-за того, что в России в то время жен-
щинам было запрещено учиться в университете,
упорная девушка решила получить образование
за границей. Чтобы иметь возможность уехать,
она должна была быть замужем. В сентябре
1868 года она заключила брак с палеонто-
логом Владимиром Ковалевским.

После пары месяцев, проведённых в Санкт-
Петербурге, они уехали за границу. Владимир
поселился в Вене, а Софья направилась в Гей-
дельберг. Там ей удалось поступить в универ-
ситет. Ее талант быстро заметили профессора
и посоветовали продолжить обучение в Бер-
лине, где читал лекции крупнейший математик
того времени Карл Вейерштрасс (1815-1897).
Оценив способности Ковалевской, Вейерштрасс
пытался получить для неё разрешение посе-
щать его занятия в Берлинском университете,
но у него ничего не вышло. Однако он со-
гласился обучать её частным образом и зани-
мался с ней дважды в неделю на протяжении
четырёх лет.

За это время Софья самостоятельно напи-
сала несколько серьёзных работ и получила
в 1874 году степень доктора философии в Гет-
тингенском университете. Однако ни её статус,
ни поддержка Вейерштрасса не помогли Кова-
левской найти работу в Германии - в те годы
нигде в мире женщинам нельзя было занимать-
ся профессиональной научной деятельностью.

Вместе с мужем Владимиром Софья вер-
нулась в Россию. У них появилась дочь.
С работой по-прежнему были проблемы. Тем
не менее, в 1879 году она сделала научное
сообщение на VI съезде естествоиспытателей
и врачей в Санкт-Петербурге, а в 1883 году -
ещё одно на очередном VII съезде в Одес-
се. В 1881 году Софью Ковалевскую избрали
приват-доцентом Московского математического
общества.

В 1883 году Ковалевская получила пригла-
шение стать профессором кафедры матема-
тики в Стокгольмском университете. Ей при-
шлось выучить шведский язык, на котором она
впоследствии публиковала не только научные
работы по математике, но и литературные
произведения. К сожалению, прожила Софья
Ковалевская недолго. В возрасте 41 года она
скончалась от воспаления лёгких.

ОЧАРОВАННАЯ МАТЕМАТИКОЙ

Софи Жермен (1776-1831) с самого раннего
детства очень любила читать. Она была оча-
рована обилием книг в богатой отцовской
библиотеке. Когда Софи прочитала о гибели
Архимеда, убитого в момент решения сложной
задачи, она была потрясена. У девочки воз-
никло желание тоже стать математиком, коль
скоро для великого мудреца Архимеда эта на-
ука была дороже жизни.

Математику она изучала самостоятельно, так
как в то время женщинам был закрыт доступ
в университеты. Тем не менее, результаты её
исследований в области теории чисел и аку-
стики позволили ей стать известной в матема-
тическом мире.

французская академия
учредила премию, названную
& честь» Софи Жермен.
СЕРБСКИЕ
ЖЕНЩИНЫ-МАТЕМАТИКИ

Милева Марич (1875-1948) - самая извест-

ная из женщин-математиков, родившихся
в Сербии. В цюрихском Политехникуме она
изучала дифференциальное и интегральное
исчисление, а также описательную и про-
ективную геометрию. Её одногруппником
был тогда ещё никому не известный Аль-
берт Эйнштейн.

Существует предположение, что Миле-
ва Марич внесла свой вклад в его ран-
ние работы. Она вышла замуж за Эйн-
штейна в 1903 году. У супругов родилось
трое детей. Альберт и Милева расстались
в 1914 году, а спустя пять лет оформили
развод. В 1922 году Эйнштейн получил Но-
белевскую премию и передал её бывшей
жене и детям. Милева скончалась 4 авгу-
ста 1948 года в Цюрихе в возрасте 72 лет.
Среди других сербских женщин-математиков сле-
дует отметить и Милицу Илич-Дайович (1918-2000),
профессора Белградского университета и предсе-
дателя Общества математиков Сербии. Помимо про-
чего, она занимала должность главного редактора
«Математического листка» и редактировала жур-
нал «Преподавание математики». Милица Илич-Дай-
ович написала ряд учебников и была инициато-
ром мероприятий, направленных на поиск молодых
математических талантов. По инициативе Милицы
и её мужа Войина Дайовича в 1966 году в Бел-
граде основана математическая гимназия. Супруги
разработали методику обучения и стали первыми
преподавателями этого учебного заведения.
ВОПРОС ОТ БРАВОГО
СОЛДАТА ШВЕЙКА

В замечательной книге «Похождения бравого
солдата Швейка» чешского писателя Ярослава
Гашека описано, как Швейк проходил психиа-
трическую экспертизу. Врачи пытались понять,
сумасшедший он или притворяется. Психиатры
задавали ему неожиданные вопросы, а Швейк,
не задумываясь, отвечал первое, что приходило
в голову. В конце концов, когда ему это на-
доело. он предложил им разгадать загадку:

- Стоит четырёхэтажный дом, в каждом
этаже по восемь окон, на крыше - два слу-
ховых окна и две трубы, в каждом этаже
по два квартиранта. А теперь скажите, гос-
пода, в каком году умерла бабушка швейцара?

Решение. Если принять во внимание, что
действие романа происходит в 1914 году, и до-
бавить условие, что год смерти бабушки равен
произведению общего числа окон в доме, чис-
ла труб и возраста одного из жильцов, кото-
рый лично присутствовал на похоронах бабуш-
ки, то решение становится довольно простым.

34 X 2 X н = 68^
Пусть возраст жильца составляет П лет.
В доме 34 окна и две трубы. Следовательно,
год смерти бабушки 34 х 2 х Ы = 68Ы. Посколь-
ку год смерти делится на 68, а действие
происходит в 1914 году, то рассматривают-
ся два ближайших к нему года, кратных 68.
Это 1904 и 1836. Второй отпадает, так как
1836 = 68 х 27. Жилец слишком молод, ему
в 1914 году всего 27 лет (1836 : 68). Стало
быть, в 1836 году его еще не было на свете
(он родился в 1887). Таким образом, получа-
ется, что бабушка умерла в 1904 году.

ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ

Два друга, Петар и Душан, всегда говорят
правду, но раз в год, в день своего рождения,
могут соврать. Шестого мая Милана спросила
ребят, когда у них день рождения. Петар отве-
тил: «У меня он был вчера», а Душан сказал:
«У меня он будет завтра». На следующий день
Милана задала им тот же вопрос, потому что
так и не поняла, когда у них день рождения.
Мальчики дали тот же ответ: Петар сказал, что
у него день рождения был вчера, а Душан -
что будет завтра. Тогда Милана догадалась, ко-
гда у них день рождения. Как ей это удалось?

Решение. Если учесть, что у каждого
из мальчиков один ответ правильный, а один
неправильный, то получается, что Петар ро-
дился шестого мая, так как в первый раз он
солгал, что его день рождения был вчера (пя-
того мая), а седьмого мая он сказал правду,
потому что его день рождения действительно
был вчера (шестого мая). Из этого следует,
что Душан родился седьмого мая.
БЕЗ ОТРЫВА

Фигуры, изображённые под этим абзацем, мож-
но нарисовать одной линией, то есть не от-
рывая ручку от бумаги и не проводя одну
и ту же линию дважды.

Однако есть фигуры, которые невозможно
нарисовать без отрыва и повтора линий, хотя
на первый взгляд кажется, что это возможно.

Чтобы разобраться, какие фигуры можно
нарисовать без отрыва, а какие нельзя, рас-
смотрим внимательно каждую из них.

Все они состоят из линий и точек их пере-
сечения. Из нечётных пересечений расходится
нечётное количество линий, из чётных - чет-
ное количество. Например, в верхней группе
фигур мы видим одну фигуру с двумя нечёт-
ными пересечениями (две точки внизу, из ко-
торых расходятся по три линии) и четырьмя
чётными пересечениями (из трёх точек рас-
ходятся по четыре линии, а из самой верх-
ней точки - две линии). Эту фигуру можно
нарисовать без отрыва. В нижнем ряду есть
фигура, у которой четыре нечётных пересече-
ния. Без отрыва ее нарисовать нельзя.
ПАРАДОКС, ОТ КОТОРОГО
ЗАБОЛИТ ГОЛОВА

Человек встретил двух друзей и хочет
что-то у них спросить, а они ему го-
ворят:

Первый: Спрашивай, он всегда го-
ворит правду.

Второй: Спрашивай, он всегда врёт.

Человек начал размышлять. Если
первый друг говорит правду, то и вто-
рой говорит правду, а именно то,
что первый врёт. Если же первый
друг врёт, то правду говорит вто-
рой, а именно, что первый не говорит
правду. Получается, что если первый
друг говорит правду, то он не гово-
рит правду. У человека разболелась
голова от размышлений, и он пере-
стал об этом думать.
ПАРАДОКС ЛЖЕЦА

Знаменитый греческий поэт Эпименид
жил на Крите в VI веке до нашей эры.
Ему приписывают утверждение «Все
критяне лгут».

Это утверждение логически противо-
речиво при условии, что лжецы всегда
лгут, а правдолюбцы всегда говорят
правду. При этом условии утвержде-
ние «Все критяне лгут» не может быть
верным, потому что тогда Эпименид
был бы лжецом, ведь он критянин,
и, следовательно, то, что он говорит,
было бы ложью. Но это утверждение
не может быть и ложным, так как это
означало бы, что все критяне, включая
Эпименида, говорят только правду. Тогда
то, что он сказал, было бы правдой,
а как же это может быть правдой?

Значит, это утверждение не может
быть ни истинным, ни ложным, то есть
это парадокс.

Древнегреческие философы много
размышляли об этом парадоксе и даже
написали о нём несколько книг. Суще-
ствует множество вариантов парадокса.
Самый простой из них звучит так: «Это
утверждение ложно». Является ли оно
истинным? Если утверждение истинно,
то верно, что оно ложно. Ложно ли
оно? Если утверждение ложно, то оно

истинно.
КТО СТРИЖЕТ БРАДОБРЕЯ?

Предположим, в каком-то селении есть всего
один брадобрей. Каждый день он бреет всех
жителей, которые не бреются сами А кто то-
гда бреет его самого?

Это парадокс: брадобрей не может побрить
самого себя, и при этом не может не по-
брить самого себя. Если бы он хотел побрить
самого себя, он не мог бы побрить самого
себя, потому что он - тот человек, который
согласно условию бреет тех, кто не бреется
сам. С другой стороны, если бы он не брил
самого себя, он бы попал в число тех, кто
не бреется сам, и поэтому должен был бы
побрить самого себя.

Этот парадокс сформулировал в 1901 году
английский философ и математик Бертран Рас-
сел (1872-1970).
ЛЕНТА МЕБИУСА

Если мы посмотрим на лист бумаги, то уви-
дим, что у него есть две стороны, которые
можно выкрасить в разные цвета. Но если
будем двигаться непрерывно, скажем, кончи-
ком карандаша по одной стороне, то, чтобы
добраться до другой стороны, нам придётся
или перейти через край листа, или проткнуть
его. Такие поверхности условно можно назвать
«двусторонними».

Существуют и односторонние поверхности.
Если полоску бумаги перевернуть на 180 гра-
дусов и склеить концы, то получится поверх-
ность, которая называется лентой Мёбиуса,
в честь немецкого математика Августа Ферди-
нанда Мёбиуса (1790-1868).

Представь, что по ленте из начальной
точки ползёт муравей Когда он пройдёт всю
ленту, то окажется на противоположной сто-
роне от начальной точки. Если же он про-
должит движение и проползёт по всей ленте
второй раз, то окажется в начальной точке.
Таким образом, мы можем утверждать, что
лента Мёбиуса - односторонняя.

В основе символа международного знака
переработки лежит лента Мёбиуса. Он показы-
вает, что товар или его упаковку можно пере-
работать.

О

ГОЛОВОЛОМКА с пони

Американский математик Сэмюэл Лойд (1841-
1911) прославился как составитель математи-
ческих головоломок. Интересные задачи он
начал публиковать с 15 лет, а к 20 годам
ему уже не было в этом равных. Всего Лойд
составил более 800 задач. Широко известна
его геометрическая головоломка «Пони». Внизу
изображена лошадка в точности так, как её
нарисовал Лойд.
Рисунок состоит из шести отдельных ча-
стей, которые нужно вырезать и разложить так,
чтобы получилась наилучшая картинка бегущей
лошади. По словам Лойда, головоломка была
продана тиражом более миллиона экземпляров.
Решение показано ниже. Части надо сложить
таким образом, чтобы в середине был виден
силуэт маленькой белой бегущей лошадки.

СПОСОБЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ

В древности числа записывались по-разному.
Одним из первых способов было обозначе-
ние чисел с помощью узлов на веревках, так
называемых кипу. Вместо бумаги и карандаша
древние жители Америки брали цветные верёв-
ки и завязывали на них узелки, причём раз-
ными способами.
В доколумбовых цивилизациях Америки су-
ществовали служители, так называемые кипу-
камайокуна, которые вели государственную
статистику и финансы с помощью узелковых
писем. В каждом селении трудился свой спе-
циалист по вязанию узелков кипу.

Помимо узлов, древние народы использовали
для счета камешки, различные зерна, ракуш-
ки и т. д. Чтобы «записать» количество овец
в стаде, первобытный пастух брал по одному
камешку за каждую овцу и клал его в сумку.
Когда вечером он хотел пересчитать, все ли
овцы на месте, он снова вынимал по одному
камешку и сопоставлял его с каждой овцой
Можно только посочувствовать пастухам, кото-
рым доверяли огромные стада: им приходилось
таскать тяжеленные сумки, набитые камнями!
Когда им вконец это надоело, они стали за-
писывать числа, используя тот же способ
«1 к 1», с помощью зарубок или чёрточек
на какой-нибудь твёрдой поверхности (дереве,
кости и т. д.).

Древние записи чисел

ПАЛЬЦЫ ВМЕСТО КАЛЬКУЛЯТОРА

Известно, что умножение на 9 часто вызыва-
ет трудности у детей и взрослых. Однако эти
вычисления можно делать с помощью пальцев.

Распрямляем пальцы обеих рук и загибаем
один палец, который, если считать слева на-
право, обозначает число, на которое нам надо
умножить 9. Количество пальцев слева от под-
нятого пальца обозначает количество десятков,
а пальцы справа - количество единиц.

Например, нам нужно получить результат
умножения 7 х 9. Распрямляем пальцы, считаем
слева направо до пальца номер 7 и поднима-
ем его. Результат умножения: слева от седь-
мого (поднятого) пальца у нас 6 пальцев Это
означает, что в ответе будет 6 десятков (60).
Справа от поднятого пальца у нас 3 пальца,
так что результат - 63.
Помимо счёта, пальцы могут пригодить-
ся для набора текста на телефоне! Здорово,
не правда ли?!

КТО ЗДЕСЬ СУМАСШЕДШИЙ?

Стефан, отличник по математике, написал до-
машнее задание на тему «Моя семья»:

В моей семье 10 человек: мама, папа,
две сестры и я. Одной сестре 4 года,
другая на 2 года старше неё и ей
11 лет. Мне столько лет, сколько
им обеим вместе, то есть 20. Маме
и папе вместе 220 лет. Папа старше
мамы на 4 года, ему 112 лет. а маме
103 года.

На уроке Стефан прочёл сочинение вслух,
но все только рассмеялись. Когда же он всё
обьяснил, ребята рты пораскрывали от удив-
ления, а учительница поставила ему высший
балл.
Объяснение

В своей задаче Стефан использовал пяте-
ричную систему счисления, а не десятичную,
к которой мы привыкли. В повседневной жиз-
ни для записи чисел мы используем десять
цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Числа мы
записываем в виде последовательности, напри-
мер 624. В этой записи каждая цифра имеет
своё разрядное значение (в нашем случае -
справа налево: 4, 2 и 6). Но в действительно-
сти цифра 2 обозначает не 2, а 20, а цифра
6 означает 600. Так мы читаем число: 624.

Можно создать систему счисления с любым
основанием. Нам сейчас интересна система
с основанием 5, потому что числа в задаче
записаны именно с ним. В этой системе для
записи чисел используется всего пять цифр:
0, 1, 2, 3 и 4. Все записанные в задаче чис-
ла нам нужно преобразовать из пятеричной
системы счисления в десятичную. Для этого
умножим каждую цифру числа на соответству-
ющую степень основания, а полученные числа
сложим. Таким образом:

Папа и мама: 220(5) = 2х52 + 2х51 + 0х5° = 60(Ю)

Мама: 103(5) = 1 х 52 + 0 х 51 + 3 х 5° = 28 (10)

Папа: 112(5) = 1 х 52 + 1 х 51 + 2 х 5° = 32(1О)

Младшая сестра: 4<5)= 4 х 5(1 = 4(10)

Старшая сестра: 11(5) = 1 х 51 + 1 х 5° = 6(10)

Ученик: 20(5) = 2 х 51 + 0 х 5° = Ю(10)
РЕШИ С ПОМОЩЬЮ логики

1.	Продавец птиц пообещал покупателю: «Гаран-
тирую, этот попугаи будет повторять за вами
каждое слово, которое услышит». Вернувшись
домой, покупатель принялся испытывать уме-
ние попугая повторять слова. Однако, сколь-
ко бы он ни твердил слова возле клетки,
попугай не издал ни звука. Покупатель ре-
шил, что его обманули, но этого не мог-
ло быть - продавец был добросовестным.
Но почему тогда попугай молчит?

2.	Посетитель ресторана увидел муху в чашке
кофе. Он вернул напиток официанту и по-
просил его принести другую чашку. Когда
официант выполнил его просьбу, посетитель
сделал глоток и заявил, что это тот же
самый кофе, в котором была муха. Как он
это узнал?

3.	Две головы и шесть ног, из которых идут
только четыре. Кто это?

Ответы

1.	Попугай не слышит; 2. В ресторане все-
гда приносят кофе без сахара, а посетитель
перед тем, как вернуть кофе с мухой, добавил
в него сахар; 3. Всадник на коне.
РАЗГОВОР ДВУХ МАТЕМАТИКОВ

- Моей дочери позавчера было 10 лет,
а в следующем году ей исполнится 13.

- Как такое возможно?

- А ты подумай хорошенько!

- А-а-а, понял!

Решение. Разговор ведётся первого янва-
ря, а дочь родилась 31 декабря. Позавчера,
30 декабря, ей ещё было 10 лет, а 31 дека-
бря исполнилось 11 лет. 31 декабря этого года
ей исполнится 12 лет, а 31 декабря следую-
щего года ей будет уже 13.

РОДСТВЕННЫЕ СВЯЗИ

1.	Петар утверждает, что он дядя по отцов-
ской линии своему дяде Драгану. Может ли
такое быть?

Решение. Если отец Драгана - сын отца
Петара, а мать Петара - дочь матери Дра-
гана, тогда Петар - дядя Драгану по от-
цовской линии, а Драган - дядя Петару
по материнской линии. Такое возможно,
если сын женился на женщине, у которой
есть дочь, а его отец женился на дочери
этой женщины.

2.	Кем женщина приходится мужчине, если
мать этого мужчины - свекровь матери
этой женщины?

Решение. Существует два решения. 1, Доче-
рью. 2. Племянницей (мужчина - её дядя).

3.	Кем женщина приходится мужчине, если её
мать - тёща матери этого мужчины?

Решение. Эта женщина - тётя этого муж-
чины, а он - сын её брата.
СКОЛЬКО ДЕТЕИ В СЕМЬЕ?

1.	Слободан сказал, что у него одинаковое
количество братьев и сестёр. Тогда Радица
заявила: «Я сестра этого мальчика. В отличие
от него, у меня братьев в два раза больше,
чем сестёр». Сколько детей в их семье?

Решение. Если бы Слободан был не маль-
чиком, а девочкой, то Радица оказалась бы
в той же ситуации, что и Слободан, то есть
должна была бы сказать, что у нее сестёр
столько же, сколько и братьев. Но посколь-
ку она сказала иначе, то Слободан - её
брат. А поскольку он заявил, что у него
поровну братьев и сестёр, то можно заклю-
чить, что братьев на одного больше, чем
сестёр. Если обозначить количество братьев
буквой Б, а количество сестёр - буквой
С, то из условия задачи получается: Б -1 = С
и 2 * (С - 1) = Б. Из первого равенства сле-
дует, что Б = С+1. Подставим Б во второе
равенство и получим 2 х (С - 1) = С + 1, то есть
3 = 3. Отсюда следует, что Б = 4. Таким обра-
зом, в семье семеро детей: четверо мальчи-
ков и три девочки.

2.	В семье Йович у каждой дочери по два
брата, а у каждого сына по две сестры.
Сколько детей в этой семье?

Решение. Два мальчика, потому что у каж-
дой дочери два брата, и две девочки, по-
тому что у каждого сына две сестры. Все-
го четверо детей.


Материалы

О океанский корабль

О Атлантический океан

О календарь

□ немного терпения

Что делаем

Каждый день, ровно в полдень, корабль
из Гавра отправляется в Нью-Йорк через Ат-
лантику. В это же время корабль той же
компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр,
Маршрут в обоих направлениях занимает ровно
7 дней. Сколько кораблей этой компании, иду-
щих из Нью-Йорка в Гавр, встречает корабль,
который плывет из Гавра в Нью-Йорк*?

Объяснение

На этот вопрос часто отвечают «7», но это
неверно. Корабль, плывущий из Гавра в Нью-
Йорк, встречает 15 кораблей. Необходимо учи-
тывать корабли, которые уже плывут в Гавр,
и корабли, которым предстоит отплыть.
В момент отправления корабля из Гавра
в пути находятся 8 кораблей, идущих в Гавр
(один из них входит в Гаврский порт, а один
только отправляется из Нью-Йорка). Наш ко-
рабль встретит все 8 кораблей.

Кроме того, во время семидневного путе-
шествия из Нью-Йорка отправятся ещё 7 ко-
раблей (последний - в момент прибытия на-
шего корабля в Нью-Йорк). Их наш корабль
тоже встретит. Так, за 7 дней пути из Гавра
в Нью-Йорк наш корабль встретит 15 кораб-
лей. Встречи будут происходить ежедневно
ровно в полдень и в полночь.
Материалы

□	бесконечно длинная бумажная лента

□	карандаш

О все цифры

Что делаем

Если все числа от 1 до 99 999 записать одно
за другим, то получится гигантское число
12345678910111213141516...999979999899999 Най-
ди сумму всех цифр этого числа.

Объяснение

Сумма цифр двух чисел, расположенных сим-
метрично в ряду от 1 до 9999 (одно читается
справа налево, другое слева направо), все-
гда равна 45. Например: 1 +(9+ 9 + 9 + 9 +8) = 45;
2 + (9 + 9 + 9 + 9 + 7) = 45; 3 + (9 + 9 + 9 + 9 + 6) = 45 и
т. д. Всего таких пар чисел с суммой цифр
45 получается 99 998 : 2 = 49 999.

Если учесть последнее в ряду число 99 999,
сумма цифр которого тоже равна 45. то об-
щее количество чисел с суммой 45 составит
50 000. Следовательно, общая сумма цифр на-
шего гигантского числа будет равна 2 250 000
(50 000 * 45).
ш@шиш

Материалы

□ четыре супружеские пары
□ 33 пончика

Что делаем

На благотворительной ярмарке четыре супру-
жеские пары съели 32 пончика. Жены съели.
Эма - один пончик, Мара - два, Яна - три,
а Ката - четыре. Господин Симич съел столь-
ко пончиков, сколько его жена, господин Джо-
нич съел в три раза больше, чем его жена,
господин Ракич - в четыре раза больше, чем
его жена, а господин Божич - в два раза
больше, чем его жена.

Какую фамилию носит каждая из четырёх
БАКТЕРИИ

Решение. За 11 минут. Так как
за 10 минут пробирка заполняется
наполовину, то, по условию задачи,
ещё через минуту число бактерий
удвоится, и пробирка будет полной.

^^ние

Яна

Бактерии размножаются делением.
Постепенно они заполняют пробир-
ку. Из одной бактерии за минуту
получаются две, из этих двух ещё
через минуту получаются четыре,
из четырёх в следующую мину-
ту получаются восемь и т. д. Та-
ким образом за 10 минут бактерии
заполняют пробирку наполовину.
За сколько минут пробирка будет
заполнена целиком?
Материалы

О два мальчика

О карандаш и бумага

Что делаем

Одному мальчику 10 лет, другому 11. На во-
прос, сколько им лет, первый из них отвечает,
что ему 10 лет, а второй - что ему 11.

Если хотя бы один из мальчиков говорит не-
правду, то сколько лет каждому из них?

Объяснение

Существует четыре возможных варианта того,
кто из мальчиков говорит правду, а кто лжет:
(П, П) - оба говорят правду, (П, Л) - первый
говорит правду, второй лжёт, (Л, П) - первый
лжёт, второй говорит правду, (Л. Л) - оба лгут.
Вариант (П, П) отпадает, потому что, согласно
условию задачи, хотя бы один мальчик лжет.
Варианты (П, Л) и (Л, П) тоже отпадают, по-
тому что если один лжёт, то и другой не мо-
жет говорить правду. Остаётся вариант (Л, Л),
то есть оба мальчика лгут. Получается, первому
мальчику на самом деле 11 лет, а второму 10.
Материалы

О три ребенка

О два отца

О один дом

□ ноль шоколадок

Что делаем

Соседи Драган и Йован ведут разговор.

Драган: Сколько лет каждому из твоих тро-
их детей?

Йован: Произведение их возрастов равно 36.

Драган: Мне недостаточно информации.
Можно конкретнее?

Йован: Сумма их возрастов равна номеру
твоего дома.

Драган: И снова не хватает информации.

Йован: Мой старший сын занимается бас-
кетболом.

Драган: Спасибо, теперь я знаю, сколько
лет твоим детям.

Как Драган вычислил, сколько лет детям
Йована?
Поскольку произведение возрастов детей равно
36, возможные варианты возрастов такие? 1, 1,
36; 1, 2, 18; 1, 3, 12; 1, 4, 9; 1, 6, 6; 2, 2, 9;
2. 3, 6; 3, 4, 3.

Драган знал номер своего дома, и если бы
сумма возрастов детей давала однозначный ре-
зультат, он сразу бы понял, сколько лет каж-
дому ребёнку. Но сделать этого он не смог,
так как очевидно, номер его дома равен 13,
и эта сумма может получиться из двух разных
комбинаций возрастов; 1, 6, 6 и 2, 2, 9.

Информация о том, что старший сын играет
в баскетбол, дала Драгану подсказку. Вариант
1, 6, 6 предполагает, что в семье два шести-
летних близнеца, а не один старший ребёнок.
Единственный старший сын есть только в ва-
рианте 2, 2, 9.

Детям Йована 2, 2 и 9 лет.
мм вд/от

®Э [ЙЖЕгаЖКИЕ
Материалы

О старик-отец

О три его сына

□	19 верблюдов

О мудрец

□	ещё один верблюд

Что делаем

У одного старика было три сына. В наслед-
ство он оставил им 19 верблюдов. В завеща-
нии отец распорядился, как их поделить: стар-
ший сын должен получить половину верблюдов,
средний - четверть, а младший - пятую часть.

Братья считали и так и эдак, но никак
не могли поделить верблюдов, как требовал
отец. Девятнадцать нельзя разделить на поло-
вину. а четвёртую и пятую части так, чтобы
каждый раз получилось целое число.

Не зная, что делать, братья обратились
за советом к мудрецу.

«Нет ничего проще! - ответил мудрец. -
Возьмите моего верблюда, добавьте к своим
и разделите так, как завещал вам отец».
Теперь у братьев было 20 верблюдов, и, со-
гласно воле отца, старший сын получил
10 верблюдов, средний - 5, а младший - 4
Всего 19 - именно столько, сколько им оста-
вил отец (10 + 5 + 4 = 19). Все остались доволь-
ны, потому что получили больше, чем если бы
делили 19 верблюдов без верблюда мудреца
(тогда старшин получил бы половину, то есть
9,5, средний получил бы четверть, то есть
4,75, а младший - пятую часть, то есть 3,8).

Вернув мудрецу его верблюда и поблаго-
дарив его, братья вступили во владение своим
наследством.

КУДА ИСЧЕЗЛИ 100 ДИНАРОВ?

Трое друзей пообедали в ресторане на 2500 ди-
наров, Каждый из них заплатил по 1000 ди-
наров. Официант вернул им три купюры
по 100 динаров и одну в 200 динаров. Каж-
дый взял по 100 динаров, а поскольку делить
200 динаров на троих неудобно, они решили
отдать их официанту в качестве чаевых.

Так как каждый получил обратно по 100 ди-
наров, получается, что заплатили они по 900 ди-
наров с человека: 900 * 3 = 2700. Если к этой
сумме добавить 200 динаров чаевых, получится
2900 динаров. Куда же делись 100 динаров,
ведь каждый из троих друзей дал 1000 дина-
ров?

Решение. Каждый из друзей заплатил
по 900 динаров, что в сумме даёт 2700.
Из этих 2700 на оплату счёта ушло 2500,
на оплату чаевых - 200. Осталось 300 дина-
ров сдачи, из которых каждый из троих дру-
зей взял себе по 100.
ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА

Фермер должен перевезти на лодке волка, козу
и капусту с одного берега реки на другой.

Лодка у него настолько мала, что пере-
везти в ней можно или волка, или козу, или
капусту. Как быть фермеру в этой ситуации,
в какой очерёдности перевозить? Волка и козу
оставлять одних на берегу нельзя, потому что
волк съест козу. Оставить без присмотра козу
и капусту тоже нельзя. Как поступить фермеру,
чтобы перевезти весь свой груз без потерь?

Объяснение

Сначала фермер должен перевезти козу.
Затем ему нужно вернуться и перевезти ка-
пусту, а козу взять с собой в лодку. На бе-
регу фермер должен высадить козу, посадить
в лодку волка, перевезти его и высадить
на берег. Волк останется с капустой, а фер-
Материалы

О король

О два сына

О две лошади

О мудрец, который оказался рядом

Что делаем

У одного короля было два сына. Он никак
не мог решить, кому из них оставить трон,
и устроил испытание. Король велел сыновьям
сесть на коней и отъехать на милю от двор-
ца. Затем он объявил, что после него править
будет тот сын. чей конь доберётся до дворца
последним, и крикнул: «Вперёд!» Сыновья ехали
очень медленно, пока им не встретился мудрец.
Он дал королевичам совет, и они сломя голову
помчались к дворцу. Что сказал им мудрец?

Объяснение

Мудрец посоветовал им поменяться лошадьми,
и так они и сделали. Каждый оседлал скакуна
соперника, и ехал как можно быстрее, чтобы
его собственная лошадь пришла позже - ведь
по условию победит та, что придет последней.
ХИТРЫИ ПЕТАР

Петар купил тетрадь за 100 динаров. Выйдя
из магазина, он подумал, что мог бы купить
за 200 динаров тетрадь побольше, покрасивее
и потолще. Он вернулся в магазин и попро-
сил продавца дать ему тетрадь за 200 дина-
ров, а купленную за 100 динаров он вернёт.
Продавец потребовал доплатить ещё 100 дина-
ров. Петар на это ответил: «Я уже дал вам
100 динаров, а теперь вернул вам тетрадь,
которая стоит 100 динаров. Всего выходит
200 динаров, и мы в расчёте». Кто прав, про-
давец или Петар?

Решение. Прав продавец. Подумай почему.
ХИТРАЯ НЕВЕСТА

За одной девушкой ухаживали два юноши.
Один из них был беден, а другой богат.
Девушка любила бедного, и потому решила
пойти на хитрость. Невеста велела каждому
жениху написать речь на политическую тему,
и если она угадает автора, то выйдет за него
замуж, а если не угадает, то выйдет за того,
кто написал другую речь.

Как невеста обманула того, кого не люби-
ла, причем так, что тот ничего не заподозрил?

Объяснение

Допустим, бедного юношу зовут Драган,
а богатого - Петар. Девушка любит Драга-
на. Она возьмёт любую речь и скажет, что
её написал Драган. Если это его речь, она
выходит за него замуж согласно договорен-
ности. Если речь окажется не его, то получа-
ется, что Драган - это тот самый, кто напи-
сал другую речь Согласно условию, девушка
выходит за того, «кто написал другую речь»,
то есть опять-таки за Драгана.

Для

посдвинутых математикой

Выбрала ли невеста хорошего полити-
ка^Почему она полюбила бедного Дра-
ена? И верна ли пословица «Бедность

не порок»?
ДВА БРАТА, ДВЕ ДОРОГИ

На пути в город странник оказался на пере-
крестке дорог без указателей. Ему было из-
вестно, что поблизости находится дом, в кото-
ром живут два брата. Знал он и то. что один
из них всегда говорит правду, а второй все-
гда лжёт, но не знал, кто именно. Страннику
нужно узнать, какая дорога ведёт в город. Он
подошёл к дому, в котором жили братья. Пе-
ред домом как раз стоял один из них.

Странник задал ему только один вопрос
и сумел выяснить, по какой дороге надо идти.
Как мог звучать этот вопрос?

Объяснение

Странник спросил: «Что бы сказал твой
брат, если бы я спросил у него, какая из этих
дорог ведёт в город?» и пошёл по другой

дороге.

Для продвинутых математиков

6ь1ло 6Ь| решение таким же, если бы речь
шла о двух сестрах? А если бы это ₽

г и сестра/ в какой город мог
странник? И зачем он туда шёл?

были
идти
СУММА 18

В круги нужно вписать цифры от 1 до 9,
причем ни одна из них не должна повторять-
ся. Суммы чисел на углах каждого квадрата
должны составлять 18

7
Спасибо за выбор книг нашего издательства!
Поделитесь мнением
о только что прочитанной книге
Все права защищены. Книга или любая ее часть не может быть скопирована, воспроизведена
в электронной или механической форме, в виде фотокопии, записи в память ЭВМ репродук-
ции или каким-либо иным способом, а также использована в любой информационной систе-
ме без получения разрешения от издателя. Копирование, носпроизведение и иное исполь-
зование книги или ее части без согласия издателя является незаконным и влечет уголовную,
административную и гражданскую ответственность.

Издание для дополнительно! о образования
Косымша б!Л!м беруге арналган басылым

Для младшего и среднего школьного возраста
бастауыш жене орта мектеп жасына арналган

НАУКА В ШУТКУ И ВСЕРЬЁЗ

Мирко Дейч, Зоран Пеневский
УВЛЕКАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
иЯИЕВЕЗМА МАТЕ МАЛ КА

(орыс Т!лтде)

Текст Мирко Дейч, Зоран Пеневский
Мтгко Ое/1б, 7огап Репеузк/
Иллюст рации Душан Павлич Онзап РауИб

Ответственный редактор К Брызталова. Младший редактор Е. Романова
Технический редактор Л Зотова Компьютерная верстка Н. Билюкина
Корректор Н. Шаховская

Соответствует техническому регламенту ТР ТС 007/2011
Страна происхождения. Российская Федерация
Шыгарушы ел: Ресей Федерациясы

ООО Издательства -Эксмо»

123308 Россия г. Мос ква ул Зорге д 1,стр 1 эт 20 каб 2013 Тел.: 8(495/411-68-86
Ноте раде	екято.ги Е-та|1 тГсКо скзто.гц

енд|рушг • Издательство -Эксмо- ЖШК

123308. Ресей. Маскоу каласы, Зорге кешес,, 1-уй, 1-курылыс 20 кабат, 2013каб.

Тел. 8,495)411-68-86 Ноте раде итлт.екзто.м Е-таН тГойекгитюги.

Тауарбелпо. -Эксмо

Интернет-магазин лу?гЬос-к24ги
Инг епнег-маг азин: улуу/.Ьоок24 кг
Интернет-дукен улучу 1>оок24 кг

Импортер и Республику Казахстан ТОО РДЦ-Алмгиы-.
Казахстан Республикасына импорт ,аушы РДЦ-Алматы- ЖШС
Дисгрибькнор и представитель по приему претензий на продукцию
в Республике Казахстан ТОО РДЦ-Алматы

ТООРДЦАлма1ы Алматы, ул Домпровско, о 3«а-, литер Ь. офис 1
Дистрибьютор жене Казахстан Республикасында ен!мге шатымдар
кдбылдау жен!ндег1 окт--РДЦ-Алматы ЖШС
Алматы к., Домбровский кеш. 3 -а-, литер Б. офис 1.

Тел. 8(727)251-59-90/91/92 Е-та|Г ВОС-А1та1у®'екзто.кг

Сведения о подтверждении соответствия издания согласно законодательству РФ
о техническом ре, улироеании можно получить на сайте Издательс тва Эксмо
улм№.еквпто.ги/се1 ийса11оп

Техникалык ре, тсу туралы РФ заннамасына сай басылымнын сайкесппн растау
туралы мел1меттерд! мына адрес бойынша алута болады ЬНр.//екзлто.ги/сег1|11са1юп/

Произведено в Российской Федерации
Ресей Федерзциясында енд,р1лгрн
Сертификат -ауг.э жагтады

Дата изготовления / Подписано в печать 26 03.2026 Формат 60х90’/16.

Гарнитура «1пио». Печать офсетная Усл печ л 10.0.

Тираж экз. Заказ

Хочешь стать
автором «Эксмо»?

ТЕРИТОРИЯ

КНИЖНЫЙ МАГАЗИН

Официальная франшиза
издательства -Эксмо»

I кабина

ЧИТАЙ
ГОРОД

екзто.ги

Официальный
интернет магазин
издательства «Эксмо»

Издательств «Эксмо» — универсальное
издательство №1 в России, является
одним из лидеров книжного рынка Европы

ЭКСМО

О екзто.ги □ ОС екзто
Эта книга доказывает, что математика — это не
скучное нагромождение чисел и формул, а особый,
таинственный, ни на что не похожий мир, в котором
до сих пор совершаются удивительные открытия.
Здесь вы найдёте множество интересных задач.
Забавных заданий и занимательных фактов о числах
и цифрах. Эта книга научит думать, искать решения
и находить их там. где меньше всего ожидаешь!

Г ’ ,

I.

г <

/1

* 4

Г >



Удивительные научные факты
Числовые головоломки
Занимательные логические задачи
Старинные загадки
Необычные свойства чисел

15ВИ 978-5 04-227313-1

785042

273131

исмтамь
исс<леМамем?<!у

&льга феВосиина,
кандидат педагогических наук доцент,
методист, преподаватель

инига сдерем ^ение
Ми^ьнин ВуВет с азармом рема
.лаиЪесиоб мч>ш<лени
внимание. меиКси’