Атом физикасы

Däris №4
Däris taqyryby: Bor atomynyŋ modeli.
Jospary
1. Tomson modelı.
2. Rezerford modelı.
3. Atom iadrosynyŋ ornyqsyzdyğy. Atom spektrlerı.

Bor postulattary.
4. Bor modelı.

ТОМСОН МОДЕЛІ
1910 жылға қарай атомдардың құрамында электрондар бар екенін көрсеткен
эксперименттік мәліметтер (мысалы, рентген сәулелерінің атомдармен шашырауы,
фотоэлектрлік эффект және т.б.) жинақталды, Бұл тәжірибелер сонымен қатар атомдағы
электрондардың Z санын бағалауға мүмкіндік берді. Ол жобамен A/2-ге тең екенін анықталды,
мұнда A – атомның химиялық атомдық салмағы. Атомдар әдетте бейтарап болғандықтан,
олардың құрамында әдеттегі электрондар жиынтығы өткізетін теріс зарядқа тең оң заряд
болуы керек. Сонымен, бейтарап атомда теріс –Ze заряды бар, мұнда e – электронның
заряды. Электронның массасы ең жеңіл атомның массасымен салыстырғанда өте аз
болғандықтан, атом массасының көп бөлігі оң зарядпен байланысты болуы керек дегенді
білдіреді.
Бұл пікірлер табиғи түрде атом ішіндегі оң және теріс зарядтардың таралу мәселесіне
әкелді.

Дж.Дж.Томсон теріс зарядталған электрондар оң зарядтың үздіксіз үлестірілген шегінде
орналасқан атом моделін ұсынды. Оң зарядтың үлестірілуі атом 10–10 м радиусының
шамасында болатын сфералық формада болды. Олардың өзара тебілуінің арқасында
электрондар оң зарядтың сферасына біркелкі үлестіріледі. 4.1 суреті атомның «қара өрік
пудингі» моделін сипаттайды. Ең төменгі ықтимал энергия күйлерінде орналасатын атомда
электрондар тепе-теңдік күйлерінде бекітіледі. Қозған атомдарда (мысалы, жоғары
температурада материалдағы атомдар) электрондар тепе-теңдік позицияларына қатысты
тербеледі. Классикалық электрмагниттік теориясының болжамы бойынша, тербелетін
электрон сияқты үдетілген зарадталған дене электрмагниттік сәулелену шығарады. Томсон
моделіне сүйене отырып, қозған атомдармен осындай сәулелену шығаруды сапалы түсінуге
болады. Бірақта, эксперименттік бақыланатын спектрлермен сандық келісімі болған жоқ.

Сурет 4.1. Атомның Томсон моделі – электрондармен толтырылған оң
зарядталған сфера.

Мысал 4.1. (a) Біртекті оң тығыздығы бар заряд сфералық аймақтың ішінде (Томсон
сутегі атомы) бір –e заряды бар электрон бар делік. Кинетикалық энергиясы болғанда, оның
қозғалысы сфераның ортасында қарапайым гармоникалық тербеліс болуы мүмкін екенін
көрсетіңіз.
Электрон центрден сфераның радиусынан төмен a қашықтықта орналасса, Гаусс
заңынан Кулон заңын қолдана отырып, оған әсер ету күшін есептей алатынымыз
1
4 3
𝑒
𝜌𝑒𝑎
𝐹=−
∙
𝜋𝑎 𝜌 ∙ 2 = −
.
4𝜋𝜀0 3
𝑎
3𝜀0
мұнда (4/3)πa3 - a радиусты сфераның оң заряды.
Сондықтан,
F = – ka,
мұнда k=e/30 – тұрақты шама.
Егер а нүктесіндегі электрон бастапқы жылдамдықсыз босатылса, онда бұл күш
сфераның диаметрі бойымен қарапайым гармоникалық қозғалыс жасайды, өйткені ол
әрқашан орталыққа бағытталған және орталықтан ығысуға пропорционалды күшке ие.
(b) Бір электронның зарядына тең жалпы оң заряды r'=1.0×10 –10 м радиусты сферада
үлестірілген делік. Күштің k тұратықтысы мен электрон қозғалысының жиілігін анықтаңыз.
Анықтама бойынша,
𝑒
𝜌=
.
4
𝜋𝑟′3
3

Сонда
𝜌𝑒
𝑒
𝑒
𝑒2
9,0 ∙ 109 ∙ 1,6 ∙ 10−19
𝑘=
=
∙
=
=
3𝜀0 4 𝜋𝑟′3 3𝜀0 4𝜋𝜀0 𝑟 ′ 3
1,0 ∙ 10−10 3
3
Қарапайым гармоникалық тербелістің жиілігі

2

= 2,3 ∙ 102 м−1 .

1
𝑘
1
2,3 ∙ 102
=
∙
=
∙
= 2,5 ∙ 1015 с−1 .
−31
2𝜋
𝑚 2𝜋
9,11 ∙ 10
Антеннада тербелетін электрондар сияқты, атом шығаратын сәулелену дәл сондай
жиілікке ие болғандықтан, оның толқын ұзындығы
𝑐
3 ∙ 108
= =
= 1,2 ∙ 10−7 м = 1200 Å.
15
 2,5 ∙ 10
электрмагниттік спектрдің алыс ультракүлгін аймағында орналасады.
Томсон атомының ішіндегі кез-келген радиустың тұрақты дөңгелек орбитасында
қозғалатын электронның бірдей жиілікте айналатындығын, сондықтан ол сол жиілікте
шығарылатындығын көрсету оңай. Әрине, оң заряд сферасының тағы бір радиусы басқа
жиілікті береді. Бірақ Томсонның сутегі атомының тек бір сипаттамалық сәулелену жиілігі бар
екендігі сутегі спектрінде байқалатын әртүрлі жиіліктердің өте көп санына қайшы келеді.

Томсон моделінің кемшіліктерінің дәлелін 1911 ж. Томсонның бұрынғы шәкірті Эрнест
Резерфорд α-бөлшектерді атомдармен шашырату эксперименттерін талдау нәтижесінде
көрсетті. Резерфордтің талдауы бойынша, атомға таралудың орнына оң заряд атомның
ортасындағы өте кішкентай аймақта – ядрода - шоғырланған. Бұл атом физикасындағы
маңызды жетістіктердің бірі болды және ядролық физика негізін қалады.
«Элементтердің ыдырауына қатысты зерттеулері мен радиоактивті заттар химиясы
үшін» Резерфорд 1908 жылы Нобель сыйлығына ие болды. Сол кезде элементтердің кезкелген зерттеулері химия саласына жатқызылды.

α-бөлшектер
радиоактивті
материалдармен
жоғары
жылдамдықпен
тосын
шығарылатын екі дүркін иондалған гелий атомдары (яғни, екі электронды жоғалтқан He
атомдары) екендігі Резерфорд кезінде мәлім болды. әртүрлі заттардың жұқа қабықшаларынан
өту кезінде бөлшектердің шашырауын зерттеуге арналған типтік схемасы 4.2 суретте
келтірілшен. Радиоактивті көз жұп диафрагмалармен тар параллель шоқта жиналатын αбөлшектерді шығарады. Параллель сәуле кез-келген заттан, әдетте металдан, жасалған
фольгаға түседі. Фольга соншалықты жұқа болғандықтан, бөлшектер жылдамдығы аздап
төмендейді.
Алайда, фольгадан өткен кезде әр бөлшек өзінің заряды мен фольга
атомдарының оң және теріс заряды арасында әрекет ететін Кулон күшіне байланысты
көптеген шағын ауытқуларға ұшырайды.

Сурет 4.2. α-бөлшектердің шашырау
экспериментін ұйымдастыру. Бөлшектер өту
жолындағы көлем вакуумдалынады.

α-бөлшектің бір атомнан өткен кездегі ауытқуы оның атомнан өту траекториясына
тәуелді болғандықтан, бүкіл фольгадан өткен кезде шоқтың әртүрлі α-бөлшектердің таза
ауытқу әр түрлі болады. Нәтижесінде сәуле фольгадан параллель сәуле ретінде емес,
жинақсыз сәуле болып шығады. Шоқ алшақтауының сандық өлшемі  мен +d бұрыштық
аукымынында шашыраңқы болатын α-бөлшектердің санын өлшеу арқылы анықталады. αбөлшектер детекторы ZnS кристалды қосылысының қабаты мен микроскоптан тұрады. α
бөлшегі түскен кезде ZnS кристалында шағын жарқ етуі байқалады. Микроскоптың көмегімен
бір α бөлшектің түскеннен туындаған жарқ етуді ажыратуға болады. Экспериментте
бақылаушы детектордың бұрыштық орналасуына қатысты уақыт бірлігінде шығарылатын жарқ
ету санын есептейді.
Фольга арқылы өткен кезде α-бөлшекті қабылдамайтын атомдар санын N білдірсін. Егер
 бір атомнан өткен кезде 4.3 суреттегідей ауытқу бұрышын білдірсе, ал  – бұл
траекториядағы барлық атомдар арқылы фольгадан өткен кезде таза ауытқу болса, сонда
статистикалық теория мынаны көрсетеді
2

1/2

= 𝑁

𝜃2

1/2

(4.1)

Сурет 4.3. Атомның Томсон моделінен α-бөлшектің өтуі. 
бұрышы α-бөлшектің ауытқуын анықтайды.

1/2

1/2

Мұнда 2
– таза орташа квадратты уытқуы немесе шашырау бұрышы, және ϴ2
– бір атомнан ауытқудың орташа квадратты шашырау бұрышы. 𝑁 коэффициенті ауытқудың
кездейсоқтылығынан тәуелді. Егер де барлық ауытқулар бір бағытта болса, 𝑁 орнына N
алынады. Жалпы жағдайда статистикалық теория бойынша, шашыраған α-бөлшектердің
бұрыштық үлестірілуі мынадай болады:
2
−
2𝐼
𝑁  𝑑 = 2 ∙ 𝑒 2 𝑑,
(4.2)

мұнда N()d – (; +d) бұрыштық ауқымында шашыраған α-бөлшектердің саны, I –
фольгадан өткен α-бөлшектердің саны.
α-бөлшекке қарағанда электронның массасы анағұрлым төмен болғандықтан,
электрондар әсерінен α-бөлшектердің ауытқулары шағын болады. r'10–10 м радиусты
Томсонның атомы көлемінде оң заряд үлестірілгендіктен, α-бөлшектің күшті ауытқуын
тудыратын кулондық тербілісін қалыптастыруы мүмкін емес.
Шынында, Томсон моделін қолдансақ, бір атом тудыратын ауытқу 10–4 рад құрайды.
Бұл нәтиже және (4.1)-(4.2) формулалары Томсонның атомы моделімен α-бөлшектер
шашырауының болжамдары болып табылады. Резерфорд әоіптестерімен бірге осы
болжамдарды тексерді.

Мысал 4.2. (a) Типтік экспериментте (Гейгер және Марсден, 1909) α-бөлшектер 10–6 м
қалындығы бар алтын ұлпамен шашыратылады. Шашыраудың орташа бұрышы
2

1/2

≅ 1° ≅ 2 ×

10−2

рад құрайды.

𝜃2

1/2

есептеңіз.

α-бөлшек өтетін атомдар саны шамамен фольға қалындығының атом диаметріне
қатынасына тең. Сондықтан,
10−6
𝑁 ≅ −10 = 104.
10
(4.1) формуладан бір атомнан өту кезіндегі ауытқудың орташа бұрышы анықталады:
2

1/2

−2
2
∙
10
4 рад.
𝜃2
=
≅
≈
2
∙
10
102
𝑁
бұл Томсон атомының бағалауына ( <10–4 рад) қайшы болмайды.
1/2

1/2

(b) α-бөлшектердің 99%-ы 3°-тан төмен бұрыштарда шашырайды. 2
үшін 1°
бұрыштағы өлшеулер осы диапазондағы  бұрыштардың N()d үшін (4.2) формулаға сәйкес
келеді. Бірақ, үлкен бұрыштарда шашыраған аздаған бөлшектердің бұрыштық үлестірілуі (4.2)
формулаға сәйкестенбейді.
90°-тан жоғары бұрыштарды шашыраған α-бөлшектердің үлесі N(>90)/I шамамен 10–4
құрайды. (4-2) формула нені болжамдайды?
𝑁

>90°
𝐼

=

180°
90° 𝑁

𝐼

 𝑑

= 𝑒−

90 2

= 10−3500 .

Бұл нәтиженің эксперимент 10–4 мәнінен айырмашылығы бар.
Жалпы шашыраған α-бөлшектердің саны бірнеше градустан асатын барлық шашырау
бұрыштары үшін болжамдаған санынан үлкен болады.

Үлкен бұрыштарда шашыраудың кішкентай, бірақ нөлдік емес ықтималдығының болуын
Томсон атомының моделі тұрғысынан түсіндіру мүмкін емес, ол негізінен көптеген атомдардың
кішкене бұрыштарында шашырауды білдіреді. Осы модель тұрғысынан ойлауға дағдыланған
ғалымдар үшін кейбір α-бөлшектердің өте үлкен бұрыштарда, 180°дейін ауытқып кетуі үлкен
тосынсый болды. Резерфордтың айтуынша: "бұл менің өмірімде болған ең керемет оқиға
болды. Егер сіз 15 дюймдік снарядты қағаз парағына атып тастасаңыз, ол қайтып ұшып келіп,
сізге тігендей болады".
Әр түрлі қалыңдықтағы фольганы қолдану арқылы жүргізілген тәжірибелер үлкен
бұрыштағы шашырау саны α-бөлшекпен өтетін атомдар N санына пропорционалды екенін
көрсетті. Бұл бір атомның өтуі кезінде α-бөлшектің үлкен бұрышпен шашырауы мүмкіндігі аз
болатын кездегі пайда болатын N-ге тәуелділік. Мұндай жағдай Томсон атомының моделінде
болмайды және 1911 жылы Резерфорд жаңа моделін ұсынды.

РЕЗЕРФОРД МОДЕЛІ
Резерфордтың атом құрылымының моделінде атомның барлық оң заряды, демек, оның
бүкіл массасы ядро деп аталатын орталықтағы кішкене аймақта шоғырланған деп болжанады.
Егер ядроның мөлшері жеткілікті кішкентай болса, оған өте жақын өтетін α-бөлшекті бір атом
өткен кезде үлкен бұрышта күшті Кулон тебілісімен шашыратуға болады. Ауытқудың
максималды бұрышына 10–4 рад әкелетін Томсон атомының оң зарядының үлестірілу
радиусы r'=10–10 м қолданылады. 1 рад алу үшін ядро радиусы r'=10–14 м құрайды. Бұл атом
ядросының радиусын жақсы бағалау болып табылады.
Резерфорд ұсынылған моделіндегі атомдардан α-бөлшектерді шашыратуының
бұрыштық үлестірілудің егжей-тегжейлі есебін жасады. Есептеу тек бірнеше градустан асатын
бұрыштардың шашырауына қатысты болды. Сондықтан, атом электрондары тудыратын
шашыруды ескермеуге болады. Сонда шашырату оң зарядталған α-бөлшек пен оң
зарядталған ядро арасындағы кулондық тебілу күшінің әсерінен болады. Оған қоса,
есептеулерде тек ауыр атомдардың шашырауы ескерілді, бұл ядроның массасы α-бөлшектің
массасымен салыстырғанда соншалықты үлкен, сондықтан шашырау процесі кезінде ядро
айтарлықтай серпілмейді (кеңістікте қозғалмайды). Сондай-ақ, α-бөлшек іс жүзінде ядролық
аймаққа енбейді, сондықтан бөлшек пен ядро (екеуі де сфералық деп саналады) Кулон күшіне
қатысты нүктелік заряд ретінде әрекет етеді.

4.4 суретте +Ze заряды бар ядроның қасында өту кезінде +ze заряды мен M массына
ие α-бөлшектің шашырауы көрсетілген. Ядро координаталар жүйесінің басында бекітілген.
Бөлшек ядродан алыс болғанда, оған әсер ететін Кулон күші әлсіз болады және бөлшек түзу
бойымен тұрақты v жылдамдықпен ядроға жақындайды.
Шашырағаннан кейін бөлшек қайтадан түзі
бойымен тұрақты v‘ жылдамдықпен қозғала
бастайды. Ядроға қатысты бөлшектің орналасуы r
радиалдық координатасымен және  полярлық
бұрышымен анықталады. Соңғысы траекторияның
бастапқы сызығына параллель өткізілген осьтен
өлшенеді. Осы осьтен бастапқы қозғалысының
сызығына дейінгі перпендикуляр арақашықтық
әсер ету b параметрі деп аталады.

Сурет 4.4. r,  полярлық координаталарды және b, D параметрлерді көрсететін Резерфордтың
гиперболалық траекториясы. Осы қос параметр толығымен траекторияны аныйқтайды, соның ішінде
шашырау  бұрышы және жақындау R арақашықтығы. Ядролық нүктелік заряд Ze гипербола тармағының
фокусында орналасады.

Шашырау  бұрышы – бұл координалар басынан соңғы қозғалыстың сызығына
параллель өткізілген сызық пен ось арасындағы бұрыш. Айтылған қос сызық арасындағы
перпендикуляр қашықтық b‘ тең.
Мысал 4.3. v=v' және b=b' теңдіктерді дялелдеп көрсетіңіз.
Кулон күші болғандықтан, бөлшекке әсер ететін күш әрқашан радиалды бағытта
болады. Демек, координаталар басына қатысты бөлшектің бұрыштық моменті тұрақты L мәнге
ие. Атап айтқанда, бөлшектің бастапқы бұрыштық моменті соңғы бұрыштық моментке тең,
немесе
Mvb=Mv'b'=L
Әрине, шашырау кезінде бөлшектің кинетикалық энергиясы тұрақты болмайды, бірақ
бастапқы кинетикалық энергия соңғы кинетикалық энергияға тең болуы керек, өйткені ядро
тұрақты болып қалады деп болжанады. Осылайша
1
1
2
𝑀𝑣 = 𝑀𝑣′2 .
2
2
Сондықтан, v=v' және 4.4 суретте көрсетілгендей алдыңғы теңдеуден b=b'.

By a straightforward calculation of classical mechanics, using the repulsive Coulomb force
(1/4π0)(zZe2/r2), we can obtain the following equation for the trajectory of the a particle
1
𝑟

1
𝑏

= sin 𝜑 +

𝐷
2𝑏2

cos 𝜑 − 1

(4.3)

the equation of a hyperbola in polar coordinates. Here D is a constant, defined by
𝐷=

1
4𝜋𝜀0

∙

𝑧𝑍𝑒 2
𝑣2
𝑀2

.

(4.4)

It is a convenient parameter equal to the distance of closest approach to the nucleus in a
head-on collision (b=0), since D is the distance at which the potential energy (1/4π0)(zZe2/D) is
equal to the initial kinetic energy Mv2/2 (simply equate the two and solve for D). At this point the
particle would come to a stop and then reverse its direction of motion. The scattering angle  follows
from (4.3) by finding the value of  as r and setting =π–. In this way we find
𝜃
2𝑏
cot = .
(4.5)
2

𝐷

Example 4-4. Evaluate R, the distance of closest approach of the particle to the center of the
nucleus (the origin in Fig.4-4).
The radial coordinate r will equal R when the polar angle is =π–. Evaluating (4.3) for this
angle, we get

Now, from (4-5) we can put

and, after some manipulation, obtain

or
(4.6)

This result can be checked physically. Note that as π, corresponding to b=0 or a head-on
collision, RD, the distance of closest approach. Also, as 0, corresponding to no deflection at all,
both b and R go to infinity, as would

From (4.5) we see that, in the scattering of an α particle by a single nucleus, if the impact
parameter is in the range b to b+db then the scattering angle is in the range  to +d, where the
relation between b and  is given by the equation.
This is illustrated in Fig.4-5. The problem of calculating the number N()d of αparticles
scattered into the angular range  to +d in traversing the entire foil is therefore equivalent to the
problem of calculating the number which are incident, with impact parameter from b to b+db, upon the
nuclei in the foil. As we show in the following example, the result is
(4.7)
where I is the number of αparticles incident on a foil of thickness t cm containing  nuclei per cubic
centimeter.

Figure 4-5. The relation between the impact
parameter b and the scattering angle . As b increases
(less close nuclear approach) the angle  decreases
(smaller scattering angle). The α particles with impact
parameters between b and b+db are scattered into the
angular range between  and +d

Example 4-5. Verify (4-7).
Consider a segment of the foil with a cross-sectional area of 1 cm 2, as shown in Fig.4-6. A ring,
of inner radius b and outer radius b+db, is drawn around an incident axis passing through each
nucleus, the area of each ring being 2πbdb. The number of such rings in this segment of the foil is t.
The probability that an a particle will pass through one of these rings, P(b)db, is equal to the total area
obscured by the rings, as seen by the incident α particles, divided by the total area of the segment. We
assume the foil to be thin enough that we can ignore overlapping of rings from different nuclei. The
process involves single scattering and the probability for appreciable scattering by more than one
nucleus is very low. Hence
P(b)db=t2πbdb.
but b=(D/2)cot(/2) so that

and

Figure 4-6. A beam of a particles incident on a foil of 1 cm 2 area and
thickness t cm. The rings, which are purely geometrical constructs and not
anything physical, are centered on nuclei. Actually there are enormously many
more rings than shown and the rings are very much smaller than shown.

Thus
But –P(b)db is equal to the probability that the incident particles will be scattered into the
angular range  to +d. The minus sign arises from the fact that a decrease in b, i.e., –db,
corresponds to an increase in , i.e., +d. Using our earlier notation  for the scattering angle in
passing through the entire foil, this is

Finally, with D=(1/4π0)zZe2/(Mv2/2), we obtain (4.7).
If we compare the Rutherford atom result, (4.7), to the Thomson atom result, (4.2), we see
that although the angular factor decreases rapidly with increasing angle in both, the decrease is
very much less rapid for Rutherford's prediction. Large angle scattering is very much more probable
in single scattering from a nuclear atom than in multiple small angle scattering from a plum pudding
atom.

Detailed experimental tests of (4.7) were performed within a few months of its derivation by
Geiger and Marsden, with the following results:
1. The angular dependence was tested, using foils of Ag and Au, over the angular range 5° to
150°. Although N()d varies by a factor of about 105 over this range, the experimental data remained
proportional to the theoretical angular distribution to within a few percent.
2. The quantity N()d was found indeed to be proportional to the thickness t of the foil for a
range of about 10 in thickness for all the elements investigated.
3. Equation (4.7) predicts that the number of scattered a's will be inversely proportional to the
square of their kinetic energy, Mv2/2. This was tested by using α particles from several different
radioactive sources and the predicted energy dependence was confirmed experimentally over an
available energy variation of about a factor of 3.
4. Finally, the equation predicts N()d to be proportional to (Ze)2, the square of the nuclear
charge. At the time Z was not known for the various atoms. Assuming (4.7) to be valid, the experiment
was used to determine Z and it was found that Z was equal to the chemical atomic number of the
target atoms. This implied that the first atom, H, in the periodic table contains one electron, the second
atom, He, contains two electrons, the third atom, Li, contains three, etc., since Z is also the number of
electrons in the neutral atom. This result was soon independently confirmed by x-ray techniques that
will be discussed later.

Rutherford, his model now confirmed, was able to put limits on the size of the nucleus. The
distance of closest approach, D, is the smallest value that R takes on, which is R at =180°. Hence

The nucleus radius must be no larger than D because the results are based on the
assumption that the force acting on the a particle is always strictly a Coulomb force between two
point charges. This assumption would not be true if the particle penetrated the nuclear region at its
distance of closest approach. The previous equation shows that R180o decreases as Z decreases.
The question arises: How much can R180o decrease before R180o is less than the nuclear radius?
Departures from the predicted Rutherford scattering were actually observed from the very light (low
Z) nuclei. Part of this was due to a violation, for the very light nuclei, of the assumption that the
nuclear mass is large compared to the alpha particle mass; however, deviations remained even
after the finite nuclear mass was taken into account in the theory. This suggests that penetration of
the nucleus occurs in these cases thereby altering the predicted scattering. Hence, the nuclear
radius can be defined as the value of R at the limiting scattering angle, or limiting incident energy, at
which deviations from Rutherford scattering set in.

In Fig.4-7, for example, we show data from Rutherford's group for the scattering of α particles,
of various energies, at a fixed large angle from an Al foil. The ordinate is the ratio of the observed
number of scattered particles to the number predicted by the Rutherford theory (corrected for the
finite nuclear mass). The abscissa is the distance of closest approach calculated from (4.6). These
data imply that the radius of the Al nucleus is about 10–14 m=10 F. (The unit of distance used in
nuclear physics is the fermi, which equals 10–15 m. Note that 1 F=10–5 Å, where Å, the angstrom, is
the unit used in atomic physics.)
The Rutherford scattering formula, (4.7), is usually expressed in terms of a differential cross
section d/d. This quantity is defined so that the number dN of α particles scattered into a solid
angle d at scattering angle  is
(4.8)

if I α particles are incident on a target foil containing n
nuclei per square centimeter.

Figure 4-7. Sorte data obtained in the scattering of α particles
from a radioactive source by aluminium. The abscissa is the
distance of closest approach to the nuclear center.

The definition is analogous to the definition of a cross section : N=In.
It is illustrated in Fig.4-8. The solid angle d, which is essentially a twodimensional angular
range, is measured numerically by the area which the angular range includes on a sphere of unit radius
centered where the scatterings occur. For Rutherford scattering, which is symmetric about the axis of
the incident beam, we are interested in the solid angle d corresponding to all events in which the
scattering angle lies in the range d at . As is shown in the figure
d=2πsind.
Using this in (4.7), writing N()d in that equation as
dN, and also writing the term t appearing there as n, we
immediately obtain

Comparison with the definition of (4.8) then shows that
the Rutherford scattering differential cross section is

(4.9)
Figure 4-8. Illustrating the definition of the differential cross
section d/d. If the target is thin enough for an incident
particle to have negligible chance of interacting with more
than one nucleus while passing through the target, then
dN=(d/d )Ind

THE STABILITY OF THE NUCLEAR ATOM
The detailed experimental verification of the predictions of Rutherford's nuclear model of the
atom left little room for doubt concerning the validity of the model. At the center of the atom is a
nucleus whose mass is approximately that of the entire atom and whose charge is equal to the
atomic number Z times e; around this nucleus there exist Z electrons, neutralizing the atom as a
whole. But serious questions emerge about the stability of such an atom. If we assume, for
example, that the electrons in the atom are stationary, there exists no stable arrangement of the
electrons which would prevent the electrons from falling into the nucleus under the influence of its
Coulomb attraction. We cannot allow the atom to collapse (back to a nuclear-sized plum pudding)
because then its radius would be of the order of a nuclear radius, which is four orders of magnitude
smaller than diverse experiments show the radius of the' atom to be.

At first glance it seems that we can simply allow the electrons to circulate about the nucleus in
orbits similar to the orbits of the planets circulating about the sun. Such a system can be stable
mechanically, as is the solar system. A serious difficulty arises, however, in trying to carry over this
idea from the planetary system to the atomic system. The problem is that the charged electrons
would be constantly accelerating in their motion around the nucleus and, according to classical
electromagnetic theory, all accelerating charged bodies radiate energy in the form of
electromagnetic radiation. The energy would be emitted at the expense of the mechanical energy of
the electron, and the electron would spiral into the nucleus. Again we have an atom which would
rapidly collapse to nuclear dimensions. (For an atom of diameter 10–10 m the time of collapse can be
computed to be 10–12 sec!) Furthermore, the continuous spectrum of the radiation that would be
emitted in this process is not in agreement with the discrete spectrum which is known to be emitted
by atoms.
This difficult problem of the stability of atoms actually led to a simple model of atomic
structure. A key feature of this very successful model, proposed by Niels Bohr in 1913, was the
prediction of the spectrum of radiation emitted by certain atoms. Hence, it is appropriate at this point
to describe some of the principal features of such spectra.

ATOMIC SPECTRA
A typical apparatus used in the measurement of atomic spectra is indicated in Fig.4-9. The
source consists of an electric discharge passing through a region containing a monatomic gas. Owing
to collisions with electrons, and with each other, some of the atoms in the discharge are put into a state
in which their total energy is greater than it is in a normal atom. In returning to their normal energy
state, the atoms give up their excess energy by emitting electromagnetic radiation. The radiation is
collimated by the slit and then it passes through a prism (or diffraction grating for better resolution)
where it is broken up into its wavelength spectrum which is recorded on the photographic plate.
The nature of the observed
spectra is indicated on the photographic
plate. In contrast to the continuous
spectrum of electromagnetic radiation
emitted, for instance, from the surface of
solids at high temperature, the
electromagnetic radiation emitted by
free atoms is concentrated at a number
of discrete wavelengths.
Figure 4-9. Schematic of an apparatus
used to measure atomic spectra

Each of these wavelength components is called a line because of the line (image of the slit)
which it produces on the photographic plate. Investigation of the spectra emitted from different kinds
of atoms shows that each kind of atoms has its own characteristic spectrum, i.e., a characteristic set
of wavelengths at which the lines of the spectrum are found. This feature is of greatest practical
importance because it makes spectroscopy a very useful addition to the usual techniques of
chemical analysis. Chiefly for this reason much effort was devoted to the accurate measurement of
atomic spectra, and, in fact, much effort was needed because the spectra consist of many hundreds
of lines and in general are very complicated.
However, the spectrum of hydrogen is relatively simple. This is perhaps not surprising since
hydrogen, which contains just one electron, is itself the simplest atom. Most of the universe consists
of isolated hydrogen atoms so that the hydrogen spectrum is of considerable practical interest.
There are historical and theoretical reasons as well for studying it, as will become apparent later.

Fig.4-10 shows that part of the atomic hydrogen spectrum which falls approximately within the
wavelength range of visible light. We see that the spacing, in wavelengths, between adjacent lines of
the spectrum continuously decreases with decreasing wavelength of the lines, so that the series of
lines converges to the so-called series limit at 3645.6 Å. The short wavelength lines, including the
series limit, are hard to observe experimentally because of their close spacing and because they are in
the ultraviolet.
The obvious regularity of the H spectrum tempted several people to look for an empirical formula
which would represent the wavelength of the lines. Such a formula was discovered in 1885 by Balmer.
He found that the simple equation
(in Å units)
where n=3 for Hα, n=4 for Hβ, n=5 for H, etc., was able to predict the wavelength of the first nine lines
of the series, which were all that were known at the time, to better than one part in 1000.

Figure 4-10. A photograph of the visible part of the
hydrogen spectrum. (Spectrum from W.Finkelnburg,
Structure of Matter, Springer-Verlag, Heidelberg, 1964.)

This discovery initiated a search for similar empirical formulas that would apply to series of
lines which can sometimes be identified in the complicated distribution of lines that constitute the
spectra of other elements. Most of this work was done around 1890 by Rydberg, who found it
convenient to deal with the reciprocal of the wavelength of the lines, instead of their wavelength. In
terms of reciprocal wavelength k the Balmer formula can be written
k=1/=RH(1/22–1/n2)

n=3,4,5,…

(4.10)

where RH is the so-called Rydberg constant for hydrogen. From recent spectroscopic data, its
value is known to be
RH=10967757.6±1.2 m–1.

This indicates the accuracy possible in spectroscopic measurements.
Formulas of this type were found for a number of series. For instance, we now know of the
existence of five series of lines in the hydrogen spectrum, as shown in Table 4-1.

Table 4-1. The Hydrogen Series

For alkali element atoms (Li, Na, K, . . .) the series formulas are of the same general
structure. That is
(4.11)
where R is the Rydberg constant for the particular element, a and b are constants for the particular
series, m is an integer which is fixed for the particular series, and n is a variable integer. To within
about 0.05% the Rydberg constant has the same value for all elements, although it does show a
very slight systematic increase with increasing atomic weight.

We have been discussing the emission spectrum of an atom. A closely related property is the
absorption spectrum. This may be measured with apparatus similar to that shown in Fig.4-9 except
that a source emitting a continuous spectrum is used and a glass-walled cell, containing the
monatomic gas to be investigated, is inserted somewhere between the source and the prism. After
exposure and development, the photographic plate is found to be darkened everywhere except for a
number of unexposed lines. These lines represent a set of discrete wavelength components which
were missing from the otherwise continuous spectrum incident upon the prism, and which must have
been absorbed by the atoms in the gas cell. It is observed that for every line in the absorption
spectrum of an element there is a corresponding (same wavelength) line in its emission spectrum;
however, the reverse is not true. Only certain emission lines show up in the absorption spectrum. For
hydrogen gas, normally only lines corresponding to the Lyman series appear in the absorption
spectrum; but, when the gas is at very high temperatures, e.g., at the surface of a star, lines
corresponding to the Balmer series are found.

BOHR'S POSTULATES
All these features of atomic spectra, and many more which we have not discussed, must be
explained by any successful model of atomic structure. Furthermore, the very great precision of
spectroscopic measurements imposes severe requirements on the accuracy with which such a model
must be able to predict the quantitative features of the spectra.
Nevertheless, in 1913 Niels Bohr developed a model which was in accurate quantitative
agreement with certain of the spectroscopic data (e.g., the hydrogen spectrum). It had the additional
attraction that the mathematics involved was very easy to understand. Although the student has
probably seen something of Bohr's model in studying elementary physics, or chemistry, we shall
consider it in detail here in order to obtain various results that we shall want to make comparisons with
elsewhere in this book, and also in order to take a careful look at the rather confusing postulates on
which the model is based. These postulates are:

1. An electron in an atom moves in a circular orbit about the nucleus under the influence of
the Coulomb attraction between the electron and the nucleus, obeying the laws of classical
mechanics.
2. Instead of the infinity of orbits which would be possible in classical mechanics, it is only
possible for an electron to move in an orbit for which its orbital angular momentum L is an integral
multiple of ħ, Planck's constant divided by 2π.
3. Despite the fact that it is constantly accelerating, an electron moving in such an allowed
orbit does not radiate electromagnetic energy. Thus, its total energy E remains constant.
4. Electromagnetic radiation is emitted if an electron, initially moving in an orbit of total energy
Ei, discontinuously changes its motion so that it moves in an orbit of total energy Ef. The frequency
of the emitted radiation v is equal to the quantity (Ei–Ef) divided by Planck's constant h.

The first postulate bases Bohr's model on the existence of the atomic nucleus. The second
postulate introduces quantization. Note the difference, however, between Bohr's quantization of the
orbital angular momentum of an atomic electron moving under the influence of an inverse square
(Coulomb) force
L=nħ,
n = 1, 2, 3, ...
(4.12)
and Planck's quantization of the energy of a particle, such as an electron, executing simple
harmonic motion under the influence of a harmonic restoring force : E=nh, n=0,1,2, ....

We shall see in the next section that the quantization of the orbital angular momentum of the
atomic electron does lead to the quantization of its total energy, but with an energy quantization
equation which is different from Planck's equation. The third postulate removes the problem of the
stability of an electron moving in a circular orbit, due to the emission of the electromagnetic radiation
required of the electron by classical theory, by simply postulating that this particular feature of the
classical theory is not valid for the case of an atomic electron. The postulate was based on the fact
that atoms are observed by experiment to be stable – even though this is not predicted by the
classical theory. The fourth postulate
(4.13)
is really just Einstein's postulate that the frequency of a photon of electromagnetic radiation is equal
to the energy carried by the photon divided by Planck's constant.
These postulates do a thorough job of mixing classical and nonclassical physics. The electron
moving in a circular orbit is assumed to obey classical mechanics, and yet the nonclassical idea of
quantization of orbital angular momentum is included. The electron is assumed to obey one feature
of classical electromagnetic theory (Coulomb's law), and yet not to obey another feature (emission
of radiation by an accelerated charged body). However, we should not be surprised if the laws of
classical physics, which are based on our experience with macroscopic systems, are not completely
valid when dealing with microscopic systems such as the atom.

BOHR'S MODEL
The justification of Bohr's postulates, or of any set of postulates, can be found only by
comparing the predictions that can be derived from the postulates with the results of experiment.
Consider an atom consisting of a nucleus of charge +Ze and mass M, and a single electron of
charge –e and mass m. For a neutral hydrogen atom Z=1, for a singly ionized helium atom Z=2, for
a doubly ionized lithium atom Z=3, etc. We assume that the electron revolves in a circular orbit
about the nucleus. Initially we suppose the mass of the electron to be completely negligible
compared to the mass of the nucleus, and consequently assume that the nucleus remains fixed in
space. The condition of mechanical stability of the electron is
(4.14)
where v is the speed of the electron in its orbit, and r is the radius of the orbit. The left side of this
equation is the Coulomb force acting on the electron, and the right side is ma, where a is the
centripetal acceleration keeping the electron in its circular orbit.

Now, the orbital angular momentum of the electron, L=mvr, must be a constant, because the
force acting on the electron is entirely in the radial direction. Applying the quantization condition,
(4.12), to L, we have
(4.15)
Solving for y and substituting into (4.14), we obtain

so
(4.16)

(4.17)

The application of the angular momentum quantization condition has restricted the possible
circular orbits to those of radii given by (4.16). Note that these radii are proportional to the square of
the quantum number n. If we evaluate the radius of the smallest orbit (n=1) for a hydrogen atom
(Z=1) by inserting the known values of h, m, and e, we obtain r=5.3×10–11m0.5 Å. We shall show
later that the electron has its minimum total energy when in the orbit corresponding to n=1.
Consequently we may interpret the radius of this orbit as a measure of the radius of a hydrogen
atom in its normal state. It is in good agreement with the estimate, mentioned previously, that the
order of magnitude of an atomic radius is 1 Å. Hence, Bohr's postulates predict a reasonable size
for the atom. Evaluating the orbital velocity of an electron in the smallest orbit of a hydrogen atom
from (4.17), we find v=2.2×106 m/sec. It is apparent from the equation that this is the largest velocity
possible for a hydrogen atom electron. The fact that this velocity is less than 1% of the velocity of
light is the justification for using classical mechanics instead of relativistic mechanics in the Bohr
model. On the other hand, (4.17) shows that for large values of Z the electron velocity becomes
relativistic; the model could not be applied in such cases. That equation also makes it apparent why
Bohr could not allow the quantum number n ever to assume the value n=0, as it may in Planck's
quantization equation.

max=5100 Å, =1 Å=10–10 m.)

Next we calculate the total energy of an atomic electron moving in one of the allowed orbits.
Let us define the potential energy to be zero when the electron is infinitely distant from the nucleus.
Then the potential energy V at any finite distance r can be obtained by integrating the work that
would be done by the Coulomb force acting from r to . Thus

The potential energy is negative because the Coulomb force is attractive; it takes work to
move the electron from r to infinity against this force. The kinetic energy of the electron, K, can be
evaluated, with the aid of (4.14), to be

max=5100 Å, =1 Å=10–10 m.)

The total energy of the electron, E, is then

Using (4-16) for r in the preceding equation, we have
(4.18)
We see that the quantization of the orbital angular momentum of the electron leads to a
quantization of its total energy.

max=5100 Å, =1 Å=10–10 m.)

The information contained in (4.18) is presented as an energy-level diagram in Fig.4-11. The
energy of each level, as evaluated from (4.18), is shown on the left, in terms of joules and electron
volts, and the quantum number of the level is shown on the right.
The diagram is so constructed that the
distance from any level to the level of zero
energy is proportional to the energy of that level.
Note that the lowest (most negative) allowed
value of total energy occurs for the smallest
quantum number n=1. As n increases, the total
energy of the quantum state becomes less
negative, with E approaching zero as n
approaches infinity. Since the state of lowest
total energy is, of course, the most stable state
for the electron, we see that the normal state of
the electron in a one-electron atom is the state
for which n=1.

Figure 4-11. An energy-level diagram
hydrogen atom

for the

Example 4-6. Calculate the binding energy of the hydrogen atom (the energy binding the
electron to the nucleus) from (4.18). The binding energy is numerically equal to the energy of the
lowest state in Fig.4-11, corresponding to n=1 in (4.18). This yields, with Z=1

which agrees very well with the experimentally observed binding energy for hydrogen.
Next we calculate the frequency  of the electromagnetic radiation emitted when the electron
makes a transition from the quantum state n i to the quantum state n f, that is, when an electron
initially moving in an orbit characterized by the quantum number ni discontinuously changes its
motion so that it moves in an orbit characterized by quantum number n f. Using Bohr's fourth
postulate (4-13), and (4-18), we have

In terms of the reciprocal wavelength k=1/=v/c, this is

or
(4.19)

and where ni and nf are integers.
The essential predictions of the Bohr model are contained in (4.18) and (4.19). Let us first
discuss the emission of electromagnetic radiation by a one-electron Bohr atom in terms of these
equations.

1. The normal state of the atom will be the state in which the electron has the lowest energy, i.e.,
the state n=1. This is called the ground state. (Ground state means fundamental state, the term
originating from the German word grund, meaning fundamental.)
2. In an electric discharge, or in some other process, the atom receives energy due to collisions,
etc. This means that the electron must make a transition to a state of higher energy, or excited state, in
which n>1.
3. Obeying the common tendency of all physical systems, the atom will emit its excess energy
and return to the ground state. This is accomplished by a series of transitions in which the electron
drops to excited states of successively lower energy, finally reaching the ground state. In each
transition electromagnetic radiation is emitted with a wavelength which depends on the energy lost by
the electron, i.e., on the initial and final quantum numbers. In a typical case, the electron might be
excited into state n=7 and drop successively through the states n=4 and n=2 to the ground state n=1.
Three lines of the atomic spectrum are emitted with reciprocal wavelengths given by (4.19) for ni=7 and
nf=4, ni=4 and nf=2, and ni=2 and nf=1.
4. In the very large number of excitation and deexcitation processes which take place during a
measurement of an atomic spectrum, all possible transitions occur and the complete spectrum is
emitted. The reciprocal wavelengths, or wavelengths, of the set of lines which constitute the spectrum
are given by (4.19), where we allow ni and nf to take on all possible integral values subject only to the
restriction that ni>nf.

For hydrogen (Z=1) let us consider the subset of spectral lines which arises from transitions in
which nf=2. According to (4.19) the reciprocal wavelengths of these lines are given by

or

This is identical with the series formula for the Balmer series of the hydrogen spectrum (4.10),
if R is equal to RH. According to the Bohr Model

Although the numerical values of some of the quantities entering into this equation were not
very accurately known at the time, Bohr evaluated R in terms of these quantities and found that the
resulting value was in quite good agreement with the experimental value of RH. In the next section
we shall make a detailed comparison, using recent data, between the experimental value of RH and
Bohr's prediction, and we shall show that the two agree almost perfectly.

According to the Bohr model, each of the five known series of the hydrogen spectrum arises
from a subset of transitions in which the electron goes to a certain final quantum state nf. For the
Lyman series nf=1; for the Balmer nf=2; for the Paschen nf=3; for the Brackett nf=4; and for the Pfund
nf=5. The first three of these series are conveniently illustrated in terms of the energy-level diagram of
Fig.4-12.
Figure 4-12. Top: The energy-level diagram for
hydrogen with the quantum number n for each
level and some of the transitions that appear in the
spectrum. An infinite number of levels is crowded
in between the levels marked n=4 and n=.
Bottom: The corresponding spectral lines for the
three series indicated. Within each series the
spectral lines follow a regular pattern, approaching
the series limit at the shortwave end of the series.
As drawn here, neither the wavelength nor
frequency scale is linear, being chosen as they are
merely for clarity of illustration. A linear wavelength
scale would more nearly represent the actual
appearance of the photographic plate obtained
from a spectroscope. The Brackett and Pfund
series, which are not shown, lie in the far infrared
part of the spectrum

The transition giving rise to a particular line of a series is indicated in this diagram by an
arrow going from the initial quantum state ni to the final quantum state nf. Only the arrows
corresponding to the first few lines of each series and to the series limit are shown. Since the
distance between any two energy levels in such a diagram is proportional to the difference between
the energy of the two levels, and since (4.13) states that the frequency  (or reciprocal wavelength)
is proportional to the energy difference, the length of any arrow is proportional to the frequency (or
reciprocal wavelength) for the corresponding spectral line.
The wavelengths of the lines of all these series are fitted very accurately by (4.19) by using
the appropriate value of nf . This was a great triumph for Bohr's model. The success of the model
was particularly impressive because the Lyman, Brackett, and Pfund series had nbt been
discovered at the time the model was developed by Bohr. The existence of these series was
predicted, and the series were soon found experimentally by the persons after whom they are
named. The model worked equally well when applied to the case of one-electron atoms with Z=2,
i.e., singly ionized helium atoms He+. Such atoms can be produced by passing a particularly violent
electric discharge (a spark) through normal helium gas. They make their presence apparent by
emitting a simpler spectrum than that emitted by normal helium atoms. In fact, the atomic spectrum
of He + is exactly the same as the hydrogen spectrum except that the reciprocal wavelengths of all
the lines are almost exactly four times as great. This is explained very easily, in terms of the Bohr
model, by setting Z2=4 in (4.19).

The properties of the absorption spectrum of one-electron atoms are also easy to understand
in terms of the Bohr model. Since the atomic electron must have a total energy exactly equal to the
energy of one of the allowed energy states, the atom can only absorb discrete amounts of energy
from the incident electromagnetic radiation. This fact leads to the idea that we consider the incident
radiation to be a beam of photons, and that only those photons can be absorbed whose frequency is
given by E=h, where E is one of the discrete amounts of energy which can be absorbed by the
atom. The process of absorbing electromagnetic radiation is then just the inverse of the normal
emission process, and the lines of the absorption spectrum will have exactly the same wavelengths
as the lines of the emission spectrum. Normally the atom is always initially in the ground state n=1,
so that only absorption processes from n=1 to n>1 can occur. Thus, only the absorption lines which
correspond (for hydrogen) to the Lyman series will normally be observed. However, if the gas
containing the absorbing atoms is at a very high temperature, then, owing to collisions, some of the
atoms will initially be in the first excited state n=2, and absorption lines corresponding to the Balmer
series will be observed.
Example 4-7. Estimate the temperature of a gas containing hydrogen atoms at which the
Balmer series lines will be observed in the absorption spectrum.

The Boltzmann probability distribution shows that the ratio of the number n2 of atoms in the first
excited state to the number n2 of atoms in the ground state, in a large sample in thermal equilibrium at
temperature T, is
where k is Boltzmann's constant, k=1.38×10–23 joule/°K=8.62×10–5 eV/°K. For hydrogen atoms the
energies of these two states are given in the energy-level diagram of Fig.4-11: E1=–13.6 eV, E2=–3.39
eV. Hence

Therefore, a significant fraction of the hydrogen atoms will initially be in the first excited state
only when T is not too much smaller than 105°K; and only when they absorb from that state can they
produce absorption lines of the Balmer series.
The situation is complicated by the fact that the n= level is not far above the n=2 level. This
proximity makes the probability that hydrogen atoms will initially be ionized increase with increasing
temperature about as rapidly as the probability that the atoms will initially be in their first excited state.
But no absorption lines at all can be produced by initially ionized hydrogen atoms. Detailed
calculations predict that the maximum amount of Balmer absorption should be observed when the
temperature is about 104°K.
Balmer absorption lines are actually observed in the hydrogen gas of some stellar
atmospheres. This gives us a way of estimating the temperature of the surface of a star.

Literature
1. Eisberg R. and Resnick R. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids,
Nuclei, and Particles. Second edition. (John Wiley&Sons, New-York,
Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 2005). 865 p.
2. Foot C.J. Atomic Physics. (Oxford University Press, New-York, 2005). 331 p.
3. Brown B.A., Lecture Notes in Nuclear Structure Physics (2005) 290 p.

Bekitu sūraqtary:
1. Tomson atomy sferalyq aimaqtağy protondar men elektrondardyŋ
kezdeisoq taraluynan nesımen erekşelenedı?
2. Bor energiany kvanttaudy alğa tartty ma? Ol ne jarialady?

3. Sutekten säulelenudıŋ üzdıksız spektrın aluğa bola ma?
4. Deiteriidıŋ iondanu energiasy sutegı iondanu energiasynan özgeşe
me? Tüsındıru.
5. Nelıkten toktyŋ Frank-Gerstıŋ kerneuıne täueldılık qisyğynyŋ qūrylymy
aiqyn emes?