СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
КНИГА ПЕРВАЯ
В. Ф. КАГАН
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ
РИМАНА
И ИХ СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
В. Ф. КАГАН
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ИДЕИ РИМАНА
И ИХ СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ
ДОКЛАД, СДЕЛАННЫЙ НА 1-М ВСЕРОС-
СИЙСКОМ СЪЕЗДЕ МАТЕМАТИКОВ
В МОСКВЕ 29 АПРЕЛЯ 1927 Г., ПЕРЕ-
РАБОТАННЫЙ И ДОПОЛНЕННЫЙ АВТОРОМ
С ПОРТРЕТОМ
БЕРНГА РДТА
РИМАНА
МОСКВА — 1 9 33 —ЛЕНИНГРАД
Т-25-5-4
Редакционную работу по этой книге провел И. Н. Бронштейн. Издание оформила
О. Н. Персиянинова. Коректуру держали Б. А. Паперно и И. 17. Загрядсков. Наблюдал
за выпуском Н. А. Сахаров.
Рукопись сдана в производство 14]VIt ласты подписаны к печати 17/133 г.книга вышла
в свет в феврале, в колич. 3000 экз. на бумаге формата 62у^94/ш печатных знаков в
книге 211 000, листов 4я/Заказ. № 5644, ГТТИ 470. Уполномоченный Главлита В—39750.
Фабрика книги „Красный пролетарий1*. Москва, Краснопролетарская, 16.

1. ВОЗРОЖДЕНИЕ ИДЕЙ РИМАНА В СВЯЗИ С УЧЕНИЕМ
ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Когда сквозь зарево еще не затихшей мировой и гражданской
войны до нас донеслись первые сведения о научных достижениях
западных ученых, то первое место среди них по неожиданности
замысла, по широте научного охвата, по глубине производимого
переворота воззрений, по захватывающему научному и фило-
софскому интересу занимало учение об относительности. Пра-
вда, в первоначальной своей форме, в виде’ так называемой
«специальной теории относительности», исходные начала этого
учения появились на 15 лет раньше, в 1905 г. *)• Знаменательная
речь Минковского «Пространство и время» * 2) была произне-
сена на 80-м съезде германских естествоиспытателей и врачей
еще в 1908 г. Более того, остов общей теории относительности
именно в геометрической своей форме был уже опубликован
перед самой войной в 1913 г.3), но только в годы войны эта
теория сложилась в цельное учение, многосторонне охватыва-
ющее физику, тесно связывающее ее с геометрией, и получила
отчетливое выражение в основном мемуаре Эйнштейна 1916 г.4 *).
Это своеобразное построение, может быть, более, чем какое-
либо другое, представляло собою результат чрезвычайно тес-
ного сотрудничества физиков и математиков. Достаточно сказать,
что физики стали говорить о физикализации геометрии, а мате-
матики—о геометризации физики. Но особенно своеобразной
в той роли, какую математика играла в развитии этой дисци-
плины, является ее неевклидова геометрическая база. Здесь
приходится говорить, однако, о неевклидовой геометрии в ши-
роком значении этого слова и в той системе ее построения,
которая связана с именем Римана. Чрезвычайно замечательно,
что эта физическая база послужила импульсом к такому раз-
витию идей Римана, какого они до того не получили за 70 лет
f) A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Кбгрег, «Annalen der Physik>, 17, 1905.
2) 77. Minkowski, Raum und Zeit. Vortrag gehalten auf der 80. Versammlung Deutscher
Naturforscher und Aerzte zu Coin am 21. September 1908.
э) Л. Einstein and M. Grossmann, Entwurf einer verallgemeinerten RelativitStstVeo-
ne und einer Theorie der Gravitation, Leipzig, Teubner 1913; auch «Zeitschrift ffir Mafhe-
niatik und Physik>, 62, 1914.
4) A. Einstein, Die Grundlage der allgemeinen RelativitStstheorie, «Annalen der Physik>B
1916.
6
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
своего существования. Отнюдь не будет преувеличением
сказать, что риманова геометрия находится теперь в центре
внимания, служит главным предметом геометрического исследо-
вания, и, каковы бы ни были судьбы самого учения об отно-
сительности, математики будут высоко ценить тот взмах, который
благодаря ему получили геометрические идеи Римана.
Современное состояние этих идей в такой мере тесно связано
с различными моментами их эволюции, что мне казалось целе-
сообразным изложить здесь вкратце все важнейшие этапы в
ходе развития этого учения, без чего вряд ли могла бы быть
достигнута необходимая ясность.
2. МЕМУАР РИМАНА.
В 1854 г. Бернгардт Риман получил звание приват-доцента Гёт-
тингенского университета. Для вступления в профессорскую колле-
гию ему нужно было прочесть перед факультетом лекцию (Habilita-
tionscolloquium). Он предложил для этой цели три темы, из ко-
торых Гаусс избрал третью: «О гипотезах, лежащих в основании
геометрии». Вряд ли правильно мнение Дедекинда, что доклад
был составлен так, чтобы он мог быть доступен всем членам
факультета, значительное большинство которых математикой не
владело, Я думаю, это была лекция, составленная Риманом для
Гаусса. Этим, действительно, объясняется форма изложения. На
протяжении нескольких страниц изложен, вернее намечен, ряд
глубоких идей, получающих строго математическое выражение.
Однако вычисления отсутствуют; указаны только результаты,
и притом в неясной, сжатой форме. Это не был мемуар, при-
готовленный автором к печати, это — незаконченное исследование.
Риман сам его не опубликовал, находя его недостаточно обра-
ботанным. По смерти Римана рукопись эта была -извлечена
Дедекиндом из его наследия и опубликована им в 1866 г.1).
Идеи Римана при всем своем своеобразии представляют собою
развитие методов исследования поверхности, изложенных Гауссом
*) В. Riemann, Ueber die Hypothesen, welche der Geometric zu Grunde liegen. Лекция,
прочитанная Риманом 10 июня 1854 г. в заседании философского факультета Гёттинген-
ского университета. Впервые опубликована в «Gottingener Abhandlungen», 13, 1866.
В 1876 г. мемуар вошел в полное собрание сочинений Римана (В. Riemann Gesammelte
mathematische Werke, статья XIII). Мемуар переведен на французский, английский,
польский и русский языки. Русский перевод, принадлежащий Д. М. Синцову, помещен
в сборнике «Об основаниях геометрии», выпущенном Казанским физико-математиче-
ски^ обществом в 1893 г. В связи с интересом к идеям Римана, вызванным работами
по теории относительности, Вейль выпустил вновь отдельное издание мемуара Римана,
снабдив его многочисленными примечаниями. (В. Riemann, Ueber die Hypothesen, welche
der Geometric zu Grunde liegen. Neu herausgegeben und erlautert von H. Weyl, Berlin,
1919, 3 Aufl., 1923.) В настоящее время подготовляется к изданию русский перевод
мемуара Римана с примечаниями Вейля.
МЕМУЛР РИМАНА
7
в «Disquisitiones generales» (1827)1). Руководящая мысль Гаусса,
как известно, заключается в том, что точка на поверхности
(конечно, в обыкновенном евклидовом пространстве) определяется
двумя координатами, которые мы будем обозначать, модернизируя
символику, через х1, х2, а элемент длины определяется квадра-
тичной формой от диференциалов этих координат, именно:
= (dx^ + Zg^dx'dx'+g^dx')*-,	(1)
коэфициенты^, ^12, g^ представляют собою вообще функции от
переменных х1, х2. Формой (1) определяются все свойства по-
верхности как гибкой нерастяжимой пленки, т. е. остающиеся
инвариантными при изгибании поверхности. К числу этих ин-
вариантов принадлежит и установленная Гауссом мера кривизны
поверхности. По образному выражению Гельмгольца основной
гауссовой формой (1) устанавливается геометрия поверхности
в том виде, в каком её строил бы обитатель этой поверхности,
которому недоступно третье измерение пространства.
В развитие этих идей Гаусса субстратом геометрического
исследования у Римана является многообразие любого числа
измерений, скажем, п измерений, т. е. совокупность объектов,
каждый из которых определяется п численными заданиями, ко-
ординатами х^х^х3,...,хп. Существенным здесь является зада-
ние элемента многообразия п числами без всякого предваритель-
ного указания на то, какие средства дает самое строение
многообразия для нахождения этих чисел: у Римана исследова-
ние многообразия начинается с того момента, как эти числа
заданы. Этот первый шаг к арифметизации геометрии является
характерным для риманова замысла. Клейн дал ему уже выражение,
чуждое какой бы то ни было попытки укрыться при построении
многообразий произвольного числа измерений за реальные про-
странственные Представления; для него элемент многообразия
есть совокупность п чисел (х1,х2,...,хп), а самое многообразие
получило название численного многообразия («Zahlenmannigfaltig-
keit»); такое многообразие теперь принято обозначать (Скоутен,
Вейль) символом Хп. С этого момента начинается процесс глу-
. С’ F- Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curves. Coinmentationes socie-
laiis regjal Scientiarum Gottingensis recentiores, Vol. VI, 1827 («Commentationes classes
mathematicae»). Этот замечательный мемуар, положивший начало современной диферен-
циальнои геометрии, переведен почти , на все европейские языки. Русский перевод,
принадлежащий М. Филиппову, помещен во 2-м издании юбилейного сборника «Основа-
ния геометрии» (см. предыдущее примечание), Казань, 1895. Обратим также внимание
на немецкий перевод, принадлежащий* Вангерину и помещенный в оствальдовой серии
классиков; этот перевод снабжен весьма ценными примечаниями (С. F. Gauss, Flachen-
n®°ne. Deutsch herausgegeben von A. Wangerin, «Ostwalds Klassiker der exacten Wissen-
schaften», № 5).
8
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
бокого синтеза двух противоположных тенденций: с одной сто-
роны, происходит арифметизация геометрии, т. е. такое разви-
тие идей Декарта, при котором в науку чисел переносятся не только
методы геометрического исследования, но и самый его объект;
с другой стороны, идет геометризация анализа, т. е. внедрение
чисто арифметических объектов в пространство, хотя бы
даже численное, но дающее простор геометрической интуиции
оплодотворить арифметическое исследование. Синтезу этих
тенденций мы обязаны наиболее плодотворными исследованиями
в той отрасли математики, которую я имею в виду здесь
развернуть. И именно, чтобы ярко этот процесс в своем
изложении осветить, я счел нужным уже здесь его отчетливо
отметить.
Возвратимся к Риману. Основное положение, определяющее все
развитие его идей, заключается в установлении расстояния между
двумя бесконечно близкими элементами М(х*) и М'(х*-^-dx*).
Руководясь выражением (1), установленным Гауссом для элемента
длины на поверхности в евклидовом пространстве, когда эта
поверхность отнесена к произвольным с нею же связанным
координатам, Риман полагает:
ds2, ijdxLdxj = dx* dx$х),	(2)
i,j
т. е. выражает квадрат элемента длины определенной положи-
тельной квадратичной формой от разностей координат dx\
коэфициенты которой суть функции самих координат (х1). Это
положение представляет собою не только обобщение формулы
Гаусса на многообразие п измерений; оно привносит совершенно
новую идею установления метрики многообразия путем фиксации
ее в бесконечно малой его части. Таким образом эта идея,
с одной стороны, прокладывает в область геометрии тот самый
путь, которым шла теоретическая физика,-—путь изучения слож-
ного процесса через установление упрощенных законов, по
которым он протекает в пределах бесконечно малого элемента
в пространстве или во времени; а с другой стороны, она уста-
навливает общий прием для построения на основе исходного
О Последнее выражение написано в символике Эйнштейна, заключающейся в следу-
ющем: всякий раз, когда в одночленном выражении при переменных дважды появ-
ляется один и тот же индекс, нужно произвести по этому индексу суммование для
всех его значений. Этой символикой, получившей широкое распространение, мы здесь
пользуемся во всем изложении, обозначая индексы суммования греческими буквами.
В последней части настоящего равенства суммование должно быть произведено по
индексам а и Р от 1 до п, причем каждый индекс принимает все эти значения неза-
висимо от другого.
МЕМУАР РИМАНА
£
положения (2) беспредельно многообразных геометрических си-
стем. При целесообразном подборе эти системы могут служить
действительными средствами для изучения явлений природы
путем их геометрического отображения. Этим замыслом, предука-
занным Риманом, и воспользовался Эйнштейн. Но мы вновь воз-
вратимся к Риману.
Положением (2) многообразие претворяется в «пространство»>
его элементы именуются точками. Такое риманово пространство
п измерений в настоящее время принято обозначать символом
Элемент длины в Rn определяется в каждой точке /г2 числами^
составляющими квадратную матрицу:
^11 ^12* ’ Sin
^*21 ^*22 * *
(3)
Sп\	* *£>пп
Впрочем, так как g.^ = g.iy то число независимых элементов
матрицы равно
~2
Следуя Грассману, будем называть такого рода протяженные
величины экстенсивами («extensive GrCsse»); в данном случае
мы имеем экстенсив второго порядка, поскольку он определя-
ется комплексом п2 чисел, которые можно называть координа-
тами или компонентами экстенсива. Физики увековечили имена
творцов своей науки, назвав их именами — кулонами, фарадами,
джоулями — меры, лежащие в основании физической метрики.
Позвольте мне по аналогии, хотя бы неполной, последовать их.
примеру и назвать матрицу (3) гауссовым экстенсивом, а ее
компоненты g.$ — гауссами. Это сократит мне речь и будет по-
лезно для четкой ассоциации экстенсивов, которыми изобилует
эволюция римановой геометрии, с их творцами.
Вы могли заключить из предыдущего определения, что гауссов
экстенсив — понятие, тождественное с матрицей (3). Если бы
это было так, не было бы нужды вводить новый термин: можно
было бы просто говорить о гауссовой матрице. Определение
экстенсива еще нуждается в существенном коррективе.
Если мы перейдем от системы координт (х1), к которой было-
отнесено наше /?п, к другой системе — я предпочитаю говорить,
к другой системе референции (У), — то в силу той инвариант-
10
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
ности, которую мы, естественно, должны наложить на значение
элемента длины, мы должны в новых координатах выразить ds2 той
квадратичной формой, в которую переходит форма (1) при пре-
образовании координат х1 в У; мы получим:
ds2 = dy^dyv;
ga? dxa dx^ = /zxp. dyl dyv ,	(4)
где коэфициенты зависят от у1, у2, у3,
матрицу:
Л|2.. .hln !
«	^21 ^22 • • • ^2п
, уп и образуют
(5)

Под гауссовым экстенсивом мы понимаем протяженную вели-
чину, которая одинаково определяется матрицами (3) или (5);
эти матрицы являются только различными формами его задания
в соответствующей референции; иначе говоря, самый экстенсив
есть протяженная в грассмановском смысле слова величина,
которой определяется элемент длины в пространстве при любой
системе референции. Вместе с тем соотношение (4) выражает
главное свойство основной диференциальной формы (1), она
остается инвариантной при преобразовании координат.
И поскольку я уже стал на путь модернизации терминологии,
отнюдь, впрочем, не выходя за пределы точного содержания
мемуара Римана, позвольте мне итти в этом направлении далее.
В состав основной формы фактически входит еще один экстен-
сив, элементами которого служат парные произведения диферен-
циалов координат:
dxxdxr dxxdx* . . . dxldxn
dx*dxl dx^dx* . . . dx*dxn
dxndxx dxndx* . . . dxndxn
fi переменных у1 тот же экстенсив имеет вид:
dy^dy1 dyxdy2 . . . dyxdyn
dy*dyx dy^dy2 . . . dy^dy*
(7)
dyndyl dy^y2 . . . dyndyn
МЕМУАР РИМАНА
11
Этот экстенсив, конечно, много старше гауссова; он фигури-
рует уже в строке Тейлора в членах второго порядка, и вы
позволите называть его тейлоровым экстенсивом второго по-
рядка, а его компоненты dxLdx^ в любой системе референции —
тейлорами. Посмотрим теперь, как получается основная квадра-
тичная форма из этих двух экстенсивов, выраженных в одной
и той же системе референции. Каждый гаусс умножается на
соответствующий тейлор, и все произведения складываются.
Этот процесс мы будем называть полный свертыванием двух
экстенсивов одного и того же порядка. Мы можем теперь ска-
зать: от свертывания гауссова экстенсива с тейлоровым того
же порядка получается инвариантная основная квадратич-
ная форма риманова пространства.
Возвратимся вновь к Риману. В немногих словах он наме-
чает путь самого построения метрической геометрии простран-
ства Rn. Позвольте для единства изложения уделить минуту
этим хорошо известным идеям. Риман разумеет под линией в
Rn совокупность точек, координаты которых зависят от одной
независимой переменной Z, так что
/=1, 2, 3,...,и;	(8)
выражая диференциалы координат по кривой через t и dt и
подставляя их в выражение (1), мы получаем для этой кривой:
ds = l(t)dt,	(9)
а длина дуги кривой в данном интервале выражается интегралом:
6
(9а)
А)
Теперь нетрудно обыкновенным вариационным путем разы-
скать кривые, для которых этот интеграл между заданными
двумя точками достигает минимума — геодезические линии про-
странства. Площадь бесконечно малого треугольника нужно
вычислять, по той же формуле, как это в криволинейных коор-
динатах делается в евклидовом пространстве,— мы к этому еще
придем ниже; интегрируя это выражение по двумерной поверх-
ности, можно определить площадь любой двумерной фигуры.
Итак, постоянство значения длин и площадей, поскольку они
определяются гауссовым экстенсивом, достигается инвариант-
ностью основной формы (2). Действительное различие геомет-
12
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
рических систем, которые в этом порядке идей могут быть
построены, может корениться только в различии соответствую-’
щих основных форм. Это нужно понимать следующим образом.
Положим, что даны две системы геометрии, которые опреде-
лены одна в координатах х1, x2,...,xw, другая в координатах
у1, У2,..., уп соответственно основными формами:
ga^dxadx^;	(10а)
АацЛуа<1ур.	(ЮЬ)
Если существует преобразование переменных
х* = у*(у\ У2,..., У*), i= 1, 2, 3,..., п, (11)
которое преобразовывает формы (10а) в (ЮЬ), т. е. влечет за
собою равенство (4), то на две системы переменных (х*) и (У)
можно смотреть, как на различные системы координат в одном
и том же пространстве. Если же такого приведения одной из
форм (10) к другой выполнить невозможно, то они существенно
различны, а вместе с тем существенно различны и определяе-
мые ими геометрические системы. Вопрос о классификации про-
странств, определяемых квадратичными диференциальными фор-
мами, сводится к задаче о том, может ли одна квадратичная
форма быть приведена к другой или нет. С этой точки зре-
ния простейшими являются пространства, в которых основная
форма может быть приведена, как в евклидовой геометрии, к
сумме квадратов диференциалов; Риман называет эти простран-
ства плоскими. Следуя своей руководящей идее — изучать про-
странство в его бесконечно малых элементах, — Риман ищет
средство численно охарактеризовать отклонение каждого Rn
от плоского пространства в пределах элемента, окружающего
заданную точку. Риман хорошо понимает, что, оперируя, как
это делал Гаусс, инвариантами, т. е. величинами, не меняю-
щими своих значений при переходе от одной системы коорди-
нат к другой, он действительно остается в сфере геометриче-
ских свойств пространства. Но оттого ли, что это ему не всегда
давалось или требовало чрезмерно сложных вычислений, Риман
предпочел в решении последней задачи следовать принци-
пиально иному пути. Этот путь заключается в том, чтобы впе-
ред зафиксировать некоторую специальную систему координат,
определяемую структурой пространства, т. е. ее гауссовым
экстенсивом, и к ней отнести все вычисления. В соответствии
с этим Риман и начинает с установления специальной системы
МЕМУАР РИМАНА
13
координат и именно такой, которая в любом Rn ближе всего
подходит к ортогональной декартовой системе. В этой системе
координатными линиями в каждой точке должны были бы слу-
жить попарно ортогональные геодезические линии. Тогда самый
отсчет координат в евклидовом пространстве мог бы быть сде-
лан так, чтобы в любой точке
ds* = (dx1)2 + (dx2)2 + .. . + G**")2,	(12)
т. e. чтобы гауссов экстенсив имел вид:
10 0.
0 10.
0 0 1.
. . 0
. . 0
. . О
(13)
0 0 0.
Гауссы здесь имеют постоянные значения, и их производные
равны нулю. Эти именно значения гауссов мы будем прови-
зорно обозначать прописными буквами О^.
Таким образом
Gu = 1 (/= 1, 2, 3,...,/z), Gtj = 0, если i^j. (1*4)
Но соотношением (12) определяется евклидово пространство.
Поэтому ни в каком неевклидовом пространстве гауссы не мо-
гут удовлетворять этим требованиям. Но можно достичь того,
чтобы в любом пространстве Rn гауссы удовлетворяли всем
этим требованиям в одной и притом произвольно заданной
точке М. Так именно Риман и выбирает свои координаты; в
настоящее время их называют геодезическими ортогональными
координатами в точке М Таким образом в этой точке
•1 — .	V  
Л0» Л	-О’
^0(хо>	=
^7(х1»х2»---»хи).= о
dx*
и длина бесконечно малого отрезка, — можно сказать, бесконечно
малого вектора, выходящего из этой точки /И, —
ds^ = G^dx^ dx^=(dx^^\-(dx^ .. . + (^хп)\	(15)
14
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
Теперь выберем другую точку N, бесконечно близкую к /И,
так что вектор MN имеет компоненты Зх\ и перенесем в нее
вектор ТИТИ', т. е. построим вектор AW', который в наших
геодезических координатах имеет те же компоненты dx\ что
и вектор Л4Л4'. Длина вектора Л/ЛГ уже не выразится форму-
лой (15), потому что в точке 7V гауссы не имеют значений
Длина вектора Л/TV' будет:
Разлагая функции	Зх*) по степеням Зх* и имея в
виду, что первые производные гауссов обращаются в точке 7И
в нуль, получим:
ds* = dxadx^ Gax,p|x dxa dx$ 3xx 8хи + • • •	(16)
Так как дальнейшее исследование, хотя и недостаточно строгое,
приводит Римана к заключению, что
^Ха, Ри.  ^аХ, ^аХ,   б?аХ, Зр. ,	(17)
а потому
^Ха, ---^аХ, pfi ,	(17a)
то четыре члена, содержащие тейлоры:
dxa dx$ 8хх Зх«а, dxa dx^ Зхх 8х‘3, dx^dx^Sx^Sx^ и dxkdx^8xaSx>\
соединяются в один, и равенство (16) принимает вид:
ds2=Ga^dxadx(i + Ga))^(^dxa8хх—dxk8xa) (dx^ox'^—dx"Зх‘3).(16а)
Если бы пространс!во было евклидовым, то разложение обо-
рвалось бы на первом члене. Можно поэтому считать, что сле-
дующий член ближайшим образом характеризует отклонение
пространства от евклидова. Так как этот член четвертого изме-
рения в диференциалах dxl и 8х\ то, разделяя его на квадрат
площади бесконечно малого параллелограма MNMM, мы полу-
чим конечную величину. Риман называет ее кривизной про-
странства в поверхностном элементе, определяемом векто-
рами ММ и MN. В это есть элемент самого Z?2; риманова
кривизна имеет в каждой точке одно значение, обращается в ска-
3
ляр, который только численным множителем — - отличается от
гауссовой кривизны пространства в этой точке.
МЕМУАР РИМАНА
15-
Таким образом мы прежде всего замечаем, что Риман ввел
новый экстенсив уже четвертого порядка:
II ₽и||.
Мы будем называть его римановым экстенсивом, а его ком-
поненты — просто риманами. Вы возразите, что это, собственно,
не экстенсив, а только матрица, потому что компоненты при*
гвождены к определенной системе координат; но это возраже-
ние будет очень скоро устранено. Свертывая риманов экстенсив
со смешанным тейлоровым экстенсивом четвертого порядка:
|| dxa dx$ fix10x1х || t
смешанным потому, что он составляется из диференциалов dx
и Sxz, мы получаем риманову форму четвертого порядка; раз*
деляя же ее на квадрат площади бесконечно малого параллело-
4
грама [dx\ Sxz] и умножая на — получаем риманову кривизну
пространства в площадке, этим параллелограмом определяемой..
Риман останавливается на том случае, когда кривизна про-
странства имеет постоянное значение во всех его точках и в
каждой точке во всех элементарных площадках, через нее про-
ходящих. Это постоянство кривизны должно иметь место, заме*
чает Риман, во всяком /?м, если в нем возможны свободные
движения, так что каждая точка может быть приведена в сов-
мещение с любой другой точкой и в каждой точке каждое на*
правление — с любым другим направлением. Риман указывает,
что пространство постоянной нулевой кривизны есть евклидово
пространство; пространство постоянной отрицательной кривизны
приводит при п = 3 к геометрии Лобачевского-Больяй. Про*
странство постоянной положительной кривизны при п=2 по
своей геометрии не отличается от евклидовой сферы, а при
п >2 дает своеобразное развитие сферической геометрии, кото*
рое мы теперь называем римановой геометрией в узком значе-
нии этого слова.
Как мы уже сказали выше, все эти идеи у Римана только
намечены, и с опубликованием его мемуара возник ряд вопро-
сов, одни из которых разрешаются сравнительно просто, а дру-
гие оказались сложными Как преобразовать любые координаты
в геодезические? Как выражаются риманы в этих координатах?
Есть ли необходимость действительно специфицировать эти
координаты? Как получить общие формулы, от этой специфи-
16
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
кации не зависящие? Как отличить одну риманову геометрию
от другой? Как глубоко возможное здесь разнообразие? Какое
место среди различных Rn занимают пространства постоянной
кривизны?
Что эти последние пространства занимают совершенно исклю-
чительное место, было совершенно ясно, и развитие идей Ри-
мана шло поэтому по двум существенно различным руслам.
Одно течение занималось изучением пространств постоянной
кривизны; оно шло через Бельтрами, Гельмгольца, Кели, Клейна,
Оофуса Ли, Киллинга, Шура и у каждого из этих авторов по-
лучало особую постановку, особые черты, характеризовавшие
его эволюцию. Второе течение шло через Христофеля, Липшица,
Фосса, Беца, Штеккеля и имеет своей задачей развитие общих
римановых идей без специального уклона в сторону пространств
постоянной кривизны. Четверть века эти исследования шли по-
чти совершенно раздельно; в трактате по диференциальнЪй гео-
метрии Бианки (1894) они не только получили некоторое завер-
шение, но и были объединены чрезвычайно удачным синтезом
в одно целое.
3. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ РИМАНА. НАПРАВЛЕНИЕ КЛЕЙНА-ЛИ.
Первое течение пользуется очень широкой известностью. Свою
идейную характеристику оно получило еще в 1872 г. у Клейна
в Эрлангенской программе1). Это — схема, которая после Гаусса,
Лобачевского и Римана является важнейшим этапом в эволюции
взглядов на сущность геометрии. Согласно воззрениям Эрлан-
генской программы в основе всякой геометрии лежит группа
преобразований, выражающих движения пространства в самом
себе. Геометрические величины суть инварианты этой группы,
и их разыскание, таким образом, составляет основную задачу
геометрии. Геометрия сделалась только главой в общей теории
групп непрерывных преобразований, и притом небольшой ее
главой.
Однако здесь нельзя не отметить, что родоначальником всего
этого направления является Гельмгольц. В том же 1868 г.,
в котором появился в печати мемуар Римана, Гельмгольц опубли-
f) F. Klein, Vergleichende Betrachtungen fiber neuere geometrische Forschungen. Pro-
gramm zum Eintritt in die philosophische Fakultat und den Senat Erlangen, 1872. Вновь вос-
произведено в «Mathem. Annalen» в т. 43 в 1893 г., а затем в I томе полного собрания
сочинений Клейна: F. Klein, Gesammelte mathem. Werke, Bd. I, 1921. Мемуар переведен
на французский, английский, польский и русский языки. Русский перевод выполнен
Д. М. Синцовым и опубликован под названием «Сравнительное обозрение новейших
геометрических исследований» в «Известиях Казанского физико-математического обще-
ства» в 1895—1896 гг.; выпущен также отдельным изданием.
НАПРАВЛЕНИЕ КЛЕЙНА-ЛИ
17
ковал чрезвычайно замечательное исследование под заглавием
«О фактах, лежащих в основании геометрии»1)* * Гельмгольц начи-
нает свой мемуар сообщением, что он уже давно пришел к тем
идеям, которые изложены в опубликованном посмертном мемуаре
Римана. Он пришел к ним совершенно иным путем, как физио-
лог, путем сопоставления пространства с другими многообра-
зиями, с которыми ему приходилось встречаться в физиологи-
ческой оптике. Наименование его мемуара отличается от назва-
ни/1 риманова мемуара только одним словом «факты» вместо
«гипотезы» у Римана; и это, конечно, не случайно,—это прин-
ципиальная установка. Полученные Гельмгольцем результаты не
покрываются вполне исследованиями Римана. Он ищет те факти-
ческие экспериментальные основания, которые оправдывают
исходную точку зрения Римана, которые естественно приводят
к квадратичной диференциальной форме, как к выражению квад-
рата диференциала дуги. Гельмгольц показывает, что к этому
неизбежно приводят свойства движений, имеющих место в про-
странстве. Именно, он обнаруживает, что в силу основных
свойств движения (к числу их он относит свою своеобразную «акси-
ому монодромии», что всякое тело полным поворотом вокруг
оси может быть приведено в исходное положение в каких бы
координатах ни были выражены точки пространства) при движе-
нии всегда остается инвариантной некоторая квадратичная форма
от диференциалов координат; это и есть основная риманова
форма.
Но Гельмгольц, строго говоря, не был математиком, что, ко-
нечно, отразилось на его работе. Не только его рассуждения,
но и самая постановка вопроса вызывала серьезные возражения.
Позднее эта задача была строго формулирована Софусом Ли.
Этот замечательный норвежский геометр первый построил и
развил общую теорию групп непрерывных преобразований. Те
группы, которыми могут выражаться движения в пространстве,
по вполне обоснованным воззрениям Ли характеризуются тремя
основными свойствами: во-первых, одна точка инварианта не
имеет (это следует из того, что всякая точка может быть
приведена в совмещение с любой другой точкой); во-вторых,
две точки допусчают один и только один инвариант (расстоя-
ние между этими точками); в-третьих, совокупность трех или боль-
шего числа точек не имеет вовсе инварианта (т. е. вся метрика
f). Н.у. Helmholtz, Ueber die Tatsachen die der Oeometrie zu Orunde liegen. Nachrich-
i«rq м K* Gese“schaft der Wissenschaften und der O. A. Universitat zu Gottingen, XV.
ioo8. Мемуар переведен на русский, французский, английский и итальянский языки
* усскии перевод, принадлежащий проф. А. Васильеву, помещен в Казанском юбилей-
ном сборнике (см. прим, на стр. 6).
2 Каган. Геометрические идеи Римана.
18
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕЙ РИМАНА
пространства исчерпывается расстояниями между точками; так, три
точки; допускают инвариант—площадь определяемого этими
точками треугольника; но она выражается через стороны тре-
угольника, т. е. через расстояния между его вершинами).
Ли дал общие методы разыскания всех инвариантов конеч-
ной группы непрерывных преобразований, но в то же время
показал, что в трехмерном пространстве существуют только три
различных группы, имеющие инварианты того типа, которые
характеризуют геометрию — группы, допускающие в качестве
инварианта положительную определенную диференциальную квад-
ратичную форму. Этим трем группам и соответствуют три типа
римановых пространств постоянной кривизины *).
По существу, Ли сделал больше; он как бы завершил за-
мысел Римана в деле инфинитезимализации геометрии. Если
Риман расщепил пространство на его бесконечно малые элементы
и показал, как из упрощенной метрики элемента разворачивается
метрика всего пространства, то Ли расщепил движение на со-
ставляющие его бесконечно малые смещения. Этим он, в сущ-
ности, предуказал весь путь дальнейшей эволюции рймановй
замысла. Но в ту пору это еще не было ясно, потому что Ли
исследовал только такие бесконечно малые смещения, которые
соединяются в группу преобразований. Геометрия Клейна и Ли
была. более конкретна, носила более определенный характер,
нежели общие соображения Римана. Ее выводы, все ее содер-
жание было ближе к традиционной геометрии, и после работ
Бельтрами2) и Клейна она, как известно, получила всеобщее
признание. Лед, сковывавший идеи Лобачевского и Больяй, был
сломан. Теперь интерес был сосредоточен на пространствах
постоянной кривизны в узком смысле этого слова. Задача заклю-
чалась, главным образом, в том, чтобы распространить на про-
странство п измерений те свойства, которые в ту пору уже
были хорошо известны для трехмерного пространства. Трудности
коренились в большем многообразии инвариантов, но они были
вскоре преодолены авторами, которых я уже назвал раньше, а
геометрия пространств постоянной кривизны получила весьма
*) Работы С. Ли по основаниям геометрии получили выражение в целом ряде мемуа-
ров, которые собраны в переработанном виде в III томе сочинения: 5. Lie, Theorie
der Traneformationsgruppen, bearbeitet unter Mitwirkung von Dr. Fr. Engel, Leipzig 1888—
1893. Обстоятельное изложение работ Ли можно найти в сочинении В. Кагана «Осно-
вания геометрии». Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии,
Одесса 1907.
») Основные работы Бельтрами, сюда относящиеся: l)E.Beltraimi, Saggio di interpretazione
della geometria non-euclldea, «Giornale di matemat.,» 6, 1868. Имеются переводы на фран-
цузский и русский языки; 2) Е. Beltrami, Teorla fondamentale degli spazii di curvatura cons-
tante, «Annali di Matem.», 1868. Имеются французский и русский переводы. Русские
переводы обоих мемуаров выполнены Д. М. Синцовым и помещены в приведенном выше
Казанском сборнике (см. прим, на стр. 6).
ВТОРОЙ МЕМУАР РИМАНА
19
широкое развитие в большом ряде других работ. Задача в этих
пределах была исчерпана, и Бианки х) оставалось только собрать
и систематизировать материал в одно целое.
4. ВТОРОЙ МЕМУАР РИМАНА.
Не так обстояло дело с эволюцией общих идей Римана. Их
разработка была начата уже самим Риманом и нашла себе место
в работе, которую он представил Парижской академии наук
в 1861 г. в ответ на тему, объявленную академией в 1858 г. на
соискание премии. Работа была написана на латинском языке* 2);
подготовка ее для опубликования в общей математической печати
требовала значительной обработки, выполнить которую Риману
уж^ помешало состояние его здоровья.
Заключительные слова первого мемуара сводились к тому,
что изложенные в нем соображения ведут в область физики.
Это оправдалось, хотя в несколько ином смысле, нежели это
разумел Риман, уже при решении задачи, поставленной Париж-
ской академией. Она заключалась в следующем: «Разыскать,
каково должно быть тепловое состояние неограниченного одно-
родного твердого тела для того, чтобы кривые изотермической
системы, заданной в определенный момент, оставались изотер-
мами в любой последующий момент, чтобы температура в каж-
дой точке могла, таким образом, быть выражена в функции
времени и двух других независимых переменных».
Смысл последней фразы в формулировке темы заключается
в следующем. Если изотермы не меняются с течением времени,
то температура в каждой точке в момент t определяется изотер-
мой, на которой эта точка лежит; изотерма же в свою очередь
зависит от двух параметров, например от координат ее следов
на одной из плоскостей декартовых координат. Если через
и (х1, х2, х3, t) обозначим температуру в точке х1, х2, л£3
в момент /, то диференциальное уравнение теплопроводности,
которому функция и должна удовлетворять, в современных обо-
значениях выражается так:
1,2,3...	(18)
*) L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, Pisa 1924; 2-е изд., 1902; 3-е изд
в четырех полутомах, 19L7. Немецкое издание в переработанном виде: L. Bianchi,
VorJesungen fiber Differentlalgeometrie, 1896, 2-е изд., 1910.
2) «Commentatlo mathematics, qua respondere tentatur quaestioni ab Ill—ma Academi
Parlslensi propositae», «В. Riemanns mathematische Werke», ст. XXII.
20	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
где — так называемые коэфициенты теплопроводности, a h —
теплоемкость, отнесенная к единице объема. Задача сводится
к тому, чтобы установить, при каких условиях в уравнении (18)
переменные х* 1, х3 могут быть заменены другими таким
образом, чтобы интеграл и зависел кроме времени от двух, а
не от трех переменных.
Таким образом преобразование диференциального уравнения
(18) становится центральным пунктом всей проблемы. Риман
показывает, что это сводится к установлению условий, при
которых одна квадратичная диференциальная форма может быть
преобразована в другую, т. е. к основной проблеме мемуара
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Вторая часть
этой небольшой по объему работы носит название «О преобра-
зовании выражения Zb ds ds в данную форму Za dxtdx »х).
u, «' l l'	u, It'	V
Риман начинает с того случая, когда вторая форма имеет
постоянные коэфициенты, т. е. с установления условий, при
которых основная квадратичная форма выражает плоское про-
странство; он приходит к заключению, что компоненты криви-
зны (риманы по нашему наименованию) должны быть равны
нулю. Затем Риман обращается к общему случаю и дает выра-
жение меры кривизны в заданном двумерном направлении
в самом общем виде.
Фактически в этой работе выполнены те вычисления, которые
намечены в первом мемуаре, но только в том смысле, что
в явной форме приведены их результаты. Самые вычисления
отсутствуют или намечены настолько схематически, что академия
не была в состоянии в них разобраться, и Риману было по
этой причине отказано в премии.
Дедекинд, публикуя в 1866 г. мемуар, уже сопроводил его
примечаниями, в которых вычисления, непосредственно указан-
ные Риманом, были выполнены. Дедекинд показал, как выпол-
няется переход от любых координат к геодезическим. Он
вычислил риманов экстенсив, вернее, он показал, как риманы
выражаются в гауссах. Именно, в геодезических координатах, как
указано было Риманом:
п ,, __1 Г	I	dgly. -1
«Мн 2 L дхлдх^ dxfldx*- dx^dxv- дхлдх$ J’ ' '
откуда непосредственно вытекают соотношения (17).
9 «De traniformatione expression^ Sb ds ds , in formam datam S a , dx , dx /
i i'	u, u' l u'
НАПРАВЛЕНИЕ ХРИСТОФЕЛЯ И ЛИПШИЦА
21
Итак, риманы выражаются в гауссах, но выражаются во вто-
рых производных. Риманы составляют второе поколение после
гауссов; куда девалось предыдущее? Оно исчезло вместе с про-
межуточным членом (третьего измерения) в разложении (16а)»
Как восстанавливается оно при отказе от специальных координат?
Ответ на это уже был дан, когда мемуар Римана появился в печати»
5. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ РИМАНА. НАПРАВЛЕНИЕ ХРИСТОФЕЛЯ
И ЛИПШИЦА.
В 1869 г. в журнале Крелля появились рядом два больших
исследования, одно — Христофеля, другое—Липшица1), ставившие
независимо от Римана основную задачу; при каких условиях геомет-
рия, заданная формой ga$ dxa dx\ совпадает с геометрией,определя-
емой формой dyx dy^ ? Как уже было выяснено выше, вопрос
сводится к тому, существует ли преобразование вида (11),
обращающее первую форму во вторую. И как весь замысел
Римана представляет собою развитие гауссовой теории поверхно-
стей, так и задача Христофеля представляет собою не что иное,
как обобщение задачи о возможности наложения в евклидовом
пространстве одной поверхности на другую. В работах Миндинга,
Казорати, Бонне и Бельтрами Христофель имел уже образцы»
которым он следовал.
Подвергая первую форму этому преобразованию и отождествляя
результат со второй формой, Христофель приходит к полной
системе диференциальных уравнений в частных производных
второго порядка, в которых переменные х* являются искомыми
функциями от переменных у. Эти диференциальные уравнения
распадаются на п систем линейных уравнений относительно вто-
рых производных, коэфициенты которых образуют гауссов экстен-
сив. При решении этих уравнений, естественно, приходится иметь
дело с минорами определителя гауссова экстенсива и притом
разделенными на самый определитель g. Приведенные этим
делением миноры будем обозначать через glt Их совокупность
приводит к новому экстенсиву второго порядка:
gug™.  -gln
g*lgnt. • .g”n
9 f Chris toff el t Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdriicke-
zweiten Grades, «Journal ffir reine und angew. Mathem.>, 70, 1869; R. Lipschitz »
Lntersucnungin In Betreff der ganzen homcgeren Funktionen von p D iff erent ialen, ibidem
22
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
Свертывая этот экстенсив g*J с первоначальным гауссовым
экстенсивом мы в результате всегда получим п. Иными
словами, результат полного свертывания этих двух экстенсивов
представляет собою инвариант — постоянное число п. Два экстен-
сива одного и того же порядка, которые при полном свертыва-
нии дают инвариантный результат, которые, следовательно,
преобразовываются к новым переменным таким образом, что
изменение значений элементов одного в результате свертывания
аннулируется изменением, значений элементов другого, в настоя-
щее время, следуя Сильвестру, называют контраградиентными.
Из двух контраградиентных гауссовых экстенсивов мы назовем
исходный, преобразование которого непосредственно следует за
преобразованием координат — ковариантным^ контраградиентный
с ним экстенсив называется контравариантным. Разрешая себе
модернизировать терминологию, я тем самым в естественном
порядке прокладываю путь к современной обработке этих идей.
Если вторые производные функции хъ по уъ в первоначальной
форме диференциальных уравнений имеют своими Коэфициентами
ковариантные гауссы, то члены, содержащие первые производные,
имеют своими коэфициентами некоторые аггрегаты первых про-
изводных от гауссов. Эти аггрегаты встречаются необычайно часто;
мы находим их во втором мемуаре Римана; но Христофель
первый оценил их значение. Он ввел для них особое обозначе-
ние («скобки Христофеля»):
г/л — q —1	(90)
Ш —	— 2 L дхП dxi
и образовал, таким образом, новый экстенсив третьего порядка,
который мы теперь, естественно, будем называть христофе-
левым экстенсивом, а его элементы — просто христофелями.
Эти христофели составляют промежуточное поколение между
гауссами и риманами. И действительно, первые производные
гауссов непосредственно выражаются через христофели, именно:
+	(20а)
ясно, что во всякой точке, в которой уничтожаются производные
всех гауссов, обращаются в нуль все христофели и обратно. Можно
•) Христофелю принадлежит собственно символ j’Yj которым многие пользуются и
по настоящее время. Однако, несомненно более удачным является позднейшее обозначе-
ние Gytic (Вейль, Скоутен).
НАПРАВЛЕНИЕ ХРЛСГОФЕЛЯ И ЛИПШИЦА
23
поэтому сказать, что геодезические координаты Римана в: данной
точке характеризуются уничтожением всех христофелей. При
разрешении первоначальных линейных уравнений относительно
вторых производных они умножаются на приведенные миноры и
складываются. Это приводит к новым аггрегатам христофелей:
= <21)
Закон образования вторичных христофелей из первоначальных
несет в себе новый весьма важный формальный процесс — час-
тичное свертывание. Он заключается в том, что в каждом из
свертываемых экстенсивов мы выбираем индекс свертывания,
сохраняя постоянными значения остальных индексов (в рассма-
триваемом случае I и у); затем каждый элемент одного экстен-
сива перемножаем с элементом, несущим тот же индекс в другом
экстенсиве, и эти произведения складываем (повторяющийся гре-
ческий индекс в силу общего соглашения содержит уже указание
на это суммирование). При этих обозначениях диференциальные
уравнения искомого преобразования принимают вид:
+	k, i,J =1,	п, (22)
ду*дуз ' dyidyi 1 ду* ’	’ ’J 1 ’ ’	’	’ v
где суть христофели преобразованной формы.
Преобразование, естественно, предполагает, что определитель
= отличен от нуля. Это содержится в требовании Ри-
мана, чтобы основная форма была определенной. Теперь для
решения геометрического вопроса на помощь приходят дальней-
шие аналитические средства — условия интегрируемости системы
диференциальных уравнений (22). Этот прием установления условий
интегрируемости играет доминирующую роль как у Христофеля,
так и в дальнейших исследованиях, вплоть до Бианки. Самый
процесс, как известно, заключается в том, что по данным вто-
рым производным мы составляем третьи, отличающиеся друг от
друга только порядком диференцирования; приравнивая получен-
ные выражения, мы получаем необходимые условия интегрируе-
мости.
Заслуга Христофеля заключается в том, что он привел резуль-
тат этого исключения к чрезвычайно замечательной форме:
Ga^dx'dx^ ixlix^ = Hay t ^dy°dy^ Зу и,	(23)
где все совершенно так же составлены из коэфициентов
преобразованной формы h^, как величины —из коэфи-
24
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
циентов исходной формы. Элементы же этого экстенсива непо-
средственно образуются из христофелей, а именно:
ОхХ, = д-^- -	+ [с; GG,x>e].	(24)
Если мы, однако, выразим христофели через гауссы и соот-
ветственно этому развернем первые два члена, то получим:
п	1 Г d^g)^ , d*g„ d^g^ d2gkv i 1
xX2Idx'dx' дх^дх» дх^дх* дх'дхЛ
+[G« ОАв-О;иО^].	(25>
В случае геодезических координат в точке М христофели
в ней обращаются в нуль, вместе с тем все G^t принимают
те значения (19), которыми мы определили риманы в геодезических
координатах. Теперь перед нами полный риманов экстенсии, и
риманы вычислены в любой системе референции. Риманы выра-
жаются в христофелях, а христофели в гауссах; как вы видите,
Христофель интерполировал новый экстенсив между гауссами и
риманами. Из приведенного общего выражения для риманов
видно, что соотношения (17) и (17а) имеют место для риманова эк-
стенсива независимо от системы референции. Христофель при-
бавил к этим соотношениям Дедекинда еще две группы:
GaX,P|j. = Ofl|*,aX И Gak,|3u 4“ Gafl,uX	= 0.	(26)
Вместе с тем теперь сделалось возможным сосчитать число неза-
висимых компонент риманова экстенсива; оно оказалось равным
л2(и2-1)
v ~	12
Теперь возвратимся к соотношению (23), выражающему главный
результат Христофеля. Он заключается в том, что необходимое
условие интегрируемости уравнений (24) заключается в инвариант-
ности диференциальной формы:
Оах,₽и dx*dx$ Ьх^Ьх^.
(27)
Может быть, отчетливее будет формулировать результат Хри-
стофеля следующим образом: инвариантность основной гауссо-
НАПРАВЛЕНИЕ ХРИСТОФЕЛЯ И ЛИПШИЦА
25
вой квадратичной формы влечет за собой инвариантность
формы четвертого порядка (27).
Теперь стало ясно, что риманова кривизна пространства в
данной точке и в данной площадке представляет собою отноше-
ние двух инвариантных форм: римановой формы и другой формы,
представляющей квадрат площади бесконечно малого параллело-
грама. Надобность в специальных координатах исчезла, и раз-
витие римановой геометрии пошло по естественному руслу
разыскания инвариантов основной квадратичной формы при
преобразовании системы референции.
Здесь будет уместно еще раз отчетливо подчеркнуть различие
между геометрией Клейна-Ли и общей геометрий Римана. У Ли
геометрия сводится к разысканию инвариантов некоторой опре-
деленной группы преобразований. Общая же геометрия Римана
устанавливает инварианты всякого преобразования переменных;
ее задача заключается в разыскании тех величин, которые вовсе
не зависят ни от системы референции, ни от системы движений.
Возвратимся к исследованию Христофеля. Он хотел пойти
дальше и получить условия, не только необходимые, но и
достаточные для преобразования одной формы в другую. Это
привело его к широкому развитию полученного результата;
чрезвычайно искусным, но все же очень сложным вычислением
он обнаружил, что за формой (27) следуют инвариантные же
формы пятого, шестого, седьмого порядка и т. д., для последо-
вательного составления которых им указан общий закон.
Однако в ряду инвариантных форм Христофеля нехватало-
одного звена — формы третьей степени. Естественно было
спросить себя, не воспроизведут ли эту форму христофели, т. е.
не будет ли инвариантной форма:
Ga^(dxadx^xi.
Нетрудно, однако, обнаружить, что это не так. В самом деле,
мы видели, что в каждой точке в геодезических координата*
все христофели обращаются в Нули. Если бы эта форма была
инвариантна, то она была бы равна нулю тождественно во всякой
системе референции. Мы видим, таким образом, глубокое раз-
личие между гауссовым и римановым экстенсивами, с одной
стороны, и христофелевым, с другой. В то время как гауссы
и риманы, свертываясь с тейлорами, дают инварианты, христофели
такого инварианта не дают.
При неограниченном ряде инвариантных форм становилось
особенно загадочным выпадение промежуточной формы третьей
26	ГЕОМТРЕИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
степени. В сущности, в мемуаре Христофеля причины этого
выпадании уже выяснены; они не получили, однако, у него еще
той отчетливости, которая была достигнута позже Риччи. Не
удалось Христофелю также дать исчерпывающий ответ на вопрос
о достаточности условий, обеспечивающих возможность преобра-
зования одной квадратичной формы в другую. Эту задачу Лип-
шиц решает для того случая, когда одна из данных форм опре-
деляет евклидово пространство, т. е. приводится к сумме квад-
ратов. Это условие, как известно, заключается в том, что рима-
нова кривизна допжна быть равна нулю во всякой точке и во
всех направлениях, т. е. что в нуль должны обратиться все риманы.
Нужно, однако, сказать, что эта задача ..была уже раньше (1859)
решена Ламе в его трактате «О криволинейных координатах» х).
Все дальнейшие исследования в сфере общей римановой
геометрии, до Бианки, по существу, вращались в рамках резуль-
татов Христофеля. Они имели целью дать этим результатам
возможно более простое выражение и упростить громоздкие вы-
числения Христофеля, дать общие методы для разыскания тех
инвариантов, в которых заключается существо римановой геомет-
рии. Бианки не только искусно использовал все эти материалы,
не только объединил их в одно целое, но и получил еще один
существенный результат. В 1886 г. Шур доказал замечательную
теорему, заключающуюся в том, что риманова кривизна про-
странства остается неизменной от точки к точке, если она в
каждой точке сохраняет постоянное значение при всех направ-
лениях площадки 2). Однако доказательство Шура, как это не
раз бывало в математике, представляло собой скорее чрезвычайно
глубокую и талантливую интуицию, нежели современное строгое
математическое рассуждение. Оно, носит чисто геометрический
характер, опирается на проективное отображение связки линейных
элементов одной точки на такой же связке другой точки. Тео-
рема требовала чисто аналитического доказательства, и Бианки
такое доказательство дал, присоединив к четырем группам
алгебраических соотношений между риманами (17) и (26) пятую
диференциальную3). Она имеет вид:
дхк Gij'lm +	+ fa™ & ij kl = °*	(28)
Ч С. Ьатё, Lemons sur les coordonn£es curvilignes et lews diverses applications,
Paris 1859.
4 F. Schur, Ueber den Zusammenhang der R3ume constanten Krflmmungsmasses mit
den projectiven R3umen, «Math. Annalen», 27, 1885.	t
’) L Bianchi, Sui simboli a quattro indice e sulla cwvatura di Riemann, «Rendicont4
Accad. Lincei» (V), 11 11,1902. Самое тождество было ужэ раньшг опубликовано Падова.
£. Padova, Sulle deformazioni infinitesime, ibidem (IV), 51, 1889.
НАПРАВЛЕННЕ ШЛ ЕФЛ И
27
Однако как этот результат, так и все углубленное развитие,
которое мы находим в последующих изданиях трактата Бианки,
по существу, развернуты настолько, насколько это автору необ-
ходимо для обоснования геометрии- пространств; постоянной
кривизны. Соотношение (28) сохранило название тождества
Бианки.
Таким образом развитие, которое идеи Римана получили
примерно за 35 лет (с 1866 г. до начала текущего столетия),
характеризуется двумя особенностями: во-первых, подавляющим
преобладанием аналитических методов, а во-вторых, преоблада-
нием геометрии Клейна и Ли над общим замыслом Римана. На
протяжении всего этого периода анализ служит геометрии. Это
расцвет ее арифметизации, которая упирается, однако, в необы-
чайную сложность аппарата, и руководящая идея тонет в море
громоздких формальных вычислений.
6. НАПРАВЛЕНИЕ ШЛЕФЛИ.
Скрестившись на трактате Бианки, оба направления римановой
геометрии после этого вновь разошлись. Еще гораздо раньше,
в 1871 г., Шлефли показал1), что всякое пространство Rn
может быть, так сказать, вмещено в евклидово пространство
достаточно большого числа измерений. Иными словами, всегда
существует такое число k, что заданное пространство RH можно
рассматривать как /z-мерный образ в пространстве Еп*к. Нужно,
однако, сказать, что рассуждения Шлефли не могут считаться
исчерпывающими. Более того, до последнего времени условия
интегрируемости диференциальных уравнений, к которым Шле-
фли эту задачу привел, нельзя было считать установленными.
В последние годы Жане, Картан и Бурстин дали полное решение
Этих вопросов 2), и теорему Шлефли нужно считать строго
доказанной.
В предположении, что данное риманово пространство Rn вмеща-
ется в евклидово пространство Еп¥к, наименьшее значение Л, удовле-
творяющее этому требованию, Риччи назвал классом простран-
ства. Как показал уже Шлефли, это число k не может превышать
п(п — 1)
---2— • у Римана среди недоказанных утверждений имеется
место, остававшееся ^неясным. Oh'J дважды {вскользь утверждает,
') L. Schlaefli, Nota alia memoria del Sign. Beltrami, «Annali di Matem.» (2), 5, 1871,
> Jaiet, Sur la possibility de plonger un espace rimanien donny dans un espace eu-
ciidien», Annales de la Sociyty polonaise Mathymatique т. X. 1926. E. Cartan, Ibidem,
T. 6. 1927. C. Burstin, Ein Beitrag sum Problem der Einbettung der Riemannschen
Kaume in Euklidische Raume. «Математический сборник», т. XXXVln 1932.
28
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
~	п(п—1) ,
что пространство /?м определяется ——- функциями точки,
Повидимому, в теореме Шлефли и заключается разгадка этого
утверждения. В самом деле, если пространство /^(х^х2,.. .х*}
k-го класса включается в	.., zm+*),to оно выражается
в нем уравнениями:
г* =/*(х1, х!,. .Xм), i = l, 2, 3,..., n-\-k.
Исключая отсюда п параметров х1, х2,..., хм, мы выразим наше
Rn с помощью k уравнений:
гм+л=	/2,...,2М), А = 1, 2, 3,...,£.
Наше пространство действительно определяется k функциями
Так как по теореме Шлефли k не превышает _7Г то
этим числом функций всякое Rn действительно определяется.
Так ли понимал свое утверждение Риман, в настоящее время
вряд ли возможно выяснить; но мысль по существу верна.
Итак, всякое риманово пространство можно рассматривать как
образ в надлежащем плоском пространстве, и евклидова гео-
метрия, таким образом, вновь заняла свое доминирующее место.
Своеобразный процесс эволюции шел таким образом, что неиз-
меримо более общая геометрия была включена в старую пра-
родительскую схему. К двум направлениям Клейна-Ли и Христо-
феля присоединилось третье, которое мы будем называть на-
правлением Шлефли. Полученные этим методом результаты
содержат материал, который можно более или менее непосред-
ственно перенести из евклидовой геометрии в любое риманово
пространство. Одни из этих результатов имеют содержание
только в той мере, в какой это Rn остается вложенным в
евклидово пространство. Сюда относится, например, обобщение
теорем Эйлера и Менье, учение о главных кривизнах много-
образия и т. п. Другие результаты относятся к пространству
/?м, как таковому. Сюда относится, например, учение о геодези-
ческих линиях, о геодезической кривизне линий в многообразии
и т. д. Во всяком случае в 1892 г. Июне имел уже возможность
дать сводное построение римановой геометрии по схеме Шлефли 1).
При всем том метод Шлефли все же оставался как будто зачарован-
*) Н. Kilhne, Beitrag zur Lehre von der л-fachen Mannigfaltigkeit, «Archiv der Mathe*
matik und Physik», (2), 11, 1892. Его диссертацию, посвященную тому же предмету,
автору не удалось видеть.
НАПРАВЛЕНИЕ РИЧЧИ И ЛЕВИ-ЧИВИТА
29
ным традицией и всегда отражал только классическую диферен-
циальную геометрию, главным образом, французской школы
идущей от Монжа через Лиувиля, Ламе, Коши, Серре к Дарбу.
И только в текущем столетии, именно в сочетании с направле-
нием Христофеля, он привел к существенно новым результатам.
Родоначальником новых идей является итальянский геометр
Грегорио Риччи Курбастро *)•
Впрочем, Риччи яачал свои исследования с результатов
Шлефли. Он поставил себе задачей непосредственно по основной
форме, т. е. по экстенсиву g^t определить класс заданного
пространства Rn. Если Христофель хотел классифицировать
пространство по несводимым друг с другом типам, т. е. по
несводимым квадратичным формам, то Риччи хотел распределить
самые типы по классам. Ему, однако, удалось подойти к решению
этой задачи только в смысле установления пространств Rn
первого класса, т. е. тех Rn, которые можно рассматривать как
так называемые гиперповерхности в пространстве £и+1. Необ-
ходимое для этого условие заключается в особенном строении
риманов: именно все риманы должны выражаться минорами
второго порядка некоторого экстенсива, т. е. должен существо-
вать такой, будем говорить, риччи-экстенсив:
Yu Yu-•-Yin
Y21 Y22* • • YiH
чтобы
Ynl Yn2---YnH
Yxh Y-
Y>n Yb
условия достаточные заключались в том, чтобы риччи, в свою
очередь, имели особое строение, выяснение которого и привело
автора к тем идеям, которые получили капитальное значение.
7. НАПРАВЛЕНИЕ РИЧЧИ’И ЛЕВЙ-ЧИВИТА.
Тенденция к сведению идеи Римана к общим методам изыска-
ния диференциальных инвариантов квадратичной формы упи-
рается в препятствие, которое по мнению Риччи заключается
Matemat >^2)*’ 12™ 1884^ U°a teoria deUa forme differenziale quadratiche, «Ann. d
30	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
не столько в сложности формальных преобразований, сколько в
той первопричине, которая эту сложность вызывает.
Эту причину Риччи относил к одной невязке классического
анализа с теорией диференциальных инвариантов. Положим, что
при преобразовании вида (11) функция ^ (х1, х2,х3,, х") пере-
ходит в ф’Су1, у2, у3, ..., у*), так что
ср (х1, х*,..., хя) = ф Су1, у2,..., у*).
Если через ср., ср0> ср^А,..., фф, будем обозначать про-
изводные этих функций по соответствующим переменным, а
через dy* — диференциалы, которые соответствуют диференциалам
б/х*, то
Д<р = (f« dxa -f - i <pap dxa dx?+-g| <popT dxa dx? dxi
Дф= фа dy*+фар dy « dyt 4- А фарт dy* dy^ dyt
Дср = Дф.
При расчленении последнего равенства имеем:
cpe dxa =<фа dy* или б/(р = б/ф.	(29)
Иначе говоря, при свертывании экстенсива первого порядка
<р. с тейлорами первого порядка:,
II ?1> ?»»•••> ф, II с II dx1, dx*, ...,dx*\\,	(30)
мы получаем инвариант, носящий название диференциала функ-
ции. Но следующие члены разложения уже такой инвариантностью
не обладают: равенство
<ра? dx* dx$ = фХи dy1 dy*	(31>
может иметь место только в исключительных случаях.
В самом деле:
, ду*	. ду* дур- . .
= Ф* а& аГ + да
Только в том случае, когда, все у* выражаются линейно через
х\ последние члены правой части отпадают, и равенство (31)
НАПРАВЛЕНИЕ РИЧЧИ И ЛЕВИ-ЧИВЙ7А	31
имеет Место. Это обстоятельство, между прочим, составляет
причину того, что понятие da<p, ийёющее значение только в
определенной системе референции, мало привилось. Если, однако,
воспользуемся им для функций у* от независимых переменных
xv, то, умножая последнее равенство на dxk dxl и суммируя
(заменяя соответственно этому латинские индексы греческими),
получим:
dxa dx? = фхи dyx dyv--j- фх d*y\	(32)
В том, что последний член справа не обращается в нуль,
что этим нарушается инвариантность второго диференциала, и
заключается невязка, о которой шла речь. Чтобы ее устранить,
Риччи становится на геометрическую Почву, он, так сказать,
внедряет функции ср и ф в пространство. По существу, в этом
как будто не было ничего нового: рассматривать функцию от
координат как функцию точки в пространстве было совершенно
обычно, особенно в теоретической физике. В настоящее время
такую функцию принято называть скаляром.. Особенность точки
зрения Риччи заключалась только в том/ что функция была
локализирована не в евклидовом, а в римановом пространстве. В
первый раз роли изменились — риманова геометрия пришли на
помощь анализу. В работе Липшица Риччи уловил соотношение,
явно у него не выраженное, но непосредственно вытекавшее из
его формул:
Gj₽ dxadx^ =	ф, dy'dy^ + фх d2/ .	(33)
Вычитая теперь равенство (33) из (32), получаем:
(?«₽ — О^7) dxa dx* = (фхи — Мн	dy1 dy».	(34)
Теперь ясно, что экстенсив второго порядка
—	(35)
при свертывании с тейлорами дает инвариантную квадратичную
форму.
Так как первые производные функции ср непосредственно дают
инвариантный диференциал, то Риччи называл их абсолютными,
производными. Что касается вторых производных, то они инва-
риантного второго диференциала не дают, а потому Риччи на-
звал абсолютными вторыми производными функции эле-
32
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
менты нового им полученного экстенсива. Абсолютные произ-
водные принято в настоящее время обозначать символом ф с
индексами, отмечающими переменные, по которым мы диферен-
цируем. Таким образом
v- ; v<y?*	<36>
Никогда удачная мысль не была связана с таким неудачным
наименованием: производные Риччи менее всего заслуживают
названия абсолютных; это именно производные относительные*.
производные, отнесенные к определенному риманову простран*
ству, если говорить геометрически, к определенной квадратич-
ной форме, если говорить языком анализа. Абсолютность Риччи
понимал в том смысле, что эти производные дают диферен-
циалы, инвариантные по отношению к системе референции, к
которой пространство отнесено. Риччи дал также правила, по
которым в том же порядке идей составляются производные
высших порядков. Нам удобнее будет познакомиться с ними в
связи с дальнейшей эволюцией этих идей. Здесь нужно все
же сказать, что достаточное условие того, чтобы данное про-
странство принадлежало первому классу, заключается в том,
чтобы его риччи удовлетворяли соотношению:
VfcYxp.=
Нам остается только сделать еще одно существенно важное
указание, что производные Риччи сохраняют формальные свой-
ства обыкновенных производных в том смысле, что производные
линейных аггрегатов функций и их произведений составляются
по тем же формальным правилам, что и в классическом анализе.
Все эти идеи Риччи относятся еще к периоду 1887—1893 гг. х).
Однако они не были замечены, во всяком случае не были
достаточно оценены. Но Риччи продолжал их разрабатывать в
сотрудничестве со своим талантливым учеником Леви-Чивита.
В 1901 г. в «Mathematische Annalen» появился их обстоятель-
*) G. Ricci, Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica differenziale, «Rendi-
conti Ac. Lincei» (4), 31 1887.
G. Ricci, Delle derivazione covarianti e contravarianti. В юбилейном сборнике .Studi editi
della Universita di Padova a commemorare 1’ottavo Centenario della origine della Univer-
sity di Bologna, Padova 1888.
G. Ricci, Di alcune applicazioni del calcolo differenziale assoluto, Atti del Reale Instituto
Veneto, (7 ), 4, 1893.
G. Ricci, Кёашпё de quelques travaux sur les systemea variables de fonctiona associ^es
une forme differcntieMe quadratique, «Bulletin des sciences mathlsmatiques», (2), 16, 1892.
ПРЯМЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
33
ный совместный мемуар об абсолютном диференцировании, в
котором эти идеи уже были скомпанованы в довольно цельную
дисциплину, получившую в своем дальнейшем развитии наиме-
нование тензорного анализа1). То, что за десять лет здесь было
привнесено нового, заключалось в претворении метода Риччи
в так называемое абсолютное исчисление. Словом «абсолют-
ный», как вы видите, немало злоупотребляли, и Скоутен был
совершенно прав, когда заменил этот термин более целесообраз-
ным— Direkte Analysis—«прямое (или непосредственное) исчис-
ление».
8.	ПРЯМЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
С тех пор как получила право гражданства аналитическая
геометрия, различного рода объекты — геометрические, механи-
ческие, физические — выражались численно определенным коли-
чеством координат, и аналитические операции производились
над этими координатами, а не над определяемыми ими объек-
тами. Говорить здесь о той пользе, которую этот метод принес
теоретической и прикладной математике, конечно, неуместно.
Но, к сожалению, каждый метод, как бы ни были сильны его
средства, обыкновенно несет в себе также элементы, ослабляю-
щие его мощь и на известной ступени даже парализующие его
действие подобно тому, как поляризация постепенно сводит
на-нет действие гальванического элемента. В координатном ис-
числении эти поляризующие силы кроются в усложнении фор-
мул, в расщеплении одного соотношения между объектами на
ряд соотношений между координатами, в утрате наглядности
вследствие чрезмерной арифметизации.
Уже приблизительно через 40 лет после опубликования «Гео-
метрии» Декарта Лейбниц с чрезвычайной прозорливостью пред-
усмотрел и слабые стороны аналитического метода. Он не
только высказал убеждение, что ему на помощь должны притти
«прямые» операции «геометрического анализа», но даже наме-
тил первую схему начатков своеобразной геометрической алгеб-
ры. В письме к Гюйгенсу от 8 сентября 1679 г. Лейбниц пи-
шет следующее: «но при всех успехах, достигнутых мною в
этих вещах (в теории некоторых уравнений)..., я еще недо-
волен алгеброй в том отношении, что она не дает ни наиболее
коротких путей, ни наиболее изящных построений геометрии.
Именно поэтому, когда об этом идет речь, я считаю, что нам
*) G. Ricci et Т. Levi-Clvita, M£thodes de calcul difrerfcntiel absolu et leurs applications
<Mathem. Annalen», 54, 1901.
3 Каган. Геометрические идеи Римана.
34	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
необходим еще другой анализ, собственно геометрический или
линейный, который бы прямо (directement) выражал положение
(situpi) подобно тому, как алгебра выражает величину (magni-
tudinem). Я полагаю, что вижу для этого средство, которым
можно было бы представлять фигуры и даже машины и движе-
ние знаками (characters) подобно тому, как алгебра выражает
числа и величины; посылаю вам опыт, который я считаю зна-
чительным». Этот опыт носил, однако, еще зачаточный характер.
Это и неудивительно: аналитические методы еще только разра-
стались, плодотворное их применение быстро охватывал ) одну
область за другой; их достижения были настолько велики, они
еще так много обещали, что внимание математиков было сосре-
доточено на усовершенствовании именно этих средств исследо-
вания. В новых путях еще не чувствовалось острой нужды, к
ним еще не предъявляли настойчивых притязаний прикладные
дисциплины. И именно поэтому в XVIII столетии в геометриче-
ском исследовании почти безраздельно царил так называемый
классический анализ.
Но когда средства анализа дошли до известного завершения,
а задачи все разрастались, когда различные отрасли математики
и прикладные дисциплины начали фактически предъявлять тре-
бования прямых методов исчисления, их стали развертывать
очень напряженно, то отвечая на прямые запросы, то предвос-
хищая их. И тогда лозунг Лейбница от аналитической гео-
метрии к прямому геометрическому исчислению оказался про-
рочески верным.
Но от возникновения этой идеи у Лейбница до появления
настоящего прямого исчисления прошло около 180 лет.
Только в XIX столетии начинается некоторая реакция против
координатного исчисления; возникают прямые исчисления, кото-
рые оперируют непосредственно со сложными объектами. Ком-
плексные числа представляют собой, повидимому, первые объекты
такого рода, над которыми устанавливались формальные опера-
ции. Данная Гауссом интерпретация комплексных чисел уже
несла с собой в зародыше теорию векторов на плоскости. Бари-
центрическое исчисление Мёбиуса х) и метод эквиполленций Бел-
лавитиса не только заложили начало прямым операциям над
геометрическими объектами, но представили собою уже глубоко
разработанные прямые исчисления. Объектами алгебраических
операций у Мёбиуса служили точки (точечное исчисление, Punkt
*) A. Mobius, Der barycentrische Cakul, ein neuer Hilrsmittel zur analytischen Behand
lung der Geometric, Leipzig 1827. Переиздано в I томе собрания сочинений Мёбиуса
«А. F. MSbiui gesammelte Werke», Bd. I, Leipzig 1883.
ПРЯМЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
35
rechnung), у Беллавитиса х) — отрезки (первое векторное исчис-
ление) на плоскости. Наконец, кватернионы Гамильтона в своей
геометрической интерпретации положили начало векторному исчис-
лению. Это прямое исчисление, сложившееся после продолжи-
тельных и довольно жестоких споров и контроверз в совместной
работе физиков, механиков и математиков, оказалось наиболее
плодотворным и получило широкое применение во всех отраслях
прикладной математики. К началу текущего столетия уже трудно
было бы указать сочинение по механике или теоретической фи-
зике, которое не оперировало бы средствами векторного анализа
Векторный анализ тоже не всегда обходится без координат;
скажу больше, чрезмерные тенденции чистокровных векторни-
ков совершенно устранить координаты нередко приводят к обрат-
ному результату в смысле тяжеловесного усложнения специаль-
ного аппарата. Штюди совершенно прав, когда борется
с этой тенденцией; но действие над компонентами векторов
всегда служит отражением -некоторой операции над самими век-
торами. Этой особенности векторное исчисление не должно утра-
чивать никогда, в ней коренится его характер прямого исчисления.
И вот именно координатное выражение прямой операци над
векторами привело к идее инвариантности с новой точки зрения.
Известной операцией над координатами действительно опре-
деляется действие над векторами, если геометричский смысг
этой операции не зависит от системы координат, в которй
эта операция производится. Эта инвариантность сблизила век-
торное исчисление с римановой геометрией в ее христофелевом
направлении.
При всем своем углубленном развитии векторное исчисление,,
в сущности, располагает весьма небольшим числом основных
операций. Из них скалярное умножение двух векторов играет
особую роль. Если векторы равны, то скалярным их произведе-
нием определяется квадрат их общей длины; если известны длины
обоих векторов, то скалярным произведением определяется обра-
зуемый ими угол. Таким образом скалярное произведение двух
векторов, аналитически различно выражаемое в различных коор-
динатах, представляет собой инвариант, определяющий длину и
угол — две основные величины геометрической метрики. Век-
торное исчисление развертывалось, конечно, в евклидовом про-
странстве. Долгое время аналитические вычисления векторного
анализа проводились при этом почти исключительно в орт^го-
II ”ачала метода эквиполленций Беллавитис опубликовал в ряде мемуаров, начиная,
с 183о г. Обстоятельно разработанное сводное изложение опубликовано в 1854 г. G. Bel
iiivitis, Esposizione del metodo delle Equipollenze, Modena 1854.
36
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
нальных декартовых координатах. Скалярное произведение век-
торов А и В выражается в этом случае в компонентах векто-
ров формулой:
АВ = АхВх-[~ АуВу-\-АгВг.	(37)
Широкое развитие векторного анализа и многочисленные его
применения в дисциплинах, развертывавшихся в криволинейных
координатах, потребовало перечисления векторных операций на
любую систему референции, конечно, в евклидовом простран-
стве. Со всей полнотой это было выполнено, мне кажется, в
первый раз Бурали-Форти в 1897 г.1) в сочинении, посвященном
векторн )му построению диференциальной геометрии поверхности
в евклидовом пространстве. В криволинейных координатах квад-
рат элемента дуги в евклидовом пространстве также выражается
основной гауссо-римановой формой. Если А1, Л2, X3 и К1, К2, Y3
суть компоненты векторов X и У, взятые по осям криво-
линейных координат в данной точке 7И, то скалярное произ-
ведение их выражается формулой:
XY—g<$XaY\	(38)
В римановом пространстве мы можем смотреть на два эле-
мента (dx\dx\.. .,dxn) и (Sx1,5х2,..., 5хя) как на бесконечно
малые взкторы, выходящие из точки М(х\ х*,.. .,хп). Произ-
ведение длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
то же скалярное их произведение, и здесь выражается формулой
gapdxa8x\	(39)
Положением римана, или, иначе, гауссовым экстенсивом, таким
образом, по существу определяется скалярное произведение двух
бесконечно малых векторов. Вы видите, что векторный анализ
естественно пришел в тесное соприкосновение с основными
положениями римановой геометрии.
Итак, построение прямого исчисления, связанная с этим инва-
риантность аналитических операций, в частности инвариантность
скалярного произведения, общие выражения операций вектор-
ного анализа в любой системе референции — вот тот комплекс
идей и формул, который в соединении с абсолютным диференцирова-
нием Риччи привел от векторного анализа к тензорному. Но тут
привходит еще одна схема, ведущая свое начало от Грассмана.
1 С. Bourali-Forti, Introduction a la geometric dii'f£rentielle suivant la methode de
H. Grassman, Paris 1897.
УЧЕНИЕ Г. ГРАССМАНА О ЛИНЕЙНОМ ПРОТЯЖЕНИИ	37
9.	УЧЕНИЕ Г. ГРАССМАНА О ЛИНЕЙНОМ ПРОТЯЖЕНИИ.
Произведением, в котором замысел Лейбница был осущест-
влен в наиболее совершенном виде, является учение »О линей-
ном протяжении» Германа Грассмана. - В первоначальном своем
виде оно было опубликовано в 1844 г.1) а затем в гораздо
более глубокой обработке — в 1862 г.2). Построенная Грассма-
ном широко развернутая система прямой геометрической алгебры
охватывала исчисления Мёбиуса, Беллавитиса и даже Гамильтона
как отдельные частные случаи. Это обусловливается тем, что
Грассман имел смелость ставить вопрос о всех возможных си-
стемах геометрической алгебры во всей его общности. Именно в
широкой общности замысла заключается значение этого замеча-
тельного произведения; но эта же широта замысла, в изложении
часто облеченная в туманные формы философских рассуждений,
стояла на пути его признания. Идеи Грассмана слишком сложны,
чтобы здесь можно было на них остановиться подробно; мы
ограничимся простейшими положениями, которые послужили
точкой отправления также при построении тензорной алгебры
Объектами прямого исчисления в тензорном анализе явились
экстенсивы. Основные алгебраические операции над экстенси-
вами можно определить непосредственно, каковы бы ни были
эти экстенсивы. У Грассмана фактически эти основные опре-
деления даны. Под суммой двух экстенсивов одного и того же
порядка
и= !| а* * ц, v= || в& ||	(40)
Грассман разумеет экстенсив того же порядка:
£?+ v= II + II ,	(41)
который получается путем сложения соответствующих компонент
этих экстенсивов, в какой бы системе координат они ни были
заданы. Так же определяется и вычитание. Произведение экс-
тенсива на скаляр получается (по определению), если ‘ на этот
скаляр умножим все его компененты:
cU= II сА^ I! .	(42)
Эти определения совпадают с определениями тех же операций
для векторов, если их рассматривать как экстенсивы первого
'ig Y^^raSSman' D*e Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, Leip-
*) H. Grassman, Die Ausdehnungslehre, vollstandig in neuer Form bearbeitet, Berlin 1862.
38
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
порядка. Определение произведения двух экстенсивов выходит
за эти пределы. Именно в определении умножения всегда коре-
нились трудности построения новых алгебраических систем, по-
скольку к нему предъявлялось требование, чтобы оно обладало
всеми формалэными свойствами арифметического умножения.
Именно этот вопрос Грассман исследовал с наибольшей общно-
стью. Ему принадлежат определения внутреннего (в случае векто-
ров — скалярного) и внешнего (в случае векторов — векторного)
произведений, данные притом в очень общей форме. Но для
тензорной алгебры наибольшее значение имеет то, по существу
самое простое, умножение, которое дает экстенсив более высо-
k го порядка, чем перемножаемые экстенсивы. Сюда относится
следующее определение: если один экстенсив m-го, а другой —
и-го порядка, то под произведением обоих экстенсивов ра-
зумеют экстенсив (дп-|-л)-го порядка, который получается путем
перемножения каждой компоненты первого экстенсива на каждую
компоненту второго. Таким образом, если
Z7= ||	|| ; || ?= || В**'" у.,	(43)
то
UV = || А^Вк1т ||..	(44)
Сложение и умножение, таким образом определенные, обла-
дают сочетательностью, умножение — распределительностью отно-
сител! но суммы.
Экстенсив называется симметричным относительно двух ин-
дексов, если в любой системе референции ни одна его компонента
не меняет своего значения при транспозиции этих двух индексов.
Так, экстенсив №к симметричен относительно второго и треть-
его инеексов, если всегда
д/Л- = А
Экстенсив называется просто симметричным, если его ком-
поненты не изменяются ни при какой перестановке индексов.
Всякий экстенсив можно симметрировать, т. е. составить из
него экстенсив, симметричный относительно двух индексов или
даже относительно всех индексов. Так, если мы в экстенсиве
U= || A'i* || заменим каждый элемент А^к через
•то получим экстенсив, симметричный относительно второго и
третьего индексов. Как продолжить этот процесс, совершенно
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
39
не ясно. Для обозначения симметриройания соответствующие
индексы заключаются в круглые скобочки.
Экстенсив называется знакопеременным относительно двух
индексов, если каждая его компонента меняет знак при транс-
позиции этих индексов; он называется просто знакопеременным,
если каждая его компонента меняет знак при транспозиции лю-
бых двух индексов, т. е. при любой нечетной перестановке ин-
дексов. Экстенсив А** будет знакопеременным относительно
второго и третьего индексов, если всегда
А^ = — А^.
Любой экстенсив можно альтернировать, т. е. получить из
него экстенсив, знакопеременный относительно двух индексов
или даже относительно всех индексов. Так, проще всего альтер-
нировать экстенсив относительно индексов j и k, заменив каж-
дую компоненту А^ через
А^~ AV = A^A
Альтернирование обозначается прямыми скобочками.
И здесь ясно, как итти в этом направлении дальше. Грасс-
ман пришел к определителям путем альтернирования экстенсива,
элементом которого служило произведение а1Ыск.. .рт.
Такова совокупность идей, которые подготовили почву и
легли в основу замечательного прямого исчисления, которое
охватило векторный анализ как небольшой частный случай и
в своем развитии получило наименование тензорного исчис-
ления.
10.	ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА.
Как мы видели выше, экстенсив второго порядка, составлен-
ный из вторых производных функции cp(xl, ха,...,х”) при
свертывании с тейлорами дает квадратичную форму 'раз dx* dx\
не инвариантную при преобразовании независимых переменных,
но из этого экстенсива можно составить другой — ф^ (35),
который дает инвариантную форму Фаз^хМх?. Этот процесс
предполагает функцию ср локализированной в качестве скаляра
в риманово пространство с основной формой g^dxa dx\ коэ-
фициенты которой (гауссы) входят в состав компонент Ф^. Эго
различие экстенсивов ср^. и .Ф^. послужило для Риччи и Леви-Чи-
вита точкой отправления при установлении того типа экстенси-
вов, которые они назвали тензорами. Под тензором &-го по-
40
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
рядка Риччи и Леви-Чивита в первую очередь разумеют такой
экстенсив Л-го порядка	в римановом пространстве п
измерений, который при свертывании с тейлоровым экстенсивом
того же порядка дает инвариантную диференциальную форму
Fa^...^dxabx^... 6х^; число независимых переменных х1, х2,_,х",
таким образом, равно п (числу измерений пространства), а чис-
ло индексов	равно Л; число компонент равно пл,
Экстенсив таким образом, тензора не образует, а построен-
ный Риччи экстенсив образует в соответствующем римано-
вом пространстве тензор второго порядка.
С точки зрения этого определения первые производные ср.
скаляра ср образуют тензор первого порядка, так как они дают
инвариантную форму yadxa = dy. Но производные ср. в евкли-
довом пространстве суть компоненты вектора — градиента ска-
ляра ср. Вообще, если суть компоненты вектора, то в евкли-
довом пространстве padx* есть инвариант—скалярное произ-
ведение векторов pL и dxl. В обобщение этого тензор первого
порядка в любом римановом пространстве называют вектором.
К другому очень замечательному тензору первого порядка при-
водит основная риманова форма g^dxadx^. Ей, как всякой квад-
ратичной форме, соответствует п сопряженных линейных форм
gaidx*\ если соответственно этому положим
dx i=z gai dxa^	(45)
то в каждой точке величины rfx- не только определяются по
значениям диференциалов dxa, но сами определяют значения
этих диференциалов; в самом деле, определитель g основной
формы мы считаем отличным от нуля, и потому из системы п
уравнений (45) диференциалы dxa определяются по значениям
dx^ Вместе с тем самая основная форма может быть при этих
обозначениях представлена в виде:
^3 dxa dx> — dxK dxl.	(46)
Так как основная форма инвариантна, то экстенсив dxi9 свер-
тываясь с диференциалами dx\ дает инвариант, т. е. он кон-
траградиентен экстенсиву dx* (см. стр. 22), еще иначе — он
представляет собою тензор первого порядка. Значения dxt можно
рассматривать как своеобразные диференциалы координат, ко-
торые в нормальном римановом пространстве (т. е. при g^ 0)
определяются обыкновенными диференциалами dxi и сами их
определяют. Риччи и Леви-Чивита назвали их ковариантны ни
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
41
диференциалами в отличие от обыкновенных диференциалов, ко-
торые они для противопоставления назвали контравариантными.
Диференциалы dx* можно рассматривать как компоненты беско-
нечно малого вектора, выходящего из точки х*\ в новой тер-
минологии их называют контравариантными компонентами того
же вектора, а величины dxt— ковариантными его компонентами.
Эти новые своеобразные диференциалы мы отнесем к тейлорам, рас-
ширив, таким образом, тейлоровы экстенсивы. С этой новой
точки зрения тейлоровы экстенсивы могут составляться из одних
контравариантных диференциалов (как мы это и делали вначале),
из одних ковариантных диференциалов или из тех и других:.
dx^x^.. .§хт (контравариантный тейлоров экстенсив),
dx$x>... 6xw (ковариантный	»	»	),
dx$xxxk.. .6xw (смешанный	»	»	).
Вот обобщая, таким образом, понятие о тейлорах и формальна
сохраняя прежнее определение тензора, Риччи и Леви-Чивита
тем самым чрезвычайно расширяют это понятие: тензором
называется экстенсив^ который при свертывании с тейлоро-
вым экстенсивом какого угодно типа дает инвариантную
форму. Таким образом тензоры, с которых мы начали, скажем,
Fijk. дающие инвариантную форму Fa^dxa ix^hx'( при свертывании
с контравариантными тейлорами, называются ковариантными тен-
зорами; каждый индекс, по которому идет свертывание с верх-
ним индексом диференциала, помещается при обозначении ком-
поненты тензора внизу. Тензор F^*, который дает инвариантную
форму dxa Sxp6xY при свертывании с ковариантными тейло-
рами, называется контравариантными наконец, тензор вида
F?ji, который дает инвариантную форму Fa.^dxa 5х*3 Ох \ называется
смешанным и в данном случае именно однажды контравариантным
и дважды ковариантным. Детали наименования и обозначения
отсюда достаточно ясны. Два тензора называются однотипными,
если соответствующие компоненты на соответствующих местах
несут одновременно верхние или нижние индексы; так, F'jk и
G'-jl суть однотипные, Fji и НЦ?—уже разнотипные тензоры. Та-
ким образом гауссы образуют ковариантный тензор второго по-
рядка— основной тензор пространства; риманы как они
были определены выше, образуют ковариантный тензор четвер-
того порядка — риманов тензор или тензор кривизны. Христо-
фели образуют экстенсив, не представляющий собою тензора.
Эта терминология не везде выдерживается. Она была введена
42
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
Риччи и Леви-Чевита в мемуаре в 1901 г. (см. стр. 33); но мно-
гие авторы предпочитают для экстенсцвов установленного типа
термин аффиноры, сохраняя наименование тензоров только для
симметричных аффиноров. Но и термину «аффинор» многие ав-
торы (Скоутен, Стрюик, Вейль) в настоящее время придают бо-
лее узкое значение, а в установленном выше широком смысле
они предпочитают общий термин «Grosse» или «geometrische
Grosse». Однако Леви-Чивита в книге, выпущенной только в 1926 г.,
предпочитает остаться при термине «тензор» в прежнем, общем
значении этого слова; мы склонны его сохранить.
Общие определения грассмановой алгебры непосредственно при-
водят к понятию о сумме и разности однотипных тензоров, при-
чем в результате сложены i и вычитания получается всегда тензор
того же типа. Сложнее обстоит дело с перемножением тензоров;
юно производится по тому типу перемножения грассмановых эк-
стенсивов, которое мы изложили в предыдущем параграфе. Оно
приводит, таким образом, всегда к тензорам более высокого по-
рядка. Перемножая тензор &-го порядка с тензором Z-го порядка,
получаем в результате тензор (&-|-0’го порядка (например,
тензор F. j однажды ковариантный и однажды контравариантный,
при перемножении с тензором Fp™, дважды ковариантным и
однажды контравариантным, дает в произведении тензор пятого
порядка F'.jk™ = F’jFp™, дважды контравариантный и трижды
ковариантный).
Тензор первого порядка, как мы видели, рассматривается как
вектор и тоже может быть задан своими ковариантными или кэн-
травариантными компонентами. Перемножая k векторов, получаем
тензор &-го порядка. Так, например, перемножая два ковариант-
ных вектора р. и qj и три контравариантных г*, sl, tm, полу-
чаем смешанный тензор рд.г^вЧ™. Такого рода тензор, пред-
ставляющий собою произведение векторов, называется мульти-
пликативным тензором.
Не надо, однако, думать, что всякий тензор Л-го порядка
представляет собою произведение k векторов. Все развитие тен-
зорного исчисления значительно бы упростилось, если бы это
имело место, если бы каждый тензор был мультипликативным.
Учитывая это обстоятельство, Скоутен и Стрюик претворяют каж-
дый тензор в мультипликативный, вводя так называемые идеаль-
ные векторы, путем перемножения которых можно получить
любой тензор. Этот прием ведет свое начало от известного ме-
тода Клебша и Аронгольда -в теории инвариантов. Однако как
там, так и здесь этот метод не может считаться достаточно
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
43
обоснованным и в тензорной алгебре может играть только вспомо-
гательную роль для наводящих соображений.
Знакопеременный тензор второго порядка носит название би-
вектора, Если он получается путем альтернирования мультипли-
кативного тензора, то он называется мультипликативным или
простым бивектором. Альтернируя произведение двух кова-
риантных векторов, Pt и qjy получим простой бивектор
Pij = PiQj — Pj4i‘ Таким же образом, альтернируя произведение
трех векторов, получаем простой тривектор и т. а.
Все алгебраические операции, устанавливаемые, таким образом,
над тензорами, представляют непосредственное применение об-
щих идей, содержащихся в алгебре Грассмана. Они не носят
на себе никакого специфического отпечатка тензорного исчисле-
ния помимо того, что сумма или произведение тензоров всегда
представляет собою также тензор. Но дальнейшее развитие опира-
ется на основную теорему, уже специфически вытекающую из
тензорного характера экстенсива.
Положим, что мы имеем смешанный тензор &-го порядка,
выбрав один из верхних индексов, например /, ассоци-
ируем ему какой-либо нижний индекс, скажем, Z, и произведем
по этим двум индексам свертывание, т. е. сэставим сумму
Результат будет содержать уже только (k — 2) индексов:
основное предложение, о котором мы говорим, заключается
в том, что получаемый таким образом экстенсив (Ff^ = FZ^)
представляет собою тензор (k— 2)-го порядка, причем остав-
шиеся индексы сохраняют свои места (наверху или внизу). Этот
процесс называется свертыванием тензора по двум ассоцииро-
ванным индексам. Теперь мы можем произвести новое сверты-
вание, ассоциировав какой-либо из оставшихся верхних индексов
с нижним. Каждое свертывание понижает порядок тензора на
две единицы. Если порядок тензора выражается четным числом
2&, и он имеет k верхних и k нижних индексов (тензор k раз
ковариантный и k раз контравариантный), то после k сверты-
ваний мы получим скалярный инвариант.
Все эти соображения еще не находятся в прямой зависимости
от риманова пространства, в котором локализированы тензоры
(помимо различения ковариантных и контравариантных тензоров).
Мы теперь переходим к последней части тензорной алгебры,
которая на это именно обстоятельство существенно опирается.
В основе этой части лежит следующее предложение. Гауссы
пространства giJt как мы видели, образуют ковариантный тен-
зор второго порядка, причем определитель g стличен от нуля.
44
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
Приведенные миноры g^ определителя g (т. е. миноры,
разделенные на значение самого определителя, см. выше) пред-
ставляют собою контравариантный тензор второго порядка.
Это предложение в связи с умножением и свертыванием тензо-
ров приводит к своеобразному процессу, который Вейль острэ-
умно назвал «жонглированием индексов». Он заключается в том,
что заданный тензор всегда можно преобразовать таким обра-
зом, чтобы любой верхний индекс «опустился», т. е. занял
нижнее место, и наоборот. Возьмем, например, тензор четвер-
того порядка с компонентами F^n (дважды контравариантный
и дважды ковариантный); помножив его на основной тензор gip
получим тензор g^ F^n (четырежды ковариантный и дважды
контравариантный). Теперь свернем этот тензор по индексам
j и k. Мы вновь получим тензор четвертого порядка:
Fi-mn z= gia F..mnt	(47)
в котором, однако, вместо верхнего индекса k появился нижний
индекс I. Чтобы, далее, опустить индекс Z, помножим получен-
ный тензор вновь на g^\ получим g^F[\mn и свернем его по
индексам k и Z; получим тензор четырежды ковариантный:
Fijmn	(48)
Чтобы, обратно, поднять, скажем, индекс т вверх, помножим
этот тензор на контравариантный основной тензор gpq\ получим
тензор g^F^ j свернув его по индексам q и /и, получим:
Fi?n=gpaF;j-.	(49)
Таким образом каждый из индексов может быть помещен
вверху или внизу, по усмотрению. Каждый тензор #-го порядка
может быть поэтому выражен в 2* формах, которые рассматри-
ваются как различные способы задания одного и того же
тензора.
Основной тензор мы уже знаем в двух формах — в ковари-
антной g^ и контравариантной чтобы привести его к сме-
шанному виду, составим их произведение g^g*1 и свернем,
скажем, индексы j и Z; получим g* = gi*gk*. Но так как g*1
есть приведенный минор элемента gkl в определителе g, то
giagfia=^ при k^i и giogk'~Q при k^i.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
45
Мы получаем, таким образом, своеобразный смешанный тен-
зор gi\ который при любой системе референции имеет посто-
янные значения: 1 при i = k и 0 при такой тензор мы
будем называть выродившимся тензором. Умножая его на вектор,
получаем выродившийся тензор третьего порядка F'kl'= gf. Р
который в чисто ковариантной форме имеет вид gikPt- Можно
поэтому сказать, что выродившийся тензор третьего порядка
есть произведение основного тензора на вектор; он сохраняет
это название и в том случае, когда он альтернирован.
Положим теперь, что тензор F задан одной из своих 2* форм,
скажем, F^. Другой тензор Е, того же порядка, может быть
также задан в 2к формах. Если мы эту форму выберем так,
чтобы каждому индексу тензора F, занимающему нижнее место,
соответствовал верхний индекс тензора Е и наоборот, то мы
будем говорить, что два тензора заданы в дополнительных
формах\ так, приведенной выше форме задания тензора F
соответствует для тензора Е дополнительная форма задания
Е\£. Теперь свернем оба тензора до конца по соответствующим
индексам; F^Ea,^, получим скаляр. Можно доказать, что скаляр
этот не зависит от того, в каких формах заданы тензоры, лишь
бы эго были формы дополнительные. Так, для наших тензоров
F и Е скаляр F^E^ имеет то же значение, что и получен-
ное выше. Этот скаляр называется скалярным произведен ем
двух тензоров. Если мы возьмем два вектора F4 и Е1, то их
скалярное произведение равно F,Ea. Так как Fi — g^F?t то
FaE* =ga^EaF\ т. е. совпадает со скалярным произведением,
как его понимали в векторном исчислении. Мы имеем, таким
образом, обобщение понятия о скалярном произведении векто-
ров на любые тензоры. Скалярное произведение тензора на
самого себя, например F^F1^, называется нормом этого тен-
зора. Можно показать, что при определенной положительной
основной форме ga$dxadx^ норм всякого тензора имеет поло-
жительное значение. Норм вектора есть квадрат его длины.
Положительное значение корня квадратного из’норма называется
модулем тензора.
Перемножение векторов часто бывает полезно сопровождать
альтернированием. Альтернированное произведение векторов Fi
и Е. имеет компонентами FtEj— PjFit которые обыкновенно
обозначают символом P^.Ejf, прямые скобочки служат знаком
альтернирования по тем индексам, которые в эти скобки вклю-
46
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
чены. Это альтернированное произведение представляет собою
простой бивектор; его диагональные компоненты равны нулю,
число же независимых его компонент есть -2—В трехмер-
ном пространстве это число равно 3, и это обстоятельство дало
возможность заменить бивектор обыкновенным вектором. Скры-
вающаяся здесь особенность была замечена давно, и такого
рода векторы были названы «осевыми» в отличие от обыкно-
венных «полярных» векторов. Общая алгебра тензоров проли-
вает на это полный свет. То, что в векторном исчислении
называли геометрическим произведением векторов, есть не чо
иное, как бивектор, представляющий собою альтернированное
их произведение. Альтернированное произведение трех векторов
представляет собою тривектор и т. д.
Мы видим, таким образом, что все основные понятия и опе-
рации векторной алгебры получили обобщение и естественное
развитие в тензорной алгебре, охватившей векторную алгебру
как простейший частный случай. Мало того, идеи, которые
связывались неразрывно с евклидовой геометрией, перенесены
в любое римановэ пространство. По существу, все эти идеи
уже были развиты в основном мемуаре Риччи и Леви-Чивита
1901 г. Дальнейшая литература содержит лишь дополнения
торостепенного значения.
11.	ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ.
С точки зрения установленных таким образом новых понятий
Риччи и Леви-Чивита подошли к тем вопросам, которые послу-
жили импульсом к построению тензорного анализа. Если ср есть
скаляр, то dy = yadxa есть инвариант. Следовательно, про-
изводные	образуют ковариантные компоненты тензора
первого порядка, градиента функции ср.
С другой стороны, вторые производные ср.^. не дают инвари-
антной формы <раз dxa dx\ т. е. не образуют тензора второго
порядка. Но, как мы видели (см. стр. 31), Риччи показал, что
экстенсив

представляет собой симметричный ковариантный тензор второго
порядка, так как он дает инвариантную форму Ф^дх* дх\ Здесь
ср^ есть компонента градиента функции ср. Дальнейшее обобще-
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
47
ние этого результата заключалось в том, что для любого кова-
риантного вектора (А.) экстенсив
образует ковариайтный тензор второго порядка. Этот тензор*
Риччи и Леви-Чивита назвали абсолютной производной ковари-
антного вектора Х^ это выражают в настоящее время положе-
нием:
^•=vA=S-G>^-	<50>
Отсюда уже легко перейти формальным преобразованием
к составлению контравариантных компонент той же производной
и к абсолютной производной контравариангного вектора; именно,,
ковариантная компонента А} абсолютной производной вектора
X6 выражается формулой:
=	+	(51>
Неудачен только термин «абсолютная производная». Мы имеем
здесь именно производную относительную — производную, отне-
сенную к тому риманову пространству, которое определяется
основной формой ga$dxadx?'. христофели этой формы фигури-
руют в выражении производной.
Следующим шагом должно было служить составление произ-
водных от тензоров высших порядков. Риччи и Леви-Чиьиг^
руководствовались при этом презумпцией, что производная про-
изведения должна составляться по обычным правилам диферен-
пирования произведений, и в соответствии с этим начинали
с составления производной мультипликативного тензора второго
порядка Xi. = XiYk:
= VjGTO = S+
= S' - G^' - G'^' (52>
Результат, таким образом, не содержит отдельных множителей
А. и Yj, а содержит только компоненты тензора А/;.. Напраши-
вается предположение, что полученное выражение (52) всегда,
т. е. и в том случае, когда А^ есть тензор не мультиплика-
-48
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
тивный, представляет собой тензор третьего порядка; простое
исследование это вполне подтвердило.
Дальнейшее развитие этих идей совершенно ясно: были уста-
новлены производные тензоров высших порядков таким образом,
что диференцирование тензора Л-го порядка приводит к тензору
(&-|-1)-го порядка. Распространение этих идей на тензоры всех
типов представляло уже чисто формальное преобразование.
Такими же формальными преобразованиями было обнаружено,
что тензорные производные суммы, разности, произведения со-
ставляются по тем же правилам, как и в классическом анализе.
Производная основного тензора всегда равна нулю:
=	(53)
В этом, если не непосредственно, то по существу коренится
источник исчезновения третьего члена в римановом разложении
(15), отсутствия первого поколения, следующего за гауссами, на
что мы уже указывали выше.
Альтернирование и симметрирование тензорных производных
приводит к новым операторам, представляющим собой обобщение
тех, которые характерны для векторного исчисления. Так,
Vk у] $хз	(	)
Мы, таким образом, естественно приходим к вихрю вектора,
"выражение которого, как оказывается, от основной формы,
от характера риманова пространства вовсе не зависит. Дальней-
шее развитие этих идей приводит к более сложным операторам,
на которых здесь останавливаться невозможно.
Наиболее существенной особенностью тензорного диференци-
рования является то обстоятельство, чго порядок диференциро-
вания влияет на его результаты. Теорема о порядке диференци-
рования скаляра
д ду	д ду  q
дх* дх$	дх? dxi
может быть представлена в виде:

Но если мы от скаляра перейдем к векторам, т. е. соста-
вим альтернированную вторую производную от вектора Xk1 то
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
49
результат оказывается отличным от нуля. Эта альтернированная
производная оказывается линейной функцией от компонент
вектора, т. е. может быть представлена в виде суммы GVXV, где
коэфициенты Gv зависят, конечно, от индексов /,/, k, определяю-
щих производную. Давая этому явное выражение, получим:
VpVyixfc-G;./;x.
Так как слева мы имеем ковариантный тензор третьего по-
рядка, а X есть произвольный ковариантный вектор, то Gzjfc;
представляет собой тензор четвертого порядка. Прямое вычис-
ление его компонент обнаруживает, что это есть не что иное,
как риманов тензор, заданный только 1 в компонентах, трижды
ковариантных и однажды контравариантных. Основные тожде-
ства (17) и (26) теперь принимают простую форму:
G yj ] к У = 0, G j 1{], = О,
(55)
а тождество Бианки (28) имеет вид:
' V [w Gp j]^ = 0.
Так развернулся анализ, который формально в широких пре-
делах следует правилам диференциального исчисления, но объ-
ектом своим всегда имеет тензоры и в результате диференци-
рования приводит к тензорам более высокого порядка.
Как уже указано, тензорный анализ был в существенной своей
части построен Риччи и Леви-Чивита и опубликован ими в ме-
муаре .1901 г. Ему не было уделено достаточно внимания, и
в начале десятых годов текущего столетия эти идеи были мало
кому известны. Они возродились к новой жизни, когда Эйн-
штейну в ходе развития общей теории относительности пона-
добилось орудие, дающее возможность составлять инвариантные
диференциальные уравнения физических явлений, т. е. такие
уравнения, которые не зависят от системы референции. Эти
средства он нашел в тензорном анализе, которому он уже
в 1913 г. в сотрудничестве с М. Гроссманом дал новое разви-
тие *). Развитие теории относительности было, таким образом,
тесно спаяно с тензорным анализом, и в первые годы после
появления названного мемуара его разработкой занимались пре-
См. подстрочное примечание на стр. 5.
4 Каган. Геометрические идеи Римана.
60
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
имущественно физики и астрономы. Основная работа Эйнштейна
1916 г.х) содержала уже чрезвычайно изящное, краткое, но
углубленное изложение тензорного анализа, сохраняющее свое
классическое значение до настоящего времени, эа ним после-
довали обстоятельный реферат Паули2) в «Энциклопедии мате-
матических наук» и хорошо известные книги Вейля 3) и Эддинг-
тона4). С этого времени тензорный анализ постепенно откалы-
вается от физики и в ряде сочинений получает самостоятельное
развитие. Появляется ряд обстоятельных сочинений по тензор-
ному исчислению, даже прямые учебники5). В какой мере тен-
зорное исчисление завоевало себе место в прикладных дисцип-
линах, можно судить по тому, что Аппель нашел нужным вы-
пустить изложение тензорного анализа в виде 5-го тома «Курса
механики» 6).
12.	РАЗВИТИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ СРЕДСТВАМИ
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА.
С Декарта геометрия развивалась аналитическими средствами
в координатах. Диференциальная геометрия Гаусса и Римана
принесла с собою ту особенность, что все геометрические вели-
чины, которые рассматривала классическая геометрия,—длины,
углы, площади, объемы — по данной основной квадратичной
форме были выражены общими формулами, не зависящими от
выбора координат, а геометрические соотношения — инвариант-
ными уравнениями. Таким образом дальнейшее развитие рима-
новой геометрии требовало углубленных общих методов для
составления инвариантов и инвариантных уравнений, которые
сопутствуют основной диференциальной форме, определяющей
пространство. Тензорное исчисление принесло с собой общие
методы составления таких инвариантов — алгебраических и ди-
ференциальных.
*) См. подстрочное примечание на стр. 5.
’) W. Pauli, Relalivitatstheorie, «Encyclopedic der mathematischen Wissenschaf:ea>r
VII: выпущено также отдельным изданием, Leipzig 1921.
8) Н. Weyl, Raum. Zeil, Materie; Berlin 1918; 5-е изд., значительно переработан-
ное, выпущено в 1923 г.
4) A. Eddington, The mathematical theory of Relativity, Cambrige 1923.
•) Наиболее обстоятельным из этих сочинений является книга J. Schonten, Der
Ricci Kalcul, Berlin 1924. Более доступное изложение предмета содержат сочинения
Г. Levi - Civita, Lezioni di calcolo differenziale assoluto, Roma 1925. Особенно хо-
рошо и обстоятельно изложено это сочинение в его немецкой обработке: Т. Levi-
Civita, Der absolute Differentialkalktil, Berlin 1928; J. B. Pomey, Piincipes de calcul
vectoriel et tensoriel, Paris 1923; T. J. Thomas, The elementary theory of tensors, New-
York and London 1931. Me. Connell, Applications of the absolut Differential calculus.
London 1931.
•) P. Appel, Traltd de Mecanlque rationnelle, tome V. laments de calcul tensoriel-
Applications g£om£triques et mlcaniques.
РАЗВИТИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
51
Два положения играют здесь основную, роль. Во-первых, ска-
лярное произведение двух тензоров представляет собою инва-
риант; инвариантными поэтому остаются также норм и модуль
тензора. Во-вторых, если компоненты тензора все обращаются
в нуль в одной системе координат, то они обращаются в
нуль и в любой другой системе референции; приравнивая
поэтому тензор нулю, мы получаем инвариантное уравнение'
или инвариантную систему уравнений. На этом основаны все
приложения тензорного исчисления к развитию римановой гео-
метрии.
Если (flfx1,	dxn) есть линейный элемент, выходящий
из точки 2И, то норм этого вектора ga^dxadxj выражает квад-
рат его длины ds\ Впрочем, норм действительно дает для ds*
всегда положительное значение только в том случае, если
основной тензор g^ приводит к определенной положительной
квадратичной форме. Риман это всегда предполагал, и такие
пространства поэтому называются собственно римановыми, В
случае же, когда ga$dxadx$ есть неопределенная форма, мы
получаем, приравнивая ее нулю, инвариантное уравнение:
g<$ dxa dx^ — О,
которым определяется конический пучок линейных элементов.
Этот конус разделяет окрестность точки М на две полости: в
одной из них ds* имеет положительное значение, в другой —
отрицательное. В Первой полости элементу приписывается поло-
жительная длина ds, во втором — мнимая ds = i ds1 (ds > 0).
Проходящая в таком пространстве кривая может иметь на всем
протяжении положительную длину или на всем протяжении
мнимую, или — положительную длину на одних участках и мни-
мую на других. Вообще геометрия пространств с неопределенной
квадратичной формой еще не получила систематического раз-
вития. Многое здесь остается невыясненным; но игнорировать
риманову геометрию с неопределенной основной формой нельзя
уже потому, что именно с этим типом римановой геометрии
мы встречаемся в теории относительности. Однако в дальней-
шем мы будем иметь в виду преимущественно собственно рима-
новы пространства, поскольку не будет оговорено проти-
вное.
Пусть (dx*) и (8х*) будут два элемента длины (два бесконечно
малых вектора), выходящие из точки М. В собственно римано-
вом пространстве отношение их скалярного произведения ga^dxa$x^
к произведению их длин ds 8s представляет собой правильную
52
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
дробь, остающуюся инвариантной при преобразовании коорди-
нат. Поэтому уравнением
q ga^dXaM
cos а = ‘	.— -	(56)
ds&s	v '
инвариантно определяется число ft — угол между этими двумя
линейными элементами; число ft не меняет своего значения, если
заменим (dx*) и (8х') через (hdx1) и (Л'8х*), где h и h' — произ-
вольно выбранные положительные числа; таким образом ft есть
угол собственно не между векторами (dxl) и (8#9, а между
определяемыми ими направлениями.
Эти идеи, ведущие свое начало еще от Римана и Бельтрами,
теперь получают чрезвычайно широкое развитие. Те же два эле-
мента (dxl) и (8x9 определяют бесконечно малый параллелограм
и бивектор dx'j8xyl = dxb № — dx^bx1. В евклидовом простран-
стве модулем этого бивектора определяется площадь параллело-
грама, построенного на векторах (rfxz) и (8х*); в соответствии
с этим половина этого модуля принимается в любом римановом
пространстве за площадь треугольника, определяемого теми же
линейными элементами. Этим установлен элемент площади дву-
мерного образа в любом римановом пространстве, и, таким об-
разом, достигается возможность путем интегрирования вычислить
пл )щадь любого ограниченного двумерного образа.
Тот же бивектор имеет и другое значение. Если линейные
элементы dx* и 8х* не коллинеарны (т. е. не имеют места равен-
ства вида dx* = Л8х4 при произвольном /), то линейная форма
ftx* = adx1 -|- ЬЪх'
определяет при всевозможных значениях коэфициентов а и b
одномерное многообразие направлений, выходящих из точки Л1
и образующих двумерный элемент в нашем Rn. Если мы возь-
мем два любых вектора, принадлежащих этой площадке,
Йх* = a dxl -|- b ох' и тх' = a'dx‘	£'8х4,
то определяемый ими бивектор
ftx Чх-Л = ftx*xx> — iWtx' = (ab' — a'b) (dxl ixj — dx* 8x4)
отличается от бивектора dx* 8x^ только постоянным множителем
ab' — a'b. Такие два бивектора мы называем сонаправленными
РАЗВИТИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ	53
и притом обращенными в одну и ту же сторону, если этот мно-
житель положительный, и обращенными в противоположные сто-
роны, если этот множитель отрицательный. Таким образом каж-
дому двумерному элементу, проходящему через точку Af, отве-
чают только сонаправленные бивекторы. Положим теперь, то
через точку Ж проходят два двумерных элемента. Возьмем произ-
вольно два бивектора: один на одной площадке, а другой — на
другой. Разделив скалярное произведение этих бивекторов на
произведение их модулей, мы получим правильную дробь. Эта
дробь не только инвариантна при преобразовании координат,
она не зависит также и от того, как выбран бивектор на каж-
дой площадке. Этой дробью определяется косинус угла между
этими двумерными элементами. Заметим, что бивектор площадки
всегда можно выбрать таким образом, чтобы составляющие его
векторы были взаимно перпендикулярны; при этом один из них
может быть взят произвольно, а другой уже однозначно опреде-
ляется (до направления в одну или другую сторону).
Дальнейшее развитие этих идей напрашивается само собой.
Три линейных элемента, выходящие из точки Ж и не лежащие
в одной двумерной площадке, определяют трехмерный элемент, про-
ходящий через точку 7И. Вместе с тем они определяют тривек-
тор. Модуль этого тривектора, разделенный на 6(т. е. 3!), дает объ-
ем пирамиды, ребрами которой служат исходные три вектора. Два
тривектора, этим путем образуемые в одном и том же трехмер-
ном элементе, всегда сонаправлены. Тривектор данного элемента
всегда может быть составлен из трех взаимно перпендикулярных
векторов (может быть ортогонирован)\ и если два взаимно пер-
пендикулярных вектора выбраны, то третий, к ним перпендику-
лярный, определяется (по направлению) однозначно. Если через
точку Л1 проходят два трехмерных элемента, то косинус угла
между ними определяется отношением скалярного произве-
дения их тривекторов к произведению модулей этих тривек-
торов.
Дальнейшее обобщение этих идей тривиально. Совершенно
ясно, что этим путем устанавливается метрика любого риманова
пространства во всем многообразии его образов. Здесь нужна,
однако, оговорка. В этом порядке идей получили непосредствен-
ное обобщение все те элементарные инварианты, которыми опе-
рировала классическая геометрия. Не лишено, однако, возмож-
ности, что метрика многомерного пространства дает место и
существенно новым инвариантам; так, угол между многомерными
площадками не определяет их положения друг относительно
друга, и для его установления нужны еще другие угловые инва-
54
ГЕ0МЕ1РИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
ришты. Как велико их число, как они составляются? Эти воп-
росы еще остаются открытыми.
Следующим отделом диференциальной геометрии является
учение о геодезических линиях. В римановом пространстве гео-
дезическая линия определяется вариационным уравнением:
511 g^dx*dx^ = 0.
Классическими методами отсюда получаются известные дифе-
ренциальные уравнения геодезических линий
+	/=1,2,3,..., п. (57)
ds> 1 ds ds ’	’ ’ ’	’	4 '
По геометрическому своему значению эта система диферен-
циальных уравнений непременно должна быть инвариантна; в чем
же заключается аналитический источник этой инвариантности?
Положим, что в нашем пространстве Rn проходит некоторая
кривая = где 5 — длина дуги кривой, отсчитываемой
от некоторой точки О на ней. Производными определяется
вектор, модуль которого равен единице. Этот единичный вектор
мы будем обозначать через t и будем называть тангенциальным
вектором в данной точке кривой. Тензорное диференцирование
в нашем пространстве приводит от вектора X с контравариант-
ными компонентами Xе к тензору второго порядка, смешанные
компоненты которого определяются формулами (51). Этот тензор
(dx*\
свернем с тангенциальным вектором I ; мы получим вектор X
компоненты которого
уч_	dx?__dXdx? i	*dxt__dXj r • ya dx$
Л ~^ ds ~~dxfi ds	ds^ds^ ds*
Этот вектор мы будем называть производной от вектора Х\
взятой в направлении нашей кривой. Мы будем его обозначать
через X или через Если за X примем вектор t, то его
dt л, *
производная — = г будет иметь компоненты
A di* , щ ^dx^ dtxi dx*dx$
ds+ ds ds2 «3 da ds *
РАЗВИТИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
55
Этот вектор t перпендикулярен к вектору /, ибо t2 = 1 и по-
тому ft’ = 0; его называют главным нормальным вектором
кривой в данной точке. Уравнения (57) выражают, что на гео-
дезической кривой главный нормальный вектор равен нулю
в каждой ее точке. В этом тензорном характере уравнений, ко-
торые можно записать просто в форме t = 0, кроется источник
их инвариантности.
На негеодезической кривой модуль з вектора t' вообще от-
личен от нуля (т. е. обращается в нуль разве лишь в отдель-
ных точках); это число а называется кривизной кривой в со-
ответствующей точке. Единичный вектор, сонаправленный с век-
тором t, обозначим через так что f = ztv Вместе с тем
бивектор	Вектор определяет направление кри-
визны (радиуса кривизны) в точке М кривой.
Пусть теперь f будет производная вектора t по кривой,
т. е. пусть £" = — • Теперь тривектор , £"] однозначно орто-
гонируется до единичного тривектора	и тогда из ура-
внения
определяется вторая кривизна at кривой в точке 7И. Иначе, если
есть модуль тривектора	то вторая кривизна опреде-
ляется уравнением т1 = а2а|; это приводит в случае евклидова
пространства к обычному значению второй кривизны, как это
определяется в классической геометрии. Радиусу второй кривизны
присваивается направление
Дальнейшее развитие этих идей напрашивается само собой.
Составляем третью производную t" и квадривектор
последний определяет четырехмерную площадку, в состав кото-
рой входит тривектор	Исходя из этого тривектора, мы
ортогонируем наш квадривектор и полагаем
здесь з4 есть третья кривизна кривой в точке Af, a t3 — напра-
вление радиуса третьей кривизны. Вместе с тем, уравнение для
определения з4 может быть написано в форме:
где т4 есть модуль квадривектора [/,	t", t"\.
56
' ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
В этом порядке в каждой точке ЛТ кривой в «-мерном про-
странстве Rv тангенциальный вектор однозначно дополняется до
ортогонального n-вектора	£n_J, который в дальнейшем
развитии диференциальной геометрии риманова пространства
должен играть ту же роль, что и триэдр Дарбу в классической
геометрии. Векторы £3,определяют направления ради-
усов РпР^Рз, кривизн J3,при этом рр, = 1.
Три последовательных вектора ^_t, ti,ti t связаны соотношением:
dti _	.	.
обобщающим известные формулы Серре-Френе диференциальной
геометрии.
Если расположено в пространстве Rn (т<^п), то уравне-
ниями
xi = tyi(z\ z\...,zm),
определяющими это Rni в параметрах ..., z"\ и основной
формой нашего Rn ds* = g^dx^dx^ определяется так называемая
наведенная основная форма ds* = hx^dz^dz^- в этом Rmi а вме-
сте с тем определяется и его наведенная метрика. В частности,
кривой, расположенной в Rnl, этим присваивается наведенная кри-
визна в каждом из (т — 1) направлений основного ортогональ-
ного /«-вектора. Соотношения между наведенной и «абсолютной»
кривизной (т. е. кривизной в Rm и /?я) приводят к широкому
развитию теорем Эйлера и Менье.
Останавливаться подробнее на развитии этих идей не позво-
ляет ни время, ни место. Обратим лишь внимание на задачу о
геодезических многообразиях.
Многообразие Rm называется геодезическим в RHJ если каж-
дая геодезическая линия в Rm есть в то же время геодезическая
линия объемлющего пространства Rn. В евклидовом простран-
стве плоскость есть единственная геодезическая поверхность.
Риччи показал, что каждому Rm отвечает лежащий в нем тензор
третьего порядка исчезновение которого есть условие, не-
обходимое и достаточное для того, чтобы это Rm было геоде-
зическим многообразием 1).
Весь цикл вопросов, до сих пор рассмотренных, разрешается
без помощи риманова тензора. Последний появляется в учении о
кривизне самого пространства Rn.
’) G. Ricci, Sulle superficis geodetiche in una varieta qualunque ein partkolare nella
variety a tre dimensioni, «Rend. Academia dei Lined*, (5); 12-, 1903.
РАЗВИТИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
57
Прежде всего новое освещение получил весь замысел самого
Римана. Если возьмем риманов тензор в ковариантных компо-
нентах G.j и определим двумерный элемент бесконечно малыми
векторами (dx*), (Зх-0, то свертывание дает нам инвариант
Ga\.-^dxadx^x4x^. Это — результат Христофеля, формулиро-
ванный в рубрике 5 (стр. 24—25). Вследствие соотношений (55),
не отличающихся по существу от (17), этот инвариант совпадает
со вторым членом в правой части равенства (16а), как это было
указано еще Риманом. Разделяя этот инвариант на квадрат пло-
щади треугольника, определяемого нашими двумя линейными эле-
ментами, мы получаем риманову кривизну пространства в данной
точке и в данном двумерном элементе, через эту точку прохо-
дящем; это есть скаляр, представляющий’ собой отношение двух
бесконечно малых инвариантов четвертого порядка.
Если теперь возьмем некоторое Rm в нашем пространст-
ве /?м, то наведенная основная форма приводит также к риманову
тензору многообразия Rnt в пространстве Rn. Мы получаем те-
перь возможность сравнивать в каждой точке и в каждом дву-
мерном элементе, через нее проходящем, кривизну многообразия
Rm с кривизной самого пространства Rn в той же точке и в
том же элементе. Сравнение этих кривизн привело Риччи к по-
нятиям об абсолютной, относительной и наведенной кривизне
многообразия Rm. Эти различные виды кривизны суть инвари-
анты изгибания многообразия Rm, и классическая задача об
изгибании поверхностей получает теперь широкое развитие.
Тензорный характер риманов естественно приводит, однако,
к новому развитию учения о кривизне. Написав компоненты
риманова тензора в смешанной форме G^*1, мы можем свернуть
его по индексам i и Z; мы получим тензор второго порядка
Этот тензор часто называют. тензором Риччи, кото-
рый пришел к нему еще в 1904 г. Выбрав теперь произвольный
линейный элемент dxl, составляем инвариантную форму Ga^dx^dx:\
деля ее на tfs2, получаем инвариантное число
Р dxndxb
°аГ' dF ds *
Это — кривизна пространства в направлении, этим эле-
ментом определяемом. Наконец, если возьмем компоненты тен-
зора Риччи в смешанной форме G J, то свертывание приведет
к скаляру G = Gaa — скалярной кривизне пространства в дан-
ной его точке. Эйнштейн очень искусно использовал все эти
58
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
новые понятия в своем построении; дал ли он им правильное
физическое истолкование или нет, должна будет решить фи-
зика. Герглоц дал геометрическое истолкование этих понятий J).
Мы не будем здесь на этой интерпретации останавливаться,
чтобы сохранить время для более важных моментов на пути
развития идей Римана.
Обстоятельное изложение римановой геометрии средствами
тензорного анализа дано Стрюиком 2). Его книга содержит чрез-
вычайно обширный и тщательно разработанный материал; но он
довел символизм до таких крайних пределов, что изучение этого
сочинения связано с большим трудом. Более свежая книга Эй-
зенгарта 3) несравненно доступнее; она охватывает даже больший
цикл вопросов, но в гораздо менее детальной обработке. Непо-
средственно после съезда вышел из печати заключительный
выпуск тома III «Математической энциклопедии», составленный
Бервальдом и содержащий учение о диференциальных инвари-
антах в геометрии, а вместе с тем и обзор развития римановой
геометрии 4). Наконец, в 1928 г. появилось обстоятельное сочи-
нение по римановой геометрии, принадлежащее одному из наи-
более выдающихся современных геометров — Картану 5).
13.	ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ.
В евклидовом пространстве в декартовых координатах все
христофели равны нулю, а потому тензорная производная век-
тора обращается в обыкновенную его производную:
Производная вектора X по кривой (Af) представляет собой
dX	,
в классическом значении этого термина в векторном исчи-
слении, т. е. предел отношения ДХ [наращения вектора X при
переходе из точки M(s) в точку	к Можно ли
*) G. Herglotz, Zur Einsteinschen Gravitationstheorie, «Sitzungsberichte der Sachsi-
schen Gesellschaft der Wissenschaften», 68, 1916.
*) D. I. Struik, GrundzQge der mehrdimensionalen Differentialgeometrie in direkter
Darstellung, Berlin 1922. См. также J. A. Schouten und D. J. Struik, Einffihrung in die
neueren Methoden der Differentialgeometrie, Groningen 1924.
L. P. Eisenhart, Riemanian geometry, Princeton 1926.
4) L. Berwald, Differentialinvarianten in der Geometrie. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
und ihre Verallgemeinerungen, «EnzyklopSdie», III, D. 11, 1927.
* * *) E. Cartan, Lemons surla geom£trie des espaces de Riemann. Paris 1928. См. также его же
La g4om4trie des espaces de Riemann. Memorial des sciences math£matiques. Fascicule
IX, Paris 1925.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
59
придать то же значение производной X и в римановом про-
странстве?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно прежде всего проана-
лизировать, что представляют собой числитель и знаменатель
этого отношения в римановом пространстве. Впрочем, знамена-
тель здесь имеет то же значение — наращение длины дуги кри-
вой при переходе от точки М к точке М'. Числитель ДХ
должен представлять разность приложенных в точках М и М
векторов:
ДАг=Аг(б + ^) — X(s).
Однако тензорное исчисление устанавливает разность двух
тензоров (в частности, векторов) путем вычитания соответству-
ющих компонент только для того случая, когда оба тензора
приложены к одной точке; это находится в полном соответствии
с правилом Грассмана. Разность тензоров, даже векторов, при-
ложенных в двух различных точках, не установлена. В евкли-
довой геометрии исход находится очень просто: вектор X(s)
переносится параллельно самому себе в точку М' (s-|-ZLs), и после
этого требуемую разность нетрудно построить и вычислить. При
таком перенесении вектора компоненты его в декартовых коор-
динатах не изменяются. В других координатах дело обстоит
иначе: если X1 суть контравариантные компоненты вектора в
точке Af(s), то по перенесении его в точку М1	его
компоненты получают значения:
X — б'а?ХаДхЗ или X — G^X'dxP,
если отбросить бесконечно-малые более высоких порядков. С дру-
гой стороны, вектор поля, приложенный в точке М, имеет ко-
ординаты Xl-\-dXt\ таким образом разность векторов имеет
компоненты:
ДХ' = (X 4- dX) — (X* — G^X'dxt) = dX 4-	х\ (58)
Этот результат послужил для Леви-Чивитаточкой отправле-
ния для перенесения этих идей в любое риманово пространство.
Леви-Чивита принимает, что в любом римановом пространстве
разность между двумя смежными векторами поля [т. е. между
<) Т. Levi-Civitat Nozione di paraHeliemo di una varieta qualunque e consequente
apeciflcazione geometrica della curvatura Kiemanniana. Rendiconti del Circol© mat. di Pa-
lermo, 42, 1917.
60
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
векторами, приложенными в точках М (х1) и ЛГ (х1	вы-
ражается формулой (58). Это равносильно тому, что в любом римз-
новом пространстве допускается параллельное перенесение век-
тора Л* източки М в точку М! и что оно приводит к наращению его
координаты X1 на — Gla$Xadx\ как в выражении (58). Сообразно
этому на христофели Леви-Чивита смотрит как на компо-
ненты параллельного перенесения. Это соглашение приводит
к двоякому результату. Во-первых, на производную -ч мы те-
(L8
перь действительно можем смотреть как на предел отноше-
ДХ
ния совершенно так же, как в классическом анализе.
Во-вторых, в векторном поле вектор, приложенный в точке
ЛГ (х*-j-dx1), представляет собою только результат перенесения
вектора X1 из точки Л!, если
d?X' + G'a3Xadx^ = 0, i = 1,2,... ,/z.	(59)
Еще иначе: п уравнений (59) распадается на п* уравнений:
^+0^ = 0.	(60)
Если в некоторой точке поля эти соотношения удовлетворены,
то векторы поля, приложенные в любой бесконечно малой ок-
рестности точки Л4, представляют собою результат параллель-
ного перенесения вектора, приложенного в точке М. Если эти
соотношения имеют место во всем поле, то все векторы поля
«равны», т. е. каждый из них представляет собой результат
параллельного перенесения во все точки поля одного и того же
вектора. В силу соглашения, устанавливающего понятие о парал-
лельном перенесении вектора, в диференпиальном исчислении,
отнесенном к любому риманову пространству, утверждается тео-
рема, что вектор, производная которого во всем поле равна
нулю, имеет в этом поле «постоянное значение», т. е. векторы
этого поля равны в том смысле, что каждый из них представ-
ляет собою результат перенесения в соответствующую точку
любого вектора поля. Однако вывод, что этим путём однозначно
установлено правило для параллельного перенесения вектора
в любом римановом пространстве из одной точки 2И0(х0‘) в лю-
бую другую точку Л41 (х/), оказывается поспешным. В самом
деле, если X* есть вектор, приложенный к точке 2Ив, и мы
желаем разыскать компоненты вектора, который представляет
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
61
собою результат перенесения вектора (XJ) в точку Afo то мы
должны интегрировать систему уравнений (60) при начальных
значениях X1 = Х^ и разыскать значение интегралов в точке Ж(.
Однако условия полной интегрируемости системы (92) выража-
ются равенством:
Ga\, 3!JL = 0
при всех значениях индексов; они устанавливают, что такое
полное интегрирование возможно только в евклидовом про-
странстве. Таким образом только в евклидовом пространстве
может быть речь об однозначном параллельном перенесении
вектора из одной точки в любую другую точку. В римановом
же пространстве речь может быть только об однозначном инте-
грировании системы уравнений:
^ + G%№^- = 0, I = 1,2,..., п	(61)
as 1	1 as 1
по данной кривой, т. е. в предположении, что х1, х2,...,хп суть
заданные функции от Таким образом в римановом простран-
стве может быть только речь о перенесении вектора из одной
точки Мо в другую по данной кривой. При перенесении
того же. вектора из одной точки в другую точку по
разным кривым мы получим в результате различные векторы.
Если результат перенесения вектора из одной точки в дру-
гую зависит от пути, по которому мы производим перенесение,
то это значит, что при перенесении вектора вдоль замкнутой
кривой он по возвращении в точку исхода вообще не прихо-
дит в первоначальное положение; угол между первоначальным
и конечным положением вектора называется отклонением век-
тора на этом контуре. Замечательное соотношение, найденное
Леви-Чивита, заключается в следующем. В римановом простран-
стве проведем через точку М двумерный элемент и в нем об-
ведем точку 714 бесконечно малым замкнутым контуром. Если dy
есть отклонение вектора при обходе этого контура, dz—пло-
щадь, огибаемая этим контуром, то имеет место соотношение:
dy = Kdi,	(62)
где К есть кривизна пространства в данной точке и в данном
двумерном элементе, через эту точку проходящем. Этот резуль-
тат приводит к следующему определению римановой кривизны
пространства в данной точке и в данной площадке: это есть
62
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
Д(Л
предел отношения , когда контур, охватывающий данную
точку, стремится к нулю. Эта теорема интересна не только
своим изяществом; она впервые дала чисто геометрическую
интерпретацию римановой кривизны. При параллельном перене-
сении вектора длина его не изменяется; при параллельном пере-
несении двух векторов не меняется угол между ними. Если мы
из какой-либо точки кривой перенесем ее тангенциальный век-
тор в какую-нибудь другую точку кривой, то он по перенесе-
нии, вообще говоря, не совпадет с тангенциальным вектором
в новой точке; но особенность геодезической линии заключается
в том, что при перенесении тангенциального вектора вдоль кри-
вой он остается тангенциальным во всех ее точках. Это свойство
геодезической линии часто формулируют так, что в любом ри-
мановом пространстве геодезическая линия на всем протяжении
сохраняет свое направление.
14.	РАЗВИТИЕ ИДЕЙ РИМАНА. ЗАМЫСЕЛ ВЕЙЛЯ.
Итак, с точки зрения Леви-Чивита, христофели G\z представ-
ляют собой компоненты параллельного перенесения. Следующий
щаг в ходе развития этих идей заключается в том, что парал-
лельное перенесение было выдвинуто в качестве основного ис-
ходного момента в построении римановой геометрии. Замысел
Вейля1), которому эта постановка принадлежит, сводится к сле-
дующему. Значительная часть римановой геометрии зависит толь-
ко от христофелей, а не непосредственно от гауссов. Так, риманы
выражаются непосредственно через христофели, а не через га-
уссы; вследствие этого учение о римановой кривизне может
быть построено непосредственно в христофелях, т. е. в компо-
нентах параллельного перенесения. Учение о геодезических ли-
ниях также зависит только от христофелей. А главное, только
от христофелей зависит диференциальное исчисление Риччи и
Леви-Чивита в заданном римановом пространстве. А если так, то
нельзя ли непосредственно начинать с компонент параллельного
перенесения; иначе говоря, нельзя ли определить параллельное
перенесение вектора экстенсивом третьего порядка Г\г, выбрав
последний произвольно, т. е. не выводя его из гауссов по схеме
Христофеля. На эту точку зрения Вейль и стал. Риман начинал
построение диференциальной геометрии с метрики — с выбора
менсора (гауссов); Вейль начинает с выбора компонентов парал-
*) Н. Weyl, Reine Infinitesimalgeornetrie, «Mathem. Zeitschrift», 2, 1917, а затем в ци-
тированном выше сочинении «Raum, Zeit, Materle», особенно с 3-го изд. (1919 г.).
РАЗВИТИЕ ИДЕЙ РИМАНА. ЗАМЫСЕЛ ВЕЙЛЯ
63
лельного перенесения Fw, которые мы будем называть вейлями.
Риманово пространство определяется гауссами; по новому замы-
слу пространство определяется вейлями.
В кг кой же мере широк произвол, который нам здесь предо-
ставляется: могут ли быть вейли выбраны совершенно по усмот-
рению или развертывание геометрии налагает на них те или
иные ограничения. Вопрос имеет две стороны. Во-первых, как
должны быть выбраны вейли в определенной системе референции,
во-вторых, как должны они преобразовываться при переходе
от одной системы координат к другой, т. е. чем определяются
вейли как экстенсив? На первый вопрос Вейль отвечает, что
выбор компонент параллельного перенесения Г*н должен быть
в исходной системе отличен только тем,* что Р[ед = 0, т. е. что
эти компоненты должны быть симметричны относительно индек-
сов k и /; позднее и это ограничение оказалось излишним. Что
касается преобразований компонент при переходе от одной си-
стемы координат к другой, то оно должно определяться тем,
что наращение
ДЛ? = dXi 4-	(63)
которое при этих условиях будет получать вектор
при переходе от точки М (х*) к бесконечно - близкой точке
М'(х* 4- d**) должно представлять собою вектор.
Если риманова геометрия была по самому замыслу своему
метрической, то геометрия, определяемая параллельным перене-
сением, — фактически, следовательно, соотношением (63) —
становится аффинной. Это обусловливается тем, что наращение
'Х\ определяемое параллельным перенесением, а не изменением
поля (т. е. ГарЛМх*3), выражается линейно в диференциалах dx\
как это имеет место в классической аффинной геометрии. Нужно
сказать, однако, что определения аффинной связности у различ-
ных авторов (Вейль, Скоутен, Картан) не вполне совпадают. Но
в этом понимании (Вейля) метрическая риманова геометрия ста-
новится частным случаем аффинной диференциальной геометрии
совершенно так же, как евклидова геометрия является частным
случаем аффинной геометрии Эйлера-Мёбиуса.
Так как соотношение (63) можно написать в виде:
=	где	+	(64}
то требование, чтобы ДА" было вектором, сводится к тому,
чтобы Х'к было тензором второго порядка (однажды ковариант-
€4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМЛНА
ным и однажды контравариантным). Это будет тензорная произ-
водная &кХ1 в нашем аффинном пространстве. Таким образом
абсолютное диференциальное исчисление Риччи определяется не
гауссами, как это первоначально казалось, а вейлями: не мет-
рикой пространства, а его параллельным перенесением; оно свой-
ственно не столько римановой, сколько аффинной геометрии.
Геодезические линии в римановом пространстве определяются
диференциальным уравнением (57); если перейти от параметра $
(длина дуги) к любому другому то эти уравнения примут вид:
dxadx>__
~dt2'U dt ~dt ~ ~dt 1
(65)
где функция f (/) зависит от выбора параметра. Аффинное про-
странство имеет свои геодезические линии, которые определяются
диференциальными уравнениями:
d2x' dxa dx$______
dt2 ' 1 ft ~dt — J\4 -fir •
Они сохраняют то свойство, что во всех точках каждой гео-
дезической линии касательная имеет то же направление в том
смысле, как это установлено выше для риманова пространства.
Аффинная геометрия сохраняет свой риманов тензор; его сме-
шанные компоненты Гах,зр выражаются в вейлях совершенно
так же, как в римановой геометрии они выражаются в христо-
феля х:
= дхк — dxi —laz	(66)
В аффинн/ю геометрию может быть введен основной тензор
второго порядка gkl\ он может служить для жонглирования индек-
сами; но до тех пор, пока он не обращен в менсор, пока вейли
не отождествлены с христофелями, из этого тензора выводимыми,
пространство остается аффинным, а не метрическим, не рима-
новым.
Диференцирование вектора в аффинном пространстве опреде-
ляется формулой (64). Отсюда делается переход к диференци-
рованию тензоров высших порядков на тех же основаниях, что
и по замысау Риччи.
И|ак, главное отличие аффинной геометрии Вейля от рима-
новой заключается в том, что она не имеет метрики, как ее не
имеет и классическая аффинная геометрия. Это обусловливается
ЗАДАЧА СКОУТЕНА
65
тем, что геометрия Вейля не имеет менсора, т. е. не имеет
гауссова тензора второго порядка, служащего для установления
длины. Этот тензор играет в геометрии Римана-Риччи троякую
роль: во-первых, он является менсором, т. е. устанавливает мет-
рику пространства; во-вторых, он является вертором, т. е. слу-
жит основным тензором второго порядка для претворения кова-
риантных компонент тензора в контравариантные и обратно;
в-третьих, он служит для образования христофелей. В геометрии
Вейля последняя его роль отпадает прежде всего: компоненты
параллельного перенесения — вейли, заменяющие христофели, за-
даются непосредственно; но отпадает и первая роль, — менсора
в аффинной геометрии Вейля не существует, так как она во-
обще не имеет метрики. Но поскольку герметрия Вейля разверты-
валась тензорными средствами, она не может отказаться от того,
чтобы оперировать ковариантными и контравариантными компо-
нентами тензора. Ей нужен поэтому вертор, основной тензор
второго порядка, служащий для подымания и опускания индек-
сов. Таким вертором может служить любой для этой цели
выбранный тензор второго порядка. Итак, вейлева геометрия
вводит свой основной тензор второго порядка, но не в качестве
менсора; его компоненты, за которыми сохраняется обозначение
'gik9 не служат гауссами, а являются только средством для жонгли-
рования индексами. В установлении тензорного диференцирова-
ния они не участвуют; поэтому и тензорные производные gKl
не обращаются в нуль. По обозначению Скоутена
Г^*г = — QiH,	(67)
где Qikl есть тензор третьего порядка. Когда вейли обращаются
в христофели, выводимые из тензора gkl, все компоненты Qikl
обращаются в нуль.
15.	ЗАДАЧА СКОУТЕНА.
Итак, параллельное перенесение устанавливает в многообразии
некоторую геометрию, претворяет его уже в пространство. В
этом пространстве компонентами параллельного перенесения уста-
навливается свое, этому пространству свойственное диференци-
альное исчисление. Такова глубокая связь между геометрией и
анализом, к которой приводит развитие идей Римана. Но эта
связь идет дальше. Выше мы уже говорили о тех ограничениях,
которые должны быть наложены на компоненты параллельного
перенесения Г\г Ограничения эти, естественно, зависят от тех
требований, которые мы предъявляем к созидаемой геометрии.
66
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
Скоутен сделал точную сводку этих требований, поскольку они
диктуются замыслом Вейля. Они сводятся к следующему: 1) выра-
жение (64) должно представлять собой смешанный тензор
второго порядка, определяющий тензорную производную в на-
шем пространстве, 2) диференцирование суммы и произведения
должно следовать формальным законам классического анализа
и 3) производные от скаляра должны совпадать с обыкновенными
его производными. Эти требования сами по себе уже очень любо-
пытны. В заданном многообразии строится геометрия, и строится
она таким образом, чтобы в результате получить анализ опре-
деленного типа. Скоутен !) поставил себе задачей определить,
каковы должны быть компоненты Г\р чтобы удовлетворить этим
требованиям — эту задачу он решил до конца. Это решение
заключается в следующем.
В нормальном римановом пространстве компоненты симме-
тричны относительно нижних индексов; иными словами, разность
Г*А1 — всегда равна нулю. Когда мы выйдем за пред лы
римановой геометрии, эта разность будет представлять собой
экстенсив третьего порядка, компоненты которого Скоутен об-
означает через 2S* lk1:	х
Г\г — Г1к = 2$к1 2).
Далее, в случае риманова пространства параллельное пере-
несение ковариантного и контравариандного вектора выражается
формулами:
=	+	и ДХ. = Л¥.— Vai^dx\
где
Iх lki = G'kP
так что
Г az — Г л, = °-
В новом развитии римановой геометрии эга разность пред-
ставляет собой экстенсив третьего порядка:
Если, наконец, мы введем основной тензор gik, как выяснено
выше, не претворяя его в менсор, то в соотношении ^67) Qikl будет
‘) I. Schouten. Oeber verschiedene Arten derUebertragung, «Mathem. Zeitschrift», 13,1922.
О По терминологии Картана определяет завитие (или кручение) пространства
(torsion de Геарасе). Симметричное параллельное перенесение, при котором — Г
определяет пространство, не имеющее завития.
Е. Cartan, Sur les vaii£tes a connexion affine et la thgorie de la relativite gdn6ra1isee,
«Annales de ГЁсо1е Normale superi.ure», s£rie 3, vol. 40.
ЗАДАЧА СКСУТЕНА
67
тензор третьего порядка. Эти три экстенсива 8* *kl, Qikl
назовем скоупгенами.
Результат, к которому пришел Скоутен, заключается в следу-
ющем. Чтобы параллельное перенесение, определяемое компонен-
тами РА1, удовлетворяло поставленным выше требованиям, не-
обходимо и достаточно, чтобы три его экстенсива С\Р81к1 и
Qikl (скоутены) были тензорами. Соответственно этому ‘за скоу-
тены могу г быть приняты совершенно произвольные тензоры;
и когда это сделано, то компоненты параллельного перенесения
этим вполне определены: вейли однозначно {линейно) выража-
ются в скоутенах.
По характеру скоутенов классифицируются различные геомет-
рии, построенные по этому замыслу. Каждый из трех скоутено-
вых тензоров может быть нормальным, вырождающимся или
нулевым; для каждой категории скоутенов возможны три типа —
всего, таким образом, получается 27 комбинаций, 27 типов про-
странств. Геометрия Римана стала таким же частным случаем
в комплексе пространств Вейля и Скоутена, каким пространство
постоянной кривизны является среди римановых пространств,
каким геометрия Евклида является среди классических неевкли-
довых геометрических систем. Однако по первоначальному за-
мыслу Вейля тензоры 8\г и C*kl тождественно равны нулю. Его
системы отличаются, таким образом, только типом тензора
Если этот тензор нормальный, мы получаем аффинную диферен-
циальную геометрию, о которой шла речь выше. Если этот
тензор выродившийся, аффинная геометрия обращается в кон-
формную, о которой речь будет ниже. Наконец, когда этот
тензор равен нулю, мы возвращаемся к римановой геометрии.
Таксвз схема современного развития идей Римана. Остается еще
рассмотреть некоторые замечательные частные случаи.
Геометриче.кие системы, построенные в порядке развития за-
мысла Вейля, часто называют также заримановыми системами
геометрии. Лучшее изложение этих идей содержит книга Эйзен-
гарта «Нериманова геометрия» х.
Заметим еще, что существуют также работы, ставящие себе
целью развитие идей Римана в порядке установления элемента
длины не на основе формулы (2), а при помощи других выра-
жений однородных первого измерения в диференциалах координат.
Инициатива в этом направлении идет от Финслера 2); но значи-
тельного развития это направление не получило.
*) L. Eisenhart, Non-Riemanian Geometry, New York 1927.
*) P. Piaster, Oeber Kurven und Flflchen in allgemeinen Raumen, Gottingen 1918•
Автору не удалось видеть эту монографию.
68
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
16.	КОНФОРМНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Мы видим, таким образом, чго из 27 возможных типов про-
странств Вейля и Скоутена наибольшее значение имеют те три,
для которых тензоры и S‘kl обращаются в нуль и которые
отличаются друг от друга только тензором Qikl. И здесь между
аффинным пространством, соответствующим нормальному тензору
Сш, и римановым, для которого Qikl = 0, лежит конформное
пространство с выродившимся тензором:
Qikl = Qigkl-
Это конформное пространство играет особенную роль потому,
что оно было первым обобщением риманова замысла. В теории
относительности, как она была построена Эйн итейном, гравита-
ционное поле, как известно, вводило в геометрическую схему
чегырехмерного риманова многообразия. Электромагнитные яв-
ления в эту схему не укладывались, потому что тех величин,
которыми располагала риманова геометрия четырехмерного про-
странства, было недостаточно, чтобы охватить и эти явления.
Вейль пришел поэтому к мысли ввести в метрику риманова
пространства еще одну произвольную функцлю. Процесс, кото-
рым это осуществляется, он ингерпремировал как своеобразную
«эталонизацию» метрики («Eichung»), заключающуюся в свобод-
ном выборе единицы длины в кажпой точке пространства.
Изменение единицы длины вводит множитель в выражение ли-
нейного элемента, и сообразно этому точный смысл замысла
Вейля заключается в том, чтобы не считать различными рима-
новы пространства, определяемые менсорами gik и g'ik, если
g'.k^zg.k^ где а — произвольный скаляр, не зависящий от I и k
(коэфициент эталонизации); переход от пространства Rn(8id к
/?'м(°£*л) он и рассматривает как эталонизацию. Еще иначе, гео-
метрия вейлева пространства сохраняет все то, что при этало-
низации остается неизменным. Прежде всего ясно, что длина с
эталонизацией существенно изменяет свое значение. Можно по-
этому сказать, что вейлева геометрия вовсе не знает длины
линии; но зато углы, как это явно следует из формулы (56),
при; эталонизации не меняются. Бесконечно малые треугольники
остаются подобными в смысле равенства углов; это — конформ-
ные преобразования, правда, в несколько ином смысле, чем это
понимала классическая геометрия; отсюда и наименование кон-
формной геометрии для всей той совокупности свойств рима-
нова пространства, которые не меняются при конформных пре-
КОНФОРМНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
69
образованиях этого рода. Переводя это на язык параллельных
перенесений, мы придем к тому определению конформной гео-
метрии, которое было дано выше по схеме Скоутена. Таким
образом два различных римановых пространства могут оказаться
эквивалентными, как геометрии конформные: это имеет место,
если одно может быть получено из другого путем конформного
преобразования.
Отсюда возникает близкий к этому вопрос: каковы те рима-
новы пространства, которые конформно преобразуются в евкли-
довы пространства? Иными словами, при каких условиях гауссы
gtj риманова пространства могут быть представлены в виде:
£ ij	ij>
где тензор g' определяет евклидово пространство? Такие про-
странства называются конформно-евклидовыми. Окончатель-
ное выражение, данное Вейлем, решение этой задачи получило в
его мемуаре 1921 г. 1). Самое решение сводится к следующему.
В конформной геометрии существует свой тензор четвертого
порядка, играющий здесь роль риманова тензора. Он, впрочем,
существенно отличается от риманова тензора: так, для него не
существует соотношения, соответствующего тождеству Бианки.
Но поставленный вопрос этим тензором конформной кривизны
решается: данное пространство является конформно-евклидовым,
когда его конформная кривизна обращается в нуль. Впрочем,
это предложение нуждается в уточнении. Всякое риманово про-
странство одного или двух измерений является конформно-евкли-
довым. В случае п — 3 дело уже обстоит сложнее. Для решения
вопроса нужно составить тензор:
L‘i = ~Gij + 2(л- 1) Gg‘J’
где Stj —тензор Риччи данного риманова пространства, a G — его
скалярная кривизна в рассматриваемой точке.
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы риманово
пространство трех измерений было конформно-евклидовым, выра-
жается диференциальным соотнэшением:
Д/л = Д/а при I, j, k=l, 2, 3.
‘) Н. Weyl, Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und der konformen Auf-
fassung, «Gottingen Nachrichten», 1921.
70
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
Наконец, при п 3 необходимо построить тензор:
4
j к! = М п 2	J ^k1 ^ki	8Ik	’
Это и есть тензор комформной кривизны. Пространство будет
конформно-евклидовым, если С^,к1 = 0.
17.	ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
В том же мемуаре Вейль ставит иную задачу; она может
быть формулирована следующим образом: каковы те простран-
ства, в которых геодезические линии могут быть в надлежащей
координации выражены линейными уравнениями? Пространства,
удовлетворяющие этому требованию, он называет проективными.
Мы имеем, таким образом, новое обобщение замысла Шура,
но обобщение, далеко идущее, так как здесь речь идет о разы-
скании всех пространств, заданных компонентами параллельного
перенесения и удовлетворяющих формулированному выше тре-
бованию. Координаты, в которых геодезические линии выра-
жаются линейными уравнениями, называются проективно-геоде-
зическими. Вейль показал, что в проективных координатах ком-
поненты параллельного перенесения проективного пространства
выражаются формулами:
= + <68)
где = 1 при i = 1, 2,3,. .., k, = 0 при i =г k, a Pt, Р2,..., Рп
суть компоненты вектора. В произвольных координатах те же
компоненты имеют вид:
I \l ~	”1“ G‘k Pl
где Е*к1— компоненты параллельного перенесения в евклидовом
пространстве при той же координации.
Условие, при котором параллельное перенесение определяет
проективное пространство в наиболее широком значении этого
слова, устанавливается следующим образом.
По компонентам РА/ данного параллельного перенесения вы-
числяем компоненты соответствующего римгнэва тензора (ри-
маны) IV/4 или Г\у,А, а затем тензор Риччи IV. По тензору
Риччи определяется вспомогательный тензор второго порядка
положением:
-(Я’-1)РО = «Г,•,• + !>
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
71
Теперь полагаем:
= Го., / -2 (Рм - PJ + 2	Р.,, - 8'. Ра\
Это и есть тензор проективной кривизны. При п > 2 усло-
вие, необходимое и достаточное для того, чтобы пространство
было проективным, заключается в том, что этот тензор должен
обращаться в нуль. При п = 2 это условие заменяется тем, что
вспомогательный тензор Pfj должен удовлетворять диференциаль-
ному соотношению:
vlpfi=^JPik-
Эти идеи Вейля получили дальнейшее развитие по инициа-
тиве автора настоящего доклада. В обобщение замысла Шура-
Вейл я будем называть пространство, заданное компонентами
параллельного перенесения, k раз проективным, если его геоде-
зические линии в надлежащих координатах могут быть выра-
жены уравнениями, среди которых есть п — k линейных.
С этой точки зрени/i проективное пространство Шура-Ве*1ля
нужно считать (п—1) раз проективным. К нему ближе всего
стоят пространства (п — 2) раза проективные. При трех измере-
ниях двукратно проективные пространства (т. е. обыкновенные
проективные пространства) могут быть отображены на евклидо-
вом пространстве таким образом, чтобы геодезические линии
изображались прямыми линиями. В случае однократно проек-
тивных пространств трех измерений это отображение может
быть выполнено таким образом, чтобы геодезические линии
изображались плоскими кривыми (чтобы они лежали в плоско-
стях £2). Вообще в пространствах (п—2) раза проективных
геодезические линии по отображении на евклидовом простран-
стве располагаются в двумерных плоскостях
Разыскание всех (п—2) раза проективных поверхностей пред-
ставляет задачу сложную. Автор выделил поэтому из них те про-
странства, в которых все плоскости содержащие геодезические
линии, проходили через одну точку — полюс пространства.
С известной точки зрения это ограничение является вполне
естественным; эти пространства автор назвал субпроективными.
Компоненты параллельного перенесения субпроективного про-
странства в проективных координатах (х1,х2,____,хп) имеют вид;
= X1 fkl	c>lk Pt -|- Рк,
где и P. имеют те же значения, что и в формулах (68),
a суть функции, которые при аффинных преобразованиях
72
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
ведут себя как ковариантные тензоры второго порядка. Автор
установил все римановы субпроективные пространства J).
Эти идеи получили развитие в работах П. К. Рашевского и
Г. М. Шапиро. Первый установил тензорные признаки субпроек-
тивных пространств. Второй обнаружил, что субпроективные
пространства принадлежат к числу так называемых эйнштейновых
пространств (риччи пропорциональны гауссам), и показал
приведение их менсоров к двум основным типам.
18.	ВОЗВРАЩЕНИЕ К ИДЕЯМ ЛИ.
Мы видели, что направление, которое римановой геометрии
дали Клейн и Ли, замкнуло ее в сравнительную узкую область
пространств постоянной кривизны. Направление Христофеля и
Липшица вывело замысел Римана на более широкую дорогу,
развернув для идей Римана большой простор. Любое риманово
пространство получило разветвленную метрику, и пространства
постоянной кривизны заняли в этом построении лишь очень скром-
ное место. Но зато риманова геометрия в широком смысле слова
утратила идею движения. Замысел Леви-Чивита, j азвитый Вейлем
и Скоутеном, перебросил мост между этими двумя направлениями.
Параллельные перенесения суть движения, и так как на бес-
конечно малом протяжении они выполняются однозначно, то в
пространство Римана не только было вновь введено движение,
но — более того — движение сделалось в нем основным методом
исследования, как в античной геометрии. Правда,, это движение
бесконечно мало; но все построение теории групп у Ли заклю-
чается в разложении движения (преобразования) на бесконечно
малые элементы. Разница заключается лишь в том, что бесконеч-
но малые преобразования Ли соединяются однозначно в конеч-
ные преобразования (допускают полное интегрирование); в схеме
же Вейля эта однозначность места не имеет.
Однако параллельные перенесения воспроизводят в римановом
пространстве только один тип движения. В классической гео-
метрии движения слагаются из параллельных перенесений и
вращений. Может ли быть речь о вращении в любом римановом
пространстве? Вейль и Картан дали на этот вопрос утвердительный
ответ. Вот в чем заключается результат, к которому они пришли.
Из произвольной точки О проведем замкнутый контур. Если
мы линейный элемент, выходящий из точки О, обведем вокруг
контура, то по возвращении его в исходную точку О он зай-
мет некоторое новое положение. Если мы себе представим, что
') В. Kagan, Sur les espaces sous-projeclifs, «Comptes rendus des stances de l'Acad£mie
des Sciences», 191, 1930.
ВОЗВРАЩЕНИЕ К ИДЕЯМ ЛИ
73
этот процесс проделан над всеми линейными элементами, выходя-
щими из точки О, то все они займут, вообще говоря, другие
положения; в связке выходящих из точки О линейных элемен-
тов (бесконечно малых векторов) произойдет преобразование1—
это есть вращение связки вокруг точки О. Совокупность всех
таких вращений явно образует группу; идеи Ли вновь претен-
дуют на руководящую роль в построении геометрии, даже в
этом широком ее понимании.
Самое любопытное в этом деле заключается в том, что парал-
лельное перенесение индуцирует группу вращений в каждой
точке пространства. Исследование этих групп составляет заслугу,
главным образом, Картана1). В существенном, результат этого
исследования сводится к следующему. Совокупность вращений,
индуцируемых параллельным перенесением, всегда представляет
собой конечную группу, порядок которой никогда не превы-
шает класса пространства. Группы вращений, соответствующие
различным точкам одного и того же пространства, имеют один
и тот же порядок и подобны (изоморфны) между собой. Как
мы видели выше, Гельмгольц показал, что если движения в про-
странстве удовлетворяют некоторым определенным свойствам, то
они допускают инвариант, выражающийся квадратичной диферен-
циальной формой. Картан и Вейль возвратились и к этому вопросу..
Параллельные перенесения и индуцируемые ими вращения
определяют движения в каждой точке пространства. Каковы те
параллельные перенесения, при которых этот комплекс движений
допускает в каждой точке инвариантную квадратичную форму?
И этот вопрос получил исчерпывающее решение. Изложение
результата потребовало бы развития терминологии, введенной
Картаном и Вейлем в теорию групп. Я вынужден поэтому отослать
интересующихся этим вопросом к оригинальным работам Картана.
19.	О ПРИКЛАДНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ В ХОДЕ ЭВОЛЮЦИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИДЕЙ РИМАНА
Как было указано в начале доклада, возрождение геометрических
идей Римана связано с теми приложениями, которые они получили
в теории относительности. Эти прикладные тенденции в послед-
ние годы разростались в различных направлениях; обстоятель-
ному их изложению должен быть посвящен специальный доклад.
Однако два направления в этого рода исследованиях в послед-
нее время заняли такое значительное место, что на них необ-
ходимо обратить здесь внимание читателей.
*) Е. Cartan, Sur les va^tes a connexion affine et la lheorie de relativite g6n6ralis£e
«Annales de TEcole Normale», 40, 1924 и 42, 1925.
74
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
По существу основной замысел Вейля, изложенный в рубр. 14,
возник на почве стремления создать такую геометрическую систе-
му, которая отображала бы не только гравитационное, но и элек-
тромагнитное поле1). Предложенные Вейлем пути привели к рас-
ширению замысла Римана, но нг дали решения поставленной
физической задачи. К этой же задаче возвратился Калуца2)
и наметил ее решение, сохраняющее схему Римана в чистом
виде, но в пространстве 5 измерений. Вопрос остается еще в ста-
дии разработки; к теме о «единой теории поля» возвращается
Эйнштейн и в ряде работ дает последовательно меняющиеся
схемы для ее решения 3). Эти исследования нашли живой отклик
'в среде геометров [Леви-Чивита, Картан, Странсо, Бортолоти
и др.4)], особенно нужно отметить работы Скоутена и Ван-Дан-
цига, использовавшие для этого своеобразную схему проективной
диференциальной геометрии*
Другое прикладное направление римановых идей относится к об-
ласти классической механики. В своей «Механике» Герц факти-
чески уже указал схему римановой геометрии, способной служить
для изучения движения голономной системы материальных точек.
В последнее время к этим идеям возвратился Сенж5), распро-
странивший замысел Герца и на неголономные системы. В послед-
ние три года построением геометрических схем л ля «неголономных
пространств» успешно занялись многие авторы [Врачеану, Горак
и др.6)]. Гораку принадлежит применение этого метода к решению
«конкретной задачи из теории ударов. Развитие связанных с этими
вопросами чисто геометрических идей проведено в самое послед-
нее время в работах Скоутена и Ван-Кампена 7).
*) См. «Raum, Zeit, Materie* £ 40, а также указанный на стр. 50 реферат Pauli, руор. 65.
k) Th. Kaluza, Zum Unitfitsproblem der Physik, «Sitzungsberichte der Preuss. Akademie
-der Wissenschaften». 1921.
3) A. Einstein und UT. Mayer, Einheitliche Theorie von Gravitation und Elektrizitat,
«Sitzungsberichte der Preuss. Akademie der Wissenschaften». XXV, 1921.
4) E. Bortolotti, Stelle di congruenze e parallilismo assoluto: basi geomelriche dina
recente teoria di Einstein; свободный доклад с обстоятельными литературными указа-
ниями, «Aeti della R, bcc. dei Lincei»; (6), vol. IX.
5) Synge, On the geometry of dynamics, «Philcs. Transactions R. Soc. A.», 226, 1926;
Geodesics in nonholomic geometry, «Mathem. Annalen», 99, 1928.
fi) G. Vrauceanou, Studio geometrica dei sBtemi analonomi, «Annali di Matematica» (4),T.6,
1829; M. Hordk. Theorie g£n£rale du choc dans les systemes materiels; «Journal de
Гёго1е Polytechnique», (2), Cahier 28, 1931.
7) Schouten und G. van Dantzig, Zum Unlfizierungsproblem der Physik, Skizze einer
^enerellen Feldtheorie «Proceedings Akadem. Amsterdam», 35, 1932.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппель 50
Аронгольд 42
Беллавитис 34, 35, 37
Бельтрами 16, 18, 21, 52
Бервальд 58
Бец 16
Бианки 16, 19, 23, 26, 27, 49, 69
Больяй 15, 18
Бонне 21
Бурали-Форти 36
Бурстин 27
Вейль 6, 7, 22, 42, 44, 50, 62,
63, 64, 65 66, 67, 68, 69, 70,
71, 72, 73
Гамильтон 35, 37
Гаусс 6, 7, 8, 12, 16, 34, 50
Гельмгольц 7, 16, 17, 73
Герглоц 58
Грассман 9, 36, 37, 38, 39, 43, 59
Гроссман 5, 49
Гюйгенс 33
Дар бу 29, 56
Дедекинд 6, 20, 24
Декар г 8, 33, 50
Жане 27
Каган 18, 72
Казорати 21
Картан 27, 58, 63, 66, 73
Кели 16
Киллинг 16
Клебш 42
Клейн 7, 16, 18, 25, 27, 28, 72
Коши 29
Кюне 28
Ламе 26, 29
Леви-Чивита 29, 32, 33 39, 40,
41, 42, 46, 47, 49, 50, 59, 60,
61, 62, 72
Лейбниц 33, 34. 37
Ли 16, 17, 18, 25, 27, 28, 72, 71
Липшиц 16, 21, 26, 31, 72
Лиувиль 29
Лобачевский 15, 16, 18
Мёбиус 34, 37, 63
Менье 28. 56
Мирдинг 21
Минковский 5
Монж 29
Падова 26
Паули 50
Рашевский 72
Риччи 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33,
36, 39, 40, 41, 42, 46, 47, 49,
56, 57, 62, 64, 65, 69, 70, 71
Серре 29, 56
Сильвестр 22
Скоутен 7, 22, 33, 42. 50, 58, 63,
65, 66, 67, 68, 69, 72
Стрюик 42, 58
Тейлор 11
Томас 50
Финслер 67
Фосс 16
Френе 56
Христофель 16, 21, 22, 23, 24.
25, 26, 28, 29, 57, 62, 72
Шапиро 72
Шлефли 27, 28, 29
Штеккель 16
Штюди 35
Шур 16, 26, 70, 71
Эддингтон 50
Эйзенгарт 58, 67
Эйлер 28, 56, 63
Эйнштейн 5, 8, 9, 49, 50, 57, 68,
СОДЕРЖАНИЕ.
Стр.
1.	Возрождение идей Римана в связи с учением об относительности 5
2.	Мемуар Римана.............................................6
3.	Развитие идей Римана. Направление Клейна-Ли .	•	.	. 16
4.	Второй мемуар Римана ....................................19
5.	Развитие идей Римана. Направление Христофеля и Липшица . 21
6.	Направление Шлефли.......................................27
7.	Направление Риччи и Леви-Чивита..........................29
8.	Прямые исчисления........................................33
9.	Учение Грассмана о линейном	протяжении...................37
10.	Тензорная алгебра........................................39
11.	Тензорный анализ.........................................46
12.	Развитие римановой геометрии	средствами тензорного анализа 50
13.	Параллельное перенесение.................................58
14.	Развитие идей Римана. Замысел	Вейля......................02
15.	Задача Скоутена.........................................65
16.	Конформные пространства..................................68
17.	Проективные пространства.................................70
18.	Возвращение к идеям Ли...................................72
19.	О прикладных направлениях в ходе эволюции геометрических
идей Римана ..................................................73
Именной указа! ель........................................75