А.В. ЮЗБАШЕВ
СВОНС ТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ФИГУР
кмюч к решении» лншых 1а 1ач
по планиметрии
Для \чащи\ся школ, лицеев м гимназий
Для абнтуриентоп
Для преподавателей
Москва
МАТИ
2005

Обращение к читателю
(вместо предисловия)
Книга, которую Вы, уважаемый читатель, держите в
руках, во многом отличается от большинства учебников,
задачников и справочников тем, что, во-первых, она не является,
в строгом смысле, ни одним из этих пособий, а, во-вторых,
содержит в себе элементы каждого из них.
Много лет занимаясь преподаванием математики, я понял
в какой-то момент, чего мне не хватало среди огромного
количества самых разнообразных книг по геометрии: мне не
хватало книги, где были бы собраны под одной обложкой все или
почти все известные нам свойства основных геометрических
фигур и их элементов.
Разумеется, все эти свойства давно известны и
досконально изучены, а сформулированные в виде теорем и
задач, изложены во многих изданиях, начиная от школьных
учебников и кончая олимпиадными сборниками.
По этой причине мы опускаем подробные доказательства
приводимых утверждений (свойств) и отсылаем читателя к
замечательным книгам, в которых он найдет, помимо строгих
доказательств, еще и множество других интереснейших фактов и
сведений из планиметрии.
И если случится так, что ваше любопытство, ваш интерес
и желание поглубже и повнимательнее рассмотреть и понять
иногда очевидные, иногда поразительные, а иногда просто
фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур
хотя бы в малой степени будут "спровоцированы" настоящей
книгой, я буду считать, что моя цель достигнута.
Мне также хотелось бы думать, что она будет полезна
Вам и для решения геометрических задач, когда возникнет
необходимость вспомнить или заново узнать те или иные
свойства фигур.
Хотелось бы, конечно, надеяться, что она понадобится
многим и многим читателям: и школьникам, изучающим курс
3

геометрии, и абитуриентам, готовящимся к экзаменам и
систематизирующим свои знания, и вообще всем, кто
интересуется геометрией.
Я отдаю себе отчет в том, что эта книга далеко не полная,
и если Вам, уважаемый читатель, она придется по душе, этого
будет вполне достаточно, чтобы в дальнейшем попытаться
сделать ее более содержательной и привлекательной.
Желаю успехов,
Андрей Юзбашев

Содержание
Глава 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ 6
§ 1. Обозначения 6
§ 2. Общие свойства 7
§ 3. Свойства биссектрис 8
§ 4. Свойства высот 15
§ 5. Свойства медиан 21
§ 6. Свойства ортоцентра 24
§ 7. Ортотреугольник и серединный треугольник 28
§ 8. Метрические соотношения 32
§ 9. Соотношения между сторонами и углами 33
§10. Точки лежат на одной прямой 35
§11. Прямые пересекаются в одной точке 42
§ 12. Прямая Эйлера 52
§13. Окружность девяти точек 55
§14. Точка Ферма 59
§15. Фигуры, построенные на сторонах 61
§16. Прямая Симеона 65
§17. Свойства трисектрис 69
§18. Отрезки прямых через произвольную точку 70
§19. Свойства, связанные с описанной, вписанной и
вневписанной окружностями 72
§20. Метрические соотношения между сторонами
треугольника и радиусами вписанной и описанной
окружностей 87
Глава 2. ПРАВИЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 90
Глава 3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 95
Глава 4. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 98
Глава 5. ВПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 111
Глава 6. ТРАПЕЦИИ 125
Глава 7. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ 128
Глава 8. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И РОМБЫ 131
Глава 9. ШЕСТИУГОЛЬНИКИ 133
Глава 10. ОКРУЖНОСТИ 135
Указания 150
Литература 208
5

Глава 1.
ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 1. Обозначения
Mv
Треугольник ABC: ЛАВС;
Вершины треугольника:
А, В, С;
Углы: А, В, С или
ZBAC, ZABC, ZACB\
Стороны: ВС, АС, АВ или
а, Ъ, с;
Биссектрисы: ALa, BLb, CLC
или la, lb, lc\
Высоты: АНа, BHb, CHC
или ha, hb, hc;
\у Медианы: АМа, BMb, CMC
или та, mb, mc;
.__ a + b + c
Полупериметр: p = ;
Радиус описанной окружности: R.
Радиус вписанной окружности: г.
Радиусы вневписанных окружностей: ra, rb, гс.
Центр описанной окружности: OR.
Центр вписанной окружности: Ог.
Центры вневписанных окружностей: Оа, Оь, Ос.
Площадь треугольника ABC: S или SABc-
Точка пересечения медиан треугольника является
центром тяжести этого треугольника.
Точка пересечения высот треугольника называется
ортоцентром.
Треугольник, вершинами которого являются основания
высот ЛАВС, называется ортотреугольником.

Треугольник, вершинами которого являются середины
сторон ZL4.BC, называется серединным треугольником.
Перпендикуляр, восстановленный из середины данного
отрезка, называется серединным перпендикуляром.
Треугольник, вершинами которого являются проекции
произвольной точки, взятой внутри треугольника, на его
стороны, называется педальным треугольником.
§ 2. Общие свойства
1. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше
длины третьей стороны.
2. В треугольнике против большей стороны лежит
больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.
3. Углы при основании равнобедренного треугольника
равны. Если два угла треугольника равны, то он является
равнобедренным.
4. Сумма углов треугольника равна 180°.
5. В равностороннем треугольнике все углы равны.
6. Средняя линия треугольника (отрезок, соединяющий
середины двух его сторон) параллельна третьей стороне и равна
половине ее длины.
7. Три серединных перпендикуляра всех трех сторон
треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром
описанной окружности.
8. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке, являющейся центром вписанной окружности.
9. Три медианы пересекаются в одной точке, являющейся
центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой в
отношении 2:1, считая от вершины.
10. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке
(ортоцентре), расположенной внутри него, если треугольник
остроугольный, вне его, если треугольник тупоугольный, в
вершине прямого угла, если треугольник прямоугольный.

3. Свойства биссектрис
11. Доказать, что биссектриса
внутреннего (или внешнего) угла
треугольника делит
противоположную сторону (или
ее продолжение) на отрезки,
пропорциональные прилежащим
сторонам.
12. Доказать, что биссектриса угла
А треугольника ABC делит
противолежащую сторону а на
отрезки тип такие, что
ас ab
т = -
Ь + с
и п-
Ь + с
13. Теорема Штейнера-Лемуса.
Доказать, что если две биссектрисы
треугольника равны, то треугольник
- равнобедренный.

14. Доказать, что во всяком
треугольнике биссектриса лежит
между медианой и высотой,
проведенными из той же
вершины.
15. Доказать, что если а и Ъ - две
стороны треугольника ABC, то
1с-
2abcos—
2
а + Ъ
16. Доказать, что внешние
биссектрисы двух углов
треугольника и внутренняя
биссектриса третьего угла
пересекаются в одной точке -
центре вневписанной
окружности, противолежащей
третьему углу.

17. В треугольнике ABC Or - точка
пересечения биссектрис ALa, BLb и
CLC. Доказать, что
АО\ Ь + с \ВО\ с + а
OL
а
\СО.
a + b
\°М
18. Биссектрисы ALa, BLb и CLC треугольника ABC пересекаются в
точке Ог. Доказать, что
\А°,\
со.
\AL\ BL
CL
= 2;
\OrLa\ \O,.Lb\ \OrLc\
' + ~; г + ¦; г = 1 •
\AL
BL
\CL
19. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы Ala, BLb и
CLC. Доказать, что
JABC _
20. Через основания биссектрис
треугольника ABC проведена
окружность. Доказать, что длина
одной из хорд, образованных ею
при пересечении сторон Л4.ВС,
равна сумме длин двух других.
(a + b)-(b + c)-(c + a)
2abc
10

21. Доказать, что биссектриса
внешнего угла А треугольника
ABC, вписанного в окружность,
параллельна хорде, соединяющей
середины дуг АВ и АС:
h | | MjM2.
22. Через вершины А, В и С
треугольника ABC проведены три
параллельные прямые /;, 12 и 13.
Доказать, что прямые,
симметричные /7, l2, h
относительно биссектрис углов А,
В и С, пересекаются в одной точке,
лежащей на описанной около
треугольника ABC окружности.
23. Пусть Р - произвольная точка плоскости, М и N - основания
перпендикуляров, опущенных из точки Р на биссектрисы
внутреннего и внешнего угла А треугольника ABC; H и Q -
аналогично определены для угла В; R и Т - для угла С. Доказать,
11

что прямые MN9 HQ и RT пересекаются в одной точке или
параллельны.
в с
24. Доказать, что биссектрисы внешних углов треугольника
пересекают продолжения противоположных сторон треугольника
в трех точках, лежащих на одной прямой.
-. В
ЬЬ А С
25. Точки Lc и La - основания биссектрис углов С и А
треугольника ABC, а биссектриса внешнего угла при вершине В
пересекает прямую АС в точке Lb. Доказать, что точки La, Lb и Lc
лежат на одной прямой.
26. В треугольнике ABC
биссектриса угла В пересекает
прямую, проходящую через
середину стороны АС и середину
высоты къ в точке M;N- середина
биссектрисы 1Ъ. Доказать, что
биссектриса 1С является также и
биссектрисой угла MCN.
м,
12

27. Пусть ALa, BLb и CLC -
биссектрисы треугольника ABC;
L - точка пересечения прямых ALa
и LbLc; К - точка пересечения
прямых LaLb и CLC. Доказать, что
BLb является биссектрисой угла
LBK.
28. Из вершины А треугольника
ABC опущены перпендикуляры
AM и AN на биссектрисы
внешних углов В и С. Доказать,
что длина отрезка MN равна
полупериметру треугольника
ABC:
\MN\=p.
29. Пусть М и N - проекции
ортоцентра треугольника ABC на
биссектрисы внутреннего и
внешнего угла В. Доказать, что
прямая MN делит сторону АС
пополам.
Mi
30. Доказать, что одна из биссектрис делится точкой пересечения
биссектрис в отношении 2:1 тогда и только тогда, когда длина
одной из сторон треугольника равна полусумме длин двух
других.
13

с
31. Доказать, что произведение
длины биссектрисы угла
треугольника на расстояние от
вершины этого угла до точки
пересечения продолжения
биссектрисы с описанной около
треугольника окружностью равно
произведению длин сторон,
заключающих данный угол:
32. Доказать, что точка
пересечения продолжения
биссектрисы треугольника,
проведенной из данной вершины,
с описанной около треугольника
окружностью равноудалена от
центра окружности, вписанной в
треугольник, и двух других
вершин треугольника.
la-\AL\ =
А \ "
33. Доказать, что квадрат длины
биссектрисы угла треугольника
равен разности между
произведением длин прилежащих
сторон и произведением длин
отрезков, на которые биссектриса
делит третью сторону, например:
la -be-тп.
34. Доказать, что для длины биссектрисы угла А треугольника
ABC справедливы следующие формулы:
2 I—: г;— ,9 , a2bc
I =¦
Ъ + с
у]р(р-а)Ьс;
И=Ьс-
(Ъ + cf '
14

35. Пусть точки A], Bj и С;
являются точками пересечения
продолжений биссектрис углов А,
В, С треугольника ABC с
описанной вокруг него
окружностью. Доказать
справедливость следующих
соотношений:
с
|0,4-|0J?| \OB\-\OC \OC\-\OA
a) 2r = — L -J — J — •
ад
\ОЛ
\ол
R_\OA\-\OA\_\OA\-\OA\_\QA\-\OA\.
б) R =
в)
\OrA
]_
2
\ОГВ
§ 4. Свойства высот
36. Доказать, что любой
треугольник, имеющий две
равные высоты, является
равнобедренным.
15

37. Доказать, что длина высоты
треугольника определяется
формулой:
4b2c2-(c2
АЪ2
38. Доказать, что расстояние от
вершины треугольника до
ортоцентра вдвое больше, чем
расстояние от центра описанной
окружности до противоположной
стороны:
= 2.\ORM\.
39. Пусть АНа и ВНЬ -
высоты треугольника ABC.
Доказать, что треугольник
НаНьС подобен
треугольнику ABC с
коэффициентом подобия
«cosC».
16

/ /
/ /
н%
\ -'х.
\ \
\
40. Доказать, что радиусы
описанной окружности,
проведенные в вершины
треугольника, перпендикуляр-
перпендикулярны соответствующим сторонам
его ортотреугольника.
/с
41. В треугольнике ABC
проведены высоты АНа, ВНЬ и
СНС\ Н - ортоцентр. Доказать, что
а)
АН \НН =\ВН\\НМ\ = \СН\\НН\
б)
ВНа\.\СНа\-9
BHb\.\HHb\ = \CHb\.\AHb\;
СН\.\НН\= АН\.\ВН\.
н
н
42.
С
Из вершины
остроугольного
треугольника ABC опущена
высота СНС, из точки Нс
опущены перпендикуляры
НСМ и HCN на стороны ВС и
АС. Доказать, что
треугольник ABC подобен
треугольнику MNC.
N
17

н
43. Доказать, что высоты
остроугольного треугольника
являются биссектрисами его
ортотреугольника.
44. Доказать, что проекции
основания высоты треугольника
на стороны, ее заключающие, и на
две другие высоты, лежат на А
одной прямой.
н
^^ с
45. Точки На, НьиНс- основания высот, опущенных из вершин А,
В и С разностороннего треугольника ABC. Доказать, что точки
пересечения прямых НаНь и АВ, НЬНС и ВС, НаНс и АС лежат на
одной прямой.
18

46. Доказать, что сумма
расстояний от любой точки
основания равнобедренного
треугольника до боковых сторон
равна высоте этого треугольника,
проведенной к боковой стороне:
47. Точки К и Р
симметричны основанию Нь
высоты ВНЬ треугольника
ABC относительно его
сторон АВ и ВС. Доказать,
что точки пересечения
отрезка КР со сторонами АВ
и ВС (или их
продолжениями) являются
основаниями высот
треугольника ABC
к
р
К
С
19
48. Пусть АНа, ВНЪ, СНС -
высоты треугольника ABC.
Прямая, перпендикулярная
АВ, пересекает АС и НаНс в
точках К и М. Доказать,
что центр окружности,
описанной около
треугольника КМНЬ, лежит
на прямой ВС

Hb !
49. На высоте BHb
треугольника ABC как на
диаметре построена
окружность, пересекающая
стороны АВ и ВС в точках
К и Р. Прямые, касающиеся
окружности в точках К и Р,
пересекаются в точке N
Доказать, что прямая BN
делит сторону АС пополам.
\
50.
В
треугольнике
высоты АНа
Доказать, что
полупериметр
\ i ;
N
остроугольном
ABC проведены
, ВНЪ и СНС.
р г
— = -, где
р R
Р ~
треугольника
н
Hb b
51. Доказать, что сумма
произведений высот на их отрезки
от ортоцентра до вершин равна
полусумме квадратов сторон (если
треугольник тупоугольный, то
произведение, соответствующее
тупому углу, берется со знаком
"минус"):
ha-\AH\+hb-\BH\+hc-\CH\ = (a2+b2+c2)/2.
20

5. Свойства медиан
52. Доказать, что треугольник,
имеющий две равные медианы,
является равнобедренным.
53. Доказать, что длина медианы
треугольника определяется
формулой:
54. Доказать, что произвольный
треугольник делится своими
медианами на шесть равновеликих
треугольников.
м.
55. Теорема Лейбница.
Доказать, что для произвольной
точки плоскости Р и центра
тяжести треугольника ABC
точки М выполняется
соотношение:
3\РМ\2 =\РА\2 +\РВ\2 +\РС\2 --(а2 +Ь2 +с2) .
21

56. Доказать, что центр тяжести
треугольника является точкой,
сумма квадратов расстояний от
которой до вершин треугольника
минимальна:
f(M) = \МА\2+\МВ\2+\МС\2 = min.
А Мь С
57. Дан треугольник ABC и точка
Р вне его; АМа, ВМЪ и СМС -
медианы. Доказать, что площадь
одного из треугольников РАМа,
РВМЬ, РСМС равна сумме
площадей двух других.
м.
м
мь с
58. Доказать, что для любой
прямой, проходящей через
точку пересечения медиан
треугольника, сумма
расстояний до этой прямой от
двух каких-либо вершин равна
расстоянию до этой прямой от
третьей вершины.
м
59. Доказать,
симметричная
ь
что
прямая,
медиане
относительно биссектрисы,
проведенной из той же вершины
произвольного треугольника,
делит сторону треугольника
пропорционально квадратам длин
прилегающих сторон:
\ВА1\/\А1С\=с2 /Ь2.
22

\
А\
н мь
с
60. Пусть М - центр тяжести
треугольника ABC, H - основание
какой-либо высоты, F
пересечение прямой МН с
описанной окружностью (точка
М лежит между точками Н и F).
Доказать, что \FM\ = 2\НМ\.
61. Доказать, что отношение
суммы квадратов медиан к сумме
квадратов сторон произвольного
3
треугольника равно —:
а2+Ь2+с2
63. Доказать, что медианы та и
ть треугольника ABC
перпендикулярны тогда и
только тогда, когда
а2+Ь2=5с2.
62. Доказать, что площадь
треугольника, составленного
из медиан данного
треугольника площади S, равна
2s.
4
23

64. Доказать, что медианы та
и тъ треугольника ABC
перпендикулярны тогда и
3
только тогда, когда тс =—с.
65. Две вершины
треугольника неподвижны,
а третья перемещается по
некоторой заданной кривой.
Доказать, что центры
тяжести всех образующихся
треугольников лежат на
кривой, подобной данной.
§ 6. Свойства ортоцентра
в
\/у /
"V
\
н
нь
УХ
у
66. Доказать, что точки,
симметричные ортоцентру
относительно сторон
треугольника, лежат на
описанной около треугольника
окружности.
24

68. В треугольнике ABC точки
Н и OR - ортоцентр и центр
описанной окружности.
Доказать, что угол ZORAH
равен разности углов С и В,
взятой по абсолютной
величине:
ZORAH=\C-B\ .
67. Доказать, что три
прямые, симметрич-
симметричные произвольной
прямой, проходящей
через ортоцентр тре-
треугольника, отно-
относительно его сторон,
пересекаются в од-
одной точке.
с
69. Пусть Н - ортоцентр
треугольника ABC, M - середина
какой-либо стороны, К - одна из
точек пересечения отрезка НМ с
описанной окружностью (точка
М лежит между точками Н и К).
Доказать, что точка М - середина
отрезка НК.
25

ч
\
70. Доказать, что окружности, проходящие соответственно через
каждые две вершины и ортоцентр треугольника, имеют радиусы,
равные радиусу описанной окружности.
71. Доказать, что если
ортоцентр треугольника
ABC делит высоту ha
пополам, то
cos A = cos В- cos С .
26

72. Через ортоцентр треугольника ABC проведены две взаимно
перпендикулярные прямые. Доказать, что середины отрезков,
высекаемых этими прямыми на сторонах треугольника ABC (на
прямых, образующих треугольник) лежат на одной прямой.
7>
?s'
/А
н
ч
\
\
\
73. Доказать, что расстояние от
вершины треугольника ABC до
ортоцентра Н равно произведению
диаметра описанной окружности
на модуль косинуса угла при этой
вершине, например:
AH = 2R- cos A
27

н
ЛВР
74. Дан треугольник
ABC и точка Р -
произвольная точка
плоскости. Доказать,
что ортоцентры
треугольников АВР,
ВСР и САР являются
вершинами треуголь-
треугольника, равновеликого
данному.
САР
Н
§ 7. Ортотреугольник и серединный треугольник
75. Доказать, что ортоцентр
остроугольного треугольника
является центром
окружности, вписанной в его
ортотреугольник.
нь
28

\
76. Доказать, что треугольник ABC является ортотреугольником
треугольника ОаОьОс.
11. Доказать, что треугольник
ABC и его серединный
треугольник имеют один и тот
же центр тяжести.
\Ма
29

78. Доказать, что ортоцентр тупоугольного треугольника
является центром вневписанной окружности к ортотреугольнику.
XIVT
А\
ч
79. Доказать, что центр описанной около треугольника ABC
окружности является ортоцентром его серединного треугольника.
30

80. Доказать, что точки, в
которых высоты или их
продолжения пересекают
описанную около
треугольника окружность,
образуют треугольник,
подобный ортотреугольнику.
81. Доказать, что серединный
перпендикуляр к стороне
ортотреугольника треугольника
ABC делит противоположную
сторону треугольника ABC
пополам.
На
НЬ
н
82. Теорема Фаньяно.
Доказать, что ортотреуголь-
ник остроугольного треуго-
треугольника имеет наименьший
периметр среди всех треуго-
треугольников, вписанных в дан-
данный треугольник.
31

м
83. Доказать, что центр
тяжести системы из трех
однородных отрезков,
образующих треугольник
ABC, находится в центре
окружности, вписанной в его
серединный треугольник.
§ 8. Метрические соотношения
84. Доказать справедливость следующих соотношений для
вычисления площади треугольника S:
S =
ab sin С
= pr;
S =
abc
4R
s = -
2 sin ,6 sin С
2 sin A
= 2R2sinAsmBsmC;
\l/3
/ \2 А В С
= (p-a) -tg-ctg-ctg-;
S = ,Jp(p-a)(p-b)(p-c);
= (p-a)ra =(p-b)rb =(p-c)rc;
s =
s = -
R'h-hh-h
hc){ha hb hc){ha hb hc
S = --yjm-(m-ma)-(m-mb)-(m-mc), где м = -2- ^
32

85. Доказать справедливость следующих соотношений:
1
г
ra
{
=
1
Га
а
Га
_|_
\
- +
1
гъ
+ гс
Ъ
гъ
_|_
\
1
¦ + —
-г -
Л.
г.
--4R;
Р
Га+ГЬ
Г
+ гс
\
=
к
— ? *
1
¦л—
к
=р-
1
н—
к
А
к
¦ •
и
r-ra=(p-b)(p-c);
ГаГЪ+ГЪГс+ГсГа=Р 5
16 pR
(a-hb)(b-hc)(c-ha) = (a-hc)(b-ha)(c-hb);
a2=(b-cJ+4S-tg-; R = ^
2 sin A + sin В + sin С
A
oaoboc
= 2Rp;
rarbrc=r-p ;
В С
(a2+b2+c2)
4S
tg- tg- tg-
г2 г2 S
. A . В . С г ВС А В С р
sin—sin—sin— = —; r-r-te,— tg—; cos—cos—cos— = —;
2 2 2 AR a&22 2 2 24Д
1
¦ + ¦
1
1
1
(p-a)(p-b) (p-b)(p-c) (p-a)(p-c) r2 '
\AOr\-\BOr\-\COr\ = 4Rr2; \OaOb\-\ObOc\-\OcOa\ = \6R2p .
§ 9. Соотношения между сторонами и углами
86. Теорема синусов:
\
sin A sin .В sin С
- = 2R.
А ч
33

87. Теорема косинусов:
с2 =а2 +b2 - lab • cosC .
88. Теорема Пифагора: в
прямоугольном треугольнике
с прямым углом С
с2 =а2 +Ь2.
М п
89. Теорема Стюарта: для
произвольной точки М,
расположенной на стороне АС
треугольника ABC,
выполняется равенство
1^,12 с2п + а2т - тпЪ
\ВМ\ = .
Следствие из теоремы
Стюарта: 12Ъ -ас-тп .
34

90. Доказать, что в любом треугольнике ABC имеет место
равенство: asin(B -C) + b sin(C - А) + с sin(A - В) = 0 .
91. Доказать, что в любом треугольнике ABC имеет место
a2 sin(B - С) Ъ2 sin(C - А) с2 sin(A - В)
равенство:
sin A
sin В sin С
В-С
= 0.
cos
92. Доказать формулу Мольеейде:
Ъ + с
. А
sin —
?
а
§ 10. Точки лежат на одной прямой
в, а С
93. Теорема Менелая. Доказать, что три точки А1у В1у С],
расположенные соответственно на сторонах ВС, СА и АВ
треугольника ABC или на их продолжениях, лежат на одной
прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:
= 1,
СА1
АХВ
ВСХ
СХА
АВ,
ВХС
(при этом на сторонах треугольника, а не на их продолжениях,
располагаются или две точки или ни одной).
35

Bl
94. Доказать, что условие теоремы Менелая равносильно
выполнению следующего соотношения:
sin АССХ smBAAx sinCBBx
sinCxCB sinAXAC sinBXBA
= 1.
95. Прямая пересекает стороны АВ, ВС и С А треугольника ABC в
точках С], А] и В]. Доказать, что три точки, симметричные
вершинам А, В и С относительно середин отрезков BjCj, CjAj и
AjB], лежат на одной прямой.
36

96. Задача Маркелова.
Дан треугольник ABC и
точка М, не лежащая ни на
одной из высот. Прямая,
проходящая через М
перпендикулярно AM,
пересекает прямую ВС в
точке Aj. Аналогично на
прямых СА и АВ
определяются точки Bj и
С]. Доказать, что точки А1у
В] и С; лежат на одной
прямой.
97. Теорема Дезарга.
Треугольники ABC и
AjBjCj с попарно
непараллельными
сторонами расположены
так, что прямые AAh BBj
и CCj пересекаются в
одной точке. Доказать,
что точки М, К и Р
пересечения прямых АВ
и AjBj, ВС и Bid, AC и
А] С] лежат на одной
прямой.
37

98. Доказать, что касательные к описанной окружности в
вершинах треугольника ABC пересекают его противоположные
стороны (продолженные за вершины) в трех точках, лежащих на
одной прямой.
99. Прямая пересекает
стороны АВ, ВС и
продолжение стороны АС
треугольника ABC в точках
Д Е и F. Доказать, что
середины отрезков DC, AE
и BF лежат на одной
прямой {прямая Гаусса).
100. На стороне ВС треугольника
ABC взяты точки Aj и А2,
симметричные относительно
середины ВС. Точно так же на
стороне АС взяты точки Bj и В2, а
на стороне АВ - точки С; и С2.
Доказать, что треугольники
AjBjCj и А2В2С2 равновелики, а
центры тяжести этих
треугольников и треугольника
ABC лежат на одной прямой.
38

г А в,
101. Дан треугольник ABC и точка Р - произвольная точка
плоскости. Биссектрисы двух углов, образованных прямыми АР и
ВР, пересекают прямую АВ в точках С; и С2 (С; - на отрезке АВ),
точно также на ВС и СА определяются точки Aj и А2, Bj и ?2-
Доказать, что точки Aj, A2, Bj, B2, Cj, C2 расположены по три на
четырех прямых.
CEF
DAF
102. Дан треугольник
ABC. Произвольная
прямая пересекает
прямые АВ, ВС и СА
соответственно в
точках Д Е и F.
Доказать, что ортоцен-
ортоцентры треугольников
ABC, BDE, DAF и CEF
лежат на одной
прямой, перпендику-
перпендикулярной прямой
Гаусса.
39

А С
103. Доказать, что проекции вершины одного из углов
треугольника на четыре биссектрисы (внутренние и внешние)
двух других его углов лежат на одной прямой.
104. Доказать, что перпендикуляры, восстановленные в
серединах биссектрис треугольника, пересекаются с
противоположными сторонами в точках, лежащих на одной
прямой.
40

105. Теорема Брокара. Доказать, что если высоты треугольника
ABC пересекаются (при продолжении) с описанной окружностью
в точках А], В], С], то точки пересечения прямых AjBj, BjCj и
со сторонами АВ, ВС и С А лежат на одной прямой.
106. Даны три окружности разного диаметра. Доказать, что три
точки пересечения общих внешних касательных к каждой паре
окружностей лежат на одной прямой.
41

11. Прямые пересекаются в одной точке
107. Теорема Чевы.
На сторонах АВ, ВС и СА
треугольника ABC или на
их продолжениях взяты
точки Сь А! и В!. Доказать,
что прямые AAj, BBj и CCj
пересекаются в одной
точке тогда и только тогда,
когда выполняется
условие:
С\
АХВ
ВСХ
СХА
АВХ
ВХС
(при этом на сторонах треугольника лежат одна или все три
точки).
108. Доказать, что условие теоремы Чевы равносильно
выполнению следующего соотношения:
sin ACCX sin BAAX sinCBBx
sinCxCB sin AXAC sinВХВА
=1.
109. Теорема Ван-Обеля.
Пусть Aj, Bj и С; - точки на сторонах ВС, С А и АВ треугольника
ABC. Доказать, что отрезки AAj, BBj и CCj пересекаются в одной
точке Мтогда и только тогда, когда выполняются соотношения:
\АМ
\МА
АС АВЛ
\ВМ\ \ВА
\схв\
\ВХС\
\МВА
\АХС
\СХА
СМ\ \СВ, \СА
мс\
\ВА
ив]
42

110. Доказать, что если три прямые, проходящие через вершины
треугольника, пересекаются в одной точке, то прямые,
симметричные им относительно соответствующих биссектрис,
также пересекаются в одной точке или параллельны.
111. Доказать, что если Аь
В], С] - точки касания
вписанной в треугольник
ABC окружности, то
прямые AAj, BB], CCj
пересекаются в одной
точке (точка Жергона).
В,
43

112. Доказать, что в
треугольнике ABC
биссектриса угла А, средняя
линия, параллельная
стороне А С, и прямая,
соединяющая точки
касания вписанной
окружности со сторонам
ВС и АС, пересекаются в
одной точке.
113. Пусть точки Ai, BjhCj -
основания перпендикуляров,
опущенных из вершин А, В и
С треугольника ABC на
прямую /. Доказать, что
перпендикуляры, опущенные
из точек Aj, В] и С; на
стороны ВС, СА и АВ,
пересекаются в одной точке.
К
Н
АК + BE
114. Теорема Карно.
Доказать, что для того,
чтобы перпендикуляры,
опущенные из точек Е,Н,К
на стороны ВС,С А и АВ
треугольника ABC
пересекались в одной точке,
необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
сн2 = кв2
ЕС2 + НА2.
44

А в2 В,
115. Пусть A], Bj и С; - середины
сторон ВС, С А и АВ треугольника
ABC. На перпендикулярах,
опущенных из некоторой точки
М на стороны ВС, С А и АВ, взяты
точки А2, В2 и С2. Доказать, что
перпендикуляры, опущенные из
точек Aj, Bj и Cj на отрезки В2С2,
С2А2, А2В2, пересекаются в одной
точке.
116. Пусть Aj - точка,
симметричная точке касания
окружности, вписанной в
треугольник ABC, со стороной
ВС, относительно биссектрисы
угла А. Аналогично
определяются точки Bj и С;.
Доказать, что прямые АА1у ВВ1у
СС] и прямая, проходящая через
центры вписанной и описанной
окружностей, пересекаются в
одной точке.
¦\
117. Доказать, что прямые,
симметричные медианам
треугольника относительно
соответствующих биссект-
биссектрис, пересекаются в одной
точке (точка Лемуана).
45

118. Доказать, что прямые,
проходящие через точки,
симметричные основаниям
высот треугольника
относительно середин сторон,
на которые они опущены, и
противоположные вершины,
пересекаются в одной точке.
н,
119. Доказать, что три
прямые, проходящие через
основания двух высот
треугольника, концы двух его
биссектрис и через две точки
касания вписанной
окружности с его сторонами
(все точки расположены на
двух сторонах треугольника),
пересекаются в одной точке.
А\
120. Перпендикуляр,
восстановленный к стороне АВ
треугольника ABC в ее
середине М, пересекает
описанную окружность в
точке Е (точки С и Е лежат по
одну сторону от АВ), F -
проекция точки Е на сторону
АС. Доказать, что прямая MF
делит периметр треугольника
ABC пополам и три такие
прямые, построенные для
каждой стороны треугольника,
пересекаются в одной точке.
46

• \
ос/
О.,
С
Л
\
121. Доказать, что три прямые, проходящие через точки касания
вневписанных окружностей со сторонами треугольника и
противолежащие вершины, пересекаются в одной точке {точка
Нагеля). Пусть также в треугольнике N - точка Нагеля, М- центр
тяжести, Ог - центр вписанной окружности, О - центр
окружности, вписанной в треугольник с вершинами в серединах
сторон данного треугольника. Доказать, что тогда точки N, М, Ог
и О лежат на одной прямой, причем:
\MN\ = 2-\OrM\ и \OrO\ = \ON\.
47

122. Пусть Aj, Bj и С; - основания
перпендикуляров, опущенных из
произвольной точки М на
стороны ВС, СА и АВ
треугольника ABC. Доказать, что
три прямые, проходящие через
середины отрезков BjCj и М4,
CjAj и MB, AjBj и МС,
пересекаются в одной точке.
123. Вокруг треугольника ABC
описана окружность, точки А1у В1у
С] - диаметрально
противоположны вершинам А, В
и С; точки Ма, Мъ, Мс - середины
сторон ВС, СА и АВ. Доказать,
что прямые AjMa, BjMb, CjMc
пересекаются в одной точке.
\
124. Доказать, что серединные
перпендикуляры,
восстановленные к отрезкам,
соединяющим ортоцентры и
центры описанных окружностей
четырех треугольников,
образованных четырьмя
произвольными прямыми на
плоскости, пересекаются в
одной точке (точка Эреея).
48

125. На радиусах вписанной
окружности, проведенных в
точки касания, взяты точки,
находящиеся на равных
расстояниях от центра, и
соединены с противоположными
вершинами. Доказать, что
получившиеся таким образом три
прямые пересекаются в одной
точке.
126. Из точки А вне окружности проведены две касательные AM и
AN и две секущие: первая пересекает окружность в точках Р и Q,
вторая - в точках К и L. Доказать, что прямые РК, QL и MN
пересекаются в одной точке или параллельны.
49

через его вершины провести прямые
треугольника ABC, то они пересекутся в одной точке.
128. Дан правильный треугольник
ABC и произвольная точка Р; Аь
В], С] - центры окружностей,
вписанных в треугольники ВСР,
САР и АВР. Доказать, что
перпендикуляры, опущенные из
вершин А, В и С на прямые BjCj,
С]А] и AjBj соответственно,
пересекаются в одной точке.
127.Теорема Максвелла.
Произвольная точка Р
внутри треугольника
ABC соединена с
вершинами
треугольни-
треугольника. Доказать, что если
построить треугольник
со сторонами, паралле-
параллельными этим отрезкам, и
параллельные сторонам
Н
129. Пусть АНа, ВНЬ СНС -
высоты треугольника ABC, Ao,
Во и Со - проекции вершин А, В,
С соответственно на НЬНС, НсНа
и НаНь. Доказать, что
перпендикуляры, опущенные из
точек А о, Во и Со соответственно
на ВС, СА и АВ, пересекаются в
одной точке.
50

в.
А
130. Дан треугольник ABC и точка М. Прямая, проходящая через
точку М, пересекает прямые АВ, ВС и СА соответственно в
точках Cj, AjhBj. Прямые AM, ВМи СМ пересекают окружность,
описанную около треугольника ABC, соответственно в точках А о,
Во и Cq. Доказать, что прямые AjA0, BjB0 и CjC0 пересекаются в
одной точке, расположенной на описанной окружности.
Н
131. Доказать, что прямые,
соединяющие середины
сторон треугольника с
серединами
соответствую-
соответствующих высот, пересекаются в
одной точке.
М
НЬ МЬ
51

оя
А '
\
132. Доказать, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам
треугольника в точках касания вневписанных окружностей,
пересекаются в одной точке, симметричной центру вписанной
окружности относительно центра описанной окружности.
§ 12. Прямая Эйлера
133. Доказать, что ортоцентр, центр
тяжести и центр описанной окружности
треугольника лежат на одной прямой
(прямая Эйлера). При этом центр
тяжести делит расстояние от
ортоцентра до центра описанной
окружности в отношении 2:1.
52

134.Доказать, что перпендикуляр,
опущенный из середины стороны
серединного треугольника на
прямую Эйлера, делит пополам
отрезок между ортоцентром и
центром описанной окружности.
При этом основание этого
перпендикуляра является
центром окружности, описанной
вокруг серединного
треугольника.
135. Доказать, что три
окружности, каждая из которых
проходит через вершину
треугольника, основание высоты,
опущенной из этой вершины, и
касается радиуса описанного
круга, проведенного в эту
вершину, пересекаются в двух
точках на прямой Эйлера данного
треугольника.
н
136. Доказать, что на
прямой Эйлера
треугольника ABC
существует такая точка Р,
что расстояния от центров
тяжести треугольников
АВР, ВСР и САР
соответственно до вершин
С, А и В равны между
собой.
53

к
137. Пусть
симметричная
описанной
относительно
Доказать, что
К - точка,
центру
окружности
стороны ВС.
тогда прямая
Эйлера треугольника ABC
делит отрезок АК пополам.
138. Задача Тебо.
Дан треугольник ABC; AHa, BHb,
СНС - его высоты. Доказать, что
прямые Эйлера треугольников
AHijHc, HaBHc и HaH]jC
пересекаются в такой точке Р
"окружности девяти точек", для
которой длина одного из отрезков
PA, PB, PC равна сумме длин
двух других.
н
139. Доказать, что прямая
Эйлера
треугольника
наибольшую
стороны, а
треугольника
среднюю.
остроугольного
пересекает
и наименьшую
тупоугольника
¦ наибольшую и
54

\
140. Доказать, что прямая,
соединяющая центры вписанной
и описанной окружностей
треугольника, является прямой
Эйлера треугольника с
вершинами в точках касания
вписанной окружности со
сторонами исходного
треугольника.
13. Окружность девяти точек
141. Теорема Эйлера.
Доказать, что основания трех
высот треугольника, середины
трех его сторон и середины трех
отрезков, соединяющих его
вершины с ортоцентром, лежат на
R
одной окружности радиуса — с
центром на прямой Эйлера в
середине отрезка между ортоцентром и центром описанной
окружности (окружность девяти точек).
142. Доказать, что площадь
остроугольного треугольника
равна произведению периметра
его ортотреугольника на радиус
окружности девяти точек.
55

143. Теорема Фейербаха.
Доказать, что окружность
девяти точек треугольника
касается вписанной и всех
трех вневписанных
окружностей.
144. Доказать, что
окружность, описанная ос
вокруг треугольника
ABC, является
окружностью девяти
точек для треугольника
ОаОЪОс.
56

145. Доказать, что окружность
девяти точек пересекает стороны
треугольника ABC под углами
Lb-c|, \с-а\ и \а-в\.
146. Теорема Гамильтона.
Доказать, что треугольники ABC,
АВН, АНС и НВС, где Н -
ортоцентр треугольника ABC,
имеют общую окружность
окружность девяти точек.
Каждый из них имеет свою
вписанную и три вневписанных
окружностей, и все они, согласно
теореме Фейербаха, касаются
окружности девяти точек; таким образом, окружность девяти
точек треугольника ABC касается 16 различных окружностей,
связанных с этим треугольником.
А\
147. Высота, опущенная на
сторону ВС треугольника ABC,
пересекает описанную
окружность в точке Р. Доказать,
что расстояние от центра
окружности девяти точек до
\АР\
стороны ВС равно J L.
57

A IK
148. В треугольнике ABC BHb -
высота, BMb - медиана, Е и F -
проекции точек А и С на
биссектрису BLb . Доказать, что
точки Нь, Мь, Е и F лежат на
одной окружности, центр
которой находится на
окружности девяти точек
исходного треугольника.
149. В треугольнике ABC точки
Ма, Мь, Мс - середины сторон ВС,
СА и АВ\ Е и F - основания
перпендикуляров, опущенных из
вершин В и С на прямые МаМс и
МаМь, О - центр окружности
девяти точек. Доказать, что
прямая МаО делит отрезок EF
пополам.
150. Пусть /
произвольная прямая,
проходящая через
центр окружности,
описанной около
треугольника ABC;
А о, Во и Со - проекции
вершин А, В и С на
прямую /. Проведем
через точку Ао
прямую, перпендикулярную ВС, через Во - перпендикулярную
АС, через Со - перпендикулярную АВ. Доказать, что эти три
прямые пересекаются в одной точке, расположенной на
окружности девяти точек треугольника ABC.
58

151. Доказать, что точка пересечения диагоналей
четырехугольника с вершинами в точках касания окружности
девяти точек треугольника ABC с вписанной и вневписанными
окружностями лежит на его средней линии.
§ 14. Точка Ферма
152. На сторонах остроугольного треугольника ABC извне
построены равносторонние треугольники ABCj, BCAj и CABj.
Доказать, что:
а) отрезки AAh BBj и CCj равны между собой, а угол между
любыми двумя из них равен 60 °;
б) три окружности, описанные около равносторонних
треугольников, пересекаются в некоторой точке F;
в) отрезки AAj, BBj и CCj также пересекаются в точке F;
59

г) все стороны ЛАВС видны из точки F под равными углами
A20°).
д) точка F является той точкой плоскости, для которой сумма
расстояний до вершин А, В и С минимальна.
Точка F называется точкой Ферма (иногда ее называют точкой
Торричелли).
153. Пусть F - точка Ферма
треугольника ABC (предположим,
что углы ЛАВС меньше 120°).
Доказать, что прямые Эйлера
треугольников AFB, BFC и CFA
пересекаются в одной точке -
центре тяжести треугольника
ABC
60

15. Фигуры, построенные на сторонах
154. Теорема
Наполеона.
Доказать, что цент-
центры равносторонних
треугольников, пос-
построенных извне на
сторонах треуголь-
треугольника ABC, являются
вершинами равно-
равностороннего треуго-
треугольника, центр кото-
которого находится в
центре тяжести
треугольника ABC.
155. Обобщение теоремы
Наполеона.
Дан произвольный
треугольник. На его
сторонах вовне и внутрь
построены равносторонние
треугольники. Доказать, С|
что центры этих
треугольников,
построенных вовне и
внутрь, служат вершинами
двух равносторонних
треугольников, центры
которых совпадают с
центром тяжести в
исходного, а разность
площадей которых равна площади исходного треугольника.
61

156. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вовне построены
два параллелограмма ACDE и BCFG. Продолжения DE и FG
пересекаются в точке Р. На стороне АВ построен параллелограмм
ABML, стороны AL и ВМ которого равны и параллельны PC.
Доказать, что параллелограмм ABML равновелик сумме
параллелограммов, построенных на сторонах АС и ВС.
62

157. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вовне построены
квадраты ACAjA2 и BCBjB2. Доказать, что прямые AjB, A2B2 и ABj
пересекаются в одной точке.
63

о4
158. Доказать, что отрезки, соединяющие центры
противоположных квадратов, построенных вовне на сторонах
четырехугольника, равны по длине и взаимно перпендикулярны.
64

16. Прямая Симеона
159. Теорема Симеона.
Доказать, что основания
перпендикуляров, опущенных из
точки плоскости на стороны
треугольника, лежат на одной
прямой тогда и только тогда,
когда эта точка находится на
описанной вокруг него
окружности {прямая Симеона).
160. Доказать, что прямая
Симеона для произвольной точки
описанной около треугольника
ABC окружности пересекает
прямую, соединяющую ее с
ортоцентром, в точке, лежащей
на окружности девяти точек
этого треугольника.
161. Доказать, что угол между
прямыми Симеона двух точек Р и
Q, лежащих на описанной
окружности, измеряется
половиной дуги PQ.
65

162. Доказать, что прямая
Симеона для точки, лежащей на
описанной около треугольника
окружности, делит пополам
отрезок, соединяющий ее с
ортоцентром.
163. Пусть М - точка описанной
около треугольника ABC
окружности. Прямая, проходящая
через точку М перпендикулярно
стороне ВС, вторично пересекает
окружность в точке N. Доказать,
что прямая Симеона,
соответствующая точке М,
параллельна прямой AN.
--¦-,
164. Доказать, что проекция
стороны АВ треугольника ABC
на прямую Симеона,
соответствующую точке М9
лежащей на описанной
окружности, равна расстоянию
между проекциями точки М на
стороны АС и ВС.
66

165. Доказать, что прямые
Симеона диаметрально противо-
противоположных точек описанной
вокруг треугольника ABC
окружности перпендикулярны
между собой и пересекаются на
окружности девяти точек.
166. Теорема Шюллера.
Доказать, что касательная к параболе в ее вершине является
прямой Симеона треугольника, образованного при пересечении
любых трех других касательных к той же параболе.
67

167. Пусть A i, Вi и Cj - точки
окружности, описанной около
треугольника ABC, такие, что
\jAAi + u BBi +U CCi = 2Ьг(все
дуги измеряются в одном
направлении, к -целое число).
Доказать, что прямые Симеона
точек Aj, Bj и Cj относительно
треугольника ABC пересекаются
в одной точке.
168. Пусть АНа ВНЫ СНС -
высоты треугольника ABC.
Прямые АНа, ВНЪ, СНС вторично
пересекают окружность,
описанную около треугольника
ABC, в точках Ао, Во, Со
соответственно. Прямые
Симеона, соответствующие
точкам Ао, Во, Со, образуют
треугольник AjBjCj (Aj - точка
пересечения прямых Симеона, *А
соответствующих точкам Во и Со 1
и т.д.). Доказать, что центры
тяжести треугольников НаНьНс и
AjBjCj совпадают, а прямые AjHa,
BjHb CjHc пересекаются в одной точке.
С
68

17. Свойства трисектрис
169. Теорема Морлея.
Через вершины треугольника ABC
проведены лучи ABj и А С;, BAj и
BCh CAj и CBh делящие каждый
из его углов на три равные части
{трисектрисы). Доказать, что
точки пересечения этих лучей Аь
Bj и С; являются вершинами
равностороннего треугольника.
170. Пусть трисектрисы А С; и
СА] при продолжении
пересекаются в точке F, BAj и
ABi - в точке G, BCi и С?7 - в
точке Н. Доказать, что прямые
НА], FBj и GC] пересекаются в
одной точке.
171. Доказать, что для
треугольника с углами ЗА, ЪВ,
ЪС и радиусом описанной
окружности R длины сторон
треугольника Морлея равны
величине: 87? • sin A • sin В • sin С .
А\
69

18. Отрезки прямых через произвольную точку
172. Из произвольной точки Р
внутри произвольного
треугольника ABC опущены
перпендикуляры Ха, Хъ и Хс на его
стороны. Доказать справедли-
справедливость соотношения:
J\.a J\b Jvc .
+ + = 1.
ha hb he
173. Через произвольную точку Р
внутри произвольного
треугольника ABC проведены
отрезки прямых Ya, Yb, Yc
параллельно его сторонам а, Ъ и с
соответственно. Доказать
справедливость соотношения:
Ya Yb Yc п
а Ъ с
174. Расстояния от точки Р
внутри произвольного
треугольника ABC до вершин А, В
и С равны х, ynz соответственно,
а точки Aj, В] и С; - проекции
точки Р на стороны ВС, АС и АВ.
Доказать справедливость
соотношений:
в А =
а-х
~2R
c-z
70

175. Доказать, что третий
педальный треугольник подобен
исходному.
В|
176. Теорема Оппенгейма.
Доказать, что "п"-ый педальный n-угольник любого п-угольника
подобен исходному.
177. Через центр тяжести
треугольника ABC точку М
проведена прямая, пересекающая
стороны АВ и АС соответственно
в точках К и Z, а продолжение
стороны ВС в точке Р (вершина С
находится между точками Р и В).
Доказать справедливость
соотношения:
1
1
1
\мк\ \ml\ \мр\ '
71

19. Свойства, связанные с описанной, вписанной и
вневписанной окружностями
А\
\
178. Теорема Эйлера.
Пусть Sj - площадь треугольника,
образованного основаниями
перпендикуляров, опущенных на
стороны данного треугольника
ABC из точки, удаленной от
центра описанного круга на
расстояние d. Доказать, что тогда
справедливо соотношение:
R
179. Доказать, что точки,
симметричные ортоцентру
относительно: а) середин сторон,
б) прямых, содержащих стороны
треугольника, - лежат на
описанной около него
окружности.
72

180. Доказать, что отрезок,
соединяющий центры
вписанной и вневписанной
окружностей произвольного
треугольника делится
описанной окружностью
пополам.
181. Доказать, что точки, в которых вписанная и вневписанная
окружности касаются стороны треугольника, симметричны
относительно середины этой стороны.
Г
/¦¦¦
182. Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC
касаются стороны ВС в точках М и N Доказать, что длина
отрезка MN равна \Ь - с\.
73

183. Доказать, что центр
окружности, вписанной в
треугольник, лежит ближе к
вершине наибольшего угла.
184. Доказать, что точки,
симметричные центру описанного
около треугольника круга
относительно середин его медиан,
лежат на высотах треугольника.
/с
А ч В,
185. Доказать, что
произведение расстояний от
произвольной точки
описанной около треугольника
окружности до двух его
сторон равно произведению
расстояний от этой точки до
третьей стороны и до
касательной, проведенной
через вершину,
противоположную этой
стороне:
РВ,
•
PC,
=
РА,
•
РК
74

186. Пусть О - центр одной из вневписанных окружностей
треугольника ABC. Доказать, что центр окружности, описанной
около треугольника АВО, лежит на окружности, описанной
вокруг ZL4.BC.
75

187. Доказать, что точки, симметричные центрам вневписанных
окружностей относительно центра описанной окружности, лежат
на окружности, концентрической вписанной, с радиусом, равным
2R.
76

188. Диаметр окружности,
вписанной в треугольник ABC,
проходящий через точку касания
со стороной ВС, пересекает
хорду, соединяющую две другие
точки касания, в точке N.
Доказать, что отрезок AN делит
сторону ВС пополам.
189. Доказать, что прямая,
делящая периметр и площадь
треугольника в одинаковом
отношении, проходит через
центр вписанной окружности.
190. Через вершину
треугольника проведена
прямая, перпендикулярная
прямой, соединяющей центры
вписанной и описанной
окружностей. Доказать, что
эта прямая образует со
сторонами данного
треугольника два
треугольника, для которых
разность радиусов описанных
окружностей равна
расстоянию между центрами
вписанной и описанной
окружностей исходного тре-
треугольника.
77

191. В треугольнике ABC точка М
- середина стороны ВС, Ог - центр
вписанной окружности, АН -
высота, Е - точка пересечения
отрезков ОГМ и АН. Доказать, что
\АЕ\ = г.
192. Доказать, что проекция
диаметра описанной окружности,
перпендикулярного первой
стороне треугольника, на прямую,
содержащую вторую сторону,
равна по длине третьей стороне.
193. Доказать, что произведения
расстояний от произвольной точки
описанной около треугольника
окружности до каждой из его
сторон и до противоположных
этим сторонам вершинам равны
между собой:
РВ,
•
РВ
=
PC,
•
PC
=
PA,
•
PA.
78

194. Вписанная в треугольник
ABC окружность касается
стороны АС в точке К. Доказать,
что прямая, соединяющая
середину стороны АС с центром
вписанной окружности, делит
отрезок ВК пополам.
к мь
195. В треугольнике ABC
проведена биссектриса ALa и
построена касательная / к
описанному кругу в точке А.
Доказать, что прямая,
проведенная через точку La
параллельно /, касается
вписанной окружности.
с
А
\
196. Из точки Р дуги ВС
описанной около треугольника
ABC окружности опущены
перпендикуляры РХ, PY, PZ на
стороны ВС, СА и АВ. Доказать,
что справедливо соотношение:
\ВС\ \АС\ \АВ\
РХ\ \PY\ \PZ
79

197. Из центра OR описанной
окружности остроугольного
треугольника ABC опущены
перпендикуляры ОАЬ OBj и ОС]
на стороны ВС, С А и АВ.
Доказать, что
ОАХ | +1 ОВХ | +1 ОСХ |= R + г .
В случае, если угол А - тупой,
+ \OBl\-\OAl\=R + r.
198. Доказать, что площадь
треугольника с вершинами в
точках касания вписанной
окружности со сторонами
рг2
данного треугольника равна
2R
где р, г, R - параметры исходного
треугольника.
м
к
/С
199. В треугольнике ABC из
точки D стороны АВ проведены
две прямые, параллельные
сторонам АС и ВС,
пересекающие ВС и АС в
точках F и G. Доказать, что
сумма радиусов окружностей,
описанных около треугольни-
треугольников ADG и DBF, равна 7?.
80

200. Точка Ог - центр круга,
вписанного в треугольник ABC.
Доказать, что центр окружности,
проходящей через точки А, Ог и
С, лежит на биссектрисе lb.
А \
-'"С
о
201. В треугольник вписана
окружность и еще три окружности
радиусов г;, г2, гз, каждая из
которых касается вписанной
окружности и двух сторон
треугольника. Доказать
справедливость соотношения:
к
202. Пусть М и N - точки
касания вписанной
окружности со сторонами ВС
и ВА треугольника ABC, К -
точка пересечения
биссектрисы 1а с отрезком
MN. Доказать, что угол
АКС = 90°.
81

203. В треугольнике ABC точка
М - точка касания вписанной
окружности со стороной А С, МК
- диаметр. Прямая ВК пересекает
сторону АС в точке К Доказать,
что \AM\=\NC .
204. В треугольнике ABC точка М
точка касания вписанной
окружности со стороной ВС, МК -
диаметр. Прямая АК пересекает
окружность в точке Р. Доказать,
что касательная к окружности в
точке Р делит сторону ВС
пополам.
а \\
/У1
В]
205. Пусть Aj, В] и С] - точки,
симметричные некоторой
точке Р относительно сторон
ВС, СА и АВ треугольника
ABC. Доказать, что
окружности, описанные около
треугольников AjBC, ABjC и
ABC] имеют общую точку, и
окружности, описанные около
треугольников AjBjC, AjBCj и
ABjCj также имеют общую
точку.
82

<э
\\
/V \
О.
206. Доказать, что сумма площадей трех треугольников,
вершинами которых служат три точки касания вневписанной
окружности с соответствующей стороной и продолжениями двух
других сторон, равна удвоенной площади треугольника плюс
площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной
окружности со сторонами треугольника.
83

207. Прямая, проходящая через
центр описанной окружности
треугольника ABC, пересекает
стороны АВ и АС в точках С7 и
Bj. Доказать, что окружности,
построенные на BBj и CCj, как на
диаметрах, пересекаются в двух
точках, одна из которых лежит на
описанной окружности, а другая -
на окружности девяти точек.
208. В треугольнике ABC H -
ортоцентр, М - середина стороны
АС. Доказать, что прямая МН
проходит через точку
пересечения описанной около
треугольника ABC окружности и
окружности с диаметром ВН.
м
с
209. В треугольник вписана
окружность и касательные к
ней, параллельные сторонам
треугольника, отсекают от
него три треугольника, в
которых вписаны окружности
радиусов rj, г2 и г3. Доказать,
что rl+r2+r3=r.
84

210. Точка Р находится внутри треугольника ABC и прямые АР,
ВР и СР проходят соответственно через центры окружностей,
описанных около треугольников ВРС, СРА и АРВ. Доказать, что
Р - центр вписанной в ЛАВС окружности.
211. Вневписанная окружность
треугольника ABC,
касающаяся стороны ВС,
касается стороны АС ъ точке
Е, а вписанная касается
стороны АС в точке F.
Доказать, что длина отрезка
EF равна \ВС\.
85

212. Теорема Карно.
Доказать, что если Оь О2, О3 - центры окружностей,
симметричных с описанной около треугольника ABC
окружностью относительно его сторон, то треугольники ABC и
О; #203 равны и имеют общую окружность девяти точек.
86

§ 20. Метрические соотношения между сторонами
треугольника и радиусами вписанной и описанной
окружностей
\
213. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от точек
касания вписанной в данный
треугольник окружности с его
сторонами до центра описанной
окружности равна:
3R2-4Rr-r2.
м
214. Доказать, что сумма
квадратов сторон треугольника
связана с радиусами вписанной и
описанной окружностей соотно-
соотношением:
а2 + Ь2 + с2 = 2р2 - 2r2 -8Rr . a ,'
А\
\
215. Доказать, что квадрат
расстояния (d) между центром
тяжести треугольника и центром
описанной окружности равен:
d2=R2-
a2+b2+c2
87

216. Доказать, что квадрат
расстояния (d) между центром
описанной окружности и
ортоцентром треугольника равен:
d2=9R2-(a2+b2+c2).
217. Доказать, что квадрат
расстояния (d) между центром
тяжести треугольника и центром
вписанной окружности равен:
,2_p2+5r2-l6Rr
218. Теорема Эйлера.
Доказать, что квадрат
расстояния (d) между
центрами вписанной и
описанной окружностей
равен:
d2 =R2-2Rr .
А\
/С
88

219. Доказать, что квадрат расстояния (d) между центрами
описанной окружности и вневписанной окружности, касающейся
стороны АС треугольника ABC равен:
d2=R2 + 2Rrh.
220. Доказать, что расстояния от
вершины А треугольника ABC до
точек касания вписанной
окружности со сторонами АВ и АС
равны (р - а).
89

Глава 2.
ПРАВИЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
м
221. Доказать, что если любые
две из четырех точек
пересечения: медиан, высот,
биссектрис и серединных
перпендикуляров совпадают, то
совпадают все четыре и
треугольник - правильный.
222. Доказать, что сумма
расстояний от любой точки внутри
правильного треугольника до его
сторон равна высоте этого
треугольника.
223. Вокруг правильного
треугольника ABC описана
окружность, и на дуге ВС взята
точка М. Доказать, что
\АМ\=\ВМ\+\СМ\.
А\
90

224. Теорема Помпею.
Пусть ABC - правильный
треугольник и М - произвольная
точка плоскости, не лежащая на
описанной окружности.
Доказать, что существует
треугольник со сторонами \АЩ,
\ВЦ и \СЩ.
225. Из точки Р внутри
правильного треугольника ABC
опущены перпендикуляры PD, РЕ
и PF на стороны ВС, СА и АВ.
Доказать справедливость соотно-
соотношения:
л/3
3
PD
BD
+ РЕ
+ \СЕ
+
+
PF
AF
226. Из некоторой точки М внутри
правильного треугольника ABC
опущены перпендикуляры МН, МК
и МР на стороны АВ, ВС и СА
соответственно. Доказать справедли-
справедливость следующих соотношений:
р
а)
б)
АН
АН
с
2 + вк
+ ВК
2 + ср
±СР =
91
г = нв
нв\ +
2
КС
кс2 +
+ РА.
РА

к
227. На стороне ВС
правильного треугольника
ABC как на диаметре вовне
построена полуокружность,
на которой взяты точки К и
Z, делящие ее на равные
части. Доказать, что
прямые АК и AL делят
сторону ВС также на
равные части.
228. Внутри правильного
треугольника ABC взята точка О;
точки М, Р я К - проекции точки О
на высоты АНа, ВНЬ и СНС
соответственно. Доказать, что
величина \АЩ+\ВР\+\СЩ не
зависит от выбора точки О.
и
На
м
229. Через центр правильного
треугольника проведена
произвольная прямая.
Доказать, что сумма квадратов
расстояний от вершин
треугольника до этой прямой
не зависит от выбора прямой.
230. Доказать, что если выполняется условие: ha + hb + hc = 9r , то
треугольник - правильный.
92

231. Доказать, что если выполняется
a + ha=b + hb=c + hc, то треугольник - правильный.
условие:
232. Доказать, что если cos A + cos В + cos С = —, то треугольник
- правильный.
233. На дуге ВС окружности,
описанной около правильного
треугольника ABC, взята
произвольная точка Р. Отрезки
АР и ВС пересекаются в точке Q.
Доказать справедливость
1 1 1
соотношения:
PQ\ \PB\ \РС '
А \
/С
234. Окружность делит каждую из
сторон треугольника на три
равные части. Доказать, что
треугольник - правильный.
235. Ортоцентр остроугольного треугольника делит его высоты в
одном и том же отношении. Доказать, что треугольник -
правильный.
236. Радиус г = 1; длины высот ha, ht, hc - целые числа. Доказать,
что треугольник - правильный.
93

237. Из некоторой точки
окружности, описанной
около правильного
треугольника ABC,
проведены прямые,
параллельные ВС, С А и АВ,
пересекающие стороны СА,
АВ и ВС в точках М, N и Q.
Доказать, что точки М, N и
Q лежат на одной прямой.
238. Доказать, что если центр тяжести треугольника совпадает с
центром тяжести его границы, то этот треугольник - правильный.
239. Правильный треугольный
ABC вписан в круг и через
середины двух дуг АВ и ВС
проведена хорда. Доказать, что
стороны треугольника делят хорду
на три равные части.
\
/с
240. Пусть ABC - правильный
треугольник, вписанный в
окружность с центром OR, и Р -
произвольная точка на этой
окружности. Доказать, что
прямая Симеона точки Р делит
радиус ORP пополам.
94

Глава 3.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
241. Доказать, что радиус
окружности, вписанной в
прямоугольный треугольник с
прямым углом С, вычисляется по
, а+Ь-с
формуле: г = .
242. Доказать, что в
прямоугольном треугольнике
биссектриса прямого угла делит
пополам угол между медианой и
высотой, опущенными на
гипотенузу.
243. Пусть точка М - середина
гипотенузы АВ треугольника
ABC. Доказать, что окружности,
описанные около
треугольников СМВ и СМА,
пересекаются под прямым
углом.
95

244. Доказать, что треугольник, в котором —,—, — - целые
числа, является прямоугольным.
с ^
/А
245. Доказать, что для любого
прямоугольного треугольника
радиус окружности, касающейся
его катетов и описанной
окружности (изнутри), равен 2г.
246. На биссектрисе прямого
угла взята точка Р. Через нее
проведена прямая, высекающая
на сторонах угла отрезки длиной
тип. Доказать, что величина
(\ \) .
—ь— не зависит от выбора
^т п)
прямой.
А,
m
247. На гипотенузе АВ
треугольника ABC во внешнюю
сторону построен квадрат с
центром в точке Р. Доказать, что
СР - биссектриса прямого угла.
96

249. Доказать, что если ортоцентр
треугольника лежит на
окружности, проходящей через
середины его сторон, то
треугольник - прямоугольный.
248. Доказать, что в
прямоугольном
треугольнике с прямым
углом С:
а + Ь + с
250. Доказать, что если медиана и
высота, проведенные из одной
вершины треугольника, делят его
угол на три равные части, то этот
треугольник - прямоугольный.
251. Доказать, что площадь
прямоугольного треугольника
равна произведению отрезков
гипотенузы, на которые ее
делит точка касания вписанной
окружности: Sabc = \ВК\ • \КА |.
97

Глава 4.
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
В этой главе рассматриваются только выпуклые
четырехугольники. Обозначения: а, Ъ, с и d - стороны
четырехугольника; dh d2 - его диагонали, р - полупериметр, S -
площадь.
252. Доказать, что площадь
четырехугольника равна:
S = — • dxd2 -sinor,
где а - угол между
диагоналями.
253. Теорема Бретшнейдера (теорема косинусов для
четырехугольников):
d2xd\ = а2с2 + b2d2 -labcd• cos(A + С) .
98

255. Теорема Вариньона.
Доказать, что середины
сторон произвольного
четырехугольника являются
вершинами параллелограм-
параллелограмма, площадь которого равна
половине площади четырех-
четырехугольника.
254. Доказать, что если в
четырехугольник можно вписать
окружность, то: а) окружности,
вписанные в два треугольника, на
которые четырехугольник
разбивается диагональю,
касаются друг друга; б) точки
касания этих окружностей со
сторонами являются вершинами
вписанного четырехугольника.
м
к
D
256. Доказать, что для площади четырехугольника справедливо
соотношение:
S2 =(р- а)(р - Ъ)(р - с)(р -d)- abed • cos2
B + D
99

257. Доказать, что если в четырехугольнике ABCD (A+D) < 180 ,
то справедливо соотношение:
\AD\2 =\AB\2+\BC\2+\CD\2-
-2{\AB\'\BC\'CosB+\BC\'\CD\'CosC-\AB\'\CD\-cos(A+D)}.
258. Теорема Эйлера.
Доказать, что для произвольного
(в данной теореме возможно и для
невыпуклого) четырехугольника
ABCD верно соотношение:
d2+d2=a2+b2+c2+d2-4-\MN\2
(Ми N - середины диагоналей).
259. Доказать, что диагонали
четырехугольника
перпендикулярны тогда и только
тогда, когда суммы квадратов
его противоположных сторон
равны.
260. Доказать, что косинус
угла (а) между диагоналями
четырехугольника равен:
cos a =
2 2 7 2 72
а +с -Ъ -d
100

261. Доказать, что если в
четырехугольнике ABCD
провести внутренние
биссектрисы, то четыре точки
пересечения биссектрис углов
А и С с биссектрисами углов В
и D лежат на одной
окружности.
262. Теорема Нъютона.
Доказать, что если в
четырехугольник можно
вписать окружность, то ее
центр лежит на одной прямой
с серединами диагоналей.
263. Диагонали разбивают
четырехугольник на четыре
треугольника с площадями
Si, S2, S3, S4 . Доказать, что
= S2S4.
D
101

265. Пусть 2а - сумма двух
противоположных углов
описанного четырехуголь-
четырехугольника. Доказать справедли-
справедливость соотношения:
264. Доказать, что отрезки,
соединяющие соответстве-
соответственно середины противополо-
противоположных сторон и середины
диагоналей четырехуголь-
четырехугольника, пересекаются в одной
точке и делятся ею
пополам.
В
266. Продолжения двух
противоположных сто-
сторон Ъ и d
четырехугольника обра-
образуют угол а. Доказать
справедливость соотно-
соотношения:
=а2 + с2 + Ibdcosa
102

\Q3/
267. Прямые, перпендикулярные сторонам четырехугольника Qj
и проходящие через середины его сторон, образуют
четырехугольник Q2. Точно так же образован четырехугольник
Qs- Доказать, что четырехугольник Q3 подобен четырехугольнику
268.
разделен
четыре
Доказать,
Четырехугольник
диагоналями на
треугольника.
что прямая,
соединяющая центры тяжести
двух противоположных
треугольников, перпендику-
перпендикулярна к прямой, соединяющей
ортоцентры двух других
треугольников.
269. Доказать, что прямые,
соединяющие каждую из
вершин четырехугольника с
центром тяжести треугольни-
треугольника, образованного тремя
остальными вершинами,
пересекаются в одной точке.
103

270. Доказать, что центры
четырех окружностей с
радиусами г1у г2, г3, г4, каждая
из которых касается трех
сторон четырехугольника
ABCD, лежат на одной
окружности и при этом
\АВ\ \CD\ \BC\ \AD\
+ ¦
гх г2 г3 г4
(rj не касается DC, r2 не
касается DA, г3 - АВ и г4 - ВС).
271. Дан четырехугольник и четыре круга, каждый из которых
касается одной стороны четырехугольника и продолжений двух
соседних с ней сторон. Доказать, что центры этих кругов лежат
на одной окружности.
104

272. Доказать, что если одна
диагональ делит
четырехугольник на два
равновеликих треугольника,
то она делит пополам
другую диагональ. И,
наоборот, если одна
диагональ делит другую
пополам, то она делит
пополам площадь четырех-
четырехугольника.
273. В четырехугольнике
ABCD Ао, Во, Со - ортоцентры
треугольников BCD, ACD и
ABD. Доказать, что
перпендикуляры, опущенные
из вершин А, В и С на прямые
В0С0, СоАо, А0В0 пересекаются
в одной точке.
В
274. Доказать, что диагонали
четырехугольника перпендику-
перпендикулярны тогда и только тогда, ког-
когда проекции их точки
пересечения на все стороны
лежат на одной окружности.
D
105

D
276. Около окружности с центром
О описан четырехугольник
ABCD. Доказать, что справедливо
соотношение:
ZAOB
275. Из вершин
четырехугольника опущены
перпендикуляры на его
диагонали. Доказать, что
четырехугольник, образо-
образованный их основаниями,
подобен исходному.
1>
277. В четырехугольнике ABCD точка Q - точка пересечения
диагоналей, Р - точка пересечения продолжений сторон ВС и AD,
R - точка пересечения продолжений сторон АВ и CD. Доказать,
что точки пересечения прямых ВС и QR, С А и RP, АВ и PQ лежат
на одной прямой.
106

о2
278. Диагонали четырех-
четырехугольника перпендикуляр-
перпендикулярны. Доказать, что в этом
случае четыре прямые,
каждая из которых
соединяет одну из вершин
и центр окружности,
проходящей через эту
вершину и две смежные с
ней вершины, пересекаются
в одной точке.
A D
279. В четырехугольник ABCD вписана окружность, R - точка
пересечения продолжений сторон АВ и CD, P - точка пересечения
продолжений сторон AD и ВС. Доказать, что ортоцентр
треугольника, образованного прямыми RP, АС и BD, совпадает с
центром вписанной окружности.
107

280. Задача Вайнштейна.
Диагонали четырехуголь-
четырехугольника ABCD пересекаются в
точке О. Пусть rh r2, г3, г4 -
радиусы окружностей,
вписанных в треугольники
АОВ, ВОС, COD и DOA и
D
при этом
1111
—I— = —I— .
гх г3 г2 г4
Доказать, что: а) в четырехугольник ABCD можно вписать
окружность; б) центры окружностей, вписанных в треугольники
АОВ, ВОС, COD и DOA, лежат на одной окружности.
м
A D
281. Теорема Гаусса. Пусть прямые, содержащие
противоположные стороны четырехугольника ABCD
пересекаются в точках Р и R, a F и Е - середины его диагоналей.
Доказать следующие утверждения: a) SFEp = SFRE = — • SAbcd \ б)
4
середина отрезка PR, точки FnE лежат на одной прямой (прямая
Гаусса).
108

282. Доказать, что если для четырехугольника ABCD
выполняется соотношение: | АВ | +1 CD |=| AD | +1 ВС |, то
существует окружность, касающаяся всех его сторон.
283. Пусть отрезки,
соединяющие середины
противоположных сторон
четырехугольника, равны.
Доказать, что диагонали
этого четырехугольника
перпендикулярны.
N
D
284. Пусть отрезок,
соединяющий середины
противоположных сторон
четырехугольника, делит
его на два равновеликих
четырехугольника.
Доказать, что в этом
случае эти стороны
параллельны.
М
м
285. Доказать, что если
отрезки, соединяющие
середины противоположных
сторон четырехугольника,
перпендикулярны, то диаго-
диагонали этого четырехугольника
равны.
109

к
AN D
287. Теорема Нейберга.
Доказать, что вершины
подобных равнобедренных
треугольников,
построен-
построенных на сторонах четырех-
четырехугольника с перпендику-
перпендикулярными диагоналями,
служат вершинами четы-
четырехугольника, имеющего
равные диагонали.
286. Четырехугольник
описан около окружности.
Доказать, что прямые,
соединяющие соседние
точки касания, пересекают-
пересекаются на продолжении диаго-
диагонали или параллельны ей.
\
288. Теорема Штейнера.
Доказать, что если все
стороны четырехугольника
при продолжении
касаются одной
окружности, то разность
длин двух противополож-
противоположных сторон равна разности
длин двух других сторон:
с-а=d-b.
110

Глава 5.
ВПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
289. Теорема Птолемея.
Доказать, что произведение длин
диагоналей вписанного
четырехугольника равно сумме
произведений длин противопо-
противоположных сторон:
d1d2=ac-\-bd.
290. Теорема Брахмагупты.
Доказать, что площадь В
вписанного четырехугольника
равна
S = J(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).
В
291. Следствие из теоремы
Брахмагупты.
Доказать, что если четырехугольник
вписан в одну окружность и описан
вокруг другой, то
S = 4abed .
Ill

292. Доказать, что радиус
описанного около четырехуголь-
четырехугольника круга равен
(be + ad)(ac + bd)(ab + cd)
4 V(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
293. Теорема Брахмагупты.
Доказать, что если вписанный
четырехугольник имеет
перпендикулярные диагонали,
пересекающиеся в точке Р, то
прямая, проходящая через точку
Р перпендикулярно одной из его
сторон, делит противоположную
ей сторону пополам.
294. Доказать, что четыре точки
пересечения двух одинаковых
парабол со взаимно
перпендикулярными осями
являются вершинами
вписанного четырехугольника.
112

N
295. Теорема Паппа.
Доказать, что во вписанном
четырехугольнике
произведение расстояний от
точки на окружности до двух
противоположных сторон
равно произведению
расстояний от этой точки до
двух других сторон и равно
произведению расстояний от
этой точки до диагоналей:
РК
PL
=
РМ
PN
=
РЕ
•
PF .
296. Доказать, что основания
перпендикуляров, опущенных
из точки пересечения
диагоналей вписанного
четырехугольника на его
стороны, являются
вершинами
четырехугольника, в который
можно вписать окружность.
Доказать также, что если
диагонали исходного
четырехугольника
перпендикулярны, то радиус
(R2-d2)
этой окружности равен
пересечения
радиуса R.
диагоналей
2R
до центра
D
, где d - расстояние от точки
описанной окружности
113

297. Доказать, что если
диагонали вписанного че-
четырехугольника перпенди-
перпендикулярны, то середины его
сторон и основания
перпендикуляров, опущен-
опущенных из точки пересечения
диагоналей на стороны,
лежат на одной окружности
1
радиуса — • yjlR2 - d2 , где R
- радиус описанного круга, d
- расстояние от его центра до
точки пересечения диагона-
диагоналей.
298. Четырехугольник вписан в
окружность (OR ; R) и описан около
окружности (Ог; г). Расстояние
между центрами этих окружностей
равно d. Доказать справедливость
следующего соотношения:
1
1
1
(R + df (R-df r2
D
114

H
4 V
299. Четырехугольник
ABCD вписан в
окружность; Oh O2, O3, O4 -
центры окружностей,
вписанных в треугольники
ABC, BCD, CDA и DAB; Нь
H2, Н3, Н4 - их ортоцентры.
Доказать, что OiO2OsO4 -
прямоугольник, а четырех-
четырехугольники Н1Н2Н3Н4 и
ABCD равны.
300. Доказать, что во вписанном
четырехугольнике ABCD сумма
радиусов окружностей, вписанных
в треугольники ABC и ACD, равна
сумме радиусов окружностей,
вписанных в треугольники BCD и
BDA.
D
301. Доказать, что для
вписанного четырехугольника
справедливо соотношение:
sin A ad + bc
sin В ab + cd
115

302. Противоположные
стороны вписанного четы-
четырехугольника пересекаются
в точках Р и Q, а длины
касательных к описанной
окружности из этих точек
равны т и п. Доказать
справедливость следующе-
следующего соотношения:
\PQ\=<
303. В окружность радиуса
R вписан четырехугольник,
а точки Р, Q, М - точки
пересечения диагоналей и
продолжений
противоположных сторон.
Расстояния от точек Р, Q,
М до центра окружности
равны а, Ъ и с. Доказать
справедливость
следующих соотношений:
\QM\=Jb2+c2-2R2 ;
a2 -2R2
\PM\=Jc2+a2-2R2 .
116

304. Теорема Брокара.
Пусть Р, N и М - точки
пересечения диагоналей
вписанного
четырехугольника и его
противоположных сторон.
Доказать, что ортоцентр
треугольника PNM
совпадает с центром
окружности, описанной
вокруг четырехугольника.
305. Доказать, что если во
вписанном четырехугольнике одна
из диагоналей является диаметром
описанной окружности, то
проекции противоположных
сторон на другую диагональ
равны.
D
D
306. Доказать, что во вписанном
четырехугольнике биссектриса
внутреннего угла пересекается с
биссектрисой противоположного
внешнего угла в точке, лежащей
на окружности.
117

в.
/
;
1
К
Z — — — --->!
Г
\
\
\
\N
¦А*
\
\
307. Доказать, что четыре
перпендикуляра, опущенные из
середин сторон вписанного
четырехугольника на противопо-
противоположные стороны, пересекаются в
одной точке.
N
D
308. Доказать, что во вписанном
четырехугольнике ABCD центры
тяжести треугольников ABC, BCD,
CDA и DAB лежат на одной
окружности.
309. Радиусы окружностей,
описанных около треугольников
АВР, ВСР, CDP и ADP, где Р -
точка пересечения диагоналей
вписанного четырехугольника
ABCD, равны Rh R2, R2, R4 •
Доказать, что радиус описанной
окружности R равен:
R=
118

м
с
\
310. Продолжения
противоположных сторон
вписанного четырехугольника
ABCD пересекаются в точках
N и М. Доказать, что четыре
точки пересечения биссектрис
углов AND и АМВ со
сторонами ABCD являются
вершинами ромба.
/
311. Обобщенная теорема Птолемея.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Четыре
окружности касаются данной в вершинах А, В, С и D. Пусть а, Ъ,
с, d, m и п - длины общих внешних (если касание происходит
одинаковым образом: внутренним или внешним) или внутренних
(если касание - не одинаковое) касательных к окружностям,
касающимся данной в точках А и В, В и С, СиД D и А, А и С, В
и D. Доказать, что т-п = а-с + b-d.
119

312. Доказать, что углы
вписанного четырехугольника
ABCD выражаются через его
стороны формулами:
2 72 7 2 2
a +d -Ъ -с
2-(ad + be)
2 у 2 2 72
a +b -с -d
2-(ab + cd)
cosi? = -cos?) =
313. Во вписанном
четырехугольнике ABCD
точка Е - произвольная
точка на прямой АВ, F -
произвольная точка на
прямой DC. Прямая AF
пересекает окружность в
точке М, прямая DE - в
точке N. Доказать, что
прямые ВС, EF и MN
пересекаются в одной точке
или параллельны.
¦- с
А\
314. Доказать, что четыре
прямые, каждая из которых
проходит через основания
двух перпендикуляров,
опущенных из вершины
вписанного
четырехугольника на не
содержащие ее стороны,
пересекаются в одной точке.
120

\
315. Доказать, что углы
вписанного в окружность
четырехугольника ABCD
определяются по углам а и Д
образованным продолжениями
противоположных сторон, по
формулам:
316. Пусть ha, hb, hc, hd -
расстояния от центра
описанного вокруг
четырехугольника круга до
сторон а, Ъ, с и d. Доказать
справедливость соотношения:
D
317. Перпендикуляр к стороне В А
вписанного в круг
четырехугольника ABCD,
восстановленный в точке А,
пересекает сторону CD в точке М,
а перпендикуляр к DA,
восстановленный в точке А,
пересекает ВС в точке N.
Доказать, что прямая MN
проходит через центр круга.
121

319. Пусть М - произвольная
точка окружности, описанной
вокруг четырехугольника ABCD.
Доказать, что проекции точки М
на прямые Симеона,
соответствующие точке М
относительно треугольников
ABC, BCD, CDA и DAB, лежат на
одной прямой {прямая Симеона
для четырехугольника).
318. Противоположные
стороны АВ и CD
вписанного в круг
четырехугольника ABCD
при продолжении
пересекаются в точке TV, a
ВС и AD - в точке М.
Доказать, что биссектрисы
углов BNC и ВМА
перпендикулярны и
пересекаются на прямой,
соединяющей середины
диагоналей.
D
D
320. Задача Голъберга.
Доказать, что вписанный
четырехугольник можно
разрезать не более чем тремя
прямыми, не пересекающимися
внутри четырехугольника, на
части, из которых можно
составить прямоугольник.
122

321. Четырехугольник ABCD
вписан в окружность. Его
диагонали пересекаются в точке
Р. Окружность, проходящая через
точки А, В и Р, пересекает
стороны ВС и AD в точках МяК
Доказать, что | РМ |=| PN |.
'N
322. Во вписанном
четырехугольнике ABCD
точки Аь Вь С; и Dj -
основания перпендикуляров,
опущенных из точки
пересечения диагоналей на
стороны АВ, ВС, CD и DA.
Доказать, что прямые AjBj, AC
и DjC] пересекаются в одной
точке.
D,
D
М
323. Пусть М - некоторая точка
на окружности, описанной
вокруг четырехугольника ABCD.
Проекции точки М на стороны
АВ и ВС - точки Р и Q, а на
стороны CD и DA - точки К я L.
Доказать, что прямые PQ, KL и
АС пересекаются в одной точке.
А\ L
123

324. Доказать, что площадь
четырехугольника, вписанного в
окружность радиуса R, равна:
S = 2 • R2 • sin.4• sinB• sina ,
где а - угол между диагоналями.
325. В треугольнике ABC
биссектриса угла С пересекает в
точке D перпендикуляр,
проведенный к стороне АВ через
ее середину. Доказать, что около
четырехугольника ADBC можно
описать окружность.
326. Доказать, что прямые,
соединяющие середины дуг,
стягиваемых противоположными
сторонами вписанного в
окружность четырехугольника,
взаимно перпендикулярны.
124

Глава 6.
ТРАПЕЦИИ
D
327. Доказать, что средняя линия
трапеции параллельна основани-
основаниям, а длина ее равна полусумме
их длин, или, другими словами,
является средним арифметичес-
арифметическим для оснований трапеции.
328. Доказать, что длина отрезка
прямой, параллельной
основаниям трапеции а и Ъ и
проходящей через точку
пересечения диагоналей, равна:
2аЪ A b
, или, другими словами,
(а + Ь)
является средним гармоническим для оснований трапеции.
329. Доказать, что длина отрезка
прямой, параллельной
основаниям трапеции и
разбивающей трапецию на две
равновеликие трапеции, равна
s
s
или,
другими
словами, является средним квадратичным для оснований
трапеции.
330. Доказать, что отрезок в а
прямой, параллельный основани-
основаниям трапеции и равный среднему м
геометрическому для ее
125
D

оснований, разбивает трапецию на две подобные трапеции.
331. Доказать, что длина отрезка,
в ? с высекаемого диагоналями
трапеции на средней линии, равна
(Ъ-а)
-, где Ъ и а - основания
D трапеции.
332. Доказать, что точки
пересечения диагоналей
трапеции, продолжений ее
боковых сторон и середины
оснований трапеции лежат на
одной прямой.
D
A D
333. Диагонали описанной
трапеции ABCD с основаниями
AD и ВС пересекаются в точке О.
Радиусы вписанных в
треугольники A OD, АОВ, В ОС и
COD окружностей равны гь г2, г3,
г4. Доказать справедливость
1111
соотношения: —i— = —i— .
334. Через точку М, взятую на
продолжении диагонали трапеции, и
середину каждого основания
проведены две прямые,
пересекающие боковые стороны в
точках Н и К. Доказать, что отрезок
НК параллелен основаниям
трапеции.
126

D
335. В трапеции ABCD {ВС \\ AD)
биссектрисы внутренних углов А и
В пересекаются в точке М, а
биссектрисы углов СиД-в точке
N Доказать, что длина отрезка MN
равна полуразности между суммой
оснований и суммой боковых сто-
сторон трапеции.
336. Доказать, что в трапеции
середины боковых сторон и
середины диагоналей лежат на
одной прямой.
М
D
337. Доказать, что если в
четырехугольнике длина
отрезка, соединяющего
середины противоположных
сторон, равна полусумме длин
двух других сторон, то этот
четырехугольник - трапеция.
338. В четырехугольнике ABCD
площадь треугольника ВОС {О -
точка пересечения его
диагоналей) есть средняя
пропорциональная величина
между площадями
треугольников АОВ и COD.
Доказать, что этот
четырехугольник - трапеция.
127

Глава 7.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ
В
D
339. Доказать, что сумма
квадратов сторон четырехуголь-
четырехугольника равна сумме квадратов его
диагоналей тогда и только тогда,
когда этот четырехугольник
параллелограмм.
340. Доказать, что для
произвольной точки X внутри
параллелограмма выполняется
соотношение:
&CDX —
>ВСХ'
в
D
JADX •
A D
341. Доказать, что биссектрисы
С внутренних углов параллелогра-
параллелограмма в пересечении образуют
прямоугольник, длины диагона-
диагоналей которого равны разности
длин неравных сторон
параллелограмма.
342. Пусть ABCD - паралле-
параллелограмм. Построенная на
диагонали АС, как на
диаметре, окружность
пересекает прямые АВ и AD
в точках М и N. Доказать,
что прямые BD, MN и
128

касательная в точке С пересекаются в одной точке.
343. Доказать, что прямые,
соединяющие
последовательно центры
квадратов, построенных на
сторонах параллелограмма
и примыкающие к нему
извне, образуют квадрат.
344. На двух сторонах АВ и ВС
параллелограмма ABCD вовне
построены правильные
треугольники ABE и BCF.
Доказать, что треугольник DEF -
также правильный.
В
R
D
345. Пусть точки Р, Q, R, Т -
середины сторон АВ, ВС, CD и
DA параллелограмма АВСД.
Доказать, что при пересечении
прямых AQ, BR, СТ и DP
образуется параллелограмм,
площадь которого равна 1/5
площади исходного паралле-
129

лограмма.
346. Доказать, что если каждая из
диагоналей четырехугольника
делит его площадь пополам, то
этот четырехугольник
параллелограмм.
347. Дан параллелограмм ABCD.
Прямая, параллельная стороне
ВС, пересекает стороны АВ и СД
соответственно в точках Е и F;
прямая, параллельная АВ,
пересекает ВС и ДА в точках G и
Н. Доказать, что прямые EH, GF
и ВД пересекаются в одной точке
или параллельны.
н
D
N
К
D
348. Две прямые, содержащие
точку пересечения диагоналей
параллелограмма, пересекают его
стороны соответственно в точках
М и Z, N и К. Доказать, что
четырехугольник MLNK
параллелограмм.
349. Доказать, что если сумма
расстояний между серединами
противоположных сторон
четырехугольника равна его
полупериметру, то этот
четырехугольник - параллело-
параллелограмм.
к
D
130

Глава 8.
ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И РОМБЫ
1 ^ -
{
, ч--._
>¦-/
\ ¦,
>'
/
\
s
v-
¦--.
\
"ч "¦
350. Если в четырехугольнике
ABCD радиусы окружностей,
вписанных в треугольники ABC,
BCD, CDA, DAB, равны между
собой, то четырехугольник ABCD
- прямоугольник.
351. Пусть Р - произвольная
точка окружности, описанной
около прямоугольника. Две
прямые, проходящие через Р
параллельно сторонам
прямоугольника, пересекают их
или их продолжения в точках К,
L, Ми N. Доказать, что точка N -
ортоцентр треугольника KLM, а
основания высот AKLM,
отличные от Р, лежат на
диагоналях прямоугольника.
К
В
I
р
\
А"
I1'
/ ^*
1V1
D
352. Диагонали разбивают
четырехугольник на четыре
треугольника. Доказать, что
если радиусы вписанных в них
окружностей равны, то
четырехугольник - ромб.
131

353. Доказать, что если
диагонали четырехугольника
разбивают его на четыре
треугольника с равными
периметрами, то
четырехугольник - ромб.
354. Доказать, что
параллелограмм является
ромбом только тогда, когда:
либо диагонали взаимно
перпендикулярны, либо
диагональ делит пополам углы
при вершинах, которые она
соединяет.
355. Доказать, что если центр
вписанной в четырехугольник
окружности совпадает с
точкой пересечения
диагоналей, то этот
четырехугольник - ромб.
D
132

Глава 9.
ШЕСТИУГОЛЬНИКИ
356. Теорема Паскаля.
Пусть ABCDEF - вписанный
шестиугольник; К - точка
пересечения отрезков АС и
BF; L - точка пересечения СЕ
и FD. Доказать, что прямые
AD, BE и KL пересекаются в
одной точке.
357. Дан выпуклый
шестиугольник ABCDEF.
Доказать, что если каждая из
диагоналей AD, BE и CF делит
его площадь пополам, то эти
диагонали пересекаются в одной
точке.
358. Теорема Брианшона.
Доказать, что если все шесть
сторон шестиугольника
касаются окружности, то три его
диагонали пересекаются в одной
точке или параллельны.
133

359. Диагонали AD, BE и CF вписанного в окружность
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда
АВ
¦
CD
•
EF
=
ВС
¦
DE
¦
FA
360. Точки К, М, N, P, Q, R-
середины сторон АВ, CD, EF,
ВС, DE, AF шестиугольника
ABCDEF соответственно.
Доказать, что центры тяжести
треугольников KMN и PQR
совпадают.
R
134

Глава 10.
ОКРУЖНОСТИ
На плоскости заданы: окружность радиуса R с центром в
точке С, произвольная точка Ми прямая, проходящая через точку
Ми пересекающая окружность в точках^ и В.
Величина МА • MB = | ОМ - R2 называется степенью
точки М относительно окружности (О; R). Здесь под
произведением
МА
МВ\ понимается произведение длин
отрезков МА и MB, взятых со знаком "плюс", если точки А и В
лежат по одну сторону от точки М, и со знаком "минус", если по
разные стороны от точки М (точки А, В и М лежат на одной
прямой).
м
361. Через точку М,
находящуюся на расстоянии L
от центра окружности радиуса
R (L > R) , проведена секущая,
пересекающая окружность в
точках А и В. Доказать, что
величина | МА | • | MB |
постоянна для всех секущих и
равна (L2-R2) (квадрату
длины касательной).
135

362. В окружности радиуса R
через точку М, находящуюся на
расстоянии L от ее центра (L < R),
проведена хорда АВ. Доказать,
что величина | AM \ • \ MB \
постоянна для всех хорд и равна
(R2-L2).
363. Теорема о "бабочке".
Через середину М произвольной
хорды PQ проведены хорды АВ
и CD. Хорды AD и ВС
пересекают отрезок PQ в точках
X и Y. Доказать, что точка М
является серединой отрезка XY.
364. Доказать, что в
теореме о "бабочке"
прямые АС и BD
пересекают прямую
PQ в двух точках,
которые также, как и
точки X и 7,
равноудалены от
точки М.
136

365. Прямая делит треугольник
на две части с равными
площадями и периметрами.
Доказать, что центр вписанной
окружности лежит на этой
прямой.
366. Точки Р, Q и R лежат на
сторонах АВ, ВС и АС
треугольника ABC. Доказать,
что окружности, описанные
вокруг треугольников APR,
BQR и CRQ, пересекаются в
одной точке.
с
367. Три равные окружности
проходят через точку Н. Доказать,
что точка Н является ортоцентром
треугольника, вершины которого
совпадают с тремя другими
точками попарного пересечения
окружностей.
137

\
368. Даны три окружности, каждая из которых проходит через
одну вершину треугольника ABC и основания двух биссектрис -
внутренней и внешней, выходящих из этой вершины
(окрулености Аполлония). Доказать, что: а) эти три окружности
пересекаются в двух точках Mj и М2 ; б) прямая MiM2 проходит
через центр круга, описанного около Л4.ВС; в) основания
перпендикуляров, опущенных из точек М; и М2 на стороны
треугольника ABC, служат вершинами двух правильных
треугольников.
м
369. Вершина угла находится
вне (внутри) круга и стороны
его (или их продолжения)
пересекают окружность.
Доказать, что этот угол
измеряется полуразностью
(полусуммой) дуг, высекаемых
сторонами на окружности.
138

м 370. Доказать, что угол между
хордой и касательной измеряется
половиной дуги, заключенной
между ними.
371. Дана окружность и точка Р
вне ее; РВ и PC - касательные к
окружности. Доказать, что центр
окружности, вписанной в
треугольник РВС, лежит на
данной окружности.
372. К двум окружностям с
центрами О и О;,
касающимся внешне в
точке Р, проведена общая
внешняя касательная ВС.
Доказать, что угол ВРС -
прямой.
139

373. Доказать, что произведение
длин отрезков, отсекаемых
произвольной касательной к
данной окружности на двух
касательных к той же
окружности, проведенных через
концы диаметра, равно квадрату
радиуса.
374. Три окружности с
центрами А, В и С и
радиусами Ra, Rb и Rc
касаются друг друга и
некоторой прямой.
Доказать, что
1 1 1
375. Доказать, что две
окружности с радиусами Rj
и R2 и расстоянием между
их центрами d
ортогональны тогда и
только тогда, когда
140

\
376. На гипотенузе и катетах
прямоугольного треугольника
ABC построены полуокружности,
как показано на рисунке.
Доказать, что сумма площадей
"луночек" равна площади
треугольника ABC.
377'. На плоскости даны две
неконцентрические
окружности Sj и S2.
Доказать, что
геометрическим местом
точек, для которых степень
относительно S] равна
степени относительно S2,
является прямая
(радикальная ось окружностей).
о
378. Доказать, что радикальная
ось двух пересекающихся
окружностей проходит через
точки их пересечения.
141

379. На плоскости даны три
окружности, центры
которых не лежат на одной
прямой. Тогда все три
радикальные оси для
каждой пары окружностей
пересекаются в одной точке
{радикальный центр
окружностей).
380. Доказать, что если из концов
диаметра круга провести две
пересекающиеся хорды, то сумма
произведений длин каждой хорды
на ее отрезок от конца диаметра до
точки пересечения есть величина
постоянная и равная 4R2:
AD АК + ВС ВК = 4R2.
D
381. Три окружности радиусов
Ri, R2, R3 касаются попарно друг
друга внешним образом.
Доказать, что радиус
окружности, проходящей через
точки касания равен
I дад
\Rl+R2+R3
142

382. Теорема Салъмона.
Доказать, что три окружности,
имеющие диаметрами три хорды
четвертой окружности,
выходящие из одной ее точки,
попарно пересекаются в трех
точках, лежащих на одной
прямой.
к
383. Из точки С проведены
две прямые, касающиеся
окружности в точках А и В.
Доказать, что длина
перпендикуляра из
произвольной точки Р
окружности на прямую АВ
равна среднему
геометрическому длин
перпендикуляров из точки Р на прямые АС и ВС.
в
384. Из произвольной точки Р
вписанной в треугольник ABC
окружности опущены
перпендикуляры РАЬ РВЬ PCj на
стороны треугольника ABC и
перпендикуляры РА2, РВ2, РС2 на
стороны треугольника с
вершинами в точках касания.
Доказать справедливость соотно-
соотношения:
РА,
•
РВ,
•
PC,
=
РА2
•
РВ2
РС2
143

385. Задача Архимеда.
Пусть В - точка отрезка АС
Фигура, ограниченная дугами
трех полуокружностей с
диаметрами А В, ВС и СА (по одну
сторону от АС) называется
"сапожным ножом" или
арбелосом Архимеда. Доказать,
что радиусы двух окружностей, каждая из которых касается двух
полуокружностей и прямой, перпендикулярной АС и проходящей
через точку В, равны между собой.
386. Лемма Архимеда.
Окружность, вписанная в сегмент,
касается его дуги в точке А, а
хорды ВС - в точке Ah Доказать,
что прямая АА] является
биссектрисой угла ВАС.
В
387. Из точки А вне круга
проведены две касательные
AM и AN и две секущие; Р и
Q - точки пересечения
окружности с первой
секущей, К и L - со второй.
Доказать, что прямые РК,
QL, MN пересекаются в
одной точке или
параллельны.
144

/с
388. Дан угол с вершиной А и
вписанная в него окружность.
Произвольная прямая,
касающаяся данной окружности,
пересекает стороны угла в точках
В и С. Доказать, что описанная
вокруг треугольника ABC
окружность касается
фиксированной окружности,
вписанной в данный угол.
389. Расстояние между
центрами непересекающи-
непересекающихся окружностей равно L.
Доказать, что четыре точки
пересечения общих
внешних касательных с
общими внутренними
касательными лежат на
одной окружности радиуса
L_
2~*
390. Доказать, что длина
отрезка внешней
касательной к двум
окружностям, заключенного
между общими внутренними
касательными, равна длине
общей внутренней
касательной.
145

А ч
С
391. Из точки Р, лежащей на дуге
ВС окружности, описанной около
треугольника ABC, опущены
перпендикуляры PK.PL и РМ на
прямые ВС^АС и АВ
соответственно. Доказать, что
справедливо соотношение
ВС
РК
АС АВ
PL PM
392. Доказать, что точки
касания шести
касательных, проведенных
из радикального центра
трех окружностей, каждая
из которых располагается
вне других, лежат на одной
окружности.
393. На окружности взяты
четыре произвольные точки.
В Доказать, что прямые,
соединяющие середины
противоположных дуг, взаимно
перпендикулярны.
146

D
394. Доказать, что для всякой
хорды АВ данной окружности
\АВ2
отношение - г , где AD -
\AD\
расстояние от точки А до
касательной к окружности в
точке В, есть величина
постоянная.
395. В треугольнике ABC взяты
произвольно точки Aj на ВС, Bj
на С4, С; на АВ. Доказать, что
окружности, описанные около
треугольников ABjCj, BCjAj и
CAjBj пересекаются в одной
точке.
A v
/ С
396. Доказать, что расстояние от
точки окружности до хорды есть
среднее пропорциональное между
расстояниями от концов хорды до
касательной к окружности в этой
точке:
BE
AD
AD
CF
147

L\
\
397. Две окружности
пересекаются в точках А и В.
Через эти точки проведены
секущие MN и KL. Доказать, что
четырехугольник MNKL
представляет собой трапецию.
398. На окружности даны
точки А, В, С, D такие, что
АВ - диаметр круга, a CD -
нет. Доказать, что прямая,
соединяющая точку
пересечения касательных к
окружности в точках С и D
с точкой пересечения
прямых АС и BD,
перпендикулярна прямой
АВ.
399. В больший их двух
внутренне касающихся
кругов вписан правильный
треугольник. Из его вершин
проведены касательные к
меньшему кругу. Доказать,
что длина одной из
касательных равна сумме
длин двух других.
148

,¦/
ч.
400. Графики функций
у(х) = х2 + px + q пересекают оси
координат в трех различных
точках. Доказать, что все
окружности, описанные около
треугольников с вершинами в
этих точках, пересекаются в
одной точке.
401. Теорема Карно.
Стороны ВС, СА и АВ треугольника ABC пересекаются
окружностью в точках А\ А'\ В\ 2?" С", С". Доказать
справедливость соотношения:
\А'С\'\В'А
С'А\ \АпС\-\ВпА
С}В\ \А"В\-\В"С[
С"В\
С" А
402. Задача Архимеда.
В дугу АВ вписана ломаная АМВ
{AM > MB). Доказать, что основание
перпендикуляра КН, опущенного из
середины К дуги АВ на хорду AM,
делит длину ломаной АМВ пополам.
149

УКАЗАНИЯ
11. Применить теорему синусов (задача №86) к
треугольникам ACLa и ABLa.
12. Составить производные пропорции из задачи №11.
13. Воспользоваться соотношениями задачи №34.
14. Биссектриса угла А пересекает описанную вокруг
треугольника ABC окружность в точке D. Точка D - середина
дуги ВС. Поэтому MD \ \ АН, а точки А и D находятся по разные
стороны от прямой МН. Значит, основание биссектрисы угла А
лежит на отрезке МН.
15. Приравнять площадь всего треугольника сумме
площадей двух треугольников ACLC и BCLC.
16. Любая точка биссектрисы внешнего угла В
равноудалена от прямых АВ и ВС. Аналогично, любая точка
биссектрисы внешнего угла С равноудалена от прямых СА и ВС.
Следовательно, точка Оа находится на одинаковом расстоянии от
всех сторон треугольника ABC, т.е. принадлежит внутренней
биссектрисе угла А.
17. Воспользоваться утверждением задачи №11 и
теоремой Фалеса о пропорциональных отрезках.
18. Воспользоваться решением задачи №17.
19. Воспользоваться соотношениями задачи №12 и первой
формулой задачи №84 для площади треугольника.
20. Обозначить длины искомых хорд через X,7,Z,
воспользоваться свойством секущих (задача №361) и решить
систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
21. Воспользоваться задачей №369 и найти угол между
искомой хордой и стороной АС.
22. Доказать, что четырехугольник с вершинами А, В, С и
точкой пересечения искомых прямых является вписанным в
окружность.
23. Показать, что если X,Y,Z- середины отрезков АР, ВР
и СР, то искомые прямые симметричны прямым ХР, YP и ZP
относительно биссектрис треугольника XYZ. Затем
воспользоваться задачей №110.
150

24. Применить теорему Менелая (задача №93).
25. Применить теорему Менелая (задача №93).
26. Продолжим биссектрису 4 до пересечения в точке Bj с
перпендикуляром, восстановленным к стороне АС в ее середине
Мь. Точка Bj лежит на описанной окружности. Перпендикуляр,
проведенный к АС через точку М, пересекает АС в точке Z, ВМЪ -
в точке К. При этом КМ = ML. Прямая, проходящая параллельно
АС через точку К, пересекает АВ и ВС соответственно в точках D
и Е. Точки G и F - проекции точек D и Е на сторону АС. Тогда М
- центр прямоугольника GDEF, причем ADME подобен AABjC.
Показать, что ctgz^MCL=ctg(B/2)+2ctgC. Если теперь Р и Т -
проекции точек N и Lb на сторону ВС, то
ctgZNCB=ctg(B/2)+2ctgC.
27. Показать, что если Kj и Lj - такие точки на сторонах
ВС и В А, что KjK | | i;i | | LbB, то треугольники BKjK и Ш,;Х
подобны.
28. Пусть прямые AM и AN пересекают ВС в точках DnE.
Тогда треугольники ABD и АСЕ равнобедренные, т.е. длина
отрезка DE равна периметру ААВС, a MN - средняя линия в
треугольнике ADE.
29. Пусть Н - ортоцентр ААВС. Прямая MN проходит
через середину ВН— точку К, BK=MbOR. Показать, что прямая MN
параллельна ORB.
30. Воспользоваться соотношениями задачи №17.
31. Воспользоваться задачами №289, №86 и №15.
32. Обозначим точки пересечения биссектрис углов А и В
с описанной окружностью через Aj и Bj. Тогда
ZBOrA1=(uBA1+uAB1)/2=(uA1C+uB1C)/2=ZOrBA1 (см. задачу
№369). Следовательно, AjOr=AjB. Аналогично AjC=AjOr.
33. См. задачу №89.
34. Воспользоваться задачами №33 и №12.
35. Применить теорему синусов (задача №86) к
треугольникам OrBjC и ABAj. Аналогично - к другим парам
треугольников.
36. Воспользоваться признаком равенства прямоугольных
треугольников и задачей №3.
151

37. Воспользоваться теоремой косинусов (задача №87).
38. Показать, что треугольники АВНи MaMbOR подобны с
коэффициентом подобия, равным 2.
39. Выразить отрезки НаС и НЬС через стороны Ъ,а и cosC.
40. Показать, что ZORAC=ZBHbHc и использовать тот
факт, что ВНЬ и АС перпендикулярны.
41. Показать, что: а)треугольники АННЬ иВННа, а также
АННС и НСНа подобны, б)треугольники ВСНЬ, АСНа и ВННа
подобны.
42. Показать, что точки М и N лежат на окружности,
построенной на СНС как на диаметре и рассмотреть треугольники
CNHC и САНС.
43. Согласно задаче №39 ZHcHaB=ZCHaHb=ZA.
Поскольку АНа1ВС, ZHcHaA=ZHbHaA. Аналогично рассмотреть
другие биссектрисы.
44. Перенумеровав искомые проекции «снизу вверх»,
показать, что проекции 1 и 2 лежат на окружности с диаметром
АНС, 2 и 3 - на окружности с диаметром ННС, 3 и 4 - на
окружности с диаметром НСВ.
45. Применить теорему Менелая (№93) к следующим
объектам, обозначив через Н ортоцентр треугольника ABC, a
через А о, Вои Со точки пересечения прямых ВС и НЬНС, АС и НаНс,
АВ и НМь: &НАВ (На,НыС0\ АНВС (НыНсАо) и АНАС (НаДс,В0).
Перемножить полученные соотношения.
46. Опустить перпендикуляр из точки Р на высоту АНа.
47. Показать, что точки К,НЬ,Р лежат на окружности с
центром в точке В, a ZHbBP=ZHbEP. Поэтому окружность с
диаметром ВС проходит через точки НЬ,Р и Нс. При этом
ZCHcB=ZCHbB=n/2.
48. Показать, что при перемещении прямой КМ центр
окружности, описанной около АКМНЬ, движется по прямой
линии.
49. Пусть прямая, параллельная АС и проходящая через
точку 7V, пересекает продолжения сторон В А и ВС в точках Aj и
152

С7. Тогда ZA^N = Til2-ZHbKN = n/2-ZKBHb = ZBAHb = ZKAjN.
Следовательно, AjN=NK.
Аналогично NCj=NP. Но по условию KN=NP, значит, AjN=NCj.
50. Воспользоваться задачей №39 и получить, что
периметр АНаНьНс равен (a-cosA+b-cosB+c-cosC). Показать, что
верна формула: SAbc=R/2 (a-cosA+b -cosB+c -cosC)=p -г.
51. Убедиться, что четырехугольники ВНаННс, АНСННЬ,
СНьННа являются вписанными в некоторые окружности и
воспользоваться задачей №361.
52. Сравнить углы при основании треугольника.
53. Воспользоваться теоремой косинусов (задача №87).
54. Площади каждых двух треугольников,
«прилегающих» к его сторонам, равны, т.к. у них одинаковые
длины сторон и общая высота. Площади же двух треугольников,
таких, как, например, АММС и ВММа равны, т.к. сторона AM
вдвое больше стороны ММа, а высота, опущенная на нее из точки
Мс, вдвое меньше высоты, опущенной на сторону ММа из
вершины В.
55. Обозначить декартовые координаты точек А,В,С,М и
Р: (xjjj), (х2у2\ (х39уз)9 ((х1+х2+Хз)/3,(у1+у2+узУЗХ (х,у) и
воспользоваться тождеством:
56. Воспользоваться задачей №55.
57. Убедиться, что площади треугольников РАМ, РВМ и
РСМ составляют 2/3 соответственно площадей треугольников
РАМа, РВМЪ и РСМС и воспользоваться задачей №58.
58.Воспользоваться декартовой системой координат с
центром в точке пересечения медиан и осью, направленной вдоль
заданной прямой линии.
59. Рассмотреть отношения площадей двух пар
треугольников: АСА] и АМаВ, АСМа и ABAj.
60. Убедиться, что точка Н лежит на окружности девяти
точек, которая гомотетична описанной окружности с центром в
точке Ми коэффициентом (-1/2) (см. задачу №141).
61. Воспользоваться задачей №53.
153

62. Вычислить площадь искомого треугольника,
используя задачу №54.
63. Воспользоваться формулой задачи №53 и теоремой
Пифагора для треугольника ММаМь.
64. Рассмотреть прямоугольный треугольник ММаМь и
найти длину части медианы тс, расположенной внутри него.
65. Ввести декартовую систему координат с центром в
точке А и осью, направленной вдоль стороны АС. Задавая
координаты точек В и С в виде (xj(x)) и (с,0), найдите
координаты вектора AM.
66. Показать, что ZHA^ZBHA^ZACB.
67. Согласно задаче №68, точка Аи симметричная Н
относительно стороны ВС, лежит на описанной около ААВС
окружности. Прямая /;, симметричная заданной относительно
стороны ВС, проходит через точку Aj. Убедиться, что при
повороте заданной прямой на угол ср вокруг точки //, прямая /;
повернется на тот же угол ср вокруг точки Aj в противоположном
направлении. При этом радиус ORP, где Р - вторая точка
пересечения /; с описанной окружностью, повернется на угол 2ср
ВОКруГ ТОЧКИ Or.
Те же самые рассуждения справедливы для двух других прямых,
симметричных заданной. Но если заданная прямая совпадает с
какой-либо высотой треугольника, то утверждение задачи
очевидно. Следовательно, это утверждение справедливо и для
произвольно заданной прямой.
68. Обозначить точки пересечения прямых AOR и АН с
описанной окружностью через М и N Показать, что
ZCAN=ZBAM=n/2-ZC. Рассмотреть случай тупого угла С.
69. Убедиться, что точка М принадлежит окружности
девяти точек (задача №141), которая гомотетична описанной
окружности с центром в точке Ни коэффициентом A/2).
70. Обозначить точку пересечения высоты ВНЪ с
описанной окружностью через Bj и воспользоваться задачей
№66. Показать, что AAHC=AABjC. Следовательно, окружности,
описанные около этих треугольников, имеют одинаковые
радиусы. Аналогично рассмотреть и другие высоты.
154

71. Утверждение задачи следует из равенства
треугольников АННЬ и ННаВ.
72. Пусть прямые BjAj и В2А2 являются осями X и Y
декартовой системы координат с центром в точке Н. Тогда
уравнения высот треугольника: y=ktx (i=l,2,3). Стороны
треугольника имеют угловые коэффициенты: (-1/к), а уравнения
сторон имеют вид: к1у+х=с1. Коэффициенты сг можно определить
их условия принадлежности высотам вершин треугольника (х19уг).
При подходящем выборе единицы длины эти коэффициенты
определяются формулой: с1=к11(к1+к), где к^к^кз. Показать, что
координаты середин искомых отрезков (Мг) равны
@,5к1/(к1^-к);0,5/(к1-^-к), а угловые коэффициенты прямых М]М2,
М]М3 и М2М3 одинаковы и равны (-1/к), поэтому точки Мг лежат
на одной прямой, уравнение которой: ку+х=\12.
Легко проверить, что точки, делящие отрезки, высекаемые на
сторонах треугольника, в одинаковых отношениях, также лежат
на одной прямой.
73. Воспользоваться задачей №38 и убедиться, что
ORMa=R-cosA.
74. Показать, что расстояния от точки Р до ортоцентров
треугольников АРВ, ВРС и СРА равны по абсолютным значениям
величинам cctga, actg/Зи bctgy, где через а,Д/обозначены углы
АРВ, ВРС и СРА (в данном случае C=о&у).
Далее убедиться, что площадь треугольника с вершинами в этих
ортоцентрах равна:
{-cctga'actg/3'SinB-actg/3'bctgY'SinC+bctgY'Cctga'SinA)l2=
=SABC'{-ctga-ctgf3-ctgP-ctgy^ctgy-ctgd)=SABc^ так как выражение
в скобках равно 1. Аналогично рассмотреть другие случаи
расположения точки Р (/3±ofry= 2л).
75. Воспользоваться задачей №43.
76. Поскольку точка С лежит на прямой ОаОъ, на которой
расположены биссектрисы внешних углов при вершине С, то
ZOaCB=ZObCA, а из того, что СОС - биссектриса угла ВС А,
следует равенсто: ZBCOC=ZACOC. Сложить эти два равенства и
получить искомый ответ.
155

77. Убедиться, что AMcMaMb - параллелограмм и прямая
АМа делит отрезок МСМЬ пополам. Поэтому медианы серединного
треугольника лежат на медианах исходного треугольника, а это
означает, что оба треугольника имеют один и тот же центр
тяжести.
78. Четырехугольник ВНаАНь является вписанным,
ZHbBA=ZHbHaA, четырехугольник АНаСНс также вписанный,
значит, ZAHaHc=ZACHc. Но углы АСНС и НЬВА равны, как углы с
соответственно перпендикулярными сторонами. Поэтому НаН -
биссектриса угла НьНаНс. Аналогично, рассматривая
четырехугольники ННьАНс и ВНаАНь, можно заключить, что
ZHcHbA=ZAHbHa, из чего следует, что НЬН- биссектриса угла со
сторонами НЬНС и продолжением прямой НаНь. Следовательно,
точка Н одинаково удалена от прямых, содержащих стороны
ортотреугольника.
79. Убедиться, что высоты треугольника МсМаМь
являются серединными перпендикулярами сторон исходного
треугольника.
80. Показать, используя решение задачи №43, что
стороны искомого треугольника и ортотреугольника
соответственно параллельны.
81. Воспользовавшись задачей №39 и теоремой синусов,
примененной к треугольникам НСНЬМ и НьНаМ (НсМ=НаМ по
условию), доказать равенство углов НЬНСМ и НьНаМ. Теперь
нетрудно доказать, что АМ=НсМи МС=НаМ. Утверждение задачи
следует также из того факта, что точки Нс,Нь,На и М лежат на
одной окружности - окружности девяти точек (задача №141).
82. Пусть Aj,Bj,Cj - вершины произвольного
треугольника, вписанного в исходный, причем точка Aj взята на
стороне ВС, Bj - на АС, С; - на АВ, а точки А2 и А3 симметричны
Aj относительно АВ и АС соответственно. Длина ломаной
A2CiB1A3 равна периметру AAjBjCj. Поэтому этот периметр при
фиксированной точке Aj будет наименьшим, когда точки С; и Bj
лежат на отрезке А2А3, и будет равен А2А3. Треугольник АА2А3 -
равнобедренный, ZA2AA3 равен удвоенному углу А,
156

AA2=AA3=AAj. Следовательно, А2А3 будет наименьшим, если AAj
- высота исходного треугольника.
Аналогично высотами должны быть и BBj, и CCj.
83. Систему из трех однородных отрезков можно
заменить на систему из трех масс, пропорциональных длинам
отрезков и находящихся в вершинах серединного треугольника.
Две массы, находящиеся в вершинах Мс и Мь, заменить на одну
массу, пропорциональную (b+с) и находящуюся на отрезке МСМЬ
в такой точке Z, что McL/LMb=b/c. Проверить, что L - основание
биссектрисы серединного треугольника, опущенной из точки Ма.
Далее, массы, сосредоточенные в точках Ма и Z, заменяем одной
суммарной массой, расположенной на биссектрисе MaL в точке О
такой, что LOIOMa=a/(b+c). Показать, что точка О - центр
вписанной в серединный треугольник окружности (см. задачу
№17).
86. Провести через точку OR диаметр BD, тогда
ZBDC=ZA, а в прямоугольном треугольнике BDC a=2R-sinA.
87. Опустить высоту ВНЪ, тогда (b-ci'CosCJ+(a'SinCJ=c2'.
88. Утверждение теоремы следует из рисунка:
(a+bJ=c2+4-(ab/2).
89. Применить теорему косинусов (задача №87) для
ААВМ, а значение «cosА» найти из теоремы косинусов для ААВС.
90. Подставить в левую часть равенства вместо Ъ и с их
выражения из теоремы синусов (задача №86): b=a-sinB/sinA,
c=a-sinC/sinA.
91. Записать выражения для квадратов сторон
треугольника, исходя из теоремы синусов (задача №86), и свести
задачу к предыдущей.
92. Умножить числитель и знаменатель левой части
равенства на «cos(A/2)>>.
93. Провести произвольную прямую, например,
«вертикальную» (слева от точки Bj) и отметить на ней точки
пересечения с прямой AjBj (точка М), а также с прямыми,
параллельными AjBj и проходящими через вершины
треугольника. По теореме о пропорциональных отрезках (Фалеса)
заменить отношения в левой части равенства на
157

соответствующие отношения отрезков, расположенных на этой
произвольной прямой.
94. Воспользоваться соотношением:
AC/dB = (AC-Cd -sinZACdyiCCrCB'SinZdCB). Получить
аналогичные равенства для двух других отношений и
перемножить их левые и правые части.
95. Провести через точки A0,B0,C0 прямые, параллельные
соответственно ВС^АС и АВ и получить треугольник А2В2С2, на
сторонах которого располагаются точки А0,В0,С0, причем
В2А0=С0В1=А1С и AoC2=CiBo=BAj. Аналогичные равенства
получить и для других отрезков сторон АА2В2С2. В условии
теоремы Менелая для ААВС и точек Aj,Bj и С; заменить все
отрезки на соответственно равные им отрезки на сторонах
АА2В2С2. Тогда по теореме Менелая (обратное утверждение)
точки Ао,Во,Со лежат на одной прямой.
96. Обозначить проекции вершин 5иСна МА через А2 и
А3, С и А на MB - через В2иВ3,АиВ на МС - через С2 и С3. Тогда
АВ1/В1С=В3М/В2М9 СА1/А1В=А3М/А2М, Bd/dA=C2M/C2M. Точки
А2,В3, АиВ лежат на одной окружности с диаметром АВ. Из этого
следует, что В3М/А2М=МА/МВ. Аналогично А3М/С2М=МС/МВ и
С3М/В2М=МВ/МС. Теперь легко убедиться, что условие теоремы
Менелая для ААВС и точек Aj,Bj,Cj выполняется. Остается
проверить, что вне ААВС расположены 1 или 3 точки из числа
точек А],В],С].
97. Пусть точка О - точка пересечения прямых, заданных
в условии задачи. Применить теорему Менелая (задача №93) к
следующим треугольникам и точкам на их сторонах: ЛОАВ
(AhBhM), ЛОВС (BhChK) и ЛОАС (AhChP). Перемножить
полученные равенства и доказать утверждение теоремы.
98. Треугольники ВСР и АВР подобны, поэтому
CP/AP=(a/cf. Аналогично, BK/KC=(c/b)\ AM/MB=(b/af. Из
соотношения теоремы Менелая (задача №93) для ZL4.BC и точек
М,КиР следует, что последние лежат на одной прямой.
99. Воспользоваться теоремой Менелая (задача №93) для
AMaMbMc и середин отрезков, указанных в условии задачи.
158

100. Ввести обозначения для отрезков: MaAj=x, MbBj=y,
McCj=z и получить выражения для площадей треугольников
AjBjCj и A2B2C2 в виде разностей между площадью исходного
треугольника и соответствующей тройкой «примыкающих» к
вершинам треугольников.
Сравнение площадей треугольников AjBjCj и A2B2C2 сведется к
тождеству: {ay-bx)'SinC+{cx-az)'SinB+{bz-cy)'SinC=O, которое легко
проверить.
Ввести декартовую систему координат с началом в точке А и
осью абсцисс, направленной вдоль стороны АС. Пусть
координаты точек В и С равны (kj) и (т,0). Получить выражения
для векторов AM, AMj и АМ2, где М, М; и М2 - центры тяжести
треугольников ABC, AjBjCj и А2В2С2:
AM2={h(l-x/a+z/c)l3+m-(l+x/a-y/b)l3',h(l-x/a+z/c)l3},
AM={(k+m)/3;l/3}.
Показать, что АМ=(АМ1+АМ2I2, а это означает, что точка М
лежит на прямой MiM2.
101. Воспользоваться теоремой Менелая (задача №93) для
ААВС и точек A2CjBj. По условию задачи CBj/BjA=PC/PA,
ACj/CjB=PA/PB, BA2/A2C=PB/PC. Аналогично рассмотреть и
другие тройки точек.
102. Воспользоваться теоремой Карно (задача №114) и
доказать, что три общие хорды трех окружностей, попарно
пересекающихся между собой, пересекаются в одной точке.
Затем доказать следующее утверждение: если на прямых АВ и АС
взять точки М и N, то общая хорда двух окружностей с
диаметрами СМ и BN проходит через точку пересечения высот
ААВС. Отсюда следует, что общая хорда пар окружностей с
диаметрами АЕ и DC, DC и BF, BF и АЕ содержит ортоцентры
всех перечисленных в условии задачи треугольников и она
перпендикулярна прямой, соединяющей центры окружностей,
т.е. прямой Гаусса.
103. Обозначить проекции вершины В на биссектрисы
углов А и С через K,L,Mu N («слева направо»). Четырехугольник
159

LBMOr - вписанный, поэтому ZLBOr=n/2-C/2-B+B/2=ZLMOr=A/2,
t.q.LM\\AC.
Показать, что ZLKA=n/2-A/2, т.е. KL \\АС. Аналогично,
MN | | АС.
104. Обозначить точки пересечения серединных
перпендикуляров к биссектрисам lcjbja со сторонами AB^iC и ВС
через K,L и М.
Воспользоваться теоремой Менелая (задача №93) для ААВС
точек K,L и М. Например, ААМС подобен ААМВ, поэтому имеем:
СМ/МВ=(АС/АВJ. Аналогично получить выражения для двух
других сомножителей в условии теоремы Менелая через длины
сторон ААВС.
105. Обозначим точки пересечения, о которых говорится в
условии задачи, соответственно через К,М и L. Воспользоваться
теоремой Менелая (задача №93) для ААВС и точек К,М и L:
{BK/KA)-{AL/LCy{CM/MB)=l. Например, применяя теорему
синусов (задача №86) к треугольникам BBjK, AKBj и ABBj,
получить соотношение BK/KA=(cos2C+cos2A)l(cos2C+cos2B).
Аналогично и другие сомножители выразить через косинусы
углов ААВС.
106.Обозначить центры окружностей через ^,5 и С, а
точки на продолжениях прямых АВ,ВС и АС через L,K и М.
Воспользоваться теоремой Менелая (задача №93) для ААВС и
точек КМ и L: {CK/KB)-{BL/LAy{AM/MC)=l. Показать, что, к
примеру, CK/KB=RC/Rb и т.д.
Ю7.Доказать прямую теорему, используя метод
площадей:
ABj/BjOSabp/Sbcp, CA1/A1B=SApc/SABp9 BC1/C1A=SBCp/SApC. Здесь Р
- точка пересечения прямых, упомянутых в условии задачи.
Перемножить эти равенства и получить искомый результат.
Обратную теорему доказать «от противного».
1О8.Применить теорему синусов (задача №86) для ААРС:
sinZACCi/sinZAjAC=AP/PC. Записать аналогичные соотношения
для треугольников АРВ и ВРС и, перемножив их, получить
требуемое утверждение.
160

109. Из теоремы Менелая (задача №93) для AABBj и точек
СиМ? следует равенство (АС1/С1В)-(ВМ/МВ1у(В1С/СА)=1, или
BM/MBj=(BC/СjAyiAC/CBj)=(BCj/CjAyil+BjA/CBj). Выразить
отношение (BjA/CBj) в последней скобке, написав условие Чевы
(задача №108) для ААВС и отрезков AAj,BBj и CCj. Аналогично
выводятся и остальные соотношения.
110.Проверить, что если для прямых АР,ВР СР
выполняется соотношение задачи №108, то и для прямых,
симметричных им относительно соответствующих биссектрис,
будет выполняться это же соотношение.
111.Воспользоваться свойством касательных к
окружности (задача №220) и проверить выполнение условия
теоремы Чевы (задача №107).
112.Обозначить точки касания вписанной окружности с
АС и ВС через Bj и Aj, а точку пересечения средней линии с
биссектрисой через К. Показать, что КМа={Ъ-с)/2=МаА1
(использовать задачу №220). Отсюда следует, что
ZCBjAj=ZMaKAj, т.е. прямая BjAj проходит через точку К.
113.Ввести обозначения для длин отрезков
jAj соответственно: <2,Z>,c,x,jy,z. Тогда
АВ2=х2+а2, BjC2=y2+c2 и т.д. Теперь легко проверить выполнение
условия теоремы Карно (задача №114).
114.Показать, что геометрическим местом точек, таких,
что MB2-MA2=Const для двух фиксированных точек А и В,
является прямая линия, перпендикулярная АВ. Рассмотреть две
пары точек: В и С, А и С. Из предыдущего утверждения следует,
что МВ2-МС2=ВЕ2-СЕ2 и МС2-МА2=НС2-НА2. Сложить эти
равенства и, используя условие задачи, получить: МВ2-МА2=КВ2-
КА2, а это означает, что точка М находится на перпендикуляре,
опущенном из точки К на сторону АВ.
115.Рассмотреть AAjBjCj. Перпендикуляры, опущенные
из точек А2,В2 и С2 соответственно на BjCj, CjAj и AjBj,
пересекаются в одной точке, для них выполняется условие Карно
(задача №114). Проверить, что это же самое условие выполняется
и для перпендикуляров, опущенных из точек Aj,Bj,Cj на В2С2,
С2А2иА2В2.
161

116.Для доказательства утверждения задачи убедиться в
том, что стороны треугольника AjBjCj параллельны
соответствующим сторонам треугольника ABC.
117.Убедиться, что если для медиан треугольника
выполняется условие Чевы (задача №108), то и для
симметричных им прямых это условие будет выполнено.
118.Проверить, что условие Чевы (задача №107) для
высот треугольника будет одновременно и условием пересечения
в одной точке рассматриваемых в задаче прямых.
119.Обозначить точки касания вписанной окружности
сторон ВС и АС через AjhBj. Записать условие теоремы Менелая
(задача №93) для ALaLbC и точек Bj^ij и Р:
Убедиться, что при этом справедливо соотношение,
представляющее собой условие Менелая для ALaLbC и точек
НЬДаиР.
120.Отметить на продолжении АС за точку С точку D
такую, что CD=CB. Тогда Е - центр окружности, описанной
около AABD (АЕ=ВЕ, ZBEA=ZACB=2ZADB). Отсюда следует,
что F - середина AD, a MaF делит периметр ААВС пополам.
Кроме того, MaF параллельна BD, a BD параллельна биссектрисе
угла С, т.е. MaF является биссектрисой угла МаМсМь.
121.Обозначить точки касания вневписанными
окружностями сторон ВС.СА и АВ через Aj, Bj и Cj. Легко видеть,
что расстояние от вершин А,В и С до точек касания этими
окружностями продолжений прямых АС,ВА и СВ равны/?, CAj=p-
Z>, ABj=p-c, BC]=p-a.
Убедиться в выполнении условия Чевы (задача №108) для
прямых AAj,BBj и CCj. Обозначить через А2 точку касания
вписанной в ААВС окружности со стороной ВС. Тогда ВА2=СА1.
Восстановить к стороне ВС в точке А2 перпендикуляр, который
пересечет AAj в точке D. Воспользоваться задачей №203 и
доказать, что A2Or=OrD. Следовательно, прямая МаОг
параллельна AAj. При гомотетии с центром в точке М и
коэффициентом (-1/2) прямая AAj переходит в прямую МаОг.
Точно так же две другие прямые BBj и СС] перейдут в прямые
162

MbOr и McOr, а точка их пересечения N перейдет в точку Ог.
Теперь нетрудно довести решение задачи до конца.
122.Показать, что рассматриваемые прямые являются
серединными перпендикулярами треугольника AjBjCj.
123.Показать, что четырехугольник CHBAj, где Н -
ортоцентр ААВС, является параллелограммом, а это означает, что
прямая А]Ма проходит через Н. Точно так же через ортоцентр Н
проходят и две другие прямые.
124.Показать, что при перемещении прямой DEF
параллельно самой себе точка М пересечения серединных
перпендикуляров lDFB и 1DEC движется по прямой линии. В самом
деле, для трех положений прямой DEF серединные
перпендикуляры lDFB и lDEC пересекаются в точках Мг A=1,2,3) и
пересекают прямую ВС в точках Nt и Кг таким образом, что точка
N2 делит отрезок NjN3 в том же отношении, что и точка К2 делит
отрезок К]К3. Это отношение равно отношению, в котором D2
делит DjD3, или Е2 делит EjE3, или F2 - FjF3. Поскольку во всех
трех положениях прямые lDFB параллельны между собой (как и
прямые Idec), то прямая lDFB во втором положении делит отрезок
MjM3 в том отношении, что и прямая lDEC (при 1=2), т.е. М2 лежит
на отрезке MjM3. Более того, точка М движется по прямой 1АВС.
Для этого достаточно рассмотреть два положения прямой DEF и
убедиться, что соответствующая точка М лежит на 1Авс- В случае,
когда прямая DEF проходит через точку А (точки F и Е
совпадают с А), введем декартовую систему координат, в которой
точки А,В,С и D имеют координаты: @,а), @,Ь), @,с) и @,d).
Ортоцентр ААВС имеет координаты @,-bc/a), центр описанного
круга имеет координаты ((й+с)/2, (а+Ъс/аI2). Тогда уравнение
прямой 1АВС имеет вид: x(b+c)+y(a+3bc/a)=(a2+b2+c2)l4+bc-
3(abcfl4. Заменяя в этом уравнении с на d и Ъ на d, получим
уравнения прямых lABD и lACD. Теперь осталось проверить, что все
три прямые имеют общую точку с координатами: (b+c+d)/4-
3bcd/Da) и (a2-bc-cd-ab)/Da). Случай, когда прямая DEF
проходит через точки В или С, рассматривается аналогично.
125.Пусть прямая ВК пересекает АС в точке Bj, а прямая
CL пересекает АВ в точке С;. Прямая, параллельная АС и
163

проходящая через точку К, пересекает стороны АВ и ВС в точках
М и 7V, а прямая, параллельная АВ и проходщая через точку Z,
пересекает AC vl ВС в точках Р и Q. Тогда, АВj/B 1C=MK/KN и
BCj/CjA=QL/LP. Аналогичное построение сделать и для третьего
радиуса. Для решения задачи воспользоваться условием Чевы
(задача №107) для ААВС и точек Aj,Bj и Cj.
126.Из подобия треугольников АРМ и AMQ, APL и AKQ,
AKN и ALN получить равенства: PM/MQ=AM/AQ, QK/PL=AQ/AL,
LN/NK=AL/AN.
Перемножить эти равенства и при условии, что AM=AN, получить
соотношение (PM/MQy(QK/PL)-(LN/NK)=l. Осталось
воспользоваться решением задачи №359.
127.Вместо треугольника со сторонами, параллельными
АР,ВР и СР, рассмотреть треугольник со сторонами,
перпендикулярными этим отрезкам, а через его вершины
провести прямые, перпендикулярные сторонам ААВС. В качестве
такого треугольника взять треугольник OiO2O3 с вершинами в
центрах окружностей, описанных около треугольников АВР.ВСР
и САР. Тогда прямые, проходящие через вершины AOiO2O3 и
перпендикулярные сторонам ААВС, являются серединными
перпендикулярами к сторонам ААВС и поэтому пересекаются в
одной точке.
128.Ввести обозначения: АР=х, ВР=у, CP=z, AB=a,
А2,В2,С2 - точки касания окружностей, вписанных в треугольники
ВСР.САР и АВР, со сторонами ВС.СА и АВ. Перпендикуляры из
точек А;,В] и С; к этим сторонам совпадают с перпендикулярами
к ним, восстановленным из точек А2,В2,С2. Получить выражения
для отрезков ВА2^42С^4С2,С2В^4В2,В2С через x,y,z и а и проверить
для них справедливость условия Карно (задача №114). Теперь
уже утверждение задачи доказывается без труда.
129.Следуя теореме Карно (задача №114), достаточно
проверить условие: АВо-ВоС2+САо-АоВ2+ВСо-СоА2=О.
Убедиться, что треугольники ВВОНС и ААОНС подобны, значит,
AHcHcB(j=BHcHcA0, к тому же, ZAHCBO=ZBHCAO. Следовательно,
АВо-ВАо=(АНс2-НсВ2)+(НсВо-НсАо).
164

Записав соответствующие равенства для (СА02-АС02) и (ВС02-СВ02)
и сложив их, получить, что разности в первых скобках в сумме
дают нуль, т.к. выполняется условие Карно для ААВС и точек
НС,НЬ и На. Используя также тот факт, что прямые АА0,ВВ0 и СС0
проходят через центр описанной вокруг ААВС окружности,
получить, что сумма разностей во вторых скобках равна нулю.
130.Обозначить через А2 точку пересечения прямой AoAj с
окружностью, отличную от Ао. Применить к шестиугольнику
АВССоА2Ао теорему Паскаля (задача №356). Точки пересечения
прямых АВ и СоА2, ВС и А2А0 (точка Ai\ СС0 и АА0 (точка М)
лежат на одной прямой. Следовательно, прямые АВ и CqA2
пересекаются в точке С;.
131.Нетрудно заметить, что середина высоты ht - точка К
- лежит на средней линии МсМа, значит,
МсК/КМа=(с -cosA)l(a -cosC).
Записав аналогичные соотношения для других высот,
воспользуйтесь теоремой Чевы (задача №107).
132.Выразить расстояния от вершин ААВС до точек
касания и проверить выполнение условия Карно (задача №114).
133.Построить треугольник AjBjCj, стороны которого
параллельны сторонам ААВС и проходят через его вершины.
Очевидно, что треугольники ABC и AjBjCj подобны, при этом
AAjBjCj получается из исходного гомотетией с центром в точке
пересечения медиан (общей для двух треугольников) и
коэффициентом (-2). Легко видеть, что ортоцентр ААВС является
центром описанной около AAjBjCj окружности. Следовательно,
точка OR переходит при гомотетии в точку Н, причем НМ=2 -MOR.
134.Легко заметить, что центры тяжести исходного и
серединного треугольников совпадают. Следовательно, при
гомотетии с центром в этой точке и коэффициентом (-1/2)
ортоцентр ААВС перейдет в точку OR, которая и будет
ортоцентром серединного треугольника, а точка OR перейдет в
центр описанной около него окружности (основание серединного
перпендикуляра к стороне МСМЬ). В соответствии с задачей №133
165

этот центр описанной около АМсМьМа окружности делит отрезок
HOR пополам.
135.Показать, что окружность, проходящая через точку А,
проходит через точки пересечения биссектрис внешнего и
внутреннего угла А со средней линией МЬМС. Поэтому для всех
точек М этой окружности выполняется равенство:
МьМ\МсМ=МьА\МсА=Ь\а. Если же М; и М2 - точки пересечения
двух таких окружностей, то MaMi'.MbMi'.McMi=a\b\c (то же для
точки М2). Следовательно, М; и М2 будут принадлежать и третьей
окружности. Попробуйте доказать, что М; и М2 принадлежат
прямой, для точек которой Мвыполняется равенство:
(с2-Ь2уМаМ2Ца-с2)'МьМ2ЦЬ2-а)'МсМ2=0. Эта прямая
проходит через центр описанного около АМсМьМа круга и через
точку пересечения его медиан, т.е. она совпадает с прямой
Эйлера и АМсМьМа, и ААВС.
136.Показать, что искомой точкой является середина
отрезка HOR исходного треугольника, а расстояния, о которых
говорится в условии, равны 4R/3, где R - радиус описанного
около ААВС круга.
137.Обозначить через Р точку пересечения прямой АК и
прямой Эйлера. Согласно задаче №39, AH=2-ORMa=ORK. Отрезки
АН и ORK параллельны, поэтому AAHP=APORK.
138.Обозначить через //ортоцентр ААВС, а через А2,В2,С2
- середины отрезков АН,ВН,СН. Согласно задаче №39,
треугольники АНЬНС, ВНаНс и СНаНь подобны между собой.
Убедиться, что точки А2,В2,С2 - центры описанных вокруг них
окружностей. Обратить внимание, что прямые А2НЪ, В2В и С2НЪ
одинаково расположены относительно этих треугольников и
пересекаются в точке Нь, лежащей на окружности девяти точек.
Поскольку точки А2,В2,С2 также лежат на окружности девяти
точек, то три прямые, получающиеся из прямых А2НЬ, В2В и С2НЬ
поворотом на один и тот же угол вокруг точек А2,В2,С2
соответственно, также будут пересекаться в одной точке,
расположенной на окружности девяти точек. Обозначить угол
РА2А через ср. Тогда АРА2На=я-ср, АРА2Нь=2я-2С-ср, ZPA2HC=2B-
166

ср. Поскольку хорды РНт PHb и РНС пропорциональны синусам
углов, на которые они опираются, то достаточно показать, что (в
нашем случае) РНа=РНь+РНс, или sin(p=sin{2C-(p)-sin{2B-(p). А это
соотношение можно получить, если применить теорему синусов
к треугольнику AA2Hj, где точка Hj - ортоцентр ААНЬНС, при
этом AA2=Ri, AHj=2RjcosA. Случай тупоугольного ААВС
аналогичен рассмотренному.
139.Показать, что ортоцентр располагается «ближе» к
наименьшей стороне остроугольного треугольника, а центр
описанной окружности «ближе» к наибольшей его стороне.
140.Пусть для определенности а>Ь>с. Обозначить через
А],В],С] точки касания вписанной окружности сторон BC^iC и
АВ. Поскольку Ог по отношению к AAjBjCj является центром
описанной окружности, то достаточно доказать, что прямая OROr
проходит через ортоцентр AAjBjCj. С этой целью отложить на
лучах АС и ВС отрезки AK=BL=c, а на лучах АВ и СВ - отрезки
AM=CN=b. Докажем следующий факт: прямая OROr
перпендикулярна KL; кроме того, радиус окружности, описанной
около AKLC, равен длине отрезке OROr. Опустим из OR и Ог
перпендикуляры на ВС (ORN и OrL) и на AC (ORP и OrQ). Тогда,
CL=a-c, CK=b-c, CN=a/2, CP=b/2, CL=CQ=p-c, NL=(b-c)/2, PQ=(a-
c)/2. Теперь, если провести через OR прямые, параллельные ВС и
АС до пересечения в точках R и S с перпендикулярами,
опущенными из Оп то получим AORRS, подобный AKLC, с
коэффициентом подобия 1/2. Но окружность, построенная на
OROn как на диаметре, является описанной для AORRS,
следовательно ее диаметр, равный длине отрезка OROn в
точности равен радиусу окружности, описанной около AKLC.
Заметим далее, что если на прямой ORS отложить отрезок ORRj,
равный ORR, а на отрезке ORR отложить отрезок ORSj, равный
OrS, to прямая SjR] будет параллельна KL и перпендикулярна
OROr, что и требовалось доказать. Теперь понятно, что и отрезок
MN параллелен KL. Обозначим: ZKLC=ZBNM=cp. По теореме
синусов для AKLC и ABNM имеем: LC/KC=sin((f^C)/sm(p,
BN/MB=sin(B-(p)lsin(p. Проведем в треугольнике AjBjCj высоту на
167

сторону BjCj, которая пересечет OROr в точке F. Согласно задаче
№39, расстояние от Ог до BjCj равно OrAi.cosAi=r-sin{A/2). Чтобы
точка F была ортоцентром AAjBjCj необходимо выполнение
условия: AjF=2rsm(A/2). Найдя углы ZFOrAj=7T-(p, ZFAjOr=(B-
С)/2, применим теорему синусов к AFOrAj\
2-sm(A/2)=sm(p/sm((p-B/2+C/2), или sin{cp±C)-sin{B-(p)=sin(p.
Последнее соотношение легко проверить, вспомнив выражения
для LC/KC и BN/MB, приведенные выше.
141.Пусть А],В],С] - середины отрезков АН,ВН и СН.
Легко видеть, что Z.BiAiCi=ZA^ ABjHaCj=ABjHCj, а значит,
ZB1HaC=7t-ZA, т.е. точки Aj,Bj,Ha,Cj лежат на одной окружности.
Аналогично, точки А],В],Ма,С] также лежат на одной (этой же)
окружности. Следовательно, все девять точек расположены на
одной окружности.
Очевидно, окружность девяти точек гомотетична описанной
окружности с центром в точке Ни коэффициентом 1/2. С другой
стороны, окружность девяти точек гомотетична описанной
окружности с центром в точке пересечения медиан и
коэффициентом (-7/2).
142.Соединить точку OR с основаниями высот ААВС.
Таким образом он разбивается на три четырехугольника
ORHtAHc, ORHaCHb и ORHcBHa.
Согласно задаче №39, площадь каждого четырехугольника равна
половине произведения радиуса описанной окружности на
сторону ортотреугольника, или (см. задачу №141) произведению
его периметра на радиус окружности девяти точек.
143.Пусть вписанная в ААВС окружность с центром Ог
касается стороны АС в точке Kj, вневписанная окружность
касается этой стороны в точке К2. Рассмотреть общую
касательную CjAj к этим окружностям и окружность со,
построенную на KjK2 как на диаметре, а также точки S,R,Q, в
которых CjAj пересекает отрезки АС,МьМа и МЬМС. Поскольку
окружность со ортогональна к вписанной и вневписанной
окружностям, то при инверсии относительно окружности со обе
они переходят сами в себя. Остается доказать, что при такой
168

инверсии окружность девяти точек переходит в прямую CjAj.
Нетрудно найти длины следующих отрезков: AKi=K2C=p-a,
KiK2=a-c. Окружность девяти точек проходит через центр
окружности со (точку Мь), следовательно, при инверсии
относительно окружности со она переходит в прямую. Покажем,
что точки 7? и Q являются при инверсии образами точек Ма и Мс,
лежащих на окружности девяти точек, т.е. что эта прямая
проходит через точки R и Q. Так как точка S расположена на
биссектрисе угла В, то CS=ab/{a+c), SA=bc/{a+c\ SMb=(b(a-
c)l(a+c))/2, ACi=a-c, CAj=b-c. Далее, треугольники SMbR и SACj, a
также SMbQ и SCAj подобны, поэтому MbR/(a-c)=(a-c)/Bc),
MbQI(a-c)=(a-c)/Ba\ MbMa-MbR=((b-c)l2)\ MbMc-MbQ=((b-c)l2)\
Это означает, что при инверсии относительно окружности со,
радиус которой равен (Ь-с)/2, точка Ма переходит в точку 7?, а
точка Мс - в точку Q, что и требовалось доказать. Таким образом,
инверсия относительно окружности со переводит вписанную и
рассмотренную вневписанную окружности в самих себя, а их
общую касательную CjAj в окружность девяти точек.
Следовательно, окружность девяти точек, как и прямая CjAj,
касается этих двух окружностей и, аналогично, двух оставшихся
вневписанных окружностей.
144.Исходный треугольник ABC является
ортотреугольником АОаОьОс (см. задачу №75).
145.Обозначить основание перпендикуляра, опущенного
из центра окружности девяти точек О на сторону АС, через Bj и
найти синус искомого угла MbOBj.
146.Убедиться в том, что основания высот всех
перечисленных в условии треугольников совпадают.
147.Искомое расстояние равно длине средней линии
трапеции, основания которой равны ННа и ORMa (см. задачу
№141). Воспользоваться также решениями задач №38 и №66.
148.Доказать, что точки Е и F находятся на средних
линиях МсМь и ММь (например, ZFMaC=2ZFBC=ZB=ZMbMaC).
Далее, ZFEHb=7t-ZHbEB=ZA=ZFMbHb. Отсюда следует, что
169

точки E,Mb,F,Hb лежат на одной окружности. Легко видеть, что
ZHbFMb=ZHbFB+ZBFMb=B/2+C.
Если О - центр окружности, описанной вокруг AHbFMb, то
ZHbOMb=2ZHbFMb=B+2C=7r-A+C=7r-ZHbMaMb
{ZHbMaMb=ZHbMaC-ZMbMaC=
=7Г-2С-В=А-С). Следовательно, точка О лежит на окружности,
проходящей через точки Hb,Ma,Mb, а последние принадлежат
окружности девяти точек.
149.Убедиться в том, что ZMaBE=7r/2-C=ZOMaF и
ZMaCF=7r/2-B=ZOMaE.
150.Пусть М - точка пересечения прямых, проходящих
через Ао и Во перпендикулярно ВС и АС. Доказать, что Мс - центр
окружности, описанной вокруг ABqA0M. В самом деле, точки
Ma,OR,B0,Mc,B лежат на одной окружности, поэтому
ZMcBoA0=ZORMaMc=7r/2-C. Точно так же ZMcA0B0=7r/2-C.
Следовательно, МСВО=МСАО и ZA0McB0=2ZC, а поскольку
ZBoMAo=ZC, то утверждение доказано. Далее, В0М
перпендикулярна МаМс, МСВО=ММС, значит,
ZMcMMa=ZMcB0Ma=7r-ZB, то есть точка М лежит на описанной
около АМсМьМа окружности.
151.Обозначить через К,Ка,Кь,Кс точки касания вписанной
и вневписанных окружностей с окружностью девяти точек ААВС.
В шестиугольнике МсКсКМаКаКь диагонали МсМа, КсКа и ККЬ
пересекаются в одной точке при выполнении условия
McKcKMaKaKb=KcKMaKaKbMc (см. задачу №359). Получить
следующие выражения для длин отрезков, входящих в эту
формулу: McKc=((b-a)/2y((R/(R+2rc))m, KMa=((c-by2)i(R/(R-2r))y\
m
Теперь остается проверить справедливость формулы.
Заметим, что точки пересечения противоположных сторон
четырехугольника, вершинами которого являются точки касания
вписанной и вневписанных окружностей данного треугольника с
его окружностью девяти точек, лежат на продолжениях средних
линий этого треугольника.
170

152.Для доказательства всех утверждений задачи
рассмотреть поворот плоскости на угол 60° вокруг вершины
исходного треугольника.
153.Введем обозначения: С; - центр описанной около
AAFB окружности, С2 - точка, симметричная С; относительно АВ.
Аналогично определим для треугольников BFC и CFA точки Aj и
Можно доказать, что, поскольку треугольники
ACjB^iC2B,BAjC,BA2C,CBjA,CB2A равнобедренные с углами при
вершинах по 120°, то треугольники AjBjCj и А2В2С2 -
правильные. Найдя значения углов четырехугольников с
вершинами F^42,B2,C2, можно также доказать, что эти точки
лежат на одной окружности. Далее, если Н - ортоцентр AAFB, то,
поскольку FH=CjC2 и, значит, FHCjC2 - параллелограмм, то
прямая CjH (прямая Эйлера AAFB) проходит через середину FC2.
Но FC2 - хорда окружности с центром С;, следовательно, CjH
перпендикулярна FC2. Таким образом, все три прямые Эйлера
совпадают с серединными перпендикулярами отрезков FC2,FB2, и
FA2, а так как точки F^42,B2,C2 лежат на одной окружности, то эти
прямые пересекаются в ее центре - центре правильного
треугольника А2В2С2.
154.Воспользоваться задачей №152 и гомотетией с
центром в середине стороны ВС и коэффициентом 7/3, при
которой вершина А перейдет в точку пересечения медиан ААВС,
а точка Aj - в центр ABCAj. Аналогично рассмотрев и другие
вершины ААВС, придем к выводу, что отрезки между точкой
пересечения медиан исходного треугольника и центрами
равносторонних треугольников равны и образуют между собой
углы по 120°, из чего и следует утверждение задачи.
155.Из утверждения задачи №154 следует, что, применив
теорему косинусов (задача №87) к треугольнику, вершинами
которого являются точка А и два центра равносторонних
треугольников, можно вычислить квадрат расстояния между
этими центрами. Он будет равен b /3+с /3-2/3-be-cos(A+л/3). Так
как вершины внутренних равносторонних треугольников могут
быть получены из внешних симметрией относительно сторон
171

ААВС, то легко найти квадрат расстояния между двумя
вершинами внутренних равносторонних треугольников, он равен
Ъ2/3+с2/3-2/3 -be -cos{A-n/3\
После вычитания получим, что разность между найденными
величинами равна 4'C)'m-SABc- Теперь уже легко доказать
сформулированные в задаче утверждения.
156.Ввести обозначения: Т и N - точки пересечения
прямой PC с АВ и ZM, К - точка пересечения AL с ED, Q - точка
пересечения ВМ с PG. Тогда SAcde=Sacpf=Satnl и
157.Показать, что описанные около построенных
квадратов окружности имеют помимо С еще одну общую точку,
обозначим ее Р. Тогда
z(ap42p)=z(a2p41p)=z(a1p,pc)=z(pc,pb1)=
Z(PBhPB2)=Z(PB2,PB)=7r/4. Поэтому Z(AP,PB1)=7r/4'4=7r.
Аналогично рассмотреть и две другие вершины ААВС.
158.Произвести последовательные повороты в одном
направлении вокруг центров квадратов на углы 90°. Показать, что
получившееся преобразование оставляет все точки плоскости
неподвижными и что каждую из двух пар поворотов: вокруг
точек О\ и 02, а также вокруг О3 и О4 - можно заменить
центральной симметрией относительно одной и той же точки О.
При этом АО]ОО2 и АО3ОО4 - равнобедренные прямоугольные
треугольники с прямыми углами при вершине О. Следовательно,
АО2ОО4 получается из AOjOO3 поворотом вокруг точки О на 90°,
т.е. OjO3=O2O4 и они перпендикулярны.
159.Пусть точка Р лежит на описанной около ААВС
окружности. Показать, что она принадлежит также окружностям,
описанным вокруг треугольников BjAC^BjAjC и BCjAj. Поэтому
ZBPC=7r-ZC]PB], и, вычитая из обеих частей ZBPBh получить:
ZBjPC=ZBjPB. Но так как точки В,С,Р и Aj лежат на одной
окружности, то ZCjPB=ZCjAjB и, значит, ZBjAjC==ZCjAjB, что
и требовалось доказать. Наоборот, если точка Р произвольно
расположена на плоскости, то она должна лежать внутри какого-
нибудь угла ААВС и вне противолежащей ему стороны.
172

Принимая этот угол за угол А, предположить, что точка С; лежит
на продолжении АВ за точку В и повторить приведенные выше
рассуждения.
160.Середина РН, как известно (см. задачу №141), лежит
на окружности девяти точек. Обозначить через Hj точку
пересечения высоты ВНЪ с описанной окружностью, HjHb=HHb
(задача №66), через L - точку пересечения прямой Симеона с той
же высотой, через М- точку на HHj, такую, что РМ \ \ КНЬ. Тогда
APMHj=ABjHbL (PM=BjHb, оба прямоугольные и
ZHbLBj=ZMHjP, поскольку высота треугольника является
прямой Симеона, соответствующей вершине, из которой она
выходит, и можно воспользоваться решением задачи №161).
Теперь легко показать, что направления HjM и HjjL совпадают,
т.е. PBjHL - параллелограмм, отсюда и следует утверждение
задачи.
161.Продолжить отрезок PBj до пересечения с описанной
окружностью в точке К и соединить точки В и К. Поскольку
четырехугольники РВКС и PAjBjC вписанные,
ZPKB=ZPCB=ZPCAj=ZPBjAj, и, значит, прямая ВК параллельна
прямой Симеона BjAj. Далее, угол между двумя прямыми
Симеона равен углу KBKj между параллельными им прямыми ВК
и BKj. Две хорды РК и QKi, перпендикулярные отрезку А С,
параллельны друг другу и отсекают равные дуги PQ и KKj. Таким
образом, ZKBKf={ZKORKi)/2={ZPORQ)/2.
162.Воспользуйтесь решением задачи №160.
163.Воспользуйтесь первой частью решения задачи №161.
164.Обозначить проекцию точки М на сторону АВ через
Р3. Убедиться в том, что PjP2=CM-smC. Проекция же АВ на
прямую Симеона Р3Р2 равна:
AB-\cosZBP3P2\=AB-\cosZBMP2\=AB-smZCBM=CM-smC.
165.Воспользоваться задачей №161.
166.Ввести декартовую систему координат, оси которой
направлены вдоль оси симметрии параболы и вдоль касательной
в ее вершине. Тогда уравнение произвольной касательной к
параболе у=ах2 имеет вид:у=кх-к2/Dа). Эта касательная пересекает
ось абсцисс в точке х0=к/Dа). Перпендикуляром к касательной в
173

этой точке будет прямая: у=-(х-хо)/к. Следовательно, любые
перпендикуляры проходят через точку @,1/Dа)), являющуюся
фокусом параболы. Теперь осталось воспользоваться задачей
№159.
167.Доказать, что прямая Симеона, соответствующая
точке А], перпендикулярна отрезку BjCj. Воспользоваться
задачей №162, из которой следует, что эта прямая Симеона
проходит через середину отрезка AjH (Н - ортоцентр ААВС).
Аналогично рассмотреть и две другие прямые Симеона.
Следовательно, эти прямые являются высотами треугольника,
вершины которого - середины отрезков AjH,BjHh CjH.
168.Доказать, что стороны треугольников HcHbHa, A0B0C0
hAjBjCi соответственно параллельны.
169.Ввести обозначения: ZA=3a, ZB=3{3, ZC=3y.
Нетрудно видеть, что AC=2R-sinC/3), AB]=2R'SinCj3)'Siny/sinGr/3-
/3), или АВ^вЯятРятуят^л/З+р) и АС^вЯятРятуят^л/З+У).
Далее, из треугольника ABjCj находим, применяя теорему
косинусов: BiCi=8R-sina-sinj3-siny. Аналогично найти и две
других стороны.
170.Показать, что (к примеру) ACjFAj - равнобедренный,
к тому же FBj - биссектриса ZCjFAj.
171.Воспользоваться решением задачи №169.
172. Отношение площадей треугольников АР С и ABC
равно отношению их высот. Аналогично записать отношения
площадей ААВР и АВРС к площади ААВС. Сложить эти три
равенства и получить искомый результат.
173.Обозначить точки пересечения Ya со сторонами АС и
АВ через В2 и С2, Yb с АВ и ВС - через С7 и Au Yc с АС и ВС -
через Bj и А2. Тогда Ya/a=AC2/AB=(AB-C2B)/AB=l-SBpc/SABC.
Записав аналогичные равенства для Yi/b и Yc/c и сложив их,
получить искомое соотношение.
174.Убедиться в том, что точка Р лежит на окружности,
описанной вокруг AABjCj, и применить теорему синусов (задача
№86) к AABjCj и ААВС. Аналогично рассмотреть и другие
стороны педального треугольника.
174

175.Соединить точку Р с вершинами ААВС и обозначить
вершины третьего педального треугольника через А3,В3,С3.
Убедиться, что точка Р принадлежит окружностям, описанным
вокруг треугольников ABjCj, A2B1C2, А3В3С2, A2B2Ci и А3В2С3.
Следовательно,
ZC1AP=ZC1B1P=ZA2B1P=ZA2B2P=ZB3C2P=ZB3A3Pn
ZPAB1=ZPC1B1=ZPC1A2=ZPB2A2=ZPB2C3=ZPA3C3.
Это означает, что две части, на которые прямая АР делит угол А,
«повторяются»: одна - при вершине В1у другая - при вершине С;,
далее - при вершинах С2 и В2 и, наконец, обе - при вершине А3.
Другими словами, ААВС и АА3В3С3 имеют равные углы при
вершинах^ иА3.
176.Весьма поучительно провести построение четвертого
педального четырехугольника некоторого четырехугольника и
проследить «цепочку» углов, аналогичную рассмотренной при
решении задачи №175.
177.Провести через К и L прямые, параллельные ВС, до
пересечения с медианой АНа в точках N и S и обозначить:
AHa=3a, MN=xa, MS=ya. Поскольку LS/NK=AS/AN,
LS/NK=MS/MN, то AS/AN=MS/MN, B+у)/B-х)=у/х, y=x/(l-x).
Искомое соотношение эквивалентно равенству
l/MN=l/MS+l/MHa, l/(ax)=l/(ay)+l/a. Подставить значение
у=х/A-х) и получить искомый результат.
178. Обозначить через А2,В2,С2 точки пересечения
соответственно АР,ВР и СР с описанной окружностью,
ai,bi,cj,a2,b2,c2 - стороны треугольников AjBjCj и А2В2С2, Sj и S2 -
их площади. Тогда ai=AM-sinA=AM-a/BR). Точно так же найти
выражения для bjncj.
Треугольники В2МС2 и ВМС подобны, т.е.
а2/а=В2М/СМ=С2М/ВМ.
Аналогичные равенства получить и для отношений Ъ21Ъ и c2lc.
Доказать, что треугольники AjBjCj и А2В2С2 подобны, помимо
этого, S2/S=a2b2c2/(aec). Следовательно, Si/S=aibiCil(aec)=
=AMBRyBMBRyA2MBR)=(l/4)'AM'A2M/R2=(l/4yR2-cf/R2.
175

179.Убедиться в том, что точка пересечения прямой COR с
описанной окружностью вместе с точками А,Н,В образуют
параллелограмм. Воспользоваться также задачей №66.
180.Показать, что ОгМ=ВМ=ОаМ=СМ. Поэтому точка М
лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС. При АВ^АС
биссектриса АОГ пересекается с этим серединным
перпендикуляром только в точке М. Обе эти прямые проходят
через точку, являющуюся серединой дуги ВС описанной
окружности, т.е. точку М. Отдельно рассмотреть случай АВ=АС.
181.Показать, что BN=p-b=CM.
182.Воспользоваться задачей №181.
183.Рассмотреть треугольник АОГВ, в котором, при
условии А>В, АОГ<ОГВ.
184.Показать, что если L - середина АН (Н - ортоцентр
ААВС), то четырехугольник ALMaOR является параллелограммом
(см. задачу №38).
185.Воспользоваться подобием треугольников АКР и
PCjB, а также APBj и PAjB.
186.Показать, что ZAOB=tt/2-ZABC/2-ZCAB/2=ZACB/2.
Это означает, что ZAOjB=2ZAOB=ZACB, т.е. точка Oj лежит на
описанной около ААВС окружности.
187.Воспользоваться задачей №76 и выразить длину
отрезка ОгОа через га,р и (р-а). Длину отрезка OROa найти, следуя
задаче №219, а длину отрезка ОГОГ - из задачи №218. Далее, из
AOrOaOR найти cosZOrOaOR, а из AOrOaL - искомый радиус OrL.
188.Обозначить через К и L точки касания вписанной
окружности со сторонами АС и АВ. Пусть прямая, проходящая
через N параллельно ВС, пересекает стороны АВ и АС в точках R
и М. Четырехугольник OrKMN - вписанный, следовательно,
ZOrMN=ZOrKN, аналогично - ZOrRN=ZOrLN, но ZOrLN=ZOrKN,
значит, ZOrRN=ZOrMN и AOrRM - равнобедренный, OrN -
высота. Отсюда следует, что RN=NM.
189.Обозначить точки пересечения прямой со сторонами
АВ и ВС через М и N, a (BM+BN) - через 2рк. Радиус окружности
176

с центром на отрезке MN, касающейся АВ и ВС, равен SBMN/(kp\
поэтому SBMN/{kp)=SABc/p=r.
190.Доказать, что разность радиусов окружностей,
описанных около треугольников ABBj и BBjC, равна радиусу
окружности, описанной вокруг треугольника KLC, который, в
обозначениях задачи №140, необходимо построить и
воспользоваться первой частью решения задачи №140.
191.Обозначит через Р точку касания вписанной
окружности со стороной ВС. Легко вычислить, что МС=а/2,
РС=(а+Ъ-с)/2, НС=(а+Ъ2-с2)/Bа). Из подобия треугольников
ОГМР и ЕМН получить: ЕН/ОгР=НМ/РМ=(МС-НСI(МС-РС)=(а-
2-НСI(а-Ъ)=(Ъ+сIа.
Кроме того, AH-a=2S=2pr, т.е. АН/г=2р/а. Поэтому
AE/r=AH/r-EH/r=2p/a-(b+c)la=l.
192.Обозначить проекции концов диаметра PQ на сторону
АС через К и М, а точку пересечения PQ и АС - через L.
Воспользоваться подобием треугольников PKL и LQM, а также
теоремой синусов: AB/sinC=2R.
193.Показать, что треугольники PBjC и РВС] подобны.
194. Обозначить точки пересечения прямой ORMb с
отрезком ВК через О, а с высотой ВНЬ - через L. Рассмотреть две
пары подобных треугольников: BLO, OORK и LHbMb, ORKM.
Получить соотношение: OB/OK=h/r-HM/KM.
195.Показать, что прямая / и сторона ВС образует с ALa
одинаковые углы.
196.Ввести обозначения: ZABP=7r-ZACP=a,
ZBAP=ZBCP={3, ZCAP=ZCBP=y и определить длины отрезков:
PX=PB'Sin^2R'SinP'Siny, PY=2R-sina-siny, PZ=2R-sina-sinP,
BC=2R-sm(/fry), AC=2R-sin(a-y\ AB=2R'Sin(/fra). Теперь
справедливость искомого соотношения сводится к проверке
тригонометрического тождества.
197.Ввести обозначения: ORAj=a, ORBj=j3, ORC]=y
Поскольку SABc=(aofrb/3±cy)l2, то r=(aofrb[}±cy)l(a+b+c).
Следовательно, справедливость искомого равенства сводится к
проверке соотношения:
177

К=(Ь+с)-а/(а+Ь+сЩа+сУ/3/(а+Ь+с)+(Ь+а)-у/(а+Ь+с).
Проще всего заменить все длины отрезков на их выражения через
радиус описанного круга и синусы углов ААВС.
198.Воспользоваться формулами к задачам №84 и №85.
199.Воспользоваться тем, что треугольники ADG и DBF
подобны.
ЮО.Воспользоваться решением задачи №32.
201.Выразить расстояния от вершин треугольника до
точек касания через радиусы вписанной окружности и
окружности, «примыкающей» к вершине, а затем
воспользоваться формулой задачи №85, которая связывает
величины (р-а),(р-Ь),(р-с) с радиусом г.
202.Показать, что ZOrNM=ZB/2, ZAOrC=7t/2+ZB/2,
ZKOC=n-ZAOrC=n/2-ZB/2, ZKMC=ZBMN=tt/2-ZB/2=ZKOC.
Отсюда заключаем, что точки ОпМ,К,С лежат на одной
окружности, а так как ZOrMC=7r/2, то и искомый угол АКС равен
л/2.
203.Провести через К прямую, параллельную АС,
обозначить точки ее пересечения с АВ и ВС через Aj и Cj.
Окружность, вписанная в ААВС, является вневписанной для
AAjBCj. Но AAjBCj подобен ААВС. Следовательно, окружность,
вневписанная в ААВС, будет касаться АС в точке N Обозначив
точки ее касания с продолжениями ВА и ВС через R и Z,
получить: BR=BL=p, а это означает, что AN=AR=RB-BA=(a+b-
с)/2=МС.
204.Провести через К прямую, параллельную ВС.
Обозначить через L и Q точки пересечения касательной в точке Р
с прямой ВС и построенной прямой, параллельной ей, а через N -
точку пересечения АК с ВС. Поскольку CN=BM (см. задачу
№203), то достаточно доказать, что NL=LM. Но PL=LM, значит,
надо доказать, что PL=NL. Треугольники PLN и PQK подобны, а
PQ=QK, отсюда следует, что PL=NL и CL=LB.
205.Обозначить точку пересечения окружностей,
описанных около треугольников AjBC и ABjC, через Р и доказать,
что точки Р,А,В и С; лежат на одной окружности.
178

206.Доказать, что площадь Sa треугольника с вершинами в
точках касания вневписанной окружности с центром Оа можно
вычислить по формуле: Sa=SABc -ra/BR)=S АвсА^^(Р~а)) •
Аналогично найти выражения и для площадей других
треугольников.
207.Обозначить через В2 и С2 точки, диаметрально
противоположные вершинам В и С, через М - вторую точку
пересечения B2Bj с описанной около ААВС окружностью, через
Со - точку пересечения АВ и С2М. По теореме Паскаля (задача
№356), примененной к шестиугольнику АВ2СМВС2, точки О
(центр окружности), Bj и Со лежат на одной прямой, т.е. Со
совпадаете С;.
Но ZBMBj=ZBMB2=7r/2, ZCMCj=ZCMC2=7t/2. Следовательно, М
- одна из точек пересечения окружностей с диаметрами BBj и
CCj.
Пусть N— вторая точка пересечения этих окружностей. Их общая
хорда MN содержит точку пересечения высот ААВС - точку Н
(это следует из доказательства следующего утверждения:
«Если на прямых АВ и АС взять точки М и N, то общая хорда
двух окружностей с диаметрами СМ и BN проходит через точку
пересечения высот ААВС», которое применялось и в задаче
№102). Если ВНЪ - высота ААВС, то МННВ=ВНННЬ. Теперь
осталось показать, что точка N лежит на окружности девяти
точек.
208.Обозначить через Q середину отрезка ВН и убедиться
в том, что QORMH - параллелограмм (см. задачу №38).
Поскольку обе окружности проходят через точку В, то вторая их
точка пересечения симметрична точке В относительно прямой
orq.
2О9.Периметр треугольника, отсекаемого прямой,
параллельной ВС, равен сумме расстояний от точки А до точек
касания вписанной окружности со сторонами АВ и АС, поэтому
сумма периметров отсекаемых треугольников равна периметру
ААВС. Теперь, используя подобие треугольников, получить
искомый результат.
179

210.Показать, что если О - центр окружности, описанной
около ААРВ, то ZPAB=7r/2-ZOPB=ZBPC-7T. Таким же будет и
угол РАС.
211.Воспользоваться тем фактом, что расстояние от
вершины В до точки касания вневписанной окружности стороны
ВС равно (р-с), и этой же величине равна длина отрезка FC.
212.Найти выражения для сторон искомого треугольника
через известные длины сторон и углы исходного треугольника и
убедиться в том, что они соответственно равны.
213.Воспользоваться формулами, приведенными в задаче
№85.
214.Воспользоваться формулами, приведенными в задаче
№84.
215.Воспользоваться формулой Лейбница (задача №55),
взяв в качестве Р центр описанного круга.
216.Воспользоваться задачами №215 и №133.
217.Воспользоваться формулой Лейбница (задача №55),
взяв в качестве Р центр вписанного круга, и задачей №214.
218.Провести биссектрису BLb и продолжить ее до
пересечения с описанной окружностью в точке Bj, а также BjM-
диаметр, перпендикулярный АС. Обозначить для удобства:
ZA/2=a, ZB/2=C.
Легко видеть, что ZAMB1=ZABB1=ZB1AC=ZB1BC=j3. Поскольку
ZAOrB1=o&P=ZB1AOr, то ZBjAOr - равнобедренный, отсюда
следует, что R2-d2=B1Or-OrB=B1A-OrB=2Rr.
219.Воспользоваться способом решения задачи №218.
220.Обозначить искомое расстояние через х и получить
соотношение: 2(с-х)+2(Ъ-х)+2х=2р.
221.Перебрать все возможные варианты совпадения
точек. Например, при совпадении точек пересечения серединных
перпендикуляров и медиан, сразу же следует, что точка
пересечения еще и ортоцентр исходного треугольника и т.д.
222.Соединить точку Р с вершинами треугольника и
приравнять площадь треугольника сумме площадей
треугольников ABP,BPCJPC.
223.Воспользоваться теоремой Птолемея (задача №289).
180

224.Предположить, что MB - наибольший из данных
отрезков и воспользоваться теоремой Бретшнейдера (задача
№253), из которой следует, что в четырехугольнике АВСМ:
МВ<МА+МС (ААМСф120°).
225.Провести через точку Р прямые, параллельные
сторонам исходного треугольника, и рассмотреть три
образовавшихся правильных треугольника.
226.В случае а) воспользоваться теоремой Пифагора; в
случае б) провести через точку М прямые, параллельные
сторонам ААВС.
227.Убедиться в том, что треугольник LCMa -
равносторонний и LCAB. Поэтому ААВС подобен ALCQ, т.е.
BQ/QC=AB/LC=2:1 и BC=BQ+QC=3QC. Аналогично, ВС=ЗВР.
228.Воспользоваться задачей №222.
229.Ввести обозначения: О - центр ААВС, угол наклона
КМ по отношению к АС - а, точка D - пересечение КМ и АС.
Очевидно, что OMb=r, BMb=2r, ZLBO=a, BL=2r-cosa, CD=r(ctga-
3I/2), CM=CD'Sina, AM=r{ctgo&312), AK=AD-sina. Подставить эти
выражения в искомую формулу и получить: AK2+BL2+CM2=6r2.
230.Получить соотношение:
ha+hb+hc=rC+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b).
Следовательно, (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)=6 и равенство
возможно лишь при а=Ь=с.
231.Показать, что первое равенство приводит к
соотношению: (a-b)-(l-sinC)=0. Аналогично преобразовать и
второе.
232.Преобразовать исходное соотношение к следующему
виду:
(cosa-cosC/2f+(sinl3/2f=0, где а=(А+В)/2 и C=(А-В)/2.
233.Обозначить на отрезке АР точки М и N так, что
PN=PB,
РМ=РС. Тогда треугольники СРМ и BPN - правильные.
Треугольники CQP и BQN подобны, поэтому CP/PQ=BP/(BP-
181

234.Убедиться в том, что медиана АМа соединяет
середины параллельных хорд B2Cj и A2Aj, т.е. она им
перпендикулярна. Следовательно, АМа - высота ААВС и АВ=АС.
Аналогично, АВ=ВС.
235.Воспользоваться задачей №41 и показать, что высоты
треугольника равны между собой. Затем обратиться к задаче
№36.
236.Высота любого треугольника больше диаметра
вписанного круга.
Поэтому длины высот - целые числа, большие двух. Пусть а -
наибольшая сторона, h - соответствующая высота. Предположим,
что ААВС - неправильный. Тогда 2р<3а и За>2р=2р -r=2S=ha, т.е.
/кЗ, что противоречит гипотезе.
237.Показать, что точки N,B,P,Q лежат на одной
окружности, аналогично, точки Q,P,M,C также принадлежат
одной окружности.
238.Воспользоваться задачами №77 и №83.
239.Пусть хорда CjAj пересекает стороны АВ и АС в
точках EnF.
Углы AjBF и BAjF равны по 30°. Следовательно, ABFAj -
равнобедренный, поэтому BF=FAj, а так как AEBF -
равносторонний, то BF=EF. Из последних двух равенств
получаем: FAj=EF. Аналогично, CjE=EF.
240.3адачи является следствием задачи №162.
241.Задачи является следствием задачи №220.
242.Показать, что угол между высотой и катетом ВС
равен углу между медианой и катетом АС и оба равны углу А.
243.Показать, что радиусы обеих окружностей,
проведенные в точку М, перпендикулярны соответствующим
катетам.
244.Известно, что pr=(p-a)ra=(p-b)rb=(p-c)rc (см. задачу
№84), отсюда p/ra=p/r-a/r, p/rb=p/r-b/r, p/rc=p/r-c/r. По условию
задачи, правые части равенств - целые числа, и их сумма, равная
р/r, также целое число. Поэтому а,Ь,с - кратны г. Полагая г=/,
можно получить (р-а)'(р-Ь)'(р-с)=р. Обозначить расстояния от
вершин А,В,С до точек касания вписанного круга сторон Ъ,с,а
182

через x,y,z и получить: xyz=x+y+z. Целыми решениями последнего
уравнения (с точностью до перестановки неизвестных) являются
числа 1,2,3. Следовательно, а=5, Ь=4, с=3.
245.Обозначить центр искомой окружности через О и
применить теорему косинусов (задача №87) к ACOOR.
246.Опустить из точки Р перпендикуляры РК и PL на
стороны ВС и АС соответственно. Треугольники AjPK и PLBj
подобны, поэтому (m-KC)/KP=PL/(n-CL). Отсюда заключаем, что
(l/m)+(l/ri)=l/h, где h=KC=KP=PL=CL, т.е. h не зависит от выбора
прямой.
247.Показать, что точки Р и С лежат на окружности,
построенной на АВ как на диаметре. Треугольник АР В -
равнобедренный, отсюда следует, что ZBCP=ZPCA.
248.Утверждение задачи следует из равенства:
ab/2=(p-c)-rc (см. задачу №84).
249.Предположить, что ортоцентр ААВС - точка Н -
находится внутри него. Тогда, по условию,
ZMbHMa+ZMbMcMa=7t. Если высота АНа пересекается с МСМЪ в
точке М, а высота ВНЪ - с МсМа в точке N, то вследствие того, что
МсМьЫНа, а МсМа1ВНь, имеем: ZMHN+ZMMcN=tt.
Следовательно, ZMbHMa=ZMHN, а это возможно только в
прямоугольном треугольнике.
250.Легко видеть, что СМС- биссектриса ZHCCA, поэтому
АМС/МСНС=Ъ/НСС. Из равенства треугольников СМСНС и НССВ
следует, что Ъ/НСС=2, т.е. АА=я/6.
251.Воспользоваться соотношением 2pr=ab для площади
ААВС.
252.Воспользоваться формулой: SABc=ae'SinC/2.
253.Построить на стороне АВ во внешнюю сторону ААКВ,
подобный AACD, причем ZBAK=ZDCA, ZABK=ZCAD, а на
стороне AD - AAMD, подобный ААВС, ZDAM=ZBCA,
ZADM=ZCAB. Из подобия треугольников имеем: AK=ac/di,
AM=bd/dh KB=DM=ad/dj. Убедиться в том, что KBDM -
параллелограмм, значит, KM=BD=d2. Теперь искомую формулу
можно получить по теореме косинусов (задача №87) для АКАМ.
183

254.Доказать более общее утверждение для
произвольного четырехугольника и двух окружностей,
вписанных в треугольники по обе стороны от диагонали:
расстояние между точками касания этих окружностей диагонали
равно {{AD+BC)-{AB+CD))/2. Отсюда легко получить
утверждение а). Для доказательства пункта б) обозначить точки
касания окружности, вписанной в ABCD через: Е - на прямой АВ,
G - на ВС, //-на СД F - на DA, и убедиться в том, что KN \ \ EF,
LM\ | GH, EG\\KL,FH\\ NM.
255.Воспользоваться свойством средней линии
треугольника.
256.Провести диагональ АС и воспользоваться теоремой
косинусов (см. задачу №87) для треугольников ABC и ACD.
257.Провести диагональ АС и воспользоваться теоремой
косинусов (см. задачу №87) для треугольников ABC и ACD.
Показать, что данная формула применима для любых выпуклых
четырехугольников, т.к. если ZA+ZD>180°, то вместо этих углов
следует рассмотреть ZB и ZC.
258.Воспользоваться векторными соотношениями:
DM=(DA+DC)/2, DN=DB/2, MN=(DB-DA-DQ/2.
259.Предположить, что AB2+CD2=BC2+AD2 и доказать, что
диагонали пересекаются в точке О под прямым углом. Пусть
углы ВОС и AOD - тупые, а АОВ и COD - острые. Тогда
АВ2<ВО2+АО2, CD2<CO2+DO2, AD2>AO2+OD2, BC2>BO2+CO2.
Складывая обе пары неравенств, получить BC2+AD2>AB2+CD2\
что противоречит предположению. Еще проще доказывается
прямая теорема.
26О.Применить теорему косинусов (см. задачу №87) ко
всем четырем треугольникам, которые образуются при
проведении диагоналей.
261.Обозначить точки пересечения биссектрис углов А и
D через S, В и С - через Q, А и В - через Р, С иД - через R. Тогда
ZACD=tt-ZA/2-ZD/2, ZBQC=tt-ZB/2-ZC/2. Сложив оба
равенства, получить соотношение: ZACD+ZBQC=2 тг-
(ZA+ZB+ZC+ZD)/2=tt.
184

262. Для параллелограмма утверждение задачи
тривиально. Допустим, стороны АВ и CD пересекаются в точке К.
Тогда Sanb+SCnd=Samb+Scmd=Saob+Scod=Sabcd/2 . Поэтому
достаточно доказать, что геометрическим местом точек X, для
которых сумма площадей Saxb+Scxd равна половине SAbcd,
является отрезок. Отложив на лучах KB и КС отрезки КР=АВ и
KQ=CD, можно получить соотношение: Saxb+Scxd=Skxp+Skxq, т«е.
SVxg постоянна и точка X «заметает» отрезок, параллельный PQ.
263.Применить для нахождения площади каждого из
треугольников формулу: SxY^^ysinZ/2.
264.Обозначить через P,R,E,F,M,N середины сторон
Убедиться в том, что PREF и FNRM - параллелограммы (см.
задачу №255). Отрезки РЕ и FR пересекаются в точке О и делятся
ею пополам. Отрезки NM и FR, пересекаясь, также делятся
пополам, но т.к. О - середина FR, то NM и FR пересекаются в
точке О.
265.Обозначить угол между соседними сторонами а и Ъ
через (р, между с и d - через ф, так что (р±ф=2а. Из теоремы
косинусов (см. задачу №87) и условия a-b=c-d следует, что
ab-cd=ab'Cos(p-cd'Siпф. Кроме того, 2S=ab'Siп(fЯcd'Siпф. Возводя
два последних равенства в квадрат и складывая их, можно
получить искомое соотношение.
266.Обозначить точку пересечения сторон аи b через О и
воспользоваться теоремой косинусов (см. задачу № 87) для
треугольников ОАВ, OCD, ОСА и OBD.
267.Выразить углы между сторонами, а также между
сторонами и диагоналями четырехугольника Q2 через углы
между сторонами, а также между сторонами и диагоналями
четырехугольника Qj, заметив при этом, что диагонали
четырехугольника Q2 перпендикулярны соответствующим
диагоналям четырехугольника Qj и проходят через их середины.
268.Показать, что середины сторон четырехугольника
образуют параллелограмм, диагонали которого параллельны
отрезкам, соединяющим центры тяжести противоположных
треугольников. Другой параллелограмм образуют четыре высоты
185

рассматриваемых треугольников, выходящие из вершин
четырехугольника. Стороны первого параллелограмма
параллельны диагоналям четырехугольника, а второго - им
перпендикулярны. Кроме того, стороны второго
параллелограмма с «ctga» раз больше соответствующих сторон
первого (а- острый угол между диагоналями четырехугольника).
269.Показать, что, располагая в вершинах
четырехугольника одинаковые массы, искомая точка пересечения
- «центр тяжести четырехугольника» - находится на прямых,
соединяющих вершины с центрами тяжести противоположных
им треугольников.
270.Показать, что центры четырех окружностей образуют
вершины вписанного четырехугольника.
271.Соединить центры четырех кругов и показать, что
вершины исходного четырехугольника расположены на сторонах
построенного четырехугольника, т.к. центры кругов лежат на
биссектрисах внешних углов исходного четырехугольника. Это
позволяет выразить углы построенного четырехугольника через
углы исходного и доказать, что он является вписанным.
272.Опустить из вершин АиС перпендикуляры AAj и CCj
на диагональ BD, убедиться, что их длины равны и из равенства
треугольников АЛjM и СС;М получить искомый результат.
273.Доказать, что если перпендикуляры, опущенные из
точек Ао,Во и Со на стороны В С,С А и АВ, пересекаются в одной
точке (вершине D\ то и перпендикуляры, опущенные из вершин
А,В и С на прямые B0Cq,CqAq и АоВо, также пересекаются в одной
точке (см. задачу №114).
274.Обозначить основания перпендикуляров, опущенных
из точки пересечения диагоналей О на стороны AB,BC,CD,DA
через K,L,M и N соответственно. Четырехугольники KBLO,
CMOL, MDNO и ANOK - вписанные. Следовательно,
ZKLO+ZOLM+ZKNO+ZMNO=ZKBO+ZOCM+ZOAK+ZODM=
л/2+7г/2=л;.
275.Показать, что из подобия треугольников AjOBj и
АОВ, а также CjODj и COD (см. задачу №39) следует равенство
186

углов BjAjO и В АО, CjDjO и CDO, а также подобие
треугольников AjODj nAOD.
276.Показать, что ZAOB=tt-ZA/2-ZB/2, ZCOD=tt-ZC/2-
ZD/2.
277.Применить теорему Менелая (задача №93) к
следующим парам треугольников и прямых: AABD и PQ, ABDC и
RQ, ADCA и PR, затем перемножить полученные выражения.
278.Обозначить через O,Oj,O2,K,L центры окружностей,
описанных около треугольников ABC,DAB,BCD, а также
середины сторон АВ и ВС. Показать, что О]О2 J_ DB и, значит,
OlO2LKAC, отсюда следует, что OO1/O1K=OO2/O2L.
Следовательно, если применить теорему Менелая (см. задачу
№93) к треугольникам ОКБ и OLD, можно получить, что прямые
А О] и СО2 делят ОВ в одном и том же отношении.
279.Обозначить через M,N,K,L точки касания сторон
AB,BC,CD и DA. Показать, что МК и NL пересекаются в точке
пересечения АС и BD, MN и KL пересекаются в той же точке, что
и прямые АС и PR, а прямые ML и NK - в той же точке, что и
прямые PR и BD. Теперь можно воспользоваться теоремой
Брокара (задача №304).
28О.Ввести обозначения: АО=х, ВО=у, СО=и, DO=v,
cosZAOB=k. Из соотношения S=pr следует auv+cxy=bxv+dyu.
Вовзвести это равенство в квадрат, сделать замены, аналогичные
следующей: а2=х2+у2-2кху, и получить равенство a+c=b+d. Для
доказательства утверждения пункта б) достаточно проверить
условие: ООуОО^ООгОО^ или ri-r3/sin2(a/2)=r2-r4/cos2(a/2), где
a=ZAOB.
С этой целью обозначим через 1^=1,2,3,4) длины касательных к
окружностям, выходящие из точки О. Путем несложных
преобразований можно получить: /;+/з=/2+/^? или
(r1+r3)ctg(a/2)=(r2+r4)tg(a/2). Теперь уже легко проверить
условие, приведенное выше.
281.Обозначить через К и L середины сторон АВ и CD.
Доказать, что SKELF= (Scod-SaboY29 а, значит,
187

Поскольку ADEK, то SPeb=SAEb=Sabd/4 и Spkf=Sabc/4. Отсюда
следует, что Spef^Skef+Spek+Spkf^Sabcd/4. В соответствии с
задачей №99 прямая, проходящая через точки F,E и середину PR,
является прямой Гаусса.
282.Предположим обратное: окружность, касающаяся
сторон АВ,ВС и CD, не касается стороны DA. Провести
касательную DAj (точка Aj расположена на АВ) и получить
треугольник DAAj, у которого длина одной стороны равна сумме
длин двух других.
283.Воспользоваться теоремой Вариньона (задача №255).
284.Обозначить точку пересечения АВ и CD через Р
(случай ABCD легко рассмотреть отдельно). Соединить точки Р и
М. Площади треугольников BMP и МСР равны, значит, равны
площади двух фигур: APMN и PMND. Но если соединить точки Р
и N, то площади треугольников APN и PNC также будут равны.
Из полученного противоречия следует утверждение задачи.
285.Воспользоваться тем обстоятельством, что по теореме
Вариньона (задача №255) KLMN - не только параллелограмм, но
и ромб.
286.Обозначить через Р точку пересечения прямой KL с
диагональю АС, а через Е - такую точку на КР, что СЕ \ \ АВ.
Тогда треугольники CEL и BKL подобны, значит, CE=CL,
CP/AP=CE/AK=CL/AK.
Точно так же прямая MN пересекает продолжение АС ъ такой
точке Pi, для которой CPj/APj=CM/AN=CL/AK. Следовательно,
точки Р и Р] совпадают.
287.Воспользоваться способом решения, примененным в
задаче №158: произвести последовательно повороты плоскости
вокруг вершин равнобедренных треугольников на угол, равный
углу при их вершинах.
288.Выразить длины отрезков касательных от вершин
четырехугольника до точек касания через длины его сторон.
289.Утверждение теоремы является следствием теоремы
Бретшнейдера (задача №253), поскольку ZA+ZC=n.
290.Искомая площадь равна S=(ab+cd)-sinB/2. Далее,
вычислив квадрат длины диагонали А С по теореме косинусов из
188

треугольников ABC и ACD, можно получить соотношение: а2+Ь2-
2dto-cosB=c2+d2+2cd-cosB. Из последнего равенства найти «cosB»,
затем «sinB» и получить искомую формулу.
291.Утверждение задачи является следствием более
общей теоремы о том, что площадь описанного около
окружности четырехугольника равна S=(aecd)m-sin((B+D)/2). В
самом деле, в этом случае р-а=с, p-b=d, р-с=а, p-d=b и можно
воспользоваться задачей №256.
292.Воспользоваться формулой 4S=AC{cd+ab)/R и
теоремой косинусов (см. задачу №87) для определения АС из
треугольников ABC и ACD.
293.Обозначить точки пересечения прямой, проходяшей
через Р со стороной AD через N (PN _L AD), со стороной ВС -
через М.
Тогда ZCPM=ZAPN=ZADP=ZBCA, отсюда следует, что
РМ=МС. Аналогично, РМ=МВ.
294.Ввести декартовую систему координат с осью
ординат, совпадающей с осью симметрии параболы и с центром в
ее вершине. Затем найти радиусы-векторы точек пересечения и
доказать, что сумма противоположных углов искомого
четырехугольника равна 180 .
295.Убедиться в том, что треугольники CPL и PAN
подобны, поэтому PL/PN=PC/AP. Треугольники АКР и СМР
также подобны, следовательно, РК/МР=АР/СР. Перемножая оба
равенства, можно получить: PLPK=PNPM.
296.Обозначить через P,K,L,M,N точки пересечения
диагоналей и основания перпендикуляров из точки Р на
AB,BC,CD и DA. Так как четырехугольник PKBL - вписанный, то
ZPKL=ZPBC, аналогично, ZPKN=ZPAD. Но ZPBC=ZPAD,
следовательно, КР - биссектриса угла NKL. Это означает, что
биссектрисы углов четырехугольника KLMN пересекаются в
точке Р, которая и является центром вписанной в KLMN
окружности. Ее радиус равен (при ZKLP=ZABP=a, ZPBC=/3)
расстоянию от Р до KL и равен
PLsina=PB-sinP-sina=PB-(PC/BC)-(AP/AB)=
189

=(R2-d2)-PB-AC/(BC-AB-sm(c&j3))-sm(c&j3)/AC=
=(R2-d2y2SABC/2SABC/BR)=(R2-d2)/BR).
297.Обозначить середины сторон ВС и AD через К и М. Из
утверждения задачи №293 известно, что РМ _L ВС, т.е. (Ж | | РМ.
Аналогично, РК \ \ ОМ, т.е. КОМР - параллелограмм, в котором
(см. задачу №339) MK2+PO2=2(PM2+PK2)=2R2. Отсюда следует,
что MK2=2R2-cf и точки Ми К лежат на окружности с центром в
середине отрезка РО (точка S) и радиусом
BR2-d2)ml2. Но ARMK (R - основание перпендикуляра из Р на
ВС) - прямоугольный, поэтому RS=MK/2=BR2-d2)m/2, значит,
точка R лежит на этой же окружности.
298.Для четырехугольника с перпендикулярными
диагоналями утверждение задачи является следствием
утверждений, сформулированных в задачах №296 и № 297.
Осталось показать, что любой «вписано-описанный»
четырехугольник может быть получен из вписанного
четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями.
В самом деле, если KLMN - «вписано-описанный»
четырехугольник, Ог - центр вписанной окружности, то проведя
прямые, перпендикулярные биссектрисам KOnLOnMOnNOr и
проходящие через K,L,M,N соответственно, можно получить
четырехугольник ABCD. При этом ZBPK=ZKLB=tt/2-ZMLK/2.
Аналогично, ZKPA=ZKNA=
=7t/2-ZMNK/2 и, значит, ZBPA=ZBPK+ZKPA=tt-(ZMLK+
+ZMNK)/2=tt/2. Таким образом, все углы BPA^4PD,DPC,CPB -
прямые, Ог - точка пересечения диагоналей ABCD, сами же
диагонали перпендикулярны. Нетрудно показать, что ABCD -
вписанный четырехугольник.
299.Убедиться в том, что ZBO^tt^+ZBCA^,
ZBOjA=ZBO4A и АВО\О4 - вписанный четырехугольник, т.е.
смежный с ZBOjO4 угол равен ZBAO4=ZBAD/2. Аналогично,
угол, смежный с ZBOjO2, равен ZBCD/2. Но
ZBAD/2+ZBCD/2=k/2, значит, ZO4OiO2=n/2.
Для доказательства второй части утверждения показать, что
190

расстояние от вершины треугольника до ортоцентра полностью
определяется величиной угла при вершине и длиной
противоположной стороны (см. задачу №72):
AH=2R-cosA=BC'CtgA. Поскольку ABCD - вписанный
четырехугольник, то АН3=ВН2 и АН3 \ \ ВН2. Слевательно, АВН2Н3
- параллелограмм. Таким образом, точка пересечения АН2 и ВН3
делит АН2 и ВН3 пополам. Рассматривая другие параллелограммы,
можно заключить, что отрезки Н2А,Н3В,Н4С и HjD пересекаются
в одной точке (М) и делятся этой точкой пополам, т.е. ABCD и
Н1Н2Н3Н4 центрально симметричны относительно точки М.
ЗОО.Из решения задача №299 известно, что OjO2O3O4 -
прямоугольник.
Обозначить через КиЬ точки касания окружностей, вписанных в
треугольники ABC и ACD, со стороной АС и показать, что KL=
\AB+CD-BC-AD\/2. Аналогично, если Р и Q - точки касания
соответствующих окружностей с BD, то PQ=KL. Проведя через
О3 прямую, параллельную А С, до пересечения с продолжением
OjK, получить AOjO3M. Аналогично построить AO2O4R. Эти два
прямоугольных треугольника равны, т.к. О]О3=О2О4,
O3M=KL=PQ=O4R.
Значит, OjM=O2R, но OjM равен сумме радиусов окружностей,
вписанных в ААВС и AACD, a O2R равен сумме радиусов
окружностей, вписанных в ABCD и ABDA.
301.Нетрудно заметить, что sinA/sinB=BD/AC=(ac+bd)/AC2
(см. задачу №289). Далее, найти АС2 из теоремы косинусов
(задача №87), примененной к треугольникам ABC и ACD.
302.Провести окружность через точки Q,B и С, она
пересечет отрезок PQ в точке М. Легко показать, что
четырехугольник MB АР - вписанный. Поэтому
PQ-PM=PC-PB=m2 и QP-QM=QA-QB=n . Складывая эти
равенства, получить искомый результат.
303.Воспользоваться способом решения задачи №302.
304.Воспользоваться задачей №303 и получить
выражения сторон AMNP через а=РО, b=NO и с=МО. Показать,
что для того, чтобы NO была перпендикулярна РМ, необходимо и
достаточно выполнение равенства: NP2 -NM2=OP2 -ОМ2, или
191

(a2+b2-2R2)-(b2+c2-2R2)=a2-c2. Аналогично проверяется
перпендикулярность других отрезков.
305.Показать, что треугольники АВК и BCD подобны,
следовательно, AK=ABCD/BD. Аналогично, из подобия
треугольников CLD и ABD следует, что LC=CDAB/BD. Легко
видеть, что AK=LC.
306.Обозначить величины дуг ВА и AD через 4а и 4C и
провести хорду DP. Тогда ZBCD=2{a+/3), ZDCP=ZDAP=c&fi
ZDCA=2a. Угол, смежный с углом А, равен 2{а+/3), отсюда
следует, что ZDPA равен его половине.
307.Обозначить через S центр параллелограмма KLMN.
Перпендикуляры, восстановленные в его вершинах к
соответствующим сторонам, пересекаются в одной точке О -
центре описанной окружности. Перпендикуляры, опущенные из
его вершин на противоположные стороны, параллельны первым
перпендикулярам и поэтому также пересекаются в одной точке Р,
симметричной О относительно точки S.
308.Обозначить через Е и F середины диагоналей АС и
BD. Доказать следующее утверждение: точка М пересечения
отрезков АМ2 и EF находится в середине EF. В самом деле, если
Н- середина СМ2, то так как АЕ=ЕС, отрезок EH \ \ АМ2, а так как
FM2=M2H, FM=ME. Поэтому ММ2=ЕН/2=АМ2/4. Теперь
рассмотрим гомотетию с центром в точке Ми коэффициентом
(-1/3). Она переводит описанную окружность в
окружность, на которой располагаются все четыре центра
тяжести так же, как это показано для точки М2.
ЗО9.Ввести обозначения: ZAPB=a, ZBAP=cp. Из теоремы
синусов для каждого из треугольников можно получить
соотношение: a/Ri=b/R2=c/Rs=d/R4=k. Поскольку BP=2Rj -sin q>,
b=2R-sin(p, b=R2k, то BP=RjR2k/R. Аналогично, PC=R2R3k/R,
AP=RjR4k/R, PD=R3R4k/R. Далее, выразить диагонали АС и BD
через найденные отрезки и воспользоваться теоремой Птолемея
(задача №289).
ЗЮ.Воспользоваться задачей №318, в которой
утверждается, что биссектрисы углов Ми N перпендикулярны.
192

311.Доказать, что если дана окружность радиуса R и в ней
проведена хорда АВ длиной /, а две окружности радиусов Rj и R2
касаются исходной в точках А и В, то длина отрезка общей
внешней касательности (при одинаковом касании: только
внешнем или только внутреннем) равна (//7?)-G?=b7?7I2-G?ib7?2I/2.
Далее, убедиться в том, что если искомое соотношение
выполняется для каких-то окружностей, касающихся исходной
соответствующим образом, то оно выполняется и для любых
таких окружностей. Если, например, эти окружности нулевого
радиуса, то получаем обычную теорему Птолемея (задача №289).
312.Применить теорему косинусов для вычисления
квадратов длин диагоналей.
313.Воспользоваться теоремой Паскаля (задача №356).
314.Убедиться в том, что точки A,K,N,C,L,M лежат на
одной окружности с диаметром А С. Поскольку ZMKL=ZMAL=
=tt/2-ZB=ZKCB=ZKLN, то МК \ \ LN и
MR/MN=MK/LN=smZMCK/smZLAN=cos(A-B)/sm(A^B-7r/2).
Если теперь Р и Q - основания перпендикуляров, опущенных из
вершины В, a, S — точка пересечения MN с PQ, то, поскольку
ZPNB=ZPAB=ZC, PN | | DC, т.е. MQNP - трапеция. Таким
образом, MS/SN=MQ/PN= cos{A-B)lsin{A+B-7t/2). Итак, точки R и
S делят MNb одном и том же отношении, значит, они совпадают.
315.Составить систему четырех уравнений с четырьмя
неизвестными: ZD+ZC=7r+a, ZB+ZC=7t+P, ZA+ZC=7t,
ZB+ZD=tt.
316.Обозначить через аф^о дуги, соответствующие
сторонам а,Ъ,с и d. Тогда искомое соотношение равносильно
тригонометрическому тождеству:
sin(a/2ycos(y/2)+sin(y/2)-cos(a/2)=
=sm(j3/2)'Cos(o/2)+sm(o/2}cos(j3/2).
317.Обозначить через L и Р точки пересечения прямых
AM и AN с окружностью. В соответствии с теоремой Паскаля
(задача №356) прямые BL,DP,MNпересекаются в одной точке. Но
BL и DP - диаметры - пересекаются в центре окружности,
поэтому MN также проходит через центр окружности.
193

318.Перпендикулярность биссектрис следует из условий
для углов: A+D+P=C+D+a^7ri& формул к задаче №315. Далее, из
подобия треугольников ANC и BND можно получить, что
ZKNA=ZLND и KN/NL=AC/BD, т.е. биссектриса угла BNC
является также и биссектрисой угла KNL и делит отрезок KL в
отношении AC/BD.
Очевидно, что в этом же отношении делит KL и биссектриса угла
АМВ.
319.Рассмотреть три треугольника ABC^ACD^ADB,
имеющих общую вершину А и обозначить через Bj,Cj,Dj
проекции точки Мна стороны соответственно AB^iC^iD. Прямые
BjCj.CjDj.DjBj являются прямыми Симеона точки М
относительно рассматриваемых треугольников. Но точки
A,M,Bj,C],D] лежат на одной окружности с диаметром AM.
Следовательно, проекции точки М на BjC^CjDj и DjBj лежат на
одной прямой - прямой Симеона точки М относительно
треугольника BjCjDj. Далее необходимо рассмотреть
треугольники с общей вершиной В и т.д.
32О.Выбрать точку М на наименьшей стороне АВ так,
чтобы отрезок MQ, параллельный CD, имел бы такую же длину,
как и ВЫ. Провести QP - перпендикуляр к CD, и, обозначая
пересечение ВС с MQ точкой N, провести прямую 77%
параллельную ВС, так, чтобы точка Т лежала на продолжении
отрезка NQ за точку N, а точка F - на продолжении отрезка СР за
точку Р.
321.Воспользоваться подобием четырех пар
треугольников: ABC и МРС, ABD и PND, ВРС и APD, АВР и PCD.
322.Доказать, что биссектрисы углов четырехугольника
AjBjCjDj пересекаются в точке Р. В самом деле,
ZPA1D1=ZPAD=ZPBC=ZPA1Bl9 т.е. AjP - биссектриса ZBjAjDj.
Обозначить через К,М,Е соответственно точки пересечения
прямых AjBj,DjCj с АС и между собой. Прямая АС образует
равные углы с прямыми AjBj и DjCj. Действительно,
ZA1MP=ZA1PA-ZPA1M=7r/2-ZA1AP-ZPBB1=7r/2-ZCAB-ZDBC.
Аналогично можно найти, что ZDjKP=7r/2-ZCAD-ZCDB. Но
поскольку ZCAB=ZCDB, ZDBC=ZCAD, то ZA1MP=ZD1KP.
194

Точка Р является точкой пересечения биссектрис AAjEDj. Значит,
биссектриса угла Е этого треугольника проходит через точку Р
(по доказанному только что) параллельна АС, т.е. точки М,К и Е
должны совпадать.
323.Обозначить через R проекцию точки Мна диагональ
АС. Убедиться в том, что точки P,Qh R лежат на одной прямой -
прямой Симеона для ААВС (см. задачу №159). Точно также на
одной прямой располагаются точки K,L и R.
324.Воспользоваться задачей №252 и выразить длины
диагоналей с помощью теоремы синусов (задача №86).
325.Описать около ААВС окружность с центром О,
который находится на перпендикуляре к стороне АВ,
проведенном через ее середину. Обозначить через D точку
пересечения биссектрисы угла С с этим перпендикуляром.
Поскольку и CD и OD пересекают дугу АВ в ее середине, то точка
D должна быть на дуге АВ.
326.Обозначить через E,F,K,L середины дуг AB,BC,CD и
DA, а через М точку пересечения указанных в задаче прямых.
Найти угол FMK, как полусумму дуг, на которые он опирается.
327.Применить теорему о средней линии треугольника
(задача №6) к ААВС и AACD.
328.Обозначить точку пересечения диагоналей через О и
рассмотреть две пары подобных треугольников: АМО и ABC,
BOCnAOD.
329.Обозначить длину отрезка MN через х и, используя
формулу для площади трапеции, найти площади трапеций AMND
и MNCB, приравнять их, а также приравнять их сумму площади
исходной трапеции.
ЗЗО.Задать длину отрезка MN в виде (ab)m и проверить
выполнение равенств: AD/MN=MN/BC=AM/MB=DN/NC.
331.Рассмотреть средние линии двух треугольников: ABD
и ABC.
332.Соединить точки Р и О и доказать, что полученная
прямая проходит через середину ВС (точка F) и середину АС
(точка К), воспользовавшись теоремой о пропорциональных
отрезках (Фалеса): BF/AK=FC/KD и BF/KD=FC/AK.
195

333.Обозначить длины отрезков АО и DO через х и у.
Треугольники В ОС и AOD подобны с некоторым коэффициентов
к, т.е. СО=кх, ВО=ку. Используя формулу для площади
треугольника S=pr, можно получить:
2
l/r2+l/r4=(a+x+ky)/BkSAOD)+(c+kx+y)/BkSAoD)- Теперь несложно
довести решение до конца, замечая, что kd+d=a+c. Последнее
равенство следует из того факта, что трапеция является
описанной.
334.Обозначить через P,Q,R середины оснований
трапеции ВС и AD, а также точку пересечения МР и AD.
Поскольку треугольники AHR и ВРН подобны, то
AH/HB=AR/BP=AR/PC=AM/CM. Точно так же можно получить
соотношение DK/KC=AM/CM, и из этих двух равенств - искомый
результат.
335.Показать, что треугольники АМВ и CND -
прямоугольные. Соединить затем точки Ми N с серединами К и L
боковых сторон и доказать, что отрезки КМ и LN параллельны
основаниям и, значит, точки K,M,L,N лежат на средней линии
трапеции.
ЗЗб.Доказать, что все эти точки лежат на средней линии
трапеции.
337.Предположить, что точка Р - середина диагонали АС,
тогда МР=ВС/2 и NP=AD/2 по свойству средней линии
треугольников ABC и ACD. Поэтому MP+PN=(AD+BC)/2, или
MP+PN=MN (по условию). Значит, точка Р лежит на прямой MN,
итаккак?С| \MNnAD\ \MN9 то AD \ \MN.
338.Легко видеть, что Saod/Sdoc=АО/ОС и
SDOc/Sboc=DO/OB, но по условию SAOd/SDOc=Sdoc/Sboc, т.е.
AO/OC=DO/OB.
Значит, треугольники AOD и В ОС подобны и AD | | ВС.
339.Обозначить через К и L середины диагоналей АС и
BD четырехугольника ABCD. По формуле для медианы
треугольника (задача №56) имеем: 4KL2=2BK2+2KD2-
BD2=BAB2+2BC2-AC2)/2+BCD2+2AD2-AC2)/2-BD2=0, поэтому
196

точки К и L совпадают, a ABCD - параллелограмм. Доказать и
обратное утверждение.
34О.Выразить площади всех треугольников в виде
половины произведения стороны на высоту.
341.Обозначить через AAuBBuCCuDDi - биссектрисы
внутренних углов параллелограмма, которые при пересечении
дают четырехугольник PQRS. Очевидно, что PQRS -
параллелограмм. Далее, ZAPB=7r-(ZBAP+ZABP)=
=7r-(ZBAD+ZABC)=7r-7r/2=7r/2, т.е. PQRS - прямоугольник.
Треугольники BABj и CDCj равнобедренные, так как у них
биссектрисы перпендикулярны основаниям. Поэтому ВР=В1Р,
DjR=DR, а, следовательно, PR \ \ AD. Итак,
PRDBj - параллелограмм, поэтому PR=BjD=AD-ABj=AD-AB.
342.Обозначить через Р и Q точки пересечения прямой
BD с окружностью (Р ближе к точке В), а через L - точку
пересечения СВ с окружностью, / - касательная в точке С
Рассмотреть треугольник PCN, из вершин которого выходят
прямые PQ, ММи 1.
Воспользоваться решениями задач №107 и №359 и получить, что
необходимым и достаточным условием для того, чтобы прямые
PQ,NM и / пересекались в одной точке, является выполнение
равенства: (PM/MQ-(CQ/QN){NC/CP)=1. С другой стороны, в
шестиугольнике ALPMCQ диагонали AM,LC,PQ пересекаются в
одной точке. Значит, ALPM-CQ=LPMC-QA. Но так как NC=AL,
QN=LP, CP=QA, из справедливости последнего равенства следует
справедливость условия {PM/MC)-{CQ/QN){NC/CP)=L
343.Ввести обозначения: ABCD - данный
параллелограмм, ZBAD=a, О] - центр квадрата на стороне ВС,
(О2 - то же на стороне АВ, О3 - на AD, О4 - CD). Треугольники
BOjC, AO2B и т.д. построены так, что каждый из углов,
прилежащих к сторонам ВС, АВ и т.д., равны 45°. Треугольники
О]ВО2 и О3АО2 равны, так как OiB=O3A, O2B=O2A и
ZOjBO2=Z0^02=71/2+а. Теперь легко показать, что О]О2=О2Оз и
АО2 перпендикулярно ВО2.
197

344.Доказать, что треугольники ADE.CFD и BFE равны:
ACFD получается из ABFE поворотом на 60° вокруг точки F, а
AADE из того же ABFE - поворотом на 60° вокруг точки Е.
345.Обозначить через К и L точки пересечения AQ с PD и
AQ с DC
Из подобия треугольников АКР и ALD следует, что KD=D/5) PD
и SAKD=D/5)'SAPD=A/5)'S. Следовательно, искомая площадь равна
величине S-4{1/5)?=A/5)S.
346.Опустить из вершин В и D перпендикуляры на
диагональ АС. Из равенства образовавшихся двух прямоугольных
треугольников следует, что диагональ BD точкой пересечения
диагоналей делится пополам. Аналогично, опустить
перпендикуляры из А и С на диагональ BD и повторить
рассуждения.
347.3аписать условие теоремы Менелая (задача №93) для
треугольника BCD и прямой PF. Далее, проверить, что
аналогичное условие выполняется для треугольника ABD и
прямой РН.
348.Рассмотреть две пары равных треугольников:
BNO.OKL и АМО, OLC Здесь О - точка пересечения диагоналей
ABCD.
349.Обозначить через ОиР точки пересечения КМ с LNn
середину диагонали А С. Тогда можно записать:
LP+PN+KP+PM>LN+KM=AB/2+CD/2+BC/2+AD/2=LP+PN+KP+P
М, таким образом, точки ОиР совпадают.
35О.Убедиться в том, что четырехугольник ABCD -
выпуклый. Рассмотреть параллелограмм ACCjAj, у которого
стороны АА] и СС] равны и параллельны диагонали BD.
Треугольники ADAj.CDCj и CjDAj равны равны соответственно
треугольникам ABD.BCD и ABC
Следовательно, отрезки, соединяющие D с вершинами
параллелограмма ACCjAj, делят его на четыре треугольника, у
которых равны радиусы вписанных окружностей. Таким образом,
точка пересечения диагоналей параллелограмма ACCjAj
совпадает с точкой D и четырехугольник ABCD -
параллелограмм, а следуя задаче №352, можно заключить, что
198

ACCjAj является ромбом, значит, в итоге, ABCD -
прямоугольник.
351.Обозначить через Pi вторую точку пересечения LN с
описанной окружностью. Тогда BPj \ \ KN, P\D \ \ LM, ZBPjD=7r/2.
Значит, KN перпендикулярно LM. Кроме того, LN
перпендикулярно КМ, таким образом, N - ортоцентр AKLM.
Обозначив КР=х, PN=y, получить, что прямая KN делит BD в
отношении Х'(а+у)/((Ь-х)-у), считая вершины В. В таком же
отношении прямая LM делит BD.
352.Обозначить через О точку пересечения диагоналей
четырехугольника ABCD. Предположить, что BO<OD, AO<OC и
рассмотреть AOAjBj, симметричный АОАВ относительно точки
О. Очевидно, что радиус окружности, вписанной в AOAjBj,
меньше радиуса окружности, вписанной в AOCD, а по условию,
они равны. Итак, О - середина обеих диагоналей и ABCD -
параллелограмм. Далее, поскольку у ААВО и АВОС площади и
радиусы вписанных окружностей равны, то равны и их
периметры, т.е. АВ=ВС и ABCD - ромб.
353.Доказать, что диагонали четырехугольника делятся
точкой пересечения пополам, воспользовавшись способом
решения задачи №352.
354.Воспользоваться равенством треугольников АВО и
ВОС, где О - точка пересечения диагоналей параллелограмма.
355.Показать, что из равенства углов АСВ и ACD, а также
ВАС и CAD, следует равенство треугольников ABC и ADC.
356.Обозначить через М точку пересечения AD и KL.
Тогда, KM/ML=SAKD/SALD=(AK-CD)/(DL-AF). Аналогично, если М7
- точка пересечения BE и KL, то KMj/MjL=(BK'EF)/(LE'BC). Из
подобия треугольников АКР и ВКС, CLD и FLE имеем:
AK/AF=BK/BC,CD/DL=FE/EL. Перемножив последние равенства,
можно получить:
KM/ML=KMi/MiL, т.е. точки MnMj совпадают.
Замечание. Теорема Паскаля иногда формулируется следующим
199

образом: «Если A,B,C,D,E,F - вершины вписанного
шестиугольника, то три точки пересечения прямых АВ и DE, ВС
и EF, CD и FA, лежат на одной прямой».
357.Предположить обратное, т.е. диагонали
шестиугольника образуют треугольник PQR. Обозначить
вершины шестиугольника следующим образом: А лежит на луче
QP, В - на RP, С - на RQ, D - на PQ, Е - на PR, F - на QR.
Поскольку прямые AD и BE делят площадь шестиугольника
пополам, то Sapef^~Sped=Spdcb^~Sabp и Sapef^~Sabp=Spdcb~^~Sped-
Поэтому SAbp=Sped, т.е. APBP=EPDP=(ER+RP)(DQ+QP)>ERDQ.
Аналогично, CQDQ>APFR и FRER>BPCQ. Перемножив эти
неравенства, можно получить:
APBPCQDQFRER>APBPCQDQFRER, чего не может быть.
358. Доказательство А.С.Смогоржевского.
Лемма. Если к окружности в точках Р и Q проведены
касательные и на них отложены по одну сторону от PQ отрезки
PP]=QQ], то существует окружность, касающаяся прямых PPj и
QQi в точках Pi и Qj соответственно.
В самом деле, если построить все указанные отрезки и
окружности, то общая фигура будет симметрична относительно
серединного перпендикуляра к отрезку PQ, являющегося также и
серединным перпендикуляром к P\Qu а кроме того, и диаметром
данной окружности. Перпендикуляры к PPj и QQj в точках Pj и
Qi пересекают эту среднюю линию симметрии в одной и той же
точке, которая является центром искомой окружности.
Теперь пусть R,Q,T,S,P,U - точки касания шести касательных
AB,BC,CD,DE,EF,FA. На продолжениях прямых
EF,CBJB,ED,CDJF возьмем точки PhQhRhShThUh так, что
PPj=QQj=RRj=SSj=TTj=UUj9 и построим окружность I
(касающуюся PPj и QQj в точках Pj и Qj), окружность II
(касающуюся RRj и SSj в точках ^ и ^) и окружность III
(касающуюся TTj и UUj в точках Tj и U) в соответствии с
леммой. Поскольку длины касательных, проведенных к
окружности из одной точки, равны, то AR=AU и RR]=UU], a
сложив эти равенства, получим ARj=AUi. Аналогично, можно
получить, что DSj=DTj. Таким образом, точки А и D имеют
200

равные степени относительно окружностей II и III, a
соединяющая их прямая AD совпадает с радикальной осью этих
двух окружностей (задача №390). Аналогично, BE лежит на
радикальной оси окружностей I и II, a CF - на радикальной оси
окружностей III и I. Как известно, три радикальные оси этих
окружностей пересекаются в одной точке (задача №379).
359.Рассмотреть треугольник АСЕ, через вершины
которого проведены прямые AD,CF и ЕВ. Синусы углов,
образованных этими прямыми со сторонами треугольника АСЕ,
пропорциональны хордам, на которые они опираются,
следовательно, выполняется условие теоремы Чевы (задача
№107), эквивалентное искомому условию.
ЗбО.Поместить в вершины шестиугольника единичные
массы и обозначить центр масс полученной системы точек через
О. Поскольку точки K,M,N являются центрами масс пар точек
(A,B),(C,D) и (E,F), то точка О является центром масс системы
точек K,M,N с массами 2, т.е. О - точка пересечения медиан
AKMN. Аналогично доказывается, что О - точка пересечения
медиан APQR.
361.Обозначить точку касания через К и доказать подобие
треугольников ВМК и АКМ.
362.Обозначить точки пересечения прямой ОМ с
окружностью через К и L (К находится ближе к М) и доказать
подобие треугольников ВМК и LMA.
ЗбЗ.Ввести обозначения: PM=MQ=a, ХМ=х, MY=y.
Опустить перпендикуляры xj и yj из точек X и Y на прямую CD, a
х2 и у2 из этих же точек - на АВ. Рассмотреть соответствующие
пары подобных прямоугольников треугольников и получить
соотношения: x/y=xi/yi=x2/y2, Xi/y2=CX/AY, x2/yi=XB/YD, откуда
следует, что
x2/y={x1/y1)ix2/y2)={PXyPY)iXQ/YQ)={a-x2)l{a-y\ значит, х=у.
364.Воспользоваться способом решения, примененным в
задаче №363.
365.Доказать, что равенство
SAKM/SABC={AK+AM)I{AB+BC+AC) для искомой прямой КМ имеет
место тогда и только тогда, когда она проходит через центр
201

вписанной окружности О. Утверждение задачи является частным
случаем этого факта при SAja^SABC/2 и АК+АМ={АВ+АС+ВС)/2.
Если OP=OQ=r, то 2SABc=rBp)- С другой стороны, если р - радиус
окружности с центром на прямой КМ, касающейся сторон АК и
AM, то 2SAKM=p(AK+AM). Следовательно, сформулированное
выше условие равносильно равенству р=г.
Збб.Рассмотреть точку пересечения двух из указанных
окружностей и доказать, что она расположена на третьей
окружности. Воспользоваться теоремой о сумме
противоположных углов вписанного четырехугольника.
367.Доказать, что радиус окружности, описанной вокруг
рассматриваемого треугольника, равен радиусу данных
окружностей, а они симметричны описанной окружности
относительно сторон треугольника.
368.а)Доказать, что три окружности Аполлония
пересекаются в двух точках М; и М2, причем
AMj:BMj:CMj=bc:ac:ab и точно такое же соотношение
справедливо для точки М2. Воспользоваться способом решения,
примененным в задаче №135.
^Воспользоваться задачей №135 и ее решением.
в)Доказать, используя теорему Бретшнейдера (задача
№253), что для случая, когда точка Mj находится внутри ААВС,
выполняются соотношения: ZAM]C=7r/3+ZB, ZBM]A=7r/3+ZC,
ZCMjB=7t/3+ZA. Аналогично - для точки М2.
369.Рассмотреть угол, смежный с углом С треугольника
ВСМ - для случая точки, расположенной вне круга, и
треугольники ANC и DNB - для случая точки, находящейся
внутри круга.
37О.Для доказательства можно соединить точки L и К с
центром круга и опустить перпендикуляр из точки L на КМ.
371.Ввести обозначения: О] - центр исходной
окружности, К и L - основания перпендикуляров из точки О на
отрезки РВ и PC, N - точка пересечения POj и ВС. Рассмотреть
две пары подобных треугольников: РКО и BNOj, PBN и BNO], и
из соотношений подобия получить, что расстояние NOj равно
(R-r).
202

372.Убедиться в том, что
ZBCP+ZPBC=ZCO1P/2+ZBOP/2=7t/2.
373.Рассмотреть два подобных прямоугольных
треугольника С АО и COD.
374.Обозначить проекции точек А,В,С на прямую через
Aj,Bj,Ci и проекцию точки С на AAj - через С2. В треугольнике
АСС2: СС22=АС2-АС2\ т.е. ^7C72=(a+cJ-(tf-Z>J=^c. Аналогично,
В]С]2=4Ьс и А]В]2=4аЬ. Поскольку A1Ci+CiB1=A1Bl9 можно
получить: (ac)m+(bc)m=(ab)m.
375.Обозначить центры окружностей через Oi,O2, точку
их пересечения - через А. Поскольку радиусы OjA и О2А
перпендикулярны касательным к окружностям, проведенным
через А, угол между этими касательными равен углу между
радиусами OjA и О2А.
376.Ввести обозначения: длин катетов -(аи Z>),
гипотенузы - с.
Сумма площадей «луночек» равна (n/8)-a2+(n/8yb2+SABc-
Gr/8)-c2=SABC.
377.Доказать, что на прямой OjO2 существует
единственная точка 7?, такая, что ОiR2-O2R2=r 2-г22, и что прямая,
проходящая через R перпендикулярно к OjO2, есть искомая
радикальная ось.
378.Показать, что степень каждой из точек пересечения
относително обеих окружностей равна нулю, т.е. эти точки
принадлежат искомой радикальной оси.
379.Убедиться в том, что радикальная ось первой и
второй окружностей пересекается с радикальной осью второй и
третьей окружностей. Степени точки пересечения относительно
всех трех окружностей равны, поэтому она лежит на радикальной
оси первой и третьей окружностей.
380.Показать, что AK-cosZKAB+BK-cosZKBA=2R.
381. Доказать, что искомая окружность является
вписанной в треугольник OjO2O3 и найти ее радиус, разделив
площадь AOjO2O3 на его полупериметр.
203

382.Воспользоваться тем, что углы с вершинами в точках
попарного пересечения окружностей, опирающиеся на хорды, -
прямые.
383.Доказать подобие треугольников КРНи LPH.
384.Воспользоваться задачей №391.
385.Ввести обозначения: AB=2r1, BC=2r2, D - точка
пересечения перпендикуляра, восстановленного из точки В с
полуокружностью радиуса (ri+r2). Применить инверсию с
центром В степени k=AB-BC=4rjr2. Тогда прямая BD остается на
месте, полуокружности радиусов г; и г2 переходят в лучи А°Е и
С°Е, перпендикулярные АС, а полуокружность радиуса (rj+r2) - в
полуокружность диаметра А°С°. Пусть «правая» искомая
окружность радиуса г переходит в окружность радиуса г°,
касающуюся BD в точке Р.
Используйте известный факт, что инверсия с центром В,
переводящая одну окружность в другую, является и центром
гомотетии для этих же окружностей. Поэтому искомая
окружность и ее образ при инверсии гомотетичны с центром В и
коэффициентом гомотетии r/r°=k/BP , т.е. для определения г надо
найти г° и ВР. Пусть М- середина А°С°, Q - центр окружности
радиуса г°, N - проекция М на PQ. Тогда BC°=k/BC=2r1,
BA°=k/BA=2r2, C°M=A°C°/2=r1+r2, r°=BC°/2=rj. Далее, QN=MC°-
r°=r2, MQ=2r1+r2, BP2=MN2=M^-QN2=4rj2+4rjr2. Наконец,
r=rjr2/(rj+r2). Полученное выражение симметрично относительно
гi и г2, поэтому радиус «левой» искомой окружности также равен
этому выражению.
386.Обозначить точку пересечения ВС и касательной к
окружности в точке А через К. Поскольку КА и KAj - касательные
к вписанной окружности, то
ZKA^ZKAB+ZBAArZACB+ZBAArZACB+ZCAAi, что и
требовалось доказать.
387.Доказать подобие следующих пар треугольников:
АРМ и AMQ, АРК и ALQ, ALN и AKN. Из этих подобий имеем:
PM/MQ=AM/AQ, QL/PK=AQ/AK, KN/NL=AK/AN. Перемножить
эти равенства и, учитывая, что AM=AN, получить
204

(PM/MQ)iQL/PK)iKN/NL)=l, а это есть необходимое и
достаточное условие пересечения прямых MN.PL и QK в одной
точке (задача №359).
388.Необходимо рассмотреть два случая: ААВС описан
около данной окружности и окружность касается продолжений
АВиАС.
В первом случае рассмотреть окружность, касающуюся сторон
угла в точках М и N и описанной около ААВС окружности
внутренним образом. Обозначить через <2,Z>,c,r стороны ААВС и
радиус исходной окружности, ZA=a, AM=AN=x. Воспользоваться
обобщенной теоремой Птолемея (задача №322) и получить, что
xa=(b-x)-c+(c-x)-b, откуда следует: x=2bc/(a+b+c)=2r/sina=Const.
Кроме того, MN проходит через центр исходной окружности.
Во втором случае нужно взять окружность, касающуюся сторон
угла и описанной около ААВС окружности внешним образом.
389.Убедиться в том, что, исходя из соображений
симметрии, центр искомой окружности лежит на отрезке OjO2.
390.Воспользоваться тем, что длины двух касательных,
проведенных к окружности из одной точки, равны.
391.Убедиться в том, что на стороне ВС существует такая
точка N, для которой ZPNB=ZPCA. Тогда треугольники BPN и
АР С, а также CPN и АР В подобны. Учитывая, что РК - высота
треугольников BPN и C7W, a Pi и РМ - высоты подобных им
треугольников АР С и АР В, получить соотношения:
AC/PL=BN/PK, AB/PM=CN/PK. Следовательно,
(AC/PL)+(AB/PM)=(BN+CN)/PK=BC/PK.
392.Убедиться в том, что все касательные, проведенные
из радикального центра трех окружностей, равны по длине.
393.Воспользоваться задачей №369 и найти угол между
искомыми прямыми.
394.Провести диаметр ВС, из точки А опустить
перпендикуляр АЕ на диаметр ВС и получить:
AB2=BCBE=BCAD.
205

395.Описать окружности около треугольников ABjCj и
BAjCj и обозначить точку их пересечения через D. Тогда ZABC+
+ZBCA+ZCAB+ZA1DB1+ZA1DC1+ZB1DC1=540°. Но
ZCAB+ZB1DC1=x и ZABC+ZA1DC1=x9 поэтому
ZBCA+ZAjDB^tt.
396.Убедиться в том, что прямоугольные треугольники
ABD и ACF, а также ACD и ABE, подобны. Четырехугольники
BEAD и ADCF подобны, так как они сходственным образом
составлены из подобных треугольников, поэтому BE/AD=AD/CF.
397. Доказать, что ZLMA=ZABK, a ZLMA+ZANK=tt.
398. Обозначить через L точку пересечения прямых АС и
BD. Легко заметить, что в AABNAC,BD и LN— высоты, т.е. LN _L
АВ. Доказать, что К - середина LN. Для этого обозначить через Kj
точку пересечения LN с касательной в точке С. Тогда,
ZCAB=ZLNC=an ZCBA=ZNCL={3, как острые углы со взаимно
перпендикулярными сторонами. Касательная в точке С образует
со сторонами С А и СВ острые углы, равные /?и а, и проходит
внутри угла NCL. Следовательно, ZK1CN=a, ZKjCL=j3n
треугольники NKjC и LKjC - равнобедренные, а значит,
KjN=KjC=KjL. Таким образом, касательная в точке С проходит
через отрезка LN, т.е. точки KjhK совпадают.
399.Ввести обозначения: D,E,F - точки пересечения
прямых АК,ВК,СК с меньшей окружностью. Легко видеть, что
AM2=ADAK, BN2=BE-BK, CP2=CFCK. Разделить первое и второе
равенство на третье и получить: (AM/CPJ=(AD-AK)/(CF-CK),
(BNIC?f=(BEBK)l(CFCK). Оба круга гомотетичны с центром в
точке К. При этой гомотетии точки D,E,F переходят в вершины
треугольника. Отсюда следует, что DF \ \ AC, EF \ \ ВС.
Значит, AD/FC=AK/CK и BE/CF=BK/CK. Из этих и предыдущих
равенств можно получить:
(AM+BN)ICP=(AK+BK)ICK. Известно, что АК+ВК=СК (см. задачу
№223), следовательно, AM+BN=CP.
400.Убедиться в том, что все описанные окружности
касаются оси OY в точке с ординатой (q)m которая и будет
206

искомой, имея в виду свойство секущей и касательной к
окружности.
401.Обозначить через K,L,M точки пересечения прямых
А'С "и АС, СЪ " и СВ, ВА"и ВА. Применить теорему Менелая
(задача №93) к треугольнику ABC и следующим прямым: МА",
СЪ и А К. Перемножить полученные выражения и
воспользоваться теоремой Паскаля (задача №356) для
доказательства соотношения: {AK/KC)-{MB/AM)-{LC/BL)=L
402.Обозначить углы МАВ и MB А через аиД выразить
все отрезки, входящие в условие задачи, через эти углы и радиус
описанного круга и доказать полученное тригонометрическое
тождество.
207

ЛИТЕРАТУРА
1. Шарыгин И.Ф. Геометрия,9-11 кл.: от учебной задачи к
творческой: Учебное пособие. М.: ДрофаД997.
2. Шарыгин И.Ф. Избранные статьи. М.: Бюро Квантум,
2004.
3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч. I и П. М.: Наука,
гл.ред.физ.-мат.лит.,1986.
4. Коксетер Г.СМ., Грейтцер С.Л. Новые встречи с
геометрией. М.: Наука, гл.ред.физ.-мат.лит.,1978.
5. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу
элементарной математики. М.: Советская наука, 1957
6. Сивашинский И.Х. Задачник по элементарной
математике. М.: Наука, гл.ред.физ.-мат.лит.,1966.
7. Сивашинский И.Х. Задачи по математике для
внеклассных занятий. М.: Просвещение, 1968.
8. Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л.,
Толпыго А.К. Математические задачи. М.: Наука, гл.ред.
физ.-мат.лит.,1971.
9. Васильев Н.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л.,
Савин А.П. Математические соревнования. М.: Наука,
гл.ред.физ.-мат.лит.,1974.
10. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные
математические олимпиады. М.: Просвещение, 1967.
11. Зарубежные математические олимпиады. - М.: Наука,
гл.ред.физ.-мат.лит., 1978.
12. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. М.:
Изд-во МЦНМО, 2002.
208

Обращение к читателю
(вместо послесловия)
Уважаемый читатель, вы просмотрели эту книгу. Крайне
любопытно: показалась ли она вам полезной и интересной?
Хотел бы повторить: замечательные сборники
И.Ф.Шарыгина и В.В.Прасолова, как мне кажется, во многом
«закрыли» тему задачников по планиметрии. Моя же скромная
цель заключалась лишь в классификации задач, выявляющих
свойства геометрических фигур, и подборе рисунков к этим
задачам. Убежден, что, зная эти свойства, все остальные задачи
(на вычисление, на построение, на нахождение геометрических
мест точек, на неравенства, на наибольшие и наименьшие
значения) могут быть решены без особых усилий.
Отбирая задачи из разных источников, я в большинстве
случаев почти не изменял их формулировок и указаний к ним,
которые, как, например, в указанных выше сборниках, являются
оригинальными, «авторскими», позволяя себе лишь немного их
сократить.
Указания, конечно, не представляют собой законченного
решения задачи, а лишь направляют читателя, подсказывают ему
способ и логику решения.
Меня бы очень интересовало ваше мнение, уважаемый
читатель, об этой книге. Подозреваю, что какие-то задачи не
вполне вписываются в книгу тематически, можно изменить
расположение задач внутри разделов (к примеру, от простых - к
сложным), какие-то задачи можно исключить, а какие-то,
наоборот, добавить, можно сократить (или, напротив, расширить)
указания, можно сделать более наглядными рисунки, можно
более точно определить уровень сложности задач и не выходить
за него, или же добавить задачи, для решения которых требуется
высокий уровень подготовленности, хотя и не выходящий за
рамки школьной программы.
Усовершенствование этой книги возможно только с
вашей помощью.
Пишите, высказывайте свои соображения.
209

Если же вам удастся придумать новые оригинальные
задачи, то после необходимой экспертизы они могут быть
включены в следующее издание, разумеется, с указанием вашего
авторства.
Желяю успехов,
Андрей Юзбашев.
Мой адрес: andrey_yuzbashev@mail.ru.
210