МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
Механико-математический факультет
ЗАДАЧИ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
Часть I
П.А. Бородин, А.М. Савчук, И.А. Шейпак
Москва 2009 год
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
ЗАДАЧИ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
Часть I
П.А. Бородин, А.М. Савчук, И.А. Шейпак
Москва 2009 год
УДК 517.98
Рецензент
доктор физико-математических наук,
профессор А. Я. Хелемский
ЗАДАЧИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНА-
ЛИЗУ. Часть I / П.А. Бородин, А.М. Савчук,
И.А. Шейпак. - М.: Изд-во ЦПИ, 2009. - 176 с.
Задачник содержит более 1200 задач по всем основным
разделам функционального анализа, входящим в учебную
программу механико-математического факультета МГУ
им. М.В. Ломоносова. Все задачи, в которых требуется что-
то найти, снабжены ответами, а некоторые из остальных
задач — указаниями и комментариями.
Для студентов и аспирантов математических специ-
альностей университетов.
УДК 517.98
Работа поддержана грантами РФФИ №07-01-00283а,
№08-01-00648а, №09-01-90408
© П.А. Бородин, А.М. Савчук,
И.А. Шейпак, 2009 г.
Оглавление
1.	Метрические пространства................... 16
1.1.	Основные понятия и свойства.......... 16
1.2.	Последовательности в метрических про-
странствах. Полнота......................... 19
1.3.	Сепарабельность метрических пространств.	23
1.4.	Отображения метрических пространств. .	.	25
1.5.	Теорема о неподвижной точке.......... 28
2.	Нормированные пространства................. 31
2.1.	Основные понятия и свойства. Примеры
нормированных пространств........... 31
2.2.	Множества и последовательности в норми-
рованных пространствах. Подпространства.	38
2.3.	Банаховы пространства................ 42
2.4.	Прямые суммы подпространств.......... 49
2.5.	Сепарабельность нормированных про-
странств.................................. 53
3.	Гильбертовы пространства................... 56
3.1.	Основные понятия и свойства. Примеры
евклидовых и гильбертовых пространств.	.	56
3.2.	Множества в гильбертовых пространствах.	61
3.3.	Системы векторов в гильбертовых про-
странствах.................................. 68
4.	Компактные множества....................... 75
4.1.	Свойства компактных множеств............. 75
4.2.	Компактные множества в конкретных нор-
мированных пространствах.................... 83
5.	Линейные непрерывные функционалы........... 90
5.1.	Основные свойства. Вычисление норм. ...	90
5.2.	Теорема Хана-Банаха...................... 95
5.3.	Сопряжённые пространства................. 99
5.4.	Второе сопряжённое пространство. Ре-
флексивность................................106
6.	Линейные операторы.........................110
6.1.	Определения и основные примеры опера-
торов.......................................110
6.2.	Различные свойства операторов............119
3
6.3.	Пространство операторов...............125
7.	Теорема Банаха-Штейнгауза. Слабая сходимость
векторов, функционалов и операторов.............128
7.1.	Теорема Банаха-Штейнгауза.............128
7.2.	Слабая сходимость (основные свойства).
Критерии слабой сходимости............130
7.3.	*-слабая сходимость в сопряжённом про-
странстве..................................136
7.4.	Различные виды сходимости в простран-
стве операторов............................142
8.	Сопряжённые операторы.......................150
8.1.	Сопряжённые операторы в банаховом про-
странстве..................................150
8.2.	Сопряжённые операторы в гильбертовом
пространстве. Унитарные и нормальные
операторы..................................153
9.	Обратный оператор...........................164
9.1.	Теорема Банаха об обратном операторе.
Примеры....................................164
9.2.	Свойства обратимых операторов.........170
10.	Базисы......................................179
10.1.	Полные и минимальные системы векторов. 179
10.2.	Базисы Шаудера........................183
10.3.	Базисы в гильбертовых пространствах. . . 188
11.	Компактные операторы и теория Фредгольма. . . 191
11.1.	Общие свойства компактных операторов. . 191
11.2.	Компактные операторы в конкретных про-
странствах..................................195
11.3.	Компактные операторы в гильбертовых
пространствах...............................197
11.4.	Теория Фредгольма.....................199
11.5.	Интегральные уравнения................204
12.	Основы спектральной теории ограниченных опе-
раторов в банаховых пространствах...............207
12.1.	Спектр................................207
12.2.	Спектр компактного оператора..........218
12.3.	Теорема Гильберта-Шмидта..............220
12.4.	«Summary» для конкретных операторов . . 226
4
13.	Функциональное исчисление и спектральная тео-
рема...........................................227
13.1.	Функциональное исчисление ограниченно-
го оператора.........................227
13.2.	Функциональное исчисление, построенное
по самосопряжённому оператору..............229
13.3.	Спектральная теорема в терминах инте-
грала Лебега-Стилтьеса.....................234
13.4.	Спектральная теорема в терминах опера-
тора умножения.............................240
14.	Топологические, линейные топологические и по-
линормированные пространства...................244
14.1.	Топологические пространства..........244
14.2.	Линейные топологические пространства. . 250
14.3. Полинормированные пространства.......254
14.4.	Слабая топология в нормированном про-
странстве............................260
14.5.	*-слабая топология в сопряжённом про-
странстве..................................262
15.	Пространства пробных (основных) функций. . . . 265
16.	Обобщенные функции.........................270
16.1.	Основные понятия.....................270
16.2.	Операции над обобщёнными функциями. . 275
17.	Преобразование Фурье.......................280
17.1.	Преобразование Фурье обычных функций. 280
17.2.	Преобразование Фурье обобщённых функ-
ций........................................284
18.	Свёртка....................................287
18.1.	Свёртка функций в Iq(R)..............287
18.2.	Оператор свёртки в ДгОЮ..............288
18.3.	Свёртка обобщённых функций...........289
19.	Обобщённые функции нескольких переменных. . . 292
19.1.	Дополнительные операции над обобщён-
ными функциями.............................292
19.2.	Фундаментальные решения..............294
5
Предисловие
Курс функционального анализа изучается на механико-
математическом факультете в 5 и 6 семестрах (одна лекция и
один семинар в неделю, в каждом семестре зачет и экзамен).
За последние 20 лет ядро этого курса вполне сложилось, так
что программы разных лекторов отличаются лишь последова-
тельностью тем из этого ядра и набором тех специальных тем,
которые определяются их личными предпочтениями. Имеется
много учебников по функциональному анализу, в том числе на-
писанных лекторами мехмата, и все вместе эти учебники полно-
стью покрывают потребности студентов в теоретическом осво-
ении предмета.
В то же время задачников по функциональному анализу
сравнительно мало, и ни один из них не подходит для ведения
семинарских занятий по мехматскому курсу. Каждый препода-
ватель использует на семинарах и зачетах свой собственный,
отработанный годами, список задач, лишь малую порцию ко-
торого студент может единовременно увидеть на доске в виде
домашнего задания или на своем листке во время контроль-
ной или зачета. В результате средний студент мехмата видит
и решает сравнительно мало задач, слишком зависит от сво-
ей семинарской тетради и получает представление о функцио-
нальном анализе как об очень сложной и очень теоретической
науке, представленной такими очень разными мастер-классами
преподавателей с кафедры ТФФА.
Настоящий сборник задач (идея его написания принадлежит
И.А. Шейпаку) имеет своей целью восполнить этот пробел. В
нём представлены все основные темы мехматского курса функ-
ционального анализа в их наиболее традиционной последова-
тельности, а также некоторые специальные темы. Каждая гла-
ва содержит сводку основных определений и теорем, необходи-
мых для решения задач этой главы, а также примеры решений
типовых «ремесленных» задач. Все задачи, в которых требует-
ся что-то найти, снабжены ответами, а некоторые из остальных
задач — указаниями и комментариями.
Нам не удалось избежать неравномерного распределения за-
6
дач по главам: какие-то темы представлены лишь необходимым
минимумом задач, а каким-то — в силу личных вкусов авторов
— отведено номеров во много раз больше, чем может вместить
реальный учебный процесс. Из более чем 1100 задач сборника
лишь несколько десятков придуманы нами, а остальные появи-
лись в результате собирания и обработки задач из различных
источников, прежде всего — из упоминавшихся личных списков
преподавателей кафедры теории функций и функционального
анализа механико-математического факультета.
Мы глубоко благодарны всему коллективу препода-
вателей кафедры во главе с ныне покойным академиком
РАН П. Л. Ульяновым и членом-корреспондентом РАН
Б.С. Кашиным за ценные советы и постоянное стимулиру-
ющее воздействие. Особенно мы благодарны В.В. Рыжикову,
принимавшему участие в начальной стадии составления задач-
ника, а также В.И. Богачеву, А.Н. Бахвалову, М.И. Дьяченко,
А.Г. Костюченко, О.Г. Смолякову, А.А. Шпаликову и
А. Я. Хелемскому.
Мы также благодарим студентов механико-математического
факультета, способствовавших поиску ошибок и опечаток в ру-
кописи.
Кроме того, мы признательны И.В. Садовничей, которая
прочитала рукопись и сделала ряд полезных замечаний.
Авторы
7
Список пространств
Метрические пространства
Обозн.	Описание	Метрика
discrfX)	дискретное метриче- ское пространство на множестве X	, ч fl, если х у р(ж,у) = ^ 0	I 1 Uj	Ju — у
N	натуральные числа	р(тп, п) — |т — п|
Во	бэровское	нуль- мерное	простран- ство	векторов х = (ni, П2, .. .)> где Пк € N	р(х,у) — 1/к, где к - первый из номеров, для которых ко- ордината Пк последователь- ности х отлична от fc-ой коор- динаты последовательности у (р(х,х) := 0)
тг	подмножества отрез- ка [0,1], состоящие из конечного числа по- луинтервалов	р(Х,У) = р(ХДГ),где М ( И [^fc, bk) ) = 22 (Ък — Лк) \к=1	/	к=1
£[0,1]	факторклассы под- множеств отрезка [0,1],	измеримых по Лебегу (два множества X и Y принадлежат одному факторклассу, если р*(ХДУ) = 0)	р([Х],[Г]) = д’(ХДГ), где X 6 [X], Y 6 [У], а р*(А) = inf{IXi(b* - «*) : В = иГ=1[ак,Ьк), В D А} - внешняя мера множества А.
QP и Qp	рациональные числа с р-адической мет- рикой рр (здесь р — произвольное про- стое число) и по- полнение этого про- странства по метри- ке рр. Пополнение ре- ализуется как ряды вида х — 22 bnpn~N\ п=1 Ьп€{0,...,р- 1}	Для х,у	е	QP: Рр(х,у) = к ~ у\р, где | • |р — р-адический модуль числа: Ip*5 — ^ = Р~к, где т и п не делятся на р, к € Z; |0|р := 0. Для точек ж, у € QP: Pp(z,p)= lim |Sn(z)-Sn(p)|p, п—>сю где Sn — частичные суммы рядов для чисел хну
8
Нормированные пространства
Обозн.	Описание	Норма
1р(п)	n-мерное	про- странство векторов X = {Xk}k=l С нормой || • ||р	/ п	\ Мр 1И1р = (El^r) - \к=1	/ 1 р < оо
1<х> (fl)	n-мерное	про- странство векторов =	{жА:}/с=1 С нормой || • ||оо	||z||oo = max ]a:fc|
Соо	пространство фи- нитных последоваг тельностей	INI =max|®fc|
Со	пространство	по- следовательностей X =	схо- дящихся к нулю: lim Xk = 0 fc—+ОО	Ikll =max|xfc|
с	пространство по- следовательностей х = {#k}fcLi, имею- щих предел	||ж|| =sup|xfc|
1р	пространство по- следовательностей х = {zfcjfcii с усло- оо вием	< °°> fc=i где 1 р < оо	/ oo	\ Ы = IE W” \fc=l	/
Zoo	пространство огра- ниченных	после- довательностей х =	Hz II =sup|zfc|
ZP(Z)	пространство дву- сторонних после- довательностей £={*/= }i&-oo с уело- ОО вием	|^A:|P<OO, к= — оо где 1 р < оо	/	\ 1/p IM= El^r \fc€Z	/
9
Обозн.	Описание	Норма
Рп[а,Ь]	пространство много- членов на отрезке [а, Ь] со степенью не выше п	М = max |x(t)| t€[a,o]
Р[а,6]	пространство всех многочленов	на отрезке [а, Ь]	INI = max |x(t)|
С[а,6]	пространство непре- рывных на отрезке [а, 6] функций	INI = max |z(t)| tE[a,o]
C'perffl, Ъ\	подпространство пространства О'[а, Ь], состоящее из функ- ций,	значения которых в точках а и b совпадают	Ikll = max |x(t)| t€[a,b]
С(Т)	пространство непрерывных на	окружности Т:={геС: И = 1} функций. Изомет- рически изоморф- но	пространству Срег [0, 2тг]	INI = max |i(z)| lz| = l
С" [а, 6]	пространство п раз непрерывно диффе- ренцируемых на от- резке [а, Ь] функций	Iklli = f lNfc)llcM> fc=0 INI2 = max ||xw||c[a,b]
ср[а,г>]	пространство непре- рывных на отрезке [а, 6] функций с нор- мой H'llCpi 1 р < ОО	
с;[а,ь]	пространство п раз непрерывно диффе- ренцируемых на от- резке [а, 6] функций с нормой || • Ис^, l^JpCoo, n е N	\ - Mcn = ( E lkwll&p[o,bl)'> \fc=0	p /
BC(R)	пространство непре- рывных ограничен- ных на R функций	INI =sup|x(t)| t€R
10
Обозн.	Описание	Норма
Со (К)	пространство непре- рывных на R функ- ций, для которых lim x(t) = 0 ItHoo	11*11 =пииф(0|
ЛР(М,Е,р)	пространство клас- сов эквивалентных функций, суммируе- мых в р-ой степени, 1 р < оо	Ы = (ХиМ‘)1рФ)1/₽
Ь^(М, £,/i)	пространство клас- сов эквивалентных существенно ограни- ченных функций	||я|| = esssup|x(t)| := ее [од] = Ап/ „ sup W0I м(А)=0 М\А
Lp[ay b]	Lp[a, b] :=Ьр([ауЬ]^р), где р — мера Ле- бега. Пополнение пространства Ср [а, 6] при р оо	11*11 = (£ьк(01₽л)1/Р, при 1	р < оо, 11*11 = .inf sup |®(t)|, м(А)=0 [a,b]\A при р = ОО
W” [a, 6]	пополнение	про- странства Ср [а, Ь], 1 р < оо, n Е N	IMIw* = llx(fc) Ньр[а,Ь]^
И>;[а,д]	подпространство функций из Wp[a, 6], равных нулю на концах	отрезка, l^pCoo, п 6 N	11*П^„ = Н*11иг; р
BV[a, fe]	пространство функ- ций ограниченной вариации	||ж|| = УаГдХ-Ь sup |x(t)| ее[а,ь]
BVo[a,6]	пространство функ- ций ограниченной вариации таких, что x(t — 0) = x(t) на (a, b) и х(а) = 0	||а;|| = Varbax
AC(D)	пространство функ- ций, голоморфных в ограниченной обла- сти D С С и непре- рывных в замыка- нии этой области D	||х||ас = sup |х(О1 еео
11
Евклидовы пространства
Обозн.	Описание	Скалярные произведения
/2(п)	cn	(2, У) = Ё ^кУк fc=l
1>2	последовательности х = {sfcjfcLi с усло- вием kfc|2 < 00 fc=i	(х, у) = £ хкУк fc=l
/2(Z)	двусторонние последовательно- сти с условием f Isfcl2 < 00 fc=—00	(х,У) = Е ХкУк кег
С2[а,Ь]	непрерывные на [а, 6] функции	(я,у) = f*x(t)y(t)dt
	п раз непрерывно дифференциру- емые на [а, 6] функции с нормой II • Нс?	(x,y)=tfyk)(t)yW(t)dt fc=0
L2(M,S,m)	пространство клас- сов эквивалентных функций, суммиру- емых во второй сте- пени	(ж, у) = /м x(t)y(t) dp.
W2n[a,b]	пополнение про- странства С2 [а, 6]	№k4t)^dp 2 fc=O
W?[a,b]	подпространство функций	из WJ1 [а, Ь],	равных нулю на концах отрезка	(^y)^ =(a:>yV£
al2(M<i)	функции,	голо- морфные в круге |z| < 1 и такие, что JJi»l/(2)l2da:dy < 00 (пр-во Бергмана)	(J,g) = n»f(.^9(.z)dxdy
AP(R)	пространство по- чти периодических на R функций: Vi е RVe > ОЗА : |x(t 4- А) — x(t)\ < е	(rr,y)= lim ± f x(t)y(t)dt A-»+oo _A
12
Полинормированные пространства
Обозн.	Описание	Система полунорм
S	счётно-нормированное пространство	всех последовательностей х =	с покоорди- натной сходимостью	система	полунорм рь(х) = |o?fc|, к е N
JOO	полинормированное (счётно-гильбертово) пространство	быст- ро убывающих по- следовательностей X =	(Ж1,Х2,...) f fcn|zfc|2 < оо, п 6 N fc=i	система полунорм опре- деляется	скалярны- ми	произведениями: рп(х)	=	\/(х,х)п, (х,у)п =	кпХкУк, к-1 72 = 0,1,2, ...
С°° [а, 6]	счётно-нормированное пространство бесконеч- но дифференцируемых функций со сходимостью Хп —* X <=> х^=^Х^ [а,Ь] Ук > 0	система	полунорм Рк(х) = max|x(fc)(t)|, [a,b]
Л(С)	функции,	голоморф- ные в области D С С со	сходимостью fn=^f для всякого компакта К CD	система	полунорм рк(/) = sup |/(z)|
040,1], Ce(R)	непрерывные на [0,1] (на R) Функции с поточечной сходимостью	система	полунорм pt(x) = |x(t)|, t е [0,1] (соответственно, t 6 К)
C(R)	счётно-нормированное пространство	непре- рывных на К. функ- ций со сходимостью Хп —> X <=> Хп =Ф> X для любого А > 0	система	полунорм рк(х) = sup |x(t)|, fceN
13
Обозн.	Описание	Система полунорм
8	счётно-нормированное пространство бесконеч- но дифференцируемых функций со сходимостью /¥•  > 7» /   Ч	ч 7>(^) U/fl	r	Л Г •*•'1'1 " ' ' Ju [«,4 Vfc>0V[a,b] СЖ	система полунорм pw,fc(z)= max |x(fc)(t)|, [— N,N]
S	счётно-нормированное пространство бесконечно дифференцируемых быст- ро убывающих функций (пространство Шв арца): sup Is*(t) 1(1 + |t|)n < оо t€R Vfc, n > 0	система полунорм Pn.klf) = sup |tna:(fc)(t)|, t€R n =	0,	1, 2,..., k = 0, 1, 2,...
D	счётно-нормированное пространство бесконеч- но дифференцируемых финитных функций, где сходимость определяется так: хп —> х <=> все носители suppxn и suppx принадлежат одному от- резку I и при каждом к = 0,1,2,... производ- ен	т ные Хп равномерно на I сходятся к х^	система полунорм P состоит из всех до- пустимых полунорм: р G Р <=> VN су- ществует постоянная С > 0 и целое п > 0, та- кие, что Vx G Р с носи- телем suppx С [—N,N] выполняется неравен- ство р(х) С • PN,n(x)
S'	пространство обобщённых функций с компактным носителем — сопряжённое пространство к простран- ству 8	система	полунорм Pv(F) = K-F»!. гДе <Р е 8
S'	пространство обобщённых функций умеренного роста — сопряжённое простран- ство к пространству S	система	полунорм P-A.F) = K-f. где р Е S
T>'	пространство обобщённых функций — сопряжённое пространство к простран- ству Т>	система	полунорм Pv(F’) = ICF’><P>I. где ч> е т>
14
15
1.	Метрические пространства.
1.1.	Основные понятия и свойства.
Определение 1.1. Пара (X, р); где X - множество, а р(-,-)
— отображение X х X в R (метрика) называется метрическим
пространством, если выполнены аксиомы метрики
(1) \/х, у € X р(х, у)	0, причём р(х, у) = 0 О х = у;
(2)	Ух,уеХ р(х,у) = р(у,х);
(3)	\/х, у, z Е X p(x,z) р(х)&) + Р(?Л2) (неравенство
треугольника).
Определение 1.2. Отображение f: X —» Y метрического
пространства (X, р) в метрическое пространство (У, d) назы-
вается
-	изометричным вложением, если оно сохраняет расстояния,
т.е. для любых х, у е X : р(х,у) = d(f(x),f(y));
-	изометрией, если f — изометричное вложение и биекция.1^
Определение 1.3. Пространства X и Y называются
изометричными, если существует изометрия f:X—*Y.
Изометричные метрические пространства есть, по сути,
один и тот же объект, реализованный в различных терминах.
На метрические пространства легко обобщаются определе-
ния шара, открытого и замкнутого множества и т.д.
Определение 1.4. Открытым шаром В (а, г) в метрическом
пространстве X с центром в точке а е X радиуса г > 0
называется множество В(а,т) = {х € X: р(х, а) < г}.
Замкнутым шаром В (а, г) в метрическом пространстве X с
центром в точке а е X радиуса г > 0 называется множество
B(a,r) = {х е X: р(х, а) г}.
Определение 1.5. Пусть X - метрическое пространство, А
- множество в X. Точка х е X называется
-	внутренней точкой множества А, если существует г > 0
такое, что B(x,r) С А;
-	внешней точкой множества А, если существует г > 0
такое, что В(х, г) С Х\А;
Легко видеть, что любое изометричное вложение инъективно, так что
биективность здесь эквивалентна сюръективности.
16
-	предельной точкой множества А, если для любого г > 0 в
шаре В(х,г) найдётся бесконечно много различных точек
множества А;
-	граничной точкой множества А, если для любого г > О в
шаре В(х,г) найдутся как точки множества А, так и
множества Х\А.
Совокупность внутренних точек множества А называют
внутренностью, а совокупность граничных точек — границей
множества А.
Определение 1.6. Замыканием А множества А в метриче-
ском пространстве X называется множество
А = {хеХ: либо х € А, либо х - предельная точка А}.
Определение 1.7. Множество А в метрическом простран-
стве X называется открытым, если все его точки - внутрен-
ние. Множество А в метрическом пространстве X называет-
ся замкнутым, если Х\А открыто или (эквивалентное опреде-
ление), если А = А.
Так, например, в любом метрическом пространстве любой
открытый шар есть открытое множество, а любой замкнутый
шар есть замкнутое множество (это следует из неравенства тре-
угольника — проверьте).
Задачи
1.1	. Проверить аксиомы метрики в следующих пространствах
(см. Список пространств):
а)° disci(X); б)° N; в)° 7£; г) Во; д) £[0,1]; е) Qp.
1.2	°. Проверить аксиомы метрики р = р\ 4- Р2 в пространстве
(Х,р) = (Хх,/^) х (Х2,р2), где Xi и Х-2 - метрические про-
странства.
Можно рассматривать декартово произведение не только
двух, но и любого конечного числа пространств, а метрику р
можно определять и другими способами: р = max(pi,p2) или
Р ~ \/Р1 + Р2 и Т-Д-
1.3	°. Доказать, что в метрическом пространстве следующие
условия эквивалентны:
(1)	множество замкнуто;
17
(2)	множество содержит все свои граничные точки;
(3)	множество содержит все свои предельные точки.
1.4	°. В метрическом пространстве X найти замыкание конеч-
ного множества А — {ti, Х2,..., тп}. ►
1.5	°. Верно ли, что в произвольном метрическом пространстве
замыкание открытого шара В(т, г) есть замкнутый шар В{хь г)?
►
1.6	. Доказать, что для произвольного множества А метриче-
ского пространства X выполнено:
а)° множество А вложено в своё замыкание: А С А;
б)° если А замкнуто, то А = А;
в) множество А замкнуто (отсюда следует, что А — А);
г)° если А с В, то А С В;
д) A U В = A U В (привести пример двух множеств А и В на
прямой, таких, что А Г) В А И В);
е)° множество А является «наименьшим» замкнутым множе-
ством, содержащим множество Л, т.е. для любого замкнутого
множества В D А: В D А. ►
1.7°	. Описать все открытые и все замкнутые множества в
пространстве discr(A'). ►
1.8°	. Пусть X - произвольное метрическое пространство. До-
казать, что любые объединения и конечные пересечения от-
крытых множеств открыты. Доказать, что любые пересечения
и конечные объединения замкнутых множеств замкнуты. При-
вести примеры бесконечной системы открытых множеств, пере-
сечение которых не открыто и бесконечной системы замкнутых
множеств, объединение которых не замкнуто. В любом ли мет-
рическом пространстве можно придумать такие примеры? ►
1.9°	. Привести пример метрического пространства X и двух
различных множеств А и В в нём таких, что А С В, но замы-
кание A D В. ►
1.10.	Привести пример метрического пространства и та-
ких шаров	и В{у.Т2) в нём, что ri > го, но
В(х,гг) £ В(у,г2). ►
1.11.	Доказать, что в пространстве аксиома треугольни-
ка выполнена в усиленном виде: р(х,у) тах{р(ж, г), р(у, г)}
и, более того, из трёх чисел р(т, у), p(x,z) и р(у} z) два числа
18
обязательно равны (все «треугольники» в этом пространстве
равнобедренные).
1.12.	Доказать, что в пространстве Qp
а)	любые два открытых шара (замкнутых шара) либо не пе-
ресекаются, либо один из них содержится в другом;
б)	любой открытый шар В(х, г) есть одновременно открытое
и замкнутое множество;
в)	любой замкнутый шар В(#, г) также есть одновременно от-
крытое и замкнутое множество.
Определение 1.8. Диаметром множества А в метрическом
пространстве X называется число diam(yl) := sup р(х,у).
х,у£А
1.13.	Доказать, что в произвольном метрическом пространстве
диаметр шара В(а, г) не превосходит 2г, причём для любого
k Е [0,2] найдётся такое метрическое пространство и такой шар
В(а, г) в нём, что диаметр этого шара равен кг.
Определение 1.9. Множество А в метрическом простран-
стве X называется ограниченным, если оно вложено в некото-
рый шар или (эквивалентное определение), если diani(A) < оо.
1.14. Пусть А — ограниченное множество в метрическом про-
странстве. Доказать, что замыкание А также ограничено и
diam(A) — diam(A).
1.2. Последовательности в метрических простран-
ствах. Полнота.
Определение 1.10. Точка х метрического пространства
(Х,р) называется пределом последовательности {xn}i°, если
lim р(х,хп) = 0.
п—ТОО
Определение 1.11. Точка х называется предельной точкой
последовательности {^n}i° в метрическом пространстве X,
если х является пределом некоторой подпоследовательности
Определение 1.12. Последовательность {arn}i° точек мет-
рического пространства X называется фундаментальной (или
последовательностью Коши), если Уе > 0 3N такое, что
Vn, т > N : р(хп,хт) < в.
Встречаются ситуации, когда на одном и том же множестве
вводят различные метрики.
19
Определение 1.13. Пусть на множестве X введены две
метрики и р2. Метрика pi называется подчинённой
метрике р2 (обозначается pi Р2Л если любая последова-
тельность, сходящаяся по метрике р2, сходится к тому
же пределу и по метрике р±. Метрики р± и р2 называются
эквивалентными1^ (обозначается р-^ ~ р2), если pi ръ и
Р2 < Pi-
Определение 1.14. Метрическое пространство X называет-
ся полным, если любая фундаментальная последовательность
точек этого пространства имеет предел в X.
В неполном пространстве критерий Коши не всегда выпол-
няется — не все фундаментальные последовательности имеют
предел. Любое неполное пространство можно пополнить в сле-
дующем смысле.
Определение 1.15. Метрическое пространство Y называет-
ся пополнением метрического пространства X, если
(1) Y полно;
(2) найдётся такое изометричное вложение f : X —> Y,
что множество f(X) всюду плотно в У.1)
Теорема 1.1 (о пополнении). Для любого метрического про-
странства существует пополнение. Если Y± и Y2 - пополнения
одного и того же пространства X, то они изометричны.
Теорема 1.2 (о вложенных шарах). Метрическое про-
странство является полным тогда и только тогда, когда
любая последовательность замкнутых вложенных шаров,
радиусы которых стремятся к нулю, имеет общую точку.2)
Задачи
1.15	°. Пусть	— последовательность попарно различ-
ных точек метрического пространства X. Обозначим множе-
ство А = {хп: п — 1,2....}. Доказать, что множество А\А сов-
падает с множеством предельных точек последовательности
х)или топологически эквивалентными
х)Строго говоря, пополнением следует называть пару (У,/).
2) Легко проверить, что если эта точка существует, то она единственна.
20
1.16	°. Описать все фундаментальные последовательности в
дискретном метрическом пространстве и в пространстве N. ►
1.17. Доказать, что в пространстве Bq предел последователь-
ности {хп — (х„, х^,.. .)}i° равен х = (ж1, ж2,...) тогда и только
тогда, когда VA; € N 3Nk € N Vn > N^: хк = хк.
Определение 1.16. Пусть X — метрическое пространство,
непустое множество А С X и х € X. Расстоянием от точки
до множества называется число dist(х, A) :=inf{p(x, у): у е А}.
Расстояние между двумя множествами А и В метрического
пространства X можно определять по-разному. Мы будем, в
частности, использовать обозначение
dist0(A, В) = \п£{р(х, у)\ х е А, у € В}.
Легко видеть, что dist(ж, А) = 0 тогда и только тогда, когда
х € А.
1.18	. Пусть X — метрическое пространство, А — его
подмножество, х — произвольная точка X. Доказать, что
dist (яг, А) = dist (х, А).
1.19	°. Пусть (Х,р) — метрическое пространство, а <р(£) —
непрерывная неотрицательная выпуклая вверх функция на
[О, +оо), причём </?(0) = 0. Доказать, что р^(х,у) = р(р(х,у))
задаёт метрику на X, причём pi ~ р, а если функция <р вдоба-
вок ограничена на [0, +оо), то новое метрическое пространство
(Х,р\) также ограничено.
В качестве <р часто берут функции	, <^(£)=arctg(£)
и =min(l,C).
Пример 1.1. Доказать, что метрическое пространство Q с
обычной метрикой р(х, у) = |х — у\ не полно.
Решение. Положим хп =	£[ = 1 + 1 + 1 + ТУк=з
п 3. Эта последовательность рациональных чисел возраста-
ет, а в силу оценки к\ > 2fe-1, k 3, заключена в интерва-
ле (5/2,3). Таким образом, данная последовательность имеет
предел — число е е R, е = 2,71828..., а значит фундаменталь-
на. Остаётся проверить, что е Q. Пусть е есть несократимая
дробь е = 2, q 7^ 1. Заметим, что
оо
6 “ ХЧ ~ У?
— < 1 1 < 1
fc! (д + 1)! 1- ^2	q-q\'
21
Домножив это равенство на д!, видим, что целое число g!(e — xq)
не превосходит что невозможно. Итак, мы предъявили фун-
даментальную последовательность чисел пространства Q, не
имеющую предела в этом пространстве. □
Построение пополнения неполного пространства — обычно
не простая задача. При этом полезно иметь в виду следующий
простой факт.
1.20	. Пусть неполное метрическое пространство (X, р) плот-
но в метрическом пространстве (У, р). Доказать, что если лю-
бая фундаментальная последовательность точек множества X
имеет предел в пространстве У, то (У, р) является пополнением
пространства (А\р).
1.21	°. Доказать, что метрическое пространство R является
пополнением пространства Q.
1.22	. Для каждой из следующих функций рь : R х R —> R
а) Pi(x,y) = | arctgz — arctgj/|;	б) р2(х,у) = arctg |х - j/|;
в) р3(х,у) = \ех - ev\;	г) р4(х,у) = |ж3 - у3|
определить, удовлетворяет ли она аксиомам метрики, а ес-
ли ответ «да», то эквивалентна ли она стандартной метрике
Pq(x, у) = |х —7/|? Будет ли полно пространство R относительно
метрики рь? Для неполных пространств найти пополнение. ►
1.23. Какие из следующих метрических пространств полны:
a) discr(X); б) N; в)* 7£; г) Во?
Для неполных пространств описать их пополнение. >
1.24.	Доказать, что в пространстве Qp последователь-
ность {#n}i° фундаментальна тогда и только тогда, когда
Рр{хПч	► 0.
1.25.	Доказать, что пространство Qp (см. Список пространств)
действительно является пополнением пространства Qp.
1.26°	. Доказать, что если метрическое пространство X полно,
то его пополнение У изоморфно пространству X.
Есть два универсальных способа конструирования новых
метрических пространств из уже известных.
1.27°	. Пусть метрическое пространство
(Х,р) = (Xi,pi) х (Х2,р2)) где р = pi +р2? a Xi и Х2 — полные
метрические пространства. Доказать, что X полно.
22
1.28°	. Пусть (X, р) — полное метрическое пространство,
Y С X. Доказать, что пространство (У, р) полно тогда и только
тогда, когда множество У замкнуто в X.
1.29.	Привести пример полных метрических пространств
(X, pi) и (У, рг) таких, что множество У С X, но У не замкнуто
в (X, pi). Привести пример полного метрического пространства
(X. pi) и неполного метрического пространства (Ург) таких,
что У С X и У замкнуто в (X, pi). ►
1.30.	Привести пример полного метрического пространства, в
котором расстояние от точки до замкнутого множества может
не достигаться. ►
1.31.	Доказать теорему 1.2.
1.32.	Привести пример полного метрического пространства, в
котором есть последовательность замкнутых вложенных шаров
Bi D В2 D радиусы которых стремятся к положительному
числу, а П~=1	= 0- ►
1.33°	. Привести контрпримеры к теореме о вложенных шарах
для случая, когда метрическое пространство неполно, и для
случая, когда шары открыты. ►
1.34.	Доказать, что в полном метрическом пространстве лю-
бая последовательность замкнутых ограниченных вложенных
множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет в пере-
сечении ровно одну точку.
1.3. Сепарабельность метрических пространств.
Определение 1.17. Множество А в метрическом про-
странстве X называется всюду плотным^, если А = X.
Множество А в метрическом пространстве X называется
нигде не плотным, если для любого шара B(x,R} найдётся
шар В(у, г) С В(х, R) такой, что В(у, г)ПА = 0.
Эквивалентное определение см. в задаче 1.35°.
Теорема 1.3 (Р. Бэр, 1899). Полное метрическое простран-
ство нельзя представить в виде счётного объединения нигде
не плотных множеств.
Иногда слово «всюду» опускают — говорят «множество А плотно в
пространстве X».
23
Определение 1.18. Метрическое пространство X называет-
ся сепарабельным, если существует не более чем счётное всю-
ду плотное множество А с X.
Задачи
1.35	°. Доказать, что множество А в метрическом пространстве
X нигде не плотно тогда и только тогда, когда множество А
не содержит ни одного шара.
1.36	°. Доказать, что дополнение к нигде не плотному мно-
жеству всюду плотно. Привести пример, показывающий, что
дополнение к всюду плотному множеству не обязано быть ни-
где не плотным множеством. Доказать, что дополнение к всюду
плотному открытому множеству нигде не плотно.
1.37	°. Доказать, что замыкание нигде не плотного множества
нигде не плотно.
1.38	. Доказать, что пересечение не более чем счётного числа
открытых всюду плотных множеств в полном метрическом
пространстве есть всюду плотное множество.
1.39	. Доказать теорему 1.3. Показать существенность условия
полноты пространства в условии теоремы. ►
1.40	°. Доказать, что в дискретном метрическом пространстве
discr(X) и в метрическом пространстве N есть только одно всю-
ду7 плотное множество — всё пространство.
1.41	°. Доказать, что в дискретном метрическом пространстве
discr(X) и в метрическом пространстве N есть только одно ни-
где не плотное множество — пустое.
1.42	. Пусть в метрическом пространстве (X, р) множество А
вложено в замыкание множества В, где В - счётно. Доказать,
что метрическое пространство (А, р) сепарабельно. В частно-
сти, любое подпространство сепарабельного метрического про-
странства сепарабельно.
1.43	°. Доказать, что пополнение сепарабельного метрическо-
го пространства сепарабельно.
1.44	. Доказать, что пространство a) 7Z; б) Bq сепараг
бельно.
24
1.45	°. Пусть (X, р) — метрическое пространство, а <р(£) — неот-
рицательная, непрерывная, выпуклая вверх и ограниченная на
[0,+оо) функция, причём <р(0) = 0. Доказать, что если (Х,р)
сепарабельно, то (X, pi), где pi = р(р), также сепарабельно.
1.4.	Отображения метрических пространств.
В определении 1.2 были введены два важных класса отоб-
ражений ~ изометрии и изометрические вложения.
Определение 1.19. Отображение f: X —> Y метрического
пространства (X, р) в метрическое пространство (У, d) назы-
вается непрерывным в точке Xq е X, если выполнено одно из
двух эквивалентных определений
- для любого е > 0 существует д = J(xq,s) > 0 такое, что
для любого х е В(хо,д) выполнено f(x) 6 В(/(жо),^);
- если последовательность {a?n}i° точек пространства X
стремится к xq, т.е. х^ = Ит хп, то f(xo) = lim f(xn)
П—+ОО	П—*OO
(секвенциальная непрерывность).
Непрерывным отображением называется отобраэ/сение, непре-
рывное в каждой точке пространства X.
Простейший пример непрерывного отображения в про-
извольном метрическом пространстве (Х,р) — отображение
р : х р(ж,хо), где Xq — фиксированная точка из X.
Определение 1.20. Отображение /: X —» У метрического
пространства (X, р) в метрическое пространство (Y,d) на-
зывается локально равномерно непрерывным, если для любо-
го шара B(x,r) с X для любого е > 0 найдётся 5 > 0 та-
кое, что для любой пары точек xi, х% € В(х,г) со свойством
р{х\,Х2) < 5 выполнено г7(/(х1),/(ж2)) < £•
Определение 1.21. Отображение f: X —* У метрического
пространства (X. р) в метрическое пространство (У, d) назы-
вается равномерно непрерывным, если для любого е > 0 най-
дётся б > 0 такое, что для любой пары точек Xi, х? € X со
свойством р(а:*1,Х2) < 6 выполнено d(J(х\), f (хъ)) < £•
Любое локально равномерно непрерывное отображение
непрерывно, а любое равномерно непрерывное отображение
локально равномерно непрерывно (см. также задачу 1.50).
25
Определение 1.22. Отображение f: X —> Y метрического
пространства (X, р) в метрическое пространство (У, d) назы-
вается гомеоморфизмом, если
(1)	f непрерывно;
(2)	f — биекция (а значит определено обратное
отображение );
(3)	обратное отображение также непрерывно.
Определение 1.23. Пространства X и Y называются
гомеоморфными, если существует гомеоморфизм f:X—>Y.
Задачи
1.46°	. Пусть на множестве X введены две метрики pi и р2-
Доказать, что р± р% тогда и только тогда, когда отображение
/ : (Х,р2) —> (X,pi), /(ж) = х, непрерывно. Доказать, что
pi ~ р2 тогда и только тогда, когда / — гомеоморфизм.
1.47.	Пусть X — метрическое пространство, М С X —
произвольное непустое множество. Доказать, что отображение
f : х dist(rr, М) из X в R непрерывно.
1.48°	. Пусть X и У - метрические пространства, a f : X —> У
- непрерывное сюръективное отображение. Доказать, что если
М — всюду плотное в X множество, то его образ f(M) — всюду
плотное множество в У.
Любое непрерывное отображение в Rn ограничено на каж-
дом ограниченном множестве. В произвольных метрических
пространствах это уже не так.
1.49.	Привести пример непрерывного, но не ограниченного на
некотором шаре отображения между двумя полными метри-
ческими пространствами. ►
Теорема Кантора утверждает, что любое непрерывное отоб-
ражение в R является локально равномерно непрерывным. В
произвольном метрическом пространстве это не так.
1.50.	В полных метрических пространствах привести приме-
ры локально равномерно непрерывного отображения, не яв-
ляющегося равномерно непрерывным и непрерывного, но не
локально равномерно непрерывного отображения. ►
26
1.51*	- Пусть X = discr(Af). Доказать, что, изометричное вло-
жение f : X —>	существует тогда и только тогда, когда
пространство X содержит не более чем п 4-1 точку.
1.52.	Доказать, что метрические пространства R и веществен-
ное /г(2) не гомеоморфны.
1.53.	Доказать, что вещественные метрические пространства
Z2(2) и Zqo (2) гомеоморфны, но не изометричны.
Вопросы гомеоморфизма и изометрии метрических про-
странств обычно очень сложны. В качестве примера приведём
два утверждения. Вещественные метрические пространства
1р(п) и ZQ(?n), п,т 2, p,q е [1,оо) гомеоморфны тогда и
только тогда, когда п = т и изометричны тогда и только
тогда, когда п = т и р — q.
Довольно часто встречается ситуация, когда на множестве
X введены две согласованные между собой структуры: струк-
тура линейного пространства над некоторым полем К (мы бу-
дем рассматривать два случая К = R и К — С) и структура
метрического пространства. Самый важный пример таких про-
странств — нормированные пространства, их мы рассмотрим
в следующей главе. В более общем случае вместо метрики рас-
сматривают топологию или вместо одной нормы рассматривают
семейство полунорм (такие пространства мы рассмотрим в §14).
Не углубляясь пока в детали, дадим следующее определение.
Определение 1.24. Пару (Х,р), где X — линейное простран-
ство над полем К, а р : ХхХ -> R — метрика на X называют
линейным метрическим пространством, если
(1) отображение (я, т/) ь-> х 4- у из метрического
пространства X х X в пространство X непрерывно;
(2) отображение (А, х) н-> Хх из метрического
пространства К к X в пространство X непрерывно.
Метрику р в линейном метрическом пространстве называют
инвариантной относительно сдвигов, если р(х+а,у+а)= р(х,у)
для любых х, у, а € X.
1.54°. Доказать, что следующие пространства (см. Список
пространств) являются линейными метрическими простран-
ствами, а метрики в них инвариантны относительно сдвигов:
a) s — пространство ограниченных последовательностей с
27
метрикой р(х,у) =	I ’
б) С00 [0,1] — пространство бесконечно дифференцируемых
функций на [0,1] (в точке 0 требуется существование всех
правых, а в точке 1 — всех левых производных) с метрикой
у) = YT=o	где Рк^ = шах{|ж(А:)(t)I: t € [0,1]};
в) A{D) — пространство голоморфных в области D функций
с метрикой р(/,р) = £Хо 2* i+p^J-g)’ где Pk(/) = SUP
a	— система компактных вложенных (Gi С G2 С ...)
подмножеств области D, причём Ufcii = D-
1.5. Теорема о неподвижной точке.
Определение 1.25. Отображение f: X Y метрического
пространства (X, р) в метрическое пространство (У, d) назы-
вается сжимающим, если
Bq е [0,1) : Ухг,х2 6 X /(л:2)) q ' p(xi*x2). (1.1)
Теорема 1.4 (принцип сжимающих отображений).
Пусть f: X —> X — сжимающее отображение в полном мет-
рическом пространстве X. Тогда существует единственная
точка xq е X такая, что /(хо) = х$. Эта точка есть предел
рекуррентно заданной последовательности хп = /(xn_i) с
произвольной начальной точкой xi € X.
Пример 1.2. Пусть число а > 0. Найти предел последова-
тельности Xi — 1, хп = рр- + 2^17> п 2.
Решение, Положим X — [у/a, Too) (это полное метрическое
пространство), a f(x) = f 4- Заметим, что f(x) у/d для
любого х > 0, поскольку х2 4- а 2х\/а. Таким образом, f отоб-
ражает пространство X в себя и хп е Х.п 2 .В силу теоремы
Лагранжа |/(т) — №)| =	“У\ Для некоторого £ е [ж,у],
а /'(£) — | ~ 2^ е (0,1 /2), т.е. отображение f сжимает. Тогда,
в силу теоремы 1.4, отображение f имеет единственную непо-
движную точку, которая и является пределом нашей последо-
вательности. Эту точку можно найти из уравнения /(хо) = хо-,
откуда а = Xq, т.е. xq = у/а. □
28
Задачи
1.55	°. Пусть функция / : R —> R дифференцируема на R и
sup|/'(*)l Q < 1- Доказать, что уравнение f(t) = t имеет
teR
единственное решение на R.
1.56	. С помощью теоремы о сжимающем отображении
вычислить предел последовательности непрерывных дробей:
2: 2 + |; 2 + -^;.... ►
2+2
1.57.	Пусть функция f : R —> R дифференцируема на R и
inf |/'(£)| Q > 1’ Доказать, что уравнение f(t) = t имеет един-
ственное решение на R.
Более содержательные примеры на принцип сжимающих
отображений можно привести в пространствах функций. В
двух следующих задачах используется полнота пространства
непрерывных функций С [а, Ь], которая будет доказана позже
(см. пример 2.3).
1.58.	Доказать, что уравнение x(t) = t + еж(^), где е € (0,1),
к > 1 имеет единственное решение в пространстве С [0,1].
1.59.	Доказать, что отображение А : С[0,1] —> С[0,1],
Ax(t) = А J* x(s)ds 4- 1, является сжимающим при |Д| < 1 и
найти его неподвижную точку. ►
Условие (1.1) для отображения является довольно ограни-
чительным и, конечно, отображение может иметь неподвижные
точки, не являясь сжимающим (см., например, задачи 1.57 и
1.59).
1.60.	Пусть в полном метрическом пространстве X отобра-
жение / непрерывно и некоторая степень fp = f о f о ... о f
р
отображения f сжимает: р(/р(ж), fp(y)) qp(x,y), где q < 1,
ж, у е X. Дрказзпъ, что отображение f имеет в X единствен-
ную неподвижную точку: /(ж) — х.
В качестве примера применения предыдущей задачи,
читатель может доказать, что дифференциальное уравнение
у' (ж) — i + z + u(x)sin?/ на отрезке х 6 [0,1] с начальным
условием ?/(0) — 0, непрерывно дифференцируемой функцией
29
и(х) и положительным параметром z имеет единственное
решение1^ у G С[О,1] при достаточно большом z > а.
1.61°	. Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка
в себя имеет неподвижную точку.
Теорема 1.5 (Л. Брауэр, 1910). Пусть В есть выпуклое за-
мкнутое ограниченное множество в содержащее хотя бы
одну внутреннюю точку. Тогда любое непрерывное отображе-
ние множества В в себя имеет неподвижную точку.
1.62°	. Пусть В7(0,1) есть проколотый замкнутый единичный
шар пространства Rn (т.е. шар с выкинутым центром). Приве-
сти пример непрерывного отображения множества В в себя, не
имеющего неподвижной точки.
1.63*	. Существует ли неполное метрическое пространство, в
котором принцип сжимающих отображений справедлив? ►
1.64. Построить пример полного метрического пространства
X и отображения f : X —> X, такого что р(/(^)>/(?/)) < р(х*, 1/),
но f не имеет неподвижной точки. ►
Решением дифференциального уравнения здесь мы считаем решение
соответствующего интегрального уравнения.
30
2.	Нормированные пространства.
2.1.	Основные понятия и свойства. Примеры норми-
рованных пространств.
Определение 2.1. Пара (X, || • ||), где X - линейное простран-
ство над полем К (К = R или К = а || • || — отображение
X в R (норма), называется нормированным пространством, ес-
ли выполнены аксиомы нормы
(1)	Ух е X || я || > 0; причём ||а;|| = О о х = 0;
(2)	УхеХ,УаеК |Ы| = |а|||я||;
(3)	Чх,уеХ ||ж + у|| < ||х|| + 1Ы1
(неравенство треугольника).
Любое нормированное пространство является метрическим,
поскольку любая норма естественным образом задаёт метрику
р(х, у) := ||х — у\\ на пространстве X. В этой метрике отображе-
ние || • || : X —* R является непрерывным.
Определение 2.2. Линейное отображение J нормированного
пространства X в нормированное пространство Y называют
-	изометричным вложением (изометрией), если J сохраняет
норму, т.е. ||J(x)||у = ЦжЦх;
-	из ометр и чес ким изоморфизмом, если J есть биективное
изометричное вложение;* 2 3^
-	вложением, если отображение J непрерывно и инъективно;
-	изоморфизмом, если J есть биективное вложение, а
обратное отображение J~x непрерывной
Два нормированных пространства, между которыми
можно построить изоморфизм (изометрический изомор-
физм) называют изоморфными (соответственно, изометричес-
ки изоморфными).
Часто на одном и том же линейном пространстве вводят
несколько различных норм.
Далее по умолчанию все пространства рассматриваются над полем С.
2) Легко видеть, что любая изометрия инъективна, так что биективность
здесь эквивалентна сюръективности.
3^Из этих условий следует также биективность и линейность J-1 (дока-
жите это).
31
Определение 2.3. Пусть (X, || • ||i) и (X, || • ||2) — два различ-
ных нормированных пространства на линейном пространстве
X. Норма || • ||1 называется подчинённой норме || • ||2 (обозна-
чают || • ||1	|| • ||2/ если существует постоянная С > 0 та-
кая, что ||х||1 С||ж||2 для любого х еХ. Если || • ||i || • (|2
и II * II2 || ’ Hi; пго такие нормы называют эквивалентными:
II • 111 ~ II • ||2.
Это определение отличается от определения 1.13 (см. по это-
му поводу задачу 2.28°).
Теорема 2.1. Если dimX < 00 (здесь dimX — линейная раз-
мерность линейного пространства X), а || • ||i и || • ||2 — две
различные нормы на X, то || • IIi ~ II * Иг-
Напомним, что линейной оболочкой множества М в линей-
ном пространстве называется множество Lin(M), составленное
из всех конечных линейных комбинаций векторов множества
М, а выпуклой оболочкой множества М называется мно-
жество conv(M), составленное из всех конечных линейных
комбинаций векторов из М, где а^ € [0,1] и ^2 ak — 1}-
Определение 2.4. Нормированное пространство X называ-
ется строго нормированным (или строго выпуклым), если ра-
венство ||х + у\\ = ||х|| + ||у\\ выполнено тогда и только тогда,
когда За, /3	0: ах = Ру.
Определение 2.5. Пусть А - некоторое множество
в вещественном линейном пространстве X и 0 € А.
Функционалом Минковского множества А называется отоб-
ражение ра • X R+ U {+оо}; определённое равенством1^
Ра(х) = inf{a >0: х € аА}.
Определение 2.6. Множество А в линейном пространстве
L называется уравновешенным, если условие х € А влечёт
ах е А для всякого а е С, |а| = 1. Множество А называется
поглощающим, если для любого х е L найдётся А > 0 такое,
что Хх е А.
В случае вещественного пространства L определение урав-
новешенности выглядит так: если хе А, то и— хе А.
1^Если множество, по которому здесь берётся точная нижняя грань, пу-
сто, то значение функционала полагается равным 4-оо.
32
Определение 2.7. Функция р(х) на линейном пространстве
X называется полунормой, если она удовлетворяет аксиомам
(2) и (3) из определения 2.1, а аксиома (1) заменена на условие
р(ж) > О для любого х е X.
Задачи
Мы предполагаем, что читатель знаком с неравенствами,
приводимыми в следующей задаче. Тем не менее некоторые во-
просы этой задачи не являются общеизвестными.
2.1	°. а) Доказать неравенство Коши-Бу няко веко г о1)
п	/ П \ ^-/2 / п \
52	< (52 №) (52 i6fci2)
fc=l	\fc=l / \fc=l /
для произвольных комплексных чисел аь и к = 1,2, ...,п.
Доказать, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского до-
стигается тогда и только тогда, когда векторы (|<2i |,..., |ап|) и
(|61|,..., |ЬП |) линейно зависимы.
б)	Доказать неравенство Юнга', ab < у- + где а 0, О?
р>1, д>1и| + | = 1.
в)	Доказать неравенство Гёльдера
n	/ п	\ Vp / П	\ V9
(52lafelP) 2>*Н
fc=l	\fc=l	/ \fc=l	/
для произвольных p, g > 1,	= 1 и произвольных ком-
плексных чисел afc и bk, к = 1,2, ...,п. Доказать, что равенство
в неравенстве Гёльдера достигается тогда и только тогда, когда
векторы (|ai|р,..., \ап|р) и (|6i|9,..., |ЬП|9) линейно зависимы.
г)	Доказать неравенство Минковского
п	\	Vp / п	\ Vp	/ п	\	Vp
52ia*+ьк\р < 52ia*H + 52i^i₽
,fc=l	/	\fc=l	/	\/c=l	/
^Это неравенство также называют неравенством Коши-Буняковского-
Шварца.
33
для произвольного р > 1 и произвольных комплексных чисел
и bkj к = 1, 2,..., п. Доказать, что при р > 1 равенство в нера-
венстве Минковского достигается тогда и только тогда, когда
векторы (ai,..., ап) и (&i,..., bn) линейно зависимы.
д)	Доказать интегральное неравенство Гёльдера
1
\x(t)y(t)\dt
о
для произвольных р, д>1,^ + | = 1и произвольных функ-
ций1) х е Ьр[0,1] и у € LQ[0,1]. Доказать, что равенство в ин-
тегральном неравенстве Гёльдера достигается тогда и только
тогда, когда функции |т|р и \y\q линейно зависимы.
е)	Доказать интегральное неравенство Минковского
для произвольного р > 1 и произвольных функций х, у е Г/р [0,1].
Доказать, что при р > 1 равенство в интегральном неравенстве
Минковского достигается тогда и только тогда, когда функции
х и у линейно зависимы.
Выражения	> где ос, мы будем далее
обозначать ||а||р, если р € [1, эо), a sup |а^| будем обозначать
Halloo. Из следующей задачи следует, что обозначение || • ||оо
естественно.
2.2	. Доказать, что а)° для любого вектора х е Сп; б) для
любой функции х е С[0,1] выполнено
/ п	\	Vp
lim | V |zfc|p ]	= max |a?fc|,
p—*oo \ z	/
\fc=l	/
1) Читателю, не знакомому с интегралом Лебега, следует доказать инте-
гральные неравенства Гёльдера и Минковского для случая непрерывных
функций х и у.
34
ft1 \1/p
Д” Uo [x^Pdt) =o^i|a:(i)|-
2.3	°. Проверить аксиомы нормы в пространствах (см. Список
пространств)
а) Zp(n), р € [1,оо], п € N; б) 1ру р € [1, оо]; в) €7(0,1];
г) СЧО,!],
над полем R и над полем С.
2.4	°. Доказать, что нормы || • Щ и || • ||2, введённые на про-
странстве Сп[а, 6] в Списке пространств, удовлетворяют аксио-
мам нормы и эквивалентны.
В пространствах Сп [0,1] можно рассматривать и другие
нормы.
Пример 2.1. Доказать, что нормы
IIхIk = max 1о/(£)| + max |x(i)| и
tc[o,i] te[o,L]
||х||2 = max max |я/ (t) |, |я(0) |J
на линейном пространстве непрерывно дифференцируемых
функций эквивалентны.
Решение. Неравенство ||я||2 < ||x||i очевидно. С другой сто-
роны,
max |x(t)| = \x(tmax
trnaa
x(ty + J xl(t}dt
0
1
|z(0)| 4- / \x'(t)\dt	|t(0)| + max \x'(t)\.
0
Тогда1)
lk||i^2*max |x\t)| + |a;(O)| ^Зтах ^max^ k'WI, k(O)ly =3||з:||2-
□
^Покажите, что неравенства ЦжЦг ||®||1 ЗЦжЦз точны.
35
2.5	. Среди перечисленных ниже отображений линейного
пространства непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1]
функций выбрать отображения, удовлетворяющие аксиомам
нормы и упорядочить эти нормы по отношению подчинённости
одной нормы другой:
а)	||х||о== max |з;(«)|;
б)	||x||i = maxjx'(t)|;
в)	|Ы|2 = max |x(t)| + max h'(t)|;
г)	||т||з = max |rc'(t)| 4- |rr(a) |, где a € [0.1];
д)	||a:||4 = max \x'(t)| +	|®(t)|dt;
e)	||< = max |a?'(t)| + \x(a) — x*(6)|, где a, b € [0,1]. ►
2.6	°. Проверить аксиомы нормы в пространствах (см. Список
пространств)
a) BC(R); б) ЛС(Г>); в) C0(R); г) Ср[0,1], р € [1, оо);
д) ^[0,1].
2.7	. Пусть функция v(t) непрерывна и положительна
на [0,1]. Доказать, что отображение F : Ср[0,1] —► R,
F(x) = (/OM)I*(*W) , где р € [1,оо), удовлетворяет
аксиомам нормы, и эта норма эквивалентна стандартной || • ||р.
Эту функцию v называют весом, а норму F весовой, В за-
даче мы рассмотрели только случай непрерывной и положи-
тельной функции V. Читатель может попробовать решить эту
задачу для других классов весов и даже найти необходимые и
достаточные условия на при которых отображение F явля-
ется эквивалентной нормой (по этому поводу см. ниже задачу
6.26).
Определение 2.8. Измеримая по Лебегу функция х : М С,
где	— измеримое пространство с мерой Лебега, на-
зывается существенно ограниченной, если существует
постоянная С > 0 такая, что p({teM: |x(t)| > С}) = 0
(другими словами, неравенство |х(£)| < С выполнено почти
всюду). Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих такому
условию, называется существенной верхней гранью функ~
36
ции |ж| и обозначается esssup |х(£)| или supvrai |х(£)|. Это
teM	teM
число можно определить и с помощью следующей формулы
esssup |z(t)| := inf sup |ж(<)|.
teX	ЩА) = о М\А
2.8	°. Привести примеры измеримых функций х таких, что
а) ж £оо[0,1]; б) ж е I/oo[0,1], но не ограничена на [0,1].
2.9	°. Проверить аксиомы нормы на пространстве Loo [0,1]-
2.10	°. Проверить аксиомы нормы па пространстве функций
ограниченной вариации BV[0,1].
На пространстве функций ограниченной вариации часто
рассматривают и другие нормы.
2.11	. Доказать, что все нормы ||я||а = Varjx(t) 4- |ж(а)|, где
О < а 1, на пространстве функций ограниченной вариации
BV[0,1] эквивалентны друг другу и эквивалентны норме || • ||bv
из Списка пространств.
2.12	°. Проверить аксиомы нормы в пространстве BVo[0,1].
2.13	. Доказать теорему 2.1 об эквивалентности норм в конеч-
номерном пространстве.
2.14	°. Пусть линейное пространство X — Xi хХ2, где (^ь II ’ 111)
и (%2, || • II2) ~ нормированные пространства. Проверить ак-
сиомы нормы ||(яг )Их = ll^illxi + ||ж2||х2 в пространстве X.
Определение 2.9. Нормированное пространство X, по-
строенное в предыдущей задаче, называют декартовым
произведением (или прямой суммой) нормированных про-
странств Xi иХ2.
Норму на декартовом произведении нормированных про-
странств можно задать и другим способом.
2.15	. Пусть ||(3|| — произвольная норма на линейном про-
странстве R2. Пусть (Xi, || • ||1), (Х2, || • ||г) ” нормированные
пространства, а линейное пространство X — х Х2. Для лю-
бого X е X, X = (£'), где хк & Хк, положим ||хе]|лг = ||()||.
Доказать, что введённая функция удовлетворяет аксиомам нор-
мы и что при выборе различных || • || получаемые нормы экви-
валентны.
37
2.16. Привести пример нормы на декартовом произведении
Xi х Х2 нормированных пространств, которая не задаётся
способом, указанным в задаче 2.15. ►
2.17. Пусть р — числовая функция на линейном пространстве
X, удовлетворяющая первым двум аксиомам нормы. Доказать,
что третья аксиома (неравенство треугольника) эквивалентна
выпуклости множества {х е X: р(х) 1}.
/ п	\ 1/Р
2.18.	Доказать, что функция ||ж||р — ( 52 \хк\р ) не является
\fc=i	/
нормой при 0 < р < 1 на n-мерном линейном пространстве.
2.19.	Найти inf И2- и sup-Ик, где х € Rn, для всех р и
q е [1, оо]. ►
2.20.	Доказать, что в линейном пространстве /р, 1 р оо,
нормы || • ||р и || • ||д, q > р не эквивалентны, но || • ||д -< || • ||р.
2.21.	Доказать, что нормы || • ||р и || • ||g, 1 р < q оо,
в линейном пространстве непрерывных на [0,1] функций не
эквивалентны, но || • ||р -< || • ||д.
Понятие эквивалентности норм тесно связано с понятием
изоморфизма пространств.
2.2. Множества и последовательности в нормиро-
ванных пространствах. Подпространства.
2.22	°. При каких условиях на последовательность {an}i°, где
все ап > 0, множество
а)	параллелепипед {х Е 1р: |хп| < ап};
б)	эллипсоид {х € lp: 52X1 \хп/а>п\р < 1}
будет ограниченным подмножеством 1р} р € [1,оо)? ►
2.23	°. При каких условиях на последовательность {ftn}, где все
ап > 0, множество
а)	параллелепипед {х е 1р: |тп| < ап};
б)	эллипсоид {х € 1Р: 52X1 \хп/^гь\р < 1}
будет открытым подмножеством lp, р € [1, оо)? ►
2.24	. Доказать, что в любом нормированном простран-
стве найдутся два открытых непересекающихся множества,
которые нельзя поместить в два непересекающихся замкну-
тых множества. В каждом ли метрическом пространстве
существуют такие множества? ►
38
2.25	. Пусть М — подмножество С. Рассмотрим множество
М = {х £ С[0,1]: Vi € [0,1] x(t) е М}. Доказать, что множе-
ство М открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда М
открыто (замкнуто).
2.26	°. В шаре В(0,1) пространства 1% разместить счётное чис-
ло непересекающихся шаров радиуса ►
2.27	°. Привести примеры последовательностей {zn}i° со сле-
дующими свойствами:
a)	С Zoo причём последовательность {жп}1° сходит-
ся в Zoo? но не сходится в Zi;
б)	{^и}1° С ZooAZ'2, причём последовательность {xn}j° СХОДИТ-
СЯ в Zoo, н0 не сходится в Z2;
в)	{xn}i° С Z2H/1, причём последовательность {жп}1° сходится
в Z2, но не сходится в Zi;
г)	ЮГ С CqAZi, причём последовательность {zn}i° сходится
в с0, но не сходится в Zi;
д)	{Жп} 1° С П^=1 СХОДИТСЯ в Со, но не сходится в 1р ни для
какого р Е [1,оо). ►
2.28	°. Пусть на линейном пространстве X заданы две нормы
|| • || г и || • ||2- Доказать, что следующие свойства эквивалентны
(1)	II • Hi II - Ц2;
(2)	любая последовательность {жп}^=1, сходящаяся в норми-
рованном пространстве (X, || • Ц2) к х сходится к х и в (X, || • ||i);
(3)	любая последовательность	фундаментальная в
нормированном пространстве (X, || ♦ ||2), фундаментальна и в
(X, II • НО;
(4)	замыкание произвольного множества А С X по первой
норме содержит замыкание этого множества по второй норме;
(5)	отображение А : х н-> х из (X, || • ||2) в (X, || ♦ ||i) непрерыв-
но.
В частности, если || -1|i ~ || • ||2? то пространства Xi = (X, || • ||i)
и Х2 = (X, || • ||2) изоморфны.
В отличие от метрических, в нормированных пространствах
появляется новое важное понятие — линейное подпространство.
В дальнейшем мы будем часто опускать слово «линейное»,
предполагая, что подпространство нормированного простран-
ства есть множество, замкнутое относительно линейных
операций.
39
Определение 2.10. Пусть (X, || • ||) — нормированное
пространство. Линейное подпространство М называется
замкнутым подпространством пространства X, если оно
замкнуто по норме.
2.29	°. Доказать, что со — замкнутое подпространство в с, а
с — замкнутое подпространство в Zqq. Доказать, что Соо есть
незамкнутое линейное подпространство в пространстве сив
пространстве Q). Найти замы канне этого подпространства. ►
2.30. Доказать, что в пространстве 1Р линейное подпростран-
ство lq = {х е 1Р*	1жп|9 < гДе 1	<7 < Р °0, не
является замкнутым подпространством. Найти его замыка-
ние. ►
2.31	°. Доказать, что в нормированном пространстве шар
не может содержать ненулевого линейного подпростран-
ства, а линейное подпространство, не совпадающее со всем
пространством, не может содержать никакого шара.
2.32	°. Доказать, что для любого множества М в нормиро-
ванном пространстве Lin(M) С Lin(M). Доказать, что для
М = {en}i° в /1, где еп = (0,..., 0,1,0,0,...), эти множества
различны.	п
2.33	. Доказать, что в нормированном пространстве X любое
конечномерное подпространство замкнуто.
Пример 2.2. Является ли замкнутым линейным подпро-
странством в пространстве а) X — С[0,1];
6)	X — С2[0,1]	множество Xq = {х € X : г(0) — гг(1)} ?
Решение. Множество Xq замкнуто относительно линейных
операций, а значит, является линейным подпространством,
а) Докажем, что Xq замкнуто в пространстве С[0,1]. Пусть
{^n}i° ~ последовательность непрерывных функций, для
которых хп(0) = жп(1), причём хп -+ х в пространстве
С[0,1]. Поскольку для любой точки а е [0,1] выполнено
|т(а) — тп(а)| < ||х — хп ||с, последовательность тп(0) сходится
к х(0), а тп(1) -* т(1). Отсюда я(0) = т(1), т.е. х е Xq. а
значит подпространство Хо замкнуто, б) Докажем, что Хо не
замкнуто в пространстве Сз[0,1]. Рассмотрим последователь-
ность xn(t) = tn — t — эти функции лежат в Xq. При этом
||tn||c2 = (f0 t2ndt\ =	—> 0, а значит последователь-
40
ность {xn}i° сходится к функции —t, которая уже не лежит в
Хо. □
Следующие две теоремы хорошо известны из курса матема-
тического анализа.
Теорема 2.2 (К. Вейерштрасс, 1885). Для любой непре-
рывной функции х на отрезке [0,1] и любого е > 0 най-
дётся многочлен P(t) = а0 + a±t + ... + ап1п такой, что
max |r(t) - P(i)| = ||x - P||c < £
te[o,i]
Теорема 2.3 (К. Вейерштрасс, 1885). Для любой непрерыв-
ной функции х на отрезке [—тг, тг], для которой я(—тг) = гг(тг),
и любого е > 0 найдётся тригонометрический многочлен
T(t) = Тс + TS = Z2fc=o ak cos(kt) + bk sin(H) такой, что
||x-T||c<£.
2.34	. Образуют ли следующие множества непрерывных функ-
ций замкнутые подпространства в пространстве 1) С[— 1,1];
2) С2[-1,1]:
а)	монотонные функции;
б)	чётные функции;
в)	многочлены;
г)	многочлены степени не выше п;
д)	непрерывно дифференцируемые функции;
е)	непрерывные кусочно-линейные функции;
ж)	непрерывные функции с ограниченной вариацией;
з)	функции х, рдя. которых т(0) = 0;
и)	функции х, для которых x(t)dt = 0;
к)	функции х, для которых Jq x(t)dt — 0;
л)	функции х, удовлетворяющие условию Липшица
|сг(Ь) — я(а)| < СХ\Ь — а| Va, Ь € [—1,1]? ►
2.35	. Образуют ли следующие множества непрерывных функ-
ций замкнутые подпространства в пространстве BC(R):
а) периодические функции с периодом 1;
б)	периодические функции? ►
2.36	. Является ли замкнутым линейным подпространством в
оо
пространстве lp, р € [1, оо], множество М = {х € 1Р: $2 хп = 0}?
п=1
41
2.37	. Доказать, что нормированное пространство X является
строго нормированным (см. определение 2.4) тогда и только
тогда, когда сфера *5(0,1) не содержит ни одного отрезка: если
Ikll = lli/ll = 1 и х / у, то Vt 6 (0,1) ||t • х + (1 -1) • у|| < 1.
2.38	. Какие из перечисленных ниже пространств являются
строго нормированными:
a) Zp(n), где р е [1. оо], п 2; б) 1Р, где р е [1, оо];
в) с;	г) с0;
д) Cn[0,1], где п > 0;	е) Ср[0,1], где р € [1, оо)? ►
Определение 2.11. Нормированное пространство X называ-
ется равномерно выпуклым, если для любого е > 0 существует
такое 6 > 0, что если ||ж|| = ||р|| = 1 и ||ж + р|| > 2 — 6, то
Ik-И <£
2.39	. Доказать, что пространства Zi, с, со, L±[0,1], Loop, 1],
С[0,1] и BV[0,1] не являются равномерно выпуклыми, а про-
странства 1Р и Lp, р е (1, оо), являются равномерно выпуклыми.
2.40	. Доказать, что функционал Минковского Ра выпуклого
уравновешенного поглощающего множества А в линейном про-
странстве X есть полунорма. Доказать, что обратно, для любой
полунормы р в X множество М = {х е X: р(х) < 1} является
выпуклым уравновешенным и поглощающим, а его функционал
Минковского рм — р.
2.41	°. Пусть А есть выпуклое, уравновешенное и поглощаю-
щее множество в линейном пространстве X. Доказать, что его
функционал Минковского рд является нормой тогда и только
тогда, когда множество А не содержит ни одной прямой.
2.42	°. В линейном пространстве R2 найти множества, функ-
ционалы Минковского которых совпадают с нормами || • ||р, где
р € [1, оо]. ►
2.43	°. Доказать, что правильный 2п-угольник с центром в нуле
является единичным шаром для некоторой нормы на простран-
стве R2. Доказать, что правильный (2п + 1)-угольник с центром
в нуле не является единичным шаром ни для какой нормы.
2.3. Банаховы пространства.
Определение 2.12. Нормированное пространство X называ-
ется банаховым (или полным), если оно полно (как метриче-
ское пространство).
42
Определение 2.13. Нормированное пространство Y называ-
ется пополнением нормированного пространства X, если
(1) Y полно;
(2)	найдётся такое изометричное вложение J : X —* Y,
что множество J(X) всюду плотно вУУ
Теорема 2.4. Для любого нормированного пространства су-
ществует пополнение. Если Yi и Y% - пополнения одного и то-
го же пространства X, то они изометрически изоморфны.
Задачи
2.44	°. Пусть нормы || • ||i и || ' ||2 на линейном пространстве
X эквивалентны. Доказать, что нормированное пространство
(X, || • || 1) полно тогда и только тогда, когда полно нормирован-
ное пространство (X, || • Цг)-2^
2.45	°. Пусть нормированные пространства X и Y изоморфны.
Доказать, что тогда они либо оба полны, либо оба неполны.
2.46	°. Доказать, что любое конечномерное нормированное
пространство банахово.
Доказывать неполноту пространство обычно не сложно —
достаточно предъявить фундаментальную последовательность,
не имеющую предела. При доказательстве полноты простран-
ства X часто действуют по следующей схеме. Сначала доказы-
вают, что каждая фундаментальная последовательность
имеет предел х в некотором другом, обычно более слабом, чем
по норме пространства, смысле, а потом показывают, что этот
предел лежит в X и ||хп — х||х ~> 0.
Пример 2.3. Доказать полноту пространства С[0,1].
Решение. Пусть {xn}i° — фундаментальная последова-
тельность в пространстве С[0,1]. Так как для любой точки
t е [0,1]: |тп(£) — xm(t)| < ||тп — ТтпЦс, каждая числовая
последовательность {#п(£)}1° фундаментальна, а значит,
сходится. Обозначим x(t) lim xn(t). Докажем, что х —
п—»-оо
непрерывная функция, а сходимость не только поточечная,
но и равномерная. По определению фундаментальности,
Строго говоря, пополнением следует называть пару (У, J).
Обратите внимание, что для метрических пространств это не так (см.
задачу 1.22).
43
для любого е > 0 найдётся номер N такой, что для любых
п, т > N выполнено max |xn(i) — xm(i)| < е. В каждом
te[o,i]
неравенстве |rrn(i) — xm(t)| < е перейдём к пределу при
п —► оо. Получим |x(t) — xm(t)| < е для любой точки t е [0,1]
и любого т > N. Это означает, что ||х — жт|| < е, т.е.
хт —> х. Непрерывность функции x(t) следует из неравенства
Действительно, пусть дано е > 0. Выберем такой номер т,
чтобы первое и третье слагаемое здесь не превосходили е/3.
Функция хт непрерывна, а значит, и равномерно непрерывна.
Выберем теперь число 6 > 0 так, что |xm(i2) — zm(ii)| < е/3
для любых точек t\ и ^2 отрезка [0,1] таких, что |^2 — ti | < 3-
Таким образом, для любого е > 0 мы нашли S > 0 такое, что
|ж(^2) — я(*1)| < £> как ТОЛЬКО 1^2 — ill < (5. □
2.47. Доказать полноту следующих пространств
а)° /р(п), 1 < р < оо, п е N;
в) с и со;
д)° ЛС(Г>);
ж) Loo [0,1];
б) /р, 1 < р оо;
г) BC(R) и C0(R);
е) Cn[0,l], neN;
з) BV[0,l] иВУо[О,1].
Линейное пространство многочленов является, в некотором
смысле, универсальным. Вводя на нём различные нормы и по-
полняя его, можно получать самые различные пространства.
2.48°	. Доказать, что пространство Pn[0,1], п € N, полно, а
пространство Р[0,1] неполно. Найти пополнение пространства
Р[0,1]. ►
2.49.	Доказать, что на линейном пространстве многочле-
нов нельзя так ввести норму, чтобы получилось банахово
пространство.
2.50°	. Доказать, что пространство cqo не полно и найти его
пополнение (сравните с задачей 2.29°). ►
2.51.	Доказать, что пространства Ср[0,1], р Е [1, оо), не полны.
Из курса действительного анализа известны пространства
Lp[0,1], р € [1, +оо), которые вводятся как пространства клас-
сов эквивалентных функций (ж ~ г/, если x(t) — y(t) = 0 почти
всюду) с естественные операциями сложения и умножения на
число и нормой || [ж] ||р = (J* |х(t)\pdp)	, где функция х — про-
44
извольный представитель факторкласса [ж], а интегрирование
проводится в смысле интеграла Лебега. В следующей задаче
перечислены уже известные из курса действительного анализа
факты о пространствах Lp.
2.52.	Пусть р е [1,оо). Доказать, что
а)	линейные операции на пространстве Lp определены коррект-
но, т.е. сумма двух суммируемых в степени р функций, а также
произведение такой функции на скаляр есть функция, сумми-
руемая в степени р, а кроме того, линейные операции не зависят
от выбора представителя факторкласса: если х± ~ хг, а ух ~ у2,
то ах 1 4- /3x2 ~ ОД1 + 0У2',
б)	введённая норма определена корректно (т.е. не зависит от
выбора представителя) и удовлетворяет аксиомам нормы;
в)	пространство Lp полно;
г)	вложение J : Ср[0,1] —> £р[0,1], действующее по правилу
jx — [ж], где [х] — класс эквивалентных х функций, переводит
пространство Ср во всюду плотное в Lp множество.
Задачи 2.51 и 2.52 позволяют дать эквивалентное опреде-
ление пространства Lp, р е [1,оо), а именно, как пополнение
пространства Ср[0,1].
2.53.	Доказать, что пространства С”[0,1], р € [1, оо), п € N не
полны.
Пополнение этих пространств мы будем обозначать Wp [0,1]
— пространства Соболева. Так же, как и пространства Тр, они
допускают эквивалентное описание. Рассмотрим это описание
на примере пространства И^О, 1].
Определение 2.14. Непрерывную функцию х на отрезке [0,1]
называют абсолютно непрерывной (х е АС[0,1]/ если для
любого е > 0 найдётся б > 0 такое, что для любой конечной
системы (a^bk), к = 1,2, ...,п, попарно непересекающихся
интервалов отрезка [0,1], сумма длин которых меньше 6:
— Ще) < 5, выполнено $2ь=1 |х(Ь&) — х(а&)| < £•
Теорема 2.5 (А. Лебег, 1904). Функция х на отрезке [0,1]
абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда её произ-
водная lim
h—+o h
существует почти всюду и суммируема
^Читателю, не знакомому с курсом действительного анализа, рекомен-
дуется пропустить эту задачу
45
по Лебегу. При этом справедлива формула Ньютона-Лейбница
x(i) = х(0) + J* x'(s)ds для всех t е [0,1].
Легко видеть, что абсолютно непрерывные функции
образуют линейное пространство. Из теоремы Лебега
следует, что на этом пространстве можно ввести норму
II||ас •= Jo Iх'(t)ldt + Jo Iх (проверьте аксиомы нормы).
2.54. Доказать, что пространство АС[0,1] является пополне-
нием пространства С} [0,1] и, согласно теореме 2.4, изоморфно
пространству [0,1].
2.55.	Доказать, что для любой непрерывно дифференцируемой
на отрезке [0,1] функции x(t) выполнено неравенство
/1	1	\ Vp
max |®(t)| 21~1/р (у* |ж'(£)|рбй + J |x(£)|pd£ I
\ о	о	/
для любого р G [1,оо). Пользуясь этим, доказать теорему о
вложении, Г.Г. Харди, Дж.Е. Литтльвуд, 1928: простран-
ство Wp[0,1] вложено в пространство С[0,1].
Аналогично доказывается, что пространства W? [0,1] вложе-
ны в Сп-1[0,1]. В определении вложения требуется существо-
вания некоторого линейного непрерывного инъективного отоб-
ражения пространств J :	Сп~1. Из теоремы 2.4 следует,
что все пополнения пространства С™ [0,1] изоморфны между со-
бой, а потому элементами пространства W£ можно считать те
функции пространства Сп-1, которые можно приблизить функ-
циями из Сп по метрике пространства W?. Теорему о вложении
Соболевских пространств можно усилить: пространство W? [0,1]
вложено в пространство АС [0,1].
2.56.	Доказать, что
а)	функция х € Сп [0,1], где п 1, принадлежит простран-
ству PH™4-1 [0,1] тогда и только тогда, когда производная
х1 е w;[o, 1];
б)	непрерывная функция х принадлежит И7* [0,1] тогда и толь-
ко тогда, когда она абсолютно непрерывна, а её производная
xf е£р[0,1].
Таким образом, пространства Соболева W” [0,1] состоят в
46
точности из тех функций, (п — 1)-ая производная которых аб-
солютно непрерывна, а n-ая производная принадлежит Lp[0,1].
2.57.	Какие из следующих функций принадлежат простран-
ству	= signt, xs(t) = |t|, x^t) = |i|a,
где a € К? Для тех функций, которые принадлежат этому про-
странству, найти норму. ►
2.58.	Пусть X метрическое пространство. Обозначим через
ВС(Х) множество всех непрерывных функций из X в С. До-
казать, что норма ||/||вс(Х) ’= sup |/(т)| превращает ВС(Х)
хех
в банахово пространство (линейные операции вводятся есте-
ственным образом).
2.59.	Пусть X — метрическое пространство. Доказать,
что найдётся такое отображение F : X —* ВС(Х), что
i|F(x) - F(j/)||bc(X) = рх(х,у) для любых X, у е X.
Другими словами, всякое метрическое пространство можно
изометрически вложить в некоторое нормированное простран-
ство.
2.60.	Используя предыдущую задачу, доказать теорему 1.1.
В бесконечномерных (пускай даже и полных) нормирован-
ных пространствах ограниченная последовательность вовсе не
обязана иметь хотя бы одну предельную точку.
Пример 2.4. В пространстве Ц последовательность
{еп — (0,.... 0,1,0,0,.. .)}$£=!> не имеет ни одной фундамен-
тальной подпоследовательности (и, соответственно, не
имеет ни одной предельной точки), т.к. ||ер — ед|| = 2 при
2.61°	. Доказать, что в конечномерном нормированном про-
странстве любая ограниченная последовательность векторов
имеет хотя бы одну предельную точку.
2.62.	Определить, какие из следующих последовательностей
сходятся в пространстве С [0,1]
a) xn = tn;	б) xn = tn — tn~1;
в) xn = t2n — tn; г) хп = sin(Trnt);
и найти их пределы. Для несходящихся последовательностей
найти все предельные тючки. ►
47
2.63.	Доказать, что в банаховом пространстве любая система
замкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение
Определение 2.15. Ряд хп из векторов нормированно-
го пространства X называется абсолютно сходящимся, если
сходится числовой ряд 52/Xi Iknll•
2.64.	Доказать, что нормированное пространство X полно то-
гда и только тогда, когда в нём выполнен признак Вейерштрас-
са сходимости рядов: любой абсолютно сходящийся ряд сходит-
ся. Привести пример ни к чему не сходящегося, но абсолютно
сходящегося ряда в неполном нормированном пространстве.
Расстояние от точки до замкнутого множества может не до-
стигаться (см. задачу 1.30). Укажем важный случай, когда рас-
стояние всё-таки достигается.
Определение 2.16. Пусть X — нормированное простран-
ство, Y - его подпространство, х - произвольный вектор
из X. Вектор уо € Y, для которого dist(x,Y) = ||ж — g/ol|
(если такой вектор существует) называется элементом
наилучше г о приближения для вектора х в подпространстве
У.
Определение 2.17. Пусть X — нормированное простран-
ство, aY~ линейное подпространство в нём. Подпростран-
ство Y называют подпространством существования, если для
любого элемента х е X в У существует элемент наилучшего
приближения.
2.65.	Пусть X — банахово пространство. Доказать, что любое
конечномерное подпространство в X является подпростран-
ством существования.
В произвольном банаховом пространстве X для произволь-
ного (пусть даже и замкнутого) подпространства У и произ-
вольного вектора х элемент наилучшего приближения может и
не существовать (см. задачи 3.23 и 5.72°). В случае же, если
элемент существует, он может оказаться не единственным.
2.66°	. Привести пример банахова пространства X, замкнутого
линейного подпространства У в нём и вектора х, для которо-
Здесь, в отличие от теоремы о вложенных шарах 1 2, отсутствует тре-
бование о стремлении радиусов шаров к нулю (ср. с задачей 1.32)
48
го элемент наилучшего приближения в подпространстве Y не
единствен. ►
2.67.	Доказать, что в нормированном пространстве X элемент
наилучшего приближения единствен для всякого замкнутого
линейного подпространства Y С X тогда и только тогда, когда
пространство X строго нормировано (см. определение 2.4).
2.68*	. (П.Л. Чебышев, 1859) Среди всех многочленов ви-
да tn + an-iZn-1 + ... 4- ао наименьшую норму в веществен-
ном пространстве С[—1,1] имеет и но г о член Чебышева (I рода)
Tn(t) = 21-n cos(narccosi).
Указание. Многочлен степени п — 1 не может менять знак более (п — 1)-го
раза.
Отсюда следует, что для вещественного пространства
£[-1,1] элементом паилучшего приближения для tn в подпро-
странстве Рп-1 всех многочленов степени меньшей п является
многочлен tn - Tn(t), a dist(in, Pn-i) = 21-n.
Определение 2.18. Пусть X — нормированное простран-
ство, a Xq — его замкнутое подпространство. Вектор х е X
называется е-перпендикуляром (или почти перпендикуляром)
к Xq, если ||т|| — 1 и dist(ж, Хо) > 1 — е.
2.69.	Пусть X — нормированное пространство, a Xq £ X —
его замкнутое подпространство. Доказать, что при любом е > О
существует ^-перпендикуляр к Xq.
2.70.	Пусть Xq — замкнутое подпространство банахова про-
странства X. Доказать, что если для некоторого вектора х Хо
существует элемент наилучшего приближения в подпростран-
стве Хо, то к подпространству Xq существует О-перпендикуляр.
2.71°	. Доказать, что для всякого конечномерного под-
пространства в банаховом пространстве существует 0-
перпендикуляр.
Для бесконечномерных подпространств 0-перпендикуляр
существует не всегда (см. задачу 5.21).
2.4.	Прямые суммы подпространств.
Есть три универсальных способа конструирования новых ба-
наховых пространств из уже известных. Первый способ — де-
картово произведение.
49
2.72°	. Доказать, что декартово произведение X = Хг х Х2
банаховых пространств Xi и Х2 есть банахово пространство.
Например, пространство ZP(Z), ре [1, оо], двусторонних по-
следовательностей можно представить в виде декартова произ-
ведения ZP(Z) = 1Р х С х 1Р. При этом норму в декартовом про-
изведении необходимо задать при помощи нормы пространства
Zp(3) (см. задачу 2.15).
Второй способ — выбрав в банаховом пространстве X
произвольное замкнутое линейное подпространство Y и снаб-
див его той же нормой (так определённая норма называется
индуцированной), получим новое банахово пространство (см.
задачу 1.28°).
2.73.	Доказать, что если некоторое замкнутое подпростран-
ство в С [0,1] состоит из непрерывно дифференцируемых
функций, то оно конечномерно.
Указание. Рассмотреть множества Еп = {х:	< 1} (здесь
u?(7i;rr) — sup{|x(t 4- h) — x(i)|: t e [0,1 — Д]} - модуль непрерывности
функции А") и применить теорему 1.3.
2.74.	Доказать, что если некоторое замкнутое подпростран-
ство в Li[0,1] состоит из непрерывных функций, то оно конеч-
номерно.
Третий способ — это переход к факторпространству. Опи-
шем его подробно. Пусть L — линейное пространство, a Lq — его
линейное подпространство. Назовём два вектора эквивалентны-
ми х ~ у, если х — у е Lq. Множество факторклассов, на ко-
торые разбивает множество L это отношение эквивалентности
обозначим L/Lq. Для класса [ж] € L/Lq и а е С положим «[ж] —
класс, содержащий вектор ах, где х - произвольный предста-
витель класса [ж]. Определим линейные операции на факторк-
лассах. Для классов [т] е L/Lq и [3/] е L/Lq положим [х] + [т/] —
класс, содержащий вектор х+у, где х и у — представители клас-
сов [х] и [?/] соответственно. Эти операции определены коррект-
но (не зависят от выбора представителей), a L/Lq с введёнными
операциями будет линейным пространством (докажите это). В
частности, [0] — Lq.
2.75.	Пусть Xq— замкнутое подпространство нормированного
пространствах. Доказать, что ||[х]||о = inf ||х|| задаёт норму
50
на линейном пространстве X/Xq.
2,76.	Пусть Х$ — замкнутое подпространство бананового про-
странства X. Доказать, что нормированное пространство Х/Х$
полно.
2.77.	Пусть Хо — замкнутое подпространство нормирован-
ного пространства (X, || • ||). Доказать, что если пространства
(%0> II • ID И (*/*b II ‘ Цо) ПОЛНЫ, то и X полно.
2.78°	. Доказать, что
а)	факторпрострапство c/cq изометрически изоморфно про-
странству С;
б)	факторпространство ДхД—1,1]/Loo[0,1] изометрически изо-
морфно пространству £оо[0,1].
Следует иметь в виду, что в общем случае, когда X — бана-
хово пространство, а Хо ~ замкнутое подпространство в нём, в
X может не быть подпространств, изоморфных X/Xq.
Определение 2.19. Пусть X — линейное пространствоf
Xi и Хз — два линейных подпространства в X, причём
X1DX2 = {0}. Линейной прямой суммой этих подпространств
называют множество Х% = {xi -h Х2'. х^ eXi, Х2 € Х2}. Его
обозначают Х3 = Xi ф Х2.
Легко проверить, что если х € Xi Ф Х2, то разложение
х = з?1 + Х2 единственно.
Определение 2.20. Пусть X — нормированное простран-
ство, Xi и Хз — два линейных подпространства в X, причём
X1QX2 = {0}. Линейную прямую сумму этих подпространств
называют топологической прямой суммойу если найдутся та-
кие константы Ci и С3 у что для любого х = Xi -Ь Х2у Xi € Xi,
Х2 е Хз, выполнено !|xi|| < Ci||rr||, ||ж||2 С СЧЦяЦ.
Заметим, что в данном определение можно требовать суще-
ствование только одной из констант (если, например, выполне-
на оценка ||Ж1|| С CiЦжЦ, то ||ж21| «С ||ж -	||	(1+ C'i)l|o;||). В
дальнейшем в нормированных пространствах, если не оговоре-
но противное, мы будем рассматривать только топологические
прямые суммы, обозначая их тем же символом ф. Несложно
видеть, что в конечномерном нормированном пространстве лю-
бая линейная прямая сумма является топологической прямой
суммой. Приведём ещё два достаточных условия:
51
Теорема 2.6. Если X — произвольное нормированное про-
странство, a Xi и Х2 — два его подпространства, причём
одно из них замкнуто, а другое конечномерно, то их линейная
прямая сумма является топологической.
Теорема 2.7. Если X — банахово пространство, Х± и Х% —
два его замкнутых подпространства, причём их линейная пря-
мая сумма также есть замкнутое подпространство (в част-
ности, совпадает с X), то эта прямая сумма является то-
пологической.
2.79.	Доказать теорему 2.6.1)
2.80°	. Доказать, что линейная прямая сумма подпространств
соо и Ып(хо), где т0 = (1,	. .)> в пространстве с пе является
топологической.
2.81.	Пусть в пространстве X} = {т € х^п — OVn € N},
а Х2 = {х е h : х = (x-^x^, £3, ^х$, х5,	..)}. Доказать, что
подпространства Х± и Х2 замкнуты, но линейная прямая сумма
Xi ф Х2 не является топологической прямой суммой и подпро-
странство X} ф Х>2 не замкнуто.
2.82°	. Пусть Xi и Х% ~~ замкнутые подпространства банахова
пространства X. Доказать, что ф Х2 — замкнутое подпро-
странство. Доказать обратное: если Xi и Х2 - линейные под-
пространства банахова пространства X, a Xi ФХ2 — замкнутое
подпространство, то Ху и Х2 замкнуты.
2.83°	. Привести пример неполного нормированного простран-
ства X и двух замкнутых подпространств в нём Ху и Х2 таких,
что их топологическая прямая сумма Ху ф Х2 — незамкнутое
подпространство. ►
Отметим важный факт: пусть имеются линейное простран-
ство X и линейное подпространство Ху в нём. Тогда2) всегда
можно найти такое линейное подпространство Х2. что X явля-
ется линейной прямой суммой Ху и Х2.
Определение 2.21. Пусть X — линейное пространство, Ху
— линейное подпространство в нём, а Х2 — его линейное до-
полнение, т.е. X = Ху фХ2. Тогда размерность пространства
Теорема 2.7 будет доказана в задаче 9.19 ниже.
2) Доказательство этого факта в общем случае опирается на лемму Цор-
на.
52
Х2 (конечную или бесконечную) называют коразмерностью
подпространства Xi (заметьте, что подпространство Х2,
дополняющее Х±, не единственно, но можно доказать, что
размерность у всех таких подпространств одинакова) и
обозначают codim Xi.
Определение 2.22. Линейное подпространство Xq в нор-
мированном пространстве X называется дополняемым,
если найдётся такое замкнутое подпространство Xi, что
X — Xq ф Xi (т.е, X является топологической прямой
суммой Xq и Х±).
Отметим, что в произвольном (пусть даже и банаховом) про-
странстве X не всякое замкнутое подпространство дополняемо
(см. задачу 6.44*).
2.5.	Сепарабельность нормированных пространств.
2.84	°. Доказать, что множество финитных последовательно-
стей плотно в пространствах а) lp, р € [1, оо), и б) од
и не плотно в пространствах в) с и г) 1^.
2.85	. Доказать, что множество многочленов плотно в про-
странствах
а)° С[0,1],	б)° Сп[0,1],	в)° Ср[0,1], где р е [1, оо),
г)° Ср [0,1], где п = 1,2,..., ар € [1,оо);
и не плотно в пространствах д) [0,1], е) BV[0,1].
2.86	. Пусть р — произвольная конечная мера на некоторой а-
алгебре S подмножеств отрезка [0,1]. Доказать, что множество
многочленов плотно в пространствах Lp([0,1], Е, р), р 6 [1, оо).
В следующей задаче и далее в этом задачнике кусочно-
линейной функцией мы будем называть определённую на R
или на отрезке [а, Ь] непрерывную функцию
®(t) = Y,k=o(akt +
где —оо — to < ti < ... < ^n+i = +oo (соответственно,
а — to < ti < ... < tn+i = 6). График такой функции будем
называть ломаной.
2.87	°. Доказать, что множество кусочно-линейных функций
плотно в пространствах
а) С[0,1], б) Lp[0,l],pe[l,oo), в) ^[0,1],	[1,00),
и не плотно в пространствах г) £оо[0,1], д) BV[0,1].
53
2.88	*. В пространстве С[0,1] для произвольного натурального
п рассмотрим множество функций
Fn = {xe С[0,1]: 3£0 е [0,1] Vt € [0,1] \x(t) - х(10)\ n\t - tQ\}.
Доказать, что Fn нигде не плотно.
Указание. Доказать вначале, что множество Fn замкнуто.
Из утверждения этой задачи и теоремы 1.3 следует суще-
ствование непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
2.89°. Пусть нормированные пространства Xi и Х2 изоморф-
ны. Доказать, что они либо оба сепарабельны, либо оба не
сепарабельны.
2.90	°. Пусть (X, || • ||) — сепарабельное нормированное про-
странство, a Xq — его линейное подпространство. Доказать,
что пространство (Хо, || • ||) сепарабельно.
Следующее свойство часто используют, когда надо доказать
несепарабельность пространства.
2.91	°. Доказать, что если в нормированном пространстве най-
дётся несчётная система непересекающихся единичных inapoB,
то пространство иесепарабелыю.
Пример 2.5. Доказать, что а) пространство BC(R) несе-
парабелъно, б) пространство Co(R) сепарабельно.
Решение, а) Рассмотрим систему функций — eiXt} и
шаров В\ В(ед,1), где Л е [0,2тг). Поскольку при А р
||вд —	|| = sup{|e^A-M^ — 1| : t е R}=2 (supremum достигается
при t = тг/(А — м))> эти шары не пересекаются и остаётся при-
менить задачу 2.91°.
б) Теперь докажем сепарабельность Cq(R). Для каждой функ-
ции х е Co(R) и любого е > 0 найдётся финитная непрерыв-
ная функция у такая, что ||я — у\\ < е. Действительно, по-
скольку limjti^oo x(t) — 0, существует такое натуральное чис-
ло А, что при всех \t\ > А выполнено |z(t)| < £. Положим
теперь y(t) = x(t) при |t| < A, y(t) = 0 при |t| > А + 1, а
на отрезках [—А — 1, — А] и [А, А + 1] соединим соответствую-
щие точки по линейности. Для каждой такой функции у най-
дётся непрерывная финитная кусочна-линейная функция z с
рациональными узлами такая, что \\у — z|| < 5s. Действитель-
но, в силу непрерывности, а значит равномерной непрерывно-
сти функции y(t) на отрезке [—А, А], найдётся 5 > 0 такое,
54
что Ix/(t2) - 3/(*i)| < £> как только |t2 - <i| < 6. Рассмотрим
разбиение —А = £0 < ti < ... < tn = А, с рациональными
hk ~ tk+i — tk < 6. Для каждого к найдём такое рациональное
ук, что |т/А: - 3/(^л)| < £ И СОСДИНИМ ТОЧКИ (-А - 1,0), (—А, Уо),
(ti, у1), и т.д., (А, уп), (А +1,0) отрезками — это и есть ломаная
z(t). Тогда на каждом отрезке t € [£fc,£fc+i] имеем
Ш - z(t)\ «с |y(t) - y(tk)\ + \y(tk) - z(tk)\ + \z(t) - z(tfc)| <
< 2e + |z(tfc+i) - z(tfc)| < 2e + |z(ifc+i) - y(tk+1)\+
+ ll/(*fe+i) - y(tk)\ + \y(tk) - z(tk)\ < 5г.
На отрезках [—A — 1, —А] и [A, A-Ь 1] неравенство |z(t)—< £
очевидно, поскольку здесь обе функции линейны, совпадают в
одном из концов отрезка и отличаются менее, чем на е в другом
конце. Таким образом, множество £ непрерывных финитных
кусочно-линейных функций с рациональными узлами плотно в
Cb(IR). Докажем, что оно счётно. Пусть £п — множество лома-
ных с рациональными узлами, состоящих ровно из п звеньев.
Такие ломаные однозначно задаются п — 1 точкой с рациональ-
ными координатами на плоскости. Множество таких точек счёт-
но, объединение (п —1)-го счётного множества счётно, т.е. £п —
оо
счётное множество. Тогда и множество £ = |J £п счётно. □
П=1
2.92	°. Будет ли счётным множество
М = {z е h: хп е Q Vn е N}? ►
2.93	. Определить, какие из следующих пространств сепара-
бельны
а)° 1р(п), р € [1, оо], п е N;	б)° 1р, р е (1,оо);
в)° со и с;	г)° Zoo;
д)° С[0,1];	е)° Сп[0,1], п & N;
ж)°Рп[0,1];	з)° Ср[0,1],р€ [1,оо
и)° w*[Q, 1], n е N, р 6 [1,оо]	);	к)°Р[0,1];
л)°£р[0,1], р е [1,оо);	м)о1то[0,1];
н) BV[0,1] и BVo[0,1];	о) AC(D)-,
и)* 1р([0,1], Е, р), р е [1, оо),	мера у, конечна. ►
55
3. Гильбертовы пространства.
3.1.	Основные понятия и свойства. Примеры евкли-
довых и гильбертовых пространств.
Определение 3.1. Пусть Е — линейное пространство над
полем К (К = R или К — С). Отображение (•, •) : Е х Е —> С
называется скалярным пр о азе ед внаем, если выполнены аксио-
мы:
(1)	Ух € Е (х,х) } Q, причём (х, х) = О о х — О
(положительная определённость);
(2)	Ут, у е Е (х,у) = (у,х) (антисимметричность);
(3)	\/х, у, z е Е Уа, (3 е К (ах + (3y,z) = a(x,z) + (3(y,z)
(линейность по первому аргументу).
Линейное пространство Е со скалярным произведением
называется евклидовым пространством.
В евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-
Буняковского:
К®,у)I2 =% (*,*)-(у,у)-
Из этого неравенства следует (см. задачу 3.2°), что скаляр-
ное произведение порождает норму
М =	(3.1)
так что всякое евклидово пространство является нормирован-
ным. Соответствующая норма называется евклидовой. В тер-
минах нормы неравенство Коши-Буняковского имеет вид
1(*>2/)1 < М • Нз/Ц.
Векторы х,у называются ортогональными (х ± у), если
(х,у) = 0.
В вещественном евклидовом пространстве определён угол
между ненулевыми векторами'.
—-	(х, у)
<X>SX,y=
И • 112/11
Определение 3.2. Евклидово пространство, полное относи-
тельно нормы (3.1), называется гильбертовым пространством.
Неполное евклидово пространство называют предгильберто-
вым.
56
Иногда в определение гильбертовых пространств включают
требование бесконечномерности. Всякое предгильбертово про-
странство можно пополнить до гильбертова (см. теорему 2.4).
Примером гильбертова пространства служит любое про-
странство £2(^5 где М — произвольное множество,
S С 2м — некоторая сг-алгебра его подмножеств, а // : Е —*
— cr-аддитивная, конечная или сг-конечная, положительная
мера на S (см. курс действительного анализа). Скалярное
произведение определяется равенством
U>g)= [ fgd.ii.
JM
Частным случаем этого пространства являются гильбертовы
пространства Z2, £2 [0,1] и Zo(R).
Норма в евклидовом пространстве обладает многими заме-
чательными свойствами, которые зачастую являются характе-
ристическими для евклидовости. Приведем классический при-
мер такого свойства.
Теорема 3.1 (П. Йордан, Дж. фон Нейман, 1935). Норми-
рованное пространстве X является евклидовым тогда и толь-
ко тогда, когда для любых двух векторов х,у € X выполнено
равенство параллелограмма
Ik - з/112 + Ik + у112 = 2Ikll2 + 2|k||2.
Задачи
3.1	°. Доказать неравенство Коши-Буняковского. Доказать,
что равенство |(т, у)\ — ||ж||||?/|| выполнено тогда и только тогда,
когда векторы х и у линейно зависимы.
3.2	°. Доказать, что функция, определяемая равенством (3.1),
удовлетворяет всем аксиомам нормы.
3.3	°. Пусть Е -- евклидово пространство. Доказать непре-
рывность скалярного произведения по каждому аргументу и
по совокупности аргументов.
3.4	°. Доказать теорему Пифагора в евклидовом пространстве
Е: х ± у тогда и только тогда, когда ||т 4- г/||2 = ||х||2 + ||?/||2. В
57
вещественном евклидовом пространстве доказать теорему ко-
синусов: для любых х, у е Е выполнено
Цж - у||2 = ||х||2 + ||з/||2 - 2|ia:||||j/|| cosx^.
3.5	°. Пусть {тп}1° и {z/n}i° — последовательности векторов
евклидова пространства, причём для всех п G N: ||жп|| < 1,
||j/n||	1. Доказать, что если (хп,уп) -> 1, то ||тп - уп\\ -» 0.
3.6	°. Пусть Е — евклидово пространство. Доказать
поляризационное тождество: для любых векторов х и у из Е
выполнено равенство (х,у) = |	11ж + ^S/Ц2 — в случае
комплексного пространстваЕ, или (х,у) = ~||ж-Ь^||2-^||т — j/Ц2
— в случае действительного пространства Е.
Определение 3.3. Два гильбертовых пространства
(Hi, (•, -)hi) и (Н2, (♦, ')н2) называют унитарно эквивалентными
или изометрически изоморфными, если существует отобра-
жение U : Hi —> Н2 (унитарный оператор), которое
(1)	биективно;
(2)	линейно;
(3)	сохраняет скалярное произведение: (Ux,Uy)H2 = (х,У)нг
Ух, у е Hi.
При замене свойства (1) на условие инъективности, получим
определение изометрического вложения (изометрии) гильбер-
товых пространств.
3.7	°. Пусть (НхД-,-)^) и (Я2,(-,-)я2) — гильбертовы про-
странства. Обозначим || • || и || • ||н2 — нормы, порождённые
скалярными произведениями. Доказать, что гильбертовы про-
странства (#1,(-,-)н1) и (Я2,(’<)н2) унитарно эквивалентны
тогда и только тогда, когда банаховы пространства (Hi, || • ЦяЗ
и (Н2, || • ||я2) изометрически изоморфны (см. определение 2.2).
Итак, изометрии гильбертовых пространств сохраняют
структуру скалярного произведения. Неизометрические изо-
морфизмы уже не обязаны сохранять скалярное произведение
и, говоря об изоморфизме (или о вложении) пространств
X и Y, из которых одно (или оба) гильбертово, имеют в
виду изоморфизм (соответственно, вложение) нормированных
пространств X и У (см. определение 2.2).
Обычно довольно просто доказать «гильбертовость» данно-
го конкретного пространства. Сложнее доказывать, что данное
58
нормированное пространство не является гильбертовым. Стро-
го говоря, задача ставится так: дано банахово пространство
(X, || • ||). Выяснить, является ли оно изометрически изоморф-
ным (более сложный вопрос — изоморфным) некоторому
гильбертовому пространству (X, (•, •))? В случае наличия изо-
метрического изоморфизма говорят, что пространство (X, |] • ||)
гильбертово, а при наличии произвольного изоморфизма гово-
рят, что (X, || • ||) эквивалентно гильбертовому пространству.
Полезным средством для решения первой задачи является
теорема 3.1.
Пример 3.1. Доказать, что норма в С[0,1] не может быть
порождена скалярным произведением (короче говоря, С[0,1] —
не гильбертово пространство).
Решение. В силу теоремы 3.1 для любых векторов х и у
обязано выполняться равенство параллелограмма. Возьмём
x(t) = 1, y(t) = t. Тогда ||ж|| = ||у|| = ||аг - у|| = 1, а ||ж + j/|| = 2,
т.е. равенство не выполнено. □
3.8	. Доказать теорему 3.1.
3.9	. Доказать, что если в нормированном пространстве X для
любых двух векторов х, у выполнено «неравенство параллело-
грамма» ||х — у\\2 + ||х + т/||2 < 2||х||2 + 21|7/||2, то X евклидово.
3.10	°. Доказать, что пространства
а) 1р при р е [1, оо], р 7^ 2; б) с; в) с0; г) Cm[0,1],
п е N; д) Z/p[0,1], р € [1, оо], р 7^ 2 не гильбертовы.
3.11	. Доказать, что в любом банаховом пространстве X для
любых векторов х, у € X, одновременно не равных нулю, вы-
полнено |	2. Показать, что в обоих про-
странствах Zoo(2) и С [О,1] достигаются оба крайние значения1).
На самом деле, пространства С[0,1]; 1Р при р € [1, оо], р 2;
со; с; Сп[0,1]; £р[0,1] при р С [1, оо], р 2 не изоморфны гиль-
бертовым пространствам. Решение таких задач требует допол-
нительных сведений.
1 Дри этом пространство 2оо(2) изоморфно гильбертовому пространству
^(2), поскольку в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны
(см. задачу 2.13), а пространство О[0,1] не изоморфно никакому гильбер-
товому пространству.
59
3.12	°. Доказать, что пространство L2(M, (см. преамбулу)
гильбертово.
3.13	°. Пусть {rn)i° — последовательность положительных
чисел. Рассмотрим множество последовательностей (xi, Т2,...),
где Хп е С, ДЛЯ которых СХОДИТСЯ ряд 52^Ll(rn|^n|)2- Дока-
жите, что это линейное пространство. Снабдим это множество
скалярным произведением (проверьте аксиомы скалярного
произведения)
оо
(*, у) = ГпхпУ^
71= 1
и обозначим полученное пространство /2,гп- Доказать, что
это пространство есть 1/2(М, Е,д), где М — N, Е = 2N, а
д(А) —	Отсюда следует, что 12>Гп есть гильбертово
пространство.1)
Другой пример гильбертовых пространств — пространства
Соболева.
3.14	°. Доказать, что пространства Соболева W^O, 1], п е N,
гильбертовы.
Примером ещё одного пространства со скалярным произве-
дением является пространство почти периодических функций.
Определение 3.4. Непрерывная на R функция называется
почти периодической, если для любого е > 0 найдётся почти
период — число Т такое, что sup \x(t + Т) — т(£)| < е.
3.15	. Проверить аксиомы скалярного произведения
(х, у) = lim ± fA x(t)y(t)dt
А—»-+оо	Л
в пространстве почти периодических функций AP(R). Будет ли
это пространство гальбертовым? ►
3.16	. Какие из следующих пространств сепарабельны
а)° W?[0,l], n е N; б)° 12Гп; в) L2(R); г) AP(R);
д)*£2(М,Е,М)?>
3.17	. Рассмотрим линейное пространство Н произвольных
функций вещественного переменного, отличных от нуля в
не более, чем счётном числе точек (для каждой функции
Пространство /г,гп называют пространством с весом {гп} (ср. с за-
дачей 2.7)
60
набор точек свой). Введём скалярное произведение в этом
пространстве по правилу (х,у) —	^2
t: x(t)-y(t)^O
Доказать, что Н — гильбертово несепарабельное простран-
ство.
3.18	°. Доказать, что всякое гильбертово пространство строго
выпукло или, что то же самое, строго нормировано (см. опре-
деление 2.4 и задачу 2.37).
3.19	°. Доказать, что всякое гильбертово пространство равно-
мерно выпукло (см. определение 2.11).
Следующее соотношение называют теоремой о среднем
для скалярного произведения.
3.20	°. Доказать, что в комплексном гильбертовом простран-
стве Н для любых векторов х и у выполнены равенства
1 N
(х, =	52 IIх + e2^Ny\\2e2nik^N, где N > 3,
V к=1
2тг
(®, = 2г / + е*ву\\2е*в(1е
о
(сравните с задачей 3.6°).
3.2.	Множества в гильбертовых пространствах.
Определение 3.5. Два множества М и N в евклидовом про-
странстве называются ортогональными (обозначают М ± N),
если (х,у} = 0 для любых х € М, у € N. Ортогональным
дополнением к множеству М в евклидовом пространстве Н
называется множество Мх = {ж е Н : (х, у) = 0 Чу Е М}.
Определение 3.6. Пусть Но — собственное замкнутое под-
пространство гильбертова пространства Н, ах — произволь-
ный вектор из Н. Вектор у G Но называют ортогональной
проекцией вектора х на подпространство Но, если х — уЕ Hq.
Определение 3.7. Пусть Н — гильбертово пространство,
a Hi и Н2 — два его линейных подпространства, причём
Hi П Н2 ~ {0}. Линейную прямую сумму Н% = Hi ф Н2
называют ортогональной прямой суммой (обозначают
Но = Hi ф±Я2Л если Hi ± Я2-
61
Определение 3.8. Пусть Н± и Н2 — гильбертовы простран-
ства. Гильбертово пространство Н — {(Е Hi, £2 € Н2}
со скалярным произведением ((),()) н~(х1,У1)н1+(х2>У2)н2
называют ортогональной прямой суммой гильбертовых про-
странств Hi и Н2 и обозначают Н = Hi&JH2 (ср. с
определением 2.9) У
Задачи
3.21°	. Пусть М — произвольное множество в гильбертовом
пространстве. Докажите, что М1- является замкнутым линей-
ным подпространством.
3.22°	. Пусть Hq ~ собственное замкнутое подпространство
гильбертова пространства Н. Доказать, что вектор х Е Hq
тогда и только тогда, когда для всякого у Е Но имеет место
неравенство ||х — j/Ц ||ж||.
3.23.	Пусть Но — собственное замкнутое подпространство
гильбертова пространства И, ax е Н. Доказать, что у € Но
является ортогональной проекцией вектора х тогда и только
тогда, когда у есть элемент наилучшего приближения для век-
тора х в подпространстве Hq.
3.24.	Доказать, что в гильбертовом пространстве любое
замкнутое подпространство является подпространством
существования (см. определение 2.17).
3.25°	. Пусть И — Но (В^Н1, где Hq и Hi — замкнутые под-
пространства, х Е Н. Обозначим через у элемент наилучше-
го приближения для х в подпространстве Но, через z -- эле-
мент наилучшего приближения для х в подпространстве Hi.
Доказать, что х = у -F z и, соответственно, dist(x,Ho) = ||z||,
dist(x,Hi) = Цз/ll, dist2(x,H0) + disk2 (x, Hi) = ||ж||2.
3.26.	Пусть Hq — замкнутое подпространство гильбертова
пространства Н. Доказать, что Н = Но ®±Hq-. Верно ли это в
предгильбертовом пространстве И? ►
Отметим, что в гильбертовых пространствах для любого за-
мкнутого собственного подпространства Но всегда существует
О-перпендикуляр (см. определение 2.18) — им будет любой век-
тор единичной длины из Hq.
результате, Ну и Н2 «превращаются» в подпространства простран-
ства Н, причём Н является их ортогональной прямой суммой.
62
3.27.	Пусть Н — гильбертово пространство, Hq — собствен-
ное подпространство, Н/Н$ — факторпространство. Доказать,
что отображение J : Hq —> H/Hq, Jx — [х] является изомет-
рическим изоморфизмом (здесь [г] — факторкласс из H/Hq,
содержащий вектор х).
3.28°	. Доказать, что линейное подпространство М в гильбер-
товом пространстве Н всюду плотно в Н тогда и только тогда,
когда М~ = {0}.
3.29.	Доказать, что в гильбертовом пространстве для любого
множества М имеет место равенство (M±)J~ = Ып(М) ( замы-
кание линейной оболочки множества М).
3.30.	Пусть Н — гильбертово пространство, а М и N — два
его взаимно ортогональных линейных подпространства. Дока-
зать, что их ортогональная прямая сумма является топологи-
ческой прямой суммой. Доказать, что если они оба замкнуты,
то М — замкнутое подпространство в Н.
3.31°	. В гильбертовом пространстве Н привести примеры за-
мкнутых подпространств М и N таких, что Н — М ф N, но
эта топологическая прямая сумма не является ортогональной
прямой суммой. ►
3.32.	Пусть Н — гильбертово пространство, {жп}1° --
последовательность векторов из 77, a {An}i° ~ последо-
вательность комплексных чисел. Доказать, что множество
М — {х е Н: (х,Хк) = Лк, k е N} либо пусто, либо является
замкнутым аффинным подпространством в НУ>
Определение 3.9. Множество М гильбертова простран-
ства Н называют чебышёвск&м, если для любого х € Н в М
существует элемент наилучшего приближения, т.е. Зу е М:
dist(x,M) = ||х -у\\.
3.33.	Доказать, что любое замкнутое выпуклое множество в
гильбертовом пространстве является чебышевским.* 2)
1) Аффинным подпространством в линейном пространстве L называется
множество П = {гго+з/: У € L}, где L — линейное подпространство, а д>о
фиксированный вектор.
2)До сих пор (2009) не решена проблема (Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин,
В. К ли): всякое ли чебышевское множество в гильбертовом пространстве
является выпуклым? В конечномерном евклидовом пространстве множе-
63
В произвольном полном метрическом пространстве после-
довательность непустых замкнутых вложенных ограниченных
множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непу-
стое пересечение (см. задачу 1.34). В случае нормированного
пространства можно отказаться от условия стремления к ну-
лю диаметров для частного случая шаров (см. задачу 2.63). В
гильбертовом пространстве вместо шаров можно взять произ-
вольные выпуклые множества и утверждение останется верным
(см. задачу 7.37), однако в отсутствии условия выпуклости, пе-
ресечение множеств может оказаться пустым.
3.34.	Привести пример последовательности непустых вложен-
ных ограниченных замкнутых множеств в пространстве
имеющих пустое пересечение. ►
Определение 3.10. Угол между подпространством М и
вектором х в вещественном гильбертовом пространстве
определяется равенством ж, М := х^у, где у — ортогональная
проекция х на М (если х ± М, то у = 0 и в этом случае
х^М := %).
3.35.	Доказать, что угол х,М между подпространством М и
вектором х в вещественном гильбертовом пространстве Н при-
нимает значения в промежутке [0,	.
Определение 3.11. Углом между подпространствами М и
N в вещественном гильбертовом пространстве Н называется
М, N := sup х, N.
хеш
3.36°	. Пусть М и N — подпространства вещественного гиль-
бертова пространства Н. Дркзз&тъ. что
a)	M,N = N,M\
б)	M^N = CN или N cff;
в)	М, N = если Af ± АГ;
г)	mjv - f - мТД = f - m\n = atQv-l.
Пример 3.2. В пространстве 1/2 [0^] найти выпуклую
оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной
оболочки и ортогональное дополнение для множества Т
ство является чебытпёвским тогда и только тогда, когда оно замкнуто и
выпукло (Л. Бунт, 1934, Т. Малькин, 1935).
64
тригонометрических многочленов Tn(t) = ak sin(fct), где
n e N, a afc > 0 для всех k.
Решение. Множество T выпукло, а потому его вы-
пуклая оболочка совпадает с ним. Действительно, если
Тп - £fc=i sin(fat) и Sm = ЕГ=1 bk sin(fct) (будем счи-
тать m > n и положим тогда an+i = ... = am = 0), то
aTn + (1 - a)Sm = Y%=1(aak + (1 - a)bk)sin(kt), причём
aak + (1 - a)bk 0, если ak 0, bk 0, a € [0,1].
Докажем, что замыкание множества Т есть множество
Т = {х € 1/2[0,7г]: (z,sin(Atf)) 0 V k е N}. Действительно,
если Тп € Т, то (Tn, sin(A;t)) > 0 для любого к € N, а при
переходе к пределу Тп —> х эти неравенства сохранятся,
т.к. скалярное произведение непрерывно по каждому своему
аргументу. Итак, замыкание множества Т вложено в мно-
жество Т. Докажем теперь, что Т совпадает с замыканием
множества Т. В силу теоремы Рисса-Фишера (см. курс дей-
ствительного анализа или теорему 3.2 ниже), любую функцию
х е £2[0, 7г] можно записать в виде сходящегося в L2 ряда
х = 7 I2fcLi(^5sin(H)) sin(fcZ). Для функции х Е % частичные
суммы этого ряда Тп = £ 52fc=1(x,sin(kt)) sin(kt) сходятся к х.
Докажем, что LM есть множество всех тригонометрических
многочленов вида ак sin(fct). Действительно, линейная
комбинация двух многочленов из Т есть такой многочлен.
С другой стороны, любой многочлен Pn(t) = Sfc=i ак sin(H)
можно записать в виде разности двух многочленов с неотрица-
тельными коэффициентами — к первому отнести слагаемые с
a/с > 0, а ко второму - с < 0.
В силу теоремы Вейерштрасса 2.3, замыкание линейной обо-
лочки LmT совпадает со всем пространством.
Найдём множество О = Т1. В силу утверждения задачи 3.29,
S1- = 1/2[0,тг], в частности, для любого х € О выполнено
(х,х) = 0, т.е. & = {0}. □
3.37.	В пространстве £2[—1,1] для следующих множеств
найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку,
замыкание линейное оболочки и ортогональное дополнение.
а)	М = {х е L2[-l, 1] : x(t) = OVt < 0};х>
б)	М — {х € L2[—1,1] : х непрерывна в точке а и х(а) = 0};
Напомним, что элементами пространства L2 являются классы экви-
65
в)	М = {х е L2[-1,1] : x(t) = x(—t) Vi € [-1,1]};
г)	M = {х gL2[-1, 1] :a:(t) = x(~t)Vt & [-1/2,1/2]};
д)	M = C[-1,1];
е)	множество М всех многочленов;
ж)	множество М всех многочленов р, для которых р(0) = 0;
з)	множество М всех многочленов, у которых коэффициенты
при нечётных степенях равны нулю;
и)	множество М ступенчатых функций (количество ступенек
конечно);
к)	М = {х е L2[-1,1] : ||^ -	1} для некоторой
функции у е L2[—1];
л)	М — {х е L2[~1>1] ' ||s - 2/1к2[од]	1} для некоторой
функции у Е L2[— 1,1];
м) М — {х Е Z/2[“l, 1] • x(t) 0V£ Е [—1,1]} (здесь рассматри-
вается пространство над полем R);
н) М = {х Е 1] : |z(i)j 1 Vi Е [-1,1]};
о)	М = {х Е L2[~l} 1] : х(а) х(Ь)\/а > Ъ} (здесь рассматрива-
ется пространство над полем R);
п) М =	€ L2[—l, 1] : x(t) = 0 Vi с (а,/?)}, где
р)	М — {х Е L2[— 1,1] : /2] x(t)dt = 0}. ►
3.38.	В пространстве 1,1] для следующих множеств
найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку,
замыкание линейное оболочки и ортогональное дополнение
а)	М =	{х	Е И^[-1,1]	:	z(i)	- Ш < 0};
б)	М =	{х	Е WT2[-1,1]	:	r(i)	= rr(-i) Vi €	[-1,1]};
в)	M =	{х	Е W^f-l,	1]	:	z(i)	= x(-t) Vi E	[-1/2,1/2]};
г)	M =	(73[~1,1];
д)	множество М всех многочленов;
е)	множество М всех многочленов, у которых коэффициенты
при чётных степенях равны пулю;
ж)	множество М непрерывных кусочно-линейных функций
(количество точек излома конечно);
з)	м = {хе ^[-1,1]: |a;(i)| <lVt€ [-1,1]};
валентных функций. Здесь и везде далее, говоря о функции х 6 Ь2, мы
имеем в виду, что х Е [ж] — произвольный представитель класса [я] 6 L2.
При этом все соотношения для функции х, выполнение которых требуется
для любого t, предполагаются выполненными для почти всех t.
66
и)	М = {х €	[—1,1]: х(а) > х(Ь) ¥а > Ь}. ►
3.39.	Пусть Нп, п € NUoo, — множество векторов х = (xi, хг,...)
пространства /2, для которых 2Z=1 Хп = Найти Н^ и дока-
зать, что все 7/п, п оо, — замкнутые подпространства, а Н1У)
— незамкнутое всюду плотное в /2 подпространство. ►
3.40°	. В вещественных пространствах [0,1] и [0,1], п е N,
найти угол между векторами x(t) = 1 и y(t) — t. ►
3.41.	В пространстве L% [0,1] рассмотрим непрерывную кривую
7 : [0,1] —> £2[0,1], 7(т) — Хт, где Ха ~ характеристическая
функция отрезка [0, а]. Пусть х = 7(т2) -7(71), У = 7(7з) ~7(г2),
0 С л < т2 < тз 1, — две хорды кривой 7 с общим концом.
Доказать, что х и у ортогональны. Существует ли такая кривая
в конечномерном евклидовом пространстве? ►
3.42°	. В вещественном пространстве L2[0,1] найти угол между
подпространствами М = {1}± hN^Z^2}1. ►
3.43.	В пространстве Х2[0,1] найти расстояние от вектора
x(t) — tn, п е N, до подпространства
Но = {х е Ь2[0,1]: x(t)dt = 0). ►
Определение 3.12. Определителем Грама Г(х1,.... хп)
системы векторов {хд, х2,..., хп} называется определи-
тели матрицы, составленной из скалярных произведений
((.Ti, X'j,))^ j—j.
В гильбертовом пространстве расстояние от данного элемен-
та х до конечномерного подпространства Hq и элемент наилуч-
шего приближения для х в Hq могут быть найдены в терминах
базиса подпространства Но и определителя Грама.
3.44.	Пусть Но — конечномерное подпространство гильберто-
ва пространства Н, a {hk}™ — линейный базис (не обязательно
ортогональный) в Hq. Доказать, что для любого х € Н элемент
наилучшего приближения в Hq имеет вид
Е	Г(Лг,..., hk-iy х, Afc+i,.... hn)
akhk, где ak =----------—--------—----------,
fe=1	V(hu...,hn)
а расстояние от x до Hq определяется равенством
1* 4.2/ rr x Г(х, Zli, . . . , Zln)
г(/,,...M 
67
В частности, если {hk}i — ортонормированный базис в Hq,
то элемент наилучшего приближения у = 52^=1(ж, hk)hk, а
dist2(a;,Ho) = lkii2-n=1|(^^)l2.
3.45.	В пространстве 12 найти расстояние от вектора
ei = (1,0,0,...) до подпространства
Нп = {х € l2:	хк = 0}, п е N. ►
3.46.	В пространстве Л2[0,1] найти расстояние от вектора
x(t) = t2 до подпространства Pi всех линейных функций.
Найти элемент наилучшего приближения для х в Рх (ср. с
задачей 2.68*). ►
3.3.	Системы векторов в гильбертовых простран-
ствах.
Определение 3.13. Система {еа} векторов гильбертова
пространства (не обязательно конечная или счётная) назы-
вается орто нормир о ванной, если (еа,е^) — 0 при всех а (3 и
(еа, еа) = 1 для любого а.
Для любой ортонормированной системы {en}i° и любого
вектора х справедливо неравенство Бесселя
оо
53|(®.вп)|2 < И2.
П=1
Теорема 3.2 (Ф. Рисе, 1907; Е. Фишер, 1907). Пусть
{en)i° -- ортонормированная система в гильбертовом про-
странстве Н. Тогда следующие условия эквивалентны
(1) система {en}i° тотальна (т.е. любой элемент в Н
можно сколь угодно точно приблизить конечными
линейными комбинациями элементов хп);
(2)	если для некоторого вектора х € Н справедливы
равенства (х,еп) — 0 для любого п € N, то х = 0 (такую
систему называют полной);
(3)	Vrr € Н: ^2^_1 |(я, еп)|2 = ||я||2 (выполнено равенство
Парсеваля);
(4)	любой вектор х Е Н единственным образом
представляется в виде ряда по системе {en}J°.*
х = JXL] (*,еп)еп (т.е. {en}i° — базис Шаудера, см. главу 10
ниже).
68
Ортонормированную систему, обладающую свойствами
(1)-(4) называют полной орто нормир о ванной системой или
орто нормир о ванным базисом.
К любой линейно независимой системе {zn)i° векто-
ров гильбертова пространства можно применить процесс
ортогонализации Грама-Шмидта, в результате которого по-
лучается ортонормированная система {en}J°, и при этом
Ып{х^,... ,хп} — Lin{ei,..., еп} для любого п = 1,2,..., так
что Lin{xn}^° = Lin{en}i° (в частности, если система {тп}^=1
полна, то полна и система {en}J°). Сам процесс состоит в сле-
дующем. Положим е± =	. Теперь будем искать вектор е2,
ортогональный ei, в виде е2 = се± Из равенства 0 = (e^, ei)
получаем е2 = — (тг, ei)ei	Положим €2 — . Продолжая
этот процесс, на fc-ом шаге запишем вектор ек, ортогональный
векторам ej, j < к, в виде е'к =	а тогда
е* = 1Йг
Всякую ортонормированную систему можно дополнить до
ортонормированного базиса.
Все ортонормированные базисы данного гильбертова про-
странства Н имеют одну и ту же мощность. Этот факт позво-
ляет ввести размерность гильбертова пространства Н — мощ-
ность произвольного ортонормированного базиса в Н. Эта раз-
мерность конечна тогда и только тогда, когда линейная размер-
ность dimH < 00 и в этом случае они совпадают.
Теорема 3.3 (X. Лёвиг, 1934; Ф. Реллих, 1935). Любые
два гильбертовых пространства над одним полем и одина-
ковой размерности изометрически изоморфны между собой
(т.е. существует изоморфизм между ними, сохраняющий
норму и скалярное произведение) и изометрически изоморфны
некоторому пространству	р). В частности, любое
сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство
имеет счётный ортонормированный базис и изометрически
изоморфно любому из пространств £2(0,1] или 1ъ-
Задачи
3.47	°. Доказать, что система конечного числа векторов {zfc}£=1
69
гильбертова пространства линейно независима тогда и только
тогда, когда её определитель Грама отличен от нуля.
3.48	°. Применить процесс ортогонализации Грама-Шмидта к
системе {1, £, t2} в пространствах
а) £2[-1,1]; б) £2[0,1]; в) И^[0,1]. ►
3.49	. Пусть Н — сепарабельное бесконечномерное гильберто-
во пространство, а {еп} — произвольная ортопормированная
система в нём. Доказать, что эту систему можно дополнить до
ортонормированного базиса {en}j°. Вывести отсюда, что в лю-
бом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ор-
тонормированный базис.
Приведём примеры различных ортонормированных базисов.
Пример 3.3. Доказать, что система многочленов Чебышева
II рода
1...
образует ортонормированный, базис в гильбертовом простран-
стве L‘2([—1,1], л/1 —
Решение. Запишем скалярное произведение
1
2 Г sin((n 4-1) arccosZ) sin((m-h 1) arccos£) _
( m’ n) = J
-1
= — [ sin((7i 4- 1)5) sin((m 4- l)s)ds —
к J
0
7Г
— — (cos((n — m)s) — cos((n + m 4- 2)s))d$.
7Г J
0
Поскольку cos(ks)ds = 0 при целом k / 0, а при k = 0
интеграл равен тг, ортонормированность системы доказана.
Докажем полноту системы — теорема 3.2 тогда завершает
доказательство. Пусть х — произвольная непрерывная функ-
ция на [—1,1]. В силу теоремы Вейерштрасса 2.2 для любого
70
е > 0 существует многочлен р такой, что ||т — р\\с < е.
Но тогда [|т - р||ь2	Vl — t2dtj = Еу/lf. Таким
образом, оболочка Lin{tk}^ плотна в L2([—1,1], л/1 - t2dt).
Остаётся заметить, что Un — многочлен и deg Un = п, а значит
Lin{Uk}Q = Lin{tk}Q для любого п, откуда следует полнота
нашей системы. □
3.50. Доказать, что системы
а)° {vb 7?cos(n*)’ ^sin(nt)}~;
б)° /-X=eintj°° ;
I V 2?г	J —сю
B)
г) {т? Cos((n - 1/2)4). siu((n - 1/2)4)
являются ортонормированпыми базисами в пространстве
тг]-
3.51. Доказать, что системы
а)° {v4sinM}1 б)° {^’ ^cos’4:;
в) {а/1з1п((л - 1/2)*)}1 ; г) {^cos((n - l/2)t)|i
являются ортонормированными базисами в пространстве
L2 [0, 7г].
Применив процесс ортогонализации к системе {tn}g° в про-
странстве L2[—1,1], получим систему многочленов Лежандра.
3.52. Доказать, что система многочленов Лежандра
* j^-(t2-l)n, n = 0,1,...
k 7 V 2 п!2п dtn v 7
— ортонормированный базис в пространстве 2L-2 [—1,1].
Следующие системы также получены ортогонализацией си-
стемы {in}o° относительно разных скалярных произведений.
3.53. Доказать, что система многочленов Чебышёва I рода
(см. задачу 2.68*)
2
Tn(t) = — cos (n arccost), n = 0,1,...,
7Г
— ортонормированный базис в пространстве L2 Г[— 1,1],	} •
71
3.54. Доказать, что система многочленов Якоби
pf'04t) = Sr(1  r“(1+tr<3^ К1 -i)n+Q(1+t)n+3J ’
(здесь а > —1, /3 > —1, п — 0,1,...) — ортонормированным
базис в пространстве L2G—1? 1], (1 — t)Q(l + t)0dt).
3.55*. Доказать, что система многочленов Лагерра
ct dn
L"(t) -	"-О'1--
— ортонормироваиный базис в пространстве £2 (ОХ оо), e^dt),
3.56*. Доказать, что система мно го членов Эрмита
pt	ч
ортонормироваиный базис в пространстве £2(^5 e~t2dt).
3.57.	Найти ортонормированную систему, полученную в
результате применения процесса ортогонализации Грама-
Шмидта к системе {emt}nez в пространстве	'по-
является ли полученная система ортонормированным базисом
в этом пространстве? ►
3.58.	Найти ортонормированную систему, полученную в
результате применения процесса ортогонализации Грама-
Шмидта к системе {sinntJJj'Lj в пространстве ИГ2[0,тг].
Является ли полученная система ортонормированным базисом
о
а) в пространстве W ^[О, тг]; б) в пространстве 7г]? ►
о
3.59.	Доказать, что пространство	изометрически изо-
морфно /2,7г (см. определение в задаче 3.13°).
3.60.	Найти ортонормированную систему, полученную в
результате применения процесса ортогонализации Грама-
Шмидта к системе {cosnt}^L0 в пространстве тг].
Является ли полученная система ортонормированным базисом
в этом пространстве? ►
3.61.	Найти ортонормированную систему, полученную в
результате применения процесса ортогонализации Грама-
Шмидта к системе {cosnt, sin(n + l/2)t}^L0 в пространстве
72
HZ2 [—7Г> • Является ли полученная система ортонормирован-
ным базисом в этом пространстве? ►
3,62.	Найти ортонорм ированную систему, полученную в
результате применения процесса ортогонализации Грама-
Шмидта к системе {Cn}^L0 в пространстве Л£2(|С1 < 1)-
Является ли полученная система ортопормированным базисом
в этом пространстве? ►
3.63.	Доказать, что система Радемахера
rn(t) = sign sin(2n7rt), п = 0,1,2,...
ортонормирована, но не полна в £2 [0,1].
3.64.	Доказать, что система Уолша, состоящая из всевозмож-
ных конечных произведений функций из системы Радемахера,
является ортонормированным базисом в £2[0,1].
3.65.	Доказать, что система Хаара Хо(0 = 1)
(	у/2”, t	,
\	t €	2ntr) J
(	0, иначе,
где п — целая часть log2 т, а к = т — 2П, является ортонорми-
рованным базисом в £2[0,1].
Есть простой способ построить базис в декартовом произве-
дении пространств £2.
3.66°	. Пусть {тп}1° ортонормированный базис в простран-
стве Z/2(Mi,	{з/п}1° — ортонормированный базис в
пространстве L2(M2, S2, ц2)« Доказать, что {хп • ут}т)П=1 ~~
ортонормированный базис в пространстве Z2(M, Е,ц), где
(М,Е,д) =	х (М2,£2,ц2).1\
3.67.	Предъявить какой-либо ортонормированный базис в про-
странстве Z/2(R). ►
Следующую теорему называют теоремой об устойчивости
базисов. Эта полезная теорема позволяет доказывать свойство
1Дод (Mi, Si ,^1) х (M2,S2>M2) мы понимаем измеримое пространство
(Mi х М2,Е,щ х рг), где Е — наименьшая <т-алгебра, порождённая мно-
жествами из декартова произведения Ei х Ед (см. курс действительного
анализа)
73
базисности для ортонормированных систем, которые «не силь-
но отличаются» от какого-либо известного ортонормированного
базиса.
3.68*	. (Н.К. Бари, 1951) Пусть {en}i° — ортонормирован-
ный базис в гильбертовом пространстве Я, а ортонормирован-
ная система {/n}i° такова, что	IIеп — fn\\2 < оо. Доказать,
что эта система также является ортонормированным базисом в
Я.
3.69*	. Пусть множество М в гильбертовом пространстве Я
обладает следующим свойством: для любого х е Н множество
У € М} С С ограничено. Доказать, что тогда и само
множество М ограничено в пространстве Я.
"Указание. Предположить противное и построить подходящую ортонор-
мированную систему.
3.70.	Вычислить с помощью равенства Парсеваля суммы ря-
Дов а) & б)	►
3.71°	. Пусть {тп}1° ” ортогональная система векторов гиль-
бертова пространства Я. Доказать, что следующие условия эк-
вивалентны
(1)	Рад SX1 хп сходится;
(2)	для каждого у ЕН ряд (^п, у) сходится:
(3)	числовой ряд ^^=1 II жп ||2 сходится.
^Это условие можно сформулировать так: ряд 52^=1 хп сходится слабо
(см. определение 7.1 ниже).
74
4. Компактные множества.
4.1.	Свойства компактных множеств.
Определение 4.1. Множество М называется секвенциально
компактным в метрическом пространстве X, если для любой
последовательности	С М существует подпоследо-
вательность {xnjjfciv такая, что Зх € М, х =
Множество М в метрическом пространстве X называется
секвенциально пред компактным, если его замыкание М се-
квенциально компактно в X или, что то же самое1), если
для любой последовательности {гг/г}^=1 С М существует
подпоследовательность	такая, что Зх Е X (здесь
уже не требуется х е М), х — lim хПк.
nfe-+oo
Определение 4.2. Множество М называется компактным
в метрическом пространстве X, если для любого покры-
тия множества М открытыми множествами U\ С X,
А € Л, (Ja€A^ М найдётся конечное подпокрытие Uxn,
п -	и„=1С7дп Э М. Множество М в метриче-
ском пространстве X называется пред компактным, если его
замыкание М компактно в X.
В топологических пространствах понятия компактности
(предкомпактности) и секвенциальной компактности (соответ-
ственно, секвенциальной предкомпактности), вообще говоря,
различны (см. §14.1 ниже).
Теорема 4.1. В любом метрическом пространстве X секвен-
циальная компактность (предкомпактность) множества М
эквивалентна компактности (соответственно, предкомпакт-
ности) М,
В связи с этой теоремой часто в качестве определения ком-
пактности в метрических пространствах сразу принимают се-
квенциальную компактность, что мы и будем делать далее без
лишних оговорок.
Определение 4.3. Метрическое пространство X, компакт-
ное относительно своей метрики, называют метрическим
^Доказательство эквивалентности этих двух определений секвенциаль-
ной предкомпактности не очевидно — проведите его.
75
компактом.
Определение 4.4. Множество N образует в-сеть для мно-
жества М в метрическом пространстве X (здесь е > 0/ если
Ух G М Зу € N : р(т, у) < е.
Определение 4.5. Множество М называется вполне
ограниченным в метрическом пространстве X, если для этого
множества Ve > О существует конечная е-сеть.
Теорема 4.2 (Ф.Хаусдорф, 1914). В любом метрическом
пространстве предкомпактность множества М влечёт
вполне ограниченность М. В полном метрическом про-
странстве верно и обратное: всякое вполне ограниченное
множество предкомпактно.
Теорема останется верной, если в ней заменить предком-
пактность на компактность, а вполне ограниченность на вполне
ограниченность плюс замкнутость.
Задачи
4.1°	. Доказать, что в метрическом пространстве компактное
множество замкнуто и ограничено.
4.2°	. Доказать, что любое подмножество предкомпактпого
множества предкомпактно.
Следующая задача обычно формулируется в курсе ма-
тематического анализа как следствие теоремы Больцано-
Вейерштрасса о предельных точках ограниченной последова-
тельности.
4.3°	. Доказать, что в любом конечномерном нормированном
пространстве предкомпактность равносильна ограниченности.
4.4°	. Пусть в нормированном пространстве X множество М
вложено в конечномерное подпространство. Доказать, что М
предкомпактно тогда и только тогда, когда М ограничено.
4.5°	. Доказать, что в дискретном метрическом пространстве,
в пространстве N и пространстве Z множество предкомпактно
тогда и только тогда, когда оно состоит из конечного числа
точек.
4.6°	. Доказать, что в метрическом пространстве образ ком-
пакта при непрерывном отображении — компакт.
76
4.7°	. Доказать, что если множество М предкомпактно в непол-
ном метрическом пространстве X, то оно предкомпактно и в
пополнении этого пространства. Привести контрпример к об-
ратному утверждению. ►
4.8°	. Привести пример неполного метрического пространства
X и вполне ограниченного, но не предкомпактного множества
М в нём (сравните эту задачу с теоремой 4.2). ►
Вполне ограниченные множества обладают некоторым по-
добием предкомпактности.
4.9.	Доказать, что если множество М в метрическом простран-
стве X вполне ограничено, то любая последовательность точек
множества М содержит фундаментальную подпоследователь-
ность.
Из этой задачи легко следует вторая часть теоремы 4.2. При-
мер, построенный в задаче 4.8° показывает, что в неполном мет-
рическом пространстве множество, любая последовательность
точек которого содержит фундаментальную подпоследователь-
ность, не обязано быть предкомпактным.
В определении вполне ограниченного множества 6-сеть
строится из точек пространства X. Покажем, что s-сеть можно
строить только из точек самого множества М — иногда это
наблюдение полезно.
4.10°	. Доказать, что если для некоторого £ > 0 для множества
М метрического пространства X найдётся конечная е—сеть,
то существует конечная 2б-сетъ, состоящая из точек множества
М.
Из задачи 4.1° следует, что всякое компактное множество
замкнуто и ограничено. В конечномерном пространстве всякое
замкнутое и ограниченное множество компактно (см. задачу
4.3°), а в бесконечномерных пространствах это, вообще гово-
ря, не так.
4.11°	. В замкнутом единичном шаре пространства /р,
1 р < оо предъявить последовательность, не содержа-
Более точно, если (У,/) есть пополнение метрического пространства
Л" (см. определение 1.15), где f : X —> Y — изометрия, то f(M) предком-
пактно в Y.
77
щую ни одной фундаментальной подпоследовательности.
►
4.12.	Доказать, что в любом бесконечномерном нормирован-
ном пространстве X любой шар ( замкнутый или открытый)
не предкомпактен.
Указание. Использовать задачу 2.69.
4.13°	. Доказать, что любое предкомпактное подмножество в
бесконечномерном банаховом пространстве нигде не плотно.
4.14.	Доказать, что если в нормированном пространстве X
множество М является предкомпактным, то оно ограничено и
его можно с любой точностью аппроксимировать конечномер-
ным подпространством, т.е. для любого г > 0 найдётся конеч-
номерное подпространство Xq такое, что disto(M, Хо) < - (см.
определение 1.16). Доказать обратное утверждение для бана-
хова пространства X.
4.15.	Пусть (X, р) — метрическое пространство, а М — пред-
компактное множество в нём. Доказать, что (М, р) — сепара-
бельное метрическое пространство.
Расстояние от точки до произвольного замкнутого множе-
ства в метрическом пространстве не обязано достигаться (см.
задачу 1.30). С другой стороны, если это множество есть ко-
нечномерное подпространство в банаховом пространстве (см.
задачу 2.65) или произвольное замкнутое выпуклое множество
в гильбертовом пространстве (см. задачу 3.33), расстояние до-
стигается. Оказывается, другим достаточным условием являет-
ся условие ограниченной компактности множества (множество
в метрическом пространстве называется ограниченно компакт-
ным, если его пересечение с любым замкнутым шаром компакт-
но).
4.16°	. Пусть X — метрическое пространство, а М — ограни-
ченно компактное множество в нём. Доказать, что для любой
точки х € X расстояние от х до М достигается, т.е. найдётся
у е М такой, что dist(z, М) = р(х.у).
1)	Докажите, что всякое компактное множество ограниченно компактно.
Приведите пример ограниченно компактного, но не компактного множе-
ства.
78
4.17.	Пусть X — метрическое пространство, а М± и М2 — ком-
пактные множества в нём. Доказать, что disto(AdTi,Л/з) = р(^о,?/о)
(см. определение 1.16) для некоторых xq € и у$ е М2.
4.18.	Пусть X метрическое пространство, а М ~ компакт-
ное множество в нём. Доказать, что diam(M) = р(т, у) для неко-
торых х, у е М.
В произвольном полном метрическом пространстве после-
довательность непустых замкнутых вложенных ограниченных
множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непу-
стое пересечение (см. задачу 1.34). В случае нормированного
пространства можно отказаться от условия стремления к нулю
диаметров для частного случая шаров (см. задачу 2.63). Для
последовательности компактных множеств условие стремления
диаметров этих множеств к нулю также можно опустить.
4.19.	Доказать, что в банаховом пространстве любая система
замкнутых непустых вложенных множеств имеет непустое пе-
ресечение, если все эти множества вложены в некоторый ком-
пакт.
Множество всех компактов произвольного метрического
пространства можно снабдить метрикой и получить метриче-
ское пространство компактов.
Определение 4.6. Пусть (Хур) — метрическое простран-
ство. Пространством Хаусдорфа называют метрическое
пространство (ехр(Х), distil), где ехр(Х) — множество всех
непустых компактов в (X, р), а
distH(M15 М2) := max I sup dist(x,M2), sup dist(ar, Mi) I
\xGAfi	XE.M2	/
— метрика Хаусдорфа.
4.20.	Доказать, что функция distn удовлетворяет аксиомам
метрики.
4.21*	. Обозначим через Af семейство всех множеств простран-
ства X, состоящих из конечного числа точек. Доказать, что
если метрическое пространство X полно, то пространство
1)йли, другими словами, все эти множества компактны (см. задачу
4.2°).
79
(exp(X), distji) является пополнением пространства (ЛГ, distn).
Указание. Использовать критерий Хаусдорфа 4.2 и задачу 4.10°.
4.22.	Пусть X — полное метрическое пространство, a {fj}i —
сжимающие отображения из X в X. Определим отображение
F : ехр(Х) —► ехр(Х), F(A) — Uj=i Доказать, что F — ,
сжимающее отображение в (ехр(Х), distn).
Пространство Хаусдорфа является удобным инструментом
для построения различных объектов как неподвижных точек
сжимающих отображений.
а)	Отрезок [0,1] делится на три равные части и внутрен-
ность средней из них выкидывается. С двумя оставшимися от-
резками проделывается та же процедура и т.д. Множество, оста-
ющееся в результате этого процесса, есть множество Кантора
на отрезке [0,1].
б)	Функция /о (я) = х. График функции Д (т) есть ломаная
с узлами в точках (0,0). (1/3,1/2), (2/3,1/2), (1,1). Функция
/2(2) — ломаная с узлами в точках (0,0), (1/9,1/4), (2/9,1/4),
(1/3,1/2), (2/3,1/2), (7/9,3/4), (8/9,3/4), (1,1) и т.д. Предел
этих функций называют функцией Кантора, а предел графиков
этих функций — лестницей Кантора.
в)	В треугольнике с вершинами в точках (0,0), (0,1) и(1,0)
проводятся три средние линии. Внутренность центрального
треугольника выкидывается, а с оставшимися тремя треуголь-
никами проделывается та же процедура и т.д. Множество,
оставшееся в результате этого процесса есть треугольник
Сер айнского.
4.23.	Доказать, что следующие множества есть неподвижные
точки для некоторых сжимающих отображений. Найти эти
отображения.
а)	Множество Кантора на отрезке [0,1] — неподвижная точка
в пространстве (ехр([0,1])? dist-н)-
б)	Треугольник Серпинского — неподвижная точка в простран-
стве (ехр([0,1]2), distn).
в)	Лестница Кантора — неподвижная точка в пространстве
(exp([0,l]2),distH).
г)	Функция Кантора — неподвижная точка в пространстве
С[0,1]. ►
80
Из задачи 4.6° следует аналог теоремы Вейерштрасса:
любая вещественнозначная непрерывная функция на компакте
ограничена и достигает своих точной верхней и точной нижней
граней. Оказывается, эти утверждения можно обратить.
4.24.	Пусть М — такое множество в полном метрическом
пространстве X, что любая вещественнозначная непрерывная
на М функция ограничена. Доказать, что М — компакт.
4.25.	Пусть М — такое множество в полном метрическом
пространстве X, что любая вещественнозначная непрерывная
и ограниченная на М функция достигает своей точной верхней
и точной нижней граней. Доказать, что М — компакт.
Следующая задача есть аналог теоремы Кантора: любая
непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на
нём.
4.26°	. Пусть М — компактное множество в полном метриче-
ском пространстве Xi, f : М —> Х2, где Х2 — также полное
метрическое пространство. Доказать, что из непрерывности
отображения f следует его равномерная непрерывность.
4.27.	Пусть М — такое множество в полном метрическом
пространстве X, что любая вещественнозначная непрерывная
на М функция равномерно непрерывна. Доказать, что М —
компакт.
4.28.	Пусть М — компакт в метрическом пространстве X, а
Y — нормированное пространство. Обозначим С(М, Y) мно-
жество непрерывных функций из М в У. Доказать, что норма
11ж11с(м У) — niax ll^(t) IIу превращает С(М, У) в нормированное
пространство (линейные операции вводятся поточечно), а если
У банахово пространство, то и пространство С(М, У) банахо-
во1).
4.29.	(Дини, 1872) Пусть М — метрический компакт, а после-
довательность функций {fn : М —> У}?0, непрерывно отобра-
жающих М в нормированное пространство У, сходится к непре-
рывной функции f поточечно и
Vo: € М : 11/1 (ж) - /(я:)||у > ||/2(х-) - f(x)||г ^ ....
Доказать, что /„ —» / в пространстве С(М, У).2)
Важный частный случай: У = R или У = С (ср. с задачей 2.58).
^Частный случай этой теоремы: У = R, а последовательность {/n(x)}J°
81
4.30.	Доказать, что если множество М компактно в метри-
ческом пространстве X, а отображение f : М —> М удовлетво-
ряет неравенству p(f(x), f(yY) < р(х,у) при любых х у, то
существует единственная неподвижная точка х G М (сравните
с задачей 1.64 и теоремой 1.4).
Теорема 4.3 (Принцип Ю. Шаудера, 1930). Пусть отоб-
ражение f определено в некотором замкнутом выпуклом
множестве В, содержащем хотя бы одну внутреннюю точ-
ку, полного метрического пространства X и отображает,
это множество в компактное множество М С В. Тогда это
отображение имеет в М неподвижную точку.
Заметьте, что из принципа Шаудера следует теорема Брау-
эра (см. теорему 1.5).
В параграфе 1.4 уже отмечалось, что вопросы изоморфиз-
ма метрических пространств обычно ведут к сложным задачам.
Свойство компактности пространства несколько упрощает си-
туацию.
4.31.	Доказать, что в метрическом пространстве любое изо-
метрическое вложение компакта в себя является изометрией
этого компакта (и показать, что для произвольного замкнутого
ограниченного множества это неверно).
4.32*	. Пусть X — полное метрическое пространство, М —
компактное множество в нём, ip : М —> М - отображение,
удовлетворяющее неравенству p(ip(x), <р(уУ)	р(х,у). Доказать,
что (р есть изометрия множества М.
Определение 4.7. Аппроксимативной размерностью мно-
жества М, где М — предкомпактное множество метриче-
ского пространства X, называется число у = — Пт
(если этот предел существует), где — минимально
возможное число элементов в е-сети для М.
4.33°	. Найти аппроксимативную размерность а) отрезка
[0,1]; б) квадрата [0,1] х [0,1]. ►
4.34.	Найти аппроксимативную размерность а) множества
Кантора в пространстве X = [0,1]; б) треугольника Сер-
пинского bR2. ►
для всякого х е X монотонно возрастает (или для всякого х 6 X монотонно
убывает) к f (<т).
82
4.2.	Компактные множества в конкретных нормиро-
ванных пространствах.
В этом параграфе приведены критерии предкомпактности
для различных пространств и задачи на проверку компактно-
сти (или предкомпактности) различных конкретных множеств.
1.	(Ч. Арцел, 1889; Г. Асколи, 1883) Пусть X — метри-
ческий компакт. Множество М в пространстве С(Х, С)
предкомпактно тогда и только тогда, когда оно огра-
ничено и равностепенно непрерывно, т.е. Vs > 0 35 > О
Vti, t2 € X, Px(ti32) < 5 : Vt € M |x(t2) - z(*i)| < s.
2.	Множество M в пространстве lp, 1 < р < оо, предкомпакт-
но тогда и только тогда, когда оно ограничено и Vs > О
ЗА: УхеМ (^И)	<?
3.	Множество М в пространстве с0 предкомпактно тогда и
только тогда, когда оно ограничено и № > О ЗА: V® е М
sup |яп| < £.
n^N
4.	Множество М в пространстве с предкомпактно тогда и
только тогда, когда оно ограничено и Vs > О ЗА: Ух е М
sup \хп - 1(х)\ < s, где 1{х) = Них хп.
n^N	п'^°°
5.	(М. Рисе, 1933) Множество М в пространстве Lp[0,1],
1 < р < оо, предкомпактно тогда и только тогда, когда
оно ограничено и Vs > 0 35 > 0 : Ух е М, V/z с [0,5]
выполнено неравенство
/1-Л	\
I У |x(t + h) — x(t)\pdt j < e.
\ 0	/
Необходимость во всех этих критериях может быть доказана
одним способом, опирающимся на теорему Дини (см. задачу
4.29). Достаточность же доказывается при помощи построения
s-сети, которое проводится в каждом случае по-своему. Проде-
монстрируем это на примере.
83
Пример 4.1. Доказать, что множество М в пространстве
С\а, 6] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограни-
чено и равностепенно непрерывно.
Решение. Покажем, что предкомпактность влечёт равно-
степенную непрерывность множества (ограниченность следует
из задачи 4.1°), Положим Fn(x) — sup|t_s|<1/n |x(t) — x(s)|,
Fn : M -> R. Очевидно, что \Fn(x) - Fn(y)\ < 2||я - 3/Ц,
т.е. отображение Fn непрерывно. Последовательность Fn(x)
монотонно убывает к нулю для каждого х € М, а поскольку М
~~ компакт, получаем (см. задачу 4.29) Fri(x) —> 0 равномерно
по х € М, и равностепенная непрерывность множества М
доказана.
Обратно, пусть Л/ ограничено и равностепенно непрерывно.
Докажем вполне ограниченность множества Л/. Пусть е > О
произвольно. Найдём 6 > 0 такое, что Vti, € [а, &]> |^2—*1| <
для любой х € М выполнено |ж(^) — я(^1)| < в/5. В силу огра-
ниченности множества М найдётся А > 0 такое, что |т(£)| А
для любой функции х е М и любого t G [а, 6]. Далее, замкну-
тый круг |г| < А компактен в С, а значит существуют точки
{zfc}™, образующие в нём е/5-сеть. Зафиксируем теперь произ-
вольное разбиение {tj}™ отрезка [а, Ь] с диаметром, не превосхо-
дящим S и построим s-сеть для множества М. Обозначим через
,zfc2,...,zfcw (0 ломаную с узлами в точках (tj, 2^.). Число та-
ких ломаных конечно (и равно nm), а для произвольной х е М
всегда можно подобрать одну из этих ломаных y(t) такую, что
|x(tj) -2/(tj)| < s/5 для любого j = 1,..., т. Пусть теперь точка
t € [AMj'+i]- Тогда
k(i) - y(t)\	|r(t) - x(tj)| + |rr(tj) - y(t.j)\ 4- \y(t) - y(t.j)\ <
2e	2^
< V + |y(^+i) -	< V + |у(Ъ+1) - *(<ж)1+
о	о
“Ь |x(ij_|_i) — x(tj)| + |x(ij) — 2/(0) I < €>
т.е. |[x — j/|| < e. □
При доказательстве предкомпактности какого-либо кон-
кретного множества обычно применяют критерий предком-
пактности в данном пространстве. Другой способ основан на
задаче 4.14 и требует проверки ограниченности множества и
84
возможности аппроксимации этого множества конечномерным
подпространством. При доказательстве непредкомпактности
какого-либо множества обычно предъявляют последова-
тельность точек множества, не содержащую сходящихся
подпоследовательностей. Другой способ — найти подмноже-
ство, непредкомпактность которого уже доказана (см. задачу
4.2°).
Пример 4.2. Степеннъьми моментами суммируемой на
отрезке [0,1] функции х называют числа рп = x(t)tndt,
п = 0,1,.... Будет ли предкомпактным в С[0,1] множество
функций Mi = {х € €7(0,1]: |рп(т)| п = 0,1,...}? Для
суммируемой на отрезке [0,1] функции х рассмотрим её коэф-
фициенты Фуръе Сп — Jq x(t)eZ7rntdt, neZ («тригонометри-
ческие моменты»). Будет ли предкомпактным в С[0,1] мно-
жество функций М2 = {х€ С[0,1]: |сп(х’)|	7^1, п € Z}?
Решение. Множество М± не предкомпактно. Докажем это
двумя способами. Первый способ: пусть Xk(t) = tk, k е N. То-
гда Pn(^k) = I+мТ’ т’е* послеДовательность {z/c}i° С Mi. Так
как эта последовательность не имеет ни одной предельной точ-
ки (см. задачу 2.62), множество Mi не предкомпактно. Дру-
гой способ: заметим, что если l|:r||c	1, то |рп(т)|	т.е.
х е М±. Это означает, что множество Mi содержит единичный
шар пространства С[0,1], который не предкомпактен (см. зада-
чу 4.12).
Перейдём к множеству М2. Докажем, что оно предкомпакт-
но. Система {e27rnt}nGz образует ортонормированный базис
в пространстве £2 [0,1]. Это означает, что любую функцию
х е L2 [0,1] можно представить в виде ряда x(t} = cn^nt,
сходящегося по норме L2 [0,1]. В нашем случае легко видеть,
что ряд сходится равномерно на [0,1], т.е. по норме С[0,1].
Множество М2 ограничено, поскольку ||ж|| < 52nezlcn| Cj
где С - абсолютная постоянная. Далее решение можно
проводить двумя способами. Первый способ: докажем равно-
степенную непрерывность множества М2 и применим критерий
Арцела-Асколи (см. пример 4.1). Имеем
|x(t2) - х(М1 < 52 Iе"I le”nt2 - е"П411 <
85
< тг|«2 - ill 52 lnCnl С'1^2 “
nGZ
где Ci — абсолютная постоянная. Другой способ: восполь-
зуемся задачей 4.14 и покажем, что dist0(Af, Ем) —> О, где
Ем =	Действительно,
disto(x, Ем) С
52 ^ivni
|n|>N
< 52 iCni 0
с |n|>W
при N —> ос. □
Задачи
4.35.	Пусть М — равностепенно непрерывное множество в про-
странстве С[0,1]. Пусть последовательность функций из М схо-
дится поточечно к непрерывной функции х. Доказать, что эта
последовательность сходится и по норме к тому же пределу.
4.36.	Какие из перечисленных ниже множеств предкомпактпы
в пространстве С[0,1]:
a) {tn}n6N5	6)	{sin(t + n)}„6N;	в)	{smat}aeR;
г) {sinai}^,!];	д)	{arctgat}a6R;	е)	{е‘~а}д.^0;
ж) {t2n-tn}„6N;	з)	{tn+1 -tn}neN;	и)	{VI - <n}neN?	►
4.37.	Является ли нредкомпактпым в пространстве С[0,1] мно-
жество
а)	Мг = [х : x(t) = f* y(s) ds, у € C[0,1],	||з/||o[o,i]	1}?
6)	M2 = {x:x(t)=£^,
k	n=l	n=l	J
в)	M3 = {я : x(t) =	t^+1ds, у e C[0,l], ||y||cio,i] < 1}? ►
4.38.	Является ли предкомпактным в пространстве С [а, Ь] мно-
жество
a)	M1 = {i(t)eC1[a,6): |x(a)| Сг, |V(t)|dt V С2}?
6)	M2 = {x(t)eC1[a,b]: |x(a)| «£ Clt £ |V(i)|2 dt C2}?
в)	M3 = {a;(t) G C^a, &] : J* (|x(i)|2 + |V(t)|2) dt C}? ►
Критерий предкомпактности в пространствах Cn[0,l]
можно получить, используя критерий предкомпактности в про-
странстве С[0,1]. Идея состоит в использовании отображения
86
: Сп —► С. Это отображение не является изоморфизмом
пространств, поскольку обладает ненулевым ядром. Одна-
ко это обстоятельство не сильно мешает, поскольку ядро
конечномерно, а ограниченное конечномерное множество
предкомпактно.
4.39.	Доказать, что множество М в пространстве Cn[0,1],
п = 1,2,..., предкомпактно тогда и только тогда, когда оно
ограничено и множество Мп функций {x^n\t): х € М}
равностепенно непрерывно.
4.40°	. Верно ли, что множество М в пространстве Cn[0,1],
п — 1,2,..., предкомпактно тогда и только тогда, когда
множество Мп из предыдущей задачи предкомпактно в С[0,1]?
4.41.	Привести пример множества М непрерывно дифферен-
цируемых функций, предкомпактпого в пространстве С[0,1],
но не предкомпактного в пространстве С1 [0,1]. ►
4.42°	. Является ли предкомпактиым в пространстве С1 [0,1]
множество аналитических функций
М = {x(t) е С-1 [0,1] : Ikllcx < 1, x(t) =
где ряд сходится в круге D С С, содержащем [0,1]? ►
4.43.	Доказать утверждение а) п. 2; б) п. 3; в) п. 4;
г)* п.5 из списка критериев предкомпактности в начале §4.2.
4.44.	При каком условии на последовательность	па-
раллелепипед М — {х е 1Р : |жп| < ап} предкомпактен в про-
странстве 1р (1 < р < оо)? ►
4.45.	При каком условии на последовательность	эл-
.2	>
х е I2 : 52^=1	1 f предкомпактен в про-
странстве Z2? ►
4.46°	. Доказать предкомпактность в пространстве h множе-
оо
ства М = {х : £2 П1хп1 С !}•
п—1
4.47.	Является ли предкомпактиым в пространстве li множе-
ство М = {х : хп = Jq	где функции у выбираются
из замкнутого единичного шара пространства С[0,1]? ►
4.48.	При каких значениях параметров а е R и /3 > 0 мно-
жество М = {х е lp:	С 1} предкомпактно в
87
пространстве lp (1 < р < оо)? ►
4.49.	Является ли множество
М={х е li: хп — j y(t) cosntdt, где т/6 C^f—тг, тг], ЦрЦс1 1}
— 7Г
предкомпактным в пространстве h? ►
Критерий предкомпактности, доказанный для пространства
I2. можно обобщить на сепарабельные гильбертовы простран-
ства.
4.50.	Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство,
{en}i° — ортонормированный базис в нём. Доказать, что мно-
жество М предкомиактно в Н тогда и только тогда, когда оно
ограничено и Ve > О 3N е N Ух 6 М\	е&)12 <
4.51.	Является ли множество {sin(7rnt)}^?=1 предкомпактным
в пространстве Lp[0,1], р € [1, оо]? ►
4.52.	Доказать, что если	— предкомиактное множе-
ство функций в С [а, 6], то {ха := у>а0} — предкомиактное мно-
жество функций в £2[а, Ь], где 0 — фиксированная функция из
Ь2[а,6].
Вопрос предкомпактности множества в пространстве
Сп [0,1] сводится к вопросу предкомпактности в простран-
стве С[0,1]. В пространствах ИЛ™[0,1] можно действовать
аналогично.
4.53.	Доказать, что множество М в пространстве Wp[0,1],
1 р < оо, п — 1,2,..., предкомпактно тогда и только тогда,
когда оно ограничено и V<s > 0 3d> > 0 : Ух 6 М УН е [0, <5]
выполнено неравенство
/i-h	\
I У |з/п) (t + h) - ж(п)(t)\pdt j	< £.
X о	/
4.54.	Исследовать на	п редком нактность в простран-
ствах С[0,1], С1 [0,1] и РИр[0,1], р е (1,-Ноо), множества
= {п~а sin^)}^ при а е [0,1]. к
4.55°	. Является ли предкомпактным в пространстве С[а. 6]
единичный шар пространства С1 [а, 6]? ►
88
Последняя задача связана с понятием компактного вложе-
ния пространств.
Определение 4.8. Нормированное пространство (X, || • ||х)
называется компактно вложенным в нормированное про-
странство (У, || • ||у), если X с У, || • ||у	|| • Их, а единичный
шар Н(0,1) пространства X предкомпактен в пространстве
Y. Такое вложение обычно обозначают X (е У.
4.56.	Доказать компактность вложений:
a) Cn+1[0,l] €£“[0,1]; б) И^[0,1] <s Ь2[0.1];
в) [0,1] <£ С[0,1]; г) l2,n I2 (см. задачу 3.13°).
4.57.	Доказать, что следующие вложения пространств неком-
пактны:	a) LP1 [0,1] С £Р2[0, 1]> гДе 1 < Р2 < Pi < оо;
б)	lP1 С ZP2, где 1 pi < Р2 оо; в) С[0,1] С £р[0,1], где
р е [1, оо].
89
5.	Линейные непрерывные функционалы.
5.1.	Основные свойства. Вычисление норм.
Определение 5.1. Пусть (X, || • ||) — линейное норми-
рованное пространство над полем К (К = R или С).
Функционал f : X —► К называется линейным, если
f(ax + (Зу) = a.f(x) + /3f(y) для любых а,/3 е К и х,у G X, и
непрерывным, если для любого элемента хеХиз||з/ — т||—>0
следует \f(y) - f(x)\ -> 0.
Для линейных функционалов f, g : X —> К и А е К есте-
ственным образом определяются линейные функционалы f + g
и А/. Далее, если не оговорено противное, предполагается, что
К = С. Будем обозначать Ker f := {х е X: f(x) = 0} — ядро
функционала f.
Непрерывность линейного функционала f равносильна его
непрерывности только в точке х = 0, которая, в свою очередь,
равносильна его ограниченности.
Определение 5.2. Линейный функционал f на нормирован-
ном пространстве (X, || • ||) называется ограниченным, если
Зс = с(/):|/(х)|<сИ VxeX.
Наименьшая возможная константа c(f) в этом неравенстве
называется нормой функционала f и может быть вычислена
по следующим формулам:
п/п=зирЦ^Д= sup 1/(ж)1= sup i/wb (5л)
|р||	||х||^1	11x11=1
Определённое формулой (5.1) отображение f |[/|| удовле-
творяет всем аксиомам нормы на линейном пространстве
функционалов.
Из определения (5.1) следует мультипликативное неравен-
ство для значений функционала: Ух € X |f(x)| < ||/|||1ж1|х-
Теорема 5.1. Совокупность всех линейных непрерывных
функционалов на нормированном пространстве X вместе с
нормой (5.1) является банаховым пространством. Это бана-
хово пространство называется сопряжённым пространством
для X и обозначается X*.
90
Задачи
Линейные функционалы на линейном пространстве подроб-
но изучались в курсе линейной алгебры. Напомним некоторые
факты.
5.1	°. Пусть f — ненулевой линейный функционал на линей-
ном пространстве X. Доказать, что Ker f есть линейное под-
пространство коразмерности 1 (см. определение 2.21).
5.2	°. Пусть f и д — два ненулевых линейных функционала на
линейном пространстве X. Доказать, что если Ker f — Ker д,
то f = ад для некоторого а € С.
5.3	°. Пусть/1, /г,..., fn~ линейные функционалы па линей-
ном пространстве X. Обозначим через Xq пересечение ядер всех
этих функционалов. Доказать, что если codimXo < тг, то най-
дутся такие комплексные числа Q], ..., ап, |aj.| 4-... +	| О,
ЧТО Ysk==iakfk ~ 0 (другими словами, функционалы {fk}l ЯВ-
ЛЯЮТСЯ линейно зависимыми).
5.4	°. Пусть	~~ линейно независимая система
линейных функционалов на линейном пространстве X, а
А1, Аг,..., Хп ~ комплексные числа. Доказать, что существует
такой вектор х е X, что /Дх) = Хк для всех 1 < к п.
5.5	°. Доказать теорему 5.1 из преамбулы.
5.6	°. Пусть f — линейный функционал на нормированном
пространстве. Доказать, что f непрерывен тогда и только то-
гда, когда для любой последовательности хп 0 числовая по-
следовательность {/(zn)}i° ограничена.
5.7	. Пусть / — линейный функционал в нормированном про-
странстве. Доказать, что f непрерывен тогда и только тогда,
когда ядро Ker f замкнуто.
5.8	°. Доказать, что в конечномерном нормированном про-
странстве всякий линейный функционал непрерывен.
Определение 5.3. Пусть X — линейное пространство
над полем С. Наряду с линейными функционалами на X
рассматривают вещественно-линейные функционалы. Функ-
ционал f : X —* С называют вещественно-линейным, если
f(ax + fiy) = af(x) 4- &f(y) для любых х, у е X и a, fl € R.
91
Например, на пространстве С общий вид линейного
функционала f(z) = az, где а е С, а общий вид вещественно-
линейного функционала f(z) = az + bz, где a, b е С.
Подобно функциям комплексного переменного, линейные
функционалы на комплексном линейном пространстве раскла-
дываются в сумму двух вещественно-линейных функционалов
/(ж) = Не /(х) + ilmf(x).
5.9	. Пусть f — линейный функционал на комплексном норми-
рованном пространстве X. Доказать что 7£е f и Tmf являются
вещественно-линейными функционалами. Доказать, что если
функционал f непрерывен, то функционалы Ле f и Tmf также
непрерывны и ||7£е/|| = ||Тт/|| = ||/|| (нормы функционалов
Ле f и Tmf определяются аналогично равенству (5.1)).
5.10	°. Пусть (р — вещественно-линейный функционал на ком-
плексном линейном пространстве X. Доказать, что единствен-
ный комплексный линейный функционал f с условием Ле f = <р
имеет вид f(x) = <р(х) — ip(ix).
Следующие две задачи обобщают на нормированные про-
странства формулу расстояния от точки до плоскости.
5.11	. Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функцио-
нал на нормированном пространстве X. Доказать, что для лю-
бого х € X справедливо равенство dist(x,Ker /) = |/(^)|/||/||-
5.12°. Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функ-
ционал на нормированном пространстве X. Обозначим
М = {х е X : f(x) — а}. Доказать, что dist(O,М) = |a|/||f ||.
В конечномерных нормированных пространствах любой
линейный функционал оказывается ограниченным (см. задачу
5.8°). В бесконечномерном случае это уже не так.
5.13	°. Пусть X — линейное подпространство функций
х е С[0,1], дифференцируемых в точке to е (0,1). Доказать,
что подпространство X не замкнуто и всюду плотно в (7[0,1].
Доказать, что линейный функционал f(x) — xf(to) на норми-
рованном пространстве X (норма на X наследуется из С[0,1])
не является ограниченным.
В предыдущей задаче пространство X не полно. В бана-
ховом пространстве нельзя конструктивно построить пример
неограниченного всюду' определённого функционала. Можно
92
лишь доказать, что такой функционал существует, и для этого
необходимо понятие алгебраического базиса.
Определение 5.4. Система {жа}, где а € Л, в линейном про-
странстве L называется базисом Гамеля или алгебраическим
базисом, если любой элемент х е L может быть единствен-
ным образом представлен в виде конечной линейной комбина-
ции элементов этой системы.
Базис Гамеля существует в любом линейном пространстве.1)
Любые два базиса Гамеля в одном и том же линейном простран-
стве равномощны. Отметим, что банаховы пространства либо
обладают конечным базисом Гамеля (т.е. конечномерны), либо
мощность этого базиса несчётна.2)
5.14	. Пусть {жд}дел ~ базис Гамеля в бесконечномерном нор-
мированном пространстве. При помощи этого базиса постро-
ить пример всюду определённого неограниченного линейного
функционала. ►
5.15	°. Доказать, что в любом нормированном бесконечномер-
ном пространстве X найдётся незамкнутое линейное подпро-
странство коразмерности 1.
Таким образом, в любом бесконечномерном нормированном
пространстве существует неограниченный всюду определённый
линейный функционал. На практике обычно возникают неогра-
ниченные функционалы, определённые не на всём простран-
стве, а на всюду плотном множестве (как в задаче 5.13°).
5.16	. Доказать, что если неограниченный функционал в нор-
мированном пространстве определён на всюду плотном множе-
стве, то его ядро всюду плотно.
Пример 5.1. Вычислить норму функционала f е (С[—1,1])*,
f(x) —	ж(^)^ ~ fo x(t)dt — Зя(0).
Решение. Для любой функции х е С[— 1,1] имеем
0	1	1
|/(х)| < У |®(*)|<й+У |x(t)|dt+3|a:(0)| < J ||x||dt+3||a;|| = 5||х||,
-1	о	-1
1 Доказательство этого факта опирается на лемму Цорна.
2Дто утверждение сразу следует из задачи 2.33 и теоремы 1.3. Дока-
жите его.
93
откуда ||/||	5.
С другой стороны, для непрерывной на [—1,1] функции
1,	если t е [—1, —5],
xs(t) = s — 12t/<5, если £ € [-J,0], где 6 > 0, имеем
—1,	если t е [0,1],
/(zj) = 1- J-hl + 3 = 5- би ||ж<51| = 1» так что ||/|| > 5 — В
силу произвольности б отсюда заключаем, что ||/|| = 5. □
Как нетрудно видеть, в этом примере функционал / не
достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре, то
есть не существует такой функции х € С [—1,1], ||ж|| = 1, что
Ж) = 11/11-
5.17	. Доказать, что указанный функционал является линей-
ным и непрерывным на указанном пространстве X, и найти его
норму.
а)	Х = Со, /(х) = 2X1^;
б)	X = с, f(x) = lim хп;
п—*-оо
в)	X = /оо, /(ж) = 3^1 - хг + 2г-4;
г)	x = z2,/(x) = i:~1^;
д)	X = f{x) = г
е)	X = Li[— 1,1], f(x) = tx(t)dt;
ж)	X = L2[—1,1], /(х) = f^txftjdt;
з)	X = Loot-1,1], /(х) = Д tx(t)dt-,
и)	Х = С[-1,1], /(ж) = ш(1) - ®(—1);
к)	X = С[-1,1], /(х) = Д tx(t)dt - ж(0);
л)	X = С[— 1,1], /(х) = /21 %(t}dt — /2 x(t)dt;
м) X = С[0,1], /(ж) = 52	где ifc 6 [0,1], a е С;
к=1
н) X = С[0,1], /(х) = /2 x(t)y(t)dt, где у е С[0,1];
о) X = С[0,1], /(х) = lim /J x(tn)dt;
п) X = Сх[-1,1], /(х) = Г'(1) -
р) X = Сх[-1,1], /(х) = //г x(t)di + х'(0);
с) X = W^—Tr.Tr], f(x) = /2К (x(t)sint + x'(t) cost)dt;
94
т) X — ^2[-7г,7г], f(x) =	(x(t) cost + xf (t) sint) dt; ►
5.18*	. Доказать, что указанный функционал является линей-
ным и непрерывным на указанном пространстве X, и найти его
норму.
а)	X = ИЛ2[-7г,7г], /(ж) = ж(0);
б)	X = W2 [0,7г], fa(ж) = х(а), где точка а € [О,тг] фиксирована;
в) X = AL2(KI < 1), /о(ж) = т(а), где точка а е С, |а| < 1,
фиксирована. ►
Указание. В пунктах а), б) и в) использовать ортонормированные базисы,
построенные в задачах 3.61, 3.60 и 3.62 соответственно.
Как видно из примера 5.1, не каждый функционал достигает
своей нормы на замкнутом единичном шаре.
5.19.	В каждом из пространств а) Со, б) с, в) ii,
г) Li[0,1], д) С[0,1] привести примеры функционалов, ко-
торые не достигают своей нормы на единичном шаре. Дока-
зать, что в конечномерном нормированном пространстве и в
гильбертовом пространстве всякий функционал достигает сво-
ей нормы на единичном шаре. ►
5.20.	Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функци-
онал на нормированном пространстве X. Доказать, что если
для некоторого х Ker f существует элемент наилучшего при-
ближения в Кег / (см. определение 2.16), то / достигает своей
нормы на единичном шаре. Доказать, что если f достигает сво-
ей нормы на единичном шаре, то для любого х е X в Кег /
существует элемент, ближайший к х,
5.21.	Привести пример банахова пространства X и замкну-
того подпространства Хо в нём, для которого не существует
О-перпендикуляра (см. определение 2.18). ►
5.2. Теорема Хана-Банаха.
Теорема 5.2 (X. Хан, 1927; С. Банах, 1929). Пусть (X, ||»||)
— линейное нормированное пространство, Y — линейное под-
пространство в X, функционал f € У*. Тогда существует та-
кой функционал F е X*, что
F(y) = f(y) ^yeY и ||F||x- =
Другими словами, функционал /, определённый и непре-
рывный на подпространстве У, продолжается до непрерывного
95
линейного функционала на всё пространство X без увеличе-
ния нормы.1) Это продолжение, вообще говоря, не единствен-
но. Любое такое продолжение мы будем называть продолжением
функционала f по Хану-Банаху.
Задачи
5.22.	Пусть X — нормированное пространство, Y с. X —
подпространство конечной коразмерности, a f — линейный
непрерывный функционал на У. Доказать, что любое продол-
жение f до линейного функционала на X есть непрерывный
функционал.
Теорема Хана-Банаха не гарантирует единственность про-
должения по Хану-Банаху в общем случае. Ситуация здесь сле-
дующая — в некоторых пространствах (критерий дан в задаче
5.24) продолжение по Хану-Банаху любого функционала един-
ственно. В общей ситуации всё зависит от подпространства У,
на котором задан функционал.
5.23.	Пусть банахово пространство X есть
а) вещественное пространство /1(2); б) вещественное про-
странство /оо(2).
Привести пример линейного функционала f с одномерной об-
ластью определения, продолжение по Хану-Банаху которого
на всё пространство не единственно. Доказать, что в простран-
стве I2 (2) такой пример невозможен.
5.24.	Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
продолжение по Хану-Банаху любого линейного непрерывно-
го функционала на X единственно тогда и только тогда, когда
сопряжённое пространство X* строго нормировано (см. опре-
деление 2.4).
5.25°	. Доказать, что любой линейный непрерывный функцио-
нал, определённый на всюду плотном линейном подпростран-
стве нормированного пространствах, имеет единственное про-
должение по Хану-Банаху.
общем случае доказательство этой теоремы использует лемму Цорна,
но в сепарабельных нормированных пространствах можно обойтись без
неё.
96
5.26°	. Доказать, что \/x/0,x tX, существует такой функ-
ционал f € X*, что ||/|| = 1, /(я) = ||<
5.27°	. Доказать, что Vx,y е X, х у, существует такой функ-
ционал / е X*, что J(s) / /(?/).
5.28°	. Пусть Xi, Х2,..., хп — линейно независимая система век-
торов нормированного пространства X, a Ai, А2,..., Ап — ком-
плексные числа. Доказать, что существует такой линейный
непрерывный функционал /, что f(xk) — Хк для всех 1 < к п
(сравните с задачей 5.4°).
5.29.	Доказать, что существует линейный непрерывный функ-
ционал / на вещественном пространстве /оо» удовлетворяющий
условиям
(1)	infn6H хп < /(.т) supneN хп\
(2)	если существует lim^oo хп = а» то /(т) = а;
(3)	функционал инвариантен при сдвигах, т.е.
/((Х1,Т2,Жз; ...)) =	V X = (Т1,Л’2,. ..) € Zoo-
Условия (1) — (3) определяют функционал / не единствен-
ным образом. Любой такой функционал называют обобщённым
(или банаховым) пределом ограниченной числовой последова-
тельности. Его часто обозначают LIM.
5.30°	. Найти a) LIM(0,1,0,1,...): б) LIM(0,0,1,0,0,1,...).
►
Определение 5.5. Нормированное пространство X называ-
ется гладким, если для каждого х € X с ||т|| = 1 существует
единственный такой функционал f, что f(x) = ||/|| — 1.
5.31°	. Привести примеры гладкого и негладкого пространства.
Доказать, что в гладком пространстве продолжение по Хану-
Банаху любого линейного функционала с любого одномерного
подпространства единственно.
В рефлексивных (см. далее определение 5.6) гладких про-
странствах любой линейный непрерывный функционал имеет
единственное продолжение по Хану-Банаху.
5.32.	Пусть линейный функционал / определён на одномерном
подпространстве Lin(x) С С[0,1], где a) x(t) — t;
б)	x(t) = 2t — 1. Будет ли продолжение по Хану-Банаху такого
функционала единственным? ►
97
5.33.	Доказать, что для линейного подпространства Y нор-
мированного пространства X с условием Y 7^ X и произволь-
ной точки х € X существует такой функционал f е X*, что
11/11 = 1, /(ж) = dist(z,y) и f(y) = 0 Vy е Y.
Теорема Хана-Банаха имеет несколько различных форму-
лировок.
Теорема 5.3. Пусть X - вещественное линейное простран-
ство, Y — линейное подпространство в X. Пусть на X
заданы функционалы рь : X —>	k = 1,2, удовлетворя-
ющие следующим аксиомам (такие функционалы называют
калибровочными)
(1) рДХх) — Xpk(x) для всех х € X	(положительная
однородность );
(2) pk(x + у) Pfc(x) 4-pk(y) для всех х, у е X
(полуаддитивность).
Далее, пусть f — линейный функционал на Y такой, что
—pi(y) f(y) Pz(y) для любого у € Y. Тогда существует
линейный функционал F на X такой, что
F(y) = f(y) Уу и - Pi(^) F(x) р2(х) \/х е Л”.
Теорема остаётся верной и в случае, если функи,ионал f
удовлетворяет одному из неравенств —р\(у) f(y) или
f(y) Pz(y) (для функционала F тогда будет выполнено
тоже лишь одно соответствующее неравенство).
Утверждение следующей задачи называют геометрической
формой теоремы Хана-Банаха. Дадим вначале некоторые по-
яснения. В задаче 3.32 упоминалось понятие аффинного под-
пространства. Аффинное подпространство коразмерности 1 в
произвольном линейном пространстве называют аффинной ги-
перплоскостью. Несложно видеть, что эквивалентное определе-
ние можно дать с помощью линейных функционалов. Аффинной
гиперплоскостью в линейном пространстве X называют множе-
ство Хрс = {х е X: f(x) — с}, где f — линейный функционал
на X, а с € С.
Пусть теперь X — вещественное линейное простран-
ство, Ui и U2 — его непересекающиеся подмножества.
Будем говорить, что функционал / разделяет эти под-
множества, если либо /(2:1) < 7(^2) для любых z\ € П\,
98
Z2 e (72J либо f(zi) /(22) ДЛЯ любых 2X E (71, 22 E U2.
Нетрудно видеть, что в этом случае Зс Е R такое, что
sup{/Oi): ^1 Е /71} с inf{/(22): z2 Е (72) (соответственно,
inf{/(zi): 2i Е /71} с > sup{f(22): z2 е (72}), т.е. аффинная
гиперплоскость Xf,c разделяет множества Ui и U2.
5.34*	. Пусть (71 и U2 — два выпуклых непустых непересекаю-
щихся множества вещественного банахова пространства X, од-
но из которых имеет непустую внутренность. Доказать, что су-
ществуют линейный непрерывный функционал f и число с € К
такие, что аффинная гиперплоскость Xf,c разделяет (71 и (72.
5.35.	Пусть Р — подпространство вещественного пространства
С[0,1], состоящее из всех многочленов. Доказать, что Р+иР_ -
множества, состоящие из многочленов с положительным (отри-
цательным) коэффициентом при старшей степени — выпуклы,
не пересекаются, но не разделяются никакой гиперплоскостью.
Будем говорить, что афинная гиперплоскость Xf,c строго
разделяет множества (71 и (72, если
либо /(zi) Ci < с < с2 С f(z2) для любых 2i Е (7i, 22 Е (72;
либо /(zi) С1 > С > С2 > /(z2) ДЛЯ любых 21 Е (71, 22 Е (72.
5.36.	Пусть Bi и В2 — два выпуклых замкнутых непустых
непересекающихся множества вещественного банахова про-
странства X, причём одно из них компактно. Доказать, что
существуют линейный непрерывный функционал f и число
сей такие, что афинная гиперплоскость Х/>с строго разделяет
Bi и В2.
5.3.	Сопряжённые пространства.
Для многих конкретных банаховых пространств X сопря-
жённые к ним пространства X* допускают простое описание,
то есть изометрически изоморфны конкретным банаховым про-
странствам Y. В приводимом ниже списке таких описаний раг-
венство пространств X* и Y означает наличие изометрического
изоморфизма (линейного биективного отображения, сохраняю-
щего норму) Y —> X*, у fy, между ними, и этот изоморфизм
указывается.
1.	с0* = /1; функционал fy Е со*, соответствующий эле-
менту у = (2/1,	• ♦ •) € hi действует на элементе
х = (хг,х2,. •.) € Со так: fy(x) = упхп-
99
2.	с* — Zi; функционал fy е с*, соответствующий эле-
менту у = (z/o, уъ У2,...) € h, действует на элементе
х = (хА,Х2,--.) 6 С так: /у(х) = ^,п=оУпхп, где
х0 = lim хп.
п—>оо
3.	(Ф. Рисе, 1910; Дж. Радон, 1913) Если мера д на из-
меримом пространстве (М, Е) конечна или бт-конечна, то
(£р(М,Ц/< = Lq(M,£,p), 1 < р < оо, j + А = 1;
функционал fy € (LP(M.E, д))*, соответствующий функ-
ции у е Lg(My Е, /2), действует на функции х € LP(M, Е, д)
так: fy(x) = fM x(t)y(t)dp.
4.	в частности (Э. Ландау, 1907), /* — lq, 1 < р < оо,
|	| — 1; функционал fy е I*. соответствующий
элементу у — (Д1,Д2,---) € действует на элементе
х = (Х1,х2,...) е 1Р так: fy(x) =
5.	(Г. Штейнгауз, 1919; Н. Данфорд, 1938) Если мера р
конечна или сг-конечна, то (Li(M, Е, д))* = LqqIM, Е, д);
функционал fy е (ВДМ, Е, д))*, соответствующий
функции у е LOO(M,Z, р), действует на функции
х е Li(M, Е, р) так: fy(x) = fM x(t)y(t)dp.
6.	в частности, Z* — /оо; функционал fy € /*, соответствую-
щий элементу у = ($/i, у2,...) € Zqq, действует на элементе
X = (xi,x2,...) ell так: fy(x) = £Х1 упхп.
7.	(Ф.Рисс, 1909) (С[а,6])* = BVb[a,&]; функционал
fy	(С [а, &])*, соответствующий функции у е В Vo [а, Ь],
действует на функции х € С[а, &] так: fy(x) — x(t)dy(f)
(интеграл Римана- Стилтьеса).
8.	(С1 [а, Ь\У = ВУ0[а,&] х С; функционал /у,л &])*>
соответствующий функции у е В Vo [а ,6] и числу А € С,
действует на функции х е С1 [а, 6] так:
/уДя) = ^x'{t)dy(t} + А/(а)
(интеграл Римана-Стилтьеса). При этом, если в ка-
честве нормы в пространстве С1 [а, Ъ] выбирается
100
|| х || = |x(a)|+ max |x'(t)|, то в качестве нормы в простран-
tG [а,Ь]
стве BVb[a, &] х С выбирается ||(ЗЛ А)|| = тах(||?/||ву0, |А|).
В гильбертовых пространствах все линейные функционалы
можно определить с помощью скалярного произведения.
Теорема 5.4 (М. Фреше, 1907; Ф. Рисе, 1907). Пусть Н —
гильбертово пространство. Тогда любой вектор у е Н порож-
дает линейный непрерывный функционал fy на Н, действую-
щий по правилу fy(x) — (х,у). Обратно, для любого линейно-
го непрерывного функционала f на пространстве Н найдётся
вектор у е Н такой, что f = fy. Отображение у fy яв-
ляется не только биекцией, но изометрией и антилинейным
отображением, т.е. ау1+(3у2 afyi+0fy2- Это отображение
называют изоморфизмом Рисса.
Итак, с точностью до сопряжённо-линейной изометрии
пространство Н* совпадает с Н. В случае вещественных
пространств пространства Н* и Н просто изометрически
изоморфны.
Представления сопряженных пространств позволяют упро-
стить вычисление норм функционалов: если X* — У, то
Шх- = My Vy € Y.
Пример 5.2. Вычислить норму функционала f 6 (С[—1,1])*,
f(x) — У x(t)dt — У x(t)dt - Зя(0).
Решение. Имеем /(ж) =	где
z x Г t + 1, если t е [—1,0],
— 2 — t, если t е (0,1],
— функция из пространства BVo[-l, 1]. Отсюда
11ЛНЫН Var'_L(y) = 5.
□
Задачи
5.37.	Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
пространство X* банахово.
101
Следствие теоремы Хана-Банаха, содержащееся в задаче
5.26°, можно неформально интерпретировать так: функцио-
налов на нормированном пространстве X «не меньше», чем
векторов в X. Ещё одним свидетельством этого можно считать
следующую задачу.
5.38.	Доказать, что если сопряжённое пространство X* к нор-
мированному пространству X сепарабельно, то X тоже сепара-
бельно. Привести пример, показывающий, что обратное утвер-
ждение неверно. ►
5.39.	Пусть нормированное пространство Z есть декар-
тово произведение нормированных пространств X и Y и
II* =	= Ых + 1|у|| у. Доказать, что сопряжённое
пространство Z* = X* х У* и найти норму в нём. ►
5.40.	Пусть X — конечномерное нормированное пространство.
Доказать, что X* изоморфно X (и, стало быть, тоже конечно-
мерно) .
5.41.	Пусть сопряжённое пространство X* к нормированному
пространству X конечномерно. Доказать, что X изоморфно X*
(и, стало быть, тоже конечномерно).
5.42.	Пусть Хо — неполное нормированное пространство, а
X — его пополнение. Доказать, что пространства X* и Xq
изометрически изоморфны.
5.43.	Пусть Xi и Х2 —- нормированные пространства, Xi С Х2,
II ’ 11х2 II * IIXi на пространстве Xi (см. определение 2.3) и Х±
плотно в Х2 по норме || • ||х2. Доказать, что тогда Х% С X* и
|| • ||х* -< II • ||х2* на пространстве Х2*.
5.44°	. Построить пример нормированных пространств Х1 и Х2
таких, что Xi С Х2, ||-||х2 -< И-Цх^ноХ; D XJ и ||-|1х* >- ||- ||х* •
Пример 5.3. Доказать утверждение п. 1 в списке сопряжён-
ных пространств.
Решение. Пусть /ecj и 2/п = /(еп), где еп = (0,... ,0,1,0,...)
— базисные векторы в пространстве Со- В силу линей-
ности f(x) —	для любого финитного вектора
х = (a?}, Х2)..., xn5 0,0,...). Поскольку множество таких
векторов плотно в со, а функционал непрерывен, имеем
102
f(x) = Упхп Для любого х е Cq. Возьмём теперь финит-
ный вектор х с координатами хп = £м|з/п|-1, если уп 0 и
п < ЛГ; хп = 0, если уп = 0 или если п > N. Тогда ||т||Со = 1,
а /(а:) = £^=1 Ш, т.е. для любого N: Ц/Ц > £„=1 |уп|-
Это означает, что у е li и ||з/||^	||/||с*. Обратное неравен-
ство следует из очевидного неравенства |/(т)| < Ц^Цс©Пз/Пь•
Итак, \\y\\h = ||/||с*, т.е. отображение f н-> у изометрия (ли-
нейность этого отображения очевидна). Остаётся проверить
сюръективность отображения. Действительно, любой вектор
у е li задаёт функционал fy Е Cq, действующий по формуле
Л(ж) — 52^=1 Упхп> При таком определении функционала fy
имеем fy(en) = уп, т.е. действительно fy н-> у. □
5.45°	. Доказать утверждение п. 2 в списке сопряжённых про-
странств по схеме, описанной в предыдущей задаче.
5.46°	. Найти элементы пространства /1, соответствующие сле-
дующим функционалам на пространствах с и cq:
a)	fn(x) = хп,пе N; б) f(x) = х} + х2 - х3;
в) J(s) = Х1 ~ Ит хп. Найти нормы этих функционалов,
п—*оо
►
5.47	. Доказать следующие утверждения в списке сопряжен-
ных пространств а)* п.З для случая Zp[0,1]; б) п.4;
в)* п.5 для случая Li[0,1]; г) п.6; д)* п.7; е) п.8.
5.48	°. Найти элементы пространства В Vo [—1,1], соответству-
ющие следующим функционалам на пространстве С[—1,1]:
а) /(^) — zE2aj:=i akx(tk)> где ak £ С, 1	^1 < • • • < tn 1?
б)	f(x) = j\ a(t)x(t)dt, где а е С[-1,1]*,
в)	f£(x) = x(t)dt, е € (0,1];
г)	/е(ж) =	- я(-£)), е е (0,1];
Д) fe(x) =	~ 2ж(0) +	£ е (°»1];
е)	/(ж) = Jo x(t)dt;
ж)	f(x) = JZ x(t)dt - J* x(t)dt;
3)	f(x) = flitx(t)dt-
Найти нормы этих функционалов. ►
5.49°. Найти элементы пространства В Vo [0,1], соответствую-
щие следующим функционалам на пространстве С[0,1]:
103
a)	№) = Jq1 x(Vt)dt-,
6)	f(x) = Jq x(t2)dt;
B) f(x) — lim fn x(tn)dt;
n—*oo uu
r) f(x) = fo a(t)x(t)dt + akx(tk), где a & C[0,1], ak e C,
0 t]	^2 < • • • < ^n—1 < tn 1«
Найти нормы этих функционалов. ►
5.50. Пусть f — положительный линейный функционал на
вещественном пространстве (7[0,1], т.е. /(ж)	0 для любой
неотрицательной функции х(£). Доказать, что f непрерывен и
11/11 = /(.то(С^1).
5.51°. Найти элементы пространства ДхД— 1,1], соответствую-
щие следующим функционалам на пространстве [— 1,1]:
а) Л(.т) = ff£x(t)dt, е & (0,1]; б) f(x) = f° R(t)x(t)dt,
0,	если t иррационально;
где R(t) = д'1, если t = р/q\	~~ функция Римана.
1,	если t = 0
Ч 1
Найти нормы этих функционалов. ►
5.52°. Найти элементы пространства Ьг[—1,1], соответствую-
щие следующим функционалам па пространстве L2[~l, 1]’
а) /(®) = /2]	б) fe(x) = е~1/2 f~_£ x(t)dt, е е (0,1];
в) f(x) — lim J* x(t) sin(7rnt) dt.
Найти нормы этих функционалов. ►
5.53°. Найти элементы пространства Zoo, соответствующие сле-
дующим функционалам на h:
a) fn(x) = хп, п € N; б) f(x) = Xj. +х2;
в) f(x) = 12^=1 хп- Найти нормы этих функционалов. ►
5.54°. Найти элементы пространства 12, соответствующие сле-
дующим функционалам на 12:
й) fn(x) ==хп,пе N; б) /(ж) = X! + х2;
в) f(x) —	Найти нормы этих функционалов. ►
5.55. Доказать, что пространство 1\ изометрически вложено в
пространство , но не изоморфно ему.
5.56°. Доказать, что следующие функционалы являются ли-
нейными и непрерывными на пространстве и найти их нор-
мы:
104
а) /п(ж) — тп. n G N; 6) f(x) — 52n=2 n 1 n»
в) /(z)=LIM(z).
Можно ли для этих функционалов найти векторы у 6 1\ такие,
что /(ж) = $2^=1 УпХп для любого X € Zoo? ►
5.57.	Доказать, что продолжение по Хану-Банаху любого ли-
нейного непрерывного функционала с со на Zoo единственно1^.
5.58.	Доказать, что ЬцО, 1] изометрически вложено в про-
странство (Loo[0,1])*, но не изоморфно ему.
5.59°	. Доказать, что следующие функционалы являются ли-
нейными и непрерывными в пространстве ДхД—1,1] и найти их
а) /(ж) = /Зх tx(t)dt\ б) Л(х) = е—1	x(t)dt, € € (0,1].
►
5.60.	Найти элементы пространства В Vo [—1,1] х С, соот-
ветствующие следующим функционалам на пространстве
С1 [—1,1] с нормой ||т||с1 [_ 1,1] = |я(-1)| + тах^ |я/(£)|:
a)	f(x) =	+ 1Хо где ak € С, bi € С,
1	<^ . . . tn 1,	1 — Sq < Si < . . .	1,
б)	А(ж) = ^-^,£6 (0,1];
в)	/е(х) =	£ е (0,1];
г)	f(x) = fox(t)dt-,
д)	f(x) = f°i х(№ - Jo x(t)dt;
е)	f(x) = fli tx(t)dt;
ж)	f(x) = Jq1 x'(t)cos(-7rt)dt — 2x(0).
Найти нормы этих функционалов. ►
5.61.	Найти элементы пространства И7 2 [0,1], соответствующие
следующим функционалам на пространстве 1]‘
а)	/(ж)	= я(0);	б)	f(x) = я(1) + z(0);
в)	/(а-)	= fo x(t)dt;	г)	f(x) = /0Х x'(t) sin t dt;
д)	/(ж)	= Jg(x'(t) sin t + x(t) cos t)dt;	e)	f(x) = x'(t)dt.
1)гГо же самое утверждение можно сформулировать по другому: Дока-
зать, что если у функционала f Е норма сужения на со совпадает
с нормой на всём Z©o, то / задаётся равенством f(x) — xnyn для
некоторого у Е li.
105
Найти нормы этих функционалов. ►
5.4. Второе сопряжённое пространство. Рефлексив-
ность.
Каждое линейное нормированное пространство X вклады-
вается в свое второе сопряженное пространство X**. Это вложе-
ние задаётся формулой тг : х н-> FXi где Fx(f) — f(x) Vf е X*
и называется естественным. Функционапы Fx из X**, сопо-
ставляющие каждому элементу f € X* число /(ж) называют
функционалами означивания.
Доказывается, что вложение тг является линейным и изомет-
рическим, то есть ||Fc||х** = ||х||х для любого х е X.
Определение 5.6. Нормированное пространство X на-
зывается рефлексивным, если тг(Х') = X** (обычно пишут
X** = X), т.е. если отображение тг является изоморфизмом
пространств X и X**.
Приведем наиболее часто используемый критерий рефлек-
сивности банахова пространства.
Теорема 5.5 (Р. Джеймс, 1957). Банахово пространство
(X, || ’ ||) рефлексивно тогда и только и тогда, когда любой
функционал f 6 X* достигает своей нормы на единичном
шаре пространства X, т.е. Вх е X, ||т|| — 1 : /(ж) = ||/||.
Задачи
5.62.	Доказать, что если X — рефлексивное пространство, то
для любого функционала f е X* существует такой элемент
х е X, что ||х|| = 1 и f(x) = H/Ц (необходимость в теореме
Джеймса).
5.63°	. Доказать, что естественное вложение тг : X —> X**
является изометрией.
Теорема Джеймса помогает проверять рефлексивность кон-
кретных пространств, не находя сопряжённые к ним.
5.64.	Доказать нерефлексивность пространств
а) С[а, &]; б) Сп[0,1], п= 1,2,...; в) h; г) с0;
д) с; е) £1[а,Ь].
5.65.	Доказать, что если пространство X рефлексивно, то и
X* рефлексивно.
106
5.66°	. Доказать нерефлексивность пространств а)
б) Loo [0,1].
5.67°	. Доказать, что любое конечномерное нормированное
пространство и любое гильбертово пространство рефлексивно.
Доказывать рефлексивность пространств обычно сложнее,
чем нерефлексивность. Обратите внимание, что здесь нужно
не просто доказать, что X и X** изометрически изоморфны,
но проверить, что именно естественное вложение является
изометрическим изоморфизмом. Есть пример (Р. Джеймс,
1951) пространства X, для которого изометрический изомор-
физм (какой-то) между X и X** существует, но каноническое
вложение тг изоморфизмом не является.
5.68.	Доказать рефлексивность пространств а) Zp,
рб(1,оо); б) Lp[0,1], р Е (1, оо).
5.69.	Доказать, что если X — банахово пространство и X*
рефлексивно, то X также рефлексивно.
Для каждого нормированного пространства X определено
сопряжённое пространство X*. Возникает задача: для каждо-
го ли нормированного пространства X существует нормирован-
ное пространство Y такое, что У* = X? Поскольку сопряжён-
ные пространства всегда банаховы, то ясно, что пространство
X должно быть банаховым. Далее, если само пространство X
рефлексивно, то задача имеет решение: У = X*. Свойство ре-
флексивности, конечно, не является критерием: например, про-
странство Zi не рефлексивно, но (со)* = Zi. Однако, для нере-
флексивных пространств X искомое пространство У может не
существовать (см. задачи 5.70 и 14.121*).
5.70.	Доказать, что не существует такого банахова простран-
ства X, что X* = со.
Ещё один критерий рефлексивности пространства связан с
существованием элемента наилучшего приближения в подпро-
странстве.
5.71.	Доказать, что банахово пространство X рефлексивно
тогда и только тогда, когда всякое замкнутое подпространство
У С X коразмерности 1 является подпространством существо-
вания (ср. с задачей 14.119).
107
5.72°	. Привести пример банахова пространства X и замкнуто-
го подпространства Y С X, которое не является подпростран-
ством существования (сравните с задачей 5.20). ►
Выражение /(ж), где х есть вектор нормированного про-
странства X, a f есть линейный непрерывный функционал
на X, является билинейным непрерывным функционалом
(билинейной формой) на X х X* (иногда, чтобы подчеркнуть
равноправие х и /, используют обозначение f(x) = Та-
ким образом, для нормированного пространства X над полем
К возникает отображение X х X* —» X, схожее со скалярным
произведением. Так, запись f ± х означает, что /(т) = 0. Для
произвольного множества М С X можно определить «ортого-
нальное дополнение» М1 = {/ 6 X*: f(x) = OVz € М}. Есть
и «аналог» ортонормированных систем —- биортогональные
системы (см. главу 10).
5.73.	Пусть М - произвольное множество в нормированном
пространстве X.
а)° Доказать, что М1- — замкнутое подпространство в X*.
б) Доказать, что множество {х е X: f(x) = 0V/ е М1} сов-
падает с Lin(M).
в)0 Доказать, что если М — замкнутое линейное подпростран-
ство в рефлексивном пространстве X, то (М±)± = М.
г) Доказать, что если М — линейное подпространство в X, то
dim (Мх) = codim М.
5.74.	Найти множество М\ если
а)° М — В(х,г) в нормированном пространстве X;
б) М = {х е С[-1,1] : x(t) = 0 Vt < 0} в пространстве С[—1,1];
в) М = {х е С[0,1] : ж(0) = 0} в пространстве С[0,1];
г)	М = {х е £1[0,1] : х непрерывна в точке а и х(а) = 0} в
пространстве Li [0,1];
д)	М = {х € Li[—1,1] : x(t) = x(—t)Vt € [—1,1]} в простран-
стве Li[—1,1];
е)	множество М есть множество всех многочленов в простран-
стве С[0,1];
ж)	множество М в пространстве Cv[0,1] есть множество всех
многочленов р : р(0) — 0;
з)	М = {х е С[0,1] : x(t) Q\/t е [0,1]} в пространстве С[0,1]
над полем R;
108
и)	М — {х е С[0,1] : х(а) х(Ь) \/а > Ъ} в пространстве С[0,1]
над полем R;
к)	М = {х € Ьз[~1) 1] : fo x(t)dt = 0} в пространстве £з[0,1];
л)	М = соо в пространстве со;
м) М = Со в пространстве с;
н) М = {я е li : х± > X2 >	> • •.} в пространстве li над
полем К;
о)* М — {х = (А, А2, А3,...): А = 1, j,...} в пространстве с.
5.75.	Пусть Y — линейное подпространство нормированного
пространства X. Доказать, что для любого элемента х е X
справедливо равенство
dist(a;,Y) = max{/(x): / е У3-, ||/|| = 1}.
5.76.	Привести пример нормированного пространства X, за-
мкнутого подпространства Y в X* и линейного непрерывного
функционала /о Y таких, что для всякого вектора х е X из
равенств f(x) = 0 V/ е Y следует fo(x) = 0 (замкнутое под-
пространство Y и функционал /о нельзя отделить с помощью
вектора). Доказать, что в рефлексивном пространстве обяза-
тельно найдётся такой вектор xq е X, что /(#о) = 0, V/ € У,
но /о(^о) 7^ 0 (сравните с задачей 5.33). ►
109
6. Линейные операторы.
6.1.	Определения и основные примеры операторов.
Определение 6.1. Пусть (X, || • ||х) и (У, || • ||у) — линейные
нормированные пространства над полем К (К = R или С).
Отображение А : X —* У называется линейным оператором,
если А(ах + /Зу) — аАх + /ЗАу для любых а,(3 е К и х,у € X, и
непрерывным оператором, если для любого элемента х € X из
\\у — я||х —► 0 следует \\Ау — Ах^у —> 0. Множество линейных
операторов будем обозначать £(Х, Y), а множество линейных
непрерывных операторов — B(X,Y). В случае X = У будем
использовать обозначения £(X,Y) = £(Х) и B(X,Y) = Б(Х).
Все операторы, если не оговорено противное, будем
считать определёнными на всём пространстве X. Обо-
значим Im А := {Аж: х е X} — образ оператора А,
Ker А := {х G X: Ах = 0} — ядро оператора А.
Линейный непрерывный функционал есть частный случай
оператора. Так же, как и в случае функционалов, доказывает-
ся, что непрерывность линейного оператора А равносильна его
непрерывности только в точке х = 0 (или в любой другой точке
х — xq), которая, в свою очередь, равносильна его ограничен-
ности.
Определение 6.2. Линейный оператор А Е £(X,Y) называ-
ется ограниченным, если
Зс = с(А) : ||Ах\\у с||ж||х Vz € X.
Наименьшая возможная константа с(А') в этом неравенстве
называется нормой оператора А и может быть вычислена по
следующим формулам:
ИН = sup = sup |1Ах|| = sup ||Аг||.	(6.1)
х#0 IFlIx ||а:Ц<1	11x11=1
Эта величина удовлетворяет всем аксиомам нормы на линей-
ном пространстве операторов.
Из определения (6.1) следует мультипликативное неравен-
ство для норм: Vz € X ||Ах||у < И1НМ X-
110
Теорема 6.1. Совокупность 13 (X, У) всех линейных непрерыв-
ных операторов из нормированного пространства X в банахово
пространство Y с нормой (6.1) является банаховым простран-
ством.
Из этой теоремы вытекает теорема 5.1.
Задачи
6.1.	Пусть X и У — нормированные пространства, Т е £(Х, У).
Доказать что следующие условия эквивалентны
(1)	Т	непрерывен	в	каждой точке	пространства Х\
(2)	Т	непрерывен	в	нуле;
(3)	Т	ограничен;
(4)	Т	равномерно	непрерывен	на X	(см.	определение 1.21).
6.2.	Доказать, что в гильбертовом пространстве Н норму про-
извольного ограниченного оператора Т е 13(Я) можно найти
по формуле ||Т|| = sup |(Тж,з/)|.
М=М=1
6.3°	. Пусть X и У — линейные пространства, Xi = (X, || • ЦхД
Хг = (Х,|| • ||х-2), Ух = (У, II • llrj, а У2 = (У, || • ||у2), при-
чём || • ||Х1 ~ || • ||х2, а || • ||У1 ~ || • ||у2. Доказать, что
0(Х1,У1) = В(Х1,У2) = В(Х2,У1) = 0(Х2,У2). Что можно
утверждать, если || • ||Х1 -< || • ||х2, а || • ||У1 -< || • ||у2? ►
Часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда опера-
тор определен не на всём пространстве, а на некотором подпро-
странстве. Тогда возникает вопрос о возможности продолжения
этого оператора на всё пространство. Мы подробно обсудим эту
задачу в параграфе 6.2, а пока рассмотрим важный частный
случай.
6.4°	. Пусть X и У — банаховы пространства, Xq — всюду
плотное в X подпространство и А е 13(Xo,Y). Доказать, что
существует единственный линейный ограниченный оператор
А е B(X,Y), совпадающий с оператором АнаХо- Доказать,
что IIА||В(Х,У) = ||А||В(ХО,У).
Если нормированное пространство X вложено в норми-
рованное пространство У, то определён оператор вложения
J : X Y, Jx = х. Если || • ||у -< || • ||х на X, то этот оператор
ограничен.
111
6.5.	Доказать, что если J : X —► Y — ограниченный оператор
вложения и За > 0 Ух е X || Jx\\ а||я||, то любой оператор
А е B(X,Y) можно представить в виде композиции А = BJ,
где В € В(У).
Пример 6.1. Доказать ограниченность и найти норму опе-
ратора вложения J : И7} [О,1] —> Li[0,1].
Решение. Для любой функции х 6 IV [О,1] имеем
Ми" = Jo (la;'(i)l + l^(t)|)dt, a ||x||L1 = Jq1 |ж(£)|<й, т.е.
Il^llbi ||x||wi. Подставив x(t) — 1 имеем ||x||wi — ЦяЦ^, т.е.
|| J|| = 1. □ 1
6.6.	Доказать ограниченность и найти норму следующих опе-
раторов вложения
а)° J : с0—б)° J : с—>Zoo;
в) J:	l^pCq^oo;	г)° J: С[0,1]->£^[0,1];
д) J: Lp[0,l]->Lg[0,l], l^q<p^oo;e) J : C^O, 1] ->C[0,1];х>
ж) J: lVi[0,l]-^C[0,l ;	з) J : IV^fO, 1] —>L2[0,1];
и) J: (C1[0,l],|| • ||2)-*(C’1[0,1], || • ||i). ►
6.7	°. Пусть X и Y — нормированные пространства,
A e B(X,Y). Доказать, что Ker A — замкнутое подпро-
странство пространства X. Привести пример, показывающий,
что Im А не обязан быть замкнутым подпространством в Y. ►
Другой важный класс операторов — операторы проектиро-
вания.
Определение 6.3. Пусть X — нормированное пространство,
которое является линейной прямой суммой своих (вообще
говоря, незамкнутых) подпространств Xq и Xi. Тогда каж-
дый вектор х € X единственным образом раскладывается
в сумму х = Xq 4- Xi, где xq е Xq, Xi Е Xi. Оператором
проектирования (проектором) на подпространство Xq
вдоль подпространства Х± называют оператор, опреде-
лённый равенством Рх = xq .
^в пространстве С1 [0,1] рассмотреть четыре эквивалентные нормы
||2c||i = |ж(0)| + max |a/(i)|, ||ж1|2 = max{ max |ж(£)|, max
ee[o,i]	*e[o,i]
IMs = tmax] k(i)l + ^aX] KWh IKIk = max{|®(0)|,	|z'(t)|}
112
Линейность этого оператора очевидна. Легко видеть также,
что Ker Р = Xi, a Im Р = Xq. Класс операторов проектирова-
ния можно описать и другим способом.
6.8	. Доказать, что линейный оператор Р в нормированном
пространстве X является оператором проектирования тогда и
только тогда, когда Р2 — Р.
6.9	°. Пусть X — нормированное пространство, Хо и Xi — ли-
нейные подпространства в нём, причём X является линейной
прямой суммой Xq и Хр Пусть Р — оператор проектирования
на Хо вдоль Хг. Доказать, что оператор Р ограничен тогда и
только тогда, когда прямая сумма Xq и Х1 является тополо-
гической прямой суммой (см. определение 2.20). Доказать, что
если хотя бы одно из подпространств Xq или Xi конечномерно,
то Р ограничен.
6.10	°. В пространстве С[—1,1] рассмотрим оператор
(Px)(t) =	+ х‘(—£)). Доказать, что этот оператор —
ограниченный проектор. Найти его образ, ядро и норму. ►
В определении 2.22 было введено понятие дополняемого под-
пространства. Часто в это определение сразу включают требо-
вание замкнутости обоих подпространств. Следующая задача
показывает, что такое определение эквивалентно 2.22.
6.11	°. Пусть линейное подпространство Хо в нормированном
пространстве X дополняемо. Доказать, что тогда само подпро-
странство Xq и дополняющее его подпространство Xi замкну-
ты.
В силу утверждения задачи 6.9°, дополняемость подпро-
странства Хо С X эквивалентна существованию ограниченного
проектора X на Xq.
6.12	. Существует ли в пространстве С[0,1] ограниченный опе-
ратор проектирования а) на подпространство 1]?
б)	на подпространство 'Р[0,1]? ►
6.13.	Пусть Хо — конечномерное подпространство в норми-
рованном пространстве X. Доказать, что Хо дополняемо.
6.14.	Пусть Xq — замкнутое подпространство конечной ко-
размерности в нормированном пространстве X. Доказать, что
Хо дополняемо.
113
Поставим обратный вопрос к утверждению задачи 6.11°.
Пусть X — банахово пространство, a Xq — его замкнутое под-
пространство. Обязано ли оно быть дополняемым? В гильбер-
товом пространстве это так: достаточно взять Х± — Xq- (см.
задачу 3.26). Отметим, что в силу утверждения задачи 6.9°
вопрос допускает эквивалентную формулировку: верно ли, что
для любого замкнутого подпространства в банаховом простран-
стве найдётся ограниченный оператор проектирования на это
подпространство? Чуть позже (см. задачу 6.44*) мы покажем,
что в общем случае ответ на данный вопрос отрицательный.
Определение 6.4. Рангом оператора А называют число
rank А dim Im А. Оператор А называется операто-
ром конечного ранга (конечномерным оператором), если
rank А < оо.
Ограниченные операторы конечного ранга устроены весьма
просто.
6.15.	Пусть X и Y — нормированные пространства. Доказать,
что оператор А е В(Х, Y) является оператором конечного
ранга тогда и только тогда, когда он допускает следующее
представление Ах = fk(x)yk, где fk е X*, a yk G Y.
Доказать, что если X и Y — гильбертовы пространства,
то оператор А Е В(Х, Y) является оператором конечного
ранга тогда и только тогда, когда он допускает представление
Ах =	ФкУрк, где {^k}i — ортонормированная систе-
ма в X, — ортонормированная система в У, a Sk € С (ср.
с задачей 12.74).
6.16°	. Найти норму, образ и ядро оператора А € В(Х, У),
Ах — f(x)y, где f € X* — фиксированный ненулевой функци-
онал, а у € Y — фиксированный ненулевой вектор. ►
Пример 6.2. Доказать, что оператор (Ат)(£) =J^1(l+te)z(.s)ds
в Ъ2[—1,1] является оператором конечного ранга. Найти его
образ и ядро. Оценить его норму.
Решение. Легко видеть, что Im А =	а значит
rank А = 2. Ядро оператора образуют функции х € Ьз[—1,1],
для которых x(s)ds = j2i sx(s)ds = 0. Остаётся оценить
норму оператора. Если y(t) = (Ax)(t) =	+ ts)x(s)ds,
114
TO |y(t)|2 < |И|2Д(1 + ts)2ds = (2 +jt2) ||x||2. Тогда
цУк ^i^n-T-e. пак 4s- °
6.17°	. Доказать, что следующие операторы являются опера-
торами конечного ранга
а)	А € 5(c), А(ж1,х2,...) = (271,2/2, •• *)> где Уп = £ ZXi
б)	А е 5(С[0,тг]), (Ar)(t) = Jq sin(£ + s)x(s)ds\
в)	А е 5(Ьг[0,1]), (Ax)(t) — /0\l + s + £ + 2s£4-2t2+2s2)x(s)ds.
Найти их образ и ядро. Оценить норму. ►
6.18.	Найти точное значение нормы оператора А из примера
6.2. ►
Рассмотрим другой важный класс операторов — диагональ-
ные операторы (или операторы умножения на последователь-
ность). Этот класс операторов важен: как будет видно даль-
ше, многие операторы становятся диагональными при разум-
ном выборе базисных векторов.
6.19.	Доказать, что оператор A(xi, х2,...) = (Ajх±, Л2^2, • • •)
ограничен как оператор в пространстве	a) Zp,
ре[1,оо); б) с; в) со; г) 1^	тогда и только
тогда, когда {An}J° € /о©. Найти его норму и ядро в каждом
из пространств в зависимости от последовательности {An}J°. ►
6.20.	Найти норму оператора
АеВ(Ь2[-7г,7г]), (Ax)(t) = Г	ds.
►
6.21.	Доказать, что оператор из задачи 6.19 сюръективен в
каждом из пространств а) - г) тогда и только тогда, когда
infn^i |АП| > 0. В случаях а) и в) доказать, что его образ
всюду плотен в соответствующем пространстве тогда и только
тогда, когда все числа Ап отличны от нуля. В случаях б) и
г) доказать, что его образ всюду плотен в соответствующем
пространстве тогда и только тогда, когда infn^i |АП| > 0.
6.22°	. Доказать, что оператор из задачи 6.19 является операг
тором проектирования в каждом из пространств а) -г) тогда и
только тогда, когда Ап € {0, 1} Vn е N.
115
6.23°	. Доказать, что операторы правого и левого сдвига
Тг : (zi,z2,...) »-► (0,Ж1,х2)...), 7}(ж1,ж2,...) ь-> (ж2,я3,...)
ограничены как операторы в пространствах lp, р е [1, оо], си
Со. Найти норму, образ и ядро этих операторов в каждом из
пространств. ►
Аналогом диагонального оператора в функциональных
пространствах является оператор умножения на функцию
6.24.	Доказать, что оператор умножешгя па непрерыв-
ную функцию a(t) ограничен как оператор в пространстве
a) Loo[0,1]; б) С[0,1].	Найти его норму и ядро в
каждом из пространств. При каких условиях на а оператор А
инъективен? ►
6.25.	Доказать, что оператор умножения на измеримую функ-
цию a(t) ограничен как оператор в пространствах Лр[0,1],
ре [1, оо], тогда и только тогда, когда а е £оо[0,1]. Найти его
норму и ядро в каждом из пространств. ►
6.26.	Пусть А — оператор умножения на непрерывную функ-
цию a(t), действующий в пространстве С[0,1]. Доказать, что
если функция а не обращается в ноль на отрезке 10,1], то опе-
ратор А сюръективен, а если а имеет нули, то оператор А не
сюръективен и, более того, замыкание его образа не совпадает
с пространством С[0,1].
6.27.	Пусть А — оператор умножения на функцию а е I/oo[0,1],
действующий в пространстве £р[0,1], где р е [1.ос). Доказать,
что если essmf |a(t)| > 0, то оператор А сюръективен. Дока-
зать, что если ess inf \a(t) | = 0, но ц ({t е [0,1] : a(t) = 0}) = 0,
то оператор А не сюръективен, но его образ всюду плотен
в £р[0,1]. Доказать, что если p({t е [0,1] : a(t) —0}) > 0, то
БГЛ / Lp[0,1].
6.28°	. Пусть оператор умножения на независимую перемен-
ную (Ax)(t) = tx(t) действует в
а) €7(0,1]; б) Lp[0,1], р е [1,оо]; в)
^здесь ess inf/(t) := — esssup(—f(t))
116
Найти норму и ядро этого оператора. Выяснить, сюръ-
ективен ли оператор и совпадает ли замыкание образа со всем
пространством. ►
6.29.	Доказать, что оператор интегрирования
(Ax)(t) =/* x(s)ds ограничен а) в Cn[0,1], п == 0,1,2,..
б) в Lp[0,1], ре [1,оо]; в) из С”[0,1] в С"+1[0,1], п = 0,1,....
Найти его образ и ядро в каждом из пространств. Найти
его норму (в пунктах а) и в) считать, что пространство
Cn[0,1] снабжено нормой ЦтЩ = £Х=о 11х(/е)11с[о,1]> а в
пункте б) ограничиться случаем р = 1). Доказать, что
(A^)(i) =	^^x(S)ds, п = 1,2,3,.... ►
6.30.	Доказать, что оператор дифференцирования Ах = хг
ограничен как оператор из
a) Cn[0,1] в Сп-х[0,1], п = 1,2,..б) W'2[0,1] в Г2[0,1].
Найти его образ, ядро и норму (в пункте а) считать, что про-
странство Cn[0,1] снабжено нормой Mi = ZX=o
►
6.31.	Доказать, что не существует нормированного простран-
ства, содержащего целые функции1^, на котором оператор диф-
ференцирования непрерывен.
Оператор интегрирования является частным случаем
интегрального оператора. Интегральные операторы можно
рассматривать в любом из пространств С(Л/), Cn(M), Lp(Af),
и т.д., где М = [а, 6], R, или какое-либо дру-
гое измеримое пространство. Эти операторы определяются
равенством
(Акт)(£) = у* K(t,s)x(s)ds.	(6.2)
м
Функцию K(tys) называют ядром интегрального оператора
(или производящей функцией). Сразу же оговоримся, что для
корректного определения оператора Ак равенство (6.2) часто
требует расшифровки, поскольку интеграл, стоящий в правой
части может быть определен не для всех точек t и не для всех
функций х. Каждый раз в подобном случае мы будем уточнять
определение оператора Ак-
1)т.е. функции f : С —> С, голоморфные во всей комплексной плоскости
117
6.32.	Доказать, что оператор (Ax){t) = K(t. s)x(s) ds,
K(t.s) e С ([a, 6]2), ограничен как оператор
а) в C[a, b] б) в Li[a, b]\ в) из Li[a, 6] в С [а, Ь].
Найти его норму. ►
Пример 6.3. Доказать, что если KeLq ([a, fr]2), то инте-
гральный оператор А : Lp[a, b] —► Lg[a, b], р, q е (1, оо), | +1 = 1,
(Ax)(t) = f K(t,s)x(s)ds,
J а
ограничен и ||А||9 J* J* |К(£, s)|9 dsdt.
Решение. По условию J* |AT(t, s)\qdtds < оо. В силу тео-
ремы Фубини функция <p(t) = fa |A'(t, s)|9ds определена почти
всюду и интегрируема по Лебегу. Это означает, что для почти
всех t G [a, 6] функция K(t} •) (по второму аргументу) попадает в
пространство Lg[a, 6], а значит интеграл J* K(t, s)x(s)ds опреде-
лён для всякой функции х е Lp[a, Ь]. Далее, в силу неравенства
Гёльдера,
1>ь	q /*Ъ
/ K(t,s)x(s)ds < / \K(t,s)\qds • \\x\\QLp.
J a	J а
Поскольку неравенство выполнено для почти всех t е [а, Ь],
его можно проинтегрировать по переменной t, откуда
11^111, /а /а 1Ж ^dsdt •	°
6.33.	Рассмотрим интегральный оператор Харди
(Ax)(t) = i f x(s)ds.
t Jo
а) Доказать, что этот оператор ограничен в пространстве
Lp[0,1] при р е (1, оо) и не ограничен в Li[0,1].
б)* Доказать, что для каждого р е (1, оо) ||Л||Б(Ьр[0)1]) =
в) Доказать, что оператор Л, доопределённый равенством
(Аж)(0) := ж(0), переводит непрерывные функции в непрерыв-
ные и ||Л||Б(С1о,1])	1-
Оператор, рассмотренный в предыдущей задаче, является
частным случаем оператора Рамана-Лиувилля
(Ax)(t) =	[ (t - s)r-1a:(s)ds,	(6.3)
r Jo
118
а также частным случаем общего оператора Харди
(Ax)(t) = Г'1 Г ^ds.	(6.4)
Jo s
6.34.	При каких вещественных г оператор Харди (6.4) огра-
ничен в пространстве £2 [0,1]? ►
6.35.	При каких вещественных г оператор Римана—Лиувилля
(6.3) ограничен в пространстве £2[0,1]? ►
6.36.	Доказать, что оператор (Ar)(t) — f™ x(s)e~isds ограни-
чен в пространстве L2 [0, оо) и оценить его норму. ►
6.37.	Пусть а Е С[—1,1]. Доказать, что оператор свёртки
А : х	x(s)a(t — s)ds ограничен как оператор в
пространстве С[0,1].
6.38°	. Доказать, что оператор сдвига (Ax)(t) — x(t + d) огра-
ничен как оператор в пространстве
a) C^QR), п — 0,1,2,...; б) £P(R), р G [1, оо]. Найти
его норму, образ и ядро в каждом из пространств. ►
Ещё один интересный класс операторов - - операторы следа,
сопоставляющие каждой функции, определённой на некотором
множестве, ограничение этой функции на фиксированное под-
множество.
6.39°	. Найти норму, образ и ядро оператора следа
а) А : С[-1,1]	С[0,1]; б) А : BC(R) £2[0,1];
в)	А : (7(D) - С(Т), где D = {z G С : |z|	1}, а
T = {z€C: |z| = l}. ►
Следующий оператор называют оператором замены
переменной или оператором суперпозиции,
6.40. Найти норму и ядро оператора А : С[0,1] —» G[0,1],
(Ax)(t) = (х о <p)(t) = x(<p(t)), где — фиксированная непре-
рывная функция, отображающая отрезок [0,1] в себя. Доказать,
что оператор А сюръективен тогда и только тогда, когда отоб-
ражение инъективно. ►
6.2. Различные свойства операторов.
Теорема Хана-Банаха 5.2 позволяет продолжать без увели-
чения нормы линейные непрерывные функционалы. Естествен-
ный вопрос: справедлив ли аналог этой теоремы для непрерыв-
ных операторов? В общем случае ответ отрицательный. Более
119
того, ответ остаётся отрицательным, даже если допустить уве-
личение нормы оператора при продолжении.
6.41.	Пусть X — нормированное пространство, а Хо — его
замкнутое подпространство. Доказать эквивалентность следу-
ющих условий
(1)	подпространство Xq дополняемо;
(2)	тождественный оператор на Xq допускает продолжение до
ограниченного оператора из X в Хо;
(3)	любой ограниченный оператор из Xq в У, где У — произ-
вольное нормированное пространство, допускает продолжение
до некоторого ограниченного оператора из X в У.
Итак, вопрос о продолжении всевозможных операторов с
данного подпространства эквивалентен вопросу о дополняемо-
сти этого подпространства.
6.42.	Пусть А € Б(Хо,У) — конечномерный оператор, где Хо
и У — нормированные пространства и Xq — линейное подпро-
странство нормированного пространства X. Доказать, что А до-
пускает продолжение до ограниченного оператора А е 23 (X, У),
причём А можно выбрать так, что Im (А) = Im (А).
6.43.	Пусть оператор А определён на подпространстве Со про-
странства с как тождественный оператор. Доказать, что этот
оператор нельзя продолжить до ограниченного оператора А
из с в Со без увеличения нормы. Предъявить продолжение А до
ограниченного оператора А из с в с0 с увеличением нормы. ►
6.44*	. (Р. Филлипс, 1940) Замкнутое подпространство cq
банахова пространства не дополняемо.
Напомним, что в гильбертовых пространствах любое под-
пространство дополняемо, а значит, любой оператор допускает
ограниченное продолжение. Это свойство является характери-
стическим свойством пространств, изоморфных гильбертову.
Теорема 6.2 (Й. Линденштраусс, Л. Цафрири, 1971).
В банаховом пространстве (X, || • ||) следующие свойства
эквивалентны:
(1)	любое замкнутое подпространство в X дополняемо;
(2)	существует скалярное произведение, порождающее на
пространстве X норму, эквивалентную норме || • ||.
120
Как уже отмечалось, не всякий линейный непрерывный
функционал в банаховом пространстве достигает своей нормы
на единичном шаре. Однако, в рефлексивном пространстве
уже каждый функционал достигает своей нормы (см. теорему
5.5). Покажем, что для операторов ситуация сложнее.
6.45.	Пусть А е B(X,Y), где X — рефлексивное банахо-
во пространство, Y — произвольное банахово пространство, а
rank А < оо. Доказать, что А достигает своей нормы на еди-
ничном шаре, т.е. найдётся такой вектор х € X, что ||я||х — 1
и ||Лх||у = ||<
6.46°	. Пусть X ~~ конечномерное нормированное простран-
ство, а У — произвольное нормированное пространство. Дока-
зать, что £(Х, У) = В(Х, У) и каждый оператор достигает своей
нормы на единичном шаре.
6.47.	Привести пример ограниченного оператора в рефлексив-
ном банаховом пространстве, не достигающего своей нормы на
единичном шаре. ►
В произвольном бесконечномерном банаховом пространстве
существует всюду определённый, но не ограниченный функцио-
нал (см. задачу 5.14). Как показывает задача 5.16, ядро такого
функционала заведомо не замкнуто.
6.48*	. Привести пример неограниченного оператора А е С(Х)
в банаховом пространстве X, который определён всюду на X
и имеет замкнутое ядро. ►
Указание. Использовать алгебраический базис.
6.49.	Пусть X и У — банаховы пространства, А € £(JV,y),
Кег А замкнуто в X, a rank А < оо. Доказать, что оператор А
ограничен.
6.50.	Привести пример ненулевого оператора в бесконечномер-
ном банаховом ггространстве, квадрат которого равен нулю. ►
6.51°. Привести пример такого оператора А е 8(Х) в беско-
нечномерном банаховом пространстве X, что Ker А С Im Л.
►
6.52.	Пусть X — банахово пространство, и оператор А G 8(Х).
Доказать, что
а)	либо {0} С Кег (Л) С Ker (А2) С ..., либо существует наи-
меньшее целое т 0, такое что {0} С Ker (А) С ... С Ker (Ат)
121
и Ker (Ат) = Ker (Am+p) для любого р е N (оператор имеет ко-
нечный подъем т);
б)	либо X D Im (А) Э Im (Л2) Э ..либо существует наи-
меньшее целое тп > О, такое что X D Im (A) D ... D Im (А771)
и Im (Am) = Im (Ат+р) для любого р € N (оператор имеет ко-
нечный спуск т).
6.53.	Для произвольного п е N привести пример операторов
А и В в бесконечномерном банаховом пространстве X со
свойствами
Ker(A) С Кег (А2) С ... С Ker (An) - Ker (An+1) = ...,
Im (В) D Im (В2) D ... D Im (Bn) - Im (Bn+1) = ....►
6.54.	Пусть X — банахово пространство, и оператор А е В(Х).
Доказать, что если А имеет конечный подъем п и конечный
спуск т, то п = т и X = Ker (Am) © Im (Am).
6.55.	Доказать, что если для А, В € £(Х) выполнено комму-
тационное соотношение АВ — В А = Z, то АВп — Вл А = пВп-1.
Доказать, что либо А, либо В неограничен. Вывести отсюда,
что матричное уравнение АВ — В А = В, где А и В -- матрицы
размера п х п не имеет решений.
6.56.	Пусть X — банахово пространство, А е В(Х). При ка-
ких условиях на оператор А выражения a) ||z||i = || Аат|| %,
б) ||я||2 = ||ж||х + ЦАяЦх	задают норму на X?
6.57.	Пусть X — банахово пространство, А — инъективный
ограниченный оператор в X. Для норм из предыдущей задачи
доказать, что || • ||i	|| * ||х, а || • ||2 ~ || • ||х- Доказать, что
II • Hi II ’ ||х тогда и только тогда, когда inf ||Аж|| > г > 0.
Ikll=i
В §2 мы ввели определения изометричных вложений, изо-
метрических изоморфизмов и изоморфизмов нормированных
пространств. Несложно видеть, что в этих определениях речь
идёт об ограниченных линейных операторах.
6.58*	. (С. Мазур—С. Улам, 1932) Пусть X и Y — нор-
мированные пространства, отображение J — изометрия, т.е.
Уж,т/ € X : || J(x) — J(y) ||у = ||ж — у\\х и J(0) = 0. Доказать, что
J — линейный изометрический изоморфизм нормированных
пространств X и У.
Понятие ортогональности позволяет ввести в гильбертовых
122
пространствах важный класс операторов ортогонального про-
ектирования.
Определение 6.5. Пусть Н — гильбертово пространство,
Р — оператор проектирования на подпространство Hq вдоль
подпространства Hi (см. определение 6.3). Оператор Р назы-
вают орто проектор ом, если подпространства Hq и Hi ортого-
нальны.
6.59°	. Пусть Р е В(Н) — проектор гильбертова пространства
Н на некоторое его подпространство. Доказать, что Р явля-
ется ортопроектором тогда и только тогда, когда для любых
я, у е Н справедливо равенство (Рт, у) — (x,Py)V
6.60°	. Пусть Р — ортопроектор в гильбертовом пространстве
Н. Доказать, что он ограничен и найти ||Р||. ►
6.61.	Пусть Pi и Р‘2 — ортопроекторы в гильбертовом
пространстве Н. Обозначим подпространства Н\ = Im Pi
и Я2 = Ini Р2. Доказать, что если Hi с Я2 (или, наоборот,
Я2 С Hi) и ||Р1 — Р2|| < 1, то Pi = Р>2. Привести пример двух
ортопроекторов Pi Р2 таких, что ||Pi — Р2|| < 1. ►
6.62°	. В обозначениях предыдущей задачи доказать, что если
1|Рг — Pill < I? то dim Pi = dim H%. Привести пример двух орто-
проекторов Pi и Р2 таких, что || Р2 — Р1|| — 1 и dim Pi dimP2-
►
6.63.	Пусть М и N -- замкнутые подпространства веществен-
ного гильбертова пространства Н, а Рд/ и Рдг — операторы
ортогонального проектирования на эти подпространства. До-
казать, что ||Рл/Рлг|| — ||PnPm|| = cos Л/, N (см. определение
3.11).
6.64.	Пусть Н — гильбертово пространство, Р — ортопро-
ектор на собственное подпространство Hq С Н. Что можно
утверждать про Im А и Кег А оператора А е В (И), если
а) АР = А; б) РА = А; в) АР = РА? ►
В сепарабельном гильбертовом пространстве И при вы-
боре ортонормированного базиса {е^}^1 каждому оператору
А е В(Н) можно сопоставить бесконечную вниз и вправо мат-
рицу с матричными элементами (Ае^е^), г, j = 1, 2,....
^Операторы, удовлетворяющие такому соотношению, называют самосо-
пряжёнными (см. определение 8.3 и задачу 8.23° ниже.
123
1
Тогда для всякого х € Н вектор у = Ах можно найти, разло-
жив X в ряд х = хк^к ПО системе {efc}J°, где хь = (х, еь)
(см. §3.3). Вектор у при этом примет вид у — 'EkLiykek) где
У к = EXi ajkxk (докажите это).
Поскольку ||Aej|| < ||А||, получаем sup52^ laij|2 ||А||2.
J6N
Отметим, что из неравенства sup £2°^ |а^ |2 < оо не следует
JGN
ограниченность оператора А.
6.65.	Для любого М > 0 привести пример оператора А в
гильбертовом пространстве Н такого, что для некоторого ор-
тонормированного базиса {en}i° все нормы ||Аеп|| ограничены
единицей, но |]А|| > М. ►
В настоящее время не известно условие на бесконечную
вправо и вниз матрицу, формулирующееся сколько-нибудь
удобным и эффективным образом в терминах элементов мат-
рицы, которое являлось бы критерием того, что эта матрица
является матрицей ограниченного оператора в Z2. Приведём
два достаточных условия.
6.66.	Пусть ISiXl Sjil laV'|2 < 00» а {ег}1° — произвольный
ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н.
Доказать, что существует оператор А е В(Н) такой, что
(Aei,ej) = aij. Привести пример линейного ограниченного
оператора в гильбертовом пространстве, матрица которо-
го (в любом ортонормированном базисе) не удовлетворяет
указанному неравенству. ►
6.67.	Пусть оператор А действует в пространстве Z2, и в
некотором ортонормированном базисе его матрица имеет
вид	О Доказать, что если для этой
матрицы найдутся числа Pj > 0, j — 1,2,..., и а, (3 > 0, такие,
что
оо	оо
ap-Pj <	apt, Vz е N,	^aijPi	< f3pj} \/j е N,
j=l	i=l
(неравенства Шура) то оператор ограничен, причём ||А||2 <а/3.
6.68.	Доказать, что оператор А с матрицей	где
= (оператор Гильберта) ограничен в ^2, причём ||А|| ^тг.
124
6.69.	Доказать, что для любого оператора А в сепарабельном
гильбертовом пространстве Н можно выбрать такой ортонор-
мированный базис {еД?°, что для каждого j Е N лишь конечное
число элементов j-ro столбца матрицы {а^- = (Ае^е,)}%=1 <уг-
личны от нуля.
6.70.	Доказать, что матрица	является матрицей неко-
торого оператора из В(J2, Соо) тогда и только тогда, когда
(1) ЗМУгеН:	Ы2 < М;
(2)	Vj € N: limi_oo a>ij = О-
6.3.	Пространство операторов.
6.71.	Доказать теорему 6.1.
6.72°	. Пусть X, Y и Z — нормированные простран-
ства, А е B(Y, Z), В Е B(X,Y). Доказать неравенство
||АВ|| < ||А||||В||. Доказать, что если один из операторов А или
В является изометрическим изоморфизмом соответствующих
пространств, то ||АВ|| = ||А||||В||. Привести пример банахова
пространства X и операторов А и В из таких, что
ИЖ < ||А||||В||. ►
Определение 6.6. Алгеброй называется линейное простран-
ство X с операцией умножения векторов, удовлетворяющей
следующим аксиомам
(1)	(ах + /3y)z — ах z + (3yz;
(2)	z(ax 4- (Зу) = azx + (3zy;
(3)	(xy)z = x(yz),
где x, у, z — произвольные векторы из X, а а и /3 — ком-
плексные числа. Алгебра называется унитальной, если она об-
ладает единицей: существует вектор, обозначаемый 1, та-
кой, что 1х — х1 = х для любого х € X. Алгебра называ-
ется коммутативной, если для любых х € X, у Е X выполнено
ху = ух.
Определение 6.7. Пусть X — алгебра, на которой введена
норма (т.е. функция, удовлетворяющая трём аксиомам
нормы). X называют нормированной алгеброй, если допол-
нительно выполнена следующая аксиома: ||х?/|| С Пж111|2/||
для любых х, у Е X. Полную относительно своей нормы
нормированную алгебру называют банаховой алгеброй.
125
6.73	°. Доказать, что пространство С[0,1] с обычной операци-
ей умножения функций является унитальной коммутативной
банаховой алгеброй.
6.74	°. Доказать, что для произвольного банахова простран-
ства X множество ограниченных операторов /3(Х) является
унитальной некоммутативной (если dimX > 1) банаховой ал-
геброй относительно операции суперпозиции.
6.75	. Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор
А е В(Х, У). Какие из следующих утверждений:
а)	если множество U открыто в X, то A(U) открыто в У;
б)	если множество V замкнуто в X. то А(У) замкнуто в У;
в)	если множество A(U) открыто в У, то U открыто в X;
г)	если множество А(У) замкнуто в У, то V замкнуто в Х\
выполнены для любого оператора А е В(Х, У)? ►
6.76	°. Пусть X и У — нормированные пространства, Хо —
замкнутое подпространство в X. Положим
М = {А е Б(Х, У) : Кег А = Хо}.
Является ли М замкнутым подпространством в В(Х,У)? ►
6.77°. Пусть X и У — нормированные пространства, Хо ~
замкнутое подпространство в X. Положим
М - {А € 5(Х,У) : Ker A D Хо}.
Является ли М замкнутым подпространством в 23 (X, У)? ►
6.78. Пусть X — нормированное пространство, А - фиксиро-
ванный оператор из В(Х). Положим М = {В е В(Х) : АВ — 0},
N = {В € 23(Х): АВ — В А}. Доказать, что М и N являются
замкнутыми подпространствами в В(Х).
Для многих конкретных банаховых пространств сопряжён-
ные к ним пространства линейных непрерывных функционалов
допускают простое описание (см. §5.3). Пространства непрерыв-
ных операторов устроены сложнее.
6.79.	Пусть Н — бесконечномерное гильбертово пространство.
Доказать, что пространство В(Н) не сепарабельно.
6.80.	Доказать, что пространство В(/р), р е [1,оо], не сепара-
бельно.
6.81.	Пусть X и У — банаховы пространства, причём
У = У2 фУ2 — прямая сумма двух замкнутых подпространств.
Доказать, что В(Х, Y) ~ 23(Х, Ут) © Б(Х, У2).
126
Сходимость в пространстве операторов (сходимость по нор-
ме) называют равномерной сходимостью (см. задачу 7.63°) и
обозначают знаком =4, т.е. Ап =4 А <==> ||АП — А||б(х,у) О-
6.82°. Пусть X — банахово пространство, {Pn}i° € В(Х), при-
чём все операторы Рп являются операторами проектирования
и Рп =4 Р. Обязательно ли Р — оператор проектирования? ►
6.83. Пусть X — банахово пространство, {An}i° С В(Х), при-
чём все операторы Ап являются операторами конечного оди-
накового ранга: rank Ап = г < оо и 4 А Верно ли, что
rank А г? ►
6.84	°. В пространстве X, где X — одно из следующих про-
странств: X — lpy р е [1, оо], X = с или X = Со о 5 рассмотрим
последовательность {Ап}^° операторов умножения на последо-
вательности Ап Е Zqo- Доказать, что последовательность {An}i°
имеет предел в пространстве В(Х) тогда и только тогда, ко-
гда последовательность {An}j° имеет предел в пространстве
Доказать, что в случае, когда предел А = lim Ап существу-
п—»оо
ет, он также есть оператор умножения на последовательность
А = lim Ап.
п—>оо
6.85	°. В пространстве X, где X ~ одно из следующих про-
странств: X — 1р,р € [1, оо], X = с или X = со о рассмотрим две
последовательности операторов и {Tzn}J°, где
Тг : (^1,х‘2,...) •-> (0,Ж1,х2,...), 7}(ж1,х2,...) (я2з • • •)
— операторы правого и левого сдвига. Доказать, что обе эти
последовательности не имеют предела в пространстве В(Х).
127
1
7. Теорема Банаха-Штейнгауза. Слабая схо-
димость векторов, функционалов и опера-
торов.
7.1	. Теорема Банаха-Штейнгауза.
Теорема 7.1 (С. Банах, Г. Штейнгауз, 1927). Пусть X —
банахово пространство, Y — нормированное пространство, а
М С В(Х, Y) — семейство операторов. Если Ух е X
sup || Аж|| < С{х),
Аем
где константа С(х) зависит только от вектора х, то
3Ci > 0 : sup ||А|| < С±, т.е. множество АЛ ограничено в
лем
пространстве B(X,Y).
7.1.	(часть доказательства теоремы 7.1) Пусть X — ба-
нахово пространство, Y — нормированное пространство, а
{Tn}^ С В(Х, У), причём ||ТП|| —> оо при п —> оо. Доказать,
что для любого А > 0 множество
Мх = {хеХ: Уп е N\\Тпх\\ < А}
нигде не плотно в X.
Теорема 7.1 следует из утверждения предыдущей задачи и
теоремы 1.3.
7.2.	Показать, что полнота пространства X в условии теоремы
7.1 существенна. ►
7.3.	Сформулировать и доказать аналог теоремы Банаха-
Штейнгауза для семейства непрерывных линейных операторов,
действующих из полного линейного метрического простран-
ства X (см. определение 1.24) в нормированное пространство
У. >
7.4.	Пусть fn € Iqq — последовательность функционалов на
пространстве l±, fn(%) = мп, 1,2,.... Это семейство функ-
ционалов не ограничено в пространстве Zoo = (h)*> а значит, по
теореме Банаха-Штейнгауза существует такой вектор х е h,
что sup | fn(x)| — оо. Найти такой вектор х.
п
128
7.5.	(Е. Хеллингер, О. Теплиц, 1910) Пусть А : Н Н
— линейный оператор в гильбертовом пространстве Н.
Доказать, что если для всех ж, у е Н выполнено равенство
(Ах, у) = (х,Ау), то оператор А ограничен.1^
7.6.	Пусть X и Y — банаховы пространства. Доказать, что ес-
ли билинейная форма В(х,у), определённая на X х У, непре-
рывна отдельно по каждому аргументу, то она непрерывна по
совокупности аргументов.
Ещё одно применение теоремы Банаха-Штейнгауза отно-
сится к вопросам суммирования тригонометрических рядов.
НаПОМНИМ, ЧТО ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ фуНКЦИИ X е 1/1[—ТТ,Тг] мож-
но определить коэффициенты Фурье сп(х) — ~ e~intx(t)dt,
п € Z. По этим коэффициентам можно составить тригоно-
метрический ряд Фурье S(x) = Enelcn(x)eint. Для Функций
х е Li[—тг, тг] нельзя утверждать ни сходимость этого ряда (в
пространстве £1[-тг,тг]), ни равенство S(x) = х (см. задачу
10.36 ниже). Из утверждения задачи 3.50 следует, что для
функций х е 1/2 [—тг, тг] ряд S(x) сходится в пространстве
Z/2[—тг,тг] и S(x) = х. В пространстве непрерывных функций
ситуация сходна с ситуацией в пространстве Li[—тг, тг] — можно
предъявить пример непрерывной функции, ряд Фурье которой
не сходится равномерно (т.е. в пространстве С[—тг,тг], см.
задачу 10.27 ниже). Более того, оказывается, существуют
непрерывные функции, ряд Фурье которых не сходится даже
поточечно.
7.7.	Определим оператор
М) = f cneikt = x(s) f eik^ds
к—~П	— 7Г	k— — n
в пространстве C[—тг.тг]. Доказать, что ||Sn|| —* оо. Вывести
отсюда, что существует непрерывная функция х G <7[—тг, тг],
у которой тригонометрический ряд Фурье расходится в точке
t = 0.
7.8.	Привести пример непрерывной на [—тг, тг] функции, триго-
нометрический ряд Фурье которой расходится в точке 0. ►
Операторы, удовлетворяющие такому соотношению, называют самосо-
пряжёнными (см. определение 8.3 ниже).
129
1
7.2	. Слабая сходимость (основные свойства). Крите-
рии слабой сходимости.
Определение 7.1. Последовательность {xn}i° в нормирован-
ном пространстве X слабо сходится к вектору х € X, если
Vf е X* f(xn) —> f(x). Обозначение: xn-±x.
Последовательность {xn}J° в нормированном простран-
стве X слабо фундаментальна, если Vf € X* последователь-
ность {/(^п)}1° фундаментальна.
Множество М в нормированном пространстве X слабо
ограничено, если Vf G X* множество f(M) ограничено.
Отображение f : X —> С слабо секвенциально непрерывно,
если для любой последовательности	слабо сходящей-
ся к х в пространстве X, последовательность {/(zn)}i°
сходится к f(x).
В связи с введённым понятием слабой сходимости возника-
ют следующие вопросы. Как связана эта сходимость с линейны-
ми операциями? Какова связь со сходимостью по норме? Мож-
но ли задать слабую сходимость какой-либо метрикой? Какие
множества замкнуты относительно этой сходимости (в частно-
сти, полно ли всё пространство)? Какие множества являются
секвенциально предкомпактными относительно слабой сходи-
мости? Какие пространства являются слабо сепарабельными?
Мы изучим здесь эти вопросы за исключением вопроса о сепа-
рабельности, который будет решён чуть позже в задаче 10.18.
Задачи
7.9	°. Доказать, что из сходимости по норме следует слабая
сходимость. Привести пример последовательности в банаховом
пространстве, сходящейся слабо, но не сходящейся по норме. ►
Чтобы различать слабую сходимость и сходимость по нор-
ме, придерживаются следующего соглашения: говоря «сходи-
мость», подразумевают сходимость по норме. Сходимость по
норме часто также называют равномерной сходимостью, имея
в виду следующий критерий.
7.10	°. Доказать, что хп —> х, где {хп} их - векторы нормиро-
ванного пространства X, тогда и только тогда, когда хп слабо
130
сходятся к х равномерно по единичному шару пространства X*
(т.е. Ve > О ЭХ V/ е Х*> ||/||х* 1, Vn > N: |/(хп) -/(т)| < е).
7.11°. Пусть хп х, уп -±у,ап-+ а, /Зп Р, где {хп}, х, {уп} и
у — векторы нормированного пространства X, а {ап}, а, {/Зп},
Р — комплексные числа. Доказать, что апхп + Рпуп ах 4- Ру.
Доказать, что если хп х и хп х', то х — хг.
7.12	. (С. Мазур, 1933) Пусть последовательность хп-±х в
нормированном пространстве X. Доказать, что х е Conv{xn}j°.
Последнюю задачу можно сформулировать так: любое за-
мкнутое выпуклое множество (в частности, любое замкнутое
линейное подпространство) в нормированном пространстве сла-
бо секвенциально замкнуто.
7.13	°. (X. Хан, 1922) Доказать, что в произвольном норми-
рованном пространстве X любое слабо ограниченное множе-
ство ограничено по норме. Доказать, что из слабой сходимо-
сти или слабой фундаментальности некоторой последователь-
ности векторов нормированного пространства следует ограни-
ченность этой последовательности по норме.
Утверждение предыдущей задачи легко следует из теоремы
Банаха-Штейнгауза. Отметим что утверждение задачи 3.69*
также получается теперь простым следствием этой теоремы.
7.14. Доказать, что на ограниченных множествах сепарабель-
ного гильбертова пространства слабая сходимость равносильна
покоординатной сходимости, а именно хп —х тогда и только
тогда, когда (жп,е&) (x,ek) Vk € N, где {e*}^ -- произволь-
ный фиксированный ортонормированный базис.
7.15	°. Пусть X и Y — нормированные пространства,
А е &(X}Y). Доказать, что если хп-±х в пространстве X, то
Ахп —Ах в пространстве Y. Привести пример, показывающий,
что последовательность {Асп}1° не обязана сходится к Ах по
норме. ►
7.16	. Доказать критерий слабой сходимости. Пусть X — нор-
мированное пространство, a	— последовательность век-
торов в нём. Доказать, что хп —х тогда и только тогда, когда
(1) последовательность ограничена, т.е. ЗС \/п € N ||ж|| < С;
(2) в X* найдётся всюду плотное множество Y такое, что
V/еУ: /(тп)-/(х).
131
Пример 7.1. Доказать критерий слабой сходимости в про-
странстве [О? 1]’ последовательность {яп}1° слабо сходит-
ся к х тогда и только тогда, когда
(1) ЗС Vn 6 N Klljyi < С;
(2) lim xn(t) = x(t) Vi e [0,1].
n—>oo
Решение. Пусть последовательность {xn}i° удовлетворяет
условиям (1), (2). Рассмотрим произвольную ломаную h(t)
— непрерывную функцию, линейную на отрезках [tj-i,tj]:
== И- bj, где 0 —	< • • • < in—i <	1
произвольное разбиение отрезка [0,1]. Для любой функции
х е W2 [0,1] имеем
(x,h) = ^2aj J ^(0^ + I
1 tj-i
У^а7(ж(^) — x(tj-i)) + I x(t)h(t)dt := S(x) + I(x).
=1
Сходимость суммы S(xn) —> S(x) следует из условия (2), а для
доказательства сходимости интеграла 1(хп)	1(х) применим
теорему Лебега о предельном переходе (см. курс действительно-
го анализа): если последовательность интегрируемых по Лебе-
гу функций {/п} сходится к f почти всюду на [0,1] и при всех
п eN, t € [0,1].' |/n(t)| < С, то Jq fn(t)dt -> J* f(t)dt. В на-
шем случае fn(t) = Xnttyhft) —♦ f(t) = x(t)h(t) для любой точ-
ки t € [0,1] в силу условия (2), а равномерная ограниченность
|/n(t) | < С следует из условия (1) и утверждения задачи 2.55.
Остаётся заметить, что множество ломаных плотно в [0,1]
(см. задачу 2.87°) и применить критерий из задачи 7.16.
Обратное утверждение очевидно, поскольку любая слабо схо-
дящаяся последовательность ограничена (см. задачу 7.13°), а
функционалы ft (ж) = x(t) непрерывны на ^[0,1] (см. задачу
5.18*). □
7.17°	. Доказать, что в конечномерном нормированном про-
странстве слабая сходимость совпадает со сходимостью по нор-
ме, т.е. хп —* х <==> хп —> х.
132
7.18.	Доказать критерий слабой сходимости в 1Р, р е (1,оо):
последовательность хп = (х™, х%,...) сходится слабо к
х — (ti, Х2, • • ) тогда и только тогда, когда
(1)	ВС VneN ||zn||Zp <С;
(2)	lim х? = Хк Ук е N.
71—>00
7.19.	(Я. Шур, 1909) Доказать, что слабая сходимость в
11 совпадает со сходимостью по норме (равномерной сходимо-
стью),
7.20.	Доказать критерий слабой сходимости в с$: последова-
тельность хп — (х 1,^2,...) СХОДИТСЯ слабо К X — (Т1, Т2, ...)
тогда и только тогда, когда
(1)	BCVneN ||zn||co <С;
(2)	lim х'к, = хкУк € N.
п—*оо
7.21.	Доказать критерий слабой сходимости в с: последова-
тельность Хп = (Т1,Т2,...) СХОДИТСЯ слабо К X =
тогда и только тогда, когда
(1)	3CVneN ||Л1с < С;
(2)	Пт х? = хкУке N;
п—*сю
(3)	если обозначить 1п — lim т? и I = lim xki то ln —> L
к-+со	k-*oo
7.22.	Доказать критерий слабой сходимости в С [0,1]: последо-
вательность хп = xn(t) сходится слабо к х тогда и только тогда,
когда
(1)	ВС Уп 6 N |И|О[0,1] < С;
(2)	lim xn(t) = x(t) \/t e [0,1].
n—>oo
7.23.	Доказать критерий слабой сходимости в £р[0,1],
р е [1,оо): последовательность хп = xn(t) qxqrktcr слабо к х
тогда и только тогда, когда
(1)	ВС Уп е N \\xn\\Lp < С;
(2)	для каждого элемента произвольной системы функ-
ций {doc} С Lg[0,1] = (Lp[0,1])*, удовлетворяющей условию
Lin{ga} = Lg[0,1], справедливо равенство
xn(t)9a(t)dt = x(t)ga(f)dt.
В главе 10 будет доказано, что при р > 1 в качестве систе-
мы {да} можно взять любую из систем {tm}^_0, {sin7rmZ}^=1,
{Х(а,Ь)(О  а е [о, 1], Ь е [0,1], а < Ь) (здесь Х(а,ь) — характери-
стическая функция интервала (а, Ь)). В случае р=1ид = оов
133
качестве системы {да} можно выбрать систему характеристи-
ческих функций всех измеримых по Лебегу множеств на [0,1].
Пример 7.2. Доказать, что в произвольном бесконечномер-
ном гильбертовом пространстве функция || • || не является сла-
бо секвенциально непрерывной функцией.
Решение. Рассмотрим произвольную ортонормированную
систему {en}i° (она существует, т.к. dimН = оо, см. задачу
3.49). Тогда в силу неравенства Бесселя (см. §3.3) для любого
х € Н имеем (еп, х) —> 0, а т.к. по теореме 5.4 любой линейный
непрерывный функционал на Н задаётся в виде /(•) = (•,ж),
получаем еп —k0. С другой стороны, ||en|| = 1, а ||0|| — 0. □
7.24°. Доказать, что в гильбертовом пространстве хп —> х
тогда и только тогда, когда хп х и ||хп|| —> ||аг||.
7.25.	Доказать, что в любом равномерно выпуклом норми-
рованном пространстве (см. определение 2.11) хп —> х тогда и
только тогда, когда хп—кх и ||xn|| —> ||ж||.
Напомним, что последовательность измеримых на [0,1]
функций xn(t) называется сходящейся по мере р к функции
х(б), если V/z > 0 p({t*. |яп(£) — z(t)| > /г}) —> 0. В курсе дей-
ствительного анализа доказывается, что сходимость в любом
пространстве Lp[0,1], р е [1,оо], влечёт сходимость по мере
(вспомните это доказательство).
7.26.	Доказать, что из слабой сходимости в пространстве
Lp[0,1], р G [1,оо), вообще говоря, не следует сходимость по
мере.
7.27.	Доказать, что если р > 1 и последовательность функций
хп е £р[0,1], ограниченная по норме Lp[0,1], сходится по мере
к некоторой функции х, то х е Lp[Q, 1] и хп х. Доказать, что
при р = 1 это утверждение неверно.
7.28.	Доказать, что если хп —0 в нормированном простран-
стве X, то	— яп|| > ||х|| для любого элемента х.
Ясно, что любая слабо сходящаяся последовательность сла-
бо фундаментальна. Обратное утверждение в произвольном ба-
наховом пространстве может не выполняться.
7.29°	. В пространствах cq и С[0,1] привести примеры слабо
фундаментальных последовательностей, не имеющих слабого
предела. ►
134
Условие рефлексивности пространства является достаточ-
ным условием для того, чтобы любая слабо фундаментальная
последовательность имела слабый предел в этом пространстве.
7.30. Доказать, что любое рефлексивное банахово простран-
ство секвенциально слабо полно (т.е. любая слабо фундамен-
тальная последовательность имеет слабый предел). Привести
пример нерефлексивного, но секвенциально слабо полного ба-
нахова пространства. ►
7.31.	Пусть Н — гильбертово пространство, {xn}i° и {Уп}1°
— последовательности векторов из Н. Будет ли числовая по-
следовательность (хп, уп) сходящейся, если последовательности
{хп}5° и {2/п}1° Фундаментальны ( по норме или слабо) — ис-
следовать все три случая. ►
Можно ли найти метрику ы(х,у) такую, что хп-±х тогда и
только тогда, когда w(xn,x) —> 0? Ясно, что в случае конечно-
мерного пространства X (см. задачу 7.17°), а также, например,
для X = li (см. задачу 7.19) слабая сходимость метризуема, а
w(x,2/) = ||ж—у\\. Заметим, что случай li является исключитель-
ным: в остальных бесконечномерных банаховых пространствах
из Списка пространств слабая сходимость не метризуема. Тем
не менее, слабая сходимость векторов ограниченного множе-
ства метризуема в достаточно общих ситуациях.
7.32.	Пусть X — нормированное пространство, а X* сепара-
бельно (отсюда, в силу утверждения задачи 5.38, следует се-
парабельность самого пространства X). Доказать, что слабая
сходимость в единичном шаре пространства X метризуема.
7.33.	Пусть X — нормированное пространство, а X* сепара-
бельно. Указать такую метрику w(x,y), определённую на всём
X, что последовательность {xn}i° слабо сходится к х 6 X то-
гда и только тогда, когда
(1)	последовательность {xn}i° ограничена;
(2)	ш(хП)Х) —> 0. ►
7.34.	(С. Банах, 1932) Пусть банахово пространство X ре-
флексивно, а X* сепарабельно. Доказать, что из любой по-
следовательности точек единичного шара {я: ||х||х^1} мож-
но выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к точке
единичного шара (то есть единичный шар секвенциально слабо
компактен).
135
7.35.	Пусть банахово пространство X рефлексивно, а X*
сепарабельно. Доказать, что любое ограниченное множество
В С X слабо секвенциально предкомпактно, т.е. из любой по-
следовательности {хп}1° точек множества В можно выделить
слабо сходящуюся подпоследовательность хпк —> х Е X. До-
казать, что если В дополнительно есть замкнутое и выпуклое
множество, то х € В, т.е. В слабо секвенциально компактно.
7.36.	Доказать, что единичные шары в пространствах Zi, со,
С[0,1] не являются слабо секвенциально компактными множе-
ствами.
7.37.	Доказать, что любая последовательность вложенных
непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в
рефлексивном банаховом пространстве имеет непустое пере-
сечение. Привести контрпример к этому утверждению для
случая нерефлексивных банаховых пространств (ср. с задачами
1.32, 1.34, 2.63, 3.34 и 4.19). ►
7.3.	*-слабая сходимость в сопряжённом простран-
стве.
Определение 7.2. Последовательность функционалов
в сопряжённом пространстве X* *- слабо сходится
(«звёздочка-слабо сходится») к функционалу f Е X*, если
\/х Е X fn(x) /(ж). Обозначение: fn~±f-
Последовательность {fn}^ в сопряжённом пространстве
X* *-слабо фундаментальна, еслиУх Е X последовательность
фундаментальна.
Множество М в сопряжённом пространстве X *-слабо
ограничено, если Ух Е X множество {/(ж): f Е М} ограниче-
но.
7.38°	. Пусть	дплд, ап -> а, 0п -> /3, где {/„}, /,
{дп} и д — функционалы из сопряжённого пространства
X*, a {an}, a, {/?n}, 0 ~ комплексные числа. Доказать, что
Oinfn + Рп9п А а/ + /Зд. Доказать, что если fn	то
/ = Л
7.39°	. Доказать, что из сходимости по норме сопряжённого
пространства следует *-слабая сходимость. Привести пример
последовательности в сопряжённом пространстве, сходящейся
*-слабо. но не сходящейся по норме. ►
136
7.40.	Доказать, что линейные непрерывные функционалы
fn е X* сходятся по норме к функционалу f тогда и только то-
гда, когда они *-слабо сходятся к f равномерно по единичному
шару пространства X (т.е. Ve > О ЭХ справедливо неравенство
е X, И о, Vn > ЛГ: |(/п -	< £).
В сопряжённом пространстве X*, таким образом, определе-
ны три сходимости: сходимость по норме, *-слабая и слабая.
7.41°. Доказать, что из слабой сходимости в сопряжённом
пространстве следует *-слабая сходимость. Привести пример
последовательности в сопряжённом пространстве, сходящейся
*-слабо, но не сходящейся слабо. ►
Итак, три вида сходимости в сопряжённом пространстве
упорядочены следующим образом: сходимость по норме =>
слабая сходимость => *-слабая сходимость.
7.42°	. Пусть X — нормированное пространство и dimX < оо.
Доказать, что тогда все три вида сходимости (по норме, слабая
и *-слабая) в пространстве X* совпадают.
7.43°	. Пусть X — рефлексивное нормированное пространство.
Доказать, что слабая и ^-слабая сходимости в пространстве
X* совпадают.
Авторам задачника неизвестно, верно ли, что нормирован-
ное пространство X, для которого слабая и *-слабая сходимости
в X* совпадают, рефлексивно (сравните с задачей 14.106)?
7.44°	. (X. Хан, 1922) Доказать, что любое *-слабо ограни-
ченное множество в X* ограничено по норме. Доказать, что
из *-слабой сходимости или *-слабой фундаментальности по-
следовательности функционалов из X* следует ограниченность
этой последовательности по норме.
Слабо фундаментальная последовательность не обязана
иметь слабого предела (см. задачу 7.29°). Ситуация со *-слабой
сходимостью проще.
7.45.	Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
пространство X* полно относительно *-слабой сходимости (т. е.
любая *-слабо фундаментальная последовательность функци-
оналов имеет ^-слабый предел в X*).
Слабый предел всегда лежит в замыкании выпуклой оболоч-
ки векторов последовательности (см. задачу 7.12), но *-слабые
137
пределы таким свойством уже не обладают.
7.46.	Привести пример такой последовательности	что
f # Lin{fn}?>. ►
7.47.	Пусть X — сепарабельное нормированное простран-
ство. Доказать, что ^-слабая сходимость в единичном шаре
пространства X* метризуема.
7.48.	Пусть X — сепарабельное нормированное пространство.
Указать такую метрику w(x, у), определённую на всём X*, что
последовательность {/n}i° *-слабо сходится к f е X* тогда и
только тогда, когда
(1)	последовательность {/n}i° ограничена;
(2)	w(/n,/)—+0.
7.49.	Пусть X — сепарабельное нормированное пространство.
Доказать, что единичный шар в X* *-слабо секвенциально ком-
пактен, т.е. из любой последовательности {/п}1°, \\fn||х*	1,
можно выбрать подпоследовательность, *-слабо сходящуюся к
точке единичного шара.
7.50.	Пусть X — нормированное пространство, a {/n}i° ~
последовательность функционалов из X*. Доказать, что fn~± f
тогда и только тогда, когда
(1)	последовательность ограничена, т.е. ЗС Vn € N || fn ||х* < С;
(2) в X найдётся всюду плотное множество Y такое, что
Vx € У: /п(^)	/(*)<
Приведём критерии ^-слабой сходимости в конкретных
нерефлексивных пространствах (для рефлексивных про-
странств X слабая и *-слабая сходимости в X* совпадают (см.
задачу 7.43°)).
7.51.	Доказать критерий *-слабой сходимости в = (со)*:
последовательность хп =	• • •) сходится *-слабо к
х = (#i, а?25 • • •) тогда и только тогда, когда
(1)	3CVneN \\хп\\1г <С;
(2)	lim х^ = Xk^k € N.
п—>оо л
7.52.	Доказать критерий ^-слабой сходимости в = (h)*:
последовательность хп —	...) сходится *-слабо к
х — (t!,X2,...) тогда и только тогда, когда
138
(i)	ЗС VneN ||a:n||Joo <С;
(2)	lim x^ = Xk'ik € N.
7.53.	Доказать критерий ^-слабой сходимости в пространстве
В Vo [0,1] — (С[0,1])*: последовательность дп сходится *-слабо
к д тогда и только тогда, когда
(1)	ЭС Уп е N ||<?nhvo[o,i] < С;
(2)	для каждого элемента произвольной системы функ-
ций {fa} в пространстве С[0,1], удовлетворяющей условию
Lin{fa} — С[0,1], справедливо равенство
lim /0Х fa(t)dgn = fQl fa(t)dg.
п—>оо w
Из теорем 2.2 и 2.3 следует, что в качестве системы {fa}
можно взять любую из систем {£m}^_0, {со8 7гт£}^=0.
Понятие *-слабой сходимости можно применять в вопросах
суммирования числовых рядов. Как известно, при суммирова-
нии ряда 52^=1 хк методом Чезаро (средних арифметических)
строится последовательность усреднённых частичных сумм:
л	~	31 + 82	„	31 4- S2 + • • • + 8п
31 = Si, S2 = -------, • • • , 8п = ------------,
2	п
где sn = 52fc=i Если существует 1ппзп, то говорят, что ряд
суммируется в смысле Чезаро. С этим способом суммирования
можно связать оператор, действующий в пространстве после-
довательностей и заданный бесконечной вправо и вниз нижне-
треугольной матрицей:
/1	0	0	0	...	0
1	I	о	о	...	о
1	j	j	о	...	о
п—3
Способ суммирования, заданный этой матрицей, определя-
ется по правилу
(п
Е anjXj
139
В связи с этим возникает следующая задача.
7.54.	Пусть А =	— бесконечная нижнетреугольная
матрица. Пусть хз ~~ произвольный ряд. Рассмотрим ме-
тод суммирования этого ряда, определённый матрицей А по
правилу S(A) = lim (52?=i anjxj)- Доказать, что необходимым
условием корректности1^ этого метода суммирования является
условие
sup \anj | < оо Vj е N.
n^l
7.55.	Для числовой последовательности {жа?}?0 определим
обобщённый предел с помощью произвольной бесконечной
вправо и вниз матрицы А = {aij}^=1:
оо
а(А, х) lim ankXk (если этот предел существует),
п—► ОО
/с=1
Доказать, что сг(А, х) = lima^ для всякой последовательности
{ta?}i° € с тогда и только тогда, когда выполнены три условия
(1) lim ank = 0, (к = 1,2,...);
4	п—>оо
(2)	= 1;
(3)	ам: Vn |<w| С М.
Ещё один метод суммирования рядов (метод Абеля) состо-
ит в следующем. Пусть дан числовой ряд Y^=ian- Рассмот-
рим функцию f(x) = апхп на интервале (а, 1) (предпо-
ложим, что она определена на этом интервале). Суммой ряда
ап в смысле суммирования методом Абеля называют пре-
дел lim f(x) (если он существует).
х—*1, х< 1
7.56.	(Н. Абель, 1826) Доказать корректность метода сумми-
рования Абеля. Пусть ряд &к сходится к числу а. Дока-
зать, что lim	акхк = а-
а;<1, х—>1
7.57.	Пусть X — нормированное пространство, {xn}i° — после-
довательность векторов из X, a {/n}i° — последовательность
функционалов из X*. Будет ли числовая последовательность
Метод суммирования называется корректным, если каждый сходящий-
ся ряд суммируется этим методом к обычной сумме.
140
fn(xn) сходящейся, если последовательность {xn}i° фундамен-
тальна (по норме или слабо) и последовательность {/n}i° Фун-
даментальна (по норме, слабо или *-слабо) — исследовать все
шесть случаев. ►
Пример 7.3. В пространстве а) (С[—1,1])*;
б)	(Loof—1,1])* рассмотрим последовательность , где
fn(x) = %	Определить вид сходимости (по нор-
ме, слабая, *-слабая или отсутствует), а в случае сходимости
найти предел.
Решение, а) Для непрерывной функции х и произвольного
е > 0 найдётся номер N такой, что max^ |я(£) — ж(0)| < е. Тогда
для всех п N имеем
1/п
|/п(гг) — х(0)| =	/ (x(t) - x(Q))dt
-1/п
а значит /п-^<5о, где до(х) — z(0). Итак, в пространстве
(<7[—1,1])* последовательность {fn} сходится к функционалу
до *-слабо. Докажем, что слабой сходимости нет. Положим
x(t) = 0 при t 0, x(t) — 1 на отрезке [1/2,1], x(t) = —1 на
отрезке [1/4,1/2], x(t) = 1 при t € [1/8,1/4], x(t) = —1 при
t е [1/16,1/8] и т.д. Нетрудно показать, что х е (С[—1,1])**.
Тогда при п = 22к, где к € N, получим
x(fn) = 22fc-i(2-2fc"’1 - 2"2fc-2 + 2-2fc“3 -...) = 1/6,
а при n = 22fe-1 аналогично получим x(/n) = —1/6, т.е. в про-
странстве (С[—1,1])* последовательность {/n}i° не сходится
ни слабо, ни, тем более, по норме.
б) Определённая только что функция х принадлежит
Loo [-1,1], поэтому в пространстве (Loq[—1,1])* последова-
тельность {/п}1° не сходится ни *-слабо, ни слабо, ни по норме.
□
7.58.	Определить вид сходимости (по норме, слабая, ^-слабая
— если речь идёт о сопряжённом пространстве — или отсут-
ствует) следующих последовательностей, и в случае сходимости
141
найти предел:
а)	{еп = (0,..., 0,1,0,.. .)}J° в пространстве (/р)*, р G [1, оо);
б)	{еп(0, ...,0,1,0,.. .)}i° в пространстве с;
в)	{sm7rnt}i° в пространстве (Lp[0,1])*, р е [1, оо);
г)	{sin7rnOi° в пространстве С*[0,1];
д)	{/п}Г, где /п е (С1 [-1,1])*, /п(х) = | (х (1) - х (-1));
е)	{tn}i° в пространстве С[0,1];
ж)	{tn}i° в пространстве (£р[0,1])*, р е [1,оо). >
7.59.	Пусть X — банахово пространство. Доказать, что для
любого оператора А е	найдётся последовательность
функционалов {/n}J° С X* такая, что fn-^Q и Ух е X
(Ах)п = fn(x)- Доказать, что наоборот, любая слабо сходя-
щаяся к нулю последовательность функционалов {/n}i° С X*
порождает оператор А е В(Х,с0) по правилу (Ах)п = fn(x)-
7.4. Различные виды сходимости в пространстве
операторов.
Пусть X и Y — линейные нормированные пространства.
Определение 7.3. Последовательность {An} С В(Х, У) схо-
дится равномерно (по норме) к оператору А е B(X,Y) (обо-
значение: Ап^А)} если ||Ап — А|| —> 0.
Определение 7.4. Последовательность {An} с В(Х,У) схо-
дится сильно к оператору А € В(Х, У) (обозначение: Ап-^+А),
если Ух G X ||Апж — Аж||у —> 0. Эту сходимость называют
также сильной операторной сходимостью.
Заметим, что имеет место несогласованность определений:
любой линейный непрерывный функционал есть частный слу-
чай линейного ограниченного оператора (пространство У — С),
так что *-слабая сходимость функционалов есть частный слу-
чай сильной сходимости операторов. Чтобы избежать путани-
цы, термин *-слабая сходимость употребляют только для слу-
чаев У — IR или У = С. Во всех остальных случаях говорят о
сильной сходимости операторов.
Определение 7.5. Последовагпельность {An} С В(Х,У) схо-
дится слабо к оператору А € #(Х, У) (обозначение: Ап—±А),
если Ух е X Ап(х) А(х) при п —> оо. Эту сходимость назы-
вают также слабой операторной сходимостью.
142
1
Заметим, что слабая операторная сходимость не совпадает
со слабой сходимостью в банаховом пространстве В(Х, У).
Так же, как и для функционалов, определяются сильно
фундаментальная и слабо фундаментальная последовательно-
сти операторов, сильно ограниченное и слабо ограниченное
множества.
Задачи
7.60°	. Пусть X и У — нормированные пространства, последо-
вательности АП-^Л, Вп-^>В в В(Х, У), а комплексные числа
ап a, /3. Доказать, что апАп + /ЗпВп Л аА + f3B. Дока-
зать, что если Ап Д А и Ап В в В(Х, У), то А = В. Доказать
оба утверждения задачи с заменой сильной операторной схо-
димости на слабую операторную сходимость.
7.61°	. Доказать, что из равномерной сходимости последова-
тельности операторов из В(Х, У) следует сильная операторная
сходимость, а из сильной операторной сходимости следует сла-
бая операторная сходимость.
7.62°	. Привести пример последовательности операторов про-
странства Б(Х, У), сходящейся сильно, но неравномерно. При-
вести пример последовательности операторов, сходящейся сла-
бо, но не сильно. ►
7.63°	. Доказать, что последовательность операторов {An}J° из
В(Х, У) сходится по норме к оператору А тогда и только тогда,
когда Ап —> А равномерно на единичном шаре пространства X,
т.е. Уе > О 3N Ух € X, ||х||х С 1, Vn > N справедливо нера-
венство ||Апж — Аж||у е. Доказать, что последовательность
{An}i° сходится по норме к оператору А тогда и только тогда,
когда Ап —k А равномерно на единичном шаре пространства X
и единичном шаре пространства У*, т.е. Уе > О 37V Ух € X,
||z||x	1, V/ € У*, ||/|[у*	1, Уп > N имеет место неравенство
|/(Апж- Лх)|
7.64°	. Пусть X и У — нормированные пространства, причём
dim X < оо. Доказать, что в пространстве В(Х, У) равномерная
и сильная операторные сходимости совпадают.
7.65°	. Пусть X и У — нормированные пространства, причём
dim У < оо. Доказать, что в пространстве B(X,Y) сильная и
143
слабая операторные сходимости совпадают.
7.66.	Пусть X — нормированное пространство, a Y — бана-
хово пространство. Доказать, что пространство В(Х, У) полно
относительно сильной операторной сходимости.
7.67.	Пусть X и У — нормированные пространства и У полно
относительно слабой сходимости. Доказать, что пространство
В(Х, У) полно относительно слабой операторной сходимости.
7.68.	(Х.Хан, 1922) Пусть X — банахово пространство, а У
— нормированное пространство. Пусть М С Б(Х,У) -- сла-
бо ограниченное множество операторов, т.е. Ух € X V/ € У*
sup | f (Ах) | <CffX < ос. Доказать, что Л4 ограничено по нор-
Аем
ме.1* В частности, любая слабо сходящаяся и любая слабо
фундаментальная последовательность ограничена по норме.
Отметим, что утверждение последней задачи в случае силь-
ной ограниченности является переформулировкой теоремы
Банаха-Штейнгауза 7.1.
7.69.	Пусть X, У и Z — нормированные пространства, после-
довательность {Ап}1° С В(Х, У) сходится (равномерно, силь-
но или слабо) к оператору А е Б(Х, У), а последовательность
{Bn}i° с В(У, Z) сходится (равномерно, сильно или слабо) к
оператору В € Б(У, Z). В каждом из девяти возможных случа-
ев исследовать, будет ли последовательность ВпАп сходиться к
оператору В А и указать тип сходимости. ►
7.70.	Доказать критерий сильной сходимости операторов.
Пусть X и У — банаховы пространства. Тогда последова-
тельность операторов {j4n}J° в В(Х, У) сходится сильно к
оператору А тогда и только тогда, когда
(1)	Ух € X последовательность {Anx}i° ограничена,
(2)	в X найдётся всюду плотное множество М такое, что
Апх Ах Ух е М.
7.71.	Доказать критерий слабой сходимости операторов. Пусть
X и У — банаховы пространства. Тогда последовательность
операторов {-4n}i° в В(Х, У) сходится слабо к оператору А то-
гда и только тогда, когда
^Естественно, это утверждение остаётся справедливым, если условие
слабой ограниченности заменить на условие сильной ограниченности.
144
(1)	Vx € X V/ € У* последовательность {f(Anx)}^° ограниче-
на,
(2)	в X найдётся всюду плотное множество Л/, а в У* най-
дётся всюду плотное множество L, такие, что f(Anx) —* f(Ax)
Ух € М V/ G L.
7.72.	Пусть X и У — банаховы пространства, пространства
X и У* (а значит, и пространство У) сепарабельны, и У ре-
флексивно. Доказать, что слабая операторная сходимость в
любом ограниченном множестве пространства В(Х, У) метри-
зуема (сравните с задачами 7.32 и 7.47).
7.73.	Пусть X и У - банаховы пространства, пространства X
и У* (а значит и пространство У) сепарабельны, и У рефлек-
сивно. Доказать, что из любой ограниченной последовательно-
сти операторов из В(Х, У) можно выделить слабо сходящую-
ся подпоследовательность (т.е. любое ограниченное множество
в В(Х, У) секвенциально предкомпактно относительно слабой
операторной сходимости) (сравните с задачами 7.35 и 7.49).
7.74.	Привести пример, показывающий что утверждение
предыдущей задачи для случая сильной операторной сходи-
мости неверно. ►
Пример 7.4. Пусть Tr(#i, ^2,^3, • • •) = (0, Ti,X2,...) — опера-
тор правого сдвига в пространстве а) 1Р, р G (1,оо);
б)	1^; в) Со; г) с; д) Ioq. Определить вид сходимо-
сти последовательности {Г™}?-
Решение, а) Так как Z* = lqi q = р/(р — 1) (см. список со-
пряжённых пространств на стр. 99), то для любого линейного
непрерывного функционала которому соответствует после-
довательность у — (з/i, У2у • • •) € lq> имеем
оо
IMWI = £ укхк~.
fc=n + l
/ оо	\ 1/9
lkll(P (52 Ш9) —* о (п
\fc=n	/
поскольку ряд 52 \yk\q сходится. Таким образом, Т™ -^О в В(1Р)
при р е (1,оо). Заметим теперь, что ||Т^а:|| = ||т||, т.е. сильной
сходимости к нулю нет. В силу задачи 7.61° сильный и слабый
пределы (если они оба существуют) обязаны совпадать. Итак,
в пространствах lp, р G (1, оо), операторы Т™ слабо сходятся к
145
нулю и не сходятся сильно или равномерно.
б) Положим я=(1,1/2,1/4,...) е Zi, ау=(1, —1,1, -1,...) € 1^.
Тогда fy(T™x) = 2/3 при чётных п и fy(T™x) = —2/3 при нечёт-
ных п, т.е. в пространстве h операторы Т™ не сходятся ни слабо,
ни сильно, ни равномерно.
в) В пространстве со нужно повторить рассуждения пункта а),
поскольку Cq = ii. Получим, что в пространстве со операторы
Т™ слабо сходятся к нулю и не сходятся сильно или равномерно,
г) Докажем, что в пространстве с операторы Т™ не сходят-
ся ни слабо, ни сильно, ни равномерно. Функционал fy Е с*,
соответствующий элементу у = (2/о> 3/1,3/2> • • -) € hi действует
на элементе х = (xi,rc2,...) € с так: fy(x) =	где
х0 = Ишп-юоЯп (см. §5.3). Пусть Т^-^Т е В(с). С одной сто-
роны, для всякого вектора х = (rci, т2?...) Е с и любого к Е N
выполнено
(Tx)k = fek(Tx) = lim /efc(Trnz) = lim (Т?х)к = О,
n—>oo	n—>oo
т.к. (T™x)k = 0 при всех n к (здесь ек = (0,..., 0,1,0,0,...)).
к
Таким образом, Тх = 0 для всякого х € с, т.е. Т = 0. С другой
стороны, для функционала /о £ с*> соответствующего элементу
у = (1,0,0,...) € h имеем /q(T^x) = lim хк = /о(я)> откуда
к—юо
/о(Тя) = /о(я) 7^ 0, например, для х = (1,1,...).
д) Докажем, что в пространстве операторы Т™ также не
сходятся ни слабо, ни сильно, ни равномерно. Повторим рас-
суждения пункта г). Пусть Т™ Т Е B(Zqo)- Тогда для всякого
вектора х = (xi,т2,...) € Zoo и любого к Е N выполнено
(Тх)к = fek(Tx) = lim fek(T™x) = Um (Т?х)к = 0,
n—>oo	n—ЮО
т.е. вновь T = 0. Теперь остаётся рассмотреть функционал LIM
(см. задачу 5.29). Этот функционал инвариантен при сдвигах,
а значит ПМ(Тгпж) — Ь1М(ж), т.е. Т? не сходятся к нулю слабо.
□
7.75.	Для следующих последовательностей операторов опре-
делить вид сходимости (равномерная, сильная, слабая или
отсутствует) и найти предел:
а)0 в B(Zp), р е [1, оо): Лп(жг, х2,...) = (0,..., 0, хп, 0,0 ...);
п
146
б)°вй(Х). где X — нормированное пространство, Апх =
в)° в В(1Р), р € [1, оо): Ап(хъх2,...) = (0,..., 0, яп, xn+i,...);
п п+1
г)° в В(/р), р е [1,оо): ЛП(Х1,Ж2,...) = (А1,пЖ1,А2,п^2;...), где
векторы Ап — (А1>?г, А2,П5 • • •) лежат в 1^ и сходятся по норме
этого пространства к вектору А — (Ai, А2,...);
д) в В(1Р), р е [1,оо): ЛП(Ж1,Ж2,...) = (Ai,n^i,A2,n^2,...), где
|Afc>n| < С и для любого к € N: А^?п —> А& при п —> оо (т.е.
векторы An — (Ацп, А2,П5 • • •) сходятся к А = (Ai, А2,...) *-слабо
В ^оо)?
е)° в В(Х), где X = lpi р е [1,оо), X — с0 или X = с:
АП(Х!, х2,...) = (х’п, жп+1,...) (т.е. А„ = тр. где 7} — оператор
левого сдвига);
п к
ж)	в В(С[0,1]): (Anx)(t) = / ^yx(s)ds;
о k=o 
1-1/п
з)	в В(С[0,1]): (Лпх)(() = J K(t,s)x(s)ds, где K(t,s) -
1/п
непрерывная на квадрате [О, I]2 функция;
1
и)	в Б(С[0,1]): (Апя)(£) = Kn(t, s)x(s)ds, где Kn(t, s) —
о
непрерывные па квадрате [О, I]2 функции, равномерно сходя-
щиеся к функции K(t, s);
1
к)	в 8(С[0,1]): (Anx)(t) = УKn(t,s)x(s)ds, где Kn(t>s) —
о
равномерно ограниченные по п, непрерывные на квадрате
[О, I]2 функции, поточечно сходящиеся к непрерывной функции
K(^,s);
л)	в £(С[0,1]): Ап = Ап, где (Ax)(t) = f* x(s)ds;
м) в Б(С[0,1]): Ап = Ап, где (Ax)(t) = f K(t,s)x(s)ds, а
Jo
K(t,s) — непрерывная на треугольнике {(t,s): 0 s t 1}
функция;
н) в B(Z/2[0,1]): Ап = Ап, где (Ax)(t) = f K(t,s)x(s)ds, а
Jo
147
KeL2([O, l]2);
о) bB(L,[0,1]):
1
(Anx)(t) = У Kn(t,s)x(s)ds, где Kn e L2 ([0, l]2) и Kn —> К в
о
^2([o,i]2);
п) в B(C1[0,1],С[0,1]): (Ans)(t) = ^z(fc/n)Pfe,„(t) - ин-
fc=0
терполяционный многочлен Лагранжа для функции х(£), где
-Pfc.n(t) = П	a‘tk= к/п;
р) в В(с^ег[-7Г,7Г],С[-7Г,7Г]), где С^ег[—7Г,7Г] — подпро-
странство пространства Cd[—тг,7г], состоящее из функций,
удовлетворяющих условиям х(—7г) = т(тг), х'(—7г) = т'(тг):
п
(Anx)(t) =	4-	(a*; cos kt + bk sin kt) — частичная сумма
fc=i
ряда Фурье для функции x(t), где	x(t) cos ktdt,
bk = x(t) sin ktdt\
с) в B(C[0,1]): (Anz)(t) =
t) bB(Lp[0,1]), pe [l,oo]:
/л	f x(t), если t < 1 - l/n.
(Anx)(t) = < nv	;
v	[0, если t > 1 — 1/n
TV
в B(£p[0,1]), p e [l,oo): (Anx)(t) =	/ x(s)dsxfc,n(t),
Ь-г
где Xk,n(t) ~ характеристическая функция отрезка [tk-1,^], a
tk = k/n',
ф) в B(Z/P[0,1]), p e [l,oo]: (Anx)(t) = an(t}x(t), где функции
-^оо[^> ^-]	® В	1],
x) в B(Lp[0,1]), p € [l,oo]: (Anx)(t) = an(t)x(t), где функции
an € C[0,1] равномерно по n ограничены в этом пространстве
и поточечно сходятся к функции a(t),
ц) в В(£р[—тг, 7г]), р е [1, оо]:
п
(Anx)(t) =	+ У2 (ак cos kt + bk sin kt) — частичная сумма
k=i
у)
148
ряда Фурье для функции ж(£), где щ f^x(t) cos ktdt,
Ъь = -^ f-K x(t) sin ktdt;
ч) в B(Z/P[0,1]), p e [l,oo]:
(л \(+\ _ / x(t+l/n), если^ + 1/n^l,
| х^ + если t + ly/n > T
ш) в S(Z/P[0,1]), p G [l,oo]: An = An, где (Ax)(t) = x((p(t)), где
<p(t) € £oo[0> 1] и отображает отрезок [0,1] в себя;
щ) в B(LP(R)), р G [1, оо]: (Anx)(t) = x(t + 1/n);
ы) в B(Lp(R)), р G [1, оо]: (Anx)(t) = x(t + n). ►
7.76.	Пусть X и Y — нормированные пространства, последо-
вательность {An}^.! С В(Х, У) равномерно, сильно или сла-
бо сходится к оператору А е В(Х, У), а последовательность
{^n}^=i С X по норме или слабо сходится к вектору х G X.
В каждом из шести возможных случаев исследовать, будет ли
последовательность {Anxn}i° сходиться к вектору Ах и указать
тип сходимости. ►
7.77.	Пусть X и У — бапаховы пространства, А : X —> У —
линейный оператор, который переводит любую сходящуюся по
норме X последовательность в слабо сходящуюся последова-
тельность из У. Доказать, что А € В(Х,У).
7.78*	. (П.П. Коровкин, 1959) Пусть Ln G Б(С[0,1]), п € N,
— положительные операторы (т.е. для любой неотрицательной
функции х е С[0,1] её образы Lnx — тоже неотрицатель-
ные функции). Доказать, что если Ln(l) —► 1, Ln(t) —* tn
Ln(t2) —> i2, то L„x —> x для любой функции x e C[0,1] (т.е.
Указание. Воспользоваться тем, что для любой непрерывной функ-
ции х и любого в > О ВС — С(е, х) > 0 : VZ, to € [0,1] выполнено
—Е — C(t — to)2 < x(t) — x(to) < E В- C(t — to)2.
149
8. Сопряжённые операторы.
8.1.	Сопряжённые операторы в банаховом простран-
стве.
Пусть X и Y — нормированные пространства, А е B(X,Y).
Для произвольного функционала д е Y* определим на X ли-
нейный функционал А1 д := д о А, т.е. Ух € X А'д(х) \= д(Ах).
Легко видеть, что отображение А' линейно и корректно опреде-
лено, т.к. Агд есть непрерывный функционал на пространстве
Х^ причём ЦА'рЦх*	|И||в(х,У) II<7IIу* • Таким образом, опера-
тор А1 отображает пространство У* в пространство X* линейно
и непрерывно (причём ||Л'||В(У.>х.)	Ш1|в(х,у))-
Определение 8.1. Оператор А1 е B(Y*,X*) называется
банаховым сопряжённым оператором для оператора А.
Действие банахова сопряжённого оператора хорошо иллю-
стрируется следующей коммутативной диаграммой.
С
Теорема 8.1 (Ф. Рисе, 1910). Норма оператора А' совпадает
с нормой оператора А, т.е. операция сопряжения сохраняет
норму.
Легко видеть также, что если а, (3 € С, А, В е B(X,Y), и
С е B(Y, Z), то (аА + /ЗВ)' = а А' + (ЗВ'> а (СА)' - А'С'.
Второй сопряжённый оператор А" отображает пространство
X** в пространство У**. Пусть 7Г% : X X**, 7Гу : У У** —
естественные вложения. Нетрудно видеть, что А" о тг% = 7Гу о А,
т.е. следующая диаграмма коммутативна.
150
Задачи
8.1. Доказать теорему 8.1.
8.2°. Пусть X, Y и Z — нормированные пространства,
Д В е В(Х, Y), Се B(Y, Z\a, /Зе С. Доказать, что
а) (аА + /ЗВ)' = аЛ' + ДВ'; б) (СА)'= А'С'.
Пример 8.1. В пространстве С[—1,1] задан ограниченный
оператор A, (Ax)(t) = t е [—1,1]. Найти А'.1)
Решение. По определению, А' е В((С[—1,1])*), а значит
Af е B(BVq[—1,1]). Для произвольного функционала ду,
у е BV0[—1,1], необходимо вычислить композицию А'д = до А.
Имеем д(х) = /\ x(t)dy(t\ так что
(Л'р)(ж) = У x(t2)dy(t) = ~У x(s)dy(~Vs)+
+ / x{s)dy{^/s) = / x(s)dz(s).
Jo	Jo
Таким образом, функционал Afgy задаётся функцией
, ч fo	при t е [—1,0];
- y(-Vi) при t е [0,1],
так что	: у »—> z. □
8.3. Найти сопряжённые операторы в следующих случаях,
а)° X — произвольное нормированное пространство, А = XI,
Хе С.
б) X — конечномерное пространство над полем С, оператор
А записан матрицей М в некотором линейном базисе. Пусть
в пространстве X* = X выбран тот же базис. Найти матрицу
оператора А1.
в) X и Y — банаховы пространства, X С Y как линейное
подпространство, || • ||у -< || • ||х на X, J е B(X,Y) — оператор
^В этом примере и в нижеследующих задачах слова «найти сопряжён-
ный оператор А'», строго говоря, означают «найти оператор	где
J : X* —т Y — изометрический изоморфизм пространства X* на конкрет-
ное банахово пространство Y (список этих изометрических изоморфизмов
приведён на стр. 99).
151
вложения, т.е. J : х н-> х\
г)° X = Х0ФХ1 — банахово пространство, Xq, Xi — его замкну-
тые подпространства, Р е В(Х) — оператор проектирования
на Хо вдоль Xi;
д) Y — банахово пространство, X — его замкнутое подпро-
странство, Р е B(Y,Y/X), Р : х и-> [т], где [т] е YjX — класс,
содержащий х. ►
8.4°	. Найти сопряжённый оператор А! для оператора А в
пространствах 1Р, р е [1, оо), со, с:
а)	А(#1, ^2,...) = хз,...), т.е. А = Т[ — левый сдвиг;
б)	A(xi, Т23 • • •) = (О,	а>2, • • •)> т-е- А = ТГ — правый сдвиг;
в)	A(xlt х2,...) = (AXX1, Х2х2,...), {Ап}“=1 € U;
г)	А(Х! , х2,...) = (ж2,	• - •,
8.5.	Найти сопряжённый оператор А1 для следующих опера-
торов А:
а)° А € В(С[0,1]), (Ax)(t) = a(t)x(t), а 6 G[0,1];
б)	А е B(LP[O,1]), р е [1, оо), (Ax)(t) = a(t)x(t), а е	[0,1];
в)	А € 5(£р[0,1]), р € [1, оо), (Ax)(t) = f* x(s)ds\
г)	AeB(L??[0,l]),pe [1,оо),
/ л х/ ч I x(t + а), если t + а 1,	.
(Az)(£) = { ,	’	, а€[0,1];
\x(t + а — 1), если t + а > 1;
д)° А е В(С[0,1]), (Ar)(t) = jJ K(t, s)x(s)ds, гЛеКеС ([0,1]2);
е)	А е В(С[0,2]), (Ax)(t) = еСЛИ J
I т(1), если t € [1,2];
ж)	А е ЩС1^, 1], С[0,1]), (Ax)(t) = x'(Z);
з)	А е В(С[0,1]), (Ax)(t) = х(0) + te(l) +12 Jo x(s)ds. ►
8.6.	Пусть X и У — банаховы пространства, А € £?(Х, У). Обо-
значим канонические вложения тг% : X X**, 7Гу : У ^У**.
Доказать, что А" о тгх = тгу о А.
8.7.	Пусть X и У — банаховы пространства, А € 23(Х,У). До-
казать, что
а)	если Ini А = У, то Кег А' = {0};
б)	если Кег А' = {0}, то Im А = У;
в)	если Im А' = X*, то Кег А' = {0};	____
г)	если X рефлексивно и Кег А = {0}, то Im А' — X*. При-
152
вести пример нерефлексивного пространства X и оператора
А е В(Х) с Кег А = {0} и ЙГА7 / X*. ►
8.8.	Пусть X и Y ~ банаховы пространства, А Е B(X,Y).
Доказать, что (Im А)х — Кег А1, а (Кег А)х D Im Af (напом-
ним, что для произвольного множества М С X множество
= {/еХ*: /(ж) = 0 \/х Е М}). Привести пример, когда
последнее включение строгое. ►
8.9.	Пусть X и Y — банаховы пространства, А Е В(Х,У).
Доказать, что если А — сюръекция, то (Кег А)х = Im А'.
8.10.	Пусть X и Y — банаховы пространства, А Е В(Х, У). До-
казать, что (Im А')1- = Ker A, (Ker A1)1- = Im А (здесь для мно-
жества М С X* обозначено Af х = {х € X: /(ж) — 0 V/ € Af}).
Из теоремы 8.1 следует, что операция сопряжения непрерыв-
на относительно равномерной операторной сходимости.
8.11.	Пусть X и У - банаховы пространства, Ап-^А в
В(Х, У). Сходится ли последовательность	сильно к
А! в В(У*,Х*)? Сходится ли опа слабо? Ответьте на те же
вопросы при условии рефлексивности X или У. ►
8.2. Сопряжённые операторы в гильбертовом про-
странстве. Унитарные и нормальные операторы.
В гильбертовом пространстве кроме банахова сопряжённого
оператора рассматривают эрмитов (гильбертов) сопряжённый
оператор А*.
Определение 8.2. Пусть и Н2 — гильбертовы простран-
ства, а А Е	Оператор А* е В(Я2,#1) называют
гильбертовым сопряжённым оператором для оператора А, если
Уж € Я1, Уу е н2: (Ах,у)н2 = (х,А*у)Н1-
Гильбертов сопряжённый оператор существует и единствен
для любого линейного непрерывного оператора А е B(ff 1,2/2)-
Так же как и операция банахова сопряжения (см. теорему
8.1), операция гильбертова сопряжения сохраняет нор-
му, т.е. IIЛ*||8(н2)Л1)_ = ||А||в(Л1,я2). Отличие в том, что
(аА + /ЗВ)* = аА* + /ЗВ*, (а, /3 е С). Далее, (СА)* = А*С*, а
второй сопряжённый оператор А** совпадает с оператором А.
В случае, когда оператор А отображает гильбертово про-
странство Н в себя, оператор А* действует также в простран-
стве Н.
153
Определение 8.3. Оператор А е Б (Я) называется
самосопряжённым, если А = А*.
Напомним (см. определение 3.3 и задачу 3.7°), что опе-
ратор А е B(Hi,H2) в гильбертовых пространствах является
изометрией (т.е. ||Аз:|| = |[х|| для любого х € Hi) тогда и
только тогда, когда он сохраняет скалярное произведение (т.е.
(Ах,Ау) = (Х)У) для любых х, у € Hi).
Определение 8.4. Оператор U € Б(Я1,Я2), где Н± и Н2 —
гильбертовы пространства, называется унитарным, если он
изометричен и биективен.
Это определение можно записать в эквивалентном виде:
UU* — 1н2 (другое эквивалентное определение: U*U = I^).
Введём ещё один важный класс операторов — нормальные
операторы.
Определение 8.5. Оператор А, действующий в гильберто-
вом пространстве Н, называется нормальным, если он комму-
тирует со своим сопряжённым, т.е. АА* = А*А.
Нетрудно видеть, что любой самосопряжённый или унитар-
ный оператор является нормальным.
Задачи
8.12.	Доказать следующие свойства операции сопряжения
(здесь Hi и Н2 — гильбертовы пространства, А е J3(Hi, Н2)):
а) для всякого оператора А существует единственный сопря-
жённый оператор А* е B(H2,Hi)\
б)	А**-А;
в)	(аА +0В)* = аА* +/ЗВ*;
Г)
д) если Н3 — гильбертово пространство, В е В(Н2,Н3), то
(В А)* = А* В*.
В теореме 5.4 для гильбертова пространстве Н был опреде-
лён оператор J : Н —> Н* — изоморфизм Рисса. Напомним,
что изоморфизм Рисса отличен от упоминавшегося в примере
8.1 изометрического изоморфизма тем, что J(Xx) = XJx.
8.13°. Используя изоморфизм Рисса, установить для
произвольного оператора А € B(Hi,H2) соотношение
154
A* = Jh^A'Jh2, т.е. доказать коммутативность следующей
диаграммы.
Нх
Н2
Jh2
Я2‘
Пример 8.2. Найти гильбертов сопряжённый оператор к
оператору А : Ь2[0,1] —> W^O,1], (Ax)(t) = f* x(s)ds, t e [0,1].
Решение. Положим A*y = z, где у e a z e L2, и запи-
шем равенство (Ax,y)wi = (x,z)l2, справедливое для всякого
х Е L2:
1	х	1
(AxY(t)y'(t)dt + У {Ax)(t)y(t)dt = У xifyz^dt.
о	°	о
Тогда
i
Меняя
ним
i t
j ! x{s)dsy{t)dt.
0	0	0 0
порядок интегрирования в последнем слагаемом, полу-
о
что в силу произвольности функции х влечёт
(A*«/)(i) = z(t) = y'(t) + y(s)ds, t e [0,1].
□
8.14°. Найти сопряжёшпле операторы А* для следующих опе-
раторов в пространстве Ь2 [0,1]
а) Ах{б) = /*х(з^з;	б)
в) Ax(t) = Jq tx(s)ds;	г)
д) Ax(t) = Jq (ts 4-s)x(s)ds; e)
ж) Ax(t) = f* s2x(s)ds; 3)
Ая(£) = Jq sx(s)ds;
Ax(t) = Jq t2sx(s)ds;
Ax(t) — J* sx(s)ds;
Ax(t) — a(t)x(t), a e Z/oc[0,!]•
155
В пункте з) найти А1 и сравнить его действие с действием опе-
ратора Л*. ►
8.15	°. Пусть оператор А е В(12) и в некотором ортонорми-
рованном базисе задан матрицей	Доказать, что А'
в этом же базисе задаётся матрицей	, а А* задаётся
матрицей {aj?}
8.16	°. Найти сопряжённые операторы А* для следующих опе-
раторов в пространстве /2-
а)	Ат= (zi,T2....,zn,0,0,...);
б)	Ах = (0,2?1,0, хз,..., 0, х2п-1,0,...);
2п
в)	Ах = (0.Т1,0,372.... ,0,жп,0,..
2п
г)	Ах = (0, Xi, х2,37з,...) — левый сдвиг;
д)	Ах = (ж2, £з, Т4,...) — правый сдвиг;
е)	Ах =	тп_|_2,...);
ж)	Ах = (Л1Т1,А2з:2,ЛзТз,...), где {An}i° е
з)	Ах = (т15я2,Х4,х8,.,.,;г2п-1
п
В пункте ж) найти А' и сравнить его действие с действием опе-
ратора А*. >
8.17	°, Найти эрмитовы сопряжённые операторы для опера-
торов левого и правого сдвигов в пространстве Z2(Z). ►
8.18	°. Найти сопряжённые операторы А' и А* к интегрально-
ъ
му оператору (Ax)(t) = f K{t,s)x(s)ds в пространстве Ь2[а, 6],
а
где К е L2 ([а, Ь]2). Найти условия на функцию К, при которых
оператор А самосопряжён. ►
8.19	°. При каких условиях на последовательность {An}j° €
оператор Ах = (Ai^i, А2а;2, А3Т3,...) в пространстве Z2 явля-
ется самосопряжённым? При каких условиях на функцию
а € Loo[0,1] оператор (Bx)(t) = a(t)x(t) в пространстве L2p> 1]
является самосопряжённым? ►
8.20	. Найти сопряжённый оператор А* к оператору замены
переменной
а)	А : L2[-1,1] -> L2[-1,1], (Az)(t) = x(i2);
б)	A : L2[0,1] —> L2[0,1], (Arr)(t) =	где ip(t) — непре-
рывная возрастающая функция, отображающая отрезок [0,1] в
себя. ►
156
8.21	. Найти сопряжённые операторы А* для следующих
операторов:
а)° Н — произвольное гильбертово пространство, у и z —
фиксированные векторы, Ах = (x,y)z;
б) А : L2(R) —* L2(R), Ax(t) = x(t + a);
в)* A : И^[0,1] -> £2[0,1], Ax = x-,
r)* A : W$[0, 1] L2[0,1], Ax = x'. ►
Указание. В пункте в) решить краевую задачу — zn + z — у,
z'(0) = z'(l) = 0, считая z достаточно гладкой функцией, а в пунк-
те г) решить краевую задачу —zH + z = —у\ s'(0) = 2/(0), z'(l) = 2/(1)-
8.22°. Пусть Но — подпространство гильбертова пространства
Я, инвариантное относительно оператора А € В(Н). Доказать,
что Hq- инвариантно относительно Л*.
8.23°	. Пусть гильбертово пространство Н разложено в пря-
мую сумму замкнутых подпространств Н = Hq ф Hi и пусть
задан проектор Р на подпространство Hq вдоль Hi. Доказать,
что Hq ± Hi <=> Р = Р* (ср. с задачей 6.59°).
8.24.	Пусть Н — гильбертово пространство, а Р± и Р2 ” орто-
проекторы на подпространства Hi и Р2. Доказать эквивалент-
ность следующих утверждений
(1)	Pi < Р2 (т.е. ((Р2 - Pi)x, х) > 0 \/х € Н);
(2)	HiQH2-
(3)	PiP2 = P2Pi=Pi;
(4)	Р2 — Pi — ортопроектор.
8.25°	. Пусть Pi и Р2 — ортопроекторы в гильбертовом про-
странстве Н на подпространства Hi иН2. При каких условиях
на Pi и Р2 (при каких условиях на Hi иН2) следующие опера-
торы также являются ортопроекторами: a) Pi + Р2;
б)	РгР2? В том случае, когда эти операторы являются ор-
топроекторами, найти их образы и ядра. ►
8.26°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А € 13(H). Дока-
зать, что a) Ker (А*) — (Im А)1-; б) Ker А = (Ini А*)1”,
в) Im А = (Кег А*)1-; г) Im А* = (Кег А)х.
8.27.	Пусть Н — гильбертово пространство, А € 13(H) и
dim Im А — п < оо. Доказать, что dim Im (А*) = п.
8.28°	. Пусть Hi и Н2 — гильбертовы пространства,
{Ап}°° с Б(Л1,Р2), и Ап=4А е В(НЪН2). Доказать, что
157
A* =4 А*. Доказать, что если Ап А е 23(7/1, Т/2), то А* А*.
8.29.	Привести пример последовательности операторов
{Ап}1° С 23(7/i,7/2) в гильбертовых пространствах и Т/2,
такой, что Ап-^> А е B(Hi,H2), по последовательность {А*}^°
не имеет сильного предела. ►
8.30°	. Пусть Hi и Н2 ~ гильбертовы пространства. Дока-
зать, что оператор U € 23(7/i,7/2) унитарен (см. определение
8.4) тогда и только тогда, когда выполнено любое из равенств
UU* = 1н2 или U*U = IH1-
8.31°	. При каких условиях на последовательность {An}i° € ^оо
оператор Ах = (Apri, Х2х2, А3Х3, • • •) является унитарным в
пространстве 12? При каких условиях на функцию а G /^[0,1]
оператор (Ax)(t) = a(t)x(t) является унитарным в простран-
стве 7>2[0,1]? ►
8.32°	. Доказать, что оператор сдвига (Аж)(t) — x(t~a) унита-
рен в L2 (R).
8.33°	. Доказать, что операторы левого и правого сдвига уни-
тарны в пространстве l2(Z).
8.34.	Пусть Н — гильбертово пространство, a U € 23(77). Дока-
зать, что если {en}i° — некоторый ортонормированный базис
в 7/ и система {C7en)i° также является ортонормированным ба-
зисом, то U уш!тарен. Обратно, доказать, что если оператор U
унитарен, то он переводит любой ортонормированный базис в
ортонормированный базис.
Определение 8.6. Оператор W е В(ИК), где Н и
К — гильбертовы пространства, называется частично
изометрическим оператором (частичной изометрией), если
H = Hi фхЯ2, К = Ki ®±К2; Н2 = Ker W, и W : Hi К\ -
изометрический изоморфизм.
8.35.	Пусть Т/i и Т/2 — гильбертовы пространства, а оператор
W G 23(7/1, Т/2). Доказать, что W является частично изометри-
ческим оператором тогда и только тогда, когда WW*W = W.
Как действует оператор IV*? ►
8.36°	. Доказать, что операторы левого и правого сдвига явля-
ются частичными изометриями пространства 12.
8.37°	. При каких условиях на последовательность {An}i° €
оператор Ах — (Ai^i, А2т2з А3Т3,...) является частичной изо-
158
метрией в пространстве При каких условиях на функцию
а е Лоо [0,1] оператор (Ах)(£) = a(t)x(t) является частичной
изометрией в пространстве I/2[0,1]? ►
8.38°	. Пусть Н — гильбертово пространство. Доказать, что
множество а) унитарных, б) изометрических операг
торов замкнуто в 13(H). Доказать, что композиция унитар-
ных (изометрических) операторов является унитарным (соот-
ветственно, изометрическим) оператором.
8.39.	Доказать, что и слабый и сильный предел самосопря-
жённых операторов (если он существует) есть самосопряжён-
ный оператор. Доказать, что и слабый и сильный предел уни-
тарных операторов — унитарный оператор, а сильный предел
ортогональных проекторов — ортогональный проектор. Приве-
сти пример, показывающий, что слабый предел ортогональных
проекторов не обязан быть проектором. ►
8.40°	. Пусть Н — гильбертово пространство а) над С;
б) над R. Является ли множество самосопряжённых операто-
ров замкнутым подпространством в пространстве В(Н)7 Дока-
зать, что композиция двух самосопряжённых операторов явля-
ется самосопряжённым оператором тогда и только тогда, когда
эти операторы коммутируют. ►
8.41°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А — самосопря-
жённый оператор. Может ли образ Im А быть незамкнутым?
►
8.42°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А — самосо-
пряжённый оператор. Доказать, что Im А = Н тогда и только
тогда, когда Кег А — {0}.
8.43.	Пусть Н — гильбертово пространство, А — самосо-
пряжённый оператор, х ф Кег А. Доказать, что последователь-
ность ап — ||Ап+1т||/||Апт|| сходится.
8.44.	Пусть Н — гильбертово пространство, А е В(Н), Дока-
зать, что Кег (АД*) = Кег А*, Кег (А*А) — Кег А. Верно ли,
что a) Im (АА*) = Im А; б) Im (А*А) = Im А*? ►
8.45.	Пусть А = А*. Доказать, что ||А|| = sup |(Ат,ж)|. При-
М=1
вести пример нссамосопряжённого оператора, для которого эта
формула неверна. ►
159
8.46.	Пусть Н — гильбертово пространство, А е В(Н). Дока-
зать, что ||АА*|| = IIА*А|| - ||А||2.
8.47°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А е В(Н). До
казать, что существует единственная пара самосопряжённых
операторов Аге и Aim таких, что А = Are -h iAim-
Определение 8.7. Оператор А в гильбертовом простран-
стве Н называется положительным (неотрицательным), если
его квадратичная форма (Ах,х) положительна (неотрица-
тельна) для всех х 7^ 0. Обозначение: А > 0 или А 0.
Неравенство А В означает, что А — В 0.
8.48.	Пусть Н — гильбертово пространство. Доказать, что для
самосопряжённых операторов в нём выполнено
а)	если А	В и В А, то А	=	В;
б)	если А	В и В С, то А	С;
в)	если Al Bi и А2 В2, то А± 4- В1 < А2 4- В2]
г)	если А	В и к > 0, то кА	<	кВ]
д)	если А	В, то для всякого С G В{Н) С* АС < С* ВС]
е)	если А > В, 0 и АС = С А, ВС - СВ, то АС > ВС]
ж) если а! < А	/31, то ||А|| тах(а,/3), а (3 > 0;
з) если —В А < В, то ||А|| < ||В||.
8.49.	Доказать, что для положительного оператора А
справедливо обобщённое неравенство Коши-Буняковского:
|(Дх,7/)|2 < (Ах,х)(Ау,у).
8.50.	Пусть последовательность {Ап}^° положительных опе-
раторов слабо сходится к нулю. Доказать, что Ап сходятся к
нулю сильно.
8.51.	Пусть А и В — ограниченные операторы в гильберто-
вом пространстве Н. Доказать, что неравенство А* А < В* В
эквивалентно системе неравенств ||Аж|| < ||Вт|| \/х G Н.
8.52°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А е В(Н). Дока-
зать, что АЛ* 0.
Легко видеть, что выражение (Ах, х) вещественно для любо-
го вектора х е Н, если оператор А самосопряжён. Оказывается,
верно и обратное.
8.53.	Пусть Н — комплексное гильбертово пространство,
А € В(Н). Дркззэлъ, что если для любого х е Н квадратичная
160
форма (Ах, х) вещественна (в частности, если оператор
положителен), то А* = А,
8.54°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А и В — само-
сопряжённые операторы и А 0. Доказать, что В АВ 0.
8.55.	Пусть Н — гильбертово пространство, А и В — само-
сопряжённые операторы, 0 < А В и АВ — В А. Доказать,
что АВ Ои А2 < В2. Привести примеры, показывающие, что
условие АВ — В А в этом утверждении существенно. ►
8.56.	Пусть Н — гильбертово пространство, а последователь-
ность {An}i° самосопряжённых операторов из В(Н) монотонно
не убывает, т.е. А± < А% < А$ < .... Доказать, что такая по-
следовательность имеет предел в смысле сильной операторной
сходимости, но не обязательно имеет предел в смысле равно-
мерной операторной сходимости.
8.57*	. Пусть Н — гильбертово пространство, А — само-
сопряжённый оператор и А 0. Доказать, что существует
единственный самосопряжённый неотрицательный оператор В
такой, что В2 — А.
Указание. Рассмотреть рекуррентную последовательность Bq — 0,
ВП4-1 = ~(J — А -Ь Bn), п = 0,1,..и применить задачу 8.56.
Этот оператор В называют квадратным корнем из операто-
ра А и обозначают а/А.
8.58°	. Для следующих операторов А найти \/А:
а)	Ах = (Aizi, А2я2, A3t3, • • •)> гДе Pn}i° € Zoo, An 0;
б)	(Ax)(t) = a(t)x(t), где а е Дю[0,1], a(t) > 0 Vt € [0,1];
в)	А — ортопроектор в гильбертовом пространстве
г)	(Ax)(t) = Jq tsx(s)ds. ►
8.59°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А — самосопря-
жённый оператор и А 0. Доказать, что ||\/А|| — ^/||А||.
8.60.	Доказать, что в гильбертовом пространстве всякий са-
мосопряжённый оператор есть линейная комбинация двух уни-
тарных операторов. Как следствие, всякий ограниченный опе-
ратор есть линейная комбинация четырех унитарных.
8.61.	Пусть Hi и Н2 — гильбертовы пространства, а оператор
А е В(В\,Н.2), Доказать, что существует такой частично изо-
метрический оператор W : Hi —> Н2 и такие неотрицательные
операторы S е B(Hi) и R е В(Н2), что А = WS = RW, При
161
этом пара операторов W, S однозначно определена условием
Ker W — Ker S, а пара W, R — условием (Im W)1- — Ker R.
Указание. Взять S — VA*A.
Определение 8.8. Представления А = WS = RW (см. задачу
8.61^ называют полярным разложением оператора А.
Условие частичной изометрии оператора W нельзя заменить
на условие изометрии. Действительно, из построения операто-
ров W и S следует, что Ker W = Ker S = Кег А, а значит W
будет изометрией тогда и только тогда, когда оператор А инъ-
ективен.
8.62.	Найти полярное разложение А = WS — RW для опера-
тора А е В(Н\ в случае
а)	Н = Ь2[0,1], Ax(t) = a(t)x(t), где а € £оо[0,1];
б)	Н = l2, А(хг, х2,...) = (О, Ж1, х2,...);
в)	Н = L2[0,1], (Ax)(t) = Jo x(s)ds. ►
8.63.	Пусть Н — гильбертово пространство, А в В(В). Дока-
зать, что существует единственный самосопряжённый неотри-
цательный оператор В е В(Н} такой, что для любого х е Н
выполнено || Ах || — ||Вх||.
Следующий пример показывает, что определить квадратный
корень из произвольного несамосопряжённого оператора в об-
щем случае нельзя.
8.64.	Пусть А : 12	12, Ах = (0,	..). Доказать,
что не существует ни одного оператора В е В(12) такого, что
В2 = А.
8.65°	. Доказать, что оператор А нормален тогда и только то-
гда, когда AreAim = AimAre (см. задачу 8.47°).
8.66°	. Доказать, что если оператор А нормальный, то VA е С
оператор А — А/ тоже нормальный.
8.67.	Пусть Н — гильбертово пространство и оператор
А е В(Н) нормален. Доказать, что существует такой
унитарный оператор U Е В(Н), что A* — U А.
8.68.	Пусть Н — гильбертово пространство. Доказать, что опе-
ратор А е В(Н} нормален тогда и только тогда, когда Vx е Н
||Ах|| = ||А‘<
162
8.69.	Пусть Н — гильбертово пространство и оператор
А € 8(H) нормален. Доказать, что ||А2|| = ||А||2 и вообще
ИА2" II — МП2” для любого натурального
8.70°	. Какие из следующих операторов нормальны в 1,2'
а)	Ах — (xi,T2,... ,#п,0,0,...);
б)	Ах = (0, #1,0, #з, • • •, 0, #2п—1,0,...);
2п
в)	Ах = (0, #1,0, #2,..., 0, #п, 0,...);
2п
г)	Ах = (0,Х1,Ж2,#з,- ••) ~~ правый сдвиг;
д)	Ах = (т2, #3, #4,...)—левый сдвиг;
е)	Ах = (А1#1, Л2#2, А3#з,...), где {An}J° €
ж)	Ах = (xn+i,xn+2,...);
з)	Ах = (#] , #2; #4) #8т • • , #2”-1 ? • • •)? ►
п
8.71.	При каких условиях на функцию К € L2 ([0,1]2) оператор
(Ax)(t) = Jq K(t, s)x(s)ds в пространстве L2[0,1] нормален? ►
8.72°. Доказать, что для любой функции а €	[0,1] оператор
(Ax)(t) — a(t)x(t) нормален в Л2[0,1].
^На самом деле, для всякого нормального оператора А € верно
соотношение ||Ата[| = ||A||n Vn G N.
163
9. Обратный оператор.
9.1.	Теорема Банаха об обратном операторе. Приме-
ры.
Определение 9.1. Пусть А е В(Х, Y), где X, Y — банахо-
вы пространства. Оператор А~г е B(Y,X) будем называть
правым обратным, если А о А”1 — 1у, где 1у — тождествен-
ный оператор в Y. Аналогично, оператор А^1 е B(Y,X) будем
называть левым обратным, если А^1 о А — 1х, где 1х ~ тож-
дественный оператор в X.
Несложно показать, что если существуют и левый, и пра-
вый обратный операторы А^1 и А”1, то А~г = А^1. В этом
случае будем говорить, что у оператора А есть (ограниченный)
обратный оператор А-1 € B(Y,X). Множество обратимых опе-
раторов, действующих из пространства X в пространство Y бу-
дем обозначать ТВ(Х, Y).
Теорема 9.1 (Теорема Банаха об обратном операторе,
С.Банах, 1929). Пусть А € B(X,Y), где X, Y — банаховы
пространства. Тогда оператор А-1 е B(Y, X) существует то-
гда и только тогда, когда А биективен.
Пусть X и Y — нормированные пространства. Напомним,
что множество всех пар (я,?/), где х е X, у е Y, называют
декартовым произведением XxY. Пространство ХхY является
линейным с естественной операцией сложения и умножения на
число. На нём также можно ввести норму ||(ж, j/)|| := ||т|| 4- ||1/||
(см. определение 2.9 и задачу 2.15).
Определение 9.2. Пусть X, Y — нормированные простран-
ства, а линейный оператор А задан на некотором плотном
подпространстве Т>(А) 6 X, которое называют областью
определения оператора А. Определим в декартовом произве-
дении X х Y линейное подпространство, называемое графиком
оператора: Г(А) := {(т, Ах): х € 2?(А)}.
Понятия области определения и графика оператора важны
при исследовании многих задач математической физики, где
возникают (вообще говоря, неограниченные) операторы — на-
пример, оператор (Arr)(i) = ixf(t), Р(А) = Ж£[0,1] С L2[0,1].
Нетрудно проверить, что оператор А неограничен и выполнено
164
соотношение (Ах, у) = (х,Ау) \/х, у € П(А), а значит, в силу
теоремы Е. Хеллингера-О. Теплица (задача 7.5), этот оператор
не может быть продолжен на всё пространство 1] с сохра-
нением равенства (Ах, у) = (х, Ау). В дальнейшем, если не ого-
ворено обратное, мы будем считать, что T>(Aj = X.
Определение 9.3. Оператор А, действующий из банахова
пространства X в банахово пространство Y с областью
определения Т>(А) С X, называется замкнутым, если его гра-
фик замкнут в X х Y, т.е. если из существования пределов
х = lim хп, где хп е П(А), и у = Пт Ахп следует X е 'Л(А)
71—►ОО	П—*ОО
и у = Ах.
Теорема 9.2 (Теорема о замкнутом графике, С. Банах,
1932). Пусть X и Y — банаховы пространства, и оператор
А е C(X,Y). Оператор А ограничен тогда и только тогда,
когда его график замкнут.
В дальнейшем, если не оговорено противное, под правым об-
ратным, левым обратным и обратным оператором понимается
ограниченный правый обратный, ограниченный левый обрат-
ный и ограниченный обратный оператор соответственно.
Задачи
9.1°	. Пусть X и У—нормированные пространства, AeB(X,Y),
и для некоторой последовательности {xn}i° векторов с
||жп|| = 1, последовательность Ахп стремится к нулю. Дока-
зать, что А не обратим.
9.2°	. Пусть X и У— нормированные пространства, А 6В(Х, У).
Доказать, что если обратный оператор А-1 € B(Y, X) существу-
ет, то он единствен.
9.3°	. Рассмотрим в пространстве а) X = lp, р е [1, ос];
б)	X = со; в) X = с операторы Trx = (O.#i, Х2,.хп,...)
сдвига вправо и Tix = (х>2, %з,... ,хп,...) сдвига влево. Дока-
зать, что эти операторы необратимы, но у оператора правого
сдвига есть левый обратный, а у оператора левого сдвига —
правый обратный операторы. Найти их. ►
9.4°	. Привести пример оператора, для которого существует
левый обратный, но он не единствен. Привести пример опе-
165
ратора, для которого существует правый обратный, но он не
единствен. ►
9.5.	Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор
Л е B(X,Y). Доказать, что единственность а) правого
обратного оператора; б) левого обратного оператора
эквивалентна обратимости оператора А.
9.6°	. Пусть X и Y - нормированные пространства, оператор
A 6 B(X,Y) и обладает правым обратным А71 е В(У, X)
и левым обратным А^1 G 8(YyX). Доказать, что тогда
а-^а^а-'.
9.7°	. Пусть X и Y — нормированные пространства,
А € B(X,Y). Доказать, что если А обратим, то он биек-
тивен; если существует правый обратный А~г е B(Yy X),
то А сюръективен; если же существует левый обратный
€ В(У,Х), то А инъективен.
Теорема 9.1 утверждает, что в банаховых пространствах би-
ективность ограниченного линейного оператора влечёт его об-
ратимость. Отметим, что сюръективность ограниченного ли-
нейного оператора не влечёт существование ограниченного пра-
вого обратного, равно как инъективность не влечёт существова-
ние левого обратного. Всё дело в том, что в банаховых простран-
ствах существуют недополняемые подпространства (см. задачу
6.44*).
9.8.	Привести пример ограниченного инъективного оператора
в банаховых пространствах, для которого нет ограниченного
левого обратного оператора. ►
9.9.	Привести пример ограниченного сюръективного операто-
ра в банаховых пространствах, для которого нет ограничен-
ного правого обратного оператора . ►
9.10.	Пусть X и У — банаховы пространства, оператор
А € 23(Х, У). Доказать, что А имеет левый обратный тогда и
только тогда, когда
(1)	А инъективен;
(2)	Im А — замкнутое дополняемое подпространство в У.
9.11.	Пусть X и У — банаховы пространства, оператор
А 6 В(Х, У). Доказать, что А имеет правый обратный тогда и
только тогда, когда
166
(1)	А сюръективен;
(2)	Ker A — замкнутое дополняемое подпространство в X.
9.12°	. Привести пример, показывающий, что в теореме Ба-
наха об обратном операторе условие полноты пространства Y
существенно. ►
9.13.	Привести пример, показывающий, что в теореме Банаха
об обратном операторе условие полноты пространства X суще-
ственно. ►
"Указание. Использовать базис Гамеля (см. определение 5.4).
9.14.	Предполагая верной теорему 9.1, доказать теорему 9.2, и
наоборот.
9.15.	Доказать, что оператор дифференцирования, описанный
в преамбуле, имеет замкнутый график.
9.16.	Доказать, что функционал f : х н-> х(0), действующий в
Z/2 [0,1] с Р(/) = С[0,1], имеет незамкнутый график.
9.17.	Привести пример банаховых пространств X и У и опе-
ратора А е £(X,Y) с незамкнутым графиком. ►
9.18.	Пусть X — линейное пространство, || - |(i и || • Цг — две нор-
мы, и пусть Xi := (X, || • ||i) -- банаховы пространства, причём
|| • ||1	|| • ||2. Доказать, что нормы || -1| i и || • ||2 эквивалентны.
9.19.	Пусть X — банахово пространство, Хо — замкнутое
подпространство и Xi — его линейное дополнение. Доказать,
что проектор на подпространство Хо вдоль подпространства
Xi ограничен тогда и только тогда, когда Xi тоже замкнуто.
Из утверждений задач 9.19 и 6.9° следует, что в банаховом
пространстве X линейная прямая сумма любых двух замкну-
тых подпространств Хо ф Х± — X всегда является топологиче-
ской прямой суммой (см. определение 2.20).
Из курса линейной алгебры известно, что один и тот же опе-
ратор задаётся различными матрицами в различных базисах.
Матрицы при этом называются подобными. Перенося эту си-
туацию на бесконечномерный случай, приходим к следующему
определению.
Определение 9.4. Пусть X uY — нормированные простран-
ства, А е В(Х), В е B(Y). Операторы А и В называются
подобными, если найдётся ограниченный и ограниченно обрати-
167
мый оператор S (то есть S е TB(Y, X)), такой, что AS = SB
(обозначение А ~ В).
Ясно, что заменив в определении равенство AS = SB на
ТА — ВТ, где Т е ТВ(Х, Y), получим эквивалентное определе-
ние (надо взять Т = S-1).
Определение 9.5. Пусть и Н2 - гильбертовы простран-
ства, А е В е В(Н2). Операторы А и В называют-
ся унитарно эквивалентными, если найдётся такой унитарный
оператор U : Н2 —* Hi, что AU — UB.
X X Нг Н,
S	S и	и
Y~^Y н2—^н2
9.20°	. Доказать, что подобные операторы обратимы или необ-
ратимы одновременно. Доказать, что нормы у унитарно экви-
валентных операторов совпадают. Привести пример подобных
операторов с различной нормой. ►
9.21.	Пусть Ах — (А1Т1, Л2^2, • ’ ♦) ~~ оператор умножения на
последовательность {An}i° £ Zoo? действующий в простран-
стве а) X = 1Р, р е [1, оо]; б) X = со; в) X — с.
Доказать, что А-1 существует тогда и только тогда, когда
inf{|An| : n е N} > 0. Найти А 1 и его норму. >
9.22.	Пусть Ах = (Ai^i, А2Т2, ♦ • •) — оператор умножения на
последовательность {An}J° € Zoo? действующий в пространстве
12. Доказать, что А имеет правый обратный <=> А имеет левый
обратный <=> А обратим.
9.23.	Доказать, что оператор Ах = (0, Xi, 0, £2,0, х3,...) в про-
странстве 12 не имеет правого обратного. Найти Az-1. Доказать,
что оператор Вх — (xi, Ж2? х±, х%,...) в пространстве Z2 не имеет
левого обратного. Найти В~х. ►
Пример 9.1. Пусть (Sax)(t) = x(s)a(t — s)ds — опера-
тор свёртки1), в пространстве Дг[—тг,тг]. Для каких функций
а € Zz2 [—тг, 7г] обратимы операторы Sa и I + Sa ?
^Предполагается, что функция a G Ьг[—тг, тг] продолжена периодически
на отрезок [—2тг, 2тг], т.е. а(—тг + t) = а(тг 4- t) для t G [—тг, тг].
168
Решение. Докажем, что при любой функции а образ опе-
ратора Sa состоит только из непрерывных функций. Отсюда
будет следовать, что оператор Sa не сюръективен, а значит не
обратим. Зафиксируем функцию х е Ь2 = Дг[—тг, тг] и докажем,
что функция Sax непрерывна. Для произвольного е > 0 постро-
им непрерывную функцию 6, такую, что ||а — &||ь2 < е/1И1ь2
Тогда функция Sbx непрерывна и для любого t € [0, тг] имеем
\(Sbx)(t) - (Sax)(t)\	1ИЫ1&- а||ь2 < £, т.е. Sax = ^QSbx в
пространстве С[—тг,тг]. Значит, и сама функция Sax непрерыв-
на.
Для исследования оператора I 4- Sa рассмотрим оператор
и : L2[-7T, тг] Z2(Z), Ux = (zn)“oo> где хп =	x(t)eintdt.
{_• 100
en(t) = -y==e~znt > является ортонормированным
V27T J
базисом в пространстве L2[—тг,тг] (см. задачу 3.50 б)). Тогда, в
силу теоремы 3.2, оператор U унитарен. Вычислим теперь
(Sax, еп) = —J x(s)a(t — s)ds^ ezntdt =
= ~-L= [ ( f a^)ein^d^\ einsx(s)ds = V^TV^e^Xn
V27F J-тг М-7Г-3	/
(пределы интегрирования во внутреннем интеграле можно за-
менить на —тг и тг, поскольку и функция а(£), и функция егп^ яв-
ляются 2тг-периодическими). Используя оператор 17, это равен-
ство можно записать так: USax = TaUx, где оператор Та дей-
ствует в пространстве l2(Z), (Та.х)п — Апжп, а Ап = \/2тг(а, еп),
п € Z. Таким образом, мы доказали, что оператор I 4- Sa уни-
тарно эквивалентен оператору I 4- Та. В силу утверждения за-
дачи 9.20° обратимость оператора I + Sa равносильна обрати-
мости оператора 1 + Та. Используя задачу 9.21, получим ответ:
оператор I 4- Sa обратим тогда и только тогда, когда после-
довательность S (1 4- х/2тг(а, еп)) > ограничена. Поскольку
(а, еп) —* 0 (|п| —> оо), то последнее равносильно тому, что
1 4- л/2тг(а, еп) 0, Vn G Z. □
9.24°	. Пусть X — С[0,1], (Ax)(t) = a(t)x(t) — оператор умно-
жения на непрерывную функцию. Доказать, что этот оператор
169
обратим тогда и только тогда, когда функция а не обращается
в ноль на отрезке [0,1]. Найти обратный оператор. ►
9.25.	Пусть X = Z/p[0,1], р G [1,оо], (Ax)(t) = a(t)x(t) ~ опе-
ратор умножения на функцию а е £оо[Д1]. Доказать, что этот
оператор обратим тогда и только тогда, когда ess inf |a(t)l > О
tG[O,l]
(определение ess inf см. в задаче 6.27). Найти обратный опера-
тор. ►
9.26°	. Рассмотрим в пространстве а) X — С[0,1];
б)	X — £р[0,1], р 6 [1, оо], оператор взятия первообразной
(Ax)(t) = Jq x(s)ds. Доказать, что у этого оператора нет пи
левого, ни правого обратного оператора.
9.27°	. Пусть А : Сг[0,1] —► С[0,1], {Ах){1) = x'(t). Доказать,
что он не обратим. Найти правый обратный оператор. ►
9.28.	Доказать, что у оператора Харди (Ax)(t) = | J* x(s)ds
в пространстве £г?[0,1], р G (1,оо), нет ни левого ни правого
обратного оператора.
9.29.	Найти обратный оператор для оператора А в простран-
стве Zp[0,1], р G [1, оо]:
a) (Ax)(t) = x(t) + f* x(s)ds;
61	= I ®(* + а), если< + а^1,
' '	' ''	[ x(t + а — 1), если t + а > 1.
9.30.	Найти обратный оператор для оператора А в простран-
стве С[0,1]: (Ax)(t) = x(t) + Jq et+sx(s)ds, >
9.31.	Пусть X C Y — банаховы пространства и II • Цу -< II • Их
на X (тогда оператор J : X —> У, Jx = х, непрерывен, т.е.
пространство X вложено в У, см. определение 2.2). При каких
условиях на пространства X и У оператор J имеет
а) правый обратный; б) левый обратный? ►
9.32.	Пусть непрерывная на [0,1] функция, отобража-
ющая отрезок [0,1] в себя. При каких условиях на функцию <р
оператор замены переменной (Ax)(t) = x(p(tY) в пространстве
С[0,1] имеет	а) правый обратный; б) левый обратный?
►
9.2.	Свойства обратимых операторов.
9.33°	. Пусть X, У и Z — банаховы пространства, а операто-
ры А € Б(Х,У), В G B(Y, Z) имеют ограниченные обратные.
170
Доказать, что АВ также обратим. Что можно сказать о про-
изведении обратимого и необратимого операторов? Что можно
сказать о произведении двух необратимых операторов?
9.34.	Пусть X, Y — банаховы пространства, А € Z3(X, У),
В е B(Y, X) и операторы АВ и В А обратимы. Что можно
утверждать об обратимости операторов А и В?
9.35.	Пусть А = AiA2...An и операторы Д, i = 1,2, ...,п,
коммутируют (A, Ai € В(Х), где X — банахово пространство).
Доказать, что оператор А обратим тогда и только тогда, когда
Vz — 1,2,..., nf Ai обратим.
Как показывает следующая задача, множество ZB(X, У) яв-
ляется открытым в пространстве Б(Х, У).
9.36.	Пусть X банахово пространство, С Е В(Х) и ЦСЦ < 1.
Доказать, что оператор I + С обратим и
||(/+сг'"«гтй-
Получить явный вид для (/ 4- С) 1 в виде сходящегося ряда из
операторов. ►
9.37.	Пусть X и У — банаховы пространства, А — обратимый
оператор, В е B(XyY) и ||В|| < 1/||>1~1||. Доказать, что опера-
тор А 4- В обратим и
ll(A+B)-1KTyLrL.
Получить явный вид для (А 4- В) 1 в виде ряда. >
9.38.	Пусть X — нормированное пространство, оператор
А е В(Х) и для некоторых комплексных Ai, Аг, ..Ап вы-
полнено I 4- Ai А + Аг А2 4- ... 4- АПАП = 0. Доказать, что А
обратим.
9.39.	Пусть X — банахово пространство, операторы
А, В е В{Х) и оператор I + АВ обратим. Доказать,
что оператор I 4- В А также обратим.
9.40.	Пусть X — нормированное пространство, операторы
А, В € В(Х) и АВ 4- А 4-1 = В А 4- А 4- I = 0. Доказать, что
оператор А обратим.
9.41°	. Пусть X — нормированное пространство, опера-
торы А е Т£(Х), В е В(Х) и АВ — ВА. Доказать, что
А^В^ВА-1.
171
9.42.	Пусть X — нормированное пространство, опера-
тор А е ТВ(Х). Определим к ||А||||А_1|| — число
обусловленности оператора А. Предположим, при реше-
нии уравнения Ах = у (здесь у задан и надо найти х) найдено
приближенное решение х и Ах — у. Доказать оценку для
относительной погрешности
1 1|у-у|| < ||а-Ё|| < . ||у-у||
k М " М "	h|| •
Из задачи 9.1° следует, что обратимость оператора А влечёт
оценку inf || Ат || > 0. Обратное утверждение в общем случае
М=1
неверно: необходимо дополнительно требовать сюръективность
оператора А.
9.43.	Пусть X — банахово пространство, a Y — нормированное
пространство; оператор А е B(X,Y) и inf |(Аж||у = с > 0.
Мх=1
Доказать, что Im А — банахово пространство и А обратим, как
оператор из X в Im А.
Множество обратимых операторов открыто в пространстве
операторов (см. задачу 9.36). Докажем, что оно не замкнуто.
9.44°	. Привести пример банаховых пространств X, Y и по-
следовательности обратимых операторов {An}i° € Б(Х, У),
Ап =4 А, таких, что оператор А не обратим. ►
9.45°	. Привести пример банахового пространств X и оператора
А € ZB(X), для которого найдётся последовательность необра-
тимых ограниченных операторов {AnJ^Lj таких, что Ап Л А.
9.46.	Пусть X и Y — банаховы пространства, операторы
Ап А в Б(Х). Доказать, что А обратим тогда и только тогда,
когда
(1)	все Ап, начиная с некоторого номера, обратимы;
(2)	обратные операторы (начиная с этого номера) равномерно
ограничены: ||А“1|| < С.
9.47°	. Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор
А € ZB(X, У). Доказать, что оператор А' также обратим
и (А')”1 = (А-3)\ Доказать, что если X и У — гильбер-
товы пространства, А € ТВ(Х, У), то А* также обратим и
(А*)"1 = (А"1)*.
172
9.48.	Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор
А е	a Af е TB(Y*,X*). Доказать, что оператор А
также обратим и А-1 =	((А')-1) ЯУ» где ^х ' X с—> X**,
7Гу : Y У** — канонические вложения.
9.49°	. Пусть Н — гильбертов© пространство, А — обратимый
самосопряжённый оператор. Доказать, что обратный оператор
А"1 также самосопряжён. Доказать, что если самосопряжён-
ный обратимый оператор А > 0, то и А-1 > 0.
9.50°	. Пусть Н — гильбертово пространство, А и В — самосо-
пряжённые операторы и I < А < В. Доказать, что операторы
А и В обратимы и В-1	А-1 Z.
173
174
175
Учебное издание
Задачи по функциональному анализу. Часть I
Пётр Анатольевич Бородин,
Артём Маркович Савчук,
Игорь Анатольевич Шейпак
Оригинал-макет изготовлен издательской группой
механике-математического факультета МГУ
Подписано в печать 24.06.2009 г.
Формат 60x90 1/16. Объем 11 п.л.
Заказ <2 Z	Тираж 200 экз.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете
МГУ 119992, г. Москва, Ленинские горы д.1.
Отпечатано на типографском оборудовании механико-мате-
матического факультета МГУ
119992, г. Москва, Ленинские горы д.1.