/
Автор: Постников М.М.
Теги: математика геометрия естественные науки издательство наука группа ли
Год: 1982
Текст
ЛЕКЦИИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Семестр V
м. м. постников
ГРУППЫ
И АЛГЕБРЫ ЛИ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов, обучающихся
по специальности «Математика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 2
22 Л 5
П. 63
УДК 513
1702040000—032
053(02)-82
14-81.
© Издательство «Наука»
Глазная редакции
физико-м атем этической
литературы, 1982
Содержание
Предисловие ............................. ..... 6
ЛЕКЦИЯ I....................................................., 9
Гладкие и топологические группы. — Ослабление условий, опреде-
ляющих группы Ли. — Примеры групп Ли. — Преобразование
Кэли. — Дальнейшие примеры групп Ли. — Связные и линейно связ-
ные пространства и группы. — Редукция любых гладких групп
к связным. — Примеры связных групп Ли.
ЛЕКЦИЯ 2 ..................................................29
Левоинвариа.чтные векторные поля. — Параллелизуемость групп
Ли. — Интегральные кривые левоиивариантных векторных полей
и однопараметрические подгруппы. — Функтор Ли. — Пример: груп-
па обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Функции со
значениями в ассоциативной алгебре. — Одиопараметрические под-
группы группы
ЛЕКЦИЯ 3 ..................................................48
Матричные группы Ли, допускающие конструкцию Кэли. — Обоб-
щение конструкции Кэли. — Группы, обладающие 1п-образамн. —
Алгебры Ли.—Примеры алгебр Ли. —Алгебра Ли векторных по-
лей. — Алгебра Ли группы Лн. —• Пример: алгебра Ли группы
обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Локально изоморф-
ные группы Ли. — Групускулы Ли. — Функтор Ли иа категории
групускул Ли.
ЛЕКЦИЯ 4 ..................................................70
Экспонента линейного дифференциального оператора. — Формула
для значений гладких функций в нормальной окрестности едини-
цы группы Ли. — Формула для значений гладких функций на
произведении двух элементов. — Ряд Кемпбелла — Хаусдорфа и
многочлены Дынкпна. — Сходимость ряда Кэмпбелла — Хаусдор-
фа. — Восстановление групускулы Ли по ее алгебре Ли. — Опера-
ции в алгебре Ли группы Лн и однопараметрические подгруп-
пы. — Дифференциалы внутренних автоморфизмов. — Дифференциал
экспоненциального отображения. — Канонические координаты. —
Единственность структуры группы Ли. — Группы без малых под-
групп и пятая проблема Гильберта.
ЛЕКЦИЯ 5 ..................................’...............-96
Свободные ассоциативные алгебры. — Свободные алгебры Ля. —
Основная лемма. — Универсальная обертывающая алгебра. — Вло-
жение алгебры Ли в ее универсальную, обертывающую алгебру. —
Доказательство того, что алгебра I <Х) свободна. — Теорема Пуан-
каре — Биркгофа — Витта. — Тензорные произведении линеалов и
алгебр. — Алгебры Хопфа.
ЛЕКЦИЯ S.......................................................
Теорема Фридрнхса. — Доказательство утверждения В из лек-
ции 4. — Теорема Дынкина. — Линейная часть ряда Кемпбелла —
Хаусдорфа. — Сходимость ряда Кемпбелла —Хаусдорфа. — Гругш-
алгебры Ли. — Эквивалентность категорий групускул и группал-
гебр Ли. — Изоморфизм категорий групаалгебо и алгебр Ли. *—
Третья теорема Ли.
4
СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 7.................................................... i38
Подгрупускулы и подалгебры. — Инвариантные подгрупускулы и
идеалы. — Факторгрупускулы и факторалгебры. — Сведение глад-
ких групускул к аналитическим. — Системы Пфаффа. — Подрас-
слоения касательных расслоений. — Интегрируемые подрасслое-
ния. — Графики систем Пфаффа. — Инволютивные подрасслое-
ния. — Полная унивалентность функтора Ли. — Ииволютнвность
интегрируемых подрасслоений. — Вполне интегрируемые подрасслое-
пия.
ЛЕКЦИЯ 8 .... . ..............................1бз
Накрытия. — Сечения накрытий. — Пунктированные накрытпя. —
Коамальгамы. — Односвязные пространства. — Морфизмы накры-
тий. — Отношение квазипорядка в категории пунктированных на-
крытий.— Существование односвязных накрытий. — Вопросы обо-
снования. — Функториальиость универсального накрытия.
ЛЕКЦИЯ 9.................................................... 190
Гладкие накрытия. — Изоморфизм категорий гладких и топологи-
ческих накрытий. — Существование универсальных гладких накры-
тий. — Накрытия гладких и топологических групп. — Универсаль-
ные накрытия групп Ли. — Леммы о топологических группах. —
Локальные изоморфизмы н накрытия. — Описание локально изо-
морфных групп Ли.
ЛЕКЦИЯ !0................................................... 204
Локальные изоморфизмы и изоморфизмы локализаций. — Теорема
Картана. — Окончательная диаграмма категорий и функторов. —
Редукция теоремы Картана. — Глобализуемость вложнмых групу-
скул. — Сведение теоремы Картана к теореме Адо.
ЛЕКЦИЯ И.................................................... 218
Подмногообразия гладких многообразий. — Подгруппы групп Ли. —
Интегральные многообразия интегрируемых подрасслоений. — Мак-
симальные интегральные многообразия. — Идея доказательства
теоремы I. — Локальное строение подмногообразий. — Единствен-
ность структуры локально выпрямляемого подмногообразия со
счетной базой. — Подмногообразия многообразий со счетной ба-
зой. — Связные группы Ли имеют счетную базу. — Локальная вы-
прямляемое™ максимальных интегральных многообразий. — Дока-
зательство теоремы I.
ЛЕКЦИЯ 12................................................... 238
Альтернативные определения понятия подгруппы группы Ли. —
Топологические подгруппы групп Ли. — Замкнутые подгруппы
групп Ли. — Алгебраические группы. — Группы автоморфизмов
алгебр. — Группы автоморфизмов групп Ли. — Идеалы и инва-
риантные подгруппы. — Фактормногообразия групп Лн. — Фактор-
группы групп Ли. — Вычисление фундаментальных групп. — Одно-
связность групп SU(n) и Sp(n). — Фундаментальная группа груп-
пы U(n).
ЛЕКЦИЯ 13.................................................... 258
Алгебра Клиффорда квадратичного функционала.— Ха-градуиров-
ка алгебры Клиффорда. — Еще о тензорном умножении линеалов
и алгебр. — Разложение алгебр Клиффорда в косое тензорное про-
изведение. — Базис алгебры Клиффорда. — Сопряжение в алгебре
Клиффорда. — Центр алгебры Клиффорда. — Группа Ли Spin(rt).
Фундаментальная группа группы SO(n). — Группы Spin(n) при
п=С4. — Гомоморфизм х- — Группа Spin(6). — Группа Spin (5).—
Матричные представления алгебр Клиффорда. — Матричные
представления групп Spin(n). — Матричные группы, в кото-
рых представлены группы Spin(rc). —Редуцированные пред-
ставления групп Spin(n). — Дополнительные сведения из линейной
алгебры.
СОДЕРЖАНИЕ
5
ЛЕКЦИЯ 14.................................................. .... 300
Удвоение алгебр. — Метрические алгебры. — Нормированные алгеб-
ры. — Автоморфизмы и дифференцирования метрических алгебр. —
Дифференцирования удвоенной алгебры. — Дифференцирования и
автоморфизмы алгебры Н- — Алгебра октав. — Алгебра Ли дг>.
— Структурные константы алгебры Ли д~. Задание алгебры Ли д^
образующими и соотношениями.
ЛЕКЦИЯ 15.................................................. 322
Тождества в алгебре октав Са. — Подалгебры алгебры октав
Са. — Группа Ли Gi. — Принцип тройственности для группы
Spin(8). — Аналог принципа тройственности для группы Spin(9).—
Алгебра Алберта А1. — Октавная проективная плоскость.
ЛЕКЦИЯ 16.................................................. 344
Скалярные произведения в алгебре А1. — Автоморфизмы и диф-
ференцирования алгебры А1.— Присоединенные дифференцирова-
ния алгебры А1.— Теорема Фрейденталя.—Следствия теоремы
Фрейденталя.— Группа Ли f4.— Алгебра Ли f4.— Структура ал-
сС
гебры Ли Ц.
ЛЕКЦИЯ 17....................................................364
Разрешимые алгебры Ли. — Радикал алгебры Ли. — Абелевы ал-
гебры Ли. — Центр алгебры Ли. — Нильпотентные . алгебры Ли. —
Нильрадикал алгебры Ли. — Линейные нильалгебры Ли. — Теоре-
ма Энгеля. — Критерии нильпотентности. — Линейные неприводи-
мые алгебры Ли. — Редуктивные алгебры Лн.—Линейные разре-
шимые алгебры Ли. — Нильпотентный радикал алгебры Ли.
ЛЕКЦИЯ 18............................................... .... 380
Следный функционал. — Функционал Киллинга. — Следный функ-
ционал представления.—Жорданово разложение линейного опера-
тора. — Жорданово разложение присоединенного оператора. — Тео-
рема Картана о линейных алгебрах Ли. — Доказательство критерия
Картана разрешимости алгебры Ли. — Линейные алгебры Лн с не-
вырожденным следиым функционалом. — Полупростые алгебры
Лн. — Критерий Картана полупростоты. — Операторы Казимира.
ЛЕКЦИЯ 19............................................... .... 397
Когомологии алгебр Ли. — Теорема Уайтхеда. — Разложение Фит-
тинга.— Обобщенная теорема Уайтхеда.—Леммы Уайтхеда.—
Теорема Вейля о полной приводимости. — Расширения абелевых
алгебр Ли.
ЛЕКЦИЯ 20....................................................412
Теорема Леви. — Простые алгебры н группы Лн. — Каиновы и
унимодулярные группы. — Лемма Шура. — Центр простой матрич-
ной группы Ли — Пример нематричиой группы Ли. —Когомологии
де Рама. — Когомологии алгебр Лн векторных полей. — Сравнение
когомологий группы Ли и ее алгебры Лн.
ЛЕКЦИЯ 21 ...................................................427
Функционал Киллинга идеала. — Некоторые свойства дифференци-
рований. — Радикал и нильрадикал идеала. — Продолжение диф-
ференцирований на универсальную обертывающую алгебру. —
Идеалы конечной коразмерности обертывающей алгебры. — Ради-
кал ассоциативной алгебры. — Обоснование индуктивного шага по-
строения. — Доказательство теоремы Адо. —Заключение.
Литература ............ .. ............................442
Предметный указатель ................. . . .... 444
Предисловие
В основе теории групп Ли лежит теорема Кар-
тана об эквивалентности категории односвязных групп
Ли категории алгебр Ли. Эта книга посвящена доказа-
тельству теоремы Картана и основных связанных с ней
результатов. Более глубокие отделы теории групп Ли,
опирающиеся на теорему Картана, остаются, таким об-
разом, вне рамок нашего изложения. Точно так же, тео-
рия алгебр Ли излагается лишь постольку, поскольку
это необходимо для доказательства теоремы Картана,
Подобно предыдущим книгам этой серии1), настоя-
щая книга представляет собой почти точную запись лек-
ций, которые автор читал студентам (и аспирантам) ме-
ханико-математического факультета Московского уни-
верситета. Однако если книги I и II основывались на
лекциях обязательного курса, то эта книга является
записью спецкурса, что обусловило ряд ее существенных
отличий.
Ориентация на студентов старших курсов и аспиран-
тов (отнесение этих лекций к пятому семестру имеет
условный характер, поскольку контингент их слушате-
лей довольно равномерно распределялся по всем стар-
шим курсам) позволила за «законные» два академиче-
ских часа (90 минут) излагать значительно больше ма-
териала, чем это было возможно на лекциях из I и II,
рассчитанных на первокурсников. Увеличению объема
лекций способствовало также их удлинение почти до
двух астрономических часов (120 минут) за счет сокра-
щения перерыва и затягивания лекций после звонка.
’) См. Постников М. М. Лекции по геометрии, Семестр I,
Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1979; Семестр II, Линейная
алгебра и дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1979 (цитиру-
ются как I и П). Семестры III и IV находятся in statu nascendi.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Все это дало возможность почти вдвое увеличить фак-
тический объем каждой лекции. Конечно, при менее на-
пряженном ритме преподавания, — скажем, в условиях
годового, а не семестрового курса, — каждая лекция
разворачивается фактически в полторы-две лекции. По-
этому, быть может, эту книгу лучше рассматривать как
запись годового спецкурса (но мне удавалось — при
особо благоприятных обстоятельствах — укладываться
и в один семестр), тем более, что по разным причинам
обычно за семестр прочитывается не более 12—13 лек-
ций, хотя по учебному плану их 18.
Из-за острейшего дефицита времени при чтении спе-
циального курса значительно чаще, чем в обязательном
курсе, приходится ограничиваться лишь идеей доказа-
тельств, оставляя подробное их проведение слушателям.
Вспомогательные утверждения из других отделов мате-'
матики достаточно лишь формулировать со ссылками
на литературу, а иллюстрирующие общую теорию при-
меры лишь описывать, также предоставляя их подроб-
ный разбор слушателям. При переносе же устной лек-
ции на бумагу сохранять эти особенности нет необходи-
мости и, более того, все доказательства стоит произво-
дить подробно, разбор примеров осуществлять до конца,
а «посторонние» леммы доказывать. Это приводит к до-
полнительному разбуханию объема записанной лекции
иногда вдвое-втрое.
Каждый лектор, предполагая у слушателей опреде-
ленный запас знаний, всё же вынужден особо важные
предварительные сведения хотя бы вкратце напоминать..
При письменном изложении эти напоминания приходится
для удобства читателей разворачивать з систематиче-
ский раздел подчас довольно большого объема.
Всем этим объясняется неожиданно большой объем
некоторых лекций в книге. Все же с учетом всего ска-
занного каждая лекция в книге на самом деле является
записью реальной устной лекции (с, точностью до само
собой разумеющихся передвижек начальных и концевых
отрезков соседних лекций).
Все лекции фактически разбиваются на 5 циклов.
В первом цикле (лекции 1—3) вводятся и разъясняют-
ся на примерах основные понятия: группа Ли, алгебра
Ли, алгебра Ли данной группы Ли.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Следующий цикл (лекции 4—7) посвящен «локаль-
ной теории» групп Ли. В лекциях 4 и 6 устанавливается
эквивалентность категорий алгебр Ли и аналитических
групуСкул (= локальных групп) Ли. Необходимый ал-
гебраический аппарат развивается в лекции 5. В лекции
7 доказывается, что предположение аналитичности общ-
ности на самом деле не ограничивает. Здесь же рассмат-
риваются подгрупускулы и факторгрупускулы.
Глобализация теории осуществляется в лекциях 8—
10. В лекции 8 излагается теория накрытий (по Ше-
валле, т. е. «без путей»), в лекции 9 строится универ-
сальная накрывающая группа, а в лекции 10 формули-
руется и обсуждается теорема Картана. Эта теорема не
доказывается, а лишь сводится к теореме Адо о суще-
ствовании для любой алгебры Ли точного линейного
представления.
Эти три цикла могут составить предмет маленького
курса по теории групп Ли для начинающих.
В лекциях 11 и 12 подробно рассматриваются под-
группы и факторгруппы групп Ли. Лекция 13 посвя-
щена алгебрам Клиффорда и спинорным группам. В лек-
циях 14—16 впервые в учебной литературе подробно
рассмотрены особые группы Ли Сг и А вместе со всем
необходимым алгебраическим аппаратом.
Последние лекции 17—21 носят чисто алгебраический
характер и фактически независимы от всего предше-
ствующего (если не считать стоящей несколько особня-
ком лекции 20). Формально они посвящены доказатель-
ству теоремы Адо, но на самом деле содержат весьма
обширный фрагмент теории алгебр Ли (критерии Карта-
на разрешимости и полупростоты, леммы Уайтхеда, тео-
ремы Вейля и Леви), имеющий и самостоятельный ин-
терес.
В заключение я хотел бы выразить благодарность
В. Л. Попову, вклад которого в усовершенствование
первоначальной рукописи книги далеко превзошел обыч-
ные обязанности редактора.
27 октября 1979 г. м. М. Постников
Лекция 1
ГЛАДКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. — ОСЛАБ-
ЛЕНИЕ УСЛОВИИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ГРУППЫ ЛИ. —
ПРИМЕРЫ ГРУПП ЛИ.—ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭ-
ЛИ. — ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ГРУПП ЛИ.—СВЯЗ-
НЫЕ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
ГРУППЫ. — РЕДУКЦИЯ ЛЮБЫХ ГЛАДКИХ ГРУПП
к связным. — ПРИМЕРЫ связных ГРУПП ли.
Пусть G— одновременно группа и гладкое многообра-
зие1).
Определение 1. Группа G называется группой Ли
(или гладкой группой}, если отображения
(1) GXG G, (a.b)^ab,
и
(2) G G, а^а~\
являются гладкими отображениями.
Пусть G и Н — группы Ли. Отображение G —Н на-
зывается морфизмом групп Ли (или их гладким гомо-
морфизмом), если оно является их гомоморфизмом как
абстрактных групп и гладким отображением как много-
образий.
Ясно, что все группы Ли и все их гомоморфизмы об-
разуют категорию. Мы будем обозначать эту категорию
символом GR-DIFF.
’) Мы предполагаем известными начальные сведения из теории
гладких многообразий в объеме программы обязательного курса гео-
метрии третьего семестра мехмата МГУ. До выхода в свет «Семе-
стра III» этих «Лекций» читатель может познакомиться с ними по
любому из многочисленных существующих изложений.
Необходимые сведения из теории групп см., например, в книге:
Кострикии А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1978.
10
ГЛАДКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Замечание 1. Собственно говоря, имеется счет-
ное семейство категорий GR-DIFF в зависимости от
того, какой класс гладкости Сг (где либо 2 г оо,
либо г — ®) мы требуем от рассматриваемых многооб-
разий. Однако на самом деле от г ничего фактически не
зависит, поскольку, как будет показано в лекции 7, лю-
бая Сг-гладкая группа Сг-изоморфна аналитической
(класса С®) группе.
Замечание 2, Некоторые авторы находят тонкие
различия между группами Ли и гладкими (в частности,
аналитическими) группами. Мы будем оба термина рас-
сматривать как синонимичные, отдавая предпочтение
первому как более распространенному и традиционному.
Аналогично группа G, одновременно являющаяся то-
пологическим пространством, называется топологиче-
ской группой, если отображения (1) и (2) для нее не-
прерывны. Гомоморфизм G -> Н топологических групп
называется непрерывным, если он является непрерыв-
ным отображением. Топологические группы и их непре-
рывные гомоморфизмы составляют категорию GR-TOP.
Напомним, что топологическое пространство М назы-
вается хаусдорфовым (или отделимым), если любые две
его различные точки обладают непересекающимися ок-
рестностями, т. е., иначе говоря, если диагональ А (под-
множество произведения М X М, состоящее из точек
вида (х, х), х <= М) замкнута в М. От топологической
группы (так же, как от гладкого многообразия) мы,
вообще говоря, хаусдорфовости не требуем.
Лемма 1. Топологическая группа G тогда и только
тогда хаусдорфова, когда ее единица замкнута.
Доказательство. В хаусдорфовом пространстве
любая точка замкнута, так что это условие необходимо.
Но, поскольку диагональ А сс G X G является прообра-
зом единицы при непрерывном отображении GXC->G,
(а, &);—оно и достаточно. □
Следствие. Каждая группа Ли является хаусдорфо-
вой топологической группой. □
В определении гладких групп условие гладкости
отображения (2) на самом деле излишне:
Предложение 1. Если для группы G, одновременно
являющейся гладким многообразием, отображение (1)
ОСЛАБЛЕНИЕ' УСЛОВИЙ ГРУПП ЛИ
11
гладко, то отображение (2) также гладко, и, значит,
группа G является группой Ли.
Заметим, что для топологических групп аналогичное
утверждение неверно.
Ключом к доказательству предложения 1 служит
следующая лемма из теории гладких многообразий:
Лемма 2. Пусть М, N и R— гладкие многообразия,
и пусть
q>: М X R —* N
>— такое гладкое отображение, что для любой точки
r^R отображение
Фг: М —;> N, х >—> ф (х, г), х е М,
является диффеоморфизмом многообразия М на много-
образие N. Тогда отображение
ф: N X R ~> М,
определенное формулой
Ф (У, г) = (р-1 (у), ye=N, R,
является гладким отображением.
Доказательство. Пусть отображения
Ф: М X Я -* N X R, N X R М X R
определены соответственно формулами
Ф (х, г) — (ф (х, г), г) = (фг (х), г), х s М, г «= R,
(У, г) = (ф (у, г), г) = (ф/1 (у), г), у «= N, г е= R.
Ясно, что эти отображения тогда и только тогда гладки,
когда гладки соответственно отображения ф и ф. Таким
образом, по условию отображение Ф гладко, и нам
нужно доказать, что гладко отображение W.
С этой целью мы заметим, что, по определению,
(Ф о Ф) (х, г) = Т (фг (х), г) = (Ф71 (фг (х)), г) = (х, г)
для любой точки (х, г)еЛ'1Х^ и аналогично
(Ф о ЧЭ (у, г) = Ф (Ф71 (у), г) = (фг (Ф71 (//)), г) = (у, г)
12
ОСЛАБЛЕНИЕ УСЛОВИИ ГРУПП ЛИ
для любой точки {у, г) е N X Я. Это означает, что ото-
бражения Ф и W обратны друг к другу и, значит, оба
являются биективными отображениями.
Поэтому утверждение о гладкости отображения Чг
равносильно утверждению, что гладкое биективное ото-
бражение Ф является диффеоморфизмом.
Но ясно, что гладкое биективное отображение тогда
и только тогда является диффеоморфизмом, когда оно
является локальным диффеоморфизмом, т. е. представ-
ляет собой этальное отображение (обладает тем свой-
ством, что в каждой точке его дифференциал является
изоморфизмом).
Итак, все свелось к вычислению в каждой точке
(а, г)<=Л4ХЯ дифференциала (г/Ф)(а>Г) отображения Ф,
который мы можем рассматривать как линейное отобра-
жение вида ’)
3) Та (М) ф Тг (Я) -> Т6 (N) ф Тг (Я), где b = Ф (а, г).
Наглядно каждое отображение (3) задается матри-
цей вида
(4)
/А
k с d)
где
А: Та (А-1)Ть(?7),
С: Та(М) > ТЛЯ),
В: ТГ(Я)-^ Tb(N),
D: ТДЯ) ТЛЯ)
— очевидным образом определяющиеся линейные ото-
бражения. В частности, для отображения (г/Ф)<а, о
отображение А является не чем иным, как дифферен-
циалом в точке а отображения <рг: отображе-
ние С — дифференциалом постоянного отображения (и,
следовательно, представляет собой нулевое отображе-
ние), а отображение D — дифференциалом тождествен-
ного отображения (и, следовательно, — также тождест-
венным отображением). Таким образом, для дифферен-
циала (<2Ф)(а, г) матрица (4) имеет вид
((.d^r)a В А
ко id )
*) Символом ТХ(Л4) мы обозначаем касательное пространство
многообразия М в точке х е М.
ОСЛАБЛЕНИЕ УСЛОВИЙ ГРУПП ЛИ
13
(отображение В нас не интересует). Поскольку диффе-
ренциал (^фг)а является в силу условия леммы изомор-
физмом, отсюда следует, что дифференциал (г/Ф)(а,
также представляет собой изоморфизм. □
Для каждой группы G любой элемент а G опреде-
ляет по формулам
Lax — ах, Rax = ха> х *=
два отображения
La: G -> G, Ra: G -> С,
которые называются сдвигами на элемент а (отображе-
ние La — левым сдвигом, а отображение Ra— правым
сдвигом).
Следующие свойства сдвигов очевидны:
Le = Re = id, где е — единица группы G
(это в точности утверждение, что е является единицей);
Lb ° La Lba, Rb ° Ra Rabi La ° Rb Ro ° La
(каждое из этих равенств равносильно ассоциативности
умножения в группе).
В частности (поскольку La° La-i—La-x ° La=Z,e = id и
°/?a-i =/?a-i °= id), мы видим, что каждый
сдвиг является биективным отображением, причем
для любого элемента а е G.
Если G —- топологическая (гладкая) группа, то
отображения La и Ra непрерывны (гладки) и потому яв-
ляются гомеоморфизмами (диффеоморфизмами).
Теперь у нас все готово для доказательства предло-
жения 1.
Доказательство предложения 1. Глад-
кость отображения (1) влечет гладкость сдвигов La, а
значит, и тот факт, что они являются диффеоморфиз-
мами. При этом соответствующее отображение Lz
(х, а)>—> La(x) = ах является не чем иным, как отобра-
жением (1) и потому гладко. Таким образом, мы
ПРИМЕРЫ ГРУПП ЛИ
14 '
находимся в условиях леммы 1 (при М = N = R = G},
и, следовательно, согласно этой лемме отображение .
L': G X G -> G,
определенное формулой
L' (х, а) — La 1 (х) =
гладко. Для завершения доказательства остается заме-
тить, что отображение а—>а~1 является композицией
гладкого отображения G —> G X G, а-—>(е, а), и отобра-
жения L'. Поэтому оно тоже гладко. □
Примеры групп Ли.
Пример 1. Любая абстрактная (дискретная топологи-
ческая) группа будет группой Ли по отношению к гладко-
сти, в которой она является нульмерным многообразием.
Пример 2. Любое конечномерное линейное простран-
ство является группой Ли по сложению.
Пример 3. Единичная окружность S1: |г|—1, точ-
ками которой являются комплексные числа z = е‘9, яв-
ляется группой Ли по умножению.
Аналогично группой Ли по умножению является еди-
ничная сфера S3 в пространстве кватернионов, точками
которой являются кватернионы Е, для которых = 1.
Можно показать, что если сфера Sn является груп-
пой Ли, то необходимо п — 1 или п — 3, так что S- и
S3 являются единственными сферами, допускающими
структуру группы Ли.
Пример 4. Прямое произведение G X Н двух гладких
(или топологических) групп G и Н является гладкой
(соответственно топологической) группой.
В частности, группой Л и будет любой тор Тп, п Аз 1.
Пример 5. Группой Ли является полная линейная
группа GL (n). Группой Ли будет и изоморфная ей груп-
па Ant "И всех автоморфизмов (невырожденных линей-
ных операторов) произвольного «-мерного линейного
пространства JA
Чтобы получить более содержательные примеры, не-
обходимо предварительно рассмотреть одну общую кон-
струкцию.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ
15
Определение 2. Матрица А порядка п называется- не-
исключительной, если det(E + А) #= 0. Для такой мат-
рицы существует матрица
А# = {Е — А) +
называемая ее кэли-образом.
Ясно, что множество R (п)° всех неисключительных
матриц открыто в многообразии R (л) = R (п, п) всех
квадратных nX^-матриц и потому является гладким
многообразием.
Предложение 2. Отображение A *—>А# является инво-
лютивным автодиффеоморфизмом многообразия R(«)°,
т. е. для любой неисключительной матрицы А матрица А#
также неисключительна, отображение A ।—> А# многообра-
зия R(n)° в себя гладко и кэли-сбраз матрицы А# сов-
падает с матрицей А:
А##=А.
Доказательство. Пусть В — А *. Тогда
Е + В = Е 4- (с — А) (Е + А) -1 =
= [(Е А-А) А-(Е — А)] ( Е + А)'1 =
= 2(Д + А)-1,
и аналогично
Е — В =2А(Е А- А)~\
Поэтому, во-первых, det(£' + B) #=0 и, во-вторых,
В* = (Е — В) (Е + В)-1 = А.
Гладкость отображения А>—> А* очевидна. □
Дальнейшие примеры групп Ли.
Пример 6. Пусть, как всегда, О (я)—группа всех ор-
тогональных матриц порядка п. Покажем, что в группу
О(п) естественным образом вводится гладкость, по от-
ношению к которой она является группой Ли.
Пусть А — неисключительная ортогональная мат-
рица, и пусть В = А#. Тогда Ат = А-1, и потому,
16
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ГРУПП ЛИ
согласно известным правилам обращения с транспониро-
ванными матрицами,
Вт -= (£ + Лт)"1 (£ — Лт) = (Е + А~ ’)-1 (Е — Л =
= (£+ Л-1)1 А-1Л (£ — Л"’) =
= (Л (Е + Л'1))-' (А — Е) —
= (Л + Е)"’ (А — Е) = —(Е~ Л) (Е + Л)-1 = — В.
Обратно, если Вг — — В, то
Лт = (Е + Ет)“’ (Е — Ет) = (Е — В)~1 (Е-\- В) —
= (Е + В) (Е - В)~' = А~\
и, следовательно, матрица Л ортогональна. Таким обра-
зом, мы видим, что неисключительная матрица тогда и
только тогда ортогональна, когда ее кэли-образ являет-
ся кососимметрической матрицей.
Поскольку кососимметрические матрицы образуют
линейное пространство (размерности ——— j, мы по-
лучаем, следовательно, что отображение А>—>Л# может
быть рассматриваемо как картирующее отображение;
соответствующей координатной окрестностью служит со-
вокупность О(п)° всех ортогональных неисключитель-
ных матриц (содержащая, очевидно, единичную мат-
рицу Е), а ее образом — совокупность всех кососиммет-
рических неисключительных матриц.
Пусть теперь С—произвольная ортогональная мат-
рица. Множество О(п)°С, состоящее из всех матриц
вида АС, где Л е О (п) °, содержит матрицу С и являет-
ся ее окрестностью. Отображение же AC t—> А# пред-
ставляет собой картирующее отображение этой окрест-
ности на открытое множество неисключительных косо-
симметрических матриц порядка п. Тем самым вся
группа О(п) оказывается покрытой картами вида
О(п)°С. Если же AjCi — А2С2, где Ль А2 е O(n)°, a Ct.,
С2—фиксированные матрицы, то Л* = /(Л*), где f —
некоторая рациональная матричная функция, зависящая
от Ci, С2, Явное выражение для f выписывается без
дальнейшие примеры групп ли
17
труда, но в нем нет нужды, поскольку для наших целей
достаточно очевидного замечания, что каждый элемент
матрицы А# является рациональной, а значит, и глад-
кой функцией элементов матрицы А*. Из этого замеча-
ния следует, что любые две карты вида О(п)'°С согласо-
ваны друг с другом и, следовательно, все они состав-
ляют атлас. Так как кэли-образ произведения двух мат-
риц является, очевидно,, рациональной функцией кэли-
образов сомножителей, то соответствующая гладкость
на О(п) согласована с умножением, т. е. снабженная
этой гладкостью группа О(п) является группой Ли.
Трюк с кэли-образами имеет, как легко видеть, весь-
ма общий характер. Действительно, во всем сказанном
выше специфика ортогональных матриц использовалась
только в том, что кэли-образы неисключительных орто-
гональных матриц составляют открытое множество ли-
нейного пространства. Поэтому матричная группа будет
группой Ли, если кэли-образы ее неисключительных мат-
риц составляют открытое множество некоторого линей-
ного пространства матриц.
О матричных группах, обладающих этим свойством,
мы будем говорить, что они допускают конструкцию
Кэли, а соответствующее линейное пространство матриц
будем называть кэли-образом группы.
Пример 7. Матрица
/ At А2 \
\ Л3 At /
четного порядка п — 2m называется симплектической
матрицей, если:
а) матрицы ЛГАз и А2 At симметричны;
б) имеет место равенство
Л] Л4 — Аз Л2 = Е.
Эти условия равносильны одному матричному равен-
ству
(5) ЛТ/Л=Д
где
18
ДАЛЬНЕЙШИЕ примеры групп ли
Симплектичность матрицы означает, что она сохра-
няет билинейную кососимметрическую форму
(x{yn+i — xn+lyj + . •. + (хау2п — х2пуп).
Более общим образом можно рассмотреть матрицы
А, удовлетворяющие соотношению (5) при произвольной
(но фиксированной) матрице /. При /' == Е получаются
ортогональные матрицы (А^А = Е), и на этом основа-
нии матрицы А, удовлетворяющие при данной матрице/
соотношению (5), называются /-ортогональными мат-
рицами. Таким образом, симплектические1 матрицы—•
это /-ортогональные матрицы, соответствующие мат-
рице / вида (6).
Из соотношения
(ЛВ)Т / (АВ) = Вт (Л г/Л) В.
непосредственно вытекает, что произведение двух /-ор-
тогональных матриц является /-ортогональной матри-
цей. Если матрица / не вырождена, то, переходя в ра-
венстве (5) к определителям, мы немедленно получим,
что det Л = ±1 и, в частности, что любая /-ортогональ-
ная матрица обратима. При этом ввиду равенства
(Л-‘)Т 1А~1 = (Л~!)Т (Лт/Л) Л-1 =/,
обратная матрица Л~! также будет /-ортогональной мат-
рицей. Этим доказано, что при невырожденной матрице
/ все /-ортогональные матрицы образуют группу. В част-
ности, группу образуют симплектические матрицы.
Мы будем обозначать группу /-ортогональных мат-
риц порядка п символом Оу(п), а группу симплектиче-
ских матриц порядка п — 2m символом Sp(m;R).
Группа Sp(m; R) называется вещественной линейной
симплектической группой.
Легко видеть, что неисключительная матрица А тогда
и только тогда J-ортогональна, когда ее кэли-образ А#
является /-кососимметрической матрицей, т. е. удовлет-
воряет соотношению
(7) (Л#)Т/ = —/Л*.
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ГРУПП ЛИ
19
Действительно, если выполнено соотношение (5), то
(Л*)Т J = (В + Лт)“‘ (В — Лт) J =
= (Е + /Л-1/-1)-1 (я — /Л"1/-1) J =
= J (д-’л + л-1)-1 (л-’л - л-1) =
= J (Л + ЕГХ (Л — В) = — JA#.
Обратно, из (7) следует (мы полагаем В — Л# и поль-
зуемся соотношением В# — Л), что
Лт/Л = (Е + Вт)“’ (В — Вт) J • (Е — В) (Е + В)-1 = =
= \Е + Вт)“’ • J (Е + В) • (В + В)"1 (В — В) =
= (В + Вт)“’ • / (В — В) = (В + Вт)~’ • (В + Вт)
=1. □
Поскольку условие (7) линейно и потому опреде<
ляет в пространстве всех матриц линейное подпростран-
ство, этим доказано, что каждая группа Оj (п) (и, в част<
ности, группа Sp(m;R)) допускает конструкцию Кэли
и потому является группой Ли.
Поскольку, как легко видеть, линейное пространство
матриц, определяемое условием (7) (при матрице /, за-
данной формулой (6)), имеет размерность m(2m-j-l),
мы получаем, в частности, что размерность группы
Sp(m;R) равна m (2m 4- 1) •
Пример 8. Пересечение Sp(m; R)f]O(2m) называется
ортогональной симплектической группой. Кэли-образы
неисключительных матриц из этой группы имеют вид
где D — симметрическая, а С — кососимметрическая мат-
рицы. Поскольку матрицы вида (3) также составляют
линейное пространство, группа Sp (m; R) П О (2m) яв-
ляется группой Ли. Ее размерность равна т2.
Пример 9. Группы Ли можно конструировать не
только из вещественных, но и из комплексных матриц.
Для любого п 1 комплексное линейное пространство
20
дальнейшие примеры групп ли
С" мы можем отождествить с пространством R2n, выпи-
сав в определенном, но фиксированном порядке веще-
ственные и мнимые части компонент векторов из С,". Это
вводит в пространство Сга( а значит, и в любое его от-
крытое подмножество) строение гладкого многообразия
размерности 2п (не зависящее, конечно, от порядка вы-
писывания вещественных и мнимых частей компонент
векторов из .С").
Множество С (п, т) всех комплексных п X т-мат-
риц отождествляется с Спт и потому также оказывается
гладким многообразием. Гладким многообразием будет
и подмножество GL(/?;C) множества .С (п) = .С(п, п),
состоящее из невырожденных матриц. Поскольку ве-
щественные и мнимые части элементов произведения
двух комплексных матриц являются гладкими функ-
циями вещественных и мнимых частей элементов сомно-
жителей, многообразие GL(n; С) является группой Ли
(размерности 2н2).
Понятие кэли-образа со всеми его свойствами непо-
средственно переносится на комплексный случай. То же
самое относится и к /-ортогональным матрицам. В част-
ности, мы получаем, таким образом, комплексные орто-
гональные и комплексные симплектические матрицы.
Они составляют группы Ли О (/г; С) и Sp(m; С) раз-
мерностей п(п—1) и 2m(2m+l) соответственно.
Пример 10. Совсем другой тип комплексных матриц
составляют J-унитарные матрицы А порядка п, харак-
теризующиеся соотношением
дт/Л = /.
Они составляют группу Uj(n). При J = E мы получаем
обычные унитарные матрицы и их группу П(н). В слу-
чае, когда / является матрицей (6) (и п = 2m) группа
U/(n) общепринятого обозначения не имеет. Мы будем
обозначать ее символом Up(m).
По существу, теми же выкладками, что и выше, без
труда доказывается, что неисключительная комплекс-
ная матрица А тогда и только тогда J-унитарна, когда
ее кэли-образ А# удовлетворяет соотношению
(д*)тJ= — JA#. □
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ГРУПП ЛИ
21
Поскольку это соотношение линейно (над нолем R),
группа Vh(n) (и, в частности, группа U (п) и группа
Up(m)) является группой Ли. □
Размерность группы U (п) равна п2, а группы Up (m)
равна 4m2.
Заметим, что группа U(n) естественно изоморфна
ортогональной симплектической группе Sp (n; R)f|O(2n),
Изоморфизм осуществляется соответствием
(с
Пересечение группы U (2m) с группой Sp(m;R) яв-
ляется, очевидно, ортогональной симплектической груп-
пой:
Sp (m; R) П U (2m) = Sp (m; R) f] О (2m)
(и потому изоморфно группе U(m)).
Пример 11. Пересечение Sp (m; C)f] U(2m) назы-
вается унитарной симплектической группой (или просто
симплектической группой) и обозначается символом
Sp(m). Это — группа Ли размерности m(2m 4-1).
Пересечение группы Sp(m) с группой О (2m) являет-
ся ортогональной симплектической группой Sp (m)f)
QO(2m).
Пример 12. Группу U (tn) можно интерпретировать
как группу всех обратимых линейных преобразований
пространства С.га, сохраняющих эрмитову форму
Х1У1 4" - • • 4- Хпуп. Аналогичным образом, заменив поле
1С. телом кватернионов Н, мы можем ввести в рассмот-
рение группу U^ (п) всех обратимых и линейных (по от-
ношению, скажем, к умножению слева) преобразований
кватернионного пространства Н”, сохраняющих кватер-
нионную эрмитову форму
(§, п) = В1П1+ ••• +VU
где £ = (§!, ...,уеН", •П==('Пр • • •, Л„) Н".
Поскольку любой кватернион g можно отождествить с
парой (и, и) комплексных чисел (по формуле | = и 4- vi)
и, значит, пространство Н" — с пространством .С.2п,
22
СВЯЗНЫЕ И ЛИНЕЙНО- СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА'
группа Ът1Н (п) естественно интерпретируется как группа,
комплексных матриц. Если
£1 • ’ 1 “1“ '^п+ 17» • • •, ёп -— хп -^2д/»
Th = Ух + г/,.1+17» ...» = Уп + У2п],
то (поскольку и + vj ~ й — vj и vj = jv)
... 4-grenrt =
= [Х1У1~1- ••• "Г хпУп хп+1Уп+1 + ••• А~ х2пУ2п1
Ч~[(хп+1У1—х1Уп+1)~Г ••• + (х2пУп — ХпУ2пУ\ i‘
Поэтому каждый элемент группы U^(n), интерпрети-
рованный как комплексная матрица, сохраняет эрми-
тову форму х\У\ 4- ... 4- Х2пУ2п (является унитарной
матрицей) и кососимметрическую форму (хп+ху\—>
— xi?/n+i)+ ... Л-{х2пУп — ХпУш) (является симплекти-
ческой матрицей), т. е. принадлежит унитарной симп-
лектической группе Sp(n). Обратно, если матрица А
унитарна и симплектична, то, интерпретированная как
преобразование пространства Ня, она, очевидно, сохра-
няет форму §гй1 -j- ... 4-Кроме того, это преобра-
зование линейно. Действительно, оно, очевидно, перево-
дит сумму в сумму, так что доказательства требует
лишь его перестановочность с операцией умножения на
произвольный кватернион £. Но для любых векторов
£ = (£р н 4 = 011» . мы имеем
(Л (Й) - £.<» Лп) - (A (gl), Лп) - ?(Ле, Ли) =
= (Й, ч) - >1) = 0,
откуда следует (поскольку в виде Д») может быть пред-
ставлен любой вектор из Н”), что Д (£%) = £Д^.
Тем самым доказано, что группа tftXn) изоморфна
унитарной симплектической группе Sp(n). □
Напомним, что топологическое пространство X назы-
вается связным, если его нельзя представить в виде
объединения двух непустых дизъюнктных и замкнутых
(открытых) множеств, и линейно связным, если для дю-
СВЯЗНЫЕ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.'
23
бых точек a, b f= X существует соединяющий их путь,
т. е. такое непрерывное отображение и: [О, 1]->Х, что
u(Q)~ а, и(1)=Ь. Наглядно очевидно (и легко дока-
зывается в рамках любой строгой теории вещественных
чисел), что отрезок [0, 1] связен, откуда непосредствен-
но вытекает, что любое линейно связное пространство
связно.
Очевидно, что множество всех (линейно) связных
подмножеств произвольного топологического простран-
ства X индуктивно (удовлетворяет условиям леммы
Цорна). Поэтому каждая точка а Xсодержится в мак-
симальном связном подмножестве Са, называемом ком-
понентой (линейной) связности пространства X. Легко
видеть, что любая компонента связности Са cz X замк-
нута в X (но, вообще говоря, не открыта). Пространство
X тогда и только тогда (линейно) связно, когда Са ~ X
для любой точки а е X.
Топологическое пространство X называется локально
(линейно) связным, если каждая точка а е X обладает
фундаментальной системой (линейно) связных окрест-
ностей, т. е., иными словами, если в каждой окрестности
точки а содержится (линейно) связная окрестность.
Примером локально линейно связного пространства яв-
ляется произвольное многообразие.
В локально (линейно) связном пространстве любая
компонента (линейной) связности, очевидно, открыта
(ибо вместе с каждой точкой содержит и некоторую ее
окрестность). В частности, отсюда следует, что если
пространство связно и локально линейно связно, то оно
и линейно связно. Иными словами, для локально ли-
нейно связных пространств (в частности, для многооб-
разий) концепции связности и линейной связности со-
впадают.
Пример 13, Многообразия R" и R (м, пг), очевидно,
связны. Многообразие GL(n) не связно: матрицу с от-
рицательным определителем нельзя непрерывно проде-
формировать (соединить путем) в единичную матрицу.
Пусть GL+(«) — пространство всех квадратных матриц
порядка п с положительным определителем. Покажем,
что пространство GL+(n) связно.
Согласно теореме о полярном разложении (см. 11,21)
любой невырожденный оператор является произведем
24
СВЯЗНЫЕ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
нием положительного оператора Р и изометричного (ор-
тогонального) оператора U. На языке матриц это озна-
чает, что любая невырожденная матрица А имеет вид
А = PU, где Р — матрица положительного оператора,
a U — ортогональная матрица. С другой стороны, по
теореме о приведении к главным осям матрица Р имеет
вид VDV~l, где V — ортогональная матрица, a D —
диагональная матрица с положительными диагональ-
ными элементами. Следовательно, А = ИДУ-1 £7, т. е.
А = VDW, где W — V~XU. Но ясно, что соответствие
ti—>(1 — t)D-\-tE представляет собой непрерывный
путь в GL(n), соединяющий матрицу D с единичной
матрицей Е. Умножив этот путь справа и слева на орто-
гональные матрицы V и W, мы получим непрерывный
путь, соединяющий в GL(n) матрицу А с ортогональной
матрицей В = VW. Таким образом, любая невырожден-
ная матрица А может быть непрерывным путем соеди-
нена в GL(n) с ортогональной матрицей В. Если det Л >
> 0, то det В > 0, т. е. det В — 1 (ортогональная мат-
рица с положительным определителем унимодулярна).
Поэтому для доказательства связности группы GL+(n)
достаточно доказать, что любая' унимодулярная ортого-
нальная матрица В может быть непрерывным путем
соединена {в группе GL+(«)) с единичной матрицей Е.
Мы докажем даже большее, а именно, что это соедине-
ние может быть осуществлено в группе SO(n) всех уни-
модулярных ортогональных матриц. С этой целью за-
метим, что, согласно основной теореме об ортогональ-
ных операторах (см. 11,21), каждый унимодулярный
(т. е. сохраняющий ориентации) ортогональный опера-
тор (вращение) является прямой суммой тождествен-
ного оператора и «двумерных вращений» с матрицами
вида
(cos 0 — sin 0 \
sin 0 cos 0 ) ‘
Заменив в каждой из этих матриц угол 0 на угол /0,
мы получим непрерывное семейство (путь) ортогональ-
ных операторов, связывающее данный оператор (полу-
чающийся при t = 1) с тождественным оператором (по-
лучающимся при t = 0). Для завершения доказатель-
ства остается перейти от операторов к матрицам. □
РЕДУКЦИЯ ЛЮБЫХ ГЛАДКИХ ГРУПП к связным
25
Доказанное утверждение означает, что группа GL(zz)
состоит из двух компонент-, подгруппы GL+(n) и ее
смежного класса GL_(n), состоящего из матриц с отри-
цательным определителем.
Для каждой топологической группы G мы будем
символом Ge обозначать компоненту ее единицы е. Если
а е Ge, то ае La (Ge) (ибо е е Ge) и, значит, Ge П
f] La (Ge) #= 0. Поэтому в виду связности и максималь-
ности La (Ge) — Ge. Аналогично доказывается, что
Ra(Ge) — Ge, если а е Ge, и что G^1 = Ge. Это значит,
что Ge является подгруппой группы G. Более того, лю-
бой эндоморфизм Т группы G переводит Ge в связную
подгруппу У (Ge), пересекающуюся с Ge. Поэтому, по
тем же соображениям, T(Ge)cz Gs. Это значит, что ком-
понента единицы Ge является вполне характеристи-
ческой подгруппой группы G и, в частности, инва-
риантна.
Согласно сказанному выше компонентой единицы
группы GL(n) является группа GL+(/i).
Заметим, что для каждой гладкой группы G компо-
нента Ge автоматически является гладкой группой.
В факторгруппу G/Ge естественно ввести топологию
отождествления, т. е. топологию, в которой подмноже-
ство C<zcG/Ge открыто (замкнуто) тогда и только
тогда, когда открыт (замкнут) его полный прообраз в
G. Поскольку прообразом единицы группы G/Ge яв-
ляется компонента Ge, мы видим, в частности, что еди-
ница факторгруппы G/Ge тогда и только тогда изоли-
рована (является открыто замкнутым множеством), т. е.,
другими словами, факторгруппа G/Ge тогда и только
тогда дискретна, когда компонента Gs открыта (она
всегда замкнута). В частности, это заведомо так, если
группа G локально связна (например, является гладкой
группой).
Таким образом, любая локально связная (в част-
ности, любая гладкая) группа G является расширением
связной группы (ее компоненты единицы Gs) посред-
ством дискретной группы G/Ge-
В этом смысле теория любых локально связных
групп сводится к теории связных групп и к теории
дискретных (абстрактных) групп.
25 ПРИМЕРЫ СВЯЗНЫХ ГРУПП ли
На этом основании мы в общей теории всегда будем
считать все рассматриваемые группы Ли связными.
Пример 14. Согласно сказанному выше группа SO (га)
связна и, значит, является компонентой единицы группы
О (га). В частности, мы видим, что группа SO (га) яв-
ляется группой Ли.
Вместе с тем мы получаем, что группа О (п) не связна
и состоит из двух компонент: группы SO(ra) = O+(ra)
собственных (унимодулярных) ортогональных матриц: и
ее смежного класса О-(га), элементами которого яв-
ляются несобственные (с определителем —1) ортого-
нальные матрицы.
Пример 15. Напротив, группа U (га) связна. Действи-
тельно, мы знаем (см. II, 21), что любой унитарный
оператор ортогонально диагонализируем, причем все его
собственные значения равны по модулю единице. На
языке матриц это означает, что любая унитарная мат-
рица имеет вид UDU-1, где U— некоторая унитарная
матрица, a D — диагональная матрица с диагональными
элементами вида et8&. Заменив все углы 0* на tQk, мы
получим непрерывное семейство (путь) унитарных мат-
риц, связывающее данную матрицу, получающуюся при
t— 1, с единичной матрицей, получающейся при t = 0.
(См. выше аналогичное рассуждение для ортогональных
матриц.) □
Связность группы U(га) можно доказать и по-дру-
гому, на основе следующей общей леммы:
Лемма 3. Топологическая группа G связна, если она
содержит связную подгруппу Н со связным факторпро-
странством G/H.
Доказательство. Заметим, прежде всего, что
естественное отображение л: G-+-G/H открыто, т. е. пе-
реводит открытые множества в открытые. Действительно,
если U cz G, то по определению фактортопологии множе-
ство л((7) cr G/H тогда и только тогда открыто, когда от-
крыто множество л-1 (л (U)) сд G. Но ясно, что послед-
нее множество является объединением U хН всех
x^U
смежных классов хН, х е U, и потому совпадает с объе-
динением U Uh всех сдвигов множества U на эле-
h<^H
ПРИМЕРЫ СВЯЗНЫХ ГРУПП ли
27
менты h е Н. Поэтому, если U, а значит, и любое Uh
открыто, то множество л-1 (л(И)), а потому и множество
л (И), открыто.
Пусть теперь G — U{] V, где U и V — непустые от-
крытые множества. Тогда G/H — л(£7)11 л( V), где мно-
жества л(П) и л(У) также не пусты и открыты. По-
этому и л(£7)Г]л(У)#= 0 (ибо пространство G/H по ус-
ловию связно). Пусть л(а)е л((/)Пл(П. Включение
л(а)ел([7) означает, что смежный класс л(а)= аН пе-
ресекается с U, а включение- л (а) = л (У), — что этот
смежный класс пересекается с V. При этом аН = U\ П V5,
где Ui — аН П U и Vi — аН П V открыты в аН (и по до-
казанному не пусты). Поскольку аН (вместе с Н) связ-
но, это возможно только тогда, когда П1П^1#=0 и,
значит, U f) У 0. Следовательно, группа G связна. □
Чтобы применить эту лемму, мы рассмотрим отобра-
жение U(n)—> СП, сопоставляющее каждой матрице ее
последний столбец. Образ группы U (п) при этом ото-
бражении состоит из всех векторов пространства (С.ге
длины 1 и, значит, может быть отождествлен с единич-
ной (2;г—1)-мерной сферой 52я-1 пространства !Р2п=^Сл
Прообраз каждого такого вектора в U(n) является,оче-
видно, смежным классом по подгруппе U(n—1), яв-
ляющейся прообразом вектора (0,0, ..., 0,1). Следо-
вательно, рассматриваемое отображение индуцирует
биективное отображение U(n)/U(n—1)->S2"~! фактор-
пространства U(n)/U(n—1) на сферу S2"-1, являю-
щееся, как автоматически проверяется, гомеоморфизмом
(любое биективное непрерывное отображение на ком-
пакт представляет собой гомеоморфизм).
Поскольку сфера S2n-1 = U (n)/U (и—1) очевидным
образом связна, из леммы 2 немедленно вытекает, что
группа U (п) связна, если связна группа U (п—1). По-
скольку группа U (1) естественным образом отождеств-
ляется с группой S1 и потому связна, тем самым по ин-
дукции связность всех групп U (ге) оказывается заново
доказанной.
Пример 16. Аналогичное рассуждение применимо и
к симплектической группе Sp (n) = (п). В этом слу-
чае факторпространство Sp (п)/Sp (п—1) естественным
образом отождествляется с единичной сферой S4"-1 про-
странства = Н" и потому также связно. Группа же
28
ПРИМЕРЫ СВЯЗНЫХ ГРУПП ли
Sp(l) —0^(1) отождествляется с группой S3 кватер-
нионов g, для которых |§| = 1. Следовательно, для лю-
бого 1 группа Sp(n) = (п) связна.
Это же рассуждение можно применить и к группе
SO(n), связность которой мы выше установили на осно-
вании других соображений. Действительно, в этом слу-
чае факторпространство SO (п) /SO (п—1) тем же спо-
собом отождествляется с единичной сферой S"-1 про-
странства которая при п 2 связна. Кроме того,
группа SO (2) вращений плоскости изоморфна, как из-
вестно, группе S1 и потому также связна. Поэтому
группа SO (л) при п~^2 связна.
Аналогом группы SO (л) в группе U (л) является
подгруппа SU (п) унимодулярных унитарных матриц.
Поскольку, как легко видеть, SU(n)/SU(n —1) =
— U(n)/U(n— 1), а группа SU(1), являясь единичной
группой, связна, то же рассуждение показывает, что
для любого п 1 группа SU (п) связна. Однако уста-
новить, будет ли она группой Ли, мы сможем только
в лекции 3, после того как разовьем необходимые для
этого средства.
То же самое относится и к группе SL(«) всех унимо-
дулярных матриц.
Заметим, что для группы U^(n) никакого аналога
группы SU (п) не существует.
Лекция 2
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.— ПА-
РАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ ГРУПП ЛИ. — ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
КРИВЫЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
И ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ. — ФУНК-
ТОР ЛИ.— ПРИМЕР: ГРУППА ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕН-
ТОВ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ. — ФУНКЦИИ СО
ЗНАЧЕНИЯМИ В АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЕ. —ОД-
НОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ G
Напомним, что символом Т а(М) мы обозначаем каса-
тельное пространство многообразия М в точке а<=М.
Все касательные пространства Та (М), а<=М, состав-
ляют гладкое 2п-мерное (n=dimAl) многообразие
Т(Л1), естественным образом проектирующееся на М.
Проекция
л: Т (М) -> М
относит каждому вектору А его «точку приложения»,
т. е. точку аеЛ'1, для которой А<= Та(М), так что
ТО(М) = л-1 (х). Сечения этой проекции, т. е. гладкие
отображения
Х-. М^-Т(М), а^Ха, аеМ,
для которых по X — id, т. е. Ха <^Та(М), называются
векторными полями на М. Эти векторные поля естествен-
ным образом образуют линейное (бесконечномерное)
пространство. Мы будем обозначать это пространство
символом а(М).
Дифференциалы Та Ш) -> Тфа (N) произволь-
ного гладкого отображения Ф: М —> N составляют глад-
кое отображение Т(Ф): T(Af)-> Т(TV), для которого
30
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
имеет место коммутативная диаграмма
^ЖТ(д)
at
'' у
.Ж—
и соответствия Mi—»Т (А1), Ф>—>Т (Ф) являются, оче-
видно, функтором из категории DIFF гладких многооб-
разий в себя.
Если Ф представляет собой диффеоморфизм, то для
любого векторного поля X из а(М) определено поле
Ф*л = Т (Ф) ° X о ф 1
из а (А/), а для любого векторного поля Y из a(W)— поле
Ф*Г = Т(Ф)~1°ГоФ
из <х(М). Ясно, что отображения Ф* и Ф* линейны, а
так как
Ф, = (Ф*)_1 = (Ф_1)* и Ф* = (Ф^)-1 = (ф-%
то они являются взаимно обратными изоморфизмамили-
нейных пространств.
В частности, если М — N = G, где G — некоторая
группа Ли, то для любого элемента а е G и любого век-
торного поля Хеа(б) будет определено векторное поле
L;/ea(G).
Определение 1. Поле Xea(G) называется левоинва-
риантным., если 1ХаХ — X для любого элемента ае G,
т. е. если
(1) Х.о = (dLa-i}ab (Ха$ для любых элементов a, b^G.
Ясно, что все левоинвариантные поля составляют
подпространство пространства a(G) всех векторных по-
лей. /Мы будем обозначать это подпространство симво-
лом 1(G)’ или д.
Легко видеть, что поле X^a(G) тогда и только
тогда левоинвариантно, когда
(2) Ха = (dLa)s Х3
ПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ ГРУПП ЛИ
31
для любого элемента as G. Действительно, соотноше-
ние (2) является частным случаем (при b ~ е) фор-
мулы (1) и потому выполнено, если поле X левоинва-
риантно. Обратно, если (2) выполнено, то для любых
элементов a, b s G
Xab = (dLab)e (Хе) = ((dLa)b о (dLb)e) (Хе) = (dLa\ (Хь),
что равносильно (1). □
Отсюда следует, что линейное отображение Х\—>Хе
пространства Q в касательное пространство Te(G) яв-
ляется изоморфизмом. Действительно, для любого век-
тора A^Te(G) отображение а>—>(dLa)eA, a^G, яв«
ляется, как легко видеть, векторным полем на G (про-
верки требует только гладкость, которая немедленно
усматривается из выражения этого отображения в ло-
кальных координатах), обладающим свойством (1) и
потому левоинвариантным. Для завершения доказатель-
ства остается заметить, что получающееся отображение
Te(G)-^S, очевидно, обратно к отображению Х>—>Хе. □
Как правило, мы будем посредством отображения
—>Хе отождествлять пространство g = I(G) с про-
странством Te(G).
Поскольку dim Te(G) = п, где п — dim G, мы видим,
в частности, что для любой группы Ли G пространство
g = I(G) левоинвариантных векторных полей конечно-
мерно и имеет размерность п = dim G.
Пусть (М)— алгебра всех гладких функций на
гладком многообразии М. Для любой функции f s S2" (Af)
и любого поля X s a(Af) формула
(fX)a = f (а) Ха, a s М,
определяет, очевидно, некоторое поле fX^a(M) и, как
показывает автоматическая проверка, линейное про-
странство а(М) оказывается по отношению к операции
(J, X)t—> fX модулем над алгеброй Если этот мо-
дуль является свободным модулем ранга п, т. е. если
на М существует такая система Xit ..., Хп векторных
полей (базис &"(М)-модуля а (Л/)), что любое поле
Jfsc(Af) единственным образом представляется в виде
X = flXr+ ... + fnXn,
32
ПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ ГРУПП ЛИ
где , fn е (М), то многообразие М называется
параллелизуемым.
Предложение 1. Любая группаЛи G параллелизуема.
Доказательство. Мы докажем даже больше, а
именно, что каждый базис Х\, ..., Хп линейного про-
странства 1(G) является базисом (G)-модуля a(G).
Для каждой точки a <= G векторы (Xi)a, .. ., (Хп)а
составляют базис линейного пространства Та (G). Поэ-
тому вектор Ха произвольного векторного поля X a (G)
однозначно разлагается по векторам (Х^а, ..., (Х„)а.
Это означает, что для каждого векторного поля X s a(G)
существуют такие функции fl: а >—> fl (а), а G, что
X-fX-L-*!- ... -\-fnXn. Поэтому нам нужно лишь до-
казать, что fh^g~ (G) для всех k — 1, .. ., п.
Пусть (U, х!, ..., х")— произвольная карта многооб-
разия G. Так как поля Xi, ..., Хп гладки, то на U су-
ществуют такие гладкие функции Х\, .. ., Xln, i= 1, . . .
4 .., п, что
X] = Xj для любого J = l, .. п.
дх
При этом, так как для каждой точки а еЕ U векторы
(Х1)а, ..., (Хп)а составляют базис пространства Ta(G),
то
det (йГ/) #= 0 на U,
и потому на U существуют такие гладкие функции Kf,
что
XiYki=6kj, i, j, k=l, . . n.
По условию X — и, следовательно,
т. е. функции f’Xp 4=1, ...,п, являются компонен-
тами векторного поля X в локальных координатах
х1, ..., хп и потому гладки. Но
fk = = (fX?) Ykt,
и так как функции f'X'j и Yi гладки, то функции
также гладки (на U).
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ОДНОПАРАМЕТР. ГРУППЫ
33
Являясь гладкими функциями на каждой коорди-
натной окрестности U, функции fk гладки на всем мно-
гообразии G. □
Напомним, что гладкая кривая на многооб-
разии М называется интегральной кривой векторного
поля, если
для любого /.
Интегральная кривая называется максимальной, если
она не является ограничением интегральной кривой, оп-
ределенной на большем интервале вещественной оси. Из
стандартной теоремы о существовании и единственности
решения системы дифференциальных уравнений с глад-
кими правыми частями и элементарных свойств хаус-
дорфовых пространств легко вытекает, что если много-
образие М хаусдорфово (что, как мы знаем, автомати-
чески выполнено для группы Ли), то для любой точки
as М существует максимальная интегральная кривая
Фа поля X, проходящая при t — 0 через точку а, т. е.
такая, что сра (0) = а.
Если для каждой точки а Л1 кривая <ра определена
на всей оси R, то векторное поле X называется полным.
Легко видеть, что векторное поле X на группе Ли G
тогда и только тогда левоинвариантно, когда для любых
двух точек a, b <= G имеет место равенство
(3) Фа& = La ° фй,
т. е. Фаб(0 —Действительно, для любого
фиксированного а е G формула ф6 (/) — (0 опре-
деляет для любой точки b G некоторую кривую —>
•—проходящую при t = Q через точку Ь, и ясно,
что, положив
(О
dt
f-o ’
мы получим на G некоторое векторное поле Y: bt—^Yh.
При этом по правилам вычисления касательных векто-
ров гладких кривых для любой точки й е G будет иметь
2 М.. М. Постников
34
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ОДНОПАРАМЕТР. ГРУППЫ
место равенство
Поэтому, если (3) выполнено и, следовательно,
(и, значит, У& = Х&), то Хь = (dLa)a-ib (X^i^ и, в
частности, Ха — (dLa)e(Xe). Следовательно, поле X ле-
воинвариантно. Обратно, если поле X левоинвариантно
(и потому удовлетворяет соотношению (1)), то Уь — Хъ
для любой точки b G, т. е. У = X. Но ясно, что кри-
вые ti—являются интегральными кривыми поля У
(автоматически максимальными), и потому ввиду ра-
венства У = X эти кривые совпадают с интегральными
кривыми Zi—>фь(/) поля X. Таким образом, ср&(?) =
— afpa-ib (I), что равносильно (3). □
Определение 2. Гладкая кривая В: R —> G называется
однопараметрической подгруппой группы Ли G, если
P(/ + s)-P(OP(s)
для любых t, seR. Иными словами, однопараметриче-
ская подгруппа есть гомоморфизм аддитивной группы R
вещественных чисел (рассматриваемой как группа Ли)
в группу Ли G.
Подчеркнем, что однопараметрическая подгруппа яв-
ляется, таким образом, не подмножеством, а отображе-
нием.
Очевидно, что при t — 0 каждая однопараметричё-
ская подгруппа р проходит через единицу е группы G:
Р(О) = е.
Предложение 2. Каждая однопараметрическая под1-
группа р является интегральной кривой некоторого ле-
еоинвариантного векторного поля X.
‘ Доказательство. Формула
Фс (/) = (/), а е G, i <= R,
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ОДНОПАРАМЕТР. ГРУППЫ 35
определяет на G гладкую кривую t>—>фа(0, проходя-
щую при t = 0 через точку я. Мы положим
Y _ d4>a & I
Ла~ di |f==0-
Непосредственная проверка показывает, что отображе-
ние ж—>Ха гладко, т. е. является векторным полем на
G, и что кривые фа являются интегральными кривыми
этого поля. В частности, интегральной кривой будет кри-
вая фа = 3- Наконец, поскольку
<РаЬ (0 = (ab) f}(t) = a (др (/)) = Пф& (/),
поле X левоинвариантно. □
Утверждение, обратное к предложению 2, также
справедливо:
Предложение 3. Проходящая при t — 0 через точку е
максимальная интегральная кривая р произвольного ле-
воинвариантного векторного поля Xg является одно-
параметрической подгруппой группы Ли G (и, в част-
ности, определена на всей оси R).
Доказательство. Так как поле X левоинва-
риантно, его интегральные кривые фя удовлетворяют со-
отношению (3). Поэтому, в частности, интервал 1а оси
R, на котором определена интегральная кривая фа, со-
впадает с интервалом I = /е, на котором определена ин-
тегральная кривая р = фе. Кроме того, так как для
любого фиксированного seR кривая ti—>фе(£4-з) яв-
ляется, очевидно, интегральной кривой поля X, проходя-
щей через точку b — фДд), и потому фе(/ $) = <?& (/)«
то
(4) .р(5 + 0 = р(/ + 5) = фе(/ + *) =
= Ф& (0 == &фе (t) = Фе ($)фз (0 = Р GO Р (/)
для любых s,t^.I таких, что Поэтому для до-
казательства предложения 3 нам нужно лишь показать,
что кривая р определена на всей оси R, т. е. что / = R.
Пусть /#=R. Для любого существует такое
целое число п, что —— е Z. Мы доопределим кривую р
2*
36
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ОДНОПАРАМЕТР. ГРУППЫ
для любых t GE R, ПОЛОЖИВ
если -i^7-
Это определение корректно. Действительно, если е / и
t __ т t __ j
~ то ^ /, и потому, согласно соотноше-
нию (4),
Тем самым кривая р распространена на всю ось R. Ясно,
что построенная таким образом кривая гладка и удов-
летворяет соотношению (4) для всех f, se R, т. е. яв-
ляется однопараметрической подгруппой. Мы придем к
противоречию с предположением I =/= R, если покажем,
что кривая р на всей оси R является интегральной кри-
вой поля X.
Пусть /oe=R, и пусть а = Р(70). По определению
и d^b (/0) ° л °
касательный вектор - кривом р в точке а действует
на функции1) f^.C?a(G) по формуле
d$ (ta)
di
_ d(f°$)(t) I
dt U-#.’
я „dp (0)
Аналогично касательный вектор —— в точке е дей-
ствует на функции f ge С?е((?) по формуле
dp (0) f d(/°p)(/) I
dt ' dt |f=o‘
*) Для любого гладкого многообразия М и любой его точки а
символом Са(М) мы обозначаем множество всех функций, гладких
в точке а, т. е. определенных в некоторой — зависящей от функ-
ции— окрестности точки а и гладких в этой окрестности. (Соб-
ственно говоря, под О а (Й4) следует понимать линейное простран-
ство ростков таких функций, но мы не будем слишком педантичны.)
Символом О (Л1) мы будем обозначать множество всех функ-
ций определенных и гладких в некотором — зависящем от функ-
ции — открытом множестве IF(f) cz М.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ОДНОПАРАМЕТР. ГРУППЫ
37
Следовательно, для любой функции
[(dLa)e f = -M- (f о La) =
= rf(f°£a°P) (Q I = df (ap (/)) I
dt u=o dt ц=,о
= df (P I == df (E W> I = d$ <z°) ?
dt |i=o dt |i=fa dt
t. e.
(.r X dp(0)_dp(7o)
dt ~ dt '
Но при кривая p является интегральной кривой
поля X. В частности,
dp (0) v v
—— = Л(3 (0) = Ае.
Кроме того, так как поле X левоинвариантно, то
(dLa)eXe = Ха — Х^}. Следовательно,
„ dp (fg)
ЛфЦо) dt
так что кривая р действительно является интегральной
кривой векторного поля X. □
Следствие. Каждое левоинвариантное векторное поле
X полно. □
Согласно предложениям 2 и 3 левоинвариантные
поля agI(G) и однопараметрические подгруппы р на-
ходятся в естественном биективном соответствии. По-
этому за элементы линейного пространства 1(G) можно
при желании принимать однопараметрические под-
группы.
Сопоставляя все сказанное, мы видим, что справед-
лива
Теорема 1. Пространство g = 1(G) допускает следую-
щие три равноправные интерпретации-.
I) Элементами пространства g являются левоинва-
риантные векторные поля X на группе Ли G.
II) Элементами пространства g являются касатель-
ные векторы А группы G в точке е {единице группы G).
III) Элементами пространства g являются однопара-
метрические подгруппы р группы G.
38
ФУНКТОР ли
Переход от первой интерпретации ко второй задается
соответствием
Х~^Хе,
переход от третьей интерпретации ко второй — соответ-
ствием
dB (0)
а переход от первой интерпретации к третьей — соот-
ветствием
X I > фе>
где <ре — интегральная кривая поля X, проходящая при
t — 0 через точку е. □
Первая и вторая интерпретации дают нам линейные
операции в д, относительно которых g является «-мер-
ным линейным пространством. Как получить эти линей-
ные операции в третьей интерпретации, мы покажем
в лекции 4.
Пусть Ф: G-^-H — произвольный гомоморфизм
групп Ли. Поскольку Ф(е) = е, дифференциал ТеФ =
= (<2Ф)е этого гомоморфизма в точке е представляет со-
бой некоторое линейное отображение пространства
Te(G) = I(G) в пространство Т е (Я) = I (Я).
Ясно, что соответствия G<—>l(G), Ф>—>(б/Ф)е состав-
ляют некоторый функтор
(5) I: GR-DIFF-> LINf (R)
из категории GR-DIFF групп Ли в категорию LIN/(R)
конечномерных линейных пространств над полем R.
Определение 3. Функтор (5) мы будем называть функ-
тором Ли. В целях единства обозначений отображение
((/Ф)е будем обозначать также символом ЦФ).
Мы определили отображение 1(Ф), пользуясь интер-
претацией пространств 1(G) как касательных про-
странств в точке е. Возникает вопрос: как определить
отображение 1(Ф) в других интерпретациях?
Напомним, что векторные поляХес(;И) и Уеа(М)
называются Ф-связанными, где Ф — некоторое гладкое
отображение М—*-N, если
(6) Уфа = (дФ)а (Ха) для любой точки а е М.
ФУНКТОР ли
39
В интерпретации векторных полей как линейных диф-
ференциальных операторов fy—^Xf (дифференцирований
на М) Ф-связанность означает, что для любой функции
f (определенной и гладкой на некотором открытом мно-
жестве многообоазия N) выполнено соотношение
X (f о Ф) = Yf о ф. '
Если Ф: М —N — диффеоморфизм, то каждое поле
Y Ф-связано с полем Ф*У а(М).
Предложение 4. В интерпретации элементов про-
странств 1(G) как однопараметрических подгрупп ото-
бражение 1(Ф) задается формулой
I (Ф) (Р) — Ф о р.
Для любого левоинвариантного векторного поля
Хе 1(G) и любого гомоморфизма Ф: G Н на группе Н
существует единственное левоинвариантное векторное
поле Y, которое Ф-связано с полем X. В интерпретации
пространств 1(G) как пространств левоинвариантных
векторных полей образом 1(Ф)Х поля X е 1(G) при
отображении 1(Ф) как раз и является это поле У.
Доказательство. По определению
да)еру£).| л ±(Ф2Ж).| .
v >e\dt Ц=о/ dt I; =o
Следовательно, при отождествлении однопараметриче-
. d (Р (О) I
скои подгруппы р с вектором А =—однопара-
метрическая подгруппа Ф°Р отождествляется с векто-
ром (АФ)еА = 1(Ф)А. Это доказывает первое утверж-
дение.
Второе утверждение непосредственно вытекает из
того очевидного факта, что для левоинвариантных век-
торных полей Xsl(G) и У <=!(//) соотношение (6) (при
М = G и N — И) равносильно равенству
Уе = (с?Фе)Хв. □
Ясно, что касательные пространства Т e(G) и Te(Ge)^
группы G и ее компоненты единицы Ge совпадают. Это
означает, что
l(G)=H(Ga).
Поэтому при изучении функтора Ли можно ограничить-
ся лишь связными гладкими группами Gx
40
ГРУППА ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Проиллюстрируем введенные понятия на важном
конкретном примере.
Напомним предварительно некоторые общеалгебраи-
ческие понятия, которыми мы будем постоянно пользо-
ваться.
Пусть К — произвольное поле (у нас это будет поле
R вещественных чисел), и пусть — линейное про-
странство над полем К. Предположим, что любым двум
элементам х, у si сопоставлен некоторый третий эле-
мент z е si, обозначаемый символом ху и называемый
произведением элементов х и у. Тогда каждый элемент
а е будет определять два отображения
Lat х ।—> ах, Ra: х ।—> ха
линеала в себя.
Определение 4. Линейное пространство si с задан-
ным на нем умножением х, у~—называется алгеб-
рой (над полем К), если для каждого элемента а е si
отображения La‘ si-*-si и Ra‘. si-*-si линейны, т. е.
если
(7) а (х 4- у) — ах + ау, (х 4- у) а — ха 4- уа
для любых элементов х, у si и
(8) k (ах) = a (kx), k (ха) — (kx) а
для любого элемента x^si и любого элемента
Условие (7) (вместе с первыми четырьмя аксиомами
линейного пространства) означает, что множество si
с имеющимися на нем операциями сложения и умноже-
ния является кольцом. Поэтому можно сказать, что ал-
гебра— это кольцо, одновременно являющееся линей-
ным пространством, в котором выполнено условие (8),
т. е. условие
(9) k (ху) — (kx) у — х (ky),
которое должно иметь место для любых элементов х,
y^si и любого элемента Ае К.
Гомоморфизмом алгебр называется линейное отобра-
жение одной алгебры в другую, переводящее произведе-
ние в произведение (являющееся гомоморфизмом колец) .
ГРУППА ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
41
Ясно, что алгебры (над данным полем К) и все их
гомоморфизмы составляют категорию. Мы будем обозна-
чать эту категорию символом ALG.
Линейное подпространство & алгебры si называется
подалгеброй алгебры si, если ху е 5% для любых эле-
ментов х, у <= £%. Ясно, что любая подалгебра автомати-
чески является алгеброй.
Определение 5. Алгебра, умножение в которой ассо-
циативно, называется ассоциативной алгеброй.
Все ассоциативные алебры составляют полную под-
категорию ALG-ASS категории ALG. (Подкатегория В
категории С называется полной подкатегорией, если
для любых объектов Вх, BjsB каждый морфизм Вь-+-
-*-В2 из С принадлежит В.)
Каждая подалгебра ассоциативной алгебры сама ас-
социативна.
Ассоциативные алгебры, обладающие единицей (т. е.
таким элементом е, что ае — еа = а для любого эле-
мента аеЛ), мы будем называть унитальными алгеб-
рами. Они составляют полную подкатегорию ALG0-ASS
категории ALG-ASS.
Примером унитальной алгебры является алгебра
матриц К (п).
Элемент а унитальной алгебры si называется обра-
тимым, если в si- существует такой элемент а-1, что
аа~х — а~ха = е. Множество G(si) всех обратимых эле-
ментов алгебры si является, очевидно, группой по умно-
жению.
Ясно, что элемент а обратим тогда и только тогда,
когда обратим линейный оператор La, т. е. — если ал-
гебра si конечномерна, — когда det La 0.
При К = R отсюда следует, что для конечномерной
алгебры si множество G (si) открыто в si и, следо-
вательно, является гладким многообразием (размер-
ности п = dim si).
Таким образом, G (si) является и группой и глад-
ким многообразием. Поскольку умножение в этой груп-
пе билинейно, оно заведомо гладко и, следовательно
(предложение 1 лекции 1), G (А) является группой Ли.
Найдем для этой группы Ли линеал l(G(si)).
С этой целью вспомним, что для любого конечномер-
ного линеала У1 (рассматриваемого как гладкое много-
42
ГРУППА ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
образие) и любой точки v Т касательное простран-
ство (J°) естественным образом отождествляется с^°:
отождествляющий изоморфизм
(10) Г->Т0(Г)
сопоставляет каждому вектору а касательный век-
тор в точке ^ = 0 кривой £•—>v-\-ta. Поэтому, в част-
ности, е(^) = ^. С другой стороны, поскольку G (^),
открыто в то Te(G(j^)) = Te(j^). Следовательно
(мы пользуемся здесь интерпретацией линеала 1(G) как
касательного пространства T4(G)):
(11) l(G(^)) = J^.
Интересно проинтерпретировать равенство (11) в
рамках двух других интерпретаций пространства 1(G).
Пусть Т’ — конечномерный линеал и А: Т— про-
извольный линейный оператор. Поскольку, А является,
очевидно, гладким отображением гладкого многообра-
зия Т в себя, для любой точки v <= Т определен его
дифференциал (zM)»: То(>°)->- Та0(>°). По определе-
нию этот дифференциал переводит касательный вектор
к .кривой /1—в касательный вектор к кривой
Ь—> А (о 4" ta)Av 4- tAa. Это означает, что в силу
отождествлений То(3^) = ^° и Xav(T) — T дифферен-
циал (dA)v совпадает с оператором А. Таким образом,
дифференциалом линейного оператора является он сам.
В частности, мы видим, что (dLa)e — La для любого
элемента а А.
С другой стороны, в силу тех же отождествлений лю-
бое векторное поле X на G(^) является не чем иным,
как некоторым гладким отображением G(^) —Усло-
вие левоинвариантности (1) для так трактуемого век-
торного поля в силу только что сделанного замечания
имеет вид
(12) Xb — La-\Xab, где a, b^G(3&),
откуда при b = е следует, что Ха — LaXe, т. е. что поле
имеет вид ш—>ab, где Ь=Хе^з£. Поскольку любое
такое поле удовлетворяет, очевидно, условию (12), мы,
изменив несколько обозначения, получаем тем самым,
что все левоинвариантные векторные поля G (з£)—^ з£ на
ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В АЛГЕБРЕ
43
группе Ли G(j^) имеют вид х>—>ха, х^ G(si), где а —
произвольный элемент алгебры si.
Обсуждение равенства (11) в рамках третьей интер-
претации векторов линеала !(G(-^)), т. е. их интерпре-
тации как однопараметрических подгрупп, требует не-
которой предварительной подготовки.
Норма, заданная в произвольной алгебре si (над по-
лем R), называется мультипликативной, если
II ай IK II о II • !ИИ1
для любых элементов а, b г^.
Лемма 1. В любой конечномерной алгебре si над по-
лем R существует мультипликативная норма.
Доказательство. Если в si задан базис в\, ...
... , еп, то формула
(13) || а И — тах(| а1|, ...,\ап\),
где а1, ап — координаты элемента а в базисе
£1, ..., еп, будет, очевидно, определять в si некоторую
норму. Мы покажем, что при целесообразном выборе
базиса е\, еп норма (13) мультипликативна.
Пусть сначала базис £<, ..., еп произволен, и пусть
— cktjek, i, j, k—1, ..., п.
Тогда для любых элементов а = alei и £ = b'lei мы имеем
II ab || — | сЬца*Ь’ек || = max [ ск^а1Ь! |
X max I с*| • тах| ар | • max| Ьч |= С • ||а || • || & ||,
х. / = 1 k 1 ‘ 1 р а
где С = п2 шах | ск ]. Поэтому для ноомы
'х, /, к '1
|| а || - X max (| а1 |, ..., [ ап |),
где % > С ^эта норма является нормой (13), отвечаю-
щей базису -г-вь имеет место неравенство
\\ab ||1|а П • II И =CII а II • II b ||,
А
т. е. эта норма мультипликативна, □
44
ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В АЛГЕБРЕ
Заметим, что в лемме 1 алгебра &L- ассоциативной
не предполагается.
Этим замечанием мы воспользуемся позже, а пока
применим лемму 1 к произвольной конечномерной ассо-
циативной унитальной (с единицей е) алгебре Для
любого элемента а мы введем в рассмотрение бес-
конечный ряд
(14)
t2a2
~~2~
tnan
nl
По отношению к произвольной мультипликативной нор-
ме этот ряд абсолютно сходится, т. е. сходится числовой
ряд
II t2n2 II II fnnn II
l|e[| + ||/e[|+||-4-|+ ... +|-У-|+ •••
(поскольку этот ряд мажорируется рядом для е*8 а п).
Однако стандартное доказательство (излагаемое обычно
для рядов с числовыми членами, но дословно сохраняю-
щееся и для рядов с векторными членами) показывает,
что любой абсолютно сходящийся ряд сходится (по
норме, а значит, что в конечномерном линеале равно-
сильно, и покоординатно). Следовательно, ряд (14) схо-
дится.
Сумма ряда (14) обозначается символом eta, а
значная функция 1л—>eta называется экспоненциальной
функцией в алгебре (Буква е здесь, конечно, не
имеет никакого отношения к единице е алгебры ^.)
В частности, при зФ = R (п) мы получаем матричную
экспоненциальную функцию —>etA, ЛеР(м).
Для ^-значных функций > a (t) можно воспроиз-
вести практически все построения элементарного ана«
лиза. Например, производная функция —>а' (г) опре-
деляется формулой
Z/,. .. a (t + ДО — а (О
(15) а' (/) = hm------,
Д/->0
и если функция /ь—>а(0 достаточно гладка, то
(16) a(/) = a(/o) + (/-fo)a'(l0)+0((l-fc)}2.
Вместе с тем каждую функцию С—>п(0 можно рас-
сматривать как кривую в гладком многообразии и
ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В АЛГЕБРЕ
45
потому говорить о ее касательном векторе —в точке
t, который в силу общего изоморфизма (10) можно счи-
тать вектором из
Оказывается, что оба эта подхода совпадают, т. е.
а' (/) = для любого t.
7 at
Действительно, в силу формулы (15) касательный век-
тор к кривой t*—>a(t) в точке t = t0 совпадает с каса-
тельным вектором к кривой t<—>а(^0) + (/ — to) a'(to),
который в силу изоморфизма (10) и отождествляется с
вектором a'(to). □
Однако на практике определение (15) безусловно
удобнее, поскольку оно немедленно дает все обычные
формулы дифференциального исчисления (напри-
мер, формулу дифференцирования произведения
(a (Z) b (t))' = a'(t) b (/) 4- а (/) b'(t)), если только соблю-
дать необходимые предосторожности, вызванные воз-
можной некоммутативностью умножения в алгебре
(из-за этого, скажем, формула для производной
функции £•—»а~!(/) приобретает вид (а_1(0)л —
= —a-1 (t)a' (^)a-*(f)).
Если же значения ^-значной функции —>a(t) пе-
рестановочны, т. е. a (t) a (s) = a (s) a (t) для любых t и
s, то никаких оговорок делать не нужно. Поэтому, в
частности, для любого многочлена
НХ) = а0 + а1Х+ ... + а1ПХт
и любой ^-значной функции а>—>а(£) с перестановоч-
ными значениями имеет место формула
(17) ^f(a(t)) = f'(a(t))a'(O,
где
f' (X) = a j 2а2 • • • Ч- пгатХ
Эта формула сохраняется и когда f(X) является сум-
мой бесконечного степенного вида
(18) /(^^Оо + аЛЧ- ... +апХп+ ...,
поскольку необходимая перестановка двух предельных
переходов в этом случае, очевидно, законна (конечно, в
46
ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В АЛГЕБРЕ
предположении, что !1а(01! лежит в круге сходимости
ряда (18)).
Для рядов, составленных из ^-зиачных функций, со-
храняются также обычные правила для их почленного
дифференцирования. В частности, почленное дифферен-
цирование допускает ряд (14). Поэтому
= а^е -f- fa -f- ... 4- (п _ -J = ае а.
Таким образом, экспоненциальная функция t>—>eta
обладает тем свойством, что
для любого t.
Отсюда следует, что решение si-значного дифферен-
циального уравнения
(20)
при начальном условии
х (0) = с
выражается формулой
х (/) — eiac.
В самом деле, согласно формуле (17)
х' (/) = (etaY с = aetac = ах (t)
и х(0) = с. С другой стороны, для вектора x(f) уравне-
ние (20) сводится к системе линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами; по-
этому решение x(t) существует и единственно. П
Теперь легко видеть, что для любых s и t имеет ме-
сто равенство
(21) g(f+s) а = etaes<i^
Действительно, для каждого фиксированного s функция
*-х(/) =e(/+s>a удовлетворяет уравнению (20) с на-
чальным условием x(0) = esa. Поэтому x(t\ — etaesa. □
ОДНОПАРАМЕТР. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ G(^?)
47
Из соотношения (21) следует, в частности, что функ-
ция if—> eta является функцией с перестановочными зна-
чениями. Поэтому (см. формулу (17)) для любого сте-
пенного ряда (18) имеет место формула
(22) Af (eia)—f'(eta) aeta
(если, конечно, ряд для f(eta) абсолютно сходится).
Вернемся теперь к линеалу 1(G) при G — G(^).
Однопараметрические подгруппы группы G(j^) пред*
ставляют собой не что иное, как гладкие л^-значные
функции х>—>x(Z), удовлетворяющие соотношению
(23) х (s +1) = х (s)х (г1), з, /е R.
Общее решение этого функционального уравнения после
всего сказанного выше находится без всякого труда.
Действительно, продифференцировав соотношение (23)
по з и положив затем s = 0, мы получим для х(/) уже
известное нам дифференциальное уравнение (20) с
а = х' (0). Поэтому ввиду начального условия х(0) = е
мы получаем, что x(t) — eat. Поскольку, согласно фор-
муле (21), это решение удовлетворяет соотношению
(23), этим доказано, что любая однопараметрическая
подгруппа группы G (Д) имеет вид ti—>eta.
Обозначив однопараметрическую подгруппу Р—^е0-*
символом ра, мы получаем, тем самым, биективное соот-
ветствие й1—.между элементами алгебры &Z и одно-
параметрическими подгруппами группы Ли иО(^).Это
и есть соответствие (И) в третьей интерпретации.
Лекция 3
МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИ, ДОПУСКАЮЩИЕ КОНСТ-
РУКЦИЮ КЭЛИ. —ОБОБЩЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ КЭ-
ЛИ,—ГРУППЫ, ОБЛАДАЮЩИЕ ln-ОБ РАЗАМИ,— АЛ-
ГЕБРЫ ЛИ.— ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ, —АЛГЕБРА
ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ.—АЛГЕБРА ЛИ ГРУП-
ПЫ ЛИ.— ПРИМЕР: АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ ОБ-
РАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБ-
РЫ,—ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ ЛИ.—
ГРУПУСКУЛЫ ЛИ,—ФУНКТОР ЛИ НА КАТЕГОРИИ
ГРУПУСКУЛ ЛИ.
Полученные в конце предыдущей лекции результаты
применимы, разумеется, и к полной линейной группе
GL(n)= G(R(n)). В частности, мы видим, что однопа-
раметрическими подгруппами группы GL (п) являются
матричные экспоненциальные функции t*—>е!4 и только
эти функции.
Определение 1. Подгруппу G группы GL(«) мы бу-
дем называть матричной группой Ли, если:
а) на G введена гладкость, по отношению к которой
она является группой Ли;
б) отображение вложения i: G-^-GL(n) гладко
(и, значит, является гомоморфизмом групп Ли).
Каждая однопараметрическая подгруппа группы G
автоматически является однопараметрической подгруп-
пой группы GL(/i), и потому имеет вид Это
определяет инъективное отображение 1(G) —> I(GL(«)) =
= R(n), являющееся (см. предложение 5 лекции 2) не
чем иным, как отображением l(t). Тем самым для лю-
бой матричной группы Ли линейное пространство g —
= 1(G) естественно отождествляется с некоторым под-
41 пт и •»-» nrn z"> /У fD ( M Ъ
ГРУППЫ ЛИ, ДОПУСКАЮЩИЕ КОНСТРУКЦИЮ КЭЛИ
49
Примером матричной группы Ли может служить лю-
бая группа, допускающая конструкцию Кэли (см. лек-
цию 1), скажем, группа О/(п) всех /-ортогональных
матриц. По определению матричная однопараметриче-
ская подгруппа tt-^etA тогда и только тогда является
однопараметрической подгруппой группы О/(п), когда
для любого t е R выполнено соотношение
(е/л)т JetA = /.
Дифференцируя это соотношение по t и полагая t = О,
мы получим соотношение
Лт/ 4- JA = О,
означающее по определению, что матрица А является
/-кососимметрической матрицей.
Оказывается, что и обратно, для любой /-кососим-
метрической матрицы А отображение t-+-etA является
однопараметрической подгруппой группы О/(/г).
Чтобы установить это, мы воспользуемся матричным
аналогом известной элементарной формулы
Гп \ т
1 + —.
Покажем, что (с заменой 1 на е) эта формула справед-
лива в любой конечномерной ассоциативной алгебре
Действительно, так как
1
A!
k\
I__/ m \ ______ m (m — 1) ... (m — k + 1)
\ k J tn • m • ... m
_ -----------/
k множителей
то для любой мультипликативной нормы
оо
50
ГРУППЫ ЛИ, ДОПУСКАЮЩИЕ КОНСТРУКЦИЮ КЭЛИ
и петому
1 • U f 1
игл е — (е-г
т -> со 11 V
ибо
II а I!
т
g!l а ||_ г-]
Мы видим, что для любого t имеет место равенство
Z 1Л \т / i А \ т
JetA _ J jjm f £ _|--| — Um .7 S £ —]---) —
m->«A rn J m_>oo V m J
— lim
m-> oo
m J
J = e-iA~rj}
ибо Jf(A)=f(—AT)J для любого многочлена F(A) от
матрицы А. Поэтому
(<?м)т JetA = (ем)т е~мТ/ = J,
так что действительно etA е Оу (д).
Этим доказано-, что для группы. Oj{n) подпростран-
ством 1(Оу(д)) пространства R (/г) служит линейное
пространство -всех J-кососимметрических матриц.
Сравнивая это утверждение с результатом, получен-
ным в примере 7 из лекции 1, мы видим, что подпро-
странство \{Oj(n)) совпадает с кэли-сбразом группы
Oj(n). Оказывается, что это общий факт:
Предложение 7. Если матричная группа G сд GL (п)
допускает конструкцию Кэли (и потому является мат-
ричной группой Ли), то соответствующее этой группе
линейное пространство 1(G) совпадает с кэли-образом
G# групп л G.
Доказательство. Пусть А е 1(G), т. е. пусть
отображение-К—> etA представляет собой однопарамет-
рическую подгруппу группы G. Так как множество 6°
неисключительных матриц из G является окрестностью
единицы Е группы G, то существует такое е > 0, что
при р|<е матриЦа ем неисключительна и потому оп-
ределен ее кэли-образ
(eiA)# = (£ — etA) {Е + etA)~l е G*.
ГРУППЫ ЛИ, ДОПУСКАЮЩИЕ КОНСТРУКЦИЮ КЭЛИ
51
Поскольку G* является линейным пространством, от-
сюда следует, что матрица
d(etA)#
dt
= lim
также принадлежит G#. Но, с другой стороны,
= - AetA (Е + ^м)-1 + (Е - efA) d- +d^
и потому
d&A)# __±д
dt £=о 2
Следовательно, А е G#.
Тем самым доказано, что 1(G) czG#, и значит, что
1(G) — G#, поскольку линейные пространства 1(G) и G*
имеют одну и ту же размерность (равную dimG). □
В соответствии с разобранными в лекции 1 приме-
рами из предложения 1 следует, что пространство 1(G):
для ортогональной группы О(лг) (или, что равно-
сильно, для группы SO (и)) состоит из кососимметриче-
ских матриц порядка п;
для вещественной симплектической группы Sp(m,R)—
из матриц вида
(А в \
— Ат)'
где В и С — симметрические матрицы порядка tn, а
матрица А произвольна',
для ортогональной симплектической группы 8р(т)П
П О (2m)— из матриц вида
(с ~СА-
где А — кососимметрическая, а С — симметрическая,
матрица-,
для унитарной группы U (и) — из косоэрмитовых мат-
риц',
для группы Up (m)— из матриц вида
/ А В \
\С — АТ)’
52
ОБОБЩЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ КЭЛИ
где В и С — эрмитовы матрицы порядка т, а матрица А
произвольна-,
для симплектической группы Sp (гаг)—из матриц
вида
( А в\
\ — в а)’
где А — косоэрмитова, а В — симметрическая матрица
порядка т. □
Утверждение о том, что группа, допускающая кон-
струкцию Кэли, является матричной группой Ли, не
связано жестко с отображением Кэли А >—>Л# и мо-
жет быть существенно обобщено.
Как и выше, нам будет удобно отождествлять про-
странство Rre с пространством R(ra) всех квадратных
матриц порядка п.
Предложение 2. Подгруппа G группы GL(ra) являет-
ся матричной группой Ли, если существует диффеомор-
физм ft V -* V некоторой окрестности V единичной мат-
рицы в группе GL(ra) на открытое множество V про-
странства R(ra), обладающий тем свойством, что мно-
жество f(Gf] V) является пересечением множества V
с некоторым линейным подпространством G# пространст-
ва R (га):
f(Gn V) = G#n V.
Доказательство. Пусть m — dim G#, и пусть
<р: G#—>Rm — произвольный изоморфизм пространства G*
на пространство R"1. Пусть, кроме того, U — G f] V и
U = <$\G ("I V). Тогда множество U открыто в Rm,
а отображение h — ср ° f на U является биективным
О
отображением U—>U. Иными словами, пара (U, h)
является картой на G.
Пусть теперь А — произвольная матрица из G, и
пусть Ua — La(U) иНа = /1оЬа1- Тогда пара (иА,Ьд)
также будет картой на G. Поскольку А Ua, все мно-
жества вида Uа покрывают G. Кроме того, если Uа П
ОБОБЩЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ КЭЛИ
53
П Uв =/= 0, то на /гд(илГ\ив) отображение /гв ° йд1 бу-
дет ограничением диффеоморфизма
h°LBX°LAah 1 — ф ° f ° Lb-\a о f-1 о q> 1
и потому само будет диффеоморфизмом. Следовательно,
карты (t/д,/гд) составляют атлас. Тем самым на G опре-
деляется гладкость, по отношению к которой G будет,
очевидно, матричной группой Ли. □
Случай группы, допускающей конструкцию Кэли, по-
лучается, когда V представляет собой множество всех
неисключительных матриц из G, а отображение f: V —> V
является отображением Кэли (и, следовательно, линей-
ное пространство G# — кэли-образом группы G).
Предложение 1 также переносится на рассматривае-
мый сейчас общий случай, если потребовать, чтобы диф-
6
феоморфизм f: V —> V был аналитическим, т. е. чтобы
были выполнены следующие условия:
а) существует такое число R и такая матричная
норма || ||, что ||А — ЕЦ < R для любой матрицы А е V;
б) существует такой ряд
f (~) — Йо 4-(z— 1)4- ... 4~ (г—1)”г 4- •••>
сходящийся при |z—11 </?, что для любой матрицы
А V имеет место равенство
/С4) = а0Е4-й1(Л-^)4- ... + am(A-E)m + •••
(ввиду условия а) это равенство имеет смысл);
в) число ai = Г(1) отлично от нуля:
at 0.
ПредложениеЗ. Если для подгруппы G группы GL(ra)
существует удовлетворяющий условиям предложения 2
аналитический диффеоморфизм f: V V, то соответ-
ствующее этой группе линейное пространство 1(G) со-
впадает с линейным пространством G#, предусмотрен-
ным предложением 2.
Доказательство (ср. с доказательством пред-
ложения 1). Пусть t>—>etA— произвольная однопарамет-
54
ГРУППЫ, ОБЛАДАЮЩИЕ Зп-ОБРАЗАМИ
рическая подгруппа группы G, и пусть е > О — такое
число, что при 11\ < е матрица eiA принадлежит V.
Тогда etA G f] V и, значит, f (ем) е G# f] V. Поэтому
—у—-sG* и, в частности,
df (etA) р#
Но согласно формуле (22) предыдущей лекции
dL&fl =f'{etA)AetA]i^^aiAt
at ;=о
так как
f' (2) — 4~ 2д2 (z—1)4- ... 4- шат (z—1)т 1 4- •••
и, значит, f' (E) = atE. Следовательно, а{А е G# И По-
тому А е G# ибо по условию а{ 0.
Этим доказано, что 1(G) сп G#. Поэтому 1(G) = G#
так как размерности этих линейных пространств совпа-
дают. □
Чтобы в явном виде построить диффеоморфизм Д
мы рассмотрим матричный ряд
In А = (А - Е) - у (А - Е)2 4- •..
(_nm + l
... 4--(.-(А-£Г 4- ...,
который сходится при ||4—£|| < I (где || И—произ-
вольная матричная мультипликативная норма, скажем,
норма || А || = п • шахаФ. Тривиальное вычисление, no-
г. i
вторяющее известное вычисление для- числовых рядов,
показывает, что еХпА = А при ||А—£|| < 1 (т. е. когда
матрица In А определена).
, Интересно, что, напротив, равенство In еА =4 может
быть не выполнено даже тогда, когда матрица In еА оп-
ределена (в том смысле, что для матрицы В — еА схо-
дится ряд In В). Действительно, если
"o'»-
V о 0 /
ГРУППЫ, ОБЛАДАЮЩИЕ ln-ОБРАЗАМИ
55
то, как показывает автоматическое вычисление,
А ____________________/ соз 0 — sin 0 \
е \ sin 0 cos 0 ) ’
и потому при 0 — 2л имеет место равенство еА = Е.
Следовательно, матрица 1п еА определена и равна нулю,
а не Л.
Впрочем, аналогичный феномен имеет место и для
чисел (правда комплексных). Например, е2яЛ — 1, и по-
тому In e2ai = 0. Причина этого известна. Условие
|ег—1 определяет в плоскости комплексного пере-
менного z — х + iy счетную систему областей, полу-
чающихся друг из друга сдвигами на 2ш, причем об-
ласть, содержащаяся в полосе | у | < , ограничена
кривой ех = 2 cos у (см. рисунок) . С другой стороны,
У А.
формальное преобразование ряда In е2 в ряд z имеет
содержательный смысл, как и любое преобразование ря-
дов, только в соответствующем круге сходимости, кото-
рым в данном случае является максимальный круг с
центром в точке го = 0, содержащийся в рассматривае-
мой области. Поскольку, как легко видеть, радиус этого
круга равен 1п 2 мы, таким образом, можем быть уве-
рены в равенстве lnez = z только при |е[<1п2.
56
ГРУППЫ, ОБЛАДАЮЩИЕ ln-ОБРАЗАМИ
Теперь ясно, что те же самые формальные креобра?
зования годятся и для ряда In еА, и потому равенство
1п еА = А заведомо имеет место при In 2.
Тем самым доказано, что отображение 1п: А—>-1пА
осуществляет диффеоморфизм некоторой окрестности V
единичной матрицы в группе GL(n) на некоторую ок-
О
рестность V нулевой матрицы в линеале R (л) (с об-
ратным диффеоморфизмом exp:Ai—>еА).
Мы будем говорить, что подгруппа G с GL (п) обла-
дает \п-образом, если в R (п) существует такое линейное
подпространство G^, что
In(G f] К) — Gb f| V.
Согласно предложению 2 такая подгруппа является мат-
ричной группой Ли, а согласно предложению 3 линеал
Gb совпадает с линеалом g = 1(G).
В отличие от конструкции Кэли, эта конструкция
позволяет немедленно доказать, что группы SL(n) и
SU (н) унимодулярных матриц являются матричными
группами Ли. Действительно, известно, что det еА =
= еТгА, где ТгА— след матрицы А (сумма ее диаго-
нальных элементов). Поэтому условие унимодулярности
матрицы еА равносильно линейному условию ТгА —О
на матрицу А. □
(Равенство det еА — еТг А достаточно, как легко видеть,
доказать лишь для матриц, имеющих жорданову, или
хотя бы треугольную, форму. Но для такой матрицы А
матрица еА также треугольна, а ее диагональные эле-
менты имеют вид е^1, ..., еап, где ait ..., ап — диаго-
нальные элементы матрицы А. Поэтому deteA = ea‘ . . .
... еа« = £Л+-"+а«==еТгА.)
Основное же преимущество ln-конструкции перед
конструкцией Кэли состоит в ее универсальности.
Предложение 4. Каждая матричная группа Ли G об-
ладает \п-образом.
Доказательство. Согласно сказанному выше,
единственным кандидатом на роль линеала Gb является
линейное пространство 1(G). Покажем, что оно действи-
тельно обладает нужным свойством. ,
АЛГЕБРЫ ЛИ
57
Пусть, как и выше, V и V — такие окрестности (со-
ответственно единичной и нулевой матрицы), что функ-
О
ция At—>1пА определяет диффеоморфизм In: V —> V
с обратным диффеоморфизмом exp: VV. Тогда для
О
любой матрицы А I (G) fl V будет иметь место включе-
ние еА G f| V (ибо etA G для любого t). Поскольку
О
In еА — А, этим доказано, что I (G) П V cz In (G П V).
Обратно, пусть В <= G f] V. Тогда определена матрица
О
Д = 1пВеУ. Рассмотрим на GL (/г) соответствующее
левоинвариантное векторное поле У: Pt—>PA. Ограни-
чение X — Y \а поля У на G является, очевидно, глад-
ким левоинвариантным векторным полем на G (элемен-
том линеала 1(G)), который i-связан с полем У, где
t: G—>-GL(az) — отображение вложения. Согласно пред-
ложению 4 лекции 2 это означает, что I(i)X = У. Следо-
вательно, в силу наших общих отождествлений поле X
отождествляется с матрицей А. Значит, А 1(G). Этим
доказано, что In (G f) V) cz I (G) Г) V.
О
Таким образом, ln(G Г) V) - 1(G) f] У, что доказывает
предложение 4. □
Итак, матричная группа тогда и только тогда яв-
ляется группой Ли, когда она обладает ln-образом. Пе-
реход к ln-образу, можно сказать, линеаризует группу,
что существенно упрощает ее изучение. Поскольку про-
странство 1(G) (совпадающее для матричных групп с
ln-образом) определено для любых групп Ли, естествен-
но ожидать, что функтор Ли I: Gi—>l(G) играет в тео-
рии произвольных групп Ли роль, сходную с ролью
функтора In в теории матричных групп Ли. Оказывает-
ся, что это действительно так, и этот факт является фун-
даментом всей теории групп Ли. Обсуждению всех во-
просов, связанных с этим кругом идей, и будет в основ-
ном посвящен наш курс.
Определение 2. Алгебра g называется алгеброй Ли
(или лиевой алгеброй), если умножение в ней антиком^
мутативно, т. е.
ху — — ух
58
ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ
для любых элементов х, у != g и, кроме того, для любых
элементов х, у, z е А имеет место тождество
(1) (ху) Z 4- (yz) X 4- (zx) у = О,
называемое тождеством Якоби.
По традиции принято алгебры Ли обозначать строч-
ними буквами готического алфавита.
Для любого элемента а алгебры Ли g отображения
La И Ra отличаются только знаком (La = -----Ra). Для
алгебр Ли отображение La принято обозначать симво-
лом ad а.
Подобно ассоциативным алгебрам, все алгебры Ли
составляют полную подкатегорию категории ALG.
Мы будем обозначать эту подкатегорию символом
ALG-LIE.
Особое значение для нас будут иметь конечномерные
алгебры Ли над полем R. Они составляют категорию,
которую мы будем обозначать символом ALGf-LIE.
Заметим, что каждая подалгебра алгебры Ли сама
является алгеброй Ли.
Большой запас примеров алгебр Ли получается на
основе следующей общей конструкции.
Пусть — произвольная ассоциативная алгебра.
Для любых двух элементов х, у G мы определим
их коммутатор [х, у\ (называемый также их скобкой
Ли) формулой
[х, = ху — ух.
Ясно, что [х, у] — — [у, х]. Кроме того,
[ [х, у], z] 4- [ [«/> г], х] 4- [ к, х], у] =
= (ху — ух) Z — Z (ху — ух) 4- (yz — zy) X — х (yz — zy) 4-
4- (zx — xz) у — у (zx — xz) = 0
для любых x, у, z e s&. Это означает, что относительно
операции х, у\—>[х, г/] (очевидно, линейной по обоим
аргументам) линеал является алгеброй Ли. Эту ал-
гебру мы будем называть коммутаторной алгеброй Ли
ассоциативной алгебры st. Обозначать ее будем симво-
лом [^].
ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ
59
Поскольку любой гомоморфизм ассоциативных ал-
гебр является, очевидно, гомоморфизмом соответствую-
щих коммутаторных алгебр, соответствие
представляет собой некоторый функтор из категории
ALG-ASS в категорию ALG-LIE.
Часто бывает удобно обозначать символом [х, у]
произведение и в произвольной алгебре Ли (не являю-
щейся, вообще говоря, коммутаторной алгеброй Ли ни-
какой ассоциативной алгебры).
В этих обозначениях отображение ad а: д —>д для
любой алгебры Ли д будет определяться формулой
(ad а) х = [а, х], а, .reg.
Примером коммутаторной алгебры Ли является ком-
мутаторная алгебра Ли [End>°] ассоциативной алгебры
End^ всех эндоморфизмов (линейных операторов) ли-
нейного' пространства Т. В случае, когда само У’ яв-
ляется алгеброй (не обязательно ассоциативной), в ал-
гебре [Endj^] выделяется линейное подпространство
S)(T) всех дифференцирований алгебры У3, т. е. таких
линейных отображений D: 'У-^У3, что
D (ху) = Dx • у -г х • Dy
для любых элементов х, у е У5. Автоматическое вычис-
ление показывает при этом, что для любых Z?i, Z>2
коммутатор [Pj, Z)2] — D1D2 — D2Di принадле-
жит <25(2^), т. е. что линеал 2D (J*0) является подалгеб-
рой алгебры Ли [EndJ°]. Таким образом, для любой
алгебры V линеал 2D (3^) является алгеброй Ли относи-
тельно операции D^, D2>—>DiD2 — D2Di.
Пусть теперь g — произвольная алгебра Ли (умно-
жение в которой обозначено символом [х, г/]).
.Тождество Якоби (1) мы можем переписать, исполь-
зуя антикоммутативность, в любой из следующих двух
'форм:
[а, [х, у} ] = [ [а, х], у] + [х [а, у} ],
,[ [а, Ь], х] = [а, [Ь, х]] — [Ь, [а, х] ],
л, у д,
а, Ь, х е д.
Первое из этих тождеств равносильно утверждению, что
для любого элемента а s g отображение
(ad а) х— [а, х], х е д,
60
АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
является дифференцированием алгебры Ли д, а вто-
рое— утверждению, что получающееся таким образом
отображение at—» ad я алгебры Ли g в алгебру Ли S>(g)
является гомоморфизмом.
Дифференцирования вида ad а называются внутрен-
ними дифференцированиями алгебры Ли д. Мы видим,
таким образом, что совокупность adg всех внутренних
дифференцирований произвольной алгебры Ли g являет-
ся алгеброй Ли, представляющей собой гомоморфный
образ алгебры д.
В теории гладких многообразий алгебры Ли (над
полем R) возникают как алгебры векторных полей.
Пусть М — произвольное гладкое многообразие и
а(М) — линейное пространство векторных полей над М.
Напомним, что каждое поле Xea(Af) может быть рас-
сматриваемо как дифференцирование на М (линейный
дифференциальный оператор), т. е. как некоторое пра-
вило, сопоставляющее каждому открытому множеству
U сг М дифференцирование Хи алгебры (U) гладких
функций на U и обладающее тем свойством, что для лю-
бого открытого множества V cz U и любой функции f 6=
^^"((7) имеет место равенство Xv (f\ v) = (Xuf) | v. По-
этому для любых двух полей X, Y<=a(M) и любого от-
крытого множества U cz М определено дифференциро-
вание [Ху, Уу] алгебры Поскольку, как легко ви-
деть, для каждого открытого множества V cz U и любой
функции имеет место равенство
[Xv, Yv](f |„) = (Ищ Ya]f)
дифференцирования [Хи, Yu] составляют некоторое век-
торное поле.
Определение 3. Векторное поле на М, сопоставляю-
щее каждому открытому множеству U cz М дифференци-
рование [Хи, Yu] алгебры называется скобкой
Ли полей X, Y и обозначается символом [X, У]. Таким
образом, по определению
[X, Y]U = [XU, Yv],
Очевидно, что относительно операции X, У>—>[ХУ] ли-
нейное пространство а(М) является алгеброй Ли. Эта
алгебра называется алгеброй Ли векторных полей на
АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
61
многообразии М. Вообще говоря, эта алгебра бесконеч-
номерна.
Непосредственное вычисление показывает, что в каж-
дой карте (U, х1, хп) компоненты [X, У]г, i— 1, ...
..., п, поля [X, У] выражаются через компоненты X1 и
Yl, i = 1, ..., п, полей X и Y по формуле
(2) [X, y]z = Xj — Y!, i. i = 1, . . ., п.
дх1 дх1
Действительно,
[X, У]г = [X, У] хг = X (Ухг) — У (Хх*) =
= X(Yi)-Y(Xi) = X1-^--Y1^-. □
дх1 дх1
Столь же легко показывается, что если для некото-
рого гладкого отображения Ф: M—^N поля X и Y на
многообразии М соответственно Ф-связаны с полями X'
и Y' на многообразии N, то поле [X, У] также Ф-свя-
зано с полем [X', У']. Действительно, Ф-связанность по-
лей X, У и X', Y' означает, что для любой функции f
(определенной и гладкой в некотором открытом под-
множестве многообразия N) имеют место равенства
X (f о ф) = X'f оф и У (f о ф) = Y'f о ф.
Но тогда
[X, У] (f оф) = Х (K(f оф)) —K(X(f оф)) =
= X (Y'f оф) —Y (X'f о ф) =
= X' (Y'f) о ф — У' (X'f) о ф =
= [X', Y'] f о ф
и, следовательно, поля [X, У] и [X', Y'] также Ф-свя-
заны. п
В частности, мы видим, что для любого диффеомор-
физма Ф: M-^-N имеет место равенство
Ф* [X, Y] = [Ф*Х, Ф*У],
где X, У — произвольные векторные поля на многооб-
разии А7.
62 АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ ЛИ
Для левоинвариантных векторных полей на группе
Ли G отсюда непосредственно следует, что скобка Ли
[X, У] двух левоинвариантных векторных полей X и Y
также является левоинвариантным векторным полем."
Это означает, что линейное пространство g = 1(G) ле-
воинвариантных векторных полей является подалгеброй
алгебры Ли a(G) всех полей и потому само является
алгеброй Ли.
Определение 4. Алгебра Ли g = I(G) над полем R
называется алгеброй Ли группы Ли G.
Обратим внимание, что скобку Ли [X, У] на линей-
ном пространстве L(G) мы построили, пользуясь пер-
-вой интерпретацией этого пространства. Никакого непо
средственного построения этой скобки в рамках второй
интрепретации (1(G) = Te(G)) не существует. Как
строится скобка Ли на основе третьей интерпретации
(т. е. при истолковании элементов пространства 1(G)
как однопараметрических подгрупп), мы укажем позже.
Как мы знаем, любой гомоморфизм Ф: G-+-H групп
Ли индуцирует некоторое линейное отображение 1(Ф):
1(G)—>!(//), причем для любого поля Хе 1(G) поле
1(Ф)Хе1(Я) будет Ф-связано с полем X. Поэтому это
отображение является гомоморфизмом алгебр Ли.
Таким образом, функтор Ли I: GR-DIFF —»-LlNf(R)
на самом деле является функтором
I: GR-DIFF-> ALGf-LIE
из категории групп Ли в категорию ALGf-LIE конечно-
мерных алгебр Ли над полем R (точнее, функтор GR-
DIFF—>- LINf (R) представляет собой композицию функ-
тора GR-DIFF-> ALGf-LIE и функтора игнорирования
ALGf-LIE—>- LlNf(R)).
Вычислим скобку Ли для матричных групп Ли. По-
скольку для любой матричной группы Ли G алгебра
1(G) является, очевидно, подалгеброй алгебры
I(GL(n)) = gl(n), нам достаточно вычислить эту скобку
только в алгебре gl(n).
Мы произведем вычисление сразу для произвольной
группы вида G(j^), где — конечномерная ассоциа-
тивная алгебра.
АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 63
Как было установлено в лекции 2, линеал 1(G) для
группы G=G(^) естественным образом отождеств-
ляется с линеалом з£, причем в этом отождествлении
элементу а: е з£ отвечает левоинвариантное векторное
поле на G (з^) вида X!—>ха, xeG(^) (рассматривае-
мое как отображение О(з&)—>з$-}.
Пусть ei, .еп— произвольный базис алгебры S&,
и пусть, как и в лекции 2,
е .в, =
i, !, k = l, ..., п,
где R. Координаты х1, ..., хп элементов алгебры
з£ относительно базиса е\, ..., еп являются локальными
координатами в любой точке хе причем отве-
/ д / д \
чающий им базис -тт| , 8-чНг J касательного
пространства T«.(G(^)) соответствует при отождеств-
лении T,r(G(Л)j = з£ базису е\, еп- Поэтому при
отождествлении векторных полей на G(^) с отображе-
ниями G(^)-*^ векторному полю X — X1 ~^-г отвечает
отображение х»—
Поскольку ха ~ с\,х£аке, пои х — х’е,, а = ake., отсюда
J IV - J
• _ д д
следует, что в оазисе тт, ...» левоинвариантное
(?^к О* -Як
векторное поле. Xt х>—>ха, соответствующее элементу
а е з£, имеет координаты
Х£ — c£,.xiak,
: • < J Я
, Поэтому для любых левоинвариантных векторных
ролей X и У на G(^) координаты [л, У]2 их скобки Ли
будут выражаться формулой
г ¥ Yv = Xk — Yk =
дх& дхк
‘ с^х'а1« clkmbm — СцхЧ;1 • clkmam —
= clkm (cfa'a1) - cL (c^b1) am,
где. а и. b — элементы алгебры s^, отвечающие полям Хи
У. Но эта формула означает, что числа [Хг У]1 являются
64
ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ ли
координатами точки ха-Ъ—хЪ-а~х(аЪ— Ъа), и,
следовательно, что полю [X, У] соответствует элемент
ab— Ьа = [а, 6]. Этим доказано, что в силу отождеств-
ления I (G коммутаторная алгебра Ли [^]
ассоциативной алгебры $4- является алгеброй Ли группы
Ли G (^).
В частности, алгеброй Ли gl(zi) группы Ли GL(n)
служит коммутаторная алгебра [R (л) ] алгебры матриц
R(n).
Для произвольной же матричной группы G алгебра
Ли 1(G) является соответствующей подалгеброй алгебры
Ли [R (n)] = gl(n).
Нашей дальнейшей целью будет детальное изучение
функтора Ли I и, в частности, выяснение, в какой мере
(и как) этот функтор обратим, т. е. в какой мере группа
Ли G может быть восстановлена по ее алгебре Ли
g = i(G).
В предыдущей лекции уже было замечено, что
I(G) = l(Ge), где Ge — компонента единицы группы G.
В более педантичных терминах это равенство утверж-
дает, что гомоморфизм вложения Ge G индуцирует
изоморфизм I(Ge) ~ 1(G) линейных пространств. Но по-
скольку гомоморфизм групп Ли индуцирует гомомор-
физм алгебр Ли, изоморфизм I(Ge) 1(G) будет изо-
морфизмом и алгебр Ли. Иными словами, равенство
I (Ge) = 1(G) имеет место для алгебр Ли.
Поэтому вопрос об обратимости функтора Г. GR-
DIFF—э-ALG/-LIE целесообразно ставить только для
связных групп Ли.
Полную подкатегорию категории GR-DIFF, порож-
денную связными группами Ли, мы будем обозначать
символом GRo-DIFF. Ограничение функтора Ли на этой
подкатегории мы также будем называть функтором Ли.
Согласно только что сказанному имеет место коммута-
тивная диаграмма функторов
^ALGZ-LIE
GR0-DIFF"
ГРУПУСКУЛЫ ли
65
правые наклонные стрелки которой являются функто-
рами Ли, а левая вертикальная стрелка — функтором
«компонента единицы», сопоставляющим каждой группе
Ли ее компоненту единицы. Эта диаграмма является
формальной записью равенства l(Ge) = 1(G) на функто-
риальном языке.
Будет ли на категории GR0-DIFF функтор Ли обра-
тим, т. е., точнее говоря, будут ли изоморфны группы
с изоморфными алгебрами Ли? Ответ оказывается от-
рицательным.
Рассмотрим, например, аддитивную группу R вещест-
венных чисел и мультипликативную группу S1 комп-
лексных чисел, равных по модулю единице. У обеих
групп алгебра Ли одномерна. Но в силу антикоммута-
тивности умножение в любой одномерной алгебре Ли
(над полем R) тривиально (произведение любых двух
элементов равно нулю). Поэтому алгебры Ли групп R
и S 1 изоморфны, тогда как сами группы не изоморфны
(одна из них компактна, а другая — нет).
Причина совпадения алгебр Ли в этом примере ясна:
группы R и S1 локально (в окрестности единицы)
«устроены одинаково».
Это наводит на мысль ввести для связных групп Ли
отношение «локальной изоморфности», считая группы G
и Н локально изоморфными, если некоторую окрест-
ность U единицы группы G можно диффеоморфно
отобразить на некоторую окрестность V единицы группы
Н так, чтобы произведение ху любых двух элементов х
и у из окрестности U в случае, когда оно принадлежит
U, переходило бы в произведение ху соответствующих
элементов х и у. Очевидно, что алгебры Ли двух ло-
кально изоморфных групп Ли изоморфны, и можно на-
деяться (по крайней мере приведенный выше пример
этому не противоречит), что и, обратно, группы Ли с
изоморфными алгебрами Ли локально изоморфны. Ока-
зывается, что это действительно так. Доказательство
этого основного факта и будет одной из наших главней-
ших целей. Мы приступим к нему на следующей лекции,
а окончательно завершим только в лекции 9.
Однако понятие локального изоморфизма «глобаль-
ных»групп Ли с общих методологических позиций пред-
3 М. М, Постников
66
ГРУПУСКУЛЫ ли
ставляется не очень удачным. Опыт конструирования
математических теорий подсказывает, что такого рода
смешение глобальных и локальных аспектов приводит
к неуклюжим формулировкам и необоснованным услож-
нениям доказательств. Всегда нужно стремиться к тому,
чтобы с самого начала четко отделить локальные во-
просы от глобальных.
Для конкретного случая групп Ли эти общие заме-
чания обосновывают целесообразность введения нового
математического понятия «групускулы Ли», являюще-
гося формализацией окрестности единицы в группе Ли
вместе с имеющимся в этой окрестности умножением.
Определение 5. Гладкое многообразие G называется.
групускулой Ли, если:
1) в нем выделен некоторый элемент е, называемый
единицей',
2) выделены окрестность U cz G X G элемента (е,е)
и окрестность G элемента е;
. . 3) задано гладкое отображение
(3) U—>G,
называемое умножением и гладкое отображение
(4) G0->G,
называемое операцией взятия обратного элемента’, об-
раз точки (x,y)^U при отображении (3) обозначается
символом ху, а образ точки хе 1/0 при отображении
(4)—символом х-1;
. 4) имеет место равенство е-1 — е;
5) если (х, е) е U, то хе = х; если (г, x)^U, то
ех — х;
6) если (х, у) е U, (у, z) е U, (ху, г) е £7 и (х, yz)^Us то
(ху) z = x (yz);
7) если (х, у) е U, у и (ху, z/-1) е U, то
(хг/)г/-1 = х,
и аналогично, если (х, у) е U, х е Uo и (х-1, ху) U, то
х~1(ху) = у.
Короче, G есть групускула Ли, если для элементов
х,у, достаточно близких к единице е, определено пр.оиз-
ГРУПУСКУЛЫ ли
67
зедение ху и обратный элемент х~1, гладко зависящие
от х, у, причем выполнены все аксиомы группы каждый
раз,, когда участвующие в этих аксиомах объекты опре-
делены.
Групускулы Ли называются также локальными груп-
пами Ли.
Руководящим примером групускулы Ли является
произвольная окрестность единицы в произвольной
группе Ли.
Несмотря на кажущуюся естественность, определе-
ние 5 на самом деле мало удовлетворительно, ибо оно
не отражает всех аспектов интуитивного понятия, кото-
рое мы имеем в виду формализовать. Действительно,
естественно считать, что две различные окрестности еди-
ницы в данной группе Ли приводят к одной и той же
групускуле Ли, тогда как, согласно определению 5, эти
групускулы будут различны.
Чтобы поправить дело, мы заметим, что любое От-
крытое множество Н групускулы Ли G, содержащее еди-
ницу е, автоматически само является групускулой Ли.
Каждая такая групускула называется частью групуску-
лы G. Две групускулы Ли называются эквивалентными,
если некоторые их части совпадают. Класс эквивалент-
ных групускул Ли называется ростком групускул Ли.
(Ср. с определением ростков гладких функций в теории
гладких многообразий.)
Ростки групускул Ли и являются адекватной форма-
лизацией интуитивного понятия группы Ли, рассматри-
ваемой локально. Однако последовательное использова-
ние ростков очень утяжеляет изложение. На практике
сложился несколько свободный стиль (которому мы
тоже будем следовать), когда, говоря о групускулах Ли,
на самом деле молчаливо подразумевают их ростки, а
требуемые по ходу дела переходы к эквивалентным гру-
пускулам либо вообще не упоминаются, либо указы-
ваются лишь в отдельных наиболее «острых» случаях.
Читателю очень рекомендуется самому переделать
все дальнейшее изложение на более педантичный лад
с четким различением групускул Ли и их ростков.
Определение 6. Гомоморфизмом групускулы Ли G в
групускулу Ли Н называется такое гладкое отображение
3*
68
ФУНКТОР ЛИ НА КАТЕГОРИИ групускул ли
Ф некоторой окрестности V единицы групускулы G в гру-
пускулу Н, что
Ф {ху) — Фх • Фу
каждый раз, когда элементы Ф(ху) и Фх-Фу опреде-
лены. Если Gi и Н\—части групускул G и Н, и если
Ф (V П Gi) cz Hi, то Ф определяет некоторый гомомор-
физм групускулы 61 в групускулу Hi, называемый
частью гомоморфизма Ф. Два гомоморфизма называют-
ся эквивалентными, если у них имеется общая часть.
Класс эквивалентных гомоморфизмов называется рост-
ком гомоморфизмов (или гомоморфизмом ростков).
Все групускулы Ли и их гомоморфизмы (точнее,
ростки групускул Ли и их гомоморфизмы) образуют,
очевидным образом, некоторую категорию. Мы будем
обозначать эту категорию символом GR-LOC.
Операция перехода к произвольной окрестности еди-
ницы определяет, очевидно, некоторый функтор
GR-DIFF ^GR-LOC
(а также функтор GR0-DIFF-> GR-LOC) из категории
GR-DIFF всех групп Ли (из категории GRo-DIFF всех
связных групп Ли) в категорию GR-LOC групускул Ли.
Этот функтор мы будем называть функтором локали-
зации. Образ группы Ли G при функторе локализации
мы будем иногда обозначать символом Gioc.
Группы Ли локально изоморфны, если их локализа-
ции изоморфны (как объекты категории GR-LOC).
Для групускул Ли очевидным образом определяются
левоинвариантные векторные поля и их скобки Ли. Со-
вокупность 1(G) всех левоинвариантных векторных полей
на групускуле Ли G является алгеброй Ли, называемой
алгеброй Ли групускулы G. Так же как и для групп Ли,
элементы алгебры Ли 1(G). естественным образом отож-
дествляются с касательными векторами А Te(G), а
также с однопараметрическими подгруппами (или,
лучше сказать, с однопараметрическими подгрупуску-
лами, но этот термин неупотребителен) групускулы G.
Возникающий функтор
I: GR-LOC ->ALGrLIE
мы также будем называть функтором Ли.
ФУНКТОР ЛИ НА категории групускул ли
69
Вместе с введенными выше функторами Ли этот
функтор включается в коммутативную диаграмму
левая вертикальная стрелка которой изображает функ-
тор, сопоставляющий произвольной группе Ли компо-
ненту единицы, стрелки 1 и 2 изображают функторы ло-
кализации, а стрелки 3, 4 и 5 — функторы Ли.
Мы видим, что интересующий нас в первую очередь
функтор GR-DIFF —* ALG^-LIE распадается в компози-
цию трех функторов: функтора GR-DIFF—> GR0-DIFF,
функтора локализации GR0-DIFF —> GR-LOC и функтора
Ли GR-LOC—> ALG/-LIE для групускул Ли. Тем самым
изучение функтора GR-DIFF—> ALGf-LIE сводится к изу-
чению этих трех функторов. Исследование каждого из
них требует своих особых методов и, по существу, никак
не связано с исследованием остальных. Этим наша
цель — разделить локальные и глобальные аспекты —
полностью достигнута. Локальная часть задачи сосре-
доточена в функторе GR-LOC —> ALGf-LIE, а глобаль-
ная — в функторах GR-DIFF —> GRO-DIFE и GR0-DIFF —>
-> GR-LOC.
Функтор GR-DIFF —> GR0-DIFF мы фактически уже
рассмотрели в лекции 1. Как было доказано в этой лек-
ции, любая группа Ли G является расширением своей
компоненты единицы Н = Ge посредством некоторой
дискретной группы. Обратно, каждое расширение G
связной группы Ли Н посредством дискретной группы
очевидным образом является группой Ли с Ge — Н.
В первом приближении это достаточно удовлетвори-
тельно описывает функтор GR-DIFF —> GR0-DIFF.
Описание функтора GR0-DIFF —> GR-LOC мы полу-
чим в лекции 10, а пока займемся функтором
I: GR-LOC ->ALGrLIE.
’Лекция 4
ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА. — ФОРМУЛА ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ ГЛАД-
КИХ ФУНКЦИЙ В НОРМАЛЬНОЙ ОКРЕСТНОСТИ
ЕДИНИЦЫ ГРУППЫ ЛИ. —ФОРМУЛА ДЛЯ ЗНАЧЕ-
НИЙ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА ПРОИЗВЕДЕНИИ
ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ. — РЯД КЕМПБЕЛЛА —ХАУСДОР-
ФА И МНОГОЧЛЕНЫ ДЫНКИНА. — СХОДИМОСТЬ
РЯДА КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА. — ВОССТАНОВ-
ЛЕНИЕ ГРУПУСКУЛЫ ЛИ ПО ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ.—
ОПЕРАЦИИ В АЛГЕБРЕ ЛИ ГРУППЫ ЛИ И ОДНО-
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ. — ДИФФЕРЕН-
ЦИАЛЫ ВНУТРЕННИХ АВТОМОРФИЗМОВ. — ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕ-
НИЯ. — КАНОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. — ЕДИН-
СТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ ГРУППЫ ЛИ. — ГРУППЫ
БЕЗ МАЛЫХ ПОДГРУПП И ПЯТАЯ ПРОБЛЕМА
ГИЛЬБЕРТА.
Пусть М — произвольное гладкое многообразие. В отли-
чие от предыдущего, мы теперь предположим, что М яв-
ляется аналитическим (класса С“) многообразием.
Поскольку каждое векторное поле X на М мы можем
рассматривать как линейный дифференциальный опера-
тор, действующий на гладкие функции, по аналогии с
матричным случаем можно ввести в рассмотрение ли-
нейный оператор
х с । v । ^ । 1 хп । V хп
(1) ^ = £ + Jr + -^-+ ... + ^- + ... =2. тр
п=0
где Е — тождественный оператор, а Хп обозначает п-
кратную итерацию оператора X.
ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА’
Конечно, мы здесь должны определить, что следует
понимать иод суммой бесконечного ряда (1). В прин-
ципе для этого необходимо ввести в пространство С?(М)
топологию (скажем, задаваемую некоторой нормой).
Однако для простоты мы предпочтем здесь обходный
путь и будем понимать сходимость ряда (4) в «слабом»
смысле. Именно, мы определим результат exf приме-
нения оператора ех к функции формулой
оо
(2) exf = f + Xf + ... +^г+ ...
' ' ' ' ‘ * 2f 1 1 л[ ‘ z—i nl
n‘—d
где Xnf = X (Xn~lf), и будем считать, что этот оператор
применяется только к таким функциям, для которых ряд
(2) (уже функциональный) имеет непустую область схо-
димости (которая и принимается за область определе-
ния функции exf).
Оператор ех уже не будет дифференциальным опера-
тором. Именно, как мы сейчас покажем, он, вообще го-
воря, индуцируется некоторым диффеоморфизмом Ф:
М—^М, т. е. имеет вид f >—>/°Ф. Для этого Требуется
только, чтобы интегральные кривые поля X
были «достаточно длинны», а именно, были определены
при 1, и чтобы область определения W(f) функ-
ции f была «достаточно большой», а именно, чтобы су-
ществовали такие точки не ^(/), что сра(/)е W(f) при
1. Тогда функция exf будет определена для всех
таких точек а и будет выражаться формулой
(3) (^)(«)-Н<ра(1)).
Действительно, введем s рассмотрение функцию
/7Ю=/(.Фа(0).
По условию эта функция определена и аналитична при
1. Поэтому она разлагается в ряд Тейлора
ОО
л=0
f(Я) (0) .п
ill 1 ‘
72
ФОРМУЛА ДЛЯ ЗНАЧЕНИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
сходящийся при 1. С другой стороны, так как кри-
вая t*—является интегральной кривой поля X, то
F' (/) = = .«. f _ wf e (Xf)(sfa (Z)).
Это означает, что функцией F (t) для функции Xf слу-
жит функция откуда посредством очевидной ин-
дукции выводится, что функцией F (/) для функции Xnf
служит функция (/), т. е. что
^(t) = (Xnf)^a(t)).
Поэтому
F™ (0) = (Х7) (фа (0)) = (Xnf) (а),
и, значит,
оо оо
F (0 = £ (а).
п=0 п=0
Для завершения доказательства остается положить
t = 1. □
Мы будем применять общую формулу (3) к левоин-
вариантным векторным полям X на аналитической груп-
пе (или групускуле) Ли G и к функциям f, определен-
ным и аналитическим в некоторой окрестности единицы
е группы G. За точку а мы примем единицу е. Обозна-
чив точку Фе(1) символом exp X, мы перепишем для
этого случая формулу (3) в следующем виде:
(4) f (exp X) = (exf) (е).
В этом виде и будем ее использовать.
Для левоинвариантного векторного поля X интеграль-
ной кривой tt—xpe(t) является соответствующая одно-
параметрическая подгруппа t*—>0(Z). Поэтому exp X =
— 0(1) и формула (4) имеет место для любых функций
f, область определения которых содержит отрезок
t*~»0(/), |^| 1, этой подгруппы.
По определению ехр представляет собой такое ото-
бражение линейного пространства g — 1(G) в группу G,
что ехр 0 — е. Оно, очевидно, обладает свойством
естественности, т. е. для любого гомоморфизма
ФОРМУЛА ДЛЯ ЗНАЧЕНИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ
73
Ф: G—^H групп Ли имеет место коммутативная диаг-
рамма
ад—
ехр ехр
Из теоремы о гладкой зависимости решений диффе-
ренциальных уравнений от начальных данных непосред-
ственно вытекает, что отображение exp: 1(G)—>- G гладко.
Утверждение А. Отображение
exp: 1(G)-^-G
является в точке 0 диффеоморфизмом.
Мы докажем это утверждение позже.
Определение 1. Окрестность U нулевого вектора
Оед мы будем называть нормальной, если:
а) она обладает свойством звездности, т. е.
вместе с некоторым вектором X содержит и все векторы
вида tX при 11 \ 1;
б) отображение ехр диффеоморфно отображает ок-
рестность U на некоторую окрестность U единицы е
группы G.
Окрестность U мы также будем называть нормаль-
ной окрестностью.
Согласно утверждению А существуют сколь угодно
малые (содержащиеся в любой наперед заданной окре-
стности) нормальные окрестности (как вектора Оед,
так и единицы е G).
По построению ехр Х= 0(1), где 0 — однопарамет-
рическая подгруппа, являющаяся интегральной кривой
поля X. Но ясно, что для поля аХ, где R, интеграль-
ной кривой будет кривая it—>$(at), также, конечно, яв-
ляющаяся однопараметрической подгруппой. Отсюда
следует, что ехр (аХ) — р(а) или, если мы обозначим а
через t, что
ехр(^) = р(/).
Эта формула означает, что [3: t->- ехр (tX), т. е. что одно-
параметрические подгруппы р группы G является обра-
зами прямых tt-^-tX при отображении ехр.
74
ФОРМУЛА ДЛЯ ЗНАЧЕНИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ
В силу условия а) определения 1 отсюда следует, что
условие на область определения функции f, необходимое
(и достаточное) для справедливости формулы (4), за-
ведомо выполнено, если этой областью является некото-
рая нормальная окрестность U точки е. При этом, по-
скольку любая точка из U имеет вид ехр А", где
формула (4) задает функцию f на всей окрестности U.
Имея это в виду, мы применим формулу (4) к вы-
числению значения f(ab) функции f на произведении ab
двух элементов а — ехр X и Ъ — ехр У (конечно, в пред-
положении, что ab е U).
Для данного элемента а <= U формула fa(b) = f(ab)
определяет (на некоторой содержащейся в U окрестности
точки е, которую мы можем считать нормальной) глад-
кую функцию fa. При этом, согласно формуле (4), если
b = ехр У, то fa(£) = (eYfa) (е).
С другой стороны, так как функция fa является не
чем иным, как композицией f ° La левого сдвига La:
bi—>ab с функцией f, то в силу левоинвариантности
поля У имеет место формула
Yfa = Yf°La = (Yf)a.
Но тогда Ynfa =(Ynf\a для любого и потому
= {eYf)a.
Следовательно, если а == ехр X, то (мы снова приме-
няем формулу (4))
fa (&) = (eYfa) (е) == (eYf) (а) = (exeYf) (в).
Поскольку fa(b) — f (ехр А-ехр У), этим доказано, что
(5) f (ехр X • ехр У) = (exeYf) (е)
для любых X и У из соответствующей нормальной окре-
стности нуля алгебры д.
По определению (мы пока игнорируем вопрос о схо-
димости)
ехет= yl I уА= у 1 XpY\
L-a pl \Y—i Ф J Y-a pt?t
p=0 . ' P. n-i
РЯД КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
75
Подставив этот ряд в логарифмический ряд
lnz = (z-E)-Mi+
« = 1
мы получим (учитывая, что операторы X и
говоря, не коммутируют) формальный ряд
У, вообще
In (ехег) —
со
(—у XPrYq* ... XPkYqk
где во внутренней сумме суммирование распространено
на всевозможные наборы (рь рк, q\, ..., qk) це-
лых неотрицательных чисел, подчиненных условиям
(6) Pi + Я\ > 0, ..., pk 4- qk > 0.
Положив
(7)
п
Zn (х, у) = ^
k=\
XPkyqk
Pk'lk1 '
k La
где во внутренней сумме показатели pt, pk, q\, ...
..., qk, кроме условия (6), удовлетворяют также усло-
вию
(8) Pi + ... + Pk + Я\ + . • • + Як = п,
мы перепишем ряд 1п(ехег) в следующем виде:
(9) 1п(Лг)=£г„(Х, У).
я=»1
Этот формальный ряд называется рядом Кемпбел-
ла— Хаусдорфа.
С алгебраической точки зрения zn(x, у) является не
чем иным, как многочленом от, вообще говоря, некомму-
тирующих переменных х и у. Рассмотрим поэтому та-
кого рода многочлены поподробнее.
Пусть х и у—некоторые символы и К—произволь-
ное поле. Обыкновенные многочлены от х и у над полем
К. получаются из х, у и элементов поля К применением
76
РЯД КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
любое число раз действий сложения и умножения.
Аналогичным образом конструируются и некоммутатив-
ные многочлены от х и у над полем К; единственное
отличие состоит лишь в том, что их умножение не пред-
полагается коммутативным (но по-прежнему kf = /7г для
любого многочлена f и любого числа Все они
образуют унитальную алгебру, которую мы будем обо-
значать символом К<х, уУ. (Более формальное опреде-
ление этой алгебры мы дадим в следующей лекции.)
В коммутаторной алгебре [К<х, уУ} алгебры К<х, уУ
естественным образом определяются лиевы многочлены
от х и у, получающиеся из х и у действиями сложения,
умножения на элементы поля К и операцией Ли а, Ь>—>
I—>[а, b]= ab— Ьа. Ясно, что они составляют подал-
гебру алгебры Ли [К<х, г/>], содержащую элементы х, у
и содержащуюся в любой другой такой подалгебре
(т. е. — в общеалгебраических терминах — порожденную
элементами х и у). Мы. будем обозначать эту подалгебру
символом 1<х, уУ.
Каждый лиев многочлен и е 1<х, уУ является одно-
временно и многочленом из К<х, уУ (достаточно рас-
крыть все скобки Ли по правилу [a, b] = ab — Ьа).
В этом его качестве мы будем обозначать многочлен и
символом ш. Формально, отображение
i: 1(х, у}—>К(х, у),
определяется как линейное отображение, обладающее
тем свойством, что i[a, b] = ia • ib— ib-ta для любых
элементов а, Ь е 1<х, уУ. Оно по определению инъек-
тивно.
Если поле К имеет характеристику 0, то формула (7)
определяет в К<х, уУ некоторый элемент zn(x,y).
Утверждение В. Существует такой лиев многочлен
^п{х, у), что
Ога(х, y) = zn(x, у).
Здесь символ О читается «дэ» (он является одной
из форм арабской буквы «даль»).
Мы докажем утверждение В позже.
Примеры.
Пусть п = 1. Очевидно, что
Z!(x, у)=х + у,
РЯД КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
и потому
ОДх, у)=х + у
(так что скобка Ли в построении многочлена Oi(x, у)
не участвует).
Пусть п = 2. При k = 1 внутренняя сумма в фор-
муле (7) содержит три слагаемых х2, ху и У2, а при
k — 2 четыре слагаемых х2, ху, ух и у2. Следовательно,
z2(x, у)=^ ху — ух,
и потому
О2(х, у) = ±[х, у}.
Аналогично проверяется, что
Хз (х, у) = -^- х2у + ух2 +-~ху2 +
, 1,1 1
+ J2 У Х ~ "6 ХУХ ~ УХУ-
Здесь уже непосредственно не видно, каков многочлен
О3(х, у} (и, вообще говоря, существует ли он). Однако
после немногих проб можно убедиться, что
«Эз(х, у) = -^[х, [х, у] ] + ~ [у, [у, х]].
С ростом п вычисления стремительно усложняются.
Тем не менее оказывается возможным указать для мно-
гочленов О„ (х, у) явную формулу, аналогичную фор-
муле (7) для многочлена zn(x, у). Впервые эта фор-
мула была указана Е. Б. Дынкиным. Поэтому много-
члены (х, п) мы будем называть многочленами Дын-
кина.
Заметим, что многочлен О п (х, п) однороден степени
п по х и у, т. е.
О„ (/х, ty) = /"Од (х, у)
для любого I.
Поскольку для векторных полей (линейных диффе-
ренциальных операторов) операция X, У»—>[Х, У] также
выражается формулой [X, Y]= XY— YX, из утвержде-
ния В следует, что для любых операторов X, Y^l(G')
73
СХОДИМОСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА —ХАУСДОРФА
каждый оператор zn(X, У) принадлежит алгебре 1(G).
Поэтому алгебре 1(G) принадлежат и оператор ln(exeY),
если, конечно, этот оператор имеет смысл, т. е. если
ряд (9) сходится. Рассмотрим поэтому вопрос о сходи-
мости этого ряда, или, точнее, ряда
(10) Д(Х, У) + Д(Х, У)+ ... +ДДХ, У)+ ...,
состоящего из лиевых многочленов «X (X, У) от X и У.
Все члены ряда (10) лежат в конечномерном ли-
неале g = l(G), и потому исследование его сходимости
можно было бы, вообще говоря, осуществить, рассмат-
ривая в g произвольную (например, евклидову) норму.
Однако необходимые для этого оценки требуют до-
вольно детальной информации о строении многочленов
которую мы получим только в следующей лек-
ции. Поэтому пока мы вынуждены идти по обходному
пути и вернуться к ряду (9), строение членов которого
нам известно, но при переходе к которому мы теряем
преимущество конечномерности.
В соответствии с нашим общим отношением к схо-
димости операторных рядов мы будем понимать сходи-
мость ряда (9) в «слабом» смысле, но несколько более
сильном, чем выше. Именно, мы будем считать, что опе-
ратор 1п(ехеу), определенный рядом (9), применим к
функции 67(G), если в области определения этой
функции сходится функциональный ряд
(11) 21(Х, У)/ + г2(Х Y)f + ... + ?п(Х, Y)f+ ...
Сумму g этого ряда мы и будем считать результатом
применения оператора In(exeY) к функции f.
Таким образом, в силу этого определения lF(g) =
= W (f) (тогда как раньше 1Г(§')сд
Предполагая, что в g задана некоторая норма [| [|,
мы покажем сейчас, что существует такое число бо > О,
что при ЦХ||< б0 и УУНСбо оператор 1п(е*ег) применим
к любой функции Поскольку каждый элемент
из G, принадлежащий области определения функции f,
обладает координатной окрестностью U с компактным
замыканием, содержащейся в этой области, для этого
достаточно доказать, что для любой координатной ок-
рестности U с компактным замыканием U оператор
СХОДИМОСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
ln(exeY) определен на линейном пространстве ^“(£7)
всех функций, гладких на U.
_ С этой целью мы заметим, что, поскольку множество
U компактно, для любой функции определено
число
Ш = таф|,|^1...........|-^-|).
где х1, s.., хп — локальные координаты в координатной
окрестности U (или, точнее, в некоторой большей окре-
стности, содержащей замыкание U окрестности U).
Число 1171! зависит, конечно, от выбора координат х1, ...
..., хп, но это обстоятельство не играет в дальнейшем
никакой роли. Очевидным образом проверяется, что так
построенный функционал /»—>||f|| является нормой на
линеале SF(П). При этом, так как Xf = Хг-^т- и (
|| для всех i, то для каждого поля Хеде ||Х|| < 6
будет иметь место оценка
11Л11<б||/||.
Посредством очевидной индукции отсюда выводится,
что если 1|Х||< 6 и 1|У||<6, то для любых показателей
Pi, ...» Pk, <7i, ..., <7* имеет место оценка
|] XP1Y^ ... XPkY^ f |[. < || f 11,
Где n = p!+ ... + pk + <71 + ... + qk. Это означает,
что ряд (II) мажорируется (после деления на ||f||) ря-
дом 1п(ехеу), в который вместо X и У подставлено число
б, а коэффициенты заменены их абсолютными значе-
ниями, т. е. мажорируется рядом, получающимся из
ряда
п=-1
подстановкой вместо z ряда
Поскольку ряд (12) сходится при \z—1|< 1, этот ма-
жорирующий ряд будет сходиться при | е26 — 1 | < 1, т. е.
80
СХОДИМОСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
s . In 2 s'. In 2 /, ,.
при о < — Следовательно, при о < —— ряд (il)
будет равномерно сходиться в U к некоторой гладкой
функции, т. е. оператор 1п(е*ег) будет применим к функ-
ции f. □
Поскольку ряд (10) отличается от ряда (9) лишь
обозначениями (по определению zn (X, У) = О„(Х У)
для любых полей X, Уед), этим доказано, что при
||Х||<60, |[У||<б0, где бо = -^-, ряд (10) сходится в
том же самом «слабом» смысле. Но известно, что для
операторных рядов, члены которых принадлежат конеч-
номерному линейному пространству, «слабая» сходи-
мость совпадает с обычной «сильной» сходимостью. По-
этому при ||Х||< б0 и || У|| < б0 ряд (10) сходится (в обыч-
ном смысле).
Замечание 1. Независимо от ссылки на общую
теорему о совпадении «сильной» и «слабой» сходимо-
стей, мы можем доказать сходимость ряда (10), рас-
смотрев произвольную систему локальных координат
х1, ..., хп в точке е группы G. При f = xl, i = 1, ..., п,
ряд (11) превращается в.ряд, составленный из компо-
нент zn(X, У)2 — (X, У)‘ векторных полей Д, (X, У).
Следовательно, этот ряд сходится. Поэтому сходится и
ряд, составленный из их значений Д„ (X, У)е в точке е,
т. е. из координат (в базисе j векто-
ров (X, У)е. Это означает, что сходится векторный
ряд
(13) Д(Х, У)е + Д(Х, У)е+ ... + ДДХ, У)е + ...
Пусть О(Х, Y)e — его сумма, а О(Х, У) — левоинва-
риантное векторное поле, принимающее в е значение
О(Х, У)е. Для любого элемента а<^ G ряд
ОДХ, УД + Д(Х, уд + ... + ДДХ, УД + ...,
составленный из значений, принимаемых членами ряда
(10) в точке е, получается из ряда (13) применением
линейного оператора dLa, и потому сходится к вектору
(d£a)(O(X, У)е) = «5 (X, УД. Это и означает, что ряд (10)
сходится к О(Х, У).
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРУПУСКУЛЫ ли
81
В курсе анализа доказывается, что если функция
разлагается в сходящийся степенной ряд, то этот ряд
единствен. Отсюда, в частности, следует, что если в ряд
для ez подставить ряд для In z, то после приведения по-
добных членов получится ряд г. Иными словами, равен-
ство eln г — z имеет место не только для функций, но и
для формальных рядов. Поэтому оно остается верным и
при подстановке в него вместо z, скажем, ряда для ехеу.
Это означает, что при подстановке в ряд для ег вместо z
ряда (10), получается ряд для ехеу. Поскольку все ряды
здесь сходятся, этим доказано, что
(14) P«'” = eV.
Эта формула имеет место для любых элементов X, У
алгебры. !(<?), для которых ||ХЦ < б0 и |)У|| < 80, где 60 —
произвольное достаточно малое число (согласно произ-
веденному выше исследованию годится любое о0< ——
Вернемся теперь к формуле (5). Эта формула имеет
место для любых X и У из некоторой нормальной окре-
стности 0 нуля алгебры g = I(G), обладающих тем
свойством, что ехр X • ехр У е U — ехр U. В частности,
существует такое 61, что при любом положительном
б < 61 формула (5) справедлива при [|X||<6 и ЦУ|[<6.
Поэтому, предполагая, кроме того, что б < б0, мы мо-
жем формулу (5) переписать в следующем виде:
f (ехр X • ехр У) = (ezf) (е), где Z = О (X, У).
Заметим теперь, что элемент Z алгебры 1(G), оче-
видно, непрерывно зависит от ее элементов X и У, так
что, в частности, Z-+0, когда X—>0 и У—»-0. Поэтому
при достаточно малом б к полю Z применима формула
(4), согласно которой
(ezf) (е) = f (ехр Z).
Таким образом, если ЛХЦ < б и [) У|| < 6, где б > 0
достаточно мало, то
f (ехр X ехр У) — f (ехр Z)
для каждой гладкой функции f, определенной в точках
ехр X- ехр У и expZ. В частности, это верно, когда
82
ОПЕРАЦИИ И ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
f является одной из координат х1, хп в точке е-
Таким образом, все координаты х1, хп принимают
в точках ехр X- ехр Y и ехр Z одинаковые значения, что
возможно только тогда, когда
ехр X • ехр Y = ехр Z.
Резюмируя, мы получаем следующую теорему, кото-
рая была главной целью всех предыдущих рассуждений:
Теорема 1. Единица е аналитической группы (или
групускулы) Ли имеет окрестность U, обладающую сле-
дующими свойствами'.
а) существует такое б > О, что каждая точка окрест-
ности О единственным образом представляется в виде
ехрХ, где Х~ 1(G) и б;
б) для любых двух точек ехр X и ехр Y окрестности U
в алгебре 1(G) существует такой элемент Z, что
(15) ехр X • ехр Y = ехр Z;
в) этот элемент Z является суммой О(Х, Y) ряда (10),
членами которого являются многочлены Дынкина
(X, Y) от X и Y. □
Эта теорема означает, что группа (групускула) Ли
G обладает частью, умножение в которой однозначно
восстанавливается (в соответствии с формулой (15))
по алгебре Ли 1(G). Следовательно, две (аналитические)
групускулы Ли с изоморфными алгебрами Ли изо-
морфны (точнее, изоморфны их ростки). В этом смысле
можно сказать, что с точностью до изоморфизма функ-
тор Ли
L: GR-LOC —>ALG/-LIE
обратим.
Более точное утверждение мы получим в лекции 6.
С помощью теоремы 1 легко решается отложенный
выше вопрос об интерпретации операций алгебры д =
= 1(G) в терминах однопараметрических подгрупп.
Если в линеале g произвольно выбран базис ej,
еп, то для любой нормальной окрестности U еди-
ницы группы G композиция h диффеоморфизма ехр-1:
Uс ограничением на U соответствующего коорди-
натного изоморфизма й-*" будет диффеоморфизмом
ОПЕРАЦИИ И ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
83
окрестности U на некоторое открытое множество про-
странства Rrt, т. е. пара (U, h) будет картой на группе
Ли G. Соответствующие локальные координаты назы-
ваются нормальными координатами. Таким образом, если
а = ехр X и X — + ... + хпеп, то числа х1, ..., ха
являются нормальными координатами точки а е U.
Однопараметрическую подгруппу 1л—>ехр(£л), соот-
ветствующую элементу X eg (т. е. в интерпретации X
как левоинвариантного векторного поля — интегральную
кривую этого поля, проходящую при t — 0 через точку
е, а в интерпретации X как вектора касательного про-
странства Te(G) — однопараметрическую подгруппу,
имеющую при t — Q касательный вектор X), мы будем
обозначать символом
Предложение 1. Для любого X^q и любого й.е R
элемент kX е д (интерпретированный как элемент про-
странства Тв(б)) является вектором, касающимся при
t = 0 кривой
(16) t^x(kt).
Для любых X, Кед элемент Х+ Уед является (в той
же интерпретации) вектором, касающимся при t = О
кривой
(17) ^₽х(/)Ру(0,
а элемент [X, У] е д — вектором, касающимся при t = Q
кривой
(18) (УГ) (У?) (д/Г)-1 (УГГ1.
Доказательство. Первое утверждение очевидно,
поскольку кривая (16), т. е. кривая —>exp(£fX) яв-
ляется не чем иным, как однопараметрической подгруп-
пой Раа-.
Для доказательства второго утверждения заметим,
что так как Д>п (tX, tY) = tn2>n (X, У) и Д (X, Y) = X + Y,
то
О (tX, tY) = t(X+Y)+O (I2),
где символ О (I2) обозначает члены, имеющие по t сте-
пень 1>2. Поэтому кривая (17) имеет вид
/н->ехр(/(Х + У)+0О
84
ОПЕРАЦИИ И ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
и, значит, в нормальных координатах (определенных
произвольным базисом алгебры Ли д) задается функ-
циями
хг(/) = /(Х£ + Уг)4- О (Z2).
Следовательно, ее касательный вектор при t = 0 имеет
координаты
dx^ (/) | _ yt
dt |/=о
и потому совпадает с вектором X + У.
Аналогично, так как
(exp X) • (ехр У) • (exp А)-1 • (ехр У)-1 =
— ехр X • ехр У • ехр (— X) • ехр (— У) —
= ехр (J (X, У)) ехр Р (— X, — У)) =
= ехрО(О(Х, У), О(— X, — У))
и
Э (О (X, У), О (- X, — У)) = J (X, У) + О (— X, — У) +
+ |[^(Х, у), ^(-Х, -У)]+ ... =
— {(X + У) + у[Х, У]+ ...} +
+ {(-Х-У) + |[-Х, -У]+ ...} +
Ч-1[Х + У+ -Х-У+ ...J+ ... =|[Х, У] +
+ ||Х Л + |[Х, -У] + ±[У, -Х]+ ... =
= [Х, У]+ ...,
то кривая (18) имеет вид
/ ь-> ехр ( [ VF X, П + О (/3/2)) =
= ехр (/ [X, У] + О 03/2)),
и потому в нормальных координатах задается функ-
циями
(19) хг(/) = /[Х, У]£ + О(/3/2)> г = 1,..., п.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВНУТРЕННИХ АВТОМОРФИЗМОВ
85
Следовательно,
dx^ (t) ] r v
и, значит, касательным вектором к кривой (18) при
t = 0 является вектор [X, У]. □
Замечание 2. Обратим внимание, что в то время
как кривая (16) является однопараметрической под-
группой, кривые (16) и (18) однопараметрическими под-
группами не являются. Более того, кривая (18) оп-
ределена только при t 0, так что говорить о ее ка-
сательном векторе при t = 0 мы не имеем права. По-
этому мы должны дать специальное ad hoc определение
касательного вектора кривой (18) при t — 0; Мы будем
считать этим вектором предел при /->0 касательных
векторов кривой (18) при t > 0. Из формул (19) сле-
дует, что этот предел существует и равен [X, У].
Замечание 3. Полезно также иметь в виду, что
в формулах (17) и (18) однопараметрические подгруп-
пы |3х и |3г можно заменить произвольными кривыми
ссх: и аУ: проходящими при t—Q
через точку е и имеющими в этой точке касательные век-
торы X и У. Действительно, при достаточно малом |/j
о о
в g будут определены векторы ах (/)=ехр 1 ах (?) и aY (/)=
=ехр-1 (/), и для этих векторов будут иметь место ра-
венства
ах (/) = tX + О (/2), ау (/) = tY+О (/2)
и, значит, равенство
О (ах (/), аг (/)) = t (X + У) + О (/2).
Поэтому касательным вектором, скажем, кривой
t ах (/) аг (/) = ехр О (ах (/), ак (/))
будет при t — 0 вектор X 4- У.
Теорема 1 позволяет также вычислить дифференциал
произвольного внутреннего автоморфизма.
Для каждого элемента а группы Ли G дифференциал
(й?Фа)е — 1(Ф«) соответствующего внутреннего авто-мор-
86
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВНУТРЕННИХ АВТОМОРФИЗМОВ
физма Фа: %!—>аха~\ x^G, обозначается символом
Ad (а). Он представляет собой линейное обратимое ото-
бражение
Ad (а): д->д
линеала g = ((G) на себя. Так как Ф —L о R ,, то
a а а~1'
(в интерпретации g — Те (G))
Ad(o) — (dL~i^a-io(dRa-i')e.
Ясно, что отображение
Ad: а »—> Ad (а)
является гомоморфизмом группы Ли G в группу Ли
Autg всех невырожденных линейных операторов линеала
g. Этот гомоморфизм называется присоединенным пред-
ставлением группы Ли G.
Дифференциал (dAd)e = I(Ad) гомоморфизма Ad
в точке е представляет собой линейное отображение ли-
неала g = 1(G) в линеал Endg = I(Autg) всех линейных
операторов линеала g. С другой стороны, из лекции 3
мы знаем, что для любой алгебры Ли д имеется есте-
ственное линейное отображение ad: g->Endg, действую-
щее по формуле
adX: У^[Х, У], X, Кед.
Предложение 2. Имеет место равенство
t(Ad) = ad.
Доказательство (ср. с доказательством пред-
ложения 1). Так как
ОР(Х, У), -Х) = о(а+У+-1[Х, У]+ -х) =
= У + 4[Х, У] + |[У, -х] + ... =
= У+[.¥, У]+
где многоточие обозначает члены не менее чем третьей
степени по X и У, то
(ехр X) (ехр У) (ехр Х)~1 = ехр J (О (X, У), — X) =
= ехр(У + [Х, У]+ ...),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВНУТРЕННИХ АВТОМОРФИЗМОВ 87
и потому
Ф3Х И 63Г W) = <еХР (sX^ (еХР (tY^ feXP (sX))_1 =
= ехр (tY + St [X, УЦ- •• •),
где многоточие обозначает члены не менее чем третьей
степени по s и t. Следовательно, нормальные коорди-
наты вектора
(d®(3 v- (s))e Y = (ЛФ^Х (з))
(О
dt
/=о.
=-(4 % <»(₽.• ед) L
равны
-^(tY^ + stlX, УГ+ ...)Uo = F + s[Z, УГ+
где последнее многоточие обозначает члены не меньше
чем второй степени по з, и значит,
(4Ф^(з))еУ = У + з[Х, УЦ- ...
Поскольку
(dAd)eX==(dAd)e(^^
X, ио
\ d
h0) = Ad (0Х (.s')) =
= Пп] Ad(pxW)-Ad(e> _ lim Ц%хМ),--е _
s-»a 5 з->0 3
отсюда следует, что
((d Ad)e X) Y = lim —L ==
s->0 s
==lim([X, У]+ ...) = [X, У] =
s->0
= (ad X) Y. □
Следствие. Для любого элемента X е ц имеет месте
равенства ,
Ad (ехр X) = ead х»
88“ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Доказательство. Формулы
/ ь-> Ad (/ехр X) и ti—
задают однопараметрические подгруппы группы Ли
Aut g, имеющие при t — 0 один и тот же касательный
вектор
(d Ad)e X = ad X,
и потому совпадающие при всех t. □
Еще один пример применения теоремы, 1 мы полу-
чим, рассмотрев в алгебре Ли g = 1(G) произвольную
гладкую кривую tr—>X(t). Для любого selR отобра-
жение ti—>exp(sX(O) представляет собой некоторую
кривую в группе G, проходящую при t — 0 через точку
a(s) — exp(sX), где X — Х(0). Пусть
А = ~3t ехр (sX Ь-о
— касательный вектор этой кривой в точке a (s). Пере-
неся посредством дифференциала (^а(з)-!)а(з) этот веК’
тор в точку е, мы получим в g = Te(G) вектор
Отображение st—>B(s) представляет собой гладкую
кривую в д, и потому для любого s определен ее каса-
тельный вектор Оказывается, что
(20) B'(s)=Ad(a(s))r,
где У = Х/(0). Действительно, по определению действия
дифференциала гладкого отображения на касательные
векторы кривых
в (S) = 4 (К, «- <ехР <sX <f>)>) |,.о =
=4 w»ехр sX> i'-»
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
89
и, следовательно, согласно замечанию 3,
В (з + Аз) — B(s) = ((ехр (sX (f)) ёхр(— sX))-1 X
X (ехр ((s + As) X (/)) exp (— (s 4- As) X)) |f==0 =
= Id (exP (sX^ exP sX X
X exp ((s + As) X (/)) exp (— (s + As) X)) |f _0 =
~lF^a exp a (s + As)-1) =
= (dLa (S) ° d%a (S+iS)-!) -^-(exp (AsX (0)) |f=0.
Поэтому
B'(s)= lira Д<» + у-Д<»> _
As->0
~ (exp (AsX (i))) |/=0
= (d^a (S) ° d*a (5)- >) j™ -«
-^-(exp (AsX (/))) |f=e
= Ad(a(s)) lim-------д---------
Дз-»0 as
и, значит, для доказательства равенства (20) достаточно
доказать, что
-^-(exp (AsX (0)) |<=()
lim --------т--------₽= У.
Дз->0
Но это очевидно, поскольку в нормальных координатах,
соответствующих произвольному базису е\, ..., еп ли-
неала д, точка ехр (AsA(/)) имеет координаты АзХг(0»
где X‘(t) — координаты вектора Х(г1) в базисе вц вп,
и, значит, вектор
~ (ехр (\sX (i)) lt=to
lim --------т--------
AS->0 As
„ dXl (0)
имеет в базисе ei, еп координаты—т- е. те же
координаты, что и вектор Х'(0)— Y. □
Участвующий в формуле (20) линейный оператор
Ad(a(s)) мы можем переписать в следующем виде:
Ad (a (s)) = Ad (ехр (sX)) = es ad x =
n (ad XY1
nl
90
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Интегрируя это операторное тождество по s от 0 до
1, мы получим тождество
Г Pad х — р
) Ad (a (s)) ds = —,
о
ead X — £
где под —— понимается сумма операторного ряда
F , adX , , (ad ХГ ,
2! “l" ’ ’ ’ “l" (га -j- 1)1 "И ’ ’ * ’
е2 — 1
получающегося из степенного ряда для функции —-—
подстановкой вместо г оператора adX. Для вектора
В(1) отсюда в силу формулы (20) следует, что
1
f , pad__ р
Б(1) = р' (s)ds = -ad/" 7-
о
Поскольку по определению
= (dJ?exp (- Х))ехр х "dt еХР % № к=0 =
= ~ (ехр X (() ехр (— X)) |<=Оэ
этим доказано, что
jt (ехр X (t) ехр (— X)) Ь=о = -е д - Г.
Переходя к нормальным координатам, мы немедлен-
но получаем отсюда, что для вектора Z(/)^3, удовлет-
воряющего соотношению ехр X (/) ехр (—X) = ехр Z ((),
справедливо равенство
ead X г?
r(o)==A.ad-.„ ...£г>
откуда следует, что
_adX_ р
Z{t)=te ^E-Y+O^.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
91
Возвращаясь к expZ(Z) и полагая X(t) = X -j- tY, мы
видим, что нами доказано
Предложение 3. Для любых элементов X, Y е g имеет
место равенство
/ »ad X_ р \
ехр (Х + /У) ехр (—X) — ехр!А-У + O(t2)). □
X, all Ук X
Для каждого элемента Хед дифференциал (dexp)x
в точке X гладкого отображения ехр: g->G в силу
отождествления Тх (й) = 9 представляет собой линейное
отображение $-*~Ta(G), где а — ехр X. Поэтому его ком-
позиция с отображением (dRa)~\ Ta (G) — Те (G)==g будет,
отображением из g в g
Следствие 1. Имеет место формула
piiX_p
(dRa)e ° (d ехр)х = —adJf , а = ехр X.
Доказательство. Пусть Уе д. Так как
=Y, то
dt |/=о
ttdRa !)е о (d ехр)х) Y = (ехр (X + tY) ехр (- X)) U =
лДД_лг + 0(/2))|м
6adX_ Е
adX
□
Следствие 2. Отображение ехр: g-> G тогда и только
тогда является диффеоморфизмом в точке X Eg, когда
ни один характеристический корень оператора ad X не
имеет вида 2тлй
Доказательство. Отображение ехр тогда и
только тогда является диффеоморфизмом в точке X,
когда его дифференциал (dexp)x в этой точке является
изоморфизмом, а оператор ad А тогда и только тогда
имеет характеристические корни вида 2тлг, когда one-
^ad X ____________________________________р?
ратор е*йх — Е, а значит, и оператор ——т-у— выро-
жден. □
Подчеркнем, что все эти результаты нами доказаны
лишь по модулю утверждений А и В. Поэтому нашей
92
КАНОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
ближайшей целью должно быть доказательство этих
утверждений.
Мы докажем сначала утверждение А и притом в не-
сколько более общем виде.
Пусть линейное пространство g = I(G) разложено в
прямую сумму
(21) д =
двух подпространств и Определим отображение
(22) Ф:
полагая для любого X еа
Ф (X) = ехр А • ехр В,
где и — компоненты вектора Хед в раз-
ложении (21). Очевидно, что это отображение гладко
и переводит нуль Oel(G) в единицу е е G. Найдем
дифференциал
(ЙФ)О: То(д)->Те«?)
этого отображения в точке 0.
Пусть
I: g->T0(g)
— естественный изоморфизм, переводящий вектор X g
в вектор, касающийся в точке 0 кривой t'<—>/Х. Отобра-
жение Ф переводит эту кривую в кривую
(23) t и—> ехр tA • ехр (В = ехр О {tA, tB),
и, следовательно, его дифференциал (t/Ф) о переводит
вектор 1(Х) в вектор, касающийся кривой (23) в точке е.
Это означает, что для любой функции /ебЛ((?) имеет
место формула
[((£/Ф)о О Z) (X)] f = [=о
и, значит, (см. формулу (4)), формула
( О ал, tB) \
[((ЙФ)0 о /) (X)] f = п.
КАНОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
93
Но
Р (М, tB}f _ + О (Ы, /в) + 0 (/2)) f =
= f + t(A + B)f+O^),
и потому
fp (М. tB) Л
—------ar-fJS^- f = ((А 4-S)f) (е) = (Xf) (е) — Xef.
Следовательно,
((йФ)0о/)(Х) = Хе,
т. е.
(йФ)о о l==i,
где i — изоморфизм Х-^Хе линеала g = 1(G) на линеал
Те (О) .
Поскольку i и I являются изоморфизмами, отсюда
следует, что отображение (ЙФ)О также является изо-
морфизмом. В силу стандартной теоремы об этальных
(локально диффеоморфных) отображениях этим дока-
зано следующее предложение:
Предложение 4. Отображение (22) является диффео-
морфизмом в точке Оед. □
При g (и $ = 0) мы получаем утверждение А,
которое тем самым полностью доказано.
Согласно предложению 4 точка Оед обладает сколь
угодно малой звездной окрестностью U, на которой
отображение (22) является ее диффеоморфизмом на не-
которую окрестность U единицы ее G.
Определение 2. Обладающие этим свойством окрест-
О
ности U и U называются каноническими окрестностями
(точек ОедиееО соответственно), отвечающими дан-
ному прямому разложению (21).
Выбрав в подпространствах и 5% произвольные ба-
зисы, мы получим некоторый базис пространства д. Ком-
позиция/г диффеоморфизма Ф : U —> U с ограничением
О
на И соответствующего координатного изоморфизма
g—>Rn будет диффеоморфизмом окрестности U на неко-
торое открытое множество пространства т. е. пара
(U, h) будет некоторой картой на G.
Карты такого вида называются каноническими кар-
тами, отвечающими разложению (21), а соответствующие
94
ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ ГРУППЫ ли
локальные координаты х1, хп— каноническими ко-
ординатами.
Ясно, что все эти определения (вместе с предложе-
нием 4) автоматически переносятся на случай, когда
задано разложение
(24) g — .s£xф ... ф
линеала g в прямую сумму любого числа подпространств.
Если в разложении (21) = g и — О, т. е. если
в разложении (24) tn — 1, то канонические окрестности
совпадают с нормальными окрестностями в смысле оп-
ределения 1, а канонические координаты — с нормаль-
ными координатами.
Другой крайний случай возникает при m = п, когда
все пространства ..., одномерны (т. е. когда
разложение (24) определяется выбором в g некоторого
базиса). Соответствующие канонические координаты на-
зываются каноническими координатами второго рода
(тогда как каноническими координатами первого рода
называются нормальные координаты).
Заметим, что канонические координаты первого и
второго рода задаются произвольным базисом линеалад.
С помощью канонических координат легко доказы-
вается следующее важное предложение:
Предложение 5. Любой непрерывный гомоморфизм
Ф: Н-+ G групп Ли (т. е. их гомоморфизм как тополо-
гических групп) является гладким отображением (их
гомоморфизмом как групп Ли).
Доказательство. Пусть а <= Н и g е 6?ф (а> (G).
Нам нужно доказать, что функция £°Ф, определенная
в окрестности точки а, является гладкой функцией в
этой точке, т. е. принадлежит (Уа(Н). Но, поскольку Ф
является гомоморфизмом, справедливо равенство
Ф = Ьфа ° Ф ° La.
Поэтому, так как отображение La и функция f = g ° L&a
гладки, то нам достаточно доказать, что для любой
функции f £?e(G) функция f оФ гладка в окрестности
единицы е<=Н, т. е. что отображение Ф гладко в е.
Рассмотрим сначала случай, когда Н является адди-
тивной группой R вещественных чисел. Пусть (7—нор-
ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ ГРУППЫ ли
§5
мальная (каноническая первого рода) окрестность еди-
ницы е в группе G, и пусть х1, ..., хп — соответствую-
щие нормальные координаты. Пусть, далее, е > 0 — та-
кое число, что Ф(0= У, когда |/| < е. Если 0 < t < s
и 0 < | г j < s, где г и 5 — целые числа, то
ф(тО=ф(4У «
С другой стороны, поскольку координаты лл, .,., хп яв-
ляются нормальными, то для любого 1=1, ..., п, лю-
бого элемента а е U и любого s такого, что as е Uf
имеет место равенство
xl (as) — sx1 (а)
(достаточно заметить, что если а = ехрА, то as =;
= ехр (s/1)). Следовательно,
и
(/оф) (t) = S • (?оФ) (4)-
Поэтому
(/о®) (4 л=4-(хгоФ)(о.
В силу непрерывности отображения Ф аналогичное ра-
венство
(х1 о Ф) (at) = а • (х{ о ф) (/)
справедливо и при любом вещественном а, 1. Это
означает, что функции хг»Ф линейны. Таким образом,
отображение Ф задается в локальных координатах ли-
нейными и, следовательно, аналитическими функциями.
Поэтому оно гладко.
Пусть теперь группа Н произвольна. Выберем в ее
алгебре Ли $ произвольный базис Уь ..., Yn. Тогда для
любого i — 1, ..., п отображение i>—>Ф(ехр ti'i) будет
непрерывным,. а следовательно, по уже доказанному и
гладким гомоморфизмом R —>- G, т. е. будет однопара-
метрической подгруппой группы G. Поэтому в алгебре
Ли g группы G существуют такие элементы Xj, ...» X!t
что
Ф (ехр tY i) — ехр tXt
96
ПЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
для любого i— 1, ...» п. Поскольку Ф является гомо-
морфизмом, отсюда следует, что для любых чисел Z1, ...
..., tn <= R справедливо равенство
Ф(ехр/1У1 ... ехр/геУ„)==ехр/1^1 . . . exp/nZ„.
Ясно, что элемент ехр txX\ ... ехр tnXn группы G гладко
зависит от Е.....tn, т. е. его локальные координаты
х1, ..., хп (в произвольной карте) являются гладкими
функциями х’(*)> •••> xn(t) от t = [tl, ..., tn). Но, со-
гласно определению, числа t1, ..., tn являются (в неко-
торой окрестности единицы группы Я) не чем иным,
как каноническими координатами второго рода, опреде-
ленными данным базисом алгебры Поэтому функции
хх (t), ..., хп(1) представляют собой функции, задаю-
щие отображение Ф в локальных координатах tl, ..., tn
их1, ..., хп. Поскольку эти функции гладки, отображе-
ние Ф гладко. □
Следствие. Если две группы Ли изоморфны как, то-
пологические группы, то они изоморфны и как группы
Ли. □
В частности, отсюда следует, что если на топологиче-
ской группе можно ввести согласованную с топологией
гладкость так, чтобы она стала группой Ли, то это
можно сделать только одним способом.
Это означает, что функтор игнорирования
GR-DIFF —> GR-TOP
переводит различные группы Ли в различные тополо-
гические группы. Поэтому мы можем считать, что этот
функтор осуществляет вложение категории GR-DIFF
в категорию GR-TOP. Иными словами, категорию GR-
DIFF групп Ли мы можем считать подкатегорией кате-
гории GR-TOP всех топологических групп. Тогда пред-
ложение 5 будет означать, что эта подкатегория полна.
Теперь естественно возникает вопрос, а нельзя ли
подкатегорию GR-DIFF охарактеризовать внутри ка-
тегории GR-TOP общетопологическими условиями без
привлечения гладкостей, т. е. нельзя ли внутри катего-
рии GR-TOP охарактеризовать топологические группы
G, допускающие структуру группы Ли?
ПЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
97
Одно необходимое условие очевидно: топологическая
группа G, допускающая структуру группы Ли, обяза-
тельно должна быть хаусдорфова и локально компактна.
Чтобы сформулировать более тонкое необходимое усло-
вие, мы введем следующее определение:
Определение 3. Топологическая группа G называется
группой без малых пюдгрупп, если ее единица е обла-
дает окрестностью, не содержащей никаких подгрупп
Я =4= {е}.
Оказывается, что это свойство необходимо для того,
чтобы в G можно было ввести структуру группы Ли.
Предложение 6. Каждая группа Ли G {точнее, топо-
логическая группа (?top, получающаяся из группы G
игнорированием гладкости) является группой без ма-
лых подгрупп.
Доказательство. Введем на линейном про-
странстве Te(G) = g произвольную евклидову метрику.
Тогда для достаточно малого б > 0 шар радиуса б с
центром в точке 0 будет нормальной окрестностью этой
точки, и, следовательно, его образ при отображении ехр
будет нормальной окрестностью единицы в группе G.
Пусть U — нормальная окрестность, аналогичным обра-
зом строящаяся по числу 6/2. Ясно, что для любого
отличного от нуля вектора А ед, длина которого мень-
ше 6/2, существует такое целое число т, что длина
вектора mA больше 6/2 и меньше 6. Это означает, что
для любого отличного от единицы элемента а — ехр А
окрестности U существует такое т, что ат = ехр mA не
принадлежит U. Поэтому окрестность U не может со-
держать никакой подгруппы Н =^={е}. □
Замечательно, что вместе с условием локальной ком-
пактности условие отсутствия малых подгрупп уже до-
статочно для того, чтобы на хаусдорфовой группе G
можно было ввести структуру группы Ли (по доказан-
ному, единственную).
Теорема (Глисон и Ям а бе). Топологическая
хаусдорфова группа тогда и только тогда является груп-
пой Ли, когда она локально компактна и не имеет
малых подгрупп.
Доказательство теоремы Глисона — Ямабе слишком
сложно, чтобы мы могли его здесь изложить.
4 М. М. Постников
©8 ПЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА1
Другое необходимое условие лиевости топологиче-
ской группы состоит в ее локальной евклидовости, т. е.
в том, чтобы она была топологическим многообразием.
Вопрос о том, является ли это необходимое условие до-
статочным, составляет содержание так называемой п я -
той проблемы Гильберта (в ее современной
формулировке). На основе тщательного исследования
строения топологических групп с малыми подгруппами
было установлено (^Монтгомери, Циппин, Ивасава, Гли-
сон, Ямабе), что никакая локально евклидова группа
малых подгрупп иметь не может. В комбинации с тео-
ремой Глисона — Ямабе это немедленно дает положи-
тельное решение проблемы Гильберта: любая локально
евклидова группа является группой Ли.
Подробности см. в [2] и [6].
Лекция 5
СВОБОДНЫЕ АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ. — СВО-
БОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ. —ОСНОВНАЯ ЛЕММА.—
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА. —
ВЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ В ЕЕ УНИВЕРСАЛЬНУЮ
ОБЕРТЫВАЮЩУЮ АЛГЕБРУ. — ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ТОГО, ЧТО АЛГЕБРА СВОБОДНА. — ТЕОРЕМА
ПУАНКАРЕ — БИРКГОФА — ВИТТА. — ТЕНЗОРНЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛИНЕАЛОВ И АЛГЕБР. — АЛГЕБ-
РЫ ХОПФА.
Для доказательства утверждения В из предыдущей лек-
ции, имеющего чисто алгебраический характер, мы ра-
зовьем соответствующий формализм в несколько боль-
шей общности и подробности, чем это непосредственно
необходимо, поскольку это позволит нам без особой по-
тери времени изложить ряд интересных и важных кон-
струкций, полезных и во многих других вопросах теории
алгебр Ли.
Пусть Д — произвольная категория алгебр (над дан-
ным полем К, которое в этой лекции мы можем считать
произвольным). В соответствии с общим пониманием,
что такое «свободный объект» (полностью проясняю-
щимся лишь на базе общекатегорного понятия сопря-
женного функтора), алгебра категории А с выделен-
ным в ней подмножеством X называется свободной
алгеброй категории А с множеством свободных образую-
щих X, если для любой алгебры категории А каждое
отображение X-*~s& единственным образом распростра-
няется до некоторого гомоморфизма
Например, свободной алгеброй в категории ассоциа-
тивных, коммутативных и унитальных алгебо является
4*
100
СВОБОДНЫЕ АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
алгебра многочленов К [X] от неизвестных, пробегаю-
щих множество X. Аналогичным образом в категории
ALGo-ASS ассоциативных (но, вообще говоря, некомму-
тативных) унитальных алгебр свободной алгеброй бу-
дет алгебра многочленов от некоммутирующих неизвест-
ных из X. Мы будем обозначать эту алгебру символом
К<Х>, а для конечного множества X — {х\, .... Хп} —
символом К<хь ..., хпу.
Для единственно интересного нам случая, когда мно-
жество X состоит из двух элементов х, у, каждый эле-
мент алгебры К<х, у> единственным образом представ-
ляется в виде линейной комбинации с коэффициентами
из К выражений вида
(1) xPiyq' ... xpkyq\
которые называются одночленами от х и у. Здесь pi,
q\, ..., рь, qk— произвольные неотрицательные целые
числа, которые все, за возможным исключением «край-
них» чисел р\ и qk, отличны от нуля. Если р\ = 0, то
член xPl не пишется, а если qk = 0, то не пишется член
yqk. Число п = р\ qi ... -j- Pk + qk называется сте-
пенью одночлена (1).
Допускается пустой одночлен (с k — Q), отождеств-
ляемый с единицей 1 поля К. Степень этого одночлена
равна нулю.
Тот факт, что одночлены (1) составляют базис ал-
гебры К<х, у>, однозначно определяет в К<х, у> опера-
ции сложения и умножения на числа из К. Что же
касается умножения, то по дистрибутивности его доста-
точно определить только для одночленов (I). Если од-
ночлены xPiyqi . .. xPkyqk и xr'ys' ... xriy^ таковы, что
qk =# 0 и Г1 =# 0 или, напротив, qk = 0 и г\ == 0, то и?<
произведением считается одночлен
(2) xp'yqi ... xPkyq*xr'ySi ... xriy\
получающийся в результате приписывания второго од-
ночлена к первому (при у* = 0 и Г1 == 0 члены у7* и хг>,
естественно, не пишутся). Если же из двух показателей
qk и Г1 один и только один равен нулю, то за произве-
дение одночленов принимается одночлен, получающийся
из выражения (2) (которое в этом случае не является
СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
101
одночленом) при qk — 0 заменой xPkyqkxri на хр*+г«, а
при <1 = 0 — заменой yqkxfiys' на y4k+Sl. Непосред-
ственная проверка показывает, что это умножение, как
и требуется, ассоциативно. Его единицей служит пустой
одночлен 1.
Если теперь {х, £/}->• зФ—произвольное отображение
множества {х, у} в некоторую ассоциативную униталь-
ную алгебру то, сопоставив любому одночлену (1)
элемент aPibqi ... aPkbqii алгебры где а и b — образы
образующих х и у в алгебре и распространив по ли-
нейности это соответствие на произвольные многочлены,
мы, как показывает автоматическая проверка, получим
гомоморфизм К<х, у>—переводящий х и у в а и Ь,
т. е. продолжающий данное отображение {х, у}—► По-
скольку произвольный продолжающий гомоморфизм
должен переводить одночлен (1) в элемент aPxbqi ...
... aPkbqk, никакого другого продолжающего гомомор-
физма существовать не может. Это доказывает, что ал-
гебра К<х, уУ является свободной алгеброй категории
ALGo-ASS со свободными образующими х и у.
Алгебра К<Х> при любом X описывается аналогично.
Доказательство свободности алгебры К<Х> при любом
X получается из доказательства при X = {х, у} очевид-
ными, само собой понятными изменениями.
Свободные алгебры категории ALG-LIE (они назы-
ваются свободными алгебрами Ли) строятся существен-
но сложнее. По-видимому, самый простой путь состоит
в том, чтобы в алгебре Ли [К<Х>], присоединенной к
алгебре многочленов К<Х>, рассмотреть подалгебру
1<Х>, порожденную множеством X, т. е. наименьшую
подалгебру, содержащую это множество. Так же, как и
в случае X — {х, у} (см. предыдущую лекцию), элемен-
тами алгебры Ли 1<Х> являются лиевы многочлены от
элементов множества X, т. е. всевозможные выражения,
которые можно получить, отправляясь от этих элемен-
тов действиями сложения, умножения на числа и опера-
цией Ли [a, b]= ab — Ьа (все эти элементы лежат, ко-
нечно, в 1<Х> и вместе с тем сами составляют подал-
гебру алгебры [К<Х>]). К сожалению, для элементов
алгебры 1<Х> нет простых канонических представлений
102
ОСНОВНАЯ ЛЕММА'
(подобных представлению элементов алгебры К<Х>'
в виде линейных комбинаций одночленов), что суще-
ственно осложняет ее изучение.
Как и в предыдущей лекции, мы символом i будем
обозначать вложение 1<Х>-> К<ЙГ>, т. е. — точнее — ото-
бражение, переводящее произвольный лиев многочлен
г s 1<Х> в многочлен ш из К<Х>, получающийся после
раскрытия всех скобок Ли по формуле [а, Ь] —
— ab — Ьа.
Предложение 1. Алгебра 1<Х> является свободной
алгеброй Ли с множеством свободных образующих X.
Доказательство этого предложения весьма сложно.
Мы начнем его издалека с доказательства одной леммы,
относящейся к любым алгебрам Ли.
Пусть g—-произвольная алгебра Ли (над полем К),
и пусть
3) Х={х{, zeZ)
— некоторый ее базис (как линейного пространства)'.
Мы не предполагаем алгебру д конечномерной, поэтому
множество индексов Z, которое мы считаем вполне
упорядоченным, вообще говоря, бесконечно. (Су-
ществование базиса в произвольном линеале без труда
доказывается с помощью леммы Цорна, поскольку мно-
жество всех подпространств линеала, обладающих бази-
самй, как легко видеть, индуктивно, и вместе с тем лю-
бое собственное подпространство, обладающее базисом,
может быть включено — путем добавления одного век-
тора—в большее подпространство, также обладающее
базисом.)
Пусть, далее, ^°i — линейное пространство, базис ко-
торого состоит из элементов za, индексами которых слу-
жат всевозможные монотонные (т. е. такие, что i\
^22^ ... in) последовательности ос = (z’i,/г, ..., in)
элементов множества Z.
Для каждой последовательности а = (tj, ..., in) мы
будем символом |а[ обозначать число п ее членов. К мо-
нотонным последовательностям мы будем относить и
пустую последовательность 0, для которой 101 — 0.
Произведение элементов а, Ъ алгебры Ли д мы будем
обозначать символом [а, &].
ОСНОВНАЯ ЛЕММА'
103
Лемма 1. Любому элементу asg а любому элементу
v У3! можно так сопоставить некоторый элемент av е.
е У°/, что будут выполнены следующие условия:
а) элемент аи линейно зависит от а и и;
б) для любых элементов а, беда любого элемента
v е У3: имеет место равенство
[a, b]v—a (bv) — b (at»);
в) если a = (ib ..., in) и i < iu to
X(Za Zia>
где ia = (i, ilt in).
Доказательство. В силу условия а)' достаточно
построить элементы вида XiZa. Мы сделаем это индук-
цией по I а | и L Для проведения этой индукции удобно
несколько усилить лемму, потребовав дополнительно вы-
полнения следующего условия:
г) если x.za — ^lckz&^, то |Pfe[^(a|+l для всех k.
При a — 0 и любом i мы, по определению, положим
XiZ0 ~ Zi'
Пусть элементы x/zp уже построены для всех/ и всех
Р с | р| < |а|, а также для всех / < I при | P| = |aJ. По-
лагая a = lip, мы определим элемент xiza формулой
J z£-a, если i ip
XiZa ~ t xh (х4гр) + [хр Xl(] Zp, если I > iv
В силу условия г) и предположения индукции это опре-
деление.корректно. Ясно, что для так построенного эле-
мента x£za условия в) и г) выполнены.
Тем самым все элементы x(za, а значит (по линей-
ности), и все элементы av, а е g, и е Vi, построены.
Осталось проверить условие б). Ясно, что это доста-
точно сделать лишь при а = x£, b = X/, v = za. Такна:
образом, нам осталось лишь доказать, что для любых
I, / и любой монотонной последовательности a = (i‘i, ..„
..., in) справедливо равенство
(4 ) Xi (xtz^ — Xj (xtza) = [xh x;] za.
104
ОСНОВНАЯ ЛЕММА
При i — j это равенство, очевидно, выполнено. Кроме
того, если оно выполнено для пары (/,/), то оно выпол-
нено и для пары (/, i). Поэтому, без ограничения общ-
ности, мы можем предполагать, что i > j.
Проведем индукцию по |а|. При а —0 (и i>j),
по определению, •
xi {xiz^ = xi + Exp X11 zv
Следовательно, при а = 0 равенство (4) справедливо.
Предполагая теперь, что равенство (4) выполнено
для всех ас |а|<п, рассмотрим произвольную после-
довательность а = (й, ...,£„) с |а| = п. Для симмет-
рии формул положим й = k и р = (й>, ..., in).
Если / k, то, по определению,
Х£ Xj (XiZa) -J- [Xf, Xj] Za,
так что в этом случае равенство (4) верно.
Пусть / > k. По предположению индукции равен-
ство (4) верно при а = р (и любых i и /). Поэтому
[Xi, xj Za = [Xi, X/] (x*Z3) =
= Xk ([xt, Xy] Z&) + [[Xf, X/], xkl z& =
= xk (Xi (X7ze)) — xk (Xj (x£Zp)) + [[xt-, X/], Xfe] Zp,
и, значит, равенство (4) мы можем переписать в сле-
дующем виде:
Xi {х} (xftZe)) — X/ (х£ (XfeZjj)) Н- xk (X/ (xfza)) —
— Xk (Xi (X/Za)) = [[хг, Xj], xj Zp.
Обозначим это равенство символом (i, /, k).
Заметим теперь, что равенства (/, k, i) и (k,i,j), по-
лучаемые из равенства (й /, k) циклической перестанов-
кой индексов, мы можем считать доказанными. Дей-
ствительно, при переименовании индексов j>—>й k<—>/,
it—равенство (j, k, i) переходит в равенство (i, j, k)
ci>j и j<Zk, ав этих предположениях оно уже до-
казано. Аналогично при переименовании индексов —>/,
it—>i, /ь-равенство (k, i, j) также переходит (правда,
с изменением всех знаков) в равенство (г, /, k) с i> j
и / < k.
ОСНОВНАЯ ЛЕММА
105
С другой стороны, сложив равенства (/, k, i) и
(k, i, j), мы в левой части получим, очевидно, как раз
левую часть равенства (г, /, k) с обратным знаком. Что
же касается правой части суммы, то она будет равна
([[Х/, Xfc], Xf] [[Х/;, Xi], Ху]) Zg,
что в силу тождества Якоби равно взятой с обратным
знаком правой части равенства (i,j,k). Следовательно,
поскольку равенства (/, k, 1) и (k, i, j) верны, равенство
(i, /, k) тоже верно.
Тем самым лемма 1 полностью доказана. □
Напомним, что линейное пространство У называется
модулем над ассоциативной алгеброй (или просто
^-модулем), если для любого элемента ае^ и ЛЮ'
бого элемента уеУ определен элемент av^y3, ли-
нейно зависящий от а и v, и если для любых элементов
а, b е у еУ выполнено соотношение
5) (ab) и— a (bv).
Тот факт, что элемент av линейно зависит от элемента
v, означает, что отображение vi—> av пространства У* в
себя линейно. Обозначая это отображение символом
6(a), мы получаем, следовательно, некоторое отображе-
ние 0 алгебры гг/ в алгебру End У3 всех линейных ото-
бражений (эндоморфизмов) пространства У в себя. Тот
факт, что элемент av линейно зависит от элемента а,
означает, что отображение 0 линейно, а соотношение (5)
означает, что это отображение является гомоморфизмом
алгебр. Обратно, задание произвольного гомоморфизма
алгебр 0: >End^° определяет на строение модуля
над для которого av — 0(a) о.
Аналогичным образом линейное пространство У3 на-
зывается модулем над алгеброй Ли д, если задан неко-
торый гомоморфизм 0: g->[End^°] алгебры Ли g в ал-
гебру Ли [End^3]. В терминах элементов это означает,
что для любого элемента а е g и любого элемента v е У*
определен элемент av — 0(a) vt линейно зависящий от a
и v, причем для любых элементов a, b s g и v^.y°_ вы»
полнено соотношение
[a, b] = a (bv) — b (av).
106
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА’
Сравнивая эти требования с условиями а) и б)' леммы !,
мы видим, что эта лемма означает, что в линейное про-
странство Ti может быть введена такая структура мо-
дуля над алгеброй Ли а, что для любой монотонной по-
следовательности а — (Z1, i2, in), и любого iii бу-
дет иметь место равенство
XcZa = zia.
В этой формулировке мы и будем этой леммой пользо-
ваться.
Пусть теперь — некоторая ассоциативная униталь-
ная алгебра и i: g-*-[<£/]— гомоморфизм алгебры Ли g
в коммутаторную алгебру Ли алгебры ф/.
Определение 1. Говорят, что гомоморфизм i: g—>[C2Z]
обладает свойством универсальности, а алгебра
(рассматриваемая вместе с этим гомоморфизмом) пред-
ставляет собой универсальную обертывающую алгебру
алгебры Ли д, если для любой ассоциативной униталь-
ной алгебры и любого гомоморфизма <р: д->[^] су-
ществует единственный гомоморфизм ф: для ко-
торого диаграмма
коммутативна.
Мы будем писать ф = <2/ф.
Заметим, что если = ?/ и ф = i, то <2/ф является
тождественным гомоморфизмом id: <U —> <U.
Для алгебры Ли 1<Х> универсальной обертывающей
алгеброй служит алгебра К<Х> (относительно вложения
i: 1<Х>->[К<Х>]). Действительно, пусть ф: I<X>->[j^] —
произвольный гомоморфизм алгебры 1<Х> в коммута-
торную алгебру [j2/] некоторой ассоциативной униталь-
ной алгебры Так как алгебра К<Х> свободна, то
отображение ф^: X—единственным образом рас-
пространяется до некоторого гомоморфизма ф: К<Х>->
Поэтому нам нужно только показать, что фо1= ф
УНИВЕРСАЛЬНАЯ- ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА
107
т. е. что ф |г <%> = ф. Но по построению ф = <р на X.
Кроме того, если <ра = л\>а и фб — фб, где a, be
е 1<Х>, то ф (а Ь) = ф (а + Ь), ф (ka)ф (kb) (ибо оба
отображения ф и ф линейны) и ф[а, 6] == [фа, фб] ==:
= фа-срй—ф6’фа = фа-фй— фб’фа = ф(ай— Ьа)—
— ф[а, 6]. Поэтому ф = ф на всех лиевых многочленах
от X, т. е. на всей алгебре-□
Если ц: g —>[^i] и 12: g-*-[^2j—два гомоморфизма,
обладающих свойством универсальности, то определены
ГОМОМОРФИЗМЫ р — —>^2 ио = <2/2И'.
возникающие в силу универсальности гомоморфизмов и
и i2 соответственно:
При ‘этом для композиции о°р имеет место коммута-
тивная диаграмма
показывающая, что о ° р = Но, как выше было за-
мечено, t9ZZ’ki,j = id, где id — тождественное отображение
lUi-^-cU\. Поэтому а op = id. Аналогично показывается,
что композиция р ° о представляет собой тождественное
отображение %-*-^2. Следовательно, гомоморфизмы
р и а являются взаимно обратными изоморфизмами.
Этим доказано, что для любых двух универсальных обер-
тывающих алгебр °Ц\ и °U2 алгебры Ли д существует!
такой изоморфизм р: °U\—что p°ii = i2.
В этом смысле универсальная обертывающая алгеб-
ра данной алгебры Ли единственна.
Чтобы доказать ее существование, мы, снова выбрав н’
8 произвольный базис (3), рассмотрим алгебру некоммута-
тивных многочленов К(X).. Алгебра .д (рассматриваемая
108
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА
как линеал) естественным образом отождествляется
с подпространством алгебры К(Х), состоя-
щим из однородных многочленов первой степени. Тем
самым для любых элементов х, у в алгебре К<Х>
будут определены три (при х #= 0 и у #= 0 заведомо раз-
личных) элемента: элемент [х, у] е Ki<X>, являющийся
однородным многочленом первой степени, и элементы ху
и ух, являющиеся однородными многочленами второй
степени. Пусть X — идеал алгебры К<Х>, порожденный
всеми многочленами вида ху — ух — [х, у], и пусть °М =
— К<Х>/У — соответствующая факторалгебра. Пусть,
кроме того, t: g—— ограничение на g = JKi<A7> кано-
нического эпиморфизма Тогда для любых
элементов х, у g в алгебре будет иметь место ра-
венство
i [х, у] — i (ху — ух) — IX • iy — ty • ix — [ix, iy],
показывающее, что i представляет собой гомоморфизм
алгебр Ли
Пусть теперь —произвольная ассоциативная уни-
тальная алгебра, и пусть <р: д->[^]—произвольный го-
моморфизм. Ограничение ф на X единственным образом
распространяется до некоторого гомоморфизма ф:
К<Х> -> Оба отображения ф и ф линейны и совпа-
дают на базисе X линеала g — Ki<X>. Поэтому гр — ф
на д, и, значит, для любых элементов х, у е g имеет ме-
сто равенство
ф (ху — ух — [х, у]) = фх • фу — фу • фх — ф [х, у] =
= фх • фу — фу • фх — ф [х, у] =
== [фХ, фу) — ф [х, у] = 0.
Следовательно, ф (Р) — 0, и потому ф индуцирует неко-
торый гомоморфизм ф: обладающий, очевидно,
тем свойством, что ф ° i = ф. Это означает, что гомомор-
физм L обладает свойством универсальности.
Тем самым доказано, что для любой алгебры Ли g
существует универсальная обертывающая алгебра (U.
Замечание 1. Легко видеть, что построенная ал-
гебра не зависит от выбора базиса (3) алгебры Ли
д, и потому соответствие д<—представляет собой не-
который функтор ALG-LIE-*-ALGo-ASS. Этот функтор
ВЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
109
обладает тем свойством, что для любой ассоциативной
алгебры S4- множество Hom(g, [^]) всех гомоморфиз-
мов 0—>[^] находится в естественном биективном со-
ответствии с множеством Hom('2Z, s&) всех гомоморфиз-
мов <U —> s4-\
Hom (д, ~ Hom (°U, ^).
На языке теории категории это означает, что функтор
0|—сопряжен слева с коммутаторным функтором
Применительно к алгебре .5^ = End У’ свойство уни-
версальности гомоморфизма г. 0—означает, что
любой модуль У3 над алгеброй Ли д обладает единствен-
ной структурой °и-модуля, продолжающей его структуру
Q-модуля, т. е. такой, что
xv — (tx) v
для любых элементов хе д u v е У3. Действительно,
структура 0-модуля на Т задается гомоморфизмом
0->[End^], а структура ^-модуля — гомоморфизмом
C2Z—>Endy\ □
В силу леммы 1 мы получаем отсюда, что на линей-
ном пространстве У3! существует структура °и-модуля,
в которой
(6) (tXj) Za Zia
для любой монотонной последовательности а — (Д, . ..
..., in) и любого i Л.
В частности,
Из последней формулы непосредственно вытекает
следующее предложение:
Предложение 2. Для любой алгебры Ли 0 отображе-
ние i: Q—>[*2/] инъективно, так что алгебра 0 может
быть отождествлена с некоторой подалгеброй коммута-
торной алгебры [/?/].
110
АЛГЕБРА I <Х> СВОБОДНА
Доказательство. Пусть х— такой элемент ал-
гебры Ли д, что ix — 0, и пусть x = ctxi — разложе-
ние этого элемента по базису (3). Тогда
£ = £ ct (ix,) z0 = (1 £ cfxj z0 = (ix) z0 = Oz0 = 0,
что возможно (поскольку элементы zi составляют часть
базиса линеала 7*/) только тогда, когда с» — 0 для всех
I. Следовательно, х — 0. □
Предложение 2 объясняет для алгебры эпитет
«обертывающая».
В дальнейшем мы будем считать отображение i вло-
жением, и, в частности, элемент вида ix, х eg, будем
обозначать просто через х.
Из предложения 2 предложение 1 вытекает уже без
особого труда.
Доказательство предложения 1. Пусть
ф: А->д— произвольное отображение множества X в
произвольную алгебру Ли д, и пусть i: д—— вложе-
ние алгебры д в ее универсальную обертывающую ал-
гебру <и. Поскольку алгебра К<А> является свободной
алгеброй категории ALGo-ASS, существует гомоморфизм
ф: К<А> совпадающий на X с составным отобра-
жением i ° ср: X -> 'З/. Каждый элемент алгебры 1<А>, т. е.
каждый лиев многочлен от элементов х е X этот гомо-
морфизм переводит в лиев многочлен от соответствую-
щих элементов (io<p)x подалгебры i(g) и потому — в не-
который элемент этой подалгебры. Это означает, что
ф(1(А>)сг i(g). Поскольку, согласно предложению 2,
отображение i: g—>i(g) биективно, отсюда следует, что
отображение финдуцирует такое отображение ф: 1(A)—>
—> д, что 1оф = ф на 1(A). Для завершения доказа-
тельства остается заметить, что отображение ф яв-
ляется, очевидно, гомоморфизмом алгебр Ли и совпа-
дает на А с данным отображением <р. □
Предложение 2 равносильно утверждению, что эле-
менты Xt = txt алгебры линейно независимы. В этой
форме оно допускает важное обобщение, играющее су-
щественную роль в доказательстве утверждения В из
предыдущей лекции (заметим, кстати, что предложе-
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ •— БИРКГОФА — ВИТТА
111
ние 1 для доказательства утверждения В нам на самом
деле не нужно; мы доказали его только потому, что оно
имеет самостоятельный интерес). Чтобы сформулиро-
вать это обобщение, мы для любой монотонной последо-
вательности а = (ii, t2, ...» in) элементов множества I
введем в рассмотрение элемент
универсальной обертывающей алгебры (при а = 0
считается, что х0=1). В дальнейшем для облегчения
формулировок мы будем называть элементы вида (7)
специальными элементами алгебры (по отношению к
базису (3) алгебры g).
Предложение 3. Специальные элементы хЛ универ-
сальной обертывающей алгебры <U линейно независимы.
Доказательство. Из формулы (6) посредством
очевидной индукции получается, что
XaZ0 ~ Za
для. любой монотонной последовательности а. После
этого остается повторить уже знакомое нам рассужде-
ние: если 22 саха = 0, то
22 ca,za. 22 caxaZ0 ~ =
что возможно только тогда, когда сЛ = 0 для любого
а. □
Предложение 3 может быть уточнено:
Предложение 4. Специальные элементы ха состав-
ляют базис алгебры °11 (рассматриваемой как линеал).
Мы предпошлем доказательству этого предложения
несколько предварительных замечаний.
Элементы ха определены, конечно, для любых (не
обязательно монотонных) последовательностей и =
= (г'1, ..., in) элементов множества / (но эпитет «спе-
циальный» мы будем употреблять для этих элементов
только тогда, когда последовательность а монотонна).
Для любой последовательности а = (й, ..., in) эле-
ментов множества I мы символом d(a) обозначим число
имеющихся в ней беспорядков, т. е. таких пар (k, I), 1
k, I п, что k <Z I и ik >- ii- Последовательность а
г 12
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ — БИРКГОФА — ВИТТА
монотонна тогда и только тогда, когда d(a)= 0. В част-
ности, d(0) = 0.
Нетрудная индукция по |а| и d(a) теперь показы-
вает, что любой элемент вида ха является линейной
комбинацией специальных элементов.
Действительно, при d(a) = 0 это утверждение авто-
матически верно. Предполагая, что оно уже доказано
для всех элементов вида х& с ( р | < | а | или с | Р | = | а |
и d(P)< d(a), рассмотрим элемент ха с d (а) > 0. Ясно,
что в последовательности а существует пара соседних
индексов (£,/), образующих беспорядок, т. е. таких, что
i 2> }. Поэтому элемент ха мы можем записать в сле-
дующем виде:
Ха ~ Xa'XiXjXa">
где а' и а" — некоторые последовательности индексов
(возможно, пустые). Но, согласно определению комму-
татора,
ЗД = XjXt + [хг, Xj],
и потому
Ха == Xa'XjXixa' + Ха' [ХР */] Ха'-
В алгебре g элемент [хг, х7] разлагается по базису (3),
т. е. имеет место равенство вида
[^^•]=сл+сл+ •••’
где только конечное число коэффициентов ck, cki, ..,
отлично от нуля. Следовательно,
Ха ~ "Ь СЙ1Х₽! Ck2X&2 “Ь • • • ’
где
Х„ — Ха,Х.Х,Х„„ И Хй = х„,х. х „ при 5=1, 2, ...
р0 Ct у i cl и ks а 1 ’ J
Поскольку d(Po)=d(a)—1 и |РД = |а|—1 при s > 0,,
элементы х^ и хр выражаются, по предположению ин-
дукции, через специальные элементы. Следовательно,
через специальные элементы выражается и элемент
ха. □
С другой стороны, из изложеннной выше конструк-
ции универсальной обертывающей алгебры °И непосред-
ственно вытекает, что алгебра порождается (как у ни-
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ — БИРКГОФА - ВИТТА
113
тальная алгебра) всеми элементами из д, т. е., точнее,
элементами вида tx, где х ед. Впрочем, это утвержде-
ние без труда вытекает и прямо из определения I. Дей-
ствительно, пусть 7° — подалгебра алгебры ^2/, порож-
денная всеми элементами из g (и единицей 1), и пусть
/: Т— гомоморфизм вложения. Поскольку igczT,
гомоморфизм i индуцирует гомоморфизм i': g—
(удовлетворяющий соотношению /oi/ = i). Пусть k~
= 'Ut'. Тогда, как непосредственно явствует из комму-
тативной диаграммы
композиция j°k будет отображением — id. Следо-
вательно, гомоморфизм / является эпиморфизмом. Зна-
чит, V1 = °ll. □
Доказательство предложения 4. Со-
гласно предложению 3 достаточно доказать, что любой
элемент алгебры является линейной комбинацией
специальных элементов. Но поскольку элементы из g
порождают алгебру '2/, любой элемент этой алгебры
является многочленом от элементов х^ базиса (3), т. е.
представляет собой линейную комбинацию одночленов
вида ха (при а произвольном). Это доказывает предло-
жение 4, поскольку, как выше было доказано, каждый
элемент вида ха является линейной комбинацией спе-
циальных элементов. □
Предложение 4 обычно называется теоремой
Пуанкаре — Биркгофа— Витта. Впрочем, это
имя присваивается также предложениям 2 и 3.
Нам предложение 4 понадобится только в примене-
нии к алгебре 1<-Х> и ее универсальной обертывающей
алгебре К<Х> (так что, строго говоря, мы могли бы
обойтись без понятия обертывающей алгебры; однако
никаких существенных упрощений нам бы это не дало).
Следующий этап доказательства утверждения В бу-
дет состоять в том, что мы по-иному, более эффективно,
114
ТЕНЗОРНЫЕ: ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛИНЕАЛОВ И АЛГЕБР
охарактеризуем элементы алгебры 1<^>. Для этого нам
понадобится одна общая конструкция.
Пусть и &— два линеала, a (xj и {#/}— некото-
рые их базисы. Рассмотрим всевозможные формальные
произведения вида x>.yt и линеал базисом которого
они служат. Каждый элемент линеала является фор-
мальной линейной комбинацией вида
Zu кц €= К,
лишь конечное число коэффициентов kij которой от-
лично от нуля. Сравним линеал с линеалом ®’/, эле-
ментами которого являются формальные суммы вида
(8) E<w, .
где а/ е и. в котором линейные операции определяют-
ся очевидным образом (этот линеал является прямой
суммой линеа-лов, изоморфных линеалу «5$, число кото-
рых равно числу элементов базиса {yi}). Заметим, что
линеал не зависит от выбора базиса {х/} (этот базис
в его построении не участвует). Если Uj~y^kijXi —
разложения элементов а, по базису {хг}, то мы сопо-
ставим элементу (8) линеала (S" элемент У, кцх^у/ ли-
неала ®’. Очевидно, что это устанавливает изоморфизм
линеала <ё" на линеал Отождествив посредством этого
изоморфизма линеалы и мы получим,- следова-
тельно, что линеал 'SF также не зависит от выбора ба-
зиса {хг}. Кроме того, в силу этого отождествления при-
обретет смысл (и будет правильным) равенство
Е кИХ1У! = Е (Е kijXi) yt.
Аналогичным образом линеал отождествляется с ли-
неалом элементы которого имеют вид
Zxfii,
где bi е Это доказывает независимость линеала
от выбора базиса {г//} и одновременно придает смысл
равенству
Zu &j == Е xi (Е j)“
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛИНЕАЛОВ И АЛГЕБР Ц5
Мы видим, таким образом, что линеал не зависит
(в силу сделанных отождествлений) от выбора базисов
в линеалах и т. е. определяется исключительно
этими линеалами. Он называется тензорным про-
изведением линеалов и & и обозначается символом
е«£®
Замечание 1. Обыкновенно элементы ли-
неала обозначаются символами Xi<^yi и, соот-
ветственно этому, элемент У, ЬцХ^ записывается фор-
мулой У kijXt ® у}. Более общим образом для любых
двух элементов а = У k'-tXi и & = У ЬУ1- символом а® &
обозначается элемент У k^xt ® yt. Ясно, что
(«! 4- а2) <8> b — а! <8> b 4- а2 ® Ь,
а <8> (&! <jp Ъ2) = a ® 4- а ® Ь2
и
k (а 4~ b) — (ka) ® Ьх — а 0 (kb)
для любых элементов а, а\, a2^.st, b, Ь\, Ь2^.$& и
йеК. Обратно, нетрудно видеть, что линеал, порож-
денный символами а®&, подчиненными этим соотноше-
ниям, естественно изоморфен линеалу ^®^. Тем са-
мым мы получаем инвариантную (не использующую ба-
зисов) конструкцию линеала ^®^. Эта конструкция
нам не понадобится, и поэтому мы на ней подробнее ос-
танавливаться не будем.
Замечание 2. Можно получить и другую инва-
риантную характеристику линеала j^®^ (по крайней
мере для случая, когда оба линеала st и $ конечно-
мерны), если ввести в рассмотрение линейное простран-
ство <25 смешанных билинейных функционалов х, у^—^
н->В(х, у)(см. II, 5), первый аргумент которых пробе-
гает линеал st, а второй — линеал Оказывается, что
линеал st ® & сопряжен линеалу S), причем соответ-
ствующее спаривание однозначно определяется соотно-
шением (а 0 Ь, В) = В (а, Ь). Этим замечанием мы
также пользоваться не будем.
В случае, когда st и & являются алгебрами, в ли-
неале л^®^? определяется умножение, для которого
(а ® Ь)(х ® у) ~ (ах) 0 (by)
116
АЛГЕБРЫ ХОПФА
при любых а, х<= si, b, у Относительно этого ум-
ножения линеал si 0 38 будет алгеброй. Эта алгебра
называется тензорным произведением алгебр 38 и
обозначается прежним символом <5$ 0 38.
Если алгебры si и & ассоциативны и унитальны, то
алгебра si<^>S8 также ассоциативна и унитальна. (За-
метим, что для алгебр Ли аналогичное утверждение не-
верно.) Единицей алгебры si ^38 служит, очевидно,
элемент 10 1.
В принятых нами упрощенных обозначениях (не ис-
пользующих знака 0) умножение в si §§38 задается
формулой
(X ЬуХiHj) IpqXрУq) jS ^il^pq (%i%p) (.УФq)'
В единственно интересном для нас сейчас случае
si = и £% = К<У> алгебра si §3)38 является нечем
иным, как алгеброй многочленов от образующих из X
и Y, подчиненных требованию, что каждая образующая
из X коммутирует с каждой образующей из Y. Мы бу-
дем обозначать эту алгебру символом К<Х, У>. Таким
образом,
!К<Х, У) = К(Х> ® К (У)
для любых X и У.
Умножение в произвольной алгебре si представляет
собой не что иное, как некоторое линейное отображение
ц: si ® si
(образ элемента а§§Ь е <5$0 3% при этом отображении
и есть произведение ab). По теоретико-категорной двой-
ственности (заключающейся в обращении всех стрелок)
двойственным объектом является произвольное линейное
отображение
(9) б: si ® si.
Линеал si, для которого задано некоторое отображение
вида (9), называется коалгеброй, а отображение (9) —
коумножением (употребляется также термин диагональ-
ное отображение).
Определение 2. Ассоциативная унитальная алгебра
называется алгеброй Хопфа, если она одновременно
АЛГЕБРЫ ХОПФА
117
является коалгеброй (т. е. для нее задано коумножение
(9)), причем:
а) коумножение (9) является гомоморфизмом уни-
тальных алгебр;
б) в алгебре задано такое линейное подпростран-
ство «я£*, что — К1®А’и для любого элемента x^&f
имеет место равенство
(10) дх — 1 <g) X 4- X ® 1 4- X xi ® Hi,
где х(г/г- е «яГ. Если
дх — 1 ® х 4- х ® 1,
то элемент х е А* называется примитивным.
Заметим, что, согласно а), имеет место равенство
dl = I ® 1.
В терминологии общей теории коалгебр условие б)
означает, что элемент 1 является коединицей коум-
ножения д.
Отображения xf—>x:gl и Xf—>10х являются мо-
номорфизмами алгебры <5$ в алгебру Мы будем
элемент х0 1 обозначать символом х', а элемент
10х — символом х". В этих обозначениях формула (10)
приобретает вид
(И) дх = х' 4- х" 4- Е
где х(-, у-ь , а условие примитивности — вид
дх = х' 4- х".
Согласно сделанному выше замечанию, при «я? =
= K<X> алгеброй ^0^ служит алгебра К<ЙГ/, Х">,
где X' и X"— два дизъюнктных экземпляра множе-
ства X. В частности, если <я£ = К<х, у) (только этот
случай нам на самом деле и интересен), то «Р00 «я/—
= К<л/, у'-, х", у"У, tjxq х' и у' перестановочны с х" и у".
Мы введем в алгебру коумножение, требуя,
чтобы все образующие х е X были примитивны, т. е.
чтобы для любого элемента х е X имела место фор-
мула
дх == х' 4- х" •
118
АЛГЕБРЫ ХОПФА’
Поскольку алгебра К<.¥> свободна, это условие одно-
значно определяет коумножение
(12) б: К(Х>->К(Х', X"},
являющееся гомоморфизмом алгебр, т. е. удовлетворяю-
щее условию а) определения алгебр Хопфа.
Что же касается условия б), то за фигурирующее
в нем линейное подпространство мы примем подал-
гебру К<Х>* алгебры К<Х>, состоящую из всех много-
членов без свободного члена (являющихся линейными
комбинациями одночленов =#1), или, что, очевидно,
равносильно, представляющую собой линейную обо-
лочку всех специальных (относительно некоторого ба-
зиса алгебры 1<Х>) элементов ха, отвечающих непу-
стым монотонным последовательностям а. Ясно, что
тогда условие б) (в форме (11)) будет выполнено. Тем
самым мы задали в алгебре К<Х> структуру алгебры
Хопфа.
Эту структуру можно ввести и из общих соображе-
ний и притом не только в алгебре К<Х>, но и в универ-
сальной обертывающей алгебре ‘U произвольной ал-
гебры Ли g. Действительно, поскольку в алгебре <2/® <U
элементы с различным числом штрихов перестановочны,
отображение
х >—> х' + х", х е j,
представляет, собой гомоморфизм алгебры д. в комму-
таторную алгебру Поэтому оно продолжается
до некоторого гомоморфизма алгебр
(13) б: <U-><U ® <U.
Теперь ясно, что если мы примем за б2/* подпростран-
ство алгебры eU, состоящее из линейных комбинаций,
произведений элементов из д, то °11 будет алгеброй
Хопфа с коумножением б. Таким образом, универсаль-
ная обертывающая алгебра произвольной алгебры
Ли g естественным образом является алгеброй Хопфа.
Заметим, что при ‘U — К<Х> коумножение (13) со-
впадает с коумножением (12), поскольку оба коумноже-
ния одинаково действуют на образующих из X.
Лекция 6
ТЕОРЕМА ФРИДРИХСА.—ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТ-
ВЕРЖДЕНИЯ В ИЗ ЛЕКЦИИ 4. — ТЕОРЕМА ДИН-
КИНА — ЛИНЕЙНАЯ ЧАСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА —
ХАУСДОРФА—СХОДИМОСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА —
ХАУСДОРФА — ГРУППАЛГЕБРЫ ЛИ. — ЭКВИВА-
ЛЕНТНОСТЬ КАТЕГОРИЙ ГРУПУСКУЛ И ГРУППАЛ-
ГЕБР ЛИ. — ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ ГРУППАЛ-
ГЕБР И АЛГЕБР ЛИ. —ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ЛИ.
Согласно изложенному в конце предыдущей лекции по-
строению все элементы алгебры Ли g являются прими-
тивными элементами универсальной обертывающей ал-
гебры <U. Оказывается, что верно и обратное:
Предложение 1. Лля любой алгебры Ли $ все при-
митивные элементы обертывающей алгебры Хопфа ‘U
исчерпываются элементами из Q.
Доказательство. Пусть, как и в предыдущей
лекции, X = {xt, 1^1}—произвольный базис алгебры
Ли д, а {ха} — базис обертывающей алгебры °Ut состоя-
щий из специальных (по отношению к базису X) эле-
ментов ха. Вычислим образ 6ха произвольного специ-
ального элемента при коумножении
б: <2/-><2/0 (U.
Если а=0, т. е. ха—1, проблемы нет: 61 = 1.
Точно так же нет проблемы и при |<х[= 1, т. е. когда
а состоит из единственного элемента iе Z, поскольку
элемент хг-, являясь элементом алгебры д, примитивен,
и потому бх4 = х^ + х". Таким образом, нам нужно рас-
смотреть только случай |os[ > 1.
120
ТЕОРЕМА ФРИДРИХСА
Вообще говоря, среди элементов последовательности
<х могут быть одинаковые. Пусть ji < /2 < • • ]т
все неповторяющиеся элементы этой последовательно-
сти, и пусть ks = ks(a)— число элементов последова-
тельности а, равных элементу js, s— 1, .... m. Таким
образом, ks 1, k\ + ... + ks = Iaj и
Так как 6х; — х'; + х", то
Яг — 4-
Раскрывая в этом многочлене скобки и выписывая лишь
слагаемые, либо не содержащие по-разному штрихован-
ных элементов, либо линейные по элементам вида х\,
мы (учитывая перестановочность элементов с разным
числом штрихов) получим для выражение вида
= х'*1 ... x'km + x"kl ... x"k™ +
« i 1 J/71 1 j tn
+ . .. x'km x" +
1 Л '1
+ kmX'tk'X'ik2 • ’ • X'jkm * • X" + • ’ -
m ’2 Jtn
где, ввиду условия |a|> 1, ни одно слагаемое не мо-
жет сократиться с другим. Положив
х ^хк~1х^ ... хкт, ..., ха =х^хк.2 . . . _ф~‘,
al li I2 Ini ат '2
мы можем эту формулу записать в следующем компакт-
ном виде:
(1) = <+ <' + М«К.<+ •••
• • • "Ь № Х'а х" + • • • » I a ! > 1.
т т 1 т
Рассмотрим теперь произвольный элемент
О := ^a-^a
a 54= 0
линеала .
ТЕОРЕМА ФРИДРИХСА
121
Мы положим а-=ау-\- а2, где
== 2^ И U2--- jS СаХа.
1<х| = 1 ]а|>1
Элемент принадлежит алгебре g и потому примити-
вен. Следовательно, элемент а примитивен тогда и
только тогда, когда примитивен элемент а2. В част-
ности, если а2 = 0, то элемент а примитивен.
Пусть Я2#=0, и пусть /1 < ... < jm — все различ-
ные элементы всевозможных последовательностей а,
для которых ха входит в элемент а2 с отличным от нуля
коэффициентом са. Для каждого такого ха формула (1)
сохранит силу, если считать, что £Да) = 0 и х =1 для
каждого индекса <s = 1, ..., т, для которого элемент
js не входит в последовательность а. Поэтому
ба2 = ] « + х" + k, (а) х'ах" + • •.
== а'2 + < + ( X (а) сах',) х" + ...
+f Z km(a)cax'a + ...
х|а|>1 т т) >т
и, значит, если элемент а2 примитивен, то для любого
s = 1, ..., т в алгебре имеет место равенство
У Ма)сЛ =0.
I а |> 1 s
В этом равенстве члены, отвечающие различным после-
довательностям а, сократиться не могут, так как равен-
ство ха возможно только при as = ₽s, а если
ccs = и ks(a) =7= 0, &з(Р) =# 0, то а = р. Следовательно,
если элемент а2 примитивен, то £з(<х)са = 0 для любой
последовательности а (участвующей в разложении эле-
мента а2) и любого s, т. е. (поскольку мы предполо-
жили, что са=#0) ks(a) = 0. Поэтому |а[=0, что проти-
воречит условию I ОС I > 1.
Следовательно, каждый элемент а2 =£= 0 заведомо не
примитивен. Поэтому не примитивен и элемент а.
122
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ В
Этим доказано, что элемент а <= CU* тогда и только
тогда примитивен, когда а2 = 0, т. е. когда а = ai и,
значит, а й-
Тем самым предложение 1 полностью доказано. □
Следствие (теорема Фридрихе а). Элемент ал-
гебры многочленов К(Х) тогда и только тогда является
лиевым многочленом над X (т. е., точнее, имеет вид
ia, где ае!<Х>), когда этот элемент примитивен. □.
Теперь у нас все готово для доказательства утверж-
дения В из лекции 4. Напомним, что это утверждение
относится к многочленам
(2)
feel
(-I?-1
k
Pl pfe tffe
X ly ... X ay a
ppt/j! ... pklqkl
из алгебры K<x, z/>, где во внутренней сумме произво-
дится суммирование по всем таким наборам целых не-
отрицательных чисел рь ..., pk, q\, ..., qk, что pi -f- ...
... + Pk J- qi +’ ... + qk = n и pi + qi > 0 для любого
i = 1, ..., n (поле К мы теперь предполагаем полем
характеристики 0). Эти многочлены являются однород-
ными степени п компонентами формального ряда
ih(exe^) от двух некоммутирующих переменных х и у,
получающегося при подстановке произведения
рядов
оо
Р. <?=о
хру<1
pW
<?=о
вместо z в формальный ряд
Утверждение В гласит, что каждый многочлен zn(x,y)
лежит в алгебре 1<х, у), т. е., согласно теореме Фрид-
рихса, является примитивным элементом алгебры Хоп-
фа К<х, уУ (удовлетворяет соотношению 8zn (х, у\ =i
= Zn « у')J- Zn (X", у") ) .
ТЕОРЕМА ДЫНКИНА
123
Концептуально наиболее естественный путь доказа-
тельства этого утверждения состоит в том, что мы рас-
ширяем алгебру К<х, уУ до алгебры К<<х, г/» формаль-
ных рядов от некоммутирующих переменных х, у и по-
вторяем для этой алгебры все сделанное в предыдущей
лекции, т. е. вводим подалгебру I«x, z/» коммутатор-
ной алгебры Ли [К<<х, z/>>], порожденную элементами
х, у (эта алгебра состоит из рядов, все однородные со-
ставляющие которых являются лиевыми многочленами
из 1<х, £/>), и показываем, что ряды из 1<<х, г/» суть в
точности примитивные элементы алгебры по отношению
к умножению б, для которого бх = х' + х" и 8у = у' +,
'+ у". Коль скоро это сделано, утверждение В (равно-
сильное утверждению, что ряд In (ехеу) лежит в алгебре
1«х, уУУ, т. е. является примитивным элементом ал-
гебры К«х, уУУ) доказывается очевидной выкладкой:
(3) б In (ехеу) = In (е6хе&у) = In (ех'+х"еу'+у") —
= In (ех'ех"еу'еу") == In (ех'еу'ех”еу") =
= In (ех'еу') + In (ex"ey"~) —
= In (ехеуУ + In (ехеу)".
(В этой выкладке использован тот очевидный факт, что
если элементы | и т| перестановочны, то е®+г> = е'г11 и
In (In) = In g + 1пт>.)
Однако этот переход к алгебре К<<х, z/>> на самом
деле совершенно не нужен. Действительно, желая дока-
зать формулу бгя(х, у) = zn(x', у') + гп(х", у"), мы мо-
жем повторить выкладку (3), рассматривая не формаль-
ные ряды, а лишь некоторые достаточно длинные (в за-
висимости от п) их отрезки и следя лишь за членами
степени Ясно, что вся выкладка (которая теперь
будет осуществляться внутри алгебры К<х, z/>) пол-
ностью сохранится. Тем самым утверждение В из лек-
ции 4 мы можем считать, наконец, доказанным.
Изложенное доказательство утверждения В не дает
никакой явной формулы для лиевых многочленов
(х, у), существование которых оно утверждает. По-
этому мы сейчас дополним его выводом такого рода
явной формулы.
124
ТЕОРЕМА ДЫНКИНА
Пусть, как и в предыдущей лекции, К*<х, уУ — под*
алгебра алгебры К<х, £/>, состоящая из всех многочле-
нов без свободного члена. Мы определим отображение
ст: К*(х, у)-> 1<х, у}
следующими условиями:
а) отображение ст линейно;
Ь) ах — х и ау = у,
с) для любого одночлена а I
а (ах) = [ста, х], ст (ау) = [ста, у].
Ясно, что эти условия однозначно определяют отобра-
жение ст.
Определение 1. Элементы алгебры 1<х, уУ, имеющие
вид ста, где а — одночлен, называются лиевыми одночле-
нами.
Согласно определению:
1) элементы х и у являются лиевыми одночленами;
2) если и — лиев одночлен, то [и,х] и [и, у]—-
также лиевы одночлены.
Ясно, что линейная оболочка всех лиевых одночле*
нов совпадает с образом 1ш ст = ст(К*<х, уУ) отображе-
ния ст.
В явном виде лиев одночлен ста, отвечающий одно-
члену а = xPiyq' ... xPkyqk, определяется формулой
(4)
ста=[... [х, х], х], ... х], у], ..., у], х], . .., х], у], ...,у].
Pl раз q} раз pk раз qk раз
В частности, мы видим, что ста = 0, если либо р\ > 1,
либо pi = 0 и q\ > 1 (напомним, что, согласно нашему
определению одночлена, все показатели р\, qi, ..., pk,
qk положительны, за возможным исключением лишь по-
казателей pi и qk).
Из формулы (4) непосредственно вытекает, что для
любого лиева одночлена и = ста многочлен ш является
однородным элементом алгебры К<х, уУ, т. е. линейной
комбинацией одночленов одной и той же степени п 1.
Эту степень (равную, очевидно, степени одночлена а)
мы будем называть степенью лиева одночлена и.
Лемма 1. Для любых лиевых одночленов и и и эле-
мент [и, и] принадлежит линеалу Im ст.
ТЕОРЕМА ДЫНКИНА
125
Доказательство. Проведем индукцию по сте-
пени п элемента о. Если п= 1, т. е. если у = х или
v = у, то элемент [и, у] является, по определению, лие-
вым одночленом и потому лежит в Imo. Пусть п> 1.
Тогда v = [ш, х] или v = [w,y], где w — лиев одночлен
степени п—1. Для определенности предположим, что
v = [w, х] (случай v = [w,y] совершенно аналогичен).
Тогда [и, у] = [и, [w, х]], и потому, согласно тождеству
Якоби,
[и, у] — И«, оу], *] ~ Ци, я], оу].
Но, по предположению индукции, элемент [u,w], а сле-
довательно, и элемент [[и, да], х] лежит в Imo, т. е. яв-
ляется линейной комбинацией лиевых одночленов. Точно
так же линейной комбинацией лиевых одночленов яв-
ляется и элемент [[ц, х], w]. Поэтому [и, и] tinier. □
Следствие. Любой элемент алгебры Ли 1(х, у} яв-
ляется линейной комбинацией лиевых одночленов.
Иными словами,
1т сг — I (х, у\
Доказательство. Из леммы 1 непосредственно
вытекает, что линеал Im о является подалгеброй ал-
гебры Ли 1<х, уУ. Поскольку х, г/elma, а алгебра
1<х, УУ порождается элементами х и у, этот линеал дол-
жен совпадать с 1<х, уУ. □
Определим теперь некоторый антигомоморфизм ал-
гебры К<х, уУ в алгебру Епс!лин(1(х, у))линейных отобра-
жений алгебры 1(х, у} в себя, т. е. линейное отображение
0: К<х, у)—> Епйлии (I (х, у»,
удовлетворяющее для любых элементов а, & е К<х, уУ
соотношению 0 (ab) — 0 (&)°0 (а). Поскольку алгебра
К<х, уУ порождается элементами х и у, такой антиго-
моморфизм однозначно определяется его значениями
Ох и Оу на этих элементах, а поскольку образующие х
и у являются свободными образующими, отображения
0х и Оу можно выбрать совершенно произвольно. Мы
определим их формулами .
(0х)у = [у, х], (0у)у = [у, у],
где у — произвольный элемент алгебры 1<х, у>.
126
ТЕОРЕМА ДЫНКИНА
i Таким образом, согласно этому определению, если
$== х или и = у, то отображение 0 (и): 1<х, уУ -> 1<х, уУ
Представляет собой внутреннее дифференцирование
td(—и) = — ad и алгебры Ли 1<х, уУ (см. лекцию 3).
Оказывается, что равенство Ou — —ad и (или, точнее,
равенство 0(ш) = —ad и) справедливо для каждого
Элемента и алгебры 1<х, уУ.
Лемма 2. Для любых элементов и, v е 1<х, уУ имеет,
место равенство
(5) (0и) v = [о, и],
где О = 0о1.
Доказательство. Согласно следствию из лем-
мы 1 равенство (5) достаточно доказать лишь для слу-
чая, когда элемент и является лиевым одночленом. Про-
ведем индукцию по степени п элемента и. Если п = 1,
то и — х или и — у, и равенство (5) имеет место по
определению. Пусть п > 1. Тогда и = [ау, х] или и —
= [ш,«/], где w — лиев одночлен степени п—1. Пусть,
для определенности, и = [w, х]. Так как
0 (w, х) — 0 (ух) — 0 (xb) = 0х • 06 — Ob' Ох,
где b = iay, то, согласно предположению индукции и
тождеству Якоби,
(0u) v = (0 [ay, х]) v ~ (Ох) (06) v — (06) (Ox) и =
= (Ox) (0w) и — (0ay) (Ox) v =
= (Ох) [и, ау] — (Оау)[о, х] — [[о, о>], х] — [[у, х], ау] =
= [v, [w, х]] = [о, и]. □
Лемма 3. Для любых элементов а, Ь е К*<х, уУ имеет
место равенство
(6) ст (а&) = (0&) (оа).
Доказательство. Без ограничения общности мы
можем считать элемент Ь одночленом. Проведем индук-
цию по его степени п. При п = 1, т. е. при b = х или
b css у, равенство (6) непосредственно вытекает из опре-
делений. Пусть п>,1. Тогда b = сх или b = су, где
ТЕОРЕМА ДЫНКИНА
12'7
с — одночлен степени п—1. Пусть, для определенности,
Ъ = сх. Так как
о (ab) = <т (асх) — [о (ас), х] — (8х) (ст (ас)),
то, согласно предположению индукции,
о (ай) — (0х) (0с) (ста) = 0 (сх) (ста) — (0й) (ста). □
Лемма 4. Ограничение о = а ° i отображения а на
1<х, уУ с К*<х, уУ является дифференцированием ал-
гебры 1<х, уУ, т. е. для любых элементов и, v е 1<х, уУ
имеет место равенство
д [и, о] = [си, у] + [и, ас].
..Доказательство. Пусть iu = a n tv.= b. Тогда
ввиду лемм 3 и 2
g[u, о] = ст (ай) — g (Ьа) ~ (6й) (ста) — (0а) (ой) —
— [ста, Ъ] — [стй, а] == [ста, й] + [а, <тй] =
= [ста, v] + [а, оо]. □
Теперь мы можем доказать наше основное предложение.
Предложение 2 (теорема Динкина). Однород-
ный многочлен аеК<т, уУ степени а 1 тогда и
только тогда принадлежит алгебре Ли 1<х, уУ (т. е. имеет
вид ш, где и е 1<х, уУ), когда
(7) i (ста) = па.
Доказательство. Если равенство (7) выпол-
нено, то
/ ста л ста _ f . ,
а = где
Обратно, пусть а = ш, где и е 1<х, уУ. Без ограни-
чения общности мы можем считать, что элемент и яв-
ляется лиевым одночленом. Проведем индукцию по сте-
пени п элемента и. Если п — 1, то и = х или и — у и
равенство (7) справедливо. Пусть п > 1, и пусть,
для определенности, и — [игх], где с — лиев одночлен
128
ТЕОРЕМА ДЫНКИНА
степени п — 1. Тогда, согласно лемме 4 и предположению
индукции,
I (ста) — I (ди) = id [v, х] —
— i ([йу, х] + [о. dx]) —
— [toy, х] + I [у, х] —
— (п — 1) I [у, х] + I [у, х] —
— (и—l)iu-j-iu=(n—1)а-т~а = па. □
Предложение 2 означает, что если а = ш, то
Согласно утверждению В условие а=ш выполнено
при a — zn(x, у) и и — ^п(х, у). Следовательно,
т. е. (см. формулу (2))
(8)
Й = 1
у» ст (хР'г/?1 ... xPfe;/?fe)
Zu р^....ркЩ.
где во внутренней сумме суммирование распространено
на все целые неотрицательные показатели р\, qlt . ..
..., pk, qk, для которых
Pi + Pi>0, , Pk + qk>0
Pi+ ••• + Pk + п.
Это и есть та формула, к которой мы стремились.
Для лиевского формального ряда
О (х, Р) = Е (х, у>
я = 1
(9)
ЛИНЕЙНАЯ ЧАСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
12Э
мы после очевидной перегруппировки членов получаем
отсюда формулу
(10) О(х, у)==У У ---------------т:—п—-—;------;--X
4 У Д, k Pi + '?l+ ••• +
fe=l (p), (?)
\xP4^ xP^*]
X W ••• Pk^k1 '
где для наглядности вместо а(хг’1г/'71 ... xPkyPk) написано
[хр1г/<71 . .. xPkyqt^}.
Этот ряд называется рядом Кемпбелла — Хаусдорфа
в форме Дынкина.
Для практических вычислений ряд (10) мало удо-
бен, поскольку он содержит много неприведенных по-
добных членов. Трудность приведения этих членов хо-
рошо иллюстрируется на примере вычисления линейной
по х части ряда (10).
Лиев одночлен [xP1z/?1 . .. xPmyqm'\ тогда и только то-
гда линеен по х (и отличен от нуля), когда либо Pi = l,
р2 = 0, ..., рт — 0 (и только он имеет вид [xip2], где п =
= <71~Ь ••• У’У'и), Либо Р1=0, р2=^1, р3 = 0,..., Рт==0,
<71 = 1 (и тогда он имеет вид [уху”-1], где п—1=<72-{-
+ ... +^т). При этом в первом случае <71^0, <72^
1, ..., qm 1, а во втором <72 0, q3 1, ..., qm
X 1. Поскольку [уху"-1] =—[xyn], мы видим, следова-
тельно, — несколько меняя обозначения, — что линейная
по х часть ряда О (х, у) (обозначим ее символом
О'(х, у)) выражается формулой
где в У суммирование происходит по всем наборам
таких целых чисел q\, q%, ..., qm, что
<7i>0, <72>1, ..., qm>l и +qm=n,
5 М. М. Постников
130
ЛИНЕЙНАЯ ЧАСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
а в — таких целых чисел <7Ь q2, .... qm_\, что
<71 >0, 1, <7m-l> 1
и
<71 + <7г+ ••• +<7m_i = n— 1.
При т = 1 сумма отсутствует.
Чтобы вычислить коэффициенты ряда (х, у), мы
воспользуемся стандартным методом производящих
функций. Пусть А (7)— ряд, получающийся из ряда
«У (х, у) заменой [хуп] на tn. Так как
1_______________
qi'-qJ- • •• qm'- «4-1
п=т— 1
1
q^qz'- qm\
где Вп=-так называемые числа Бернулли,
СХОДИМОСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
131
Поскольку [ху"] = (—ady)rax, этим доказано, что
ОО
-5' (*, У) = S (ad уУ х = х,
п=0
т. е. (поскольку единственным членом ряда «3 (х, у), не
содержащим х, является у) что
Ш) У)=У + "а^ х+ ...»
где многоточие изображает члены не ниже чем второй
степени по х.
Аналогично показывается, что
(^2) О (х, у) == х + e-ad х _ * У + •••>
где многоточие изображает члены не ниже чем второй
степени по у.
Исследуем теперь сходимость рядов (9) и (10). Для
этого воспользуемся леммой 1 лекции 2, которая, как
было замечено, применима к любым конечномерным
алгебрам и, в частности, к произвольной конечномер-
ной алгебре Ли д.
Пусть || ||—мультипликативная норма в g, а X и
У — такие элементы из д, что ||ХЦ<6 и || У|| < б, где
0<б<1.
Так как алгебра 1<х, у> свободна, то существует един-
ственный гомоморфизм 1<х, у>—>д, переводящий эле-
менты х и у в элементы X и У. Образ при этом гомо-
морфизме элемента и = и(х, у) алгебры 1<х, у> мы бу-
дем обозначать символом и(Х, У),
Очевидная индукция (использующая мультиплика-
тивность нормы) показывает теперь, что если и являет-
ся лиевым одночленом степени п, то
II и (X, У) ||<6«.
Отсюда следует, что если и = X саиа, иа — лиевы
одночлены степени п, то
II и (А, У) II ^Сбл,
5*
132
СХОДИМОСТЬ РЯДА КЕМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
гдеС = £|са|. В частности, мы получаем (см. (8)),
а
ЧТО
(13) ИДЛ*. УПКПЛЛ
где
D =1у1 У ____________1_____
п п Zj k Az pjqj. ... p \qЛ •
й = 1 (P). (d) ‘
Значение внутренней суммы в последней формуле рав-
но коэффициенту при tn в ряде Маклорена функции
(е2/ — 1)А. Поэтому число nDn равно коэффициенту при
п
tn в ряде Маклорена функции У — (e2f—1)* или, что
fe=l '
равносильно, функции
©О
Н/)=£|(е2<-1Л
й = 1
Следовательно,
°° в
(Н)
n=l О
Поскольку ряд ДЛЯ f(0, очевидно, сходится при
I e2i — 1 | < 1, и, значит, при 1t\ < , этим доказано,
что ряд (14) сходится при 6 < . Так как, согласно
формуле (13), ряд (14) мажорирует ряд
со
(15) 3(Х, У)=£ ДДХ, У),
П=1
мы получаем тем самым, что ряд (15) сходится, если
11*11<60, ||УЦ<б0, где 60 = 4£- □
Замечание 1. Сходимость ряда (15) при ЦХЦ <
< 50, ||У]]<6о нами была уже доказана в лекции 4.
Новым является лишь то, что теперь сходимость ряда
(15) доказана для любой (конечномерной) алгебры Ли
д, тогда как в лекции 5 алгебра g предполагалась ал-
геброй Ли некоторой группы (групускулы) Ли.
ГРУППАЛГЕБРЫ ЛИ
133
Пусть снова G — произвольная аналитическая труп*
па (или групускула) Ли, a g = !(<?)—ее алгебра Ли.
Поскольку экспоненциальное отображение ехр является
диффеоморфизмом в точке 0 е д, оно позволяет пере-
нести (по формуле X-Y = ехр-1 (ехр X- ехр У)) умноже-
ние, имеющееся в G, в некоторую окрестность нуля ал-
гебры д. Тем самым линеал д превращается в трупу скулу
Ли, изоморфную (в категории GR-LOC) групускуле G
(изоморфизм осуществляется отображением ехр).
Таким образом, в линейном пространстве д кроме
линейных операций и операции Ли X, Y>—>[X,Y] имеет-
ся еще одна операция («умножение»), относительно ко-
торой пространство д является групускулой Ли. Эта
операция связана с операциями, имеющимися в алгебре
Ли д, формулой
X-Y = 3(X, У).
Построенный объект заслуживает специального опреде-
ления.
Определение 2. Группалгеброй Ли мы будем назы-
вать конечномерное линейное пространство g над по-
лем R, являющееся одновременно алгеброй Ли (с умно-
жением [х, у]) и групускулой Ли (с умножением ху),
в которой произведение ху определено тогда и только
тогда, когда ряд Кемпбелла — Хаусдорфа О (х, у) схо-
дится, и в этом случае совпадает с его суммой:
хг/ = О(х, у).
Из формул (11) и (12) непосредственно следует, что
для любого (достаточно близкого к нулю) элемента X
произвольной группалгебры Ли g дифференциалы (dLx)0
и (4ZRy)0 в точке 0 сдвигов Lx-. У ь-^«3(Х, У) и
X >О(ЙГ, У) определяются формулами
_Яя х ?’ad х
(dLx)0 = - ~Л~-Е *
Замечание 2. Вторая из этих формул нами фак-
тически уже доказана другим методом в лекции 4
(см. следствие 1 предложения 3 лекции 4).
Отображение д—>1) группалгебр Ли называется гомо-
морфизмом, если оно представляет собой их гомомор-
физм как алгебр Ли (а потому и как групускул Ли).
134
КВИБАЛЕНТНОСТЬ КАТЕГОРИЙ
Ясно, что все группалгебры Ли и все их гомомор'
физмы образуют категорию. Мы будем эту категорию
обозначать символе?.! GRIE.
Согласно сказанному выше каждой групускуле Ли G
мы можем отнести некоторую группалгебру Ли, пере-
неся с помощью экспоненциального отображения ехр
умножение на G в д. Эту группалгебру Ли мы будем
обозначать символом I'(G). Ясно, что соответствие
G<—>T(G) представляет собой некоторый функтор
Г: GR-LOC-> GRIE.
Мы этот функтор также будем называть функтором Ли.
Рассмотрим теперь функтор игнорирования
I: GRIE-* GR-LOC,
действие которого состоит в отбрасывании (игнориро-
вании) в каждой группалгебре Ли ее структуры ал-
гебры Ли.
На первый взгляд кажется, что функторы V и /
взаимно обратны. Однако это неверно. Действи-
тельно, для произвольной групускулы Ли G групускула
(Z о Г) G является не групускулой G, а построенной выше
групускулой на линеале 1(G), отличной, вообще говоря,
от групускулы G. Теги не менее, как мы видим, послед-
няя групускула естественно изоморфна групускуле G
(соответствующим изоморфизмом является экспонен-
циальное отображение ехр). На языке теории функто-
ров это означает, что функтор 1 °V изоморфен тождест-
венному функтору Id категории GR-LOC:
I ° I Id.
Аналогично функтор V ° I изоморфен тождественному
функтору Id категории-GPJ.'P-.
V o
Действительно, группалгебре Ли g функтор V ° I со-
поставляет группалгебру, совпадающую как линейное
пространство с касательным пространством То(§). Но
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КАТЕГОРИИ
135
мы знаем, что между линейными пространствами g и
То(й) существует естественный изоморфизм
I- S^To(g).
Покажем, что I является изоморфизмом группалгебр Ли,
По определению изоморфизм I переводит произволь-
ный элемент хед в касательный вектор кривой h—>tx
в точке 0. Поскольку(tx) • (sx) = ^{tx, sx) = «31 fix, sx) =
= (Z + s) x, эта кривая является однопараметрической
подгруппой групускулы Ли /д, и потому (см. предложе-
ние 1 лекции 4) для любых двух элементов х, у <= g
вектор [Их,/у] представляет собой касательный вектор
в точке 0 к кривой
t (л/7х")(-Д у) (VFх) 1 (-Ду) \
Но поскольку (см. доказательство предложения 1 лек-
ции 4)
(Vz x)(V^Z/)(Vz *) \-Д у) ' = 1[х,у] + оД\
эта кривая имеет в точке 0 тот же касательный вектор,
что и кривая t*—> Z(x, у]. Следовательно,
[Zx, Zi/]=Z[x, у],
так что / действительно является изоморфизмом алгебр,
а следовательно, и группалгебр Ли. □
Если функторы Е:С—>D и G: D—>С, где С и
D — некоторые категории, обладают тем свойством, что
составные функторы F ° G и G ° F изоморфны тождест-
венным функторам (категорий D и С соответственно),
то говорят, что функторы F и G квазиобратны. Катего-
рии С и D, для которых существуют квазиобратные
функторы С—> D и D—>С, называются эквивалентными.
Таким образом, нами доказано следующее предло-
жение:
Предложение 3. Категории GR-LOC и GRIE эквива*
лентны. Эквивалентность осуществляется квазиобрат~
ними функторами I' и /. □
Отбрасывая в группалгебре Ли структуру групуску*
лы, мы получаем функтор игнорирования
J: GRIE^ ALGf-LIE,
136
ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИИ
композиция J °V которого с функтором Ли У: GR-
LOC—>GR IE является не чем иным, как интересующим
нас в первую очередь функтором Ли
I: GR-LOC —> ALGf-LIE
для групускул.
Предложение 4. Для функтора J существует обратный
функтор
Г1: ALGf-LIE—> GRIE.
Доказательство. Пусть g— произвольная ал-
гебра Ли (умножение в которой обозначено символом
[х, у]). Если группалгебра J~lg существует, то как ал-
гебра Ли она совпадает с алгеброй д, а умножение в ней
связано с операциями в g формулой
xz/ - О (х, у).
Поэтому для доказательства предложения 3 достаточно
доказать, что для любой алгебры Лид эта формула оп-
ределяет в g умножение, удовлетворяющее аксиомам
групускулы Ли. В свою очередь, для этого достаточно
доказать, что:
а) в алгебре g существует такая окрестность нуля U,
что при х, у s V ряд О (х, у) сходится;
б) отображение UXU-+& определенное соответ-
ствием х, г/1—О (х, у), вместе с отображением х>—>
।—>Х“1 = —х обладает свойствами, перечисленными в
определении 1 лекции 4.
Утверждение а) мы выше уже доказали, а для дока-
зательства утверждения б) заметим сначала, что в
алгебре формальных рядов от трех некоммутирующих
неизвестных х, у, z имеет место формула
(e'e^) ez = ех !,eyez)
(непосредственно проверяющаяся прямой выкладкой).
Поскольку ряд Кэмпбелла — Хаусдорфа Л(х, у) пере-
ходит при подстановке [х, у]*—>ху— ух в ряд ln(exev),
отсюда непосредственно вытекает, что умножение х, yi—>
।—>О(х, у) ассоциативно (если только все нужные ряды
сходятся). Аналогично, поскольку 0(0, х) = О(х, 0) =
умножение х, уч—> О (х, у) обладает единицей 0, а по-
ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ЛИ
137
скольку ехе~х — 1, обратным элементом х-1 относитель-
но этого умножения является элемент —х.
Предложение 4 тем самым полностью доказано. □
Поскольку функтор / квазиобратен функтору V, функ-
тор Е = I ° J~l квазиобратен функтору Ли l = Та-
ким образом, мы достигли нашей главной цели: нашли
функтор, если не обратный, то квазиобратный функ-
тору Ли GR-LOC-*-ALG/-LIE.
Все полученные результаты мы можем суммировать
в следующей окончательной теореме:
Теорема 1. Имеет место следующая коммутативная
диаграмма функторов
в которой функторы J и J~l обратны друг другу, а функ-
торы I и Е, а также функторы V и I квазиобратны. □
Следствие. Категории GR-LOC, ALGf-LIE и GRIE
эквивалентны. □
По существу, теорема 1 была известна еще Софусу
Ли.
Ли изложил свои результаты в виде шести теорем:
трех прямых и трех обратных. Ближе всего к теореме 1
его третья обратная теорема. На этом довольно шатком
основании теорему 1 иногда называют третьей тео-
ремой Ли.
Подчеркнем, что в теореме 1 групускулы Ли пред-
полагаются аналитическими. Случай групускул, принад-
лежащих классу гладкости Сг, 2 г еС со мы рассмот-
рим в следующей лекции.
Лекция 7
ПОДГРУПУСКУЛЫ И ПОДАЛГЕБРЫ.— ИНВАРИАНТ-
НЫЕ ПОДГРУПУСКУЛЫ И ИДЕАЛЫ.— ФАКТОРГРУ-
ПУСКУЛЫ И ФАКТОРАЛГЕБРЫ. — СВЕДЕНИЕ ГЛАД-
КИХ ГРУПУСКУЛ К АНАЛИТИЧЕСКИМ. — СИСТЕМЫ
ПФАФФА; — ПОДРАССЛОЕНИЯ КАСАТЕЛЬНЫХ РАС-
СЛОЕНИИ. — ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕ-
НИЯ. — ГРАФИКИ СИСТЕМ ПФАФФА. — ИНВОЛЮ-
ТИВНЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ. — ПОЛНАЯ УНИВА-
ЛЕНТНОСТЬ ФУНКТОРА ЛИ. — ИНВОЛЮТИВНОСТЬ
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПОДРАССЛОЕНИИ. — ВПОЛНЕ
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ.
Теорема 1 предыдущей лекции полностью сводит тео-
рию (аналитических) групускул Ли к теории алгебр Ли.
Мы проиллюстрируем это на примере подгрупускул,
и факторгрупускул.
Определение 1. Подгрупускулой групускулы Ли G
называется такое ее подмножество Н, что:
1) если для элементов a, b <= Н определен элемент
ab-1, то ab-1 Н.
2) существует такая окрестность U единицы е гру-
пускулы G, что пересечение U f) Н замкнуто в U (ус-
ловие локальной замкнутости).
Заметим, что из этого определения непосредственно
еще не вытекает, что подгрупускула Н сама является
групускулой Ли (хотя, как мы увидим ниже, на самом
деле это так).
Пусть g — произвольная алгебра Ли и I) — некоторая
ее подалгебра. Применяя функтор Е = I о мы по ал-
гебре Ли g можем построить групускулу Ли £д, а по
.алгебре Ли f) — групускулу Ли Е$. При этом, согласно
ПОДГРУПУСКУЛЫ И ПОДАЛГЕБРЫ
139
построению, EI) будет подмножеством групускулы Eq и,
более того, ее подгрупускулой (ибо если х, у <= р,. то
«Эге(х, У) *= Для любого .я 5? 1).
Пусть теперь G — произвольная групускула Ли и
g = I(G)— ее алгебра Ли. При естественном изомор-
физме Eq ж G каждой подгрупускуле групускулы Eq,
имеющей вид Е?„ где 5 — подалгебра алгебры д, отве-
чает некоторая подгрупускула групускулы G. В некото-
рой окрестности единицы е е G эта подгрупускула
совпадает с образом ехр Г) подалгебры Ь при экспонен-
циальном отображении ехр, так что, в соответствии с
нашим соглашением не различать эквивалентные гру-
пускулы, мы можем обозначать ее символом ехр о.
Подгрупускула ехр V групускулы G, отвечающая
подалгебре Yt) алгебры g — 1(G); обладает тем свойством,
что в некоторой системе нормальных координат х1, ...
..., хп (а именно, в системе, определенной базисом ал-
гебры д, первые т векторов которого составляют базис
подалгебры f)) сна задается линейными уравнениями
(1) — 0, .хп = 0.
О подгрупускулах, обладающих этим свойством, мы бу-
дем говорить, что они локально плоски. Таким образом,
для того чтобы подгрупускула Н cz G имела вид ехр I),
необходимо, чтобы сна была локально плоска. Легко,
впрочем, видеть, что это необходимое условие также и
достаточно, так что подгрупускула Н групускулы Ли G
тогда и только тогда отвечает некоторой подалгебре ал-
гебры. Ли g = I(G) (и потому, в частности, сама яв-
ляется групускулой Ли), когда она локально плоска.
Действительно, пусть I) — подпространство алгебры д,
натянутое на первые пг векторов базиса, определяю-
щего нормальные координаты, в которых Н задается
уравнениями (1). Тогда для любого X е () и любого t
(с достаточно малым |f|) точка рх(г)=ехр/Х лежит
в Н. Поэтому, если X., Уе то
и, значит, вектор
IX, У]
_ ДР (*)
dt
i=0
140
ПОДГРУПУСКУЛЫ И ПОДАЛГЕБРЫ
(см. предложение 2 лекции 4) лежит в I). Следовательно,
5 является подалгеброй алгебры Ли д. Для завершения
доказательства остается заметить, что групускулы Н и
Е$ очевидным образом эквивалентны. □
Мы видим, в частности, что для локально плоской
подгрупускулы Н подалгебра I) cz I (G) состоит из всех
элементов Хе 1(G), для которых ехрЛеЯ при лю-
бом t (с достаточно малым |£|). Эта подалгебра есте-
ственным образом отождествляется с алгеброй Ли 1(H)
подгрупускулы Н (рассматриваемой как групускула
Ли), и мы будем ее обозначать тем же символом 1(H).
Таким образом, для любой групускулы Ли G между
множеством всех подалгебр алгебры Ли $ = 1(G) и мно-
жеством всех локально плоских подгрупускул групу-
скулы G имеет место биективное соответствие, в кото-
ром подалгебре 1) е g соответствует подгрупускула
ехр 5, а подгрупускуле Н е G — подалгебра 1(H).
Это соответствие мы будем называть соответствием
Ли.
Замечательный факт, впервые доказанный Э. Кар-
таном, состоит в том, что условие локальной плоскост-
ности подгрупускул в этом утверждении на самом деле
не нужно.
Предложение 1 (теорема Картана). Каждая
подгрупускула Н произвольной групускулы Ли G ло-
кально плоска и, значит, в алгебре Ли g — 1(G) сущест-
вует такая подалгебра, 5, что
Н = ехр§.
В частности, Н является групускулой Ли.
Доказательство. Пусть 1) — совокупность всех
элементов X е д, обладающих тем свойством, что
ехр tX е Н для любого t (с достаточно малым ]/|).Мы
докажем, что 1) является подалгеброй алгебры g и что
ехр f) = Н. Доказательство мы разобьем в ряд лемм.
Лемма 1. Если для элемента Хед существует такая
сходящаяся к X последовательность {Хг}, что для не-
которых /t-eR, стремящихся к нулю при i^-oo, имеет
место включение
ехр/iXt е Н,
то X е К
ПОДГРУПУСКУЛЫ И ПОДАЛГЕБРЫ
141
Доказательство. Поскольку Дехр(—ЛХ) ='
^ЦехрСгЭД-^Я, мы без ограничения общности
можем считать, что ti > 0. Пусть t > 0 — такое число,
что элемент ехр йе G определен, и пусть
ki(t) — \4~ 1 Спелая часть от .
L * j J . \ Ч /
Так как —----1 <Z k{ (t) , то lim tikt (t) — t, и потому
z-»oo
lim exp (tiki (t) — exp tX.
t-^oa
Ho
exp (tiki (t) X£) = (exp tiXi)*t(i) g= Я,
а подгрупускула Я по условию локально замкнута. Сле-
довательно, ехр tX sH и, значит, ле?. □
Лемма 2. Подмножество I) cz g является подалгеброй.
Доказательство. Так как exp(Z(sX)) =
= ехр ((ts)X), то для любого X <= р и любого seR
имеет место включение (ибо t мы всегда можем
выбрать достаточно малым).
Пусть X, Уе§. Тогда ехр^(/Х, tY) =ехр /Х-ехр tY^.H,
т. е. ехр f (X -j- Y + Zt) e Я, где Zt — 0(f). Произвольно
выбрав сходящуюся к нулю последовательность {ti},
положим Х( — X + Y -j- Zt . Последовательность {Хг}
удовлетворяет (по отношению к элементу X + Y) всем
условиям леммы 1. Поэтому, согласно этой лемме,
i + у ~ I).
Аналогично, так как
ехр tX • ехр tY • (ехр tX)~l (ехр /У)-1 =
= ехр/2([Х, У] + 0(/))еЯ,
то [X, У] GE %. □
Пусть теперь I — произвольное подпространство ал-
гебры Ли д, дополнительное к подалгебре р, т. е. такое,
что
(2) g = ^©f.
Лемма 3. В f существует такая окрестность V нуля
0, что
ехр У ф Н
ни для одного отличного от нуля элемента Уе!.
142
ПОДГРУПУСКУЛЫ И ПОДАЛГЕБРЫ
Доказательство. Выбрав в t некоторую норму
|] || (скажем, евклидову), рассмотрим множество В всех
элементов У е J, для которых 1 еС II У|| 2. Если лемма 3
неверна, то в алгебре g существует такая последователь-
ность Уг—>0, что Yi ge г и ехр У) <= Я. Подберем целые
числа т так, чтобы Xi = mYi^B (ясно, что это всегда
возможно). Поскольку В компактно, можно, без огра-
ничения общности, считать, что последовательность {Ха}
сходится. Пусть X — ее предел. Поскольку последова-
тельность {Xi} удовлетворяет всем условиям леммы 1
(с t; = 1/дг), элемент X (очевидно, отличный от нуля)
принадлежит подаглебре Ь- Но это невозможно, ибо
X а П f = 0. Следовательно, утверждение леммы 3
неверным быть не может. □
Лемма 4. В групускуле Ли G имеет место равенство
Н =ехр
Доказательство. Так как по построению
ехр!)с;Я, то нам нужно лишь показать, что имеет ме-
сто обратное включение. При этом без ограничения общ-
ности мы можем предполагать, что групускула G
является канонической окрестностью единицы, отвечаю-
щей разложению (2) алгебры g (см. определение 4 лек-
ции 5). Более того, мы .можем считать, что G является
образом при отображении
Х + У ехр X • ехр У, X €=$, У <= f,
окрестности нуля алгебры д, имеющей вид U ф V, где
Я —некоторая окрестность нуля в I), а V—окрестность
нуля в J, предусмотренная леммой 3. Но в этих усло-
виях включение ехр 5 => Н очевидно, поскольку, если
ехр А' • ехр У еЯ, то ехр У <= Н (ибо ехрХ е Н) и, значит,
У = 0 в силу леммы 3. □
Тем самым предложение 1 полностью доказано. □
Следствие. Соответствие Ли является естественным
биективным соответствием между множеством всех под-
групускул групускулы Ли G и множеством ' всех подал-
гебр алгебры Ли Q = 1(G). □
Заметив, что оба эти множества являются по отно-
шению к включению решетками (структурами), мы не-
медленно получим, что соответствие Ли представляет
собой изоморфизм этих решеток.
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУПУСКУЛЫ И ИДЕАЛЫ J43
Определение 2. Подгрупускула Н групускулы Ли G
называется инвариантной, если aba-1 е Н для любых
элементов а е G, b s Н, для которых элемент aba-1
определен.
Определение 3. Подалгебра I) алгебры Ли g назы-
вается идеалом, если [X, У] е § для любых элементов
leg, У е
Предложение 2. В соответствии Ли инвариантным
подгружу скулам групускулы Ли G отвечают идеалы ал-
гебры Ли g = l(G), а идеалам — инвариантные подгру-
try скулы.
Доказательство. Пусть I)— идеал алгебры Ли
д—1(G), и пусть /ед, УеЬ. Из того, что [X, У]е^,
непосредственно вытекает, что «3,. (X, У) <= I) при любом
п > 1, и потому
□ (X, у) = X + У*,
где У* — У + X (X, Y) <= I) (если, конечно, ряд О (X, У)
1
сходится). Поскольку [zY 4- У*, — X] — [X, У*] <= I; и, зна-
чит, (X + У*, — X) е 0 при п > 1, отсюда следует, что
О Q (X, У), —X) = X + У* — X + X «X (х + Y\ —X) е=
п> 1
и потому
ехр X • ехр У • (ехр X)-1 — ехр «5 (О (X, У), — X) е ехр I).
Следовательно, подгрупускула ехр!) инвариантна.
Обратно, пусть Н = ехр I) — произвольная инвариант-
ная подгрупускула групускулы Ли G. Тогда для "любых
элементов Хед, У е I) и любого t (с достаточно ма-
лым |z|) будет иметь место включение
ехр tX • ехр tY • (ехр /Х)-1 <е Н,
а потому и включение
ехр /X • ехр tY • (ехр /X)-1 - (ехр гУ)-1 —
= ехр t2 ([X, У] 4- О (0) е Н,
из которого посредством уже известного нам рассуж-
дения (см. выше доказательство леммы 2) вытекает,
144
ФАкТОРГРУПУСкУЛЫ И ФАКТОРАЛГЕБРЫ
чю [л, Следовательно, подалгебра Ь = 1(Я) яв-
ляется идеалом. □
Пусть Н — произвольная подгрупускула групускулы
Ли G. Назовем элементы a, b е G сравнимыми по мо-
дулю Н, если a~lb е Н. Ясно, что на достаточно малой
окрестности единицы групускулы G это отношение яв-
ляется отношением эквивалентности, классами эквива-
лентности которого являются смежные классы аН (точ-
нее, пересечения этих классов с окрестностью единицы).
Пусть G/H—множество этих смежных классов.
Разложив алгебру Ли g = L(G) в прямую сумму
S = Ъ © J алгебры Ли Ь подгрупускулы Я и некоторого
подпространства t и рассмотрев канонические коорди-
наты х1, ..., хп, определенные этим разложением, мы
немедленно получим, что смежные классы аН е G/Н
задаются в координатах х1, ..., хп уравнениями вида
(3) хт+х — а1, хп — ап~т (п — dim G, m = dimH),
где а1, ап~т — произвольные (достаточно малые по
абсолютной величине) вещественные числа. Это пока-
зывает, что, сопоставив смежному классу аН точку
(а1, ..., ап~т) е мы получим некоторое биектив-
ное отображение множества G/Н на открытое подмно-
жество пространства т. е. получим карту.
Поскольку при другом выборе дополнительного подпро-
странства I получается, как легко видеть, согласован-
ная карта, тем самым на множестве G/Н определяются
топология и гладкость, относительно которых оно яв-
ляется гладким многообразием (диффеоморфным неко-
торому открытому подмножеству пространства Rn~m и
потому имеющим размерность п— tri).
Если подгрупускула Н инвариантна, то формула
аН-ЬН — аЬН корректно определяет в окрестности
точки Н = еН многообразия G/Н некоторое умножение,
относительно которого оно, очевидно, является групу-
скулой Лис единицей Н.
Определение 4. Построенная групускула Ли G/Н на-
зывается факторгрупускулой групускулы Ли G по ин-
вариантной подгрупускуле Н.
Пусть теперь Ь — идеал некоторой алгебры Ли д.
Рассмотрим факторпространство g/I), элементами кото-
ФАКТОРГРУПУСКУЛЫ И ФАКТОРАЛГЕБРЫ
145
рого являются смежные классы х + о, х<=д. Очевидно,
что формула
[х + I), у 4- 5] = [х, у] 4- 5
корректно определяет на факторпространстве g/Ь опера-
цию [ , ], относительно которой это факторпростран-
ство является алгеброй Ли.
Определение 5. Алгебра Ли д/Ь называется фактор-
алгеброй алгебры Ли д по идеалу Ь-
В частности, для любой инвариантной подгрупускулы
Н групускулы Ли G определена факторалгебра
1(G)/1(Н) алгебры Ли 1(G) по ее идеалу 1(H). Срав-
ним эту факторалгебру с алгеброй Ли l(G/H) фактор-
групускулы G/H.
Предложение 3. Алгебры Ли l(G/H) и 1(G)/1(Н)
естественно изоморфны-.
I (G/H) « I (G)/l (Я).
Доказательство. Применив к алгебрам Ли
l(G/H) и l(G)/l(H) функтор Е: ALGrLIE->GR-LOC,
мы, с одной стороны, получим групускулуЛи Е (l(G/H)),
естественно изоморфную групускуле G/Н, а с другой
стороны, групускулу Ли Е (1(G)/I (Н)). Поэтому пред-
ложение 3 равносильно утверждению, что имеет место
естественный изоморфизм
G/H ш Е (X(G)fi(H)).
В этой форме мы его и будем доказывать.
Пусть g — 1(G) и Ь = 1(Я). Элементами групускулы
Е (1(G)/1(H)) = Е ($/§) являются, по определению, эле-
менты факторалгебры g/Ь, т. е. смежные классы X 4- Ь
алгебры д по идеалу Ь. Покажем, что экспоненциальное
отображение ехр: д—> G каждый такой смежный класс
отображает на некоторый смежный класс аН групу-
скулы G по инвариантной подгрупускуле Н = ехр Ь-
Действительно, как мы уже знаем, для любых доста-
точно близких к нулю элементов X е д, У G 5 имеет ме-
сто равенство
«Э (X, Y) = X 4- У*,
где У* <= (). При этом
У* — У 4~ £ (X, У),
1
146
СВЕДЕНИЕ ГЛАДКИХ ГРУПУСКУЛ К АНАЛИТИЧЕСКИМ
откуда непосредственно вытекает, что при любом фик-
сированном X отображение У->У* биективно (в неко-
торой окрестности нуля). Следовательно, отображение
X + У*н->ехр (X + У*) = ехр □ (Х,У) = exp X • ехр У
каждый смежный класс X 4- § отображает на смежный
класс ехр X-Н.
Построенное отображение многообразия Е(дД) на
многообразие G/H, очевидно, является в единице диф-
феоморфизмом. Поэтому для завершения доказатель-
ства предложения 3 нам остается лишь показать, что
произведение оно переводит в произведение. Но это оче-
видно, поскольку для любых элементов Xi, Х2 е 8»
У1, У2 е 1; имеет место равенство
(Xi 4- УТ) • (Х2 4- УХ) = О (Xi 4- И, Х2 4- У~) = О (Хъ Х2)4-У*,
где У* s и потому
(Xi 4- У*) • (Х2 4- Уг) ехр О (Xi, Х2) • ехр У* a Ji • а2Н,
где «! — expXj, а2=ехрХ2. □
Подытожим полученные результаты в следующей
теореме:
Теорема 1. Для каждой групускулы, Ли G соответ-
ствие Ли является естественным биективным соответ-
ствием между решеткой всех подгрупускул групускулы
Ли G и решеткой всех подалгебр алгебры. Ли д = !(€?).
В этом соответствии инвариантным подгрупускулам
отвечают идеалы алгебры., g и, наоборот, идеалам — ин-
вариантные под групускулы.
Алгеброй Ли каждой факторгрупускулы групускулы
G является факторалгебра алгебры Ли 1(G) по соот-
ветствующему идеалу. □
Как мы уже неоднократно подчеркивали, все резуль-
таты последних лекций относились к аналитически м
(т. е. класса Са) групускулам. Оказывается, что в общ-
ности мы при- этом фактически нисколько не проиграли.
Чтобы дать этому утверждению точную формулировку,
мы, считая фиксированным некоторый класс гладкости
С' (с г 2), будем называть гладкими групу скулами
групускулы, являющиеся многообразиями класса Сг, а
аналитическими гр упу скулами—групускулы класса С®4
СВЕДЕНИЕ ГЛАДКИХ ГРУПУСКУЛ К АНАЛИТИЧЕСКИМ
147
Тогда будет иметь место следующая теорема, показы-
вающая, что в теории групускул Ли ограничение анали-
тическими групускулами общности на самом деле не
уменьшает:
Теорема 2. Каждая гладкая групускула изоморфна
(в категории гладких групускул) некоторой аналитиче-
ской групускуле.
Доказательство этой теоремы основывается на од-
ном интересном и самом по себе свойстве функтора Ли,
которое нам и будет нужно в первую очередь обсудить.
Пусть С и D—две категории и F-.C D—произ-
вольный функтор. Для любых двух объектов А, В ка-
тегории С функтор F задает некоторое отображение
Могс(А, В)—> M.orD (FA, FB)
множества всех морфизмов А —> В категории С в мно-
жество всех морфизмов FA~>FB категории D. Гово-
рят, что функтор F зполне унивалентен, если для любых
А и В это отображение биективно, т. е. если для лю-
бого морфизма р: FA^FB существует один и только
один морфизм а: А->В, для которого Fa = р.
Ясно, что если функтор F вполне унивалентен, то
объекты А и В категории С тогда и только тогда изо-
морфны, когда изоморфны объекты FA и FB катего-
рии D.
В следующем предложении под GR-LOC понимается
категория гладких групускул Ли.
Предложение 4. Функтор Ли GR-LOCALQ-LIE
вполне унивалентен.
В частности, групускулы. Ли тогда и только тогда
изоморфны, когда изоморфны их алгебры Ли.
Из этого предложения теорема 2 вытекает мгновен-
но. Действительно, пусть G— произвольная гладкая
групускула, a g = I(G)— ее алгебра Ли. Построенный
в предыдущей лекции функтор Е сопоставляет алгебре
Ли g некоторую аналитическую групускулу Вд, алгебра
Ли I(Bg) которой изоморфна алгебре д. Поэтому эта
групускула изоморфна групускуле G. □
Заметим, что для аналитических групускул предло-
жение 4 тривиальным образом справедливо, поскольку
любой квазиобратимый функтор F: С —> D вполне унива-
лентен. Действительно, если G: D —С— квазиобратный
148
СИСТЕМЫ ПФАФФА
функтор, то для любого морфизма а: А В имеет ме-
сто коммутативная диаграмма
А----~>GFA
1 бТЪг.
В----
горизонтальные стрелки которой являются изоморфиз-
мами. Поэтому, если Fa = Ар, то
а = s”1 о GFa ° ел = ед1 о (?Ар о е. = р.
Таким образом, если для морфизма у: FA-+-FB сущест-
вует морфизм а: А-*-В, для которого Fa —у, то этот
морфизм единствен. Аналогично доказывается, что для
морфизма a-. GS—^GT, где S, Т—-объекты категории D,
может существовать только единственный морфизм
у: S7\ для которого Gy — а. С другой стороны, для
любого морфизма у: FA -> FB морфизм а = s~1 ° Gy ° еА
обладает тем свойством, что GFa — sB° а° g-1 =
— Gy. Поэтому Fa = y. □
Доказательство предложения 4 основывается на тео-
рии уравнений в полных дифференциалах (уравнений
Пфаффа). Мы начнем с того, что изложим эту теорию
в инвариантной форме, не использующей координат.
Пусть Р и Q — два гладких многообразия.
Определение 6. Системой Пфаффа на Р в Q назы-
вается функция
f. (р, q)^f[p, g),
сопоставляющая каждой точке (р, q) <= Р X Q некоторое
линейное отображение
ftp, q): Tp(P)^Tg(Q),
гладко зависящее от р и q.
Если х1, ..., хп и у\ ..., ут— локальные коорди-
наты в многообразиях Р и Q соответственно, то в ассо-
циированных координатах на линейных пространствах
ТР(Р) и TP(Q) отображение f{p,q) будет задаваться
п X ш-матрицей, элементы которой являются функ-
СИСТЕМЫ ПФАФФА
149
циями координат х\ ..., хп и у1, ..., ут. Требование
гладкой зависимости отображения f(p, q) от р и q озна-
чает, что эти функции гладки.
Замечание 1. В более инвариантных терминах
понятие системы Пфаффа определяется с помощью
понятия индуцированного расслоения. Мы
не будем напоминать это понятие (оно нам больше
нигде не понадобится) и лишь заметим, что система
Пфаффа в смысле определения 6 есть не что иное, как
отображение над PXQ расслоения, индуцированного
из касательного расслоения Т (Р) проекцией Р X G -+
—*~Р, в расслоение, индуцированное из касательного
расслоения Т (Q) проекцией PXQ—>Q. Этот подход
позволяет не объяснять требование гладкой зависимо-
сти отображений f(p, q) от р и q.
Определение 7. Интегралом системы Пфаффа f на
открытом множестве U р называется такое отобра-
жение <р: U Q, что
f(u, <px) = (d<p)a
для любой точки и <= U. Система Пфаффа f называется
интегрируемой, если для каждой точки (р0, q0) <= Р X Q
существует такой интеграл <р: U^O системы f, опреде-
ленный на некоторой окрестности U точки р0 в много-
образии Р, что <р (ро) = q0.
Лемма 1. Любые два интеграла <р: U —>- Q и ср':
U'^Q, определенные на окрестностях U и U' точки р3
и такие, что ср (р0) = <р'(ро), совпадают на некоторой
окрестности точки р0.
Мы докажем эту лемму ниже.
Чтобы получить удобные условия интегрируемости
системы Пфаффа (и заодно доказать лемму 1), целе-
сообразно несколько обобщить задачу.
Пусть М — произвольное гладкое многообразие и
л: Т — его касательное расслоение.
Определение 8. Векторное расслоение Л1: Е-+-М на-
зывается подрасслоением касательного расслоения л:
Т(Л4)->Л4, если Е сз Т (М), отображение вложения
£'->Т(Л4) гладко и Л1 = л Подрасслоение однознач-
но определено заданием многообразия Е, и, как правило,
150
ПОДРАССЛОЕНИЯ КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИИ
мы будем его отождествлять с Е. Слой яр1 (а) рас-
слоения Е над точкой а е М мы будем обозначать
символом Еа. Он является подпространством ТЯ(Л1)П^
касательного пространства Та(М), размерность кото-
рого одна и та же для всех а. Мы будем обозначать эту
размерность символом т.
Для каждого открытого множества U gz М опреде-
лено векторное расслоение яр1 (£/)—> U с теми же слоя-
ми, что и расслоение Е. Оно является подрасслоением
касательного расслоения Т (О7)—>• U. Мы будем обозна-
чать это подрасслоение символов Д|у и называть огра-
ничением подрасслоения Е на U.
Согласно этому определению Т (М) | = Т (Д).
Пусть W—произвольное m-мерное многообразие и
w0— его точка. Как правило, W будет у нас окрест-
ностью точки Wo в некотором многообразии (например,
Rm), но в принципе W может быть любым.
Определение 9. Гладкое отображение Ф: на-
зывается интегральным по отношению к под о ас слоению
£ с Т (М), если в любой точке w^W его дифференциал
(t/Ф)^ Тш(Г)->Та(^ а = Фю,
является мономорфизмом на слой Еа подрасслоения Е.
В соответствии с общепринятыми в теории множеств
обозначениями мы будем писать Ф: (W, о>о)->(М, ай),
если а0 = Фшо.
Определение 10. Подрасслоение Е касательного рас-
слоения Т (/И) называется интегрируемым, если для лю-
бой точки существует отображение Ф: (W, w0) —>
—>(/И, а0), интегральное по отношению к Е.
Лемма 2. Если подрасслоение Е интегрируемо, то
для любой точки ао М и любых интегральных по от-
ношению к Е отображений Ф: (W, щэ) —>(М, п0) и
Ф': (W', Wo) —>• (Af, а0) существуют в многообразиях W и
W' такие окрестности V и V' точек w0 и и такой
диффеоморфизм р: V' —> V, что Ф' = Ф ° р на V'.
Мы докажем эту лемму позже.
Пусть f — произвольная система Пфаффа на Р в Q,
и пусть /VI = Р X Q. Для любой точки а = (р, q) <= М
ГРАФИКИ СИСТЕМ ПФАФФА
151
рассмотрим график отображения f(p,q)-. i р(Р)->
—> Ta(Q), т. е. подмножество Еа прямой суммы
Ta(/M) = Tp(P)®THQ),
состоящее из таких векторов (А, В), А <= Тр(Р)', Be
s T?(Q), что
B = f(p, q) А.
Поскольку отображение f(p,q) линейно, это подмно-
жество является подпространством.
Мы положим
Множество Е является подмножеством в Т (ЛТ)' и
ограничение Л1: Е^М на Е проекции я: Т’(Л1)->ЛТ об-
ладает тем свойством, что лр3 (а) = Ел для любой точки
ае=М.
Если (t/XK /г X &)— карта на М, являющаяся про-
изведением карт (U, k) и (У, k) на Р и Q соответственно,
и если
W = л~3 (U X V) = U Еа,
а ее и х V
то отображение
1У-*(£7Х V)XRm,
т = dim Р,
определенное формулой
(А, В) ь-^(л(А, В), НА),
где h' Тр(Р) Rm, р = лА, — координатный изомор-
физм, отвечающий гомеоморфизму Н, очевидно, будет
биективным отображением. Обратное отображение Н
переводит точку (а, х), где а = (р, q) е U X V, а * е Rm,
в вектор (fi.~lx, f (р, q)/i~1x) и потому обладает тем свой-
ством, что для каждой точки отображение
х’>—> Н (а, х) является изоморфизмом линеала R”* на
линеал Еа.
При этом, если (U',h') — другая карта на Р, а
И': {U' X V) X R'ra-* = U Еа
ae=U'XV
152
ГРАФИКИ СИСТЕМ ПФАФФА
— соответствующее отображение, то (при U fl U' 0)
для любой точки а s (£7Х V) П (U' X V) композиция
отображения х«—>Н(а, х) с отображением, обратным
к отображению х<—^ Н'(а, х), будет, очевидно, совпадать
с отображением 1г' ° /г-1: Rm—>-Rm и, значит, будет
гладко зависеть от точки а.
Все это означает, что (Е, ль М) представляет собой
векторное расслоение. Кроме того, ясно, что отображе-
ние вложения Д->Т (Л4) гладко, и, значит (поскольку
по построению jcj = л]£), это расслоение является под-
расслоением касательного расслоения Т (М).
Определение 11. Построенное подрасслоение назы-
вается графиком системы Пфаффа f.
Очевидно, что отображение <р: U —>Q тогда и только
тогда является интегралом системы Пфаффа f, когда
отображение Ф: t/->PXQ> определенное формулой
(4) Фи — (и, <ри), и s U,
является интегральным по отношению к графику Е си-
стемы f. С другой стороны, если V: W-^Py^Q — произ-
вольное отображение, интегральное по отношению к гра-
фику Е, и Vm» — (aw, tyw), где а: IV—> Р, ф: W —> Q, то
для любой точки wQ s W дифференциал (cZa)^ отобра-
жения а будет, как легко видеть, изоморфизмом, и, зна-
чит, — возможно после перехода от W к меньшей ок-
рестности точки w0 — само отображение а будет диф-
феоморфизмом многообразия W на некоторую окрест-
ность U точки ио — aw0. Тогда отображение Ф = 7» а-1:
U-> Р X Q, оставаясь по-прежнему интегральным по от-
ношению к подрасслоению £, будет уже задаваться фор-
мулой (4) (с ф = ф°а-1) и потому будет определять
интеграл <р системы Пфаффа f. Этим доказано, что си-
стема Пфаффа из Р в Q тогда и только тогда интегри-
руема, когда ее график является интегрируемым под-
расслоением касательного расслоения многообразия
PXQ.
Кроме- того, мы теперь можем (предполагая дока-
занной лемму 2) доказать лемму 1.
Доказательство леммы 1. Пусть ср: (U,u0)-^
->(Q, <?о) и ф': (£Д, Uo)-*-(Q, <7о) — Два интеграла системы
Пфаффа f, совпадающие в точке по е U П И', и пусть
ИНВОЛЮТИВНЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
153
Ф: ш—>(«, <pu) и Ф': «<—>(«, q/u) — соответствующие
отображения (4), интегральные по отношению к гра-
фику Е этой системы. Согласно лемме 2 существуют
такие окрестности У и V' точки По и такой диффеомор-
физм £: что Ф'— Ф о р на V'. Проектируя на U,
мы получаем, в частности, что $и = и для любой точки
и s V', т. е. что V' = V и ₽ = id. Но тогда <р' = q/ о р =
= q/ на V' = V, что и доказывает лемму 1. □
Пусть снова Е— произвольное подрасслоение рас-
слоения Т(М). О векторном поле Х^а(М) мы будем
говорить, что оно лежит в Е, если Ха s Еа для любой
точки a s М. Ясно, что все такие поля образуют под-
модуль ST (М) -модуля а(М). Мы будем обозначать этот
подмодуль символом а(Е).
Если расслоение Е тривиально (изоморфно расслое-
нию Л'1ХКЛ->А'1), то на М существуют такие вектор-
ные поля Xi,___, Хт, что для любой точки а s М век-
торы (Xi) а, ..., (Хт)а составляют базис пространства
Еа, и, значит, поля Xi, .. ., Хт составляют базис ЗГ(М)-
модуля а (Е), т. е. этот модуль свободен. Отсюда в силу
локальной тривиальности расслоения Е следует, что для
любого подрасслоения Е касательного расслоения Т (М)
существует такое открытое покрытие {U} многообразия
М, что для каждого элемента U этого покрытия
модуль а (Е1^) свободен.
Определение 12. Подрасслоение Е называется инво-
лютивным, если подмодуль а(Е) является подалгеброй
алгебры Ли а(7И), т. е. если [X, У] еа(£) для любых
полей л, Уе <*(•£)•
Ниже мы встретимся с ситуацией, когда подмодуль
а(Е) порождается некоторой (конечномерной) подал-
геброй g алгебры Ли а (714), т. е. любой его элемент яв-
ляется линейной комбинацией с коэффициентами из
ST(М) полей из g (в соответствии со стандартными обо-
значениями теории модулей мы будем такой подмодуль
обозначать символом ^"(M)g). Легко видеть, что в этом
случае условие инволютивности выполнено, т. е. любой
подмодуль, порожденный подалгеброй, сам является по-
далгеброй. Действительно, достаточно, очевидно, пока-
зать, что для любых полей X, Y s g и любой функции
154
ПОЛНАЯ УНИВАЛЕНТНОСТЬ ФУНКТОРА ЛИ
f е (М) поле [fX,Y] лежит в ^"(Af)g. Но так как Y
представляет собой дифференцирование, то Y о fX =
= Yf-X 4- f-Y ° X, и потому
[fX, У]. = fX о у — Y о fX = f . (X о Y — Y о X) — Yf • X =
= f-[X, y]-yf-Xe^-(M)g,
ибо [X, У]еди Yf <= ST (М). □
Предложение 5 (теорема Фробениуса)', Под-
расслоение Е тогда и только тогда интегрируемо, когда
оно инволютивно.
Прежде чем доказывать это предложение, мы при-
меним его к доказательству предложения 4.
Доказательство предложения 4. Пусть G
и И — две гладкие групускулы Ли и f: g—— произ-
вольный гомоморфизм алгебры Ли g = I(G) в алгебру
Ли $ ~1(Н). Нам надо показать, что существует го-
моморфизм ф: G —> Н групускулы G в групускулу Н,
для которого I(<p)=f, и что этот гомоморфизм един-
ствен.
С этой целью, интерпретируя f как отображение
Te(G)-+Te.(/Z), мы для любых двух элементов ае G,
Ь^Н определим линейное отображение f(a, &)s
Ta(G)-> ТДЯ) , положив
(5) f(a, b) — (dLb)eo f ° (dLa)~l,
где, как всегда, La, Lb — левые сдвиги. Ясно, что ото-
бражения f(a,b) гладко зависят от а и Ъ, т. е. состав-
ляют некоторую систему Пфаффа на G в Н.
Для любого гомоморфизма q>: G—>H групускул Ли
и любого элемента a s G имеет место соотношение
Ф ° La — Lqa ° ф (означающее попросту, что ф (ах) = фа фх),
т. е. соотношение ф = L^a ° Ф ° La1. Поэтому
(^Ф)а = (dLqa)s ° (Йф)е ° (dLa)~\
откуда следует, что если f = I (ф), т. е. f = (с?ф)е, то
(dq>)a = f(a, фа),
т. е. ф является интегралом системы Пфаффа (5), об-
ладающим тем свойством, что ф<? = е.
ПОЛНАЯ УНИВАЛЕНТНОСТЬ ФУНКТОРА ЛИ
155
Обратно, пусть для системы Пфаффа (5) сущест-
вует интеграл ф, определенный на некоторой окрестно-
сти единицы е групускулы G и такой, что <ре == е. Так
как эквивалентные групускулы мы не различаем, то без
ограничения общности мы можем считать, что интеграл
Ф определен на всей групускуле G.
Для любой фиксированной точки а е G отображе-
ние ф о La: хь->ф(ах), определенное на некоторой ок-
рестности точки е, удовлетворяет соотношению
d (ф ° Ьа)х = (£4ф)ах ° (dLa)x =г
= (dL^(ax))e о f о (dLax);1 О (dLa}x =
= (dLcp (ах))е ° f ° {dLx)~l = f(x, ф (ax)),
т. е. является интегралом системы Пфаффа (5). Анало-
гично, так как
(ЙДр (С) ° ф)х — (dLq> (а'Д- ° \d^}x —
== (а))ф° (^<р(х))е ° f ° (dLx)e =*
= (dLy {а} ф (x))s о f о (й£х)в-1 = f (х, ф (а) ф (х)),
то отображение £ф (а) ° qp: х *—» ф (а) ф (х) также является
интегралом системы Пфаффа (5). Поскольку оба интег-
рала при х = е принимают одно и то же значение ф(а)
они в силу леммы 1 совпадают в некоторой окрестности
точки е. Таким образом, в этой окрестности ф(ах) =
= ф(а)ф(х) и, значит, ф является гомоморфизмом гру-
пускулы Ли G в групускулу Ли Н. Поскольку
(йф)е = (dLs)s о f о (dLj;1 = f,
этот гомоморфизм индуцирует данный гомоморфизм f
алгебр Ли.
Тем самым доказано, что гомоморфизмы ®: G-^H
групускул Ли, индуцирующие данный гомоморфизм f:
g—>-1) алгебр Ли, это в точности интегралы системы
Пфаффа (5), для которых ф(е)= е. Следовательно, для
доказательства предложения 4 достаточно доказать, что
система Пфаффа (5) интегрируема, т. е. что интегри-
руемо подрасслоение Е касательного расслоения
Т (6ХД), являющееся графиком этой системы.
156 ИНВОЛЮТИВНОСТЬ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПОДРАССЛОЕНИИ
Слой этого графика над точкой (е, e)eGX^ яв-
ляется, очевидно, графиком f гомоморфизма f, т. е. под-
пространством пространства Те (G X Н) = Т е (G) X
X Те(Я), состоящим из пар вида (A,fA), где А^
е Те(<?). Над произвольной же точкой (а, 6)£бХЯ
слой графика получается из f воздействием линейного
оператора dL(a, ъ) = dLa X dLb.
Поэтому, если мы рассмотрим на G'X.H левоинва-
риантные векторные поля Xlt ..., Хт, значения
^i(e,e), ..., Хт(е, е) которых в точке (е, е) состав-
ляют базис подпространства f, то их значения
%i(a, &), Xт (а, Ь) в любой точке (а, 6) GX л бу-
дут составлять базис слоя графика Е над точкой (а, Ь).
-Это означает, что поля Х\, ..., Хт составляют базис
&~\Оус,Н')-модуля а(Е) (так что этот модуль свободен).
Чтобы переформулировать это утверждение в более
инвариантных терминах, мы заметим, что, являясь гра-
фиком гомоморфизма алгебр Ли, подпространство f ал-
гебры Ли l(<? X И) cz a(G X Н) будет подалгеброй этой
алгебры, а значит, и всей алгебры Ли a(G X Н). В ин-
терпретации алгебры l(GX^) как алгебры левоинва-
риантных векторных полей базис подалгебры ( будут
составлять как раз поля ..., Хт. Поэтому подмо-
дуль ST(G X И)-модуля a(GX^)> имеющий базис
Х\, ..., Хт, — это в точности подмодуль X#)f,
порожденный подалгеброй f. Но выше было замечено,
что подмодуль, порожденный подалгеброй, сам являет-
ся подалгеброй. Таким образом, подмодуль a (В) яв-
ляется подалгеброй алгебры а((?Х#), так что подрас-
слоение Е инволютивно. Следовательно, согласно пред-
ложению 5, оно интегрируемо. □
Теперь нам осталось лишь доказать предложение 5
(и лемму 2). Необходимость условия этого предложе-
ния доказывается без труда:
Предложение 6. Любое интегрируемое подрасслоение
Е инволютивно.
Доказательство. Пусть а0 ед М, и пусть Ф:
(W, йу0)-> (М, сг0)—интегральное по отношению к Е
отображение. Так как в любой точке w i= W отображе-
ние(йФ)га: Tw(W)~»ТФои (М)мономорфно, то для любого
векторного поля Х^а(Е) существует на W единствен-
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
157
ное поле Хф, удовлетворяющее соотношению
^Ф. = (да>.ТО.
т. е. Ф-связанное с полем X. При этом для любых двух
полей X, Y <= а (Е) поля [А', У] и [Хф, Уф] также Ф-свя-
заны, т. е. для них имеет место равенство'
И, [Хф, Уф]^.
Таким образом, [X, У]Фаи s Im (аФ)ю = £Фй). В частности,
[X, Y] s Еаа. Поскольку точка а0 е М произвольна, это
доказывает, что [X, У]еа(£). Следовательно, подрас-
слоение Е ииволютивно. □
Доказательство обратного утверждения существенно
деликатнее.
Определение 13. Подрасслоение Е касательного рас-
слоения Т (М) называется вполне интегрируемым, если
многообразие М обладает атласом, состоящим из таких
карт (U, х1,..., хп), что для любой точки a s U первые
У о Ч ( & \ ( д \ ( д ч
m векторов ..., базиса ^)а..... ^)а
пространства Т3 (Af) составляют базис пространства Еа,
т. е., иными словами, из таких, что векторные поля
<3 д
^ттг, •••> на О составляют базис (U)-модуля
° Н)-
Легко видеть, что любое вполне интегрируемое под-
расслоение интегрируемо. Действительно, пусть а0 е М,
л пусть а0 <= U, где (U, h) — (U, х1, ха) — некото-
рая карта из предусмотренного определением 13 атласа.
Пусть, далее, Sm— плоскость = xm+i (а0), ...
, хп = хп(а0) пространства Rn и W— пересечение
~Em Q h (U) (содержащее, очевидно, точку w0~h(a0)).
Наконец, пусть Ф: W М — ограничение на W обрат-
ного диффеоморфизма h~l: h(U)-^U (рассматриваемое
как отображение в М). Дифференциал (<ЗФ)® отобра-
жения Ф в произвольной точке w е W переводит стан-
дартный базис пространства Тш(1£7) = К"г в векторы
f д Ч / д \ _
i -д—г j...J -д—д- | , где а = Фэ, и потому является
\ ох. / а \ ох / а
мономорфизмом на пространство Еа.
158
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
Таким образом, отображение Ф: . (W, а0]
Является отображением, интегральным по отношению
к Е. Поскольку точка а0 <= М произвольна, это и озна-
чает, что подрасслоение Е интегрируемо. □
Более того, аналогичным образом показывается, что
любое вполне интегрируемое подрасслоение Е обладает
свойством, утверждаемым в лемме 2, т. е. для любых
двух интегральных по отношению к подрасслоению Е
отображений Ф: (W, а0) и Ф': (W, а0)
существуют в W и W' такие окрестности V и V' точек
и Wg и такой диффеоморфизм р: что Ф'=
— >Ф°р на V'. Действительно, без ограничения общ-
ности мы можем считать, что отображение Ф' является
отображением, построенным выше по карте (U, х1, ,..
хП), и что многообразие W является открытым под-
множеством пространства R"1. Тогда для любой точки
Ф = (ЗУ1, ,,,, wm)^ W. векторы (^Ф)а» (-^т) , •••,
будут составлять базис пространства Еа,
Фа», и потому будут линейно выражаться через век-
торы СэдОа’ (^Рг)а‘ С ДРУГОЙ стороны, если
xl(w), .... xn(w)—функции, задающие отображение Ф,
то
по общему правилу, определяющему в координатах дей-
ствие дифференциала гладкого отображения. Следова-
тельно, --7=0 на W для любого i = 1, s>i, m и лю-
dw *
бого / = т-}-1, ..., п, и потому х’ (а») = const (точнее,
х1' (а») = х! (а0)) при j = ..., п. Это означает, что
композиция р = h о ф отображения Ф и координатного
диффеоморфизма h представляет собой отображение
W^W'. Поскольку отображение р, очевидно, этально,
точка а»о обладает окрестностью V, на которой это ото-
бражение является диффеоморфизмом на некоторую
окрестность V' точки w'Q. Для завершения доказатель-
ства остается заметить, что Ф = й_1.о (h о ф) = ф о В
на V. □
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
159
В силу этих замечаний для доказательства леммы 2
и оставшейся части предложения 5 нам достаточно до->
казать следующее предложение:
Предложение 7. Любое инволютивное подрасслоение
Е касательного расслоения Т (М) вполне интегрируемо.
Доказательство. Пусть а0—произвольная точ-
ка многообразия М, и пусть (U, h) — (U, х1, ,хп)—
некоторая карта многообразия М в этой точке. Выбрав,
если нужно, меньшую окрестность, мы можем считать,
что ^"(£7)-модуль а(£[у) свободен, т. е. обладает ба-
зисом из пг векторных полей Х>, Хт. Для упроще-
ния формул можно, кроме того, считать, что х1 (а0) =
= 0, ..., хп(а0) — G.
Пусть сначала m = 1. Полагая X = Xi, рассмотрим
компоненты X1 — Хх1, ..., Хп — Ххп векторного поля X
в координатах х1, ..., хп. Поскольку X =£= 0 в U, без ог-
раничения общности можем считать, что в
(достаточно, если нужно, переименовать координаты и
уменьшить U).
Как мы знаем, для любой точки и^ U существует
интегральная кривая 1и-+М поля X, определенная
на некотором интервале /и оси R, содержащем точку О,
и такая, что (рДО) = и. Мы можем считать (опять, если
нужно, уменьшив U), что интервал 1и не зависит от и
(является одним и тем же интервалом I для всех и).
Рассмотрим теперь в пространстве R n = R"-1 X
открытое множество WX.I, где W— множество всех то-
чек w = (ш1, R"-1, для которых (w, 0) 6=
ее Zt (£7), и отображение
Ф: W X 1—>М
этого множества в многообразие М, определенное фор-
мулой
Ф(еу, 0 — Фи (О» где и = h~l (ю, 0).
В координатах wl, ш"-1, wn = t и x1, .... xn это
отображение записывается такими функциями
хЦш, 7), xn\W,t),4yo
(6) = X1 (х1 (w, t), ...,xn (w, t}), / = 1, ..., п.
и
х1 (w, 0) ~ wl, .,х'1-1 (w, 0) = хп (w, 0) = 0
160
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
тождественно по w. В частности, мы видим, что
\ dw1 Jt=o
= 0.
dt Jt-=o
Вместе с формулами (6) это означает, что в любой точ-
ке вида (w, 0) и, в частности, в точке (0, 0) матрица
дифференциала отображения Ф в координатах wl, ...
, wn~\ wn — t л х1, ..., хп имеет вид
о
1
... о
у*
к
хп
и потому (в силу условия Хп =?= 0) не вырождена. Сле-
довательно, в точке 0 = (0, 0) £ Ш''X j' отображение Ф
этально, и потому без ограничения общности мы можем
считать его диффеоморфизмом множества на ок-
рестность U. Обратный диффеоморфизм Ф~! определяет
на U координаты w1, ..., uX', wn, обладающие, оче-
видно, тем свойством, что -^п = X на U.
Таким образом, в некоторой окрестности U точки а3
существуют такие координаты w1, ..., wn, что поле
~gwri порождает подмодуль а(£']у). Поскольку точка а0
была выбрана произвольно, это доказывает полную ин-
тегрируемость подрасслоения Е.
Тем самым при т = 1 предложение 6 полностью до-
казано. (Заметим, что при т — 1 условие инволютив-
ности автоматически выполнено.)
Пусть теперь т > 1. Рассуждая по индукции, пред-
положим, что для подрасслоений, имеющих слои раз-
мерности т—1, предложение 6 уже доказано и рас-
смотрим произвольное инволютивное подрасслоение Е
со слоями размерности т.
Лемма З.На многообразна М существует такая карта
(U,xl, ..., хп) с а0 <= U и такой базис Xi, ..., Хт мо-
дуля а (Е\ , что
а) Хтхг = Xmxn~l = 0, Xmxn = 1, т. е. Хт = ;
(УЛ
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
161
б) X;Хге = ... — Хт_1хп = 0, т. е. поля Xh ..., Хт,
д д
выражаются лить через поля —г,
дх дхп 1
в) при, хп = 0 функции Хрд, Хт_рд, m^J ^.п,
от х!, .. . , х"-1 тождественно равны нулю.
Доказательство. Пусть сначала (U, Xi, ...
хп)—произвольная карта (с aQ^U), для которой
модуль «(fly) свободен, и пусть Xi, ..., Xm — произ-
вольный базис модуля а (Е |у). Векторное поле Хт по-
рождает подрасслоение, для которого т = 1; применив
к этому подрасслоению уже доказанную часть предло-
жения 7, мы найдем карту (обозначим ее снова через
(U, х1, ..., хп), удовлетворяющую условию а).
Чтобы удовлетворить условию б), мы заменим поля
X1, ..., Хт_j полями
Xi-(Xpcn)Xm, ..., Хт_^ —{Хт_ххп) Хт.
Ясно, что вместе с полем Хгг они также составляют ба-
зис модуля а (Е |у) и (обозначенные снова через Xi, ...
JVzn-i) удовлетворяют условию б).
Удовлетворить условию в) значительно труднее.
Пусть W7cz lRre-1 — то же множество, что и в первой
части доказательства (w s W тогда и только тогда,
когда (w, 0) е h (L/)). Отождествив W с W'XO, рассмот-
рим ограничение ср: WU на W диффеоморфизма h~l,
обратного к координатному диффеоморфизму й: Д—>
—> h (U) ст R п. Для любой точки w е W дифференциал
отображения го является мономорфным отображе-
линеала I w (W7) = R” 1 на подпространство ли-
Та(М), a = q>(w), натянутое на векторы
, • • •, (—• Поэтому на W существуют одно-
а \ дх' 1 /а
нием
неала
\ дх 1)
значно определенные векторные поля
У1, . .., Уот_ь
ф-связанные с полями Х1у ..., Хт—j (для которых мы
предполагаем выполненными условия а) и б)). Обозна-
чив для каждой точки w s W через (ф*£’)м, линейную
оболочку векторов (У^, ..., мы получим над
W подрасслоение ср*Е касательного расслоения Т (W7),
обладающее тем свойством, что морфизм Т (ф):
6 М.. М. Постников
162
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
T(IF)—> Т(Л1) векторных расслоений отображает его
в подрасслоение Е.
По построению векторные поля У*, .Ym-\ состав-
ляют базис ^“(IF)-модуля а(©*£). при этом, так как
для любой точки w s W
У 1 — Гу у.1 (= &
IXs-ь> **Ы<р(«0 фСв»/’
то [Уг-, Y}]w е= (q>*E)^ И, значит, [У,-, У,] <= а (<р*Е). Это
означает, что подрасслоение ф*Е инволютивно.
Следовательно, по предположению индукции на IF
существуют (после возможного уменьшения U, а по-
тому и W) такие (криволинейные) координаты ш1, ...
„ - д д
,wn~l, что векторные поля ------у, ..., —~г порож-
дай-----------------------------dw
дают подмодуль а (<р*Е). Поскольку этим же свойством
обладают поля У1, Ym-i, отсюда следует, что поля
-z iz д д
/1, Ут-i выражаются только через------у, ...,——т,
dw . да> 1
и потому их координаты Y^w1, .Ym_1w1' в базисе
<Э д 4
---г» • • •> —г при т лС / лС п равны нулю.
dw1 dw 1 н 1 r J
Без ограничения общности мы можем считать, что
h(U) = Wy^I, где /—некоторый интервал оси R, и пе-
тому, положив h(u) = (w, xn), можем любой точке u^U
отнести в качестве ее локальных координат координаты
wl, ,,., wn~l точки we и координату хп е /. Дру-
гими словами, мы вводим в U новые локальные коорди-
наты у1 = ш1, ..., уп~1 = wn-x, уп = хге, приняв за ко-
ординатный диффеоморфизм £/—> h (U) диффеоморфизм,
обратный к диффеоморфизму (cpo«)><id, где k:
-> W' — диффеоморфизм, задающий в W локальные ко-
ординаты w1, ..., w'1-1. Координаты ух, уп обла-
дают тем свойством, что уп—'хп, а у1} у'1-1 не зави-
сят от хп, так что
j!£ = 0 дУ—^0
dxil дхп и
И
Поэтому компоненты Ху1, ,а., Хуп произвольного век-
торного поля X относительно координат г/1, .j,, уп вы-
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
163
ражаются через его компоненты X1 = Хх1, ..., Хп ~
= Ххп относительно координат х1, хп по формулам
Лу = Х'-*4 =
дх1
( vl ду1 , , vn.-l ди1 , <
= 1 . dxL дх 1
[ Хп, если I = п.
В частности, для поля X = Хт (для которого по ус-
ловию X1 = 0, ..., Хп~1 ~ 0. Хп = 1) мы получаем от-
сюда, что Хтух = 0, .,,, Хтуп~1 = 0, Хтуп = 1, т. е. что
Хот =-Хрг-• Для полей же Хь XCT_i отсюда следует,
что Х_хуп ~ ... = Хт_\уп = 0, т. е. что эти поля ли-
„ д д
неино выражаются лишь через поля "ут, • • «>^г ra-i •
Это означает, что в карте (U, у1, S4., уп) условия а) и
б) по-прежнему выполнены.
Кроме того, при уп = 0, т. е. в точке вида и — <р (w),
w е W, для значения (Хг)« векторного поля Х-, 1=1, а
..зг п— 1, имеет место формула
выражающая ф-связанность полей Xi
тельно к функциям Х,'У эта формула
значение
(Xуу *) (и) <Х2-)^ х
и У-. Примени-
показывает, что
функции Xiy1' в точке и s U с yn(ti) = 0 равно значению
в точке w функции Yiy1. Поскольку Yiy1’ = 0 при т
дД / дС «— 1, этим доказано, что Ху1' \ п^0 = 0 при т
дТ / дС л—1. Таким образом, для карты {U, у\ уге)
выполнено и условие в) (с заменой хг, хп на и'1,
УП). □
Из этой леммы предложение 7 вытекает уже без
особого труда.
Пусть карта {U, х1, ..., хп) и поля Хг, . а . , Хт удов-
летворяют условиям леммы 3.
Рассмотрим скобку Ли [Хт,Хг-], i = 1, т—1.
В силу условия инволютивности это векторное поле
6*
164
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОДРАССЛОЕНИЯ
лежит в &(Е\и), и поэтому на U существуют такие глад-
кие функции с\, . .cf, что
[Хт, Xl] = cliXi+ ... +с?Хт, z = 1, .... т-1,
и, значит,
[Хт, ХД х1 = c\XlXs + ... + с?Хтх!
для любого j — 1, .... п. При этом, если j =^= п (един-
ственно интересный случай), то Хтх! = 0. Поэтому
можно считать, что в правой части последний член имеет
вид cT~lXm-ix!. С другой стороны, по определению
скобки Ли
[АД, Х{] х
дХ^1
дхт ’
так как по условию Хт = дхт~. Это означает,
любого ] = \, ..., п-—1 (а также, очевидно,
/ = п) функции
..., = Х^х1
как функции от t = хп являются решениями
дифференциальных уравнений
dzi I , , т-1 . 1
£1 CiZl + ... + Ci Zm~i, I 1
что для
и при
системы
т — 1.
Но, согласно условию в) леммы 3, при t = 0 функции
Z1, ..., zm-\ равны нулю. Поэтому они равны нулю и
при любом t.
Этим доказано, что на U поля Xi, ..., Хт_\ выра-
д д
жаются через поля —п, ..., ——г, а значит, поля
" дх1 дхт-
v v д д д т—.
дх дхт 1 дх
этому последние поля составляют базис модуля &(Е\и).
Для завершения шага индукции осталось переимено-
вать координаты хп и хт.
Тем самым предложение 6, а вместе с ним и пред-
ложение 5 с леммой 2 полностью доказаны. □
Следствие. Подрасслоение касательного расслоения
тогда и только тогда интегрируемо, когда оно вполне
интегрируемо. □
Лекция 8
НАКРЫТИЯ. — СЕЧЕНИЯ НАКРЫТИЙ. — ПУНКТИРО-
ВАННЫЕ НАКРЫТИЯ. — КОАМАЛЬ ГАМЫ. — ОДНО-
СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. — МОРФИЗМЫ НАКРЫ-
ТИЙ. — ОТНОШЕНИЕ КВАЗИПОРЯДКА В КАТЕГОРИИ
ПУНКТИРОВАННЫХ НАКРЫТИЙ. — СУЩЕСТВОВА-
НИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИЙ. — ВОПРОСЫ ОБО-
СНОВАНИЯ. — ФУНКТОРИАЛЬНОСТЬ УНИВЕРСАЛЬ-
НОГО НАКРЫТИЯ.
Мы переходим теперь к изучению функтора локализа-
ции GRo-DIFF —>GR-LOC. Исследование этого функтора
основывается на совершенно ином круге идей и мето-
дов, связанных в основном с так называемыми «накры-
вающими пространствами». Общепринятое построение
теории накрывающих пространств, опирающееся на по-
нятие «гомотопных путей», неоднократно излагалось в
учебной и монографической литературе, как независимо
от ее применений к теории групп Ли (см., например,
[12], гл. 5), так и в связи с этой теорией (см., напри-
мер, [7], гл. 9), Мы изложим другое, более элементар-
ное построение этой теории, впервые в несколько ином
варианте предложенное Шевалле и не опирающееся ни
на что, кроме некоторых простейших общетопологиче-
ских конструкций. Затем мы применим полученные ре-
зультаты к исследованию функтора локализации.
Определение 1. Пусть л: Х-^Х — непрерывное надъек-
тивное отображение топологического пространства X
На топологическое пространство X, и пусть U cz X — от-
крытое подмножество пространства X, Говорят, что U
166
НАКРЫТИЯ
ровно накрыто отображением я, если прообраз л-1 (£7)”
множества U при отображении л является объедине-
нием непересекающихся открытых множеств, каждое из
которых гомеоморфно отображается посиедствсм л на
U. Отображение л называется накрытием пространства
X, если пространства X, X связны и любая точка про-
странства X обладает окрестностью, ровно накрытой
отображением л. Пространство X называется в этом
случае накрывающим пространством.
Иногда приходится рассматривать надъектизные
отображения л: X—*-Х, для которых пространство X
связно и любая его точка обладает окрестностью, ровно
накрытой отображением л, но пространство X, вообще
говоря, не связно. Такие отображения мы будем назы-
вать слабыми накрытиями.
Если U ровно накрыто отображением л, то и любое
открытое множество V cz U ровно накрыто отображе-
нием л. Поэтому для любого (вообще говоря, слабого)
накрытия л: X —^Х ровно накрытые открытые множе-
ства U ст. X составляют базу пространства X.
Поскольку каждая точка х е X принадлежит прооб-
разу некоторой точки х е X, открытые множества О сп X,
которые л гомеоморфно отображает на открытые мно-
жества U ст X, составляют базу пространства X, т. е.
любое открытое множество пространства X является
объединением таких множеств.
Непрерывное отображение л: л —обладающее по-
следним свойством, называется локальным гомеомор-
физмом. Таким образом, любое (слабое) накрытие яв-
ляется локальным гомеоморфизмом.
Заметим, что обратное неверно. Локальным гомео-
морфизмом, не являющимся накрытием, будет, напри-
мер, ограничение произвольного накрытия л: Х—^Х на
подпространстве Т\{х0}, где х0 е X—произвольная
точка (даже если это ограничение надъективно, а под-
пространство Г\{х0} связно).
Каждый локальный гомеоморфизм является, очевид-
но, открытым отображением (т. е. переводит открытые
множества в открытые). Поэтому любое (слабое) на-
крытие является открытым отображением.
Вообще говоря, представление прообраза ровно на-
крытого множества U ст X в виде объединения непере-
СЕЧЕНИЯ НАКРЫТИИ
167
секающихся открытых множеств Ол, каждое из которых
гомеохморфно отображается на U, отнюдь не единствен-
но. Однако это представление единственно, если U,
связно, поскольку в этом случае множества ОЛ могут
быть охарактеризованы как компоненты связности мно-
жества л-1(£7) (каждое из них, будучи гомеоморфным
U, связно, и они являются открытыми и непересекаю-
щимися множествами).
Многие важные топологические свойства простран-
ства X наследуются любым накрывающим простран-
ством X. Например, из того, что накрытие л: X —яв-
ляется локальным гомеоморфизмом, немедленно вы-
текает, что пространство X локально связно, если
локально связно пространство X.
Аналогично легко видеть, что если пространство X
хаусдорфозо, то и каждое его накрывающее простран-
ство X хаусдорфозо. Действительно, пусть х2 — раз-
личные точки пространства X. Если л(х:) = л(х2), то по
условию точки %1 и х2 принадлежат двум непересекаю-
щимся открытым множествам. Если же л.(хф л(х2),
то в силу хаусдорфовости пространства X точки л(Х])
и л(х2) обладают непересекающимися окрестностями
и U2. Прообразы л-1 (171) и л_1({7г) этих окрестно-
стей и будут непересекающИхМися открытыми множе-
ствами, содержащими точки хг и х2. □
Пусть U сд X— открытое множество, ровно накрытое
отображением л; X—*-Х. Рассмотрим непересекающиеся
открытые множества иа cz X, на которых отображение
л гомеоморфно и объединениехМ которых является мно-
жество л-"1 (77). По определению для любого а гомео-
морфизм оа: U -* X я, обратный к' гомеоморфизму л Ф :
Л 1 Ai’?LK
с/а—>77, будет сечением отображения л над U (точнее,
сечением будет его ко.мпозиция с отображением вло-
жения £7а->Д).
С другой стороны, как мы знаем, если U связно, то
множества Ua однозначно определены, причем для за-
дания любого из них достаточно указать в нем некото-
рую точку (ибо эти множества являются компонентами
множества л-1(с7)). Поэтому однозначно определены и
сечения Это означает, что если мы выберем в Ц
158
СЕЧЕНИЯ НАКРЫТИИ
произвольную точку х0, то для любой ТОЧКИ Ха €= Л-1 (Хо)
будет_ существовать над U единственное сечение оа:
£7->Х отображения л, для которого <7(ха) = х0.
Обратно, пусть U—связное подмножество простран-
ства X, обладающее тем свойством, что для любой
точки х0^ U и любой точки Л’1 (х0) существует
единственное сечение оа: U—^X отображения л над U,
для которого оа(х0) = ха. Рассмотрим произвольную
точку х множества л-1 (U). Пусть х = л(х). По усло-
вию существует единственное сечение о: U—^X отобра-
жения л над U, для которого о(х) = х. Пусть о(х0) =
= ха. Тогда в силу единственности сечения оа имеет
место равенство о — оу,, показывающее, в частности, что
x^ua(U). Следовательно, множество л-1(£7) является
объединением множеств оа(£7). Если х (U) П оа2(U),
то Ха, — Оа, (Х0) = (Хо) — <Уа,_ (х0) = Ха„ И ПОТОМу Оа, — Va2.
Следовательно, различные множества оа(£7) не пе-
ресекаются. Поскольку множества оа(£7) связны (бу-
дучи гомеоморфными связному множеству U), тем
самым доказано, что они представляют собой компо-
ненты множества л-1 (£7). Если пространство X локально
связно, то эти компоненты должны быть открыты. Та-
ким образом, при сделанных предположениях множе-
ство л-1 (£7) разлагается в объединение непересекаю-
щихся открытых множеств, каждое из которых гомео-
морфно отображается на £7. Другими словами, множе-
ство £7 ровно накрыто отображением л.
Тем самым нами доказано следующее предложение:
Предложение 1. Если пространство X локально
связно, то связное открытое множество U <zz X тогда и
только тогда ровно накрыто отображением л: X—^Х,
когда для любой точки х0 е U и любой точки ха е л-1 (х0)
существует единственное сечение отображения л над
U, для которого (х0) = ха. □
Следствие. Пусть U и V — связные открытые мно-
жества пространства X, ровно накрытые отображением
л: X—>Х. Если:
а) пространство X локально связно,
б) пересечение U ("| V связно, то множество £7 U V
также ровно накрыто отображением л.
Доказательство. Пусть х0 £7 U V и ха е
е л-1 (х0). Достаточно доказать, что существует такое
СЕЧЕНИЯ НАКРЫТИЙ
169
сечение оа: £/|J V—отображения л над £7 U V, что
са(хо) = ^а, и что это сечение единственно. При этом
без ограничения общности мы можем, очевидно, пред-
полагать, что х0 s U.
По условию над U существует такое сечение с'а: U —> X
отображения л, что о'а(хо) = ха, и это сечение един-
ственно. Выбрав в U П V произвольную точку уо, рас-
смотрим точку Уо = На (уо) X. Так как Уо<= V, то над
V существует единственное сечение <>2: V—> X отображе-
ния п, для которого о'а(Уо)~Уо- Ограничения на £7 И V"
сечений и Ga являются сечениями над U (] V, перево-
дящими точку уо в точку уо. Поскольку U П V связно,
отсюда следует, что Gfa = о^ на U Q V. Поэтому сечения
<у'а и о" определяют на U U V непрерывное отображение
оа: U V —являющееся, очевидно, сечением, для ко-
торого Ga (Хо) = Ха.
Тем самым существование сечения оа установлено.
Его единственность теперь очевидна. □
Предложение 1 (вместе со следствием) применимо,
в частности, к любому накрытию л: X —>-Х произволь-
ного локально связного (и связного) пространства X.
В условиях предложения 1 образ оа(17) множества
U при каждом из отображений является открытым
подмножеством пространства X. Как показывает сле-
дующее предложение, этот факт имеет, на самом деле,
весьма общий характер:
Предложение 2. Если пространство Х_ локально
связно, то для произвольного накрытия я: Х-+Х каж-
дое его сечение о: V —^Х над любым открытым мно-
жеством V cz X является открытым отображением.
В частности, множество и(V) открыто в X и о яв-
ляется гомеоморфизмом множества V на множество
о (17) (с обратным гомеоморфизмом л |a(V)).
Доказательство. Поскольку над каждым от-
крытым множеством, содержащимся в V, отображение
а также является сечением, достаточно доказать, что
множество о (17) открыто в X.
Пусть x^g(V), и пусть х <= V — такая точка, что
о(х) = х. Пусть, далее, U — содержащаяся в V связная
окрестность точки х, ровно накрытая отображением л,
а О — компонента ее прообраза л-1 (£7), содержащая
176
СЕЧЕНИЯ НАКРЫТИИ
точку х. Образ ст(Г7) окрестности U при отображении
о является связным множеством, содержащим точку х.
Следовательно, u(U')cz О, и потому определено отобра-
жение (л ° а = id. Но по условию отображение л 1у:
UU гомеоморфно. Пусть o': U —> U— обратный го-
меоморфизм. Тогда о/° Гл l^) —id и, следовательно,
в' — <j' О (л If ° о) = (о/ ° л If) О О' = сг.
В частности, ст(U) — о'(U) — V. Это означает, что ок-
рестность О точки xsa(V) целиком содержится в ст (У),
так что х является внутренней точкой множества ст( V).
Следовательно, множество ст (У) открыто. □
Требуемая в предложении 1 единственность сечений
ста на самом деле может быть доказана (в единственно
интересном нам случае, когда л является накрытием
хаусдорфова пространства). Впрочем, нам будет удобно
доказать эту единственность в несколько более общей
ситуации, для описания которой мы введем следующее
определение:
Определение 2, Пусть f: Y X и л: З'-^Х— два мор-
физма произвольной категории С. Морфизм f: Y -> X.
категории О называется поднятием морфизма f (по от-
ношению к. морфизм}/ л), если / = ло?, т. е. если ком-
мутативна диаграмма
Сечения представляют собой не что инее, как под-
нятия тождественного морфизма X —а сечения над
V сп X (в случае, когда категория С является катего-
рией ТОР топологических пространств)—поднятия ото-
бражения вложения U —> X.
Предложение 3. Если л: Х-^Х— накрытие хаусдор-
фова пространства X то Зля произзольного непрерыв-
ного отображения ?: У -* X связного пространства Y з
пространство X любые два его поднятия ?, Y-+-X,
совпадающие хотя бы з одной точке y^ s Y, совпадают
всюду.
ПУНКТИРОВАННЫЕ НАКРЫТИЯ
171
Доказательство. Пусть У' — множество всех
точек у е У, для которых fy = f'y. Множество Y' не
пусто (содержит точку г/0) и замкнуто (ибо прсстран-
ство X хаусдсрфово; см. с. 167). Поскольку простран-
ство У по условию связно, для доказательства предло-
жения 3 достаточно поэтому установить, что множество
Y' также и открыто.
Пусть у s Y', и пусть U— окрестность точки
ровно накрытая отображением л. Тогда точка
обладает в X окрестностью О, на которой л
является гомеоморфизмом U-^-U. Поскольку отображе-
ния f и f' непрерывны, точка у обладает в У такой ок-
рестностью V, что /'(V)crt/ и f'(V)czU. Так как на О
отображение я гомеоморфно и так как л of = п°]', то
f — f' на V, т. е. V сд Y'. Следовательно, множество Y'
открыто. □
Здесь нам удобно ввести одно общетопологическое
определение.
Определение 3. Топологическое пространство X назы-
вается пунктированным, если в нем отмечена некоторая
точка хо. Отображением (X, х0)->(У, Уо) пунктирован-
ного пространства (X, х0) в пунктированное простран-
ство (У, ус) называется непрерывное отображение
X—> У, переводящее точку х0 в точку у0.
Ясно, что пунктированные пространства и их отобрав
жения составляют категорию. Мы будем обозначать
эту категорию символом ТОРФ
Пунктированным накрытием называется отображе-
ние я: (X, х0) -> (X, х0) категории ТОР“, являющееся
накрытием как отображение Х—>Х категории ТОР.
В этой терминологии предложение 3 утверждает, что
произвольное отображение f: (У, у0)—>(Х, х0) связного
пунктированного пространства (У, уо) в хаусдорфово
пунктированное пространство (X, xQ) допускает по от-
ношению к пунктированному накрытию л: (Х,хф—>-
г->(л, д0) не более одного поднятия f: (Y, уо)-^(Х, х0).
В дальнейшем для упрощения обозначений мы бу-
дем вместо (X, Хо), {X, Хо) и т. п. писать просто X, X и
т. п., явно указывая отмеченные точки только тогда,
когда без этого нельзя обойтись.
172 '
КО АМА ЛЬ ГА.МЫ
Пусть снова f: Y-*~X и л: Х-*~Х—морфизмы произ-
вольной категории С, и пусть эти морфизмы включены
в коммутативную диаграмму вида
Эта диаграмма называется универсальным квадратом,
а морфизм пр. У/->У (или объект У/) — коамальгамой
морфизмов /ил (или объектов У и X над объектом X),
если для любого объекта Z и любых морфизмов giz
Z-+-Y и g2: Z-^X, удовлетворяющих соотношению
(1)
f ° gl = Л ° g2,
существует единственный морфизм g: Z-^Yf, для ко-
торого
2) ° g = glf f*°g = g2,
т. e., другими словами, если любая коммутативная диаг-
рамма вида
единственным образом дополняется до коммутативной
диаграммы вида
КОАМАЛЬГАМЫ
173
Любые две коамальгамы Yf и Y( данных морфизмов
/ил естественным образом изоморфны: существует
один и только один изоморфизм У/->У', замыкающий
коммутативную диаграмму
Основное свойство коамальгамы л/ч Yf—>У состоит в
том, что ее сечения g: У—> Yf находятся в естественном
биективном соответствии с поднятиями f: У—мор-
физма f. Действительно, каждое сечение g задает под-
нятие /* оg <л для каждого поднятия f морфизмы g{ =
— id, g2 = 'i удовлетворяют (при Z = У) условиям (1)
и потому определяют морфизм g\ Y^-Yf, являющийся
(в силу первого из соотношений (2)) сечением мор-
физма Л/. □
В этом смысле поднятия сводятся к своему частному
случаю — сечениям.
Конечно, это сведение предполагает существование
коамальгамы л». Оказывается, что в интересующем нас
случае категории ТОР (или ТОР') коамальгама лр
Yf —> У существует для любых непрерывных отображений
f-. У —> X и л: X —> X. Соответствующим пространством Yf
является при этом подпространство прямого произведе-
ния УХА’, состоящее из таких точек (у, х), что /(i/)=;
= л(х), а отображения л/ и /* представляют собой ог-
раничения проекций этого произведения на его сомно-
жители. Тот факт, что это действительно дает коамаль-
гаму, проверяется непосредственно: если f ° gi — л □ go,
то отображение g — g\ X gz'- Z-э-УХ^ является ото-
бражением в Yf и удовлетворяет соотношениям л/- о g =.
= g\ И ° g = gz, с другой стороны, поскольку Лf и f*
являются проекциями, то эти соотношения однозначно
характеризуют отображение g. □
Лемма 1. Если отображение л: Х-^-Х является (сла-
бым) накрытием, то для любого отображения f: Y-^X
коамальгама
лр Yf^Y
будет слабым накрытием.
174
КОАМАЛЬГАМЫ
Доказательство. Отображение л/ надъективно,
поскольку для любой точки у е У существует такая
точка х е X, что л (х) = f (у). Пусть U— произвольное
открытое подмножество пространства X, ровно накры-
тое отображением л, и пусть V = f~'(U)— прообраз
множества U при отображении f. Ясно, что
л;-1 (У) = Yf П (У X лП1 (U)).
Поэтому, если
(U) = и иа,
а
где Оа — открытые непересекающиеся подмножества
пространства X, гомеоморфно отображающиеся на U,
то
Va,
1 а
где
Va = yf0(VX^).
Множества Уа открыты, не пересекаются и гомеоморфно
отображаются посредством л? на V. Следовательно,
множество V ровно накрыто отображением я;. Для за-
вершения доказательства остается заметить, что мно-
жества вида V покрывают все У. □
Таким образом, если мы хоти?,! получить накрытие,
то нам достаточно перейти от пространства Yf к некото-
рой его компоненте. То, что мы при этом действительно
получаем накрытие, показывает следующая общая
лемма:
Лгмма 2. Если пространство X связно и локально
связно, то для любого слабого накрытая л: X—X и лю-
бой компоненты Дэ пространства л отсоражение
л0==я До->.¥
является накрытием.
Доказательство. Пусть U— связное открытое
подмножество пространства X, ровно какрытсе отобра-
жением л. Те из компонент множества л-1 (Д’), которые
пересекают нсооходимо .лежат в /в ci-iviy связ-
ности). Поэтому, если лД.То) П *7¥= 0у то ?/сдл(Ао).
Поскольку множества вида U образуют базу простран-
ОДНОСВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
175
ства X, это показывает, что непустое множество ~(Лф)д
одновременно открыто и замкнуто. Следовательно, оно
исчерпывает все X, так что отображениеяо надъектлвно.
Поскольку я”1 (£/) является объединением компонент
множества л-1 (£/), лежащих в Хо, отображение лоровно
накрывает множество U. Следовательно, По является
накрытием. □
Рассмотрим теперь вопрос о существовании подня-
тий (и сечений). Здесь мы должны начать довольно из-
далека.
Ясно, что любой гомеоморфизм я: Х-^-Х является
накрытием.
Определение 4. Накрытие jc: a—>7f, являющееся го
меоморфизмом пространства X на пространство X, казн-
BQGTCH трИвииЛЪНЪЬМ.
Предложение 4. Накрытие л: Х-+Х локально связ-
ного (и связного} пространства X тогда и только тогда
тривиально, когда оно обладает сечением о: Х-*~Х над
всем пространством X.
Доказательство. Если накрытие л тривиально,
то сечением с будет обратный гомеоморфизм X—
(безотносительно к тому, локально связно или нет про-
странство X}.
Обратно, пусть накрытие л: Х-*-Х обладает сече-
нием о: Х-*-Х. Согласно предложению 2 это сечение
является гомеоморфизмом пространства X на открытое
подмножество офХ) пространства X с обратным гомео-
морфизмом л|а(Х): о(Х) —>Х. Поэтому для доказатель-
ства предложения 4 достаточно доказать, что офХ) — X.
Поскольку пространство X связно, а множество с(Х)
открыто и не пусто, это будет доказано, если мы пока-
жем, что множество о (А") замкнуто в X. ______
Пусть х — произвольная точка замыкания о (X) мно-
жества а(Х), и пусть U — окрестность точки х = п(х),
ровно накрытая отображением л. Рассмотрим открытое
множество U, содержащее точку х и гомеоморфно ото-
бражающееся на окрестность U. Так какхео(Х), то
пересечение f7f]o(X) не пусто. Пусть у е С/ПофХ). Так
как отображение <т(7<)—>Х является гомеомор-
физмом, то в о-(Х) существует открытое множество U't
176
ОДНОСВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
гомеоморфно отображающееся на U и содержащее точ-
ку у. Поскольку U ровно накрыто, множества О и О'
либо совпадают, либо не пересекаются. Но они имеют
общую точку у. Следовательно, U' = О, и потому х е
sU — Ur а о(X). Таким образом, множество о(Х) замк-
нуто. □
Определение 5. Связное пространство X назы-
вается односвязным, если любое его накрытие три-
виально.
Значение односвязных пространств для задачи о су-
ществовании поднятий определяется следующей теоре-
мой:
Теорема 1. Пусть л: (X, х0) —> (X, х0)— пунктирован-
ное накрытие пунктированного хаусдорфова простран-
ства (X, ха), и пусть (У, уо)— связное, локально связ-
ное и односвязное пунктированное пространство. Тогда
для любого отображения f: (Y, уо)^>(Х, Хо) существует
единственное поднятие J: (У, уо)-^(Х, х0).
Доказательство. По определению (уо, х0)еУ^
Пусть (Уг)о — компонента пространства Yf, содержа-
щая точку (i/ь^о)- Согласно лемме 2 отображение
(л/)0 = n.f lprf)o: (У/)о~*У является накрытием. Следова-
тельно, в силу односвязности пространства Y это ото-
бражение представляет собой гомеоморфизм. Если
Y->(Yf)0 — обратный гомеоморфизм, то отобра-
жение
будет поднятием отображения f, удовлетворяющим со-
отношению f (у0) = х0. Единственность поднятия f обес-
печивается предложением 3. □
Следствие 1. Произвольное накрытие п: Х-^Х связ-
ного, локально связного и хаусдорфова пространства X
ровно накрывает каждое открытое односвязное под-
множество UaX.
Доказательство. Достаточно воспользоваться
предложением 1. □
Следствие 2. Связное и локально связное хаусдор-
фово пространство X односвязно, если оно является
объединением двух связных и односвязных открытых
множеств U и V, пересечение U Г) У которых связно.
МОРФИЗМЫ НАКРЫТИИ
177
Доказательство. Согласно следствию 1 каждое
накрытие л: Х-^Х ровно накрывает как U, так и V.
Поэтому (следствие 1 предложения 1) оно ровно на-
крывает X = U U V и потому тривиально. □
Определение 6. Морфизмом накрытия Л1: ХУ-^Х в
накрытие Лг: Х2-^Х называется такое непрерывное ото-
бражение f: Х1^-Х2, что имеет место коммутативная
диаграмма
Ясно, что все накрытия (данного связного простран-
ства X) и все их морфизмы составляют категорию. Мы
будем обозначать эту категорию символом COV(X).
Аналогично определяется категория пунктированных
накрытий COV(X, х0), морфизмами которой являются
морфизмы категории COV(X), являющиеся одновре-
менно отображениями пунктированных пространств.
Категорию COV (X, л0) мы будем обозначать также
символом COV" (X) „ _
Ясно, что морфизм f: Хх-^Х2 категории COV (X)
(или категории COV (X, х0)) тогда и только тогда яв-
ляется изоморфизмом (обладает обратным морфизмом),
когда он представляет собой гомеоморфизм простран-
ства Xi на пространство Х2.
Накрытие л: Х-*-Х тогда и только тогда тривиально
(в смысле определения 4), когда оно изоморфно в ка-
тегории COV(X) тождественному накрытию id: X—>Х.
Лемма 3. Если связное пространство X локально
связно, то любой морфизм f: X]—>Х2 категории COV(X)
(или категории COV (X, х0)) сам является накрытием
(пространства Х2).
Доказательство. Пусть {Ua}—база простран-
ства X, состоящая из связных открытых множеств,
ровно накрытых отображениями Л[Г Х[-^-Х и п.2: Х2 —>Х
одновременно, и пусть £/а?з — компоненты прообраза
лГ1 (Да) множества Ua при отображении Л1, a Ua,\ —
178
ОТНОШЕНИЕ КВАЗИГТОРЯДКА
компоненты прообраза яь ‘ (СЛ) множества Ua при ото-
бражении к2. Так как щ = л2 ° f, то каждое из множеств
гомеоморфно отображается посредством f на неко-
торое множество ма, v Поэтому, если для некотс-оых а
Г -т(2) '
и у множество i/i,? пересекает подпространство /(Ху),
то оно обязательно содержится в нем: v ст f GY:). По-
скольку множества вида составляют базу про-
странства Х3. это возможно только тогда, когда подпро-
странство одновременно замкнуто и открыто. Сле-
довательно, f(Xy)==X2, так что отображение f надъек-
тивно.
Кроме того, .мы видим, что для любого множества
U'a;v его прообраз f'1 (£/«,'v) ^ри отображении f яв-
ляется объединением некоторых (на самом деле всех)'
множеств вида t7a?v, причем на каждом из этих мно-
жеств отображение f является гомеоморфизмом. Таким
образом, каждое из множеств Ка?у ровно накрыто ото-
бражением f. Следовательно, f является накрытием. □
Каждый морфизм f накрытия Лу: Ху-^-Х в накрытие
Яг: является не чем иным, как поднятием ото-
бражения Л1: Ху-э-Х по отношению к отображению л2.
Поэтому ввиду предложения 3, если пространство X
хаусдорфова, то для любых двух пщнктирозанных на-
крытий к,: (X, xi)—> (X, %0) и л2: (Х2, х2)->(Х, х0) в ка-
тегории COV (X, Хо) существует не солее одного мор-
физма накрытия Л] в накрытие л2.
В частности, для каждого накрытия л: (X, хоу~>
~^(Х,Хо) существует только один морфизм л—— тож-
дественный.
Будем писать jti л2, если морфизм jti —>л2 сущест-
вует. Ясно, что это отношение на множестве всех пунк-
тированных накрытий пространства (X, х0) рефлексивно
и транзитивно, т. е. является отношением квази-
порядка.
Назовем пунктированные накрытия jti и л2 эквива-
лентными, если одновременно jti л2 и п2 пу. Ясно,
что на классах эквивалентных накрытий отношение
индуцирует отношение порядка. При этом, как
легко видеть, если пространство X хаусдорфова, то на-
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИИ
179
крытия. ЗТ1 и л-2 эквивалентны тогда и только тогда,
когда они. изоморфны. Действительно, изоморфные на-
крытия, очевидно, эквивалентны. Обратно, если накры-
тия и л2 эквивалентны, т. е. если существуют мор-
физмы т: Л1->л2 и g: л2->Л1, то в силу единственности
морфизмы f ° g: л2—>л2 и g°f: будут тожде-
ственными морфизмами id: л3—и id; л>—и, зна-
чит, морфизмы f и g будут взаимно обратными изо-
морфизмами. □
Таким, образом, если пространство X хаусдорфово,то
отношение порядка гВ определено на классах изоморф-
ных объектов категории COV(X, х0) (при любом выборе
отмеченной точки х0).
Определение 7. Пунктированное накрытие ло:
\Xq, х0) пунктированного хаусдорфоза про-
странства (X, Хо) называется:
а) универсальным, если ло В3 л для любого пунктиро-
ванного накрытия л: (X, х) —> (X, Xq) ;
б) максимальным, если л л0 тогда и только тогда,
когда л-j В3 л, т. е. когда накрытия л и jig изоморфны;
в) односвязным, если пространство Х^ односвязно.
Очевидно, что:
а) любые два универсальных накрытия эквивалентны
и, значит, изоморфны;
б) каждое универсальное накрытие максимально;
в) если пространство X локально связно, то любое
одно связное накрытие универсально.
Заметим, что обратные утверждения, вообще говоря,
неверны: существуют локально связные, пространства .¥
с максимальным, но не универсальным, и с универсаль-
ным, ко не односвязным накрытиями. Существуют также
пространства с неизоморфными мз:-:амзльпыми накры-
тиями.
Ясно, однако, что если существует универсальное на-
крытие По пространства X, тс -юоое максимальное на-
крытью пространства X изоморфно накрытию лэ, так что
з этом случае максимальныз иахоытзя совладают с уни-
версальными.
В частности, если для локально связного простран-
ства существует с-диосзяз^се накрытие ло, то люоое его
максимальное накрытие изоморфно накрытию cig, так что
180
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИЙ
для таких пространств односвязные, универсальные и
максимальные накрытия — это одни и те же накрытия.
Определение 8. Связное пространство X называется
полулокально односвязным, если для него существует от-
крытое покрытие, состоящее из односвязных множеств.
Теорема 2. Для любого хаусдорфова связного ло-
кально связного и полулокально односвязного простран-
ства X существует односвязное накрытие.
Следствие 1. Для каждого хаусдорфова связного ло-
кально связного и полулокально односвязного простран-
ства односвязные, универсальные и максимальные на-
крытия — это одни и те же накрытия. □
Для доказательства теоремы 2 нам понадобится одна
общая конструкция, являющаяся обобщениегл конструк-
ции коамальгамы пары отображений.
Пусть А — некоторое множество индексов, и пусть
для любого а е А задано некоторое (пока произвольное)
непрерывное отображение Ха-^Х. В произведении
П Ха пространств Ха рассмотрим подпространство X, со-
а
стоящее из всех точек (ха), ха е Ха, для которых точка
ла(ха) ^Х — одна и та же при всех а. Тогда формула
л ({-^а}) = ла (ха)
определит непрерывное отображение
л: Х->Х,
называемое коамальгамой отображений па. Ели все рас-
сматриваемые пространства пунктированы, а отображе-
ния зта являются отображениями пунктированных про-
странств, то, приняв за отмеченную точку пространства
X точку (*а), где х(а — отмеченные точки пространств Ха,
мы получим, что отображение п также будет отображе-
нием пунктированных пространств.
Предположим теперь, что пространство X связно, ло-
кально связно и хаусдорфово и что все отображения ля
являются (пунктированными) накрытиями. Тогда, со-
гласно следствию 1 из теоремы 1, любое односвязное от-
крытое подмножество U пространства X будет ровно
накрыто каждым из отображений ла. Пусть Ua, — ком-
поненты множества л-!(с/а), где пробегает некоторое
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИИ
{81
"(зависящее от а) множество индексов Ва. По условию
каждое отображение
Я“Ьа,Эа: Ua-^~>U
является гомеоморфизмом, а множества Ua, ра открыты и
не пересекаются.
. Пусть В = Д Ва — произведение всех множеств Ва.
а
Для любого Р = (ра) <= В мы положим
Ж|).
а “
Ясно, что множества ст X не пересекаются и вместе
составляют весь прообраз я~1 (U) множества U при ото-
бражении л:
л-1т= и с/»-
З^в
Столь же ясно, что на любом множестве 0$ отображе-
ние л представляет собой гомеоморфизм на множество U
(обратным гомеоморфизмом будет отображение
Xi—>(сга, ра (х)); где ога. ₽а: U —> Ua, ра — гомеоморфизм, об-
ратный к гомеоморфизму ла Л . В частности, мы ви-
дим, что множества (7$ связны и потому являются компо-
нентами множества я_|(У).
Однако утверждать, что л ровно накрывает множе-
ство U мы не можем, поскольку множества 0$, вообще
говоря, не_являются открытыми подмножествами про-
странства X.
Чтобы поправить дело, мы введем в X новую более
сильную (имеющую больше открытых множеств) тополо-
гию. Для задания топологии на некотором множестве до-
статочно, конечно, задать ее базу и известно (и три-
виально доказывается), что семейство тогда и только тог-
да является базой некоторой топологии, когда для любых
двух множеств Vi и V2 этого семейства пересечение
Vi Г) V2 является объединением множеств семейства. Это
характеристическое свойство баз очевидным образом вы-
полнено для семейства множеств, являющихся компонен-
тами открытых множеств топологического пространства
X (если Vi и V2 — компоненты открытых множеств U\ и
182
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИИ
t?2, то 1Л f] У2 состоит из компонент открытого множества
Lri П Следовательно, мы можем это семейство при-
нять за базу некоторой топологии на X. Пространство Д,
снабженное этой топологией, мы обозначим через X', а
отображение л, рассматриваемое как отображение X' —>
-> X, — через л7. Так как множества, открытые в X, от-
крыты, очевидно, и в X', отображение л7 непрерывно.
Поскольку множества (7 g являются компонентами от-
крытого множества л-1 (с/), они открыты в X'. Однако
утверждать, что отображение л7 ровно накрывает множе-
ство X мы все же еще не можем, поскольку не исклю-
чена возможность, что при переходе от л к X' испортится
свойство отображения л быть гомеоморфизмом на 0$. На
самом деле это не происходит, т. е. отображение л7
остается на 0$ гомеоморфизмом. Иначе говоря, тополо-
гия на 0$, индуцированная топологией пространства X'
(обозначим эту топологию символом П), совпадает с ис-
ходной топологией, индуцированной топологией простран-
ства X (которую мы будем обозначать символом I). Дей-
ствительно, в топологии I множество U будучи гомео-
морфным открытому множеству U локально связного
пространства X, само локально связно, т. е. обладает ба-
зой, состоящей из связных множеств. С другой стороны,
в топологии II любое открытое множество в (7g имеет
вид С П 0$, где С — компонента некоторого открытого
множества V из X. Пусть х — произвольная точка из
Cf)(7g. Пересечение V П является окрестностью этой
точки в топологии I, и потому содержит некоторую связ-
ную (и, значит, содержащуюся в С) окрестность W
точки х. Таким образом, каждая точка х из С f) (7 g об-
ладает в топологии I окрестностью W, содержащейся в
С(]О$. Это означает, что множество С П (7g открыто в
топологии I. Следовательно, топологии I и П совпадают.
Тем самым доказано, что отображение л': X'—> X
ровно накрывает каждое односвязное открытое подмно-
жество U сп X. Поэтому, если пространство X полуло-
кально односвязно, то любая его точка обладает окрест-
ностью, ровно накрытой отображением л7. Следовательно,
это отображение будет слабым накрытием и, значит, для
любой компоненты Х'о пространства Х$ отображение
Ло = л;к,: Xq->X
1Х0
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИЙ
183
будет накрытием. В случае, когда мы рассматриваем
пунктированные накрытия, произвол в выборе компо-
ненты Хо пропадает, поскольку за эту компоненту сле-
дует, очевидно, принять компоненту, содержащую отме-
ченную точку Хо — (х'аО s X.
Таким образом, если пространство X связно, локально
связно и полулокально односвйзно, то изложенная кон-
струкция позволяет по любому семейству пунктирован-
ных накрытии яа: \ля, xaJ—^(а, хо) единственным обра-
зом построить некоторое пунктированное накрытие
лб: (Хо, хо)—^(Х, хо).
Допуская определенную нечеткость терминологии, мы бу-
дем это накрытие называть коамальгамой накрытий ла.
Ясно, что отображение fa: Хф-> Ха, определенное фор-
мулой
Д ((О = *а,
непрерывно и удовлетворяет соотношению n^=nar°fa.
т. е. является морфизмом накрытия л^в накрытие ла. Та-
ким образом, если накрытие л' является коамальгамой
накрытий ла, то по для любого a s А.
Поэтому, если накрытия ла: Ха—>Х составляют пол-
ное семейство пунктированных накрытий, т. е, если лю-
бое пунктированное накрытие л: X -> X пространства X
изоморфно некоторому накрытию Ла. (существование
такого семейства очевидно: достаточно в каждом классе
изоморфных накрытий пространства X выбрать по пред-
ставителю), то накрытие яо: Ха—универсально. Тем
самым доказано, что для любого связного локально связ-
ного и полулокально односвязного пространства X суще-
ствует универсальное накрытие тф. Х^-я-Х.
Теорема 2 будет теперь доказана', если мы покажем,
что для хаусдорфова пространства X это накрытие эдно-
езязно. Для этого нам будет нужна следующая лемма:
Летама 4. Если связное локально связное и полуло-
калъно односвязное пространство X хаугдорфозо, то ком-
позиция
п"Х.Хг~>Х
любых двух накрытий л: Х-э-Х и р: Х^Х также яв-
ляется накрытием.
184
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИЙ
Доказательство. По условию пространство X
обладает покрытием, состоящим из односвязных откры-
тых множеств U. Согласно следствию 1 из теоремы 1
множества V ровно накрыты отображением л, и потому
компоненты О их прообразов л-1(с7) являются откры-
тыми множествами, гомеоморфными множествам U. Сле-
довательно, пространство X полулокально односвязно.
Кроме того, по условию оно связно, а согласно сделан-
ным в начале этой лекции замечаниям локально связно
и хаусдорфово. Поэтому к множествам О снова приме-
нимо следствие 1 из теоремы 1 и, значит, каждое из этих
множеств ровно накрыто отображением р. Но тогда ясно,
что отображение п°р будет ровно накрывать все мно-
жества LJ и, следовательно, будет накрытием простран-
ства X. □
Теперь мы уже можем завершить доказательство тео-
ремы 2.
Лемма 5. Для любого хаусдорфова связного локально
связного и полулокально односвязного пространства X
универсальное накрытие
гф: Х'0^Х,
являющееся коамальгамой полного семейства накрытий
па-. Ха-*-Х, односвязно.
Доказательство. Пусть р: —произволь-
ное пунктированное накрытие пространства Хо. Согласно
лемме 4 композиция л6°р: Xj—>Х является накрытием
и потому (в силу полноты семейства {зта}) изоморфна не-
которому накрытию ла.: Хаз—>Х. Пусть f: Хаэ—^Xj—
соответствующий изоморфизм. Тогда отображение
р о f: Ха<—>Хо будет морфизмом накрытия лао в накры-
тие Яд, так что будет иметь место отношение яб.
Поскольку в силу универсальности л6^ла;), этим до-
казано, что накрытия nttl и зтб эквивалентны, и, следова-
тельно, изоморфны. Если теперь g: Хо— изомор-
физм накрытия я'о на накрытие лао, то отображение
or — f ° g: будет, очевидно, сечением накрытия р.
Следовательно, в силу предложения 6 накрытие р
тривиально.
Таким образом, любое накрытие пространства Хотри-
виально, т. е. это пространство односвязно. □
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ
185
Изложенное доказательство теоремы 2 может вызвать
сомнения в связи с понятием полного семейства накры-
тий, в определении которого фигурируют «все» накры-
тия, что, как известно, может вести к парадоксам (к слову
сказать, это относится и к понятию сдносвязного про-
странства, в определении которого также фигурируют
«все» накрытия этого пространства, но, чтобы не преры-
вать изложения, мы предпочли на этом вопросе там не
останавливаться).
В рамках обычной «наивной» теории множеств при-
нято считать, что парадоксы не возникнут, если мы будем
работать лишь с подмножествами некоторого фиксиро-
ванного множества и с их фактормножествами. Имея это
в виду (и считая фиксированным данное пунктированное
пространство (X, х0)), мы рассмотрим множество 2 всех
конечных последовательностей вида
(3) (Xj, U..., xrt, Un),
где X], . .. , хп — точки пространства X, a Ui, . . . , Un —
такие его открытые подмножества, что для любого i =
= 1, . . ., п точки х,-_1 и X; принадлежат множеству Ui.
В этом множестве мы рассмотрим подмножества 2/, об-
ладающие следующими свойствами:
1) в пространстве X существует такая односвязная
окрестность U точки х0, что (х0, U) е S';
2) существует такое фактормножество X = S'/ф мно-
жества S', такая топология на этом_фактормножестве и
такое непрерывное отображение л: XX, что:
а) п является накрытием;
б) все точки множества S', имеющие вид (х0, U), где
U — односвязная окрестность точки х0 в пространстве^,
определяют.одну и ту же точку х0 фактормножества X, и
эту точку отображение л переводит в точку Хо (так что л:
{X, хо) -> (X, x0)J.
Пусть ла: (Ха, ха) -> (X, х0) —все пунктированные
накрытия вида S'/ф -> X, получающиеся при всевозмож-
ных выборах подмножества S', отношения эквивалентно-
сти ср на S', топологии на S'/ф и отображения п.
Лемма 6. Семейство пунктированных накрытий ла:
Ха —> X полно.
Доказательство. Пусть л: X -> X — произволь-
ное пунктированное накрытие пространства X, и пусть
183
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ
2/— подмножество множества S, состоящее из всех по-
следовательностей (3), для которых все множества
£7Ь . .., Un ровно накрыты отображением л. Рассмотрим
произвольную последовательность (3), принадлежащую
подмножеству 2/. Точке Хо мы сопоставим отмеченную
точку хо пространства X. По условию л(хо) = х0. Рассу-
ждая по индукции, предположим, что для некоторого
i = 1, . .., п уже построена точка xt-i X, обладающая
тем свойством, что n(H-i) = Xi-i. Поскольку множество
Ui ровно накрыто отображением л и поскольку х,_] е Ui,
в пространстве X существует единственное открытое мно-
жество Oi, содержащее точку xi—\ и гомеоморфно отобра-
жающееся на множество £7/-;. Поскольку Xi е Ui, в мно-
жестве Oi существует единственная точка Xi, для которой
tt(xi) = xt. Тем самым точки xt по индукции построены
для всех i = 1, . . . , п. В частности, построена точка хп.
Заметим, что точка хп однозначно определена после-
довательностью (3). Поэтому формула
ф (xi> £/], ..., хп, Uп) хп
корректно определяет некоторое отображение множества
S' в пространство X. Если это отображение надъективно,
то определяемое им фактормножество S'/ф множества 2/
находится в биективном соответствии с пространством X.
Перенесем с помощью этого соответствия топологию про-
странства X и отображение л на фактормножество 2У/ф.
Очевидно, Что при этом все наложенные выше условия
будут выполнены, так что мы получим некоторое накры-
тие семейства {ла}. Поскольку по построению это накры-
тие изоморфно данному накрытию л, мы видим, таким
образом, что для завершения доказательства леммы 6
нам осталось лишь доказать, что отображение ф: S' -> X
надъективно. _
Рассмотрим с этой целью образ ф(2/) множества 2'
при отображении ср. Если последовательность (3) при-
надлежит 2/, то, заменив з ней точку хп произвольной
точкой множества Un, мы снова получим последователь-
ность из S'. Это показывает, что вместе с точкой Хп
множество ®(2/) содержит и всю ее окрестность £7ге
(см. выше). Следовательно, множество (S') открыто.
Пусть теперь х — произвольная точка замыкания
<р(2/) множества ср (S'), и пусть U — окрестность точки
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ
187
х = гг(х)., ровно накрытая отображением л, a U-=»
окрестность точки х, гомеоморфно отображающаяся на
окрестность U. Так как xetp(S'), то ® (S')[) О =Н= 0.
Это означает, что в S' существует такая последователь-
ность (3), что хп s U и,-следовательно, хп е U. Поэтому
последовательность
t7j, .»х:г, L/х. с/)
будет принадлежать S', а ее образом при'отображении ср
будет точка х. Таким образом, х <= ф (S') и, следова-
тельно, множество <p(S') замкнуто.
51вляясь открытым и замкнутым (непустым) подмно-
жеством связного пространства X, множество cp(S') сов-
падает со всем X, так что отображение ср надъективно.
Тем самым лемма 6 полностью доказана. П
Вместе с тем, в соответствии с указанным выше об-
щим принципом, полностью обосновано (в рамках наив-
ной теории множеств) и наше построение универсального
односвязного накрытия. Тот факт, что построенное пол-
ное семейство явно содержит повторения (изоморфные
накрытия), ничему не вредит, поскольку отсутствием по-
вторений в полном семействе мы при доказательстве тео-
ремы 2 не пользовались. Впрочем, с помощью аксиомы
выбора от повторений можно легко избавиться, но это
внесет в конструкцию неприятный элемент неконтроли-
руемого произвола.
Рассмотрим в заключение вопрос о функториалыюсти
универсального накрытия.
Для любой категории С определена категория
AR-С, объектами которой являются морфизмы л:
X-* X категории С, а морфизмами — коммутативные
диаграммы вида
188
ФУНКТОРИАЛЬНОСТЬ УНИВЕРСАЛЬНОГО НАКРЫТИЯ
где f и f— морфизмы категории С. Морфизм (4) обо-
значается обыкновенно символом (7, f) и считается мор-
физмом объекта л: X -*• X в объект р: Р -> Y. Композиция
этих морфизмов определяется очевидным образом.
В частности, при С = ТОР и С —ТОР’ мы получаем
категории AR-ТОР и AR-ТОР". Полные подкатего-
рии этих категорий, объектами которых являются накры-
тия, мы будем обозначать символами COV и COV* соот-
ветственно и будем называть их категориями накрытий.
Морфизмами этих категорий являются квадраты вида
(4), в которых лир — накрытия, a f и f — непрерывные
отображения.
/Морфизмы в смысле определения 6, которые мы бу-
дем теперь называть морфизмами над X, являются част-
ным случаем морфизмов (f, f), получающимся при f —
= id. Это означает, что для любого (пунктированного}'
пространства X категория COV (X) (категория COV’ (X))'
является подкатегорией категории COV (категории
COV’).
Сопоставив каждому (пунктированному) накрытию л:
X -*• X пространство X, а каждому морфизму (J, f) ото-
бражение f, мы, очевидно, получим некоторый функтор
COV ->ТОР (функтор COV’ —► ТОР*). Для любого (пунк-
тированного) пространства X категория COV(X) (кате-
гория COV*(X)) является, очевидно, прообразом три-
виальной категории (X, id%) при этом функторе.
Пусть Н-ТОР'— полная подкатегория категории
ТОР’, состоящая из хаусдорфовых связных локально
связных и полулокально односвязных пространств, а
H-COV*—ее прообраз при функторе COV’—►ТОР*.
Другими словами, H-COV’ представляет собой пол-
ную подкатегорию категории пунктированных накрытий
COV*, состоящую из накрытий над пространством из
Н-ТОР.
Теорема 3. Существует функтор
(5) Н-ТОР’—► H-COV*,
сопоставляющий каждому пунктированному простран-
ству (X, х0) категории Н-ТОР’ некоторое его односвяз-
ное универсальное пунктированное накрытие
(6) (X, х0)->(Х, х0).
С точностью до изоморфизма этот функтор единствен.
ФУНКТОРИАЛЬНОСТЬ УНИВЕРСАЛЬНОГО НАКРЫТИЯ
189
Доказательство. На объектах мы определим
функтор (5), выбрав произвольно для каждого про-
странства (X, х0) накрытие (6). Пусть f: (X, х0)->
->(У, уо) — произвольное пунктированное отображение.
Поскольку пространство X односвязно, по теореме 1 су-
ществует единственное отображение f: (X, х0)->(У, у0),
являющееся поднятием отображения лх ° f по отно-
шению к накрытию згу и потому составляющее вместе с
f морфизм (f, f) накрытия лх в накрытие лу. Сопоставив
отображению f морфизм (f, f), мы и получим (в силу
единственности отображения 7) требуемый функтор (6).
Выбрав накрытия (6) иначе, мы получим изоморфный
функтор (тот факт, что изоморфизм будет функторным,
снова вытекает из единственности). □
Замечание 1. Изложенное построение функтора
(5) содержит малоприятный элемент произвола. Хотя
этот произвол ничему не вредит, приводя к естественно
изоморфным функторам, но при желании от него можно
избавиться, приняв за (6) коамальгаму полного семей-
ства накрытий из леммы 6. (Заметим, что соответствую-
щая конструкция однозначно определяет не только про-
странство X, но и отмеченную точку Хо.)
'Лекция 9
ГЛАДКИЕ НАКРЫТИЯ. —ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ
ГЛАДКИХ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ НАКРЫТИИ. — СУ-
ЩЕСТВОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ГЛАДКИХ НА-
КРЫТИИ. — НАКРЫТИЯ ГЛАДКИХ И ТОПОЛОГИЧЕ-
СКИХ ГРУПП. — УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НАКРЫТИЯ
ГРУПП ЛИ.— ЛЕММЫ О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУП-
ПАХ. — ЛОКАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ И НАКРЫ-
ТИЯ. — ОПИСАНИЕ ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫХ
ГРУПП ЛИ.
Применим результаты предыдущей лекции к гладким
многообразиям и к группам Ли. Для произвольного глад-
кого (связного) многообразия М его накрытия М -> М в
смысле определения 1 лекции 8, т. е. его накрытия как
топологического пространства, мы будем называть топо-
логическими накрытиями, а категорию всех таких накры-
тий будем обозначать символом COVtop(M).
Определение 1. Накрытие л: М —> М, где /й и М —
связные гладкие многообразия, называется гладким на-
крытием, если оно является гладким отображением мно-
гообразия М на многообразие М и для любого связного
открытого множества U cz М, ровно накрытого отображе-
нием л, ограничение отображения л на каждой компо-
ненте О множества л-1 (U) является диоиЬеомоосЬизмом
U.
Последнее условие означает, в частности, что любое
гладкое накрытие этально (является локальным диффео-
морфизмом).
Тривиальное накрытие R->R, xi—>х3, дает пример
негладкого накрытия, являющегося гладким . отображе-
нием.
ИЗОМОРФИЗМ КАТЕ ГОРИН
191
Категорию, объектами которой являются гладкие на-
крытия гладких многообразий, а морфизмами — их мор-
физмы (f, f) как топологических накрытий, состоящие из
гладких отображений f и f, мы будем обозначать симво-
лом COV-DIFF, а ее подкатегорию, состоящую из накры-
тий данного многообразия М и их морфизмов над М, —•
освободившимся символом COV(yVI). Символы COV’-
DIFF и COV" (?Л) будут обозначать пунктированные ва-
рианты этих категорий.
Игнорирование гладкостей определяет нам для лю-
бого гладкого многообразия М некоторый функтор
(1) СОV (М) СОVtop (Ж
Предложение 1. Функтор (1) является изоморфизмом
категорий, т. е. на объектах и морфизмах представляет
собой биективное отображение.
Доказательство. Биективность функтора (1) на
объектах означает, что для любого топологического на-
крытия л: М —>• М на М существует единственная глад-
кость, по отношению к которой л является гладким
накрытием. Для доказательства мы рассмотрите на М про-
извольную карту (U, h), для которой множество U свя-
зано и ровно накрыто отображением л. Пусть О — про-
извольная компонента множества л-1 (£7), и пусть
h — /г°^л|~\ Ясно, что пара (£7, Н) является картой на
М. Если {V, %) —другая карта такого рода, то поскольку
на множестве ^(£7QV) = k{U_[\V) имеет место равен-
ство h^h~l = h°kr1, карты (и, п) и {V, j?) друг с дру-
гом согласованы. Это показывает, что всевозможные кар-
ты вида (£7, Я) составляют атлас на М. В соответствую-
щей гладкости на М отображение л будет, очевидно,
гладким накрытием. Единственность этой гладкости не-
медленно вытекает из того, что в любой гладкости на М,
по отношению к которой л является гладким накрытием,
пары (£7, Я) являются гладкими картами.
Биективность функтора (1) на морфизмах означает
теперь, что для любых двух гладких накрытий лгшй1->-
—>Л-1 и л: М-+-М каждый их морфизм f: Л?1—»Л1 как
топологических накрытий является гладким отображе-
нием. Но после сказанного выше это уже очевидно.
192
СУЩЕСТВОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ НАКРЫТИИ
Действительно, поскольку / является накрытием (лемма 3
предыдущей лекции), на М существует атлас из таких
карт (U, /г), ровно накрытых отображением л, что все со-
ответствующие карты вида (О, 1г) на М ровно накрыты
отображением f. Это означает, что для любой карты вида
(О, п) существует на Мх карта {Ux, йх), накрывающая
карту (U, h) и такаяг что f гомеоморфно отображает Ох
на £7. Но тогда hx — h ° f, и потому в этих картах отобра-
жение f задается тождественным (и, значит, гладким)
отображением. Поэтому отображение f гладко. □
Замечание 1. Аналогичный функтор игнорирова-
ния
COV-DIFF—> COV
изоморфизмом категорий не является. На объектах
этот функтор не будет ни надъективным (из-за сущест-
вования не локально евклидовых топологических про-
странств), ни инъективным (из-за возможности введения
на одном и том же топологическом многообразии многих
различных гладкостей), а его образ не будет полной под-
категорией категории COV. Можно лишь утверждать (в
порядке прямого обобщения касающегося морфизмов_ут-
верждения предложения 1), что если для морфизма (f, f)
гладкого накрытия яг. в гладкое накрытие л:
М —М отображение f гладко, то отображение f также
гладко. Действительно (ср. с доказательством предло-
жения 1), для любых двух карт {Ux, hi) и (£7, h) много-
образий Мх и М отображение f задается в-Соответствую-
щих накрывающих картах (<7i,/ii) и (£7, Я) теми же
(и потому гладкими) функциями, что и отображение /в
картах (6’1, hx) и (£7, h) (здесь предполагается, конечно,
что f(Ox) cz О и, значит, /(£7-) cz U). □
Любое гладкое многообразие, будучи локально евкли-
довым топологическим пространством, локально связно.
Оказывается, что, кроме того, оно полулокально одно-
связно и даже локально односвязно, т. е. обладает базой,
состоящей из односвязных открытых множеств. Это не-
медленно вытекает из следующей леммы:
Лемма 1. Единичный куб Q пространства К" {безраз-
лично, открытый или замкнутый) является односвязным
пространством.
СУЩЕСТВОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ НАКРЫТИИ
193
Докажем предварительно следующую лемму:
Лемма 2. Если односвязные (и связные) пространства
X и Y хаусдорфовы и локально связны, то их произве-
дение X X У также односвязно.
Доказательство. Пусть л: Z -+ X X ¥ —• произ-
вольное накрытие пространства X X ¥. Нам нужно по-
казать, что это накрытие тривиально, т. е. (предложе-
ние 4 лекции 8), что оно обладает сечением а; X X Y —
Выберем (и зафиксируем) произвольные точки х0 е
el, г/ое У и гое л-1 (х0, Уо)- Согласно теореме 1 суще-
ствует единственное отображение
(У, y0)~+(Z, So),
обладающее тем свойством, что (л°т)(у) = (х0, у) для
любой точки у е Y (это отображение является не чем
иным, как поднятием отображения у у—>(xQ,y) связного
локально связного и односвязного пунктированного про-
странства (У, уо) в хаусдорфово пунктированное про-
странство (XX ¥, (%о, Уо))). По аналогичным соображе-
ниям для любой точки у У существует единственное
отображение
(X, х0)->(2, т(у)),
обладающее тем свойством, что
(Л ° Оу) (х) = (х, у)
для каждой точки х е X. Но тогда отображение
о: ХХУ->Х,
определенное формулой
о (х, у) = Оу (х), (х, у)<= XX Y,
будет, очевидно, удовлетворять соотношению л ° о — id.
Поэтому для завершения доказательства нам осталось
лишь показать, что отображение о непрерывно.
Для этого достаточно показать, что образ А = о(Х X
X У) пространства XX У при отображении о является
открытым подмножеством пространства Z. Действитель-
но, тогда любая точка ге А будет иметь окрестность W,
целиком содержащуюся в А, и образ л(1^) этой окрест-
7 М. М. Постников
194
СУЩЕСТВОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ НАКРЫТИЙ
ности при отображении л будет окрестностью точки л (zj,
отображающейся посредством о на окрестность W.
Выбрав произвольную точку ух е У, рассмотрим под-
множество a,Jt (X) множества Z (гомеоморфное, как мы
знаем, пространству X). Пусть В — множество всех вну-
тренних точек множества А, принадлежащих подмноже-
ству сгш(Х). Нам нужно доказать, что В — аУ1 (X). По-
скольку В открыто в аУ1(Х), для этого достаточно пока-
зать, что В не пусто и замкнуто в сг^, (X).
Пусть 21 (Jy (X), И пусть Л (21) = (%1, Ух). В X и У
существуют такие связные окрестности U и V точек Х\ и
•Ух, что U X У ровно накрыто отображением л. Пусть
W — компонента точки 2] в л-1 (17 X Ю- Ясно, что
IF= U Щу),
y^V
где С(у)' — U7 П л-1 (U X {£/}), причем каждое из мно-
жеств О (у), либо не пересекается с А, либо целиком в А
содержится.
В случае, когда Xi = л'о, множества О (у) являются
не . чем иным, как пересечениями с W множеств :
U(y)=W(]Ol/(X).
Поэтому в этом случае О (у) сд А и, следовательно,
1F сд А. Поскольку W открыто в Z, это означает, что
точка 21, для которой хх — Xq, принадлежит В. Следова-
тельно, множество В не пусто.
Пусть теперь точка zi принадлежит замыканию В
множества В. Тогда множество О (ух) (являющееся ок-
рестностью точки 21 в оУ1 (X)) пересекается с В. Пусть
г2 В П U (У\), и пусть л(г2) — (х2, у2). Поскольку точ-
ка 2з является внутренней точкой множества А, в про-
странстве У существует такая окрестность V' точки ух,
что V' сп У и пересечение W Л л-1 ({х2} X Ух) содержится
в А. Это означает, что для любой точки у е V' множе-
ство О (у) пересекается с А. Но тогда необходимо O(y)cz.
сд А. Следовательно, множество
= U Щу)
y^v'
содержится в А, Множество W', очевидно, открыто в Z'
СУЩЕСТВОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ НАКРЫТИИ
195
В содержит точку гь Поэтому е В. Следовательно*
множество В замкнуто. □
Теперь мы можем доказать и лемму 1.
Доказательство леммы 1. В силу леммы 2
достаточно рассмотреть случай, когда куб Q одномерен,
т. е. является отрезком оси R. Пусть сначала этот отре-
зок замкнут. Тогда для любого накрытия л: Q суще-
ствует конечное покрытие отрезка Q ровно накрытыми
открытыми (в Q) интервалами Д, .... /я. Ясно, что эти
интервалы можно занумеровать последовательно, т. е.
так, чтобы для любого k, == 1, ..., п объединение /* ин-
тервалов Д, было связным, и, значит, тоже было
интервалом. Тогда пересечения /йПД-н будут связны, и
потому {п—1)-кратное применение следствия! из пред-
ложения 1 предыдущей лекции даст нам, что интервал
/я “ Q ровно накрыт отображением л. Следовательно,
накрытие я тривиально, и потому отрезок Q односвязен.
Открытый же отрезок Q является объединением воз-
растающей последовательности замкнутых отрезков, над
каждым из которых накрытие л тривиально, т. е. яв-
ляется гомеоморфизмом. Поэтому л будет гомеоморфиз-
мом и над всем Q. Таким образом, открытый отрезок Q
также односвязен. □
Следствие. При г. 2 сфера Sn односвязна.
Доказательство. Пусть р и q — две диамет-
рально противоположные точки сферы S", и пусть £7—
= 5/г\{р} и V = Открытые множества U и V
гомеоморфны открытому n-мерному кубу и потому одно-
связны. Их пересечение U fl V = Sn X ({/?} fj {<?}) гомео-
морфно произведению S"-1 X (0> О экватора Sn~l сферы
Sn на открытый отрезок (0, 1) и потому связно (при
п—1 X 1). Следовательно, согласно следствию 2 тео-
ремы 1 лекции 8, сфера Sn = U (J V односвязна. □
Пусть H-DIFF — категория пунктированных гладких
хаусдорфовых многообразий. По доказанному функтор
игнорирования гладкости отображает эту категорию в ка-
тегорию Н-ТОР*. Комбинируя этот функтор с функтором
из теоремы 3 предыдущей лекции, мы каждому многооб-
разию М сопоставим некоторое односвязное накрытие
70 -* М. Согласно предложению 1 в это накрытие единст-
венным образом вводится структура гладкого накрытия.
Ясно, что тем самым мы получаем некоторый функтор из
196
НАКРЫТИЯ ГЛАДКИХ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
категории H-DIFF’ в категорию H-COV’ пунктированных
накрытий над хаусдорфовыми многообразиями.
Сформулируем этот факт в виде отдельной теоремы:
Теорема 1. Существует функтор
H-DIFF’—> H-COV’,
сопоставляющий каждому пунктированному хаусдорфо-
вому многообразию М его односвязное универсальное
пунктированное накрытие
С точностью до изоморфизма этот функтор единствен. □
Перейдем теперь к группам Ли. Понятие накрытия
для групп Ли вводится следующим определением:
Определение 2. Пусть G и G — связные группы Ли.
Гладкое накрытие л: G —> G называется групповым на-
крытием, если оно является гомоморфизмом групп.
Аналогичным образом понятие группового накрытия
вводится и для случая, когда G и G являются связными
топологическими группами.
Морфизмами групповых накрытий называются их
морфизмы (f, f) как гладких (или топологических) на-
крытий, для которых отображения f и f являются гомо-
морфизмами.
Поскольку в каждой группе естественным образом
выделяется отмеченная точка — ее единица — и по-
скольку любой гомоморфизм переводит единицу в еди-
ницу, все групповые накрытия и все их морфизмы авто-
матически пунктированы.
Все групповые накрытия групп Ли (или топологиче-
ских групп) и все их морфизмы составляют категорию
COV-GR.
Любая группа Ли G определяет подкатегорию катего-
рии COV-GR, объектами которой являются групповые на-
крытия группы G, а морфизмами — морфизмы из COV-
GR вида (Л id). Эту подкатегорию мы, не боясь опреде-
ленной двусмысленности, будем обозначать символом
COV(G) (а категорию накрытий группы G как гладкого
хаусдорфова пунктированного многообразия — символом
COVdlff(G)).
НАКРЫТИЯ ГЛАДКИХ. И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
197
Оказывается, что подобно функтору (I) функтор иг-
норирования
(2) COV (G)—> COVdift (G)
является изоморфизмом категорий.
Мы докажем это утверждение лишь частично.
Для любого группового накрытия л: G —> G отобра-
жения
(3)
ц: GXG—>G, (х, уУ^-ху,
v: G—> G, хь-^х~1,
являются поднятиями (относительно л) отображений
ц: GXG—> G, (х, у) лх ‘ лу,
v: G^-G, х—> (лх)~*.
Так как эти поднятия однозначно характеризуются
(предложение 3 предыдущей лекции) условиями
(4) й (ё, ё) — ё, v (ё) = ё,
где ё—единица группы G, то функтор (2) на объектах
является инъективным отображением.
Чтобы доказать его биективность, нужно для любого
пунктированного накрытия л: (G, £)->(Gdiff, е), где
Gdiff — группа G, рассматриваемая как гладкое мно-
гообразие, а е — ее единица, показать, что в многообра-
зие G можно ввести строение группы Ли, по отношению
к которому л будет групповым накрытием. Ясно, что для
этого следует рассмотреть отображения ц и v (построе-
ние которых не предполагает, что G является группой) и
их поднятия ц и v, удовлетворяющие соотношениям (4).
Предположим, что поднятия ц и v существуют.
Так как отображения Д = лоц и v = n°v гладки, а
л является локальным диффеоморфизмом, то отображе-
ния р и v также гладки. Кроме того, ясно, что по отно-
шению к операциям
ху = (Цх, у) и x~l — v(x)
отображение л является гомоморфизмом. Поэтому л бу-
дет групповым накрытием, если мы покажем, что эти опе-
рации удовлетворяют аксиомам группы.
Так как (л°ц)(х, ё) = л(х) и (л°ц)(ё, х) = л(х), то
отображения хь->ц(ё, х) и xt—>ц(х, ё) являются
198
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НАКРЫТИЯ ГРУПП ЛИ
поднятиями отображения л: G -> G, обладающими тем
свойством, что ён->ё. Но тем же свойством обладает и
тождественное отображение id: G —>• G (также являющее-
ся поднятием отображения л). Поэтому в силу единствен-
ности поднятий (предложение 3 лекции 8) имеют место
равенства ц(х, ё) ~ Ц (ё, х) ~ х, т. е. равенства хё —
= ёх — х, означающие, что точка ё является единицей
умножения ц.
Аналогично оба отображения (х, у, z)>—>(xy)z и
(х, у, z) *—>х(уг) являются поднятиями одного и того же
отображения (х, у, z)t—»лх-лу-яд, причем точку (ё,ё,ё)
оба эти отображения переводят в одну и ту же точку ё.
Поэтому (xy)z = x(yz) для любых элементов х, y,z G,
так что умножение ц ассоциативно.
Наконец, отображение х >—> хх-1 является непрерыв-
ным отображением связного пространства G в дискрет-
ное пространство л~*(е)> переводящим ё в ё. Поэтому
хх~1 — ё для любого х е G.
Следовательно, G является группой. □
Таким образом, вопрос с надъективности функтора
(2) на объектах упирается в вопрос о существовании
поднятий (3). Мы не будем доказывать их существова-
ния в полной общности, а ограничимся случаем, когда
многообразие <5 односвязно.
В этом случае существование поднятий ц и v обеспе-
чивается теоремой 1 предыдущей лекции, поскольку, со-
гласно лемме 2, для односвязного многообразия G про-
изведение G X G также односвязно.
Тем самым нами доказано следующее предложение:
Предложение 2. Пусть G — группа Ли ил: G -> G —>
ее односвязное гладкое накрытие как гладкого пунктиро-
ванного многообразия. Тогда в гладкое многообразие G
можно единственным образом ввести умножение, по от-
ношению к которому оно будет группой Ли, а отображе-
ние л будет гомоморфизмом (и, следовательно, группо-
вым накрытием). □
Что же касается утверждения о биективности функ-
тора (2) на морфизмах, то оно равносильно утвержде-
нию. что для любых двух групповых накрытий л: G -+ G
и л-: G'-, —> G любой их морфизм f: G-+-G1 как глад-
ких накрытий является гомоморфизмам G-+G\. Мы
ЛЕММЫ О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
199
докажем даже более общий результат, относящийся
к накрытиям л: G —> G и р: Н —> Н двух, вообще говоря,
различных групп Ли G и Н и к произвольному морфизму
(7, f) категории COV’-DIFF накрытия л в накрытие р:
G----*--
-р
Оказывается, что если f является гомоморфизмом групп,
то и / будет гомоморфизмом групп. Действительно, ото-
бражения G G Н, задаваемые формулами (х, у) ।—>
*—и {х, У) оба являются поднятиями
одного и того же отображения
(х, у) н-> f (х) f (у) = f (ху), где х = л(х), у = п(у)
и поэтому совпадают. □
Отсюда непосредственно следует, что теорема 1 со-
храняется и для групп Ли:
Теорема 2. Существует функтор GR-DIFF -> GR-DIFF,
сопоставляющий каждой связной группе Ли G ее одно-
связное групповое накрытие
nG: G —> G.
С точностью до изоморфизма этот функтор единствен, '
Ядро Кег ла накрытия л<?: G -> G однозначно (с точ-
ностью до изоморфизма) определено группой Ли G. Оно
называется фундаментальной группой (или группой Пу-
анкаре) этой группы и обозначается символом Л1G (мож-
но показать, что группа лаб? совпадает с известной из
топологии фундаментальной группой rtiGtop, где Gtop —
группа G, рассматриваемая как топологическое простран-
ство; см. [7]).
Для применений, которые мы имеем в виду, удобно
теорему 2 переформулировать в более алгебраических
терминах. Для этого нам понадобятся несколько простых
лемм о топологических группах.
Лемма 3. Каждая открытая подгруппа Н произволь-
ной топологической группы G замкнута.
500
ЛЕММЫ О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Доказательство. Поскольку подгруппа И от-
крыта, каждый смежный класс Нх группы G по подгруп-
пе Н также открыт. Поэтому объединение любого семей-
ства этих смежных классов является открытым множест-
вом. В частности, открытым множеством является
объединение всех смежных классов Нх, отличных от са-
мой подгруппы Н. Но это объединение является дополне-
нием в G к подгруппе Н. Поэтому подгруппа Н зам-
кнута. □
Лемма 4. Каждая окрестность V единицы связной то-
пологической группы G порождает группу G.
Доказательство. Пусть Н — подгруппа, поро-
жденная окрестностью V. Так как Vx cz Н для любого
.г е Я, то подгруппа Н открыта. Но тогда, согласно лем-
ме 3, подгруппа Н также замкнута. Следовательно, Н =
~ G, ибо по условию группа G связна. □
Напомним, что для любой инвариантной подгруппы
(нормального делителя) К топологической группы G
факторгруппа G/К снабжается фактортопологией, в ко-
торой множество V cz G/К открыто тогда и только тогда,
когда в G открыт его полный прообраз л-1(У) при есте-
ственном эпиморфизме л: G G/К. По отношению к этой
топологии факторгруппа GIK является топологической
группой.
Лемма 5. Для любой инвариантной подгруппы К a G
естественный эпиморфизм л: G G/К является откры-
тым отображением. Для любого открытого эпиморфизма
Ф: G —> Н факторгруппа G/К группы G по ядру К =
~ Кег Ф эпиморфизма Ф изоморфна группе Н. Изомор-
физм <р: G/K—^H можно выбрать так, чтобы имела ме-
сто коммутативная диаграмма
Доказательство. Если U открыто в G, то мно-
жество UК, являясь объединением открытых множеств
Их, х е К, также открыто в G. Но ясно, что UK =
= л-1(лЯ). Поэтому множество лП открыто в GIK. Этим
первое утверждение доказано.
ЛОКАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ И НАКРЫТИЯ
201
Ясно, что формула ср{хК) — Ф(х) корректно опреде-
ляет алгебраический изоморфизм <р: G/KН, для кото-
рой диаграмма (5) коммутативна. Поэтому нам нужно
лишь доказать, что ср является гомеоморфизмом.
Но если V открыто в Н, то Ф-1 (V) открыто в G (ибо
Ф непрерывно), а так как л открыто, то п(Ф-1(1/)) =
= cp~l (V) открыто в G/К. Аналогично, если W открыто
в G/К, то л-Ци?) открыто в G, а так как Ф по условию
открыто, то Ф(л~1 (W)) = cp(W) открыто в Н. Следова-
тельно, ф является гомеоморфизмом. □
Определение 3. Пусть G и Н — связные топологиче-
ские (или гладкие) группы. Гомоморфизм Ф: G Н
группы G в группу Н мы будем называть локальным изо-
морфизмом, если некоторую окрестность U единицы
группы G гомоморфизм Ф биективно отображает на не-
которую окрестность V единицы группы Н.
Поскольку, согласно лемме 4, группа Н порождается
окрестностью V, каждый локальный изоморфизм Ф яв-
ляется эпиморфизмом, а поскольку этот эпиморфизм, бу-
дучи локальным диффеоморфизмом, открыт, к нему при-
менима лемма 5. Поэтому группа Н изоморфна фактор-
группе G/К, где X = Кег Ф. При этом по условию К П
П V — {е}, что по определению означает, что подгруппа
X является дискретной подгруппой группы G. Обратно,
если К — дискретная инвариантная подгруппа группы G,
то естественный эпиморфизм л: G-+GIK является, оче-
видно, локальным изоморфизмом. В силу леммы 5 этим
доказано, что локальный изоморфизм G Н существует
тогда и только тогда, когда группа Н изоморфна фактор-
группе G/К группы G по некоторой дискретной инва-
риантной подгруппе К.
Примером локального изоморфизма будет, очевидно,
любое групповое накрытие G-+H. Обратно, произволь-
ный локальный изоморфизм Ф: G —> Н будет групповым
накрытием, поскольку он ровно накрывает предусмотрен-
ную определением 3 окрестность V (в силу леммы 5 без
ограничения общности можно считать, что Н — G/К, где
К — Кег Ф, и что Ф является естественным эпиморфиз-
мом л; G—>G/K; но тогда
ф-1(У) = иК= U Ux,
х&К
2Э2
ЛОКАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ И НАКРЫТИЯ
где открытые множества Ux cz G не пересекаются и каж-
дое из них гомеоморфно отображается на U) и потому
ровно накрывает окрестность Vh произвольного элемента
h е Н. Таким образом, групповые накрытия, и локальные
изоморфизмы — это одно и то же.
Ясно, что последнее утверждение справедливо и Для
групп Ли. Более того, легко видеть, что если нам дано
групповое накрытие (= локальный изоморфизм) G^H,
где Н — топологическая группа, a G — группа Ли, то в И
единственным образом вводится гладкость, по отноше-
нию к которой И является группой Ли, а отображение
G Н гладким накрытием. В частности, для любой дис-
кретной инвариантной подгруппы К группы Ли G фак-
торгруппа GiK оказывается, тем самым, группой Ли, и
потому для любого локального изоморфизма Ф: G И
групп Ли коммутативная диаграмма (5) является диа-
граммой над категорией групп Ли.
Все это означает, что для групп Ли (так же как и для
топологических групп) справедливо следующее предло-
жение:
Предложение 3. Отображение Ф: G -> Н связных
групп тогда и только тогда является групповым накры-
тием, когда'.
а) оно представляет собой локальный изоморфизм',
или, что равносильно, когда
б) имеет место коммутативная диаграмма (5), где
К — дискретная инвариантная подгруппа, л — естествен-
ный эпиморфизм, а ср — некоторый изоморфизм. □
В сзязи с этим предложением особый интерес приоб--
ретает следующая — несколько неожиданная — лемма:
Лемма 6. Каждая дискретная инвариантная подгруп-
па К произвольной связной топологической {и, в частно-
сти, гладкой) группы G принадлежит центру этой группы
(и, в частности, абелева).
Доказательство. Пусть х е К, и пусть U —
окрестность элемента х, не содержащая никаких других
элементов из К. Рассмотрим окрестность V единицы
группы G, обладающую тем свойством, что VxV~l сп U.
(Существование такой окрестности немедленно вытекает
из непрерывности отображения у —>уху~х.) Так как под-
группа К инвариантна и [/[)/<= {е}, то уху-1 = х для
любого элемента у е V. Это означает, что централизатдр
СПИСАНИЕ ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫХ ГРУПП ЛИ
.203
элемента х (подгруппа всех элементов, перестановочных
.с х) содержит окрестность V. Следовательно, поскольку
. V порождает G, этот централизатор совпадает с Од зна-
чит, х лежит в центре группы G. □
Следствие. Фундаментальная группа niG каждой
связной группы Ли G является абелевой группой. □
Теперь мы уже можем сформулировать нашу оконча-
тельную теорему. В этой теореме мы называем связные
группы Ли G и Н локально изоморфными, если сущест-
вуют локальные изоморфизмы вида Р—> G и Р-*-Н, где
Р — некоторая связная группа Ли.
Теорема 3. Для любой связной группы Ли G суще-
ствует локально изоморфная ее односвязная группа Ли
G, функториально зависящая от G.
С точностью до изоморфизма группа G определена
единственным образом.
Две связные группы Ли G и Н тогда и только тогда
локально изоморфны, когда группы G и Н изоморфны.
Связная группа Ли тогда и только тогда локально
изоморфна группе G, когда она изоморфна факторгруп-
пе G/К группы G по дискретной (и потому центральной)
инвариантной подгруппе Д.
Доказательство. Первые два утверждения яв-
ляются, в силу предложения 3, лишь иной формулиров-
кой теоремы 2.
Если Р -> G и Р Н — локальные изоморфизмы и
Р Р — односвязное универсальное накрытие, то состав-
ные отображения РG и Р —Н также будут универ-
сальными накрытиями. Поэтому Р » G яз Н. Обратно,
если G х Й, то имеют место локальные изоморфизмы
Р—и Р —> Н с Р — G. Это доказывает третье утвер-
ждение.
Четвертое утверждение вытекает из третьего в силу
предложения 3. □
Из теоремы 3, в частности, следует, что отношение ло-
кальной изоморфности является отношением экивалент-
ности.
Группа G называется односвязной накрывающей груп-
пой группы G.
Лекция 10
ЛОКАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ
ЛОКАЛИЗАЦИЙ.—ТЕОРЕМА КАРТАНА. — ОКОНЧА-
ТЕЛЬНАЯ ДИАГРАММА КАТЕГОРИЙ И ФУНКТО-
РОВ,—РЕДУКЦИЯ ТЕОРЕМЫ КАРТАНА.—ГЛОБАЛИ-
ЗУЕМОСТЬ ВЛОЖИМЫХ ГРУПУСКУЛ,—СВЕДЕНИЕ
ТЕОРЕМЫ КАРТАНА К ТЕОРЕМЕ АДО.
Теорема 3 предыдущей лекции дает нам вполне удо-
влетворительное описание классов локально изоморф-
ных групп Ли, но имеет тот недостаток, что формально
это не те классы, которые были введены в лекции 3, т. е.
не классы групп Ли, изоморфных в категории GR-LOC
групускул. Поэтому мы должны дополнительно доказать
совпадение обоих понятий локальной изоморфности.
Ключом к этому является следующее предложение:
Предложение 1. Пусть G и Н — связные группы Ли,
U — связная окрестность единицы в группе G и <р: U —>•
Н— такое гладкое отображение, что ср(ху) =
= ср(х)ср(г/) для любых элементов х, y^.U, для кото-
рых ху е U. Тогда, если группа G односвязна, то суще-
ствует единственный гомоморфизм Ф: G-+-H, продол-
жающий отображение ср, т. е. такой, что
ф|у = ф.
Для доказательства этого предложения мы рассмот-
рим подмножество D произведения G X G, состоящее из
всех пар (хь х2) е G X G, для которых Xi.t'T1 s U. Это
подмножество, очевидно, открыто и содержит диагональ
Дс GXG. Так как D является объединением связных
множеств вида {х} X x ge G, каждое из которых пе-
ЛОКАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ
205
ресекает диагональ А, также являющуюся связным мно-
жеством (гомеоморфным группе G), то множество D
связно.
Подмножество V группы G мы назовем малым, если
VX Vc т. е. если W-1 ст U, а подмножество W про-
изведения G X Н групп G и Н мы назовем отмеченным,
если для любой точки (х, у) е W существует в G такая
малая окрестность V точки х, что
(о, ср (ох-1) у) *= W для любой точки о s V.
Ясно, что:
а) пустое множество отмечено;
б) все произведение G X Н отмечено;
в) объединение любого семейства отмеченных мно-
жеств отмечено;
г) пересечение любого конечного семейства отмечен-
ных множеств отмечено.
Поэтому отмеченные множества мы можем принять
за открытые множества некоторой новой топологии на
произведении G X Н. Снабженное этой топологией про-
изведение G X Н мы обозначим символом X
Пусть
л: X-> G
— отображение, определенное формулой
л (х, у) — х, (х, у) <= X.
Ясно, что для любого открытого множества V cz G мно-
жество л-1(У) отмечено, а для любого отмеченного мно-
жества W ст X множество л(П^) открыто. Это означает,
что отображение л непрерывно и открыто.
Для любого малого открытого множества V ст G, лю-
бого элемента х0 е V и любого элемента у0 Н обозна-
чим символом W(х0, V, уо) множество всех пар вида
(х, ср (хх^1) г/о), где х s V. Легко видеть, что множество
IF(x0, V, уо) отмечено. Действительно, если (х, у) s
е W (х0, V, уо), т. е. если х е V и у = гр (хх^1) у0, то для
любой точки v е V имеет место равенство
qp (их-1) у = ф (их-1) ф (хх0-1) у0 = ф (ох-1) у0,
показывающее, что (о, ф (ох-1) у) s W (х0, V, у0).
206 л
ЛОКАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ
Ясно, что (х0, Уо) е W (х0, V, Уон т. е. W (хо, V, Ур)
является окрестностью точки (х0, г/.э) в пространстве X.
Очевидно, что л гомеоморфно отображает эту окрест-
ность на окрестность V. С другой стороны, легко видеть,
что множество л-1 (У) является объединением всевоз-
можных множеств вида W (х0, V, у'), где х0 s W фикси-
ровано, а у е Н пробегает всю группу Н, причем ника-
кие два из этих множеств не пересекаются (если сущест-
вует точка (х, у} s W (х0, V, г/1)П^(х0, V, у2), то
Ф (хх0-1)у1 = г/ = <р(хх^5)^2> и потому yi=y2).
Все это означает, что каждое малое открытое множе-
ство V сп G ровно накрыто отображением л. Поскольку,
любой элемент группы G обладает, очевидно, малой ок-
рестностью, тем самым доказано, что отображение л:
X -> G является слабым накрытием. Поэтому, согласно
лемме 2, лекции 8 для любой компоненты Хо простран-
ства X отображение
Xg —> G
«о = л ~
1ло
является накрытием. Мы выберем за Х$ компоненту, со-
держащую точку (ва, Сн), где еа и ен — единицы групп G
и Н соответственно.
Вспомним теперь, что по условию группа G одно-
связна, и потому любое ее накрытие тривиально, т. е. яв-
ляется гомеоморфизмом. В частности, гомеоморфизмом,
является накрытие л0. Обратный гомеоморфизм л^1 каж-
дую точку х е G переводит в некоторую точку простран-
ства Хо, имеющую вид (х, у), где t/е Н. Следовательно,
положив ф(х) — у, мы получим некоторое однозначно
определенное непрерывное отображение
Ф: G—>H.
Таким образом, для любой точки х <= G точка Ф(х) Н
однозначно характеризуется тем, что (х, Ф(х)) <= Хо. По-
этому, в частности, Ф(ес) = ен.
Пусть D* — подмножество множества D, состоящее
из всех точек (xt, х2)<= D, для которых
(1)
Ф (х2) = ф (х^х-1) Ф (xj.
ЛОКАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ
207
Ясно, что A er D*, так что множество D* не пусто. Кроме
того, легко видеть, что для любого малого связного от-
крытого множества У cz G имеет место включение
У X V cz D*.
Действительно, для любой точки ха е V отмеченное мно-
жество W (хо, У, Ф(л'о)) связно (будучи гомеоморфным
множеству V) и содержит точку (х0, Ф (х0)) s Яо. По-
этому W (хс, V, Ф (х0)) сд Яс, т. е. для любой точки х е V
точка (х, ф (хх~*) Ф (х0)) лежит в Яо. Но по сказанному
выше каждая точка из Яо единственным образом пред-
ставляется в виде (х, Ф(х)). Поэтому Ф(х) =
= ф (хх~*) Ф (х0), что равносильно включению (х0, х)е
s D*. Следовательно, У % V cz D\ □
Далее, легко видеть, что если произведение V X V'
двух связных малых открытых множеств У, У' пересе-
кается с D*, то оно содержится в D*. Действительно, если
(х, xD) е D*, (х0, хб) D* и (хб, х') (= D*, то (х, х') е D*
(ибо. Ф (х') = ф (л-%-1) Ф (х') = ф (хх;-1) ф (х'х-1) Ф-(х0) =
==ф(х'х~1)ф(хох~1)ф(х) = (р(х'х~1)ф(х)). С другой сто-
роны, если (хо, хб) е У X У' и (х, х') е У X У', то по-
дсказанному (х, х0) ст D* и’(хб, /)еО’. Поэтому, если,
кроме того, (хо, хб) е D*, то (х, х') D*. О
Поскольку множества вида V X V' составляют, оче-
видно, базу подпространства D, отсюда непосредственно
вытекает, что множество D* открыто и замкнуто в D. По-
скольку D связно, a D* не пусто, это возможно только
тогда, когда D* = D. Таким образом, равенство (1)
имеет место для любой то ЦК, II (хь х2) е= D.
Теперь у нас все уже готово для доказательства пред-
ложения 1.
Доказательство предложения I. Един-
ственность гомоморфизма Ф немедленно вытекает из
того, что (см. лемму 3 лекции 9) группа G порождается
окрестностью U: Поэтому нам нужно доказать лишь его
существование.
Покажем, что искомым гомоморфизмом является по-
строенное выше отображение Ф.
Положив в равенстве (1) Xi = е0 и х2 == х, мы немед-
ленно получим, что Ф(х) = <р(х) для любого элемента
х е У. Поэтому предложение 1 будет доказано, если мы
208
ЛОКА Л ЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ
покажем, что отображение Ф является гомоморфизмом,
т. е. что для любых элементов х, х' е G имеет место фор-
мула
(2) Ф (х, х') = Ф (х) • Ф (х').
С этой целью мы заметим, что при х s U равенство
(2) имеет место при любом х's G (ибо (х', хх') D, и
потому Ф(хх') = ф(х)Ф(х') — Ф(х)Ф(х')). С другой
стороны, поскольку группа G связна, она порождается
окрестностью единицы U f) U~l, и потому каждый эле-
мент х е G может быть представлен в виде
X — JV 1X2 • • • X л j
где Xi, x2, . . . , xn^ U. Поэтому очевидная индукция по-
казывает, что
(3) Ф(хх') = Ф(.Г1) . .. Ф (хп) Ф(х')
для любого элемента х' е G. В частности, при х' = еа
ф (х) = Ф (Xi) . . . Ф (х„),
что вместе с (3) доказывает (2). □
Фигурирующее в предложении 1 отображение <р пред-
ставляет собой не что иное, как гомоморфизм групускулы
Gioc в групускулу /fioc, где Gioc и Н]ОС — образы групп G
и Н при функторе локализации
(4) GR0-DIFF —> GR-LOC,
а отображение Ф — гомоморфизм группы G в группу Н,
переходящий под воздействием функтора (4) в гомомор-
физм ср. Следовательно, предложение 3 является не чем
иным, как утверждением, что — в случае, когда группа G
односвязна, — для групп G и Н выполнено условие пол-
ной унивалентности функтора (4). Поэтому, если мы ог-
раничимся полной подкатегорией GRoo-DIFF категории
GRo-DIFF, состоящей из односвязных групп Ли, то это
условие будт выполнено без всяких оговорок. Таким об-
разом, на категории GRoo-DIFF функтор локализации
(5) GRoo-DIFF —> GR-LOC
вполне унивалентен.
Но легко видеть, что любой вполне унивалентный
функтор устанавливает биективное соответствие между
ТЕОРЕМА КАРТАНА
209
изоморфизмами и потому, в частности, только изо-
морфные объекты переводит в изоморфные. Примени-
тельно к функтору (5) это означает, что односвязные
группы Ли тогда и только тогда изоморфны, когда изо-
морфны их локализации.
Отсюда непосредственно вытекает утвердительный
ответ на вопрос, поставленный в начале лекции: связные
группы Ли тогда и только тогда локально изоморфны в
смысле лекции 3 (т. е. имеют изоморфные локализации),
когда они локально изоморфны в смысле теоремы 3 лек-
ции 9. Действительно, каждый локальный изоморфизм
в смысле определения 3 лекции 9 будет, очевидно, изо-
морфизмом локализаций. Поэтому, в частности, локали-
зации любой группы Ли G и ее универсальной накры-
вающей группы G изоморфны:
Gloc G1OC-
Следовательно, если Gioc ~ Я|ос, то Gioc ~ Дос и, зна-
чит, по сказанному выше, G « R, так что группы G и Н
будут локально изоморфны. □
Таким образом, в теореме 3 лекции 9 под «локальной
изоморфностью» групп Ли можно понимать изоморф-
ность их локализаций.
Это означает, что эта теорема дает полный ответ на
вопрос об обратимости функтора локализации (4):
Gioc ~ Н\ос тогда и только тогда, когда G ж Н.
В частности, на категории GRoo-DIFF односвязных групп
Ли функтор (5) обратим (с точностью до изоморфизма).
Однако этот результат не может считаться полным,
поскольку остается неизвестным, является ли каждая
групускула Ли локализацией некоторой группы Ли, т. е.
осуществляет ли функтор (5) эквивалентность категорий.
Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным:
Теорема 1 (теорема Картана). Функтор (5)
осуществляет эквивалентность категории GRoo-DIFF
связных односвязных групп Ли и категории GR-LOC
групускул Ли.
Следствие. Категория связных односвязных групп Ли
эквивалентна категории конечномерных алгебр Ли над
полем R. Эквивалентность осуществляется функтором Ли.
210
РЕДУКЦИЯ ТЕОРЕМЫ КАРТАНА
Это следствие является вершиной всей развиваемой
нами теории. Оно позволяет свести любой вопрос, касаю-
щийся связных и односвязных групп Ли, к соответствую-
щей проблеме об алгебрах Ли, которая, как правило,
существенно проще, являясь «линейным» аналогом ис-
ходной задачи.
Все рассмотренные нами категории и функторы со-
ставляют коммутативную диаграмму
в которой утолщенными стрелками обозначены функ-
торы, осуществляющие эквивалентность категорий.
Цифрой! в этой диаграмме обозначен функтор пере-
хода к компоненте единицы. Он отождествляет группы,
являющиеся расширениями данной связной группы Ли
посредством произвольной дискретной группы.
. Цифра 2 означает функтор перехода к универсальной
накрывающей группе. Он отождествляет группы, являю-
щиеся факторгруппами данной односвязной группы Ли
по дискретным (центральным) инвариантным подгруп-
пам.
Построенная диаграмма содержит всю существенную
информацию о взаимоотношениях между группами и ал-
гебрами Ли.
Таким образом, для завершения всей теории нам
осталось доказать лишь теорему Картана. Однако ситуа-
ция с этой теоремой оказывается очень своеобразной и,
можно сказать, совершенно неудовлетворительной.
Естественный путь доказательства теоремы Картана
состоит в построении некоторого функтора из категории
групускул (или, что равносильно, алгебр Ли) в катего-
рию односвязных групп Ли, который был бы квазиобра-
тен к функтору локализации. Однако до сих пор, несмо-
РЕДУКЦИЯ ТЕОРЕМЫ КАРТАНА
211
тря на, надо думать, многочисленные попытки (во вся-
ком случае, в Москве этим занимались довольно много),
никакой явной «естественной» (опирающейся лишь на
основные понятия) конструкции такого функтора никем
придумано не было и, скажем, Серр полагает, что ее к
не существует (см. [7] с. 259; заметим кстати, что Серр
называет теорему Картана «третьей теоремой Ли»). Все
известные доказательства (впрочем, по существу, их
только два) теоремы Картана не имеют функториального
( = «естественного») характера и вызывают внутренний
психологический протест. Здесь последнее слово явно
еще не сказано.
Упомянутые доказательства теоремы Картана опи-
раются на следующую теоретико-категорную лемму:
Лемма, 1. Пусть А и В — произвольные категории, и
пусть Г: А —> В — вполне унивалентный функтор из ка-
тегории А в категорию В. Если для любого объекта В
категории В существует такой объект А категории А,
что объект FA изоморфен объекту В, то функтор F ква-
зиобратим (осуществляет эквивалентность категорий).
Доказательство. Для каждого объекта В кате-
гории В произвольно выберем и зафиксируем предусмо-
тренный условием леммы объект А категории А и
обозначим его символом GB. Зафиксируем также произ-
вольный изоморфизм 0е: FGB —В. В силу полной унива-
лентности функтора F для любого морфизма р: B-^Bi
существует один и только один морфизм a; GB —> GBi.
для которого имеет место коммутативная диаграмма
Fas
FGB---------*FGBX
Мы положим а = 6(3.
Из единственности морфизма а немедленно следует,
что построенные соответствия В ।—> GB и р 1—> G(3 состав-
ляют функтор G: В —> А, причем изоморфизмы 0в бу-
дут, очевидно, составлять изоморфизм функтора FG с то-
ждественным функтором Id в- Кроме того, для любого
объекта А категории А равенство 9л» определяет
212
ГЛОБАЛИЗУЕМОСТЬ ВЛОЖИМЫХ ГРУПУСКУЛ
некоторый морфизм а,д: GFA-+-A, являющийся изо-
морфизмом, причем, как легко видеть, изоморфиз-
мы <хА составляют изоморфизм функтора GF с функто-
ром Id .
Следовательно, функтор G квазиобратен функ-
тору F. □
В силу этой общей леммы для доказательства тео-
ремы Картана достаточно для любой групускулы Ли по-
строить хотя бы одну группу Ли, окрестностью единицы
которой является эта групускула (или групускула, ей
изоморфная). При этом (что и определяет успех построе-
ния) можно не следить за функториальностью и допу-
скать в конструкции любой произвол.
Определение 1. Мы будем говорить, что групускула
Ли глобализуема, если она изоморфна локализации не-
которой группы Ли (т. е. изоморфна окрестности единицы
этой группы).
Таким образом, для доказательства теоремы Картана
нам нужно только доказать, что любая групускула Ли
глобализуема.
Определение 2. Групускула Ли К называется вложи-
мой, если она является подгрупускулой некоторой группы
Ли G, т. е., точнее, локализации Gioc этой группы.
Первым шагом в нашем доказательстве теоремы Кар-
тана будет следующее предложение:
Предложение 2. Любая вложимая групускула Ли К
глобализуема.
Доказательству этого предложения мы предпошлем
доказательство его аналога для топологических групп.
Пусть G — связная топологическая группа и К — та-
кое ее подпространство, содержащее единицу е группы
G, что ху «= К и х-1 «= К для любых элементов х, у «= К П
П Go, где Go — некоторая окрестность единицы группы G.
Лемма 2. Существует топологическая группа Н и инъ-
ективный гомоморфизм i: Н —> G, гомеоморфно отобра-
жающий некоторую окрестность Го единицы группы FI на
некоторую окрестность единицы е в подпространстве К,
т. е. на множество вида К П Goo, где U0Q — окрестность
единицы е в группе G.
Доказательство. Мы будем говорить, что под-
множество А с G отделено от е, если в G существует та-
ГЛОБАЛИЗУЕМОСТЬ ВЛОЖИМЫХ ГРУПУСКУЛ
213
кая окрестность U точки е, что A Л U = 0. Ясно, что
если множества А и В отделенье от е, то множество A U В
также отделено от е.
Для любого элемента g «= G мы символом As
будем обозначать множество g~lAg всех элементов
вида g'-'ag, а^А. Очевидно, что множество Ag тогда
и только тогда отделено от е, когда от е отделено мно-
жество А.
Пусть теперь Н — множество всех элементов g е G,
для которых симметрическая разность
Kg А к = (Xs \ К) и (К \ К8) = (Kg и К) \ (Ка Л К)
отделена от е. Поскольку А УС = (Л'3'А Д’)5'-1 и
/CSlg2 Д К се (А“‘ A/<)g2 U (Xs2 А 7<), это множество яв-
ляется подгруппой группы G (или, точнее, соответствую-
щей абстрактной груППЫ Gabstr).
Пусть Uoo — такая окрестность единицы е группы G,
что ху^ий для любых элементов х, z/е Goo. Тогда
g~ixg^K и gxg~l^K для любых элементов х, g^K П G00.
Поэтому, если g К Л Uoo, К8 Л Uoo, и, значит, х=
= gyg~l К Л G00, то z/= g--1xg-е К. Следовательно,
К.8 Л Uoo се К. Л Uoo, и потому /0 Л Vo се/С Л Vo, где Vo =
= G00HG3. Обратно, если х «= К Л Goo> то у = gxg~l(=K
и, значит, х — g~xyg е Kg. Следовательно, К Л UOo се
се /О Л Goo, и потому Л Vo се /С3 Л Vo. Таким образом,
К Л Vo = К8 Л Vo, т. е. (К8 А /С) Л Vo = 0. Этим доказано,
что для любого элемента g /С Л Goo множество К8 А К
отделено от е, т. е. что g <= Н. Следовательно, К Л GOq се
се Н.
Мы введем в Н топологию, принимая за окрестности
единицы всевозможные множества вида V = К Л G, где
G се Goo — произвольная окрестность единицы в G, со-
держащаяся в Uoo- Автоматическая проверка показывает,
что тем самым в Н действительно вводится топология, по
отношению к которой Н является топологической груп-
пой. При этом отображение вложения I: Н -* G будет
инъективным гомоморфизмом топологических групп, а на
окрестности Vo = /С Л GOo это отображение будет гомео*
морфизмом.
Этим лемма 1 полностью доказана. □
214
ГЛОБАЛИЗУЕМОСТЬ ВЛОЖИМЫХ ГРУПУСКУЛ
Заметим, что. вообще говоря, Н не будет под-
группой группы G, т. е, отображение 1: И -> G не будет
гомеоморфизмом на i(H). Например, если К — {е}, то Н
является группой G в дискретной топологии.
Теперь мы уже можем доказать предложение 2.
Доказательство предложения 2. Пусть
групускула К является подгрупускулой группы Ли G,
и, значит, (см. лекцию 7) в G существует такая карта
(Uo, h) — (Uq, тг'1, xn), что К Л Uо определяется
уравнениями
xm+1 —О, х” = 0.
Рассматривая G как топологическую группу, мы можем
применить к /< лемму 2. Таким образом, согласно этой
лемме существует топологическая группа Н и инъектив-
ный непрерывный гомоморфизм i: Н —> G, гомеоморфно
отображающий некоторую окрестность Vo единицы груп-
пы Н на множество К П Uoo, где С700 — окрестность еди-
ницы в группе G. При этом без ограничения общности
мы можем предполагать, что £70о = UQ.
Тогда пара (Vo, k) = (Vo, у\ .z/m), где у! (и)
= j = I. . . ., п, будет, очевидно, некоторой кар-
той на Н, содержащей элемент е V, а потому для лю-
бого элемента аеН пара(пУ0, — картой на Н,
содержащей элемент а. Если aV0 Q ЬVo 0, то на
(й о £a-t)(alzo Л &Уо) с= R"1 отображение (fe ° (й °
£д_^-3 = k о Lb-ia ° k^1 будет (ввиду того, что R771 ст R")
ограничением гладкого отображения Н°Ець-1а) ° h~l и,
значит, само будет гладким отображением. Этим дока-
зано, что все карты вида (clVq, k ° La-i} согласованы друг
с другом и потому составляют некоторый атлас на Н. Ав-
томатическая проверка показывает, что по отношению к
гладкости, определяемой этим атласом, группа Н яв-
ляется группой Ли, а отображение i — гладким гомомор-
физмом, диффеомсрфно отображающим окрестность
на К П Uo. Таким образом, Hioc К, так что групускула
К глобализуема. □
Пусть теперь К — произвольная групускула Ли, и
пусть i — 1(A) — ее алгебра Ли.
215
СВЕДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КАРТАНА К ТЕОРЕМЕ АДО
В лекции 19 мы докажем следующую теорему:
Теорема Адо. Любая конечномерная алгебра Ли {над
произвольным полем К характеристики 0) изоморфна не-
которой матричной алгебре Ли.
Согласно этой теореме мы без ограничения общности
можем считать, что I является матричной алгеброй Ли и,
следовательно, что соответствующая групускула Е1 та К.
состоит из матриц, т. е. является подгрупускулой группы
Ли GL(n). Таким образом, групускула К. вложима и по-
тому глобализуема.
Это рассуждение сводит теорему Картана к теореме
Адо. Мы докажем теорему Адо (а, значит, и теорему
Картана) в лекциях 17—20, а пока обратимся к изуче-
нию подгрупп групп Ли.
Л екция 11
ПОДМНОГООБРАЗИЯ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ.—
ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИ.—ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНО-
ГООБРАЗИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПОДРАССЛОЕНИЙ.—
МАКСИМАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРА-
ЗИЯ-—ИДЕЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1.—ЛО-
КАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЙ.— ЕДИН-
СТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ ЛОКАЛЬНО ВЫПРЯМЛЯЕ-
МОГО ПОДМНОГООБРАЗИЯ СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ,—
ПОДМНОГООБРАЗИЯ МНОГООБРАЗИЙ СО СЧЕТНОЙ
БАЗОЙ.— СВЯЗНЫЕ ГРУППЫ ЛИ ИМЕЮТ СЧЕТНУЮ
БАЗУ,—ЛОКАЛЬНАЯ ВЫПРЯМЛЯЕМОСТЬ МАКСИ-
МАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ.—ДО-
КАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.
Двумерный тор Т2 мы можем представлять себе как фак-
торгруппу аддитивной группы R2 по ее решетке Z2, со-
стоящей из точек с целыми координатами. Поэтому лю-
бая прямая в R2, проходящая через точку (0,0), даст
нам некоторую подгруппу в Т2. Если тангенс угла на-
клона прямой в R2 рационален (и равен, скажем, т/п),
то ее образ в Т2 будет окружностью, ш раз обегающей
тор по меридиану и п раз по параллели. Однако если этот
тангенс иррационален, то соответствующая подгруппа в
Т2 (она называется иррациональной обмоткой тора) бу-
дет всюду плотна в Т2 и в индуцированной топологии
каждая окрестность любой ее точки будет содержать ок-
рестность, являющуюся дизъюнктным объединением счет-
ного числа отрезков. Следовательно, эта подгруппа мно-
гообразием не будет.
ПОДГРУППЫ ГРУПП ли
217
Этот пример объясняет, почему мы принимаем сле-
дующее — на первый взгляд излишне общее — определе-
ние:
Определение 1. Гладкое многообразие N называется
подмногообразием гладкого многообразия М, если:
а) любая точка из N лежит в М, так что определено
отображение вложения i: N —
б) отображение t. N -* М гладко (и потому, в част-
ности, непрерывно);
в) дифференциал (d\,)a: Ta(N)—> Та(М) отображе-
ния i в каждой точке а <= N является мономорфизмом.
Обычно каждый вектор А Ta(N) отождествляют
с вектором (di)aA, т. е. считают Та(N) подпространством
пространства Та(М).
Ясно, что любое открытое подмногообразие является
подмногообразием в смысле определения 1. Такое под-
многообразие является подпространством, т. е. отобра-
жение вложения I является гомеоморфизмом на свой об-
раз. Однако, скажем, для иррациональной обмотки тора
это уже не так.
Определение 2. Группа Ли называется подгруппой
группы Ли G, если многообразие /7<ни является подмно-
гообразием многообразия Gdift, а группа 7/abstr — под-
группой группы Gabstr. Подгруппа Н группы Ли G назы-
вается инвариантной подгруппой, если подгруппа Наъзхт
инвариантна.
В частности, иррациональные обмотки тора являются
его подгруппами.
Пусть й = 1(G) и ^ = 1(77)— алгебры Ли групп Ли
G и Н. Если Н является подгруппой группы Ли G, то го-
моморфизм I(i): &-* й, отождествляемый с отображением
d(i)e: Те(77) —> Te(G), является мономорфизмом. Обыч-
но алгебру Ли $ отождествляют с ее образом в алгебрей
при этом мономорфизме. Таким образом, в силу этого
отождествления алгебры Ли подгрупп группы Ли G яв-
ляются подалгебрами алгебры Ли й группы G.
Соответствие Н-—>1) между подгруппами Н cz G и
подалгебрами I) сс g мы будем называть соответствием
Ли. Поскольку алгебры Ли группы и ее компоненты еди-
ницы совпадают, естественно рассматривать только связ-
ные подгруппы Н. Оказывается, что при ограничении
218
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
связными подгруппами соответствие Ли биективно. Та-
ким образом, имеет место следующая теорема:
Теорема 1. Соответствие Ли Н>—является биектив-
ным соответствием между связными подгруппами группы
Ли G и подалгебрами алгебры Ли g = 1(G).
Конечно, в этой теореме группу G можно считать
связной.
Доказательство теоремы 1 мы начнем несколько из-
далека.
Пусть Л/ — гладкое многообразие и Е— интегрируе-
мое подрасслоение касательного расслоения Т (М) (см.
лекцию 7),
Определение 3, Подмногообразие N многообразия М
называется интегральным многообразием подрасслоения
Е, если отображение вложения i: № -> М интегрально по
отношению к Е, т. е. если
Ea = Ta(N)
для любой точки а е У.
Легко видеть, что расслоение Е тогда и только тогда
интегрируемо {в смысле определения 10 лекции 7), когда
через любую точку а многобразия М проходит хотя бы
одно интегральное многообразие этого расслоения. Дей-
ствительно, ясно, что это условие достаточно для инте-
грируемости. Обратно, пусть расслоение Е интегрируемо.
Тогда оно и вполне интегрируемо (следствие из предло-
жения 6 лекции 7), т. е. (определение 13 лекции 7) мно-
гообразие М обладает атласом, состоящим из таких карт
(77, х\ хп), что для любой точки a^U векторы
( д \ ( \ л г-
кдД/ » •••> I dxm' J составляют базис пространства Еа.
Для каждой точки g = (g!, ... , En~m) е R'*-'” обозначим
через V = множество точек а е U, координаты которых
удовлетворяют условиям
ГП-Н _ С.1 п_
X ‘— £ 9 . » ., Л д
Это множество (когда оно не пусто) естественным обра-
зом наделяется структурой гладкого многообразия, диф-
феоморфного некоторому открытому множеству в R**.
Очевидно, что это многообразие является подмногообра-
МАКСИМАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 219
эием в U (а значит, и в М}, причем в любой точке а е
е подпространство Ta(Vg) натянуто на векторы
(дд-)а> ' (aP”)a' Следовательно, TO(V5) = Еа, так
что Vg является интегральным многообразием подрас-
слоения Е. Для завершения доказательства остается за-
метить, что для любой точки а U подмногообразие Vg
с § = (xm+l (а), .. ., х"(а)) содержит а. □
Подмногообразия вида Vg в дальнейшем будут встре-
чаться довольно часто. Мы будем называть их плоскими
подмногообразиями карты U.
Мы будем говорить, что подмногообразия и W2
многообразия М, имеющие общую точку a s М, локаль-
но совпадают в а, если существует такое подмногообра-
зие Ng, являющееся открытым подмногообразием как в
Mi, так и в N2, что а е No.
Легко видеть, что любые два интегральных многооб-
разия Ni и N2 интегрируемого подрасслоения Е, проходя-
щие через точку а, локально совпадают в а. Действитель-
но, пусть ii: Ni-i-M и i2: N2—М— отображения вложе-
ния. Согласно лемме 2 лекции 7 существуют такие
окрестности Vt и V2 точки а в многообразиях М» и N2 и
такой диффеоморфизм р: V'2—> Vi, что t2 = на V\. Но,
поскольку ii и i2 являются ограничениями тождествен-
ного отображения Л1 —равенство i2 = цгур возможно
только тогда, когда р = id (и, значит, Pzi = V2). Этим
все доказано, поскольку равенство ii = i2 в некоторой
окрестности точки а как раз и означает, что многообра-
зия jVj и N2 локально совпадают в а. □
Для произвольного интегрируемого векторного рас-
слоения Е рассмотрим совокупность 9? всех его инте-
гральных многообразий. Согласно сказанному выше, если
два подмногообразия Ni, N2 91 пересекаются, то для
любой точки а Ni П N2 существует такое подмногооб-
разие 7v0, что а Мо Ni П и No открыто как в Mi
так и в М2. Поскольку No 91 (открытое подмногообра-
зие многообразия из 91, лежит, очевидно, в 9J), это показы-
вает, что семейство 91 мы можем принять за базу некото-
рой новой топологии на М (открытыми множествами ко-
торой являются объединения подмногообразий из 31).
220
МАКСИМАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Многообразие М, снабженное этой топологией, мы обо-
значим символом МЕ.
Легко видеть, что тождественное отображение МЕ-+-
-> М непрерывно, т. е. любое открытое множество U cz М
открыто и в МЕ. Действительно, пусть а U, и пусть
а е N е 91. Так как N локально связно, то компонента
No множества N П U, содержащая точку а, открыта в N,
т. е. является открытым подмногообразием многообра-
зия N. Поэтому No е 91. Это показывает, что U является
объединением многообразий из 91 и потому открыто в
МЕ. □
Далее, легко видеть, что топология пространства МЕ
индуцирует на любом многообразии N е 91 (являющемся,
по определению, открытым подмножеством пространства
МЕ) исходную топологию многообразия N, так что, ины-
ми словами, каждое интегральное многообразие 7V 91
является открытым подпространством пространства МЕ.
Действительно, любая окрестность точки а е N в топо-
логии многообразия N является интегральным многооб-
разием из 91 и, значит, открытым множеством в МЕ. Об-
ратно, любая окрестность U точки а в топологии, инду-
цированной топологией пространства Me, содержит такое
интегральное многообразие Ni е 91, что а е N\. Посколь-
ку многообразия N и N\ локально совпадают в а, суще-
ствует многообразие No е 91, содержащее точку а и яв-
ляющееся открытым подмногообразием как многообра-
зия N, так и многообразия N\. Многообразие No и будет
окрестностью точки а в топологии многообразия N, со-
держащейся в окрестности U. Таким образом, исходная
топология многообразия N совпадает с топологией, ин-
дуцированной на N топологией пространства МЕ. □
Пусть теперь W — произвольная компонента связно-
сти пространства МЕ (снабженная индуцированной топо-
логией). Тогда для любой точки а е W каждое связное
интегральное многообразие N, содержащее эту точку, со-
держится в W (ибо N связно и как подпространство
В Me) .
В частности, в W содержится произвольная коорди-
натная окрестность U точки а в многообразии N. Так как
U, являясь интегральным многообразием, открыто в МЕ,
то U будет окрестностью точки а и в W. Это позволяет
каждую карту (U, h) в точке а на многообразии N счи-
ИДЕЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ I
221
тать картой и на W. Тем самым мы, очевидно, получаем
на W некоторую гладкость, согласованную с топологией.
Построенное гладкое многообразие W будет, очевид-
но, связным интегральным многообразием подрасслоения
Е, содержащим точку а и обладающим тем свойством,
что любое связное интегральное многообразие подрас-
слоения Е, содержащее точку а, содержится в W и от-
крыто в W.
Определение 4. Интегральное многообразие подрас-
слоения Е называется максимальным, если оно связно и
не содержится ни в каком другом связном интегральном
многообразии этого подрасслоения.
В частности, мы видим, что построенное интегральное
многообразие W максимально.
Этим доказано следующее предложение:
Предложение 1. Через любую точку а М проходит
единственное максимальное интегральное многообразие
W интегрируемого подрасслоения Е. Любое связное инте-
гральное многообразие подрасслоения Е, проходящее че-
рез точку а, является открытым подмногообразием мно-
гообразия W. □
Возвращаясь к группам Ли, рассмотрим произволь-
ную подалгебру I) алгебры Ли g связной группы Ли G.
Напомним, что символом a(G) мы обозначаем бесконеч-
номерную алгебру Ли всех векторных полей на G. Она
является модулем над алгеброй ST(G) всех гладких
функций на G. Для любого подрасслоения £crT(G)
векторные поля, лежащие в Е, образуют подмодуль <х{Е)
модуля a(G). Вместе с тем алгебра Ли д, а потому и ал-
гебра Ли I являются подалгебрами в a(G). Поэтому по-
рожденный подалгеброй I) подмодуль 3F(G)b будет под-
алгеброй алгебры a(G). При этом ЗГ (G)g — a(G).
В качестве первого шага в доказательстве теоремы 1
мы покажем, что для любой подалгебры I) алгебры Лиц
существует такое подрасслоение Е^ касательного рас-
слоения Т (G) , что
(1) a(£9 = ^(G)^.
Действительно, пусть £1— подпространство простран-
ства Ta(G), состоящее из векторов вида Ха, где
(здесь мы пользуемся интерпретацией алгебры g как ал-
гебры левоинвариантных векторных полей; в интерпрета-
222
ИДЕЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1
дин д = ТД£) подпространством является образ
пространства §~Te(G) при отображении (dLa)e). Ав-
тематически проверяется, что объединение
г = U Й
с® а
этих подпространств является подрасслоением расслое-
ния Т (G), обладающим свойством (1). □
Мы будем говорить, что подрасслоение порождена
подалгеброй I/
Согласно сказанному выше из (1) вытекает, что
й(£5) является подалгеброй алгебры a(G), т. е. что под-
расслоение Е5 инволютивно. Следовательно, согласно
теореме Фробениуса (предложение 5 лекции 7), подрас-
слоение Е* интегрируемо.
Если подалгебра § является алгеброй Ли связной под-
группы Н, то Н будет, очевидно, интегральным многооб-
разием подрасслоения Е\ проходящим через точку г
(как мы увидим ниже, — максимальным). Поэтому для
любой подалгебры § естественно ввести в рассмотрение
максимальное интегральное многообразие Н подрасслоег
пня и пытаться доказать, что оно является подгруп-
пой Ли с алгеброй Ли I).
Для этого в первую очередь нужно доказать, что
f/abstr является, подгруппой группы. Gabstr, т. е. что ху е
е Н и х”1 (= Н для любых элементов х, у е Н. Это без
труда делается на основании следующих общих сообра-
жений.
Пусть Ф: М.-+-М'—произвольный диффеоморфизм,
a N— подмногообразие многообразия М. Рассмотрим об-
раз N' подмногообразия N при отображении Ф. Посколь-
ку отображение Ф биективно отображает N на N'. мы
можем с помощью этого отображения перенести гладкость
с А/ на N'. Тем самым N' окажется гладким многообра-
зием, а отображение Ф будет индуцировать некоторое
диффеоморфное отображение Флг: N N't замыкающее
коммутативную диаграмму
X----^—>Nr
е
ИДЕЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1
223
вертикальными стрелками которой являются отображе-
ния вложения. Коммутативность этой диаграммы озна-
чает, что ь' = Ф о t о ф^1, откуда непосредственно следует,
что отображение t' гладко, а его дифференциал (дФ) , в
каждой точке а' (= N' является мономорфизмом. Это оз-
начает, что N' является подмногообразием многообразия
М. ТЛъг будем называть это подмногообразие образом
подмногообразия N при диффеоморфизме Ф.
Если теперь Е — произвольное интегрируемое подрас-
слоение расслоения Т(А1), то его образ Е' при диффео-
морфизме Т (Ф): Т (Af)—>- Т(ТИ') будет интегрируемым
-подрасслоением расслоения Т(M'),vl образ при диффео-
морфизме Ф любого максимального интегрального мно-
гообразия подрасслоения Е будет максимальным инте-
гральным многообразием под расслоения Е'.
Поскольку при = Л1/ = G, Е = Е^ и Ф = ЬХ (или
Ф =/, где /: G—>G— отображение хь->х-1) подрас-
слоение Е' совпадает, очевидно, с Е~Е\ отсюда сле-
дует, что максимальное интегральное подмногообразие Н
подрасслоенияЕч, проходящее через точку е, диффеомор-
физм Ф переводит в максимальное интегральное подмно-
гообразие, проходящее через точку Фе, т. е. при Фе е
е И — в то же Н. Поскольку при Ф — I, а также при
Ф = Ех, х е Н, условие Фе е Н, очевидно, выполнено,
этим доказано, что 1(H) — Н и LX(H) = Н при х е Н,
т. е. что Н является подгруппой.
Для завершения доказательства остается показать,
что Н является группой Ли, т. е. что отображения
(х, у) 1—> ху и Xi—>х-”1 гладки. По отношению к отобра-
жению Xi—> х-1 это следует из сказанного выше, но по от-
ношению к отображению (х, у) i—> ху мы можем пока
только утверждать, что это отображение гладко лишь по
х или по у в отдельности.
Неожиданно' оказывается, что доказательство глад-
кости отображения (х, у) ।—> ху в полном объеме являет-
ся довольно трудной задачей, связанной с тонкими топо-
логическими феноменами г? требующей большой предва-
рительной работы. Поэтому мы вынуждены будем опять
вернуться к основам теории.
224
ЛОКАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ ПОДМНОГООБРАЗИИ
Определение 5. Рангом гладкого отображения Ф:
N /И многообразия N в многообразие М в точке а е N
называется ранг его дифференциала
как линейного отображения линеала Та(Аг) в линеал
Та(Л4).
Пусть у1, ... , ут— локальные координаты на много-
образии N в точке а, а х1, . . ., хп — локальные коорди-
наты на многообразии М в точке Фа. Пусть, далее,
Ф! (У), • • •, Фп (У), У = (У1, • - •, Уп),
— функции, выражающие в этих координатах отображе-
ние Ф. Так как матрицей линейного отображения (б/Ф)а
- ( д \ ( д \ ( д \ ( д X
в базисах ...и (,^)фо
является якобиева матрица, элементами которой являют-
ся частные производные
(2)
/ д<р' \
\dyj )а
i— 1, . . ., п, j = 1, . . ., т.
вычисленные в точке- (у’(д), ..., ут(а)') е R"2, то ранг
отображения Ф в точке а равен рангу матрицы с элемен-
тами (2).
По соображениям непрерывности отсюда следует, что
ранг г' отображения Ф в любой точке а' некоторой ок-
рестности U точки а не меньше его ранга г в точке а:
г' г.
Если г' = г для любой точки а' е U, то отображение Ф
называется локально плоским в точке а.
Можно считать, перенумеровав, если нужно, коорди-
наты, что
(3) det
=# 0 при i, j — 1, ..., г.
Рассмотрим функции у'1, . . ., у'т, определенные в окрест-
ности точки а формулами
У'^У\
( ф' (у1,
I У1,
., ут), если
если г 4- 1 1 tn.
ЛОКАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ ПОДМНОГООБРАЗИИ
225
тт /ох Z- у'т)
Поскольку в силу условия (3) якобиан ----------------- ут) в
точке а отличен от нуля, функции у'\ . . ., у'т являются
в некоторой окрестности точки а локальными координа-
тами. В этих координатах отображение Ф выражается
формулами вида
{ { у'1, если
I ф/г (i/1, • • • > У'т}> если г 4- 1 i ^.п.
Если отображение Ф локально плоско в точке а, то
в этих формулах функции ф'Ч*/1, • • * > У'т), r + 1 i
гС п, не зависят, как легко видеть, от координат z/r+!, ...
.. ., у'т, т. е. имеют вид
ф"+,(/......у"), .... ....Г).
Поэтому формулы
{Хг, если 1 Г,
х1 — ф'г (х1, . .., хг), если г -{- 1 sC i п,
определяют в некоторой окрестности точки Фа локаль-
ные координаты х'1, . . ., х"1, обладающие тем свойством,
что в координатах у'1, у'п и х'1, х'п отображе-
ние Ф выражается формулами
( у'\ если
X 7 <
( 0, если г + 1 sC i :=С п.
Тем самым доказано следующее предложение:
Предложение 2. Если гладкое отображение ф-.N-^M
локально плоско в точке a^N и имеет в этой точке ранг
г, то на многообразиях N и М существуют такие локаль-
ные координаты у\ ..., ут и х1, ,.., хп [определенные
соответственно в окоестностях точек а и Фа), что
(у1, если 1<г<г,
х1 о ф = < ‘ 1 - . -
( О, если г + 1 i п. □
Применительно к отображению вложения t: NМ
подмногообразия N в многообразие М (являющемуся,
очевидно, локально плоским отображением) это предло-
3 М. М. Постянклп
22S ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ
жение утверждает, что для любой точки а е N в много-
образии М существует такая карта (U, х1, ..., х") £ а е
е U, что функции
(4) X1 © I, . . ., Х™ ° Ь
являются локальными координатами в некоторой окрест-
ности V точки а на V, а функции
Xm+l о I, . . ., Хт ° Ь
тождественно равны нулю (в V).
Последнее утверждение означает, что подмногообра-
зие N локально совпадает в а с плоским подмногообра-
зием Vo = V карты U.
Замечание 1. Пример иррациональной обмотки
тбра показывает, что, вообще говоря, Vo U[}N.
Поскольку отображение вложения t: N М гладко,
для каждой гладкой в М функции f ее ограничение fjTi
на N гладко в (конечно, если это ограничение суще-
ствует, т. е. область W (f) определения функции f пересе-
кается с N). Обратно, рассмотрим произвольную глад-
кую в N функцию g. Пусть область определения W (g)
этой функции содержит построенную выше кординатную
окрестность V точки а на многообразии N. Тогда
g~ g(xx ° i, • • •> xm°i) на V,
где g— некоторая гладкая функция от m переменных.
Мы определим в координатной окрестности U точки а
на многообразии М функцию f формулой
/ = ..., хт).
Ясно, что f является гладкой функцией и f ° i = g. Тем
самым нами доказана следующая лемма:
Лемма 1. Любая точка произвольного подмногообра-
зия N обладает такой окрестностью V, что каждая глад-
кая в N функция является на V ограничением некоторой
функции, гладкой в М. □
Следствие. Если на некотором подмножестве N глад-
кого многообразия М существует структура подмногооб-
разия, то при данной топологии на N эта структура един-
ственна, т. е. любая другая структура подмногообразия
на N будет индуцировать на N другую топологию.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ
227
До к а зательство. В силу леммы 1 каждая гладкая
карта (W, у1, ..., ут) на N состоит из открытого множе-
ства W и функций у1, . .., ут с отличным от нуля якобиа-
ном, локально являющихся ограничениями на N гладких
в ,М функций. Поэтому любые две структуры подмного-
образия на индуцирующие на А7 одну и ту же тополо-
гию, будут иметь идентичные карты и, следовательно, бу-
дут совпадать. □
Конечно, варьируя топологию, мы можем получать на
N. .различные структуры подмногообразия. Например,
любое подмножество N ci М мы можем снабдить ди-
скретной топологией, превратив его тем самым в нуль-
мерное подмногообразие.
Менее тривиальный пример мы получим, рассмотрев
в R2 открытый квадрат — 1 < х < 1, —1 < у < Г. В ин-
дуцированной топологии он является двумерным откры-
тым подмногообразием. Однако его можно превратить и
в одномерное подмногообразие, введя топологию, откры-
тыми множествами которой являются множества, пере-
секающиеся с каждым вертикальным интервалом х =
.= ха, —1 < у < 1 по открытому (в этом интервале)
множеству. Получающееся подмногообразие состоит .из
несчетного числа компонент, каждое из которых диффёо-
морфно прямой линии R. Мы будем называть его рассе-
ченным квадратом.
. Такого рода Патологические возможности будут ис-
ключены, если мы наложим на подмногообразия условие
существования с ч е т н о й б а з ы.
Однако имеются возможности варьирования тополо-
гии и совсем иного рода. Например, рассмотрим на пло-
скости R2 множество, изображенное на рис. А («вось-
А Б
мерку»), В топологии, индуцированной топологией пло-
скости, это подмножество подмногообразием не является.
Однако его можно сделать подмногообразием и притом
228
ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ
даже двумя способами, введя более сильные топологии
условно изображенные на рис. Б. В обоих случаях
получающееся подмногообразие диффеоморфно прямой
R и потому, в отличие от предыдущих подмногообразий,
связно и обладает счетной базой.
Определение 6. Подмногообразие N (размерности т)
многообразия М. (размерности п) называется локально
выпрямляемым в точке а N, если существует такая
карта (U, h) многообразия М и такое подмножество
Е cz Rn~m, что а U и в топологии, индуцированной то-
пологией подмногообразия N, пересечение U f] N являет-
ся объединением плоских (см. с. 219) подмногообразий
У^, ^еВ, карты (СУ,/г):
U(]N= U П-
Подмногообразие N называем локально выпрямляемым,
если оно локально выпрямляемо в каждой своей точке.
Подмногообразия рис. Б локально невыпрямляемы.
«Параметризующее» множество Е может быть, во-
обще говоря, любым, и факт его существования еще не
гарантирует от патологий. Например, рассеченный квад-
рат локально выпрямляем, и для любой его точки мно-
жество Е является отрезком. Однако в менее патологи-
ческих ситуациях это множество не может быть слишком
большим. Например, из того, что все подмногообразия
У%, очевидно, открыты в N, непосредственно вытекает,
что если локально выпрямляемое подмногообразие N
обладает счетной базой, то для любой его точки а мно-
жество Е не более чем счетно.
Стоит также иметь в виду, что, как непосредственно
вытекает из определения индуцированной топологии,
если топология подмногообразия N индуцирована топо-
логией объемлющего многообразия М, то многообразие
N локально выпрямляемо и для любой его точки множе-
ство Е может быть выбрано состоящим из одной точки.
Таким образом, локально выпрямляемые подмногооб-
разия можно рассматривать как обобщения подмногооб-
разий с индуцированной топологией.
Во избежание постоянных оговорок мы будем отныне
раз навсегда предполагать, что все рассматриваемые
карты (U, h) являются кубическими, т. е. что множество
ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ
229
h(U) сд Rn является кубом
\ X1 \ < С, \хп\<с.
Число с мы будем называть полушириной карты (U, h).
Тогда при | | < с, ..., т| < с каждое плоское
подмногообразие будет связно (и не пусто).
Поэтому, в частности, для локально выпрямляемого в
точке а подмногообразия N все плоские многообразия V%,
g е 8, составляющие пересечение U П N, будут компонен-
тами связности этого пересечения в топологии, индуциро-
ванной топологией подмногообразия N. Пример рассечен-
ного квадрата показывает, что по отношению к тополо-
гии объемлющего многообразия М это, вообще говоря,
неверно. Однако если подмногообразие N обладает счет-
ной базой, то подмногообразия V* будут компонентами
пересечения U f] N и в топологии, индуцированной топо-
логией многообразия М.. Действительно, отображение
U П 3, определенное формулой
(2) ai—> (xm+i (а), ..., хп(а)),
очевидно, непрерывно (в топологии многообразия М)".
Поэтому оно переводит каждую компоненту множества
U П N в компоненту множества 3. Но поскольку послед-
нее множество, как было замечено выше, счетно, его ком-
понентами являются точки. Поэтому каждая компонента
множества U f] N содержится в прообразе некоторой
точки при отображении (2), и, значит, совпадает
с □
Лемма 2. Пусть Р и М — гладкие многообразия, N —
локально выпрямляемое подмногообразие многообразия
М, обладающее счетной базой, i: N М. — отображение
вложения и Ф: Р П — такое отображение многоообра-
зия Р в многообразие N, что композиция 1»Ф: Р —М яв-
ляется непрерывным отображением. Тогда отображение
Ф также непрерывно.
Если, кроме того, отображение Г»Ф гладко, то ото-
бражение Ф также гладко.
230
ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ
Доказательство. Пусть Ь^Р и а — Ф(&).
По определению в многообразии М существует такая
кубическая карта (U, h) (для которой h (а) = 0), что
пересечение U f| N в индуцированной топологии является
объединением счетного числа связных плоских подмного-
образий Vg, Е. Поскольку отображение СдФ непре-
рывно, в многообразии Р существует окрестность W точ-
ки Ь, образ (юФ) (W) которой содержится в С/, а значит,
и в U (} N. При этом без ограничения общности окрест-
ность W можно предполагать связной. Но тогда (при
непрерывном отображении связное множество переходит
в связное) образ (1Г°Ф)(№) окрестности W при отобра-
жении 1’° Ф также будет связен и потому будет содер-
жаться в одной из компонент У$ множества U П N. По-
скольку Ф(6) ~а и а Уо, этой компонентой необхо-
димо является компонента Уо — У- Таким образом, для
окрестности У точки а в многообразии N существует та-
кая окрестность W точки b в многообразии Р, что
Ф(У7) сд V. Поскольку окрестности вида V составляют
фундаментальную систему (базу) окрестностей точки а
в многообразии N, этим доказано, что отображение Ф:
Р —N непрерывно в точке Ь. Поскольку точка b е Р про-
извольна, отображение Ф, следовательно, непрерывно.
Пусть теперь отображение Ф гладко. Чтобы дока-
зать, что гладко отображение Ф, нужно доказать, что
для любой гладкой в N функции g функция g о ф гладка
в Р. Но, согласно лемме 1, функция g локально имеет
вид Л'» I, где f — некоторая гладкая в ЛТ функция. По-
этому функция g °Ф локально совпадает с гладкой функ-
цией До (t оф) и потому гладка. □
Пример многообразий на рис. А показывает, что без
условия локальной выпрямляемости лемма 2 неверна.
Теперь мы уже можем доказать теорему единственно-
сти, к которой мы стремились:
Предложение 3. Если в подмножество N гладкого мно-
гообразия можно ввести структуру локально выпрямляе-
мого подмногообразия со счетной базой, то это можно
сделать только единственным образом.
Доказательство. Пусть N' и N" — локально
выпрямляемые подмногообразия со счетной базой, мно-
жеством точек которых служит множество N. Тогда к
тождественному отображению N' —N" будет применима
ПОДМНОГООБРАЗИЯ МНОГООБРАЗИИ 231
лемма 2. Поэтому это отображение будет гладким. По
аналогичным соображениям будет гладким и. тожде-
ственное отображение N" -> N'. Следовательно, гладкости
на N' и N" совпадают. □
Следствие. Пусть N — локально выпрямляемое под-
многообразие со счетной базой гладкого многообразия
М, и пусть Ф: М.-+-М. — такой диффеоморфизм многооб-
разия М на себя, что Фа <= N и ф-!а N для любой
точки а е N. Тогда индуцированное диффеоморфизмом
Ф отображение N N также является диффеоморфиз-
мом.
Доказательство. Пусть N' — образ подмного-
образия N при диффеоморфизме Ф. Очевидно, что N'
также является локально выпрямляемым подмногообра-
зием со счетной базой. Кроме того, по условию оно как
множество совпадает с N. Поэтому, согласно предложе-
нию 2, оно будет совпадать с N и как многообразие. Сле-
довательно, индуцированный диффеоморфизмом Ф диф-
феоморфизм будет на самом деле диффеомор-
физмом M-+-N. □
В связи с полученными результатами естественно воз-
никает вопрос об условиях, обеспечивающих существова-
ния у подмногообразия счетной базы. Покажем, что если
подмногообразие связно, то для этого достаточно, чтобы
счетную базу имело объемлющее многообразие М.
Лемма 3. Пусть для связного топологического про-
странства X существует такое открытое покрытие {L/a},
что:
1) каждое множество Uл (наделенное топологией
подпространства) является пространством со счетной ба-
зой:
2) для любого схо существует не более счетного числа
множеств Ua, пересекающихся с Uao.
Тогда пространство X имеет счетную базу.
Доказательство. Достаточно показать, что X яв-
ляется объединением счетного (или конечного) подсемей-
ства покрытия {Ua}. Зафиксировав некоторое £/а„ =/= 0
рассмотрим всевозможные элементы данного покры-
тия, для которых существует такая конечная последо-
вательность
Uai, Ua2, Uan
232
ПОДМНОГООБРАЗИЯ МНОГООБРАЗИЙ
элементов покрытия {t/a}, что t/a„ = и Ua._i f| Ua. 0
для любого 1=1, ..., n. Из условия 2) непосред-
ственно вытекает, что все такие элементы составляют не
более чем счетное подсемейство покрытия {t/a}. Пусть
X' — их объединение. Ясно, что X' открыто (и не пусто).
Но оно и замкнуто, ибо если х X' и х t/a, то X' ("|
Л Urj =/= 0, и потому Ua пересекается с некоторым эле-
ментом построенного подсемейства, а значит, и само при-
надлежит этому подсемейству. Поэтому Ua сд X и, зна-
чит, х е X. Являясь открытым и замкнутым непустым
подмножеством связного пространства X, множество X'
должно совпадать со всем X. Следовательно, X обладает
счетной базой. □
Лемма 4. Пусть для связного пространства X сущест-
вует счетное открытое покрытие {£Д}» каждый элемент
U k которого является объединением, не пересекающихся
открытых множеств Uь, ап, имеющих счетную базу. Тогда
пространство X также является пространством со счет-
ной базой.
Доказательство. Достаточно показать, что от-
крытое покрытие {Uk, a^} удовлетворяет условию 2) лем-
мы 3. Поскольку покрытие {l)k} счетно, для этого доста-
точно показать, что для любых k, I и существует не
более счетного числа множеств az, пересекающихся
с Uk. ak- Пусть это не так, т. е. пусть существует несчет-
ное семейство множеств Ui, а,, пересекающихся с Uk, ak.
Выбрав в каждом пересечении по точке, мы получим в
ик,ак несчетное подмножество, состоящее из изолирован-
ных точек (напомним, что множества az по условию
не пересекаются). Поскольку любое дискретное подмно-
жество пространства со счетной базой не более чем счет-
но, существование такого несчетного подмножества проти-
воречит тому, что Uk, «^является пространством со счет-
ной базой. Следовательно, с Uk, ak пересекается не более
счетного числа множеств Пц аг □
Следствие 1. Любое пространство, накрывающее про-
странство со счетной базой, также обладает счетной ба-
зой.
Доказательство. Прообразы элементов счетного
покрытия, состоящего из ровно накрытых множеств, со-
ПОДМНОГООБРАЗИЯ МНОГООБРАЗИИ
233
ставпяют покрытие накрывающего пространства, удовле-
творяющее условиям леммы 4. □
Следствие 2. Если для связного пространства X суще-
ствует локально гомеоморфное отображение
f: X->Rm,
то X обладает счетной базой.
Доказательство. Пусть {6'Д — счетная база про-
странства Rm, состоящая из связных открытых множеств
(например, параллелепипедов), и пусть Vkt а—открытые
подмножества пространства X, гомеоморфно отображаю-
щиеся посредством f на Uk (здесь а пробегает некоторое
множество индексов А, зависящее от k и для некоторых
k могущее быть пустым). Локальная гомеоморфность
отображения f означает, что множества
vk= и У*,а
« = Ай
покрывают все X. Чтобы применить лемму 4, нам, следо-
вательно, нужно только показать, что связные открытые
множества V*. a являются компонентами множеств V k,
т. е. что для любых а, ₽ е А*, если V ь, а П У*, в -то
Vk, а — Vk, 0-
Пусть W ~ Vk, а n vk, [J 0, И пусть
Sa'- Uk~^~Vk,a> gfi- ~* У й, р
— гомеоморфизмы, обратные к гомеоморфизмам f
и f\„ . Если хп е W и x = limx„, то / (х) = lim / (хп)
11 k. (3
и gpif (хп)) = хп. Поэтому
(/ (х)) = lim g& (J (хп)) = lim хп = х.
Следовательно, если хеУ&,а (и потому f(x)^Uk), то
х <= т. е. х е W. Это показывает, что W замкнуто
В Vk, а- Поскольку W, кроме ТОГО, открыто В Vk, a (и не
пусто), а У&, a связно (будучи гомеоморфным связному
множеству Uk), это возможно только при Vk, а — ^.Ана-
логично доказывается, что Vk, р Следовательно,
Ей, a = V*. Р- □
Следствие 3. Любое связное подмногообразие N мно-
гообразия R" обладает счетной базой.
234 СВЯЗНЫЕ ГРУППЫ ЛИ ИМЕЮТ СЧЕТНУЮ БАЗУ
Доказательство. Пусть х1, хп — коорди-
наты з Rn (относительно некоторого базиса), и пусть i:
N —— отображение вложения. Рассмотрим для про-
извольного m-членного (где т — размерность многообра-
зия N) набора а —(Л, ..., im) индексов 1, п под-
множество Va многообразия М, состоящее из точек а <=
ст N. в окрестности каждой из которых функции
x‘m°i являются локальными координатами.
Ясно, что Va открыто в N. Кроме того (см. предложе-
ние 3), любая точка а е N принадлежит хотя бы одному
из множеств Va. Пусть Va — произвольная компонента
множества Va. По построению отображение У a —
определенное формулой
a t—> (хч (а), а Va,
является локальным гомеоморфизмом. Следовательно,
согласно следствию 2, связное множество Va обладает
счетной базой. Таким образом, конечное открытое покры-
тие {УД многообразия N удовлетворяет условиям лем-
мы 4. Поэтому многообразие N обладает счетной ба-
зой. □
Теперь мы уже можем доказать анонсированное выше
утверждение: ‘
Предложение 4. Любое связное подмногообразие N
многообразия М со счетной базой само является много-
образием со счетной базой.
Доказательство. Пусть {Uk} — счетное покры-
тие многообразия М, состоящее из координатных окрест-
ностей, и пусть Vk = Uk П N. Множества Vk открыты в N.
и любая точка а Л принадлежит хотя бы одному из
них. Каждая компонента V'k множества Vk представляет
собой связное гладкое многообразие, диффеоморфное
некоторому подмногообразию пространства Rm. Поэтому,
согласно следствию 3, эта компонента обладает счетной
базой. Это означает, что открытое покрытие {УД много-
образия Л удовлетворяет всем условиям леммы 4. По-
этому многообразие N обладает счетной базой. □
Применимость полученных выше результатов к груп-
пам Ли обеспечивается следующим предложением:
Предложение 5. Любая связная группа Ли G обла-
дает счетной базой.
/ ЛОКАЛЬНАЯ БЫПРЯМЛЯЕМОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ 235
Доказательство. Пусть U— окрестность еди-
ницы группы, диффеоморфная открытому множеству про-
странства R" и обладающая тем свойством, что U~x = U.
Выбрав в U счетное всюду плотное множество У, рассмо-
трим множество Z всех элементов группы G, имеющих
вид у\у%... tjk, где у\, ..., yk У (a k произвольно).
Ясно, что множество Z счетно. Поскольку группа G связ-
на, она порождается окрестностью U, т. е. любой элемент
х группы G имеет видХ1Х2 ... х*, где Xi, х2, ....
Пусть = Х]Х2_______Xi, i = 1, ..., k (в частности, x<i > =,
= X] и X(fe) = х). Из непрерывности умножения в группе
G очевидной индукцией непосредственно выводится, что
единица группы G обладает такой окрестностью V, что
V • X(1)VX(1) * Х<2)^Х(2) * * • ‘ ’ Х(к)^Х(к) •
Поскольку множество У всюду плотно в U, в окрестно-
сти Vxi точки Xi U существует точка yi е У. Пусть
^i~yix7l *= V- т°гда
У\Ут. ... Ун = 01X1 • О2Х2> • 'VkXk-=
— V{ • • Х(1}УзХ(2) • • . • • X(k-V)V' Д/г) ~ UX’
тд,е и U. Это показывает, что точка z = ух ... у к е Z
обладает тем свойством, что х^ Uz (вспомним, что по
условию У-1 = £7). Тем самым доказано, что открытые
множества вида Uz, z <= Z, покрывают G. Поскольку Z
счетно, а множества Uz (гомеоморфные множеству U)
обладают счетной базой, отсюда непосредственно выте-
кает, что G также обладает счетной базой. □
Следствие. Любое связное подмногообразие связной
группы Ли является многообразием со счетной базой.
В частности, подмногообразием со счетной базой бу-
дет интересующее нас в первую очередь максимальное
интегральное многообразие Н подрасслоения Еч. При
этом легко видеть, что оно будет локально выпрямляемо.
Действительно, в любом многообразии М каждое макси-
мальное интегральное многообразие W произвольного ин-
тегрируемого подрасслоения Е локально выпрямляемо,
поскольку, как мы знаем, многообразие Л1 покрывается
картами, обладающими тем свойством, что каждое их
плоское подмногообразие является интегральным
236
ЛОКАЛЬНАЯ ВЫПРЯМЛЯЕМОСТЬ МНОГООБРАЗИИ
многообразием подрасслоения Е; поэтому пересечение W
с каждой такой картой будет в силу максимальности W
объединением некоторых из этих подмногообразий, что,
по определению, и означает, что многообразие W локаль-
но выпрямляемо. □
Замечание 2. Локальная выпрямляемость инте-
грального многообразия Н вытекает также из следующей
общей леммы:
Лемма 5. Связное подмногообразие Н группы Ли G,
для которого множество Z7abstr является подгруппой груп-
пы Gabstr, локально выпрямляемо.
Доказательство. Как мы знаем, в G существует
такая карта (U, х1, . .., хп) в точке е, что плоское под-
многообразие
V: xm+l = 0, хп — 0
является окрестностью точки е в подмногообразии Н и
подгрупускулой групускулы U. В алгебре Ли 1(G) =
= I(G) этой подгрупускуле соответствует подалгебра
5= ИЮ.
Без ограничения общности мы можем, очевидно, пред-
полагать координаты х1, ..., хп каноническими коорди-
натами, определенными некоторым разложением вида
1(G) = ® I. Тогда (см. лекцию 7) смежными классами
aV = аН fl U подгрупускулы V будут плоские подмного-
образия карты U. Поскольку пересечение U Q Н яв-
ляется объединением тех из смежных классов аV, для ко-
торых ае UQ Д этим доказано, что пересечение U Л Н
является объединением некоторых плоских подмногооб-
разий V%. Следовательно, подмногообразие Н локально
выпрямляемо в точке е.
Пусть теперь а — произвольный элемент из Н. Рас-
смотрим диффеоморфизм La‘. G —> G. Этот диффеомор-
физм отображает Н на себя и переводит точку е в точку
а. Поэтому подмногообразие Н локально выпрямляемо и
в точке а. □
Так как подмногообразие Н обладает счетной базой
и локально выпрямляемо, то в силу леммы 2 каждое ото-
бражение Ф: Р —> Н произвольного гладкого многообра-
зия Р в интегральное многообразие Н, обладающее тем
свойством, что его композиция
юФ: P->G
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ Т
237
с отображением вложения i: Н —> G гладка, является
гладким отображением.
Мы применим это утверждение к многообразию Р =
= Н X И и к отображению р.н: (х, у) *—>ху. Поскольку
имеет место коммутативная диаграмма
Яхя —
LXL L
w 4'
G ^G ~
F'G
а отображения iX i и Цо гладки, то отображение t °
гладко. Следовательно, гладко и отображение рн.
Этим доказано, что максимальное инвариантное мно-
гообразие Н подрасслоения Е'4 является группой Ли, а
значит, и подгруппой группы Ли G.
Мы будем обозначать эту подгруппу символом G(b).
Замечание 3. В силу леммы 5 изложенное рассу-
ждение доказывает также, что связное подмногообразие
Н группы Ли G будет ее подгруппой, если множество
^abstr является подгруппой группы Gabstr-
Поскольку касательным пространством в точке е к
подгруппе Н — G((>) служит подпространство Е\ — I), ал-
геброй Ли подгруппы Н служит данная подалгебра I).
Теперь мы уже можем доказать теорему 1.
Доказательство теоремы 1. Мы уже знаем,
что любой подгруппе Н группы Ли G отвечает подал-
гебра I) = 1(77) алгебры Ли g —1(G), а любой подал-
гебре I) ст g— связная подгруппа 77= G(^), причем
1(77) — I). Поэтому для завершения доказательства тео-
ремы 1 нам остается лишь показать, что для каждой
связной подгруппы Н группы Ли G имеет место равен-
ство Н — G((>), где I) = 1(77). Но подгруппы Н и G ((*)
имеют одну и ту же алгебру Ли f) и потому, рассматри-
ваемые как групускулы, совпадают (см. лекцию 7). Это
означает, что подгруппы Н и G((>) имеют одинаковые
окрестности единицы. Следовательно, Н = G(fy), так как,
будучи связными, группы Я и G(I)) порождаются каждой
окрестностью единицы. □
Л екция 12
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПОД-
ГРУППЫ ГРУППЫ ЛИ,—ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОД-
ГРУППЫ ГРУПП ЛИ,— ЗАМКНУТЫЕ ПОДГРУППЫ
ГРУПП ЛИ. — АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. — ТРУП.
ПЫ АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБР,— ГРУППЫ АВТО-
МОРФИЗМОВ ГРУПП ЛИ,—ИДЕАЛЫ И ИНВАРИ-
АНТНЫЕ ПОДГРУППЫ.—ФАКТОРМНОГООБР АЗИЯ
ГРУПП ЛИ,—ФАКТОРГРУППЫ ГРУПП ЛИ.—ВЫ-
ЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ. ГРУПП.— ОДНО-
СВЯЗНОСТЬ ГРУПП SU(n) и Sp(n). —ФУНДАМЕН-
ТАЛЬНАЯ ГРУППА ГРУППЫ U(га).
Замечание 3 предыдущей лекции дает нам альтернатив-
ное определение понятия подгруппы группы Ли, фор1
мально более широкое. Оказывается, что условия, накла-
дываемые на подгруппы групп Ли, можно ослаблять и в
других направлениях.
Гладкое отображение Ф: N -+ М называется погруже-
нием (или иммерсией), если для любой точки, aN ли-
нейное отображение
(йФ)а: Та(К)^Тфа(М)
является мономорфизмом (инъективно).
Предложение 1. Любой мономорфизм Ф. Н -+ G групп
Ли является погружением.
Доказательст во. Рассмотрим экспоненциаль-
ное отображение
exp: ((G)—>G.
В интерпретации элементов алгебры 1(G) как однопара-
метрических подгрупп это отображение определяется
формулой
ехрР = В(1).
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
239
Поскольку 1(Ф)р = Ф°Р (предложение 5 лекции 2), от-
сюда следует, что имеет место коммутативная диаграмма
.«ху I ехр
Я-----
Если линейное отображение I (Ф) = (и'Ф) г не инъективно,
то в нормальной окрестности нуля алгебры 1(H) =
^=Те(//) существует отличный от нуля вектор А, при-
надлежащий ядру отображения 1(Ф), т. е. такой, что
Г(Ф)Д = 0. Но тогда
(Ф ° ехр) А = (ехр ° I (Ф)) А = ехр 0 — е,
и, следовательно, ехр А = е (в силу инъективности ото-
бражения Ф). Поскольку это невозможно (на нормаль-
ной окрестности отображение ехр является диффеомор-
физмом), тем самым доказано, что отображение (с?Ф)в
мономорфно.
С другой стороны, тот факт, что отображение Ф пред*
ставляет собой гомоморфизм, означает, что для любого
элемента а Н имеет место равенство
Ф ° La — Ьфа ° Ф.
Для дифференциалов это означает, что имеет место
коммутативная диаграмма
Те(Я)-(--а?* >Та(Н)
из которой следует (поскольку горизонтальные стрелки
этой диаграммы являются изоморфизмами), что отобра-
жение (t/Ф) а также мономорфно. □
Следствие. Группа Ли Н, для которой 77abstr является
подмножеством в Gabstr, а отображение вложения i:
Н —> G представляет собой гомоморфизм групп Ли, яв-
ляется подгруппой группы Ли G.
240
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП ли
Доказательство. Согласно предложению 1 ото-
бражение i является погружением, а это и означает, что
Н есть подгруппа группы Ли G. □
В силу этого следствия, введенные определением 1
лекции 3 матричные группы. Ли являются не чем иным,
как подгруппами группы Ли GL(n; R).
Конечно, наибольший интерес представляют подгруп-
пы Н группы Ли G, топология которых индуцирована то-
пологией группы G, т. е. для которых топологическая
группа //top является подгруппой топологической группы
Gtop. Мы будем называть такие подгруппы топологиче-
скими подгруппами групп Ли.
Напомним, что подмножество А топологического про-
странства X называется локально замкнутым, если лю-
бая точка а е А обладает в X такой окрестностью U, что
пересечение А П U замкнуто в U. Мы уже встречались
с этим понятием в лекции 7 применительно к подгрупу-
скулам.
Нам понадобится следующая лемма из теории топо-
логических групп:
Лемма 1. Любая локально замкнутая подгруппа Н то-
пологической группы G замкнута.
Доказательство. Пусть U — такая окрестность
точки е, что И f| U замкнуто в U. Ясно, что без ограниче-
ния общности можно считать, что = U. Рассмотрим
произвольную точку х е Н. Тогда xU f| Н =/= 0. Пусть
у е xU f| Н. Так как левый сдвиг Ly: а \—> уа является
гомеоморфизмом, то множество у (И f] Н) замкнуто в yU.
Но так как у е Н, то z/(t/ f] //) = yU f] H. Следователь-
но, yU f| И замкнуто в yU, т. е. yU f] Н f| yU = yU f] H.
С другой стороны, х е yU~l — yU, и потому х е yU f|
f] Н cz yU f] H. Следовательно, x e yU f] H и, значит,
хе H. □
Подгруппу Н группы Ли G мы будем называть замк-
нутой, если множество ее точек является замкнутым под-
множеством в G.
Заметим, что в этом определении топология самой
подгруппы Н никак не фигурирует. Тем не менее оказы-
вается, что условие замкнутости однозначно эту тополо-
гию фиксирует:
ЗАМКНУТЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП ли
241
Предложение 2. Подгруппа Н группы Ли G тогда и
только тогда замкнута, когда ее топология индуцирована
топологией группы G, т. е. когда она является топологи-
ческой подгруппой.
Доказательство. В силу леммы 1 мы докажем
достаточность этого условия, если установим, что каждое
подмногообразие N, топология которого индуцирована
топологией объемлющего многообразия М, локально
замкнуто. Но это почти очевидно. Действительно, любая
точка такого подмногообразия обладает в М. окрест-
ностью U, которая пересекается с N по некоторому пло-
скому подмногообразию У в U. С другой стороны, ясно,
что любое плоское подмногообразие локально замкнуто.
Для доказательства необходимости мы воспользуемся
тем, что каждая замкнутая подгруппа Н группы Ли G
является локально выпрямляемым подмногообразием со
счетной базой. Поэтому в G существует такая окрест-
ность U единицы е, что пересечение U (~| Н является объ-
единением счетного числа плоских подмногообразий
1Д, Rra-m. При этом, так как подгруппа Н замк-
нута, то множество S (являющееся образом множества
U П Н при непрерывном отображении, определенном фор-
мулой (2) предыдущей лекции) локально замкнуто. Сле-
довательно, будучи счетным, оно имеет хотя бы одну изо-
лированную точку go- Соответствующее плоское подмно-
гообразие У|о обладает тем свойством, что любая его
точка а имеет в U такую окрестность Ua, что пересече-
ние Ua П Н лежит в 1Д0 и, значит, является окрестностью
точки а в И. Это означает, что точка а обладает в U (и,
значит, в G) фундаментальной системой окрестностей,
высекающей на Н фундаментальную систему окрестно-
стей точки а в Н. Применив левый сдвиг Lba~l, мы полу-
чим, что это свойство имеет место и для любой точки
b е Н. Но тогда топология в Н и будет, по определе-
нию, индуцироваться топологией объемлющего простран-
ства G. □
В силу следствия леммы 1 предыдущей лекции (или,
если хотите, в силу следствия предложения 3 лекции 4)
из предложения 1 вытекает, что на каждой замкнутой
подгруппе Н группы Ли G ее структура гладкого много-
образия единственна.
242
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Удивительно, что уже одного условия замкнутости до-
статочно, чтобы на Н существовала гладкость, по отно-
шению к которой она является группой Ли и подгруппой
группы Ли G:
Теорема 1 (Карт ан). Если замкнутое подмноже-
ство Н группы Ли G является подгруппой группы Gsl)str,
то в Н существует единственная гладкость (согласован-
ная с индуцированной на Н топологией), по отношению
к которой Н является подгруппой группы Ли G (и, в
частности, группой Ли).
Доказательство. Каждая группа Ли G одно-
временно является и групускулой Ли. Так как Н замк-
нута, то для любой окрестности U точки е в групускуле
G пересечение U f) Н замкнуто в U. Следовательно, Н яв-
ляется подгрупускулой групускулы Ли G (см. определе-
ние 1 лекции 7),. Поэтому, согласно теореме Картана для
групускул (предложение 1 лекции 7), групускула Н ло-
кально плоска, т. е., другими словами, ее пересечение
Uf],H с некоторой картой U в точке е является плоским
подмногообразием этой карты, имеющим вид ехр I), где
— некоторая подалгебра алгебры Ли g = 1(G). Это оз-
начает, что Н локально совпадает в е со связной под-
группой G (I)) группы Ли G. Поскольку любая окрест-
ность связной топологической группы порождает всю
группу (лемма 3 лекции 9), этим доказано, что группа
G(f>) (точнее, группа G(I))abstr, снабженная индуцирован-
ной топологией) совпадает с компонентой единицы Не
группы Й. Это вводит в группу Не, а значит, и во всю
группу И гладкость, относительно которой эта группа яв-
ляется подгруппой группы Ли G.
Единственность этой гладкости обеспечивается, со-
гласно сделанному выше замечанию, замкнутостью под-
группы Н. □
Заметим, что в силу замкнутости подгруппа Н группы
Ли G будет ее топологической подгруппой.
Теорема 1 является сильнейшим орудием для установ-
ления лиевости конкретных топологических групп.
П р и м е р. Подгруппа группы GL(n; R) (или группы
GL (п; С)) называется алгебраической группой, если она
представляет собой пересечение группы GL(n; R) (груп-
пы GL(n; jC)) с алгебраическим многообра-
ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБР
243
з й'е м в пространстве R (п) == R”’ (соответственно в про-
странстве С (п) — Сге), т. е. с множеством общих нулей
некоторой системы многочленов от п2 неизвестных.
Поскольку любое алгебраическое многообразие, оче-
видно, замкнуто, мы получаем в силу теоремы 1, что каж-
дая алгебраическая группа является матричной груп-
пой Ли.
Это немедленно доказывает лиевость всех групп, рас-
смотренных в лекции 1 (SL(n),O(n),Sp(n),U(n) и т.п.;
заметим, что группу U(/z) следует при этом трактовать
не как подгруппу группы GL(n; .С), а в силу вложения
GL(n; .С) c=GL(2n; R) как подгруппу группы GL(2га;
R)).
Пусть — произвольная конечномерная алгебра над
полем R или .С; (вообще говоря, не ассоциативная и не
лиева), и пусть е^, .. . , еп — ее базис. Ясно, что обрати-
мое линейное отображение Ф: тогда и только
тогда является автоморфизмом алгебры когда
Ф(е,е/) = Ф(е,)Ф(е/) для любых i, j = 1, . ,., п. Следо-
вательно, если Ф(еЛ = xile, и е,.е,. = с?.е. и, значит,
ф (е .еу) = Ф (с*^) =
Ф (^) Ф (^) = (xfep) (x<eq) = c^xfr,
то Ф тогда и только тогда является автоморфизмом,
когда
для любых i, j, I = 1, . . . , п. Это означает, что матрицы
(х0, соответствующие автоморфизмам алгебры .90, со-
ставляют алгебраическую и, значит, гладкую группу. Та-
ким образом, задание базиса е^, .. ., е~ определяет изо-
морфизм группы автоморфизмов Aut алгебры .90 на
некоторую матричную алгебраическую группу Ли. Пере-
несенная в Aut с помощью этого изоморфизма струк-
тура группы Ли не зависит, очевидно, от выбора базиса
ei, . . . , е..,. Таким образом, группа Aut .90 автоморфизмов
произвольной конечномерной алгебры .$£ является груп-
пой Ли. '
244
ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБР
Найдем алгебру Ли этой группы.
Предложение 2. Алгеброй Ли группы Aut является
алгебра Ли Der з& всех дифференцирований алгебры з4л
I (Aut зЛ} = Der зЛ
Доказательство. Выбрав в з£ произвольный
базис, мы можем считать группу Aut з£ и алгебру Ли
Der состоящими из матриц.
Пусть D е Der зЛ Тогда для любых элементов х, у
з4> и любого р 0 будет иметь место равенство
р
Dp (ху) — 2*2 ( ) Dlx Dp~{y (формула Лейбница),
i=0
а значит, и равенство
tP
(etD) (ху) = =
р=0
со р
р=0 j = 0
со со ,
1 = 0 /=о
==(£4 ^х)(Е4^/х)=е'Дх . etDy
(сходимость всех рядов обеспечивается стандартными
вычислениями с матричными нормами). Это означает, что
eto Aut з£ и, значит, что D <= l(Aut зЛ).
Обратно, пусть D I(Aut зФ), т. е. etD Aut з^.
Тогда
(еШ — £) {ху} — etDx . etDy — х . у __
= (etDx — х) etDy + x(eiDy — у),
ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ ГРУПП ли
и потому
гч / \ 1- — Е) (ху)
D (ху) = hm ---. — ==
i->0 1
= lim -——— etDy + lim x ——y~— =
<->o z t->0 t
= Dx • у + x • Dy.
Следовательно, D e Der s4-. □
Пусть, в частности, является алгеброй Ли g одно-
связной группы Ли G. Поскольку на категории односвяз-
ных групп Ли функтор Ли вполне унивалентен (см. лек-
цию 10), любой автоморфизм g->g алгебры Ли g реали-
зуется некоторым автоморфизмом G G группы Ли G.
Это показывает, что группа автоморфизмов Aut G одно-
связной группы Ли G изоморфна группе автоморфизмов
Autg ее алгебры Ли'.
Aut G =» Aut g.
Перенеся посредством этого изоморфизма гладкость из
Aut g в Aut G, мы определим Aut G как группу Ли. При
этом в силу сказанного выше алгеброй Ли группы Ли
Aut G будет алгебра Ли Der g:
I (Aut G) = Der 1(G).
Чтобы получить аналогичный результат для произ-
вольной связной группы Ли G, рассмотрим ее универ-
сальную накрывающую группу G. Мы знаем (см. лек-
цию 9), что G функториально зависит от G, и потому
любой автоморфизм Ф: G—>G единственным образом оп-
ределяет некоторый автоморфизм Ф: G —*- G, для которого
имеет место коммутативная диаграмма
G—->G
‘П п.
Тем самым определяется (очевидно, мономорфное) ото-
бражение
Aut G-> Aut G.
246
ИДЕАЛЫ .И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ
Образ этого, мономорфизма состоит из автоморфиз-
мов Ч7: G-+-G, для которых из равенства л(а) — п(Ь)
следует равенство л*Р(а) = лЧ7(&). Это условие в точ-
ности равносильно требованию, чтобы автоморфизм Ч7
переводил в себя ядро Д' = Кег л накрытия л. Поэтому
множество всех таких автоморфизмов замкнуто и потому
(теорема 1) является подгруппой группы Ли Aut G и,
значит, группой Ли. Перенеся эту структуру группы Ли
в группу Aut G, мы определим последнюю группу как
группу Ли.
Тем самым доказано, что группа автоморфизмов про-
извольной связной группы Ли является группой Ли.
Вернемся теперь к общим группам Ли и их замкну-
тым подгруппам. Так как по алгебре Ли g = 1(G) одно-
связная группа Ли G восстанавливается однозначно, то
все подалгеры Ij алгебры Ли g корректно распределяются
по двум классам: подалгебрам одного класса соответ-
ствуют замкнутые подгруппы односвязной группы Ли G,
а подалгебрам другого — незамкнутые. Тем самым воз-
никает вопрос о внутренней алгебраической характериза-
ции подалгебр этих классов или, что равносильно, соот-
ветствующих подгрупп. Мы не будем заниматься этим
вопросом в полной общности и ограничимся следую-
щим, — пожалуй, наиболее интересным и неожидан-
ным — результатом:
Теорема 2. Любая связная инвариантная подгруппа Н
односвязной группы Ли G замкнута.
Докажем сначала предложение, характеризующее
подалгебры Ли, отвечающие инвариантным подгруппам:
Предложение 3. Алгебра Ли \(Н) каждой инвариант-
ной подгруппы Н произвольной группы Ли G является
идеалом алгебры Ли 1(G) группы G. Обратно, если под-
группа И связна и алгебра Ли является идеалом,
алгебры Ли 1(G), то подгруппа Н инвариантна.
Доказательство. Это предложение вполне ана-
логично предложению 2 лекции 7 и может быть доказано
дословно так же. Однако чтобы не повторяться, мы да-
дим здесь другое доказательство, опирающееся на пред-
ложение 2 лекции 7.
Ясно, что в силу этого предложения достаточно дока-
зать, что связная подгруппа Н группы Ли G тогда и толь-
ИДЕАЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ
247
ко тогда инвариантна, когда произвольная окрестность V
её единицы является инвариантной подгрупускулой груп-
пы G (рассматриваемой как групускула). Но, действи-
тельно, если Н инвариантна, то V инвариантна по опре-
делению. Обратно, пусть V инвариантна, и пусть g G.
Тогда в V существует такая окрестность единицы W, что
az V. Поскольку группа Н связна, любой ее эле-
мент а имеет вид aia2 • • • а-ь, где а\, а2, .... а* W. По-
этому
= g~la!g • g~la2g ... - g~lakg <=К-У-...-Ус=:Я
и, значит, подгруппа Н инвариантна. □
Заметим, что существуют несвязные неинвариантные
подгруппы Н, для которых подалгебра 1(H) является
идеалом алгебры Ли 1(G). Их компоненты единицы ин-
вариантны.
Существенным дополнением к предложению 3 являет-
ся следующее предложение:
Предложение 4. Для любого гомоморфизма Ф: G—*-Н
групп Л и его ядро Кег Ф является подгруппой группы Ли
G. Алгебра Ли 1(КегФ) совпадает с ядром Кег1(Ф) ин-
дуцированного отображения 1(Ф): I(G) ->I(//) алгебр Ли-.
1(КегФ) = Кег1(Ф).
Доказательство. Поскольку ядро Кегф замк-
нуто, первое утверждение следует из теоремы 1. Каж-
дую однопараметрическую подгруппу 0: R —> Кег ф этого
ядра гомоморфизм Ф переводит в постоянное отображе-
ние, т. е. в нуль алгебры 1(H). Следовательно, 1(Кег Ф)сг
сгКегТ(Ф). Обратно, если однопараметрическая под-
группа р: R —> G группы G лежит в ядре гомоморфизма
1(Ф), то Ф1°р = const, т. е. Р(0 е Кег Ф для всех ieR
и, значит, реЦКегФ). Следовательно, Кег!(Ф) сг
сЦКегФ).
Теперь мы можем доказать и теорему 2.
Доказательство теоремы 2. Пусть g = I(G)
и I) ~ \(Н). Поскольку подгруппа Н инвариантна, под-
алгебра I) является идеалом, и потому определена фак-
торалгебра д/(). Согласно теореме 1 лекции 10 (заметим,
что эта теорема пока доказана у нас только по модулю
теоремы Адо) существует односвязная группа Ли N с ал-
геброй Ли дД). Поскольку на категории односвязных
248
ИДЕАЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ
групп Ли функтор Ли вполне унивалентен, существует
гомоморфизм Ф: G-+-N групп Ли, реализующий естест-
венный гомоморфизм ср: д—>д/К т. е, такой, что 1(Ф) — <р.
Согласно предложению 4 ядро Кег Ф этого гомомор-
физма является замкнутой подгруппой с алгеброй Ли
((Кег Ф) = Кег I (Ф) = Кег ср = $.
Компонента единицы (Кегф)е этого ядра также замк-
нута и ее алгеброй Ли также является идеал К Таким об-
разом, мы имеем в группе Ли G две связные подгруппы
Я и (Кег Ф)е с одной и той же алгеброй Ли. Поэтому в
силу теоремы 1 предыдущей лекции Н ~ (КегФ)е. Сле-
довательно, подгруппа Н замкнута. □
Замечание 1. Предложение 3 утверждает, что в
соответствии Ли связные инвариантные подгруппы груп-
пы Ли G взаимно однозначно соответствуют идеалам ал-
гебры Ли д. Ясно при этом, что если группа G является
прямым произведением А\В инвариантных подгрупп А
и В, то алгебра Ли g будет прямой суммой от а ф Ь идеа-
лов а = 1(4) u I> = 1(B). Однако обратное, вообще го-
воря, неверно даже для связных групп Ли G. Если
g = а ф Ь и 4, В — такие инвариантные подгруппы связ-
ной группы G, что 1(4) — а и 1(B) = Ь, то группа G не
обязана быть прямым произведением А X В групп А и В.
Можно лишь утверждать, что группа G порождается
группами А и В (поскольку любой элемент некоторой
нормальной окрестности является, очевидно, произведе-
нием элементов групп А и В, а группа G, будучи связной,
порождается этой окрестностью) и что пересечение А f) В,
являясь подгруппой группы Ли G с нулевой алгеброй Ли,
будет нульмерной инвариантной подгруппой. В частно-
сти, если пересечение А Г1 В замкнуто (что в силу тео-
ремы 2 всегда выполнено, если группа G односвязна), то
оно дискретно. Кроме того, если подгруппы Л и В связны,
то, поскольку отображение (a, b) i—> aba~lb~l связного
многообразия А X В в дискретное многообразие А ("] В
непрерывно, оно переводит все многообразие А X В в
точку е е G, т. е. подгруппы А и В перестановочны. Сле-
довательно, отображение А X В —>• G, определенное фор-
мулой (а, Ь) ।—>ab, является эпиморфизмом. Так как этот
пиморфизм индуцирует, очевидно, тождественный изо-
морфизм а ф b —*- g алгебр Ли, то, согласно предложе-
ФАКТОРМНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИ
249
нию 4, его ядро дискретно и, значит, он является группо-
вым накрытием, а потому — для односвязной группы
G — изоморфизмом. Этим доказано, что односвязная
группа Ли G тогда и только тогда разлагается в прямое
произведение А X В связных подгрупп А и В, когда ал-
гебра Ли g = I(G) разлагается в прямую сумму а + 6
подалгебр а — 1(Д) и b = 1(B).
Для любой подгруппы Н произвольной группы Ли G
компоненты левых смежных классов аН, а е G, являют-
ся, очевидно, не чем иным, как всевозможными макси-
мальными инвариантными многообразиями подрасслое-
ния Е\ § — ((Я). Поэтому в группе G существует такая
(кубическая) карта (G, h) = (U, х1, ..., хп), что е U
и для любого а е G пересечение U Г1 аН является объ-
единением плоских подмногообразий вида Vg, seR'1-"1.
В частности, этим свойством обладает пересечение U П Н.
Если подгруппа Н замкнута (что мы всегда будем от-,
ныне предполагать), то карту (£J, h) можно выбрать так,
чтобы пересечение U П Н состояло только из одного под-
многообразия Vo (см. выше доказательство предложе-
ния 1). Пусть W — такая (кубическая по отношению к
Л) окрестность точки е в G, что TV-1 cr W и IV4 cr U.
Если точки a, b W сравнимы по модулю Н, т. е. а~-1Ь <=
Н, то a~xb W2 П Н с= U П Н = Vo, т. е. b aV0. По-
скольку а е aV’o и flV0 вместе с Vo связно, этим доказано,
что точки а и Ь принадлежат одной компоненте связно-
сти пересечения Uf\aH, т. е. одному многообразию Vg.
Поскольку обратное очевидно (если a, b W П Vg, то
а~1Ь е И), тем самым доказано, что точки a, b W тог-
да и только тогда принадлежат одному смежному классу
по Н, когда существует такое g, что а, Ъ Vg, т. е., дру-
гими словами, что пересечения Vg П TV для разных с. при-
надлежат различным смежным классам по И.
Рассмотрим теперь множество G/Н всех смежных
классов аН, а G. Группа G действует на этом множе-
стве по формуле
g(aH) — (ga)H, g^G, aH^G/H.
Отображение аН >—>g(aH) мы будем обозначать симво-
лом Lg. Оно связано с левым сдвигом Lg в группе G
250
ФАК.ТОРМНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИ
формулой Ls"° а = ta^Lg, где и — естественное отобра-
жение G-^-G/H, ai—>аН.
Пусть W — образ окрестности W при отображении со.
Согласно сказанному выше отображение И:
IF—>Ra~m, сопоставляющее каждому классу аН е W.
точку sG Rn~m, для которой ае корректно оп-
ределено. Поскольку'’ оно, очевидно, инъективно, а множе-
ство fi(W) представляет собой открытый куб в R^-"1 по-
луширины с, равной полуширине окрестности W, пара (W,
Я) является картой на G/Н, содержащей точку Н. С кар-
той (W, h) эта карта связана коммутативной диаграммой
(0
Ж----->Ж
' ft
верхняя горизонтальная стрелка которой является ото-
бражением со: а !—> аН, а нижняя — проекцией по первым
т координатным осям. __
Сопоставив каждому смежному классу аН е W, а е
W, точку в W с координатами
х'=0, хт = 0, xm+l — xm+1 (а), хп — хп(а),
мы получим отображение о: W -+ W, являющееся сече-
нием отображения <в: W -+ W, т. е. такое, что ® до = id
на W. С отображениями h и Я сечение о связано фор-
мулой
h = h ° о.
Заметим, что отображение о.У<£>: W -+ W гладко.
Поскольку для любого элементн а е G отображение
Еа биективно, пара (aW,ha), где Ка — Я_оЕа, является
картой в точке аН G/Н. Если [\bw 0, то на
ha(aW(]bW) для отображения hb°hal будет иметь ме-
сто формула
ht) ° ha1 — h о L-o о La1 ° h * =
= h о сг о Lb -t ° ® ° h Lba~ i о h 1
ФАКТОРМНОГООВРАЗИЯ ГРУПП ЛИ
251
из которой немедленно следует, что это отображение
гладко и, значит, карта (aW, Ra) согласована с картой
(bW, Rb).
Поскольку карты вида (a W, Ra), очевидно, покрывают
G}H, тем самым доказано, что они составляют атлас и
потому определяют на GJH некоторую гладкость. Снаб-
женное этой гладкостью множество G//7 называется фак-
тормногообразием (или однородным пространством)
группы Ли G по ее замкнутой подгруппе Н.
Отображение <о: G G/Н переводит каждую карту
aW в карту aW и потому (см. диаграмму (1)) в соответ-
ствующих координатах является проекцией —> R"-m.
Это означает, что естественное отображение
®: G —> G/H, а ь-> аН,
гладко и во всех точках имеет один и тот же ранг п — m
(так что его дифференциал (dco)a в каждой точке а е G
является эпиморфизмом).
. Сечение ,о: W -*• W является, конечно, гладким ото-
бражением.
Отображение
ц: G^G/H->GjH, (g,
задающее действие группы G на G/Н, связано с умноже-
нием в группе G коммутативной диаграммой
&KGIH
Для любых точек g, а е G отображение id X ® на ок-
рестности gW Xточки (g, аН) обладает сечением
id X °- Поэтому на этой окрестности отображение й яв-
ляется композицией гладких отображений id X о, ц, со и
потому гладко. Этим доказано, что отображение й
гладко.
Предположим теперь, что подгруппа Н инвариантна.
Тогда формула
аН ЬН = аЬН
252
ФАКТОРГРУППЫ ГРУПП ли
корректно определяет в G/Н умножение, по отношению
к которому G/Н является группой. Легко видеть, что это
умножение задает гладкое отображение
(2) GIH^GIH^GIH,
т. е. что факторгруппа G/Н является группой Ли. Дей-
ствительно, пусть a, b е G. Рассмотрим в G/Н окрестно-
сти aW и bW смежных классов аН и ЬН. На окрестно-
сти отображение (2) является композицией
гладких отображений о X о, ц, со и потому гладко. Сле-
довательно, оно гладко всюду. □
Предложение 5. Алгебра Ли факторгруппы G[H изо-
морфна факторалгебре алгебры Ли g = 1(G) по идеалу
Ь = ЦН):
l(G/Z/)«g/t>.
Доказательство. Поскольку отображение со:
G-+G/H гладко, оно является гомоморфизмом групп Ли
и потому индуцирует гомоморфизм
t(o>): g->l(G//7)
их алгебр Ли. В интерпретации алгебр Ли g и I(G/Z7)
как касательных пространств в точке е гомоморфизм
I (со) является не чем иным, как дифференциалом
(d<o)e: b(G)->Te(G//7)
отображения со. Но выше мы видели, что этот дифферен-
циал является эпиморфизмом с ядром Ь = Те(Я). По-
этому гомоморфизм I(со) индуцирует изоморфизм фак-
торалгебры g/I) на алгебру I(G/Z7). □
Подчеркнем, что в этой теореме подгруппа Н предпо-
лагается замкнутой. Факторалгебры д/(> по идеалам I) сд д,
которым соответствуют незамкнутые инвариантные под-
группы группы G, не являются алгебрами Ли никаких
факторгрупп группы G (по крайней мере, если понимать
факторгруппы в их обычном смысле).
В случае, когда инвариантная подгруппа Н не связна,
из предложения 5 следует, что факторгруппы G//7 и G/H,;,
где Не — компонента единицы подгруппы Н (также, оче-
видно, являющаяся инвариантной подгруппой), локально
изоморфны. Это замечание можно уточнить, заметив, что,
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП
253
поскольку Не cz Н, каждый смежный класс по Не содер-
жится в некотором однозначно определенном смежном
классе по Н, что определяет естественное отображение
р: GiHe->GIH.
Так как естественные отображения со: G-^GfH и <ое:
G —> GjHe непрерывны и открыты, то отображение р так-
же непрерывно и открыто. В случае, когда подгруппа Н
инвариантна, отображение р является, очевидно, гомо-
морфизмом.
Предложение 6. Для любой замкнутой подгруппы, Н
связной группы, Ли G естественное отображение
р: GIHe->GIH
является накрытием.
Доказательство. Так как подгруппа Не от-
крыта в подгруппе Н, то единица группы G обладает та-
кой связной окрестностью V, что V~l V cz Не. Ясно, что
предложение 6 будет доказано, если мы покажем, что
для любой точки a>(g) = gH многообразия G/Н ее ок-
рестность V (g). = со (gV) ровно накрыта отображе-
нием р.
Выбрав в каждой компоненте На подгруппы Н по
представителю ha, рассмотрим в GjHe открытые связные
множества a>e(gVha). Эти множества не пересекаются
(если (i)e(gvha) = <ae(gv'hfr), т. е. gvha — gv'h^h, где
h е Не, то ha = v~lv' - hph, где v~lv' е Не, и потому ha —
— h.$), вместе составляют все множество p-1V(g) (так
как элементами множества V(g) являются смежные
классы вида gvH, где v е V, то множество p-1K(g) со-
стоит из смежных классов вида gvhaHe) и каждое из них
с помощью р биективно — и, значит, гомеоморфно — ото-
бражается на V(g) (если o)(gvha) = a>(gv'ha), то v'ha =
~ vhah, где h е Н, и потому е Н и, значит,
е Не\ но тогда h — ha 1 • v~lu' • ha e He—ибо H!; инва-
риантна в H — и, значит, (oe(gvha) — e>e(gv'ha)). Следо-
вательно, окрестность V(g) ровно накрыта отображе-
нием р. □
Следствие. Если в условиях предложения 6 фактор-
многообразие G/Н односвязно, то подгруппа Н связ-
на. □
254 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП
Теперь мы можем показать, что общий метод уста-
новления связности топологических групп, опирающийся
на лемму 2 лекции 1, может быть употреблен и для уста-
новления односвязности:
Предложение 7. Если, связная группа Ли G содержит
замкнутую связную и односвязную подгруппу Н, фактор-
многообразие G/Н по которой односвязно, то группа G
также односвязна.
Справедливо даже следующее более общее предло-
жение:
Предложение 8. Для любой связной замкнутой под-
группы И Связной группы Ли G, фактор многообразие
G/Н по которой односвязно, фундаментальная группа
jtjG группы Ли Q является факторгруппой фундамен-
тальной группы Л\Н группы Ли Н.
Доказательство. Пусть G — односвязная груп-
па Ли, накрывающая группу G, и пусть л: G -+ Q — со-
ответствующее накрытие. Полный прообраз Нл = л~1П
подгруппы Н при гомоморфизме л является в G замкну-
той подгруппой, причем отображение G[Hn —G!H, инду-
цированное гомоморфизмом л, является, как нетрудно
видеть, диффеоморфизмом. Таким образом, многообра-
зие GJHn также односвязно, и, следовательно, подгруппа
Ня связна. Поэтому ограничение ли отображения л на Ня
является накрытием Ня—и, следовательно, имеет ме-
сто коммутативная диаграмма
где р: И Н — универсальное накрытие группы Ли Н.
При этом отображение Ня -+ Н (само будучи накры-
тием) эпиморфно и потому индуцирует эпиморфизм ядра
Дегр гомоморфизма р на ядро Кегля гомоморфизма лн-
Это доказывает предложение 8 (вместе с предложением
7), поскольку, по определению, Л\Н = Кег р и niG =
= Кег л = Кег ля. □
В качестве примера на применение предложения 7
рассмотрим группу SU(n) унимодулярных унитарных
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГРУППЫ U(n)
253
матриц. Так как (см. лекцию 1) для любого п > 1 фак-
тормнйгообразие SU(n)/SU(n—1) = U(n)/U(n — 1)
диффеоморфно сфере S2"-1, то, согласно следствию лем-
мы 1 лекции 9, это фактормногообразие односвязно. По-
скольку группа SU(1) состоит только из одного элемента
и потому односвязна, отсюда в силу предложения 7 оче-
видной индукцией выводится, что для любого п 1
группа SU(n) односвязна.
Аналогичное рассуждение, использующее односвяз-
ность сферы = Sp(/z)/Sp(n—1) и тот факт, что
группа Sp(l) та S3 односвязна, показывает, что для лю-
бого п 1 группа Sp(n) = UiH(n) односвязна.
Что же касается группы U(n), то здесь уже нужно
применить предложение 8, поскольку группа U(l), яв-
ляющаяся группой S1 комплексных чисел ]г] — 1, не-
односвязна,, ибо обладает нетривиальным накрытием
R S1, задающимся формулой 11—> е2яг7, р. как
ввиду односвязности группы R это накрытие универсаль-
но, то группа ni S1 изоморфна его ядру, т. е. группе це-
лых чисел Z. Поэтому та же индукция, что и выше, но
использующая вместо предложения 7 предложение 8,
показывает, что фундаментальная группа niU (п) группы
Ли U(n) является факторгруппой группы Z.
Чтобы вычислить эту факторгруппу полностью, мы
воспользуемся следующим предложением, в определен-
ном отношении двойственным предложению 8:
Предложение 9. Для любой инвариантной связной
замкнутой подгруппы Н связной группы JJu G фунда-
ментальная группа группы Ли G/Н является
факторгруппой фундаментальной группы n\G группы
Ли G.
Доказательство. Пусть л: G -> G и р: G//7 —>
—> G/H — универсальные накрытия, и пусть <я: G —>
-+-G/H — естественное отображение. Так как группа G
односвязна, гомоморфизм о» л: G-^GjH поднимается до
некоторого гомоморфизма <5: G-^GjH. Если Н — Кег й
и i: Я -+ G — отображение вложения, то, нескольку
ao.3n — po())oi = 0, гомоморфизм л переводит Я в Н
и. значит, индуцирует некоторый гомоморфизм л»: Я ->
256
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГРУППЫ U(nJ
—>/7. Все это наглядно изображается на коммутативной
диаграмме
н—^g^-^g/h
rt р
r^G-^G/H
Оказывается, что если гомоморфизм <о является эпи-
морфизмом, то он индуцирует эпиморфизм группы H|G=.
= Кег л на группу Л1G//7 = Кег р. Действительно, в этом
случае группа G/ff будет изоморфна факторгруппе G/H,
так что эта факторгруппа будет односвязной группой.
Поэтому, согласно следствию из предложения 6, под-
группа Н будет связна, и, значит, гомоморфизм лн'- Н
-> Н будет накрытием и, в частности, эпиморфизмом.
Если теперь а е Кег р и g — такой элемент из G, что
<o(g) = а, то элемент ng s G будет лежать в ядре Н
эпиморфизма со и потому будет образом при эпимор-
физме лн некоторого элемента й /7, т. е. — точнее —
будет иметь место равенство (1°лн)Я — л§. Тогда эле-
мент g{=(A)-^g будет лежать в ядре Кег л гомомор-
физма л, а его образом ® (gi) при гомоморфизме со бу-
дет данный элемент а е Кег р.
Таким образом, для доказательства предложения 9
достаточно показать, что co(G) = G/H.
Но очевидно, что в G и G/Н существуют такие базы
{tAJ и {Va} открытых множеств, состоящие из связных
множеств, ровно накрытых соответственно отображения-
ми л и р, что для любого а множество Va является обра-
зом u)(Ua) множества Ua при эпиморфизме и. Пусть
Ua, р— компоненты прообраза л~1иа множества Ua, а
Va, Y — компоненты прообраза р_1(Ка) множества Vrz
при, соответственно, отображениях лир. Так как каждое
множество Ua, р гомоморфизм со ° л отображает на мно-
жество Va, то гомоморфизм со отображает его на некото-
рое множество Vа, у- Поэтому, если какое-то множество
Va,y пересекает подпространство co(G), то оно содер-
жится в нем: Va, Ycr®(G). Поскольку множества вида
Va, у составляют базу пространства G]H, это возможно
только тогда, когда подпространство «(G) одновременно
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГРУППЫ U(n)
257
замкнуто и открыто. Поэтому в силу связности й((?) =
— G/Н (ср. с доказательством леммы 3 лекции 8).
Тем самым предложение 9 полностью доказано. □
Мы применим предложение 9 к эпиморфизму U(n) ->
^З1, задаваемому формулой
4sU(n).
Так как jtjS1 = Z, то, согласно этому предложению,
группа irtiU (п) эпиморфно отображается на группу Z.
Поскольку, с другой стороны, как выше было показано,
группа Z также эпиморфно отображается на группу
Л1и(п), этим доказано, что фундаментальная группа
«iU(n) группы Ли U(n) изоморфна группе Z.
Среди классических связных матричных групп Ли
нам осталось рассмотреть только группу SO(n). Мы сде-
лаем это в следующей лекции.
9 М.. М. Постников
Лекция 13
АЛГЕБРА КЛИФФОРДА КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИ-
ОНАЛА.— 22-ГРАДУИРОВКА АЛГЕБРЫ КЛИФФОР-
ДА—ЕЩЕ О ТЕНЗОРНОМ УМНОЖЕНИИ ЛИНЕА-
ЛОВ И АЛГЕБР,— РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБР КЛИФФОР-
ДА В КОСОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ,—БА-
ЗИС АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА,—СОПРЯЖЕНИЕ В
АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА,—ЦЕНТР АЛГЕБРЫ КЛИФ-
ФОРДА. — ГРУППА ЛИ Spin («),— ФУНДАМЕНТАЛЬ-
НАЯ ГРУППА ГРУППЫ SO (п). — ГРУППЫ Spin («У
ПРИ п < 4. — ГОМОМОРФИЗМ %. — ГРУППА Spin (6). —
ГРУППА Spin (5) .— МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
АЛГЕБР КЛИФФОРДА,—МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕ-
НИЯ ГРУПП Spin (п). —МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ, В КО-
ТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЕНЫ ГРУППЫ Spin (п). — РЕДУ-
ЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Spin(n).—
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ.
Вычисление фундаментальной группы njSO(n) группы
SO (и) мы начнем несколько издалека.
'Пусть Q — произвольный (но раз и навсегда фикси-
рованный) квадратичный функционал, заданный в (ко-
нечномерном) линейном пространстве над полем веще-
ственных чисел R.
Мы будем рассматривать пары вида (<я£, а), где —
произвольная унитальная алгебра над полем R (не обя-
зательно конечномерная), а а — такое линейное отобра-
жение Т-+.&, что oc(x)2 = Q(*)l для любого элемента
где 1 — единица алгебры (В дальнейшем мы
во всех такого рода равенствах будем, как правило, опу-
АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
259
скать единицу 1, т. е. будем отождествлять элементы
вида XI е с соответствующими числами X е R.)
Замечание 1. Для проверки на практике условия
а(х)2 = Q(x) полезно иметь в виду, что оно выполнено
для всех х е 3^, если выполнено для элементов некото-
рого базиса пространства 3^.
Морфизмом пары (j$, а) в пару (J?, Р) мы будем назы-
вать гомоморфизм Ф: для которого имеет место
коммутативная диаграмма
т. е. такой, что р — Ф ° а. Ясно, что все пары (^, а) и
все их морфизмы (j^, а) —(^, Р) составляют категорию.
Мы будем обозначать эту категорию символом CLIFF (Q).
Напомним, что объект До некоторой категории G на-
зывается инициальным (в другой терминологии—уни-
версальным'), если для любого объекта AeG сущест-
вует единственный морфнзм Ао-+А. Ясно, что ини-
циальный объект (если он существует) с точностью до
изоморфизма единствен. ,
Предложение 1. В категории CLIFF(Q) существует
инициальный объект.
Доказательство. Пусть
то(г)=То(г)ф ... еП(г)©....
где Т’(П— линейное пространство полилинейных функ-
ционалов типа (0,7) на У3 (см. II, 5, с. 48). Ясно, что от-
носительно операции тензорного умножения прямая сум-
ма То (3^) является алгеброй (бесконечномерной). \
В алгебре То(З^) мы рассмотрим идеал /(Q), порож-
денный всеми элементами вида х ® х — Q(x), где
хе7 = То(7). Пусть .Cl(Q) —факторалгебра алгебры
Т0(Г) по этому идеалу, и пусть t: —ограни-
чение на 7'5 = То(Т) естественного эпиморфизма
..Cl (Q). Оказывается, что пара (C1(Q), i) является
инициальным объектом категории CLIFF(Q)\ •
260
АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
Действительно, по построению t(x)2 = Q(x), так что
(C1(Q), i) <= CLIFF(Q). С другой стороны, ясно, что ал-
гебра То (Г) изоморфна алгебре R(xb . . . , хп) многочле-
нов от п некоммутирующих неизвестных Xi, . .. , хп
(изоморфизм определяется произвольным базисом
«1, ..., еп пространства У* и осуществляется соответ-
ствием etl ® ... ® eiq*—^xCl . . . х{ Поэтому для каж-
дой унитальной и ассоциативной алгебры st- любое ли-
нейное отображение а: Т-> единственным образом
распространяется до некоторого гомоморфизма а:
То (Г) ->.я£. При этом, если а(х)2 = Q(x) для каждого
элемента xeeJL т. е. если (j$, а) <= CLIFF (Q), то а = 0
на I(Q) и потому гомоморфизм а индуцирует некоторый
гомоморфизм а$: Cl(Q)->^, обладающий, очевидно,
тем свойством, что а# ° i — а, т. е. являющийся морфиз-
мом (C1(Q), а). Поскольку линеал "К порож-
дает алгебру То (Г), а значит, линеал lF—алгебру
C1(Q), этот морфизм единствен. Следовательно, пара
(Cl(Q),t) является инициальным объектом категории
CLIFF (Q). □
Определение 1. Построенная алгебра C1(Q) назы-
вается алгеброй Клиффорда квадратичного функцио-
нала Q.
По определению алгебра C1(Q) обладает тем свой-
ством, что для любого объекта («я£, а) категории
CLIFF(Q) существует единственный гомоморфизм ал-
гебр a#: C1(Q)~для которого а# ° t — а, причем
с точностью до изоморфизма алгебра _C1(Q) этим свой-
ством полностью характеризуется.
В частном случае, когда "К является евклидовым про-
странством, a Q — соответствующим метрическим функ-
ционалом (сопоставляющим каждому вектору х
квадрат |х|2 его длины), алгебру _C.1(Q) мы будем обо-
значать символом ,С1+(Г). Если же (в прежнем предпо-
ложении, что пространство У евклидово) функционал Q
определяется формулой Q(x) =—|х|2, то алгебру
iCl (Q) мы будем обозначать символом .С 1 (F). При сов-
местном рассмотрении алгебр _С1+(^°) и С1(У) мы бу-
дем их обозначать символом С1е(^°), где е = ±1, имея
в виду при е = +1 алгебру .CJ+(^a), а при е — —1 —
алгебру (У°).
АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
261
В случае, когда в пространстве Т выбран ортонорми-
рованный базис и тем самым это пространство отожде-
ствлено со стандартным евклидовым пространством Rn,
мы будем алгебры .С1+(2^) и обозначать соответ-
ственно символами ,С1+(п) и .С1(п) (а при совместном
рассмотрении — символом .С 1е (п)).
Пары (Т, Q) образуют, очевидно, категорию Q, мор-
физмами Q) -> (^°i, Qi) которой являются такие ли-
нейные отображения <р: Тчто Q(x) = Qi(q>x) для
любого вектора х е Т. Каждое такое отображение инду-
цирует, очевидно, гомоморфное отображение То(^°) —>•
—переводящее идеал /(Q) в идеал /(Qi) и по-
тому индуцирующее некоторое гомоморфное отображение
С1Ф: C1(Q)->C1 (QJ.
Ясно, что соответствия Q)*—>.С1 (Q), qn—>’С1 ф, со-
ставляют функтор _С_1 из категории Qb категорию ALGo-
ASS ассоциативных унитальных алгебр.
Заметим, что ЬС1 ф является не чем иным, как отобра-
жением (11°ф)й, где ip Cl(Qi)—естественное ото-
бражение. Допуская определенную вольность, мы будем
на этом основании обозначать гомоморфизм .С.1 ф симво-
лом фй.
Так как i(x)2 = Q(x), то из i(x) = i(y) следует, что
Q (х) = Q(y). Поэтому соответствие i(x) i—> Q(x) кор-
ректно определяет на подпространстве с: C1(Q) неко-
торый квадратичный функционал. (На самом деле, как
мы ниже покажем, из i (я) = i(y) вытекает, что х ~ у,
так что все эти предосторожности фактически излишни).
Для упрощения формул мы будем функционал t(x)i—>
>Q(x) обозначать прежним символом Q, а элемент
l(x) —символом х. В соответствии с этим для любого
элемента х е будет иметь место равенство
(1) x2 = Q(x).
В частности, (х ’+у)2 — Q(x 4- у), т. е. х2 -f- ху
’+ У* + У2 — Q(*) + 2Q(x, У} + Q{y), и, значит,
(2) ху + ух = 2Q (х, у)
для любых элементов х, у <= ilF.
262 z3.ГРАДУИРОВКА АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА
Пусть отображение—t: Т—>C.1(Q) определено фор-
мулой (—0 (я) = —t(x). Ясно, что пара (_C1(Q), —1)
принадлежит категории CLIFF (Q). Поэтому определен
гомоморфизм а = (—i)#, т. е. гомоморфизм а:
C1(Q) —>.C1(Q), обладающий тем свойством, что ах =
= —х, если х <= iT3. Очевидно, что а2 = id, т. е. что го-
моморфизм а является инволютивным автоморфизмом.
Для каждого элемента u^.Cl(Q) элемент аи мы будем
обозначать символом и*.
Для исследования автоморфизма и i—> и* мы восполь-
зуемся следующей леммой из линейной алгебры:
Лемма 1. Если линейный оператор А: Ж W3, дей-
ствующий в вещественном или комплексном линейном
пространстве W, инволютивен, т. е. А2 = Е, то его соб-
ственные значения равны ±1 и он диагонализируем, т. е.
пространство Ж является прямой суммой
(3) г = у+ф
собственного пространства Ж+, отвечающего собствен-
ному значению +1, и собственного пространства W-, от-
вечающего собственному значению —1.
Доказательство. Пусть сначала основным по-
лем является поле комплексных чисел _С. Тогда к опера-
тору А применима теорема о приведении к жордановой
нормальной форме (см. II, 16), т. е. А является прямой
суммой операторов вида 7£ ф С, где А, е ,С, а С — либо
нулевой, либо циклический оператор. При этом, если опе-
ратор А инволютивен, то каждый из операторов АД ф С
также инволютивен. Но (А£ ф С)2 = ф 2W ф С2,
и. потому равенство (АД ф С)2 = Е возможно только
тогда, когда С = 0. Это доказывает, что исходной опера-
тор А диагонализируем. Поскольку у инволютивной диа-
гональной матрицы все элементы диагонали равны, оче-
видно, ±1, этим лемма 1 в случе основного поля ,.С. пол-
ностью доказана.
В случае, когда линейное пространство Ж веществен-
но, мы перейдем к его комплексификации Жс (см. И,
17). Так как комплексифицированный оператор Лс,
очевидно, по-прежнему инволютивен, то по доказанному
. жс =
Z,-ГРАДУИРОВКА АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 263
Ограничившись в этом разложении лишь вещественными
векторами, мы, как легко видеть, и получим разложе-
ние (3). □
Согласно этой лемме, примененной к автоморфизму
линеал jC.l(Q) разлагается в прямую сумму
Cl (Q) = CI°(Q)®C11(Q)
двух подпространств ,CI°(Q) и ..Cl1 (О). Элементы под?
пространства _С 1°(Q) характеризуются условием и* = и,
а элементы подпространства —условием и* ===
= —и.
Мы будем называть элементы из Cl°(Qj четными эле-
ментами алгебры Клиффорда LC1(Q), а элементы из
1СР((?) — нечетными элементами этой алгебры.
Ясно, что произведение двух четных (нечетных) эле-
ментов четно, а четного и нечетного нечетно, т. е.
ci4q)-ci4q)c=ci*+/(Q)-
для любых i, i = 0, 1 (имеется в виду суммирование по
модулю 2).
В частности, мы видим, что подпространство CI°(Q)
является подалгеброй алгебры, _C1(Q).
Полученная алгебраическая структура заслуживает
специального названия.
Определение 2. Алгебра з& называется ^-градуиро-
ванной алгеброй, если з& — з4-ъ ф з£\ причем
зё • ^ст^г+/тО(12
для любых I, / = 0, 1. Морфизмом Z2-градуированных
алгебр называется такой гомоморфизм ср: что
ф(^‘) сд для любого I = 0, 1. Ясно, что все Zs-rpa-
дуированные алгебры и все их морфизмы составляют ка-
тегорию. Мы будем обозначать эту категорию символом
Z2-ALG, а ее подкатегорию, состоящую из унитальных
ассоциативных алгебр, — символом Z2-ALG0-ASS.
Согласно сказанному выше функтор ,С1 мы можем
считать функтором из категории Q в категорию Z2-
ALGo-ASS. При этом, как легко видеть, если для пары
(з£, а) <= CLIFF(Q) алгебра з& является ZQ-градуиро-
ваниой алгеброй, а отображение-а: з& представляет,
264
О ТЕНЗОРНОМ УМНОЖЕНИИ ЛИНЕАЛОВ И АЛГЕБР
собой отображение в st1, то соответствующий гомомор-
физм a#: Cl (Q)—> st будет морфизмом ,Х2-градуиро-
ванных алгебр.
В лекции 5 нами было введено понятие тензорного
произведения линеалов и алгебр. Напомним, что элемен-
тами линеала st 0 Sfi являются линейные комбинации
символов вида а 0 Ь, где а <= & е причем
(Я( + а2) ® b = ® b + а2 ® Ь,
а ® (61 + Ь2) = а ® 6] + а ® Ь2
для любых элементов aJf а2, a s и 6, 6j, 62 s S3. Если
. .. , еп — базис линеала a fi, .. . , fm — базис ли-
неала {%, то элементы е,0 fj, i = 1, ..., n, j — 1, ..., m,
составляют базис линеала 0 $ (так что, в частности,
dim (^ 0 = dim • dim .
Из этого описания линеала st 0 S3 непосредственно
вытекает, что для любых линеалов st, <%, имеют место
естественные изоморфизмы
(4) st ® 9% 9$ ® st (коммутативность),
(5) («я£ ® ® 't? ~ st- ® (^ ® (ё’) (ассоциативность),
(6) {st(&9})® ~ (з^®'®’)®^®'й’) (дистрибутивность)
В случае, когда линеалы st и 93 являются алгебрами,
мы ввели в st 0 93 умножение, для которого
(7) (а ® 6) (ai ® 61) = аа\ ® 661
для любых элементов а, а\ е st, b, Ь\ <= 93. Относительно
этого умножения st 0 93 является алгеброй и изомор-
физмы (4), (5) и (6) оказываются изоморфизмами ал-
гебр. (Если st и 93 — алгебры, то в прямую сумму
st ф 93 умножение вводится покомпонентно, т. е.
по формуле (а, 6) {at, 61) = (аа1г 661).) Если алгебры st
и 9 ассоциативны и унитальны, то алгебра st 0 93 также
ассоциативна и унитальна (с единицей 10 1).
Пусть st = st0 ф st1 и ф^1 — произволь-
ные ^-градуированные алгебры. Тогда, положив
{st ® ^)° = {st* ® ^°) ф {st1 ® ^‘),
{st ® ^)1 = {st* ® ф {st1 ® ^о),
О ТЕНЗОРНОМ УМНОЖЕНИИ ЛИНЕАЛОВ И АЛГЕБР
265
мы ввиду (4) и (6) немедленно получим, что
si ® 0 ^)°ф (3^ 0
Хотя алгебра si 0 3% и является по отношению к это*
му разложению 22-градуированной алгеброй, но, как ока-
зывается, целесообразно ввести в si 0 & другое умноже-
ние, для которого
(8) (а ® Ь) (он 0 bi) = (— l)t; (аах® ЬЬ^),
если з и ai е si1. Ясно, что по отношению к этому
умножению линеал si 0 3% также будет г2-градуирован-
ной алгеброй, унитальной и ассоциативной, когда алгеб-
ры si и 9% унитальны и ассоциативны.
Алгебру si 0 9% с умножением (8) мы будем называть
косым тензорным произведением Х2-градуированных ал-
гебр si и Когда нужно подчеркнуть отличие этого про-
изведения от обычного (хотя и Х2-градуированного) тен-
зорного произведения si 0 9%, мы будем обозначать его
символом si® 3k
Все три тензорных умножения (для линеалов, для ал-
гебр и для Х2-градуированных алгебр) обладают свой-
ством функториальности, т. е. для любых морфизмов <р:
si —> ^i, ф: определен морфизм ф 0 ф: 0
->^i0^i, удовлетворяющий обычным функторным
тождествам. Этот морфизм однозначно характеризуется
соотношением
(<р ® Ф) (а 0 Ь) = ф (а) 0 ф (6),
которое должно иметь место для любых элементов a Q
е si, b <=
Кроме того, для любых линеалов si, 9% и любой ал-
гебры 93 мы можем произвольным линейным отображе-
ниям ф: si-*-^ и ф: сопоставить линейное ото-
бражение ф 0 ф: si 0 9% -> которое однозначно харак-
теризуется соотношением
(Ф 0 ф) (а 0 Ь) = ф (а) ф (b), ass si, b <= 9k
Если si и 9% — алгебры, а ср: si-^-^ и ф: — гомо-
морфизмы, причем гомоморфизмы <р и ф коммутируют,
т. е. для любых элементов а (= si и b е 9% имеет место
равенство фа-ф& == фб-фя, то отображение ф 0 ф: 3^0
266
РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБР КЛИФФОРДА
0^->'g’ также будет гомоморфизмом. Аналогично для
любых Z2-гpaдyиpoвaнныx алгебр & и и любых
косокоммутирующих морфизмов ф: ф:
(т, е. таких, что фа-ф6 = (—1)‘7ф&-фа, если а е jjF,
b е #7) отображение ф 0 ф: 0 будет морфиз-
мом косого тензорного произведения в алгеб-
ру'S’.
Для каждых двух объектов (Fi, Qi) и (F2, Q2) катего-
рии Q формула
Q (xi Н- хг) Qi (ж1) 4~ Q2 (хг)> xi^^°i> x^eFj,
определяет на прямой сумме F = Fi ф F2 квадратич-
ный функционал Q, называемый прямой суммой квадра*
тичных функционалов Qi и Q2 (и обозначаемый обычно
символом Qi ф Q2).
На этом языке теорема Лагранжа (см. II, ПУ
означает, что любой квадратичный функционал является
прямой суммой функционалов на одномерных простран-
ствах.
Предложение 2. Для любых двух квадратичных функ-
ционалов Qi и Q2 имеет место естественный изоморфизм,
Cl (Qi фС?2) - Cl (QJ ® Cl (Q2).
Доказательство. Положив У’’ = Fi фF2, опре-
делим линейное отображение
a: F->Cl(Qi)® C1(Q2>
формулой
(9) <х (Х| -{- х2) == Xj <8> 1 4~ 1 ® х2, Xj с= Fj, х2 6= F2,
где, как всегда, x1=tx1, x2 = ix2- Так как
(Xi О 1) (1 ® х2) — xt ® х2
и
(1 <8> х2) (л'1 ® 1) = — (Х10-Хг),
то
а (х)2 = а (xj -f- х2)2 = (xi ® 1 + 1 ® х2У —
= х2® 1 ф- 1 ®x| = Qj(xJ4-Q2(x2)==
^Q(x)
РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБР КЛИФФОРДА 267
для любого, вектора х — хь4- х2 е Т, где х{ <= Xr, х2 е 2^»
Q = Qi®Q2, и, значит, (Cl (Q0 <§> Cl (Q2), а) *= CLIFF (Q),
Покажем, что соответствующий морфизм
а»: C1(Q)->C1(Q1)® C1(Q2)
Z2-градуированных алгебр является изоморфизмом.
С этой целью мы рассмотрим естественные вложе?
ния Oj: и о2: Т2->Т. Ясно, что они являются
морфизмами соответственно пар (2*4, QJ и (2^2, Q2) в пару
(2^, Q). Поэтому определены гомоморфизмы of: Cl(Qj) —>
—>C1Q и of: Cl (Q2) —> Cl (Q). Так как для любых век*
торов х1<=2°], х2 Т2 векторы OiXb о2х2 по опре*
делению, Q-ортогональны, то, согласно формуле (2),
. of Xj • of Х2 = — <3%Х2 • of Хр
Покольку любой четный (нечетный) элемент алгебру
Cl(Qz), i = 1, 2, является суммой произведений чеТ*
яого (нечетного) числа элементов хг- е №1, отсюда непо*
ерёдственно следует, что отображения of и of Косовом*
мутируют, и потому отображение of ® of: Cl (Qj)<3
4S Cl (Q2)—> Cl (Q) будет морфизмом И2-градуированной
алгебры Cl (Qi) ® Cl (Q2) в г2-градуированную алгебру
С1 (Q) •
В аккуратной записи (с Oi и о2) формула (9) имеет
вид
a(OiXj ф- о2х2) = xt <8> 1 4- 1 ® х2.
Поскольку, по определению, ofx1=io1x1, ofх2 = to2x2. и
a*oi'ea, мы получаем отсюда, что
a# (ofXj + of х2) = Xj ® 1 + 1 ® х2
для любых элементов Xi е , х2 е 1У2. Здесь
of Xi 4- of х2 есть не что иное, как произвольный элемейф
х из i^°. Поэтому
((of ® of) о ай) х —-(of <8> of) (х1 ® 1 4- 1 ® *2) =
= ofxj • 1 4- 1 • ofх2 =
= ofXj 4- of х2 = X,
268 х РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБР КЛИФФОРДА
V
так что (а^ <8> ай) ° a# = id на подпространстве i3^.
Поскольку отображение (а ^0 а^) ° а % является гомо-
морфизмом алгебр, а подпространство порождает
алгебру C1(Q), отсюда следует, что (а^ ® ай) ° а** = id
И на всей алгебре Cl (Q).
Аналогично
(а^ о (ай ® ай)) (xt ® х2) = ай (а#*^ • о¥х2) ~
= айа^х, • айа|*х2 — (xt ® 1) (1 ® х2) = xt ® х 2
для любых элементов Xi е t3^i, х2 е 1X2, и, значит,
ай о (а^ ® ай) = id, поскольку элементы xi 0 х2, Xi s ij’i,
х2 е= i3^2, порождают алгебру Cl (Qi) <8> Cl (Q2).
Таким образом, морфизмы ай и а^ ® ай являются
взаимно обратными изоморфизмами. □
Пусть п = dim У. При п = 1 имеется (с точностью
до изоморфизма) только три квадратичных функцио-
нала Q+i, Q-! и Qo, характеризующихся тем, что на неко-
тором векторе (базисе одномерного пространства
У’) они принимают соответственно значения -j-1, —1 и 0.
Так как при п—,1 алгебра То(^°) изоморфна алгебре
R [е] (обычных) многочленов от е, отсюда следует, что
алгебра Cl(Qe), е = ±1,0, получается из алгебры R[е]
наложением соотношения е2 = е, т. е. является алгеб-
рой С комплексных чисел, либо алгеброй D двойных
чисел (имеющих вид a -j-be, где a, b R и е2=1),
либо алгеброй дуальных чисел (имеющих вид a -j- be,
где а, & <= R и е2 = 0).
Теорема 1. Для любого квадратичного функционала Q
в п-мерном пространстве У алгебра Клиффорда O1(Q)
изоморфна косому тензорному произведению р алгебр
двойных чисел, г — р алгебр комплексных чисел и п — г
алгебр дуальных чисел, где г — ранг функциона-
ла Q, а р — его положительный индекс инерции.
В частности,
С1 (и) = С® . ®С, 01 + (и) == D <§> ... ® D.
п раз п раз
Доказательство. Очевидной индукцией следует
из предложения 2 и теоремы Лагранжа. □
БАЗИС АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА
269
Поскольку при тензорном умножении размерности ал-
гебр-сомножителей перемножаются, из теоремы 1, в
частности, следует, что dimCl(Q) = 2п.
Более того, если в], ..., еп — произвольный Q-ортого-
нальный базис пространства У3, то, поскольку базис i-ro
множителя состоит из элементов 1 и е,:, алгебра jC.l(Q)
будет иметь базис, состоящий из 2ге элементов вида
xk\^k2 • • • r^e k{, k2, kn = Q, 1, a и
x^ = et для любого i = 1, ..., n.
Введя в рассмотрение подмножество I отрезка [n] —
— {1, 2, ..., п} натурального ряда, состоящее из индек-
сов I, для которых kt — 1, мы будем элемент х%> .
... х<£> обозначать символом в/. Таким образом, если
I = {ii<i2< ••• < im}, то в] = . eim.
Число т мы будем обозначать символом |/|.
В частности, при т — 1 мы получаем элементы
==£?1, ..., е{п}—еп. Поэтому эти элементы линейно
независимы и, значит, линейное отображение i:
->.CI(Q) (переводящее, напомним, базисные векторы
. , еп в элементы е\, ... , еп) является, как выше и
утверждалось, мономорфизмом. Мы, как правило, будем
отождествлять каждый вектор х £ 7 с соответствующим
элементом xeiJ’eCl(Q). В силу этого соглашения
морфизм a*: Cl(Q)—> для любого объекта («$$, а) е
CLIFF (Q) будет не чем иным, как распространением
отображения а с У3 на Cl (Q).
При m — 0, т. е. при 1 = 0, элемент е0 (обозначае-
мый также символом во) является единицей 1 алгебры
jC.l(Q).
Поскольку векторы et и е; при i j по условию Q-op-
тогональны, то, согласно формуле (2),
(10) + ejei = 0, i =# j.
Кроме того, согласно формуле (1),
(И) ^ = ег, где et.=Q(ez).
Соотношения (10) и (11) позволяют немедленно напи-
сать произведение любых базисных элементов е? и в/.
270
сопряжение В АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА'
Например, при п — г и р = 0, т. е. в алгебре С1+(/т),
имеет место формула .
(12) = (-!)’+''• ” е/д/,
где I/\J = (/ (J /) \ (/ f| /) — симметрическая разность
множеств I и /, а т+(/,/.)—число всех пар (t,/) <=
/ X J, для которых i > j.
Аналогично в алгебре _С1 (л)
(13) ^1 = (-1Ги-Пе1Л1,
где т(/, /) — число таких пар (i, /) I X Л что 1 ^ /•
Линейное отображение ш—> а не обязательно ассо-
циативной алгебры в себя называется инволютивным
антиавтоморфизмом, если а = а и ab — Ба для любых
элементов a, b <= Примером является отображение в
себя тензорной алгебры То(^), задаваемое на образую-
щих Xi 0 . . . 0 хр формулой
Так как все элементы вида —Q(x) остаются при;
этом антиавтоморфизме неподвижными, то I(Q) = /(Q),
и потому рассматриваемый антиавтоморфизм индуцирует
некоторый инволютивный антиавтоморфизм алгебры
LCl(Q).
Определение 3. Построенный инволютивный антиавто:
морфизм а<—>а алгебры ,C.1(Q) называется сопряже-
нием.
На элементах базиса в/, I = {й < . .. < im} С= [и],
сопряжение действует, как легко видеть, по формуле
2 ez.
Таким образом, ё/ = в/, когда tn = 4р, 4р -f- 1, и ё{ —
.*=. -—ег, когда tn — 4р -f- 2, 4р -f- 3.
Напомним, что центром ассоциативной алгебры назы-
вается ее подалгебра, состоящая из всех элментов, пере-
становочных с каждым элементом алгебры..
ЦЕНТР АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА
271
Мы вычислим центр алгебры Клиффорда _C1(Q) для
случая, когда функционал Q положительно или отрица-
тельно определен, т. е. для алгебр С18(п).
Предложение 3. Если п четно, то центр алгебры
;С1е(п) одномерен (и исчерпывается элементами из R),
а если п нечетно,' то центр алгебры С18(п) двумерен и
порождается элементами 1 и в[п] = eie2 • • еп-
Доказательство. Так как элементы в], . . ., еп
порождают алгебру С18(н), то элемент х е С18(п) тогда
и только тогда принадлежит центру этой алгебры, когда
xei — е;х, т. е. eixet — sx, для любого г — 1, п. Но
ясно, что если I е / — {й < . .. < im} и i = it, то
е1ет = (— и eiei = (~l)m~i ee/X{i},
а если, t / и it-i < i < it, то
О e7U{i} И eiei = ( 1)
Поэтому, если х = XjCj, то
I
е£хе£— Х(—l)"171"1 ехуй/+ X (—l)mex£ez, где m — \I\.
4 .G I 1Ф'1
Следовательно, е(хе, — ext тогда и только тогда, когда
Xi — (—1) т+1Х/, если i I, и хг = (—l)mxz, если i ф I.
Поскольку для любого I 0, [я] существует как i <= /,
так и i I, отсюда следует, что если eixet = гх для всех
i — 1, . . . , п, то (—1)гп+1х/ — (—l)mxf и, значит, xi — 0.
Кроме того, х!га! = (—1)я+1х1я1 и, значит, Х[Я] = 0, если п
четно. Поэтому х = х0е0, если п четно, и х = х0е0 -ф-
+ хгЯ1вг,г', если п нечетно. □;
Следствие. Для любого п и любого s единственными
четными элементами цёнтра алгебры ,С1Е(гг) являются
числа из R. □
Так как х2 — е | х |2 для каждого элемента х tR” =
= Rra, то все отличные от нуля элементы из R" обратимы
в алгебре С18(л). В частности, обратимы все элементы,
принадлежащие единичной сфере S"-1 пространства Rn,
причем если х. то х~‘ = sx ==.ех.
Определение 4. Подгруппа pin8(n) мультипликативной
группы всех обратимых элементов алгебры kC.lt(n),
272
ГРУППА ЛИ Spin(n)
порожденная элементами из S'1-1, называется группой
Клиффорда степени п и индекса е. При е — +1 эта груп-
па обозначается также символом рш+(п), а при е =
= —1—символом pin (п).
Подгруппа группы pinE(n), состоящая из четных эле-
ментов, обозначается символом Spin8(n) (при е = —
также символом Spin+(n), а при е = —1—символом
Spin (я)) и называется спинорной группой степени п и
индекса е.
Ясно, что группы pine(/z) и Spine(n) замкнуты в груп-
пе Ли всех обратимых элементов алгебры jCle(n). По-
этому эти группы являются группами Ли.
По определению каждый элемент и группы pine(n)
представляется (вообще говоря, неоднозначно) в виде
произведения Xi ... хт, где Х\, ..., хт^ S"-1, и этот
элемент тогда и только тогда лежит в SpinE(n), когда т
четно. При этом, так как оба отображения —>и~1 и
mi—>й являются антиавтоморфизмами и х-1 ~ ех при
х е S'1-1, то и-1 — гтй и, значит,
и-1 = й, если и s Spine(п) (или е — 4-1).
п п
Если и = У, u^i е R" и х — У xtei то
i=l i=l
п
UX^-^ UiXi 4- У ЩХ^в!,
i=l
и, значит,
ихй — У UiXjUkeieiek 4- ...,
(Uk)
где многоточие обозначает члены, линейные по е^, ..., еп
(т. е. принадлежащие Rrt), а символ (ijk) под знаком
суммы означает, что суммирование распространено на
все тройки (ijk), состоящие из попарно различных чисел
1, ..., п. Но при перестановке любых множителей про-
изведение eiS/Sfe меняет знак, а коэффициенты UiXjUk сим-
метричны по i и k. Поэтому эта сумма равна нулю, и
значит, uxueRn. Поскольку (uv)x (uv) = и (vxv) й, от-
сюда следует, что ихй е R" для любого элемента и е
е 1С1 («), представимого в виде произведения элементов
из R", и, значит,, в частности, для любого элемента и е
ГРУППА ЛИ Spin (re)
273
<=pine(rt). Это показывает, что, положив
Ф (и) х == ихй, и е pine (м), х s R",
мы получим некоторое (очевидно, линейное) отобра-
жение
ф(м):
Кроме того, мы видим, что ср (мп) = ф(м)ф(п), т. е. что
отображение <р: мн->ф(м) является гомоморфизмом груп-
пы pine(rt) в группу обратимых линейных операторов
Rra—>• Rra, которую мы, пользуясь тем, что в Rny нас фик-
сирован базис ei,...,e„, будем отождествлять с группой
GL(m) обратимых матриц.
Более того, поскольку для каждого элемента .reR"
имеет место равенство
| ф (м) х I2 = в (ф (м) х)2 = еихйихй —
— вихи~1ихи~1 = вмххм-1 = | х |2 мм"1 = | х |2,
оператор ф(м) для любого элемента ме рше(м) ортого-
нален, так что ф на самом деле представляет собой гомо-
морфизм
ф: pine (м) —> О (м).
Предложение 4. Отображение
ф: pine (м) —> О (м)
при в = —1 или п четном является эпиморфизмом на
группу О(м), а при в = -4-1 и п нечетном — эпиморфиз-
мом на группу SO(n).
При любых г и п гомоморфизм ф отображает группу
Spin8(«9 в группу SO(m), причем индуцированный гомо-
морфизм
Фо: Spine(rt)—> SO (м)
является эпиморфизмом.
Ядром эпиморфизма ф0 является группа второго по-
рядка {1, —1).
Доказательство. Если м е Sra-1 и х s R", то, со-
гласно формуле (2),
Ф (м) х — ихй = ихи — (2в (х, м) — хи) и =
= — s (х — 2 (х, м) м)
274
ГРУППА ЛИ Spi n («),
и, следовательно,
ф(п) =— еи\
где ых: Xi—>х— 2(х, и) и — симметрия в гиперплоскости,
перпендикулярной вектору и. Значит, образу гомомор-
физма ф при в ~ —1 принадлежит любая симметрия
пространства Rra, а при е — 1 — композиция произволь-
ной симметрии с оператором х>—>—х, имеющим опреде-
литель (—1)п. Это доказывает первые три утверждения
предложения 4, поскольку, как мы знаем (см. 1,27), в
одномерном и двумерном пространствах любой ортого-
нальный оператор является симметрией или композицией
симметрий, а в n-мерном пространстве — прямой суммой
ортогональных операторов в одномерных и двумерных
подпространствах (см. 11,21, с. 215) назначит, тоже—•
симметрией или композицией симметрий. При этом опе-
ратор тогда и только тогда лежит в SO (п), когда он яв-
ляется композицией четного числа симметрий.
Если и Кег ср0, то uei — ecu для- любого i — 1, .. .
. .. , п (ибо, как выше было замечено, и-1 = й для лю-
бого элемента и е Spine(«)) и, значит, и лежит в центре
алгебры _С.1Е(/г), т. е., являясь четным элементом, пред-
ставляет собой число из R. Поэтому ф(и)х — и2х, т. е.
Ф(и) — и2Е, и, следовательно, поскольку оператор <р(и)
ортогонален, и — ±1. Обратно, ясно, что ±te
ед Кег фо- □
Из предложения 4 следует, что если при п > 1 группа
Ли SpinB(n) связна, то эпиморфизм фо является группо-
вым накрытием. В противном же случае группа Spine(n)
должна быть прямым произведением SO(n) XZ2 (а ото-
бражение фо — проекцией SO(n)X Z2 —>• SO(n)), и потому
ее точки 1 и —1 будут лежать в ее различных компо-
нентах. Но очевидно, что, положив
cos у t • ех + sin
= cos nt— e sin nt • 0^2, 0 XCJ,
мы получим в Spine(n) путь /н->и(/), соединяющий точ-
ку 1с точкой —1. Поэтому должен иметь место первый
случай. Следовательно, группа Spine(n) при /г > 1 связ-
на и эпиморфизм ф0 является групповым накрытием,
П , \ f л , . Я .
у 4 е2 J ^cos t • ех — sin у 1- е2
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГРУППЫ SO (rt)
275
Прообраз любой точки при накрытии ф0 состоит из
двух элементов. Такого рода, накрытия называются дву-
листными.
Факт существования у группы SO (я) нетривиаль-
ного накрытия означает, что эта группа не односвязна:.
Чтобы найти ее фундаментальную группу, мы снова
воспользуемся предложением 8 из предыдущей лекции.
Как уже было замечено в лекции 1, фактормногообразие
SO (я)/SO (н—1) естественным образом отождествляет-
ся со сферой Sn~l и потому при п 3 односвязно. По-
этому, согласно предложению 8 лекции 12, фундамен-
тальная группа niSO (rt) группы SO (я) при любом п
3 является факторгруппой группы niSO(3). Поэтому
нам достаточно вычислить лишь группу niSO(3).
Пусть Н' — линейное пространство «чисто мнимых»
кватернионов rj (т. е. таких, что ц ——rj), a S3 — труп-»
па «единичных» кватернионов g (т. е. таких, что g — g-1).
Если g^S3 и л^Н', то gr|g-1 — g-If)g =—и,
значит, gr|g-1 <^HZ. Следовательно, для любого кватер-
ниона &eS3 формула <p(g): tj»—> grig-1, rj Hz, опреде-
ляет (очевидно, линейный) оператор <p(g): Hz~> Н",
При этом, поскольку | grjg-11 = |г) |, оператор cp(g) орто-
гонален. В силу отождествления H' = R3 отображение
<р: gf—>ф(£) будет поэтому (очевидно, гомоморфным)
отображением группы S3 в группу 0(3). Более того,
поскольку группа S3 связна, гомоморфизм ф является
на самом деле отображением в группу S0(3).
Предложение 5. Гомоморфизм
ф: S3->SO(3)
является эпиморфизмом. Его ядром служит группа вто-
рого порядка {1, —1}.
Для доказательства этого предложения мы восполь-
зуемся следующей общей леммой.
Лемма 2. Гомоморфизм Ф: G —> Н связных групп Ла
является групповым накрытием (и, следовательно, эпи-
морфизмом), если его ядро К = Кег Ф дискретно й
dim G — dim Н.
Доказательство. Поскольку ядро гомоморфиз-.
ма Ф дискретно, этот гомоморфизм, рассматриваемый
как отображение на свой образ Ф(&) й# GjK, -является
276
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГРУППЫ SO (я)
групповым накрытием. Поэтому в доказательстве нуж-
дается лишь равенство Ф(6) = Н. Но поскольку
dimO(G) = dim G = dim H, единица ееФ(б) яв-
ляется внутренней точкой подгруппы Ф(6), т. е. в Н
имеется такая окрестность единицы U, что £7сдф(6).
Это доказывает лемму, поскольку в силу связности груп-
пы Н окрестность U порождает группу Н. □
Доказательство предложения 4. Так как
dim S3 = dim SO(3) = 3, то в силу леммы 2 достаточно
доказать лишь утверждение о ядре. Но если g Кег ф,
то для кватернионных единиц i, j, k будут иметь место
равенства gi = tg, gj = к c,k— &g, что, как легко ви-
деть, возможно только при sS R, т. е, при £ =
= ±1. □
Предложение 4 означает, что отображение ф: S3—>
->SO(3) является групповым двулистным накрытием.
Поскольку сфера S3 односвязна, это накрытие универ-
сально. Поэтому niSO(3) = Z2, и, значит, согласно сде-
ланным выше замечаниям, группа n1SO(rt) при любом
п 3 является факторгруппой группы Z2. Но мы знаем,
что эта группа нетривиальна. Поэтому при п 3 группа
niSO(rt) является группой второго порядка Z2.
При п = 2 группа Ли SO (2) является окружностью
S1, и потому группа n1SO(2) изоморфна группе Z.
При п = 1 группа SO(1) является единичной груп-
пой.
Кроме того, мы теперь видим, что группа SpinE(n)
при д 3 является односвязной группой, а накрытие фо-
SpinE(rt) —> SO(rt) — универсальным накрытием.
Ввиду единственности универсального накрытия от-
сюда, в частности, следует, что группа Spin+(«) изо-
морфна группе Spin (п).
Таким образом, хотя алгебры С1+(д) и ,С1(/г) не изо-
морфны, но их подгруппы Spin+(/z) и Spin (/г) изо-
морфны.
Замечание 2. Конечно, изоморфизм между груп-
пами Spin+(/z) и Spin (я) хочется иметь в более явном
виде. Хочется также понять алгебраические причины это-
го изоморфизма. Оба желания будут удовлетворены, если
мы построим изоморфизм алгебр С1+ (д) и С1°(п), ото-
бражающий группу Spin+(/z) на группу Spin(n). Оказы-
вается, что таким изоморфизмом будет линейный изомор-
ГРУППА Spin (re) ПРИ ге<1
277
физм р: С1+ («)-> 01° («), переводящий базисный элемент
в/ алгебры С1+(я)в базисный элемент ё/алгебры С1°(я),
т. е. в элемент (—l)pei, где 2р — ]/]. Действительно,
достаточно, очевидно, показать, что р является гомомор-
физмом алгебр, т. е. что p(erej) — р(в/)р(а7) для любых
базисных элементов в/, алгебры С1+(«). Пусть |/| —
— 2р, |/| =з 2q и |/ А / | — 2г. Пусть, кроме того, т+—
число пар (i, /) / X Л Для которых i > j, ат — число
пар (i, /) / X /, для которых i j. Согласно форму-
лам (12) и (13) etej — {—W+ei&j в Cl^(n) и eIeJ =
= (—1)те/д/ в С1°(п). Поэтому p(e/?7) = (—l)T++s
a P(ez)p(ez) = (—i)T+p+<? е/д/. Это доказывает все, что
нужно, поскольку, как легко видеть, т—т+=|/(]/| =
— Р + Я—5. □
Замечание 3. Тот факт, что отображение р яв-
ляется гомоморфизмом алгебр, можно доказать без вся-
ких вычислений, если заметить, что оно является ограни-
чением изоморфизма комплексифицированных алгебр
Cl+(n)0<Cj и С1(п)®С, порожденного соответствиями
ei ।—> lej, . . . , еп ।—> ien, где i = д/—1 — мнимая единица.
В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать
только группу Spin(n).
Группы Spin(«) для малых п легко описать.
Ясно, что группа Spin(l) подобно группе SO(1) со-
стоит только из единицы.
Алгебра ,С1°(2) двумерна (ее базис состоит из эле-
ментов 1 и в1б2), а группа Spin (2) является в этом дву-
мерном линеале окружностью. Таким образом,
Spin(2) SO(2)«S! ~U(1).
Что же касается группы Spin(3), то в силу единствен-
ности универсального накрытия эта группа изоморфна
группе S3:
Spin(3) « S3 « Sp(l).
Интересно, что группа Spin(3) « S3 изоморофна так-
же группе SU(2). Действительно, непосредственное
вычисление показывает, что любая матрица из SU (2)
278 ‘
- ГРУППЫ Spin(л) ПРИ л<4
имеет вид
(14)
(а Ь \
— Ь а)’ Где 1 « I2 4-I I2 = 1»
и что отображение SU(2)->S3, сопоставляющее мат-
рице (14) кватернион g = a -}- bj е S3, является изомор-
физмом. □
В частности, отсюда следует, что группа SU(2) дву-
листно накрывает группу вращений SO(3).
Чтобы получить явное описание накрытия SU(2) ->
->SO(3), мы каждой матрице (14) отнесем дробно-ли-
нейное преобразование
az 4- Ь
Z I—Э--2-----
— bz + а
пополненной плоскости 'С+ комплексного переменного.
При отождествлении посредством стереографической
проекции плоскости .СЛ со сферой S2 преобразования
(15) перейдут, как известно (см. 1,28), во вращения
сферы, т. е. в преобразования из SO(3). Это и дает на-
крытие SU(2) -> SO(3), поскольку матрицы, отличаю-
щиеся знаком, порождают одно и то же вращение (15),
Далее, легко видеть, что группа Spin(4) изоморфна
прямому произведению S3 X S3 групп S3 as Spin(3).
Проще всего это установить, заметив, во-первых, что для
любых двух кватернионов g, г] S 3 формула
С-
определяет изометричное (ибо |ggfjj = |g| • |g| • =
= |g|) отображение алгебры H в себя, т. е. некоторый
элемент группы SO (4), во-вторых, что получающееся ото-
бражение S3 X S3-» SO(4) является гомоморфизмом
(ибо £1(£2£П2)П1 = (£1ЬШП1112)), и, в-третьих, что ядро
этого гомоморфизма состоит только из двух элементов
(1, 1) и (—1, —1) (если ggfj= g для всех g, то, в част-
ности, gfj= 1 и, значит, g = т]; следовательно, gg == gg,
откуда; как мы уже знаем, вытекает, что g = ±1). Это
Означает (см. лемму 1), что группа S3 X S3 двулистно
накрывает группу SO (4), Следовательно, это накрытие
ГОМОМОРФИЗМ- %
279
универсально и потому группа S3 XS3 изоморфна груп-
пе Spin (4). □
Оказывается, что аналогичные результаты имеют ме-
сто и для групп Spin (5) и Spin (6). Чтобы их получить,
мы начнем с группы SL(4; LC.) унимодулярных линейных
операторов комплексного четырехмерного пространства
1СЛ Каждый оператор А <= SL(4; jQ) очевидным обра-
зом индуцирует некоторый линейный оператор А: А2(С4)->
—>Д2(С4) в линейном пространстве А2(С4) билинейных
кососимметрических функционалов на типа (О, 2) . На
бивекторах этот оператор действует по формуле
А (х Л у) = Ах Д Ау, х, у е= С4.
Так как dim Л2(С4) — 6, то, выбрав в пространстве
А2(С4) базис, состоящий из бивекторов ei А е,, i <Zj,
где ei, е3, в4—векторы стандартного базиса про-
странства С,4, мы можем считать оператор А элементом
группы GL(6;C). Более того, рассмотрев на простран-
стве А2 (С4) квадратичный функционал Q, сопоставляю-
щий каждому вектору piJei А е/ этого пространства число
pi2p34 ^23^14 _|_ р13р42, мы после нетрудного вычисления
обнаружим, что каждый оператор А сохраняет этот квад-
ратичный функционал. (Впрочем, это можно доказать и
геометрически без каких-либо вычислений. Действитель-
но, оператор А переводит бивекторы в бивекторы и по-
тому сохраняет равенство Q = 0, равносильное соотно-
шению Плюккера, характеризующему бивекторы среди
всех функционалов из А2(С4); см. II, 10, с. 87. Это озна-
чает, что оператор А переводит в себя гиперповерхность
второго порядка Q — 0. Но тогда в силу теоремы об
единственности, с точностью до пропорциональности, ура-
внений гиперповерхностей второго порядка, оператор А
должен переводить функционал Q в пропорциональный
функционал KaQ- Поэтому нужно только доказать, что
= 1 для любого оператора А SL(4; ,.С). Но соот-
ветствие А I—> 7м является, очевидно, гомоморфизмом
группы SL(4; ,С) в мультипликативную группу С.* от-
личных от нуля комплексных чисел, а любой такой гомо-
морфизм, как нетрудно показать, тривиален.)
280
ГРУППА Spin (6)
Если мы от базиса е/Ае/, i < /, перейдем к базису
f I = А во 4~ е3 А С4,
(16) /з = е2 Л е3 +в! Л е4,
/б ~ ei Л ез + <?4 Л е2>
f-2 = iei Л е2 — ге3 Л е4,
fi = ie2 Л е3 — ie{ Л е4,
/б = Л <?3 — ге4 Л е2,
в котором функционал Q записывается в виде суммы ква-
дратов, то каждый оператор А будет в этом базисе вы-
ражаться ортогональной матрицей. Обозначив эту мат-
рицу символом % (Л), мы тем самым получим некоторое
(очевидно, гомоморфное) отображение
%: SL (4; С)->О(6; С).
Ядро гомоморфизма % состоит из матриц А, столбцы
«2, «з, «4 которых удовлетворяют соотношению at Л
А а, =. et А для любых i, j и потому обладают тем свой-
ством, что для каждой пары (t, /) векторы at и а,- линей-
но выражаются через векторы ег- и в/, что, очевидно, воз-
можно только тогда, когда at = fae, для каждого L Кро-
ме того, для любых i и / должно иметь место равенство
ЛА/ = 1, что возможно только тогда, когда либо Л, = 1,
либо Л, = —1 для каждого i. Этим доказано, что ядром
гомоморфизма % является группа второго порядка
Рассмотрим теперь в группе SL(4; С) подгруппу, со-
стоящую из матриц А, для которых матрица %(Л) имеет
вещественные коэффициенты, т. е. лежит в группе
0(6) =0(6, R). Ясно, что матрица А тогда и только
тогда принадлежит этой подгруппе, когда оператор А пе-
рестановочен с полулинейным преобразованием S:
Л2 (С4) -> Д2 (С4), заменяющим все координаты каждого
элемента линеала Л2 (С4) относительно базиса (16) на
комплексно сопряженные числа. Но если функционал из
Л2 (С4) имеет в базисе (16) координаты Z\, . .., Ze, то в
базисе, состоящем из бивекторов et A et, i <Z j, он будет,
очевидно, иметь координаты
Р и = Zi + iz2,
P23 ~ z3-i~ izt,
Pis = г5 4- iz6,
P34 = zl — iz2t
Pu = z3 — izit
P2t = — za 4- iz6,
ГРУППА Spin (6)
281
и потому преобразование S будет переводить его в функ-
ционал с координатами
Р34> Р12, Р14» Р23, Р24, -- Pl3‘
Это означает, что S = Т ° д, где Т — линейный оператор
Л2 (С4) —> Л2 (С4), действующий на базисных бивекторах
по формулам
Т (е{ Л е2) = <?3 Л е4,
(17) Т (е2 Л е3) = Л е4,
Т (в1 Л е3) = — е2 Л е4,
71 (е3 А е4) — Л е2,
Т (ej Л е4) = е2 А е3,
Т (е2 Л е4) = — ej Л е3,
а о: С,4—>С,4— полулинейный изоморфизм, заменяющий
компоненты каждого вектора комплексно сопряженными
числами. Таким образом, %(А) <=О(6) тогда и только
тогда, когда
А°Т ° & = Т о о о А.
Ниже мы покажем, что для любого оператора А <3
з SL(4; JCL) имеет место соотношение
(18) Яо7’ = То#,
где Ас — оператор на 'С4, матрица которого получа’ется
из матрицы оператора А транспонированием и переходом
к обратной матрице. Отсюда следует, что %(4) з 0(6);
тогда и только тогда, когда Ас о ст = а о А, т.е. когда
Ас о0 = оо А. В частности, %(А) еО(6), если Ас°а=}
= <Г°А, т. е. если 4* = 4-1, где 4* — сопряженный (от-
носительно стандартного скалярного умножения в ’С.4)!
оператор (матрица которого получается из матрицы опе-
ратора 4 транспонированием и комплексным сопряже-
нием). Поскольку равенство 4* = 4-1 характеризует,
унитарные операторы, принадлежащие подгруппе SU (4)|
группы SL(4; С), этим доказано, что гомоморфизм хото-
бражает группу SU(4) в группу 0(6) и, значит — ввиду,
связности группы SU(4) —в группу SO(6). Поэтому он
индуцирует гомоморфизм
Хо: SU (4) —> SO (6).
Поскольку ядро гомоморфизма хо совпадает, очевидно,^
с ядром гомоморфизма х и потому является группой!
282
ГРУППА Spin (%
второго порядка, a dim SU (4) = dim SO (6) = 15, гомо-
морфизм хо представляет собой двулистное накрытие. Тем
самым доказано, что группа SU(4) двулистно накрывает
группу SO (6) и потому изоморфна группе Spin (6).
В группе SU(4) содержится подгруппа Sp(2), эле-
менты А которой характеризуются тем, что оставляют
инвариантным кососимметрический билинейный функ-
ционал с матрицей
(О О О 1 \
0 0 10 1
О —1 О О Г
—1 О О о/
или, что равносильно, тем, что ACJ = JA, где / — линей-
ный оператор на иС/ с матрицей J (ср. с формулой (5)
лекции 1). Поэтому, если AeSp(2), то Дс <>/==/о Д и,
значит (см. формулу (18)), А ° Т ° J — Т о J о А. Но оче-
видное вычисление показывает, что Т °J — — Ц где I —
линейный оператор Л2(С4)-* Л2(С4), оставляющий все
векторы (Гб) на месте, кроме вектора f3, который пере-
ходит в вектор —f3. Таким образом, А о I ~ I о А, что рав-
носильно равенству Af3 = f?J. Поскольку последнее ра-
венство означает, что х(Д) содержится в подгруппе груп-
пы SO (6), изоморфной группе SO (5), и поскольку
dimSp(2) ~ dim SO (5) = 10, тем самым доказано, что
группа Sp(2) двулистно накрывает группу SO (5) и по-
тому изоморфна группе Spin(5).
Собирая вместе все доказанные факты, мы получаем
следующее предложение:
Предложение 6. Группы
S’, S3 = Sp (1) = SU (2), S3XS3, Sp(2), SU(4)
двулистно накрывают группы
SO (2), SO(3), SO(4), SO(5), , SO(6) .
и потоку изоморфны группам
Spin (2), Spin(3), Spin (4), Spin (5), Spin (6)
соответственно-, □
МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР КЛИФФОРДА
283
Тем самым группы Spin (и) при п 6 нам удалось
представить в виде матричных групп. Аналогичные ре-
зультаты имеют место и при я > 6, но с тем отличием,
что группы Spin(n), п > 6, отождествляются только с не-
которыми подгруппами соответствующих ортогональных
групп.
Ясно, что для доказательства этого утверждения до-
статочно получить матричные представления полных ал-
гебр Клиффорда ^C.IgCn). В этих представлениях мы бу-
дем пренебрегать Z2-rpaflyHpoBKOH, и потому, в частно-
сти,' все тензорные произведения будем считать обыч-
ными (не косыми).
Мы уже знаем, что Ю.1(1)«С и C1+(1)a?D, где
D — алгебра двойных чисел а 4- be, е2 = 1. Впрочем,
легко видеть, что соответствие a -f- bei—> (а + b, а — Ь)
представляет собой изоморфизм D« R ©R. Таким об-
разом,
С1(1)~С, C1+(1)~R®R.
Далее, автоматическая проверка показывает, что со-
ответствия н--> I, Cjeo1—определяют изомор-
физм алгебры JC1 (2) с алгеброй кватернионов Н, а соот-
ветствия
«—(;_?)•
—изоморфизм ;С.1+(2) R(2). Таким образом,
С1 (2) ~ Н, С1+(2) « R (2).
'Предложение 7. Для любого п О имеет место изо-
морфизм
СШЧ-2)- С1_е(н)® С1е(2),
т. е. два изоморфизма.
С1(п + 2)~ Cl+(n)® Н,
С1+ (п + 2) « Cl (n) ® R(2).
Доказательство. Рассмотрим линейное отобра*
жение
a: R"+2_>Cl_e(n)® С1е(2),
284
МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР КЛИФФОРДА
для которого
а (ег) = ® ete2 при i = 1, ..., п,
a(en+i)—1 ®ei, а(еп+2)=1®е2
(мы обозначаем одними и теми же символами е, обра-
зующие всех трех алгебр С1е(лН-2), С1_е(п) и С1е(2)).
Очевидная проверка показывает, что а(х)2 = е]х|2 для
любого х е Rra+2. Поэтому отображение а распростра-
няется до некоторого гомоморфизма a#:Cle(n-f-2)—>
—> С1_е (л) ® С1е (2) алгебры .С.1е(л-|-2) в алгебру
:CJ_e(n) ® .С1е(2). Аналогичное рассуждение дает нам
гомоморфизмы р#: С1_е (л) —> С1е (л + 2) и у#: С1е(2)->
—> С1е (л + 2), для которых
Рй (б/) = — i = 1,
и
Vй (ej = ея+1, у« (е2) = еп+2.
Поскольку, как легко видеть, ₽й(е/)уй(е/) = у# (£/)₽#(£/)
для любых /=1, .п и / = 1, 2, гомомор-
физмы P# и у# коммутируют и, следовательно, отобра-
жение
Р® уй: С1_е (л) ® С1е (2) -> С1е (л + 2)
является гомоморфизмом алгебр. При этом для каж-
дого 7=1, ..., п будет иметь место равенство
К₽# ® у#) ° a#] (ez) = (ег) • y# (ete2) =
= ег (ега+1ега+2)2 = ег-
(ибо (вь е2)2 =—1 при любом е), и для каждого 7=1,2—
КР# ® Y#) ° a#] (ея+/) = 1 ® y# (е/) = 1 ® еп+1,
так что (0#®Y#)°a# = id. Аналогично для любого
i = 1, .... п
[a# о(Р» ® у#)] (ег ® 1) = а« ф» (ej) = а» (— егеп+1ега+2) =
= — а# (ег) а« (ея+1) а« (е„+2) =
= — (ег ® еуе2) (1 ® et) (1 ® е2) —
== — ® (е^)2 = et
МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР КЛИФФОРДА
285
и для любого /=1, 2
[а# офй (g> у#)] (1 ®е;) = а# (уй(е;-))==
= a#(ert+/)= 1 ®е7,
откуда непосредственно вытекает, что a# ° (p# ® у#) = id.
Таким образом, отображения a# и (3#®y# являются
взаимно обратными изоморфизмами. □
Из этого предложения немедленно следует, что
С1 (3) « (R©R)®H Н®Н, <С1+(3)« С ® R (2) « С(2),
С1 (4) ~ R (2) ® Н Н (2), С1+ (4) « Н <8> R (2) « Н (2).
Чтобы идти дальше, нам понадобится следующая
лемма:
Лемма 3. Имеют место изоморфизмы
С®С~С®С, С®Н«С(2), H®H~R(4).
Д о к а з ательство. Ясно, что С 0 С1 (п)
« С.0.С1+(п). Поэтому
С®С « С® С1(1) « С® С1+(1) ~ С®(R®R) ~ С®С.
Аналогично
С ® Н « С ® С (2) ~ С ® С+ (2) « С ® R (2) С (2).
Впрочем, эти изоморфизмы легко устанавливаются и не-
посредственно. Например, изоморфизм .С.0С~С ©С
определяется соответствиями 1 0 1 > (1,1), /01 *—>(/, /),
1 0 i!—> (i, —i), i0 i »—> (— 1, 1).
Изоморфизм R(4) мы установим, отожде-
ствив Н с R4 и сопоставив любому элементу из Н 0 Н
вида ^0т], где g, i) Н, линейный оператор <o(B0ii). 5
Н —> Н, действующий по формуле
® (В ® П) 2 = sCn,
Автоматическая проверка показывает, что оператор
®(В011) корректно определен (т. е. если £ 0 т] =*
= 0 т]', то ®(£0т]) = <о(£'0 rf)) и что по линей-
ности отображение ® корректно распространяется до не-
которого гомоморфизма ® алгебры Н 0 Н в алгебру ли-
нейных операторов Н —> Н, т. е., ввиду отождествления
286
МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР КЛИФФОРДА
Н с R4,— в алгебру матриц R(4). При этом, так как
/1/ == 1, Hi — i, iji - —j, iki= —k, to
° (t ® z) = Ei [ + E22 — E33 — Eiit
Я так как /1/ = — k, iij = /, ijj = i, ikj — — 1, to . >
° (t ® /) — — Ец 4- E23 4- £32 — £44-
'Аналогично вычисляются все 16 матриц где
т] — 1, t, /, k (при этом, конечно, св(1 0 1) является
единичной матрицей Е — Ец 4- Е22 4- Е33 4- £44). Проде-
лав эти вычисления, мы сразу же обнаружим, что любая
матричная единица £ар, 1 а, р sC 4, может быть пред-
ставлена в виде линейной комбинации матриц
Например,
£п = (1 ® 1 4- i ® / 4- / ® / 4- k ® k)
и
Е12 — ° (t ® 1 — 1 <8> i 4- k ® I — j ® k).
Следовательно, отображение св является эпиморфизмом,
а значит, ввиду равенства размерностей алгебр Н 0 JH
и R(4), и изоморфизмом. □
Для произвольной алгебры мы будем символом
i^(rt) обозначать алгебру квадратных матриц порядка п
над зФ, т. е. с элементами из £Ф. Если £ар, — как всегда,
матричные единицы, то соответствие —>а£ар
распространяется, как легко видеть, до изоморфизма
R(«) ~ ^(/г).
Поскольку алгебра R (л) (т) матриц порядка т, эле-
ментами которых являются матрицы порядка п, естест-
венным образом отождествляется с алгеброй R(mre) мат-
риц порядка тп, отсюда, в частности, следует, что
R (т) <3> R (л) «« R {тп)
для любых чисел т, п 0. Поэтому 1
$Ф (т) ® $'(п) <=> ® R (m)) ® ® R (л))
{^Ф <S) ^) ® (R (т) ® R (п)) {-зФ® ^) (inn)
для любых алгебр <$Ф, & и любых чисел т, n~^J).
МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР КЛИФФОРДА 287
Следовательно, в силу леммы 3
С (m) ® Н (п) as С (2тп), Н (m) ® Н (n) »s R (4mn.).
Возвращаясь к алгебрам Клиффорда мы в первую
очередь получаем, что
С1+ (2) ® С1 (2) ~ Н ® R (2) as И (2).
Поэтому, дважды применив предложение 7, мы получим
изоморфизмы
С1 (п + 4) « Cl (п) ® н (2) и С1+(п + 4) С1+(л) ® Н (2),
из которых, ввиду изоморфизма Н (2) ® Н (2) « R(16J
далее следует, что
Cl(n + 8) « Cl(n)®R(16) as С1(л)(16).
и
С1+ (п + 8) <==> Cl+ (n) ® R (16) as С1+ (п) (16).
Поскольку алгебры С1е(«) при 4 вами уже вы*
числены, это дает алгебры .С1е(п) для всех п. Мы сфор-
мулируем окончательный результат в виде следующей
теоремы:
Теорема 2. Имеют место изоморфизмы
Cl (8m — 3) as С (24от-2),
СЦ8т — 2) « R (24/”~1),
Cl (8m— 1)«
as R (24m~1)©R (24"1-1),
Cl (8m) «= R (24л1),
Cl(8m+ 1) « C '24"1),
€1 (8m + 2) « H (24«),
Cl (8m + 3) «
a*H(24ot)®H(24«),
Cl (8m 4- 4) «= Жг4^1),
Cl+ (8m — 3) a*
« H(24ni-3) ®H(24"1-3),
Cl+ (8m — 2) « H(24'”-2),
Cl+(8m— 1) « C(24'»-1),
Cl+ (8m) « R (24OT),
Cl+ (8m + 1) as
R (24ni) ® R (24"1),
€1+ (8m + 2) AS R (24ot+!),
Cl+(8m + 3) as C(24'»+1),
Cl+ (8m. + 4) « H □
288
МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Spin (п)
Заметим, что
Cl (8m) « Cl+ (8m), Cl (8m Д- 4) ~ Cl+ (8m Д- 4).
Никакие другие алгебры .С1(п) и С.1+(п) друг другу не
изоморфны.
Полезно также иметь в виду, что
„ ( С1(2п), если n = 4m—1, 4m,
' ' (Cl+(2zz), если n = 4m~r\,
и аналогично для С (2") и Н(2га). Интересно, что ал-
гебра R (24т+2) не изоморфна никакой алгебре .С_18(п).
Для групп Spin(n) (и pine(n)) из теоремы 2 выте-
кает, что они вкладываются в соответствующие матрич-
ные группы или их прямые суммы. Однако поскольку лю-
бая пара (А, В) матриц порядка п отождествляется с
матрицей
О’) С в)
порядка 2п, вложения в прямые суммы можно заменить
вложениями в группы матриц вдвое большего порядка.
Таким образом, элементы групп Spin(n) представляются
матрицами некоторого порядка N над алгебрами R, ,С]
или Н- При этом N — 2а<га), где
z 4m — 2, если п — 8/?г — 3,
J 4m — 1, если п = 8m — 2,
а | 4m, если п = 8m — 1, 8m, 8m Д- 1, 8m Д- 2,
ч 4m. 4- 1, если п — 8m Д- 3, 8m Д- 4,
а матрицы получаются вещественными при п = 8m — 2,
8m — 1, 8m, комплексными при п — 8m — 3, 8m Д- 1 и
кватернионными при п — 8m Д- 2, 8m Д- 3, 8m Д- 4.
Впрочем, поскольку при отождествлении пары (А, В)
с матрицей (19) происходит определенная потеря инфор-
мации, целесообразнее это отождествление не произво-
дить и представлять элементы групп Spin(n) при п =
= 8m — 1 и п = 8m Д- 3 парами матриц порядка 2a(n)“'1
(соответственно вещественных и кватернионных).
группы, в которых представлены spin ро
289
Определение 5. Два матричных представления группы
G, т. е. два вложения (или, более общо, гомоморфизма)
группы G в некоторую группу матриц, называются экви-
валентными, если они отличаются на внутренний авто-
морфизм этой группы, т. е. получаются из одного и того
же представления группы G как группы линейных опера-
торов некоторого линеала различным выбором базиса в
этом линеале.
Важно иметь в виду, что построенные выше представ-
ления групп Spin (л) определены только с точностью до
эквивалентности, поскольку изоморфизмы в предложе-
нии 7 и в лемме 2 можно строить многими способами, не
имеющими друг перед другом никаких внутренних пре-
имуществ (например, можно считать, что a(ei)=10eb
a(e2) = 1 0 е2 и а (в/) = et-2 0 ^е2 при 2 i п -ф 2).
Интересно, что это утверждение можно уточнить.
Назовем матрицу (над произвольной унитальной ал-
геберой мономиальной, если в каждой ее строке и в
каждом столбце все элементы равны нулю, за исключе-
нием одного, равного ±1. Оператор, соответствующий
мономиальной матрице, переставляет векторы базиса, од-
новременно умножая их на ±1. Поэтому любая моно-
миальная матрица при зФ — R ортогональна, при зФ ~
= С. унитарна, а при з& — Н симплектична.
Поскольку произвол в изоморфизмах из предложе-
ния 7 и леммы 2 можно, очевидно, ограничить переста-
новками элементов базисов, сопровождаемыми умноже-
нием их на ±1, мы видим, что построенные представле-
ния групп Spin(n) можно считать определенными с точ-
ностью до эквивалентностей, осуществляемых моно-
миальными матрицами.
Ясно, что для любых мономиальных матриц А е
и BeR(n) матрица из R(m«) « R(m) 0
®R(n), соответствующая тензорному произведению
Д 0В матриц А и В (кстати сказать, эта матрица назы-
вается кронекеровым произведением матриц А и В), так-
же мономиальна.
Кроме того, легко видеть, что при изоморфизмах
fO'0 Н С (2) и Н 0 Н ~ R(4) из леммы 2 образую-
щие g 0 т], где | = 1, i, или 5=1, 1, /, k, а ц — 1, I, j, k,
переходят в мономиальные матрицы. Тем же свойством
]0 М. М.. Постников
fiSO
ГРУППЫ; В КОТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЕНЫ Spin (л?
обладает и изоморфизм Cl+(2) a* R(2) (по отношению
к образующим si и е%). Посредством очевидной индукции
отсюда, поэтому, вытекает, что при изоморфизмах из тео-
ремы 2 образующие ея алгебр Ci (га) переходят,
в мономиальные матрицы Ei, ..., £п (или пары моно-
миальных матриц).
В частности, если матрицы Е\, .... Еп являются ве-
щественными, то они ортогональны, а если комплексными
или кватернионными, то они соответственно унитарны
или симплектичны. Иными словами, эти матрицы удо-
влетворяют тождеству UUy = Е, где Е — единичная мат-
рица. Но так как — 1, то Е2 =— Е и потому EJ =
”= Еу Значит, ит к — и дЛЯ каждой матрицы U вида
Ei, а значит, по линейности, и для каждой матрицы U
вида и*Е1, представляющей произвольный элемент и =*.'
= leei iR" ст С.1(п). С другой стороны, так как и2 =
№—|uj2, то Vs== —i«|s£ и, в частности, U2 — —Е при
и & S^1. Поэтому UUT*= Е, т. е. матрица U ортогональ-
на, или соответственно унитарна, или симплектична.
Полагая для упрощения обозначений
' О (га), если
ОК(«) = < W),
Sp(n),
если
если
K = R,
К = С„
К = Н,
мы, таким образом, получаем, что каждый элемент и.&
е S'1-1 cz CJ (л) представляется матрицей U, принадле-
жащей группе О^(га), где К « R, О, или Ц в зависимо-
сти от п.
Поскольку элементы из Sn_1 порождают группу
pin (л), этот вывод справедлив и для любого элемента
ue pin (л), и, в частности, для любого элемента а а
е Spin (п).
Таким образом, группа Spin (п) сказывается вложен-
ной $ группу 0^(2® (л)), где '
{R, при
С, при
Н, при
п^8т— 2, 8m—1, 3m,
п — 8m — 3, 8m 4- 11
п 8m 4~ 2, 8m 4- 3, 8m 4~ 4.
РЕДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Spin (rtf
291
При этом, когда К = R, можно ввиду связности группы
Soin(n) дополнительно утверждать, что Spin(n) аз
azSO(n).
Конечно, в случае К =5^= R можно посредством отожде-
ствлений ICj с R2 и Н с R4 перейти к вещественным (не-
обходимо ортогональным и унимодулярным) матрицам,
но это не только удвоит или учетверит размерность, но и
приведет к потере существенной информации.
При п — 8т —• 1 или п — 8 т 3 мы, конечно, на са-
мом деле, осуществляем представление элементов группы
Spin(n) парами матриц вдвое меньшего порядка.
Обратим внимание, что мы проигнорировали возмож-
ность получить другую серию представлений, пользуясь
алгеброй _С1+(п) и изоморфизмом Spin (л.) « Spin+(n).
Причиной является то, что эти представления не дают,
по существу, ничего нового, приводя к эквивалентным
представлениям или к представлениям, получающимся из
них овеществлением, комплексификацией или построе-
нием прямой суммы.
Однако существует другая возможность построения
представлений групп Spin (л), которая хотя также факти-
чески не дает ничего нового, но помогает уточнить струк-
туру уже построенных представлений.
Эта возможность основывается на том, что, по опреде-
лению, группа Spin(n) содержится в подалгебре
алгебры _С1(и), состоящей из четных элементов.
Предложение 8. Для любого л 1 алгебра
изоморфна алгебре „С 1 (и — 1).
Доказательство. Определим линейное отобра-
жение
®: Cl (п — 1) —►Cl0 (п),
положив
Г e[t если [ 11 четно,
ft) (е,) =ч . ,.
' 1 (. е7е„, если [ 11 нечетно,
для любого базисного элемента в/ алгебры Cl (n—1), где
/ — произвольное подмножество множества [п — 1] ==
= — 1}. Другими словами, РДе
+ ( I, если 111 четно,
I I I U {«}> если 111 нечетно.
10*
292
РЕДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Spin (nJ
Обозначая, как и выше, через число пар
(i, /) е / X J, для кторых t /, мы немедленно получим,
что
т(/+, J+)=s т(/, J) mod 2.
Кроме того, легко видеть, что 1+Д У+== (/Д/)+. По-
этому (см. формулу (13))
® ® (?/) = ei+ei+ = (- О’ </+’ /+) е/+ д/+ =
— ( 1) * ’ } ду)+ = ® (ejej)
для любых базисных элементов ei и ej алгебры
С1(п— 1). Поэтому со является гомоморфизмом алгебр,
и, следовательно (осуществляя биективное соответствие
между их базисами), и изоморфизмом. □
Заметим, что обратный изоморфизм <о-1 действует по
формуле
<s-1 (и + ven) = и + v,
где слева и и v— элементы алгебры С1(п) (из CJ°(ra)v
и Cl^n) соответственно), не содержащие еп, т. е.
разлагающиеся по базисным векторам с I сг [п— 1],
а справа — «те же» элементы алгебры С1(п—1).
Замечание 4. Как мы знаем, алгебры С1°(п) и
С1+(п) изоморфны. Поэтому алгебра .С.1 (я—1) изо-
морфна также алгебре С1+ (п). В явном виде изоморфизм
<о+: С1 (п— 1)—>С14-(п) задается, очевидно, формулами
( eh если [ I [ четно,
(е7) = < _ ...
* (. eneJt если 11 нечетно.
В силу предложения 8 мы можем считать, что
Spin(n) cz.Cl(n—1). Поэтому, снова применив тео-
рему 2, мы получим представление элементов группы
Spin(n) матрицами порядка 2а(л-1) над алгеброй К, где
' R,
К= С
н,
если
если
если
п = 8т—1, 8m, 8m+1,
п = 8m — 2, 8m + 2,
п = 8m + 3, 8m + 4, 8m + 5.
РЕДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Spin (nJ
293
Конечно, при п = 8т и п — 8т + 4 речь на самом
деле идет о представлении парами матриц порядка
gOi (тг—1)—1
Любой вектор и е R" мы можем записать в виде и =
:= и' + где uf <= R"-1, а А е R, причем и <= Sn~l тог-
да и только тогда, когда |п'|2 4- Л2 = 1. По определению
группа Spin(n) порождается всевозможными элементами
вида uv, где и, v <= Sre-1, т. е. элементами вида
(и' + Ле„) (v' + це„) = (u'v' — Ли) + (рц' — Ло') е„,
и, значит, ее образ в иС1(п—1) —элементами вида
(иТ/ — Лц) + (ци7 — Kv'). Но, положив v* — vf — цеп,
мы получим, что элемент
иеп v*en = (и'еп — А)(и'е„ + и) = (u'v'—Лц) + (y,u'—kv')en
имеет в С1°(га—1) тот же образ (u'v'— Xp,) + (p,w'—>
— Kv'), что и элемент uv. Это показывает (поскольку
иеп Spin(n) и v* Sn~l, если v&Sn~l), что образ
группы Spin(n) в алгебре .С1°(/г— 1) порождается обра-
зами элементов вида иеп, и S’*-1. Так как иел = и'еп —
•— Л, то эти образы имеют вид и' —-Л и, значит, представ-
ляются матрицами вида U — КЕ. Поскольку (Л — —у
и, значит,
(17 — ЛЕ) (U — ЛЕ)Т = — (U — ЛЕ) (U + ЛЕ) =
= — U2 + Л2Е = (1 и' р + Л2)Е== Е,
все эти матрицы ортогональны (или соответственно уни-
тарны и симплектичны). Этим доказано, что вновь по-
строенные представления также являются представле-
ниями в группах Ок (2V) {а при К =. R — в группах
SO (2V)).
Таким образом, например, мы представили теперь
группу Spin (8m 4-1) ортогональными матрицами поряд-
ка 24т, тогда как раньше мы представляли ее унитар-
ными матрицами этого же порядка. Однако, внимательно
проследив все изоморфизмы, можно показать, что эти
унитарные матрицы на самом деле вещественны и что
получающееся представление вещественными унитар-
ными, т. е. ортогональными, матрицами эквивалентно
только что построенному. (Без всяких вычислений это
2 94
РЕДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Spin (п)
вытекает из общих результатов о матричных представ-
лениях групп Spin(rt), которые мы докажем в следую-
щем семестре в рамках общей теории представлений ком-
пактных групп Ли. Поэтому здесь этот факт мы доказы-
вать не будем.) Следовательно, мы фактически имеем
только одно представление группы Spin (8m 4-1) ортого-
нальными матрицами. Оно называется спинорным пред-
ставлением этой группы.
Для группы же Spin (8m) мы теперь получаем пред-
ставление парами (А, В) унимодулярных ортогональных
матриц порядка 24?и_1. Оказывается (что опять проще
всего доказывать на основе общей теории следующего
семестра), что, отождествив эти пары с матрицами (19)
порядка 24т, мы придем к представлению, эквивалент-
ному построенному ранее. Таким образом, и здесь мы по-
лучаем лишь некоторое уточнение предыдущего представ-
ления.
Впрочем, обычно предпочитают рассматривать не па-
ры матриц, а компоненты этих пар в отдельности, т. е.
два гомоморфизма _
(20)
Spin (8m) z: SO (24”»-1).
Эти гомоморфизмы называются полуспинорными пред-
ставлениями группы Spin (8m).
Подчеркнем, что полуспинорные представления моно-
морфизмами не являются. Действительно, при изомор-
физме С1е(п) «г)С1_е(п — 2)0С1е(2) из предложе-
ния 7 элемент ... etl алгебры _С1е(д) переходит
в элемент ерг-21 ® (щегУ1-1 — (— I)”""1 е[ге_2] ® 1 алгебры
1Ql_e(«“-2) 0,С1е(2). Поэтому при итерированном изо-
морфизме _С1(п) 0.1 (п— 4) 0 Н (2) (мы ограничи-
ваемся случаем в — —1) этот элемент переходит в эле-
мент где Е—единичная матрица. Очевидная
индукция теперь показывает, что при п ~ 8m — 1 эле-
менту ещ] соответствует в алгебре 0.1 (3) 0 Н (24т~3) эле-
мент е;з]®£ и, значит, в алгебре .С.1+(1) 00.1(2) 0
0 Н (24”1-3) « (R ф R) 0 Rfa4"1”1) — элемент «10 10
0 В (Е, — Е). Этим доказано, что при одном полу-
спинорном представлении (20) в единичную матрицу Е
переходит элемент qsm-ii,. а при другом — элемент
—«18т-5]-(Здесь считается, что Spin (8m) сд OJ (8m — 1);
РЕДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Spinfrt) 295
при естественном вложении Spin (8m) сд _С1° (8m) вместо
элемента вгзт-ц появится элемент e[Smi). □
Замечание 5. Можно показать» что элементы
в(3/я! и —e[8mi являются единственными нетривиальными
элементами группы Spin(8m), переходящими при гомо-
морфизмах (20) в единичную матрицу.
Ранее построенное «парное» представление для груп-
пы Spin (8m— 1) также -можно расщепить в два гомо-
морфизма. Однако эти гомоморфизмы будут точными
представлениями (т. е. мономорфизмами) и будут экви-
валентны единственному новому представлению группы
Spin(8m— 1) в группе SO(24m-!).
Для группы Spin (8m—2) мы получаем теперь ком-
плексное представление в группе U(24m-2). Оказывается,
что при вложении U(24m-2) сд SO(24m-1) оно йереходит
в представление, эквивалентное построенному ранен
представлению з группе SO(24m-1).
Для группы Spin (8m — 3) построенное ранее комп-
лексное представление аналогичным образом получается
из нового кватернионного представления.
Для группы Spin(8m-f-2) построенное ранее кватер-
нионное представление оказывается на самом деле ком-
плексным представлением, эквивалентным новому пред-
ставлению. Это положение дел аналогично ситуации, воз-
никающей при п ~ 8m -j- 1.
Для группы Spin(8m -f-8) построенное ранее «пар-
ное» кватернионное представление состоит из двух пред-
ставлений, эквивалентных новому представлению.
Для группы Spin (8m + 4) построенное ранее кватер-
нионное представление оказывается на самом деле «блоч-
ным» представлением, сводящимся к «парному» новому.
В последних двух случаях ситуация аналогична поло-
жению дел для групп Spin (8m— 1) и Spin (8m) соответ-
ственно.
Как уже отмечалось, все эти утверждения автомати-
чески вытекают из общей теории, которая будет изло-
жена в следующем семестре. Их непосредственная про-
верка, хотя и утомительна, но вполне возможна. Мы
оставим ее инициативе читателя.'
Заключим эту лекцию доказательством формулы (18)
из линейной алгебры, которая выше была принята без
29fe
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
доказательства. Для матрицы оператора А эта формула
равносильна некоторому соотношению между ее мино-
рами второго порядка и может быть поэтому доказана
непосредственным, хотя и несколько громоздким, вычис-
лением. Однако чтобы прояснить внутренний смысл этой
формулы, мы предпочтем дать здесь ей более концеп-
туальное доказательство в его естественной общности.
Пусть У* — произвольное конечномерное линейное
пространство над произвольным полем К, и пусть, как
всегда, У"— сопряженное пространство. Пусть, далее,
Д₽(У) и Др (У") — пространства кососимметрических
р-линейных функционалов на пространствах У' и У соот-
ветственно; см. II, 9, стр. 77. Для любого р-вектора
Xj Д ... А Др(У) и любого р-ковектора Ь,1 А • • •
... А АР (У') мы положим
(xi А ... A хр, g1 А .. • А £р> = det | (xz) /el p.
Автоматически проверяется, что функция ( ,) по линей-
ности корректно продолжается на любые элементы ли-
неалов А* (У) и АР(У') и является спариванием (см.
II, 4, с. 34) между этими пространствами. Таким обра-
зом, линеалы ЛР(Т) и Лр (Г') естественно двойственны
друг другу и потому линеал Др (У')=ДР(У) может быть
отождествлен с линеалом Др (У/, сопряженным с линеа-
лом ДР(У).
Для каждого кососимметрического функционала
р^Дч(У) (нам теперь удобно несколько изменить при-
нятые в II обозначения) соответствие xt—>хАр, где
х Др (У), является линейным отображением ДР(У) —►
—>Д₽+?(У) и потому определяет сопряженное отображе-
ние ЛР+<7(У') —> Др (У')- Образ функционала г е КР+ч(Т")
при этом отображении обозначается символом у i z и
называется левым внутренним произведением функцио-
налов у и г. По определению
{х, у j z) = (х Др, z) для любого z е /\р+ч (У').
Аналогично, правое внутреннее произведение х [_у функ-
ционалов хеДр+’(7) и принадлежит
ЛР(П и характеризуется равенством
{х L У, z) = <х, у Д z> для любого z <= Д₽ (У').
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
297
Если ei, ..., еп — базис пространства У, то для лю-
бого подмножества I = {ii, ip} множества [д] =
= {1, ..., п}, где ij < ... < ip, базисный р-вектор
etx Л ... Л etp мы будем обозначать символом 6/ (см.
выше аналогичные обозначения для элементов алгебры
Клиффорда). Аналогично символом е1 будем обозначать
базисный р-ковектор е*1 Л • • • Л е1р, где е1, . . ., еп —
векторы сопряженного базиса пространства При этом,
как непосредственно вытекает из косокоммутативности
внешнего умножения, для любых подмножеств I, J сд [д]
будет иметь место формула
( (—1)г<Л/)е р если Zfl/=0,
= j 7
( 0 в противном случае,
где т(/, /), как и в формуле (13), — число пар (г, /),
для которых i I, j е J и i j. Та же формула имеет
место, конечно, и для поликовектора е1 Л е1.
Из этих формул немедленно следует, что
Г(-1)’<*-7>е* если /сд/,
б/ _] е7 = •)
10 в противном случае,
и аналогично
Г (—1 )’('•*%* если /сд/,
e/Le/==s
10 в противном случае,
ГДе К = /\/ — дополнение / в J.
Рассмотрим теперь произвольный линейный оператор
A: У-*-2^. Положив для любого поливектора Х[ Л ...
... Л Хр GE Д°
А[р] (лГ1 Л ••• Л хр) = Axt Д ... Л Ахр,
и по линейности распространив А[Р] на любые элементы
линеала Др (^), мы, очевидно, корректно определим не-
который линейный оператор A[Pj: Др (У)—* Др (У3), назы-
ваемый обычно р-й внешней степенью оператора А.
(Рассмотренный выше оператор А является не чем иным,
как оператором А[2].)
Ясно, что
А[₽+(х Д у) = Aipjx Д
298
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
для любых функционалов хеДр(7) и у& Кро=
ме того, из определений непосредственно вытекает, что
МОи-ИиУ.
где штрих означает, как всегда (см. II, 14), переход к со-
пряженному оператору. Поэтому обозначение А(Р] вполне
корректно.
Ключом к формуле (10) является следующая лемма;
Лемма 4. Для любых функционалов х е Д?(^°), у s
е Др+’(У') и любого оператора A: справед-
ливо равенство
x_jA[P+g]y = AiP](Al4]X_jy).
Доказательство. Для каждого функционала
2S Ар (У) имеем
<г, х _j A'[p+q}y) = (г А х, A[p+qiy) =
= (4+»1(2ДО =
= A Alqlx, у) =
= A[q]x _j у) = <з, А'р] (Aiq}x _j у)). О
Мы применим лемму 4 к случаю, когда р + q = п и
у =*. еМ = ei д ' .' д еп Поскольку, как показывает непо-
средственное вычисление,
А(П]е^ = (det Я) е["’,
то, согласно лемме 3, для любого функционала
хеЛ*(Л и любого оператора А: имеет ме*
сто формула
(det А) (х 1 etrtl)A^i (А^х t е№).
Положив
Tx=»x_jet„3, х
мы можем эту формулу переписать в следующем виде;
(det Л) Т =« A[pi« Г « Ам, где р 4- q п.
В явном виде отображение Т задается формулой
где I — [я] \7— дополнение / в [/»}, а т(/| «и т(/, I)
число таких пар G, Q, что i & f, f « / glA В частно*
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ст,и, отсюда видно, что Т представляет собой изоморфизм
А4 (П-* Ал'< (Г').
В частном случае, когда det Л ев 1, мы получаем фор-
мулу
(21) 4,07 = 70^,;.
где Ас = (Л7)-1.
До сих пор все наши построения были вполне инва-
риантны (даже изоморфизм Т от выбора базиса с точ-
ностью до множителя не зависит, поскольку при иамёЩе-
иии базиса он умножается на определитель матрйНЫ
перехода). Теперь же мы, предполагая базис ej,..., ёл вы-
бранным (т. е. фактически переходя от линеала 7? к ли-
неалу Кя), отождествим линеалы У® и по равенству ко-
ординат з базисах elt .... еп и е1, .... еп (в инвариант-
ных терминах это равносильно заданию в линеале неко-
торого скалярного произведения, т. е. спаривания этого
линеала с самим собой). Тогда Т окажется изоморфиз-
мом A’fF)-* Дя“<7 (У°) и будет определяться формулой
re/ = (-l)T<Z)ez
и, значит, при п = 4, р = q = 2 будет совпадать с изо-
морфизмом Т, определенным формулами (17) (обобщен-
ными на случай произвольного основного поля К). Таким
образом, с точностью до обозначений формула (18) ока-
зывается частным случаем формулы (21).
Тем самым формулу (18) мы можем считать пол-
ностью доказанной.
Замечание 6. Записав общую формулу (21) э
матричном виде, мы получим формулу, выражающую че-
рез миноры порядка q «=» п — р произвольной невыро-
жденной матрицы миноры порядка р обратной матрицы.
Чисто вычислительное доказательство этой формулы 1
высшей степени громоздко. -
Лекция 14
УДВОЕНИЕ АЛГЕБР,—МЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ.—
НОРМИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ.—АВТОМОРФИЗМЫ И
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ АЛГЕБР,—
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ УДВОЕННОЙ АЛГЕБРЫ,—
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И АВТОМОРФИЗМЫ АЛ-
ГЕБРЫ Н — АЛГЕБРА ОКТАВ. — АЛГЕБРА ЛИ д2. —
СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ АЛГЕБРЫ ЛИ _ ЗА.
ДАНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 9? ОБРАЗУЮЩИМИ И СООТ-
НОШЕНИЯМИ.
Конструкция кватернионов из комплексных чисел вполне
аналогична конструкции комплексных чисел из вещест-
венных. Более того, обе эти конструкции являются част-
ными случаями одной общей конструкции.
Пусть — произвольная (но, как всегда, конечно-
мерная) алгебра над полем вещественных чисел R, в ко-
торой задано сопряжение, т. е. некоторый инволютивный
антиавтоморфизм (а>—(случай, когда а = а для всех
а е не исключается).
Рассмотрим линейное пространство s4-2, являющееся
прямой суммой двух экземпляров линейного простран-
ства S&, т. е. состоящее из пар вида (а, Ь), где а, b
Мы введем в s£2 умножение по формуле
(а, Ь) (и, v) = (аи — vb, Ьй 4- оа).
Автоматическая проверка показывает, что относительно
этого умножения линеал з4-2 является алгеброй (размер-
ности 2п, где п = dim з^). Мы будем называть эту ал-
гебру удвоением алгебры
Ясно, что соответствие at—> (а, 0) является мюномор-
физмом алгебры stf- в алгебру s&2. Мы будем отождест-
УДВОЕНИЕ АЛГЕБР
301
влять элементы ди (д, 0) и, таким образом, считать ал-
гебру зФ подалгеброй алгебры з^2. Если алгебра уни-
тальна, то элемент 1 == (1, 0) будет, очевидно, единицей
и алгебры з^2.
Пусть е = (0, 1). Тогда be = (0, b) и, следовательно,
(a, b) = а + be для любых элементов д, b з&. Таким
образом, каждый элемент алгебры з^2 единственным об-
разом записывается в виде а + be. При этом
a (be) = (ba) е, (ае) b — (ab) е,
(1) (ае)(Ье) = —Ьа,
что вместе с требованием дистрибутивности однозначно
определяет умножение в 3&2. В частности, е2 = —1.
Удвоением R2 поля R является алгебра .Ci комплекс-
ных чисел, а удвоением _С2 алгебры С — алгебра ква
тернионов Н. Первое утверждение очевидно, а для дока
зательства второго следует в каждом элементе g = а.-
+ be алгебры С,2 выписать комплексные числа а и b г
явном виде, т. е. положить д = д0 + a\i, b ~ д2 + д3г, и
обозначить е через /, a ie через k. В результате мы полу-
чим для | обычную кватернионную запись
— До + д it + д2/ + a3k.
Тот факт, что элементы i, j и k — ij удовлетворяют
обычным кватернионным тождествам, проверяется авто-
матически.
Так как для любого элемента а алгебры з£ имеет ме-
сто равенство еа — ае, то, подобно алгебре кватернионов
Н, алгебра з£2 заведомо некоммутативна, если сопряже-
ние в алгебре з& не является тождественным отображе-
нием. Аналогично, так как a (be) = (ba)e, то алгебра з£2
неассоциативна, если алгебра з£ некоммутативна. В част-
ности, удвоение Н2 алгебры Н неассоциативно.
Таким образом, мы видим, что при итерировании кон-
струкции удвоения алгебраические свойства умножения
постепенно ухудшаются.
Конечно, для итерации конструкции удвоения нужно
определить в алгебре з$2 сопряжение. Мы сделаем это
по формуле
а + be = а — be.
302
МЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
переходящей при А — R в обычную формулу комплекс-
ного сопряжения (конечно, после замены е на I). Ясно,,
что это отображение инволютивно и линейно. Автомати-
ческая выкладка показывает, что оно является и анти-
автоморфизмом. При = ,С: оно представляет собой
обычное сопряжение в алгебре Н.
Унитальную алгебру над полем R мы будем назы-
вать метрической алгеброй, если в ней задано такое со-
пряжение а ।—> а, что для любого элемента а е эле-
мент аа принадлежит пространству R (т. е., точнее, под-
пространству R-1), и при о 0 положителен: аа > 0.
Вещественное число | а [ = аа мы будем называть нор-
мой элемента а. По определению [tz( — 0 тогда и только
тогда, когда а = 0.
Непосредственная проверка показывает, что в любой
метрической алгебре формула
(х,
определяет некоторое скалярное произведение. Таким об-
разом, по отношению к этому произведению любая ме-
трическая алгебра является евклидовым пространством.
Норма [о| элемента является при этом не чем
иным, как его длиной.
Ортогональное дополнение единицы в метрической ал-
гебре л/ мы будем обозначать символом .
Любой элемент а е единственным образом пред-
ставляется в виде а = X -f- а', где Хй Ри При
этом а — К — а', так что, в частности* а е $4-' тогда,
и только тогда, когда а = —а, и a.eR тогда и только
тогда, когда а = а.
По определению
(2) ху + ху = 2 (х, у)
для любых элементов х, у метрической алгебры S&. В част?
ности, если х, y(=s&', то ух =—ху тогда и только
тогда, когда х ± у.
Легко видеть, что для любой метрической алгебры
алгебра также метрическая. Действительно,
(а + be) (а + be) — (а + be) (а — be) — аа^-ЬЬ
AJjg любого элемента a J- be е .о/2. □
НОРМИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ
303
Скалярное произведение в задается, очевидно,
формулой
(а 4- be, и 4- ve) — (а, и) 4- (&, о),
так что прямая сумма = s4- ф оказывается прямой
суммой евклидовых пространств.
Таким образом, все алгебры R, С = R2, Н = .СД
Н2, . . - являются метрическими алгебрами.
Конечномерная алгебра s£, одновременно являющая-
ся евклидовым пространством (но априори не обязатель-
но метрическая), называется нормированной алгеброй,
если
] ab | = j а | 4 b |
для любых элементов а, b В такой алгебре для лю-
„ / г ах ха
бого элемента а #= 0 отображения >-г—т и х^—^-.—
I u I I О
изометричны и, следовательно (в силу конечномерности
алгебры биективны. Поэтому для каждого элемента
s 4 уравнения ах — Ъ и ха — b однозначно разре-
шимы в т. е. нормированная алгебра является ал-
геброй с делением.
Примерами нормированных алгебр являются метриче-
ские алгебры R, _Cj и Н. Как мы ниже увидим, метри-
ческая алгебра IH2 также нормирована.
Теорема Гурвица, которую мы докажем в сле-
дующем семестре, утверждает, что этими четырьмя ал-
гебрами' исчерпываются все нормированные алгебры
(так что, в частности, любая нормированная алгебра
необходимо является метрической алгеброй).
Если автоморфизм Ф: 3^ -> метрической алгебры
перестановочен с сопряжением (т. е. если Фа — Фа для
любого элемента а е j^), то он, конечно, является орто-
гональным оператором. Обратно, если автоморфизм Ф:
метрической алгебры ортогонален, то, по-
скольку Ф1 = 1, он переводит в себя подпространство
и потому перестановочен с сопряжением.
При этом легко видеть, что если алгебра нормиро-
вана, то любой ее автоморфизм Ф: -> является ор-
тогональным оператором. Действительно, достаточно
304
АВТОМОРФИЗМЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
доказать, (см. 11,21, условие б) предложения 2), что если
|aj == 1, то |Фа{ = 1. Но если [Фа| < 1, то |Фа*| =
= | (Фа)й | = | Фа |fe—> 0 при k -> со, т. е. Фак 0 и, значит,
ak —>- 0. Поэтому |a|fe = ) ak) -> 0, что при ] сг | = 1 не-
возможно. Аналогично, если jФсг| > 1, то |ар—>ооцри
k—> оо, что также невозможно. Следовательно, j Фа I =
= 1. □
Как правило, во всех наших алгебрах з£ будет фик-
сирован некоторый базис. Поэтому группу ортогональ-
ных операторов зФ -+ з& мы можем отождествлять с груп-
пой О(п) ортогональных матриц. 3 силу этого отождест-
вления для группы Aut з& автоморфизмов нормирован-
ной алгебры будет иметь место включение
Aut з£ ge О (п), где п — dim зА
Более того, поскольку каждый автоморфизм Ф:
-> з& однозначно восстанавливается по индуцирован-
ному им линейному отображению Ф7: зФ' -> зФ' (если
а = % а’, где Хе R, а а' <= зФ', то Фа = К 4- Ф'а7), мы
можем, отождествляя Ф с Ф7, считать, что
(3) Aut3^<= О(п — 1).
В частности, это верно при зФ = .С1, когда и = 2. Сле-
довательно, поскольку 0(1) = Zs, группа Aut О] являет-
ся группой второго порядка Z2, состоящей из тожде-
ственного автоморфизма id и автоморфизма комплекс-
ного сопряжения а»—> а.
Для алгебры Ли Der з& = I(Aut^) дифференцирова-
ний алгебры зФ из включения (3) следует, что
(4) Der зФ cz (п—1),
где во (и.— 1)— алгебра Ли кососимметрических матриц
порядка п— 1. Поэтому, в частности, DerLCJ= 0.
Впрочем, равенства AuitlCJ= Z2 и Der £2= 0 легко
получить и непосредственно. Действительно, являясь ли-
нейным оператором над полем R, переводящим 1 в 1, лю-
бой автоморфизм Ф: lCj-»-lCJ однозначно определяется
числом Ф1. Но поскольку i2 == —1, для этого числа дол-
жно иметь место равенство (Ф()2 =.—1. Следовательно,
Ф1 -гхз что и дает нам тождественный оператор и ком-
плексное сопряжение.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ УДВОЕННОЙ АЛГЕБРЫ
305
Аналогично, любое дифференцирование D: С -> С
однозначно определяется числом Di, которое должно удо-
влетворять тождеству
Di • I + г • Di — D (г2) = — £>1=0,
возможному только при Di = 0.
Эти простые соображения допускают очевидное обоб-
щение на случай любой удвоенной алгебры j^2. Именно,
каждое дифференцирование D алгебры ^2 определяет
по формулам
Da — DQa ~t- Fa • e, De = x0 + Уов
два линейных оператора Do, F: -+ и два элемента
x0, y0 <= причем ввиду равенства
D (а 4- be) = Da + Db • e + b • De,
t. e. равенства
(5) D (a + be) = (Doa — Fb + bxQ) + (Fa + Dob + yob) e,
дифференцирование D однозначно восстанавливается по
операторам Do, F и элементам х0, у0. Поэтому, чтобы опи-
сать алгебру Ли Der j^2, достаточно описать четверки
(Do, F, Хо» Уо), для которых формула (5) задает диффе-
ренцирование алгебры з^2. (Аналогично можно описы-
вать и автоморфизмы, но это приводит к слишком слож-
ным выкладкам.)
Чтобы получить условия на Do, F, х0» Уо> обеспечиваю-
щие включение D е Der ^2, нужно в соотношении
(в) +
где g *=» а + be и г] = х -j- уе — произвольные элементы
из з^2, выразить D по формуле (5), произвести все умно-
жения и сравнить коэффициенты при 1 и е слева и спра-
ва. Например, при § = а, я = х мы получаем тождество
А (ах) 4- F (ах) е = (Doa • х + а • Dax) + (Fa • i 4~ Fx • а) е,
из которого следует, что Do является дифференцирова-
нием алгебры a F удовлетворяет тождеству
( J) F (ах) = Fa х Fx • а.
Аналогичные тождества мы получим при т| = х,
при £ = a, == уе и при | == be, rj уе. Впрочем, на
306 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ !Н
практике оказывается целесообразным найти сначала об-
щее решение функционального уравнения (7), а затем
учесть эти дополнительные тождества. Кроме того, по-
лезно с самого начала учитывать соотношения х0 4- х0 ==
== 0, уо + ус « 0, получающиеся при g = т) = е, и озна-
чающие, что х0, у о е £$'.
Пусть, например, = Юи, значит, = Н. Так как
Der С = 0, то Do = 0. Что же касается оператора F, то,
пользуясь тем, что С. = R2, для его вычисления можно
применить тот же прием, вводя в рассмотрение линейные
операторы Р, Q: R -> R, определяемые формулой
Fx = Рх + Qx • i, х s R.
При c, ,t e R из тождества (7) следует, что
Р (ах) — Ра • х 4- Рх • а и Q (ах) = Qa • х 4- Qx • а,
т. е. что Р и Q являются дифференцированиями поля R.
Поэтому Р = Q = 0, т. е. Fx = 0 при х е R. Следова-
тельно, F(х 4- i/i) — F (уi) s= Fi-y, т. е.
Fa = Zo • Im а, где z0 = Ft.
Непосредственная проверка показывает, что соотноше-
ние (7) выполнено при каждом z0. Этим доказано, что
любое дифференцирование D: Н -> Н должно (см. фор-
мулу (5)) иметь вид
(8) . D (а 4- bj) = (— zo Im b 4- bx0) 4- (z0 Im a 4- yob) j,
где Хо, уо, Zo e CL Параметры x0 и уо должны при этом
принадлежать .С', т. е. должны иметь вид х0 == ia0, Уо —
= ibo, где До» bo е R. Подставив найденное выражение
в общую формулу (6), мы немедленно обнаружим теперь,
что отображение D: Н-> Н, даваемое формулой (8),тог-
да и только тогда является дифференцированием алгеб-
ры Н. когда Re z0 = —ао, т. е. z0 = —По 4- где
со R. Тем самым доказано, что каждое дифференциро-
вание D:' Н ->• Н алгебры Н задается формулой
(9) D(a 4- b])*= i(a0Re b — c0Im&)4“
+ I— (До Im a 4- bo Im b) 4- i (b0 Re b 4- Im a)] /,
где a^t bot произвольные вещественные числя.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И- АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ Н 307
: Отображение (9) переводит подпространство Н/ в
себя и в базисе i, j, k этого подпространства задается
матрицей
/ о а0 — са \
I — аа О — b0 j.
\ Cq &о 0 /
Таким образом, DerH<—§о(3) в соответствии е общей
формулой (4). Более того, мы теперь видим, что
Der Н = §о(3).
Для группы Aut Н из этого равенства следует, что
эта группа совпадает либо с группой SO(3), либо а
группой 0(3) (поскольку, согласно общей формуле (3),
имеет место включение Aut Н с=О(3)). Но так как ото-
бражение с матрицей —Е, очевидно, автоморфизмом не
является, то
(Ю)
AutH=SO(3).
В частности, мы видим, что, в отличие от группы
Aut С, группа Aut Н связна.
Кроме того, сопоставив равенство (10) с предложе-
нием 4 предыдущей лекции, мы немедленно получим, что
любой автоморфизм Н —Н является внутренним авто-
морфизмом вида г] где g е S3.
Замечание 1. На самом деле равенство (10) мо-
жет быть доказано без всяких вычислений, если восполь-
зоваться предложением 4 предыдущей лекции. Действи-
тельно, это предложение означает, что группа внутренних
автоморфизмов г] ।—> ВлВ-1, & S3, алгебры Н совпадает
с группой SO(3). Следовательно, AutHzp SO (3). С дру-
гой стороны, как мы только что показали, равенство
Aut Н = 0(3) невозможно. Поэтому Aut Н = SO(3).
М.Ы все-таки привели здесь прямое доказательство, по-
скольку оно послужит нам образцом для более слож-
ного случая алгебры Н2.
Алгебра Н2 называется алгеброй октав (или алгеброй
чисел Кэли), ее элементы называются октавами (или
числами Кэли). В честь Кэли мы будем обозначать эту
алгебру символом ’С а, хотя Кэли и не был первым, кто
ее открыл (иМ был Греве).
308
АЛГЕБРА ОКТАВ
По определению каждая октава имеет вид g = a 4~
+ be, где а и Ь — кватернионы, а умножаются октавы по
формулам (1). Базис алгебры jC.a состоит из 1 и семи
элементов
(11) i, j, k, е, f = ie, g = je, h = ke,
квадрат каждого из которых равен —1, а их попарные
произведения схематически изображаются следующим
рисунком:
Произведение любых двух элементов (И) равняется с
точностью до знака элементу, расположенному на той же
прямой (или окружности), а знак определяется ориента-
цией этой прямой. Например, eh = k, a fj — —h.
Как уже отмечалось, алгебра .Са неассоциативна. Од-
нако алгебра Са альтернативна, т. е. для любых двух ее
элементов | и т] выполнены тождества
(Bn) п = В (пп). В (Bn) = (ВВ) п-
Действительно, пусть £ = а 4- be, т] = и 4~ ve. Тогда
£т] = (аи — vb) + (Ьй va) е,
(Вп) П — ((аи — vb) и — v (Ьй 4- иа)] 4~
4- ((Ьй 4- va) й 4- v (аи — 66)] е,
т]Т) = (ц2 — vv) 4- (vh + vu} е,
В (ПП) = [«(«2 — bv) — (vu 4- vu) b] 4-
4- [6 (и2 — vv) 4- (vu + vu) a] e,
a Tai: как числа vv = vv и и 4- й вещественны и потому
АЛГЕБРА ОКТАВ
309
перестановочны с любым кватернионом, то
а (и2 — vv) — (vii + vu) b — au2 — avv — (u -f- й) vb ~
= au2 — vva — vb(u 4- й) =
= (au — vb) и — v (bit + va)
и __________
b (u2 — vv) 4- (vil + vu) a = bit2 — bvv 4- v (й 4- и) a =
= Ьй2 — vvb 4- va (й 4- и) —
= (Ьй 4- va) й 4- v (au — vb).
Поэтому (£т1)л — В(лл)-
Равенство £j(gri) = (ВВ)л доказывается аналогич-
но. □
Согласно общей теории сопряжение в 1С а задается
формулой
а 4- be = а — be.
Оно оставляет элемент 1 неподвижным и меняет знак
каждого элемента (11), так что элементы (11) состав-
ляют базис подпространства С а'.
Как показал Артин, в альтернативной алгебре любые
два элемента порождают ассоциативную подалгебру. По-
этому то же рассуждение, что и для кватернионов пока-
зывает, что алгебра октав -С а нормирована. Однако
доказательство теоремы Артина в достаточной мере гро-
моздко и у нас нет на него времени. Поэтому мы дока-
жем нормированность алгебры Са прямым вычислением.
Пусть I, — а be -и. т\ = и ve — две октавы. Нам
надо доказать, что | ёц] = ||| • |т]|. Но, согласно сказан-
ному выше,
Ил I2 = I аи — vb I2 4-1 Ьй 4- va I2 =
= (аи — vb) (йа — bv) 4- (Ьй 4- va) (ub 4- av)
и
I В I21 Л I2 = (°й 4- ЬЬ) (ий 4- vv).
Поэтому, полагая v = X 4~ v', где X е R, a v' е ;С а' и,
значит, v' = —v't мы получаем, что
I ВЛ I2 — I В I21 Л I2 = (аи-Ь + Ьйа — Ьйа — aub) 4~
4" (aub 4~ Ьйа) v' — v' (айЬ 4- Ьйа) — О,
310
АЛГЕБРА ЛИ 9,
ибо число аиБ Ьйа вещественно и потому перестано-
вочно с кватернионом v'. □
В частности, отсюда следует, что алгебра .С а являет-
ся алгеброй с делением. Впрочем, как и в случае кватер-
нионов, непосредственно проверяется (с помощью свой-
ства альтернативности), что уравнения 1-х — т] и = ц
удовлетворяются (при g #= 0) соответственно октавами
X = g-’n и х = -pg-1, где g-1 . □
Замечание 2. Поскольку конструкцию удвоения
можно неограниченно итерировать, возникают метриче-
ские алгебры С а2, (С а2)2, ... и т. д. Но эти алгебры
мало интересны, не будучи ни нормированными (в силу
теоремы Гурвица), ни альтернативными (в силу так на-
зываемой обобщенной теоремы Фробениуса
каждая альтернативная конечномерная алгебра над по-
лем R изоморфна одной из алгебр R, LC, !Н или Са; см.,
например, [11]). Более того, эти алгебры не являются
даже алгебрами с делением, поскольку, пользуясь очень
сильными средствами современной алгебраической топо-
логии, можно доказать (впервые это сделал Адамс), что
размерность алгебры с делением над полем R может
иметь только значения 1, 2, 4 и 8 (при этом в размерно-
стях 4 и 8 существуют алгебры с делением, отличные от
алгебр Н и Са).
По причинам, в которые здесь мы входить не можем,
группа автоморфизмов Aut С.а алгебры С а обозначается
символом G%, а ее алгебра Ли Der Са — соответственно
символом д2. Поскольку алгебра Са нормирована и
dim С.а = 8, то, согласно (3),
G, с О (7)
и, значит,
д2 <= йо (7),
где 8<»(7) — алгебра Ли кососимметрических матриц седь-
мого порядка.
Однако, в отличие от предыдущего случая, алгебра g2
не совпадает с алгеброй so (7), так что теперь мы имеем
дело с некоторой новой, пока у нас еще не встречав-
шейся алгеброй Ли (и новой группой Ли). Мы докажем
АЛГЕБРА ЛИ а, .
311
это, вычислив размерность алгебры Ли д2, которая ока-
жется равной 14 (тогда как dim So (7) = 21).
Вычисление алгебры g2 производится уже известны#
нам методом. Каждое дифференцирование D е д2 за-
дается формулой (5), где теперь х0 и у0—• кватернионы8
D>3 — некоторое дифференцирование алгебры Н, a F —
линейный оператор Н —> Н, удовлетворяющий тожде-
ству (7). Полагая Fx — Рх + Qx-j, где теперь х е tCj й
Р, Q — линейные операторы .Ci—мы получим для Р
и Q уравнения
Р (ху) = Рх • у + Ру • х, Q (ху) = Qx • у + Qy • х,
общее решение которых имеет вид
Рх — oq Im х, Qx = bQ Im x,
где a0, bQ e _C. Следовательно, положив Fj — z0 + ay0/,
где x0, w0 С, мы получим, что общее решение функ-
ционального уравнения (5) в алгебре Н имеет вид
(12) Fg = («0Imx + ^0Imy+ гоу) +
+ (b0 Im х — aQ Im у + w$) j, £ = x + yj,
где aQ, ba, Zo, wQ <= ;C-. Автоматическое, хотя и довольно
утомительное вычисление показывает теперь, что отобра-
жение Di .Са—>;Са, определенное формулой (5), гда
Do — некоторое дифференцирование алгебры Н, F — ото-
бражение (12), а ха и уо — кватернионы из Н', тогда и
только тогда является дифференцированием алгебры С.а,
т. е. лежит в g2> когда х0 — —i Re aQ — (z0 + i Re b0)j.
Этим доказана следующая лемма:
Лемма /. Каждое дифференцирование D алгебры
октав С а задается-.
а) произвольным дифференцированием Da алгебры
кватернионов Н;
б) кватернионом у0, удовлетворяющим соотношению
У а — —Уо,
в) четырьмя комплексными числами а0) b0, Zq, Wq.
Это дифференцирование действует по формуле
D (I + = (Ро? — Ат) + iUo) + (Fl + An + УоП)
где F — отображение Н-* Н, определенное формулой
(12),ахв=.—г Re а0 — (Zo+iRe&o)/. □
312
АЛГЕБРА ЛИ 9s
Дифференцирование Do задается кососимметрической
матрицей третьего порядка, и, следовательно, зависит от
трех вещественных параметров, кватернион у0 также за-
висит от трех параметров, а четверка а, Ь, х0, у0— от
восьми. Поэтому дифференцирование D определяется
заданием 14 = 34-34-8 независимых вещественных
параметров. Следовательно, dimg2 = 14.
В базисе (И) дифференцирование D задается матри-
цей, которую можно изобразить в следующем условном,
но понятном виде
рицу
— bi — b2 — ba\
О —— bi b2 I
b3 0 — bl I
— b2 bi 0 '
где &ii 4- b2j 4- b3k = y0.) Отсюда видно, что матрицы из
Й2 характеризуются среди всех кососимметрических
СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ АЛГЕБРЫ ЛИ
313
матриц (ац) седьмого порядка следующими семью усло-
виями:
«32 4” «45 4” «76 — О,
(13)
«13 + «64 4” «75 — О»
«14 4" «36 4" «27 = О»
«17 4" «42 4” «53 = О,
«21 4“ «65 4- «47 ~ О
«51 4” «26 4“ «73 = О
«61 4” «52 4- «34 — О
Если а0 — Ьо — 0 и
Dq —
fO
I 0
\о
о 0\
о р ),
— Р 0 /
т. е. если Di — 0, то дифференцирование D будет перево»
дить в себя подпространство У алгебры С а, ортогональ-
ное элементам 1 и I. Это подпространство выдерживает
умножение на i, и потому его можно рассматривать как
линеал над .Ci с базисом /, е, g. Непосредственное вычис-
ление показывает теперь, что в этом базисе дифференци-
рование D записывается комплексной матрицей
— pi
«о
— z0
b\i
Vo
— v0
— Vo
(p — bi) i
где va == &2 4- bsi, a p и bi — вещественные числа. По-
скольку это в точности общий вид косоэрмитовых матриц
третьего порядка со следом, равным нулю, мы Получаем,
что дифференцирования D: Са —> Са, для которых Di =
— О, составляют подалгебру алгебры Ли дг, изоморфную
алгебре Ли ви(3).
Стандартный способ описания любых конечномерных
алгебр состоит в задании в некотором базисе их струк-
турных констант, т. е. коэффициентов разложений по ба-
зису попарных произведений элементов этого базиса. Та-
ким образом, если eit .... еп — базис алгебры то ее
структурные константы с^ определяются формулой
eiei = ...» п.
Общее число этих констант равно п3.
Применительно к алгебре Ли дг этот метод требует
указания 2744.*= 143 чисел, что, конечно, на практике
314 СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ АЛГЕБРЫ ЛИ
нереально. Положения не спасает и учет кососимметрич-
ности констант по i и /, поскольку и после этого остается
14*13
1279 = 91 -14 = —g 14 констант. Однако можно на-
деяться, что при целесообразном выборе базиса в этих
константах обнаружатся определенные закономерности,
позволяющие удовлетворительным образом их описать.
Оказывается, что этого можно действительно добиться,
причем ситуация делается особенно простой после ком-
плексификации алгебры Ли до, т. е. для алгебры Ли
g^ = g20C над полем _С:, состоящей из комплексных
матриц седьмого порядка, удовлетворяющих условиям
(13). Поскольку обратный переход от др к д2 легко кон-
тролируется, это дает нам структурные константы и для
алгебры Ли дг.
Рассмотрим стандартный базис алгебры Ли за (7),
состоящий из матриц.
Р ЕЦ~ЕП
где i, j = 1..7 и К]. Из условий (13) непосредст-
венно вытекает, что все матрицы
Р0 = Р[3, 2) + р[5, 7], Qo = Р[4, 5" 4" Е[в. 7J,
Pl — Р[ 1, 3] 4“ Е{5, 7], Q1 = р[6. 4] 4~ £[5. 7],
Р2 — р[2. п + Е[Т, 41, Q2 — р[6> 5] 4- д7ь
Р3 = Р[1, 4] 4~ Р[7, 2], Qi = Е[3. о] 4~ Е[7, 21,
Р4 — Р[5. 11 4- ^(3. 7J, Q4 = £"[2. 61 4- £[3.
Р5 = р[1. 7J 4- Е[3. 51, Q5 = Е[4, 21 4* Е'еЗ, 51»
Ре = ц 4- Ец, 3j, Q6 = р[5, 2] + р[4. 3J
принадлежат алгебре Ли gs. Поскольку эти матрицы, оче-
видно, линейно независимы, они составляют базис (над
полем R) алгебры Ли дг.
Особое внимание мы уделим линейным комбинациям
(14) И — аРа 4- bQa~aE[з. 21 + ЬЕ\ь. si + сЕу, ai
матриц Ро и Qo, где а + b 4- с =* 0. Заметим, что (Яь
//2] — 0 для любых элементов Я1 и //3 вида (М')л
СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ АЛГЕБРЫ ЛИ
Sts
Непосредственное вычисление с матрицами показы-
вает, что
[Я, Py}^=aP2 + cQ2,
[Я, Р2] = — аРх — cQb
[Н, P3] = bP4 + cQ4,
[Я, PJ = -&P3-CQ3,
[Я, P5J — сР6 -|- #Q6,
[Н, P^-cP-a-aQ.,
[Я, QJ = (с - b)Q2.
[Н, Qzl — ib — e)Q}.
{И, Q3] — \C — a}Q4,
[И, Q4]=(a — c)Q3
[Я, Q3}^{a-b)Q6.
[Я, Q6] = (&-a)Q5
откуда немедленно следует, что элементы
Я± ! = (2Р2 - Q2) ± i (2Pi - <М
Я± 2 = (2Р4 - Qi) ± i (2Р3 - Q3),
U± з = (2Р6 - Qe) ± i (2Р5 - Q5),
V± 1 — Q2 ± iQi,
V± 2 — Q4 ± 1Q3,
V±. 3 — Qe ± iQs,.
составляющие базис комплексифицированной алгебры
удовлетворяют соотношениям
' [Я, U± f] = ± iaU± ь [Я, V± J = ± i {с - b) V± 1.
(15) [Н, U± 2] = ± ibU± ь [Я, V± 2] = ± i (с - a) V± 2.
[Я, Я±з]=±ЯЯ±3, [Я, V±3]=±Ha-b)V±3.
Чтобы записать эти соотношения более компактно,
целесообразно ввести в рассмотрение двумерное вещест-
венное пространство I/, сопряженное к двумерному про-
странству 1) всех элементов вида (14). Пусть eit е2 —
базис пространства I)*, сопряженный базису PQ, Qa про-
странства У). Тогда для каждого элемента (14) простран-
ства $ будут иметь место формулы
(16) в1(Я) — а, е2(Н) = Ь, е3(Н)~с,
где е3 — — (^] 4- е2).
Удобно (хотя и не обязательно) считать, что в про-
странство 1)* введена евклидова структура и прямоуголь-
ные координаты, в которых векторы и е2 имеют соот-
ветственно координаты (“Hf"’ °) 11
318
СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ АЛГЕБРЫ ЛИ %®
Тогда векторы ± еь ±е2, ± е3 вместе с векторами ± flt
±?2, ±/з, где
fl~e2 е3, /а = е3 еь /з = в1—е2
будут радиус-векторами вершин правильного звездчатого
двенадцатиугольника. Совокупность этих двенадцати век-
торов на плоскости мы назо*
вем конфигурацией G2.
Каждому вектору а е G2
мы отнесем теперь элемент Хх
алгебры Ли д^, положив
{U± k, если а = ± ek,
V± k, если а = ± fk.
Тогда ввиду соотношений (16)
формулы (15) можно будет
записать в виде следующей
единой формулы:
(17) [7/, Xa] — ia(H)Xa.
Элементы Ха, а е G2, вместе с любой парой Hi, Н2
линейно независимых элементов из I) составляют, оче-
видно, базис алгебры д*?. Поскольку, по построению,
Ха = Х_а, базис алгебры д2 будут составлять элементы
Hi, Н2 и элементы Ха -ф Х_а, —(Ха — Х_а). Так как.
структурные константы последнего базиса очевидным об-
разом выражаются через структурные константы базиса
Hi, Н2, Ха, то нам достаточно найти только последние.
Поскольку скобки [Hi, Ха] и [Н2, Ха] непосредственно
вычисляются по формуле (17), а скобка [Hi, Н2], как
мы знаем, равна нулю, все сводится, таким образом, к
вычислению скобок [Ха, Аф] для всех неупорядоченных
пар (а, Р) различных векторов конфигурации G2 (число
этих пар равно 66).
Легко видеть, что каждый вектор а е 1)* единствен-
ным образом записывается в виде а — aei -ф be2 -ф се3,
где а -ф b -ф с = 0, причем изоморфизм I)* « Ъ, индуциро-
ванный введенной нами в Ь* евклидовой структурой, пе-
реводит этот вектор как раз в элемент (14) пространства
На этом основании мы можем элемент (14) обозначать
СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ АЛГЕБРЫ ЛИ й2?
317
также символом а. Умноженный на
2
I а |2
элемент а мы
обозначим символом На. Таким образом, На =
В явном виде элемент На определяется формулой
2а
1«12 *
2
Да === а2 £2 с2 2] + ЬЕ[4, 5J + сЕ[7' 61),
поскольку, как легко видеть, | а |2 = а2 4- Ь2 + с2.
Предложение 1. Для любых векторов а, 0 е G2 имеют
место соотношения
(18) . [Ха, Х_а] = Ша,
(19) [ЙГа, ЙГр] = 0, если 0 =/=—а и a4-0^G2,
(20) [2(а, 2(р] Nа> р2Га_|_р, если а 4- 0 G2
{и потому 0 — а).
Здесь Na, g — некоторые целые числа, для абсолютных
величин которых имеет место формула
(21) I Na>&| = р4- 1,
где р — наибольшее целое число, обладающее тем свой-
ством, что для каждого j — 0, 1, . .., р вектор 0 — /а
принадлежит конфигурации G2. □
Доказательство этого предложения мы получим в сле-
дующем семестре на основе некой общей теории. Пока
же мы не можем предложить читателю ничего другого,
как честно проверить его непосредственной выкладкой
во всех 66 случаях.
Замечание 3. Эта выкладка даст нам, конечно,
коэффициенты Na, g со знаками (всего получится 30 пар
(а, 0), для которых Na, р =/= 0). Можно сформулировать
правило, определяющее эти знаки, но, во-первых, оно до-
вольно сложно, а во-вторых, не имеет инвариантного ха-
рактера. Дело здесь в_ том, что соотношения (17), (18)
вместе с равенством Ха = Х-а характеризуют элементы
Ха с точностью до знака. В этом смысле эле-
менты ±Ха задаются в алгебре gg инвариантным обра-
зом без всякого произвола. Выбор же знаков, от которых
зависят и знаки коэффициентов Na, g никакой инвариант-
ной характеристики не допускает.
318
ЗАДАНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ар
С учетом этого замечания можно сказать, что предло-
жение 1 полностью определяет структурные константы
алгебры Ли др (а значит, и алгебры Ли д2)>
Наряду с заданием алгебр структурными константами
их можно задавать также образующими и соотноше-
ниями.
Предложение 2. Алгебра Ли др может быть задана че-
тырьмя образующими Xlt У1, Х2, У2, удовлетворяющими
пятнадцати соотношениям
[ [Ai, Kd,
[[А'ь Kd, [Х2, У2]] = 0,
[ХЬГ,]=О, [Х2, У'1]=0,
А'(] — 2Xi =0,
(22)
[Иг, К2], Ad+ 3X1—0,
[ [Аь KJ, К[]-|-2У1=0>
[[Х2, Кг], KJ-3^=0,
[А'хИь Х2]] = 0,
[ [А(, П], А21+ Х2 == О,
[[Хг, Г2], Х2]-2Хг = 0,
[[Аь KJ, Г2] — Г2 = 0,
[I-Аг, К2], Гг] + 2К2 = 0,
[Кь [Г,, К2]]=0,
[Х2, [Х2 [Х2 [X2, Xt ] J ] ] = 0,
[Г2, [К2, [Кг, [К2, ЛИИ^О.
Формальному доказательству предложения 2 мы пред-
пошлем содержательное обсуждение соотношений (22).
Полагая, по определению, Я1 — —i [Хь YJ, Н2 —
= —i[X2, Y2] и вводя в рассмотрение числа
П ц -—L П22 2, П [2 :— 1, п21 — 3,
мы сможем соотношения (22) переписать в следующем,
более компактном виде
[яр, я,1=о.
[Хр, KJ=O при р-А Р,
(23) [Яр, AJ = mp.pX,, [Яр, KJ = - г‘«р. ,Гр,
(adXp)|n^l + 1X7=0, (ad Гр)! !+1Г^ = 0.
В этом виде мы и будем их использовать.
Легко видеть, что соотношения (23) выполнены
в алгебре gf при Xl~Xfi, Yl^=X_y, Х2~Х^, Y2 = X_&t
(и — H2~HeY Действительно, первое соотно-
шение выполнено потому, что, как уже было выше заме-
чено, скобка Ли равна нулю для любых элементов из Ь,
Второе соотношение вытекает из формулы (19)? по-
ЗАДАНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 0С
819
скольку fl — е2 — в3 — 2е2 Ф G2 и е2 — f 1 = 2е2 — е3 ф G2.
Третье и четвертое являются частными случаями фор-
мулы (17), поскольку
= («,
20 V 2 (а, ₽)
I ₽ I2 J ~ I 0 I2
Г 2?
= { — з,
1 — 1,
если а = р = f 1, е2,
если а = f 1, р = е2,
если а — е2, 0 = fi
(мы пользуемся здесь отождествлением $ = Ij*), а по-
следние два вытекают из формул (19) и (20) предложе-
ния 1, поскольку
(24)
fl + е2 - е3 S G2,
но f 1 е3 G2,
е2 + f 1 в3 е G2,
е2 + ез = — <?2»
е2 — ег-----/3 £= G2, но е2 — f2 G2. □
Если мы введем в рассмотрение свободную алгебру
Ли I с образующими Х\, Х2, Уь У2 и ее гомоморфизм ф в
алгебру д£, определенный формулами
ф(^) = Лм ф(Х2) = ^2,
ф(У1) = Х_/1, (Y2) == Х-е2,
то доказанное утверждение будет означать, что гомомор-
физм ф аннулирует левые части всех соотношений (22))
и потому индуцирует некоторый гомоморфизм ф: l-^g2
в алгебру Ли д? факторалгебры I алгебры Ли I по идеа-
лу, порожденному этими левыми частями. Предложение 2
равносильно теперь утверждению, что гомоморфизм ф яв-
ляется изоморфизмом. В этой форме мы и будем его до-
казывать.
Чтобы не вводить лишних обозначений, мы позволим
себе обозначать элементы алгебры I теми же символами,
чт® и соответствующие элементы алгебры I. Символ
X У будет означать, что в алгебре I элементы X и Y,
пропорциональны (отличаются друг ст друга, числовым
множителем).
820
ЗАДАНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ (?р
Рассмотрим в алгебре I элементы
^ = [1,. Yt], Я2 = [Х2, У2],
*ь Х2, Х3 = [Х2, Xt], Х4 = [Х2, Х3],
(25) Х5 = [Х2, Х4], Хь = [Х4, х3],
Yt, Y2, Y3 — [Y2, УН, У4 = [У2, Уз],
Г5=[Г2, УД У6=[У4, Уз].
Оказывается, что для любых двух элементов U, V из спи-
ска (25) элемент [U, V] либо равен нулю, либо пропор-
ционален некоторому элементу того же списка. Действи-
тельно, по условию [Яь Я2] = 0, [Я/, Xj] ~ Хь [Hit
Х2] ~ Х2, i = 1, 2. Но если [Н, U] ~ U и [Я, V] — У,
то в силу тождества Якоби
[Я, [U, ]/]] = [[Я, £7], V] 4- [U, [Н, V]] ~ [£/, V]'.
Следовательно, по очевидной индукции
[Нр, Xq] ~ xq
для любого q. Аналогично показывается, что
[Яр, У,] ~ У,.
Далее, по условию [Хь Х2] = Х3 и [Хь Х3] =
= [Хь [Х1г Х2]] = 0. Поэтому [Xi, Х4] = [[Хь Х2],
Х3] Ч- [Х2, [Xlt Х3] ] = 0, [Х1; Х5] - [Х3, Х41 = —Х6 и
[Xi, Х6] = 0. Так как [Хь У1] = Яь [Хь У2] = 0, то
ГА,, У3] = [[ХЬ У2], У!]-НУ2, [Хь У11] = — [[Хь УП,
У2] ~ [Я], У2] ~ Y2, и значит, [Хь У4] = —[[Xi, У3],
У2] = 0, [Хь У5] = 0, [Хь У6] ~ [[Хь Уз], У4] - [У2,
У4] = У5. Все остальные скобки вычисляются точно так
же. □
Из доказанного утверждения следует, что линейная
оболочка элементов (25) является подалгеброй алгебры
Ли I и, значит, — поскольку она содержит образующие
Xi, У2 и Уь У2 — совпадает с этой алгеброй. В частности,
этим доказано, что dim 1^14.
Теперь мы уже легко можем доказать предложение 2.
Доказательство предложения 2. Из полу-
ченных выше результатов (см., в частности, формулы
(24)) непосредственно следует, что гомоморфизм ф пере-
водит элементы (25) в элементы, пропорциональные со-
ЗАДАНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 8°
321
ответственно элементам
Я/,, Не„
(26) Xfu Хе,, Хе„ Х-ех, X_f„ Х/г,
X-f„ х_ег, х_ез, хе„ xf„ x_f2
(в отношении элементов Х6 и Уб это следует из равенства
е3— е1~ 1з)- Так как элементы (26) составляют базис
алгебры то, следовательно, гомоморфизм ф2 является
эпиморфизмом, а значит, ввиду неравенства dim I 14=
— dim gj, и изоморфизмом. □
Тем самым алгебра Ли д2 изучена нами практически
со всех возможных точек зрения.
П М. М. Постников
Лекция 15
ТОЖДЕСТВА В АЛГЕБРЕ ОКТАВ Са, —ПОДАЛГЕБРЫ
АЛГЕБРЫ ОКТАВ Са. — ГРУППА ЛИ б2. — ПРИНЦИП
ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ Spin (8). — АНА-
ЛОГ ПРИНЦИПА ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ
Spin (9). —АЛГЕБРА АЛБЕРТА А1. — ОКТАВНАЯ
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
Изучив алгебру Ли д2, мы можем теперь обратиться к со-
ответствующей группе Ли G2 = Aut С а. Результаты пре-
дыдущей лекции с точностью до накрытия полностью ха-
рактеризуют алгебраическое строение компоненты еди-
ницы группы G2. Поэтому основной вопрос, который нам
осталось разобрать, состоит в выяснении того, связна ли
группа G2, а если связна, то какова ее фундаментальная
группа.
Для этого нам нужно будет более подробно изучить
алгебраическое строение алгебры С а.
Пусть сначала — произвольная альтернативная ал-
гебра. Заменив в тождестве альтернативности (ab}b —
= a(bb) элемент Ь на х 4- у, раскрыв скобки и приведя
подобные члены, мы получим тождество
ах • у 4- ау • х — а • ху 4- а • ух
(для упрощения формул мы вместо скобок пишем точ-
ки). Этот прием получения одного тождества из другого
называется поляризацией (или линеаризацией).
Аналогичным образом, поляризовав второе тождество
альтернативности b(ba) = (bb)a, мы получим — после
переобозначения переменных — тождество
' ах • у 4- ха • у —а • ху 4- х • ау.
ТОЖДЕСТВА В АЛГЕБРЕ ОКТАВ
323
Первое тождество означает, что выражение (ах)у —
—а (ху) (называемое ассоциатором элементов а, х, у) ко-
сосимметрично по х и у, а второе — что оно кососимме-
трично по а и х. Но тогда это выражение кососимметрич-
но по а и у, что дает третье тождество альтернативности
ах ‘ у ух ‘ а = а - ху у ‘ ха,
при у—а приобретающее вид (ах)а — а(ха) (этотождест-
во называется также тождеством эластичности).
Если алгебра подобно алгебре С а, является, кро-
ме того, метрической алгеброй, то для любых элементов
а ег/и 6 = Х-Н', где Ze R и o'l i, будет иметь ме-
сто равенство (ab) (X 4- Ь') — а-Ь(к 4- Ь'), т. е. равен-
ство ab Ь' = а • bb'. Следовательно, ab-K — ab-b' =
— а-Ь7*— a-bb', т. е. ab-b = a-ЬБ = а (Ь, Ь). Поляризо-
вав это тождество, мы получим тождество
(1) ах • у 4- ау • х — 2 (х, у)а,
являющееся обобщением тождества (2) предыдущей лек-
ции (которое получается при а = 1).
Пусть теперь алгебра нормирована, т. е. в ней вы-
полнено тождество (ab, ab) — (а, а)(Ь, Ь). Тогда, поля-
ризовав это тождество сначала по Ь — х 4~ У, а затем по
а = и 4- v, мы получим тождество
(2) (их, vy) 4- (их, иу) — 2(и, v)(x, у),
имеющее место для любых элементов и, и, х, у произ-
вольной нормированной алгебры (и, значит, в частно-
сти, алгебры Са).
Нас особенно будет интересовать подмножество ли-
неала _С'а', состоящее из элементов g, для которых —
= 1. Это множество является 6-мерной сферой, и мы его
будем обозначать символом S6.
Легко видеть, что eS5 тогда и только тогда, когда
g2 = —1. Действительно, если |е Са', то |= —§ и по-
тому g2 = —jgj2. Следовательно, если |^| = 1, то д3 =.
= —1. Обратно, если |2 = —1, то j = 1, и значит, =
— 1, т. е. g(— g) = —1 = gg. Следовательно,
т. е. feCa', а так как | £j = 1, то g е S®. □
По линейности отсюда вытекает, что g е ,С а' тогда и
только тогда, когда д2 = —| §|3.
324
ПОДАЛГЕБРЫ АЛЕБРЫ ОКТАВ
Пусть теперь 26 — произвольная унитальная (и по-
тому замкнутая относительно сопряжения) подалгебра
алгебры С.а, отличная от алгебры Са, и пусть £—-
произвольная октава из S3, ортогональная подалгебре 2^.
Тогда для любого элемента b 26 октава bt, ортогональ-
на подалгебре 26. Действительно, полагая в (2) и = I,
v = Ь, х = t, и у = а, где а 26, и учитывая, что
\ab, £) = О (ибо ab ^.26} и (£, 1) = 0 (по условию), мы
немедленно получаем, что (bt,, а) = 0 для любого эле-
мента а <= 26. □ _
В частности, &£ J_ 1 (ибо 1 е 26}, так что &£ = — bt,.
Кроме того, для любых элементов а, b е 26 имеют ме-
сто равенства
а • bt, — ba t„ at, • b = ab • g,
(o) —
at, bt, = — ba.
Действительно, полагая в_(1) x = t,, у = б п учитывая,
что t, ± b, а потому и £ ± b, мы получим равенство
at, • b + ab • g = 0,
равносильное второму из тождеств (3). Аналогично, по-
лагая в (l)a=l, х = а, y — bt,— — bQ, мы получим
равенство
— а - bt, + bt, ♦ а — — 2 (а, &£) — 0,
и, значит, равенство
a-bt, = bt,-a,
в силу уже доказанного второго тождества равносиль-
ное первому из тождеств (3). Наконец, при &gR
третье из тождеств (3) приобретает вид at,-bt,==
— —ba и, значит, сводится ко второму тождеству. По-
этому это тождество достаточно доказать лишь при
b ± 1. Но в этом случае, положив в (1) х — t и. у =
= b'Q — —bt,, мы получим, что
&£ + («• &£)£ = -2(£, Ь£)а = 0,
поскольку при и — 1, v = b, х = у — t, из (2) вытекает,
что (£,&£) = (1, &)(£,£) = 0. Следовательно, в силу
ГРУППА ЛИ Gt
325
уже доказанных тождеств at-b'Q ——(ba)^-t,—Ьа
= —Ьа. □
Теперь легко видеть, что алгебра Зё ассоциативна.
Действительно, если а, Ь, с <=3ё, то, заменив в (1) а на
Ь^, х на с и у на а£, мы получим тождество
(6g • с) at, 4- (bt, • at,) с — 2 (с, at) • 6g — О,
равносильное в силу тождеств (3) соотношению ассоциа-
тивности (ab)c = а(Ьс). □
Теперь мы уже можем доказать нашу основную лем-
му об автоморфизмах алгебры ,Са.
Произвольный автоморфизм Ф: jC.a—><С’а переводит
элементы I, j и е в такие элементы £ = Ф/, р = ф/ и £ —
- Фе из S6, что р ортогонален g, а £ ортогонален g, р
и gp. Оказывается, что последние условия не только не-
обходимы, но и достаточны для существования автомор-
физма Ф:
Лемма 1. Для любых элементов g, р, £ е S3 таких,
что-.
а) р ортогонален g;
б) £ ортогонален g, р и gp,
существует (очевидно, единственный) автоморфизм Ф
алгебры Са, для которого
£=Фг, т\ = Ф], £=Фе.
Доказательство. Так как g S6 и р <= S6, то
g2 = —1 и р2 = —1, а так как g _1_ т], то gp == —pg. По-
этому gp = pg = pg = — gp, и значит, gp e S6 (посколь-
ку |&nl == |£| '|p I = 1). Следовательно, (gp)2 = —1.
Кроме того, в силу альтернативности g(gp) = —р и
(gp)p = —g, а положив в (28) и = v = g, х = р и у —
.= 1, мы получим, что (gp, g) = (g, g) (p, 1) = 0, откуда
следует, что (gp) g = —g(gp) = p. Поскольку, аналогич-
но, р (gp) — g, мы видим, что, умножая в любом порядке
и в любом числе элементы g и р, мы будем получать
лишь элементы ±1, ±g, ±р и ±gp. Это означает, что
элементы вида
а 4- &g + ср 4- c?gp, а, Ь, с, d е R,
составляют подалгебру 36 алгебры JC’a, имеющую раз-
мерность 4 и, значит, по доказанному выше, являющую-
326
ГРУППА ЛИ Gt
ся ассоциативной алгеброй. Но тогда легко видеть,
что соответствия li—> 1, ii—> /«—*q, k *—> gq опреде-
ляют изоморфизм алгебры, кватернионов Н на алгеб-
ру Зё.
Далее, элемент ортогональный по условию элемен-
там 1, Е, г] и ортогонален всей алгебре &ё. Поэтоглу
для него имеют место тождества (3). Но, сравнив эти
тождества с формулами (1) лекции 14, мы немедленно
обнаружим, что построенный изоморфизм Н аё про-
должается до гомоморфизма (в котором —» $) алгебры
Са на подалгебру, порожденную подалгеброй Н и эле-
ментом С Так как любой ненулевой гомоморфизм уни-
тальной алгебры с делением необходимо является моно-
морфизмом (если | О переходит в нуль, то куда пере-
ходит ?-*?) и так как любое мономорфное отображение
конечномерной алгебры в себя необходимо является авто-
морфизмом (ибо инъективный линейный оператор, дей-
ствующий в конечномерном пространстве, биективен), то,
следовательно, нами построен автоморфизм Са—>.Са,
переводящий элементы i, /, е в элементы g, q, £.
Тем самым лемма 1 полностью доказана. □
Из леммы 1, в частности, следует, что группа G2 ~
— Aut С а транзитивно действует на сфере S6, т. е. что
отображение определенное формулой фь—>Фг,
надъективно. Это означает, что сфера S6 диффеоморфна
фактормногообразию G2IK группы G2 по подгруппе К, со-
стоящей из всех автоморфизмов, оставляющих на месте
элемент г:
G2/7C « Se.
Для любого автоморфизма Ф К элемент q — Ф/ из
S6 ортогонален элементу i и, значит, принадлежит неко-
торой пятимерной сфере S5 (экватору сферы S6 с полю-
сом г). При этом, согласно лемме I,отображение Ф<—>Ф/
группы К на сферу S5 надъективно. Следовательно,
K/L ~ S5,
где L — подгруппа группы К, состоящая из автоморфиз-
мов, оставляющих на месте элемент ;.
Но для автоморфизмов Ф из £ элемент £ = Фе из S6
ортогонален элементам i, j, k, т. е. принадлежит некото-
рой трехмерной сфере S3 ед S6. При этом, согласно той же
ГРУППА ЛИ G3
327
лемме 1, отображение Ф1—>Фе представляет собой диф-
феоморфизм группы L на сферу S3:
L ~ 53.
На топологическом языке все это означает, что груп-
па G2 расслаивается над сферой S8 на многообразия,
диффеоморфные группе К, которые в свою очередь рас-
слаиваются над сферой S5 на трехмерные сферы S3.
Предложение 1, Группа G2 связна и односвязна. Каж-
дая группа Ли, локально изоморфная группе G2, изо-
морфна ей.
Доказательство. Первое утверждение непо-
средственно вытекает из только что полученных результа-
тов в силу леммы 2 лекции 1, следствия из леммы 1 лек-
ции 9 и предложения 7 лекции 12. Второе утверждение
означает, что группа G2 не имеет нетривиальных дискрет-
ных инвариантных подгрупп. Поскольку (лемма 6 лек-
ции 9) все дискретные инвариантные подгруппы связной
группы Ли содержатся в ее центре, для доказательства
этого утверждения достаточно установить, что центр
группы G2 тривиален, т. е. автоморфизм Фо алгебры •С.а,
перестановочный с каждым её автоморфизмом Ф, не-
обходимо является тождественным автоморфизмом. Но
если автоморфизм Фо перестановочен с автоморфизмом
Ф, и если Ф £ К, т. е. Фд — д, то Ф (Фод) = Фод. Но, как
•непосредственно вытекает из леммы 1, последнее равен-
ство для всех элементов группы К возможно только
тогда, когда Фод = д. Аналогично доказывается, что
Фо/ = /. Следовательно, Фо — id. □
Ввиду односвязности группы Ли G2 ее алгебраическое
строение полностью определяется изученным выше алге-
браическим строением алгебры Ли д2-
Замечание 1. Как уже было замечено в предыду-
щей лекции, подпространство V алгебры С а, ортогональ-
ное элементам 1 и д', является линейным пространством
над полем с базисом /, е, g. Скалярное произведение
в ,С'а определяет в V эрмитово скалярное произведение,
по отношению к которому базис /, е, g ортонормирован.
Любой автоморфизм Ф: iCa->Ca, оставляющий на ме-
сте д, т. е. принадлежащий подгруппе К, определяет ли-
нейный над jC-i оператор X—Этот оператор сохраняет
скалярное произведение, т. е. является унитарным
328
ПРИНЦИП ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ Spin (8)
оператором. Поскольку его определитель равен, как легко
видеть, единице, тем самым группа К отождествляется с
некоторой подгруппой группы SU(3). При этом из лем-
мы 1 непосредственно вытекает, что на самом деле груп-
па К совпадает со всей группой SU(3). Таким образом,
можно считать, что SU(3) с G2, причем Ga/SUfS) ж Se.
Алгебра Ли f группы К состоит из дифференцирова-
ний D, для которых Di — 0. Тем самым мы заново дока-
зали, что эти дифференцирования составляют алгебру
Ли, изоморфную алгебре Ли §и (3).
Алгебра Са может быть использована и для изучения
группы SO (8), поскольку каждый элемент группы SO (8)
мы можем считать ортогональным оператором С а->.С.а.
Впрочем, здесь удобнее перейти от группы SO(8) к ее
универсальной накрывающей группе Spin (8).
Излагаемые ниже результаты, касающиеся групп
Spin (8) и Spin (9), принадлежат Джекобсону.
Игнорируя в ,С.а умножение, т. е. рассматривая Са
просто как евклидово пространство, мы можем построить
алгебры Клиффорда CU(Ca) и Cl(Ca'). Таким обра-
зом, элементы i, j, k, е, f — ie, g = je, h — ke будут те-
перь образующими алгебры Cl(.C.a'). В этом качестве
мы будем их обозначать, в соответствии с Лекцией 13,
символами ..., е7. В алгебре ,С1+(Са) к этим обра-
зующим прибавится еще одна образующая — единица ал-
гебры Са. Несколько отходя от принятых в лекции 13
обозначений, мы будем эту дополнительную образую-
щую обозначать символом ео.
Согласно замечанию к предложению 8 лекции 13 ал-
гебра Cl(Ca') изоморфна алгебре С1+(Са), причем в
указанном в этом замечании изоморфизме роль элемента
еп будет, конечно, играть теперь элемент е0. Таким обра-
зом, этот изоморфизм будет определяться формулой
ёь если | /| четно,
eQelt если | /( нечетно,
где I — произвольное подмножество множества {1, . . . , 7}.
Линеал Са, по определению, вложен в алгебру
С1+(Са). Мы будем считать его вложенным и в алгебру
С1(С.а'), отождествляя для этого его единицу с едини-
®+ (*Т) =
ПРИНЦИП ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ Spin (8)
329
цей 1 алгебры CJ(Ca'). Легко видеть, что в силу этого
отождествления для каждого элемента алгебры
С1+(Са) вида еои, где и е Са, будет справедливо ра-
венство
со'1 = и.
Действительно, если и = Хе0 + и', где ?, е R, а е Са',
то еои = % -}- еои', и потому со'1 (еои)—к й' — % и' =-и
(сопряжение здесь понимается как сопряжение в
С1+(Са), а не в Са, поэтому й' — и'). □
Ввиду альтернативности алгебры Са для любых элр*
ментов хеДа и иеСа' имеет место равенство
(хи) и — х • и2 — — | и j2 х
(напомним, что и2 = —[п[2, если и <= Са'), означаю-
щее, что для линейного оператора Ru’. xt—^xu, и «= Са',
имеет место равенство
Rl = -\u\2E.
Поэтому соответствие и ।—» Ru распространяется до неко-
торого гомоморфизма
R: Cl (Са')—> End Са,
где EndCa — алгебра всех линейных операторов Са—>
->Са.
Так как для любого элемента и = Х+и'еС’ас
czCl(Ca') имеет место равенство Д (X -f- и') — КБ ~Н
Д- Ru, = Ri.+u', то гомоморфизм R является распростра-
нением соответствия «>—*/?u и для любого «е£а.
Аналогично доказывается существование такого гомо-
морфизма
L: Cl (Са')—> End Са,
Lu — Lu : X -> их для любого элемента и е €а.
Поскольку алгебра С.1 (Са) отождествляется с алгеб-
рой С1+(8), а алгебра EndCa — с алгеброй R(8), тем
самым возникают два сквозных гомоморфизма
(4) Spin+(8) сг С1+(8) =
“I1
= С1+ (Са) Cl (Са') =£ End Са = R (8).
Так как (е0«) — и, то каждому элементу группы
Spin (8), имеющему вид еои, где и S7 а Са, отвечает
330
ПРИНЦИП ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ Spfa ?81
при одном из этих гомоморфизмов оператор Са-*
—>Са, а при другом—-оператор La: С.а->Са. Посколь-
ку |«| = 1, а алгебра Са нормирована, эти операторы
ортогональны. Так как элементы вида е3«, usS7, поро-
ждают группу Spin+(8), этим доказано, что гомоморфиз-
мы (4) отображают группу Spin+(8) в группу SO(8)
.(или, если не делать последнего отождествления, в груп-
пу OrLCa ортогональных операторов Са-*-Са).
Элементы группы SO (8) (или OrtCa), являющиеся
образами элемента aeSpin+(8) при гомоморфизмах
(4), мы будем обозначать через и aL соответственно,
Согласно произведенным выше вычислениям, если
а ~ . (еопг), где uit ..., ur е S7, то
aR — RUla ... °Rtir и aI’ = Z,U!.o ... »LUf.
Замечание 2. Из общей теории матричных пред-
ставлений групп Spin(/z) непосредственно следует, что
гомоморфизмы a t—> ая и a^aL эквивалентны полуспи-
норным представлениям группы Spin(8) « Spin+(8) (см.
формулу (20) лекции 13 при т = 1), которые, заметим,
имея дискретное ядро, в этом случае являются накры-
тиями (очевидно, двулистными). Впрочем, эта эквива-
лентность легко доказывается и непосредственно (сле-
дует только иметь в виду, что в точности представления
(20) лекции 13 получатся, если для отождествления
С1+ (8) = С1+ (Са) за базисные элементы алгебры Сл
приняты элементы 1, в, k, g, i, f, —}, k, а для отождест-
вления EndCa = R (8)—элементы—1, /, —I, -—k, g,
g,h). Нам эта эквивалентность не понадобится, и потому
доказывать ее мы не будем. •
Кроме гомоморфизмов ai—>а* и а»—мы имеем
еще гомоморфизм ф0: Spin+(8) -* SO(8) из предложе-
ния 4 лекции 13, который каждому элементу
a^Spin^.(S) сопоставляет ортогональный оператор
Фо (a): xt~>аха, действующий в линеале ICJa. Мы будем
этот оператор обозначать теперь символом дг. Так как
Кег фо == {1, —1}, то (—а)Т == аг и, в частности, («?оа)г =»;
=> (ие0)Т. С другой стороны, как было показано при до-
казательстве предложения 4 лекции 13,
где «'L— симметрия относительно гиперплоскости, пер-
пендикулярной вектору и. Но согласно формуле (21
ПРИНЦИП ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ Spin (8)
331
предыдущей лекции для любых октав х, и s "С’а имеет
место равенство ихи — иха = (2 (и, х)—-хй)и (сопря-
жение в .С'а)', откуда при | и j — 1 следует, что ахи =
= — (.т), т. е. — поскольку е±х — — х, — что ихи —
—и±е±(х). Вводя оператор Ти: х>—>ихи, т. е. оператор
Ти — R-^L:i = Lur*Ru, мы получаем, следовательно, что
Tlt — u-Le3- и, значит, Ти = (ueR)T — (eGu)r. Поэтому, если
а == (ес«1) . . . (есщ-), то
аг==Га1о ... °TUr
так же, как для операторов aR и aL.
Лемма 2 (центральное тождество Му -
фанг). В каждой альтернативной алгебре справедливо
тождество
и • ху • и = их • уи.
Доказательство. Ввиду тождеств альтернативно-
сти и эластичности имеет место тождество
у2х • у = (у- ух) у = у(ух- у) = у (у • ху) = у2 • ху,
и. следовательно, ввиду кососимметричности ассоциато-
ров — тождество
ху2 • у = х- у3,
т. е. тождество
х у3 = {ху • у) у.
Поляризовав это тождество по у, т. е. положив у — а -Ь'
4- Ь и приведя подобные члены, мы получим тождество
х • а2Ь + х • Ьа2 + х • aba 4- х • bab 4- х • ab2 4“ х • Ь2а =
= ха2 • b 4- xb • а2 4- (хп • Ь) а 4- (xb • a) b ха • b2 -±- xb2 • а.
Но в силу ’кососимметричности ассоциаторов суммы двух
первых членов в каждой строчке равны. По той же при-
чине равны и суммы двух последних членов. Поэтому
х • aba 4- х • bab — (ха • b) а 4- (xb • а) Ь.
Заменив здесь b на 16, где % R, сократив на 1 и поло-
жив X — 0, мы получим тождество
х • aba — (ха Ь) а,
называемое правым тождеством Му фан г.
332
ПРИНЦИП ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ Spin (8)
В силу этого тождества и кососимметричности ассо-
циаторов
ab • ха — а'Ъх ' а — аЪ - ха — (ab • х) а + (ab • х—а • Ьх) а—
— (х • ab) а — х • aba + (ха • Ъ—х • ab) а —
— (ха *Ь)а — х • aba = О,
что только обозначениями отличается от тождества
(5). □
Лемма 2 означает, что
Tu(xy)=-Lux Ruy.
Отсюда в силу доказанных выше формул для aR, aL и ат
очевидной индукцией выводится, что
ат (ху) = aLx • aRy
для любых октав х, у е С.а и любого элемента a s
е Spin+(8).
Теперь мы можем от группы Spin+(8) перейти к изо-
морфной ей группе Spin (8). Обозначив для любого эле-
мента а группы Spin (8) соответствующий элемент груп-
пы Spin+(8) через а+ и положив ак — а^, где К — Т, L,
R, получим следующее предложение:
Предложение 2. Для произвольного элемента а е
Spin (8) имеет место тождество
ат (ху) = aLx • aRy, х, у Са.
Это предложение называется принципом трой-
ственности для группы Spin(8).
Замечание 3. Как мы знаем, гомоморфизм a ।—> ат
является накрытием, а, согласно замечанию 1, накры-
тиями будут и гомоморфизмы at—> aL и а\—> aR. Поэтому
для любого К = Т, L, R гомоморфизм а>—>ак индуци-
рует изоморфизм алгебры Ли I(Spin(8)) на алгебру Ли
l(SO (8)) = 80 (8). Отождествив эти алгебры Ли посред-
ством первого из этих изоморфизмов, получим из
остальных двух некоторые автоморфизмы алгебры Ли
8о(8). Обозначив для произвольной матрицы Де?о(8)
через и Л9 ее образы при этих автоморфизмах, мы,
как легко видеть, будем иметь тождество
(6) Ахх • у + х • Ару = А (ху), х, у е Са, А е 8о (8).
ПРИНЦИП ТРОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГРУППЫ Spin (8)
333
Это тождество называется инфинитезимальным
принципом тройственности. Его прямое доказа-
тельство имеется в статье Фрейденталя [13].
Следующее предложение можно рассматривать как
обращение принципа тройственности.
Предложение 3. Если ортогональные операторы А, В,
С: jD.a->Ca обладают тем свойством, что
А {ху) = Вх • Су
для любых октав х, у<=Са, то эти операторы необхо-
димо унимодулярны {принадлежат группе SO(8)) и в
группе Spin (8) существует один и только один элемент
а е Spin (8), для которого
(7) А—ат, B = aL, C = aR.
Доказательство. Если А е SO (8) и потому су-
ществует такой элемент ае Spin (8), что А — ат, то
ху-В'х-С'у, где B' — {aL)~l°B и С' = {aR)~x о С. Но
тогда В'х — xb, где b — {СА)-1 и С'у - су, где с —
= (В'1)-1, и, значит,
ху = xb • су.
Полагая здесь х — у — 1, мы получаем, что be = 1, а
заменяя х на хс = xb~\ что хс-у — х-су. Но легко ви-
деть (принимая за х и у всевозможные базисные эле-
менты линеала Са'),что при произвольных х и у этора-
венство возможно только при се R, т. е., ввиду ортого-
нальности оператора С', при с = ±1. Если с = 1, то эле-
мент а удовлетворяет соотношениям (7), а если с = —1,
то его следует заменить на —а. Единственность этого эле-
мента очевидна (ибо, если ат — Ьт, то а — ±Ь, и потому
aL = -+-6L).
Заметим, что операторы В и С оказались принадле-
жащими группе SO (8). Поэтому для завершения дока-
зательства нам осталось лишь показать, что включение
А O(8)\SO(8) невозможно. При этом, не теряя общ-
ности, мы можем, очевидно, считать, что А: х-*-х, т. е.
что Вх • Су — ху. Но тогда Вх — xb, где b = (Cl)-1 и
Су = су, где с — (В1)-1, т. е. xb су =ху и, значит (за-
меняем х па х, а у на у),
xb • су = ух.
334 АНАЛОГ ПРИНЦИПА ТРОЙСТВЕННОСТИ
При х — у — 1 отсюда следует, что be = 1 и, значит, что
х-су — у-хс. В частности, су = ус для всех у *= С.а, что
возможно только при ге R, Поэтому ху = ух, что аб-
сурдно. Следовательно, случай А О (8) \SO (8) невоз-
можен. □
Замечание 4. Аналогичное обращение допускает
и инфинитезимальный принцип тройственности (6): если
А, В, С —такие кососимметрические операторы С. а ->
—>- .С.а, что
А (ху) = Вх • у -г х • Су для любых х, у s Са,
то В — А'" и С — Ар. Действительно, для операторов
В' — В — Ах и С' — С — Ар имеет место тождество
В'х-у =—х-С'у, откуда следует, что В'х = xb, где
b — —С'1, и С'у = су, где у = —В'1. Таким образом,
xb-y = —х-су, откуда при х = у = 1 следует, что Ъ =,
— —с и, значит, что xb-y — х-by. Поэтому т. е.
оператор В' диагоналей. Следовательно, в силу кососим-
метричности, В' = 0, а значит, и С' — 0. □
Аналог принципа тройственности имеет место и для
группы Spin (9). Чтобы получить его, мы введем в рас-
смотрение линеалы Са® = R ф Са и .Са2 = С а ф Са. Во
избежание путаницы со скалярным произведением, эле-
менты линеала С а2 будем обозначать символами {g, т)},
где g, т) е С а, и, соответственно этому, элементы ли-
неала Са® — символами {г, р}, где re R, ре Са.
Каждому элементу х — {g, т]} линеала С а2 и каждому
элементу и = {г, р} линеала Са® отнесем элемент хи ли-
неала С а2, определенный формулой
хи = {— rg + pfj, ГП + gp}.
Ясно, что это умножение билинейно (над R) и обладает
тем свойством, что если хи — хи для всех теСа2, та
и — v (если — rg + РЛ = —5g ф afj для всех g и ц, то
—rg — —sg, и потому г = s, и pfj=6-fj, и потому р — сг).
Лемма 3. Для любых элементов х Са2 и и, v е Са®
имеет место тождество
(8} хи • v = — xv • в-Чт,
АНАЛОГ ПРИНЦИПА ТРОЙСТВЕННОСТИ
335
*де, как. всегда — симметрия в гиперплоскости, пер-
пендикулярной еектору v.
Доказательство. Пусть и = {г, р}, v = {з, о}.
Ясно, «то без ограничения общности векторы и и ст можно
считать единичными, т. е. удовлетворяющими соотноше-
ниям r24~|pj2=h s24-|a|2=l. Тогда ст±ы = {г—
— 2 (и, о) s, р — 2 («, о) ст}, где 2 (и, v) — 2rs 4- pc -4- стр
В силу линейности тождество (8) Достаточно дока-
зать только для х = 0} и X = {0, Т]}. Но если х =
= {ё> 0}, то
хи = {— rg, to), XV = {— sg, go},
хи • о = {rsg + ст • pg, sgp — rgd} .
и '
xv • = {(г — 2 (и, v) s) sg +
4- (р—2 (и, о) ст) • erg, (г — 2 (и, о) s) g ст —sf (р—2 (и, ст) ст)} =
= {r^g — 2 (и, ст) s2g 4- р • CTg — 2 {и, V) CTCTg, rga —
— 2 (u, v) sgo — sgp 4- 2 (u, о) sga} —
= {[rs — 2 (u, v) (s2 4-1 ® i2)] g 4- P • erg, rga — sgp},
и, значит (поскольку rs—2 (и, v) (s24-| ст I2) — rs — 2 (u, v) =
= — rs — pa — стр),
XU ' O 4- XV • v-Lu == {ст • pg — стр • g 4- рст • g — p • CTg, 0},
.что равно {0, 0} в силу кососимметричности ассоциаторов
и того очевидного замечания, что при замене одного из
элементов сопряженным ассоциатор меняет знак.
Случай х = {0, рассматривается аналогично. □
Сопоставим теперь каждому элементу и s Са® ли-
нейный оператор Ra: xt-^-xu, действующий в простран-
стве СХа2. Поскольку, как показывает непосредственное
вычисление, хи^и = |и21х для любых элементов х е С.а2,
деСа®, т. е. 7?а = ju2^, линейное отображение и >—>
пространства Са® в алгебру линейных операторов
End_Qa2 единственным образом распространяется до не-
которого гомоморфизма алгебр
Л: Сщ(Са®)-> EndCa2.
336
АНАЛОГ ПРИНЦИПА ТРОЙСТВЕННОСТИ
Поскольку алгебры С1+ (Са®) и End Са2 мы можем ото-
ждествить соответственно с алгебрами С1+(9) и R(16),
тем самым возникает сквозной гомоморфизм
(9) Spin+ (9) cz С1+ (9) = Cl (Са®) End Са2 = R (16).
Если и - {г, р} е S8 сц Са®, т. е. г2 +1 р |2 = 1 и х =
== {g, л) е Са2, то
I хи р = I {— Г% 4- РЛ, ГТ] + |р} I2 =
= (— гВ 4- РЙ) (— rl 4- пр) 4- (гл 4- Вр) (гп 4- рВ) =
= г2ВВ — гВ • пр — 'Фи • В 4- рп • пр 4-
4- г2нй 4- гп • pl 4- 4р • п + Вр • ps =
-- (Г2 4-1 р I2) (I В i2 4-1 п I2) 4- rz = | х I2 4- rz,
где
s = — В • ПР — рй • В 4- п • РВ 4- Вр • п-
Но, положив [I, л] = Вп — нВ и (В, л, В) —. ВЛ’В — В • нВ,
мы, как легко видеть, получим, что
2 = [ПР, В] — (П, Р, В) 4- [В, РЙ] 4- (В, Р, Й).
Как уже было замечено выше, при замене любого эле-
мента сопряженным ассоциатор (g, л, В) меняет знак. По-
этому (g, р, л) = —(g, р, л)- Аналогично [|, pfj] —
— [В, йр] — [В> Пр]. Поэтому
X = [лр, В] 4- [В, пр] — (п, Р, В) — (В, Р, и) = о
из-за кососимметричности ассоциаторов. Таким образом,
|асы|2 = |х|2. Это означает, что линейный оператор
Ru — Ru ортогонален, откуда непосредственно следует,
что гомоморфизм (9) переводит группу Spin+(9) (даже
группу pin+(9)) в группу SO(9).
Образ элемента Spin+(9) в группе SO(9) при го-
моморфизме (9), интерпретированный как ортогональ-
ный оператор в пространстве С.а2, мы будем обозначать
символом aR.
Замечание 5. Гомоморфизм a ।—> aR является спи-
норным представлением группы Spin+(9) « Spin (9), но
этот факт нам не понадобится и доказывать его мы не
будем.
АНАЛОГ ПРИНЦИПА ТРОЙСТВЕННОСТИ
337
Образ элемента а е Spin+(9) при гомоморфизме <р0:
Spin+(9) -> SO (9) из предложения 4 лекции 13, интер-
претированный как ортогональный оператор в простран-
стве Са®, мы обозначим символом ат.
Кроме того, как и выше, для любого элемента a е
е Spin (9) мы положим аА=а*_ и = где а+— эле-
мент группы Spin+(9), соответствующий элементу а при
изоморфизме Spin (9) Spin+(9). Тогда будет иметь ме-
сто следующее предложение:
Предложение 4. Для произвольного элемента а е
е Spin (9) имеет место тождество
(10) а* (хи) = аАх • ати, х s Са2, аеСа®.
Доказательство. Поскольку группа Spin(9) по-
рождается элементами вида vw, где c,®sS8cCa®, то-
ждество (10) достаточно доказать лишь при а — vw. Но,
согласно лемме 2 и определению гомоморфизма Д
(vw)R (хи) = (vR°wIi) (хи) = (Rv°Rw)(хи) =
— Rv (хи • w) — Rv (— xw • wxu) =
= — (xw W-L-u) • v - (xw • v) • v1- (w-^-u) =
== (Д, ° Rw) x • (c-1- ° w-9 и =
= (vw)Rx • (vw)T и
(напомним, что (vw)T — v-1- ° аД). □
Аналог предложения 3 также имеет место:
Предложение 5. Если ортогональные операторы А:
Са®—> Са® и В: Са2—>Са2 обладают тем свойством,
что
(11) В (хи) — Вх • Аи
для любых элементов х <= Са2, и <= Са®, то эти опера-
торы необходимо унимодулярны и существует один и
только один элемент а Е Spin (9), для которого
(12) А=ат, B = aR.
Докажем предварительно следующую лемму:
Лемма 4. Если В — такой ортогональный оператор
Са2—►•Са2, что
(13) В (хи) = Вх • и
338
АНАЛОГ ПРИНЦИПА ТРОЙСТВЕННОСТИ
для любых элементов хеСа2 и иеСа (т. е. при и =>
= {0, р), где р е .С.а), то В — ±Е.
Доказательство. Пусть
f{Q, С^}, если ;< = {?, 0},
( {Dp], Z??]}, если х== {0, т]},
и, следовательно,
Bx = {Cg-r Dm, Cig4-£>n}, если х <== {ё, rj).
В этих обозначениях соотношение (13)' при и = {0, р)
приобретает вид
(С (рfj) + Di (ёр), С1 (pfj) + D (t р)} =
= {р (С 1ё 4- В’п), (Сё 4* £>1П) р}р
откуда следует (полагаем сначала ё = 0, а затем tj *=• 0),
что ___ ____________
С (рт)) = р • Di\, С’ДртО^Вр] • р,
п1ар) = р.с7ё, п(|р) = сё-р.
При р = 1 мы получаем отсюда, что
Dil = Cl, Dl = Cf
и, следовательно (мы заменяем р на р, a fj на ёК что
(14) С(рё) = р-Сё, Ci (pg) = • р.
Поэтому Ср = рс и С)р = Cip, где с = С1, С; == СД, и,
значит, тождества (14) приобретают вид
: рё-с = р-ё^ ^i>p&=cip«g.
. Как. мы уже знаем, из первого тождества следует, что
€-G R. Полагая же во втором с\ = и 4- ve, р «= w и 4 «==
= е. где и, v, w е Н, и учитывая, что (« 4* ve) • we ®=
5=—wv-j-wu-e и (u-}~ve)e-w = —wn — wv-e, мы по-
лучим в алгебре Н соотношения wv = wu, wu =» —wv,
которые при любом w возможны только при и. =» = 0.
т. е. при Сг = 0. Этим доказано,, что Ci = 0 (и, значит,
Di — 0) и что оператор С совпадает с оператором D и
является оператором умножения на вещественное число
с. Значит, ойератором умножения на с является и опера-
АНАЛОГ ПРИНЦИПА ТРОЙСТВЕННОСТИ
339
тор В, что в силу ортогональности этого оператора воз-
можно только при с = ±1. □
Доказательство предложения 5. Если опе-
ратор А унимодулярен, и потому существует такой эле-
мент as Spin (9), что А — ат, то для оператора
В* (aR)~l выполнено соотношение (13) (даже для любых
«) и, следовательно, согласно лемме 4, В — ±aR —
— (±a)C Поскольку (—а)т — ат, это доказывает ра-
венства (11). Единственность элемента а в этих равен-
ствах следует из того, что равенство Ьт = ат возможно
только при b — ±а, а (—а}к — —aR =А= aR.
Таким образом, для завершения доказательства пред-
ложения 5 осталось лишь доказать, что тождество (11)
может иметь место только для унимодулярного опера-
тора А. Но если это тождество выполнено для какого-то
не унимодулярного ортогонального оператора А, то оно,
очевидно, выполнено и для любого другого такого опе-
ратора (конечно, с другим В). Поэтому достаточно при-
вести к противоречию предположение, что тождество
(И) имеет место для оператора А: ut-^й, где й — {—г,
р}, если и = {г, р), т. е. предположение о существовании
такого ортогонального оператора В: Са2—>,С.а2, что
(15) В(хи) = Вх • й.
Но при и — {0, р} тождество (15) совпадает с тождест-
вом (13) и потому, согласно лемме 4, В — ±Е. Следова-
тельно, тождество (15) равносильно тождеству хи — хй,
из которого вытекает абсурдное равенство и — й. Это за-
вершает доказательство предложения 5. □
Кроме самих октав, можно, например, рассматривать
матрицы, элементами которых являются октавы. По-
скольку в алгебре Са имеется сопряжение, для любой
октавной матрицы X определена эрмитово сопряженная
матрица А'*, получающаяся из транспонированной мат-
рицы Хг, если все ее элементы заменить сопряженными
октавами. По аналогии с комплексным случаем октавная
матрица X, для которой X* — X, называется эрмитовой.
Определив произведение XY октавных матриц X и У
обычной формулой, мы немедленно получим (проведя
выкладку, полностью повторяющую соответствующее вы-
числение для комплексных матриц), что^.так же как и
'340
АЛГЕБРА АЛБЕРТА
для комплексных матриц, для любых октавных матриц X
и У имеет место равенство (ХУ)* = У*Х*, откуда непо-
средственно следует, что совокупность всех эрмитовых ок-
тавных матриц данного порядка п является алгеброй от-
носительно йорданова умножения
Эта алгебра коммутативна и унитальна. Ее единицей яв-
ляется единичная матрица Е.
Мы изучим эту алгебру при п = 3. Обозначать ее мы
будем символом А1 в честь американского математика
Алберта, одним из первых обратившего на нее внимание.
Замечание 6. Операция Йорданова умножения
имеет смысл в любой алгебре. Она, очевидно, коммута-
тивна, а в ассоциативной алгебре удовлетворяет тожде-
ству
(16) (х2 ° у)ох — х2о(у°х),
где х2 — х°х = хх. Алгебры с коммутативным умноже-
нием, удовлетворяющим этому тождеству, называются
йордановыми алгебрами. (Кстати сказать, тождество
(16), как было показано выше при доказательстве лем-
мы 1, выполнено в любой альтернативной алгебре; по-
этому коммутативная альтернативная алгебра Йорда-
нова.) Конечно, поскольку алгебра октав неассоциативна,
нет никаких общих причин, чтобы алгебра октавных эр-
митовых матриц порядка п была Йордановой алгеброй.
Тем не менее оказывается, что из-за альтернативности
алгебры .Са эта алгебра при п 3 все же Йорданова,
причем, как показал Алберт, при п = 3 она не может
быть получена ни из какой ассоциативной алгебры. Это
объясняет особую роль алгебры А1 и наш интерес к ней.
Однако йордановость этой алгебры нам не понадобится
и доказывать мы ее не будем.
Любой элемент X алгебры Д1 единственным образом
представляется в виде
(17) X = а.Е, + а2Е2 + а3Е3 + Хх (gj + Х2 (g2) + Х3 (gg),
где
/1 О Ох /0 0 ОХ /о о ох
£j ~ I о о о), Е2 = [ О 1 о), Е3 = ( о о о)
\0 00/ \0 0 О/ \0 О 1/
ОКТАВНАЯ ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
341
и
,0 0 Ox <o о ц /0 § о
o o i ), X2(g)=( 0 0 0 |> *3Q) — ( 1 о о
§ о/ Ч 0 0> f 4 0 0
причем, как показывает автоматическое вычисление,
(18)
(19)
е, е, ( Еь если j = i,
Ei ° Et =
L 0, если j =/= i,
{О, если / = I,
|хда, если i^i.
(20)
Х£(Ю°*/(П) = {
(g, п) (£-£<),
^+2(&П),
если / = I,
если / = i + I
(в последней формуле имеется в виду, что индексы при-
водятся по модулю 3; поскольку в силу этого соглашения
i = j 1 прИ j = i _}_ 2, случай / = i 4- 2 сводится к слу-
чаю j = i + 1).
Это полностью определяет алгебраическое строение
алгебры Д1.
Одной из наиболее важных характеристик произволь-
ной алгебры является строение множества ее идемпотен-
тов, т. е. элементов х, для которых х2 = х. Д,ля алгебры
А1 мы изучим множество всех ее идемпотентов X, след
Tr X которых равен 1. 1акие идемпотенты мы будем на-
зывать примитивными идемпотентами.
Для элемента (17) условие ТгХ = 1 означает, что
(21) а । -J- а2 4- а3 = 1,
а условие X2 = X сводится к шести уравнениям
li+2fes+ 1 4- (Oi+1 4- Os+2)Si =Bi,
i = 1, 2, 3 mod 3,
равносильным в силу условия (21) уравнениям
(22)
(23)
ai + а1+2) —I Sf+1 I2 + I £/+2 !2,
i = 1, 2, 3 mod 3.
342
ОКТАВНАЯ ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Из уравнений (23) следует, что = ^•^•+isz+2 и
одновременно что аг| j2 = gz+ig/+2g/. Следовательно, ве-
щественное число X = gigi+1gj+2 не меняется при замене I
на i -j- 1 и, значит, одно и тоже для всех i. При этом
(24) fit» I St Р = А. для каждого /—1,2,3.
Теперь легко видеть, что
(25) | Et- р — аг-+1«г-+2 для любого /=1,2, 3mod3.
Действительно, умножив уравнение (22) на aj+iai+2, мы
в силу (24) получим равенство
afii+icti+z (at+\ + aI+2) = Яг-+2^ + аг-+1^>
из которого при <2г+1 Я/и-п =^= 0, т. е. при at 1, выте-
кает, что А. = ata(-+1at+2. Следовательно, если, кроме того,
at 0, то (25) следует из (24). Если же at = 0 или
«;+1 4- а,:+2 — 0, то, как непосредственно вытекает из
(22), §г+1 — g;+2 = 0, и потому (25) следует из соотноше-
ния (22) для i + 1. □
Обратно, если условия (25) выполнены для всех /, то
для всех i выполнены условия (22). Этим доказано, что
матрица Хе А! тогда и только тогда является прими-
тивным идемпотентом, когда ее элементы удовлетворяют
условиям (21), (23) и (25).
Заметим, что из (25) и (21) непосредственно выте-
кает, что для любого i = 1, 2, 3 имеет место неравенство
а, >» 0.
Можно без особого труда показать, что при §], £2,
Ез е/Cj уравнения (21), (23) и (25) определяют многооб-
разие, диффеоморфное комплексной проективной плоско-
сти СР2 (диффеоморфизм [г1 : z^ : Z3]1—>(еь 5а, ез> «ь
а2, <2з) определяется формулами
~ ~ 1 -7 *2
t. _ 'Т-ИЛ-Л =_________I j_______
S 21 |" + j z2 Р 4“ I z3 I2 1 I 2} I2 + i Zz I2 + i Zg j- ’
где 2 = I, 2, 3 mod 3), а при g2, H — многообра-
зие, диффеоморфное кватернионной проективной плоско-
сти HP2 (проективное n-мерное пространство над
алгеброй определяется для любой ассоциативной ал-
гебры с делением д/ — и, в частности, для алгебры ква-
тернионов Н — как фактормножество множества
с^'1+1\{0} по отношению пропорциональности векторов;
ОКТАВНАЯ ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
343
ассоциативность необходима для транзитивности этого
отношения). На этом основании множество всех прими-
тивных идемпотентов алгебры AI, называется октавной
проективной плоскостью & обозначается символом CJaP2.
(Для этой терминологии есть и более глубокие основа-
ния; например, см. [13], в CLaP2 можно определить «пря-
мые», являющиеся на самом деле восьмимерными сфе-
рами, для которых верны аксиомы инцидентности проек-
тивной геометрии; но вез это лежит за рамками нашего
изложения.)
Пусть f «и. 1, 2, 3, — открытое подмножество про-
ективной плоскости ;С’а Р’, состоящее из точек (£ь g2, ёз>
а-„ <*2. о»), для которых а* «й* 0. Легко видеть, что это мно-
жество дмффеоморфнэ произведению CaX£.a~R18
(например, при («*.3 диффеоморфизм _С.а X Са—> t/3
задается формулами
„_________П2
4 1 + I 41 13+|Т12|а ’
— 414г
3 14-1411а 4- I па К ’
142 1»
2 1 + I 41 I2 4- I 4г Р ‘
t __________4j_______.
ё2~~ i + lW + lm!2 •
а =________14i I2_____
1 1 4- I 41 I2 ч- I П2 I2 •
___ 1
«3— ! + | (2 + | П2 |2 .
где rjt, т]2 Са) и потому односвязно. Поскольку пересе-
чения Ui П U2 и (Ui п £А) П Уз, очевидно, связны (первое
диффеоморфно произведению С.а Х(Са\{0}), а вто-
рое — произведению (C.aX{0}) X (Са\{0})), СаР2 =
= L?i U U<t U U3, отсюда следует, что октавная проектив-
ная плоскость Са Р2 является связным и односвязным
многообразием (размерности 16).
Лекция 16
СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В АЛГЕБРЕ А1,—
АВТОМОРФИЗМЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ АЛГЕБ-
РЫ А1. — ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВА-
НИЯ АЛГЕБРЫ А1. —ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ.—
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ ФРЕЙДЕНТАЛЯ. — ГРУППА
ЛИ Г4. — АЛГЕБРА ЛИ f4. — СТРУКТУРА АЛГЕБРЫ
ЛИ ff.
Утверждение, что для произвольного элемента X алгеб-
ры А1 имеет место равенство
X = а + а2Е2 + а3Е3 + Xt (gj) + Х2 (g2) + Х3 (g3)
(см. формулу (17) лекции 15), означает, что линеал А1
является прямой суммой трех линеалов R и трех линеалов
С.а (так что, в частности, dim Al = 3 3 -8 = 27). По-
скольку линеалы R и Са евклидовы, тем самым евкли-
дова структура (скалярное произведение) определяется и
в линеале А1. При этом для нормы (длины) j X j эле-
мента (1) этого линеала имеет место формула
(1) I X Р = + «2 + [2 + | g2 |2 + |g3|2.
Скалярное произведение (X, У) элементов X, Y алгеб-
ры А1 выражается через их йорданово произведение по
формуле
(2) (X, У) = Tr (X о У),
которая немедленно проверяется, прямым вычислением.
Из этой формулы, в частности, следует, что идемпо-
тент Хе А1 тогда и только тогда примитивен, когда
И1 - 1. /
СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
345
Заметим, что никакого сопряжения в алгебру А1 мы
не вводим, так что эта алгебра метрической алгеброй не
является. В силу теоремы Гурвица она не может быть и
нормированной алгеброй.
Кроме скалярного произведения, на алгебре А1
имеется еще один важный функционал, для построения
которого мы должны начать несколько издалека.
Так как ввиду косокоммутативности ассоциатор
(ах) у — а(ху) меняет знак при перестановке (а, х, у) ь->
•г—> {у, а, х), то в любой альтернативной алгебре имеет
место тождество
(ах) у + у (ах) = а (ху) + (уа) х.
Обозначив элемент а через ai, элемент х через xj и эле-
мент у через у*к, мы можем это тождество переписать в
следующем виде:
(Ф/) Уь + У к = ai (?№') + (УкаЬ xi-
Оно, очевидно, сохранится, если по всем индексам произ-
вести суммирование от 1 до п (впрочем, нам нужен только
случай п = 3). Но, введя матрицы А — (ai), Х = (х^) и
У — (ук), мы можем получившееся тождество переписать
в виде
(3) Тг (АХ • У) 4- Тг (У • АХ) = Тг (А • XY) + Тг (УЛ • X),
которое справедливо для любых матриц с элементами
из произвольной альтернативной алгебры и, значит, в
частности, для матриц из алгебры А1.
Заметим, что этот прием имеет вполне общий харак-
тер и применим к любому полилинейному тождеству. На-
пример, обозначив через Re g коэффициент при 1 в ок-
таве g, т. е. скалярное произведение (g, 1), мы будем
иметь тождество
Re (ab) — Re (ba),
справедливое для любых октав а и Ь. Поэтому для мат-
риц над октавами справедливо тождество
(4) Re Тг (АВ) = Re Тг (В А),
означающее, что после применения Re Тг умножение ок-
тавных матриц становится коммутативным.
346
СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В силу этой коммутативности из тождества (3)t сле-
дует тождество
2 Re Тг (АХ • У) = Re Тг (А • XY) + Re Тг (УА • X).
Циклически переставляя здесь А, X и У, мы, далее, полу-
чаем тождество
2 Re Тг (XY • А) — Re Тг (X • YA) + Re Тг (АХ • У).
Вычитая эти тождества одно из другого и еща раз поль-
зуясь коммутативностью, мы после сокращения на 3 по-
лучим тождество
(5) ReTr(AX-y) = ReTr(A-Xy),
означающее, что после применения Re Тг умножение ок-
тавных матриц становится и ассоциативным.
Становится ассоциативным и йорданово умножение
октавных матриц:
ReTr ((А о X) о У) = Re Тг ((А ° X) ° У) =
= у [Re Тг (АХ . У) + Re Тг (У • ХА)] =
= y[ReTr (A - AT) + ReTr (YX • А)] =
= Re Тг (А • (Z о У)) = Re Тг (А о (ЙГо У)).
Поскольку для матриц из А1 след веществен, мы оконча-
тельно получаем отсюда, что
Тг ((А о X) о У) = Тг (А о (X о у))
для любых матриц А, X, Уе А1. Ввиду формулы (2)
это означает, что в алгебре А1 имеет место тождество '
(АоХ, У) = (А, ТоУ),
из которого (в силу коммутативности алгебры А!) выте-
кает, что трилинейный функционал
(6) (X, У, Z) = Tr ((X °Y) » Z) = (Х °Y, Z), X, У, Ze=Al,
симметричен по X, У и Z.
Мы будем называть функционал (6) скалярным три-
произведением, '
АВТОМОРФИЗМЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
347
- Если автоморфизм Ф: А1—>А1 алгебры Д1 сохраняет
след, т. е. Тг(ФХ) = Тг X рля любого элемента X е А1,
то, конечно, Ф сохраняет и оба скалярных произведения,
(7) (ФХ, ФУ) = (X, У) и (ФХ, ФУ, ФХ) = (X, У, Z)
для любых элементов X, У, Z sAl.
Отсюда, в частности, следует, что группа всех сохра-
няющих след автоморфизмов алгебры представляет со-
бой замкнутую подгруппу ортогональной группы 0(27)
и потому является компактной группой Ли. Мы будем
обозначать эту группу — по причинам, которые будут
объяснены в следующем семестре, — символом Fa, а ее
алгебру Ли — символом f+. Элементами алгебры Ли
являются дифференцирования D: Al —> А1, аннулирую-
щие след, т. е. такие, что Тг(ДД)=О для любой мат-
рицы АеА1.
Замечание I. Ниже мы покажем, что любой авто-
морфизм сохраняет след, так что на самом деле группа
Fa является группой всех автоморфизмов алгебры А1, но
нам удобно пока отложить доказательство этого факта.
Замечательно, что и, обратно, любой линейный опера-
тор Ф: А1 —>А1, сохраняющий оба скалярных произве-
дения, представляет собой сохраняющий след автомор-
физм алгебры. А1. Действительно,
(ФХ о ФУ — ф (X о У), ФХ) =
= (ФХ, ФУ, ФХ) — (Ф (X о У), ФХ) =
= (Х, У, Z) — (ХоУ, Z) = o
для любых X, У, Z <= А1, и потому ФХ ° ФУ — Ф(Х ^У),
ибо, являясь изометрией по отношению к скалярному
произведению (2), оператор Ф невырожден и, значит,
любой элемент алгебры А1 может быть представлен в
виде ФХ. Этим доказано, что оператор Ф является авто-
морфизмом алгебры А1. Поэтому ФЕ = Е щ значит,
Тг (ФХ) — Tr X, ибо Тг X = (X, Е) для любого X е А1. □
Таким образом, безотносительно к алгебре А! группа
Fa может быть охарактеризована как группа изометрий
27-мерного евклидова пространства, сохраняюгцих неко-
торый трилинейный функционал.
Как мы знаем, для операторов Ф вида etD сохранение
скалярного произведения (изометричность) равносильно
348
ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
кососимметричности оператора D, т. е. выполнению тож-
дества
{DX, У) + {X, DY) = 0.
Аналогично сохранение скалярного три-произведения рав-
носильно выполнению тождества
(8) {DX, Y, Z) + (X, DY, Z) + {X, Y, DZ) = 0
для любых элементов X, Y, Z А1. Действительно, диф-
ференцируя функцию f{t) — (etDX, etDY, etDZ) no t, мы
в силу линейности немедленно получим, что /'(О) равно
левой части тождества (8). Поэтому, если f{t) — const,
то (7) выполнено. Обратно, если выполнено (8), то
f'{t) = 0 для всех t, и потому f(Z) = const, что равно-
сильно второму из тождеств (7). □
По понятной аналогии линейные операторы D, удо-
влетворяющие тождеству (8), мы будем называть косо-
симметричными по отношению к скалярному три-произ-
в едению (6).
В силу всего сказанного линейный оператор D:
А1—>А1 тогда и только тогда является аннулирующим
след дифференцированием алгебры А1 {принадлежит ал-
гебре Ли f4), когда он кососимметричен по отношению к
обоим скалярным произведениям (2) и (6).
Октавная матрица А называется косоэрмитовой, если
А* — —А, Непосредственное вычисление показывает, что
если матрица А косоэрмитова, то для любой эрмитовой
матрицы X матрица [А, X] = АХ — ХА также эрмитова.
Таким образом, любая косоэрмитова матрица А третьего
порядка определяет по формуле
(ad А) Л’= [A, X], X <= Al,
некоторый линейный оператор ad А: А1 —>А1. Так как,
согласно тождествам (3) и (5), для любых октавных мат-
риц имеет место равенство
Re Тг ([А, X} о У) = Re Тг ([А, X] У) =
= Re Тг {АХ • У) — Re Тг {ХА • Y) =
= ReТг(У • АХ) — ReTr(X- AY) =
= Re Тг (УА ♦ X) — Re Тг {X • АУ) =
= — Re Тг {X • [А, У]) = - Re Тг {X о [А, У]),
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
349
то при X, Уе А1 для любой косоэрмитовой матрицы А
имеет место равенство
([А, X], У) + (Х, [А, У]) = о,
означающее, что оператор ad А кососимметричен по от-
ношению к скалярному произведению (2).
Далее, как мы знаем, в альтернативной алгебре со-
отношение ассоциативности выполнено для элементов а,
Ъ, с, если среди этих элементов есть одинаковые. Оно
также, конечно, выполнено, если хотя бы один элемент
а, Ь, с лежит в R, откуда вытекает, что оно выполнено,
если среди элементов а, Ь, с есть сопряженные. Применяя
это соображение к элементам матрицы Х(ХХ) — (XX) X,
гдеХ = (х0 — произвольная октавная эрмитова матрица
порядка п, мы получим, что для тех из них, которые не
равны нулю, можно считать, что в их выражениях
суммирование по j и k распростра-
нено лишь на различные индексы / и k, отличные от
i и I. Поэтому при п — 3 необходимо i — I, так что для
любой матрицы X <= А1 матрица Х(ХХ) — (XX) X обяза-
тельно диагональна, т. е. имеет вид
/а 0 0 \
j 0 р 0 j, где а, р, у е Са.
\ 0 0 у )
При этом, если матрица X имеет вид (1), то для ок-
тав а, р, у будут иметь место формулы
а = ъз (Ыз) + 1г (Уз) “' (У 1) ?2 — (У 1) ёз,
Р = £1 (Ш + !з (У 1) ~ (Ш £з ~ (Уз) 11,
v = Ь (Ш +11 (У2) - (Уз) £1 - (Уз) У
из которых, в силу кососимметричности ассоциаторов,
вытекает, что а = Р - у.
Поскольку для любой октавной матрицы А имеет ме-
сто равенство ^(A-af) — Тг А-а и, значит, Тг (А •«£') =
= 0, когда Тг А = 0, отсюда следует, что для любой ко-
соэрмитовой матрицы А третьего порядка со. следом, рав-
ным нулю, и любой матрицы Хе А! имеет место равен-
ство
Тг (А • X (XX)) = Тг (А • (XX) X),
350
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
а потому (см. формулы (4) и (5)) и равенство
Re Тг (АХ • XX) = Re Тг (ХА • XX),
означающее, что
Re Тг ((ad А) X - XX) = 0,
т. е. (поскольку (adА)Хе А1 и ХХ = Хт»Х), что
((adA)X, X, Х)=0.
Поляризуя полученное тождество по X, мы немедленно
получим, что для линейного отображения ad А: А1—> А1
имеет место тождество (8).
Таким образом, отображение ad А кососимметрично
яо отношению к обоим скалярным произведениям (2) и
(6). Следовательно, оно представляет собой аннулирую-
щее след дифференцирование алгебры А1.
Линейное пространство всех косоэрмитовых октавных
матриц третьего порядка со следом, равным нулю, мы бу-
дем обозначать символом М. Согласно доказанному- для
любой матрицы А линейный оператор ad А принад-
лежит алгебре Ли f4. Получающееся (очевидно, линей-
ное) отображение
ad: M-*f4
инъективно. Действительно, тривиальное вычисление по-
казывает, что с каждой матрицей из А1 перестановочны
только скалярные матрицы вида аЕ, где а <= R, а такая
матрица имеет равный нулю след только при а = 0. □
Дифференцирования алгебры А1, имеющие вид ad А,
А 45 М, мы будем называть присоединенными дифферен-
цированиями.
Особое значение будут для нас иметь матрицы из М,
все диагональные элементы которых равны нулю. Эти
матрицы составляют линейное подпространство про-
странства М. Пусть
/ 0 0 0 \ /0 0 — т|X
Y 1(п) = ( о о я ), ГД?!) = ( о о о I,
\0 —q 0/ \ т) 0 0/
(О т, 0 X
— Ч 0 0 г
0 0 07
ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ
351
Тогда любая матрица А е М° единственным образом за»
писывается в виде
А — У1 (Ц1) + У2 ("Цг) + Г3 (цз), Th, т)2, “Пз е Са,
откуда, в частности, следует, что dim М°= 24.
Теперь мы можем доказать важную теорему Фрейден-
таля, существенно облегчающую изучение алгебры А1 и
группы F4. Как всегда, символом мы обозначаем
компоненту единицы группы F4.
Предложение 1 (Теорема Фрейденталя). Для
любого элемента Хе А1 существует такой автоморфизм
Фе(ЕД, что
ФХ = А2Д2 -j- А3Е3, где Aj А2 A3.
Числа Ai А2 Аз однозначно определены элементом X.
Два элемента алгебры AI тогда и только тогда мо-
гут быть переведены друг в друга автоморфизмом из
(F'Ae, когда отвечающие им числа Ai Аг А3 совпа-
дают.
На языке теории групп преобразований это предло-
жение утверждает, что каждая орбита группы (F4)e в ал-
гебре А! содержит единственную диагональную матрицу
AjEi -j- А2Е2 + А3.Е3, для которой Ai А2 -Т Аз. В этой
форме мы и будем его доказывать.
Являясь замкнутой подгруппой компактной группы
SO (26), группа (К4)е компактна. Поэтому в любой ее ор-
бите существует матрица X вида (1), для которой сумма
й? + ^2+^3 имеет наибольшее (на этой орбите) значе-
ние. Оказывается, что такая матрица всегда диагоналъна.
Действительно, для любой матрицы А ^А1 и любого
R матрица Xt = е* ad АХ лежит в орбите матрицы X
(ибо ad А е f4 и, значит, е: ad л (К4) е), и потому для ее
диагональных элементов аДО, «2(0, «з(0 имеет место
неравенство f(t) f(0), где . f(t) — а} (О2 + а2(02 +
+ «з(02- Но, как мы знаем (см. стр. 46), матрица Xt
является решением матричного дифференциального
уравнения
4^- = (ad^X„ XQ = X,
352
ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ
равносильного трем дифференциальным уравнениям для
октавных элементов gi(t), |г(0 и £з(0 матрицы Xt и трем
дифференциальным уравнениям для ее числовых элемен-
тов a2(t), a3(t). В случае, когда А == У1(г))> эти
уравнения, как показывает легкое вычисление, исполь-
зующее формулу (2) лекции 14, имеют вид
dai (/) _n dlx (t)
—аГ~ = °’ "at = (“з (0 — a t (/)) гр
(9) =
^Г~ = — 2 (тр g, (/)), п.
Следовательно, а ((/) — const и а2 (0 + а3 (I) = const.
Кроме того, f' (/) = 2 (а\ (/) ai (t) + а'2 (t) а2 (t) -f- а'3 (/) а3 (/))=
=4 (гр gi (0) («2 (0—«з (0), откуда в силу равенства f'(0)=0
вытекает, что при (л, Bi (0)) ==^= 0 имеет место равенство
а2 (0) = а3 (0). Поэтому ах (/) = ах (0) и а2 (t) + а3 (/) — 2а2 (0)
и, значит, f (/) = f (0) -j- 2 (а3 (0) — а3 (/))2, что ввиду нера-
венства /(/) ^/(0) возможно только при a3(t) = а3(0).
Но тогда а'(/) = 0, и, значит, (тр (О) = 0, что при
t — 0 противоречит условию (тр gi(0))#=0. Следовательно,
(Я, gl(0)) = 0
для любой октавы тр что возможно только при gi(0) — 0.
Аналогично доказывается, что g2(0) = 0 и g3(0) = 0.
Следовательно, матрица X = Хо диагональна. □
Покажем теперь, что любую диагональную матрицу
X = а^Е\ -j- а2Е2 + а3Е3 можно автоморфизмом из
преобразовать в диагональную же матрицу, для которой
«4 а3. Ясно, что для этого достаточно доказать,
что в диагональной матрице X = aiEx -}- а2Е2 а3Е3
можно автоморфизмом из (/74)е переставить любые два
диагональных элемента, скажем, а2 и а3. С этой целью
мы вновь рассмотрим матрицу Xt = etadAX с А — У1(л)-
Из уравнений (9) непосредственно вытекает, что для этой
матрицы функция a2{t) —a3(t) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
----^7 = 4 (гр Я) (а2 (/) - а3 (/))
“ТЕОРЕМА ФРЕИДЕНТАЛЯ
353
с начальным условием a'2(Q)—a'^(0) — Q (ибо gi(0) =0
в силу диагональности матрицы X). Следовательно,
а2 (t) — а3 (t) = (а2 (0) — а3 (0)) cos 21 -q 11.
Предполагая для простоты, что j-qj = 1, мы, в частно-
сти, получаем отсюда, что
а2 (-f-) - а3 (-J) = - (а2 (0) - а3 (0))
и, значит (поскольку a2(t) + а3 (/) = const), что а2 (40 ==
= а3(0) = а3и а3 (40 = аг (0) = ^2* Таким образом, авто-
морфизм с2 (при любом -q с [ *q [ = 1) действи-
тельно переставляет а2 и а3. □
Тем самым первое утверждение предложения 1 нами
полностью доказано. Согласно этому утверждению каж-
дой матрице X е А1 отвечают (быть может, не единст-
венным образом) три числа Л; к2 Х3, обладающие
тем свойством, что ФХ = XiEi Ч- мЕ2 -}- %3Е3 для некото-
рого автоморфизма Ф е (-F^e-
Лемма 1. Имеют место равенства
Ч~ ^2 Ч~ Аз (X, Е),
Л2 Ч- А2 + X2 = (X, X),
Af + A3 + A33 = (X, X, X).
Доказательство. Для диагональной матрицы
ФХ эти равенства очевидны (ибо (X, Е) = Тг X, (X,
X) = Тг(Х°Х) и (X, X, X) =Тг(ХоХ»Х). Но, так как
(ФХ, Е) = (ФХ, ФЕ) = (X, Е), (ФХ, ФХ) = (X, X) и
(ФХ, ФХ, ФХ) = (X, X, X), то они верны и для любой
матрицы X е А1. □
Теперь мы можем завершить доказательство предло-
жения 1.
Доказательство предложения 1. Посколь-
ку первое утверждение предложения 1 нами уже дока-
зано, а третье непосредственно вытекает из первых двух,
в доказательстве нуждается только второе утверждение.
Но оно непосредственно вытекает из леммы 1, поскольку
12 М. М. Постников
354
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ ФРЕЙДЕНТАЛЯ
но известным- формулам теории симметрических много-
членов по числам' <тА — Ц -ф А* -ф A*, k — 1, .2, 3, числа Ai,
А2, Аз однозначно .с точностью до порядка восстанавли-
ваются. □
, Числа Xi А2 А3 мы будем называть собственными
значениями октавной матрицы X. Подчеркнем, что их
сумма равна следу Тг X этой матрицы.
Теорема Фрейденталя существенно облегчает изуче-
ние алгебры А1. Например, из нее непосредственно сле-
дует, что степени любого элемента X е А1 ассоциативны,
т. е. что для каждого X е А1 все n-кратные произведе-
ния элемента на себя — одни и те же независимо от рас-
становки скобок, поскольку для диагональной матрицыX
это,, очевидно, так. (Аналогичным образом, может быть
доказано для алгебры А! и йорданово тождество (16) из
лекции 15, поскольку в случае, когда один из. сомножите-
лей диагоналей, оно очевидно.)
Ввиду ассоциативности степеней для каждого п фг 0
.корректно определена п-я степень Хп произвольного эле-
мента X е А1. Поэтому для любого многочлена р(Т)
с вещественными коэффициентами корректно определен
элемент р(Х) е А1. Если р(Х) == 0, то многочлен р(Т)
называется анну лирующим многочленом элемента X.
Аннулирующий многочлен наименьшей степени со
старшим коэффициентом, равным 1, называется мини-
мальным многочленом элемента Х^ А1. Очевидно, что
он определен единственным образом и для любого авто-
морфизма Ф: А1 —> А1 (от которого не предполагается,
что он сохраняет след) минимальные многочлены элемен-
тов X и ФХ одинаковы.
Если матрица X диагональна, то ее диагональные эле-
менты являются корнями каждого аннулирующего мно-
гочлена и, обратно, любой многочлен, корнями которого
служат эти элементы, аннулирует матрицу X. Отсюда
следует, что для любой матрицы X е А1 степень ее ми-
нимального многочлена не превосходит трех, причем эта
степень равна трем тогда и только тогда, когда все соб-
ственные значения матрицы X различны.
Кроме того, мы видим, что в последнем случае коэф-
фициент при Т2 в минимальном многочлене равен (А3 -ф
ф- А2 -ф А3) = —Тг X. Следовательно, в силу инвариант-
ГРУППА ЛИ л 355
ности минимального многочлена для любого автоморфиз-
ма Ф: А1—>А1 имеет место равенство
ТгФХ = ТгХ.
По соображениям непрерывности это равенство сохра-
няется и тогда, когда среди собственных значений эле-
мента X есть совпадающие. Тем самым доказано, что лю-
бой автоморфизм алгебры А1 сохраняет след, т. е. что
группа Fa является группой Aut Al всех автоморфизмов
алгебры А1.
Из теоремы Фрейденталя непосредственно вытекает
также, что группа Fa транзитивно действует на октавной
проективной плоскости СаР2 примитивных идемпотентов
алгебры А1, т. е. любой примитивный идемпотент может
быть некоторым автоморфизмом переведен в любой дру-
гой примитивный идемпотент. Действительно, ясно, что
диагональная матрица тогда и только тогда является
Идемпотентом, когда все ее диагональные элементы рав-
ны 0 или 1. Поэтому собственные значения примитивного
идемпотента равны 0, 0, 1 и, значит, каждый такой идем-,
понент переводится некоторым автоморфизмом в идемпо-
тент Е3. □
Это означает, что октавная проективная плоскость
[СаР2 гом,еоморфна фактор многообразию Fa/К. группы
Ли Fa по ее подгруппе К, оставляющей на месте некото-
рый примитивный идемпотент, скажем, для определённо-
сти, идемпотент Ei.
Пусть ФеК. Так как Ф£\ — Ei, то Ф переводит в
себя аннулятор Ann Ei элемента Ei, т. е. линеал всех та-
ких элементов Хе А1, что XyE'i = 0. Но легко видеть,
что Ann Ei состоит из элементов (1), для которых &i = О
и = S3 = 0, и, значит, является прямой суммой одно-
мерного подпространства матриц вида а(Е2 4- Е3) и под-
пространства Ann0 Ei, состоящего из матриц вида
Х = г(Е2 — Е3)4-Х1(р), где reR, реСа.
Поскольку оператор Ф ортогонален и Ф(Е2 + Е3) =.
— Ф(Е — Ei) — E — Ei = Е2 4- Е3, отсюда следует, что
автоморфизм Ф переводит в себя подпространство Ann0 Е,
и потому индуцирует некоторый ортогональный оператор
Ф°: Ann0Е[->Ann0Еь
12 *
356
ГРУППА ЛИ Л
Аналогично автоморфизм Ф переводит в себя линеал
всех элементов X еА1, для которых 2Ef°X — X, и по-
тому индуцирует некоторый ортогональный оператор
Ф':
При этом, как непосредственно вытекает из формул
(18) — (20) предыдущей лекции линеал & состоит из всех
матриц вида Хг(§) + Х3(rj), g, ц е Са, и потому алгебра
А1 разлагается в прямую сумму линеала «?, линеала
Ann0 Ei и двух одномерных линеалов, порожденных эле-
ментами Ei и Е2 -}- Е3. Следовательно, автоморфизм Ф
однозначно определяется операторами Ф° и Ф'.
Кроме того, мы видим, что линеал <?> естественно изо-
морфен линеалу Са2 октавных пар {|, г]}, а линеал
Ann0 Ei — линеалу Са® пар {г, р}, где г <= R, р е Са. По-
этому операторы Ф' и Ф° мы можем рассматривать как
соответственно операторы Са2—>Са2 и Са®—>Са®. При
этом для любых элементов х = {£, т]} из Са2 и и = {г, р}
из Са® элементу хи = {—rg +рп, гт] из Са2 будет
в соответствовать матрица
(0 гц + Вр — rg + т]р X / 0 т] g X /0 0 0 X
rfj + pg 0 0 I = I ч 0 0 j ° I 0 г р |.
— rg + РЧ 0 0 / \g00/\0p — г)
являющаяся Йордановым произведением матриц из <S и
Ann0 Е\, отвечающих элементам х и и. Поскольку опера-
торы Ф' и Ф° индуцированы автоморфизмом Ф алгебры
А1, отсюда вытекает, что для этих операторов (рассма-
триваемых как операторы Са2-*Са2 и Са®->Са®)
имеет место тождество
(10) Ф' (хи) ~ Ф'х • Ф°«, х <= Са2, и е Са®.
Следовательно, согласно предложению 5 лекции 15, су-
ществует один и только один элемент а е Spin (9), обла-
дающий тем свойством, что Ф' = aR и Ф° — аг.
Тем самым каждому автоморфизму Ф е К мы сопо-
ставили некоторый элемент а е Spin (9). Ясно, что полу-
ченное отображение является гомоморфизмом. Более
того, поскольку тождество (10), очевидно, необходимо и
достаточно для того, чтобы соответствующее отображе-
ние Ф было автоморфизмом алгебры А1, это отображе-
ние представляет собой изоморфизм. Таким образом, мы
ГРУППА ЛИ F<
357
видим, что подгруппа К естественно изоморфна спинор-
ной группе Spin(9).
Отождествив посредством этого изоморфизма под-
группу К с группой Spin (9), мы окончательно получим,
что группа Spin (9) содержится в группе F^, причем со-
ответствующее фактормногообразие диффеоморфно ок-
тавной проективной плоскости-.
(11) F4/Spin(9)«CaP2.
В частности, отсюда следует, что dim f4 = dim Spin (9)-f-1
+ dim _C aP2 = 36 —}- 16 = 52.
Теперь мы уже можем доказать для группы F± пред-
ложение, полностью аналогичное предложению 1 лек-
ции 15 для группы б2:
Предложение 2. Группа F\ связна и односвязна. Каж-
дая группа Ли, локально изоморфная группе Fi, изо-
морфна ей.
Доказательство. Первое утверждение непо-
средственно вытекает из существования диффеоморфиз-
ма (11), поскольку группа Spin(9) и проективная пло-
скость .С.аР2 связны и односвязны.
Для доказательства второго утверждения нам доста-
точно доказать, что центр группы F4 тривиален (состоит
только из тождественного автоморфизма). Но если авто-
морфизм Фо: А1 —> А1 принадлежит центру группы Ft,
то, поскольку ни один примитивный идемпотент, кроме
идемпотента Е\, не оставляет на месте все элементы под-
группы К ~ Spin(9), уже известное нам рассуждение
(см. доказательство предложения 1 лекции 15) показы-
вает, что Фо <= К и, значит, что Фо = ±id (ибо центр
группы Spin(9) состоит только из элементов ±1). Но так
как (—Д)2 = Е\ — Е\, то оператор —id автоморфиз-
мом не является. Поэтому Фо = id. □
Замечание 2. Если автоморфизм Ф: А1—>А1
оставляет на месте каждый идемпотент Ei, i = 1, 2, 3, то,
как легко видеть, каждую матрицу вида X,(g), i — 1, 2,
3, он переводит в матрицу Х/(|(‘’>), i = 1, 2, 3, где g(i) —<
некоторая октава, линейно зависящая от октавы g. Тем
самым мы получаем три (очевидно, ортогональных) опе-
ратора Ф: —>£(г), действующих в линеале С а, и непо-
средственное вычисление, использующее формулу (20)
358 ' АЛГЕБРА ЛИ f<
лекции 15, показывает, что для этих операторов имеет
место тождество
Ф1£ • Ф2т1 = Ф3 (grjX g, туе Са.
Поэтому, согласно предложению 3 лекции 15, существует
один и только один элемент а е Spin (8), для которого
Ф1 = aL, Ф2 == aR и Ф3’° ст = аг, где ст: g i—> g — сопряже-
ние в алгебре jC.a. Поскольку полученное соответствие
Ф к—» а является, очевидно, изоморфизмом, тем самым до-
казано, что группа Aut°Al автоморфизмов алгебры А1,
оставляющих на месте все идемпотенты Ei, i = 1, 2, 3,
изоморфна группе Spin (8).
Поскольку группа Ли F4 = AutAl односвязна, ее ал-
гебраическое строение полностью определяется алгебраи-
ческим строением алгебры Ли f4 = Der Al. Поэтому нам
осталось только изучить эту алгебру Ли.
С этой целью мы выделим в алгебре Ли f4 подалгебру
D'er°Al, состоящую из дифференцирований, аннулирую-
щих каждый идемпотент Eiy i = 1, 2, 3. Ясно, что эта под-
алгебра является алгеброй Ли подгруппы Aut°Al (см.
замечание 2) и потому изоморфна алгебре Ли
I (Spin (8)) ~ (8). Впрочем, этот изоморфизм легко уста-
новить и непосредственно. Действительно, если DEi = 0
при i — 1, 2, 3, то, как немедленно следует из формул
(19) лекции 15, для любого i = 1, 2, 3 элемент DX,(g)
имеет вид Х(Аг£), где А,—некоторый линейный опера-
тор iC.a—>-Са. Операторы А; кососимметричны и удо-
влетворяют (как непосредственно вытекает при i — 1 из
формул (20) лекции 15) тождеству
(12) Aig-n + g- А2т1 = А(£п).
Поэто.му (см. замечание 2 в лекции 15) А2 = (а^ ) и
— 1
A3 — AiK «ст, где ст: 'С а-*.С а — сопряжение. Поскольку,
обратно, любые операторы Ai, А2, Аз, удовлетворяющие
тождеству (12), соответствуют, очевидно, некоторому
дифференцированию D ст Der0 Al, этим доказано, что со-
ответствие Di—>Aj является изоморфизмом. □
Мы будем обозначать дифференцирование из Der0 Al,
отвечающее оператору Ае«о(8), символом хА. Таким
образом, D == xAi тогда и только тогда, когда ЬЕ, — 0
Алгебра ли f4'
359
для любого i — 1, 2, 3 и = Xi(4g)’ для любого
£ Е= Са.
Пусть теперь D — произвольное дифференцирование
алгебры А1, и пусть
DEi — a^Et + a2iE2 + «з/Сз + (£н) + Х2 (g2J + Х3 (Взг)-
Так как E^-Ei, то 2DEi °.Ei = DEt, откуда в силу фор-
мул (18)—(20) лекции 15 непосредственно следует, что
пг/ — 0 для любых г, j и §гг- = 0. Кроме того, так как
Et^ Ej — 0 при i #= /, то DEt_o.Ej + Et «DE, = 0, откуда
следует, что Ъ, ж + t+2 — 0 для любого i — 1,2, 3.
Следовательно, положив = 5/, ж> мы получим, что
(13) DEK = Xi+^i+l)-Xi+2(Zi+2}, д = 1, 2, 3 mod 3. '
С другой стороны, непосредственное вычисление пока-
зывает, что для присоединенного дифференцирования
D — ad 4, отвечающего матрице А — Yi (gi) -|- /2(^2) +
+ Уз(£з) из М°, имеют место те же формулы (13). Это
означает, что для любого дифференцирования D е
е Der Al существует одно и только одно присоединенное
дифференцирование ad А, А е М°, обладающее тем свой-
ством, что D—ad А е Der°Al = х(80(8)), т. е. что
(14) f4 = x(8o(8))® ad.M°.
Поскольку отображения х: 80(8)—>[4 и ad: M°-*-f4 Яв-
ляются мономорфизмами, тем самым доказано, что
f4 « 80 (8) © М°.
Так как dim 80 (8) = 28 и dirnM0 —24, этим, в частности,
заново доказано, что dimf4 = 52.
Ввиду разложения (14), для того чтобы полностью
определить алгебраическую структуру алгебры Ли f4 до-
статочно вычислить всевозможные коммутаторы элемен-
тов вида хА и ad Уг(§), где А 80(8), ge Са, i = 1, 2, 3.
Оказывается, что
(15)
[кА, хВ] = х [4, В],
(16)
[кА, adri ^)] = adrz(4g),
(17)[adyi©>adT/(i1)] =
xCg/n* если
ad Kf+2 (— если
/ = i + 1
360
АЛГЕБРА ЛИ f«
где А и В — произвольные элементы алгебры Ли §о (8)
(интерпретированные как кососимметрические операторы
С а-*-С a), g, л — произвольные октавы, aC|>Y)—опера-
раторы С.а—>Са, определенные соответственно форму-
лами '
4^: г])П-4(п, Ш,
Z Й • А - ?А • t S е Са.
Действительно, формула (15) равносильна утвержде-
нию, что отображение х является гомоморфизмом, а фор-
мулы (16) и (17) проверяются непосредственным вычис-
лением. Например, легко видеть, что
[П (g), EJ = о, [У! (g), Е2] = - X! (g), [Г! (§), Е3] = ХА^,
т. е. что (ad У1 (g) )£, = e,Xi (g), где ег- = 0, —1, 1 при
i= l, 2, 3. Поэтому (поскольку, по определению,
(хА)Ё, — 0 для любого i = 1, 2, 3)
[кА, ad Yt (g)] В£ = (хА) (ad yt (g)) В£ =
= etX1(Ag) = (ady1(Ag))Et-,
и, значит, дифференцирование D = [хА, adyjg)]—
— adyj(Ag) лежит в Der°Al. Но, как показывает оче-
видное вычисление,
[Л (5), *!(£)] = 2(g, g)(£2-£3),
и потому для D имеет место формула
DX, (Q = (хА) (2 (g, £) (Е2 - £3)) -
- [У1 (g), X! (Ag)] - [У, (АВ), X, (£)] =
= - 2 [(В, АВ) + (Ag, £)] (Е2 - Е3) = 0,
ибо оператор А по условию кососимметричен. Следова-
тельно, D = 0, что доказывает формулу (16) при i = 1.
Аналогично
[ad У! (§), adyjn)]/:^
= щ (ad У1 (В)) X, (n) - ez (ad У, (n)) X, (g) =
— 2ег- ((g, n) - (А, I)) (Е2 - Е3) = 0
СТРУКТУРА АЛГЕБРЫ ЛИ f£
361
и
[ad УЖ adr1(n)]Z1(g) =
= 2 ((n, S) ad Y. (§) — (§, g) ad У1 (П)) (£2 - £3) =
= 4(- (п, S)A\ (£) + (§, £)*!(!])),
что доказывает формулу (17) при i = j = 1. Остальные
формулы (16) и (17) проверяются точно так же. □
Полученные результаты позволяют доказать для ал-
гебры Ли f4 аналог предложения 1 лекции 14.
Пусть i — четырехмерное подпространство алгебры
Ли f4, состоящее из линейных комбинаций элементов
и-Ёц.в], х£(2,7], х£(з, 6] И кЕц, 5]. Так как эти элементы
коммутируют друг с другом, то [//j, Н2] = 0 для любых
элементов Hi, Н2 е I). Пусть еь е2, е3, е4— базис сопря-
женного линеала 1)*, двойственный базису хЕц, ej, хЕ[2, п,
хЕ[з,бь —хЕ[4,5] линеала f). Введя в f)* евклидову
структуру, в которой базис еь е2, е3, е4 ортонормирован,
назовем конфигурацией F4 совокупность всевозможных
векторов вида
±ер±е, (p=£q),
(± е 1 ± е2 ± е3 ± е4),
где допустимы любые комбинации знаков (число этих
векторов равно 48).
В силу индуцированного евклидовой структурой ото-
ждествления 1)* = I) мы можем векторы а е F4 рассма-
тривать как элементы из I). Следуя примеру алгебры Ли
(см. лекцию 14), положим
2сс
На —' । ц Для любого а е F4.
Далее, обозначив во избежание путаницы с элемен-
том из С.а мнимую единицу поля символом д/— 1 , Мы
определим элементы Ха, сс = ±ер ± eq, комплексифици-
рованной алгебры Ли ff = f4 ® С, положив
±е2 = X (Д[7, 8] ± Е[1, 21) + V— 1 • х (Е[7, 1] ± Е[2, 8]),
Х~е1±ег — К(—£[7,8] ± £[1,2]) + V—1 'К (£[7, 1] £[2.8]),
362
СТРУКТУРА АЛГЕБРЫ ЛИ
и считая, что остальные векторы Х±ер±»ч задаются фор-
мулами, получающимися заменой индексов (7г. 8) на ин-
дексы (2, 7), (3, 6), (5, 4), когда д равно 2. 3, 4, и соот-
ветственно индексов (1, 2) на индексы (1, 8J, (3, 6},‘ (5,
4), когда q равно 1, 3, 4.
При а = ±ер мы положим
Х^р = ad Ki (У ± V^ad(Пр),
где ......
Si—1, ъз31/» ^4“^»
T]t== — h, Tl2 = — g, Tl3 = — f, Th—**
1 . .
а при a = y(±e1±e2±e3±ej положим ..
X =f ady2(gp) +V^Tadnoy,
“ t adY3(M + У=Га4У3(лД
если
±y(—et + e2 + e3 4* e4),
.i/i \
=h ~2 (— ei "i ®2 — «з —
« = { 1
± ~2 (— ei — «2 + «3— еД
1
’-j— *2" C~~ ®2 ®3 4~ ®4)»
или соответственна
de (— et — e2 — e3 — e4),
± -j-(®1 4-®2 — ®3 — ®<),
а —
± -у (®t-®2 4* ®3-®<).
d= у (®i-02- ®3 4- ®Д
где p — номер соответствующего вектора а в этих фор-
мулах. ......
363
СТРУКТУРА АЛГЕБРЫ ЛИ f?
4
Тогда оказывается, что предложение 1 лекций 14
{вместе с формулой (17) той же лекции) будет справед-
ливо и для алгебры ff(конечно, по отношению к конфи-
гурации/^).
Доказательство этого утверждения можно провести,
выбрав в алгебре f? соответствующий базис и шаг за ша-
гом повторив вычисления, доказывающие предложение 1
и формулу (17) для алгебры Ли др, нд, конечно, объем
необходимой работы будет при этом существенно боль-
ше. В следующем семестре мы разовьем общую теорию,
позволяющую сократить эту работу, и потому мы пока
доказательство отложим.
После всего сказанного не удивительно, что для ал-
гебры fc имеет место и аналог предложения 2 лекции 14.
Чтобы получить формулировку этого предложения для
алгебры f®, достаточно в формулах (23) лекции 14 счи-
тать'индексы, р и # меняющимися от 1 до 4, а числа пра
считать элементами матрицы
( 2—1 О ОХ
— 1 2 —2 0 |
0—1 2 — 1 Г
0 0—1 2.'
Доказательство этого утверждения проводится на осно-
вании тех же самых соображений, но требует, конечно,
существенно большего труда. Роль векторов ft, е2 будут
играть при этом векторы
у(е1 — е2- е3 -®4> е3— ®4, е2 ~ <?3-
Детали вычислений мы оставляем читателю.
Лекция 17
РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ—РАДИКАЛ АЛГЕБРЫ
ЛИ,—АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ЛИ—ЦЕНТР АЛГЕБРЫ
ЛИ. — НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ. — НИЛЬРА-
ДИКАЛ АЛГЕБРЫ ЛИ,—ЛИНЕЙНЫЕ НИЛЬАЛГЕБРЫ
ЛИ.—ТЕОРЕМА ЭНГЕЛЯ.—КРИТЕРИИ НИЛЬПОТЕНТ-
НОСТИ. — ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ АЛГЕБРЫ
ЛИ. — РЕДУКТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ, —ЛИНЕЙНЫЕ
РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ. — НИЛЬПОТЕНТНЫЙ
РАДИКАЛ АЛГЕБРЫ ЛИ.
Обратимся теперь к общей теории алгебр Ли с тем, что-
бы доказать теорему Адо и тем самым заполнить остав-
шийся пробел в доказательстве теоремы Картана в лек-
ции 10.
Доказательство теоремы Адо основывается на доволь-
но продвинутой структурной теории алгебр Ли, имеющей
большой самостоятельный интерес. К сожалению, мы
сможем только весьма поверхностно коснуться этой тео-
рии.
Если явно не оговорено противное, то во всем даль-
нейшем основным полем К считается произвольное поле
характеристики 0. Все алгебры Ли над К предполагают-
ся конечномерными.
Пусть g— произвольная алгебра Ли над полем К.
Для любых двух подпространств а и Ь алгебры g мы бу-
дем символом [а, Ь] обозначать подпространство, поро-
жденное элементами вида [а, 6], где а е а, b е К В этих
обозначениях свойство подпространства а быть подалгеб-
рой будет равносильно включению [а, а] с а, а свойство
быть идеалом — включению [a, g] <zz а. Поскольку в силу
РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
365
тождества Якоби [[а, Ь], с] ст: [[Ь, с], а] + [с, а], Ь] от-
сюда, в частности, следует, что если а и Ь — идеалы, то
[а, 1>] — тоже идеал.
Поэтому формулы
gU) = g> g(2) = [g, g], .... д<^> == д(*-»], ...
определяют в алгебре Ли д убывающую (точнее, невозра-
стающую) цепочку идеалов
д = д<*> zd д(2> zd_zd g(fe> zz> ...
Заметим, что g(fe)(/) = g(fe-H-i).
Идеал g(fe) некоторые авторы обозначают также сим-
волом д<*-1).
Определение 1. Алгебра Ли д называется разрешимой,
если существует такое k 0, что д(А) = 0.
Пусть п = dim д. Убывающая цепочка подпро-
странств
д = 8о => Я1 z=> ... =>дг=> ... =>д„ = 0
называется флагом, если размерность каждого подпро-
странства этой цепочки на единицу меньше размерности
предыдущего подпространства, т. е. если dim дг- = п — i
для любого i = 0, 1, . .., п. Флаг, состоящий из подал-
гебр, называется флагом подалгебр.
Предложение 1. Алгебра Ли g тогда и только тогда
разрешима, когда в ней существует флаг подалгебр
g = g0id gt id ... zd gz =) ... эдп = 0,
в котором каждая подалгебра Qi, i — 1, .... п, является
идеалом предыдущей подалгебры дг-1 {удовлетворяет со-
отношению [дг-ь д<] с д,).
Доказательство. По условию dim g/_i —
= dim Qi -j- 1. Поэтому любой элемент из дг-1 имеет вид
х + Ке, где х Qi, X К, а е — некоторый фиксирован-
ный элемент. Поскольку
[х + Ле, у + ре] = [х, у] + К [х, е] — и, [у, е],
а [х, у], [х, е], \у, е]ед(- (ибо — идеал в дг_1), отсюда
вытекает, что [дг_ь дг_i] cz дг. Следовательно, если д(г) cz
<=дг-ь то д(г+1) = [9(г), Si-iJczSi- Поскольку
при г=1 включение Q(*)czgf_1 верно, то тем самым
оно доказано для всех 1=1,..., п -1- 1. В частности,
g(«+i) ст дл = 0, т. е. д(/г+1> = 0.
366 РАДИКАЛ АЛГЕБРЫ ЛИ
Обратно, если существует такое что g<fe> —0.
(и g(fe-1)^0), то в цепочке идеалов
g = д(0) Z3 9(1) ... д<*> == 0 . . ,
все включения строгие, и потому эту цепочку можно вло-
жить в некоторый флаг
д = дэ=эд1=э ... =эдга = о.
Пусть i = 0, 1, ..., п, и пусть а — наибольший индекс,
для которого gt-с д<а>. Если gz¥=g(a), то gz_iGzgw”H
потому [gz_.b дг] gz [д<а>, д<а>] = д(а+1> gz; gz. Если .же д£ == д<а>,
то gt-_i cz д(а-1), и потому [gz_b gj gz д<а>] cz =
Таким образом, во всех случаях [gz_b gz] cz gz,откуда
следует, .что рассматриваемый флаг является флагом
подалгебр (ибо [gz, gz] cz [gz_b gz] cz gz), в котором каждая
подалгебра является идеалом предыдущей алгебры, ,р
При любом эпиморфизме g->-J> идеалы g(fe) переходят,
очевидно, в идеалы Аналогично, если I) cz g, то
gz g<%> ("| I). Поэтому каждая факторалгебра и каждая
подалгебра разрешимой алгебры Ли разрешима. Кроме
того, легко видеть, что алгебра g разрешима, если она со-
держит разрешимый идеал I), факторалгебра g/I) по кото-
рому разрешима. Действительно, если(дД)(*> = 0, то g(fe) =
= I), и, значит, если — 0, то д<^+<-!> — g(k> (0 = 0. о
Для любых двух идеалов а и b их сумма а b также,
очевидно, является идеалом, причем по так называемой
первой теореме об изоморфизмах факторал-
гебра (а + Ь)/Ь изоморфна факторалгебре а/(а f| Ь) и по-
тому разрешима, если идеал а разрешим. Следовательно,
если идеалД также разрешим, то разрешим и идеал а + Ь.
Таким образом, сумма а -|- Ь двух разрешимых идеалов
а и Ь является разрешимым идеалом. Поэтому в любой
конечномерной алгебре Ли g существует наибольший
разрешимый идеал г, содержащий все разрешимые идеа-
лы этой алгебры: им является сумма всех разрешимых
идеалов алгебры д.
Определение 2. Идеал Т называется радикалом алгеб-
ры Ли д. Если т = 0, алгебра Ли называется полупро-
стой.
Заметим, что любой гомоморфизм д—>-§ отображает
радикал алгебры д в радикал алгебры
АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ЛИ 367
Естественный эпиморфизм g -> g/r устанавливает биек-
тивное соответствие между идеалами а алгебры д, содер-
жащими идеал г, и идеалами Б алгебры g/г, причем идеал
Ь, отвечающий идеалу а, изоморфен факторалгебре a/t и,
значит, разрешим тогда и только тогда, когда разрешим
йдёал а. Поскольку в силу максимальности радикала t
идеал а о г разрешим тогда и только тогда, когда а = г,
этим доказано, что в факторалгебре g/т нет отличных от
нуля разрешимых идеалов, т. е. что факторалгебра д/г
полупроста.
Определение 3. Алгебра Ли g называется абелевой,
если д(2> = 0, т. е. если [х, у] = 0 для любых элементов
X.y^Q.
Если алгебра Ли g не полупроста, т. е. ее радикал г
отличен от нуля, и если k — наименьший показатель, для
которого = 0, то идеал а — (являющийся, оче-
видно, идеалом и в д) отличен от нуля и абелев ([а, а] ==
’=» тс*-1)] = = 0). Обратно, если в алгебре Ли
д существует абелевый (и потому разрешимый) идеал
й 0, то г #= 0 и, значит, алгебра Ли g не полупроста.
Таким образом, алгебра Ли g тогда и только тогда полу-
проста, когда в ней нет ненулевых абелевых идеалов.
Центром алгебры Ли g называется ее аннулятор в
смысле общей теории алгебр, т. е. наибольшее подпро-
странство 8 cz д, для которого [з, g] = 0. Очевидным об-
разом проверяется, что центр является идеалом.
Алгебра g тогда и только тогда абелева, когда з = д.
Поскольку центр является абелевым идеалом, центр
'полупростой алгебры равен Нулю.
Наряду с идеалами д(А) можно рассматривать также
идеалы gfe, определяемые по индукции формулой
= (91 = 9).
Заметим, что д2 = д<2>.
' Определение 4. Алгебра Ли д называется нильпотент-
Ной, если существует такое k 1, что gfe — 0.
Поскольку д2 = д<2), мы видим, в частности, что любая
абелева алгебра Ли нильпотентна.
368
НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Индукцией по i немедленно устанавливается, что
g(0 cz д! для любого i. Поэтому любая нильпотентная ал-
гебра Ли разрешима.
Если gfe = 0 и gft_1 0, то ненулевой идеал а = gfe_1
обладает тем свойством, что [а, д] = 0 и потому лежит в
центре 8 алгебры д. Следовательно, центр д нильпотентной
алгебры Ли отличен от нуля.
Заметим, что центр разрешимой алгебры Ли вполне
может быть равен нулю.
Предложение 2. Алгебра Ли д тогда и только тогда
нилъпотентна, когда в ней существует такой флаг под-
алгебр
д = д0 =э gi тэ ... то дг- т=> ... дга = О,
что для любого i — 1, . .. , п имеет место включение
[д, дг-_ 1 ] сг дг- {так, что, в частности, каждая подалгебра
дг-i является идеалом алгебры д).
Доказательство. (Ср. с доказательством пред-
ложения 1.) Если дг' сд д£_ь то д‘+1 = [д, дг] cz [д, дг-1] ст
ст дг-. Поскольку д1 — д0, этим по индукции доказано, что
д' ст дг_1 для любого i — 1, . . ,, п. В частности, д'г+1 ст
ст д« = 0 и, значит, д"+1 = 0.
Обратно, если существует такое k 1, что gfe = 0, то
(при условии, что д*-1 0) в цепочке идеалов
д^т^тэ ... =jgfe = O
все включения строгие, и потому эту цепочку можно вло-
жить во флаг подпространств
д==дотэд1тэ ... тэда = 0.
Если теперь а — наибольший индекс, для которого
д, ст да, то да+1 ст дг+1 и потому
[9, 9/1 [9, да] = да+1 с: gz+1. □
Так же как для случая разрешимых алгебр, доказы-
вается, что любая подалгебра и любая факторалгебра
нильпотентной алгебры являются нильпотентными алгеб-
рами. Однако соответствующее утверждение для расши-
рений, вообще говоря, неверно. Можно лишь утверждать,
что алгебра Ли g нилъпотентна, если нилъпотентна ее
факторалгебра по некоторому идеалу 1>, содержаще-
НИЛЬРАДИКАЛ АЛГЕБРЫ ЛИ
369
муся в ее центре Действительно, если (g/b)ft = 0, то
gfe cz $ cz з и потому g«+1 = [g, g*] cz [g, 3] — 0. □
Для каждого идеала а произвольной алгебры Ли g
его идеалы являются, очевидно, идеалами и в д. Более
общим образом, если мы рассмотрим два произвольных
идеала а и Ь, то все подпространства
со = Ьо, Ci==[c0, bi], ..., е/ = [сг_1, bj,
где bo, bi, ..., Ь/, .. . — идеалы, каждый из которых совпа-
дает либо с а, либо с Ь, также будут идеалами алгебры
Ли д. При этом легко видеть, что для любого k 0 имеет
место включение
ч л
где I — число индексов i k, для которых Ьг- = а. Дей-
ствительно, при k = 0 это включение, очевидно, верно
(условно, мы считаем, что а0 = д), а если оно верно для
некоторого k, то c*+i == [с&, ЬД cz [аг, bfe], а потому
Cfe-t-i cz а1, если b* — b и tk+i cz аг+‘, если bfe+i — а. □
По симметрии имеет место, конечно, и включение
Ck cz Ьт, где т — число индексов i сС k, для которых
bi = b. Но ясно, что либо I, либо т не меньше, чем р —
— [k/2]. Поэтому либо сё с йР, либо с* cz Ь°, г. е.
cfe cz ар и ьр.
С другой стороны, ясно, что идеал (а -|- Ь) к является
суммой идеалов вида с*, соответствующих всевозможным
последовательностям b0, bi, ... , Ь* идеалов а и Ь. Поэтому
для этого идеала имеет место включение
(а 4- b)fe cz ар U Ьр.
Отсюда, в частности, непосредственно следует, что,
так же как и для разрешимых идеалов, сумма а -}- b
нильпотентных идеалов а. и Ь является нильпотентным
идеалом. Поэтому в любой алгебре Ли g существует наи-
больший нильпотентный идеал п, содержащий все ниль-
потентные идеалы алгебры. Этот идеал называется ниль-
радикалом алгебры Ли д.
Заметим, что, в отличие от случая радикала, фактор-
алгебра g/n алгебры Ли g по ее нильрадикалу вполне мо-
жет иметь отличный от нуля нильрадикал.
370 ЛИНЕЙНЫЕ НИЛЬАЛГЕБРЫ ЛИ
. Для подалгебр..коммутаторной алгебры произ-
вольной (вообще говоря, бесконечномерной) ассоциатив-
ной алгебры и, в частности, для линейных алгебр Ли
(подалгебр коммутаторной алгебры [End J°] линейных
операторов, действующих в некотором линейном про-
странстве 7й) можно указать очень полезное достаточное
условие их нильпотентности.
Напомним, что линейный оператор, действующий в
линейном пространстве^ (или, более общо, элемент про-
извольной ассоциативной алгебры ^), называется ниль-
потентным, если некоторая его степень равна нулю (см.
II, 15). Аналогично множество линейных операторов (или
элементов ассоциативной алгебры \s^) называется ниль-
потентным, если существует такое k 1, что произведе-
ние любых k элементов этого множества равно нулю»
Мы будем применять последний термин к подмноже-
ствам, являющимися подпространствами (и, в частности,
подалгебрами) алгебры Ли [«я£], и потому, чтобы избе-
жать терминологической путаницы, будем называть ниль-
потентные в этом смысле подпространства ассоциативно
нильпотентными подпространствами (подалгебрами).
Кроме того, в соответствии с общей терминологией, при-
нятой в теории ассоциативных алгебр, подалгебры g с:
сц [ли?], состоящие из нильпотентных элементов, мы будем
называть нильподалгебрами Ли. Ясно, что любая ассо-
циативно нильпотентная подалгебра Ли является ниль-
подалгеброй. Замечательно, что обратное утверждение
также верно:
Предложение 3. Любая конечномерная нилъподалгеб-
ра Ли g ассоциативно нильпотентна.
Мы докажем даже более общее утверждение.
Предложение 3й (теорема Джекобсона).
Пусть : ассоциативная алгебра (возможно, бесконеч-
номерная) и Ct -* ее конечномерное подпространство, по-
рожденное некоторым подмножеством g, замкнутым отно-
сительно коммутирования. Если каждый элемент а е g
нильпотентен, то подпространство Ct ассоциативно ниль-
потентно.
Доказательство. Легко видеть, что в g сущест-
вует ассоциативно нильпотентные подмножества (напри-
мер, нулевое). Поскольку ранг множества g, по условию
цонечен, Оем существуют и максимальные ассоциативно
ЛИНЕЙНЫЕ НИЛЬАЛГЕБРЫ ЛИ 371
нильпотентные подмножества Поскольку подпростран-
ство, порожденное ассоциативно нильпотентным подмно-
жеством, также, как легко видеть, ассоциативно нильпе-
тентно, нам достаточно доказать, что — д. Предполо-
жим, что g и приведем это предположение к проти-
воречию.
Пусть 3*— линейная оболочка максимального ассо-
циативно нильпотентного подмножества 1), и пусть р — та-
кое число, что произведение любых р элементов из 3* рав^
но нулю. Тогда для любого элемента а е g результат его
последовательного коммутирования с любыми 2р—1
элементами из 3* равен нулю. Действительно, коммути-
руя а с элементами blt .. ., b2p-i из мы после раскры-
тая всех коммутаторов получим алгебраическую сумму
произведений вида Ьас, где b — произведение некоторых
из элементов Ь\, ...» бгр-ьас— произведение остальных
из этих элементов. Но ясно, что либо в Ь, либо в с вхо-
дит не менее р множителей Щ, . . . , b2p-i, и потому это
произведение равно нулю. Следовательно, все элементы
вида бас равны нулю и, значит, равна нулю и их сумма.
Теперь ясно, что для любого элемента а ед сущест-
вует такое число s 0, что результат его последователь-
ного коммутирования с любыми s элементами из I) лежит
в 3*. При этом s £2; 2р —1.
Отсюда следует, что если 1) #= д, то в д существует та-
кой элемент а0 что [а0, для любого Ь^З*
Для доказательства достаточно выбрать произвольный
элемент а е g\t> и применить к нему доказанное утвер-
ждение, заметив, что если s выбрано наименьшим, то в
существуют такие элементы бь . . ., 6s_i, что (лежащий в
д) результат а0 последовательного коммутирования а с
бь .. . , bs-t не лежит в (), но обладает тем свойством, что
[а0, б] <= 3* для любого а потому и для любого
Ь^3>.
Назовем одночленом произведение элементов из 3*,
перемежающихся элементом ао (в любом числе и любом
порядке). Пусть г — число множителей одночлена а, ле-
жащих в 3s. Оказывается, что если г 5а р, то а — 0. Дей-
ствительно, пусть в одночлене а есть множитель вида bag,
где b е 3*. Так как [ао> б] е SP, то, заменив ба0 на аоб —
— [а0> б], мы представим а в виде суммы двух одночле-
нов с тем же г, в первом из которых Число множителей
372
ЛИНЕЙНЫЕ нильалгебры ли
вида а0 будет на единицу меньше, а во втором такой мно-
житель сдвинется на одно место влево. Повторив нужное
число раз это преобразование, мы представим а в виде
суммы одночленов, в которых либо вообще не будет мно-
жителей вида а0, либо все эти множители будут собраны
слева. Но каждый такой одночлен получается умноже-
нием некоторого элемента алгебры на элемент, являю-
щийся произведением г р элементов из 9s, и потому
равен нулю. Значит, равен нулю и исходный одночлен а.
Так как а0 s 9> то по условию существует такой пока-
затель kQ, что = 0. Поэтому одночлен а может быть
отличен от нуля только тогда, когда в нем встречаются
степени элемента а0 лишь с показателями, меньшими чем
k0. Эти степени перемежаются множителями из и по-
тому их число не больше числа г этих множителей. Так
как, по доказанному выше, при а С необходимо г < р,
то общее число множителей любого отличного от нуля
одночлена а не превосходит
г — 1 + г (60 — 1)< р — 1 + р (60 — 1) = pkQ — 1.
Этим доказано, что если число всех множителей одно-
члена а не меньше pko, то а = 0.
В частности, это означает, что равно нулю произведе-
ние любых pko элементов множества $ = {£, а0}, т. е. что
это множество ассоциативно нильпотентно. Поскольку
это противоречит максимальности множества lj, предло-
жение За тем самым полностью доказано. □
Следствие 1. Каждая конечномерная нильподалгебра
Ли g ст нильпотентна.
Доказательство. Каждый элемент идеала дй
является линейной комбинацией 6-кратных коммутаторов
вида
[хь [х2, ... [хА_ь xk] ...]], Х1, х2, хйе= g
и, следовательно (как элемент алгебры алгебраиче-
ской суммой всевозможных произведений вида
хг-1 — xik- Следовательно, если алгебра Ли g ассоциа-
тивно нильпотентна, то дй = 0 для достаточно большого
6, т. е. эта алгебра нильпотентна. Поэтому для заверше-
ния доказательства остается воспользоваться предложе-
нием 3. □
ТЕОРЕМА ЭНГЕЛЯ
373
Вообще говоря, это достаточное условие нильпотент-
ности подалгебр коммутаторных алгебр Ли (и, в частно-
сти, линейных алгебр Ли) не является необходи-
м ы м. Например, легко видеть, что совокупность всех
матриц вида лЕ + А где А = (aif) — произвольная стро-
го верхнетреугольная матрица (т. е. такая, что alf = О
при z=C/'), является нильпотентной подалгеброй алгеб-
ры Ли [R(n)] и вместе с тем матрица лЕ 4- А нильпо-
тентна только при К = 0.
Вернемся теперь к произвольным (но, как всегда, ко-
нечномерным) алгебрам Ли.
Для любой такой алгебры g определен ее гомомор-
физм ad в коммутаторную алгебру алгебры всех линей-
ных операторов g—>д (см. лекцию 3). По определению
для любого элемента аед линейный оператор ad а: д —>
q переводит элемент хедв элемент [а, х]. Поэтому,
в частности, любой А-кратный коммутатор [хь [х2, . . .
... , [Xfe-i, xfe] . . .]] является не чем иным, как результа-
том применения к элементу хй линейного оператора
ad ХЕ° ad х2 °... ° ad х*_ь Это означает, что алгебра Ли g
тогда и только тогда нильпотентна, когда линейная ал-
гебра Ли ad g ассоциативно нильпотентна. В силу пред-
ложения 3 этим доказано
Следствие 2. Алгебра Ли g тогда и только тогда ниль-
потентна, когда для любого элемента а е g линейный
оператор ad а нильпотентен. □
Это следствие известно как теорема Энгеля.
Впрочем, очень часто теоремой Энгеля называют след-
ствие 1 или даже само предложение 3.
В связи с теоремой Энгеля особую важность приобре-
тают различные критерии нильпотентности линейного
оператора. Мы сейчас докажем два простейших критерия
такого рода.
Напомним, что следом линейного оператора А, дей-
ствующего в линейном пространстве У, называется
сумма диагональных элементов его матрицы в произ-
вольном базисе пространства Т. След определен кор-
ректно (не зависит от базиса) и обозначается симво-
лом Тг/1.
374 КРИТЕРИИ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ
С в ой с т в а с л е д а.
1°. Число Тг А линейно зависит от оператора А (яв-
ляется линейным функционалом на пространстве End
всех линейных операторов >°—>>°).
2е. Для любых двух операторов А и В
7г АВ —Тг ВА.
3°. След равен сумме всех характеристических корней
оператора А (повторенных столько раз, какова их крат-
ность):
Тг A = Aj ...
Свойство 1° очевидно. Свойство 2° доказывается пря-
мым подсчетом, а для доказательства свойства 3° проще
всего рассмотреть нормальную жорданову форму опера-
тора А. (Заметим, что в свойстве 3° мы переходим к ал-
гебраическому замыканию поля К, т. е. при К = R — к
полю ,С, но след оператора при расширении основного
поля, не меняется, поскольку не меняется его матрица.)
Так как для нильпотентного оператора все характери-
стические корни равны нулю (см. II, 15), из свойства 3°,
в частности, следует, что след любого нильпотентного
оператора равен нулю.
. .Это необходимое условие нильпотентности, конечно,
не является достаточным. Однако поскольку любая сте-
пень нильпотентного оператора также . является нильпо-
тентным оператором, из него следует, что если оператор
А нилъпатентен, то Тг Ak = 0 для любого k.
Оказывается, что это условие уже не только необхо-
димо, но и достаточно, т. е. если Тг Ak = 0 для любого k,
то оператор А нилъпотентен. Действительно, поскольку
характеристическими корнями оператора Ak являются
степени Af, ..., X* характеристических корней опера-
тора А, для следа Тг Ak оператора Ak имеет место фор-
мула
Tr.4fe = A*+ ... Ч-А*,
означающая, что число Тг Ak является суммой &-х степе-
ней корней характеристического многочлена оператора А.
Но из теории симметрических многочленов известно, что
коэффициенты любого многочлена полиномиально выра-
жаются через суммы степеней его корней (это так назы-
КРИТЕРИИ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ 375
ваемые формулы Баринга) и равны нулю, если
все эти суммы равны нулю. Применительно к характери-
стическому многочлену /д (%) оператора А этим дока-
зано, что если ТгАй = 0 для всех k, то /д (%) = V. По-
этому в силу теоремы Гамильтона — Кэли (см. 11,16);
Ая = 0. □ "
Другое более специальное достаточное условие ниль-
потентности относится к операторам вида
(1) Л = CJ4- ... CJ.
являющимся суммами коммутаторов. Оказывается, что
если оператор А вида (1) перестановочен с каждым из
операторов Bv, ,.,, Вг (т. е. [A, — 0, . .-. , [А, В?] =
«=». 0), то этот оператор нильпотентен. Действительно, для
любого k оператор Ай также является суммой коммута-
торов:
Afe = A*-I([5l,C1]+ ... + [BS,CJ) =
-А^ВА-едн- ... + BSCS-CSBS) =
^BlAh~lCl - A^ClBJ + - • • + (BsAk~lCs - Aft-‘CSBS)=
~ [Bb A*-V?J + ... + [Bs, Aft-‘CS],
и потому Тг Ай = 0 (см. свойства 1 и 2 следа). Следо-
вательно, оператор А нильпотентен. □
Из этого критерия следует, что для любой линейной
алгебры Ли g пересечение 3 f) g2 ее центра и идеала д2 со-
стоит из нильпотентных операторов. Действительно, лю-
бой оператор А из д2 имеет вид (1), где Сь ..., Bs,
С, е а, а если Aej, то [A, — 0...[А, В3] ==,
=«. 0. п
Аналогично доказывается, что для каждого абелева
идеала а линейной алгебры Ли g идеал [а, д] состоит из
нильпотентных операторов.
Более точные результаты можно получить в предполо-
жении, что линейная алгебра Ли g неприводима, т. е. что
в У не существует нетривиальных подпространств, инва-
риантных относительно всех операторов из д.
Для любого подмножества а линейной алгебры Ли д,
действующей в пространстве 7е, мы будем символом
376
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
обозначать линейную оболочку всех векторов вида Ах,
где Л е а и х е 7.
Легко видеть, что если а — идеал, то подпростран-
ство инвариантно относительно всех операторов из д.
Действительно, если А <= а, В g и х <= У3, то
В (Ах) = [В, Л] х + А (Вх) е= аГ,
ибо [В, Л] а. □
Отсюда следует, что если линейная алгебра Ли q не-
приводима, то в каждом ее ненулевом идеале а найдется
ненильпотентный оператор. Действительно, если все опе-
раторы из а нильпотентны, т. е. а является нильалгеброй,
то по предложению 3 идеал а ассоциативно нильпотентен.
Пусть пг — наименьшее число, обладающее тем свой-
ством, что произведение любых пг элементов из а равно
нулю. Тогда в ряду подпространств
<^ = аГ, =
подпространство равно нулю, а £Рт-\ =/= 0. При этом,
согласно предыдущему утверждению (примененному
т-—1 раз), подпространство &т-х инвариантно относи-
тельно всех операторов из д. Поэтому в силу неприводи-
мости 9*т-\ —Т и, значит, & — аТ = а&т-х —
= д>т = о, что возможно только при а = 0. □
Применив это общее утверждение к идеалу g Г) д2, мы
немедленно получим, что для любой линейной неприводи-
мой алгебры Ли g имеет место равенство
3 П S2 == 0,
Кроме того, мы видим, что любой абелев идеал а ли-
нейной неприводимой алгебры Ли g лежит в ее центре g.
Действительно, поскольку в идеале [а, д] нет ненильпо-
тентных операторов, этот идеал равен нулю, но равенство
[а, д] = 0 в точности означает, что a cr g. □
Определение 5. Алгебра Ли д называется редуктивной,
если каждый ее абелев идеал лежит в ее центре g и
зПз2 = о.
Таким образом, мы доказали, что любая линейная
неприводимая алгебра редуктивна.
Пусть д — произвольная редуктивная алгебра Ли. По-
скольку g Q д2 — 0, мы можем расширить д2 до такого
РЕДУКТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
377
подпространства ш, что g — з ф ш.. При этом, поскольку
[д, ш.] cz [д, д] cz ш., подпространство ш. является идеалом.
Более того, легко видеть, что каждый идеал а из ш яв-
ляется идеалом и в g (так как g = 3 ф ш, то [д, а] cz
cz [б, а] + [ш, а] = IX &] <= <*) • Поэтому, если идеал
асш абелев, то с cz 3 и, следовательно, а = 0. Та-
ким образом, идеал ш. не имеет отличных от нуля абеле-
вых идеалов и потому полупрост.
Обратно, если алгебра Ли g имеет вид j ® ш, где ш —
полупростой идеал, то g2 = m2 cz ш. и потому з П д2 = 0.
Кроме того, при естественном эпиморфизме д —> д/з каж-
дый абелев идеал а алгебры g отображается в абелев
идеал полупростой алгебры g/з ~ ш, т. е. в нуль. Поэтому
a cz з и, значит, алгебра Ли д редуктивна.
Этим доказано, что алгебра Ли g тогда и только тогда
редуктивна, когда она является прямой суммой своего
центра и некоторого полупростого идеала ш.:
g = j ф ш.
(Заметим, что на самом деле ш. — д2. Действительно,
из д = з ф !Н следует, что д2 — ш2, а, как мы покажем в
следующей лекции, для любой полупростой алгебры Ли
ш имеет место равенство ш2 = ш.)
Теперь легко видеть, что радикал г произвольной ре-
дуктивной алгебры Ли g совпадает с ее центром 3. Дей-
ствительно, при естественном эпиморфизме д—>д/з ради-
кал г отображается в нуль (ибо алгебра д/з изоморфна
идеалу ш. и потому полупроста). Следовательно, г cz 3 и,
значит, г = 3. □
Поэтому редуктивная алгебра Ли тогда и только тог-
да разрешима, когда она абелева.
Таким образом, в частности, каждая линейная непри-
водимая разрешимая алгебра Ли абелева.
Чтобы применить это утверждение к не обязательно
неприводимым алгебрам, мы предварительно докажем
одну общую лемму из линейной алгебры, относящуюся
к произвольному линейному оператору А в линейном
пространстве Т, обладающему инвариантным подпро-
странством Ф. Как мы знаем, такой оператор индуцирует
оператор Ль на и оператор Л2: :ia
TI&.
378 линейные разрешимые’ал гёврылй
Лемма 1. Если операторы Ai и А2 нильпотёнтны, то
оператор А также нильпотентен. ' '
Доказательство. Пусть Л*‘ = 0 и Д2г = 0. Тогда
Акг переводит У в 3\ а Л&‘ переводит 3* в ,0. Поэтому
= переводит У в 0, т. е. A*1+fe = 0. .□
Теперь легко видеть, что если g — линейная разреши-
мая алгебра Ли и оператор Лед нильпотентен, то для
любого оператора В е д оператор АВ также нильпотен-
тен. Действительно, проведем индукцию по размерности
п линейного пространства У, в котором действует алгеб-:
ра Ли д, учитывая, что при п = 1 утверждение тривиаль-
но. Если в У нет нетривиальных подпространств, инва-
риантных относительно всехоператоровиз д, т. е. если ал-
гебра д неприводима, то по доказанному выше эта ал-
гебра абелева и, значит, АВ = ВА. Поэтому (AB)k =:
= AkBk для любого k 0 и, следовательно, (AB)k = О,'
когда Ak = 0. Если же в У существует нетривиальное
инвариантное подпространство 3*, то, ограничивая всё
операторы из g на 3*, мы получим в 3> алгебру операто-
ров, являющуюся гомоморфным образом алгебры g и по-
тому разрешимую. Следовательно, по предположению ин-
дукции, оператор АВ на 3* нильпотентен. Аналогично, пе-
реходя к факторпространству У/55, мы получим, что опе-
ратор индуцирует в этом подпространстве нильпотентный
оператор. Поэтому в силу леммы 1 оператор АВ нильпо-
тентен. □
Заметим, что, вообще говоря, АВ д.
Аналогичным образом доказывается, что для любой
линейной алгебры Ли g с радикалом г идеал [д, т] со-'
стоит из нильпотентных операторов. Действительно, если
алгебра д неприводима, то, как мы знаем, г — з и потому
[д, г] — 0- Значит, в этом случае утверждение автомати-
чески верно. В общем случае мы снова воспользуемся ин-
дукцией по dim У. Пусть 3>— подпространство простран-
ства У, инвариантное относительно всех операторов из д.
Тогда, ограничивая все операторы из g на мы получим
в 3* алгебру операторов д', изоморфную факторалгебре
алгебры д по некоторому идеалу (состоящему из опе-
раторов, равных нулю на 3}. По предположению ин-
дукции, идеал [а'. И, где г' — радикал алгебры д', со-
' НИЛЬПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ. АЛГЕБРЫ ЛИ
379
стоит из нильпотентных операторов. Поскольку при эпи-
морфизме g->g' идеал [д, г] отображается в идеал [д',
iz], этим доказано, что любой оператор А из [д, г] инду-
цирует. в дР нильпотентный оператор. Аналогично доказы-
вается, что оператор А индуцирует нильпотентный опера-
тор и в факторпространстве У/^3. Следовательно, по лем-
ме 1 оператор А нильпотентен. □
В силу теоремы Энгеля отсюда следует, что для лю-
бой линейной алгебры Ли д идеал [д, г] нильпотентен.
Впрочем, легко видеть, что это утверждение справедливо
и для произвольных алгебр Ли:
Предложение 4. В любой алгебре Ли д идеал [д, г]
нуль патентен.
Доказательство. Пусть д' = ad д, и пусть г' —
радикал алгебры Ли д'. По доказанному идеал [д', г']
нильпотентен. С другой стороны, при гомоморфизме ad:
дд'идеал [д, г] переходит как раз в идеал [д', г'], а
ядром этого гомоморфизма служит центр алгебры д. Та-
ким образом, при факторизации идеала [д, г] по некото-
рому Идеалу центра получается нильпотентная алгебра.
Следовательно, сам идеал [д, г] также нильпотентен. □
. Следствие. Алгебра Ли д тогда и только тогда разре-
шима, когда идеал д2 нильпотентен.
Доказательство. Если алгебра д разрешима,
т. е. д = т, то идеал д2 — [д, д] = [д, г] нильпотентен. Об-
ратно, если идеал д2 нильпотентен (и, следовательно, раз-
решим), то алгебра д разрешима, поскольку факторал-
гёбра д/д2 абелева. □
Идеал [д, т] называется обычно нильпотентным ради-
калом алгебры Ли д. Он содержится в нильрадикале п,
но, вообще говоря, отличен от п.
Лекция 18
СЛЕДНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ. — ФУНКЦИОНАЛ КИЛ-
ЛИНГА. — СЛЕДНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ПРЕДСТАВЛЕ-
НИЯ. — ЖОРДАНОВО РАЗЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО
ОПЕРАТОРА. — ЖОРДАНОВО РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИСО-
ЕДИНЕННОГО ОПЕРАТОРА. — ТЕОРЕМА КАРТАНА О
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ. — ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
КРИТЕРИЯ КАРТАНА РАЗРЕШИМОСТИ АЛГЕБРЫ
ЛИ. —ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ С НЕВЫРОЖДЕН-
НЫМ СЛЕДНЫМ ФУНКЦИОНАЛОМ. — ПОЛУПРОСТЫЕ
АЛГЕБРЫ ЛИ, —КРИТЕРИЙ КАРТАНА ПОЛУПРО-
СТОТЫ. — ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА.
Продолжим изучение линейных алгебр Ли, начатое в
предыдущей лекции.
Из свойств следа немедленно вытекает, что формула
t (А, В) = Тг АВ
определяет на любой линейной алгебре Ли g некоторый
билинейный симметрический функционал t. Мы будем
называть этот функционал следным функционалом ал-
гебры Лид.
Билинейный функционал s на алгебре Ли д назы-
вается инвариантным (нам нет нужды объяснять здесь
происхождение этого названия), если
s ([х, у}, z) = s(x, [у, z])
для любых элементов х, у, z е д, т. е. если все линейные
операторы вида ad у, у е д, кососимметричны по отноше-
нию к s.
Так как для любых операторов А, В и С след опера-
тора [А, В]С — АВС — ВАС равен следу оператора
А [В, С] = АВС — АСВ, то следный функционал любой
линейной алгебры Ли g инвариантен.
ФУНКЦИОНАЛ КИЛЛИНГА
381
Пусть г — радикал линейной алгебры Ли д, и пусть
А, В g и С <= г. Так как [В, С] <= [д, г], то оператор
[В, С] нильпотентен. Так как г является идеалом, то под-
пространство а алгебры д, порожденное г и А, обладает
тем свойством, что [а, а] cz г. Следовательно, а является
подалгеброй алгебры g и притом разрешимой. Так как
А <= а, [В, С] [g, г] cz г cz а, алгебра Ли а разрешима
и оператор [В, С] нильпотентен, то оператор А [В, С]
также нильпотентен. Поэтому его след равен нулю, т. е.
t(A, [В, С]) =0. Но тогда в силу инвариантности £([Л,
В], С) — 0. Этим доказано, что в любой линейной ал-
гебре Ли g идеалы д2 и г ортогональны по отношению к
след ному функционалу t.
В условной, но наглядной записи
*(д2, г) = 0.
В частности, при g = г мы получаем отсюда, что з ли-
нейной разрешимой алгебре Ли g имеет место равенстзо
W, s) —о,
т. е. по отношению к следному функционалу идеал д2 ор-
тогонален всей алгебре д.
Чтобы получить аналогичные результаты для произ-
вольной (вообще говоря, не линейной) алгебры Ли д, мы
перейдем к линейной алгебре Ли д' = ad д. Следный
функционал, определенный на этой линейной алгебре, мы
перенесем в алгебру Ли g посредством гомоморфизма ad.
Другими словами, мы определим на g билинейный симме-
трический функционал tg формулой
(х, y) — t (ad х, ad у) — Тг (ad х ad у).
Определение 1. Функционал /8 называется функцио-
налом Хиллинга алгебры Ли д.
Так как ad является гомоморфизмом алгебр Ли, то
функционал Хиллинга инвариантен.
Для любой эффективно заданной алгебры Ли функ-
ционал Киллинга вычисляется обычно без каких-либо за-
труднений.
Пример 1. Найдем функционал Киллинга алгебры
Ли gl(n) всех матриц порядка п. Базис этой алгебры со-
ставляют матричные единицы Вг/-.
382 4, ФУНКЦИОНАЛ КИЛЛЙНГА' ;
Так как ЕцЕ^ — §1(ХЕ<$, то
(О [X, Е'ар] 52^ (-fyaEip Х^гЕа{), «, fi 1, . . It t . ,
n
для любой матрицы X — 52 х^Ец из gl(rc), так что
i, i = i
(ad X)Eafi = 52 (.Xia.Ei^x^iEai)
1=1
в алгебре Ли gl(n).
Следовательно,
(ad X о ad У) Ea$ = 52 (Xialf jtE~r x&y ijEaj) •—
• i» j' == 1
“ 22 1 (.Xj^y^l X^yiq^ Eif,,
и потому
Tr (ad X - ad Y) = n 52 (*,}Уц + х}1ул1) — 2 52 xuytl =
i. 7 = 1 I, !=l
«= 2n Tr (XY) — 2 Tr X • Tr Y,
Этим доказано, что функционал Шиллинга алгебры Ли
Q\(n\ выражается формулой
tti Ш) (X, У) = 2п Тг (ХУ) — 2 Tr X • Тг Г»'
т. е. формулой
*вг (») (Я,- D = 2nf (X, У) - 2/ (X, Е) • t (У, £).
Обратим внимание, что этот функционал вырожден,
т. е. что gl(n) =/= 0. Действительно, ясно, что для любой
скалярной матрицы аЕ имеет место тождество
/91(п)(Х, aE) = 0, X е gl(n), означающее, что аЕ е gl(n)x.
Пример 2. В алгебре Ли &Цп) матриц порядка п
со следом, равным нулю, базис составляют матрицы
Г Еа> < еслн ’ -
li ~ I Еи — Еям если i = /,
ФУНКЦИОНАЛ КИЛЛИНГА
383
где i, j = 1, п и (i, /) =# (л, п).. Матрица
J Хц£ц из з!(п) выражается через этот базис по
’> X-1
формуле
Х = £ ХцЕ%.
. . i. J = 1
(i, n)
В силу соотношения (1) отсюда непосредственно выте-
кает, что
(adJ¥)£$ =
еели
, X’ - *„,4?) - X (чЛЙ -
is^a если
*.,Ч5).
а = р.
Произведя необходимые вычисления, мы для функцио-
нала Киллиига алгебры Ли sl(rz) получим отсюда фор-
мулу
t.i („) (X, У) = 2п Тг (XY) = 2nt (X, У). :
Таким образом, для алгебры Ли sl(zi) функционал Хил-
линга и следный функционал t отличаются лишь
множителем.
Теперь легко видеть, что, в отличие от предыдущего
случая, функционал /5цпунё. вырожден, т. е. зЦп)3- = 0.
Действительно, если Tr(XY) = 0 для любой матрицы
УезЦп), то, в частности, Ха = Тг(ХЕ,,) = 0 при
и Хц — хпп = Yv(XiEu — Епп)) — 0 для любого г. По-
этому матрица X имеет вид аЕ и, значит, ввиду условия
Тг X — Q равна нулю.
Пример 3. В алгебре Ли зо(п) кососимметрических
матриц порядка п базис состоит из матриц
Ец — Е;;
... i<h
причем в силу той же формулы (1) для любой матрицы
п •
X = ХцЕи из за (/г) имеет место формула
д у-;
(ad X} E[at === 22 (XiO'Eli) р] *})•
i-l
384
СЛЕДНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Для функционала t^(n> отсюда вытекает формула
ti0 (п} (XY) = (п — 1) Тг (XY) - (п - 1) t {X, Y).
Таким образом, для алгебры Ли 50 (п) функционалы
ti0 (Пу и t также отличаются лишь множителем.
Поскольку Xij — Тг (ХЕц,,]) для любой матрицы
п
X — У, XijEij из 50 (п), отсюда, в частности, следует,
г. / = 1
что, как и в предыдущем случае, функционал ts0(ny не
вырожден.
Конструкция функционала Киллинга допускает весь-
ма далекое обобщение.
Определение 2. Представлением алгебры Ли g в ли-
нейном пространстве У* (называемом пространством
представления) называется произвольный гомоморфизм
р: g—^[EndJ3] алгебры д в алгебру Ли [EndT1] линей-
ных операторов на У3.
Заметим, что задание представления р алгебры Ли g
определяет в пространстве У3 этого представления
структуру модуля (см. лекцию 5) над алгеброй Ли g (по
формуле хц = р(х)у, где х е д, ие7) и, обратно, лю-
бой модуль над g является пространством представления
р, для которого p(x)v = xv, х g, v У3. Таким обра-
зом, понятия модуля над алгеброй Ли g и представления
алгебры Ли g по существу идентичны. Сохранение этих
обоих дублирующих друг друга понятий основывается ис-
ключительно на традиции.
Примером представления служит гомоморфизм ad.
Это представление называется присоединенным.
Любое представление р определяет по формуле
tp (*> У) = t (Р (х), р (у)) = Тг (р (х) р (у))
симметрический инвариантный билинейный функционал
на g называемый след-ным функционалом представления.
Таким образом, функционал Киллинга является не
чем иным, как следным функционалом присоединенного
представления:
#д ----tfad»
СЛЕДНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
385
Следный же функционал линейной алгебры Ли будет в
этой терминологии следным функционалом тождествен-
ного представления:
/ = fid.
Предложение 1. В каждой алгебре Ли g идеалы дг и т
ортогональны относительно следного функционала лю-
бого представления р. В частности, эти идеалы ортого-
нальны относительно функционала Киллинга.
Доказательство. Пусть х, у е g и гет Нам
надо доказать, что tp ([х, у\, z) = 0. Но, по определению,
fP ([-v\ У}, г) = t (о [х, у], pz) = t ([рх, pz/], pz)
ц потому fp([x, у], z) = 0, так как [рх, pz/] принадлежит
идеалу (pg)2 линейной алгебры Ли pg, a pz— ее ради-
калу. □
Следствие 1. В разрешимой алгебре Ли g идеал д2
ортогонален (по отношению к функционалу Киллинга)
всей алгебре:
М32, 9) = °- □
Оказывается, что это необходимое условие разреши-
мости также и достаточно:
Предложение 2 (критерий Картана разре-
шимости). Алгебра Ли g тогда и только тогда разре-
шима, когда ts (g2, S) = 0.
Доказательство этого предложения использует ряд
фактов из линейной алгебры, с изложения которых мы и
начнем.
Для простоты мы пока будем предполагать поле К
алгебраически замкнутым (скажем, полем С комплекс-
ных чисел).
Пусть /1 — произвольный линейный оператор в конеч-
номерном линейном пространстве У. Приведем этот опе-
ратор к жордановой нормальной форме (см. II, 16), т. е.
найдем в базис, в котором матрица оператора А яв-
ляется прямой суммой жордановых клеток вида
/ 1 о ... о \
I О Х 1 ... о I
I О ... О X 1 Г
К 0 ......... А/
13 М. М. Постников
386
ЖОРДАНОВО РАЗЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Заменив в каждой из этих клеток единицы нулями, мы
получим диагонализируемый оператор Аа, имеющий те
же характеристические корни, а значит, и тот же харак-
теристический многочлен, что и оператор А. Оператор
Ап = А — Аа получается, очевидно, заменой всех корней
X нулями. Этот оператор нильпотентен и перестановочен
с оператором Аа (а значит, и с оператором Л). Более
того, легко видеть, что существует такой многочлен р(Т),
что Аа — Р(А) (им будет любой многочлен, обладающий
тем свойством, что р(%») = к, и р(А)(А,г) = 0 при k —
= 1, ..., п:—1 для каждого характеристического корня
Xt оператора А, где п; — кратность корня Хг) и, значит,
такой многочлен д(Т), что Ап = д(А) (достаточно поло-
жить д(7") = Т — р(Т)). Поэтому любой оператор, пере-
становочный с оператором А, будет перестановочен и с
операторами Аа и Ап.
Если теперь А = А' Д- А", где А' — диагонализируе-
мый оператор, А" — нильпотентный оператор и опера-
торы А' и А" перестановочны друг с другом, а значит, и
с оператором А, то операторы А' и А" будут перестано-
вочны с операторами Ad и Ап и будет иметь место равен-
ство А' — Аа = Ап — А". Но легко видеть, что разность
двух перестановочных диагонализируемых (нильпотент-
ных) операторов будет диагонализируемым (соответст-
венно нильпотентным) оператором. Поскольку единствен-
ным диагонализируемым и одновременно нильпотентным
оператором является нулевой оператор, отсюда сле-
дует, что равенство А' — Ad = Ап — А" возможно только
тогда, когда А' = Аа и А" = Ап.
Этим доказана следующая лемма:
Лемма 1. Любой оператор А, действующий в конечно-
мерном линейном пространстве Т, единственным образом
представляется в виде суммы
(2) Л = Ad 4- Ап
таких операторов Аа и Ап, что'.
1) оператор Аа диагонализируем-,
2) оператор Ап нильпотентен',
3) операторы Аа и Ап перестановочны друг с другом
и с оператором Л.
При этом оба оператора Аа. и Ап являются многочле-
нами от оператора А. □
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОГО ОПЕРАТОРА
387
Оператор Ап называется нильпотентной частью опера-
тора А, а оператор Ad— диагонализируемой частью опе-
ратора А. (Бурбаки называет Ad полупростой частью
оператора А.) Разложение (2) называется жордановым
разложением оператора А.
Согласно общим определениям каждому линейному
оператору А: У-+У может быть сопоставлен линейный
оператор ad А, действующий в линейном пространстве
End У* по формуле
(adA)X = AX — ХА, ^еЕпаГ.
Лемма 2. Имеют место равенства
(ad A)d = ad Ad, (ad A)n = ad An.
Доказательство. Пусть ei, . .., en — базис про-
странства У, в котором матрица оператора А а. диаго-
нальна. Это означает, что
Ad — ... -f- ХпЕпп,
где Ец — базисные операторы, определенные формулой
___________________ ( eit если k=i,
li~k f 0, если k=/=j
(эти операторы составляют базис линеала EndJ®, и их
матрицами в базисе ei, ..., еп являются матричные еди-
ницы Eij). Так как
„ р _ ( Eib, если / = а,
"ij^ab Q, если j=/=a,
то
(ad Ad) E;j = (Xi — Xj) Ец.
Это означает, что в базисе {Ei,} матрица оператора ad Да
диагональна (с элементами Xi — Xj по главной диаго-
нали). Таким образом, оператор ad Ad диагонализируем.
С другой стороны, ясно, что для любого k 0 и лю-
бого X е End3^ оператор (ad Ап)кХ является суммой опе-
раторов ± АпХАп’ где i -'г j — k. Поэтому, если А™ = 0,
то (adАп)2"1-1 = 0, т. е. оператор adA„ нильпотентен.
Наконец, так как ad является гомоморфизмом алгебр
Ли, то [adAd, ad Ап] — ad[Ati, Ал] = 0 и adAa^~
13*
388
ТЕОРЕМА КАРТАНА О ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Ц- ad Ап — ad (Ad + Ап) = ad А, т. e. операторы ad Лд я
ad An перестановочны и их сумма равна оператору ad А.
Таким образом, операторы ad Ad и ad Ап обладают
по отношению к оператору ad А характеристическими
свойствами 1)—3) из леммы 1. Поэтому ad Ad — (adA)d
и ad An = (ad A)n. □
Следствие. Операторы ad Ad и ad An являются много-
членами от оператора ad А. □
Теперь мы можем доказать наше ключевое предло-
жение о линейных алгебрах Ли:
Предложение 3 (критерий Картана). Если
следный функционал линейной алгебры Ли g тождествен-
но равен нулю, то алгебра g разрешима.
Доказательство. Пусть А — произвольный опе-
ратор из д2, и пусть А.1, ..., — все его собственные зна-
чения (характеристические корни), повторенные столько
раз, какова их кратность. Предложение 3 немедленно вы-
текает из следующей леммы:
Лемма. Для любого аддитивного отображения р:
К->-К поля К в себя (т. е. такого, что $(а 4- Ь) = $а 4~]
справедливо соотношение
Р (a i) + • • • ~г ₽ (А-Д — о.
Действительно, поле К является линейным простран-
ством (бесконечномерным) над полем QI рациональных
чисел. Выбрав произвольный базис {ui} i е /} над Q поля
К (множество индексов / бесконечно, но это ничему не
мешает), обозначим j-ю (I ен I) координату элемента
и <= К в этом базисе через pt(u). Поскольку Осс К, мы
можем рассматривать р;: ш—>Р;(н) как (очевидно, адди-
тивное) отображение К -> К. Следовательно, согласно
лемме, в поле К. имеет место равенство
ММ)М + ... 4-Pi(МК = 0.
Перейдя в этом равенстве к r-й координате, мы получим,
что
ШЧ ... 4-Pi(V)2==o,
т. е. (поскольку see числа р;(М), р;(Д.) рацио-
нальны) что
= Р/(ЛЛ)==О.
ТЕОРЕМА КАРТАНА О ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
389
Поскольку индекс i е I был произволен, это возможно
только при /,] = 0, . . . , Кг — 0, т. е. когда Ал = 0. Сле-
довательно, оператор А — А,г нильпотентен.
Этим доказано, что идеал д2 является нильалгеброй
Ли. Следовательно, согласно теореме Энгеля, этот идеал
нильпотентен, а потому сама алгебра Ли g разре-
шима. □
Таким образом, для завершения доказательства пред-
ложения 3 осталось лишь доказать лемму.
Доказательство леммы. Как и выше, мы без
ограничения общности можем считать, что
Ad — ^1-11 "Г . • • + АгеЕ;гге.
Введем в рассмотрение оператор
£ = Р'?“1)-С11-г ... 4-₽(лге)£„„.
Если р(Т) —такси многочлен, что р(Х() = В(М для
всех I, то D == р(А<А. и потому D — р(д(А)), где q(T) —>.
такой многочлен, что q(A) = Ad. Следовательно, опера-
тор D перестановочен с А, а значит, и с Ап (и с Аа). Но
тогда (DAKf = DkAn для любого k 0, и потому опера-
тор DAn нильпотентен. Следовательно, его след равен
нулю:
Tr DAn = 0
и, значит,
РРчРи + ... +P(MAn = TrZMd==TrZM.
Таким образом, нам нужно только доказать, что
Тг DA = 0?
Так как А е д3, то в алгебре g существуют такие опе-
раторы Bi, ..., Bs, Cl, .... Cs, что
А = LBj, CJ + ... + [Bs, Cs],
и потому
Tr DA = Tr £) [Bi, CJ + ... +TrD[Bs,Csl —
= Tr[D, BJC4+ ... Tr [D, BS}CS.
Ho
(ad D) Eu = (P (ZJ — p (A.,)) Eif
и, значит, ad D = g(adAd), где g(T) — такси многочлен,
что g(K — К) — Для любых i и / (такой
390
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КРИТЕРИЯ КАРТАНА
многочлен существует, так как при X/ — л> — — 7.ь
имеет место равенство
Р (^i) Р (Лу) = ,8 (Л£ Лр = Р (ла = Р (Ла) Р (Л,/,)).
Поскольку ad Ad является, как мы знаем, многочленом
от ad Л, этим доказано, что существует такой многочлен
f(T), что ad D = f(adA). Так как A, Bt <= д, то [Л, В£] <=
= в, т. е. (ad Л) Д-eg. Следовательно, (ad Л) mBt е g для
любого т>0и потому (ad D)Bt — f (ad A)Bi e g, t. e.
[£>, B;]ee. Значит, согласно условию,
Tr [£>, В£]С£ = /([£>, BJ, C{) = 0
для любого i = 1, . .., s, и потому Tr DA = 0. □
Заметим, что предложение 3 справедливо для алгебр
Ли над любым полем К характеристики 0 (а не только
над алгебраически замкнутым). Действительно, при пере-
ходе от поля К к его алгебраическому замыканию К ус-
ловие этого предложения сохраняется, а его заключение
остается справедливым и над К (алгебра Ли над_К раз-
решима, если она разрешима как алгебра над К). □
Следствие 1. Радикал t произвольной алгебры Ли g
является аннулятором идеала д2 по отношению к функ-
ционалу Киллинга:
т — (S2)'L-
Доказательство. Мы уже знаем, что t3 (д2, г) = 0,
т. е. что icz(g2)J-. С другой стороны, образ $ идеала
(й2) в присоединенной алгебре ad g обладает, очевидно,
тем свойством, что на s>2 следный функционал t равен
нулю. Поэтому идеал 52 разрешим, а значит, разрешим и
идеал (й2) -1-. Следовательно, (й2)хсдт. □
Следствие 2. Алгебра Ли g разрешима, если
(з) МйМ2) = о>
т. е., что равносильно, если
(4) Tr(adx)2 = 0
для любого элемента х е д2.
Доказательство. В силу тождества
Triad.г + ad у)2 — Tr (adx)2 -j- 2Tr (ad x ad y) -j- Tr (ad y)2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КРИТЕРИЯ КАРТАНА
391
условие (4) равносильно тому, что для любых двух эле-
ментов х, у д2 имеет место равенство Tr(ad х ad у) ®=
— О, означающее, что следный функционал линейной ал-
гебры Ли ad g2 тождественно равен нулю. Этому же рав-
носильно, по определению, условие (3). Поэтому при вы-
полнении этих условий линейная алгебра Ли ad g2 разре-
шима. Но тогда разрешима и алгебра д, поскольку д/з л?
« adg, а алгебра adg/adg2 абелева. □
; Требование х е д2 в этом следствии существенно.
Пример 4. Рассмотрим трехмерную алгебру Ли д
с базисом ei, е2, е3, умножение в которой определено фор-
мулами
[б], е2] — 0, [е15 е3] ~ aei 4- be^, [<?2, £з] — 4* de^,
где ad — be 0 и а2 4~ d2 4* 26с #= 0. Для этой алгебры
Ли идеал д2 является линейной оболочкой элементов е5,
е2 и потому представляет собой абелеву алгебру Ли. Сле-
довательно, алгебра Ли g разрешима. Вместе с тем для
любого элемента х — хАе\ 4* х2с2 4* ХзСз этой алгебры опе-
ратор ad х имеет (в базисе е\, с2, вз) матрицу
/ — ах3 — сх3 axi 4- сх2 X
I — Ьх3 — dx3 bxi -J- dx2 I
\ О О 0 J
и, значит, оператор (adx)2— матрицу
/ (а2 4- Ьс) л'з (а 4- d) сх2 — (а2 4- cb) XjX3 — (а + <i) сх2х3 \
| (а 4- d) 6х3 (be 4- dz) х| —(а 4* d) &XjX3 — (be 4- d2)x2x3 I
\ 0 0 0 /
co следом (а2 4-<^2 4* 26c)x2, равным нулю только при
х3 = 0 (т. е. при хед2).
Теперь мы уже можем доказать предложение 2.
Доказательство предложения 2. Доста-
точно заметить, что если ta (а2.3). =а 0, то, тем болеа
Шй2) = 0. □
Рассмотрим теперь линейные алгебры Ли, следный
функционал которых не вырожден.
Предложение 4. Линейная алгебра Ли с невырожден-
ным следным функционалом t редуктивна.
Доказательство. Так как t(g2,т) = 0 и функцио-
нал t инвариантен, то £(д, [д, гД £(д2, г) = 0, откуда
ввиду невырожденности следует, что [д, г] = 0, т. е. что
392
ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
г сп j. Поэтому, в частности, любой абелев идеал алгебры
g лежит в Далее, как было показано в предыдущей лек-
ции, любой оператор А из Sf]g2 нильпотентен. Поэтому
для каждого оператора В из д нильпотентен и оператор
АВ (поскольку АВ = ВА), и, значит, след Tr АВ — t(А, В)
этого оператора равен нулю. Ввиду невырожденности
функционала t это возможно только при Д — 0. Следо-
вательно, в П д2 = 0 и, значит, алгебра Ли д редук-
тивна. □
Обратное утверждение верно только «с точностью до
изоморфизма». Именно, можно показать, что любая ре-
дуктивная алгебра Ли изоморфна линейной алгебре с не-
вырожденным следным функционалом, но это утвержде-
ние нам не понадобится и мы его доказывать не будем.
Другое частичное обращение предложения 4 содер-
жится в следующем предложении, которое, напротив,
кам будет очень полезно:
Предложение 5.. Следный функционал линейной полу-
простой алгебры Ла д невырожден.
Докажем предварительно две леммы.
Лемма 3. Пусть g— произвольная алгебра Ли и t —
симметрический билинейный инвариантный функционал
на д. Тогда для любого -идеала а. алгебры д его аннуля-
тор аА относительно функционала t также является идеа-
лом.
Доказательство. Если х а-, у sg и ге а, то
/ ([х> у}, 2) — i (л, [у, z]) = 0
и потому [х, у) е ай □
Лемма 4. Пусть д — линейная полупростая алгебра,
а—ее идеал, и ах— его аннулятор относительно следного
функционала I. Тогда а П а- — 0-
Доказательство. Согласно лемме 3 аннулятор
д31, а значит и пересечение а Г) аА, является идеалом. При
этом на идеале а П ах следный функционал тождественно
равен нулю. Поэтому, согласно предложению 3, идеал
a fj йА разрешим и, значит, в силу полупростоты алгебры
д равен нулю. □
Доказательство предложения 5. Применив
лемму 2 к идеалу а — д, мы получим, что дл = 0. Но это
и означает, что функционал t невырожден. □
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
393
Представление р алгебры Ли g называется точным,
если оно является мономорфизмом, т. е. осуществляет
изоморфизм алгебры g с линейной алгеброй р(д). По-
скольку следный функционал алгебры р(д) есть не что
иное, как следный функционал представления р, предло-
жение 5 равносильно утверждению, что следный функ-
ционал любого точного представления полупростой ал-
гебры Ли невырожден.
В частности, это утверждение применимо к присоеди-
ненному представлению ad (оно точно, поскольку центр
полупростой алгебры Ли равен нулю). Так как следный
функционал присоединенного представления это в точно-
сти функционал Киллинга, тем самым доказано, что
функционал Киллинга произвольной полупростой алгеб-
ры Лиа, невырожден.
Поэтому для любого идеала а алгебры g его аннуля-
тор относительно функционала Киллинга £д имеет до-
полнительную размерность, т. е.
dim а + dim а-1- = dim g.
С другой стороны, так как ad осуществляет изоморфизм
алгебры g с линейной алгеброй ad g, переводящий функ-
ционал /а в следный функционал t алгебры ad g, то ввиду
леммы 4 имеет место равенство а ("] ах = 0.
Следовательно, g — а ф ах.
Это утверждение мы сформулируем в виде отдельного
предложения:
Предложение 6. В полу простой алгебре Ли q любой
идеал а выделяется прямым слагаемым, т. е. существует
такой идеал aL, что
8 =
Дополнительный идеал а-1- является аннулятором идеала
а относительно функционала Киллинга. □
Следствие. Любой идеал и любая факторалгебра по-
лупростой- алгебры Ли g являются полу простыми алгеб-
рами Ли.
Доказательство. Если аннулятор подпростран-
ства относительно невырожденного билинейного функцио-
нала является прямым дополнением этого подпростран-
ства, то ограничение функционала на подпространстве
.также, очевидно, невырождено. Поэтому на каждом
394
КРИТЕРИЙ КАРТАНА ПОЛУПРОСТОТЫ
идеале а алгебры g функционал Киллинга невырожден,
Это означает, что при изоморфизме ad: g—>adg идеал а
переходит в линейную алгебру Ли ad а с невырожденным
следным функционалом. Поэтому, согласно предложе-
нию 4, алгебра ad а, а, значит, и идеал а является редук-
тивной алгеброй Ли, т. е. разлагается в прямую сумму
своего центра 3 и полупростого идеала пг. Поскольку пря-
мое слагаемое идеала является, очевидно, идеалом всей
алгебры, центр g в силу полупростоты алгебры g должен
быть равен нулю. Следовательно, идеал а = ш полупрост.
Утверждение о факторалгебрах сводится к утвержде-
нию об идеалах, поскольку факторалгебра по произволь-
ному идеалу а изоморфна дополнительному идеалу
а-1-. □
Из невырожденности функционала Киллинга следует
также, что для любой полупростой алгебры Ли g имеет
место равенство g = g2. Действительно, согласно след-
ствию 1 из предложения 3, аннулятор (д2)х идеала д2 по
отношению к функционалу Киллинга для полупростой ал-
гебры Ли g равен нулю. Поэтому ввиду невырожденно-
сти функционала Киллинга д2 — д. □
Условие невырожденности функционала Киллинга не
только необходимо, но и достаточно для полупростоты
алгебры Ли. Чтобы показать это, мы в первую очередь за-
метим, что если следный функционал t9 некоторого пред-
ставления р алгебры Ли g невырожден, то представле-
ние р точное. Действительно, если ра — 0, то t9(a, х) ==
= Тг(рцрх)=0 для всех х^д и, значит, а = 0. П
В частности, если у алгебры Ли д невырожден функ-
ционал Киллинга, то ее присоединенное представление
точно, так что линейная алгебра ad g изоморфна алгебре
g (а центр алгебры g тривиален). Поскольку при этом
изоморфизме следный функционал алгебры ad g соответ-
ствует функционалу Киллинга алгебры д, этот функцио-
нал также невырожден. Следовательно, линейная ал-
гебра ad g редуктивна и, имея тривиальный центр, полу-
проста. Поэтому полупроста и алгебра g « adg.
Этим доказано следующее предложение:
Предложение 7 (критерий Картана полупро-
стот ы). Алгебра Ли g тогда и только тогда полупроста,
когда ее функционал Киплинга невырожден. □
ОПЕРАТОРЫ КАЗНМПГЖ
896
В силу этого предложения и результатов примеров
1—3 алгебры. Ли sl(n) и «о(п) полупросты, а алгебра Ли
gl(n) не полупроста. □
Пусть теперь р — произвольное нетривиальное (т. е.
такое, что ра >И= 0 хотя бы для одного элемента а е д)
представление полупростой алгебры д, и пусть I — его
ядро. Тогда, согласно предложению 6, в алгебре g суще-
ствует такой идеал 1) е= что g — Т Ф Ь. Представление
р, ограниченное на 5. точно, а так как идеал 5 полупрост
(см. следствие из предложения 6), то следный функцио-
нал представления р на идеале I) невырожден. По-
этому для любого базиса е\, ..., еп идеала ф (как линей-
ного пространства над полем К) существует Д-двойствен-
ный базис е1, . .., еп, обладающий тем свойством, что
*о (ех’ 7> ,== 1 ’ • • • ’ п-
Для любого элемента хе g мы положим
[х, <?£] = а7. (х) ef, [х, е7] — (х)
Таким образом, (а{(х))— это матрица ограничения ли-
нейного оператора ad х на подпространстве I) в базисе
е\, . .., еп, а (х)) — его же матрица в базисе е1, ... , еп.
Лемма 5. Для любого элемента х е g имеют место ра-
венства
ai (х) + р? (х) — 0, z, /—1, п.
Доказательство. Эти равенства являются лишь
иной записью утверждения об инвариантности функцио-
нала Д (кососимметричности линейного оператора ad х):
а1- (х) = ( [х, е J, е7) = — tp (<?,, [х, еЦ ) = — $ (х). □
Лемма 6. Л инейный оператор
С = р (<?г) р (а1)
не зависит от выбора базиса гь ..., еп.
Доказательство. Для любого другого базиса
ei' ==сг- ei линеала $ двойственный базис выражается
396
ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА
формулой е! —с/ ед Поэтому
Р (Х-) р (е*'> = 6fP (ei') Р =
= fij'c^cjp (<?,) р (ед =
= 6)Р (ег) Р (et) =
= Р (ед р (е{). □
Определение 3. Линейный оператор С называется опе-
раторов Казимира представления р.
Для тривиального представления р — 0 мы, по опре-
делению, положим С — 0.
Предложение 8. Оператор Казимира перестановочен
с любым оператором из р(д):
[С, р (х)] = 0 для любого х s g.
При р =/= 0 след Тг С оператора Казимира равен размер-
ности п идеала 1), так что этот оператор отличен от нуля
(и, более того, ненильпотентен).
Доказательство. По определению
Тг С = Tr (р (ez) р (ед) = (et, ег) = = п.
Так как
р (х) С = р (х) р (ед Р (е{) =
= [Р (х), Р (ед) Р (е1) + Р (?д Р (х) Р (ед =
= Р ([х, ei]) р (ед + р (ед Р (х) р (е1) =
= (х) р (е,) р (е1) + р (ег-) р (х) р (ед
и аналогично
Ср (х) = — ₽{ (х) р (е^ р (ед + р (ед) р (х) р (ед,
то Ср(х) — р(х)С = 0 в силу леммы 2. □
Представление р называется неприводамым, если не-
приводима линейная алгебра Ли р(д). Такое представле-
ние автоматически нетривиально (при dim^ > 0).
Следствие. Оператор Казимира неприводимого пред-
ставления полупростой алгебры Ли обратим.
Доказательство. В силу перестановочности С
с р(х) ядро оператора С инвариантно относительно всех
операторов р(х) и, значит, ввиду неприводимости, равно
нулю. □
КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ. —ТЕОРЕМА УАЙТХЕ-
ДА. — РАЗЛОЖЕНИЕ ФИТТИНГА. — ОБОБЩЕННАЯ
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА.— ЛЕММЫ УАЙТХЕДА. — ТЕО-
РЕМА ВЕЙЛЯ О ПОЛНОЙ ПРИВОДИМОСТИ. — РАС-
ШИРЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР ЛИ.
Мы начнем эту лекцию с некоторых общих конструкций,
генезис и значение которых могут быть объяснены только
в рамках гомологической алгебры и в связи с тополо-
гической теорией групп когомологий групп Ли. Вкратце
мы это сделаем в следующей лекции, а пока удовлет-
воримся чисто формальным изложением без каких-либо
мотивировок.
Пусть g — произвольная алгебра Ли, как всегда, ко-
нечномерная и над полем К характеристики 0, и пусть
У'3 — модуль над д, имеющий как линейное пространство
над К конечную размерность (т. е., иными словами, про-
странство некоторого конечномерного представления р
алгебры д).
Определение 1. Функция и ~ и(х\, ... , хт) от т ар-
гументов Xi, .. ., Хщ е д, принимающая значения в мо-
дуле У3, называется т-мерной коцепью алгебры Ли g над
У3. если:
•а) эта функция кососимметрична, т. е. меняет знак
при перестановке любой пары аргументов;
б) линейна по каждому аргументу (при фиксирован-
ных значениях других).
При пг = 1 условие а) бессодержательно, так что ко-
цепью будет произвольное линейное отображение tr. g-*>
У3, а при т =• О условно считается, в соответствии с
общими соглашениями о функциях с нулевым числом ар-
398
КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ
гументов, что и представляет собой произвольный эле-
мент модуля
Все /«-мерные коцепи очевидным образом составляют
линейное пространство Cm(g; 7?).
Для любой коцепи и Cm(g; 7°) и любых элементов
Xi, . . ., хт±> е g мы положим
m-f-l
(би/ ЧХ;, » . ., Хт^\) 22 ( 1) Х(11 (А [, . > >, > •, Х/я-t-l) Т
i=!
+ Е Е (— 1)I+/ u([xit xs], Xi, . . х(, . .xh ..хи+1),
г=1/=i+l
где знак над аргументом означает, что этот аргумент
должен быть опущен.
Ясно, что определенная этой формулой функция би
линейна по каждому аргументу и, как показывает авто-
матическое вычисление, кососимметрична, т. е. является
т 4- 1-мерной коцепью. Получающееся отображение
б: Cm(g, Г)->Ст+1(9, П,
очевидно, линейно.
При т — О
(би) (х) — хи,
при пг — 1
(би) (х, у) = хи (у) — уи (х) — и ([х, ?/]),
при /?г = 2
(би) (х, у, z) — хи (у, z) — уи (х, z) + zu (х, р) —
— и([х, у], z)-\-ll(\X, z], у)— и ([у, z], х).
Основное свойство отображения 6 состоит в том, что
дважды повторенное оно равно нулю:
5 о 3 = 0.
Например, при т — 0
(бди) (х, у) — х (уи) — у (хи) — [х, у] и — О
КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ
399
и при т = 1
(66п) (х, у, Z) — х (уи (z) — ZU (у) — и ({у, z]) —
— у (хи (z) — zu (х) — и ([х, г])) 4~
4- z (хи (у) — у и (х) — и ([х, у})) —
— [х, у} и (г) + zu ([х, у]) + и ([ [х, у], г]) 4*
4* [х, z] и (у) — уи ([х, г]) — и ([ [х, г], у]) —
— '(У, z] и (х) 4- хи ([у, г]) + и ([ [у, г], х]) = 0.
В общем случае вычисление утомительно, но при извест-
ной внимательности вполне выполнимо. Мы предоставим
его читателю.
Определение 2. Коцепь и, для которой 6« — 0, назы-
вается коциклом, а коцепь и вида 6у— кограницей.
Все коциклы образуют подпространство ZOT(g; Т} ли-
неала С"г(3;^)) ядро отображения 6: C'ra(g;iF)—
—> Cm+1 (g, У3)), а все кограницы (при т > 0) — подпро-
странство В”г(д; линеала Cm(g; (образ отображе-
ния 6: Ст~х (д; > Ст (д; . Соотношение 6 = 6 — 0
означает, что
В'?Чд; r)c=Zm(g; Г)
при любом т > 0, так что определено факторпростран-
ство
//'ге(д; y’) = Zm(g; Z)/B"’(g; Л-
При т — 0 мы условно считаем, что Я°(д; Т) = Z°(g:
J3), так что Я°(д; 7а) есть не что иное, как подпростран-
ство модуля У, состоящее из его инвариантных элемен-
тов, т. е. из таких элементов и, что хи = 0 для любого
X €= д.
При m = 1 коциклы характеризуются соотношением
(1) и ([х, у]) — хи (у) — уи (х),
а при m = 2 — соотношением
(2) и ([х, у], z) + и ([у, z], х) 4- и ([z, х], у) =
= хи (у, z) 4- уи (z, х) 4- zu (х, у).
400
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
Равенство Hl (д; ЗД = 0 означает, что из выполнения
соотношения (1) вытекает существование такого эле-
мента что
и (х) — XV,
а равенство Т/Дд;^)—0— что из выполнения соотноше-
ния (2) вытекает существование такого линейного ото-
бражения v: д—>-У, что
и (*, У) = XV (у) — yv (х) — у (К У\ )•
В дальнейшем нам фактически будут нужны только
последние два утверждения.
Предположим теперь, что алгебра Ли й полупроста.
Тогда определен оператор Казимира С = р(е,-)р(£г)
представления р, где ei, е1г — произвольный базис
идеала дополнительного к ядру представления р, а
е1, ..., еп — его двойственный базис по отношению к
следкому функционалу /р.
Предложение 1 (теорема Уайтхеда). Если опе-
ратор С обратим, то
Htn (д; У) = 0 для любого m 0.
Доказательство. Пусть m — 0. Если хо = 0
для всех х е= д, то Со — 0 и, значит, и = 0. Таким обра-
зом, Я°(д; У1) = 0.
Пусть пг > 0, и пусть и Zm(Q-, У). Тогда
Е (— 1)‘+; хрл (хь .... xi: xm+l) 4-
i=i
m m+l
+ S E (-iCMkoxd,
i-1 / = i+l
xs, ...» X/, .... x/e .... = 0
для любых элементов e g. Подставив
вместо Xm+i элемент базиса идеала I), умножив на и
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
401
просуммировав по k, мы получим тождество
(3) Z(-l)z+1efe(x/M(x-1; .... xi} х,.п, ей))4~
j=i
+ (-l)«+2^(eftM(Xb .... Хп)) +
+ Е Е (-l)z+'efe«([xy, xzL хь ...
i=l /=/-}-1
• • • > • • • > • • • t Х~т, &t{) ~F"
ek}, xt, .... .... xm) — Q,
i = l
имеющее место для любых Xi, ... , хт е й-
Поскольку хи — р(х)и, член (—l)n+2efe (£&«(%!, ...
. .. , хт)) тождества (3) есть не что иное, как
(—i)n+2Cu(xi, ..., хт), а поскольку е{хи) — [е, х]и-j-
4-х(е«), первая сумма в этом тождестве равна
(4) Е (— 1 )‘+I [Л xt] и (хь ...» х^ ..., хт, е/;) -г
i=l
-f- ( 1) Xi {в И (Xj, ..., Хт, в/г)) =
1=1
= Е ( О Р? • • •» -^р • • °, хт, -J-
т
!" 5 ' X,V (Хр о . . j Xi, . . о. Х/п).
1 = 1
где, как и в лемме 2 предыдущей лекции,
pk(x) = ^p([x, efeL ^)’
а
v(y\, ym-i) = sku{yx, Ут-l, ек)
ДЛЯ любых У1, . . . , Ут-1 <= 9-
Последняя же сумма в тождестве (3) равна
£(-1У+“+'а'(х,)Лг(«„ х,...................х„) =
=== /Ц( о •••> »»•? х/д,
402
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
где alk (х) — ( [х, efe'j, ег) и потому в силу леммы 2 пре-
дыдущей лекции сокращается с первой суммой в (4).
Поскольку двойная сумма в (3) может быть перепи-
сана в виде
т — 1 т
S S (— l)i+; V( [Х^ Х;], Xh Xit , . X/, Xm),
i^l J=i+1
этим доказано, что
(— 1)Л+2 Си (х1; Хт)-г Z (— 1)г+1 Хго (хь .. ., Xi, .. ., Хот)+
Z=1
т—1 т
~Ь У» (— О +/ ° ( [xi> -г’/Ь ЛЬ - • • j • • •
г=1 j=i+l
. . •, Xj, . « •, хт}
т. е. что
(— 1)га+2 Си (х1з . хт) 4- (М (хь . . хт) = 0.
Отсюда следует, что, положив
w(xb xm)==(—1)'г+1С-1и(хь хт),
мы получим такую коцепь w е Cm~l (g; У1), что и = ба>.
Таким образом, каждый m-мерный коцикл алгебры g
над У является кограницей, и потому Яот(д; У) — 0. □
Напомним, что линейный оператор С, действующий в
линейном пространстве У3, называется прямой суммой
4®В оператора А, действующего в подпространстве
'З3 сд У, и оператора В, действующего в подпространстве
Q cz Т, если У3 — 93 ф подпространства 2Р и инва-
риантны относительно оператора С и операторы, индуци-
рованные в З3 и Q, оператором С, совпадают соответст-
венно с операторами А и В. В условной, но наглядной
записи
(ср. с II. 14).
Для исследования линеалов Нт(^\ У3} в случае, когда
оператор Казимира С необратим, мы воспользуемся сле-
дующей леммой:
РАЗЛОЖЕНИЕ ФИТТИНГА
403
Лемма 1. Любой линейный оператор С в конечномер-
ном линейном пространстве Т единственным образом
разлагается в прямую сумму
(5) С = .4 е В
обратимого оператора А и нильпотентного оператора В.
Доказательство. Так как пространство конеч-
номерно, то убывающая цепочка подпространств
(6) о Im С о Im С'2 то ... Im Ck =) . . .
стабилизируется, т. е. существует такое к, что Im Ск =
= Im Cfe+1. Мы положим & = Im Ск. Ясно, что SP ин-
вариантно относительно С и индуцированный оператор А:
SP —(являясь надъективным оператором) обратим.
По тем же соображениям стабилизируется возрастаю-
щая цепочка подпространств
(7) 0 <= Ker С с= Кег С2 <= ... с= Кег С1 с= . ..,
т. е. существует такое I, что Кег С1 — Кег Сг+1. Подпро-
странство = Кег Cz инвариантно относительно С и ин-
дуцированный оператор В: Q -> Q нильпотентен (по-
скольку В! = 0). При этом, заменив, если нужно, пока-
затель k или I большим, мы можем считать, что k = I.
Таким образом, для доказательства существования
разложения (5) осталось только доказать, что У — SP ®
© 67. Но ясно, что для любого вектора а <= вектор Ски
лежит в 53, а вектор и — Ckv в Поэтому Т = 9* 4- ($.
Если же v е 9 f| Q1, т. е. и = Ckw и Ски = 0, то C^w =
= 0, и потому w t= Следовательно, Ckw = 0, т. е.
о = 0.
Этим существование разложения (5) полностью дока-
зано.
Его единственность непосредственно следует из того,
что для любого разложения (5) соответствующие под-
пространства SP и однозначно характеризуются как
подпространства, на которых CTa6mTH3npviOTCH цепочки
(6) и (7). □
Разложение (3) называется разложением Фиттинга
оператора С.
Если теперь опять Т — пространство представления р
полупростой алгебры Ли g, а С — его оператор Кази-
404
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
мира, то подпространства ёР и Q инвариантны относи-»
тельно всех операторов р(х) х е д, т. е. являются подмо
дулями. Действительно, пусть, например, v <= SP. По ус*
ловлю существует такой вектор w <= У, что v = Ckwt
Пусть p(x)w = Wi -j- w2, где aits^ и Q. Так как
= 0, то
р (а) о — р (х) Ckw = Cfep (х) w — CkWi <= 6Р.
Аналогично, если v е С? и Ckv = 0, то Cfep(x)o =я
= р (х) Ckv — 0 и, значит, р (х) v е С$. О
Являясь модулями над алгеброй g, линейные про»
странства РР и Q, будут пространствами некоторых пред-
ставлений с и т этой алгебры (как говорят, представле-
ние р разложено в прямую сумму представлений сг и т).
При этом ясно, что операторы /1 и В из разложения Фит-
тинга оператора Казимира С представления р будут опе-
раторами Казимира представлений о и т. Поэтому в силу
предложения 1 для любого tn Д 0 будет иметь место ра-
венство
Hm(Q; ^) = 0.
С другой стороны, поскольку оператор Казимира В
представления т нильпотентен, это представление три-
виально (и В — 0). Это означает, что Q является прямой
суммой одномерных инвариантных подпространств, на
каждом из которых алгебра д действует тривиально. Дру-
гими словами, д-модуль Q является прямой суммой мо-
дулей, каждый из которых изоморфен полю К с три-
виальным действием на не?л алгебры д. Число этих сла-
гаемых называется кратностью, с которой К входит в У.
Но ясно, что если д-модуль У является прямой сум-
мой g-модулей У1, .... Ts, то для любого пг 0 линеал
№-(д; у) является прямой суммой линеалов
У1), . . . , №”(д; У5). Вместе со всем сказанным выше это
доказывает следующее предложение, обобщающее пред-
ложение 1:
Предложение 2. Для любого модуля У над полупро-
стой алгеброй Ли д и каждого m 0 линеал И'п((р У)
является прямой суммой k экземпляров линеала Нт (д;
К), где я — кратность. с которой К входит в Т_, □
ЛЕММЫ УАЙТХЕДА
405
Таким образом, для вычисления любых линеалов
Ят(д; достаточно уметь вычислять линеалы Z7m(g; К).
В связи с этим полезно иметь в виду, что для коце-
пей над К общая формула кограницы существенно упро-
щается, принимая вид
(би) (xj, ..., Xtfi+i) —
tn Я1 + 1
' zLj V 1)" ' И ( [-4? •*-/]> Л-b ' • • i it • • j Xi, < • > , Xm_j_ j).
1 = 1 /=i+l
Например, при m — 0
(би) (x) = 0,
при m = 1
(би) (x, y) — — и ([x, y\),
и при m = 2
(6«) (x, y, z) — — u{ [x, y}, z)-\-u( [x, z], y) — u( [y, z], x).
Поэтому H°(q; К) — K, a 7/х(д; К) представляет собой
пространство линейных функционалов g—>К, равных
нулю на д2 (т. е. является аннулятором Ann g2 подпро-
странства g2 в сопряженном пространстве д').
Но в предыдущей лекции было показано, что полупро-
стая алгебра Ли g совпадает со своим идеалом д2. По-
этому для любой полупростой алгебры Ли /Л(д; К) = 0.
В силу предложения 2 этим доказано
Следствие 1 (первая лемма Уайтхеда). Для
любого модуля над полупростой алгеброй Ли g имеет
место равенство
7/1 (д; Г) = 0. о
Чтобы получить аналогичный результат при m = 2,
мы для любого элемента х е g и любого функционала
g -> К положим
х| = — ° ad х.
Автоматическая проверка показывает, что соответствие
(х, g)i—->х| определяет в сопряженном линеале д' струк-
туру д-модуля. Поэтому имеет смысл рассматривать ко-
цепи алгебры д над модулем д'.
406
ЛЕММЫ УАЙТХЕДА
Для каждого т 1 мы определим отображение
<р: Ст(& $'),
положив
(ф«)(хь ..xzn_1)(x) =
= а(хь ..., хт_ь х), хь .хт_ь хе д,
для любой коцепи и е Ст(д; К). Так как
[5(фц)(хь хте)](х) =
= Е (— D£+1 к» ((ф«) (*ь • • •, • • •. *J)] (*) Ч-
4=1
т—1 т
+ Е Е (-1)£+/[(Ф«)( кь xj,
j==i /«=/4-1
Xj, о « « , Xj, • • • ? (^)
= E (-1)! 1(ф«) (xb .... Xi, ...» xOT)] ( [xi; x] ) 4-
4 = 1
m— 1 m
+ E E (-1)г+М[хь xj,
4 = 1 i-i+!
Xj, Xi, £/, ..., Xm, x) =
= S (-1N U'b &i, • • •, Xm, [хг-, x] ) 4-
4 = 1
m—1 m
+ S E (-l/+/«([Xb x,]>
1 = 1 /=j‘4-1
Xj, . . •, &i, £'j, . • • , Xm, X) =
= (Su)(Xj, . . ., Xm, x) =
= 1(ф (6«)) (xb .... x,„)] (x)
для любой коцепи ueCm($; К) и любых элементов х,
xi, ..., Хт е д, то 6 ° <р = <р откуда, в частности, вьь
текает, что для любого коцикла и коцепь <р« также яв-
ляется коциклом.
Для полупростой алгебры Ли g при т = 2 отсюда в
силу первой леммы Уайтхеда следует, что для любого ко-
цикла rzeZ2(g; К) существует такая коцепь ^еСЧд;
ТЕОРЕМА ВЕЙЛЯ О ПОЛНОЙ ПРИВОДИМОСТИ 407
д') = Qf, что <рн = бд. Но тогда для любых элементов
к, у g будет иметь место равенство
и (х, у) = ((фи) (х)) (у) = ((6g) (x'f) (у) =
= (*£) (у) = — (5 ° ad х) {у) =
^]) = (6i)U, у),
означающее, что и — 6g. Следовательно, Н2(д; К) — 0.
В силу предложения 2 этим доказано
Следствие 2 (вторая лемма Уайтх ед а). Для
любого модуля У над полупростой алгеброй Ли g имеет
место равенство
Я2(д;У) = 0. □
При tn = 3 существуют полупростые алгебры Ли, для
которых Я3(д; К) 0.'
Леммы Уайтхеда, несмотря на их непретенциозное
причисление к разряду лемм, имеют очень важное значе-
ние, являясь ключом к двум главнейшим теоремам тео-
рии алгебр Ли.
Представление р алгебры Ли g называется вполне
приводимым, если оно является прямой суммой неприво-
димых представлений.
Предложение 3 (теорема Вейля). Любое пред-
ставление р полупростой алгебры Ли g над полем К впол-
не приводимо.
Доказательству этого предложения мы предпошлем
несколько простых замечаний из линейной алгебры.
Пусть — произвольный линеал и & — некоторое
его подпространство. Рассмотрим произвольное подпро-
странство С£, дополнительное к подпространству SP., т. е.
такое, что
(8) .
Если и У и и — v 4- w, где v и w е Q, то, поло-
жив Ри — v, мы, очевидно, получим идемпотентный (т. е.
такой, что Р2 = Р) линейный оператор Р: У —>У, обла-
дающий тем свойством, что Im Р — SP. Такого рода опе-
раторы называются проекторами на ёд. М.ы видим, следо-
408
ТЕОРЕМА ВЕЙЛЯ О ПОЛНОЙ ПРИВОДИМОСТИ
вательно, что любое разложение вида (8) определяет не-
который проектор на &>.
Обратно, пусть Р: "И —>- У—произвольный проектор
на 9>, и пусть Q, — Ker Р. Для любого вектора и е У.
вектор Ри лежит в 5Р (ибо Ри = Р(Р«))', а вектор и—
— Ри в Q (ибо Р(и — Ри) = Ри — Р2и — 0). Поскольку
и == Ри + (и — Ри), этим доказано, что 4- Но
если « б?, то, во-первых, и — Ри (так как и, S? =
— Im Р, то и = Ри, где v е 1Р, и потому Ри — P{Pv) —
— Ри = и) и, во-вторых, Ри — 0 (ибо и <= 62), что воз-
можно только при и — 0. Следовательно, Т — 53 © С%.
Этим доказана следующая лемма:
Лемма 2. Подпространства Q, дополнительные к под-
пространству &, находятся в естественном биективном со-
ответствии с проекторами на РР. В этом соответствии каж-
дому проектору Р отвечает его ядро Ker Р. □
Если теперь Т является модулем над алгеброй Ли д,
то подпространства АР — Im Р и С? = Кег Р тогда и
только тогда являются подмодулями, когда оператор Р
является гомоморфизмом модулей, т. е. перестановочен
со всеми операторами р(х), х е д, где р — представление,
определенное модулем У. Действительно, если Р являет-
ся гомоморфизмом и иЕ :?5 (и, значит, и — Ри), то хи =
= р(х) и — р (х) Ри — Рр (х)и е SP для любого х е д.
Аналогично, если ut=Q, то Р{хи) = р{х)Р{и) = 0 и,
значит, хи е GA Обратно, если РР и Q — подмодули, то
для любых элементов и имеет место равен-
ство хи — х{Ри-\-{и— Ри)) = хРи -J- х{и—Ри), где
хРи е РР и х{и— Ри) е Q, показывающее, что х{Ри) =
= Р {хи). □
Доказательство предложения 3. Очевид-
ное индуктивное рассуждение (использующее конечно-
мерность представления р) показывает, что для доказа-
тельства предложения 3 достаточно установить, что для
любого подмодуля ZP произвольного g-модуля У имеет
место разложение (6), в котором Q. также является под-
модулем, т. е. доказать, что существует проектор Р:
"И на SP, являющийся гомоморфизмом модулей.
С этой целью мы рассмотрим множество 7И всех линей-
ных операторов А: для которых Im A cz 9> cz
cz Кег А (и, значит, А2 — 0). Автоматическое вычисление
показывает, что Ж- является подпространством линеала
РАСШИРЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР ЛИ
409
End У/3 и, белее того, модулем над g относительно дей*
ствия
хЛ = [р (х), Л], х ед, А <= 77°.
Если теперь Ро — произвольный проектор на SP, то, к as
легко видеть, [р (х), Ро] е З/3 для любого хед и, зна-
чит, формула
V- (х) = [р (х), Ро], х е= д,
определяет некоторое линейное отображение и;
т. е. коцепь из С1 (д, 7^). Так как в силу тождества Якоби
хи (у) — уи (х) — и ([х, у]) = [р (х), [р (у), Ро] ] —
- [р (У), [р И, Рй] ] - [р [х, у], Ро] = 0,
то эта коцепь является коциклом. Поэтому согласно пер-
вой лемме Уайтхеда существует такой оператор А е
что и(х) — хА для любого xeg, т. е. такой, что [р(х),
-Ро] = [р(х), А]. Для оператора Р == Ро— А последнее
соотношение означает, что он перестановочен со всеми
операторами вида р(х), х е д, т. е. является гомоморфиз-
мом модуля У в себя. При этом Pv е Т для любого о ев
<= Т и Ро = Pqv — v, если v <=5^ так что Р являете®
проектором на □
Аналогичное использование второй леммы Уайтхеда
требует некоторых приготовлений.
Мы будем говорить, что алгебра Ли £ является рас-
гиирением алгебры Ли а посредством алгебры Ли д, если
а является идеалом в 1), а факторалгебра ЗуЯ изоморфна
алгебре д. Последнее условие означает, что существует
эпиморфизм алгебр Ли а: 1)->д, ядром которого служит
идеал а. Мы будем считать этот эпиморфизм раз на-
всегда выбранным и фиксированным.
Расширение у называется тривиальным, если в I; су-
ществует подалгебра, которая при эпиморфизме а изо-
морфно отображается на алгебру д.
Ясно, что мы всегда можем найти такое линейное ото-
бражение
р: Й-М,
что а с = id д (сечение гомоморфизма а). Тогда алгебра
Ли Ь как линейное пространство будет разлагаться в пря-
41ц РАСШИРЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР Лк
мую сумму идеала а и подпространства Im р. Расшире-
ние I) тогда и только тогда тривиально, когда отображе-
ние р можно выбрать среди гомоморфизмов алгебр Ли.
Отклонение отображения р от гомоморфизма алгебр
измеряет функция и — и(х, у), определенная формулой
«(х, у) = [рх, ру] — р [х, у], X, у е д.
Так как ос«(х, у) = [офх, офу] — «3[х, у] — 0, то функ-
цию и можно считать принимающей значения в идеале а1.
Ясно, что эта функция линейна по обоим аргументам и
кососимметрична, т. е. является двумерной коцепью ал-
гебры д, принимающей значения в идеале а.
Впрочем, последнее заключение мы сделали несколь-
ко поспешно, поскольку идеал а не является, вообще
говоря, g-модулем, что требуется от области значений ко-
цепей. Чтобы преодолеть эту трудность, мы предполо-
жим, что а2 — 0, т. е. что алгебра а абелева. Тогда фор-
мула
ха — [Зх, а], х е g, a s а,
будет корректно (независимо от выбора сечения 3) опре-
делять в а структуру g-модуля, и потому мы будем иметь
полное право называть функцию и коцепью.
Легко теперь видеть, что коцепь и е С2(д; а) являет-
ся коциклом. Действительно, дважды используя тожде-
ство Якоби, мы получаем, что
(б«)(х, у, z) = xu(y, z) — уи(х, z) + zu(x, у) —
— и ([х, у], z) + и ([х, z], у) — и( [у, z], х) =
= [рх, [Ру, pz] — 3 [у, z] ] — [Ру, [Рх, pz] —
— з [х, z] ] + [32, [рх, ру] — Р [х, у] ] —
— [р [х, у], pz] + Р [ [х, у], Z] + [Р [х, 2], ру] —
— р [ [х, 2], у] — [р [у, г], рх] + р [ [у, 2], X] =
= [Рх, [ру, Pz] ] - [Ру, [рх, 32] ] + [pz, [рх, ру] ] 4-
+ Р ( [ [х, у], z] — [ [х, 2], у] + [ [у, 2], х] ) = О
для любых элементов х, у, z е д. □
Пусть р' — другое сечение эпиморфизма а. Тогда раз-
ность* v — р — р' мы можем рассматривать как линей-
РАСШИРЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР ЛИ
411
ное отображение д->а, т. е. как коцепь из С3(д; а). По-
скольку
(М (х, у) = xv {у) — yv (х) — v ([х, у]) =
— [Рх, рг/ — Р'г/] — [р'у,. рх — р'х] — р [х, у] + р' [х, у] =
== ([рх, рг/] — Р [х, //]) — ([р'х, p'z/] — Р' [х, у]),
замена р на Р' влечет за собой замену и на и — би. Сле-
довательно, если и — би, то отображение |У = р — v бу-
дет гомоморфизмом алгебр Ли, т. е. расширение § будет
тривиально.
Но в силу второй леммы Уайтхеда условие и — ба не-
пременно выполнено, если алгебра Ли полупроста. Этим
доказано следующее предложение:
Предложение 4. Любое расширение I) абелевой алгеб-
ры Ли а посредством полупростой алгебры Ли g три-
виально. □
Следствие. Алгебра Ли g тогда и только тогда редук-
тивна, когда ее центр j совпадает с ее радикалом г:
3 = г.
Доказательство. В лекции 12 уже было дока-
зано, что для редуктивной алгебры г = Обратно, пусть
т — 3. Тогда g является расширением абелевой алгебры з
посредством полупростой алгебры g/т. Следовательно, со-
гласно предложению 4 имеет место равенство g = § (R т,
где Ш — полупростая подалгебра. Но так как . [?;, ш] —
— О сд га, то подалгебра га является идеалом. Следова-
тельно, алгебра Ли g редуктивна. □
Лекция 29
ТЕОРЕМА ЛЕВИ. — ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППЫ
ЛИ.— КАИНОВЫ И УНИМОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ,—
ЛЕММА ШУРА. — ЦЕНТР ПРОСТОЙ МАТРИЧНОЙ
ГРУППЫ ЛИ, —ПРИМЕР НЕМАТРИЧНОИ ГРУППЫ
Л И. — КО ГОМОЛО ГИИ ДЕ РАМА. — КОГОМОЛОГИИ
АЛГЕБРЫ ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ. — СРАВНЕНИЕ
КОГОМОЛОГИИ ГРУППЫ ЛИ И ЕЕ АЛГЕБРЫ ЛИ.
Каждая алгебра Ли g является расширением своего
радикала t посредством алгебры g/t. Мы будем гово-
рить, что алгебра Ли g допускает разложение Леви,
если это расширение тривиально, т. е. если в g суще-
ствует такая (автоматически полупростая) подалгебра
от, что
g == г 4g и.
Если алгебра g полупроста или разрешима, она, конечно,
допускает разложение Леви, Согласно предложению 4
предыдущей лекции, алгебра д, радикал г которой абе-
лев, допускает разложение Леви.
Предложение 1 (теорема Леви). Любая алгебра
Ли g над полем К допускает разложение Леви.
Доказательство. Проведем индукцию по раз-
мерности п — dim г радикала алгебры д. Если п = 0 или
п = 1 или если идеал а = г2 равен нулю, то по сказан-
ному выше алгебра g допускает разложение Леви. Пусть
п > 1, и пусть а 0. Тогда dim т/а •< п, а поскольку
является радикалом факторалгебры g/д, то, по пред-
положению индукции, алгебра g/а допускает разложение
Леви. Для алгебры g это означает, что в ней существует
такая подалгебра Ь, что g = t 4- Ъ и I П b = а. Идеал а
является разрешимым идеалом алгебры 5, факторалгебра
Ь/а по которому полупроста (ибо она изоморфна полу-
ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППЫ ЛИ
413
простой алгебре g/г). Это означает, что с является ради-
калом алгебры Ь, а так как dim G < п, то, по предполо-
жению индукции, в 1> существует такая полупростая под-
алгебра и, что Ь — а ф пг. Но тогда t П га = ~ П 5 Р, га ==
= д П га = О и t4-ra=r-t-rn&4-ra==r-r<i4-»=-
= г 4* Ь = д, так что g —- г ф га. □
Сейчас можно было бы непосредственно перейти к
доказательству теоремы Адо, но вместо этого мы пред-
почтем пока отклониться несколько в сторону и рас-
смотреть вопрос о справедливости аналога этой теоремы
для групп Ли. Мы обсудим также взаимоотношения
формально-алгебраической теории когомологий из лек-
ции 19 с теориями когомологий, известными в топологии.
В соответствии с общеалгебраическим словоупотреб-
лением алгебра Ли g называется простой, если она не
имеет ненулевых идеалов, отличных от Q.
Ясно, что нетривиальная простая абелева алгебра Ли
необходимо одномерна, а неабелева простая алгебра Ли
полупроста.
Можно показать, что алгебра Ли $Цп) проста. Соот-
ветствующие вычисления в достаточной мере утоми-
тельны, и потому мы ограничимся единственно нужным
мам случаем п = 2.
Алгебра Ли sl(2) трехмерна и матрицы
Н = Еп — Е22, Ei = E[2, E_i = E2l
составляют ее базис. Непосредственное вычисление пока-
зывает, что
[АГ, £1] = 2£1, [И, £_1] = -2Л_ь [£ь Е_1] = Н
откуда, в частности, следует, что идеал а алгебры 3l(2)'t
содержащий хотя бы один из элементов И, Е\, Е^, со-
держит их все и потому совпадает со всей алгеброй з!(2).
С другой стороны, если Д в= аН 4- а\Е\ 4- а-\Е-\ е а, то
[АГ, А] = 2а\Е\ — 2a-iE-i е а и, значит,
,, , о „ . . [Н, Л]
ah 4- — А ф —2~- е я
•И 4
КАИНОВЫ И У1ШМОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ
а потому [Я, аН 2а1£'1] — 4aiEL е а. Следовательно,
если а =7^ sl(n), то а\ = 0 и, значит, аН е а, что при
а У= si (и) возможно лишь когда а = 0. Поэтому А =
= ci^E-i <= а, откуда снова следует, что либо а = sl(n),
либо a-i = 0. Таким образом, если а =И= sl(n), то А — О,
т. е. а = 0. □
Связная группа Ли G называется простой, если ее ал-
гебра Ли неабелева и проста, или, что равносильно, если
любая ее инвариантная подгруппа, отличная от группы G,
нульмерна (и, следовательно, если замкнута, то дискрет-
на). Таким образом, если группа G проста, то любой
эпиморфизм G-+-G' либо является групповым накры-
тием (локальным изоморфизмом), либо группа G' три-
виальна (состоит только из единицы). При этом группа
G' также проста, ибо, согласно определению, группа Ли
проста или не проста одновременно со всеми группами,
ей локально изоморфными.
Примером простой группы Ли является группа SL(2),
а также и ее универсальная накрывающая группа
SL(2).
Аналогично, связная группа Ли называется полупро-
стой, если ее алгебра Ли полупроста.
Заметим, что любая простая группа Ли полупроста.
Напомним, что коммутантом [G, G] группы G назы-
вается ее подгруппа, порожденная всеми элементами
вида aba~lb~l. Группа G называется каиновой, если [G,
G] = G. Из предложения 2 лекции 4 немедленно выте-
кает, что связная группа Ли G тогда и только тогда яв-
ляется каиновой группой, когда для ее алгебры. Ли g
имеет место равенство g = g2.
В частности, отсюда следует, что любая полупростая
группа Ли каинова.
Например, группа Ли SL(2), а также любая группа
Ли, локально изоморфная группе SL(2), скажем, группа
SL(2), являются каиновыми группами Ли.
Как непосредственно следует из теоремы об опреде-
лителе произведения матриц, любая каинова {и, в част-
ности, любая полупростая} матричная группа Ли
унимодулярна, т. е. состоит из унимодулярных мат-
риц.
ЛЕММА ШУРА
415
Кроме того, очевидно, что любая факторгруппа каи-
новой группы также является каиновой группой.
Пусть g— линейная алгебра Ли над полем С, со-
стоящая из линейных операторов, действующих в конеч-
номерном комплексном линейном пространстве Т. Если
линейный оператор А (не принадлежащий, вообще го-
воря, алгебре Ли д) перестановочен со всеми операто-
рами из д, то его ядро КегД и образ 1шД инвариантны
относительно этих операторов, и потому, если алгебра
Ли g неприводима, то либо А = 0, либо оператор А не-
вырожден. Но, для любого собственного значения А, опе-
ратора А оператор А — ХЕ вырожден и также переста-
новочен со всеми операторами из д. Поэтому А — ХЕ —
= 0. Этим доказано, что единственными операторами,
перестановочными со всеми элементами неприводимой
линейной алгебры Ли g над полем .С; являются скаляр-
ные операторы вида ХЕ.
Это утверждение называется леммой Шура. Заме-
тим, что в его доказательстве мы нигде не пользовались
алгебраической структурой алгебры Ли д. Поэтому лем-
ма Шура справедлива для любых неприводимых (т. е.
не имеющих нетривиальных инвариантных подпро-
странств) семейств g линейных операторов над полем
комплексных чисел С.
Рассмотрим теперь произвольную линейную алгебру
Ли g над полем R, состоящую из линейных операторов,
действующих в вещественном линейном пространстве У.
Чтобы воспользоваться леммой Шура, перейдем от ал-
гебры g к ее комплексификацни ди , состоящей из мат-
риц (линейных операторов) вида А -ф iB, А, В ед, и
действующей в комплексификацни пространства
Ясно, что если алгебра Ли g (над полем R) полупроста,
то алгебра Ли дс (над полем С) также полупроста. Но,
если алгебра дс полупроста, то согласно теореме Вейля
(предложение 3 лекции 19) пространство разла-
гается в прямую сумму инвариантных подпространств
ТЛ, г — 1, ..., s, в каждом из которых алгебра g с дей-
ствует неприводимым образом. На языке матриц это
означает, что (при соответствующем выборе базиса про-
416
ЦЕНТР ПРОСТОИ матричной группы ли
странства каждая матрица из алгебры д° (а, зна-
чит, и из алгебры д) имеет вид
(1)
причем для любого i = 1, ..., s отображение рц A ।—
будет неприводимым представлением алгебры д° в про-
странстве Tt.
Имея это в виду, предположим, что алгебра g яв-
ляется алгеброй Ли некоторой линейной (= матрич-
ной) полупростой (и, значит, связной) группы Ли G,
действующей в линейном пространстве ТА. Группа G
естественным образом действует и в линейном простран-
стве У3", причем все подпространства будут относи-
тельно этого действия инвариантны (они инвариантны
относительно операторов A sg = Reg0, а потому и от-
носительно всех операторов etA, порождающих —
ввиду связности — группу G). Поэтому любой элемент
группы G также допускает разложение вида (1) (во-
обще говоря, с комплексными матрицами Ль ..., Ло-).
При этом все матрицы вида Л; будут составлять неко-
торую (вообще говоря, приводимую и, возможно, три-
виальную) группу Gi, действующую в пространстве У-
и являющуюся эпиморфным образом группы G.
Заметим, что все группы Gi унимодулярны. Действи-
тельно, являясь полупростой, группа G каинова. Следо-
вательно, каиновы, а потому и унимодулярны, и все
группы Gt. □
Пусть теперь А — произвольный элемент центра
группы G. Будучи перестановочным с каждым элемен-
том группы G, оператор А перестановочен и с каждым
элементом алгебры Ли д, а, значит, и с каждым эле-
ментом алгебры Ли дс. Поэтому для любого i = 1, ..., ч
оператор Ac. из разложения (1) оператора А
перестановочен с каждым элементом неприводимой ал-
гебры р;-(зс)и, следовательно, согласно'лемме Шура яв-
ляется скалярным оператором вида к,;Е, где Д е С.
С другой стороны, оператор Л/, являясь элементом груп-
пы Gi, унимодулярен. Следовательно, A/R = 1, где /г- —
sssdim^0;, и, значит, для элемента А имеется лишь ко-
нечное число пуг2 ••• ns) возможностей. Этим до-
казано следующее предложение, бывшее основной целью
Нсех наших рассуждений:
ПРИМЕР КЕМАТРИЧНОЙ ГРУППЫ ЛИ
417
Предложение 1. Центр любой полупростой (и, в част-
ности, любой простой) матричной группы Ли коне-
чен. □
С по?лощью этого предложения легко доказывается,
что аналог теоремы Адо для групп Ли неверен, т. е.
что существуют связные группы Ли, не изоморфные ни-
какой матричной группе. Для этого достаточно найти
связную простую группу Ли с бесконечным центром. Мы
покажем, что такой группой является универсальная на-
крывающая группа SL(2) группы SL(2) унимодулярных
матриц второго порядка (о которой мы уже знаем, что
она проста). Для этого нам понадобится явная конструк-
ция группы SL(2).
Несколько опережая события, обозначим через SL(2)
гладкое трехмерное многообразие, являющееся произве-
дением R X D вещественной прямой R и единичного
круга D плоскости комплексного переменного, состоя-
щего из таких комплексных чисел z, что |z| < 1.
Легко видеть, что функция z i—> - осуществляет
непрерывное отображение круга D на окружность |w| —
= 1 с выколотой точкой w — —1. Поэтому для любого
числа z = D существует единственное число t, —л < i <Z
<Z л, для которого
1 1 * Z
Это число t мы будем обозначать символом — In уi~—.
Мы зададим в множестве SL(2) умножение, опреде-
лив его формулой
(1) (х, и) (у, V) = (х + у + t, ’
х, у = R, и, v е D*
где
, e~2i!fiiv
t = 1П----------277Т ’
21 1 + eilJuv
14 М- М. Постников
418
ПРИМЕР НЕМАТРИЧНОЙ ГРУППЫ ЛИ
Так как | e2iy + uv j2 —} и + eriyv f = (1 — | и Р) (1 — ) v Р) >
> 0, то
I e2ty + uv ’
и, значит, формула (1) корректно определяет в SL(2)
умножение.
Это умножение обладает единицей (0, 0), и для лю-
бого элемента (х, и) существует обратный элемент
(х, и)-1 ~ (— х, — e2ixu).
Кроме того, как показывает автоматическое, хотя и до-
вольно длинное вычисление, умножение (1) ассоциатив-
но. Поскольку это умножение, очевидно, гладко, тем са-
мым доказано, что относительно умножения (1) много-
образие SL(2) является группой Ли.
Центр этой группы состоит из таких элементов (х, ujf
что
« + e2iyv _ V + e2ixu
e2^+uo e2ix+vu
тождественно по у и V. В частности, при и = 0 тождест-
венно по у должно иметь место равенство и = e2iyu, что
возможно только при и = 0. Следовательно, v = e2ixv
тождественно по v, что возможно только при х — лп, где
п — произвольное целое число. Обратно, ясно что все эле-
менты вида (лп, 0) лежат в центре группы SL(2). Следо-
вательно, центр группы. SL(2) бесконечен.
Теперь осталось установить, что группа SL(2J дей-
ствительно является универсальной накрывающей груп-
пой группы SL(2). С этой целью мы рассмотрим отобра-
жение SL(2)-> SL (2), сопоставляющее элементу (х, и)<=
€= SL (2) матрицу
- 1 / COS X + | и | COS (х + ф) | и I sin (х + ф) — sin X \
V1 ~ 1“ Is \ I« I sin (х 4- ф) + sin х cos х — | и | cos (x -f- <p) ) '
где Ф = arg u.
ПРИМЕР НЕМАТРИЧНОИ ГРУППЫ ЛИ
41Э
< ' Элементарное, но, к сожалению, довольно длинное вы- .
числение показывает, что это отображение определено '
корректно, является гомоморфизмом и что его ядро со-
стоит из элементов вида (2лп, 0) и, значит, дискретно.
Поскольку dim SL(2) = dim SL (2) — 3, отсюда в силу
леммы 1 лекции 13 следует, что гомоморфизм SL(2)
->-SL(2) является групповым накрытием.
Поскольку группа SL(2), очевидно, односвязна (мно-
гообразия R и D односвязны, а значит, односвязно и их
произведение R X D = SL (2)), этим все и доказано. □
Объяснение. В заключение мы объясним проис-
хождение предъявленной конструкции группы SL(2)
(хотя формально все доказано и без этого).
Согласно теореме о полярном разложении (см. П, 21»
предложение 4) любая унимодулярная матрица А е '
е SL(2) единственным образом раскладывается в про-
изведение t/P некоторой матрицы вращения U и некото-
рой положительно определенной унимодулярной матрицы
Р. Матрица U задается углом поворота х, а матрица Р,
имеющая вид
/ а Ь \
к Ь с ) ’
где а> 0 и ас — Ь2 — 1, задается числами а > 0 и &,
т. е. комплексным числом г — а'+ 1Ъ, принадлежащим
правой полуплоскости а > 0. Переходя с помощью дроб-
но-линейного преобразования от правой полуплоскости
к единичному кругу, мы получаем, следовательно, что
каждая матрица А <= SL(2) однозначно характеризуется
парой (х, и) (так что группа SL(2) диффеоморфна про-
изведению S'XO), причем, как оказывается, умноже-
нию матриц отвечает как раз умножение пар, задаваемое
формулой (1). Чтобы получить группу SL(2), остается
теперь считать х не углом, а точкой из IR.
Замечание 1. Бесконечность центра односвязной
накрывающей группы SL (2) можно доказать, не опираясь
на ее явное описание на основании общих соображений.
Действительно, поскольку для любой связной группы Ли
G ее фундаментальная группа niG лежит в центре одно-
14*
•420
ПРИМЕР НЕМАТРИЧНОЙ ГРУППЫ ЛИ
связной накрывающей группы G, для доказательства бес-
конечности центра группы SL (2) достаточно доказать, что
группа niSL(2) бесконечна. Для этого можно восполь-
зоваться уточнением предложения 8 лекции 12, относя-
щимся к случаю, когда в условиях этого предложения
группа G содержит такое подмножество Р (очевидно, го-
меоморфное фактор многообразию G/Н), что любой эле-
мент g е G единственным образом представляется в виде
g = hp, где h <=Н, р е Р, и утверждающим, что в этом
случае группа щН изоморфна группе ъб. Согласно тео-
реме о полярном разложении для подгруппы SO (и) груп-
пы SL(n), п Дг 2, таким множеством Р является множе-
ство всех унимодулярных положительно определенных
матриц порядка п. Без особого труда можно показать
(при п = 2 мы выше это сделали), что это множество
гомеоморфно открытому шару евклидова пространства
/ nr fl (п + 1) 1 \
(размерности N — —-— 1J и потому односвязно.
Поэтому группа niSL(/r) изоморфна группе niSO(n) и,
значит, при п = 2 является бесконечной циклической
группой. Мы предпочли дать прямое, вычислительное до-
казательство, поскольку явный вид группы SL(2) имеет
и самостоятельный интерес.
Рассмотрим теперь вопрос о геометрических мотиви-
ровках формальных алгебраических конструкций из лек-
ции 19.
Напомним, что дифференциальной формой степени
m на гладком многообразии М называется произвольное
(гладкое) поле кососимметрических тензоров типа (т, 0).
В локальных координатах х1, ..., хп на многообразии М
каждая такая форма ® выражается формулой
t dxtl Л .. Л dxltn,
где fit ... im—гладкие функции на соответствующей ко-
ординатной окрестности U, кососимметрически завися-
щие от индексов гь im, a dxl, dxn — формы на
U степени 1, значения (дх*)а, .(dxn)a которых в каж-
дой точке а <= U (являющиеся ковекторами касатель-
ного пространства Та (/И)) составляют базис, сопряжен-
ный базису пространства Та(М)4
КОГОМОЛОГИИ ДЕ РАМА
421
Совокупность О.т(М) всех дифференциальных форм
степени т 0 на многообразии М является (бесконеч-
номерным) линейным пространством над полем R.
Формы степени 0 естественным образом отождеств-
ляются с гладкими функциями на М и, значит, линеал
й'э(/Й)—с алгеброй (М) гладких функций на М.
Формула
(ф Л ф)д = фа Л Фа,
где а — произвольная точка многообразия М, а ф и ф ~~*
дифференциальные формы на М, корректно определяет
на Л1 дифференциальную форму ф’Аф, которая назы-
вается внешним произведением форм ф и ф. Степень
формы фАф равна сумме степеней форм ф и ф.
Внешнее умножение ассоциативно, косокоммутатив-
но (если р и q — степени форм ф и ф, то >?Лф==
= (—ГАф'Лф) и для форм степени 0 совпадает с ум-
ножением функций.
Для любой функции f<=SF(M) формула
(а7)а(А) = ЛД
где а Е М и Ае Та (АГ), определяет на М дифферен-
циальную форму df степени 1. Эта форма называется
дифференциалом функции /ив локальных координатах
задается формулой
df = dx\
дх1
Операция d единственным образом распространяется
до линейного (над полем R) отображения
J: Qm(M) ->
определенного для любого т А 0 и обладающего сле-
дующими двумя свойствами:
1) отображение d является по отношению к внеш-
нему умножению дифференцированием, т. е. для любых
форм ф и ф удовлетворяет соотношению
d (ф Д ф) = а® Д ф + (— 1)т ф Д йф,
где т— степень формы ф;
422
КОГОМОЛОГИИ ДЕ РАМА'
2) имеет место тождество
d о d — О,
т. е. d(da>) = 0 для любой формы
Из этих свойств следует, что в локальных коорди-
натах оператор d задается формулой
(2) d& = dft t A dxil A ... A dxim,
что доказывает его единственность. Для доказательства
существования следует принять формулу (2) за опреде-
ление и проверить, что на пересечении любых двух ко-
ординатных окрестностей получается одна и та же диф-
ференциальная форма.
Форма d& называется внешним дифференциалом
формы б).
Форма и)бйт(А1) называется замкнутой, если
dta — 0, и точной, если существует такая форма <р е
ейт-!(Л1), что dtp = ю. Согласно свойству 2) опера-
тора d линейное пространство Вт(М) точных форм со-
держится в линейном пространстве Z'n{M) замкнутых
форм, и потому определено факторпространство
Hm (М) == Zm (М)/Вт (М).
Это факторпространство называется пространством (или
группой) когомологий де Рама гладкого многообра-
зия М.
Чтобы связать эту аналитико-геометрическую кон-
струкцию с формально-алгебраическими конструкциями
лекции 19, мы вспомним, что по отношению к скобке Ли
линейное пространство а(Л1) векторных полей на мно-
гообразии М является (бесконечномерной) алгеброй Ли,
а линейное пространство &"(М) гладких функций на
М — модулем над алгеброй Ли а(М) (по определению,
i[X, K]f = X(Yf)—Y (Xf) для любой функции f^.&~(M)).
Поэтому мы имеем право ввести в рассмотрение линей-
ное пространство коцепей Сот(а(Л1), &~(М)) (определе-
ние которых имеет смысл и в бесконечномерном случае).
Любая дифференциальная форма ojsQm(yVl) опре-
деляет по формуле
«..j Xm) (а) = ®e ((X 1)д, • ••>
КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 423
где Xi, ..., Хт — произвольные векторные поля на Af,
некоторую коцепь не Сот(а(Л4), fF(M)), и обратно, для
любой коцепи и е Ст (а (Л4), (М)) формула
<йа(4ь Ат) = «(ХЬ .... Хт)(а),
где а е М, Ai, ..., 4m е Т а (М), a Xi, .... Хт — такие
векторные поля на М, что
(Xi)a = Ai, • • •, (Хт)а === Ат,
корректно определяет некоторую дифференциальную
форму (Для доказательства корректности
достаточно записать форму <в в координатах.) Ясно, что
эти соответствия взаимнообратны, и значит, дифферент
циальные формы <о мы можем отождествлять с соответ-
ствующими коцепями (и обозначать их одинаковыми
буквами).
В силу этого отождествления оператор d будет опре-
деляться формулой
(3) Хот+1) =
т+1
= Е (-iy+1x/®(x1.......xir..., Xm+i) +
i = l
т m+1
+ Е Е (-1),+'<*([хо хд xt,...,xi(...
i=l/=i+1
Xy, ...,xm+1),
где Xi, Xm+i — произвольные поля из a(Af), т. e. бу-
дет совпадать (с точностью до несущественного множителя
пг + 1) с оператором б для коцепей (проще всего это
доказать, проверив прямым вычислением, что определен-
ный формулой (3) оператор d обладает свойствами 1}]
и 2), а на функциях совпадает с их дифференциалом).
Это доказывает, что
(4) Нт(М) = Нт(а(М), &~(М))
для любого гладкого многообразия М (и любого т 0).
Топологическая интерпретация пространств
возможна и для конечномерных алгебр Ли g (над по-
лем R). Для простоты мы ограничимся случаем, когда
ЗГ = R.
424 СРАВНЕНИЕ КОГОМОЛОГИЙ ГРУППЫ ЛИ И ЕЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Для каждого гладкого отображения f: M-^N фор-
мула
(f^a (А;, ..., Ат) = <*f м ((df)a А}, (df)a Ат)г
где а^М, Ah Ат^ Та(Л1) и опреде-
ляет на М дифференциальную форму /*а> е Qm (М), об-
ладающую тем свойством, что d(f*(<a)) = f* (da>).
В частности, для любой группы Ли G, любого эле-
мента a^G и любой формы oj = Qm(G) на группе G
определена форма La^ <= (G). Форма <в называется
левоинвариантной формой, если Lad) — ft) для каждого
элемента а G.
Все левоинвариантные формы степени т составляют
подпространство ПГпДС) линейного пространства
Qm(G), замкнутое относительно оператора d (если о —
= L а<В, ТО dd) = dL’ad) — La dd)). Мы положим
№(G) = ZSv(G)/BSv(G),
где 2^У(С)—пространство- всех замкнутых левоинва-
риантных форм степени т, aB"v(G)— его подпростран-
ство, состоящее из форм вида do, где (aeQjX^G).
Пусть, как всегда, е — единица группы Ли G. По-
скольку линейное пространство TeG —g является ал-
геброй Ли, кососимметрические полилинейные функцио-
налы на ТeG являются не чем иным, как коцепями этой
алгебры Ли над тривиальным g-модулем R. Поэтому
соответствие а,—задает нам линейное отображение
(5) PX(G)->Cm(g; R).
Предложение 2. Отображение (5) является изомор-
физмом.
Доказательство. Форма aeQm(G) тогда и
только тогда левоинвариантна (принадлежит (G)),
когда
(6) •••> 4) = «((<МЛ (dLa-i)aAm)
для любой точки ае G и любых векторов Аь ,Am<s
ТaG, где и — (Йе. Поэтому, если (де = О, ТО (д = 0.
Обратно, непосредственная проверка показывает, что
для любой коцепи ueCm(g;R) формула (6) опреде-
ляет левоинвариантную форму о <= Q(nV(G), для кото-
рой (Йе = и. □
СРАВНЕНИЕ КОГОМОЛОГИЙ ГРУППЫ ЛИ И ЕЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 425
Таким образом, левоинвариантные дифференциаль-
ные формы из йА (G) мы в силу предложения 2 мо-
жем отождествлять с коцепями из Ст (g, R).
По определению,
МА, Лт) = <»(АГ1, Хт)(ё)
для любой формы aeQmiG) и любых векторов Ai,
Ат^ Т eG, где Хг, ..., Хт — произвольные вектор-
ные поля, обладающие тем свойством, что (A\)e=:
— Ai, ..., (Хт)е = Ат. В частности, без ограничения
общности можно считать, что поля Ху, ..., Хт левоин-
вариантны (принадлежат алгебре Ли g = 1(G)).
С другой стороны, если форма ® левоинвариантна,
то, как легко видеть, для любых левоинвариантных век-
торных полей Xi, Хт функция б) (А, .... Хт) ПО-
стоянна на группе G и, значит,
У® (А, . .., Хт)=0
для любого векторного поля У е a (G).
В силу формулы (3) отсюда следует, что для любой
формы ogQ^3(G) значение (rf®)e(Ai, ..., Am+i) ко-
цепи (den) s на векторах Ai, ..., Am+i е Т eG опреде-
ляется формулой
(m+\)(den)e(Ai, Аот+1) =
т zn + 1
= Е Е (- 1)г+/®([А, Х;}, Xi,...» а,...
i=i
.... Xh ..., Xm+i)(e),
где Xi, ..., Хт — левоинвариантные векторные поля на
группе С,ДЛЯ которых (Xi)e = Al, ..., (Xm+i)e = Am+it
Иными словами, ... А
(т + l)(Jcd)e(Ai, А,л+1) =
т <"п + 1
= Е Е (- 1)'+'<M[AAL А, ...» А, ...
i=i /=i+i
• • • > А/, • • •, Am_^i),
где [A;, Aj] обозначает скобку Ли в алгебре Ли TeG=.
(Т. е. [А/,А/] = [Х-,А]е).
426 СРАВНЕНИЕ КОГОМОЛОГИЙ ГРУППЫ ЛИ И ЕЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Это означает, что при отождествлении левоинва-
риантных форм изй”т (G) с коцепями из Cm(g; R) опе-
ратор d переходит (с точностью до несущественного
множителя т 1) в оператор б. Следовательно, для
любого т О
(7) ^v(G) = /7m(g; R).
В отличие от группы Hm(G) группа не мо-
жет, конечно, считаться топологическим инвариантом
гладкого многообразия Gain. Тем не менее, можно пока-
зать, что если группа Ли связна и односвязна, то груп-
пы Hm(G) и (G) изоморфны (что в силу (7) дает,
в частности, вполне эффективный метод вычисления
групп Hm(G)). Однако соответствующее доказательство
выходит за рамки этой книги.
Лекция 21
ФУНКЦИОНАЛ КИЛЛИНГА ИДЕАЛА. — НЕКОТОРЫЕ
СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ. —РАДИКАЛ И
НИЛЬРАДИКАЛ ИДЕАЛА. — ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИФ-
ФЕРЕНЦИРОВАНИЙ НА УНИВЕРСАЛЬНУЮ ОБЕРТЫ-
ВАЮЩУЮ АЛГЕБРУ. — ИДЕАЛЫ КОНЕЧНОЙ КОРАЗ-
МЕРНОСТИ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ АЛГЕБРЫ. — РАДИ-
КАЛ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ. — ОБОСНОВАНИЕ
ИНДУКТИВНОГО ШАГА ПОСТРОЕНИЯ. — ДОКАЗА-
ТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АДО. — ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Вернемся теперь к доказательству теоремы Адо. Для
этого у нас, по существу, все готово, за исключением
некоторых чисто технических лемм в основном о диф-
ференцированиях и обертывающих алгебрах.
Пусть а — произвольный идеал алгебры Ли д, и пусть
i: а -> g — отображение вложения. Для любого элемента
.tea линейный оператор adz(x): g -> g, оставляя а инва-
риантным, будет индуцировать некоторые операторы
g/а -> д/а и а -> а, причем первый из этих операторов бу-
дет, очевидно, равен нулю, а второй будет совпадать с
ad х: а -> а. Поэтому для любых двух элементов х, у е а
оператор ad z(x)j> ad i{y) также индуцирует в g/a нулевой
оператор, а в a — оператор ad хг» ad у. Следовательно,
Тг (ad z(x)i_» ad z(z/)) = Tr(ad хг» ad г/), т. e./9(z(x), i(y)) =
= ^a(x, y).
Это означает, что функционал Киллинга ta идеала а
является ограничением на а функционала Киллинга ts
алгебры д.
Пусть теперь D: g —> g — произвольное дифференциро-
вание алгебры Ли д. Определим в прямой сумме д* =»
428
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ
.== 0 ф К операцию [ , ] формулой
[(х, Д'), {У, И)] = ([х, у} + Д- Dy — р Dx, 0),
х, у е 0, Л, р <= К.
Ясно, что эта операция билинейна и антикоммутативна.
Кроме того, она удовлетворяет тождеству Якоби:
11(х, л), {У, р) ], (г, v)] ф
-r[[(5G и), (^, v)], (х, Д.)]+ [ [(г, v), (х, Л)], (у, р)] =
= ([ [х, У], ?] + & [Dy, г] — р [Dx, z} —
— v£>( [х, y] + KDy — ii Dx), 0) 4-
+ ([ [У, z], x] + p [Dz, x] — v [Dy, x] —
— KD ([y, z] + fi Dz — v Dy), 0) +
+ ([ [z, x], уj + v [Dx, у] — Л [Dz9 y] —
— p£> ([z, x] + v Dx — Л Dz), 0) = 0.
Тем самым линеал g* определяется как алгебра Ли. Ото-
ждествив каждый элемент е g с элементом (х, 0) е д*,
мы вложим g в д* в качестве идеала. Внутреннее диффе-
ренцирование ad g, отвечающее элементу g = (0, 1), дей-
ствует на этом идеале по формуле
(ad g)х == [ (0, 1), (х, 0)] = (Dx, 0) = Dx,
т. е. совпадает на g с данным дифференцированием D.
С другой стороны, свойство инвариантности функцио-
нала Киллинга /в« алгебры Ли д* применительно к эле-
ментам х, у е g и g может быть записано в виде
£e*((adg)x, y) + t^(x, (adg)z/) = O,
откуда ввиду сказанного выше о функционале Киллинга
идеала следует, что функционал Киллинга произвольной
алгебры Ли g удовлетворяет соотношению
tB (Dx, у) + ts (х, Dy) — 0.
Это свойство функционала Киллинга называется его пол-
ной инвариантностью.
Идеал а алгебры Ли g называется характеристиче-
ским, если Dx а для любого элемента х е а и любого
дифференцирования D; 0->0.
РАДИКАЛ И НИЛЬРАДИКАЛ ИДЕАЛА
42»
Из свойства полной инвариантности функционала
Киллинга £3 следует, что аннулятор а-1 по отношению к
ts характеристического идеала а является характеристи-
ческим ид валом. Действительно, если х е а-1-, то/д (Dx,y)=
— — tg(x, Dy)— О для любого дифференцирования D и
любого элемента у е а и, значит, Dx а-1-. □
Поскольку идеал д2, очевидно, характеристичен, от-
сюда в силу следствия 1 предложения 3 лекции 14 непо-
средственно вытекает, что радикал t произвольной ал-
гебры Ли g является характеристическим идеалом.
Так как каждое внутреннее дифференцирование ал-
гебры Ли g на каждом ее идеале а индуцирует дифферен-
цирование (уже, вообще говоря, не внутреннее) этого
идеала, то любой характеристический идеал Ъ идеала а
является идеалом всей алгебры, д.
В частности, идеалом алгебры g будет радикал г (а)
идеала а. Будучи разрешимым идеалом, этот радикал со-
держится в радикале г = r(g) алгебры g и, значит, со-
держится в пересечении а П г. С другой стороны, являясь
разрешимым идеалом в а, это пересечение содержится в
г (а). Этим доказано, что радикал г (а) произвольного
идеала а алгебры Ли g совпадает с пересечением этого
идеала с радикалом г всей алгебры-.
4 х (а) — а П т.
Рассмотрим опять алгебру Ли д* дз д, построенную
выше по данному дифференцированию D: д—>д. Так как
радикал г алгебры д содержится в радикале г* алгебры
д*, то Dr = (ad |)г сд [g*, г*] и, значит, Dt сд [д*, г*] А д.
Но согласно предложению 4 лекции 16 идеал [g*, t*]
алгебры Ли д*, а потому и идеал [д*, г*] П 8 алгебры Ли
д нильпотентны. Следовательно, идеал [g*, t*] A S содер-
жится в нильрадикале п алгебры Ли g и, значит, Dt сд п.
Для удобства ссылок мы сформулируем это утвержде-
ние в виде отдельной леммы:
Лемма 1. Образ Dt радикала алгебры Ли д при каж-
дом дифференцировании D: g—>д содержится в нильра-
дикале п этой алгебры:
Dt сд: й. q
430
ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
Следствие. Для любого идеала а. алгебры Ли g его
нильрадикал и (а) является пересечением а с нильрадика-
лом n = n(g) алгебры д:
n(a) = af]n.
Доказательство. Пусть хе д. Тогда, согласно
лемме 1, примененной к алгебре Ли а, и к ее дифферен-
цированию D, индуцированному внутренним дифференци-
рованием ad х, имеет место включение [х, г (а)] czn(a),
а потому и включение [х, n(a)] cz п(а). Это означает, что
нильпотентная подалгебра п(а) является идеалом ал-
гебры Ли g и потому содержится в ее нильрадикале и.
Следовательно, n(a) cz а f| в. Поскольку обратное вклю-
чение очевидно (пересечение аПн является нильпотент-
ным идеалом в а), это доказывает следствие. □
Рассмотрим теперь дифференцирования в связи с уни-
версальной обертывающей алгеброй °U алгебры Ли g (см.
лекцию 5).
Ясно, что каждое дифференцирование D ассоциатив-
ной алгебры °U является также дифференцированием со-
ответствующей коммутаторной алгебры Ли [%]. Следо-
вательно, если Dg cz g, то D индуцирует на g некоторое
дифференцирование £>: g->g алгебры Ли д. Любое ли
дифференцирование D: g->g алгебры Ли g может быть
так получено, т. е. продолжается ли оно до некоторого
дифференцирования D\ ассоциативной алгебры
°Wi Ответ оказывается утвердительным:
Лемма 2. Любое дифференцирование D алгебры Ли g
единственным образом продолжается до некоторого диф-
ференцирования (обозначаемого той же буквой D) уни-
версальной обертывающей алгебры °U,.
Доказательство. Поскольку каждый элемент
алгебры °U является многочленом от элементов из д, диф-
ференцирование D: когда оно существует, опре-
делено единственным образом. Однако поскольку эле-
менты из <U могут быть, вообще говоря, многими различ-
ными способами выражены через элементы из д, непосред-
ственное построение дифференцирования D-. тре-
бует достаточно трудоемкой проверки его корректности.
Поэтому мы пойдем обходным путем и воспользуемся од-
ним техническим трюком, предложенным Джекобсоном.
ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ
431
Пусть st — алгебра 2 X 2-матриц вида
где и, v е <U. Рассмотрим отображение
(х Рх X
алгебры Ли g в алгебру st, где D — данное дифференци-
рование алгебры д. Поскольку
(х Рх\(у Di?A _ / у PyXfx Dx\________
kO х 7 к О у ) кО у) кО х )
__ f ху — ух X - Ру + Рх • у — у - Рх — Ру X \
к о ху — ух )
__( [X, у] [Х, Ру] + {Рх, у] А / [х, у] Р [х, у] А
— к о [х, у] ) — к о [х, у] ) ’
отображение <р является гомоморфизмом алгебры Ли g
в коммутаторную алгебру Ли [.«£]. Поэтому в силу свой-
ства универсальности существует такой гомоморфизм
ф = алгебры <U в алгебру st, что <р = ф_«> t, где t:
g -> <2/ — вложение. Из того, что °U порождается элемен-
тами из д, непосредственно следует, что для любого эле-
мента и е матрица ери имеет вид
(и V\ в
0 и J , где v е CU.
Мы определим (очевидно, линейное) отображение D:
fyl -> °U, положив Du — v.
Так как ^{uv) = фи-фи для любых элементов и, v s
е <U, т. е.
(ио Р (uv) А /и Ри А / о Dv \ tuv и • Pv -f- Ри • о А
О uv ) \0 и) к О v) кО ио ) ’
то отображение D: является дифференцирова-
нием алгебры <2/. Поскольку оно, очевидно, продолжает
данное дифференцирование D алгебры Ли д, лемма 2
этим полностью доказана. □
В универсальной алгебре ‘U нас будут интересовать
(двусторонние) идеалы st, для которых факторалгебра
432
ИДЕАЛЫ КОНЕЧНОЙ КОРАЗМЕРНОСТИ
конечномерна. О таких идеалах мы будем говорить,
что они имеют конечную коразмерность, и будем писать
codim < оо.
Напомним, что элемент а ассоциативной алгебры на-
зывается алгебраическим, если существует такой отлич-
ный от нуля многочлен р (Т), что р (а) = 0.
Напомним также (см. лекцию 5), что для любого ба-
зиса Xi, . . . , хп алгебры Ли g (которую мы здесь предпо-
лагаем конечномерной) одночлены вида х^х^ ... Х[ , где
h «5 *2 . гС is, т. е. вида х^’х*2 ... хкг:г, где ki 0,
0, . . ., kn 0, составляют базис универсальной ал-
гебры <U. Отсюда легко вытекает, что codim зФ < оо
тогда и только тогда, когда смежные классы xi = Xi +
+ , хп = хп + алгебраичны в °и!з£-. Действи-
тельно, условие алгебраичности элемента xt означает, что
для некоторого 1 элемент х™1 является линейной
комбинацией элементов 1, xt, х?*-1. Поэтому, если
все элементы х1г . .., хп алгебраичны, то любой одночлен
вида лф ... х^п (и, значит, любой элемент факторалгеб-
ры °И1з£) является линейной комбинацией одночленов,
для которых 0 sy ki < mt при любом i = 1, . . ., п. По-
скольку одночленов, удовлетворяющих последнему усло-
вию, конечное число, этим доказано, что факторалгебра
°Ul3& конечномерна и, значит, codim з£ < оо. Обратное
утверждение очевидно, поскольку в конечномерной ал-
гебре любой элемент алгебраичен. □
Заметим, что условие алгебраичности элемента Xt
означает, что существует такой отличный от нуля много-
член рг-(Т), что PiXxi} <=е <я£.
Напомним, что произведением з&2 двух идеалов зф и
S3 ассоциативной алгебры называется линейная оболочка
всевозможных элементов вида аЬ, где a s з£ и b s S3.
Это произведение, очевидно, является идеалом.
Лемма 3. Произведение з&ЗЗ любых двух идеалов зФ,
конечной коразмерности также является идеалом ко-
нечной коразмерности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если pz(7) и qt(T)—такие
многочлены, что pt(xi) е з£ и qi(xi) е з£, то многочлены
rz(T) = pi(T)qi (Г) обладают тем свойством, что гДх() =
е Ж □ '
РАДИКАЛ АССОЦИАТИВНОЙ алгебры
433
Нам понадобятся также простейшие сзедения о ниль-
потентных идеалах в ассоциативных алгебрах.
В соответствии с общей терминологией теории алгебр
идеал ассоциативной алгебры Т называется нильпо-
тентным, если существует такое k 0, что произведение
любых k его элементов равно нулю, т. е., другими сло-
вами, если его &-я степень s9k является нулевым идеа-
лом. Очевидно, что сумма любых двух нильпотентных
идеалов является нильпотентным идеалом, откуда сле-
дует, что в любой конечномерной ассоциативной алгебре
У существует максимальный нильпотентный идеал 91,
содержащий любой другой нильпотентный идеал. Этот
идеал называется радикалом ассоциативной алгебры 9L,
Идеал алгебры Указывается нильидеалом, если он
состоит из нильпотентных элементов. Ясно, что любой
нильпотентный идеал является нильидеалом. Оказы-
вается, что и, обратно, любой нильидеал конечномер-
ной ассоциативной алгебры У нильпотентен (и потому
лежит в ее радикале 52). Действительно, поскольку идеал
(или, точнее, его коммутаторная алгебра (^]) яв-
ляется подалгеброй коммутаторной алгебры Ли [У], к
нему применимо предложение 3 лекции 17. □
Сумма а b двух нильпотентных элементов, вообще
говоря, не будет нильпотентным элементом. Иначе дело
обстоит, если один из них лежит в радикале.
Лемма 4. Если а е= 91, то для любого нильпотентного
элемента Ь сумма а Ь нильпотентна.
Доказательство. Воспользуемся предложением
За из лекции 17 (заметим, что до сих пор нам было до-
статочно предложения 3), принимая за (3 линейное под-
пространство алгебры У, порожденное радикалом 5? и
элементом Ь, а за g—объединение 91 и Ъ (поскольку
[52, b\ с 91, множество g замкнуто относительно комму-
тирования). Согласно этому предложению подпростран-
ство Q ассоциативно нильпотентно. Поэтому, в частности,
его элемент а 4- b нильпотентен. □
В следующей лемме ссылки на предложение За лек-
ции 17 уже недостаточно и приходится частично возвра-
щаться к его доказательству.
Лемма 5. Предположим, что конечномерная ассоциа-
тивная алгебра У порождена подалгеброй Ь ее коммута-
торной алгебры Ли [У]. Тогда каждый идеал п алгебры
434
РАДИКАЛ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
$, состоящий из нильпотентных элементов алгебры У3, ле-
жит в радикале SL алгебры У3.
Доказательство. Достаточно доказать, что
идеал Л3 алгебры 7°, порожденный идеалом п, нильпотен-
тен. Так как I) порождает У®, то любой элемент из Л3 яв-
ляется линейной комбинацией произведений элементов из
идеала и и из алгебры Назовем рангом каждого такого
произведения число множителей из п. Если произведение
содержит множитель вида ах, где а Е п и х s д, то, поль-
зуясь формулой ах = [а, х] 4- ха, мы можем представить
его в виде суммы двух произведений того же ранга, в ко-
торых число множителей из g либо на единицу меньше,
либо один из этих множителей сдвинулся влево. Поэтому
любое произведение ранга г мы можем представить в
виде суммы произведений, имеющих вид ab, где а — про-
изведение элементов из g (возможно, пустое), а Ь — про-
изведение г элементов из п. Но, согласно предложению 3
лекции 16, нильподалгебра Ли п ассоциативно нильпо-
тентна, т. е. существует такое число п, что любое произ-
ведение г п элементов из п равно нулю. Поэтому лю-
бой элемент идеала Л3, являющийся линейной комбина-
цией произведений ранга ~^п, равен нулю. Поскольку
каждый элемент идеала Л3" сг Л3, по определению, обла-
дает этим свойством, тем самым доказано, что Л3" = О,
т. е. что идеал Л3 нильпотентен. □
Теперь мы уже можем непосредственно приступить к
доказательству теоремы Адо. Это доказательство основы-
вается на индуктивной конструкции, возможность кото-
рой обеспечивается следующей леммой:
Лемма 6. Пусть
s — конечномерная разрешимая алгебра Ли;
л — ее нильрадикал;
<U — универсальная обертывающая алгебра алгебры
Ли е;
3£— такой идеал конечной коразмерности алгеб-
ры °и, что для любого элемента хе п смежный класс
х + является нильпотентным элементом факторалгеб-
ры
Тогда в алгебре существует такой идеал Л, что: '
а)
б) codim < оо;
ОБОСНОВАНИЕ ИНДУКТИВНОГО ШАГА
435
в) для любого элемента х е п смежный класс х ЗВ
является нильпотентным элементом факторалгебры °UI3B\
г) каждое дифференцирование D алгебры перево-
дящее в себя алгебру Ли 5, переводит в себя идеал ЗВ.
Доказательство. Поскольку любой гомомор-
физм ассоциативных алгебр является также и гомомор-
физмом соответствующих коммутаторных алгебр, образ
Ij = (§ -J- «?/)/
алгебры Ли 5 в алгебре 7° = является подалгеброй
коммутаторной алгебры Ли [У], порождающей алгебру
Поэтому, так как по условию образ (п + идеа-
ла п в алгебре У* состоит из нильпотентных элементов, то,
согласно лемме 4, этот образ лежит в радикале Я. ал-
гебры У3. Значит, в Я лежит и идеал алгебры У’, поро-
жденный этим образом. Следовательно, этот идеал ниль-
потентен. Поскольку последний идеал имеет вид ‘g’/.s/,
где <g7 — идеал в <U, порожденный п и «я/, этим доказано,
что существует такое число г, что идеал Я ~(&г лежит
в. £4, т. е. обладает свойством а). В силу леммы 3 идеал
ЗВ обладает и свойством б). Поскольку для любого х е л
существует по условию такое число s О, что Xs е £4 сд
сд то xsr = ЗВ и, значит, элемент х + ЗВ фактор-
алгебры нильпотентен. Таким образом, идеал ЗВ об-
ладает и свойством в).
Наконец, в силу леммы 1 каждое дифференцирование
В разрешимой алгебры Ли 5 обладает тем свойством, что
Ds сд п. Поэтому, если дифференцирование D алгебры <U
переводит s в s, то на самом деле оно переводит s в п и,
значит, всю алгебру <U в ее идеал, порожденный п. Сле-
довательно, тем более сд а потому D{cUr) сд <S7r=
= Я. Но тогда D(^) = D(<g’r) сд D(<Ur) сд ЗВ, что дока-
зывает свойство г). □
Назовем представление р алгебры Ли g нилъпредстав-
лением, если для любого элемента х е п нильрадикала п
алгебры g оператор р(х) нильпотентен.
Предложение 2 (индуктивный шаг построе-
ния). Пусть алгебра Ли g разложена в прямую сумму
д = 3ф§
разрешимого идеала s и подалгебры Тогда для любого
конечномерного нилъпредставления о алгебры. s сущест-
436
ОБОСНОВАНИЕ ИНДУКТИВНОГО ШАГА
вует такое представление р алгебры д, что
3 П Кег р сг Кег о.
Если алгебра Ли g нилыготентна или, напротив, если
ее нильрадикал совпадает с нильрадикалом алгебры $,
то представление р можно выбрать среди нилъпредстае-
лений.
Доказательство. Рассмотрим произвольный
элемент х = у z, у z^fy алгебры д. Его компо*
нента у определяет по формуле Ly‘. а*—>уа, а е ^2/, левый
сдвиг Ly-. ОС-ь-си универсальной обертывающей алгебры
алгебры Ли з, а компонента z — дифференцирование
Dz этой алгебры, являющееся по определению продолже-
нием дифференцирования ad z алгебры Ли з. Мы опреде-
лим отображение р алгебры g в алгебру End линейных
операторов формулой
p(x) = Ly + D2.
Пусть xi = yi + Zi — другой элемент алгебры Ли д. Так
как
[х, xj = [у, yd + [у, zi] + [z, yd + [z, zd =
= (1У, У\\ — Dz,y + Dzxd + [z, zd,
TO
P ( [%, Xj] ) = L[y, - LDziy + LDzXl + D[Z, zj.
С другой стороны,
[p (x), p (Xj)] = [Ly + Dz, Lgi-\-Dzd =
= [Ly, Lyd + [Dz, Lyd + [Ly, Dzd + [Dz,
При этом
[Ly, Lyd — LyLy, Ly,Ly = Lyyi Lyiy = L[y, gi].
Поскольку же на s дифференцирование Z2] совпадает
с дифференцированием ad[z, Zi] = [adz, adzj, а диф-
ференцирования Dz и D2i — с дифференцированиями ad z
и ad zi, to
[Dz, Dzd — D[Zi, Z2]
на г, а потому и всюду на ‘U,
ОБОСНОВАНИЕ ИНДУКТИВНОГО ШАГА
437
Кроме того, так как для любого элемента а <=.
имеет место равенство
[Э-, ~~ DzLyiCt ' L/giDzCt -—
= Dz (уга) — yiDza = £M/i • a,
то
[Dz, Ly^ = LDzyc
Аналогично,
[DZ[, A„]==Ln2i4f.
Это доказывает, что
P (lx, ) = [p (x), p (Xi)],
т. e. что p является гомоморфизмом («бесконечномерным
представлением») алгебры Ли g в коммутаторную ал-
гебру Ли линейных операторов Заметим, что
этот гомоморфизм определяется исключительно разложе-
нием g = s © b и не зависит от данного представления сг«
Введем теперь в рассмотрение представление а. Поль-
зуясь универсальностью алгебры мы можем распро-
странить это представление до некоторого гомоморфизма
(который мы обозначим тем же символом о) алгебры
в алгебру операторов, действующих в пространстве пред-
ставления а. Поскольку последняя алгебра конечномерна,
ядро зФ этого гомоморфизма имеет конечную коразмер-
ность. Так как условие, что представление о является
нильпредставлением, в точности равносильно тому, что
для любого элемента х нильрадикала п алгебры 5 смеж-
ный класс х т является нильпотентным элементом ал-
гебры (изоморфной линейной алгебре а(^р), мы
видим, таким образом, что к алгебре з и идеалу при-
менима лемма 6. Поэтому в алгебре существует идеал
Й, обладающий свойствами а)—г) из формулировки этой
леммы.
Так как идеал, то Ly(p'} сд $ для любого эле-
мента у €— 5, а так как 33 обладает свойством г), то
Dz(^) сд £3 для любого элемента z е I). Поэтому
р(х) (й?) сд 33 для любого элемента х е g и, следователь-
но, формула
p(x)(u-b$) = p(x)u + $,
438 ОБОСНОВАНИЕ ИНДУКТИВНОГО ШАГА"
корректно определяет некоторый линейный оператор
р(х):
Поскольку отображение р: х •—> р(х) является гомо-
морфизмом алгебр Ли, отображение р: xt—>р(х) также
будет гомоморфизмом и, значит, представлением (ибо по
свойству б) факторалгебра <UI38 конечномерна).
Если элемент х принадлежит алгебре <з, то р (х) = Ls,
где х = х + ЗВ. Поэтому, если р(х) = 0, то £х(^) сд 33
и, значит, х е S3 (напомним, что является унитальной
алгеброй). Следовательно, х е (свойство а)) и потому
о (х) = 0. Таким образом, 0 f) Ker р cz Кег о.
Применим теперь лемму 5 к ассоциативной алгебре
алгебре Ли (<з + ЗВ)!& и ее идеалу (п + ^)/^. Это
возможно, поскольку в силу свойств б) и в) условия лем-
мы 5 выполнены. Таким образом, согласно этой лемме»
каждый элемент х — х + За, хеп, лежит в радикале ас-
социативной алгебры <UI38 и потому нильпотентен. По-
этому линейный оператор Lx- аь->хатакже нильпотен-
тен. Поскольку р(х) = Lg, этим доказано, что в случае,
когда нильрадикал алгебры g совпадает с нильрадикалом
п алгебры 0, представление р является нильпредставле-
кием.
Осталось рассмотреть случай, когда вся алгебра g
нильпотентна (и потому, в частности, <з = п). Мы дол-
жны показать, что в этом случае для любого элемента
х ед оператор р(х) нильпотентен.
Пусть, как и выше, х = у + z, где у es, zel). Так
как в рассматриваемом случае г = п, то по доказанному
выше оператор р {у) нильпотентен. Более того, можно вы-
сказать и более точное утверждение, применив все ту же
лемму 5 к линейной ассоциативной алгебре У, порожден-
ной операторами р(х), хед. Эта алгебра конечномерна,
порождена алгеброй Ли р(д) и идеал р(п) алгебры Ли
P(fl) состоит, как только что было сказано, из нильпо-
тентных элементов. Поэтому, согласно лемме 5, все опе-
раторы р(г/), у е п, лежат в радикале алгебры "У3.
С другой стороны, поскольку алгебра g нильпотентна,
любой оператор вида adz, г G I), нильпотентен. Это озна-
чает, что каждое дифференцирование Dz\ огра-
ниченное на 0, нильпотентно. Поскольку для любого диф-
ференцирования £>, любого числа N и любых двух
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АДО
439
элементов а и b имеет место равенство
i=0
то из Dna = 0 и Dmb = 0 следует, что Dn+m~x (ab) = 0.
Поэтому для любого произведения а е °U элементов из 5
существует такое п(а), что Lflz(a\d)= 0. Переходя к фак-
торалгебре мы получаем, что p(z)n(a) (а) = 0, где
а = a -f- <%. Поскольку алгебра <24конечномерна и об-
ладает базисом аь .... as, состоящим из элементов вида
а, отсюда следует, что существует такое п, что
р(z)n(at) = 0 для всех элементов су, i = 1, .... п, этого
базиса. Но тогда р(г)п = 0 на <2//^, т. е. оператор p(z)
нильпотентен.
Поскольку р(х) — р(у) +p(s), для завершения до-
казательства предложения 2 осталось применить лем-
му 4. □
Теперь мы, наконец, можем доказать теорему Адо и
даже в несколько более сильной формулировке:
Предложение 3 (теорема Адо). Для любой ал-
гебры, Ли g существует ее точное нилъпредставление.
Доказательство. Мы проведем построение этого
представления постепенно шаг за шагом.
Шаг 1. Пусть з —центр алгебры Ли д, и пусть
Xi, Хт—его произвольный базис. Выбрав в некото-
ром линейном пространстве (размерности ~^tn 4-1)
нильпотентный оператор А, для которого Ат+Х = 0, но
Ат =/= 0, положим
Pg (х) — \А + ... + hkAk + ... + &тАт
для любого элемента х ~ Mxi 4- • • • 4- 4- • •• 4- Ктхт
центра з. Поскольку все операторы вида XiA 4- • • •
... 4- ^тАт перестановочны и нильпотентны, а при
(Л.1, ..., Хт) =/= (0, .... 0) отличны от нуля, отображение
Ра является точным нильпредставлением алгебры 3.
Шаг 2. Пусть п — нильрадикал алгебры Ли д. Тогда
факторалгебра п' = п/з также нилъпотентна и потому об-
440 *
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АДО
ладает (предложение 2 лекции 17) такой цепочкой идеа-
лов:
0 = «6 с= и! с= ... сг к« = п',
что dim К/ = i для любого i = 0, 1, ..., т — dim п' (в
предложении 2 лекции 17 нумерация была обратной, что,
конечно, не имеет значения). Прообразы этих идеалов в
й. дадут нам возрастающую цепочку идеалов
g = KoC=KiC= ... с=пот = к,
начинающуюся с центра а и такую, что dim П/+1 =
= dim К/-j- 1. Покажем по индукции, что для любого
i = 0, 1, ..., т существует нильпредставление р,- идеала
П/, точное на идеале к0 — 3-
Начало индукции обеспечено шагом 1 доказательства
(ро = р3). Пусть для некоторого i точное на § нильпред-
ставление рг- уже построено. Выбрав в nz+i произвольное
подпространство I), дополнительное к щ-, и заметив, что,
в силу одномерности это подпространство автоматически
является алгеброй Ли, мы окажемся в условиях предло-
жения 2 (с 5 = П; и о — рг). Поскольку идеал ниль-
потентен, то в силу этого предложения существует ниль-
представление р/ч-1 идеала Hi+i, для которого пг- П
П Ker pi+i сх Кег рг и которое поэтому по-прежнему точно
на з.
При i — т мы получаем, таким образом, нильпред-
ставление рэт = рт идеала к, точное на центре 3.
Шаг 3. Пусть г — радикал алгебры Ли д. Рассмо-
трев разрешимую алгебру х/п и воспользовавшись пред-
ложением 1 лекции 16, мы той же конструкцией, что и на
шаге 2, получим в радикале г такую цепочку подалгебр
к = Го с= г1 с= ... с= хт = х,
начинающуюся с к, что для любого i = 0, 1, ..., т под-
алгебра xt является идеалом подалгебры Гад. Здесь мы
снова можем применить тот же индуктивный процесс, на-
чиная с представления рп нильрадикала к, построенного
на шаге 2. Возможность повторных применений предло-
жения 2 обеспечивается теперь уже тем, что нильрадика-
лом каждой из алгебр г,- является в силу следствия из
леммы 1 один и тот же идеал п.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АДО
441
В результате получаем некоторое нильпредставление
рг радикала г. точное на центре g.
Ш а г 4. На этом шаге мы применяем то же предло-
жение 2 к разложению Леви
алгебры дик нильпредставлению рх. Поскольку п(г) = я,
мы получаем нильпредставление Р3 всей алгебры Ли д,
точное на ее центре л.
Ш а г 5. Рассмотрим теперь присоединенное представ-
ление ad и его прямую сумму
p==ad©pg
с представлением р8.Так как Kerad=g, аз А Кегр3= О,
то Кег р = 0, т. е. представление р точное. Поскольку
представление ad, очевидно, является нильпредставле-
нием, а прямая сумма двух нильпредставлений будет, ко-
нечно, нильпредставлением, тем самым предложение 3
полностью доказано. □
Только теперь мы можем считать доказанной теорему
Картана из лекции 10 об эквивалентности категорий од-
досвязных групп Ли и вещественных алгебр Ли! Понятно,
почему в лекции 10 ситуация с доказательством этой тео-
ремы была охарактеризована как «малоудовлетворитель-
ная» (второе из известных доказательств теоремы Кар-
тана ничуть не проще изложенного, поскольку оно хотя
и не использует теорему Адо, но также опирается на тео-
рему Леви). Поиск прямого доказательства теоремы Кар-
тана представляется поэтому весьма многообещающей
задачей.
Литература
1. Бур б аки Н. Группы и алгебры Ли, гл. I—III. Элементы мате-
матики: Пер. с фр. — М.: Мир, 1976.
Современное обстоятельное изложение. Весьма трудное.
2. Глушков В. М. Строение локально-бикомпактных групп и пя-
тая проблема Гильберта.—УМН, 1957, 12, № 2 (74), с. 3—41
Подробное изложение решения пятой проблемы Гильберта.
3. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры: Пер.
с фр.— М.: Мир. 1978.
Первая глава книги содержит очень продуманное, хотя и чрезвычайно
краткое, изложение ряда вопросов теории алгебр Ли. В нашем курсе
нз этой книги заимствовано доказательство критерия Картана разреши-
мости в лекции 17.
4. Джеко б сон Н. Алгебры Ли: Пер. с англ. — М.: Мир, 1964.
Обстоятельная монография. Для чтения весьма трудна. Схема доказатель-
ства теоремы Адо в лекции 19 заимствована нами нз этой книги.
5. Д ы н к и н Е, Б. Нормированные алгебры Ли и аналитические
группы. —УМН, 1950, 5, № 1 (35), с. 135—186.
Детальное изложение результатов автора по явному вычислению ряда
Кемпбелла—Хаусдорфа (лекцкя 5). Изложено также применение этих
вычислений к построению групускулы Ли по алгебре Ли (лекция 6).
6. Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы:
Пер. с англ. — М.: Мир, 1974.
Книга состоит из двух практически независимых частей. Первая часть со-
держит ориентированное в направлении общей теории алгебр изложение
начал теории алгебр Ли. Мы воспользовались этим изложением в лек-
ции 16. Вторая часть посвящена решению пятой проблемы Гильберта.
7. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — 3-е изд. — М.: На-
ука, 1973.
Классическая монография по теории топологических и гладких групп.
В отношении групп Ли содержит, по существу, весь материал настоящих
лекций; однако третья теорема Ли (эквивалентность категорий GR-LOC
и ALGpLIE) доказана в этой книге совсем иным методом (близким к ме-
тоду самого Лн), а теорема Картана (эквивалентность категорий
GRoo-DIFF н ALGy-LIE) доказана лишь по модулю теоремы Левн, приня-
той без доказательства. Следует кметь в виду, что в предыдущих изда-
ниях книги Л. С. Понтрягина (М.: ГОНТИ. 1938 н Гостехнздат, 1954) в до-
казательстве третьей теоремы Лн допущена неточность.
8. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли: Пер. с фр. — М.: Мир,
1969.
Достаточно полное и подробное изложение. Рассчитано иа подготовлен.*»
иого читателя.
ЛИТЕРАТУРА
443
9. Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли. — М.-Л.: Гостехиздат, 1940.
Первая на русском языке монография по теории групп Ли. Изложение
классическое в духе самого Ли и Картана. К настоящему времени совер-
шенно устарела, но отдельные главы могут представлять интерес и теперь.
10. Шевалле Кл. Теория групп Ли, I: Пер. с англ.—М.: ИЛ, 1948.
Первая н очень удачная попытка современного изложения теории. В част-
ности, в ней впервые была построена аккуратная теория интегрируемых
подрасслоеннй (см. лекцию 7 и 11), а также не использующая путей тео-
рия накрывающих пространств (лекция 8),
Вспомогательная литература
11. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные
числа. — М.: Наука, 1973.
Популярное введение в теорию кватернионов и октав, содержащее дока-
зательство теорем Гурвица и Фробениуса.
12. Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Вве-
дение: Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.
Содержит подробное, рассчитанное на начинающих, изложение теории на-
крывающих пространств н фундаментальных групп в «классическом духе»,
т. е. на основе понятия гомотопии непрерывных путей.
13. Фрейденталь Г. Октавы, особые группы и октавная геомет-
рия: Пер. с нем. — Математика (сб. перев.), 1, № 1, 1957.
Изложение исследований автора о группах О2, Л н Е« н смежных вопро-
сах. Рассчитана на специалистов. Чтение статьи очень затруднено уста-
ревшей терминологией и некоторыми особенностями стиля автора.
Предметный указатель
Алгебра альтернативная 308
— двойных чисел 238
— дуальных чисел 268
Йорданова 340
— Клишфорда 260
— Ли 57
----- абелева 367
—----векторных полей на мно?
гообразии 60
•----группы Ли 62
----- групускулы 68
-----коммутаторная 58
----- линейная 370
------- неприводимая 375
----- нильпотентная 367
----- полупростая 366
----- простая 414
-----разрешимая 365
----- редуктивная 376
— — свободная 101
-----f4 347
-- -- 02 310
— матриц 41
— метрическая 302
— многочленов 100
•----от некоммутирующих не-
известных 100
— над полем 40
—------ассоциативная 41
------- унитальная 41
— нормированная 303
— октав (чисел Кэли) 307
— свободная 99
-----обертывающая 106
— Хопфа 116
— Хг-градуированная 263
Антиавтоморфизм алгебры инво-
лютивный 270
Ассоциатор 323
Гомеоморфизм локальный 166
Гомоморфизм алгебр 40
— групп Ли гладкий 9
— групускул Ли 67
График системы Пфаффа 152
Группа алгебраическая 242
— вещественная линейная сим-
плектическая 19
допускающая конструкцию
Кэли 17
- каинова 414
— Клиффорда степени п и ин-
декса е 271
— Ли 9
---- локальная 67
---- матричная 48
----Гл 347
----О2 310
— локально евклидова 98
— односвязная накрывающая203
— ортогональная симплектиче-
ская 19
— спинорная степени п и ин-
декса е 272
— топологическая 10
----без малых подгрупп 97
— унимодулярных унитарных
матриц 28
— унитарная 20
— — симплектическая 21
— фундаментальная 199
Группалгебра Ли 133
Группы Ли локально изоморф-
ные 65
Групускула вложимая 212
— глобализуемая 212
— Ли 66
---- аналитическая 146
—- — гладкая 146
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель'
445
Гоупу скулы Ли эквивалентные
‘ 67 "
Дифференцирование алгебры 59
---- внутреннее 60
Идеал алгебры Ли 143
------- характеристический 481
Идемпотент 341
— примитивный 341
Изоморфизм топологических
групп локальный 201
Иммерсия 238
Интеграл системы Пфаффа 149
Карта каноническая 93
Категории накрытий 188
— эквивалентные 135
Категория накрытий 177
— пунктированных накрытий 177
Квадрат рассеченный 227
— универсальный 172
Коалгебра 116
Коамальгама 172, 180, 183
Кограница 399
Коммутатор двух элементов ас-
социативной алгебры 58
Компонента линейной связности
23
Константы структурные 313
Конструкция Кэли 17
Конфигурация F4 361
— G2 316
Координаты канонические 94
---- второго рода 94
— — первого рода 94
— нормальные 83
Коумножение 116
Коцепь 397
Коцикл 399
Кривая интегральная векторного
поля 33
---------- максимальная 33
Критерий Картана полупростоты
394
----разрешимости 385, 388
Кэли-образ группы 17
•---матрицы 15
Лемма Уайтхеда вторая 407
--- первая 405
Линеаризация 322
Матрица мономиальная 289
— неисключительная 15
— октавная косоэрмитова 348
---эрмитова .339
— симплектическая 17
— унитарная 20
— /-кососимметрическая 18
— /-ортогональная 18
— /-унитарная 20
Многообразие алгебраическое
242
— интегральное 218
--- максимальное 221
^Многочлен Дынкина 77
— лиев 76, 101
— некоммутативный 76
Модуль над алгеброй Ли 105
Морфизм групп Ли 9
— накрытий 177
Накрытие 166
— гладкое 190
— групповое 196
— пунктированное 171
— — максимальное 179
--- односвязное 179
--- универсальное 179
— слабое 166
— тривиальное 175
Накрытия пунктированные экви-
валентные 178
Нильподалгебра Ли 370
Нильпредставление алгебры Ли
428
Нильрадикал алгебры Ли 369
Норма мультипликативная на
алгебре 43
Обмотка тора иррациональная
216
Объект категории инициальный
259
Одночлен 100
— лиев 124
— пустой 100
446
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель'
Окрестность каноническая 93
— нормальная 73
Октава 307
Оператор Казимира 396
Плоскость проективная октавная
343
Погружение 238
Подалгебра алгебры 41
Подгруппа дискретная 201
— Ли 217
—, обладающая 1п-образом 56
— однопараметрическая 34
Подгрупускула 138
— инвариантная 143
— локально плоская 139
Подкатегория полная 41
Подмногообразие 217
— локально выпрямляемое 228
— плоское карты U 219
Подмножество группы малое 205
— локально замкнутое 240
— произведения двух групп от-
меченное 205
—, ровно накрытое отображе-
нием 166
Подпространство (подалгебра)
ассоциативно нильпотентное
370
Подрасслоение вполне интегри-
руемое 157
— инволютивное 153
-— касательного расслоения 149
Поле векторное левоинвариант-
ное на группе 30
— — на многообразии 29
— — полное 33
Поля векторные Ф-связанные 38
Поляризация 322
Представление алгебры Ли 384
------- присоединенное 384
— группы Ли присоединенное 86
— полуспинорное 294
— спинорное 294
Представления матричные экви-
валентные 289
Принцип тройственности для
группы Spin 8 332
---инфинитезимальный 333
Проблема Гильберта пятая 98
Произведение внутреннее левое
296
----- правое 296
— идеалов 425
— кронекерово матриц 289
— тензорное алгебр 116
— — косое 23-градуированных
алгебр 265
---- линеалов 115
Пространство накрывающее 166
— однородное 251
— представления алгебры Ли
384
— топологическое линейно связ-
ное 22
— — локально (линейно) связ-
ное 23
-------- односвязиое 192
---- односвязное 176
— — полулокально односвязное
180
---- пунктированное 171
---- связное 22
----хаусдорфово (отделимое)
10
Путь 23
Радикал алгебры Ли 366
—------нильпотентный 379
Разложение жорданово линейно-
го оператора 387
— представления в прямую сум-
му 404
₽_ Фиттинга линейного операто-
ра 403
Ранг гладкого отображения 224
Расширение алгебр Ли 409
-------г Тривиальное 409
Ряд Кемпбелла — Хаусдорфа 75
-------в форме Дынкина 129
Свойство естественности 72
— универсальности гомоморфиз-
ма алгебры Ли 106
Сдвиг левый 13
— правый 13
Система Пфаффа 148
— — интегрируемая 149
Скобка Ли векторных полей 60
Соответствие Ли 217
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
447
•Сопряжение алгебры Клиффорда 270 — конечномерной алгебры над R 300 Степень одночлена 100 — p-я внешняя линейного опе- ратора 297 Теорема Адо 214 <— Вейля 407 — Джекобсона 370 •— Дынкина 127 — Картана 140, 209, 242 — Лагранжа 266 — Леви 418 — Ли третья 137 — Пуанкаре — Биркгофа — Вит- та 113 — Уайтхеда 400 — Фрейденталя 351 — Фридрихса 122 — Фробениуса 154 обобщенная 310 — Энгеля 373 Тождество Муфанг правое 331 — — центральное 331 — эластичности 323 — Якоби 58 Трнпроизведенне скалярное 346 Удвоение алгебры 300 Факторалгебра алгебры Ли по идеалу 145 Факторгрупускула 144 Формула Лейбница 244 Функтор вполне унивалентный 147 — игнорирования 134 — Лн 38, 64, 68, 134 — локализации 68 Функторы квазнобратные 135 Функционал билинейный инва- риантный 380 > — Киллинга 381 • — следный алгебры Лн 380 представления алгебры Ли 384 Функция производная в алгебре 44 — экспоненциальная в алгебре — — матричная 44 Центр алгебры Ли 367 — ассоциативной алгебры 270 Часть групускулы 67 — линейного оператора диаго- нализируемая 387 — нильпотентная 387 Число Кэли 307 Элемент алгебры Клиффорда нечетный 263 четный 263 — — обратимый 41 — ассоциативной алгебры алгеб- раический 424 — примитивный 117 — специальный 111