Е.П.Аксенов
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977, 360 стр.
В книге дается систематическое изложение аналитической теории движения
искусственных спутников Земли. Подробно рассматриваются возмущения,
вызываемые зональными, тессеральными и секториальными гармониками
геопотенциала и возмущения, обусловленные притяжением Луны и Солнца,
сопротивлением атмосферы и световым давлением. Рассмотрено также влияние
других возмущающих факторов. Особое внимание уделяется выводу
окончательных рабочих формул, удобных для практических вычислений. Книга
содержит ряд таблиц, необходимых для вычисления орбит.
Книга предназначена для специалистов в области небесной механики и
астродинамики и для научных работников, занимающихся наблюдениями ИСЗ и
их использованием в геодезии и геофизике. Она может служить также пособием
для студентов старших курсов и аспирантов.
Предисловие 7
Глава I. Гравитационное поле Земли 11
§1.1. Притяжение объемного тела 11
§ 1.2. Основные сведения о полиномах Лежандра 13
§ 1.3. Присоединенные функции Лежандра. Общее выражение для 15
сферической функции
§ 1.4. Нормированные и полностью нормированные присоединенные 17
функции Лежандра
§ 1.5. Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям 19
§ 1.6. Различные формулы для потенциала притяжения Земли 24
§ 1.7. Зональные, тессеральные и секториальные гармоники 27
§ 1.8. Постоянные гравитационного поля Земли. Стандартная Земля 29
§ 1.9. Промежуточное гравитационное поле Земли 32
§1.10. Геоид 36
§ 1.11. Сила тяжести 41
§ 1.12. Возмущающий потенциал 42
§ 1.13. Замечания 43
Глава II. Первые интегралы уравнений промежуточного движения 47
§ 2.1. Дифференциальные уравнения движения искусственного спутника 47
§ 2.2. Интегрирование уравнений промежуточного движения 49
§ 2.3. Первые интегралы 52
§ 2.4. Исследование первых интегралов 54
§ 2.5. Постоянные а, е, 8 58
§ 2.6. Корни многочленов Ф(^) и F(r\) 60
§ 2.7. Качественная картина 62
§ 2.8. Частные случаи 65
§ 2.9. Замечания 66
Глава III. Формулы промежуточного движения 68
§ 3.1. Эллиптические функции Якоби 68

§ 3.2. Определение координаты ц 71
§ 3.3. Определение координаты С, 73
§ 3.4. Связь между переменными Э и \|/ 75
§ 3.5. Определение координаты со 77
§ 3.6. Связь между временем t и переменными Э и \|/ 83
§ 3.7. Постоянная i 87
§ 3.8. Определение \|/ для заданного момента времени t 90
§ 3.9. Формула для определения долготы со 91
§ 3.10. Формулы для прямоугольных координат 92
§3.11. Формулы для скорости 94
§ 3.12. Оценки периодических членов второго порядка 95
§3.13. Боковые члены третьего порядка 97
§ 3.14. Сводка формул 98
§ 3.15. Эйлерово и кеплерово движения. Элементы орбиты 99
§3.16. Вековые неравенства 102
§ 3.17. Разложение эллиптических функций в тригонометрические ряды 103
§ 3.18. Определение элементов орбиты по начальным условиям 105
§ 3.19. Замечания 109
Глава IV. Дифференциальные уравнения для эйлеровых элементов 110
промежуточной орбиты
§4.1. Введение 110
§ 4.2. Канонические элементы АкпВк 112
§4.3. Вычисление величины A j 113
§ 4.4. Вычисление величины А^ 115
§ 4.5. Элементы L, G, H, I, g, h 118
§ 4.6. Некоторые другие системы канонических элементов 121
§ 4.7. Задача об устойчивости движения спутника 122
§ 4.8. Аналог теоремы Лапласа 126
§ 4.9. Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, 127
аналогичные уравнениям Лагранжа
§ 4.10. Дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Ньютона 129
§4.11. Еще одна форма дифференциальных уравнений для элементов 134
§ 4.12. Случай кеплеровых элементов 141
§ 4.13. Постановка задачи о возмущениях элементов промежуточной 144
орбиты
§ 4.14. Замечания 147
Глава V. Возмущения от зональных гармоник 149
§ 5.1. Возмущающая функция 149
§ 5.2. Коэффициенты М™(е) 152
§ 5.3. Коэффициенты N^\e) 155
§ 5.4. Коэффициенты Z,<*> (s) 157

§5.5. Выражения для R\ F, Ф' 164
§ 5.6. Элементы как функции v 165
§ 5.7. Соотношение между t и v 168
§ 5.8. Возмущения элементам 171
§ 5.9. Сводка формул для возмущений 172
§ 5.10. Возмущения от гармоники m-го порядка 175
§5.11. Влияние третьей гармоники 176
§ 5.12. Возмущения от гармоник четвертого и пятого порядков 178
§5.13. Вековые возмущения 180
§5.14. Случай малых е 182
§ 5.15. Важнейшие долгопериодические неравенства 184
§5.16. Дальнейшее развитие теории 186
Глава VI. Возмущения от тссссральпых и векториальных гармоник 188
§ 6.1. Постановка задачи 188
§ 6.2. Возмущения от второй векториальной гармоники 191
§ 6.3. Возмущения от гармоник третьего порядка 193
§ 6.4. Разложение возмущающей функции в общем случае 197
§ 6.5. Функции наклона Акщ(г) 200
§ 6.6. Функции эксцентриситета Вкп (е) 204
§ 6.7. Структура возмущений. Резонансные неравенства 206
§ 6.8. Замечания 211
Глава VII. Лунно-солнечные возмущения 212
§7.1. Постановка задачи 212
§ 7.2. Выражения для R\ F, Ф' 214
§ 7.3. Дифференциальные уравнения для возмущений эйлеровых 218
элементов
§ 7.4. Вековые возмущения 220
§ 7.5. Долгопериодические возмущения первого класса 221
§ 7.6. Долгопериодические возмущения второго класса 223
§ 7.7. Долгопериодические возмущения третьего класса 225
§ 7.8. Долгопериодические возмущения четвертого класса 227
§ 7.9. Возмущения элемента М 230
§ 7.10. Определение элементов Луны и Солнца 232
§7.11. Некоторые свойства возмущений 234
§7.12. Замечания 237
Глава VIII. Возмущения от сопротивления атмосферы 239
§8.1. Введение 239
§ 8.2. Плотность атмосферы 240
§ 8.3. Сила сопротивления атмосферы 246
§ 8.4, Функции Бесселя мнимого аргумента 247
§ 8.5, Уравнения для возмущений элементов а, р, i 248
§ 8.6. Уравнения для вековых возмущений элементов а, р, i 251
§ 8.7. Асимптотические формулы для возмущений элементов а, р, е, i, n 255

§ 8.8. Вывод уравнений для возмущений угловых элементов 257
§ 8.9. Сводка окончательных результатов 259
§ 8.10. Комбинированное влияние сопротивления атмосферы и сжатия 261
Земли
§ 8.11. Влияние вращения атмосферы 263
§ 8.12. Другие возмущения от сопротивления атмосферы 267
§ 8.13. Формулы для определения плотности воздуха 271
§ 8.14. Продолжительность жизни спутника 273
§ 8.15. Общий обзор. Дальнейшее развитие 277
Глава IX. Возмущения от светового давления 280
§9.1. Давление света 280
§ 9.2. Возмущающая функция 285
§ 9.3. Возмущения элементов без учета влияния тени 287
§ 9.4. Теневая функция 290
§ 9.5. Выражение Pn(cosX) через элементы орбиты 296
§ 9.6. Выражение i^(cosO) через элементы орбиты 299
§ 9.7. Уравнения для возмущений элементов с учетом тени 901
§ 9.8. Влияние светового давления на движение спутников 303
§ 9.9. Замечания 306
Глава X. Другие возмущения. Вычисление возмущенных координат 309
спутника
§ 10.1. Введение 309
§ 10.2. Возмущения, вызываемые прецессией и нутацией экваториальной 311
плоскости Земли
§ 10.3. Возмущения от приливной деформации Земли 320
§ 10.4. Влияние притяжения атмосферы 327
§ 10.5. Влияние электромагнитных сил 329
§ 10.6. Релятивистские эффекты 331
§ 10.7. Определение возмущенных координат спутника 332
Приложение 338
Литература 344
Именной указатель 356
Предметный указатель 358
Предметный указатель
Амплитуда (функция) 69 Вектор магнитной напряженности
Аномалия истинная 101, 214 329
-средняя 100, 216, 322 - скорости 329
- - в эпоху 101 Влияние вращения атмосферы 263
- эксцентрическая 100 Возмущения вековые 150, 180, 220,
Аргумент перигея 100, 322, 325 323, 328
- широты 101, 214, 325 - долгопсриодические 151, 210, 323,
Атмосфера стандартная 243 327
Вариации плотности атмосферы 328 - короткопериодические 151, 209, 268

- лунно-солнечные 212, 337
- от гармоник третьего порядка 193
- от прецессии и нутации
экваториальной плоскости
Земли 311, 337
- от приливной деформации Земли
320
- от светового давления 337
- от секториальных гармоник 188
- от тессеральных гармоник 188
- от электромагнитных сил 329
- первого порядка 146
- резонансные 210, 211
- релятивистские 331
Время запаздывания прилива 325,
326
- звездное гринвичское 47
- регуляризующее 66
Гармоники зональные 8, 27, 202, 337
- секториальные 9, 29, 211, 338
- тесссральные 9, 28, 211, 338
Геоид 36
- промежуточный 36
Геопотеициал 8, 211, 327, 328
Гиперболоид вращения
однополостный 63, 64
Горб приливной 325
Гравитационное поле Земли 8, 11
Давление света 281
Движение возмущенное 9, 110, 111
- кеплерово 99, 111, 337
Движение невозмущениое 100
- плоское 65
- полюса 7
- промежуточное 49, 58, 66, 99, ПО,
111,207,337
- среднее 216, 323—325
- - аномалистическое 102, 123, 207
- - драконическое 123
- - перигея 102, 207, 216
- - сидерическое 123
--узла 102, 207, 216, 323
- условно-периодическое 64, 105
- эйлерово 99, 100
Дельта амплитуды 69
Деформация приливная Земли 323
Долгота восходящего узла 100
- средняя 325, 337
-узла214, 216, 322, 325, 337
- - орбиты Луны 327
Задача двух неподвижных центров
35,99
обобщенная 8, 35, 99
Запаздывание приливов 325
Заряд электрический 329
Земля стандартная 30
Импульсы обобщенные 111
Интеграл общий 51
- площадей 53
- полный 51
- эллиптический первого рода 69
полный 69, 72
- энергии 50
Координаты обобщенные 111
- сфероидальные 49, 106, 168
Косинус эллиптический 69
Коэффициент лобового
сопротивления 246
Коэффициенты Ганзена 204, 205, 298
Критические значения наклона 235
Меридиан гринвичский 24
- местный 325
Метод вариации произвольных
постоянных 111
- Гамильтона — Якоби 49, 66
- последовательных приближений 98,
107, 166
Модель атмосферы аналитическая
242
Модель атмосферы динамическая
243
- - локальная 244
- - статическая 244
Моменты инерции 22
Наклон 214
- критический 235, 290
- к эклиптике 325
- орбиты 100, 326

- эклиптики к экватору 325
Невязки 103
Неравенства вековые 97, 102, 327
- долгопериодические 184, 209, 210
- короткопериодические 209, 210
- периодические 9
- резонансные 206, 210, 211
- с периодом около суток 210
Несферичность Земли 7, 327
Нутация экваториальной плоскости 9
Операция основная 131
Орбита кеплерова 101, 112
- круговая 321
- промежуточная 8, 9, 49, 99, 101—
103,105,110
-эйлерова 99, 102
Орбиты круговые 65, 66
- полярные 66
- эллипсоидальные 65
- эллиптические 65, 66
Параллакс 213
Параметр орбиты 324
Перигей 100
Период аномалистический 122
- драконический 122
- обращения линии узлов орбиты
Луны 327
- сидерический 123
Плоскость экватора 325
Плотность атмосферы 240, 328, 340
Площадь миделева сечения 246
Поле гравитационное Земли 29
- - нормальное 44
- - промежуточное 34
- Земли магнитное 329
Полиномы Лежандра 13, 14, 18, 24
Полуось большая 100, 216, 323
Постоянная притяжения 11
- солнечная 281
Постоянные гравитационного поля
Земли 30, 31
Потенциал аномальный 44
- возмущающий 42
- магнитного поля 329
- притяжения 8, 11, 13, 327, 329
Преобразование каноническое 112
Прецессия экваториальной плоскости
9
Приливы лунно-солнечные 7, 9, 325,
327
Притяжение атмосферы 9, 327, 328
- внешнего тела 212
- Луны и Солнца 8
- объемного тела 11
Продолжительность жизни спутника
273, 276
Радиус средний экваториальный 21,
24
Разложение возмущающей функции
197
- потенциала 19
Релятивистский эффект 9
Решение условно-периодическое 112
Ряд тригонометрический 71, 103—
105
- Фурье 216
Световое давление 8, 9
Сила тяжести 41
Силы электромагнитные 9
Синус эллиптический 69
Скобки Лагранжа 136
Скорость вращения Земли угловая
47,188,207,325
Сопротивление атмосферы 8, 9
Спутник суточный 211
Тело возмущающее 212, 213, 216
Теневой эффект 9
Теорема Виета 60, 62
-Дирихле 13
- Лапласа 127
- сложения 17
Теория условно-периодических
движений 112
Точка весеннего равноденствия 212
Треппе приливное 325
Угловое расстояние перигея от узла
216
Узел восходящий 325

Уравнение Гамильтона — Якоби 50
- Лапласа 12
- Лежандра 15
- Пуассона 12
Уравнения возмущенного движения
48
- дифференциальные
промежуточного движения 9, 49
- для возмущений эйлеровых
элементов 218
- - эйлеровых элементов 110
- - элементов промежуточного
движения 9, 207
- канонические 111
- Лагранжа 141
- невозмущенного движения 49
- Ньютона 142
Условие Гольдера 12
Устойчивость движения спутника
122,125
Фаза запаздывания прилива 326
Формула Лапласа 15
-Родрига 13
Формулы для прямоугольных
координат спутника 92
- - скорости спутника 94
Функции Бесселя мнимого аргумента
247
- наклона 200, 202, 203, 211
- сферические 8, 13, 327, 329
- эксцентриситета 199, 204, 206, 211
- эллиптические 68, 103
Функция возмущающая 48, ПО, 149,
206,207,211—213,285,321
- Лежандра 17
- - присоединенная 15
нормированная 18, 24
полностью нормированная 18
- производящая 15
-силовая 8, 11, ПО
- сферическая 16
- тени 9, 291
Шкала высот 244, 342
Эксцентриситет 64, 100, 211, 214,
216, 323
Электромагнитные силы 329
Элементы Делоне 111, 143
- канонические 111,112, 121
- - Якоби 111
- кеплеровы 58, 101,337
- Луны и Солнца 233
- неугловые 239
-орбиты 58,106,216
- промежуточной орбиты 99, 110, 216
- Пуанкаре 111, 144
- средние 102
- угловые 239
- эйлеровы 101, ПО
Эллипс 100
Эллипсоид вращения сжатый 63—65
Эффект приливной деформации 327
- суточный 241
- широтный 269
Эффекты резонансные 211

ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение движения искусственных спутников Земли
представляет интерес не только для специалистов по астро-
динамике, занимающихся прогнозированием движения
ИСЗ и проектированием их орбит. Проблема эта ныне
интересует широкий круг ученых, и прежде всего астро-
номов, геофизиков и геодезистов. Определение постоян-
ных гравитационного поля Земли и параметров земной
атмосферы, изучение лунно-солнечных приливов и дви-
жения полюса — вот неполный перечень задач, которые уже
сейчас успешно решаются с помощью наблюдений ИСЗ.
Можно думать, что в будущем появятся и другие не
менее итересные и важные задачи, решение которых бу-
дет тесно связано с использованием наблюдений искус-
ственных спутников.
Для исследования движения искусственных спутников
Земли используются все методы небесной механики: чис-
ленные, аналитические и качественные. Особое место сре-
ди них занимают аналитические методы, которые могут
конкурировать по точности с методами численного инте-
грирования, а вместе с качественными позволяют нарисо-
вать довольно полную картину движения спутника на
больших интервалах времени. Очень важно, что они дают
возможность просто и наглядно охарактеризовать влияние
каждого фактора, действующего на движение спутника.
Эта книга посвящена аналитической теории движения
искусственных спутников. В ней мы не будем касаться
численных методов, но затронем некоторые качественные
вопросы. Основное внимание мы уделим выводу и ана--
лизу рабочих формул, необходимых для практических
вычислений.
Как известно, на движение искусственных спутников
Земли'оказывает влияние целый ряд возмущающих факто-
ров. Важнейшими из них являются несферичность Земли,

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
сопротивление атмосферы, притяжение Луны и Солнца
и световое давление. Однако наибольшие возмущения
в движении близких спутников связаны с одним фактором,
а именно со второй зональной гармоникой потенциала
притяжения Земли. Она вызывает возмущения, которые
в сотни и тысячи раз превосходят неравенства от других
возмущающих сил. Поэтому, как и в теории Луны, здесь
следует выделить главную проблему. Эта проблема заклю-
чается в интегрировании дифференциальных уравнений
движения, правые части которых составлены с учетом
лишь первых двух гармоник геопотенциала. Решение
главной проблемы составляет первый этап построения
аналитической теории движения ИСЗ. Второй этап со-
стоит в определении остальных, уже менее значительных
возмущений.
Главная проблема в теории ИСЗ может быть решена
двумя способами: во-первых, с помощью классических
методов возмущений и, во-вторых, путем построения про-
межуточных орбит на базе некоторых аппроксимирующих
выражений для геопотенциала, допускающих интегриро-
вание дифференциальных уравнений движения в замкну-
той форме. Поскольку результаты применения классиче-
ских методов приведены во многих монографиях по
небесной механике *), в нашей книге мы ограничимся из-
ложением второго способа. При этом в основу построения
промежуточных орбит будет положена обобщенная задача
двух неподвижных центров, силовая функция которой
включает в себя как вторую, так и третью зональную гар-
монику геопотенциала и позволяет проинтегрировать
уравнения движения в квадратурах.
По своему содержанию книга разделена на 10 глав.
Первая глава имеет в известной степени вводный харак-
тер. В ней приводятся основные сведения из теории потен-
циала, выводится разложение потенциала притяжения
Земли по сферическим функциям, даются различные фор-
мы записи геопотенциала, используемые на практике.
Здесь же вводится понятие о промежуточном гравитацион-
ном поле Земли.
*) См., например, книгу Г. А. Чеботарева «Аналити-
ческие и численные методы небесной механики» и книгу Д. Б р а у -
эра и Дж. Клеменса «Методы небесной механики».

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
Вторая и третья главы посвящены решению главной
проблемы в теории спутника — построению промежуточ-
ной орбиты. В них проводится интегрирование дифферен-
циальных уравнений промежуточного движения, подроб-
но исследуются первые интегралы этих уравнений, дается
качественная картина. Особое внимание уделяется выводу
всех необходимых формул, описывающих промежуточную
орбиту.
В четвертой главе выводятся различные формы диффе-
ренциальных уравнений для элементов промежуточного
движения. Дается общий метод решения этих уравнений,
позволяющий находить все возмущения в движении спут-
ника, которые не были учтены при построении промежу-
точной орбиты. Приводятся также некоторые качествен-
ные исследования возмущенного движения спутника.
В последующих трех главах излагается теория грави-
тационных возмущений. Здесь последовательно опреде-
ляются возмущения элементов орбиты спутника, вызы-
ваемые зональными, тессеральными и секториальными гар-
мониками геопотенциала, и возмущения, обусловленные
притяжением Луны и Солнца.
Восьмая глава посвящена исследованию влияния со-
противления атмосферы на движение ИСЗ. Наиболее
подробно рассмотрены вековые возмущения и общая эво-
люция орбиты спутника. Более кратко изложены периоди-
ческие неравенства.
В девятой главе дается изложение теории возмущений
от светового давления. Центральным местом здесь яв-
ляется введение так называемой теневой функции, кото-
рая позволяет получить аналитические выражения для
возмущений с учетом теневого эффекта.
В последней, десятой главе рассматриваются возму-
щения, обусловленные остальными возмущающими факто-
рами. К ним относятся прецессия и нутация экваториаль-
ной плоскости, лунно-солнечные приливы, электромаг-
нитные силы, притяжение атмосферы и, наконец, реляти-
вистские эффекты. В заключительном параграфе этой
главы приводится общая схема вычисления возмущенных
координат спутника.
Написанию этой книги способствовали лекции для
студентов и аспирантов, которые автор читал на протяже-
нии нескольких лет в Московском университете. В книге

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
использованы публикации как отечественных, так и за-
рубежных ученых. Значительное место занимают иссле-
дования самого автора. Однако многие интересные работы
в ней не нашли своего отражения. Чтобы как-то воспол-
нить этот пробел, автор включил в каждую главу спе-
циальный параграф, в котором дается общая характери-
стика полученных результатов и приводятся ссылки на
литературные источники.
В книге использована следующая нумерация формул.
В номере формулы первое число соответствует главе, вто-
рое — параграфу, третье — порядковому номеру форму-
лы внутри параграфа. Нумерация параграфов — двух-
ступенчатая: первое число в номере параграфа соответ-
ствует главе, второе — порядковому номеру параграфа
внутри главы. Ссылки на литературные источники имеют
собственную нумерацию в каждой главе.
В заключение автор благодарит своих друзей и кол-
лег Е. А. Гребеникова и В. Г. Демина, добрые советы
которых ускорили работу над книгой. Автор благодарен
также своим ученикам и коллегам С. Н. Вашковьяк,
Н. В. Емельянову, Б. Н. Носкову, И. П. Прохоровой,
В. С. Уральской и В. М. Чепуровой за замечания и по-
мощь при подготовке рукописи к печати.
Автор

ГЛАВА I
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
§ 1.1 Притяжение объемного тела
Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки
Р единичной массы некоторым телом М. Будем предпола-
гать, что тело имеет произвольную форму, а плотность
распределения масс внутри него является кусочно-не-
прерывной функцией координат.
Возьмем прямоугольную, жестко связанную с телом
систему координат 0%r\t, с началом в центре масс тела
(рис. 1). Тогда потенциал притя-
жения или силовая функция тела
М в точке Р с координатами ?,
г), ? будет даваться формулой
U
-'Ш
¦к dx
A.1.1)
где / — постоянная притяжения,
есть расстояние точки Р от теку-
щей точки Р' с координатами §', Рис. 1. Система коорди-
Т)\ ?'> в которой находится эле- нат-
мент объема dx, а интеграл бе-
рется по всему объему Т, занятому притягивающим
телом.
Если через гиг' обозначить радиусы-векторы точек Р
и Р', а через у — угол между ними, то для А и у будем
иметь
cos 7 =
rr'
A.1.2)
A.1.3)

12 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
Потенциал U обладает следующими свойствами *):
1) потенциал U есть функция, непрерывная во всем
пространстве, обращающаяся в нуль в бесконечности, при-
чем
lim(rU)=fm, A.1.4)
г-»-оо
где т — масса тела,
2) частные производные первого порядка потенциала
U по координатам являются непрерывными функциями во
всем пространстве, обращающимися в нуль в бесконечности,
3) если через X, Y, Z обозначить проекции силы при-
тяжения точки Р телом М на координатные оси 0%,
Ог\, Ot,, то во всем пространстве
ди Y аи 7_ аи , , ,
4) во внешнем относительно тела М пространстве
потенциал U удовлетворяет уравнению Лапласа:
5) внутри тела М потенциал U удовлетворяет урав-
нению Пуассона:
дЧ] . dW , WJ
g?2. i^ дцЪ \^ o?2
Первые четыре свойства легко доказываются, когда
плотность х — кусочно-непрерывная функция. Для доказа-
тельства же свойства 5 требуется наложить на плотность
более жесткое условие. Наиболее общим таким условием
является условие Гольдера. Плотность к удовлетворяет
условию Гольдера, если точку Р, лежащую внутри тела,
можно заключить в такой объем, что для любых двух
точек (|х, Tjj, ?х) и (|2, тK, ?2) этого объема имеет место
следующее неравенство:
1 ^ \=li 111 bl/ \=2' |2» Ь2/ I ^^- ЛН )
*) Подробнее о теории потенциала см. книги Г. Н. Дубошина
[1], [2], М. Ф. Субботина [3], Л. Н. Сретенского [4].

§ 1.2] ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОЛИНОМАХ ЛЕЖАИДРА 13
где
Р = V (li - У2 + Di - %J + (Si - У2,
а Л и а — постоянные, причем 0 < а < 1.
Очевидно, это условие будет выполнено, если плот-
ность имеет непрерывные частные производные первого
порядка.
Перечисленные свойства называются характеристи-
ческими, ибо согласно теореме Дирихле они вполне опре-
деляют потенциал притяжения тела, а поэтому могут быть
использованы для его практического определения.
Второй способ нахождения потенциала заключается
в непосредственном вычислении интеграла A.1.1). Одна-
ко в конечном виде этот интеграл берется только в неко-
торых частных случаях, таких, например, как случай
однородного шара или шара с концентрическим распреде-
лением плотности и случай однородного двухосного или
трехосного эллипсоида. Так, для концентрического шара
потенциал дается формулой
U = J^, A.1.7)
где т — масса шара.
Если же на форму тела и распределение масс внутри не-
го не накладывается никаких ограничений, кроме тех, ко-
торые были сделаны в начале этого параграфа, интеграл
,A.1.1) можно вычислить только при помощи ряда. Наибо-
лее распространенным в настоящее время разложением для
потенциала является разложение по сферическим функ-
циям. Применение сферических функций, как мы увидим
в § 1.5, позволяет получить довольно простую и удоб-
ную для практических приложений аналитическую фор-
мулу для потенциала.
§ 1.2. Основные сведения о полиномах Лежандра
Полином Лежандра Рп (z) порядка п можно определить
формулой
носящей название формулы Родрига.

14
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
Для первых Рп (z) имеем
A.2.2)
/>e(z) =-L (-5 + 105z2-315z4
Из формулы A.2.1) легко получается следующее об-
щее выражение для Рп (z):
РЛЮ-1К-1Г 2nr!(l2^,2g_2r)!^2r, A-2.3)
где h = i или А = ¦""!" , смотря по тому, которое из
этих чисел целое.
Полиномы Лежандра высших порядков могут быть
вычислены при помощи рекуррентного соотношения
(п+ 1) Рп+1 (z) - Bп + 1) zPn (z) + «Pn_4 (z) = 0. A.2.4)
В дальнейшем нам потребуются также следующие фор-
мулы:
_ nzPn
_25)
dz
йРп_, (z)
dz
Отметим некоторые свойства полиномов Лежандра *):
1) полином Лежандра является четной или нечетной
функцией в зависимости от того, четна или нечетна его
*) Подробное изложение теории полиномов Лежандра можно
найти в монографии Е. Гобсона [5], в книге Э. Т. Уиттекера
и Дж. Н. Ватсона [6] и в книге А. Ф. Никифорова и В. Б. Уваро-
ва [34].

Н-З] ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 15
степень, так что
Рп (-Z) = (-1ГЛ, (*),
2) на границах интервала [—1, +1] полином Лежанд-
ра принимает следующие значения:
Рп A) = 1, Рп (-1) = (-1)",
3) для любого z из промежутка (—1, +1)
|РП>)|<1 (п>0). A.2.7)
4) при больших п имеется следующая оценка:
5) полином Лежандра можно представить формулой
2—lcoscp)nAp, A.2.9)
о
носящей имя Лапласа,
6) производящей функцией для Рп (z) является функ-
ция A — 2az + а2)/2, так что
со
¦¦ % апРп(г), A.2.10)
п=0
7) полином Лежандра удовлетворяет следующему ли-
нейному дифференциальному уравнению второго порядка:
V1 — 2 )—^г ^z—г—ч-п(и + 1)/'7,—и, (i.z.iij
которое называется уравнением Лежандра.
§ 1.3. Присоединенные функции Лежандра.
Общее выражение для сферической функции
Присоединенную функцию Лежандра Р<Ы (z) порядка
п и индекса к можно определить формулой
A.3.1)
(i2^
dz*
где Рп (z) — полином Лежандра.

16
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛБ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
При помощи равенств A.2.2) из формулы A.3.1) легко
находим явные выражения для нескольких первых PW (z):
Pf = 15(l-z2K/2,
/>"> = A. (_3z + 7z3)(l-z2I/2,
P? = ^ (-l + 7z2)(l-z2),
A'3-2)
P;«=105(l-z2J.
Для вычисления iW (z) высших порядков можно
воспользоваться следующими рекуррентными соотноше-
ниями:
- Bи +
(и
P^ft) (z) = О,
При этом достаточно пользоваться только первой" формулой,
принимая за исходные данные
/f-i=0, Pift) = l-3-5 ... BA;-l)(l-z2)ft/2. A.3.3)
Полиномы Лежандра и присоединенные функции Ле-
жандра являются составными элементами сферических
функций. Функции двух аргументов 0 и г|э
Р™ (cos 0) cos Атф и РУР (cos 0) sin /tijj.
называются элементарными сферическими функциями, а
сферическая функция Yn @, ty) порядка п определяется
формулой
где Anh и Snft — произвольные постоянные.

§ 1.4] НОРМИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 17
Функция Yn удовлетворяет следующему уравнению
в частных производных:
1 д
а присоединенная функция Лежандра />Gf) (z) является
одним из решений уравнения
которое при Л = 0 переходит в уравнение Лежандра.
Приведем теперь формулу, которая играет важную
роль в теории сферических функций и их приложениях.
Она имеет вид
Рп (cos 0 cos 9' + sin 6 sin 9' cos со) = Pn (cos 9) Pn (cos 0') +
и носит название теоремы сложения для полиномов
Лежандра.
Отметим еще одно свойство, которое нам потребуется
в дальнейшем. Оно заключается в том, что интеграл по
поверхности сферы единичного радиуса от произведения
элементарных сферических функций различных поряд-
ков и индексов равен нулю, в то время как
Я 2Я
о о
Другие свойства сферических функций можно найти
в уже упомянутой монографии Е. Гобсона.
§ 1.4. Нормированные и полностью нормированные
присоединенные функции Лежандра
В различных приложениях теории потенциала наряду
с присоединенными функциями часто используются так
называемые нормированные и полностью нормированные
присоединенные функции Лежандра. Они вводятся сле-
дующим образом. Пусть PW (z) дается равенствами
2 Е. П. Аксенов

18 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. 1
A.3.1) и A.2.3). Тогда нормированная присоединенная
функция Лежандра p'W (z) определится формулой
а для полностью нормированной присоединенной функции
Лежандра рМ (z) имеем
ИЛИ
p№) (Z) = у 2n +1 pn<« (z). A.4.3)
Таким образом,
Pift)(z)=(l-Z2)fe/2 ^*ьB) , A.4.4)
где Pn (z) — полином Лежандра.
Используемое здесь нормирование имеет следующий
смысл. Если для PW согласно A.3.5)
\ \Р™(cos9)cos Щ]1 dS = ;*+S,! Jn4 , A.4.7)
J I v ;sin TJ (re —fc)! 2re + l ' v '
s
то в случае p'(h) и рт
$[^] ^т A.4.8)
s
„*> (cos 0) ^ Аф]2 d5 = 4я, A.4.9)
где ? — поверхность сферы единичного радиуса.

§ 1.5] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД 19
§ 1.5. Разложение потенциала в ряд
по сферическим функциям
Как и раньше, будем предполагать, что притягивающее
тело имеет произвольную форму, а плотность х является
кусочно-непрерывной функцией координат. Тогда в си-
стеме координат O\\\t,, жестко связанной с телом, потен-
циал притяжения U в точке Р согласно § 1.1 будет да-
ваться формулой
Ш
г
где / — постоянная тяготения,
cos7=
причем г, |, т|, ? — радиус-вектор и координаты точки Р,
а г', |', т]', t' — радиус-вектор и координаты точки Р',
в которой находится элемент объема dr.
Предполагая, что точка Р лежит вне притягивающего
тела, разложим А в ряд по степеням отношения г'1г.
Прежде всего, мы имеем
а это дает нам возможность применить формулу A.2.10).
При помощи этой формулы находим следующее разложе-
ние для 1/Д:
оо
2 (^)ПР{сау) A.5.2)
и=0
подставляя которое в A.5.1), получаем
Т
Перейдем теперь к полярным координатам:
| = г cos ф cos X, |' —г' cosq/ cos A/,
т] = г cos ф sin Л, т)' =г' соэф' sin Л',

20 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
Тогда для cos у найдем
cos у = sin ф sin ф' + cos ф cos ф' cos (А. — А.').
Для того чтобы выразить правую часть A.5.3) через
полярные координаты, воспользуемся теоремой сложе-
ния для полиномов Лежандра A.3.4), которая в данном
случае выглядит так:
Рп (cos у) = Рп (sin ф) Рп (sin ф') +
п
+ 22 ¦$^Pin)(s™<p)P(n)(sin<p')CoSk(X-X'). A.5.4)
Поскольку
cos к (А, — А,') = cos&A, cos k%' + sin k% sin
то равенство A.5.4) можно записать в виде
Рп (cos у) = Pn (sin ф) Р„ (sin ф') +
~^| Pift)
Pift) (sin ф) cos kk [P™ (sin ф') cos M\
та
+ 2 ^ feff pn) (sinФ)sink% [P™(sin Ф') sink%'}.
Если подставить это равенство в формулу A.5.3),
то получим
J j J '•'n^n(sin9'
+ /2
X j j
T
j j J -^^- r'"^« (sin ф') cos M x dx +
T
oo П
+ /2 2 -^P^ism^sinkkX
n=0ft=i
X j J J 2((;~^' /-'"P^ (sin ф') sinM xcfc. A.5.5)

§ 1.5] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД 21
Введем следующие обозначения:
mrg/n = - j j j r'nPn (sin Ф') x dx,
T
mrn0Cnk = j j j 2?~W r'nP™(sin Ф')cosM xdx, (I.5.6)
rn0Snh = j j j 2(^f r'"/f} (sin Ф') sin fcV x <*e,
mrn0
где m — масса тела, г0 —некоторая линейная величина.
В случае Земли в качестве г0 удобно принять средний
экваториальный радиус. Очевидно, величины Jn, Cnfe и
Snk являются безразмерными.
С учетом этих обозначений формула A.5.5) принимает
вид
n=0
oo n
n=0 ft=
A.5.7)
Коэффициенты /n, Cnh и ^„ь зависят от формы тела и
распределения масс внутри него. Рассмотрим первые из
них. Пусть в A.5.6) п = 0. Тогда, так как
8тф') = 1 и \ i I
т
ТО
/0=-1. A.5.8)
Полагая в формулах A.5.6) п = 1 и /с = 1 и учиты-
вая, что
Рх (sin ф') = sin ф', Р[1} (sin ф') = cos ф',

22 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
находим
mr0Ji= — \ \\ кг' sin ф' dx = — \ \ \ ?' dm = —т?,0,
Т Т
mr0Cll = \ \ \ кг' cos ф' cos X' dx = \ \ \ ^'йпг = т?0,
Г Т
mroSii= \ \ \ Kr' cos ф' sin ^' ^т = I j j Tj' ^m
где ?<н ti0, ?0 — координаты центра масс тела. Поскольку
начало системы координат 0%ц1, находится в центре
инерции тела, то отсюда заключаем, что
Jx = 0, С1г = 0, 5ц = 0. A.5.9)
Если в формулах A.5.6) положить п = 2 и к = 1,
к = 2, то можно легко получить следующие равенства:
Е о D _^
A.5.10)
где А, В, С — главные центральные моменты инерции;
D, E, F — произведения инерции, т. е.
= J j j ЛТ
T

§ 1.5] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД 23
На основании A.5.8) и A.5.9) формула A.5.7) прини-
мает следующий окончательный вид:
n=2
oo n
+ S S (T" Г ^ (^n Ф) [Cnft cos ЙЯ, + Snh sin АЛ]} .
n=2 ft=l
A.5.11)
Сделаем теперь несколько замечаний.
1. Полученное разложение для потенциала U сходится
абсолютно и равномерно при
г>7, A.5.12)
где г — расстояние наиболее удаленной точки поверхно-
сти тела от его центра масс. Действительно, посквльку
| Рп (sin ф) |^1, то ряд A.5.2), а следовательно, и
A.5.3) абсолютно и равномерно сходится, если г > г',
где г' — радиус-вектор точки, лежащей внутри или на
поверхности тела. Но max г' = г. Отсюда и получаем
условие A.5.12).
2. Предположим, что одна из осей координат, скажем,
ось 01,, совпадает с главной центральной осью инерции.
Тогда произведения инерции D и Е будут равны нулю,
а поэтому
С21=0 и 521 = 0.
Если принять, что все три координатные оси совпадают
с главными центральными осями инерции, то будет равен
нулю также и коэффициент 522.
3. При выводе формулы A.5.11) мы предполагали, что
плотность и является функцией лишь координат. Оче-
видно, эта формула будет иметь место, если плотность х
зависит также от времени. В случае абсолютно твердого
тела, как показывают равенства A.5.6), коэффициенты
/„, Спь и 5П^ будут постоянными. Если же плотность и
и форма тела зависят от времени, то /„, Cnh и Snh будут
функциями времени.

24 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
§ 1.6. Различные формулы
для потенциала притяжения Земли
Пусть прямоугольная, жестко связанная с Землей,
правая система координат О\х\?, такова, что ее начало
находится в центре масс Земли, основная плоскость %\\
совпадает с экваториальной плоскостью, ось Ot, направ-
лена в северный полюс, а ось ОЪ, пересекает гринвичский
меридиан. Пусть далее г, ф и К — радиус-вектор, широта
и долгота:
? = г cos ф cos К, 1
т] = /• cos ф sin X, ? A.6.1)
? = г sin ф. J
Тогда на основании предыдущего параграфа потенциал
притяжения Земли во внешней точке с координатами г,
Ф, К будет даваться формулой
}
n=2 ft=i
A.6.2)
где / — постоянная притяжения, т и г0 — масса и сред-
ний экваториальный радиус Земли; /n, Cnfe и <Sn& — без-
размерные коэффициенты, зависящие от формы Земли и
распределения масс внутри нее; Рп и Р^ — полином и
присоединенная функция Лежандра, причем
A.6.4)
Разложение A.6.2), согласно замечанию 1 § 1.5, схо-
дится абсолютно и равномерно при
г >Т,
где г — радиус-вектор наиболее удаленной точки земной
поверхности.

§ 1.6] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ 25
Так как ось Ot, совпадает с осью вращопия Земли, т. е.
с одной из главных центральных осей инерции, то на
основании замечания 2 § 1.5
С21 = 0 и 521 = 0.
Формула A.6.2) была рекомендована Комиссией № 7
Международного Астрономического Союза как стандарт-
ная форма записи потенциала притяжения Земли. В лите-
ратуре, однако, широко распространены и другие форму-
лы для потенциала. Отметим здесь главные из них. Преж-
де всего имеем
/I / •'nft I I Pn (sin ф) cos ft (л—A.nft)>, A.0.5)
n=2 h=i
где новые коэффициенты /nft и A,nfe связаны со старыми Cnfe
и <Snft равенствами *)
От.?. —: t/ « ь COS "'Лпь, j
" г .... A.6.6)
^nft == Jnh Sm tfAnft, J
ИЛИ
j —~\/C^ i C2 tS ftA, ""fe /j с 7\
Формула A.6.5) удобна при теоретических исследова-
ниях.
Заменим теперь в разложении A.6.2) Р<*> нормирован-
ными присоединенными функциями Лежандра р'<*> со-
гласно равенству
„-№) (Z) - I,/" 2(№-fe)! pW /,ч
*) В некоторых работах вместо /„ используются величину

26 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
Тогда потенциал U запишется в виде
п=2
+ S 2 (^)np'nw(sintp)[A
A.6.8)
где коэффициенты Anh и Впк связаны с Cnh и Snh соотно-
шениями
Anh-y 2{п-к)\ °nh' ^nh-y 2{n-k)\ Ьпкш V1-"-^
Если, наконец, в разложении A.6.2) заменить PW
полностью нормированными функциями Лежандра pW:
то будем иметь еще одну формулу для U:
n=2
оо n
SV. (—1 p№) (sin ф) [Спъ cos kX4- Snh sin k)
n=2 ft=l
A.6.10)
где
2 («-it)!
A.6.11)
Формула A.6.10) часто используется в работах, свя-
занных с определением коэффициентов гравитационного
поля Земли.

1.7]
ЗОНАЛЬНЫЕ И ТЕССЕРАЛЬНЫЕ ГАРМОНИКИ
27
§ 1.7. Зональные, тессеральные
и векториальные гармоники
Рассмотрим структуру разложения потенциала U:
2 S (тТ p«ft) (sin ф) [Cnh cos a+5"ft sin
n=2 k=i
A.7.1)
Все члены этого разложения можно разделить на три
типа. Пусть к = 0. Тогда мы бу-
дем иметь члены вида
Поскольку полином Лежандра Рп
имеет п действительных различ-
ных и по абсолютной величине
меньших единицы корней, то на
сфере Рп (sin cp) будет менять
знак на п параллелях. Таким
образом, сфера разделится на п+1 Рис 2. Положительные
широтных зон, в которых этот член и отрицательные значе-
будет попеременно принимать но- ния зональной гармони-
г ки для п = 4.
ложительные и отрицательные
значения. Такой член называется
зональной гармоникой порядка п. Распределение положи-
тельных и отрицательных значений рассматриваемой
гармоники для п = 4 приводится на рис. 2.
Пусть 0 < к <с п. Тогда мы будем иметь члены вида
— ( — I CnhP^ (sin ф) cos kk

28
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
которые обращаются в нуль на и — к параллелях, опре-
деляемых уравнением
d*Pn (sin ф) 0
d (sin <p)ft
и на 2к меридианах:
cos кХ = 0 или sin &Я = 0.
Следовательно, в этом случае сфера делится на п + к + 1
сферических трапеций, в каждой из которых эти члены
Рис. 3. Положительные и отри-
цательные значения тессераль-
ной гармоники для и = 10 и
А: = 6.
Рис. 4. Положительные и отри-
цательные значения сектори-
альной гармоники для п = 6.
сохраняют знаки. Такие члены называются тессералъны-
ми гармониками порядка п и индекса к. Распределение
положительных и отрицательных значений тессеральной
гармоники для п = 10 и к = 6 указано на рис. 3.
Пусть, наконец, к = п,ж мы тогда получим члены вида
Поскольку
dnPn (sin cp)
' d(sinq>)n

§ i.8J ПОСТОЯННЫЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ ^9
то такие члены обращаются в нуль только на меридианах,
для которых
cos rik = 0 или sin пк = 0.
В этом случае сфера делится на 2п знакопостоянных сек-
торов, вследствие чего такие члены называются секто-
риалъными гармониками порядка п. Соответствующее рас-
пределение положительных и отрицательных областей
для п = к = 6 указано на рис. 4.
Рассмотрим теперь механический смысл различных
слагаемых разложения A.7.1). Поскольку первый член
представляет собой потенциал шара со сферическим рас-
пределением плотности, то все остальные слагаемые ха-
рактеризуют отличие Земли от тела сферической струк-
туры. Основным из этих слагаемых является вторая зо-
нальная гармоника, которая определяет сплюснутость
Земли у полюсов, т. е. полярное сжатие Земли. Другие
гармоники характеризуют более мелкие детали. Так,
тессеральные и секториальные гармоники характери-
зуют отличие Земли от тела, динамически симметричного
относительно оси вращения, а зональные гармоники не-
четного порядка и тессеральные гармоники, для которых
п — к нечетно, определяют асимметрию Земли относи-
тельно плоскости экватора.
§ 1.8. Постоянные гравитационного поля Земли.
Стандартная Земля
Числовые значения коэффициентов разложения потен-
циала притяжения Земли определяются как при помощи
гравиметрических и геодезических измерений, так и по
наблюдениям Луны и искусственных небесных тел. В пос-
ледние годы часто используется комбинированный метод,
основанный на совместном использовании гравиметри-
ческих и спутниковых данных. Начиная с 1958 г. при
помощи наблюдений искусственных спутников Земли было
выведено несколько десятков систем постоянных геопо-
тенциала *). Наиболее полные результаты были полу-
чены в Смитсонианской обсерватории США на основе
*) Подробная сводка этих данных приведена в обзоре Л. П. Пел-
линена [7].

30 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
фотографических и лазерных наблюдений специальных
спутников с привлечением гравиметрических и геодези-
ческих измерений. Выведенная в США система постоян-
ных получила название Стандартной Земли. Под Стан-
дартной Землей здесь понимается совокупность коэффи-
циентов разложения геопотенциала и геоцентрических
координат нескольких пунктов на земной поверхности.
Стандартная Земля I была опубликована в 1966 г.
[8] *). Для ее вывода были использованы фотографиче-
ские наблюдения искусственных спутников, выполнен-
ные на 15 камерах Бейкера — Нанна.
В 1970 г. была опубликована Стандартная Земля II.
Она является обобщением и уточнением Стандартной
Земли I. Здесь были использованы наблюдения 19 спут-
ников, полученные камерами Бейкера — Нанна и лазер-
ными установками. Использовались как обычные, так
и синхронные наблюдения. Кроме того, были привлечены
гравиметрические измерения и геодезические данные, а
также наблюдения зондов. В результате были определены
координаты многих наблюдательных станций и все коэф-
фициенты разложения геопотенциала до 16-го порядка
включительно и некоторые более высокие гармоники.
Точность определения координат многих станций со-
ставляет около 10 м.
Приведем основные параметры, характеризующие гра-
витационное поле, соответствующие Стандартной Земле
II. Для /то и г0 имеем
fm = 3,986013-Ю5 км3-сек-2,
г0 = 6378,155 км.
Коэффициенты зональных гармоник до 21-го порядка
включительно равны [10], [11]:
/2 = 1082,628-Ю-6, /3 = - 2,538-10-6,
/4 = — 1,593-10-6, /Б = - 0,230-10-6,
/6 = 0,502 -Ю-6, /7 = - 0,361 -Ю-6,
/8 = - 0,118-10-6, /9 = - 0,100-10-6,
/10 = _ 0,354-10-6, /п = 0,202-10-6,
*) См. также русский перевод [9].

1.8] Постоянные гравитационного поля земли
/12 = _ 0,042-10-6,
/14= -0,073-10-6,
/16 = 0,187-10-6,
/18 = -0,231-10-6,
/20 = _ 0,005-10-6,
/13 = -0,123-10-6,
/15= -0,174-10-6,
/17 = 0,085-10-6,
/19 = —0,216-10-6,
/21 = 0,145-10-6,
Коэффициенты тессеральных и секториальных гармо-
ник (полностью нормированные) до шестого поряд-
ка включительно приводятся в табл. 1. Коэффициенты
Таблица 1
Коэффициенты Спи и -Snfc (полностью нормированные)
та, h
2,2
3,2
4,1
4,3
5,1
5,3
5,5
6,2
6,4
6,6
241,29
89,204
—52,989
98,943
—5,3816
—43,083
12,593
5,4825
-0,040342
8,8693
snft-108
-136,41
-63,468
-48,765
-15,467
-9,7905
—8,6663
—59,910
—35,175
-40,388
-7,4756
п, h
3,1
3,3
4,2
4,4
5,2
5,4
6,1
6,3
6,5
7,1
5nft-108
196,98
68,630
33,024
—7,9692
61,286
—26,693
-9,8984
2,7873
-21,143
24,142
26,015
143,04
70,633
33,928
—35,087
8,3010
3,7652
4,4626
-52,264
11,567
гармоник более высокого порядка даны в Приложении
(табл. 35).
Из приведенных результатов видно, во-первых, что
коэффициент /2 имеет порядок 10~8, в то время как ос-
тальные Jn и коэффициенты тессеральных и секториаль-
ных гармоник являются малыми порядка Ю и выше.
Следовательно, основным (после первого) членом в раз-
ложении потенциала U является вторая зональная гар-
моника. Именно она должна вызывать самые значитель-
ные возмущения в движении спутника.
Во-вторых, эти результаты указывают на то, что коэф-
фициенты Jn и Jnk весьма медленно убывают с возраста-
нием п. Это подтверждается также аналитическими иссле-
дованиями, проведенными К. В. Холшевниковым [12].
При достаточно общих предположениях относительно

32 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ tl\JI. 1
плотности Земли им были получены следующие оценки:
I T \<* °l I T l<" °2 1/ ^n — ^)!
"'"" "n5/2 ' 1 nfel^- лЗ/2 j/ (ra+ft)! '
где Ci и c2 — постоянные.
Таким образом, хотя разложение для U абсолютно
сходится во всем пространстве г ~> г, где г — расстояние
от центра Земли самой удаленной точки ее поверхности,
его сходимость в случае rjr, близких к единице, является
весьма медленной.
§ 1.9. Промежуточное гравитационное поле Земли
Рассмотрим следующую функцию координат |, tj, ?:
где / и т — постоянная притяжения и масса Земли,
а с я о — вещественные постоянные. Разложим W в ряд
по степеням с/г, где г = V^? + "Л2 + ?2- Для этого вос-
пользуемся формулой A.2.10). Тогда
1 _ 1 ^i с"(ст+Оп р
1 1 ^ cn(g-i)n
= Z F
Подставляя эти разложения в формулу A.9.1) и вводя
средний экваториальный радиус г0 и геоцентрическую
широту ф, получим
оо
п=0

§ 1.9] ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ 33
где
.-i<x)(<r-i)n]. A.9.5)
Из равенств A.9.2) и A.9.3) следует, что разложения
для 1/г! и 1/г2 абсолютно сходятся в области
o-2. A.9.6)
В этой же области будет сходиться и ряд A.9.4).
Положим в A.9.5) п = О, 1, 2, 3, 4, 5. Тогда
«о = > " 1 = >
/; = х2 A + а2),
/; = 2xs<7 A + а2), ^ A.9.7)
У; = - х4 A + а2) A - За2),
/; = _ 4х5а A - а4),
где
Легко убедиться в том, что все коэффициенты J'n яв-
ляются вещественными. Для этого достаточно заметить,
что при любом целом п величины (о -\~ i)n и (а — i)n,
входящие в формулу A.9.5), будут комплексно сопряжен-
ными. Поэтому VF является вещественной функцией коор-
динат г и ср.
С учетом первых двух равенств A.9.7) формула A.9.4)
может быть представлена в виде
(J)} A.9.8)
п—2
Сравнение этой формулы с формулой A.6.2) показывает,
что функцию W можно интерпретировать как потенциал
притяжения некоторого тела, обладающего осевой сим-
метрией. Поэтому поставим следующую задачу: подбе-
рем числовые значения постоянных с и ст таким образом,
чтобы W по возможности была бы наиболее близкой к по-
тенциалу притяжения Земли.
Поскольку в разложении A.9.8) т — масса Земли,
то первый член этого разложения равен первому члену
разложения A.6.2) для потенциала U. Если теперь
3 Е. П. Аксенов

34 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
постоянными с и 0 распорядиться так, чтобы
"а = » "8 = "8»
т. е. выбрать их из условий
с* A + о») = /„rj, 2cs0 A + а3) = /Згэ3, A.9.9)
то уже первые три члена разложения A.9.8) будут соот-
ветственно равны первым трем членам разложения A.6.2).
Разрешая уравнения A.9.9) относительно с и а, нахо-
дим
A.9.10)
Так как в случае Земли
то из формул A.9.10) следует, что постоянные с и а будут
действительными величинами.
Подставляя в A.9.10) вместо г0, /2 и /3 их числовые
значения из § 1.8, получим
с = 209,729 км, а = - 0,035647. A.9.11)
При этих значениях для г0, с и о находим
/; = 1,166-ю-6, /; = - o,oo6-io-e, A.9.12)
причем коэффициенты J'n при п ^ 6 будут меньше 10~9.
Таким образом, хотя J't и /4 не равны друг другу, однако
их разность меньше, чем Ji. Вследствие малости отно-
шения с/г0 постоянные J'n будут убывать с возрастанием
п быстрее, чем /п. Поэтому разности Jn — J'n будут иметь
порядок 10~6 и выше.
В дальнейшем гравитационное поле, потенциал кото-
рого определяется формулами A.9.8), A.9.5), A.9.10),
будем называть промежуточным гравитационным полем
Земли. Такое название объясняется тем обстоятельством,
что потенциал W имеет промежуточный характер между
потенциалом истинной Земли и потенциалом Земли шаро-
образной.
Отметим важнейшие свойства функции W.
1. Функция W включает в себя вторую, третью и ча-
стично четвертую зональные гармоники потенциала при-
тяжения Земли.

§ 1.9] ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ 35
2. Разность U — W содержит члены, порядок которых
равен 10 и выше. При этом зональные гармоники, на-
чиная с шестой, а также тессеральные и секториальные
гармоники этой разности практически не отличаются
от соответствующих членов потенциала притяжения
Земли.
3. Функция W зависит от трех постоянных /то, с я а
(или /то, /2 и /3), которые в настоящее время определены
с наиболее высокой точностью.
4. Дифференциальные уравнения движения материаль-
ной точки в поле с потенциалом W строго интегрируются
в квадратурах.
Последнее, чрезвычайно важное для приложений свой-
ство, является следствием того, что W может рассматри-
ваться как силовая функция задачи двух неподвижных
центров с массами -у A + юг) и — A — юг), удаленными
друг от друга на расстояние, равное lie. А задача двух
неподвижных центров, как известно, одна из немногих
задач механики, которые интегрируются в квадратурах.
В отличие от классической задачи, в которой массы цент-
ров и их взаимное расстояние являются действительными
величинами, эту задачу мы будем называть в дальнейшем
обобщенной задачей двух неподвижных центров.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. Поло-
жим в A.9.8) и A.9.5) 0 = 0. Тогда найдем
-^-) Pan (sin ф)), A.9.13)
n=l
где
С \2п
го I
Полученная формула содержит только четные зональные
гармоники. Поэтому можно различать два варианта зада-
чи: симметричный (а = 0) и несимметричный (а Ф 0).
В обоих вариантах силовая функция строго учитывает
вторую зональную гармонику — самый существенный
(после первого) член потенциала притяжения Земли. Но
несимметричный случай имеет преимущество перед сим-
метричным, поскольку он учитывает частично (посредст-
вом третьей гармоники) асимметрию Земли относительно
плоскости экватора.
3*

36 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. 1
Пусть теперь 0 = 0 и с = 0. Тогда
т. е. в этом случае силовая функция W представляет со-
бой потенциал шарообразной Земли.
§ 1.10. Геоид
Под геоидом понимается уровенная поверхность, по-
тенциала силы тяжести, которая совпадает на океане
с уровнем невозмущенной воды. Поскольку потенциал
силы тяжести равен сумме потенциала притяжения
Земли U и центробежного потенциала, то знание потен-
циала U позволяет найти уровенную поверхность Земли.
Уровенная поверхность, соответствующая Стандартной
Земле II, показана на рис. 5.
Рассмотрим теперь уровенную поверхность, которая
соответствует промежуточному потенциалу W. Такую по-
верхность можно назвать промежуточным геоидом, так
как она занимает промежуточное положение между геои-
дом и сферической поверхностью.
Итак, предположим, что имеется некоторое тело, по-
тенциал которого во внешнем пространстве дается форму-
лой A.9.8). Пусть, далее, это тело вращается вокруг оси
OZ, с угловой скоростью, равной угловой скорости вра-
щения Земли Пф, и его внешняя поверхность совпадает
с уровенной поверхностью. Следуя работе [13], изучим
эту поверхность и сравним ее с уровенной поверхностью
Земли.
Поскольку центробежный потенциал равен -^ Пф X
X г2 cos2 ф,1 то уровенные поверхности, соответствую-
щие потенциалу W, будут даваться уравнением
-^rzcos*(p + W{r, ф) = С, A.10.1)
где С — произвольная постоянная.
Из семейства поверхностей, определяемых уравнением
A.10.1), мы рассмотрим одну поверхность, а именно ту,
экваториальный радиус которой равен экваториальному
радиусу Земли г0. Тогда, полагая в A.10.1) ф = 0 и

м
о
s
+180
Рис. 5. Карта геоида, соответствующего Стандартной Земле II (превышения уровеннои поверхности
над эллипсоидом относимости с большой полуосью 6378155 м и сжатием 1/298,25).

38 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
г = г0, получим
C + W(ro,O),
или, если воспользоваться формулой A.9.8),
^{ } A.10.2)
n=2
где
? = -f-2-. A.10.3)
Уравнение A.10.1) при помощи A.10.2) и A.9.8) теперь
запишется в виде
п=-2
Если принять величины к = —, а и пф за малые пер-
вого порядка, то g и /j будут иметь второй порядок мало-
сти, J's и /j будут четвертого порядка, J'b и J'& — шестого
порядка и т. д.
Будем искать решение уравнения A.10.4) в виде ряда
по степеням малых q и J'n. Тогда, полагая
г = г0 A + дхх + J>2 + />3 + /X +
и подставляя A.10.5) в A.10.4), мы получим следующие
уравнения для определения xh:
xz — Pz (sin ф) — Pz @),
*,=--/>, (sin q>)-P8@),
Х4 = Р4(8Шф)-Р4@),
хч = 2xiX-> -J- a;2 cos2 ф — За;!^ (sin ф).

§ 1.10]
ГЕОИД
39
Вычислив отсюда при помощи A.2.2) величины х1у х2, • ¦ ¦
. . ., x^ и подставив их в A.10.5), а затем заменив J'2, J'3
и J\ их выражениями из A.9.7), мы окончательно до чле-
нов четвертого порядка включительно найдем
r=ro(l+Pisin<p + p,sinaq> + p3sinsq> + p4sin4q>), A.10.6)
где
AЛ0Л)
Рассмотрим подробнее поверхность A.10.6). Обозна-
чим через г'о и г полярные радиусы северного и южного
полушарий и введем следующие величины:
1
a —¦
A.10.8)
Очевидно, а есть среднее сжатие поверхности A.10.6),
а а' и а" суть сжатия северного и южного полушарий.
Полагая в формуле A.10.6) ф = 90° и ф = — 90°, мы
из A.10.8) получим
а" = а —2х3а.
Таким образом, все три сжатия отличаются друг от друга
членами четвертого порядка малости.
Если в формуле A.10.6) отбросить члены четвертого
порядка, то ее можно привести к виду
+ ¦
1.

40
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
Следовательно, с точностью до членов второго порядка
включительно уровенная поверхность совпадает со сжатым
эллипсоидом вращения.
Подставим в формулу A.10.6) числовые значения по-
стоянных г0, д, х, а согласно работе [14], и примем, что
пе = 0,7292123-Ю-4 сек'1.
Тогда, если взять за единицу длины 1 м, будем иметь
г = 6378165 — 21464 sin2cp + 74 sin4 <p -
— 24 sin ф + 41 sin3 ср. A.10.9)
Для сжатий а, а' и а" получаем
1
1
298,19 '
298,42 '
а =¦
297,96 #
Превышения поверхности A.10.9) над эллипсоидом
относимости с большой полуосью и сжатием, равными
90°
Рис. 6. Превышения геоида и промежуточ-
ного геоида над эллипсоидом относимости.
6378165 м и 1 : 298,25 показаны на рис. 6 (пунктирная
кривая). На этом же рисунке приводятся высоты геоида,
выведенного И. Козаи с учетом зональных гармоник до
14-го порядка включительно [14] (сплошная кривая).
Максимальное отклонение поверхности A.10.9) от геоида
И. Козаи составляет всего лишь 3 м-

§ 1.11] СИЛА ТЯЖЕСТИ 41
§ 1.11. Сила тяжести
Рассмотрим распределение силы тяжести на уровен-
ной поверхности A.10.6). Ускорение силы тяжести g
дается формулой
-,/( SW \2 , 1 / №
= V (if) +-^Ы
где
Так как второе слагаемое правой части A.11.1) имеет
четвертый порядок малости, то с точностью до членов чет-
вертого порядка включительно будем иметь
f
Вычислив при помощи A.9.8) частные производные W
по г и ф и подставив их в формулу A.11.2), мы с принятой
точностью найдем
Подставляя сюда вместо г его выражение из A.10.6)
и используя формулы A.9.7), мы окончательно получим
g = ?о A + «1 sin ф + «2 sin2 Ф +
+ as siil3 ф -f a4 sin4 ф), A.11.3)
где
а3=—
2 к ^
7 о 21 о 21 4
— а —. У"/7 — —— v

42
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
Если подставить в формулу A.11.3) численные значе-
ния для постоянных fm, r0, q, к и о, то она примет вид
g = 978,028 + 5,246 sin2 q> - 0,062 sin4 <p -
— 0,007 sin ф + 0,012 sin3 q>. A.11.4)
Приведем для сравнения формулу для нормальной
силы тяжести gn, полученную Гельмертом [15],
gn = 978,030 + 5,229 sin2 q> - 0,043 sin4 ф. A.11.5)
На рис. 7 показано поведение разности g — gn в зави-
симости от геоцентрической широты. Максимальное зна-
чение этой разности составляет в южном полушарии
5мгл
-~5мгл
-90° -60 -50 О
Рис. 7. Разность g — gn как функция
геоцентрической широты.
— 9 мал, а в северном — 2,6 мгл. Заметим, что на такую или
большую величину отличаются значения силы тяжести,
вычисленные по различным нормальным формулам *).
§ 1.12. Возмущающий потенциал
В § 1.9 мы ввели промежуточное гравитационное
поле Земли, потенциал W которого определяется форму-
лой A.9.1) или A.9.8). Пусть теперь
U = W + RT, A.12.1)
где через U, как и раньше, обозначен потенциал притя-
жения реальной Земли. Тогда RT можно назвать возму-
*) См. формулы Гейсканена, Кассиниса и др. [15].

§ 1.13] ЗАМЕЧАНИЯ 43
щающим потенциалом. Используя формулы A.6.5) и
A.9.8), для RT находим следующее выражение:
(?)я (Sin ф) +
п=4
оо п
+ ^22 /nfc (-?¦)" ^ (sin Ф) cos Л (X-Xnft), A-12.2)
n=2 fc=l
где
7п = -(/„- /У, A-12.3)
причем J'n даются формулой A.9.5).
Если воспользоваться числовыми данными, приведен-
ными в § 1.6, то для постоянных jn получим (в единицах
10)
U = 0,427, U = 0,236,
U = ~ 0,502, /7 = 0,361,
/„ = 0,118, /9 = 0,100,
/10 = 0,354, jn = - 0,202,
/„ = 0,042, /13 = 0,123,
/м = 0,073, /15 = 0,174,
/16 = - 0,187, /„ = - 0,085,
/18 = 0,231, /19 = 0,216,
уяо = 0,005, /21 = - 0,145.
Числовые значения для Jnh находятся из табл. 1 с помощью
формул A.6.7) и A.6.11).
§ 1.13. Замечания
Представление потенциала притяжения Земли в виде
ряда по сферическим функциям стало классическим.
В силу простоты сферических функций оно очень удобно
для аналитических и численных исследований движе-
ния искусственных спутников. Однако, как уже отмеча-
лось, такое разложение обладает одним существенным
недостатком, а именно медленной сходимостью, вследст-
вие чего при точных исследованиях движения близких

44 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
спутников необходимо учитывать достаточно большое
число членов. Это обстоятельство заставляет искать
другие формы разложения потенциала.
В 1965 г. Г. Н. Дубошин получил разложение потен-
циала объемного тела в ряд по функциям Ламе [16]. В по-
следнее время Л. А. Савров нашел формулы, связываю-
щие коэффициенты разложения по функциям Ламе с коэф-
фициентами разложения по сферическим функциям [17].
В 1971 г. Балмино представил аномальную часть по-
тенциала Земли потенциалом притяжения некоторой сово-
купности точечных масс [18]. Им было использовано
126 материальных точек с заданными координатами в теле
Земли.
Пока еще трудно судить о том, насколько целесооб-
разно использовать полученные разложения для решения
дифференциальных уравнений движения спутника. Мож-
но лишь заметить, что эти разложения также содержат
большое число членов, а используемые в них функции
являются более сложными, чем сферические.
По-видимому, самым существенным фактом является
то, что для описания гравитационного поля Земли с нуж-
ной нам в настоящее время точностью требуется большое
число постоянных (порядка 100, а может быть и больше).
Трудности здесь обусловлены скорее физической сторо-
ной проблемы, чем математической.
Теперь о промежуточном гравитационном поле Земли.
В гравиметрии гравитационное поле Земли обычно разби-
вают на две части: нормальную и аномальную. Под
нормальным гравитационным полем понимают поле не-
которой идеализированной Земли, потенциал которого
содержит наиболее значительные члены разложения: ну-
левого, первого и некоторые члены второго порядка отно-
сительно сжатия Земли. В аномальный потенциал вклю-
чают члены второго порядка и выше. В этом отношении
введенное в § 1.9 промежуточное гравитационное поле
Земли может рассматриваться как нормальное поле.
Главное же отличие промежуточного потенциала W от
других нормальных потенциалов заключается лишь
в том, что он позволяет строго проинтегрировать диффе-
ренциальные уравнения движения спутника.
Первые аппроксимирующие выражения для потенциа-
ла притяжения Земли (на практике, в сущности, совпа-

§ 1.13] ЗАМЕЧАНИЯ 45
дающие друг с другом), которые допускают интегриро-
вание в квадратурах, были предложены в 1959 и 1960 гг.
в работах Дж. Винти [19] и М. Д. Кислика [20]. Значение
этих работ для теории движения спутников трудно пере-
оценить. Если выражения Винти и Кислика разложить
в ряды по сферическим функциям, то они могут быть пред-
ставлены формулой A.9.13), т. е. будут совпадать с сим-
метричным вариантом силовой функции задачи двух
неподвижных центров. Такая связь двух задач была
установлена в 1961 г. j в статье Е. А. Гребеникова,
В. Г. Демина и автора [21]. Указание на такую анало-
гию содержится также в книге Д. Брауэра и Дж. Кле-
менса [22], изданной в США в 1961 г. *).
Идея применить обобщенную задачу двух неподвиж-
ных центров для построения промежуточных орбит ис-
кусственных спутников была выдвинута в 1961 г.
Е. А. Гребениковым, В. Г. Деминым и автором [24], [25].
Предложенная этими авторами формула A.9.8) обобщала
результаты Дж. Винти и М. Д. Кислика на случай несим-
метричного тела. Оказалось также, что менее удачная,
но, несомненно, представляющая интерес аппроксими-
рующая формула Р. Баррара [26] может рассматриваться
как некоторый предельный случай формулы A.9.8).
Другими словами, формула A.9.8) содержит в себе все
аппроксимирующие выражения для потенциала как
частные или предельные случаи.
В последние годы были предприняты попытки обоб-
щить формулу A.9.8) с тем, чтобы учесть большее число
членов геопотенциала. В 1966 г. А. Кук нашел выраже-
ние для потенциала некоторого трехосного тела, содер-
жащее четыре произвольных параметра [27]. Таким обра-
зом, появилась возможность учесть также один долготный
член потенциала Земли. Однако дифференциальные урав-
нения движения с таким потенциалом интегрируются
только в том случае, если притягивающее тело не вра-
щается. Это обстоятельство и затрудняет использование
потенциала, предложенного А. Куком, в теории движе-
ния спутников. Подобные трудности имеют место и при
использовании формулы, полученной Е. И. Бурштейн
*) Некоторые замечания по этому поводу см. в обзорной статье
М. С. Ярова-Ярового [23].

46 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ |ХЛ. 1
в 1972 г. [28] и формулы, недавно выведенной И. С. Коз-
ловым [29].
Интересно отметить, что еще в 1958 г. Р. Ньютон пы-
тался применить классическую задачу двух неподвиж-
ных центров для изучения движения искусственных спут-
ников Луны [30] *). Но, оставаясь в области действитель-
ных масс и расстояний, он мог аппроксимировать только
потенциал вытянутого тела, вследствие чего эта работа
не могла иметь приложений к спутникам Земли. Интерес-
ное применение этой классической задачи в теории дви-
жения спутников Луны было сделано в последнее время
Г. Г. Команом [33]. Используя отличный от Р. Ньютона
подход, он добился того, чтобы промежуточный потен-
циал содержал в себе первые три зональные гармоники
потенциала притяжения Луны.
*) О задаче двух неподвижных центров см. работы Г. Бада-
ляна [31] и В. Г. Демина [32].

ГЛАВА II
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ
ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 2.1. Дифференциальные уравнения движения
искусственного спутника
В § 1.6 мы ввели подвижную, жестко связанную с Зем-
лей, систему координат 0|т|? и соответствующие ей по-
лярные координаты г, ф и К. Возьмем теперь неподвиж-
ную прямоугольную систему
координат Oxyz с началом
в центре масс Земли такую,
чтобы ось Oz была направлена
в северный полюс, а ось
Ох — в точку весеннего рав-
ноденствия. Пусть, далее, w
есть долгота, отсчитываемая
от неподвижной оси Ох. То-
гда (рис. 8)
х = г cos ф cos w, л
| B.1.1)
Рис. 8. Системы координат.
которое можно
у = г COS ф Sin W,
z = r sin ф, J
причем
w = X + S, B.1.2)
где S есть гринвичское звездное время,
представить формулой
S = тгэ (t - у + SQ. B.1.3)
Здесь Пф — угловая скорость вращения Земли, t0 — на-
чальный момент времени, a So есть значение S при t = t0.
Предположим сначала, что на спутжик действует толь-
ко сила притяжения Земли. Тогда на основании § 1.1
дифференциальные уравнения движения запишутся в виде
дх
dz
где предполагается, что потенциал притяжения Земли U
выражен посредством формул B.1.1) и B.1.2) через х, у, z.

48 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Уравнения B.1.4) не являются точными уравнениями
движения спутника, поскольку они не учитывают таких
сил, как сопротивление атмосферы, притяжение Луны
и Солнца, световое давление и т. д.
Пусть RL и Rs означают возмущающие функции,
обусловленные соответственно действием Луны и Солнца,
a Fx, Fy, Fz — составляющие возмущающего ускорения,
вызванного сопротивлением атмосферы, световым давле-
нием и другими факторами. Тогда, если ввести при помощи
формулы A.12.1) промежуточный и возмущающий потен-
циалы, то уравнения движения спутника в поле притяже-
ния Земли с учетом влияния Луны, Солнца, сопротивле-
ния атмосферы, светового давления и т. д. можно записать
в следующем виде:
d*x dW _ аи „
dfi дх дх +'Г*'
dt2 ду ду ' »' I v '
d& dz dz J
где
R = RT + RL + Rs.
Формула для RT приводится в § 1.12. Явные выраже-
ния для RL, Rs и Fx, Fy, Fz мы дадим в тех главах, где
будем рассматривать влияние соответствующих возму-
щающих факторов. Заметим лишь, что для близких ИСЗ
функции RL ш Rs имеют примерно тот же порядок ма-
лости, что и функция RT. Что касается Fx, Fy, Fz, то их
величина зависит не только от высоты перигея орбиты, но и
от массы и площади поперечного сечения спутника. Од-
нако для большинства ИСЗ возмущения, вызываемые со-
противлением атмосферы и световым давлением, можно
рассматривать как возмущения второго порядка относи-
тельно сжатия Зедели.
В дальнейшем уравнения B.1.5) мы будем называть
уравнениями возмущенного движения, а функцию R —
возмущающей функцией. Если в этих уравнениях поло-
жить R = 0 и Fх = Fу = Fz = 0, то полученные урав-
нения
^!?_^f. d?V___dW_ d4__dW_ C2 1 fi\
d& ~ дх ' dfi ~~ ду ' d& ~ dz ' ^-l-0}

§ 2.2] УРАВНЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 49
можно назвать уравнениями промежуточного движения,
поскольку они имеют промежуточный характер между
уравнениями возмущенного движения и уравнениями не-
возмущенного движения. Очевидно, последние имеют вид
B.1.6), если в качестве W взять функцию fm/r. Движения,
описываемые уравнениями B.1.6), будем называть проме-
жуточными движениями, а соответствующие им орбиты —
промежуточными орбитами.
§ 2.2. Интегрирование уравнений
промежуточного движения
В настоящем параграфе мы сведем дифференциальные
уравнения B.1.fi) к квадратурам, которые и будут в даль-
нейшем использованы для построения промежуточной
орбиты спутника. Для этого мы воспользуемся методом
Гамильтона — Якоби и сфероидальными координатами
1, т), w, которые связаны с прямоугольными координатами
х, у, z формулами
я = /(|2 + с2)A-т]2) cos и?, 1
т/ = /(?2 + с2)A —т]2) smw, \ B-2.1)
2 = С0 + |Т). J
Согласно § 1.9 в уравнениях B.1.6) функция И7 опре-
деляется так:
где
Поэтому в новых координатах функция W запишется
в виде
w=fm{l-cavl) ^ B22)
где
4 Е. П. Аксенов

50
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. И
Пусть теперь Т — кинетическая энергия спутника:
В координатах |, т), w она будет дана формулой
Т- J
Определяя импульсы |', r\', w' формулами
1 — ТJ '
B.2.4)
из B.2.3) найдем
Дифференциальные уравнения промежуточного дви-
жения теперь запишутся в виде
dl _ дК dx\ _ дК dw dK'j
~Ж ~~ д\' ' 1Г ~ дх[' ' dt ~~ dw' '
dl' __ дК dr\ дК dw' _ дК
~5Г ~" ' Щ~' dt = дц'' ~~dT ~dw~'
где
К = Т — W.
Система B.2.6) имеет интеграл энергии
B.2.6)
B.2.7)
Т _ W = аи B.2.8)
где at — постоянная интегрирования. Составляя при
помощи B.2.8), B.2.5) и B.2.2) уравнение Гамильтона —
Якоби, получим
2/
~Щ~) ^ 2Т~(~лг) +
'Л
dS
fm'Xl — car))
. B.2.9)

§ 2.2] УРАВНЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 51
Полный интеграл этого уравнения будем искать в виде
S = S, (?) + S2 (ti) + a3w,
где а3 — произвольная постоянная. Тогда для определе-
ния функций ?х и S2 приходим к следующим уравнениям:
где a2 — произвольная постоянная. Поэтому
|1 111
Здесь ^ и т]х — постоянные, которые будут определены
позже, а F (г\) и Ф (|) имеют вид
Ф (I) = (I2 + с2) Bсц12 + 2/wiE- oj)
al)-al. J ( ^
)
Общий интеграл системы B.2.6) будет даваться урав-
нениями
t + Р
dS „ dS , dS ,
Записывая первые из них в развернутой форме, имеем
«2 dT\ _
B.2.12)
где pi, P2, Р3 — произвольные постоянные.
4*

52 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Из B.2.12) легко находим следующие уравнения:
rfg dt dr\ __ dt \
~ J ' v B.2.13)
Если теперь вместо t ввести новую независимую пере-
менную т по формуле
dt = Jdx = (|2 + Af) dx,
то из уравнений B.2.13) найдем
fi B.2.14)
где с3 и с4 — постоянные интегрирования, а т^ и |х мы
определим позже.
Итак, задача свелась к обращению квадратур B.2.14).
После того как мы найдем ? и т) в виде явных функций т,
третья координата определится следующей квадратурой:
которая легко выводится из третьего уравнения B.2.13).
Связь же переменной т с временем t дается уравнением
j . B.2.16)
о
В уравнениях B.2.15) и B.2.16) съ и с6 — произвольные
постоянные, a fg — начальный момент времени.
Формулы B.2.14) — B.2.16) содержат семь постоян-
ных аь а2, аа, с3, с4, с6, св. Но, как будет показано далее,
постоянные с3 и с4 входят в окончательные формулы только
посредством комбинации с3 ¦— с4. Поэтому независимыми
являются шесть постоянных.
§ 2.3. Первые интегралы
Рассмотрим подробнее первые интегралы промежуточ-
ного движения. Обозначим через V орбитальную скорость
спутника. Тогда на основании B.2.8) и B.2.2) интеграл

§2.3] ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 53
энергии запишется в виде
y2^2fm{l—car\) | 2а B 3 1)
В сфероидальных координатах ?, т), w интеграл пло-
щадей, как это следует из B.2.13), имеет вид
CP24-<W1 2\ dlD _ /« о о\
Если перейти к прямоугольным координатам, то он при-
мет форму
ху — ух = а3. B.3.3)
Существование этих двух интегралов обусловливается
общими свойствами силового поля, определяемого потен-
циалом W. Оно не зависит от времени (интеграл энер-
гии) и симметрично относительно оси Oz (постоянство
проекции вектора кинетического момента на ось Oz).
Рассмотрим теперь третий интеграл. Пусть
f (z-coJ,
Тогда при помощи уравнений B.2.1) имеем
Кроме того, дифференцируя третье уравнение B.2.1),
находим
z = b\ + 4- B-3.4)
Поэтому
r>2 + c2z2 = J(iz + chf). B.3.5)
Но согласно B.2.13)
Следовательно, если воспользоваться формулами B.2.11),
мы вместо B.3.5) получим следующее равенство:
_ г,2)] + 2fm [I (I2 + с2) -
V)- B.3.6)

54 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Вычитая из него интеграл энергии B.3.1), умноженный
на /г2, найдем
ИЛИ
al = ?zv2-r'2-cW + Q, B.3.7)
где
Интеграл B.3.7) есть тот третий интеграл, наличие
которого дает возможность проинтегрировать уравнения
движения до конца.
Если интегралы B.3.1) и B.3.2) имеют наглядный
механический смысл, то этого нельзя сказать об инте-
грале B.3.7). Однако, поскольку
-zzJ + (zy-yx)\ B.3.9)
где
z = z — со,
то в предельном случае, когда с = 0 и а = 0, величина
а а равна модулю момента количества движения спутника
(на единицу массы).
§ 2.4. Исследование первых интегралов
Рассмотрим уравнения, связывающие прямоугольные
координаты х, у, z со сфероидальными координатами
I, Л» w'-
— т]2) sin
Очевидно, мы можем считать, что переменные |, г), и;
могут принимать значения в следующей области:
0<?<оо, — 1<т)< + 1, — oo<ii><+oo.
B.4.2)

§ 2.4] ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ 55
Из B.4.1) следует, что если согласно уравнениям дви-
жения координата ? будет изменяться в ограниченных
пределах, то и прямоугольные координаты будут также
величинами ограниченными, а следовательно, и движение
спутника будет происходить в ограниченной части про-
странства. Но если | будет величиной неограниченной,
то и движение будет происходить в неограниченном про-
странстве.
Выясним теперь возможный характер движений, до-
пускамых уравнениями промежуточного движения. С этой
целью рассмотрим сначала интеграл энергии:
Так как левая часть этого равенства есть величина
неотрицательная, то
{mili—сап) , -^ л /о / /ч
' |2+с2тJ +°Ч>0. B-4.4)
Разберем отдельно случаи а2 < 0, аг = 0 и аг > 0.
Если ах < 0, то, обозначая через а' положительную ве-
личину — fm/2ai, мы из условия B.4.4) найдем
(I — а'J + И + га'J < а'2 A + <**)• B-4.5)
Если ах = 0, то из B.4.4) следует, что
1 - сац > 0. B.4.6)
Наконец при ах > 0 будем иметь
A + а"J + И - о-а"J > а A + а2), B.4.7)
где через а" обозначена положительная величина fm/2av
Условия B.4.6) и B.4.7) показывают, что при ах ^ 0
переменная | может принимать любые значения из об-
ласти B.4.2). А тогда, как уже было отмечено, движение
спутника будет неограниченным в пространстве. При
«! <z 0 из условия B.4.5) вытекает, что | изменяется
в следующих пределах:
и следовательно, в этом случае движение спутника будет
происходить в ограниченной части пространства.

56 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Итак, с точки зрения применения этих результатов
к искусственным спутникам нас может интересовать толь-
ко случай, когда постоянная энергии а1 отрицательна.
Рассмотрим теперь интегралы B.2.13), которые можно
записать в виде
?)'
(?)'-<¦>©. (?)'-
Поскольку левые части этих интегралов суть величины
неотрицательные, то области, в которых должны изме-
няться координаты ^ и т), опре-
деляются условиями
Ф (?) > О, F (ц) > 0. B.4.8)
Исследуем сначала много-
член Ф (?):
Ф (g)= 2ox64 +BalC2 - a22) Z? +
Рис. 9. График многочлена
[Ф (?) в случае «а». Обозначим его корни через ?lt
1г> ?з> ^4 и покажем, что все
они не могут быть комплексными. Действительно, когда
а.! < 0, коэффициент при |4 отрицателен, и поэтому
в случае всех комплексных корней многочлен Ф (?) при-
нимал бы только отрицательные значения и, как следует
из B.4.8), мы тогда бы не имели никаких реальных дви-
жений. Поэтому многочлен Ф (!) должен иметь два дей-
ствительных корня (пусть это будут !j и S2). Таким обра-
зом, для многочлена Ф A) имеются только следующие
возможности:
а) li и 52 действительные, а ?3 и |4 — комплексные,
б) !г, !2, !3, |4 — все действительные.
Поведение многочлена Ф (|) в этих случаях показано на
рис. 9 и 10.
Перейдем к изучению многочлена F (т)):
Прежде всего имеем

§2.4]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
57
Отсюда видно, что многочлен F (г\) имеет два корня, один
из которых меньше или равен —1, а второй больше или
равен +1. Обозначим эти корни соответственно через тK
Рис. 10. График многочлена Ф (?) в случае «б».
и тL. Покажем, что два других корня (пусть т^ и т]2) яв-
ляются также вещественными и лежат на отрезке [—1,
+ 1]. Действительно, если бы многочлен F (ц) не имел
таких корней, то никакими вещественными значениями
Рис. 11. График многочлена F (г|).
т] мы не смогли бы удовлетворить одновременно второму
условию B.4.8) и второму условию B.4.2). Поведение
многочлена F (т|) показано на рис. 11.
Из проведенного анализа следует, что переменная т\
будет изменяться в области
- 1 <%<Ti <т]2<+ 1. B.4.10)
Для переменной Б в случае «а» мы имеем
Ei < Б < Б» B-4.11)
а в случае «б» возможны две области изменения 1:
?х<?<?2 и ?3<?<14- B-4.12)
Однако, как мы покажем в дальнейшем (см. § 2.6), мень-
шие корни (пусть \3 и |4) при всех допустимых значениях

58 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
аг, а2 и аз не будут превосходить постоянной с. Но на ос-
новании формул B.4.1)
Г = у |2_|_ С2 (! __ ^2) + C2a2_j_ 2cCT|Tl.
Поэтому во второй области B.4.12) будет иметь место
следующее ограничение:
км, B.4.13)
а следовательно, эта область полностью лежит внутри
Земли и ее можно не рассматривать.
§ 2.5. Постоянные а, е, б
При выводе формул промежуточного движения важ-
ным моментом является выбор элементов орбиты. Ясно,
что эта задача не имеет однозначного решения. Однако
при ее решении следует стремиться к тому, чтобы, во-
первых, эти элементы имели наглядный геометрический
смысл, во-вторых, чтобы они были близкими к соответст-
вующим кеплеровым элементам и, в-третьих, чтобы выра-
жения для координат спутника через элементы и время
имели по возможности наиболее простой вид. Очевидно,
постоянные а1? а2, ос3 не удовлетворяют указанным требо-
ваниям. Поэтому вместо них мы будем пользоваться эле-
ментами а, е и б, которые введем следующими форму-
лами:
1г = а A - е), U = а A + е), ц2 = б, B.5.1)
где |х •<$ ?2 — два наибольших корня многочлена Ф A),
а тJ — наибольший корень многочлена F (т)), лежащий
на отрезке [ —1,1].
Связь между старыми постоянными а15 а2, сс3 и новыми
а, е, б будет даваться равенствами
ф [а A - е)\ =0, Ф [а A + е)] = 0, F (б) = 0,
B.5.2)
которые можно рассматривать как три линейных уравне-
ния относительно неизвестных а1( <х\ и а\. Решая эти
уравнения, мы можем выразить а,и а2 и а3 через эле-
менты а, е, б. [Заметим, однако, что выражения для щ,
«2i аз будут довольно-таки громоздкими. Поэтому LMbi

§ 2.5] ПОСТОЯННЫЕ а, е, 6 59
представим их в виде рядов по степеням некоторых ма-
лых параметров. Первый параметр е введем по формуле
а в качестве второго примем величину 0. Далее (см.
§ 2.6) будет показано, что е не превосходит 1/30- Поэтому
можно считать, что s2 и га имеют порядок 10~3.
Так как постоянные с и а входят в многочлены Ф (|)
и F (т]) посредством с2 и со, то указанные выше ряды бу-
дут расположены по степеням е2 и га. Во всех разложе-
ниях, которыми нам придется пользоваться в будущем,
мы будем сохранять члены нулевого порядка и члены, про-
порциональные е2, 80, е4, е30 и 8202. Отбрасывая члены
более высоких порядков, мы тем самым будем допускать
ошибку порядка 10"9.
Разрешив теперь с указанной точностью уравнения
B.5.2) >тносительно а1( а2, <xs, получим
+ 2е3аб A —б2) A -е2) + е462A-62) A-е2) C+е2)}, B.5.4)
-е2) {1 + 2е2 A + е2) A —б2) -
е2) A—62) + е4A—б2)[A—6б2) —
-2е2 A + 4б2) + е4 A - 2б2)]}, B.5.5)
= ± Vfmail-e*) A -б2) { 1+4 [B-Зб2) +
+ е2 B - б2)] - ?06 — i- е202б2 -
-i-s3a6[B-62)+e2B-362)]--^-[A262-1164) +
B.5.6)
где знак «+» нужно брать в случае прямых движепий,
а знак «—» — в случае движений обратных. Это обстоя-
тельство является следствием того, что а3 есть проекция
удельного момента количества движения спутника на
ось Oz.
Из формул B.5.4) и B.5.6) вследствие аг < 0 и вещест-
венности а3 при 6^1 видно, что а >0ие<1. Таким

60 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
образом, элементы а, е ш б могут принимать любые значе-
ния из области
а > 0, ОХ е < 1, 6Х !• B-5-7)
При этом области B.5.7) будут соответствовать все возмож-
ные ограниченные движения, допускаемые уравнениями
промежуточного движения.
§ 2.6. Корни многочленов Ф (|) и F (t])
Выразим теперь корни Ф (|) и F (т)) через новые по"
стоянные а, е и б. Начнем с многочлена Ф (!). Его два
корня |х и 12 даются формулами B.5.1). Найдем осталь-
ные корни. С этой целью положим
?з = Р + Ч, 1ь = р — iq
и воспользуемся теоремой Виета, которая дает
*(!_«•) (р.+ Л=Ь
Подставляя сюда вместо аг, а2, а3 их значения из фор-
мул B.5.4)—B.5.6), получим
р = аA-е2)82A_62){1-2ео-б + 82A-462-е2)}, B.6.1)
qZ = а2-(! _ е2J 82 {§2 + 28(Хб A — б2) —
— 82A —6б2 + 5б4)}. B.6.2)
Равенства B.6.1)"и B.6.2) показывают, что в зависи-
мости от б, о и s величина q может быть как действитель-
ной, так и мнимой. Она будет равной нулю при условии
б2 + 2естб'A - б2) - е2 A - 6б2 + 5б4) + . . . = 0,
из которого находим
б = 8 A - а - Зе2 + • • •)• B-6.3)
Следовательно, если
| б | > е A - о- - Зе2 + • • •).
то q будет действительной величиной, а корни ?3 и ?4 —
комплексными, а если
| б | «Се A - а - Зе2 + • • .),

§ 2.6] КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ Ф (Й И F (п) 61
то q будет мнимой, а корни |3 и ^4 — действительными.
Условие B.6.3) соответствует случаю |3 = ^4- Таким
образом, на практике могут реализоваться оба случая,
указанные в § 2.4.
Из формул B.6.1) и B.6.2) также следует, что при ма-
лых е и ст абсолютные значения корней |3 и ^4» действи-
тельно, не превосходят постоянной с.
На основании предыдущего многочлен Ф (!) можно
представить в виде
Ф Ш = - 2ах (?, -?)(?- 1г) 1A - pJ+q2], B.6.4)
где q'z в случае комплексных g3 и ?4 будет величиной поло-
жительной, а в случае всех действительных корней — от-
рицательной.
Перед тем как приступить к отысканию корней много-
члена F (т)), заметим, что если при а = 0 этот многочлен
допускает корень б, то он будет иметь также корень,
равный —б. Отсюда следует, что сумма корней, лежащих
на отрезке [—1,1], будет обращаться в нуль вместе
с ст. Поэтому корень ¦% = б* можно искать в виде сле-
дующего ряда:
б* = - (б + cctVi + c2a2v2 + c3oy3 +...), B.6.5)
гДе Yn Тг» Уз — функции а, е, б.
Подставляя B.6.5) в F (г\) и приравнивая нулю члены
с одинаковыми степенями с и а, мы для определения уг, у2
и 7з получим такие уравнения:
0^-2/^A-б2) = 0,|
1 - 2}т A - Зб2) Ъ = 0,
Если теперь сюда вместо ах и а2 подставить их значе-
ния из B.5.4) и B.5.5), то окончательно будем иметь
б* = _ б - 2еа A - б2) [1 - 2естб - е2 C - 4б2 + е2)]#
B.6.6)
Итак, два корня, г^ и тJ, нам известны. Для того
чтобы найти остальные корни, воспользуемся теоремой

02 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Виета, согласно которой
Пусть
4 ), S' = wi4, g'2 = p'2-6'. B.6.8)
Тогда из уравнений B.6.7) при помощи B.5.4) — B.5.6)
найдем
*»'=-8A1,2) {1 + 4в*A-е2)A-62)A-2б2)}, B.6.9)
б' = ~ р"A^){1 + 4е2 A ~ б2)
—8е3(хб A -б2) + s4 [D- 16б2 + 1264) —
-4е2A-б4)]}. B.6.10)
Поскольку 6' •< 0, то из B.6.8) следует д'2 > 0 и
многочлен F (т)), как легко видеть, теперь можно пред-
ставить в форме
F ft) = - 2alC2 (б - л) (ц - б*) [?'2 - (ri - р'J].
B.6.11)
Таким образом, мы выразили все корни многочленов
Ф (|) и F (ц) через элементы а, е, б и представили эти
многочлены в формах, которые удобны для обращения
квадратур.
§ 2.7. Качественная картина
Из формул B.4.1) легко находим
I (г—соJ ,. ,9 ? ^
 р ~ х> ^./.1;
cos w sin w
B.7.3)

§ 2.7]
КАЧЕСТВЕННАЯ КАРТИНА
G3
Равенства B.7.1) и B.7.2) показывают, что уравнению
| = const соответствует семейство сжатых эллипсоидов
вращения, а уравнение ц = const определяет семейство
однополостных гиперболоидов вращения. Ось вращения
эллипсоидов и гиперболоидов совпадает с осью вращения
Рис. 12. Сечение области движе-
ния спутника меридианной пло-
скостью.
Рис. 13. Область движения
спутника.
Земли, а их центры лежат в точке пересечения этой
оса с плоскостью z = со. Далее, формула B.7.3) при
w = const представляет собой уравнение плоскости, про-
ходящей через ось вращения Земли.
Согласно B.4.10), B.4.11) и B.5.1) переменные ? и г\
изменяются в следующих пределах:
B.7.4)
B.7.5)
где б* — наименьший корень F (ц) из отрезка [—1, +1].
Отсюда заключаем, что область пространства, где
происходит движение спутника, представляет собой то-
роидальное тело, ограниченное двумя эллипсоидами
| = а A — е) и \ = а A 4- е), гиперболоидом т) = б
(в верхнем полупространстве) и гиперболоидом г\ = б*
(в нижнем полупространстве). Сечение этой области ме-
ридианной плоскостью показано на рис. 12. Простран-
ственная картина получается путем вращения плоской
картины вокруг оси Oz (рис. 13).

64 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Большая и малая полуоси внутреннего ограничиваю-
щего эллипсоида соответственно равны
Ya2(l— еJ+с2 и а(\ — е),
а полуоси внешнего ограничивающего эллипсоида суть
и
Эксцентриситеты внутреннего и внешнего эллипсоидов
определяются соответственно формулами
' 2 ]/
Наибольшая разность между большой и малой полуосями
(когда эллипсоид касается поверхности Земли) равна
~3,5 км. При неограниченном возрастании величины
а A — е) эти эллипсоиды стремятся к сферам, центр кото-
рых лежит южнее центра Земли примерно на 7,5 км.
Действительная и мнимая полуоси гиперболоида, огра-
ничивающего движение в верхнем полупространстве,
соответственно равны
с 1/1— б2 и сб.
Для второго гиперболоида подобные величины будут равны
cYl-8*2 и сб*.
Поскольку б* есть функция а, е и б, то область про-
странства, где происходит движение спутника, полностью
определяется тремя элементами а, е и б.
Орбита спутника касается одного эллипсоида, затем
гиперболоида, второго эллипсоида и второго гиперболоида
и т. д. Как будет показано в § 4.7, промежуточное движе-
ние спутника является условно периодическим с тремя
периодами.
В заключение этого параграфа найдем оценку для
параметра s. Поскольку малая полуось внутреннего огра-
ничивающего эллипсоида не может быть меньше эквато-
риального радиуса Земли, то
8=
а поэтому, если принять численные значения § 1.9, то
е < 0,033.

§ 2.8]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
65
§ 2.8. Частные случаи
Эллипсоидальные орбиты. Пусть е = 0.
Тогда ?х = \г и, следовательно, \ = а. Поэтому движение
спутника будет происходить по поверхности эллипсоида,
вернее, по поверхности эллипсо-
идального пояса:
—со
аб*
(z-сстJ .
^ z ^ со + аб.
Эти орбиты показаны на рис. 14.
Эллиптические ор-
биты. Пусть е = 0 и б = 1.
Тогда, как это видно из B.5.6),
а3 = 0, и поэтому
u> = const.
Следовательно, в этом случае мы
будем иметь плоское движение,
происходящее в меридианной
плоскости. Предполагая временно, что ось Ох лежит
в этой плоскости, мы сможем записать уравнение орби-
ты в виде
д2 . (z — caJ= л
а2_|_с2"Г аг
Поэтому спутник будет двигаться по эллиптической орбите,
эксцентриситет которой определяется формулой
Рис. 14. Движение на
эллипсоиде.
Круговые орбиты. Пусть е = 0 и б = б*.
Тогда т) = б и
г — со = аб.
Приравнивая правую часть формулы B.6.6) величине б
и полагая е = 0, получим
Поэтому
5 е. П. Аксенов
б = — ест + Зе3ст.
z = Зссте2,
B.8.1)

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
а из формул B.4.1) при условии ц = б и B.8.1) находим
х* + у* = а* + с* A _ а2).
Следовательно, в этом случае спутник будет двигаться
по круговой орбите, плоскость которой перпендикулярна
оси вращения Земли и отстоит от плоскости экватора
на 22,5 е2 км.
Полярные орбиты. Предположим, что 6 = 1,
а е Ф 0. Тогда, как и в случае эллиптических орбит,
w = const. Считая, как и
раньше, у = 0, мы найдей,
что в этом случае орбита
заключена внутри эллип-
тического кольца
? 02A —
I (»-са)Д ,
и будет касаться попере-
менно то внутреннего, то
внешнего ограничивающе ¦
го эллипса (рис. 15).
Рис. 15. Полярные орбиты. Частным случаем по-
лярных 'орбит являются
эллиптические орбиты (е = 0), которые были рассмотрены
ранее. Круговые и эллиптические орбиты можно также
рассматривать как частные случаи эллипсоидальных
орбит.
§ 2.9. Замечания
В этой главе мы свели дифференциальные уравнения
промежуточного движения к квадратурам и рассмотрели
в общих чертах качественную сторону задачи. Для реше-
ния уравнений движения был использован метод Гамиль-
тона — Якоби [1]. Другой способ интегрирования, осно-
ванный на использовании регуляризирующего времени,
был предложен в работах Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина
и автора [2], [3].
Предварительные качественные исследования, изло-
женные здесь, были проведены в работе автора [4]. Под-

i 2.91 ЗАМЕЧАНИЙ
робный качественный анализ в симметричном случае
(о = 0) для аг < 0 был дан в работе Е. А. Гребеникова,
В. Г. Демина и автора [5] и в общем случае в работе
В. М. Алексеева [6].
Качественные исследования неограниченных движе-
ний были выполнены в симметричном случае для аг = 0
Е. А. Гребениковым, В. Г. Деминым и автором [7] и для
с*! > 0 В. М. Чепуровой [8]. В несимметричном случае
подобные исследования были проведены В. П. Гиричевым
[9] и Б. Н. Носковым[10].
Полярные орбиты были подробно рассмотрены для
о = 0 в работе Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина и ав-
тора [11] и для о Ф 0 в работе В. С. Уральской [12].
Устойчивость движений по круговым, эллиптическим
и эллипсоидальным орбитам была исследована Е. А. Гре-
бениковым, В. Г. Деминым и автором [13] в симметричном
случае и В. Г. Дегтяревым [14] в несимметричном случае.
Было показано, что все эти частные движения являются
устойчивыми при постоянно действующих возмущениях
гравитационной природы по отношению к величинам,
характеризующим размеры и форму орбит.
Многие из указанных здесь исследований изложены
в книге В. Г. Демина [15] *).
•) См. также книгу В. В. Белецкого [16].
5»

ГЛАВА 111
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 3.1. Эллиптические функции Якоби
В предыдущей главе были найдены первые интегралы
уравнений промежуточного движения, позволяющие
записать общий интеграл задачи в квадратурах. Поскольку
функции F (г|) и Ф (|), входящие в формулы B.2.14),
суть многочлены четвертой степени, то полученные квадра-
туры являются эллиптическими, вследствие чего общее
решение задачи должно выражаться через эллиптические
интегралы и эллиптические функции. Поэтому перед тем,
как приступить к обращению квадратур, мы изложим основ-
ные сведения об эллиптических интегралах и функциях *).
Пусть имеется интеграл вида
Г dz
где R (z) есть многочлен четвертой степени. Всегда суще-
ствует такая дробно-линейная подстановка, которая при-
водит его к виду
t
* — C.1.1)
Интеграл C.1.1) называется эллиптическим интегралом
первого рода в нормальной форме Лежандра. Число
к (О < к < 1) называется модулем этого интеграла,
а к' — У\ — к2 его дополнительным модулем.
Подстановкой t = sin ф эллиптический интеграл приво-
дится к нормальной тригонометрической форме
ф
F(g>, k)=[ r d(f> C.1.2)
*) Подробнее об эллиптических интегралах и функциях см.
книги Ю. С. Сикорского [1] и Н. И. Ахиезера [2].

§ 3.1] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 69
Эллиптический интеграл, взятый в пределах от 0 до
л/2, называется полным эллиптическим интегралом первого
рода и обозначается К (к):
Я/2
к(*)= j Vi_% 2
Рассмотрим теперь равенство
yi-w~ (ЗЛ-3)
о
С одной стороны, оно определяет и как однозначную функ-
цию верхнего предела ф
и = F (ф, к).
С другой стороны, мы можем рассматривать верхний
предел ф как функцию самого интеграла и. Такая функция
обозначается
Ф = am (и, к)
и называется амплитудой. Таким образом, am (и, к)
есть результат обращения эллиптического интеграла пер-
вого рода в нормальной тригонометрической форме
Лежандра.
Эллиптические функции Якоби вводятся следующими
формулами:
sn(u, k) = sin [am (и, к)],
сп(и, к) = cos [am(и, к)],
dn (и, к) = ]/1— kzsn2(u, к),
и называются соответственно эллиптическим синусом,
эллиптическим косинусом и дельтой амплитуды.
Часто модуль к опускают и пишут просто
am и, sn u, сп и, dn и,
но всегда нужно помнить, что эти функции зависят от
параметра к.

70
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. III
Отметим основные свойства эллиптичесхих функций,
считая и вещественным.
1. Функции sn и и сп и периодические с периодом 4К,
a dn и периодическая с периодом 2К.
2. Функции sn и, сп и и dn и принимают значения
в областях
Значения функций при и — О, К, 2К, ЗК, 4К приведены
в табл. 2.
Таблица 2
Значения эллиптических функций
^•^\ и
snu
спи
dn и
0
0
1
1
А"
1
0
1/1-fc2
гк
0
—1
1
зл-
^
0
1/1-А2
4 К
0
1
1
Величина К, таким образом, для функций sn u и сп и
играет роль, аналогичную роли я/2 для sin и и cos и.
3. Функция sn и — нечетная, а сп и и dn и — четные
функции и, т.е.
sn (—и) = —sn и, сп (—и) = сп и, dn (—и) = dn и.
4. Функции sn и, сп и и dn и связаны между собой
формулами
sn2 и + сп2 и = 1, dn2 и + ft2sn2 u = 1,
dn2 и — &2сп2 и + &а = 1-
5. Функции sn w, сп и, dn м вырождаются при к = О
в тригонометрические функции, т. е.
sn м = sin и, сп и = cos м dn и = 1 (& = 0),
а при ft = 1 в гиперболические функции, т. е.
1 1
— -т-— dnu=-r— (&—1).
ch и
ch и

§ 3.2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ п 71
6. Функции sn ми сп и разлагаются в тригонометриче-
ские ряды:
sn и = -|1 V *_ g22ni sin Bи -1) п , C.1.4)
оо п—5~
руч j/ ^v" " лпп /О -у* т\т/ ^Ч4^^^
hit / \ \ _L nln—I V ' * \ /
П=1
где
~" — ли
(яБГ
—к
Для am w имеет место такое разложение:
n=i
Приведем еще разложение для К (к):
C.1.8)
Все эти ряды сходятся при любых и и к << 1.
§ 3.2. Определение координаты ц
На основании B.2.14) и B.6.11) мы можем записать
квадратуру для определения ц в виде
У (в-л) (л-в*) [з'2—(л—р')
, C.2.1)
где б*, р' и д' даются формулами B.6.6), B.6.8) и B.6.9),
ах определяется равенством B.5.4), а с3 — постоянная
интегрирования.
Чтобы найти отсюда т), воспользуемся подстановкой
6+6*6—6* (m' — m") — (m' -\-m") ?,' ,г> у m

72 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
где
— F-р'J, m"r=yq'z-(b*-p')z. C.2.3)
Тогда уравнение C.2.1) примет вид
, C.2.4)
ii к (i-ca
где
Если положить
f = sin Э, C.2.6)
то вместо C.2.4) будем иметь
е
f-7=JL= = <t,(t + C,)-H:i> C.2.7)
•< У 1 — к{ sin2 8
где
ot = V —2а^т'т"A + А2), C.2.8)
а Кх — полный эллиптический интеграл первого рода
с модулем А^.
Обращая эллиптическую квадратуру C.2.7), получим
0 = am (Zl kj), C.2.9)
где
г^а^т + сз), 78=с8—^-Kj. C.2.10)
Поэтому
?' = sn (Zl5 ^). C.2.11)
Полагая
т'б* — т"Ь 7 т' —го" т'б*+го"б ,„ п ,0.
формул C.2.2) и C.2.11) окончательно найдем
Выразим теперь постоянные s, у, d, кг и стх через эле-
менты а, е и б. Для этого подставим в формулы C.2.12),

§ 3.3] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ | 73
C.2.8), C.2.5) и C.2.3) вместо б*, р', д' и аг их значения
из B.6.6), B.6.8), B.6.9) и B.5.4). Тогда получим
s = б + 80- A —б2) — Зе2а2б A —б2) —
-83о-A-62)C-4б2 + е2), C.2.14)
у = _ ест A — 2б2) + 4е2а2б A — б2) +
+ е3ст[C-1262+1064) + е2A-264)], C.2.15)
й = естб + е2ст2A-62)-е3а6[E-6б2) — е2A-2б2)], C.2.16)
AJ = е2б2 A - е2) + 4е4б2 A - б2) A - е2) +
+ 82ст2б2+ 2е3аб A -б2) A-е2), C.2.17)
а, = Yfma A -е2) { 1 + ±{\ -б2) C+ е») +
+j е2(т2 F - 7б2) - е3(тб A - б2) C + е2) -
. C.2.18)
Таким образом, координата т) полностью определена
как функция переменной т и четырех произвольных
постоянных а, е, б и с3.
Заметим, что модуль кг эллиптической функции
является малой величиной порядка 8.
Формуле C.2.13) можно придать другой вид, а именно
11-1-Мsin 8' C.^.19)
где 0 определяется уравнением C.2.9).
§ 3.3. Определение координаты |
На основании B.2.14) и B.6.4) имеем
C.3.1)
где 5ц i2i ai> Pi Q даются формулами B.5.1), B.5.4),
B.6.1) и B.6.2), ас, — постоянная интегрирования.

74 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 1ГЛ. II]
Делая подстановку
Si —6а (д' + д')С+(я'-я") (о о ох
"~Г~ +и") ' ^ '
где
«' = /A2-рJ+д2, n" = /(?i-P)8 + S», C.3.3)
мы вместо уравнения C.3.1) будем иметь
1
Г *%¦ _ i C 3 4^
\ i^(i—с*) A—*g+*ае») 2' v ' ' ;
где
), ст2 = У -2atreV, C.3.5)
к% (?a-?i)»-K-»"J _ (з.3.6)
Полагая
С = cosi|j, C.3.7)
приведем уравнение C.3.4) к виду
] __d*, а = = га. C.3.8)
о
Отсюда находим
¦ф = am (Z2) k2). C.3.9)
Поэтому
S = en (lt, k2), C.3.10)
а формулу C.3.2), как легко проверить, можно теперь
записать в виде
?=а[1-Л+(«-«)спAа, kt)] ^ C311)
1 -)- е си B2, й2)
где
ё= д|~^" . C.3.12)
Если подставить в C.3.12), C.3.6) и C.3.5) вместо
Ех, Sg, />, q и аг их значения из B.5.1), B.5.4), B.6.1)

§ 3.4] СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ 6 и ф 75
и B.6.2), то получим
7= е {1 + е2 A —е2) A - 2б2) -
- 4е3ст6 A — е2) A — б2) -f е4 A — е2) х
X [C — 16б2+ 14б4) - 2е2 A - б2J]}, C.3.13)
к\ = е2е2 {б2 + 2еаб A - б2) -
-е2A-10б2+Иб4 + е2б4)}, C.3.14)
ст2= Vfma(l-e2) { 1 —j C-462-е2) +
+ 4е3аб A - б2) --^ [(9 - 72б2 + 64б4)+
. C.3.15)
Отсюда видно, что модуль Л2, так же как и kv является
малой величиной порядка 8.
Следует подчеркнуть, что полученные здесь формулы
справедливы как в случае, когда Ф (%) имеет пару ком-
плексных корней и два действительных корня, так и в слу-
чае, когда все корни этого многочлена действительны. Это
обстоятельство является следствием того, что подстанов-
кой C.3.2) можно пользоваться как при положительных,
так и при отрицательных q*.
Легко видеть, что формула C.3.11) может быть записа-
на и в таком виде:
1 + ( )| СЗ 3 16^
"¦ 1 -j- e cos \|з
где гр дается уравнением C.3.9).
§ 3.4. Связь между переменными 0 и г|з
Согласно C.2.7), C.2.10), C.3.5) и C.3.8) переменные 9
и г)) связаны с т уравнениями
в
C.4.1)
J у l kf sm 8
г.) = \ ** - C.4.2)

76 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Ш
Разлагая подынтегральные выражения C.4.1) и C.4.2)
в ряды по степеням Щ и Щ, а затем интегрируя, мы с при-
нятой точностью найдем
-^-(l+i.ft») sin26 + ^A}sin46,
|.ftj) sin
Если исключить отсюда т, то получим
9 = A + v) я]> + щ + -|- A + -J-) sin 29 - Jgk\ sin 46 -
—y-(i+4+v)sin2*-2§e*2sin4*' C-4-3)
где v и (о0 определяются формулами
C.4.4)
„ ffl(c3 —с4)
° = 1+ 4,9 „• C.4.5)
Здесь, как и раньше, отброшены члены шестого и более
высокого порядка относительно 8.
Подставляя в формулу C.4.4) выражения для стх, а2,
кг и кг из § 3.2 и 3.3, найдем
_ ^- 8зстб A - б2) + ? [B88 -129662 + 103564) -
— е2A44 + 28862-51064)]. C.4.6)
Очевидно, мы можем рассматривать (ос как произволь-
ную постоянную, вместо постоянных с3 и с4.

§ 3.5] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ w 77
Разрешим теперь уравнение C.4.3) относительно 0.
В нулевом приближении при кг = к2 = 0 имеем
9 = A + v) г|) + со0.
Подставляя это значение 8 в правую часть уравнения
C.4.3), мы с точностью до членов второго порядка найдем
6 = A + v) if + со0 - -? sin 2-ф + -& sin 2 [A + v)
Продолжая этот процесс далее, окончательно получим
-)-^ sin 4 (г|) -j- ft>) —ip sin 2-ф cos 2 (i|) + со), C.4.7)
где
со = уф + со0. C.4.8)
Формула C.4.7) позволяет, таким образом, найти 9, если
известно o]j.
§ 3.5. Определение координаты w
Перейдем теперь к выводу формулы для долготы w.
На основании B.2.15) имеем
X X
W=a3 \ 1_Т 2 —аЗс2 \ кг1Г~2 + с5> C.5.1)
о о
где сБ — произвольная постоянная.
Займемся сначала вычислением первого интеграла.
Согласно C.4.1)
dx=-i-(l —Jfc*sin8er1/2de,
или
О\ \ 2 8 /

78 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Ill
Поэтому при помощи C.2.19) будем иметь
т 0
Г dx __ 1 Г 1 + А' sin9 + i?' sin2Э + С sin36 + D' sin49 ,fl
J 1__T]2 — ai J ^ + Ssme + Csm26 '
о 8
C.5.2)
где
A = l — f, B = 2{d-sy), C = d2-s2,
A'=2d, B' = ^- + d\ C' = k\d, D'^-^k\,
a 0O есть значение 0 при х = 0.
Выделяя в подынтегральном выражении C.5.2) целую
часть и отбрасывая при этом члены порядка е6 и выше,
получим
т 8
(S-\-RsmQ)dB
dx _J_ С
1 — тJ ~"ст7 J
0о
+i J [(^-4-^)+^sine+^
в
J
во
где
в' i л А D' \
+ A, 1
\ C-5.5)
Представим знаменатель дроби, стоящей в правой
части C.5.4), в виде
А + В sin 9 + С sin2 9 =
= i [1 + Ра + 2сф sin 0 - A - a2) sin29],
V
где а, Р и у определяются из уравнений
1 + р12 = Ау, 2ар = fiv, 1 - а2 = —Су. C.5.6)

§ 3.5] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ w
Тогда, как легко проверить,
и
Д sin 9 +5 Sy
~ 1 + Р2 + 2аР sin 9 — A — a2) sin2 9'
Но
J
|_2aPsin9 — (I — «2)sin29 --^^ЧЦ cos e
Поэтому из C.5.4) следует
Idx а3 V о а . / asm 9 + fS \ ,
- 5" = —i • — $ Arctg I ^- ) 4-
1 — т|2 ел а 6 \ cos 6 / '
о
+ рое + pi cos е+% sin 26+с;, (з.г>.8)
где
_ a3 I В' A D' , 1 D' \
причем Cj — постоянная, представляющая собой значе-
ние интеграла при 0 = 0О или т = 0.
Найдем выражения для постоянных, входящих в фор-
мулу C.5.8). Для этого подставим сначала в формулы C.5.3)
вместо s, у, d и кг их значения из C.2.14)—C.2.17). Выра-
зив таким образом коэффициенты А, В, С, А', В', С и D'
через а, е и б и используя формулы C.5.5), мы получим
выражения для R и S. После этого при помощи C.5.6)
и C.5.9) находим коэффициенты а, E, у и E0, рх, E2. Затем
мы можем проверить справедливость равенства C.5.7)
и, кроме того, показать, что
?S.is = ±l, C.5.10)
где знак правой части совпадает со знаком постоянной сс3.
Если приписать знак коэффициента первого члена правой

80
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
части C.5.8) величинам аи |3, то окончательно получим
- 80б - у е2а2 A - 6б2) +
а = ± УТ=
Р = ± 280/Т^б2 {б + еа A — 2б2)
— 82бD
= ± е3аб A — е2) /Г^б2,
C>5Л1)
где верхний знак соответствует прямым движениям, а ниж-
ний — обратным.
Перейдем теперь к вычислению второго интеграла
C.5.1). Если разложить подынтегральную функцию в ряд
по степеням с/| и воспользоваться уравнением
которое является следствием C.4.2), то с принятой точ-
ностью получим
Г dx
где а|>0 есть значение if при т = 0.
C.5.12)

§ 3.5]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ w
81
При помощи C.3.16) имеем
с \2
(т) С+¦?-¦)-
= (-L- \ [а0 -\- di cos гM -f- а2 cos 2iM -f- a3 cos 3ij) -f a4 cos 4\p],
C.5.13)
где
4 ^ 16
i,
причем
2 * 4 '
) = a(l — ее), ^ =
«4 =—
1 — ее
Аналогичным образом находим
j ) 4 = е4 F0 + 6j cos гр + 62 cos
где
Далее легко получаем
-f e2(l— б2)] —
6 E. П. Аксенов
C.5.14)
C.5.15)
C.5.16)
C.5.17)

82
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
Подставляя формулы C.5.13) и C.5.15) в правую часть
C.5.12) и интегрируя, найдем
+ a; sin 2ijj + ^ sin 3i|) + a't sin 4ip + <, C.5.18)
где с"ь — значение интеграла при if = ф0.
Коэффициенты а^ связаны простыми зависимостями
с коэффициентами а^, bh и величиной <xzl<3«. Используя
формулы C.5.17), C.5.16) и C.5.14), мы можем получить
для a'h следующие выражения:
_il [B4- 56б2) -е2 D + 64б2) -
^- [D-28б2)-
C.5.19)
где верхний знак соответствует прямым движениям,
а нижний — обратным.
Подставим, наконец, формулы C.5.8) и C.5.18)
в C.5.1). Тогда окончательно получим
где
ро0 + с5 -f aj sin ^ + a'2 sin 2ij) -f
a; sin 3i|) + a; sin 4if + pt cos 6-f p2 sin 20, C.5.21)

I 3.6] СВЯЗЬ МЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ t И ПЕРЕМЕННЫМИ 9 И М> 83
причем
Cs = с5 + с; + <,
а коэффициенты а? и Bft даются формулами C.5.19)
и C.5.11). Очевидно, постоянную с5 мы можем рассматри-
вать как произвольную постоянную, вместо постоянной съ.
§ 3.6. Связь между временем t
и переменными 6 и г|з
На основании B.2.16) уравнение, связывающее время t
с промежуточной переменной т, можно записать в виде
C.6.1)
где t0 — начальный момент времени, а с6 — постоянная
интегрирования.
Переходя в первом и втором слагаемых C.6.1) от
переменной интегрирования т соответственно к г|з и 8
согласно уравнениям C.4.1) и C.4.2), получим
св, C.6.2)
где
== J (-|-J(i + T-sin2^+|-^sin4^+---)^' C<6-3)
Go
Здесь, как и раньше, if0 и 60— значения а|> и б при т = 0.
Займемся сначала вычислением 1г. Пусть
Х = 1
Тогда
sin гр- —-^-U
и согласно C.3.16)
6*

84 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Ш
Поэтому
где
-72)+|-C-ё2) A -
А0 + А%Х+А2Х2, C.6.5)
._i*)(l_2n) +
+-^ A-е2J},
_ё«)A-3п)- 1
\ C.6.6)
Здесь для краткости положено
Далее легко находим
C.6.7)
1-е2
\ X dty = г|з + e sin if,
C.6.8)

§ 3.6] СВЯЗЬ МЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ ( И ПЕРЕМЕННЫМИ 6 И ф 85
Подставим формулу C.6.5) в C.6.3). Тогда, учитывая
C.6.8), получим
1-е2 1
1 -.
:;, C.6.9)
где через с'е обозначено значение интеграла при if = if 0
или т = 0.
Перейдем к вычислению 12, При помощи C.2.19) имеем
= Во + Bi sin 0 4- В2 cos 20 4- В3 sin 30 4- #4 cos 40,
где
16
16 -
Поэтому
i- B2 sin 20 4- i- Bk sin 40
C.6.10)
—y53cos 394-c;, C.6.11)
где с, — значение интеграла при 0 = 80.
Постоянные Ak и 5Й, входящие в формулы C.6.9)
и C.6.11), можно легко выразить через элементы а, е и б.
Если это сделать, а затем подставить C.6.9) и C.6.11)

86
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
в уравнение C.6.2), то окончательно будем иметь
щ (t -10) + М'о = 2 Arctg l/~^ *S T -
г 1 + е z
^ sin тЬ .
. — е2 ^—^ \-
14- е cos -ф
7q9 + 7i sin г|) 4- Тг sin 2ty + 72 sin 20 +
4- 7^ sin 46 4- 7; cos 04-7; cos 30, C.6.12)
где
4-3s3a6(l-62) (l-e2L--Je4 A-е2) X
X A - б2) A 4-1162- e2 4-5е2б2) } , C.6.13)
e* = e{1 — e2A-е2) A -б2) 4- 2e3a6 A -б2) X
7o = _ 82 (i _ e2}3/2 |1 б2 + еаб A - б2) - 1
—|^[B4-96б24-78б4)-е2(8б2-11б4)]},
т; == е2 A-е2K/2 {-i б2 4-еаб A - б2)-
--^[B4-27б2)-е2(8-11б2)]},
Tl = -1 е4б2е D - 5б2) A - е2K/2,
C.6.15)
7; = - е2 A - е2K/2 {1 б2 4-{ еаб A - б2)-
чЗ/2
\3/2

§ 3.7] ПОСТОЯННАЯ г 87
причем
Щ = п0 (с; + ci — с в).
Очевидно, М'о можно рассматривать как произвольную
постоянную, вместо с6.
§ 3.7. Постоянная *
В этом параграфе мы введем новый элемент i, вместо
элемента 6. Как мы сейчас увидим, этот новый элемент
во многих отношениях более удобен по сравнению с б.
Пусть
s = sin i, C.7.1)
где s дается формулой C.2.14).
Разрешая методом последовательных приближений
уравнение C.2.14) относительно б, получим
б = s — 80 A — s2) {1 — 80s — е2 C - 4s2 + е2)}.
C.7.2)
Далее легко выводим следующее равенство:
/Г^б2 11 - е0б - у е202 A - 6б2) +
+ е30б C - 4б2 + е2)} = УТ^?,
сравнивая которое с первой формулой C.5.11), видим, что
^2( C.7.3)
Установим область значений элемента i, которые он
может принимать в реальном движении. Из условия B.5.7)
следует, что
max 6 = 1.
Поскольку, далее, 6 — наибольший из двух корней F (т])»
заключенных в промежутке [—1, +И, то наименьшее
возможное значение б можно найти из условия равенству
этих корней, т. е. из уравнения
б* = б,
где 6* определяется формулой B.6.6),

88 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
Разрешая это уравнение, находим
min б = — ест + е3а C + е2).
Таким образом,
— еа + е3а C + е2)< б < 1.
При помощи этого условия из формулы C.2.14) заключаем,
что
О <s<l.
Если теперь принять, что
О < i < л, C.7.4)
то будем иметь
s > О и а = cos i. C.7.5)
Далее, из второй формулы C.5.11), если в ней выра-
зить б через s согласно C.7.2), имеем
р = 2zaas {1 - е2 D - 5s2 + eV)}, C.7.6)
а если выразить б через s в формуле B.5.6), то получим
-f ^p- A - 7s2) - -?- [A2s2- 11s4) +
. C.7.7)
Отсюда следует, что знак постоянной сс3 совпадает со зна-
ком а, т. е. при 0° ^ i < 90° мы будем иметь а3 > 0,
а при 90° < г ^ 180° — сс8 < 0. Таким образом, область
0° ^ i <C 90° будет соответствовать прямым движениям,
а область 90° < i < 180° движениям обратным.
Поскольку знак выражения для w совпадает со зна-
ком сс3, то введение i позволяет получить для и> однознач-
ную формулу. Однако этим не исчерпывается удобство
использования i вместо б. Оказывается, что если выра-
зить б через s = sin i, то выражения для коэффициентов,
входящих в формулы для координат j, i], в и f сущест-
венным образом упрощаются. Так, например, в резуль-

§ 3.7] ПОСТОЯННАЯ г 89
тате указанной замены мы будем иметь
у = _ е0 {1 _ 2s2-e2[C — 12s2+ 10s4) + е2(l-2s4)]}, C.7.8)
й = ео*{1-е2[E —6s2)-e2(l —2s2)]}, C.7.9)
kl = e2s2 {1 + a2-e2—4e2A- s2) A -e2)}, C.7.10)
}, C.7.11)
— 2s2)-f
4(l —e2)[C —16s2+14s4) —2e2(l —s2J]}, C.7.12)
C.7.13)
, C.7.14)
-1296s2 + 1035s4-e2 A44 + 288s2-510s4)], C.7.15)
+ e4s2(l-s2)(l-e2)C + e2)}, C.7.16)
at = /maA-е2) {1 + 2e2A + e2) A — s2) +
+ s4A -s2) [A -6s2)-e2B + 8s2) + e4 A -2s2)]}, C.7.17)
6*= -s-ea(l-s2)[l + eas-e2C-4s2 + e2)]. C.7.18)
Сравнение этих формул с формулами §§ 3.2, 3.3, 3.4
показывает, что в выражениях для приведенных коэффи-
циентов исчезли члены с г3а, либо члены с е2а2, либо
вовсе члены, пропорциональные а. В дальнейшем мы
увидим, что аналогичные упрощения произойдут и в выра-
жениях для остальных постоянных.

90 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
§ 3.8. Определение -ф
для заданного момента времени t
Введем переменную Е согласно уравнению
Тогда
/ll| ^17sia^ =E-e*ainE. C.8.2)
Если теперь в уравнении C.6.12) при помощи C.4.7)
исключить 0, а затем, используя C.7.2), выразить коэф-
фициенты через а, е и s, то, принимая во внимание C.8.2),
получим
E — t
= M — %i sin яр — %2 sin 2яр — %[ cos (яр -)- ©) —
— A-2 sin 2 (яр -f со) — K'3 cos 3 (яр -f со) —
— %\ sin 4 (яр + <o) — X;2 sin 2^ cos 2 (яр +ю), C.8.3)
где
M = no(t — to) + Mo, C.8.4)
© = VTp-j-ю0, C.8.5)
MO = M'O — 7>0. C.8.6)
Здесь v дается формулой C.7.15), a
C.8.7)
е* = е {1 - е2 A — е2) A — s2) + e4s2 (I — е2) C + е2)}, C.8.8)
К =. — -^-е4 A-е2K''2 (8-32s2 + 25s4), C.8.9)

§ 3.9]
ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОЛГОТЫ w
Э1
—|-s2eD-5s2)(l-e2K/2,
A
n3/2
X
C.8.10)
64
16
-A-е2)
3/2
Полученные в' этом параграфе уравнения позволяют
найти if для любого заданного момента времени t. Порядок
решения этих уравнений может быть следующим. Сначала
для заданного момента t по формуле C.8.4) находим М.
Для вычисления г|з по известному М можно воспользо-
ваться методом последовательных приближений. Прини-
мая в первом приближении Е = М, мы по формуле C.8.1)
вычисляем г|з, а затем из C.8.5) находим ю, после чего
уравнение C.8.3) дает нам Е. Затем в указанном порядке
снова определяем г|з, (о, Е и т. д.
Можно показать, что процесс последовательных при-
ближений сходится при любых е, меньших единицы.
§ 3.9. Формула для определения долготы w
В этом параграфе мы выведем окончательную формулу
для вычисления долготы w. С этой целью подставим во
второе слагаемое правой части C.5.20) вместо б его значе-
ние из формулы C.4.7) и в полученном выражении исклю-
чим б при помощи C.7.2). Тогда
C.9.1)

92
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Ш
где Q дается формулой
п = цд|з + Qo + Их sin ty + ц2 sin 2Mp + М-з sin Ц +
+ щ sin 4ф + \i[ cos (Ф + со) + ^^ sin 2 (ф + »). C.9.2)
Здесь
ц = -1 а { 82 A + а2) + ~ F -17s2 - 24А»)} , C.9.3)
.= - 2е2ае{ 1 + -J- [D-28s2)- е2 F + 7s2)] } ,
(*,= 4-
е4ае3 ,с
причем
е4ае*
C.9.4)
32
-е2J,
^o =
а постоянные а и f> определяются формулами C.7.5) ц
C.7.6).
§ 3.10. Формулы для прямоугольных координат
Прямоугольные координаты х, у, z согласно § 2.2
определяются формулами
У =
cz)(l-rf) sin w,
C.10.1)
Зная |, y\, w, мы можем по этим формулам вычислить
прямоугольные координаты спутника. Однако можно
вывести другие формулы для х, у, z, которые во многих
случаях могут оказаться более удобными, чем формулы
C.10.1).
Представим C.9.1) в виде

§ 3.10] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 93
где
asin
Тогда
cos 0
cos w —
, asin9 + P
Sin w — ¦
Vl+P2 + 2aPsin9-(l —a2)sin2 0 '
Далее из C.2.19) получаем
. 2_ l + ft2+2aftsin0 — A — «2)sin2Q
Поэтому
C.10.2)
Поскольку
cos w = cos ш' cos Q — sin
in w' sin U, 1
in w' cos Й, J
.. , C.10.3)
sin w = cos w sin Q + sin i ^
то при помощи C.10.2), C.10.3) и третьей формулы C.5.11)
мы вместо уравнений C.10.1) будем иметь
? = p(cos0cosQ — asin0sinQ — fJsinQ), ^
), } C-10.4)
z = co-j-p' (ssin 0 + 7), J
где
ТЛ1е^)(|+с)
p 1+dsine ' p -
Здесь аир даются формулами C.7.5) и C.7.6), ауий-
равенствами C.7.8) и C.7.9).
В формулы C.10.4) и C.10.5) входят три переменные:
а, 8 и Q. Первая из них может быть определена по фор-
муле C.3.16) либо по формуле
I = а A - е cos ?), C.10.6)

94 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Ill
которая легко получается из C.3.16), если в ней согласно
C.8.1) выразить г|> через Е. Переменные 0 и il могут быть
найдены из уравнений C.4.7) и C.9.2).
В заключение приведем формулу для вычисления
радиуса-вектора:
г = |/(? + саг)J + с2 A + а2) A — гJ), C.10.7)
которую можно легко вывести из уравнений C.10.1).
§ 3.11. Формулы для скорости
Выведем теперь формулы для вычисления составляю-
щих скорости спутника в промежуточном движении.
С этой целью продифференцируем по времени уравне-
ния C.10.1). Тогда получим
V(t2jrc2){i—yf) w cos w,
Подставляя сюда вместо cos w и sin w их выражения из
C.10.1), будем иметь
w, j
Если теперь продифференцировать по времени формулы
C.3.16) и C.2.19), то найдем
aea2 A — e2) sin i]j ~J/ 1 — fc| sin2 \|5
__ ? -
/(l + «COSi)jJ I
л > C.11.2)
(s — 7d) (Ji cos 0 у 1 — /ef sin2 6

§ 3.12] ОЦЕНКИ ЧЛЕНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА §5
где
/;=|2 + С2Т]2- C.11.3)
Далее из интеграла площадей имеем
'W= /M L. 2W4 2Г- C.11.4)
Формулы C.11.2) — C.11.4), таким образом, позво-
ляют найти проекции скорости на координатные оси. Для
вычисления орбитальной скорости V может служить
формула
+ y* + z*- C.11.5)
Кроме того, для контроля можно воспользоваться интегра-
лом энергии
т/2 2fm(l — cax\)
где ax дается формулой C.7.16).
§ 3.12. Оценки периодических членов
второго порядка
При выводе формул этой главы нам приходилось раз-
лагать многие величины в ряды по степеням малых пара-
метров е и а. Во всех разложениях мы сохраняли члены
до четвертого порядка включительно относительно этих
величин и отбрасывали члены шестого порядка и выше.
Совершенно ясно, что некоторые из сохраненных членов
можно отбросить, поскольку их нельзя обнаружить из
наблюдений. Это прежде всего касается тех периодиче-
ских членов формул для ?2, Е и б, которые пропорцио-
нальны е'1 и е3о". Преследуя эту цель, мы оценим амплитуды
указанных неравенств в следующей области значений
элементов е и i:
О < е < 1, 0° < i < 180°. C.12.1)
При этом в согласии с § 1.9 примем
е4 = 1,17-Ю-6, е3а = —1,27-10-«.
Результаты этих оценок собраны в таблицах 3, 4 и 5.
Во вторых столбцах этих таблиц содержатся значения
указанных величин, выраженные в единицах шестого знака

ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. III
после запятой. В третьих столбцах они выражены в секун-
дах душ, а в четвертых приведены отклонения в линейных
координатах спутника, соответствующие этим величинам.
Отклонения эти выражены в метрах и соответствуют поло-
жению спутника на расстоянии 7000 км от центра Земли.
Таблица 3
Максимальные значения [ |i/, [
Мз
Mi
|nftl-ioe
0,58
0,04
0,02
1,27
1 nfc 1"
0,12
0,01
0 003
0,26
4,1
0,3
0,1
8,9
Максимальные значения
Таблица 4
h
К
К
к
A22
| A.fc 1 -10«
0,09
0,02
0,64
0,21
0,02
0,02
""
0,02
0,005
0,13
0,04
0,004
0,003
\Xh\M
0,66
0,15
4,44
1,48
0,13
0,10
Максимальные значения абсолютных величин
амплитуд периодических членов формулы C.4.7)
Таблица 5
3 *»
256 2
256 fcl
32
о
о,
о,
о,
106
01
005
01
0
0
0
О"
,003
,001
,002
(
0
0
0
)м
,10
,04
,06
1
16
1
16
i>
k\
Ф
0
0
0
• 106
,07
,07
,44
о,
о,
0,
г
015
015
09
с
0
0
3
)м
,51
,51
,07

§3.13] ВЕКОВЫЕ ЧЛЕНЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 97
Нужно заметить, что приведенные здесь оценки
являются, безусловно, завышенными, поскольку макси-
мальные значения различных амплитуд достигаются при
различных значениях элементов е и i, в то время как мы
оценивали каждый член независимо в области C.12.1).
§ 3.13. Вековые члены третьего порядка
Очевидно, нет необходимости искать периодические
члены порядка е6, ибо они чрезвычайно малы и не могут
быть обнаружены современными средствами наблюдений.
Однако вековые неравенства, имеющие порядок е6 (третий
порядок относительно /2), могут привести к заметным
отклонениям, когда мы рассматриваем движение на боль-
ших промежутках времени.
Обозначим через Ди0, ДА,, Av и А\а члены порядка е6
в п,Д, v и (I соответственно. Тогда будем иметь
Ап°=Yilr {-г? A -е2»2 к1 -38s2 -83s4)+
4- е2 (- 2 + 28s2 - 266s4) + е4 A + 10s2 - 35s4)] -
_ A 64a2 A - ez) A - s2) A - 7s2)} ,
+ 7188s6) + e2 C84 - 3216s4 + 2940s6)] +
_|_.3_ 64a2 A _ g2) D _ 12s2 + 9,4) f
= -~^l [G544-11752s2--42276s4 + 23085s6) +
+ e2 (_ 10424 + 14984s2- 26760s4 + 22830s6) +
+ e4 (- 384 - 1224s2 - 912s4 + 2940s6)] -
- ~ ee A - e2fn C2 - 168s2 + 260s4 - 125s6) -
_ 3 e4a2[(96-64s2-25s4) +
E. П. Аксенов

ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
др, = _ _!L cos i [(— 352 — 2844s2 + 2544s4) +
4- e2 A336 - 2688s2 + 4386s4) + e4 (-168 4- 384s2 - 867s4)] -
_ JL e4a2 [( — 18 4- 15s2) — 12e2s2] cos i.
Вычисления показывают, что вклад этих членов может
достигать нескольких стотысячных долей градуса в сутки.
§ 3.14. Сводка формул
В этом параграфе мы приведем формулы, позволяющие
находить прямоугольные координаты спутника для произ-
вольного момента времени /.
1. Определение ¦хр и Е:
М = п0 С - h) + Мо, C.14.1)
Е = М 4- е* sin Е + Яд|> — Х'2 sin 2 (if 4" со) —
— Я,; cos (ijj 4- со), C.14.2)
со = уф 4- со0,
где п0, е*, е, Я, Я^, К[, v даются формулами § 3.8 и 3.13.
Вычисление я|> и Е производится методом последова-
тельных приближений, причем в качестве нулевого прибли-
жения можно взять
-ф = Е = М.
2. Определение | и 8:
1 = а A — е cos ?),
6 = ^ + (o+-^-sin2(ij) + o))—^-(l+v)sin2T|), C.14.4)
где к\ и А;| находятся по формулам § 3.7.
3. Определение Й, р и р':
Q = (л-ф -(- Qo -f- Hi sin г|з + И-2 sin 2i|) +
0S('43 + <0)» C.14.5)
о'—i— C 14 6^
p ~ 14-dsine • ^-14-DJ
где (л, |лх, ц2, jx3 p-i и d даются формулами § 3.9 и 3.7.

§ 3.15] ЭЙЛЕРОВО И КЕПЛЕРОВО ДВИЖЕНИЯ 99
4. Определение прямоугольных ко-
ординат:
х = р (cos б cos Q — a sin 0 sin Q — р* sin &), 4
j/ = p(cos6sinQ + asiri8cosQ-f PcosQ), ? C.14.7)
z = co fp' (s sin 6 + 7), J
где Р и Y должны вычисляться по формулам § 3.7.
Отброшенные здесь периодические члены могут дать
ошибку около 1 м.
§ 3.15. Эйлерово и кеплерово движения.
Элементы орбиты
Рассматриваемое здесь промежуточное движение, кото-
рое определяется силовой функцией обобщенной задачи
двух неподвижных центров, будем называть в дальнейшем
эйлеровым движением. Промежуточную орбиту спутника,
соответствующую этому движению, назовем эйлеровой
орбитой *).
Выведенные в этой главе формулы эйлерова движения
содержат следующие произвольные постоянные или эле-
менты орбиты:
а, е, i, ю0, Qo, Mo.
Согласно § 2.5 и 3.7 элементы а, е, i могут принимать все
возможные значения из области
а>0, 0<е<1, 0°<;<180°.
Очевидно, для угловых элементов ш0, Qo, Mo мы имеем
0° < ©о < 360°, 0° < Qo < 360°, 0° < Мо < 360°.
Элементы а, е, i полностью определяют ту ограничен-
ную область пространства, в которой происходит движение
спутника (см. § 2.7 и 3.7). Они характеризуют размеры
и форму орбиты и максимальное удаление спутника от
плоскости экватора. Элементы оос, Qo и Мо определяют
главным образом положение спутника на орбите.
*) Леонард Эйлер A707—1783) был первым, кто дал постанов-
ку задачи двух неподвижных центров и нашел ее решение в плос-
ком случае.
7*

100 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Ill
Рассмотрим теперь один предельный случай. Пусть
в формуле A.9.1) с — 0 и а — 0. Тогда
W=1HL
и дифференциальные уравнения движения спутника будут
иметь вид
d2x fmx cPy fmy d2z fmz
~Ж~~ гЗ ' Л2 ~ Fs~' ~W~ ~'
Движение, определяемое этими уравнениями, назы-
вается невозмущенным пеплеровым движением. Формулы,
описывающие невозмущенное движение, можно легко
получить из формул эйлерова движения, если положить
в последних е = 0 и а = 0. В результате будем иметь
х = г (cos 6 cos Qo — cos i sin 8 sin Qo),
у = r (cos Э sin Qo -\- cos i sin 6 cos Qo)>
z — r sin i sin Э,
r = c(l — ecosi?),
6 = Mp + co0,
' — e sin Z? = M,
= no(t-to)+MOt
Невозмущенная кеплерова орбита спутника является
более простой кривой, чем промежуточная эйлерова орби-
та. Она представляет собой эллипс с большой полуосью а
и эксцентриситетом е (рис. 16). Положение плоскости
невозмущенной орбиты определяют углы Qo и i, которые
называются соответственно долготой восходящего узла
и наклоном орбиты. Ориентацию эллипса в плоскости ор-
биты определяет элемент со0, который называется угловым
расстоянием перигея от узла или аргументом перигея.
Перигей — это точка орбиты, наименее удаленная от
центра масс Земли О (рис. 17). Величины М, Е u.ty назы-
ваются соответственно средней аномалией, эксцентриче-

§ 3.15]
ЭЙЛЕРОВО И КЕПЛКРОВО ДВИЖЕНИЯ
101
спой анамалией и истинной аномалией. Шестым элемен-
том невозмущенного движения является средняя аномалия
в эпоху Мо. Этот элемент определяет положение спутника
на орбите в начальный момент времени или эпоху
t — t0. Угол Э = гр —(— со0 называется аргументом широты.
Таким образом, при с = 0 и а = 0 эйлеровы элементы
я, е, i, Qo, оH и Мо переходят соответственно в большую
полуось, эксцентриситет, наклон, долготу узла, аргумент
Р
Рис. 16. Кеплеров эллипс. Рис. 17. Кеплеровы элементы.
перигея и среднюю аномалию в эпоху кеплеровой орбиты.
При этом ty, 9, Е и М превращаются соответственно
в истинную аномалию, аргумент широты, эксцентриче-
скую и среднюю аномалии.
Кеплерова орбита играет чрезвычайно важную роль
в небесной механике. Она часто используется как орбита
первого приближения при исследовании движения многих
небесных тел. Применение кеплеровых элементов для
построения теории движения небесного тела особенно
эффективно в том случае, когда возмущения в его движе-
нии малы, т. е. когда его движение мало отличается
от эллиптического. К таким случаям прежде всего отно-
сятся большие планеты Солнечной системы. Однако если
возмущения кеплеровых элементов велики, то в качестве
орбиты первого приближения приходится искать другие
орбиты — промежуточные орбиты,.которые более близки
к истинной орбите небесного тела, нежели кеплеров
эллипс. К такому случаю относится Луна, при построении
теории движения которой использовались специальные
промежуточные орбиты.

102
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. III
Что касается задачи о движении близких искусствен-
ных спутников, то с точки зрения возмущений она зани-
мает как бы промежуточное положение между задачей
о движении планет и задачей о движении Луны. Поэтому
здесь можно использовать как методы, разработанные
в теории планет, так и методы, основанные на примене-
нии промежуточных орбит. В этом отношении эйлерова
орбита, по-видимому, имеет ряд преимуществ по сравне-
нию с другими промежуточными орбитами *). Она наибо-
лее полно учитывает основные возмущающие факторы
и построена в результате математически строгого решения
задачи. Она и будет положена нами в основу теории движе-
ния искусственных спутников.
§ 3.16. Вековые неравенства
Из § 3.14 и 3.15 следует, что величины
* •
п = п0 A -f- X), Q = \т, со = vn C.16.1)
являются соответственно средним аномалистическим дви-
жением, средним движением узла и средним движением
перигея. Эти величины являются важными характеристи-
ками орбиты, поскольку они определяют движение спут-
ника на больших промежутках времени. Интересно поэто-
му сравнить теоретические значения этих характеристик
с результатами, полученными из наблюдений.
В качестве примера возьмем пять спутников, средние
элементы п, е, i которых приводятся в табл. 6 [4].
Таблица 6
Элементы орбиты
ММ
1
2
3
4
5
Спутник
1958 Р2
1962 ае
1962 Ре
1961о
1961 аб!
/град)
\ Сут /
3862,640
3285,400
2801,146
4993,199
3123,598
а (км)
8679,648
9670,222
10755,537
7316,376
10003,817
е
0,190000
0,242241
0,284224
0,008022
0,012092
i
34°,2500
44,7995
47,5101
66,8157
95,8564
*) О промежуточных орбитах в теории движения искусствен-
ных спутников Землп см. книгу [3].

§ 3.17] РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 103
Величины (г и v, которые входят в C.16.1), вычисля-
лись по формулам C.9.3) и C.7.15). Для сна были приня-
ты численные значения, которые приводятся в § 1.9.
Таблица 7
Значения Q
мм
1
2
3
4
5
Значения
мм
1
2
3
4
5
Набл.
—3?01507
-1,85885
—1,27912
—2,42478
+0,21039
Набл.
4?40462
1,98617
1,21210
—0,69576
—0,97693
Вычисл.
—3°01356
—1,85829
-1,27848
—2,42429
+0,21033
Вычисл.
4?40383
1,98590
1,21173
—0,69707
0,97743
о-с
—0?00151
-0,00056
-0,00064
—0,00049
+0,00006
Таблица 8
О-С
0?00079
0,00027
0,00037
0,00131
0,00050
Результаты вычислений приведены в табл. 7 и. 8.
Там же даны Q и со, полученные из наблюдений, и соот-
ветствующие невязки. Максимальные невязки составляют
несколько тысячных долей градуса, что указывает на то,
что промежуточная орбита действительно учитывает суще-
ственную часть возмущений в движении спутника.
§ 3.17. Разложение эллиптических функций
в тригонометрические ряды
В § 3.2 и 3.3 мы видели, что координаты т) и ? выра-
жаются через переменную т посредством эллиптических
функций. Действительно, согласно' C.2.9) и C.3.9)
8 = am (J|f kj), -ф = am {l2, k2), C.17.1)

104 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Ш
где
*!= ах (т + 73), 1г = а2 (т + с4), C.17.2)
а координаты ц и ? зависят от sin 9 и cos if> или от sn 1г
и сп ?2.
Воспользуемся теперь формулами C.1.4)—C.1.7) и раз-
ложим 9, г|), sin 9 и cos "ф в тригонометрические ряды,
сохраняя при этом члены до е'* включительно.
Прежде всего мы имеем
K I1 + *?+
I тж } (ЗЛ7-3)
к = ж f1 +тк*+ж к*+ ¦}¦ C-17-4)
Поэтому формула C.1.7) дает
9 = u + ^-(l + ^-)sm2ii + -|g-sin4u+ ..., C.17.5)
где
Последний член в формуле C.17.5) меньше 0",001
и его нужно отбросить. Следовательно,
in2u. C.17.7)
Аналогичным образом находим
if> = v -f -7г- A + ~\ sin 2v, C.17.8)
где
v"=-f^~=z~9ir (T + C4)- C.17.9)
Подставляя формулы C.17.3)и C.17.4) в C.1.4) и C.1.5)
и пренебрегая членами меньше 0",01, получим
sin6=(l +-^-)sinu + -||-sin3u, C.17.10)
cos^=(l—М.) cosy + -Ц-cos3v. C.17.11)
Установим связь между переменными и и v. Для этого
исключим из C.17.6) и C.17.9) переменную т. Тогда

§ 3.18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ Ю5
найдем
Но при помощи C.4.4) и C.4.5) и равенства C.17.3) имеем
-S5r = ! + -' ^з-С4) = со0.
Поэтому
и = A + v) v + со0. C.17.12)
Зная разложения для sin 0 и cos tJj, легко найти три-
гонометрические ряды для Ti и с/?. При этом координата г\
будет периодической функцией u, a | — периодической
функцией у с периодом 2п.
Используя далее разложения C.17.8) и C.17.10),
нетрудно представить переменную U в виде
Q = Q + ? (u, v), C.17.13)
где
Q = цу + Q,,, C.17.14)
а ? (и, v) есть периодическая функция с периодом 2я
относительно каждой из переменных и я v.
Таким образом, можно получить другую совокуп-
ность формул, описывающих промежуточную орбиту.
Существенным здесь будет следующее: прямоугольные
координаты спутника будут периодическими функциями
с периодом 2л относительно переменных и, v и Q. А эти
переменные суть линейные функции т:
и = rrtjX + Uq, v = /и2т + v'o, Q = m3t + O^, C.17.15)
где
""-Ж' m2=W' "^-Щ- (ЗЛ7Л6)
a Ug, t;^, й„ — постоянные. Следовательно, промежуточное
движение является условно-периодическим по т.
§ 3.18. Определение элементов орбиты
по начальным условиям
В предыдущих параграфах были выведены формулы,
позволяющие вычислять положение спутника в простран-
стве для любого момента времени, если известны числен-
ные значения элементов я, е, i, Qo, co0 и Л/о. Элементы

106 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
орбиты могут быть определены двумя способами. Во-пер-
вых, их можно вычислить, если для какого-нибудь момен-
та времени t = t0 нам даны положение спутника и его
скорость. Во-вторых, они могут быть найдены по наблю-
дениям спутника *). В этом параграфе мы рассмотрим
первый способ.
Итак, пусть для момента времени t — t0
Требуется определить постоянные я, е, i, Qo, (o0 и Мо.
Задачу эту можно разбить на три части. Сначала по изве-
стным координатам и их производным находим постоян-
ные интегрирования аг, а2, а3. Затем, зная эти постоян-
ные, определяем первую группу элементов а, е, i. После
этого легко находится вторая группа элементов Qo, co0 и Mo-
Введем следующие обозначения:
caf, C.18.1)
C.18.2)
0 — ca)z0. C.18.3)
Тогда из уравнений B.2.1) для момента t = t0 имеем
C.18.5)
где через |Oi Ло! "'о обозначены сфероидальные координаты
для начального момента времени.
Для того чтобы однозначно определить |0, ti0, w0
из формул C.18.4) и C.18.5), мы должны воспользоваться
следующими условиями:
Ъо > 0, sgn cos w0 = sgn x0. C.18.6)
Продифференцируем по времени уравнения B.2.1)
и положим t = t0. Тогда получим
Эта задача рассмотрена в работе [5].

§ 3.18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ Ю7
Интегралы B.3.1), B.3.7) и B.3.3) теперь дают
2a1 = F02 2/т(?о-.с<що) ^ C.18.8)
а22 = Г^ — r'02-cz'zl + Q0, C.18.9)
0С3 z= 2-oZ/o — У0^0j (<^« lo* 10)
где
п 2/т?оТ]о (с2Ло +'
V0= Г
Перейдем теперь к определению постоянных а, е, i.
Полагая
и имея в виду C.7.7), C.7.16) и C.7.17), мы можем написать
а = а {1 - е2 A - е2) A - s2) + eV (I - s2) A - е2) C + е2)},
+ 2е4 A - s2) [1 + е2 D + 2s2) + е4 C - 2s2)]},
I_s2 = (l — s2){l + eV(l — e2)-
-e4s2A-е2) [C -2s2) + е2 A + 4s2)] + е2а2A -7s2)}.
Решая эти уравнения методом последовательных при-
ближений, получим
a = a{l-e2(l-e2)(l-s2) —
-е4 A-е2) A -s2) [C-5s2) + ё2 A -3s2)]}, C.18.13)
— е4 A — s2) [E — 6s2) + е2 A4 — 24s2) —
— е4C + 2?)]}, C.18.14)
cos2 i = A — s2) {1 + eV A — e2) —
— е4й A — 2s2) A -e2J_e2CT2 (i _7^)}f C.18.15)
где

108 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
Квадрант угла i определяется однозначно, поскольку
знак cos г совпадает со знаком постоянной а3, a sin i ^ 0.
Формулы C.18.13)—C.18.16) дают нам значения эле-
ментов я, е, i с точностью до е4 включительно. Зная эти
элементы, мы по формуле C.8.7) можем найти п0. Однако
для этой очень важной постоянной можно вывести другую
и более точную формулу. Для этого из уравнений C.8.7)
и B.5.4) сначала устанавливаем следующее равенство:
no=(-2aif2(fm)-i. C.18.17)
Поэтому
C.18.18)
Перейдем к определению угловых элементов Qo, co0, Мо.
Найдем сначала значения переменных ар и 9 для t = t0.
С этой целью положим
C.18.19)
lQe—a(e—e)
Тогда из уравнений C.3.16) и C.11.2) имеем
C.18.21)
C.18.22)
(ix2) ¦
а уравнения C.2.19) и C.11.2) дают
sin0o = b C.18.23)
cos90 = (s-4d)JMo _ C.18.24)
^(«-Tto^l^l-*?*2
Зная 80 и я|50, из формул C.4.3) получаем
lH. C.18.25)
= 9о - A + v) ^о - 4" ( j + "X) Sin 20°
Определив теперь со<0) из равенства
(о<°> = wjH + (oQ> C.18.26)

§ 3.19] ЗАМЕЧАНИЯ Ю9
мы можем найти Qo по формуле
cos i sin Эо + Р
— (д,2 sin 2% — \i3 sin 3% — (J.J cos (-ф + со<0)), C.18.27)
которая легко получается из C.9.1) и C.9.2).
Остается найти элемент Мо. Полагая в уравнениях
C.8.1) и C.8.3) t = t0, будем иметь
(ЗЛ8>28)
М0 = Е0—е% sin Ео — Х% + %\ cos (яр + со(О!) +
@))- C.18.29)
Заметим, что в формулах C.18.25), C.18.27) и C.18.29)
были отброшены периодические члены, меньшие 0",01.
§ 3.19. Замечания
Изложение этой главы в основном соответствует рабо-
там автора [6], [7]. Вековые члены третьего порядка были
получены в работе Л. П. Насоновой [8]. Симметричный
случай был подробно рассмотрен в более ранних статьях
автора [9]—[12] и в работе И. Ижака [13].
Алгоритм вычисления симметричной промежуточной
орбиты, основанный на других принципах, был разрабо-
тан М. Д. Кисликом [14]. Приближенные формулы для
несимметричного случая были найдены также К. Мар-
шалом [15] и Е. И. Тимошковой [16]. Случаи орбит
с малыми эксцентриситетами и наклонами были рассмот-
рены в статьях М. А. Вашковьяка [17] п С. Н. Вашковьяк
[18], а полярные орбиты были подробно исследованы
В. С. Уральской [19]. Сравнение вычислений по формулам
промежуточного движения с результатами численного
интегрирования было проведено в работах Л. М. Доможи-
ловой и автора [20], 121].

ГЛАВА IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ
ОРБИТЫ
§ 4.1. Введение
В предыдущих главах было подробно изучено проме-
жуточное движение искусственного спутника. Была рас-
смотрена качественная картина движения, введены эле-
менты промежуточной орбиты и получены все необходимые
формулы, позволяющие определять положение спутника
и его скорость для произвольного момента времени.
В настоящей главе будут выведены дифференциальные
уравнения, которые дадут возможность находить возму-
щения, не принятые во внимание при построении проме-
жуточной орбиты.
Подобно тому как это имеет место в классической тео-
рии возмущений, мы при решении уравнений возмущен-
ного движения за искомые функции примем элементы
промежуточного движения. Другими словами, мы будем
считать, что в возмущенном движении координаты и состав-
ляющие скорости спутника определяются формулами
промежуточного движения, в которых элементы орбиты
не являются постоянными, а суть некоторые функции
времени.
Сначала мы рассмотрим только такие возмущающие
силы, которые имеют силовую функцию, т. е. будем пред-
полагать, что дифференциальные уравнения движения
спутника могут быть записаны в следующем виде:
дх ~ дх '
dfi дх дх
~dfi W~ ~ду~'
dfi
"У "У I
dz ~ dz ' J
где Издается формулой A.9.1) или A.9.8), а возмущающая
функция R зависит от координат х, у, z и времени t.

§ 4-ij ВВЕДЕНИЕ Hi
Принимая за обобщенные координаты величины |, tj, w
и вводя формулами B.2.4) обобщенные импульсы |',т|',и/,
i\ibi вместо системы D.1.1) будем иметь
d\ _ дК' di\ __ дК' dw _ дК'
dt ~~ dt,' ' dt ~~ дх\' ' dt ~ dw'
1 '\Л.'с
дг\ ' dt dw ¦
где
К' = К — R, D.1.3)
* = Т - W, D.1.4)
причем Т есть кинетическая энергия, отнесенная к еди-
нице массы.
При R = 0 система D.1.2) описывает промежуточное
движение спутника, определяемое каноническими эле-
ментами alf cc2, a3 и рх, Р2, р31 которые мы ввели в § 2.2.
В случае промежуточного движения эти элементы
являются постоянными. В возмущенном движении они
будут функциями времени, удовлетворяющими следую-
щим уравнениям *):
dak _ OR d$k _ dR (h—i 9 31 // 4 K\
Канонические элементы ak и pfe аналогичны канони-
ческим элементам Якоби в кеплеровом движении. Извест-
но, что элементы Якоби не являются удобными перемен-
ными при решении уравнений возмущенного движения.
Их недостаток заключается в том, что в правых частях
дифференциальных уравнений появляются смешанные
члены, т. е. члены вида t sin yt, где у — постоянная **).
По аналогичным причинам элементы afe и р^ необходимо
заменить другими, более удобными каноническими эле-
ментами. В теории кеплерова движения такими элемен-
тами служат элементы Делоне и элементы Пуанкаре.
Здесь мы введем аналогичные системы элементов. Заметим,
однако, что в данном случае задача существенно ослож-
няется тем обстоятельством, что рассматриваемая про-
межуточная орбита характеризуется тремя частотами,
*) О методе вариации произвольных постоянных в случае
канонических уравнений см., например, книгу М. Ф. Субботина [1].
**) Подробнее об этом см., также [1].

112 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
в то время как кеплеровская орбита зависит только от
одной частоты. Задача, тем не менее, и здесь успешно раз-
решается, если воспользоваться общей теорией условно-
периодических движений *).
§ 4.2. Канонические элементы Ан и В к
Введем элементы Аъ А2, Аг формулами
]
- -1 Г
-Я J
Т]2 ,_
1-ТJ
где Ф и F даются равенствами B.2.11), |х и |2 корни много-
члена Ф, между которыми изменяется координата ?,
а т\х и Т12 — корни многочлена F, лежащие в промежутке
[-1. + U.
Вторую группу элементов Вг, 52, В3 введем уравне-
ниями
[ D-2.2)
Рз = ©13-^1 + ®23^2 + Ю33^3) '
где
^• = -ё7 (Ь / = 1,2,3). D.2.3)
Докажем, что такое преобразование ак и pft в Ah
ъ Bk — каноническое. Пусть
Шц С021 С0з1
0I2 0J2 М32
И>13
Тогда из D.2.2) находим
D.2.4)
day
13
Рз],
Далее имеем
dat
*) Об условно-периодических решениях см. книгу К. Шардье [2].

§ 4.3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ At ИЗ
или, если принять во внимание D.2.3),
dAt = сои dat -f- C0j2
Поэтому
1=1 3=1
з з
i=i j=i
Но
яд , ад , ад
^ + ^ + ^^t A, * = ;.
Следовательно,
з
%(fodai — BidAi)=—tdal. D.2.6)
i=l
Поэтому согласно теории канонических преобразований
дифференциальные уравнения для элементов Ah и Bh
будут иметь вид
dAh_dR' JBk__ OR' ,_, 2 оч ,4271
где
Л' = —Об! + Л.
Канонические элементы Ak ж Вк свободны от того
недостатка, который имеют первоначальные элементы aft
и pfe. Действительно, согласно [2] промежуточное движе-
ние является условно-периодическим. Относительно каж-
дой из величин Вх, В2, В3 координаты спутника будут
периодическими с периодом, равным 2л. Этим свойством
будет обладать и функция В', а следовательно, и правые
части уравнений D.2.7).
§ 4.3. Вычисление величины А^
Пусть
Фо (I) = (Е, -\){\- У- D.3.1)
Тогда на основании B.6.4) многочлен Ф (|) можно пред-
ставить в виде
Ф Ш = -2о! [(Е - рJ + дЦ Фо (Б), D.3.2)
где ряд даются формулами B.6.1) и B.6.2).
8 В. П. Аксенов

H4 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Разлагая подынтегральную функцию первого интегра-
ла D.2.1) в ряд по степеням е/?, р и q и сохраняя в этом
разложении члены до четвертого порядка относительно е
включительно, получим
1^Я^К^2«Л, D.3.3)
й=1
где
а величины ah определяются формулами
1 <) г>
1 2 ¦ 2 f D-3-5)
Перейдем в интегралах D.3.4) от переменной ? к пере-
менной Е согласно C.10.6), т. е.
\ = а A — е cos E).
Это даст
ggf I»*** D.з.6)
я J (i_eCos?)fe
Вычисление интегралов D.3.6) не представляет труд-
ностей и мы имеем:
D.3.7)
v — \ - / |
Fi= 2в2A-«аM/г ' F5==8a3(l-e2O/2 • J
Далее, если в формулы B.6.1) и B.6.2) подставить
вместо б его выражение из C.7.2) и заменить е на с/яA—е2),

§ 4.4] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Л2 115
то получим
Используя теперь D.3.8) и D.3.5), мы можем выразить
постоянные ак через а, е и s. Для того чтобы найти выра-
жения для пь и Уй через элементы а1т а2 и а3> нужно вос-
пользоваться формулами C.18.12)—C.18.15). Подставляя
затем эти выражения в D.3.3), окончательно получим
-A a I с2(/"J [7l ghaS ^1 Ч а|
а|
где положено
A = —t=r. D.3.10)
§ 4.4. Вычисление величины А
Согласно второй формуле D.2.1)
УПг^ц 1
42
1 Г
а на основании B.6.11)
F (т,) = -2О! (-п. — п) (т! — tix) [c2g'2 - с2 (т, - р')Ц,
D.4.2)
где р' и q' даются формулами B.6.8)—B.6.10).
Используя подстановку
Т] =
и полагая
8*

116
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
[ГЛ. IV
мы вместо D.4.1) будем иметь
л _ (Ла — r\i)V— 2сад'2с2
^Lg. — ; ^
4я
1
X
t|
Ъ+ъ
[
J
}, D-4.4)
где
причем
_ 42—mi
D.4.5)
D.4.6)
При помощи формул B.6.8)—B.6.10) мы убеждаемся
в том, что величины г и А; имеют нулевой порядок. Поэтому,
разлагая D.4.5) в ряд по степеням с2 и ограничиваясь
принятой точностью, получим
Q = Ъо
(АЛЛ)
где
D.4.8)
Далее имеем
где
- b3b3 +
D.4.9)
D.4.10)

§ 4.4] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ А2 117
Что касается выражений для Вг и В3, то они нам не потре-
буются. Очевидно, коэффициенты Q'o и В^ получаются
из Qo и Вь заменой Ъ на —Ъ'.
Учитывая D.4.9), мы из D.4.4) получаем
\ Т^1"^ лт | о- \ У±=
O J b + g «Ь + Vo J Ь>__
1 1
1
;) J
i
J + g J
-1 -1
1
] } D.4.11)
Вычислив интегралы, стоящие в правой части D.4.11),
будем иметь
^т+<?; /ь^л)+
+ ^(В0-В'0) + ±(В2-В'2)}, D.4.12)
где
тн = 6', тJ = б, D.4.13)
причем б* и б определяются равенствами C.7.18) и C.7.2).
Если в формулы B.6.8)—B.6.10) подставить вместо б
его значение из C.7.2), то получим
l D.4.14)
— e4[4(s2_s4) + 2e2(l—s4)] —

118 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Используя формулы D.4.13)—D.4.15), мы можем
выразить сначала Ь, Ъ', г я к, а затем Ь%, Qo, Q'o, Bk и В^
через элементы я, е и s. Если подставить значения этих
постоянных в D.4.12), то можно найти А2 как функцию
я, е и s. Для того чтобы выразить А2 через ах, а2, а3,
нужно воспользоваться формулами C.18.12)—C.18.15).
Опуская выкладки, приведем окончательный результат:
3 (*(fm)*
г. а% , с at \
_
64 1 \
-lc?f A-з4), D-4.16)
где А дается формулой D.3.10).
Согласно последнему равенству D.2.1)
43 = а3- D.4.17)
Таким образом, мы получили все формулы, которые
связывают элементы Аи Л2и43с элементами аи а2 и а3.
§ 4.5. Элементы L, G, H, I, g, h
Введем новые элементы L, G, H, I, g, h по формулам
G= A2 + A3, g = B2-Bu ) D.5.1)
Поскольку, как легко проверить,
3
то новые элементы являются каноническими, и дифферен-
циальные уравнения, их определяющие, имеют вид
dL _ dR' dG __ dR' dH _ dR'
~df~~ dl ' Ht~ dg ' dt ~ dh '
dl _ dR' dg dR_ dh _ dR'
If ЙГ' dt ~ dG ' dt ~ dH
где
R' = _Kl + R, D.5.3)

§ 4.5] ЭЛЕМЕНТЫ L, G, Я, I, g, h Ц9
при этом предполагается, что щ выражена через L, G, Н,
a R — через L, G, H, I, g, h."
Подставим в первые три формулы D.5.1) вместо Аг, А2,
А3 их значения из D.3.9), D.4.16), D.4.17) и разрешим
полученные уравнения относительно а17 а2, а3- Тогда
, 1
IP
32 LG' I G2 + G* j
6 c4M)
32" L3G5
8 C*(ML /, ,. Я2 „ H*\
64 i3fi4 \A * G* ' &
«, Я2
«3=Я. D.5.6)
Как следует из гл. Ill, промежуточная орбита наибо-
лее просто описывается элементами я, е, i, Qn, coo и Мо,
которые при с = 0 и 0 = 0 обращаются в соответствую-
щие кеплеровы элементы. G другой стороны, уравнения
возмущенного движения наиболее просто записываются
в элементах L, G, H, I, g, h, которые, как мы вскоре увидим,
при с = 0 и 0 = 0 обращаются в элементы Делоне.
Поэтому необходимо установить связь между этими двумя
системами элементов. С этой целью подставим формулы
C.18.12) в C.18.13)—C.18.15). Это позволит нам выразить
элементы я, е, i через а1? а2, а3. Используя затем равен-
ства D.5.4)—D.5.6), окончательно получим
-^)}. («.7,
cos i = ¦

120 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Здесь для краткости опущены члены, имеющие порядок
с4 и выше.
Разрешая уравнения D.5.7)—D.5.9) относительно
L, G, Н, найдем
L = VW { ! + A^ A s2)+
D.5.10)
D.5.11)
Я = YfmaA-е2) cosi { 1 + -J- [B- 3s2) + e2 B-s2)] |.
D.5.12)
Формулы D.5.7)—D.5.12), таким образом, дают воз-
можность переходить от элементов L, G, Н к элементам
а, е, i и наоборот.
Установим теперь зависимость между угловыми эле-
ментами. При R = 0, т. е. в случае промежуточного дви-
жения, из уравнений D.5.2) находим
D.5.13)
где
a ^o> ^oi ^o — постоянные интегрирования.
Вычислив при помощи D.5.4) соответствующие частные
производные, мы получим п, п' и п" как функции L, G, Н.
Используя далее зависимости вида D.5.10)—D.5.12),
мы можем выразить эти величины через а, е, i. В резуль-
тате оказывается, что
п = п0 A + Я), п' = vre0, re" = \in0, D.5.15)
где п0, Я, и. и v даются формулами C.8.7), C.8.9), C.9.3)
и C.7.15).

§ 4.6] ДРУГИЕ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 121
С другой стороны, в промежуточном движении время t
входит в выражения для координат посредством следую-
щих комбинаций:
D.5.16)
Сравнивая уравнения D.5.13) с D.5.16) при условии
D.5.15), мы устанавливаем, что
J
D.5.17)
Равенства D.5.17) вместе с D.5.13) и D.5.15) позволяют
перейти от элементов Мо, со0, Qo к элементам I, g, h.
§ 4.6. Некоторые другие системы
канонических элементов
В предыдущем параграфе была подробно рассмотрена
каноническая система L, G, H, I, g, h, которую в дальней-
шем мы будем считать основной канонической системой.
Можно указать несколько других систем канонических
элементов, которые могут оказаться удобными в некото-
рых частных случаях (например, малые эксцентриситеты,
малые наклоны и т. д.). Прежде] всего из D.5.1) имеем
I
J
D.6.1)
Формулы D.5.10)—D.5.13) и D.5.15), D.5.17) позво-
ляют установить связь между элементами Аъ, Bh и эле-
ментами а, е, i, со0, Qo, Mo. Ранее было показано, что эта
система элементов является канонической.
Рассмотрим, кроме того, элементы:
d«L, c^l+g + h,
C^G-L, ct*=g + h, I D.6.2)
С3 = Я-С, ca=h
i

122 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
и элементы
G) cos (g+h), dj = -/2(L-G)sin(g-ffe),
D3=Y'2(G — H) cos h, d3=—Y 2 (G — H) sink. \
D.6.3)
Эти элементы, как легко проверить, являются также
каноническими.
Итак, мы имеем следующие системы элементов про-
межуточного движения:
Система I: a, e, i, co0, Qo, Mo.
Система II: L, G, Я, I, g, h.
Система III: А1: А2, А3, Вг, В2, В3.
Система IV: Сг, С2, С3, Сц с2, с3.
Система V: Dlt D2, D3, dlt d2, d3.
В § 4.12 мы проведем аналогию между элементами
эйлерова промежуточного движения и соответствующими
элементами невозмущенного кеплерова движения.
§ 4.7. Задача об устойчивости
движения спутника
Рассмотрим сначала промежуточное движение. В § 2.7
мы видели, что промежуточное движение спутника проис-
ходит в области, ограниченной двумя эллипсоидами
и двумя гиперболоидами. Орбита спутника, как легко
показать, касается одного эллипсоида, затем гиперболои-
да, второго эллипсоида и второго гиперболоида и т. д.
Согласно [2] движение спутника будет условно-периоди-
ческим с тремя периодами. Введем эти периоды.
Назовем аномалистическим периодом Тг промежуток
времени между двумя последовательными касаниями внеш-
него (внутреннего) ограничивающего эллипсоида. Очевид-
но, этому промежутку времени соответствует изменение г|з
от некоторого а|э0 до г|H + 2л. Драконическим периодом Т2
назовем промежуток времени между двумя последователь-
ными пересечениями спутником плоскости z = со, напри-
мер, с юга на север. Как легко видеть, этому промежутку
времени будет соответствовать изменение 9 от 90 до 90f+ 2п.
Так как плоскость z = со отстоит от экваториальной

§ 4.C] ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ^23
плоскости на 7,5 км, то драконический период практически
будет совпадать с промежутком времени между двумя
последовательными пересечениями спутником плоскости
экватора. Назовем, наконец, сидерическим периодом Т3
промежуток времени, в течение которого долгота w0 воз-
растает на 2я радиан. В соответствии с этим введем среднее
аномалистическое движение гех, среднее драконическое
движение ге2 и среднее сидерическое движение п3 по фор-
мулам
Ясно, что все три периода изменяются от оборота
к обороту, подвергаясь периодическим (и, вообще говоря,
малым) колебаниям. Однако если пренебречь этими малыми
колебаниями, то мы получим некоторые средние значения
для этих периодов, которые и будут характеризовать дви-
жение спутника на больших промежутках времени.
Обращаясь к уравнениям § 3.8 и 3.9, мы видим, что при
изменении ар на 2я время t изменяется (в среднем) на вели-
чину, равную 2л A — А,)/п0. Поэтому
н~~ 1-Я -
Аналогичным образом находим, что
ге2 = щ A + v), п3 = п2 +
С принятой точностью, таким образом, будем иметь
D.7.2)
Отсюда следует, что средние движения и соответственно
три периода отличаются друг от друга величинами поряд-
ка 82.
Очевидно, что %, п2 и п3 представляют собой средние
скорости изменения переменных г|э, 0 и w, а периоды
Тг, Tz и Тг показывают, за какое время эти переменные
изменяются (в среднем) на 2л.
Величины щ, щ и п3 в известной степени определяют
характер движения спутника. Если ге1? ге2, п3 несоизме-
римы, то орбита спутника не будет замкнутой кривой.

124 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
В этом случае какую бы точку тороидального простран-
ства, где происходит движение спутника, мы ни взяли,
всегда найдется такой момент времени, когда спутник
будет сколь угодно близко от этой точки. Другими сло-
вами, траектория спутника будет всюду плотно заполнять
область возможности движения. Картина изменяется,
если отношения этих постоянных являются рациональ-
ными числами. В этом случае орбита спутника будет замк-
нутой кривой, а его движение — периодическим. Два
условия периодичности будут связывать три элемента,
а, е, i, от которых зависят постоянные гех, ге2, п3. Один
из этих элементов можно выбрать произвольно, а два
других будут принимать счетное множество значений.
Три угловых элемента Qo, coo, Мо будут произвольными.
Таким образом, уравнения промежуточного движения
допускают оо6 периодических движений, период которых
в общем случае является весьма большой величиной.
Перейдем теперь к рассмотрению возмущенного дви-
жения. Предположим сначала, что на спутник действуют
только силы гравитационной природы. Для определен-
ности будем считать, что спутник подвержен возмущениям
от зональных, тессеральных и секториальных гармоник
потенциала притяжения Земли, а также влиянию Луны
и Солнца. Тогда согласно § 2.1 возмущающая функция R
будет даваться формулой
R = R? + Rl ~Ь Rs-
Используя равенства § 3.14, мы можем представить
функцию R в виде следующего ряда:
R = е* 2 Л cos у, D.7.3)
где
у = кг1 + k2g + ksh + s^it + s2(o3i + s3a>3t + d0,
D-7.4)
причем е* — малый параметр, klt k2, . . ., s3 — целые
числа, сох — угловая скорость вращения Земли, со2
и со3 — средние движения Луны и Солнца, d0 — постоян-
ная, а коэффициенты А суть функции элементов а, е, i
или L, G, Н.

§ 4.7] ЗАДАЧА ОВ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА 125
Будем рассматривать такую область пространства,
чтобы функция R имела порядок е4 *). Тогда отношения
частот п' и п" к п будут иметь порядок е2.
Вычислим теперь при помощи D.5.4) следующий опре-
делитель:
А =
dL dG dL дН
dGdL
где
G* dG дН
dHdL dHdG ~дЖ
Ro = —ах (L, G, Н).
Тогда получим
А -27 c
2
Сделанные предположения относительно функции R
и тот факт, что А =т^= 0, дают нам возможность воспользо-
ваться теоремой В. И. Арнольда [3] об устойчивости кано-
нических систем. Из этой теоремы следует, что для всех
начальных условий из рассматриваемой области, за
исключением, быть может, некоторого множества малой
вместе с е2 меры, элементы L, G, Н можно представить
сходящимися тригонометрическими рядами. Следова-
тельно, почти для всех начальных условий элементы L, G,
Н будут изменяться в ограниченных пределах и тем самым
почти все орбиты спутника будут устойчивыми по Лаг-
ранжу, ибо область пространства, где происходит движе-
ние спутника, полностью определяется элементами
L, G, Н. Эта область, ограниченная двумя эллипсоидами
и гиперболоидами (см. § 2.7), будет лишь пульсировать
со временем, а не расширяться или сужаться вековым
образом **).
Заметим, однако, что возмущения от сопротивления
атмосферы, как мы увидим в гл. VIII, приведут к тому,
*) Этой области примерно соответствует г < 20 000 км.
**) Полученные результаты, очевидно, имеют также значение
для естественных спутников планет, для которых возмущения от
сжатия преобладают над возмущениями от Солнца и других спут-
ников.

126 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
что расстояния между поверхностью Земли и ограничи-
вающими эллипсоидами будут непрерывно сокращаться,
и спутник рано или поздно упадет на Землю.
§ 4.8. Аналог теоремы Лапласа
При решении уравнений для канонических элементов
L, G, H, I, g, h могут быть использованы практически
все методы, разработанные в классической теории возму-
щений. Сюда относятся *):
1. Метод последовательных приближений.
2. Метод последовательных приближений в форме
Пуассона.
3. Метод Делоне.
4. Метод Цейпеля.
5. Метод Ньюкома.
Все перечисленные методы, за исключением первого,
позволяют построить теорию движения спутника (речь
идет пока о гравитационной теории) в чисто тригонометри-
ческой форме. Если же использовать обычный метод после-
довательных приближений, то это приведет к тому, что
все элементы (в каком-нибудь приближении) будут обяза-
тельно иметь вековые и смешанные возмущения. Ясно,
что в случае спутников теория с вековыми и смешанными
членами менее предпочтительна по сравнению с чисто
тригонометрической теорией. ~
Посмотрим, однако, что дает метод последовательных
приближений при вычислении возмущений первого
порядка. Для простоты мы будем предполагать, что воз-
мущающая функция R имеет вид D.7.3). Поскольку эле-
менты I, g, h входят в R только посредством тригономет-
рических функций и поскольку в промежуточном дви-
жении
I = п (t - ta) + l0, g = n" (t - t0) + g0,
h = re" (t - t0) + hOl
где n, re', re", l0, g0, h0 — постоянные, то в первом прибли-
жении элементы L, G, Н не будут иметь вековых членов,
*) Изложение первых трех методов можно найти в книге
М. Ф. Субботина [1]. О методе Цейпеля см. книгу Ф. Брауэра
и Клеменса [4], а о методе Ныокома—книгу Е. А. Гребеникова
и Ю. А. Рябова [5].

§ 4.91 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ 127
если
кгп + к2п' + к3п" + hai + S2(i>t + S3M3 =7^ 0.. D.8.1)
Таким образом, мы имеем следующую теорему: Если
начальные условия таковы, что при любых целых ки к2, к3,
su s2, s3 выполняется условие D.8.1), то среди возмущений
первого порядка (относительно е*) элементов L, G, Н
нет вековых членов.
Эта теорема является аналогом теоремы Лапласа
в теории возмущений планет, но она позволяет сделать
более сильные утверждения относительно области воз-
можности движения, чем теорема Лапласа *). Действи-
тельно, в теореме Лапласа речь идет только о большой
полуоси орбиты планеты, но не об эксцентриситете
и наклоне, которые наряду с большой полуосью играют
важную роль в эволюции орбиты. В то же самое время
из доказанной теоремы следует, что все три элемента а, е, i
будут подвержены только периодическим изменениям.
Поэтому (в первом приближении) область тороидального
пространства, где происходит движение спутника, будет
пульсировать, а не распшряться вековым образом со вре-
менем.
Что касается элементов I, g, h, то они будут иметь как
периодические, так и вековые возмущения. Но эти эле-
менты не связаны с областью возможности движения.
§ 4.9. Дифференциальные уравнения
для оскулирующих элементов, аналогичные
уравнениям Лагранжа
Дифференциальные уравнения D.5.2) могут быть легко
преобразованы в уравнения относительно элементов
а, е, i, I, g, h. Действительно, дифференцируя формулы
D.5.7)—D.5.9), мы можем выразить производные а, е, s
через производные L, G, Н. С другой стороны, эти же фор-
мулы позволяют записать частные производные й по I,
G, Н через частные производные R по а, е, s. Подстановка
всех этих производных в D.5.2) нам даст следующие
*) О теореме Лапласа см. книгу М. Ф. Субботина [1].

128
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
уравнения:
da
de _
ds
dt ~
dl
~!t "
dg _
dt
dh
~df=
dR
dR
dR
ni — ai
n3 a3
+ e2
1 n
+ «2
ал
да
dR
'¦~da~
dR
da
dR
dR
dR
dg
+ e3
+ S3
dR
1 de
dR
dR
dR
dR
dR
dh
\J 1 %.
dR
dR
где (с точностью до е2 включительно)
Y fma-i
Й2 =
2 V /га»-'
{!2-15s2 + 8y 1-е2 cos2*},
fma
_.?l [A2-15s2)/T^ —
- 22 + 23s2 - e2 A8 -17s2)l } ,
e3 =
2^
2e У /ma
2^1i- {3 + 5e* - 3 /T^
/
cosz
iYfma{l— e2;
cos г
sYfma{l — e2)
D.9.1)
D.9.2)
D.9.3)
\ D.9.4)

§ 4.101 УРАВНЕНИЯ, АНАЛОГИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯМ НЬЮТОНА 129
Эти дифференциальные уравнения аналогичны урав-
нениям Лагранжа для кеплеровых оскулирующих эле-
ментов.
§ 4.10. Дифференциальные уравнения,
аналогичные уравнениям Ньютона
В самом общем случае дифференциальные уравнения
движения спутника можно записать в виде
frx 8W
<Й» 8W _„
D.10.1)
где W — силовая функция в промежуточном движении,
a Fx, Fy, Fz — проекции возмущающего ускорения на оси
координат Ox, Oy, Oz.
При изучении различных возмущений, таких, напри-
мер, как возмущения от сопротивления атмосферы, ком-
поненты Fx, Fy, Fz не являются удобными. Поэтому мы
заменим их компонентами S, Т, В, которые введем сле-
дующим образом. Пусть
Hz-«r)«, D.10.2)
a V — орбитальная скорость. Тогда S есть компонент
по радиусу-вектору г, Т — компонент по направлению,
перпендикулярному к г и составляющему с направлением
движения угол, меньший 90°, и лежащему в плоскости,
проходящей через г и V, а В есть компонент по нормали
к этой плоскости.
Обозначим направляющие косинусы этих компонентов
относительно координатных осей Ox, Oy, Oz через sx, s2, s3;
Ti» T2> тз и Ьц Ь2, Ъа соответственно. Тогда для slf s2, s3
будем иметь
si = 4, s2 = 4, s3= Z~^CP • D.10.3)
r r r
9 e. П. Аксенов

130 УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Поскольку вектор В перпендикулярен векторам 8 и
V, то
• ¦ • • • •
, yz — (z — ca) у , (z — ca)x — xz , ху — ух
D.10.4)
где
b = 7]/v*-r2 D.10.5)
Так как направление вектора Т совпадает с направлением
вектора В X 8, то для т15 т2, т3 легко находим следующие
формулы:
Связь между компонентами Fx, Fy, Fz и S, Т, В будет
даваться уравнениями
D.10.7)
или
D.10.8)
Выберем теперь переменные, которыми мы будем опи-
сывать возмущенное движение. В качестве таких пере-
менных возьмем следующие шесть независимых элементов:
а, р, s, Q, со, М,
которые связаны с элементами а, е, i, Qo, co0 и Мо форму-
лами (см. § 3.18)
а = а {1 + е2 A-е2) а2},
D.10.9)
—^ = а2{1—е2A—е2)A-а2)},
°' | D.10.10)
M =no(t — to

§ 4.10] УРАВНЕНИЯ, АНАЛОГИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯМ НЬЮТОНА 131
где
а = cos i, p = а A — е2),
причем в D.10.9) отброшены члены порядка е4 и выше.
Для того чтобы вывести дифференциальные уравнения
для этих элементов, воспользуемся так называемой основ-
ной операцией *), которая в данном случае заключается
в следующем. Пусть
? (а, р, s, Q, со, М-\ х, у, z; х, у, z; t) = 0
есть какой-либо первый интеграл уравнений промежуточ-
ного движения. Тогда этому интегралу будет соответ-
ствовать следующее равенство:
дЧ da дЧ dp . дЧ d2 d? Г dQ 1 , дУ Г da
да dt + др dt ~1~ ? dt + дп L dt J •" dat L dt
Ш Л , 9Т „ дЧ р 84
Г dQ  Г dw "I Г йЛ/ 1
при этом -т— , -г- и -Tj- означают производные
Q, о> и М по t, взятые только через посредство элементов,
так что, например,
dt — dt +L dt J-
Другими словами, при вычислении производной первого
интеграла по времени элементы а, р, s, Qo, со0, Мо рас-
сматриваются как функции времени, координаты и время—
как постоянные, а производные по времени от х, у, z
заменяются соответствующими компонентами возмущаю-
щего ускорения.
Выведем сначала дифференциальные уравнения для
элементов а, р, s. Для этого воспользуемся тремя первыми
интегралами, которые на основании § 2.3 могут быть
*) Подробно об основной операции в случае кеплеровых эле-
ментов см. книгу М. Ф. Субботина [1].
9*

132 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
записаны в виде
= ху — ух,
D.10.12)
где Q дается формулой B.3.8).
Применяя основную операцию к интегралам D.10.12),
мы получим
D.10.13)
- r~r \xFx + yFy + (z - со) Fz] - chFz,
^E± — XF — 'uF
Подставим в эти уравнения формулы D.10.8), а затем
D.10.3), D.10.4) и D.10.6). Тогда
dt
Г У У2_Г2
s ^=в,
D.10.14)
d«3 СС3 п
dt - лг г
Но согласно § 3.18
у2_г2
rz —(z —co).r R

§ 4.10] УРАВНЕНИЯ, АНАЛОГИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯМ НЬЮТОНА 133
Поэтому
da 2a.2
dt
/то dt '
dt fm tt2 dt
~ ds_ 1—s2* /«g"dg2 _ _a|_ cfa3 \
Л /mp V 2 Л а3 Л Г
Подставляя сюда D.10.14), мы окончательно получим
следующие уравнения для элементов а, р, s:
¦?- = 2a2(rS' + V V*-r\T'),
)
2a§
dp 2c2 (z—ca) z „,
J/ F2_r2
, 2[c2(z—caOz —
is _ 1—> f c2(z —ca)z „,
.. ~ 1 = <J
* p (. r
"T
•'}¦
D.10.15)
где положено
S =
71 = fmT', В = fmB'.
D.10.16)
Заметим, что полученные уравнения являются совер-
шенно точными, ибо при их выводе никаких упрощений,
связанных с малостью с и о, не делалось.
Аналогичным образом можно вывести дифференциаль-
ные уравнения для элементов М, Q и со. Для этого нужно
взять формулы C.14.2)—C.14.5), а также"""D.10.10),
и применить к ним основную операцию. В результате

134 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
получим следующие уравнения:
dQ
dt
dw
dM
D.10.17)
dt - = Щ + CiS + C^T' -f C3B'.
Выражения для коэффициентов Ah, Bk и Ck с точ-
ностью до е2 включительно получены в работе [6]. Здесь
мы ради краткости приведем упрощенные выражения
для этих коэффициентов, сохранив в них лишь члены,
не зависящие от е:
= ]/— rsin'Bcosecr,
В уравнениях D.10.17) через ty обозначена производ-
ная i]) по входящему явно времени /.
Полученные здесь уравнения для элементов промежу-
точного движения носят самый общий характер, поскольку
они применимы для определения возмущений от произ-
вольных возмущающих сил. Следует заметить, однако,
что ими целесообразно пользоваться в тех случаях, когда
возмущающие силы не имеют силовой функции (сопротив-
ление атмосферы и др.)- В случае возмущающих сил гра-
витационной природы, по-видимому, целесообразнее вос-
пользоваться более простыми каноническими уравне-
ниями, выведенными в § 4.5, или уравнениями § 4.9.
§ 4.11. Еще одна форма дифференциальных
уравнений для элементов
Перейдем в уравнениях D.1.2) от времени t к новой
независимой переменной т согласно формуле
<Й =rJ*Ld%, D.11.1)

S 4.11] ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 135
где
/ = I» + с2тJ. D.11.2)
Тогда получим
V _ г d(K-R) Л
d?
dx\
dw
dx
T d(K-R)
J si>
j d(K — R)
T d(K — R)
dw'
dx - d%
di\' __ T d(K — R)
dw' _ j d(K
|
— R)
w ' J
j
dx ~ dw
При R = 0 уравнения D.11.3) описывают промежу-
точное движение спутника. Как было показано в § 3.17,
общее решение уравнений промежуточного движения
однозначно определяется шестью величинами:
р, е, s, и, v, Q,
где
р = а A — е2), s — sin i, D.11.4)
и = mx (т + с3), v = тп2 (т + с4), Q = тга3 (т + с6),
D.11.5)
причем т1? тп.2 и ш3 даются формулами C.17.16).
Поскольку в промежуточном движении координаты
спутника достаточно просто выражаются через р, е, s, и,
v и Q, то представляется целесообразным взять эти вели-
чины в качестве искомых при решении уравнений возму-
щенного движения.
Чтобы вывести дифференциальные уравнения для этих
элементов, нужно подставить в D.11.3) вместо
d% di] dw d%' dx\' dw'
~dT' ~lx' ~!x~' ~dT' ~5г"' ~dT~
следующие выражения:
dx dp dx ~T de d% > " " " + dQ dx '
йт) dr\ dp I 9t) de , . dr\ dQ
~dx др~ ~Ж"\~де~ ~1г"Т~' ' " ~i~~d~Q~~dT>
dw' _ dw' dp | dw' de . . dw' dQ
dx ~ dp ~dx"* ЫГ Их ' ' " " ' dQ ~d~x~'

136
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Тогда, имея в виду, что переменные ?, т), w, ?', т|', w'
удовлетворяют уравнениям
du
dw
~ыг1
тп2
dw
~dV
dl'
dw
dK
dK_
dK
дК
dw'
dw'
dw'
—
дК
получим
dp dx ' de di
dp dx ' de dx
dl 1 du
dx
= J
dw I dQ
dw dp . dw de
dw' dp . dw' de , dw' ( dQ \
dp d% ' de dx dQ \ dx 3 /
—/ —
dw
D.11.6)
так как R не зависит от ?', т|', w'.
Преобразуем систему D.11.6) к другой, более зтюбной
системе. Для этого введем скобки Лагранжа:
Зт] дц' дц' dl] \ , / dw dw' dw' dw \
1a~db ЫГ ~ЪТ)\~\~да~~дЪ да~ db )

§4.11] ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 137
и выразим производные R по |, т|, w через производные
по элементам согласно формулам
dR _ dR dl ¦ dR дц ¦ dR dw
dp ~~ dl ~dp *~~dr\ Up •" dw
de ~ d% de > dr\ de "+" dw de '
j
de
dR
_ dR d%
dl ~dQ
dR di\
dw dp '
dR dw
dw de
dR dw
Тогда, как легко видеть, уравнения D.11.6) эквивалентны
следующим уравнениям:
de
[p, Q] x
[e, Q] x
dR
[Q, p] ¦
, e]
¦[Q, Q]x
Следовательно, чтобы получить уравнения для эле-
ментов р, е, s, и, v, Q, нужно вычислить скобки Лагранжа
и разрешить систему D.11.7) относительно производных
от этих элементов.
Очевидно, нам нужно вычислить лишь 15 скобок
Лагранжа, ибо вследствие того, что
[а, а] = 0, [а, Ъ] = —[Ь, а],
из 36 скобок шесть равны нулю, а 15 скобок отличаются
от других 15 только знаком.
Сделаем теперь одно существенное упрощение. При
вычислении скобок Лагранжа мы отбросим все члены,
пропорциональные е. Тем самым в окончательных
уравнениях в коэффициентах при производных R по эле-
ментам мы будем пренебрегать членами порядка е2. Полу-
ченные таким образом уравнения будут упрощенными,

138
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
но они, как мы увидим в дальнейшем, позволят находить
все важнейшие неравенства в движении спутника.
С принятой степенью точности согласно §§ 3.2, 3.3,
3.5 и 3.17 имеем
l-\-e COS V '
I = s sin и,
I =те2 — sin у,
, ПЦ8 COS U
' ~ 1—s2sin2 и'
[Р,е]
= Q-|- Arctg(]/l — s2tgu), w'=YfmP-
все hi
форму
У ]тр и / 1 + 1
Поэтому все неравные нулю скобки Лагранжа будут
даваться формулами]
Р3
е cos v
Гр V]=
IP, ^l —
(е -f 2 cos v -\- e cos2 v),
и]— —
2р
[e,v]
__ _eYfmp_
2, [Q,e]= —
sYfmp
D.11.8)
Подставляя равенства D.11.8) в D.11.7) и разрешая
полученные уравнения относительно производных от эле-
ментов, получим
dR' т
de _ pVfmp f dR' , вЛ' ., 2, / I \2 вЛ' 1
ds __pVfmp cost
. dR'
du
рУ fmp cost / J_ \ 2 dR'
s \ p I ds '
dR'
\ D.11.9)
p У fmp cos2 i

4.11] ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 139
где
R' = -fr. D.11.10)
Введем теперь две функции F' и Ф' по формулам
?' D.11.11)
и заменим элемент р элементом а. Тогда уравнениям
D.11.9) можно придать следующий вид:
-_
de
d%
>V/mP Г dR' dR' е2)М:\
е { dv + du \l~e >^Г )>
ds _ p Vfmp cos i f . dF' dF' \
~dT~ s \C0Sl~dH 9Q"/>
dQ _ . p V/mp cos i gf
-^- — m3-\ - ^-,
dv
dx
pY fmp cos2 г flF'
s 5s
pYfmp I dR' . ЗФ
de
gu
r)-
D.11.12)
Перейдем наконец от независимой переменной т к новой
переменной v согласно последнему уравнению D.11.12).
Тогда
dv "
de p [ dR'
ди
. dF' dF'
^ — ~-w
dF'
dv
du
dv
ds
D.11.13)
где
D.11.14)

140 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
При этом переменная v связана с временем t уравнением
jft E'+cVq-i D.11.15)
dv m2 x '
в котором т2 определяется равенством C.17.16), а |х
и v формулами C.9.3) и C.7.15).
Выведем теперь уравнение для среднего движения п0.
Это уравнение легко получается, если воспользоваться
результатами § 4.1 и формулой C.18.17). Действительно,
da\
~йТ~
Поэтому
dt
и, следовательно,
q
dt = "*~ /m
Переходя в этом уравнении от независимой переменной
к т, получим
где R' определяется формулой D.11.10). Но
dR' _ OR' dR' OR'
ox die ov дай
Поэтому, если перейти от t к переменной v, окончательно
найдем
<1щ г, з/"± ///ii \ ^R' I dR' dR
~~t— -—- — О -у TTfltin \ A ~у- V) г~ *—^— -г- IX —^j=
dv ^ ou dv уь(
D.11.16)
В этом уравнении в коэффициентах при производных R'
по элементам сохранены (посредством v и (х) все члены,
пропорциональные е2.
Заметим, что в полученных уравнениях при вычисле-
dR' -
нии -^- не нужно учитывать зависимость р и v от е, ибо
именно при этих условиях были выведены уравнения
D.11.9), а следовательно, и D.11.12) и D.11.13).

§ 4.12]
СЛУЧАЙ КЕПЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
141
§ 4.12. Случай кеплеровых элементов
1. Уравнения Лагранжа. Как уже отмеча-
лось в § 3.15, при с = 0 и а = 0 элементы а, е, i, Q.o, со0
и Мо превращаются соответственно в большую полуось,
эксцентриситет, наклон, долготу узла, аргумент пери-
центра и среднюю аномалию в эпоху кеплерова эллипти-
ческого движения. Поэтому, если положить в уравне-
ниях D.9.1) е = 0, то мы получим уравнения Лагранжа
для кеплеровых оскулирующих элементов.
Поскольку при е = Oj
I = п {t — t0) + Мо, g = со„, h = Qo,
то уравнения Лагранжа можно записать в следующем виде:
Ida 2 8R )
I
'de
dt ~
di
dt
dQ0
j dt
'rfcoo
dt
rdMa
dt ~
ЮЛОЖ
na dMo '
1-е2 [dR
ena% dMo
ctgi
na2 У 1 — e2
cosec i
na2 У 1 — e2
у 1-е2 ад
erea2 de
2 ад
na da
ено
s = sin i
ут^&
ena%
dR
aco0 na:
dR
di '
ctg
па2У'.
1-е2 ад
ena2 de
, /m =
ад
d(i>0 '
cosec i
гУ 1 —
¦ i
1-е2
= тг2а3.
dR
.e2 dQ0
dR
di '
[D.12.1)
2. Уравнения Ньютона. Рассмотрим теперь
уравнения, полученные в § 4.10. Поскольку при е = 0
а —а, р=р, s = sini,
где г|) — истинная аномалия иг — радиус-вектор спутни-
ка, то уравнения D.10.17) и D.10.15) при е = 0 легко

142
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
приводятся к следующему виду:
¦ = r sin Bcosec iB*,
= р sin tyS* + р (cosif -f- cos E) 7'*,
dt
- COS I ¦
dt
(\ l/l
D.12.2)
— (f + p)sin-
Здесь В —аргумент широты, а, е, i — кеплеровы элементы и
\ А А
О# 1 О т* * rp D# * D
О -~~ О, х — J ^ Xj •—- Xj ^
У /тр У fmp У fmp
a S, T ш В — проекции возмущающего ускорения.
Уравнения D.12.2) принято называть уравнениями
Ньютона *).
3. Новая форма уравнений для кеп-
леровы х элементов. Положим теперь 8 = 0
в уравнениях D.11.13). Тогда получим следующие урав-
нения для кеплеровых элементов:
da _ 9 , I dR' , dR'
~dV~Zc
dp
dv
ди.
da
di
dv
dQ0
~dv
= p cosec i
— p cosec i
(cost
dF' Q_
dF'
du
dF' \
D.12.3)
*) Иногда их называют уравнениями Эйлера, а порой и урав-
нениями Гаусса [1].

§ 4.12] СЛУЧАЙ КЕПЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 143
Здесь v — истинная аномалия, и — аргумент широты,
„ , р / dR' . дФ'
a R', F' и Ф' выражаются через возмущающую функцию
формулами
Ф' = {-
Уравнения D.12.3) позволяют найти элементна, е, i, Qo
и и как функции возмущенной истинной аномалии и.
Связь же истинной аномалии v с временем t находится
из уравнения
dv Vjmp
Уравнения D.12.3) в некоторых случаях могут быть
более удобными по сравнению с другими формами уравне-
ний для оскулирующих элементов. Это связано с тем
обстоятельством, что координаты в кеплеровом движении
выражаются через истинную аномалию несравненно про-
ще, чем через время. Преимущество их особенно очевидно,
когда функция R не зависит явно от времени и когда нас
интересует движение при больших эксцентриситетах.
Заметим, что при вычислении производной R' по е
нужно учитывать только явную зависимость R' от е и не
нужно считаться с зависимостью р от е.
4. К а н о н~и ческие элементы кепле-
рова движения. Рассмотрим теперь канонические
элементы. Равенства D.5.10)—D.5.12) при е = 0 дают
L = Vfm~a, l = M,
D.12.4)
Я = Y fma A-е2) cos i, /i = Q0,
где a, e, i, ю0, Qo — кеплеровы элементы, М — средняя
аномалия.
Элементы D.12.4) называются элементами Делоне.
Дифференциальные уравнения для них имеют вид D.5.2),

144 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
а функция Гамильтона R' равна
где R' — возмущающая функция.
Рассмотрим, наконец, формулы D.6.2) и D.6.3). При
е = 0 элементы Сг, С2, С3, сг, с2, с3 образуют первую систе-
му канонических элементов Пуанкаре, а элементы Dk и dk
представляют собой вторую систему канонических эле-
ментов Пуанкаре.
Что касается элементов Ah и Bh, то они при 8 = 0
являются некоторой модификацией элементов Делоне.
§ 4.13. Постановка задачи о возмущениях
элементов промежуточной орбиты
Полученные в § 4.5, 4.9 и 4.10 дифференциальные урав-
нения для элементов промежуточной орбиты позволяют
довольно просто построить аналитическую теорию движе-
ния спутника со всей^ необходимой для практики точ-
ностью. Важной особенностью этих уравнений является то,
что они дают возможность уже в первом приближении
находить возмущения, обусловленные совместным влия-
нием различных возмущающих факторов и сжатия Земли.
Рассмотрим подробнее этот вопрос. Пусть у есть пара-
метр, характеризующий малость возмущающей функции R.
Тогда, подставив в частные производные R по элементам
формулы промежуточного движения, мы получим в правых
частях дифференциальных уравнений члены, пропорцио-
нальные у, уг2, Y&4 и т. д. Поскольку е2 имеет порядок 10~3,
то наиболее существенные возмущения будут получаться
в результате интегрирования членов, пропорциональ-
ных у. Что касается комбинированных возмущений, то
они будут результатом интегрирования членов, пропор-
циональных у&2, уе4 и т. д.
В ряде случаев комбинированные возмущения являются
малыми, и их далеко не всегда нужно учитывать. Поэтому
рассмотрим сначала задачу определения самых сущест-
венных возмущений. Эта задача, как мы сейчас увидим,
решается весьма просто.
Возьмем дифференциальные уравнения D.11.13), сохра-
нив в них члены, линейные относительно производных R

§ 4.13]
ЗАДАЧА О ВОЗМУЩЕНИЯХ ЭЛЕМЕНТОВ
145
по элементам. Тогда они запишутся в виде
da _ 9„2 / Ж' I dR' \
йе р Г dR' dR' ^ 2 OF' -I
<« _ р г ar ar I
dv ~ s L 5к 5й J '
pa
den
dt
~dv~
_
OF'
m2
D.13.1)
где
—— vU3 *¦) о о 111 lry U U 11 о I j
~~~]m ' ~~ \~p) '
Ф' = B -f e cos y) sin v F',
D.13.2)
a (x, v и т2 даются формулами C.9.3), C.7.15) и C.17.16).
После определения из первых пяти уравнений D.13.1)
элементов а, е, i, со и О как явных функций v шестое урав-
нение D.13.1) позволит установить зависимость v от вре-
мени t.
При R = 0 первые пять уравнений D.13.1) имеют
решение:
а = а0, е — е0
со = w 4- w0, Q =
D.13.3)
Поскольку мы сначала будем пренебрегать комбиниро-
ванными возмущениями, то в правые части уравнений
D.13.1) вместо |, r\,w можно подставить следующие упро-
щенные выражения (см. § 3.17):
D.13.4)
D.13.5)
D.13.6)
Е =
1 + е cos v'
г) = sin i sin u,
ш= Q-f- Arctg(cositgu-),
10 E. П. Аксенов

146 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ tlMI. IV
где
р = аA—е2), и=и+ы. D.13.7)
Интегрируя теперь уравнения D.13.1) при условии
D.13.3), мы найдем все важнейшие возмущения первого
порядка. Отброшенные неравенства будут примерно
в 1000 раз меньше найденных.
Очевидно, такой же метод определения самых суще-
ственных возмущений можно использовать и в случае
уравнений § 4.5, 4.9 и 4.10.
Заметим, что такая упрощенная схема определения
возмущений первого порядка хотя внешне и похожа на
схему вычисления возмущений кеплеровых элементов,
но существенно отличается от последней. Действительно,
во-первых, в случае кеплеровых элементов все величины
а, е, i, со, Q и Мо в нулевом приближении постоянны,
в то время как в нашем случае только неугловые элементы
являются постоянными, а угловые суть линейные функ-
ции независимой переменной. Во-вторых, при использо-
вании элементов промежуточной орбиты параметр у имеет
порядок 10~6 и выше, а в уравнениях для кеплеровых
элементов у ~ 10.
Что касается комбинированных неравенств, то мы рас-
смотрим их в гл. VIII на примере влияния сопротивления
атмосферы, а сейчас продолжим анализ возмущений
первого порядка.
Решение уравнений D.13.1) позволяет представить
возмущенные элементы в следующем виде:
а = ао+6а, со = со' + бсо, ^
е = ео + бе, Q = Q'+6Q, I D.13.8)
i = io-\-8i, v = v'-f-6у, J
где а0, е0, i0, со', Q', и у' — элементы в промежуточном
движении, а ба, бе, . . ., 8и — возмущения первого порядка.
Зная возмущения этих элементов, можно найти возмуще-
ния других величин, описывающих движение спутника.
Как следует из § ЗЛО, прямоугольные координаты х, у, ъ
легко находятся, если известны а, е, i, Q, г|з и В. Но с при-
нятой точностью из C.17.7), C.17.8) и C.17.13) мы имеем
6Q = 6Q, 6$ = 6у, 69 = bv + Sco, D.13.9)

§ 4.14] ЗАМЕЧАНИЯ 147
так что
ip = \|/ + 8у, Q = U' + Ш, 9 = 9' + &v + бсо,
D.13.10)
где г|/, &' и 9' суть \|э, Й и 9 в промежуточном движении.
Вместо возмущения &v или б\|э можно рассматривать
возмущение ЬМ элемента М, входящего в уравнения, свя-
зывающие г|з с временем t. Его можно найти из формулы
Ц^^бМ+^Ье, D.13.11)
где
Равенства D.13.11) и D.13.12) выводятся из C.8.1)
и C.8.3), если в них отбросить члены, пропорциональ-
ные е2.
Далее, если потребуются возмущения элементов I, g, h,
то, как легко видеть, они соответственно равны ЬМ, бсо
и 5Q, так что возмущенные значения J, g, h определятся
по формулам
I = „ (t - t0) + l0 + ЬМ,
g = п' {t — t0) + go + 6©,
Л = «" (t - t0) + ho+ 6Q,
где тг, тг' и га" — значения средних движений в промежу-
точной орбите.
§ 4.14. Замечания
Канонические уравнения были выведены в работе
автора 17]. По-видимому, они являются наиболее удобными
для аналитических исследований. Эти уравнения были
использованы С. Н. Вашковьяк для построения теории
движения спутников Марса и JI. П. Насоновой для вычис-
ления вековых возмущений третьего порядка в движении
спутника.
Уравнения, аналогичные уравнениям Лагранжа, были
получены Е. И. Тимошковой L81, а уравнения, подобные
уравнениям Ньютона, выведены в работе Б. Н. Носкова
10*

148 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
и автора [6]. Эти уравнения имеют ту же точность, что
и канонические уравнения. Они были использованы
Б. Н. Носковым и автором для определения возмущений
спутника, вызываемых совместным влиянием сопротивле-
ния атмосферы и сжатия Земли *).
Уравнения § 4.11 были получены в работе автора [9].
Эти уравнения упрощенные, однако они позволяют до-
вольно легко найти все важнейшие неравенства в движе-
нии спутника. Они будут использованы нами для определе-
ния возмущений от зональных, тессеральных и сектори-
алышх гармоник геопотенциала, а также лунно-солнеч-
ных возмущений.
*) См. гл. VIII.

ГЛАВА V
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
§ 5.1. Возмущающая функция
В этой главе мы рассмотрим возмущения элементов ор-
биты спутника, обусловленные зональными гармониками
потенциала притяжения Земли. Согласно A.12.2) возмуща-
ющая функция, соответствующая этим членам потенциала,
имеет вид
(^) E.1.1)
где / — постоянная притяжения, тяг, — масса и средний
экваториальный радиус Земли, 7" и <р —• геоцентрические
радиус-вектор и широта спутника, jn — безразмерные
коэффициенты, определяемые формулой A.12.3).
Как уже отмечалось в § 1.8, коэффициенты /п очень
медленно убывают с возрастанием порядка гармоники,
и мы в настоящее время не знаем, сколько членов ряда
E.1.1) нужно учитывать при построении точной теории
движения спутника. Следовательно, задача должна ста-
виться таким образом, чтобы найти общие формулы, по
которым можно было бы вычислять возмущения от любо-
го числа гармоник.
Поскольку величины /п имеют порядок 10~6 и выше,
то при выводе формул для возмущений мы будем отбрасы-
вать члены, пропорциональные ]п-&г. Поэтому в выраже-
ниях для г и sin<p, которые нужно подставить в формулу
E.1.1), мы будем пренебрегать членами, пропорциональ-
ными е2. Тогда согласно D.13.4) и D.13.5) будем иметь
sin(p = T) = sin г sin u. E.1.3)
В дальнейшем оказывается удобным вместо постоян-
ной соо ввести постоянную

150 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Если положить далее
то
Поэтому
sin ф = sin icosu*. E.1.4)
Подставляя E.1.2) и E.1.4) в формулу E.1.1), найдем
О. E.1.5)
" п=4 ' Г
где s = sin i.
Поскольку для определения возмущений мы будем
пользоваться уравнениями D.13.1), нам нужно найти так-
же разложения для функций В!, F' и Ф', определяемых
формулами D.13.2). Они имеют следующий вид:
' = T 2 Jn(f)n(i + ecosvr^Pn(scosu% E.1.6)
n=k
оо
' = T 2 ]п(^)П(i + ecosv)n-1 Pn(scosu*), E.1.7)
2
n=4
X sinvPn (scosu*). E.1.8)
Рассмотрим подробнее полученные выражения. Очевид-
но, функция R' может быть представлена в виде следую-
щего ряда:
i E-1.9)
2
ft, i
коэффициенты которого зависят от р, е и s. Аналогичный
вид будут иметь и функции F' и Ф', только Ф' будет содер-
жать вместо косинусов синусы.
Напомним, что те члены в E.1.9), для которых к — j —
= 0, называются вековыми членами. Они вызывают вековые

5 5.1] ВОЗМУЩАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ 151
возмущения. Члены, для которых к = — / Ф 0 и к Ф — /,
называются соответственно долгопериодическими и корот-
копериодическими. При интегрировании долгопериодиче-
ских членов в возмущениях появятся малые знаменатели
вида kv, где А; — целое число, a v — величина порядка г2.
Интегрирование короткопериодических членов не приве-
дет к малым знаменателям, и амплитуды таких возмуще-
ний будут пропорциональны /„.
В дальнейшем мы будем пренебрегать короткопериоди-
ческими возмущениями. Таким образом, все упрощения,
которые были здесь сделаны, позволяют нам получить ве-
ковые возмущения с точностью до 84, а периодические —
до 82 включительно.
Введем теперь в рассмотрение коэффициенты М^> (е)
и L<?) (s) согласно формулам
2я
">(е) = 17Г J (! + ec°si;)ncosfe;dj;. E.1.10)
о
2Я
<f)(s) = -ir j Pn (s cos и*) cos ku*du*. E.1.11)
Тогда, если в E.1.6) отбросить короткопериодические чле-
ны, то, как легко видеть, для функции R' будем иметь
следующее разложение:
V = —^Rhcosk{u* — v), E.1.12)
ft=O
где
(f) E.1.13)
п=4
E.1.14)
n=4 ' e

152 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Аналогичным образом находим
оо
F'=—^Fhcosk(u*-v), E.1.15)
Р й=о
оо
Ф'=—2 ф*sinfc(u« —v), E.1.16)
где
зМГ^--1^0'1 EЛЛ7)
п=4
E-1.18)
n=4 '
причем
2л
iVLft) (e) = -5— \ A+ecosi;)nB-i-ecosy) siny sinfoiiy.
0
E.1.20)
Методика вычисления коэффициентов М&> (ё), N^ (e)
и L^) (s) будет рассмотрена в следующих параграфах.
§ 5.2. Коэффициенты Mlfe)(e)
Рассмотрим функцию М^ (е), определяемую формулой
2Л
V = -^ j (l + ecosy)"cos tody. E.2.1)
j
0
Очевидно, при положительном п функция М&~> (е) является
многочленом относительно е. При четном к степень этого
многочлена равна п, если п четно, и п — 1, если п нечет-
но. При нечетном к степень М^ (е) будет равна п или п — 1,
смотря по тому, четно или нечетно п — 1. Легко видеть
также, что многочлен ?*) (е) имеет порядок eh. Из форму-

5 5.2] КОЭФФИЦИЕНТЫ М W (e) 153
лы E.2.1) следует, что
, E.2.2)
^А)(-в) = (-!)* ^nW(e)- E-2.3)
Выведем рекуррентные соотношения, связывающие М<*>
соседних индексов. Для этого применим сначала к инте-
гралу E.2.1) операцию интегрирования по частям. Тогда
получим
2л
J A + е cos у)" sin v sin to *;, E.2.4)
о
или
2я
(l + ^l^—l)y —cos
E.2.5)
Следовательно,
g E.2.6)
С другой стороны, из E.2.1) имеем
2л
^ = 2^- f A + е cos p)" cos kv dv +
о
2я
-$— \ (i + ecosvO1'1 cosv cos kvdv, E.2.7)
или
М^ = M^h\ 4- — \Mt'h~P -\- Af'ft+1'l E 2 8}
Приравнивая правые части формул E.2.6) и E.2.8)
и заменяя затем п — 1 на п, найдем
. E.2.9)
Полученная формула позволяет вычислять M^-+i\ если
известны Mf> и ^h

154 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Выведем теперь формулу, связывающую М$*> с одинако-
выми верхними индексами. С этой целью применим к пос-
леднему интегралу E.2.7) операцию интегрирования по
частям. Тогда
2л
М^ = M$l i + ^~ j A + е cos v)n~2 e2 sin2 v cos kv dv +
о
2л
ah. .*
+ ~ (l-T-ecosyJ^sinysinbdi;. E.2.10)
о
Разбивая первый интеграл в E.2.10) на три слагаемых (для
чего используются известные формулы замены произведе-
ний тригонометрических функций соответствующими сум-
мами) и учитывая E.2.4), найдем
^U. E.2.11)
Эта формула дает возможность вычислить М^\ если извест-
ны М?\ и A/W .
Перейдем к выводу формул для производной М^) по е.
Дифференцируя E.2.1) по е, получим
i_=J!- j (l + eCosi;)n-1cosi;cosAa;di7. E.2.12)
= j
о
Если разбить интеграл E.2.12) на сумму двух интегралов,
то найдем
^ E.2.13)
Можно получить и другую формулу для производной
MW по е. Согласно E.2.8)
. E.2.14)
Поэтому
i^-^Mf-Mfd. E.2.15)
Из равенств E.2.15) и E.2.11) легко вывести дифферен-
циальное уравнение, которому удовлетворяет функция М<*>

§ 5.3] КОЭФФИЦИЕНТЫ nW (e) 155
Оно имеет вид
de2
Рассмотрим один частный случай. Пусть п = к. Тогда
из E.2.1) находим
2я
2я J
о
Но
\ cosft v cos kvdv — — .
о
Следовательно,
мЧ^(р\ — ( — \ (Ч 9 171
Кроме того, из E.2.2) имеем
Mgli s 0. E.2.18)
Таким образом, для вычисления таблицы коэффициен-
тов М^) можно воспользоваться следующей схемой.
Формулой E.2.17) задаем элементы главной диагонали
Мъ^ (ё), затем согласно E.2.18) приписываем в каждой стро-
ке слева от этого элемента нуль, а потом по формуле
E.2.11) последовательно вычисляем элементы строки
и т. д.
Явные выражения для некоторых М^~> приведены в При-
ложении. Общие формулы для MW будут получены в §6.6.
§ 5.3. Коэффициенты 2V»fc)(e)
На основании формулы E.1.20) имеем
2л
! — ¦?— \ A + е cos v)n sin v sin kv dv-\-
o
2л
1 (*
-}-—\ A + e cos у)" sin i;sin kvdv.

156 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Разбивая каждый из этих интегралов на два, как это сде-
лано в § 5.2, получим
tli=~ [ {l + ecosv)ncos{k—l)vdv —
о
2л
— -г— \ A + e cos y)n cos (ft-f i)vdv-\-
'0
2л
1 P
-f--7— \ A + e cos i;)™ cos (k—:
1 in J v ' v
о
2я
_^_ f
о
или, согласно E.2.1),
m^lMZ-V-M^ + AftlP-AftXh: E-3.1)
При помощи E.2.6) отсюда находим
] E-3.2)
Эта формула позволяет вычислять iVW, если известны М^
и М(*'г
Выведем еще одно соотношение, которое нам потре-
буется в будущем. Из E.2.15) имеем
E.3.3)
Вычитая из E.3.3) равенство E.3.2), умноженное на к,
получим
п J-

5.4] КОЭФФИЦИЕНТЫ L^ (s) 157
Если отсюда исключить М^+\, а затем и М(^ (е) при
помощи формулы E.2.11), то найдем
Но согласно E.2.15)
n-i м№) _м№) ^2t
Поэтому
¦2n —l)M?2i. E.3.4)
Это и есть то соотношение, которое нам нужно было уста-
новить.
§ 5.4. Коэффициенты L\t\s)
Рассмотрим функцию L^ (s), определяемую равенством
L{^{s) = -^ [ Pn{s cos и) cos kudu, E.4.1)
о
где O^s^l, а п и /с — целые числа.
Положим в формуле
Рп (cos 0 cos 6' + sine sin 6' cos if) = Pn (cos 9) Pn (cos 9') +
n
2 S -ёхш-p(*(cos e) p"} (cos 0/) cos **•
которая выражает собой теорему сложения для полиномов
Лежандра (см. § 1.3),
Тогда получим
Рп (s cos и) =
п
= Р, @) Р„ (а) + 2 2 |g|| PF @) ^й) (а) cos ku, E.4.2)

158 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
где
s = sini, a = cose.
Умножая обе части E.4.2) на cos kudu и интегрируя
в пределах от 0 до 2я, найдем
\ Рп (s cos и) cos ku du = 0,
о
если к^>п, и
2л
^ j Рп (s cos и) cos ku du = ^Щ- Р™ @) Р™ (а),
о
если k^ln. Следовательно,
E.4.3)
Формула E.4.3) выражает Lffl (sin i) через присоединен-
ную функцию Лежандра от cos i.
Принимая во внимание известное свойство полиномов
Лежандра
Рп(-а) =(-1)»Рп(а)
и формулу A.3.1)
1кР{) E.4.4)
Р%\а) Aа) ,
можно показать, что
i>22nA+1)@)^0, РЧ^(О)^О. E.4.5)
Следовательно,
L™ (*) = 0,
когда и. -f- /с нечетно.
Перейдем к выводу рекуррентных соотношений, связы-
вающих функции LW различных индексов. Согласно A.2.4)
и A.2.6) имеем
(п+1)Рп+1(е)-Bга +1)вР„(в) +ггРп_1F)=0, E.4.6)
в)=Р;+1(в)-П.1(в). E.4.7)
Полагая в E.4.6) 9=s cos и, а затем умножая на cos kudu
и интегрируя в пределах от 0 до 2л, мы на основании

§ 5.4] КОЭФФИЦИЕНТЫ L^ (s) 159
E.4.1) получим
)
0
или
s \ Pn (s cos u) cos ku cos u <
0
^ )}. E.4.8)
Далее из формулы E.4.7) при 0 = scosu, находим
— s Bп -f-1) Рп (s cos w) sin u =
= —sP'n+i (scosu) sinu + sP^_i (scosu)sinu.
Ho
r>> / \ ¦ dPn (s cos u)
— sPn(scosu)sin u = —5-i^ ^-.
Поэтому
— s B«-f-1) sin uPn (s cos u) =
_ dPn+i (s cos ц) dP,,^ (s cos к) /549ч
du du ¦ \ • • )
Умножим обе части E.4.9) на sin kudu и проинтегриру-
ем в пределах от 0 до 2л. Тогда, если интеграл от правой
части взять по частям, получим
= ft [4*1! (*)-Lj« !(*)]. E.4.10)
Разрешая уравнения E.4.8) и E.4.10) относительно
-D и />№+1>, найдем
^i + («-*)^n-i. E.4.11)
^ji +(n + k) 4*2 i. E.4.12)
Заменим в формуле E.4.12) /с на ft—1, а в формуле
E.4.11) п на п—1, а затем на n~\-i. Тогда будем иметь
)L^\ E.4.13)
s Bга-1) 4*-""i1) = (п + ft) 4S> + (га-ft-1) 42, E.4.14)
Lft). E-4.15)

160 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Если теперь из уравнений E.4.13)—E.4.15) исключить
L^.-1) и ^4-Г1'' то мы найдем следующую рекуррентную
формулу:
п-1Г-ЩЬ%12 = 0, E.4.16)
которая связывает три последовательные функции с од-
ним и тем же верхним индексом.
Выведем вторую рекуррентную формулу. Для этого
разрешим уравнения E.4.8) и E.4.10) относительно
Тогда
E.4.17)
Заменяя в E.4.17) п на п — 1, а в E.4.18) к на к — 1,
а затем на к +1, будем иметь
1 (к - п +1) Ь№1) = кЬ%\ E.4.19)
k (nk), E.4.20)
l l . E.4.21)
Исключая отсюда L^lP и L^-i\ получим
}^ 0. E.4.22)
Формула E.4.22), таким образом, связывает три сосед-
ние функции с одним и тем же нижним индексом.
Выведем теперь формулу для производной Z4ft) п0 s-
Из равенства E.4.1) имеем
dL^ i f
——=y~ I P'n{s cos и) cos и cos kudu. E.4.23)

§ 5.4] КОЭФФИЦИЕНТЫ !,(*) (s) 161
Заменяя здесь п на п -f 2 и вычитая из полученной фор-
мулы равенство E.4.23), найдем
(Рп+2 — Р'п) cos и cos kudu.
о
Но согласно E.4.7)
Р'п+
Поэтому
2. + 3 Т
1
—j1 з
или
dLn+2 dLn} _2re + 3 rrlft-1)
— л 5Г"-~2~[Ьп+1
Используя равенства, полученные из E.4.17) и E.4.18)
заменой п на п +1, мы вместо E.4.24) будем иметь
^— =7^ + ' -Ln+2+( и+1) Ьп J. [ЪА.2.0)
Заменяя здесь п на п — 2, получим
dLn dLi-2 _ 1 rr?i-(ft) ¦ /
\пЬ +(
Продифференцируем E.4.16) no s. Тогда
= 2sBn— 1) Bn+1) B^ + 3) Z4fe). E.4.27)
Исключая из уравнений E.4.25) —E.4.27) величины
11 Е. П. Аксенов

162 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
будем иметь
(\-S2)Bn+3)
^^
Если отсюда при помощи E.4.16) исключить Ln'+2,
то получим
B„ _ 1) s A - s2) ^- - [(п-1J -Щ L™ а +
«(«-l)(l-s2)]Lf. E.4.29)
Исходя из равенств E.4.28) и E.4.16), легко получить
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
функция LW. Оно имеет следующий вид:
= 0. E.4.30)
Итак, рекуррентные формулы E.4.16), E.4.22) и E.4.28),
E.4.29) позволяют вычислить любое количество функций
LW и их первых производных, если известны, например,
r@) TW И2) тB)
Однако, по-видимому, более удобно пользоваться одной
рекуррентной формулой, скажем, формулой E.4.16), зада-
вая две соседние функции Ь^-г и Ь^. С этой целью найдем,
во-первых, явное выражение для Z4ft) и покажем, во-вторых,
что при любом к формула E.4.16) остается справедливой,
если считать Ь^-г = 0.
При помощи формулы A.2.3)
| а 2Bи_1) « + . • • J

§ 5.4] КОЭФФИЦИЕНТЫ !,№ (s) 163
и формулы E.4.4) находим
Pik) (а) = 1 ¦ 3 • 5 ... {2к-1) A -а2)*72,
(а) =1-3-5--2B*+1) [B*+ 3)а»-1] A -a2f2.
Положим в этих равенствах а2 = 1 — s2 и воспользу-
емся уравнением E.4.3). Тогда
E.4.32)
Если в формуле E.4.16) положить п = к и L(ftfe22 = 0, то
при помощи E.4.31) и E.4.32) мы легко убедимся в том,
что E.4.16) превращается в тождество.
Таким образом, для вычисления функций L<?> можно
пользоваться только формулой E.4.16), принимая за
исходные данные
r№) a r(fe)_ 1-3-5 ... Bft —1) ft ,r / ооч
Lft_2==U, Lk - 2-4-6 ...Bft) S * C-4-^)
Другими словами, мы задаем второй формулой E.4.33)
элементы главной диагоналии приписываем в каждой стро-
ке слева от этих элементов нули, а затем по формуле E.4.16)
вычисляем последовательно Lfe+2, ^4+4 и т. д.
Отметим в заключение некоторые свойства коэффици-
ентов Z/W (s). Очевидно, Ь^ является многочленом ге-й
степени относительно s, причем наинизшая степень s в этом
многочлене равна к. Если п ~\-к нечетно, то все LW (s)
тождественно равны нулю. Далее мы имеем
Lf'WaO, к>п, E.4.34)
. E.4.35)
Явные выражения для некоторых Щр (s) приведены
в Приложении. Общие выражения для L^~> будут получе-
ны в § 6.5.
11»

164 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
§ 5.5. Выражения для R', И", Ф'
Пусть
ш* = u* — v. E.5.1)
Тогда из формул E.1.12), E.1.15) и E.1.16) имеем
оо
pR' = Д„ + 2 Rk cos Ы*, E.5.2)
оо
pF' = Fo + 2 ^fe cos &ш*, E.5.3)
00
' = 2 Ofe sin Am*. E.5.4)
ftl
Принимая во внимание E.4.34) и тот факт, что L&) (s) —
= 0 при нечетном п -\-к, мы при помощи E.1.13), E.1.14)
и E.1.17)—E.1.19) находим следующие формулы для
коэффициентов Ro, Fo, Rh, Fh, Фк:
2 ^«V E.5.5)
п=2
^о=2 T.nM^.iLg?, E.5.6)
п=2
^2т = 2 2 ^пМп+^ЙГ*', E.5.7)
п—т
^2m-2 2 V.nMi")iLi2nm), E.5.8)
n=m+i
Ф2т= -2 2 72яМ2птЛь22„т), E.5.9)
= 2 2 72пнМ22птД1>42Л.Г), E.5.10)
Bт+1)тBт+1)
Й Ь21
ZJ Тгп+ + @.0.11)
гг=т+1
Ф2т+1= -2 2 Ъп+М2-1^^1', E.5.12)

§ 5.6]
ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИИ V
165
где
Мт)
E.5.13)
Из этих формул следует, что вековые части функций R' и F'
обусловлены только четными зональными гармониками,
члены с четными к происходят от гармоник четного поряд-
ка, а члены с нечетными к — от нечетных гармоник.
Заметим также, что коэффициенты Ru и Fk пропорцио-
нальны eV\ а коэффициенты Фь пропорциональны ек~1^.
Это обстоятельство важно иметь в виду в тех случаях,
когда величины е и s малы.
§ 5.6. Элементы как функции v
Так как F' не зависит от Q и
dR' ,dR' _n
то уравнения D.13.1) в нашем случае приобретают следую-
щий вид:
de_
dv
ds
dv
p(l-e9-) dF'
е дш*'
— s2) dF'
pa dF'
d@* _ v pk2 dF' I p IdR' I дф' \
dv ~ s ds ' e \ de "T" 5<n* / > J
где со* дается формулой E.5.1).
Из первого уравнения E.6.1) следует
а — а0,
E.6.1)
E.6.2)
где а0 — постоянная. Таким образом, элемент а не имеет
не только вековых, но и долгопериодических возмущений
первого порядка.

166
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
[ГЛ. V
Подставим в уравнения E.6.1) вместо R', F' и Ф' их
выражения из E.5.2)—E.5.4). Тогда
de 1 — e
dv e
ds _ __1
dv ~
2 kFk sin ka>*,
ft=i
2 kFh sin Ы*,
s ds * s
ds
k=i
a? dF0 . 1 dR0 ¦
E.6.3)
"diT
J
Будем решать эти уравнения методом последователь-
ных приближений. За нулевое приближение возьмем
упрощенное решение, которое получается, если в правых
частях E.6.3) отбросить периодические члены. Оно имеет
вид
= е
0,
где e0, s0, Qo и со* — постоянные,
\i' = \i -\- A\i, v' = v -\- Av,
E.6.4)
E.6.5)
причем \к = \к (а0, е0, s0) и v = v (а0, е0, s0) определяются
формулами промежуточного движения, a Ajx hAv даются
равенствами
E.6.6)
Подставим теперь формулы E.6.2) и E.6.4) в первые
два уравнения E.6.3). Тогда после интегрирования найдем
E-6.7)

§ 5.6] ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИИ v
где
oo ^
6e = — l-^-У Fh cos kg',
v'e0 ^J « б »
oofe=1 > E-6.8)
причем
g' = v'v + «>t E.6.9)
Перейдем к решению третьего уравнения E.6.3). Под-
ставим в правую часть этого уравнения формулы E.6.2)
и E.6.7). Тогда с принятой точностью будем иметь
j=v,+Ebe + ?-&, + 2Ly. ?± cos kg'. E.6.10)
dv r ' де0 ds0 ' s0 ?-1 ds0 ь \ i
ft=l
Из формулы C.9.3) с точностью до е2 включительно
находим
дц __ 6е§еоа0 д\х _
е0
—«о
ds0 ~ а0
Подставляя эти выражения и формулы E.6.8) в уравне-
ние E.6.10), а затем интегрируя, мы можем представить
Q в следующем виде:
Q = yjv -|-Q0 +6Q, E.6.11)
где
oo
= ~т—f-гг У, т-^ftSinftff -f-
OO
-г- /i w^sinff?. E.0.12)
fe=i
Здесь мы воспользовались для v' упрощенным выражением
что не противоречит принятой точности.

168 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Аналогичным образом решается и последнее уравне-
ние E.6.3). В результате будем иметь
о* = v'y +ш* +5Ш1 E.6.13)
где б&) можно представить в виде
оо
6co=-a06Q-A2 ±Fksmkg' +
E-6Л4)
В заключение заметим, что входящие в выражения
E.6.6), E.6.8), E.6.12) и E.6.14) коэффициенты Rk, Fh
и Ф^ вычисляются по формулам E.5.5)—E.5.12), в которых
а, е, s должны быть заменены соответственно на ай, е0, sQ.
§ 5.7. Соотношение между * и v
Согласно D.11.14) и D.11.15) время t связано с пере-
менной v уравнением
dt 6»+су (,. р /dJf ,'дФ'
+1 +
у (,. р /dJf ,'дФ' \\
где т2 определяется формулой C.17.16), а | и г| — сферо-
идальные координаты спутника.
Полагая
та2 По '
где п0 выражается через а, е, s формулой C.8.7), а / есть
функция элементов орбиты и переменных и* и v, мы при-
ведем уравнение E.7.1) к виду
dR> 1 дф>
Вычисления показывают, что
причем О (е2) не содержит свободного члена и долгопери-
одических членов, пропорциональных е2.

§ 5.7] СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ( И v 169
Чтобы проинтегрировать уравнение E.7.2), нам необ-
ходимо в первое слагаемое правой части ввести возмуще-
ния элементов е и пй. Поэтому будем иметь
ut _ Jo . /р Pq / dR' _.дФ' \ . 6J0 бе /0 6ге0
E.7.4)
где /0 и wJ,0) определяются формулами промежуточного
движения, в которых элементы а, е, s заменены соответ-
ственно на а0, е0, s0.
Поскольку в промежуточном движении время t связано
с v уравнением
dt Jq /к i с\
~Т~ = ~йт ¦> E.7.5)
то, полагая
t — to= { -j^-dv + St, E.7.6)
мы вместо E.7.4) будем иметь
^+|)+ве/в^. E.7.7)
1 де I ди* } ' де0 ° rej,0» v y
Найдем теперь возмущение 6м0. Так как R' не зависит
от Q, то уравнение D.11.16) в нашем случае запишется
в виде
OR' ,. , ч ЗЛ' 1
— +(l + v)~}.
Интегрируя это уравнение и замечая, что без потери
точности можно принять
мы получим
-^р-=-За0Л' + ЗаоС1, E.7.8)
где сх — постоянная интегрирования.
При помощи легко проверяемого равенства
00 ' ° е0 део< е0 де0 е0 v °' Зе0
и формулы E.7.8) уравнение E.7.7) приводится к виду

170 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Преобразуем полученное уравнение. Для этого введем
функцию
= \ —zdv= —- ,, , —п1 E.7.10)
J de0 (l + e0cosi;J v '
И ПОЛОЖИМ
у" . Г doe Pq OJq rif . Pq j Оф ,r rj л л\
dv e0 deo e0 ди* x '
Тогда E.7.9) примет вид
d (n^bt)
dv
E.7.12)
Покансем, наконец, что в уравнении E.7.12) величи-
ной X можно пренебречь. Подставляя в E.7.11) второе
уравнение E.6.1) и заменяя •— на -г- , мы найдем
ди* ' dv
где члены выше второго порядка малости опущены. Так
как L не зависит от и*, можно написать
Ро ( d(LR') , d(LR')
р0 ( d(LR') . d(LR') \
е0 \ dv "T" ди* J '
ИЛИ
а это равенство показывает, что среди членов второго по-
рядка X содержит только короткопериодические члены,
которые при интегрировании уравнения E.7.12) дадут
члены второго порядка, а этими членами мы пренеб-
регаем.
Выберем теперь постоянную сг так, чтобы свободный
член в правой части E.7.12) был равен нулю. Тогда
с - У~е2о)Ш dFo
1 ЗйОео де0 '
где Fo дается формулой E.5.6).
Отбрасывая в E.7.12) короткопериодические члены
второго порядка, мы приходим окончательно к следующе-

§ 5.8] ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА М 171
му уравнению:
где
оо
р=— 2 Fhcosku>*, E.7.14)
Р
h=l
причем Ffe определяются равенствами E.5.8) и E.5.11).
Интегрируя E.7.13) и подставляя полученный резуль-
тат в равенство E.7.6), будем иметь
f (t - to) + Мо = Wo (v) + Ро A ~ j |^ ^ +
E.7.15)
nf (t - to) + Мо = Wo (v) +
где
?„(!>)= j/0<fo, E.7.16)
а Л/о — произвольная постоянная.
§ 5.8. Возмущения элемента М
Пусть v' есть v в промежуточном движении. Тогда на
основании E.7.15) у' будет удовлетворять уравнению
<4t-tQ) +М0 =?0И, E.8.1)
где Wo (г/) определяется формулой E.7.16).
Обозначим далее через 8у возмущение переменной v,
т. е. положим
v = г/ + 6у.
Тогда из уравнения E.7.15) следует
= ул {v>) + glo 8р + Ш + р° <*~е°>3/2 f J^ d^. E.8.2)
Но согласно E.7.3) и E.7.16)

172 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Поэтому
Подставляя сюда вместо L и F их выражения из E.7.10)
и E.7.14), мы окончательно получаем
_A + еосо5,Т у 1 ^sinw.
y'e0 ZJ к де0 6
B-Иоcousin»'
1 — el 0
E.8.4)
Уравнение E.8.4) дает возможность легко вывести
формулу для возмущения элемента М. Действительно, так
как в промежуточном движении переменные i[) и у, как
это следует из C.17.8), отличаются друг от друга перио-
дическими членами порядка 82, a 6i]> = 8i>, то в E.8.4)
можно заменить v' на if. Тогда, используя равенства
D.13.11) и D.13.12), находим
3/2 4- ?*sin ^'- <5-8-5)
, 2 4
v'e0 ^-1 А;
fe=l
Здесь Ffe даются равенствами E.5.8) и E.5.11).
§ 5.9. Сводка формул для возмущений
Приведем окончательные формулы для возмущений
элементов промежуточной орбиты. Поскольу v отличается
от \р только периодическими членами порядка е2 и 6s =
= ao6i, то с принятой точностью мы можем представить
формулы E.6.2), E.6.7), E.6.11) и E.5.13) в следующем
виде:
]
Q == ^.'гр + Qo + 6Q, > E.9.1)
ft» = v'tJj -f- щ + б&). J
Здесь a0, e0, iQ, Mo, Qo и &H — постоянные, бе, 6i, 8M,
6Q и 8@ — периодические возмущения; величины \i' и v'
даются формулами
р.' = р, + A^i, v' = v + Av,

§ 5.9 СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 1?3
где Ар, и Av — коэффициенты вековых неравенств, a [i, v
и п'00) определяются по формулам промежуточного движе-
ния, в которых а, е и i заменены соответственно на а0,
е0 и i0.
Согласно E.6.6) и E.5.6), E.5.5) для коэффициентов
вековых неравенств мы имеем следующие формулы:
где
00
Со= У
п=2
?0 = 2 'YjnMn-i-sp-, E.9.4)
n=2
причем
7k = 7fc(—)*• E-9.5)
Заметим, что в этих, а также в последующих формулах
величины MJW и Z/j*> и производные от них должны быть
вычислены при е = е0 и s = s0.
Приведем теперь формулы для периодических возмуще-
ний. На основании § 5.6 и 5.5 они имеют следующий вид:
00
6е= — -Ц^-2 akwskg', E.9.6)
00
g', E.9.7)
hsinkg', E.9.8)
v soD —5sg)
ft=l
00
6co= -ao6Q + ф- 2 cft sin kg', E.9.9)
¦2 dfesinfcg', E.9.10)
fe=i

174 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
где коэффициенты ak, bfe, ch, du в случае четных индексов
определяются формулами
оо
a2m = ^ ^j ^гп^гп-^гп , (о.У.11)
-^ 2 ЪпМЧ^},В.^\ E.9.12)
n=m+i
= ¦^-2 V2n4nmWn^)b E.9.13)
E.9.14)
n=m+J
"V ., rBm)"JH2n-l
n=m+l
а в случае нечетных индексов — формулами
E.9.15)
n=m+2
'Y27i+l-'« 2n -n+l ) (О.УЛЬ)
n=m+2
E.9.17)
S W^+r)d-^, E.9.18)
n=m+2
причем, если принять во внимание E.3.4), то
E.9.19)
-3)M^. E.9.20)
Переменная g' определяется формулой E.6.9). Заме-
няя в ней v на i|), будем иметь
J, E.9.21)

§ 5.10 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ГАРМОНИКИ m-ГО ПОРЯДКА
175
где
cog = coo-|-. E.9.22)
Но так как г|> отличается от
М' = п (* - tQ) + Мо
лишь периодическими членами, то без потери точности
можем считать, что
g- =n' (t - t0) + g'o, E.9.23)
где
Таким образом, полученные в этом параграфе форму-
лы позволяют вычислять долгопериодические возмущения
без предварительного вычисления v или г|>.
§ 5.10. Возмущения
от гармоники m-го порядка
В предыдущем параграфе были приведены формулы,
которые дают возмущения от всех зональных гармоник.
Однако полезно также иметь формулы, дающие возмуще-
ния от одной гармоники произвольного порядка т.
Рассмотрим сначала случай четной гармоники
(т = 2га). Тогда из формул § 5.9 легко находим:
п-1 -,
бе = - -Э^л. A _el) 2 2M(in}-Ak)cos2kg',
h=l
n-l
— V2n
-S"! 1 ,,Bft) pBh
7? 2l TM2n-iR*n
2kg',
fe=i
h=l
E.10.1)

176
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
При нечетном т будем иметь
X 2
fe=0
-V^--
cos Bk+ l)g',
V So 4 — OSfi
n-1
Xv 2
-J 2A + 1 %n
fe=0
fe=0
sin Bfc +1) *',
ft=0
E.10.2)
Коэффициенты Av и Ар- при вековых возмущениях
элементов со и Q, вызываемых гармоникой порядка 2п,
будут определяться формулами
г
L
2п+1
Изформул E.9.2)—E.9.4) следует, что гармоники нечет-
ного порядка не вызывают вековых возмущений.
§ 5.11. Влияние третьей гармоники
В полученных выше формулах для возмущений элемен-
тов отсутствуют члены, обусловленные третьей гармони-
кой геопотенциала, поскольку ее влияние учитывается

§ 5.11]
ВЛИЯНИЕ ТРЕТЬЕЙ ГАРМОНИКИ
177
(посредством параметра а) формулами промежуточного
движения.
Рассмотрим, однако, симметричную промежуточную
орбиту, которая получается из несимметричной при о = 0.
В этом случае промежуточный потенциал будет содержать
только четные гармоники, а возмущающая функция R
помимо членов, даваемых формулой E.1.1), будет включать
в себя третью гармонику. Явные выражения для возму-
щений элементов симметричной орбиты можно получить из
общих формул E.10.2). Они оказываются такими:
бе=т ^М1 - е2>s D - 5s2>cos ?''
Ы = - -| -21
D —5s2) cosg',
-D —5s2) sing',
6@= — a8Q—-Q-——s D —5s2) sin g',
8Q= -4--^-
о V
m=i^
s D - 5s2) sin g',
E.11.1)
где
E.11.2)
Здесь значок «О» у величин е, s, а опущен.
Таким образом, влияние третьей гармоники можно
учесть двумя способами: либо посредством промежуточ-
ной орбиты (тогда возмущения элементов не будут содер-
жать членов с /3) либо посредством возмущений элементов
(тогда в формулах промежуточной орбиты нужно поло-
жить о = 0).
Заметим, что хотя формулы E.11.1) и E.11.2) могут
быть полезны в некоторых случаях, первый способ явля-
ется более точным. Действительно, промежуточная орбита
учитывает все члены до второго порядка включительно,
а формулы E.11.1)— только члены первого порядка ма-
лости.
В заключение отметим один любопытный факт. Рас-
смотрим элемент q = а A — е), который аналогичен пери-
гейному расстоянию. Из E.11.1) и E.11.2) для возмущений
12 Е. П. Аксенов

178 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
этого элемента находим
6<7 = 4"/'3 ("Г") rosin^ocosg'.
Эта формула показывает, что амплитуда долгопериодиче-
ского возмущения перигейного расстояния не зависит от
большой полуоси орбиты спутника и равна примерно
7,5 sin i0 км. Она одна и та же как для близких спутни-
ков, так и для спутников весьма далеких.
§ 5.12. Возмущения от гармоник четвертого
и пятого порядков
Приведем явные выражения для возмущений элемен-
тов, вызываемых четвертой и пятой зональными гармо-
никами. Для этого воспользуемся выражениями для
LW (s) и МЫ (е), приведенными в Приложении.
Возмущения от четвертой гармо-
ники. Коэффициенты вековых возмущений A[i и Av
определяются формулами
Av = - a A(i + -^- 74 D + Зе2) (8 - 40s2 + 35s4),
где
Формулы для долгопериодических возмущений имеют
вид
бе = i| 3i- e A - е2) s2 F - 7s2) cos 2g',
Ы = - i|- ^- e2as F - 7s2) cos 2g',
Ш = - -щ- ^ e2a B4 - 56s2 + 35s4) sin 2g',
fi«> = - a fiQ- -|- &- B + e2) s2 F - 7s2) sin 2g',
Ш = -g|- -^- A - e2K/2 s2 F - 7*2) sin 2g',

§ 5.12] ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ГАРМОНИК 4-ГО И 5-ГО ПОРЯДКОВ 179
о
где можно считать, что v = -г &2к, причем
к = 4 - 5s2,
a g' определяется равенством E.9.23). Здесь значок «О»
у величин е, а и s опущен.
Возмущения от пятой гармоники.
Вековые возмущения в этом случае равны нулю, а долго-
периодические даются формулами:
бе = - -?L Ж. A _ g2) D + Зе2) s (8 - 28s2 + 21s4) cos g' +
+-Ц -г-e2 A -e2) s3 (8 -9s2) cos 3g"'
6i" ж т~e D+3e2) a (-8 ~28s2+21s4) cos g>"
—ж ¦?"e3(xs2 (8 ~9s2) cos 3g>'
dQ =-^-^ e D + 3e2)-^ C2-296S2 + 560s4-315s6) sin g'-
__^. -%e3as(g6_220s2 + 135s4) sin Sg',
/Do V/f
+ 6e4) s (8 — 28s2 + 21s4) sin g' —
ш t" e C+2e2) s3 (8"~9s2) sin
ш ^ (in^l D + 9e2) s (8 _ 28s2 + 21s4) sin
где
Подобным образом можно расписать выражения для
возмущений от других гармоник. Такие выражения для
гармоник до восьмого порядка включительно содержатся
в работе [1].
12*

180 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК ЕГЛ. V
§ 5.13. Вековые возмущения
Вековые возмущения играют важную роль в эволюции
орбиты спутника, а выявление их из наблюдений дает
чрезвычайно ценную информацию о структуре гравита-
ционного поля Земли. Поэтому представляется целесооб-
разным остановиться на них подробнее.
Пусть
гс' = п'о + Arc', п" = п + Arc"
суть среднесуточные изменения элементов со и Q и пусть
п'о и п'д — среднесуточные изменения этих элементов
в промежуточном движении, a Arc' и Arc" — поправки
к ним, обусловленные возмущающей функцией E.1.1).
Тогда на основании § 5.10 будем иметь
оо оо
\„>. V ,\ ди" V1 О 1*\ \Ч \\
п=2 п=2
где величины Q2k и co2ft представляют собой коэффициенты
вековых возмущений от гармоники порядка 2к. Они дают-
ся следующими формулами:
E.13.2)
E.13.3)
Здесь щ — среднесуточное аномалистическое движение,
., ,• / го \ /с л о /,\
72ft. = Hk I ~г~ j < {о л о Л)
причем
Для вычисления Мп можно воспользоваться рекур-
рентной формулой
пМп = Bгс-1) Mn-t- (п-1) A -е20) М„_2,
принимая за исходные данные

§ 5.13]
ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
181
Производная М'п может быть вычислена по формуле
n- if Ln_2,
- raV] Ln.
Функции Ln (s0) можно вычислять двумя способами.
Во-первых, их можно выразить через полиномы Лежан-
дра:
L2n (so) = Р^п @)Рт («о)- E-13.5)
Во-вторых, можно воспользоваться следующим рекуррент-
ным соотношением:
Bга- 1) (га + 2JLn+2 = *; Bга- 1) Bга+ 3) Ln -
-2Bга+1)(га2-|-га-1)?п-Bга + 3)
а за начальные данные принять
L0 = l, L2==—1B-3$.
Тогда производная L'n найдется по формуле
Bn-l)so(i-sl)L'n =
= (ra-lJLn_2+lra(ra-l)(l-j
Приведенные формулы позволяют весьма быстро вычис-
лять возмущения от любого числа гармоник.
Рассмотрим теперь численные значения вековых воз-
мущений на примере пяти спутников, элементы которых
даны в табл. 6 § 3.16. Резуль-
таты вычислений для этих
спутников приведены в табл.
9. Они дают суточные изме-
нения элементов со и Q от
всех гармоник с четвертой до
двадцатой включительно.
Эта таблица показывает,
что вклад зональных гармо-
ник в суточные изменения
элементов со и Q составляет
несколько десятитысячных
долей градуса. Нужно за-
метить, что результаты вычи-
слений очень чувствительны
к тому, какое число гармоник мы принимаем во внимание.
Влияние различных гармоник на изменение элемен-
тов со и Q показано в табл. 10.
Таблица 9
Среднесуточные
изменения элементов со и Q
V
1
2
3
4
5
Дп'
-0?00084
0,00021
0,00015
0,00013
-0,00003
Дп"
-0=00093
-0,00098
-0,00046
0,00030
0,00014

182
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. V
Таблица 10
Значения ю2п и Й2«
2п
4
6
8
10
12
•
0°00221
-0,00130
-0,00074
0,00111
0,00009
-0?00217
-0,00100
0,00013
-0,00077
0,00005
2п
14
16
18
20
—0° 00032
-0,00040
0,00030
-0,00014
0?00003
0,00019
0,00015
0,00000
В ней приведены вековые неравенства для спутника
с элементами
а = 7509,9 км, е = 0,086211, i = 28°,8039,
вызываемые различными гармониками от четвертого до
двадцатого порядка.
§ 5.14. Случай малых е
Полученные в этой главе формулы для долгопериоди-
ческих возмущений имеют особенность при е0 = 0. По-
скольку случай малых е представляет большой интерес
для практики, мы преобразуем эти формулы к такому
виду, чтобы они не содержали е0 в знаменателях. В об-
щем случае это можно сделать, если ввести вместо
Af<*> (e) коэффициенты М<#> (е):
М™ = ±М™ (ft = l, 2, 3, ...)
и рассмотреть некоторые модификации элементов. Одна-
ко, имея в виду очень малые е, мы ограничимся рассмотре-
нием тех случаев, когда в возмущениях можно отбросить
члены се2.
Прежде всего найдем явные выражения для коэффи-
циентов Л/w (е). Так как М^ (е) имеют порядок eh, то
с точностью до е2 включительно все нужные нам коэф-
фициенты определятся формулами
М;м = 1+ и(я~1 е\ A5.14.1)
МЙ' = -^-, МУ= п{п~{) е\ A5.14.2)

§ 5.14
СЛУЧАЙ МАЛЫХ е
183
которые легко находятся путем непосредственного вычис-
ления интегралов E.2.1).
Подставим E.14.1) и E.14.2) в формулы E.9.6) —
E.9.18). Тогда получим
= Ai cos g'
где
cos 2g',
6Я = Casing',
eo6© = — Ai sin g' — A2 sin 2g',
eo8M = A i sin g' -f Л2 sin 2g',
6co-f6M = Di sing',
о
у / I
с»
п=2
s *'
2еа
E.14.3)
E.14.4)
n=2
Z)t = -oCt + ~ 2 »(8n - 5)
n=2
где, как и раньше, значок «О» опущен.
Рассмотрим теперь следующую систему элементов:
а, <7Х = е sin со, q2 = e cos со, i, Я, Af + со.
Возмущения элементов a, i, Q и. М -{- <л, как показывают
формулы E.14.3) и E.14.4), не имеют особенности при
е0 = 0. Покажем, что не имеют особенности и возмуще-
ния элементов q1 и q2. Действительно, "?*
бдх = бе cos g' — е0 бсо sin g',
бд2 = — бе sin g' -f- e0 бсо cos g',
где g' дается формулой E.9.23), а входящие сюда величи-*
ны бе и еобсо не содержат е0 в знаменателях.

184
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
[ГЛ. V
§ 5.15. Важнейшие
неравенства
долгопериодические
Для близких искусственных спутников Земли вслед-
ствие малости эксцентриситета члены рядов, представля-
ющих долгопериодические возмущения, быстро убывают
с возрастанием кратности аргумента g'. Поэтому наиболее
значительными долгопериодическими неравенствами яв-
ляются члены, содержащие cos g1 и sin g', т. е.
бе = Ае cos g', 8@ = Аа sin g',
8i = Лг cos g', 6Q = Ла sin g',
E.15.1)
и аналогичное неравенство для М, где амплитуды Ае, At,
Аа и Aq легко находятся из формул § 5.9, если положить
в них т = 0 и к = 1.
Возмущения E.15.1) играют важную роль при опреде-
лении постоянных гравитационного поля Земли. Именно
по этим неравенствам из наблюдений спутников нахо-
дятся коэффициенты нечетных зональных гармоник гео-
потенциала.
Рассмотрим численные значения неравенств E.15.1)
на примере пяти спутников, элементы которых даны
в табл. 6 § 3.16. Заметим, что определяемые из наблюдений
амплитуды Ае, At, Aa и Aq обычно включают' в себя
также влияние третьей гармоники. Поэтому в табл. 11
приведены полученные из наблюдений амплитуды важ-
нейших неравенств, содержащие в себе влияние всех
нечетных гармоник, начиная с третьей. Там же'даны перио-
ды этих неравенств Та.
Таблица И
Важнейшие долгопериодические неравенства
N
1
2
3
4
5
Ае-103
0,43
0,546
0,521
0,250
0,787
Аг102
—0°70
-0,761
—0,867
—0,004
-0,051
—0",106
-0,1117
-0,0966
—
Aq
-0°018
-0,0176
—0,0246
—0,0072
—0,0012
Та (сутки)
82
181
298
517
369

§ 5.15] ВАЖНЕЙШИЕ ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 185
Сравнение теории с наблюдениями показано на рис.
18 и 19. На них для спутников «Эксплорер-11» и «Анна-1 В»
показано поведение эксцентриситета в зависимости от
аргумента g. Теоретические кривые были вычислены на
ЩВ1
90
Рис. 18. Изменение эксцентриситета орбиты спутника «Экспло-
рер-11»».
0,0080
270° 330° 30° 93° 150° 210° r 270°
Рис. 19. Изменение эксцентриситета орбиты спутника «Анна-1В».
основе постоянных, соответствующих Стандартной Зем-
ле II (см. § 1.8), точки означают результаты наблюдений.
В заключение отметим, что наиболее существенный
вклад в долгопериодические неравенства вносит третья
гармоника. Это ясно видно из результатов вычислений,
приведенных в табл. 12. В ней для спутников «Эксплорер-
11» и «Анна-1 В» даны полные амплитуды Ае и Аш, а также

18G
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
[ГЛ. V
амплитуды А'е, и А'ю, освобожденные от влияния третьей
гармоники. Поэтому влияние третьей гармоники более
целесообразно учиты-
Таблица 12 вать формулами проме-
жуточного движения, а
не методами теории воз-
мущений.
Амплитуды возмущений
элементов е и <о
К
Аа
А'а
«Эксплорер-11»
0,485-Ю'З
0,015-Ю-з
0°328
0?019
«Анна-1 В»
0,775-Ю-з
0,010-Ю-з
6°. 347
0°084
§ 5.16. Дальнейшее
развитие теории
Определению возму-
щений от зональных гар-
моник в движении ис-
кусственных спутников
Земли посвящено боль-
шое число работ.Подав-
ляющее большинство из
них касается лишь нескольких первых членов потенциала.
Из этих работ следует выделить исследования Д. Бра-
уэра [2] и И. Козаи [3], в которых при помощи метода
Делоне — Цейпеля были найдены вековые и долгоперио-
дические возмущения от гармоник до восьмого порядка
включительно. Сюда же относятся работа В. Ф. Проску-
рина и Ю. В. Батракова 14] и работа автора [1].
Общие выражения для вековых и долгопериодических
возмущений от гармоник произвольного порядка были
получены В. Каулой [5], Б. Гарфинкелем [6] и А. А. Орло-
вым [7].
В этой главе была изложена теория на основе работы
автора [8]. Используемые в ней функции наклона L{,h) (sin i)
и эксцентриситета AfW (e) были изучены в статьях [8]
и [9]. Несколько другие функции наклона и эксцентриси-
тета рассмотрены Р. Гудингом [10]. Формулы для вековых
и долгопериодических возмущений от гармоник произ-
вольного порядка получены также Ю. В. Батраковым [11].
Таким образом, в настоящее время мы имеем довольно
полную и достаточно совершенную теорию возмущений от
зональных гармоник геопотенциала. Эта теория дает веко-
вые возмущения с точностью до второго порядка и долго-
периодические возмущения с точностью до первого поряд-
ка включительно относительно /2 (если считать, что все

5.16] ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ 187
Jn при п > 2 имеют порядок J\). Ею можно пользоваться
при любых 0^е<1 и 0°^г^ 90е, за исключением
малой окрестности критического наклона i = 63°30'.
Мы здесь не останавливаемся на проблеме критическо-
го наклона. Эта проблема, обусловленная методами реше-
ния задачи, связана с тем, что при i « 63°30', вековое
движение перигея меняет свой знак. Исследованию дви-
жения спутника в окрестности критического наклона
посвящены работы И. Козаи [12], И. Хагихары [13]
и некоторые другие.
Дальнейшее развитие теории, по-видимому, должно
идти в двух направлениях. Во-первых, необходимо прове-
сти подробное исследование вековых и долгопериодиче-
ских возмущений в зависимости от основных параметров
орбиты: большой полуоси, эксцентриситета и наклона.
Подобные исследования имеют непосредственное отноше-
ние к задаче определения коэффициентов разложения по-
тенциала притяжения Земли по наблюдениям спутников.
Некоторые из этих исследований выполнены в работах
И. П. Прохоровой и автора [14] и [15]. Во-вторых, в связи
с увеличением точности наблюдений встает задача об
определении неравенств более высокого порядка. Речь
идет прежде всего о вековых возмущениях третьего по-
рядка и периодических возмущениях второго порядка от-
носительно /2.
В последнее время Л. П. Насонова выполнила очень
важную работу по определению вековых возмущений
третьего порядка [16]. Она нашла аналитические выраже-
ния для вековых возмущений от любой совокупности зо-
нальных гармоник с точностью до е2 включительно. Ока-
залось, что эти неравенства составляют несколько стоты-
сячных долей градуса в сутки. Такие члены необходимо
учитывать при обработке современных наблюдений. Не-
давно Н. А. Сорокин [17] для случая малых эксцентрисите-
тов вывел формулы для определения долгопериодических
возмущений второго порядка. Им также найдены аналити-
ческие выражения для короткопериодических возмуще-
ний [18].

ГЛАВА VI
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ
И СЕКТОРИАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
§ 6.1. Постановка задачи
Согласно A.12.2) долготная часть потенциала земного
притяжения дается следующей формулой:
оо п
R = JTli 2/^(^"^(^ф)cos*(*,-*„*), F-1.1)
где г — радиус-вектор, ср — геоцентрическая широта, X —
долгота, отсчитываемая от гринвичского меридиана,
PW — присоединенная функция Лежандра, Jnk и Xnk —
постоянные, численные значения которых можно найти
из табл. 1 § 1.8.
Как и в случае зональных гармоник, в выражении R
через элементы р, е, i, Q, и, v мы будем пренебрегать пери-
одическими членами, пропорциональными е2. Поэтому
будем считать, что в формуле F.1.1) величины г, sin фиХ
равны
^Т+ЖГ- FЛ-2)
sin(p= — = sin i sin u, F.1.3)
-to), F.1.4)
u; = Q-|-Arctg(cosjtgu), F.1.5)
где через мф обозначена угловая скорость вращения Зем-
ли, а через t0 — момент времени, когда гринвичский мери-
диан проходит через точку весеннего равноденствия.
Посмотрим теперь, как можно выразить функцию R
через элементы промежуточного движения. Для этого рас-
смотрим сначала вторую секториальную гармонику
P<28>(sm <p) cos 2 (X — Я,„),

$ 6.1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 189
для которой при помощи A.3.2) имеем
^22). F.1.6)
Пусть
w = Arctg (cos i tg и),
Q22 = Q — гсф(г —10) — Я22. F.1.7)
Тогда согласно F.1.4) и F.1.5)
cos (л- — Я22) = cos (zt> + й22).
Но поскольку
cos ф cos w = cos u,
cos ф sin u; = cos i sin u,
то
cos ф cos (A,—A-22) =cosucosQ22—cos г sin u sin Q22. F.1.8)
Аналогично находим
cos фsin (Я,—X22) = cosusin Q22-f-cos isinucosQ22. F.1.9)
Подставляя F.1.8) и F.1.9) в F.1.6) и вводя вместо и
переменную и* == и — 90е, получим
Plf (sin ф) cos 2 (к — Х22) = а^' cos 2Q22 +
+ сС cos 2 (Q2a - и*) + а«» cos 2 (Й22 + u*), F.1.10)
где
а«'= -§-**, аЙ'=-|-A-аJ; а«'= -1.A +аJ,
F.1.11)
причем «,
а = cos г, s=sini,
a Q22 определяется формулой F.1.7).
Для того чтобы можно было воспользоваться уравне-
ниями D.11.13), нужно из Й22 исключить время t. Впро-
межуточном движении мы, очевидно, имеем
M = v — W, F.1.12)
где
М = п (t - t0) + Мо, F.1.13)

190 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
а 4я, если отбросить периодические члены с е2 и о, есть
уравнение центра, т. е.
?=2 М«) sinШ.
Подставляя в F.1.7) вместо t его выражение из F.1.12)
и F.1.13), получим
fi22 = п — yv + уМ0 + пф (i0 —10) — Я22 + уЧ, F.1.14)
где
7=--ПГ F.1.15)
есть отношение угловой скорости вращения Земли к сред-
нему аномалистическому движению спутника.
Сначала мы рассмотрим лишь случай близких спутни-
ков, когда величина у мала. При этом в разложении функ-
ции В. будем пренебрегать членами, пропорциональными у,
т. е. членами порядка yJn^. Вследствие этого можно счи-
тать, что
поскольку 4я есть периодическая функция v.
Вторая секториальпая гармоника, как показывает фор-
мула F.1.1), имеет множителем величину— (—) . Но при
любом целом п на основании § 5.2 мы имеем
F.1.17)
где MW суть функции е, изученные в § 5.2.
Формулы F.1.10) F.1.16) и F.1.17) показывают, что
в случае второй секториальной гармоники функция R будет
содержать члены вида
^ 4-,fceosBQ22 + /«* + to), F.1.18)
где / и к — целые числа.
Подобные члены будут содержать и функции R', F'
и Ф', которые входят в правые части уравнений D.11.13).

§ 6.2] ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ 191
Поскольку в промежуточном движении
и* = A +v)v + со*,
Й = [iv +Qa,
где со* и Qo — постоянные, то, интегрируя члены вида
F.1.18), мы получим
го \2 л sinBQ22 + y^* + b) ,n , -л,
Т) J-h / + * + /v-2(v-ji) ' ( }
1\Т
Рассмотрим знаменатель выражения F.1.19), в кото-
ром v и (I суть величины порядка е2. Он может быть мал
в двух случаях:
1) у — мало и ]' + к = О,
2) 27 « / + Л.
Очевидно, первый случай соответствует близким спут-
никам, а второй — спутникам, периоды обращения кото-
рых равны 12h, 24h и т. д.
Здесь мы ограничимся рассмотрением первого случая.
Таким образом, мы будем учитывать только долгоперио-
дические возмущения, для которых / + к = 0. Тогда функ-
ции R', F' и Ф' принимают весьма простой вид. Так,
например,
¦no CUo ?iuu22j ^U.l.tiU^
причем
M'10) = l, a^-ys2. F.1.21)
Амплитуды долгопериодических возмущений будут иметь
порядок y~1/22. Короткопериодические возмущения, кото-
рыми мы пренебрегаем, пропорциональны /22.
§ 6.2. Возмущения
от второй секториальной гармоники
Будем исходить из дифференциальных уравнений
D.11.13) для элементов промежуточного движения. Пре-
небрегая в них членами порядка е2/22 и имея в виду, что
dR' . dR' _ n dF' ___ п
ди ' dv 'да '

192
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. УГ
находим
Jto о, *= 0
dv dv
dv s \
dF'
dF'
am* аи
pa OF'
F.2.1)
dw
dv
*2 dF'
"Г "тН"
дш*
где
О* = и* — V.
Подставим в правые части уравнений F.2.1) выраже-
ние для F' из F.1.20) и соответствующие выражения для
R' и Ф'. Полагая затем в них
а = а0, е = е0, i = f0,
со* = vy -{- со*, Ь2 = }ху -)- Уо
и интегрируя, мы получим возмущения элементов a, e, i,
О, и со. Возмущение элемента М можно найти, используя
тот же метод, что и в случае зональных гармоник. Окон-
чательно имеем
6а = 0, бе = О,
bi — ~Y Y22so cos 2Q22,
о
6Q= — -^-722a0 sin 2Q23,
6@ = — a0 6Q —?-
6M = —i Y22 4
F.2.2)
где
F.2.3)
a Q22 определяется формулой F.1.14). Заметим, однако,
что, без потери точности, мы можем вычислять Q22 по
формуле F.1.7). А поскольку

§ 6.3] ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ГАРМОНИК ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 193
есть звездное гринвичское время, то
Q22 = - S -Я22 +Q. F.2.4)
Приведенные здесь формулы дают только долгопериоди-
ческие возмущения с периодом, равным примерно полови-
не суток. Амплитуды этих возмущений имеют множитель
Y, который для близких спутников равняется 10 -4- 15.
Короткопериодические возмущения не содержат этого
множителя, и их амплитуды примерно в 10-^-15 раз
меньше амплитуд долгопериодических возмущений. Дол-
гопериодические возмущения элементов а и е от второй
секториальнои гармоники равны нулю.
В заключение приведем численные значения амплитуд
возмущений для спутника 1959 tj, орбита которого харак-
теризуется следующими элементами:
а = 8503,0 км, е = 0,1891, i = 33°,36.
Мы имеем
8i = 0°,00076 cos 2Q22,
8Q = — 0°,00115 sin 2Q22,
бсо = 0°,00034 sin 2O22.
В этом случае
Y = 0,0875.
При вычислениях было принято: /22 = 2,32-10~6.
§ 6.3. Возмущения
от гармоник третьего порядка
Рассмотрим теперь возмущения от секториальнои и тес-
серальных гармоник третьего порядка. Аналитические
выражения этих возмущений могут быть найдены тем же
методом, что и в случае второй гармоники.
Элемент е. Пусть
^K (i» = 1,2,3), F.3.1)
F.3.2)
йзт=(М- — У)» — %'зт, F.3.3)
где
Ьзт = *.вт + Пф (*¦>-?>)-VAfo-fio- F-3.4)
13 Е. П. Аксенов

194
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК ГЛ. VI
Тогда будем иметь
бе = 7з1 A—eJ)U8i sin
+ 7з2 A- Ф U84 cos (
где
16
15
Дчо ¦
Qsi) + А'„ sin (g' +Q81)] +
2Q32) + 4» cos (g' + 2Q32)] +
33) +A'n sin (g' +3Q88)], F.3.5)
-10a-15a2),
F.3.6)
= -it A + «) A + 10a- 15a2),
16
15
причем
s = sin?0, a = cos i0.
Элемент i. Возмущения элемента i определяются
следующей формулой:
Si = у31е0 [531sin(g'—Q31) +B'sisin(g' + Q31)] +
-2Q32) +B'S2cos(g' +2Q32)] +
'-3fi33) +B'S3sm(g' +3Q33)], F.3.7)
где
ii
16
15
16
F.3.8)
_15_
16
=-#-«A+ a)C-a).

6.3 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ГАРМОНИК ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 195
Элемент Q. Для 6Q имеем такую формулу:
SQ =
где
'—Q31)+C'31cos
m(g'-2Q3z) +C'3ism(g'
], F.3.9)
C81=-±(ll + 10a -45a2),
C=-i|4.B-7a-4a«-
16
15
16
F.3.10)
15
Элемент со. Возмущения этого элемента даются
такой формулой:
ео6(с = — e0a6Q -)-
sin(g' +2Q32)] +
cos(g' +3Q88I, F.3.11)
где коэффициенты Aih определяются равенствами F.3.6).
((Элемент М. Формула для ЬМ имеет следующий
вид:
ео8М = - Ysi?! [A9i cos (g' -Q31) -f A'tl cos (g' + Qsl)] +
+ Y32?i [A3i sin {g' -2Q32) + A'32 sin (g' + 2fi32)] -
-7зз?! [^зз cos (g' - 3Q33) + A'33cos (g' + 3Q33)], F.3.12)
где, если отбросить член с е*,
qi = l-^el. F.3.13)
13*

196
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
Элемент а. Как и для второй секториальной гар-
моники, долгопериодические возмущения в а равны нулю:
8а = 0. F.3.14)
В полученных здесь формулах аргументы Q3m и g'
определяются из равенств F.3.2)—F.3.4). Однако, если
заменить в них у на Ж" и ввести звездное гринвичское вре-
мя S, то с принятой точностью
Q3m = - S-X3m+U (m = 1, 2, 3), F.3.15)
g' = n'(t-t0) +co* +vM0, F.3.16)
Q = n"(t-t0) +Q0 +^M0, F.3.17)
где (см. § 5.11)
n' = nv, n" = щ, F.3.18)
an — среднее аномалистическое движение спутника.
Приведенные формулы дают только долгопериодичес-
кие возмущения с общим периодом, приближенно равным
одним суткам. Они строго учитывают величины е0 и i0.
Исключение составляет формула F.3.13), в которой от-
брошены члены с е^ я выше.
Рассмотрим теперь один пример. По наблюдениям спут-
ника 1959 т], выполненным на промежутке времени около
1 месяца, были найдены амплитуды некоторых неравенств,
обусловленных долготными членами потенциала [1].
В табл. 13 приводятся значения этих амплитуд для бе,
найденные из наблюдений, а также вычисленные по фор-
мулам настоящего параграфа.
Таблица 13
Возмущения элемента е
Амплитуда Х103
Наблюденные
0,0093+0,0020
0,0093+0,0020
0,0030±0,0013
0,0042+0,0014
0,0096+0,0015
0,0139±0,0027
Вычисленные
0,0113
0,0078
0,0030
0,0030
0,0103
0,0103
Аргумент
g'-Q3i
g'+Q3i
g'-2Q32
g' + 2Q3i
g'-3Q33
g' + ЗЙзз

§ 6.4] РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Ю7
Заметим, что бе не содержит множителем е0, в то время
как 8i, SQ, а также бсо -f- ЬМ пропорциональны е0. Вслед-
ствие этого при малых ей возмущения в е являются пре-
обладающими.
§ 6.4. Разложение возмущающей функции
в общем случае
В предыдущих параграфах были рассмотрены возмуще-
ния элементов орбиты от нескольких первых тессеральных
и секториальных членов геопотенциала. Однако, как
и в случае зональных гармоник, коэффициенты тессераль-
ных и секториальных гармоник медленно убывают с воз-
растанием порядка гармоники, и вследствие этого гармо-
ники более высокого порядка могут вызывать весьма
заметные возмущения. Поэтому желательно иметь форму-
лы для возмущений от произвольных тессеральной и сек-
ториальной гармоник. Для этого нам нужно получить
общее выражение для возмущающей функции через эле-
менты орбиты. Этой задачей мы и займемся в настоящем
параграфе.
Запишем возмущающую функцию в следующем виде:
R = fm% j]JnqRng, F.4.1)
n=2 g=l
где согласно F.1.1)
^-KJ. F.4.2)
Выразим функцию Rnq через элементы орбиты спутни-
ка. На основании формул F.1.4) и F.1.5) имеем
к = Q — S +w, F.4.3)
где
w = Arctg (cttgu), F.4.4)
a S — гринвичское звездное время.
Формулы § 6.1 позволяют написать также следующие
равенства:
sincp = ssin u,
cos ф cos w = cos и, \ F.4.5)
cos (p sin w = a sin и.

198 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
Рассмотрим теперь функцию
Лпд = (~ ViT° pin («ш ф) ехр [У~=Л q (X - Knq)], F.4.6)
где б0 = 1; б9 = 2 (при дфО). Действительная часть
этой функции даст нам Rnq.
Так как
X - %nq = - Kq + (Q - S) +W,
TO
/^l qKg) exp \y=\ q(Q-S)x
X lf(sui9) expOK^Tgi). F.4.7)
Далее с помощью формул F.4.4) и F.4.5) нетрудно
установить, что
F.4.8)
где а*9 (i) суть некоторые коэффициенты наклона i, опре-
деляемые формулой
2л
а% @ = ¦— j Pj? (sin Ф) ехр [/^1 (qw-ku)] du. F.4.9)
о
Подставляя равенство F.4.8) в F.4.7), получим
X ехр [/-1 (fat + g (Q-S)-
Поскольку м — v -(-со, эта формула запишется в виде
( — 1) ч -^ / r0 \n ft / а \п+1
.2j V"^~J a«^\l/^~j
-д5—qkngj]. F.4.10)

§ 6.4] РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 199
С помощью F.1.2) можно написать
р=-оо
F.4.11)
где Bn+itV (e) суть функции эксцентриситета е. Они опре-
деляются формулами
2я
F.4.12)
Функции эксцентриситета и функции наклона а?а (i)
мы подробно рассмотрим в § 6.5 и 6.6. Как мы увидим
в дальнейшем, коэффициенты ака являются действитель-
ными при четном п — q и мнимыми при нечетном п — q.
Поэтому положим
<4 = A/=Т)п-9<. F.4.13)
Подставляя F.4.11) и F.4.13) в формулу F.4.10), по-
лучим
S (^)пА
/t= _п р= — оо
X ехр [У^Т (А;со + рМ + qQ — qS — qXnq)].
Возьмем теперь действительную часть функции Rnq-
Тогда окончательно найдем
¦HY л" а)
a j ЛпЧ^>
ft— — ft p=i — oo
F.4.14)
где
n-g
-S-Xnq)}: F.4.15)

200 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
если п — q четно, и
n-g+l
Cpg = (-1) 2 sin[pM + ka + q(Q-S-Kng)}, F.4.16)
если п — q нечетно.
Таким образом, мы выразили Rnq и тем самым R через
элементы а, е, i, со, Q и М. Для определения возмущений
мы можем воспользоваться уравнениями § 4.9, или уравне-
ниями § 4.5, независимой переменной в которых являет-
ся время t.
§ 6.5. Функции наклона A
На основании § 6.4
У^Т u, F.5.1)
где э1пф и и? даются формулами F.4.5).
Получим сначала явное выражение для функции a?q (?).
Для полинома Рп (х) и присоединенной функции Р^)
Лежандра мы имеем (см. § 1.2 и 1.3)
п g
г=0
Рп <*) = g (- 1Г2,г!A-^-2Г)! '
хГ2^^-, F.5.3)
где h = -»- или /г = —•»— , смотря по тому, которое из этих
чисел целое.
Дифференцируя F.5.2), получаем
h-q
<РРп(х) _ J у ,лу Bп~2г)\ ст „_9-2г (Q г /ч
г=0
где
Для случая д = » из F.5.4) легко находим
п (х) B»I

§ 6.5] ФУНКЦИИ НАКЛОНА A^q (i) 201
Поэтому, если в формуле F.5.3) положить х = sincp
и q = n, получим
-gj$-cos"<p. F.5.5)
Далее имеем
ехр (V — 1 qw) = (cos w -f- ]/" — 1 sin wg).
Подставляя сюда формулы F.4.5), найдем
cos? ф ехр (У — 1 qw) = (cos и -f- У — 1 a sin ti)? =
Следовательно,
cos'cp exp (Y — 1 Gй7) =
m=0
F.5.6)
Рассмотрим сначала случай q = п. При этом форму-
лы F.5.5), F.5.6) и F.5.1) дают
п
rtfe /-\ 1 Bга). ^i л,1 \r/\m(i rt\n~mT^g
ипп y^J — 9-rr t 92Пм I /I n ^A t ^/ V ^*7 -* nWl
m=0
где
2it
/^m= \ exp [—}f — 1 (n — 2тп-(- к) и] du.
0
Ho
nm~\ 2л, д —2тп+А; = 0.
Следовательно,
n+fe n+ft n-ft
И
n+fe n+fe n-ft
где ос = cos i.

202 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК ГЛ. VI
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть
х — sin ф = sin i sin u = s sin и.
Тогда
х = ± У=1 [exp (-Y^iu)-exp (Y=
Поэтому
n-q-2r
X 2 (-l)J^_g_2rexp[-/z:l(n-g-2r-20it].
F.5.8)
Подставим равенства F.5.8), F.5.4), F.5.3) и F.5.6)
в формулу F.5.1). Тогда
.„„ Q h-qn — q — 2r
m=0 r=0 i—0
Bn 2r)l m т h
2л
V \ рл-п !l/ T (От _L9r J_9/ »j i-^ т/Т rlii IP, 4 Q^
0
Поскольку интеграл в F.5.9) равен нулю, если т-\-
, , 7 , п-\-к с, , , . п-\-к
-\-г-\-1ф—5—. и ^я> если /ге + г+*=—5—' то из
F.5.9) и F.4ЛЗ) находим
д h-qn-q_-2r
F.5.10)
где
islh I лк1 Bп — 2г)! ртрт pi ,а с t л у
Рассмотрим теперь случай q = 0, т. е. функции наклона
для зональных гармоник. Тогда m = 0 и I = , ¦ —г.

§ 6.5] ФУНКЦИИ НАКЛОНА A*q (i) 203
Поэтому формулы F.5.10) и F.5.11) дадут
h
/\k lj\ VI lfk „П-2Г IP. К /1О\
r=-0
где
г, , re + fc , п п—1
Здесь 1 = —^ г, & п = — или —^—1 смотря по тому,
четно или нечетно п.
Нетрудно показать, что рассмотренные в § 5.4 функ-
ции L$\i) связаны с А%0 (i) зависимостью *)
n+k
Ahnt(i) = {-l)~l?\i). F.5.14)
Поэтому
T(k)(i\ V( 1Y Bи-2гIС„?>г<»-а- /ft 5 1^
Ln(i)-2j( l) 2^-*гг\{п~г)\(п-2г)\- (Ь-ЙЛ&)
Полученные в этом параграфе формулы позволяют
вычислять функции наклона для любых индексов п, к и q.
Важно также иметь рекуррентные формулы, связывающие
функции наклона различных индексов. Такие формулы
были выведены в работе А. Шаля и И. Лаклавери [2].
Они имеют вид
Ak n(n~l)Bn-l)Bn~3) 2Ak ,6 г ш
F-5.18)
k п-к + 2 1 + « .ft-2
"»~ п+а- 1-а Лпп '
Соотношения F.5.16)—F.5.18) вместе с формулой
F.5.7) позволяют довольно быстро вычислять любое число
функций А\ (i).
*) Функции Ln(i) были введены как коэффициенты тригоно-
метрического полинома для Pn(s cos и), а функции А „„(г) являют-
ся соответствующими коэффициентами для Pn(s sin и). Отсюда и
получается зависимость F.5.14.).

204 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
Для вычисления производной А\% по i в работе [2]
предлагается следующая формула:
. F.5.19)
Исходные данные, требуемые для вычисления по фор-
мулам F.5.16)—F.5.19), нужно определять из равенств
F.5.7) и F.5.10).
§ 6.6. Функции эксцентриситета В* (е)
Согласно § 6.4 функция B\q (e) определяется форму-
лой
2я
о
так что
==^ J (тТ<*vlV~=l(kv-qM)]dM, F.6.1)
Bknqexv(V-lqM). F.6.2)
Функции B^q довольно просто связаны с коэффициента-
ми Ганзена, которые обозначаются X%h и вводятся следу-
ющим равенством *):
). F.6.3)
д=-оо
Действительно, сравнивая F.6.2) и F.6.3), находим
Вкт = Х-п-\ F.6.4)
Коэффициенты Ганзена были подробно изучены в трак-
тате Тиссерана [3], который дает для них такие формулы:
,<г-ьх
X [Pq-h + Pq-k+lQ$2 + Рд-й+2<?# +•••]. F.6.5)
2\m+i Р
*) Можно, конечно, н B^q считать коэффициентами Ганзена, но
здесь мы придерживаемся стандартных обозначений,

§ 6.С] ФУНКЦИИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА B^q(e) 205
если q > к, и
Хти, h / __^ л \h—g
X [<?ft-g f Qh-q+lP&2 i- Qh-qlzP^ + ¦ ¦¦], F.6.6)
если к > q.
В формулах F.6.5) и F.6.6)
коэффициенты Р^ определяются равенствами
р та + 2— g v
^2 ^" Ь2 I Т + Т2
(т + 3 — g)(m + 4 — g) v , m+4—g v2 v
1-2 1 r 1 1-2 1-2-3
а коэффициенты Q^ — равенствами
n w+2+g . v
. w + 3+g у . v^
1-2 "f ! ' 1 ~T 1-2
+
+ 4+g v
v , m + 4+g va , v3
l~r 1 ' 1.2 "f" 1-2-3 '
"r 1-2
где
Поскольку приведенные здесь формулы для коэффи-
циентов Ганзена X™>h имеют место как при положитель-
ных, так и при отрицательных т, то они вместе с форму-
лой F.6.4) позволяют вычислять функции В^а. Однако
полезно иметь также рекуррентные соотношения между
B\q соседних индексов. Эти соотношения были получены

206 волмущения от тесс^ральных гармоник [гл. vi
в уже цитированной работе [21 • Они таковы:
F.6.7)
. F.6.8)
Рассмотрим теперь связь функций B\q (e) с функциями
М% (е), которые были введены S § 5.2. Мы имеем
2л
М*=^ J (l-e2)n(-^)"exp{]/^lfe)rfy. F.6.9)
о
С другой стороны, при q = 0 формула F.6.1) дает
2л
<o=-^J (^)\xv(V~l?w)dM. F.6.10)
о
Заменяя в F.6.10) переменную интегрирования М
через v согласно равенству
dv
и сопоставляя полученную формулу с формулой F.6.9),
легко находим
i
Таким образом, функции эксцентриситета 5?,'9 при g = 0
весьма легко выражаются через функции М%.
В заключение заметим, что функции В\л при малых е
имеют порядок elft-«l, a M* — порядок eh.
§ 6.7. Структура возмущений.
Резонансные неравенства
Соотношения F.4.1) и F.4.14)—F.4.16) позволяют
представить возмущающую функцию в следующем виде:
<ю h h go
Л-=2 <2=lft=-ft p= -co
Й(^2). F.7.1)

§ 6.7] СТРУКТУРА ВОЗМУЩЕНИЙ 20?
где
F.7.3)
В формулах F.7.1) и F.7.2) первые строчки соответ-
ствуют четным h — q, а вторые — нечетным h — q.
Такое представление возмущающей функции дает воз-
можность легко составить правые части дифференциаль-
ных уравнений для элементов и проинтегрировать их
в первом приближении. Рассмотрим сначала возмущения
элемента а. Как и раньше, будем пренебрегать членами
порядка s2/,ig. Тогда из D.9.1) имеем
da _ 2 dR
dt ~ па дМ '
Подставляя сюда F.7.1), получим
dt '
F.7.4)
где п — среднее аномалистическое движение спутника,
так что
М = n{t - t0) +M0. F.7.5)
В промежуточном движении величины со и Q опреде-
ляются формулами
(о =»'(«- <о) + ©о, F-7.6)
Q = п" (t - t0) + Qo. F.7.7)
Кроме того
С /¦* i- \ I С /С 7 Q\
ib = Иф \t Iq) -f- Oq, (Ю.1 .О)
где re' — среднее движение перигея, п" — среднее движе-
ние узла, Пф — скорость вращения Земли, а соо, Qo
и Sо — постоянные.

208 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
Если теперь подставить формулы F.7.5)—F.7.8) в урав-
нение F.7.4), то для возмущений элемента а найдем
Л=2д=1 fc=-hp=-«>
где
Hhhpq = 2na2pJhqNhgAhhqB^+i> p, F.7.10)
— qn$. F.7.11)
Подобным образом можно получить выражения для
возмущений всех остальных элементов. Приведем окон-
чательный результат:
oo h h oo rr(e)
яР- X1 V V V hhPi (cosQ\
Oe-Z Z Z Z -^-[Qj
oo h h oo
V V V V hkpq / COS6 ^
Z Zj 2j 2j -^7 (sine )•
h=2 9=1 fc=-ftp=-oo
oo Л й <x> (a)
Z h h h Vk { _cose J»
oo
oo h h oo
=2 g=l ft=-ft p=-oo
V V hhPi ( sin e
Z 2- l
2 2 2 З
Л=2 g=i й=-)гр=-о
где коэффициенты Я^, H^pq, ... Я^, определяются
формулами
„(i) req
Hhkpq=—
si
— /-,
sin i у 1 — e
= naJhqNhq (itlEl Jb ±
COSt dAh,q

§ 6.7] СТРУКТУРА ВОЗМУЩЕНИЙ 209
at
Згер
a Vftpg дается формулой F.7.11)
Рассмотрим подробнее структуру возмущений. Прежде
всего из уравнений D.9.1) и формул F.7.1), F.7.3) и
F.7.5)—F.7.8) следует, что если vhpq Ф 0, то возмуще-
ния всех элементов содержат только периодические члены.
Амплитуды этих членов существенно зависят от величины
знаменателя vkpq.
Рассмотрим сначала случай близких спутников, когда
отношение п к Пф равно примерно 15-т-Ю. Поскольку от-
ношения п' и п" к п имеют порядок 10~3, то амплитуды
и периоды возмущений определяет в основном величина
рп — дпф.
Пусть р Ф 0. Тогда гармоники низших порядков да-
дут короткопериодические неравенства с амплитудами
порядка Jnq. Гармоники высших порядков наряду с корот-
копериодическими возмущениями дадут также и долго-
периодические неравенства, когда
Например, для п/пф = 12 долгопериодические неравенст-
ва будут вызывать гармоники с индексами 12,12; 13,12;
14,12 и т. д. Амплитуды этих неравенств будут пропорци-
ональны Jnqe~2.
Пусть р = 0. Тогда мы будем иметь возмущения с об-
щим периодом около суток. Неравенства этого типа от
низших гармоник были рассмотрены в § 6.2 и 6.3. На-
ибольшие амплитуды этих неравенств будут при q = 1; 2.
При больших q эти неравенства по величине мало отлича-
ются от короткопериодических неравенств. Заметим, что
такие неравенства не содержатся в возмущениях большой
полуоси.
Рассмотрим теперь далекие спутники, когда п1пф <С 10.
В этом случае короткопериодические неравенства и воз-
14 Е. П. Аксенов

210
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЁРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [ГЛ. VI
мущения с периодом около суток будут малыми. Самым
значительным возмущениям будут подвергаться только
спутники, для которых отношение геккд близко к отно-
шению целых чисел. Главное отличие этого случая от
случая близких спутников заключается в том, что долго-
периодические возмущения здесь вызывают не только
высшие гармоники, но и гармоники низших порядков.
ЪООм
200
100
-100
-200
-зао
¦
¦: *>v.. -VJ. •
•''•¦
••
•
•
. •••¦
85
86
87
88
89
91
Сутки
Рис. 20. Долгопериодические возмущения вдоль орбиты спутника
1963 49В.
Так, например, для спутника с периодом около 12 часов
долгопериодичаские возмущения будет вызывать вторая
секториальная гармоника {q = 2, р = 1), а для спутника
с периодом около 8 часов — третья секториальная гар-
моника (q = 3, р = 1).
Итак, все неравенства можно разделить на три типа:
1. Короткопериодические неравенства.
2. Неравенства с периодом около суток.
3. Долгопериодические или резонансные неравенства.
Неравенства первого и второго типов существенны
только для близких спутников. При этом амплитуды нера-
венств второго типа отличаются от амплитуд неравенств
первого типа множителем п/пф. Наиболее значительными,
конечно, являются долгопериодические или резонансные
возмущения. Для спутника 1963 49В они показаны на
рис. 20.

§ 6.8] ЗАМЕЧАНИЯ 211
§ 6.8. Замечания
Первые исследования возмущений от долготной части
геопотенциала были выполнены О'Кифом и Бэтчлором [4],
Л. Сехналом [5] и автором [6]. Они касались лишь второй
секториальной гармоники. Затем И. Козаи [1] и автор [7]
нашли возмущения с периодом около суток от всех гар-
моник до четвертого порядка. При этом в работе [1]
рассмотрен случай малых эксцентриситетов, а в работе
[7] на эксцентриситет не накладывалось ограничений.
Разложение возмущающей функции в общем виде
и общие выражения для возмущений элементов, учитываю-
щие любое число гармоник, были получены В. Каулой [8].
Важной для практики является работа А. Шаля и И. Лак-
лавери [2], в которой были найдены рекуррентные соотно-
шения для функций наклона и функций эксцентриситета.
Возмущения, вызываемые любой гармоникой, в случае
малых эксцентриситетов в удобном для практических рас-
четов виде были найдены также С. Н. Яншиным [9].
Из других работ, посвященных этой проблеме, следует
отметить работу Ю. В. Батракова и Л. Л. Филенко [10],
в которой получены явные выражения возмущений перво-
го порядка от всех гармоник до четвертого порядка вклю-
чительно с точностью до е4, и работу Л. Л. Филенко [11],
в которой разработана методика вычисления возмущений
от любой гармоники с точностью до еь.
Специальную задачу в теории возмущений от тессе-
ральных и секториальных гармоник представляет иссле-
дование резонансных неравенств. Наиболее интенсивно
эта задача разрабатывалась применительно к суточному
спутнику. Ей посвящены статьи Л. Сехнала [12], Б. Мо-
рандо [13]—[15], Р. Аллана [16], С. Г. Журавлева [17].
[18], М. А. Вашковьяка [19], [20]. Резонансные эффекты
в движении близких спутников рассматривались в рабо-
тах С. Н. Яшкина [21] и Р. Аллана [22].
Нужно заметить, что задача о резонансных возмуще-
ниях является весьма сложной, поскольку классические
методы здесь не применимы. Но она представляет большой
интерес не только для теории, но и для практики, ибо резо-
нансные эффекты дают прекрасную возможность опреде-
лять коэффициенты геопотенциала по наблюдениям спут-
ников. Поэтому она требует дальнейшей разработки.
14*

ГЛАВА VII
ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
§ 7.1. Постановка задачи
В этой главе мы рассмотрим возмущения в движении
спутника, обусловленные притяжением Луны и Солнца.
Пусть, как и раньше, Qxyz — прямоугольная геоцен-
трическая система координат, плоскость ху которой сов-
падает с плоскостью экватора, ось Oz направлена в север-
ный полюс, а ось Ох — в точку весеннего равноденствия.
Обозначим через х', у', z' координаты возмущающего тела
(Луны или Солнца) относительно этой системы координат.
Тогда возмущающая функция R, обусловленная притяже-
нием внешнего тела, будет определяться формулой [1]
G.1.1)
где т' — масса возмущающего тела,
А = У (х - ху + (у - у'J + (z - z'J,
Обозначим через Н угол между радиусами-векторами
спутника и возмущающего тела. Тогда
G.1.2)
Д = yr2+ г'2— 2rr' cos Я.
Поэтому
n , , / 1 г cos Я \
Разлагая функцию R в ряд по степеням отношения г/г'
и отбрасывая при этом член, не зависящий от координат

§ 7.1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 213
спутника, мы получим
(i)kPk(™sH). G.1.3)
Разложение G.1.3) сходится для всех r<ir'. В случае
Солнца оно сходится настолько быстро, что можно огра-
ничиться только первым членом. Но в случае Луны эта
сходимость более медленна, поскольку отношение г к г'
может быть и не малой величиной. Однако для близких
спутников это отношение действительно невелико и мы
можем в разложении G.1.3) отбросить члены, зависящие
от параллакса. Поэтому мы примем, что функция R дает-
ся формулой
??(? JЛ(соз#). G.1.4)
Итак, если отбросить параллактические члены, то воз-
мущающая функция, обусловленная притяжением спут-
ника Луной и Солнцем, будет равна
где индекс «L» относится к Луне, а «5»— к Солнцу.
Как и ранее, мы будем пренебрегать в выражении для R
членами, пропорциональными е2 и ест. Поэтому вместо
координат спутника и координат возмущающего тела бу-
дем подставлять в G.1.4) следующие выражения (см.
§ 4.13):
— = cos и cos Q — cos i sin и sin Q,
— = cos и sin Q 4 cos i sin и cos Q,
G-1-5)
— = sin i sin u,
-?- — \ 4-ecosy,

214
ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
ГЛ. VII
—г = cos и' cos Q' — cos i' sin и' sin Q',
~ — cos и' sin Q' + cos i' sin u' cos Q',
z' . . . ,
—r = sin i sin u ,
G.1.6)
где p', e', i', u', i/, Q' — параметр, эксцентриситет, наклон,
аргумент широты, истинная аномалия и долгота узла
орбиты возмущающего тела соответственно.
§ 7.2. Выражения для В', F\ Ф'
Подставим формулы G.1.5) и G.1.6) в равенство
G.1.2). Тогда
= i-(l — a)(l — cc')cos(ii — и' — Q)+
4- -j A + a) A4- a') cos {u — u' + Q) +
_|_ .1 (l _ a) A + a') cos (u + u' — Q) +
-}- —ss' cos (u — u') —j ss' cos (u -f u'),
a = cosi, a'==cosi', |
s = sini, s' = sini', J
Q = Q—Q'.
Далее находим
где
G.2.1)
G.2.2)
G.2.3)
= 2 (*• ^' h) cos (ku' + ju + hQ), G.2.4)
ft, ?', ft

§ 7.2]
ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ R', F', Ф'
215
где коэффициенты (А;, у, h) определяются следующими фор-
мулами:
(О, 0, 0) = -^ B - 3s2) B - 3s'2), "
(О, 2, 0) = -^-s2B — 3s'2),
СП ? i\ — JL<i(i r/\ ч'п'
G.2.5)
@,2, 1) =--§-« A +a) s'a',
@,2, _2) = A(l-ccJS'2,
@, 2, 2) = AA + «JS'2;
@, 0, 1)=-Rasa's',
@,0, 2) = AsV2.
Остальные коэффициенты приводятся в табл. 14.
Таблица 14
Коэффициенты B, у, ft)
J
X
0
—1
1
-2
2
0
^B-3*2К2
_i.WM'(l+a')
g
-g-sas'(l —a')
MsHl+a'J
^s2(l-a'J
2
- S2S'2
3
16
l,(l_o)^(l-a')
l(l + aJ(l+«'J
(§A — aJ(l — a'J
2
|SV2
-iS(l-a)S'(l + a')
_^,(l+a),'(!-«')
64
64

216 ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. VII
Мы будем пренебрегать эксцентриситетом е' возму-
щающего тела. Поэтому
г' = а1, и' = М' + о', G.2.6)
М' = гс' (t- Q + М'о, G.2.7)
со' = »V (t - t0) + ш;, G.2.8)
Q' = n'ii' (t - Q + Ц, G.2.9)
где a', n', ti'v', д'ц' — соответственно большая полуось,
среднее движение, среднее движение перигея, среднее
движение узла возмущающего тела, а М'а, а>'0 и Q'o —
средняя аномалия, угловое расстояние перигея от узла
и долгота узла возмущающего тела для момента t = t9.
Найдем теперь явные выражения'функций R', F' и Ф'
через элементы промежуточной орбиты. Согласно § 4.И
Поэтому нам прежде всего нужно выразить через элемен-
ты орбиты следующие функции:
Разлагая эти функции в ряды Фурье, получим
G.2.10)
сю
! 2 M{*lcoskv, G.2.11)
СЮ
f^Uinkv, G.2.12)
где
2я
^l = 4~ \ A + ecosy)""coskvdv, G.2.13)
0
2я
. G.2.14)

§ 7.2]
ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ R', F', Ф'
217
Заметим, что для коэффициентов М??) можно вывести
общие формулы, а также рекуррентные соотношения подо-
бно тому, как это было сделано в § 5.2 для коэффициентов
A/W. Однако, нам потребуются лишь некоторые из коэф-
фициентов М?Ц и NW, а именно
М™, Mi», М™, МЦ\ N™. G.2.15)
Эти коэффициенты определяются непосредственным вычи-
слением интегралов G.2.13) и G.2.14). В результате будем
иметь
"» = A -
G.2.16)
Используя теперь формулы G.2.10)—G.2.12), равен-
ства G.2.4) и G.1.4), найдем
(*• /. h)cos(ku'+
+ 22 Af-г cos fcy ^ (At 7. A) cos (ku' + ju+ hU)} ,
'= ^r G-K {M<-°* 2 (*•J'-fe)cos (b'+/u+^)+
oo
(-4 cos to 2 (*=, /. h) cos (to' + /ц + hQ) \ ,
ft=i
'=2^-(-iK 2 ^-i sin to 2 (A,/,fe)cos(fat'+/u+AS).
Так как ; принимает значения 0 и ±2, то, чтобы сохра-
нить в R', F" и Ф' только вековые и долгопериодические
члены, нам действительно достаточно знать лишь коэф-
фициенты G.2.15).

218
ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. VII
Отбрасывая короткопериодические члены, мы окон-
чательно будем иметь
РВ.'=-$'гМ™1 (|-K 2 (ft, О, h)cos(ки' + И&)-
, 7,
, G.2.17)
(-2-K у. (А, у, /г) cos (ки' + /со* + Ш), G.2.18)
, G.2.19)
где
(о* = и-у—j-. G.2.21)
В формулах G.2.17)—G.2.19) ; = ± 2, ft = 0,2.
В первых строках для i?' и F' h = 0, 1, 2, когда ft = 0,
и h = 0, +1, ±2, когда ft = 2.
В выражении для Ф' и во вторых строках выражений
для R' и F' h — 0, ±lj +2. Таким образом, функции R'
и F' содержат по 23 члена, а функция Ф' содержит 15
членов.
§ 7.3. Дифференциальные уравнения
для возмущений эйлеровых элементов
На основании § 4.11 и G.2.17) дифференциальные урав-
нения для элементов а, е, s, Q и со будут иметь вид
dv
— = -?2. I a dF' — 21— )
dv s \ da* qq ) '
dQ __ pa OF"
dF'
da*
dQ
dv,
dv
s 5s
2 OF
__
pa
p I OR'
дФ'

§ 7.3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 219
где v и fx определяются формулами C.7.15) и C.9.3),
а со* = со — у.
Уравнения G.3.1) могут быть легко проинтегрированы,
если исключить из функций R', F' и Ф' время t, которое
входит в них посредством и' и Q. При исключении t из и'
и Q мы воспользуемся тем же методом, который был исполь-
зован в случае тессеральных гармоник.
В промежуточном движении мы имеем
п (t - t0) + Мо = v + ?, G.3.2)
где W содержит только периодические члены. Если отбро-
сить малые порядка е2, то, очевидно,— W представляет
собой уравнение центра, т. е. [2]
оо
Т= S К (е) sin кМ,
где
причем
п = п0 A + X),
агеои1 определяются формулами C.8.7) и C.8.9).
Подставляя G.3.2) в формулы G.2.7)—G 2.9), мы по-
лучим
M' = X'v+M'o — K'Mo + K'W, G.3.3)
a' = K'v'v + a>'0-K'v'M0 + l\'W, G.3.4)
Q' = V\i'v+Q'0 — Xp'M0 + X'\i'4, G.3.5)
где
A,' = —. G.3.6)
re v '
Поскольку для близких спутников величина К' мала,
в выражениях i?', F' и Ф' можно пренебречь периодиче-
скими членами порядка Р'2А/. Тогда с принятой точностью
мы можем считать, что в формулах G.2.17)—G.2.19) вели-
чины и' и Q' определяются уравнениями
'o, G.3.7)
G.3.8)

220 ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. VII
Далее имеем
Й = ц»+&. G.3.9)
(a* = vv + (x>t, G.3.10)
где
{1=Ф —А/ц\ G.3.11)
Q0 = Q0-Q;, «)J = a)o—2-. G.3.12)
Для того чтобы проинтегрировать уравнения G.3.1), мы
воспользуемся методом последовательных приближений,
рассмотренным нами в § 4.13. Вычислив частные произ-
водные R', F' и Ф' по элементам и подставив их в уравне-
ния G.3.1), мы найдем правые части как функции а, е, s
и и', Q, о*. Интегрирование этих уравнений при условии
а = а0, е = е0, s = s0,
где а0, е0, s0 — постоянные, а и', Q и со* суть линейные
функции v, определяемые формулами G.3.7)—G.3.10),
даст нам возмущения элементов.
Заметим, что при вычислении возмущений элементов
О. и о необходимо подставить в v и \к возмущенные значе-
ния величин ems.
§ 7.4. Вековые возмущения
Поскольку переменные и', ю* и Q входят в R', F', Ф'
только посредством тригонометрических функций, элемен-
ты а, е, s не будут содержать вековых возмущений. Веко-
вые возмущения элементов Q и со находятся без особого
труда и оказываются равными
AQ=—^-p'2-2^B-3^H0.!;, G.4.1)
A| -^ G-4.2)
где
Таким образом, если через AQ и Аю обозначить поправ-
ки к средним движениям узла и перигея спутника, обус-

§ 7.5] ВОЗМУЩЕНИЯ ПЕРВОГО КЛАССА 221
ловленные притяжением Луны и Солнца, то они будут
даваться формулами
16 т \ aL
+ 3 ms/jo\3 4-^±*8B_3g.) G.4.5)
1 16 т \ as I Yi—el
где m.^, aL и sL — соответственно масса, большая полу-
ось и синус наклона орбиты Луны; ms, as и ss — соответ-
ствующие величины, относящиеся к Солнцу, аи — среднее
движение спутника.
Заметим, что вековые возмущения существенным обра-
зом зависят от элементов а0, е0 и i0. Они возрастают при
увеличении а0 как а„/2. Они тем больше, чем больше е0.
Интересным является тот факт, что при i0 = 90° элемент
Q не имеет вековых возмущений. Из формулы G.4.2)
следует, что постоянными aQ, ea, i0 можно распорядиться
так, чтобы вековой член в элементе ш был равен нулю.
При малых е0 это имеет место, когда
т. е. в случае критического наклона.
§ 7.5. Долгопериодические возмущения
первого класса
В зависимости от периода мы разобьем все периодиче-
ские возмущения на четыре класса. К первому классу от-
- 2п
несем те из них, общий период которых по v равен — .
Эти возмущения соответствуют тем членам в R', F', Ф',
для которых к = 0, / = 0.
1. Возмущения элементов а и е:
8а = 0, бе = 0.

222 ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. VII
2. Возмущения элемента i:
о i n 9,
, G.5.1)
Ы= jff_ {Yo.i
У 1-ео
где
^.1=^, 7о. . = -2^-, G.5.2)
3 3
V i= — -§"ao, bo, 2 = — Jq s0, G.5.3)
Q = Q — Q'. G.5.4)
3. Возмущения элемента Q:
6Q = {(Yo, ico, i + Yo, ico i) sin Q +
«oVl-e§
+ (Yo, 2c0, 2 + Yo, 2C0,2) sin 2Q}, G.5.5)
где
Yo, 1 = ^2—> Yo, 2 = —4-2—- G.5.6)
G.5.7)
2 ;.___—^Lo3 G.5.8)
G.5.9)
9
32 0'
a Q, Yo.i и Yo,2 определяются формулами G.5.4) и G.5.2).
4. Возмущения элемента со:
' ° {Yo, A 1 sin Q + yo, 2^0,2 sin 2Q}, G.5.10)
G.5.11)
4
где
= -4 aoso, rfo,2 = -8-aos2, G.5.12)
Yo, 1 и Yo, 2 даются формулами G.5.6).

i 7.6] ВОЗМУЩЕНИЯ ВТОРОГО КЛАССА 223
§ 7.6. Долгонериодические возмущения
второго класса
2я
Возмущения, период которых по v равен
2v + V ' "
h = 0, ±1, ±2, назовем возмущениями второго класса.
Они соответствуют тем членам в R', F', Ф', для кото-
рых к = 0.
Введем обозначения:
Ъ.л = -ёп?- (Л=0, ±1, ±2), G.6.1)
- = 0, ±1, ±2), G.6.2)
где
/ _о ос'2 / __ ; — o'rt' J — 7 — с'2 /7 f> ':!^
1. Возмущения элемента а:
8а =¦- 0.
2. Возмущения элемента е:
бе = ео]/1 — en^JY2,/ifl2 ^ cos Bg'-(-Й.Й) G.6.4)
h
(/i==0, ±1, ±2).
Здесь
!5 2 ->
а2,0=-16«и' I
ltJ _ /A ^. \ _ ltJ _ IA i _. \ I 1П О С\
g' = Vi; + u)g. G.6.6)
3. Возмущения элемента i:
2
e0 h
h = 0, ±1, ±2),

224
ЛУННО-СОЛЙЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. VII
где
15
15
15
,-2= —-З2«оA —«о),
G.6.8)
15
4. Возмущения элемента Q:
е2
6Й =
soVi-el
(Y2. /A, h + 72, hc2, h) sin B/ + hQ) G.6.9)
^ = 0, ±1, ±2),
где
15
с2,0= Jg-
2. _* = — 4| (I + «о —
-2= — -op-Sol1 — «о).
32
15
225
32
45
45
G.6.10)

§ 7.7]
ВОЗМУЩЕНИЯ ТРЕТЬЕГО КЛАССА
225
5. Возмущения элемента ш:
бсо = -a0SQ + У\-~е\ 2 ъ.*4, hsin Bg' + ftg)
где
4
1 у—<
= O, ±1, ±2),
15 ,
15
,-1= g-so(l — a0),
^2,-2= —да A —a0J,
4,2= — 32-
4,o= —j|sg(l-5ag),
4,-i= —-g-so(l —a0) A
4
4,-2= -f-(l-aoJ (l-2ao-5a§),
4,2 = —§ A + «oJ A + 2a0-5a2).
G.6.11)
G.6.12)
§ 7.7. Долгопериодические возмущения
третьего класса
2я
Возмущения, период по у которых равен .., , , где
й = 0, +1, ±2, назовем возмущениями третьего класса.
Они соответствуют тем членам в R', F', Ф', для которых
7 = 0.
15 е. П. Аксенов

226
ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. VII
Введем обозначения:
R'2/B)
fi'2o2;
(fc=O, ±1, ±2), у G.7.1)
где
7<2)
too
G.7.2)
1. Возмущения элементов а и е:
6a = 0, бе = О.
2. Возмущения элемента i:
Ы =
Bu' + Ш) G.7.3)
где
(Л = ±1, ±2),
3 .. 7f2) 3
o!}-2 = -32 so.
{Z/> — о 1
°'2~ l2"S°' J
G.7.4)
a u' определяется формулой G.3.7).
3. Возмущения элемента Q:
G.7.5)
= 0, ±1, ±2).
Здесь
/.B) 5.Н-9Д c<2' = —Cl—
C0, -i" 16 ^ 0'' 0,1 16 ^
G.7.6)
C0. -2~ ¦on-a0s0»
'0, -2~ 32

§ 7.8] ВОЗМУЩЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО КЛАССА 227
а с(о% определяются формулой
7B) о 7B) 3
4. Возмущения элемента ю:
бю = - ао6Й + /Г11^ 2 УЧХ^н sin Bu' + Ш) +
W G-7.8)
1 ут^?п п °
(й = 0, ±1, ±2).
Здесь
Г» (\ I
G.7.9)
а коэффициенты с* о, л. даются формулой
ЬЧ\. G.7.10)
§ 7.8. Долгопериодические возмущения
четвертого класса
К последнему, четвертому классу возмущений отнесем
2я
те возмущения, период которых по v равен 2 \.ь%'
где к = ± 2; ft = 0, ±1, ±2.
Введем следующие обозначения:
№l
где
|
4Т2>1 = *'(!-«'). 4Т2) = s'(l + o'), G.8.3)
4Т2Л=A-а'J, ^Tl^U + a')8 )
15*

228
ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. VII
^2, h — Iq, h-
Тогда формулы для возмущений можно записать в следую-
щем виде:
8а = 0, G.8.4)
~1 2 Y2fe\.4^cosBg' + ku'+hQ), G.8.5)
6© = - ac6fi +
2 rz'hWlhcosBg' + hi' + Ш), G.8.6)
2 {Уг!кСB:\ +
~'h\c{?h) sin Bg' + to' + Ш), G.8.7)
+ to' -f Ш) +
sin
— У, Ч{2\<№\sinBg' + to' + Ш). G.8.8)
v --4 '
Здесь
&=±2; /i = 0, ±1, ±2,
a коэффициенты af\, b^h, c^h и d^'^ приведены в табли-
цах 15—18. Что касается коэффициентов с^и $ь\, то они
Таблица 15
Коэффициенты »2fc'ft
h ^\.
0
—1
1
—2
2
—2
45 2
32 S°
15 ,. v
jgso(l + ao)
g(l-«oP
щA + «оJ
2
45 2
32 °
15 ,. ч
~16So( o)
-^so(l + ao)
|(l + aoJ

§ 7.8]
ВОЗМУЩЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО КЛАССА
229
Таблица 16
Коэффициенты
\. ft
ft ^\^
0
—1
1
—2
2
-2
--<Фо
15 s
15
2
45 2
on ^0^0
15
32
— ггт soao A — olj)
— g^ s0a0 A + a0)
Коэффициенты cBk\t
Таблица 17
\. k
0
—1
1
—2
2
45
15
2
45
15
15
aB*\
выражатюся через aB*\ и ^'/i такими формулами:
n. (ft) ^
— bsoaoa2, h,
"(ft) 3 so hW
C2, h = -^ 77- 02,
G.8.9)

230
ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. VII
Таблица 18
Коэффициенты
\\ h
0
-1
+1
—2
+2
-2
~32S°2
15
15
15
2
45 2
32 S°
15 ,,
7gso(l —a0)
15
§ 7.9. Возмущения элемента М
Согласно D.11.14) и D.11.15) время t связано с пере-
менной v следующим уравнением:
dt ?2+c2ti
где 7?г2 дается формулой C.17.16).
Применяя метод, уже использованный нами в случае
зональных и тессеральных гармоник, мы можем легко
получить следующую формулу для возмущений в t:
, G.9.2)
где иоо> — среднее аномалистическое движение для про-
межуточной орбиты.
1. Вековой член в nfti. Обозначим через Я,"
коэффициент при вековом члене в nff 8t. Тогда из G.9.2)
найдем
^3sl), G.9.3)
где, как и раньше, р определяется формулой G.4.3).

§ 7.9] ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА М 231
2. Периодические члены. Прежде всего
имеем
где
[ G.9.5)
A-^)/2- J
Далее находим
Здесь / = ± 2, а
ао= -6A-е^Га2 = &е1^±^Щ-A~е1)-К G.9.7)
1 + V 1 — «о
Перейдем теперь согласно § 4.13 от возмущений в t
к возмущениям в v, а затем к М. Тогда будем иметь
ЬМ = S ?о, л sin Ш + 2 ?а, л sin Bg' + АИ) +
+ 2 #Л sin B"' + АИ) + 2 Ч?\ sin Bи' + /У + hQ), G.9.8)
где
?о,/. = Ио-^-^- (Л = 1,2), G.9.9)
^| (fc = 0,±l,±2), G.9.10)
, = Р'2B, 0, ft, {-^ + 1Ж^г} G.9.11)
(ft = 0, ±1, ±2),
:} G'942)
/ = ±2),

232 ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. VII
причем коэффициенты (к, /, К) определяются формулами
G.2.5) и табл. 14.
Заметим, что под ЬМ здесь понимается только совокуп-
ность чисто периодических членов. Что касается векового
члена в v или М, то его можно ввести сразу в формулы
промежуточного движения, заменяя Я, на Я, — "к".
В заключение этого параграфа рассмотрим величины g'
и Q, которые входят аргументами в формулы для возму-
щений. Согласно G.6.6) и G.2.3) g' и Q определяются фор-
мулами
G.9.13)
где Q' — долгота Луны или Солнца, отсчитываемая
в плоскости экватора Земли от точки весеннего равно-
денствия.
Заменяя в G.9.13) v на М = п (t — ?0) + Мо, мы по-
лучим
\( o) + o — Q,', J
где
G.9.15)
Вопрос об определении и' и Q' мы рассмотрим в сле-
дующем параграфе.
§ 7.10. Определение элементов Луны и Солнца
В формулы для возмущений элементов помимо масс
и больших полуосей возмущающих тел входят также на-
клоны, долготы узлов и перигеев Луны и Солнца, отнесен-
ные к плоскости экватора.
Рассмотрим сначала вопрос о вычислении указанных
величин, связанных с Солнцем. В этом случае, очевидно,

§ 7.10]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛУНЫ И СОЛНЦА
233
Q' = 0 и i' = е', где е' — наклон эклиптики к экватору.
Поскольку движение перигелия Земли очень мало (годич-
ное изменение равно примерно
1"), то можно принять, что
v' = 0 и, следовательно, и' =
= A.Q, где Kq — средняя долго-
та Солнца. Таким образом, в
случае Солнца мы имеем
i'= е\ и'= Xq, Q'= 0. G.10.1)
При этом для вычисления Xq мо-
жет служить формула, которая
приводится в Астрономическом
Ежегоднике.
Перейдем теперь к случаю
Луны. На рис. 21 через / и Qt
обозначены наклон и долгота
узла Луны, отнесенные к пло-
скости эклиптики, а через N
обозначена дуга лунной орбиты
от точки пересечения ее с экватором до точки пересе-
чения с эклиптикой. Из сферического треугольника
находим
cos i' = cose' cos/ — sine' sin /cosQ^, G.10.2)
sin/ ~:-" G.10.3)
G.10.4)
Рис. 21. Элементы орбиты
Луны.
Дг Sin 8' . /~i
Sin N = —:—zr Sin L2([
sm i' ^
Так как е', / и Q( приводятся в Астрономическом
ежегоднике, то формулы G.10.2)—G.10.4) дают возмож-
ность определить V, Q' и N. Что касается аргумента пе-
ригея Луны и', то он может быть найден из равенства
и' = Я.с - Qc + N, G.10.5)
где Я,? — средняя долгота Луны, значения которой также
приводятся в Астрономическом Ежегоднике.
Заметим, что поскольку г' и / мало изменяются с вре-
менем и / — малая величина, то на промежутке времени
около одного года V может рассматриваться как величина
постоянная.

234 ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. VII
§ 7.11. Некоторые свойства возмущений
Полученные в предыдущих параграфах формулы для
возмущений справедливы при всех е0 < 1, в том числе
и при е0 = 0. Величина возмущений, как правило, быстро
растет при возрастании е0.
С принятой точностью элемент а является постоян-
ным, а элементы е и i не имеют вековых возмущений.
Вековые члены содержатся только в возмущениях элемен-
тов Q, о и М.
Все периодические возмущения в зависимости от пери-
ода разделены на четыре класса. Период возмущений пер-
вого класса полностью определяется средним движением
элемента Q. Эти возмущения тем значительнее, чем бли-
же i0 к 90°. Они не обращаются в нуль при е0 = 0, за
исключением возмущений элементов а и е, которые для
всех е0 равны нулю.
Период возмущений второго класса определяется сред-
ними движениями элементов Q и ю. Возмущения этого
класса в элементах е, i, Q и е cos ю и е sin to обращаются
в нуль при е0 = 0.
Периоды возмущений третьего и четвертого классов
в случае Солнца мало отличаются от периодов возмущений
первого и второго классов. В случае Луны период этих
возмущений близок к половине периода обращения Луны
относительно Земли. Эти возмущения, таким образом,
имеют гораздо меньший период, чем все перечисленные
выше возмущения. Зависимость возмущений третьего
и четвертого классов от е0 аналогична зависимости в слу-
чае возмущений первого и второго классов соответственно.
Все возмущения очень быстро возрастают с увеличе-
нием а0. Вековые неравенства возрастают как а^, a дол-
гопериодические — как а\.
Более сложной оказывается зависимость возмущений
от i0. Рассмотрим возмущения первого и второго классов.
Амплитуды этих возмущений содержат в знаменателях
величины
/v + n\i,
где j и п — целые числа. При некоторых ?0 эти величины
могут быть сколь угодно малыми. Табл. 19 содержит зна-
чения i0, при которых знаменатели амплитуд возмущений
первого и второго классор близки к нулю.

§ 7-11]
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩЕНИЙ
235
Таблица 19
Критические значения
3,
0,
2,
2,
n
re
0
-1
63
69
°30'
°00'
ч
90°
116
126
°30'
°00'
3,
2,
2,
2,
n
+1
2
+2
54
73
46
°00'
°10'
°20'
io
111
133
106
°00'
°40'
°50'
При этих значениях г0 как амплитуды, так и периоды
возмущений становятся очень большими величинами.
Поведение возмущений в критических случаях необходи-
мо рассмотреть отдельно.
Критические значения i0 для возмущений третьего
и четвертого классов существенно зависят от величины а0.
Величина возмущений зависит главным образом от
следующих характеристик:
Р'2
А/.
В табл. 20 приведены значения этих величин для различ-
ных значений а0. Эта таблица дает представление о по-
рядке возмущений. Так, р характеризует порядок веко-
В'2 б'2
вых возмущении, а —^ и ^ характеризуют различные
80 А,
долгопериодические возмущения.
Таблица 20
Значения р'2, %' и е|
1
2
3
4
а0 (км)
7 000
8 000
10000
20000
Р'2.
Луна
0,071
0,112
0,216
1,81
106
Солнце
0,034
0,048
0,098
0,72
Луна
2,4
3,1
4,2
12,0
юз
Солнце
0,18
0,22
0,31
0,85
80-103
«0=0
0,90
0,67
0,44
0,11
Рассмотрим теперь конкретные примеры. Таблицы 21
и 22 содержат результаты вычислений по формулам § 7.4

236
ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. VII
Таблица 21
Вековые возмущения О
1
2
3
4
5
дас
—0° 00024
—0,00027
—0,00031
—0,00009
0,00004
-0
-0^00013
—0,00013
—0,00016
-0,00004
0,00002
да
—0^00037
—0,00040
—0,00047
—0,00013
0,00006
Таблица 22
Вековые возмущения о
1
2
3
4
5
Дш?
0°00034
0,00027
0,00028
—0,00002
—0,00017
0^00018
0,00014
0,00014
—0,00001
—0,00008
Дш
0°00052
0,00041
0,00042
—0,00004
—0,00025
вековых возмущении для пяти спутников, элементы кото-
рых приведены в табл. 6 § 3.16. Вторые и третьи столбцы
этих таблиц дают суточные изменения элементов Q и ю,
обусловленные Луной и Солнцем. Суммарные возмущения
от] Луны и Солнца приводятся в четвертых столбцах.
Из этих таблиц видно, во-первых, что вклад Солнца
в суточные изменения элементов Q и ю приблизительно
в два раза меньше соответствующего вклада Луны. Во-
вторых, лунно-солнечные возмущения имеют тот же по-
рядок малости, что и возмущения от зональных гармоник
(не считая второй)..
Рассмотрим теперь долгопериодические возмущения.
Для спутника 1960 j2 из наблюдений были выявлены изме-
нения элемента i на промежутке времени, равном около
5,5 месяцев.. Из^ наблюдаемых значений были вычтены
все возмущения, кроме возмущений, вызываемых притя-
жением Луны и Солнца и световым давлением. Для

§ 7.12
ЗАМЕЧАНИЯ
237
данного спутника по формулам этой главы была получена
теоретическая кривая изменения i с временем. Эта кривая
Рис. 22. Лунно-солнечные возмущения наклона орбиты спутника
I960 j2.
изображена на рис. 22, на котором также нанесены наблю-
даемые значения i вместе со стандартными ошибками.
§ 7.12. Замечания
В этой главе мы изложили теорию лунно-солнечных
возмущений, основанную на работе [3]. Она содержит
вековые и долгопериодические неравенства. Короткопе-
риодические возмущения, которые можно найти в работе
И. Козаи [4], для близких спутников малы. Так, амплиту-
ды короткопериодических возмущений в большой полуоси
могут достигать только 1—2 метров.
Приведенные здесь формулы не содержат возмущений,
зависящих от параллаксов и эксцентриситетов возмуща-
ющих тел. Что касается параллактических неравенств, то
их нужно принимать во внимание лишь в случае Луны
и для достаточно далеких спутников. Они получены
в работах В. С. Уральской [5] и П. Мюзена [6], Неравен-

238 ЛУННО-СОЛНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. VII
ства, связанные с эксцентриситетом возмущающего тела,
можно взять из работы С. Н. Вашковьяк [7] *).
Развитая в перечисленных работах теория является
чисто тригонометрической, ибо она не содержит вековых
членов ни в эксцентриситете, ни в наклоне орбиты спут-
ника, и ею можно пользоваться на больших промежутках
времени. Нетригонометрическая теория построена в рабо-
тах А. В. Егоровой [8] и В. П. Долгачева [9]. Эта теория
весьма компактна и может быть использована при изуче-
нии движения спутника на небольших временных интер-
валах.
При выводе формул для возмущений обычно предпо-
лагают, что элементы орбит Луны и Солнца постоянны, за
исключением долгот узла и перигея, которые рассматри-
ваются как линейные функции времени. Такие предполо-
жения обоснованы в случае Солнца. Что касается Луны,
то ее эксцентриситет изменяется от 0,045 до 0,065, а наклон
к эклиптике — от 4°57' до 5°20', что вносит поправку
в долготу Луны в десятых долях градуса. В связи с этим
И. Козаи [4] предложил использовать комбинированный
численно-аналитический метод для вычисления лунно-
солнечных возмущений. Короткопериодические возму-
щения учитываются аналитически, а для получения воз-
мущений долгого периода численно интегрируются урав-
нения в вариациях для элементов орбиты спутника. При
этом координаты Луны и Солнца берутся из Астрономи-
ческого Ежегодника.
Качественный анализ эволюции орбиты спутника под
действием внешнего возмущающего тела был проведен
в интересной работе М. Л. Лидова [10]. Для этого им была
использована двукратно осредненная ограниченная кру-
говая задача трех тел, которая, как известно, интегрирует-
ся в квадратурах [11].
*) Работа С. Н. Вашковьяк посвящена теории движения спут-
ников Марса, но поскольку построенная в ней теория является
буквенной, она может быть использована и для изучения движения
искусственных спутников Земли.

ГЛАВА VIII
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ
§ 8.1. Введение
В предыдущих главах были рассмотрены возмущения
элементов орбиты спутника, вызываемые зональными
и тессеральными гармониками геопотенциала и притяже-
нием Луны и Солнца, т. е. силами, имеющими гравита-
ционную природу. Характерной особенностью влияния
этих сил является то, что в возмущенном движении не-
угловые элементы имеют вид
а 1 а0]
6 f ~е° I ~^~ пеРИ0Д- члены,
i J io J
а угловые элементы могут быть представлены так
МЛ М0Л
(о > = (о0 / + at -f период, члены,
Й J 9-о J
где а0, е0, i0, Мо, «0, Qo и а — постоянные.
Хотя мы оставили в стороне вопрос о сходимости рядов
для возмущений, но на основании результатов, получен-
ных в последнее время А. Н. Колмогоровым и В. И. Ар-
нольдом [1], можно думать, что эти ряды сходятся для
большинства начальных условий из интересующей нас
области движения спутника. Во всяком случае, если иметь
в виду ограниченные промежутки времени, то, как пока-
зывает сравнение теоретических выводов с наблюдениями,
построенная в таком виде теория хорошо представляет
движение спутника на достаточно больших временных
интервалах.
В этой главе мы рассмотрим возмущения в движении
спутника, которые обусловлены сопротивлением атмо-
сферы. Как мы вскоре увидим, влияние этой возмущающей
силы качественно отличается от действия гравитационных
сил. Если в случае гравитационных сил элементы а, е, i,

240 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
полностью определяющие область пространства, где про-
исходит движение спутника, подвержены только перио-
дическим колебаниям, то сопротивление атмосферы вызы-
вает в них вековые возмущения. Именно эти возмуще-
ния — причина того, что близкие спутники имеют лишь
ограниченный срок жизни. Что касается угловых элемен-
тов, то они подвержены возмущениям, пропорциональным
квадрату времени.
Рассматриваемая задача имеет еще одну особенность.
Если определение возмущений от гравитационных сил
представляет собой главным образом математическую про-
блему, и точность теории зависит от совершенства приме-
няемых методов и порядка учтенных в возмущающей функ-
ции членов, то здесь мы сталкиваемся прежде всего с труд-
ностями физического характера, главными из которых
являются не поддающиеся точному прогнозу колебания
плотности атмосферы и неточные сведения о некоторых
физических характеристиках, входящих в выражение для
силы сопротивления. Эти трудности и накладывают серь-
езные ограничения на точность теории и на промежуток
времени, на котором ею можно пользоваться.
Однако, несмотря на это, оказывается возможным на-
рисовать не только качественную картину, но и построить
такую теорию возмущений от сопротивления атмо-
сферы, которая, как показывает практика, дает вполне
удовлетворительные результаты при изучении движения
спутника на небольших промежутках времени.
§ 8.2. Плотность атмосферы
Плотность воздуха верхней атмосферы определяется
как непосредственно, при помощи аппаратуры, установ-
ленной на спутниках и ракетах, так и косвенным путем,
при помощи изучения возмущений в движении спутника,
вызываемых сопротивлением атмосферы. В последние годы
наиболее плодотворным оказался второй метод. Он позво-
лил нарисовать подробную картину изменения плотно-
сти воздуха с высотой и с временем.
На рис. 23 приводится распределение плотности р
в зависимости от высоты h для 1961 г., полученное Кинг-
Хили и др. [2]. Поскольку на этом рисунке шкала значе-
ний плотности логарифмическая, то прямая линия строго

ПЛОТНОСТЬ АТМОСФЕРЫ
241
соответствует экспоненциальному закону изменения плот-
ности с высотой.
Изменение плотности воздуха с временем характери-
зуется следующими основными эффектами:
1. Суточный эффект. В зависимости от вре-
мени суток плотность воздуха на данной высоте различна.
Максимум плотности наблюдается примерно через 2 часа
после полудня, а минимум — между полуночью и рассве-
том. Этот эффект обусловлен изменением температуры
BOO
200
s \
N
V
1
f047 f{J-fS fg-
1O43 1O~1Z
Рис. 23. Плотность воздуха р в г/си3 в зависимости от высоты для
1961 г.
в зависимости от высоты Солнца над горизонтом. Днем
массы воздуха поднимаются вверх и поверхности посто-
янной плотности образуют горб, направленный к Солнцу.
При h — 500 км этот горб имеет высоту около 100 км, так
что дневные значения плотности на высоте 600 км при-
мерно равны ночным значениям на высоте 500 км. Для
высоты 650 км максимальные значения плотности могут
в 10 раз превосходить минимальные значения. Разница
между дневными и ночными значениями плотности для
h = 200 км мала, но и она может составлять 40% средней
плотности на данной высоте.
2. Колебания плотности с периодом
27 с у т о к. Этот эффект, период которого равен периоду
вращения Солнца вокруг своей оси по отношению к Земле,
связан с количеством и активностью солнечных пятен на
видимой стороне Солнца. Амплитуда колебаний плотно-
сти с таким периодом на высоте 200 км может составлять
20%, а на высоте 600 км — 70% от средней плотности.
16 К. П. Аксенов

242
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
3. 6-м есячные колебания. Плотность воз-
духа подвержена колебаниям с периодом около 6 месяцев
и амплитудой, достигающей па высоте 350 км около 40%
от средней плотности. Максимумы этих колебаний бывают
в апреле и октябре, а минимумы — в январе и июне.
Этот эффект связывают с наклоном оси вращения Солнца
к плоскости эклиптики.
4. 11-л етний цикл. Самые большие вариации
плотности связаны с 11-летним циклом солнечной дея-
тельности (рис. 24). Между максимумами и минимумами
6-10 '
1955 1955 1957 1959 1961
Рис. 24. Одиннадцатилетний цикл.
солнечной активности плотность воздуха убывает на высоте
300 км, примерно в три раза, а на высоте 600 км в 20 раз.
5. Иррегулярные изменения плот-
ности/ Имеются спорадические изменения плотности
воздуха, связанные в первую очередь также с деятельно-
стью Солнца. Эти изменения, которые трудно предсказать,
могут длиться малое время (несколько суток или несколь-
ко часов), но могут достигать достаточно большой величи-
ны (рис. 25).
Нарисованная здесь картина, по-видимому, не являет-
ся полной, ибо можно думать, что существуют и другие
вариации плотности, такие, например, как приливные
колебания, широтный эффект и т. д.
Таким образом, атмосфера имеет весьма сложную струк-
туру и построение необходимой для теории достаточно
полной аналитической модели атмосферы является делом

§8-2]
ПЛОТНОСТЬ АТМОСФЕРЫ
243
чрезвычайно сложным. Такая модель должна основывать-
ся на табличной динамической модели, которая дает зави-
симость плотности не только от высоты, но и от времени.
Примером динамической модели может служить модель
США, 1965 [3] •).
Эта модель представляет собой совокупность таблиц,
дающих плотность как функцию высоты в зависимости от
Цр.г/сн3
-16,25
-15,50
-16,75
-17,00
20 50ы 10 20 30 9 19 29
июнь июль август
18 28 8 18
сентябрь октябрь
Рис. 25. Иррегулярные изменения плотности.
местного времени и одного из параметров F, характеризу-
ющего среднюю на протяжении года солнечную актив-
ность. В качестве примера в Приложении (табл. 36)
приводятся значения плотности для случая слабой солнеч-
ной активности в зависимости от высоты и местного вре-
мени. На рис. 26 приведены графики изменения lg p от
высоты для момента времени, равного 4h, в случае слабой
(F = 75) и в случае сильной (F = 200) солнечной актив-
ности. На рис. 27 представлена зависимость lg p от мест-
ного времени для разных высот.
Более полные сведения о плотности воздуха содержат-
ся в Стандартной атмосфере CIRA, 1972 [4]. Эта модель
дается таблицами и формулами, позволяющими нахо-
дить плотность на данной высоте для данного момента
времени. Основными входными данными Стандартной
атмосферы, помимо высоты h и местного солнечного време-
ни, являются широта точки ср, в которой определяется плот-
ность, склонение Солнца б©, индексы F10J и F10,7, харак-
теризующие поток солнечного излучения на волне
10,7 см, и геомагнитный индекс Кр.
*) Cospar International Reference Atmosphere, 1965.
16*

244
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
В силу весьма сложной зависимости плотности от вре-
мени, мы долншы сначала пойти путем неизбежных упро-
щений. Прежде всего вместо динамической модели мы
возьмем сначала статическую модель, дающую плотность
как функцию одной высоты. Подходящую статическую
модель мы можем выбрать, исходя из данных о солнечной
активности и из момента местного времени, когда местный
меридиан пересекает точку перигея орбиты. Примеры
статических моделей содержит уже упомянутая табл. 36.
-12
ЧР
-/4
-15
-18
N
—
200
BOO h,KM
if 8 12 1В 20 2V
Рис. 26. Зависимость lg р от А Рис. 27. Зависимость lg (
в случае слабой и в случае местного времени,
сильной солнечной активности.
от
Сделаем дополнительные упрощения. Поскольку в те-
ории движения спутника нас интересует только та область
высот, в которой находится его орбита, то мы можем
пользоваться локальной моделью, дающей поведение плот-
ности в некотором ограниченном слое. Но, как показыва-
ют рис. 24 и 26, в первом приближении можно принять
для плотности экспоненциальный закон:
р = роехр(—/Г )' (8.2.1)
где Н — постоянная, а р0 — значение плотности в исход-
ной точке. Если взять за эту точку перигей орбиты спут-
ника, то высоту h нужно отсчитывать от перигея.
Величина Н, называемая шкалой высот, в свою оче-
редь является функцией высоты. На рис. 28 приводятся

§8.2]
ПЛОТНОСТЬ АТМОСФЕРЫ
245
графики изменения Н с высотой для модели атмосферы
США, 1965 *). При изменении высоты от 200 до 800 км
шкала высот Я возрастает примерно от 20 до 200 км.
Таким образом, формула (8.2.1) тем лучше описывает рас-
пределение плотности, чем более тонкий слой рассматри-
вается.
200 300 W0 500 В00 700
Рис. 28. Зависимость шкалы высот Н от h.
Взяв за основу формулу (8.2.1), мы можем найти глав-
нейшие возмущения в движении спутника, вызываемые
сопротивлением атмосферы. Изучив их, можно перейти
к исследованию более тонких эффектов. Так, полагая
в (8.2.1)
Н = #0
(8.2.2)
где Но и |я' — постоянные, можно найти неравенства,
обусловленные изменением шкалы высот.
Далее, можно учесть суточный эффект, если восполь-
зоваться формулой [5]
^)D) (8.2.3)
в которой а' и п' — постоянные, ai|/ — угол между радиу-
сом-вектором спутника и осью атмосферного горба.
*) См. также Приложение (табл. 37).

246 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Так, шаг за шагом усложняя аналитическую модель
атмосферы, мы можем добиться вполне удовлетворитель-
ного согласия теории с наблюдениями.
§ 8.3. Сила сопротивления атмосферы
При изучении поступательного движения спутника
принимают во внимание лишь ту компоненту F аэродина-
мических сил, направление которой противоположно век-
тору относительной скорости спутника. Выражение для F
записывают в виде
F = ±-pV'*ACD, (8.3.1)
где р — плотность воздуха, V — скорость спутника отно-
сительно атмосферы, А — площадь миделева сечения,
а С D — аэродинамический коэффициент лобового сопро-
тивления (безразмерный).
Если средняя длина свободного пробега молекул воз-
духа значительно превосходит геометрические размеры
спутника, то коэффициент СD близок к 2. В противополож-
ном случае он мало отличается от единицы. Средняя длина
свободного пробега молекул на высотах свыше 160 км
составляет около 50 м. Поэтому для большинства спутни-
ков CD«2.
Для сферических спутников, движущихся по орбитам
с высотой перигея от 180 до 500 км, значение С D оказы-
вается равным 2,1—2,2. Для цилиндрических спутников,
движущихся по тем же орбитам, С D может принимать
значения между 2,10 и 2,25. Поэтому с ошибкой, не пре-
восходящей 5%, можно принять, что среднее значение СD
равно 2,2.
Площадь поперечного сечения А для несферических
спутников является величиной переменной. Поэтому,
строго говоря, для изучения поступательного движения
спутника необходимо знать его вращательное движение.
Однако, если предположить, что при вращении спутника
вокруг центра масс различные его положения равноверо-
ятны, то для А можно взять среднее значение, равное
0,25 площади внешней поверхности спутника.
Из предыдущего следует, что мы не можем с высокой
степенью точности знать величины А и С D. Но нужно иметь

§ 8.4] ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА 247
в виду, что произведение А-С в может определяться непо-
средственно из наблюдений. Что касается теории, то
для нее важно то, чтобы это произведение было постоян-
ным. Это требование имеет особое значение при определе-
нии короткопериодических возмущений и едва ли сколько-
нибудь существенно при изучении долгопериодических
и вековых неравенств.
§ 8.4. Функции Бесселя мнимого аргумента
Важным математическим аппаратом в теории возму-
щений от сопротивления атмосферы оказались функции
Бесселя мнимого аргумента, основные свойства которых
мы кратко изложим в этом параграфе.
Функция Бесселя порядка п от чисто мнимого аргу-
мента, обозначаемая через /„ (?), может быть определена
следующим образом. Пусть Jn (?) — обычная функция
Бесселя первого рода порядка п. Тогда
Поэтому все свойства функции /„ (?) могут быть легко
выведены из соответствующих свойств обычных функций
Бесселя [6].
Функция /„ (?) удовлетворяет уравнению
дф ~Г~ 1 It,
и разлагается в следующий ряд:
со
In (С) = 2j
й=0
При больших ? для вычисления In (Z) можно воспользо-
ваться следующим асимптотическим разложением:
X Dп2-З2) ... [An2-Bk— IJ]} .

248 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
В частности, для /0 (?) и /j (?) имеем
_j-_i-.J
^ 128 ?
A 3 1
_Z5_
1024
15 1 105 _1_ , \
128 ' ?2 1024 * S3 /
(8.4.1)
g
Заметим, что при Z, > -=- выписанные члены в разложе-
ниях (8.4.1) обеспечивают точность в определении 70 (J)
и I, {I) до 1%.
Для функций Бесселя мнимого аргумента справедливы
следующие рекуррентные соотношения:
/n-i(S)-/»+i(S) = -|L/»(S), (8.4.2)
/n-i(?) + /n+i(?) = 2/;(?), (8.4.3)
где штрих означает производную по ?.
Весьма важным для приложений является интегральное
представление 7„ (Q:
„ (Q
2Я
„ (?) = JL j exp (С cos E)
(8.4.4)
Из этой формулы имеем следующее разложение в ряд
Фурье функции exp (? cos E):
ехр (С cos Е) = /0 (С) + 2 2 /„ (С) cos n^. (8.4.5)
Другие свойства этих функций можно найти в уже
упомянутой монографии [6].
§ 8.5. Уравнения для возмущений
элементов а, р, i
Мы будем исходить из уравнений для элементов а, р, s,
полученных в § 4.10. Эти уравнения позволят нам найти
возмущения, обусловленные не только сопротивлением
атмосферы, но и совместным, комбинированным влия-
нием сопротивления и сжатия Земли.

§ 8.5] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ 249
Предположим сначала, что атмосфера не вращается
относительно инерциальной системы координат. Тогда
направление силы сопротивления будет противополож-
ным направлению вектора орбитальной скорости V. Раз-
ложим эту силу по двум направлениям: по радиусу-векто-
ру г и по нормали к нему. Обозначая в соответствиис §4.10
компоненты возмущающего ускорения через S и Т, мы
будем иметь
1 лГ Г
5=-^-f, T=-F V Viv~r , (8.5.1)
где F — величина возмущающего ускорения.
Так как вектор В перпендикулярен к вектору орби-
тальной скорости, то третья компонента В будет равна
нулю.
Подставим формулы (8.5.1) в уравнения D.10.15) для
элементов а, р, s. Тогда
F
(8.5.2)
ей _ 1— S2 Q F
~dT~^pf~ fm V '
где / — постоянная притяжения, m — масса Земли.
Орбитальная скорость V и величина Q определяются
формулами
F2 /т 2/т(Е-с(ГТ)) С8 5 3\
(8.5.4)
Входящие в уравнения (8.5.2)—(8.5.4) величины |, г\
даются формулами промежуточного движения:
? = аA — ecosE), (8.5.5)
„_ «sine+v (856)

250 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕГЫ [ГЛ. VIII
где 0 и if) определяются из равенств
6 = -ф + со — 4г sin 2т|э + Щ- sin 2 (яр + со),
о о
4 F 1 6
М = ?¦ — е* sin ?¦ + Я,а sin 2 (\|) + со),
причем
7 = — Еа A — 2s2); d = eas, "
k\ = e V A - e2), A;22 = sW,
приведем также выражения для п, v и \х:
(8.5.7)
(8.5.8)
(8.5.9)
(8.5.10)
(8.5.11)
Здесь мы отбросили члены порядка е4.
Поскольку в формулы промежуточного движения вхо-
дят вместо элементов а, р, s элементы а, е, i, связанные
с ними равенствами C.18.13)—C.18.15), то три уравне-
ния (8.5.2) следует заменить уравнениями для элемен-
тов а, р, i. Дифференцируя C.18.13)—C.18.15) и ис-
пользуя (8.5.2), находим
dp
ИГ
di
dt
-2а2[1 + 2б2а2A
-2 \ v ^-4-2б:
- FV
\ (8.5.12)
« L /mp v 'J V ' fm '

§ 8.6] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 251
где
а = cos i, s — sin i, p = a A — e2).
В дальнейшем нам потребуются формулы для F2 и про-
изводной Е по t. Эти формулы легко получаются из
(8.5.3)—(8.5.9), и мы имеем
1 + gCOS-E Г.<?,
\Т9. — fm 1 + gCOS-E Г. <
К а 1 —ecos? I /ma(l —
е2A_е2)а2C-_ес08Д)
2(l-ecos?)
где (? определяется из равенства (8.5.4).
§ 8.6. Уравнения для вековых возмущений
элементов а, р, г
Будем считать, что возмущающее ускорение, сообщае-
мое спутнику сопротивлением атмосферы, дается форму-
лой (см. § 8.3)
4? (8.6.1)
в которой А и тп0 — площадь миделева сечения и масса
спутника, CD—коэффициент сопротивления, р — плот-
ность воздуха.
Как отмечалось в § 8.2, в первом приближении мы
можем принять, что плотность р зависит от геоцентриче-
ского расстояния г по экспоненциальному закону. Мы не
внесем в этот закон существенных изменений, если заме-
ним радиус-вектор г координатой |, поскольку при | =
= const мы получаем сжатый эллипсоид, мало отличаю-
щийся от сферы радиуса г. Очевидно, в результате такой
замены мы будем частично учитывать сплюснутость атмо-
сферы у полюсов.
Итак, пусть
^=i> (8.6.2)

252
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
где ?0 — а0 (I — е0) соответствует внутреннему ограни-
чивающему эллипсоиду, р0 — значение плотности на этом
эллипсоиде, а Н — шкала высот.
Заменяя | его значением из (8.5.5) и полагая
(8.6.3)
мы можем представить формулу (8.6.2) в виде
р = р0А; exp f -^- cos E).
Если далее ввести обозначения
то для ускорения F найдем
s?'). (8.6.5)
Подставим теперь равенства (8.6.5) и (8.5.13) в урав-
нения (8.5.12), а затем разделим правые части полученных
«
уравнений на (8.5.14) и умножим их на Е. Тогда, если
отбросить члены, заведомо приводящие к периодическим
неравенствам, будем иметь
K/2
da
iL = _ i_ аяр0кг2 A - e2) sa x
l/2
где с точностью до е2е включительно
dE
dE
dt
(8.6.6)
Ф = 1 + -у- A2 - 15s2) _ J^L (8 — 5s2) cos E.
(8.6.7)
Поскольку нас интересуют только вековые возмуще-
ния, мы проделаем с уравнениями (8.6.6) следующие пре-
образования. Мы осредним правые части этих уравнений
по t на промежутке времени, равном одному аномалисти-

8.6] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 253
ческому периоду обращения спутника Т. Обозначая через
[а], [р], [i] осредненные значения правых частей, мы
будем иметь
т
. , 1 Г da ,,
W)dL
Для вычисления интеграла перейдем от t к новой незави-
симой переменной Е. Тогда, имея в виду, что при измене-
нии t от 0 до Т переменная Е изменяется от 0 до 2л, найдем
2
1 Г da dt
О
—
Подставляя сюда вместо — его выражение из (8.6.6)
и замечая, что Т = — , получим
_j^L d +
2я J (l-
(l-ecos?I/2
Чтобы вычислить интеграл (8.6.8), воспользуемся сле-
дующей процедурой. Прежде всего согласно (8.4.5) имеем
ехр (С cos Е) = /о (?) + 2 2 Тп @ cos nE. (8.6.9)
Далее легко находим
A + еcosE)snA-е cos E)~1/2 = 1 + -|- е2 +
-fBe+-|-e3)cos? + -!-e2cos2?'+-?Lcos3?'+- ..,
(8.6.10)
где невыписанные члены имеют порядок е*.
Подставляя (8.6.7), (8.6.9) и (8.6.10) в (8.6.8) и интег-
рируя, получим
(8.6.11)

254 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Аналогичным образом найдем
[р] = -па*рохк { A --5- е2) 1й-?-1г +
+^.A2- 15s2) /„--^- (8~5s2) 7i } - (8-6-12)
--|- е2) /0 +
В формулах для [а] и [р] мы сохранили члены порядка
е°е3 и е2е, а в формуле для [г] члены, пропорциональные
e'V. Дифференциальные уравнения для a, p,i теперь запи-
шутся в виде
Правые части уравнений (8.6.14) являются функциями
элементов а, р, i, а при 8 = 0 — функциями элементов а
и р. Поэтому естественным способом решения этих урав-
нений является следующий. Отбрасывая сначала малые
члены с е2, мы получим систему двух уравнений для аир,
которая не содержит явно времени, вследствие чего она
легко сводится к одному уравнению первого порядка.
Его интегрирование даст нам зависимость а от р. После
этого находим связь р, а затем и а, с временем t. Подстав-
ляя найденные формулы для ал р в слагаемые, пропорцио-
нальные е2, можно учесть и эти малые члены.
Такой способ полностью оправдан, если мы хотим
проследить изменение элементов на большом промежутке
времени, близком ко всему времени жизни спутника.
Этим способом мы воспользуемся в § 8.14. Однако, когда
речь идет о небольших временных интервалах, охваты-
вающих несколько суток, можно воспользоваться обыч-
ным методом последовательных приближений и в случае
не очень близких спутников ограничиться лишь первым
приближением.
Если обозначить через Да, Ар, Ai возмущения элемен-
тов о, р, г, то в этом случае будем иметь
Да = Ыо(*-*о), Др=[р1о(*-<о). &i=li]0{t-t0), (8.6.15)

§ 8.7] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 255
где Мо, Мо и [i\0 даются формулами (8.6.11)—(8.6.13),
в которых а, е, i должны быть заменены их начальными
значениями: а0, е0, г0.
§ 8.7. Асимптотические формулы для возмущений
элементов а, р, е, г, п
Полученные в предыдущем параграфе формулы дают
точность до 1%, если е <С 0,2. В случае больших эксцен-
триситетов в этих формулах необходимо сохранить члены
высших степеней е, а при очень больших эксцентриситетах
необходимо, по-видимому, использовать другой метод.
С другой стороны, при е <; 0,2 формулы § 8.6 можно суще-
ственно упростить, если воспользоваться асимптотически-
ми разложениями для функций Бесселя. Для этого,
однако, необходимо наложить ограничения на величину ?,
а именно при сохранении точности в 1% нужно, чтобы
^ > 3. Но тогда из формулы (8.6.4) будет следовать, что
е > 0,02. Случай
0,02 < е < 0,2
представляет наибольший интерес для практики и мы его
рассмотрим подробнее.
Подставляя (8.4.1) и (8.4.2) в формулы (8.6.11)—
(8.6.13), мы легко находим следующие выражения для
коэффициентов вековых возмущений элементов а, р, i:
(8.7Л)
(8.7.2)

256 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ГЛ. VIII
z;saaoi i + e0—$-—¦$- +
где
ьо=—д^ • (о./.4)
Зная изменения элементов аир, можно найти формулу
для изменения элемента е. Действительно, так как
то
„ de 1—е2 da I dp
dt a dt a dt
Следовательно, если положить
Ае = Ыо (t - tQ), (8.7.5)
то для [е]0 будем иметь
—fSo2)). (8.7.6)
Аналогичным образом можно найти формулу, дающую
изменение элемента п. Пусть
An = k(t — t0). (8.7.7)
Тогда
2-12«0-
Що
(8.7.8)
Напомним, что в приведенных формулах р0 означает
плотность на поверхности внутреннего ограничивающего
эллипсоида, а к определяется равенством (8.6.4).

§ 8.8] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 257
§ 8.8. Вывод уравнений
для возмущений угловых элементов
Возьмем теперь уравнения D.10.17) для элементов М,
ю и й. Как уже отмечалось в § 4.10, в правых частях этих
уравнений в коэффициентах при проекциях возмущающего
ускорения были отброшены члены порядка е2. Оказывает-
ся, что эти члены не приводят к вековым возмущениям [7].
Легко также убедиться в том, что вторые слагаемые правых
частей уравнений D.10.17) приводят лишь к периодиче-
ским неравенствам. Поэтому вековые возмущения угловых
элементов могут быть определены из уравнений
dM dQ, '. da ; /о о ..
где п, \i и v даются формулами (8.5.11).
Найдем сначала возмущение элемента М. Так как
согласно (8.7.7)
то первое уравнение (8.8.1) дает
-|(f-*oJ- (8-8.2)
Перейдем к выводу формулы для возмущений элемен-
та Q. Введем во втором уравнении (8.8.1) вместо времени t
новую независимую переменную ч}>. Тогда
?=И. (8.8.3)
Поскольку \i есть функция элементов а, е, i, то ее изме-
нение за время t — t0 определяется формулой
^-
да
где индекс «0» означает, что частные производные должны
быть вычислены при начальных значениях элементов. Так
как Аг имеет порядок е2, то последний член в этой форму-
ле можно отбросить. Поэтому из уравнения (8.8.3) находим
где \|50 есть значение if) при t = to.\
17 Е. П. Аксенов

258 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Вычислим первый из интегралов (8.8.4). Мы имеем
J
4>о
Но согласно (8.5.8) и (8.5.9) разность
Щ (t — t0) + Мо — г|з
содержит лишь периодические члены, вследствие чего
последний интеграл не даст вековых возмущений. Поэтому
](-?¦).*—•-
(^^{^^ } (8.8.5)
Заметим, что мы можем выбрать начальный момент ta
таким образом, чтобы второй член в (8.8.5) был равен
нулю. Действительно, взяв в качестве t0 момент времени,
когда спутник касается внутреннего ограничивающего
эллипсоида, мы будем иметь "ф0 = 0 и Мо = 0. Однако
и при произвольном t0 преобладающим в формуле (8.8.5)
является первый член. Так, уже на промежутке времени
около суток второе слагаемое примерно в 100 раз меньше
первого. Поэтому в дальнейшем мы будем пренебрегать
вторым членом.
Вычисление второго интеграла в формуле (8.8.4) про-
изводится аналогичным образом. В результате находим
Проделав подобные преобразования с третьим уравне-
нием (8.8.1) мы получим следующую формулу для Асо:
*(¦?¦).+iMS

§ 8.9] СВОДКА ОКОНЧАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 259
Вычислив теперь частные производные величин ц и v
но а и е и подставив их в (8.8.6) и (8.8.7), окончательно
найдем
5.8.8)
где к определяется формулой (8.7.8).
§ 8.9. Сводка окончательных результатов
Результаты, полученные в § 8.7 и 8.8, могут быть пред-
ставлены в следующем виде:
n = no + k(t — to), (8.9.1)
a = ao + a{t — to), (8.9.2)
,), (8.9.3)
,), (8.9.4)
М = Мо + no{t-10) -f — (t - to)\ (8.9.5)
ij5-^oJ, (8.9.6)
где n0, a0, e0, i0, Mo, Q'a и a>'0 — значения элементов орби-
ты в начальный момент t = t0, п0, ft0 и v0 — значения п,
fi и v при / = /0, а а, е, I, ц' и v' определяются формулами
|^ ео)}, (8.9.8)
п0
(^)} (8-9-9)
(8-9.10)
(8.9.11)
(8.9.12)
17*

260
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Здесь к дается формулой (8.7.8), ?0— формулой (8.7.4), а
а0 =- cos i0, s = sin i0, e0 = aoAc__e2) .
Заметим, что постоянные Q'o и а'о связаны с обычно
используемыми постоянными Qo и а>0 равенствами
; = Qo
= (о0
Полезно также здесь привести формулы для возмуще-
ний канонических элементов g и h, которые были введены
в § 4.5 вместо Q и со. Мы имеем
A/i =
-Ae
Очень важным параметром, который входит во все
формулы для возмущений, является к. Он зависит как от
элементов орбиты, массы и
формы спутника, так и от
плотности в начальной точ-
ке и шкалы высот. Знание
-Аа,км
200 .W0 Ш 500
Рис. 29. Суточные изменения
большой полуоси в зависимо-
сти от высоты перигея hn.
Z-1D4 -
Рис. 30. Суточные изменения
элементов е и М в зависимости
от Ь,я.
этого параметра позволяет не только прогнозировать дви-
жение спутника, но и дает возможность получить ценную
информацию о плотности воздуха (см. §8.13). Именно по-
этому величина к должна определяться непосредственно из

§ 8.10]
ВЛИЯНИЕ АТМОСФЕРЫ И СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
261
наблюдений и по мере накопления наблюдательного мате-
риала непрерывно уточняться.
Рассмотрим теперь численные значения возмущений.
В качестве примера возьмем спутник, для которого х =
= 0,16 см2/г *). Результаты вычислений представлены
графиками на рис. 29 и 30, которые дают суточные измене-
ния элементов а, еш М ъ зависимости от высоты перигея hn.
В табл. 23 приведены суточные изменения этих элементов
для hn = 500 км и разных значений ев.
Таблица 23
Суточные изменения элементов для Лл = 500 км
G
0
0
,03
,10
,20
Да (л»)
-40,8
-24,8
-21,0
—0
-0
—0
,468-
,281-
,193-
Ю-5
10-5
10-5
0°
0°
0°
дм
,02266
,01140
,00721
Рисунки 29 и 30 показывают, что абсолютные величины
возмущений очень быстро убывают с возрастанием вы-
соты перигея hn. Так, для hn — 200 км суточное изменение
а равно — 4,2 км, а для hn = 500 км оно составляет
лишь — 25 м. Из табл. 23 следует, что на высоте 500 км
наибольшим возмущениям подвержен элемент М. Таким
образом, для далеких спутников, когда не требуется очень
высокая точность, можно ограничиться только учетом
изменения М.
§ 8.10. Комбинированное влияние
сопротивления атмосферы и сжатия Земли
В формулах предыдущего параграфа члены, пропор-
циональные Ер, представляют собой возмущения, вызыва-
емые комбинированным влиянием сопротивления атмо-
сферы и несферичности Земли. Рассмотрим численные
значения этих возмущений на примере спутника, для кото-
рого коэффициент х равен 0,16 см2/г.
*) Такое значение х характерно для многих спутников, за-
пущенных до настоящем времени.

2C2
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
11а рисунках 31—35 дано поведение комбинированных
возмущений элементов за одни сутки для высоты перигея,
-Аа,м
10
0
tin" 200км-
ffg = 0,05
\
/7 J ' П э ЯП ° i
и l-U uu Iq
Рис. 31. Комбинированные'поз-
мущения элемента а в зависи-
мости от наклона ?0.
-AM
6'
If.
Iff3
10 3
2°103
-2°
0°
10 3
.Ьл=2ООкм
ео=0,051
/
S -
/
0,1 '
'0,2 -
*¦—
-
-
О
40
SO ia
Рис. 33. Комбинированные воз-
мущения элемента М в зависи-
мости от ia.
-но
о
Vuc. 32. Комбинированные воз-
мущения элемента е в зависи-
мости от г0.
Рис. 34. Комбинированные воз-
мущения элемента 2 в зависи-
мости от г0.
равной 200 км, в зависимости от наклона /0. Как и следо-
вало ожидать, эти возмущения малы. Максимальные зна-
чения комбинированных возмущений при е = 0,03 равньь
для а около —30 м, для е около —4 -10~6, для М около —
()°-10~3, т. а. их вклад в полную величину возмущений
(см. § 8.9) может составлять лишь около 1%. Поэтому для
элементов а, е, М эти возмущения едва ли можно обнару-

§8.11]
ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ АТМОСФЕРЫ
263
Комбинированные возмущения для йя = 500 ism
Таблица 24
«0
0,03
0,20
Ла(го = О°)
—0,16 М
—0,05 м
Де(го = О°)
—0,180-Ю-7
—0,045-10
ДМ (го = 90°)
-0°, 306-10-*
-0°,077-10-*
Таблица 25
Комбинированные возмущения для йя = 500 им
«¦о
0,03
0,20
Ai(to = 45°)
—0°,703-10-7
—0°. 182 -Ю-'
Дю (г0 = 0°)
0°,750-10-4
0°,112-10-4
ДЩго = 0°)
-0°, 374-10-*
-0°,056 -10-*
Аи
жить из наблюдений. В случае элементов i, © и Q мак-
симальные изменения соответственно равны—1°, 4-10~5,
6°-10 и —3°-10. Поскольку комбинированные возму-
щения этих элементов (в рам-
ках данной модели атмосферы)
представляют собой суммар-
ные возмущения от сопротив-
ления воздуха,то приточных
исследованиях их необходи-
мо принимать во внимание.
Таблицы 24 и 25 дают
представление о максималь-
ных значениях комбиниро-
ванных возмущений для вы-
соты перигея, равной 500 км. ~2'-Ю
-по
-3
о
30
1о
Рис. 35. Комбинированные воз-
мущения элементов со и Q в
зависимости от г'о (е0 = 0,1).
§8.11. Влияние вращения
атмосферы
Результаты, 'изложенные
в предыдущих параграфах,
были получены в предположении, что атмосфера непо-
движна относительно инерциальной системы координат.
Рассмотрим теперь те эффекты в движении спутника,

2G4
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
которые вызываются вращением атмосферы. Мы предполо-
жим, что частицы воздуха вращаются вокруг земной оси с
запада на восток со скоростью VA по закону
V А = rw соя
'(8.11.1)
где w — угловая скорость, а ср — геоцентрическая ши-
рота.
Поскольку возмущения, обусловленные вращением ат-
мосферы, малы, мы проведем здесь только приближенный
анализ. Во-первых, в дифференци-
альных уравнениях для элементов
мы отбросим малые члены, про-
порциональные е2, во-вторых, бу-
дем пренебрегать членами порядка
и>2 и, в-третьих, рассмотрим лишь
случай малых е.
Обозначим через V орбиталь-
ную скорость спутника, а через
V его скорость относительно ат-
мосферы. Тогда
F'2 = v2 + VA - 2VVA cos p,
между векторами
Рис. 36. Углы i и ю.
где Р — угол
VA и V.
Найдем проекции скоростей V, Va и V на направле-
ния 8, Т и В. Очевидно, в случае Уони соответственно
равны
г, Vv2-r\ 0.
Так как для малых е радиальная составляющая скорости г
мала по сравнению с F, то можно заменить угол р углом
Р' между VА и проекцией скорости спутника, перпенди-
кулярной к радиусу-вектору. Тогда составляющие ско-
рости Vд будут равны
0, VA cos p', -VA sin P'.
Следовательно, для проекций V будем иметь
г,
! —г2 —F.cosl

§ 8.11] ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ АТМОСФЕРЫ 265
Рассмотрим теперь сферический треугольник на рис. 36,
в котором
в = A + v)r|)+ ю0.
Из этого треугольника находим
cos cp cos P' = cos i,
cos cp sin р" = sin i cos 6.
Поэтому проекции относительной скорости будут
г, у V2— г2— ri#cos?, rwsinicosQ,
а величина скорости V определится по формуле
у = у V2 - 2 ]^V2 — г2 rw cos i + r2wz (cos2 i + sin2 i cos2 G) .
r2
Если пренебречь членами с нг и отношением ^ , имею-
V = yV, (8.11.2)
где
7 = 1 —-^ cos i. (8.11.3)
При помощи (8.11.2) и (8.3.1) для величины возмущаю-
щего ускорения, которое обозначим через F', получаем
следующую формулу:
F' = v2F, (8.11.4)
где F дается равенством (8.6.1).
Используя выражения для проекций скорости V и ра-
венство (8.11.2), мы подобно (8.5.1) получим такие форму-
лы для составляющих S, Т, В возмущающего ускорения:
Т^ -y[Vv2—r2 —rwcosi]-^, \ (8.11.5)
В = — rw sin f cos 0 -у-.
щим порядок е2, то
Если в (8.11.5) отбросить члены с г, которые в уравне-
ые е2, то
(8.11.6)
ниях для элементов дадут члены, пропорциональные е2, то

266 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
В случае невращдющейся атмосферы (при сделанных
в этом параграфе дополнительных предположениях) мы
вместо (8.11.6) имели бы
5 = 0, Т = — F, В = 0. (8.11.7)
Таким образом, в результате вращения атмосферы, во-
первых, возникает компонента В возмущающего ускоре-
ния, перпендикулярная к плоскости, в которой лежат
радиус-вектор и вектор скорости спутника и, во-вторых,
компонента Т приобретает множитель у2.
Рассмотрим сначала второй фактор. Множитель у*
согласно (8.11.3) зависит от w, i, r и V. Мы не допустим
большой ошибки, если заменим все эти величины некото-
рыми средними значениями. Поскольку сопротивление
атмосферы оказывает наибольшее влияние в окрестности
перигея, мы заменим г и V их значениями гп и Vu на внут-
реннем ограничивающем эллипсоиде, т. е. положим
y2=i_2-!^-cosi0. (8.11.8)
Если рассматривать область высот движения спутника
до 1000 км, то у2 будет изменяться в пределах
0,85 < у2 < 1,15.
Таким образом, мы учтем влияние этого фактора, если
умножим полученные результаты на постоянный множи-
тель у2. Другими словами, во всех формулах § 8.6—8.9
нужно заменить к на величину и':
к' = v2x. (8.11.9)
Перейдем теперь к рассмотрению влияния компонен-
ты В. Подставляя третью формулу (8.11.6) в уравнения
§ 4.10 при е2 = 0 и производя с ними те же преобразова-
ния, что и в § 8.6, мы придем к такому результату.
^-=-¦^(/,-2*7,) sin2а,, ]
d Дсо , . d ДО
I
J
(8.11.10)

§ 8.12] ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 267
Интегрируя уравнения (8.11.10), получим
М = — Ах (t — t0)—s0A2 sin 2g, (8.11.11)
AQ = A2cos2g, Aco =—a042cos 2g, (8.11.12)
где
At= a^hs» (/0-2еЛ), (8.11.13)
, (8.11.14)
Здесь n,bv даются формулами (8.6.4), (8.6.3) и (8.5.11)
а аргументом функций Бесселя является величина ?0,
определяемая равенством (8.7.4).
Итак, элементы i, Q и со подвержены долгопериодиче-
ским возмущениям, а элемент i к тому же имеет чисто веко-
вое неравенство. Если принять, что угловая скорость вра-
щения атмосферы равна угловой скорости вращения Зем-
ли, то в случае спутника, для которого к = 0,16 см?/г,
е — 0,1, hn = 200 км, i — 90°, суточное изменение i за
счет векового неравенства равно — 0°, 0004.
§ 8.12. Другие возмущения
от сопротивления атмосферы
В предыдущих параграфах на основе работы [7] были
рассмотрены важнейшие неравенства в движении спутни-
ка от сопротивления атмосферы. В предположении, что
плотность воздуха изменяется с высотой по экспонен-
циальному закону с постоянной шкалой высот, были полу-
чены вековые возмущения элементов орбиты. Отдельно бы-
ли изучены возмущения, вызываемые совместным влия-
нием атмосферы и несферичности Земли, и возмущения,
связанные с вращением атмосферы.
Однако, как показывают уравнения (8.5.2), уже в этой
постановке элементы орбиты должны иметь, помимо веко-
вых возмущений, короткопериодические и долгоперио-
дические неравенства. Долгопериодические возмущения
должны возникать от тех членов дифференциальных урав-
нений, которые пропорциональны е2. При интегрирова-
нии этих членов в знаменателях появится величина v,
которая также имеет порядок е2. В результате амплитуды

268
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
долгопериодических возмущений будут иметь тот же
порядок, что и амплитуды короткопериодических возму-
щений. Поскольку период этих возмущений составляет
несколько месяцев, то их очень трудно обнаружить из
наблюдений. Что касается короткопериодических воз-
мущений, то они могут сказаться на результатах опреде-
ления элементов орбит из наблюдений.
В этом параграфе мы дадим краткую характеристику
этим и другим возмущениям, связанным с различными
эффектами атмосферного торможения.
1. Короткопериодические возмуще-
ния. Эти возмущения были изучены в работе Л. Сех-
нала и С. Миллс [8]. Ими разработан полуаналитический
1,5 ¦
Рис. 37. Характер изменения большой полуоси за один оборот
спутника «Эксплорер-3».
метод вычисления короткопериодических возмущении на
ЭВМ. Теория этого метода громоздка и здесь мы приведем
лишь некоторые численные результаты.
На рисунках 37 и 38 для спутника «Эксплорер-3» даны
возмущения элементов а и со за один оборот (пунктирная
линия соответствует возмущениям без учета суточно-
го эффекта, сплошная — возмущения с учетом этого
эффекта). За один оборот спутника большая полуось изме-
нилась] на —1,58 км, а короткопериодические возму-
щения на этом промежутке времени могут давать откло-
нения в несколько сотен метров. В случае со коротко-
периодические возмущения могут превосходить 0°,01.

§ 8.121
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
269
Эти рисунки дают представление не только о величине
возмущений, но и о характере изменения элементов.
Самые быстрые изменения происходят в окрестности пери-
гея, а вдали от него элементы почти постоянны. Получает-
ся нечто похожее на удар.
ы, град
О
0,001
Рис. 38. Характер изменения элемента ю за один оборот спутника
«Эксплорер-3».
2. Широтный э ф"'"ф е к т. Атмосфера Земли не
является сферически-симметричной, а обладает некоторым
сжатием. На высотах 150—300 км поверхности равной
плотности близки к эллипсоидам со сжатием, равным
сжатию Земли. Поэтому можно предположить, что на
данной широте плотность изменяется с высотой над по-
верхностью Земли по экспоненциальному закону.
Пусть Ro и а'— экваториальный радиус и сжатие
эллипсоида. Тогда расстояние от центра Земли до точки
эллипсоида определится по формуле
R = Ro A-сс' sin2(p), (8.12.1)
где ф — геоцентрическая широта.
С другой стороны, в промежуточном движении радиус-
вектор спутника дается формулой (см. § 3.10)
^ ). (8.12.2)
Поскольку
sin ф = s sin 0,
то, пренебрегая малыми порядка г2е, из формул (8.12.1)
и (8.12.2) находим

270 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ COnrOTEBJIf Н1ТЯ ЛТМССФРГЫ [Г,Т. VII]
где
5 Up-- So &1> i
A°"~ Ti IF -
At
Здесь H — шкала высот, \0 есть значение \ для внутрен-
него ограничивающего эллипсоида, равное а0 A — е0).
Входящую в эти формулы величину i?0 следует выб-
рать из условия, чтобы эллипсоид (8.12.1) проходил через
начальную точку перигея орбиты, т. е.
Ro = Rn (I — ее' зпг'фп)-1,
где /?п и фп — координаты перигея при t = t0.
В силу нашего предположения плотность р должна
даваться формулой
р = роехр (—-^—)¦
Подставляя сюда равенство (8.12.3), получим
р = ро ехр (Кв) охр (-^тг^-) ехр (Xt sin 9 + К2 cos 29). (8.12.4)
Разложим последний множитель в (8.12.4) в ряд. Тогда,
ограничиваясь членами первого порядка относительно
Xt и Я2, будем иметь
р = Ро ехр (Яо) ехр (-^h) {1 Ч ^sine + X2cos28}. (8.12.5)
Сравнивая (8.12.5) с равенством (8.6.2), мы видим, что
сжатие атмосферы приводит к появлению в формуле для
плотности, во-первых, постоянного, мало отличающегося
от единицы, множителя ехр (А,о) и, во-вторых, периоди-
ческих членов, пропорциональных Кг и Я2.
Первый фактор легко учитывается, если в уже полу-
ченных формулах для возмущений заменить и на к ехр (Яо),
а с учетом вращения атмосферы на у*к ехр (А,о).
Периодические члены в (8.12.5) приведут к долгопе-
риодическим возмущениям, амплитуды которых пропор-
циональны -^- и —. Поскольку %1 и Я2 содержат малую
величину Н в знаменателях, то эти возмущения будут

§ 8.13] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА 271
более значительными, чем долгопериодические в* зму-
щения, указанные в начале параграфа.
3. И з м е н е и и е шкалы высот. Шкала высот
Н не является постоянной, как предполагалось ранее,
а зависит от высоты. Аналитически, по-видимому, проще
всего представить Н в виде многочлена относительно
высоты h. В некоторых случаях, когда интересующий нас
слой атмосферы является достаточно тонким, можно рас-
сматривать Н как линейную функцию h.
Возмущения, вызываемые изменением шкалы высот,
были рассмотрены в работе 19J *). Как и раньше, наи-
более значительными здесь являются веке вые возмуще-
ния. Если]
Н = #0 A + p'h),
где Но и ц' — некоторые постоянные, a h — высота,
отсчитываемая от начальной точки перигея, то при е «< 0,2
и Z, > 3 для вековых изменений элементов а и е будем
иметь
dAa _ reoaj;poX 3 ,/, 9 :5 , 105
15 175
где отброшенные члены имеют порядок и.'2.
Поскольку ц' имеет порядок 0,1, то вклад этих изме-
нений в полные возмущения от сопротивления атмосферы,
составляет около 5%. Так, для спутника с высотой пери-
гея 200 км и е = 0,1, а % = 0,16 см*/г суточные изменения
элементов а и е за счет этого эффекта равны —153 м
и —0,183-10 соответственно.
§ 8.13. Формулы для определения
плотности воздуха
Из равенства (8.7.8) для е < 0,2 и ?>3 мы имеем
где ?0 и х даются формулами (8.7.4) и (8.6.4).
*) См. также книгу Кинг-Хилн [2].

272 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Таким образом, если мы найдем из наблюдений коэф-
фициент к и, кроме того, если нам известны шкала высот Н
и величина и, то формула (8.13.1) позволит вычислить
плотность воздуха на высоте перигея. Поскольку пара-
метр и, зависящий от массы и геометрических характе-
ристик спутника, известен обычно с невысокой степенью
точности, то в формуле (8.13.1) члены, пропорциональные
е2, были отброшены.
Пусть теперь Т есть аномалистический период обра-
щения спутника. Тогда, поскольку
г = _2я ij" ft,
п dt
ТО
Используя (8.13.2) и подставляя в (8.13.1) вместо ?0
его значение из (8.7.4), мы можем придать формуле (8.13.1)
и такой вид
Для того чтобы найти плотность по этой формуле, нужно
знать скорость изменения аномалистического периода
обращения спутника.
Формулы (8.13.1) и (8.13.3) выведены в предположе-
нии, что атмосфера обладает сферической симметрией,
а шкала высот постоянна. Если ввести соответствующие
поправки за счет сжатия атмосферы и изменения шкалы
высот, то формула (8.13.3) запишется в виде
-10е0) Я0 _ ^
8а0е0 128а$е* ' еа
«*. s.n2 _
где а' — сжатие атмосферы, |д/ — скорость возрастания
шкалы высот, Но — значение шкалы высот в перигее.

§ 8.14] ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЖИЗНИ СПУТНИКА 273
Формулы для определения плотности в случае е > 0,2
или в случае очень малых е и t, < 3 можно найти в уже
упомянутой книге Кинг-Хили [2].
§ 8.14. Продолжительность жизни спутника
Ранее мы видели, что под влиянием сопротивления
атмосферы высота перигея, эксцентриситет и период обра-
щения спутника монотонно уменьшаются. Со временем
они достигают некоторых критических значений, при
которых спутник может совершить одно-два обращения
вокруг Земли. Критические значения элементов орбиты
зависят от коэффициента к, пропорционального отноше-
нию площади поперечного сечения к массе спутника. Чем
больше этот коэффициент, тем больше критический период
обращения и критическая высота перигея. На практике,
однако, можно считать, что спутник прекращает свое
существование, когда высота перигея достигает 120—
150 км, а период обращения равен 86,5—88,0 минут. При
этом существенным обстоятельством является то, что
в конце своей жизни спутник движется по почти круговой
орбите, т. е. критическое значение эксцентриситета ока-
зывается весьма близким к нулю. Поэтому при определении
продолжительности жизни спутника можно принять за
критический момент тот момент времени, когда эксцен-
триситет его орбиты тождественно равен нулю.
Таким образом, нам необходимо рассмотреть изменение
эксцентриситета от начального значения до нулевого.
Ясно, что использованный в предыдущих параграфах
способ последовательных приближений, позволяющий
построить решение на небольшом промежутке времени,
не подходит для решения этой задачи, и мы должны вос-
пользоваться другим методом, который дает возможность
проследить эволюцию орбиты на весьма длительных вре-
менных интервалах. Поэтому излагаемая в этом параграфе
теория не только дает ответ на вопрос о продолжитель-
ности жизни спутника, но и имеет гораздо большее само-
стоятельное значение.
Итак, введем безразмерные переменные г\ и ? по
формулам
18 Е. П. Аксенов

274 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Тогда, отбрасывая малые члены с s2 в уравнениях
(8.6.11) - (8.6.14), найдем
)
\ ¦ (8.14.2)
dt H
, 3
dt ~ Н
где аргументом функций Бесселя служит величина ?,.
Подставим в уравнения (8.14.2) асимптотические раз-
ложения для 1п, а затем разделим первое из этих урав-
нений на второе. Тогда
¦?=4г-т-ж+т' (8Л4-3)
где отброшенные члены имеют порядок е4.
Подставляя в (8.14.3) вместо е его выражение из (8.14.1)
и используя равенство
/ = /'4-
которое является следствием формул (8.4.2) и (8.4.3), мы
окончательно найдем следующее уравнение, связывающее
переменные т) и ?:
Это уравнение имеет чрезвычайно важное значение
в теории возмущений от сопротивления атмосферы. Его
решение является ключом для построения точной теории
движения спутника в атмосфере Земли.
В силу того, что отношение а к Н велико, три послед-
них члена в (8.14.4) малы. Если ими пренебречь,
решение укороченного уравнения можно представить
в виде
т)-%=1п A^+lni, (8.14.5)
•< 1 (So) feo
где ti0 и ?0 — начальные условия.

§ 8.14] ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЖИЗНИ СПУТНИКА 275
Если в формуле (8.14.5) ограничиться линейными
членами, то в первом приближении будем иметь
Ti = Ло + ? - So- (8.14.6)
Поскольку три последних члена в (8.14.4) малы и вели-
чина т) мало изменяется со временем, то мы в этих чле-
нах заменим т] его выражением из (8.14.6) и сохраним
малые первого порядка относительно ? — ?0. Тогда
(8.14.4) примет вид
<*5 ~ /i + S % глос + rig
Интегрируя это уравнение, найдем
Формула (8.14.8) дает достаточно точное решение урав-
нения (8.14.4). Ее максимальная (при е = 0,2) относи-
тельная ошибка не превосходит 10~4.
Заменяя в (8.14.8) величины т) и ? их значениями
из (8.14.1), мы получим следующую формулу:
_а___л Н_
«о Ui (С) "
Я (ае—а0е0)(ае —а0) 3 #2
связывающую элементы а и е.
Подставим эту формулу во второе уравнение (8.14.2)
и заменим функции Бесселя их асимптотическими разло-
жениями. Тогда после довольно громоздких преобразова-
ний мы придем к следующему уравнению:
7 2 ?,
где
jy »oxpoaoeofi (go) /g |/ ...
18*

276 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ |ГЛ. VII]
Интегрируя (8.14.10) в пределах от ?0 до ? и заменяя
затем ? его значением из (8.14.1), получим
t~to = -w{<+ |
- ± A5е4 + 8е»е0 + ЬеЧ\ - 29е*0) -
^^f?} (8.14.12)
где ?0 — начальный момент времени.
Обозначим теперь через t* критический момент вре-
мени, т. е. момент времени, когда е = 0, а через т —
продолжительность жизни спутника, т. е.
т = t* - t0.
Тогда, полагая в уравнении (8.14.12) е = 0, найдем
Формулу для продолжительности жизни спутника т
можно представить в другом, более наглядном виде, если
в (8.14.13) подставить (8.14.11), а затем исключить при
помощи (8.13.3) плотность р0. В результате окончательно
будем иметь
т= g°r°f Ы , (8.14.14)
где То — скорость изменения периода обращения спут-
ника в начальный момент, а
11 В . 3 Я2
Таким образом, для того, чтобы найти продолжитель-
ность жизни спутника начиная с некоторого момента t0,
нам нужно знать для этого момента элементы а, е и ско-
рость изменения периода обращения.
Формула (8.14.14) дает вполне удовлетворительные
результаты в случае достаточно близких спутников (ошиб-
ка составляет около 5%). Однако для далеких спутников

§ 8.15] ОБЩИЙ ОБЗОР 277
результаты нужно исправить за счет таких эффектов,
как сжатие атмосферы, изменение шкалы высот, вариации
плотности, обусловленные солнечной деятельностью. Осо-
бенно важно здесь учесть суточные колебания плотности
и изменения, связанные с 11-летним циклом. Для этого
в качестве То необходимо взять величину, полученную
путем осреднения на промежутке времени в несколько лет.
Вернемся, однако, к уравнению (8.14.12). Разрешая
его относительно е и полагая
найдем
е ( . е0 . 131 2 . 3 Н
(8-14.16)
Эта формула дает нам качественное представление
об изменении е в зависимости от времени t.
Если теперь разложить правую часть (8.14.16) в ряд
по степеням t — t0, который сходится при всех
и ограничиться линейными членами, то мы придем к фор-
мулам, полученным в § 8.7. Это разложение показывает,
что линейная теория обеспечивает тем большую точность,
чем меньше отношение интересующего нас промежутка
времени к оставшемуся времени существования спутника.
При помощи формулы (8.14.16) всегда можно оценить
отбрасываемые нелинейные члены.
§ 8.15. Общий обзор.
Дальнейшее развитие теории
Как и многие другие задачи в теории движения спут-
ника, эта задача начинает свою историю с исследований
классиков небесной механики. Первые теоретические
результаты по изучению "движения в сопротивляющейся
среде принадлежат И. Ньютону НО]. Сопротивлешюм
среды астрономы пытались объяснить некоторые особен-

278 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
ности в движении кометы Энке и невязки в вековом дви-
жении перигелия Меркурия. Эволюция орбит под дей-
ствием сопротивления среды рассматривалась в много-
численных работах по космогонии.
Поскольку сопротивление среды оказывает чрезвы-
чайно малое влияние на движение естественных небесных
тел, эти исследования носили главным образом каче-
ственный характер и не ставили своей целью создание
строгой количественной теории. Однако развитые клас-
сиками методы и сейчас представляют определенный
интерес и их влияние весьма заметно в некоторых первых
работах, посвященных изучению движения искусственных
спутников.
Запуск первых искусственных спутников сразу поста-
вил целый ряд практических вопросов, для решения кото-
рых было необходимо построить не только качественную,
но и количественную теорию движения спутника в атмо-
сфере Земли. Необходимо было найти основные возмуще-
ния в движении спутника, оценить время его жизни, полу-
чить формулы для определения плотности воздуха. Первые
исследования в этой области принадлежат Д: Е. Охоцим-
скому, Т. М. Энееву, Г. П. Таратыновой [11], П. Е. Эльяс-
бергу [12], Ю. В. Батракову и В. Ф. Проскурину [13],
Е. А. Гребеникову [14], Д. Кинг-Хили [15]. Во всех этих
работах предполагалось, что атмосфера неподвижна, ста-
ционарна и имеет сферическую структуру (хотя порой
и использовались различные аналитические представле-
ния плотности в зависимости от высоты). Г. П. Тараты-
нова [16], К. Бозанкэ [17], Т. Штерн [18], Г. Кук, Р. Плим-
мер [19], П. Е. Эльясберг [6] рассмотрели эффекты, свя-
занные с вращением атмосферы. В работах Бозанкэ [20],
П. Е. Эльясберга и В. Д. Ястребова [21], Г. Кука, Д. Кинг-
Хили и Д. Уокер [22], Т. Штерна [18] уже предполагалось,
что атмосфера обладает сжатием.
История исследования движения спутника в атмосфере
являет собой блестящий пример содружества теории
и практики. Теоретические результаты использовались
для практического определения плотности воздуха. Раз-
витие теории шло параллельно с исследованием структуры
атмосферы. По мере того как уточнялись наши знания
об атмосфере Земли, теория учитывала все более и более
тонкие эффекты. Среди исследований в этом направлении

§ 8.15] ОБЩИЙ ОБЗОР 279
следует выделить работы Д. Кинг-Хили и его сотрудников,
обобщение которых дается в монографии [2]. В ней доста-
точно подробно анализируются возмущения элементов
кеплеровой орбиты спутника с учетом вращения и сплюс-
нутости атмосферы и изменения шкалы высот. Заслужи-
вает особого внимания метод решения основной проблемы,
когда предполагается, что атмосфера сферически-симмет-
рична. Большой интерес представляют работы А. М. Фо-
минова [23] — [25], в которых предложена довольно пол-
ная аналитическая модель атмосферы и на базе ее рас-
смотрены возмущения, вызываемые различными вариа-
циями плотности.
Интересна работа А. М. Фоминова [26], в которой были
получены выражения для возмущений большой] полуоси
и наклона, вызываемых комбинированным влиянием сопро-
тивления атмосферы и сжатия Земли. Для орбит с малыми
эксцентриситетами этот эффект изучался также в работе
Чонг-Ханг Зи [27]. Б. Н. Носков и автор [7] рассмотрели
комбинированные возмущения всех элементов на базе
некеплеровой промежуточной орбиты (см. § 8.10).
Нужно заметить, однако, что долгое время основное
внимание уделялось главным образом только вековым
возмущениям. Была лишь полуаналитическая теория
короткопериодических возмущений, развития И. Ижаком
[28] и Л. Сехналом и С. Миллс [8]. Долгопериодические
возмущения, как правило, трактовались как квазиве-
ковые.
В последнее время Б. Н. Носков построил довольно
полную аналитическую теорию возмущений элементов
промежуточного движения, вызываемых сопротивлением
атмосферы. Им подробно рассмотрены короткопериодиче-
ские и долгопериодические возмущения [29] — [31], най-
дены вековые и долгопериодические неравенства, вызы-
ваемые вращением и сжатием атмосферы [32] — [34].
В заключение отметим еще работы П. Е. Эльясберга,
Б. В. Кугаенко [35] и Д. Кинг-Хили, Д. Уокер [36], где
рассмотрены возмущения, связанные с суточным эффектом
в распределении плотности воздуха.

ГЛАВА IX
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
§ 9.1 Давление света
В этом параграфе мы выведем формулу для возмущаю-
щего ускорения, вызываемого действием светового давле-
ния на спутник. Сначала мы предположим, что спутник
имеет сферическую форму и рассмотрим отдельно случаи
полного поглощения, зеркального отражения и диффуз-
ного рассеивания световой энергии. Затем перейдем
к спутникам произвольной формы.
Давление света, экспериментально открытое знамени-
тым русским ученым П. Н. Лебедевым, довольно просто
объясняется квантовой теорией. Согласно этой теории
каждый фотон обладает энергией hv и импульсом —,
где h — постоянная Планка, v — частота и с — скорость
света. Пусть на единичную поверхность, нормальную
световому потоку, за единицу времени падает N фотонов.
Тогда мощность светового потока Е и суммарный импульс
р, сообщаемый единичной площадке, будут равны
E = Nhv, p^N~.
Исключая отсюда N, находим
_Е_
С
Рассмотрим сначала ситуацию, когда поверхность пол-
ностью поглощает световую энергию. При этом очевидно,
что суммарный импульс р и есть давление света на нор-
мальную поверхность.
Если световой поток падает на поверхность под углом а
к ее нормали, то на единицу поверхности попадет N cos'a
фотонов и проекция силы светового давления на направле-
ние световых лучей будет
Е cos a
р= .

ДАВЛЕНИЕ СВЕТА
281
Предположим теперь, что спутник является шаром
радиуса р. Тогда в силу симметрии направление силы
светового давления, действующей на спутник, будет
совпадать с направлением светового потока, а ее величи-
на Р определится формулой
S
Е cos a
dS,
(9.1.1)
где интеграл берется по всей освещенной поверхности
спутника.
Обозначим через Ео мощность солнечной радиации на
поверхности Земли (без учета поглощения в атмосфере).
Тогда на расстоянии А от Солнца мощность светового
потока будет
р Т? I а'
(9.1.2)
где а — среднее расстояние от Земли до Солнца. Поэтому
формула (9.1.1) примет вид
(9.1.3)
j
(S)
Величина Ео называется солнечной постоянной. Ее
численные значения, взятые из работы [1], приводятся
в табл. 26.
Таблица 26
Значения солнечной постоянной
Автор
Мун A940)
Аллен A950)
Олдрич A954)
Джонсон A954)
Стаир A956)
Ео 9рг/&ц2сек
1,322-Ю-6
1,374
1,357
1,396
1,430
Интеграл, стоящий в правой части (9.1.3), равен лр2,
т. е. площади миделева сечения спутника А. Поэтому
в случае полного поглощения величина ускорения, сооб-
щаемого спутнику световым давлением, будет даваться

282 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
формулой
F = Ah.(f^)\ (9.1.4)
тос \ Д ) ' v '
где тй — масса спутника. Направление вектора ускоре-
ния совпадает с направлением распространения света.
Рассмотрим теперь случай, когда часть фотонов зер-
кально отражается от поверхности спутника. Пусть я
есть коэффициент отражения. Тогда отраженные фотоны
сообщат единичной нормальной площадке дополнитель-
/ Е
ныи импульс р = к — .
Если световые лучи падают
на поверхность под углом
а к нормали, то дополни-
тельный импульс по на-
правлению светового пото-
ка, как это видно из рис.
39, будет равен
, кЕ cos a. n
р = cos 2а.
Рис. 39. Случай зеркального от-
ражения. Для сферического спут-
ника в силу симметрии на-
правление силы реакции отраженных фотонов совпадает
с направлением распространения света, а величина этой
силы определится формулой
, I*
(S
>c.Ecosa
где интеграл берется по поверхности полусферы. Но,
как легко проверить
1 cos a cos 2a BS = 0.
(S)
Поэтому и Р' = 0.
Таким образом, при зеркальном отражении ускорение
силы светового давления, действующее на сферический
спутник, будет определяться той же формулой, что и в слу-
чае полного поглощения, т. е. формулой (9.1.4).
Рассмотрим, наконец, случай диффузного отражения.
Предполагая, что диффузное отражение является полным,

§ 9.1]
ДАВЛЕНИЕ СВЕТА
283
и принимая, что свет рассеивается по закону Ламберта,
мы будем иметь [2]
dE' = — Е cos a cos у
Здесь Е cos а — мощность потока, падающего на единич
ную площадку под углом а
к ее нормали, dQ — некоторый
элементарный телесный угол,
у — угол между осью этого те-
лесного угла и нормалью к рас-
сматриваемой поверхности,
dE' — элемент мощности отра-
женного потока (рис. 40).
Возьмем телесный угол, об-
разованный двумя бесконечно
близкими круговыми конусами,
общая ось которых совпадает с
нормалью к отражающей по-
верхности. Углы между обра-
зующими этих конусов и их осью пусть будут у и у + dy.
Тогда
dQ = 2я sin у dy.
Поэтому
dE' = 2Е cos a sin у cos ydy.
Так как отраженный поток симметричен относительно
нормали, то сила давления, сообщаемая им площадке,
будет перпендикулярна к поверхности. Следовательно,
величина элементарного импульса будет определяться
формулой
7 , 2Е cos a
dp —
Рис. 40. Случай диффузного
отражения.
Интегрируя это равенство в пределах от 0 до ~, найдем
, __ 2Е cos a q . сч
Из соображений симметрии видно, что в результате
диффузного отражения света на спутник действует допол-
нительная сила Р', направление которой совпадает с на-
правлением световых лучей. Чтобы найти величину этой

284 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
силы, нужно умножить выражение (9.1.5) на cos а и про-
интегрировать по всей освещенной поверхности спутника.
Но поскольку в случае сферы
2 ,
то
р, 4 ЕА
Используя (9.1.2), мы для величины ускорения, сооб-
щаемого отраженным потоком спутнику, находим следую-
щую формулу:
9 тос V Д
Чтобы найти полное выражение для ускорения при
диффузном отражении, нужно сложить давления, вызы-
ваемые падающим и отраженным потоками. При помощи
(9.1.4) и (9.1.6) мы в результате получаем
тос
D-?¦ (9.1.7)
Итак, для сферического спутника величина возму-
щающего ускорения может быть представлена формулой
где
P0=J^ = 4,65.10-^. (9.1.9)
В случае зеркального отражения и полного поглощения
к = 1, а для полного диффузного рассеивания к = 1,44.
В большинстве случаев, встречающихся на практике,
нам] неизвестны отражательные свойства поверхности
спутника, и, следовательно, неизвестно точное значение
коэффициента к; этот коэффициент должен определяться
непосредственно из обработки наблюдений спутника.
Для сферического спутника, таким образом, определе-
ние возмущающего ускорения является довольно простой
задачей. Гораздо сложнее обстоит дело, когда спутник име-
ет несферическую форму. Возмущающее ускорение здесь
существенно зависит от формы спутника и от отражатель-

§ 9.2] ВОЗМУЩАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ 285
ных свойств его поверхности. Однако задача эта во многих
отношениях аналогична задаче о сопротивлении атмосфе-
ры. Поэтому если предположить, что спутник равнове-
роятно занимает свои положения относительно направле-
ния на Солнце, то для возмущающего ускорения мы
можем воспользоваться формулой (9.1.8), в которой под А
нужно понимать площадь миделева сечения. Так как
точные значения величин А в к нам неизвестны, то на
практике численное значение коэффициента
8 = кР0— (9.1.10)
то
следует определять из обработки наблюдений спутника.
Нужно заметить, однако, .что для некоторых спутников
направление вектора возмущающего ускорения не будет
совпадать с направлением распространения света. Это
замечание нужно иметь в виду, особенно при исследовании
движения некоторых специфических спутников (спут-
ники-антенны и др.), когда компоненты возмущающего
ускорения, перпендикулярные к световым лучам, могут
иметь решающее значение.
§ 9.2. Возмущающая функция
Согласно (9.1.8) и (9.1.10) возмущающее ускорение F,
обусловленное световым давлением, определяется фор-
мулой
я( а' \2
(9.2.1)
где а' — расстояние от Земли до Солнца, А — расстоя-
ние между спутником и Солнцем, б — некоторый постоян-
ный коэффициент.
Как и раньше, мы будем пользоваться экваториальной
геоцентрической системой координат Oxyz, ось Oz которой
направлена в северный полюс, а ось Ох — в точку весен-
него равноденствия. Поэтому направляющие косинусы
возмущающего ускорения относительно осей координат
будут
х — х' у— у' z — z'
Д~" Д"~~» Д '
где х', у', z' — геоцентрические координаты Солнца.

286 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Для проекций возмущающего ускорения находим
Следовательно, если ввести функцию R
*=-¦*?. (9-2.2)
то она будет возмущающей функцией, ибо ее частные
производные по координатам соответственно равны проек-
циям возмущающего ускорения на координатные оси.
Обозначим через Н угол между радиусом-вектором г
спутника и радиусом-вектором а' Солнца. Тогда
cosff = « f ()
A? = r2 + a'2-2ra'cosH. (9.2.4)
Разложим при помощи (9.2.4) функцию R в ряд по сте-
пеням отношения г/а'. Тогда
оо
Д=-6а'2 (¦?-)hPh{cosH).
Поскольку отношение г/а' мало, мы можем ограни-
читься в полученном разложении лишь членами первого
порядка. Поэтому, если отбросить слагаемое, не зависящее
от координат спутника, будем иметь
R = _бг cos II. (9.2.5)
Выразим теперь R через элементы орбиты спутника.
Прежде всего для координат Солнца мы имеем формулы:
у' = a' sin 6 cose', } (9.2.6)
z' = a' sin0sine'; J
8 — долгота Солнца, е' — наклон эклиптики к экватору.
Если в формулах промежуточного движения отбросить
периодические члены, пропорциональные параметру г, то
х == г (cos и cos Q — sin и sin Q cos i), л
у = r (cos и sin Q -|- sin u cos Q cost), [ (9.2.7)
J

§ 9.3]
ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ УЧЕТА ТЕНИ
287
где
r=- l—, (9.2.8)
1 + e cos v' ч '
и = A + v) v + co0, Q = jxv + Qo, (9.2.9)
а величины v и jx даются равенствами C.7.15) и
C.9.3).
Подставляя равенства (9.2.6)—(9.2.8) в формулы
(9.2.5) и (9.2.3), мы найдем
cos Я = 2 Ki cos
r, j
где
i?=-6p(l.+ ecosi;)-1cos^, (9.2.10)
¦8 + /Q) (г=±1, / = 0, ±1),
(9.2.11)
a'),
л - 1 ' л - 1 '
-^-1, о — ~2 ss > -^1,0 2 ' !
(9.2.12)
причем
s = sin i, a = cos i, s' = sin e', a' = cos s'.
Заметим, что полученное разложение для R' анало-
гично разложению для возмущающей функции в случае
притяжения Солнца, но оно проще и не содержит веко-
вого члена.
§ 9.3. Возмущения элементов
без учета влияния тени
Предположим, что движение спутника происходит
таким образом, что он не заходит в тень Земли. Для
вывода формул для возмущений мы, как и раньше, вос-
пользуемся дифференциальными уравнениями D.11.13).

288 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Используя (9.2.10), мы для функций R', F' и Ф' на-
ходим
R' = — A + е cos i;) cos Я,
F' = —j— A + е cos v)~3 cos H,
Ф' = —- A -+- е cos v)~3 B -f- e cos w) sin v cos i/,
где m — масса Земли.
При выводе формул для возмущений мы отбросим
короткопериодические члены, которые в большинстве
случаев настолько малы, что ими можно пренебречь.
Тогда, если ввести коэффициенты
2Л
cos v dv
0
2Л
1 Г cosvdv
=2jJ (T+T^P (9-3.1)
о
0
2л
_ J_ Г B + е cos'v) sin2 у dv
1
о
и воспользоваться формулой (9.2.11), получим
, Ат; cos (co-f rQ-\-jQ), I
I
\AT]cos(w-\-rQ + jQ), \ (9.3.2)
,Tj sin (со + ri
J
где со = u — p,[ а коэффициенты Arj определяются фор-
мулами (9.2.12).
Вычислив интегралы (9.3.1), найдем

§ 9.3]
ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ УЧЕТА ТЕНИ
289
Заметим теперь, что функции R', F' и Ф' по своей
структуре аналогичны соответствующим функциям в слу-
чае лунно-солнечного притяжения, и для определения
возмущений мы, следовательно, можем использовать тот
же метод, что и в гл. VII. Поэтому приведем сразу окон-
чательный результат.
Возмущения элементов имеют следующий вид:
бо = 0,
|УГ=? (9.3.3)
6*= 4
6Q = -| jy= 2
(If +
(9.3.4)
rQ + /Q), (9.3.5)
бсо = -
z у 1-е2 "
Q), (9.3.6)
2 Ъ,А„ ™ (g + гв + ДО) -
2 s
(9.3.7)
Здесь коэффициенты 5rj даются такими формулами:
B-U0 = — as\ 5li0==— j as',
а коэффициенты A'rj и Вг^ определяются из равенств
где значок «О» у а и s опущен.
19 Е. П. Аксенов

290
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
Для
имеем
?26
rfia (v + rV + /Ц) *
где К' = —, причем п — среднее движение спутника,
л©
а тгэ — среднее движение Солнца.
В формулах (9.3.3) — (9.3.7) можно считать, что 8
есть средняя долгота Солнца, a g и Q определяются равен-
ствами
g = vn (t — Jo) + g0, Q = \in {t — t0) + h0,
где g0 и h0 — постоянные.
Сделаем теперь несколько замечаний. Световое давле-
ние, если не учитывать эффект тени, не вызывает вековых
возмущений. Все элементы, за исключением а, имеют
лишь долгопериодические возмущения с шестью различ-
ными аргументами вида g + г8 + jQ, где г = ±1,
/ = 0, ±1. Для некоторых значений ?0, а0, е0 эти аргу-
менты могут равняться нулю и мы будем иметь крити-
ческие члены. Приближенные значения критических
наклонов в зависимости от средней высоты /гср движения
спутника приводятся в табл. 27.
Таблица 27
Критические наклоны
"ер
(км)
500
1000
2000
v+K'+ц
49°
52
55
V—Х'—ц
70°
69
67
42°
40
38
v+k'-v.
76°
78
81
v+V
59°
57
56
v-V
67°
68
71
Подробно критические наклоны исследованы в работе
Е. Н. Поляховой [3].
§ 9.4. Теневая функция
В общем случае движение спутника происходит так,
что он то освещен Солнцем, то находится в тени Земли.
В результате этого сила светового давления является
разрывной функцией, и это вызывает основные затруд-

§ 9.4]
ТЕНЕВАЯ ФУНКЦИЯ
291
нения при построении аналитической теории возму-
щений.
В 1963 г. Ферраз-Мелло [4], [5] предложил ввести
теневую функцию, которая равна единице, когда спутник
освещен Солнцем, и равна нулю, когда он находится
в тени. Если умножить правые части дифференциальных
уравнений для элементов на эту функцию, то они будут
описывать движение спутника с учетом теневого эффекта.
Ферраз-Мелло представил теневую функцию в виде неко-
торого ряда Фурье. Позже П. Лала, Л. Сехнал [6]
и С. Н. Вашковьяк [7] дали несколько другие аналитиче-
ские представления теневой функции.
Теневая функция Ферраз-Мелло.
Рассмотрим рис. 41, на котором О — центр Земли, PC —
Рис. 41. Геометрическая картина тени.
часть орбиты спутника, ОС — ось тени. Предполагая,
что тень имеет цилиндрическую форму, мы имеем
и, кроме того,
Я, = я — Я,
(9.4.1)
(9.4.2)
где Л — угол между радиусом-вектором спутника и ра-
диусом-вектором Солнца, а г0 — средний радиус Земли.
Обозначим через W теневую функцию. Тогда будем
иметь
0, — Ф<Х<Ф,
1, -п<Я<^-Ф
(9.4.3)
19*

292 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Разложим ату функцию в ряд Фурье:
оо
^ ahcoakK, (9.4.4)
где
л
ak = -1 f W cos fcb db. (9.4.5)
о
Разбивая промежуток интегрирования [0, я] на [О, Ф]
и [Ф, л] и имея в виду (9.4.3), мы из (9.4.5) находим
ао = — (л — Ф), ak= — -j^sinAO.
Подставляя эти равенства в (9.4.4), получаем следую-
щую формулу для теневой функции:
оо
?=1--|— 2 — вткФсоакк. (9.4.6)
Теневаяфункция П. Лалыи Л. Сехнал а.
Пусть
±Um^M) (9.4.7)
Эта функция удовлетворяет условию
ГО, Х-Ф<0,
1 1, Я-Ф>0.
П. Лала и Л. Сехнал предложили разложить функцию W
в ряд по степеням cos К. Это можно сделать следующим
образом. Прежде всего имеем
OS
1 — = у. bh cos2ft (X - Ф),
где
, _l-3-5-..Bfc—1)
h~ 2-4-6... Bfc) '
Но
ft
cos2" (Я-Ф) = 2 (-1)' Ctsin23' (Я-Ф).
Поэтому
оо
{ } (9-4>8)

§ 9.4] ТЕНЕВАЯ ФУНКЦИЯ 293
где
"j-Zn ч 2-4-6. ..Bk) ">'
Из (9.4.8) нетрудно теперь получить следующую фор-
мулу для W:
оо оо
J) 2 ^ft sini ф cosft
j=0 ft=0
где Bjh суть некоторые численные коэффициенты.
Теневая функция С. Н. Вашковьяк.
С. Н. Вашковьяк разлагает функцию W в ряд по поли-
номам Лежандра:
?= 2 chPh (cos К). (9.4.10)
ft=0
Коэффициенты этого ряда, как известно, определяются
формулой
я
ch = ——- \ Wft (cos К) sin X dk.
о
Для вычисления коэффициентов ch разобьем сначала
промежуток интегрирования [0, п] на два 10, Ф] и [Ф, nl.
Тогда, учитывая условия (9.4.3), найдем
я
- 2Л + 1
f Ph(cosX)sinkdX.
Ф
Используя теперь формулу
Bк + 1) Ph (х) = Р'к+1 (х) - Р'к_х (х),
получим
л
cft = —— \ [P'h+i (cos X) — Рь-i (cos Я)] (i cos %.
ф
Отсюда, принимая во внимание, что Рп (—1) = (—1)",
легко находим
с0 = i-(l +cos Ф), (9.4.11)
(9.4.12)

294
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
Подставляя (9.4.11) и (9.4.12) в (9.4.10), получаем
4" 2 pft (cos
- т 2 pk (cos *•) ph-i (cos Ф).
fci si
(9.4.13)
Разложение (9.4.13) плохо сходится при К = 0. Чтобы
устранить это, заменим в первой сумме (9.4.13) к на п — 1,
Рис. 42. Теневые функции Ферраз-Мелло и Лалы — Сехнала.
а во второй к на п +1. Тогда окончательно найдем сле-
дующую формулу для W:
+ 2 .-Р» (c°sФ) UVi (cosX) -РГ1+1 (cos К)}} . (9.4.14)
n=l
. Итак, мы имеем три различные формулы для теневой
функции W. Графические изображения функции ? даны
на рис. 42 и 43. На рис. 42 пунктирная линия соответствует

§ 9.4)
ТЕНЕВАЯ ФУНКЦИЯ
295
функции Ферраз-Мелло, а сплошная — функции П. Л алы
и Л. Сехнала для i = к = 20. На рис.43 изображена тене-
вая функция С. Н. Вашковьяк для п — 10 и п — 20.
Табл. 28 показывает поведение ? для Ф = 60° при разных
п (формула (9.4.14)).
0° U0 Я-Ф
Рис. 43. Теневая функция Вашковьяк.
Наиболее правильно геометрическую картину пред-
ставляет, по-видимому, формула (9.4.9). Формула (9.4.14)
дает картину, аналогичную формуле (9.4.6). Однако функ-
ция С. Н. Вашковьяк имеет одно преимущество, которое
Таблица 28
Значения функции f для Ф = 60°
115°0
101,1
85,2
70,2
60,3
50,4
40,5
25,8
11,7
10
1-.048
0,963
1,033
0,991
0,492
0,037
0,057
0,021
0,006
20
0,991
1,006
1,025
1,075
0,538
0,089
0,041
0,022
0,004
30
1,013
1,011
0,974
0,977
0,547
0,002
0,025
0,002
0,007
40
0,992
1,014
1,004
0,966
0,562
0,037
0,008
0,003
0,002
50
1,002
1,000
0,987
1,028
0,587
0,017
0,004
0,001
0,000

296 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
заключается в том, что она может быть достаточно просто
выражена через элементы орбиты спутника. Действи-
тельно, наиболее трудно выразить через элементы орбиты
те компоненты W, которые зависят от к. Но поскольку
cos к отличается от cos H лишь знаком, то для нахожде-
ния Рп (cos к) мы можем использовать результаты, полу-
ченные в главе VII. Выражение Рп (cos Ф) через элементы,
как мы увидим в § 9.6, не вызывает серьезных затруд-
нений.
§ 9.5. Выражение Pn(cos к)
через элементы орбиты
Из формулы (9.4.2) следует, что cos к = —cos H.
Поэтому
Рп (cos к) = (—1)" Рп (cos Я). (9.5.1)
Введем сферические координаты. Тогда
х = г cos ф cos w, х' = a' cos ф' cos w',
у = г cos ф sin w, у' = a' cos ф' sin w',
z• = г sin ф, z' = а' sin ф',
где ф и ф' — геоцентрические широты, a w и w' — дол-
готы спутника и Солнца соответственно. Подставляя эти
равенства в формулу (9.2.3), находим
cos Н = sin ф sin ф' + cos ф cos ф' cos (w — w').
Воспользуемся теперь теоремой сложения для поли-
номов Лежандра. Тогда получим
п
= 2 6g-|j=|[ P^e) (sin Ф)^а) (sin ф') cos ?(«;-»'), (9-5.2)
где б0 = 1 и Ьд = 2, если q ^ 1.
Введем далее функцию R по формуле
п
Я = S в« Irrff Pn' (sin Ф) /><?' (sin Ф') х
7=0 '
X ехр \У — 1 g (ш — ш')]. (9.5.3)

§ 9.5] ВЫРАЖЕНИЕ Рп (cos X.) 297
Действительная часть этой функции, очевидно, дает нам
Рп (cos H). Если обозначить
Rnq = />|?> (sin Ф) ехр (/¦=! ?м;),
i?;9 = ^9) (sin Ф') ехр (-У=Л qw'),
то функция R представится в виде
9=0
Рассмотрим отдельно функции Rnq я R'nq. Поскольку
согласно F.1.5) и F.1.7)
w — Q -\- w,
то
Rng = ехр (/^1 qQ) Pf (sin ф) ехр (V~l qw).
Но, как было показано в § 6.4,
<?> (sin ф) ехр (V^ 'w) =
где Л^д — функции наклона, изученные в § 6.5. Поэтому
V V </^l ]. (9.5.5)
e ()
ft=-n
Найдем теперь выражение для i?^g. Так как в случае
Солнца Q' =0, то
w' = Arctg (cos e' tg м'),
где е' — наклон эклиптики к экватору, аи' — аргумент
широты Солнца. Поэтому
(„9) (sin ф') ехр (lA^T qw') =
= (-1)^ S ^(
и, следовательно,
^ = (-1)^ S ^(e')exp(-/^lto'). (9.5.6)

298 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Подставляя (9.5.5) и (9.5.6) в формулу (9.5.4), получим
ьЙ 2 (-i)n-94,(i)<F')x
0 ft ft'
xexp [y^T{ku — Vur + qQ)\. (9.5.7)
Взяв отсюда действительную часть и воспользовавшись
формулой (9.5.1), мы найдем
()<4
g=0 ft=-n ft'=—n
Xcos(b-/cV + gQ). (9.5.8)
Полученное выражение для Рп (cos X) удобно, если
при определении возмущений мы будем пользоваться
уравнениями D.11.13), в которых независимой переменной
служит v. Но если мы захотим использовать канонические
уравнения с независимой переменной t или уравнения
D.9.1), то от аргумента широты и нам нужно перейти
к средней аномалии М. Это можно сделать следующим
образом.
Пренебрегая, как и раньше, эксцентриситетом орбиты
Солнца, мы можем написать
и' = 0, и = v + со,
где 0 — средняя долгота Солнца. Поэтому
ехр [ V ^-l (Аи + <?Ь — к'и') =
= ехр (У^Т Ь) ехр ПЛ1^ (Асо + дЙ-А'0)]. (9.5.9)
Но, как было показано в § 6.4,
ехр (/^1 to)- S До, „(е) ехр (V^TpM), (9.5.10)
р=-оо
где So,p — коэффициенты Ганзена.

§ 9.6] ВЫРАЖЕНИЕ Pn (ООЭФ) 299
Подставим теперь (9.5.10) и (9.5.9) в (9.5.7) и возьмем
действительную часть. В результате получим
- 2 2 2 2
р=-оо g=0 ft=-n ft'= —n
S-ft'6). (9.5.11)
а вычисления функций 5*
§ 6.5 и 6.6.
Методика вычисления функций 5q,p иу|'д дается в
§ 9.6. Выражение PM(cos Ф)
через элементы орбиты
Чтобы получить разложение теневой функции, нам
нужно еще выразить Рп (cos Ф) через элементы орбиты.
Согласно (9.4.1) переменная Ф определяется из формулы
где г0 — средний радиус Земли, а
Р
г = ¦
1 -f- e cos v'
Если положить
= -!?•, (9.6.1)
то для sin Ф найдем
sin Ф = sin Фо A + е cos v).
Поэтому
cos Ф — cos Фо [1 — 2е tg2 Фо cos v — е2 tg2 Фо cos2 у]1/2.
Разложим полученное выражение в ряд по степеням е.
Тогда, ограничиваясь членами второго порядка, будем
иметь
cos Ф = cos Фо — Аге cos v — A2e* cos2 v, (9.6.2)
где
, ___ sin2 Фо sin2 Фо /Q r „
созФ
0

300
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
Разлагая теперь Рп (cos Ф) в ряд по степеням е, найдем
Рп (cos Ф) = Рп (cos Фо)—Р'п (cos Фо) [Ate cos у+Л2е2 cos2 v]+
-^-~P"n{cos00)Aycoszv-{-... (9.6.4)
Ограничиваясь членами до е8 включительно, мы можем
формулу (9.6.4) представить в виде
Рп (cos Ф) = ДГ + e2D™ + еДг" cos v
где
/)!?> = .Pn (cos Фо),
W = 4" ^I^n (cos Фо) - y А^Рп (cos Фо).
% cos 2v, (9.6.5)
(9-6<6)
Преобразуем выражения (9.6.6). Для этого восполь-
зуемся дифференциальным уравнением для полиномов
Лежандра A.2.11) и формулой A.2.5). Тогда с помо-
щью равенств (9.6.3) для D^ найдем следующие фор-
мулы:
= пРп (cos Фо) -
n-i (cos Фо),
(9.6.7)
При вычислении по формулам (9.6.7) можно исполь-
зовать рекуррентные соотношения для полиномов Лежан-
дра, приведенные в § 1.2.
Формула (9.6.5) выражает Рп (cos Ф) через промежу-
точную переменную v.
Выразим теперь Рп (cos Ф) через переменную М.
Это можно легко сделать, если воспользоваться уравне-
нием центра:
v==M + 2e sin M + |- е2 sin 2M
(9.6.8)

§ 9.7] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ 301
С принятой точностью мы тогда получим
Рп (cos Ф) = Л<?> + е2 (D<na) - D$?) +
+ eD'u cos M + e2 (D™ + Щ>) cos 2Л/, (9.6.9)
где Z4ft) определяются формулами (9.6.7).
§ 9.7. Уравнения для возмущений элементов
с учетом тени
Развитая в предыдущих параграфах теория теневой
функции позволяет получить возмущения элементов орби-
ты с учетом теневого эффекта. В этом параграфе мы выве-
дем уравнения для возмущений канонических элементов,
аналогичных элементам Делоне.
Получим сначала выражение возмущающей функции
через эти элементы. С помощью (9.6.8) из формул (9.2.10)
и (9.2.11) легко находим
R = 8а 2 2 2 BkAr>j cos (кМ + r'0 + jQ + со),
А г' )
где с точностью до е2
во = т>
3 а
a ^r'j определяются равенствами (9.2.12).
Если в функции R отбросить члены, пропорциональные
е8, то согласно § 4.5 мы можем принять, что
U- . , G2 .Я
М = 1, со = g, Q = fe.
Поэтому функция i? представится в виде
h,r',;(L, G, H)coS{kl + g+jh + r'Q), (9.7.1)
h r'
где
IP-
h-r'>i~ ST h r'*'
причем предполагается, что Bh и AT>j выражены через
L, G, H.

302 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Результаты, полученные в § 9.4—9.6, позволяют также
записать функцию ? следующим образом:
^=SSSSTm,p,9,r(L, G, #)х
т р q r
X cos {ml+ pg + qh + rQ). (9.7.2)
Мы не будем здесь приводить выражение для коэффи-
циента Тт> р, q,>. Его нетрудно получить, если восполь-
зоваться формулами (9.6.9), (9.5.1Г) и (9.4.14).
Напишем теперь уравнения для элементов. Согласно
§ 4.5 они будут иметь вид
dL _ ф. frR_ _dl_ _ 5«i _ у dR_
dt ~~ dl ' dt ~~ dL dL '
dG ^w dR dg^_dai ф. dR
dt ~~ ~d~7' ~~df~~d~G dG '
dll __ цр dR dh^__dOri у dR
(9.7.3)
где
V2LG3
При Л = 0 уравнения (9.7.3) дают
L = L0, l = n{t — to) + 4
[ (9.7.4)
где
dH0
a Lo, Go, Яо, Zo, ^0, h0 — постоянные.
Формулы предыдущих параграфов позволяют выразить
правые части уравнений (9,7.3) в виде явных функций
элементов орбиты и времени t. Подстановка в них фор-
мул (9.7.4) и последующее интегрирование дают возмож-
ность построить в аналитическом виде теорию возмуще-
ний от светового давления с учетом теневого эффекта.
Такая теория была развита в работах С. Н. Вашковьяк
[15], [16]. Она достаточна сложна, однако, использование
ЭВМ позволяет довольно быстро проводить все необхо-
димые вычисления.

§ У. 8]
ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
303
§ 9.8. Влияние светового давления
на движение спутников
Из дифференциальных уравнений (9.7.3) и формул
(9.7.1) и (9.7.2) видно, что элементы L, G, Н, а следова-
тельно, и а, е, i, не имеют (по крайней мере в первом при-
ближении) вековых возмущений. В то же самое время
элементы I, g, h подвержены вековым изменениям. Им
соответствуют те члены в R и W, для которых т = к,
р = 1, q = j иг = г'.
Численные значения вековых возмущений рассмотрим
на примере спутника «Пагеос», элементы орбиты которого
равны
а,им
а = 10600 км, е = 0,05,
i = 86°
и отношение — = 130 см?/г.
щ
Для этого спутника суточные
вековые изменения состав-
ляют
AJ=0°,0057, Ag=-0°,00017,
Аи = 0°,000001.
Заметим, что если не учи-
тывать эффект тени, то все
элементы не имели бы веко-
вых возмущений.
Из предыдущего парагра-
фа следует, что все элементы
подвержены долгопериодическим возмущениям. Этим воз-
мущениям соответствуют те члены в R и W, для которых
т = +к.
Для спутника «Пагеос» на рис. 44—46 показаны изме-
нения элементов а, е, Q на промежутке времени около
500 суток. Эти рисунки показывают, что долгопериоди-
ческие возмущения для некоторых спутников могут дости-
гать весьма значительной величины.
Конечно, все элементы имеют короткопериодические
возмущения с периодом, равным примерно одному периоду
обращения спутника. В табл. 29 приводятся максималь-
ные амплитуды таких возмущений четырех спутников [8].
t,cym.
Рис. 44. Изменение большой
полуоси орбиты спутника «Па-
геос».

304
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Таблица 29
Короткопериодические возмущения
а (км)
А/т0 (сж2/г)
Да (м)
Ае A0)
Ai (")
AQ (")
Д<в (")
AM (")
«Эхо-1»
7780
115
120
10
2
2
32
32
«Эхо-2»
7400
52
70
2
0,4
0,4
25
25
«Пагеос»
10 600
130
450
20
4
4
22
23
«Транзит»
7460
0,1
0,15
0,01
0,002
0,002
0,2
0,2
Изменения элементов а та. е спутника «Эхо-1» на про-
межутке времени, равном одному обороту спутника,
500 t'a/m.
Рис. 45. Изменение эксцен-
триситета орбиты спутника
«Пагеос».
500
t,cym.
Рис. 46. Изменение эле-
мента Q в случае спут-
ника «Пагеое».
показаны на рис. 47 и 48. Штрихованная линия соответ-
ствует возмущениям без учета тени, сплошная — возму-
щениям с учетом теневого эффекта.
Изменения эксцентриситета орбиты за один оборот
трех спутников приводятся в табл. 30. В этой таблице

§ 9.8] ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ 305
Таблица 30
Возмущения эксцентриситета
Де0
Де"
1
1
2
«Эхо-1»
,6
,7
,1
10-5
Ю-5
10-5
«Эхо-2»
л
—1
—1
,5-10-5
,4-10-5
,8-10-5
«Эксллорер-19»
—4,8
-5,3
-6,1
ю-6
ю-6
ю-6
в первой строке приведены результаты наблюдений, во
второй — возмущения, вычисленные с учетом тени, в тре-
тьей — возмущения, найденные без учета тени.
О <
О 20 W б&, 80 100
t,MUH
80 t, мин
Рис.'47. Короткопериодические Рис. 48. Изменение элемента е
возмущения элемента а для спут- за один оборот спутника «Эхо-1».
ника «Эхо-1».
Сравнение теоретических результатов с данными наблю-
дений для спутника «Эхо-1» показано также на рис. 49
и 50. На этих рисунках штрихованная линия дает изме-
нения элементов без учета влияния светового давления,
сплошная — изменения с учетом светового давления.
Точки означают данные, полученные из наблюдений.
Как и в случае сопротивления атмосферы, возмущения
от светового давления пропорциональны отношению AJm0.
Поэтому (и это подтверждают приведенные здесь числен-
ные результаты) возмущения от светового давления дости-
20 Е. П. Аксенов

306
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
|ГЛ. IX
гают значительной величины для спутников — баллонов
«Эхо-1», «Эхо-2», «Пагеос»), для которых это отношение
велико (порядка 100 еж1!г). Для большинства спутников
авг. 1960г
авг.I960 г.
Рис. 49. Изменение элемента со Рис. 50. Изменение элемента е
спутника «Эхо-1». спутника «Эхо»-1».
величина А!т0 имеет порядок 0,1 см2/г. Поэтому возму-
щения таких спутников малы. Однако при точных иссле-
дованиях и они должны приниматься во внимание.
§ 9.9. Замечания
Первые теоретические работы по исследованию воз-
мущений от светового давления на движение искусствен-
ных спутников принадлежат П. Мюзену [9], Паркинсону,
Джонсу, Шапиро 110]. Они были связаны с изучением
движения спутника «Авангард-1». Оказалось, что теория
движения этого спутника, учитывающая гравитационные
возмущения (гравитационное поле Земли, притяжение
Луны и Солнца), не давала должного согласия с наблю-
дениями. В этих работах были определены в первом при-
ближении важнейшие возмущения. При этом пренебре-
галось эффектом тени и предполагалось, что поверхность
спутника зеркально отражает солнечные лучи.
На рис. 51 показано поведение высоты перигея hp
спутника «Авангард-1» на промежутке времени около

§9.9]
ЗАМЕЧАНИЯ
307
600 суток. Пунктирная кривая па этом рисунке соответ-
ствует лунно-солнечным возмущениям, сплошная кривая
построена с учетом светового давления.
Дальнейшие исследования влияния светового давления
были стимулированы запуском спутников-баллонов
(«Эхо-1», «Эхо-2», «Пагеос»). Возмущения в Движении
этих спутников, вызываемые солнечной радиацией, дости-
гают значительной величины и определяются из наблю-
дений с высокой точностью. В связи с этим появилась
WO 580 tiym.
Рис. 51. Изменение высоты перигея спутника «Авангард-1».
необходимость более точного изучения светового давления
и прежде всего эффекта экранирования солнечных лучей
Землей. В 1961 г. И. Козаи [11] выводит формулы для
возмущений с учетом теневого эффекта, Брайянт [12]
для определения возмущений использует метод осредне-
ния Крылова — Боголюбова, Задунайский и др. [13]
изучают возмущения в движении «Эхо-1», И. Козаи при
определении коэффициентов геопотенциала учитывает
эффекты светового давления.
Новый этап в развитии теории связан с идеей Ферраз-
Мелло о введении теневой функции. Как уже отмечалось
в § 9.4, Ферраз-Мелло предложил разложить теневую
функцию в ряд Фурье [4], [5]. Позже П. «Пала и Л. Сехнал
[6] и С. Н. Вашковьяк [7] дали несколько другие пред-
ставления этой функции.
Ферраз-Мелло [14] развил общую теорию возмущений
с учетом нескольких первых членов разложения тене-
вой функции. П. Лала и Л. Сехнал [6], [8] разработали
20*

308 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
подробную полуаналитическую теорию короткопериодичес-
ких возмущений. С. Н. Вашковьяк [15], [16] построила
теорию долгопериодических возмущений с учетом любого
числа членов теневой функции. Эти две теории с успехом
могут быть использованы для практических расчетов.
Заканчивая эту главу, нужно упомянуть еще о воз-
мущениях, связанных с отражением солнечных лучей
от поверхности Земли. Эти эффекты, которые значительно
меньше возмущений, вызываемых прямым солнечным дав-
лением, рассматривались в работах Л. Сехнала [17], [18],
Уайятта [19] и Бейкера [1].

ГЛАВА X
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ
ВОЗМУЩЕННЫХ КООРДИНАТ СПУТНИКА
§ 10.1. Введение
Помимо несферичности Земли, притяжения Луны
и Солнца, сопротивления атмосферы и светового давления
на движение спутника действует целый ряд других возму-
щающих факторов. К ним относятся прецессия и нутация
экваториальной плоскости Земли, приливная деформация
Земли, электромагнитные силы, притяжение атмосферы
и релятивистские эффекты. Все эти факторы вызывают
малые возмущения в движении спутника, которые, однако,
при некоторых исследованиях нужно принимать во вни-
мание.
В предыдущих главах мы предполагали, что положение
плоскости экватора Земли как основной координатной
плоскости является фиксированным в пространстве. Но
вследствие прецессии и нутации система координат, свя-
занная с экваториальной плоскостью, не является инер-
циальной и в результате в движении спутника появляются
дополнительные возмущения. Эти возмущения могут рас-
сматриваться как косвенные лунно-солнечные возму-
щения.
Влияние прецессии и нутации было рассмотрено в рабо-
тах И. Козаи [1] и К. Ламбека [2]. Наиболее полные резуль-
таты получены в прекрасной работе И. Козаи и X. Кино-
шиты [3]. Авторами были выведены формулы, дающие
возмущения элементов орбиты спутника с весьма высокой
точностью. Они подтвердили тот вывод, что в практике
исследования движения искусственных спутников наи-
более удобной системой координат является координатная
система, предложенная Г. Вайсом и К. Муром. Наклон
орбиты и аргумент перигея в этой системе отсчитываются
от экватора даты (момента наблюдения), а долгота узла
измеряется от точки весеннего равноденствия эпохи (ска-
жем, 1950.0) вдоль фиксированного экватора до линии

ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. X
узлов экватора даты, а затем вдоль экватора даты (см.
рис. 52).
Потенциал земного притяжения изменяется с време-
нем также под действием приливной деформации Земли.
Это приводит к возмущениям орбиты спутника. Формулы
для этих возмущений были получены в работах И. Козаи
Рис. 52. Система координат Вайса — Мура.
[4], В. Каулы [5] иП. Мюзена [6], [7]. Наиболее значитель-
ными возмущениями, вызываемыми приливной деформаци-
ей Земли, являются вековые и долгопериодические возму-
щения с периодом'около 18 лет. Точность современных
наблюдений ИСЗ позволяет^выявить эти возмущения
из наблюдений.
Возмущения, обусловленные электромагнитными сила-
ми, изучались в работах Г. Вестермана [8] и Л. Сехнала
[9]. Л. Сехнал подробно исследовал возмущения наклона
орбиты. Им показано, что эти возмущения очень малы.
Для того чтобы их можно было обнаружить из наблюде-
ний, необходим потенциал спутника в 100—1000 вольт.
Однако, как отмечают в своей работе Д. Бирд и Ф. Джон-
сон [10], спутник при движении в атмосфере приобретает

§ 10.2] ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРЕЦЕССИИ И НУТАЦИИ 31 I
потенциал в несколько десятых долей вольта. Эти оценки
подтверждаются измерелиями на ракетах.
На движение искусственного спутника оказывает влия-
ние не только сила сопротивления атмосферы, но и сила
ее притяжения. Потенциал притяжения атмосферы подоб-
но потенциалу притяжения Земли можно представить
рядом по сферическим функциям. Поэтому задача о воз-
мущениях элементов орбиты от притяжения атмосферы
сводится к определению коэффициентов этого ряда. Если
бы атмосфера была стационарной, то эти коэффициенты
были бы постоянными и тогда их можно рассматривать
как некоторые добавки к соответствующим коэффициентам
геопотенциала. И все было бы просто. Однако плотность
атмосферы зависит от времени. Поэтому зависят от вре-
мени и коэффициенты потенциала притяжения атмосферы.
Сезонные изменения этих коэффициентов были исследо-
ваны В. Г. и Е. Б. Шкодровыми [11]. Ими изучены также
соответствующие возмущения долготы узла и аргумента
перигея орбиты спутника.
Большой интерес представляет исследование реляти-
вистских эффектов. Как известно, в теории движения
планет наибольшими поправками к ньютоновскому дви-
жению являются поправки к вековым изменениям пери-
гелиев орбит. Подобные эффекты имеют место и*в случае
движения спутников. Здесь следует также изучить ана-
логичные поправки к изменениям долгот узлов.
В этой главе мы рассмотрим все эти малые возмущения.
При этом более подробно будет изложена теория возмуще-
ний, связанных с прецессией и нутацией экваториальной
плоскости и приливной деформацией Земли. Эта теория
представляет большой интерес как в практическом, так
и в теоретическом отношении. Что касается теории осталь-
ных возмущений, то ее мы рассмотрим в более краткой
форме.
§ 10.2. Возмущения, вызываемые прецессией
и нутацией экваториальной плоскости Земли
Выберем прямоугольную геоцентрическую систему
координат Oxyz так, чтобы плоскость ху совпадала с пло-
скостью среднего экватора эпохи t = t0, ось Ох была
направлена в среднюю точку весны той же эпохи, ось Oz

312 ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. X
направлена в северный полюс, а ось Оу дополняла систему
до правой. Наклон, долготу узла и аргумент перигея
относительно этой системы координат обозначим через /,
N и Ф. Элементы орбиты, отнесенные к мгновенному
экватору и точке весны эпохи t = t0, обозначим через
i, Q и со.
Рассмотрим теперь рис. 52. На нем 0 означает угол
между средним экватором эпохи t = t0 и мгновенным эква-
тором, ty — Дуга эклиптики эпохи t = t0 между ними,
а е0 и е' — их наклоны к этой эклиптике; А, В, С —
вспомогательные дуги, причем
Q = А - В, С = со - Ф. A0.2.1)
Из сферических треугольников на рис. 52 имеем сле-
дующие формулы, которые связывают элементы /, N, Ф
с элементами i, Q, со:
sin (Л—Q) _sin(A — N)_ sin С ПО 9 9\
sin/ ~ sini ~ sin9 ' \W-?'t)
Q
sin0cos(Д— JV) = sin(/ — i) + 2sin2у sinicos/, A0.2.3)
sin С cos / = sin [N — Q) + 2 sin2у sin (A — Й) cos (A~N),
A0.2.4)
cos i = cos 0 cos / + sin 0 sin / cos (A — N), A0.2.5)
sin г cos С — cos 0 sin / — sin 0 cos / cos (A — N), A0.2.6)
sin 8 cos (A — Q) = —cos / sin i + sin / cos i cos C, A0.2.7)-
cos (A — N) = cos С cos (A — Q) +
+ sin С cos i sin (A — Q). A0.2.8)
Система координат Oxyz обладает тем свойством, что
направления ее осей фиксированы в пространстве. Поэто-
му в этой системе координат имеют силу дифференциаль-
ные уравнения для- элементов, которые были получе-
ны в гл. IV. Для описания движения спутника мы возь-
мем уравнения D.^.1).т Применительно к обозначениям

§ 10.2]
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРЕЦЕССИИ И НУТАЦИИ
313
настоящего параграфа они запишутся в виде
da
de
dt
dJ
dt
dM
dt
dt
dN
dt
_ 2
na
1 —
na
na
— re'
n"
dR
dM '
-«2 ал
2e dM
ctg/
2 9Л
rca da
1 ^^
1 nO2e
]
1 rufiV
У 1 — e2
ал
- еф па
i-«2 а
72 ал
l
1— «2 sin/
dR
dФ '
1
2 У 1—«2
R
ctg/
dR
dJ "
ал
sin / diV '
dR
г а/ '
A0.2.9)
Поскольку рассматриваемые здесь возмущения заведомо
малы, мы в коэффициентах при производных возмущаю-
щей функции по элементам отбросили члены, пропорцио-
нальные е, и положили
fm = п2а3.
Перейдем теперь в уравнениях A0.2.9) от элементов
/, N, Ф к элементам i, Q и со. Прежде всего мы имеем
A0.2.10)
dt
do)
dT
di
'~ IT
day
~~dT
dJ ,
"dT4
dt
di
"In"
dm
div
¦dT
dN
dt
di
dФ
dm
T~ dФ
аФ
~w~
dФ
1Г~
di
¦" at '
, aw
dt
a/ dt
aiv
dt
at •
Для частных производных R по элементам /, N, Ф
также находим:
dR 8Q
Ж dJ
9/ di dJ
dN di dN ' dQ ~dN ¦"
dR dR di , dR
dR дш
_
дФ ¦
A0.2.11)

314
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
1ГЛ. X
Далее формулы A0.2.2) —A0.2.8) дают
Si
di
dN
sin / sin С, -—^- = 0,
-~= —sin С ctgi,
-jrr — cos / — sin / ctg i cos C,
do '
go
9/
sin С
dQ
sin / cos С
= 0.
A0.2.12)
sin i ' <9iV sin i ' дФ
Подставляя формулы A0.2.9) и A0.2.12) в уравнения
A0.2.10) и учитывая A0.2.11), мы после простых пре-
образований получим:
da___2_JR_ 1
dt ~ na dM '
de _{~e* dR Vl —e2 dR
dt ~ note dM naJe "ею"'
di _ ctgi dR i__
dt
dM
IF
dm
dQ
паг
= «-
2 dR
na da
da naz i
1 —e2 dR
dR , di
\ at. '
j dQ
A0.2.13)
de
1 —e2 dR
ctgi
паЧ de na2-j/"l_«2
1 dR_ , dQ
i I
dR ¦ day
di
di
_
dt
При этом предполагается, что R выражена через эле-
менты i, Q, со, которые отнесены к мгновенному экватору
и средней точке весны для t = t0.
Уравнения A0.2.13) показывают, что в результате пре-
цессии и нутации в уравнениях для г, со и Q появляются
дополнительные члены, а именно -г- , —- и -^ соответст-
венно, а остальные члены имеют ту же форму, что и в
уравнениях A0.2.9). Это — весьма интересный ре-
зультат, который был получен И. Козаи и X. Киношитой
в 1972 г. [3].
Из уравнений A0.2.13) прежде всего следует, что эле-
менты а и е не подвержены возмущениям от прецессии
и нутации. Возмущения остальных элементов определятся

§ 10.2]
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРЕЦЕССИИ И НУТАЦИИ
315
из уравнений
d&i __ di
dt ~Ж
dbM дп
dbd) дп с. 1 vw
dt di
Формулы D.5.15) нам дают
dn'
di
dn"
dn" R. , дп
dt
дп
~ж
A0.2.14)
-e^sm i,
sin
A0.2.15)
где n\i — Q есть среднее движение узла спутника.
тт „ di to дп т, -.
Найдем теперь выражения для -^т, -^ и -г-. Из фор-
мул A0.2.2) — A0.2.8) с точностью до 02 включительно
имеем
Л ЛП , 92
Q =: N — 0 ctg / sin (A — N) —
A0.2.16)
со = Ф+ 0 cosec / sin (A — N) +
+ -5- ctg i cosec / sin 2 (Л — JV).
Дифференцируя эти формулы частным образом по t
и выражая затем J ж N через ? и Q, получим
di d (9 cos 4) о d (9 sin A) . ,-.
—— = i—--—i cos Q i-^—- sin fi,
5i di dt
sin
0_
dt
Q
dt
A0.2.17)

316 ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. X
Рассмотрим снова рис. 52. Из сферического треуголь-
ника у'у0С имеем
sin 0 sin A = sin e' sin il>, 1
• а , ¦ , \ (Ю.2.18)
smGcos A = sin e0 cose—cos e0 sin в cos л]з. J
С другой стороны, теория прецессии и нутации нам
дает [3].
if = 50",37332' -17",24 sin QL + 0",21 sin 2QL -
—1",27 sin 2LS + 0",13 sin lB — 0",05 sin BLS + lB) +
+ 0",02 sin {2LS — Is) - 0",20 sin 2LL +
-0",03sinBLL+^), A0.2.19)
e' _ 80 = 0",A68T + 0",01 cos {2LL + lL) +
+ 9",21 cos QL— 0",09 cos 2QL + 0",55 cos 2LS +
+ 0",02 cos BLS + is) - 0",01 cos BLS - Zs) +
/^~QL), A0.2.20)
где QL — долгота восходящего узла Луны, отнесенная
к эклиптике, Ls и ls — средняя долгота и средняя анома-
лия Солнца, LL и lL — средняя долгота и средняя анома-
лия Луны, Т — время в годах от начальной эпохи t = t0.
В формулах A0.2.19) и A0.2.20) сохранены все перио-
дические члены, превосходящие 0",01.
Из равенств A0.2.18) с достаточной точностью на-
ходим
6 sin Л = @,3979-be' — 80) sin гр, 1
G cos Л = 0,3651A-cos г|5)-(е'-80), } A0-2-21)
sin A) d&' , . , <М> . ,
-t—'-= 22- cos e sm яр + -?[- sin e' cos if,
d F cos A) cfe' / . , , ,
i = ;j— (sin 80 sm e 4- cos eo cos 8
4- -^- cos e0 sin e' sin if.

§ 10.2]
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРЕЦЕССИИ И НУТАЦИИ
317
Поэтому
= 0,9175 sin ф *?- + 0,3979 cos у §¦,
d(9
—Jf-^= -@,1583 + 0,8418 cos $)*%¦ +
+ 0,3651 sin г|5-^-.
Введем теперь следующие обозначения:
CL (о COS A\ • *™v
A0.2.22)
dt
dt 2
dt
dt
T
dt
dt
A0.2.23)
Подставим в A0.2.23) формулы A0.2.21) и A0.2.22),
а затем A0.2.19) и A0.2.20) и проинтегрируем результат.
Тогда получим
Д — 1_L
0",67Q
— Q
^-sin(QL — Q) —
- ^^ sin (Qb + Q - $) + ^^ sin (QL + Q) +
fi + Q
°"'97ra! si
2?is — Q
—Q
f. Sin BLS + Zs - Q - $) -
2nL — Q

318 ДРУГЛ R ВОЗМУЩЕНИЯ trjl. X
0",02«L
0",03nL .
sin (Q+ф) + ^^ sin (Q
Q
()
fi Q
07nscos(Q+t); A0.2.24)
Q
2Qi, —Q
. \ i 0",
if) H :
—Q 2яя—Q
-j :—v cos BLs — Q — if) H :—v cos BLS — Q)
Q 2Q
2ns+Q
ns —Q
{
3ns—Q
0",16nr /n T „
¦—v- cos BLL — Q —
2nL —
_0r_fi2nL _ cog {2Ll __ Ql _Q __ ^ +
wL —Qb —Q
"'03^ cos BLL + lL - Q - яр) +
Й
( os(Q_1J,)) (Ю.2.25)
Q Q
2sin(fiI/-^), A0.2.26)

A0.2.27)
§10.21 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРЕЦЕССИИ И НУТАЦИИ 319
Здесь QL — среднее движение узла лунной орбиты,
tis и nL — средние движения Солнца и Луны соответст-
венно.
Равенства A0.2.14), A0.2.15), A0.2.17) и A0.2.23)
позволяют записать формулы для возмущений в таком
виде:
6i=/,
бй=|—Н ctgi + K — Gtgi,
бсо = Н cosec I -\- 5G sin i,
6M = 3(?yi—e2sini,
где
G= \ Qldt.
Выражение для G можно легко получить, если проинте-
грировать формулу A0.2.25), в которой все аргументы
суть известные линейные функции времени.
Для того чтобы составить представление о величине
возмущений, вызываемых прецессией и нутацией, рас-
смотрим один пример. Пусть i = 45° и О, — — 3 град/сут.
Тогда
fii = 1",0 cos Q + 0",2 cos (Q — 2LS) — 0",1 cos (QL — Q),
6Q=-2",0sinQ-0",3sin(Q-2Ls) + 0",2sin(Q — QL),
3sin(Q — 2LS) — 0",5sin(Q— QL),
ЬМ = l/Т^Гё2 [2",1 sin Q + 0",2 sin (Й— 2L8) —
— 0", 2sin(Q — QL)].
Нужно заметить, что возмущения элементов i, Q, © су-
щественно меньше возмущений элементов /, N и Ф, от-
несенных к фиксированному экватору. Возмущения по-
следних, как показывает И. Козаи [1], могут достигать
величины порядка 20". Следовательно, система координат,
связанная с мгновенным экватором, более удобна, чем
система координат, в которой за основную плоскость
принимается фиксированная плоскость экватора какой-
нибудь эпохи. Поэтому на практике пользуются системой
координат, предложенной Г. Вайсом и К. Муром. Именно
в этой системе координат и получены возмущения, давае-
мые формулами A0.2.27).

320 ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. X
§ 10.3. Возмущения от приливной
деформации Земли
В результате притяжения внешнего тела (Луны, Солн-
ца) на каждый элемент Земли действует сила, возмущаю-
щий потенциал которой на поверхности Земли согласно
G.1.4) определяется формулой
где т и г — масса и геоцентрический радиус-вектор
внешнего тела, г0 — средний радиус Земли; Н — угол
между направлениями на внешнее тело и на рассматри-
ваемый элемент. Здесь, как и раньше, мы отбросили па-
раллактические члены.
Эта сила и вызывает приливную деформацию в теле
Земли. Вследствие этой деформации притяжение Земли
изменяется, возникают дополнительные силы, которые
характеризуются дополнительным потенциалом R. Ляв
показал, что на поверхности Земли [12]
где к2 — постоянная, называемая числом Лява. Во внеш-
нем пространстве R определится формулой
P2{cosH), A0.3.1)
где г — радиус-вектор внешней точки*).
Постоянная к2 характеризует упругие свойства Земли.
Ее численные значения приводятся в табл. 31.
Итак, в результате приливной деформации, вызывае-
мой Луной и Солнцем, на спутник действует сила с
*) Согласно общей теории потенциала при переходе во внеш-
нее пространство каждую гармонику гс-го порядка нужно умно-
/ г0 \п+1
жить на 1 — 1 . Поскольку в данном случае речь идет о второй
I го\3
гармонике, этот множитель равен I ] •

S 10.3] ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРИЛИВНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЗЕМЛИ 321
Таблица 31
Значение коэффициента /с2
Автор
Молоденский [13]
Козаи [14]
Ньютон [15]
0,302
0,39±0,05
0,311+0,028
возмущающей функцией, равной
где индекс «L» относится к Луне, а «5» — к Солнцу.
Приступим теперь к выводу формул для возмущений.
Для этого воспользуемся уравнениями D.11.13). По-
скольку формула A0.3.1) по своей структуре напоминает
формулу G.1.4), мы можем использовать при этом неко-
торые результаты гл. VII.
Предполагая, что орбита внешнего тела является кру-
говой, мы из A0.3.1) находим
A0.3.2)
где а' — радиус орбиты внешнего тела, а т — масса
Земли.
Далее имеем
A0.3.3)
где
58
Параметр $ характеризует численно возмущающую функ-
цию. Для Луны и Солнца он равен соответственно
pL = 0,1681-10, ps = 0,7740-Ю-8.
Подставим в A0.3.3) формулу G.2.4) и равенство
— = 1 -f e cos v.
21 е. п. Аксенов

322
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ
. х
Тогда, если отбросить короткопериодические члены, по-
лучим
F'= ¦%-'%&, h) cos (ku' + hU), A0.3.5)
где суммирование ведется по следующим к и h: к = 0;
h = 0, 1, 2 и к = 2; /г. = 0, ±1, ±2.
Коэффициенты (к, К) равны:
vu> и)=1«-B —
16
@, l) = -|-sas'a',
@, 2) = -jg-[sV2,
B, 0) = -|-B-3s2)s'2,
32
B, 2) = As2A-a'J.
Здесь, как и раньше,
s = sin i, a = cos i, s' = sin i', a' = cos i\
A0.3.6)
где штрих относится к внешнему телу.
Что касается и' и Q, то они равны
и' = М' + со', Q = Q - Q',
A0.3.7)
где Af', со' и Q' — средняя аномалия, аргумент перигея
и долгота узла внешнего тела, отнесенные к экватору
Земли.
Заметим, что формула A0.3.5) имеет структуру, ана-
логичную G.2.18), но она содержит только восемь чле-
нов.
Так как мы ограничимся только вековыми и долгопе-
риодическими членами и так как F' не содержит и, то из

SJ0.31 ЙОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРИЛИВНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЗЕМЛЯ 323
уравнений D.11.13) следует, что
5а = 0, бе = 0,
т. е. большая полуось и эксцентриситет орбиты спутника
не подвержены вековым и долгопериодическим возмуще-
ниям от приливной деформации Земли.
Формулы для возмущений остальных элементов нахо-
дятся аналогично тому, как это делалось в случае лунно-
солнечных возмущений. Здесь мы подробно рассмотрим
возмущения наклона i и долготы узла Q. Формулы для
возмущений элементов и и М можно найти в работе
И. Козаи [4].
В соответствии с D.11.13) для i и Q имеем следующие
уравнения:
di р dF'
~dv~ s~ dQ •
« ХР OF'
где
=—-|-Е2а. A0.3.9)
Поскольку ц зависит от i, то возмущения Q опреде-
лятся из уравнения j
**'=$. Ы+SZSf-. A0.3.10)
dv di ' s ds v '
При интегрировании уравнений A0.3.8) и A0.3.10) мы,
очевидно, можем считать, что u', Q и Q' являются линей-
ными функциями у, т. е. *)
A0.3.11)
где u'g, Qo и Q^ — постоянные величины, п — среднее
движение спутника, Q' — среднее движение узла внеш-
*) См. § 7.4.
21*

324
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
. X
него тела, п' — среднее движение внешнего тела, a \l
дается формулой A0.3.9).
Подставляя теперь формулу A0.3.5) в уравнения
A0.3.8) и A0.3.10) и интегрируя при условии A0.3.11),
легко находим
«0= A|i-»+JI
+-§¦
Здесь
A0.3.12)
sin
A0.3.14)
где с л? 210 км, ар — параметр орбиты спутника.
Коэффициенты akt /, и bftih приводятся в табл. 32.
Коэффициенты ал, л и 6/с,л
Таблица 32
ft, h
0, 1
0, 2
2, 0
2, -1
2, 1
2, —2
2, 2
3 , ,
-Tsaa
3 „
0
-|s'(l + a')a
-|-s'(l-a')a
|A + «'Г-
|S'a'(l-2S2)
9 ,.
—|.'(l + a') A-2*2)
As'A-a') A-2*2)
i(l+a'Jsa
l(l-a'Jsa

§ 10.3] ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ПРИЛИВНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЗЕМЛИ 325
Рассмотрим теперь некоторые параметры, входящие
в формулы для возмущений. При этом нам необходимо
учесть эффект, связанный с запаздыванием приливов. Де-
ло в том, что приливное трение смещает прилив прибли-
зительно на величину n^At в направлении вращения
Земли, где гщ — угловая скорость вращения Земли, а
At — время запаздывания прилива. В результате мак-
симум приливного горба в данном месте запаздывает по
времени относительно прохождения внешнего тела через
местный меридиан. Этот эффект можно учесть следующим
образом. Рассмотрим некоторое фиктивное внешнее тело.
Пусть оно движется по орбите, восходящий узел кото-
рой, отнесенный к плоскости экватора, смещен на вели-
чину n^At и пусть аргумент широты его равен аргументу
широты истинного внешнего тела для момента t — At.
Тогда в момент t фиктивное внешнее тело будет находиться
точно над вершиной прилива. Поэтому полученные фор-
мулы для возмущений будут учитывать запаздывание
приливов, если в них элементы Q' и и' заменить элемен-
тами Q* и и*, относящимися к фиктивному внешнему те-
лу, так чтобы
и* = и' — п' At,
где О'иц' — долгота узла и аргумент перигея истинного
внешнего тела.
В случае Солнца мы имеем
V = б', Q* = n$At,
0 = Q — n^At, и* = Ь8 — nsAt,
где е' —наклон эклиптики к экватору, Ls и ns — средняя
долгота и среднее движение Солнца.
Так как рассматриваемые возмущения малы, то мы
можем пренебречь наклоном орбиты Луны к плоскости
эклиптики. Тогда в случае Луны будем иметь
i' = е', Q* = n^At,
9 = Q — n^Ai, u* = LL — nLAt,
где LL и пь — средняя долгота и среднее движение
Луны.

326
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. X
При этих допущениях формулы для возмущений суще-
ственно упрощаются. Так, коэффициенты ahih и bhth бу-
дут общими для Луны и Солнца. Их значения приводятся
в табл. 33.
Таблица 33
Коэффициенты аи, н и bkt ь
ft, h
0, 1
0, 2
2, 0
2, —1
2, 1
2, —2
2, 2
ah, ft
—0,2738 cos i
—0,0594 sin i
0
—0,2861 cos i
—0,0123 cos i
0,6894 sin i
—0,0013 sin i
bh,h
0.2738A —2 sin2 0
0,0594 sin i cos i
—0,1781 sin i cos i
—0,2861 A—2 sin2 i)
0,0123 A-2 sin2j)
0,6894 sin i cos i
0,0013 sin i cos i
Согласно спутниковым определениям время и фаза
запаздывания равны
At = 20 мин, n$At = 5°.
Чтобы составить представление о величине возмуще-
ний, приведем один пример. Пусть орбита спутника такова,
что
а = 8270 км, е = 0,1, i = 33°.
Тогда наибольшие возмущения элементов i и Q будут
равны
6t = 0°,24.10-3cos(Q — neAt),
60 = 0°,25 • 10~3 sin (Q — пфМ).
Определение подобных возмущений из наблюдений
позволяет найти величины fe2 и At. Этой задачей занима-
лись И. Козаи Я4] и Р. Ньютон 115]. Результаты их ис-
следований приведены в табл. 31.
Замечание. При выводе формул для возмущений
мы предполагали, что наклон орбиты Луны к плоскости
экватора не изменяется с временем. Поэтому получен-
ными формулами можно пользоваться на промежутках
времени около одного года. Если же учесть изменения
наклона лунной орбиты, то мы придем к дополнительным

§ 10.4] ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ АТМОСФЕРЫ 327
долгопериодическим возмущениям с периодом около
18,6 года (период обращения линии узлов орбиты Луны).
Теорию этих возмущений разработал И. Козаи [4]. Для
них он нашел следующие формулы:
6Q=— Gcosi, бй = G B— -|-sm
где
G = F B27° sin iV -1° sin 2N),
re A-е2J \ a ) '
а N — долгота узла орбиты Луны в эклиптике.
Эти выражения очень важны для анализа движения
спутника на больших промежутках времени. Такой ана-
лиз, в частности, имеет непосредственное отношение
к определению коэффициентов геопотенциала. Если мы
определяем эти коэффициенты по наблюдениям, охваты-
вающим промежуток времени около года, то полученные
результаты будут обременены эффектами приливной де-
формации, ибо почти вековые неравенства, обусловленные
приливами, не могут быть отделены от вековых неравенств,
вызываемых несферичностью Земли. Поэтому коэффи-
циенты потенциала должны изменяться с периодом около
18,6 лет. И. Козаи нашел, что амплитуда изменения коэф-
фициента /2 с этим периодом равна примерно 0,8-10"*.
§ 10.4. Влияние притяжения атмосферы
Потенциал притяжения U во внешней точке можно
представить в виде
и = и0 + и',
где Uo — потенциал притяжения Земли, а V — потен-
циал притяжения атмосферы. Представляя Ua и V в виде
рядов по сферическим функциям, мы для коэффициентов
разложения U будем иметь (см. § 1.6)
/""(О) | /"" С С@) I С"
^ft-r^ft) "nil — "nft ~r*->nk>
где C$$ и Snk — коэффициенты разложения Uo, a C'nh
И S'nk — соответствующие коэффициенты V,

328
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. X
Зная распределение плотности атмосферы, можно вы-
числить коэффициенты C'nh и S'nk. В. Г. и Е. Б. Шкодровы
[11] определили эти коэффициенты на основе данных Цен-
трального института прогнозов. Используя наблюдатель-
ный материал за 1958 г., они вычислили все коэффициенты
до четвертого порядка на каждый месяц этого года.
Поведение коэффициентов J'2 = —С"
J 4
показано на рис. 53. Как и следовало ожидать, эти коэф-
фициенты существенно изменяются с временем. Так, J\
изменяется в диапазоне от 0,06-10"9 до 2,00-10"в, a J't
I ШИШ X Ж
19588.
Рис. 53. Коэффициенты /J
3,2
2,6
1,8
1.0
I
/
f
I
Ш
(j
^J
Q
¦7/
/
/
/
r
ш
'Ч
M
\
\
1 »
x ж
Рис. 54. Суточные измене-
ния элементов Q и со (в
единицах 10-* град).
от 0,51-10"9 до1,24-10-9. Аналогичным изменениям под-
вержены и другие коэффициенты. Таким образом, различ-
ные вариации плотности атмосферы и связанные с ними
изменения коэффициентов C'nh и S'nk могут наложить
определенные ограничения на точность определения коэф-
фициентов разложения геопотенциала по наблюдениям
искусственных спутников.
В работе В. Г. и Е. Б. Шкодровых вычислены вековые
возмущения, вызываемые притяжением атмосферы. На
рис. 54 приведены суточные изменения элементов Q и и
для спутника с а = 7390 км, е == 0,15, i = 50°. Соответ-
ствующие линейные смещения спутника достигают вели-
чины порядка 100 м.

§ 10.5] ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ 329
§ 10.5. Влияние электромагнитных сил
Пусть спутник обладает электрическим зарядом, рав-
ным Q. Тогда при движении в магнитном поле Земли на
него будет действовать сила F, определяемая формулой
р = Q (у х Ф), A0.5.1)
где V — вектор скорости спутника, а Ф — вектор маг-
нитной напряженности.
Компоненты вектора Ф можно найти из выражения
для потенциала магнитного поля W, который подобно
потенциалу гравитационного поля может быть разложен
в ряд по сферическим функциям, так что
«> (cos 9) [g\l) cos % + h™ sin X] +...}, A0.5.2)
где г — радиус-вектор, h — долгота и 0 — дополнение
до широты спутника; г0 — средний радиус Земли, gf\
g1\ h^' и т. д.— коэффициенты, характеризующие маг-
нитное поле Земли. Так, например,
gj» = -0,3 (гаусса). A0.5.3)
Здесь мы, следуя работе Л. Сехнала [9], рассмотрим
влияние лишь первого члена в формуле A0.5.2). Заметим,
однако, что слагаемые в W, содержащие долготу Я, не будут
вызывать вековых возмущений и возмущений большого
периода.
Введем в соответствии с § 4.10 компоненты возмущаю-
щего ускорения S, Т, В. Поскольку
Vs = г, VT = tv, VB = 0,
где v означает истинную аномалию, то с помощью формул
A0.5.1) и A0.5.2) легко находим
A0.5.4)
В = — -2- М°> I IS-K sin i[r cos и + 2rv sin и],
Щ \ Г J <¦

330 ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. X
где
г = у -у1
е sin v,
причем т — масса Земли, т0 — масса спутника и / —
постоянная притяжения.
Формулы A0.5.4) и A0.5.5) позволяют легко соста-
вить дифференциальные уравнения для элементов. Для
этого нужно воспользоваться уравнениями § 4.10, отбро-
сив в них члены с б и о. Однако в силу малости ожидае-
мых эффектов мы не будем делать это для всех элементов.
Как и в работе [9], мы ограничимся лишь рассмотрением
изменений наклона орбиты i.
Согласно D.10.15) с принятой точностью имеем
¦%- = г • —cosu-ff. A0.5.6)
Примем теперь, что заряд спутника вследствие изменения
ионизации атмосферы с высотой определяется формулой
(Ю.5.7)
где Qo и к — некоторые постоянные, а
h = г — r0, hp = а A — е) — г0. A0.5.8)
Подставляя равенства A0.5.4), A0.5.7) и A0.5.5)
в A0.5.6) и отбрасывая короткопериодические члены, мы
при к = 1 придем к следующему уравнению для i:
^eA + e)sini/_[o.\3 « Sin 2a). A0.5.9)
Поскольку правая часть содержит sin 2ю, то интегриро-
вание этого уравнения даст нам долгопериодическое воз-
мущение с периодом, равным половине периода обращения
перигея орбиты спутника.
Оценим теперь правую часть A0.5.9). Для простоты
примем, что поверхность спутника представляет собой
сферу радиуса р. Тогда, если через U обозначить потен-

§ 10.6] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ 331
циал спутника в вольтах, то в согласии с A0.5.3) будем
иметь
" '"' = -±.1О-13-^,
—^———— __ —— ——- • i\j •
где р должно измеряться в сантиметрах, а т0 — в грам-
мах.
Пусть далее орбита спутника такова, что
а = 9500 км, е = 0,3, i = 90°.
Тогда уравнение A0.5.9) нам даст
-^-=2°-10-13 P^-sin2co. A0.5.10)
at m.Q ч '
После интегрирования (0.5.10) мы получим периодиче-
ское неравенство, амплитуда которого равна примерно
ПО Upnto1.
Следовательно, такое неравенство можно обнаружить
из наблюдений только в том случае, если потенциал спут-
ника будет составлять величину порядка 100 вольт. Одна-
ко, как уже отмечалось, в работе Д. Бирда и Ф. Джон-
сона [10] было показано, что спутник при своем движении
в атмосфере может приобрести потенциал лишь в не-
сколько десятых долей вольта. Такой потенциал свиде-
тельствует о малом влиянии электромагнитных сил на
движение спутника. Во всяком случае до настоящего вре-
мени не обнаружено каких-либо невязок, которые можно
было бы интерпретировать как электромагнитные влия-
ния. Но нужно признать также, что теория электромаг-
нитных возмущений не является совершенной и заведомо
нельзя отрицать, что в некоторых случаях эти возмуще-
ния нужно принимать во внимание.
§ 10.6. Релятивистские эффекты
Наибольшие релятивистские поправки к движению
спутника в ньютоновском гравитационном поле сводятся
к поправкам к вековым изменениям перигея и узла орбиты.
В соответствии с общей теорией относительности реляти-
вистские эффекты в средних движениях элементов Q и со

332
ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. X
определяются формулами [16]
щ
Аи =
5 м е2K/2 а3 '
3^..i_3AQcosf,
где
Здесь / — постоянная притяжения; т, г0 и % — масса,
средний радиус и угловая скорость вращения Земли;
сх — скорость света, п — среднее движение спутника.
В таблице 34 приводятся суточные значения Асо
и AQ некоторых спутников (е0 = 0,2; ?0 = 0°).
Таблица 35
Релятивистские поправки
а (км)
10000
20 000
Дш (град)
0,42-10-5
0,75-Ю-6
ДО (град)
0,55-10-'
0,69-10-8
а (км)
30 000
40000
•
Дш (град)
0,27-Ю-6
0,13-Ю
ДО (град)
0,21-10-8
0,87-10"9
Из этой таблицы следует, что релятивистские поправ-
ки весьма малы и едва ли их можно в ближайшем будущем
обнаружить из наблюдений.
§ 10.7. Определение возмущенных
координат спутника
Рассмотрим, наконец, общую схему вычисления воз-
мущенных координат спутника.
Элементы орбиты. Примем за основную си-
стему произвольных постоянных теории следующие вели-
чины:
п0, е0, i0, Мо, и0, Qo, A0.7.1)
где п0 есть среднее аномалистическое движение спутника.
Элемент а0 определяется формулой
A0.7.2)
в2 A-е?)

§ 10.7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕННЫХ КООРДИНАТ 333
в которой
а постоянные fm и с равны (см. § 1.8 и 1.9)
fm = 3,986013.10s км31сек2, с = 209,729 км.
Соотношение A0.7.2). есть результат обращения фор-
мулы C.8.7), связывающей щ с постоянными а0, е0, i0.
Помимо системы A0.7.1) будем рассматривать также
систему элементов:
а, е, i, M, со, Q,
которые характеризуют промежуточную орбиту. Эти эле-
менты уже являются функциями времени.
Рассмотрим теперь элементы Z, g, h, которые входят
аргументами в периодические возмущения. Они даются
формулами
A0.7.3)
h=n"(t — to) J
где
A0.7.4)
а коэффициенты п, п' и п" равны
» = в0 (И M, n' = vn, n" = \xn. A0.7.5)
Заметим, что п' и п" являются соответственно средним
движением перигея и средним движением узла орбиты
спутника.
Определение вековых возмущений.
Обозначим через а', е', i', Q', о', М' значения элементов
а, е, i, Q, и, М с учетом только вековых возмущений.

334 ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ tl\JI. X
Тогда
a' =
со' = co0 + v\|) + v' (ф — %J,
Здесь a, e, i, k, v' и \i' характеризуют возмущения
от сопротивления атмосферы; они даются формулами
(8.9.8)-(8.9.12). Так, например,
Величины v ж \i характеризуют возмущения от несфе-
ричности Земли и притяжения Луны и Солнца; они могут
быть представлены в виде
v = v0 + Avz -f- AvL + Avs,
у, = \ia + A^z + Дць + Д}х8,
где v0 и \ia — это значения v и \i в промежуточном движе-
нии, т. е.
vo = ^-(l+a2)A2-15<) +
)SO2 + 1C
--f-1288 —1296so2 + 1035sov — eV 144
& _2 /Л i
причем
а0 = cos iQ, s0 = sin t0, e0 = -g м_е») >
or= -0,035647.
Что касается величин Avz и A[i.z, AvL и AfiL, Avs
и Ajisi то они представляют собой коэффициенты вековых

10.7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕННЫХ КООРДИНАТ 335
возмущений, вызываемых соответственно зональными
гармониками геопотенциала, притяжением Луны и Солн-
ца. Выражения для них приводятся в § 5.13 и 7.4. Так,
например, для A^z имеем
n=2
где
7гп — hn ( ~Г~ ) j Po:==ao(l — ео)>
а величина \ць определяется формулой
3 0 I Ол2
afXb = — -Tg- PL °г B — 3sL) a0, A0.7.6)
где
причем через mL, aL и sL обозначены масса, большая
полуось и синус наклона орбиты Луны.
Если в формулах A0.7.6) и A0.7.7) заменить индекс
«L» на «S» и под ms, asvi ss понимать массу, большую полу-
ось и наклон орбиты Солнца, то они дадут величину A^s.
Определение долгопериодических
возмущений. Формулы для возмущенных значе-
ний элементов можно представить в виде
е = е' + бе, со = со' -f- б©,
где а', е', . . ., Q' означают элементы с учетом только
вековых неравенств, а 8а, бе, . . .,6Q — суммарные перио-
дические возмущения. Так, например,
бе = 6ez + 8et + 8eL + 8es + ...
Здесь индексы «z», «J», «L», «5» относятся соответственно
к зональным гармоникам, тессеральным и секториальным
гармоникам геопотенциала, Луне и Солнцу.

336 ДРУГИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. X
Возмущения от зональных гармоник даются формула-
ми § 5.9. Например, для Sez имеем
оо
где
n=m+l
= 2 fj
причем
аргумент g' определяется формулой
где g дается равенством A0.7.3).
Формулы для возмущений от низших тессеральных
и секториальных гармоник приводятся в § 6.2 и 6.3.
Так, для возмущения Ьц, обусловленного второй секто-
риальной гармоникой, мы имеем
= -g- ЪъЧ cos 2^2
где
Ш У \ Ро I Г по *
' *22 =="'"~"<-> — Agg.
Здесь /22 и ^22 — коэффициенты, характеризующие вто-
рую секториальную гармонику, S — звездное гринвичс-
кое время, a h определяется третьей формулой A0.7.3).
В общем случае аргументы возмущений даются форму-
лой (см. § 6.7).
9 =kg+ q(h-S -%nq) + pl,
где к, q, p — целые числа, a I, g, h определяются равен-
ствами A0.7.3).

§ 10.7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕННЫХ КООРДИНАТ 337
Формулы для лунно-солнечных возмущений приво-
дятся в § 7.5—7.9. Аргументами лунных возмущений яв-
ляются величины g, h, средняя долгота к^ и долгота узла
Q,? Луны, а аргументами солнечных возмущений — вели-
чины g, h и средняя долгота Солнца Kq.
Аналогичным образом учитываются остальные возму-
щения: возмущения от светового давления, возмущения,
обусловленные прецессией и нутацией земной оси и т. д.
Аргументами этих возмущений будут величины g, h
и элементы Луны и Солнца.
Определение прямоугольных коор-
динат. Прямоугольные координаты х, у, z должны быть
вычислены по формулам промежуточного движения. Свод-
ка этих формул приведена в § 3.14.
Замечание. Если в основу теории положить
кеплеровы элементы, то.прямоугольные координаты нуж-
но вычислять по формулам кеплерова движения (см.
§ 3.15), но в этом случае к указанным здесь возмущениям
необходимо добавить возмущения, обусловленные второй
и третьей зональными гармониками геопотенциала, а в
формулах A0.7.5) положить к = \i = v = 0.
1/2 22 Е. П. Аксенов

-~100СЛС5|?«н^-СОО-~-1СЛ00001о?оСлй>*ОЭСОСОСО>р»СЛ-~1-<]ОЭ
слоэсл cn-jcoo -jooioiootow о со *• >t>
СП
I I I
ICOO^CDb^COCntOtOOS
)Hh*H»050050tOil>
t-OOOaCoCOCDCOOOl
» О CO O3 O5 CT5
II
?Ф»^йооо[оч©ООоо:о:<1сл
''
00
CO»
g Q?
о »&
!
5
II
о
¦a
s
X
я о»
s
№
CO
я
2
и

ПРИЛОЖЕНИЕ
339
п, h
12,7
12,9
12,11
13,1
13,3
13,5
13,7
13,9
13,11
13,13
14,2
14,4
14,6
14,8
14,10
14,12
14,14
15,2
15,4
15,6
15,8
15,10
15,12
15,14
16,1
16,3
16,5
16,7
16,9
16,11
16,13
16,15
17,12
17,14
18,13
19,12
19,14
20,14
21,14
1,4507
—3,2232
-4,4921
-5,6042
2,3833
9,6637
-5,2217
—2,5623
—3,3749
—7,0288
3,2120
0,78017
1,9140
—3,0273
5,3732
1,2481
—5,2082
—4,4833
1,3916
7,0020
—9,7657
—2,0648
1,0524
1,2193
—2,3789
-4,7358
-4,4201
10,591
0,90001
0,68502
3,5475
—3,5485
8,3097
—1,6058
0,46903
6,7115
—0,39779
1,1130'
5,2067
9,9784
4,2858
-4,8206
2,6288
—2,8930
—4,7760
-0,32562
10,767
5,8541
7,4643
—4,5289
-3,7327
—5,8721
—6,0838
—4,3168
—5,7314
—1,2840
—1,6056
6,6644
—11,872
-3,5710
0,053724
0,68726
—2,6786
7,6413
3,2610
3,2230
0,81008
-10,628
—7,0765
2,0683
0,084126
0,35424
2,7286
—3,5547
—0,82623
—2,3817
—1,6183
3,0801
Продолжен!
n, k
12,8
12,10
12,12
13,2
13,4
13,6
13,8
13,10
13,12
14,1
14,3
14,5
14,7
14,9
14,11
14,13
15,1
15,3
15,5
15,7
15,9
15,11
15,13
15,15
16.2
16,4
16,6
16,8
16,10
16,12
16,14
16,16
17,13
18,12
18,14
19,13
20,13
21,13
22,14
—0,57854
-1,8590
—1,9407
-4,7456
—1,9980
—8,3417
-4,1759
8,6589
—0,13229
-2,3090
1,9042
-2,5958
1,1061
4,9539
2,7833
5,1554
-0,35971
0,83016
3,1684
11,856
2,2064
-3,2585
-3,7348
0,14515
2,1327
—1,1591
—5,8439
—8,4738
—2,9849
2,2834
—0,73590
—2,9522
3,2749
1,1662
-2,7446
3,3201
5,8374
0,36928
—8,0549
е табл. 35
Ъпк-ш
3,3752
0,48382
—5,7771
1,7367
5,7030
5,9782
—2,0231
—1,0528
8,2192
4,9664
0,11919
-2,3344
0,84132
9,2345
—8,1637
4,5453
4,0142
-0,57218
0,18250
4,2690
2,6632
9,4052
0,40249
-1,4802
3,0669
4,3001
—4,2809
—0,24677
—0,052467
-3,4087
—2,2626
0,86217
0,042920
0,84724
—4,8376
-6,3128
3,3320
—1,6288
2,6440
22*

340
ПРИЛОЖЕНИЕ
s
се
В.
»
ъ
а
сз
%.
О
/I
о
«
i
о
«
1
с
2,09-
СО
О
СМ
сч
1
«-
СЧ
о
00
о
СО
Ь
со
1
О
1
О
чт* |>- vf
СО
мой
•^i t~ if
СО
1
^Н t^ Sf
pec
О
„
О
Tf
1
CD
C4 ^, ^ CO CO Sf CO IM
ь
|
чН
CO О CD Ot> Cl O^ O^ 00
О О1 CC CO l-O t^* CO Sl^
00Ca^O5CO-<l<00CM
oooccooo
vfoc^-^oocsit^-t^
in
1
CO CM C4 ч^ ^ t- v? CO
1
CVf т Ь ОС tC Ь С CO
OJ OJ ^ ^ CD CO st< CO
о
Ь о
lO lo lO lO *<f О *О 00
L ч-i CD l-O 00 CO *<f^ О
ч—', i^~f 00 О CO CM -чт^ 00
I
О О О <O О О О О

ПРИЛОЖЕНИЕ
341
ч
D
CS
С
с
a*
В
С
rc
о
е.
г*]
_|
—<
30
О
~/
/-
О
^ со об
I
О
тч L— -* СО СМ <*ч ^ t-- Ю
Р; СС 00
ее
О
1,02
6,85-
4.68
да
О
СС ^ S
ее
.
00
«с
1
О
'.
сИ
оо
3,22
1,42
1--
о
со со ^ см о
>
ooS2«S
ь
о
о о о с о
ее
1
о
О^ О CM LO тн t^«
i_O CO C^ Kf ^H !>•
о
Т
^ "^ с с^ о **
1
о
^Cit-tO^CO
ОС
J-
сс
¦н тч as с^ го -*
оооооо
LO СС СО СО СО СО
*^J g^ оо со
Soccco
СМ См -^^ ¦чг!
ОС
<ь
ОС ^ т-t t~^
•ч-i Ю О СО
SJHCOCOCM
о ооо
t4- »¦ IT- t^
S3
О
.
со
*
о
51
So
caca

342
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 37
Значения шкалы высот Н (км) для .Р=
^Ч t
h {км) >v
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
520 '
540
560
580
600
620
640
660
680
700
720
740
760
80
800
0!l
20,2
22,1
23,8
25,4
26,9
28,3
29,6
30,9
32,2
33,4
34,5
35,6
36,6
37,6
38,5
39,3
40,9
. 42,3
43,6
45,0
46,6
48,6
51,0
54,0
58,0
63,0
69,4
77.3
8б;в
97,9
110,1
123,1
136,3
149,2
161,2
172,0
181,6
190,0
197,3
203,7
209,3
4h
19,2
21,1
22,8
24,4
25,9
27,4
28,9
30,3
31,6
32,9
34,1
35,3
36,3
37,3
38,2
39,1
40,6
42,1
43,5
45,0
46,7
48,9
51,6
55,1
59,5
65,2
72,3
81,1
91,4
103,1
115,9
129,0
142,1
154,5
165,8
175,9
184,7
192,4
199,0
204,9
210,1
8h
19,2
21,5
23,7
25,9
28,1
30,2
32,1
34,0
35,8
37,5
39,0
40,5
41,8
43,1
44,3
45,4
47,4
49,1 •
50,7
52,3
53,8
55,6
57,5
59,7
62,4
65,6
69,6
74,4
80,3
87,4
95,8
105,5
116,4
128,4
141,3
154,5
167,9
180,9
193,3
204,8
215,3
12h
21,1
24,2
27,1
29,8
32,4
34,7
36,9
39,0
40,9
42,7
44,4
46,0
47,5
49,0
50,3
51,6
53,9
55,9
57,8
59,5
61,1
62,7
64,3
65,9
67,7
69,7
71,9
74,5
77,5
81,1
85,4
90,3
96,2
103,0
110,9
119,8
129,8
140,9
152,8
165,5
178,8
22,2
25,3
28,2
30,7
33,1
35,2
37,1
39,0
40,7
42,2
43,7
45,2
46,5
47,8
49,0
50,2
52,3
54,2
56,0
57,6
59,1
60,6
62,2
63,8
65,5
67,4
69,6
72,2
75,3
78,9
83,2
88,3
94,3
101,3
109,5
118,7
129,0
140,4
152,7
165,6
179,0
20h
21,4
23,8
25,8
27,7
29,3
30,8
32,3
33,6
34,9
36,2
37,4
38,5
39,6
40,6
41,5
42,5
44.1
45,6
47,0
48,4
49,8
51,4
53,2
55,3
58,0
61,3
65,4
70,6
76,9
84,7
93,8
104,3
116,1
128,8
142,0
155,2
168,1
180,2
191,3
201,4
210,3

ПРИЛОЖЕНИЕ
343
Коэффициенты
ЛГ<05 == 1
(е)
16
=-jg-f (8 + 12.2
" 4
~~ i
5_
~'T'
4-
4-
4-
¦?-
4-
Коаффициенты
> (.y)
) 231 в
1024
¦-T-
' = _-!-, D-5*2)
)=ws(8~28s2+21s4)
il 35 Л
i - 128
16
256
63
256

ЛИТЕРАТУРА
К ГЛАВЕ I
1. Д у б о ш и н Г. И., Теория притяжения, Физматгиз, М., 1961.
2. Д у б о ш и н Г. Н., Небесная механика. Основные задачи
и методы, «Наука», 1968.
3. С у б б о т и н М. Ф., Курс небесной механики, т. 3, Гостехнз-
дат, М., 1949.
4. С р е т е н с к и ii Л. Н., Теория ньютоновского потенциала,
Гостехиздат, М., 1946.
5. Гобсон Е., Теория сферических и эллипсоидальных функ-
ций, ИЛ., М., 1952.
6. У и т т е к е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс современного
анализа, т. 2, Физматгиз, М., 1963.
7. П е л л и н е н Л. П., Исследование гравитационных полей
и формы Земли, других планет и Луны по наблюдениям косми-
ческих аппаратов. Итоги науки, серия Космонавтика, II., 1972.
8. Geodetic parameters for a 1966 Smithsonian institution Standard
Earth, Edited by C. A. Lundquist and G. Veis, Smithsonian
institution Astrophysical Observatory, Spec. Rep. № 200, 1966.
9. Стандартная Земля, под редакцией К. Лундквиста о Г. Вейса
(перевод с английского), «Мир», М., 1969.
10. К о z a i Y., Revised values for Coefficients of Zonal Harmonics
in the Geopotential, Smithsonian Astrophysical Observatory,
Spec. Rep., № 295, 1969.
11. Gaposchkin E. M., L a m b e с k K., 1969 Smithsonian
Standard Earth (II), Smithsonian Astrophysical Observatory,
Spec. Rep. № 315, 1970.
12. Holshevnikov K. W., Le developpement du potentiel
dans le cas d'une densite analytique, Cel. Mech., v. 3, № 2. 1971.
13. Аксенов Е. П., Механическая интерпретация силовой
функции обобщенной задачи двух неподвижных центров,
Астрон. ж., т. 45, № 4, 1968, стр. 858.
14. К о z a i Y., New determination of zonal harmonics coefficients
of the Earth's gravitational potential, Publications of the Astro-
nomical Society of Japan, v. 16, p. 263, 1964.
15. Груш ii некий Н. П., Теория фигуры Земли, Физматгиз,
стр. 252, 1963.
16. D о u b о с h i n e G. N., Sur le Developpement da Potentiel de
la Terre par les Functions de Lame, Trajectories des Corps Celeste
Artificiels, Berlin — New York, p. 68, 1966.
17. Савров Л. А., Разложение аномалий силы тяжести в ряды
по эллипсоидальным функциям Ламме, Труды Гос. астрон.
ин-та им. П. К. Штернберга, т. 38, 1972.

ЛИТЕРАТУРА 345
18. В almino G., Contribution а Г amelioration du potentiel ter-
restre, CNES Groupe de Recherches de Geodesie Spatiale Bull.,
№ 12, p. 1, 1974.
19. V inti J. P., Theory of an accurate intermediary orbit for
satellite astronomy. Journ. Res. Nat. Bur. Standards, v. 63 B,
№ 3, p. 105, 1959.
20. К и с л и к М. Д., Движение искусственного спутника в нор-
мальном гравитационном поле Земли, Сб. «Искусственные спут-
ники Земли», вып. 4, 1960.
21. Аксенов Е. П., Г р е б е н и к о в Е. А., Д е м и н В. Г.,
Общее решение задачи о движении искусственного спутника
в нормальном поле притяжения Земли, Сб. «Искусственные спут-
ники Земли», вып. 8, стр. 64, 1961.
22. Б р а у э р Д., Клеменс Д ж., Методы небесной механики
(перевод с английского), «Мир», М., 1964.
23. Яров-Яровой М. С, Работы в области небесной механики
в МГУ за 50 лет A917-—1967 гг.), История и методология есте-
ственных наук, вып. 7, Астрономия и радиофизика, Изд-во
Московск. ун-та, стр. 86, 1968.
24. Аксенов Е. П., Г р е б е н и к о в Е. А., Демин В. Г.,
Применение обобщенной задачи двух неподвижных центров
в теории движения искусственных спутников Земли, Сб. «Проб-
лемы движения искусственных небесных тел», Изд-во АН СССР,
стр. 92, 1963.
25. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г.,
Обобщенная задача двух неподвижных центров и ее применение
в теории движения искусственных спутников Земли, Астрон. ж.,
т. 40, вып. 2, стр. 363, 1963.
26. В а г г а г R. В., Some remarks on the motion of a satellite of an
oblate planet, Astron. Journ., v. 66, № 1, 1961.
27. Cook A. H., The motion of artificial satellites in the gravita-
tional field of Earth, Bologna, p. 96, 1967.
28. Бурштейн Е. И.,0 решениях уравнения Лапласа в эллип-
соидальных координатах и их вырождениях, удовлетворяющих
условиям теоремы Штеккеля, № 4577, деп. 1972. Реферативный
журнал «Астрономия», № 11, 1972.
29. Козлов И. С, Задача четырех неподвижных центров и ее
приложения к теории движения небесных тел, Астрон., ж.,
т. 52, № 3, 1975.
30. Newton R., Motion of a satellite around an unsymmetrical
central body, Journ. Appl. Phys., v. 30, № 2, 1959.
31. Б а дал ян Г., О проблеме двух неподвижных центров,
Астрон. ж., т. 11, вып. 4, 1934.
32. Демин В. Г., Об орбитах задачи двух неподвижных центров,
Астрон., ж., т. 37, вып. 6, стр. 1068, 1960.
33. К о м а н Г. Г., Промежуточные орбиты искусственных спут-
ников Луны, Сообщения Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штерн-
берга, № 186, стр. 3, 1973.
34. Никифоров А. Ф.,Уваров В.Б., Основы теории спе-
циальных функций, «Наука», М., 1974.
23 е. П. Аксенов

346 ЛИТЕРАТУРА
К ГЛАВЕ II
1. Аксенов Е. П., Канонические уравнения движения спут-
ника, Астрой, ж., т. 45, № 6, стр. 1284, 1968.
2. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А.,Демин В. Г.,
Обобщенная задача двух неподвижных центров и ее применение
в теории движения искусственных спутников Земли, Астрон. ж.,
т. 40, № 2, стр. 363, 1963.
3. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г.,
Общее решение задачи о движении искусственного спутника
в нормальном поле притяжения Земли, Сб. «Искусственные
спутники Земли», вып. 8, стр. 64, 1961.
4. Аксенов Е. П., Асимметричные промежуточные орбиты
искусственных спутников Земли, Сообщения Гос. астрон.,
ин-та им. П. К. Штернберга, № 155, стр. 3, 1908.
5. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г.,
Качественный анализ форм движения в задаче о движении ис-
кусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли,
Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 16, стр. 173, 1963.
6. А л е к с е е в В. М., Обобщенная пространственная задача
двух неподвижных центров. Классификация движений, Бюлл.
Ин-та теор- астрон., т. 10, № 4, стр. 117, 1965.
7. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г.,
Траектории параболического класса в задаче о движении мате-
риальной частицы в нормальном поле притяжения Земли, Сооб-
щения Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штернберга, № 123, стр. 22,
1962.
8. Ч е п у р о в а В. М., Качественный анализ движений в гипер-
болическом случае задачи двух неподвижных центров, Сообще-
ния Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штернберга, № 154, стр. 14,
1968.
9. Г и р и ч е в В. П., Параболический случай в обобщенной зада-
че двух неподвижных центров, Сообщения Гос. астрон. ин-та
им. П. К. Штернберга, № 160, стр. 35, 1971.
10. Н о с к о в Б. Н., Орбиты гиперболического типа в задаче
двух неподвижных центров, Сообщения Гос. астрон. ин-та
им. П. К. Штернберга, № 159, стр. 14, 1969.
11. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г.,
О полярных орбитах искусственных спутников Земли, Вестник
Москов. гос. ун-та, сер. II, Физ., астр., стр., № 5, стр. 81, 1962.
12. Уральская B.C., Полярные орбиты искусственных небес-
ных тел, Вестник Москов. гос. ун-та, сер. Физ., астр., №4, 1964.
13. А к с е н о в Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г.,
Об устойчивости некоторых классов орбит искусственных
спутников Земли, Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 16,
стр. 163, 1963.
14. Дегтярев В. Г., Об устойчивости движения в обобщенной
задаче двух неподвижных центров, ПМИ, т. 26, вып. 6, 1965.
15. Демин В. Г., Движение искусственного спутника в нецен-
тральном поле тяготения, «Наука», М., стр. 190, 1968.
16. Белецкий В. В., Очерки о движении космических тел,
«Наука», М., стр. 57, 1972.

ЛИТЕРАТУРА 347
К ГЛАВЕ III
1. С и к о р с к и й Ю. С, Элементы теории эллиптических функ-
ций с приложениями к механике, ОНТИ, 1936.
2. Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций,
«Наука», М., 1970.
3. Абалакин В. К., Аксенов Е. П., Г р е б е н и-
к о в Е. А., Демин В. Г., Р я б о в Ю. А., Справочное ру-
ководство по небесной механике и астродинамике, изд. 2-е,
«Наука», М., 1976.
4. Rozai Y., New determination of zonal harmonics coefficients
of the Earth's gravitational potential. Publ. of the Astronomical
Society of Japan, v. 16, p. 263, 1964.
5. Аксенов Е. П., Вашковьяк С. Н., Емелья-
нов Н. В., Определение злементов орбит ИСЗ по фото-
графическим и лазерным наблюдениям, Сб. «Наблюдения ис-
кусств, спутников Земли», вып. 18, 1977.
6. Аксенов Е. П., Ограниченные решения обобщенной задачи
двух неподвижных центров, Вестник МГУ, сер. физ., астр.,
№ 6, стр. 68, 1967.
7. Аксенов Е.П., Движение искусственных спутников в нор-
мальном ноле притяжения Земли, Сообщения Гос. астрон. ин-та
им. П. К. Штернберга, № 137, стр. 3, 1965.
8. Насонова Л. П., О вековых возмущениях третьего поряд-
ка в движении спутников планет, Астрон. ж., т. 48, вып. 1,
стр. 194, 1971.
9. Аксенов Е. П., Промежуточные орбиты искусственных
спутников Земли, Космические исследования, т. 2, вып. 1,
стр. 3, 1964.
Ю.Аксенов Е. П., О промежуточных орбитах искусственных
спутников Земли, Вестник МГУ, сер. физ. астр., № 3, стр. 36,
1965.
11. Аксенов Е. П., Промежуточные орбиты искусственных
спутников Земли с малым эксцентриситетом, Космические
исследования, т. 2, вып. 1, стр. 14, 1964.
12. Аксенов Е.П., Определение элементов орбиты ИСЗ по на-
чальным данным, Труды Гос. астр, ин-та им. П. К. Штернбер-
га, т. 35, стр. 36, 1966.
13. I г s a k I. G., A theory of satellite motion about on oblate pla-
net, 1, A second-order solution of Vinti's dynamical problem,
Smithsonian Inst. Astrophys. Obs., Spec. Rep., № 52, p. 54,
1960.
14. К и с л и к М. Д., Анализ интегралов движения искусственного
спутника в нормальном гравитационном поле Земли, сб. «Искус-
ственные спутники Земли», вып. 13, стр. 24, 1960.
15. М а г с h a I Ch., Mouvement des satellites artificiels. Calcul a
partir des solutions exactes du probleme des deux centres fixes.
Publication ONERA n° 111, 1964.
16. Тимошкова Е. И., Об определении постоянных интегриро-
вания в обобщенной задаче двух неподвижных центров, Вестник
Ленинградского гос. ун-та, т. 13, вып. 3, 19G6.
23*

348 ЛИТЕРАТУРА
17. Вашковьяк М. А., Почти круговые орбиты искусствен-
ных спутников Земли, Вестник Москов. гос. ун-та, сер. физ.,
астр., № 3, стр. 58, 1964.
18. Вашковьяк С. Н., Промежуточные орбиты спутников
Марса, Вестник Москов. гос. ун-та, сер. физ. астр. № 3, 1968.
19. Уральская B.C., Полярные орбиты искусственных небес-
ных тел, Вестник Москов. гос. ун-та, сер. физ., астр., № 4,
1964.
20. А к с е н о в Е. П., Доможилова Л. М., Вычисление
симметричной промежуточной орбиты ИСЗ, Труды Гос. астрон.
ин-та им. П. К. Штернберга, т. 38, вып. 2, стр. 52, 1972.
21. Аксенов Е. П., Доможилова Л. М., Вычисление
асимметричной промежуточной орбиты ИСЗ, Труды Гос. астр,
ин-та им. П. К. Штернберга, т. 38, вып. 2, стр. 67, 1972.
К ГЛАВЕ IV
1. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию,
«Наука», М., 1968.
2. Ш а р л ь е К., Небесная механика (перевод с немецкого),
«Наука», М., стр. 85, 1966.
3. Арнольд В. И., Малые знаменатели и проблема устойчиво-
сти в классической и небесной механике, Проблемы движения
искусственных небесных тел., Изд-во АН СССР, стр. 7, 1963.
4. Б р а у э р Д., К л е м е н с Дж., Методы небесной механики
(перевод с английского), «Мир», М., 1964.
5. Греб е ников Е. А., Рябов Ю. А., Новые качественные
методы в небесной механике, «Наука», М., 1971.
6. Аксенов Е. П., Носков Б. Н., Одна форма дифферен-
циальных уравнений возмущенного движения спутника, Астрон.
ж., т. 49, стр. 1292, 1972.
7. Аксенов Е. П., Канонические уравнения движения спут-
ника, Астрон. ж., т. 45, № 6, стр. 1284, 1968.
8. ТимошковаЕ. И.,У равнения возмущенного движения спут-
ника, Астрон. ж., т. 48, стр. 1061, 1971.
9. Аксенов Е. П., Один вид дифференциальных уравнений
движения спутника, Труды Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штерн-
берга, т. 35, стр. 44, 1966.
К ГЛАВЕ V
1. Аксенов Е. П., Движение спутника осесимметричной пла-
неты, Труды Гос. астрон. ин-та им. П. К- Штернберга, т. 35,
стр. 59, 1966.
2. Brouwer D., Solution of the problem of the artificial satelli-
te theory without drag, Astron. J., v. 64, № 1274, p. 378, 1959.
3. К о z a i Y., Second-order solution of artificial satellite theory
without air drag, Astron., J., v. 67, № 1302, p. 446, 1962.
4. Проскурин В. ф., Батраков Ю. В., Возмущения
в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием
Земли, Бюлл. ин-та теор. астрон., т. 7, № 7 (90), стр. 537, 1960.

ЛИТЕРАТУРА 349
5. К a u 1 a W., Analysis of gravitational and geometric aspects of
geodetic utilization of satellites, Geophys. J., v. 5, № 2, p. 104,
1961.
6. Garfinkel В., The disturbing function for an artificial satel-
lite, Astron. J., № 9, p. 699, 1965.
7. О р л о в А. А., Вековые и долгопериодические возмущения
в движении спутника несферической планеты, Бюлл. Ин-та
теор. астрон., т. 10, № 1, стр. 6, 1965.
8. Аксенов Е. П., Вековые и долгопериодические возмущения
спутника осесимметричной планеты, Труды Гос. астрон. ин-та
им. П. К. Штернберга, т. 36, стр. 161, 1967.
9. Аксенов Е. П., Осредненная ограниченная круговая задача
трех тел, Труды университета Дружбы народов, т. 21, Матема-
тика, вып. 2, стр. 184, 1967.
10. Guding R. H., A recurrence relation for inclination functions,
Royal Aircraft Establishment, Technical Report, Jf 70074, p. I,
1970.
11. Батраков IO. В., Возмущения орбитальных элементов
спутника Земли от зональных гармоник произвольного порядка,
Бюлл. Ин-та теор. астрон., т. 12, № 9 A42), стр. 813, 1971.
12. К о г a i Y., Motion of a particle with critical inclination in the
gravitational field of a spheroid, Smithsonian contributions to
astrophysics, v. 5, № 5, p. 53, 1961.
13. H a g i h a r a Y., Libration of an Earth satellite with critical
inclination, Smithsonian contributions to astrophysics, v. 5,
№ 5, p. 39, 1961.
14. Аксенов Е. П.,Прохорова И.П., О вековых возму-
щениях в движении искусственных спутников Земли, Астрон.
ж., т. 49, стр. 630, 1972.
15. Аксенов Е. П., Прохорова И. П., Вековые и долго-
периодические возмущения в движении искусственных спутни-
ков Земли, Сб. «Наблюдения искусственных спутников Земли»,
№ 13, стр. 18, 1973.
16. Насонова Л. П., Вековые возмущения третьего поряд-
ка относительно сжатия от всех зональных гармоник гравита-
ционного потенциала планеты, Астрон., ж., т. 50, стр. 849,
1973. .
17. Сорокин Н. А., Долгопериодические возмущения второго
порядка в движении искусственных спутников, Сб. «Наблюде-
ния искусственных спутников Земли», № 16, 1977.
18. С о р о к и н Н. А., Короткопериодические возмущения от зо-
нальных гармоник в движении ИСЗ, сб. «Наблюдения искус-
ственных спутников Земли», № 13, стр. 42, 1973.
К ГЛАВЕ VI
1. К оi z a i Y., Tesseral harmonics of the potential of the Earth as
derived from satellite motions, Smithsonian Inst., Astrophys.
Obs., Special Report, № 72, p. 1, 1961.
2. Challe A. etLaclaverie J.J., Fonction perturbatrice
et representation analytique du mouvement d'un satellite, Astron.
and Astrophys., vol. 3, p. 15, 1969.

350 ЛИТЕРАТУРА
3. Tisserand F., Traite de Mecanique Celeste, Paris, vol. I,
p. 249, 1889.
4. О' К e e f e I. A., and Batchlor C. D., Perturbations of a
close satellite by the equatorial ellipticity of the Earth, Astron.
J., vol. 62, p. 183, 1957.
5. Sehnal L-, The influence of the equatorial ellipticity of the
Earth'sgravitationalfield on the motion of a close satellite, Bull.
Astron. Inst. Czechoslovakia, v. 11, p. 3, 1960.
6. Аксенов Е.П.,0 движении искусственного спутника в не-
центральном поле тяготения Земли, Бюлл. Ин-та теор. астрон.,
т. 7, стр. 850, 1960.
7. Аксенов Е. П., Влияние тессеральных и секториальных
гармоник земного потенциала на движение искусственных спут-
ников, Труды Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штернберга, т. 35,
стр. 75, 1966.
8. К a u I a W. M., Analysis of gravitational and geometric aspects
of geodetic utilization of satellites, Geophys. I. of the R.A.S.,
vol. 5, p. 104, 1961.
9. Я ш к и н С. Н., Возмущения элементов орбиты ИСЗ от тессе-
ральных и секториальных гармоник потенциала Земли, Астрон.
ж., т. 47, № 5, 1970.
10. Батраков Ю. В., Филенке Л. «П., Движение спутни-
ка Земли под действием возмущений от тессеральных гармоник,
Бюлл. Ин-та теор. астрон., т. 13, стр. 73, 1972.
11. Ф и л е н к о Л. Л., Буквенная теория движения ИСЗ в поле
тессеральных гармоник потенциала притяжения Земли при
малых эксцентриситетах, Бюлл. Ин-та теор. астрон., т. 13,
стр. 246, 1972.
12. S e h n a I L., The perturbations of the orbit oJ the stationary
satellite of the Earth, Bull. Astron. Inst. Czechoslovakia, vol. 11,
p. 4, 1960.
13. M о г a n d о В., Libration d'un satellite de 24h., С г. Acad.
Sci., 254, p. 635, 1962.
14. M о r a n d о В., Orbites de resonance des satellite de 24h.,
Bull. Astron., 24, p. 47, 1963.
15. M о г an d о В., Recherches sur les orbits de resonance. Use
Artific. Sat. geod., Amsterdam, N. Holland Publ. Co., p. 42,
1965.
16. A 11 a n R. R., Perturbations of a geostationary satellite by the
longitude — dependent terms in the Earth's gravitational field,
Planet and Space Sci., vol. 11, p. 1325, 1963.
17. Журавлев С. Г., Аналитическая теория движения суточ-
ного спутника. Часть I. Промежуточная орбита, Проблемы ме-
ханики управляемого движения, вып. 1, стр. 68, Пермь,
1972.
18. Журавлев С. Г., Аналитическая теория движения суточ-
ного спутника. Часть II. Вековые, долгопериодические и корот-
копериодические возмущения, Проблемы механики управляе-
мого движения, вып. 1, стр. 85, Пермь, 1972.
19. В a m к о в ь я к М. А., Возмущенное движение стационар-
ного искусственного спутника Земли на коротком интервале
времени, «Космические исследования», т. 7, вып. 6, 1969.

ЛИТЕРАТУРА 351
20. Вашковьяк М. А., О методе приближенного расчета дви-
жения стационарного искусственного спутника Земли, «Кос-
мические исследования», т. 10, вып. 2, 1972.
21. Я ш к и н С. Н., Случаи резонансов в элементах орбиты ИСЗ,
Астрон. ж., т. 47, № 6, 1970.
22. Allan R. R., Resonance effects due to the longitude dependen-
ce of the gravitational field of a rotating primary, Planet and
Space Sci., vol. 15, p. 53, 1967.
К ГЛАВЕ VII
1. Смарт У. М., Небесная механика (перевод с английского),
«Мир», М., 1965.
2. Абалакин В. К., Аксенов Е. П., Гребени-
ков Е. А., Рябов Ю. А., Справочное руководство по не-
бесной механике и астродинамике, «Наука», М., стр. 184, 1971.
3. Аксенов Е. П., Лунно-солнечные возмущения в движении
искусственных спутников Земли, Труды Гос. астрон. ин-та
им. П. К. Штернберга, т. 35, стр. 93, 1966.
4. Kozai Y.,A new method to compute lunisolar perturbations in
satellite motions, Smithsonian Astrophys. Obs., Spec. Rep.,
№ 349, 1973.
5. Уральская В. С, Лунно-солнечные возмущения около-
полярных спутников, Сообщения Гос. астрон. ин-та им.
П. К. Штернберга, № 165, 1970.
6. М u s e n P., On the long-period lunar and solar effects on the
motion of an artificial satellite, J. Geophys. Res., vol. 66, № 9,
p. 2797, 1961.
7. Вашковьяк С. Н., Влияние Солнца на движение спутни-
ков Марса, Сообщения Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штерн-
берга, № 160, 1969.
8. Е г о р о в а А. В., Влияние притяжения Луны и Солнца
на движение искусственного спутника Земли. Сб. «Искусствен-
ные спутники Земли», вып. 8, стр. 46, 1961.
9. Долгачев В.П., О движении далеких ИСЗ в гравитацион-
ном поле Земли и Луны, Вести. Москов. ун-та, сер. физ! астрон.,
№ 1, 1668.
10. Л и д о в М. Л., Эволюция орбит искусственных спутников
планет под действием гравитационных возмущений внешних
тел. Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 8, стр. 5, 1961.
И. Моисеев Н. Д.,0 некоторых основных упрощенных схемах
небесной механики, получаемых при помощи осреднения ограни-
ченной круговой проблемы трех точек. Труды Гос. астрон. ин-та
им. П. К. Штернберга, т. 15, стр. 75, 1945.
К ГЛАВЕ VIII
1. Арнольд В. И., Малые знаменатели и проблемы устойчи-
вости движения в классической и небесной механике, Успехи
матем. наук, т. 18, вып. 6 A14), стр. 91, 1963.
2. Кинг-Хили Д., Теория орбит искусственных спутников
в атмосфере, «Мир», М., стр. 33, 1966.

352 ЛИТЕРАТУРА
3. CIRA 1965, Akademie — Verlag, Berlin, 1969.
4. CIRA 1972, Akademie — Verlag, Berlin, 1972.
5. Jacchia L.G-A variable atmospheric — density model from
satellite accelerations, Journ. Geopnys. Res., vol. 65, p. 2775,
1960.
6. Эльясберг П. Е., Введение в теорию полета искусствен-
ных спутников Земли, «Наука», М., стр. 416, 1965.
7. Аксенов Е. П., Носков Б. Н., О вековых возмущениях
в движении искусственных спутников, вызываемых сопротивле-
нием атмосферы, Астрон. ж., т. 50, № 3, 1973.
8. S e h n a I L., Mills S. В., The short-period drag pertur-
bations of the orbits of artificial satellites, Smithsonian Institu-
tion Astrophysical Observatory, Special Report, № 223, p. 1,
1970.
9. Cook G. E., King-Hele D. G., The contraction of satelli-
te orbits under the influence of air drag. IV. With scale high
depended of altitude, Proc. Roy. Soc, A 275, № 1362, p. 357, 1963.
10. Ньютон И., Математические начала натуральной фило-
софии. См. Акад. А.И.Крылов. Собрание трудов, т. 7, 1936.
11. О х о ц и м с к и й Д. Е., Энеев Т. М., Таратыно-
в а Г. П., Определение времени существования искусственного
спутника Земли и исследование вековых возмущений, Успехи
физ. наук, т. 63, 1а, 1957.
12. Эльясберг П. Е., Зависимость вековых изменений зле-
ментов орбит от сопротивления воздуха. Сб. «Искусственные
спутники Земли», вып. 3, стр. 54, 1959.
13. Батраков Ю. В., Проскурин В. Ф., О возмущениях
орбит искусственных спутников, вызываемых сопротивлением
воздуха, Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 3, стр. 39,
1959.
14. Гребеников Е. А., О вековых возмущениях в теории дви-
жения искусственных спутников Земли, Астрон. ж., т. 36,
№ 6, 1959.
15. К in g-H el e D. G., The descent of an Earth-satellite through
the upper atmosphere, J. Brit. Interpl. Soc, vol. 15, p. 314,
1956.
16. Таратынова Г. П., О движении искусственного спутника
в нецентральном поле тяготения Земли при наличии сопротив-
ления атмосферы, Успехи физич. наук, т. 63, 1а, 1957.
17. В о s a n q u e t С. Н., Change of the inclination of satellite
orbits. Nature, 182, p. 4648, 1958.
18. Sterne Т. E., Effect of the Rotation of a Planetary Atmosphe-
re upon the Orbit of a Close Satellite, A.R.S. I., 29, 10, 1959.
19. С о о k G. E., P 1 i m m e г R. N. A., The Effect of Atmosphere
Rotation on the Orbital Plane of Near-Earth Satellite, Proc.
Roy. Soc, A 258, p. 1295, 1960.
20. В о s a n q u e t С. Н., Scale Height of the Upper Atmosphere,
Nature, 182, p. 4641, 1958.
21. Эльясберг П. Е., Ястребов В. Д., Определение
плотности верхней атмосферы по результатам наблюдений
за полетом третьего советского искусственного спутника Земли,
Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 4, 1960.

ЛИТЕРАТУРА 353
22. С о о к G. E., King-Hele D. G., Walker D. М. С,
Contraction of Satellite Orbits under the Influence of Air Drag.
Proc. Roy. Soc, A 264, p. 88, 1961.
23. Ф о м и н о в А. М., Движение спутников Земли в атмосфере
с несферическим распределением плотности, зависящим от вы-
соты, Бюлл. Ин-та теор. астрон. АН СССР, т. 10, № 9 A22),
1966.
24. Фомин о в А. М., Движение искусственного спутника Зем-
ли в несферической атмосфере. Бюлл. Ин-та теор. астрон.
АН СССР, т. 9, 185, 1963.
25. Ф о м и н о в А. М., Вековые и долгопериодические возмуще-
ния первого порядка в движении искусственных спутников,
вызываемые сопротивлением атмосферы, Бюлл. Ин-та теор.
астрон. АН СССР, т. 13, № 7, 1973.
26. Ф о м и н о в А. М., Возмущения второго порядка в большой
полуоси и наклоне орбиты спутника, вызываемые сжатием
Земли и сопротивлением атмосферы. Бюлл. Ин-та теор. астрон.
АН СССР, т. 11, стр. 507, 1968.
27. Chong-Hung Zee, Trajectories of Satellites under the Com-
bined Influences of Earth Oblateness and Air Drag., Celestial
Mechanics, vol. 3, p. 148, 1971.
28. I z s a k I. G., Periodic drag perturbations of artificial satellites.
Astron. Journ., vol. 65, p. 355, 1960.
29. Носков Б. Н., Вековые и короткопериодические возмуще-
ния элементов промежуточной орбиты, Сб. «Наблюдения искус-
ственных спутников Земли», № 13, стр. 110, 1973.
30. Н о с к о в Б. Н., Долгопериодические возмущения в движе-
нии ИСЗ, вызываемые комбинированным влиянием сопротивле-
ния атмосферы и сжатия Земли, Астрон. ж., т. 52, № 4,
1975.
31. Носков Б. Н., Долгопериодические возмущения элементов
промежуточной орбиты ИСЗ, Сб. «Наблюдения искусственных
спутников Земли», № 14, 1975.
32. Носков Б. Н., Вековые возмущения в движении ИСЗ, обус-
ловленные вращением атмосферы Земли, Сб. «Наблюдения
искусственных спутников Земли», № 15, 1976.
33. Носков Б. Н., Долгопериодические возмущения в дви-
жении ИСЗ, обусловленные вращением атмосферы Земли, Со-
общения Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штернберга, № 210,
1977.
34. Носков Б. Н., Вековые возмущения элементов промежу-
точной орбиты ИСЗ, вызываемые сжатием атмосферы, Со-
общения Гос. астрон. ин-та им. П. К. Штернберга, № 210,
1977.
35. Э л ь я с б е р г П. Е., Кугаенко Б. В., Влияние суточ-
ного эффекта в распределении плотности атмосферы на тормо-
жение ИСЗ, Сб. Математические методы моделирования в кос-
мических исследованиях, «Наука», М., 1971.
36. К i ng-H ele D. G. and W о 1 к е г D. М. С, The change in
satellite orbital inclination caused by a rotating atmosphere with
day-to-night density variation, Celestial Mech., v. 5, № 1,
1972.

354 ЛИТЕРАТУРА
К ГЛАВЕ IX
1. В a k e r R. M. L., Radiation on a Satellite in the Presence of
Partly Diffuse and Partly Specular Reflecting Body. Trajectories
of Artificial celestial bodies. Springer—Verlag, p. 85, 1966.
2. Л а н д с б е р г Г. С, Оптика, Изд. 3-е, переработанное, Гос-
техиздат, 1952.
3. Поляхова Е.Н., Световое давление и движение спутников
Земли. Бюлл. Ин-та теоретич. астрон., т. 9, стр. 15, 1963.
4. Ferraz-Mello S., Action de la Pression de Radiation sur le
Mouvement d'un Satellite Artificial de la Terre. XIXe-Congress
IAF, Paris, p. 41, 1963.
5. Ferraz-Mello S., Sur le probleme de la pression de radia-
§ tions dans la theorie des satellites artificiels. C. R. Acad. Sc.
Paris, 258, p. 463, 1964.
6. L a 1 a P., S e h n a 1 L., The Earth's shadowing effects in the
short-periodic perturbations of satellite orbits, Bulletin of the
astronomical institutes of Czechoslovakia, 20, p. 328, 1969.
7. Вашковьяк С. Ы., Функция тени в задаче о влиянии све-
тового давления на движение ИСЗ, Вести. Москов. ун-та, сер.
физ., астр., № 5, стр. 584, 1974.
8. L а 1 а Р., Semi-analytical theory of solar pressure perturbations
of satellite orbits during short time intervals, Bulletin of the
astronomical institutes of Czechoslovakia, vol. 22, p. 63,1971.
9. M u s e n P., The influeence of the solar radiation pressure on
the motion of an artificial satellite, Journ. Geophys. Res., v. 65,
p. 1391, 1960.
10. P a r k i n s о n R.W., Jones H.M., Shapiro I. I., The
effect of solar radiation pressure on Earth satellite orbits, Science,
131, p. 920, 1960.
11. К о z a i Y., Effects of solar radiation pressure on the motion of
an artificial satellite, Smithsonian Astrophys. Obs., Special
Report, 56, 1961.
12. В г у a n t R. W., The effect of solar Radiation Pressure on the
Motion of an Artificial Satellite, Astron. J, 66, p. 430, 1961.
13. Zadunaisky P. E., Shapiro J. I., Jones H. M.,
Experimental and Theoretical Results on the Orbit of Echo I,
Smithsonian Astrophys. Obs. Spec. Rep., № 61, 1961.
14. Ferraz-Mello S., Analytical study of the Earth's shadowing
effects on satellite orbits, Celestial Mechanics, № 5, 1973.
15. Вашковьяк С. Н., Влияние светового давления на дви-
жение ИСЗ, Сб. «Наблюдения искусственных спутников Земли»,
№ 13, стр. 124, 1973.
16. В а ш к о в ь я к С. Н., Изменение орбит спутников-баллонов
под действием светового излучения, Астрон. ж., т. 53, №5, 1976.
17. й в h n a I L., The Perturbations of the Orbital Elements caused
by the Pressure of the Radiation Reflected from the Earth's, Tra-
jectoriesof Artificial Celestial Bodies. Springer—Verlag, p. 80,1966.
18. Sehn al L., Radiation pressure effects in the motion of artifici-
al satellites, Dynamics of satellites, Springer—Verlag, p. 262,1970.
19. W у a t t S., The effect of Terrestrial Radiation Pressure on
Satellite Orbits. Dynamics of Satellites, Springer—Verlag, p. 180,
1963.

ЛИТЕРАТУРА 355
К ГЛАВЕ X
1. К о z a i Y., Effects of Precession and Nutation on the Orbital
elements of a close Earth Satellite, Astronomical Journ., v. 65,
No. 10, p. 621, 1960.
2. Lambeck K., Precession, nutation and the choice of reference
system for close Earth satellite orbits, Celestial Mechanics, v. 7,
No. 2, p. 139, 1973.
3. Kozai Y.,Kinoshita H., Effects of motion of the equa-
torial plane on the orbital elements of an Earth satellite, Celestial
Mechanics, v. 7, No. 3, p. 356, 1973.
4. Kozai Y., Effects of the tidal deformation of the Earth on the
motion of close Earth satellites, Publ's. Astron. Soc. Japan,
v. 17, No. 4, p. 395, 1965.
5. К a u 1 a W., Tidal friction with dependent amplitude and phase
angle, Astron. Journ., v. 74, No 0, p. 1108, 1969.
6. M u s e n P., E s t e s R., On the tidal effects in motion of arti-
ficial satellites, Celestial Mechanics, v. 6, No 1, p. 4, 1972.
7. Musen P., Felstentreger Т.* On the determination of
the long period tidal perturbation in the elements of artificial
Earth satellites, Celestial Mechanics, v. 7, No 2, p. 256, 1973.
8. Westerman H., Perturbation approach to the effect of geo-
magnetic field on a charged satellite, ARS Journ., v. 30, p. 204,
1960.
9. S e h n a 1 L., The motion of a chaged satellite in the Earth's
magnetic field, Smithsonian Astrophysical Observatory, Special
Report, No 271, p. 1, 1968.
10. Beard D., Johnson F., Charge and magnetic field inte-
raction with satellites. J. Geophys., Res., v. 65, p. 1, 1960.
11. Ill к о д р о в В. Г., Ш к о д р о в а Е. Б., Вековые возмуще-
ния в движении искусственных спутников, вызываемые притя-
жением атмосферы, Сб. «Наблюдения искусственных спутников
Земли», № 9, стр. 27, 1969.
12. П арийский Н. Н., Земные приливы и внутреннее строе-
ние Земли, Известия АН СССР, серия геофиз., № 2, стр. 193,
1963.
13. Молоденский М. С, Крамер М. В., Числа Лява
для статических земных приливов 2-го и 3-го порядков. Зем-
ные приливы и нутация Земли, Изд. АН СССР, 1961.
14. Kozai Y., Love's number of the Earth derived from satellite
observations, Publ. Astron. Soc. Japan, v. 20, No 1, p. 24, 1968.
15. Newton R., An observation of the satellite perturbation pro-
duced by the solar tide, J. Geophys. Res., v. 70, No 24, p. 5983,
1965.
16. Брумберг В. А., Релятивистская небесная механика,
«Наука», М., 1972.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абалакин В. К. 102, 219
Аксенов Е. П. 36, 45, 66, 67, 102, 106,
109, 134, 148, 179, 186, 187, 211,
219, 237, 257, 267, 279
Алексеев В. М. 67
Аллан P. (Allan R.R.) 211
Алпен (Allen С. W.) 281
Арнольд В. И. 125, 239, 241
Ахиезер Н. И. 68
Демин В. Г. 10, 45, 46, 66, 67,
Джоне (Jones H.M.) 306
Джонсон Ф. (Johnson F.S.) 281,
331
Дирихле (Dirichlet P.G.L.) 13
Долгачев В. П. 238
Доможилова Л. М. 109
Дубошин Г. Н. 11, 44
102
310,
Бадалян Г. 46
Балмино Г. (Balmino G.) 44
Баррар P. (Barrar R.B.) 45
Батраков Ю. В. 186, 211, 278
Бейкер (Baker R.M.L.) 308
Белецкий В.В. 67
Бессель (Bessel F.W.) 247, 248, 255,
267
Бирд Д. (Beard D.) 310, 331
'Боголюбов Н. Н. 307
Бозанке К. (Bosanquit C.H.) 278
Брайянт (Bryant R.W.) 307
Брауэр Д. (Brouwer D.) 8, 45, 126, 186
Брумберг В. А. 332
Бурштейн Е. И. 45
Бэтчлор (Batchlor CD.) 211
Вайс Г. (Veis G.) 309, 319
Ватсон Дщ. Н. (Watson J.N.) 14
Вашковьяк М. А. 109, 211
Вашковьяк С. Н. 10, 106, 109, 147,
238, 291, 293, 302, 307, 308
Вестерман Г. (Westerman H.) 310
Винти (Vinti J.P.) 45
Гамильтон (Hamilton W.R.) 50, 66
Ганзен (Hansen P.A.) 204, 205
Гарфинкель Б. (Garfinke! В.) 186
Гаусс К. (Gauss C.F.) 142
Гейсканен (Heiskanen W.A.) 42
Гельмерт (Helmert F.R.) 42
Гиричев В. П. 67
Гобсон Е. (Gobson E.) 14, 17
Гольдер (Golder F.) 12
Гребеников Е. А. 10, 45, 66, 67, 102,
126, 219, 278
Грушинский Н. П. 42
Гудиыг P. (Gliding R.H.) 186
Дегтярев В. Г. 67
Делоне (Delaunay G.) Ill, 129,143,186
Егорова А. В. 238
Емельянов Н. В. 10
Журавлев С. Г. 211
Задунайский Е. П. 307
Ижак И. (Izsak I.G.) 109
Кассинис (Cassinis G.) 42
Каула В. (Kaula W.) 186, 211, 310
Кинг-Хили (King-Hele D.G.) 241,
273, 278, 279
Киношита X. (Kinoshita H.) 309, 314
Кислик М. Д. 45, 109
Клеменс Дж. (Clemence G.) 8, 45,
126
КозаиИ. (Kozai Y.L0, 102, 186, 187,
196, 211, 237, 238, 307, 309, 310,
314, 319, 321, 323, 326, 327
Козлов И. С. 46
Колмогоров А. Н. 239
Коман Г. Г. 46
Крылов Н. М. 307
Кугаенко Б. В. 279
Кук A. (Cook A.H.) 45
Кук Г. (Cook G.E.) 278
Лагранж Ж. Л. (Lagrange J.L.) 125,
129, 136, 137
Лаклавери И. (Laclaverie J.J.) 203,
211
Лала П. (Lala P.) 291, 307
Ламбек К. (Lambeck К.) 309
Ламберт (Lambert J.) 283
Ламе (Lame G.) 44
Ландсберг Г. С. 283
Лаплас (Laplace P.S.) 12, 15, 126, 127
Лебедев П. Н. 280

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
357
Лежандр (Legcndre A.M.) 13—18, 20,
25, 26, 68, 157, 158, 200, 296
Лидов М. Л. 238
Ляв (Love A.A.) 320
Маршал К. (Marchal Ch.) 109
Миллс С. (Mills S.B.) 268, 279
Моисеев Н. Д. 238
Молоденский М. С. 321
Морандо Б. (Morando В.) 211
Мун (Moon P.) 281
Мур К. (Moore К.) 309, 319
Мюзен П. (Musen P.) 237, 306, 310
Сретенский Л. Н. 11
Стаир (Stair R.) 281
Субботин М. Ф. 11, 111, 126, 127
Таратынова Г. П. 278
Тимошкова Е. И. 109, 147
Тиссеран (Tisserand F.) 204
Уайятт (Wyatt S.) 308
Уваров В. Б. 14
Уиттекер Э. Т. (Whittaker E.T.) 14
Уокер D. (Wolker D.M.C.) 278, 279
Уральская В. С. 10, 67, 109, 237
Насонова Л. П. 109, 147, 187
Никифоров А. Ф. 14
Носков Б. Н. 10, 67, 147, 257, 279
Ньюком (Newcomb S.) 126
Ньютон И. (Newton I.) 129, 141, 142,
147, 277
Ньютон P. (Newton R.) 46, 321, 326
О'Киф (O'Keefe I.A.) 211
Олдрич (Aldrich L.B.) 281
Орлов А. А. 186 '
Охоцимский Д. Е. 278
Парийский Н. Н. 320
Паркинсон (Parkinson R.W.) 306
Пеллинен Л. П. 29
Плиммер P. (Pllmmer R.N.A.) 278
Поляхова Е. Н. 290
Проскурин В. Ф. 186, 278
Прохорова И. П. 10, 187
Пуанкаре A. (Poincare H.) 111, 144
Пуассон (Poisson S.D.) 12
Родриг (Rodrigues О.) 13
Рябов Ю. А. 102, 126, 219
Савров Л. А. 44
Сехнал Л. (Sehnal L.) 211, 268, 279,
291, 292, 295, 307, 308, 310, 329
Сикорский 10. С. 68
Смарт У. (Smart W.M.) 212
Сорокин Н. А. 187
Ферраз-Мелло (Ferraz-Mello S.) 291,
307
Филенко Л. Л. 211
Фоминов А. М. 279
Фурье (Fourier J.B.J.) 291, 307
Хагихара <И. (Hagihara Y.) 187
Холшевников К. В. 31
Цейпель (Zeipel H.) 126, 186
Чеботарев Г. А. 8
Чепурова В. М. 10, 67
Чонг-Ханг Зи 279
Шаль A. (Clialle A.) 203, 204, 206, 211
Шапиро (Shapiro I.I.) 306
Шарлье К. (Charlier С.) 112, 113
Шкодров В. Г. 311, 328
Шкодрова Е. Б. 311, 328
Штерн Т. (Sterne Т.Е.) 278
Эйлер Л. 99
Эльясберг П. Е. 248, 278, 279
Энеев Т. М. 278
Якоби (Jacohi K.G.J.) 50, 66, 68, 69,
111
Ястребов В. Д. 278
Яшкин С. Н. 211

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда (функция) 69
Аномалия истинная 101, 214
— средняя 100, 216, 322
— — в эпоху 101
— эксцентрическая 100
Аргумент перигея 100, 322, 325
— широты 101, 214, 325
Атмосфера стандартная 243
Вариации плотности атмосферы 328
Вектор магнитной напряженности 329
— скорости 329
Влияние вращения атмосферы 263
Возмущения вековые 150, 180, 220,
323, 328
— долгопериодические 151, 210, 323,
327
— короткопериодические 151, 209,
268
— лунно-солнечные 212, 337
— от гармоник.третьего порядка 193
— от прецессии и нутации эквато-
риальной плоскости Земли 311,
337
— от приливной деформации Земли
320
— от светового давления 337
— от секториальных гармоник 188
— от тессеральных гармоник 188
— от электромагнитных сил 329
— первого порядка 146
— резонансные 210, 211
— релятивистские 331
Время запаздывания прилива 325,
326
— звездное гринвичское 47
— регуляризующее 66
Гармоники зональные 8, 27, 202, 337
— секториальные 9, 29, 211, 338
— тессеральные 9, 28, 211, 338
Геоид 36
— промежуточный 36
Геопотенциал 8, 211, 327, 328
Гиперболоид вращения однополост-
ный 63, 64
Горб приливной 325
Гравитационное поле Земли 8, 11
Давление света 281
Движение возмущенное 9, 110, 111
— кеплерово 99, 111, 337
Движение невозмущенное 100
— плоское 65
— полюса 7
— промежуточное 49, 58, 66, 99,
НО, 111, 207, 337
— среднее 216, 323—325
— — аномалистическое 102, 123, 207
— — драконическое 123
перигея 102, 207, 216
— — сидерическое 123
узла 102, 207, 216, 323
— условно-периодическое 64, 105
— эйлерово 99, 100
Дельта амплитуды 69
Деформация приливная Земли 323
Долгота восходящего узла 100
— средняя 325, 337
— узла 214, 216, 322, 325, 337
— — орбиты Луны 327
Задача двух неподвижных центров
35, 99
— — — — обобщенная 8, 35, 99
Запаздывание приливов 325
Заряд электрический 329
Земля стандартная 30
Импульсы обобщенные 111
Интеграл общий 51
— площадей 53
— полный 51
— эллиптический первого рода 69
— полный 69, 72
— энергии 50
Координаты обобщенные 111
— сфероидальные 49, 106, 168
Косинус эллиптический 69
Коэффициент лобового сопротивле-
ния 246
Коэффициенты Ганзена 204, 205, 298
Критические значения наклона 235
Меридиан гринвичский 24
— местный 325
Метод вариации произвольных по-
стоянных 111
— Гамильтона — Якоби 49, 66
— последовательных приближений
98, 107, 166
Модель атмосферы аналитическая 242

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
359
Модель атмосферы динамическая 243
— — локальная 244
— — статическая 244
Моменты инерции 22
Наклон 214
— критический 235, 290
— к эклиптике 325
— орбиты 100, 326
— эклиптики к экватору 325
Невязки 103
Неравенства вековые 97, 102, 327
— долгопериодические 184, 209, 210
— короткопериодическис 209, 210
— периодические 9
— резонансные 20В, 210, 211
— с периодом около суток 210
Несферичность Земли 7, 327
Нутация экваториальной плоскости
Операция основная 131
Орбита кеплерова 101, 112
— круговая 321
— промежуточная 8, 9, 49, 99, 101 —
103, 105, НО
— эйлерова 99, 102
Орбиты круговые 65, 66
— полярные 66
— эллипсоидальные 65
— эллиптические 65, 66
Параллакс 213
Параметр орбиты 324
Перигей 100
Период аномалистический 122
— драконический 122
— обращения линии узлов орбиты
Луны 327
— сидерический 123
Плоскость экватора 325
Плотность атмосферы 240, 328, 340
Площадь миделева сечения 246
Поле гравитационное Земли 29
— — нормальное 44
— — промежуточное 34
— Земли магнитное 329
Полиномы Лежандра 13, 14, 18, 24
Полуось большая 100, 216, 323
Постоянная притяжения 11
— солнечная 281
Постоянные гравитационного поля
Земли 30, 31
Потенциал аномальный 44
— возмущающий 42
— магнитного поля 32!)
— притяжения 8, 11, 13, 327, 329
Преобразование каноническое 112
Прецессия экваториальной плоско-
сти 9
Приливы лунно-солнечные 7, 9, 325,
327
Притяжение атмосферы 9, 327, 328
— внешнего тела 212
— Луны и Солнца 8
— объемного тела 11
Продолжительность жизни спутника
273, 276
Радиус средний экваториальный 21,
24
Разложение возмущающей функции
197
— потенциала 19
Релятивистский эффект 9
Решение условно-периодическое 112
Ряд тригонометрический 71, 103—
105
— Фурье 216
Световое давление 8, 9
Сила тяжести 41
Силы электромагнитные 9
Синус эллиптический 69
Скобки Лагранжа 136
Скорость вращения Земли угловая
47, 188. 207, 325
Сопротивление атмосферы 8, 9
Спутник суточный 211
Тело возмущающее 212, 213, 216
Теневой эффект 9
Теорема Виета 60, 62
— Дирихле 13
— Лапласа 127
— сложения 17
Теория условно-периодических дви-
жений 112
Точка весеннего равноденствия 212
Трение приливное 325
Угловое расстояние перигея от узла
216
Узел восходящий 325
Уравнение Гамильтона — Якоби 50
— Лапласа 12
— Лежандра 15
— Пуассона 12
Уравнения возмущенного движения
48
— дифференциальные промежуточ-
ного движения 9, 49
— для возмущений эйлеровых эле-
ментов 218
— — эйлеровых элементов 110
— — элементов промежуточного
движения 9, 207
— канонические 111
— Лагранжа 141
— невозмущенного движения 49
— Ньютона 142
Условие Гольдера 12
Устойчивость движения спутника 122,
125
Фаза запаздывания прилива 326
Формула Лапласа 15
— Родрига 13

360
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формулы для прямоугольных коор-
динат спутника 92
— — скорости спутника 94
Функции Бесссля мнимого аргумента
247
— наклона 200, 202, 203, 211
— сферические 8, 13, 327, 329
— эксцентриситета 199, 204, 206, 211
— эллиптические 68, 103
Функция возмущающая 48, 110,
149, 206, 207, 211—213, 285, 321
— Лешандра 17
— — присоединенная 15
— — — нормированная 18, 24
— — — полностью нормированная
18
— производящая 15
— силовая 8, 11, 110
— сферическая 16
— тени 9, 291
Шкала высот 244, 342
Эксцентриситет 64, 100, 211, 214
216, 323
Электромагнитные силы 329
Элементы Делоне 111, 143
— канонические 111, 112, 121
— — Якоби 111
— кеплеровы 58, 101, 337
— Луны и Солнца 233
— неугловые 239
— орбиты 58, 106, 216
— промежуточной орбиты 99, 110,
216
— Пуанкаре 111, 144
— средние 102
— угловые 239
— эйлеровы 101, НО
Эллипс 103
Эллипсоид сращения сжатый 63 —
65
Эффект приливной деформации 327
— суточный 241
— широтный 269
Эффекты резонансные 211

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Гравитационное поле Земли 11
§ 1.1. Притяжение объемного тела 11
§ 1.2. Основные сведения о полиномах Лежандра . . 13
§ 1.3. Присоединенные функции Лежандра. Общее
выражение для сферической функции .... 15
§ 1.4. Нормированные и полностью нормированные
присоединенные функции Лежандра .... 17
§ 1.5. Разложение потенциала в ряд по сферическим
функциям 19
§ 1.6. Различные формулы для потенциала притя-
жения Земли 24
§ 1.7. Зональные, тессеральные и секториальные гар-
моники 27
§ 1.8. Постоянные гравитационного поля Земли.
Стандартная Земля 29
§ 1.9. Промежуточное гравитационное поле Земли 32
§ 1.10. Геоид 36
§ 1.11. Сила тяжести 41
§ 1.12. Возмущающий потенциал 42
§ 1.13. Замечания 43
Глава II. Первые интегралы уравнений промежуточного
движения . . . .' 47
§ 2.1. Дифференциальные уравнения движения искус-
ственного спутника 47
§ 2.2. Интегрирование уравнений промежуточного
движения 49
§ 2.3. Первые интегралы 52
§ 2.4. Исследование первых интегралов 54
§ 2.5. Постоянные а, е, б 58
§ 2.6. Корни многочленов Ф (|) и F (г\) 60
§ 2.7. Качественная картина 62
§ 2.8. Частные случаи 65
§ 2.9. Замечания 66
Глава III. Формулы промежуточного движения .... 68
§ 3.1. Эллиптические функции Якоби 68
§ 3.2. Определение координаты г| 71
§ 3.3. Определение координаты | 73

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.4. Связь между переменными 0 и i|> 75
§ 3.5. Определение координаты w 77
§ 3.6. Связь между временем t и переменными 0 и ф 83
§ 3.7. Постоянная i 87
§ 3.8. Определение ij) для заданного момента вре-
мени t 90
§ 3.9. Формула для определения долготы w . . . . 91
§ 3.10. Формулы для прямоугольных координат ... 92
§ 3.11. Формулы для скорости 94
§ 3.12. Оценки периодических членов второго порядка 95
§ 3.13. Вековые члены третьего порядка 97
§ 3.14. Сводка формул 98
§ 3.15. Эйлерово и кеплерово движения. Элементы
орбиты 99
§ 3.16. Вековые неравенства 102
§ 3.17. Разложение эллиптических функций в триго-
нометрические ряды 103
§ 3.18. Определение элементов орбиты по начальным
условиям 105
§ 3.19. Замечания 109
Глава IV. Дифференциальные уравнения для эйлеровых
элементов промежуточной орбиты 110
§ 4.1. Введение 110
§ 4.2. Канонические элементы Ah и В^ 112
| 4.3. Вычисление величины Ai 113
§ 4.4. Вычисление величины Аг 115
| 4.5. Элементы L, G, H, I, g, h 118
§ 4.6. Некоторые другие системы канонических эле-
ментов 121
§ 4.7. Задача об устойчивости движения спутника 122
§ 4.8. Аналог теоремы Лапласа 126
§ 4.9. Дифференциальные уравнения для оскули-
рующих элементов, аналогичные уравнениям
Лагранжа " 127
§ 4.10. Дифференциальные уравнения, аналогичные
уравнениям Ньютона 129
§ 4.11. Еще одна форма дифференциальных уравне-
ний для элементов 134
§ 4.12. Случай кеплеровых элементов 141
§ 4.13. Постановка задачи о возмущениях элементов
промежуточной орбиты 144
§ 4.14. Замечания 147
Глава V. Возмущения от зональных гармоник .... 149
§ 5.1. Возмущающая функция 149
§ 5.2. Коэффициенты AfW (e) 152
§ 5.3. Коэффициенты Л'*/0 (е) 155
§ 5.4. Коэффициенты L^ (s) 157
§ 5.5. Выражения для R', F', Ф' 164
§ 5.6. Элементы как функции v 165

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5.7. Соотношение между i и и 168
§ 5.8. Возмущения элемента М 171
§ 5.9. Сводка формул для возмущений 172
§ 5.10. Возмущения от гармоники т-го порядка . . . 175
§ 5.11. Влияние третьей гармоники 176
§ 5.12. Возмущения от гармоник четвертого и пятого
порядков 178
§ 5.13. Вековые возмущения 180
§ 5.14. Случай малых е 182
§ 5.15. Важнейшие долгопериодические неравенства 184
§ 5.16. Дальнейшее развитие теории 186
Глава VI. Возмущения от тессеральных и секториальных
гармоник 188
§ 6.1. Постановка задачи 188
§ 6.2. Возмущения от второй секториальной гар-
моники 191
§ 6.3. Возмущения от гармоник третьего порядка 193
§ 6.4. Разложение возмущающей функции в общем
случае 197
§ 6.5. Функции наклона A%q (i) 200
§ 6.6. Функции эксцентриситета В^ (е) 204
§ 6.7. Структура возмущений. Резонансные нера-
венства 206
§ 6.8. Замечания 211
Глава VII. Лунно-солнечные возмущения 212
§ 7.1. Постановка задачи 212
§ 7.2. Выражения для R', F', Ф' 214
§ 7.3. Дифференциальные уравнения для возмуще-
ний эйлеровых элементов 218
§ 7.4. Вековые возмущения 220
§ 7.5. Долгопериодические возмущения первого
класса 221
§ 7.6. Долгонериодические возмущения второго класса 223
§ 7.7. Долгопериодические возмущения третьего
класса 225
§ 7.8. Долгопериодические возмущения четвертого
класса 227
§ 7.9. Возмущения элемента М 230
§ 7.10. Определение элементов Луны и Солнца . . . 232
§ 7.11. Некоторые свойства возмущений 234
§ 7.12. Замечания 237
Глава VIII. Возмущения от сопротивления атмосферы 239
§ 8.1. Введение 239
§ 8.2. Плотность атмосферы 240
§ 8.3. Сила сопротивления атмосферы 246

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8.4. Функции Бесселя мнимого аргумента .... 247
§ 8.5. Уравнения для возмущений элементов а, р, i 248
§ 8.6. Уравнения для вековых возмущений элемен-
тов а, р, i 251
§ 8.7. Асимптотические формулы для возмущений
элементов а, р, е, i, n 255
§ 8.8. Вывод уравнений для возмущений угловых
элементов 257
§ 8.9. Сводка окончательных результатов 259
§ 8.10. Комбинированное влияние сопротивления атмо-
сферы и сжатия Земли 261
§ 8.11. Влияние вращения атмосферы 263
§ 8.12. Другие возмущения от сопротивления атмо-
сферы 267
§ 8.13. Формулы для определения плотности воздуха 271
§ 8.14. Продолжительность жизни спутника .... 273
§ 8.15. Общий обзор. Дальнейшее развитие теории 277
Глава IX. Возмущения от светового давления 280
§ 9.1. Давление света 280
§ 9.2. Возмущающая функция 285
§ 9.3. Возмущения элементов без учета влияния тени 287
§ 9.4. Теневая функция 290
§ 9.5. Выражение Рп (cos X) через элементы орбиты 296
§ 9.6. Выражение Рп (cos Ф) через элементы орбиты 299
§ 9.7. Уравнения для возмущений элементов с уче-
том тени 301
§ 9.8. Влияние светового давления на движение спут-
ников 303
§ 9.9. Замечания 306
Глава X. Другие возмущения. Вычисление возмущен-
ных координат спутника 309
§ 10.1. Введение 309
§ 10.2. Возмущения, вызываемые прецессией и нута-
цией экваториальной плоскости Земли . . . 311
§ 10.3. Возмущения от приливной деформации Земли 320
§ 10.4. Влияние притяжения атмосферы 327
§ 10.5. Влияние электромагнитных сил 329
§ 10.6. Релятивистские эффекты 331
§ 10.7. Онределение возмущенных координат спутника 332
Приложение 338
Литература 344
Именной указатель 356
Предметный указатель , 358

Е. П. АКСЕНОВ
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ
ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М ОСКВ А 1977