п. ЭСКОБАЛ
МЕТОДЫ
АСТРОДИНАМИКИ
*
Перевод с английского
Ю. Л. Рябова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1971

METHODS
OF ASTRODYNAMICS
Pedro Ramon Escobal
Assistant Manager
Mission Design Department
TRW Systems
JOHN WILEY AND SONS, INC.
NEW YORK LONDON SYDNEY
1968

УДК 521.3 + 629.195.1
Книга известного американского специалиста, уже
известного советскому читателю по книге «Методы определения орбит»,
посвящена изложению задач и методов астродинамики — важному
разделу науки, изучающему движение искусственных небесных
тел. Основное внимание в книге уделено методам расчета траекторий
полета к Луне и планетам и способам их оптимизации.
Гл. 1 дает читателю основные сведения о солнечной системе.
В гл. 2 ставится вариационная задача об оптимизации траектории,
в гл. 3 рассмотрены оптимальные орбитальные маневры
космического аппарата, в гл. 4 — оптимальные межпланетные перелеты.
Гл. 5 посвящена расчетам полета к Луне при помощи ЭВМ, гл. 6 —
условиям видимости, определяющим возможности проведения
сеансов радиосвязи, гл. 7 — теории возмущений. Гл. 8 содержит
материал по преобразованию лунных координат.
Все главы завершаются удачно подобранными задачами;
приведены многочисленные схемы вычислений. Книга не требует
специальных знаний по высшей математике и вполне доступна
инженерам. Умелый отбор материала и наличие задач делают ее хорошим
учебным пособием для вузов и втузов.
Редакция космических исследований, астрономии и геофизики
2-6-4
103—71

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая вниманию читателя книга написана известным
американским специалистом Педро Раймоном Эскобалом, одним из
руководителей отдела космических исследований фирмы TRW (Томас —
Рамо — Вулдридж), и является продолжением его книги «Методы
определения орбит». Книга посвящена основам астродинамики —
разделу науки, изучающему теорию движения искусственных небесных
тел. Эта новая область небесной механики, начавшая очень интенсивно
развиваться после запуска в 1957 г. первого советского искусственного
спутника Земли, приобрела в настоящее время большое практическое
значение.
Цели книги и ее содержание с достаточной подробностью раскрыты
в предисловии автора, и потому мы ограничимся лишь несколькими
замечаниями.
В астродинамике возникает целый ряд принципиально новых
задач, не ставившихся в классической небесной механике. Именно
такие задачи и занимают основное место в данной книге. Это прежде
всего задачи об оптимальных переходах с одной орбиты на другую,
об оптимальных межпланетных перелетах и о построении траекторий
полета к Луне.
Изложение материала носит четко выраженную практическую
направленность и почти всюду доведено до вычислительных
алгоритмов. Чтение книги не требует знания сложных разделов высшей
математики и потому вполне доступно для лиц с инженерным
образованием. Все главы книги снабжены удачно подобранными
упражнениями учебного характера.
Книга будет очень полезна в качестве учебного пособия для
студентов, аспирантов и преподавателей соответствующих факультетов
высшей школы, а также как справочное руководство для научных
сотрудников и инженеров, непосредственно занимающихся
теоретическими и практическими проблемами движения искусственных
небесных тел.
В оригинале автор почти всюду использует английские единицы
измерения (мили, футы, фунты, слэги и др.). При переводе книги
числовые данные были пересчитаны в метрическую систему, причем
принималось:
морская миля = 1,853 км,
миля = 1,6093 км,
фут = 30,480 см,
фунт = 0,45359 кг,
слэг = 14,59 кг.
После пересчета числа были округлены, чтобы получить примерно
ту же точность, с которой они были приведены автором.
Ю. Рябов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Если вы действительно ищете правду, то
необходимо хотя бы однажды в своей жизни
подвергнуть сомнению все, что только
возможно.
Рене Декарт
Астродинамика — это наука, изучающая проблемы космических
полетов с помощью методов небесной механики. В настоящее время,
когда человек готовится к путешествиям к другим небесным телам,
значение этой науки возрастает все более и более. Эта интересная
область исследований заняла такое важное место по той причине,
что космические аппараты любой конструкции подчиняются в своем
движении прежде всего законам небесной механики. После
исторического запуска первого искусственного спутника Земли осенью 1957 г.
объем исследований по астродинамике непрерывно возрастал. Широко
применялись классические методы небесной механики, но для
решения актуальных проблем был развит также целый ряд новых
методов. В книге «Методы астродинамики», выходящей вслед за книгой
«Методы определения орбит», мы пытаемся детально изложить эти
методы, используемые сейчас в механике космических полетов. По
существу цель этой книги заключается в том, чтобы продолжить
разговор о небесной механике, начатый в «Методах определения
орбит», и обсудить современные астродинамические методы с точки
зрения их практического применения.
Как и в книге «Методы определения орбит», мы старались
расположить материал так, чтобы при чтении каждой главы требовалось
минимальное обращение к предыдущим главам. Применяемые
обозначения примерно следуют астрономическим традициям, и
допускаемые отклонения или изменения минимальны.

Предисловие 7
м
В ГЛ. 1, которую можно классифицировать как эмпирическую,
описываются большие планеты солнечной системы, их размеры,
орбиты. Чтобы придать этой главе практическую направленность, большое
внимание уделено формулам, которые могут быть использованы для
о о
непосредственного вычисления положении и скоростей членов
солнечной системы. Эти аналитические формулы представляют
значительную ценность при организации межпланетных экспедиций. Во
второй половине этой главы приводятся необходимые сведения о моделях
планетных атмосфер, которые потребуются в случае космических
полетов к нашим ближайшим соседям в солнечной системе. Может
показаться несколько нелогичным изложение вопросов как об
эфемеридах, так и об атмосферах планет в одной главе; однако оба вопроса
носят по суи;еству эмпирический характер и тесно связаны с осуи;е-
ствлением космических полетов от одного небесного тела к
другому. Поэтому при повторном размышлении и после
ознакомления с мнением многих людей я объединил оба вопроса в одной
главе.
Последуюи;ие три главы посвяи;ены механике перелета, и основное
внимание уделяется вопросу о выборе оптимальных траекторий. Гл. 2
начинается с элементарного вопроса о максимуме и минимуме
функций одной переменной, а затем сразу затрагивает значительно более
сложные идеи теории оптимизации. Я сознательно начал эту главу
с изложения на элементарном уровне, чтобы показать читателю, как
теория распространяется шаг за шагом на случай функций многих
переменных. Рассматриваются детально методы оптимизации функций,
на которые налагаются ограничения в виде равенств и неравенств,
что составляет всю необходимую математическую базу для последую-
ш,их глав.
В гл. 3 рассматриваются оптимальные планетоцентрические
траектории перехода между орбитами, и здесь возникает большое число
проблем. Рассматриваются детально с аналитической точки зрения
как энергетически оптимальные, так и наискорейшие траектории
перелета. Определение оптимальных одно-, двух- или трехимпульсных
траектории перехода сводится, где это возможно, к определению
корней алгебраических (полиномиальных) уравнений, решение
которых в ряде случаев находится в конечном виде. Самым суш^ествен-
ным результатом, излагаемым в этой главе, является сведение задачи
об определении оптимальной пространственной двухимпульсной траек-

8 Предисловие
тории перехода между двумя произвольными орбитами к решению
алгебраического уравнения 12-й степени.
В гл. 4 рассматриваются оптимальные межпланетные перелеты.
В этой главе, как и в гл. 3, анализируется методика построения одно-,
двух- и трехимпульсных траекторий перелета. Детально рассмотрен
вопрос об оптимальной промежуточной коррекции межпланетного
1^
аппарата, что должно представить для читателя значительный интерес.
Рассматриваются также довольно подробно межпланетные
траектории, соответствующие минимальному времени перелета. Методы,
изложенные в начале этой главы, могут быть использованы для
определения траекторий перелета, оптимальных с точки зрения затрат
горючего или требуемого времени, что необходимо при организации
межпланетных экспедиций. В конце главы я знакомлю читателя
с методами определения межпланетных траекторий перелета,
соответствующих минимальному весу космического аппарата на стартовой
орбите.
Гл. 3 и 4 должны позволить читателю проникнуть достаточно
глубоко в существо проблем планетоцентрических и межпланетных
маневров.
В гл. 5 рассматриваются траектории полета к Луне. Читателя
может удивить, почему вопрос о траекториях к Луне излагается после
анализа межпланетных траекторий. В основном я исходил из
аналогичности материала этой главы и гл. 3 и 4. Гл. 5 начинается с
подробного обсуждения метода кусочно-невозмущенных орбит и рамок
его применения. Детально разбирается ограниченная задача трех
тел и обсуждаются некоторые новые пути построения траекторий
полета от Земли к Луне.
Вопросы, рассматриваемые в этой главе, являлись предметом
и _ _ _ и
многих математических исследовании, и они привлекали величайших
математиков. Я полагаю, что студент, занимающийся научной работой,
сочтет эту главу очень полезной. Излагаемые методы представляют
значительный интерес на сегодняшний день, особенно для проекта
«Аполлон», разработка которого требует быстрых аналитических
методов построения траекторий к Луне.
Вопрос о связи в космосе обсуждается в гл. 6. В этой главе
непосредственно рассматриваются способы определения интервалов
времени, когда с астродинамической точки зрения можно осуществить связь
как между двумя спутниками Земли, так и между межпланетным

предисловие 9'
кораблем и спутником планеты. Я всюду обращал внимание на ана-
литическое решение этих задач с помощью конечных алгоритмов
или метода итерации. Материал этой главы составляет (с точки
зрения организации космических полетов) следующий уровень
практических знаний после того, как для анализа основных факторов
использованы методы, обсужденные в гл. 2—5. Кроме того, эти главы
дают в руки исследователя аналитические методы, удобные для
широкого изучения механики космических полетов и для вычисления
соответствующих стартовых значений, используемых при точном
численном интегрировании.
Вопрос о построении точных траекторий с помощью численных
методов интегрирования рассмотрен в гл. 7, и там изложены два
наиболее важных метода из применяющихся на практике в настоящее
время. Изложение метода Энке включает некоторую его модификацию;
о о
кроме того, рассматривается новый полуаналичическии метод,
основанный на применении промежуточной кусочно-невозмущенной орбиты.
Я старался излагать методы специальных возмущений так, чтобы
представить их как средство для уточнения результатов,
соответствующих изложенному в гл. 3—5. Это особенно верно в случае
полуаналитических методов.
Гл. 8 посвящена описанию сложных преобразований
селенографических координат. В этой главе приводятся со всеми деталями
преобразования, которые необходимы для определения положения
космического аппарата относительно поверхности Луны. Изложенный
анализ вошел в комплекс для траекторных вычислений по проекту
«Аполлон», выполняемых корпорацией Томпсон — Рамо — Вулдридж
(TRW), и является, по моему мнению, наиболее подробной аналитиче-
" .- __ __ и
скои трактовкой данного вопроса из имеющихся в настоящее время.
После первых исследовательских полетов к Луне константы,
использованные в этих координатных преобразованиях, несомненно, будут
уточнены, однако функциональная форма преобразований останется
прежней.
Как и в случае «Методов определения орбит», читатель, желающий
пользоваться данной книгой, должен твердо знать
дифференциальное и интегральное исчисления. Для ясности и строгости изложения
1^ 1^
всюду в тексте используются векторный и матричный методы в их
элементарной форме. Я старался вводить векторы и матрицы только
тогда, когда это вытекало из логики изложения и когда я считал, что

10 предисловие
ЭТО действительно будет полезно. Читатель, знакомый со скалярным
и векторным произведениями векторов и с определением градиента
функции, не должен встретиться в этой книге с существенными
затруднениями. Предполагается, что читатель владеет операциями
умножения и обращения матриц.
Материал, имеющийся в этой книге, может быть использован для
изучения специального курса по астродинамике, в котором основное
внимание уделялось бы методам построения траекторий перехода
между орбитами и траекторий перелета к небесным телам. Студент
должен прочесть гл. 1, чтобы познакомиться с солнечной системой,
методами вычисления положений ее основных тел и с моделями
планетных атмосфер. В зависимости от уровня математической подготовки
о о
по методам оптимизации следует далее ознакомиться в той или иной
степени с гл. 2. Основное содержание курса составляют гл. 3—7.
В гл. 8 содержится специальный материал; она может быть изучена,
если позволит время.
В конце каждой главы помещен дополнительный материал
(упражнения), который подчеркивает практическую направленность теорий
и идей в наш космический век. Одни упражнения носят
теоретический характер, другие требуют вычислений. Чтобы результат неко-
и о
торых СЛОЖНЫХ упражнении имел реальный смысл, для численного
анализа нужно обратиться к современным вычислительным машинам.
Такие машины имеются как в учреждениях промышленного
характера, так и в университетах, и это послужило дополнительным
основанием для включения упомянутых упражнений в данную книгу.
Книга «Методы астродинамики» в силу особенностей ее содержания
не могла быть написана без помощи многих людей, работающих
в этой области. Мне очень приятно поблагодарить Харвея Л. Рота
за его вклад в этот труд, особенно в гл. 8. Созданию' этой книги
помогли также Курт Фостер, Ганс Лиске, Томас Муча, Джордж
Стерн, Роберт Чейз и многие другие. Я хотел бы принести
благодарность Джоди Кастер и Этте Монфор за их помощь и превосходный
машинописный текст, печатание которого заняло много часов. Я всегда
буду признателен корпорации TRW за оказанное содействие.
П, Р. Эскобал
Редондо-Бич, Калифорния,
июль 1968 г.

Глава 1
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА
Направьте телескоп в созвездие Водолея
в точку эклиптики с долготой 326 градусов,
и в пределах одного градуса от этого места
вы найдете новую планету. Она девятой
звездной величиь^ы и имеет заметно различимый
диск.
Леверрье [25]
1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ НА ПЛАНЕТАХ
На Меркурии, маленькой опаленной планете, лишенной атмосферы,
исследователь космоса был бы ослеплен светом Солнца. Эта планета
из-за чудовищного притяжения Солнца стала несколько более
массивной с одной стороны, и поэтому ее вращение вокруг оси постепенно
замедлялось до тех пор, пока она не оказалась обращенной к Солнцу
всегда одной и той же стороной *). На освещенной стороне постоянно
длится невыносимо жаркий день. Температура там так высока, что
в скалистой местности можно было бы найти в изобилии
месторождения жидкого свинца. Из-за отсутствия атмосферы на планете Солнце
со своей изумительной красивой короной ярко сияет на фоне черного
неба. Разумеется, условия на Меркурии непомерно жестоки для жителя
Земли.
Венера, которую из-за ее размеров называли иногда сестрой
Земли, на самом деле очень странная планета с точки зрения земных
стандартов. Ее поверхность огненно красная, а атмосферное давление
настолько высоко, что вода на ней не кипела бы. На Земле, например,
бром является газом, а на Венере он оставался бы в жидком
состоянии. Небо, на которое пришлось бы смотреть с негостеприимной сухой
или песчаной поверхности, выглядит, вероятно, желтым или
зеленовато-оранжевым. По-видимому, Солнца или совсем не видно или оно
темно-красное из-за постоянного густого слоя облаков. Венерианский
день весьма долог. Между двумя последовательными восходами
Солнца проходит примерно 120 земных суток. По крайней мере в течение
нескольких геологических эпох, пока Солнце достаточно не охладится.
*) По современным данным период вращения Меркурия вокруг оси
составляет ^ 59 суток.— Прим. перев.

12 Глава 1. Солнечная система
земляне в поисках подходящего для жилья места не должны
рассчитывать на Венеру.
Земля — наш дом, но она странная планета. Примерно три
четверти нашей планеты покрыто водой, и, кроме того, вода низвергается
с неба во время бурь. В атмосфере нередко сверкают молнии и часто
дуют ураганные ветры огромной силы. Температура поверхности
сильно колеблется; местами она нестерпимо высока или низка. Земля
и Луна образуют единую систему и фактически враш^аются
относительно друг друга, так что систему Земля — Луна следует отнести
к категории двойных. Земля может быть как суровой, так и доброй
по отношению к тем, кто на ней обитает.
Марс по сравнению с Землей совсем невелик, и его атмосфера очень
разрежена. Дни и ночи на Марсе по своей продолжительности почти
такие же, как на Земле. Небо н^ Марсе ясно-синее со слабььми
следами редких облаков. Летом полярные шапки испаряются, но на
поверхность не выпадает ни капли воды. Атмосферное давление очень низко,
и запасы воды, если они есть, очень скудны. Во время сезонных
изменений красные пустынные и изрешеченные кратерами области пре-
враш^аются в пространства со стелюш^ейся по почве растительностью.
По ночам на очень черном небе показываются две небольшие луны,
движуш^иеся навстречу друг другу и почти не освеш,аюш,ие очень
холодной почвы. В течение летних суток на экваторе после холодной
ночи температура быстро поднимается, достигая в полдень 60—70°.
Жизнь для землян была бы там возможной, но они должны были бы
быть очень осторожны и терпеливы и время от времени получать
помош^ь с Земли.
Юпитер — гигантская планета, диаметр которой превышает
диаметр Земли в И раз, но ее плотность невероятно мала. Солнце, если
его наблюдать с поверхности этой большой планеты, имеет в
диаметре около 5'. Юпитер — холодный мир. Из-за большой силы тяжести
человек был бы на Юпитере в два с половиной раза тяжелее, чем
на Земле. Пояса атмосферы на разных широтах враш^аются с разной
угловой скоростью. Воздушные потоки над поверхностью достигают
скорости более 3 км/сек. Атмосфера у Юпитера очень протяженная
и состоит из многих газов; в значительном количестве имеются метан
и водород. Вокруг Юпитера обращаются 12 спутников; некоторые
из них имеют такие же размеры, как и планета Меркурий. Орбиты
спутников весьма сложны и подвержены сложным возмущениям.
Человек, может быть, когда-нибудь высадится на его больших
спутниках Ио, Европе, Ганимеде и Каллисто, чтобы провести наблюдения
этой гигантской планеты, однако высадки непосредственно на Юпитер
в будущем не предвидится. Неизвестно, является ли поверхность
планеты твердой. Разумеется, плотность атмосферы должна
непрерывно возрастать в направлении к центру планеты.
Сатурн со своей уникальной системой колец очень красив. По
своим размерам он несколько меньше Юпитера и обладает сложной

1.2. Закон Боде 13
системой ИЗ и спутников. Спутник Сатурна Титан превосходит
по размерам планету Меркурий и является самым большим из
спутников всех планет. Система колец, представляющая собой, возможно,
остатки разорвавшегося 12-го спутника, очень тонка, но широка. Она
отбрасывает на поверхность планеты большие тени и полутени.
Освещенные Солнцем кольца имеют желтоватый оттенок. Система колец,
видимая с одного из больших спутников Сатурна, должна являть
собой великолепное зрелище. Атмосфера самой планеты состоит
из различных газов, но значительную ее долю составляет аммиак.
Средняя плотность планеты настолько мала, что это наводит на мысль
о существовании водородного ядра, как и в случае Юпитера. Сатурн,
конечно, красив, но только на некоторых из его спутников найдется
подходящая площадка для гостей с третьей планеты.
Уран, седьмая по расстоянию планета от Солнца, примерно в два
раза меньше Сатурна и имеет пять известных спутников. Ее
экватор наклонен к орбите более чем на 90°. Там так холодно, что аммиак
в атмосфере вымерз. Облака состоят, вероятно, из метана и азота.
Нептун, который был открыт в результате анализа возмущений
в движении Урана, а не телескопических наблюдений, в три с лишним
раза больше, чем Земля. У Нептуна два спутника, причем один из них,
Тритон, имеет такие же размеры, как Меркурий, а другой невелик.
Солнце, если смотреть на него с холодной поверхности планеты,
выглядит желтоватой звездочкой. Планету окружают облака метана
и азота.
Плутон — самая далекая планета; по своим размерам он такой же,
как и Земля. Для наблюдателя на этой холодной и черной планете
Солнце казалось бы слабой звездой. Атмосфера планеты лежит в
замороженном состоянии на ее скалистой поверхности. Плутон —
одинокий аванпост на самых далеких подступах к солнечной системе. Эта
планета медленно движется в пространстве на расстоянии около
6 миллиардов километров от динамического центра солнечной системы.
Вдали расположены звезды нашей Галактики, и вокруг некоторых
из них обращаются другие планетные системы; некоторые из них,
как можно полагать почти с полной уверенностью, являются
прообразом нашей собственной планеты. За вечными звездами лежат
другие галактики и пустота, не имеющая границ.
В этой главе мы рассмотрим вопрос о размерах, расположении,
моделях атмосфер членов нашей солнечной системы. Большая часть
информации носит эмпирический характер, поскольку она по
существу и является таковой.
1.2. ЗАКОН БОДЕ
Солнечная система состоит из девяти известных больших планет
и из очень большого числа меньших по размерам так называемых
малых планет. В этом и последующих разделах мы проведем анализ

14
Глава 1. Солнечная система
солнечной системы с точки зрения астродинамики. Приводимые
выражения позволяют вычислить на желаемую дату средние элементы
орбиты наиболее важных планет. Однако прежде всего мы
перечислим члены солнечной системы, с которыми будем иметь дело:
центральное тело Солнце, большие планеты Меркурий, Венера, Земля, Марс,
Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон, а также пояс малых
планет, расположенных между орбитами Марса и Юпитера. Наиболее
известные малые планеты имеют такие интригующие имена, как
Церера, Паллада, Юнона и Веста.
Можно кратко описать закономерность в распределении
расстояний членов солнечной системы от Солнца следующим образом:
Меркурий
0,4
0,0
0,4
Венера
0,4
0,3
0,7
Земля
0,4
0,6
1,0
Марс
0,4
1,2
1,6
Малые
планеты
0,4
2,4
2,8
Юпитер
0,4
2,8
5,2
Сатурн
0,4
9,6
10,0
Уран
0,4
19,2
19,6
Числа во второй строке получаются путем удвоения предыдущего,
стоящего слева числа, а числа в последней строке получаются при
сложении первых двух строк и хорошо аппроксимируют расстояния
планет от Солнца, выраженные в астрономических единицах.
Математическая формула, соответствующая этой таблице, такова:
а
_1_
10
(4 + 3-2^),
п
оо, о, 1, 2, ..., 8
(1.1)
Это эмпирическое соотношение, известное в литературе как закон
Боде, вполне подходит для планет от Меркурия до Урана. Для более
же далеких планет эта формула дает числа, заметно отличающиеся
от фактических расстояний. Все расстояния и другие данные о
планетах солнечной системы собраны в табл. 1.1. Данные о спутниках
планет приведены в табл. 1.2.
Из закона Боде вытекает простое правило для запоминания
расстояний от Солнца близких к нему планет. Однако для более далеких
внешних планет требуется, по-видимому, поправочный член. Обычно
различают планеты земной группы (Меркурий, Венера, Земля и Марс),
и планеты юпитеровой группы (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и
Плутон).

Таблица 1.1
Приближенные средние данные о планетах солнечной системы
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатрун
Уран
Нептун
Плутон
Среднее
расстояние
от Солнца,
106 км
57,9
108,1
149,6
227,7
777,6
1425,7
2879,5
4494,7
5913,1

Продолжительность
года
88,0 суток
224,7 суток
365,25 суток
1,88 лет
11,86 лет
29,46 лет
84,02 лет
164,79 лет
248,43 лет
Среднее
суточное
движение
4^092
1,602
0,986
0,524
0,083
0,034
0,012
0,006
0,004
1

Эксцентриситет
0,2056
0,0068
0,0167
0,0934
0,0485
0,0516
0,0443
0,0073
0,2481
Наклонение
к эклиптике
3 23 38
0 0 0
1 51 0
2 29 29
1 18 26
0 46 22
1 46 37
17 08 38
Планета
Скорость
орбитального
движения,
км/сек
Скорость
освобождения
на экваторе,
км/сек
Сила
тяжести у

поверхности
(Земля=1)
Период вращения
Наклонение
экватора
к орбите
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
47,8
34,9
29,8
24,1
13,0
9,6
6,8
5,5
4,3
3
5
10,41
11,2
5,0
59,2
35,4
20,8
22,4
10,4?
0,29
0,86
1,00
0,37
2,64
1,17
0,91
1,12
0,79?
SS суток ?
120 суток
1 сутки
24 час 37 мин
9 55
10 14
10 40
15
40
»0
»
23^27'
25 10
3 7
26 47
98
151
Планета
Меркурий
Венера.
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Масса
(Земля=1)
0,04
0,8
1,0
0,11
317,0
95,0
14,7
17,2
0,7
Объем
(Земля=1)
0,055
0,876
1,000
0,151
1 312,0
763,0
59,0
72,0
0,9?
Плотность
(Земля=1)
2,86
4,86
5,52
3,96
1,34
0,71
1,27
1,58
5,3?
Диаметр, км
4 830
12 070
12 740
6 570
139 660
115 000
48 300
41800
13 000?
Диаметр
железного шара
равного веса,
км
3 880
10 520
11 330
5 420
77 230
51 680
27 760
29 220
10 460

Таблица 1,2*)
Приближенные данные для спутников планет солнечной системы
Планета
Спутник
Кем открыт
Год
открытия
Среднее
расстояние от
планеты, км

Сидерический
период
обращения,
сутки
Диаметр,
км
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Луна
Фобос
Деймостея
V Ам альте я
I Ио
II Европа
III Ганимед
IV Каллисто
VI
VII
X
XI
VIII
IX
XII
Янус
Мимас
Энцелад
Тефия
Диона
Рея
Титан
Гиперион
Я пет
Феба
Термис
Миранда
Ариэль
Умбриэль
Титания
Оберон
Тритон
Нереида
Питекантропы
Холл
Холл
Барнард
Галилей
Галилей
Галилей
Галилей
Перрэн
Перрэн
Никольсон
Никольсон
Меллот
Никольсон
Дольфус
В. Гершель
В. Гершель
Ж- Кассини
Ж- Кассини
Ж. Кассини
Гюйгенс
Бонд
Ж- Кассини
Пиккеринг
Пиккеринг
Койпер
Лассель
Лассель
В. Гершель
В. Гершель
Лассель
Койпер

Доисторические
времена
1877
1877
1892
1610
1610
1610
1610
1904
1905
•1938
1938
1908
1914
1966
1789
1789
1684
1684
1672
1655
1848
1671
1898
1905
1948
1851
1851
1787
1787
1846
1949
384 600
9 300
23 500
181 200
421 200
670 300
1 068 600
1 881 000
11 445 400
11 732 000
11 825 000
22 589 000
23 490 000
23 941 000
21206 000
157
185
238
294
376
526
1221
1480
3 560
12 926
400
000
300
300
400
000
000
000
000
000
130
190
265
437
585
000
600
900
600
700
354 000
5 575 000
27,32
0,32
1,26
0,50
1,77
3,55
7,15
16,69
250,57
259,65
263,55
692,5
738,9
758,0
631,1
0,75
0,94
1
1
2
37
89
74
4,52
15,97
21,32
79,92
523,7
1,41
2,52
4,14
8,71
13,46
5,88
362,0
3 475
16
8
160
3 700
3 200
5 150
5 150
160
64
24?
24?
64
32
?
595
740
1200
1450
1 850
5 710
280
1 600
320
240
960
640
1 600
1 440
4 800
290
*) Более подробные сведения о спутниках см. в [2, стр. 492].

1.3. Средние элементы орбит
17
1.3. СРЕДНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ
КАК ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ
Для определения положений и скоростей планет при космических
перелетах требуются гораздо более точные эмпирические соотношения.
В этом разделе приводятся формулы для средних элементов орбит
планет как функций времени, отсчитываемого в юлианских столетиях
от некоторой выбранной эпохи. Эти формулы позволяют получить
средние положения планет с точностью до Г.
Данные о меняющихся со временем элементах планетных орбит
частично имеются в [2], однако некоторых важных сведений там нет.
В этом разделе дана полная система аналитических формул для
средних элементов планетных орбит как функций времени. Аналитические
формулы, описывающие движение Луны, приведены в разд. 1.4.
Выражения, собранные здесь, можно найти в [3], где дан очень ясный
вариант несколько мистической английской версии формул,
описывающих движение больших планет [2]. Согласно Блоку [31], лучше
всего использовать для планет земной группы результаты Ньюкома
с поправками Росса [32] в случае Марса. Элементы орбит планет
юпитеровой группы следует вычислять по формулам Леверрье и Гзйо
[3]. Оскулирующие элементы орбиты Плутона, выведенные Бауэром
[33], заменены соответствующими средними значениями. Подчеркнем,
что по приведенным формулам вычисляются не оскулирующие, а
средние элементы; следовательно, для точного определения скоростей
необходимо учитывать дополнительные изменения этих элементов
со временем.
Аргументом в выписанных ниже формулах является время
Тп
(J. Р.) —(J. Р.)о
36525,0
(1.2)
где (J.D.)o = 2 415 020,0 (январь 0,5, 1900) и (J.D.) — текущая
юлианская дата. Соответствующие этим формулам массы планет приведены
в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Массы планет (Солнце = 1)
(/^^ = 0,0172020985 а. е. ^/2/сутки)
Меркурий
Венера
Земля
Земля + Луна
Марс
1/6 000 000
1/408 000
1 /333 432
1/329 390
1/3 093 500
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
1/1047,355
1/3501,6
1/22 869
1/19314
1/360 000
2—491

18 Глава 1. Солнечная система
1.3Л. Большие планеты
Мы используем стандартные элементы орбит [1, гл. 3], отнесенные
к эклиптической системе координат [1, гл. 4]:
i^ — эклиптическая долгота восходящего узла,
(О — эклиптический аргумент перигелия,
М — средняя аномалия,
L = i^ + (o + yk[ — средняя долгота,
(О — долгота перигелия,
е — эксцентриситет орбиты,
/ — наклонение орбиты к плоскости эклиптики,
а — большая полуось в астрономических единицах,
Т — момент прохождения перигелия,
п — среднее сидерическое движение.
Блок рекомендует следующие формулы для средних элементов
больших планет, полученные на основании астрономических наблю-
дений *):
Меркурий
L- 178°10Ч4",68 + 538106654",80Ги+ Г',084П,
ю = 75°53'58",91 + 5599",76Г„+ Г'.ОбЩ,
й = 47°8'45",40 + 4266", 75Г„ + 0",626П,
е = 0,20561421 + 0,00002046Г„ - 0,000000030Г„,
i = 7°0' 10",37 + 6",699Г„ - 0",066П,
а = 0,3870984.
(1.3)
Венера
Z. = 342°46'l",39 + 210669162",88r„+l",1148n,
S = 130°9'49",8 + 5068",93Г„ - 3",515Г^,
Q = 75°46'46",73 + 3239",46Г„ + 1",476Г^,
е = 0,00682069-0,00004774Г„ + 0,000000091Г|.,
i = 3°23'37",07+ 3",621Г„- 0",0035П,
а = 0,72333015.
Земля
L = 99°41'48",04+ 129602768", 13Г„+ 1",089П,
«= 10Г13'15",0 + 6189",03Г„+1",63П + 0",012Г
Q = 0°,
(1.4)
3
*
) Так как эти формулы получены эмпирическим путем, то эффекты,
вытекающие из теории относительности, включены в соответствующие коэффициенты.

t
1.3. средние элементы орбит 19
е = 0,01675104 - 0,00004180Г„ - 0,000000126П,
0°,
а = 1,00000013.
(1.5)
Марс
L = 293°44'51",46 +68910117",ЗЗГ„ + 1",1184П,
ы = 334°13'5",53 + 6626",73Г„ + 0",4675П - 0",0043Г^,
Й = 48°47'11",19 + 2775",57Г„-0",005П-0",0192Г|1,
е = 0,09331290 + 0,000092064Г„ - 0,000000077Г|„
/ = Г5Г1",20 - 2",430Г„ + 0",0454П,
а =1,52368839.
Юпитер
L = 238°2'57", 32+ 10930687", 148Г„+ 1",20486Г^-0",005936Г|.,
(1.6)
(О = 12°43'15",34 + 5795",862Ги + 3",80258Г?1 - 0",0123671,
й = 99°26'36", 19 + 3637",908Ги + 1",2680П -0",03064П,
е = 0,04833475 + 0,000164180Г„ — 0,0000004676Г|. - 0,0000000017Т
/ = П8'31",45-20",506Г„ + 0",014Г^
а = 5,202561.
(1.7)
Сатурн
1 = 266°33'51",76 + 4404635",5810Ги+1",16835П-0",02т,
« = 9Г5'53",38 + 7050",297Г„ + 2",9749Г„ + 0",0166П,
Й=112°47'25",40 + 3143",5025Г„-0",54785П-0",0191Г|„
е = 0,05589232 - 0,00034550Т'„ - 0,0000007287?, + 0,000000000747^1,
г = 2°29'33",07-14",108Г„-0",05576Г?. + 0",00016Г1^,
а = 9,554747.
(1.8)
Уран
L = 244°11'50",89 + 1547508",765Г„+ 1",13774Г^-0",002176Г=1,
ю = 171°32'55",14 + 5343",958Г„ + 0',8539Г^-0",00218Т|^,
^ = 73°28'37",55 + 1795",204Т„ + 4",722Г^,
е = 0,0463444 - 0,00002658Т„ + 0,000000077П,
i = 0°46'20",87 +2",251Г„ +0М422П,
«=19,21814.
(1.9)
2*

20
Глава 1. Солнечная система
Нептун
/, = 84°27'28",78 + 791589",291Г„ + 1",15374П-0",00217бГ^
S = 46°43'38",37 + 5128",468Г„ + 1 ",40694П - 0",002176Г|;,
Q = 130°40'52",89 + 3956",166Г„ + 0",89952П- 0",016984Га,
е = 0,00899704 + 0,000006330Т„ — 0,000000002Г^,
1=:Г46'45",27-34",357Г„-0",0328П,
0 = 30,10957.
Плутон
7=1989, октябрь 0,0344,
©=113°31'17",72,
Q=108°57'16",18,
е = 0.2486438,
г = 17°8'48",40,
а =39,517738.
Для Плутона средняя аномалия
по формуле М ^ п (t — Т), где п= k]/ [la
отнесены к равноденствию эпохи 1900.
(1.10)
(1.11)
вычисляется непосредственно
/■■--3/2. Угловые элементы
L3.2. Малые планеты
Между орбитами Марса и Юпитера имеется кольцо малых планет,
возникших, по-видимому, в результате распада одной большой
планеты. Эти малые планеты имеют небольшие размеры: от нескольких
сантиметров до 500 км в поперечнике. Подробный список этих членов
солнечной системы, их приближенные характеристики и указания
о некоторых возможных вариантах их использования в будущем
можно найти в [34]. Приближенные элементы орбит (отнесенные
к эклиптике и среднему равноденствию эпохи 1900,0) для четырех
из наиболее важных малых планет следуюш,ие:
Церера
Паллада
Юнона
Веста
(0^ эфемеридного времени 11 июня 1957 г.)
L
(О
Q
е
t
а,
п
а. е
72°,247
152°,367
80°,514
О,07590
10°,607
2,7675
0^21408
34°,549
122°,734
172°,975
0,23402
34°,798
2,7718
0°,21358
25°,6907
56°,571
170°,438
0,25848
12°,993
2,6683
0°,22б12
332°,903
253°,236
104°,102
О,08888
7°,132
2,3617
0°,27157

1.4. Теория Луны 21
1.4. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
В ясные зимние вечера ближайший сосед Земли молчаливо
застывает на темно-синем небе, как будто навсегда прикрепленный к нему.
Движение Луны происходит под влиянием сложного комплекса
гравитационных сил. Построение теории движения Луны связано с очень
большими трудностями и потребовало огромного умственного
напряжения от многих гигантов в области небесной механики. Ньютон как
будто говорил, что он провел много бессонных ночей, до головной
боли размышляя над проблемой движения Луны и ее либрации.
Одинокий спутник нашей планеты занимал также Эйлера. За проблему
предсказания положений Луны брались Делоне, Ганзен, Хилл, но
достаточно точная теория движения Луны была создана лишь в начале
XX в. Брауном [9]. Основы этой теории были заложены Хиллом [8]
и другими, но неисчерпаемое терпение Брауна заслуживает
восхищения. Начиная свои фундаментальные исследования, Браун подсчитал,
что для вычислений ему потребуется более восьми тысяч часов.
В этом разделе нет анализа лунной теории, а приводятся только
результаты. Заинтересованному читателю можно рекомендовать
оригинальную работу Брауна [9]. Надо также сказать, что теория Брауна
дана в сокраш,енном и упрои;енном виде. Положения Луны предвычис-
ляются с помош,ью приведенных формул с точностью около 30". При
желании можно учесть дополнительные члены, которые приводятся
Брауном в соответствуюш,их таблицах. Этот упрош,енный вариант
лунной теории полезен, когда нужен полный набор формул для
быстрого предвычисления положений Луны.
Все константы и разложения для необходимых средних углов
соответствуют [2]. Однако коэффициенты разложений, как было
упомянуто выше, взяты у Брауна. Небольшие поправочные члены в долготе
опуи;ены, поскольку формулы приближенные.
1.4.1. Определение необходимых средних углов
Формулы для предвычисления положений Луны требуют
предварительного вычисления некоторых угловых аргументов. Эти
аргументы выражаются как функции времени в юлианских столетиях,
отсчитываемых от эпохи 1900, январь 0,5 эфемеридного времени,
т. е. как функции
гр _ J. р.—2 415 020,0 . -^.
^""' 36525,0 ' ^ • ^
где J.D.—текуш^ий юлианский день. Для заданного Ти
определяются
([ — средняя долгота Луны, измеряемая вдоль эклиптики
от средней точки равноденствия эпохи до среднего восхо-
дяш^его узла лунной орбиты и далее вдоль орбиты.

22 Глава 1. Солнечная система
• ■ -
Г — средняя долгота перигея Солнца,
Г' — средняя долгота лунного перигея, измеряемая вдоль
эклиптики от средней точки равноденствия эпохи до
среднего восходящего узла лунной орбиты и далее вдоль
орбиты,
Q — средняя долгота восходящего узла лунной орбиты на
эклиптике, измеряемая от средней точки равноденствия
эпохи,
D — средняя элонгация Луны от Солнца,
а также вспомогательные углы
с помощью формул:
([ -270°26'02",99+ 1336^307°52'59",31Ги-4",08П + 0%0068П,
Г -28ПЗЧ5",00 + 6189%03Ги+1%63П + 0",012Г2, '
Г' = 334°19Ч6",40+1Г109°02'02",52Ги —37М7Г^-0",045П,
Q - 259°10'59",79 - 54 34°08'ЗГ',23Ги + 7",48Г^ + 0",008Г^,
D -:350°44Ч4",95+ 1236^307°06'51",18Ги-5М7Г^ + 0",0068Г?,.
(1.13)
(индекс г означает число оборотов.— Перев.)
1.4.2. Вычисление эклиптической долготы, склонения
и параллакса Луны
Если в тригонометрических разложениях для долготы и широты,
имеющихся в [9], удержать все слагаемые до членов порядка 20",
а в разложении для параллакса — порядка V2", то для долготы (J^g,
склонения бе и параллакса Яе Луны получим следующие формулы *):
([е= ([+22639,580 sin/-4586,438 sin (/-2D) +
+ 2369,899 sin (2D) + 769,021 sin (2/)
- 668,944 sin /'-411,614 sin {2F) -
-211,658 sin (2/-2D)-206,219 sin (/ + /'-2D) +
+ 191,954sin(/ + 2D) —165,351 sin (/'-2D) +
+147,878 sin(/-/')-
- 124,785 sin D- 109,804 sin (/ + /') -55,174 sin {2F-2D)
*) При вычислениях положений и скорости Луны с помощью
вычислительных машин можно избежать тригонометрических функций кратных углов.
Если известны косинус и синус аргументов /, 1\ F, D, т. е. если известны восемь
тригонометрических функций, то (^q, 6g, зХе можно вычислить при помощи лишь
операций умножения и сложения, используя тригонометрические тождества:
sin 29 = 2 cos е sin 9, cos 29 == cos^ 9 — sin2 9, sin 39 == 3 sin 9 — 4 sin^ 9.
cos 39 = 4 cos3 9 — 3 sin 9.

1.4. Теория Луны
23
45,100 sin (Z + 2F) +39,532 sin (/-2f)-
38,428 sin (/-4D) +36,124 sin (30-30,773 sin (2/~4D)
-28,511 sin(/-r — 2D)-24,451sin(r + 2D);
6e= 18461,480sinf+1010,180 sin(/ + f)-
- 999,695 sin (f-/)- 623,658 sin (f-2D) +
+199,485sin(F+2D-0-166,577sin(^+^='-2D)+
+117,262sin (f+2D)+61,913sin(2/+/=')-
— 33,359 sin (f —2D —0 —
- 31,763 sin {F - 21) - 29,689 sin (Г + F - 2D);
ng = n(^ + 186,5398cos/H-34,3117cos(/ —2D) +
+ 28,2333 cos (2D)+10,1657 cos (2/) +
+ 3,0861 cos (/ + 2D) + 1,9202 cos (/' — 2D) +
+ 1,4455 cos (/ + /'-2D)+1,1542 cos (/-/')-
— 0,9752 cos D — 0,9502 cos (/ + /') —
-0,7136cos(/ —2F) + 0,6215cos3/ +
+ 0,6008 cos (/ — 4D).
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Оставшиеся элементы лунной орбиты и физические постоянные
даны в табл. 1.4. Константы этой таблицы согласуются друг с
другом, хотя они и не являются самыми последними значениями
соответствующих параметров. В лунной теории параметры орбиты,
выписанные в табл. 1.4, являются действительно постоянными.
Таблица 1.4
Приближенные лунные константы
Параметры орбиты и физические
константы
Значение
Эксцентриситет орбиты е^
Синус половины угла
наклонения к эклиптике sin—tg
2
Синус параллакса л;^^
Отношения масс Земли и Луны R ^
Экваториальный радиус Земли а^
Горизонтальный параллакс Луны
на расстоянии 60,2665 земного
радиуса
0,054900489
0,044886967
3422% 5400
81,53
6378,388 км
ЪТШ\1^

24
Глава /. Солнечная система
Ь4.3. Определение положения Луны
Для определения положения Луны необходимо прежде всего
определить расстояние до Луны Г(^ по формуле
Ч
а,
Ti.
(1.17)
где горизонтальный параллакс Луны Яе находится по (1.16).
Рассмотрение рис. 1.1 показывает, что переход от сферических к
прямоугольным эклиптическим координатам осуществляется по формуле:
Г^е
X
а
Г^ cos бе cos ([
Ti COS бе sin ([ ;
L/'C sin бе
(1.18)
где r^, бе, ([g находятся из (1.17), (1.15) и (1.14) соответственно
Компоненты скорости, т. е. производные от координат по т =
X,
Плоскость эклиптики
Рис. 1.1. Координаты Луны
= k{t—^о)> находятся после непосредственного
дифференцирования (1.14), (1.15) и (1.17) , приводящего к формуле
Ч
х^
У1
^(Г J
L^^
• • •
г (I cos бе COS ([ е — Г^бе sin бе COS ([ g — /'С С е COS бе sin ([
• * *
Га^ cos бе sin ([ е — Г^бе sin бе sln ([ е + /'с С е ^OS бе COS ([ ,
• *
_Г(£ sin бе + Г^дг COS бе COS бе
(1.19)

1.4. Теория Луны
25
Производные от Яе, бе, ([ g ПО т находятся по аналитическим
выражениям (1.14)—(1.16). Следует заметить, что если использовать
геоцентрическую систему координат прямое восхождение — склонение
[1, гл. 4], то
и тогда
dx
т-^Л 32525,0.1440,0) Ги
гс
dr_
dx
dv
dTu '
1
k
(32525,0.1440,0)-! = 0,255666824 • 10-«.
(1.20)
(1.21)
1.4.4. Переход к геоцентрической системе координат
прямое восхождение — склонение
Стандартный переход к такой системе координат осуществляется
с помощью матрицы Л4, т. е.
Ч
Уа
[М]
Уг
1
О
О cose
О sine
0
sine
cose.
Уг
LzcJ
(1.22)
где e — среднее наклонение эклиптики, выражаемое, согласно [2] *),
по формуле
е = 23°27'08 ",26 — 46 ",845Г„ — О ",0059П + О ",00181Т1. (1.23)
С большой степенью точности справедливо также соотношение
«"с
•
хс
•
y<L
-2C-
-[М\
•
Xq
•
Ув
(1.24)
1.4.5. Дифференциальное исправление лунных коэффициентов
Коэффициенты разложений (1.14), (1.15) и (1.16) были получены
с помощью очень хороших, но не наиболее общепринятых сейчас
значений астродинамических постоянных. Фактически все
постоянные, выписанные в табл. 1.4, определены с гораздо большей точностью.
Если использовать вместо значений, указанных в табл. 1.4, более
точные, то значения коэффициентов разложений (1.14), (1.15) и (1.16)
также улучшатся. Это улучшение может быть достигнуто с помощью
дифференциальных поправок следующим образом.
*) Для большей точности следовало бы учесть влияние на наклонение
нутационных членов.

26 Глава 1. Солнечная система
Будем рассматривать положение Луны как функцию переменных
Ц^ 8» ^г^ ^Zi Т. е.
или как функцию коэффициентов а^ тригонометрических разложений,
так что
Г(£=Г(£е(а1, ^2, ..., aq), (1.25)
где q — общее число членов в разложениях ([g, бе, Яе (в данном
случае q = 45) и где uq — выписанное значение последнего коэффициента
в разложении. Следовательно, учитывая выражение для
дифференциала
дг
^4^=It-£-^^i' (1-26)
в котором опустим эклиптический индекс 8, можем записать
Агс,- = -л^Аа1 + -5^Аа2+...+-^Аа„. (1.27)
да^ да^ ^ i • " • i ^^r
Qi
Выписав (1.27) для / различных моментов времени при условии, что
частные производные от r^j по коэффициентам могут быть
определены, мы получим систему линейных алгебраических уравнений
относительно q неизвестных A^i, . . ., Аа^. Если j = Qy то эта система
разрешима относительно этих неизвестных *). Заметим, что AVf^j
можно всегда определить численно из выражения
где r([j соответствует положению Луны, полученному на основании
эфемеридных наблюдений (разд. 1.5), а r(^j — положению Луны,
вычисленному по аналитическим формулам разд. 1.4.3.
При последовательном решении систем (1.27) относительно
Д(2^, j = q приводим ошибки, или невязки Ar([j, к минимуму; в идеале
эти невязки должны обраш^аться в нуль, если добавить к
коэффициентам а их поправки Аа.
Частные производные от r(^j ио а^ . . ., йд могут быть получены
или с помош,ью вычислений, указанных в [1, гл. 9], или
непосредственно дифференцированием (1.18). При этом для сходимости процесса
определения поправок не требуются точные значения этих частных
производных.
*) Обычно при определении дифференциальных поправок параметров
используется число наблюдений /, значительно превышающее число
параметров д, и соответствующая система (1.27) решается по методу наименьших
квадратов.— Прим. перев.

7.5. Более точное определение элементов 27
1.5. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
1.5.1. Применение ЭВМ для табулирования положений и скоростей
При составлении таблиц положений и скоростей планет широко
используются программы вычислений на электронных
вычислительных машинах (ЭВМ). Цель этого раздела — указать кратко на
источники, где можно найти такие таблицы для планет и Луны, и наметить
путь перехода от векторов положения и скорости к обычным
элементам орбит.
Таблицы в [4—6] содержат очень точные эфемеридные данные,
т. е. положения и скорости Луны и планет (Меркурия и Венеры),
центра тяжести систем Земля — Луна, Марса, Юпитера, Сатурна,
Урана, Нептуна и Плутона. Координаты планет и Луны затабулиро-
ваны на периоде 30,0 декабря 1949 г. (J.D. = 2433280,5) до 5,0
января 2000 г. (J.D. = 2451548,5). Положения и скорости планет даны
в прямоугольной гелиоцентрической экваториальной системе
координат, отнесенной к среднему экватору и равноденствию эпохи 1900,0
(J.D. = 2433282,423) и выражены соответственно в а. е. ив а. е.
за средние солнечные сутки. Положения и скорости Луны даны в
прямоугольной геоцентрической экваториальной системе координат,
отнесенной к эпохе 1950,0, и выражены в земных радиусах за средние
солнечные сутки [4, 5].
Можно указать способ перехода от основных эфемерид в
прямоугольных координатах к классическим элементам орбит
а, е, Л4о, t, Q, со (1.28)
или к
а, S„ Се, Uo, Vo, (1.29)
где а — большая полуось, е — эксцентриситет, i — наклонение
к основной плоскости, Q — долгота восходяш,его узла, со — аргумент
перигелия (перигея), Mq — средняя аномалия на момент Iq, Se
= е sin Eq^ Се^ е cos Eq^ Uq — единичный вектор вдоль
направления от Солнца на данную планету в момент to, Vq — единичный
вектор, повернутый по отношению к Uq на 90° в плоскости и в
направлении движения, Ео — эксцентрическая аномалия данной планеты
в момент to.
1.5.3. Переход от координат и скоростей к элементам
При определении выбранных элементов орбит по координатам
и скоростям на заданный момент времени можно использовать
последовательность формул, выписанных в [1, гл. 3], где \i — сумма
масс Солнца и данной планеты. Если Го и Го заданы, то вычисляются

28 Глава 1. Солнечная система
последовательно
о
а
S
V
о
cos/
о
2ч1/2
^o=«+^/^hгoT^
и^_
\1 '^
Щ Щ W
1
2//'о-А '
а-1
^р
^~^ а '
D
р
а'/2 '
e2 = C| + S|,
Р г '
'^Р
^рго—^рго
(|^р)
1/2
sin i = {U% + VI f\
COS i = V3 — Ь
sirt/
P — П »
V,
V
V
Если теперь (Ф О или я, то вычисления продолжают по формулам
sin щ =
cos Uq =
Q =
•
sin t '
VzP
sin i '
= /q— ^p»
• • •
_ ^O^P + ^P^P + 2^020
0

L6. Модели атмосферы 29
Наконец, если ефО, то получим
sin^o
7'Лт
Р \^2
(i) = Uo — Vo,
_ 5.
sin Е ^^
С
^ в
Л1о = Яо —^sin^o. (1.30)
В заключение этого раздела заметим, что элементы (1.29) можно
использовать всегда для орбит с малыми эксцентриситетом и
наклонностью. Наоборот, элементы (1.28) дают, по-видимому,
неудовлетворительные результаты при малых е и i. Приведенные формулы (1.30)
позволяют определить обе совокупности элементов.
1.6. МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ
Спутник, движущийся по орбите с заметным эксцентриситетом,
то погружается в атмосферу планеты, то выходит из нее; вот он только
что прошел перицентр, где его движение тормозилось сопротивлением
атмосферы. После старта ракета начинает медленно двигаться вверх,
преодолевая силы гравитации и сопротивления атмосферы. На
космический корабль с человеком на борту, возвращающийся на Землю,
действуют как сила сопротивления атмосферы, так и подъемная сила,
замедляющая и поддерживающая его движение. Это примеры, когда
важно уметь рассчитать с достаточной точностью подъемную силу
и силу сопротивления атмосферы. Двумя параметрами атмосферы,
от которых зависят эти силы, являются ее плотность р на разных
высотах и параметр, характеризующий ее вращение.- В этом разделе
рассматриваются различные модели распределения плотности.
1.6.1. Уравнение состояния идеального газа
Свойства газов обычно изучают, пользуясь простыми правилами,
называемыми законами состояния идеальных газов. Когда-то эти
законы были сформулированы на основании наилучших
экспериментальных данных, однако, как показали последующие точные опыты,
они являются лишь некоторой аппроксимацией.
Несмотря на это целесообразно предположить, что существуют
некоторые газы, называемые идеальными, которые точно
подчиняются упомянутым законам. Один из наиболее общих законов,
выражающих связь между плотностью, давлением и температурой (так назы-

30
Глава 1. Солнечная система
ваемое уравнение состояния) [30], записывается в виде
Р
рМ
RT
(1.31)
где р — плотность массы газа, р
средний молекулярный вес, Т
универсальная газовая постоянная.
абсолютное давление газа, М —
абсолютная температура, R —
В табл. 1.5 приведены данные
Таблица 1.5
Свойства газов*)
Газ

Молекулярный вес М
Cp/Cj)
(при СТД) **)
Воздух
Одноатомные газы
аргон (Аг)
гелий (Не)
Двухатомные газы
окись углерода (СО)
водород (Нг)
азот (N2)
кислород (О2)
Трехатомные газы
углекислый газ (СО2)
двуокись серы (SO2)
водяной пар (Н2О)
Углеводороды
ацетилен (С2Н2)
метан (СН4)
этан (С2Нб)
изобутан (QHio)
28,97
39,94
4,003
28,01
2,016
28,02
32,00
44,01
64,07
18,016
26,04
16,04
30,07
58,12
1,40
1,67
1,66
1,40
1,41
1,40
1,40
1,30
1,26
1,33
1,26
1,32
1,22
1,11
*) Если измерять давление р в атм^ а темпаратуру в °К, то универсальная
газовая постоянная равна R= 0,082 л-атм/град-моль.— Прим. перев.
**) с
Р
удельная теплоемкость при постоянном давлении; с — удельная
V
теплоемкость при постоянном объеме; СТД
и давление 760 мм рт, ст.
стандартная температура 0° С
ДЛЯ обычных газов. Молекулярные веса для смеси этих газов
находятся как средневзвешенные средние по объемам составляющих.
Например, для смеси из трех газов а, &, с.получим при условии идеального
перемешивания
М
МаХа + MbXb + М,Х
а
(1.32)
где X
доля объема каждого газа.
П р и м е р. Предполагая, что атмосфера Марса, состоит на 95%
из азота и на 5% из кислорода (по объему), вычислить силу
сопротивления атмосферы, действуюш,ую на вертикально поднимаюш,уюся
ракету с плош.адью поперечного сечения 25 м^ (принять Cd = 0,0002

1.6. Модели атмосферы
31
Б системе СГС). Пусть скорость ракеты составляет 610 м1сек,
абсолютное давление 0,15 кг1см^ (или 0,15 атм) и температура О"" С =
= 273° К.
Чтобы вычислить силу сопротивления, следует применить закон
(1.31) для определения плотности марсианской атмосферы. Прежде
всего найдем молекулярный вес атмосферы, используя данные
табл. 1.5 и формулу (1.32):
М
сГ
0,95-28,02 + 0,05-32,0 = 28,219.
Плотность атмосферы находится согласно (1.31):
p = ^^3-2^-0Л89 г/л^-0,000189 г/а#.
После этого сила сопротивления атмосферы вычисляется по фор
муле, указанной в [1, гл. 2]:
D
0,0001 •2,5-10^-0,000189-(610-100)
1,76-10^ г.
1.6.2. Уравнение гидростатического равновесия
р + ф
Вторым фундаментальным соотношением, используемым при
построении модели планетной атмосферы, является уравнение
гидростатического равновесия. Рассмотрим бесконечно
малый прямоугольный столбик атмосферы с
единичным поперечным сечением (рис. 1.2). Так как
площади верхнего и нижнего оснований столбика
равны единице, то давление р равно силе,
действующей на столбик вертикально, а вес воздуха внутри;
столбика равен pg'A/i, где g — среднее местное
значение ускорения силы тяжести. Вертикально
Рис. 1.2. Элемент объема атмосферы
действующие силы находятся в равновесии, если
Р
{р + Ар)
pg-A/i
или
Ар
pg-A/i.
Переходя к пределу (при A/i-> 0), получим
dp
pgdh,
где g — значение ускорения силы тяжести на высоте h
(1.33)
(Ь34)

32 Глава 1. Солнечная система
1.6.3. Построение стационарной модели атмосферы
Уравнение состояния идеального газа и уравнение
гидростатического равновесия, взятые вместе, определяют стационарную модель
атмосферы.
Примем, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально
квадрату расстояния от центра планеты, так что
е-т£^г^ (1-35)
где G — гравитационная постоянная, т — масса планеты, г^ —
расстояние от центра планеты до поверхности в точке с соответствующей
широтой и долготой, h — высота, измеряемая вдоль линии,
являющейся продолжением г^. Точное выражение для г^ приводится
в [1, гл. 1]. Однако, как правило, достаточно полагать Гс = а^,, где
йр — экваториальный радиус центральной планеты.
Введем далее новую переменную, обычно называемую
температурой в молекулярной шкале:
Тга = ^Т. (1.36)
где Мо — поверхностное или заданное значение атмосферного
молекулярного веса. Для планетной атмосферы ее молекулярный вес
с увеличением высоты не остается постоянным в силу таких факторов,
как фотодиссоциация и диффузионное разделение.
На основании предыдущих соотношений можно проинтегрировать
уравнение гидростатического равновесия (1.34) с помощью (1.31):
dp=-pgdh=-^dh. (1.37)
Следовательно, используя (1.35) и (1.36), получим
Ра ha ha
dp^_ _ { MpGm ,. _ MpGrn С dh ,. om
P ] RTra{rc + hf^'^- R J Г^(ге + /г)2 • ^''"^"^f
Po hQ ho
Подынтегральное выражение в пределах от данной высоты /iq
до произвольной высоты ha зависит от температуры Тту изменяющейся
с высотой. Следовательно, чтобы выполнить интегрирование,
требуется знать или задать распределение температуры Т
Модель стандартной атмосферы 1962 США и модель 1959 ARDC
построены в предположении следующего линейного распределения:
Tm = Tmoj + TJ{h--hoj), /=1, 2, ..., q, (1.39)
где Tjnoj — температура Т^ на опорной высоте /lo/, Tf —
постоянный градиент температуры; hoj — начальная опорная высота.
Соответствующие значения градиента и область изменения Тт по
линейному закону между высотами /iq, /ii, • • •> hq приведены в [15, 22].
m*

1.6. Модели атмосферы 33
Тогда (1.38) можно переписать в виде
Va ha
dp ..* f dh
f-
lTmoJ + Tnh~hoj)](rc + h)^ '
(1.40)
И после интегрирования получим
р = РоГе-^ (1.41)
где
(О*
Я
MoGm
гс + hoj Tmoj + TUh + hoj) '
а
Г|со*
Р
(i)*(h — hoj)
[Tmoj-T'f {Гс + hoj)] {Гс + hoj) (Гс + h)
Если в предшествующих рассуждениях использовать
предположение о полигональном профиле изменения Г^, то можно определить
атмосферное давление как явную функцию высоты h. Графики
некоторых таких функций для интересующих нас планет приведены
в [11, 12].
Иногда могут потребоваться также вспомогательные производные
dp pa)
*
dh (rc + h)Hrmoj + T*(h~hoj)]'
dp pMo Г (0*
(1.42)
dh RlTmoj + T*(h-hoj)]^l (Гс + h)
+ n] (1.43)
и вспомогательный параметр a (скорость звука), приближенно
вычисляемый по формуле
R ^\V2
а
(у1Л", ,1.44,
где Т = (М/Мо) Тт, ^ У — удельная теплоемкость планетной
атмосферы, получаемая по табл. 1.5.
1.6.4. Нестационарные модели
Изменения состояния атмосферы вызываются многими факторами.
Отклонения от моделей, описанных в разд. 1.6.3, указаны Габбар-
дом [14].
Широтные изменения. Изменения, зависящие от широты, вытекают
из (1.35), где Гс — фактически функция широты. Однако этот эффект
3—491

34 Глава 1. Солнечная система
может быть в значительной степени исключен, если использовать сфе-
роид отсчета, учитывающий изменение г^ с широтой (т. е.
использовать сфероидальную систему координат, в которой г^ постоянно.
Перев.).
Суточные изменения. Их причина — тепловое действие солнечного
излучения. Атмосфера в результате разогрева вздувается,
образуется как бы атмосферный горб, направленный в целом на Солнце, но
отстающий от него к востоку вследствие вращения планеты.
Полусуточные изменения. Они вызываются приливным действием
Луны и Солнца.
Годичные изменения. Даже при несколько ошибочном
предположении, что планета движется вокруг Солнца точно по окружности,
можно сделать вывод о существовании годичных изменений,
обусловленных наклонностью экватора планеты к плоскости эклиптики. Это
широтный эффект, причем его величина зависит от широты.
Полугодичные изменения. Они вызываются, по-видимому, потоком
заряженных частиц, как и полугодичные вариации геомагнитной
активности.
Влияние магнитных бурь. Этот эффект проявляется в увеличениях
плотности всей атмосферы, коррелирующих с магнитными бурями.
Влияние солнечной активности. Этот эффект сильно коррелирует
с излучением Солнца в дециметровом диапазоне волн (от 3 до 30 см).
Правда, этот поток является не непосредственной причиной, а скорее
указателем, сопровождающим истинную причину, которая кроется,
как полагают, в колебаниях солнечного далекого ультрафиолетового
излучения, обусловленных процессами конденсации в короне.
Изменения с периодом И лет. Изменения, связанные с солнечной
активностью, обладают периодом, совпадающим с 11-летним
солнечным циклом.
Большинство этих изменений играет обычно существенную роль
на высотах более 200 км\ ниже этого уровня их эффект мал или вовсе
незаметен. Несомненно, в дальнейшем список указанных изменений
будет продлен. Однако и этого уже достаточно, чтобы иллюстрировать
типы явлений, которые следует принимать в расчет при построении
нестационарной, т. е. меняющейся со временем, модели.
Таким образом модели атмосферы бывают двух различных типов:
стационарные*(не меняющиеся со временем) и нестационарные
(меняющиеся со временем). Это зависит от того, до какой степени мы
стараемся аппроксимировать изменения, происходящие в атмосфере.
Стационарная модель, описанная в разд. 1.6.3, дает «осредненную»
атмосферу, учитывающую в среднем суточные и сезонные изменения, влияние
солнечной активности и т. д.
Модель, зависящая от времени и построенная с учетом этих
изменений, позволяет предсказать структуру атмосферы на момент,
задаваемый с точностью до нескольких минут. Однако эти модели дают
aмпJ^итyды изменения плотности на заданной высоте только с точ-

1.6. Модели атмосферы 35
ностью до множителя, равного примерно 2. Более подробную
информацию по этой проблеме можно найти в [17, 18, 20]. Набор моделей
атмосферы затабулирован в [26]. Некоторые наиболее принятые
модели перечислены в табл. 1.6.
Таблица 1.6
Модели атмосферы
ARDC, 1956
США, 1961
Стандартная 1962, США
Яккиа, 1960
Николе, 1961
Гаррис и Пристер, 1962
Яккиа, 1964
Стационарная модель [15]
Стационарная модель [16]
Стационарная модель [19]
Нестационарная модель [17]
Нестационарная модель [20]
Нестационарная модель [18]
Нестационарная модель [28]
В следующих разделах рассматриваются две нестационарные
модели земной атмосферы. Так как значительную часть работ в этой
области впервые выполнил Яккиа [17, 27, 28], то прежде всего мы излагаем
его первую упрощенную модель, а более точный вариант описан
в конце.
Прежде чем приступить к анализу этих нестационарных, или, как
их также называют, динамических моделей, упомянем об одном
параметре, играющем важную роль при определении плотности
атмосферы. Этот параметр — поток солнечного дециметрового излучения.
Он обозначается как Fiq.
По-видимому, сглаженные среднемесячные значения потока в
дециметровом диапазоне коррелируют с долгопериодическим 11-летним
солнечным циклом. Эти среднемесячные значения, обозначаемые через
/^10, используются в качестве показателя фактической солнечной
активности. В период высокой солнечной активности /^ю » 220,
а в период низкой Рю ^ 70.
Для определения плотности атмосферы обычно требуются оба
параметра: Рю и Р^. Оценку солнечного потока обычно получают,
изучая его колебайия, т. е. максимум и минимум /^ю за прошедший
год. Обычно экстраполяция дает достаточно точный результат, или
же используется среднее значение /^ю, если отсутствуют другие
данные *).
1.6.5. Модель атмосферы Яккиа, 1960
Поиски аналитической модели, которая могла бы быть
использована для предвычнслений плотности атмосферы и, следовательно, для
анализа движения искусственных спутников на большой высоте,
) Относительно источника этих данных см. последнюю часть разд. 1.6.6.

36 Глава 1. Солнечная система
Привели к построению модели Яккиа, 1960. Эта модель учитывает
два основных эффекта из описанных в разд. 1.6.4, а именно суточные
изменения и влияние солнечной активности с 27-дневным периодом.
Предполагается, что суточный атмосферный горб обладает осевой
симметрией, имеет ту же самую геоцентрическую широту, что и
подсолнечная точка, и отстает от Солнца по долготе на постоянный
фазовый угол. Тогда можно определить плотность амтосферы следующим
путем.
Вычислим опорные значения плотности ро {г1см^) как функции
высоты Не {км) над поверхностью Земли по эмпирической формуле:
Ig Ро = —16,021 — 0,001985Яс + 6,363 ехр (—0,0026Яс). (1.45)
Вычислим далее параметр модели -ф' — угол между вершиной
суточного горба атмосферы и точкой, в которой определяется
плотность, по формуле из сферической тригонометрии
cosij)' = sin б sin 6q + cos б cos б0 cos (a —aQ —Я), (1.46)
где a — прямое восхождение точки, в которой определяется
плотность, б — склонение этой точки, uq— прямое восхождение Солнца,
6,0— склонение Солнца, Я — фазовый угол отставания атмосферного
горба от Солнца. Обычно достаточно взять значение Я между 25''
и 30" [26].
Прямое восхождение и склонение Солнца можно получить по
координатам Земли (разд. 1.3) по формулам:
■ sin6Q== ~'Ф -^<63<f,- (1.47)
cosaft = ^^7Г' sin 00= ^-ттг > (1-48)
где О<а0<2я.
Далее определяется значение вспомогательной функции / (ij;'),
выведенной эмпирически, по формуле:
/(^')==eos"^=(i±fi^)"^\ (1.49)
где в соответствии с анализом движения спутников надо положить
п = ^ [26].
Наконец, искомая плотность р [г1см^) находится по формуле:
Р-Ро^ {1+0,19 [ехр (0,0055Яе)-1,9]/(ij)')}, (1.50)
где f 10 — солнечный поток (в Ю"^^ emlM^^au).
Эта модель, выведенная полуэмпирическим путем,
использовалась достаточно успешно при определении плотности верхней
атмосферы. Ее следует применять к высотам более 100 км вместо стационарной
модели, указанной в разд. 1.63.

1.6. Модели атмосферы 37
1.6.6. Модель Яккиа, 1964
Более точная модель для определения плотности атмосферы была
построена Яккиа в 1964 г. Она учитывает вместе с двумя
предыдущими эффектами также упомянутые в разд. 1.6.4 изменения
полугодичные и вызываемые магнитными бурями. Согласно этой модели,
сначала находится из эмпирического соотношения ночная
температура
Го = 418° + 3°,60/^,о + 1°,8(Ло-Ло) +
+ [0,37 + 0,14 sin (2яЬ^)]^^^ sin (4я^) , (1.51)
где Fio — средний солнечный поток в 10~^^ вт/м^-гЦу F^q —
солнечный поток в 10"^^ вт/м^-гц и t — время в сутках, прошедшее с 1
января. Далее вычисляются вспомогательные параметры
0 = 1(ф' + б0),
т = ЯЛ-45°+12°sin(ЯЛ + 45°), -я<т<я, (1.52)
где ф' — геоцентрическая широта точки, в которой определяется
плотность атмосферы, б0 — склонение Солнца по (1.47) и НА —
часовой угол Солнца *). С их помош,ью вычисляется температура экзо-
сферы по формуле:
Гоо = Го(1+0,28sin^^e)[l+ 0,28 ^fji^^
+ 1,0ар+125[1—ехр( —0,08ар)] (1.53)
как функция Го, 6, г), т и а^, — амплитуда эффектов, вызванных
магнитными бурями и измеряемых каждые 3 час.
Среднесуточное значение йр обозначается через Ар и находится
при осреднении данных 12 обсерваторий на различных широтах,
полученных с 3-часовыми интервалами. Единицей измерения для Ар
служит 2у, где у = 10"^ гс; в периоды средней магнитной активности
значение Ар в этих единицах лежит в пределах от 10 до 20. Иногда
значение Ар очень велико, а во время магнитных бурь оно может
превышать 200.
В зависимости от Too определяется температура Т по формуле
Г = Гоо-(Тоо-120)ехр(-5[Яс~120]), (1.54)
где
0,0291 ехр (
X'
2
X
Тс^-800
750+1,722.10-4 (Гоо—800)2
) По поводу определения часового угла см. [1, гл. 4].

38 Глава 1. Солнечная система
После этого можно определить плотность двумя путями: с помощью
специальных таблиц или на основании численного решения
дифференциального уравнения диффузии [26]:
dm dHc ^^(1^0 + аГ), (1.55)
rii Hi Т
где
Hi
kT
fii — концентрация каждого компонента атмосферы, Hi — шкала
высот для каждого компонента, т^ — молекулярный или атомный
вес каждого компонента. Не — геометрическая высота над
поверхностью планеты, а — коэффициент тепловой диффузии, k —
постоянная Больцмана и g—местное значение ускорения силы тяжести.
Уравнение (1.55) для каждого i решается при задании граничных
условий на высоте, например, 150 км.
Могут быть применены также другие модели [26], отражаюш,ие
современный уровень знаний в этой области. Однако две
рассмотренные модели дают хорошую картину нестационарной атмосферы.
Текуш^ие значения Рю и Ар на различные моменты времени могут
быть получены по данным Северо-Атлантической радиослужбы
предупреждения. Форт Бельвуар, штат Виргиния.
1.7. РЕЗЮМЕ
Кратко описаны свойства планет солнечной системы. Приведены
таблицы с приближенными характеристиками планет и естественных
спутников солнечной системы. Приведены полиномиальные
разложения для средних элементов больших планет, а также упрои;енный
вариант теории Брауна движения Луны. Вытекающие из них
приближенные способы определения положений планет и Луны находят
широкое применение при анализе вопросов, связанных с
космическими полетами.
Описан метод нахождения дифференциальных поправок к
коэффициентам в теории Брауна движения Луны. Составление более точных
эфемерид планет и Луны, требует использования специальных
программ вычислений на ЭВМ.
При планировании межпланетных полетов естественно возникает
вопрос о планетных атмосферах, так как космический корабль должен
пройти через них на начальной и на конечной стадиях полета.
Рассматривается вопрос о типичной стационарной модели
планетных атмосфер. Указаны эффекты, вызываюш^ие отклонения реальных
атмосфер от такой модели, и даны две нестационарные модели
атмосферы, используюш,иеся для вычисления плотности на больших высотах.

Упражнения 39
Рассматривается также вопрос о солнечном потоке и
геомагнитных индексах; упомянут источник, откуда можно получить их
значения на текущий момент времени.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить сумму масс всех планет солнечной системы, кроме
Юпитера, и сравнить ее с массой Юпитера.
2. Каков приближенно центральный угол между Марсом и Землей
24 августа 1976 г.?
3. Как можно избежать использования тригонометрических
функций кратных углов при вычислении положений и скоростей Луны?
4. По наблюдениям угловых координат Луны построить схему
определения дифференциальных поправок к коэффициентам
разложений долготы, эклиптического склонения и параллакса в классической
теории Брауна движения Луны.
5. Космический корабль «Омега Х-2» движется в пространстве
со скоростью У = 12 км/сек в окрестности планеты Юпитер. Требуется
как можно скорее совершить вынужденную посадку на спутник Кал-
листо, который находится в данный момент за Юпитером и невидим
для космонавта. Так как операция по спасению корабля «Омега Х-1»,
разбившегося на поверхности Каллисто, должна быть проведена
о . о
в Кратчайший срок, то траектория, соединяюи;ая начальное
положение «Омеги Х-2» и Каллисто, должна быть близкой к прямолинейной.
Такая траектория пересекает, к сожалению, атмосферу Юпитера.
Может ли быть достигнуто минимальное по времени погружение
корабля в атмосферу Юпитера, если в точке наибольшего сближения
с Юпитером температура атмосферы, находимая космонавтом по
таблицам, составляет 150° К, абсолютное давление равно 2,5 атм,
а максимально допустимая сила лобового сопротивления атмосферы,
которую «Омега Х-2» способен выдержать, составляет 9000 кг.
Эффективная плои;адь поперечного сечения корабля «Омега Х-2» равна
10 ж^, коэффициент Cd =0,002 (в системе СГС). Атмосфера Юпитера
состоит на 62% из метана и на 38% из водорода.
6. За сколько времени луч света пройдет от Земли до Сатурна
1 января 1984 г.? Принято, что скорость света с = 299 729,5 км/сек
и 1 а. е. = 149 597 850 км.
7. Какова температура земной атмосферы на высоте 3000 ж, если
на уровне моря она равна 15° С, а температурный градиент составляет
Т* = 4°/300 м? Использовать стационарную модель атмосферы. Какова
скорость звука на этой высоте?
8. По данным Форта Бельвуар (штат Виргиния), солнечный поток
^10 в О'^ 24 августа 1970 г. равен 100. Предполагая фазовый угол
отставания А, равным 28°, вычислить плотность атмосферы в этот момент
на высоте 100 км. Использовать модель Яккиа, 1960.

40 Глава 1. Солнечная система
9. Какова температура в 0^ 22 января 1968 г. на высоте 200 км,
если значения солнечных потоков таковы: /^^ = 90 и F^q=^ 122?
10. До какого порядка эксцентриситета следует выписать
разложение для эксцентрической аномалии, получающееся при
аналитическом обращении уравнения Кеплера, чтобы можно было определить
эксцентрические аномалии для всех планет с точностью до восьмого
десятичного знака после запятой?
2
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л. Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American
Ephemeris and Nautical Almanac, H.M. Stationary Office, London, 1961.
3. Connaissance des Temps, Le Bureau des Longitudes, Paris, France, 1965.
4. Jet Propulsion Laboratories Ephemeries Tapes, E9510, E9511 and E9512.
5. Users' Description of Jet Propulsion Laboratories Ephemeris Tapes, Jet
Propulsion Laboratories, Technical Report 32-580, March 2, 1964.
6. Jet Propulsion Laboratories Memorandum 33-167, March 2, 1964.
7. R. M. L. В a к e r Jr., M. W. M a к e m s о n. An Introduction to Astrody-
namics. Academic Press, New York, 1960.
8. G. W. H i 1 1, Collected Mathematical Works, Carnegie Institute of
Washington, Publ. 9, 1964 reprint.
9. E. W. В r 0 w n. Motion of the Moon, Mem. Roy. Astron. Soc, 57, 129—145,
10. W. L e y, С В 0 n e s t e 1 1, The Conquest of Space, New York, 1950.
11. S. I. R a s 0 0 1, Structure of Planetary Atmospheres, Amer. Inst. Aeronaut,
Astronaut. J., January 1963.
12. Space Physics, eds. D.P. Le Galley, A. Rosen, John Wiley and Sons, New York,
1964. (Русский перевод: Космическая физика, под ред. Д. Ле Гэлли и А. Ро-
зека, изд-во «Мир», М., 1966.)
13. The Atmospheres of the Earth and Planets, ed. G. P. Kuiper, University of
Chicago Press, 1952. (Русский перевод 1-го изд.: Атмосферы Земли и планет,
под ред. Дж. Койпера, ИЛ, М., 1951.)
14. Т. Р. G а b b а г d, Earth-Atmosphere Models, Lockheed Technical Memo,
LTM 50275, Lockheed California Co., December 1962.
15. R. A. M i n z n e r, W. S. Ripley, The ARDC Model Atmosphere, 1956,
AFSG 86, GRD, AFCRC, December 1956.
16. H. К a 1 1 m a n n - В i j 1 et al., CIRA, 1961, North-Holland Publishing
Co., Amsterdam, 1961.
17. L. G. J a с с h i a, A Variable Atmospheric Density Model from Satellite
Accelerations, J. Geophys. Res., 65, 1960.
18. I. H a r r i s, W. P r i e s t e r. Time Dependent Structure of the Upper
Atmosphere, Goddard Space Flight Center, NASA, 1962.
19. N. S i s s e n w i n e, H. W e X 1 e r, M. D u b i n, A Preview, The U.S. Stan-
dard Atmosphere, 1962, ARS Reprint 2678-62, Доклад на 17-м ежегодном
съезде Американского ракетного общества, Los Angeles, California,
November, 1962.
20. М. N i с о 1 e t. Density of the Heterosphere Related to Temperature, Special
Report 75, Smithsonian Astrophysical Observatory, Cambridge, Mass".
21. H. A. Everett, Thermodynamics, D. Van Nostrand, New York, 1941.
22. R. A. M i n z n e r, K. S. W. С h a m p i 0 n, H. L. P 0 n d, The ARDC Model
Atmosphere, 1959, AFSG 115, GRD, AFCRC, August 1959.
23. M. N i с 0 1 e t. Structure of the Thermosphere, Planet. Space Sci., 5, 196L

Литература 41
24. L. G. J а с с h i а, А Working Model for the Upper Atmosphere, Nature, 192,
1961.
25. M. W. R e e d. The Stars for Sam, Harcourt, Brace, and World, New York, 1931.
26. R. W. В r u с e, A Survey of Model Atmospheres Used in the Analysis of
Satellite Orbits, Aerospace Corporation TDR-4/9 (5540-10)-2, April 1965.
27. L. G. J a с с i a. Variation in the Earth's Upper Atmosphere as Revealed by
Satellite Drag, Smithsonian Astrophysical Observatory, Cambridge, Mass.,
December 1962.
28. L. G. J a с с i a. The Temperature above the Thermopause, Special Rep. 150^
Smithsonian Astrophysical Observatory, Mass., April 1964.
29. M. P. Francis, частное сообщение, TRW Systems, 1965.
30. D. A. M 0 0 n e y. Introduction to the Thermodynamics and Heat Transfer,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1955.
31. N. Block, Jet Propulsion Laboratories, частное сообщение, 1965.
32. F. E. R о s s. Astronomical Papers, Vol. IV, Part II.
33. E. С В 0 w e r, Orbit XIX, Lick Obs. Bull., № 437.
34. D. M. С 0 1 e, D. W. С 0 x, Islands in Space, Chilton Books, Philadelphia,
1964.

Глава 2
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Математика — королева наук
Гаусс [61
2.1. ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ В АСТРОДИНАМИКЕ
Предположим, что в космическом корабле обнаружились
неполадки в системе жизнеобеспечения. Какова траектория, по которой
космический корабль возвратится на базу в кратчайшее время?
Можно ли отказаться от одноимпульсной и прибегнуть к двухимпульс-
ной траектории перелета над Солнцем (т. е. по орбите, проходящей
перпендикулярно или под большим углом к плоскости движения
Земли.— Перев,)? Можно ли определить оптимальную одно- или двух-
импульсную траекторию возвращения с минимальным расходом
горючего? Где находится точка наибольшего сближения орбит? Эти и
другие важные вопросы требуют для своего решения использования
специальных математических методов. В частности, если ограничиться
классом импульсных траекторий, то эти проблемы могут быть решены
с помощью теории максимумов и минимумов обычных функций.
Цель этой главы — изложение методов, применяемых для
определения стационарных точек обыкновенных алгебраических функций.
Под стационарными точками подразумеваются такие, в которых
исследуемая функция достигает максимума, минимума или седла.
Для полноты включены хорошо известные методы нахождения
стационарных точек для функций одной переменной, затем
результаты обобщаются на случай функций многих переменных при
дополнительных условиях в виде уравнений или неравенств. Задачи,
выбранные для иллюстрации изложенных методов, упрощены с астро-
динамической точки зрения, чтобы была яснее сущность
математических операций. Проблемы выбора физически реальных траекторий
анализируются более детально в последующих главах.

2,2. Максимумы и минимумы 43
2.2. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ОБЫЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим мифическое королевство, расположенное в такой
1^
простои местности, что в пределах его границ имеются только два
холма и одна долина. С математической точки зрения холмы
соответствуют максимуму, а долина — минимуму. Один из двух холмов
этого гипотетического королевства, вероятно, выше другого. Более
высокий холм соответствует так называемому глобальному максимуму,
более низкий — локальному максимуму, а долина — глобальному
минимуму. Между холмами и долиной имеется плато или выровненная
местность. Если перейти в абстрактный мир математики, то плато
соответствует седловой точке или области, в которой нет истинного
максимума или минимума. Можно также сказать, что максимумы,
минимумы и седловые точки (области) характеризуются тем, что
плоскость, скользящая по поверхности королевства, достигает в них
горизонтального положения. Если границы королевства расширить,
то, возможно, найдутся еи;е другие максимумы и минимумы; может
быть, среди них обнаружится новый глобальный максимум или
минимум.
На языке математики можно сказать, что в случае функции f от п
переменных (xi, ^2, . . ., х^) точки максимума (^i, ^2» • • •> In)
характеризуются неравенством
/ \ЬЬ Ь2> • • •> Ъп) ^^ I \^if ^2f • • •> ^n)f V^»"^/
справедливым для всех ^^ в достаточно малой окрестности Xi, t =
= 1, . . ., /г. Точки минимума характеризуются неравенством
противоположного смысла
/ \Ы> Ь2> • • •> Ьтг/ "^ / V-^b Х2у . . •» Xj^) \^'^)
ДЛЯ всех Xi В окрестности gj, /= 1, 2, . . ., п. Если вместо
неравенств (2.1) или (2.2) в достаточно малой области справедливо
равенство, то имеет место седло.
Максимумы, минимумы и седловые точки функции / объединяются
одним понятием стационарных точек этой функции. Одни максимумы
и минимумы объединяются понятием экстремальных точек.
Излагаемая ниже теория предполагает, что внутри
рассматриваемой области частные производные функции / непрерывны. Из
непрерывности вытекает *), что во всех точках Xi, ^2, . . ., х^, близких
к точкам 1и ^2» • • •> ёп» значения функции g {хи ^2> • • •> -^J» пред-
ставляюш,ей какую-либо из частных производных функции /, мало
отличаются от g Ни ^2, . . ., и. т. е. \g Hi) — g (Xi) I < 8, где 8 —
любое положительное число.
*
) Более точная формулировка имеется в [2].

44
Глава 2. Методы оптимизации
^ ■
2.2.1. Функции одной переменной
Анализ экстремальных точек функции одной переменной имеет
определенное самостоятельное значение и позволяет также вывести
необходимые условия для нахождения экстремальных точек функции п
переменных.
Непосредственное рассмотрение рис. 2.1 приводит к следующему
необходимому условию для экстремальных точек:
df(x)
dx
x=l
о
(2.3)
Это вытекает из геометрического смысла производной от функиии /,
согласно которому df {x)/dx определяет наклон кривой y = f{x).
Рис. 2.1. Максимум и минимум функции одной переменной.
Так как наклон кривой изменяет свой знак при переходе через
вершину, то мы и приходим интуитивно к (2.3) как к условию для экстремума
функции.
Чтобы быть более точными, рассмотрим непрерывную функцию /,
имеющую непрерывную производную df/dxy которая обращается
в нуль в конечном числе точек. Заметим, что на рис. 2.1 слева и справа
от точки 5 = ^2 существуют интервалы (простирающиеся до
ближайших точек, где df{x)ldx = О, а именно интервалы Si < х
x<ltz), где производная от / {х) сохраняет знак. Пусть
производная имеет разные знаки в этих двух интервалах. Тогда, используя
формулу конечных приращений [2], согласно которой
d
f{l+^l)-f{l) = ^l^J{l+Q^l),
dx
(2.4)
где О <; 0 < 1, получим, что правая часть (2.4) сохраняет знак для
всех малых значений Ag (как положительных, так и отрицательных)
и что / (х) является экстремальным значением. Если бы производная
от / (х) имела один и тот же знак по обе стороны от точки х = ^2»
то правая часть (2.4) изменяла бы свой знак вместе с Ag и значение
/ (^2) не было бы экстремальным.
Можно утверждать, что / (х) достигает экстремального значения
при X = ^2 тогда и только тогда, если производная df{x)ldx изменяет

2.2. Максимумы и минимумы 45
СВОИ знак при переходе через эту точку; кроме того, если эта
производная положительна слева от I2 и отрицательна справа, то
функция / {х) имеет локальный максимум, а в противоположном случае —
локальный минимум.
П р и м е р. Наблюдатель на Земле наблюдает комету Энке,
которая движется по почти параболической орбите, определяемой
достаточно точно уравнением
у = ах^ + Ьх + с (2.5)
в системе координат, изображенной на рис. 2.2. Надо найти точку
наибольшего сближения кометы Энке с Землей в предположении,
что Земля неподвижна.
Земля
Рис. 2.2. Параболическая орбита.
Указанная точка характеризуется минимальным расстоянием
между траекторией кометы и Землей, т. е. минимумом величины
г2 = х^ + у\ (2.6)
Минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации самого
расстояния, но удобнее иметь дело с величиной г^. Из (2.5) и (2.6)
следует:
г^ = х^ + {ах^ + Ьх + cf
или
г2 = Л^ + 2аЬ^ + (6^ + 2ас + 1) х^ + 2Ьсх + с\ (2.7)
Дифференцирование и применение (2.3) приводят к кубическому
уравнению
-^ = 4а2х^ + 6а6х2 + 2(62 + 2ас+1)х + 26с = 0
или
2^2^^ + ЗаЫ^ + (6^ + 2ас ^ \) I + be = О, (2.8)
где g — значение х, при котором / {х) достигает экстремума. При
решении кубического уравнения (2.8) [1, прилож. 3] мы получаем
подстановка ^ в (2.5) дает нам у (g), так что точка р = р [g, у (g)]
есть точка экстремума. Из астрономического смысла задачи вытекает,
что кубическое уравнение (2.8) имеет только один конечный
действительный корень и что точка р соответствует именно минимуму рас-

46
Глава 2. Методы оптимизации
СТОЯНИЯ Г, поскольку максимум достигается на бесконечности. Можно
это доказать и строго, проверяя перемену знака производной от г^.
Кроме того, можно непосредственно вычислить г^ для малых
отклонений X от g и проверить критерий (2.2), доказав тем самым, что в
точке х = ^ достигается глобальный минимум г^. Этот частный пример
рассмотрен более детально также в разд. 2.3.
Чтобы отличить максимум функции от минимума в точке х =
содержащейся в интервале Si < S < ^2» иногда целесообразно
использовать следующий признак.
В предположении, что обе точки g и g + А^ содержатся в
рассматриваемом интервале и что функция / {х) дважды
дифференцируема, получим, применив формулу конечных приращений, соотношение
dx
dx
dx^
(2.9)
+ A
Из него видно, что производная df{x)ldx имеет в точке ^ -f- а^ тот
же знак, что и А^, если d^ f {x)/dx^ > О и противоположный знак,
если d^f{x)/dx^<iO. Но отсюда, а также из предыдущих рассуждений
вытекает, что d^f{x)/dx^ > О в точке минимума и d^f{x)ldx^ <; О в точке
максимума. Условия, характеризующие максимум или минимум
функции одной переменной, собраны в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Условия, характеризующие максимум и минимум
функции одной переменной
Необходимое
условие
Достаточное
условие
Достаточное
условие
Максимум
Минимум
d^ f {X)
dx^
x=l
<0
d^ f {x)
dx^
x=l
>0
df(x)
dx
df(x)
dx
d f (x)
dx
df(x)
dx
>0, x<l
<0, x>l
<0, x<:i
>0, x>
2.2.2. Функции n переменных
При выводе способа, который мог бы быть применен при
определении экстремальных точек функции п переменных", можно
использовать результаты анализа для функции одной переменной. Пусть
требуется найти экстремум функции
и
f (хи
Хп)-
(2.10)

2.2. Максимумы и минимумы 47
Все переменные от Xi до х^ можно представить вблизи
предполагаемой точки экстремума (xi, . . ., х^) = (gi, . . ., g^^) в виде
Xi = li-{- hit, i = 1, 2, . . ., п, (2.11)
где hi — произвольные постоянные. Тогда можно рассмотреть
функцию
. U{t) = f (el + h,U ^2 + h^U . . ., In + hj), (2.12)
имеющую при / = О экстремум. Следовательно, если и
= / {хи • • •> ^п) имеет экстремум в точке (gi, . . ., g^i)» то U (t) имеет
экстремум в точке / = 0.
Дифференцируя U по /, можем записать
dU df dxi , df dx2 , \ ^f ^^n
dt dXi dt dx2 dt dx^ dt
или
dXi _ d(li + hit)
dt ~ dt
hi,
поскольку
dU _ df . . df , . \ ^f и
1Г -'ш;^'+^^^+ •" +1^^''^
причем df/dxi вычисляется в точке Xi = li. Из результатов,
полученных при анализе экстремумов функции одной переменной, вытекает,
что при / = О
dt dXi
д
дХ2
I \bii Ъсч ЪЗ» • • • J bn)h2
+ -^f{lii ^2» h, • ' '1 In) hn='0. (2.13)
Чтобы (2.13) тождественно обращалось в нуль при произвольных
значениях h^, hz, ..., hn, необходимо, чтобы
/ Vbb Ъ2» ЬЗ» • • • » ЬтгУ — '-'»
dXi
^ filuh.h, ..., Ы-=0. (2.14)
дхп
Следовательно, мы получаем необходимые условия экстремума для
функции п переменных, приравнивая нулю все ее частные
производные. В трехмерном пространстве мы получим таким путем условия для

48 Глава 2. Методы оптимизации
1^
определения горизонтального положения плоскости, касающейся
вершины холма, или дна долины, или седловой точки.
Выяснить, достигает ли функция максимума или минимума, можно
или непосредственно с помощью (2.1) и (2.2), или с помощью критерия,
выводимого при анализе второй производной от (2.12):
"~5/2 "^ §^ ' (■^^' "^2» ^31 • • • 1 ^п) hi "Г "g^ / (-^1» ^21 ^3i • • • » ^п) 1^2 -г
л. л
+ 2 д^ д^ / ("^ь ^21 ^3i ----, Хп) hih2-{-.,. <i (2.15)
которая в соответствии с правилом для экстремума функции одной
переменной должна быть при /= О и любых /ii, /12, . . ., h^
отрицательной в точке максимума и положительной в точке минимума.
В важном случае функции двух переменных можно сокращенно
записать (2.15) в виде
'^^Ш==Ак\ + 2Вк,к^ + Ск1, (2.16)
где Л, В, С — соответствующие частные производные. Если положить
hi = a/i2 при произвольном а и приравнять (2.16) нулю, то получим
уравнение
Аа^ + 2Ва + С = 0.
Следовательно, квадратичная форма (2.16) не меняет знака, если
В^ — АС <; 0. Это условие существования экстремума в точке
(xi, Х2) = (Si, ёг)» выписанное более подробно, имеет вид
dxi дх2 J дх1 дх1 ' \ • /
при этом в случае максимума
дх1 ^ ' дх1
а в случае минимума
дх\ дх1
Если неравенство (2.17) не выполняется [т. е. если (2.17) больше
нуля], то экстремума в точке (Si, . . ., S^) нет. В случае когда (2.17)
обращается в нуль, вопрос остается открытым.
Пример. Пусть в плоскости ABCD, отнесенной к
геоцентрической системе координат прямое восхождение — склонение, движется
метеорный поток (рис. 2.3). Плоскость движения определяется
уравнением
ах -\- by + cz=^ d, (2.18)
где коэффициенты а, Ь, с связаны с классическими углами i, Q [1, гл. 3,

2.2. Максимумы и минимумы
49
упр. 14] При i <; я/2 соотношениями
Д^ = 4- (ф + 62 _|_ ^2)V2^ Аз = + (а2 + 62)V2
и
cost
А
sini
д
1
Д '
1
COS Q
ь
д
SinS:
Q
а
д
Будет ли виден метеоритный дождь, когда метеорный поток сблизится
с Землей?
Метеоритный дождь наблюдается тогда, когда метеорные частицы
входят в атмосферу и из-за возникающего трения накаляются и
светятся. Следовательно, вопрос о возникновении метеоритного дождя
Метворный поток
Г
Рис. 2.3. Метеорный поток, приближающийся к Земле
сводится к определению минимального расстояния г^ между центром
Земли и плоскостью движения метеоритов. Если окажется, что г^
cie + Hay где йе — радиус Земли и На — толщина атмосферы,
то метеорный фейерверк неизбежен.
Квадрат расстояния от центра Земли до произвольной точки Р
на плоскости S (рис. 2.3) выражается формулой
r2 = x2 + £/2 + z2. (2.19)
Следовательно, мы должны искать минимум г^ при выполнении
условия (2.18). Для этого выразим одну из переменных в (2.18),
например 2, через две остальные:
z = ---x--y. (2.20)
4-491

50 Глава 2. Методы оптимизации
Теперь мы можем представить г^ как функцию [двух переменных х
и у, подставив (2.20) в (2.19), и записать
i/ = /-2 = лс^
применяя (2.14) к случаю двух переменных, получим следующие
соотношения для нахождения экстремума:
-- = 2х —2— X у] ==0,
ох с \ с с с ^ I
(2.21)
ди ci ci b I d а b \ г,
ду ^ с \ с с с ^ I
После упрощения их можно записать в виде линейных уравнений
относительно х и у:
(а^ + с^)х + аЬу = ad,
abx + {b^ + c^)y = bd. ^^'^^^
Вообще значения х и у^ получаемые отсюда и соответствующие
экстремуму, следовало бы обозначить, согласно изложенному выше, через
1, ^2- Но если мы будем помнить об этом, то недоразумений не
возникнет. ^
Определитель системы уравнений (2.22) равен
А = {а^ + с^) (62 + с^) — аЧ^ = {а" +:Ь^ + с^) с^\
согласно правилу Крамера [5], имеем
ad bd
^ ^2 I А2 I ^2 » У
а24-Ь2+с2' ^ а2+Ь2 + с2'
при этом для Z получим, согласно (2.20), выражение
с Д V^ 1 - / а2_^Ь24-с2 •
Можно далее определить г^ как сумму квадратов этих координат
и функции 5 метеоритного дождя, представимой в [виде
И)2+(Ь^)2+М2
причем при S > О метеоритного дождя нет, при S <; О метеоритный
дождь виден, а S = О — предельный случай. Физические соображе-
1^ 1^
ния приводят к заключению, что найденный таким путем экстремум
соответствует минимуму г, поскольку максимум достигается на
бесконечности. Достаточность полученного условия для минимума
мы можем проверить, варьируя значения х ia у около экстремальных
точек ^1, ^2- При этом убеждаемся в том, что значение г^ при всех
(х, у) Ф (^1, ^2) возрастает, следовательно, точка х = Si, £/ = ^2
соответствует глобальному минимуму. Дополнительную проверку можно

2.3. Максимумы и минимумы при ограничениях 51
осуществить с помощью условия (2.17), согласно которому минимум
существует тогда и только тогда, если
= 2[1 + (|)>0,
^2^ \2 д^и д^и . (а^Ь^ Г. , /а\21Г1 , /Ь
дх ду I дх^ ду^
Ч?-'-['+(7Г]['+(1Г]}
41 H-(-r-l-(-Vl<0.
Эти условия выполняются при всех значениях а, 6, с, d.
2.3. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ
ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
Другой способ вывода необходимых условий существования
экстремума функции / Ui, Хг, . . ., xj в точке (^i, ^2> • • •> ^J
заключается в том, что мы приравниваем линейный дифференциал df нулю.
При этом, так как
df — -jrdt=^ О,
dt
то
d/ = ^d^i + gd^2 + -^dX3+...+-^dx„ = 0. (2.24)
При использовании этого равенства мы явно предполагаем, что
переменные Хи ^2> • • ••> ^п независимы. Предположим, однако, что
эти переменные связаны дополнительными соотношениями
gi (Xi, ^2, Хз, . . •, Xj^y . . ., Хд) = 0, i = 1, 2, 3, . . ., р, (2.25)
так что только п — р переменных из Хи х^, . . ., х^ фактически
независимы. Простой путь решения этой проблемы заключается в том,
что р <,п переменных выражаются с помои;ью (2.25) через п — р
остальных и полученные выражения подставляются в исследуемую
функцию / (xi, ^2, . . ., Хд). Функция / сводится тогда к функции
Хп), ' (2.26)
где переменные x^+i, Хр+2> • • •> -^п независимы. Экстремум / может
быть далее найден с помош,ью способов, указанных в разд. 2.2.2.
^Пример. В примере, приведенном в разд. 2.2.1, требовалось
найти минимум расстояния между гипотетической орбитой кометы
Энке и Землей.
4*

52 Глава 2. Методы оптимизации
Функцией, для которой надо непосредственно найти условия
минимума, является
f = г^ = х^ + у^.
Это функция двух переменных х и у. Комета Энке движется по орбите,
определяемой уравнением
gi = y — icix^ '+ bx + с) = 0,
связывающим х и у. Это уравнение представляет собой дополнительное
ограничение, которому функция f подчинена. В соответствии со
сказанным выше надо выразить одну переменную через другую; проще
всего выразить у через х, и мы получим
у = ах^ + Ьх + с.
Подставляя это выражение для у в функцию /, получим
f = x^ + {ах^ + Ьх + с)\
после чего / становится функцией одной переменной х. Далее можно
поступать так, как было указано в разд. 2.2.1.
2.3.1. Ограничения в виде уравнений
Пусть из соотношений (2.25), рассматриваемых как уравнения
относительно Xi, ^2, . . ., х^, невозможно или неудобно выразить
какие-либо р переменных через остальные п — р переменных. Тогда
задача сведения заданной функции / (xi, . . ., х^) к функции п — р
1^ 1^
независимых аргументов становится невыполнимой или очень трудной.
Можно обойтись без этой процедуры, если применить метод
неопределенных множителей. Этот метод был развит Лагранжем и
заключается в следующем.
Рассмотрим функцию двух переменных /(xi, ^2), экстремум
которой надо найти при одном ограничении: g (xi, Х2) = 0. Если
предположить, что dg/dXi и dg/dx2 не обращаются в нуль в точке
экстремума {Xiy Х2) = (Si, ёг)» то, согласно теореме о существовании
неявной функции, можно разрешить уравнение g (xi, ^2) = О в
окрестности точки экстремума относительно одной из переменных и получить
^2 = /i (xi). Подразумевая это, можно записать / (х^, Х2) в виде
/ [xi, h (xi)]. Эта функция должна иметь экстремум в точке Xi = li.
Составляя полную производную от функции / по Хь получим
df> df , df dh __^
dxi dxi дх2 dxi
Кроме того, дифференцируя по Xi соотношение g{Xi, Х2), где
X2 = h{Xi), получим равенство
dg , _dl_ _dh_ ^ г.
дхх дх2 dxi

2.3. Максимумы и минимумы при ограничениях 53
которое ДОЛЖНО тождественно удовлетворяться, если положить Х2
=zh{Xi). Если последнее соотношение умножить на
dg/dx2
и сложить с df/dx, т. е. сложить с соотношением
df , df dh _^
дх^ дх2 dx^
ТО нетрудно получить одно условие, выполнение которого следует
потребовать:
'^ '^# = 0, (2.27)
dxi дх
1
И второе условие
^^ +Я^ = 0, (2.28)
дХ2 дХ2
которое удовлетворяется тождественно в силу определения Я. Эти два
условия называются условиями Лагранжа для случая двух
переменных.
Теперь мы должны обсудить, каким образом эти условия
используются для нахождения экстремальных точек заданной функции /
при наличии ограничения g" = 0. Однако методически полезно
рассмотреть условия Лагранжа с другой точки зрения, которая приведет
нас непосредственно к распространению метода на случай, когда число
переменных больше двух. Составим выражения для дифференциалов
уравнений вида (2,25), соответствуюи;их заданным ограничениям,
и получим соотношения
(2.29)
Эти соотношения связывают между собой дифференциалы
используемых переменных. Ради ясности изложения возвратимся к случаю
функции двух переменных с одним ограничением. Из (2.24) и (2.29)
вытекает, что
/ д (2.30)
Если второе уравнение dgi = О умножить на произвольную
постоянную К и сложить с df = 0, то получим
df + ^dg,= (^ + xmdx,+ (^ + X^)dx,^0. (2.31)

54 Глава 2. Методы оптимизации
Если считать dxi и dx2 произвольными*), то (2.31)
удовлетворяется всегда при
'^ +Я#- = 0, #- + Я#.^0. (2.32)
дх^ dxi дх2 дх^
Левая часть (2.31) выражает тот факт, что оба условия df = О
и dgi = О могут быть удовлетворены, если значение Я, вначале
неизвестное, найдено. Условия (2,32) совпадают с полученными ранее
условиями Лагранжа (2.27) и (2.28), выведенными с помощью
дифференциального соотношения df + Mgi = 0.
Аналогичным образом, если заданы два ограничения в виде
уравнений gi = О, g"2 == 0> то вместо (2.31) получим
df + Xi dgi + Xzdgz = О, (2.33)
откуда вытекают следующие соотношения:
дхл ' ^ dXi ^ дхА '
1 с/х^ с/л^
^л:2 ^л:2 ^л:2
^ + ^^l| + ^^lS = 0- (2-34)
Читателя может удивить появление в (2.34) третьей переменной-
Следует подчеркнуть, что если в данной физической задаче имеются
два ограничительных уравнения, то функция / должна зависеть
по крайней мере от трех переменных Xi, Хч, Хз, ибо в ином случае
значения переменных определяются единственным образом и никакой
проблемы нахождения экстремума фактически нет. Этот путь
составления условий Лагранжа может быть обобщен на случай п
переменных.
После всего сказанного можем сформулировать правило Лагранжа
для нахождения экстремума следующим образом. (Полностью строгий
его вывод можно найти в [2].)
Если ищется экстремум функции п переменных
/ V^i, ^2, Хз> • • •> ^п)ч (-^.ОО)
где п переменных не независимы, но связаны р дополнительными
соотношениями
«
gi (^1, ^2» ^3, . . ., ^J = 0» i= Ь2,3, . . ., р, р < Az, (2.36)
то строится функция
М = / + Xi^i + Я2^^2 + ^^3^3 + . . . + Яр^р (2.37)
и ее частные производные по Xi, х^, . . ., х^ приравниваются нулю.
*) При исходной постановке задачи dx^ }\ йхч связаны между собой вторым
из соотношений (2.30).—■ Прим. перев.

2.3, Максимумы и минимумы при ограничениях 55
Получающиеся соотношения
^f I 1 ^^1 I 1 ^ё2 , О <^^3 , I л ^^
Н~^1 "з 1" ^2"Б h ^3 "3 h • • • +^р~з— = О»
' d;C2 ^^2 ^^2 ^-^'2
<^/ II <^Я1 . 'i ^g2 , О <5ЯЗ I , л ^^'
+ Я1^+ Я,-^+ Яз-^+ ... +Лр^ = 0 (2.38)
дхп ^ дхп^ ^ дхп дхп ^ дхп
вместе с ограничениями в виде уравнении
gi (Xiy X2i Xst • • •> Xji) = 0,
§2 V-^b ^2f ^3t • • •> ^n) = ^>
g"3 (Xif X2f Хзу . . ., Хд) = О,
gp (xiy X2f Хзу . . ., Xn) = 0 (2.39)
представляют собой n + p уравнений относительно n + p неизвестных
Xi, X2, ' - -y Xn и Яь ^2, . . ., Яр, определяющих точку экстремума
рассматриваемой функции /.
Пример. Для иллюстрации правила Лагранжа решим
рассмотренную выше задачу о комете Энке. Напомним, что в этой задаче
надо было ^найти минимум функции
f = г^ = х^ + у^
при наличии ограничения
у^ах^ — Ьх — с=0. (2.40)
Строим по правилу Лагранжа новую функцию
M = f + Х{у — ах^ — Ьх — с) (2.41)
и составляем и приравниваем нулю частные производные М по х и у
^^ =2х + Х(-2ах-Ь)=^0, (2.42)
дх
^ = 2у + 1 = 0. (2.43)
Из (2.43) получаем Я = —2у; подстановка этого выражения для X
в (2.42) приводит к соотношению
2х + 2у {2ах + Ь) = 0;

56 Глава 2. Методы оптимизации
С учетом ограничения (2.40) оно записывается в виде
X + {ах^ + Ьх + с){2ах + 6) = О
или (после приведения подобных членов)
2Л^ + ЗаЬх^ + {Ь^ + 2ас+1)х + Ьс = 0. (2.44)
Непосредственное сравнение (2.44) и (2.8) показывает их
тождественность при X =
Преимущество правила Лагранжа становится еще более очевидным,
если ограничения, налагаемые на переменные, имеют более сложный
вид. Например, пусть вместо (2.40) имеем
g = у — X sin ху = О, (2.45)
В этом случае нельзя непосредственно исключить одну из переменных
с помощью уравнения (2.45), так как оно трансцендентно. Однако
по правилу Лагранжа мы сразу получим
M = f + Xg, (2.46)
выражая из последнего уравнения X и подставляя это выражение
в (2.47), придем к уравнению
|L|£_^^ = 0 (2.49)
ОХ ду ду дх ^ ^
ИЛИ
X + X {у^ — х^) COS ху + у sin ху = 0. (2.50)
Точку экстремума функции / можно теперь найти, решая методом
итерации систему уравнений (2.45), (2.50). Этот метод применяется
ниже в гл. 3.
2.3.2. Ограничения в виде неравенств
Во многих задачах теории оптимизации физические ограничения
выражаются не уравнениями, а неравенствами. Предположим,
например, что желательно найти самую быструю траекторию между двумя
точками, если ускорение аппарата не превосходит некоторого предела
надежности. Или желательно найти самую быструю траекторию от
одного объекта к другому при условии, что необходимо обогнуть третий
объект, например планету. Траектория А между пунктами У и 2,
указанная на рис. 2.4, может быть самой быстрой, но при этом она
пересекает планету, что недопустимо. Поэтому следует наложить
ограничение, что минимальное расстояние траектории от центра планеты
больше некоторого выбранного предела.

2.3. Максимумы и минимумы при ограничениях 57
Следовательно, пусть функция
/ v-^i, Х2у ...» Xji) (2.51)
максимизируется при наличии дополнительных условий
at < g-г* (хи Х2У Хзу . . ., Хп) < 6^, (2.52)
где uiy bi — некоторые пределы, вытекающие из физических
соображений. Так как(2.52) можно записать в следующем эквивалентном виде:
gt — O'i
bi-gi
то достаточно рассмотреть ограничения вида
О, ai<bu (2.53)
gi (Xi, ^2, Хзу . . •> Х^) > О,
где
Si—^i
Si^bTZI^' ai<bi. (2.54)
Пример. Если исследуемая функция
r^ = х^ + у^ + z^
ограничена условием r\<ir'^ <i r\, то это условие можно представить
в виде
#•2 г?
*
где г| > rf. Заметим, что два неравенства г^ > rf, г^ <; г| приведены
здесь к одному. Так как операции с неравенствами трудны, то при
Планета
Рис. 2.4. Непригодная траектория.
решении данной задачи прибегают к приему, заключающемуся в замене
ограничений в виде неравенств ограничениями в виде уравнений. Это
может быть достигнуто за счет введения дополнительных неизвестных.
Например, если
Xi > О, (2.55)
то это условие можно записать в следующем эквивалентном виде:
Xi = е^> О, (2.56)

58 Глава 2. Методы оптимизации
где 8 рассматривается как новое неизвестное. Точно так же, если при
заданном а
Xi > а, (2.57)
то
х^-а=--д^ (2.58)
справедливо для всех значений неизвестного б.
Вообще, если даны некоторые ограничения в виде неравенств, то их
можно записать в виде уравнений
gi {хи Х2у Хзу . . ., Хп) — di = б|, КПу > (2.59)
где ui — заданные числа, а б^ — новые переменные. Можно вообще
записать
gl (Xiy Х2у Хзу . . •> Xji) — Cli ^ -^n+l»
§2 \Xly ^2> Хзу • • •> Xyi) CI2 = Хп-\-2У
gm \Xl> ^2> Хзу . . •> Xji) Clm — Хп-\-т (-^.bU)
И ограничивающие неравенства gi заменить ограничивающими
уравнениями
+ 2> -^п+З» • • •> -^71 + 0 = 0> (2.61)
где
gi = gi'—ui — Xn+ь i = 1, 2, . . ., m. (2.62)
П p и м e p. Выведем основные уравнения для минимизации
интервала времени при движении по траектории от одного заданного
радиуса-вектора к другому с ограниченным запасом горючего или
с ограничением по скорости. f^^
Предположим, что выражение для указанного интервала времени
получено согласно [1, гл. 3]. Минимизируемой функцией является
в данном случае этот интервал времени. Если указанные ограничения
сводятся к ограничению приращения скорости в|начальный момент
пределом AVq, так что
А1/2<А1/§, (2.63)
то, согласно сказанному выше, это условие заменяется следующим:
^ ^V^ — ^Vl=г^ ' (2.64)
где 8 — новая неизвестная переменная.
Теперь можно построить по правилу Лагранжа функцию
М = х + 1 (АУ^ — AF^- 82). (2.65)

2.4. Точка сближения орбит 59
Уравнения, определяющие искомую оптимальную траекторию, примут
вид
^--2Я8 = 0, (2.67)
где х, —параметры задачи. Согласно последнему уравнению, либо
^ == О (что не подходит, так как тогда исключается фактически
принятое ограничение), либо 8 = 0, что соответствует равенству
А1/2 = AVI (2.68)
Следовательно, для одноимпульсной траектории, соответствующей
минимуму интервала времени, весь имеющийся в распоряжении
импульс должен быть приложен в начале маневра *).
Отметим существенность этого ограничения. Действительно, если
решать данную задачу без ограничения (2.63), то интуитивно очевидно,
что самая быстрая траектория была бы прямолинейной и
соответствующей бесконечно большому импульсу в начальный момент. Кроме
того, при наличии (2.68) уравнение (2.66) фактически не может быть
использовано, так как два позиционных радиуса-вектора и (2.68)
о о
полностью исчерпывают имеющиеся в этой задаче семь степенен
свободы (об этой задаче см. разд. 3.5.3.— Перев.).
2.4. ПРИЛОЖЕНИЕ: ТОЧКА НАИБОЛЬШЕГО
СБЛИЖЕНИЯ ДВУХ ОРБИТ
2.4.1. Постановка задачи
Задача об определении точки наибольшего сближения двух
небесных тел, движущихся по своим орбитам, находит свое применение
в двух важных случаях. В планетной теории эта задача представляет
интерес с точки зрения визуальных наблюдений поверхности планет.
Кроме того, в случае планетоцентрических орбит эта задача имеет
значение не только для визуальных наблюдений, но также при анализе
вопроса о встречах в космическом пространстве. В этом разделе
выводятся формулы, определяющие точку наибольшего сближения между
Землей и астероидом, движущимся по орбите с известными
элементами. Эти формулы применимы, конечно, в случае любых двух тел,
элементы орбит которых известны.
*) То есть требуется вложить в единственный импульс весь имеющийся
^апас энергии.— Прим. перев.

60 Глава 2. Методы оптимизации
2.4.2. Процесс минимизации
Если используется система орбитальных координат [1, гл. 4]»
то прямоугольные координаты Земли выражаются формулами
^соф = % (cos £ф — бф), у,оф = аф11— e%f^ sin Е^, (2.69)
где а — большая полуось, е — эксцентриситет, Е —
эксцентрическая аномалия. Так же выражаются координаты любого тела или
астероида, если использовать в качестве нижнего индекса b вместо @,
т. е.
Хоуь = cib (cos Eb — въ), 1/(оь == <^ь (1 — elf^^' sIh Еь. (2.70)
4
Переход от орбитальных координат к стандартным эклиптическим
координатам [1] осуществляется по хорошо известным векторным
формулам
Гф = ЛГсофРф + ^/софОф» Г5 == XtobPb + f/cobQb, (2.71)
где единичный вектор Р направлен в перигелий орбиты, а вектор Q
направлен к Р под углом 90° в сторону движения и лежит в плоскости
орбиты. Выражения компонент этих векторов через обычные элементы
орбиты можно найти в [1] и ниже в разд. 6.3.2.
Задача заключается в нахождении минимума модуля разности
между Гф и Гь. Непосредственно минимизируется эквивалентная
величина
(А/')2 = (ге-Гь).(Гф-Гь). (2.72)
Расписывая скалярное произведение, получим
9 9 9 9
f = Ar'^ = Хсоф + f/соф + ^соЬ + У(дЬ + ССХсофХсоЬ + Р^соф^/соЬ +
+ Y^fobf/co® + ^УоуьУсдфу (2.73)
где
а=-2Ре.Рь, Р= -2Рф.аь,
Y---2Q®-Pb, ^=-2Qe.Qb.
Выражение (2.73) представляет как раз ту функцию, минимум которой
иш,ется.
Так как считается, что Земля и другое тело движутся вокруг
Солнца по невозмуш,енной кеплеровой орбите, то для любого момента /
всемирного времени должно удовлетворяться уравнение Кеплера:
{Еф —е^ sin E^) + T^--^-:t = —-{Еь — еь sin Еь) + Ть, ^ (2.74)
^^ ^ ^ sju M,i > ^ д^
где п — среднее движение, а Г — ближайший в прошлом (по
сравнению с О момент прохождения через перигелий. Ограничиваюш,ее
уравнение g = О в этой задаче может быть записано в виде:
g = -—{E^ — e^ sin Еф) —-—{Eb — вь smEb) + T^ — Tb = 0. (2ЛЪ)
rt0 ub

2.5, Задача о многоступенчатой ракете 61
Новая функция М записывается по правилу Лагранжа в виде:
M = f + ^g' (2.76)
Составляем далее по этому правилу уравнения:
^=^ + я^ = 0, (2.77)
^^ ^/+Я# = 0; (2.78)
дЕь дЕъ дЕъ
исключая Я, получим
df dg df dg
дЕъ дЕф дЕ^ дЕъ
0. (2.79)
Частные производные от функций f и g получены путем
дифференцирования (2.73) и (2.75) в виде:
2а|^Ф sin Еф cos Еф + а^ I2a^e^ — ах^ъ — Р^/соь] sin Еф +
а£ф
df
дЕь
dg 1
dg
2ч1/2
+ ае (1 — ^ф)'' (ухсоь + ^У(^ь) COS £ф,
2 2
2аьеь sin ^ь cos Еъ + аь [26ь^ь — ахсоф — у^/соф] sin £& +
2 ч 1/2
-\-аъ{\—еь) [Рхсоф+ ^^/соф] cos Еъ,
(1-^0COS£0),
^=-^(l-.bCOs£b).
(2.80)
Уравнения (2.79) и (2.75) образуют систему двух алгебраических
уравнений с двумя неизвестными Е^, Еъ. Решение этой системы методом
итерации [7] дает нам два значения Е^ и два значения Еъ,
соответствующие минимальному и максимальному расстояниям между
Землей и астероидом.
2.5 ПРИЛОЖЕНИЕ: ЗАДАЧА О МНОГОСТУПЕНЧАТОЙ РАКЕТЕ
2.5.1. Постановка задачи
Вычисления тяги ракеты, зависящей от физических свойств
применяемого горючего, показывают, что в случае одноступенчатых
ракет нельзя достичь уровня энергии, требуемого для вывода
спутников на орбиту. Однако положение меняется, если применяются
многоступенчатые ракеты. Так как конечная скорость каждой
ступени ракеты в момент перед сбрасыванием становится начальной
скоростью следующей ступени, то можно достичь космических скоростей
с помощью двигателей, развивающих сравнительно небольшую тягу.

62
Глава 2. Методы оптимизации
В ЭТОМ разделе анализируется задача об определении оптимальных
отношений масс R или отношений массы каждой ступени ракеты
на старте Wb к ее массе Wa после израсходования горючего, позволяю-
ш,их достичь желаемой конечной скорости. Другими словами, это
задача о выборе наиболее рациональных весов всех ступеней, при
которых достигается заданная конечная скорость ракеты.
2.5.2. Уравнение движения ракеты
Для анализа поставленной задачи надо иметь соотношение, опре-
деляюи;ее прираш,ение скорости А У каждой ступени при заданном
отношении масс, т. е. для заданного количества
Это соотношение известно
Оно
V
I
и
р асходуемого горючего.
в литературе как уравнение движения ракеты
может быть выведено следуюш,им образом.
Рассмотрим силы, действуюш,ие на
вертикально поднимаюш.уюся ракету (рис. 2.5). Суммирование
этих сил приводит к уравнению
dt
Т
т
gy
(2.81)
где Т — тяга, т — масса ступени в момент t, g —
ускорение силы тяжести и V — скорость ступени.
Предполагая g постоянным и вводя уравнение тяги
Т
gl
dm
'Pit
(2.82)
Рис. 2.5.
Вертикально поднимающаяся
и действующие силы.
ракета
где Isp — удельный импульс,
ходования запаса горючего и
получим
dV=-
dmidt
g
— отрицательная
точное отношение
т dm i.
S^sp— — gdt.
т
Интегрируя, придем к искомому соотношению
^V = gisp In
ть
т
gAt = gIsp\nR — gM.
а
скорость рас-
веса к массе.
(2.83)
Из этого соотношения следует, что прираш^ение скорости А У, при-
обретаемое ракетой при вертикальном подъеме в течение t сек, равно
константе, умноженной на логарифм отношения масс /?, минус
гравитационное торможение.

2.5. Задача о многоегт^пенчатой ракете 63
2.5.3. Оптимизация многоступенчатой ракеты
Для многоступенчатой ракеты отношение масс i?*, т. е. отношение
стартового, или начального, веса Wbi к конечному, или полезному,
весу Wap может быть записано как функция таких отношений для
отдельных ступеней в виде
Г)*_^Ь1_ (__lbi__\ / У^Ь2 \ Wbn /о пдч
^ ~Wap Wbi-Wpi-Wsi) \Wb2-Wp2-Ws2) "'Wap' ^ ' ^
где Wbi — начальный вес перед началом работы /-й ступени, Wpt —
вес горючего, расходуемого /-й ступенью, Wst — собственный вес
/-ступени. Обш.ий член в (2.84), как показывают алгебраические
выкладки, удовлетворяет следуюш,ему тождеству:
Wbi RiO-Oi)
Wbi-Wpi-Wsi l-RiOi '
где
i=l, 2, ..., n, (2.85)
n „ Wm _ Wbi ^ W^si
Wbi-W pi Wai ' ' Wpi + Wsi '
Величину a называют структурным коэффициентом ступени; это
полезный в данной задаче параметр. Используя параметры Rt и сг^-,
можно преобразовать (2.84) к виду
l—RiOi \—R202 *** l — RnOn
(2.86)
и, логарифмируя обе части, получим
In/?*-/^ 1п-^^^^"^^*^
l~RiO
1^1
%— 1
или
\nR*= S [\nRi + \n{l-at)~ln{l-Riai)l (2.87)
г = 1
Оптимальная конструкция многоступенчатой ракеты при заданном
максимальном прираш^ении скорости Vm= Vn — Vi (где Vn —
конечная скорость последней ступени, а Vi — начальная скорость первой
ступени) соответствует минимуму R* или, что эквивалентно,
минимуму Ini?*. Из разд. 2.5.2. вытекает, что конечная скорость Vmy равная
сумме прираш.ений скорости всех ступеней, выражается формулой
i=n
Vrn= Sg/spilni^b (2.88)
i=l
где для простоты пренебрегается гравитационным торможением.
Таким образом ставится задача о минимизации функции (2.87) при
наличии ограничения (2.88), в котором Vm — заданное значение. Для

64 Глава 2. Методы оптимизации
ее решения прибегаем к правилу Лагранжа. Функция М
записывается в виде:
i=Ti
M = \nR* + }, {Vm - S ghpi In Ri),
1=1
где ?i — неизвестный множитель. Приравнивая производные от М
нулю, получаем
^ = ^ + ^ X^J^ = 0. (2.89)
dRi Ri ' l—RiOi Ri "" '
Разрешая (2.89) относительно Ri, придем к выражениям
Hi —
^ghpi^yt '
(2.90)
подстановка которых в (2.88) дает
^™=2V-^ln^gi^. (2.91)
Это отношение представляет собой при заданных У^, Isptf сг^
уравнение для определения множителя h После решения этого уравнения
(методом итерации) искомые отношения масс находятся
непосредственно из (2.90).
2.6. РЕЗЮМЕ
Эта глава посвяш^ена математическим понятиям и методам,
необходимым для определения экстремумов функций, встречаюш^ихся
в современных астродинамических задачах. Рассмотрен простой
случай определения максимумов и минимумов функций одной
переменной. Теория была распространена на случай функций большего
числа переменных. Рассмотрена проблема оптимизации функций при
наличии ограничений в виде уравнений и изложен удобный метод
решения этой проблемы (метод множителей Лагранжа).
Приведены некоторые задачи, иллюстрируюш,ие теорию, а именно
задача об определении точки наибольшего сближения двух небесных
тел и задача об оптимальной конструкции многоступенчатой ракеты.
Математические методы, изложенные в этой главе, дают читателю
основу, необходимую для понимания гл. 3 и 4.
УПРАЖНЕНИЯ
1. В какой момент 9 скорость V космического корабля, движуш^е
гося по орбите с эксцентриситетом ^, будет наибольшей, если
У = ^ cos 9 + (1 — ^2)2 sin 9?

Упражнения 65
2. Космический корабль движется в экваториальной плоскости
о _"
ПО прямой линии, определяемой уравнениями
X = at + ае, у = 2at + е,
где а и е — константы. В какой момент / корабль окажется ближе
всего к Земле, если последняя принимается за шар радиуса а^, так что
уравнение экватора имеет вид:
х^ + у^ = al?
3. Гелиоцентрический зонд «Дзета-Zl» был переведен в плоскость
орбиты кометы Биелы, чтобы получить фотографии кометы с
минимального расстояния. В системе координат в плоскости орбиты кометы
уравнение орбиты зонда имеет вид:
2
а-
а2 (1—^2)
а приближенное уравнение орбиты кометы имеет вид:
у1 = —Aqx^ + AqK
Найти точку наибольшего сближения зонда «Дзета-Zl» с кометой
Биелы в предположении, что орбиты не пересекаются друг с другом
и что движение по обеим орбитам происходит с одной и той же фазой
(т. е. комета и зонд проходят через перигелий своей орбиты
одновременно.— Перев.).
4. Каково расстояние между спутниками Земли «Бета-Х1»
и «Бета-Х2» в момент их наибольшего сближения, если их
позиционные векторы выражаются формулами
Fi = ^0)1 Pi + f/coiQi>
•^«2 *^2 "Ь ^/0)2^2?
Учесть, что
X
ix>i
ai{cosEi — ei), y^i = ai{l—et)^^^sinEt, i=l, 2
и что Pi — единичный вектор, направленный из динамического центра
на перигей соответствуюш^ей орбиты, а Q^- — единичный вектор,
повернутый по отношению к Р^ на угол 90° в направлении и в плоскости
движения. Предположить, что орбиты почти круговые, т. е. что в
разложениях по степеням эксцентриситетов сохраняются лишь линейные
члены.
5. Решить задачу о метеоритном дожде, рассмотренную в разд. 2.2.2,
с помош,ью метода множителей Лагранжа.
6. В каком случае невозможно непосредственно применить
правило Лагранжа для нахождения максимума и минимума заданной
функции / при наличии ограничений gj, /=1, 2, ..., п?

66 Глава 2. Методы оптимизации
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л. Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970).
2. R. С о U г а п t. Differential and Integral Calculus, vol. 1 and 2, Interscience,
New York, 1955.
3. H. H a n с о с k. Theory of Maxima and Minima, Dover Publication, New York,
1960.
4. G. L e i t m a n n. Optimization Techniques, Academic Press, New York,
1962, Chap. 1.
5. J. V. и s p e n s к y. Theory of Equations, McGraw-Hill, New York, 1948.
6. E. T. В e 1 1, Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937.
7. F. B. H i 1 d e b r a n d. Introduction to Numerical Analysis, McGraw-Hill,
New York, 1965, Chap. 10.
8. W. T. Thomson, Introduction to Space Dynamics, John Wiley and Sons,
New York, 1961.

Глава 3
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКИЕ
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ
Ньютон читал иногда лекции небольшому
числу студентов, приходивших его слушать;
говорят, что очень часто, придя на лекцию,
он заставал аудиторию пустой. В таких
случаях он ожидал там пятнадцать минут и после
этого, если никто не приходил, возвращался
к себе.
Джеймс Партон [15]
3.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ
ОРБИТАЛЬНЫХ МАНЕВРАХ
Цель этой главы — изложить аналитические методы, которые
позволяют определять приближенно орбиты, удовлетворяющие
некоторым оптимальным критериям. Здесь рассматриваются два основных
типа траекторий. Это планетоцентрические траектории перехода
с одной орбиты на другую, требующие или минимума горючего, или
минимума времени.
В гл. 4 и 5 рассматриваются вопросы о межпланетных перелетах
и о полетах к Луне.
В этой главе траектории, требующие минимального расхода горю-
чего, считаются эквивалентными траекториям с минимальным
приращением скорости. Другими словами, если заданный переход с орбиты
на орбиту осуществляется при минимальном приращении скорости,
то принимается, что эта траектория соответствует переходу,
требующему минимального расхода горючего.
Вводится также понятие об импульсном изменении состояния,
которое значительно упрощает траекторные вычисления. Оно
характеризуется мгновенным приложением тяги с целью изменения
состояния движения. Фактически ввиду инерции любой физической системы
состояние ее движения невозможно изменить мгновенно.
Следовательно, при каком-либо маневре космический аппарат подвергается
действию тяги в течение некоторого конечного интервала времени.
Вместе с тем в случае кратковременного действия сильной тяги
предположение об ее импульсном характере приводит к очень хорошей
аппроксимации.
Эти два положения (эквивалентность условий минимума
приращения скорости и минимума затрат горючего, а также импульсное
изменение состояния движения) позволяют решить некоторые очень
трудные задачи по определению оптимальных орбит.

68
Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
В большинстве случаев орбиты, определенные таким путем,
довольно хорошо аппроксимируют реальные траектории перехода. Когда
требуется большая точность или когда два указанных положения
неприменимы, необходимо или учесть возмущения кеплерова
движения, или применить численные методы интегрирования. Но и в этом
случае излагаемая здесь теория дает нам совокупность
предварительных оценок или начальных условий, на основании которых
производятся точные численные расчеты, т. е. дает подходящие опорные
орбиты или исходные значения, используемые при последующем
вычислении специальных возмущений. Численные методы расчета
возмущений рассматриваются в гл. 7.
3.2. КОМПЛАНАРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ
КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ
3.2.1. Траектории Романа
Читателю будет, вероятно, полезно познакомиться с некоторыми
простыми траекториями перехода. Самая простая из них называется
траекторией Романа [2]. Детальные исследования траекторий такого
типа принадлежат Хелкеру и Зилберу [3], Роту [4] и Лоудену [5].
Основные особенности траектории Романа следующие.
Переход осуществляется с исходной круговой орбиты / на
финальную круговую орбиту Fy лежащую в той же плоскости, что и /
Круговые орбиты
Апогеи эллиптической
орбиты перехода
У
Рис. 3.1. Романовская траектория перехода.
(рис. 3.1). В точке А к космическому аппарату на орбите /
прилагается импульс, направленный по касательной к орбите и по ходу
движения аппарата. Приобретаемая дополнительная скорость
увеличивает энергию движения, и оно происходит далее по эллипсу Т.
Аппарат движется так до точки В, совпадающей с апогеем
промежуточного эллипса Т, где прилагается второй импульс. Энергия движе-

3.2. Переходы между круговыми орбитами 69
ния ОПЯТЬ увеличивается, и аппарат движется далее по круговой
орбите F. Процесс перехода от В к А осуществляется как зеркальное
отражение описанного перехода, причем направления действия
импульса противоположны направлению движения.
Величину приращения скорости, необходимого для перехода
на эллипс Т в точке А орбиты /, легко вычислить с помощью интеграла
живых сил [1, гл. 3]. Используя его, мы получим, что скорость в
точке А круговой орбиты / равна
где ai — большая полуось (радиус) орбиты /, а |я — сумма масс
космического аппарата и центральной планеты. Далее, если большую
полуось (радиус) орбиты F обозначить через ару то большая полуось
эллиптической орбиты перехода Т равна
^t = y(^j + <2f).
Скорость в точке А орбиты Т может быть теперь определена по
формуле
\ а/ сц + ар I \ aj aj-{-ap
(3.2)
Следовательно, для перехода с орбиты / на орбиту Т необходимо
сообщить аппарату в точке А импульс
^ aj aj + ap ) \ aj
(3.3)
Если Б дальнейшем космический аппарат не испытывает действия
сил, то он будет двигаться по эллипсу Г, касающемуся орбиты F,
но будет всегда возвращаться к точке А. При вторичном применении
интеграла живых сил получим, что приращение скорости в точке В,
требуемое для перехода на орбиту /^, равно
ДУ^= (Ji)^/^_ ( 2М: nz_y/2 (3.4)
\ар f \ар ai + ap I '
так ЧТО общее приращение скорости АУя при гомановском переходе
равно
AVh=^Va+ ^Vb. (3.5)
Удобную безразмерную формулу для этого приращения скорости
можно получить, если разделить (3.5) на скорость вдоль исходной
круговой орбиты /. Тогда
(3.6)
У J У J ~^ Ут
или
^Ун (л \ \ I 2R \1/2 , / 1 \1/2
Vi \ R
Н(тт«)""+(тГ-'- <^-')

70
Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
где R = uplui. График, соответствующий этой формуле, приведен
на рис. 3.2. В некоторой точке R достигается максимум величины
AVi
н
Vy
Рис. 3.2. График приращения скорости, требуемого при романовском переходе.
IWhIVi^ Для нахождения этого максимума составим производную
dR
1
2R \V2 . R—\
R^W + R
+
2R
1/2
1
R{\-\-Rf \\+R
2^3/2
. (3.8)
Приравнивая эту производную нулю, получим после некоторых
преобразований кубическое уравнение
R
\ЪЯ
9R
1
О,
(3.9)
имеющее действительный корень
R
R
М
15,58176
Так как для всех значений R > Rm приращение скорости у0ы
вает, то идея о переходе по траектории Романа сначала на очень высо
00
Рис. 3.3. Траектория удаления к далекой точке и последующего возвращения.
кую орбиту с ^г > ару а затем уже на орбиту F представляется
реальной. Действительно, рассмотрим процесс перехода на орбиту с
бесконечно большим или, точнее говоря, с очень большим значением ат

3.2. Переходы между круговыми орбитами
71
(рис. 3.3). Согласно (3.7), получим
lim
R-VCO
Vi
lim (1 —р-) lim (
2R \1/2
й->00
1+^
+ lim (
1 \1/2
й->оо
i?
-1=К2-1.
(3.10)
Таким образом, приращение скорости, соответствующее уходу в
бесконечность, равно
AV
оое
(/2-1) Ух,
(3.11)
а приращение
эквивалентно,
скорости для возвращения из бесконечности или, что
для ухода в бесконечность с орбиты F равно
^v
оог
(К2-1)У^г.
(3.12)
Формулу для полного приращения скорости получим путем сложения
(3.11) и (3.12) в виде:
AV
оо
^v
оое
V
V
+
^v
cor
V
с^^-» D+(!)■"] •
(3.13)
Исследуем график этой величины, приведенный на рис. 3.4. Мы видим,
Траектория удаления
и возвращения
Гомановский переход
V24
Rj Rj^
R
00
Рис. 3.4. Сопоставление траектории с удалением и возвращением с траекто
рией романовского перехода.
что кривые для AVh и для AVoo пересекаются. Чтобы найти точку их
пересечения, приравниваем (3.7) и (3.13):
1
R
2R \V2
\ + R
1 = (1/"2-1)Г1
1_у/2
Rl
(3.14)
После преобразования приходим к уравнению
имеющему действительный корень
/? = ;?, = 11,93876.
(3.15)

72
Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
3.2.2. Границы для гомановских траекторий
В предыдущем разделе были получены два критических отношения
радиусов финальной и начальной орбит:
i?M= 15,58176, /?j = 11,93876.
Следующее ниже заключение можно, очевидно, рассматривать как
правило выбора романовского перехода того или иного типа.
При О <;-R <^ 11,93876 обычный гомановский переход является
наилучшим; при 11,93876 <; i? <; 15,58176 реален гомановский
переход к очень далекой точке, а затем возвращение на желаемую орбиту;
случай R > 15,58176 следует еще рассмотреть детально. Переход
такого типа называется биэллиптическим; он предпочтителен в случае
R> 15,58176 и в известной степени более выгоден при 11,93876
^ i? ^ 15,58176. Точные правила перехода указаны в табл. 3.1.
»
Таблица 3.1
Сопоставление гомановского и биэллиптического
переходов для случая Гт^ fp^ fi
Границы для отношения R
начального и конечного
радиусов
1<Л<9
Ri<R<Rm
Rm<R
Тип перехода, вытекающий из наименьшей
величины приращения скорости
Романовский
Гомановский
Требуется исследовать
Биэллиптический
3.2.3. Биэллиптические переходы
Рассмотрим переход, осуществляемый следующим способом. К
космическому аппарату, движущемуся по круговой орбите, прилагается
импульс, соответствующий переходу на эллиптическую орбиту.
Апоцентр этой орбиты удален от динамического центра на расстояние,
превышающее радиус финальной круговой орбиты. В апоцентре
прилагается второй импульс,.переводящий аппарат на новую
эллиптическую орбиту, касающуюся в своем перицентре желаемой финальной
орбиты. Этот переход изображен схематически на рис. 3.5.
Биэллиптический переход осуществляется, таким образом, с помощью трех
импульсов. Применяя интеграл живых сил, получим следующие
безразмерные формулы для импульсов:
где Г/
Vi
AVt
Vt
AVf
Vi
2гт
1/2
PS
ri + гт
1
F
Vf_
Vi
2
V2
ш
2гт ^ V2
^ 1Гт(Г1 + Гт)]
F
Гт
2ат
(3.16)
(3.17)
(3.18)
ар.

3.2. Переходы между круговыми орбитами 73
В случае Гт > Гр> rj можно записать выражение для полного
приращения скорости:
^VR ^Vl , ^Vт , aVf
Vi Vi ' Vi ^^ Vi ^^'^^^
или
М^_ / 2rT//-j \V2 . ■ / 2 \V2 f r 1 11/2
Vi V 1 + /-T/rj / "^ V /-т/а / I L 1 + {Гт1г1)1{гр1г1)
^+Гт/^1
Если положить
i? = i>, /?* = ^, (3.21)
TO выражение для полного биэллиптического приращения скорости
можно записать в более компактной форме:
V/ W+R*/ ' \R* I l\\+R*/RI \l + R*l J
+ (i)'l(^) "■-']■ <'-^^)
Правая часть этой формулы содержит два параметра /? и /?* и при
фиксированном R представляет собой функцию от /?*, которая может
Финальная орбита
Первый эллиптический
участок траектории
Второй эллиптический
участок траектории перехода
Рис. 3.5. Биэллиптический маневр.
обладать максимумом и минимумом. Чтобы получить экстремальные
значения параметров, составим производную (3.22) по /?* и
приравняем ее нулю. После довольно громоздких выкладок решение
уравнения
dR*

74 Глава 3, Оптимальные орбитальные маневры
Приводит К следующей формуле для R*:
3(1 + 1/^)±2(3 —2/i?)^/2 •
(3.23)
Далее, так как числитель отрицательный, а /?*>0, то знаменатель
должен быть тоже отрицательным. Из рис. 3.5 следует, что
^Т -^ ^F
Гт>Гр>Г1, т. е. --^>-;f >1
или
R*>R>1, (3.24)
откуда
З+1/i?
3(l + l/i?)-2(3—2/i?)^/2
R, (3.25)
Это неравенство преобразуется к следующему:
3R^ — 44R^ — 42R^ _ 12/? — К О (3.26)
или
{3R + 1){R^ — 15i?2 — ад — 1)< 0. (3.27)
Следовательно, предельное значение R может быть получено, если
положить
{3R + \){R^ — \5R^ — 9R — l) = 0 (3.28)
и отбросить не имеющий физического смысла корень R = —^U-
Бросается в глаза, что в силу какого-то мистического обстоятельства
уравнение
R^ — \5R^ — 9R — \=0 (3.29)
совпадает с тем, которое было получено в случае гомановского
перехода! Следовательно, в соответствии с (3.9),
I^ = j^^ = 15,58176. (3.30)
На рис. 3.6 даны графики величины AVb IVi как функции\R* при
различных Rj а также величины AVh/V'/ для гомановского перехода.
Отметим следующие факты. При R = R* кривая,
соответствующая биэллиптическому переходу, по определению совпадает с кривой
для гомановского перехода. Значению R = Rm = 15,58176
соответствует верхняя предельная кривая, выходящая из вершины гома-
новской кривой. Как было указано выше, R* равно отношению радиуса
начальной орбиты к радиусу промежуточной далекой орбиты.
Рассмотрим кривую, соответствующую R = 30. Начальная точка этой
кривой Н определяет приращение скорости, необходимое для
перехода на заданную орбиту непосредственно по гомановской
траектории. Точки справа от Н определяют полное приращение скорости,
необходимое для осуществления перехода на ту же самую орбиту,

3.2. Переходы между круговыми орбитами
75
НО путем перехода сначала на далекую промежуточную орбиту, а затем
возвращения на заданную. Как видно из рис. 3.6, значение ДУв /V/
AVs/Vr
/
/
/
/
/
/
/
R = Ем = 15,58176
/? = /?*
^Af
00
R
Рис. 3.6. Приращения скорости при романовском и биэллиптическом
переходах.
При больших R* уменьшается по сравнению со значением, требую-
ш,имся для романовского перехода (при заданном R ^ Rm-— Перев.)
3.2.4. Границы применения гомановских или биэллиптических
переходов
Границы применения гомановских или биэллиптических
траекторий перехода можно найти, заметив, что правая часть соотношения
(3.23) между R и R* становится неограниченно большой при
з('+^)-Чз-хГ=о.
(3.31)
г. е. при
3R
26R — 9 = О,
(3.32)
Последнее уравнение имеет действительный корень
R
9.
(3.33)
Отсюда вытекает, что биэллиптический маневр не следует
применять прежде всего в интервале
1
R
9.
(3.34)
Вспомним, что в разд. 3.2.2 упоминалось существование двух других
R, а именно Rm и Ri. Поэтому можно выписать
критических значении
неравенства
9<;?<;?/
(3.35)
и
R
R -^ Rm-
(3.36)

76 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
Наконец, последний интересующий нас интервал определяется
неравенством
R > Ям- (3.37)
Результаты анализа, проведенного в предыдущих разделах,
суммированы в табл. 3.1.
Чтобы решить, какой из переходов (гомановский или биэллипти-
ческий) более выгоден в интервале R <;/?<; Ru^ следует
приравнять выражения для приращения скорости в обоих случаях, т. е.
выражения (3.7) и (3.22). Мы получим
R I \ 1+RI ' \R I \1+R
1У/^ ( ! V/^+ l^V^' I ^ V^'
R* I \l+R*/R I ' \R* I \\+R
MVa/ 2;^* NV3^Q_ ^3_3g^
RI \R+R
*
Решая это уравнение относительно R*, получим далее, что
Rt=-^\^'^' ^ (3.39)
где
.__ 1 (М-ЗЛ/)2+1 1 1
^ — "Б" /Л/Г I л/\9 i г
R (М + Л^)2-1 ' i?2 l_(^4+yV)2'
В = А^
4
R[(M + N)^~1]
м
N
Р
р2.
1
2Р
R-
-1/R
2Р
Ч
-» /
9
R
V2 . /2
i? M+i? / ' \ R
Поскольку с ростом R правая часть (3.39) монотонно убывает, то
можно утверждать, что для всех значений R"^ > R* биэллиптический
переход более выгоден, чем гомановский. Интересующийся читатель
может найти более подробный анализ этого вопроса в [3], где
показано, что биэллиптический переход предпочтителен только в случае
Гт>Гр>Г1\ (3.40)
в случае переходов, для которых
Гр>Гт>Г1 (3.41)
и
Гр>Г1 > гт, (3.42)
более выгоден переход по гомановской траектории.

3.3. Переходы между эллиптическими орбитами
77
3.3. КОМПЛАНАРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
3.3.1. Котангенциальный переход
В этом разделе рассматривается переход космического аппарата
с внутренней на внешнюю эллиптическую орбиту в той же самой
плоскости при условии, что траектория перехода касается обеих орбит.
Этот тип перехода называется котангенциальным. Он был исследован
Лоуденом с геометрической точки зрения [6]. Интуитивно можно
прийти к выводу, что котангенциальный переход, т. е. такой, при
Финальная
орбита
Начальная орбита
Рис. 3.7. Котангенциальный переход.
котором в начальном и конечном пунктах направление вектора
скорости не изменяется, является оптимальным или, во всяком случае,
довольно близким к оптимальному с точки зрения затрат горючего.
Действительно, численный анализ показал, что этот частный вид
перехода всегда близок к оптимальному. Однако точный метод
определения оптимальной орбиты может несколько отличаться от
рассмотренного здесь. Процесс перехода иллюстрируется на рис. 3.7.
В следующем ниже анализе исключается случай пересечения
начальной и финальной орбит.
3.3.2. Необходимые условия касания
Оставив пока в стороне вопрос о касании в начальной точке,
соответствующей радиусу-вектору ri, можем прежде всего заключить,
что в силу непрерывности имеем
ri
^Т1>
где Гт\ — величина радиуса-вектора для точки 1 на орбите перехода.
В более развернутой форме
Pi
Рт
14-^icos(y + 9i)
1+^r cos (у + фг) '
(3.43)

78 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
где р — параметр орбиты, е — эксцентрисистет, ф — угол между
произвольным направлением отсчета и направлением на перицентр.
Если ф1 = О, то фазовые углы отсчитываются от направления на
перицентр начальной орбиты. Можно записать (3.43) в следующем
эквивалентном виде:
/7i + (?1 cos {V + Ф1) =рт + дт cos {v + фт), (3.44)
где
p = -^,q^^. (3.45)
Это условие, выражающее равенство радиусов, можно записать
в более симметричном виде:
Цт cos (р + фт) — ^1 cos (р + 9i) =- — {рт — /7i). (3.46)
После возведения в квадрат и приведения подобных членов получим
ЧтЛ-ц\ — ^qrQi cos (фг — ф1) —
— lqTsm{v + (pT) — qiSin{v + (p^)]^==^{pT-'piY. (3.47)
Это уравнение можно значительно упростить с помощью условия
касания:
1 dri 1 dr
Ti dv гт dv
Дифференцируя (3.46), придем к равенству
(3.48)
дт sin {v + фт) — q^ sin {v + Ф1) = О, (3.49)
и, следовательно, (3.47) приводится к виду:
Qt + ql — 2qTqi cos (фт — фО = {рт — Pif^ ' (3.50)
Аналогичным образом получим, что в точке назначения,
соответствующей радиусу-вектору Гг
7г + ^1 —2^T^2COS(фт —ф2)-=(/?Т —/72)^. (3.51)
Уравнения (3.50) и (3.51) представляют собой систему двух уравнений
с тремя неизвестными рт» Ят и фт- Параметры р^, qi, ф^ (/= 1, 2)
вычисляются по элементам начальной и конечной орбит. Эти
уравнения могут быть записаны также в следующем виде:
— 2^т?lC0s(фт —ф1)-(рт —Pi)^ —(^T + ^i)» (3.52)
2^т^2 cos (фт - ф2) = (рт - РгУ - {дт + ql)^ (3.53)
Разрешая (3.52) относительно фт, получим
фт === Ф1 + arccos ^7.=^ . (3.54)

3.3. Переходы между эллиптическими орбитами 79
Подстановка этого выражения в (3.53) приводит к соотношению
. {44^f-[(4 + ^f)-{PT-?l)2]2}'/'
_ (4+^2) —(РТ—Р2)^ G't+ID — Gt — ^j)'^ С08(ф2 —ф1) (Ч^^\
~ 2^тУ2 5Ш(ф2 —9i) 2^т^1 sin(92 —ф1)
Возводя обе его части в квадрат, придем к следующему условию каса-
ния:
F==
№ + Ч1) - (РТ -Р2)2 (4 + ЯЬ- (РТ -Pi)
^2 sin(92 —9i) qi tg (Ф2 —9i)
44^?- [(4 + ^!) + {PT-Pl)2]2 ^ ,^ _,
==0. (3.56)
я1
Заметим, что F = F {рт, дт)у так что это условие связывает параметры
эллипса перехода 7.
3.3.3. Котангенциальный переход, соответствующий минимальному
приращению скорости
Полное приращение скорости, требуемое для осуществления котан-
генциального перехода, можно определить из интеграла живых сил
[1, гл. 3], записанного с помощью вспомогательных переменных р, q
в виде
V2 = „(A_.p!^). (3.57)
Чтобы можно было использовать (3.57), необходимо выразить
радиус-вектор через вспомогательные переменные. С этой целью
рассмотрим квадрат (3.46):
q\ cos^ (v + фт) + q\ cos^ (p -f Ф1) —
—• 2^r^i cos {v + фт) cos (v + Ф1) = [рт — piY (3.58)
или эквивалентное соотношение (так как cos^a + sin^a^ 1)
qb + q\ — Ят sin2 (^ ^ ф^) _ ^2 gj^^2 (^ _|_ ф^) _
— 29t9i cos {v + фт) cos (y + Ф1).= {pT — piY- (3.59)
С помощью (3.49) приводим это соотношение к следующему:
9г + 91~2^^8Ш2(у + ф1)-
— 2дтд1 cos (у + фт) cos (у + Ф1) = (?т ~?l)^ (3.60)
которое с учетом (3.46) приводится к виду
9Г —9i —2^1 (р'г —Лс08(У + ф1) = (у^~)^1)^ (3.61)

80
Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
в^шЛ
Отсюда
^iC0s(y + 9i)
Рт — Pi
2
2 (Рт — Pi)
И, согласно уравнению конического сечения
1
fi
pi + qiCOs{v + (pi)
Рт + Pi
2
Q^T-ri
2{pT — Pi)
так что (3.57) в начальной точке принимает вид
Vl = ii
рт
Pi^T—Prqi
PiiPi — Рт) .
(3.62)
(3.63)
(3.64)
Аналогичным образом скорость в начальной точке траектории
перехода получим по формуле
V\i = \i
Р\Л-
Р\Я\ — РтЯ1
Рт {Pi — Рт) .
(3.65)
Поскольку условие касания орбит позволяет алгебраически
суммировать скорости, то общий импульс для полного двухимпульсного
перехода равен
^v = \v
Т2
V.
Vxi-Fi
(3.66)
или в виду (3.64), (3.65) и аналогичных формул в конечной точке
AV = |j,V2
~1/2
Р т
pV' + Pt^'
pi-'ртЛ-
Рт
Я\
Pi
1/2
+
Ч-М'
1/2
Р 2
1/2
Р2+Р
Р2 — РТ +
"It ql
Рт
Р2
1/2
(3.67)
Следует заметить, что АУ=АУ(рт> Qt)- Чтобы выбрать котан-
генциальную траекторию перехода, соответствующую минимальному
значению АУ, надо прибегнуть к правилу Лагранжа, рассмотренному
в разд. 2.3, поскольку получающиеся уравнения слишком сложны.
Задача заключается в определении минимума АУ при ограничении
(3.56). По правилу Лагранжа строим функцию
M = AV + J^F
и приравниваем ее частные производные по рт, дт нулю
(3.68)
дМ
дрт
дМ
д^V , л дР
—7= h^ ""==~
дрт дрт
д^У , . дР
—:з h А —3-
о,
^-0.
(3.69)

ЗА, Некомпланарные орбитальные переходы
81
Исключая я, получим соотношение
G{pT, Ят)
д^V дР
д^V дР
dqrp дрт
дрт ддт
о,
которое вместе с
F {рт, Ы = 0
(3.70)
(3.71)
образует систему двух алгебраических уравнений с двумя
неизвестными. Корни этой системы определяют искомую траекторию перехода,
отвечающую условию минимального приращения скорости. Частные
производные от /^ и АУ по рт и ^г можно выразить в явном виде на
основании (3.56) и (3.57).
3.4. НЕКОМПЛАНАРНЫЕ ОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
В предыдущих двух разделах мы ограничились рассмотрением
переходов космического аппарата с одной орбиты на другую, лежащую
в той же плоскости. Рассмотрим теперь общую проблему перехода
между орбитами, наклоненными
относительно друг друга под уг- /^^ ^ Орбита Z
лом 0т. Геометрия такого
процесса иллюстрируется рис. 3. 8.
Космический аппарат,
движущийся по орбите 7,
выходит под действием первого
импульса на эллиптическую
Рис. 3.8. Биэллиптический
переход, сопровождающийся изменением
плоскости движения.
Орбита i
орбиту, плоскость которой наклонена под углом 0i к плоскости
орбиты L В апоцентре этой первой промежуточной орбиты
прилагается второй импульс, изменяющий плоскость движения на
угол 02. Наконец, в апоцентре получающейся второй
эллиптической орбиты прилагается третий импульс, изменяющий плоскость
движения на угол 0з и направляющий космический аппарат на
желаемую финальную орбиту 2, Начальная и финальная орбиты
предполагаются круговыми.
Описанный биэллиптический маневр имеет достаточно общий
характер и при соответствующем выборе углов 0^ и величин радиусов
включает в себя гомановские переходы, если переходы такого типа
желательны. Биэллиптические переходы, сопровождающиеся
изменением плоскости движения, рассмотрены подробно Ротом [12].
6—491

82 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
3.4.1. Требования к скорости при изменении
плоскости движения
При любом движении от перицентра до апоцентра по эллиптической
орбите перехода имеет место равенство [1, гл. 3]
где индексы р и а относятся к перицентру и апоцентру соответственно
Ир — параметр орбиты. Так как скорость изменения истинной
аномалии V в перицентре и в апоцентре выражается соответственно
формулами
Vp = -~, Va = ^, (3.73)
то
rpVp = raVaf (3.74)
где V — скорость.
Следовательно, справедливы соотношения
Va^^Vp, Vj,= ^Va. (3.75)
'а fp
Далее, на основании интеграла живых сил получим соотношение
Vl-^ = Vl--^, (3.76)
fa fp
Рассматривая (3.75) и (3.76) как уравнения относительно Vp, V^
и решив их, получим
Чтобы найти прираш,ение скорости при каждом изменении
плоскости движения, рассмотрим векторную диаграмму на рис. 3.9. На
Рис. 3.9. Треугольник скоростей.
этом рисунке изображена геометрическая связь, например, между
начальной скоростью Vx^ скоростью вдоль траектории перехода Vy
и полным прираш,ением скорости АУ^. Используя предыдуш^ие
обозначения, получим по формуле косинусов выражения для приращения

ЗА. Некомпланарные орбитальные переходы 83
скорости, соответствующие каждому изменению плоскости:
^Vj-^{Vl + Vl-2V^VyCosQj)У^, /= 1,2, 3. (3.79)
Полагаем /=1. Так как начальная орбита круговая и
космический аппарат начинает свой путь в перицентре орбиты перехода, то
W _ / [х у/2 у _ г 2\хга -1V2
Подставляя эти выражения V^ ^ Уу ^ (3.79), получим
^ /-р L ' Га + Гр \ Га-\-Гр ) J
Выражения для приращений скорости АУг и А Уз можно вывести
аналогичным образом с помощью соответствующих подстановок
в (3.79). Наконец, вычитая начальную круговую скорость из АУь
АУз и АУз и затем все суммируя, получим для полного приращения
скорости формулу
^ - (1 + Я^ - 2Я1 cos 90^/2 + Я2 (1 + Я| - 2Яз cos 63)^2 +
+ Я4 (1 + Я^^ - 2Я5 cos 9з)V2, (3.80)
где
и Г/, Гт^, Гр — длины радиусов-векторов в моменты приложения
первого, второго и третьего импульсов. Иногда полезно ввести
параметр дту равный полному изменению плоскости давижения, так что
9г = 91 + 92 + 9з. (3.81)
В силу симметрии можно использовать (3.80) в равной степени как
для внешних, так и для внутренних траекторий перехода, т. е. как
при Г/ > Гру так и при Гр 5> /'г-
3.4.2. Романовские траектории перехода, сопровождающиеся
изменением плоскости движения
Общую формулу (3.80) для приращения скорости можно легко
видоизменить, чтобы она была применима в случае гомановских
переходов, сопровождающихся изменением плоскости движения.
Например, при
гр, 9з = 0 (3.82)
получим внешнюю гомановскую траекторию с произвольным Э^
и 02 = Эг — 9i. При
Гт = п, 9i = О (3.83)

84 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
получим внутреннюю романовскую траекторию с произвольными 9з
и 02 = 9т — ^3-
Интересной и полезной траекторией перехода является так
называемая модифицированная гомановская кривая, определяемая
условиями
гт = />, 9i = 02 = 0. (3.84)
Эти условия соответствуют обычному романовскому переходу
Б плоскости начальной орбиты и последующему изменению плоскости
движения. Если 9з = Э^, то поворот плоскости движения будет
осуществлен вокруг линии пересечения плоскостей обеих орбит.
Наконец, 9i = 02 = Эз = О соответствует частному
компланарному случаю, рассмотренному в разд. 3.2.
Пример. Найдем условия для скорости, соответствующей одному
лишь повороту плоскости орбиты.
Используя общее выражение (3.80), положим, что
И ЧТО два угла 9^ из трех равны нулю. Полагая
92 = 9з = 0,
получим Hj=^ly /= 1, 2, 3, 4, 5. Тогда (3.80) можно переписать
в виде
AV
V
1
/2(l-cos9i)V2,
откуда
AV=2Vjsm^. (3.85)
3.4.3. Оптимальное разбиение полного поворота
плоскости движения
Способ разбиения полного поворота плоскости движения на
составляющие 9i, 92, 9з далеко не очевиден. По-видимому, желательно
выбрать эти углы так, чтобы при заданном 9^ достигался минимум
полного приращения скорости А У, определяемого формулой (3.80)
как функция 9i, 92, 9з при наличии ограничения (3.81). Составим
частные производные:
д (AVr/Vj) _ (1 _|_ /у2 _ 2Hi cos 9i)-V2 Я1 sin 9i
[1+Щ - 2Я5 cos (9t - 92 - 9i)]-^2 X
xЯ4Я5siп(9т-92-90, (3.86)
^ ^^^^I'J'^ ={l+Hl-2Hscos 92)-V2 Hssin92-
[l+Hl-2Я5cos (9t-92~9i)-V2 X
xЯ4Я5siп(9т-92-9l). (3.87)

3.5. Оптимальные маневры перехвата 85
Приравняв ЭТИ частные производные нулю, получим систему двух
уравнений с двумя неизвестными 9^, 02. Решение ее при заданном 9^
позволит получить искомые 9i, 92, 9з, соответствующие оптимальному
разбиению полного поворота плоскости движения.
3.5. ОПТИМАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ ПЕРЕХВАТА
Движение по траектории от точки на заданной орбите до желаемой
точки пространства называется перехватом. При этом не
накладываются ограничения на скорость в финальной точке. Следовательно,
Начальная орбита
(плоскость i)
X
ОрВита цели
(плоскость 2)
Точка встречи
У
Рис. 3.10. Маневр перехвата.
перехват существенно отличается от встреч в космическом
пространстве, при которых подбираются соответствующие положения,
скорость и орбитальная фаза в финальной точке. Типичная траектория
перехвата приведена на рис. 3.10.
В этом разделе рассматриваются два различных типа траекторий
перехвата, а именно траектории, соответствующие минимуму
приращения скорости и минимальному времени. Перехват при минимальном
приращении скорости был впервые исследован детально Ротом [7],
показавшим, что задача может быть сведена к решению уравнения
4-й степени относительно угла наклона траектории перехвата. Однако
для того, чтобы трактовать эту задачу как двухимпульсную проблему
перехода в координатной форме, представляется целесообразным
выбрать в качестве основной характеристики параметр орбиты
перехвата. Кроме того, как показано в [9], при этом легко перейти к задаче
о наискорейшей траектории перехвата.

86
Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
3.5.1. Вектор скорости как функция параметра орбиты
Рассмотрим рис. 3.11. Вектор скорости г космического аппарата
в начальной точке может быть представлен как линейная комбинация
йииатический
центр
и
1
Рис. 3.11. Орбитальная схема.
единичных векторов Vi и Ui,' где Ui — единичный вектор,
направленный из динамического центра на космический аппарат, а Vi
повернут на 90° по отношению к Ui в направлении и в плоскости движения:
ri = riUi + riyiVi.
(3.88)
Заметим, что ri — скорость изменения радиуса-вектора, а г, v^
т
длина трансверсальной составляющей скорости ri в направлении Vi
и
1
Рис. 3.12. Перемещение космического
аппарата на угол v^ — Vi.
Если использовать разность истинных аномалии V2 — Vu
указанную на рис. 3.12, то можно сразу выписать следующие соотношения:
Vi
и2 COS (у2 — ^i) — V2 sin (у2
U2 sin (^2 — ^l) + V2 COS {V2
(3.89)
(3.90)
Решая (3.89) относительно V2 и подставляя полученное выражение
в (3.90), придем к равенству
Vi sin {v
Vi)
и
Ui cos {v
Vi).
(3.91)
После исключения Vi формула (3.88) примет вид:
1
riVi
tgC^a —^i) J
^ ' L 51П(У2 —^l) J
(3.92)

3.5, Оптимальные маневры перехвата 87
В соответствии с уравнением эллиптической орбиты имеем
1+гсо8(с;2—У1 + У1)
^ 1 +^cos v^
(3.93)
(3.93*)
Приравнивая выражения для р, получающиеся из (3.93) и (3.93 *),
получим [1, разд. 6.7], что
с Pri + Pcl^ui /о (\л\
р
где
Pel = Г2 COS (у2 — ^l) — ^1,
Psi = ^2 sin (у2 — ^i), (3.95)
S„i = e sin ^1, C„i ^ e cos ^i.
Кроме того, имея в виду хорошо известное выражение для скорости
изменения длины радиуса-вектора
r^{^±-Y^esmv, (3.96)
можем записать
;, = (_^У^^ Ai+Mst, (3.97)
где е — эксцентриситет орбиты, jx — сумма масс космического
аппарата и центрального тела.
Наконец, радиальная и трансверсальная компоненты скорости
в начальной точке могут быть записаны с помощью соотношения
С„ =(р/г) — 1 как функции параметра в виде
h = Si/7-V2 + ^2/7^2, (3.98)
1/2
Г1У1 = 0)3/7^2, (3.99)
где
со
1
0)2
СОз
УМ'(Рг1 —Pel)
Psl
-^. (3.100)
Отсюда сразу получим, что вектор скорости в начальной точке
выражается следующей формулой:
Г1 - (C01/7-V2 +0)2/7^/2) Ui + 0)3/7'/2U2, (3.101)

88 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
где
со =w -= У^<-П —cosfcg —^i)]
^ ^ sin(y2 —^i) '
0)2 = 0)2 — 0)3ctg(y2 —z:^i)= — ^
Г2 5!п(У2 —^l) '
0)3
Шз У|Л
sin(y2 —^i) risin(y2 —^i)
3.5.2. Перехват при минимальном приращении скорости
Приращение скорости в начальной точке (рис. ЗЛО) определяется
непосредственно по формуле
АгГ=|г1 —г*|, (3.102)
где г* — известный вектор скорости до момента действия импульса,
создающего дополнительную скорость. Эту формулу можно записать
в эквивалентной скалярной форме
А1/,-[(п-гП-(г1-г*)]'^ (3.103)
Используя (3.101), получим после соответствующих преобразований, что
^V\ = (0)1/7-V2 -1- 0)2/7'/2)2 _|- (0)з/?'/2)2 + Г* . Г* +
+ 2 (0)1/7-V2 + o)2pV2) (CO3/7V2) Ui. U2 -
- 2 (0)1/7-V2 + 0)2/7^2) Ui. Г* - 2 (o)3/7V2) U2 • r*, (3.104)
или (в более компактной форме)
^v\ = vi/7+V2/7V2+V3/7-V2+V4/7-1+V5, (3.105)
где
Vl = 0)| + COg + 20)20)3Ui • U2,
V2 = — 2о)2Г* • Ui — 2о)зГ* • U2,
V3-= — 2o)ir*-Ui,
V4=-0)^
V5 = r* • r* + 2o)iO)3Ui. U2 + 2o)iO)2.
Производная от (3.108) имеет вид полинома
^ = VI + I V2/7-V2 - -1 V3P-^2 _ V4P-2. (3.1 06)

3.5. Оптимальные маневры перехвата 89
Приравнивая ее нулю и полагая p = s^, чтобы избавиться от дробных
степеней, придем к алгебраическому уравнению 4-й степени:
Vis4 + YV2s3-i-V3S-V4 = 0. (3.107)
После нахождения соответствующих корней s этого уравнения
и вычисления
AVi£ = |ri^-r*|, (3.108)
где Гц определяются согласно (3.101), т. е.
Гц = (coipr'^' + 0)2/7^ Ui + щр\'\}2. (3.109)
можно отделить значения р^-, соответствующие истинному минимуму
АУ. Поскольку (3.109) дает нам нужный вектор скорости Гь а
позиционный вектор Fi задан, то этим самым искомая орбита перехвата,
соответствующая минимальному приращению скорости, определена.
3.5.3. Минимизация времени перехвата
Предположим, что, стартуя с заданной точки орбиты,
соответствующей радиусу-вектору ri (рис. 3.10), желательно перехватить
космический аппарат в положении Гг как можно быстрее. В этом случае
говорят о перехвате за минимальное время [9]. Если для выполнения
перехвата имеется в распоряжении только один импульс,
прилагаемый в начальной точке, то, очевидно, чем больше импульс, тем быстрее
будет осуществлен перехват. Однако обычно величина импульса
в начальной точке ограничена энергетическими возможностями
двигателей космического аппарата. Это очень существенное условие,
которое обязательно должно быть учтено при анализе, чтобы иметь дело
с практически реализуемыми траекториями.
Если быть более точным, то желательно минимизировать
модифицированное время т, затрачиваемое на движение от ri до Гг, причем
(рис. 3.10) Fi лежит в плоскости орбиты 7, а Гг — в плоскости орбиты 2,
Для удобства полагают
т = ^ (^2 — и), (ЗЛЮ)
где k — гравитационная постоянная для центральной планеты, /i —
момент старта с орбиты У, /2 — момент достижения орбиты 2.
Ограничение, накладываемое на приращение скорости,
выражается неравенством
Г1-гП<А1/п1ах, (3.111)
где г* — известный вектор скорости в плоскости орбиты 1 до начала
маневра перехвата. Это неравенство можно переписать в следующем
эквивалентном виде:
[(r,_r*).(r,-r*)]<Al/max. (3.112)

90 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
Следуя рассуждениям разд. 2.3.2, преобразуем это неравенство
о о
€ помощью введения новой неизвестной 8 в уравнение
^Vr^^y,~{^v\f^' = г^ (з.пз)
где
Д1/2 = Vi/7 + V2/7 V2 + V3/7-'/2 + V4/7-1 + V^ (3.1 14)
Применяя правило Лагранжа (разд. 2.3.1), составим с целью
отыскания минимума т вспомогательную функцию
М = Т + fl [ДУшах - (А1/^)'/^ - 82], (3.115)
где \к — неизвестный множитель Лагранжа. Стандартная процедура
для отыскания минимума требует, чтобы частные производные от М
по независимым переменным были приравнены нулю. Однако это
о о
приведет, так сказать, к переопределению данной траекторнои задачи.
Действительно, если заданы два вектора положения, то известны
шесть параметров орбиты, и в нашем распоряжении остается только
одна степень свободы. Эта одна степень свободы поглои;ается
уравнением (3.113). Следовательно, условие оптимальности принимает вид
дМ1дг = 0 или, согласно (3.115),
2fx8 = 0. (3.116)
Если |л = О, то тогда ограничение (3.113) фактически не используется.
Следовательно, 8 = 0, так что уравнение, дающее решение
рассматриваемой задачи о наискорейшем перехвате, приводится к виду
(Д1/^)^/^ = Al/niax. (3.117)
Возводя обе части в квадрат и используя (3.114), придем к уравнению
^iP + V2/?'/2 + V3/7-V2 + V4/7-1 + V5 - б = О, (3.1 1 8)
где для простоты записи положено А Умах == S. Если положить далее
р = s^, то получим следующее уравнение 4-й степени:
ViS* + VgS^ + (V5 — б) S^ + VsS + V4 = О, (3.119)
Это уравнение определяет наискорейшую траекторию между
положениями Fi и Г2 при условии, что импульс в положении Fi меньше
некоторого предела. Находя корни этого уравнения и вычисляя
интервал времени т методом итерации [1, разд. 4], можем выделить одно
из pj, соответствующее глобальному минимума AFi. Заметим, что
поскольку р определяется численно, то интервал т находится в явном
виде, так что итерации не требуются.
3.5.4. Траектория перехвата с фиксированным
временем движения
Важным типом перехвата является также тот, при котором
движение от начального положения ri на орбите 1 до финального
положения Г2 на орбите 2 происходит в течение фиксированного интервала

З.б. Оптимальные двухимпульсные маневры
91
Времени. В этом случае для определения орбиты перехода может быть
использован в зависимости от величин и направлений векторов ri и Гг
один из шести методов [1, гл. 6]. Решение иш,ется методом итерации.
Как только орбита перехвата определена, прираш,ение скорости,
соответствуюш^ее этой орбите, находится непосредственно по формуле
Al/i
Fi —г
*
1
(3.120)
где г* — известный вектор скорости в точке ri орбиты 1 (рис. 3.10)
3.6. ОПТИМАЛЬНЫЕ ДВУХИМПУЛЬСНЫЕ МАНЕВРЫ
В предыдущем разделе был предпринят анализ оптимальных
траекторий перехвата. При двухимпульсном маневре имеет место старт
из точки на начальной орбите под действием импульса и достижение
желаемых положения и вектора скорости в некотором будуш^ем или
Плоскость
начальной орбиты
/
Плоскость
финальной орбиты 2
Плоскость
кватора
Рис. 3.13. Двухимпульсный переход.
Прошлом. Следовательно, при двухимпульсном маневре
рассматривается не только сама траектория перехвата, но также финальная
скорость.
Геометрия перехода видна из рис. 3.13. Очевидно, что
двухимпульсный маневр имеет фундаментальное значение при операциях по
снабжению космических станций или при спасательных операциях в
космосе.

92 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
3.6.1. Двухимпульсный переход при минимальном
приращении скорости
Методы, рассматриваемые в этом разделе, предусматривают, что
начальное и финальное положения заданы, и, таким образом, эти
методы дают решение в важном случае оптимального перехода между
заданными точками в пространстве. Если ищется двухимпульсная
траектория перехода при условии абсолютного минимума приращения
скорости, т. е. ищутся лучшие точки старта и финиша на начальной
и финальной орбитах, то применяется шаговый метод решения.
Фиксируется сначала ri и варьируется Гг с некоторым шагом в пределах
поворота на угол 2jt; затем ri несколько увеличивают и снова
повторяют поиск Г2 и т. д. На каждом шаге находится оптимум с помощью
описанного ниже способа, а затем определяется абсолютный
глобальный минимум как минимум из всех локальных минимумов. Вообще
задача о непосредственном определении траектории, соответствующей
глобальному минимуму приращения скорости, очень трудна. Способ,
излагаемый в этом разделе, имеет то преимущество, что определяются
как локальный, так и глобальный минимумы, хотя, правда,
глобальный минимум находится путем непосредственного сравнения всех
локальных минимумов друг с другом. Можно, однако, думать, что
такой путь нахождения глобального минимума легче, так как прямой
поиск глобального минимума был бы связан с введением большого
числа неизвестных и с очень сложным итерационным методом. Кроме
того, метод, изложенный здесь, позволяет определить положение
истинного глобального минимума, а итерационный метод прямого
определения глобального минимума не позволяет получить желаемые
локальные результаты в очень важном случае двухимпульсных
траекторий, имеющем первостепенное значение в настоящее время [6, 8, 9].
С целью общности и применимости к аппаратам различных
размеров, а также чтобы привести двухимпульсную задачу к задаче
о перехвате, находим минимум взвешенной суммы | Ari | и | Агг
Тем же путем, какой был использован в разд. (3.5.1), можно
выразить вектор скорости во второй точке по формуле
Г2 = ( - COi/7-V2 -I- CO3/7V2) U2 + C02/7V2U^, (3.1 2 1 )
где
= Vl^ [1—^08(^2 — ^1)]
СО
1
со
sin (^2 — ^1)
-Vv-
?
r2Sin (^2 — ^1)
СОз = 7-~- ^ .
Таким образом, (3.101) и (3.121) определяют векторы скорости
в обоих положениях как линейные комбинации известных векторов
Ui и U2 и как функции неизвестного параметра орбиты р.

3.6. Оптимальные двухимпульсные маневры 93
■I ■■ ■! ■■ ■■''■ ■■■111 II. ■■——■■1 ■ II 11 I Ml 11 ^^.^^^—..^——,— -^^^И^—^И—i^»^l—■——^М^М^—^В—I^HI^^H^^^—,^^,^1^
Полное приращение скорости при орбитальном переходе от первого
положения ко второму равно
^ = \r,-rt\ + \r,-rt\. (3.122)
где г* и г* — известные векторы скорости вдоль начальной и
финальной орбит в моменты /i и tz- Это функция, минимум которой ищется.
Ее можно заменить эквивалентной функцией
А = УК [(Г1 - гП • (Г1 - rt)]"^' + УК [(Г2 - г*). (Г2 - r*)]'/^ (3.123)
где Xi и ^2 — произвольные положительные множители. Как было
упомянуто выше, введение множителей позволяет минимизировать
приращение скорости не только в случае одноимпульсного перехода
от первого ко второму положению в пространстве, но также
рассмотреть с помощью соответствующего выбора Xi и Яг случаи различных
систем ракетных двигателей.
Формулу (3.123) можно записать после вычисления скалярных
произведений в виде
А = УК [А1/? Ш"'^ + УК \т Ш"'\ (3.124)
где
+ 2 (coi/7-V2 + CO2PV2) CO3PV2U,. Uo -
-- 2 (CO1P-V2 + CO2PV2) Ui.r* - 2CO3PV2U2• r*,
или в более компактной форме
A1/J (р) - Vip + V2PV2 + V3p-V2 + V4p-i + V5, (3.125)
где
Vi = со^ + 0)^ + 2CO2CO3U1. Ua,
V2 = — 2СО2Г*. Ui — 2созГ*. Ua,
V3= — 2coir*-Ui.
V5 = r* . r* + 2CO1CO3U1. U2 + 2cOiC02
Аналогично
^^\ iP) = Vep + V7pV2 + vsp-V2 + V9P-1 + Vio, (3.126)
где
Ve = co^ + co| + 2CO2CO3U1 • U2,
V7 ^ — 2созГ?. U2 — 2СО2Г*. Ui,

94 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
V8 = 2coir*.U2,
V9 = 0)^,
V10 = г* • г? — 2o}ia)2Ui • U2 — 2СО1СО3
3.6.2. Минимизация скорости
Экстремум функции (3.124) можно искать, составляя ее
производную по р и приравнивая нулю. Следовательно,
Отсюда получим условие минимума в виде
-V%^д^vup)|дp ^ mi{p)t^^ .3128)
-\/x,д^Vl{p)|дp [^mp)ff^ '
или, избавляясь от радикалов,
F = Я, [■^^]' AVI (р) - X, [^^J AVI iP) = 0, (3.129)
где левая часть, обозначаемая через Fy есть общая импульсная
функция.
Импульсы скорости AVi (р) и AVI (р) выражаются согласно (3.125)
и (3.126), так что
^^^—V, + 4v2P~V2-.|v3/7--^/2-V4p-2, (3.130)
^^m = V6 + |v7p-V2-|v8/7-V2--V9/7-2. (3.131)
Подстановка (3.125), (3.126), (1.130) и (3.131) в (3.129) дает:
F* = щр + а2/7 V2 + аз + a^-^f^ + аф'^ + а^р^^^ +
+ arjp-^ + «8/7-^2 -^- аэр-з + aio/?-'/2 + а^р-^ +
+ cci2/7-V2 + ai3p-^ = 0, (3.132)
где
^2 = ^2V6V2 — ^iV^V7 + K'^QViVi — ^liV^VaVe,
Ct3 -= -4- ?^2V?Vi — -^ ?liV^V6 + XgV^Vs ~- ?tiVjVio + Jt2V6V7V2 — К^^^г"^!^
4
^2V6V7V5 —?^lViV2Vio>

3.6. Оптимальные двухимпульсные маневры 95
— XiViVaVg — 2X2V6V9Vi + 2XiViV4V6,
XiVgViVe + A2V6V7V4 — XiViVaVg — XgVeVgVs +
^iVlVsVio — 2X2V6V9V2 + 2'k^V^Viy'j,
a, - -^ Vs^l — X ^1^3^6 + -4- ^2VvV4 — -4- ^lV|V9 — у XsVyVgVs
+ у ^iV2V3Vio — AsVyVgVa + ^iVgViVy — XaVeVgVg +
+ XiViVgVg — 2X2V6V9V5 + 2XiViV4Vio,
0^8 == -^ ^2V8V2 — 1 ^lV|V7 — у >w2V7V8V3 + у XiVgVaVg + XaVgVgVi —
+ XiV2V4Vio — 2X2V6V9V3 + 2'k^V^Viys,
ag = J XgV^Vs — -^-XiV^Vio + ^2V^Vi — X^V^Ve — у X2V7V8V4 +
+ у ^iV2V3V9 + XaVgVcjVa — 'kiVъ^lУ^ — XaVyVgVa +
+ XiV2V4V8 — 2^2V6V9V4 + 2'K{^^ViyQ,
^10 -= -4- ^2^8^3 — 1 ^iV^Vg + XaVgVs — ^iV|V7 — X2V7V9V4 + liV^yi^V^ 4
+ ^2V8V9V5 —XiV3V4Vio,
0^11 = X ^2^8^4 — -J ^lV3V9 + ^2V9V5 " ^lV4Vio + XaVgVgVa — XiV3V4V8,
ai2 -- XaV^Va — X^v^Vg + X2V8V9V4 — XiVgViVg,
ai3^^2V9V4 —^ivX
3.6.3. Алгебраическое уравнение 12-й степени
Подстановка р == s^ приводит (3.132) к алгебраическому уравнению
12-й степени:
~f aiiS^ + a^gS + ai3 === 0. (3.133)

96 Глава 3, Оптимальные орбитальные маневры
— -
Полином /^** зависит от трех параметров Я^ Яг и s. Первые два —
это множители, значения которых ограничены по определению
интервалом
0<(Яь ЯзХ 1. (3.134)
Физически К^1 представляет собой долю полного приращения
скорости, приходящуюся на начало траектории перехода. Аналогично
]/^Я2 представляет собой долю полного приращения скорости,
приходящуюся на конец траектории перехода. Следовательно, при X = О
уравнение 12-й степени вырождается в уравнение более низкой
степени *) и определяет минимум импульса скорости только в первом
положении fi. Точно так же при Xi = О уравнение (3.133) вырождается
в уравнение более низкой степени, определяющее минимум импульса
только во втором положении. Если Xi = X2=l, то (3.133) также
вырождается в уравнение более низкой степени [10] и представляет
собой условие оптимальности при одинаковых по величине прираще-
о о
ниях скорости в начальной и конечной точках траектории перехода.
Этот полином имеет 8-ю степень, причем «i = «2 = cci2 = ccis = 0.
Наконец, выбирая Яь ^2 в соответствии с неравенством (3.134),
получим общее уравнение 12-го порядка для задачи с двухимпульсными
траекториями.
Ложные корни, получаемые из уравнения F** = 0, т. е. те,
которые не соответствуют минимуму А, могут быть исключены после
непосредственной их подстановки в (3.101) и (3.121). Как только параметр р
определен, то (3.101), т. е.
Г1 - (C01/7-V2 + 0)2/7^2) и^ + {щрУ2) Ug (3.1 35)
дает вектор скорости в начальном положении. Так как ri и ri известны,
то этим самым орбита перехода определена. Какие-либо
дополнительные элементы могут быть вычислены при желании no,(ri, п).
3.6.4. Двухимпульсный наискорейший переход
Задача о выборе траекторий, соответствующих минимальному
времени движения, возникает довольно часто. Например, в случае
повреждений в системах жизнеобеспечения на космическом корабле
космонавт вынужден как можно скорее достичь некоторого
финального положения.
Задача, рассматриваемая в этом разделе, заключается в
определении траектории, на движение по которой между двумя заданными
положениями в пространстве (определяемыми векторами ri и Г2 на
рис. 3.10) затрачивается минимум времени.
Если желательно найти абсолютный минимум в такой задаче для
одно- или двухимпульсных траекторий, т. е. найти наилучшие точки
*
) См. разд. 3.5.2, где выводится в явном виде уравнение 4-й степени.

3.6. Оптимальные двухимпульсные маневры 97
старта и финиша на начальной и финальной орбитах, то так же, как
и в рассмотренной выше задаче о траекториях при условии минимума
энергетических затрат, применяется шаговый метод, при котором ri
и Г2 варьируются по истинной аномалии, изменяемой от О до 2я. На
каждом шаге определяется локальный минимум (т. е. траектория
с минимальным временем движения.— Перев.) методом, изложенным
ниже. Абсолютный глобальный минимум является тогда минимумом
всех локальных минимумов. Вообш,е задача о непосредственном
определении глобального минимума очень сложна. Метод,
описанный здесь, имеет то преимуш,ество, что находятся как глобальный,
так и локальные минимумы, хотя глобальный минимум иш,ется
путем прямого сравнения всех локальных минимумов между собой.
Непосредственное определение одного только глобального минимума
связано с введением большого числа неизвестных и очень громоздких
итераций, для которых трудным является вопрос о сходимости. Кроме
того, с помош,ью изложенного здесь метода можно определить
положение истинного глобального минимума, а метод итерации для прямого
определения глобального минимума не дает возможности получить
желаемые локальные результаты в очень важном случае двухимпульс-
ных траекторий перехода, имеюш,ем первостепенное значение в
настоящее время [9].
3.6.5. Минимизация времени
Задача, решение которой рассматривается в этом разделе,
заключается в минимизации времени, затрачиваемого на движение между
позиционными векторами ri и Гг, причем вектор ri лежит в плоскости
орбиты 7, а вектор Гг — в плоскости орбиты 2 (рис. 3.13). Для
удобства используют модифицированное время т, определяемое формулой
kHz— /i), (3.136)
где k — гравитационная постоянная для центральной планеты /i —
момент старта с орбиты 1 и tz — момент достижения орбиты 2. Однако
проблема минимизации времени приобретает физический смысл только
тогда, когда на процесс перехода накладывается следуюш,ее суш,е-
ственное ограничение: обш,ее прираш,ение скорости, имеюш,ееся в
распоряжении при данном переходе, ограничивается неравенством
* ,, ^*
Г1-Г*| + |Г2-Г* <А1/тах, (3.137)
где rf и Г2 — известные векторы скорости вдоль начальной и
финальной орбит, а АУтах — заданная величина. Вместо (3.137)
рассматривают эквивалентное неравенство
VK[{ri-rt)'{r,-rt)]"^' + VY,l{r,^rt)'{r^^ (3.138)
где А,1 и А,2 — произвольные положительные множители. Введя A-i и А,2,
можно минимизировать время перехода при различном соотношении
между величинами импульсов в начальный и конечный моменты.

98 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
Если ограничение (3.138) снять, то искомая траектория представит
собой прямую линию между ri и Гг, соответствующую бесконечно
большой приложенной энергии. Таким образом, (3.138) является
ограничением, накладываемым на мощность двигателей космического
аппарата.
Неравенство (3.138) можно записать более компактно в виде
VK [^Vl{p)]'^'+V'^, [^Vl{p)]'^'<Vm.., (3.139)
где р - параметр орбиты перехода и где в соответствии с (3.125) и (3.126)
^Vl (р) = V,p + V2/7V2 + V3/7-V2 + V4/7-1 + V5, (3.140)
Щ (р) - Ve/7 + V7/7V2 + vsp-'^^ + ър-^ + Vio. (3.141)
Коэффициенты V вычисляются по заданным краевым условиям
задачи, т. е. по п и Гг (разд. 3.6.1).
Неравенство (3.139) можно заменить эквивалентным уравнением
(разд. 2.3)
б- (КХ, [\Vl{p)]'^'+ ^к, [^Vl{p)]'^'] =-^г^ (3.142)
где 8 — новая независимая переменная и для удобства записи
положено б == АУтах-
применяя правило Лагранжа, составим подлежащую минимизации
вспомогательную функцию
M{p) = x + ii[d^V~X, (А1/?)'/^ - УТ, {AVlf' - 8^], (3.143)
где jji — неизвестный множитель Лагранжа. Применяя обычный путь
минимизации т, мы должны были бы приравнять нулю частные пройз-
водные функции М по независимым переменным. Однако, поскольку
заданы два положения, соответствующие векторам ri и Гг, то этим
самым определяются шесть элементов орбиты перехода и в нашем
распоряжении остается только одна степень свободы. Эта одна степень
свободы поглощается уравнением (3.142). Следовательно, условия
оптимальности сводятся к равенству
'^==0, (3.144)
дг
ИЛИ
-2.u8==0. (3.145)
Если JX = О, то это означает, что ограничение (3.139) фактически
отбрасывается. Следовательно, 8 = О и соотношение, определяющее
искомую орбиту, которая соответствует минимуму т, записывается
в виде:
VX (Ai/f) '/2+]/"я; {^vlf'=8. (3.146}

3.6. Оптимальные двух импульсные маневры 99
3.6.6. Алгебраические уравнения 8-й степени
Перепишем (3.146) в виде:
V^, {^v\)"^^ ^^b-Vh (Д v^l)'^' (3.147)
и возведем обе части в квадрат, после чего получим
l,^v\ - \^^vl - 62 = - 26 /Гз {^vlf^\ (з. 148)
Возведя в свою очередь в квадрат обе части (3.148), придем к
следующему условию минимума:
l\^V\ + К^У\ + б' - 2Я AsAl^i Д^^
2
2
- 2Я162Д1/2 - 2Я2б2А1/| =0. (3.149)
С помощью формул (3.120) и (3.141) левую часть этого условия
можно выразить как функцию р. Непосредственные выкладки
приводят к следующему выражению для лево?! части (3.149):
f * --- ai/72 + а2/7'/2 + аз/7 + аф''^^ + а^ + ae/?-'/^ +
+ СС7/7-1 + а8/7-'/2 + а9/7-2, (3.150)
где
a2 = 2Цу{^2 + 2X|v6V7 — 2Я1Я2 (V2V6 + V1V7),
аз =- К (v| + 2V1V5) + К iy] + 2v6Vio) ~ 2Я1Я2 (V5V6 f V2V7 + ViVio)
-2Xi62vi~ 2X26^6,
a4 - Я' (2viV3 + 2V2V5) + XI (2v6V8 + 2V7V10) -
~ 2Я1Я2 (V3V6 + V5V7 + ViVg + V2V10) —
-2X164-2X264.
C^5 -^ ^1 (V^ + 2V1V4 + 2V2V3) + К {V\, + 2V6V9 + 2V7V8) -
— 2Я1Я2 (V4V6 + V3V7 + V2V8 + V1V9 + V5V10) —
-2Xi64-2M4o + 6S
ae =- %\ (2V2V4 + 2V3V5) + К (2v7V94- 2v8Vio) —
— 2Я1Я2 (V2V9 + V4V7 + V5V8 + V3V10) —
^2X164-2X264,
an '-= XI {vl + 2V4V5) + kl {vl + 2V9V10) — 2Я1Я2 (V3V8 + V5V9 + V4V10)
-2Xi64-2X262V9,
ag =- 2X^V3V4 + 2X4v9 — 2Я1Я2 (V4V8 + V3V9),
0^9 ----- ^1V4 + klvl — 2k ikzV^Vg.

100 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
Полагая для удобства р == s^ и избавляясь от дробных степеней р,
преобразуем (3.150) к виду
F** — a^s^ + a2s'^ + a^s^ + oc^s^ + a^s^ + a^s^ + a^s^^ + agS + 0:9, (3.151)
приходя к полиному 8-й степени относительно s. Этот полином зависит
от трех параметров: Яь Яг и s. В соответствии со смыслом параметров
Яь Яг их значения ограничены неравенством
0< (Яь ЯзХ 1. (3.152)
Число У Я1 представляет собой долю общего импульса,
приходящуюся на начало траектории перехода, а число КЯг — долю общего
импульса, приходящуюся на конец траектории перехода.
Следовательно, при Яг = О, т. е. когда используется только один импульс,
приложенный в начальной точке, уравнение 8-й степени /^** = О
о о
для определения наискорейшей траектории вырождается в уравнение
более низкой степени *). Если Я1 = Яг = 1, то уравнение /^** = О
определяет искомую наискорейшую траекторию при одинаковых
по величине приращениях скорости в начале и в конце перехода.
Наконец, при любых Я1 и Яг, удовлетворяющих неравенству (3.152),
получим общее уравнание 8-й степени в данной задаче наискорейшего
двухиА1пульсного перехода.
Ложные корни pi уравнения F** = 0, не отвечающие минимуму т,
могут быть отброшены после непосредственного вычисления
соответствующих значений т^ и отбора среди них наименьшего. Определе-
ние вектора скорости ri в начальной точке может быть выполнено
с помощью (3.101). По известным ri и Гг могут быть определены все
элементы орбиты перехода.
3.6.7. Траектория перехода при фиксированном времени движения
Если интервал времени для перехода между положениями ri и Гг
заранее фиксирован, то задача сводится к непосредственному
определению элементов орбиты перехода по двум положениям и интервалу
времени, рассмотренному в [1, гл. 6]. Для этой цели годится любой
из указанных там шести методов. Требование к скоростям при таком
маневре выражается непосредственно равенством
АУ
П —r*i + |r2 —г*
»
где г* и г* — известные векторы скорости вдоль начальной и
конечной орбит.
) См. разд. 3.5.3, где ясно сказано, как прийти к уравнению 4-й степени

3.7, Резюме 101
3.7. РЕЗЮМЕ
В этой главе вводятся фундаментальные положения о добавочных
импульсах скорости и взаимно однозначном соответствии между
приращением скорости и затратами горючего. Такая аппроксимация
позволяет прийти к аналитическому решению различных задач перехода
между орбитами.
Рассмотрены гомановские траектории перехода от перицентра
до апоцентра и от апоцентра к перицентру. Рассмотрен также
сравнительно новый тип перехода, предусматривающий приложение
промежуточного импульса и называемый биэллиптическим.
Показано, что при отношении радиусов начальной и финальной
орбит, попадающем в некоторые интервалы (разд. 3.2.4.— Перев),
биэллиптический переход более выгоден с энергетической точки
зрения, чем гомановский.
Построена общая формула (3.80) для приращения скорости при
биэллиптическом переходе между орбитами, лежащими в разных
плоскостях. Показано, как эта формула может быть использована
для построения других типов перехода, сопровождающихся
изменением плоскости движения.
Рассмотрен котангенциальный переход между эллиптическими
орбитами. Этот тип перехода близок к энергетически оптимальным.
Рассмотрены далее пространственные маневры перехвата.
Движение по траектории перехвата начинается в точке начальной орбиты
под действием мгновенного импульса и должно закончиться
столкновением в заданной точке с перехватываемым объектом.
Проанализирован вопрос о перехватах, оптимальных по затратам энергии или по
требуемому времени. Показано, что нахождение оптимальных траекторий
перехвата в обоих случаях сводится к решению алгебраического
уравнения 4-й степени относР1тельно квадратного корня из параметра
эллиптической орбиты. Траектории перехвата при фиксированном времени
движения находятся методом итерации (в соответствии с методами
определения элементов орбит по двум положениям в заданные моме:н-
ты.— Перев.).
Проанализированы двухимпульсные переходы, при которых можно
достичь не только заданного положения объекта перехвата, но и
заданной финальной скорости. Показано, что энергетически оптимальный
двухимпульсный переход при произвольном соотношении между
величиной импульсов находится при решении алгебраического уравнения
12-й степени относительно квадратного корня из параметра
эллиптической орбиты перехода. Показано также, что оптимальный по
быстроте двухимпульсный переход находится при решении алгебраического
уравнения 8-й степени. Траектории перехвата с фиксированным
временем движения находятся методом итерации (в соответствии с методами
определения элементов орбит по двум положениям в заданные
моменты.— Перев.).

102 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
Указано, что общая пространственная задача выбора наилучших
точек старта и финиша на двух орбитах может быть решена путем
варьирования начального и конечного радиусов-векторов и повторного
применения методов определения оптимальных траекторий,
изложенных в этой главе.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Космический корабль, движуш,ийся по геоцентрической
круговой орбите радиусом 1,5 а^ {а^—радиус Земли), должен достичь другой
круговой орбиты в той же плоскости, двигаясь по гомановской
траектории. Какой требуется при этом импульс скорости, если радиус
финальной орбиты равен 1,1 а^?
2. Желательно совершить ознакомительный полет с невысокой
круговой орбиты радиусом 1,2 а^ к спутнику «Синком», движуш,емуся
по круговой орбите радиусом 6 а^. Космический аппарат должен при
этом возвратиться на исходную орбиту, продолжая движение по
гомановской траектории без дополнительного импульса в апогее. Какова
разность орбитальных фазовых углов спутника и космического
аппарата непосредственно перед началом маневра?
3. Должен быть выполнен переход от внутренней геоцентрической
круговой орбиты радиусом 1,5 а^ к внешней круговой орбите
радиусом 17 йе- Найти энергетически оптимальную траекторию перехода
в предположении, что указанные орбиты компланарны.
4. Две круговые геоцентрические орбиты наклонены друг к другу
под углом 45°. Требуется совершить биэллиптический переход с орбиты
с а = 2ае на орбиту с а = 8 а^ в предположении, что первый импульс
изменяет плоскость движения на 5°, а второй импульс, приложенный
в точке траектории на расстоянии 6 а^, изменяет плоскость движения
на 15°.
Является ли такое распределение между величинами первого
и второго изменения плоскости оптимальным с энергетической точки
зрения? Если нет, то какое распределение будет оптимальным? Какова
величина обш,его прираш,ения скорости АУ?
5. Космическая станция «Омикрон-С» ожидает прибытия груза
с ртутью для своей отопительной системы. Этот груз находится на
низкой круговой геоцентрической орбите радиусом 1,07 а^, наклоненной
к орбите станции под углом 15°. В предположении, что первый участок
траектории перелета космического аппарата с грузом от точки на
начальной орбите до линии пересечения обеих орбит является
гомановской траекторией в плоскости начальной орбиты, найти точку,
где будет произведено изменение плоскости движения, и вычислить
полное приращение скорости, требуемое для выполнения маневра.
6. Проверить общую формулу (3.80) для полного приращения
скорости при биэллиптическом переходе.
7. Определить энергетически оптимальную одноимпульсную
траекторию перехода от геоцентрической космической станции «Омега-3»,

Литература 103
находящейся в точке с координатами
Xi = 1,1, У\= 1,05, Zi = 1,02
и имеющей скорость с компонентами
х^ = 0,01, У1 = 0,50, 21 = 0,80,
до точки пространства с геоцентрическими координатами
л: =10,0, ^/ = 8,0, г = 5,0.
(Координаты даны в единицах земного радиуса, а компоненты
скорости — в долях круговой скорости станции.)
8. Найти в условиях упр. 7 наискорейшую траекторию перехода.
Предположить, что общее приращение скорости не должно превышать
0,001 круговой скорости станции.
ЛИТЕРАТУРА
L Р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л, Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
2. W. Н о h m а п. Die Erreichbarkeit der Himmelskorper, Oldenbourg, Munich,
1925.
3. R. F. H 0 e 1 к e r, R. S i 1 b e r. The Bi-elliptic Transfer between Circular
Coplanar Orbits, Army Ballistic Missile Agency, Alabama, DA-TM-2-59,
January 1959.
4. H. L. Roth, Preliminary Investigation Relative to Multiple Rendezvous
between Circular Orbits, Aerospace Corporation, SSD-TDR-63-179, January
1964.
5. D. F. L a w d e n. Optimal Trajectories for Space Navigation, Butterworth
and Co., London, 1963.
6. D. F. L a w d e n. Orbital Transfer Via Tangential Ellipses, J. Interplanet.
Soc, November 1952.
7. H. L. R 0 t h. Transfer from an Arbitrary Inertial Flight Condition to a Point
Target, J. Aerospace Sci., September 1961.
8. P. R. E s с 0 b a 1, Generalized Two-Impulse Minimum Velocity Rendezvous
and Transfer Analysis, TRW Systems, 3400-6023-RU-OOO, 1966.
9. P. R. E s с 0 b a 1, One and Two-Impulse Minimum Time Rendezvous and
Transfer Analysis, TRW Systems, 3400-6028-RU-OOO, 1966.
10. G. L e e. An Analysis of Two-Impulse Orbital Transfer, AIAA J., October 1964.
11. G. A. M с С u e. Optimum Two-Impulse Transfer and Rendezvous between
Inclined Elliptical Orbits, AIAA J., August 1963.
12. H. L. Roth, Use of the Bi-Elliptic Transfer to Acomplish Single
Rendezvous, Aerospace Corporation Memo A63-1741-5-7, May 1963.
13. R. H. В a t t i n, Astronautical Guidance, McGraw-Hill Book Company,
New York, 1964.
14. R. D e u t s с h. Orbital Dynamics of Space Vehicles, Prentice-Hall, Engle-
wood Cliffs, N.J., 1963.
15. R. E. M 0 r i t z. On Mathematics, Dover Publications, New York, 1958.
16. G. S. Stern, Optimum Deorbit Positioning for Minimum Impulse Reentry,
AAS Spaceflight Mechanics Specialist Conference, July 1966.
J7. L. Ting, Optimum Orbital Transfer by Impulses, Amer. Rocket Soc. J.,
November 1960.

104 Глава 3. Оптимальные орбитальные маневры
i^BHvMta
18. J. М. Н о г п е г, Optimum Two-Impulse Transfer between Arbitrary Coplanar
Terminals, Amer. Rocket Soc. J., January 1962.
19. H. M u n i с k, Optimum Orbital Transfer between Coplanar Orbits, Amer.
Rocket Soc. J., July 1962.
20. H. G. M 0 у e r. Minimum Impulse Coplanar Circle-Ellipse Transfer, AIAA
J., April 1965.
21. J. M. E g g 1 e s t 0 n. Optimum Time to Rendezvous, Amer. Rocket Soc.
J., November 1960.
22. T. N. E d e 1 b a u m. Minimum Impulse Transfers in the Near Vicinity
of a Circular Orbit, J. Aerospace Sci., March 1967.

Глава 4
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
Мы обнаружили, что находимся на планете,
почти незаметной среди широких просторов
солнечной системы, которая в свою очередь
лишь крохотная точка в необъятном
космическом пространстве. Это открытие должно
было бы заставить нас примириться с нашей
исключительной мизерностью и с тем местом,
которое занимает наша Земля.
Лаплас [10]
4.1. МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
Научные экспедиции на различные небесные тела солнечной систе-
мы будут одними из самых дерзновенных глав в истории человечества.
Как следует из сказанного в гл. 1, физические условия на каждой
планете солнечной системы таковы, что человек окажется участником
захватывающих приключений, которые прольют свет на многие тайны
в различных областях науки.
Полеты к другим планетам очень сложны с астродинамической
точки зрения. Построение межпланетных траекторий с точностью,
достаточной для успешного осуществления таких путешествий, может
быть выполнено только с помощью численных методов учета
возмущений. Эти численные методы рассмотрены в гл. 7. Главная цель
настоящей главы состоит в изложении простых, но строгих аналитических
методов построения межпланетных траекторий. Аналитические методы
являются единственным эффективным средством определения
достаточно точных начальных данных, которые затем используются при
более точных расчетах, включающих учет возмущений. Не владея
такими методами, исследователь не будет располагать начальными
значениями, с которыми можно приступать к процессу численного
интегрирования, и будет лишь ощупью искать начальные значения,
соответствующие точным траекториям перелета к той или иной
планете.
В этой главе рассматриваются несколько аналитических методов
определения межпланетных траекторий. В качестве основы
рассматривается метод кусочно-невозмущенных орбит, а также приводятся
соотношения, используемые при построении более сложных
траекторий перелета. После этого уже можно обсуждать вопрос о типах
оптимальных межпланетных траекторий. К ним принадлежат траектории,
соответствующие минимуму энергетических затрат, минимальному
времени перелета и минимальному стартовому весу. Специальный

106
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
случай полетов к Луне в этой главе не рассматривается. Траектории
к Луне заслуживают в силу своей специфики более детального
изучения и рассматриваются в гл. 5.
В эту область исследований внесли свой вклад многие ученые,
в частности Лоуден [2], Фимпл [3], Брекуэлл [4] и Баттен [5]. Недавно
Эскобал [6], Кричтон и Эскобал [7] и Росс [14] исследовали некоторые
частные аспекты межпланетных перелетов.
4.1.1. Выход из сферы действия планеты
Существенная особенность переходов с планетоцентрической на
межпланетную траекторию, отличающая их от переходов с одной
планетоцентрической траектории на другую, заключается в том, что
71
Планета назначения
, Гелиоцентрическая
орбита перехода
Vi
D
Планета отправления
Рис. 4.1. Схема межпланетного перехода.
межпланетному космическому аппарату надо сообщить
дополнительную энергию для преодоления гравитационного притяжения планеты
отправления. Рассмотрим межпланетный космический аппарат или
корабль, стартующий в точке D (рис. 4.1).
Если космический корабль должен достигнуть пункта назначения А
через заданный интервал времени А/, то его движение должно
происходить по гелиоцентрической орбите, проходящей через точки D и Л,
которые соответствуют гелиоцентрическим векторам т^р и Тар *).
Как известно [1, гл. 5], два гелиоцентрических положения и интервал
времени полностью определяют гелиоцентрическую орбиту.
Следовательно, в точке D корабль должен иметь вполне определенную ско-
рость, выражающуюся вектором г^. Скорость планеты отправления
*
) Индекс dp образован от первых букв departure planet (планета отправле
ния), а ар — от appointment planet (планета назначения).— Прим. перев.

4.1. Межпланетные перелеты 107
также выражается определенным вектором г^^р. Таким образом, вектор
• • •
Vh^^Vd--Vdp (4.1)
определяет скорость, которую, если исходить из кинематических
соображений, надо добавить к гиперболической скорости корабля,
чтобы вывести его на гелиоцентрическую орбиту.
Величина этой скорости определяется формулой
• • 9 • • •
Vl==Vh'Vh^{Vd — Vdp) {Vd — Vdp)' (4.2)
Если бы планета не обладала массой, то эта скорость точно
совпадала бы с приращением скорости, которую должны были бы обеспе-
ар
Рис. 4.2. Маневр удаления.
чить ракетные двигатели корабля. Однако масса планеты не равна
нулю, и поэтому дополнительно необходимо преодолеть
гравитационное ускорение, создаваемое планетой.
Предположим, что межпланетный корабль движется вначале
вокруг планеты отправления по круговой орбите радиуса а. Его пла-
нетоцентрическая скорость V определяется интегралом энергии
^'-Лт-Т)^ (4.3)
где {Л — сумма масс корабля и планеты, а г — расстояние от
динамического центра планеты до космического корабля. Формула (4.3) может
быть использована для вычисления скорости, требуемой для удаления
корабля в бесконечность, или более точно на очень далекое расстояние
от планеты отправления.
Рассмотрим рис. 4.2. Предположим, что при некотором заданном
времени перелета определен отрезок АВ гелиоцентрической орбиты.

108 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
соединяющей концы векторов Vap и г^р. В точке С круговой орбиты
кораблю сообщается импульс, после чего корабль переходит на
отрезок CD гиперболической орбиты. Если предположить, что в точке D
эффект от притяжения планеты становится пренебрежимо малым,
и если желательно перевести корабль на орбитальный отрезок ЛВ,
то в этой точке должна быть справедлива кинематическая
формула (4.1). Так как орбитальный отрезок CD очень короток по сравнению
с расстоянием между планетами отправления и назначения, то
предположим, что вектор скорости вдоль отрезка орбиты АВ в точке D
совпадает с вектором скорости вдоль АВ в точке А. Возникающую при
этом небольшую неточность можно при желании исключить методом
итерации. Так как оба вектора г^ и г^р известны, то ввиду указанного
предположения получим величину скорости Vu в точке D
непосредственно из (4.2). Далее, с помощью интеграла живых сил
1 2 Ч
\fl Г \И
(4.4)
ее можно использовать для вычисления большой полуоси
гиперболической орбиты, на которую переходит корабль с круговой орбиты.
Для упрощения вычислений примем, что точка D очень удалена от
планеты, или, точнее говоря, находится на бесконечно большом рас*
стоянии. Это точка, в которой гравитационное влияние становится
о о
незначительным по сравнению с гелиоцентрической силой
притяжения. Полагая г-^ оо в (4.4), получим
1 Ч
а |л
(4.5)
В точке С отправной круговой орбиты кораблю должно быть сооб-
щено следующее направленное по касательной приращение скорости:
^v=^v-v
с?
где V — гиперболическая скорость в перигее, а Ус — скорость
движения по круговой орбите. Гиперболическая скорость в перигее может
быть получена также с помощью интеграла энергии, так что
'^-Нт-Ш'-'
где \1а уже вычислено по формуле (4.5), а г — радиус отправной
круговой орбиты. После соответствующих преобразований получим
1/2
^V = {Vl + Vir'-V,, (4.6)
где Vp = V^Vc — параболическая скорость. Понятие
параболической скорости является полезным и отражает тот факт, что (4.6) — это
действительно энергетическое соотношение, т. е. что Vp — скорость,
которая требуется, чтобы корабль удалился на бесконечно далекое

4.1. Межпланетные перелеты 109
расстояние от планеты отправления. Опыт показал, что (4.6) — это
соотношение, которое аппроксимирует с достаточной степенью
точности маневр перехода космического корабля на межпланетную
траекторию и позволяет решить многие задачи межпланетных перелетов.
В последуюш,их разделах это соотношение неоднократно
используется.
4.1.2. Метод кусочно-невозмущенных орбит *)
При построении межпланетных траекторий большое применение
о о
находит простои метод, называемый методом кусочно-невозмуш,енных
орбит. В этом методе межпланетная траектория от начальной до
конечной точки разбивается на отрезки, каждый из которых является частью
еевозмущенной орбиФы в задаче двух тел. Пока космический корабль
очень близок к планете, его движение рассматривается как кеплерово
планетоцентрическое; после того как корабль удалится, преодолев
главенствующее влияние притяжения к планете, принимают, что его
орбита кеплерова и гелиоцентрическая.
Геометрическая схема, иллюстрирующая этот метод, изображена
на рис. 4.3. Считается, что «переключение» с планетоцентрического
равного гравитационного
влияния планеты и Солнца
Р и с. 4.3. Кусочная траектория, состоящая из отрезков эллиптических орбит.
на гелиоцентрический отрезок траектории происходит на некоторой,
вообще говоря, произвольной, но имеющей физический смысл границе
равного или почти равного гравитационного влияния со стороны
планеты и Солнца. Когда космический корабль движется, например,
от точки S к области более сильного гравитационного влияния планеты.
*
) Этот метод называют также методом сфер действия.— Прим. перев

110
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
ТО конечные гелиоцентрические положения и скорость на границе
этой области представят начальные положения и скорость для плането-
центрической орбиты (после соответствующего перехода от
гелиоцентрической к планетоцентрической системе координат.— Перев.).
Точно так же при выходе из этой области планетоцентрические
значения на границе представят начальные условия для следующего
гелиоцентрического отрезка пути. На практике в качестве границы области
преобладающего гравитационного влияния планеты принимают так
называемую среднюю сферу действия (ССД).
Понятие средней сферы действия планеты было введено Лапласом,
исходившим из того, что всегда надо относить изучение движения
небесного тела к тому центру притяжения, влияние которого
фактически преобладает.
Пусть рассматриваются три тела: 1, 2 и 3 (1 — планета, 2 —
космический корабль, 3 — Солнце.— Перев.). Отнесем сначала
движение корабля к телу 1 и из дифференциальных уравнений движения
найдем выражение для отношения возмущающего ускорения со
стороны тела 3 к ускорению в задаче двух тел 1—2. Аналогичным образом
составим затем отношение возмущающего ускорения на корабле со
стороны тела / к ускорению в задаче двух тел 2—3. Приравнивая эти
два отношения и прибегая к некоторой упрощающей аппроксимации,
придем [5] к формуле
гв
т^ \^1ъ
Щ
(4.7)
где Г/ — радиус сферы действия тела 1, Го—расстояние между
телами 1 и 3, mi — масса тела 1, /Пз — масса тела 3. Эта формула,
несмотря на то, что она отнюдь не является точной, дает нам границу
области преобладающего гравитационного влияния тела 1, т. е. радиус
сферы, которая может служить теоретически вполне обоснованной
рабочей моделью. В (4.7) масса тела 2, т. е. масса космического кораб-
Таблица 4.1
Планеты
Солнце
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Радиус сферы
действия, км
оо
0,111780.106
0,616960-106
0,924820-106
0,577630-106
0,48141 .108
0,54774 .108
0,51755 .108
0,86952 .108
0,35812 .108
гравитационная постоянная,
км'^/сек^
0,132715445.1012
0,216855300.105
0,324769500.106
0,398603200-106
0,429778000.105
0,126710600-109
0,379187000-108
0,580329200 -10?
0,702607200-107
0,331788600-106

4.1. Межпланетные перелеты 111
ЛЯ, Принимается равной нулю. Непосредственные вычисления по этой
формуле для планет солнечной системы дают нам радиусы их сфер
действия, приведенные в табл. 4.1. Там же даны соответствующие
гравитационные постоянные планет. Непосредственное построение такой
межпланетной траектории может быть выполнено следующим образом.
Предположим, что в момент / = /о известны планетоцентрические
прямоугольные координаты и компоненты скорости
• • •
^'о? Уо? ^0' -^0? Уо* ^0*
с помощью обычных методов, указанных в [1, гл. 3], можно
определить классические планетоцентрические элементы
а, е, 7, Р, Q,
где а — большая полуось орбиты, е — эксцентриситет, Т — момент
прохождения через перицентр, Р — единичный вектор, направленный
из динамического центра на перицентр орбиты, Q — единичный
вектор, повернутый по отношению к Р на угол 90° в плоскости и в
направлении движения. Если космический корабль должен пересечь сферу
действия планеты, то ^ ^ О, и из уравнения конического сечения
- " (4.8)
\-\-ezosv
получим формулы (для истинной аномалии в момент достижения
сферы действия.— Перев,)
Q,OSV
-н
'I f (4.9)
1/2
s\nVi=±.{\— COS^ Vj) '^,
Двойной знак в (4.9) соответствует двум точкам пересечения плането-
центрической орбиты со сферой действия. Орбитальные координаты
и скорости в этих точках могут быть вычислены по формулам
X^^rjZO^Vi, yai=rjS\nVj, (4.10)
s'mvi, у^==^А^ \cosVj + e). (4.11)
jLl \V2 . • / М- \^/2
Планетоцентрические положение и скорость могут быть теперь
вычислены с помощью известных векторных формул
rj^ATcoP + ycoQ,
(4.12)
rj^XcoP + ycoQ.
Обычно основная плоскость выбираемой планетоцентрической системы
координат совпадает с плоскостью экватора. Поэтому необходимо

112
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
Применить формулы поворота системы координат [1, прилож. 1]:
X.
Xi
X.
Xj,
Уе —yi COS e + Zj sine,
yjsm& + ZjCos&,
Уе = у I COS & + Zi sin 8,
^j sin 8+ 2'/COS 8,
(4.13)
где 8 — наклонение эклиптики к экватору, выражаемое по
формуле (1.23), принимается постоянным, что вносит очень небольшую
Солнце
Средняя ссрера
влияния
Рис. 4.4. Орбитальная схема.
погрешность. Формулы (4.13) дают положение и скорость в
гелиоцентрической эклиптической системе координат. Далее требуется
выполнить перенос системы координат. Пусть векторы т^р и г^р
определяют положение и скорость космического корабля в
геоцентрической эклиптической системе координат (рис. 4.4), так что
Ги
Р
Ге,
up
Гр.
Далее, на момент /= ^j, получаемый непосредственно из уравнения
Кеплера по известному значению Vj^ находятся векторы положения
и скорости планеты, определяюш,ие движение корабля, т. е. векторы
^Р' ^р*
Таким образом, начальное по отношению к последуюш,ему
гелиоцентрическому движению состояние корабля в точке сферы действия
планеты определяется векторами
^u0 — I'up ~г I'p?
(4.14)
ri;0
^vp -p I'p.
(4.15)

4.2, Траектории с минимальным расходом горючего
ИЗ
Определение элементов кеплеровой гелиоцентрической орбиты
космического корабля с момента t = tj до сближения с другой
планетой выполняется обычным способом [1, гл. 3]. Следует при этом
проследить, чтобы гелиоцентрическая траектория не пересекала
сферы действия какой-либо другой планеты. Если это происходит,
то следует прибегнуть к процедуре, противоположной только что
описанной, и определить начальные планетоцентрические условия,
чтобы продолжить построение следующего отрезка траектории.
Описанный метод часто применяется на практике, поскольку он
очень прост и довольно хорошо аппроксимирует истинную траекторию.
4.2. МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ С МИНИМАЛЬНЫМ
РАСХОДОМ ГОРЮЧЕГО
4.2.1. Предварительные замечания
Интересным и важным типом траекторий перелетов с одной
планеты на другую являются траектории,
энергетических затрат. Полезно кратко
межпланетными орбитами,
соединяющими положения двух
планет. Как видно из рис. 4.5,
перелет с планеты 1 на
планету 2 будет осуществлен, если
направить космический
корабль на гелиоцентрическую
соответствующие
познакомиться с
минимуму
обычными
%
Рис. 4.5. Обычный
межпланетный переход.
Xz
Уе
Гелиоц ентрическая
орбита
траекторию, пересекающую планету 2. Если время перелета А^ задано,
то гелиоцентрическая орбита, проходящая через положения / и 2,
может быть определена одним из шести способов, рассмотренных
в [1, гл. 6]. Согласно изложенному в разд. 4.1.1, приращение скорости,
требуемое для того, чтобы космический корабль вышел на
гелиоцентрическую орбиту перехода, вычисляется по формуле (4.6).
Замедляющий импульс в положении 2 (для перехода на орбиту вокруг планеты
назначения.— Перев.) вычисляется аналогичным образом, после чего
траекторию перелета можно считать построенной. Такие межпланетные
траектории называются плоскими, так как они расположены целиком
в плоскости 1S2. Это вполне приемлемый тип перелета, и он
рассматривается довольно часто. Однако, когда планета назначения начинает
приближаться к точке 5, где происходит ее соединение с Солнцем
8-491

114 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
(т. е. эта планета, Солнце и планета отправления находятся примерно
на одной прямой), перелет по плоской траектории становится практи-
чески неосуществимым. Из-за того, что орбиты планет наклонены
друг к другу, плоские траектории перелета должны проходить над
Солнцем (т. е. в плоскости, перпендикулярной или сильно
наклоненной к орбитам движения планет.— Перев.).
При выходе на такие траектории собственная скорость планеты
отправления почти не используется, и потому ракетные двигатели
космического аппарата должны обеспечить колоссальное приращение
скорости. В случае такого расположения планет прибегают к двух-
импульсным кусочно-плоским траекториям перелета, расположенным
в двух плоскостях. При условии действия в некоторой промежуточной
точке между положениями 1 и 2 на рис. 4.5 импульса, изменяющего
плоскость движения, перелет требует гораздо меньших затрат
горючего.
Таковы рассматриваемые ниже траектории перелета, для которых
выводятся условия оптимальности. Кроме того, приводится тест»
с помощью которого исследователь автоматически устанавливает,
какой тип перелета более выгоден: по одноимпульсной плоской
траектории или по двухимпульсной траектории.
Результаты, приводимые здесь, следуют в основном из работы
Фимпла [3]. Соответствующие формулы справедливы с точностью
до членов пятого порядка относительно угла /* между вектором
гелиоцентрической скорости космического аппарата при его выходе на
первый отрезок траектории перелета и плоскостью движения планеты
отправления. Способы построения траекторий перелета, развитые
Эскобалом [6], более точны по крайней мере в рамках применимости
метода кусочно-невозмущенных орбит.
4.2.2. Исходная координатная система
Компоненты векторов положения и скорости данной планеты
обычно можно выразить через средние элементы или более точные
параметры орбиты, отнесенной к эклиптической гелиоцентрической
системе координат Xg, уе, г^ (разд. 1.3). Поэтому предполагается, что
на данную юлианскую дату, соответствующую началу движения по
оптимальной траектории перелета, координаты планеты и компоненты
ее скорости в этой системе координат (разд. 4.6) известны. При
исследованиях, излагаемых ниже, удобно использовать систему координат
^ру Уру ^ру привязанную к планете отправления в момент начала
перехода на гелиоцентрическую орбиту. Ось Хр направлена вдоль радиуса-
вектора планеты в этот момент. Ось ур повернута по отношению к оси
Хр на прямой угол в направлении движения и лежит в мгновенной
плоскости движения планеты, принимаемой за основную
координатную плоскость. Наконец, ось Zp направлена так, чтобы система
(^ру Уру ^р) была правосторонней. Если предположить, что долгота

4.2, Траектории с минимальным расходом горючего
115
восходящего узла Q, аргумент перигея со и наклонность i орбиты
планеты постоянны, то переход от эклиптической к выбранной плането-
центрической системе координат осуществляется непосредственно
по формулам
■м ^
Хр
Ур
jp.
-[М]
-^8
Уг
J^.
9
•
Хр
•
Ур
9
\м\
•
х^
•
Уе
_^е -
(4.16)
где зависящая от времени матрица преобразования равна
[М]
и
V
V
V
W
V
(4.17)
Причем
и^ = cos W cos й — sin и sin й cos /,
и У = cos ц sin й + sin и cos й cos /,
fyz = sin«sin/,
V
V
X
V
sin и cos й — cos и sin й cos /,
sin a sin Q + cos и cos Qcos /,
Vz^ cos a sin/,
U^x = sinQsin/,
W
у
COS Й sin/,
ir
COS I.
(4.18)
и и = у + 0)
4.2.3. Процесс построения траектории перелета
Предположим сначала, что осуществляется одноимпульсный
перелет к планете назначения 7, координаты которой в системе (лгр, ур, г-р)
к моменту завершения перелета равны х^т^ Урту ^рт- Следовательно,
для любой даты начала перелета и заданного интервала времени можно
найти фиктивную орбиту перелета, лежащую в плоскости 1 (по двум
гелиоцентрическим положениям на заданные моменты). В плоскости 1
(рис. 4.6) находятся начальная точка траектории перелета и
проекция Т на эту плоскость, т. е. Т\ Чтобы получить теперь истинную
траекторию перелета, необходимо предусмотреть импульс,
направленный перпендикулярно к этой плоскости и позволяющий достичь
истинного положения планеты назначения с координатами лгрг, ур^, Хрт-
Мы ограничимся здесь рассмотрением маневра перелета,
осуществляемого с помощью лишь двух импульсов: первого, приложенного
при старте, чтобы траектория лежала в плоскости 2 под углом /* к пло-
0«1>

116
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
СКОСТИ и И второго импульса, приложенного в промежуточной точке /,
чтобы дальнейшее движение происходило в плоскости 5, наклоненной
под углом i*** к плоскости 2. Плоскость 3 выбирается так, чтобы в ней
лежала конечная точка Т. При построении такой траектории
минимизируется величина полного приращения скорости и определяется
точка /.
В заключение заметим, что если проекция планеты назначения
на плоскость 1 попадет в некоторую точку между Т и Т (рис. 4.6),
Планета
назначения
Г
Плоскость орбиты
планеты отправления
(плоскость i)
Уе
Плоскость эклиптики
Планета отправления
Xi
Рис. 4.6. Схема расположения планет
то реализуется несколько другой маневр перелета. Если Т лежит
в плоскости У, то осуществляется непосредственно одноимпульсный
перелет в одной плоскости между двумя заданными пунктами. Как
мы увидим ниже, иногда одноимпульсный перелет оказывается
выгоднее, чем двухимпульсный. Чтобы выделить истинно оптимальную
двухимпульсную траекторию перелета, может оказаться необходимым
повторить то же исследование для различных проекций Т', лежащих
между Т и плоскостью 1, Каких-либо особых проблем при анализе
здесь не возникает. В этом случае плоскость } должна совпадать
с мгновенной плоскостью, определяемой векторами г^р и г^н в момент
запуска, т. е. позиционным вектором планеты отправления в
начальный момент и известным вектором гелиоцентрической скорости,
полученным по двум позиционным векторам и фиксированному интервалу
времени.

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего
117
4.2.4. Положение и приращение скорости в момент
действия второго импульса
Рассмотрим космический аппарат, движущийся в плоскости 1
в момент, когда его положение и скорость определяются векторами г ар
и Vdh (рис. 4.7). Заметим, что Ган — гелиоцентрическая скорость
перехода в плоскости 1.
"^dh
Т
Wi
Плоскость i
Рис. 4.7. Схема изменения плоскости движения.
Для перехода из плоскости 1 в плоскость 2 к г^н должна быть
добавлена скорость, перпендикулярная плоскости Л т. е. AVdh^i-
В результате сложения векторов г^/г и AVdh^i получим новый вектор
скорости
rdpi = rdh + ^Vdh'Wi
(4.19)
или (в соответствии с рис. 4.7)
(4.20)
Введем теперь единичные векторы U^p и V^pj, определяемые по
формулам
iidp =
fdp
fdp
(4.21)
V
dpi
^dp^dpi fdpi^dp
Vl^sPdpi
(4.22)
где [13 — сумма масс космического аппарата и Солнца.

118 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
Геометрически U^p представляет собой единичный вектор,
направленный от динамического центра к аппарату^ а У dpi — единичный
вектор, повернутый к U^p на 90° в плоскости и в направлении
движения. Оба эти вектора определяются в начальной точке траектории
перелета. Очевидно, что вектор U^p не зависит функционально от /*,
а вектор У dpi непосредственно зависит от /* в соответствии с (4.20)
и выражается формулой
Vdp,- = —^ -= "^—^ . (4.23)
Можно упростить (4.23), вводя параметр Ddpt по формуле
• • •
гч ^d-pi'^d-pi ^dp'^dpi rdp-irdh + Vdh ^g i* ^i) у.^л^
Ddpi = \^- - ^- = —^ Г7- . (4.24)
УИз УИз У[^з
Так как Vdp и Wi направлены друг к другу под прямым углом, то
^dp'^dh fdpfdh
Vf^3 V\^
И (4.23) преобразуется к виду:
rdpirdh + Vdhtgt*V^i)~Vli3DdpVdp ^^ ^^^
У dpi = -, . . (4.25)
Vl^sPdpi
С помощью единичных векторов U^p и Vdpty определенных в момент
toy можно вычислить [1, гл. 3] на любой будущий момент действия
импульса векторы положения и скорости, обозначаемые вторым
нижним индексом /:
= Xvi\^dp + Uvi^dpi, (4.26)
27
•
Ггг = x^i\}dp + yvi^dpi, (4.27)
где
Xvi = о COS V*, у VI = ГI sin v"^,
^./=(^)'^'(5.i--sinc;*), y.,= (-^)'^'(C,,^ (4.28)
^vi=^- (Pdpi) ^ Сы=— 1, V* = Vj — Vi,
f^dp 'dp
Чтобы второй раз изменить плоскость движения, следует добавить
такую скорость, чтобы результирующая скорость лежала в
окончательной плоскости перелета (рис. 4.8). Это приращение скорости,
которое обозначим через АУг» должно быть направлено перпендикулярно
плоскости У, но не плоскости 2, так как в последнем случае возникла бы
дополнительная компонента скорости
A^ssinf*, (4.29)

4,2. Траектории с минимальным расходом горючего
119
параллельная плоскости 1, Это привело бы к отклонению траектории
перелета по л: и у от координат цели Хрту Урт и к соответствующей
ошибке. Если же AV2 перпендикулярно плоскости У, то такая ошибка
W
) i W. Цель
^ Финальная плоскость
Ур
Начальная
плоскость
Промежуточная плоскость
траектории перехода
Рис. 4.8. Точки приложения импульсов.
не возникает. Следовательно, новый результирующий вектор скорости
после действия второго импульса равен
fs.-f^i + AVsWi. (4.30)
Остается определить еще величину приращения скорости АУг
Итобы скорректировать третью- координату по оси z
р-
Перев.).
4.2.5. Выражения для первого и второго импульсов
Согласно изложенному выше, первый гелиоцентрический отрезок
траектории перелета строится как часть гелиоцентрической орбиты,
проходящей через планету отправления в точке 1 и через проекцию
на плоскость L Таким образом, векторы г^р и г^/г, определяющие
положения и скорость космического аппарата, можно считать известными.
Из рис. 4.9 видно, что вектор скорости г^/г является результирую-
щим при сложении вектора скорости планеты г^р и вектора дополни-

120
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
тельной скорости космического аппарата г^^. Заметим, что г^ находится
как разность между векторами гелиоцентрической скорости аппарата
и скорости планеты в положении У, т. е. по формуле (4.1).
Уе
Т
Планета
Проекция Т
на плоскость
(^dpji'dp)
() назначения
Планеюа отправления
Рис. 4.9. Векторы положения и скорости в начале маневра.
Учитывая это, можем использовать (4.6) и выписать в явном виде
выражение для AVi:
^Vi = [Vl + {Xdp — Xdh)^ + {у dp
ydh? +
''0
(4.31)
радиус
где |ji2 — сумма масс аппарата и планеты отправления, а Го
стартовой круговой орбиты, по которой аппарат движется до момента
действия первого импульса скорости.
В этой формуле Zd-p = О в силу выбранной системы координат»
Если же Т совпадает с Т (т. е. если Т лежит в плоскости /.— Перев.),
то также Zdh= 0. Однако для общности мы будем все же учитывать
и компоненты скорости по оси Zp. Компонента Vdu tg i* представляет
собой скорость, необходимую для изменения плоскости движения.
Запишем окончательное выражение для величины первого импульса
скорости в виде
AVi = (Pi + p2tg^t*)
1/2
Рз.
(4.32)
где
Р1
у^
V
2
W ^ ^ W
(Г^р — Vdh) ' i^dp — ^dh) 1
Р2 '= ^dlu

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего 121
Перейдем теперь к выводу выражения для второго импульса
скорости. С этой целью рассмотрим вектор W, перпендикулярный
плоскости 3 и радиусу-вектору планеты назначения в намечаемый момент
встречи с ней космического аппарата. Этот вектор может быть
представлен как векторное произведение позиционных векторов Г2/ и г^р, т. е.
W = (r2iXrap), (4.33)
где индекс ар соответствует планете назначения. Следует заметить,
что W зависит от /*, t;*, ....
Потребуем, чтобы результирующий вектор скорости Гз/ после
действия второго импульса лежал в плоскости 3. Это будет иметь место
при выполнении условия
r3i-W = 0 (4.34)
или в соответствии с (4.30) при
(r^j + Al/sWO-W^O, (4.35)
откуда
С помощью (4.23) и (4.25) можно преобразовать это выражение к
следующему виду:
74 COS у*+ 75 sin у*
(4.37)
где
Ti = il^aPdpi)^^" {di + 4 tg i*),
T2 = (jAsyOdpO^''" (^3 + ^4 tg i*),
T4 = |A3pdpi8i-Wi,
^4 = rdpVdh^i • Wi

122
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
и
^1 — «-'dp X Гдр,
^2 = ^dp^dh X Vap — {^^dp'^dh) (Udp X Г^р),
es^^dpV'd^WiX * ap'
Выкладки, приводящие к выражению (4.37), достаточно громоздки.
Они приведены полностью Кричтоном [И].
4.2.6. Минимизация полного приращения скорости
Полное приращение скорости, требуемое для того, чтобы
космический аппарат достиг планеты назначения *), равно
А
AVi + I ^v
(4.38)
Если использовать (4.32) и (4.37), то выражение для Д можно
записать в следующем виде:
A=(Pi + p2tg2n
1/2
Рз +
gi sin и*+ ^4 COS 1^*4-^2
74 COS у*-|-Y5 si^ ^*
(4.39)
Приращение скорости Д является функцией /* и v^, При
отыскании минимума Д требуем, чтобы dA/di"^ = dA/dv"^ = 0. Составляя
dA/dv^
и приравнивая ее нулю, получим уравнение
^1 == (^iY4 — S475) + ^274 sin ?:;* — ^275 cos и* = 0.
(4.40)
Решая его относительно sin:;*, находим
sin?:^
*
У5±(У|-4У4Уб)'^^
2V4
(4.41)
где
^4 = а2 + аз, V5 = 2aia2, Vq
а
а
и
0^1 = 74^1—75^4, 0^2 = 74^2, (^3
75^2.
Так как второй импульс прилагается в точке, где О -^ t;* -^ я, то
можно отбросить лишние корни уравнения (4.41). Тогда cost;*
определяется далее единственным образом по формуле
cos?:^*
а2 sin y*H-ai
«3
(4.42)
*
Выражение для второй частной производной дА/дг очень сложное,
поскольку р, Си, S^ и т. д. суть функции I*. Выражая все элементы
и другие параметры в виде рядов по степеням /*, можем после длин-
*
) Результаты этого раздела фактически используются для построения
пролетных траекторий, двигаясь по которым космический аппарат пролетает
вблизи планеты, но не захватывается ею.—Перев.

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего 123
ных выкладок прийти к уравнению
/^2 = Vii*4_|_v2i*3 + V3i'*2 + V4i* + V5 = 0, (4.43)
коэффициенты v = v (t;*) которого приведены в разд. 4.29.
Для совместного решения (4.41) и (4.43) можно применить
следующий быстро сходящийся итерационный метод. Так как
коэффициенты в (4.41) относительно мало чувствительны к изменениям /*
(хотя они и являются функциями /*), то выберем какое-либо
значение /* (например, /* =if = 0) и вычислим коэффициенты v. После
этого можно сразу вычислить коэффициенты v по формулам,
приведенным в разд. 4.2.9. Далее, находя решение алгебраического
уравнения 4-й степени с помощью алгоритма, приведенного в [1, прилож. 3],
получим новое значение /*+ь улучшенное по сравнению с i].
Следующее приближение для /*, вычисляемое таким же путем, обычно
не вносит существенного изменения.
Для всех реальных межпланетных перелетов в солнечной системе
(* мало, поскольку малы относительные наклонности орбит. Между
прочим, стоит заметить, что даже для необычно высоких перелетов
при взаимной наклонности между плоскостями стартовой орбиты
и первого отрезка траектории в 0,25 рад (^ 14°) получим, что (ii)^ ^
^ 0,00097 рад ^^ 0°,056, а итерации для р, С^ и т. д. быстро сходятся
к истинным значениям. Нужный нам корень алгебраического
уравнения 4-й степени должен иметь тот же знак, что и г-компонента радиуса-
вектора планеты назначения.
4.2.7. Полное приращение скорости
Формула (4.39) при постоянном t;* определяет Д как функцию,
обладающую рядом свойств. Очевидно, что минимум ДУь равный
(AV^i)min = (Pi)'/'-p3, (4.44)
достигается при /* = О, а при любом другом /* значения A^i больше.
Функция I ДУг 1> естественно, положительна и обращается в нуль
при /* = if у где it — наклонность вектора скорости для одноимпульс-
ной траектории перелета, т. е. траектории, лежащей в одной плоскости.
График Д^! как функции /* представлен кривой аЬ на рис. 4.10.
Функция I ДУг I должна возрастать по обе стороны от /*, и ее график
представлен кривой citd на рис. 4.10.
Сумма Д^! и I ДУг I Д^ет полное приращение скорости Д, график
которой представлен верхней кривой на рис. 4.10. Так как Д^!
возрастает в интервале (О, it), а | ДУг 1 убывает, то Д имеет в этом
интервале минимум, достигаемый, скажем, в точке i^. Как видно из
графика, значение /^, представляющее собой приемлемый корень
уравнения (4.43), никогда не превосходит if, так как при ^** > it требуемые
приращения скорости возрастают и Д не может иметь минимума.

124
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
Предельное значение /* всегда можно найти, так как это значение /*
соответствует одноимпульсной траектории перелета. А именно if нахо-
i^^i)m\
mm
-4f -3 -2 -/
I
I
Рис. 4.10. Графическое представление уравнения приращения скорости
дится при вычислении такой траектории между пунктами 1 и 2 при
заданном времени перелета. Если
ТО ЭТО значит, что одноимпульсная траектория лучше, чем двух
импульсная. Наоборот, если ^
то оптимальной является двухимпульсная траектория
4.2.8. Уравнения проекции цели
В предыдущем анализе молчаливо предполагалось, что вектор
скорости космического аппарата после действия первого импульса
лежит в плоскости, в которой движется планета отправления. Таким
образом, рассматривалась гелиоцентрическая орбита между планетой
отправления и проекцией на плоскость ее движения намечаемой точки
встречи с планетой назначения. Если точка Т цели на рис. 4.6 уже
лежит в плоскости У, то достаточно ограничиться одноимпульсной
траекторией перелета между начальной и конечной точками.
Представляется вероятным, что существует оптимальное.расстояние Т" от Т,
т. е. значение z%, при котором предшествующий анализ приводит
к истинному оптимуму. Следовательно, этот анализ следует провести

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего
125
сначала при г%
.*
= О без всякого изменения приведенных выше формул,
а затем при г'рз = /гДг*з, где п — число равных частей, на которое
разделен отрезок Т'Т. Тогда начальная одноимпульсная
гелиоцентрическая траектория выбирается слегка наклоненной к мгновенной
плоскости движения планеты отправления в положении 1. Уточнение,
полученное таким путем, имеет второй порядок малости.
4.2.9. Алгоритм для перелетов различных типов
В этом разделе приводится достаточно общий алгоритм,
используемый при вычислении межпланетных траекторий. При этом
рассматриваются четыре типа траекторий. К первому относятся одноимпульсные
межпланетные траектории, начинающиеся на круговой орбите вокруг
планеты отправления и проходящие вблизи планеты назначения.
Ко второму типу относятся траектории, соответствующие одноимпульс-
ному перелету с круговой орбиты вокруг планеты отправления и
последующему маневру перехода на круговую орбиту вокруг планеты
назначения. Третий тип траекторий соответствует движению с
круговой орбиты вокруг планеты отправления до оптимальной
промежуточной точки, где прилагается второй импульс, заставляющий
космический аппарат пролететь вблизи планеты назначения. Наконец,
четвертый тип траектории соответствует движению с круговой орбиты
вокруг планеты отправления до оптимальной промежуточной точки,
затем после действия второго импульса до точки вблизи планеты
назначения, где прилагается третий импульс, переводящий
космический аппарат на конечную круговую орбиту. Эти типы траекторий
перечислены в табл. 4.2. В последних двух случаях полное
приращение скорости минимизируется тем же путем, какой был рассмотрен
выше.
Таблица 4.2
Тип
Рз
Р4
Число
импульсов
1
2
2
3
Начальный
импульс

промежуточный
импульс
0
0
Конечный
импульс
0
0
ЛУз
Выводимый алгоритм позволяет найти траектории перелета ко всем
большим планетам даже в очень трудном случае траекторий,
охватывающих 180°, когда перелеты по траекториям над Солнцем (т. е. в
плоскости, перпендикулярной плоскости движения планет.— Перев.)
связаны с большими затратами горючего. Если задана дата старта,
можно найти как траекторию, проходящую вблизи планеты назначе-

126
Глава 4, Оптимальные межпланетные перелеты
ния, так и траекторию, которая соответствует захвату на круговую
орбиту вокруг планеты назначения. Выбор наилучшего типа перелета
при заданной дате старта осуществляется при использовании этого
алгоритма автоматически. Геометрическая схема указанных
траекторий дана на рис. 4.11.
Оптимальные траектории типов |3з и ^4» рассмотренные в разд. 4.2.3,
строятся с точностью до членов порядка /*^. Этого достаточно для
2г
Ус
Протжу точного
маневра нет
Круговая орбита
Планета отправления
Рис. 4.11. Схема перехода
большинства перелетов к планетам. Вывод опирается на метод кусоч-
но-невозмуш,енных орбит, причем стартовая и конечная орбиты вокруг
планет являются круговыми. Пусть даны:
j-d)
тт
тт
TV
тт
At
год запуска,
месяц запуска,
день запуска,
час запуска,
минута запуска,
секунда запуска,
желаемая продолжительность перелета,
сумма масс Солнца и планеты отправления

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего
127
1^2
М'З
k
k
dP
ар
^d
da
A[J.D.]
m
N
сумма масс космического аппарата и планеты
отправления,
сумма масс космического аппарата и Солнца,
сумма масс Солнца и планеты назначения,
сумма масс космического аппарата и планеты
назначения,
солнечная гравитационная постоянная,
гравитационная постоянная планеты отправления,
гравитационная постоянная планеты назначения,
радиус круговой орбиты вокруг планеты отправления,,
радиус круговой орбиты вокруг планеты назначения,
приращение юлианской даты.
количество интервалов, на которые делится A[J. D.],
число используемых импульсов (-^3).
Вычисления производятся в следующем порядке. Находим
юлианскую дату запуска [1, разд. 1.3]
[J.D.]
d
(4.45)
и юлианскую дату завершения перелета
[J.D.]^ = [J.D.]rf + Д^.
(4.46)
Находим на эти даты векторы положения и скорости в
эклиптической системе координат соответственно для планеты отправления
и планеты назначения по формулам разд. 1.3, т. е.
[Td, Tdle,
V^at ^а\гч
(4.47)
а также классические эклиптические элементы
[^d? ^di id^ ^dt ^Odle?
l^a? ^<2? ^a> ^^ai Ща\
(4.48)
Находим компоненты гелиоцентрических векторов ориентации U
(направленного от Солнца к планете отправления) и V (повернутого
по отношению к U на 90° в направлении и в плоскости движения)
по формулам
Рх"!
Vy
Uz_
COS Ща cos Q>d — sin Ща sin Q^ cos id
cos a^d sin Qd + sin u^d cos Qd cos id
sin u^d sm id
w
(4.49)
W
у
z _
sinQ^sin^'d
cosQdSin^'d
cos id
(4.50)
J8
Vy
X
Uy
.Uz.
(4.51),

128
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
Перейдем от гелиоцентрической эклиптической системы координат
к гелиоцентрической системе, определяемой начальным положением
планеты отправления. Радиусы-векторы и векторы скорости для
планеты отправления и планеты назначения найдем с помощью
матричных формул поворота системы координат
[М„] [0]
L [0] [Mp]J LrJ
fd
(4.52)
ар
Lr
aj)-^
[Mr,] [0]
L [0] [Mp]J LrJ
a
(4.53)
где
{Mr>\
t/v U,. и
X
у
V X
V
у
w
у
z
Уг
w
2: J
(4.54)
Определим *) гелиоцентрическую орбиту, проходящую через концы
радиусов-векторов Va-p и Vap при заданном времени перелета А/. Мы
получим после этого векторы
rdz, Tdi
i^dl = Tdjo),
(4.55)
определяющие положение и скорость космического аппарата в
исходной точке траектории перелета.
Предельное значение наклонности if вектора скорости
космического аппарата к плоскости движения планеты отправления можно
получить, определив вспомогательную гелиоцентрическую орбиту.
В первом приближении положим Я = О, составим вектор
,*
ар
X
ар
У ар
.'^^ар_
(4.56)
и найдем гелиоцентрическую орбиту перелета (рис. 4.7) между двумя
точками, определяемыми векторами г^р и rip. В результате получим
векторы положения и скорости космического аппарата в исходной
точке траектории перелета:
rdjD, Tdh
(4.57)
Далее найдем значение if по формуле
if = avccos{SdrSdh)i
JX
о
И
*
2
(4.58)
*) Одним из способов определения орбит по двум гелиоцентрическим
положениям на заданные моменты времени [1, гл. 6].

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего
129
где
Sdz =
^dl
{^di-^dif^^
S
dh
^dh
(^dh'^dhf^^
(4.59)
Вычислим параболическую скорость
вокруг планеты отправления по формуле
в точках стартовой орбиты
1/2
2^
ad
(4.60)
Вычислим сумму кинематической
с помощью формулы
и параболической скоростей
V
» ^ ^ ^
У]) + (Xdp — ^dh) • i^dp — ^dh).
(4.61)
Вычислим круговую скорость космического аппарата на стартовой
орбите, скорость планеты отправления и гелиоцентрическую
скорость космического аппарата при выходе на траекторию перелета
со стартовой орбиты по формулам:
VI
ad
V'
dv— ^dp'^d
Р»
V
Положим
dh = ^dh ' ^dh
Pll
h
Ьз}
■
Г ^' 1
Vk
Vo _
И вычислим вспомогательные параметры
М'^М'З»
Wi
^dp X Tdh
D
dp
» » • »
lirdpXrdhXrdpXrdh)]
^dp-^dh
1/2
[^
1/2
Вычислим коэффициенты б:
б
10
бц
б
12
б
13
[^
^dpP2
2 ^dpP2
3 ji
6V2,
Ddv^
б
14
б
15
б
16
б
17
1 бц
2 А^1/2 '
1 6l2
2 xV2
Olo
1
~ 6j^^'
1 611
1
8
Sfi
8Ц^
2 fiV
/г
(4.62)
(4.63)
(4.64)
(4.65)
(4.66)

130 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
6,3==ij^-i-^. б,,=4^-1,
8 6^2 2 6^/2 ' '•dp
I
га- '
8iQ = ^6i3, ^23
(4.67)
В первом приближении положим i* == f* == О и вычислим следующие
параметры:
Vdpi = P2sec2i*,
/-2
^ dp т/2 П2
г
с _ ■^'^Р „1/2
^ _Pdpi -
11 _ ''^^^
Udp--—-,
'dp
^2 = rdpVdh X Гдр — (fdp • Vdh) (Udp X Tap),
ез = /'dpV'd/iWi X ' api
dl = 82'Udp,
d2 = fi3'Udp>
Yi = d^yfrfpi)'^' (di + ^2 tg i*),
Y2 = iV'Pdpii"' {ds + di tg i*),
V4 = I^Pdpi(8rWi), «1 = 74^1 —Y5C4,
T5 = i^Pdvi (82 • Wi), аг = 74^2.
1/2 „ «3=—75^2.
^^=(ir) '^*^''*'
Pdpi / V4 = ai + a^,
H \V2„ V6 = aJ-a^
V2(-^) C.b
(.4'-8)

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего 131
Вычислим синус центрального угла перелета (угла, под которым
виден с Солнца первый отрезок траектории перелета до
промежуточной точки / на рис. 4.8.— Перев.) по формуле
sint;* = 2 — (4.69)
и, отбросив отрицательные или равные нулю корни, найдем
003^*=-"^^'"^*+°^'. (4.70)
аз
Вычислим следующие вспомогательные коэффициенты:
Ф12== 1^519^2 sin t;*,
Ф1з = 1^620^1 sin t;*,
Ф14 = М' (^20 ^2 + у ^19^2) sin t)*,
Ф15 = (1^621^1) sin t;*,
Ф16 = — М'^2 ("ig ^19 + у 620 + 621) sin V
Ф21== — (xdisin^t;*,
ф22= — firfasin^z;*,
ф23 = 0,
Ф24= — ylidgsin^z;*:
ф25==0,
2
Ф26= — ^fidgsin^t;*,
фз1 = М'^зС082 1;*,
ф32 = [^^4 C0S2 t;*,
фзз = О,
ф34 = у (^^4 C0S2 j;* ^
ф35 = о,
2
ф41== 1^622^3 cost;*,
Ф42= 1^622^4^051;*,
ф43-=фб23^зС08 1;*,
*

132
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
ф44 = М'
ф46
(бгз^
3
622^ )
cos?:^
*
Ф45 = Ь16244С08 1;*,
2
М'"4 1у5'^22
б
3-623 + 624)
QOSV
*
961 = 1^ (t'i-Wi)6ioCOS?:;*,
963 = M'(ei-Wi)6iiCOS?:;*,
965 = M'(ei-Wi)6i2COS?:;*,
ф71 = М'^/^ (82 • Wi) 6i3 sin v"",
ф73 = l^'/^fe• Wi) 614sin?:;*,
Ф75 = 1^^^^ (^2 • Wi) 615 sin 15*,
Л^1 = фб1 + ф71,
Мг = фбЗ + ф73,
Л/'5 = фб5 + ф75^
Л^1
/V
yv
л^
л^
л^
6
со
А,
Аг
Аз
А,
А.
—
___
-^
3ZZ —
■—■
Р2
"Pi
-0
- S ФЛ'
1
4
- S Ф72»
1
4
- S Ф73.
1
4
■Ефд'
1
4
1
4
■ЕФ76.
1
?
о,
4
3
со
2
со
4
)Mi'py2_|-2MiM3«2pV2,
(4.71)
О,

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего 133
Если О < /* < if, ТО ПОЛОЖИМ s= — 1; ^? или положим s ^ 1
i. ,1^
и вычислим коэффициенты v по формулам:
V3 = Лз + S {3MiNi - M3N2),
v^ = A2 + si2M^Nз-2MзN^),
v, = A^ + s{M,N2). (4.72)
Решим уравнение 4-й степени
Vii*^ + V2i*3 + V3i*2 + V4i*+V5-0, (4.73)
найдя все его положительные корни, и оставим корень i
;*
0<t*<tf. (4.74)
Если при этом
4-iX+i|<6*, (4.75)
*
П
где б* — допустимая погрешность, то этот корень принимается в
качестве окончательного значения угла f*.
В ином случае с найденным корнем /* = in+iy представляюш,им
улучшенное значение /* (по сравнению с первым приближением i
= 0.— Перев.), возвраш,аются к вычислениям, соответствуюш,им
(4.68) — (4.73) *). Для подходяш,его корня уточненного уравнения (4.73)
опять проверяется неравенство (4.74). Если оно удовлетворяется,
то продолжают вычисление в соответствии с (4.76). В ином случае
более выгодной является одноимпульсная плоская траектория
перелета.
Вычислим прираш,ения скорости, требуемые для выполнения
маневра, по формулам:
(4.76)
Д1/,
^1 sin 1^*4-^4 cos tJ* + C2
74 COS у*+ 75 sin у'*
Определим радиус-вектор точки приложения второго импульса
и соответствуюш,ий вектор скорости по формулам:
Pdjii
1 +Cyf COS V* — Syj sin у* '
^dpi = ^dpi X Udp,
*)Пол i'n+i подразумевается нужный корень уравнения (4.73),
рассматриваемый как (п + 1)-е приближение (в данном случае второе, так как значение
in = О было выбрано в качестве первого приближения) к точному значению /*.—
Примщ перев.

134 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
Xvi= Г J COS V*,
^27 =" -^DjUdp + yvl^dpi"»
27
Xvi\idp + yvi^dpb (4.77)
Вычислим время перелета
Д/i (4.78)
о о
между точкой отправления и точкой приложения второго импульса.
Вычислим далее остающееся время полета
Д/2 = At— Д/i (4.79)
к планете назначения.
Найдем гелиоцентрическую орбиту, проходящую через концы
векторов Г/ и Гор при заданном времени перелета А/г» после чего
получим вектор скорости в точке / и будем знать, таким образом, оба
вектора
гп г^. (4.80)
Найдем дополнительно вектор скорости космического аппарата
в точке назначения и будем знать векторы *)
^apf ^ар»
Вычислим кинематическую скорость ДУд» с которой космический
аппарат достигает точки назначения (разность между скоростью
планеты назначения и скоростью космического аппарата.— Перев.):
^Vl = {Тар —Тар) • {Гар - Тар), (4.81)
И параболическую скорость
Vla = ^, (4.82)
а
а
а также найдем полное приращение скорости **) при переходе с
гелиоцентрической орбиты на круговую орбиту вокруг планеты назначения
по формуле
ДУ:
з^(Па + АП)'/^-(-^-) . (4.83)
*) Заметим, что это та же орбита, что и только что полученная, но только
она определена по другим краевым условиям. Чтобы избежать итерации, исполь-
зуют окончательное значение р, соответствующее (4.80).
**) Единицы, в которых выражены Vpci и Кд, должны быть согласовяны.

4.2. Траектории с минимальным расходом горючего 135
Вычислим приращение скорости для оптимальной двухимпульс-
ной траектории:
^Vм2 = Д1^1 + А1^2. (4.84)
Если требуется уточнить скорость *), то положим (АУмг)! =
= А1^м2» возвратимся к (4.56), примем Х ^ Ъ% от | 2р | и повторим
вычисления по формулам (4.57) — (4.84).
Если (АУм2)г+1 < А1/м2» ТО увсличим Я на 5% и опять повторим
вычисления по формулам (4.57) — (4.84) и т. д. до тех пор, пока не
придем к истинному минимальному значению 1^Vm2-
Если желателен трехимпульсный {N = 3) перелет, занимающий
интервал времени между моментами [J.D.]^ ± А [J.D.], то полное
приращение скорости равно
AVt = I AFi 1 +1AI/21 +1 АУз I- (4.85)
Все вычисления повторяются, начиная с момента [J.D.]—А [J.D.]
с шагом А [J.D.]/m до [J.D.]^ + А [J.D.], и выбирается
соответствующий минимум АУу.
4.2.10. Численные результаты для энергетически
оптимальной траектории
Алгоритм, приведенный в разд. 4.2.9, можно использовать для
построения траекторий перелета различных типов. Перелеты по
кусочно-плоским траекториям, т. е. по траекториям с оптимальным
выбором промежуточного импульса, а также по одноимпульсным
траекториям можно интерпретировать по рис. 4.12 и 4.13.
Траектории с Земли, проходящие вблизи Марса, иллюстрируются
на рис. 4.12 с точки зрения требуемых затрат горючего или, что
эквивалентно, величины полного приращения скорости при запуске в
различные дни. Сплошные линии соответствуют одноимпульсным
пролетным траекториям с временем перелета 300 суток. Время старта
для оптимального одноимпульсного перелета приходится, как
показывают кривые, примерно на ноябрь 1964 г. Полное приращение
скорости, требуемое при таком перелете, примерно на 3,4 км/сек больше,
чем скорость вдоль стартовой круговой орбиты на высоте около 540 км.
По обе стороны от этой оптимальной даты старта требуемое
приращение скорости быстро возрастает. Уже в начале, следующего года
требуемое приращение скорости практически недостижимо. Возможность
запуска на такую траекторию перелета появляется снова примерно
в феврале 1965 г. Центральный пик кривой соответствует перелетам
над Солнцем. Чтобы заполнить это окно между ноябрем и февралем,
следует использовать двухимпульсные траектории. Требуемое при-
*) Это уточнение преследует цель исключить небольшие ошибки,
обусловленные проектированием Т на плоскость движения планеты отправления
(разд. 4.2.8).

30
2k
IB
<l
/2
5
0
Май Июнь Июль
Дата запуска
Авг. Сент.
W6^ г.
От. Нояб.
Дек. Яне, Февр.
i9652.
Рис. 4.12. Расход скорости при перелете с Земли на Марс. 9 — угол, охваты
ваемый траекторией.
30
гк
S i3
12
<
6
О
Два импульса
1
1
i
Май Июнь Июль
Дата запуска
Авг. Сгнт» От. Иаяб» Дек.
196^ 2.
Яив. Февр,
1965 г.
Рис. 4.13. Перелет с Земли на круговую орбиту вокруг Марса.

4.3. Наискорейшие траектории !37
ращение скорости соответствует пунктирной линии и возрастает
от абсолютного минимума, равного примерно 3,4 км/сек^ до 6 км/сеКу
т. е. остается в рамках реальных возможностей.
На рис. 4.13 представлен график, соответствующий перелету
на круговую орбиту вокруг Марса с высотой около 540 км. В этом
случае дата запуска на оптимальную траекторию приходится, как
и в случае одноимпульсных траекторий, примерно на середину ноября,
а вскоре после этого требуемое приращение скорости начинает
превышать возможности существующих ракетных двигателей.
Использование оптимального промежуточного маневра позволяет ограничиться
на период с ноября 1964 г. по февраль 1965 г. приращением скорости
примерно от 6 км/сек (в ноябре) до 9 км/сек (в феврале).
Трехимпульсные траектории перелета имеют очень большое
значение для спасательных операций, для доставки материалов и
продовольствия научным экспедициям, когда сильно увеличенный
интервал невозможности запуска может ставить под угрозу жизнь
будущих астронавтов.
4.3. наискорейшие межпланетные траектории
4.3.1. предварительные замечания
Перелеты к далеким планетам требуют довольно значительного
времени. Заставлять будущих астронавтов проводить очень много
времени в тесных помещениях межпланетных кораблей будет,
возможно, нецелесообразным. Рассмотренные выше траектории,
соответствующие минимуму энергетических затрат, т. е. минимальному
приращению скорости, едва ли удобны с точки зрения времени
перелета. По-видимому, истинно оптимальной межпланетной траекторией
является такая траектория, которая построена с одновременным
учетом ограничений по энергетическим затратам и по времени перелета.
Соответствующая функция, подлежащая минимизации, может быть
записана в виде линейной комбинации
w = AAV + BM, (4.86)
где АУ — полное приращение скорости, требуемое для проведения
маневров, а А^— полное время перелета от одной планеты к другой.
Параметры (или веса) А и В постоянны и выбираются так, чтобы
удовлетворить реальным требованиям. Например, А и В могут
соответствовать компромиссной ситуации, учитывающей функцию
физиологической сопротивляемости астронавта, медицинские соображения,
психологические факторы и, наконец, стоимость перелета, которая
непосредственно отражена в коэффициенте Л.
Очевидно, если положить В = О, то придем к энергетически
оптимальным траекториям. Этот случай исследуется методами,
изложенными выше. В этом разделе рассматривается случай Л =^ О, т. е. ана-

138
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
лизируются Траектории наискорейшего перелета в чистом виде. Этот
случай важен, когда речь идет о быстрой доставке запасов или об
организации спасательной экспедиции.
Возможно, стоит упомянуть, что рассматриваемые в этом разделе
траектории наискорейшего перелета являются одно- или двухимпульс-
ными. В недалеком будуш,ем космические корабли будут, несомненно,
оснаш,ены ионными и электрическими ракетными двигателями,
создаюш,ими дополнительную тягу и сокраш,аюш,ими до минимума
время перелета. Поэтому рассматриваемые здесь траектории
соответствуют верхнему пределу минимального времени перелета к далеким
планетам. Любая добавочная тяга приведет к дальнейшему
уменьшению времени перелета. Результаты, излагаемые в этом разделе и
полученные в предположении круговой стартовой орбиты, принадлежат
Эскобалу и Кричтону [7].
4.3.2. Процесс минимизации времени
С помощью метода кусочно-невозмущенных орбит можно вывести
выражение для импульсного приращения скорости космического
Наискорейшая
траектория перелета
Планета
отправления
Планета назначения
Ур
Плоскость орбиты
планеты отправления
Рис, 4.14. Траектория наискорейшего межпланетного перехода.
аппарата в начальном положении, определяемом вектором г^р.
Геометрическая схема перелета приведена на рис. 4.14.
Выражение для этого приращения скорости записывается в
знакомом уже виде (разд. 4.1.1):
AVa = {Vl + VI)
2 4 1/2
Vc,
(4.87)
приращение гелиоцентри-
где Vp — параболическая скорость, Vh — _ _
ческой скорости, Vc — скорость вдоль круговой стартовой орбиты.
Из разд. 4.1.1 вытекает, что с кинематической точки зрения скорость,
которая должна быть добавлена, чтобы космический аппарат вышел

4.3. Наискорейшие траектории 139
• — •'■ ■ 1-1 11 !■ ■■ 11 II ■■■ i ■ i ■ 1^ — .1 . _..,|,— ■■■МИ..-.. I I 1. . ■■ ■! I I , ,
на траекторию к планете назначения, определяется по формуле
Vl= [{idv-^dh)-(rdT>-rah)f^\ (4.88)
где индекс dp относится к планете отправления и к невозмущенной
орбите перелета.
Для минимизации модифицированного времени перелета
^ = k(^{ta-td) (4.89)
(где kfT)—солнечная гравитационная постоянная, ta — юлианская
дата прибытия, t^ — юлианская дата отправления) достаточно
составить минимизируемую функцию Лагранжа М (разд. 2.3.1):
М = х + 'к (АУ^ах - АУ2 - 82). (4.90)
В этом выражении X — определяемый далее множитель Лагранжа,
и из
Al^^ax - А1^^ - е2 =. О (4.91)
вытекает неравенство
^v^<^vl,^^, (4.92)
означающее, что величина приращения скорости, соответствующая
траектории перелета, не превышает некоторого предела,
определяемого возможностями двигателей космического аппарата. При обычном
способе нахождения минимума требуется выполнение условий
4^ = 0, ^ = 0, (4.93)
где Ui — переменные, от которых зависят т и АУ.
Так как орбита проходит через концы векторов г^р и Гар, то это
дает шесть условий, поглощающих шесть степеней свободы; в
распоряжении остается еще одно условие, выражаемое равенством (4.91).
Следовательно,
^ = 0 (4.94)
является контролирующим условием. В соответствии с (4.90)
получим, что
—и = О, (4.95)
откуда 8 = 0 (поскольку ХфО) и, согласно (4.91),
АУи-А1/2. (4.96)
Это единственное налагаемое ограничение. Как следует из (4.87),
соотношение, определяющее орбиту, записывается в виде
{Vl + Vlf' = AVm^^ + Vo. (4.97)
Решая (4.97) относительно VI, получим
n = a„^ (4.98)

140 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
где
al = ^vu^+2vлvш^^-vl
причем правая часть положительна только при
А^^тах>(К2-1)Уе.
В силу (4.88) также имеем
• • • •
{^dp — 4h) • (rdp — Tdh) ^ «о'. (4.99)
Для определения орбиты перелета необходимо исключить из этого
• • •
симметричного выражения Хаку Уану ^аъ,-
4.3.3. Алгебраическое уравнение для наискорейшей
одноимпульсной траектории
В разд. 3.5.1 было показано, что
L= (o)i/?-'/2 + co2/?V2) Udp + co3pV2L),p, (4.100)
где
со
1
0)2
СОз
sin (Уар — t'dp)
''ар sin (Уар — г^йр) '
fx '■-
rdp^'^n(Vap~Vcip) '
причем \i — сумма масс Солнца и космического аппарата, v^p —
истинная аномалия на орбите перелета в момент старта, Vap —
истинная аномалия на орбите перелета в момент прибытия. '
Единичный вектор U^p, направленный из Солнца к планете
отправления, определяется непосредственно формулой
iiap = ^. (4.101)
'dp
Вместе с тем поскольку момент начала перелета неизвестен, то Пар
также неизвестно. Следует выработать !проходящий критерий для
определения оптимального момента старта. /Этот |момент
соответствует абсолютному минимуму времени перелета. Как только
продолжительность перелета установлена, из формул движения планеты
назначения (разд. 1.3) находим
Uap=^, (4.102)
'ар
а также численные значения величин со в (4.100). Для вычисления
разностей углов Vap — v^ip при этом используются следующие соот-

4.3. Наискорейшие траектории
141
ношения [1, гл. 6]:
Q:os{v
ар
Vdp) = Udp • и
ар J
sin {v
ар
Vdp)
^йаУар ^apUdp
^dpUap ^арУйр
[1 — cos^(:^
ар
'О dp)]
1/2
Учитывая это и используя (4.100),
к виду
можем преобразовать (4.99)
[(o)i/?-V2_}-o)2/?'/2)f/^^p +щрУ^и
хар
Xdp? +
+ l(0)i/?-'/2 + 0)2/?V2) Uydp + (Озр'/^Uydp - ydp? +
+ [(o)i/?-'/2 + o)2/?V2) U^dp + (03p'^^U,dp -ZdpV = ocl
(4.103)
где
Fdp
^dp
ydp
Можно записать (4.103) в более компактной форме:
V
ы
dQp + ai/?V2 + ^2 + аз/?-'/2 + ^4/?
-1
а
о»
(4.104)
где
ао = 0)^ + о)| + 2o)20)3Udp • Uap,
а
1
20)2Udp • r^p — 20)зиар • Гйр,
^2 = 20)i0)2 + 20)30)iUdp • Uap + Tdp • Г^р,
^3
^4
2o)iL)dp-rdp,
со^.
Полагая р = s^, придем к уравнению 4-й степени:
UqS^ + UiS^ + (а
^о) s^ + аз5 + ^4 = О
(4.105)
Решение этого уравнения относительно квадратного корня из
параметра орбиты может быть найдено в замкнутой форме [1]. Это
решение соответствует орбите с минимальным временем движения
от планеты отправления к планете назначения. При вычислении
коэффициентов этого уравнения требуется знать положение планеты
назначения. Так как минимальное время Хт перелета к планете
неизвестно, то прибегают к предварительным оценкам этого времени.
Оптимальная орбита должна быть найдена путем сопоставления
находимых субоптимальных орбит.
Мы сейчас покажем, что интервал времени Тс, требуемый для
перелета , между двумя точками, соответствующими радиусам-векторам

142 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
f'dp И Г ар у может быть вычислен с помощью конечной
последовательности формул, как только найден параметр р. Можно взять следующую
минимизируемую функцию F:
f = т —Тс, (4.106)
где т — предварительная оценка времени перелета. Если F = О,
то мы получим истинный глобальный минимум для времени перелета
при старте в определенный день. Если F Ф Оу то следует проварьиро-
вать оценку т и повторить анализ. Такой путь приведет нас, по
существу, к нулевому значению F, определяющему оптимальную орбиту.
Нуль функции F может быть найден или методом Ньютона, или путем
непосредственных проб.
4.3.4, Алгебраическое уравнение для наискорейшей
двухимпульсной орбиты
Предшествующий анализ не учитывает случая, когда космический
аппарат выходит на орбиту вокруг планеты назначения. Однако
на практике общее количество горючего или, точнее говоря, полное
приращение скорости, имеющееся в распоряжении при выполнении
межпланетного маневра, ограничено неравенством
AVt = AVa + ^Va < АУтах, (4.107)
где Al^d» ^Va — дополнительные импульсы в начале и конце
межпланетного перелета соответственно. Если предполагается, что
стартовая и конечная орбиты круговые, то с помощью интеграла энергии
можно получить соотношение, аналогичное (4.87):
^Vt = (Via + Vhy^^ - Vca + {Via + VUf^^ - Уса, (4.108)
где индексами d и a отмечены скорости при старте с исходной орбиты
и при переходе на конечную орбиту вокруг планеты назначения
соответственно. Кроме того, как и в гл. 3, можно показать, что условие
минимума времени перелета записывается в виде
^V4{VU + yi<if'^-yod\ + K'n{Vla^-Vlaf''-V,a]=^V^^',, (4.109)
где ^1^/2 и ^2^/2 — постоянные множители, играющие роль весовых
множителей. Очевидно, если Я//2 = О и Х^^^ = 1, то мы придем к
рассмотренному выше случаю одноимпульсных траекторий перелета.
В общем случае веса ^i и ^2 отражают интенсивность использования
двигателей, создающих импульсы в начале и конце перелета.
Обозначая
Р = АУшах + ^V2l/ed + ^V^Kca (4.110)

4.3. Наискорейшие траектории 143
И дважды ВОЗВОДЯ (4.109) в квадрат, получим
>:Тм + 2}?yUVh + XTha + 2'kTpaVia - 2'k,^Wla
2%^^Wla - 2Kk^yidVla - 2ККПаУм " 2KKVUVla + Y = 0, (4.111)
где Y — постоянная, равная
у = p* + Ши + WU - 2K^Wla - 2^^^' - 2X,%^VliV
pa
Уравнение (4.111) можно записать более компактно в виде
+ {2X'^la-2X^X^Vla-2X,^^) Па +Y= 0. (4.112)
Используя выражение, аналогичное (4.100), т. е.
Га/1 = (-0)1/?-"^2+ 0)3/7^2) Uap + 0)2/?'/2Udp, (4.113)
можем получить для скорости в конце перелета выражение,
аналогичное (4.104):
Via - boP + ЬфУ^ + &2 + hp-y^ + Ьф-^, (4.114)
где
&0 = 0)^ + 0)^ + 20)30)2Udp • Uap,
bl = — 20)3Uap • Tap —- 20)2Udp • Tap,
^2 = — 20)i0)3 — 20)20)iUdp • Uap + Tap . Гдр,
63 = 20)iUap-rap,
Для удобства введем следующие вспомогательные постоянные
(известные):
^3 = 2Я^У|,й - 2X,X2Vla - 2К^\ (4.115)
^4 = 2'klVla - 2Я ^2^^ - 2Я2р2, (4.116)
так что (4.12) можно переписать в виде
{KVld - y^^Vlaf + ЯзРы + KVla + Y = О. (4.117)
Подставляя (4.104) и (4.114) в (4.117), получим алгебраическое
уравнение:
(Я 1^0 — ^2^0) Р + (Я 1^2 — Kh) ? +
+ (^3^4 + Kbk) Р~^ + (^3^3 + Kh) /?-'/2 +
+ {^zai + Kbi) р"!^ + (Яз^о + КЬ^) р + (Яза2 + КЬ^ + 7 = 0. (4.118)
Собрав коэффициенты при одинаковых степенях параметра р.

.144 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
запишем это уравнение в виде
сф'' + ^1/?'/2 + с^^р + с^рУ2 + ^4 +
где
+ ^5/?-'/^ + с^р-^ + c,p-'f^ + с^р-^ = О, (4.119)
^1 = 2 (^1^1 — ^2^ i) (^1^0 -- ЯзЬо)»
^2 = (^1^1 — ^2&l)^ + 2 (^1^0 — Я2Й0) (^1^2 — ^2^2) + (^3^0 + ^4&о)»
Сг=--2 (^1^3 — ЯзЬз) (^1^0 — Kh) + 2 (^i^i — X^bi) (^1^2~^2^2) +
+ (Mi + Mi),
С4 = (^1^2 — ^262)^ + 2 (^1^4 — ^264) (^1^0 — ^2^0) +
+ 2 (^1^3 — Я263) (^1^1 — >^2&i) + (^3^2 + ^4^2) + 7»
^5 -= 2 (J^ia4 — ^264) (^1^1 — Я2&1) + 2 (^1^3 — ^263) (^1^2 — ^2^2) +
+ (Язаз + Я4Ьз),
Cq = (^1^3 -- Я2&з)^ + 2 (^1^4 — Я2&4) (^1^2 — ^2^2) + (^3^4 + ^4^4) J
€t = 2 (^1^4 — ^^2^4) (^1^3 — ^263)7
^8 = (M4 —^1&4)^-
Полагая
p = s^ (4.120)
придем к алгебраическому уравнению 8-й степени относительно s
(корня квадратного из параметра орбиты перехода):
CqS^ + CiS^ + с 2$^ + Сз8^ + c^s^ + С5^ + CqS^ + C7S+ ^8 — 0- (4.121)
Это уравнение и позволяет определить параметр искомой орбиты при
перелете к планете назначения. Процедура его решения такая же,
как и в рассмотренном выше случае одноимпульсных траектории.
Следует заметить, что при ^i = Я2, т. е. в случае импульсов равного
веса, имеем
И (4.121) вырождается в уравнение 4-й степени. Его решение можно
получить в конечном виде, как указано в [1, прилож. 3].
4.3.5. Исключение лишних корней
Решая алгебраическое уравнение (4.121), мы можем получить
лишние корни. Однако эти корни быстро исключаются следующим
образом. Пусть имеется Si действительных корней рассматриваемого
алгебраического уравнения. Так как численные значения коэффи-
циентов СО; в (4.100) известны, то можно сразу найти Таы^о формуле
^dhi = (cOiSr^ + C02Si) Vdp + (c03Si) Пар. (4.1 22)

4,3, Наискорейшие траектории 145
Кроме ТОГО, так как Vdp известно, то эксцентриситет орбиты перехода
может быть найдем обычным путем [1, прилож. 2] по формулам
2 2
^dp =^ ^dj) • ^dp 9 ^ар = ^aj) * ^ар ?
«
^ rdp-^dhi Vdhi Tdhi-rdhi
l^
V2 ' jl jl
1 2 K^M ^ r/l ""^PA^ , 1 П2 l'/2
a;
i rdp [i
•=[('-if)+i°4 • «"'^з)
Следовательно, для et <C 1 можно получить Tj с помощью цепочки
формул:
(^ei = l -— » '^^^~ 1/2
«i а^
^ар . , V ''ар
1/2 '
Sin (£ар — Edp)i =- ТТ; sin {Vap — Vdp) -— [ 1 —COS {Vap — Vdp) ] Seir
COS {Eap — Edp)i = 1 ^^-^ [ 1 — COS {Vap — Vdp)],
aiPi
{Map — Mclp)ei = {Eap — Edp)i +2SeiSm^ 2 ^«i ^in {Eap—Edp)u
Имея пары p^, т^, i= 1, 2, . . ., s, где s — число действительных
положительных корней исходного алгебраического уравнения, найдем
;T^mln = Ш1П (Ti,;T2, . . ., \Xs)]
Это очень быстрый путь для выделения нужного корня,
гарантирующий учет всех орбит, претендующих на звание наискорейших.
4.3.6. Численные результаты для наискорейших орбит
На рис. 4.15 и 4.16 приведена продолжительность перелетов с
Земли к Марсу и с Земли к Юпитеру для случаев как пролетных
траекторий, так и собственно перелета.
По оси абсцисс нанесены даты запуска с Земли, а по оси
ординат — продолжительность перелета. Эти кривые соответствуют
резерву приращения скорости ;^12 км/сек (для Марса) и ;^27 км/сек (для
Юпитера). Космический аппарат запускается с круговой стартовой
орбиты вокруг Земли радиусом ;:^540 км, В случае собственно
перелета предполагается, что космический аппарат выходит на круговую
орбиту радиусом ;:^540 км вокруг Марса и радиусом ;:^11 300 км
вокруг Юпитера.

8авг. Псенш. Пот. 6 дек.
Дата запуска 1968 г.
15яид.
2А(ревр, Sanp. iSman
тз г.
2Аишия Чавг.^
Рис. 4.15. Траектории наискорейшего перелета с Земли на Марс,
то
то
%1000
%8Q0
Е
ас:
«о
§
S00
т
200
Г
/
180 перелет
Пролетные траектории
I
8овг. 28авг. Псент. Тот. 27окт. 16иоя^. 6дек 26дек
Дата запуска
1967 г.
15 я не.
1968 г.
к (peep.
Рис. 4.16. Траектории наискорейшего перелета с Земли на Юпитер.

4.4. Траектории с минимальным стартовым весом 147
Выбранные для таблиц даты запуска образуют как благоприятные
периоды для межпланетных перелетов, так и неблагоприятные,
соответствующие неизбежной 180-градусной конфигурации. Наименьшее
время перелета к Марсу в случае пролетной траектории составляет
при принятом резерве приращения скорости 40 дней. Этот срок
представляется вполне приемлемым для будущих экспедиций. Кривые
на рисунках имеют разрыв в окрестности 180-градусной
конфигурации; в остальных точках кривые непрерывны. Кривые,
соответствующие различным импульсам скорости, имеют аналогичную форму,
но смещены относительно друг друга на некоторую величину.
С помощью рассматриваемого метода можно избежать длительного
процесса построения многих кривых, соответствующих зависимости
между импульсом скорости и датой запуска при постоянном времени
перелета. Кривые, соответствующие пролетным траекториям и
собственно перелету к Марсу и Юпитеру, имеют примерно одинаковую
форму. Вертикальное перемещение времени перелета обусловлено
различием гравитационных полей планет. Траектории перелета к
Юпитеру более чувствительны к изменению скорости аппарата, чем
траектории перелета к Марсу, и поэтому кривые в случае Юпитера
отличаются друг от друга более заметно.
4.4. МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ
МИНИМАЛЬНОМУ СТАРТОВОМУ ВЕСУ
4.4.1. Предварительные замечания
Во многих случаях вопрос о минимальном весе космического
аппарата на земной орбите перед выходом на межпланетную траекторию
играет решающую роль. При анализе реальных межпланетных
траекторий подлежат рассмотрению вопросы расходования горючего или
запаса скорости при отправлении с земной орбиты, при
промежуточной коррекции траектории, при переходе на орбиту вокруг планеты,
при отлете с планеты и т. д. Следует также учитывать как резкие
изменения веса, например вследствие сбрасывания баков из-под
горючего, так и постепенные (выгорание горючего и расходы массы,
связанные с действием системы жизнеобеспечения).
В этом разделе излагается метод определения межпланетных
траекторий, соответствующих минимальному весу космического
аппарата на стартовой орбите вокруг Земли. Эти траектории находятся
путем введения весовой функции, которая минимизируется с помощью
методов, изложенных в гл. 2. Эта весовая функция выбирается как
можно более простой, чтобы можно было сосредоточить внимание
на основных принципах анализа. Как только эти принципы будут
усвоены, можно ввести в весовую функцию любые уточнения.
Излагаемые в этом разделе результаты получили Зон [18], а также Шовит
и Клистра [19, 20].

148
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
4.4.2. Функция полезного веса космической экспедиции
Рассмотрим космический аппарат, отправляющийся с Земли или
с какой-либо планеты к другой планете, причем следует учесть
сбрасывание конструкций, становящихся лишними, постепенную потерю
веса, а также импульс, прилагаемый для перехода на орбиту вокруг
планеты назначения. Схематическая траектория полета от Земли
к планете назначения приведена на рис. 4.17. На этом рисунке гюъе —
V
Awj-tivr
Рис. 4.17. Межпланетная траектория и соответствующие веса
вес космического аппарата перед отправлением с Земли; Wae — его
вес после старта с Земли; Wac — его вес после промежуточной
коррекции; Aw J — веса сбрасываемых за борт космического аппарата грузов,
например пустых баков; w — скорость постепенного убывания веса
в течение полета, определяемая, например, испарением горючего
и расходами по поддержанию жизни; Wbp — вес космического
аппарата перед переходом на орбиту вокруг планеты назначения; Wap —
его вес после перехода на такую орбиту; т — полное время перелета.
Полную функцию полезного веса космического аппарата, т. е.
отношение полного веса перед отправлением с Земли к конечному весу
после окончания перелета
Р
тъе
W
ар
(4.125)
можно записать с помощью функций полезного веса для отдельных
участков перелета в следующем виде:
Р
1
т^
W
ае
W
ар
W
ае
W
Aw + ^т +
тр
ас
W
W
ар
ар
)
(4.126)
или
р
1
W
ар
ReRc (АШ -!- WX + RpWap),
(4.127)

4.4. Траектории с минимальным стартовым весом 149
где
п _ ^'Ье п _ ^gg Г) _ ^^Р
^ае ^ас ^ар
Причем Re — функция полезного веса при старте с Земли, R(, —
функция полезного веса при осуществлении промежуточной
коррекции (предполагается не зависящей от параметров траектории) и Rp —
функция полезного веса на последнем участке перелета к планете.
Формула (4.127) определяет типичную полную функцию полезного
веса. Могут встретиться более сложные функции, определяемые
сложным характером космической экспедиции, например когда
предусматривается облет планеты или возвращение к Земле. Однако для
иллюстрации достаточно (4.127).
4.4.3. Уравнение для определений оптимальной траектории
Функция полезного веса, рассмотренная в предыдущем разделе,
зависит от общего веса, расходуемого при данном межпланетном
перелете. Этот вес связан частично с приращением скорости при
каждом маневре посредством хорошо известного уравнения движения
ракеты (разд. 2.5):
AVi = gIspi\nMi, i = l, 2, ..., п, (4.128)
где Isp — удельный импульс тяги ракетного двигателя, g —
соответствующий коэффициент пропорциональности, зависящий от единиц
измерения, а М определяется как отношение массы ступени ракеты
перед началом работы к ее массе после окончания работы двигателя *).
Уравнение (4.128) довольно хорошо описывает поведение
многоступенчатой ракеты. Имея это в виду, получим, что Р есть некоторая
функция от AViy т. е.
P = f{wt) = Ti^Vi). (4.129)
Если такие независимые параметры межпланетного перелета, как
дата tap достижения планеты назначения и общая продолжительность
перелета т, известны, то орбита полностью определена. Действительно,
зная tap, можем непосредственно вычислить радиус-вектор Тр планеты
назначения, а найдя затем момент tap — т, можем непосредственно
вычислить радиус-вектор Земли Гф. Так как Гр, % и т полностью
определяют орбиту [1, гл. 6], то изменение скорости AVie при старте
от Земли и изменение скорости AVap при переходе на орбиту вокруг
планеты назначения могут быть выражены как функции т и tap, т. е.
AVie = AVie (Т, tap),
AVap = AVap{r, tap). (4.130)
) Величины Mf называются также числами Циолковского.— Прим. перев.

150 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
Следовательно, Р в силу (4.129) может быть также выражено как
функция т и tap, т. е.
Р = Р{Х, tap). (4.131)
Согласно изложенному в разд. 2.2, экстремум Р находится из условий
W = 0' ^ = 0- (4.132)
Дифференцируя (4.127), получим следующие уравнения для
определения оптимальной траектории:
дР Re Г/л.,. •._ , п ... ч dRe d^Vi^
дт Wap
[(Aw+wr + RpWap) ^^у1 ат'' +
+ Re[w +
dRp dWap
w,
^P dWap дт
дР ^c Г/А . • , n ^ dRe dAVie , n ^^P ^^^^P
W+Wr + RpWap) ^щ-^ -et^ + Re W^p Щ^^^Щ-\ •
^^ap ^ap L ^'-^y 1С ^''ap ^^^ ap ^"ap
Поскольку
Aw + Wr + Rj)Wap ^ W
pyjuap — «-^ac»
TO, полагая
Wr,. dR^ ^bp dRp
^'-~i^~dWj~^ ^^-~^iw^' ^"^-^^^^
перепишем эти уравнения в виде
(4.134)
д^Vle , ^^^ар ^
Прежде чем перейти к решению уравнений (4.134), необходимо
определить некоторые выписанные в них производные.
4.4.4. Определение производных от функции
полезного веса
Можно определить соответствуюш,ие производные от функции
полезного веса при помош,и тождества
Wa 1 — Mo ' ^
где о — структурный коэффициент ступени, определяемый как
WJ
Wj+Wp

4.4. Траектории с минимальным стартовым весом 151
Причем Wj — вес сбрасываемых частей ступени, Wp — вес горючего
для этой ступени. Принимая, что а — постоянно, и непосредственно
дифференцируя, получим
дЯ г М(1-а)а 1-а П аМ
=)ЛТ/ /1 ЛЛгг\2 " t Mr: ЛАТ/ * V^.lOU;
д^V L (1--Ма)2 ^ 1 —MaJ д^V '
Поскольку, согласно (4.128),
дМ _ ехр (AWg/sp)
(4.137)
нетрудно убедиться, что
1 дН
R д\У
[gIsp{l-Mo)]-\ (4.138)
Можно возразить, что о фактически непостоянно. Это возражение
действительно справедливо. Однако, поскольку определение
фактической орбиты выполняется с помощью итерационного метода, то в
каждом последовательном решении уравнений используется самое
последнее значение а. В конце всего итерационного процесса точное
значение а оказывается автоматически включенным в (4.138). Имея это
в виду, положим
(Ol = Wac[ hpe (1 — MeOe)] \
(4.139)
0)2 = тр I Ispp (1 — МрОр) ]
-1
4.4.5. Нахождение производных от скорости
Основная система уравнений, которую надо решить, записана
в виде (4.134). Уравнения этой системы содержат производные
д^Vle d^Vie ^^^^Р ^^^«
Р
дх ' dtar, ' ат ' dt
ар
вопрос О вычислении которых мы сейчас рассмотрим.
Геометрическая иллюстрация значений этих производных дана
на рис. 4.18. Сетка траекторных данных при постоянных АУ дана
на рис. 4.19. Эта сетка называетс5^, траекторной диаграммой; она
используется для вычисления частных производных от скорости. Пусть
зафиксирована некоторая юлианская дата, например (J. D.);^, k=\.
Тогда для различных продолжительностей перелета т^ можно
вычислить по формулам разд. 1.3 и 1.5 пары радиусов-векторов планеты
(гфг, Vpi) и определить затем соответствуюш,ие гелиоцентрические
орбиты перелета. По известным элементам гелиоцентрической орбиты
можно в свою очередь вычислить соответствуюш,ие АУ^г, т. е. {IS^Vi^^^t
и {tS.Vap)hi- Значения Al/^^j, соответствуюш,ие датам (J. D.)^,
наносятся на диаграмму, и такие вычисления продолжаются до тех пор, пока

Рис. 4.18. Частные производные от скорости
(Wi
Ол)
им
§. ОМ
(Ш
(Ш
ал)й
(W„
1
Гд . . - Г| . . . Т„
«
О
Рис. 4.19. ЮлианскиеТдаты и продолжительность перелета в сутках

4.4. Траектории с минимальным стартовым весом 15S
не будет заполнена первая строка на рис. 4.19, содержащая
соответствующие Al^ii. Наконец, полагая fe = 2, 3, 4 и т. д., заполним всю
диаграмму рис. 4.19. В соответствии с численными методами
приращения скорости аппроксимируются параболами, каждая из которых
проходит через три соседние точки:
^Vle = а{1'^-^ а^х + а^,
АУ ар = CL^4lv + Ciiitav + ^12» (4.140)
так что
д^Vl
€
дх
дх
2aiT + а^
2а^х-\- (25,
2й'.7/ар-Ь^8»
'-"'ар
д^Удр
dtav
2aiQtap + aii. (4.141)
Формулы (4.141) определяют частные производные, требующиеся
для решения задачи, как явные функции независимых переменных
уравнений (4.134). Численный метод построения кривых, изложенный
в этом разделе, применялся с большим успехом в практических
задачах по оптимизации [19]. Вычисление этих частных производных тре--
бует составления обширных диаграмм траекторных данных. Этого,
по-видимому, нельзя избежать, особенно если оптимизации подлежат
сложные функции полезного веса, учитывающие облеты планет.
При небольшой модификации этой методики можно было бы
вычислить непосредственно и одновременно приращения скорости, если
обращаться к процессу определения гелиоцентрической орбиты
столько раз, сколько требуется.
4.4.6. Итерационный метод определения орбит
Вычисление траектории перелета, соответствующей минимальному
начальному весу, выполняется с помощью метода итерации. Как
указывалось в разд. 4.4.5, первый шаг этого процесса состоит в
составлении соответствующих траекторных диаграмм и вычислении набора
триад (т, tapy АУ) для построения эмпирических кривых вида (4.140).
Это может быть сделано независимо от самой процедуры оптимизации.
Второй шаг, к которому приступают после того, как выведены и
нанесены на диаграмму траекторные данные, требует выбора номинальной
даты конца перелета {tap)n и продолжительности перелета (т)д. Далее

154 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
фиксируется квадратная матрица 3-го порядка, соответствующая
точкам вокруг этого номинального центра, как это иллюстрируется
на рис. 4.19, а также составляются по данным диаграммы триады (т,
4р, AV), отвечающие этим точкам. Эти триады позволяют определить
коэффициенты ai, / = 1, 2, . . ., 12 кривых (4.140). Легче всего найти
эти коэффициенты с помощью интерполяционного полинома Лагран-
жа [1, гл. 7]. Кроме того, фиксируются предположительные
номинальные веса для ступеней космического аппарата, соответствующие
типичной практически осуществимой конструкции. Наконец, с учетом
соотношений (4.139) и (4.141) решаются уравнения (4.134), что дает
2 (0)1^1 + 0)2^4) ' V • ;
t _ у^+^^^^г ^ (4.143)
""^ 2 (0)1^7 + 0)2^10) ^ ^
Следовательно, значения т и Гар, соответствующие первому
приближению o)j и коэффициентам а^, могут быть определены из (4.142)
и (4.143). Эти значения параметров оптимальной траектории
принимаются в качестве {х)п+\ и (/ap)n+i- Процесс вычислений может быть
теперь повторен с учетом всех уточненных весов и функций
полезного веса. Наконец, если
\У)п— \4n-\-i I <С ^2»
1?
где 8i И 82 — допустимые погрешности, то процесс итерации считается
законченным и оптимальная орбита найденной. Между прочим, стоит
заметить, что существенное повышение точности может быть
достигнуто путем уменьшения шага между элементами квадратной матрицы
3-го порядка на рис. 4.19 при приближении к оптимальной орбите.
Практика вычислений по этому методу показала, что итерации
сходятся хорошо и что типичная оптимальная орбита находится
довольно быстро. Интересующийся читатель может найти более подробное
изложение исследований подобного рода в [19, 20], причем
используются более сложные функции полезного веса.
4.5. РЕЗЮМЕ
В этой главе рассматривался вопрос о построении межпланетных
траекторий с помощью метода кусочно-невозмущенных орбит.
Согласно этому методу, вся траектория между начальным и конечным
пунктами в солнечной системе разбивается на отрезки кеплеровых орбит,
причем движение по каждому из этих отрезков определяется
притяжением одного небесного тела. Отрезки орбит стыкуются на
границах некоторых воображаемых областей, называемых средними
сферами действия планет, и таким образом строится вся межпланетная

Упражнения 155
Траектория. Указывалось, что с помощью этой физически разумной
модели аналитически решаются многие сложные задачи перелета.
Весьма подробно рассмотрена задача о построении оптимальной
траектории с промежуточным импульсом. Было показано, что плоские
траектории перелета от одной планеты к другой часто практически
неосуществимы, поскольку они требуют очень больших затрат
энергии. Тогда следует использовать пространственную ломаную
траекторию. Параметры орбиты перелета находятся при решении
алгебраического уравнения 4-й степени с очень медленно меняющимися
коэффициентами. Приводится довольно длинный алгоритм для
вычислений траекторий перелета различных типов, полученный как
побочный результат при анализе пространственных ломаных траекторий.
Показано, что траектории наискорейшего перелета определяются
при решении алгебраических уравнений, коэффициенты которых
находятся методом итерации. Такие траектории перелета
практически важны, так как астронавты не могут быть заключены в кабину
космического корабля на слишком долгое время. Следовательно,
желательно, чтобы корабль, имеющий определенный запас горючего,
достиг планеты назначения как можно быстрее. Детально
рассмотрены одно- и двухимпульсные траектории перелета этого типа и указан
метод итерации для их определения.
Заключительная часть этой главы посвящена определению
межпланетных траектории, соответствующих минимальному стартовому
весу космического аппарата. Излагаемый метод позволяет учесть
такие существенные условия, как сбрасывание ненужных частей
космического аппарата и постепенное выгорание горючего. Анализ
этих вопросов имеет большое значение с экономической точки зрения,
так как стоимость межпланетного перелета зависит от стартового
веса космического аппарата.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Радиус сферы действия Солнца, естественно, не бесконечен.
Предположим, что звезда а Центавра имеет вдвое большую массу,
чем Солнце, и находится на расстоянии 4,5 светового года. Каков
радиус сферы действия Солнца?
2. Космический аппарат стартует от планеты Марс после
передачи фотографий марсианской поверхности.
Вычислить всемирное время выхода аппарата из сферы действия
Марса, если элементы планетоцентрической орбиты аппарата,
отнесенные к эпохе Т = 19^1 12 августа 1973 г., суть а = 10,0 радиусов
Марса, ^ = 1,1.
3. При планировании межпланетной экспедиции требуется
обычно минимизировать полный вес космического корабля. Принимая,
что уравнение движения ракеты

156 Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты
(где Is-p — удельный импульс ракетного двигателя, М — отношение
масс, а ДУ — приращение скорости) определяет связь между
затратами горючего и приращением скорости, показать, что в случае одно-
импульсной траектории перелета минимизация А У эквивалентна
минимизации веса корабля. Вывести соотношение между
множителями Лагранжа Я (разд. 4.3) в случае оптимизации двухмипульсных
траекторий перелета, когда элементарные импульсы, создающие
приращение скорости на старте и финише, различны. Предположить,
что эти импульсы для каждого двигателя постоянны, и помнить,
что (гл. 2)
д ж Стартовый вес
Вес после выгорания горючего
4. Планируется перелет к Юпитеру (пролетная траектория), при-
о о
чем используется стартовый ускоритель, который позволяет вывести
груз весом 4500 кг на геоцентрическую круговую стартовую орбиту
на высоте 270 км. Двигатели космического аппарата могут o6ecjne4HTb
приращение скорости 4 км/сеКу дополнительное к скорости на
стартовой орбите. Предположить, что обе планеты находятся на линии
пересечения их орбит (в оппозиции), и рассчитать гомановский маневр.
Осуществим ли он?
5. Почему пространственная ломаная траектория перелета,
рассмотренная в разд. 4.2, представляет интерес для космических
экспедиций? Высказать общие соображения.
6. Рассмотреть вопрос о расщеплении алгебраического уравнения
4-й степени относительно /* в случае пространственной ломаной
траектории, обсужденной в разд. 4.2. Показать, что если в этом
уравнении и в выражениях для sin v* и cos у* оставить только члены с /*^,
то можно прийти к решению проблемы в замкнутой форме.
7. Планируется космическое путешествие к планетной системе а
Temorious. Принять, что вся масса солнечной системы сосредоточена
в Солнце, и взять значение масс из табл. 1.5. Найти параболическую
скорость по отношению к солнечной системе.
8. Проверить тождество (4.135), т. е.
wb М{\ — а)
Wa \—Мо
9. Вывести функцию полезного веса в случае космического
путешествия от Земли к Марсу и обратно, причем на поверхности Марса
надо оставить AW кг^ а на обратном пути совершить облет Венеры.
Предположить, что при прохождении около Венеры аппарату сооб-
о __ _V_
щается реактивный корректирующий импульс.
10. Вывести выражение для величины приращения скорости,
требуемого для того, чтобы космический аппарат покинул
эллиптическую планетоцентрическую орбиту. Предположить, что импульс
приложен в перицентре.

Литература 157
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л. Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
2. D. F. L а W d е п. Optimal Trajectories for Space Navigation, Butterworth
and Co., London, 1963'.
3. W. R. Pimple, Optimum Midcourse Plane Changes for Ballistic
Interplanetary Trajectories, United Aircraft Corporation, Research Laboratories,
Report A-110058-3, June 1962.
4. J. V. В r e a к w e 1 1, R. W. G i 1 1 e s p i e, S. R о s s. Researches in
Interplanetary Transfer, Amer. Rocket Soc. J., August 1961.
5. R. H. В a t t i n, Astronautical Guidance, McGraw-Hill Book Company,
New York, 1964.
6. P. R. E s с 0 b a 1, Analytic Resolvents for Minimum Secondary Impulses
for Interplanetary Transfers, TRW Systems, 9990-6810-RUOOO, November 1964.
7. P. R. E s с 0 b a 1, G. A. С r i с h t о n. Minimum Time Interplanetary
Trajectories, TRW Systems, 9990-7151-RUOOO, October 1965.
8. R. W. Gillespie, S. Ross, The Venus Swingby Mission Mode and Its
Role in the Manned Explorations of Mars, AIAA, Third Aerospace Sciences
Meeting, AIAA Paper 66-37, New York, January 1966.
9. D. N. L a s с 0 d y. Analytic Determination of Three-Dimensional
Interplanetary Transfers, Lockheed California Co., LR 16179, September 1962.
10. P. S. Laplace, Esposition du Systeme du Monde, 1796.
11. G. A. С r i с h t 0 n. Analytic Computation of Formulas for Secondary
Impulses, TRW Systems, 3422.3-78, June 1966.
12. G. A. С r i с h t 0 n, P. R. E s с о b a 1, T. J. M u с h a, H. L. Roth, The
Evolution and Application of the Interplanetary Optimization Trajectory
Analyzer Concept, TRW Systems, 9863-6009-ROOOO, April 1966.
13. T. J. M u с h a. The Method of Gradients for the Determination of Optimal
Interplanetary Trajectories with Inequality Constraints, TRW Systems, 9863-
6001-ROOO, July 1966.
14. S. E. R 0 s s, A Systematic Approach to the Study of Non Stop
Interplanetary Round Trips, AAS Interplanetary Missions Conference, Los Angeles,
California, January 1963.
15. J. M. D e e r w e s t e r. Initial Mass Savings Associated with the Venus
Swingby Mode of Mars Round Trips, AIAA Second Aerospace Sciences Meeting,
New York, January 1966.
16. R. R. Titus, Powered Flybys of Mars, AIAA Paper 65-515, AIAA Second
Annual Meeting, San Francisco, California, July 1965.
17. R. L. S 0 h n. Design of Spacecraft for Interplanetary Missions, International
Astronautical Congress, Athens, September 1965.
18. R. L. S 0 h n. Manned Mars Landing and Return Missions Study, TRW Systems
8572 6011-RUOO , March 1964.
19. A. R. С h 0 V i t. Mission Oriented Advanced Nuclear System Parameters
Study, TRW Systems, 8423-6005-RUOOO, 8423-6013-RUOOO, March 1965.
20. A. R. С h 0 V i t, С D. К 1 у s t r a. Optimization of Manned Interplanetary
Stopover Missions, AIAA Paper No. 65-513, AIAA Second Annual Meeting
San Francisco, California, July 1965.
21. G. R. S u t t 0 n. Rocket Propulsion Elements, John Wiley and Sons, New
York, 1958.

Глава 5
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ
ПОЛЕТА К ЛУНЕ
Трудами Эйлера, Лагранжа и Лапласа
вызван к жизни величественный колосс, и чтобы
проникнуть в его внутреннюю сущность, не
ограничиваясь тем, что лежит на
поверхности, потребуются поразительная сила
и огромное напряжение ума. Для того чтобы
овладеть этим колоссом, не боясь, что он вас
сокрушит, надо забыть об отдыхе и покое,
пока вы не достигнете вершины и не увидите
результата труда во всей его полноте. Только
тогда, когда вы постигнете его смысл, вы
сможете верно и спокойно трудиться над
завершением деталей.
Якоба [21 \
5.1. ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ЛУНЕ
Первым существенным шагом человека за пределами нашей
атмосферы будет экспедиция на Луну. Эта экспедиция, предусматриваемая
проектом «Аполлон», ставит перед небесной механикой серьезную
задачу развития методов, которые могли бы быть использованы для
быстрого и в то же время точного построения траекторий полета
к Луне. В этой главе рассматривается вопрос о быстром построение
таких траекторий с помош,ью аналитических методов. Эти методы
позволяют получить большой набор данных, необходимых для
успешного осуш,ествления космических экспедиций, и найти приближенно
соответствуюш,ие начальные значения, которые кладутся в основу
более точных вычислений методами численного интегрирования
уравнений движения, рассмотренными в гл. 7.
В следуюш,их ниже разделах внимание сосредоточено на динамике
трех тел: Земли, Луны и космического аппарата. Вначале
рассматривается метод кусочно-невозмуш,енных орбит. Затем анализируются
уравнения движения в задаче трех тел. Наконец, излагаются
некоторые новые методы практического вычисления траекторий полета
к Луне.
Вопросы, рассматриваемые в этой главе, привлекали внимание
многих ученых. В частности, задача трех тел стала на повестку дня
с самого начала развития небесной механики. До настояш,его
времени ее точное решение в явном виде не найдено, но получены
приближенные решения, имеюш,ие важное значение.

5.L Траектории к Луне
159
5.1.1. Метод кусочно-невозмущенных орбит
Большое применение при быстром вычислении траекторий полета
к Луне нашел метод кусочно-невозмуш^енных орбит. Идеи метода даны
Егоровым [12]. Основным в этом методе является предположение, что
траектория движения от Земли к Луне составлена из двух участков
кеплеровых орбит. Эти два участка, а именно участок орбиты
материальной частицы относительно Земли, построенный без учета лунных
Средняя cipepa
действия
Земля
Зллишическт
относительно Земли
отпдезок траектории
Гиперболииеский
относитепьт Лины
отрезок трпснАории
Рис. 5.1, Схема кусочно-невозмущенной траектории перелета Земля — Луна
зозмуш,ений, и участок орбиты той же частицы относительно Луны,
построенный без учета возмуш,ений со стороны Земли, соединяются
в некоторой точке пространства, образуя одну составную траекторию.
Точка соединения выбирается так, что она лежит на поверхности луно-
центрической сферы, называемой средней сферой действия (ССД)
(гл. 4). Схематически эту составную траекторию можно представить
в инерциальной системе координат так, как это сделано на рис. 5.1.
5.1.2. Основные соотношения
Как следует с очевидностью из рис. 5.1, позиционные векторы
соединяются точно на поверхности ССД. Скорости находятся с
учетом того, что ССД движется вместе с Луной, и если скорость за
пределами ССД известна, то скорость внутри ССД определяется как сумма
вектора скорости относительно Земли и вектора скорости Луны.
Следовательно, на границе ССД, радиус которой г* определяется
в соответствии с гл. 4 по формуле
*
т
С
(С\2/5
пг
10а
е
(5.1)
1
(где г
Шф —
соотношения:
— расстояние между Землей и Луной, rrii — масса Луны,
масса Земли, а^ — радиус Земли), имеют место следуюш,ие
^ev — ^a -\-^ivy
^v
с
■tvi
(5.2)

160 Глава 5. Траектории полета к Луне
I I II И!».— II и.—ии .1 ■■ — .■■■— чш 1.1. .1 ■■■■■ I I I ■^l■l .._ I !■■■ » 1.1 ■■ I ■ ■■ I. ■■ I I I I . iHi^M—■<
где нижними индексами 0t;, (X ^, (X обозначены радиусы-векторы
и скорости космического аппарата относительно Земли, космического
аппарата относительно Луны и Луны относительно Земли
соответственно. Этим условиям можно удовлетворить сравнительно легко,
однако ускорения в такой модели теряют непрерывность при переходе
через границу ССД. Правда, в большинстве случаев этот недостаток
модели не является очень серьезным.
При построении траекторий полета к Луне мы сталкиваемся в
основном с двумя различными задачами. В первой задаче
предполагается, что начальные условия при старте известны. Эти условия
определяют траекторию, которую надо построить. Во второй задаче
предполагается, что на старте задается лишь некоторое число условий
(меньше шести), а остальные трубемые условия задаются на финише.
Эти задачи, называемые обычно начальной и двухточечной краевой
соответственно, мы сейчас рассмотрим.
5.1.3. Определение траектории по известным начальным условиям
При пострении траекторий полета к Луне может быть
использована следуюш,ая схема, обеспечиваюш,ая быстроту вычислений.
Рассмотрим уравнение принятой сферы действия в системе
координат прямое восхождение — склонение [1, гл. 4]:
{x-x{)^^{y-y^f + {z-z^Y = r*\ (5.3)
Если эта сфера пересекается с плоскостью геоцентрической кепле-
ровой орбиты, то точки пересечения найдем по известной векторной
формуле
г = ЛГсоР + Г/озО, (5.4)
где Хй), Уй) и компоненты векторов Р и Q выражаются через обычные
орбитальные элементы а, ^, /, Q и со следуюш,им образом:
Х(^ = а {cosE — e),
y^ = aYl —e^siuE,
Р^ = cos со COS й — sin со sin Q cos i,
Py = cos CO sin Й + sin CO cos Q cos i,
p^ = sincosini,
Qjc = — sin CO cos Q — cos o) sin Q cos i,
Qy= — sin CO sin Q +cos CO cos Й cos/,
Q^ = coscosin/.
После подстановки (5.4) в (5.3) получим соотношение
xl + y%-2T^'Pxo,-2r^'Qyc, = r'^^-rl. (5.5)

5.1. Траектории к Луне 161
Это уравнение для нахождения точек пересечения ССД с
рассматриваемой кеплеровой орбитой в плоской орбитальной системе
координат, определяемой осями лг^), Усо П].
Далее из (5.4) получим
Xoi-rae
а
cosE,
У
со
aVl
sinE
(5.6)
и после исключения эксцентрической аномалии придем к соотношению
^^^4^ + :;57^ = 1 (5.7)
а2 ' «2 (1—^2)
ИЛИ
Ус. = ±У\-е^1а' {1-е^)-2аеХо,-х1]'^\ (5.8)
Вводя обозначения
р=:~2Г(^.Р, g=:_2rc.Q, ^-г*2-4 (5.9)
и подставляя (5.8) в (5.5), чтобы исключить у^^, получим
алгебраическое уравнение 4-й степени
Aoxt, + А,х% + A^xl + Агх^ + Л4 - О, (5.10)
где
Ао--е\
Л1 = 2р^2_4а^з(1_^2)^
As = 2ae (1^ + 21) {I -е^) + 2^аЦ1 -еу -ia^e {I -e^f -2^1^,
Корни этого уравнения Xa^t (где i = 1, 2, 3, 4) могут быть найдены
с помощью методов, изложенных в [1, прилож. 3].
При нахождении этих корней могут встретиться разные случаи.
Во-первых, уравнение может вовсе не иметь действительных корней.
В этом случае геоцентрическая кеплерова орбита не пересекает ССД.
Во-вторых, если плоскость геоцентрической кеплеровой орбиты
касается ССД, то уравнение имеет двойной положительный
действительный корень; такой же корень будет и тогда, когда геоцентрическая
кеплерова орбита симметрична относительно прямой, соединяющей
Луну и Землю. Третий случай, когда уравнение имеет два
комплексных и два действительных положительных корня, наиболее интересен.
Уравнение может также иметь четыре действительных положительных
корня. Это будет тогда, когда эксцентриситет геоцентрической
кеплеровой орбиты очень близок к единице, а большая полуось превышает
расстояние Земля — Луна.
11—491

162 Глава 5. Траектории полета к Луне
^^тщ
Следует подчеркнуть, что параметры р, ^ и ^ остаются перед нача-
лом вычислений неизвестными; предполагаются известными только
а, бу Ту /, й и со. Параметры р, ^ и ^ неизвестны потому, что заранее
неизвестен вектор г - в момент достижения космическим аппаратом
сед.
Задача может быть решена, следовательно, методом итераций,
причем сначала оценивается продолжительность движения от старта
до сед, затем по формулам, приведенным в разд. 1.4, определяется Г(^,
После этого решается уравнение (5.10) и находятся два значения лг^),
соответствуюш,ие пересечению орбиты с ССД. Значение Усо
определяется однозначно с помош,ью (5.5), откуда
(5.11)
у^ — - ,
причем у% вычисляется, согласно (5.8), по формуле
yl^{\-.e'')[a^{\—e')-2aex^ — xll (5.12)
Формула (5.11) важна потому, что она определяет знак г/^). Однако
численное значение у^ находится точнее по формуле (5.12). Как
только получены пары (х^з, i/a))i, где i = 1,2, можно определить истинную
аномалию в момент достижения ССД по формулам
ri={xli + yl^'^\ /=1, 2, (5.13)
cos Vi
X
(HI
smvi
(5.14)
(5.15)
По истинной аномалии можно найти (в зависимости от величины ё)
эксцентрическую, гиперболическую или параболическую аномалию
с помош,ью формул
' X^ezosvi ' ' \-\-ezosvi -^ i \ /
ch/^z = Tn—-^—^ shfi = -Vi ■> e>\, (5.17)
' 1+6 cos Уг ' 1+6 COS Uj -^ ' \
Dt = V2qig-YVi, e=l, (5.18)
a момент t* достижения ССД может быть вычислен непосредственно
из соответствующего уравнения Кеплера fl, гл. 3]:
kVi^a-y^t* —7)== El-esinEi, (5.19)
kVil{- a)-''^ {t* -T) = esh Ft- Fu (5.20)
k\^^{t*-T) = qDi + -^Dl (5.21)

5.1. Траектории к Луне 163
где Т — момент прохождения через перигей геоцентрической орбиты.
Получив /*, можем перевычислить радиус-вектор Луны Гг, уточнить
значения параметров р, ^ и ^ и заново решить уравнение (5.10), что
позволит уточнить /* и т. д. Как только разность /*+i — ^1 между
последовательно найденными значениями /* и /|+1 станет достаточно
малой, процесс вычислений считается законченным, а формулы (5.2)
позволяют получить начальные условия, определяющие луноцент-
рическую кеплерову орбиту.
5.1.4. Дополнительные начальные условия
г
В ряде случаев более удобными, чем обычные элементы орбиты,
использованные в разд. 5.1.3, являются полярные параметры орбиты
космического аппарата
I/, г, у, А, б, Я^, (5.22)
отнесенные к Земле, причем V — величина скорости, г — величина
радиуса-вектора, у — угол наклона траектории, А — азимут, б —
склонение и Я^ — восточная долгота. Эти параметры рассмотрены в [I].
Для удобства выпишем формулы преобразования
л: = г cos б cos Э,
f/=.rcos6sin0,
z = rsin6,
Vs^ —У cos 7 cos Л,
V^^ У cos 7 sin Л,
x^Vs sin б cos Э — Ve sin Э + Kr cos б cos 0,
y = Vs sin б sin Э + Ve cos Q + Vr cos б sin Э,
z^-^Vs cos б + I/r sin 6, (5.23)
где местное звездное время Э вычисляется по формуле
Э-Э^ + Э(^-/^) + Я^, 0<Э<2я. (5.24)
Местное звездное время в момент / всемирного времени связано
с А,£; посредством Э^ (гринвичское звездное время, соответствуюш,ее
всемирному времени tg) и Э (постоянная скорость изменения звезд-
• • •
ного времени) [1, гл. 1]. Следовательно, между х, у, 2, х, г/, 2 и V,
г, у. А, б, Хе имеет место взаимно-однозначное соответствие.
В заключение этого раздела отметим, что орбита внутри ССД,
определяемая полученными значениями положения и скорости на ССД,

164 Глава 5. Траектории полета к Луне
Т. е. векторами
• • • •
П = Г([^ = Гф^ — V(^. Гг = Г((;^=Г0^—Г(^, (5.25)
может не удовлетворять желаемым условиям, налагаемым, например,
на расстояние до перицентра. Чтобы удовлетворить этим условиям,
прибегают к варьированию начальных условий. В зависимости от
задаваемых параметров, могут иметь место различные вычислительные
варианты краевой двухточечной задачи.
5.2. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Задачей, имеющей важное значение при определении траекторий
полета к Луне, является ограниченная задача трех тел. В
классическом смысле это задача о движении Земли, Луны и космического
аппарата. Обычно предполагается, что Луна движется по круговой
орбите вокруг Земли и что масса космического аппарата бесконечно
мала по сравнению с общей массой системы. В этом разделе
дифференциальные уравнения задачи выводятся без предположения, что Луна*
движется по круговой орбите. Эти уравнения являются основными
для дальнейшего анализа, проводимого ниже.
5.2.1. Уравнения движения в задаче трех тел
Полный вывод уравнений относительного движения в барицентри
ческой системе координат имеется в [1, гл. 2]. Эти уравнения запи
сываются в виде
d2r
W
п п
^' [ S '«^] 7^ + ^' S '"^•••л (^ - ^) ' (5-26)
j= 1 j= 1
i^2
причем обозначения следующие:
k — постоянная тяготения; обычно используют значение k
для Земли;
rrij — при fe, выбранном так, как указано выше, через nij
обозначается отношение массы тела с номером / к массе
Земли;
п — число тел системы;
2 — индекс, относящийся к телу, движение которого
рассматривается (космический аппарат);
/ — индекс, относящийся к телу с номером /, кроме тела 2;
^2j — расстояние между телом с номером / и рассматриваемым
телом;
г — расстояние между центром масс и рассматриваемым телом;
/ — эфемеридное время, соответствующее положению г.

5.2. Задача трех тел
165
Если рассматриваются только три тела, то в соответствии с (5.26)
получим уравнение
d4
^^12 /
(5.27)
Геометрическая схема к уравнению (5.27)
нение (5.27) можно значительно упростить,
Тогда получим уравнение
дана
если
на рис. 5.2. УраВ'
положить /712 = О
k^ {nil + тз) -^ + (^^miri2 + ^'^^зГзг) 7Г — ^^^1
Г12
X
Рис. 5.2. Схема к задаче трех тел
к^ГПз
Г32
'^32
(5.28)
Согласно общим свойствам барицентрической системы [1, !гл. 2],
имеем
п
k' 2 mj -
П2
п
k^y,
rrii
J гЗ
0.
(5.29)
r-=i
j=i
Это соотношение позволяет привести уравнение (5.28) к виду
d4
dt^
Г12
3
12
k^m^
Г32
^^32
(5.30)
Дальнейшие упрош,ения связаны с введением модифицированного
времени т по формуле
T = fe(/ —/о). (5.31)
После перехода к независимой переменной т и выбора единиц
масс так, что т^ + /?^з = 1, уравнение (5.30) приводится |к компакт-

166 Глава 5. Траектории полета к Луне
ному виду
^^'•.._(1_^,) п^_^,^, (5.32)
/19. / QO
dT^
12 '32
где
^х
Щ 1
^1+^3 81,3 '
Г12=Г—Г1,
1*32== ^—>*3?
причем гпз — масса Луны, т^ — масса Земли. Уравнение (5.32)
описывает движение тела с бесконечно малой массой, притягиваемого
двумя телами конечной массы.
5.2.2. Переход к вращающейся системе координат
Как указал Мультон [2], если расстояние между телами mi и т^
принимается равным единице, то среднее движение тел конечной
массы равно
n = ^[(l-^i)^-^l]a~^/2=l. (5.33)
Предположения, что а^^ = const и что тело 3 движется по круговой
орбите вокруг тела 1, включены в (5.33). Так как Земля и Луна
Xf
Рис. 5.3. Вращающаяся система
X координат.
(в предположении, что масса космического аппарата т2 = 0)
находятся всегда в координатной плоскости ху (рис. 5.3) и среднее
движение п почти постоянно, то удобно ввести систему координат,
совпадающую с барицентрической системой и вращающуюся с угловой
скоростью п вокруг оси Z. Соответствующая геометрическая схема
приведена на рис. 5.3.
Рассмотрим преобразование уравнений (5.32) к переменным Хг,
Угу (Zr по формулам
X = Хг COS пх — у г sin пх
у = Хг sin пх -f- у г COS ПТ,
г>
(5.34)

5.2. Задача трех тел 167
где п — функция т. Дифференцируя дважды (5.34), придем после
соответствующих преобразований к соотношениям
coi cos пх — 0)2 sin /гт = О,
coi sin пт + Щ cos пх = О, (5.35)
где
О)
ИУ
1 --^ - 2п*-^ ^ п*2л:, _ п* г/г + "73^
12 '32
а п* и п* определяются формулами
' dx
Векторы Г13 и Г23 определяют соответственно положения Земли
и Луны во вращающейся барицентрической системе координат.
Из (5.35) следует coi = (02 = О» что дает нам общие уравнения дви-
о
жения в неравномерно вращающейся системе координат
^-2п*^ = п*Чг + 'п*уг-(1 -ti) '^^- й^^ , (5,37)
!^j^2n*^ = n*^yr-n*Xr-{\-v^)^-^-\i'-^, (5.38)
§=-(l-(i)^^-t^-^^. (5.39)
"Т- '12 '32
В этих уравнениях параметры, обозначенные звездочкой,
являются функциями от т, так что уравнения очень сложны. Если справедли-
во (5.33), то /г* = /г = 1, /г* = О и уравнения приобретают
следующий вид:
^-2n^ = n4r-{\-v)'-^-\i'-^ , (5.40)
^ + 2/г^ = /г^^/,-(l-^t)^^-^l^^^ (5.41)
-g^=-(l-^^)-^^-^t^^. (5.42)
UI Г^2 '32
Основное различие между двумя предыдущими системами
дифференциальных уравнений состоит в том, что вторая система (5.40)—
(5.42) составлена в предположении, что третье тело движется по
окружности вокруг первого тела, а первая система этого не
предполагает.

168 Глава 5. Траектории полета к Луне
В случае коротких интервалов времени, охватывающих, например,
движение по траектории полета к Луне, можно прибегнуть к
компромиссу, фиксируя значения параметров, соответствующие началу
траектории, и оставляя их затем постоянными.
5.2.3. Интеграл Якоби
Интеграл уравнений движения в ограниченной задаче трех тел
может быть получен путем введения потенциала t/, определяемого
формулой
t/= 4-«М^г + i/?) +-^ + ■^-, (5.43)
после чего уравнения (5.40) —(5.42) могут быть записаны в виде
^-2«4^=^. (5.44)
'"• ^" (5.46)
Умножая (5.44), (5.45) и (5.46) последовательно на 2dXrldx, 2dyrldx,
2dZrld% и складывая, получим
d^Xr dxr , d^yr dyr d^Zr dz
+
dx'^ dT ' dT^ dT dt^ dx
dU dxr , dU dy-r dU dzr \ /r ^74
дхг dx dy-r dx dZr dx
Так как U не зависит явно от времени, то, непосредственно
интегрируя, получим, что
ИЛИ
dXr \ 2 / dyr \ ^ , / dZr
dx i \ dx
) +(^) =V'' = 2{/-C, (5.48)
где V — скорость космического аппарата, а С — постоянная
интегрирования. Соотношение (5.48) представляет собой интеграл Якоби,
связывающий положение и скорость тела с бесконечно хмалой массой
в системе трех тел. Этот интеграл — аналог хорошо известного инте>
грала живых сил в задаче двух тел. Значение постоянной С может
быть определено по начальным значениям положения и скорости,
т. е. по Г2 и Г2.

5,2, Задача трех тел 169
5.2.4. Замена переменных
Интересное преобразование уравнений движения в задаче трех
тел может быть получено следующим образом. Выберем в качестве
независимой переменной Хг вместо модифицированного времени т.
Так как
dxr 1
dT dx/dxr
difr difr dx
dx dxr dx *
dzv dzr dx
r ^^-^r
dx dxr- dx '
(5.49)
TO, непосредственно дифференцируя, получим, что
d^Xr 1 dH
dx^ (dx/dxr)^ dxl '
d^r 1 dyr d^x 1 d'^y
+
dx^ (dx/dxr)^ dxr dx^ ' (dr/dxr)^ dx^
?
d^r 1 dZr d^x , 1 d^Zr /r cAv
+ 7:777:7^12-^7::f • (5.50)
dx^ (dx/dxr)^ dxr dx^ ' (dx/dxr)^ dy
Подставляя (5.50) в (5.37), (5.38) и (5.39), можно получить
dx \-3 d'^x , ^ I dx \-^ dyr _ ^
dxr / dx^ \ dxr I dx
dx \-3 dZr d^x I dx \-2' d^yr n / '^'^ \-^_ с
dxv 7 dxv dx^ \ dXr / dx^ \ dxr I ^
dx \-3 dZr d^x I dx \-^ d^Zr о /с ci
■= —Sz, (5.51
dxr I dxr dx^, \ dxr J dx^
где
Xj* — X-pj^ X-p Xj*^
3 '
32
Уг — Уп .. У г — УгЗ
S, = „2y^_(l_^)^L_-L_^^
, 3
12 ' 32
Zr — Zri .. Zr — 27.3
/10 '
, 3
12 ' 32
Вектор S можно упростить, если считать, что начальные
координаты уг1 = УгЗ == ^п = Zr3 .= 0. Это означает, что ось х
вращающейся системы координат проходит через центры тел 1 и 3, т. е.
Земли и Луны. Тогда компоненты вектора S могут быть записаны как

170 Глава 5. Траектории полета к Луне
явные функции л:^, Угу ^т в виде
5х =/г^лг;. — (1 — |i)
Х,-р — ^7*1
[(л>-А:г1)2+1/? + г?]'/2
^ [(^г-л>з)2 + г/? + г?]'/^ '
Sy = n2j/^ —(1—ц)
г/г
[(^r-^rl)2+I/? + 2?]'/2
Уг
[1
[Ix,-xr3)^ + yl+zlf^ '
s,= -(l-^l)
[(^г-^г1)2 + 1/? + г?]'/2
^^
[(^г-;сгз)Ч-г/?+г?]'/' '
(5.52)
где векторы Гг1 и г^з суть векторы, соответствующие начальным
положениям Земли и Луны во вращающейся системе координат.
5.2.5. Компактная форма преобразованных уравнений
Рассмотрим уравнения (5.51), записанные с помощью сокращенных
символов
(т')3 ' ^' т
т"у' у" 2п
(т')з (т')
М2 ^' ~~ ^У
^Уч
%"г' г"
(т')з (т')
S,, (5.53)
где штрихами обозначены производные по л:^. Если предположить,
что п постоянно, то X не входит в правые части уравнений (5.53),
и можно выполнить замену переменной
t/ = T', (5.54)
так что
+ 2п^^= -Soc. (5.55)
w^ и
и'у' у" 2п
и'^ и'^ и
u'z' z"
w^ и
2
-Sy^ (5.56)
S,. (5.57)
Эти уравнения полезны при изучении траекторий в задаче трех тел
и использовались недавно при нахождении возмущений методом
малого параметра.

5.2. Задача трех тел 171
5.2.6. Частные решения
В 1772 г. Лагранж первым нашел частные решения
дифференциальных уравнений движения задачи трех тел. Эти решения делятся
на три типа: прямолинейные, постоянные треугольные и
периодические прямолинейные или треугольные. В дальнейшем для нас будут
важны прямолинейные решения, когда все тела располагаются на
одной прямой, и постоянные треугольные, когда все тела располагаются
в вершинах равностороннего треугольника. Периодические
прямолинейные или треугольные решения соответствуют случаям, когда
орбиты тел представляют собой конические сечения с произвольным
эксцентриситетом, но тела движутся по ним так, что отношения между
взаимными расстояниями остаются постоянными. Эти решения
интересны в более широком смысле и детально рассмотрены в [2]. Для
наших целей достаточно ограничиться первыми двумя типами
частных решений. Чтобы прийти к ним, необходимо подвергнуть основ-
ные уравнения некоторым предварительным преобразованиям.
Рассмотрим уравнения относительного движения, выведенные
в [1, гл. 2]:
п
^2 2 rriimj-^, (5.58)
т
где
k — гравитационная постоянная центрального тела,
относительно которого рассматриваются движения других тел
системы;
rrij — отношение массы тела с номером / к массе центрального
тела, или так называемая нормализованная масса;
п — число тел системы;
1 — индекс, относящийся к центральному телу;
2 — индекс, относящийся к телу, движение которого
изучается ;
/ — индекс, относящийся к любому телу системы помимо тел
1 и 2;
Г2у — расстояние между телом 2 и телом с номером /;
Fi/ — расстояние между центральным телом и телом с номером /.
Уравнения могут быть записаны в компактной форме, если ввести
потенциал системы
п п
1 ж-1 '^^ mmj
^ = -T^'SS-T:f • ^^j^ (5.59)
i—1 j—1
Так как при непосредственном дифференцировании мы получим
п ■ п п
^^ k^mi^y\^ = k'^mi^mj^^ = k^mt^mj^, (5.60)
^ij
dVi dVi — 4j "Г", ' ij — 'гз

172 Глава 5. Траектории полета к Луне
ТО уравнения (5.58) сводятся к следующим:
^''•'- ' ^^ ^- = 2,3,4. (5.61)
df^ m; dVi '
В случае трех тел эти уравнения в скалярной форме имеют вид
d^xi 1 dU d^yt 1 dU d'^zt 1 dU
dt^ mi dxi ' dt^ mi dyi ' dt^ mt dzt '
где
TJ _ U2 ^1^2 1 U2 ^2Щ I U2 ЩЩ C5 62)
^12 ''23 ^31
Выбирая равномерно вращающуюся систему координат с началом
в центре масс системы трех тел и вводя модифицированное время т
из (5.31), мы получим уравнения
^~2n^--r^x.i--lr^ = 0, (5.63)
d^yn _^2n^-n%i- — 4^=0, (5.64)
dx^ dx ^ mi dyri
dx^ mt dZri
0. (5.65)
Если движение происходит в плоскости (л:,., Уг) и тела движутся
по окружностям с центром в начале координат, т. е. во вращающейся
системе координат они остаются неподвижными, то
■^ = ^ = 0, (5.66)
так что (5.63) и (5.64) после составления выражений для производных
dU/dXriy дШдугь могут быть записаны для всех трех тел в виде
соотношений (алгебраических уравнений):
Фхг, + т^^^^^ + шг "''-^^' = О, (5.67)
n^Xr2 + mi^^^;=^+m3^^^2_Zfr2. = o, (5.68)
„2д.^з + /п,^^:^-^+/П2^^^?-^ = 0, (5.69)
'13 '^гз
'12 '13
п-^Угг + т, ^'•'-^^^ +тз У^'-У^' =0, (5.71)
'12 '^гз
п-'Уп + т, y^^-V^' +т^ У^'-^^' :=0. (5.72)
^^13 ^^23
Как указал Мультон [2], эти соотношения можно упростить, так
как в силу предположения о том, что начало координат совпадает

5.2. Задача трех тел
173
С центром масс системы, имеем
miXri + т^Хгг + ^^з^гз = О,
т^Угх + т2Ут2 + т^Утг = 0.
(5.73)
(5.74)
Следовательно, принимая расстояние ri2 за единицу расстояния
и заменяя (5.69) и (5.72) на (5.73) и (5.74) соответственно, получим
систему
n^Xri ~h ^2 {^Г2 — -^ri) +
Щ {Хгз — Xri)
О,
Щ{ХгЗ — Хг2)
(5.75)
(5.76)
(5.77)
(5.78)
(5.79)
(5.80)
Эта система используется в последующих разделах при нахождении
частных решений задачи трех тел.
^ ^г2 + ^1 {^ri -^гг)Н ;::з — О»
rriiXri + т^Хгг + т^Ггг = О,
п'уп + т,{уг,-уг,) + '^^^Щ^ = 0.
^^23
mi^ri + /П2Уг2 + т^Угг = 0.
5.2.7. Прямолинейные и треугольные решения
Представим, что все три массы, например. Земля т^ спутник /Пг
и Луна /пз находятся на оси Хгу причем Хгз> Хг2> Xri (рис. 5.4).
Vi
(Хгз ~ ^ri)
о
Земля
fe'^ri)
Спутник
т.
Луна
О
X,
Рис. 5.4. Точка либрации в прямолинейной задаче.
При таком расположении y^i = Уг2 = Угз = О,
выбранных единицах расстояния имеем ri2 =
(5.76) и (5.77) примут вид
1
и поскольку при
(5.75),
п^лгп + тзЧ-
Щ
п^{\+Хп) — т,^ +
(Хгз —A:ri)2
(Хгз —а:г1 —1)2
О,
О,
т^Хп + /Пз (1 + Xri) + /Пз^гз = О,
(5.81)
(5.82)
(5.83)

■MMMMiMi>MbHaiB^MaMMM«*iteMMiMH^
174 Глава 5. Траектории полета к Луне
а (5.78), (5.79) и (5.80) удовлетворяются тождественно. Разрешая
(5.83) относительно ХгЗу а (5.81) относительно п^ и подставляя
полученные выражения в (5.82), придем к уравнению для Xri'.
[т^ + (mi -f /Пз) лгп] [{т^ + /Пг + /Пз) х^ + тз]^ х
X [{т^ +1712 +т^)хп +1712 +тгУ'-\-
то
т|( 1 + ^п) [(/^1 +1712 + 171з) Xri + 1712 + тзУ^ —
— mlxri [{rrii + 1712 + 171з) Xri + Щ]^ = О- (5.84)
Чтобы получить уравнение Лагранжа 5-й степени, определяющее
коллинеарное решение, используем в качестве переменной разность
Хгз — Хг2 вместо Xri- Тогда так как
17liXri + 17l2Xr2 + 171зХгз "= О,
X ^ Щ + Шз + Щ {Хгз — Хг2) (5 85)
Подставляя (5.85) в (5.84), придем после некоторых алгебраических
преобразований к знаменитому уравнению 5-й степени
(a72i + ^2) L^ + (3mi + 2/712) L* + (3mi + /712)^ — (mg + Зшз) L^ —
— (2/712 + З/722) L — {1712 + ^3) = 0, (5.86)
где L = Хгз — Xr2' Теоретически это уравнение обладает только одним
действительным положительным корнем, так как имеет место лишь
одна перемена знаков коэффициентов. Пренебрегая массой ruz и
полагая nil = и /77з = 1/81,3, найдем
х,з — л:,2 = 0,16308. (5.87)
В соответствии с полученным решением задачи трех тел спутник,
помеш,енный в точку L2, будет всегда сохранять это положение.
В разд. 5.3 показывается, что это решение имеет очень важное
приложение в теории траекторий полета от Земли к Луне. Меняя
циклически местами массы Земли, спутника и Луны, получим два других
прямолинейных решения; соответствуюш,ие точки обозначим через
Li и La. Эти решения рассматриваются далее в разд. 5.3.
Другое интересное решение системы (5.75) — (5.80) получим,
полагая ri2 = Г2з =/'is = 1> что соответствует случаю, когда три
тела находятся в вершинах равностороннего треугольника. Тогда
система (5.75) — (5.80) запишется в виде
(т2 + тз~-п^)хг1 — т2Хг2 — тзХгз = 0,
{rrii + mz — П2) Хг2 — 17liXri — ШзХгЗ — О,
triiXri + 17l2Xr2 + 171зХгЗ ^^ О,
(/722 + т^ -~ /2^) Уп — 1^2Уг2 — ГПзУгЗ = О,
{nil + /723 — /22) Уг2'-'ГП1Уг1 — тзУгЗ = О,
tTiiyri + ^2Уг2 + тзУтз = О- (5.88)

5.2. Задача трех тел
175
Это однородная система шести уравнений с шестью неизвестными
Xriy Хг2у ^гзу Упу Уг2у Угз будет иметь нетривиальное решение, если
ее определитель обращается тождественно в нуль. Непосредственные
выкладки приводят к условию
ml (mi + /712 + /Пз — n^Y = Oi
откуда
п
т1 + т2 + тз
(5.89)
В-заключение этого раздела следует упомянуть, что движения,
соответствуюш,ие треугольным решениям задачи трех тел, были
фактически обнаружены. Согласно теории, развитой в этом разделе^
Tenoi
L
i
Тело 2 в точках
^j> • • • > ^5
ТелоЗ
L
х>
L
Р и с. 5.5. Точки либрации в задаче трех тел
существуют пять отдельных точек (Li, L2, . . ., /.5) или, как их
называют, точек либрации, соответствующих решениям задачи. Схема
расположения этих точек дана на рис. 5.5. Их физический смысл
таков, что если поместить в эти точки в начальный момент тело 2 (при
нулевой начальной скорости), то оно и останется там навсегда.
Если применить эту теорию к Солнцу и Юпитеру, то можем
построить соответствующие треугольные точки либрации L^ и L^. В 1906 г.
Вольф открыл малую планету, находящуюся в окрестности точки
либрации /.4- Она была названа Ахиллесом и стала первым из
Троянцев— группы открытых в дальнейшем малых планет (Патрокл,
Гектор, Нестор и др.).

176 Глава 5. Траектории полета к Луне
5.3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В СЛУЧАЕ НЕКОТОРЫХ ТРАЕКТОРИЙ
ЗЕМЛЯ —ЛУНА В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
Основное различие между методом кусочно-невозмущенных орбит,
рассмотренным в разд. 5.1, и методом, который мы изложим сейчас,
заключается в том, что между Землей и Луной предусматривается
область перехода от одного режима к другому. Иными словами,
вводится конечная область, где ускорения от Земли и Луны играют
равную роль. В методе кусочно-невозмущенных орбит сфера действия
образует бесконечно тонкую область, пересечение которой означает
мгновенный переход от движений относительно Земли к движению
относительно Луны.
В методе же, который мы изложим, понятие сферы действия
отсутствует и вводится новая граничная кривая или поверхность между
Земля
Рис. 5.6. Сепаратриса в задаче
Земля — Луна — частица.
двумя основными телами. Это новая граничная кривая между Землей
и Луной была предложена впервые Форстером [3]; физический ее
смысл в двумерном пространстве тот, что материальная частица,
оставленная в покое относительно вращающейся системы координат
(разд. 5.2.2) по одну сторону от этой кривой, начнет медленно
двигаться к Земле, а оставленная по другую сторону начнет медленно
двигаться по направлению к Луне. Эта кривая имеет вполне
определенный математический смысл и в теории дифференциальных
уравнений называется сепаратрисой системы дифференциальных
уравнений [4]. Обязанная своей природой и своему определению точкам
либрации (разд. 5.2), т. е. точкам, в которых тело остается всегда
в покое, эта кривая должна содержать эти точки. О геометрическом
характере этой кривой можно судить по рис. 5.6. Сепаратриса
симметрична, конечно, относительно прямой Земля — Луна.
Точки Ьз и L4 соединяются другой сепаратрисой. Из сказанного
выше вытекает, что кривая L2L4 определяет середину области, в
которой ни притяжение Земли, ни притяжение Луны не обладают
решающим влиянием.
Представим сферу радиуса Го с центром в произвольной точке Lq
сепаратрисы L2L4 (рис. 5.6). Интуитивно представляется допустимым.

5.3. Линеаризация в задаче трех тел 177
ЧТО если Прибегнуть к линеаризации дифференциальных уравнений
движения вблизи точки Lo, то найдется такая окрестность г^ этой
точки, где ускорения от Земли и Луны имеют один и тот же порядок
величины. Следовательно, можно думать, что уравнения движения
космического аппарата в этой области допускают линеаризацию.
Тогда построение траектории полета к Луне выполняется следующим
образом.
Прежде всего по начальным условиям, например по векторам
положения и скорости на некоторый момент определяется кеплерова
орбита относительно Земли. Определяется далее точка пересечения
этой кеплеровой орбиты с сепаратрисой, рассматриваамая как центр
сферы равного влияния притяжений Земли и Луны. Затем движение
частицы по кеплеровой орбите прослеживается назад до момента
пересечения с поверхностью этой сферы и определяются начальные
условия в этот момент. Эти начальные условия рассматриваются как
исходные значения для линеаризованных уравнений движения внутри
сферы радиуса Го- Линеаризованные уравнения могут быть теперь
использованы для предвычисления положения и скорости при выходе
частицы из сферы, которые в свою очередь рассматриваются как
начальные условия для оставшегося отрезка траектории кеплеровой
орбиты относительно Луны. Такова в основном схема Форстера [5]
для построения аналитическим путем траекторий к Луне.
5.3.1. Построение сепаратрисы
Если рассматривается вращающаяся система координат с началом
в центре масс Земли и Луны, осью х, проходящей через Землю и Луну,
У;
Рис. 5.7. Диаграмма сил вдоль
сепаратрисы.
и ОСЬЮ у в плоскости Земля — Луна, то сепаратриса определяется
как кривая, с одной стороны которой частица, оставленная в покое,
начинает двигаться к Земле, а оставленная в покое с другой стороны
начинает двигаться к Луне. Движение будет направлено к одному
из тел только вначале, и возможно, что через некоторый интервал
времени частица начнет двигаться в противоположном направлении,
к другому телу. Рассмотрим диаграмму сил, изображенную на рис. 5.7.
12—491

178
Глава 5. Траектории полета к Луне
Если частица помещена бесконечно близко к кривой L2S2, то из
определения сепаратрисы следует, что компонента силы вдоль
нормали п к этой кривой, обозначаемой через S, отсутствует. В этом
случае частица, помещенная в точке кривой S, будет всегда обнаруживать
тенденцию двигаться вдоль S в определенном направлении, что
противоречит определению сепаратрисы. Существующие силы
направлены, таким образом, в любой точке сепаратрисы по касательной к ней,
так что
n-F = 0,
(5.90)
где F — сила, действующая локально в точке So (рис. 5.7). Надо
заметить, что поскольку сепаратрисы можно рассматривать как
продолжение прямолинейных решений задачи трех тел, то кривые,
удовлетворяющие (5.90), начинаются в соответствующих точках либрации.
Эти точки являются по существу тривиальными решениями (5.90),
для которых F :=: 0; все эти точки можно использовать в качестве
начальных при интегрировании дифференциальных уравнений,
определяющих сепаратрисы.
Дифференциальные уравнения, определяющие любую сепаратрису,
можно сразу получить, поскольку
dy
dxr
tge
F
у
^ X
dU/ду
dU/дх,
dy
dXr
Ч
>±oo, / = 1, 2, 3, (5.91)
где i/ —введенный выше потенциал задачи трех тел
а именно
(разд. 5.2),
и
1
(4 + у1) +
\^
^32
+
1 —^1
''12
(5.92)
где
^32 — {^Г — ^гз)
Уг,
12
{Хг — Xri) -}-Уг'
При решении уравнения 5-й степени, определяющего
прямолинейные решения (разд. 5.2.7), можем получить, если принять расстояние
между Землей и Луной за единицу, следующие значения:
L
0,836916,
L
1,155682,
соответствующие интересующим нас точкам либрации. Следовательно,
выбрав начальные условия
X
Т2
L
2?
Уг2 = 0,
Угз=-0,
можем численно проинтегрировать уравнение (5.91), что позволит
построить искомые сепаратрисы. Координаты точек кривых L2L4
L3L4 даны в табл. 5.1.

5,3, Линеаризация в задаче трех тел
179
Таблица 5,1
Форма сепаратрис
Масса Луны = 0,01215045 массы Земли
L2L4 и L2L5
^г
0,836916
0,847057
0,901654
0,927037
0,927043
0,900480
0,853240
Уг
i0,000001
±0,079148
±0,218632
+0,304584
±0,334539
±0,420071
±0,508157
L3L4 и LsL^
^г
1,155682
1,096641
1,058019
1,015824
0,968110
0,911087
0,853240
Уг
±0,000001
±0,166765
±0,212638
+0,255293
±0,306466
±0,400230
±0,506442
Следует, между прочим, заметить, что во вращающейся системе
координат (Хг, Уг) сепаратриса является фиксированной кривой,
Рис. 5.8. Ветви сепаратрисы.
в то время как в инерциальнои системе координат сепаратриса
перемещается вместе с Луной так же, как ССД. На рис. 5.8 сепаратрисы
проведены в соответствии с реальными расстояниями в системе Зем-
12*

180
Глава 5. Траектории полета к Луне
ЛЯ—Луна и со значениями координат в табл. 5.1. Вблизи прямой
Земля — Луна для сепаратрис можно непосредственно получить
аналитическое решение с помощью рядов. Эти разложения удобны при
расчете схемы на электронно-вычислительных машинах (упр. 4).
5.3.2. Преобразование уравнений движения
Введем для простоты новые удобные обозначения, позволяющие
избежать повторения индексов. Следуя Форстеру, выразим
потенциал Якоби (5.92) во вращающейся системе координат в виде
U{Xr, Уг)==-^(4 + У?)+-^
(5.93)
где R — расстояние между Землей и космическим аппаратом, р
расстояние между Луной и космическим аппаратом и ^* = 1 —
М'
Рис. 5.9. Схема переноса.
Далее, непосредственно дифференцируя U, получим [51
dU
дх-г
дУ
дУг
d4J_
дх1
d4J_
дуг
dW
дХгду
X:
^i^r + li)
[^
Р
(Xr — li*),
У^
[^
R^
г).
1 +
t»
1
/?»
/?2
t*
Ш
ра
/?2
Зг/г[-^(л: + М') +
t*
Р
Р
(X
2
3(/:
Р''
9
^^*)].
(5.94)
(5.95)
Так как надо найти решение уравнений задачи трех тел в
окрестности сепаратрисы S, то удобнее рассмотреть соответствующие урав-

5.3. Линеаризация в задаче трех тел 181
--■...-»-■.■■- *
нения вблизи точки Xsy Уз сепаратрисы. Геометрия перехода к новым
координатам иллюстрируется на рис. 5.9.
Предполагая, что Xgy Уз — известные координаты, остающиеся
постоянными, положим
Хг = 1 + Xsy Ут = 'Ц+ Уз (5.96)
Уравнения относительно ^, т] запишутся в виде [6]
dt2 ^ dT~ dl ' dx'^ '^^ dx ~ ду\ ' ^ /
Это уравнения плоского движения.
Разложения производных dU/dl = t/|, dU/dif] = [/^ в двойной ряд
Фурье в окрестности jCg, ys запишутся в виде:
+ ^^:г^.—Ь ..., (5.98)
Э| дхг дх1 ' ЭХ;. Эг/г
ш эи^ ,. а^^» +п^+..., (5.99)
дц дуг дуг dXj. ' ' ду
или более компактно:
dU
^1
dU_
К, + т^х^ + т]^/*^^,^ 4- ..., (5.100)
ЩЛ^1.о.лФ1.уЛ---^ (5.101)
где индекс s означает, что производные вычисляются в точке лг^, i/^.
Следовательно, используя (5.95), можно получить с точностью до
членов первого порядка
- = fi + aiig + ai2Ti, (5.102)
^1
^^ =f 2 + ^12^ + ^22^1, (5.103)
ду\
где
[x*(a:s+|i) [x(a:s —[X*)
^*-^^ /?з рз
^2 = у.
*
3~ ^3
[X* [X
а
Щ Ps
3i/! \ . LI /^ Зг/:
11
'+^(2-*)+12-^).
«22- 1 --^ (l -^) --^ (l --7|-) .
а
Зг/«[
i2-^i/«L щ—+—^

182 Глава 5. Траектории полета к Луне
С ПОМОЩЬЮ разложений (5.102) и (5.103) уравнения плоского
движения запишутся в виде
- - • • • •
2r] = Fi + aiig + aiaTii 'Л + 2g = f 2 + ^12^ + ^гЛ • (5.104)
Начальные условия следующие:
(0) = Ы, I (0)
;of
л (0) =- г)о, г\ (0) = Tjo.
Решение уравнений (5.104) легче всего найти операционным методом
с помощью преобразования Лапласа [7].
Используя^\окращенные обозначения
ао==-тг(^11 + ^22 —4),
2
а=-[ао(1 +v)]
P-[ao(v-l)]
1/2
1/2
V=ii—£ii^^:2ky/% (5.105)
получим
= (a2 + p2)-i I g^ (сб2 ch ax + p^ cos рт) + io (a sh ат + p sin Рт) H
+ [Fi + 2t1o + i1oai2 + lo (4 — 022)] (ch at — cos рт) +
+ [2^2 + (% + 2|o) ai2 — (io — 2%) 022] (^^ — -^^
+ (F2a.-f,«22) (■^^T^ + '^^^l^)} , (5.106)
Ti = (a^ + p2)-i J Щ (q^2 (.]^ ^^ _[_ p2 (.Q3 p^^ _[_ ^^ (q^ sh ат + P sin Рт) +
+ [Fz — 2|o + loai2 + 1I0 (4 — Яц)] (ch ax — cos рт) +
+ [-2F, + {i-2rio)ai2-(% + 2Eo)a»] (^-^
+ (f 1^12-^2^11) [ -^ \ ^2 )| • (5.107)
Эти формулы дают полное решение задачи в промежуточной области
с точностью до величин первого порядка относительно расстояния до
сепаратрисы. После того как определены ^ и т], координаты л:;., г/г
находятся непосредственно по формулам (5.96).

5.3. Линеаризация в задаче трех тел 183
5.3.3. Движение в промежуточной области
В предыдущем разделе мы рассматривали движение третьего тела
в окрестности сепаратрисы, т. е. в промежуточной области, по одну
сторону от которой преобладающее влияние на движение
космического аппарата имеет одно тело, а по другую сторону — другое.
Формулы (5.106) и (5.107) позволяют провести анализ движения в этой
промежуточной области, аналогичный анализу движения вблизи точек
либрации. Этот анализ касается математического характера решения
(например, свойств периодичности, полиномиальной или
экспоненциальной зависимости) без учета численных значений коэффициентов.
Сразу видно, что характер движения определяется параметрами а
и р, входящими в (5.106) и (5.107). С математической точки зрения
характер движения совершенно различен в зависимости от того,
являются ли а и Р действительными, мнимыми или комплексными.
Эти случаи целиком определяются коэффициентами а^^ в
уравнениях (5.102) и (5.103), зависящими только от координат точки
сепаратрисы, в которой траектория пересекает эту кривую или к которой
траектория приближается.
В точках либрации на оси Хг имеем jjs = О, ai2 = О, а ^22 и Cq =
= (211(222 — ^12 отрицательны. Отсюда следует, что а и Р
действительные и, следовательно, движение описывается в некоторой окрестности
оси Хг гиперболическими и тригонометрическими функциями в
соответствии с (5.106) и (5.107). Однако для траекторий, пересекающих
сепаратрису, величина Cq становится положительной и большей чем
а^. Параметры аир становятся, как'это видно из (5.105),
комплексными. Следовательно, существуют два класса траекторий: класс I
для движений вблизи сепаратрисы, где Cq <С а^, и класс II для
движений в области, где (:о > а^.
ВЧ9] показано, что траектории, которые пересекают сепаратрису,
начинающуюся в L2, и остаются в области
^' <-^, ^ (5.108)
Ps ^ 3
где ps — расстояние от меньшего из двух тел, принадлежат к
классу I. Для системы Земля — Луна неравенство (5.108) означает, что
траектория движения космического аппарата относится к классу I,
если ордината точки пересечения с сепаратрисой не превышает
примерно пяти земных радиусов.
В случае траекторий класса II комплексные параметры
заменяются действительными выражениями
a^[^{ao + cl/^)f\ b = [l^{-ao + cy^)f\ (5.109)
и движение описывается функциями ch at, cos bt или sh at, sin bt
и т. д.

184 Глава 5. Траектории полета к Луне
5.3.4. Распространение метода на пространственную задачу
Способ, рассматриваемый в этом разделе, ни в коей мере не
ограничен рамками плоской задачи. Уравнение (5.91) в пространстве
определяет поверхность раздела, которую можно построить численно так
же, как и двумерную сепаратрису. Эта кривая, построенная в
фактической плоскости движения, или же пересечение плоскости
невозмущенной кеплеровой орбиты с поверхностью раздела дают
критическую границу.
Если подходить с этой точки зрения, то весь предшествующий
анализ может быть перенесен на пространственную задачу, что дает
нам две предыдущие координаты, т. е. | и г), а также новую
координату ^. Следовательно, исходя из формул в пространственной задаче,
аналогичных (5.102) и (5.103),
= ^2-f ^21? + ^2211 + ^23^,
Рз + cisil + ^3241 + ^33^» (5.110)
придем к дифференциальным уравнениям
- - •
— 2т] = f 1 + ^11? + «12Л + ^13^»
• • •
r\ + 2l = F2 + a^il + а22Ц = ^23^,
t, =/^3 + ^31? + ^32'П + ^33^» (5.111)
решение которых в буквенном виде надо искать. Новые коэффициенты
в правых частях могут быть получены с помощью методов,
изложенных в разд. 5.3.2.
5.3.5. Численные результаты
Интересно сравнить результаты численного интегрирования
уравнений движения внутри промежуточной области с решением
линеаризованных уравнений. Рис. 5.10—5.12 иллюстрируют такое
сравнение в случае системы Земля — Луна [9].
На рис. 5.12 приведены траектории, вычисленные по формулам
(5.106) и (5.107). Сплошные линии соответствуют решениям
линеаризованных уравнений, а пунктирные — траекториям, полученным
при численном интегрировании. Часть сепаратрисы и часть ССД
перекрывают друг друга. Числа вдоль линий соответствуют
продолжительности перелета в часах.
Улучшение, достигаемое благодаря использованию решения
линеаризованных уравнений вместо невозмущенной орбиты, может быть

6
4
< 2
0
Числетое интегрирование
Аналитическая тория
20 30
Время, часы
т
Рис. 5.10. Изменение большой полуоси в зависимости от времени..
^a= а — а (0); а (0) = 0,190469-10^ км.
Hi
12
со
I
<
Аналитическая
теория
го 30
Время, часы
кО
Рис. 5.11. Изменение эксцентриситета в зависимости от времени.
^е= е — е (0); е (0) - 0,787819.

186
Глава 5. Траектории полета к Луне
измерено величиной изменения оскулирующих значений большой
полуоси а и эксцентриситета е этой орбиты. Рис. 5.10 и 5.11
иллюстрируют изменение а и е для траектории 4, изображенной на рис. 5.12.
Графики отражают также тот факт, что применяемый метод позволяет
учесть изменения вайе для этой траектории примерно на 80%.
0,08
0,06
0,011
o,oz
а:
О
-0,02
-0,0^
-0,06
-0,08
0,75
Сепаратриса
Г
Средняя Сфера
действия
0,80
0,85
Смещение по Хр
0,90
0,95
Рис. 5.12. Линеаризованные траектории (сплошные линии) и проинтегрирО'
ванные траектории (пунктирные линии).
5.4. ЗАМЕЧАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
В задаче трех тел мы имеем дело с движением трех точечных масс
в их общем гравитационном поле. Всегда можно получить численное
решение этой задачи с помощью методов вычисления специальных
и общих возмущений, однако общее решение задачи в том смысле,
о котором мы будем сейчас говорить, до сих пор не найдено. Эта задача
устояла перед натиском со стороны самых выдающихся математиков.
Такие ученые, как Лагранж, Леви-Чивита, Биркгоф, Пуанкаре,
затратили на эту задачу много лет, но так и не получили ее полного
решения.

5.4. Замечания о задаче трех тел 187
Поскольку трудности, возникающие при решении общей задачей
грех тел, не могли быть преодолены, то рассматривались упрощенные
варианты этой задачи, в частности ограниченная задача трех тел.
В ограниченной задаче одна масса предполагается бесконечно малой
и, следовательно, не возмущает два других тела, обращающихся
по предположению относительно друг друга по устойчивым
эллиптическим орбитам. Дальнейшие упрощения приводят к круговой и
плоской ограниченной задаче, в которой орбиты двух конечных масс
предполагаются круговыми, а движение бесконечно малой массы
происходит в плоскости движения первых двух масс. В этом разделе
обсуждается принципиальная возможность построения решения.
5.4.1. Возможность построения решения
Дифференциальные уравнения относительно координат бесконечно
малой массы в ограниченной задаче были выведены в разд. 5.2.
Полученная система трех дифференциальных уравнений 2-го порядка
относительно координат может быть записана как система шести
дифференциальных уравнений относительно трех координат и трех
компонент скорости; следовательно, мы имеем дело с системой 6-го
порядка. Очевидно, что соотношение любого вида (алгебраическое,
трансцендентное и т. д.) между координатами и компонентами скорости,
справедливое при всех значениях времени, представляет собой решение
одного из этих шести уравнении; такое соотношение называется
интегралом *). Примером является интеграл Якоби (5.48); с его помощью
уравнения ограниченной задачи сводятся к системе 5-го порядка.
Другие интегралы этой задачи до сих пор не найдены, и в этом смысле
ограниченная задача трех тел остается одной из нерешенных задач
динамики. Это не исключает, конечно, возможности построения с
помощью численных методов приближенных решений, справедливых
на ограниченном интервале времени.
Если ограничиться исследованием плоской задачи, то координата z
и компонента скорости z равны тождественно нулю, система
уравнений приобретает 4-й порядок и, поскольку имеется интеграл Якоби,
три дополнительных интеграла составили бы решение. Мультон [2]
ссылается на результат Якоби, согласно которому могут быть найдены
два интеграла. Таким образом, если был бы найден еще только один
интеграл плоской ограниченной задачи трех тел, то стало бы известным
полное решений этой задачи. Брунс показал, что новый интеграл
в виде алгебраических соотношений между прямоугольными
координатами и скоростями не существует. Пуанкаре также показал, что
новый интеграл не может иметь вид трансцендентного соотношения
между координатами. Может ли решение выражаться посредством
*) Это весьма неточное определение интеграла дифференциальных
уравнений.— Прим. перев.

188 Глава 5. Траектории полета к Луне
элементарных функций в некоторых других системах координат,
мы не знаем. Вообще выбор систем переменных и координат
неограничен, и общего утверждения о невозможности аналитического
решения никто до сих пор не доказал. Но, конечно, интеграл в той
или иной форме существует, и проблема заключается в том, чтобы
его найти.
Эта ситуация аналогична той, когда многие математики, в
частности Грегори, пытались получить решение алгебраических уравнений
степени выше 4-й с помощью операций извлечения корня. Только
тогда, когда Абель доказал невозможность такого решения, эта проблема
была как будто снята раз и навсегда. И все же Клейн [28] и другие
получили после знаменитого доказательства Абеля решение
уравнения 5-й степени с помощью преобразования Чирнгауза и эллипти*
ческих функций. Таким образом, проблема нахождения корней
полиномов была решена аналитически с помощью преобразований и
неэлементарных функций. Можно полагать, что ограниченная задача
трех тел интегрируема с помощью специальных преобразований и
неэлементарных функций.
5.4.2. Последние результаты
При попытке вывести аналитические формулы, справедливые на
всем расстоянии от Земли до Луны, такие ученые, как Лагерстром
и Кеворкян в своих недавних работах [18—20] применили метод
стыковки ассимптотических разложений. В этом методе
предполагается, что могут быть построены ряды по степеням малого параметра |л
(отношение массы Луны к массе Земли), описывающие движение от
Земли в сфере действия Земли. Аналогичным образом можно вывести
разложение, описывающее траекторию полета к Луне в сфере
действия Луны.
Оба аналитических выражения могут быть стыкованы в некоторой
граничной точке между Землей и Луной. Для этого соответствующие
коэффициенты рядов приравниваются, что приводит к формуламу
определяющим аналитические выражения для элементов
селеноцентрической гиперболической орбиты в зависимости от начальных значений
положения и скорости вблизи Земли. Вильяме и Лю [29, 30]
продолжили исследования Лагерстрома и Кеворкяна и получили
алгебраические формулы. Этот метод требует дальнейшего анализа. Основной
его недостаток заключается в большой громоздкости алгебраических
выкладок, необходимых для получения требуемого результата.
Контопулос [31], исходя из другой точки зрения, получил новый
интеграл задачи трех тел в виде ряда. Этот ряд также длинный, и его
составление требует обширных алгебраических выкладок, чтобы
получить результат, имеющий смысл.
На пути разработки обоих указанных методов остается еще много
работы. Однако эти исследования опираются на твердый фундамент.

5.5. Резюме 189
Результаты, которые могут быть получены на этом пути, будут,
по-видимому, иметь скорее теоретическое, чем практическое
значение.
Недавно Эскобал [33] и Эскобал и Штерн [34, 35] разработали новый
вариант метода кусочно-невозмущенных орбит. В этом методе
кусочно-невозмущенная траектория используется как опорная орбита;
тогда можно непосредственно определить ошибки отрезков кеплеровых
орбит при минимальном объеме вычислений и алгебраических
выкладок. Хотя для поправок соответствующих переменных получены явные
аналитические выражения, изложение этого метода мы отложим до
гл. 7, поскольку для его понимания требуется знать метод Энке.
5.5. РЕЗЮМЕ
Основная цель этой главы — изложение аналитических методов
построения траекторий полета к Луне. В первой части главы
рассматривается метод кусочно-невозмущенных орбит, при
использовании которого объединяются отрезки геоцентрической и
селеноцентрической кеплеровых орбит, что дает составную траекторию,
аппроксимирующую истинную траекторию полета к Луне. Этот метод очень
прост и находит большое применение на практике при определении
большого числа таких траекторий.
Более точный способ определения траекторий полета к Луне
требует привлечения уравнений задачи трех тел. Поэтому много места
отводится выводу соответствующих уравнений движения. Выводится
интеграл Якоби, связывающий скорость и положение бесконечно
малой частицы. Этот интеграл является аналогом известного интеграла
живых сил в задаче двух тел.
Выводятся известные частные решения ограниченной задачи трех
тел: прямолинейные и треугольные. Показано, что существуют
пять точек, таких, что, если поместить в них спутник, находящийся
в покое по отношению к вращающейся системе координат с началом
в центре масс, то он имеет тенденцию всегда там оставаться. Эти точки
называются точками либрации задачи трех тел.
Излагается новый метод вычисления траекторий полета от Земли
к Луне, при использовании которого вводится конечная
промежуточная область перехода от геоцентрической к селеноцентрической кеп-
леровой орбите. С помощью линеаризации уравнений движения
в окрестности границы влияния сил притяжения (сепаратрисы)
находятся аналитические формулы, описывающие движение космического
аппарата внутри промежуточной области.
Наконец, обсуждается вопрос об интегрируемости задачи трех тел
и упоминаются некоторые последние результаты, полученные при
анализе задачи трех тел.

190 Глава 5. Траектории полета к Луне
УПРАЖНЕНИЯ
1. Почему в методе кусочно-невозмущенных орбит нельзя точно
совместить положения, скорости и ускорения на границе сфер
действия?
2. В предположении, что стартовая орбита при полете от Земли
к Луне является точно параболической, вывести алгебраическое
уравнение 4-й степени, определяющее условия стыковки геоцентрического
и селеноцентрического отрезков орбит.
3. Показать, что если ввести систему координат Uy v с центром в L2,
осью и вдоль Хг и осью V вдоль у г, то формулы (5.94), т. е.
дУг ^'\ R^ р
можно записать с точностью до членов 2-го порядка по отношеник
к и и V в виде:
>
ди
dv
(1—71)^ — 372^^+ • • •.
где
7i— n_/ чя +TT' 72—— ТГГГТТГ"!"
(1-L2)3 ' Li ' ^' (1-^2)^ ' Li '
4. Пользуясь результатами упр. 3, показать, что уравнение
dv (1 — y{)v — 3y2Uv
^" (l+2vi)a + 3v2(«2-~lt;2
имеет решение
v = Au''+ ...,
где
,(0) = 0, п^1, Л2 = 2^1|1=2), ^,>1.
Это решение представляет собой аналитическое выражение для
сепаратрисы в окрестности и = 0.
5. При каких V использование аналитической формулы упр. 4
для сепаратрисы приводит к существенным отклонениям от точных
значений, приведенных в табл. 5.1?
6. Показать, что точка пересечения геоцентрической кеплеровой
орбиты с сепаратрисой (упр. 4) определяется алгебраическим
уравнением 4-й степени с коэффициентами, зависящими от момента, когда

Литература 191
ЭТО пересечение имеет место. Получить аналитические выражения
для коэффициентов этого уравнения.
7. Используя схему, показать, что корень уравнения 5-й степени,
определяющего прямолинейное решение задачи трех тел,
соответствует точке равновесия между центробежными и гравитационными
силами. Использовать вращающуюся систему координат и учесть,
что центр масс находится в точке х = \х>.
8. Космический корабль, запущенный с Земли с начальной
скоростью 8,5 км/сек и находящийся в момент старта на прямой Земля —
У-
I
Луна на расстоянии 1,4 а^, пересек вторично прямую Земля — Луна,
находясь на расстоянии 40 а^ от Земли. Какова скорость космического
корабля в этой точке пересечения, если предположить, что расстояние
от Земли до Луны составляет 60 а^?
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л, Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
2. F. R. М о U 1 t о п. An Introduction to Celestial Mechanics, The Macmillan
Company, New York, 1914, Ch. 8. (Русский перевод: Ф. М у л ь т о н.
Введение в небесную механику, ОНТИ, М.— Л., 1935.)
3. К. F о г S t е г. Linearization for Certain Earth-Moon Trajectories in the
Restricted Problem of Three Bodies, TRW Systems Independent Research
Project, 9863-6005-RO-OOO, February 1966.
4. H. T. Davis, Introduction to Nonlinear Differential Equations, Dover
Publications, 1961, p. 270.
5. K. F 0 r s t e r. Differential Equations and Solutions for the Transition Region
of the Three-Body Problem, TRW Systems, 3422.3-65, May 1966.
6. E. Finlay-Freundlich, Celestial Mechanics, London, 1958.
7. R. V. Churchill, Operational Mathematics, McGraw-Hill Book
Company, 1958.
8. A. W i n t n e r. The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton
University Press, 1941. (Русский перевод: A. У и н т н e p. Аналитические
основания небесной механики, изд-во «Наука», М., 1967.)
9. К. F о г S t е г, Р. R. Е s с о b а 1, Н. А. L i е s к е. Motion of а Vehicle
in the Transition Region of the Three-Body Problem, Astronautica Acta, 1968.
10. Poincare H., Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste, Gauthier-
Villars, Paris, 1892, Vol. 1.
11. P. R. E s с 0 b a 1, F. H. В r i n с m a n n. Transformed Three-Body
Equations of Motion, TRW Systems, 9882.3-167, October 1965.
12. B. A. E г 0 p 0 B, Пространственная задача достижения Луны, изд-во
«Наука», М., 1965.
13. G. S. Stern, Series Approximations of the Jacobi Integral, TRW Systems,
9882.3-188, December 1965.
14. P. R. E s с 0 b a 1, F. H. В r i n к m a n n. The Lemniscate and the
Restricted Problem of Three Bodies, TRW Systems, Independent Research Project^
9863-6008-RO-OOO, March 1965.

192 Глава 5. Траектории полета к Луне
15. S. W. М с С U S к е у, Introduction to Celestial Mechanics, Addison-Wesley
Publishing Company, Reading, Mass., 1963, pp. 92—179.
16. E. T. W i t t a к e r, A Treatise on the Analytical Dynamics of the Particles
and Rigid Bodies, Cambridge University Press, Fourth Edition, 1959. (Русский
перевод: E. Уиттекер, Аналитическая динамика, ОНТИ, М.— Л., 1937.)
17. АН Hansen Nayfeh, А Comparison of Three Perturbation Methods
for Earth-Moon-Spaceship Problem, AIAA J., September 1965, pp. 1682—1687.
18. P. A. L a g e r s t r 0 m, J. Kevorkian, Some Numerical Aspects of
Earth-to-Moon Trajectories in the Restricted Three-Body Problem, AIAA
Paper 63-389.
19. P. A. L a g e r s t r 0 m, J. Kevorkian, Matched Conic Approximation
to the Two Fixed Force-Center Problem, Astron. J., March 1963.
20. P. A. Lagerstrom, J. Kevorkian, Earth-to-Moon Trajectories
with Minimal Energy, J. Mecanique, 2, № 4, December 1963.
21. V. S z e b e h e 1 y. The Restricted Problem of Three Bodies, Summer Institute
in Dynamical Astronomy, General Electric Company, Philadelphia, Pa., 1961.
22. J. Kevorkian, Uniformly Valid Asymptotic Representation for All
Times of the Motion of a Satellite in the Vicinity of the Smaller Body in the
Restricted Three-Body Problem, Astron. J., 67, № 4, 204-211, 1967.
23. L. M. P e r к 0, Interplanetary Trajectories in the Restricted Three-Body
Problem, AIAA, J., December 1964, pp. 2187—2192.
24. K. S t u m p f f, On Lagrange's Theory of the Three-Body Problem, NASA,
TND-1417, January 1963.
25. D. van Zelm Wadsworth, A New Analytic Method for Rapid
Computation of Earth-Moon Trajectories, AIAA Paper 65-514.
. L a n z a n 0, Periodic Solutions for the Restricted Three-Body Problem,
Space Technology Laboratories, Inc., Report GM-TM-0165-00323, December
1958.
27. E. T. Bell, Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937.
28. Klein P., The Icosahedron, Dover Publications, New York, 1956.
29. R. R. W i 1 1 i a m s, С S. L i u, The Matched Asymptotic Expansion Method
for Lunar Trajectories, TRW Systems, 9990-6078-ROOO, December 1966.
30. R. R. W i 1 1 i a m s, C. S. L i u, An Improved Asymtptic Expansion Method
for Lunar Trajectories, TRW Systems, 9990-6281-ROOO, July 1967.
31. G. С 0 n t 0 p 0 u 1 0 s, On the Existence of a Third Integral of Motion, Astron.
J., February 1963.
32. H. A. L i e s к e. Lunar Instrument Carrier-Trajectory Studies, RAND Cor-
Doration, Research Memorandum, RM 1728, June 1956.
^. R. E s с 0 b a 1, Inclusion of Planetary Perturbation into Patched Conic
Programs, TRW Systems, 3431.2-19, March 1967.
34. P. R. E s с 0 b a 1, G. S. Stern, The Hybrid Patched Conic Technique,
TRW Systems, 05952-6170-ROOO, July 1967.
35. P. R. E s с 0 b a 1, G. S. S t e r n, Hybrid Patched Conic Simulation of Lunar
Return Trajectories, TRW Systems, 05952-6187-ROOO, November 1967.
36. F. R. M 0 u 1 t 0 n. Periodic Orbits, Carnegie Institution of Washington,
Washington, 1920.
26
• *.
33

Глава 6
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ СВЯЗИ
ПРИ КОСМИЧЕСКИХ ПОЛЕТАХ
Свет, как и звук, имеет волновую природу,
но колебания измеряются другими
масштабами; эти колебания несравненно более частые
и меньшие по амплитуде.
Гюйгенс [14]
6.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим космический аппарат, который должен вступить в
контакт с определенной станцией на Земле. Когда окажется возможным
послать сигнал с корабля на Землю? Каковы наиболее ранний и
наиболее поздний моменты подачи сигнала? Когда наземная станция
может получить данные о расстоянии до корабля, о скорости
изменения расстояния и осуществить визуальные наблюдения? Эти
и другие вопросы анализируются в этой главе. Точнее говоря,
исследуется вопрос геометрического расположения изучаемых небесных
тел, между которыми должны быть осуществлены связь или
визуальный контакт. Очевидно, что на пути луча зрения от наземной станции
до космического аппарата не должно быть препятствий; например,
нельзя, чтобы станция была расположена на одной стороне Земли,
а космический аппарат находился под горизонтом или чтобы между
станцией и космическим аппаратом находилась Луна. Подобные
геометрические ограничения многочисленны и являются существенными
при анализе вопроса о связи при полетах к Луне и другим планетам.
В этой главе мы выведем астродинамические уравнения,
позволяющие установить возможность связи в нескольких из наиболее
важных случаев. Решение задачи ищется, где это возможно, в конечной
форме или методом итераций. В [1—5] можно познакомиться с более
специфическими аспектами этой проблемы. Заметим кстати, что
некоторые вопросы связи с Землей, например вопросы геоцентрических
восходов и заходов, а также затмений здесь не рассматриваются,
так как они изложены в [1].
6.1.1. Основные предположения
Во всей этой главе существенное внимание уделяется точности
геометрических схем, насколько это возможно. В частности,
используется модель Земли, учитывающая ее истинную форму, предпола-
13—491

194
Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
гается, что пространственные координаты Луны и планет являются
известными функциями времени (разд. 1.3—1.5) и что положения
межпланетного аппарата могут быть вычислены с желаемой точностью.
Эти три момента являются ключевыми для точного анализа
рассматриваемой задачи. Вопрос о связи со многими наземными станциями
не дискутируется в этой главе. Предполагается, что изложенные здесь
результаты могут быть применены к любому числу наземных станций
в коммуникационной сети.
Хотя геоцентрическая модель Земли или какой-либо планеты
детально рассмотрена в [1], все же полезно здесь привести требуемые
Станция наблюдения
X
У
Рис. 6.1. Наземная станция на
планете, обладающей
геометрическим сжатием.
геометрические соотношения и используемые обозначения. На рис. 6.1
начало координат совпадает с центром Земли (или другой планеты),
плоскость ху совпадает с плоскостью экватора, ось х направлена
в точку весеннего равноденствия. Рассмотрим наземную станцию
с координатами ф', Э, где ф' — геоцентрическая широта, Э — местное
звездное время станции. Вектор R, называемый обычно координатным
вектором станции, определяется, как показано в [1], формулами
R
X
Y
Z
Gj cos ф cos Э
Gicos ф cos Э
G2 sin ф
(6.1)
J
где
Gi
а
[1+(2/~/2)51п2ф]^2
+ я,
G
(1-/)2а
р
[1+(2/ —/2)51п2ф]^/2
+ я,
Ф = arctg
tgф'
я
(1-/)
2 »
2
Ф
я
2
Причем йр — экваториальный радиус планеты, ф — геодезическая
широта, / — сжатие принятого эллипсоида, Н — высота станции,
отсчитываемая по нормали к поверхности принятого эллипсоида.

6.2. Восход и заход спутника 195
Местоположение типичной наземной станции наблюдения
фиксируется с помощью такой простой схемы с точностью, достаточной для
решения проблем коммуникации, обсуждаемых в следующих разделах.
6.1.2. Поправка за скорость света
Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна
приблизительно с = 300 000 км/сек. От Солнца до Земли свет идет
около 8 мин. Если, например, космический корабль, находящийся
в окрестности Марса и в оппозиции с Землей, предпринимает попытку
связаться со станцией на Земле, то без учета поправки за скорость
света может быть допущена серьезная ошибка при фиксации времени
для сеанса связи. Указанная поправка может быть легко учтена
с помощью формулы
tc = t + '^, (6.2)
4
где tc — исправленный момент, t — отмечаемый момент, р —
расстояние между космическим кораблем и станцией.
6.2. ВОСХОД И ЗАХОД ОДНОГО СПУТНИКА
ПО ОТНОШЕНИЮ К ДРУГОМУ
при создании спутниковой коммуникационной системы
существенное значение имеют простые аналитические формулы,
определяющие условия нахождения в зоне взаимной видимости двух или
большего числа спутников. Мы будем считать в этом разделе, что два
спутника находятся в зоне взаимной видимости, если в течение некоторого
времени их можно непосредственно соединить лучом зрения.
Рассуждения, приводимые ниже, прежде всего относятся к определению
моментов восхода и захода одного спутника по отношению к другому,
т.,е. моментов восстановления или прерывания луча зрения между
спутниками. Для спутников, движущихся по орбитам с малым
эксцентриситетом, можно получить единственное трансцендентное
уравнение, позволяющее определять зоны взаимной видимости с помощью
однопараметрических итераций.
6.2.1. Вывод функции восхода и захода
Рассмотрим схему на рис. 6.2. На ней спутники 1 и 2 близки к
выходу из зоны взаимной видимости. Разумеется, если вектор S,
проведенный из динамического центра Земли, равен по модулю радиусу
Земли или меньше его и если он перпендикулярен прямой,
соединяющей концы радиусов-векторов ri и Гг спутников, то очевидно, что
спутники не имеют между собой прямой связи по лучу зрения. Однако
из-за влияния атмосферы следует на практике принять, что модуль
13*

196
Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
толщина
вектора S несколько больше радиуса Земли йе- Пусть А
слоя атмосферы, препятствующего связи. Тогда
S'' = S^S^{ae + ^f. (6,3)
В соответствии с рис. 6.2 можно составить два основных векторных
соотношения
где Ti (i
1,2)
радиусы-векторы спутников и Х^ (i
1.2)
Cni/тиик 2
Спутник i
У
(6.4)
(6.5)
два не-
Р и с. 6.2. Схема относительного восхода и захода
известных вектора
лам
Модули векторов Гг и fi можно выразить по форму-
rl = (S + X2).(S + X2) = 52 + Xl + 2S.X2,
rf = (S-Xi)-(S-Xi) = 52 + XJ-2S.Xi.
(6.6)
(6.7)
В моменты восхода или
ку 2 имеем S'Xi^S'X2
захода спутника 1 по отношению к спутни-
0, и (6.6), (6,7) принимают вид
-S2)^/^
X
irl
Xi = (г? - S2)
1/2
.(6.8)
(6.9)
Складывая (6.8)'и (6.9), получим
X^X, = c = {rl-S^f'+(rl-S^f'
(6Л0)
и так как длина с хорды, соединяющей положения спутников,
определяется по формуле
с = т-и)-{г2-г,)]'''={г1 + г1~2ггГ2^*, (6.11)

6.2. Восход и заход спутника 197
ТО, подставляя (6.11) в (6.10) и дважды возводя в квадрат, получим
так называемую функцию восхода и захода
R = {r2'r,)^-rlrl + {rl + rl)S^--2Shrr,. (6.12)
где S определяется по (6.3). Функция восхода и захода (6.12) может
быть непосредственно использована для определения видимости
одного спутника с другого. Знак R, соответствующий условию видимости,
может быть установлен, если рассмотреть случай, при котором
спутники определенно находятся вне зоны взаимной видимости. Если
спутники находятся в оппозиции, т. е. Гг^п = —Г1Г2, то R приводится
к виду
/?^(r2 + ri)'-S2>0, (6.13)
Следовательно, отрицательные значения R соответствуют
непосредственной связи между спутниками по лучу зрения, а положительные
значения R означают отсутствие такой связи.
6.2.2. Приведение функции восхода и захода к двухпараметрической
функции
Уравнение каждой из двух орбит записывается через
эксцентриситет е, параметр р и истинную аномалию v в виде
Г1 = гт-^ ' ^'=1. 2. (6.14)
Подставляя (6.14) в (6.12) и расписывая скалярное произведение,
получим R как функцию t;i и 1^2 в виде
R{l+e^ cos Vi)^{\ +62 cos v^j^^R*, (6.15)
где
R*=\pl{l+ eicosVif + pl{l+e2cosVzf — 2p^2(1 + ^i cosv^) x
X (1 + ^2 cos V2) cos {V2—^1)] S^—pIpI sin^ {V2 — v^). (6.16)
Так как 7?* обладает теми же свойствами, что и 7?, то при дальнейшем
анализе будем использовать 7?* вместо R, называя 7?*
модифицированной функцией восхода и захода. Следует заметить, что выражение
(6.16) применимо только в случае двух спутников, движущихся
в одной и той же плоскости. При желании можно вывести
эквивалентное соотношение для спутников, движуш,ихся в разных плоскостях,
если положить (6.28)
ri=Xa,iP+ymQy i=l, 2.
В качестве иллюстрации метода рассмотрим только плоский случай.

198 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
6.2.3. Приведение модифицированной функции восхода
и захода к функции одной переменной
Поскольку спутниковые орбиты, между которыми будет
осуществляться связь, имеют небольшие эксцентриситеты, оказывается
возможным дальнейшее преобразование функции R*. Рассмотрим
разложение истинной аномалии v в ряд по эксцентриситету е и средней
аномалии М, а именно
+ -S-(103sin4M-44sin2M)+... . (6.17)
96
Полагая
M^Mo + n{t-^to).
где п — среднее движение, t — всемирное время, to — эпоха, к
которой отнесено значение средней аномалии Мо, перепишем (6.17) в виде
:; == Мо + ггт + 2^ sin Мо cos пх + 2е cos Mq sin пх +
+ -7"^^ sin cos 2пх + -^е^ cos 2AIq sin 2ггт, (6.18)
где
t — to, n = kYiia-^^^,
k — гравитационная постоянная планеты, ^ — сумма масс планеты
и спутника, а — большая полуось орбиты спутника. Выбирая для
обоих спутников одну и ту же эпоху /о» получим, что
Vi = Vi=^ Moi + щх + 2ei sin M^i cos щх +
+ 2^cosMoiSinniT+..., i = l, 2, (6.19)
и (6.16) можно переписать в виде
R* = [Pl (1 + ^1 cos Vi) + pl{l+e2cos v^)^
— 2p2pi (l+eiCOslJ^) (1 +^2C0S t^2) cos (^2-^l)I {йе+Н)^ —
-plplsm^{v^,^v,), (6.20)
так что R* = R* ix). Полагая R* = 0 и решая получаюш,ееся
трансцендентное уравнение с помош,ью обычного итерационного процесса,
придем к значениям т, равным интервалам времени от to до момента
относительного восхода или захода. Разности между
последовательными корнями уравнения R* (т) = О определяют окна взаимной
"ВИДИМОСТИ для спутниковых систем.

6.3, Затмения спутников Земли тенью Луны 199
6.2.4. Случай больших эксцентриситетов
Если желательно найти точки относительного захода и восхода
спутников, движущихся по орбитам с большим эксцентриситетом
{е > 0,2), то сводить задачу к решению одного трансцендентного
уравнения практически нецелесообразно. В этом случае для заданных
моментов / и для каждого спутника решаются уравнения Кеплера
и определяются соответствуюш,ие векторы rf, i = 1,2. Чтобы
определить, видимы ли взаимно спутники, удобно использовать также вместо
/?* функцию восхода и захода R, определяемую по формуле (6.12).
6.3. ЗАТМЕНИЯ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ ТЕНЬЮ ЛУНЫ
Геометрические ограничения, возникающие при анализе вопросов
связи, вызваны тем, что спутник может находиться часть времени
в тени Луны или Земли. Обычно эффектом лунных затмений
пренебрегают. Однако могут иметь место такие случаи, когда спутник
находится в тени Луны в течение значительных интервалов времени. Такие
интервалы могут быть причиной серьезного нарушения связи со
спутником. Затмения спутников Землей удобно анализировать с помош,ью
методов, изложенных в [1, гл. 5]. Затмения спутников Луной
анализируются в этом разделе. Точные геометрические условия затмения
выражаются в виде функции тени. Эта функция тени может быть далее
преобразована к уравнению 4-й степени относительно косинуса
истинной аномалии спутника, движуш,егося по эллиптической орбите вокруг
Земли. Излагаемые здесь результаты получены Эскобалом и Роберт-
соном [2].
6.3.1. Вывод функции лунной тени
В соответствии с рис. 6.3 мы можем составить следуюш^ее
векторное соотношение, отнесенное к геоцентрической экваториальной
системе координат:
r + d + ac = rc, (6.21)
где г — геоцентрический радиус-вектор спутника, d — вектор,
проведенный от точки орбиты спутника до поверхности Луны (вдоль
касательной к поверхности Луны.— Перев.), а(^ — вектор, проведенный
от конца вектора d к центру Луны, V(^ — геоцентрический радиус-
вектор Луны.
Геометрическая схема затмения требует, чтобы векторы,
выписанные в (6.21), удовлетворяли двум условиям:
Rc-a(^ = 0 (6.22)
и
R^.d = i?,^d. (6.23)

200
Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
Соотношение (6.22) выражает тот факт, что радиус-вектор из центра
Луны к краю области тени на поверхности Луны перпендикулярен
радиусу-вектору R(^, направленному от центра Луны к Солнцу.
Согласно же (6.23), вектор d при выходе из цилиндра лунной тени или
Солнце
Земля
Цилиндр menu
Геоцентрическая opffama
Рис. 6.3. Орбитальная схема
При входе в него параллелен позиционному вектору Солнца Я^.
Учитывая эти условия и соотношение (6.21), получим из (6.22), что
Rl-r(^-'Ri'r = R([d.
(6.24)
Практическое значение последнего соотношения состоит в том,
что может быть найдена неизвестная длина вектора d в точках входа
в тень и выхода из нее. Из рис. 6.3. следует, что и = г,г — г, или
и
(г
с
г).(г
с
г),
но так как d, а^, и образуют прямоугольный треугольник, то
d2 = (r
с
г)-(г^-г)—ас-а
или
d
(4 + г'
2г
f
2 4V2
al)
(6.25)
Подставляя (6.25) в (6.24), получим функцию лунной тени 5 в виде
-S = Rc-rc
Rc-r-7?£(4
2г(г-г)
1/2
1
(6.26)
причем равенство 5 = 0 соответствует условию входа в тень или выхода
из нее.

6.3. Затмения спутников Земли тенью Луны 201
6.3.2. Приведение функции лунной тени к алгебраическому
полиному 4-й степени
Для преобразования функции тени могут быть использованы
обычные орбитальные векторы Р и Q (где Р — единичный вектор,
направленный из динамического центра в перигей орбиты, Q — единичный
вектор, упреждающий вектор Q на 90° в направлении и в плоскости
движения), компоненты которых выражаются формулами:
Рх = cos (О cos Q — sin (О sin Q cos /,
Ру = cos (О sin Q -\- sin со cos Q cos /,
Pz = sm(i)smi,
Q^= — sin (0 cos Q — cos (0 sin Q cos /,
Qy= — sin (0 sin Q + cos (o cos Q cos i,
Q^ = cos (0 sin i, (6.27)
где (0 — аргумент перигея, Q — долгота восходящего узла, i —
наклонность орбиты. Для упрощения 5 используем обычную векторную
формулу [1, гл. 3]
r = xJ + y^Q, (6.28)
где л:со, Усо выражаются как функции модуля радиуса-вектора г и
истинной аномалии v в виде
После непосредственной подстановки получим
5 = R^ • г^ — R^ • Рг cos у — R(£ • Qr sin у
1/2
R(i{rl + r^ — al--2r^'Prcosv-2r(^'Qrsmvr\ (6.29)
Далее, поскольку г выражается через эксцентриситет орбиты е
и параметр р хорошо известной формулой
Р
1 + е cos у '
(6.30)
то
R^'Ppcosv R^-Qpsiny
*^С' С 1 + ecosy I + ^cosy
Rt [4
а
2 р2 2r^-Ppcosy 2r^-Opsin y-j^/г
^ ' (I+ecosy)2 1 + ^cosu 1+ecosu J
(6.31)
предполагая, что векторы R(^ и Г(^ изменяются с течением времени
медленно (разд. 6.3.4), будем считать их постоянными и введем обо-

202 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
значения
Тогда функцию тени 5 можно записать в виде
о ft I о cosy , о sin у
1+ecosy "^^ 1+ecosy
— Tr _i_R cost? , Q sini? , p7 -]V2 /A Q0\
[P4-i-P5 i+^cosy ' Pe l+6Cosy + (l + 6Cost;)2 J • \^'^^)
Заметим, что S = S (v) и что, дважды возводя (6.32) в квадрат,
получим следующий алгебраический полином 4-й степени, решающий
проблему затмений спутников тенью Луны:
S* = Uq cos* V + Gi cos'^ v + a2 cos^ у + аз cos у + ^4, (6.33)
где
^о = у1 + уЬ «1 = 27,72 + 75»
«2 = 72 + 27i73 —yHyI «3 = 27273-75» «4 = 7l —Те'
причем 7fe вычисляются с помощью вспомогательных параметров Р^
по формулам:
7l = (Pl^~P4)^^+(2PiP2-P5)^ + PbP3.
72=2(Р^~Р4)г + 2Р,Р2-Р5,
73 = Р? + Р|-Р4-Р7,
74 = (2Р,рз-Рб)^ + 2Р2рз,
75 = 2(2р,Рз-Рб)[(2р,Рз~Рб)^ + 2Р2Рз],
7б=2р,рз —Рб.
Уравнение S* = О, которое может быть решено в замкнутой форме
{1, прилож. 3], дает нам точки входа в лунную тень или выхода из нее.
Вместе с тем из основного определения функции 5 и из соотношения
(6.23) следует, что при входе в тень знак S меняется с отрицательного
на положительный. Этот факт можно проверить проще всего,
рассмотрев случай, когда спутник обязательно затмевается Луной.
Действительно, пусть Земля, спутник и Луна находятся в одной
и той же плоскости, и пусть спутник находится на одной линии между
Землей и Луной, а Луна — на одной линии между Землей и Солнцем
(рис. 6.4). В такой схеме тень Луны затмевает спутник, а знак 5 можно
определить следующим образом. Так как функция тени определена
формулой (6.26), то в случае, когда все тела находятся на одной линии,
легко показать, вычисляя соответствующие скалярные произведения,
что
S = Rt{rt-r-[{r^- гГ - al ]'^'} > 0.
Следовательно, S положительно, если затмение спутника Луной имеет
место, и отрицательно в противоположном случае.

6,3. Затмения спутников Земли тенью Луны
203
Наконец, сделаем замечание относительно отбрасывания лишних
корней уравнения 5* = 0. Так как затмения могут иметь место как
Орбита
Солнце
Рис. 6.4. Плоское затмение спутни1;;\ находящегося в соединении
В соединении, так и в оппозиции, то корни уравнения S*
проверить непосредственно подстановкой в выражение (6.31)
О надо
для S
и оставить только те корни
cosvu smvi
(1 —COS^Vi)
1/2
/ = 1, 2, 3, 4,
(6.34)
которые обращают 5 в нуль. Имея эти корни, можем при желании
определить моменты входа в тень и выхода из нее после уточнения
коэффициентов полинома (6.33). При этом значения коэффициентов,
соответствующие входу в тень и выходу из нее, будут различными,
так что анализу будут подлежать два уравнения 4-й степени.
6.3.3. Предельное угловое удаление Луны от Солнца
Предыдущий анализ оказывается ненужным, если априори извест
но, что лунное затмение земного спутника произойти не может. На осно
Орбита Луны
Солнце
^ Геоцентрическая
орбита
Рис. 6.5. Максимальное удаление Луны.
вании схемы на рис. 6.5 легко показать, что предельное удаление Луны
от Солнца, т. е. предельный угол щ между геоцентрическими
радиусами-векторами Луны и Солнца, определяется приближенно по формуле
щ ^ arctg
(^©
г^)а
Rr^^r
0<аг<
©'С
п
2
(6.35)

204 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
где а — большая полуось почти круговой геоцентрической орбиты
спутника, R(j) — расстояние между Землей и Солнцем и Г(^ —
расстояние между Землей и Луной. Следовательно, принимая /?0, г^
постоянными и считая орбиту спутника круговой, можем получить
предельное значение щ. Вопрос о решении выведенного выше
уравнения 4-й степени или об анализе функции тени ставится только тогда,
когда угловое расстояние Луны от Солнца значительно не превышает щ,
6.3.4. Изменение коэффициентов уравнения 4-й степени со временем
Выше мы предполагали, что коэффициенты р^ в уравнении (6.33)
остаются постоянными в течение некоторого интервала времени, что
позволяет получить решение этого уравнения в замкнутой форме.
Причиной изменения этих коэффициентов со временем являются
главным образом два фактора: изменения г^ и R(^, причем Г(^ изменяется
весьма сильно. Однако если вычислить коэффициенты уравнения (6.33)
в момент, когда угловое удаление Луны от Солнца равно а^, то мы
получим вполне хорошую аппроксимацию. Вместе с тем может понадобиться
второе приближение, находимое по уравнению (6.33) с уточненными
коэффициентами.
Оптимальный путь при вычислении лунных затмений заключается,
по-видимому, в использовании функции тени 5 для нахождения
приближенных моментов затмения методом последовательных
приближений. Уравнение же (6.33) целесообразно решать в замкнутой форме,
как изложено в [1], только в окрестности найденных приближенных
моментов.
6.3.5. Эффекты тени и полутени
В предыдуш^ем анализе мы фактически предполагали, что лунная
тень образует точный цилиндр (рис. 6.3). Однако если нас интересуют
эффекты тени и полутени [9], то нетрудно преобразовать функцию
тени с помощью углов
cos8u = —^^ ^ ^ , sm8u= ^п ^
cos 6, = IUZ<f|±i«:^, sln«, = ^±i, (6.36)
где а0 — радиус Солнца, а нижние индексы аир обозначают
соответственно тень и полутень (от слов umbra — тень и penumbra
полутень.— Перев.). Для системы Земля — Луна эти углы найдены
в [1, гл. 5]. Из анализа геометрической схемы, изображенной на рис. 6.6,
следует, что условия (6.22) и (6.24) надо изменить. Условия (6.22)
и (6.23) заменяются следуюш^ими:
R^ •(Г(£ — г — d) = -н Raul sin б^ (6.37)
Яа-Г1 — К^'Г= Riidcosdi^ а^ sin Sj). (6.38)

6»3, Затмения спутников Земли тенью Луны 205
где верхний знак соответствует вхождению в область полутени,
а значения S^ соответствуют вхождению как в область тени, так
и в область полутени.
Солнце
Рис. 6.6. Схема теневого затмения.
Точное выражение для функции тени представится теперь в виде
5 = R(j;.r(j; —Rc-r —/?(^[(4 + г2-а| —2r^.r)'/'cos6iT-a(^sin6^.
(6.39)
Эффекты тени и полутени будут также учтены, если изменить
коэффициенты р^-, / = 1, 2, . . ., 7 в (6.32) и цоложить их равными
^, = {rl-^al)Rlcos4u
^e=-2r^^QpRlcos4i,
^T = p^Rlcos4i, (6.40)
a коэффициенты p2> Рз сохранить прежними.
Следует сделать еще одно замечание по поводу эффекта тени.
Разумеется, что при анализе решений уравнения тени необходимо
прибегнуть к дополнительной проверке, чтобы исключить все лишние
корни. А именно из геометрических соображений вытекает, что
в области тени модуль вектора d не превышает iga([/tg8u. Конечно,
предполагается, что в любом случае для решения соответствующего
уравнения тени выполняется условие d*R(r^O. Если это условие
не выполняется, то лунное затмение, по-видимому, не может произойти.
6.3.6. Важность учета затмении спутников тенью Луны
Численный пример, показывающий важность учета затмений
спутника тенью Луны был получен при анализе затмения Солнца,
имевшего место в Южной Америки 12 ноября 1966 г.
Рассматривался спутник, движущийся по почти круговой орбите с большой
полуосью а=110 000 км и элементами г =: 0,126, t =: 36°,42,
Q = 2r,15, (О =: 114°,116 [10]. Ориентация плоскости орбиты и
начальное положение космического аппарата были выбраны так, чтобы
имело место затмение. Вычисления по приведенным выше формулам

206 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
показали, что в области полной тени спутник будет находиться 0,256 час
и в области полутени 1,785 час. В зависимости от элементов орбиты
спутника длительность затмения может быть больше или меньше
6.4. ВОСХОД И ЗАХОД СПУТНИКА ЛУНЫ
ДЛЯ НАЗЕМНОЙ СТАНЦИИ НАБЛЮДЕНИЯ
Перед будуш^ими космическими экспедициями (в частности, на
Луну по проекту «Аполлон») встанут специальные проблемы связи.
В этом разделе рассматривается вопрос о доступности спутника Луны
для оптических или радиолокационных наблюдений с определенной
станции на Земле. Анализ основывается на астродинамической точке
зрения и приводит к единственному трансцендентному уравнению
относительно эксцентрической аномалии селеноцентрического спут-
ника, определяюш,ему интервалы наблюдаемости.
Эта проблема довольно сложна и включает в себя два различных,
но связанных между собой условия, обеспечиваюш^их видимость
спутника Луны. Первое из этих условий, а именно условие для
предельного положения станции наблюдения, при котором спутник Луны
находится для земного наблюдателя на линии горизонта,
анализируется в этом разделе. Второе условие учитывает покрытие спутника
Луной, когда спутник скрывается за Луной, и это условие
анализируется с помощью слегка модифицированной теории затмений,
изложенной в [1, гл. 5]. Этот вопрос рассматривается также в разд. 6.6.
Если оба условия удовлетворяются, то гарантируется
непосредственный оптический контакт между определенной наземной станцией
и спутником Луны. Излагаемые результаты получил Эскобал [3]
6.4. К Условие для предельного положения
станции наблюдения
Рассмотрим положение Луны, определяемое в геоцентрической
инерциальной системе координат [1, гл. 4] позиционным вектором г^
центра Луны по отношению к центру Земли. Выражения компонент
вектора г^ могут быть получены из разд. 1.4 или 1.5. Вводится также
селеноцентрический позиционный вектор лунного спутника Гз, а
вектор р, соединяющий непосредственно наземную станцию и спутник,
определяется, как это видно из рис. 6.7, по формуле
P = R + rc + rs, (6.41)
где R — геоцентрический вектор наземной станции (разд. 6.1.1.).
Рис. 6.8 более отчетливо иллюстрирует указанную векторную схему.
Наблюдать спутник iS с наземной станции, находящейся в точке А,
можно всегда, если сам спутник не закрыт Луной. Однако, когда
станция перемещается в точку А вследствие вращения Земли, то
достигается предельное положение: для наблюдателя на станции

6Аш Восход и заход спутника Луны
207
Спуттк Луны
Наземная
стшщия
наблюдения
Рис. б.7« Орбитальная схема.
спутник оказывается точно на горизонте. Для сферической Земли
критический угол между радиусом-вектором R' (рис. 6.8) и
направлением A'S равен я/2, но ради общности и учета условий,
ограничивающих возможность наблюдений на данной станции (например,
существование гор), положим, что критический угол равен я/2 + h, где
Рис. 6.8. Схема ограничений.
h — наименьшее допустимое угловое возвышение спутника
зонтом. Для сплюснутой планеты угол h должен быть
равный *)
Gi cos2 ф + G2 sin2 ф п ^г ^ ^
над гори-
увеличен
на угол
^ = arccos
R
2
(6.42)
*) Формула (6.42), выведенная в [1], определяет верхнюю границу угла,
при котором космический аппарат будет всегда виден. Разумеется, если для
данной станции Я >> ^, то при вычислениях следует использовать значение h.
Вместе с тем, если значение h не определено или если С > Я, то ? рассматривается
как критический параметр, используемый при дальнейшем анализе вместо h.

208 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
Следовательно, в предельном положении имеем
р.R = р/^ cos (-^ + Л j = — pi? sin h. (6.43)
Подставляя сюда выражение (6.41) для р, получим
{R + r^+rs)'R= -pRs'mh (6.44)
или
(г^ + rs)'R=-R^-pRsmh. (6.45)
6.4.2. Приведение условия для предельного положения станции
к функции одной переменной
Введем два единичных вектора Pg, Qs, причем Pg — селеноцентри-
о о
ческии вектор, направленный к перицентру селеноцентрической
орбиты, а Qs повернут по отношению к Pg на 90° в направлении и в
плоскости движения. Пусть далее селеноцентрическая орбита
характеризуется элементами Cg, ^s, /g, Qg, cOg Ts (где Cg — большая полуось,
€g — эксцентриситет, ig — наклонность орбиты по отношению к
плоскости земного экватора, Qg — долгота восходящего узла,
отсчитываемая от линии пересечения плоскости орбиты космического аппарата
с плоскостью земного экватора, cOg — аргумент перицентра, Tg —
момент прохождения спутника через перицентр). Тогда Pg и Qg
определяются согласно (6.27) как функции:
Pg = Р ((Og, Qg, is)у Qs = Q (o)s, Qs, is)' (6.46)
Заметим, что /, со, Q можно отнести к экваториальной плоскости
Луны; тогда /g, cOg и Qg получим с помощью соответствующего поворота
относительно центра Луны.
С помощью векторов Pg и Qg можно записать следующее
соотношение [1]:
Ts = X^sPs + ^cosQs, (6.47)
где
ATcos = cis (cos E — es), y(os = cis{l-- el)^^^ sin E,
причем E — эксцентрическая аномалия спутника Луны. Формула (6*47)
определяет отображение двумерного пространства на трехмерное
и позволяет вычислить прямоугольные координаты
селеноцентрического спутника в геоцентрической системе координат, выбранной согласно
схеме на рис. 6.7. Поэтому (6.45) можно записать в виде
[r^+as {cosE-es)'Ps + as{l~el)'^'sinE'Qs]'R=-R^-pRsmh
(6.48)
В предположении, что Г(^ в течение 12 час не изменяется
существенно, (6.48) сводится к функции Е ив. Звездное время 0 входит в (6.1)

6.4. Восход и заход спутника Луны
209
через R. Учет небольших изменений г^^ будет выполнен несколько
позже. Чтобы исключить зависимость вектора R от времени,
рассмотрим уравнение Кеплера
^__£-£з51п£_^^^ (6.49)
п
совместно с соотношением
где ^ — всемирное время, rzs —среднее движение, равное
(6.50)
^cfi ^^а
1/2^-3/2
S
где k(^ — гравитационная постоянная Луны, |я
и космического аппарата, 9о — местное звездное
сумма масс Луны
время в эпоху, /о —
момент всемирного времени, соответствуюш,ий 9о, Э — скорость
изменения звездного времени. Очевидно, что, используя (6.49) и (6.50),
мы можем определить местное звездное время 9, входяш,ее в (6.1):
е
(6.51)
Обозначая это значение звездного времени через 9, запишем (6.1) в виде
R
X
Y
Z
Gi cos ф cos 9
Gx cos Ф sin 9
G2 sin Ф
(6.52)
и в силу (6.51) компоненты вектора R являются функциями не 9,
а Е. Соотношение (6.48), определяюш,ее момент предельного положения
наземной станции, может быть преобразовано и записано в виде
уравнения
F = [Х(1 +as (cos^ —^s) Pxs + cis{\ —e^) ^^sin£'•Q5cs]cosфcos9 +
[у
с
1/2
Us (cos E — Bs) Pys + as{l~e^) sin E-Qys] cos ф sin 9
+ [z^+as (cos E — es)P
1
G
1
s + as{l— ^2)^^' sin E • Qzs] -^ sin ф
1
(6.53)
Это трансцендентное уравнение относительно эксцентрической
аномалии спутника Луны и является искомым. Так как из геометрической
схемы очевидно, что угол между р и R тупой, когда спутник виден,
то F <0 есть условие наблюдаемости спутника. Следовательно,
момент, когда F меняет свой знак с отрицательного на положительный,
является для наблюдателя на наземной станции моментом захода
Луны и спутника. Наоборот, когда F меняет свой знак с
положительного на отрицательный, система Луна—спутник восходит над
горизонтом наземной станции.
14—491

210 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
Уравнение (6.53) является строгим, если не обращать внимания
на аппроксимацию истинного движения спутника Луны
эллиптическим кеплеровым. Кеплерова орбита вполне хорошо отражает
движение спутника Луны, так как обычно вековые изменения не очень
велики. (При желании вековые изменения элементов можно учесть
сравнительно легко.) Значение Е, находимое при решении уравнения
(6.53), подставляется в (6.49), откуда вычисляется момент всемирного
времени. По таблицам движения Луны можно вычислить вектор v^,
соответствуюш,ий этому моменту, а формула (6.50), определяюш,ая
местное звездное время, может быть использована для вычисления R,
По формуле (6.41) далее получаем непосредственно р. После этого
выполняется проверка, действительно ли F = 0. Если это так, то
найденные значения соответствуют предельному положению станции;
если же F ^ О, то к £ добавляют прираш,ение и всю процедуру
повторяют. Как только предельные значения эксцентрической аномалии
найдены, то перевычисляются Г(ц {i = 1, 2) и в (6.53) используются
более точные значения координат Луны. Между прочим заметим, что
зависимость функции (6.53) от Е при кФ О становится еще более
существенной, так как р должно быть получено с помощью R, г,^ и Г5, т. е.
p = {R^ + rl+rl + 2R^r^ + 2R^rs + 2r.-rsf\ (6.54)
Как только значение эксцентрической аномалии, соответствующее
моменту восхода (или захода) системы спутник — Луна, найдено,
нет необходимости проверять предельные значения на следующих х
оборотах спутника. Действительно, поскольку период обращения
спутника Луны известен, можно легко найти нижнюю границу х
числа оборотов от момента восхода системы спутник — Луна до
момента ее захода. Процедура проверки возобновляется уже после этого
числа оборотов.
В заключение заметим, что если принять г = О, т. е. если
пренебречь радиусом-вектором спутника, то (6.53) дает нам моменты
восхода и захода центра Луны по отношению к наземной станции
наблюдения [1, гл. 5].
6.5. ВОСХОД И ЗАХОД МЕЖПЛАНЕТНЫХ КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
Слежение за траекторией межпланетного аппарата с экипажем
или без него и связь с ним требуют точного знания интервалов
наблюдаемости. Эти интервалы зависят от трех типов движения: суточного
вращения Земли вокруг оси, орбитального движения Земли вокруг
Солнца и движения спутника вдоль своей гелиоцентрической орбиты.
Кроме того, должны быть учтены сжатие Земли и особенности
расположения наземной станции наблюдения (ее возвышение над
уроненной поверхностью геоида).

6.5. Восход и заход космических аппаратов
211
Чтобы решить астродинамическую задачу захода и восхода
космического аппарата, т. е. определить интервалы времени, в которые
аппарат непосредственно виден с наземной станции наблюдения,
необходимо вывести выражение для функции восхода и захода. Эта
функция определяет интервалы видимости или невидимости космического
аппарата. Изложенные в этом разделе результаты получены Эскобалом
и Аффатати [4].
6.5.1. Вывод функции восхода и захода космического
аппарата
Схема на рис. 6.9 позволяет составить следующее векторное
равенство в гелиоцентрической системе координат (х^, Уе, Ze):
R
Ф
Re+P
О,
(6.55)
где R
ф
— гелиоцентрический радиус-вектор Земли, Rg —
геоцентрический радиус-вектор станции наблюдения, р^ — топоцентрический
2е
Солнце
""^■^О Космический
^ аппарат
наблюдения
Земля
Рис. 6.9. Гелиоцентрическая схема восхода и захода
радиус-вектор космического аппарата, г^ — гелиоцентрический
радиус-вектор космического аппарата.
В геоцентрической системе координат (х, у у г) вектор R станции
выражается согласно (6.1). Вектор R, отнесенный к эклиптической
системе координат, может быть получен после поворота на угол е —
14*

212
Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
наклонение эклиптики к экватору, так что
R
Fcose f Zsine
_ — Y sin 8 -f Z cos e _
(6.56)
С учетом (6.1) запишем (6.56) в виде
R8 =
TTTyfT*!^
.4rl 1 b
5o=-
5^=-
54=-
■" — Gi COS Ф COS 9
— Gi cos Ф cos 8 sin 9 -
^. + Gi cos Ф sin 8 sin 9 -
-GiC0S9, 5i =
-G2sin9sin8, 5з =
-G2sin9C0S8,
-G2sin9 sin 8
-G2sin9 cos 8_
•
= — Gi cos Ф cos 8,
= GiC0S9sin8,
(6.57)
(6.58)
TO можно переписать (6.57) в виде
R
5n cos 9
•0
5i sin 9+ 52
_53sin9 + 54_
(6.59)
В предположении, что 8 л^ 23°,45 не изменяется, коэффициенты 5^
вычисляются на основании данных о положении станции и могут
рассматриваться как постоянные. Тогда, возвращаясь к (6.55), получим
р|
/-2
1^ г
RI
Ре — ''е ~1" Re — R©?
i?^+2re.Re-2re.R®-2Re.Re.
(6.60)
(6.61)
Векторное соотношение (6.60) может быть использовано для
построения функции захода и восхода в геоцентрической системе на
основании условия
R • р = /?р cos ^-^
Rpsinh,
(6.62)
Это условие вытекаете очевидностью из схемы на рис. 6.10. В (6.62)
через h обозначен минимальный допустимый угол возвышения
космического аппарата над горизонтом для данной станции наблюдения.
Если h — истинный минимум допустимого угла возвышения, ввоДимый
для учета геометрического сжатия Земли, то этот угол надо увеличить
на ^ (см. прим. на стр. 207), причем
arc cos
Gi соз^ф + Ог sin2 ф
R
0<С<
jt
2
Заметим, что скалярное произведение сохраняется при любом
преобразовании и, следовательно, можно записать (6.62) в эквивалентной
форме
Re-Pe^ — ^psin/l. (6.63)

6.5. Восход и заход космических аппаратов
213
Используя теперь (6.60),f получим функцию F восхода и захода
космических аппаратов в виде
Relrl+Rl
R'ф + 2re•Rг~2re'Rф~2R,^R^f^\s\nh. (6.64)
Знак функции F^ соответствующий области видимости, может быть
фиксирован, если рассмотреть случай, когда космический аппарат,
Станция
Космический атарат
Касательная к геоиду
Рис. 6.10. Схема для вывода условии видимости.
без сомнения, виден. Рассмотрим схему на рис. 6.11. Вычислив ска*
лярные произведения в (6.64), получим
f =/?е (/-г + i?e - %) + i?e [(/-г + i?e - ^?ф)']'^'sin/I
i?8 (/-8 +/?8 - ^?ф) (1 + Sin/i) < 0.
(6.65)
Зешя
Рис. 6.11. Космический аппарат в соединении.
Следовательно, если функция восхода и захода отрицательна, то
космический аппарат виден, а положительность этой функции является
условием невидимости.
6.5.2. Решение уравнения 4-й степени, определяющего область
видимого межпланетного аппарата
Поскольку знак функции F однозначно связан с пребыванием
космического аппарата в области видимости или невидимости, то для
определения моментов восхода и захода необходимо найти нули функ-

о
о
214 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
ции F. Это легче всего сделать, если рассматривать F как функцию
эксцентрической аномалии Е межпланетного аппарата. Рассматривая
типичную межпланетную траекторию перелета, например гомановскую
траекторию, для которой эксцентрическая аномалия изменяется от О
до 180° и время перелета составляет около 200 суток, можно показать,
что скорость изменения Е составляет доли градуса в день. Для
типичного межпланетного перелета изменение Е от восхода до захода
космического аппарата остается в пределах 1
Этот факт говорит о том, что функция F очень сильно колеблется
с изменением Е. Вследствие быстрых колебаний F итерационный
путь решения уравнения F = Q сталкивается с серьезными
трудностями, и определение всех точек восхода и захода космического
аппарата требует большого количества вычислений. Во избежание этих
трудностей приближенное решение уравнения F =^Q ии;ется в
замкнутой форме, причем используется практически оправданное
предположение, что перемеш,ения космического аппарата и Земли по их
гелиоцентрическим орбитам за одни сутки пренебрежимо малы.
Поскольку синусоидальный характер изменения F обусловлен
вращением Земли, а орбитальное движение космического аппарата
вызывает очень медленное изменение F, то примем Ге и Rg
постоянными и соответствуюш,ими значению ^о на заданный интересующий нас
момент. Так как
то можно привести функцию восхода и захода к виду
F = F{K,, R|, г*) = /^ (sin 9, cos 9),
«
где звездочки означают, что векторы принимаются постоянными и
соответствующими значению ^о- Явное выражение для F может быть
выведено с помощью (6,59). Мы получим
где F ^Si cos 9 + S2 sin 9 + S3 4- S4 [S5 + Si cos 9 -f s^ sin 9]^^^ (6.66)
52 = 5i(r/e—Ге)+5зге,
53 = 52 {уг - Гф) + S,Z, + Rl,
54 = i?8Sin/l,
s, = rl+Rb + Rl + 2S,Ze + 252 {Уе - ¥ф) - 2ге. Re.
Следует сказать, что коэффициенты s изменяются со временем
очень медленно по сравнению с 9. Если принять их постоянными, то это
эквивалентно предположению, что космический аппарат и центр Земли
неподвижны в инерциальной системе координат. Приравнивая (6.66)
нулю и возводя дважды в квадрат, получим
-«о cos^ 9 + ai cos^ 9 + ^2 cos^ 9 + аз cos 9 + ^4 = О, (6.67)

6.5. Восход и заход космических аппаратов 215
Причем
ао =0)^ + 0)'
ai = 2 ((Oo(0i +0)30)4),
^2 = ^1 — ^1 + ^"^l + 2о)о0)2,
аз = 2 (0)10)2 — 0)3(04),
^4-=0)2—0)^,
а вспомогательные параметры выражаются через коэффициенты по
формулам:
o)i==2si(s3 —s'),
^^2 "= -^г + ^3 — ■^5^4,
0)3 = — 2SiS2,
0)4= --2S2(S3 —S').
Следовательно, если задано значение эксцентрической аномалии
Еоу то можно непосредственно вычислить щ, а затем методом,
указанным в [1], найти все действительные корни уравнения (6.66),
удовлетворяющие условию —1 «^ cos 9j-«^ 1. Лишние корни исключаются
после непосредственной подстановки значений
cos9j, sin9i = zt (1 — cos^Bj) ^^ /=1,2,... г
в (6.66) и выявления тех, для которых F Ф 0. При практических
вычислениях на ЭВМ в F подставляются пары cos 9^, sin 9^ и в качестве
истинных корней выбираются те, которые соответствуют так
называемым лучшим нулям функции F, т. е. нулям, соответствующим
минимумам абсолютной величины F. После того как получены
единственные значения cos 9^, sin 9j, становятся известны 9^ восхода и
захода, а соответствующие значения эксцентрической аномалии могут
быть найдены по формулам, приведенным в следующем разделе.
6.5.3. Линеаризация уравнения Кеплера
В небольшой окрестности эксцентрической аномалии ^о можно
разложить уравнение Кеплера
М^Е — гътЕ, (6.68)
где Л1 = /г(/—Г), п — среднее движение космического аппарата,
Т — момент прохождения через перигелий, г — эсцентриситет орбиты,
в ряд Тейлора
где уИо находится из (6.68) по формуле
М; = 1—gcos^o- (6.70)

216 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
Оставляя два члена, получим линеаризованный вариант уравнения
Кеплера
^-а + р£, (6.71)
где
, , £о / Г7 1 \ о 1 —^ COS Eq
Уравнение (6.71) пригодно только для небольшого интервала изме*
нения Е, около 3°. Для решения уравнения F = О и для нахождения
частных значений Е, соответствуюш,их восходу и заходу, вполне можно
ограничиться этим уравнением. Если желательна очень большая
точность, то следует учесть квадратичные члены.
Звездное время как функцию Е можно получить с помош,ью точного
соотношения
Q = Qg + Q{t-tg)-'kw. (6.72)
где Qg — звездное время в Гринвиче, 9 — постоянная скорость
изменения звездного времени, Х^ — западная долгота станции наблюдения
и t — всемирное время. Следовательно, используя (6.71), получим
е = а* + р*£, (6.73)
где
a^'^Qg-Kw + Qia-tg), Р*-ер.
Линейное соотношение (6.73) может быть использовано для
вычисления Ei по 9j без привлечения решения уравнения Кеплера. Если
желательно при этом уточнить моменты восхода и захода, то можно
использовать Ei для уточнения Ге, а tt — для уточнения Кф, а затем
перевычислить коэффициенты (6.67) для каждого значения Ef. При
этом мы получим два различных уравнения относительно
эксцентрической аномалии: одно соответствует восходу, а другое — заходу.
Можно констатировать, что в большинстве случаев такие уточненные
уравнения не обязательно необходимы для нахождения подходящих
значений.
Кроме того, сразу перед или после этого уточнения, зависящего
от желаемой точности, следует вычислить расстояние от Земли до
космического аппарата (6.61) и ввести поправку за скорость света (6.12).
6.5.4. Численные результаты
На рис. 6.12 изображен график функции F вблизи значения Е =
= 46° для типичной траектории полета на Юпитер и наземной станции
Мауи (Гавайские острова).
Использованные при составлении функции F характеристики
орбиты и наземной станции приведены в табл. 6.1 и 6.2 соответственно.

6.5. Восход и заход космических аппаратов
217
График на рис. 6.12 иллюстрирует поведение конкретной
функции восхода и захода; кружки соответствуют корням уравнения /^ = О
вблизи £"0 = 46°, определяющим моменты захода и восхода.
I
::з
t3
I
О
^5,7
li5,8 Щ9 A6fi 45,1
Знщентрическая аиотлия Е
Щ
Рис. 6.12. График изменения функции восхода и захода.
Результаты сравнения корней уравнения /^ ^ О, найденных в
первом приближении и после уточнения с фактическими значениями
моментов восхода и захода приведены в табл. 6.3. Эта таблица
показывает, что предлагаемый метод решения уравнения в замкнутой форме
обеспечивает достаточную точность уже в первом приближении. Таким
образом, анализ моментов восхода и захода может быть выполнен
с помощью этого метода.
Таблица 6.1
" Перелет с Земли на Юпитер
Характеристика
Дата запуска
Продолжительность перелета
Центральный угол траектории
перелета
Дата прибытия
Большая полуось
Эксцентриситет
Наклонение к эклиптике
Долгота восходящего узла
Аргумент перигелия
Момент прохождения через
перигелий
Численное значение
J.D. 2 444 188,0, т. е.
10 ноября 1979 г.
542 J.D.
2,45834896 рад
J.D. 2444 730,0
5,8440988 а. е.
0,83063826
0,03604020 рад
0,82899855 рад
6,23689151 рад
J.D. 2 444 186,040777

218
Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
Таблица 6.2
Мауи, Гавайские острова
Долгота (восточная)
Широта (северная)
Высота
Угол возвышения
203°44'23\40
20°42'36",00
3049,22 м
~ 0,08726646 рад
Таблица 6.3
Моменты восхода и захода
Точное
Восход
Заход
решение
45,992382
46,0724110
Замкнутая форма решения
первое
приближение
45,992383
46,0724106
уточненное
решение
45,992382
46,0724110
6.6. восход и ЗАХОД СПУТНИКА ДРУГОЙ ПЛАНЕТЫ
В задаче об определении моментов восхода и захода космического
аппарата, движущегося вокруг другой планеты (т. е. моментов, когда
данная наземная станция имеет прямой контакт по лучу зрения
с космическим аппаратом), учитываются четыре различных типа
движений. Это — вращение Земли вокруг своей оси, поступательное
орбитальное движение Земли, поступательное орбитальное движение
другой планеты и орбитальное движение спутника вокруг этой
планеты. Вообще можно построить аналитическое выражение
единственной алгебраической функции, нули которой соответствуют условию
восхода или захода спутника по отношению к данной наземной станции.
Однако тогда невозможно получить в замкнутой форме решение этой
астродинамической задачи. Чтобы найти такое решение, эту задачу
надо разбить на две части. Нетрудно догадаться, что одну часть общей
задачи составляет вопрос о восходе и заходе другой планеты, например
Марса, по отношению к данной наземной станции, а вторую часть —
вопрос о покрытии спутника планетой (когда спутник, движущийся
по орбите, скрывается за планетой). В этом разделе рассматриваются
вопросы восхода и захода другой планеты и покрытия спутника
планетой. Показано, что при использовании подходящей приближенной
схемы можно получить решение обеих частей общей задачи в
замкнутой форме, поскольку математически все сводится к отысканию
нулей полиномов 4-й степени. После того как обе части общей задачи
решены, эта общая задача восхода и захода спутника решается путем
суперпозиции полученных решений. Сначала проводится анализ вое-

6.6. Восход и заход спутника планеты
219
хода и захода другой планеты, затем анализируется вопрос о покрытии
спутника планетой, после чего полученные результаты анализируются
совместно. Эти результаты были получены Эскобалом, Стерном и Аф-
фатати [5].
6.6.1. Восход и заход планеты для наземной станции
В разд. 6.5 рассматривался вопрос о восходе и заходе
межпланетного аппарата по отношению к наземной станции. На основании схемы,
к
Солнце
Станция
наблюдения
Цилиндр
тени
Орбита спутника
вокруг планеты
Рис. 6.13. Схема расположения станции, Солнца и спутника далекой планеты
изображенной на рис. 6.13, возможно вывести соотношение, опреде-
ляюш,ее, находится ли планета в области видимости. Это соотношение
было выведено в предыдуш,ем разделе и имеет вид
ReP
Rps'mh,
(6.74)
где Re — координатный вектор станции, ре — вектор другой планеты,
проведенный от наземной станции вдоль луча зрения, а /г —
минимальное требуемое угловое возвышение над горизонтом (см. прим.
на стр. 207).
Векторная схема на рис. 6.13 позволяет написать следуюш,ее
очевидное векторное соотношение, отнесенное к эклиптике:
Ре — Гр + Re — Нф,
(6.75)
где Гр
(разд. 1.3), а R
гелиоцентрический позиционный вектор другой планеты
Ф
гелиоцентрический позиционный вектор Земли.
После подстановки (6.75) в (6.74) получим межпланетную функцию
восхода и захода F в виде
F = Re-(rp + Re-^Re) + /?e[/'p + ^l +
1/2
+ i?^ + 2гр. Re - 2гр. Re - 2Re • Re] ^^ sin h.
(6.76)

220 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
Функция, определяемая этой формулой, учитывает движение Земли
вокруг Солнца, вращение Земли вокруг своей оси и орбитальное
движение другой планеты. Как было показано в разд. 6.5, отрицательное
значение функции восхода и захода F означает, что межпланетный
космический аппарат находится в области видимости по отношению
к данной наземной станции, а положительное значение F соответствует
противоположному случаю. Было также показано, что при некоторых
практически приемлемых предположениях корни уравнения F ^ О,
соответствующие моментам восхода и захода, могут быть получены
в конечной форме. Эти предположения в данном случае таковы, что
позиционные геоцентрические векторы Земли R^ и рассматриваемой
планеты Гр принимаются постоянными на протяжении одного оборота
Земли вокруг своей оси. Тогда мы получим алгебраическое уравнение
4-й степени относительно cos 9 и sin 9, где 9 — звездное время. Это
уравнение может быть записано в виде
Gq cos^ 9 + ai cos^ 9+^2 cos^ 9 + аз cos 9 + a^ = 0, (6.77)
где коэффициенты определяются формулами (6.67). В предположении,
что коэффициенты а^, / = О, 1, . . ., 4, постоянны, уравнение (6.77)
может быть решено, и мы получим моменты 9^ звездного времени
восхода и захода. Чтобы найти значения эксцентрической аномалии,
соответствующие моментам 9^, можно линеаризовать уравнение
Кеплера, как это было сделано в разд. 6.5.3, и получить следующее
соотношение:
0^, ее*
^fe ==—R^—' (6-78)
Р
где
1 — ер cos Eq
Р* = 9
Пр
9
9g — звездное время в Гринвиче, 9 — постоянная скорость изменения
9, Xw — западная долгота наземной станции, t — всемирное время,
Пр — среднее угловое движение рассматриваемой планеты, вр —
эксцентриситет орбиты планеты, ^о — эксцентрическая аномалия, вблизи
которой линеаризуется уравнение Кеплера, а to — момент времени,
соответствующий
Нелинейное соотношение (6.78) можно использовать для нахождения
Ek по 9fe, не прибегая к итерационному решению уравнения Кеплера.
Если желательно уточнить моменты восхода и захода, то Н^
используются для уточнения Гр, а t^, соответствующие Е^, используются для
уточнения Кф, после чего коэффициенты Uj уравнения (6.77)
перевычисляются для каждого Н^. При этом получаются два различных
уравнения для восхода и захода. Численные данные, приведенные

6.6. Восход и заход спутника планеты 221
В разд. 6.5.4, показывают, что достаточно точные значения Е^ могут быть
получены без привлечения таких уточненных уравнений. На рис. 6.14
приведен полученный таким методом график функции восхода и
захода F для Марса и наземной станции Мауи (Гавайские о-ва). Этот
график дает нам приближенные моменты восхода и захода планеты Марс
1 января 1984 г. Другие представляющие интерес особенности графика
на рис. 6.14 будут рассмотрены ниже.
6.6.2. Покрытие спутников планетой
Вопрос о контакте между наземной станцией и спутником другой
планеты по лучу зрения тесно связан не только с вращением Земли,
но также с покрытием спутника планетой [1, гл. 5]. Как показано
схематически на рис. 6.13, спутник перестает быть виден с Земли,
когда он в своем движении по орбите входит в заштрихованную область.
Из схемы на рис. 6.13 также очевидно, что если переместить Солнце
в положение наземной станции, то задача о покрытии спутника
планетой превращается в задачу теории затмений спутников. Поскольку
эта задача решается в замкнутой форме [1] путем нахождения корней
алгебраического уравнения 4-й степени относительно истинной
аномалии планетоцентрического спутника, то представляется
возможным заменить задачу о покрытии спутника задачей фиктивного
затмения.
Так как вектор ре определяется почти целиком векторами R^
и Гр, то можно найти численно ps в момент выхода планеты *)
(разд. 6.6.1) и предположить, что этот вектор не изменяется в течение
одних суток. Тогда, поскольку элементы плането центрической орбиты
/, Q и (О предполагаются известными, можно вычислить по обычным
формулам (6.27) направляющие орбитальные векторы Р (единичный
вектор, направленный из динамического центра к перицентру) и Q
(опережает Р на 90° в направлении и в плоскости движения).
Предполагая, как это обычно делают, наклонение эклиптики е
постоянным, можем выразить [1] компоненты векторов Р и Q,
отнесенных к эклиптике, формулами
^хе ^^ ^xj Цхе^^ Цху
Руг --^ Ру COS 8 + Рг sin 8, Qyг == Qy COS E-^rQz sin 8,
Рге = — Рт/ sin 8 + Pz COS 8, Qzz = — Qy sio 8 + Qz COS 8. (6.79)
Искусственная тень (рис. 6.13), которую мы используем для
вычисления моментов, когда спутник скрывается за планетой или
появляется из-за нее, предполагается цилиндрической с радиусом, равным
радиусу планеты, и осью симметрии, направленной вдоль вектора от
топоцентрической наземной станции к динамическому центру пла-
) Вектор р5 эквивалентен pg, если не учитывать Rg.

222 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
неты. Вспомогательные величины ^ и р, используемые при определении
моментов спутника, выражаются формулами [1, гл. 5]
Q_ (R0p-rRe)-Pe ре-Р
Р8 Р8
(R®p+Re)Qe P3.Q
1
(6.80)
Р8 Р8
(6.81)
где
Ре — R^p + ^8 + 2R8 • Кфр-
Даже при наибольшем сближении Марса и Земли влияние вектора
наземной станции Rg на вычисления исключительно мало, так как
^8 <С ре- Следовательно, направляющим вектором искусственной тени
можно считать Кфр, оставаясь в рамках высокой точности, т. е. ре ^
^ Rep.
По аналогии с теорией затмений [1, гл. 5] теперь можно составить
коэффициенты Ai, выражаемые через известные планетоцентрические
орбитальные элементы: большую полуось а, эксцентриситет е,
параметр р = а {\ — е^), а также через радиус рассматриваемой планеты
йр. Эти коэффициенты выражаются формулами
4 /а„ч2
^' = [Чт) е^-Цт-У(1'-^')е],
9 . ^ . 9
4=[б(^) е^-2[^у (Е,^~^^)-2 (-^у {1-1^)е^ +
2(|'^_р2)(1_|2)_..4р2^2],
а„\4
^-[ЧтГ-*(?)'('-5')'].
ат.\ ^ / а-г.\^-
^-[(?)-^(?)<'-5')+о
Из теории затмений теперь вытекает, что корни уравнения
Ло cos^ v + Ai cos^ V + A2 cos2 V + A3C0SV + Л4 = О, (6.82)
удовлетворяющие условиям
pcosy + gsiny<0 (6.83)
и
5-4(H-ecosy)M-p^(pcosy + |siny)2—/72 = 0, (6.84)
о о
дают нам значения истинной аномалии, соответствующей началу или
концу покрытия спутника. Из теории затмений также следует, что

6.6. Восход и заход спутника планеты 223
когда спутник скрывается за планетой, 5 меняет знак с минуса на
плюс. При выходе же спутника из области покрытия 5 меняет
знак с плюса на минус.
Коэффициенты Ai уравнения (6,82) зависят от ^ и р. Последние
параметры в свою очередь зависят от вектора ре, изменяющегося
со временем. Эта трудность преодолевается, поскольку ре изменяется
значительно медленнее, чем Tg. Следовательно, уравнение (6.82)
сначала решается при постоянном ре, соответствующем моменту восхода
планеты, а затем ре уточняется на основании вычисленных моментов
покрытия. Если требуется очень большая точность, то подобная
итерационная процедура повторяется несколько раз, пока желаемая
точность не будет достигнута.
6.6.3. Совместный учет эффектов восхода и захода
планеты и покрытия спутников
Как было выше замечено, решение задачи о видимости плането-
центрического спутника связано с совместным учетом эффекта восхода
и захода планеты, возникающего из-за вращения Земли, и эффекта
покрытия спутника планетой. Предвычисление каждого из этих
эффектов выполняется, как было показано, с помощью
соответствующего алгебраического уравнения 4-й степени. Эти два уравнения можно
объединить и вывести единственное уравнение для определения
интервалов видимости с учетом как вращения Земли, так и покрытия
спутника планетой.
Однако решение получающегося уравнения связано с немалыми
трудностями. Поэтому наиболее простой путь совместного учета
указанных эффектов состоит в параллельном решении каждого
уравнения 4-й степени и в последующем сопоставлении обоих решений,
чтобы выбрать те интервалы времени, в течение которых спутник
не закрыт планетой и находится над горизонтом наземной станции.
Вычисления при решении вопроса о видимости спутника преследуют
три цели: во-первых, необходимо определить, виден ли спутник в неко^
торый исходный момент времени / =: to; во-вторых, в случае видимости
определить продолжительность D периода видимости и, в-третьих,
в случае отсутствия видимости определить промежуток времени от
момента / ^ /о ДО первого момента появления спутника в области
видимости. Последовательность вычислений при этом следующая. Сначала
находятся корни уравнения 4-й степени, определяющие момент входа
спутника teno в искусственную тень и момент выхода 4хо из нее в
окрестности исходного момента t = to. Затем находятся корни другого
уравнения 4-й степени, учитывающего эффект вращения Земли,
и определяются момент восхода 4о и момент захода 4о планеты в
окрестности момента t^ to- После этого проверяется, виден ли спутник
в момент t^ to. Если
to<^tso И to<CtenOi (6.85)

224 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
ТО спутник виден. В этом случае продолжительность Do периода
видимости определяется формулой
Do = min {tso, teno} — to- (6.86)
Если спутник в момент t == to не виден, то вычисляется новый
исходный момент
ti = max {texoy iro}- (6.87)
Критерий видимости в этот момент аналогичен (6.85), т. е.
где индекс 1 указывает на то, что берутся корни обоих уравнений
4-й степени в окрестности момента / = U, Если спутник в момент
t ^ ti виден, то продолжительность периода видимости определяется
по формуле, аналогичной (6.86),
Di = min {4i, teni) — h. (6.88)
В случае если спутник в момент t ^ ti не виден, то находится
новый исходный момент t ^ t2, и этот процесс повторяется т раз,
пока не будет найден момент, когда спутник виден. Исходный момент
с любым номером п определяется по формуле
tn = '^^^x{tex(n-\)^ tr(n-i)}^ /2=1, 2, 3, ..., т, (6.89)
причем необходимые условия видимости при t ^ in суть
Соответствующая продолжительность периода видимости равна
D;i = niin{/s(n), te{n)} — tn, (6.91)
а промежуток времени до момента первого появления спутника равен
Tn = tn — to (6.92)
6.6.4. Анализ в случае спутника Марса
На основании изложенных выше результатов был рассмотрен
конкретный пример определения интервалов видимости спутника
Марса. Орбита спутника Марса предполагалась круговой с
элементами, указанными в табл. 6.4. Наземная станция наблюдения —
Мауи, Гавайские острова; данные об этой станции приведены в табл. 6.2.
На рис 6.14 отражены результаты расчетов как восхода и захода
Марса, так и покрытия спутника. Периодическая кривая F,
уменьшенная в 10^^ раз, позволяет решить вопрос о видимости Марса с
данной наземной станции. Если F <С0, то Марс виден. На этом рисунке
указаны также участки кривой S, увеличенные вдвое и
соответствующие интервалам времени, когда спутник скрывается за планетой;
это имеет место, когда удовлетворяется условие (6.83) и когда S > 0.

6.7. Резюме
225
Таблица 6.4
Элементы орбиты
Большая полуось а
Эксцентриситет е
Наклонность i
Долгота восходящего узла Q
1,2000
0,0000
10°,000
200°,00
радиуса Марса
Время отсчитывается от 0^ 1 января
ник пересекает по предположению
Марса.
1984 г., когда спут-
плоскость экватора
Вычисления были проведены для исходного момента /q = 0^ 1
января 1984 г. В этот момент спутник не виден, так как F >0, Был найден
следующий исходный момент /i, равный ti^ to -{- 9,50 час. Условие
3
ста
со
780 782 78^ 786 788 730 792 79^ 796 798 800 802 80^ 806
Юлианские часы, отсчитываемые от даты 58696000,000
Рис. 6.14. Видимость марсианского спутника.
видимости при t =^ ti удовлетворяется, и, следовательно, промежуток
времени до ближайшего момента появления спутника равен Ti =
час. Наконец, вычисленная далее продолжительность
периода видимости равна Di = 1,151 час.
6.7. РЕЗЮМЕ
В этой главе рассмотрены с астродинамической точки зрения
вопросы связи с космическими аппаратами, движущимися по
геоцентрическим, планетоцентрическим, селеноцентрическим и межпланетным
15—491

226 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
орбитам. Вопрос связи с геоцентрическими космическими аппаратами
здесь изложен бегло, так как подробный анализ геоцентрических вое-
ходов, заходов и затмений был проведен в [1, гл. 5].
Проведен детальный анализ вопроса о восходе и заходе
относительно друг друга двух планетоцентрических спутников. Показано,
как функция восхода и захода преобразуется к функции двух пара-
метров, позволяющей предсказывать возобновление или прекращение
контакта по лучу зрения между двумя спутниками, обращающимися
вокруг планеты. Показано, что в случае спутниковых орбит с малым
эксцентриситетом функция восхода и захода может быть приведена
к функции одной переменной, нули которой определяют границы
интервалов видимости.
Далее проведен анализ затмений геоцентрических спутников Луной.
При этом выведена соответствующая функция тени, знак которой
указывает, находится ли геоцентрический спутник в области тени.
С помощью соответствующего алгебраического преобразования можно
построить алгебраическое уравнение 4-й степени, решение которого,
находимое в конечной форме, позволяет предвычислять значения
истинной аномалии, соответствующие входу в область тени и выходу
из нее. Это уравнение далее уже подвергается модификации с целью
дополнительного учета эффектов тени и полутени.
Рассмотрен вопрос о восходе и заходе спутника Луны по
отношению к наземной станции наблюдения. С помощью функции восхода
и захода построена трансцендентная функция переменной, нули
которой соответствуют восходу или заходу спутника Луны. Если принять
радиус селеноцентрической орбиты равным нулю, то можно также
вычислять моменты восхода и захода Луны.
Следующей рассматривается астродинамическая задача, связанная
с определением видимости межпланетного аппарата с данной наземной
станции. Выводится функция восхода и захода, позволяющая довольно
просто определять, возможен ли контакт с межпланетным аппаратом
по лучу зрения. Эта функция восхода и захода точная и учитывает
эффекты, обусловленные геометрическим сжатием Земли. Показано,
что при отрицательном значении функции восхода и захода, имеющей
периодический характер, космический аппарат виден. Функция
восхода и захода учитывает движение Земли вокруг Солнца, вращение
Земли вокруг своей оси и движение космического аппарата. Показано,
что при некоторых предположениях можно получить в конечной форме
точное решение задачи, соответствующее этой функции. Если
ограничиваться приближенным решением, то задача определения моментов
восхода и захода сводится к нахождению корней алгебраического
уравнения 4-й степени. Если требуется уточнить полученные
результаты, то это уравнение может быть решено вторично, что дает моменты
восхода и захода с большой степенью точности. По решению
уравнения 4-й степени можно также оценить, есть ли необходимость
обращаться в дальнейшем к точной функции восхода и захода. Из способа

Упражнения 227
построения функции восхода и захода вытекает, что она может быть
использована для определения условий видимости любого космическое
го объекта, движущегося по гелиоцентрической орбите.
Наконец, рассмотрен вопрос о контакте по лучу зрения между
наземной станцией и спутником другой планеты. Показано, что при
определении условий видимости с наземной станции спутника,
движущегося по орбите вокруг другой планеты, надо решить две
различные задачи. Решение этих задач, а именно задачи о восходе и заходе
планеты по отношению к наземной станции и задачи о покрытии
спутника планетой, можно получить при соответствующих упрощающих
предположениях в конечной форме. При анализе каждой из этих задач
выводится алгебраическое уравнения 4-й степени, корни которого
определяют интервалы видимости, соответствующие каждой задаче.
Сопоставление результатов позволяет найти интервалы видимости
для полной проблемы. В качестве примера применения теории
приведены некоторые численные результаты и графики.
УПРАЖНЕНИЯ
1. На какие три основные предположения опирается анализ
рассматриваемой проблемы связи?
2. Определить, сколько времени идет свет от Марса до Земли, когда
Марс находится в оппозиции. Использовать табл. 1.1.
3.*Виден или не виден спутник, если функция относительного
восхода и захода /?* никогда не обращается в нуль?
4. Два геоцентрических спутника, движущиеся по орбитам с
элементами
а = 1,05ав, ^ = 1 »2ае,
е = 0,001, 6 = 0,02,
iWo = 30°,00, Мо=120°,00,
отнесенными к эпохе ^о (= 0^ 1 июня 1975 г.), должны обмениваться
сигналами каждые 30 мин. Осуществимо ли это? В течение какого
промежутка времени такая связь возможна или невозможна?
Предположить, что спутники движутся в одной и той же плоскости и что
А = 0,03 Ue.
5. При какой ориентации орбиты происходит наиболее
продолжительное затмение геоцентрического спутника? При анализе
предположить, что спутник движется по невозмущенной кеплеровой орбите.
6. Указать путь, который позволил бы определить наиболее
продолжительное лунное затмение спутника Земли, движущегося по
круговой орбите. Предположить, что функция 5 известна и что элементы
орбиты спутника заданы.
7. Показать, что 5 > О для лунных затмений спутников,
находящихся в оппозиции.
15*

228 Глава 6. Геометрия связи при космических полетах
fclllH.II »■■ I ■ II ■ '■ III—» ■■ ■ —■■—.■ >| ■■..-.,.■ I. ,,, I, ■■■■■ ■! I . ■!■ .
8. Проверить формулу (6.35). Каковы приблизительно величины щ
(в градусах) для орбиты с а == 6 а^?
9. Каковы смысл и значение угла
г-
Gi C0S2 ffi-l-Go Sin2 ф /л ^v ^ ЗХ ^
fe-arccos-^ ^^^ ^, 0<^<-2-?
Вывести эту формулу.
10. Вывести квадратичное приближение уравнения Кеплера,
которым можно было бы заменить уравнение (6.71). Почему процедура
линеаризации приводит к таким точным результатам?
П. Почему в теории затмений и покрытий спутников требуется,
чтобы выполнялось неравенство
Р cos t; + ^ sin t; < О?
12. Доказать, что если спутник входит в область, где он
закрывается планетой, то (6.84) меняет знак с минуса на плюс.
13. Вывести алгоритм, позволяющий ответить на вопрос, имеет
ли общее уравнение 4-й степени
аол:^ + сцх^ + ^2-^^ + cl^x + а4 = О
действительные или мнимые корни, без вычисления этих корней
(указание: см [13]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л. Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
2. Р. R. Е S с о b а 1, R. А. R о b е г t S о п. Lunar Eclipse of а Satellite of the
Earth, J. Spacecraft and Rockets, April 1967.
3. P. R. E s с о b a 1, Visibility of a Lunar Satellite from an Earth Ground
Station, AIAA J., April 1965.
4. P. R. E s с о b a 1, D. A. A f f a t a t i,. Rise and Set of an Interplanetary
Space Vehicle, J. Astronaut. Sci., July 1967.
5. P. R. E s с о b a 1, G. S. S t e r n, D. A. A f f a t a t i. Rise and Set of a
Satellite about a Distant Primary, J. Spacecraft and Rockets, November 1967.
6. F. R. M о u 1 t о n. An Introduction to Celestial Mechanics, Macmillan
Company, New York, 1914. (Русский перевод: Ф. М у л ь т о н. Введение в
небесную механику, ОНТИ, М.— Л., 1935.)
7. G. А. С г i с h t о п, Н. L. Roth, Relative Visibility between Orbiting
Vehicles, TRW Systems, 9892.2-176, November 1965.
8. P. R. E s с о b a 1, The Rise and Set of One Satellite with Respect to Another,
TRW Systems, 3422.3-125, September 1965.
9. T. R. О p p о 1 z e r. Cannon of Eclipses, Dover Publications, New York, 1962.
10. R. R. Williams, Lunar Eclipse Calculations for an Orbiting Spacecraft,
TRW Systems, 05069-6021-ROOO, January 1967.
11. Explanatory Supplement to the Astronautical Ephemeris and the American
Ephemeris and Nautical Almanac, 1961.
12. R. M. L. В a к e r, M. W. M a к e m s о n, An Introduction to Astrodynamics,
Academic Press, New York, 1960.
13. W. S. В u r n s i d e, A. W. P a n t о n, The Theory of Equations, Dover
Publications, New York, 1960.
14. I. B. Hart, Makers of Science, Oxford University Press, London, 1923.

Глава 7
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Для меня все превращается в математику.
Декарт [10]
7.1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
7.1.1. Специальные^ общие и полуаналитические возмущения
Термин «специальные возмущения» применяют к численным
процедурам, используемым при определении возмущенных орбит. Эти
процедуры связаны в той или иной форме с численным интегрированием
уравнений движения небесных тел, подверженных сложным
возмущениям. Специальные возмущения отличаются от общих возмущений
тем, что при построении первых ускорения небесного тела или
космического аппарата интегрируются численно, а при построении
последних выражения основных орбитальных элементов находятся в виде
буквенных разложений и численного интегрирования не требуется.
Третий используемый в настоящее время метод — это метод
полуаналитических возмущений. При построении таких возмущений
используют одновременно как численные, так и аналитические методы, чтобы
прийти к оптимальной схеме вычисления положения космического
объекта в будущем или прошлом. В этой главе рассматриваются
некоторые методы построения специальных и полуаналитических
возмущений: метод Коуэлла, метод Энке и полуаналитический метод,
основанный на промежуточной кусочно-невозмущенной орбите.
7.1.2. Основная процедура
Основная процедура, применяемая при нахождении специальных
возмущений, связана с вычислением приращения координат того или
иного небесного тела, подверженного возмущениям на одном шаге,
т. е. с вычислением интеграла
t=to-{-At
q-^qo+ J ^dt, (7.1)
i=to
где q — позиционный вектор рассматриваемого тела, Qo — известный
вектор на момент to, а At — шаг изменения независимой переменной t.

230 Глава 7. Специальные возмущения
Обычно ускорение рассматриваемого небесного тела вычисляют
непосредственно по дифференциальным уравнениям движения, а сами
координаты определяют с помощью двойного интегрирования по
известным формулам [16], например формулам Гаусса—Джексона,
Рунге — Кутта и Адамса. Предполагается, что если процедура
вычисления на одном шаге известна, то ее можно повторить п раз, пока
не будет получен искомый вектор q^ на момент tj.
Основной принцип, характерный для методов вычисления
специальных возмущении, заключается в последовательном вычислении
по шагам, причем на каждом следующем шаге всегда требуется
полностью знать результаты, полученные на предыдущем шаге. При такой
многошаговой процедуре неизбежно появляются ошибки,
обусловленные числовой природой процесса. Ошибки вследствие округления
чисел и вследствие использования приближенных формул
накапливаются с каждым шагом и приводят к постепенному уменьшению
количества верных значащих цифр. По этой причине специальные
возмущения нецелесообразно использовать для построения движения тела
на очень большом интервале времени. Интервал применимости
специальных возмущений может быть увеличен только за счет
увеличения количества верных значащих цифр в начальных данных. В
противоположность этому методы построения общих возмущений не
отягощены таким накоплением ошибок благодаря буквенному характеру
результатов, но применять их трудно. Общие и специальные
возмущения имеют свои плюсы и минусы, которые следует внимательно
учесть, прежде чем приступать к анализу конкретной задачи. Что
касается специальных возмущений, то вообще можно утверждать, что
основное их преимущество заключается в простоте формул, в
возможности учета очень сложных возмущающих сил и в компактности
совокупности информации, вводимой в современные ЭВМ.
Как можно заключить из сказанного выше, методы специальных
возмущений наиболее удобны для учета очень сложных и тонких
возмущающих эффектов. Если, например, желательно учесть или
определить влияние Плутона на траекторию космического аппа'рата
между Землей и Марсом или учесть давление солнечной радиации,
то обязательным является также учет всех других эффектов, которые
могут превышать рассмотренные по порядку величины.
В связи с этими соображениями исключительно важное значение
имеет выбор системы координат, в которой записаны подлежащие
интегрированию уравнения движения. Разумная программа
интегрирования, используемая при построении траекторий перелета и при
составлении эфемерид, обычно учитывает нутацию и прецессию.
Следовательно, в каждой задаче надо решить, в какой системе координат
целесообразно интегрировать: в средней системе координат, отнесенной
к начальной эпохе, или в средней системе координат, отнесенной
к данной эпохе, или же в истинной системе координат текущей эпохи
и т. д. Эти системы координат рассмотрены в гл. 8. Если использовать

7.L Принципы построения 231
результаты, изложенные в гл. 8, то при заданных начальных условиях
можно выполнить преобразование, например, векторов положения
и скорости:
(г, г)->(г, r)c.s., (7.2)
где индекс c.s. означает, что векторы отнесены к соответствующей
координатной системе. Так как координаты возмущающей планеты
представляют собой опорные данные при вычислении специальных
возмущений и так как эти координаты отнесены обычно к стандартным
координатной системе и эпохе, то начальные условия также
преобразуют к этой системе (по поводу эфемеридных данных для планет см.
[11, 12], а также разд. 1.3—1.5). После такого преобразования
начальных условий можно приступать непосредственно к процедуре
вычисления специальных возмущений.
7.1.3. Возмущающая функция
При вычислениях специальных возмущений обычно удобно
относить движение изучаемого объекта к небесному телу, оказывающему
преобладающее гравитационное влияние. Поэтому мы рассмотрим
уравнения относительного движения *), выведенные в [1, гл. 2]:
d2r
п
k4^i + m,)-^ + k^ 2 ^Ь (717-717) +^^2^^^^' (^-2)
3=3
где
k — постоянная Гаусса, или гравитационная постоянная, того
или иного небесного тела. Естественно выбирать в
качестве k гравитационную постоянную центрального тела,
относительно которого рассматриваются движения. Тогда
надо помнить, что через mj обозначается отношение массы
тела с номером / к массе центрального тела;
п — число всех тел в системе;
1 — индекс относящийся к центральному телу;
2 — индекс, относящийся к исследуемому объекту, например
к космическому аппарату;
/ — индекс, относящийся к небесному телу системы с
номером / Ф 1,2;
Vij — расстояние между телом с номером / и центральным телом;
Г27 — расстояние между телом с номером / и рассматриваемым
объектом.
Заметим, что вектор Г2/ может быть выражен через разности других
векторов, а именно
' ^2j = Tj - Г2 = ri; — Г12 = Га — г. (7.4)
*) Иногда удобно относить движение тела к центру масс всех
рассматриваемых тел. Тогда используются барицентрические уравнения движения.

232 Глава 7. Специальные возмущения
Как было показано подробно в [1, разд. 2.8], разность 2^2 — ^ri
представляет собой дополнительное ускорение, обусловленное
действием сил негравитационной природы. Точнее
^^-2-2^1 = —+ — + — + —, (7.5)
где Т — сила тяги, D — сила сопротивления, L — подъемная сила,
F — дополнительные силы, как, например, давление солнечной
радиации, ти — масса космического аппарата в момент t\ все эти величины
выражаются в соответствующих системах координат и единиц.
Уравнение (7.3) может быть записано в более компактной форме:
d2r
d^2
= __^2(;^^_|_;^^) J_, + SP + ST + SD + SL, (7.6)
где SP — планетная часть возмущающего ускорения в (7.3), а
остальные S соответствуют силам Т, D, L. Основной член в (7.6) соответствует
невозмущенной задаче движения тела тг относительно центрального
тела. Чтобы учесть несферичность гравитационного поля центрального
тела, следует записать (7.6) в виде
-^ = V0 + SP + ST + SD + SL, (7.7)
где Ф — потенциал притяжения сфероидальной планеты,
рассмотренный в [1]. Если выписать в явном виде несколько первых членов
функции Ф, то получим
Ф = ^[1+-^(1-38ш2б) + -^(3-55ш2б)8шб + е] , (7.8)
где |1 — масса центрального тела (принимаемая равной 1), k
гауссова постоянная, Ji — коэффициент при i-й гармонике и через г
обозначена совокупность членов более высокого порядка. (Более
полное выражение для Ф, включающее как зональные, так и тессеральные
гармоники, дано в приложении 2.) Функцию Ф можно представить
в виде
Ф=^^ + Я. (7.9)
где /? —гравитационная возмущающая^функция,-"выражаемая, согласно
(7.8), по формуле
J
-3sin2S)+-^(3-5sin2 6)-sin6 + 8] . (7.10)
Следовательно, если дополнительно учесть гравитационные аномалии
центральной планеты, уравнение (7.6) перепишется в виде
A2jjtJ^ + V/? + SP + ST + SD + SL. (7.11)
d2r
d/2

7.2. Метод Коуэлла 233
Для удобства можно разделить ускорения следующим образом:
dt^ dt^ "*" dt^ ' W-A^;
где
dt^
dt^
VR + SP+ ST + SD + SL,
причем индекс с соответствует центральному ускорению, а индекс р —
возмущающим ускорениям. Иногда возмущающее ускорение может
быть больше по величине, чем центральное, например на активном
участке траектории. Однако в большинстве случае анализа плането-
центрического движения центральное ускорение является
преобладающим.
Если используется обычная астродинамическая единица времени
[1, разд. 1], то (7.12) может быть записано в виде
г=Гс+Гр, (7.13)
где точками обозначается дифференцирование не по /, а по переменной
x = k{t— /о), (7.14)
где / — универсальное или точнее эфемеридное время, а /о —
начальная эпоха.^
7.2. МЕТОД КОУЭЛЛА
7.2.1. Общая характеристика метода
Наиболее простым из методов вычисления специальных
возмущений является метод, разработанный Коуэллом. Этот метод, как
указывал Бейкер [4], использовался при определении орбиты восьмого
спутника Юпитера и был далее усовершенствован Энке. Метод Энке
применялся для предсказания повторного появления кометы Галлея
с 1759 до 1910г. [2].
Одним из значительных преимуществ метода Коуэлла является
простота программы вычислений на быстродействующих
вычислительных машинах. По существу этот метод заключается в
непосредственном интегрировании суммы центрального и возмущающего
ускорений. Численный анализ показал, что вследствие такого
непосредственного интегрирования, которое, конечно, сводит к минимуму
ошибки самих вычислений, метод Коуэлла примерно в 12 раз
медленнее, чем другие методы вычисления специальных возмущений. Кроме
того, из-за быстрого изменения ускорений шаг интегрирования
выбирается обычно весьма небольшим. Однако этот метод не требует такого
большого объема оперативной памяти вычислительной машины, как
другие методы.

234 Глава 7. Специальные возмущения
7.2.2. Идея метода Коуэлла
Идея метода Коуэлла, как указано выше, исключительно проста
Из (7.13), т. е. из уравнения
i-p
вытекает, что
T=T^-fAT
71+1 *7l
I rdx, A2= 1, 2, ..., g, (7.15)
t=t^+At
71+1
Г7г+ \ vdx, Аг= 1, 2, ..., g, (7.16)
Т==Тл
где Гу1 — позиционный вектор, выходящий из динамического центра
и г^ — вектор скорости. Вычисляются, следовательно, ускорения
• • • •
Гс+ Гр, И эти ускорения интегрируются с помощью обычных методов
численного анализа *), что дает позиционный вектор и вектор скорости
для следующего интервала времени т^ + Ат;^.
7.3. МЕТОД ЭНКЕ
7.3.1. Основная идея
Более усовершенствованный метод вычисления специальных
возмущений носит имя его автора Энке. Этому методу было отдано
предпочтение при вычислении траекторий полета к Луне. При его
применении интегрируется лишь разность между ускорением вдоль принятой
невозмущенной орбиты отсчета и полным ускорением вдоль истинной
орбиты. В методе Энке предпринимается по существу попытка
интегрировать малые ускорения и этим самым сохранить при увеличении
шага интегрирования большее количество верных значащих цифр.
Классическое изложение метода Энке приводят Пламмер [5], Брауэр
и Клеменс [2], Бейкер и Мейкемсон [4] и многие другие. Изложение,
приведенное здесь, является, возможно, новой модификацией
классического. Оно принадлежит Эскобалу [6].
7.3.2. Отклонение от невозмущенного движения
В методе Энке обычно принимается в качестве орбитй отсчета
невозмущенная орбита задачи двух тел и для получения точных
элементов орбиты интегрируется возмущающее ускорение [9, 13]. Пусть
дана точка невозмущенной орбиты, определяемая векторами поло-
*) Простая схема численного интегрирования — метод Эйлера —
изложена подробно в [1, разд. 2.8.3]; другие методы см. в [16].

7.3. Метод Энке 235
9
жения и скорости r^i и г^^. На рис. 7.1 нанесен отрезок от /г до с кеп
леровой невозмущенной орбиты и отличный от него вследствие возму
Истинная орбита
П-П
Кемерова орбита
Начальное положение
Рис. 7.1. Истинная и кеплерова орбиты.
щений отрезок от /г до / истинной траектории. Составим вектор 8,
соответствующий разности векторов п и Гс истинного и невозмущенного
положений, т. е.
г = rt — rc^ (7.17)
Дважды дифференцируя, получим
и-Гс. (7.18)
Если мы вычислим далее вектор гь равный
г^ = Гс + Гр,
где вектор кеплеровского ускорения Гс находится по формуле
' с
(7.19)
то возмущающее ускорение станет известным. Следовательно, можно
записать
n+i
{Гс)п+ ] гс1х,
r=Xn
х=Хп-\-Ах
Г7г+1 = (Гс)7г+ \ гс1х, (7.20)
Г=Хп
откуда получим после интегрирования истинное положение и скорость
на момент
% = k{t— to),
где k — гравитационная постоянная, t — момент всемирного или эфеме-
ридного времени, на который желательно найти положение и скорость,

236 Глава 7. Специальные возмущения
to — начальная эпоха. Этот метод позволяет выбрать больший шаг
интегрирования и гарантирует большую точность, чем описанный выше
метод Коуэлла." Однако вести вычисления по методу Энке труднее.
Описанная процедура обладает следуюш,им недостатком. Вектор
отклонения г от невозмуш,енной траектории неограничен и все время
растет. Может случиться, что г увеличится настолько, что преимуш,е-
ство метода потеряется. Обычный путь преодоления этой трудности
заключается в исправлении опорной невозмуш,енной орбиты. Это
значит, что в точке, где г становится очень большим, вычисления
останавливают и выбирают новую начальную эпоху, от которой отсчиты-
вается новая оскулируюш,ая орбита.
Мы рассмотрим в качестве промежуточной орбиту, отличную
от невозмуш,енной, и придем к построению полуаналитических возму-
ш,ений, представляющих комбинацию обш,их и специальных возму-
ш,ений.
7.3.3. Влияние сжатия
Если принять в качестве промежуточной такую орбиту, для
которой учтены вековые возмуш,ения, то вектор г в случае спутниковой
орбиты будет ограниченным. Вековые эффекты, обусловленные
сжатием планеты, выражаются формулами
Q==Qn + Qn'^, (О = (Отг + (ОдТ, П=^П, (7.21)
где индекс п означает количество оборотов, Q — долготу восходяш^его
узла, (О — аргумент перицентра и /г — среднее движение *). С
точностью до членов первого порядка относительно сжатия величины
й^г, С0у1, п вычисляются ПО формулам*.
Q
(О
3 J2 fi
3 , (1—e2)V2 / 3
n==n[l+±J^ ^' pV (l-|sinn-)], (7.22)
где n = fe|i^/^a~^/^, \i — сумма масс центральной планеты и изучаемого
объекта, а — большая полуось орбиты, е — эксцентриситет орбиты,
р — параметр, i — наклонность орбиты к экватору, J2 — коэффициент
при второй гармонике.
Для позиционного вектора г используют обычно соотношение [1,
разд. 3.4]
r = xJ> + y^Q, (7.23)
*) Очевидно, если положить Q^^ = о)^ = О и использовать я вместо п,
то придем к методу Энке с кеплеровой промежуточной орбитой.

7.3. Метод Энке 237
где л:сй, f/co выражаются через эксцентрическую аномалию Е формулами
X(ii = a (cos Е — е), f/© = а (1 — e^f^'^ sin Е, (7.24)
а Р, Q — единичные векторы, которые мы сейчас определим.
В случае консервативного гравитационного поля элементы а, е, i
(если учитывать только вековые возмущения) постоянны, а
возмущенная эксцентрическая аномалия определяется из уравнения Кеплера
7i{t-T) = E--esmE. (7.25)
Так как момент Т прохождения через перицентр известен, то
величины л:сй и Уо) можно сразу определить согласно (7.24) после замены Е
на Е. Единичный вектор Р, направленный из начала координат к
перицентру, имеет компоненты
р^ = cos (О cos Q — sin (О sin Q cos /,
Ру r= cos (0 sin Q + sin(0 cos Q cos /,
P2 = sin(osin/. (7.26)
Единичный вектор Q, опережающий вектор P на 90° в плоскости
и в направлении движения, имеет компоненты
Qx== — sin (О cos Q —cos (О sin Й cos/,
Qy=— sin (0 sin Q + cos со cos Q cos i,
Q^^coscosini. (7.27)
Компоненты.первых производных от P и Q выражаются в силу (7.21),
(7.26) и (7.27) формулами
• • • • • •
• • • • • •
Ру = Рх^п + Qy<J)„ Qy = QA — Py(i>n,
Рг = QzWn, 0.г=-Р^п, (7.28)
a компоненты вторых производных от Р и Q — формулами
t^x ^ i^y^^n \ Цх^П) Цх ==== Цу^^п — Рх^т
•• •• •• •• •• ••
Py = PxQn + Qy(i>n, Qy = Q>Qn — PyOi„,
Pz = QzCun, Qz=-^M„. (7.29)
Последние формулы для вторых производных могут быть
преобразованы к виду
Рх-=- Ф1 + к) Рх - 2Qn<^nQv,
Ру=- (Й'„ + к) Ру + 2^n^nQx,
Pz=-kPz,
(7.30)

238 Глава 7. Специальные возмущения
• •
Qx=- (Йп + ^1) Qx + 2Q„co„Py,
Qy = - (Й^ + «n) Qy - 2Q„M„P„,
Qz = -kQz. (7.31)
Вектор ускорения Ts, обладающий вековым возмущением, может быть
записан в виде
'гэ = ^{Хс.Р + уЯ). (7.32)
откуда после двукратного дифференцирования получим
r"s - х^Р + 2xJ> + i> + уЛ + 2уЛ + y^Q. (7.331
• • • •
Ускорения л:сй, Уо) в плоскости орбиты можем из этой формулы исклю-
чить, используя закон Ньютона
V;=-J^, (7.34)
а скорости л:сй, у^у исключим с помощью известных формул, выведенных
в [1, гл. 3]:
п(\Ха)^^^ . 7Г ' л (ixp) /2 —; /-7 ntz\
л:сй= -^—^—smE, ij^:=-^rzi—cos£, (7.35)
nrs ^ nrs ^
где
rs = a{\ —ecosE).
7.3.4. Проблема малых разностей
В предыдущем разделе было показано, как получить промежуточ-
ную орбиту, которая учитывает вековые возмущения, обусловленные
потенциалом сфероида Ф (7.8). Следовательно, можно выразить
возмущающее ускорение точнее, чем с помощью (7.18), а именно в виде
H.-Vs + V/?, (7.36)
где R — гравитационная возмущающая функция (7.10), равная Ф — V,
а У — потенциал задачи двух тел. Теперь, поскольку Vg можно пере-
писать в виде
•• •• •• •• •• •• ••
Гз = ХаР + УсоО + 2л:соР + 2уМ + Xj" + УсоО
или с учетом (7.34) в виде
• •
^^
«= - -й- (л;<оР + г/<оО) + 2xJ> + 2y^Q + xJ> + y^Q,

7.3. Метод Энке 239
ТО получим
• •
^ + 2х^^ + 2yJx + х^Ь + у Л (7.37)
Можно записать Ts в более компактной форме
^ + s, (7.38)
s
где дополнительное вековое возмущение выражается формулой
•• •• •• ••
S = 2л:сйР + 2f/coQ + л:соР + УсйО.
Вектор возмущающего ускорения (7.36) запишется теперь в виде
\^-^ + \^^-^ + '^R. (7.39)
Основными являются первые два члена в правой части (7.39). Однако,
если использовать (7.36) или (7.39) для численного определения 8,
то требуется вести вычисления с большим числом значащих цифр,
так как первые два члена представляют собой разность почти равных
величин. Чтобы преодолеть эту трудность, можно положить
4 = 1+2д, (7.40)
S
где д —малая величина, равная
г2—г1
q = -^^. (7.41).
2rl
Можно расписать далее q в виде
Ч= 2
или
q = r;^ [xxs — xl + yys — yl+zzs — zl — xxs +
jX^-yys + Yy'-^^s + Y^' + Y^' + Yy' + Y^'
откуда
q = г7^ [^Xs&x + Узгу + х^^г + у (^' + 4 + ^')] • (7-42)
Наконец, если положить
8 = Гз + у8, (7.43)
то получим следующую формулу для вычисления q:
q = r7^E'E. (7.44>

240 Глава 7. Специальные возмущения
Далее можно использовать (7.40), чтобы выразить гЦг^:
4 = (1+2<7Г'^^=1-/7, (7.45)
Причем непосредственное разложение (1+2д)-^/2 по степеням q
приводит к хорошо известной формуле [4]
f = 3(l-|7 + -|^7^-|^<f+...). (7.46)
Теперь имеются все формулы, необходимые для
преобразования (7.39), чтобы избежать вычисления разности двух почти
одинаковых величин. Заменяя г^ в (7.39) согласно (7.45) через {\—fq)lrl,
получим
• •
\^^ /1 t^\ \ И'Гв
^(l-f7) + i^ + Vi?-s (7.47)
S S
или
'г = ^{fqv-г)-\-VR-s. (7.48)
S
Заметим, что единственное осложнение по сравнению с методом Энке
в его обычной форме заключается в том, что включается
дополнительное слагаемое s, определяемое по (7.38).
7.3.5. Учет сопротивления атмосферы
Выше мы ограничились учетом гравитационных эффектов,
обусловленных характером потенциала сфероида.
Поскольку в таком анализе отсутствуют силы сопротивления
атмосферы и другие силы, то возмуш^енная орбита всегда остается близкой
к промежуточной. Можно включить в рассмотрение эффекты,
вызванные сопротивлением атмосферы, если известны, например, средние
скорости изменения элементов а, г, /, обозначаемые через dd/dx, deldx,
л
dildx. Эти скорости можно определить методом, предложенным
Штерном [8, 1]. Так как а, е w i испытывают только вековое влияние
сопротивления, то
а = ао-\~-^х, е = е^-\~-^х, i^i^j^-±.x^ (7.49)
а эффекты, обусловленные сжатием, описываются формулами (7.21).
Следовательно, чтобы учесть сопротивление атмосферы, следует при
анализе, аналогичном тому, который был проведен выше, использовать
(7.49). Это непосредственный, хотя и связанный с громоздкими
выкладками путь.

7,3. Метод Энке 241
7.3.6. Алгоритм метода Энке для смещающейся промежуточной
орбиты
В случае эллиптических орбит с умеренным эксцентриситетом
можно применить следующую модификацию метода Энке.
Пусть даны на момент Хп истинные векторы положения и скорости
Гп И г^, И требуется вычислить новые векторы положения и скорости
1*71+1 И Гу1+1 на момент t^i+i = t^i + At, где At — шаг интегрирования.
Эти вычисления выполняются по формулам:
й=„[1+|^=у^(1-1-")].
(О^СОтг + СОтгТтг+ц
Ру: = COS (О COS Q — sin (О sin Q cos /,
Ру = COS (О sin Q + sin со cos Q cos /,
P2 = sin(osin/,
Clx= — sincocosQ —coscosinQcos/,
Qy= — sin (0 sin Q + cos со cos Q cos /,
Q2 = cos(osin/;
л
i^x^^^ i^ii^^n ~T'4.x^n 1
Ш ^ W
■Ту = Px^^n ~\~ Qy^n-)
• •
• • •
Цх^ Цу^^п ^x^n^
• • •
P = 2Qn(iin,
^DC = ^^Px PQy^
Pz = QPz,
(7.50)
(7.51)
(7.52)
(7.53)
16—491

242 Глава 7. Специальные возмущения
Qx — ^Qx + РРуу
Qv —^^Qv РРхч
Qz = QQz^
Далее решается уравнение Кеплера*) относительно Е
п {tn+i — Т) = Е'—е sin Е
и следуют вычисления по формулам
Xci = a (cosE — e),
Вектор отклонения г найдем по формулам
(7.54)
rs=^ixl + ylf^'; (7.55)
л: = ^-TiJ.— sin Е,
nrs
—^-^-^—cos£; (7.56)
• • •
(s)„+, = 2xJ? + 2yJX + xjp + уЛ. (7.57)
г = Гп-{г,)п, (7.58)
"^ = {rs)n 4- -g- 8,
<7 = 45f- , (7.59)
Определим градиент возмущающей функции R в точке Гтг, Тп
и получим возмущающее ускорение г по формуле
М'
{Фп
{fqrn'-e) + '^R--Sn
*) Значительно быстрее можно прийти к окончательным результатам, если
выбрать Е в качестве независимой переменной и таким образом избежать
итерации при решении уравнения Кеплера.

7.3. Метод Энке
243
Наконец, интегрируя, получим
71+1
{Ts)n
т^+Ах
\ г (к,
(7.61)
П
Т^+АТ
•
гйх.
(7.62)
П
7.3.7. Замечания для орбит с нулевым или малым эксцентриситетом
В некоторых случаях удобно располагать формулами метода Энке,
пригодными для орбит с малым или равным нулю эксцентриситетом.
Из изложенного в [1, гл. 3] должно быть очевидным, что при эксцент-
риситетах, приближающихся к нулю, элемент со определяется плохо.
Поэтому в этом случае следует прибегнуть к иным формулам,
позволяющим вычислять векторы положения и скорости. Формулы (7.57)
должны быть заменены эквивалентными, освобожденными от
неопределенностей. Приводимая ниже совокупность формул позволяет
проводить вычисления без каких-либо ограничений значения
эксцентриситета орбиты при эллиптическом движении. Аналогичную совокупность
формул можно вывести при желании для случая гиперболического
движения.
Данный алгоритм применим непосредственно к кеплеровой
промежуточной орбите. При желании можно использовать промежуточную
орбиту, учитывающую вековые возмущения от сжатия планеты, вводя
вектор S, как это было сделано в предыдущем разделе. Приводимая
ниже последовательность формул заимствована из [1, прилож. 1].
Вначале по обычным формулам вычисляются следующие величины:
п
Гтг-Г
тг»
On
]_
а
Гп-Гп
VfA
— 9
2
п
(7.63)
Для эллиптической или круговой орбиты можно найти значения
а^1
П
а
S
Dn
л/а
(7.64)
и получить разности средних движений по формуле
М
П+1
Мп
п+1
V^l
а
3/2
(7.65)
16*

244 Глава 7. Специальные возмущения
Теперь методом итерации можно решить модифицированное уравнение
Кеплера относительно g=i{Ej^^j^i — Еп)/2, что позволяет получить
соответствующую разность эксцентрических аномалий. Эти итерации
находятся по формуле
^ _ д. gi + Se Sin2 gj — Ce SJn gj COS gj-(Mn+j —Mn)/2 (j aax
^^+1 ^' \ + 2Se sin gi COS gi-Ce {1-2 Sin^gi) ^''""^
при i* = 1, 2, . . ., V до тех пор, пока окажется | gt+i —gt | < S,
где б — допустимая погрешность. Наконец, найдем кеплеровы
векторы положения и скорости при x^^i по формулам
С = а[1 —cos{En+i — En)],
S = У а sin {En^i — En),
f=l- ^
r '
'71
g = ^ (r„S + D„C),
71+1 ' n
(l-^)C + D„5,
^71+l''n
(7.67)
^=1
С
1
''ti+I
(Гс)7г+1 = /Г7г + 5Т7г,
• • • •
(Гс)7г+1 = /Г7г+5Т7г.
После этого для вычисления истинных векторов положения и
скорости при т = Tti + Ат можно использовать формулы метода Энке
(7.59) — (7.62), где индекс s надо заменить на с.
7.4.5ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД*), ОСНОВАННЫЙ НА
ПРИМЕНЕНИИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ КУСОЧНО-НЕВОЗМУЩЕННОЙ
ОРБИТЫ
7.4.1. Предварительные замечания
В гл. 5 приводятся соответствующие формулы метода кусочно-
невозмущенных орбит. Этот метод нашел широкое применение на
практике благодаря своей простоте и удобству. К сожалению, один
*) Автор называет этот метод гибридным (hybrid), так как он представляет
собой комбинацию аналитических и численных методов. Мы предпочли название
«полуаналитический».—Прим, перев.

7.4. Полуаналитический метод 245
ИЗ недостатков этого метода заключается в заметных ошибках,
вызванных пренебрежением возмущающими эффектами. В этом разделе
мы хотим изложить метод, который позволяет избежать недостатков,
присущих методу кусочно-невозмущенных орбит, но сохранить его
преимущества: простоту и 6t>icTpoTy вычислений. Этот метод,
основанный на использовании кусочно-невозмущенной орбиты в качестве
промежуточной, принадлежит Эскобалу [17], а его дальнейшее
развитие— Стерну [18]. Для определенности мы посвятили этот раздел
анализу задачи о траекториях полета к Луне.
7.4.2. Уравнения движения
Уравнения относительного движения в задаче п тел, выведенные
в [1, гл. 2], могут быть записаны в виде
\^
(7.68)
где точками обозначается дифференцирование по х ^= k {t — ^о)
и начало координат расположено в динамическом центре Земли. В более
компактной форме (7.68) можно записать следующим образом:
И7з- + Гр. (7.69)
где первый член в правой части выражает обычное ускорение в задаче
• •
двух тел, а Гр — возмущающее ускорение, определяемое остальными
{п — 2) телами и соответствующее сумме в правой части (7.68).
Следуя процедуре вычислений по методу Энке (разд. 7.3), можем
представить векторы положения и скорости г и г на любой будущий
или прошедший момент с помощью формул
• • • • /« • •
r==/ro + gTo+ \ гйх,
г - /го + gro + J J ё dx dx, (7.70)
где первые два члена в обеих формулах соответствуют кеплерову
движению вокруг центрального тела и 8 — возмущающее ускорение,
равное г — Гд. В случае эллиптического движения функции /, q, /, g
выражаются формулами
/-=1—— [1—cos(£' —£о)], g-^t——^{Е — Е^—^т{Е — Е^)],
/^-^sin(£-£o), g=l—^-[l-cos(£-£o)].

246 Глава 7. Специальные возмущения
Основная идея полуаналитического метода состоит в
использовании приближенного аналитического выражения для возмущаю-
щего ускорения 8. Анализ траекторий полета к Луне показал, что
для гиперболических по отношению к Земле траекторий можно
представить возмущающее ускорение с помощью ряда *)
• •
А В С
А
(т —т) (т—т)
• • •
(7.71)
где А, В, С — векторные константы, а т — скалярная константа.
Пусть эти фундаментальные константы найдены. Тогда, используя
• •
выражение (7.71) для 8, получим после непосредственного
интегрирования
в= ( 'ed^-At+Bln {,^^^+—^ h ..., (7.72)
о
т (т — т)
( &dt = -^x^+ (в 1пт + В—:^) т +
0
+ С1п(^г^^)+Вт1п(-^^^)-Вт1п(т-т)+... . (7.73)
Следовательно, формулы (7.70) можно записать в явной форме:
• • • • •
r==/ro + gTo + 8, (7.74)
г =/го + gTo + 8, (7.75)
где 8 и 8 выражаются согласно (7.72) и (7.73).
7.4.3. Определение фундаментальных констант
С целью определения констант в формулах (7.71) рассмотрим
следующую схему. Пусть с помощью одного из обычных способов найдена
кусочно-невозмущенная траектория полета к Луне. Как иллюстри-
• •
руется на рис. 7.2, возмущающее ускорение 8 может быть теперь
вычислено в / точках кеплеровой орбиты, соответствующих некоторым
значениям эксцентрической аномалии Е, начиная с ^о и кончая Е^у^,
Заметим, что Ejy^ — это значение эксцентрической аномалии в точке,
где траектория пересекает среднюю сферу действия Луны. Так как при
любом Е}^ соответствующий момент времени %i^ определяется по
*
) Для траекторий возврата с Луны превосходные результаты достигаются.
• •
если положить е = А + Вт + Ст^ + . . . .

7.4. Полу аналитический метод
247
формуле
п L
fe — £о + 25е sin2
Ek-E
о
2
CeSm{Eu-E,)\ , (7.76)
то для последовательности значений Е можно получить соответствую-
щую последовательность пар значений (е, т). Предположим, что
получено п таких пар, так что в соответствии с (7.71) можем выписать
а соотношений
А + ^
1
В
1
(Т—Т,-)2
с+
8,-
(7.77)
Эти соотношения представляют собой систему п линейных
алгебраических уравнений относительно искомых фундаментальных констант
Средняя cqjepa
действия
Рис. 7.2. Оценка отклонений ускорения вдоль кусочно-невозмущенной
траектории. ,
А, В, С, ... . На практике для постоянной т выбирают некоторый
подходяш,ий момент, например пересказываемый по
кусочно-невозмущенной орбите момент прохождения через периселений.
7.4.4. Поправки 1-го и 2-го порядка
Как было упомянуто, при использовании излагаемого полуанали-
гического метода предполагается, что возмуш,аюш,ее ускорение Гр может
быть вычислено вдоль принятой промежуточной орбиты, т. е. вдоль
кусочно-невозмуш,енной траектории. С математической точки зрения
это соответствует использованию разложения Тейлора в окрестности
промежуточной орбиты
е=0
дЕ
дг
о
•»
(7.78)
где индексом в = О обозначаются величины, вычисляемые в точках
промежуточной орбиты. Матрица, обозначаемая через [дг/дг], может

248
Глава 7. Специальные возмущения
быть записана' в виде
де
дгх
дгх
дг'у
дгх
• •
dEz
дгх
дЕу
• •
дЕу
дгу
• •
dEz
дЕх
dEz
дЕу
dEz
• •
dEz
IdE
X
дЕ
у
дЕ
(7.79)
Обычно в практических задачах основными поправками,
находимыми с помощью полуаналитического метода, являются поправки
первого и второго порядков. Чтобы начать процесс вычисления попра-
вок, в рядах (7.78) пренебрегают всеми членами, кроме е |е ^ О
и по формулам разд. 7.4.4 находят так называемые поправки первого
порядка. Как только эти поправки получены, то, поскольку г в
точках, по которым составлялись уравнения (7.77) для Л, Б, С, . . .,
также известно, можно возвратиться к (7.78) и учесть второй член.
Численные примеры показывают, что в разложении г достаточно
ограничиться этими двумя членами (разд. 7.4.6).
В случае траекторий полета к Луне выражение для возмущающего
ускорения, определяемое суммой в (7.68), приобретает вид
ГПз
Г13
13
\^а
v(i
v(i
ФС
ФС
(7.80)
Ф
(Г
Рис. 7.3. Схема сил в задаче трех тел.
Геометрическая схема приведена на рис. 7.3. Пусть вектор R (для
сокращения записи опускаем нижние индексы) определяет положение
на невозмущенной кеплеровой орбите, а через г обозначается
отклонение г — R. Тогда вектор ускорения на кеплеровой орбите может
быть записан в виде
{^p)k = l^t
R
t)C
ФС
R
^vc
М
^v
ФС
/?3
(7.81)

7 A. Полу аналитический метод 249
Общее ускорение выразится, следовательно, формулой
где [Хф и |1(^ — массы Земли и Луны соответственно.
Непосредственно дифференцируя, получим, что элементы матрицы
(7.79) равны
^^х , о,, ^^ , о,, ^CtJ^Cv
Фф'"ds" +'^М'с
^=+3[Хф^^ + 3[Хс—-5
^Н _ ^^Ф , о ^"2 ^L ^ о
дЕу ~ /?3 ' -rw ^5 пЗ ' '-Г^ п5
^^^I/ _ , о.. 5^2 , о.. ^iy^(Lv
R
del _ ^^Ф , о,, ^^ ^С I о,,^ ^^^
7.4.5. Дополнительные замечания
Описанная в предыдущих разделах методика ориентирована прежде
всего на траектории полета к Луне. Как очевидно из уравнений для
поправок, вносимое улучшение приводит к несколько другим моментам
пересечения сферы действия Луны по сравнению с теми, которые
находятся обычным методом кусочно-невозмущенных орбит. Эту
трудность легче всего преодолеть, если считать радиус сферы действия
Луны слегка изменяющимся по мере того, как находятся поправки
первого и второго порядков. Разумеется, изложенная методика, зави-

250
Глава 7. Специальные возмущения
сящая от того, где выбраны точки для определения фундаментальных
констант, применима для отрезка геоцентрической траектории,
несколько проникающего внутрь сферы действия/ При построении
всей траектории внутри сферы действия можно применить (в
зависимости от желаемой точности) либо эту методику в предположении,
что орбита селеноцентрическая, либо можно рассчитать кеплерову
орбиту, начинающуюся в исправленной конечной точке
геоцентрического отрезка с исправленной конечной скоростью. Так как
изложенный полуаналитический метод пригоден и для геоцентрической
траектории, несколько продолженной внутрь сферы действия Луны,
то последний путь обычно приводит к удовлетворительным результатам.
7.4.6. Численные результаты
Численный анализ траекторий, начинающихся со стартовых орбит
вблизи Земли и идущих к близкой окрестности сферы действия Луны,
показал, что изложенный метод, основанный на промежуточной
кусочно-невозмущенной орбите, обладает многими преимуществами.
Во-первых, и прежде всего, вычисления по этому методу легко осуществить.
Как очевидно из формул, выведенных в предыдущих разделах, если
только обычная кусочно-невозмущенная траектория известна, то для
уточнения положений на орбите требуется минимум вычислений.
Оказалось, что по сравнению с обычным методом
кусочно-невозмущенных орбит для вычислений требуется лишь вдвое больше времени.
Во-вторых, предлагаемая методика позволяет заметно повысить
точность. Табл. 7.1 и 7.2 иллюстрируют меру точности метода. В част-
Таблица 7.1
Ошибки траекторных положений
время после
запуска, час
Численная минус

кусочно-невозмущенная траектории j 8 j, %
Численная минус
пол у аналитическая
траектории I е |, %
О
20,0000
40,0000
60,0000
80,0000
93,4677
О
0,025
0,118
0,329
0,790
1,470
О
0,004
0,006
0,011
0,016
0,028
ности, В табл. 7.1 сравниваются ошибки положений, полученных
обычным и смешанным методами кусочно-невозмущенных орбит по
сравнению с положениями на траектории, полученной численным
интегрированием (методом Коуэлла). В табл. 7.2 указаны
соответствующие ошибки для скоростей. Эти таблицы ясно демонстрируют
значительно большую точность смешанного метода по сравнению

7.5, Резюме
251
Таблица 7.2
Ошибки скоростей
время после
запуска, час
Численная минус
кусочно-невозмущен-
пая траектории f е |, %
Численная минус
по л у аналитическая
траектории | 8 |, %
О
20,0000
40,0000
60,0000
80,0000
93,4677
О
0,008
0,025
0,044
0,170
0,215
С обычным методом кусочно-невозмущенных орбит. С более
подробными численными результатами интересующийся читатель может
познакомиться в [18].
7.5. РЕЗЮМЕ
В этой главе определено понятие специальных возмущений. Это
возмущения, находимые с помощью численного интегрирования
ускорений, обусловленных действием на космический аппарат сил
притяжения других тел, а также дополнительных сил, таких, например,
как тяга ракетных двигателей, сопротивление атмосферы, подъемная
сила.
Полное ускорение объекта делится на две части: центральное
ускорение, создаваемое центральным телом в рамках задачи двух тел,
и так называемое возмущающее ускорение. Возмущающее ускорение
складывается из всех рассматриваемых в данной физической задаче
ускорений, кроме основного.
Метод Коуэлла предусматривает интегрирование непосредственно
суммы основного и возмущающего ускорений. Схема вычислений
по этому методу проста, однако шаг интегрирования приходится
выбирать довольно малым.
При использовании метода Энке интегрируется разность между
ускорением вдоль принятой промежуточной орбиты и полным
ускорением рассматриваемого космического аппарата или другого объекта.
Показано, что в качестве промежуточной можно принять более
сложную орбиту, чем обычная кеплерова. Рассмотрена, в частности,
промежуточная орбита, учитывающая вековые возмущения. Она позволяет
использовать существенно больший шаг интегрирования. Обычный
метод Энке также позволяет выбрать больший шаг интегрирования,
чем метод Коуэлла, и поэтому вычисления ведутся быстрее, хотя они
более сложные.

252 Глава 7. Специальные возмущения
Рассмотрен новый, полуаналитический метод приближенного
вычисления траектории полета к Луне. Это метод, основанный на
использовании кусочно-невозмущенной траектории в качестве
промежуточной. С помощью этой промежуточной траектории можно получить
информацию, достаточную для того, чтобы построить аналитические
формулы, определяющие с большой точностью отклонение
фактической траектории от промежуточной. Преимущество этого метода
заключается в быстроте и простоте вычислений. Необходим
дальнейший его анализ. На численном примере показано, что этот метод
приводит к хорошим результатам при вычислении траекторий, типичных
для проекта «Аполлон».
УПРАЖНЕНИЯ
1. Почему методы специальных возмущений позволяют
предсказывать движение планет или космического аппарата лишь на коротком
интервале времени? Можно ли сделать что-нибудь для увеличения
интервала их применимости?
2. Что представляет собой метод полуаналитических возмущений?
Приведите конкретный пример такого метода.
3. Почему при составлении схемы вычисления специальных
возмущений надо отнести начальные значения к подходящей
координатной системе, т. е. почему нецелесообразно пользоваться любой
координатной системой?
4. Вывести скорости изменения векторов Р и Q (7.26), если
элементы (О, Q и i меняются с течением времени.
5. В чем основное преимущество модифицированного метода Энке,
использующего промежуточную орбиту с вековыми возмущениями?
6. Вывести алгоритм метода Энке, если учитываются
одновременно вековые возмущения вследствие сопротивления атмосферы и
вековые гравитационные возмущения.
7. Проверить, что в методе Энке или, точнее говоря, в его
варианте, использующем промежуточную орбиту с вековыми возмущениями,
справедливо равенство
dE пг
dE
пг
8. Что такое исправление орбиты? Когда к нему прибегают при
вычислениях по методу Энке?
9. Применим ли изложенный в разд. 7.4 полуаналитический метод
кусочно-невозмущенных орбит к траекториям возвращения из
окрестности Луны? Почему?
10. Полагаете ли вы, что учет большего количества членов в рядах
(7.71) приведет к существенному улучшению траектории при
вычислениях с помощью данного полуаналитического метода?

Литература 253
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л, Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
2. D. В г о U W е г, G. М. С 1 е m е п с е, Methods of Celestial Mechanics,
Academic Press, New York and London, 1961. (Русский перевод: Д. Б p a у э p,
Дж. Клеменс, Методы небесной механики, изд-во «Мир», М., 1964.)
3. F. R. М о U 1 t о п. An Introduction to Celestial Mechanics, The Macmillan
Company, New York, 1914. (Русский перевод: Ф. М у л ь т о н. Введение
в небесную механику, ОНТИ, М.— Л., 1935.)
4. R. М. L. В а к е г, М. W. М а к е m S о п. An Introduction to Astrodynamics,
Academic Press, New York, I960.
5. H. С P 1 u m m e r. An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover
Publications, New York, 1960.
6. P. R. E s с о b a 1, Non Two-Body Reference Orbit for Encke's Method,
AIAA J., June 1966.
7. W. T. К у n e r, M. M. Bennett, JAS Specialist Meeting, Denver, July
1966.
8. T. E. Sterne, An Introduction to Celestial Mechanics, Interscience, New
York, 1960. (Русский перевод: Т. Штерн, Введение в небесную механику,
ИЛ, М., 1964.)
9. J. Е. В а 1 1, М. L. В i г к h о I Z, Р. R. Е S с о b а 1, An Encke Special
Perturbations Program for Geocentric, Earth-Satellite and Lunar/Cislunar
Trajectories, Lockheed California Co., LAC/421571, February 1964.
10. J. R. N e w m a n, The World of Mathematics, Vol. 4, Simon and Schuster,
1956.
11. Explanatory Supplement to the Astronautical Ephemeris and the American
Ephemeris and Nautical Almanac, London, 1961.
12. Connaissance des Temps, Le Bureau des Longitudes, Paris, France, 1965.
13. F. S h a f f e r, R. K. S q u i r e s, H. Wolf, Interplanetary Encke Method
Program Manual, X-640-63-71, Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Md.,
1963.
14. R. H. В a t t i n, Astronautical Guidance, McGraw-Hill Book Company,
New York, 1964.
15. S. Pines, H. Wolf, Generalized Perturbation Methods in Trajectory
Analysis, First International Symposium on Analytical Astrodynamics, UCLA,
Los Angeles, June 27—29, 1961.
16. F. B. H i 1 d e b r a n d. Introduction to Numerical Analysis, McGraw-Hill
Book Company, New York, 1956.
17. P. R. E s с о b a 1, Inclusion of Planetary Perturbations into Patched Conic
Programs, TRW Systems, 3431.2-19, March 1967.
18. P. R. E s с о b a 1, С S. Stern, The Hybrid Patched Conic Technique,
TRW Independent Research Report, 05952-6170-ROOO, July 1967.

Глава 8
ТОЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛУННЫХ КООРДИНАТ
Сбалансированный должным образом волчок
представляет собой идеальную иллюстрацию
астрономической прецессии.
Максвелл [351
8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ,
НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛУННЫХ
КООРДИНАТ
Преобразования лунных координат играют важную роль при
построении точных траекторий полета к Луне. Содержание этой главы
о _ о
дополняет и расширяет метод специальных возмущении, изложенный
в гл. 7. Данная глава преследует узкую цель — рассмотреть вопрос
о точном местоположении района посадки космического аппарата
на поверхности Луны. В анализ включены такие важные эффекты,
как прецессия и нутация, и они рассматриваются с точки зрения
выбора систем координат, удобных при интегрировании уравнений
движения. Важное значение этих преобразований вытекает из того
факта, что пренебрежение такими эффектами, как прецессия и
нутация, может привести к ошибкам положения и скорости в той же
степени, что и пренебрежение другими возмуш,ениями, например от
других планет.
Преобразования, излагаемые в этой главе, вытекают из алгоритмов,
приведенных в [1]. Основная часть результатов, источником которых
служат работы Габбарда [5, 9, 14], принадлежит Роту [13, 33, 34].
8.1.1. Описание и причины прецессии и нутации
Рассмотрим вращающийся волчок. Если он вращается вокруг
своей оси симметрии 05, то эта ось описывает конус, образуя с
вертикалью некоторый угол ф (рис. 8.1). На первый взгляд вес волчка,
приложенный к центру тяжести волчка и создающий момент силы
относительно точки О опоры волчка, должен действовать в
направлении увеличения угла ф. Однако наблюдения свидетельствуют о том,
что увеличения угла ф не происходит, пока скорость вращения волчка
не станет очень малой. Ось волчка описывает конус вокруг вертикали
довольно долго, практически до тех пор, пока волчок не остановится.
Мгновенная скорость перемещения оси симметрии волчка 05 напра-

8.1. Определение постоянных
255
влена под прямым углом к плоскости, определяемой осью 05 и
вертикалью 0V. Перемещение оси 05 называется прецессией. Такое
динамическое описание прецессии было дано впервые Ньютоном.
Рассмотрим теперь вместо волчка Землю. Конечно, аналогия между
волчком и Землей весьма грубая, так как действующие в обоих случаях
факторы принципиально различны, но мы прибегаем к ней, чтобы
упростить объяснение прецессии.
^
Центр тяжести
77777777777777777777?aq777^^
Рис. 8.1. Вращающийся волчок.
Если Землю, сжатую у полюсов, т. е. обладающую избытком
массы у экватора, представить как точный шар с дополнительным
кольцом вещества вдоль экватора, то вследствие притяжения Солнца
и Луны возникает пара сил, стремящаяся повернуть это кольцо и
совместить его с плоскостью эклиптики, поскольку оба возмущающих
тела располагаются близко к этой плоскости или точно в ней. При
сравнении волчка и Земли эклиптика заменяется опорной
поверхностью, а перпендикуляр к эклиптике соответствует вертикали к
опорной поверхности. Если бы Земля не вращалась, то пара сил,
возникающая вследствие действия Солнца и Луны, повернула бы Землю
так, чтобы экватор и эклиптика совпали.
Вращающаяся Земля ведет себя, однако, как гироскоп, и ее
ось перемещается под прямым углом к плоскости возмущающей пары
сил. Следовательно, как и в случае волчка, ось Земли вращается
вокруг перпендикуляра к эклиптике и описывает конус.
Период, в течение которого ось Земли делает полный оборот,
составляет примерно 26 000 лет. Точка весеннего равноденствия Т > т. е. точ-

256
Глава 8. Преобразования лунных координат
ка пересечения экватора и эклиптики, соответственно перемещается
вдоль эклиптики в обратном направлении (рис. 8.2), делая полный
оборот в течение этого цикла.
Точка весеннего равнодействия называется также первой точкой
созвездия Овна, обозначаемого знаком Т- Сравнительно недавно
'^ Точка весеннего
равнодействия
Плоскость
днватора
Рис. 8.2, Попятное движение точки весеннего равноденствия
точка весеннего равноденствия действительно находилась в этом
участке небесной сферы. Однако вследствие прецессии точка
переместилась и в настоящее время расположена в созвездии Рыбы,
обозначаемом символом К . Северный полюс небесной сферы (Северный
полюс мира) описывает окружность с центром в х (рис. 8.2) и радиусом
8, совпадающим с наклонением эклиптики к экватору и равным
приблизительно 23^^,5.
В настоящее время Северный полюс мира близок к звезде альфа
Малой Медведицы, называемой Полярной. В доисторические времена,
примерно в 3000 г. до н. э., полярной звездой была альфа Дракона,
а в 13 000 г. Северный полюс будет располагаться вблизи звезды Вега,
если исключить непредвиденные обстоятельства. Прецессионные
эффекты периодического характера, вызываемые в основном Луной и в
меньшей степени Солнцем, называются нутацией. Орбита Луны,
наклоненная к эклиптике примерно на 5°, все время изменяет свое
положение. Узлы лунной орбиты перемещаются вдоль эклиптики, совершая
полный оборот за 18,6 года. Следовательно, имеют место отклонения
от эклиптики, являющиеся функцией положения Луны. Через
определенный период эти отклонения становятся равными нулю, однако

8Л, Определение постоянных 257
о о
в ТОТ ИЛИ иной конкретный момент времени с этими периодическими
отклонениями приходится считаться.
В классической астрономии среднее вековое движение точки
весеннего равноденствия, обусловленное совместным перемещением
эклиптики и небесного экватора, получило название прецессии.
Периодические колебания называются нутацией. Если рассматривать движение
Северного полюса мира на небесной сфере, то эти периодические
колебания выражаются в том, что на большую окружность, которую
описывает полюс вследствие прецессии, накладывается синусоидальная
кривая, как это показано на рис. 8.2 отрезком траектории вблизи
точки Л/". Доля общей прецессии, соответствующая движению
небесного экватора, обычно называется лунно-солнечной прецессией.
Аналогичные прецессионные эффекты вызываются остальными
планетами солнечной системы. Они носят название планетной
прецессии. Влияние планет сказывается в перемещении эклиптики,
которое является причиной дополнительного движения точки весеннего
равноденствия. В этой главе рассматривается общая прецессия,
т. е. совместный эффект лунно-солнечной и планетной прецессии.
Физическое описание прецессии и нутации заимствовано из [12].
Обратное движение точки весеннего равноденствия может быть
представлено приближенно следующей аналитической формулой
ai^ + a2sin2L, (8.1)
где ai, аг — константы, определяемые в динамической теории
вращательного движения Земли, а L — долгота Солнца. Эта формула
отражает тот факт, что в течение одного периода обращения радиус-вектор,
проведенный от Земли к Солнцу, а вместе с тем и действие на
дополнительный пояс массы вдоль экватора периодически изменяются,
поэтому появляется периодический член. Первый член в (8.1)
соответствует равномерному обратному движению точки весеннего
равноденствия. Этот член называется вековым, в нем явно присутствует
время t, что отличает его от оставшегося периодического члена.
Вследствие эллиптичности своей орбиты Луна действует на
экваториальный излишек массы аналогичным образом, так что
приближенная формула, отражающая обратное движение точки весеннего
равноденствия, может быть записана в виде
аз/-Ьа4 8ш2([, (8.2)
где аз, ^4 — константы, определяемые в динамической теории
вращательного движения Земли, а (J—долгота Луны. При этом пред-
йолагается, что орбита Луны лежит в плоскости эклиптики. Так как
орбита Луны наклонена к эклиптике примерно на 5°, то это также
должно влиять на движение точки весеннего равноденствия. Это
влияние приближенно отражается формулой
a5SinQ + a6sin2Q, (8.3)
17—491

258 Глава 8. Преобразования лунных координат
где as, UQ — константы, олределяемые в динамической теории, а Q
долгота восходящего узла лунной орбиты. По наблюдениям можно
установить, что плоскость орбиты Луны не сохраняет постоянного
положения относительно плоскости эклиптики. Перпендикуляр
к плоскости орбиты Луны перемещается вокруг перпендикуляра
к плоскости эклиптики, описывая небольшой конус с периодом 18,6 года.
Формула (8.3) отражает соответствующее изменение Q.
Суммируя (8.1), (8.2) и (8.3), получим, что движение точки весен-
него равноденствия вдоль эклиптики приближенно выражается
формулой
at + bsmQ +с s\n2Q + d s\n2L +е s\n2([, (8.4)
где a, b, с, d, e — константы. В классической астрономии член at
соответствует лунно-солнечной прецессии в долготе, а
тригонометрические члены — нутации в долготе.
Как было замечено выше, изменение в положении перпендикуляров
к плоскости орбиты Луны и эклиптики также приводит к изменениям
наклонения эклиптики 8, имеющим периодический характер. Эти
эффекты могут быть приближенно отражены аналогичной формулой
/cosQ + g'cos2Q + ftcos2L + /cos2([, (8.5)
где /, g, ft, i — константы, определяемые в динамической теории.
Совокупность этих строго периодических членов обозначают через бе
и называют нутацией в наклонении.
Можно было бы выписать гораздо более точные выражения для
прецессии и нутации, содержащие большое число членов. Наиболее
полная сводка таких выражений приведена, по-видимому, в [2], и она
используется в этой главе.
Следует иметь в виду, что при изложении мы используем здесь
стандартные обозначения и безразмерные единицы, применяемые
в астродинамике; за единицу расстояния принимается радиус Земли а^,
за единицу скорости принимается скорость спутника на круговой
орбите единичного радиуса, а время заменяется модифицированной
временной переменной
x = k {jt — to), (8.6)
где k — гравитационная постоянная планеты, t—всемирное или
точнее эфемеридное время, а /о — начальный момент всемирного или
эфемеридного времени.
Заметим, что в силу своего определения (а не по данным
наблюдений) полагается, что постоянная k = 0,07436574 al^'^luuH, Вопрос
об этой системе единиц более подробно рассмотрен в [2, гл. 1].

8.1. Определение постоянных 259
8.1.2. Средние значения угловых переменных, необходимых
для преобразования селенографических координат
Селенографические преобразования осуществляются главным
образом с помощью вращения систем координат, соответствующего
малым отклонениям от средних значений некоторых угловых
переменных.
Эти средние значения могут быть получены на основании
анализа наблюдательных данных как функций времени, представимых
полиномами. В этом разделе дается сводка необходимых средних
угловых переменных и приводятся полиномиальные разложения.
Получены также выражения для скорости изменения этих углов,
т. е. получены также средние долготы и среднее наклонение эклиптики
к экватору.
Эти средние долготы и среднее наклонение определяются
следующим образом:
Г — средняя долгота перигея орбиты Солнца, отсчитываемая
в плоскости эклиптики от средней точки равноденствия
в эпоху;
Г'— средняя долгота перигея лунной орбиты, отсчитываемая
в плоскости эклиптики от средней точки равноденствия
в эпоху до среднего положения восходящего узла лунной
орбиты и далее вдоль орбиты;
L — средняя долгота Солнца, отсчитываемая в плоскости
эклиптики от средней точки равноденствия в эпоху;
Q — средняя долгота восходящего узла лунной орбиты,
отсчитываемая в плоскости эклиптики от средней точки
равноденствия в эпоху;
([—геоцентрическая средняя долгота Луны, отсчитываемая
в плоскости эклиптики от средней точки равноденствия
до среднего положения восходящего узла лунной орбиты
и далее вдоль орбиты;
8— угол между средним положением небесного экватора
и эклиптикой (среднее наклонение).
Средняя долгота перигея орбиты Солнца Г и среднее наклонение 8
являются медленно изменяющимися функциями времени по
сравнению с другими четырьмя угловыми переменными. Нутация и либрация
представляют собой малые периодические колебания вокруг среднего
положения. Часто используют следующие вспомогательные углы:
g' = ([ — Г, g= L — T, (О = Г — Q, со' = Г — Q. Более точно
эти углы определены в разд. 8.1.5.
Выражения для средних долгот, приводимые в этой главе,
получены Вулардом [16]; эти выражения используются в [6]. Выражение
для среднего наклонения принадлежит Ньюкому [2]; оно принято
также в [3 и 6].
17*

260 Глава 8. Преобразования лунных координат
Определенные выше величины выражаются как функции
независимой переменной
Т — ^' Р- ~(^^- Р-)янв. 0,5, 1900 /о 7\
где J.D.— текущая юлианская дата [1], отсчитываемая от начальной
эпохи
(J.D.)hhb. 0,5, 1900 =- 2 415 020,0. (8.8)
Переменная Ти измеряется в юлианских столетиях, содержащих
36 525,0 эфемеридных суток*), отсчитываемых от начальной эпохи.
производная Ти от Ти по модифицированному времени постоянна
и равна
Г„ = ^ = (36 525,0-24-60-0,07436574)-Ч (8.9)
Сами выражения для средних значений угловых переменных и для
среднего наклонения следующие [1, прилож. 1]:
Г = 281°,2208333+1°,7191750Ги + 0°,4б27778-10-»П +
+ 0°,3333333-10-Т^,
Г' = 334°,3296556 + 4069°,0340333Г„ — 0°, 1032500 • Ю'^Т
О °, 12 50000-10-471;,
L = 279°,6966778 + 36 000°,7б89250Ги + 0°,3025000 • \0-^Т1,
Й = 259°, 1832750 — 1934°, 14200837^ + О",2077778 ■ 1 Q-^Tl +
+ 0°,2222222-10-«Га,
([ =270°,43416394-481267°,8831417Г„-0°,1133333-10-27^ +
+ 0°,1888889-10-'^7Х,
е = 23°,4522944 — 0°,1301250-10-17„-0М 638889-10-^^ +
+ 0°,5027778 •10-«7^. (8.10)
Производные от средних долгот и от среднего наклонения находятся
путем непосредственного дифференцирования и равны
Г = -^ = -^7и = (1°,7191750 + 0°,9055556-10-з7„
+ Г ,0000000 -10-^7^)-|2^ 7и,
Г' = -^ = -^ Ти = (4069°,0340333 - 0°, 2065000 • 10-17^
0°,3750000-10-*7?,)-j|^7„, '
*
) В этих выражениях можно использовать или всемирное, или эфемерид-
ное время.

8.1. Определение постоянных 261
L = ■^=-^Ти = (36 000°, 7689250 + 0°,6050000 • Ю-^Г») -^ Ти,
Q = -^ = -^7'u = (-1934°, 1420083 + 0°,4155556-10-Т„ +
+ 0°,6666667 • 10-^П) -^ Ти,
^=4г- = -^7'и = (481267°,8831417-0°,2266667-10-2Г„ +
di dTu
+ 0°, 5666667 •10-°n)-j|Q-f„
ё =-^ =-^ Ги = (- 0°, 1301250 • 10-1 - 0'=',3277778.10-5Т„ +
+ l°,5083333-10-«n)-i|o-7'u. (8.11)
• • •
Эти выражения для Q, (J, 8, Q, (J и 8 непосредственно используются
при селенографических преобразованиях, рассматриваемых в разд. 8.2.
Выражения для всех средних значений угловых переменных и для
их производных необходимы также при выводе выражений для
нутации и для либрации Луны.
i
8.1.3. Вычисление нутации в наклонении и в долготе
Формулы для нутации, указанные в этом разделе, позволяют
вычислить нутацию в наклонении и в долготе на основании
полученных выше средних долгот и переменной Ти- Окончательные
выражения представляют собой полиномы Фурье по косинусам и синусам
линейных комбинаций пяти средних углов.
Выражения в виде полиномов для нутации, приводимые Вулардом
[3, 16], содержат всего 109 членов. Так как скорость вычисления
тригонометрических функций на цифровых вычислительных машинах
довольно мала, то применение полных выражений потребует,
по-видимому, слишком много машинного времени. Вместе с тем если в этих
выражениях ограничиться несколькими первыми членами, как это
сделано в [10], то это приведет к нежелательной потере точностц.
Скорость и точность вычислений по полным формулам Вуларда удается
сохранить, если заменить все тригонометрические члены
эквивалентными суммами и произведениями пяти фундаментальных средних
дол гот.
Главная цель подобного преобразования формул состоит в
уменьшении количества вычисляемых тригонометрических функций за счет
увеличения числа операций сложения и умножения, что приводит
к значительному уменьшению полного машинного времени при
вычислении нутационных членов.

262 Глава 8. Преобразования лунных координат
■ ■III. ■! ■И^—— |МИ ^M^^^l. II I I 11 I ■ ■ .1 »—^ — ■■ ■ 11 .1 ^ ■■■ ИИ.!»»» ■ 11^ ■■ ■■■■■ ■!■■ 1^»ЯИ1ИИ 1^ 41 ■ ^^^И^ММИ^^—^^^М—^^И^
Выражения, приведенные Вулардом [16] для долго- и короткопе-
риодических членов для нутации в наклонении и для нутации в
долготе, можно записать в виде
8 24
dE=^AtXt + {l^l) ^AtXi,
i=l г=9
7 16
i=i i=S
12 46
dyp= ^CiZi+{i-^i) S CiZi,
i=i i=13
9 23
Ail;= 2 DtWi + {l-^k) S DtWi, (8.12)
i=i i=10
где de — совокупность короткопериодических членов для нутации
в наклонении, Ае — совокупность долгопериодических членов для
нутации в наклонении, chp — короткопериодические члены для
нутации в долготе и AiJ) — долгопериодические члены для нутации в
долготе.
Согласно [3, 6], короткопериодические нутационные члены имеют
периоды до 40 суток, а долгопериодические — более 90 суток.
Полностью нутация в наклонении и нутация в долготе представятся
суммами коротко- и долгопериодических членов, т. е.
68 = d8 + A8, бг|) = d\j) + А-ф. (8.13)
Через Xi, Yi, Zt и Wt в (8.12) обозначены соответствующие
тригонометрические функции. Выражения этих функций даны ниже, и они
включают все члены, коэффициенты которых по величине не меньше
чем 0',0002.
Параметр X в (8.12) принимает значение, равное О или 1. Если
Я = О, то в (8.12) сохраняются все члены. Если Х= 1, то сохраняются
только члены, имеющие больший порядок величины и выписанные
в [10]. Таким путем облегчается проверка вычислений, опирающихся
на другие формулы, и оценивается ошибка, если пользоваться
укороченными формулами из [10]. Заметим, что формулы для ds, Ае, dif)
и А-ф в виде полиномов Фурье по линейным комбинациям основных
аргументов, которые требуется построить в упр. 4, можно найти в [3].
Все функции Xi, Yi, Zt, Wt вычисляются лишь с помощью
операций умножения, сложения и вычитания по следующим формулам:
X,=cos2([-l-2sin2([,
sin 2 (J =2 sin (J cos (J,
X2 = cos(2([—Q) = X,cosQ + sin2([ sinQ,
sin(2([ -Q) = sin2([cosQ —X,sinQ,
cos g-' = cos (J cos Г' + sin (J sin Г',

8.1ш Определение постоянных 263
•м«|
sin g' = sin (J cos Г' — cos (J sin Г',
X3 = cos(2([+g') = XiCosg'~sin2([sing',
sin(2^+g')==sin2([ cosg'+X, sing',
X4 = cos (([ + Г') = cos ([ cos Г' - sin ([ sin Г',
X5 = cos (§•' + Q) = cos g' cos Q — sin g' sin Q,
Xq = cos (g^' — Q) == cos g' cos Q + sin g' sin Q,
sin {g' — Q) = sin g^' cos Q — cos g' sin Q,
X7 - cos [2 ([ + ig' - Q)] - Х,Хб ~ sin 2 ([ sin (gr' - Q),
cos4([ = l-2sin22([,
sin4([=2X,sin2([,
cos2L = 1 —2 sin^L,
sin2L = 2 sin L cos L,
X9 = cos(4([—2L) = cos4([cos2L + sin4(X sin2L,
sin(4([-2L) = sin4([cos2L-cos4([ sin2L,
X8==cos[(4([-2L)-gr']=.
= X9 cos g' + sin (4 (J — 2L) sin g',
sin[(4([-2L)-g'] = sin(4([-2L)cosgr'-X9Sing',
Xio-cos[{2([+g') + g'] =
= X3COSg'-sin(2([+gr')sing',
Хц = cos (2L + g') = COS 2L cos g' — sin 2L sin g\
sin (2L + g') = sin 2L cos g-' + cos 2L sin g',
cos (o' = cos Г' cos Q + sin Г' sin Q,
sin (o' = sin Г' cos Q — cos Г' sin Q,
X,2 = cos ((J + ca') = cos (J cos со' — sin (J sin со',
cos(2L— ([) = cos2Lcos (J +sin2Lsin (J,
sin (2L — (J) = sin 2L cos (J — cos 2L sin (J,
X,3=cos[(2L-([)-(o'] =
= cos (2L — (J) cos со' + sin (2L — (J) sin со',
sin [(2L - ([) -co'] = sin (2L— ([) cos со' —cos (2L - ([) sin со',
cos2Q=l—2sin2Q,
sin2Q = 2sinQcosQ,
X,4 = cos (2L — ([ — со' — 2Q) =
- Xi3cos 2Q + sin (2L — ([ -co') sin 2Q,

264 Глава 8. Преобразования лунных координат
'ГГ
^■ч»' U'
X,5-tos[(4(I-2L.-g')-^] =
=-X8CosQ + sin(4([-2L-g')sinQ,
cos g = COS L cos Г + sin L sin Г,
sin g = sin L cos Г — cos L sin Г,
Xi6 = cos (2 (J — g) = X, cos §• + sin 2 (J sin gf,
X,7 = cos[(4C-2L) + g']=:
= Xg cos g'— sin (4 (J — 2L) sin g',
.^ ^ X,8 = cos[{2({^Q)^2L] =
= X2Cos2L + sin(2([—Q)sin2L,
sin [(2(( — Q) - 2L] = sin (2 ([ - Q) cos 2L - X^ sin 2L,
X,9 = cos (2 ([ - 2L ^^ Й) = ._
= cos [(2 ([ — Й — 2L) + 2Q] =
= Xi8 cos 2Q — sin (2 (X — Q — 2L) sin 2Q,
X20 = cos [(4 d - 2L) ^ Q] = ;;
= X9 cos fi + sin (4 (T — 2L) sin Й,
X2i = cos(2(X+ir) = Xi<;osg —sin2(X sing,
X22 = cos [2L + (g'- Q)] =
= Хб cos 2£ — sin (g'— Q) sin 2L,
Xi3=cos(2d-Q + 2g') =
.- . . =^cos[(2([+g') + (g'-^)] =
= ХзХб - sin (2 (J + g') sin (g'- Q),
X24 - cos (2L-+ 2g') = cos [(2L + g') + ^'1 =
= Xj, cos g' — sin (2L + g') sing',
Fi = cosQ,
r2 = cos2L,
Yi = cos (2L + g) = cos 2L cos g — sin 2L sin g,
sin (2L + g) = sin 2L cos g + cos 2L sin g,
Кб = cos (L + Г) = cos L cos Г — sin L sin Г,
Yq = cos (2L — Q) =.cos 2L cosQ + sin 2L sin Q,
sin (2L — Q) = sin 2L cos Q-Г cos 2L sin Q,
Y-j = cos (Г' + (o') = cos Г' cos со' — sin Г' sin со',
sin (со' + Г') = sin со' cos Г' + cos со' sin Г',

8.1. Определение постоянных 265
Fg = COS (й + g) = COS Q COS §• — sin Q sin g-,
n = cos (2L + 2g) = cos [(2L + g) + g\ =
= F4Cosg —sin (2L + g) sing,
Fjo = COS (Й — g) = COS Q cos g + sin Q sinjg,
cos2r' = l—2sin2r',
sin2r' = 2sinr'cosr',
rH = cos(2r'-2L + Q) =
= Гб cos 2Г' + sin (2L - Q) sin 2Г',
cos2r=--l —2sin2r,
sin 2Г = 2 sin Г cos Г,
r,3 = cos(2r —Q) = cos2rcosQ + sin2rsinQ,
sin (2Г — Q) = sin 2Г cos Q — cos 2Г sin Q,
y,2 = cos(2r-Q + g)=cos[(2r-Q) + g] =
= Fi3 cos g-— sin (2Г—Q) sin g-,
К 14 = cos 2Г',
Yib = cos (2L—to' - Г') = cos [2L — (со' + Г')] =
= Fy cos 2L 4- sin 2L sin (со' + Г'),
7,6 = cos [(2Z. - Q) + g] =
= Fe cos gf — sin (2Z-— Q) sin g,
Zj =-- sin 2 ({, '
Z2 = sing',
Z3 = sin(2(J-Q),
Z4==sin(2(I+g'),
Z5 = sin[(2L-([)-r'] =
= sin (2L — ([) cos r — cos (2Z, — ([) sin Г',
Ze = sin (([ + Г') = sin (X cos Г'+ cos ([ sin Г',
cos(([ +r')^cos ([ COST' —sin ([ sin Г,
Zt = sin (2({ — 2L) = sin 2 (X cos 2L — X, sin 2L,
Zs = sin (Q + g') = sin Й cos g' + cos Й sin g',
Z9= — sin(g' —Q),
Z,o = sin(4({-2L-g'),
Z,i = sin [(2 ([ - Q) + я'] = Zs cos gr'+ X, sin g',
Zi2 = sin 2g'= 2 sin g'cos g',

266 Глава 8. Преобразования лунных координат
Z,3 = sin(4([-2L),
Z,4 = sin(2L + g').
Z,5 = sin(2(I+2/) = sin[(2(I+g') + g'] =
= Z4 cos g' + Хз sing',
Zie = sin (2 (X — 2Q) = sin [(2 ([ — Q) — Q] =
= Z3CosQ—X2sinQ,
Zi7 = sin(({ +ft)') = sin ([ cos со'+ cos ([ sin©',
Zi8 = sin(2L-(J-o)'),
Zj9 = sin(([-2L+Q + r') =
= sin[((I+r')-(2L-S2)] =
= ZeYe - cos (([ + Г') sin (2L - Q),
Z2o = sin(4(I-2L-Q-gf') =
= sin[(4^-2L-/)-Q] =
= sin (4 (J — 2L — g') cos Q — Xs sin Q,
Zzi = sin (2 ({+g) = Zt cos g4-X, sin g-,
Z22-sin(2L+g-(r-r') =
= sin[(2L + g)-((I+r')] =
= sin (2L + g) cos ((t + Г') - Y,Ze,
Z23 = sin (2L + 2g') = sin [(2L + g') + g'] =
= sin (2L + g') cos g' +Хи sin §•',
Z24 = sin (2 ([--2L + g') = sin [(2 ^ + g') - 2L]
= sin (2 ({ + g') cos 2L - Хз sin 2L,
Z25 = sin(2([ -g) = Z,cosg-X,sing-,
Z26 = sin(4(I-2Z. + g') = sin[(4(I-2Z.) + g']
= Zi3cosg'+Xg sing',
Z27 = sin(2([—2L + Q) = sin[2(X-(2L—Q)] =
= Fe sin 2 ({ - Xi sin (2L - Q),
Z28 = sin (2Z, + g' — Q) = sin [(2L + g') — Q] =
= sin (2L+g') cos Q — Хц sin Q,
Z29 = sin (2L - 2 ({ + Q) = sin [2L — (2 (X - Q)] =
= X2 sin 2L - sin (2 (X — fi) cos 2Z,,
Z3o = sin(4([—2L-Q) = sin[(4([-2L) —Q] =
= sin (4 (J — 2L) cos Q — X9 sin Q,

8.1. Определение постоянных 267
2з1 == sin {g' — g-) =. sin g' cos g — cos g' sin g,
cos ((([ +(o') = cos (J COS со' —sin (J sin со',
Z32 = sin(Q—([-co')=:sin[Q —(([+o)')] =
= sin Й cos ((J + со') — 2i7 cos Q,
= X6sin(2([+g') + ^3Sin(g'-Q),
234 = sin(2L + g-2([) = sin[(2L + g')-2([] =
= X, sin (2L + я) - Fi sin 2 ({,
Z35 = sin (({ — L) = sin (J cos L — cos ({ sin L,
Z36 = sin (2 d + g'- 2Q) = sin [(2 ^ + g') - 2Q] =
= sin(2([+g')cos2Q —X3Sin2£2,
Z37 = sin {g + g') = sin g cos g' + cos g sin g',
Z38 = sin (2 ([ + g'- Я) = sin [(2 d + g') - If] =
= sin(2([+g') cos g—Хз sing,
Z39 = sin (Q + 2^') - sin [(Q + g') + я'] ==
= Zg cos g' + Xs sing',
Z4o-sin(2d+g' + g) = sin{(2([+g') + g] =
= sin (2 ([ + g') cos g + X3 sin g-,
Z4, = sin (2g' - Q) = sin [g' + (g' _ Q)] =
= X6sing' —Zgcosg',
Z42 = sin (2L — Q — g') = sin [(2L — Q) — g'] =
= sin (2L — Q) cos g' — Fg sin g',
Z43 = sin(4(I-2L^g'-g) =
= sin[(4(I-2L-g')-g]-
•= sin (4 (J — 2L — g') COS g — Xg sin g,
Z44 = sin(4([-2L-g) = sin[(4(I-2L)-g] =
= sin(4({—2L) cos g—Xg sing,
Z45 = sin (2Й + g') = sin 2Q cos g' + cos 2Q sin g',
Z46 = sin (2 d + 3g') = sin [(2 ([ + 2g') + g'] =
= Zj5 cos g' + X,o sing',
Wi = sinQ,
1^2 = sin 2L,

268
Глава 8. Преобразования лунных координат
Гз = Sin 2Q,
Ws = sm{2L+g),
Wq = sin (L + Г) = sin L cos Г + cos L sin Г,
r7 = sin(2L-Q),
r8 = sin((o' + r'),
W9 = sin(2L-2r')==
W
10
sin 2L cos 2Г' — cos 2Г sin 2Г',
sin(2L—2$2) =
sin 2L cos 2Q — cos 2L sin 2Q,
IFii = sin 2g = 2 sin §• cos g,
r 12 = sin (2L + 2g) = sin 1{2L + g) + g] =
= sin (2L + я) cos g + У4 sin g,
Wi3 = sin (g + Q) = sin g^cos Q + sin Q cos g,
= sin 2(0' = 2 sin со' cos со',
= sin (Й — g) = sin Qcosg — cos Q sin'g,
lF,6 = sin(2r'—2L + P)= >
= Гб sin2Г'-cos2Г'sin (2L-Q),
lFi7 = sin (L + Г - Й) = sin [(L+;T) - Й] =
= ll^e cos Q — V5 sin Й,
cos (2L + Q) = cos2LcosQ —sin2LsinQ,
sin (2L + Й) = sin 2L cos Q + cos 2L sin £2,
1^18 = sin (21 + Й-2Г') =
= sin (2L + Q) cos 2Г' - cos (2L + Q) sin 2Г',
ri9 = sin(2r-Q),
) = sin(2L—Q + g) =
= sin(2L—Q)cosg + F6sin g,
i = sin2r',
2 = sin (L—Г') = sin L cos Г' — cosL sin Г',
W
W
W
W
23
sin(r
Г')
sin F cos Г'
cos Г sin Г'. (8.14)
Соответствующие коэффициенты Ai, Bi, CuDt, заимствованные из [16],
приведены в табл. 8.1. Их можно naiiTn также в [3].

Коэффициенты нутации
Таблица 8,1
8
А,
Ль
Aq
Aj
As
Bi
B2
Вз
В,
В,
Вб
Bi
Bs
С,
С2
Сз
С,
С,
С
С 21
^^23
D2
D4
Do
Dq
D7
D8
D9
Dio
Da
D12
0"
9"
с
C2
17
1
0
0
0
0
0
0
D
0"
0884
0183
0113
0050
0031
0030
0023
0022
2100+0"
5522 — 0"
0904 + 0"
0216—0"
0093 + 0"
0066
0024
0008
0", 00005Ги
0%00001Ги
00091Ги
00029Ги
00004Ги
ООООбГ,^
00003 Гях
14
2037 —О", 000027^1
0675+ 0^ 00001 Ги
0342 — О", 00004Г-1,
0261
0149
0114
0060
0058
0057
0052
0044
0028
0032
0026
0025
0019
0013
0014
0009
0007
0006
,2327
,2729
^0",01737Ги
-0%00013Ги
2088 +О", 00002 Гге
1261—О", 00031 Гп
0497+ 0^ 00012Г.г1
0214 —0",00005Ги
0124 +О", 00001 Ги
0045
8
0021
0016 —О", 00001 Ги
0015 +О", 00001 Гг1
Аю
А12
А13
Л,4
^9
Bi2
В13
^4
^25
^26
^27
^28
49
^-'32
Сзз
*^34
^35
^36
С 37
Сз8
Сз9
*^40
Qi
^42
^43
С44
^45
^13
Dh
Dib
DiQ
Di7
Di8
Di9
D20
D2i
^22
D23
0"
0"
0"
0"
0"
0"
0"
0014
ООП
ООП
0010
0007
0007
0005
0003
0007
0005
0003
28
О"
О"
О"
О",0002
^13
Bi4
Ви
С 23
^23
^3
^-'23
о",0005
С.
^28
О",0004
^31
^31
^31
^31
О",0003
^36
^36
О",0002
Сз9
Сз9
Сз9
Сз9
^-39
^39
^39
О",0015
О",001 о
Di4
О",0005
О",0004
^18
О",0003
D20
D20
О",0002
An
А18
Ai9
А20
А21
А22
А
А
23
24
^16
AiQ
AlG
AlG
AiQ
О",0002
A23

270 Глава 8. Преобразования лунных координат
8.1.4. Производные по времени от нутации в наклонении
и долготе
Как было указано выше, для вычисления производных от нутации
требуется 12 величин : пять средних долгот (Г, Г', L, Q, (J), их первые
• • • • •
производные по времени (Г, Г', L, Q, (J), время в юлианских
столетиях ТI и параметр X, Все эти величины рассмотрены в разд. 8.1.2.
Здесь мы займемся определением значений производных
• ^ _d (de)
dx '
^i=i^. (8.15)
С их помощью определяются
8г = d& + ^г, 6\j5 = d\j5 +AiJ), (8.16)
где
бе = , — полная производная по модифицированному
времени от нутации в наклонении;
бг}) ^ л полная производная по модифицированному
времени от нутации в долготе.
Используемые выражения для de, Ае, dij), AiJ), бе и бг]; даны в разд. 8.1.3.
• • • •
Выражения для de, Ае, d\p, AiJ) получаются следующие:
8 24
dE=[A^X, + AsXs+ S AiXi+{l-^X) 2 Л,Х,] К, (8.17)
i=l i=9
А8=[2БгГг+2Б,Г, + (1-Х) ^BiYi]K, (8.18)
i=l i=l i=8
d^=[^CiZi+ ^Ci'Zi + il-k) ^CiZi]K, (8.19)
i=l i=l i=13
7 12 9 23 .
i=l i=8 i=l 1 = 10
(8.20)

8.1. Определение постоянных 271
где
К
зх
180-3600 '
Т^ = (36525,0.24,0 • 60,0.0,07436574)-^
• • •
g = L-V,
g'=
©' =
л=
А,=
Ф
--а-т',
= r-Q;
= -0",00005Ги,
= -0",00001Т'и;
•
i:2=-Z3(2(i-Q),
Xs=-Z,{2([+g'),
^4=-2б((Г + Г').
X,^-Zs(Q + g')^
Xe = Zgig'-Q),
X7=-ZH(2(i+i'-Q),
X8=-Z,o(4(i-2L-g').
X9=-Z,3(4(i-2L),
Xio=-2,5(2(1+2g'),
i:u=-Z,4(2L + g''),
^12=-2,7((Г+й'),
^13=-2,8 (2L-([-«').
X,4 = (X,3sin2Q —Z,8COs2Q)(2L—(X—«' —2^),
X,5=-Z2o(4(i-2L-Q),
Xi6=-Z25(2(r-i),
X,8=-sin(2([-Q-2L)(2^-Q-2L),

272 Глава 8. Преобразования лунных координат
Xi9=-227(2([-2L-bQ), :
X2o=-23o(4(i-2L-Q),
i:2i = - 221 (2 (Г + i),
Х23=-2зз(2(Г-й + 2^'),
Bi = 0",000917'u,
Б2=-0",000297'и,
83 = 0",000047'u,
84 = - 0",00006Ти,
4 = О'.ООООЗГи;
Уз = - ^^32^,
Y,= -W,{2L + g),'
Уб=-1^7(21-Q),
Y^=-W,^(2L+2g),
Yn = Wi,{2L-U-2r),
Yi2 = - {Wi, cos g + Y^sW,) (2Г - Q + i),
K,3=-W',9(2r-6),
^14=-«^2l2r',
^i5=-W^i8(2L-«'-r),

8,1» Определение постоянных 273
Ci=_0",000027'„,
C2 = 0'000017'u,
Сз=—0",000047'„;
Z2 = {cos g')g',
Zi = Xs{2^+g'),
Z5-[cos(2L-([)cosr' + sin(2L-([)sinr'](2L-^-r'),
Ze = X,{(i + r),
i, = (X,K2 +2,1^2) (2^-21),
Zs = Xs{Q + g'),
Z, = X,{Q-g'),
Zio = Xs{A(i-2L-g'),
Zu^X,{2(Z-Q + g'),
i,2 = (l-2sin2g')2if'
Z,6 = (X2CosQ + Z3sinQ)(2(X — 2Q),
ii7 = X,2 ((!+«').
Z,9 = Xn((r-2L + ^+r').
,Z2o = ^i5(4(i-2L-Q-g').
.Z21 = X^i {2i+ i),
8—49:1

274 Глава 8. Преобразования лунных координат
222 = (ХдП + 26^5) (2L + g - ([ - Г'),
223 = ^24 (2Z. + 2g').
224 = (X3F2 + Z^^^z) (2 (t - 2L + i').
225 = ^16 (2 (i-i),
Z27 = X,9(2(i-2L + d),
228 = ^22 (2L + ? - i^),
Z29=X,8(2L-2^+Q),
230 = Х2о(4(Г-21-Й),
• • •
231 = (cos g-'cos g + Z^Wi) (g'—g),
Z32 = [F, cos (d + «') + 217^^,] (Q - (i -«').
233 = ^23(2^-Q + 2g'),
234 = (^i^ + 2itt?'5) (2L + i - 2 (i),
• • •
235 = (со5 (J cosL+sin (^ sinL) (([ —L),
236 = (ХзУз! + 241Гз) (2 (i + i^ - 2Q),
• • •
Z37 = (cos g cos g' — ZzWi) (g + g'),
2з8 = (Хз cos g + ZilTi) (2 (i + i' - g),
Z39 = {Xs cos g' - Z2Z8) (Q + 2/),
Z40 = (Хз cos g -24Г4) (2 ^ + i' + g),
Z4, = (Хб cos g' + Z^Z,) {2g' -Q),
242 = (ncosg' + 22lF7)(2L-Q-g').
Z43 = (Xg cos g] + JZ,o sin g){Ai- 2L- g' ~g),
Zu = {X,cosg + Z^sWi) (4^ -2L-'g),
Z45 = (^^3 cos g' - Z^Ws) (2Q + i'),
Z,,e-(X,oCOSg'-Z2Z,5) (2^ +3g');

8.1. Определение постоянных 275
Dj = —0",01737Ги,
D2= — 0",00013T'u,
дз = 0",00002Ги,
D4=-0",0003ir„,
D5 = 0",000127'u,
De = - 0",00005Ги,
b^ = 0",0000lfu, Dg = D9 = Dio = 0,
Dh=-0",000017'u,
Di2 = 0",0000lf„;
Wi = YiQ,
#2=^221,
Гз=Уз2^,
#4 = (cosg)g,
#5 = n(2L + i^),
#7-= Ув (2L - Q),
#8 = У7 («' + Г')
Г9 = {Y2COS 2Г' + Г2sin 2Г') (2L-2Г'),
W'lo = {Y2Y3 + W2W3) (2L - 2Q),
Wu = il-2sin^g)2i,
Wi2^Y,{2L + 2'g),
Ги = (1—2sin2(o') 2©',
Wie = Yii{2t'-2L + Q),

276 Глава 8. Преобразования лунных координат
#22 = (cosLcos Г + sin L sin Г) (L-Г'),
#23 = (cos Г cos Г' + sin Г sin Г') (f - f'). (8.21)
Bee тригонометрические функции в (8.21), например X,, Х^, sin2Q,
соответствуют формулам в разд. 8.1.3. Все эти функции выражены
через синусы и косинусы средних долгот. Следовательно, для
вычисления нутации необходимо предварительно вычислить лишь пять
синусов и пять косинусов. Дальнейшие вычисления ограничиваются
арифметическими операциями над этими десятью синусами и
косинусами.
8.1.5. Определение физической либрации Луны
Фундаментальные работы по изучению физической либрации Луны
в долготе, в наклонности и в узле были выполнены Гейном с 1902
по 1920 гг. [17—22]. За ними последовали работы Иенсона [23], чьи
результаты (1917, 1919) согласовались с результатами Гейна
относительно либрации в наклонности и в узле, но расходились в либрации
в долготе. В 1948 г. анализом этого расхождения занялся Козиель,
и его работа [25] подтвердила результаты Гейна, полученные в 1920 г.
[22].
Изложение, следующее ниже, является краткой интерпретацией
последних результатов Козиеля [8, глава о либрации] и имеет своей
о _ о
основной целью вывод совокупности уравнении, которые применяются
для быстрого вычисления величин, определяюш,их физическую
либрацию Луны в зависимости от времени. Я признателен Детлефсену
за сделанные им дополнения [32].
Физическая либрация в долготе условно обозначается через Т;,
в наклонности — через рь а в узле — через О/. Эти величины
выражаются тригонометрическими рядами; типичная форма такого ряда
Xi = 2^1 sin ai,
«
г
cW, c^), cW, cW = 0, ± 1, ± 2, ... . (8.22)

8.1. Определение постоянных Til
Найдено, что колебания Луны, как и любой осциллирующей
физической системы, характеризуются свободными и вынужденными
колебаниями. Свободные колебания, или свободная либрация,
соответствуют общему решению однородных дифференциальных уравнений,
описывающих движение Луны; частоты этих колебаний являются
естественными частотами тела. Если действует внешняя возбуждающая
сила, то уравнения движения не являются однородными и их общее
решение содержит частное решение, соответствующее вынужденным
колебаниям, частоты которых совпадают с частотами внешней силы.
В работах, выполненных в XIX в., было получено, что амплитуды
свободных колебаний Луны пренебрежимо малы по сравнению с
амплитудами вынужденных колебаний. Таким образом, в настоящее время
принимается, что физическая либрация Луны полностью определяется
вынужденными колебаниями. При условии, что Луна рассматривается
как твердое тело, анализ обычно основывается на интегрировании
уравнений Эйлера движения твердого тела с одной неподвижной
точкой. Козиель приводит в своем обзоре [8] детали такого анализа.
Результаты представлены в виде таблицы, где выписаны численные
значения коэффициентов и соответствующие аргументы каждого
члена вынужденных колебаний как функции механической
эллиптичности Луны
г В(С-В)
А (С-А)
(8.23)
где А, В, С — главные моменты инерции Луны ^). Таблицы составлены
для значений / от 0,5 до 0,8 с шагом 0,1. Козиель основывает эти
« __ о
результаты на значении средней наклонности экваториальной
плоскости Луны к плоскости эклиптики, полученном Гейном [20, 25]:
/ = Г32'20'' = Г,53889 = 0,026859 рад, (8.24)
а также на значении Брауна для средней наклонности орбиты Луны
к плоскости эклиптики [26]:
/ = 5°8'43'' = 5М4528 = 0,089802 рад. (8.25)
*) Главные моменты инерции А, В и С Луны являются моментами
относительно осей симметрии Луны а, b и с. Ось с является осью вращения, или
полярной осью, Луны. Ось а совпадает с главным радиусом Луны и определяется как
вектор, направленный из центра Луны к среднему центру видимого лунного
диска (разд. 8.2). Этот вектор пересекает, следовательно, поверхность Луны
в Центральном Заливе в экваториальной плоскости Луны, и его направление,
следовательно, очень мало отличается от направления на центр Земли. Ось b
также лежит в экваториальной плоскости Луны и направлена так, чтобы система
координат (а, Ь, с) была правосторонней. Эта основная селеноцентрическая
система координат неподвижно скреплена с Луной и по аналогии с системой
географических координат на Земле называется иногда «селенографической»
или, как принято здесь, «истинной селенографической» системой координат.
В каждый момент времени направление оси отличается от направления линии
между центрами Луны и Земли из-за геометрической и физической либрации.
Истинная селенографическая система координат х, у, z, определяемая
в разд. 8.2, совпадает с координатной системой (а, Ь, с).

278 Глава 8. Преобразования лунных координат
Данные этих таблиц для всех членов, коэффициенты которых при
рассматриваемых значениях / превышают О'',5, иллюстрируются
графиками на рис. 8.3 — 8.6.
Аргументы тригонометрических функций, иллюстрируемых на
этих графиках, определяются следующим образом:
g-' = (J — Г' — средняя аномалия Луны,
g = L — Г — средняя аномалия Солнца,
со' = Г' —Q—аргумент перигея Луны,
(О = Г — Q — угловое расстояние перигея Солнца от восходящего
узла орбиты Луны.
Средние долготы L, Г, Г', (J и Q являются функциями времени и
определяются по формулам, приведенным в разд. 8.1.2.
Значение механической эллиптичности^ используемое здесь,
вычислено по следующим значениям главных моментов инерции Луны:
Л =0,88781798.10^^ кг^м\
В = 0,88800195.10^^ кг^м\
С = 0,88836978.10^^ кг^м\ (8.26)
Эти значения, принятые NASA в качестве стандартных констант,
соответствуют значению отношения масс Луны и Земли, уточненному
по данным полета «Маринера-2» [27]. Значение динамической
эллиптичности, получающееся при этом, равно
/ = 0,667. (8.27)
Оценивая на рис. 8.3—8.6 значения коэффициентов, соответствующих
этому значению /, получим следующую систему формул для
вынужденной либрации Луны, члены которых расположены в порядке убывания
абсолютной величины коэффициентов:
T^ = 82'',4sing--15%6sing'
9",0 sin 2 (g—со' + (о) + 7\6 sin Q
+ 7%5sin2(o' —3^7sin(g'-2g + 2(o'-2(o)--
3^2sin(g—(o'+(o)+l%7sin2 (g + o)) +
0%8 sin (g-— 2(o'+ 2(0)—
0",6sin2(/-g + (o'-(o) = 0'',4sin2^', (8.28)
p; = _ 100',8 cos g' + 28",2 cos {g' + 2(o')
— 1ГМ cos 2 (g' + 0)') — 3'',3 cos 2 (g- + (o)
— 2',2 cos (g' — 2g+ 2(o' — 2(0)
O'',6cos(3g' + 2(o') —O''lcos2(o', • (8.29)

Рис. 8.3. Коэффициенты для Т;
1
I
Рис. 8.4. Коэффициенты для т^, р^ и 0; sin /

го
и
/5
iO
I
be
0
-5
«^
-W
45 \~-
-20
0,5
to
11
0,6
0,7
f
Zo)'
Sn'+Zct)
2(д'*й>')
0,8
0,9
Рис. 8.5. Коэффициенты для р; и 0^ sin /.
Рис. 8.6. Коэффициенты для р^ и а^ sin /.

8.1. Определение постоянных 281
ai sin / = - 102",8 sin g' + 28",2 sin {g' + 2co') -
-H",lsin2(g-'4-co')-3",3sin2(g + (o)
- 2",2 sin {g' -2g + 2co' - 2(o) -
0",6sin(3g' + 2(o')-0",l sin2co'. (8.30)
Если выразить аргументы в этих формулах через средние долготы,
то получим
Ti = 82",4sin(L-r)-15",6sin(({-r')
9",0sin2(L-r') + 7",6sinQ
+ 7",5sin2(r'-Q)-3",7sin(([+r'-2L)
-3",2sin(L-r')+l",7sin2(L-Q)
+ 0",8sin(L+r-2r')-0",6sin2(([-L)
0",4sin2(^-r'), (8.31)
pr^- 100",8 cos (([ - Г') + 28",2 cos ((( + Г' - 2Q)
ll",lcos2(([-Q)-3",3cos2(L-Q)-
2",2 cos (([ + Г' - 2L) -
-0",6cos(3([-r'-2Q)-0",lcos2(r'-Q), (8.32)
aiSin/=-102",8sin(([—r') + 28",2sin(([+r'—2Q)
ll",lsin2(([—Q)-3",3sin2(L-Q)
-2",2sin(([+r'-2L)
-0",6sin(3([—Г' —2Q)-0",lsin2(r'-Q). (8.33)
Полезно заметить, что указанное выше значение / точно
согласуется со значением, которое приводил Яковкин в 1957 г. в своем
сообщении Джеффрису [28]. В то же время, по вычислениям Джеффриса
получено близкое значение
/ = 0,673 ± 0,0018.
Как указал Козиель, функция, используемая при определении формул
для либрации в долготе, имеет особенность при / := 0,662.
Следовательно, при использовании соседнего значения / ^ 0,667 необходимо
предположить, что соответствующие коэффициентам кривые на рис. 8.3
и 8.4 непрерывны в окрестности критического значения.
Следует заметить, что Козиель при описании выражений Гейна
для либрации в наклонности и либрации в узле молчаливо
предполагает, что
sin(/ + pi)»(/+p,),
cos{xi—Ог) ?» 1 (8.34)
и что величина рг (тг — а^) имеет второй порядок малости по сравнению
с величиной / (т; — О;). Справедливость этих предположений можно
подтвердить на основании формул (8.24), (8.28), (8.29) и (8.30). По

282 Глава 8. Преобразования лунных координат
аналогичным соображениям Козиель использует произведение Igi
вместо выражения О/ sin /, встречающегося в (8.30) и (8.33).
В табл. 8.2 перечислены значения наклонности /, полученные
различными авторами. Отклонение значения (8.24), использованного
Козиелем, от среднего составляет около 0,3% [24].
Таблица 8,2
Значения средней наклонности лунного экватора к эклиптике
Автор
Гейн
Гейн
Козиель
Яковкин
Ватте
Год
1907
1923
1948
1950
1955

Литература
[19]
[25]
[8]
[29]
[30]
Среднее
/
Г32'Об" = Г,53500
1 32 20 = 1,53889
1 31 10 -1,51944
1 33 48 - 1,56333
1 33 50 - 1,56389
1°33'39" = 1%54417
sin /
0,026788
0,026855
0,026516
0,027282
0,027291
0,026948
Уравнения либрации рассматривались также Каленшером [10]
и Габбардом [5], которые приводят аналогичные формулы для
физической либрации. Однако их результаты несколько расходятся с
изложенными здесь. Если на графиках для xi (рис. 8.3 и 8.4) провести
вертикальную прямую, соответствующую принимаемому значению /,
то определяемые при этом значения коэффициентов при sin g и sin g'
точно совпадают со значениями этих авторов; однако видно, что
коэффициент при sin 2(о' гораздо ближе к 3", чем к 18', как дается в [10, 5].
Кроме того, по этим графикам можно получить, что значение /,
соответствующее коэффициентам этих авторов в выражении для Т/,
отличается от того, которое соответствует их коэффициентам в выражениях
для р1 и Gi sin /, и что оба эти значения / близки к 0,750. Заметим
также, что обозначения аргументов у Габбарда отличаются от
обозначений Козиеля и Каленшера, причем величины, помеченные у
Габбарда штрихом, соответствуют величинам без штрихов у Козиеля или
Каленшера и наоборот.
Резюмируя сказанное выше, мы приходим к следующим выводам:
I. Значение / следует вычислять по стандартным значениям NASA
для главных моментов инерции Луны.
II. Следует использовать для средней наклонности лунного
экватора / значение Гейна, а для средней наклонности лунной орбиты i —
значение Брауна.
III. В формулах для физической либрации следует учесть все
члены, достигающие по величине по крайней мере О",5, и пренебречь
меньшими либрационными компонентами.

8,1, Определение постоянных
283
/-
Таким образом, в качестве стандартных формул для вычисления
физической либрации Луны рекомендуется принять формулы (8.28),
(8.29) и (8.30) или эквивалентные (8.31), (8.32) и (8.33).
8.1.6. Алгоритм для вычисления либрации
Формулы для физической либрации в узле, в наклонности и в
долготе записываются в виде (см. (8.28), (8.29) и (8.30))
и
Sin/ -^ ^ ^
р/-- У FiTi.
^1
2 GtUt.
(8.35)
г=1
где / — средняя наклонность лунного экватора, S^, Tt и Ut —
тригонометрические функции, а Eiy Fi и Gi — постоянные коэффициенты.
Формулы (8.35) содержат всего 25 синусов и косинусов различных
углов. Как было упомянуто выше при выводе формул для нутации
(см. разд. 8.1.3), вычисления на машине большого количества синусов
и косинусов приводят к нерационально большому расходу
машинного времени.
Если разложить Si, Ti и Ut по синусам и косинусам пяти средних
долгот, то число тригонометрических функций, вычисляемых на
машине, уменьшится с 25 до 10. Этот путь и выбирают при
вычислениях либрации. Замена операций вычисления синусов и косинусов
на соответствуюш^ие операции сложения и умножения позволяет
сократить общее машинное время.
Чтобы начать вычисления либрации, необходимо знать величины
Г, Г, Q, ([, L, Г, Г', Q, ([,L,
которые могут быть получены по формулам разд. 8.1.2, а также либра-
ционные константы, выписанные в табл. 8.3. Тригонометрические функ-
Таблица 8.3
Либрационные константы
/=1 °32'20"=0,026859/7аа
Е2
Ез
£4
Еь
Еб
El
Fi
Fs
F^
Fb
— 102",8
-OM
28", 2
-1ГМ
-0",6
3%3
— 2",2
-100",8
-0",1
28", 2
-1ГМ
-0",6
^6
Fi
G2
G3
G4
G5
Ge
Gi
Gs
Gg
Gio
Gil
-3",3
-2",2
-15",6
-0",4
— 82",4
7",5
—1",7
3\2
— 0",8
-9",0
— 3",7
-0",6
7",6

284 Глава 8. Преобразования лунных координат
ции Si, Ti и Ui, соответствующие (8.28), (8.29), (8.30) и
определениям углов §■', g", со' и (О, могут быть вычислены с помощью следующей
последовательности формул:
Si = sin g' = sin (J cos Г' —cos (J sin Г',
Ti = cos g' == cos (J cos Г' + sin (J sin Г'.
sin (o' = sin Г' cos Q — cos Г' sin Й,
cos (o' = cos Г' cos Q + sin Г' sin Q,
S2 = sin 2(o' == 2 sin (o' cos со',
^2 = cos 2(o' = 1—2 sin^ (o',
S3-=sin(g' + 2co')=Sir2 + riS2,
Гз = cos {g' + 2(0') = Г1Г2 - S.S^r
sin2g' = 2Siri,
cos2g' = l-2S^
54 = sin(2g' + 2(o') =
= Г2 sin 2g-' + S2 cos 2g',
r4 = cos(2g-' + 2(o') =
= Г2 cos 2g-' — S2 sin 2g',
S, = sin (3g' + 2(0') = 5^74 + T,S,,
T, = cos{3g' + 2(o') = t,T,-S,S,,
sin g- = sin L cos Г — cos L sin Г,
cos g- = cos L cos Г + sin L sin Г,
sin (0 = sin Г cos Q — cos Г sin Й,
cos (0 = cos Г cos Й + sin FsinQ,
sin 2g- = 2 sin g cos g,
cos2g-= 1 — 2sin2g-,
sin 2(0 = 2 sin (o cos (o,
cos 2(0= 1 — 2sin2(o,
Se = sin (— 2g- — 2(o) =
= — (sin 2g cos 2(0 + cos 2g- sin 2(o),
Гв = cos (— 2g- — 2(o) =
== cos 2g cos 2(0 — sin 2g- sin 2(o,
57 = sin (g' + 2(0' - 2g - 2(0) = SsTe + Гз^е
7^7 == cos (g' + 2(0' - 2g - 2(0) = ГзТв ~ 5з5б

8.1. Определение постоянных 285
U^= —sing,
^10 = sin (2g-' + 2(o' — 2g — 2(0)
cos (2g' + 2(o' - 2g - 2(0) = Г1Г7 - S1S7,
^8 = sin (2(o' - 2g - 2(0) = 5771 - SJ^,
cos (2(o' - 2g - 2(0) = Г1Г7 + S1S7,
^7 = sin(2(o'—g —2(o) =
= и8 COS g + COS (2(o' — 2^ — 2(o) sin g,
cos (2(o' — g"—2(o) = cos (2(o' — 2g- — 2(o) cos g — Us sin g,
sin ((o' — g^^sinca'cosg —cos(o' sing,
cos ((o' — g) = cos (o' cos g + sin (o' sin g,
(ye = sin((o'—g —(o) =
= sin ((o' — g) cos (0 — cos ((o' — g) sin (o,
cos ((o' —g —(o) = cos ((o'—g) cos (0 + sin ((o' — g)sin(o.
(8.36)
С помощью коэффициентов табл. 8.3 и этих формул на основании
(8.35) сразу вычисляются величины О/, pz и т^. Между прочим заметим,
что некоторое число окончательных тригонометрических выражений
в (8.36) не используется при вычислении самих величин а^, б/ и Т/,
но эти члены играют существенную роль при вычислении производных
от этих величин.
Производные по модифицированному времени от либрационных
величин
aoi api _ ail .^ ^j.
могут быть выражены аналогичным образом. А именно на основании
{8.31), (8.32), (8.33) и (8.35) получим
7
> ^' ..N
3600 '
7
"^^^"ЖТ^ ^^^-ЩГъ
Рг 2j ^i^i 180.3600 '
г=1
И
^'=3^^100^, (8-38)
180.3600 '

286 Глава 8. Преобразования лунных координат
где точками обозначаются, как и выше, производные по т.
Множитель я/(180-3600) в этих формулах присутствует по той причине, что
константы Eiy Ft и Gt даны не в радианах, а в секундах дуги.
• • •
Последняя группа формул для Sj, Tt и Ut, завершающая весь
алгоритм для вычисления либрации, записывается следующим образом:
g = L-t, T-e = 5в (2i + 2й),
й' = Г' —Q, ST = TTig' + 2ti)' — 2g — 2a),
•
со = Г —Q, Г7=—S7(g' + 2co' —2g —2(0),
• • • •
Si = Tig', Ui = Si,
Ti^-S^g', U2 = (cos2g')2g',
S^^TM, 0з= - {cosg)g,
• • • •
S, = T, {2g' + 2w'), ^7 = [cos (2(o' - g - 2(0)] (2w' - g - 2(1)),
T4=:-S4(2^' + 2(o'), 6/8 = [cos(2(o'-2g-2(o)](2a)'-2i-2w).
S, = T,{Sg' + 2'co'), U, = S,,
n = - Ss (3g' + 2w')» '^lo = [cos {2g' + 2(0' - 2g - 2(o)] X
X(2g' + 2w'-2g-2w),
5в=-Гв(2^ + 2(^)), (>ii = (cosQ)Q. (8.39)
8.1.7. Вычисление прецессии точки весеннего равноденствия
В приложении [6] к Американскому астрономическому ежегоднику
приводятся выражения, позволяющие вычислить три величины ^о»
Zp и 9р, указанные на рис. 8.7. Эти три величины определяют общую
прецессию точки весеннего равноденствия между двумя деталями.
Однако в формулах для ^о> Zp и Эр, приведенных в [6], остаются
неучтенными некоторые члены второго порядка. Полная совокупность
формул, включающая члены второго порядка, приводится во
Французском астрономическом ежегоднике [3]. Эти формулы основаны на
результатах Андуайе [31].

8J, Определение постоянных
287
В этой главе используются более полные выражения, имеющиеся
в [3]. Компоненты общей прецессии выражаются как функции
величин Го и Г, где
7*0 — время в тропических столетиях от 1900,0 до выбранной
начальной эпохи,
Т — время в тропических столетиях, отсчитываемое от началь^
ной эпохи.
Величина Го является постоянной, определяемой выбором начальной
эпохи. В [1, 3, 6, 9, 10] в качестве начальной выбирается эпоха 1950,0
Средний небесный
экватор данной эпохи
Средний небесный
экватор начальной эпохи
Р и с. 8.7. Вращение системы координат, обусловленное прецессией точки
весеннего равноденствия.
ввиду доступности различных данных, относящихся к этой эпохе,
так что
Го = 0,5.
(8.40)
Габбард, Эскобал и Биркгольц [9] выражают Т через юлианские
дни на данную эпоху (J.D.) и на начальную эпоху (J.D.)i95o,o-
Изменение начальной эпохи будет сопровождаться изменением константы
(8.40) и соответствующим изменением выражения для Г.
Более удобное выражение для Т, зависящее от Го, записывается
в виде
у_ J.a-[(J.D.)i90o.o + 36524,220ro]
36524,219879
(8.41)
где в знаменателе выписано число с И значащими цифрами,
представляющее количество эфемеридных дней в тропическом столетии (если

288 Глава 8. Преобразования лунных координат
Пренебречь очень малым вековым изменением). Юлианская дата
(J.D.)i9oo,o равна
(J. D.)i9oo,o = 2 415 020,313. (8.42)
Требуется еще одна дополнительная константа. Это производная Т
Т по модифицированному времени т. Из (8.6) и (8.41) имеем
от Т по
Г = -^ = (36524,219879-24.60-0,07436574)-Ч (8.43)
С учетом сказанного можно рассмотреть три члена общей
прецессии, определяемые следующим образом:
Со+2р — общая прецессия по прямому восхождению,
9р — прецессия по склонению,
-^ — ^ — угол, отсчитываемый от средней точки равноденствия
эпохи к восходящему узлу на среднем экваторе эпохи.
Для вычисления общей прецессии требуются значения Zp, Qp, t,o
и соответствующих производных
|0
Эти шесть значений определяются по следующим формулам [37]:
Ci = 2304",253 + 13",973- Ю-^Го + 0",006- IQ-^Tl,
С2= (3",023-0",027- Ю-^Го)- 10-S
Di = 2004",685-8",533-10-iro-0",037-10-2r^,
D2 = (4",267 +0",037-Ю-^Го) • 10-\
Ei = Ci-0",OOl-lO-^To,
£2 = (10",950 + 0",039- Ю-^Го)■\0-\
5о = С J + С^Т^ + 1 ",800 • I О-^Р,
Qp = DiT-D2T^ —А",180-\0-^Т^,
io = (С, + 2С,Т + 5", 400 • 10-^Р) f 3600 ■ 180 '
Qp = {D, - 2D^T- 12",540 • 10'^r^) f ^goOT '
Zp={E^ + 2E^T + 5"A96-lO-4^)f^^^^j^. (8.44)
Множитель я/(3600-180) служит, как и в (8.38), для перехода от секунд
дуги к радианам. Формулы (8.44) завершают алгоритм для вычисления
прецессии.

8.2. Преобразования селенографических координат 289
В разд. 8.1.1—8.1.7 приведены все вспомогательные формулы,
требуемые для выполнения селенографических преобразований. Эти
преобразования рассматриваются непосредственно в разд. 8.2.
8.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЕЛЕНОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
8.2.1. Основные системы координат
При преобразованиях селенографических координат мы имеем
дело с тремя основными плоскостями:
а) плоскость эклиптики, в которой лежит гелиоцентрическая
орбита Земли;
б) плоскость небесного экватора, перпендикулярная к оси
вращения Земли;
в) плоскость лунного экватора.
Целесообразно поместить центр Луны в начало небесной сферы
и перенести параллельно самим себе плоскости эклиптики и небесного
экватора так, чтобы все три основные плоскости проходили через
начало координат.
Согласно приведенным выше формулировкам, три основные
плоскости не определяются единственным образом, так как ни одна из этих
плоскостей не сохраняет постоянного положения в пространстве.
Поэтому дополнительно предполагается, что каждая из этих
плоскостей определяется на тот же самый момент, что и соответствующие
векторы положения и скорости, подлежащие преобразованию. Обычно
называют мгновенное положение плоскости отсчета положением в
данную эпоху. Поэтому если нет других указаний, то положения всех
плоскостей отсчета являются положениями в данную эпоху.
Оси X эклиптической и экваториальной систем координат
направлены в точку весеннего равноденствия, являющуюся восходящим
узлом видимой орбиты Солнца вокруг Земли на небесном экваторе*).
Ось Z экваториальной системы координат направлена к Северному
полюсу мира. Прямая, направленная перпендикулярно плоскости
эклиптики и образующая угол менее 180° с Северным полюсом мира,
является осью z эклиптической системы координат. В обоих случаях
ось у выбирается так, чтобы система координат была правосторонней.
Если используют средний экватор и среднюю точку весеннего
равноденствия эпохи, то термин «средний» означает, что не учитываются
периодические нутационные колебания. Фактическое положение в тот
или иной данный момент соответствует, следовательно, истинному
положению в данную эпоху.
Оси X, у, Z экваториальной лунной системы координат неподвижно
скреплены с Луной и соответствуют главным осям инерции. Ось z сов-
*) Ось X направлена, таким образом, вдоль линии пересечения плоскостей
эклиптики и небесного экватора [1; 2; 4, гл. 4].
19—491

290 Глава 8. Преобразования лунных координат
падает с осью вращения Луны. Ось х лежит в экваториальной плоскости
Луны и направлена примерно вдоль линии, идущей к центру Земли.
Ось у образует с осями х w z правостороннюю систему. Пересечение
плоскости XZ с поверхностью Луны определяет нулевой лунный
меридиан. Эта система координат, основной плоскостью которой является
плоскость лунного экватора, называется селенографической системой
координат. Для более точного определения селенографической системы
координат требуется рассмотреть законы Кассини.
8.2.2» Законы Кассини
Прежде чем приступить к изложению законов Кассини, необходимо
ввести одну дополнительную плоскость. Это плоскость движения
Луны вокруг Земли, или плоскость лунной орбиты, идентичная
плоскости видимого движения Земли вокруг Луны с точки зрения
наблюдателя в центре Луны. Так как положение восходящего узла на эклип-
тике не зависит от положения наблюдателя, то плоскость видимого
селеноцентрического движения Земли также считают плоскостью
лунной орбиты.
Вращение Луны может быть описано с помощью малых
периодических колебаний вокруг среднего движения, соответствующего
эмпирическим законам, сформулированным Дж. Кассини в 1721 г.
Эти законы следующие:
I. Средняя ось вращения неподвижно скреплена с Луной и
расположена перпендикулярно среднему лунному экватору. Средний
период вращения равен среднему сидерическому периоду обращения
Луны вокруг Земли.
П. Средний лунный экватор пересекает эклиптику (в данную
эпоху) под постоянным углом, равным /. (По поводу значения / см.
разд. 8.1.5.)
HI. Средний' лунный экватор, эклиптика и плоскость лунной
орбиты имеют общую линию пересечения. Угол i между плоскостью
лунной орбиты и эклиптикой сохраняется постоянным, как и угол
i + / между средним лунным экватором и плоскостью лунной орбиты.
Эклиптика всегда лежит между средним лунным экватором и
плоскостью лунной орбиты.
На основании третьего закона Кассини многие авторы [5—8]
принимали узловую точку лунного экватора, совпадающую с
нисходящим узлом лунной орбиты, за «восходящий узел лунного экватора».
Эта терминология употребляется также в нашем изложении.
Законы Кассини определяют среднюю селенографическую систему
координат с осью г, совпадающей со средней осью вращения. Ось х
совпадает с прямой, лежащей в плоскости лунного экватора и
направленной от центра Луны к центру Земли в момент, когда (J ^ Q = Я,
где % — геоцентрическая долгота Луны [6; 8; 1, гл. 4].

8.2, Преобразования селенографических координат 291
Как было указано выше, истинная селенографическая система
координат, жестко связанная с Луной, осциллирует около средней
селенографической системы координат. Термин «средняя» указывает,
что колебания, обусловленные физической либрацией, не
учитываются.
8.2.3. Перечень координатных преобразований
В разд. 8.2.1 и 8.2.2 были определены шесть систем координат:
1. Средняя селенографическая.
2. Истинная селенографическая.
3. Эклиптическая, соответствуюш,ая среднему равноденствию
(данной эпохи).
4. Эклиптическая, соответствуюш,ая истинному равноденствию
(данной эпохи).
5. Система, отнесенная к среднему небесному экватору (данной
эпохи).
6. Система, отнесенная к истинному небесному экватору (данной
эпохи).
В этом разделе рассматривается вопрос о преобразовании
компонент векторов положения и скорости при переходе от какой-либо из
первых двух координатных систем к одной из последних четырех систем
или при переходе от какой-либо из последних четырех систем к первой
или второй системе координат. Если через Ci обозначается исходная,
а через С2 — конечная координатная система, то Ci может быть любой
из шести перечисленных систем координат, но Сг ограничена
следующими условиями. Если Ci — одна из систем с номером от 3 до 6, то
С2 = 1 или 2. Если Ci = 1 или 2, то С2 — одна из систем с номером
от 3 до 6.
Ни одна из перечисленных выше координатных систем не является
инерциальной. Это ведет к трудностям, если какая-либо из этих систем
координат используется при интегрировании уравнений движения.
Трудности вызываются не только необходимостью ввести в уравнения
движения дополнительные члены, но и необходимостью построения
схемы для определения положений различных небесных тел по
отношению к выбранной системе координат.
Удобной неподвижной системой координат является система Су,
соответствуюш,ая среднему небесному экватору начальной эпохи.
Значения координат Луны, Солнца и планет в этой системе нетрудно
получить прежде всего на эпоху 1950,0. Эту систему координат мы
добавим к перечисленным шести системам. Изложение вопроса о
преобразовании к средней экваториальной системе координат можно
найти в [4—7, 9, 10]. С помош,ью селенографических координатных
преобразований компоненты векторов положения и скорости
переводятся из одной из систем совокупности А в одну из двух систем
совокупности в.

292
Глава 8. Преобразования лунных координат
Среднему
истинному
равноденствию,
равноденствию,
Совокупность систем А
3. Эклиптическая, соответствующая
4. Эклиптическая, соответствующая
5. Отнесенная к среднему экватору,
6. Отнесенная к истинному экватору,
7. Отнесенная к среднему экватору начальной эпохи.
Совокупность систем В
1. Средняя селенографическая,
2. Истинная селенографическая.
Прежде чем рассматривать конкретные преобразования, остановимся
на формулах для преобразования, переводящего векторы положения
и скорости из любой системы координат А в любую систему В.
8.2.4. Основные матрицы вращений
Рассмотрим преобразование координат при переходе от системы Л
с началом О и осями Oxq, Оуо, Ozq к системе В с началом О и осями Ох,
Оу, Ог в предположении, что система А может быть переведена в
систему В путем вращения, как это описано ниже [11; 1, гл. 4].
Сначала осуществляют поворот системы А вокруг оси Ozq на угол ф,
так что ось Oxq принимает положение ON (рис. 8.8), где ON — линия
пересечения плоскостей х^у^ и ху, т. е. основных координатных
плоскостей систем Л и В. Угол ф отсчитывается, если смотреть с конца
оси Ого, против часовой стрелки от начального положения оси Oxq.
Затем систему А поворачивают вокруг линии ON на угол 9, равный
углу между плоскостями х^у^ и ху. Угол 9 отсчитывается против
часовой стрелки от плоскости х^у^.
После этих двух поворотов совмещаются оси Ozq и Ог, а также
координатные плоскости х^у^ и ху. Остается совместить теперь линию
ON с осью Ох. Для этого систему А следует повернуть на угол \|) вокруг
оси Ог, чтобы линия ON заняла свое конечное положение Ох. Угол -ф
отсчитывается против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Ог.
Углы ф, 9 и ij) известны как углы Эйлера. Они представляют собой
соответственно угол между осью Oxq и линией пересечения основных
координатных плоскостей, угол между этими плоскостями и угол
между линией их пересечения и осью Ох. Соответствующая
геометрическая схема приведена на рис. 8.8. Аналогичная интерпретация углов
Эйлера дается в книге Смарта.[12].
Если гиг суть векторы положения и скорости в системе
координат Л, т. е.
X
У
X
У
(8.45)

8.2. Преобразования селенографических координат
293
X
Финальная
экваториальная
плоскость
h
Начальная
экваториальная
плоскость
Уо
Рис. 8.8. Углы Эйлера ф, 9 и я!?.
И через г' и г' обозначены те же самые векторы в системе координат 5,
то из [1, разд. 3.4] вытекает, что
где
причем матрицы М тл М
М
Mr,
М-
равны
•Ми
31
М
21
м
31
Mr + Mr,
dM
dx '
M22
M.. M
32
Л^1з
Л^23
м
33 J
М,, М
12
Л^
13
Л1о4 УИоо Л1
22
23
Моо М
32
33.
(8.46)
(8.47)
(8.48)

294
Глава 8. Преобразования лунных координат
р'1
у'
_z'
, г' =
х'
у'
'z'
Точкой обозначается дифференцирование по модифицированному
времени т. Элементы матриц М и М выражаются следующими
формулами, выведенными в [1, разд. 3.4.1]:
М
М
11
12
COS ф COS г|) — cos 9 sin ф sin if),
sin ф cos ij) + cos 9 cos ф sin -ф,
Afis^^sinil^sin 9,
M
M
M
M
M
M
21
22
23
31
32
33
sin ij) cos ф — COS 9 sin ф cos -ф,
— sin Ф sin i|) + cos 9 cos ф cos ij),
sin 9 cos if),
sin Ф sin 9,
— cos Ф sin 9,
cos 9.
(8.49)
После формального дифференцирования этих элементов мы получим
Мп
М
12
м
м
13
21
м
22
(cos 1|)) С (ф) + (cos ф) С (ij))
(sin ф sin if)) С (9) — (cos 9 sin i|)) S (ф)
(cos 9 sinф)5 (if)),
+ (cos i|)) 5 (ф) + (sin Ф) С (ф) +
+ (cos Ф sin i|;) С (9) + (cos 9 sin ф) С (ф) +
+ (cos 6 COS ф) S (ojj),
+ (sin0)5(a|3) + (sinij))S(e),
— (cos ф) 5 (ij?) — (sin ij)) С (ф)
« •
(sin Ф cos if)) С (9) — (cos 9 cos i|)) 5 (ф)
(cos6sin9)C(ifi),
- (sin Tj)) 5 (ф) — (sin ф) 5 {^) +
+ (cos Ф COS i|;) с (9) + (cos 9 cos i|;) С (ф) +
+ (cos 9 cos ф) С (if)),

5.2. Преобразования селенографических координат
295
^
м
м
м
м
23
31
32
33
4-(cos-ф) S (0) + (sin 6) с (г|)),
+ (5ше)5(ф)-(5Шф)5(9),
(5ше)С(ф)-(со5ф)5(0),
+ С(9),
(8.50)
где для простоты введены обозначения:
ЙСОЗф
dx
d sin ф
5т
Л/пч d cos 9
C(Ti))
5(Ф)
5(9)
cm
d sin 9
dx
d cosil?
d sin il?
dt
Эти формулы выражают преобразование компонент векторов
положения и скорости при переходе от системы координат А к системе
координат Б, т. е. при переходе к селенографической системе координат.
Необходимы также формулы перехода от системы В к системе Л,
т. е. перехода от селенографической системы координат к одной
из систем Л. Очевидно, такие формулы можно вывести из записанных
выше, если определить углы Эйлера для обратного преобразования.
Несколько более прямой путь описан далее.
Пусть векторы положения и скорости (8.45) заданы в системе
координат Б, т. е. в одной системе с номером 1 или 2. Пусть далее
преобразованные векторы положения и скорости (8.48) определены в системе
координат Л, т. е. в одной из систем с номером от 3 до 7. Тогда можно
показать, что
Ж^г,
M^T + AfT,
(8.51)
где М
матрица, транспонированная по отношению к Л1 и равная
обратной к М матрице М"^, Следовательно, матрицы М^ и Л1
следующий вид:
имеют
М
Ми M^i Msi
М22 Ms2
Mi2
23
M
33
M^
Mil ^^21 M
• • •
Mio Moo M
31
32
M
13
Moo M
33 J
(8.52)
где компоненты Msky Msu определяются no формулам (8.49) и (8.50).
Предшествуюш,ий анализ был посвящен преобразованию векторов
положения и скорости при переходе к селенографической системе
координат и обратному преобразованию. Необходимые углы Эйлера

296 Глава 8. Преобразования лунных координат
могут быть получены в соответствии с изложенным в разд. 8.2.5.
Однако следует снова подчеркнуть, что приведенные формулы могут
быть применены к любым преобразованиям координат, не требующим
переноса начала, как, например, это имеет место при преобразованиях
к ареоцентрической системе координат, рассмотренных в [1, гл. 4] *).
Аналогичное изложение вопросов, касающихся эйлеровых углов
и матриц преобразования, можно найти в [5].
8.2.5. Выбор преобразования
В этом разделе излагается наиболее важная часть процесса
селенографических преобразований координат. Необходимыми исходными
данными являются юлианская дата J.D., параметр Я, определенный
• • •
в разд. 8.1.3, компоненты х, у у z вектора положения, компоненты х, у, z
вектора скорости, значение Ci, указывающее, в какой системе коорди-
• • •
нат определены х, у, г, л:, у, г, и значение Сг, указывающее номер
системы координат, к которой осуществляется переход. Конечные
искомые значения суть компоненты х' у у\ z' вектора положения и
компоненты X , у у Z вектора скорости — в координатной системе,
соответствующей значению параметра Сз- На рис. 8.9 приведена схема
последовательных операций, выполняемых при рассматриваемых
преобразованиях.
Эйлеровы углы, находимые ниже, являются функциями величин,
определенных в предыдущих разделах, т. е. средних углов, а также
нутационных, либрационных и прецессионных величин.
В этом разделе приводятся формулы для вычислений эйлеровых
углов, использованных в разд. 8.2.4 при преобразовании векторов
положения и скорости.
На рис. 8.10 указаны эйлеровы углы, требуемые при переходе
от системы координат 3 (эклиптическая, среднее равноденствие)
к системе 1 (средняя селенографическая) и от системы 4 (эклиптическая,
истинное ранводенствие) к системе 1. Приведем также соответствующие
формулы для вычисления значений ф, 9, ij), С (ф) и других величин,
выписанных в (8.49) и (8.50).
I. Переход от эклиптической системы (среднее равноденствие) к
средней селенографической или обратный переход (3-^ 1 или 1 -^ 3)**):
со$ф= —cosQ,
81пф= —sinQ,
г|5= ([ — Q, (mod2n),
C{Q) = 0,
*) Перенос начала может быть произведен после вращения системы
**) Значение / для этих переходов соответствует (8.24).

Селектор кода
1. Средняя селетграсрическая
2. Истинная селенографическая
3. Эклиптика,среднее равноденствие
4. SKnunmuKOfUcmuHHoe равноденствие
5. Средний небесный экватор
6. Истинный небесный экватор
7. Средний небесный экватор
начальной эпохи (W50.0)
Вводимые переменные
Вычисление
нутации
т
Вычисление средних
углов
1
Вычисление
прецессии ^
1
Селектор угла
omldoX
Матрицы
преобразования
Выводимые переменные
/ / f • t • й • f
x,y\z,x',y%z'
Рис. 8.9. Блок-схема "У для преобразования селенографических координат.

298
Глава 8. Преобразования лунных координат
С(ф) = ( — 51Пф)й,
C(il)) = (-sint|))((i-Q),
5(6) = О,
S (ф) = (cos ф) Q,
(8.53)
^=<r-S2
^ = 52 + Л'
Среднее
равноденствие
Средний
селеногращческий
экватор
У
Среднее
Истинное
равноденствие
Средний
селенографический
экватор
У
Рис. 8.10. Эйлеровы углы для перехода к средним селенографическим
координатам от координат, отнесенных к эклиптике и среднему равноденствию
или к эклиптике и истинному равноденствию.
II. Переход от эклиптической системы (истинное равноденствие)
к средней селенографической или обратный переход (4 -> 1 или 1 -> 4):
е = /,
СОЗф
81Пф
cos(Q + 6^),
sin(Q + Sif)),

8.2. Преобразования селенографических координат
299
if) = (J^ — Q, (mod 2я),
с (9) = о,
('■
5 (9)= о,
С(ф) = (-5Шф)(й + бг|)),
5(ф) = (со5ф)(£2 + бг1)),
C{t|)) = (-sinTl))((i-6),
5(t|))-(cost)((f-Q).
(8.54)
Значения Й, (J^ , Й и (J находятся по формулам, приведенным
в разд. 8.1.2. Формулы разд. 8.1.3 позволяют получить бг)) и бг)).
(p=2+7t+cri
среднее
равноденстие
ф=^а +ri''(Q + (ri)
Истинный
селеногра(рический
экватор
ф^=€ +ri-B2+(7jJ
Истинное
равноденствие
Щетинный
селеиограсрический
экватор
Рис. 8.11.
динатам от
Среднее равноденствие
Эйлеровы углы для перехода к истинным селенографическим коор-
координат, отнесенных к эклиптике и среднему равноденствию или
к эклиптике и истинному равноденствию.
На рис. 8.11 указаны эйлеровы углы, используемые при переходе
от систем координат 3 и 4 к системе 2 (истинная селенографическая)»

300
Глава 8. Преобразования лунных координат
III. Переход от эклиптической системы (среднее равноденствие)
к истинной селенографической или обратный переход (3 -> 2 или
2^3):
е=
/ + Рь
СОЗф
ЗШф
cos(Q + ai),
sin(Q + a;),
^ = (([+'^г)-(£2 + ст«), (mod2n),
С (6
S(0
С(Ф
5(ф
С (г!)
S(Ti)
( —sine)pb
(cose)pb
( —8Шф)(й + аг),
(cos ф) (Q + Gi),
• • • •
( —sin\j))(^ +тг—Q —аг),
• • • •
(COS'l|))(([ +X1 — Q — G1).
(8.55)
к
2
IV. Переход от эклиптической системы (истинное равноденствие)
истинной селенографической или обратный переход (4 -> 2 или
4):
cos ф
ЗШф
COS (Q + бг|) + oi),
sin (Q + 6ij) + Oi),
t=(([+TO-(^ + <TO. (mod2n),
С (8) = (- sin 9) pi,
S (6) = (cos 6) pb
С(ф) = (-зшф)(Й4-бг^ + аО.
• • • •
5 (ф) = (cos ф) (Q + 6i|) + ai),
C(t|)) = (-siniJ))(^+Tj-Q-az),
S (a|)) = (cos-ф) ((Г + тг - Q - (T,).
(8.56)
V V W
Значения p/, a^, т^ рь a^, Xi находятся no формулам, приведенным
в разд. 8.1.6.
Полученные выше данные об эйлеровых углах при переходе от
эклиптической системы координат к селенографической могут быть
использованы для нахождения эйлеровых углов при переходе от
экваториальной системы координат к селенографической. Схема взаимного

8,2, Преобразования селенографических координат
301
расположения небесного экватора, эклиптики и селенографического
экватора приведена на рис. 8.12.
Углы с + п, а и у^ — Л являются соответствующими эйлеровыми
углами ф, 9 и ijp при переходе от эклиптической системы координат
к селенографической. Третий угол b равен среднему наклонению 8
к среднему небесному экватору или же сумме 8 + бв среднего
наклонения 8 и нутации бе в наклонении к истинному небесному экватору.
Селеногращчестй
Зклипшика
Равноденствие
Рис. 8.12. Эйлеровы углы для перехода к селенографическим координатам
от координат, отнесенных к небесному экватору.
Средняя и истинная точки весеннего равноденствия являются
точками пересечения эклиптики со средним и истинным небесным
экватором соответственно. На рис. 8.13 приведены схема и эйлеровы
углы при переходе от средней или истинной экваториальной системы
координат. В обоих случаях ось Ох направлена в соответствующую
точку весеннего равноденствия.
Целесообразно определить вспомогательные углы фь ф2 и d.
Угол ф1 есть yrojj, отсчитываемый в том же направлении, что и угол ф
от точки весеннего равноденствия или от оси Ох до линии пересечения
начальной и промежуточной плоскостей. В данном случае начальной
является плоскость небесного экватора, а промежуточной — плоскость
эклиптики, так что ф1 = 0. Угол фз = ф — ф1 есть угол,
отсчитываемый от упомянутой выше линии пересечения начальной и
промежуточной плоскостей до линии ON пересечения начальной и конечной
плоскостей в том же направлении, что и ф. Конечной плоскостью

302
Глава 8, Преобразования лунных координат
является всегда плоскость селенографического экватора
существенное значение угол d определяется как
Имеющий
й=у^)
Л.
(8.57)
По существу, вспомогательные углы а, Ь, с и другие вводятся лишь
для удобства. Используя эти углы и переопределяя их при каждом
Селенографический
экватор
Эклиптика
Средний
небесный экватор
Истинное ^^
равноденствие
Эклиптика
. ^.^^ Средний
небесный зкватор
Г
Среднее '
равноденствие
Истинный
небесный зкватор
Р и Ct 8.13, Эйлеровы углы для систем координат, отнесенных к среднему
и к истинному экватору.
преобразовании, мы можем построить единственную
последовательность формул, с помощью которых находятся необходимые эйлеровы
углы. От углов а, Ь, с можно перейти к соответствующим углам ф, Э, -ф
по формулам (8.69), которые приводятся ниже.
• • • •
Значения а, Ь, с, d, ф, а, й, с, d при переходе от экваториальной
к селенографической системе координат находятся по формулам,
приведенным ниже (рис. 8.12 и 8.13).

8.2. Преобразования селенографических координат 303
V. Переход от средней экваториальной системы координат к
средней селенографической или обратный переход (5 -> 1 или 1 -> 5):
6 = 8*), 6 = 8,
d=([_Q, d=([--Q. (8.58)
VI. Переход от средней экваториальной системы координат к
истинной селенографической или обратный переход (5->-2 или 2->-5):
6 = 8, 6 = 8,
• • •
d= ([ +т,-(Й + аО, d= i +Tz-(Q + aO- (8.59)
Vn. Переход от истинной экваториальной системы к средней
селенографической или обратный переход (6->1 или 1-> 6):
а = /, ф1 = 0, а = 0,
?•
6 = 8 + ^8, 6=8 + б8,
• • •
с^й-^-б-ф, с = й + б'ф,
d=([-Q, '^-^_Q (8.60)
Vni. Переход от истинной экваториальной системы координат
к истинной селенографической или обратный переход (6 ->- 2 или
2-^6):
а = /4-рг, ф1 = 0, а = р/,
• • •
6 = 8 + ^8, 6 = 8 + б8,
• • • •
d=([+Tz-Q-0b d=(i+Ti-U-'Gi. (8.61)
Целесообразно ввести следующие вспомогательные формулы,
используемые при любом преобразовании V — VIII:
л. , d cos а , . , •
с (а) =-^:;j—= (— sin а) с,
5 (а) = ^ = (cos а) а,»
C(ft) = ^ = (-sin6)&,
dx
*) Значения е и 8 находятся по формулам разд. 8.12.

304
Глава 8, Преобразования лунных координат
S{b)
с (с)
8{с)
C{d)
S{d)
S (фО =
ds'mb _
dx ~
d cos с _
dx ~
dsinc _
dx ~
d cos d _
dx ~
dsind _
dx ~
d cos Ф1
dx
dsin Ф1
dx
{cos b)b,
(— sin c) c,
(cosc)c,
{ —sin d)d,
(cosd)d,
-0,
0.
(8.62)
Ha рис. 8.14 указано взаимное расположение среднего небесного
экватора начальной эпохи и селенографической системы координат.
Селенограсрический
экватор
Среднее равноденствие
данной эпохи
Средний небесный
экватор данной эпохи
Среднее
начальной эпоха
Р и с. 8.14. Эйлеровы углы для перехода к селенографическим координатам
от координат,, отнесенных к среднему небесному экватору начальной эпохи.
Плоскость среднего небесного экватора данной эпохи используется
в качестве промежуточной плоскости. Угол а равен эйлерову углу 9',

8.2. Преобразования селенографических координат 305
« _ ^ о
соответствующему переходу от средней экваториальной системы
в эпоху к селенографической. Угол b равен вр — углу между средним
небесным экватором начальной эпохи и средним небесным экватором
данной эпохи.
Углы ^0) 2р и 9р находятся по формулам разд. 8.1.7. Углы с -}- к,
dji ф1 определяются по формулам
ф1=--7 —^0, (8.63)
c + n = ^-Zp + cp\ (8.64)
d=i|} —Д = г|}', (8.65)
где ф', 6' и г|}' —эйлеровы углы при переходе от средней
экваториальной системы данной эпохи к селенографической системе. Аналогичным
образом через а\Ь\с' и d' обозначаются углы а, Ь, си d, используемые
о о о
при переходе от средней экваториальной системы данной эпохи к
селенографической системе. Значения а\Ь\с' и другие используются для
определения значений Э', ф' иг[)', которые в свою очередь используются
для определения углов а, Ь, с и других. Углы же а, Ь, с и другие
позволяют определить при помощи формул (8.69) искомые углы поворота.
• • • •
Значения а', Ь\ с', d\ а\ Ь\ с' и d\ соответствующие переходу
от средней экваториальной системы в эпоху к средней
селенографической или истинной селенографической, следующие.
IX. Переход от средней экваториальной системы в эпоху (1950,0)
к средней селенографической или обратный переход (7 -> 1 или 1 -> 7):
а'=1, а' = 0,
Ь' = г, Ь' = г,
•
c'=Q, c'=Q,
d' = ^-Q, d'=i-Q. (8.66)
X. Переход средней экваториальной системы к истинной
селенографической или обратный переход (7->- 2 или 2 -*■ 7):
'''=8, Ь'=г,
• • •
C' = Q + Gi, C' = Q + Gi,
d'=([+Tz-(Q + az), d'=([+Tz-(Q + az). (8^67)
Используя простые формулы сферической тригонометрии, придем
к следующим выражениям для углов ф', Э', г[)', а, й и других величин,
20-491

306 Глава 8. Преобразования лунных координат
требуемых при преобразованиях координат IX и X:
cos 9' = cos а' cos b' + sin a' sin b' cos c',
sin 9'= +Kl-cos2 0',
cos ф' = (cos a' sin b' — sin a' cos &' cos c')/sin 9',
sin ф' = — sin a' sin cVsin 9',
cos Д' = (sin a' cos &' — cos a' sin &' cos c')/sin 9',
sin Д' = — sin 6' sin c7*sin 9',
cos i|}' = cos A' cos d' — sin Д' sin d\
sin i|}' = sin Д' cos d' + cos Д' sin d\
cos a = cos 9',
sin a = sin 9',
cos 6 = cos 9p,
sin& = sin9p,
cos с = cos ф' sin Zp — sin ф' cos Zp,
sin с = sin ф' sin Zp + cos ф' cos Zp,
cosd^cosij)',
sind = sin'i|)',
cos ф1 = sin ^0»
Sinфl^COS^0^
C(9')-:dcos97dT=:
• • •
= — sinO' [(cos A') a'+ (cos ф)й'] —(sin a' sin 6' sinc')c',
5(9')=dsine7dT = (cos9')e'=-(ctg0')C(e')=-^?^C(e'),
С (ф') = d cos ф7^т ==
= [(sin a' sin b' -\- cos a' cos b' cos c')/sin 0'] a' +
+ (cos97sin9')b'+(sina'cosb'sinc7sine')c'-(cos97sine')5(e'
S(ф') = dsinф7dт =
[(cos a' sin c')/sin G'] a' — (sin a' cos c7sin 9') c' —
-(sin97sin9')5(e'),
С (A') = d cos A7dT =
= (cos 67sin 9') a' — [(sin a' s'mb' -\-cos a' cos 6' cos c')/sin Q']b' ~
+ (cos a' sin b' sin c7sin 0') c' (cos A7sin 9') 5 (9'),

8.2. Преобразования селенографических координат 307
S(A')=dsinA7dT =
= — [(cos b' sin c')/sin Э'] b' — [(sin b' cos c')/sin 9'] c' —
(sinA7sin9')5(e'),
С (a|)') = dcos ^'/dx = - (sin f) d' + (cos d')C{^')- (sin d')S (A'),
S W) = d sin i|)7dT = (cosjil)') d' + (cos'd') S^(A') + (sind') С (A'),
C(a)-C(0'),
S(a)=5(e'),
C{b) = - (sin 0p) Gp,
S (b) = (cos Gp) 9p,
• • • •
С (с) = (sin Zp) С (ф') — (cos Zp) S (ф') + (sin c) Zp,
л
• • • •
S [c) ^ (sin 3p) 5 (ф') -f (cos Zp) С (ф') — (cos с) Zp,
C{d) = C{^'),
S{d)=SW),
С (ф1) = (cos Co) L»
5(Ф1) = —(sinCo)^o•
(8.68)
Таким образом мы получили эйлеровы углы и первые производные
от синусов этих углов, необходимые для преобразований I—IV. Мы
получили также вспомогательные углы а, Ь, с, d, ф' и первые
производные от синусов и косинусов этих углов, необходимые для
преобразований V—X.
Угол d определяется формулой (8.57), а угол ф1 определен
непосредственно перед (8.57). Углы а, Ь, с указаны на рис. 8.12. Алгоритм для
вычислений завершается следующей совокупностью формул,
полученных по простым правилам сферической тригонометрии:
cos 9 = cos а cos b + sina sin b cos c,
sin 9= +]/"i—cos^e,
cos ф2 = (cos a sin & — sin a cos b cos c)/sin 9,
sin ф2 = — sin a sjn c/sin 9,
cos A = (sin a cos 6 — cos a sin b cos c)/sin 9,
sin A = — sin b sin c/sin 9,
cos Ф = cos ф1 cos ф2 — sin ф1 sin ф2,
20*

308 Глава 8. Преобразования лунных координат
sin ф = sin ф1 COS ф2 + COS ф^ sin ф2,
COS г|} = cos А cos d — sin A^sin d,
sin i|} == sin A cos d + cos A sin d,
C(0)=dcos0/dT =
• • •
-= (cos b) С (a) + (cos a) С (b) + (sin b cos c) S (a) +
+ (sin a cos c) S (b) + (sin a sin &) С (c),
S (9) = d sin Q/dx = — (cos 8/sin Э) С (9),
С (фз) = d cos фг/йт =
• • •
= [(sin b) С (a) + (cos a) S (b) — (cos b cos c) S (a)
• • •
— (sin a cos c) С (&) — (sin a cos b) С {c)]/s\n Э — (cos ф2/sin Э) S (Э),
S (Ф2) = d sin ф2/^т =
• • •
[(sin c) S (a) + (sin a) S (^)]/sin 9 — (sin 92/sin 9) S (Э),
с {A) = d cos A/dt =
= [(cos b) S (a) + (sin a) С (b) - (sin b cos c) С (a)
• • •
— (cos a cos c) S (b) — (cos a sin &) С (6?)]/sin Э — (cos A/sin Э) S (Э),
5(A)=:dsinA/dT
[(sin c) S (b) + (sin b) S {c)]/sin 9 — (sin A/sin 9) S (9),
С (cp) =d cos ф/йт
• . ■ • •
- (cos Ф2) с (Ф1) + (cos фО с (Фз) — (sin Ф2) S (ф^) — (sin фО S (Ф2),
5 (ф) = d sin ф/dT
W W m Щ
(cos Ф2) S (Ф1) + (sin Ф1) С (ф2) + (sin Ф2) С (фО + (cos ф^) S (Ф2),
s
С(г|}) =dcos^p/d% =
- (cos d) С (A) + (cos A) С (d) - (sin d) S (A) - (sin A) S (d),
S (i|;) - (cos d) S (A) + (sin A) С (d) + (sin d) С (A) + (cos A) S (d). (8.69)
8.2.6. Схема вычислений при селенографических преобразованиях
Схему вычислений при селенографических преобразованиях можно
описать следующим образом. Значение угла / соответствует
значению в (8.24).

8.3. Упрощенные координатные преобразования 309
На основании значений Ci и С2. производится выбор из (8.53)
(8.56), (8.58)—(8.61), (8.66) и (8.67). В табл. 8.4 указаны переменные,
используемые при каждом из возможных преобразований. Значение
первой производной по времени от каждой из перечисленных
переменных требуется тогда и только тогда, если требуется значение самой
переменной.
Таблица 8.4
Коды преобразований и соответствующие
переменные
1
1
3
4
5
5
б
б
7
7
3
4
2
2
1
2
1
2
1
2
Q,
Q,
Q,
Q,
Q,
Q,
Q,
Q,
Q,
Q,
С
с,
с,
с,
с,
с,
с,
с,
с,
Pz. (Уь '^h S^i?
S, pZ, Oh TZ
8, 6S, 6\|)
e, pz, <7b T^, 68,
e, pz, ^h T^h So»
P' ^p
6\|:
Эр, г
Для преобразований I—IV, при которых используются (8.53)
(8.56), необходимые значения членов матриц поворота вычисляются
по формулам (8.48)— (8.50). Эти преобразования определяются,
следовательно, непосредственно.
В случае преобразований V—VIII после использования (S.58) —
(8.61) переходят к вычислениям по формулам (8.69). После (8.69)
переходят к формулам (8.49) и (8.50), которые и позволяют
вычислить необходимые члены матриц поворота.
В случае преобразований IX, X после использования (8.66)
и (8.67) переходят, как упомянуто было выше, к формулам (8.68),
затем к (8.69) и наконец к формулам (8.49) и (8.50), позволяющим
вычислить члены матриц поворота.
Анализ координатных преобразований, изложенный выше, можно
найтив[1,5—7, 9, 10, 14, 15].
8.3. УПРОЩЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
8.3. Ifi Преобразования скорости
Как указано выше [см. (8.45)—(8.47)], преобразование вектора
положения при переходе от эклиптической или экваториальной системы
координат к средней или истинной селенографической системе может
быть представлено в виде
г' = Мт, (8.70)

310 Глава 8. Преобразования лунных координат
где г — вектор положения в исходной системе, а г — тот же вектор
в окончательной системе координат (в данном случае в
селенографической). Матрица М является матрицей преобразования и
записывается в виде (8.48), т. е.
М
■уИп Mi2 Л?1з"
^21 ^22 ^^23
1_Л1з1 Мз2 Л4зз_
(8.71)
Если, как и ранее, через гиг' обозначаются векторы положения
о о
Б исходной И окончательной системах координат соответственно,
то при переходе от селенографической системы координат к
эклиптической или экваториальной системам имеем
М^г, (8.72)
где М — матрица, транспонированная по отношению к матрице М.
Преобразование скорости осуществляется в два шага. Первый
шаг состоит в переходе от эклиптической или экваториальной систем
координат к инерциальной селенографической системе, совпадаюш,ей
с рассматриваемой селенографической системой в данную юлианскую
эпоху. Второй шаг состоит в переходе от инерциальной координатной
системы к неинерциальной селенографической системе. Если через
Fso И г^ обозначается вектор скорости в инерциальной и в реальной
селенографической системах соответственно, то в согласии с [1,
разд. 4.1.1] имеем
= Г5 + <оХГ5, (8.73)
50
где г^ — вектор положения *), а со — вектор угловой скорости
8.3.2. Упрощенный вариант преобразования скорости
Вектор угловой скорости в истинной селенографической системе
координат является функцией, сильно зависящей от средних углов
и очень слабо зависящей от физической либрации. В средней
селенографической системе координат вектор о) является функцией только
средних долгот.
Может быть показано, что зависимость либрации от о) всегда
пренебрежимо мала. Следовательно, преобразование (8.73) не зависит
в пределах требуемой точности от того, какая система координат,
средняя или истинная, участвует в преобразовании.
Вектор 0) можно разложить на две составляющие (рис. 8.10—8.12):
• • •
вектор Q, направленный к полюсу эклиптики, и вектор (J— й,
направленный к селенографическому Северному полюсу. Если через i, j и к
обозначены единичные векторы, направленные вдоль осей х, у, г,
*
) Очевидно, что вектор г^ один и тот же в любой селенографической системе.

8.3. Упрощенные координатные преобразования 311
и если Г^ = Xs\ + tjs] + 25k, ТО
o)Xr, = {[Qsin(([—Q)sin/]i + [^cos(([—Q)sin/]i +
+[^-(l-cos/)Q]k}x(л:.i+У.j+-г,k), (8.74)
где значение / соответствует (8.24).
Рассматривая формулы (8.11) для скоростей изменения средних
долгот, можем заключить, что член (1 — cos /) Q в (8.74) пренебре-
жимо мал по сравнению с (J. Кроме того, оставаясь в пределах задан-
ной точности, можно положить ([ и Q постоянными и равными
главным частям их разложений.
Подстановка (8.74) в (8.73) при условии указанных двух
упрощений приводит к следующей формуле:
*acos(([ —Q)zs — ^ys
P;cs~asin(([-Q)z,'^ I , (8.75)
_asin(([ —£2)^5 —acos (([ —Q) XsA
50
r.+
где в соответствии с (8.9) и (8.11)
[1934,1420Яsin/ .^ Q ' J
^~ 180-36 525-24.60-0,07436574 ^ ^^ ^1" ^
И
о 481267,88я ^ % .^ ^^.
Р ' 180.36 525.24.60.0,07436574 '^ ^* KO.iD)
Последним шагом при преобразовании скорости является переход
от эклиптической или экваториальной системы к «инерциальной
селенографической системе» или наоборот. При таком переходе поправ-
кой к скорости M.V можно полностью пренебречь. Поэтому переход
к «инерциальной селенографической системе координат» описывается
формулой
= Мг, (8.77)
50
где г — вектор скорости в исходной системе координат, а именно
в эклиптической или экваториальной. Переход от «инерциальной
селенографической системы координат» описывается формулой
г'-М'^г.о. (8.78)
где г' — вектор скорости в окончательной системе координат, а именно
в эклиптической или экваториальной.
Из (8.70) — (8.72), (8.75) и (8.78) следует, что при переходах к
селенографической системе координат, т. е. при переходах, обозначаемых
3-^ 1,3-^2,4-^ 1,4-^2, 5-^1,5-^2, 6-^ 1,6-^2, 7-^1,7^2,

312
Глава 8. Преобразования лунных координат
согласно определениям в разд. 8.2.3, имеем
-х'
У
Mr,
(8.79)
Mr
'а Q.OS {(I -Щ z'-^у'
^х' —asm {(l-Q)z'
_asin((J —fi) г/' —а cos ((J —Q.)x'_
(8.80)
При переходах 1 -> 3, 2 -^ 3, 1 -^ 4, 2 -^ 4, 1 -^ 5, 2 -^ 5, 1-^6,
2—>6, 1-^7и2->7от селенографической системы координат имеем
М^г = М
X
У
(8.81)
т\
г' = М^г4-М
"acos(({ —Q)2 —Рг/
Pjc — а sin (({ — Q) г
_asin(([ — Q) г/ —acos ((Г —Q)x_
М
x + acos{([—Q)z — ^y
y + ^x — asin{([—'Q)z
^z + а sin {([ —Q) у ^а cos {([ — Q) X^
(8.82)
причем постоянные аир вычисляются в соответствии с (8.75).
8.4. РЕЗЮМЕ
Эта глава посвящена очень сложным селенографическим
преобразованиям. Подчеркивается необходимость точных и быстрых
вычислений. В первой части главы описываются причины прецессии и нутации.
Совместное использование теоретического и эмпирического анализа
позволило показать, как можно вычислить средние долготы Луны
и наклонность. Были приведены также выражения для нутации в
долготе и в наклонности. Рассмотрены эффекты от физической либрации
Луны и дан алгоритм для вычисления либрации Луны. После того
как получены требуемые значения входных переменных, а именно
средних углов, величин, определяющих либрацию и нутацию вместе
с прецессией, можно рассмотреть точный поворот систем лунных
координат.
Было показано, каким образом рассматриваемые
селенографические преобразования могут трактоваться на основании законов Кассини
как последовательность основных поворотов систем координат,
определяемая средними эйлеровыми углами, плюс легко включаемые

Упражнения 313
дополнительные малые отклонения, которые обусловлены нутацион-
ными и либрационными эффектами. Приводятся формулы для
различных вариантов селенографических преобразований.
Наконец, при помощи некоторой вполне оправданной
аппроксимации были упрощены выведенные выше точные преобразования
скорости. Полученный значительно более простой вариант
преобразований скорости находит широкое применение на практике.
J
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое прецессия? Каковы причины прецессии? Дать общий
анализ.
2. Что такое нутация? Каковы причины нутации? Дать общий
анализ.
3. Что такое лунно-солнечная прецессия, планетная прецессия,
общая прецессия?
4. Показать, что, если при вычислениях на современных
вычислительных машинах приходится экономить объем машинной памяти
для размещения информации, формулы (8.14) для общей нутации
в наклонности и в долготе целесообразно представить в виде
бе = de + Де,
fiij) = ^11) + А'ф,
где
Дб = +(9%21+0%00091Г^)со8Й-(0',0904-0",00004Ги)со8 2Й +
+ (0%5522 - 0%00029rj cos 2L +
+ (0",0216-0",00006Г^) cos (3L-r) -
- (0^0093 - 0\00003Ги) cos (L + Г) - 0%0066 cos (2L - £2) +
+ 0'\0007 cos (4L - 2Г) - 0^0024 cos (2 ([ - 2g' - Q) +
+ 0%0008 cos (L + Й - Г) + 0",0005 cos (L - Г - Й) +
+ 0%0003 cos (2L + 2^' - 2 ([ - Q) + 0%0003 cos (L + Г - Й) +
+ 0^0002 cos (2Г - Й) - 0^0002 cos (2L + 2^' + Q — 2 ([) -
- 0%0002 cos (3L - Г - Q) + 0^0002 cos (2 (J - 2^'),
ds = + (0%0884 - 0%00005Г^) cos 2 ([ + 0%0183 cos (2 ([ - Q) +
+ (0",0113-0%00001Ги) cos (2([ +^') -0^0050 cos (2([ -gf')
- 0^0031 cos (Q + ^') + 0^ 0030 cos (Й-g')+
+ 0%0022 cos (4 ([ - 2L - g') + 0%0023 cos (2 ([ + g' - Й) +
+ 0^0014cos(4([-2L)-0^0011cos(2L + ^') +
+ 0",0011cos(2([+2g')-0'.0010cos(2(X-^-^')-
- 0^0007 cos (2L + ^' - 2 ([ - Q) +

314
Глава 8. Преобразования лунных координат
Дг|5
^ib
+ 0",0007 COS (2L + Q + g'- 2 ({) +
+ 0",0005cos(4([-2L-fi-g')-0".0003cos(2(J+L-r) +
+ 0",0003 cos (2 ({ + Г - L) + 0",0003 cos (4 ([ + g' - 2L) -
- 0",0002 cos (2L + 2g') + 0",0003 cos (2L — 2 (J - Q) -
- 0",0003 cos (2L + gr' _ Q) _^ 0",0003 cos (2L + Q - 2 ({) +
+ 0",0003 cos (4 (J - 2L - Й) + 0",0002 cos (2(1+ 2g' - Q),
(17",2327 + 0"01737r„)s
-(l",2729 + 0",00013r„)s
+ (0",1261-0",0003ir„)s
+ (0",0214-0",00005r„)s
-(0",0497-0",00012Г„)$
(0",0124 + 0",0000 lT„)s
+ (0",0016-0",0000ir„)s
-(0",0015-0",0000ir„)s
n Q + (0",2088 H- 0",00002T„) sin 2Q
n2L +
n(L-r) +
n(L+r)-
n(3L-r) +
n(2L —Q) +
n(2L-2r)-
n (4L - 2Г) +
+ 0",0045 s
-0",0015s
+ 0",0005 s
-0", 0004 s
+ 0",0003 s
+ 0",0045 s
+ 0",0010s
- 0",0002 s
n{2([-2g'-Q)~
n(L + Q—r) + 0",0010sin(L-r-Q) +
n(2L + 2g'-2([-Q)-0",0005sin(L + r—Q)
n(2r-Q) + 0",0004sin(2L + 2/ + Q-2([) +
n (3L - Г - Q) - 0",0003 sin (2<l—2g') +
n(2L + 2g'-2(r) + 0",0021sin(2Q-2L) +
n (2Q -f 2g' - 2 (J) - 0",0003 sin (L + g
nig' + T-d),
d)
(0",2037 + 0",00002Г„) sin 2 ([ + (0",0675 + 0",00001Г„) sin g'
(0",0342 + 0",00004Г„) sin (2 ([ - Q) - 0",0261 sin (2 (J + g')+
+ 0",0114s
-0",0149s
- 0",0057 s
- 0",0044 s
+ 0",0026 s
+ 0",0019s
-0",0013s
- 0",0009 s
+ 0" ,0007 s
n (2 ([ -/) + 0",0060 sin (2 ([ - 2L)-
ni2L + g' — 2(l) + 0",0058 sin (Q + g-')
n (Q _ g') - 0",0052 sin (4 (( - 2L - g') -
n (2 ([ + g' - Q) - 0",0032 sin (4 (J - 2L) +
n (21 + g') - 0",0026 sm{2(l+2g') +
n(2([-Q-^')—0",0014sin(2L + /-2([-Q)
n(2L + Q + g'-2([)-
n(4([-2L-Q-/) +
n (2([ + L-Г) -0",0006 sin (2([ + Г-L) -

Литература 315
0'\0006 sin (4 ([ + ^' - 2L) + 0%0006 sin (2L + 2^') +
0\0006 sin (2L - 2 ([ - Й) + 0^0005 sin (2L + я'- ^)
- 0'\0005 sin (2L + Й - 2 ([) - 0%0005 sin (4 ([ - 2L - Й) ~
- 0'\0004 sin (2 ([ + 2^' - Й) + 0'',0028 sin 2^'.
5. Экспедиция с Мыса Кеннеди к кратеру Кеплер на Луне
находится в стадии предварительного планирования. Какие системы
координат будут использоваться на каждой стадии экспедиции?
6. Используя рис. 8.14 и обычные формулы сферической
тригонометрии, проверьте, что
cos Э = cos а cos й + sin а sin b cos с,
sin Э = ± /1—cos^e.
Почему в формуле для sin Э можно отбросить знак минус?
7. При каких обстоятельствах формулы (8.14) более
предпочтительны, чем соответствующие формулы, выписанные в тексте упр. 4?
8. Почему имеет место либрация Луны? Объяснить в общих словах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. S. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination, John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л. Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
2. S. N е W с о m Ь, А Compendium of Spherical Astronomy, The Macmillan
Company, 1906.
3. Connaissance des Temps, Bureau des Longitudes, Paris, France, 1965.
4. J. M. A. D a n b y, Fundamentals of Celestial Mechanics,The Macmillan
Company, New York, 1962.
5. T. P. G a b b a r d. Lunar Rotation and Selenographic Coordinates, Lockheed
Astrodynamics Research Center Technical Memo, LTM 50197, August 1962.
6. Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American
Ephemeris and Nautical Almanac, London, 1961.
7. R. C. Hutchinson, Inertial Orientation of the Moon, MIT
Instrumentation Laboratory Report R-385, October 1962.
8. Z. К 0 p a 1, Physics and Astronomy of the Moon, Academic Press, New York,
1962, Chap. 2.
9. T. P. G a b b a r d, P. R. E s с 0 b a 1, M. L. В i r к h 0 1 z, A Cowell Special
Perturbations Computer Program for Geocentric, Earth-Satellite, and Lunar/
Cislunar Trajectories, Lockheed Astrodynamics Research Center, LMT 50259,
November 1962.
10. B. E. К a 1 e n s h e r, Selenographic Coordinates, JRL Technical Report 32-41,
February 1961.
11. R. A. Becker, Introduction to Theoretical Mechanics, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1954.
12. W. M. Smart, Celestial Mechanics, Longmans, London, 1953. (Русский
перевод: У. С м a p т. Небесная механика, изд-во «Мир», М., 1965.)
13. Н. L. Roth, Description of Nutation Subroutine, TRW Space Technology
Laboratories Interim Report, 3400-6037-KUOOO, May 1965.
T. P. G a b b a r d. Nutation Transformation. Lockheed Astrodynamics
14. Research Center Technical Memo. LTM 50292, December 1962.

316 Глава 8. Преобразования лунных координат
15. С. Е. R о d е г t, М. L. W h е е 1 о п, Т. Р. G а b b а г d, Time Derivatives
of the Precession, Nutation and Selenographic Transformation Matrices,
Lockheed Astrodynamics Research Center Technical Memo, LTM 50294,
January 1963.
16. E. W. W 0 0 1 a r d, A Redevelopment of the Theory of Nutation, Astron. J..
58, № 1, February 1953.
17. F. H a у n, Selenographische Koordinaten, Abhandl. Mathem. Phys. Klasse
der Koninglichen Sachsischen Ges. der Wiss., 27, 1902.
18. F. H a у n, там же, 29, 1906.
19. F. Н a у n, там же, 30, 1907.
20. F. Н a у n, там же, 33, 1914.
21. F. Н а у n, Astron. Nachr., 199, 1914.
22. F. Н a у n, там, же, 211, 1920.
23. А. J б n s о n, Uber die Rotation des Mondes, Meddel. Lunds Astron. Observ.,
Serie II, № 15, 1917.
24. К 0 z i e 1 K., Acta Astronomica, Ser. a, 4, 1948.
25. F. H a у n, Enzyklopadie der Mathem. Wissen., 6, Part 2, 1923, Chap. 20.
26. E. W. В r 0 w n. Tables of the Motion of the Moon, New Haven, 1919.
27. V. С С 1 a r к e. Constants and Related Data for Use in Trajectory
Calculations, J PL Technical Report 32-604, March 1964.
28. H. J e f f r e у s. The Moon's Libration in Longitude, Mon. Not. Roy. Astron.
Soc, 117, No. 5, 1957.
29. A. Я к 0 в к и H, Transactions of the Intern. Astron. Union, 8, 1950.
30. С В. Watts, A New Method of Measuring the Inclination of the Moon's
Equator, Astron. J., 60, December 1955.
31. H. A n d 0 у e r. Bull. Astron., 28, 1911.
32. D. G. D e t h 1 e f s e n. Physical Libration of the Moon, опубликовано в [33].
33. Н. L. R о t h, P. R. E s с о b a 1, Transformations Involving the Selenographic
Coordinate System, TRW Space Technology Laboratories, Summary Technical
Report, 3400-6045-RUOOO, June 1965.
34. H. L. R 0 t h, G. A. С r i с h t 0 n. On Selection of a Selenographic Coordinate
Transformation Package for a Trajectory Integration Program, TRW Systems,
Program Technical Report, Task MSC/TRW A-42, 3838-6002-RUOOO, October
1965.
35. J. C. M a X w e 1 1, On a Dynamical Top, Transactions Roy. Soc. Edinburgh,
21, 1857.

Приложение 1
ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
Как следует из изложенного в гл. 7, вычисление специальных
возмущений представляет собой процедуру, в ходе которой траекторию
небесного тела можно построить постепенно, шаг за шагом, от ее
начальной точки до конечной с помощью численных методов.
Следовательно, если заданы начальные векторы положения и скорости,
то можно начать численное интегрирование и исследуемый
космический объект должен двигаться по вычисляемой траектории под
действием сил гравитации, сопротивления атмосферы, подъемной силы
и др. Однако нигде в описанной ранее процедуре вычисления
специальных возмущений не предпринималась попытка ответить на
вопрос, как добиться того, чтобы космический объект достиг определенной
точки пространства, например планеты назначения. Известно, что
если варьировать должным образом начальные условия на траектории,
то можно прийти к желаемым конечным условиям, однако вопрос
заключается в том, как именно надо варьировать начальные условия
(например, векторы положения и скорости), чтобы достичь желаемого
результата. С точки зрения планирования космических полетов и
контроля над ними желательно иметь в распоряжении соотношения,
связывающие начальные и конечные условия. Эти соотношения,
используемые вместе с методами вычисления специальных
возмущений, рассматриваются в данном приложении.
МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА
Пусть космический аппарат должен двигаться от точки 1 до точки 2
(рис. А1.1) по некоторой расчетной траектории. Из-за различных воз-
о о
мущении космический аппарат имеет тенденцию отклоняться от этой
расчетной траектории на расстояние, измеряемое вектором Аг,
который, по-видимому, растет со временем вследствие накопления
возмущений. Если предположить, что расчетная траектория получена
с помощью некоторого метода, например метода
кусочно-невозмущенных орбит, то вектор отклонения Аг можно определить формулой
Аг=(га —М,
где Га — радиус-вектор вдоль фактической траектории, а г^у — радиус-
вектор вдоль принятой расчетной траектории, удовлетворяющей
условию перелета.

318
Приложение I
Вопрос О коррекции возникает естественно в том случае, когда
отклонение Аг достигает критического значения. Прежде чем
обсуждать схему орбитальной коррекции (пунктирная кривая 5 2 на
рис. А1.1), заметим, что схема коррекции использует данные о ско-
рости изменения векторов положения и скорости г, г в конечной точке
в зависимости от начальных векторов положения и скорости Го, Го.
Расчетная траектория
(аналитическая)
Финальная орбита
Фактическая траектория
(численная)
Рис. А1.1. Отклонение траектории.
Возможно, будет также полезным и соотношение для обратной
зависимости. Непосредственной целью является вывод матрицы [Л],
имеющей вид
где
[М]
[/И*]
дх
дх
о
ду
дх
о
dz
dxQ
дх
дхо
ду
дх
о
дг
[Л]
[М] [N] ■
дх
дуо
ду
дуо
дг
дУо
•
дх
дуо
ду
дУо
дг
дх
dzo
ду
дго
дг
dzo J
•
дх
дг^
ду
dZQ
дг
дх^ дуо дго.
т
[N*]
дх
•
дхо
ду
•
dxQ
дг
•
дхо
•
дх
•
дхо
ду
•
дхо
дг
дх
•
дуо
ду
•
дуо
дг
•
дуо
•
дх
•
дУо
ду
•
дуо
дг
дх
•
dZo
ду
•
дго
дг
•
дго .
дх
•
дго
ду
•
дго
дг
. дхо дуо dzo.
(А1.1)

Численное определение матриц перехода
319
Следует заметить, что векторы гиг отнесены к заданной системе
координат, например к гелиоцентрической инерциальной. Четыре
выписанные выше матрицы называются матрицами чувствительности,
широко используемыми при анализе управления космическими
полетами. Эти же самые матрицы были выведены в [1, гл. 9] с помош^ью
соображений, опираюш^ихся на задачу двух тел.
ВЫВОД ВАРИАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
Цель этого раздела — вывести систему дифференциальных
уравнений, интегрирование которой позволит определить матрицу
управления [Л], выписанную в предыдуш^ем разделе. Для этого рассмотрим
уравнения движения частицы в пространстве, записанные в
функциональной форме:
• • • •
r = r(r, г),
(А1.2)
откуда вытекает, что ускорение космического аппарата зависит
функционально от обоих векторов положения и скорости аппарата. Ради
компактности записи введем следуюш,ие векторы-столбцы:
q
•Xi-
Хч
Xs
ч
ч
- -^6-
1
-х-
у
Z
•
X
у
-г.
(А1.3)
откуда сразу следует, что
q
р • -
Xi
•
Х2
•
^3
•
^4
•
Х^
•
. Xq .
г * ^
X
•
у
•
Z
• •
X
• •
у
• •
. Z
^4
Х^
Xq
• •
X (ЛГ^, • • . 1 Xq)
• •
• •
у {Xi, . . . , Xq)
Z \Х^ч . . ., Xq)^
(А1.4)

320
Приложение 1
Пользуясь языком конечных разностей, представим дифференциал
вектора (А1.4) в виде
Aq
Алгг
Алгя
Ал:,
Ал:
Ал:
6
Ал:.
Ал:-
Ал:
6
6
• •
6
6
Li=l
дх
dxi
Axi
• •
ду
дх
Axi
• •
дг
dxi
^Xi
(А1.5)
Отсюда получаем следующее векторно-матричное соотношение
между Aq и Aq:
Aq = [A(0]Aq,
(А1.6)
где квадратная матрица 6-го порядка [А (t)] имеет вид
[Aim
Юз] [UsY
llFp] [Fv]}
1
(А1.7)
причем [Оз] — нулевая квадратная матрица 3-го порядка, [Usl
диагональная единичная матрица 3-го порядка и
[Fp]
дх
дх
ду
дх
dz
дх
ду
ду
ду
dz
дх
dz
ду
dz
dz
дх ду dz
1
[Fr>\
дх
•
дх
dy
•
dx
dz
dx
•
dy
dy
•
dy
dz
dx
dz
dy
dz
dz
^ dx dy dz
Справедливость (A1.6) можно подтвердить путем непосредственного
умножения матрицы [А {()] на вектор Aq и сопоставления с (А1.5).
Заметим, что матрица [А {t)] может быть определена аналитически
с помощью уравнений движения, выведенных в [1, гл. 2], а именно
путем частного дифференцирования правой части векторного урав-

Численное определение матриц перехода
321
нения
г
• •
X
• •
у
• •
VO + 2P + 2T + 2L + ED,
(А1.8)
где Ф — потенциал притяжения центральной планеты *),
оказывающей основное влияние на движение, ЕР — возмущения от планет,
2Т — возмущения, обусловленные силой тяги, EL — возмущения,
обусловленные подъемной силой, и ED — возмущения, вызываемые
сопротивлением атмосферы. Следовательно, матрица [Fy]y
составленная из частных производных по координатам, и матрица [Т*'»],
составленная из частных производных по компонентам скорости, находятся
непосредственно из (А1.8).
Рассмотрим далее (А1.6), т. е. уравнение
А
ЧГ~~'ЧГ
[A{t)]^q.
(А1.9)
и разделим его обе части на постоянное приращение
чения А;с;о, так что
начального зна-
1 d^q
l^XjQ dt
[А т
Aq
Ад:
.70
(А1.10)
или, поскольку Ллгуо постоянно,
d Aq
dt Ajc
70
[Am
Aq
Ajc
70
(Al.ll)
Так как Aq есть вектор-столбец, определяемый как дифференциал
(А1.3), то при Ал:;о-^ О отношения конечных разностей стремятся
к точным частным производным, т. е
Aq
^q
Ajc
70
^qo
или же (в скалярной форме)
^xi
Ад:
70
dxj
дх
о
для всех соответствующих значений индексов i и /. Следовательно,
можно записать (А1.11) в виде
d дх
dt dxjQ
[А т
dxi
дх
7*0
(A1.I2)
Заметим, что (А1.12) при /= 1 представляет собой вектор-столбец,
компоненты которого суть уравнения относительно скоростей
изменения Хи . . .| ^6 по Хю = Хоу т. е. относительно дх/дхо, ду/дхоу дг/дхоу
) См. приложение 2.

322
Приложение 1
• • •
dxIdxQ, ду/дхо, dz/dx^. Если / = 2, то (А1.12) представляет собой другой
вектор-столбец с компонентами, являющимися уравнениями
относительно скоростей изменения Xi, . . ,, Xq по лгго = Уо и т. д.
Следовательно, индекс / = 1 соответствует первому столбцу матрицы [Л],
определяемой формулой (А1.1), индекс / = 2 — второму столбцу
матрицы [Л] и т. д. Таким образом, можно заменить (А1.12)
матричным уравнением
[A]^[A{t)][Ah
(А1.13)
называемым обычно вариационным уравнением по отношению к
системе (А1.8) из-за его подобия уравнению Эйлера — Лагранжа в
вариационном исчислении. Начальные условия для [Л] можно получить,
если непосредственно рассмотреть формулу (А1.1) при t = to, т. е. при
X = Хо, у = Уо, Z = Zo ^ т. д. Так как (Э;со/(Э^о = 1 > дуо/дуо = 1 и т. д.,
то
10 0 0 0 0
[Л(^о)]
Weh
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 10 0
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 1
т. е. начальные условия для численного интегрирования
образуют единичную матрицу 6-го порядка [Uq],
(А1.14)
(А1.13)
СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Читателю будет полезно познакомиться с другим подходом к
интегрированию (А1.13), способствующим лучшему пониманию вопроса
о построении матрицы управления.
При решении системы линейных дифференциальных уравнений
/г-го порядка с постоянными или переменными коэффициентами
используют сопряженную систему уравнений как средство для нахождения
так называемых интегрирующих множителей [2].
Пусть дана система уравнений
x = lM{t)]x,
(А1.15)
где X и X — векторы-столбцы. Тогда сопряженная система
записывается в виде
У
[M(t)fy,
(А1.16)
т. е. она получается из (А1.15) после замены [М (t)] на транспониро-
гр
ванную матрицу [М (t)] со знаком минус. Полезный результат, кото-

Численное определение матриц перехода 323
рый мы здесь применяем, может быть получен, если учесть, что
-^-^ = У^х + у^х (А1.17)
и что у'^ = —у'^ согласно (А1.16). Следовательно, исключая х с
помощью (А 1.15), получим
гр
А^=-уТ[М]х + у^1М]х = 0, (А1.18)
dt
откуда
i/^A: = const. ' (А 1.19)
Поступая более формально, запишем сопряженную систему по
отношению к (А1.16) в виде
i=-[A{t)fl, (А1.20)
где 'к — матрица-столбец с шестью строками. Исходя из матрицы-
столбца "к, можно получить (так же как и в случае с Aq) матричное
уравнение
[f]=-H(Of [Г], (А1.21)
где [Г] — квадратная матрица 6-го порядка. Физический смысл
матриц X; и [Г] в настоящее время неизвестен.
Рассмотрим уравнение, получающееся при транспонировании
левой и правой частей (А1.21), т. е. уравнение
[Г]^ = - ([Af lT]f = - [Г]^ [А]. (А1.22)
Используем (А1.22) в выражении для производной по времени от
произведения [Г] на Aq. Мы получим
так что
^M^^irfAq-irfHjAq,
И в силу (А1.6) имеем
^i^^I^^BL = [Tf [А] ^q-[Tf [А] Aq = 0. (А1.23)
Из (А1.23) вытекает очень важный результат: производная по времени
от произведения [Г]' Aq не зависит от времени! Следовательно, имеют
место соотношения
[Г {t)f Aq (t) = [Г {to)f Aq (to) = const, (A1.24)
[Г it)f Aq (t) = [Г {t,)f Aq (tf) = const, (Al .25)

324
Приложение 1
где индексы О и / соответствуют начальным и конечным условиям на
заданном интервале интегрирования системы (А 1.21).
Рассматривая (А1.24), учтем, что [Ue(^o)] принимается как
начальное условие для [Г (^о)]^ при интегрировании вперед системы (А1.21).
Тогда, умножая (А1.24) на [Aq {t)], получим
[Г (01
Ад (Щ
Aq(0 •
(А1.26)
в то же время если интегрировать (А1.21) назад от tf, принимая [Uq (//)]
в качестве начального условия для [Г (//)], то получим
[Г (01
Дд (tf)
Aq(0
В пределе при интегрировании вперед с начальным условием U^ (^о)
получим
[Г т
да «о)
aq(o
(А 1.27)
а при интегрировании назад с начальным условием Uq (tf)
[Г т
дд (tf)
dq{t)
(А 1.28)
Отсюда вытекает, что д(\ {tf)/dq (t) есть не что иное, как
символическое представление искомых частных производных, так что
физический смысл Г (f) становится ясным, поскольку, согласно (А1.27),
Т-,-
{[Г (01 Г
дЦ «о)
[А (t)].
(AL29)
Следует заметить, что интегрирование системы (А1.13) дает желаемую
информацию о частных производных, входящих в [Л]; при этом нет
необходимости прибегать к обращению матриц. Однако если эпоха ^о
смещается, то интегрирование должно начинаться от новой начальной
эпохи. Но если (А1.22), т. е. уравнение ,
[rf=-[TflA{t)], (А1.30)
интегрируется назад от tf как система шести уравнений, то матрица
[Л (t)] может быть'получена с помощью обычной операции обращения,
справедливой для всех изменяемых ^о- Оба пути используются в
соответствующих случаях и обладают своими преимуществами и
недостатками.
Пример. Предполагая, что достаточно учесть только
гравитационные эффекты, построим матрицу [А (t)], определяемую согласно
(А1.7).
По определению
[Оз]
0 0 0
0 0 0
0 0 0
[^з]
1 О О
О 1 О
О о 1

Численное определение матриц перехода
325
Так как силы притяжения зависят только от положения, то
[FA
О О О
0 0 0
00 0
• •
И требуется найти только [Fp]. Помня, что г = УФ, где Ф
тационный потенциал, можно записать
дФ
дх
откуда получим
[Fp]
• •
дФ
ду1
дх дх дх "^
дх ду дг
ду ду ду
дх ду дг
дг дг дг
дх ду дг,
■
а2ф а2ф а2ф
дх'^ дхду дхдг
а2ф а2ф а2ф
ду дх ду^ ду дг
д^Ф д^Ф д^Ф
^дг дх дг ду дг^-^
грави-
ПРОЦЕСС КОРРЕКЦИИ
Если соответствующие матрицы перехода известны, то можно при
бегнуть к различным процессам коррекции. Простой путь заклЮ'
чается в следующем. Примем, что
Г=Г(Го, Го),
• • •
Г=Г(Го, Го),
и, непосредственно дифференцируя, получим соотношения
Аг = Д- Дго + 4^^ Дго = [М] Аго + [N] Аго.
(А1.31)
дто
(А 1.32)
Зго
Дг = ^ Аго + -^ Аго = [М*] Дго + [N*] Аго.
дто
(А 1.33)
аго
Эти соотношения представляют собой систему линейных уравнений, свя-
• • •
зывающих ошибки (Дг, Дг) в конечный момент с ошибками (Дго, Дго)

326 Приложение 1
В начальный момент. Решая эту систему, получим
Дго = {[М] [N*] — [М*] [N]}-^ (Дг [N*] - Дг [N]},
Дго = {[М] [N*] — [М*] [N]}-^ {[М] Аг — [М*] Дг}.
(А1.34)
Следовательно, как только ошибки Дг и Дг будут найдены методом
вычисления специальных возмущений, то по формулам
(го)71+1 = {Го)п + Дго, (Го)71+1 = (Го)71 + Дго (А1.35)
можно определить поправки к начальным условиям. Возможны
различные варианты этих уравнений [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. р. R. Е S с о b а 1, Methods of Orbit Determination. John Wiley and Sons,
New York, 1965. (Русский перевод: П. Э с к о б a л. Методы определения
орбит, изд-во «Мир», М., 1970.)
2. Е. А. С о d d i п g t о п, N. L е v i n s о n. Theory of Ordinary Differential
Equations, McGraw-Hill Book Company, New York, 1965. (Русский перевод:
Э. A. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.)
3. R. Н. В а t t i п, Astronautical Guidance, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1964.

Приложение 2
ОБЩАЯ ФОРМА ПОТЕНЦИАЛА ПРИТЯЖЕНИЯ
В этом приложении приводятся общие формулы для потенциала
притяжения Земли и таблицы численных значений соответствующих
коэффициентов при зональных и тессеральных гармониках. Эта
функция широко используется при нахождении общих и специальных
возмущений (гл. 7).
Общая формула для потенциала притяжения может быть записана
следующим образом:
оо П
ф^Ё^^^^^ (^У ^ {СпшCOSтК + 8пшsinтХ)Рпт{sinср)^
п=2 т=0
(А2Л)
где йе — радиус Земли (6378,165 км), k — гравитационная
постоянная, т — масса Земли, Спт и iS^^;^ — постоянные коэффициенты,
о
Ф — геоцентрическая широта данной точки пространства, г —
расстояние от динамического центра до точки пространства, % — долгота,
измеренная вдоль экватора от гринвичского меридиана до меридиана
данной точки пространства, и Рпт (sin ф) — полиномы Лежандра,
определяемые по формуле
где V = sin ф.
в формуле (А2.1) можно отделить друг от друга зональные и тес-
серальные гармоники, переписав ее в виде
оо
Ф = -7- + -7-[2 \f) Сдо/'до (sin ф) +
71=2
оо п
+ 2 2 (y)"(C«mCos/«X + 5„mSinmA)P„m(sin9)], (А2.2)
71=2 m=l
где
_ 1 ^п(у2 —1)п
2^п! rfv^
В сообщении Смитсонианской обсерватории [1] приводятся
численные значения нормализованных коэффициентов Спт и S^rn^ связанных

328
Приложение 2
С Спт И Snm форМулаМИ
С
пт
NnmC
птп'^пт^
S
пт
NnmS
пт^^птп >
(А2.3)
где
N
пт
2(п — т)\ (2/1+1) 1V2
(n + m)!
Эти значения при тф О указаны в табл. А2.1. В табл. А2.2 указаны
значения коэффициентов Спо-
Таблица Л2,1
Коэффициенты при тессеральных гармониках
п
2
3
3
3
т
2
1
2
3
Спт
f2,379.10-6
+1,936-10-6
+0,734-10-6
+0,561-10-6
Snm
-1,351-10-е
+0,266-10-6
-0,538-10-6
+1,620-10-6
Таблица А2.2
Коэффициенты при зональных гармониках
С 20 =
^30 =
^60 =
^70 =
—1082,645-10
+ 2,546-10-6
+ 1,649-10-6
+ 0,210-10-6
—0,646-10-6
+ 0,333.10-6
С
-6
^80
^100
^110
^120
^130
+ 0,270-10-6
+ 0,053-10-6
+ 0,054-10-6
— 0,302-10-6
+ 0,357.10-6
+ 0,114-10-6
140
0,179-10-6
Удобная форма потенциала притяжения, используемая часто
аналитических исследованиях, может быть получена из (А2.2)
при
при
помощи следующей замены:
Спт cos тК + Snm sin тК
J пт cos [т {К — Кпт)] у
откуда
с
пт
cosmK
пту
S
пт
J пт sinmK
пт
После этой замены (А2.2) примет вид
Ф
кЫ , кЫ Г
оо
+
t
2 (уУ JпРт {sin (f) +
n=2
оо
п
+ 2 ^ (т-У Jnm cos [т {к-Кпш)]Рпт {sin ц>)\ , (А2.4)
п=2 т=1

Общая форма потенциала притяжения
329
п
Таблица Л2.3
Смитсонианские коэффициенты
геопотенциала
пг
J
пт
X
пт
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1,766
2,111
0,311
0,239
0,702
0,165
5,21
4,99
0,111
0,109
1,72
2,12
1,51
4,26
4,63
1,29
1,97
4,48
3,73
10-6
10-6
10-6
10-6
10-6
10-6
10-8
10-9
10-6
10-6
10-8
10-9
10-9
1о-«
10-8
10-9
10-9
10-10
10-11
-14°,
+7,
-18.
+23.
-140,
31
-4
-19
127
-10
-О
-3
-15
150
-39
-9
-23
-24
79
818
12
6
7
7
19
2
5
09
257
,39
.04
.2
.63
,9
.9
12,6
причем соответствующие численные значения Jnm
в табл. А2.3. Заметим, что Сп^ = —Jn-
и к
пт
даны
ЛИТЕРАТУРА
1. Geodetic Parameters for А 1966 Smithsonian Institution Standard Earth, eds.
С A. L u n d q u i s t, G. V e i s, Special Report 200, Vol. 1, 2, 3, 1966. (Русский
перевод: Стандартная Земля. Геодезические параметры Земли на 1966 г.,
изд-во «Мир», М., 1969.)

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
ГЛАВА 1
1. Больше.
2. Найти юлианскую дату (J.D.) [1, гл. 1]. Использовать (1.2)
для вычисления Ти- Использовать (1.5) и (1.6) для вычисления L, со,
Qy бу /, а. Использовать обычные формулы для определения Р и Q
II, гл. 3]. Решить уравнение Кеплера Mt = Ef — е sin Ei, получить
Ei и Ti = ;Ca)iP + ^(DiQ» где индекс / относится к Марсу и Земле и
X
(О
а (cos Е — е), у^^ = aY^ — ^^ sin Е,
Наконец, угол между Марсом и Землей находится по формуле
3. См. примеч. в гл. 1 на стр. 22.
4. Заменить (1.25) совокупностью
ос = ОС ^^1» ^2' • • • 5 ^о/>
6=6(ai, ^2, ..., а^),
и, дифференцируя, получить невязки Да, Дб, Дя, равные а© — ас,
бо — Sc, Яф — Яс соответственно, где индексы о и с относятся к
наблюденным и вычисленным значениям соответственно. В этой задаче
значения прямого восхождения, склонения и параллакса могут быть
вычислены на основании результатов интегрирования.
5. Использовать (1.32), чтобы получить Л^з!' причем Мсн4 =
^^ 16,04 и Мнг = 2,016. Получить плотность атмосферы Юпитера р
А
по формуле (1.31). Наконец, вычислить 0=уС£)ЛрУ^.
6. Использовать тот же путь, что и в упр. 2: определить Гф и г^.
Получить (J.D.) из [1, гл. 1]. Наконец, вычислить | r-u — г^ | = р^^
и получить искомое время по формуле р^\^1с.
7. Предположить, что до высоты 3000 ж молекулярный вес воздуха
не изменяется, так что 7= Г^м*, использовать далее (1.39). Скорость
звука находится из (1.44), причем соответствующие параметры берутся
из табл. 1.5.
8. Использовать методику упр. 2 для нахождения вектора
положения Земли на 24 августа 1970 г. (найти J.D. согласно [1, гл. 1]). Далее
использовать (1.47) и (1.48), чтобы найти соответствующие прямое

Ответы и указания к упражнениям 331
восхождение и склонение Солнца. Вычислить вспомогательную
функцию / (il^') согласно (1.49) при /г = 6 и найти плотность по формуле (1.50).
9. Подставить исходные данные в (1.51).
10. Принять, что наибольший эксцентриситет планетной орбиты
равен 0,25. Тогда (0,25)'* = 0,00000001, где п — искомое число членов.
ГЛАВА 2
1. tg0 = (l —е^)Че.
2. t = —{ае + 2е)/5а.
3. Минимизировать функцию
выражая координаты в параметрической форме
Ха,е = с1 {cos Е — е), x^p^q — ^D'^,
у^е = aVl—e^ sin£, у^^р = V2qD,
где а, е и q считаются постоянными. Так как фазовый угол уже выбран,
то нет необходимости рассматривать уравнение Кеплера.
Следовательно, надо приравнять производные дг^/дЕ и дг^/дО нулю и решить
получающуюся систему уравнений. Заметим, что решение, находимое
таким путем, представит собой разность перигелийных расстояний.
4. Использовать формулы, приведенные в разд. 2.4, и отбросить
нелинейные члены относительно эксцентриситетов.
- ad bd cd
^- •^~~а2+Ь2 + с2 ' У~~ а2+Ь2 + с2 ' ^ ~~ ^2 _|_ ^2 + ^2 *
6. Когда все dgJdXi = О в искомой точке экстремума.
ГЛАВА 3
1. Два маневра, сопровождающиеся торможением, с общим
уменьшением скорости 0,1361/о, где Уо — скорость вдоль начальной
круговой орбиты.
2. «Синком» должен опережать зонд на 96°,5.
3. Наиболее выгодным является гомановский переход {R = 11,33).
4. Для трехимпульсного маневра АУ = 0,675 Vq, где Vq —
скорость вдоль начальной круговой орбиты. Как следует из решения
системы (3.36)—(3.87), заданное изменение плоскости не является
оптимальным.
5. Использовать (3.80) и условие (3.84).
6. Повторить вывод (3.80), используя правильно ориентированные
импульсы.
7. Решение находится с помощью уравнения (3.107).
8. Решение находится с помощью уравнения (3.119).

332 Ответы и указания к упражнениям
ГЛАВА 4
1. 3,4 светового года.
2. Истинная аномалия точки пересечения равна 155®. Использовать
при нахождении М аналог уравнения Кеплера для гиперболической
орбиты. Наконец, t = Min + 7.
3. Рассмотреть общий случай (/г-ступенчатая ракета) с различными
удельными импульсами каждой ступени. Индекс / обозначает
порядковый номер ступени. We — вес пустой ракеты, Wfj — вес горючего
в конце работы /-й ступени, Wft — общий вес горючего. Тогда для
каждого импульсного маневра
ИЛИ
-J— ^Vj = / 1п —,
где I/Ispj=Kj — произвольная постоянная, которую можно считать
весом, соответствующим приращению скорости /-й ступени. Отсюда
вытекает, что
We
3=1
так как Wfn = 0 (предполагается, что весь запас горючего
используется полностью). Можно также предположить, что в We включается
также вес определенного количества используемого горючего.
п
Постоянная 7 выбирается для фиксации суммы 2 h- Целесооб-
разно выбрать / так, чтобы эта сумма была равна п. Тогда
обеспечивается непосредственная связь со случаем равенства всех удельных
импульсов. Так как Kj = l/Ispj, то
Так как We фиксировано в соответствии с типом космического аппа
рата, полезным весом и запасом горючего, то предыдущее соотноше
ние, а именно
1^ ^ We+ Wft
j=i
We

Ответы и указания к упражнениям 333
показывает, что минимизация общей массы (общего веса) аппарата
эквивалентна минимизации полного взвешенного приращения
скорости 5.
4. Нет. Экспедиция невозможна. Для траектории перелета с
земной орбиты к Юпитеру АУ = 8780 м1сек,
5. Для космических экспедиций представляют интерес кусочно-
плоские межпланетные траектории, так как иначе в течение некоторых
периодов времени вследствие слишком большого приращения
скорости, соответствующего плоской траектории перелета в трехмерном
пространстве, спасательные экспедиции будут невозможны.
7. Гиперболическая скорость составляет около 118 км/сек,
8. Нарисуйте схематическую траекторию всего космического
путешествия и обозначьте все массы на отрезках траектории. Далее,
следуя по траектории назад от Земли (конец путешествия), суммируйте
отношения масс.
9. Результат тот же самый, что и в случае круговой орбиты.
ГЛАВА 5
1. Положение и скорость в пространстве определяются шестью
условиями, для ускорений потребуется еще три условия, которыми
мы не располагаем.
2. Ло = 1, Л1 = 2р, Л2 = 2^ + 13, Лз = -2|3^, А, = 1^\
3. Выполнить перенос Хг = и + L2, Уг = v,
4. Подставить проверяемое решение в дифференциальное
уравнение.
5. Уг ^ 0,3.
6. Обратить (5.34), чтобы получить rr = f{r), и подставить
г = Ха)Р + УсоО, так что
rr=g{Xco, Усо, Р, Q).
Затем для Уг = (aXг + P)^^^ где а = 2 (47i—1)/372 и p = aL2,
подставить Г;. = /(г), чтобы получить
g{Xco. Усо, Ру, Qt/) = [ag-(ЛГсо, Усо, Рх, Qx) + ^]^^^-
Наконец, решить совместно это соотношение и (5.7).
7. Сила притяжения к Земле равна —(1 — И')/г^2, а потенциал
равен (1 — fi)/ri2. Сила притяжения к Луне равна —[х/Гдз, а
потенциал равен [х/гз2. Центробежная сила равна п^г, а потенциал nh^/2.
Приравнять силы и решить полученное уравнение.
ГЛАВА 6
1. Предполагается, что: а) может быть принята реалистичная
модель фигуры Земли, б) известны точные положения, или эфемериды,
Луны и планет, в) положение космического аппарата может быть
определено с желаемой точностью.

334 Ответы и указания к упражнениям
2. Около 21 мин.
3. Спутники движутся почти по одной орбите с разностью фаз 180°.
4. Использовать (6.19), чтобы получить v^ и V2, и подставить
полученные значения в (6.20) для определения знака 7?*. Чтобы получить
интервал, в течение которого связь возможна, надо положить /?* = О
и решить (б.20) относительно т.
5. Перицентр орбиты лежит на оси симметрии цилиндра тени.
6. Минимизировать функцию
F = [{v — v^)ln] +XS,
где Я — неизвестный множитель, а S определяется формулой (6.32).
7. Оценить (6.26) при условии, что г направлен от Солнца вдоль
линии Земля — Луна.
8. Использовать подобные треугольники на рис. 6.5. Отрезок
дуги лунной орбиты принять приближенно равным г^г tga/. Тогда
из подобия треугольников следует, что
а r.igai
^0 ^0 ~ ''С
9. Угол ^ вводится для компенсации эффекта геометрического
сжатия Земли для данной наземной станции. Он характеризует
максимальные возможные помехи вследствие геометрического сжатия
и должен всегда учитываться при анализе в качестве ограничения
для допустимого угла возвышения. Вывод формулы для ^ см. в [1,
гл. 6]. Этот вывод приводится в качестве ответа к упр. И гл. 8.
10.
, , esin£o 172 1—ecos£oi7 I
^^^о+"~2;г-^о —£о+
1—ecos£o в sin £о с \ п I / ^ sin £о
g sin £0 р\ £\ ( g sin Ер \ ^2
п
11. Формальное решение существует также при |3 cos t; + ^ sin t;
0. однако оно не имеет физического смысла. Спутник будет
пересекать границу цилиндра, являющегося продолжением цилиндра
тени по ту сторону планеты, которая освещается солнечными лучами.
12. См. [1, гл. 6].
13. См. [13, гл. 6].
ГЛАВА 7
1. Округление чисел и использование укороченных формул
ограничивают интервал применимости методов специальных возмущений.
Единственный путь улучшения — сохранять с самого начала
вычислений большее количество значащих цифр.
2. Описанный в разд. 7.4 метод представляет собой комбинацию
методов специальных и общих возмущений. Характерным примером
такого метода является метод Энке с промежуточной орбитой,
учитывающей вековые возмущения.

Ответы и указания к упражнениям 335
3. Ошибки, обусловленные прецессией и нутацией (в неинерциаль-
ных системах координат), могут быть больше тех, которые возникают
U U
вследствие возмуш^ении от других планет и действия других сил.
4. Исправление орбиты не является необходимым.
5. В формулы Р= Р (/, й, (о), Q= Q (/, Q^, (о) ввести вековые
возмуш^ения элементов /, й, со. Полученные выражения
Р(/„ + ^А^ fio + f А^ соо + ^А/) и др.
разложить по степеням А^.
6. Использовать решение предыдуш,его упражнения и также
подставить вместо а и в (во все соответствуюш,ие формулы) выражения
^ da .. , de j^j
7. Записать уравнение Кеплера в виде
Мо + п {t — to) = Е — е sin Е.
и произвести дифференцирование
ndt=^dE{l—ecosE) = dE^. (7.83)
В случае когда используется аномалистическое среднее движение я,
имеем
MQ + n{t—'tQ)=E-'e sin Е;
после дифференцирования получим
ndt = dE(l^ecosE)=dE^ . (7.84)
Наконец, разделив (7.83) на (7.84), получим соотношение
dE пг
dE пг
8. Улучшение орбит представляет собой процесс, при котором
отказываются от первоначальной опорной орбиты и по оскулирую-
ш,ему вектору положения определяют новую опорную орбиту. К
улучшению орбит прибегают тогда, когда разность между ускорениями
вдоль истинной орбиты и опорной становится большой.
9. Нет. Влияние небольшой ошибки вблизи Луны будет
значительно расти вследствие большой массы Земли. Но все же точность
будет значительно выше, чем в случае обычного метода кусочно-
невозмуш,енных орбит.
10. Нет.

336 Ответы и указания к упражнениям
ГЛАВА 8
1. Среднее вековое смещение точки весеннего равноденствия,
являющееся результатом одновременного перемещения эклиптики
и небесного экватора.
2. Сумма прецессионных эффектов периодического характера,
обусловленных действием Луны и таких же эффектов, обусловленных
действием Солнца, но меньших по величине.
3. Лунно-солнечная прецессия является частью общей прецессии,
обусловленной перемещением небесного экватора. Планетная
прецессия — это прецессия, обусловленная действием всех остальных
тел солнечной системы. Общая прецессия представляет собой
результат комбинации лунно-солнечной и планетной прецессий.
4. Если вы обладаете терпением, то можете разложить эти
выражения (как это и было сделано) и получите (8.14).
5. Положение точки старта фиксируется в геоцентрической
системе долгота — широта (основная плоскость: истинный экватор). При
интегрировании уравнений движения следует использовать систему С?,
соответствующую среднему небесному экватору начальной эпохи.
При фиксации такого положения на Луне используется истинная
селенографическая система координат.
6. Угол 9 всегда очень мал.
7. Только тогда, когда желательна очень большая скорость,
а объем памяти для размещения информации достаточно велик.
8. Имеет место оптическая либрация, обусловленная тем фактом,
что Луна движется вокруг Земли по эллиптической орбите, но вра-
U U
щается вокруг своей оси с постоянной скоростью, и существует
динамическая либрация, вызываемая действием на Луну внешних сил.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Атмосфера, нестационарные и
стационарные модели 35, 37
Кусочно-невозмущенных орбит метод
109, 159, 250
Биэллиптический переход 72, 73, 75
Видимость спутника Марса 224, 225
Возмущающая функция 231
Возмущения общие 229
полуаналитические 229, 244, 245,
250
специальные 229, 230, 244
Восход и заход межпланетных
космических аппаратов 210
планеты для наземной станции
219, 223
спутника другой планеты 218, 223
спутника Луны 206
спутников Земли относительно
друг друга 195
Вращение Луны, законы Кассини 290
Выход из сферы действия планеты 106
Геоцентрическая модель Земли 194
Романа траектория перехода 68
Задача трех тел, возможность
построения решения 187
прямолинейные решения 173
треугольные решения 173
уравнения движения 164, 166
частные решения 171
Затмения спутников 199
функция лунной тени 199, 201
эффекты тени и полутени 204
Зона взаимной видимости спутников
195
Импульсное изменение состояния 67
Координаты Луны 22—24
Котангенциальный переход 77, 79
Коуэлла метод 233
Либрация Луны физическая, алгоритм
для вычислений 283, 284
Маневр перехвата 85
минимизация времени перехвата
89
с минимальным приращением
скорости 88
с фиксированным временем
движения 90
Маневр перехода на межпланетную
траекторию 108, 109
Маневры двухимпульсные 91
с минимальным временем
движения 96
с минимальным приращением
скорости 92
с фиксированным временем
движения 100
Межпланетные траектории истинно
оптимальные 137
наискорейшие 137
с минимальным расходом энергии
113
с минимальным стартовым весом
147, 153
четыре типа 125
Механическая эллиптичность Луны
277, 279
Моменты инерции Луны 277
Нутация 261, 262
Орбитальные переходы компланарные
77
некомпланарные 81
Перелет на Марс энергетически
оптимальный 135

338
Предметный указатель
Перелеты к Марсу и Юпитеру
наискорейшие 145
Покрытие спутников планетой 221, 223
Потенциал притяжения
сфероидальной планеты 232, 327, 328
Полуаналитический метод 244, 245
Прецессия и нутация 254, 257, 288
Ракета многоступенчатая 63
уравнения движения 62
Селенографические координаты 289
преобразования 259, 296
Сжатие планеты, вековые эффекты 236
Среднее наклонение эклиптики 259,
260, 261
Средняя долгота перигея орбиты Луны
и Солнца 259—261
Средняя сфера действия Луны 159
планеты ПО
Траектории перелета двухимпульсные
115
трехимпульсные 137
Траектории полета к Луне 159, 160
движение в промежуточной
области 183
метод линеаризации уравнений
движения 176
метод стыковки асимптотических
разложений 188
Траектории полета к Луне, построение
сепаратрисы 177
численные результаты 184
Уравнения относительного движения
231
Учет сопротивления атмосферы 240
Физическая либрация Луны 273
Функция восхода и захода
космического аппарата 211, 216
спутников 195, 197, 199
Функция полезного веса 148
Элементы орбит больших планет 18
малых планет 20
переход от координат и
скоростей 27
Экстремумы функций, правило Лаг-
ранжа 54
примеры задач 55, 58, 59, 61
Энке метод 234
модифицированный 241
формулы для орбит с малым
эксцентриситетом 248
Эффекты вековые от сжатия планеты
236
Якоби интеграл 168

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию
Предисловие
Глава 1. Солнечная система
Упражнения
Литература
Глава 2. Методы оптимизации
2.6. Резюме
Упражнения
Литература
3.7. Резюме
Упражнения
Литература
5
6
И
1.1. Физические условия на планетах 11
1.2. Закон Боде 13
1.3. Средние элементы планетных орбит как функции времени . . 17
1.4. Приближенная теория движения Луны 21
1.5. Более точное определение элементов 27
1.6. Модели атмосферы 29
1.7. Резюме 38
39
40
42
2.1. Проблемы оптимизации в астродинамике 42
2.2. Максимумы и минимумы обычных функций . . '. 43
2.3. Максимумы и минимумы функций при дополнительных
ограничениях 51
2.4. Приложение: точка наибольшего сближения двух орбит ... 59
2.5. Приложение: задача о многоступенчатой ракете 61
64
64
66
Глава |3. Оптимальные планетоцентрические орбитальные маневры . . 67
3.1. Предварительные замечания об оптимальных орбитальных
маневрах 67
3.2. Компланарные переходы между круговыми орбитами .... 68
3.3. Компланарные переходы между эллиптическими орбитами . . 77
3.4. Некомпланарные орбитальные переходы 81
3.5. Оптимальные маневры перехвата 85
3.6. Оптимальные двухимпульсные маневры 91
101
102
103
V
Глава 4. Оптимальные межпланетные перелеты 105
4.1. Межпланетные траектории 105
4.2. Межпланетные траектории с минимальным расходом горючего 113
4.3. Наискорейшие межпланетные траектории 137

340 Оглавление
4.4. Межпланетные траектории, соответствующие минимальному
стартовому весу 147
4.5. Резюме 154
Упражнения
Литература
155
157
Глава 5. Аналитическое построение траекторий полета к Луне 158
5.1. Траектории полета к Луне 158
5.2. Задача трех тел 164
5.3. Линеаризация в случае некоторых траекторий Земля — Луна
в ограниченной задаче трех тел 176
5.4. Замечания относительно задачи трех тел 186
5.5. Резюме 189
Упражнения
Литература
190
191
Глава 6. Геометрические аспекты проблемы связи при космических полетах 193
6.1. Постановка задачи 193
6.2. Восход и заход одного спутника по отношению к другому .... 195
6.3. Затмения спутников Земли тенью Луны 199
6.4. Восход и заход спутника Луны для наземной станции
наблюдения 206
6.5. Восход и заход межпланетных космических аппаратов .... 210
6.6. Восход и заход спутника другой планеты 218
6.7. Резюме 225
Упражнения
Литература
Глава 7. Специальные возмущения
227
228
229
7.1. Принципы построения специальных возмущений 229
7.2. Метод Коуэлла 233
7.3. Метод Энке 234
7.4. Полуаналитический метод, основанный на применении
промежуточной кусочно-невозмущенной орбиты 244
7.5. Резюме 251
Упражнения
Литература
252
253
Глава 8. Точные преобразования лунных координат 254
8.1. Определение вспомогательных постоянных, необходимых для
преобразований лунных координат 254
8.2. Преобразования селенографических координат 289
8.3. Упрощенные координатные преобразования 309
8.4. Резюме 312
Упражнения
Литература
313
315
Приложение 1. Численное определение матриц перехода 317
Матрицы перехода 317
Вывод вариационной системы 319
Сопряженная система уравнений 322

Оглавление 341
Процесс коррекции 325
Литература 326
Приложение 2. Общая форма потенциала притяжения 327
Литература
329
Ответы и указания к упражнениям 330
Глава 1 ; . 330
Глава 2 331
Глава 3 331
Глава 4 332
Глава 5 333
Глава 6 333
Глава 7 334
Глава 8 336
Указатель 337

УВАЖАЕМЫЙ ТОВАРИЩ
Ваши замечания о содержании книги,, ее оформлении
качестве перевода и др. просим присылать по адресу:
Москва, И-278, 1-й Рижский пер., д. 2.

П, ЭСКОБАЛ
Методы астродинамики
Редактор Р. Г. Золина
Художник С. А. Бычков
Художественный редактор В. М. Варлашин
Технический редактор Н. Д. Толстякова
Корректор И» П, Максимова
Сдано в набор 18/VIII 1970 г.
Подписано к печати 4/П 1971 г.
Бум. № 1 60x901/16=10,75 бум. л.
Печ. л. 21,50
Уч.-изд. л. 19,35. Изд. № 27/5593
Цена 2 р. И к. Зак. 491
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
выпускает в 1971 г.
следующие книги по астрономии
Аллер Л., Лиллер У. Планетарные туманности
Под ред. Бранказио и Камерона. Инфракрасная астрономия
Каула У. Введение в физику планет земной группы
Пульсары Сб. статей
Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения
сферическими полидисперсными частицами
Заказы на эти книги направляйте в местные книготорги