Теги: анализ  

Похожие

Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Операторные методы

Задачи и упражнения по функциональному анализу: Более 1700 задач

Введение в теорию дифференцируемых многообразий

Текст 
                    LINEAR OPERATORS
Part II
SPECTRAL THEORY
SELF ADJOINT OPERATORS IN HILBERT SPACE
Nelson DUNFORD and Jacob T. SCHWARTZ
With the assistance
of William G. BADE and Robert G. BARTLE
1963
1NTERSCIENCE PUBLISHERS
NEW YORK, LONDON


Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц
при участии
У. Бейда и Р. Бартла
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Спектральная теория.
Самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве
Перевод с английского
М. Г. Гасымова, В. Я. Лина и Б. С. Митягина
Под редакцией
А. Г. Костюченко
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1966


УДК 517.43
Эта книга представляет собой второй том фундаментальной
монографии по теории лимонных операторов (первый том был
выпущен Издательством иностранной литературы в 1962 г.);
она посвящена многочисленным применениям теории линейных
операторов к различным вопросам анализа, и частности, общей
теории ограниченных и неограниченных самосопряженных
операторов, спектральной теории симметрических обыкновен-
обыкновенных дифференциальных операторов и операторов с частными
производными.
Изложение построено таким образом, что читателю почти
не приходится прибегать к другим источникам, в том числе
и к первому тому.
Книга рассчитана на математиков различных специально-
специальностей; она будет полезна преподавателям, аспирантам и студен-
студентам старших курсов математических факультетов университетов
и пединститутов. Она представит интерес также для физиков-
теоретиков, поскольку теория линейных операторов находит
широкое применение и сонремепиой физике.
Редакция литературы по математическим наукам


ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемсчя читателю книга является вторым томом обширно-
обширного труда американских математиков Н. Данфорда и Дж. Шварца,
первый том которого вышел в русском переводе в 1962 г. х)
В настоящем томе имеется шесть глав, из которых три —IX,
X и XII— посвящены общей теории. Именно, в главе IX излагается
теория банаховых алгебр, или, как у нас их часто называют, норми-^
рованньРПсолецТ По" теории и различным "применениям баМхоГвыхГ
аШ^ебрГвТюслёдние годы у нас появился целый ряд превосходных
книг (из них назовем «Коммутативные нормированные кольца»
И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова, Г. Е. Шилова и «Нормированные
кольца» М. А. Наймарка). Однако читателю весьма удобно, когда
материал излагается таким образом, что нет необходимости прибе-
прибегать к другим источникам. Именно к этому и стремятся авторы.
Главы X и XII посвящены общей теории ограниченных и неограни-
неограниченных самосопряженных и норщль^щ^ператоров. Весьма инте-
интересной: является глава XI, где собраны различные применения
общей теории, развитой в предшествующих главах, к более спе-
специальным вопросам теории операторов и вообще анализа. Наиболее
интересными в этой главе, как нам кажется, являются параграфы,
посвященные несамосопряженным вполне непрерывным операторам,
некоторая степень которых является оператором Гильберта —
Шмидта. Этим операторам посвящено много весьма тонких работ
различных математиков. Укажем здесь только на известные работы
Т. Карлемана и М. В. Келдыша. Однако следует отметить, что одна
из самых замечательных в этой области теорем — теорема Т. Карле-
Карлемана об особенностях резольвенты оператора Гильберта —Шмидта—
в книгах ~нё былгГ~ШШжена 2). Эта' теорема "доказывается в гла-
главе XI; в ней имеется также большое число других весьма глубо-
глубоких и важных результатов, связанных с операторами Гильберта —
Шмидта.
Глава XIII посвящена ^спектральной теории симметрических
обыкновенных дифференциальных" операторов. Тлава ~ содержит
ёб1к: общие теоремы о разложении М. Г. Крей-
*) Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, общая теория,
ИЛ, М., 1962.
2) Недавно вышла книга И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [2*], посвящен-
посвященная несамосопряженным операторам.


Предисловие редактора перевода
на — К. Кодаиры, исследование индексов дефекта и спектра диф-
дифференциальных операторов. Следует отметить, что более полно
этот материал излагается в книгах М. А. Наймарка «Линейные диф-
дифференциальные операторы» и И. М. Глазмана «Прямые методы каче-
качественного спектрального анализа», которые посвящены специально
дифференциальпым операторам.
Последняя, XIV гляиа посвящена спектральной теориуи^симме-
трических дифференциальных операторрв, главным "образом эллип-
эллиптический. До самого последнего времени эти вопросы излагались
только в журнальной литературе. Лишь недавно вышла книга
Ю. М. Бсрсшшского «Разложения но собственным функциям»,
где содержатся основные результаты спектральной теории эллип-
эллиптических операторов.
Глава XIV содержит также некоторые сведения по теории обоб-
обобщенных функций, необходимые для понимания изложенного в этой
главе и, по-видимому, в дальнейшем для доказательства общей тео-
теоремы о разложении по собственным функциям.
При переводе было устранено некоторое количество замеченных
опечаток и неточностей, а также сделан ряд примечаний, которые
уточняют изложение истории вопроса.
Терминология авторов, насколько это было возможно, прибли-
приближена к принятой в советской математической литературе.
Перевод глав IX—XI выполнен В. Я. Лином, главы XIII—
М. Г. Гасымовым, глав XII и XIV—Б. С. Митягиным.
Л. Г. Костюченко


ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Обилие имеющегося материала помешало нам рассмотреть в этом
томе все вопросы, которые мы первоначально предполагали вклю-
включить во вторую часть «Линейных операторов».
Настоящий том содержит весь ранее анонсированный материал,
относящийся к классической спектральной теореме для самосопря-
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Хотя мы затра-
затрагиваем некоторые вопросы, относящиеся к несамосопряженным
операторам (такие, например, как приведенное в § XI.6 доказатель-
доказательство полноты системы собственных и присоединенных функций опе-
оператора Гильберта — Шмидта), изучение общей теории спектраль-
спектральных операторов и несамосопряженных краевых задач для диф-
дифференциальных операторов мы откладываем до третьей части
настоящего трактата.
Поскольку во второй части рассматриваются в основном опера-
операторы в гильбертовом пространстве, мы для удобства справок непо-
непосредственно после главы XIV воспроизвели определение IV.2.26
и § IV.4 из первой части. Это приложение содержит основные опре-
определения и геометрические свойства гильбертова пространства, ко-
которые постоянно используются в данном томе. Таким образом, чи-
читателю, хорошо знакомому с содержанием глав I, II, III и VII,
лишь изредка понадобится для справки первая часть. Схема,
помещенная в начале книги, показывает взаимную зависимость раз-
различных параграфов второй части; аналогичная схема для первой
части воспроизведена в конце книги.
Глава IX представляет собой введение в весьма обширную теорию
банаховых алгебр; она служит нам фундаментом при построении
спектральной теории ограниченных самосопряженных операторов,
представленной в главе X. Главы X и XII содержат сравнительно
полное изложение абстрактной спектральной теории для ограни-
ограниченных и неограниченных самосопряженных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве. В главе XI собран целый ряд приложений
спектральной теоремы для ограниченных операторов и некоторые
родственные вопросы, а также изложена теория операторов Гиль-
Гильберта — Шмидта и неравенства Рисса — Кальдерона — Зигмунда.
И главе XIII подробно рассматриваются приложения спектраль-
спектральной теоремы для неограниченных самосопряженных операторов
к самосопряженным краевым задачам для обыкновенных дифферен-


Предисловие авторов
циальных уравнений. Глава XIV представляет собой краткое вве-
введение в теорию линейных дифференциальных уравнений с частными
производными; она приведена .чдесь для того, чтобы указать еще
одно богатое иоле приложений спектральной теоремы.
Читатель, знакомый с книгой Стоуна, имеющей сходное с нашей
название, заметит, что данная книга и хорошо известная работа
Стоуна почти не перекрывают друг друга. Наше изложение общей
теории основывается па исследованиях Гельфанда, а выбранные
нами приложения отличаются от выбранных Стоуном.
Мы обязаны многим ученикам и коллегам, обратившим наше
внимание на опечатки и ошибки, имеющиеся в первой части. Соот-
Соответствующие исправления приведены в конце книги. Мы хотим
поблагодарить д-ров Е. Коппельмана, Г. Лейбовица, Р. Ленглендса,
Н. Митеса и Е. Торпа, отметивших многие из этих ошибок. В частно-
частности, Р. Ленглендс показал, что пример, о котором говорится в упраж-
упражнении II 1.9.20, построить нельзя, и, таким образом, существенно
улучшил результат А. Д. Александрова (см. II 1.5.13). Мы весьма
благодарны мисс Р. М. Кастролл за ее компетентную редакционную
помощь при подготовке рукописи к печати, а также за чтение всех
корректур.
Нам приятно также поблагодарить администрацию Управле-
Управления научных исследований Военно-воздушных сил и Службы
морских исследований за постоянную поддержку при подготовке
этой книги.
Оруэлл, Вермонт Нельсон Данфорд
Нью-Йорк Джекоб Шварц
Июль 1963 г.


ГЛАВА IX
Банаховы алгебры
1. Предварительные сведения
В математическом анализе часто встречаются классы функ-
функций, представляющие собой алгебры. Так, хорошо известными
примерами алгебр могут служить классы, состоящие из всех огра-
ограниченных функций на некотором множестве, непрерывных огра-
ограниченных функций на топологическом пространстве, функций
ограниченной вариации, почти периодических функций, функций,
обладающих несколькими непрерывными производными, и анали-
аналитических функций. Во всех перечисленных случаях алгебраичес-
алгебраические операции являются обычными операциями над функциями
и выполняются по правилам
(a/) (s) = а/ (s), (/ + g) (s) =f(s) + g (s), (fg) (s) = f(s)g (s).
Некоторые распространенные функциональные пространства,
такие, например, как Li( —оо, оо), незамкнуты относительно
естественных алгебраических операций (произведение двух интег-
интегрируемых функций не обязательно интегрируемо), но тем не ме-
менее являются алгебрами относительно других, также весьма упот-
употребительных операций. Так, пространство Ll( — оо, оо) превра-
превращается в алгебру, если в качестве умножения на скаляры и сло-
сложения принять обычные операции, а произведение двух функций
Л g(zLi( — оо, оо) определить как их свертку:
(/•*)(«)= \ f{s-t)g{t)dt.
Итак, многие линейные пространства, с которыми мы сталки-
сталкиваемся в математике, при том или ином определении операций
являются также и алгебрами. Настоящая глава содержит аксио-
аксиоматическое изложение теории некоторых типов алгебр, встречаю-
встречающихся в анализе. Многочисленные приложения общей теории
к изучению различных конкретных алгебр читатель найдет в сле-
следующих двух главах.


10 Гл. IX. Банаховы алгебры
1. Определение. Алгебра Ж с единицей е над полем комплекс-
комплексных чисел называется банаховой алгеброй, или В-алгеброй, если
она снабжена нормой | • |, удовлетворяющей соотношениям
\е\ = \, \ху\^\х\\у\, х, У€%*
и является относительно этой нормы В-пространством. Банахова
алгебра Ж коммутативна, если ху — ух для всех х, у ?36. Инво-
Инволюцией в В-алгебре Ж называется такое отображение х—^х*
алгебры Ж в себя, что
(х + у)* = х* + у*, (ху)* = у*х*,
(ах)* — ах*, (х*)* = х.
Все упомянутые выше алгебры функций, за исключением
Li( —оо, оо) и алгебры аналитических функций, являются комму-
коммутативными В-алгебрами с инволюцией х* (s) = x(s). Простран-
Пространство Li( — оо, оо) со сверткой в качестве умножения представ-
представляет собой коммутативную алгебру с инволюцией /*(s) = /( — s),
но не В-алгебру, h6oj в Li( —оо, оо) отсутствует единичный
элемент. Покажем, как присоединить к такой алгебре единицу,
чтобы получить В-алгебру. Пусть алгебра Ж не имеет единицы,
но удовлетворяет всем остальным аксиомам В-алгебры. Положим
З^^ФхЭЕ, где Ф —поле комплексных чисел; таким образом, 3?4
состоит из всевозможных упорядоченных пар [а, х], где а?Ф,
х?Ж. Операции и норму в 3?4 определим следующим образом:
[а, *] + [р, #] = [a + pf х + у],
[а, *ПР, у]-[ар, ау + $
Х[а, х] = [Ха, Хх], \[а, х]\ = \а\
Очевидно, что 3?i представляет собой В-алгебру с единицей е =
= [1, 0], причем |е| = 1, и что отображение х—> [0, х] является
изометрическим изоморфизмом алгебры Ж в Ж\.
Имеется еще один тип алгебр, не являющихся банаховыми,
но тем не менее таких, что их изучение с алгебраической и топо-
топологической точек зрения может быть сведено к изучению В-ал-
гебр. Пусть комплексное В-пространство Ж является в то же
время алгеброй с единицей е над полем комплексных чисел.
Мы не требуем выполнения условий |е| = 1 и | ху |-<#| | у \, но
предполагаем, что | е \ Ф 0 и что произведение ху непрерывно
по каждому из сомножителей при фиксированном другом. Опре-
Определим отображение т : х —» Тх алгебры Ж в алгебру В (Ж) всех
линейных непрерывных операторов, действующих в В-простран-
стве Ж, положив Тху = ху. Ясно, что отображение т является


/. Предварительные сведения 11
(алгебраическим) изоморфизмом алгебры 36 и подалгебры тC6)
алгебры В C6). Покажем, что т — также и гомеоморфизм; это будет
означать, что алгебра 36 топологически и алгебраически эквива-
эквивалентна В-алгебре тC6). Так как \х\ =*\хе | = \Тхе |< \е\- \ Тх\, то
обратное отображение х-1 :Тх—>х непрерывно. Чтобы доказать
непрерывность х, покажем сначала, что множество х C6) замкнуто
в В C6). Для этого заметим, что оператор Т из В C6) принадлежит
т(ЗЕ) тогда и только тогда, когда (Ty)z = T(yz) для всех у, z ? 36.
Действительно, если последнее условие выполнено, то, полагая
х = Те, имеем Ту = Т(еу) = (Те)у = ху, так что Т= Тх?хC6)г).
Если теперь Тп ?х C6) и Тп—>Т, то из соотношений
G>) г - lim (Тпу) z = lim Гд (yz) = Т (yz)
п п
следует, что Т"?т(Х); таким образом, тC?) замкнуто. Поэтому
т —взаимно однозначное линейное отображение В-пространства 36
на В-пространство т (Ж), а так как обратное отображение тт1
непрерывно, то по теореме П.2.4 о замкнутом графике т явля-
является гомеоморфизмом. Итак, доказано, что алгебра Ж топологи-
топологически и алгебраически эквивалентна В-алгебре т (ЭЕ).
Это рассуждение показывает, в частности, что каждая бана-
банахова алгебра Ж изометрически изоморфна подалгебре т C6) с еди-
единицей / алгебры В(ЭЕ) всех непрерывных линейных операторов,
действующих в В-пространстве Ж. В связи с этим желательно
было бы показать, что оператор Тх из т C6) обратим в В C6)
тогда и только тогда, когда элемент х имеет обратный в 36, при-
причем если обратный оператор Т^1 существует и принадлежит В C6),
то 7V==7Vi(;TC6). Ясно, что если х-1 существует, то Tx-iTx =
= TxTx-i = I. Если Тх1 существует в В C6), то
Тх ЦТ^У) г] = yz, (Т?У) г - Г (yz),
и если а = Т~1е, то az = Txxz для всех z ?36. Кроме того,
ха = Тха = е = Тхг (Тхе) - Г (ех) = {Тххе) х =¦ ах.
Следовательно, х-г^=а существует и Тх^ = х-гг.
2. Определение. Элемент х банаховой алгебры Ж называется
регулярным, если существует обратный к нему элемент х-1,
и сингулярным в противном случае. Спектр а(х) элемента х
состоит из тех комплексных чисел %, для которых элемент %е — х
сингулярен. Число | or (jc) | = sup |A,| называется спектральным
1) Справедливость обратного утверждения вытекает из ассоциативности
умножения в Ж. —Прим. перев.


/2 Гл. IX. Банаховы алгебры
радиусом элемента х. Резольвентное множество q(x) есть допол-
дополнение Ф — а(х) спектра а(х). Функция х(к) = (Хе — х)-1, опреде-
определенная для X?q(x), называется резольвентой элемента х. Эле-
Элемент х назовем правым (левым) топологическим делителем нуля,
если в Ж найдется такая последовательность {хп} с | хп \ = 1,
/г=1, 2,..., что хпх—>0 (соответственно ххп—>0). Если эле-
элемент х является как правым, так и левым топологическим дели-
делителем нуля, то он называется двусторонним топологическим дели-
делителем нуля.
Предыдущее рассмотрение показывает, что а(х) = о(Тх)
и q(x) = q (Тх); здесь а (Тх) и q (Тх) — соответственно спектр
и резольвентное множество оператора Тх, см. VII.3.1. Оно поз-
позволяет также получить ряд утверждений, относящихся к В-алгеб-
рам, в качестве следствий из соответствующих результатов теории
операторов. Но поскольку непосредственные доказательства этих
утверждений, по преимуществу, вполне элементарны, мы, полноты
ради, приведем их здесь.
3. Лемма. Мультипликативная группа G регулярных элемен-
элементов В-алгебры Ж открыта в Ж, и отображение х—^хг1 является^
гомеоморфизмом G на себя.
Доказательство. Покажем сначала, что группа G содержит
шар {х\ \е — х\ < 1}. В самом деле, при \е—-л;|<1 ряд у —
оо
= 2 (е~х)п сходится (здесь, по определению, а° = е). Поэтому
71=0
71=0 71=1
Следовательно, у = х~г и
\-\e-x\
71=1
Таким образом, множество G содержит окрестность единицы
и лг1 является непрерывной функцией от х в точке х — е. Пусть
теперь х ? G и | у — х | < | х'11. Тогда
и, следовательно, как только что было доказано, x^y^G, откуда
y?G. Если уп—>у, тс^УпУ'1—>е, и потому ууп1^(УпУ'1)'1—>е;
следовательно, Уп-^у'1, ч. т. д.
4. Лемма. Каждая граничная точка группы регулярных элемен-
элементов В-алгебры является двусторонним топологическим делителем
нуля.


1. Предварительные сведения 13
Доказательство. Пусть x$G, xn?G, xn—>x. Если последова-
последовательность { |хп11} ограничена, то х^х — е = Хп1(х — хп)—>0 и по
лемме 3 x^x^G для больших п. Это противоречит условию x$G.
Следовательно, последовательность {| хп11} неограничена, и мы
можем считать, что | хп1 \ —> оо. Пусть уп = хп1/ \хпх\, так что
| ул 1 = 1; тогда
хуп = (х — хп) уп + -4пт —> 0;
\Хп )
это означает, что * —двусторонний топологический делитель
нуля, ч. т. д.
5. Лемма. Спектр а (х) элемента х банаховой алгебры явля-
является непустым ограниченным замкнутым множеством. Резоль-
Резольвента х(Х) = (Хе — х)~1 элемента х аналитична на множестве
q (х), стремится к 0 при | К \ —> оо и удовлетворяет соотношению
х A) — х (\х) = (\i — X) х (X) х (\i), X, hCqW-
Доказательство. То, что множество q (x) открыто и, следова-
следовательно, а (х) замкнуто, следует из леммы 3. Эта лемма показы-
показывает также, что Хе — х = Х(е — х/Х) ?G для больших X (ибо для
больших X элемент е — х/Х близок к е), откуда вытекает ограни-
ограниченность множества а(х). Так как е — х/Х—>е при |А,|—> оо, то
по лемме 3 х (X) = X'1 (е — xlX) —» 0 при |А,|—>оо. Для любых
X,\i(iQ(x) элементы х(\х) и х(Х) коммутируют, и
(Xe-x)x(X)x\\i) = x(\i),
(\ie — х) х (X) х (\i) = х(ХO
x(\i) — x (X) = (X—\i)x (X) х fox),
откуда
x(\x)—x(X) _ y(Uy(i.,
Согласно лемме 3, функция х(Х) непрерывна при X?q(x); поэтому
последнее равенство показывает, что х' (X) == — х (X2) и, следо-
следовательно, резольвента х(Х) аналитична на множестве q(x).
Наконец, если спектр а (х) пуст, то для любого линейного
функционала х* на X функция х*х(Х) аналитична для всех X
и равна 0 на бесконечности; поэтому она равна 0 тождественно.
Поскольку в качестве х* можно взять любой элемент сопряжен-
сопряженного пространства Ж*, то отсюда следует (см. II.3.15), что
0 = х (X) = х (X) (Хе — х) = в,, но это противоречит предположению
11 1


14
Гл. IX. Банаховы алгебры
6. Теорема. Если В-алгебра не содержит отличных от О
двусторонних топологических делителей нуля, то она изометри-
изометрически изоморфна полю комплексных чисел.
Доказательство. Пусть х?Ж. Согласно лемме 5, спектр о](х)
непуст и ограничен, так что найдется точка X, принадлежащая
его границе. Тогда по лемме 4 Хе— л: является двусторонним топо-
топологическим делителем нуля, и пфтому х = Хе. Так как |е| = 1,
то |л;| = | Х\, ч. т. д.
—> 7. Следствие. Если В-алгебра является телом, то она изо-
изометрически изоморфна полю комплексных чисел.
8. Лемма. Спектральный радиус | о (х) | элемента х банаховой
алгебры удовлетворяет соотношениям
Доказательство. При | X | > | х | ряд 2 хп/Хп+1 сходится и,
п=0
поскольку
71=0
71=0
Х71"*
представляет резольвенту х (X). Поэтому | а (х) |< | х \. По лемме 5
резольвента х(Х) аналитична на множестве q(x)u, следовательно,
для любого функционала х*?Ж* все особые точки скалярной
аналитической функции х*х(Х) заключены в круге |А,|<[ |а(л:)|.
оо
Поэтому ряд х*х (X) = 2 х*хп/Хп+1 сходится при | X | > | а (х) |,
2
п=0
и, следовательно, для таких X
sup
п
х*хп
<оо.
Поскольку х* — произвольный линейный непрерывный функцио-
функционал на Ж, из принципа равномерной ограниченности (П.3.20)
вытекает, что
<Мя<оо, /1=1, 2, ....
Следовательно,
lim |
П-+ОО


/. Предварительные сведения 15
Так как это верно для всех таких А, что | Я | >> | о (х) |, то
71->ОО
Для завершения доказательства заметим, что если элемент Хе — х
сингулярен, то сингулярен и элемент Кпе — хп, ибо кпе — хп
делится на Хе — х. Поэтому, если Х?о(х), то Хп?о(хп), откуда
|А,п|<|хп|; это показывает, что | Я|< lim \xn \*-/п при к?о(х).
П->оо
Следовательно, | а (х) \ *С Нш | хп |1/п, ч. т. д.
71->ОО
Если Жо является 5-подалгеброй (т. е. замкнутой подалгеброй
с единицей) Б-алгебры Ж и х?Ж0, то наряду со спектром а(х)
элемента х относительно алгебры Ж можно рассмотреть его спектр
ао(х) относительно алгебры Жо. Множества а(х) и о0(х), вообще
говоря, различны; тем не менее предыдущая лемма показывает,
что спектральные радиусы |ог(л:)| и | а0 (х) | равны. Если е0 — идем-
потент в Ж (т. е. el — e0), отличный от 0 и е, а Жо — ео%ео, то ясно,
что а0 (х) s сг (л:) для любого л: ? Жо. Следующая лемма показы-
показывает, что если единица подалгебры Жо совпадает с е, то имеет
место обратное включение.
9. Лемма. Пусть В-подалгебра Жо банаховой алгебры HL имеет
общую с Ж единицу е. Тогда а (х) <= а0 (х) для любого х?Ж0, в то
время как граница b (o0 (х)) множества а0 (х) содержится в гра-
границе Ь(а(х)) множества о(х).
Доказательство. Так как единица е алгебры Ж содержится
в Жо, то элемент, регулярный в Жо, регулярен и в Ж. Поэтому
Qo (х) ^Q(x) и а (х) s (Т0 (х). Если Я ? b (a0 (х)), то Хе — х является
граничной точкой группы регулярных элементов алгебры Жо-
Тогда по лемме 4 Хе — х есть двусторонний топологический дели-
делитель нуля в Жо, а значит, и в Ж. Следовательно, b (а0 (х)) gz а (х),
что в сочетании с q0 (x) ^ q (x) дает
Qo (*) П ^0 (х) = b (сто (х)) ?=Q(x) (]a(x) = b (a (x)),
ч. т. д.
10. Следствие. Если в дополнение к условиям леммы 9 мно-
множество а0 (х) нигде не плотно или же множество q (x) связно,
то gq (х) = а (х).
Доказательство. Если множество ао(х) нигде не плотно, то,
поскольку оно замкнуто, а0 (х) =¦= b (а0 (х) ^Ь(а(х)^о (х) ^ а0 (х).
Если множество q(х)связно и существует точка Х?о0(х) П q(x),
то можно соединить ее с бесконечностью непрерывной кривой,


16 Г л, IX. Банаховы алгебры
целиком лежащей в q(x). Но тогда найдется граничная
точка множества о0(х), лежащая в q(x). Это противоречит лем-
лемме. Следовательно, множество а0 (х) fl Q (х) пусто; значит, и в этом
случае ao(jc)ga(x)gao(x), ч. т. д.
11. Следствие. Если в дополнение к условиям леммы 9 спектр
со(х) веществен, то он совпадает со спектром ох(х) элемента х
относительно любой В-подалгебры Жх s 36, содержащей х и еди-
единицу е алгебры Ж.
Доказательство. Так как а(х) ^ао(л:), то а (х) лежит на веще-
вещественной оси. Согласно лемме 5, множество о(х) ограничено.
Поэтому q(x) связно, и следствие 10 показывает, что ао(х) =
^a(x) = ai{x).
Правым (левым) идеалом в Ж называется такое непустое собст-
собственное линейное многообразие 3 в Ж, что 336 = 3 (соответственно
363 ^~:3). Если одновременно 336 = 3 и 363 = 3» то идеал назы-
называется двусторонним. Множества 36 и {0} считаются тривиаль-
тривиальными идеалами. Поскольку идеал является собственным подмно-
подмножеством множества 36, он не может содержать ни одного
регулярного элемента и потому содержится в дополнении С
группы G регулярных элементов. Так как множество G открыто
(лемма 3), тоЗ^С' и потому 3=7^=36. Отсюда и из непрерыв-
непрерывности алгебраических операций следует, что 3 есть идеал. Таким
образом, замыкание правого, левого или двустороннего идеала
снова является правым, левым или двусторонним идеалом. Это
показывает, что максимальный идеал (т. е. идеал, не содержа-
содержащийся ни в каком другом одноименном нетривиальном идеале)
всегда замкнут. Пусть 3 —правый идеал; упорядочим по вклю-
включению семейство всех правых идеалов, содержащих 3- Применяя
лемму Цорна, получаем, что это семейство содержит максималь-
максимальный элемент. Итак, каждый правый (аналогично левый или дву-
двусторонний) идеал содержится в некотором максимальном правом
(соответственно левом или двустороннем) идеале. В частности,
если элемент х сингулярен, то хотя бы одно из множеств хЖ
и Жх является идеалом; поэтому х содержится в некотором мак-
максимальном идеале. Перечисленные свойства идеалов собраны
в следующей лемме.
12. Лемма. Как для правых, так и для левых или двусторон-
них идеалов справедливы утверждения:
(a) Идеал не содержит регулярных элементов.
(b) Замыкание идеала есть идеал.
(c) Максимальный идеал замкнут.
(d) Каждый идеал содержится в некотором максимальном идеале.


1. Предварительные сведения 17
(е) Элемент х содержится хотя бы в одном максимальном
правом (левом) идеале тогда и только тогда, когда он не имеет
правого (соответственно левого) обратного.
Напомним, что смежные классы # + 3> #?Ж, по двусторон-
двустороннему идеалу 3 образуют алгебру относительно следующих опе-
операций:
Эта алгебра называется факторалгеброй алгебры Ж по идеалу 3
и обозначается Ж/3- Норма в факторалгебре банаховой алгебры Ж
по двустороннему идеалу 3 задается соотношением
|= inf \х + у\.
#3
13. Лемма. Если 3 — замкнутый двусторонний идеал В-алгебры
Ж, то 36/3 является В-алгеброй.
Доказательство. Для краткости класс я + 3 обозначим через х.
Ясно, что Ж/3 есть алгебра с единицей е, так что остается лишь
показать, что выполняются аксиомы нормы. Если | х | = 0, то най-
найдется такая последовательность #д?3» что \х-\-хп |—> О, и, по-
поскольку идеал 3 замкнут, х?$. Следовательно, х = 0, т. е.
х — нулевой элемент в Ж/3- Пусть теперь г, и, v независимо про-
пробегают идеал 3- Тогда
= I ху I = inf I *У + z К inf | (х + и) (у + v) \ < | х \ \ у
и, v
Так как | е\ = | е2|<|?|2 и \е\Ф§, то \е\>\. С другой стороны,
|e| = inf|e + 2|<:|e|-=l. Следовательно, |е\ = 1. Неравенство тре-
треугольника проверяется аналогичной выкладкой:
Ясно, что | ах\ = \а \ \х\. Наконец, докажем полноту простран-
пространства Ж/3- Пусть {хп} — последовательность Коши в Ж/3 кхп?~хп,
я=1,2,.... Выберем из нее подпоследовательность {х'п} таким об-
оо
разом, чтобы ряд 2 \хп — ^п-ы I сходился. Фиксируем произвольно
п=1
2i ? 3 и выбираем по индукции такие z2, г3, ... б 3» что
^1' ''=1. 2,....


18 Гл. /X, Банаховы алгебры
Тогда yn = x'n + Zn есть последовательность Коши, ибо
р-1
| Уп+р — Ул | = I S (Уп+k+l — Уп+k) |
/i=0
fc0
Пусть х=НшуЛ; тогда
Таким образом, исходная последовательность Коши содержит
сходящуюся подпоследовательность и потому сама сходится,
ч. т. д.
2. Коммутативные /?-алгебры
В коммутативной Л-алгебре 36 каждый идеал 3 является дву-
двусторонним, и факторалгебра ЗЕ/3 снова коммутативна; она является
В-алгеброй, если идеал 3 замкнут A.13). Легко видеть, что каж-
каждый идеал 3' алгебры Ж, содержащий 3 в качестве собственного
подмножества, порождает в факторалгебре ЭЕ/3 идеал 3'» состоя-
состоящий из всех классов * = л; + 3, для которых х?3'. Обратно, вся-
всякий идеал факторалгебры Ж/3 может быть получен таким спо-
способом.
1. Теорема. Пусть 3 — замкнутый идеал коммутативной
В-алгебры Ж. Факторалгебра 3t73 тогда и только тогда изо-
изометрически изоморфна полю комплексных чисел, когда идеал 3
максимален.
Доказательство. Если идеал 3 не максимален, то он строго
содержится в некотором идеале; тогда факторалгебра ЭЕ/3 содер-
содержит нетривиальный идеал и потому не является полем1). Если
же идеал 3 максимален, то 36/3 не содержит нетривиальных
идеалов; но тогда 36/3 — поле. Требуемое утверждение вытекает
из леммы 1.13 и теоремы 1.6.
Пусть а$ — множество всех максимальных идеалов коммута-
коммутативной В-алгебры X. Из теоремы 1 следует, что для каждого
Ш?&М и каждого х?Ж найдется такое комплексное число х(Ш),_
что х-\-Ш = х(Ш)е + Ш. Ясно, что отображение х—>х(Ш) есть
гомоморфизм алгебры Ж в поле комплексных чисел Ф. Этот гомо-
гомоморфизм непрерывен, ибо |Bй)| | + 2й|<||
!) В этом рассуждении существенно лишь, что 36/3 и Ф алгебраически
изоморфны, —Прим- перге.


2. Коммутативные В-алгебры 19^
2. Лемма. Пусть \х — ненулевой гомоморфизм коммутативной
В-алгебры Ж в поле комплексных чисел Ф и
— его ядро. Тогда 5Шц — максимальный идеал алгебры lux (ЗКц) =
= \л(х) для любого х?1. При этом соответствие \i—>Ш11 между
множеством зсех ненулевых гомоморфизмов и множеством о/Я всех
максимальных идеалов является взаимно однозначным.
Доказательство. Так как элемент \i(x)e — x содержится в идеа-
идеале Ш^ то он сингулярен, и потому число \х(х) принадлежит
спектру а(х). Тогда по лемме 1.8 | \i (x) \<^.\х |. Поэтому гомо-
гомоморфизм A непрерывен, идеал Шц замкнут и %/Шц является
Л-алгеброй (см. 1.13). Гомоморфизм \х постоянен на каждом
смежном классе л:+ 93^ и потому порождает некоторый изомор-
изоморфизм A факторалгебры !Шу, в поле комплексных чисел Ф. Так
как |i(ae) = a, то \х отображает Ж/ЗЛ^ на все Ф. Это показывает,
что Ж/Ш^естъ поле, и, следовательно, идеал Ш^ максимален. Равен-
Равенство A (х) = х(Ш11) вытекает непосредственно из определения
х(Шр,). Соответствие \х—>9ЛМ, взаимно однозначно, ибо если
[*i->2)V !^2->^2 и Ш^Ш^, то iil(x)^x((mill) = x(Wll2)^
= \х2(х) для всех *?ЭЕ.
3. Следствие. Всякий гомоморфизм коммутативной В-алгебры
в поле комплексных чисел непрерывен.
4. Лемма. Пусть М — множество всех максимальных идеалов
коммутативной В-алгебры 1. Тогда х (<*#) == а (х) и
sup
шМ
Доказательство. Элемент х(Ш)е — х принадлежит максималь-
максимальному идеалу Ш и потому сингулярен A.12е). Следовательно,
х(Ш)?о(х). Обратно, если k?o(x), то сингулярный элемент
Хе — х содержится в некотором максимальном идеале $Щ A.12е),
и потому X = х EШ). Равенство sup \х(Ш)\ = \\гп\хп\1/п вытекает
из леммы 1.8.
5. Определение. Элемент х банаховой алгебры Ж называется
топологическим нильпотентом, если \xn\i/n—>0. Радикал 9t есть
множество всех топологических нильпотентов В-алгебры ЭЕ. Если
9t = {0}, то алгебра ЭЕ называется полупростой.
6. Лемма. Радикал коммутативной В-алгебры совпадает
с пересечением всех ее максимальных идеалов.
2*


20 Гл. IX. Банаховы алгебры
Доказательство. Поскольку х(Ш) = 0 тогда и только тогда,
когда х?Ш, эта лемма является следствием леммы 4.
7. Определение. Структурным пространством1) коммутатив-
коммутативной В-алгобры Ж называется множество Jft всех ее максимальных
идеалов, наделенное топологией, которая задается всеми окре-
стностями вида
Л/ (9Л0; и, Л)---{ЯЛ|ЯПе^, \х(Ж)-х(Ш0)\<е, х?А),
где е>'0, Л — произвольное конечное подмножество в Ж, а 9К0
пробегает р//.
Семейство множеств указанного вида удовлетворяет условиям
леммы 1.4.7 и потому действительно определяет некоторую топо-
топологию на множестве JL
8. Лемма. Структурное пространство <М коммутативной
В-алгебры И является бикомпактным хаусдорфовым простран-
пространством, и для любого х?1 функция х(Ш) непрерывна на <М.
Доказательство. Непрерывность х(-) в каждой точке Шо6(М
вытекает из определения 7. Поэтому функция х(-) непрерывна
на оМ A.4.16а). Обозначим через Qx замкнутый круг {А,||Я|< | х |}
комплексной плоскости, и пусть Q= Д Qx —тихоновское произ-
ведение всех таких кругов (см. 1.8.1). Так как |х(9К)|<; \х\, то
xBK)GQx для любого х?!?, и потому каждому Ш из Ji соот-
соответствует некоторая точка q^Q, а именно точка с координатами
q(x) = x($l). Различным максимальным идеалам 5ШЬ 5Ш2 отве-
отвечают в Q различные точки, ибо если *?9Ki и х$Ш2, то
х(Ш1) = 0фх(Ш2). Согласно теореме Тихонова A.8.5) и лем-
лемме 1.8.2, Q является бикомпактным хаусдорфовым пространством,
а о/К топологически эквивалентно некоторому подмножеству про-
пространства Q. Для завершения доказательства достаточно, в силу
1.5.7, показать, что <>$, рассматриваемое как подмножество в Q,
замкнуто. Пусть Х?,М, »>0, Л = {х, //, х | у}, где х и у — про-
произвольные элементы из X. Окрестность N (К; е, Л), рассматриваемая
как окрестность точки X в Q, пересекается с ©Ж, и потому суще-
существует такой максимальный идеал ЗЛ, что
(у)-у (ЯК) |< е,
Так как (jc + у) (ЯК) = л: (ЯЛ) + ^ (ЗЛ), а е>0 произвольно, то
г) В отечественной литературе чаще употребляется термин «пространство
максимальных идеалов».—Прим. перев.


2. Коммутативные В-алгебры ?/
Подобным образом можно показать, что k(e) = l, Xjax) =
= aA, (х) и К (ху) = К(х)Х (у). Следовательно, точка к 6 qS опре-
определяет ненулевой гомоморфизм алгебры Ж в поле комплексных
чисел; в силу леммы 2 существует такой максимальный идеал
Ма,€о#, что х(Шх) = к(х), х?%. Итак, %?оМ, т. е. <М замкнуто
в Q, ч. т. д.
—>9. Теорема. Пусть a/ft — структурное пространство комму-
коммутативной В-алгебры Ж и С (<М) есть В-алгебра всех комплексных
непрерывных функций на &М. Тогда отображение х—>х(-)
является непрерывным гомоморфизмом алгебры Ж в С(оМ), причем
sup |лсBЛ)|<|л:|. Это отображение является взаимно однознач-
ным тогда и только тогда, когда алгебра Ж полу проста.
Доказательство. То, что отображение х—>х(-) является гомо-
гомоморфизмом, следует из определения х E01). В лемме 8 утвер-
утверждается, что х{-)?С{М). Неравенство |#(ЯЛ) |<![л:| вытекает из
определения нормы в факторалгебре (а также из леммы 4).
В случае полупростоты алгебры И из леммы 6 следует, что если
х(Ш) = 0 для всех Ш?оМ, то х = 0; таким образом, в этом слу-
случае отображение х—>х(-) взаимно однозначно. Обратно, если
это отображение взаимно однозначно, то та же лемма показы-
показывает, что алгебра Ж полупроста, ч. т. д.
10. Определение. Будем говорить, чщ 5-алгебра X поро-
порождается множеством Y ^ Ж, если наименьшая замкнутая под-
подалгебра алгебры ЭЕ, содержащая Y и единицу е, совпадает с ЭЕ-
В этом случае Y называется системой .образующих, а элементы
у 6 Y — образующими алгебры Ж.
11. Теорема. Структурное пространство коммутативной
В-алгебры Ж, порожденной множеством Y ^ Э?, гомеоморфно замк-,
ну тому подмножеству тихоновского произведения Па(У)> г^е У
пробегает Y.
Доказательство. Согласно лемме 4, у {о/И) = а (у) и потому
соответствие Ш—>у{Ш) задает отображение пространства Jl
в И °(У)- Это отображение непрерывно, ибо непрерывны все
функции */(•). Допустим, что у(Ш1)=у(Ш2) для всех y?Y.
Тогда, поскольку Y порождает ЭЕ, имеем х EШ±) = х (Ш2) для всех
хб?, откуда Ш1 = Ш21 так как если x?Mi и х$Ш2, то
х (JSfli) = 0фх (ЗК2). Поэтому рассматриваемое отображение являет-
является непрерывным и взаимно однозначным отображением биком-
бикомпактного хаусдорфова пространства оМ в хаусдорфово простран-


$2 Гл. IX. Банаховы алгебры
ство П о (у). Следовательно A.5.8), это отображение является
we v
гомеоморфизмом, причем образ оМ (согласно 1.5.7) замкнут
П
в П^О/). ч- т» А-
12. Следствие. Если В-алгебра И порождается множеством
Ks$, то в качестве, базы открытых множеств ее структур-
структурного пространства сМ можно взять все окрестности вида
где А—-произвольное конечное подмножество в У.
13. Следствие. Структурное пространство В-алгебры с одной
образующей гомеоморфно спектру этой образующей,
14. Теорема. Подмнооюество комплексной плоскости тогда
и только тогда гомеоморфно структурному пространству неко-
некоторой В-алгебры с одной образующей, когда оно компактно и его
дополнение связно.
Доказательство. Пусть ^ — структурное пространство 5-алгеб-
ры Ж с одной образующей z. Согласно следствию 13, компактное
множество а (г) гомеоморфно <М. Допустим, что дополнение
к а (г) несвязно, и пусть G —связная ограниченная компонента
этого дополнения. Для каждого х?Ж найдется такая последова-
последовательность полиномов {Рп}, что | Рп (г) — л: | —^0; следовательно,
если Я = 2EШ), то
равномерно относительно Ш^оМ. Так как г(<у$) = д(г), то после-
последовательность полиномов {Рп(Щ сходится равномерно на а (г).
Тогда, как доказывается в теории функций комплексного пере-
переменного, последовательность {Рп (К)} сходится равномерно
также на С. Для любого A, ?G и любого х ? X положим х(Х) =
= lim Рп (X), где {Рп (к)} — такая последовательность полиномов, что
|P7l(z)-~x\—>0. Ясно, что величина х(Х) не зависит от выбора
конкретной последовательности {Рп}, участвующей в ее определе-
определении. Для фиксированного Хо?Gотображениех—>х(К0) является
ненулевым гомоморфизмом алгебры X в поле комплексных чисел.
Поэтому по лемме 2 найдется такой максимальный идеал ЗЛ0,
что х (Яйо) =х (^о) Аля всех ^6Х. В частности, lk0 = z(k0) =
= г(Шо)^г(оЛ) = а(г), что противоречит тому, что K0^G^O —
— g(z). Обратно, пусть а — компактное подмножество комплекс-
х) Это вытекает из очевидного включения Ь (G)^o (z), где Ь (G) — граница
области G, и принципа максимума модуля.— Прим. перге.


2. Коммутативные В-алгебры
ной плоскости, и пусть его дополнение q связно. Пусть С (а)
есть 5-алгебра всех комплексных непрерывных функций на мно-
множестве а с нормой
|
Пусть г —элемент алгебры С {а), определяемый соотношением
2(A,) = A,, А, ?сг, и пусть Жо есть В-подалгебра алгебры С (а),
порожденная элементом z и единичным элементом алгебры С (а).
Пусть а0 (г) — спектр элемента г относительно алгебры Жо, а а (г) —
спектр г относительно С (а). Ясно, что а(г) = сг; следовательно,
резольвентное множество q(z) = q связно и потому, согласно
следствию 1.10, а0 (г) = а (г) = а, ч. т. д.
Мы закончим рассмотрение свойств структурного пространства
коммутативной Б-алгебры приложением изложенной теории к дока-
доказательству существования чеховского бикомпактного расширения
для вполне регулярного топологического пространства.
15. Определение. Топологическое пространство Л вполне регу-
регулярно, если всякое его одноточечное подмножество замкнуто
и для любого замкнутого множества ЛодЛи для любой точки
Х$А найдется такая непрерывная на Л функция f(k), что 0<
1 для всех А,6Л; /(Яо) = 1 и /(X) = 0 при А,6ЛО.
16. Теорема (теорема Стоуна — Чеха о бикомпактном расши-
расширении). Всякое вполне регулярное топологическое пространство Л
гомеоморфно всюду плотному подмножеству о/ИА бикомпактного
хаусдорфова пространства Л, такого, что любая комплексная
ограниченная непрерывная функция, 'определенная на оМА, допу-
допускает единственное непрерывное продолжение на оМ1).
Доказательство. Пусть С(Л) — банахова алгебра всех комплекс-
комплексных ограниченных непрерывных функций на Л, а оМ — структур-
структурное пространство этой алгебры. Пространство оМ хаусдорфоЪо
и бикомпактно (лемма 8). Для каждого А,?Л отображение
х-^ х (К) алгебры С (Л) в поле комплексных чисел является гомо-
гомоморфизмом, и потому (лемма 2) существует такой максимальный
идеал Шх, что х(Ш\) = х(к). Поскольку пространство Л вполне
регулярно, отображение X—>Шь пространства Л в оМ взаимно
однозначно. Пусть оМА — образ Л в оМ при этом отображении.
Докажем, что о?А плотно в о/Л. Если это не так, то существует
в оМ окрестность вида
{Ш\\хг Щ) - xt (Шо) |< е, /=1, 2 п>,
г) Пространство М называется чеховским (или максимальным) бикомпакт-
бикомпактным расширением пространства А.—Прим. перев.


24 Гл. IX. Банаховы алгебры
не пересекающаяся с МА. Тогда если у1=хг — хг (Ш0)е* то для
каждого Х?А найдется такое натуральное /<я, что \уг(Х)\>е.
Пусть
тогда // (X) > а2 для всех X ? Л, так что для у (X) существует
в С (Л) обратный элемент у*1. Следовательно (лемма 1.12), у не
содержится ни в каком максимальном идеале; но у(Ш0) = 0,
откуда //?5Ш0. Полученное противоречие показывает, что qSa
всюду плотно в <М. Далее, для каждого х?С(А) функция х(Ш)
непрерывна на <М (лемма 8) и является продолжением на <А
функции х (ЗКя,) = х (X) (определенной первоначально на сЖЛ).
Итак, для завершения доказательства достаточно показать, что
взаимно однозначное отображение б: Я —>Wi пространства Л на
оМ\ является гомеоморфизмом. Прообразом окрестности
(а) {Я»х|Я»х6«#А, \хь(ть)-хг(ти)\<е, /—1 л}
при этом отображении является множество
(р) {Я|Х?Л, \xi(X)-xi(X0)\<E1 / = 1, ..., п},
которое в силу непрерывности функций xt открыто. [Следова-
[Следовательно, отображение б непрерывно. Чтобы доказать непрерыв-
непрерывность б, т. е. чтобы показать, что отображение б переводит
открытые множества в открытые, заметим сначала, что открытые
множества вида ф) отображаются в множества вида (а), которые
открыты в оМа- Далее, полная регулярность пространства Л позво-
позволяет установить, что каждое открытое в Л множество является
объединением некоторых множеств вида (C). Действительно, пусть
G — окрестность точки XOi a f 6С(Л) — функция, отделяющая точку
Я.0от множества Л —G, т. е. 0</(Х)<1; /(Хо)=1; /(^) = 0 при
X$G. Тогда множество
есть окрестность точки Хо, содержащаяся в окрестности G. Сле-
Следовательно, множества вида (Р) образуют базу открытых мно-
множеств в Л. Поэтому б переводит открытые множества в открытые
и является гомеоморфизмом, ч. т. д.
17. Следствие. Бикомпактное хаусдорфово провтранство А
гбмеоморфно структурному пространству В-алгебры С (Л).


3. Коммутативные В*-алгебры 25
18. Следствие. Если Х{ и Л2 — бикомпактные хаусдорфовы
пространства, а алгебры С(А^ и С(Л2) эквивалентны1), то про-
пространства Л4 и Л2 гомеоморфны.
Чтобы понять, насколько замечательна теорема 16, рассмотрим
в качестве пространства Л полуоткрытый интервал 0<Х<1
вещественной оси. Этот интервал является, очевидно, всюду
плотным подмножеством компактного пространства — отрезка
0<Х<1. Однако непрерывная и ограниченная на Л функция
sin(lA), имеющая, согласно теореме, непрерывное продолжение
на чеховское бикомпактное расширение интервала Л, не имеет,
разумеется, такого продолжения на отрезок 0-<Х-<1, получаю-
получающийся добавлением к Л одной точки. В действительности никогда
не удается эффективно построить чеховское расширение неби-
небикомпактного пространства.
3. Коммутативные 5*-алгебры
Мы уже отмечали, что В-пространства всех ограниченных
функций на некотором множестве, непрерывных ограниченных
функций на топологическом пространстве и почти периодических
функций являются В-алгебрами с инволюцией /*(s) = /(s), если
в качестве алгебраических операций принять естественные опера-
операции над функциями. Согласно следующему определению, эт
алгебры являются также В*-алгебрами.
1. Определение. В*-алгеброй называется В-алгебра с инволю-
инволюцией *, удовлетворяющей дополнительному условию | х*х | = | х |2.
Кроме уже перечисленных примеров, в которых В*-алгебры
являются коммутативными, можно указать алгебру B(fe) всех
ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом
пространстве ig. Инволюция в этой алгебре состоит в 11гереж)де
к гильбертовому сопряженному оператору (VI.2.9). Именно, если
Т?В($д), то, по определению, Т* есть такой оператор из B($q),
что
(I) (Тх, у) = (х, Ту), х, уе&
где (• , •) — скалярное произведение в ig. Для проверки тожде-
х) Здесь предполагается, что алгебры С (Ai), С (А2) изоморфны топологи-
топологически и алгебраически. Более сильный результат состоит в том, что для
гомеоморфизма пространств Ai и Л2 достаточно, чтобы соответствующие
алгебры были алгебраически изоморфны. Этот результат является очевидным
следствием следующей теоремы Гельфанда: если коммутативные полупростые
В-алгебры изоморфны алгебраически, то они изоморфны и топологически.
(См. Гельфанд, Райков, Шилов [1*, стр. 68—70].) — Прим. перге.


26 Гл. IX. Банаховы алгебры
ства | Т*Т | = | Т \2 заметим сначала, что
\T*T\ = sup\(T*Tx, y)\ = sup\(Tx1 Ty)\>
>sup|Gx, Тх) | = sup | Гх |2 = | Г |2,
где псрхиие грани берутся по всем х, у из ig, для которых
|*|<1, I//K1- С другой стороны,
| У* | = sup | (r*jcf ?/) | = sup | <jc
так что
Таким образом, | jPT | = | Г |а, что вместе с леммой VI.2.10
доказывает справедливость следующей леммы.
2. Лг.ммл. Алгебра В (!q) всех ограниченных линейных опера-
операторов в гильбертовом пространстве Sq, в которой инволюция *
определена соотношением (I), является В*-алгеброй.
Главная цель настоящего параграфа состоит в описании ком-
коммутативных В*-алгебр. Будет показано, что гомоморфизм х—>х(-)
(см. тсч>рсму 2.9) коммутативной В*-алгебры Ж в алгебру С (Л)
всех непрерывных функций на структурном пространстве Л
алгебры Ж является изометрическим изоморфизмом между Ж
и С (Л). Ьудет также показано, что этот изоморфизм является
*-изоморфи:шом, т. е. сохраняет инволюцию. Этот основопола-
основополагающий результат, принадлежащий Гельфанду и Наймарку, найдет
много применений и следующих двух главах.
3. Леммл. Если Ж — коммутативная В*-алгебра, то | я21-¦-1 л: |2,
jjc| = |jt'*| и единица е удовлетворяет соотношению е--е*.
Доказательство. Для любого х^Ж имеем \х2 \2~ \ (х2)*х2 \ —-¦¦
= | (х*J х21 = [ (хх*)* (хх*) | = | хх* |2 = | х |4. Таким образом, | х2 \ =
=^|л:|2 Аналогично | хх*\ == \х\2 \ хх* \ = | х**х* \ = | х* |2
\
[ () () | | | | | р х2 \ =
| Аналогично | хх*\ == \х\2, \ хх* \ = | х**х* \ = | х* |2, откуда
¦—|л**|. Далее, ее*--е*, се*^=е**е* = (е*е)* = е и поэтому е* = е,
ч. т. д.
4. Опгг.дслнпик. Гомоморфное отображение 1г В*-алгебры Ж
в В*-алгебру s/) называется ^-гомоморфизмом, если оно сохраняет
инволюцию, т. с. h(x)* ~/г(х*). Если *-гомоморфизм h отобра-
отображает У3*-а.)и'сбру 36 взаимно однозначно на В*-алгебру S), т. е.
является изоморфизмом, то он называется *'-изоморфизмом. Если
такой изоморфизм существует, то алгебры Ж и 2) называются
*-изоморфными или ^эквивалентными. Для записи ^эквивалент-
^эквивалентности между алгебрами Ж и $) иногда используется символ
Ж = У). Структурное пространство (определение 2.7) В*-алгебры Ж
иногда называется спектром алгебры Ж и часто обозначается
символом а (Ж).


3. Коммутативные В*-алгебры 27
5. Лемма (Арене). Если А является спектром коммутативной
В*-алгебры Ж, то отображение х—>х(-) алгебры Ж в С (А) пред-
представляет собой ^-гомоморфизм.
Доказательство. Согласно теореме 2.9, отображение х —>*(•)
является гомоморфизмом. Таким образом, достаточно показать,
что х*(X) = х(X) • для всех Х?А и х?Ж. Пусть *(Л) = а + ф
и л:*(Л) = у + '*б, где и, р, у» в вещественны. Допустим, что
? + 6=7^=0, и покажем, что это приводит к противоречию. Положим
у=[Х'\-х* — (и-\ yM/(P I ty"» тогда у* = у и y(X) = i. Пусть
iV —веществениое число. Тогда (// i Nie)(X)^= y(X) + Ni = i(l+N)
и, следовательно, | 1 ~|- N \ < 1 у \ Nie |. Поэтому A + ЛГJ<
< | y+Nie |2 = | (y+Nie) (y+Nie)* \ = \{y\ Nie) (у - Nie) \ -1 #2+N2e | <
<|у|2 + Л^2- Поскольку это неравенство должно выполняться
для всех вещественных N, то, подставляя N — \y\2, получаем
противоречие. Следовательно, p + S = O, и x(K)=:a + fLi, x*(X) =
= Y —Р^\ (^)(Л) = ^(Я)=-р + ш, (fx)*(Л) =-**•(*)==-P-Y*-
Поэтому из доказанного выше следует, что а — Y —0, так что
х*(к) = хЩ, ч. т. д.
6. Следствие. Если х = х*, то х(К) вещественно.
—> 7. Теорема (Гельфанд — Наймарк). Коммутативная В^-алгебра
изометрически ^-изоморфна алгебре всех комплексных непрерывных
функций на своем спектре.
Доказательство. Пусть Л — спектр В*-алгебры Ж. Так как
по лемме 3 \хт\ = \х\ш, если т является степенью 2, то
из леммы 2.4 вытекает, что
sup | х (Я) | = lim У\зр\ = | х \.
%?А п
Поэтому отображение х—>х(-) алгебры Ж в С (Л) изометрично
и Ж не имеет радикала. По лемме 5 это отображение является
""-гомоморфизмом. Остается доказать, что каждой непрерывной
функции на Л соответствует некоторый элемент х из Ж. Для
этого мы применим обобщенную теорему Вейерштрасса (IV.6.17).
Обозначим через С подалгебру в С (Л), порожденную всеми
функциями х(-), х ?Х. Так как | х\ = sup \x(X) \ и пространство Ж
полно, то С— замкнутая подалгебра в С (Л). Пусть Яь Я2 —раз-
—различные максимальные идеалы в Л, и пусть у^Хи у$к2- Тогда
у (%х)фу(Х2), так что С различает точки Л. Лемма 5 показывает,
что условия теоремы Вейерштрасса выполнены, и потому мы
заключаем, что С = С(А), ч. т. д.
8. Следствие. Если А —спектр коммутативной В*-алгебры Ж,
то гомоморфизм х-^х(-), фигурирующий в теореме 2.9, является
изометрическим ^-изоморфизмом между Ж и С (Л).


28 Гл. IX. Банаховы алгебры
9. Следствие. Коммутативная В*-алгебра операторов в гиль-
гильбертовом пространстве изометрически *-эквивалентна В*-алгебре
всех непрерывных функций на ее спектре.
10. Следствие. Пусть $ является В*-подалгеброй коммута-
коммутативной В1"-алгебры Ж, причем ty и Ж имеют общую единицу е.
Тогда элемент у из $ обратим в Ж в том и только том случае,
когда он обратим в %. Следовательно, спектр элемента у отно-
относительно У) совпадает с его спектром относительно Ж.
Доказательство. Если у1 существует в ty, то, поскольку
I и D имеют одну и ту же единицу, у'1 является обратным к у
и в Ж. Обратно, если у существует в Ж, то, поскольку
(У1)* у* (уу~1)* = е* = е1 элемент у* имеет обратный в Ж. Следо-
Следовательно, уу* обратим в Ж. Но по теореме 7 спектр элемента уу*
неотрицателен, и потому резольвентное множество Q'(yy*) связно.
Из следствия 1.10 вытекает, что уу* имеет обратный в $. Поэтому
элемент у обратим в $, ч. т. д.
11. Следствие. Пусть х — элемент коммутативной В*-ал-
гебры Ж, и пусть В* (х) является наименьшей замкнутой В*-под-
В*-подалгеброй у содержащей х и единицу е алгебры Ж. Тогда алгебра
В* (я) изометрически *-эквивалентна алгебре С(а(х)).
Доказательство. Ввиду следствия 10 спектр элемента х как
элемента алгебры В*(х) совпадает с его спектром а(х) относи-
относительно Ж. Поэтому мы можем предположить, что полиномы от е,
х и х* всюду плотны в Ж, т. е. что Ж~В*(л:). Пусть Л = сг(Ж)г
так что а(х) = х(А). Рассмотрим непрерывное отображение
X —>х(Х) пространства Л на а(х). Покажем, что оно взаимно
однозначно. Если х(Х) = х(Х'), то x*(K) = x(X) = x(K') = x*(X')f
и потому у(Х) = у(Х') для любого полинома от е, х и х*.
Поскольку такие полиномы всюду плотны в Ж, получаемf
что у (X) -^у(Х') для всех у из Ж. Тогда по следствию 8 любая
непрерывная на Л функция в точках X и X' принимает одинако-
одинаковые значения. Так как бикомпактное хаусдорфово пространство
нормально, то это означает, что Х---Х'. Таким образом, X—>х(Х)
является непрерывным взаимно однозначным отображением биком-
бикомпактного пространства Л на бикомпактное пространство х(А)^=
= о(х). Следовательно, а(х) и Л гомеоморфны. Поэтому, согласно
теореме 7, Ж = В*(х) = С(сг(х)), ч. т. д.
Вообще говоря, имеется много различных изометрических
*-изоморфизмов между В* (х) и С(сг(х)), так как ясно, что каждый
гомеоморфизм о(х) на себя порождает изометрический автомор-
автоморфизм алгебры С(а(х)) и, таким образом, преобразует один


3. Коммутативные В*-алгебры 29
^-изоморфизм между В*(х) и С(а(х)) в другой. Существует один
специальный изометрический "-изоморфизм между В*(х) и С(о(х))>
который мы хотим выделить.
Используя обозначения предыдущего доказательства, рассмот-
рассмотрим ^изоморфизм1) у< >у(х~1(-)) между В*(х) и С(а(х)); он
обладает тем свойством, что элемент х соответствует функции
х(х~1 (\х)) = |Л, \i?o(x). Очевидно, что требование соответствия
между элементом х и функцией g (\i) == \i определяет этот
^-изоморфизм однозначно, что приводит нас к следующему опре-
определению.
12. Определение. Пусть х —-элемент коммутативной В*-алгебры,
и пусть f?C(о(х)). Под f(x) мы будем понимать элемент в В*(х),
соответствующий функции / из С(а(х)) при *~изоморфизме между
В*(х) и С (а (л:)), однозначно определяемом требованием, чтобы
х и g (\x) ^ |ы были соответствующими элементами.
Обозначение /(*)» введенное в определении 12, совпадает
с употреблявшимся ранее. В самом деле, если / (|ы) = 2 о<пт\ьп\*>т —
полином от |л и |ы, то / (х) = 2 аПтХпх*т. Символ / (х) употреб-
употребляется также для обозначения элемента BШ*) \ f (K)(ke—x)~1d'k
с
(см. определение VII.3.9) при условии, что / является однознач-
однозначной аналитической функцией, определенной на некотором откры-
открытом множестве, содержащем а(х). Следующая лемма показывает,
что эти два определения элемента f (х) совпадают.
13. Лемма. Пусть (—-комплексная функция, однозначная
и аналитическая на некотором открытом множестве, содержащем
спектр элемента х коммутативной В*-алгебры. Тогда значения,
придаваемые символу f(x) определениями 12 и VII.3.9, совпадают.
Доказательство. Пусть соответствие у< >у(-) представляет
собой *-изоморфизм между В*(х) и С (а (л:)), участвующий в опре-
определении 12, и пусть
где кривая С удовлетворяет требованиям определения VII. 3.9.
Тогда
J) Здесь х'1 (•) есть отображение о (х) на Л, обратное к отображению
* х (Я,); не следует путать его с функцией х'1 (А,), которая существует,
элемент х обратим. —Прим. перев.


30 Гл. IX. Банаховы алгебры
и, таким образом, у совпадает с элементом f(x), введенным в опре-
определении 12.
Очевидно, что предыдущие следствия можно применить к опе-
оператору Т и гильбертовом пространстве § при условии, что Т
является элементом некоторой коммутативной В*-подалгебры
В*-алгебры В($>) всех ограниченных операторов в ?. Это при-
приводит к понятию нормального оператора, которое вводится
в определении 14.
14. Определение. Ограниченный линейный оператор Т в гиль-
гильбертовом пространстве называется нормальным, если ТТ* = Т*ТГ
и самосопряженным, если Т = Т*.
Ясно, что наименьшая замкнутая подалгебра в ?($), содер-
содержащая нормальный оператор Т, его сопряженный Т* и единичный
оператор /, является коммутативной В*-алгеброй. Таким образом„
мы можем сформулировать следующее следствие.
15. Следствие. Пусть Т — нормальный оператор в гильберто-
гильбертовом пространстве ig, и пусть В* (Г) — наименьшая замкнутая
подалгебра в В(ф), содержащая I, Т и Г*. Тогда алгебра В* (Г)
изометрически *-эквивалентна алгебре С (or (Г)). Кроме тогоТ
изометрический ^-изоморфизм этих алгебр однозначно опреде-
определяется требованием, чтобы оператору Т соответствовала функ-
функция #(н) |а, j^G^(^)- Если символ f (T) использовать для
обозначения оператора, соответствующего при этом изоморфизме
скалярной функции f?C(a(T)), то для каждой функции f,
однозначной и аналитической на некотором открытом множестве^
содержащем спектр о(Т), имеет место соотношение
с
где кривая С удовлетворяет требованиям определения VII.3.9.
Доказательство. Это вытекает из следствия 11 и леммы 13.
4. Упражнения
1. Пусть N--бикомпактное хаусдорфово пространство. Пока-
Показать, что:
(I) Имеется взаимно однозначное соответствие между замк-
замкнутыми идеалами в С (S) и замкнутыми множествами FczS,
а именно
F< >3* = {/€C(S)|/(F) = 0}.
(II) Пусть Я — замкнутая подалгебра в С (S), содержащая
вместе с каждой функцией, в нее входящей, комплексно сопря-
сопряженную. Тогда существует такое разложение пространства S


4. Упражнения 31
в объединение замкнутых подмножеств F, что на каждом из них
функции из 21 постоянны и любая непрерывная функция, посто-
постоянная на каждом множестве F, принадлежит 3L
2. Пусть 5 —компактное метрическое пространство, и пусть
3 cz С E) — совокупность всех функций / из C(S), обращающихся
в нуль на некоторой зависящей от / окрестности фиксированной
точки xo?S. Тогда 3 Представляет собой идеал, замкнутый тогда
и только тогда, когда точка х0 является изолированной.
Таким образом, при условии, что S бесконечно, в C(S) су-
существуют незамкнутые идеалы.
3. Пусть S —бикомпактное хаусдорфово пространство, и пусть
п (S) — наименьшее число образующих в алгебре C(S). Найти n(S):
(a) для единичной окружности |z| = l;
(b) для единичной сферы в трехмерном евклидовом прост-
пространстве;
(c) для гильбертова параллелепипеда {*||*||<1//} в /2;
(d) для конфигурации, образованной непересекающимися ду-
дугами, соединяющими каждую из точек @, 0, 1), @, 0, 2) и @, 0, 3)
трехмерного евклидова пространства с каждой из точек A,0, 0),
(-1,0,0) и @, 1,0).
4. Пусть ЭЕ — банахова алгебра, элементы которой являются
непрерывными функциями на бикомпактном хаусдорфовом про-
пространстве S, а операции сложения и умножения определяются
обычным образом. Предположим, что:
(a) если х(•)?!?, то х(•)?%;
(b) если .*:(•) ?36 и не обращается в нуль на S, то 1/.*:(•) ?36.
Тогда для каждого максимального идеала Ш с= Ж найдется
такая точка to?S, что х ($Щ) = х (t0) для всех х?1. Обратно,
если для каждого максимального идеала ЯК существует такая
точка t0?S, что x($R)~x(t0), и если л:(-)?3? и не обращается
в нуль на S, то 1/л:(-)?3?.
5. Пусть 3?i — банахова алгебра, удовлетворяющая условию (а)
упражнения 4, и пусть 362 — всюду плотная в 3^ подалгебра,
удовлетворяющая условиям (а) и (Ь). Допустим, что Ж2 можно
снабдить нормой, относительно которой она становится В-алгеб-
рой. Показать, что тогда Ж4 также удовлетворяет условию (Ь).
6. Пусть Сп — класс всех комплексных функций x(t) на
отрезке [0, 1], обладающих п непрерывными производными. Пока-
Показать, что Сп с обычными операциями сложения и умножения
является В-алгеброй, если
Описать максимальные идеалы.


?? Гл. IX. Банаховы алгебры
7. Пусть CBV[O, 1] —алгебра непрерывных функций x(t) огра-
ограниченной вариации на отрезке [0, 1] с нормой
\х\= sup \x(t)\ + v(x, [О, 1])
и обычными операциями сложения и умножения. Показать, что
CBV[0, 1] является банаховой алгеброй. Найти максимальные
идеалы.
п
8. Пусть /С(п) — алгебра всех полиномов х~ 2 аь.№ с ком-
k=Q
п
плексными коэффициентами и нормой ]*|=2 ak\- Сложение
и умножение определяются как обычно, за исключением того,
что при умножении считаем Хп+1=0. Показать, что /С(п) является
банаховой алгеброй с единственным максимальным идеалом.
9. Пространство 1Х абсолютно сходящихся рядов а =
— {ап, — оо<я<оо} является коммутативной банаховой алгеб-
алгеброй с умножением
сю
ab= 2 aw_npn, a = {an}, fe = {
п=— со
Пространство <Л максимальных идеалов гомеоморфно веществен-
вещественной оси, приведенной по модулю 2я (т. е. окружности); этот
гомеоморфизм таков, что если Ш?<М и Э — соответствующие
точки, то
а(Ш)= S <ьёп*.
п=—со
10. (Н. Винер.) Если сумма абсолютно сходящегося тригоно-
сю
метрического ряда g(Q)= 2 aneir?e нигде не обращается в нуль,
П=—оо
то обратная к ней функция l/g(B) также разлагается в абсолютно
сходящийся тригонометрический ряд.
11. (Н. Винер — П. Леви.) Доказать, что если / — однозначная
аналитическая функция в окрестности множества значений абсо-
абсолютно сходящегося тригонометрического ряда
то существует такой абсолютно сходящийся тригонометрический
ряд


4. Упражнения 33
ЧТО
Л(в)
12. Пусть A: Hi—>§t2— непрерывный гомоморфизм, Sti и §Г2 —
банаховы алгебры. Допустим, что Л (а) —0 влечет а = 0, и пусть 2[2
не имеет радикала. Показать, что тогда 2li также не имеет ра-
радикала.
13. Пусть М — множество всех ограниченных регулярных
(см. определение III.5.И) счетно аддитивных борелевских мер \i
на вещественной прямой R. Для \i, X из М обозначим через
\ixX меру на Rx R, являющуюся прямым произведением мер \х
и X. Определим меру \i*X на R, положив
где Е — произвольное борелевское подмножество в R, a Ех =
= {(х> У) ?R x R\х" + У ??}• Показать, что банахово простран-
пространство М (см. часть I, стр. 177—179) с умножением |1*Я является
коммутативной банаховой алгеброй.
14. Показать, что если /?Li( — со, со) и Х(Е)= \ f(s)ds, то
Е
для любой меры (и из пространства М упражнения 13
l \ f(s-t)\x(dt).
Е —оо
Если при этом \i(E)= \ g(s)ds, где g?Li(— оо, оо), то
Е
оо
)=\ ds \ f{s-t)g(t)dt.
Е —оо
15. Пусть ? принадлежит резольвентному множеству ограни-
ограниченного линейного оператора Г, и пусть d(^)~ расстояние
от точки I до спектра Т. Доказать, что
Здесь R(E,;T) — резольвента оператора Г, см. VII.3.1.
16. Пусть А и В — коммутирующие ограниченные операторы
в комплексном банаховом пространстве. Показать, что
17. Если (коммутативная) В-алгебра не имеет нетривиальных
идеалов, то она изометрически изоморфна полю комплексных
3 Заказ № 134


34 Гл. IX. Банаховы алгебры
чисел. Показать, что существуют некоммутативные алгебры, не
имеющие нетривиальных двусторонних идеалов, удовлетворяющие
всем аксиомам В-алгебры, за исключением закона коммутатив-
коммутативности, и не изоморфные нолю комплексных чисел.
18. Построить некоммутативную В-алгебру Щ, в которой
имеется элемент х=?0, не содержащийся ни в каком двусторон-
двустороннем идеале и такой, что х2~^0.
19. В коммутативной Б-алгебре спектральный радиус является
непрерывной функцией элемента алгебры.
20. (Капланский.) Определим умножение в 1и положив
(*,, х2, *з, . . .) (Уи Уь Уз, . . .) = (*i0i> х2У21 ХгУг, -О-
Показать, что при таком умножении 1{ является коммутативной
алгеброй без единицы, причем |*#|<|*| • \у\.
(I) Показать, что имеется взаимно однозначное соответствие
между замкнутыми идеалами и подмножествами натурального ряда.
(И) Существует взаимно однозначное соответствие между
максимальными идеалами и натуральными числами.
(III) Топология на множестве максимальных идеалов дискретна.
(IV) Описать замкнутые подалгебры в /1# :
21. Пусть X —коммутативная банахова алгебра со структур-
структурным пространством оМ. Предположим, что для каждого замкну-
замкнутого множества uS[CZ<S и каждого максимального идеала 9fti$g#i
найдется такой элемент х?1?, что * (SWi) ^ 0, a x(oMi) = 0. Дока-
Доказать следующие утверждения:
(a) Пусть 3~пересечение всех максимальных идеалов, при-
принадлежащих некоторому замкнутому множеству &ft0 cz o/ll. Тогда
а (л: — 3) = х(<Л0). Здесь лг—3 является элементом факторалгебры
36/Зг а а(х — 3) — его спектром.
(b) Пусть (/ — собственное открытое подмножество в с$,
у(Ш) = 0 при Шеи и х(Ш)?=0 при Ш$и. Тогда существует
такой элемент z, что zx — y принадлежит радикалу.
(c) Допустим, что алгебра X полупроста и для любого х?%
найдется такой элемент л:?Э?, что х(Ш) = х(Ш) для всех Ш
из e4f. Пусть Ecu Ж и оЖ0^{Ш\х(Ш) = 0, х^Е). Показать, что
идеал, порожденный множеством ?, содержит всякий элементу,
для которого у(Ш) обращается в нуль для всех Ш из некоторой
окрестности замыкания множества <л0.
5. Примечания и дополнения
Общую концепцию нормированной алгебры впервые предложили
Майкал и Мартин [1] и Нагумо [I]. Однако с момента опубликова-
опубликования в 1941 г. фундаментальных работ Гельфанда [1, 3, 4, 5] и


5. Примечания и дополнения 35
Гельфанда и Шилова [ 1 ] изучение таких алгебр привлекло внимание
многих авторов. Поскольку для наших целей требуются лишь наи-
наиболее элементарные аспекты теории В-алгебр, мы по поводу незатро-
незатронутых нами вопросов отсылаем читателя к монографиям Хилле [ 1 ]
(см. также переработанное совместно с Р. С. Филлипсом второе
издание), Люмиса [1], Наймарка [13] и Риккарта [10]1).
Предварительные сведения. Многие понятия этого параграфа
имеют прямые аналоги в В-алгебре ограниченных линейных опе-
операторов, действующих и Я-пространстве, которые были уже рас-
рассмотрены в § VII. 11. Понятие топологического делителя нуля
принадлежит Шилову [2]. Сингулярные элементы В-алгебры
подробно изучалась Риккартом [4], которому принадлежит лемма 4;
в другой форме эта лемма была ранее доказана Бохнером и Фил-
Филлипсом [2]. Мазур [3] высказал, а Гельфанд [1] доказал, что
если В-алгебра является полем, то она изометрически изоморфна
полю комплексных чисел. Это утверждение представляет собой
аналог теоремы Фробениуса; сходные результаты при широком
разнообразии предположений получили Арене [8], Эдварде [2].,
Лорх [10], Рамасвами [1], Шилов [5], Стоун [1], Торнхейм [1]
и Райт [1]. (Ср. теорему 6, следствие 7.) Лемма 9 принадлежит
Лорху [9]. Изучение В-алгебр при помощи их идеалов начато Гель-
фан дом [1], которому принадлежит большинство результатов § К
В- и В*-алгебры. Результаты § 2 принадлежат Гельфанду [1].
Фундаментальная теорема 3.7 доказана Гельфандом и Наймарком [ 1 ].
Их доказательство леммы 3.5 использует довольно глубокий
результат Шилова, что, вообще говоря, не является необходимым.
Приведенное в тексте доказательство этой леммы дано Аренсом [6],
который получил этот результат также и в большей общности
(Арене [7]). Простое непосредственное доказательство следствия 3.6
дал Фукамия [2]; этим следствием можно воспользоваться для дока-
доказательства леммы 3.5. Следствие 3.10 принадлежит Риккарту F),
который получил также более сильные результаты о сохранении
спектра (см. Риккарт [9]).
Некоммутативные В*-алгебры. Хотя наше внимание было
направлено на коммутативные В-алгебры, но многое известно
и в некоммутативном случае. Отметим, что Гельфанд и Наймарк [1]
дали параллельно теореме 3.7 следующую характеристику неком-
некоммутативных В*-алгебр.
*) См. также книгу И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова, Г. Е. Шилова [I*],
похищенную целиком коммутативным нормированным кольцам.—Прим, ред.
3*


36 Гл. IX. Банаховы алгебры
Теорема. Каждая В*~алгебра изометрически *-изоморфна под-
подалгебре алгебры всех ограниченных линейных операторов на неко-
некотором комплексном гильбертовом пространстве.
Следует заметить, что в своем доказательстве они предпола-
предполагают, что В*-алгебра Ж удовлетворяет дополнительному условию,
а именно, что для каждого х?Ж элемент е + х*х обладает обрат-
обратным; в этом случае алгебра называется С*-алгеброй. Лишь недавно
Капланскийх), используя некоторые результаты Фукамия [3]
и Келли и Вота [1], доказал, что это условие является следствием
остальных требований и, таким образом, излишне (ср. Math. Rev.,
14 A953), 884). Т. Оно (литературу и комментарии см. у Рик-
карта [10; стр. 248]) показал, что условие | х*х | = | х |а в опре-
определении 3.1 можно заменить условием |***| = |*| \x*\.
Теория слабо замкнутых некоммутативных В*-алгебр операто-
операторов в гильбертовом пространстве широко развита Мерреем,
фон Нейманом и многими другими. Поскольку результаты этой
теории нам не потребуются, мы приведем лишь единственную
теорему в этом направлении, принадлежащую фон Нейману [2].
Если Я — некоторая совокупность ограниченных линейных опера-
операторов в гильбертовом пространстве ig, то множество ЭДС всех
ограниченных линейных операторов в |}, коммутирующих с каж-
каждым оператором из Я, называется централизатором (или комму-
коммутантом) множества Я.
Лемма. Централизатор В*-алгебры операторов в гильберто-
гильбертовом пространстве замкнут в слабой операторной топологии
и является В*-алгеброй операторов.
Доказательство. Легко видеть, что централизатор %ХС В*-ал-
гебры Ш является В*-алгеброй. Если обобщенная последователь-
последовательность {Ва} операторов из Ис сходится в слабой операторной тополо-
топологии к оператору В, то для любого Л ?81 и любых я, y?$Q имеем
(ВАх, у) = lim (ВаАху у) = lim {АВах, у) = (АВх, у), следовательно,
ВЯ0 ч. т. д.
Теорема. В*-алгебра операторов в гильбертовом пространстве
совпадает с централизатором своего централизатора тогда
и только тогда, когда она замкнута в слабой операторной
топологии.
Доказательство. Из определения централизатора непосред-
непосредственно следует, что 2le(9lc)c и что если 9t = (Stc)c, то, согласно
лемме, алгебра Ш замкнута в слабой операторной топологии.
См. такще Наймарк [13, стр. 281].—Прим. перевщ


5. Примечания и дополнения 37
Для доказательства теоремы достаточно показать, что если
алгебра 31 замкнута в слабой операторной топологии, то каждая сла-
слабая окрестность точки B?(W)C содержит некоторый элемент'из Ш.
Для иллюстрации идеи доказательства этого утверждения
рассмотрим сначала случай, когда окрестность имеет вид
где 8>0, а хх и t/t — фиксированные ненулевые элементы в i§.
Пусть ? —оператор ортогонального проектирования $ на 501 =
= sp {Аух\ А ^Щ1), Тогда АШ^Ш и Л*9И^2К для любого
Л ?91, поэтому ЕАЕ — АЕ и ЕА*Е~А*Е. Переходя в последнем
равенстве к сопряженным операторам, получаем ЕА = ЕАЕ = АЕ,
т. е. ??2Г. Следовательно, Ву1 = ВЕух = ЕВу1? SW, и потому най-
найдется такой оператор Л ? 91, что \Ayi — Byi\<<.B/\xi\, отсюда вы-
вытекает, что А принадлежит Ni.
Рассмотрим теперь произвольную окрестность
N = {A?B(Q)\\(xit (Л-В)у,)|<в, t = l, 2, .... л}
точки В; мы можем считать, что |Х||<[1 Пусть $+ —прямая
сумма (ср. IV.4.17) п экземпляров пространства ф, и для каж-
каждого оператора А, определенного на ф, пусть А+ — оператор,
определенный на ?+ равенством A+[zu ..., zn] = [Azu ..., Azn]-
Множество всех операторов Л+, порожденных операторами А
из SI, обозначим через И+. Произвольный ограниченный линей-
линейный оператор С в $q+ имеет вид
С[г19 ..., гп] = [S ^
i=l г==1
поэтому (Ш+)С состоит из таких операторов С, для которых все
операторы Ctj принадлежат 21е. Отсюда видно, что ((9t+)c)c состоит
из таких операторов Л+, для которых Л?(9Г)С. Ввиду такого
представления произвольного элемента в (Bt+)c)c соображения,
использованные в случае п = 1, можно применить для доказа-
доказательства существования в St+ такого оператора Л+, что
Ы|2
откуда следует, что A?N, ч. т. д.
1) Если Q — подмножество в §, то sp (Q) —наименьшее замкнутое линей-
линейное подпространство, содержащее Q (см. определение 11.1.4).— Прим. пер ее.


38 Гл. IX. Банаховы алгебры
Эта теорема весьма важна, поскольку она характеризует
слабо замкнутые В*-алгебры операторов в алгебраических терми-
терминах и наводит на мысль, что они представляют особый интерес.
Основы теории таких алгебр можно найти в работах фон
Неймана [2, 13, 14, 15] и Меррея и Неймана [1]. Обзор имеется
у Наймарка |2); более исчерпывающее изложение дается в кни-
книгах Диксмьс [5] и Риккарта [10], где приводится библиография.
Обобщения. Мы закончим упоминанием о том, что Арене [2,9]
и Майкл |2] распространили многие результаты, относящиеся
к В-алгебрам, на более общие топологические алгебры. В каче-
качестве введения в теорию топологических колец и алгебр рекомен-
рекомендуем работу Капланского [4].


ГЛАВА X
Ограниченные нормальные операторы
в гильбертовом пространстве
I. Терминология и предварительные сведения
Спектральная теорема, которую нам предстоит доказать в этой
главе, послужит введением в теорию, которая в случае гильбер-
гильбертова пространства соответствует классической теории приведе-
приведения нормальной комплексной матрицы в я-мерном унитарном
пространстве. Всюду в данной главе символом Т1* обозначается
гильбертов сопряженный оператор в гильбертовом пространстве Jg.
Для обозначения скалярного произведения векторов х, у из i§
употребляется символ (х, у). По определению, (Тх, у)--=(х, Т*у).
Оператор Т называется нормальным, если ТТ* = Т*Т. Теорема
Гельфанда и Наймарка IX.3.7 о представлении коммутативной
В*-алгебры (в частности, ее следствия IX.3.9 и IX.3.15) позво-
позволяет для нормальных операторов в гильбертовом пространстве
построить теорию приведения более полную, чем развитая
в гл. VII для общих операторов в комплексном Б-пространстве.
Хотя изложение в настоящей главе не зависит от результа-
результатов гл. VII, но рассмотрение задачи приведения в свете общих
результатов гл. VII помогает мотивировать изучение нормальных
операторов. В гл. VII мы с каждым оператором Т в комплексном
Л-пространстве связали некоторую булевскую алгебру множеств
комплексной плоскости, названных спектральными множествами.
Спектральные множества были определены как такие подмноже-
подмножества спектра о(Т), которые одновременно открыты и замкнуты
в его относительной топологии. Каждому спектральному множе-
множеству а соответствует проектор
(I) Е(°) = ы I
С (о)
где С (а) — какая-нибудь спрямляемая жорданова кривая в q(T),
охватывающая а и такая, что внутри ограниченной ею области
пет точек из а(Т) — а. Сейчас нас интересует не столько опре-
определение (I) проекторов Е(а), сколько некоторые их свойства.


40 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Эти проекторы удовлетворяют соотношениям
(II) E(
где а и б —произвольные спектральные множества, а 0—пустое
множество. Здесь мы употребили обозначения А/\В и A\JВ
для пересечения и объединения коммутирующих проекторов А
и В. Напомним, что эти операторы определяются равенствами
А/\В АВ, А\]В.---А-\-В — АВ и что пересечение и объединение
двух коммутирующих проекторов снова являются проекторами.
Кроме того, области значений пересечения и объединения двух
коммутирующих проекторов находятся соответственно из соотно-
соотношений (А дя)Ж-(лх) п (вж) и (A vя)эе = (АЖ)+(вщ=sp(A$, вж).
Таким образом, в булевской алгебре проекторов отношение
порядка А^.В, которое по определению означает, что АВ — АУ
допускает геометрическую интерпретацию в виде Al ^ ВЖ. С дру-
другой стороны, соотношения (II) показывают, что соответствие
о —> Е (а) является гомоморфным отображением булевской алгебры
спектральных множеств на булевскую алгебру проекторов в X;
кроме того, этот гомоморфизм переводит единицу а (Т) алгеб-
алгебры спектральных множеств в единицу / алгебры проекторов.
Эти ^замечании приводят к понятию спектральной меры в Б-про-
странстве X. Спектральной мерой в X называется гомоморфное
отображение булевской алгебры множеств в булевскую алгебру
проекторов n 3t\ переводящее единицу исходной алгебры в еди-
единичный оператор /. Таким образом, с каждым ограниченным
оператором Т в комплексном В-прострапстис связана посред-
посредством соотношения (I) спектральная мера Е, определенная на се-
семействе спектральных множеств оператора Т. Эта спектральная
мера связана (см. VII.3.20) с Т также соотношениями
(III) Е(Ь)Т = ТЕF), о (Го) = 6,
где 6--произвольное спектральное множество оператора Г,
а а (Т{\) ~ спектр сужения Т6 оператора Т на многообразие
Ж6 -?(«)*.
Таким образом, если спектральные множества бь ..., 6^
оператора Т не пересекаются и в сумме составляют весь спектр
а (Т), то пространство X можно разложить в прямую сумму
X = Хб1 ©• • -0 Жь , где Т отображает каждое пространство
%6.=^E({)i)X в себя,' и спектр о(Ть.) сужения оператора Т на Же.
совпадает с 6t. Это показывает, что изучение оператора Т можно
свести к изучению его сужений на инвариантные подпростран-
подпространства Хбг Очевидно, желательно знать, возможно ли дальнейшее


1. Терминология и предварительные сведения 41
расщепление оператора 7\ т. е. можно ли расширить область
определения спектральной меры до большей булевской алгебры
множеств на плоскости таким образом, чтобы сохранились соот-
соотношения (II) и (III). Ясно, что без ослабления условия (III) это
невозможно, ибо если 8 = а(Т6), то, поскольку спектр оператора
всегда замкнут (IX. 1.5), каждое множество из области опреде-
определения спектральной меры, удовлетворяющей условию (III), необ-
необходимо замкнуто и открыто1), т. е. является спектральным мно-
множеством. Однако для того чтобы свести изучение Т к исследо-
исследованию этого оператора на инвариантных подпространствах,
на которых он имеет меньший спектр, вполне достаточно найти
спектральную меру, удовлетворяющую вместо (III) условиям
(IV) Е(8)Т = ТЕ(8), а(Г6)с=6,
где б —замыкание множества б. Как будет показано в следующем
параграфе, нормальный оператор Т в гильбертовом пространстве ?>
порождает спектральную меру, определенную на булевской
алгебре $ всех борелевских множеств плоскости и удовлетво-
удовлетворяющую условию (IV) для всех 6?i?. Эта спектральная мерау
связанная с нормальным оператором, счетно аддитивна на №
в сильной операторной топологии. Это означает, что
(V) ЗЯ(вО* = ?( О «О*. *€&
для любой последовательности {бг} непересекающихся борелев-
борелевских множеств.
Спектральная мера Е, определенная на борелевских множе-
множествах плоскости и удовлетворяющая условию (IV) для каждого
борелевского множества б и условию (V) для любой последо-
последовательности непересекающихся борелевских множеств {8г}, назы-
называется разложением единицы для Т. В этой терминологии спек-
спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов
в гильбертовом пространстве утверждает, что каждый такой
оператор обладает однозначно определенным разложением еди-
единицы.
Одно из многих применений этой теоремы состоит в построе-
построении для нормальных операторов обобщенного операторного исчи-
исчисления, подобного операторному исчислению для конечных матрицг
развитому в § VII. 1. Прежде чем описать операторное исчисле-
исчисление для нормальных операторов, напомним, какую форму при-
*) Открытость такого множества вытекает из того, что его дополнение
замкнуто, ибо, по определению булевской алгебры, оно также принадлежит
области определения спектральной меры и потому является спектром неко-
некоторого оператора. — Прим. перев.


42 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
ним&ет это исчисление для нормальных матриц в конечномерном
пространстве. Если Г —нормальный оператор в конечномерном
гильбертовом пространстве ф, то его минимальный многочлен
имеет лишь простые корни, и потому индексы vb ...., v&
(см. определение VII. 1.1) всех собственных значений ки ..., Я&
равны 1. Таким образом, для конечной нормальной матриц^ Т
операторное исчисление (см. VII.1.8) задается формулой f(T) =
h
-~- S / (М Е (М> гАе f ~" произвольный многочлен, а Е (kt) —
оператор, проектирующий ?} на собственное подпространство
{х | х ? $> G" — Я//) л: = 0} оператора Т, соответствующее собствен-
собственному значению kt. Определим для каждого борелевского множе-
множества fi спектра ? (б) как сумму проекторов Е (kt) по всем
точкам спектра Я*?б, если такие Я^ существуют, а в против-
противном случае положим ?(б) = 0; тогда функция Е (б) представляет
собой разложение единицы для Т, а операторное исчисление
задается формулой
(VI) f(T)= ^ №E(dX)9
где интеграл определяется как конечная сумма 2
г=1
Если гильбертово пространство бесконечномерно, то для нормаль-
нормального оператора с разложением единицы Е все же существует опе-
операторное исчисление, задаваемое формулой (VI), но в этой ситуа-
ситуации необходимо определить интеграл, участвующий в (VI),
и алгебру скалярных функций /, к которым эта формула применима.
Оператор / (Т) был уже определен для одного класса скаляр-
скалярных функций /, отличного от класса многочленов, а именно для
класса С(а(Т)) всех комплексных непрерывных функций на спек-
спектре сг(Т). Действительно, следствие IX.3.15 показывает, что
между С(а(Т)) и 5*-алгеброй В*(Г), порожденной оператором Т,
существует изометрический *-изоморфизм, который определяется
однозначно, если мы потребуем, чтобы скалярная функция g(k)~X
и оператор Т были соответствующими элементами. Оператор f (T)
есть, по определению, тот однозначно определенный оператор
в гильбертовом пространстве, который при этом *-изоморфизме
соответствует непрерывной скалярной функции /. Этот абстракт-
абстрактный *-изоморфизм / < > f (Т) между С (а (Т)) и В* (Т) имеет
конкретное аналитическое представление в виде равенства (VI),
которое, таким образом, определяет операторное исчисление.
Термин «операторное исчисление» употребляется здесь и в дру-
других местах в следующем смысле. Пусть f—>T(f) есть гомо-
гомоморфное отображение В-алгебры скалярных функций в S-алгебру


1. Терминология и предварительные сведения 43
операторов в банаховом пространстве. Тогда каждый метод вычис-
вычисления оператора T(f) по скалярной функции / называется опера-
операторным исчислением. Обычно операторное исчисление принимает
вид аналитической формулы, которая дает конкретное представ-
представление абстрактного гомоморфизма f—>T(f). В настоящей главе
все гомоморфизмы /—>T(f) будут *-гомоморфизмами В*-алгебр.
При изучении формальных операторов- важные применения
находят исчисления, определенные в виде различных обобщений
формулы (VI). Это приводит к необходимости определить инте-
интеграл \ f (к) Е (dk) скалярной функции / по операторнозначной
функции множества Е. В настоящей главе нам придется интегри-
интегрировать лишь ограниченные функции /, и потому ниже при
построении интеграла мы ограничимся этим случаем. Пусть задана
алгебра 2 подмножеств множества 5, и пусть Е — функция,
отображающая 2 в алгебру ограниченных линейных операторов,
действующих в В-пространстве Ж. Предположим, что функция Е
аддитивна и ограничена, т. е. существует такая постоянная /С, что
(VII) E(8\Jg) = E(8) + E(o) и \Е(о)\<К
для любой пары непересекающихся множеств б, а из 2. При
определении интеграла необязательно предполагать, что Е яв-
является спектральной мерой или что операторы Е (б) являются
проекторами. Таким образом, основой при построении интеграла
является любая ограниченная аддитивная операторнозначная функ-
функция ?\ заданная на алгебре 2 подмножеств абстрактного мно-
множества 5.
Функции, которые мы будем интегрировать, являются ограни-
ограниченными и 2-измеримыми. Функция / называется ^-измеримой
(ср. IV.2.12), если /(Л)^2 для любого борелевского мно-
множества А из области значений /. Если 2 — семейство всех боре-
левских множеств топологического пространства 5, то 2-измери-
мые функции называются также измеримыми по Борелю, или
проще, борелевскими функциями. Класс B(S, 2) (ср. IV.2.12)
является, по определению, замкнутым линейным многообразием
в пространстве всех ограниченных функций на 5, порожденным
характеристическими функциями множеств из 2. Норма в про-
пространстве всех ограниченных функций на 5 (и, таким образом,
норма в B(S, 2)) определяется соотношением | /| = sup | f(s) |.
Мы будем называть Ъ-простой всякую функцию на 5, имею-
имеющую вид
(VIII) f= 2 <**>.,


44 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
где Х^ — характеристическая функция множества 6* из 2. Легко
п т п т
проверить, что если 2 а^х = 2 РДа., то 2 <*гЕ F*) = 2 Р^ (ty)*
i=al /=1 / = 1 J=i
и потому интеграл от 2-простой функции (VIII) можно опреде-
определить равенством
Тогда, поскольку полная вариация скалярной аддитивной функции
множества ц на 2 не больше, чем 4 sup | (х F) | (см. III. 1.5), для
каждой 2-простой функции / имеем
= К f(s)x*E(ds)x
S
<4sup|/(s)|sup|?F) ||*| |**|, хеЖ, **6ЭГ,
и, таким образом (см. II.3.15),
|J/(s)?(ds)|<:4/Csug|/(s)|,
где /( — постоянная, участвующая в (VII). Это неравенство пока-
показывает, что если последовательность 2-простых функций {/п}
сходится в B(S, 2) к функции /, то последовательность интегра-
интегралов < \ /n (s) E (ds) > сходится и ее предел зависит только от /
и не зависит от конкретной последовательности {/п}, использо-
использованной для аппроксимации /. Таким образом, мы можем опреде-
определить интеграл от / равенством
\ f(s)E{ds) = lim\ fn(s)E(ds).
Для множества б из 2 интеграл \ f(s)E(ds) равен, по определе-
нию, \ f(s)%b(s)E(ds). Ясно, что отображение f—> \ f(s)E(ds)
является непрерывным линейным отображением B(S, 2) в алгебру
ограниченных операторов на Ж. Если функция множества Е есть
спектральная мера, то отображение /—> \ f (s) E (ds) оказывается
s
также гомоморфизмом. Действительно, пусть /, g(zB(S, 2); заме-


1. Терминология и предварительные сведения 45
тим, что оба оператора \ / (s) g (s) Е (ds) и [ \ / (s) E (ds) J x
s s
X Г V g" (s) ?* (rfs) J линейно и непрерывно зависят от g и что если
g — характеристическая функция множества б из 2, то
\f(s)g(s)E(ds)=\ f(s)E(ds[)8) =
в s
\ g(s)E(ds)] .
8
8 S S
Таким образом, если f?B(S, 2), то равенство
J f(s)g(s)E(ds)=[lf(s)E(ds)] [J g(s)E(ds)]
S 8 " S
ямеет место для всех 2-простых функций g, и, следовательно,
в силу непрерывности обеих его частей по g, оно справедливо
для всех / и g из B(S, 2). Если, кроме того, Е —самосопря-
—самосопряженная спектральная мера в гильбертовом пространстве, что
означает, что Е(8) = Е(8)* для всех б из 2, то отображение
/ —> \ / (s) E (ds) является *-гомоморфизмом В*-алгебры В (S, 2)
s
в 5*-алгебру ограниченных линейных операторов в гильбертовом
пространстве. Чтобы показать это, рассмотрим 2-простую функ-
функцию / (см. VIII). Имеем
п
f (s) E (ds) ] * = 2 ^гЕ (8t) = ^ JJs) E (ds)
и, поскольку простые функции плотны в B(S, 2), получаем, что
[ J f(s)E(ds)Y= J f(s)E(ds) для всех / из B(S, 2).
s s
В результате мы установили следующую теорему.
1. Теорема. Пусть Е — ограниченная самосопряженная спек-
спектральная мера в гильбертовом пространстве, определенная на
алгебре 2 подмножеств множества S. Тогда отображение
/—>Т(/), определенное равенством
T(f)=\f(s)E(ds), /6S(S, 2),
s
Является непрерывным ^-гомоморфизмом В*-алгебры B(S, 2)
ограниченных ^-измеримых функций на S в В*-алгебру ограни-
ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.


46 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Возвращаясь к общему интегралу \ f(s)E(ds), где Е-— просто
ограниченная аддитивная операторнозначная функция множества,
мы замечаем, что интеграл определен в терминах равномерной
операторной топологии. Ясно, что аналогично можно определить
интеграл \ / (s) v (ds) ограниченной 2-измеримой функции / по огра-
ограниченной аддитивной векторнозначной функции множества v. Таким
образом, если /: - ограниченная аддитивная функция множества
на 2, :шачеиия которой Е (б) являются ограниченными операторами
в Я-простраистве Ж, и если х?Ж, то интеграл \ /(s)E(ds)x опре-
определен для каждой ограниченной 2-измеримой функции / на S.
Ил о!ipeделения интеграла немедленно следует, что
[\f(s)E(ds)]x= l
Аналогично, если х ? 36 и х*^Ж*, то любая ограниченная
^-измеримая функция / на S интегрируема по ограниченной адди-
аддитивной скалярной функции множества х*Е(8)х, 6^2, и
S S
В гильбертовом ирое гранегве уго тождество принимает вид
( [ J / (s) E (ds) J х, и) J / (.s) (E (ds) х, /у), х, у 6 ?.
г»
Обозначение \ f (s) E (ds) говорит само за себя, но, быть может,
s
будет полезно явно указать, что символы
\ f(s)\ 8(<)Я(М) и \ f(s)E(ds(\6)
обозначают интегралы от / но аддитивным операторнозначным
функциям множества
\g(t)E(dt) и Е(а(]8)
соответственно. Интеграл [ f(s)E(ds(]8) сам является ограничен-
s
ной аддитивной функцией множества б?2, а интеграл от функ-


/. Терминология и предварительные сведения 47
ции g из В (S, 2) по этой функции множества записывается в виде
g(t)\ f(s)E(dsftdt).
Если / — характеристическая функция множества 6 ?2, то
(IX) I g (t) \f (s) E (ds П dt) = jj g (t) f (t) E (dt),
s s s
и так как обе части этого равенства линейны и непрерывны от-
относительно /, то (IX) имеет место для всех /, g?B(S, 2).
Пусть 5 —нормальное топологическое пространство, и пусть
функция множества Е регулярна в том смысле, что для любых
х?% и л;*?Ж* регулярна скалярная мера х*Е(-)х. Тогда из обра-
обращения в нуль интеграла \ f (s) E (ds) для каждой ограниченной
s
непрерывной на 5 функции / вытекает, что
=5 f(s)x*E(ds)x = 0, f
S
и потому (см. IV.6.2) х*Е(8)х = 0 для любого борелевского
множества 8c:S. Следовательно (см. П.3.15), ?(8) = 0. Таким
образом, если Е и Л— ограниченные аддитивные регулярные опе-
раторнозначные функции множества, определенные на борелев-
ских множествах нормального топологического пространства S,
и если \ f (s) Е (ds) = \ f (s) A (ds) для любой ограниченной непре-
s s
рывной на 5 функции /, то Е(8) = А(8) для каждого борелев-
борелевского множества б с: 5.
Еще одно свойство интеграла, которое часто будет применяться,
носит название принципа замены меры. Этот принцип состоит
в следующем. Пусть Е и ?\ — две спектральные меры на 2,
связанные соотношением
[?F) = ?,(/1-46)), 6 62,
где h — отображение 5 в себя, обладающее тем свойством, что
для любого б из 2 множество /Г1 (б) = {s \ h (s) ? 6} принадлежит 2.
Если / — характеристическая функция множества 6^2, то соотно-
соотношение между Е и Ех может быть записано в виде
\ f(s)E(ds)=^f(h(s))E1(ds).


48 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Так как обе части этого равенства линейно и непрерывно зави-
зависят от f?B(S, 2), то ясно, что оно справедливо для любой огра-
ограниченной 2-измеримой функции /.
Элементарные свойства интеграла \ f(s)E(ds), рассмотренные
s
в данном параграфе, будут неоднократно применяться на протя-
протяжении этой главы, причем обычно без явной ссылки на свойство,
о котором идет речь.
2. Спектральная теорема
для ограниченных нормальных операторов
Перед доказательством того, что ограниченный нормальный
оператор в гильбертовом пространстве обладает разложением еди-
единицы, мы докажем следующую ниже более общую теорему, кото-
которая часто будет использоваться в ситуации, когда применение
ее частного случая (т. е. обычной спектральной теоремы) затруд-
затруднительно. Эта общая теорема позволяет для любого семейства
коммутирующих нормальных операторов построить спектральную
меру, которая одновременно приводит каждый оператор данного
семейства. Эта теорема вместе с теоремой Гельфанда — Наймарка
{IX.3.7) дает ключ ко всей теории нормальных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве. Настоящая глава представляет собой
в известном отношении перечень следствий и частных случаев
этих двух результатов. В следующей главе указанные теоремы
найдут применение к разнообразным задачам анализа.
—> 1. Теорема (общая спектральная теорема). Любая коммута-
коммутативная В*-алгебра Ш операторов в гильбертовом пространстве $
изометрически *'-эквивалентна алгебре С (Л) всех комплексных
непрерывных функций на своем спектре Л. Кроме того, каждый
изометрический ^-изоморфизм f< >T(f) между этими алгеб-
алгебрами однозначно определяет спектральную меру Е, заданную
на алгебре $ всех борелевских подмножеств спектра Л и обла-
обладающую следующими свойствами:
(I) для любых х, y(i$Q функция множества (Е(а)х, у), о?3&,
является регулярной и счетно аддитивной на 9&\
(II) Е (б) Т = ТЕ (б), Е (б) = Е (б)*, б б 9S, Т б Ш;
(III)
Доказательство. Первое утверждение составляет содержание
следствия IX.3.9. Для доказательства второго потребуется сле-
следующая лемма.


2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 49
2. Лемма. Ограниченная билинейная форма, удовлетворяющая
соотношению [х, у] = [у, х], однозначно определяет такой огра-
ограниченный самосопряженный оператор А, что [х, у] = (Ах, у).
Доказательство. Для фиксированного у величина [х, у] линейно
и непрерывно зависит от х, и, следовательно (IV.4.5), найдется
такая точка Ау ? J§, что [х, у] = (х, Ау). Так как форма [х, у]
ограничена и билинейна, то оператор А линеен и ограничен,
а соотношение [л:, у] = [у, х] показывает, что он самосопряжен.
Продолжая доказательство теоремы, заметим, что для каждой
пары х, у?<д величина (T(f)x, у) линейна относительно f
и \{T(f)x, y)\*C\f\\x\\y\. Таким образом, по теореме Рисса
о представлении линейного ограниченного функционала (IV.6.3),
на $ существует единственная регулярная мера \i(-,x,y), для
которой
(a) (T(f)x,y)=\ f(X)v(dX,x,y), /eC(Л),
л
(b) ||i(е, х, y)\<v(\i(-,x, у), е)*?\х\-\у\, е?%.
Так как (T(f)ax, y) = a(T(f)x, у), то, учитывая (а), имеем
J f (X) \i (dk, ах, у) - J / (Я) atx (dk, х, у), f б С (Л),
Л Л
и поскольку регулярная мера однозначно определяется функцио-
функционалом, ясно, что \i (б, ах, y) = <x|i(8, x, у). Аналогично можно
показать, что мера \л (б, х, у) билинейна по х и у. Если теперь
функция / вещественна, то Т (/) = Т (f) = Т (/)*, так что (Т (f) x, у) =
= (T(f)y, х). Из (а) следует, что
>=\ f(X)li(dK,y,x), /еС(Л),
Л
откуда, по соображениям единственности, |iF, x, y) = |iF, у, х).
Лемма 2 и неравенства (Ь) показывают, что для каждого б из JF
найдется единственный ограниченный самосопряженный опера-
оператор ?(б), для которого |iF, х, у) = (Е(8)х, у). Ясно, что функ-
функция Е(8) аддитивна на ^, а из (Ь) следует, что |?F)|<1.
Таким образом, свойство (III) вытекает из (а). Чтобы убедиться,
что E(8)E(g) = E(8{]g), заметим, что для любой пары /, g
из С (Л) мы имеем
4 Заказ № 134


50 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
= T(f)T(g)=\f(X)T(g)E(dX) =
Л
Таким образом,
и, следовательно, Е (а (] б) = Е (сг) Е (б) для любой пары ст, б из §В.
Поэтому Е является спектральной мерой, и, в частности, все
проекторы Я (б) коммутируют. Но тогда из свойства (III) следует,
что проекторы Е (б) коммутируют также с T(f), а это завершает
доказательство теоремы.
3. Следствие. Спектральная мера является счетно аддитив-
аддитивной в сильной операторной топологии.
Доказательство. Если последовательность {8п} борелевских
множеств стягивается к пустому множеству, то в силу свой-
свойства (I) | Е (бя) *|2 = (Е (бя) х, Е (бя) (х) = (Е (бя) х, х) -> 0, ч. т. д.
Последнее рассуждение показывает также, что регулярность
скалярной меры (Е (б) х9 у) для любых х> у из J§ влечет регу-
регулярность векторной меры Е (б) х относительно сильной топологии
в $, т. е. для любых б?$* и е>0 существуют такое замкну-
замкнутое множество F^8 и такое открытое множество Сэб, что
\Е (о)х\<.ъ для любого (Т из .3?, содержащегося в G — F. Это
следует из равенства | Е (а) х |2 ~ (? (а) х, х). Таким образом, для
самосопряженной спектральной меры (т. е. спектральной меры,
удовлетворяющей условию Е (б) = Е (б) *) понятия счетной адди-
аддитивности и регулярности не зависят от того, рассматриваются
они в слабой или в сильной операторной топологии. Эти поня-
понятия никогда не будут рассматриваться в равномерной оператор-
операторной топологии, так как | Е | > 1 для каждого ненулевого проек-
проектора Е в любом Я-пространстве. Поэтому мы можем, не опасаясь
недоразумения, употреблять такие выражения, как «регулярная
счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера».
4. Следствие. Ограниченный нормальный оператор Т одно-
однозначно определяет на борелевских множествах комплексной пло-
плоскости регулярную счетно аддитивную самосопряженную спек-
спектральную меру Е, обращающуюся в нуль на q(T) и обладающую
тем свойством у что
= [ f(k)E(dk), f?C(o(T)),


2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 51
Доказательство. Если мы положим Е (б) = 0, когда б П а(Т)
пусто, то следствие 4 непосредственно вытекает из теоремы 1
и следствия IX.3.15.
5. Определение. Однозначно определенная спектральная мера,
соответствующая по следствию 4 нормальному оператору 7\
называется разложением единицы для Т.
Для того чтобы связать это определение с определением раз-
разложения единицы, данным в § 1, докажем следующее следствие.
6. Следствие. Если Е — разложение единицы для нормального
оператора Т, а 8 —борелевское множество комплексных чисел, то
где Г6 — сужение оператора Т на E(8)$q.
Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы 1
(II). Далее, из теоремы 1.1 и следствия 4 вытекает, что если
?$6, то оператор R= \ (Е> — Х)~г%ь (X) Е (dX) удовлетворяет равен-
равенству R&I-T) = E(8),V4. т.д.
7. Следствие. Регулярная счетно аддитивная самосопряжен-
самосопряженная спектральная мера Е, определенная на борелевских множе-
множествах комплексной плоскости, тогда и только тогда является
разложением единицы для нормального оператора Г, когда
Т= J XE(dX).
а (Г)
Доказательство. Если Т= \ XE(dX) и мера Е является
о\т)
самосопряженной, то Г*= \ IE (dk). Таким образом, по теоре-
а (Т)
\ме 1.1 для каждого полинома р(Я, X) от Я и Я имеем р(Т, Г*) =
= \р(Х, X) Е (dX). Из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса
о(Т)
следует, что f(T)= \ f(X)E(dX) для каждой функции f из
О(Т)
С(о(Т)). Таким образом, по следствию 4 Е является разложе-.
нием единицы для Т. Обратное утверждение непосредственно
вытекает из следствия 4.
—>8. Следствие. Пусть Е —разложение единицы для ограничен-
ограниченного нормального оператора Т; для каждой комплексной ограни-


52 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
ценной борелевской функции f на спектре о(Т) положим
(I) /(Г)= \ f(k)E(dk).
am
Тогда отображение f—>f(T) является непрерывным ^-гомомор-
^-гомоморфизмом В*-алгебры ограниченных борелевских функций на о(Т)
в В*-алгебру ограниченных операторов в гильбертовом простран-
пространстве, причем функции f(k)==i и /(Я)=1 отображаются соот-
соответственно в операторы Т и L Этот гомоморфизм обладает
еще следующими свойствами:
(II) \
а(Т)
(III) если равномерно ограниченная последовательность {fn}
комплексных борелевских функций сходится в каждой точке
спектра о(Т) к функции /, mo fn(T)—>f(T) в сильной оператор-
операторной топологии.
Доказательство. Согласно теореме 1.1, отображение f—>f(T)
является непрерывным *-гомоморфизмом. По следствию 4 функ-
функции Я и 1 отображаются в операторы Т и / соответственно. Дока-
Докажем утверждение (II). Имеем
\f(T)x\**-(f(T)x,
= (f(T)f(T)x,x)=- \ \№\%
о(Т)
Утверждение (III) следует из (II), поскольку
\
а(Т)
по теореме Лебега об ограниченной сходимости.
Иногда желательно иметь операторное исчисление, подобное
тому, которое дается в теореме 1.1, но представляющее собой
изометрический *-изоморфизм (а не просто непрерывный "-гомо-
"-гомоморфизм) между коммутативной В*-алгеброй операторов в гиль-
гильбертовом пространстве и В*-алгеброй, элементами которой
являются классы эквивалентности функций. Пользуясь таким
исчислением, которое мы сейчас опишем, можно получать огра-
ограниченные операторы из функций, не обязательно ограниченных.
Пусть ? — счетно аддитивная самосопряженная спектральная
мера, определенная на а-алгебре 2 подмножеств из S. Скаляр-
Скалярная или векторная функция f на S называется существенно


2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 53
ограниченной относительно Е, если величина
vrai sup | / (s) I = inf sup \f(s)\
E s?S EF)=I s?6
конечна. Так как мера Е счетно аддитивна, то найдется такое
множество 60 из 2, что Е(80) = 1 и
vrai sup | f(s)\ = sup |/(s)|.
E s?S s?6q
Таким образом, если функция / существенно ограничена, то
существует такая ограниченная на S функция /0, что f(s) = fo(s)
почти всюду относительно меры Е. Если функция / 2-изме-
рима, то /0 —ограниченная 2-измеримая функция, т, е. эле-
элемент 5*-алгебры В (S, 2). Алгебра EB(S, 2) существенно огра-
ограниченных относительно Е и 2-измеримых функций на S есть
В*-алгебра, элементами которой являются классы эквивалентности
2-измеримых скалярных функций на S, определенные всевозмож-
всевозможными ограниченными 2-измеримыми скалярными функциями таким
образом, что каждый класс состоит из всех 2-измеримых функ-
функций, отличающихся от некоторой ограниченной 2-измеримой функ-
функции лишь на множестве, имеющем нулевую меру Е. Иными сло-
словами, EB(S, 2) получается из B(S, 2) приведением по модулю
множеств нулевой ^-меры. Норма в EB(S, 2) есть
in p
Е s?S
Хотя элементами алгебры EB(S, 2) являются классы эквивалент-
эквивалентных функций, мы для удобства будем говорить об этих элемен-
элементах как о функциях на S. Ситуация здесь вполне аналогична
встретившейся нам в случае пространства Loo(S, 2, ji). Алгебраи-
Алгебраические операции в ЕВ (S, 2) определяются естественным образом;
в частности, инволюция определяется как /* = /, где, как обыч-
обычно, f(k) = f(k). Для ограниченной 2-измеримой функции g
g (s) E (ds) = \ g(s)E (ds), если Е (б) = /; поэтому
б s
можно определить интеграл от существенно ограниченной отно-
относительно Е функции / как интеграл от какой-нибудь ограничен-
ограниченной 2-измеримой функции g, отличающейся от / лишь на мно-
множестве нулевой ?-меры. Из теоремы 1.1 вытекает, что отобра-
отображение /—> \ / (s) E (ds) алгебры EB(S, 2) в алгебру операторов
s
в гильбертовом пространстве является непрерывным *-гомомор-
физмом. Следующий более сильный результат показывает, что
это отображение представляет собой изометрический ^изомор-
^изоморфизм.


54 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
9. Следствие. Пусть Е —счетно аддитивная самосопряженная
спектральная мера на о-алгебре 2 подмножеств множества S.
Тогда отображение f—>T(f) алгебры EB(S, 2) в алгебру опера-
операторов в гильбертовом пространстве, определенное соотношением
(I) T{f)=\f(s)E{ds),
S
является изометрическим ^-изоморфизмом и обладает следующими
свойствами-.
(II) оператор T(f) тогда и только тогда имеет ограничен-
ный обратный T(f)'1, когда функция \lf существенно ограничена
на S относительно меры Е;
(III) a(T(f))= П Ш, f?EB(S,2);
ЕF)=1
(IV) \T(f)x\*=\\f(k)\*(E(dk)x,x), f?EB(S,H);
(V) если {fn} — ограниченная последовательность в EB(S,I>)
и lim fn (s) = f (s) почти всюду относительно E, mo T (fn) x —>
п
—>T(f)x для каждого х из гильбертова пространства.
Доказательство. Утверждения (IV) и (V) можно доказать
так же, как соответствующие утверждения следствия 8. Чтобы
показать, что отображение f—>T(f) изометрично, рассмотрим
любое такое б ?2, что Е(8) = 1. Тогда
= К f(k)E(dk)
I \
и, следовательно, | Т (f) I < vrai sup I f (s) |. Обратно, пусть
E s?S
/*< vrai sup] f (s) | и 5r = {sl \f(s)\>r\, так что Е(8г)ф0, и пото-
Е s?S
му Офх — Е (бг)х для некоторого вектора х. Тогда, со-
согласно (IV),
(f)x\*=l \f(k)\*(E(dk)EFr)x,x) =
s
r)x,x)=^ \f(k)\*{E(dl)x,x)>r*\x\\
откуда |T(/)]>/*, поскольку хф§. Так как г — произвольное
число, меньшее чем vrai sup | f(s)|, то | Т (f) |> vrai sup | f (s) ]; это
Е s?S E s?S
означает, что \T(f)\ = \f\, и доказывает, что отображение
f—>T(f) является изометрическим *-изоморфизмом. Чтобы дока-


2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 55
зать (II), заметим, что если функция 1// существенно ограни-
ограничена на S относительно меры ?, то Т(Vf)-T (f) = T A) = /,
т. е. T(f)'1 существует. Обратно, пусть Т (f)'1 существует
и является ограниченным оператором в гильбертовом простран-
пространстве; пусть r>\T(f)~1\. Покажем, что ?Fг) = 0, где бг =
= {s|| 1/f (s)|>/-} -{s || f(s)\< Г1}. Действительно, если это не
так, то найдется такой вектор х, что Офх = Е Fг)х, и тогда,
согласно (IV),
\*=\ \f(s)\*(E(ds)x,x)
Поэтому \x\^=\T(f)'1T(f)x\<.r\T(f)x\<\xl что невозможно;
полученное противоречие завершает доказательство утвержде-
утверждения (II). Наконец, чтобы доказать (III), предположим, что
где ?F) = /. Тогда функция 1/(Я0 — f) существенно
? X(T(f)) Э
odf(), () фу @ f) у
ограничена относительно ?, и потому X0?q(T(f)). Это доказы-
доказывает, что / (б) за (Г (f)), и, таким образом,
П
Обратно, если Я0^д(Т(/)), то, согласно (II), функция 1/(Я0 — f)
существенно ограничена относительно Е\ следовательно, найдется
такое множество 6 ?2, что ?(б) = / и ко(Ц (б). Это показывает,
что а(Г(/))=2 П Ш, ч. т. д.
?•F)=/
10. Следствие. Пусть f ?EB(S, 2), где Е — спектральная
мера из следствия 9, и пусть Ef —разложение единицы для опе-
оператора T(f). Тогда Еf (б) = Е (f'1 (б)) для каждого борелевского
множества б комплексной плоскости.
Доказательство. Поскольку функция f существенно ограни-
ограничена относительно ?\ то существует такая постоянная М и та-
такое множество ао?2, что Е(о0) = 1 и \f (s)\^M при s?o0. Пусть
T = T(f). Тбгда, согласно 9A1), для каждого ki(iQ(T) функция
l/(^i — f) существенно ограничена относительно ?, и потому
найдется такая окрестность Ni точки Хи что ?(/(Л^1)) = 0.
Конечное число таких окрестностей покрывает множество бп,
состоящее из всех таких комплексных чисел Я, для которых
|Я|<УИ и расстояние от I до а(Т) не меньше, чем 1/я. По-
Поэтому E(f~1(8n)) = 0. Так как мера Е счетно аддитивна, то
^(f'1(Q(^))) = O. Следовательно, Е (Г1 (б f] а G))) = ? (/^ (б)) для
любого борелевского множества 8 комплексной плоскости. Таким


56 Гл. X, Ограниченные нормальные операторы
образом, по правилу замены меры при интегрировании,
\ \E(rHds))=\f(s)E(ds) = T,
а(Т) S
и потому по следствию 7 EfF) = E(f(8)), ч. т. д.
3. Собственные значения и собственные векторы
Одно из отличий спектральной теории в общем В-пространстве
(или в гильбертовом пространстве) От соответствующей теории
в конечномерном пространстве состоит в том, что в общем слу-
случае оператор \il— T может иметь обратный даже тогда, когда
|Л принадлежит спектру а (Т) оператора Т. С рядом таких при-
примеров мы встречались в § VII.5, где была также дана общая
классификация точек спектра. Мы повторим здесь эту класси-
классификацию в применении к операторам в гильбертовом пространстве
и изучим некоторые ее связи с теорией нормальных операторов.
1. Определение. Пусть а (Т) — спектр ограниченного линей-
линейного оператора Т в гильбертовом пространстве ig. Множество
всех комплексных чисел X из а G), для которых оператор
XI-—Т не является взаимно однозначным, называется точечным
спектром оператора Т и обозначается ор(Т). Каждое число \л
из ор(Т) называется собственным значением оператора Т, а каж-
каждый вектор хфО, для которого (\il~- Т)х = 0 при некотором
jx?<tp(T), называется собственным вектором оператора, соот-
соответствующим собственному значению \х, или проще, собствен-
собственным вектором оператора Т. Множество всех |л?а(Г), для кото-
которых оператор \il-T взаимно однозначен и для которых много-
многообразие (fx/ — T)% всюду плотно в ф (но не совпадает со всем ^),
называется непрерывным спектром оператора Т и обозначается
асG). Множество всех \л?о(Т), для которых оператор ji/ — Т
взаимно однозначен, но многообразие (\jlI — T)!q не является
всюду плотным в ф, называется остаточным спектром оператора
Т и обозначается ог(Т).
Следует заметить, что если оператор XI —Т взаимно одно-
однозначен и (AV — T) ?•-.-?, то (см. II.2.2) оператор (XI — Т)'1 опреде-
определен на всем ? и ограничен, и потому X не принадлежит спектру
а (Г). Это показывает, что каждая точка комплексной плоскости
лежит в одном из непересекающихся множеств qG), op(T), асG),
аг(Т). Напомним еще, что о(Т) есть непустое замкнутое множе-
множество (IX. 1.5), содержащееся в круге {Я|| Я|<| Т|} (см. VII.3.2).
Следующая лемма резюмирует вышеизложенное»
2. Лемма. Пусть Т — ограниченный оператор в гильбертовом
пространстве. Тогда резольвентное множество q(T) открыто,


3, Собственные значения и собственные векторы 57
а спектр является непустым замкнутым подмножеством круга
{Х\\Х\^\Т\}. Кроме того, множества q(T), op(T), ас(Т) и аг(Т)
попарно не пересекаются и их объединение совпадает со всей
комплексной плоскостью.
Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим гильбер-
гильбертово пространство /2 всех последовательностей х = {аг} комплекс-
комплексных чисел, для которых |х| = B \щ |2I/2< оо. Скалярное произ-
произведение в /2 определяется формулой (х, #) = 2 а*Р*» гДе x=={ai}i
y = {pf}. Пусть у = Тх — оператор сдвига в /2, определенный соот-
соотношением */ = {а2, а3, ...}, где х — {аи а2, а3, ...}. Так как
| Т | < 1, то по лемме 2 спектр а (Т) содержится в круге
{Х\ |Я|< 1}. Если | Х\<С 1, то последовательность х = {1, Я, Я2, ...}
принадлежит /2 и Гх = Хх, так что каждое I с 11 \ < 1 является
собственным значением оператора Т. Так как спектр с(Т) замк-
замкнут и содержится в единичном круге, то о(Т) = {Х\ \ Я[<! 1}.
Ясно, что единственным, с точностью до скалярного множителя,
собственным вектором, соответствующим собственному значению X
при |Я|<1, является вектор {1, Я, к2, ...}, так что многообра-
многообразие {х |х?/2, (Т — Х1)х = 0) одномерно. Если |А,| = 1, то Х^ср(Т),
поскольку в этом случае {1, Я, Я2, ...} не принадлежит /2. Та-
Такие X лежат в ос(Т). Чтобы показать это, рассмотрим в /2 про-
произвольный вектор y = {fit}, и пусть k—-такое натуральное число,
оо
что 2|fM2<e2» гДе е — заданное положительное число. Ясно,
что мы можем найти такую последовательность х = {ап}, что
^O при n>k и Хап — an+1 = fin при n^k. Таким образом,
-Г)х-у| = ( fj
fe+
откуда следует, что ос(Т) = {Х\ \Х\=1} и что остаточный спектр
ог(Т) пуст. Можно также привести примеры операторов Л, для
которых ог(А) = о(А); для таких операторов точечный и непре-
непрерывный спектры пусты.
Следующая лемма показывает, что для нормального опера-
оператора характер точки спектра определяется разложением единицы.
3. Лемма. Если Е —разложение единицы для нормального
оператора Г, то:
(I) если множество б не пусто и открыто в относительной
топологии спектра а(Т), то ЕF)ФО;
(II) точенный спектр ор(Т) оператора Т состоит из всех
комплексных чисел \х, для которых Е ({ji}) Ф 0;
(III) остаточный спектр ог(Т) оператора Т пуст.


58 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Доказательство, Пусть б открыто, ?F) = 0 и СО
Тогда функция (Яо—Я) существенно ограничена на о(Т) отно-
относительно меры Е и, согласно следствию 2.9 (II), X0?q(T), что
приводит к противоречию, доказывающему справедливость утвер-
утверждения (I). Чтобы доказать пункт (II), допустим, что E({\i})x =
= хфО. Тогда
а(Т) о(Т)
так что \i(~aP(T). Обратно, если хфО и Tx = \ix, положим
0, щ-я|<
Тогда fn(T)(\iI—T) = Е{Х\ \Х — (х|>1М}, и так как
(ji/ — T)x==0, мы имеем Е ({к \ \ X — \i \ > 1/п}) х = 0. Устремляя п
к бесконечности и применяя следствие 2.8 (III), получаем, что
Е({ЩФ\х})х = 0, откуда Е ({\i}) х = х ф 0. Чтобы доказать (III),
достаточно показать, что если (fx/ — Т) ig не плотно в Sq, to
И^о^Т1)- Лля такого |ы по следствию II.3.13 и теореме IV.4.5
найдется пектор хфО, ортогональный к (fi/-~T)^, откуда
(\iI — T*)x---Q. Согласно (II), для разложения единицы А опера-
оператора Г* имеем A ({\i}) ф 0. Таким образом, в силу следствия 2.10
и, согласно (II), \i?op(T), ч. т. д.
4, Теорема. Если спектр ограниченного нормального опера-
оператора Т- в fe счетен, то в ^ существует ортонормальный базис Б,
состоящий из собственных векторов оператора Т. Кроме того,
1/6 П
и для каждого х все коэффициенты (х, у), за исключением, быть
может, счетного числа, равны нулю.
Доказательство. Пусть а(Г) = {[х1? fi2, •••} и %п = ? (fin) §,
где /Г — разложение единицы для Т. Если ^=^0, то из леммы 3
следует, что $Qn состоит целиком из собственных векторов опе-
оператора Т. По теореме IV.4.12 в каждом подпространстве !дп
оо
имеется ортонормальный базис Вп. Если мы положим В= [} Вп,
то каждый элемент из В будет собственным вектором опера-
оператора Т. Так как Е (\хп) х = х для х из Вп и Е (\in) E (\im) = 0 при


4. Унитарные, самосопряженные и положительные операторы 59
п=^т, то В является ортонормальным множеством. Кроме того,
по следствию 2.3
о(Т) п=1
и, таким образом, не существует ненулевого вектора, ортого-
ортогонального ко всем элементам множества 5. Следовательно, В
полно и по теореме IV.4.13 является ортонормальным базисом
в §. Оставшиеся два утверждения теоремы следуют из опреде-
определения IV.4.11 и теоремы IV.4.10.
—> 5. Следствие. Спектр вполне непрерывного нормального
оператора Т в Sq счетен и не имеет на комплексной плоскости
предельных точек, кроме, быть может, точки (л = 0. Каждая
отличная от нуля точка спектра является собственным значе-
значением, и число соответствующих ей линейно независимых собст-
собственных векторов конечно. В ig существует ортонормальный
базис, состоящий из собственных векторов оператора Т.
Доказательство. Первые утверждения следуют из теоремы
VII.4.5, а последнее —из теоремы 4.
4. Унитарные, самосопряженные и положительные операторы
В этом параграфе мы вкратце рассмотрим некоторые специ-
специальные классы нормальных операторов, часто встречающиеся
в математическом анализе.
1. Определение. Ограниченный оператор Т в гильбертовом
пространстве § называется унитарным, если ТТ* = Т*Т = 1\ само-
самосопряженным, симметрическим или эрмитовым, если Г = Г*;
положительным, если он самосопряжен1) и (Тх, х)>0 для
любого х из ig; положительно определенным, если он положите-
положителен и (Тх, х)>0 для любого х=й=0 из §2).
Ясно, что операторы всех этих классов являются нормаль-
нормальными.
Унитарные операторы имеют ряд других характеристических
свойств. Например, если (У —унитарный оператор, то (х, у) =
!) При определении положительного оператора в комплексном простран-
пространстве достаточно ограничиться требованием (Тх, х) >- 0, так как при его
выполнении оператор Т автоматически оказывается самосопряженным.—Прим.
перев.
2) Иногда оператор Т называют положительно определенным лишь в том
случае, когда для некоторого а>0 и для всех * € ф выполняется неравен-
неравенство (Тх, х) >> а |х|2.— Прим. перев.


60 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
= ((/*?/#, y)~(Ux, и**у) = (их, Uу). Обратно, пусть оператор U
удовлетворяет равенству (я, у) = (Ux, Uy). Тогда (jc, у) = (U*Ux, у),
и если оператор U имеет обратный, то f/^^*; это означает,
что оператор U унитарен. Другими словами, унитарный оператор
представляет собой изоморфизм пространства ф на себя, сохра-
сохраняющий скалярное произведение (и, следовательно, сохраняющий
все свойства пространства §). По этой причине операторы А и В,
действующие в ф и связанные соотношением А = и*Ви, где опе-
оператор U унитарен, обладают одинаковыми свойствами. Такие
операторы называются унитарно эквивалентными.
Эрмитовы операторы образуют в B($g) подкласс, роль кото-
которого в В (?>) во многом напоминает роль подкласса вещественных
чисел в классе всех комплексных чисел. В частности, каждый
оператор Г^Б(^) однозначно представим в виде Т — A + iB, где
А и В—эрмитовы операторы. Очевидно, А я В должны опреде-
определяться формулами
T-j-T1* D Т—Т*
А = —2— , Д = -__.
Ясно, что оператор Т нормален тогда и только тогда, когда его
«вещественная» и «мнимая» части А я В коммутируют.
Понятие положительного оператора позволяет нам ввести
в пространстве В (Од) отношение порядка: мы пишем S<7\ если
оператор T — S положителен. Таким образом, В($) становится
частично упорядоченным векторным пространством и обладает,
как таковое, многими интересными свойствами; некоторые из них
приводятся в упражнениях в конце этой главы.
Связь между классами унитарных, эрмитовых и положитель-
положительных операторов и соответственно комплексными числами, по
модулю равными единице, вещественными числами и положи-
положительными числами иллюстрируется следующей теоремой.
2. Теорема. Ограниченный нормальный оператор является
унитарным, эрмитовым или положительным тогда и только
тогда, когда его спектр леоюит соответственно на единичной
окружности, вещественной оси или неотрицательной веществен-
вещественной полуоси.
Доказательство. Если IV —ограниченный нормальный оператор,
то по следствию IX.3.15 соотношение NN* = N*N-=I выполня-
выполняется тогда и только тогда, когда ЯХ = 1 для каждого к, принад-
принадлежащего спектру оператора N; аналогично соотношение N = N*
равносильно тому, что Я = Я для каждого X?o(N). Пусть ? —
разложение единицы для самосопряженного оператора Л. Если
его спектр неотрицателен, то сам оператор положителен,


4. Унитарные, самосопряженные и положительные операторы 61
поскольку по следствию 2.7 (Ах, х)= ^ X(E(dX)x, x). Обратно,
если открытый интервал о отрицательной полуоси пересекается
со спектром, то по лемме 3.3 (I) Е (б) Ф 0. И если 0 Ф х = Е (б) х,
то (Ах, х)= J l(E(dl)E(8)x, *) = J X (? (с^Пб) х, jc) =
<т(А) а(А)
= \ %(E(dX)x, л:)<0, т. е. оператор Л не является ПОЛОЖИ-
САЭПб
тельным, ч. т. д.
Установленные в этой теореме связи между спектром нор-
нормального оператора N и значениями формы (A'x, x) могут быть
значительно углублены (см. упражнение 8.8). Здесь мы иссле-
исследуем эти связи в частном случае вполне непрерывного само-
самосопряженного оператора N. В этом случае, согласно следствию
3.5, спектр a (N) состоит из последовательности {А,?} (возможно,
конечной или пустой) положительных чисел, последовательности
отрицательных чисел {Яп} (возможно, конечной или пустой) и нуля
(при условии, что пространство Jg бесконечномерно). Кроме того,
согласно следствию 3.5, множество собственных векторов, соот-
соответствующих любому ненулевому собственному значению, обра-
образует конечномерное пространство. Размерность этого простран-
пространства называют кратностью соответствующего собственного зна-
значения. Мы можем предположить, что положительные собственные
значения занумерованы в порядке убывания, причем каждое
из них повторяется столько раз, какова его кратность: А,4 > Я2 >
Последовательность {Хп} либо пуста (что мы пока исключим),
либо конечна, либо бесконечна; в последнем случае Хп —> 0.
Тогда
= \
а(Т)
так что (Me, x)/\x\**Cki. Следовательно, наибольшее положи-
положительное собственное число А,4 можно охарактеризовать соотноше-
соотношением Рэлея
/т\ \ (NX, x)
(I) ^t = max '
Как, зная А,4, охарактеризовать Я2? Легко видеть, что если х^ —
ненулевой собственный вектор, соответствующий значению Я1? то
r*i л (Nx, x)
{*] Л2= max v ;,/ .
(х, xi)=0 I X I
Так как эта формула явно содержит собственный вектор хи она
во многих случаях оказывается неудобной. Более удовлетво-


62 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
рительная характеристика %2 состоит в следующем. Для любого
вектора у мы можем найти такую ненулевую линейную комби-
комбинацию ахХ^ -|- о.2хг вектора xt и собственного вектора х2, соответ-
соответствующего собственному значению А2 и ортогонального к хи что
(а^ + а2хъ у) ----- 0. Поскольку | а^ + а2х212 = | а{ |21 хг |2 +
+ |а2|2|х2|а» мы имеем
(Л/ (a^i + а2х2), а^ + а2х2) = Х41 а4121 ^412 +
+ ^2 I «2 |2 | Х2 |2 > Я
Следовательно,
л . (Nx, х)
Я2< max ,;|2Л
(х, у)=0
С другой стороны, соотношение [*] показывает, что если поло-
положить у = хи то последний максимум в точности равен Х2. Таким
образом, мы получаем
= min max
У <*,!/)=<> 1Х1
Таким же способом можно показать, что
3 max Щ^
(л, 1/2)=0
и вообще
(II) • ХЛ+1= min max ^,?-, Ы.
i=i, .. ., fe
Следующая теорема резюмирует изложенное.
—> 3. Теорема. Пусть Xi>X2> . .. —положительные собственные
значения вполне непрерывного самосопряо/сенного оператора Л/,
причем каждое из них повторяется столько раз, какова его крат-
кратность. Тогда собственные значения Хи Я2, ... определяются
формулами (I) и (II).
Характеристика &-го по величине собственного значения, дан-
данная в теореме 3, кроме многих теоретических приложений, имеет
многочисленные применения к приближенному вычислению^ соб-
собственных значений. Здесь мы лишь проиллюстрируем применение
этой теоремы примером. Пусть L и М — вполне непрерывные
самосопряженные операторы, а {Хп} и {\хп} — последовательности их
положительных собственных значений, расположенные в порядке
убывания, причем каждое повторено столько раз, какова его крат-


5. Спектральное представление 63
ность. Тогда если L<M, то Яд<[хд. Доказательство очевидно,
ибо L^CM влечет (Lx, x)-?C(Mx, х). Следовательно, формулы
для Хп и [хп, данные в теореме 3, показывают, что Я
5. Спектральное представление
Пусть [I — конечная положительная мера, определенная на о-
алгебре $ борелевских множеств комплексной плоскости и рав-
равная нулю на дополнении некоторого ограниченного множества S.
Одним из простейших примеров ограниченного нормального опе-
оператора может служить оператор Г, определенный формулой
(Tx)(X) = kx(X), x?L2(S, f$, [x). Легко видеть, что спектр а(Т)
оператора Т совпадает с носителем меры [х, т. е. с дополнением
наибольшего открытого множества б, для которого \х (б) = 0.
Спектральное разложение оператора Т определяется для каждого
борелевского множества е формулой (Е (е) х) (X) = %е (X) х (X);
таким образом, для каждой ограниченной измеримой по Борелю
функции F оператор F (Г) задается формулой (F(T)x)(X) =
= F(k) x(k). Первая цель настоящего параграфа—показать, что
приведенный пример описывает в некотором смысле типичную
структуру произвольного нормального оператора.
Говоря более ясно, если Т—нормальный оператор, действую-
действующий в Jg, то существует такое унитарное отображение U прост-
пространства J§ на подходящим образом выбранное функциональное
пространство L2(S, J?, \i) или на прямую сумму таких прост-
пространств, что оператор UTU'1 имеет вид «умножения на Я». Точ-
Точный смысл этой фразы поясняется следующим ниже определе-
определением. Здесь и в дальнейшем символ ^ $а употребляется для
а
обозначения прямой суммы гильбертовых пространств
(см. IV.4.18 и IV.4.19). Проекция элемента х из ^ ^а в
а
обозначается ха.
1. Определение. Пусть Г—нормальный оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве $&, а {\ха} — семейство конечных положитель-
положительных регулярных мер на борелевских множествах комплексной
плоскости. Отображение U пространства § на ^^(^а) назы-
а
вается спектральным представлением Jg6^L2 (м-а) относительно
а
оператора Т1 если выполняются следующие условия:
(a) каждая мера \ха равна нулю на дополнении спектра опе-
оператора Т\
(b) оператор V является линейным отображением Jg на все
пространство ^ L2 (|ia) и сохраняет скалярное произведение;


64 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
(с) для каждой борелевской функции /, ограниченной на
спектре оператора 7\ любого х из Q и любого а
почти всюду по мере ца.
Сначала мы рассмотрим случай, когда $ обладает спектраль-
спектральным представлением в пространстве L2(M-)-
2. Теорема. Пусть Т — нормальный оператор в гильбертовом
пространстве $. Предположим, что для некоторого вектора х
из ф линейные комбинации векторов вида Т"Т*пх, m, /i>0,
всюду плотны в §. Тогда !q допускает спектральное представ-
представление относительно Т в гильбертовом пространстве L2(fi).
Доказательство. Пусть Е — разложение единицы для Г,
и пусть [х = (?¦(•)х, х), а ©! — линейное многообразие в Sq,
состоящее из всех векторов вида f(T)x, где / — ограниченная
борелевская функция на а (Г). По предположению, Ф4 всюду плотно
в .?). Заметим, что если f (T)x = g(T)x, то
откуда следует, что f == g почти всюду относительно меры \х*
Следовательно, мы можем определить оператор Uu действующий
из $>i в Ац(|1), полагая Uif(T)x==f. Ясно, что оператор ?Д
линеен, и дли у f(T)x, г g(T)x мы, согласно следствию 2.8,
имеем
ОЛ г) - I f
G(T)
Это показывает, что ?/4 сохраняет скалярное произведение
и, таким образом, является взаимно однозначным и непрерыв-
непрерывным. Поэтому он допускает единственное продолжение V на
пространство CI -$, причем U отображает § на замыкание по
метрике пространства Lz(\i) множества всех ограниченных боре-
левских функции, т. е. па Lu(|x). С помощью элементарных сооб-
соображений непрерывности можно показать, что U является изомет-
изометрическим изоморфизмом между $ и L2(\i). Если теперь fn(T)x—>
-->?/, то fn—>Uy в L2([x), и поскольку (Uf(T)fn(T)x)(k) =
fbfb), мы имеем (Uf(T)y)(X) = f(k)(Uy)(k), ч. т. д.
Рассмотрим теперь случай, когда Т—произвольный ограни-
ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве ig.
Назовем подпространство ^д^ допустимым, если T©i s ^i,
Т1*^! s $i и найдется такой вектор Xi ? $i» что линейные комби-
комбинации векторов TnT*mXi всюду плотны в ^4. С помощью леммы


5. Спектральное представление 65
Цорна можно показать, что существует максимальное семейство
{^а} взаимно ортогональных допустимых подпространств. Пусть
91 — ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
семейством {§а}; ясно, что операторы Т и Г* отображают У1
в себя. Таким образом, если ШфО, то в нем содержится нену-
ненулевое допустимое подпространство, что противоречит максималь-
максимальности семейства {^а}- Это показывает, что подпространства iga
в совокупности порождают все ig. Ясно, что мы можем рассмат-
рассматривать ф как прямую сумму Jg = 2 ^« гильбертовых пространств
$а (см. лемму IV.4.19). Применяя теперь теорему 1 к сужению
Та оператора Т на пространство iga, мы можем построить такую
регулярную положительную меру [ха, равную нулю на дополне-
дополнении к а (Та) (а значит и на дополнении к а (Г)), и такое уни-
унитарное отображение Ua пространства $а на L2([xa), что
(Uaf (Т) х) (Я) = / (Я) (Uax) (Я) для каждой ограниченной борелев-
ской функции / и каждого х из Qa- Мы можем резюмировать
сделанные замечания в виде следующей теоремы.
3. Теорема. Каждое гильбертово пространство S& допускает
спектральное представление относительно произвольного ограни-
ограниченного нормального оператора, определенного на Sq.
Мы видели, что теорема 3 является следствием спектральной
теоремы для нормальных операторов. Стоит отметить, что на
самом деле эти теоремы эквивалентны. Действительно, если опе-
оператор UTU'1 в пространстве ^L2(g(T), $, \ia) имеет вид,
a
предписанный определением 1, и если для каждого борелевского
множества е ^ а (Т) оператор проектирования Р (е) определен
соотношением (P(e)Uy)a(X) = %e(X)(UyHC(X), ув&, то спектраль-
спектральная мера Е, определенная равенством Е (е) = и~гР (е) U', является
разложением единицы для Т.
Часто бывает удобно выразить результат теоремы 3 несколько
иначе.
4. Следствие. Пусть Т —нормальный оператор в гильбертовом
пространстве ©. Тогда существуют пространство (S, 2, \х)
с регулярной положительной мерой [х, ограниченная ^-измеримая
скалярная функция f на S и изометрический изоморфизм U про-
пространства § на L2(S, 2, fx), сохраняющий скалярное произведе-
дение и такой, что для любого у из $q
(UTy)(s) = f(s)(Uy)(s)
для почти всех относительно \х точек s из S.
Доказательство. Используя обозначения предыдущей теоремы
и ее доказательства, рассмотрим множества Sa = a(Ta) как под-
5 Заказ № 134


66 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
множества различных экземпляров комплексной плоскости, так
что для различных индексов а, р множества Sa, S3 не пересе-
пересекаются. Пусть S— U Say и пусть 2 состоит из всех множеств,
a
имеющих вид е - []еа, где еа — борелевское подмножество в Sa.
а
Для таких е положим \i(e) = ^1\ia(ea), если этот ряд содержит
a
лишь счетное число ненулевых членов и сходится; в противном
случае пусть |л(е) — оо. Определим расстояние между двумя точ-
точками s, t из S как обычное расстояние на комплексной плоскости,
если s и t принадлежат одному и тому же Sa. В противном
случае будем считать, что это расстояние равно |Г|. Легко
видеть, что E, 2, |л) —пространство с регулярной мерой. Для
каждого s из S положим f(s) = s. Ясно, что функция / является
^-измеримой, и так как норма сужения оператора Т на §эа не
более |Г|, то из леммы 3.2 следует, что |/(s)|<|T|. Пусть <S)i
состоит из всех конечных сумм вида лг = 2*а., где xa. ?&*г,
и пусть и{ — отображение множества 2>i в L2(S, 2, fx), заданное
равсчютном Ux (^] ха.) = 2 ^a^a?» где функции U^Xa для s из Sa
оиредслсчнл так же, как в теореме 2, а для точек s, не принад-
принадлежащих Saf доопределены соотношением (Uaxa) (s) = 0. Ясно,
что отображение U\ линейно, изометрично и сохраняет скалярное
произведение. Поскольку область определения отображения Ui
плотна и Jg, а множество его значении плотно в L2(S, 2, \х), то
это отображение доиускпет единственное непрерывное продолже-
продолжение U, которое является изометрическим изоморфизмом между ig
и L2(S, 2, (i) и сохраняет скалярное произведение. Так как для
элемента х=-^ха. из ф4 мы имеем
(UXTX) (S) = 2 V*Txa.) (S) = / (S) ( ^ ?/а^
то UTx f(-)Ux для любого x из ig, ч. т. д.
5. Сл1'Дстии1'. Если пространство !д сепарабельно, то меру \л
в следствии 4 можно выбрать так, чтобы она была конечной.
Доказательство. Если ?} сепарабельно, то в нем существует
счетная система взаимно ортогональных допустимых подпрост-
подпространств ?„, п 1, 2, ..., которые в совокупности порождают $$.
Достаточно так выбрать хп из Jgn, чтобы |д:п|2=1/2п и чтобы
линейные комбинации векторов TlT*jxn, i,j^>0, были плотны
в $}п. При таком выборе векторов хп мы имеем |in(Sn)— l/2n
и (i(S)<l, ч. т. д.
Спектральное представление, рассмотренное в предыдущих
теоремах, дает важную информацию о структуре нормального


5. Спектральное представление 67
оператора. Ясно, однако, что меры, удовлетворяющие определе-
определению 1, могут быть выбраны многими способами. Сейчас будет
показано, что в случае сепарабельности гильбертова простран-
пространства i§ имеется в некотором смысле «наилучший» способ сделать
выбор, и если этот «наилучший» выбор сделан, то полученное
семейство мер характеризует оператор Т с точностью до унитар-
унитарной эквивалентности. Этот результат включает в себя то, что
известно под названием теории спектральных типов.
6. Определение. Пусть Г —ограниченный нормальный оператор
в гильбертовом пространстве Jg, и пусть Е — его спектральное
разложение. Вектор х из ig называется максимальным относи-
относительно Т, если каждая мера вида (Е(-)у, у), ydfe, абсолютно
непрерывна относительно меры (Е(-)х, х).
7. Лемма. Пусть Т — ограниченный нормальный оператор
в сепарабельном гильбертовом пространстве $. Пусть у0 —
заданный вектор из Jg. Тогда существует в ig такой максималь-
максимальный относительно Т вектор х, что у0 лежит в подпространстве
%(х) = ^р{Тп(Т*)тх\п, т>0}
пространства Jg.
Доказательство. Очевидно, мы можем предположить, что
| г/о | = 1. Пусть у0, уи уъ ...—ортонормированный базис в ig
с начальным элементом у0. Пусть Е~ спектральное разложение
для Т; положим vn (e) = (? (е) уп, уп) для каждого борелевского
множества е. Применяя теорему Лебега о разложении меры
(III.4.14), построим последовательность борелевских множеств {еп},
п—1
для которой 2 vj(en) = 0, и такую, что если е — борелевское под-
п—1
множество дополнения е'п множества еп и 2 vj (e) = 0, то vn (e) = 0.
3 = 0
- оо
Пусть а0 — комплексная плоскость; положим оп= [} е$ при п> 1.
Тогда {оп} — убывающая последовательность борелевских множеств,
п—1
причем 2 vj(°n) = 0, и если е — борелевское подмножество мно-
3 = 0
п—1
жества а'п и 2 ^(б) = °» то
3=0
оо
Положим х= 2 2"J'?" (Oj) yj. Чтобы показать, что вектор х
3=0
максимален, рассмотрим борелевское множество е, для которого
(Е(е)х, х) = \Е(е)х\2 = 0.


68 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Так как v3(on) = 0 при /<л, то Е(оп)у3 = 0 при /<л. Таким
образом,
оо
Е (е П (on-i - оя)) х = 2 2-jE (е П (оп-х - оп)) Е (oj) y} =
ii
так что
\Е(е{] (On-i - оп)) х |2 = г-*11-1^-! (в П (аЯв1 - огп)).
Поэтому, учитывая, что у,/(сгл_1) = О при /<п—1, имеем
п-1
2 2-Vvj (е П (Оп-, - оп)) -1 ? (в П К-1 - стл)) х |2 =
Следовательно,
n-l
S
Так как or^-i —ог„ ^ (Тп, то
Так как on-i — crjsorn+i, то
n+l
2 ^
i=o
Продолжая по индукции, мы получаем, что Vj(e(\(on-i — on)) = 0
для всех /. Суммируя по я, видим, что 1^F) = 0 для всех /.
Таким образом, поскольку vj (е) = \Е (е) у312, имеем Е (е) yj = O для
всех /. Отсюда следует, что Е(е)у = 0 для всех у из $&, ибо
{г/7}-~ ортонормированный базис в Q. Итак, (Е(е)у, у) = 0 для
всех у из .§, т. е. вектор д: максимален.
Ясно, что у0 = Е(о0 — Oi)x. Следовательно, лемма будет дока-
доказана, если мы покажем, что
{Тп(Т*)тх\п, т>0}.
По теореме Вейерштрасса об аппроксимации и следствию 2.8
Пусть задано 8>0. Согласно замечанию, предшествующему
следствию 2.4, мы можем найти такое открытое множество
U з сг0 — (Ti и такое замкнутое множество С s o0 — сг1? что
— C)x\<.b. Тогда ясно, что если /—непрерывная функция,


5. Спектральное представление 69
равная 0 на (У' и 1 на С и всюду заключенная между О и 1,
и если % — характеристическая функция множества о0 — ои то
Таким образом,
Е (сто - огО х ?ц> {/ (Г) х | / ? С (or (Г))},
ч. т. д.
8. Лемма. Яус/ль Т — ограниченный нормальный оператор
в сепарабельном гильбертовом пространстве $, и пусть Е обо-
обозначает его разложение единицы. Тогда существует такая после-
оо
довательность {хп} s Jg, ^/no ^ = 2
г=1
а такая убывающая последовательность борелевских множеств
{еп}, что {Е{е)хп, хп) = {Е{е[\еп)хи xj, n>\.
Доказательство. Пусть {уп} — полная ортонормальная систе-
система в ig. Применяя лемму 7, выберем максимальный относи-
относительно Т вектор Zi таким образом, чтобы t/i € Й (^i)- Обозначим
через Т2 сужение оператора Т на ортогональное дополнение Ж (г{)
подпространства ^(г^. Так как операторы Т и Т* отображают
$(zi) в себя, то и подпространство ^(zt) они отображают в себя.
Отсюда непосредственно следует, что оператор Т2 нормален.
Выберем теперь в -S(^i) такой максимальный относительно Т2
вектор z2, чтобы подпространство Sq (z2) = sp {Tn (T*)m z21 n, m>0}
содержало ортогональную проекцию вектора у2 на ®(Zi). Тогда
yi и г/2 лежат в ^(?i)©^(?2). Кроме того, из максимальности zt
следует, что мера \л2 = (Е{-) г2, г2) абсолютно непрерывна относи-
относительно Ц1 = (?(-)г1> гО.
Обозначим через Т3 сужение оператора Т2 на ортогональное
дополнение Ж (z2) подпространства ^ (г2) в ^R (г4) и т. д. Ясно, что,
. продолжая по индукции, мы получаем такую последовательность
{zn} <^ % и такие меры \in = (E (и)*п> гл), что многообразия $(гп)
взаимно ортогональны, векторы уи ..., уп принадлежат ig (г4) 0 ...
... © Q (г„) и мера [in+l абсолютно непрерывна относительно \хп
оо
для п>1. Так как уд для любого п>1 лежит в S^fe)» T0
ясно, что


70 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Применяя теорему Радона —Никодима, обозначим через q^
измеримую по Борелю плотность меры \лп относительно \ли так что
для каждого борелевского множества е. Так как обе меры jx±
и \in неотрицательны, то мы можем выбрать плотность Qn так,
чтобы она тоже была неотрицательной. Пусть еп = {к\ Qn(X) >0}.
Так как мера щ+1 абсолютно непрерывна относительно \in, то
M-i (^n+i — ^л) ^ 0. Таким образом, изменяя Qn+1, если это необхо-
необходимо, на множестве [хгмеры нуль, мы можем считать, что после-
последовательность множеств еп убывает и что е{ совпадает со всей
плоскостью.
Для я>2 положим xn = \im xnk, где
/t-*oo
*nk = I {Qn (Я)}-1/2 E (dX) г*, Snk= { X1 Qn (X) > 1} .
8
8nk
Этот предел существует, поскольку для
Qn (Я)1 E (dX) Zn |2 =
5
SnirSnl
~l Qn Щ
так что \xnk — xnj\—>0, когда /, /г—>со.
Полагая #i = Zi, мы для /i>l получаем
кп) = \Е{е)хп
= lim
2
- lim \
ч. т. д.x)
!) На самом деле доказательство не закончено: нужно еще показать, что
СК")
§=23 §(*п)- Для этого достаточно проверить, что §(хп) = $(гп). При я=1
это тривиально, так как xi=^zi. Пусть п>1. Непосредственно из определе-
определения хп вытекает, что хп€$(гп), откуда §(хп)^$(гп). Чтобы доказать
обратное включение, покажем, что zn€$(xn). Рассмотрим ограниченные боре-


5. Спектральное представление 77
На протяжении оставшейся части этого параграфа запись
jai^(A2 используется для обозначения того, что мера ^ абсо-
абсолютно непрерывна относительно меры (i2- Если \ix < \х2 и \i2 ? \iu
то мы употребляем запись |11^=ф2-
9. Определение. Пусть р, — положительная мера, определенная
на борелевских множествах комплексной плоскости, и пусть
{еп} _ убывающая последовательность борелевских множеств, при-
причем е± есть вся плоскость. Спектральное представление сепара-
оо
бельного гильбертова пространства ig в 2 L2{em \i) относительно
п=1
ограниченного нормального оператора Т называется упорядочен-
упорядоченным представлением Q относительно Т. Мера \х называется мерой
упорядоченного представления. Множества еп называются множе-
левские функции tynkj (к), п, &, />1, определенные соотношениями
Г 0, если Qn(^XUk,
=-j Qn (W1/2, если X 6 Sik= | Я,
i- < дл (X)< /
/} ,
/1/2
/1/2, если X € S^ = {A. | q^ (A.) > /}.
С помощью несложной выкладки получаем, что если k' > k, то
xnk, = Е (S>nk) zn + /1/2 \ {Qn (^)}~1/2 ? (dl) zn.
Так как правая часть не зависит от k', то при ft'—>-oo получаем
Qn (Х)}-1/2 Е (dX) zn.
Заметим, что
{Qn (Х)Г1/2?(^)г„ 2 = / J {6n (Х)}-1 (? (Л) г„, гп)
4 4
Ясно, что lim ? (S^ft) zn = E (en) zn и lim jxn (S^) = 0. Поэтому существует пре-
дел lim [^^- (Г) xn] = E (en) zn=zn-E (e±—en) zn. Далее, | E {e^—en)zn |2 =
/г, ;-»оо
= ^(«1 — вл)= \ Qn(k)\ii(dK) = 0, и потому lim [^^ (Г) ^п] = гп. Если
^ ft, i->oo
, то |г|)п^(Г)^-/(Г)л-п|2=^ | ^w (X)_/ (^) |2 (E {d%) xn, xn),
и так как непрерывные функции всюду плотны в гильбертовом пространстве
L2{(E (dX) хп, хп)}, то zn^^(xn), что завершает доказательство.—Прим.
перев.


72 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
ствами кратности упорядоченного представления. Если \i (ek) > О
и Ii(?a+i) = O, to говорят, что упорядоченное представление имеет
кратность к. Если \х(ек)>0 для всех k, то представление имеет
бесконечную кратность. Два упорядоченных представления U
и О пространства ? относительно операторов Т и Т соответ-
соответственно с мерами \л и \х и множествами кратности {еп} и {еЛ}
называются эквивалентными, если fx^jx и \i(en/Qn) = 0 = \x(enA'en)
для п=1, 2, ... .
Замечание. Отметим, что эквивалентные упорядоченные пред-
представления имеют одинаковую кратность. Действительно, если
= О для некоторого &, то ?(еА) = 0, ибо fi^fx. Так как
==0, то |i(e&) = 0. В силу симметрии заключаем, что
^0 тогда и только тогда, когда
—> 10. Теорема. Сепарабельное гильбертово пространство & обла-
обладает упорядоченным представлением относительно любого огра-
ограниченного нормального оператора Т в $g, и любые два упорядо-
упорядоченных представления пространства § относительно Т эквива-
эквивалентны.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из леммы 8
и теоремы 2 (см. доказательство теоремы 2). Следовательно,
в доказательстве нуждается лишь утверждение о единственности.
Пусть U и 0 — упорядоченные представления Jg относительно
оо оо
Т в гильбертовых пространствах 5? -- ]>] L2{en, ji) и Ж = 53 L2(en, fx)
соответственно. Символом /=[Д, /г, ...]» где fi^L2{eu [i), будем
обозначать элемент из $; аналогичное обозначение употребляется
для элементов из $. Пусть V^UU'1, так что У представляет
собой изометрическое отображение $ на $. Напомним, что если
F — ограниченная борелевская функция и у —элемент из J§, то
(Ш7 (Г) #)„ (X) -^ f (К) (Utj)n (к) почти всюду на еп относительно
меры |л,
(UF (Т) у)п (к) -¦¦ F (к) (Uy)n (к) почти всюду на еп относительно
меры (х.
Отсюда следует, что
], n=l, 2, ... .
Покажем теперь, что fx^(I. Вследствие симметрии достаточно
доказать, что pi^pi. Будем доказывать это от противного. Допу-
Допустим, что |i(e) = 0 и 0<М'(?)<оо для некоторого ограниченного


5. Спектральное представление 73
борелевского множества е, и рассмотрим вектор
/=[Хо. О, 0, ...]€*.
Беря в равенстве [*] в качестве F функцию %е, получаем, что
Vf = V[%l 0, 0, ...j-[xe.(V/)i, x.(V7)a, •••]•
Далее, |/|»«ц(«)>0, но
аи
IV/Г ?
м-1
j
w« 1 en По
это противоречит тому, что отображение К изометрично, и дока-
доказывает, что \i~\i.
Покажем теперь по индукции, что \i (en/S?n) = 0 = \i(enAen}
для п= 1, 2, ... . При /г = 1 это следует из того, что е4 и в! сов-
совпадают со всей комплексной плоскостью. Допустим, уже изве-
известно, что
A (ejAej) = 0 = [Г (^Ав;), 1 < / < /г.
Чтобы показать, что эти равенства справедливы также и для
у = я+1, достаточно доказать, что \i (en+i — en+i) = 0, ибо тогда
в силу симметрии |i(en+1 — en+1) = 0, а так как fx^ji, то отсюда
следует, что {1(вл+1 —вл+1) = 0 и ji (en+1 — en+1) = 0.
Допустим, что A (en+i — en+i) > 0, и пусть а — произвольное
фиксированное борелевское подмножество множества en+i — en+i,
для которого 0<|.i(a)< оо. Определим векторы f1, ..., /n+1 из 31
соотношениями
P^lXa, 0, 0, ...],
/2^[0, Ха, 0, ...], .
р+1 _ го 0 v 0 1
где в последней строке функция %а стоит на (я + 1)-м месте. Эта
векторы ненулевой длины, ортогональные в $. Следовательно,,
векторы Vf1, ..., Vfn+1 также имеют ненулевые длины и орто-
ортогональны в Ж. Пусть
Vr = [fh, /=1, 2, ...; f = lf 2, ..., /i+l.
Так как a ^ вп+i, а последовательность {ет} убывает, то
И(аП^т) = 0 для m>n, и потому 7т(^) = 0 почти всюду на а


74х Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
относительно меры \i при т>п. Пусть теперь б — произвольное
борелевское подмножество в а, причем fxF)>0; определим векто-
векторы g1, ..., gn+1 так же, как /*, ..., /n+1, но с заменой %G на ха-
Тогда векторы Vgl отличны от нуля и ортогональны в1, ив силу
соотношения [*]
Таким образом,
(Vg\ Vgh) = I [ 2 7} (Я) Щ ] ? (Л) = 6|Л|1 (б);
6 j=l
*\ й=1, ..., /г + 1.
Поскольку б произвольно, то отсюда следует, что для почти всех
относительно меры \х точек Я из а
Ы
Если Яо—-точка, в которой выполняются все эти соотношения,
то стрбки \f[ (Яо), ..., fln (Ло)Ь i=li...,n+l, представляют собой
ненулевые попарно ортогональные векторы в n-мерном унитарном
пространстве Еп1 что невозможно. Это противоречие завершает
доказательство.
11. Лемма, Пусть (S, 2, \л) и (S, 2, ]1) — пространства с мера-
мерами, причем fx^fx. Тогда существует такое линейное изометриче-
изометрическое отображение V пространства L2(S, 2, \i) на пространство
L2(S, 2, jl), что для любой функции f из L2(S, 2, \л) и характе-
характеристической функции %в любого множества е из 2
Доказательство. По теореме Радона — Никодима существуют
такие положительные функции б, б, что
? (е) = J б (X) \х {dk)\ \i (e) - J б (X) jl
е е
Определим линейное отображение f/, полагая для / из L2(S, 2, |i)


5. Спектральное представление 75
Тогда это отображение изометрично, так как
J I / WIV
Чтобы показать, что U отображает L2(S, 2, |u) на все L2(S, 2,?),
определим второе линейное отображение V из L2(S, 2, jl)
в Z,2(S, S, ji), полагая Vy =16(-)]1/2A Ясно, что V изометрично.
Так как для всех е из 2
в (Л) Я (Я) |i (Л),
то почти всюду б (Я) 6 (Я) = 1. Следовательно, отображения U и V
взаимно обратны. Поэтому U отображает L2 (•$, S, р,) на все
L2E, 2, (i). Непосредственно из определения 11 следует, что оно
обладает требуемым свойством, ч. т. д.«
В связи со следующей теоремой напомним, что два оператора
Ti и Г2 в гильбертовом пространстве @ называются унитарно
эквивалентными, если они связаны соотношением TI2 = VT11V~1, где
V — унитарный оператор в ig. Было замечено (см. § Х.4), что
унитарно эквивалентные операторы в Sq обладают одинаковыми
свойствами.
12. Теорема. Два ограниченных нормальных оператора в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве Jg тогда и только тогда
унитарно эквивалентны, когда эквивалентны соответствующие
им упорядоченные представления пространства ф.
Доказательство. Пусть Г, jT—ограниченные нормальные опера-
операторы в ig, и пусть U и U — отвечающие им упорядоченные пред-
оо оо
ставления @ в пространствах 2 L2(en, \i) и 2 ^2(^1 [*) соответ-
п=*1 ^ n=i
ственно. Предположим сначала, что Г и Г унитарно эквивалентны,
т. е. что T^VTV'1, где V — унитарный оператор. Мы покажем,
что при этом предположении существует упорядоченное представ-
оо
ление Jg относительно Т в пространстве 2 ^г(^л» И-)- Тогда из тео-
ремы 10 будет следовать, что U и 0 эквивалентны. Пусть Е
и Е — разложения единицы для Г и Г соответственно. Из след-
следствия 2.7 вытекает, что E = VEV~1, и потому
F(f) = VF(T)V'1
для любой ограниченной борелевской функции F. Отображение


76 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
— UV пространства $ на 2 L2(en,^,)> очевидно, изометрично, и
n=i
Таким образом, W — упорядоченное представление Sq относитель-
но Г в пространстве 2 ^г(^л» ц). Этим доказано, что U и U Bran-
Brants 1
валентны.
Для доказательства обратного утверждения допустим, что U
и V эквивалентны. По лемме 11 существует изометрия Vn про-
пространства L2(en, \i) на пространство L2(eny jl). Определим изоме-
оо
трическое отображение V пространства ^ L2(en> \x) на простран-
оо
ство ^ Ь2(еПу И<), полагая VL2(en, \i)=:VnL2(en, \x). Тогда линей-
п,= 1
ное преобразование К U~lVU представляет собой унитарный
оператор и ф и, применяя лемму 11, имеем
YTx U lVUTx U-1V(XUx) = U-1XVUx = TU-1VUx = TYx
для каждого х из ?>. Этим доказана унитарная эквивалентность
операторов Т и 7\ ч. т. д.J)
6. Формула для спектрального разложения
На практике важно иметь возможность вычислять разложение
единицы для конкретных операторов. Следующая теорема дает
метод вычисления разложения единицы для самосопряженного
оператора Т с помощью его резольвенты R (а; Т) = (а1 — Г).
Не лишне напомнить (см. теорему 4.2), что спектр самосопря-
самосопряженного оператора Т веществен, и потому его резольвента
R (а, Т) заведомо определена для всех невещественных значений а.
—> 1. Тпоп-мл. Если Е~-разложение единицы для ограниченного
самосопряженного оператора Т и если (а, Ь) — интервал hb
!) В приисденном доказательстве использовано усиление леммы 11, состоя-
состоящее в том, что равенство ^~1Хе^/=Хе/ (см- формулировку леммы) сохраняется,
если характеристическую функцию %е заменить любой существенно ограничен-
ограниченной функцией g (к) (понятия существенной ограниченности относительно \л
и |л, совпадают, так как \i & jlI); именно, нужен случай g (X) = X (это суще-
существенно ограниченная функция, ибо мера \i сосредоточена на компактном
множестве —спектре оператора 7). Это усиление легко получить, аппрокси-
аппроксимируя g (X) линейными комбинациями характеристических функций. —
Прим. перев.


7. Теория возмущений 77
вещественной оси, то в сильной операторной топологии
Ъ-6
E((a,b))= lim lim-^-r \ [/?(|г —ei; T)-R(\i + si; T)]d\i.
Доказательство. Положим для е>0, 0<6<F — а)/2 и веще-
вещественных X
а+б
Интегрируя, получаем
/(б, е, Я) = 1
и потому |/(б, 8, Х)|<1. Ясно, что
lim lim /F, е, А,) = х<а,ь>
б->0 0
гДе Х<о, ь)"~ характеристическая функция интервала а < к < 6.
Таким образом, в силу следствия 2.8 (III)
lim lim / F, г,Т)х = Е ((а, Ь)) х, х?$.
6-*0 е~>0
Поэтому для завершения доказательства достаточно показать, что
Ъ-6
[*] f (б, 8, Г) = -gL, J [R ([i - ei; Г) - /? ([i + ег, Г)] ф.
а+б
Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция, стоящая под знаком
интеграла, определяющего /(б, е, X), непрерывна по (к, \i)
для Я^а(Г) и [г?[а + б, 6 — 6]. Поэтому римановские суммы, опре-
определяющие этот интеграл, сходятся к нему равномерно при к?о(Т),
и потому соотношение [*] вытекает из следствия IX.3.15.
7. Теория возмущений
Общую теорию возмущений, обсуждавшуюся в § VII.6, можно
распространить на случай, когда рассматриваемые операторы явля-
являются нормальными операторами в гильбертовом пространстве.
В настоящем параграфе нас будут интересовать возмущения в силь-
сильной операторной топологии. Мы находим удобным употреблять
обозначение Tn—>ST для выражения того, что Тп-^Т в сильной
операторной топологии, т. е. Тпх—>Тх для любого х из про-
пространства, на котором определены операторы Г, 7\, Г2, ... .


7S Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
1. Лемма. Пусть S, Т, Sn, Tn (п>\) — ограниченные линейные
операторы в гильбертовом пространстве, причем Sn-^S иТп—>Т
в сильной операторной топологии. Тогда в этой топологии
Sn + Tn->S-{-T, aSn->aS и SnTn->ST. Если, кроме того,
операторы S и Sn (п > 1) нормальны, то S?—> S* в сильной опера-
операторной топологии.
Доказательство. Первые два утверждения очевидны. Согласно
теореме II.3.21 о равномерной ограниченности, существует такая
постоянная /С, что |5n|</C, откуда
| SnTnx-STx\<\ SnTnx-SnTx| + | SnTx-
что доказывает справедливость соотношения SnTn •—> ST в сильной
операторной топологии. Предположим теперь, что все операторы
Sn(n>l) и 5 нормальны. Тогда
| Six |2 - (S*x, S*nx) - (SnS*nx, x) = (S*nSnx, x) - (Snx, Snx) =
= Snx\2->\Sx\2 = (Sx, Sx) =
=. (S*Sx, x) - (SS*x, x) = (S*x, 5*x) = | S*x |2,
и, следовательно,
| 5*x - S*x |2 - Six |2 - (S*x, SU) — (SU, S*x) + S*x |2 —> 0.
Это означает, что S? сильно сходится к 5*, ч. т. д.
2. Теорема. Пусть последовательность {Тп} ограниченных нор-
нормальных операторов в гильбертовом пространстве сходится к нор-
нормальному оператору Т в сильной операторной топологии. Тогда
для всякой комплексной борелевской функции f, определенной
на комплексной плоскости, f(Tn)—>f(T) в сильной операторной
топологии, если только разложение единицы для Т обращается
в нуль на некотором замкнутом множестве, содержащем все
точки разрыва функции /.
Доказательство. По принципу равномерной ограниченности
(II.3.21) существует такая постоянная /С, что \Тп\, |Т]</С. Тогда,
согласно лемме 3.2, спектры а(Тп), а(Т) содержатся в замкнутом
круге D = {| X | | X К К}, и поэтому мы можем рассматривать только
ограниченные борелевские функции на D. Обозначим ?*-алгебру
всех комплексных ограниченных борелевских функций на D с нор-
нормой | /1 = sup | / (Я) | через 95, и пусть © — подмножество в ®,
состоящее из всех таких функций /, для которых f{Tn)—>f{T)
в сильной операторной топологии. Множество © замкнуто в 35.


8. Упражнения 79
В самом деле, если /т?© и \fm — /|—>0, то
шп|/(Г„)* —
п->оо
Отсюда следует, что f (Тп)—> sf (Т), поскольку |/ — /т|->0.
Из леммы 1 вытекает, что (? является В*-подалгеброй алгебры 95.
Так как функция /(А,)=_А,, по предположению, принадлежит Sr
то любой полином от X и X также принадлежит (?. Таким образом,
в силу теоремы Вейерштрасса © содержит все непрерывные на
D функции. Пусть теперь ?(сг) = О, где а—замкнутое множество,
содержащее все точки разрыва функции /. Согласно лемме Урысона
A.5.2), для каждого гп>\ найдется такая непрерывная функ-
функция gm, ЧТО 0<gm(A,)<l, И"
Г 1, если расстояние (X, а) > —,
gm W = l m
У 0, если Х?а.
Таким образом, в силу следствия 2.8 (III) gm.(T)—>I в сильной
операторной топологии. Так как последовательность {f(Tn)} равно-
равномерно ограничена, то, чтобы убедиться в сильной сходимости / (Тп)
к f(T), достаточно- показать, что f{Tn)gm{Tn) для любого т>1
сильно сходится к f(T)gm(T). А это вытекает из того, что функ-
функция fgm непрерывна.
3. Следствие. Пусть Еп, Е — разложения единицы для нор-
нормальных операторов Тп, Т соответственно, и пусть Тп—>Т
в сильной операторной топологии. Если Е обращается в нуль
на границе борелевского множества а, то Еп (а) —> Е (а) в сильной
операторной топологии.
8. Упражнения
1. Доказать, что оператор в Jg положителен тогда и только
тогда, когда его можно представить в виде ТТ*.
2. Если коммутативная В*-алгебра операторов на Sq не имеет
нетривиальных инвариантных подпространств, то пространство $э
одномерно.
3. Если слабо замкнутая В*-алгебра 31 операторов на Sq не имеет
нетривиальных инвариантных подпространств, то ?! = ?(?>). (Указа-
(Указание: воспользоваться второй теоремой § IX.5.)
4. Пусть И является В*-алгеброй операторов в конечномерном
гильбертовом пространстве J§. Показать, что Sq единственным


SO Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
образом разлагается в прямую сумму ig = ^ @ ... 0 $п инва-
инвариантных ортогональных подпространств $Qh, не содержащих мень-
меньших нетривиальных инвариантных подпространств.
5. Пусть Т— нормальный оператор в гильбертовом простран-
пространстве. Показать, что оператор Т вполне непрерывен тогда и только
тогда, когда
(a) а(Т) представляет собой счетное множество {Хп};
(b) а(Т) не имеет предельных точек, за исключением, быть
может, 0;
(c) если Хпф0, то оператор Е(кп) конечномерен (т. е. ото-
отображает ф на конечномерное подпространство).
6. Из положительного оператора можно единственным образом
извлечь положительный квадратный корень.
7. Произведение двух положительных коммутирующих опера-
операторов является положительным оператором.
8. Показать, что если оператор N нормален, то замыкание
множества значений, принимаемых квадратичной формой (Nx, x)
при |#| —1, представляет собой наименьшее замкнутое выпуклое
множество, содержащее e(N).
9. Пусть 91 — коммутативная ?*-алгебра операторов в конечно-
конечномерном гильбертовом пространстве Jg. Показать, что в $ суще-
существует ортонормальный базис, каждый элемент которого является
собственным вектором для любого Т?Я.
10. Положительный оператор Т обладает ограниченным обрат-
обратным тогда и только тогда, когда для некоторого е>0 оператор
Т—е/ является положительно определенным.
11. Ограниченный оператор Т обладает ограниченным обрат-
обратным тогда и только тогда, когда для некоторого е>0 оба. опера-
оператора ТТ*—г1 и Т*Т—&1 являются положительно определенными.
12. Нормальный проектор самосопряжен. Если EihE2 — само-
самосопряженные проекторы, то справедливость неравенства ?1>?2
в смысле § 4 равносильна его справедливости в смысле опреде-
определения VI.3.4.
13. Если N — нормальный оператор в @ и Е — его спектраль-
спектральное разложение, то Е содержится в слабом замыкании В*-алгебры,
порожденной операторами N и Л/* (т. е. для любого борелевского
множества а комплексной плоскости оператор Е (а) принадлежит
этому замыканию).
14. Слабо замкнутая В*~алгебра И порождается содержащи-
содержащимися в ней самосопряженными проекторами.
15. Обозначим через Р прямое произведение счетного числа
экземпляров комплексной плоскости, и пусть / — единичный интер-
интервал. Показать, что существует такое взаимно однозначное ото-
отображение h пространства Р на /, что h(e) является борелевским
множеством тогда и только тогда, когда е — борелевское множе-


8. Упражнения 81
ство. (Указание: воспользоваться десятичным представлением
вещественных чисел.)
16. Пусть Nu N2, ...—счетная последовательность нормаль-
нормальных операторов в j§, коммутирующих между собой. Показать,
что существует единственный эрмитов оператор 7\ для которого
каждый из операторов Mr является борелевской функцией от Т.
(Указание: воспользоваться теоремой 2.1 и упражнением 15.)
17. Показать, что для операторов А, В и С в гильбертовом
пространстве
(a) Л<5 и ?<Л влечет А = В;
(b) А<В и В<С влечет Л<С;
(c) Л<Л2 и В!<В2 влечет Ai + Bi*?A2-\- B2;
(d) Л<В и а>0 влечет аЛ<аВ;
(e) Л<В влечет — ?< — А;
({) если оператор А эрмитов, то существуют такие числа т
и М, что т/<Л<М/.
18. Показать, что если операторы А к В коммутируют, то
из 0<Л<В следует Л2<В2, но это не верно, если не предпо-
предполагать перестановочности Л и В1).
19. Если Г —положительный оператор в ig, то
20. Равномерно ограниченная обобщенная последовательность
положительных операторов Та в ig стремится к нулю в сильной
операторной топологии тогда и только тогда, когда Та —> 0
в слабой операторной топологии, или, что то же, когда (Тах, х)—>0
для любого х?$. (Указание: воспользоваться упражнением 19.)
21. Если Та — равномерно ограниченная обобщенная последо-
последовательность операторов в Jg и если а^|3 влечет Т^-^Т^, то
существует сильный предел UmTa. (Указание: воспользоваться
а
упражнением 20.)
22. Пусть 7\ и Г2 —вполне непрерывные эрмитовы операторы.
Пусть A,i, Я2, ...—последовательность положительных собствен-
собственных значений оператора 7\, расположенных в порядке убывания,
причем каждое из них повторяется столько раз, какова его
кратность; пусть \х1у |л2, ... и v1? v2, ...—аналогичные последо-
последовательности для операторов Т2 и Т± + Т2. Тогда
(a) Vk+i-
(b) |гА-
23. Показать, что последовательность Яь Я2? ... положитель-
положительных собственных значений вполне непрерывного эрмитова опера-
!) Однако 0<Л<Я влечет Ла<Ва при а<1.— Прим. ред.
6 Заказ № 134


82 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
тора 7\ расположенных в порядке убывания и повторенных в соот-
соответствии с их кратностями, можно получить по формуле
min
где C,1 —произвольное л-мерное подпространство в J§.
24. Рассмотреть в гильбертовом пространстве всех измеримых
и интегрируемых с квадратом по Лебегу функций на отрезке [0,1]
интегральные операторы с ядрами
и вычислить их собственные значения и собственные функции.
25. Показать, что ограниченный оператор Т в гильбертовом
пространстве вполне непрерывен тогда и только тогда, когда
выполняется одно из условий:
(a) Тхп —» 0 сильно, если хп —* 0 слабо,
(b) (Тхп, хп) —> 0, если хп— > 0 слабо.
(Указание: для доказательства достаточности условия (Ь) пока-
покажите, что из него вытекает, что (ТхП1 уп) —¦> О, если последо-
последовательности {хп} и {уп} слабо сходятся к нулю.)
9. Примечания и дополнения
Основные результаты этой главы, относящиеся к спектральной
теории эрмитовых операторов, восходят к работе Гильберта [1; IV].
Доказательства этих теорем даны также Ф. Риссом [20,6]; вклад
в эту область был сделан также многими другими авторами.
Мы отсылаем читателя к энциклопедическому обзору Хеллингера
и Теплица [3], относящемуся к раннему периоду развития теории
гильбертовых пространств, а также к трактату Уинтнера [1],
в котором изложение ведется в терминах бесконечных матриц;
в этих работах приведена обширная библиография. Около 1930 г.,
после периода относительного затишья, появились фундаменталь-
фундаментальные работы фон Неймана |7, 8, 2] и Стоуна [10,3], придавшие
спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве
современную форму. Книга Стоуна |3] содержит полное изложе-
изложение спектральной теории в сепарабельном гильбертовом простран-
пространстве, что делает ее весьма ценной; в ней главным образом рас-
рассматриваются неограниченные операторы. В книге Секефальви-
Надя [3|, как и в более новой книге Рисса и Секефальви-Надя [1],
дается краткое изложение теории для ограниченного и неограни-
неограниченного случаев. Халмош [6] рассматривает лишь ограниченные
операторы, но зато развивает теорию спектральных типов. Укажем
еще книги Ахиезера и Глазмана [1] и Кука [1], а также весьма
ясное изложение, данное Ионеску [1].


9. Примечания и дополнения S3
Поскольку имеется целый ряд доступных работ, освещающих
развитие спектральной теории в историческом аспекте, мы сделаем
лишь краткие замечания, относящиеся к результатам, приведен-
приведенным в тексте. Это даст нам возможность обсудить некоторые
важные и интересные imnpod.i, которые мы формально не рас-
рассматривали.
Спектральная теорема. Спектральная теорема для ограничен-
ограниченных самосопряженных омгрптпреш п гильбертовом пространстве
принадлежит Гильб1'|иу |l; IV|. Читлтолю следует также позна-
познакомиться с доки umvn.riiuiMii Ф. Piii'cn |20, 6|, которые вполне
современны по духу. Ныло дано мною других доказательств
спемралыюП теоремы для самосопряженных, унитарных и нор-
нормальных операторов, как для ограниченных, так и для неограни-
неограниченных. Мы отсылаем читателя к монографиям Ахиезсра и Глаз-
мала [1], Уиитнера [1], Люмиса [1], Рисса и Секефальви-Надя [11,
Секефальви-Надя [3], Стоуна [3] и Халмоша [6]. Кроме того, раз-
различные доказательства этой теоремы для ограниченных и неограни-
неограниченных операторов можно найти в следующих работах: Веккен [1],
Уинтнер [2], Иосида [11, 12; I], Иосида и Накаяма [1], Карле-
ман [1], Кодаира [2], Кристиан [1], Купер [1, 2], Купмен и Дуб [1],
Леньел [1], Леньел и Стоун [1], Лорх [5], Мак-Шейн [3],
Накано [7, 12, 13], фон Нейман [2, 7, 16, 22], Огасавара [7J,
Реллих [3], Ф. Рисе [14], Рисе и Лорх [1], Смит [1], Стоун [7],
Тейхмюллер [2], Фридрихе [4], Хеллингер [1], Цудзи [1], Эбер-
лейн [5] и Эссер [1]. В книге Кука [1] воспроизводятся некоторые
из этих доказательств. См. также статью Фелла иКелли[1].
Фон Нейман [2; стр. 401] доказал, что коммутирующее семей-
семейство нормальных операторов в сепарабельном гильбертовом про-
пространстве допускает одновременное спектральное приведение.
Это же утверждение справедливо для счетной системы операторов
в произвольном гильбертовом пространстве (см. также Хаар
12; стр. 781—790], Секефальви-Надь [3; стр. 66—69] и Рисе
и Секефальви-Надь [1; § 130, 131]). Первое изложение этого вопроса
для 5*-алгебры операторов без ограничения счетности, как в тео-
теореме 2.1, дано Данфордом [13], хотя слабо замкнутые алгебры
ранее рассмотрел Иосида [12; I], а аналогичные результаты для
ибелевых колец операторов были получены Стоуном [7].
Систематическое употребление операторного исчисления
\\ форме, данной в теореме 1.1, введено фон Нейманом [18]
и Стоуном [3; гл. VI]; см. также Лорх [2, 11].
Следующая теорема доказана, по существу, фон Нейманом
|2; стр. 393] и [18; стр. 213].
Теорема. Пусть А ^ограниченный самосопряженный оператор
о сепарабельном гильбертовом пространстве, и пусть Т — ограни-
ограничь


84 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
ценный оператор, который коммутирует со всеми операторами,
перестановочными с Л. Тогда существует такая ограниченная
измеримая функция /, что T = f (Л).
В явном виде эту теорему доказал Ф. Рисе [21]. Мимура [1]
упростил доказательство Рисса и распространил теорему на неогра-
неограниченные операторы. Более элементарное доказательство дано
Сексфальви-11адем [3; стр. 63—65] (см. также Рисе и Секефальви-
Надь |1; § 129], Накано [8, 9] и Веккен [2]). Эта теорема,
как установлено, не верна в несепарабельном случае, однако
Сигал [5; II, стр. 38] получил соответствующее ее распространение.
Обобщение этого результата на В-пространства было получено
Бейдом [3, 4]. Мы рассмотрим его в гл. XVII.
Спектр самосопряженного оператора. Теорема 4.3 представляет
собой один из многих способов вычисления собственных значений
вполне непрерывного самосопряженного оператора. Некоторые
дополнительные соображения см. у Рисса и Секефальви-Надя
[1; §95, 96]. За более развернутым изложением методов Рэлея —
Ритца, Найиштейна и многих других читатель может обратиться
к книге Коллаца |1]. Этой проблеме посвящен ряд недавних
работ, выполненных Ароншайном и его сотрудниками; см., напри-
например, Ароншайи |3, 4|, где можно найти дальнейшие ссылки.
Леньел и Стоун [ 11 показали, что если оператор Т является
самосопряженным, то верхняя (нижняя) грань множества
{(Тх, х) 11 х | = 1} достигается тогда и только тогда, когда она
является собственным значением оператора Т.
Иногда бывает удобно воспользоваться тем обстоятельством,
что если оператор Т нормален, то % тогда и только тогда при-
принадлежит его спектру о(Т), когда для любого е>>0 найдется
такой вектор х Ф О, что | Тх — \х | < е | х |. Доказательство
см. у Халмоша |6; стр. 51]. По поводу некоторых результатов
и библиографии, относящейся к спектру, в частности вполне
непрерывных операторов, мы отсылаем читателя к работам Рисса
и Секефальви-Надя [1; § 133, 134] и Цзяна [1].
Ссылки на классическую литературу по этому вопросу
см. у Хеллиигера и Теплица [3; § 32—35].
Спектральное представление и теория спектральных типов.
Результаты § 5 тесно связаны с теорией спектральных типов,
изучавшейся Хеллингером [1] и Ханом [5]. Более новое изложение
см. у Стоуна [3; гл. 7] и фон Неймана [15] для случая сепара-
бельного гильбертова пространства и у Халмоша [6] для общего


9. Примечания и дополнения 85
случая. Халмош интересуется кратностью спектральной меры, и его
результаты обобщают работы Накано [10, 11], Плеснера и Рох-
Рохлина [1] и Веккена [2]. В книге Ахиезера и Глазмана [1; §§ 69—73]
рассматривается также случай неограниченных операторов.
Пусть Т—самосопряженный оператор, и пусть Ш(Т) —кольцо
всех ограниченных операторов, коммутирующих с Т. Иосида [3]
показал, что операторы 7\ и Т2 унитарно эквивалентны тогда
и только тогда, когда между 91 G\) и % (Т2) существует •-изо-
•-изоморфизм, переводящий 7\ в Т2.
Другие формулировки теории спектральных типов,связанные
с алгебрами операторов в гильбертовом пространстве, были даны
Сигалом [5; II] и Келли [6]. Мы приведем теорему Сигала, которая
часто может заменить спектральную теорему.
Теорема. Максимальная симметричная абелева алгебра огра-
ограниченных операторов в гильбертовом пространстве унитарно
эквивалентна алгебре всех операторов умножения на ограничен-
ограниченные измеримые функции в пространстве L2 на некотором прост-
пространстве с мерой.
Вычисление разложения единицы. Формула теоремы 6.1 при-
принадлежит, по существу, Стильтьесу [1; стр. 72—75] и служит
основным инструментом в работе Хеллингера [1]; См. также
Стоун [3; стр. 183] и статьи Леньела [1] и Купмена и Дуба [1].
Теория возмущений. Литература по теории возмущений была
уже указана в § VII.И. Результаты § 7 принадлежат в основ-
основном Реллиху [2; II]. См. также Рисе и Секефальви-Иадь
[1,§ 134-136]*).
Инвариантные подпространства. Если Т — оператор в В-про-
странстве Ж, а Ш — отличное от {0} и всего Ж замкнутое линей-
линейное подпространство, для которого ТШ ^ ЯК, то ЗЛ называется
(нетривиальным) инвариантным подпространством пространства ЭЕ
относительно Т. Если 96 гильбертово, а Ш и его ортогональное
дополнение 96 0 УЯ являются инвариантными подпространствами
в 36 относительно 7\ то говорят, что подпространство Ш приводит
оператор Т. Легко видеть, что нетривиальное подпространство
гильбертова пространства может быть инвариантным подпро-
подпространством для оператора, но не приводить его. В действитель-
действительности оператор может иметь много нетривиальных инвариантных
подпространств, но ни одного нетривиального приводящего (эле-
(элементарный пример см. у Халмоша [6; стр. 40]).
х) Интересные приложения этой теории можно найти в книге В. П. Мас-
лова [1*].—Прим. ред.


Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Спектральная теорема гарантирует, что нормальный оператор
(отличный от нулевого и тождественного) приводится по крайней
мере одним нетривиальным подпространством. Для операторов,
не являющихся нормальными, это далеко не ясно, и потому зна-
значительный интерес представляет отыскание нетривиальных инва-
инвариантных подпространств для заданного оператора. Неизвестно,
обладает ли каждый оператор, отличный от нулевого и тождест-
тождественного, нетривиальным инвариантным подпространством. Из тео-
теоремы VI 1.3.10 легко следует, что если Т — ограниченный линейный
оператор в ^-пространстве ЗЕ и если о (Т) содержит по крайней
мере две компоненты связности, то Т обладает инвариантным
подпространством. Ароншайн и Смит [1] показали, что любой
вполне непрерывный оператор имеет инвариантное подпростран-
подпространство, даже если о (Т) = {0}. Из одной теоремы Годмана [1; стр. 136]
следует, что инвариантным подпространством обладает изометриче-
изометрический линейный оператор, отображающий 5-пространство 36 на себя.
Если Т ?В(Ж) и \Тп\^.К, я = 0, ± 1, ±2, ..., то Ж можно пере-
перенормировать таким образом, что оператор Т станет изометрическим;
поэтому Тобладает инвариантным подпространством. Уэрмер [1]
показал, что если | Тп | = О (е^а) для некоторого а, 0<а<1,
и если о (Т) содержит по крайней мере две точки, то Т имеет
инвариантное подпространство. Он также доказал, что то же
справедливо, если | Тп | = О(| п\k) для некоторого k (см. Уэрмер [2]).
Уэрмер [4; стр. 275] доказал, что если Т—нормальный опера-
оператор, а о (Т) не имеет внутренних точек и не разделяет плоскость,
то каждое замкнутое инвариантное относительно Т подпрост-
подпространство инвариантно также относительно Т* и потому при-
приводит оператор 7. В его статье рассматривается также следую-
следующая задача. Допустим, что множество собственных векторов
оператора Т из В (Ж) фундаментально в 36. При каких условиях
можно утверждать, что всякое замкнутое инвариантное относи-
относительно Т подпространство Ш порождается содержащимися в нем
собственными векторами? Эта задача относится к проблеме
спектрального синтеза, которую мы обсудим в § XI.4. Аналогич-
Аналогичная задача изучалась Берлингом [4], которому удалось описать
все замкнутые инвариантные подпространства для оператора
умножения на г в гильбертовом пространстве функций, аналити-
аналитических при | г | << 1.
Сужение оператора. Пусть Ш — замкнутое подпространство
гильбертова пространства @. Легко видеть, что если 5Ш служит
инвариантным подпространством самосопряженного оператора 7\
то сужение оператора Т на Ш является самосопряженным операто-
оператором в гильбертовом пространстве Ш. Для нормальных операторов


9. Примечания и дополнения 87
ситуация радикально меняется. Например, если & = L2 на окруж-
окружности | z | = 1, а Ш — подпространство, представляющее собой
замыкание в ig множества функций, аналитических в круге
|z|<l и непрерывных при |г|^1, то оператор умножения на г
нормален в i§, но не в Ш, поскольку оператор, сопряженный
кГвЖ, задается соотношением1)
Теорема Уэрмера [4], цитированная в предыдущем абзаце, дает
условия, при которых сужение нормального оператора на любое
инвариантное подпространство снова является нормальным опе-
оператором. Уэрмер [5] изучал сужение оператора Т на подпро-
подпространство Ж, не инвариантное относительно Г, но такое, что
для некоторого х ?Ш множество векторов Тпх, п = 0, 1, 2, ...,
фундаментально в*9Л. В этом случае сужение оператора Т тШ
допускает представление в виде оператора умножения на г в про-
пространстве аналитических функций.
Халмош, Люмер и Шеффер [1] доказали, что сужение нор-
нормального оператора может обладать обратным оператором,
но не допускать извлечения квадратного корня (см. также Халмош
и Люмер [1]).
Продолжение оператора. Из предыдущего пункта следует,
что важно знать, когда можно продолжить (в некотором смысле)
данный оператор А в гильбертовом пространстве Sq до оператора В
в гильбертовом пространстве Й, содержащем ф, таким образом,
чтобы В обладал свойствами, которыми А не обладает.
Одно из возможных определений продолжения таково: если
гильбертово пространство Ш содержит 1q и если Р — самосопряжен-
самосопряженный проектор Ш на ?э, то оператор В называется продолжением
оператора Л, если АР = РВР. Халмош [1] доказал, что каждый
ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве ig допускает
продолжение В на Ь©$> причем если Л —оператор сжатия
(т. е. |Л|<1), то оператор В можно выбрать так, чтобы он был
унитарным. Далее, как подметил Майкл, если А — положительный
оператор в^и|Л|<1,то⧮<? существует самосопряжен-
самосопряженный проектор, являющийся продолжением оператора А. Из этого
результата вытекает ряд интересных следствий; например, если
^—бесконечномерное гильбертово пространство, то замыкание
х) Функции из ffl продолжаются по формуле Коши внутрь круга | z \ < 1,
и потому имеет смысл говорить об их значениях во внутренних точках
круга. —Прим.'перев.


88 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
в слабой операторной топологии множества всех унитарных опе-
операторов совпадает с множеством всех сжатий, а замыкание мно-
множества всех самосопряженных проекторов совпадает с множеством
всех положительных сжатий.
Следующая теорема, принадлежащая Секефальви-Надю [8, 10],
является важным обобщением одного из цитированных выше
результатовх).
Теорема. Если А —оператор сжатия, определенный на гиль-
гильбертовом пространстве *§, то существуют такое гильбертово
пространство SC zd ig и такой унитарный оператор U, действую-
действующий в SV, что если Р — самосопряженный проектор й на Jg,
то А"Р ^ PUnP, п= 1, 2, .... Кроме того, $ может быть выбрано
минимальным в том смысле, что оно порождается элементами
{Ukx\x(i$3, k = 0; ±1; ±2; ...}, причем в этом случае ® и U
определяются однозначно с точностью до унитарной эквива-
эквивалентности.
Весьма элементарное доказательство этой теоремы, исключая
условие минимальности, было дано Шеффером [I]. Распространение
на случай В-пространств дано Секефальви-Надем [10; стр. 114],
а аналогичные результаты для полугрупп сжатий можно найти
у Секефальпи-Надя [8, 10] (см. также Купер [3]). Первоначальное
доказательство Сокефальви-Надя опирается на следующую тео-
теорему, принадлежащую Наймарку [3].
Теорема. Пусть S —абстрактное множество и 2 — алгебра
{соответственно о-алгебра) подмножеств в S. Пусть F —адди-
—аддитивная {соответственно слабо счетно аддитивная) функция на 2
со значениями в множестве положительных операторов на гиль-
гильбертовом пространстве ig, удовлетворяющая условиям F @) = 0
и F (S) ¦= /. Тогда существуют такое гильбертово пространство
йз$ « такая аддитивная {соответственно слабо счетно адди-
аддитивная) функция Е на 2 со значениями в множестве самосопря-
самосопряженных проекторов из В{№), что если Р — самосопряженный
проектор it на $, то F {е)Р -~-РЕ{е) Р для всех е?2.
Подробное обсуждение этих важных результатов и общую
теорему, объединяющую их, см. у Секефальви-Надя [11].
Из работы Секефальви-Надя вытекает, что если Л —оператор
сжатия в гильбертовом пространстве i§, то существует сильно
счетно аддитивная функция Т7, определенная на борелевских
подмножествах окружности |z|= 1, принимающая значения в мно-
х) Более общая теорема еще ранее была доказана И. М. Гельфан-
дом [6].—Прим. ред.


9. Примечания и дополнения 89
жестве положительных операторов на ф и такая, что
где А{п) = Ап, если /i>0, и Л(П) = Л*|Я|, если п<0. Шрейбер [1]
воспользовался этим представлением, чтобы построить операторное
исчисление для функций, являющихся граничными значениями
ограниченных функций, аналитических при |z|<l.
Расширение оператора. Пусть Л —оператор в гильбертовом
пространстве ?. Интересно найти условия, при которых опера-
оператор А допускает нормальное расширение на некоторое гильбертово
пространство -К ^ $, т. е. условия, при которых в -К существует
такой нормальный оператор В, что если Р — самосопряженный
проектор -К на @, то АР = ВР. Брем [1], отправляясь от работы
Халмоша [1], исчерпывающе исследовал такие операторы и назвал
их субнормальными. В противоположность продолжению, нормаль-
нормальным расширением обладает не каждый оператор (ср. Халмош [1; стр.
133]). Следующий результат, принадлежащий Брему, представляет
собой улучшение теоремы Халмоша (см. Секефальви-Надь [11;
стр. 18]).
Теорема. Для того чтобы ограниченный линейный оператор А
в гильбертовом пространстве Jg допускал нормальное расширение,
необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного набора
элементов xOt xlt ..., хг из Sq выполнялось неравенство
S (Апхт, Amxn)>0.
т, п=0
Если это условие выполнено, то минимальное нормальное рас-
расширение единственно с точностью до унитарной эквивалентности.
Другой критерий был дан Бремом в работе [1; стр. 79], где
исследуется связь между спектрами оператора А и его минималь-
минимального нормального расширения и другие вопросы. Соотношения
между спектрами рассматривал также Халмош [9].
Спектральные множества Неймана. Фон Нейман [3] называет
замкнутое множество 5 комплексной сферы спектральным мно-
множеством ограниченного линейного оператора Т в гильбертовом
пространстве, если для любой рациональной функции /, для которой
|/(г)|<1 при всех z?S, существует f (T) и |/(Г)|<1. Понятно,
что если 5 —спектральное множество, то g(T)^S, и что если
оператор Т нормален, то о (Т) является спектральным множеством
в этом смысле. Представляет интерес следующая теорема.


90 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Теорема. Если |Т|<1, а функция f аналитична в области,
содержащей круг | z | .< 1, и | / (г) | < 1 при \ z | < 1, /да | / (Г) | < 1.
Отсюда следует, что круг | z | < 1 является спектральным мно-
множеством оператора Т тогда и только тогда, когда |Т|<1. Эта
теорема была впервые доказана фон Нейманом [3; стр. 269];
другое доказательство было дано Гайнцем [2]; особенно простое
доказательство принадлежит Секефальви-Надю [8, И; стр. 15].
Доказано, что оператор Т нормален тогда и только тогда, когда
а (Т) является спектральным множеством (ср. фон Нейман [3;
стр. 2801), и что Т самосопряжен (соответственно унитарен) тогда
и только тогда, когда некоторое ограниченное подмножество веще-
вещественной оси (соответственно подмножество единичной окружности)
является спектральным множеством. По поводу доказательств этих
утверждений и некоторых дополнительных результатов см. фон
Нейман [3] или Рисе и Секефальви-Надь [1; § 152 — 155].
Квадршпньп! корень оператора. Говорят, что оператор В
является квадратным корнем оператора Л, если В2 = Л. Простым
следствием спектральной теоремы является тот факт, что всякий
положительный самосопряженный оператор в гильбертовом про-
пространстве обладает положительным самосопряженным квадратным
корнем. Доказательство, не использующее спектральную теорему,
можно найти у Ииееера |2), Веккепа |1] или у Рисса и Секефальви-
Надя |1; стр. 28Г>|. Халмош, Люмер и Шеффер |1] показали, что
существуют обратимые операторы в гильбертовом пространстве,
не имеющие квадратного корня; на самом деле Халмош и Люмер [1]
доказали, что операторы, из которых можно извлечь квадратный
корень, не образуют среди операторов, обладающих обратным,
даже плотного множества (относительно равномерной топологии).
Аналогичный результат имеется у Шеффера [2]. Жюлиа [1 — 4]
детально исследовал совокупность всех самосопряженных квад-
квадратных корней данного положительного оператора как в огра-
ограниченном, тпк п и неограниченном случаях. Распространение
на случлп корнем) //-ft степени и пееамосопряженпые квадратные
корпи рассмотрены Жюлиа в работах [5, G].
Перестановочность операторов. Тривиально доказывается, что
если /1 и В — коммутирующие самосопряженные операторы в гиль-
гильбертовом пространстве, то оператор АВ тоже самосопряжен. Было
отмечено (ем. упражнение Х.8. 7), что если А и В — коммутирующие
положительные операторы, то оператор АВ тоже положителен.
Если Л —нормальный оператор, а 5 —оператор, коммутирующий
с Л, то В коммутирует с Л*. Это было высказано фон Нейманом и
доказано Фуглидом [1] и Халмошем [3, 6; стр. 68]. Отсюда следует,


9. Примечания и дополнения 9J
что если А и В — коммутирующие нормальные операторы, то опе-
оператор АВ нормален.
Браун [1] показал, что если каждый из операторов Г и Г*-
коммутирует с 7Т*, то оператор Т нормален, а Путнам [3] доказал,
что Т нормален, если он коммутирует с ТТ* — Т*Т.
Обобщая результат Фуглида [1], Путнам [1] показал, что если
операторы Л и В нормальны, а Г—такой обратимый оператор,
что А = ТВТ~Х, то существует такой унитарный оператор [/, что
A UEU*
Довольно неожиданным является то, что из нормальности
операторов Л, В и АВ не следует, что оператор ВА нормален
(см. Капланский [6]). Однако, развивая некоторые исследования
Вигмана [1], Капланский получил условия, при которых это верно
(например, если в дополнение к сделанным предположениям хотя
•бы один из операторов Л, В вполне непрерывен, то оператор В А
нормален). Отметим еще, что если операторы А и АВ нормальны,
то оператор ВА нормален тогда и только тогда, когда В коммути-
коммутирует с А*А.
Если заданы два оператора Л и В, то величина их коммута-
коммутатора АВ — ВА является мерой того, насколько эти операторы
не коммутируют. Уинтнер [3] показал, что если А и В —ограни-
—ограниченные самосопряженные операторы, то их коммутатор не может
быть ненулевым кратным единичного оператора, а Путнам [2]
заметил, что метод Уинтнера не требует самосопряженности.
Виландт [2] получил более сильный результат, применимый
к В-алгебрам. Халмош [10; II] (см. также Шеффер [2]) доказал,
что если А коммутирует с АВ — ВА, то АВ — ВА является дву-
двусторонним топологическим делителем нуля. По аналогии с теоремой
Джекобсона Капланский высказал предположение, что если Л ком-
коммутирует с АВ — ВА, то последний оператор квазинильпотентен,
а Путнам [3] доказал это в предположении, что и В тоже комму-
коммутирует с АВ — ВА. Видав [1] дал другое доказательство результата
Путнама, справедливое в любой В-алгебре. Несколько более
сильный результат был получен Сингером и Уэрмером [1], которые
доказали, что если Л и В —ограниченные операторы в В-простран-
стве, то оператор АВ—ВА квазинильпотентен, если он содержится
в равномерно замкнутой алгебре, порожденной операторами Ли/.
Полярное разложение. Полярное разложение, или каноническая
факторизация, особенно важно для неограниченных операторов
и будет изучено в § XII.7. Однако достаточный интерес оно пред-
представляет также в рассмотренном здесь случае ограниченных опера-
операторов. Оператор U в гильбертовом пространстве Sq называется
частичной изометрией с начальной областью определения ЯЛ, если
\U\ \ при х?Ш и Ux = 0 при ?©$Ш


92 Гл. Х\ Ограниченные нормальные операторы
Теорема. Каждое ограниченное линейное преобразование Т
в гильбертовом пространстве может быть представлено в форме
UP, где U--частичная изометрия, а Р — положительный опера-
оператор. Если оператор Т нормален, то оператор U можно выбрать
так у чтобы он был унитарным и чтобы операторы U и Р ком-
коммутировали между собой и с каждым оператором, коммутирующим
с Т и Т*.
Элементарное доказательство см. у Рисса и Секефальви-Надя
[1; § ПО]. Вообще говоря, U и Р не коммутируют, но Браун [1]
изучил операторы Т, для которых U и Р коммутируют, и доказал,
что для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор Т ком-
коммутировал с Т*Т. Понятно, что такой оператор Т может быть
разложен в прямую сумму нормального оператора и оператора
обобщенного сдвига.
Неравенство Гайнца. Если Л и В — положительные ограничен-
ограниченные операторы, a Q--такой ограниченный ' линейный оператор
в гильбертовом пространстве .?, что | Qx |<( Ах | и | Q*x \^\Вх\
для всех х из ?\ то для каждого вещественного числа а, 0^ а-< 1 г
и для исех х, у из ф справедливо неравенство | (Qx, у) \ ^
^ | Аах 11 В* иу |. Это— принадлежащее Като [5] усиление неравен-
неравенства, доказанного Гайицсм [1]. Като и Гайнц показали, что это
неравенство остается в силе и для неограниченных операторов.
Другое доказательство, основанное на теореме Рисса о выпуклости
и пригодное для полилинейных форм, было дано Диксмье [6].
Недавно Гайнц [4J дал короткое и элегантное доказательство это-
этого результата.
Симметризуемые и нормализуемые операторы. Может слу-
случиться, что оператор Т не является симметричным (или нормаль-
нормальным), по для некоторого нетривиального оператора А один из опе-
операторов AT или ТА оказывается симметричным (или нормальным).
В этом случае иногда удается получить важную информацию
относительно спектральной природы оператора Т. Такие операторы
естественно возникают при изучении интегральных уравнений
(ср. Хсллипгор и Теплиц |3; § 38|). Интегральные операторы,
а также и абстрактные операторы указанного типа были в значи-
значительной степени изучены, особенно в случае их полной непрерыв-
непрерывности. По поводу этой теории мы отсылаем читателя к книге
Заанена [5; гл. 12] и статьям Заанена [3, 7, 8], Рида [1, 2], Уил-
кинза[1] и Циммерберга [1,2]. Особое внимание уделяется воз-
возможности разложения по собственным функциям.


ГЛАВА XI
Различные приложения
Эти глана посвящена приложениям спектральной теории нор-
нормальных операторов к задачам, относящимся к ряду различных
областей математики. Поскольку рассматриваемые здесь вопросы
лежат в стороне от основного русла наших интересов, мы не будем
стремиться к сколько-нибудь исчерпывающему их изложению.
Однако вследствие глубины и силы общей спектральной теории
оказывается возможным не только дать удовлетворительное построе-
построение их основ, но и изложить их главные результаты; это мы
и попытаемся сделать. К исследуемым в этой главе вопросам
относятся: теория групп и теорема Петера —Вейля; теория почти
периодических функций Гарольда Бора; преобразование Фурье,
свертки и теория Планшереля в L2(G), где G —локально биком-
бикомпактная абелева группа; теоремы Винера о замкнутости в L4
и связанные с ними классические тауберовы теоремы; операторы
Гильберта— Шмидта и теория Фредгольма для них; преобразование
Гильберта и неравенство Кальдерона—Зигмунда.
1. Бикомпактные группы
Этот параграф посвящен изучению бикомпактных топологиче-
топологических групп. Для таких групп при помощи одной из теорем о непод-
неподвижной точке из § V.10 доказывается существование меры Хаара
(теорема 1). Мера Хаара используется для получения основопола-
основополагающего результата Петера и Вейля, который в свою очередь
применяется для доказательства основного свойства непрерывных
характеров бикомпактной абелевой группы.
1. Теорема. Для любой бикомпактной топологической группы G
существует единственная неотрицательная регулярная счетно
аддитивная мера (л, определенная на о-алгебре 2 борелевских
подмножеств в G, и такая, что |л (G) = 1 и \i (sE) = \i (Е) для
каждого s из G и каждого Е из 2. Кроме того, \i(Es) = \i(E)
и \1 (Е'1) = \i (Е) для всех s из G и всех Е из 2.


94 Гл. XI. Различные приложения
Доказательство. Обозначим через С (G) банахово пространство
всех непрерывных вещественных функций на G, и пусть е — функ-
функция, тождественно равная 1. Пусть К — подмножество в C*(G)f
состоящее из всех таких функционалов **, для которых х* (е) = 1
и x*(f)>Q, если /(s)>0 для всех s из G. Ясно, что К выпукла
и замкнуто в С* (G) относительно С (О)-топологии. Если функция f
принадлежит единичному шару в C(G), to -^(s)</(s)<6(s)t
и потому — 1^jc*(/)<1 при х*?К; это показывает, что |я*|<!1
при х*?К. Таким образом, К является выпуклым подмножеством
единичного шара в C*(G), замкнутым в С@)-топологии. Из след-
следствия V.4.3 вытекает, что К бикомпактно в этой топологии.
Для каждого s из G определим в C(G) линейное отображение Ls
соотношением (Lsf) (t) = / (st). Ясно, что LsLt = L8t и L4 = 1, где
1—единица группы G. Поскольку L*L* =(L8Lt)*==LSt, семей-
семейство {L*|s?G} представляет собой группу операторов в C*(G).
Очевидно также, что L*K^K для любого s из G.
Покажем прежде всего, что группа {LJ|s?G} операторов в C*(G}
образует на множестве К равностепенно непрерывное (см. V.10.7)
относительно С@)-топологии семейство. Для этого рассмотрим
в С* (G) окрестность нуля V, определенную положительным
числом е и функциями /ь ..., fn из C(G). Построим в С*(G)
такую окрестность нуля U, что для каждой пары элементов х*г
у* из К, для которой x* — y*?U, вектор L*(x* — у*) при любом s
из G принадлежит V.
Конечное множество /t, ..., fn компактно в С (G), и потому
в силу следствия IV.6.9 каждому положительному числу б соот-
соответствует такая окрестность единицы N в G, что для любой пары
элементов t, и из G, для которой игЧ ?N', выполняется неравенство
Предположим, что u'H^N. Тогда для любого s из С элемент
(su)~l(st)--- и'Ч принадлежит Л/, и потому
Из следствии IV.6.9 вытекает, что замыкание множества {Lbfj\s?G,
/•--1, ...,/?} компактно в C(G) и поэтому в силу теоремы 1.6.15
вполне ограничено. Следовательно, существуют в C(G) такие
функции #|, . .., gm, что каждый из элементов Lsfj удален менее
чем на е/4 от одного из элементов gu ..., gm. В качестве
окрестности пуля U в С* (G) возьмем окрестность, определенную
числом е/2 и функциями g1? ..., g-m. Если теперь х* и у* при-
принадлежат К и x* — y*?U, то, выбирая t подходящим образом


1. Бикомпактные группы 95
и учитывая, что |х* |,| у*|< 1, получаем, что
\L*s(x*-y*)fj\ = \(x*-y*)L8fj\<
< | (** - у*) (Lafj -gi)\ + \ (x* - У*) gt I <
для любого s из G. Таким образом, как и утверждалось, семей-
семейство {L*} равностепенно непрерывно на К.
Теперь можно применить теорему V.10.8, из которой следует
существование такой точки х*?К, что L*x*=--x* для любого s
из G. Из теоремы Рисса о представлении линейных функциона-
функционалов (IV.6.3) вытекает, что на семействе 2 борелевских подмножеств
группы G существует однозначно определенная счетно аддитивная
регулярная мера |л, для которой
G
Поскольку функционал х* положителен, то из теоремы Рисса сле-
следует, что мера [i неотрицательна, а так как х*(е) = 1, то |i(G) = 1.
Теперь если мера [is определена соотношением \is(E) = \i(s~1E),
то, поскольку x* = x*Ls, мы имеем
J / @ [1 (Л) = J / (so tx (Л) = I f (о jie (Л), / е с (О).
G G G
Легко проверить, что мера \is регулярна, и, следовательно, теорема
Рисса и приведенное выше тождество показывают, что jhs = |j,;
это доказывает первую часть теоремы (кроме утверждения о един-
единственности инвариантной меры, доказываемого ниже).
Аналогично предыдущему доказывается, что существует такая
неотрицательная регулярная счетно аддитивная функция множе-
множества v, определенная на 2, что v(G) = l и v (Es) = v (E) для каж-
каждого Е из 2 и каждого s из G. Пусть Vi — какая-нибудь из таких
функций, и пусть (ii — неотрицательная регулярная мера на 2,
причем Hi (G) = 1 и [ii(sE)--\ii(E). Мы покажем, что [Xi = v1; этим
будет установлена единственность меры \х и показано, что \х (Es) =
= \i(E). Итак, рассмотрим какую-нибудь непрерывную на G ска-
скалярную функцию /. Функция /i, определенная на декартовом
произведении G xG равенством /4 (s, t) = f (st), непрерывна и, сле-
следовательно, измерима относительно ViX\\. Поскольку m(G)^
= v1(G)=l, из теоремы Фубини (III. 11.9) следует, что
l f (О


96 Гл. XI. Различные приложения
Так как это справедливо для любой непрерывной функции /,
то из теоремы Рисса (IV.6.3) следует, что [x1 = v1. Наконец, чтобы
убедиться, что ц.(Е)~ц.(Е~1), рассмотрим меру Я, определенную
на 2 равенством Я(Е) = \i (?~х). Тогда X(G) = l, и X(sE) =
¦= ц (E~ls~l) = |х (?~г) ¦•= Я (?). Кроме того, поскольку отображение
5—»s~1 является гомеоморфизмом G на себя, мера Я регулярна.
Поэтому из единственности [л вытекает, что Я = [х, ч. т. д.
2. Определение. Мера, существование и единственность которой
установлены в теореме 1, называется мерой Хаара на бикомпакт-
бикомпактной группе G.
Используя меру Хаара, мы покажем, что класс непрерывных
функций па G, являющихся конечномерными в смысле следую-
следующего определения, образует фундаментальное множество в C(G),
а также в L2(G, 2, ц).
3. Определение. Пусть / — комплекснозначная функция, опре-
определенная на группе О. Пусть для s?G функция /s определена
соотношением /в (/) -- f(ts). Функция fs называется сдвигом функ-
функции / на s. Будем говорить, что функция / конечномерна, если
конечномерно комплексное векторное пространство функций,
порожденное множеством {/s|s?G} всех сдвигов функции /\
В доказательстве следующей теоремы используется спектраль-
спектральная теорема, и потому в качестве поля скаляров принимается
поле комплексных чисел.
4. Теорема (Петер — Вейль). Пусть G — бикомпактная топо-
топологическая группа с а-алгеброй борелевских множеств S и мерой
Хаара \i. Тогда множество комплексных непрерывных конечно-
конечномерных функций фундаментально и в C(G), и в L2(G, 2, \i).
Доказательство. Пусть L2 = L2(G, S, (я), и пусть Ш — ортого-
ортогональное дополнение в L2 множества всех непрерывных конечно-
конечномерных функций. Мы докажем, что последнее множество всюду
плотно в L,, показав, что 91 ^{0}. Для этого достаточно дока-
доказать, что произвольный элемент из 91 ортогонален к любому
элементу множества C(G), всюду плотного в L2. Произвольный
элемент / из C(G) может быть записан в виде f = h-\-ig, где
h (s) =-- -'- [/ (s) + / (s-1)], g (s) = -i- [/ (s-1) - f (s)].
Так как функции h и g удовлетворяют соотношениям h (s) = Л (s),
g(s) = g(s~x), то достаточно показать, что всякая непрерывная
функция g, для которой g(s) = g(s~1), ортогональна к 91.


Бикомпактные группы 97
Доказательство этого утверждения опирается на некоторые
свойства линейного оператора Tg, определенного в L2 равенством,
(Tgf) (s)=\g (su-1) f (u) \i (du), f ? L2.
G
Так как g?.C(G), то из следствия IV.6.9 вытекает, что для каж-
каждого 6>0 bG найдется такая окрестность единицы ?/, что если
st'1 ? U, то | g (s) — g @1 < 8- Пусть f принадлежит L2 и имеет
норму | / |< 1, и пусть st'1 6U. Тогда, поскольку (su'1) (tu'1)'1 = s/
лежит в (/, имеем
I (Tgf) (s) - (Tgf) @| = | J {g (sir1) - g (tu-1)} f (u) ii (du)
G
V2
G
Ввиду следствия IV.6.9 это неравенство показывает, что Tg ото-
отображает единичный шар пространства L2 в условно компактное
множество в C(G). Таким образом, оператор Tg1 рассматриваемый
как отображение L2 в C(G), вполне непрерывен (см. VI.5.1)
и, a fortiori, он вполне непрерывен как отображение L2 в L2.
Затем, используя свойство g(s) = g(s~1), можно убедиться, что
оператор Tg самосопряжен, ибо из теоремы Фубини следует, что
любая пара элементов /, h из L2 удовлетворяет соотношениям
(/, 7» = \ f (s) { \g (st-i)h (t) (x (dt)\ fi (ds) =
G G
= \ W) { I I^n f (s) |i (ds)} |x (dt) =
G G
{ \g У*'1) f (s) И (ds)] fi (dO = (Tgf, h).
G
По теореме Х.3.5 существует полная ортонормальная система
{фа} собственных функций оператора Tg, а по VII.4.5 собствен-
собственные функции, соответствующие собственному значению ХфО,
образуют конечномерное пространство. Если Г^ф = Лф, ХфО, то
g (su-1) ф (и) \1 (da) = ЯФ (s), s б G,
G
так что функция cp(s) непрерывна. Заменяя s на st и а на
7 Заказ № 134


98 Гл. XI. Различные приложения
и используя соотношение ix(Et) = ii(E), мы видим, что
G
т. е. любой сдвиг ср' собственной функции ф, соответствующей
собственному значению Я, также является собственной функцией
с собственным значением к. Таким образом, каждая собственная
функция оператора Tg1 соответствующая ненулевому собственному
значению, является конечномерной непрерывной функцией. Сле-
Следовательно, У1 ортогонально к любой собственной функции опе-
оператора Тя> за исключением (быть может) собственных функций,
соответствующих Я = 0. Из теоремы Х.3.4 следует, что всякий
элемент А из 91 можно представить в виде А = 2 (Л, фа)сра, где
суммирование производится по всем таким а, для которых 7^ 0
Таким образом, если Л?91, то Т^А^О, т. е.
О - I g(sir1) Л (и) [i (du) = J gM h (u) fi (du).
О G
Если в угом равенстве s заменить на единичный элемент группы G,
то оно сведется к равенству (ft,g") = 0, которое показывает, что
функция # ортогональна к %t. Итак, мы доказали, что конечно-
конечномерные непрерывные функции образуют фундаментальное множе-
множество в L2.
Осталось показать, что конечномерные непрерывные функции
всюду плотны в C(G). Предположим, что k — функция из C(G)
и что задано некоторое число е>0. Как и выше, применяя след-
следствие IV.6.9, находим такую окрестность V единицы группы G,
что | k(s) — fe(s/)|<e/2 для любых s из G и t из V. Так как ото-
отображение s—>s~l есть гомеоморфизм, то в G существует такая
окрестность единицы W, что W и W'1 содержатся в V; таким
образом, множество U = W\jW~l является окрестностью единицы
в G и обладает свойствами [/дУ и V = U'1. Поскольку биком-
бикомпактное пространство нормально A.5.9), из теоремы Урысона
A.5.2) следует, что на О существует неотрицательная непрерыв-
непрерывная функция й-т^О, которая на дополнении множества U обра-
обращается в нуль. Эти свойства функции h сохраняются, если мы
пронормируем ее, потребовав, чтобы ее Li(G, 2, (х)-норма |й|4 рав-
равнялась 1. Функция ti, определенная соотношением й' (s) =
= [A(.s)-|-A(s~1)l/2, обладает всеми перечисленными свойствами
функции А и, кроме того, свойством A' (s) = A' (s). Итак, мы мо-
можем предположить, что A(s) = A(s~1). Далее, С(б)-норма функ-
функции k — Thk выражается формулой


, /. Бикомпактные группы
99
Заменяя / на ts, получаем
| k-Thk | = sup К А (Г1) {k (s) - k (ts)} fx (dt)
I J
< sup U (Г1) I ft (s) -
(df) <
Согласно первой части теоремы, существует такая линейная ком-
комбинация g непрерывных конечномерных функций, что
Так как
2 I А 12 •
Thk - Thg | = sup \ h (sf1) {k (t) - g (t)} |
то |fe —T^gKe. Таким образом, для завершения доказательства
достаточно показать, что функция Thg является линейной комби-
комбинацией конечномерных непрерывных функций и потому сама
конечномерна. Мы уже отмечали, что функция Thg непрерывна,
поэтому осталось показать только, что она конечномерна, если
конечномерна функция g.
Так как
(Thg){s)=
то, заменяя s на su и / на Ы, получаем
это означает, что (Thg)u~Th(gu). Далее, если g\ ..., gun обра-
образуют базис в пространстве сдвигов функции g, то для любого и
п
из G сдвиг gu можно представить в виде 2 aigUii и потому
1
1
^0= S
7*


100 Гл. XL Различные приложения
Отсюда следует, что пространство сдвигов функции Thg конечно-
конечномерно. Таким образом, Thg — конечномерная функция, ч. т. д.
В случае бикомпактной абелевой группы теорема 4 может
быть до некоторой степени усилена.
5. Онрндклкние. Если G —абелева группа, то ее характером
называется комнлекснозначная функция %, определенная на G
и такая, что %(е) 1 и x(sO = X(s)X(O Для всех s, t из G.
6. Ti:oi>i;ma. Пусть G — бикомпактная абелева группа, 2 —
а-алгсвра се борелевских подмножеств, a [i —мера Хаара на 2.
Тогда множество непрерывных характеровг) фундаментально как
в C(G), так и в L2(G, E, ц).
Доказательство. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что
каждая непрерывная конечномерная функция / является линей-
линейной комбинацией непрерывных характеров. Для каждого s?G
определим на L2 оператор Rs соотношением R8g = gs- Поскольку
группа G абелева, легко видеть, что {R81 s?G} представляет собой
коммутативное семоистно унитарных операторов, определенных
на /<). По предположению, подпространство 3\ порожденное сдви-
сдвигами функции /, конечномерно и инвариантно относительно каж-
каждого и:* операторов Rs.
Пусть Д*| /-- {О} — подпространство в $, инвариантное относи-
телыю каждого \\\\ операторов Rs и не содержащее меньших
нетривиальных инвариантных подпространств. Покажем, что тогда
подпространство Л'1 одномерно. Пусть s фиксировано, a k(s) —
собственное значение оператора Rs, рассматриваемого на прост-
пространстве 8i. Пусть ^ = {ftGSil Rsh^'kis)}!}; тогда, поскольку
Rs(Rth) = i(s)(Rth), ясно, что ф инвариантно относительно
множества операторов {Rt}, а так как <дф{0}, то отсюда следует,
что $--?Vi- Это означает, что в ^ произвольный оператор Rs
кратен единичному оператору, а именно 7?s = A,(s) /c^; поэтому
размерность пространства ^ч должна быть равна 1, так как
в противном случае в ^h имелись бы нетривиальные инвариант-
инвариантные подпространства. Поскольку операторы /?.s унитарны, они
оставляют инвариантным также подпространство '50 Л'ь и мы
можем, повторяя проведенные выше рассуждения, разложить %
х) Если %( • ) —непрерывный характер бикомпактной абелевой группы G,
то \%(s)\-—1, s?G. Действительно, в этом случае % принадлежит 12@, 2, jjl)
и является для любого s?G собственной функцией унитарного оператора
сдвига Rs: g—> gs с собственным значением X(s), и потому |%(s)) = l. Это
обстоятельство используется, в частности, при доказательстве леммы 2.3.
В случае небикомпактной абелевой группы требование |%(s)| = l обычно вклю-
включают в определение характера. —Прим. перев.


2. Почти периодические функции /0/
в прямую сумму gi(J) ... ®%п нетривиальных ортогональных
одномерных инвариантных подпространств. Кроме того, на каждом
из подпространств %t каждый оператор Rs действует как умно-
умножение на скаляр Xt (s), т. е.
Отсюда следует, что если ft Ф 0, то ft нигде не обращается в нуль,
и потому, подставляя в предыдущее равенство вместо t единицу е
группы G, мы видим, что функция Кг принадлежит g? и потому
непрерывна и что Xi(st) = Xi(s)Xi(t). Кроме того, полагая
в том же равенстве еще и s = e, получаем, что Я,-(е)=1. Таким
образом, h (s) — непрерывный характер группы G. Поскольку
%t одномерно, оно состоит из скалярных кратных характера Яг-.
Итак, каждая функция из $ (и> в частности, функция /) является
конечной линейной комбинацией непрерывных характеров группы
G, ч. т. д.
2. Почти периодические функции
Изложенная в предыдущем параграфе теория бикомпактных
групп имеет интересное и важное приложение к изучению прост-
пространства АР почти периодических функций на вещественной прямой
^ = (__оо, оо). В настоящем параграфе эта теория будет приме-
применена для доказательства основного результата Г. Бора о почти
периодических функциях. Ранее было показано (IV.7.6), что суще-
существует такое бикомпактное хаусдорфово пространство 5, что АР
изометрически *-изоморфно пространству С (S). В действитель-
действительности R может быть вложено в 5 в качестве всюду плотного
подмножества, причем таким образом, что каждая функция f
из АР допускает единственное продолжение до функции fi
из С E). Это вытекает из следствия IV.6.19 и замечания, состоя-
состоящего в том, что периодические (а значит, и почти периодические)
функции различают точки из R. Кроме того, соответствие f <——> ft
является изометрическим и алгебраическим изоморфизмом между
АР и C(S). Таким образом, АР можно рассматривать как семей-
семейство сужений всевозможных функций из С (S) на всюду плотное
в 5 множество R.
Следующий шаг состоит в доказательстве того, что групповая
структура множества R может быть продолжена по непрерыв-
непрерывности на 5 таким образом, что S становится бикомпактной абе-
левой топологической группой. Чтобы доказать это, мы восполь-
воспользуемся следующей леммой.
1. Лемма. Пусть f?AP и е>0. Тогда найдутся такое число
0 и такое конечное множество функций hu ..., hm из АР,


102 Гл. XI. Различные приложения
что если xiy х2, у и Уг — какие-нибудь числа, для которых
П | Л, (Xi) - ht (x2)\ < б, | Ы (yt) - Ы (у2)\ < б
при i~ 1, ..., т, то
Доказательство. Пусть 5 —множество всех функций g вида
g(x)=*f(x+u), где — оо<(/<оо. Тогда В содержится в некото-
некотором бикомпактном подмножестве пространства АР (см. IV.7.2).
Следовательно A.6.15), в АР существует такое конечное множе-
множество функций hif ..., hm> что для каждой функции g из В най-
найдется такая функция hu что \g — hi\<Zs/8. Предположим, что
соотношения [*] выполняются при б = е/4. Тогда для любой
функции g из В имеем
Аналогично \g'(yi) — gf (у-г)] <в/2 для любой функции g' из В.
Возьмем теперь и качестве g и g' функции из В, определенные
соотношениями
Так как g(xx) -/(л:, -|-/у2) =- g' (y2), то
что доказывает лемму.
2. Теорема. Прямая R может быть таким образом вло-
вложена в качестве всюду плотной подгруппы в бикомпактную
абелеву топологическую группу S, что АР оказывается семейст-
семейством суо/ссний f\R на R всевозмооюных функций f из C(S). При
этом отображение f —>f\R является изометрическим ^-изомор-
^-изоморфизмом С (S) на АР. Группа S называется боровским бикомпакт-
бикомпактным расширением вещественной прямой.
Доказательство. Справедливость всех утверждений этой тео-
теоремы, за исключением того, что S является абелевой тЬпологи-
ческой группой относительно операции, совпадающей на R
со сложением, уже была установлена. Пусть sx и s2 — точки
из S; определим Si@s2. Обозначим через 41^ совокупность всех
окрестностей точки sb а через %2 —совокупность всех окрест-


2. Почти периодические функции 103
ностей точки s2. Положим для Ut^^i, i = l, 2,
где сумма берется в R, а замыкание в S. Если Z
то W(Uu U2) П W(Vu V2) ^W(Ui(]Vu V2ПV2), и потому семейство
множеств W = {W (Uu U2) \ Ut ? 4li} является центрированным,
т. е. обладает тем свойством, что любое конечное число входя-
входящих в него множеств имеет непустое пересечение. Поскольку S
бикомпактно, множество Т (su s2)= (W не пусто. Покажем, что
Т (si, s2) содержит только одну точку, которую мы и обозначим
Допустим, что Т (si, s2) содержит две различные точки tiy t2.
По теореме Урысона A.5.2) в С (S) найдется такая неотрицатель-
неотрицательная функция f, что f(ti) = l, f(t2) = 0. Применяя лемму 1 к суже-
сужению функции f на R, заключаем, что найдутся такие функции
hi, ..., hm из АР и такое число б>0, что если для каких-нибудь
четырех вещественных чисел хи х2, у и Уг при / = 1, ..., m выпол-
выполняются неравенства | hi (Xi) — hi (x2) \ < б и | ht (yi) — hi (y2) | < б,
то \f(Xi + yi) — f(x2 + y2)\<C 1/2. Каждая из функций ht имеет
единственное непрерывное продолжение на пространство S;
мы обозначим это продолжение той же самой буквой ht. Следо-
Следовательно, найдутся такие окрестности f/i и U2 точек s4 и s2 соот-
соответственно, что | hi (s^ — hi (s) I < 6/2 для каждого s из их
и | ht (s2) — hi (s) I < 6/2 для каждого s из U2 (i = 1, ..., m).
Выберем хи х2 в Ui{)R, a yu Уч — ъ ^2^\R- Тогда |/ii(*i)-~
— hi(x2)\<d и \hi(yi) — hi(y2)\<b при t = 1, ..., /и, откуда
получаем, что | / (^i + f/i) — f (x2 + y2) \ < 1/2. Это показывает, что
если Mi, &2 принадлежат множеству (i/i П R) + FГ2 П R), то | / (^i) —
— f (u2) |< 1/2. В силу непрерывности / мы можем утверждать,
что если ии и2 лежат в W(UUU2), то | f {u^ — f (и2) |< 1/2.
Так как tu t2 принадлежат W(UUU2) при любом выборе Ui
и U2, то
что невозмо жно. Полученное противоречие доказывает, что
Т(su s2) состоит в точности из одной точки, которую мы обо-
обозначим Si@S2.
Ясно, что если Si и s2 принадлежат R, то si@s2 = si-\-s2,
так что операция ф представляет собой распространение опера-
операции сложения с R на все S. Для того чтобы доказать, что опе-
операция @ непрерывна на S x S, рассмотрим какую-нибудь окрест-
окрестность I/ точки Si@s2. Если для любых ?/i из °И^ и (/2 из °И2
множество W(Ui, U2) пересекается с дополнением V окрестно-
окрестности V, то семейство множеств {V П W(UU U2) \ Ut ?%} является


W? Гл. XI. Различные приложения
центрированным и поэтому имеет непустое пересечение, т. е.
Vf(]T(sbs2) = Vf(](r[W)=^0. Выше мы видели, что T (su s2)
содержит лишь единственную точку Si©s2, и потому сделанное
предположение приводит к противоречию. Таким образом, най-
найдутся такие окрестности И^ЧЬи что W(UU (/2)gV. Если теперь
Ui ??/j, i = 1, 2, то
{«i © и2) - Т (щ, и2) с= W (Uu U2);
следовательно, Ui@u2?V. Этим доказана непрерывность опера-
операции ©. Отсюда, из того что R всюду плотно в S и что опера-
операция 0 совпадает на ^ с обычным сложением, мы немедленно
заключаем, что s@0 = s, sl@s2 = s2®si И 5i © (s2©s3) =
= («1 © S2) © S3.
Осталось показать, что для каждого s из S в S существует
обратный относительно операции © элемент. Рассмотрим ото-
отображение Я: АР—>АР, определенное соотношением (Hg)(x) =
= g"( — x), x?R. Ясно, что Н является алгебраическим изомор-
изоморфизмом АР на себя, перестановочным с операцией перехода
к комплексно сопряженной функции, т. е. Н (g)=Hg, g^AP,
Так как АР эквивалентно C(S), то отображение Я можно рас-
рассматривать как оператор на C(S). По теореме IV.6.26 существует
такой гомеоморфизм h пространства S на себя, что (Hf) (s) —
= f(/i(s)), f?C(S), s?S. В частности, если s?R, то h(s)=—s,
так что s@h(s) = 0 для всех s, принадлежащих всюду плотному
в S множеству R, а потому и для всех s из S. Следовательно,
h (s) является обратным к элементу s, и S представляет собой
топологическую группу, ч. т. д.
3. Лемма. Непрерывные характеры бикомпактной абелевой
группы S представляют собой продолжения на S функций вида
eiKx, x?R, где к —произвольное вещественное число.
Доказательство. Заметим прежде всего, что если функция %
имеет вид %(х) = еах, x?R, то, поскольку она периодична, она,
a fortiori, является почти периодической и допускает непрерыв-
непрерывное продолжение %i на S. Кроме того, так как %(* + */) =
— %(х)%(у) и % @) = 1 Для всех XiUdRi T0 эти тождества
имеют место и для продолжения %ь итак, %i является непрерыв-
непрерывным характером группы S.
Обратно, если %i — непрерывный характер группы S, то обо-
обозначим через % его сужение на R. Тогда %@) = 1, х (* + #) =
= Х(*)Х(#)» \%(х)\=1,1) х, y?R, и функция % непрерывна на R.
См. сноску на стр. 100.—Прим. перев.


3, Алгебры со сверткой 105
Пусть число а "> 0 таково, что | % (х) — 1 | < 1 при | х |<а, и пусть
X(a) = eiQ, |9|<я/3. Так как % (а) = [%(а/2)]*, то % (<*/2) = eie/2,
и по индукции % (а/2п) = eiQ/2n. Отсюда следует, что если г = 2~пт,
где m и /г—целые числа, то % (га) = ?i6r. По непрерывности это
соотношение справедливо для всех вещественных чисел г. Полагая
Х = 0/а, имеем %(л:) = е1Ьс, x?R, как И утверждалось.
Имея в своем распоряжении эти предварительные результаты,
мы в состоянии теперь доказать основную теорему относительно
почти периодических функций на прямой.
4. Теорема (Г. Бор). Непрерывная функция на прямой
R(~co, со) тогда и только тогда является почти периодиче-
периодической, когда она может быть равномерно аппроксимирована конеч-
конечными линейными комбинациями функций, принадлежащих семей-
семейству {eiKx\K?R}.
Доказательство. Так как АР является /^-пространством (IV.7.5),
то ясно, что семейство функций, принадлежащих замкнутому
линейному многообразию, порожденному периодическими функ-
функциями, содержится в АР. С другой стороны, было показано
(теорема 2), что АР изометрически изоморфно пространству C(S),
где S — бикомпактная абелева группа, а также (лемма 3), что
непрерывные характеры группы S имеют вид eilx. По теореме 1.6
множество непрерывных характеров фундаментально в C(S); сле-
следовательно, их сужения на R образуют фундаментальное множе-
множество в пространстве АР, ч. т. д.
Из существования изометрического изоморфизма между про-
пространствами АР и С (S) и из теоремы Рисса о представлении
линейных функционалов (IV.6.3) мы можем вывести следующий
результат.
5. Теорема. Пространство ЛР* изометрически изоморфно про-
пространству гса (S) всех регулярных счетно аддитивных мер, опре-
определенных на борелевских подмножествах боровского бикомпакт-
бикомпактного расширения S вещественной прямой R. Изоморфизм
x*~>\ii?rca(S) задается формулой
где f i —однозначно определенное продолжение на пространство S
функции f из АР.
3. Алгебры со сверткой
В гл. IX мы видели, что некоторые функциональные простран-
пространства являются В-алгебрами относительно поточечного умножения;
таким образом, теория таких алгебр может быть непосредственно


106 Гл. XL Различные приложения
применена к этим пространствам. Однако если Li обозначает про-
пространство функций на вещественной прямой (— оо, оо), интегри-
интегрируемых по Лебегу, то L{ не является 5-алгеброй относительно
поточечного умножения. Имеет место важная и полезная теорема,
состоящая в том, что в пространстве Li можно определить
умножение так, что после присоединения единицы L{ станет
В-алгеброй, к которой применимы результаты гл. IX. В качестве
«произведения» двух функций f и g из Li мы возьмем их свертку
/•?» задан ее соотношением
(/•?)(*)= I f{x-y)g(y)dy, -oo<x<oo.
Мы увидим, что изучение алгебры L{ со сверткой в качестве
умножения тесно связано с преобразованием Фурье.
Вместо того чтобы ограничить наше рассмотрение случаем
аддитивной группы иеществениых чисел, мы изучим общий слу-
случай локально бикомпактной абелевой группы, которую обозна-
обозначим R. Ьудем предполагать, что группа R является сг-бикомпакт-
ной, т. е. представляет собой объединение счетного числа
бикомпактных множеств. Для каждой такой группы существует
неотрицательная счетно аддитивная мера, которая определена
па ст-алгебро бореленских множеств ?, конечна на бикомпактных
множествах, положительна или бесконечна на открытых множе-
множествах, инвариантна относительно сдвигов, т. е. А, (х-\-Е) — X (Е)
для Е из 2 и х из R, и обладает свойством регулярности:
sup X (F) = X (Е) = inf X(G) для Е из 2, где F пробегает всевоз-
всевозможные замкнутые подмножества множества Е, a G —всевоз-
—всевозможные открытые множества, содержащие Е. Такая мера един-
единственна с точностью до положительного множителя и называется
мерой Хаара. В случае R = (— оо, оо) мера Хаара (после пере-
перенормировки, если она необходима) совпадает с мерой Лебега;
для бикомпактной группы существование и единственность меры
Хаара Пыли доказаны в теореме 1.1. Читатель, не знакомый
с мерой Хаара, может обратиться за справкой к примечаниям,
помещенным и § 11 под заголовком Алгебры со сверткой.
•Ом может также при нервом чтении считать, что R — аддитивная
группа вещественных чисел. Однако читатель, который хорошо
знаком с теорией меры Хаара, естественно, заметит, что приве-
приведенные ниже доказательства без изменения применимы в общем
случае локально бикомпактной сг-бикомпактной абелевой группы.
Мы обращаем внимание такого читателя на то, что, начиная
с доказательства леммы 3 и всюду далее в этом параграфе,
мы считаем, что группа R не дискретна. Дискретный случай


3. Алгебры со сверткой 107
может быть без всякого труда изучен отдельно; некоторые заме-
замечания на этот счет имеются в примечаниях.
Итак, мы изучаем недискретную локально бикомпактную
и сг-бикомпактную абелеву группу R; при этом мы пользуемся
элементарными свойствами ее меры Хаара, хорошо известными
в случае меры Лебега на прямой. Если интегрирование произ-
производится по мере Хаара, что имеет место в большинстве случаев,
мы пишем dx вместо X(dx). Пространство LP(R, 2, X) будем
обозначать через LP(R).
Начнем изложение с формулировки и доказательства некото-
некоторых основных свойств свертки.
1. Лемма, (а) Функция f (х —у) является (ХхХ)-измеримой,
если Х-измерима функция /.
Ь) При f, g ? Li (R) функция f (x — y) g (у) интегрируема по у
для почти всех х, а свертка f*g, определенная формулой
(f*g)(x)= \ f(x-y)g(y)dy,
R
принадлежит L4 (R) и удовлетворяет неравенству
\f*g\i<\f\i\g\i.
Линейное пространство Lx (R) со сверткой в качестве умножения
является коммутативной и ассоциативной алгеброй.
(с) Для f?U(R) и g?L2(R) свертка [ f(x-y) g (у) dy
R
существует для почти всех х и принадлежит L2(R), при-
причем | f *g\2<| f |i | g|2. Произведение f *g линейно по каждому
из сомножителей и удовлетворяет равенству h*(f*g) = (h*f)*g
для h, f из Li(R) и g из L2(R). Если f?Li(R), то гильберто-
гильбертовым сопряженным оператором к ограниченному линейному опера-
оператору g—>f*g в L2(R) является оператор g—>f*g, где J(x) =
71)
(d) Если f^Li(R) и g?Loo(R), то интеграл, задающий
свертку f*g, существует для всех х и определяет функцию
из С (R) с нормой, не превосходящей |f|i|g[oo.
(e) Если функции fug принадлежат L2(R), то интеграл,
представляющий их свертку, существует для всех х и опреде-
определяет функцию из С (R) с нормой, не превосходящей \ f \21 g |2.
(f) Если f^Lp, 1 .</?<; со, и если функция fy определена
соотношением fу (х) = f(х — у), x?R, то отображение y—>fv
группы R в пространство LP(R) непрерывно.


108 Гл. XL Различные приложения
Доказательство. Утверждение (а) было доказано в лемме
VIII.1.24 для случая, когда R — аддитивная группа вещественных
чисел. Общий случай будет рассмотрен в примечаниях в конце
главы.
Поскольку подиптегральное выражение в интеграле, опре-
определяющем свертку, измеримо, мы, применяя теорему Тонеллк
(III. 11.14), видим, что
\ \f(x-y)g(y)\d(xxy) =
XR
-"$ \g(y)\{[\f(x-y)\dx}dy=\f\l\g\l;
R R
\
HXR
таким образом, функция f (x — у) g (у) является (Я х ^-интегри-
^-интегрируемой. Тогда первое утверждение пункта (Ь) следует из теоремы;
Фубини (III. 11.9). Остальные утверждения этого пункта доказы-
доказываются при помощи простой замены переменных; это доказатель-
доказательство мы здесь опустим, так как оно встречалось уже раньше
(см. лемму VIII. 1.25).
Докажем ([). Если 1<р<оо, то из следствия III.3.8
и регулярности меры А, вытекает, что множество непрерывных
финитных функций (т. е. таких, которые обращаются в нуль
вне некоторого бикомпактного множества) плотно в LV(R). Пусть
f?Lp(R), и пусть &—-такая непрерывная финитная функция, что
|/ — k\p<e: Так как функция к равномерно непрерывна, та
j kz — ky \р <С е, если точка z достаточно близка к у. Следовательно*
что и требовалось.
Утверждение (d) легко вывести из (f). В самом деле, посколь-
поскольку J/—>/,/ является непрерывным отображением R в Lx(R), инте-
интеграл \ / (х - у) g (у) dy при g ? L(X, (R) представляет собой непре-
непрерывную функцию от х 1) и
\f(x-y)g(y)dy\<.\f\i\g\co.
Пункт (е) доказывается аналогично.
х) Нужно воспользоваться вытекающей из предыдущего непрерывностью»
отображения х-*- f'x = f (х — у).--Прим. перев.


3. Алгебры со сверткой 109
Чтобы доказать (с), допустим, что f^Li{R) и g, h?L2(R).
Из (е) вытекает, что интеграл
\ \g(x-y)h(x)\dx
является непрерывной функцией от у и ограничен величиной
|g|2|/i|2. Следовательно, по теореме Тонелли
\f(y)g(x-y)h(x)\d(xxy) =
RxR
= 5 \f(y)\{\ \g(x-y)W)\dx}dy<C\f\i\g\2\h\29
R R
т. е. двойной интеграл, стоящий в левой части, конечен. Тогда
в силу теоремы Фубини
{\f(x-y)g{y)dy\W)dx
в
I {I f(y)g(x-y)dy}W)dx\<?\f\i\g\2\h\2
В R
для всех h из L2(R). Этим доказано, что f*g принадлежит L2(R)
и что |/*^|г^| /li I gta- Второе предложение пункта (с) следует
из соответствующего утверждения пункта (Ь) и того факта, что
Li(R)(]L2(R) всюду плотно в L2(R). Доказательство последнего
утверждения пункта (с) сводится к проверке того, что (f*g, h) =
= (g. 7*h), т. е.
I {\ f{x-y)g{y)dy\W)dx^\ g(y){\7(y-x)h(x)dx\dy.
R R R R
Но это равенство следует из теоремы Фубини, утверждающей,
что оба выписанных выше интеграла совпадают с двойным инте-
интегралом
I f(x — y)g(y)h(x)d(xxy),
RXR
в существовании которого мы уже убедились. Лемма доказана.
Из пунктов (Ь) и (е) леммы 1 вытекает следующее утверж-
утверждение.
2. Следствие. Линейное пространство Li(R) со сверткой
в качестве умножения удовлетворяет всем аксиомам коммута-
коммутативной В-алгебры, за исключением, быть может, одной, посту-


НО Гл. XL Различные приложения
лирующей существование единицы. Кроме того, унарное отобра-
отображение /—>/ алгебры Li(R) в себя является инволюцией, т. е.
В дальнейшем мы присоединим к алгебре Lt (R) единицу, пре-
превратив ее, таким образом, в коммутативную Б-алгебру. Преды-
Предыдущее следствие показывает, что расширенная алгебра Li (R)
является коммутативной 5-алгеброй с инволюцией. Однако она
не является 5*-алгеброй, поскольку равенство |/*/| = |/|2 не
выполняется.
3. Лемма. Пусть для f^Li(R) оператор Т(/), действующий
в L2(R), определен равенством
Тогда отображение f—>T{f) представляет собой непрерывный
изоморфизм алгебры Lt (R) на некоторую коммутативную алгеб-
алгебру 2Го операторов в гильбертовом пространстве L2(R), причем
Кроме того, замыкание алгебры 210 в равномерной операторной
топологии не содержит единичного оператора.
Доказательство. Сравнение этого предложения с леммой 1 (с)
показывает, что достаточно доказать лишь последнее утвержде-
утверждение и тот факт, что Г(/) = 0 влечет / — 0.
В следующем ниже доказательстве впервые используется под-
подразумеваемое, но не высказанное явно в формулировке леммы
предположение о том, что группа R не дискретна. Допустим
сначала, что замыкание алгебры Sf0 в равномерной операторной
топологии содержит единичный оператор, так что в Li (R) суще-
существует такая функция /, что l/*^ —g|2< A/2) |g|2 для всех g
из L2(R). Поскольку Lt (R) {] L^(R) всюду плотно в Li(R), мы
можем, без ограничения общности, предположить, что / принад-
принадлежит Lt (R) П Loo(R). Так как мера одноточечного множества {0}
равна нулю, то из регулярности меры X и того факта, что мера
всякого открытого множества положительна, вытекает, что в R
найдутся такие окрестности Un, n= 1, 2, ..., точки 0, что
0 Ф X (Un) < 1/n2. Положим gn (x) = (К (?/л)Г1/2 при x?Unugn (x) =
= 0 в остальных точках. Тогда функция gn принадлежит


3. Алгебры со сверткой lit
U{R){\ L2(R), причем |gn|2=l, \gn\i<l/n. Следовательно,
i>\gn-f*gn\l= I \gn(x)-(f*gn)(x)\*dx>
R
\\gn(x)-(f*gn)(x)\4x>
vi
inf
x?Un
По лемме 1 (d) | (/• gn) (*) КI /1» я Для любого х из R, и потому
из предыдущей цепочки неравенств мы заключаем, что
Поскольку правая часть стремится к 1, получаем противоречие.
Таким образом, замыкание алгебры Яо в равномерной оператор-
операторной топологии не содержит единичного оператора.
Допустим, что T(f) = O для некоторой функции / из L{(R),
так что для каждой функции g из L2(R) имеем (f*g)(x) = O
для почти всех х. Пусть h — какая-нибудь функция из Loo(R)>
обращающаяся в 0 вне некоторого бикомпактного множества С;
тогда h принадлежит L^R) П^гС^)- Так как h?L2(R), то (/*ft)(x) =
= 0 почти всюду, а поскольку h?Loo(R), из леммы 1 (d)
вытекает, что функция f*h непрерывна. Следовательно,
Далее, функция А, определенная соотношениями h(y)=^0, y$Cr
и h (у) = |/ ( — у) |(/(—-у))~г9 у?С9 принадлежит, очевидно,
Loo(R). Приведенное выше рассуждение позволяет нам заклю-
заключить, что
\\f(x)\dx=0
С
для любого бикомпактного множества С; итак, |/|1==0. Это
доказывает, >что отображение f—>T(f) взаимно однозначно, ч. т. д.
Сейчас мы введем некоторые определения и обозначения, кото-
рые будут играть важную роль на протяжении оставшейся
части этого параграфа. Поскольку многие из последующих резуль-
результатов будут сформулированы в терминах, введенных в следую-
следующем абзаце, читатель должен изучить его особенно тщательно
В оставшейся части данного параграфа 31 будет обозначать
5*-алгебру операторов 9Г0® {а/}, где / — тождественный оператор


112 Гл. XI. Различные приложения
в гильбертовом пространстве L2(R), а 2Г0 — замыкание алгебры 2Г0
в равномерной операторной топологии. Буквой о/Я обозначим
пространство максимальных идеалов алгебры 2t, а т: 21 —>С(оЖ)
будет обозначать изометрический изоморфизм алгебры 21 на
С(оЖ)} существование которого утверждается в следствии IX.3.8.
Для / из L\ (R) мы обычно пишем т/ вместо т(Г/). Буква Е будет
обозначать спектральную меру, определенную на борелевских
подмножествах пространства о/Я, отвечающую в силу теоремы Х.2.1
изоморфизму т. Таким образом, для / из LX{R) и g из L2(R)'
имеем
/*?= J (xf)(m)E(dm)g.
Так как h(I) = l для каждого (комплекснозначного) нетривиаль-
нетривиального мультипликативного линейного функционала h и так как
всякий такой функционал, согласно IX.2.3, непрерывен, то любой
мультипликативный линейный функционал на 21 полностью опре-
определяется своим сужением на 2V Таким образом, в о/Я суще-
существует единственная точка р<х>, для которой (т/)(роо) = 0 при
всех / из L\ (/?); эта точка роо соответствует мультипликативному
линейному функционалу h, определенному соотношениями h(f) = O
при /6У1о и Л (/)= 1. Для любой другой точки р из qj% в Li(jR)
найдется такая функция /, что (т/)(р)=^0. Точку роо мы впредь
будем называть бесконечно удаленной точкой пространства о/Я,
Для удобства положим еще <41() •_ ,,// — {роо}.
4. Лемма. В обозначениях, введенных выше, мы имеем Е ({р<х>}) = 0.
Доказательство. Пусть g = Е ({роо}) g, так что для борелев-
ского множества б, не содержащего точки роо, мы имеем ?"F)^ = 0
и, таким образом, для / из Li(/?)
= \ {xf){m)E{dm)g.
Так как (x/)(piv)~0 для исех / из Li(R), то /*g = 0 для
любой функции / из L\{R). Если / принадлежит Li(R){]L2(RI
то функция f*g непрерывна (см. лемму 1 (е)), так что
R
Так как Li(R){]L2(R) всюду плотно в L2(R), то (g, h) = 0 для
всех h из L2(R). Таким образом, g=0, ч. т. д.
5. Лемма. Если е —такое борелевское подмножество про-
пространства о/Я, что е не содержит р<х>, то оператор Е(е) огра-


3. Алгебры со сверткой 113
качен не только как отображение L2(R) в L2(R), но и как ото-
отображение L2(R) в C(R).
Доказательство. Поскольку Li (R) П L2 (R) является всюду
плотным линейным подпространством в Li(#), для каждой
точки р из е можно выбрать n Ll(R)(]L2(R) такую функцию /,
что (т/)(р) = 2. Так как но лемме 1 функция /*/ принадлежит
Li(R)(]L2(R) и
то можно считать, что функции т/ неотрицательна на <Ж. Так
как (т/) (р) =¦ 2| то найдется такай окрестность N (р) точки р,
что (т/)(т)>1 дли нсех т из iV(p). Поскольку множеством
бикомпактно, существует конечный набор таких окрестностей
N (pi), ..., N (рп)% покрывающий е, причем соответствующие
функции /ь ...» /п обладают тем свойством, что для их суммы
g=»/i4" • • •-|-/л при всех m из <М справедливо неравенство
(tg)(m)>l. Таким образом, (xg) (m)~l*C 1 на ©#, и отсюда в силу
теоремы X. 1.1 следует, что оператор
действующий в L2(R), ограничен, причем T(g)P = E(e). По лем-
лемме Л(е) Т(g) является ограниченным оператором из L2(R) в С(#),
а потому таким же является и оператор ?(е)> ч. т. д.
Ввиду леммы 5 ясно, что для каждого функционала х* из
C(R)* и каждого борелевского подмножества е пространства сЖ,
замыкание которого не содержит точки роо, скаляр x*E(e)g
линейно и непрерывно зависит от функции g из L2(R). Тогда,
согласно теореме IV.4.5, каждый функционал х* из C(R)* един-
единственным образом определяет в L2(R) такую функцию Л, что
х*Е(е)g = (g, h) для всех g из L2{R). Это замечание в примене-
применении к функционалу 8 из С (#)*, заданному равенством
/6 С (Я),
мы используем в следующей лемме,
6. Лемма. Существует единственная неотрицательная регу-
регулярная мера \i, определенная на семействе $ всех борелевских
подмножеств пространства qMq и обладающая следующими свой-
свойствами'.
(I) \i конечна на бикомпактных множествах;
N Заказ Яг 134


114 Гл. XI. Различные приложения
(II) если |i(e)<oo, то е содержится в счетном объединении
бикомпактных множеств из оМ0\
(III) \i положительна на непустых открытых множествах;
(IV) для всякого борелевского множества е, для которого
Роо^е, справедливо равенство \i (е) = | гр (е) |2, где гр (e) — функция
из L2(R)i однозначно определяемая соотношением
через 8 здесь обозначен функционал из C(R)*y заданный форму-
формулой 6/ = /@).
Доказательство. Пусть i?0 состоит из всех таких множеств е
из 9$, для которых роо$е. В замечании, предшествовавшем фор-
формулировке леммы 6, было указано, что для всякого е из 380
в L2{R) существует единственная функция if (в), удовлетворяю-
удовлетворяющая соотношению 8E(e)g=(g1 гр(е)), g?L2(R). Пусть функция
множества \х0 определена на J?o равенством |х0 (е) = | ф (е) |2. Сна-
Сначала мы покажем, что функция \i0 счетно аддитивна на ^'0,
а затем установим, что она допускает продолжение на 9В* обла-
обладающее нужными свойствами.
Если еи е2 принадлежат ^0> то, поскольку оператор Е(е2)
самосопряжен (Х.2.1), для всех g из L2(R) мы имеем
= 8Е(е,)Е(е2)g=8E(e, [\e2)g^ (g, <p (e, (]е2)).
Следовательно, Е (е2) гр (^) = 'ф (^i П еъ)\ таким образом, Е (е2) яр (е2) =
= яр(^2), и если eY и е2 не пересекаются, то Е (е2) гр (в4) = 0, т. е.
тогда функции гр^) и ip(^) ортогональны, и
= Е (е±) гр (е± [}е2) + Е (е2) гр (е± [] е2) =
так что векторнозначная функция гр(-) аддитивна на JV Поэтому
если ei(]e2=0y то функция множества jjto удовлетворяет соот-
соотношениям
R> (ei U е2) - (гр (e4 (J е2), гр (e4 U е2)) =
т. е. \i0 аддитивна на


3. Алгебры со сверткой 115
Чтобы убедиться в том, что функция множества |л0 счетно
аддитивна на 9S^ допустим, что еп, п > 1, — непересекающиеся
множества из $0, объединение которых е также принадлежит jf?0.
Пусть rn = en[)en+i[) ..., так что E(rn)g—>0 для любой функ-
функции g из L2(R), и, согласно лемме 5,
Это рассуждение показывает, что векторнозначная аддитивная
функция множества if» слабо счетно аддитивна на а-алгебре,
состоящей из всех борелевских подмножеств множества е. В силу
теоремы Петтиса (IV. 10.1) она счетно аддитивна в сильной топо-
топологии, т. е. |г|)(гп) |2 = |я0(Гд)—>0; этим доказано, что функция
множества |i0 счетно аддитивна на JF0-
Теперь мы продолжим \х0 до счетно аддитивной функции
множества [я, определенной на всем 98. Пусть е — множество
из J*. Если е содержится в объединении возрастающей последо-
последовательности {еп} множеств из JV то положим
а в противном случае пусть \i(e) = co. Так как функция \х0
неотрицательна, то последовательность {)Ьо{ееп)} не убывает,
так что предел (быть может, бесконечный), определяющий jx(e),
существует. Чтобы убедиться, что он зависит лишь от множе-
множества е, а не от выбора последовательности {еп}, предположим,
что {ап} — другая возрастающая последовательность множеств
из $о, объединение которой содержит е. Пусть Ьп = еп[}ап.
Очевидно, достаточно показать, что lim \xo(ebn) = lim \L0(een).
Поскольку ebn^een, то [ц{еЬп)>\10(ееп), так что для того чтобы
доказать единственность предела, достаточно показать, что если
Vo{ebn)>k для некоторого п, то для любого е>0 найдется
такое т, что \х0(еет)>k — е. Так как [}еет = е, то {eembn, т> 1}
представляет собой возрастающую последовательность множеств
с объединением ebn. Поскольку функция |ы0 счетно аддитивна
на J*or то \хо(еЬп) = \'тцхо(еетЬп)>к, так что для некоторого т
т
справедливы неравенства \\.о{еет)~^\ло(еетЬп)>1г--г. Это пока-
показывает, что «аше определение |х на 3S корректно.
Докажем теперь счетную аддитивность функции \i. Пусть
{#п} — последовательность непересекающихся множеств из 98.
Ясно, что |х ( U пп) > (а (Яп)» так что если \х (ап) = со для какого-
нибудь пу то справедливость равенства \х ((J ап) = 2 И» (ап) три-
тривиальна. Поэтому мы можем считать, что [х(ап)<оо для всех п.
Следовательно, существует такое счетное семейство возрастающих
оо
последовательностей {епт} множеств из 98ъ, что ап е U
т=1


US Гл. XI. Различные приложения
Полагая **=* U етп, получаем такую возрастающую последо-
вательность {eh} множеств из #0, что a=\}an^\]eh. Так как
последовательность положительных чисел \1о(апеь) с ростом k
стремится, возрастая, к пределу \i(an)> то (см. III.6.17)
ОО 00
lim 2 [io(aneh)~ 2 (*(***)• Таким образом, поскольку \i0 счетно
аддитивна на .#0, имеем
СХ> ОО
h k n=l n=l
Этим установлена счетная аддитивность функции \i.
Теперь докажем, что мера ц регулярна. Допустим, что eg i?t
(()сх> и {вп} —такая последовательность непересекающихся
множеств из J?o» что е- [}еп. Пусть задано е>0, и пусть Л^
« ~ n „
столь велико, что 2 М<(<'п)<к/2. Положим е= и^д. Тогда в
N-fl _ i
принадлежит ,^?0» так что \\{е) имеет смысл. Поскольку
в силу Х.2.1 мера |?(-)'Ф(вIя==(Д'Ж^'Ф(в)) для фиксирован-
фиксированного <Грегулярна, мы можем найти в е такое замкнутое, а следова-
следовательно, и бикомпактное подмножество d, что
Как уже было отмечено, ^(^'Ф^О^'Ф^П^)» так что jjl0 (rf) =
-|i|)(rf)|2 = |?(rf)^A)|2 и МЮНгМ?)|2Н?(вЖ?)|2. Таким
образом,
С другой стороны, поскольку с# бикомпактно, а значит, и нор-
нормально, найдется такая последовательность {vn} открытых мно-
множеств из .#о» что en?t/,,. Так как мера \E(-)ty(vn)\2 регулярна,
то для каждого п найдется такое открытое множество wny что
un3wnsen и
ОО
Таким образом, открытое множество w = [) wn содержит еу причем
п=1
|х(«;)<;[i(e) +е. Следовательно, мера )х регулярна.
Если К—бикомпактное подмножество множества <М0, то
по определению (л(/С) = И'о(К)<оо« Чтобы закончить доказатель-
доказательство, рассмотрим какое-нибудь непустое открытое подмноже-


3. Алгебры со сверткой 117
ство и множества о/К^ Поскольку и содержит такое непустое
открытое подмножество v множества с#0> что p<x>$v, мы можем
с самого начала считать, что р«>(?а. Достаточно показать, что
в L2(/?) существует такая функция g, что (E(u)g)@)^0. Если
это не так, то Л@)^0 для каждой функции h из L2(R), для
которой ?(и)А»й, Twk как нее операторы S из Й комму-
коммутируют с ?(и), то (ЯЛ)(О) —0, если h-E(u)h. Если, кроме того, /
принадлежит 1{(R){\L%(R)< то
0ЧГ (
)
Поскольку /-|(#)П/-й(Л) нсюду плотно н L2(/?), мы заключаем,
что Л- 0, и, следовательно, Е(и) 0. Пусть теперь F —непре-
—непрерывная функция на оМу обращающаяся в 0 на дополнении мно-
множества м, но не равная 0 тождественно, и пусть S0~-t(F) —
оператор из 31, отвечающий функции F при изометрическом изо-
изоморфизме т : St—>C(g$). По теореме X.2.1A11)
50= J F(m)E(dm)= J F(m)E(dm).
Если ?(а) = 0, то ?(а) = 0 для всех а^и, так что 50 = 0.
Противоречие, так как отображение т взаимно однозначно.
Замечание. В процессе доказательства регулярности меры \л
было показано, что если е принадлежит 98 и [д,(?)<оо, то для
всякого е>0 найдутся такое открытое множество и и такое
бикомпактное множество с, что с^е^и и у»(и — с)<е.
5 оставшейся части данного параграфа и в следующем пара-
параграфе буква |х будет обозначать меру, существование которой
мы только что установили.
7. Лемма. Если f принадлежит Li(R)[)L2(R) и если е —
борелевское подмножество в оМ, замыкание которого не содержит
точки ре», то
T/)(m)n(rfm) = 6
) —функция из LZ{R), определенная в лемме 6.
Доказательство. Будем вместо ^{ё) писать просто i|). ТоГда


118. Гл, XL Различные приложения
Поскольку оператор T(f) свертки с J коммутирует с Е(е)
и поскольку, как мы видели в доказательстве леммы 6, Е {е) ф = ф,
из определения ф следует, что
б(^ф)-6(?(е)(?*ф)) = G*ф, ф).
Так как T(f)~T (/)*, то предыдущие вычисления показывают,
что
= (/ • Ф. Ф) = J (*/) И (? (Ля) Ф, Ф)-
С другой стороны, если а — борелевское подмножество в ©^, то,
как показано при доказательстве леммы 6, ? (а) ф (<?) = ф (ае)
и потому
= (? (а) ф/ ? (а) ф) = (ф (ае), ф (да)) = |х (да).
Следовательно,
(т/) (m) (? (dm) ф, ф) = J (r/) (m) |x (dm),
что в сочетании с формулой (I) завершает доказательство.
8. Леммл. Если f принадлежит LX(R) П^г(^)> tn°
| (т/) (m) |
Доказательство. Пусть в — борелевское подмножество в о
с бикомпактным замыканием; тогда Е (e)(f*f)~E(e)T(f)f
-~. f *(E (c)f). Применяя предыдущую лемму, получаем
(т (/ • /1) (m) fi (rfm) = J | (х/) (m) |» ^ (dm).
Так как функция т/ непрерывна на ©^ и равна 0 в точке р<х>,
то множество ап = {т 11 (т/) (т) | > 1 /л} является борелевским
подмножеством в g#o с бикомпактным замыканием; кроме того,
функция т/ обращается в 0 на дополнении к [} ап. По лемме 4,
Е(р,х>)} = 0, а так как мера |?(е)/]2 регулярна, то существует
такая возрастающая последовательность {Ьп} бикомпактных под-
подмножеств в qS0, что E(bn)f—>f по норме пространства L2(R).


3. Алгебры со сверткой 119
Полагая еп = ап\]Ьп, имеем
\ | (xf) (т) |« |х (dm) = lim \\ (т/) (m) |2 |x (dm) =
= lim б [/ * ? (en) Л = Hm 6 IT (/) E (en) f].
п-»оо
Так как, согласно лемме 1 (е), Т (/) представляет собой ограни-
ограниченное отображение пространства L2(R) в С(#), то последнее
выражение равно
R
Это доказывает лемму.
Здесь мы остановимся, чтобы сделать обзор полученных
результатов. Мы видели, что каждая функция / из Lt (R) порож-
порождает в гильбертовом пространстве L2(R) ограниченный линейный
оператор, представляющий собой свертку с /. Привлекая к рас-
рассмотрению минимальную В*-алгебру й операторов, содержащую
все указанные операторы свертывания, мы ввели бикомпактное
топологическое пространство <М максимальных идеалов алгебры ЭД,
так что каждому элементу из 21 отвечает непрерывная функция
на оМ. Отбросив бесконечно удаленную точку пространства оМ,
мы получили локально бикомпактное пространство <М^ Разло-
Разложение единицы для алгебры й мы использовали для построения
на классе 98 борелевских множеств пространства Ло счетно
аддитивной регулярной меры [х. Итак, каждой функции /из L\(R)
соответствует некоторая непрерывная функция т/ на оМ, обра-
обращающаяся в нуль на бесконечности, причем всегда |t/|<» =
= I71(/)I<!/|i- Однако если / принадлежит МфПМЯ), то
отображение т представляет собой изометрию в пространство
L2(Jlo)- Далее будет показано, что отображение т единственным
образом может быть продолжено до изометрического изомор-
изоморфизма между L2(R) и L2(q/M0) и что если множество е принад-
принадлежит 98, то применению к функции / из L2(R) оператора
проектирования Е (ё) отвечает умножение соответствующей функ-
функции т/ из L2(q/M0) на характеристическую функцию множества е.
Аналогично свертке в L2(R) отвечает поточечное умножение
в L2(qM0).
9. Теорема, (а) (Планшерель.) Отображение /—>т/, действую-
действующее из LiCR, 2, X)[)L2(R, 2, X) в L2(oM0, &, ji), допускает
единственное продолжение до изометрии пространства L2(R, 2, Я)
на пространство L2(qM0, $s \i).


120 Гл. XL Различные приложения
(b) Если обозначить это продолжение тем же самым сим-
символом т, то хЕ(е) — (р(е) для каждого борелевского подмноже-
подмножества е пространства <М0, где [ср(е)/] (т) = т/(/п) при т?е
и [ф (е) /| (т) --- 0 при т$е. Таким образом, Е (е) = х~г(р(е)х.
Доказательство. Поскольку Lt (R) {] L2 (R) всюду плотно
в L2(R), из предыдущей леммы и теоремы 1.6.17 немедленно
следует, что т допускает единственное продолжение до изометрии
пространства L2(R) в L2(qM0). Таким образом, установлена спра-
справедливость утверждения (а), за исключением того, что продол-
продолжение, которое мы также обозначим т, отображает L2(R) на все
пространство L2(qM0).
Докажем теперь утверждение (Ь). Напомним сначала, что
если f?Li(R), a e€li(fl)fUa(fl). то
Поскольку т, рассматриваемое как отображение алгебры 31 в С
непрерывно, мы заключаем, что x(Sg) = xS-xg для S из % и g
из Л, (R) П 1-х (/?)• 11о т (Ig) rg xl• xg, и потому т (Sg) = xS-xg
для S wa Ш и g ил Li(RHL2(R). Так как Li(R)(]L2(R) всюду
плотно в L2(R), а т является непрерывным отображением про-
пространства Lz(R) и L2(cM()), то
x(Tg) -xT-xg,
Если gi — какая-нибудь другая функция из L2(R)y то
(xT) (m) (? (dm) g, gt) =
= \ (T (TS)) (m) (xSi) (m) M' (dm) =
(xT) (m) (xg)
(m) v (dm),
где мы положили v(e)= ^ (xg) (m)(Tg!) (m)\i(dm). Поскольку
мера v абсолютно непрерывна относительно меры щ ее регу-
регулярность следует из регулярности |л. Из полученного выше
равенства, регулярности меры (E(-)g, gi) и утверждения о един-
единственности представляющей меры в теореме Рисса IV.6.2 еле-


3. Алгебры со сверткой 121
дует, ЧТО
для любого борелевского множества е ^ оЖ0. Используя уже
доказанную часть утверждения (а), получаем
(хЕ (е) g, xgl) = (Е (е) g, g,) = J (xg) (m) (xg,) (m) |x (dm).
e
Так как это равенство справедливо для любой функции gt
из L2(R), то x(E(e)g) (m) = xg(m) для почти всех относительно
меры р, точек т из е и х(Е (е)g) (т) = О для почти всех т
из qSq — е. Если мы теперь покажем, что отображение т опре-
определено всюду на qM0, to утверждение (Ь) будет доказано.
Утак, нам осталось доказать, что х отображает L2(R) на все
L2((So). Для этого достаточно показать, что xL2(R) содержит
характеристическую функцию любого множества, для которого
конечна мера (х; более того, как следует из замечания, сделан-
сделанного после доказательства леммы 6, достаточно показать, что
xL2(R) содержит характеристическую функцию любого множе-
множества е из j&o. Как мы видели при доказательстве леммы 5Г
в L4 (R) П L2 (R) найдется такая функция g, что xg (р) > 1 > О
для всех р из е. Пусть Q—такой ограниченный оператор из 21,
что xQ совпадает с функцией из С(ак), обратной к функции xg-
на множестве е1). Из того, что уже было доказано, следует, что
x(Qg)= xQ-xg, так что x(Qg)(p) = l для р из е. Из уже дока-
доказанной части утверждения (Ь) вытекает, что x[E(e)Qg] = y(e) x(Qg)r
так что x[E(e)Qg] является характеристической функцией мно-
множества е, ч. т. д.
10. Следствие. Положим для каждой функции f из Li(R)
и каждого борелевского подмножества а комплексной плоскости
(т/) (а) = {т? оМо | xf (т) ?а}, и пусть М (а)—оператор умноже-
умножения на характеристическую функцию множества (т/) (а) в про-
пространстве L2{qMq). Тогда спектральное разложение оператора
свертки Т (f) в L2 (R) может быть представлено в виде т М (•) т,
а спектр оператора T(f) совпадает с множеством значений
функции xf. Комплексное число а принадлежит точечному спектру
оператора T(f) тогда и только тогда, когда |я ((т/) (а)) Ф 0.
Доказательство. Первые два утверждения вытекают из пре-
предыдущей теоремы и следствий Х.2.10 и X.2.9 (III). Для дока-
х) Говоря точнее, функцию 1/tg, непрерывную на е, нужно продолжить
до непрерывной функции на всем оМ и взять оператор, соответствующий этому
продолжению. — Прим. перев.


122 Гл. XL Различные приложения
зательства утверждения, относящегося к точечному спектру,
напомним, что если g принадлежит L2(R), то
Если т/ (т) =-- м для всех т из борелевского множества е s qM0,
то # тГгх„ является собственной функцией оператора T(f),
соответствующей собственному значению а. Обратно, если
f*g^-<4!> то
Так как по теореме 9 (а) отображение х изометрично, то и^
следует, что Tg-(m)=^=0 на некотором множестве с положитель-
положительной мерой [х, и потому на этом множестве xf(m) = a, ч. т.д.
В следующем разделе этого параграфа будет показано, что
имеется взаимно однозначное соответствие между точками про-
пространства q/Hq и непрерывными гомоморфизмами группы R в мульти-
мультипликативную группу комплексных чисел, равных по модулю
единице. Множество всех таких гомоморфизмов образует абелеву
группу. Так что пространство оМ0 может быть естественным
об|шом наделено структурой локально бикомпактной абелевой
группы.
Дока ипелкетво следующей теоремы использует представление
пространств,*! L*,(R) как сопряженного к L{(R). В случае когда
мера Хаара X па R является а конечной, возможность такого
представления следует и:* теоремы IV.8.5. Общий случай обсу-
обсуждается в примечаниях, помещенных и конце настоящей главы1)
11. Теорема. Можно установить взаимно однозначное соот-
соответствие между точками т пространства <MQ и непрерывными
комплексными функциями hm на R, удовлетворяющими соотноше-
соотношениям | Лт(*) | = 1, hm(x + y) = hm(x)hmy, x,y?R. Это соот-
соответствие задастся формулой
Докл:*лтг,льспю. Если т — точка из &#0» то функция фт,
определенная равенством фт(/) = (т/) (т), f?Li(#), представляет
собой непулевой линейный функционал на Li(R), удовлетво-
удовлетворяющий тождеству фот(/*Я) = фт(/)фт(Я)- Так как | xf |oo<| /|i,
то норма функционала фт не превосходит 1, так что в силу тео-
г) Заметим, что из предположения о a-бикомпактности группы R, сделан-
сделанного в начале данного параграфа, вытекает, что мера X является а-конечной.
По поводу общего случая см. также замечание после доказательства тео-
теоремы IV.8.5. — Прим. перев.


3. Алгебры со сверткой 123
ремы IV.8.5 в Loo{R) найдется такая, в существенном единствен-
единственная, функция Ат, что | Ат |« < 1 и
н
По теореме Фубини дли любой пары функций fy g из Li(R) имеем
\ {8(У)\ hM(x)H\'-y)dx}dy~\{hM(x)\f(x-y)gQf)dy}dx =
ft H R R
>г» (/) фт (в) = \ {§ (У) \ hm (x) Лт (у) f (x) dx) dy.
R R
4>г» (/) фт (в)
») *
R R
Hi римгттиа крайних членов для всех g из L\(R) заключаем, что
I*! \hm{x)f{x-y)dx = hm{y) J hm(x)f(x)dx
R R
для почти всех у. При подходящем выборе функции / интеграл,
стоящий в правой части равенства [*], отличен от нуля, а так
как по лемме 1 (d) интеграл в левой части непрерывен, то hm
почти всюду совпадает с непрерывной функцией. Изменяя функ-
функцию hm на множестве меры нуль, мы можем считать, что он^
непрерывна. С помощью замены переменных в [*] получаем, что
для всех / из Li{R)
dx= ^ hm(y)hm(x)f(x)dx,
R
откуда следует, что для любого у равенство hm (x + y)=-- hm {у) hm (x)
выполняется для почти всех х. Так как обе части последнего
равенства непрерывны, то hm (х -)- у) = hm (x) hm (у) для всех
х, y?R. Поскольку hm не обращается в нуль тождественно, из
hm (x) hm @) = hm (х) следует hM @) = 1. Так как | Am |<» < 1, то
JAm(#)|<l для всех х из R. Но | hm (x) hm{ — x) | = | hm@) | = 1,
так что \hm(x)\ = l для всех x?R. Таким образом, описанная
процедура сопоставляет каждой точке т из оМ0 функцию Ат,
обладающую требуемыми свойствами. Очевидно, что функция hm
определяется однозначно.
Мы закончим доказательство теоремы, показав, что если
дана непрерывная функция Я, удовлетворяющая соотношениям
| Н (х) | = 1 и Н (х + у) = Н (х) Н {у), то существует такая (очевидно,
единственная) точка т из оМ01 что (т/) (т) = \ Н (х) f (x) dx
R
для всех / из Li(R). Пусть то — точка из оМ0\ воспользовавшись
уже доказанным, найдем такую непрерывную на R функцию Яо,


124 Гл. XI. Различные приложения
что |#о(*)|=1, Но(х + у)=--Но(х)Но(у) и
(т/) (m0) = \ Но (х) f (x) dx, / € Li (Я).
H
Положим Hi (x) ---= Н (х) Но (х) и определим отображение Ф равен-
равенством
Тогда Ф можно рассматривать как сохраняющий норму линей-
линейный оператор как в Li(#), так и в L2(R). Так как Я^1(х) =
Н]( — х), то для всех / из Li(R) и всех g из L2(R) имеем
Таким образом, ФГ(/)Ф=Г(Ф/), и, следовательно, ^^
^ Т (/., (/?)). Так как Ф является унитарным отображением
пространства L2^L2(R) в себя, то А—>ФАФ~г есть сохраняющее
норму отображение, действующее в пространстве ограниченных
линейных операторов, переводящих L2(R) в себя. Из соображений
непрерывности немедленно следует, что ФИФ ^ St. Таким обра-
образом, А-^ФАФ1 представляет собой сохраняющий норму изо-
изоморфизм алгебры *& на себя. Следовательно, отображение я|?г
определенное на С(<М) формулой 1|)/~ т (Ф (т/) CD)» является
изоморфизмом С{оМ) на себя и сохраняет норму. Поскольку
ФЛЛ1Ф-1 = ФЛФ~1ФЛ1Ф~1, отображение if в действительности
является изоморфизмом алгебры С{оМ) на себя и потому по
теореме IV.6.26 имеет вид (if/) (m) = f(%m), где % — некоторый
гомеоморфизм J на J. Положим m — %(m0).
Как мы видели выше, ФТ (/) Ф = Т (Ф/) для / из Li(R)9
так что для таких /
(т/) (т) - (i|)t/) (то) - (хТ (Ф/)) (т0) =
- (тФ/) (т0) - \ Но (х) (Ф/) (х) dx -
- J H0(x)Hi(x)f(x)dx= \ H(x)f(x)dx.
R R
12. Следствие. Функцию hm из теоремы 11, соответствующую
точке т^оМо, можно получить по формуле


3. Алгебры со сверткой 125
где / — какая-нибудь функция из Li{R), для которой (х[)(т)ФО,
a j'у — функция из Li(R), определенная равенством fv{x) =
= f(x-y), *?R-
Доказательство. Это утверждение в точности представляет
собой содержание формулы [*] из первой части доказательства
теоремы 11.
Несколько следующих ниже предложений описывают топо-
топологию пространства оМ0 непосредственно в терминах функций Ат,
введенных в теореме 11.
13. Определение. Пусть R— множество всех непрерывных
функций А, определенных на R и удовлетворяющих соотноше-
соотношениям h(x + y) = h(x)h(y), \h(x)\=--l. Очевидно, что R является
абелевой группой относительно естественно определенной опера-
операции умножения функций, причем единичным элементом этой
группы служит функция, тождественно равная 1. Группа R
называется группой характеров, или двойственной группой
группы R. Мы топологизируем i?, принимая за базис топологии
множества вида
где 8 — любое положительное число, а К—произвольное биком-
бикомпактное подмножество группы R.
14. Лемма. Группа характеров R является топологической
группой.
Доказательство. Проверку того, что множества Л/(А, К, е)
образуют базис некоторой топологии, мы предоставляем читателю.
Если Ai ? N (А, К, е) и А2 ? N (Ао, /С, в), то AiA2 ? W (АА0,/B, e),
так что умножение непрерывно. Если h^^N(A, /(, е), то
h1x?N(А, Я, е), и потому отображение А—>А"Х также непре-
непрерывно, ч. т. д.
15. Теорема. Взаимно однозначное отображение m—>hnu
существование которого было установлено в теореме 11, пред-
представляет собой гомеоморфизм оМ0 на R.
Доказательство1). Сначала мы покажем, что отображение
m—>hm непрерывно. Пусть то — произвольная точка в о/Мо,
0<в<1, и пусть N(hm0, /С, е) — окрестность функции А™0. Оче-
*) В переводе первая часть этого доказательства немного изменена.—
Прим. перев.


126 Гл. XL Различные приложения
видно, в Li (R) найдется такая функция /, что | /14 < I
и (т[)(то)фО. Пусть а = |(т:/)(то)|, так что 0<а<1, и пусть
(/ — такая окрестность точки т0, что | (xf) (т) — (xf) (т0) | < ае/2
для всех т из/7.. Тогда (т/)(т)=^=0 для всех т из О, и потому,
согласно следствию 12, имеем
r*i «. / \ (т/у)(т)
По лемме 1 (f) y—>fy является непрерывным отображением R
в Li(R). Следовательно, отображение y-^>xfy группы R в С(<М)
непрерывно. Из бикомпактности множества К ^ R и теоремы IV.6.7
вытекает, что {xfy | у ? К} — равностепенно непрерывное множество
в С(о/Я). Пусть V^U — такая окрестность точки т0, что
' !т/г/) (т) — Ыу)(то)\<ае>№ Для всех т т V и всех у из /С.
огда для всех т из V и всех // из /С
)|
> (w) (т/у) (т0)
(т/) (т0) (т/) (т0)
Следовательно, если ш?У\ то hm?N (AWo, К, е), так что отобра-
отображение m-^hm непрерывно.
Обратно, пусть 6/ —такая окрестность точки т0, что рсо$?Л
Тогда существует такая непрерывная на ©Ж функция Я, что
Н(то) = 1 и Я(т) = 0 при m$U. Так как Я принадлежит тЩо»
а операторы 71 (/), соответствующие функциям / из Li (i?), обра-
образуют всюду плотное подмножество в Жо, то в Li(R) найдется
такая функция /, что (т/)(то)>3/4 и | (Tf)(m)|< 1/4 для всех
§11. Пусть К — такое бикомпактное подмножество в R, что
и пусть в =.- (8 | f It)". Тогда если hm принадлежит N (hmo, /С, е),
то из теоремы 11 и неравенства Гёльдера следует, что
| (xf) (т) - (xf) (m0) I = | \ f (x) {hm (x) - hm (x)} dx
R
<2 I l/i
R-K


3. Алгебры со сверткой 127
Следовательно, | (т/) (т) | > 1/2, так что m?U. Это показывает,
что отображение hM—>m непрерывно и потому^ является гомео-
гомеоморфизмом, ч. т. д.
Ввиду только что доказанной теоремы естественно опреде-
определить в c'Mq групповую операцию формулой
hrm+m* (X) = hmi (X) hm2 (X).
При таком определении сложения множество о$0 становится
локально бикомпактной абелевой группой, топологически и алге-
алгебраически изоморфной группе характеров R. Желательно было бы
иметь более симметричное обозначение для hm (x), и для упроще-
упрощения некоторых формул следующего параграфа мы введем обоз-
обозначение
[х, m] = hm(x).
Так как hm — гомоморфизм, то гомоморфизмом является и 1гт.
(Для некоторых целей удобнее пользоваться вместо h комплексно
сопряженной функцией h. Это соглашение имеет еще то допол-
дополнительное преимущество, что в случае, когда R является мульти-
мультипликативной группой точек единичной окружности, наше обозна-
обозначение согласуется с тем, которое используется обычно в теории
рядов Фурье.) Ясно, что | [х, т] | = 1, [Xi + х2, т\ = [хи т] [х2, т]
и [х, т1 + т2] = [х, mj [х, т2] для всех х, хи х2 из R и т, ти т2
из R. Из этих соотношений следует также, что [ — х, ш] =
= [х, —т] — [х, т]. Кроме того, из определения 13 и теоремы 15
с очевидностью следует, что функция [х, т] непрерывна по каж-
каждому из аргументов1). В этих обозначениях формула теоремы 11
принимает вид
Ы) И = \ \х, т\ f (х) dx, f?U(R),
R
m
В теореме 9 отображение т было продолжено на L2(R); мы
хотим получить для этого продолжения аналогичное интегральное
представление. Пусть % — семейство всех борелевских подмно-
подмножеств в R с конечной мерой; упорядочим % по включению.
х) Более того, нетрудно показать, что она непрерывна как функция
на R х oJIq, т. е. по совокупности аргументов. Это следует из ее непрерыв-
непрерывности по каждому аргументу, если учесть локальную бикомпактность R,
Ыу) (т)
формулу hm (*/)=—————— и то обстоятельство, что для любого бикомпакт-
бикомпактного множества K^R семейство непрерывных на gM функций {xfy \ у g К)
равностепенно непрерывно. — Прим. перев.


128 Г л, XI. Различные приложения
Если %0 обозначает характеристическую функцию множества е
из g, a / принадлежит L2(R), то %ef принадлежит Li(R)(]L2(R),
причем / является пределом по норме пространства L2(ft) обобщен-
обобщенной последовательности {%ef}- Следовательно, по теореме 9 функция
т/ является пределом обобщенной последовательности {т (%ef)}
по норме пространства L2(o/fflo)- Поэтому
т/ - lim \ [^Г7] / (х) dx, f 6 L2 (Я),
е v
е
где продел понимается в смысле сходимости в L2(afi0)-
Тсчюрь мы покажем, что при помощи аналогичной процедуры
можно восстановить функцию / по т/.
16. Теорема. Обозначим через % семейство бикомпактных под-
подмножеств о$о, упорядоченное по включению. Тогда всякая функ-
функция f из L2 (R) равна пределу по норме этого пространства обоб-
обобщенной последовательности функций {fe, e ? Щ, определяемых
формулой
Ыл) \ \x,m\(Tf)(m)v.(dm), x?R.
в
Докл:*Л'п;л1>гп1(). И:* следствии 12 вытекает, что
1*1 (т/„)(ш) |/Л//Т|
если /eLi(/?)f y?R, т^,//() и (т/)(ш)=^0. Если (xf)(m) = 0f
то должно быть и (т[у) (т) •-- 0, ибо в противном случае, приме-
применяя следствие 12, мы получили бы
(т/) (щ) = (т (fv) -у) (т) - [-у,т] (rfy) (m) Ф0.
Таким образом, равенство [*] справедливо также и в случае
(т/) (ш) 0. Замена ;/ на — х в равенстве [*] дает
П l^/w](T/)(m)-(Tf.x)(m).
Если е борелевскос подмножество в оМ0 и / принадлежит
Li{R){}Lz(R), то из соотношения [**] и теоремы. 9(Ь) сле-
следует, что
таким образом, Е (е) fy = (E (e) f)y. Используя это равенство,
лемму 7 и формулу [**], получаем
J [х, т] (т/) (щ) \i (dm) = б [Е (е) </-*)] = б [(? (е) /).J = (Е (е) f) {x)y


3. Алгебры со сверткой 129
если fQ.Li(R)(]L2(R). Интеграл в этом равенстве существует
и в том случае, когда f?L2(R) и е ? #. Так как Li (R) П L2 (R) всюду
плотно в L2(R), то
*, т] (т/) (щ) ц (dm) = (Е (е) /) (*), е ? I, / ? L2 (i?).
Теорема доказана, поскольку обобщенная последовательность
{E(e)f, е^Щ сходится к / по норме пространства L2(R).
17. Следствие. Если f^L^R), то (xfy) (т) = [г/, т] (т/) (т)
т аз g#0. ?сла /6L2G?), то зто равенство справедливо
для почти всех относительно меры \х точек т из оМ0.
Доказательство. Случай f?Li(R) уже был рассмотрен в дока-
доказательстве предыдущей теоремы. Если f?L2(R), то сформули-
сформулированное утверждение следует из теоремы Планшереля, из того,
что Li(R)(]L2(R) всюду плотно в L2(R), и из того, что предел
сходящейся последовательности функций из L2 (оМ0) определяется
однозначно с точностью до его значений на множестве меры
нуль.
Следующая лемма содержит аналогичный результат для L2 (<#o)-
18. Лемма. Если F?Ь2(оМо), а функция Fp определена равен-
равенством Fp (т) =F (т — р), т? оЖ0, то (т/7^) (х) = [х, р] (тг1/7) (х)
для почти всех х из R, Если h^Li(R) и hi(x) = [x, p]h(x) для
всех х из Я, то (т/^) (т) = (т/i) (т — р) для всех т из <MQ.
Доказательство. Чтобы доказать второе утверждение, заме-
заметим, что функция hi (x) также принадлежит L4 (R), ибо модуль
характера равен 1. Следовательно,
(т/ii) (m) = \ [x, m] hi (x) dx =
= \ [х, m — p\h(x)dx^(xh)(m — p),
R
Для доказательства первого утверждения1) воспользуемся тем,
что существует такая последовательность функций {Fn}, сходя-
сходящаяся к F по норме пространства L2 {qMq), что т/771 ? Lx (R) f| L2 (R),
л=1,2, ... . Функции hn, определенные для x?R равен-
равенством hn (x) = [х, р] (т/771) (х), принадлежат L± (R) П L2 (R)
и образуют последовательность Коши в L2(R). По доказанному
!) Изложение этой части доказательства в переводе изменено.— Прим.
перев.
9 Заказ No 134


130 Гл. XI. Различные приложения
выше (xhn) (т) ¦--= F" (т) для всех т из оМ0, и потому в силу тео-
теоремы Планшерели последовательность {Fp} сходится в L2{oMo)
к некоторой функции G. С другой стороны, учитывая III.3.6
и III.6.13 (а), можно считать, что Fп (т) ¦—>F (т) почти всюду на
<Л0, следовательно, Fp (т) = Fn(m— p)—>F (m—р) = Fp почти всюду
на сЛ0. Поэтому G(m) = Fp(m) почти всюду на аМ0, откуда сле-
следует, что последовательность {Fp} сходится к fp в L2{qMq).
Но тогда т-^р-^т-^р в L2(R). В то же время т-^р = Лп =
= [•» /;1 (t~lFn) —>[•, р] (т/7) в L2(R). Так как предельная функ-
функция последовательности, сходящейся в L2(/?), определена одно-
однозначно с точностью до значений на множестве меры нуль, то
(т'^р) (х) = [х, р] (тг1/7) (х) почти всюду на R, ч. т. д.
19. Теорема. Мера |х «а <Л0 — $ инвариантна относительно
сдвигов, т. е.
Доказательство. Заметим сначала, что утверждение триви-
тривиально, если \i(e \ р) |х(е) = оо, так что мы должны рассмотреть
лишь тот случай, когда по крайней мере одно из чисел \i(e + p)*
\i(e) конечно. Пусть ji(?)<oo, и пусть для F^L2{qMq) функция
Fp определена равенством Fp(m)--F(ni — p); m,p?oM0. Если %е
обозначает характеристическую функцию множества е, то легко
видеть, что (%е)р~%а\р- Из предыдущей леммы следует, что
(т^Хе+р) (х) - [х, р] (т^хс) W, x?R.
Поскольку всякий характер по модулю равен 1, из теоремы
Планшереля вытекает, что
Итак, мы доказали, что если |х(е)<оо, то величина \х(е + р)
также конечна и равна [i(e). Если известно, что конечна вели-
величина (л (с \-р), то, заменяя в только что приведенном доказа-
доказательстве с и /) на е + ри -р, приходим к выводу, что величина
\i(e) \y-{C'\p — р) конечна и равна \х(е + р), ч. т. д.
Предположим теперь, что R обозначает группу вещественных
чисел, и покажем, что тогда группа характеров R группы R
алгебраически и топологически изоморфна R.
20. Теорема. Пусть R —аддитивная группа вещественных
чисел, и пусть R — ee группа характеров. Тогда существует
такое гомеоморфное и изоморфное отображение t группы R на


3. Алгебры со сверткой 131
всю группу R, что
где $ —семейство борелевских подмножеств в R, а Х — мера
Хаара на R.
Доказательство. Для фиксированной точки т из o?0 = R харак-
характер [х, т], x?R, является непрерывной функцией от х, удовле-
удовлетворяющей для всех х и у из R соотношениям | [*, т] \ = 1
и [х, т] [у, т] = [х + у, т]. Хорошо известно (см. VIII. 1.2, где
содержится более общая формулировка этого элементарного
утверждения), что в этом случае существует такое вещественное
число t(m), что
[х, m] = eixt(m\
Если t(mi) = t(m2), то [х, т^ = [х, т2] для всех х из R, поэтому
в силу теоремы 11 отображение m—>t(m) взаимно однозначно.
Так как функция h(x) = eixt удовлетворяет соотношениям
Л(л:) | = 1 и h(xJiry) = h(x)h(yI то m—>t(m) отображает R
на все R. Чтобы убедиться, что отображение t есть гомеомор-
гомеоморфизм, заметим, что
| [х, 0] — [*, /я] | = | 1 — еш^) | --= {A - cos xt (m)J + (sin xt (m)J}1/2
и что эта величина тогда и только тогда будет малой для всех х
из бикомпактного множества |я|<;/(, когда мала величина \t(m)\.
Таким образом, характер т тогда и только тогда близок к харак-
характеру, тождественно равному 1, когда величина t (m) близка
к нулю. Так как
| [х, тД — [х, т2] | г= | [х, 0] — [х, т2 — mj |,
то отображение t: R—>R является гомеоморфизмом. Тождество
[х, mi + т2] = [х, т±\ [х, т2] =
показывает, .что t (mi + m2)^t (m^ + t^), так что t является
алгебраическим изоморфизмом.
Чтобы доказать заключительное утверждение теоремы, опре-
определим на семействе борелевских подмножеств е группы R функ-
функцию множества Я4, полагая Xl(e) = ii(t~1(e)). По теореме 19
функция множества Я4 инвариантна относительно сдвигов, т. е.
hi(e) = ki(e + x) для всех х из R, так что в силу единственности
меры Хаара существует такая постоянная с, что Я4 = сХ. Покажем,
что с=1/2я, и тем самым закончим доказательство. Вычислим
сначала образ при отображении т функции f(x) = e~x2l2, x?R,
9*


/?? Гл. XI. Различные приложения
принадлежащей Li(R) f] L2(R). Обозначая t(m) просто через t,
имеем
-ixte-x2'2dx = e-t2/2 \ е-(х+и)Ч* dx.
— оо ~оо
Выражение
определяет целую ^функцию от г, которая при всех веществен-
вещественных г, а значит, и вообще при всех г, равна
Следовательно,
По теореме Планшереля
Заменяя в последнем интеграле переменную интегрирования т
на t = t(m) и вспоминая, что Я4 (е) = р (Г1 (е)) = сХ (е) для любого
борелевского множества е^$, получаем
оо оо оо
г* с с
— оо —оо —оо
так что 2пс = 1, и доказательство закончено.
Теорема 20 оправдывает отождествление пространств R и R
при условии, что преобразование Фурье определяется таким
образом, чтобы компенсировать множитель 2л. Это замечание
позволяет «ам переформулировать теорему Планшереля и теорему
об обращении (теоремы 9 и 16) в более принятых обозначениях.
—>21. Теорема. Пусть R—-аддитивная группа вещественных
чисел. Тогда для любой функции f из L2(R) существует предел
N
I e~ixt dx
(a) g(t) = (Kf)(t) = =7==-Um \f(x)
У 2Я ЛГ->оо J
ЛГ->оо J
в смысле сходимости по норме пространства L2(R)- Отображе-
Отображение К представляет собой унитарный оператор, действующий


3. Алгебры со сверткой 133
в гильбертовом пространстве L2{R), и называется ^-преобразо-
^-преобразованием Фурье»1).
(Ь) Обратный к К оператор задается формулой
N
У 2Л N->oo_N
где предел существует в смырле сходимости по норме в L2(R).
(c) Если h?Li(R), то спектр оператора свертки, опреде-
определенного на функциях f из L2(R) по формуле Т (h)f = h*f, совпа-
совпадает с замыканием множества значений «Ьгпреобразования
Фурье» функции К, которое задается равенством
(xh)(t) = \ h(x)e-ixtdx.
—оо
Функция xh непрерывна, и точечный спектр оператора T(h)
совпадает с множеством всех чисел а, для которых множество
| а = (xh) (t)} имеет положительную меру.
(d) Если h^U{R) и f?L2{R), то
где через М (xh) обозначен оператор умножения на непрерывную
функцию xh.
Аналогичным образом можно изучить случай локально биком-
бикомпактной аддитивной группы Rn вещественных ^-мерных векторов
x = [Xi, ..., хп]. Читатель, несколько модифицируя метод, исполь-
использованный в доказательстве теоремы 20, легко докажет следую-
следующую теорему, дающую аналитическое представление характеров
группы /?п.
22. Теорема. Пусть Rn — аддитивная группа вещественных
п-мерных векторов, и пусть Rn — ее группа характеров. Тогда
существует такое гомеоморфное и изоморфное отображение t
группы Rn на всю группу Rn, что
[х, т] = *'<*¦«™» = ехр{/(xih(m)+...+ xntn(m))}
и
Bя)>(е) =
где &п —семейство борелевских подмножеств в Rn, а % — мера
Лебега на Rn.
х) Употребляется еще термин «преобразование Фурье — Планшереля».—
Прим. перев.


134 ___ Гл. XI. Различные приложения
В рассматриваемом случае также можно придать теореме
Планшереля несколько более конкретную форму, если восполь-
воспользоваться полученным выше представлением характеров группы Rn.
Как легко видеть, в этой теореме утверждается, что если
f?L2(Rn), то предел
N N
g(tu ...,/п)-BяГ1/211т \ ... \ f(xu ...,xn)x
X ехр { — i Ум + ... + tnxn)}dxi ... dxn
существует в смысле сходимости по норме в L2(Rn) и опреде-
определяет в этом пространстве унитарный оператор, обратный к кото-
которому задается формулой
N N
/(*i, ...,*п) = BяГ7г/2Нт \ ... \ g(ti, ...,tn)x
X ехр {/ Ум + ... + tnxn)} dti ... dtn.
При этом последний предел также существует в смысле сходи-
сходимости по норме в L2(R ).
Ясно, что и остальные утверждения теоремы 21 можно
обобщить на случай нескольких переменных, но мы не будем
здесь входить в детали. Вместо этого укажем, как можно
использовать теорему Планшереля в случае двух переменных
для того, чтобы получить некоторые сведения относительно
преобразования Ганкеля. Воспользуемся полярными координатами
/% 0 на плоскости и рассмотрим функции F из L2 (R2) специального
вида F(x, y) = f(r)einQ, где п — целое число. Так как
сю со 2Я со со
j \F(x, y)\*dxdy=\\ |/(r)|2rdrde = 2nJ r\f(r)\*dr,
0 0 0 )
то преобразование Un, определенное соотношением
1 f tV*2 + Уl pin arctgdz/ac)
представляет собой изометрический изоморфизм пространства
12@, оо) на некоторое (необходимо замкнутое) подпространство Ж
пространства L2(R2). Преобразование Фурье G функции F имеет
вид
G (м, я) = lim у- \\ f (г) ё^ e-*(*u+i/«) dx dy,


3. Алгебры со сверткой 135
где предел берется в смысле сходимости по норме в L2(R2)>
Вводя полярные координаты a = scos(p, u^ssincp, получаем
хи + yv = rs cos @ —ф), так что
R 2я
G(u, и)-lim J- [f(r)rdr\ e-Ur«coB<e-q»-ne>dee
R-+oo M J I
После подстановки в' = в — Ц) + (п/2) и упрощений имеем
К 2л:
G(a, и) = -^-( — *VV lim \" / (r) r dr ? в*(»в'-»sin e'> d9r.
2я й i i
С помощью бесселевой функции Jn порядка n,
2я
о
можно записать G(a, у) в виде
к
G (и, v) - lim (- ie^)n \ rf (r) Jn (rs) dr,
а применяя изометрический изоморфизм f/n, введенный выше,
получаем
G (a, t;) = lim ]/~Ъх Г" (UngR) (и, v),
К-»оо
где
R
gR(s) = sV^ rf(r)Jn(rs)dr.
о
Таким образом, полагая f(r) = rL^f(r) и
R
(Hnf) (s) = lim \ (rsI/2 4 (rs)f(r\dr,
видим, что предел, определяющий Нп, существует в смысле
сходимости по норме в L2@, оо) и что Нп=- i^U^KUn, где /С
обозначает преобразование Фурье. Далее, формулу обращения
преобразования Фурье можно интерпретировать как утверждение,
что К2 = М, где (Mf)(x,y) = f( — x, —у). Так как
М (/ (г) ein*) = f (г) ??™(е+я) = (_ 1 )п дг) ^яе>
то [/п1М[/7г-( — \)п1. Таким образом,
Это доказывает следующую теорему.


136 Гл. XL Различные приложения
23. Теорема. Пусть f принадлежит пространству L2@, оо)
функций, интегрируемых с квадратом по мере Лебега. Тогда
предел
R
(//„/) E) = liin \ (rsf2 Jn (ГЗ) f (Г) dr
существует в смысле сходимости по норме в L2@, оо) и преоб-
преобразование Ганкеля, определенное этой формулой, представляет
собой изометрический изоморфизм пространства L2@, оо) на
себя, причем обратное к Нп преобразование совпадает с Яп.
В гл. XIII мы обобщим этот результат на нецелые значения п
и покажем, как можно получить более сложные унитарные пре-
преобразования такого типа.
4. Теоремы замкнутости
Как и в предыдущем параграфе, буквой R будем обозначать
недискретную локально бикомпактную абелеву группу, а интегри-
интегрировать всегда будем по мере Хаара на этой группе. В следст-
следствии 3.2 было отмечено, что комплексное В-пространство LX(R)
является коммутативной Я-алгеброй1) с операцией свертки в ка-
качестве умножения. В настоящем параграфе мы изучим эту алгебру
с целью дать представление о теоремах замкнутости, группирую-
группирующихся вокруг знаменитой теоремы Норберта Винера (теорема 7),
в которой утверждается, что необращение в нуль преобразования
Фурье функции из Lx (R) есть необходимое и достаточное условие
того, что линейные комбинации сдвигов этой функции всюду
плотны в Li (R). Эта теорема Винера о замкнутости приобретает
особое значение, если ее интерпретировать как теорему тауберова
типа; такого рода приложения можно найти в § 5. Более глубо-
глубокое представление о теории замкнутости в L4 можно получить
при изучении задачи Берлинга о возможности спектрального
синтеза, которая также обсуждается в настоящем параграфе.
Проблема спектрального синтеза состоит в том, чтобы узнать,
содержится ли заданная ограниченная и измеримая на R функ-
функция ф в Li-замкнутом линейном подпространстве пространства
LooiR), порожденном теми характерами группы R, которые
принадлежат Li-замкнутому подпространству пространства Loo (R),
натянутому на всевозможные сдвиги функции ср. Анализ этой
г) Точнее, полной нормированной алгеброй; ?*алгеброй L4 (R) становится
после присоединения единицы.— Прим. перев.


4. Теоремы замкнутости 137
задачи приводит к результатам, более общим, чем первоначаль-
первоначальная теорема Винера о замкнутости; см. теорему 21.
Изучение свойств замкнутости в Li (R) будет основано на
рассмотрении двух тесно связанных коммутативных алгебр one-
раторов в гильбертовом пространстве L2(R). С одной из этих
алгебр—с алгеброй Я предыдущего параграфа—мы уже встреча-
встречались раньше. Для удобства мы повторим здесь ее определение
и некоторые свойства. Дли каждой функции / из Li(R) свертка
(/•*> (х) - \f(x-//) g (у) dy, g 6U (Rh
задает в гильбертовом пространстве L2(R) ограниченный линей-
линейный оператор T(f)\
Свертка f*g определена также и тогда, когда обе функции /, g
принадлежат Li (R), но в этом случае она . содержится в Li (/?),
а не обязательно в L2(R). Комплексное ^-пространство Li(R)
является коммутативной нормированной алгеброй с операцией
свертки в качестве умножения, и отображение f—>T{f) пред-
представляет собой непрерывный изоморфизм алгебры Lt (R) в алгебру
B(L2{R)) ограниченных линейных операторов, действующих
в L2(R). Ни алгебра T(Li(R)), ни ее замыкание T(Li(R)) в равно-
равномерной операторной топологии не содержат единицы / алгебры
B(L2(R)). Алгебра §Г есть по определению В-алгебра, получаю-
получающаяся присоединением единицы / к Т (Lt (/?)). Ее элементы имеют
вид а/ + Д где А принадлежит Т (U (R)). Эта алгебра 31 является
также Л*~алгеброй, и для / из Li(R) гильбертов сопряженный
оператор к Т (f) задается соотношениями
Если для каждой функции / из Ц (R) определить новую норму
оператора Г(/), полагая |Г(/)|1==|/|1, где |/|i — норма функции /
в Li(R), то алгебра T(Li(R)) с такой нормой изометрически
изоморфна Li (R) и, таким образом, удовлетворяет всем аксиомам
В-алгебры, за исключением существования единицы. Единицу /
можно присоединить, как это описано в § IX. 1, рассматривая
все пары (а, Т(/)), где а принадлежит полю комплексных
чисел Ф, а / — функция из Li(R). Обозначим эту алгебру пар
(a, T(f)) с нормой
через $i. Поскольку подалгебры алгебры S8lu состоящие из эле-
элементов вида (а, 0) или @, Т (/)), эквивалентны соответственно


138 Гл. XI. Различные приложения
алгебрам Ф и T(Li(R)) с 1гнормой, то можно иногда вместо
(a, T(f)) писать aI + T(f). Таким образом, символу (а, Г(/)), или
aI + T(f), где / принадлежит L^R), можно сопоставить две
нормы: одну как элементу алгебры 21, а другую как элементу
алгебры 9^. Эти две нормы связаны неравенством
Доказательства предыдущих утверждений можно найти в на-
начале § 3.
Буквы оМ, qMi мы будем употреблять для обозначения струк-
структурных пространств алгебр 21, Ш± соответственно. Буквой т будем
обозначать естественное гомоморфное отображение коммутативной
В-алгебры в пространство всех непрерывных функций, опреде-
определенных на ее структурном пространстве (IX.2.9). Так как 21
является Б*-алгеброй, то отображение т:91—>С(оМ) представляет
собой изометрический *-изоморфизм алгебры 21 на всю алгебру
С(оМ) (IX.3.8). Напомним (IX.2.2), что для любой коммутативной
В-алгебры 21 существует взаимно однозначное соответствие
между ее максимальными идеалами и ненулевыми гомоморфиз-
гомоморфизмами в поле комплексных чисел. Это соответствие задается
равенством
Н(х) = (тх)(т),
где Я —гомоморфизм алгебры 21, отвечающий максимальному
идеалу т. Такой гомоморфизм непрерывен (следствие IX.2.3).
Поскольку как для 21, так и для З^ любой ненулевой гомомор-
гомоморфизм Я в поле комплексных чисел непрерывен, причем //(/)= 1,
то он полностью определяется своими значениями на элементах
вида T(f), где f^Li(R). Таким образом, каждое из пространств
<М, oMi имеет бесконечно удаленную точку роо, соответствую-
соответствующую гомоморфизму Я, который определяется равенствами
я(/) = i,
Итак, если р — какая-нибудь точка, отличная от роо, то
(хТ (/)) (р) Ф 0 для некоторой функции / из Li(R). Как и раньше,
иногда нам будет удобно употреблять символ сМ0 для обозна-
обозначения множества Jk — {poo}.
1. Теорема. Структурные пространства алгебр 21 и %± гомео-
морфны, причем этот гомеоморфизм задается отображением,
сопоставляющим каждому максимальному идеалу алгебры 21 его
пересечение с Sd.
Доказательство. Это доказательство удобнее провести в тер-
терминах нетривиальных гомоморфизмов в поле комплексных
чисел, а не на языке максимальных идеалов. Если Я —такой


4, Теоремы замкнутости 139
гомоморфизм алгебры И, то его сужение //i = //1 Hi является
нетривиальным гомоморфизмом алгебры 911 в Ф. Таким образом,
отображение Н—> Ht определяет отображение о/И в оМ^ Поскольку
оба эти гомоморфизма непрерывны (IX.2.3) и Si всюду плотно
в 21, это отображение взаимно однозначно. Чтобы убедиться
в том, что множество его значений совпадает со всем оМи рас-
рассмотрим какой-нибудь ненулевой гомоморфизм #i алгебры 2Ii.
Если Hi(T(f)) = 0 для всех / из It (Я), то #t является суже-
сужением гомоморфизма Я алгебры 91, определенного равенством
Н(а1 + А) = а. Если Hi(T(f)) не обращается в нуль тождест-
тождественно для всех / из Lt(jR), то, как было показано в первой
части доказательства теоремы 3.11, существует такой непре-
непрерывный характер h группы R, что
Hi(T{f))=lh(x)f(x)dx,
R
В той же теореме 3.11 показывается, что этот характер опреде-
определяет гомоморфизм алгебры Я, сужение которого на Я4 совпа-
совпадает с #!. Итак, Н—>Hi = H\4Hi порождает взаимно однозначное
отображение пространства оМ на все оМ^ Далее, по определению
{IX.2.7) базисы открытых множеств в Л, о/И± строятся при помощи
всевозможных конечных множеств элементов из Я, 214 соответ-
соответственно, так что непрерывность отображения qM—>qMi вытекает
непосредственно из определения топологии во!и oJll^ Поскольку
эти пространства бикомпактны (IX.2.8), из леммы 1.5.8 сле-
следует, что отображение qM—>qMi является гомеоморфизмом, ч. т. д.
В силу теорем 1 и 3.15 структурное пространство алгебры Si
гомеоморфно бикомпактному расширению R [} {р<х>} группы харак-
характеров группы R. Обозначение R [} {р<х>} оправдывается тем, что
при указанных в теоремах 1 и 3.15 гомеоморфизмах пространств
<М, oMi и ?и{Р«>} «бесконечно удаленные точки» этих про-
пространств переходят друг в друга. Часто нам будет удобно считать
эти пространства отождествленными посредством указанных
гомеоморфизмов.
Если пространства с//, Л± и R [} {роо} отождествлены при
помощи этих гомеоморфизмов, то функция (тГ(/))(т), которая,
как показано в предыдущем доказательстве, для некоторого
непрерывного характера h группы R задается интегралом
\ h{x)f(x)dx, принимает в точке т одно и то же значение неза-
k
висимо от того, рассматривается T(f) как элемент алгебры Я
или Hi. Таким образом, в то время как в символе Т (f) все еще


140 Г л, XL Различные приложения
заключена некоторая неопределенность, поскольку его норма
может быть определена только после указания той из алгебр 9Г>
9ti, элементом которой мы его считаем, такое указание относи-
относительно символа rT(f) не является больше необходимым. Так как
xT(f) зависит лишь от /, то нам будет иногда удобно обозначать
эту функцию символом т/ или /. Таким образом, отображение
f—>} является изоморфизмом между алгеброй Li(R) со сверткой
в качестве умножения и некоторой подалгеброй алгебры С(оМ) =
г СИО ^C(R[J{poo}).
2. Лемма. Пусть точка рФр<*> принадлежит дополнению
бикомпактного подмножества С пространства а/М. Тогда най-
найдется такая функция f из Lt (R) f) L2 (R) и такая окрестность N
точки р, что
Доказательство. Будем считать, что пространство оМ отожде-
отождествлено с бикомпактным расширением R [} {р«>} группы характе-
характеров. Допустим сначала, что р = 0, и выберем окрестность W
точки 0 так, что ее замыкание бикомпактно, не содержит р<х>
и не пересекается с С. Пусть V—такая окрестность 0, что
— V V и V | V-\ V ^W. Пусть gx, g2—-характеристические
функции множеств V, V-\ V соответственно, a fi —мера, введен-
введенная в лемме 3.6. Из этой леммы следует, что |л(\^)<оо,
и потому функции gu g2 принадлежат L2(^, &&, |а), где ^ — се-
семейство борелевских подмножеств в R. По теореме Планше-
реля C.9) функции ht^x^gu i"=l, 2, принадлежат L2(RI так
что функция h, определенная на R равенством h(x) = hl(x)h2(x),
принадлежит Ь{ (R). Из теоремы 3.9 (Ь) вытекает, что E(W)ht = ht;
следовательно, по лемме 3.5 функция h непрерывна и ограничена
и потому принадлежит L2(R). Далее,
h (т) ~* \ [х, т\ ftt (x) h2 (x) dx.
п
Пусть #i,m — сдвиг функции gu определенный соотношением
ё\,т(ч) ё\(Я + !п). Тогда, применяя лемму 3.18, находим, что
(^gi, m) (x) = [х, —т] (т^) (х) - [х, т] ht (x);
таким образом, поскольку отображение т унитарно,
ft (m) = \ (тГ1^, m) (x) (t *g2) (x) dx= \gi(q + m) g2 (q) \i (dq).
<з t)


4. Теоремы замкнутости 141
Если m?V, то gi (q + m)g2(q) •-- g\ (q + m), так что из теоремы
3.19 следует, что (т/г)(т)- \л(V) при m?V. Если m$V + V + V,
то подинтегральное выражение обращается в нуль, поэтому
h(m) = 0 для таких т; в частности, Л(т) = О для всех т из С.
Для всех q и т имеем g\ (q \fn)g2(q)<gi(q + m), и так как
мера ц, инвариантна, то
А ('/!)<- \e\(q \-m)\L(dq)==\L(V).
Беря в качестве / функции) h/\i(V), получаем утверждение леммы
для р = 0. Справедливость леммы п общем случае вытекает
из предыдущего и из тождества
которое было доказано в лемме 3.18.
3. Лемма. Пусть СА, С2 — непересекающиеся бикомпактные
подмножества пространства оМ, причем роо$С2. Тогда в
Li (R) П L2 (R) существует такая функция /, что
Доказательство. Согласно предыдущей лемме, для каждой
точки р из С2 найдется такая окрестность Np и такая функция /р
из Li (R) П L2 (R), что /р обращается в нуль на С4> тождественно
равняется 1 на Л/р и 0</р(т)<1 для всех т. Так как С2
бикомпактно, то имеется такой конечный набор Д, ..., /Л функ-
функций из Li(R) (]L2(R), что соответствующие этим функциям окрест-
окрестности #i, ..., Nn покрывают С2. Функция f = fl-\-f2 — fi*f2 при-
принадлежит Li (/?) П ^2 (^)» причем
Ясно, что, повторив этот процесс конечное число раз, мы полу-
получим функцию, обладающую желаемыми свойствами.
4. Теорема. Пусть функции fug интегрируемы на R,
и пусть С — бикомпактное подмножество пространства оМ,
не содержащее бесконечно удаленной точки. Если g обращается
в нуль на дополнении к С, a f ни в одной точке множества С
не равняется нулю, то существует такая интегрируемая функ-
функция h, что g = f*h.


142 Гл. XL Различные приложения
Доказательство. Так как t является *-изоморфизмом между %
и С {Л), то из леммы 3.1 (с) следует, что т7= т/, так что
т(/*/)(т) = |/(т) |2. Таким образом, *(/*/) (т)>е для некоторого
положительного числа 8 и всех точек т из некоторой окрест-
окрестности N множества С. Из предыдущей леммы вытекает, что
в Li (R) П L2 (R) найдется такая функция k, что
Следовательно, k(m) g(m) = g(m) для всех т из о/К, а так как ото-
отображение / —>} представляет собой изоморфизм, то k*g = g.
Так как r(I + T(~k+f*f)(m)>0 для всех т из о#, то оператор
1 + Т(—&+/*/) не принадлежит ни одному максимальному идеалу
алгебры Sti, и потому по лемме IX. 1.12 (е) в 211 найдется
обратный к нему элемент al~\-T(a). Таким образом, для всех m
из <М
k(m) + f(m)f(m))g(m) -
откуда следует, что функция /z, определенная равенством
h = af*g + a*f*g, обладает тем свойством, что g(m) = h(m)f(m)
для всех /п из о#. Так как отображение f—>f является изомор-
изоморфизмом, то это означает, что g = h*f, ч. т. д.
5. Лемма. Множество функций f из L^(R), для которых f
обращается в нуль в окрестности бесконечно удаленной точки г
всюду плотно в L{ (R).
Доказательство. По лемме 3.6 множество всех функций
из L2{R, 9B, ji), равных нулю вне бикомпактных множеств, всюду
плотно в этом пространстве, а по теореме Планшереля множества
всех функций / из L2(R), для которых / обращается в нуль
всюду, за исключением некоторого бикомпактного подмно-
подмножества в R, плотно в L2(R). Так как [/, g]—>fg является непре-
непрерывным отображением пространства L2(R)x L2(R) на все про-
пространство Li(R), то множество произведений /g, где / и g —
такие функции из L2(R), что их преобразования / и g обращаются
в нуль вне некоторых бикомпактных подмножеств R, всюду
плотно в Li(R). Итак, для завершения доказательства доста-
достаточно показать, что если /, g?L2(R) и /, g обращаются в нуль
вне бикомпактного множества С е R, для которого С=—С, то
x(fg) равно нулю вне бикомпактного множества С-\-С. В силу


4. Теоремы замкнутости 143
теоремы Планшереля отображение т унитарно, и потому из леммы
3.18 следует, что
*(fg)(т) = \ [хГт] f (x)g№dx = J /(р + m)g(p)|i(dp).
Доказательство закончено, так как подинтегральная функция
равна нулю, если только т не принадлежит множеству С-\~С.
Напомним, что г/-сдвиг fy функции / на R определяется
равенством fy(x) = f(x — y). Говорят, что множество функций
на R замкнуто относительно сдвигов, если для каждого у из R
функция fy принадлежит этому множеству всякий раз, когда
ему принадлежит функция /.
6. Лемма. Замкнутое линейное многообразие, порожденное
всевозможными сдвигами функций из некоторого множества
S ^ Li (/?), совпадает с замкнутым идеалом алгебры Li (R)>
порожденным множеством S.
Доказательство. Заметим сначала, что если f,g^Li(R)
и cp?Loo(i?), то функция ср (*)/(* — y)g(y) является X хЯ-интегри-
руемой, так что
(I) J <p(x)(f*g)(x)dx=l <p(x) {[ f(x-y) g(y)dy} dx =
R R R
= J g(y) {\ q>(x)f(x-y)dx\dy.
R R
Пусть теперь й —замкнутое линейное многообразие, порожден-
порожденное сдвигами функций из S, а 3 — наименьший замкнутый идеал
в Ь^ (/?), содержащий S. Из инвариантности меры Я относительно
сдвигов следует, что S замкнуто относительно сдвигов. Пусть
F — непрерывный линейный функционал на Z-± (/?), равный 0 на S,
и пусть ф —ограниченная измеримая функция, представляющая F
(IV.8.5); пусть / — какая-нибудь функция из S. Тогда, так как
г»
О — Ffy= \ ф (х) f (x — y) dx, из равенства (I) следует, что
R
F(f*g)~O для любой функции g из Li(R). Отсюда в силу след-
следствия II.3.13 получаем, что f*g?? для любой функции g
из Х^ (/?), а это означает, что S является идеалом; итак, S^Q.
Обратно, пусть / принадлежит замкнутому идеалу Q алгебры
Li(R), a F — непрерывный линейный функционал, равный 0 на д.
Тогда если функция ф представляет /% то
<p(x)(f*g)(x)dx = 0,


144 Гл. XI. Различные приложения
Из равенства (I) следует, что функция \ y{x)f(x — y)dx равна О
R
для почти всех у из R, а так как она непрерывна по у (лем-
(лемма 3.1 (d)), то равна 0 для всех у из R. Таким образом, в силу
следствия П.3.13 все сдвиги функции / принадлежат 3> т- е-
идеал 3 инвариантен относительно сдвигов. Это показывает,
что 3 — ?, и завершает доказательство леммы.
—-> 7. Теорема (теорема Винера о Li-замкнутости). Линейные
комбинации сдвигов функции f из Li(R) всюду плотны в Li(R)
тогда и только тогда, когда ее преобразование f не равно нулю
ни в одной точке группы характеров группы R.
Доказательство. Пусть 2 — замкнутое линейное подпростран-
подпространство, натянутое на сдвиги функции / из Li(R); допустим, что
1(т)фО для каждой точки т из <М, отличной отроо. Тогда ?
замкнуто относительно сдвигов и по предыдущей лемме является
идеалом. Если g — такая функция из Li(R), что g обращается
в нуль на дополнении некоторого бикомпактного подмножества
в Мо, то по теореме 4 в Li(R) найдется такая функция А, что
g = /*A. Это показывает, что 8 содержит любую такую функ-
функцию g. Из леммы 5 следует, что S = Li (/?).
Обратно, предположим, что линейные комбинации сдвигов
функции / из Li (R) всюду плотны в Li (R), и допустим, что
/(/тг) = О для некоторой точки тфроо. По лемме 6 функции вида
h=.f*g, где g?Li(R), всюду плотны в Li(R), ибо они образуют
идеал, который в силу очевидного соотношения fy*g = f*gy
содержит все сдвиги функции /. Для такой функции А имеем
h(m) = f(m)g(m) = 0, откуда в силу непрерывности отображения
А—>А следует, что А(т) = 0 для всех А из Li(R). Поскольку
тфрос, это противоречит лемме 2; доказательство закончено.
8. Теорема. Если S — собственное замкнутое линейное подпро-
подпространство в Li (R), инвариантное относительно сдвигов, то в R
найдется такая точка т, для которой /(т) = 0 для всех f из ?.
Доказательство. Допустим противное. Пусть С —бикомпактное
подмножество в R, a g — функция из Li(R), преобразование
которой g равно нулю на дополнении к С. По предположению
для каждой точки р из С в S найдется такая функция />
что fp(p)=^=O. Так как Й —идеал (лемма 6), то fp*fp принадле-
принадлежит S, а поскольку т(/р*/р) (т) = \ fp(m)\2, можно считать,
что функции /р выбраны таким образом, что /р(т)>0 для всех


4. Теоремы замкнутости 145
т из R. Пусть Np — окрестность точки р, на которой функция fp
положительна. Так как С бикомпактно, то конечное число этих
окрестностей NP,...,NP покрывает С. Функция / = /Pi+...
• • • +fvn принадлежит Й и /(m)>0 на С. По теореме 4 в Li(R)
существует такая функция А, что g = f*h. Из леммы 6 следует,
что g принадлежит й. Так как g и С были взяты произвольно,
то по лемме 5 Й = Li(R), что противоречит условию теоремы.
Следующий результат можно рассматривать как двойственный
к только что доказанному.
9. Теорема. Ненулевое линейное подпространство простран-
пространства Loo(R), инвариантное относительно сдвигов и Li(R)-3aMKHy-
тое в Loo(R), содержит по крайней мере один характер группы R.
Доказательство. Пусть $— подпространство в Loo(R), обла-
обладающее указанными свойствами, и пусть S —сопряженно-орто-
—сопряженно-ортогональное дополнение к Ж, т. е. множество всех h из Li (R),
для которых
(I) J hJx)<p(x)dx = 0
R
при всех ф из й. Так как S содержит ненулевые векторы,
то й —собственное подпространство пространства Li(R). Из ин-
инвариантности й следует, что если ftgfi и ср?й, то ср_у?$ и
О = \ h(x) ф-у (х) dx == ^ h(x) cp
R R
= ^ h(x-y)q) (x) dx^\^ hy (x) ф (х) dx,
к к
а это означает, что hy принадлежит S, и доказывает инвариант-
инвариантность й относительно сдвигов. В предыдущей теореме доказы-
доказывается, что в R найдется такая точка т0, что h(mo) = O для
всех h из й. Кроме того, так как $ замкнуто в Lco(R) относи-
относительно ^1(^)-топологии, то из следствия V.3.12 вытекает, что Й
является сопряженно-ортогональным дополнением к й, т. е. если
равенство (I) справедливо для некоторой функции ф из Loo(R)
и всех h из й, то ф принадлежит Ж. Таким образом, если
hm0 = [ •» Щ] — характер, соответствующий точке т0 (теорема 3.11),
то для любой функции h из й
О == h (т0) = \ h(х) [х, т0] dx=\h (х) [х, т0] dx,
R R
откуда следует, что характер [-,т0] принадлежит й, ч. т. д.
10 Заказ Ка 134


146 Гл. XL Различные приложения
Только что доказанная теорема показывает, что если ограни-
ограниченная и измеримая на R функция ф отлична от нуля на неко-.
тором множестве положительной меры, то в Li-замкнутом линейном
подпространстве &(ф) пространства ?«>(/?), порожденном сдвигами
функции ф, содержится по крайней мере один характер груп-
группы /?. Проблема спектрального синтеза для -функции, постав-
поставленная А. Берлингом, состоит в определении того, содержится
ли функция ф в Li-замкнутом линейном подпространстве прост-
пространства Loo(R), натянутом на характеры, принадлежащие й(ф).
Хотя это не всегда имеет место, мы увидим, что иногда это
справедливо. В определении 10 вводится основное понятие, кото-
которым пользуются при изучении проблемы спектрального синтеза.
10. Определение. Спектральным множеством <т(ф) ограничен-
ограниченной измеримой функции ф на R называется множество всех
характеров группы /?, содержащихся в Li-замкнутом подпрост-
подпространстве й(ф) пространства L<x>(/?), порожденном сдвигами функ-
функции ф.
Следующая лемма содержит некоторые элементарные свой-
свойства спектральных множеств, которыми мы будем пользоваться
при изучении спектрального синтеза.
11. Лшмл. Пусть ф и ур —функции из Loo(R), a—комплексное
число, ф„ (л-):.- ф (х ~ //) и ф(*)^=ф( — х) при х, y?R. Тогда
(а) спектральное множество а (ф) является замкнутым подмно-
подмножеством в R, причем оно пусто тогда и только тогда, когда
(b) ^
(c) а(<р„) = а(ф), а(ф) = а(ф);
(d) если [•, т]—характер группы R, то
(е)
Доказательство. Из теоремы 9 следует, что а(ф) пусто тогда
и только тогда, когда ф^=0. Чтобы убедиться в том, что а(ф)
замкнуто, рассмотрим в Li(R) сопряженно-ортогональное допол-
дополнение ?(ф) к й(ф). По следствию V.3.12 характер т из R тогда
и только тогда принадлежит а(ф), когда
(I)
Так как функцияа/ непрерывна, то множество {m\m?R, f(m) = 0}
замкнуто; поэтому множество а (ф), представляющее собой пере-
пересечение таких множеств по всем /??(а>), также замкнуто. Это


4. Теоремы замкнутости 147
доказывает (а). Утверждения (Ь) и а(сру) = а(ср) очевидны, так
как они следуют непосредственно из определения подпростран-
подпространства й(ф), согласно которому $(ф) = й (аф)== $(фу). G помощью
простой выкладки получаем, что /??(ф) тогда и только тогда,
когда /??(ф)> а так как нули функций т/ и т/ совпадают, то,
учитывая равенство (I), убеждаемся в справедливости утвержде-
утверждения (с). Положим теперь if (х) = [х, т] ф (х), так что / ?? 0ф)
тогда и только тогда, когда [•, т]/(-) принадлежит ?(ф). Таким
образом, используя условие (I), получаем, что т± принадлежит
а(ф) тогда и только тогда, когда
, ml][xym]f(x)dx =
Очевидно, что это равносильно тому, что mi + m?a(i|)), т. е.
сг(ф) + т = а(г|з). Утверждение (d) доказано.
Пункт (е) мы докажем от противного, предполагая, что
в а(ф + ;ф) имеется точка т, не принадлежащая ни одному из
спектральных множеств а (ф), а(г|)). Из условия (I) следует, что
найдутся такие функции /, g из ?(ф) и S(i|)) соответственно,
что /(m)=?0, g(m)^0. Положим h = f*g, так что h (m) =
= f(m)g(m)=f=0. Так как fg 2(ф), то
R R
R R
Итак, /*??(ф). Аналогичным образом убеждаемся в том, что
AfS(f); следовательно, ^бй(ф + 'Ф)- Так как m принадлежит
а(ф + г|)), то из условия (I) получаем, что h (m) — 0. Противоречие.
Лемма 12 связывает понятие спектрального множества с опе-
операцией свертки.
12. Лемма. Пусть y?Loo(R) и f^Li(R).
(a) Характер т принадлежит а(ср) тогда ^ только тогда,
когда g(m) = 0 для тех g из Li(i?), Зля которых ?*ф = 0.
(b) а(/*ф)са(ф),
10*


148 Гл. XL Различные приложения
(с) Спектральное множество а (/ * ф) не пересекается ни с одним
открытым множеством в R, на котором f обращается в нуль1).
Доказательство. Функция /*ф ограничена и непрерывна
(лемма 3.1 (d)), так что утверждения, которые должны быть
доказаны, имеют смысл. Чтобы доказать (а), заметим сначала,
что й^ф — О тогда и только тогда, когда функция g принадле-
принадлежит подпространству ? (ф), представляющему собой сопряженно-
ортогональное дополнение к Щц>) в пространстве Li(R). При
доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что харак-
характер т принадлежит а(ф) тогда и только тогда, когда g(m) = 0
для всех g из S (ф). Утверждение же пункта (а) состоит в том,
что т принадлежит а(ф) тогда и только тогда, когда g(m) = 0
для тех g из L\(R), для которых #?2(ф). Легко видеть, что
эти два утверждения равносильны, ибо (tg)(m) = g(m).
Пусть теперь #С&(ф). Тогда, как показано в предыдущем
абзаце, #*<(< 0. Смедоиателыю, ?*/*ф^0, так что g?&(f*q>).
Это дока.шиаег, что ?5(ф) ^ ?!(/*ф). Отсюда немедленно следует
cnpniuvi'iimorn» (b), ибо /и?ст(ф) тогда и только тогда, когда
g(m) 0 дли исех g из Я(ф), и т?а(/*ф) в том и только том
случае, когда Ц(т) 0 для всех g из #(/*ф).
Наконец, пусть /(//г) 0 дли всех т из открытого множества*
N. Пусть p?N. Применяя лемму И, выберем в Lx (R) такую
функцию й, для которой h(p)=l и h(m) — 0 на дополнении к N.
Тогда т(А*/) = А/ = О, и так как т —изоморфизм, то h*f = O.
Таким образом, А*(/*ф) = О. Так как К(р)фО, то из пункта (а)
следует, что р^о'(/*ф)» ч. т. д.
13. Теорема. Если ф — ограниченная и измеримая функция
на R, а(<р) — ее спектральное множество, a N —какая-нибудь
его окрестность, то ф содержится в Li-замкнутом линейном
подпространстве пространства Loo(/?), порожденном характе-
характерами из N. Обратно, если ф принадлежит Li-замкнутому линей-
линейному многообразию, порожденному характерами из некоторого
замкнутого множества F, то о (ф) ^ F.
Доказательство. Допустим, что ф не принадлежит /^-замкну-
/^-замкнутому подпространству, порожденному характерами из N. По след-
следствию V.3.12 в Li(R) найдется такая функция /, что f(m) = 0
х) Иными словами, а (/ * ср) не содержит ни одной точки, являющейся
внутренней для множества нулей функции f.— Прим. перев.


4, Теоремы замкнутости 149
для всех т из N и \ f(x)<p(x)dx=?Q. Так как (т/) (m) = /(m),
то (т/)(т) = 0 для всех m из N\ таким образом, из леммы 12 (с)
следует, что пересечение o(f*q>)()N пусто. По леммме 12 (Ь)
а(/*ф) ^ о-(ф) cJV, так что сгG*ф) пусто, и по лемме 11 (а)
имеем /*ф = 0. В силу леммы 3.1 (d) функция f*<p непрерывна
и потому равна 0 тождественно; в частности,
О ъ (f. ф) @) - [ Т(х) Ф (- х) dx ~\ Ш Ф (х) dx,
й к
что противоречит выбору функции /.
Для того чтобы доказать обратное утверждение, допустим,
что в о (ф) имеется характер р, не принадлежащий множеству F.
По лемме 2 в Li(R) найдется такая функция /, что
и f(m) — 0 для всех m из F. Тогда
и потому \ / (х) г|) (л:) dx = 0 для всех г|) из Li-замкнутого под-
подпространства Я, порожденного характерами из Z7. Так как
\х + у, т\ = [х, т] [#, /тг], то Li-замкнутое линейное многообра-
многообразие Я, порожденное характерами из F> инвариантно относительно
сдвигов. Таким образом, поскольку ф по предположению лежит
в Я, все ее сдвиги также принадлежат Я. Так как Я является
Li-замкнутым, то из определения 10 следует, что [-,р] принад-
принадлежит Я. Но тогда /(р)= \ f(x) [х, p]dx = 0, и мы получаем про-
к)
R
тиворечие.
В дальнейшем теорема 13 будет усилена, а именно, в теоре-
теореме 20 мы покажем, что функция ф принадлежит подпростран-
подпространству, порожденному характерами из а(ф), если граница ее
спектрального множества не содержит непустых совершенных
подмножеств. Перед тем как доказывать это, полезно получить
некоторую предварительную информацию. С этой целью мы
нводим, как это указано ниже, линейное отображение Ф про-
пространства L2(R) в L2(R). Пусть <p?Loo(R), так что для любой
функции / из L2(R) функция ф/ также принадлежит L2(/?), при-
причем |ф/|2<|ф|оо|/|2. Отображение Ф определяется для f?L2(R)


150 Гл. XI. Различные приложения
равенством Ф(/) = т(ф/). По теореме Планшереля Ф непрерывно.
Из леммы 3.18 следует, что если ф —характер т0 из R, т. е.
Ф (#)=:[*, то\, x?R, то Ф(/) представляет собой сдвиг (т/)гп0
функции т/, который задается формулой (Ф/)(т) = / (т — т0).
В следующих леммах нас будет интересовать тот частный случай,
когда функция ф из Loo(R) такова, что а(ф) = {0}.
14. Лемма. Пусть <f>?Loo(R), o(<p) = {0} и f^Li(R)[]L2(R).
Тогда функция Ф(/) равна нулю на каждом открытом подмно-
подмножестве в R, на котором f обращается в нуль.
Доказательство. Пусть I m — произвольная точка открытого
множества N, на котором / обращается в нуль, и пусть V —
такая окрестность нуля в i?, что V =—V и m + V^N. По тео-
теореме 13 найдется такая обобщенная последовательность, элемен-
тами которой являются линейные комбинации фа(#)= 2 сг l*> mt\
г=1
характеров [-,/П/], m^V, что
(О \ Ф W g M dx = lim \ фа (х) g (x) dx, g^Lt (R).
Так как tn + V- -т~~ V ^ N, то m — mi^N, откуда следует, что
для линейного оператора Фа, соответствующего функции фа,
равенство (Фа/) (т)—0 выполняется при всех а. Из равенства (I)
получаем
= lim \ [xy m] фа (x) f (x) dx = lim (Фа/) (m) = 0,
т. е. Ф/ обращается в нуль в произвольной точке т из Л/, ч. т. д.
15. Лпммл. Пусть функция ф из Loo (R) такова, что ст(ф) = {0}.
Тогда существует такое комплексное число а, что
любого открытого в R множества V, замыкание которого
бикомпактно.
Доказательство. Из леммы 3.6 (I) вытекает, что |i(V)<oo;
таким образом, как было отмечено в замечании, следующем
за доказательством этой леммы, для каждого целого положи-
положительного п найдется такое открытое множество Un ^ V, что
Un^V и \i(V(]U'n)<lln. Можно считать, что UnsUn+u


4. Теоремы замкнутости 151
/1=1, 2, По лемме 3 в Li(R)C\L2(R) существуют такие
функции fn, что fn обращаются в 0 на дополнении к V, fn (т) == 1
для m^Un и все значения fn заключены между 0 и 1. Ясно,
что последовательность {}п} стремится к %v по норме в L2(R),
так что (Ф(/п)} сходится в этом же пространстве к Ф(т~1ху).
По следствию III.6.13 (а) некоторая подпоследовательность этой
последовательности сходится почти всюду, и потому можно счи-
считать, что {Ф/n} сходится почти всюду к ФОг1^)-
Так как }п обращается в 0 на дополнении к V, то из пре-
предыдущей леммы следует, что Ф/Л также обладает этим свойством
(нужно учесть, что V бикомпактно, а функция Ф/?1 непрерывна,
ибо fn^Li(R)). Покажем, что функция Ф[п постоянна на Un.
Пусть ти m2€Un. По лемме 3.18 функции gn и g'n, определен-
определенные на R соотношениями gn (х) == [х, raj fn (х) и gn (х) = [х, т2] fn (x),
имеют преобразования gn (т) = fn (т + т^ и g'n(m) = fn(m + m2)>
Из той же леммы и из замечания, предшествующего лемме 14,
следует, что (Ogn) (т) = (Ofn) (т + т^ и (Ф^) (т) = (Ф/Л) (т + т2)
для всех т. Таким образом,
* (gn — gn) (m) = fn (m + rrii) —fn (m + т2) = О,
если только т принадлежит пересечению W множеств Vn — tn^
и ип — ш2. Понятно, что W — окрестность нуля в R. Таким обра-
образом, из леммы 14 следует, что (Ogn) {т) = (Ф^п) {т) для всех т
из W, а это означает, что (Ф/п) (т + т^ = (Ф/л) (Щ + т2) при
m?W, и, следовательно, a fortiori, (Ф/л)(т1) = (Ф/п)(т2). Итак,
доказано, что функция Ф/п равна 0 на дополнении к V и постоян-
постоянна на Un-
Так как разность fn+i — fn равна 0 на [/л, то Ф/п+1 = Ф/л
на f/n (лемма 14). Таким образом, существует такое комплексное
число av, зависящее, быть может, от V, но не зависящее от я,
оо
что (Ф/д) (т) ¦-- av для каждого т из (J f/n при всех достаточно
п=1
больших п. Итак, для почти всех т
4 (Фт-V) И - Игл (Ф/п) (m) - avXv (m).
п
Осталось доказать, что число а^ на самом деле не зависит
от открытого множества V. Если f^Ll(R)[]L2(R), а f = OHa
дополнении к V и / (т) = 1 для всех т из открытого подмноже-
подмножества Vo множества V, то приведенное выше рассуждение пока-
показывает, что (Ф/)(т) = ау Для всех m из Vo, а потому ayo = cty.
Пусть теперь Vi — произвольное открытое подмножество в R


152 Гл. XI. Различные приложения
с бикомпактным замыканием. Тогда из только что доказанного
утверждения следует, что av1 = 0LV\jVl = aVi т. e. av не зависит
от V, ч. т. д.
16. Теорема. Если спектральное множество ограниченной
измеримой функции ср состоит из единственной точки т, то
существует такое комплексное число а, что ср(х)=--а[х, т] для
почти всех х из R.
Доказательство. В силу леммы 11 (d) достаточно доказать
теорему для т = 0. В этом случае предыдущая лемма дает такое
а, что
(I)
для каждого открытого множества Ус^с бикомпактным замы-
замыканием. Поскольку всякое бикомпактное подмножество в R
содержится в некотором открытом множестве с бикомпактным
замыканием, то из замечания, сделанного после доказательства
леммы 3.6, следует, что равенство (I) справедливо для любого
открытого множества конечной меры. Тогда из регулярности
меры \i вытекает справедливость его для любого борелевского
подмножества в $ конечной меры. Так как тфт/ линейно
и непрерывно зависит от /?L2(/?), то тфт/^»/ и ерт/ = ат/.
для всех / из L2(R). Следовательно, ср(*) = а для почти всех х
из R, ч. т. д.
17. Следствие. Если преобразование т/ функции f из LX(R)
равно 0 в точке щ, то f представима как предел в Lt (R) такой
последовательности {/д}, что каждая из функций xfn равна 0
в какой-нибудь окрестности точки т0.
Доказательство. Пусть ? — замыкание множества всех таких
функций h из Li (R), для которых преобразование т/г равно 0
в какой-нибудь окрестности точки т0. Покажем, что / содер-
содержится в Я.
Если #?#, то найдется такая сходящаяся к g последова-
последовательность {gn}> что каждая из функций gn равна 0 в какой-
нибудь окрестности точки т0. Тогда h*gn •—> h*g для любой
функции h из Li(R), а так как т (h * gn) = hgn, то h*g принад-
принадлежит S, так что 8 является идеалом. Из леммы 6 следует, что
идеал И замкнут относительно сдвигов. Поэтому Ж, сопряженно-
ортогональное дополнение к ? в ?«>(#), также замкнуто отно-
относительно сдвигов. Далее, [•, т0] — единственный характер, при-
принадлежащий Ж, так как если тфт0, то по лемме 3 в Li(R)
найдется такая функция g, что ее преобразование g равно О


4. Теоремы замкнутости 153
в окрестности га0, а в точке т отлично от 0. Но тогда [•, т]
не принадлежит Ж, так что [•, т0] — действительно единственный
характер из Ж. Из предыдущей теоремы следует, что Ж состоит
из функций, отличающихся от [ •, т0] лишь скалярным множи-
множителем. Так как /(то) = О, то / принадлежит сопряженно-ортого-
сопряженно-ортогональному дополнению к Ж, которое по следствию V.3.12 совпа-
совпадает с ?, ч. т. д.
18. Следствие. Пусть т0 — точка множества R. Тогда в Li(R}
существует такая обобщенная последовательность {/га}, что
^а(^о)=1» |^a|i=l для всех а и ha*f —> 0 в Li(R) для тех
функций f из Li(R), для которых f(mo) = O.
Доказательство. Пусть V — окрестность нуля в R с биком-
бикомпактным замыканием, и пусть W— такая окрестность нуля, что
W=—W и W+W ^V. Тогда характеристическая функция %w
принадлежит L2(R) и имеет норму | %w 12 = ^ (WI/2. Из теоремы
Планшереля следует, что неотрицательная функция pv =
-¦= (x~hw) (t'hw) И» W)'1 имеет в Li (^) Н°РМУ I Pv li = 1- Поскольку
отображение т унитарно, то по лемме 3.18
Pv (mi) = -^щ \ lw (m + mt) %w(m) \i (dm),
w (m + mt) %w
R
так что pv@)=l и pv(m) — 0 при m^V. Положим
= [x, mo]pv(x) для x?R. Тогда hytL^R), | Aiv |i = 1 и h
= pv@) = l. В качестве направленного множества {?, •<}
индексов а, используемого при построении нужной нам обоб-
обобщенной последовательности, возьмем семейство окрестностей
нуля в R с бикомпактным замыканием, упорядоченное таким,
образом, что V<t/ означает, что U^V. Тогда искомая обоб-
обобщенная последовательность есть {hv}, где функции hv опреде-
определены выше. Нам осталось лишь показать, что hv */—» 0 в Li(R)r
если fdLi(R) и f(mo) = O. Из леммы 3.18 следует, что hv(m) = 0,
если m^mo + V. Далее, если е>0, то по предыдущему следст-
следствию в L\ (R) найдется такая функция g, что g равняется О
в некоторой окрестности U точки т0 и j / — g" ]i <C e. В {?, <}
найдется такая окрестность V?, что mo + V^f/ для каждой
окрестности V из {?, <}, для которой V?<VP. Следовательног
если V?<V, то функция т (hv * g) = hvg равна 0 тождественно^
и потому /iy * ^ = 0. Отсюда, учитывая лемму 3.1 (Ь), имеем
Доказательство закончено.


154 Г л, XL Различные приложения'
1&. Лемма. Если <p?Loo(R), /6?i(i?) и /(m) = 0 для всех т
из спектрального множества а(ф), то множество ст(/*ф) не
имеет изолированных точек.
- ' Доказательство. Будем доказывать эту лемму от противного,
предположив, что т0 — изолированная точка множества <т(/*ф).
Так как но лемме 12 а(/*ф) ^ а(ф), то /(то) = О. Пусть h —
такая функция из Li(#), что ft(mo) = l и /i(m) = 0 для т из неко-
некоторого открытого множества, содержащего <7(/*ф) — {щ}.
Из леммы 12 следует, что множество а(/г*/*ф) содержат
не более одной точки т0, а тогда по теоремам 9, 16 и лемме
3.1 (d) существует такое число а, что (h */* ф) (х) = а[л:, т0] для
всех х из R. Чтобы показать, что а = 0, рассмотрим обобщенную
последовательность {hv}, о которой говорится в следствии 18.
Тогда, поскольку f(mo)==O, из этого следствия вытекает, что
hv*f ~> 0 в Lx(R), и потому /iy *(Л#/*ф) -> 0. С другой сто-
стороны,
^ х — у, mo]hv(y)dy =
к
Так как а[х, т0] не зависит от V, то а = 0 и (h */*ф) (х) =
= а [л:, т0] = 0 для всех х из R. Поскольку h (т0) = 1, из
леммы 12 (а) следует, что шо$(т(/*ф), а это противоречит
нашему предположению.
Используя эти предварительные результаты, покажем теперь,
что если спектральное множество ограниченной измеримой функ-
функции ф таково, что псякое непустое замкнутое подмножество его
границы содержит изолированную точку, то ф является преде-
пределом в Li-топологии пространства Loo (R) некоторой обобщенной
последовательности линейных комбинаций характеров из а(ф).
20. Теорема. Если граница спектрального множества ограни-
ограниченной измеримой функции ф не содержит непустых совершен-
совершенных подмножеств, то ф принадлежит Li-замкнутому подпрост-
подпространству пространства Loo{R), порожденному характерами изо(ф).
Доказательство. Если ф не принадлежит Lt-замкнутому под-
подпространству, натянутому на характеры из а (ф), то по следст-
следствию V.3.12 в Li(R) найдется такая функция /, для которой


4. Теоремы замкнутости 155
f(m) = O при всех т из а(ф), причем
Так как по лемме 3.1 (d) функция /*ср непрерывна, то из этого
равенства следует, что ?*ц>ФО. Из леммы 12 (Ь) получаем, что
о(/*ф)9а(ф), а из леммы 12 (с) и соотношения т/ = т/ следует,
что <т(/*ф) не содержит внутренних точек множества сг(ф).
Следовательно, аG*ф)- ^пмкнутое подмножество границы мно-
множества а(ф). Так как /*ф=/-(), то по лемме 11 (а) множество
сг(/*ф) непусто. Таким образом, но предположению аG*ф)
содержит изолированную точку, что противоречит лемме 19.
Следующий результат устанавливает поразительную связь
между проблемой спектрального синтеза и первоначальной тео-
теоремой Винера о Li-замкнутости.
21. Теорема. Пусть /, g?Li(R), и пусть / = 0 в каждой
точке, в которой g~0. Если при этом граница множества
нулей функции g не содержит непустых совершенных подмно-
подмножеств, то f принадлежит замкнутому линейному подпростран-
подпространству пространства LX(R), порожденному сдвигами функции g.
Доказательство. Пусть ? —замкнутое линейное подпростран-
подпространство пространства Lt (R), натянутое на сдвиги функции g, и пусть
Ж —сопряженно-ортогональное дополнение к S в пространстве
Loo(R). Тогда $ замкнуто относительно сдвигов. Кроме того,
множество характеров, принадлежащих Ж, состоит в точности
из тех характеров [•, т], для которых т является элементом
множества о нулей функции g. Если / не содержится в 2, то
по следствию II.3.13 найдется такой функционал л:*, равный О
на S, что x*f=l. Если ф — ограниченная измеримая функция,
представляющая этот функционал, как в теореме IV.8.5, то ф
принадлежит Ж и \ f (х) ф (х) dx= 1, поскольку **2 = 0. Так как
R
свертка /*ф является непрерывной функцией (лемма 3*1 (d)), то
7* ф ФО. Далее из определения 10 следует включение а(ф)^а,
ибо ф?$. Так как т/ —т/, то т/ = 0 на ст. Тогда из леммы 12
следует, что о (/*ф)~ замкнутое подмножество границы мно-
множества а, которая по предположению не содержит непустых
совершенных подмножеств. Поэтому, поскольку f*g?=O>


156 Гл. XL Различные приложения
из леммы 11 (а) получаем, что o(f*g) имеет изолированные
-точки, что противоречит лемме 19.
22. Теорема. Если спектральное множество а (ф) ограничен-
ограниченной измеримой функции ф конечно, то ф является линейной
комбинацией характеров из а(ф).
Доказательство. Пусть а(ф) состоит из характеров [•, mj, ...
...,[•¦ /яг]. Согласно теореме 20, ср содержится в Li-замкнутом
линейном многообразии в Loo{R), натянутом на эти характеры.
Из следствия V.3.12 вытекает, что если f^Li(R) и
J /(*)[*, mAdx^O, i = l, ...,r,
то \ / (х) ф (a:) dx = 0. Но тогда по лемме V.3.10 ф является
R
линейной комбинацией характеров [•, mv\, ...,[•, тТ], ч. т. д.
Следующий результат, дающий описание спектрального мно-
множества ограниченной измеримой функции, особенно интересенг
поскольку его можно обобщить на случай неограниченной функ-
функции. Мы будем употреблять обозначение, введенное перед лем-
леммой 14, связывающее с каждой функцией ф из Loo (R) линейное ото-
отображение Ф пространства L2(R) в L2 (R), определенное равенством
Ф(/) = т(<Р/). Так как ср/еМЮПМЯ). если f^UR)(]L2(R)r'
то Ф преобразует каждую функцию из Li(R)(\L2(R) в непре-
непрерывную функцию на R \j {poo}, равную нулю в точке р».
23. Теорема. Пусть ф—ограниченная измеримая .функция
на R. Точка т0 из R тогда и только тогда принадлежит допол-
дополнению спектрального множества функции ф, когда в R сущест-
существует такая окрестность нуля V и такая окрестность U точки
т0, что т(ф/)=^0 на U для всякой функции f из Li(R)[)L2(R)r
преобразование которой т/ равно 0 на дополнении к V.
Доказательство. Если то$а(ф), то в й найдутся такая окре-
окрестность нуля V и такая окрестность U точки т0, что множество
U П (а (ф) -I V + V) пусто. Пусть /— такая функция из L{ (R) {] L2 (/?),
что т/ 0 на дополнении к V, и пусть Я —линейное много-
многообразие j* Loo(i?), состоящее из функций вида
п
где /Я1^а(ф) + 1/. Для каждой такой функции фу определим
отображение Фу : L2(R) —> L2 (R) по формуле Фу (/) = т (ф^/)*


4. Теоремы замкнутости 157
и пусть Ф(/) = т(ф/). Тогда
п
@V/) (т) = ^ СЛ [хГт — тА f (x) dx=^ ctj (m - mt).
A
Это означает, что d)vf 0 на I/, так как если т??/, то
т — trii принадлежит дополнению к V. Согласно теореме 13, ф
является пределом и L\ -топологии пространства Loo(R) некоторой
обобщенной последовательности {фа] функций из 21. Таким
образом, для т из V
(Ф/)(/и)=$ \xTm\y(x)f(x)dx
и
- 1 im \ \хГт\ Ф« (х) f (x) dx = lim (Фа/) (m) = 0,
а ^ а
т. е. т (ф/) = 0 на [7.
Обратно, пусть / — такая функция из Li(R){]L2(R)9 что
/@)^=0 и /(/п) = 0 на дополнении к V (существование такой
функции утверждается в лемме 2), и пусть g = fy — сдвиг функ-
функции /. Тогда по следствию 3.17 g @)^=0 и g(m)^0 для всех т
из дополнения к V. Таким образом, по предположению функция
Ф (g) =т (ф?) обращается в нуль на U. Следовательно, для всех
т из U
= [y, m] J [х, m] / (jc -
Положим теперь h(x) = [x, rno]f( — xI x?R. Тогда, так как
t/ то из предыдущего равенства следует, что /г*ф = 0. Но
1 г»
=^ [х, m0]h(х)dx = ^ [х, mo][x,
R R
и по лемме 12 (а) то$<г(ф), ч, т. д.
В случае когда R — аддитивная группа (— оо, оо) вещест-
вещественных чисел, спектральное множество ограниченной измеримой
функции можно описать в терминах теории аналитических функ-
функций. Такое описание позволяет распространить понятие спект-


158 Гл. XL Различные приложения
рального множества ограниченной измеримой функции на неко-
некоторые неограниченные функции. Ниже буквой / мы будем обо-
обозначать общий элемент группы характеров ? = ( — оо, оо) и будем
считать, что группа R естественным образом вложена в плос-
плоскость комплексного переменного г.
24. Тпорема. Пусть ср — комплексная измеримая существенно
ограниченная функция вещественного переменного, a f—комплекс-
f—комплексная функция комплексного переменного г, определенная формулой
r*i t /-л __ 0
5
(x) dx, Imz<0,
о
— \ e-izx<p(x)dx, Im*>0.
Тогда спектральное множество функции ср состоит из всех
таких вещественных чисел /, для которых не существует ана-
аналитического продолжения функции f в окрестность точки t.
Доказательство. Предположим, что функция / допускает
аналитическое продолжение в некоторую окрестность точки tQ
вещественной оси. Для е>0 положим
так что фе(^) ограниченно сходится1) к ф(х), когда е —> 0.
Тогда
Фе (t) = \ е~ше-е I * i ф (х) dx =
— ОО
О
Так как функция / аналитична вблизи /0» то она равномерно
непрерывна на некоторой бикомпактной окрестности V точки tOj
и потому сре(/) сходится к 0 равномерно по t^U при е —> 0.
По лемме 2 в ^!(^)П^2(^) найдется такая функция /г, что
Ьуо)фО и h(t) = O для всех t из дополнения к U. Поскольку
!) То есть vraisupl9(x) — фе (х) 1 —> 0 при 8 —> 0 для любого биком-
пактного множества К С R, и существует такое число С > 0, что | фе !<» ¦< С
для всех е>0.— Прим, перев.


4. Теоремы замкнутости 159
фе(л:) ограниченно сходится к (f(x),
ОО ОО
(Л * ф) (у) = \ h (х — у) ф (х) с/л: = lim \ Л (л: — у) фе (л:) dx.
, —00 "* —ОО
Согласно следствию 3.17, hy(t)^e {у(НЦ), где hy(x) = h(x — y).
Таким образом, так как ft»--0 на дополнении к [/, а фЕ при
е —> 0 стремится к 0 равномерно на (У и фе€^2(^)» то по тео-
теореме Планшереля
а»
«
Поскольку Л»ср 0, а (тЛ) (/0) ^ (т/i) (^0) ^ 0, из леммы 12 сле-
следует» что to не принадлежит спектральному множеству с(ф).
Обратно, допустим, что ^^(ф)- Пусть V — такая окрест-
окрестность точки t0, что ее замыкание не пересекается с ст(ф). Тогда
по теореме 13 функция ф содержится в Li-замкнутом линейном
noAnpocfpaHCTBe пространства L«>( — оо, оо), натянутом на такие
характеры eitx, для которых t принадлежит дополнению к U.
Для каждой функции гр из Loo ( — со, оо) определим функцию f$
соотношениями [*] с заменой ф на г|э, и пусть <3(С/) — линейное
многообразие всех таких функций г|э из Loo( — оо, оо), для кото-
которых Д|> допускает аналитическое продолжение на открытое мно-
множество Л/ф комплексной плоскости, содержащее U. С помощью
элементарной выкладки можно показать, что функция /^, соот-
соответствующая я|) (х) = eitx7 имеет вид f^(z) = i(t — z)'~1. Следова-
Следовательно, если t лежит в дополнении к I/, то эта специальная
функция i|? принадлежит © (U). Поскольку ф содержится
в Li-замкнутом линейном подпространстве пространства
Loo( — оо, оо), натянутом на функции eitx, t$U> и так как эти
функции принадлежат @(?/), то, для того чтобы показать, что
ф?@([/), достаточно доказать, что <3(U) является Li-замкнутым.
Теорема Крейна — Шмульяна (V.5.7) показывает, что достаточно
проверить Li-замкнутость пересечения © (U) с каждым поло-
положительным кратным единичного шара в Loo(— оо, оо). Так как
пространство Li(—оо, оо) сепарабельно, то в силу теоремы
V.5.1 достаточно показать, что предел сходящейся в LA-Tono-
логии ограниченной последовательности функций из © (V) также
принадлежит © (U).
Для этого рассмотрим ограниченную последовательность {ij)n}
функций из © ((/), сходящуюся в Li-топологии к функции t|?,
и пусть /д = /фп. Мы должны доказать, что /^ допускает анали-
аналитическое продолжение на некоторое открытое множество, содер-


160 Гл. XI. Различные приложения
жащее U. Для каждого фиксированного числа z, для которого
1тг<0, функция Л, определенная соотношениями
принадлежит L4( — оо, оо); таким образом, поскольку г|)Л стре-
стремится к г|5 в Lt-топологии пространства Loo(—оо, оо), можно
утверждать, что fn(z) —» /ф(г) равномерно на каждом биком-
бикомпактном подмножестве полуплоскости Imz<0. Аналогичные
доводы показывают, что fn (г) —> /ф (г) равномерно на каждом
бикомпактном подмножестве полуплоскости Imz>0. Если бы
было известно, что последовательность {fn} равномерно сходится
в некоторой окрестности множества G, то аналитичность ее пре-
предела /ф была бы очевидна. К сожалению, пока не ясно, схо-
сходится ли последовательность {/„} равномерно в какой-нибудь
области, содержащей интервал вещественной оси, так что необ-
необходимо дополнительное рассмотрение.
Пусть U— открытый интервал (а, Ь) и Q —контур прямо-
прямоугольника с вершинами а ± t, b ± i. Ясно, что последователь-
последовательность {/„} равномерно сходится на любой части контура Q,
замыкппие которой не содержит точек а и Ь. Пусть М — мажо-
рлнтп иослодопатолмюсти %, так что
с-*'**\с**Aх -,^Г , -1 <s<0.
Аналогичным образом получаем, что |/n(a + ts) |<М Is), когда
0<s<l. Подобные оценки величины \fn(z)\ можно получить
и при z — Ь-\- is. Следовательно, последовательность {gn}, опре-
определенная формулой
fn(z)(z-aJ(z-b)\ гфа, Ь,
0, z = a, b,
равномерно сходится на Q и ее предел равен
0, г = а, 6.
Из принципа максимума модуля следует, что последовательность
{ga} сходится равномерно в области, ограниченной контуром Q,
к аналитической функции G, которая в каждой точке этой
области, не лежащей на вещественной оси, удовлетворяет соот-
соотношению


5. Упражнения 161
Таким образом, функция G (z) (г — а)~2 (z — b) 2 является аналити-
аналитическим продолжением функции /^ в открытую область, ограни-
ограниченную контуром Q. Это показывает, что г|) содержится в CA/).
Теорема доказана.
5. Упражнения
А. Упражнения по почти периодическим функциям
1. Показать, что если F?AP и inf \F(x)\>0, то функ-
—оо<х<оо
ция l/F(-) также принадлежит АР.
2. Если F?AP, то существует предел
г
M(F) = Mm -4г \ F{x)dx.
Т->оо Z1 JT
Т
Кроме того, lim A/2T1) \ F (x + a)dx = M(F) равномерно по а.
r->oo JT
3. Пусть F?AP; определим для —оо<Х<оо функцию Fy,
равенством F^(x) = eiXxF (х), и пусть g(x) = F (x) F (х). Положим
а (X) = М (Fb), где М определяется так же, как в упражнении 2. По-
Показать, что а(Х) = 0 всюду, за исключением, быть может, счетного
оо
числа значений Xt, i=l, 2, ..., и что Af(g) = 2 \a(h) |2-
4. Если / — неотрицательная функция из АР и M(f) = 0
(в обозначениях упражнения 2), то / = 0.
5. Непрерывная функция / двух вещественных переменных
х = (хи х2) называется почти периодической, если для каждого
е>0 существует такое число L(e), что в каждом круге радиуса
L(e) на плоскости переменных (хи х2) найдется вектор у, для
которого \f(x) — f(x + y)\<C.B. Показать, что каждая такая
функция может быть равномерно аппроксимирована линейными
комбинациями функций вида exp i (tixi + /2*2)•
6. Непрерывная функция / на топологической группе G
называется почти периодической, если для каждого е>0 суще-
существует такое бикомпактное множество /C(e)^G, что для всякого
элемента g?G в множестве K(&)g найдется элемент /г, для
которого \f{x)~— f(xh) I <e. Показать, что множество всех непре-
непрерывных функций #(•), для которых линейное пространство, натя-
натянутое на всевозможные сдвиги x(-g), конечномерно, фундамен-
фундаментально в пространстве почти периодических функций; это
последнее пространство является нормированным, норма задается
равенством
|/| = sup|/(x)|.
11 Заказ № 134


162 Гл. XI. Различные приложения
Показать, что если группа G абелева, то всякая почти перио-
периодическая функция может быть равномерно аппроксимирована
линейными комбинациями непрерывных функций х, для которых
I х (g) | = 1, х (gtg2) = х (gt) х (g2).
В. Две задачи о мере Хаара
о
7. Обозначим через 1J группу унитарных преобразований
двумерного комплексного гильбертова пространства с определи-
о
телем 1. Показать, что матрица и из U2 имеет вид
\x2—iy2 —xt + i
где х\ + y\ + x\ + y\ = 1. Показать, что отображение <р : и —»
о
—> (xi, yu x2, y2) является гомеоморфизмом группы U2 на поверх-
поверхность S единичного шара в четырехмерном пространстве. Показать,
что существует такая постоянная К, что мера Хаара любого
о
борелевского множества е .<= U2 равна Ко (<р (е)), где о (ф (е)) —
гиперплощадь подмножества ф (е) поверхности S; вычислить абсо-
абсолютную постоянную К.
8. Пусть Un обозначает группу всех унитарных преобразований
n-мерного комплексного гильбертова пространства Еп. Показать,
что мера Хаара множества F всех и из Un, для которых
det (и +1) = 0, равна 0. Показать, что отображение
.и—1
т и-\~1
является гомеоморфизмом между Un — F и множеством 2 всех
эрмитовых операторов в Еп. Построить взаимно однозначный
линейный гомеоморфизм яр пространства S на я2-мерное веще-
вещественное евклидово пространство Еп2. Найти явное выражение
для меры v, определенной для каждого борелевского подмноже-
ства е пространства Е формулой v (?) = |М(^ф) е), где [х —мера
Хаара на группе Un.
С. Теорема Винера о замкнутости как теорема тауберова типа
9. (Тауберова теорема Винера.) Пусть f — функция из
Loo(— оо, оо), а ф —функция из Li( —оо, оо), преобразование
Фурье которой нигде не обращается в 0. Допустим, что для


5. Упражнения 163
некоторой постоянной а
сю
lim (ф • /) (х) = а \ <f(t)dt.
Я->оо «
--оо
Тогда
lim (яр •/)(*) = <*
для любой функции гр из L4.
10. Пусть <p?Li(O, оо), f?Loo@, оо), и предположим, что
^ Ф@*4жdf =?*= 0, — о
о
Допустим, что для некоторой постоянной а
Тогда
для любой функции гр из L^O, оо). (Указание: воспользоваться
упражнением 9.)
11. (Обобщение теоремы Таубера, принадлежащее Харди
и Литлвуду; непрерывный случай.) Пусть /?Loo@, оо) и
оо
lim-Ц er4*f(t)dt = A.
Тогда
12. Пусть функция / измерима, ограничена на каждом ограни-
ограниченном подмножестве положительной полуоси и неотрицательна.
оо
Тогда если интеграл \ e-t/xf{t)dt существует для всех л:>0 и
о
оо
lim- \ e-"xf(t)dt = A,
11*


164 Гл.XL Различные приложения
ТО
х
(I) функция — \ f{t)dt ограничена при л;>0,
о
(II)
где
О
Кроме того,
х
(III) lim 4- { t*-1? (О dt = A, e > О,
о
1
(IV) lim-^-\ A-*¦-*)/(**)Л = Л. 8>0,
1
(V) lim\f(xt)dt = A,
X
(VI) llm±\f(t)dt--A.
13. Пусть / — вещественная измеримая ограниченная снизу
функция, ограниченная на каждом ограниченном подмножестве
оо
положительной полуоси. Тогда если интеграл \ e-Vxf(t)dt суще-
сущего
ствует при всех дс>0 и
сю
lim-Ч e-*'*f{t)dt = A,
ТО
(Указание: воспользоваться упражнением 12. Сравнить посылки
и заключение с упражнением 11.)
14. Пусть /??оо@, оо). Если
lim


5. Упражнения 165
для двух таких чисел си с2, что 0<Cci<Cc2<Cl и что
не является рациональным кратным logc2, то
t
lim-И f(x)dx = A.
t-юо * -
Заключение перестает быть справедливым, если logci является
рациональным кратным logc2.
15. Пусть b (х) — измеримая неотрицательная функция, ограни-
ограниченная на каждом ограниченном подмножестве полуоси @, оо).
Предположим, что при х—> оо
\ 6^
Тогда
X
(I) функция — \ b(y)dy ограничена при #>2;
х/2
х
(И) функция В(х) = —\ b(y)dy ограничена при лг>1;
(III)
i
X
(IV) Mm 4 ^ **~1В (t) dt = alt г > 0;
(V) lim -Ц- Wl - /•-») 6 (*0 Л = olt e > 0;
i
(VI) \im[b(xt)dt = at;
л:->сю v
о
х
(VII) lim- \
(Указание: воспользоваться упражнением 14.)
16. Пусть b — вещественная измеримая ограниченная функция
на @, оо). Тогда если


166 Гл. XL Различные приложения
ТО
я->оо
(Указание: воспользоваться упражнением 15.)
17. (Харди — Литлвуд.) Пусть Ъ — измеримая вещественная
функция на [0, оо). Предположим, что она ограничена на каждом
ограниченном [подмножестве полуоси [0, оо), а функция xb(x)
ограничена при 0<*<оо. Тогда если
х t
lim- [ И b(s)ds\dt = a,
ТО
t
lim \ b(s)ds^=a.
(Указание: воспользоваться упражнением 16.)
18. (Харди — Литлвуд.) Пусть Ь — измеримая вещественная
функции на [0, оо). Предположим, что она ограничена на каждом
ограниченном подмножестве полуоси [0, оо), а функция xb(x)
ограничена при 0<jc<oo. Пусть, кроме того, интеграл
<r"*b(t)dt
о
существует для всех х > 0. Тогда если
оо
lim \ е-*'*Ь (t) dt = а,
то
х
lini \ b{t) dt = а.
л-н-оо »0
^Указание: показать, пользуясь методом упражнения II.4.53, что
X
функция \ b(t)dt ограничена, и воспользоваться упражнениями 13
о
и 17.)


5. Упражнения 167
19. (Харди —Литлвуд.) Пусть последовательность веществен-
вещественных чисел ап ограничена снизу, и пусть ряд
оо
2 апхп
71=0
сходится при |л'[<1. Тогда если
оо
lim A-х) 2 апхп = А,
х->1 — 0 п=0
ТО
п-1
"^ т=0
(Указание: положить f(t) — an при я-<?<я + 1 и воспользоваться
упражнением 13.)
20. (Харди —Литлвуд.) Пусть ап — последовательность веще-
вещественных чисел, и пусть последовательность пап ограничена. Пусть
оо
ряд 2 апХп сходится при 1*1 <1. Тогда если
71=0
оо
lim 2 апхп=^А,
2С->1 —О 71=0
то
71
lim 2 ат = А.
71->ОО 7П=0
(Указание: положить f(t) = an при n-<^<n-f 1 и воспользоваться
упражнением 18. Это знаменитая теорема Харди и Литлвуда,
обобщающая теорему Таубера из упражнения П.4.54. Сравнить
предпосылки и методы доказательства этих теорем.)
21. Пусть / — вещественная измеримая и ограниченная функция
на [0, оо). Предположим, что для каждого s>0 существует
интеграл
Tdt.
о
Тогда если
оо
It при s—>0 + ,
то
оо
г*
f (t) dt ~ As при
о


168 Гл. XI. Различные приложения
а если
\-^Wdt~4 ПРИ5->0О,
о
то
f(t)dt~As при s—> оо.
о
22.f Пусть rf — измеримая вещественная функция на [0, оо),
a xf(x) ограничена при 0<л:<оо. Предположим, что f ограни-
ограничена на каждом ограниченном подмножестве полуоси [0, оо) и что
интеграл
существует для всех л\>(). Тогда если
(X)
\ гт dt ~ as при s —> оо,
о
то
iiin \
Н их» •'
(Указание: приспособить метод доказательства упражнения 18.)
23. Пусть функция / определена на [0, оо) и обладает двумя
непрерывными производными. Предположим, что /" (л:) = О (х~3)
при х—> оо и что xf(x)—>A при х—>оо. Тогда я2/'(л;)—> — ^4
при л:—>оо. (Указание: положить p(t) = t3f"(t) при />1 и приме-
применить результат упражнения 10 к ограниченной функции р.)
24. Пусть функция / определена на [0, оо) и имеет две непре-
непрерывные производные. Пусть а>2, /" (л:) = О (лг~а) при х—> оо
и лса-2/(л:)">^ ПРИ х" * °°- Тогда ха-{f (х) —> B — а) А прих—> оо.
6. Операторы Гильберта — Шмидта
В этом параграфе развивается теория операторов Гильберта —
Шмидта и доказываются довольно глубокие фундаментальные
теоремы о полноте системы собственных функций таких операторов
и связанных с ними неограниченных операторов. Эти результаты
основаны на одном сильном неравенстве, принадлежащем Карле-
ману, которое также выводится в настоящем параграфе. Некото-
Некоторые из этих результатов используются в последующих главах.


6. Операторы Гильберта — Шмидта 169
В качестве приложения упомянутых результатов в ряде упражне-
упражнений § 8 развивается в общей форме классическая теория Фред-
гольма интегральных операторов.
Формальное определение класса операторов Гильберта — Шмидта
в гильбертовом пространстве будет дано ниже; однако в порядке
введения укажем здесь, что если гильбертово пространство пред-
представлено как пространство L2(S, 2, \i) с положительной мерой [х,
то операторами Гильберта —Шмидта являются такие операторы Кг
которые допускают представление вида
(Kf) (s) = J k (s, t) f (t) fx (dt), f 6 L2 E, 2, |i),
s
где
\k(s,t)\*\i(ds)\i(dt)<co.
[
s s
Эти операторы вполне непрерывны, однако они обладают некото-
некоторыми важными свойствами, не присущими произвольным вполне
непрерывным операторам. В некоторых изложениях теории Гиль-
Гильберта—Шмидта предполагается, что ядро k эрмитово-симметрично,
так что оператор К является самосопряженным. Мы не наклады-
накладываем здесь никаких ограничений такого рода, и потому получен-
полученные теоремы о полноте применимы к некоторым классам несамо-
несамосопряженных краевых задач.
В большинстве последующих рассмотрений удобнее работать
с абстрактным гильбертовым пространством, а не с каким-нибудь
его представлением в виде пространства L2*> B связи с этим дадим
общее определение класса операторов Гильберта —Шмидта.
1. Определение. Пусть {ха, а ? А} — полное ортонормальное
множество в гильбертовом пространстве Q. Ограниченный линей-
линейный оператор Т называется оператором Гильберта —Шмидта^
если величина ||Г||, определенная равенством
а?А
конечна. Число ||Г|| иногда называется нормой Гильберта-
Шмидта или дубль-нормой оператора Т. Класс всех операторов
Гильберта —Шмидта на § будет обозначаться HS.
В этом определении класса HS участвует некоторая ортонор-
мальная система. Следующая лемма показывает, что класс HS
зависит лишь от самого гильбертова пространства, а не от выб-
выбранного в нем базиса.
2. Лемма. Норма Гильберта — Шмидта не зависит от выбора
ортонормального базиса, участвующего в ее определении. Если Т


770
Гл. XI. Различные приложения
принадлежит HS, a U — унитарный оператор в ig, то оператор
U^TU принадлежит HS и \\ Т\\ = || U^TU ||. Кроме того, |Г|<
<цг|| и и г ни г* ||.
Доказательство. Пусть \\Т\\А и || Т ||в — дубль-нормы операто-
оператора Т, определенные при помощи полных ортонормальных систем
{л;а, а^Л} и {#р, P?fi} соответственно. Используя тождество
.| х |2 = 2 I (^» УрI2> которое было доказано в теореме IV.4.13,
Р
получаем
= 221 (^
Pa
p
I2 = II т*
Если в качестве двух полных ортонормальных систем взять одну
и ту же систему, то это тождество показывает, что ||7'*||в =
= ||Г||в; таким образом, ||71||А = ||71*||в = ||71||в> что доказывает
первое и последнее утверждения леммы.
Если V — унитарный оператор, то множество {Uxa, а?Л}
также является полной ортонормальной системой в i§, а так как
]x\ = \U-1x\9 то
2
^ 2
это означает, что U'^TU есть оператор Гильберта — Шмидта,
«если таковым является Г.
Наконец, если е>0, найдем такой элемент х0, что |*0| =
и | Т |2<С | Гл:о
система, содержащая элемент х0, то ясно,
и потому |Г|<||Г||, ч. т. д.
||
. Так как существует полная ортонормальная
что \Т |2<|| Г||2 + е,
3. Следствие. Если T?HS и {ха, а ? А} —какая-нибудь пол-
лая ортонормальная система в ig, то
\\т\\ = { 2 1(^«. ^I2}1/2-
а, Р?А
Доказательство. Это следует из того, что | Тха |2 =
= 2 I (Тхач л:р) |2; двойная сумма существует, так как все члены
Р6А
неотрицательны.
4. Теорема. Множество HS всех операторов Гильберта —
Шмидта с дубль-нормой представляет собой В-пространство.
Кроме того, HS является алгеброй, причем \\ TS ||<|| !T||-||S ||
для любых S и Т из HS.


6. Операторы Гильберта — Шмидта 171
Доказательство. Очевидно, что если T?HS, а а — скаляр, то
||аГ|| = |а|-||Г||. Пусть T,S?HS и {ха, а ? А} — полная орто-
нормальная система в ig. Из следствия 3 и неравенства Минков-
ского вытекает, что
|| = (S \
<(S \(Txa, xp)H1/2 + (S
a, P a, p
так что T + S^HS. Чтобы доказать полноту пространства HS,
рассмотрим последовательность {Тп} операторов из HS, для кото-
которой \\Тп — Тт\\->0. Из леммы 2 следует, что \Tn — Гте|->0,
и потому существует такой линейный ограниченный оператор
Т, что \Т — Тп\—>0. Чтобы убедиться в том, что 7 принад-
принадлежит HSj обозначим через k верхнюю грань последовательности
{|| Уп ||}- Если Лх — какое-нибудь конечное подмножество множе-
множества Л, то
и потому ||Г||2= 2 |^xa|2<fe2, откуда следует, что T?HS.
Пусть т(е) выбрано так, что \\Тп — Гт||<е при м, т>т(е).
Тогда при m^>m(e)
2 \(T-Tm)xa\* = U
6A
поэтому || T — Tw||<e при m^>m(e). Итак, HS с нормой Гиль-
Гильберта—Шмидта является В-пространством.
Наконец, пусть T?HS, и пусть В — какой-нибудь ограничен-
ограниченный линейный оператор в $q. Тогда
= 2 |вгха|2<|В|2 2 |^а|2-|В|2||гц2,
А ?А
\ = \\В*Г\\<\В\\\Т\\.
В частности, если S ?HS, то || ST \\<| S 11| Т||<|| S ||-1| Т ||, посколь-
поскольку |S|<||S||, ч. т. д.
5. Следствие. Множество операторов Гильберта — Шмидта
является двусторонним идеалом в В-алгебре всех ограниченных
линейных операторов в гильбертовом пространстве $. Кроме
того, если Т принадлежит HS, а В —ограниченный оператор,
то ||ГВ||<||7||.|В| и \\ВТ\\*?\В\-\\Т\\.
Доказательство. В ходе доказательства предыдущей теоремы
мы видели, что HS является подалгеброй алгебры B($q), а послед-
последний абзац этого доказательства показывает, что HS — двусто-
двусторонний идеал и что неравенства, приведенные в формулировке
следствия, справедливы.


172 Гл. XI. Различные приложения
6. Теорема. Каждый оператор Гильберта — Шмидта вполне
непрерывен и представим в виде предела по норме Гильберта-
Шмидта последовательности конечномерных операторов (т.е. опе-
операторов с конечномерными областями значений).
Доказательство. Пусть {ха> а ? А} — полная ортонормальная
система в 1§, и пусть T?HS. Так как
\\Т II = ZJ |7^а|2<°о,
а?А
то лишь счетное число слагаемых | Тха |2 может быть отлично от
нуля. По этой же причине для каждого натурального п найдется
такое конечное множество Ап ^ А, что
Пусть для каждого п линейный оператор Тп определен соотно-
соотношениями Тпх(Х = Тха при а?Ап и Тпха = 0 при а$Ап. Тогда
область значений оператора Тп конечномерна.
Кроме того,
пт Т II2— V \Ty I2 <r ^
так что \Т—Тп\*С\\Т — Тп\\<. — - Следовательно, оператор Т
является пределом последовательности {Тп} как в HS, так и в рав-
равномерной операторной топологии. Из леммы VI.5.3 следует, что
оператор Т вполне непрерывен.
Однако не всякий вполне непрерывный оператор принад-
принадлежит HS. Например, пусть {хп} — полная ортонормальная система
в сепарабельном гильбертовом пространстве, и пусть Г —опера-
—оператор, определенный соотношениями Txn = n~i^2xTU n=l, 2, ....
Этот оператор вполне непрерывен (см. упражнение Х.8.5), но не
принадлежит HS.
Выше было отмечено, что класс операторов Гильберта —
Шмидта с нормой ||-|| представляет собой банахову алгебру (без
единицы, если $ бесконечномерно). Легко показать, что если
в этой алгебре определить скалярное произведение
где {Хсх} — полная ортонормальная система, то оно удовлетворяет
всем требованиям, накладываемым обычно на скалярное произве-
произведение в гильбертовом пространстве, причем ((Г, Т)) = [\Т\\2.


6. Операторы Гильберта -*- Шмидта /7?
Таким образом, алгебра HS является гильбертовым пространством,
в котором имеется еще инволюция S—>S*, удовлетворяющая
отношению
{{ST, Я)) = (G\ S*R)).
Такие алгебры, известные под названием //*-алгебр, изучал
Амброз [1], который показал, что всякая //*-алгебра топологически
и алгебраически изоморфна алгебре операторов Гильберта — Шмид-
Шмидта в некотором гильбертовом пространстве.
7. Теорема. Если Т —оператор Гильберта — Шмидта, а / —
однозначная аналитическая функция, определенная в окрестности
его спектра и равная О в нуле, то f (T) — также оператор Гиль-
Гильберта—Шмидта, и отображение T—>f(T) пространства HS
в себя непрерывно. Кроме того, если {fn} —последовательность
таких функций, имеющих в качестве общей области определения
некоторую окрестность N спектра оператора Т, и если fn (X) —>
-»/(А,) равномерно для К из N, mo fn{T)~>f{T) в HS.
Доказательство. Если гильбертово пространство !q конечно-
конечномерно, то результат тривиален, так что мы предположим, что !q
бесконечномерно. По теореме 4 HS является В-пространством
и алгеброй, в которой || TS \\^C\\T\\\\S\\. Способом, описанным
в § IX. 1, к HS можно присоединить единицу, в результате чего
получается В-алгебра, состоящая из всех пар вида [а, Т\, где
а —скаляр, а Г —оператор из HS. Норма в этой алгебре опре-
определяется равенством | [а, Т] \ — | а| + || Т ||. Алгебру, полученную
присоединением единицы к HS, мы будем обозначать HS+.
Поскольку пространство !q бесконечномерно, из теорем 6
и IV.3.5 следует, что единичный оператор не принадлежит HS,
так что HS — алгебра без единицы.
Заметим сначала, что элемент [а, Т] из HS+ обладает обрат-
обратным тогда и только тогда, когда оператор al-\-T обратим в алгеб-
алгебре B(!q) всех ограниченных операторов в Jg. Действительно, если
[р, S] = [a, 71], то [1, 0] = [а, Л IP, 5] = [ap, aS + $T + TS],
и потому p = a1naS + pr + TS = 0. С помощью простой выкладки
получаем, что тогда p/ + S = (a/ + 7)~1. Обратно, пусть В =
= (а/ + Г). Так как оператор Т вполне непрерывен, а простран-
пространство $ бесконечномерно, то а не может быть равно нулю, ибо
если a = 0, то из следствия 5 и теоремы 6 следует, что единич-
единичный оператор I — BT вполне непрерывен, что противоречит тео-
теореме IV.3.5. Пусть S = B — a/. Тогда аГ1ВТ = аГ1В(Т + а1 — а1) =
= а~1(/ — аВ)=— S. Поэтому S=—а'1 ВТ и по следствию 5 S
принадлежит HS. Этим доказано, что если оператор (al + T)'1
существует и ограничен, то [а, Г] существует в HS+ и совпа-
совпадает с [a, S].


174 Гл. XL Различные приложения ч
Следовательно, спектр оператора Т из //S, если рассматри-
рассматривать Т как элемент 5-алгебры #S+, совпадает со спектром опе-
оператора 7\ если его рассматривать как элемент алгебры B($q)
всех ограниченных операторов в ig. Поскольку в любой В-алгебре
операция перехода к обратному элементу непрерывна (IX. 1.3),
отображение Я—» [Я, —Г]" непрерывно при Х$о(Т). Если 0 —
отображение алгебры HS+ в В(^), переводящее [а, Т] в а/ + Т,
то 0 непрерывно и 0{[А,, — Г]} = /?(Х; Г).
Так как [X, — Тр1 является непрерывной функцией от К на
дополнении спектра о(Т), то интеграл
1 (*
[•и * у ^ /j^\ rj^ TV^ dX
с
где С —положительно ориентированная спрямляемая жорданова
кривая, содержащаяся в области определения функции / и охва-
охватывающая спектр а (Г), существует в смысле нормы простран-
пространства #5f. Если [р., [)]—элемент из HS+, равный интегралу [*]г
то по теореме III.2.19
Покажем, что \х — 0. I Пусть г\ — мультипликативный линейный
функционал на HS+, [определенный равенством г\{[а, Т]} = а.
Так как г) является гомоморфизмом, то г\{[к, Г]} = Х, а так
как г\ непрерывен, то из теоремы III.2.19 (с) следует, что
По предположению / @) = 0, так что / (Г) = [У, и потому / (Г) при-
принадлежит #S.
Если lim Tn = T по норме пространства #S, то из леммы VII.6.5
следует, что для всех достаточно больших п контур С, по кото-
которому берется интеграл [*], охватывает спектр о(Тп). Из след-
следствия VII.6.3 получаем, что в смысле сходимости по норме в HS+
lim IX, -ГдГ1-!*. -Л
П-*оо
равномерно относительно к?С. Таким образом, по теореме Ш.2.19
lim /(Г„)= lim 9 \^r \
П-voo П->оо ^Ш •!
С
где предел понимается в смысле сходимости по норме в HS.


6. Операторы Гильберта — Шмидта 175
При доказательстве последней части настоящей теоремы мы,
очевидно, можем предполагать, что контур С в интеграле [*}
лежит целиком внутри множества N. Тогда
в смысле сходимости по норме и /AS, ч. т. д.
Как было иокшмшо н предыдущей теореме, алгебра операто-
операторов ГильбертИ —Шмидта возникает из алгебры конечномерных
операторов при замыкании последней по норме более сильной,
чем обычная норма в B($q). Поэтому естественно ожидать, что
некоторые свойства конечномерных операторов, которые в случае
общего линейного оператора в гильбертовом пространстве без-
безвозвратно теряются, сохранятся для операторов Гильберта —
Шмидта. Чтобы показать, что это в самом деле так, нам пона-
понадобится вывести ряд неравенств для операторов в конечномерном
гильбертовом пространстве. Наиболее важными из них являются
хорошо известное «детерминантное неравенство Адамара», откры-
открытие которого в начале этого века проложило путь к пониманию
интегральных операторов, и замечательное неравенство Карлемана,
приведенное в теореме 15.
В следующих нескольких теоремах мы будем иметь дело
с конечномерными гильбертовыми пространствами и изложим
некоторые элементарные факты, связанные с понятием следа
оператора.
8. Определение. Пусть {xiy ..., хп}~-базис в конечномерном
комплексном гильбертовом пространстве Еп. Пусть Л —оператор
п
в Епу и пусть1) Axt= 2 ад» /=1, ..., п. След оператора А,
обозначаемый символом tr (Л), определяется равенством
2
г=1
х) Заметим, что такое определение матрицы, соответствующей оператору Л,
отличается от того, которое обычно применяется. Это отличие приводит
к тому, что если Л—¦> (аи), В—> Фи), то АВ—> (Ьи) (аи) вместо обычного
ЛВ—> (atj)(bij). Это следует иметь в виду и при доказательстве леммы 6.21,
где речь идет о приведении оператора к треугольному виду.— Прим. перее.


176 Гл. XI. Различные приложения
В лемме 9 будет показано, что след оператора Л не зависит
от выбора базиса {*/}, участвующего в его определении. Вполне
очевидно, что след является линейной функцией от Л.
9. Лиммл. След оператора А в Еп не зависит от базиса,
используемого при его определении. Кроме того, если А и В —
какие-нибудь операторы в Еп, то tr (AB) = tr (BA).
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение. Пусть
и
Вх\ ^] bijXj. Тогда
ABxt-SS btjajkXk, BAxt =22
i=l hi il fti
Следовательно,
Чтобы установить справедливость первого утверждения, рас-
рассмотрим н Еп какой-нибудь другой базис {уи ..., уп}. Тогда
оператор С, определенный соотношениями уь = Схг, /=1, ...,д,
взаимно однозначно отображает ?п на себя. Вычислим след опе-
оператора А но отношению к базису {//j, ..., ул}. Заметим, что
так что
y S jyj
Отсюда следует, что след оператора САС'1, вычисленный отно-
п
сительно базиса {tjj}, ранен 2 аи- По уже доказанному след опе-
1. 1
ратора САС~Х совпадает со следом оператора Л = С~гСА при усло-
условии, что оба следа вычисляются относительно базиса {t/d, ..., уп}.
Это доказывает справедливость первого утверждения.
Напомним, что характеристический многочлен А (К) оператора Л
в Еп находят, представляя оператор Л матрицей в каком-нибудь
удобном базисе пространства Еп и вычисляя определитель матри-
матрицы KI — Л, а именно


6. Операторы Гильберта — Шмидта 177
Используя элементарные свойства определителей, легко пока**
зать, что А (А,) не зависит от выбора базиса.
10. Лемма, (а) След оператора А в Еп равен коэффициенту
при X4'1 его характеристического многочлена, взятому с обрат-
обратным знаком.
(b) След оператора в Еп равен сумме всех чисел, принадлежа-
принадлежащих спектру оператора, причем каждое из этих чисел считается
столько раз, какова его кратность как корня характеристиче-
характеристического многочлена.
(c) След нильпотентного оператора в Еп равен нулю.
Доказательство. Если {хи ..., хп} — базис в Еп и Ах%*=*
п
= ЗагЛ-,то
X—пц —#12 • • • —& In
— #21 X — #22 • • • — #2д
~ani —#7i2 • • • X—ап
Вычисляя этот определитель, мы видим, что он представляет
собой многочлен А (X) = Хп — с^" + ... +сп, гдес! = tr (Л). Чтобы
доказать утверждение (Ь), достаточно вспомнить, что спектр
о (А) состоит из всех чисел X, для которых матрица XI — А син-
сингулярна, т. е. из всех X, для которых А (X) = 0. Так как сумма
корней уравнения Д(А,) = О, если считать m-кратный корень т раз,
равна си то утверждение (Ь) доказано. Наконец, если оператор А
нильпотентен, то а(Л) = {0}, так что в силу (b), tr (Л) = 0, ч. т. д.
11. Лемма. Если А —линейный оператор в пространстве
?п, а(А) = {Хи ..., Xk} и если тг = А\тЕ (Xt; А)Еп, /=1, ..., к,
и
то () 2
г=1
Доказательство. Если Хг?в(А), то по теореме VII.1.7 опера-
оператор A—XJ нильпотентен на Е (Хг; А) Еп. Следовательно, AE{Xt; A) =
= ХгЕ(Хг, A) + Ni, где Nt — нильпотентный оператор в Еп. Так
и
как /= 2 E№i; Л), то
След является линейной функцией оператора; кроме того, если
Р — проектор, то, выбирая в качестве базиса в Еп теоретико-мно-
12^3аказ № 134


178 Гл. XI. Различные приложения
жественное объединение базиса в РЕп и базиса в (/¦—Я)?п, полу-
получаем немедленно, что tr (P) — dim PEn. Из этого замечания
и леммы 10 (с) следует, что tr (Л) = 2 т{к\, ч. т. д.
Замечание. Число dim?(fi; Л) Еп равно кратности \i как корня
характеристического многочлена оператора А. Этот результат
содержится в упражнении VII.2.3; учитывая это, заключаем, что
и
в формуле tr(A) = 2 mi^t леммы II число rrit можно считать
кратностью Kt как корня характеристического многочлена. Так
определенная кратность точки спектра \х отлична от размерности
многообразия {х\х?Еп, Ах = \хх} собственных векторов оператора
Л, соответствующих собственному значению \х. Для самосопря-
самосопряженных, или эрмитово-симметричных, матриц эти два понятия
кратности совпадают. Если Л —оператор в ?п, то мы будем гово-
говорить, что ки ..., кп —собственные значения оператора А с учетом
их к/штностей, если каждое Хг является собственным значением
оператора Л и каждое собственное значение \х оператора Л встре-
встречается в этом списке т раз, где т= dim?(|i; Л) Еп. Аналогичная
терминология будет в дальнейшем употребляться для операторов
Гильберта— Шмидта.
12. Теорема. (Неравенство Адамара.) Если (а^) есть пхп-мат-
рица комплексных чисел, то
[*] | det (a«j)|<: Д {Д |а« |»JV".
Заметим, что это неравенство можно интерпретировать как
утверждение, что объем д-мерного параллелепипеда никогда
не превосходит объема прямоугольного параллелепипеда со сто-
сторонами той же длины.
Доклилткльстио. Это неравенство очевидно для я=1 и легка
может быть проверено дли п -2. Предположим, что оно справед-
справедливо для п — 1, и продолжим по индукции. Пусть (atj) есть пхп-
матрица. Рассмотрим в пространстве Еп множество, состоящее
из п элементов Uj = [uij, a2j, ..., anJ], /=1, ...,я. Если Ui = 0y
то обе части неравенства [*J обращаются в нуль, и результат
п
тривиален. Если |щ |= { 2 \^п 12}1/2=^=0» то» поскольку обе части
неравенства [*] однородны по щ, можно считать, что | гг± | = 1.
Пусть Vi, v2, ..., vn — ортонормальный базис в Еп, причем Vt = uir


6. Операторы Гильберта — Шмидта
179
и пусть W — унитарный оператор, определенный равенствами Wvt =
-[1,0,0, ...,0], Wv2 = [0, 1,0, ...,0],...,1^ = [0,0,0, ..., 1].
Так как абсолютная величина определителя унитарного оператора
в Еп равна 1, то
| det (аи)\ = | det (ии и2, ..., ип)\ = | det (W) det (ии и2, ..., ип)\ =
u Wu2, ..., Wun)\.
Пусть [wik, ..., wnk] — координаты вектора Wuh. Тогда, так как
№ = [1,0,0, ..., 0], то
1 w12 . . . wln
0 W22 . . .
w22 ..
0 wn2 . .. wnn
Используя предположение индукции, заключаем, что
3=2 г=2
Но так как
п
i=2
,1/2
и 1^1=1, то это доказывает теорему.
Неравенство Адамара ниже будет применено в следующей
ситуации. Пусть (а^) — матрица оператора А в Еп относительно
ортонормального базиса б± = [ 1, 0, ..., 0], ..., 6n = [0, ..., 0, 1].
Обозначим через Ац алгебраическое дополнение элемента а^-,
т. е. Atj представляет собой умноженный на (—1)г+^ определи-
определитель (п— 1) X (п— 1)-матрицы, получающейся из матрицы (аи)
вычеркиванием ?-й строки и /-го столбца. Тогда det(^) =
п п
— 2 atjAij ^ S CLijAik = O при \Фк. Если оператор А взаимно
г=1 г==1
однозначен, то из правила Крамера для вычисления А'1 получаем,
что матрица оператора det (Л) Л относительно базиса бь ..., бл
совпадает с матрицей, транспонированной к матрице (Л^). Сле-
Следовательно, если x = [?i, ..., In] и у=[?>и •••> ?п]> то
det(A)(A-1x,y)=
и j=t
12*


ISO
Гл. XI. Различные приложения
G другой стороны,
О 64 ...
?А ац ... at,!
1п ani ... ап
в чем можно убедиться, разлагая определитель в правой части
по первому столбцу и первой строке и учитывая предыдущее
равенство. Неравенство Адамара будет применено для оценки этого
определителя.
13. Лемма. Пусть (at}) —матрица"взаимно однозначного опе-
оператора А в Еп относительно базиса 6! = [1,0, ..., 0], ..., 8п =
~[0, ..., 0, 1]. Тогда дубль-норма оператора А выражается
формулой
{ i1
*, у -I
Кроме того, если х--~\
тора в Яп, то
0 С, ...
и у =
]—два век-
векДоказательство. Первое утверждение, которое справедливо
и без предположения о взаимной однозначности оператора Л,
вытекает из следствия 3. Если х = 0, то неравенство ['] три-
тривиально. В силу однородности этого неравенства по х достаточно
рассмотреть случай, когда |*| = 1. По аналогии с доказательством
теоремы 12 рассмотрим такой унитарный оператор W, действую-
действующий в Яп, что х — Wf)n. Из предыдущих замечаний следует, что
последнее утверждение леммы равносильно неравенству
| (let(Л) (Л-**, у)\<\у\ ||Л|ГЧ^-1)"(П)/2.
Так как оператор W унитарен, то det (Л) = det (W~XAW) и (Л*, у) =
= (A-W8n, y) = (W-1A-lW8n, W'xy). Полагая B^W^AW, имеем
B-^W^A-W, а из леммы 2 следует, что ||?|| = ||Л||. Кроме
того, поскольку оператор W унитарен, вектор z~W~ly имеет
норму |z| = |#|. Следовательно, утверждение, которое требуется
доказать, может быть записано в виде
|det(B)(B-*6n, z)|<|z| \\В\ГЦп-\)-{п-1I2.


6. Операторы Гильберта — Шмидта
181
Выписывая определитель, стоящий в левой части этого неравен-
неравенства, видим, что достаточно доказать лемму в частном случае,
когда 0 = g± = ... =1п-1 и 1=?п- Таким образом, определитель,
который требуется оценить, имеет вид
Si • ¦ • In
alt ... aln
аП-1, 1 ... ^П-1,71
Si
?n din
Пусть D обозначает абсолютную величину этого определителя.
Тогда неравенство Адамара показывает, что
[*]
n—1 n
\U B
г=1 j=
Так как среднее геометрическое конечного набора положи-
положительных чисел не превосходит их среднего арифметического
(ср. VI. 11.34), то
п—1 п
1=1 j=l
1
п—1 п
J
i=l j=l
Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратный корень
и комбинируя получающееся неравенство с [*], видим, что
Лемма доказана.
14. Лемма. Пусть А —оператор в п-мерном гильбертовом
пространстве Еп\ предположим, что tv(A) — Q. Тогда в Еп суще-
существует такой ортонормальный базис {фь ..., фп}, что (Лф/, фг) ==
= 0, 1<
Доказательство. Еслидг=1, то Л = 0, поскольку tr(A) = O,
и утверждение очевидно. Докажем по индукции, что в Еп найдется
такой ненулевой вектор ф, для которого (Лф, ф) = 0. Рассмотрим
сначала случай /2 = 2 и предположим, что в Е2 выбран такой
ортонормальный базис, в котором матрица оператора А имеет
треугольный вид
la Q
Ь -а
Пусть ф = [1, г], так что (Лф, ф) = аA — |2|2) + й. Если а = 0,
мы полагаем z = 0. Если же афО, то пусть z = retQ, где 0 выби-


182 Гл. XI. Различные приложения
рается так, чтобы число с — ЬагЧ'™ было вещественным, а г —
положительный корень уравнения г2 — сг —1=0. Легко видеть,
что в обоих случаях (Лф, ф) = 0.
Пусть теперь я>2. Допустим, что утверждение, которое мы
должны доказать, неверно. Тогда
тт|(Лф, ф)|>0.
Так как единичная сфера в Еп компактна, то на некотором
векторе ф! этот минимум достигается. Пусть т = (Лф1, ф4).
Выбирая ортонормальный базис {фь ..., фд}, имеем по предполо-
предположению
ь ф|)=0.
() +S
г=2
Это равенство можно переписать в виде
г=2
где Е — самосопряженный оператор проектирования простран-
пространства Еп на подпространство S, порожденное векторами ф2, ..., фп-
Очевидно, что оператор Е С А \- zrr^j отображает S в себя.
Поэтому из предположения индукции следует, что в S найдется
единичный вектор ф, для которого
Поскольку ?ф = ф, это означает, что
Таким образом,
что противоречит определению вектора ф4. Следовательно,
(Лф|, фО -0.
Мы можем теперь закончить доказательство леммы по индук-
индукции. Пусть ф — такой вектор нормы 1, что (Лф, ф) = 0. Пусть
So —ортогональное дополнение к одномерному подпространству,
натянутому на ф, и пусть Ео — оператор ортогонального проекти-
проектирования пространства Еп на So. Было отмечено, что лемма спра-
справедлива в случае /i=l; предположим теперь, что она справед-
справедлива для (я — 1)-мерного пространства. Тогда в So существует
такой ортонормальный базис {^2, - - -, ^л}» Для которого (Е0А^и ФО =


?. Операторы Гильберта — Шмидта
183
0% b) = °i 2<ci<n1). Ясно, что {ф, г|з2, . ..,i|?4 представ-
представляет собой искомый базис в ?п, ч. т. д.
15. Теорема. Пусть А —оператор в Еп и Хъ ^2> •••> ^д —
€го собственные значения с учетом их кратностей; пусть ХфО —
комплексное число, не принадлежащее спектру оператора Л. Тогда
Доказательство. Пусть В = ЛА, так что по теоремам VII.3.11
и VII.3.19 a{B) = {ki/K1 ..., К/Ц и E(Xt/X; В) = ?(^; Л). Кроме
п
того, tr(B)= 2 ^iA = tr(i4)/X. Пусть iV —какое-нибудь целое
число больше |trE)|. Для каждого такого Л/" определим в про-
пространстве En@EN оператор BN соотношением BN[x, y] =
= [Вх, (— l/N) tr (В) у]. Ясно, что tr(BN) = O и что собственными
значениями оператора I — BN являются числа
1 ^i 1 К 1 i tr (В) t . tr (Б)
Следовательно, определитель det (/ — -
этих чисел, т. е.
равен произведению
Так как (\/N) \ tr (В) \ < 1 и X =#= ^» то обратный оператор (/ —
существует, и легко видеть, что
Поэтому | (/ —
! (/ — 5л)1, так что
(II) |det (/ — Д^) |.| (/_
Из леммы 13 следует, что
| det (/_
(III)
det (/-BN)\ . | (/-
N
Далее, так как tr(BN) = Oy то по лемме 14 в En@EN существует
такой ортонормальный базис ziy ..., zn+Ny что {BNZh, zk) = 0.
На главной диагонали матрицы оператора I — BN относительно
х) Здесь используется то обстоятельство, что след сужения оператора
Е0А на подпространство So равен нулю; это легко следует из равенства
(Лф, ф) = 0 и предположения tr (Л) =0.— Прим перге.


184 Гл. XL Различные приложения
базиса zlt ..., zn+N стоят единицы, а на остальных местах —
соответствующие элементы матрицы BN, взятые с обратными
знаками. Следовательно,
(IV) \\I^BN\\
Комбинируя формулы (I) —(IV), получаем
|tr(fl)|» || В ||» \(N+n-
^NjN + nj^N + nJ
Это неравенство выполняется для всех достаточно больших Nf
и потому
Отсюда немедленно следует справедливость утверждения леммы,
если вспомнить, что В--А/Х и что tr(fl). -
Установив эти предварительные теоремы, относящиеся к слу-
случаю конечномерного пространства, вернемся теперь к изучению
операторов в общем гильбертовом пространстве. Желательно
было бы обобщить понятие следа на некоторые операторы в гиль-
гильбертовом пространстве; на первый взгляд может показаться, что
данное выше определение следа непосредственно применимо
к операторам Гильберта —Шмидта. Однако, как показывает сле-
следующий пример, это неверно. Пусть {хп} — ортонормальный базис
в гильбертовом пространстве ф, и пусть Т — линейный оператор,
определенный равенствами Тхп--хп/п. Тогда ряд
по оо
71=1 П=1
сходится, так что Т является оператором Гильберта — Шмидта,
в то время как ряд
оо оо
2j (Тхп, хп) = 2j ~»
П= 1 71= 1


6. Операторы Гильберта — Шмидта 18$
который мы могли бы надеяться использовать для определения
следа tr(iT), расходится. Итак, след не может быть определен
таким способом для любого оператора из класса HS. Мы увидим,
однако, что если T = UV, где оба оператора U uV принадлежат
классу Я5, то ряд
2 (Тхп% хп) = § (Vxn, U*xn)
п=1 п=1
сходится и определяет полезное понятие «следа». Это незначи-
незначительное изменение в подходе по сравнению с конечномерным
случаем оказывается достаточным для того, чтобы можно была
развить теорию вплоть до обобщения теоремы 15 на произволь-
произвольные операторы Гильберта —Шмидта.
16. Лемма. Если S и Т —операторы Гильберта — Шмидта,
в гильбертовом пространстве Sq и если {ха} —полный ортонор-
мальный базис в !q, то ряд 2 (Sxa, T*xa) абсолютно сходится
а
к пределу, не зависящему от базиса.
Доказательство. Пусть {ха} и {*/р} — два ортонормальных
базиса в Jg. В силу неравенства Шварца и теоремы IV.4.13
2 I (Sxa, Уд (Т*Ха, уй | < B | (Sxa, Уд |2}Vl (S I (T*Xa, Ур) |2}Vl =
а, р а, р а,
*v |2lV2 I
Таким образом, двойной ряд
П 2 (s*«, у*) (Т*ха,
абсолютно сходится; поэтому соответствующие повторные
сходятся и их суммы равны. По теореме IV.4.13
2 (Sx*> Т*х*) = 2
р ) 2
Р
Таким образом, сходимость и равенство повторных рядов, соот-
соответствующих двойному ряду [ ], влечет сходимость и равенство
только что выписанных одинарных рядов. Беря в качестве {г/р}
тот же самый базис {ха}, видим, что 2 (Sxa, Т*ха) = 2 (Тха, S*xa)r
а а
так что это выражение симметрично относительно S и Т. Отсюда,.


186 Гл. XI. Различные приложения
«еще раз применяя ["], получаем, что это выражение не зависит
ют базиса, ч. т. д.
17. Определение. Если S и Г —операторы Гильберта — Шмид-
Шмидта в $, то следом пары S, Т назовем выражение
tr(S, T) =
a
где {ха} — какой-нибудь ортонормальный базис в <q.
18. Теорема. След является симметричной билинейной функцией,
определенной на произведении пространства HS на себя. Кроме
того, если S и Т принадлежат HS, то
|tr(S, r)|<||S|H|71, trG\ Г*) = ||Г||2.
Доказательство. Симметрия следа и неравенство | tr (S, Т) | <
<||S||-j|r|| были установлены в ходе доказательства предыдущей
леммы. Билинейность и соотношение tr (Г, Г*) = || Т ||2 вытекают
непосредственно из определений 1 и 17.
Из полученных выше результатов легко следует, что HS —
гильбертово пространство относительно скалярного произведения
{Sf 7]^trE, T*). Хотя этот факт представляет определенный
интерес, но он не найдет в дальнейшем изложении сколько-
нибудь значительных применений. Однако сам по себе след
является полезным инструментом.
19. Следствие. Функция tr(S, 71), рассматриваемая как ото-
отображение пространства HS ® HS в поле комплексных чисел,
непрерывна.
20. Лемма. Пусть Т — ограниченный конечномерный линейный
оператор в гильбертовом пространстве ig. Пусть 91 — нуль-про-
нуль-пространство оператора Т, а Е — оператор ортогонального проек-
проектирования на какое-нибудь конечномерное подпространство про-
пространства $, содержащее 91-4 Тогда
(a) спектры операторов Т и ЕТ совпадают-,
(b) если f ~ аналитическая функция из класса Jf (T)
•(ср. VII.3), такая, что /@) = 0, то f(ET) = Ef(T), f(T) =
= /(Г)?, tr(/(r), T) = tr (f (ЕТ), ЕТ), a tr (f(ET), ET) совпа-
совпадает со следом сужения оператора ETf (T) на конечномерное
подпространство Е
Доказательство, (а) Поскольку пространство ^ бесконечно-
бесконечномерно, точка 0 принадлежит спектру каждого из операторов Т
и ЕТ. Допустим, что число ХфО принадлежит спектру опера-
оператора Т. Так как оператор Т вполне непрерывен, то по теоре-
ме VII.4.5 X является его собственным значением, т. е. Тх=--\х


6. Операторы Гильберта — Шмидта 187
для некоторого ненулевого вектора х из $, и потому (ЕТ) (Ех) =
= ХЕх, ибо Т — ТЕ. Следовательно, X принадлежит спектру опе-
оператора ЕТ1). Обратно, предположим, что отличное от 0 число X
принадлежит спектру оператора ЕТ. Тогда для некоторого нену-
ненулевого вектора х из E<q имеем ЕТх = Хх. Поэтому Тх = Хх + у,
где у принадлежит подпространству (/ — Е) $, а потому и нуль-
пространству оператора Т. Положим и = \~ху. Тогда Т(х^и) =
= Х(х-\~и); следовательно, X является собственным значением
оператора Т.
(Ь) Пусть X принадлежит резольвентному множеству опера-
оператора Т. Легко проверить справедливость тождества
М — Т=(Х1 — ЕТ) Х-1 A—Е)(Х1-Т) + (XI -ЕТ)Е,
раскрывая скобки в правой части и учитывая, что Т = ТЕ. Умно-
Умножим это тождество слева на (XI —ЕТ)'1 и справа на (XI — Г),
получим
[*] (XI - ЕТ)-1 = Х-1 A-Е) + Е (XI — Т)-1.
Предположим, что аналитическая функция f принадлежит классу
JF (Т), а значит, в силу (а) и классу ^ (ЕТ), и что /@) = 0.
Учитывая соотношение [*], выбирая подходящий контур интегри-
интегрирования С и используя определение оператора f(T), данное
в § VII.3, получаем
Почти таким же способом можно доказать, что f (T) E = f (ТЕ),
а это показывает, что f (T) E = f (Т), поскольку Т = ТЕ.
Пусть {ха, а(= А} — ортонормальный базис в g. Так как под-
подпространство E<q конечномерно, без ограничения общности можно
предположить, что в А имеется такое конечное подмножество В,
что {ха, agS} — ортонормальный базис в E!q, а {ха, а?А — В} —
ортонормальный базис в (I — E)!q. Тогда, поскольку Т = ТЕ,
имеем Т* = ЕТ* и
П tr(/(?T),
= 2 (Ef(T)xa, (ET)*xa) =
х) Вектор Ех не равен нулю, ибо в противном случае х ? У1, откуда
х = Тх = 0.— Прим. перев.


188 . Гл. XI. Различные приложения
= 2 (f(T)Xa, T*Xa) =
= 2 (ETf{T)xa, Xa) =
аев
= tt(ETf(T)\E%).
Так как /(Г)? = /(Г), то /(Г)(/ — Е) = 0 и f(T)xa = O для
а?А — В; и из третьей строки соотношений ['] следует, что
tr(/(T), 7)=
Доказательство закончено.
21. Лемма. Пусть Т — линейный оператор в конечномерном
гильбертовом пространстве Еп, и пусть Яь . ..,ЯП — его собст-
собственные значения с учетом кратностей. Тогда в Еп найдется
такой ортонормальный базис {xt}, для которого
(Тхи *|) = Ь|, « = 1, ..., п.
Доклзлтильство. Покажем, что в Еп существует ортонормаль-
ный базис {Xi}% в котором матрица (а^) оператора Т имеет
треугольный вид, т. е. а^^О при ]>i. Докажем это индук-
индукцией по п. Если п=1, то утверждение очевидно. Пусть п>1,
и пусть К — собственное значение оператора Т. Тогда оператор
T — XI отображает Еп в некоторое подпространство S0^En. Пусть
S —такое (п—1)-мерное подпространство в Еп, что S^S0- Тогда
поскольку подпространство S инвариантно относительно операто-
оператора Г — Xlj в нем по предположению индукции найдется такой
ортонормальный базис {#1, ...,#n-i}, что ((Т — %1)хг, Xj) = 0 при
/>/. Пусть хп — вектор с нормой 1, ортогональный к S, так что
{^i, ..., хп} — ортонормальный базис в Еп. Тогда матрица опера-
оператора T — hl в базисе (*i, ..., хп) имеет своими элементами
числа ((Т — к1)хг, Xj), причем ((Т — %1)хи #7-) = 0 при /">/.
Нужный ортонормальный базис построен.
Таким образом, определитель det (X/ — Т) можно вычислить
по формуле
det (А/- Г) = (А-(Г*!, х1))...(к-(Тхп, хп)).
Следовательно, из замечания, предшествовавшего теореме 12,
вытекает, что последовательность (Тхи Xt), t = l, ..., я, является


6. Операторы Гильберта — Шмидта 189
последовательностью собственных значений оператора Т с учетом
их кратностей, ч. т. д.
Замечание. Пользуясь разложением в степенной ряд показа-
показательной функции от оператора, легко показать, что если матрица
оператора А в Еп относительно базиса {хъ ..., хп) имеет тре-
треугольный вид с диагональными элементами Я4, ..., А,д, то матрица
оператора еА в том же самом базисе также имеет треугольный
вид с диагональными элементами е%1, ..., е*"*; таким образом,
определитель этой последней матрицы равен
Это означает, что deteA = etr<A). Поскольку, согласно доказатель-
доказательству предыдущей леммы, для любого оператора найдется базис,
в котором его матрица имеет треугольный вид, это тождество
справедливо и в общем случае. Если А — такой оператор в Еп,
для которого существует Л, так что может быть определен
оператор log Л, то указанное тождество можно переписать в виде
det A = det elog Л = etr <los А>.
Это тождество будет нам полезно в дальнейшем.
В лемме 22 и в следствии из нее мы делаем существенный
технический шаг, необходимый для перенесения результатов,
полученных для конечномерного пространства, на бесконечно-
бесконечномерный случай.
22. Лемма. Пусть А,, г — комплексные числа, причем
и пусть
f(K 2) = z-4
Пусть {ха} — ортонормальный базис в гильбертовом простран-
пространстве ©, и пусть Т—оператор Гильберта —Шмидта, спектр
которого не содержит точки Аг1. Тогда для каждого конечного
подмножества В а {ха} справедливо неравенство
|exp[tr(f(A, Г),
xa)}]
X
X
Доказательство. Уже было отмечено, что Тха = 0 для всех,
кроме, быть может, счетного числа векторов ха. Пусть {ха.} —
множество всех тех ха, для которых Тхаф0; положим хг = ха.
Можно считать, что В = {хи ...,хп}. Пусть Tk—линейный


190 Гл. XL Различные приложения
оператор, определенный следующими равенствами:
= 7**1, l<i<ftf
Область значений оператора Гд конечномерна, и последователь-
последовательность {Th} сходится к Г по норме Гильберта—Шмидта.
Если Х^О, то утверждение леммы тривиально. Пусть %ФО\.
тогда /(X, 0) = 0. Пусть $д— подпространство в §, натянутое
на *!, ..., *д. Обозначим через Яд оператор ортогонального»
проектирования Jg на фд, и пусть Гд = ?дГд | ?д—сужение опера-
оператора ^дТд на Йд. По лемме 20
Таким образом, используя теорему 12 и замечание, предшествую-
предшествующее формулировке доказываемой леммы, имеем
Th), Th) , ___
I — i e
__ , tr(log(I-bf ft))
<П
= fi [l-2R
lj |l-2Re(Xrjc,, x^ + lKTxil^explj^ReiKTXi, x,)}.
lj ( ^ ll^pj^
1 — 1 I— 1
Задавшись натуральным числом /z, выберем k>n. Тогда, при-
применяя неравенство 1-|-Б<е* для g= — 2Re(XTxti хг) + \ХТхг\2г
получаем, что последнее выражение в приведенной выше после-
последовательности неравенств не превосходит
П [
к к
2 Re(XTx.fXj) A/2) 2
fl
2
г=п+1


6. Операторы Гильберта — Шмидта 19/
= Д [ 1 -2 Re (XTxt, xt) +1 lTxt |2]1/2 x
n k
2 Re (KTxv xt) A/2) 2 ^Txi\2
Xei=i e
Таким образом, для каждого k>n
п
[']|exp[tr(/(X, ГЛ), ГлМКП!1-2
k
X exp ( 2 Re (^Г-^ь ^)) exp (y
2) •
По теореме 7, /(X, 7\) сходится к /(X, Г) по норме Гильберта —
Шмидта. Следовательно, в силу непрерывности функции следа
(см. следствие 19)
tr(/(X, ГЛ), 7A)-»tr(/(X, Г), Г).
Устремляя в ['] k к бесконечности, получаем требуемое нера-
неравенство.
23. Следствие. Для любого е>0
lim ^-8J^2|exp[tr(/(^, Г),
|Х1->оо
Доказательство. Выберем конечное множество В столь боль-
большим, чтобы выполнялось неравенство
Обозначим для удобства М = ^\(Тха, ха)\. Из леммы 22 еле-
дует, что
, Г), Г)] |<
Выражение, стоящее в правой части неравенства, стремится*
очевидно, к нулю, ч. т. д.
Теперь мы можем пожинать плоды своих трудов, получая
бесконечномерные обобщения основных конечномерных резуль-


192 Гл. XL Различные приложения
татов. Эти обобщения даются в следующих двух теоремах и далее
в теореме 27.
На протяжении нескольких следующих страниц полезно пом-
помнить, что оператор N в гильбертовом пространстве квазиниль-
потентен, если lim |Nn|1/n = 0 (см. VII.5.12 и IX.2.5). По лемме
П-*оо
VII.3.4 это равносильно условию a(N) = {0}.
24. Теорема. Пусть N—квазинильпотентный оператор Гиль-
Гильберта—Шмидта. Тогда tv(N, N) = 0.
Доказательство. Поскольку a(N) = {0}, функция /(A,, N)
из леммы 22 определена для любого комплексного числа %
и по теореме 7 имеет своим значением оператор Гильберта —
Шмидта. Так как для каждого %
v f(X + AK z)-f(k, z) _ df (X, г)
11111 Т~» дд
wo **• ™
равномерно по г в некоторой окрестности точки г = 0, то из тео-
теоремы 7 следует, что предел
существует в смысле сходимости по норме в HS и равен
df(X, N)ldX. Таким образом, f(k, N) — аналитическая функция
со значениями в пространстве HS. Из следствия 19 вытекает,
что функция gy определенная равенством
N), N),
аналитична для всех X. Ясно также (это следует из определения
f (Л,, N)), что g@) = 0. Предыдущее следствие показывает, что
]ехр(g(h)) \ = о(е^2) при Х—>оо для всякого положительного е.
Таким образом, для каждого е>0
Г1 Ит [Re(g(X))-e|X|«]<0.
Теперь, применяя простую и хорошо известную теорему Кара-
теодори из теории функций комплексного переменного (ее форму-
формулировка и доказательство даны ниже в лемме 32), из последнего
неравенства получаем, что
Таким образом, функция g(k)/№ в точке Я- = оо аналитична
и равна нулю. Отсюда непосредственно следует, что g(k) в окре-


6. Операторы Гильберта — Шмидта 193
стности точки Я = со разлагается в ряд Лорана
Следовательно, функция g(X) — аХ аналитична при любом Я,
конечном или бесконечном, и равна 0 при Я = 0. По теореме
Лиувилля отсюда следует, что g(X) — aX = 0, т. е. g(X) = aX.
Далее, поскольку /(Я, z) = z~1 [logA — Xz) + Xz], ясно, что
„X. а) —2^.
причем этот ряд равномерно сходится для достаточно малых X и z.
Таким образом, из теоремы 7 следует, что ряд
fe=2
сходится по норме пространства HS для всех достаточно малых Я.
По следствию 19
k=2
Отсюда немедленно следует, что tr(N, N) = 0, ч. т. д.
25. Теорема. Пусть Т — оператор Гильберта — Шмидта,
пусть Яь Я2, ... —последовательность его ненулевых собственных
значений с учетом их кратностей. Если f и g —функции, ана-
аналитические в окрестности спектра оператора Т и равные нулю
в начале, mo f (T) и g(T) —операторы Гильберта —Шмидта, и
причем ряд в правой части абсолютно сходится.
Доказательство. Покажем сначала, что
И Д1К*!)|2<оо.
Из теоремы 7 и теоремы об отображении спектра (VII.3.19) следует,
что достаточно рассмотреть случай f(z) = z и доказать, что
оо
Г**1 V И 12^* ^
13 Заказ № 134


494 Гл. XL Различные приложения
Пусть ?(Я|; Г) —проектор, определенный в § VII.3, и пусть
Гп —сужение оператора Т на подпространство
Ясно, что А.1, ..., Ли являются собственными значениями опера-
оператора Тп в $п. Так как, кроме того, ||ГЛ||<||Г||, а из леммы 21
И следствия 3 мы имеем
п
SI 5l. I2 <^\\ T II2
то неравенство [**] справедливо.
оо
Таким образом, абсолютная сходимость ряда 2 f (^) g (К)
следует из [*] и неравенства Шварца. Пусть $' —замыкание под-
пространства 21 ^(^j; Г)§, и пусть §Л —ортогональное дополне-
ние к Q'. Пусть {фп} — ортонормальный базис в ф', выбранный
так, что {фп ..., фщ}— базис в фь {фь ..., фП2} —базис в @2
и т. д. Пусть {t|>a} — ортонормальный базис в ?". Тогда, очевидно,
из определения 17 следует, что
tr(/(r>. tf (Г))» § (/()Фь я()ф) + 2
По теоремам VII.3.20, VII.3.19 и лемме 10
il
Доказательство настоящей теоремы будет, следовательно, закон-
закончено, если мы покажем, что ^(f(T)ipa, gEn)*1l?a) = 0.
Поскольку (f(T)ypa, g(T)*yp*) = (g(T)ya, f(T)*%), спра-
справедливость нужного нам равенства следует, очевидно, из справед-
справедливости трех соотношений
П


6. Операторы Гильберта — Шмидта 195
которые все имеют одну и ту же форму; поэтому достаточно
привести доказательство первого из них. По теореме VII.3.20
оператор f (T) отображает пространство $& в себя, а потому
/(Г)* отображает &' в себя. Пусть /(r)*|?" = S. Тогда по тео-
теореме 7, лемме 2 и определению 1 S является оператором Гиль-
Гильберта—Шмидта. Имеем
(Pf (Л х, у) - (/ (Г) х, у) = (х, f (T)* у),
где Р — оператор ортогонального проектирования на .%". Таким
образом, Pf (Г) | ?>" = S*. Следовательно, первое из соотношений [']
равносильно утверждению
["] tr(S, S)-0.
Из теоремы 24 следует, что для того чтобы доказать ["],
достаточно показать, что оператор S квазинильпотентен. Если S
не является квазинильпотентным оператором, то по теореме VII.4.5
существуют такое ненулевое комплексное число \х и такой нену-
ненулевой вектор jt? §", что Sx = \ix. Поэтому снова по теореме VII.4.5
Е (^ f(T)*) &" ?= {0}. Из абзаца, следующего за определением
VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 следует, что
Тогда, согласно теореме VII.3.20, найдется такое ненулевое
комплексное число v, что ?(v; T)* Sq" Ф {0}. Однако, поскольку
по определению ($", Е (v; Т) $) = 0 для любого ненулевого
комплексного числа v, мы получаем противоречие, которое
доказывает справедливость настоящей теоремы.
26. Теорема. Пусть Т —оператор Гильберта — Шмидта с нену-
ненулевыми собственными значениями Хи А,2, ... с учетом их крат-
ностей. Тогда бесконечное произведение
г=1
сходится и определяет функцию, аналитическую при ХфО. Для
каждого фиксированного ХфО эта функция является непрерыв-
непрерывной комплекснозначной функцией на В-пространстве всех опера-
операторов Гильберта — Шмидта.
Доказательство. Заметим сначала, что если ?— комплексное
число и | ?|< 1, то
/ 1 1 \
13*


J96 Гл. XI. Различные приложения
при ?-*0. Пусть f (Q = t log{etA — С)} и g (?) = ?, так что
функции fug аналитичны всюду, кроме ?=1, и равны 0 при
? = 0. Если Т — оператор Гильберта — Шмидта, все ненулевые
собственные значения которого Я1? Я2, ... отличны от 1, и если
Я=^0, то, согласно VII.3.11, оператор 77Я имеет собственные
значения Я^Я, Я2/Я, .... Применяя теорему 25, получаем
т).т)-2
причем ряд в правой части абсолютно сходится, если ХфХи для
всех k.
Так как Я&—>0, то из оценки [*] следует, что ряд
! log
сходится равномерно и абсолютно на каждом компактном мно-
множестве чисел Я, не содержащем ни точки 0, ни никакой из точек Я*.
Поэтому, потенцируя, получаем, что произведение
равномерно сходится на каждом таком компактном множестве.
Так как это произведение, очевидно, сходится к нулю при Я = Я^,
то легко видеть, что функция фа, (Г) аналитична при Я=?0
и обращается в нуль лишь при Х?в(Т).
Осталось показать, что если Я фО, то функция фа, G") непре-
непрерывна по Т относительно нормы Гильберта — Шмидта в HS. Рас-
Рассмотрим в HS такую последовательность {Тп}, что \\Тп — Т\\—>0.
Тогда если С — компактное подмножество множества q(T),
то из неравенства | Тп — Г|<!|| Тп — Т\\ и леммы VII.6.3 следует,
что C^q(Tu) для всех достаточно больших п. Если f — функция,
введенная в начале доказательства, то для достаточно больших п
операторы f (TJK) определены для всех Я из С и по теореме 7
принадлежат HS. Из теоремы 7 следует, что
равномерно по Я на компактном множестве С. Таким образом,
по теореме 14
равномерно по Я на С.


6. Операторы Гильберта — Шмидта 197
Далее, поскольку q>x(T) = exp{tv (f (T/X), 77Я)} для Я из q(T),
из предыдущего соотношения следует, что
равномерно по Я на С. Но для каждого п функция Цх(Тп) ана-
литична при ХфО. Следовательно, если С — контур, не охваты-
охватывающий точку Я = 0, то из равномерной сходимости последова-
последовательности {<р\(Тп)} на С и принципа максимума модуля вытекает
равномерная сходимость этой последовательности внутри контура С,
даже если С охватывает ненулевые точки спектра о(Т). Поэтому
фа.^)—>ф*,(Т) для всех Я Ф 0, что доказывает непрерывность
на HS отображения Т—>фя,(Г), ч. т. д.
Предыдущие результаты дают довольно много информации
относительно распределения собственных значений оператора
Гильберта —Шмидта. Мы видели, что такой оператор может иметь
не более счетного числа собственных значений, причем они
должны достаточно быстро сходиться к единственной пре-
предельной точке Я^О, чтобы ряд 2|Я,|2 сходился. Кроме того,
существует такая аналитическая при ХфО функция <$%(Т), что
ее нули в точности совпадают с ненулевыми собственными зна-
значениями оператора, причем эта аналитическая функция является
довольно простой. Используя свойства функции фа, (Г), изложен-
изложенные в теореме 26, мы в состоянии теперь распространить фунда-
фундаментальное неравенство Карлемана, полученное в теореме 15
для операторов в конечномерном пространстве, на произвольные
операторы Гильберта —Шмидта.
При изложении следующего результата мы продолжаем поль-
пользоваться обозначением
напомним, что функция <рх(Т) аналитична при Я=?0 и равна
нулю на множестве о (Г) — {0}.
27. Теорема (Карлеман). Если Я принадлежит резольвент-
резольвентному множеству оператора Гильберта — Шмидта Т, то
Доказательство. Из теорем 26, 6 и леммы VII.6.1 следует, что
достаточно рассмотреть случай, когда область значений $1 опе-
оператора Т конечномерна. Пусть iQ—-область определения опера-
оператора Г, и пусть 91^{л:6§| Тх = 0}. Тогда оператор Т отобра-
отображает 91-1 взаимно однозначно на ffi. Таким образом, подпрост-


198 Гл. XI. Различные приложения
ранство 51-^ должно быть конечномерным. Пусть % — одномерное
подпространство в 51, Ш1 = У1х + $1 + <5 и Ш2=Ш{-. Тогда
Ш2 0 и raKiSSOdi. Положим Г1 = Г|30A1. Тогда ясно, что
|| Л || || Г ||, ст G,) = а (Г), фяG1) = фХ(Г). Кроме того, если
m, €8»i и ш26%, то (XI-T)-1(mi + m2) = (XI-Ti)-1
Таким образом,
| (XI-Т)-11 -max (| Г11, | (W- Г,)1).
С другой стороны, неравенство
не может иметь места, поскольку тогда из леммы VII.6.1 следо-
следовало бы, что оператор 7\ обратим, что невозможно, ибо собст-
собственные векторы из @ принадлежат его области определения ЯЛ4.
Итак,
Следовательно, настоящая теорема вытекает непосредственно
из теоремы 15.
28. Следствии. Пусть N — квазинильпотентный оператор
Гильберта — Шмидта. Тогда для всякого ХО
\R(K;
Эффективность неравенства Карлемана при изучении свойств
полноты системы собственных функций операторов Гильберта —
Шмидта станет ясной из следующей теоремы, в которой в весьма
общем случае при помощи рассуждений теоретико-функциональ-
теоретико-функционального характера, основанных на принципе Фрагмена —Линделефа,
устанавливается важное свойство полноты.
В следующей теореме и в ее следствиях символом sp(T), где
Т — ограниченный или неограниченный оператор в гильбертовом
пространстве .?, будет обозначаться замкнутое подпространство,
порожденное всеми векторами х из гильбертова пространства §,
удовлетворяющими уравнению (XI — Т)п х — 0 для какого-нибудь
комплексного К и какого-нибудь неотрицательного целого п.
29. Теорема. Пусть Yi> ..., у5 —непересекающиеся дифферен-
дифференцируемые дуги на комплексной плоскости, выходящие из начала
координат. Предположим, что каждая из пяти областей, на
которые эти дуги делят плоскость, содержится в секторе
с углом раствора меньшим, чем я/2. Пусть N> 0 —целое число,
и пусть Т —оператор Гильберта —Шмидта в гильбертовом


6. Операторы Гильберта — Шмидта 199^
пространстве ig, резольвента которого допускает оценку
\R(X; Т)\ = О(\КГ%
если X —> 0 вдоль какой-нибудь из дуг уг. Тогда подпростран-
подпространство spG) содержит подпространство TNfe.
Доказательство. По теореме Хана— Банаха (II.3.13) доста-
достаточно показать, что всякий элемент у из §, удовлетворяющий
соотношению (х, у) = 0 для всех х из sp (Г), удовлетворяет
также соотношению (TNx, ?/) = 0 для всех х из §.
Пусть у —такой элемент. По теореме VII.4.5 функция у(Х) =
= XNR(X; T*)y аналитична всюду на комплексной плоскости,
кроме, быть может, точки Х^О и счетного множества изолиро-
изолированных точек Хт, таких, что Хт —> 0; в точках Хт функция у (X)
может иметь полюсы. Если X содержится в малой окрестности
точки Хт и ХфХт, то
Т*))у =
T)*R(X; Т
из теоремы VII.3.20 и леммы VII.3.2 следует, что функция
#! (X) аналитична и при X = Хт. Покажем теперь, что функция
у2 (Я) = XNE (Xm; T)*R(X\ Ту у равна нулю; этим будет доказано,
что функция у (X) аналитична во всех точках Хт, так что может
не быть аналитической лишь в точке Я = 0. Заметим, что
= XN(y, E(Xm; T)R(X; T)x).
Из теоремы VII.4.5 следует, что элемент E(Xm; T)R(X; T)x
принадлежит sp (Г). Так как у принадлежит sp (TI-, то (у2 (X), х) = 0
для каждого х из §; таким образом (П.3.14), ?/2(Я) = 0. Итак,
функция XNR(X; T*)y аналитична на всей плоскости, кроме, быть
может, начала координат. Допустим, что нам известно, что эта
функция аналитична также и в начале. Тогда из тождества
T*NR(X- T*)y = XNR(X; Т*)у-Х™-'у-Хн-2Т*у- ... -Т*{"~{)у
следует, что функция T*NR (X) Т*)у аналитична на всей плос-
плоскости. Поскольку эта функция на бесконечности обращается
в нуль, то из теоремы Лиувилля вытекает, что T*NR(X; T*)y =
= 0; поэтому, разлагая резольвенту в ряд Лорана в окрестности
бесконечно удаленной точки, получаем, что T*Ny = 0 (ср. VII.3.4).
Итак, (у, TNx}-=0 для всех х из §, что мы и собирались дока-
доказать.


200 Гл. XI. Различные приложения
Таким образом, доказательство основывается на утверждении,
что функция у (Я) =*= 1NR (Я; Г*) у аналитична в начале. Чтобы
доказать справедливость этого утверждения, поступим следую-
следующим образом. Поскольку функция у (Я) имеет самое большее
единственную изолированную особенность в точке Я = 0, она
допускает разложение в ряд Лорана (ср. § III. 14)
справедливое при Я=^0. Таким образом, для каждого х из $q
функция (у (Я), х) разлагается в ряд Лорана
(у(Я), х)=...+(а-л,хIс9 +
Ниже мы покажем, что для всякого х из ig эта последняя функ-
функция аналитична на всей плоскости. Отсюда будет следовать, что
(a-s,x)==0 для каждого s>0 и каждого х из $q; так что
по теореме Хана —Банаха а_я~0 для всякого s>0. Следова-
Следовательно, функция у (к) аналитична при Я^О. Итак, чтобы закон-
закончить доказательство, мы должны лишь показать, что функция
ДЯ) — (KNR (Я; Г*) /у, х) при всяком х из ig аналитична в начале
координат. Оператор Т* отображает ортогональное дополнение
sp(r)-1- подпространства spG) в себя. Пусть S —сужение опера-
оператора Т* на spG1)^*. Допустим, что оператор S не является ква-
зинилыютеитмым. Поскольку но лемме 2 и теореме 6 оператор S
вполне непрерывен, то из теоремы VII.4.5 следует, что сущест-
существуют такое ненулевое комплексное число \х и такой ненулевой
вектор х в sp(r)-1-, что S* = |jia;. Таким образом, снова по теореме
VII.4.5 E(\x; T*) (sp(r)-L)=^={0}. Из абзаца, следующего за опре-
определением VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 выте-
вытекает, что
?([х; Г*) = ?(мГ; Т)*.
Согласно теореме VII.4.5, Е (\i\ T) <g s sp (T) и, таким образом,
(sp(T)\ E(wT)Q) = 0. Поэтому (?0i; 74*)spG1)"L. © = 0, а это
противоречит тому, что E(\i; T*)sp (Г)±=т^{0}. Полученное проти-
противоречие показывает, что оператор S квазинильпотентен. По след-
следствию 28 резольвента оператора S допускает оценку
| R (Я; S) | = О (ellsi|V2ix|i) При Я -> 0.
Итак, функция / обладает следующими двумя свойствами:
(a) |/(Я)| = |(Я*#(Я;Г*I/, х) \ = О (е№№М*) при Я~>0;
(b) / ограничена на каждой из пяти дуг уг (по условию тео-
теоремы).


6. Операторы Гильберта — Шмидта 201
Из принципа Фрагмена —Линделефа следует, что функция /
аналитична в начале координат, ч. т. д.
Для удобства читателя набросок доказательства принципа
Фрагмена — Линделефа приложен в конце настоящего параграфа.
30. Следствие. Пусть дуги ух, ..., у5 выбраны так же, как
в предыдущей теореме; предположим, что, когда Я стремится
к нулю вдоль какой-нибудь из этих дуг, резольвента R (X; Т)
оператора Гильберта — Шмидта Т допускает оценку | (R (k; T) \ =
= О (| ЯI). Тогда подпространство sp (Г) совпадает со всем
гильбертовым пространством @.
Доказательство. Так как из предыдущей теоремы следует,
что подпространство sp (T) содержит замыкание области значений
оператора 7\ то достаточно показать, что совместная замкнутая
линейная оболочка области значений 9? (Г) и нуль-пространства
31 (Т) совпадает со всем пространством @. Пусть {К} — сходя-
сходящаяся к нулю последовательность комплексных чисел, лежащих
на одной из двух yt, и пусть а;—произвольный вектор из Jg.
Тогда по предположению последовательность {knR(K\ T)x} огра-
ограничена. Поэтому без ограничения общности можно считать
(см. IV.4.7), что эта последовательность слабо сходится к неко-
некоторому элементу у. Доказательство будет закончено, если мы
покажем, что (а) Ту = 0 и что (Ь) вектор х — у принадлежит
подпространству di(T). Для того чтобы доказать (а), заметим,
что для всякого г из ^
г) | = | (у, T*z) | = | lim (*, \R (К; Г*) T*z) \ =
= | lim [{x, VnR (V, Г*) z) - К (х, г)
= Пт|Яп|ОA) = 0.
п->оо
Чтобы доказать (Ь), заметим, что для любого z из ортогональ-
ортогонального дополнения к 9ft (Г)
(х-у, г) = 1\т(х-ЪЯ(К\ Т)х, z)= -lim (TR(K; T)x, г) = 0,
п->оо
и, следовательно, х — у принадлежит ($i(TI-)-L = <di(T), ч. т. д.
31. Следствие. Пусть Т —неограниченный оператор в гиль-
гильбертовом пространстве $, определенный на всюду плотном под-


202 Гл. XL Различные приложения __т
множестве и обладающий тем свойством, что для некоторого
Ло из резольвентного множества q (Г) оператор R (Яо; Т) принадле-
принадлежит классу Гильберта— Шмидта. Пусть Yi, ..., уь —непересекаю-
—непересекающиеся дифференцируемые дуги, каждая из которых имеет пре-
предельное направление на бесконечности, причем угол, образуемый
на бесконечности любыми двумя соседними дугами, меньше чем
я/2. Предположим, что резольвента R(K; Т) допускает оценку
I/?(k\ Т) | = 0(\К\м), когда К —> оо вдоль какой-нибудь из дуг yt.
Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым
пространством jg.
Доказательство. Допустим определенности ради, что Яо —О,
так что Г является оператором Гильберта —Шмидта. Из тож-
тождества
ЖАТ1; T-^^XI-WRCk; T)
следует, что при некотором целом положительном N оператор Т
удовлетворяет условиям теоремы 29. Из теоремы VII.9.8 легко
следует, что множество всех векторов х, удовлетворяющих при
каком-нибудь комплексном X и каком-нибудь целом неотрицатель-
неотрицательном п уравнению (Л/— Т)пя — 0, совпадает с множеством всех
векторов х, удовлетворяющих при каком-нибудь комплекс-
комплексном и и каком-нибудь неотрицательном целом m уравнению
(|л/ — /4)mjc = O. Отсюда и из теоремы 30 мы заключаем,
что существует такое целое положительное N, для которого
sp(T) з (Т1)^^. Так как область определения оператора Т всюду
плотна в $, то T~1<q=<q и, следовательно, (Т1)^$ — $, ч. т.д.
Закончим этот параграф доказательством двух хорошо извест-
известных теорем из теории функций комплексного переменного, кото-
которыми мы воспользовались выше.
32. Лемма (Каратеодори). Пусть f —функция, аналитическая
в круге \z\-tCR комплексной плоскости, и пусть /@) = 0. Тогда,
если Re/(z)<M при \z\--R, то |/(z)|<2M при |z|<#/2.
Доказательство. Изменяя масштабы измерения зависимого
и независимого переменного, можно, очевидно, предположить,
что М = R = 1. Пусть
Тогда, так как отображение ?—>?B — ?)~г переводит полуплос-
полуплоскость Re?<l в единичный круг и оставляет точку ? = 0
на месте, |g(z)|<l при |z| = l, g@) = 0. Применяя к функции


6. Операторы Гильберта — Шмидта 203
g(z)/z принцип максимума модуля, находим, что
1
'I
при |z|<l/2. Таким образом, 1 — \f(z) |/2 >0 при | г |< 1/2, ч. т. д.
33. Лемма (Фрагмен — Линделеф). Пусть g —функция ком-
комплексного переменного z, аналитическая внутри замкнутого угло-
углового сектора о единичного круга, образованного парой непересекаю-
непересекающихся дифференцируемых жордановых дуг Yi и у2, идущих из начала
к единичной окружности и образующих в начале угол с раствором
меньшим, чем я/2. Предположим также, что функция g анали-
тична в окрестности каждой из полуоткрытых дуг Yi — {0}
и Y2 —{0}, ограничена на каждой из этих полуоткрытых дуг
и допускает оценку
когда z —>0, оставаясь внутри а. Тогда
1*(*)| = 0A).
если г—>0, оставаясь внутри сектора а.
Доказательство. Очевидно, что, поворачивая (если нужно)
комплексную плоскость, мы можем без ограничения общности
предположить, что а является подмножеством углового сектора
где б —малое положительное число. Пусть М — верхняя грань
для |g| на множестве, составленном из полуоткрытых дуг yi — {0},
Y2 —{0} и дуги
Для каждого е > 0 рассмотрим функцию
Так как \ arg(z-2-6) |< B + 6) (я/4 — 6)<я/2 — б для всех z
из аи то
I'] |ехр(-ег-2-*)|<1, xtd,
и даже
I"] | ехр (— ez-2-6) |<ехр (— б | z | sin б), z ?а4.
Итак, поскольку | g (z) | = О (е]-г\ ), из ["] следует, что \he(z)\
сходится к нулю, когда z стремится к нулю, оставаясь в а.


204 Гл. XI. Различные приложения
Поэтому из ['] вытекает, что величина \h8(z) | ограничена постоян-
постоянной М на всей границе области
Применяя принцип максимума модуля, мы выводим отсюда, что
величина | Ле (z) | ограничена постоянной М всюду на а2. Если
е-~*0, то he(z) —>g(z). Таким образом, полагая 8—> 0, получаем,
что модуль функции g(z) ограничен внутри а2 постоянной М, ч. т. д.
7. Преобразование Гильберта и неравенство
Кальдерона — Зигмунда
В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые важные
сингулярные интегральные операторы и некоторые неравенства
для этих операторов, полученные в одномерном случае Гильбертом
и М. Риссом, а в я-мерном случае —Кальдероном и Зигмундом.
Эти операторы и неравенства, интересные и сами по себе, найдут
также определенные применения в последующих главах1).
Мы будем рассматривать интеграл свертки
A) (*•/)(*>-$ k{x-y)f(y)dy
как оператор в Lp(En) и дадим условия, при которых можно
утверждать, что линейное отображение TV- f —>k*f является
ограниченным оператором в Lp(En). Если \ \k(y)\dy <со, то
Еп
из леммы 3.1 следует, что интеграл свертки A) существует для
почти всех х и определяет ограниченное отображение простран-
пространства Lp(En), 1<р<оо, в себя. Для р=1, р=оо и р = 2 норма
этого отображения может быть точно вычислена. Если р = 2, то
/г-мерный аналог теоремы 3.21 (d) (см. обсуждение теоремы 3.22) дает
i= sup |J
Так как Lt^L*,, то из теоремы IV.8.5 следует, что
k (х) | dx.
Еп
г) Особенно большие применения имеют эти неравенства в теории общих
граничных задач эллиптических уравнений (Агмон, Дуглис, Ниренберг [1*])
и сингулярных уравнений (Михлин [2*]).— Прим. ред.


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 205
А так как |TJE| = |7\|f то ясно также, что
\ThU~ \ \k(x)\dx.
Поскольку в некоторых случаях интегралу
B)
можно придать смысл, д«жг гели \ \k(x)\dx -со (^например,
по теоремам Иллншерели XI.П.9 и XI.3.22 это можно сделать,
если \ | k(x)\2dx<. оо V это наводит на мысль попытаться
определить оператор 7\ и тогда, когда \ | k (x) \ dx = оо. В этих
случаях мы можем надеяться, что интеграл A) существует в «сред-
«среднем» или в смысле «главного значения» и определяет ограниченное
отображение пространства L2(En) в себя, если только интеграл B)
существует в некотором аналогичном смысле и является ограничен-
ограниченной функцией от у.
Рассмотрим, например, случай п=1 и возьмем k (х) = 1 /х.
Интеграл A) принимает вид
C)
этот интеграл изучался Гильбертом. Интеграл B) можно интер-
интерпретировать в смысле главного значения Коши:
Р eixy л 1- f P i ? 1 eixv j I- P eixv — e~ixv ,
\ —— dx= lim I + \ \—rdx = hm \ dx =
— oo —oo e 8
\ n(y) \ ^^dx =
2isgn(y)
Это ограниченная функция. Таким образом, имеются причины
ожидать, что интеграл Гильберта C) определяет отображение
пространства L2( —оо, оо) в себя и что норма этого отображения


206 Гл. XL Различные приложения
равна в точности я. Вскоре будет показано, что это в самом
оо
деле так. Поскольку \ \x[1dx--=co, интеграл C) не определяет
— оо
ограниченного отображения в Lx (— оо, оо) (аналогично, он не опре-
определяет ограниченного отображения в Loo( —оо, оо)). М. Рисе
показал, что этот интеграл определяет ограниченный оператор
в пространствах Lp( — оо, оо), 1<р<оо. В этом параграфе
мы приведем принадлежащее ему красивое доказательство этого
факта. Неравенство М. Рисса является значительно более глубоким,
чем рассматривавшееся как его прототип элементарное неравенство
ОО
k(x-y)f(y)dy\P dx<{l \k(x)\dxy $ \f(x)\»dx,
— оо —оо
справедливое при \ | k (x)\dx~^ со; об этом свидетельствует нару-
шение неравенства М. Рисса и предельных случаях р~ 1 и р — оо.
В связи с рассмотрением интеграла Гильберта C) следует под-
подчеркнуть, что примененная здесь регуляризация интеграла при-
пригодна лишь потому, что функция \1х при отрицательных х при-
принимает значения, равные по величине и противоположные по знаку
значениям, принимаемым ею при положительных х. Это обстоятель-
обстоятельство приводит, например, к тому, что
(в смысле главного значения). Если мы попытались бы в качестве
ядра в интеграле свертки взять функцию |x|~\ т. е. рассмотрели бы
вместо C) интеграл
оо
\ г~ (ЛС
то все наши рассуждения оказались бы несостоятельными.
В многомерном случае мы рассмотрим интеграл свертки вида
D)
изучавшийся Кальдероном и Зигмундом. Здесь п — функция,
задающая зависимость величины


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 207
от направления вектора х; следовательно, предполагается, что
она удовлетворяет условию Q(x) =Q(tx), />0. Например, в част-
частном случае интеграла Гильберта C) Q (х) = sgn x. В случае когда п
является нечетной функцией, т. е. Q( — х)= — Q(x), используя
неравенство М. Рисса, легко показать, что если поверхностный
интеграл от Q по единичной сфере в Еп конечен, то интеграл D)
определяет ограниченное отображение пространства Lp (En) в себя
при 1<р<оо. Это будет сделано ниже. Однако, 'даже если
Q( — х)Ф — Q (х), может все же случиться (при я>1, но не при
п= 1), что поверхностный интеграл от Q по единичной сфере в Еп
равен нулю. Примером этого при п = 2 является важный интеграл
— оо —оо
где z = x + fy, w = u-{-iv. Этот интеграл имеет вид интеграла D),
где Q (z) = (| z |/zJ — четная функция, а поверхностный интеграл
от Q по единичной сфере в Е2 есть
Если поверхностный интеграл от Q по единичной сфере равен
нулю, то интеграл D) определяет ограниченное отображение про-
пространства Lp(En) в себя для 1<р<оо независимо от того,
является функция Q нечетной или нет. Это утверждение, которое
справедливо при слабых предположениях относительно гладкости
функции Q, составляет содержание неравенства Кальдерона —
Зигмунда. Большая часть настоящего параграфа посвящена его
доказательству. Как было отмечено, трудности возникают для
четной функции Q; эти трудности можно обойти сведением случая,
когда Q четна, к случаю, когда Q нечетна.
Поскольку здесь будут рассматриваться ядра со свойством
«радиальной» симметрии, мы имеем веские причины на протяже-
протяжении этого параграфа производить вычисления в «сферических
полярных кобрдинатах». Поэтому поясним способ, которым можно
ввести эти координаты. Пусть Еп — евклидово ^-мерное простран-
пространство, S —единичная сфера в Еп, А^ — лебегова мера в Еп, Е™ =
= Еп — {0} и R — положительная вещественная полуось. Поскольку
Е™ и Еп отличаются лишь на единственную точку, то с точки
зрения теории меры их можно считать идентичными. Каждую точку х
из Е^ можно единственным образом представить в виде х = го),
где г?R, co^S, и отображение [г, со]—>х = № является, очевидно,


208 Гл. XI. Различные приложения
гомеоморфизмом R х S на Е". Таким образом, а-алгебра $fn боре-
борелевских подмножеств в Е* является произведением а-алгебры $?R
борелевских подмножеств в /? и а-алгебры $s борелевских под-
подмножеств d S в смысле определения III. 11.3. Имеем
A) jj f{tx)dx=\t\-n\ f(x)dx,
Таким образом, мера
dx
обладает тем свойством, что
B) a(te)H
Определим меру |х на SSqs полагая
Эта мера ц, по причинам, которые станут ясны ниже, называется
мерой гиперповерхности на S. Используя равенство B), получаем
2-»n(e)-a(B-nf 2~п+{] х е), е
и,.складывая все эти неравенства, имеем
2ц(е)-а(@,2]хе), е?Я8.
Используя еще раз равенство B), находим, что
так что
(Ь — а) [х (е) = a ((a, b] х в), е ? jf?s, оо > Ъ > a > 0.
Отсюда при помощи стандартных рассуждений теории меры полу-
полунаем, что
кх (d) \i (e) - a (d x в), d б ^л, e G ^s-
Таким образом, пространство с мерой (?"о» «^п» «) является пря~
мым произведением пространств с мерой (R, $Rj Я1) х (S, ^s, |i).
Применяя теорему Фубини III. 11.9, теоремы III. 11.14 и 111.10*4,
находим, что для всякой Хд-интегрируемой функции /, а также
для всякой неотрицательной Яп-измеримой функции /
оо
f (х) dx = 5 I {/ (m) /-«-!} ц (do) dr.


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 209
Применение этой формулы, л также связанного с ней частного
случая теоремы Фубини мм будем называть «записью интеграла
\ f(x)dx в сферически* немирных координатах». В оставшейся
Еп
части этого параграф* мы будем свободно пользоваться такой
заменой переменных, иногда не оговаривая этого.
Мера [х гиперпоирамосги ни §S удовлетворяет двум полезным
тождествам
МИ m(^')i ?(. .#*.
где V—проювольмею вращение нрогтрлистни /:л. Кроме того,
чем мы будем постоянно пользоваться.
Мы начнем формальное изложение с рассмотрения измеримых
по Лебегу функций /, определенных на /г-мерном евклидовом
пространстве Еп и имеющих в конечном числе точек неинтегри-
руемые по Лебегу особенности, и с определения для таких функ-
функций интеграла, аналогичного интегралу в смысле главного значе-
значения Коши.
1. Определение. Пусть /—измеримая по Лебегу функций,
определенная на n-мерном евклидовом пространстве Еп. Пред-
Предположим, что в Еп существует такое конечное множество точек
р4> ..., pk, что для любых е>0 и #>0 функция / интегри-
интегрируема по Лебегу на множестве
S (R, e; Pi, ..., ph) = {x ? Еп 11 х | < R, \ х — pt \ > г, i = 1, ..., k).
Тогда если существует предел
lim \ / (х) dx = а,
8->0, R-+oo J
то будем говорить, что функция / интегрируема в смысле глав-
главного значения, и писать
Еп
Мели / неинтегрируема по Лебегу в окрестности каждой из точек
/>ь ..., р^ то будем называть эти точки ее особенностями.
И Заказ № 134


210 Гл. XI. Различные приложения
2. Лемма. Пусть f и g—измеримые функции на Еп\ пред-
предположим , что fug интегрируемы в смысле главного значения.
Тогда
(I) если а и р — скаляры, то функция a/+pg интегрируема
в смысле главного значения и
Еп Еп
(II) для всякого ненулевого вещественного числа а функция й,
определенная соотношением h(x)~f (ах), интегрируема в смысле
главного значения и
Еп еп
(III) если U — однородное линейное изометрическое отображе-
отображение пространства Еп в себя, то функция Л, определенная соот-
соотношением h (х) --- / {Их), интегрируема в смысле главного значе-
значения и
En En
i-Пч
(IV) если |/(*)|--cj(|jc| n) при |л:j —> оо, то для любого х0
из Еп функция h, определенная соотношением h(x) = f (х+х0),
интегрируема в смысле главного значения и
En En
Доказательство. Утверждение (I) очевидно. Утверждения (II)
и (III) являются очевидными следствиями определения 1 и формул
Jq>(x)dx= J <((Ux)dx,
Еп Еп
x ='a '~n l ф ^ dx'
En En
справедливых для всякой интегрируемой по Лебегу функции ф.
Утверждение (IV) будет доказано таким же способом, как только
мы покажем, что условие \f(x) \ = о(|х\1~п) влечет за собой
соотношение
lim J f(x)dx = 0,
R~>O°S@, R)AS(xo,R)


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 211
где S(y, R) = {x?En\\x-y\<R}, а ЬИе^ф \]е) (Ь[\е)' обозна-
обозначает симметрическую разность множеств b и е. Так как
S(O,R)AS(xo,R)^(S(O,R + \xo\))(S(O,R-\xo\))' и |/(х)| =
= о(|л:|1 п) при |jc| —>оо, то ясно, что достаточно показать, что
при /?—>со. Но переходя к сферическим полярным координатам
и обозначая через соЛ меру |х единичной сферы в Еп, имеем
ч. т. д.
В следующей лемме мы вводим один специальный класс син-
сингулярных интегралов, с которым мы главным образом и будем
иметь дело.
3. Лемма. Пусть g—измеримая функция, определенная на Еп.
Предположим, что точки р4, ..., pk из Еп таковы, что для
некоторого е>0 функция g интегрируема по Лебегу на множе-
множестве {х \ | х — pi | > е, i = 1, ..., k). Предположим также, что
в г-окрестности каждой из точек ри ..., pk функция g имеет
вид
где Qi(x) — Qi(tx), t>0, причем функция Q,- интегрируема
по единичной сфере в Еп и поверхностный интеграл от нее равен
нулю, а функция ft непрерывно дифференцируема. Тогда инте-
интеграл в смысле главного значения
Еп
существует.
Доказательство. Если |х (е) означает гиперповерхностную меру
борелевского подмножества е единичной сферы S в Еп, то для
i = 1, ..., k
б
dr С
— \ Qt (со) \i (dco) = 0.
s
14*


212 Гл. XI. Различные приложения
Отсюда следует, что для некоторой постоянной К >и для доста-
достаточно малых 6>61>0
б
g(x)dx <
11
61 S
б
61
Таким образом,
lim \ g(x)dx = Q,
^ 6>\\>Ы
Существование предела
lim \ g(x)dx
б->о J
следует теперь из критерия сходимости Коши.
4. Определение. Пусть й (ас) —функция от х?Еп, определен-
определенная при хфО и такая, что
(I) Q(x) = Q(^), х^О, х?Еп;
(II) поверхностный интеграл от Q по множеству S существует
и равен нулю.
Тогда выражение
называется ядром типа Кальдерона —Зигмунда.
5. Лемма. Пусть й4 и Й2 — бесконечно дифференцируемые
функции, обладающие свойствами (I) и (II) предыдущего опреде-
определения. Предположим, что i24 — нечетная, a Q2 — четная функции.
Тогда найдется такая нечетная функция Й3> обладающая свой-
свойствами (I) и (II), что интеграл
JEn
существующий при хФу по лемме 3, может быть записан
в виде


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 213
Доказательство. Обозначим через К (*, у) функцию, определен-
определенную для хФу, х, у ? ?п, интегралом в смысле главного значе-
значения A). Тогда по лемме 2 К(х, у) = К(х — у, 0) = Ki(x — у), где
через К\ мы обозначили функцию Ki(x) = K(x, 0). Так как
Qt (ах) = Qi (jc), i = l,2, a>0, то по лемме 2 Ki(^x) = a~nKi(x)
при а > 0, так что функция Q3 (л:) = | л: |n Ki (x) удовлетворяет
условию (I) предыдущего определения, и
К (*, у) = ^_ у .
Из леммы 2 следует, что функция Q3 является нечетной, ибо
Так как Q3(x)= — Q3( — x), то ясно, что поверхностный интеграл
от Q3 по единичной сфере равен нулю1); таким образом, лемма
полностью доказана.
6. Определение. Если функции Qi$ Q2 и Q3 связаны между
собой так же, как в лемме 5, то ядро Кй3 называется сверткой
ядер Kqi и Kq2- При этом мы пишем Kq3 = Kq1*Kq2- Аналогично
символом /Си!*/ обозначается функция g, определенная интегра-
интегралом в смысле главного значения
Еп
если этот интеграл существует.
7. Лемма. Пусть Kq — ядро типа Кальдерона — Зигмунда
в п-мерном евклидовом пространстве Еп; предположим, что
функция Q бесконечно дифференцируема при х=?0. Пусть
f —функция из С°°, равная нулю вне некоторого ограниченного
подмножества пространства Еп. Тогда функция K&*f при-
г) Этот интеграл существует, так как функция Q3 ограничена на S, что
легко показать, используя прием, примененный при доказательстве леммы 3. —
Прим. перев.


214
Гл. XI. Различные приложения
надлежит Lp(En) при р>1 и
F (/Сй • /) (х) = F (/) (
Еп
I г/Г
v) dy,
где F(g) обозначает Ь2-преобразование Фурье функции g из
L2(En), т. е.
В частности, интеграл в смысле главного значения
Еп
существует.
ДокАЗАтильстио. Допустим, что f(y) =
если \x\>R0 1-1, то
при \y\>Ro- Тогда
Еп
где М — верхняя грань функции | Q (у) |. Итак, (Kq * /) (х) =
= 0([хГ"п) при |jc|—>оо. Так как
fl
то функция (Ku*f)(x) измерима.
Пусть Mi —общая мажоранта для |/(у)| и
и пусть х — характеристическая функция шара радиуса 2(/?0+1).
Согласно определению 4 (II), \ Q(co)fi(dco) = 0, так что
s


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 215
а потому при |л:|</?о+1
п
Еп
2(Ro+D
<ЛШ1со71 [ dr =
о
где сод, как и выше, обозначает меру \х единичной сферы в Еп.
Таким образом, функция /(а*/ ограничена. Заметим (мы восполь-
воспользуемся этим ниже), что почти таким же рассуждением можно
показать, что интегралы
равномерно ограничены при е >0. Если положительные постоянные
Со, Ci и а таковы, что | (Кй * /) (*) | < Со при х б ?п и | (Кй * /) (*) I <
A:|~n при \х\>а, то
Еп
(м (р -1J)-1 a-»(P-i > < оо.
Итак, /Си*/ принадлежит пространству Lv(En).
Из теоремы Планшереля 3.9 и теоремы 3.22 следует, что если
{/} — последовательность положительных чисел, стремящаяся
к бесконечности, то
= BяГп/21Л.т. \ e*
здесь и ниже мы употребляем запись их для скалярного произ-
произведения (и, х). Поскольку, как было отмечено выше, интегралы,
заключенные в последней формуле в фигурные скобки, ограничены
равномерно по е, из теоремы Лебега об ограниченной сходи-


216 Гл. XI. Различные приложения
мости (III.б. 16) и из теоремы Фубини III.11.9 следует, что равен-
равенство A) можно записать в виде
= BяГп/21Л.т. lim \ eitiX\ \ Ш-f(x-y)dy}dx=
= BяГ1/21Л.т.Пт \ Ш- { \ ei™f(x-y)dx\dy =
Переходя к подпоследовательности, мы без ограничения общно-
общности можем считать (см. III.б.З. и III.3.6), что для почти всех и
из Еп
B) F(K*f) (и) = Пт Bл)"п/2 ^ \ -^g- { ? eiu7 (^- f/) dx) dy.
J 1У] k }
Если f(x) ¦¦ 0 при | * | > /?о, то
С eiMf{x-y)dx, \y\<Rj-R0,
0, |
Итак, если х^ — характеристическая функция множества
{WlR Ro}, то
7rH S
|У| |х|^
< J
R;+Ro
цу <^


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кйльдерона — Зигмунда 217
что, очевидно, стремится к нулю при /—>оо. Таким образом,,
равенство B) дает
= Bn)-n/2limP \ -JH'J Xj(y)\\ e™*f(x
Kn • En
= {lim ^ f -Q-^ Xj (//) c*»v dij\ F (/) (a),
I y I
если только существует предел, заключенный в последнем равен-
равенстве в фигурные скобки. Итак, дли завершения доказательства
настоящей леммы достаточно показать, что
C) 0 (и) - & [ Щ- е{Уи dy = lim [ -"- {у)п е{^ dy
существует при любом и. По лемме 2 интеграл 0 (/а) существует,,
если существует Q(u) и />0; по той же лемме интеграл Q(Vu)r
где» V — вращение пространства Еп, существует и равен
in |i i»
если только существует интеграл
Таким образом, для того чтобы доказать существование инте-
интеграла C) в общем случае, достаточно рассмотреть случаи и = О
и и = [1,0, ...,0]. Если а~0, то очевидно, что
ибо \ Q (со) \х (do) = 0. Следовательно, достаточно показать, что*
существует интеграл еР \ eixiQ (х) \ х |~n dx. Пусть хо —характери-
Еп
стическая функция единичного шара. Тогда по лемме 3 существует
интеграл
ЕП


218
Гл. XI. Различные приложения
Поэтому достаточно доказать существование предела
(¦] lim [ <?<*! ^Ц-dx = lim [ Q (a>) j \ ^- dr\ ц(dw),
где (Oi обозначает первую компоненту единичного вектора со. Так
R
как предел lim \ r"Vr(Oldr существует для всех со, для которых
<Dt ф 0, т. е. для почти всех относительно меры [х значений со,
то существование предела [*] будет следовать из теоремы Лебега
об ограниченной сходимости, если мы сумеем найти такую {г-инте-
грируемую функцию ф(со), что
R
Заметим, что при
? cir(i
Лг sgn coi
dr
П I Wi I
< — log | 0), |
j _,,„,.,
К I (oi |
при
где К — постоянная, ограничивающая \ ехр (± ir) dr/r
i?>l; такая постоянная существует, поскольку существуют пре-
R
делы lim \ ехр (± ir) dr/r. Итак, для завершения доказательства
достаточно показать, что функция ф (со) = — log | <
ji-интегрируемой на S. Теорема Фубини дает
является
1/2
так что
Ф (со) ji (dco) = 2 \
\ У/1 d* + 2^ (S) J log (r) dr,
1/2^1x1^1 '*' 1/2
я достаточно доказать,, что первый интеграл в правой части
конечен. А это легко установить, ибо функция I*!11 в области


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кажьдерона — Зигмунда 219
1/2<!|л:|<;1 ограничена, а
1
= 2n~1 J (-
Следующая теорема содержит неравенство М. Рисса.
8. Теорема. Пусть 1<р<оо, и пусть функция f принад-
принадлежит классу С°° (— оо, оо) и вне некоторого ограниченного мно-
множества обращается в нуль. Тогда существует такая конечная
постоянная /Ср, что интеграл Гильберта
понимаемый в смысле главного значения, удовлетворяет неравен-
неравенству |Я/|р</Ср|Лр.
Доказательство. Мы знаем из леммы 7, что {F (Я/)} (у) =
==т sgn(y) {F(f)}(y), где F (g) обозначает преобразование Фурье
функции g. По теореме Планшереля C.21) |#/|2<я|/|2. Покажем
сначала, что постоянную Kv, обладающую свойством, указанным
в формулировке нашей теоремы, можно найти при р = 2п, а затем
используем этот факт и некоторые вспомогательные соображения
(теорему Рисса о выпуклости и рассуждение, привлекающее сопря-
сопряженный к Н оператор) для того, чтобы получить этот же резуль-
результат при других значениях р. Пусть J = m7 + //1). Тогда ясно
(см. лемму 7), что
у>0.
Пусть функция / принадлежит классу С°°( — оо, оо) и обращается
в нуль вне некоторого ограниченного множества, и пусть g = F(Jf).
Так как функция F(f) принадлежит L4(—оо, оо) и ограничена,
х) Оператор Н первоначально определен для функций / из класса
С°° (— оо, оо), обращающихся в нуль вне ограниченного множества. Такие
функции всюду плотны в Ьч (— оо, оо), и коль скоро для них доказано неравен-
неравенство | Hf |2 <; А2 | / |г» оператор Н можно продолжить по непрерывности на все
Li (—оо, оо); такое продолжение единственно, обозначается той же буквой Н
и удовлетворяет неравенству | Hg |2<K2lg|2 Для всех g из ^2- Таким образом,
оператор J = niI-\-H можно считать определенным на всем пространстве
/*2 (— оо? °°)'—Прим. перев.


220 ГлФ XL Различные приложения
то функция F (Jf) тоже принадлежит L4( — оо, оо) и ограничена.
Если положить gi^g, gn = g*gn-u то из соображений индукции
следует, что каждая функция gn равняется нулю для почти всех
*<0. Кроме того, согласно 3.21,
gn-F((Jf)n).
Точно так же, как во втором абзаце доказательства леммы 7,
можно показать, что функция (Я/) (л:) равномерно ограничена
и что | (Я/) (х) | - О (| х I'1) при |*|-» со. При п>\ функция (Jf)n
принадлежит Li(—оо, оо), так что по 3.21
и функция gn непрерывна; таким образом, gn@) = 0 при п
Следовательно, полагая х 0, находим, что
(\>
A) J (я// (//) |- (///) (у))*т dy = 0, т > 1.
... i\>
Пуст1> / нощественна, так что Я/ также вещественна. Тогда,
беря вещественную часть равенства A), получаем
2 J (-
ft0
ft=0 -оо
В силу неравенства Гёльдера это дает
7П-1
I ттс i2m VI / 2т Л . гтс .2ft | f ,2(?n
| Я/ |2m— 2j (^ 2A; у ' ' >2m I ' '2m
ft=0
Положим а = | /// |2m/| / U/n- Тогда
h-=0
Следовательно, а не превосходит наибольшего вещественного
корня гт уравнения
т— 1
Таким образом, |#/|2i»^/m|/|гт- Поскольку комплексная функция
может быть представлена как сумма своей вещественной и мнимой


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 22/
частей, это доказывает нашу теорему для специального случая
р = 2т.
Отсюда немедленно следует, что при р=^2т оператор Н един-
единственным способом может быть продолжен до ограниченного ото-
отображения пространства Lv(— оо, оо) в себя. Справедливость этого
утверждения для всех р>2 сразу же следует из теоремы Рисса
о выпуклости (VI. 10.11).
Теперь обратим внимание на область 1<р<2. Так как
по лемме 7 FHF'1 представляет собой оператор умножения на функ-
функцию msgn(y), то (/1//f~1)*= —FHF'1. Так как по теореме План-
шереля C.21) оператор F унитарен, то Н*= —Н и потому
(Hf,g)=-(f,Hg),
Таким образом, если 2<р<со и 1/р+1/р'=1, а функция
/ принадлежит С°° и равна 0 вне ограниченного множества, то
по непрерывности получаем
Поэтому по теореме IV.8.1, по теореме Хана —Банаха (И.3.14)
и неравенству Гёльдера имеем
и теорема доказана для всех р, 1<р<оо.
Доказав основное неравенство М. Рисса, перейдем к доказа-
доказательству общего неравенства Кальдерона — Зигмунда. Наш первый
шаг состоит в том, что мы придадим результату М. Рисса экви-
эквивалентную прежней, но технически более удобную форму. Это
делается в следующей лемме.
9. Лемма. Пусть 1<р<оо. Существует такая конечная
постоянная Лр, что если функция f из С°°(—сю, оо) равна нулю
•вне ограниченного множества, то функция g, определенная равен-
равенством
1 г/
удовлетворяет неравенству \ g |р < Лр | f |p.
Доказательство. Пусть ф —бесконечно дифференцируемая не-
неотрицательная функция, равная нулю при 11 \ > 1 и удовлетворяю-


222 Гл. XI. Различные приложения
i
щая соотношению \ (p(t)dt=l. Пусть
оо
~f{x-y)dy = ^ \ i~
Тогда по леммам 7 и 3:1 ф*#/ = #ф*/.
Далее, из рассуждений, аналогичных приведенным во втором
абзаце доказательства леммы 7, следует, что функция Н (ф) {у)
ограничена. Таким образом, так как
y-i
то Я(ф) — ty?Lu где функция \|? определена равенствами у(у) у9
IУ | > 1; 'Ф (ч) ¦ - 0, | у | < 1. (Следовательно, по теореме 8, лемме 3.1
и теореме гиоса о выпуклостих) имеем
ч. т. д.
Теперь для нечетного ядра типа Кальдерона — Зигмунда легка
получить неравенство, совершенно аналогичное установленному
в лемме 9.
10. Лемма. Пусть Q — такая нечетная функция, определенная
на ?п, что Q (tx) = fi (х) при t > 0; предположим, что Q бесконечна
дифференцируема в окрестности единичной сферы2) S простран-
пространства Еп. Пусть функция f принадлежит С°°(?п) и равна нулю
вне ограниченного множества. Тогда если 1<р<оо и Лр —
постоянная из леммы 9, то Ьр(Еп)-норма функции g, опре-
определенной равенством
не превосходит 2 Лр | f |р \ | Q (со) | \i (dco), гд^ ji — мера гиперповерх-
гиперповерхности на S.
х) В силу этой теоремы из пунктов (Ь) и (d) леммы 3.1 следует, что если
ugLlf v?Lp, то \u*v lp<|^li| v\p. Это используется при оценке l^lp- —
Прим. перев.
2) То есть всюду, за исключением начала координат.— Прим. перев.


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 223
Доказательство. Записывая интеграл в полярных координатах,
видим, что1)
g(x) = J Q(ш) (I(</«) J /(дс-иг)¦?- =
f(X-(Dt)
t
dt.
Из леммы HI.11.16 (Ь) н теорем III.11.17 и Ш.2.20(а) следует,
что
A)
F(a,
|
В А
<
А В
Pv(vu da)
для всякой (Vi x г2)-измеримой функции F на произведении
(A, Vj) х (В, v2) пространств с мерой, если только мера v2 поло-
положительна. Поэтому
и достаточно доказать, что
B)
Так как наружный интеграл в неравенстве B) инвариантен отно-
относительно вращения системы координат, то можно, не ограничи-
ограничивая общности, выбрать в Еп такую систему координат, в кото-
которой со = [1, О, ...,О]. Тогда неравенство, которое мы должны
доказать, примет вид
\\\
— t, Х2,
¦dt
х2, ..., xn) \pdXi dx2... dxn.
l) Это единственное место в доказательстве, где используется нечетность
U,— Прим. перев.


224 Гл. XI. Различные приложения
Далее, неравенство
\ \
!(Х1,...,Хп)\РйХц —OO<^<OO, /«2, ...,/2,
является очевидным следствием леммы 9. Интегрируя его по
х2> ...,хп, получаем неравенство C).
Теперь мы в состоянии установить неравенство Кальдерона —
Зигмунда для нечетного ядра.
11. Теорема. Пусть 1<р<оо. Пусть Q — такая нечетная
измеримая ограниченная функция, определенная на Еп, что Q (х) =
= Q(tx) при />0. Тогда для всякой функции f из Lp(En) предел
существует в смысле сходимости в среднем порядка р, и если
Ар —постоянная из предыдущей леммы, то
Доказательство. Докажем сначала, что функция g, опреде-
определенная равенством
« I U I
удовлетворяет неравенству | g |р < /Лр | f |р, где / = \
s
Для этого рассмотрим такую последовательность {Qm} нечет-
нечетных функций, бесконечно дифференцируемых в окрестности
единичной сферы и удовлетворяющих соотношениям Qm(tx) =
= Qm(x), t>0, m>\, что
lim \ | Qm (со) — Q (со) | и- (dco) = 0.
m">oos
Допустим, что функция / бесконечно дифференцируема и равна
нулю вне некоторого ограниченного множества. Пусть
|


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 225
По предыдущей лемме {gm} является последовательностью Коши
в Lp(En) и, следовательно, сходится по норме в Lp(En) к неко-
некоторой функции ф из Lp(En), которая по той же лемме удовлет-
удовлетворяет неравенству | ф |Р<ЛР/ | / |р. Переходя к подпоследователь-
подпоследовательности, можно считать, что gm(х)—>у(х) для почти всех х.
Но ясно, что gm(x)-^g(x) для всех х. Следовательно, ф = ?;
это доказывает, что |g|P<Ap/ | f |р, если f принадлежит С°° (Еп)
и обращается в нуль вне ограниченного множества.
Пусть теперь f принадлежит Ьр(Еп), и пусть {/т} — такая
последовательность финитных функций из С°°(?п), что
| / — fm \p —> 0. ПОЛОЖИМ
По только что доказанному {hm} является последовательностью
Коши в Ьр(Еп) и, следовательно, сходится по норме в Ьр(Еп)
к некоторой функции чр из Ьр(Еп), которая удовлетворяет нера-
неравенству |ф|р<Лр/|/|р. Переходя к подпоследовательности, можно
считать, что hm(x)—>ty(x) для почти всех х. С другой стороны,
поскольку для всякого q > 1
оо
Q(x)
oo,
то ясно, что hm(x)—>g(x) для любого х. Итак, интеграл A)
существует для любого х из Еп и любой / из Ьр(Еп), и функ-
функция g, определенная этим интегралом, удовлетворяет неравенству
|g|pp|/|p
Далее, для каждого е>0 определим следующим образом
отображение Не пространства Lp(En) в себя:
= \ ~^f(x-u)du,
Ясно, что, полагая и = еа, получаем
где Те обозначает отображение пространства Lp(En) в себя, опре-
определенное равенством (Tef)(x) = f (гх). Так как
Еп
15 Заказ № 134


226 Гл. XL Различные приложения
то из уже доказанного немедленно следует, что \Не \р= | Я4 |р<
<ЛР/. Покажем, что предел lim//e/ существует в смысле схо-
8->0
димости по норме в Lp (En) для всех / из некоторого фундамен-
фундаментального в Lp(En) множества; тогда в силу П.3.6 наша
теорема будет доказана. Предположим, что / принадлежит С°° (Еп)
и обращается в нуль вне множества {х\ \ x\*CR}. Тогда, как
было показано в начале доказательства леммы 7, интеграл в смысле
главного значения
B) (Кй/)()
е-» О
существует и является ограниченной функцией1) от х. Так как
f(y) = O при |у | >R, то при |я | >/? + 1 и 0 < е < 1 имеем
(Яе/) (х) = (Kq*/) (л:), так что достаточно доказать, что
\
lim
По следствию III.6.16 это будет вытекать из равенства B), .если
будет показано, что функции (Hef)(x), e>0, ограничены в сово-
Г п | 1/2
купности. Пусть L — верхняя грань для | 2 | (д/ду{) f (у) [2 \ .
U=i I
Тогда, пользуясь теоремой о среднем из дифференциального
исчисления и определением 4A), (II), получаем
\(HJ)(x)\ =
<L(i(S)max|Q(a)|
= 2L\i(S)(R+l)max |Q(a)|<oo,
\u\=l
что завершает доказательство.
Введем теперь полезную нечетную вспомогательную функцию.
12. Лемма. Существует такая ненулевая постоянная с, что
En
Доказательство. В эвристических рассуждениях относительно
интеграла Гильберта в четвертом абзаце данного параграфа мы
!) Предполагавшаяся в лемме 7 бесконечная дифференцируемость функ-
функции Q при доказательстве этого факта не использовалась.— Прим. перев.


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 227
уже вычислили искомый интеграл при я=1 и нашли, что с = ш.
Поэтому здесь мы рассмотрим лишь случай п > 1. При этом
можно ограничиться случаем /=1. Обозначим интеграл, стоящий
в левой части рассматриваемой формулы, через <р(#). Тогда
по лемме 2
(I)
(И) <P(iO=-<P(-4Oi
(III)
если [У — вращение в ?п, оставляющее точку [1, 0, ..., 0] на месте.
Любые две точки u,v?En, для которых ai = i>i и |и| = |и|, могут
быть переведены одна в другую одним из вращений, описан-
описанных в (III). Следовательно, при уфО и /=1 функцию \у{у)
можно записать в виде q(y) = ^(yd\y\, |y|). В силу равенства
(I) if не зависит от второго из своих аргументов, а в силу (II)
является нечетной функцией. Таким образом, у (у) = \р (yj\ y\).
Пусть Ф (у) обозначает интеграл
Тогда ясно, что
(IV)
Пусть V — вращение в плоскости у^у2 (т. е. вращение в Еп>
которое оставляет на месте все точки подпространства у3, ..., уп).
Тогда V переводит У\-\-1уг в eiQ (yi + iy2) и Xi + ix2 в eiB(x± + ix2).
По лемме 2
(V)
Пусть 1\& + 1у2) = ФAУи Уг, 0, ...,0]). В силу (IV) и (V) имеем
(VI) 4(eiQz) iQ() O
(VII) r\(tz) =
В силу (VI) ц (reiQ) — е1Вц (г), в силу (IV) и (II) величина rj (г) —
чисто мнимая и наконец в силу (VII) г] (г) = с не зависит от г.
Таким образом, г] (reie) = ceie, и потому
/Л+А
так что г|) (х) = сх, и настоящая лемма будет доказана, если мы
покажем, что сфО.
15*


Гл. XL Различные приложения
Если с = 0, то по лемме 7 Kq*/ = 0 для всякой функции f
из С°°(?п), обращающейся в нуль вне ограниченного мно-
множества; здесь мы положили
Пусть функция /=т^0 выбрана таким образом, что она неотри-
неотрицательна, а при Xi > 0 равна нулю. Тогда при yt > 0
что противоречит тому, что Kq*/ —0, ч. т. д.
13. Лемма. Пусть ty принадлежит L2(En), f принадлежит
Li(En), и пусть Q удовлетворяет условиям теоремы 11. Тогда
111 . Х\ Q *Р I vjJ "** / / \*\ Q "** Ч'/ "** / *
Доказательство. По теореме 11 и лемме 3.1 обе части этого
равенства меняются непрерывно в топологии пространства L2 (En)
при непрерывном изменении гр и / в топологиях пространств
L2(En) и Li(En) соответственно. Следовательно, соображения
непрерывности показывают, что достаточно доказать равенство
A) для случая, когда обе функции / и а|) принадлежат С°° (Еп)
и равны 0 вне некоторого ограниченного множества. Пусть
/ и -ф—преобразования Фурье от / и я|) соответственно, и пусть.
О (и)
Тогда по леммам 7 и 3.15 преобразование Фурье как левой, так
и правой части формулы A) равно /С/ij), так что настоящая лемма
вытекает из теоремы Планшереля C.9 и 3.22).
14. Лемма. Пусть Qu Q2 и ^з связаны между собой так жеу
как в лемме 5 и определении 6. Положим
О . I
Пусть е>0, S —единичная сфера в Еп, а \1 — мера гиперповерх-
гиперповерхности на S. Тогда существует такая постоянная /СВэ завися-


7, Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 229
щая лишь от г и Qu что
(I)
(II)
1/A+8)
(со)|1
Кроме того, функция QA нечетна и ограничена.
Доказательство. При | х |. * 2
(О (/СЫ1чМ(л-)
1/A +e)
'I
обозначена хлрлктористическая функция множества
Функция |м| vi2i(u) бесконечно дифференцируема
и ее ирои:июдная по иь равна
где через
{х| |х|<!1
при |а|>
Так как ui{tu) = Qi{u) при />0, то
Поэтому
По теореме о среднем из дифференциального исчисления суще-
существует такая конечная постоянная L (зависящая лишь от Qi), что
1 fQi(x-«) Qt(*)-j \ г .„,-n-i
|u| 1|дс-и|» |х|» l^^l^l
при |«|<[1, |х|>2. Поэтому при
A)
муле A) оценивается следующим образом:
Iu \п
1 u|^i
второй интеграл в фор-
фор(jg-ц) 'QiWl
<
n \
s
j
| \i (do)•


230 Гл. XL Различные приложения
Следовательно,
B) ^ | г|}3 (и) — (Kat * ifo) (u)\du*CKe \[\ &2 (со) I1
|w|^2 S
где
и S = e/A +s), так что ясно, что Кг зависит лишь от 8 и Q1#
(В оставшейся части доказательства мы продолжаем пользоваться
символом Кг для обозначения постоянной, зависящей только от е
и &!.) Тем же способом мы можем прийти к выводу, что суще-
существует другая постоянная /Се, такая, что
(* 4 1 f* Л !
C) \ |^з(и) — (/Cqx*ifo) (w) | da<Кг \ I ^2Ml |i(dco).
I u|^2 S
Так как по теореме 11 существует такая постоянная /Се, что
D) | /Cqi * ^2 11 +s ^> ^Се
г |
S
S
1/A+8)
то из неравенства C) следует существование такой постоянной /С8,
что
2
l/d+8)
Итак,
{ J
2 S
что доказывает справедливость неравенства (I).


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 231
Применяя соотношения D) и неравенство Гёльдера, получаем
1/A+8)
Q2(<o)l1+V№
отсюда и из неравенства B) вытекает справедливость утвержде-
утверждения (II). Нечетность функции Q3 следует из леммы 5. Наконец,
для того чтобы доказать ограниченность функции Q3, заметим,
что мы должны лишь показать, что функция KQi*ip2 при |л;|>2
ограничена, ибо, как уже было доказано, при \х\>2 второй
интеграл в правой части равенства A) ограничен. Если положить
<ф4 (х) = Qt (д;) | х \~п при | х | > 1 и гр± (х) = О при | х \ << 1, то ясно, что
E) (К01 * i J ^J ^^
Точно так же, как мы сделали это для второго интеграла в пра-
правой части равенства A), можно показать, что второй интеграл
в правой части соотношения E) ограничен. Поскольку | (яр± *я]^) (х) \ <
I | I г |г» лемма полностью доказана.
15. Лемма. Пусть 1<<р<аэ> и пусть Q — четная функция,
определенная на Еп, бесконечно дифференцируемая на поверхности
единичного шара и удовлетворяющая соотношению Q (tx) = Q(x),
^>0. Пусть /— бесконечно дифференцируемая функция, опре-
определенная на Еп и равная нулю вне некоторого ограниченного
множества. Пусть б>0 «
где S — единичная сфера в Еп, a \i — мера гиперповерхности на S.
Тогда существует такая конечная постоянная Л8) р, зависящая
лишь от р и е, что* Ьр(Еп)-норма функции g, определенной
равенством
не превосходит Л8?р/е|/|р.


232 Гл. XI. Различные приложения
Доказательство. Положим й* (х) — c~YX\ \ х |~\ где с — постоян-
постоянная из леммы 12. Тогда по леммам 12 и 7
для всякой функции / из С°° (?п), равной нулю вне ограничен-
ограниченного множества; здесь F(g) обозначает преобразование Фурье
функции g. По теореме Планшереля C.9) и теореме 11 обе части
этого равенства являются непрерывными линейными операторами
в пространстве L2(En) (точнее, результатами применения таких
операторов к функции /), так что
Следовательно,
Пусть if (и) = Q (и) | и |~п при | и | > 1 и ур (и) = 0 при | и \ < 1.
По лемме 13 и теореме 11
\P = \ S /Cdj • (/С0|• ч»)*/|р<:
< ApnL max | (/Со. * ф) * / |Р,
где L= \ | tji | (jt(dco), а Лр —постоянная, зависящая лишь от р
s
(поскольку постоянная Лр, фигурирующая в теореме 11,' совпа-
совпадает с постоянной леммы 9). По лемме 14 Kq.*1^ можно пред-
представить в виде
Ко. *T|) = 9i + Ai,
где <р1(и) = О$Ци)\и\-п, \и\>1; ф,(и) = 0, |и|<1; ^)(a)=Q^(^),
; при этом функция йC^ нечетна и ограничена;
En
Тогда по леммам 10 и 3.1
ч. т. д.


7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 233
Теперь мы можем доказать общую теорему Кальдерона —
Зигмунда.
16. Теорема (Кальдерон—Зигмунд). Пусть 1<р<оо и е<0.
Пусть Q —такая ограниченная измеримая функция, определен-
определенная на Еп\ что Q(х) = Q(tx) при />0 и
где S —единичная сфера в Еп, а \х—мера гиперповерхности на S.
Тогда для всякой функции f из Lp(En) предел
е->0 . J 1 " I
существует в смысле сходимости в среднем порядка] р, и суще-
существует такая конечная постоянная ЛВуР*_зависящая только от р
и 8, что
где
Доказательство. Пусть (on = [x(S). Тогда в силу неравенства
Гёльдера
Следовательно, по теореме 11 настоящая теорема справедлива,
если функция Q нечетна. Поскольку Q можно представить
в виде суммы ее четной и нечетной частей, достаточно рас-
рассмотреть случай четной функции1). Но в этом случае теорема
выводится из леммы 15 точно так же, как теорема 11 выво-
выводится из леммы 10.
гт о/ч
Пусть Qi(x)=
—четная
ои й2(*) = — —п~~^
и нечетная части функции Q. Если обозначить через /E(Qj), /E (^2) и h (^)
интегралы /Е, вычисленные для функций Q1? Q2 и ^ соответственно, то
из инвариантности меры \i относительно отображения со-* со и нера-
неравенства Минковского следует, что /Е (QjJ + Zg (Й2) < 2/8 (Й).~ Прим. перев.


234 Гл. XI. Различные приложения
8. Упражнения
А. Упражнения на интегралы Фурье1)
1. Пусть Si — подпространство пространства Li( —со, со),
состоящее из функций от /, равных нулю при t<.0. Показать,
что <й[ образует замкнутую подалгебру алгебры со сверткой
Lt( — со, со) и что если т — мультипликативный линейный функ-
функционал на алгебре ?|, то существует такое комплексное число z
с 1тг>0, что
со
m(f)=^ei^f(x)dx1 /€St-
о
2. Пусть Д и /2 —функции из L2( —со, со), и пусть f(x) =
= fi(x)f2(x). Показать, что если F, Ft, /^ — преобразования
Фурье функций /, /ь /2 соответственно, то
по
F(x): \ Р,(х-у)Р2(у)с1у.
3. Обобщит!) упражнение 2 на случай произвольной локально
бикомпактной абелевой топологической группы.
4. Пусть р> 1, и пусть/ —функция из Li( —со, со), a g —функ-
—функция из Lp( — со, со). Показать, что свертка
(/•?)(*)= ] f(*-y)g(y)dy
—оо
существует для почти всех х и принадлежит Lp(—со, оо) и что
5. Показать, что. если /, g ? Z,i( — со, оо) (]Ь2( — со, со) и
то преобразования Фурье F и G функций / и g соответственно
связаны соотношением
г) Обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе лрямое
преобразование Фурье записывается в виде \ eilxf (x) dx, в отличие от § 3,
где под интегралом стояло e~itx,— Прим. перев.


8. Упражнения 235
6. Пусть 1<р<2, и пусть / — функция из Lp(—оо, оо).
Показать, что предел
А
F(t) = \im \ eitxf(x)dx
А->оо «
—А
существует в смысле сходимости по норме в пространстве
Lq{ — оо, оо), где р-1 + ^-1=1. (Указание: см. VI. 11.43.)
7. Показать, что в предположениях и обозначениях упраж-
упражнения 6
А
А->оо 2п J
—А
в топологии пространства Lp( — оо, оо). (Указание: см. IV.4.19.)
8. Показать, что в предположениях и обозначениях упраж-
упражнения 6
для всякой функции b из Lp( — оо, оо).
9. Пусть Я —такая вещественная функция вещественного пере-
переменного, что X(-)F(-) является преобразованием Фурье функции
из пространства Ll( — оо, оо) всякий раз, когда F(-) является
преобразованием Фурье функции из этого пространства. Пока-
Показать, что если 1-<р<;2, то Я(-) F(•) является преобразованием
Фурье функции из Lp( — оо, оо) всякий раз, когда F(-) является
преобразованием Фурье функции из Lp( — оо, оо); преобразование
Фурье определяется так же, как в упражнении 6.
10. Пусть Я — такая функция, определенная на (—со, оо),
что ее полная вариация конечна. Показать, что если 1<р<2
и F — преобразование Фурье функции из Lp( — оо, оо), то тако-
такова же функция Я(•)Т7(•). Преобразование Фурье определяется
так же, как в упражнении 6. (Указание: воспользоваться нера-
неравенством М. Рисса.)
11. Пусть ЯЛ —числовая последовательность, определенная
при — оо < п < оо и имеющая конечную полную вариацию. Пока-
оо
зать, что если 2 cineinx является рядом Фурье функции из
П=—оо
оо
Lp@, 2я), то о ряде 2 (hXfiinx можно сказать то же самое.
П=—оо
12. Пусть / — функция из L4( — оо, оо), и пусть У7 —ее пре-
преобразование Фурье. Показать, что если функция / в окрестности


236 Гл. XL Различные приложения
точки х имеет ограниченную вариацию, то
А
/(*) = lim ~ \ F(t)e-itxdt.
А~*°° -А
(Указание: см. IV. 14.17.)
Hi. Показать, что утверждение упражнения 12 остается спра-
справедливым, если условие /??i(— оо, оо) заменить требованием
14. Показать, что в L4(—оо, oo)f|L2( — со, оо) найдется такая
непрерывная функция /, что предел, фигурирующий в упражне-
упражнении 12, не существует при лг = О.
15. Показать, что в L^(—оо, оо) существует функция/, для
которой семейство функций
А
=i \F{t)e-"*dt,
-А
где /•' обозначает преобразование Фурье функции /, не удовле-
удовлетворяет неравенству
sup \ \fA{x)\dx<co.
16. Показать, что не всякая непрерывная функция, опреде-
определенная при — оо <с t <c оо и стремящаяся к нулю, когда t стре-
стремится к -\- со или к —оо, является преобразованием Фурье неко-
некоторой функции / из Li(— оо, оо).
17. Найти в Li( — оо, оо) такую функцию /, что она является
неопределенным интегралом некоторой другой функции из
Li(—оо, оо) и что преобразование Фурье F функции / удовле-
удовлетворяет условию
оо
J \F(t)\dt= со.
Показать, что это невозможно, если / является интегралом
функции из L2( —оо, оо).
18. Пусть / — функция из Li (—оо, оо), и пусть F — ее пре-
преобразование Фурье. Тогда
если функция а ограничена, непрерывно дифференцируема в нача-
начале и принадлежит L4( — оо, оо) вместе со своим преобразова-
преобразованием Фурье. Предел понимается в смысле топологии простран-


8. Упражнения 237
€TBaLi(—оо, оо). Кроме того, если дополнительно предположить,
что преобразование Фурье функции а ограничено сверху четной
монотонно убывающей функцией из Lu то
оо
= lim-^ \
(I) для почти всех х и (II) для каждого х, при котором функция /
непрерывна. (Указание: см. VIII.9.5.)
19. Пусть /?Li( — оо, оо) и предположим, что преобразова-
преобразование Фурье F функции / также принадлежит Li{ — оо, оо). Пока-
Показать, что почти всюду
(Указание: воспользоваться упражнением 18.)
20. Пусть 1<р<2, и пусть Еп обозначает я-мерное вещест-
вещественное евклидово пространство, а / принадлежит Lp(En)\ в каче-
качестве меры в Еп возьмем меру Лебега. Показать, что предел
А А
...,k) = lim \... \ e*«ixi+...+*7i*7i)/(x1, ...,хп)йхх ... dxn
А->°°-А -А
существует в смысле сходимости по норме в Lq(En), где
p~1-{-q~1=U Показать также, что
= lim Bя)~п J ... \ e^'i*^---*'***)^^, ...,^)d/1 ...d^
A~>o° _a -A
в топологии пространства Lp(En). (Указание: см. упражне-
упражнения 6 и 7.)
В. Упражнения на неравенства и сингулярные интегралы
21. (Харди и Литлвуд.) Пусть для функции / из Li@, 2я)
2я
сп (/) = \ / (*) e~in* dx = 0, п < 0.
о


238 Гл. XI. Различные приложения
Показать, что
оо 2Я
71=1
где К—некоторая абсолютная постоянная. (Указание: показать,
используя упражнение IV. 14.88, что в L2@, 2я) существуют такие
две функции Д, /2, что сЛ(Д) = 0, п<0, /=1,2, и что / = Д/2.
Затем воспользоваться упражнением 3.)
22. (Сопряженный тригонометрический ряд.) Пусть /—функ-
/—функция из Lp (О, 2я), где 1<р<сх>. Положим
2я
О
Показать, что ряд
[•] |[ sgn (n)cn(f)ein*=lim J sgn (л) сЛ (/) einac
n=—oo m->oo n___m
сходится в среднем порядка р к функции, определяемой сингу-
сингулярным интегралом
2я
t — y)dy.
о tg-^y-
Здесь этот интеграл понимается как предел
Я-8 2Я
+ \ } ' п f(x-y)dy.
который существует в смысле сходимости в среднем порядка р.
(Указание: воспользоваться методом упражнения IV. 14.19 для
доказательства сходимости в среднем ряда и теоремой 7.8 для
доказательства сходимости в среднем интеграла.)
23. (Кальдерон —Зигмунд.) Пусть 1<р<оо, и пусть Q —
функция, определенная на Еп и обладающая следующими свой-
свойствами:
(I) Q(tx) = Q(x), f>0;
(II)
s
где S —единичная сфера в ?п, a ji — мера гиперповерхности на S;
(III) Q (х) — непрерывно дифференцируемая функция от х при
X =7^0.


8. Упражнения 239
Показать, что если /?Lp(?n), то сингулярный интеграл lim^
8->0
где
\х\>е
существует для почти всех у. (Указание: пусть ф — обращаю-
обращающаяся в нуль вне ограниченного множества неотрицательная
функция из С°° (?п), интеграл от которой равен единице. Поло-
Положим ф8 (х) = епф (ех) для каждой функции ф. Показать, что
в Li (En) найдется такая функция q, что
Затем воспользоваться подходящим обобщением упражнения
VIH.9.6.)
24. Пусть 1<р<аэ; тогда для всякой функции / из Lp
предел ['] из упражнения 22 существует почти всюду.
С. Упражнения на локализацию собственных значений1)
25. (А. Брауэр.J) Пусть A — (ajk) есть (п х я)-матрица, рас-
рассматриваемая как линейное преобразование в комплексном я-мер-
ном пространстве Еп. Для каждого k, l^k^Cn, обозначим через
Ck круг радиуса
( )
с центром в точке а**. Показать, что каждое собственное значе-
значение матрицы А лежит в некотором круге С&. (Указание: пусть
[хи ...,хп] — собственный вектор, принадлежащий собственному
значению Я; показать, что если
|*л|= max |*г|, то |Я — ahh |<2 | aJk\.)
26. (А. Брауэр.) Предположим, что все круги Ck из упражне-
упражнения 25 попарно не пересекаются. Показать, что каждый из них
содержит в точности одно простое собственное значение матри-
матрицы А. Если, кроме того, предположить, что все элементы матрицы А
вещественны, то все ее собственные значения вещественны.
(Указание: пусть D — матрица, диагональные элементы которой
1) Доказательства многих утверждений этого раздела можно найти в книге
Пароди М. [1*]. —Прим. перев.
2) Впервые этот результат получен советским математиком С. А. Герш-
гориным [1*]. —Прим. перев.


240 Гл. XI. Различные приложения
совпадают с соответствующими элементами матрицы Л, а осталь-
остальные элементы равны нулю; рассмотреть матрицы аЛ + A—a)D,
0<се<1.)
27. Показать, что в обозначениях упражнения 25
|det(i4)|>n (|aAft —гА),
если псе сомножители произведения положительны.
28. (Перрон.) Пусть Л есть (п х п)-матрица, и пусть си • • .» сп —
произвольные положительные числа. Тогда каждое собственное
значение Я матрицы Л удовлетворяет неравенству
п
| Я | < max с]1 2 I о/* I сь*
l^j^ fel
29. Для каждого п и каждого т<п обозначим через Ет про-
пространство всех кососимметричоских функций a(iu l2, . . •, Jm) от tn
индексов, каждый i\:\ которых измсчшется от 1 до п. (Это озна-
означает, что а((и Л,, .. ., ini) —?/(/,, /2, ..., /m), если упорядочен-
упорядоченные ii(>c.JiivioiKiTivii>ii(KTii /,, .. ., inl и ju ..., jm отличаются един-
стисчшой иорестлиоикой.) Положим
(и. 1>) Zj a(iu . .., im) b (ц, . . ., im),
'1 hn
превратив тем самым Е7щ и гильбертово пространство. Если А — \
есть (п х я)-матрица, то через Л(ж) обозначим преобразование
в Emi определенное равенством
/ л(^) U.\ / * * \ ^^1 L. / • • \
(^1 и) 11 * I i — / \ CL' CL' ' и \ 1 \ . /тм).
Показать, что (АВ)(т) = A{m)B{m) и что (Л*)(гп) - (Л(т))*. Показать,
что если Яь ..., Ял — собственные значения матрицы Л (каждое
собственное значение повторено столько раз, какова размерность
области значений оператора Е(к\ Л)), то собственными значе-
значениями преобразования Л(ж) являются числа к^Х^ ... Ягт, где
iij iii •••> im — произвольная последовательность целых чисел,
такая, что 1 < ix < i2 < .. . < im < п.
30. (Г. Вейль.) Пусть Л и {Xt} означают то же, что и в упраж-
упражнении 29. Пусть В — единственный положительный квадратный
корень из АА*^ и пусть {jij — собственные значения матрицы В.
Предположим, что {Xt} и {\х(} расположены в порядке убывания
их абсолютных величин. Показать, что
l^'il'^M'i» | Х1Х2 | ^ |^i|^2» I ЯД2Я3 | -^ 1^11^21^3» И Т» Д»
(Замечание: этот результат — наилучший из возможных (Горн).)


8. Упражнения 241
31. (Г. Вейль.) Пусть {Xt} и {р,*} означают то же, что в упраж-
упражнении 30. Показать, что из неравенств упражнения 30 следует, что
(Указание: kt + &2&Г1 + &3&21 + • • • является возрастающей функ-
функцией каждой из своих переменных, пока
kl>k2, kl>kikz, k\>k2kb и т. д.)
32. (Г. Вейль.) Пусть {Xt} и {\1г} означают то же, что в упраж-
упражнении 30. Показать, что
р>1,
И Т. Д.
33. Пусть Л —оператор в n-мерном гильбертовом простран-
пространстве, и пусть 5 = (Л + Л*)/2. Пусть |х_ и \i+ — соответственно
наименьшее и наибольшее собственные значения оператора В,
и пусть Я — собственное значение оператора А. Тогда
34. (Бендиксон.) Пусть Л —то же, что в упражнении 25;
предположим также, что элементы матрицы А вещественны.
Пусть С —(Л —Л*), и пусть g — максимум абсолютных величин
элементов матрицы С. Тогда
(Указание: воспользоваться упражнением 33 и упражнением 31
для случая р = 2.)
35. (Пик.) Пусть С —вещественная кососимметрическая (п х п)-
матрица с элементами (с^); рассмотрим С как отображение п-мер-
ного гильбертова пространства в себя. Показать, что
где g — максимум абсолютных величин элементов матрицы С.
Следовательно, неравенство упражнения 34 может быть усилено,
а именно справедливо неравенство
16 Заказ № 134


242 Гл. XL Различные приложения
(Указание: располагая компоненты хг вектора х в таком порядке,
что Im (xnXj — XjXu) > 0 при k<.]\ показать, что
\ctg^ .)
<j 2/г '
36. (Паркер.) Пусть матрица Л такова, как в упражнении 26.
Показать, что если Я —собственное значение матрицы Л, то
|| 2{l
k г=1
37. (Фробениус.) Пусть Л —матрица, все элементы которой
положительны. Показать, что
(I) наибольшее по модулю собственное значение X является
простым и, кроме того, вещественным и положительным;
(II) в собственном подпространстве, соответствующем собст-
собственному значению Л, имеется вектор х с положительными ком-
компонентами;
(III) всякий собственный вектор матрицы Л, имеющий поло-
положительные компоненты, пропорционален вектору х\
(IV) собственное значение Л совпадает с наибольшим из чисел Ао,
для которых существует такой вектор у с положительными ком-
компонентами, что каждая компонента вектора Ау не меньше соот-
соответствующей компоненты вектора Хоу. (Указание: воспользоваться
теоремой Брауэра о неподвижной точке; еще лучше — рассмотреть
итерации А71.I)
38. Пусть р>1, и пусть (S, 2, |х) — пространство с положи-
положительной мерой, а Л — вполне непрерывный оператор в Lp (S, 2, ц,).
Предположим, что Л переводит положительные функции в поло-
положительные. Показать, что существует такое положительное соб-
собственное значение X оператора Л, которое не меньше, чем модуль
любого другого собственного значения, и которому соответствует
неотрицательная собственная функция.
39. Пусть Л и В являются (п х п)-матрицами, и пусть {К} —
последовательность собственных значений матрицы АВ. Пока-
Показать, что
J2I я, кии II я II-
(Указание: привести матрицу АВ к треугольному виду; ||Л|| —
норма Гильберта —Шмидта оператора Л.)
40. (Лалеско.) Пусть Л и В —операторы Гильберта —Шмидта.
г) Далеко идущие обобщения этого примера можно найти в книге
М. А. Красносельского [5*].—Прим. ред.


8. Упражнения
243
Пусть {hi} — последовательность собственных значений операто-
оператора АВ с учетом их кратиостеп. Показать, что
У. 1Х,|- ИЛННВН.
D. Упражнении по теории Фредгольма
операторов I и льберта — Шмидта
В следующей группе упражнений Л— заданный оператор
Гильберта —Шмидта, {к\) последовательность его ненулевых
собственных значений, каждое in которых повторяется столько
раз, какова его краткость, 6 (X)--функция, определенная сходя-
сходящимся бесконечным произведением
б (X) = И A-мо^Ч
г=1
а А (к) — аналитическая операторнозначная функция
Я (Х-1; А)Ь(К)
(ср. теорему 6.26).
41. (Смитис.) Показать, что
(а) если /(г, X) = z-1[\og(l — kz) + Xz], то
,X), Л)}, 1
(Ь)
п=2
где
(с) 6'(*) = (- 2 ь*-1 on)
(d)
T
где Ро = 1, а если п > 1, то РЛ есть (п х п)-матрица
/О л-1 0 0\
а2 0 п —2 О
а3 а2 0 О
Рп =
1
... а3 а2 О/
16*


244
Гл. XI. Различные приложения
42. (Смитис.) Показать, что
(a) (/-
оо
(b) если 6(Ь)= 2 ЬпХ1 и А(Я,)= 2 ДД*. то Д0 = 0 и
п=0 п=0
Ап = б„-1/ + Лб„-2 + Л2б„_з+ ... +Лп~1б0;
(c) оператор Д„ может быть записан в виде символического
(п х п)-определителя
// п-1 0... 0\
А
лп-1
где Pn~i есть (п— 1) х (п— 1)-матрица из пункта (d) предыдущего
упражнения.
43. (Смитис.) Функция Д (Л,) — Хб (X) / является аналитической
функцией от X, даже если рассматривать ее как функцию со зна-
значениями в пространстве HS операторов Гильберта— Шмидта. Сле-
Следовательно, ряд
а (X) —
п=2
где Д„ и бЛ определены так же, как в предыдущем упражнении,
сходится по норме Гильберта —Шмидта.
44. Пусть (S, 2, |х) — пространство с положительной мерой.
Оператор Л, действующий в пространстве L2(S, 2, (л), тогда и толь-
только тогда является оператором Гильберта —Шмидта, когда на S x S
существует такая (\i х ^-измеримая функция Л(-, •)» что
и
(И)
i/2
ОО
S S
(Л/) (s) - J Л (s,
, 2,
почти всюду на S, т. е. тогда и только тогда, когда оператор А
может быть представлен как интегральный оператор с ядром, удов-
удовлетворяющим условию (I). Если такое ядро Л(-, •) существует,
то оно единственно (с точностью до значений на множестве


8. Упражнения 245
(\i X (г)-меры нуль) и норма \\A\\ в точности равна конечной вели-
величине (I). Следовательно, если Л(«, •) есть (\i x [л)-измеримая функ-
функция, определенная на S x S и удовлетворяющая условию (I), то
формула (II) определяет оператор Л, действующий в L2(S, 2, \i)
и принадлежащий классу Гильберта —Шмидта.
45. Допустим, что в качестве гильбертова пространства $
упражнения 43 рассматривается пространство L2(S, 2, |х) упраж-
упражнения 44. Пусть An(s, t) — ядро, которое представляет в смысле
упражнения 44 оператор Д„ — bn-J из упражнения 42. Тогда сте-
степенной ряд
A(s, t;X)= 2 bnAn(s, t)
сходится для почти всех относительно меры |х х \л точек [s, t]
из SxS, и Д E, t; X) является ядром, представляющим оператор
A(?i) — X8(X)I в смысле упражнения 44.
46. (Гильберт.) Допустим, что выполняются предположения
предыдущего упражнения.
(а) Показать, что постоянные 8п и операторы Ап из упражне-
упражнения 42 однозначно определяются равенствами 60 = 1, 6± = О, Ло = О,
Ai = б0/ и рекуррентными соотношениями
,= -itrCAn-6,-i/, A),
(Ь) Пусть Л(-, •) —ядро, представляющее оператор А в смысле
упражнения 44. Пусть б„—-последовательность постоянных, опре-
определенная формулами бо=1,
v" n\
где Bn(su ..., sn) — определитель (п х п)-матрицы, общий элемент
которой (т. е. элемент, стоящий в 1-й строке и в /-м столбце)
равен A(siySj), если 1Ф], и 0, если i = /. Пусть АЛE, ^ — функ-
функции, определенные формулами A2(s, t) = A(s1 t) и
^ (s, t;


246
Гл. XI. Различные приложения
где Вп (s, /; st, ..., sn) — определитель (п + 1) X (n-f 1)-матрицы,
общий элемент которой а^- задается равенствами
aij = A (s, s^i),
<хл = A (Sj-U t),
a* j = 0,
atJ =- A (Si-u s^i),
Показать, что функция An (s, /) удовлетворяет условию (I) упраж-
упражнения 44 и, следовательно, представляет некоторый оператор Ап
типа Гильберта —Шмидта. Показать, наконец, что если An (s, t) —
функции из предыдущего упражнения, то Дп (s, /) =¦ Ап (s, /) для
почти всех относительно меры \i x \i точек [s, t\ и что
л + 1 > / > 15
п + 1 > / > 1;
п + 1 > i = / > 1;
47. Пусть а,—произвольное число и d(X) = б (Я)ехр (
Показат!», что')
п. 1
и что
п==0
где Ro=h а если п > 1, то Rn есть (п х я)-матрица
/Oi п—1 0 ... 0\
г2 0! /г — 2 ... О
г3 сто Oi ... О
\ап . . ... аУ
Показать, что операторнозначная функция D(kj=d(k) (At1/ — Л)
оо
аналитична по Я и что D(^)= 2 АЛ"» ГДе ^о = О» А = Л а при
71=0
Определение постоянных an, n> 2, см. в упражнении 41.— Прим. перев.


8. Упражнения
247
п>2 оператор Dn представляется символическим определителем
/7 п-1 О ... 0\
А
(-D
п-1
A-1I
det
\А
П-1
/
48. (Детерминантный ряд Фредгольма.) Пусть выполнены пред-
предпосылки предыдущего упражнения; предположим, что в качестве
гильбертова пространства рассматривается 12C, 2, [л), где
(S, 2, ^ — пространство с положительной мерой. Пусть Л(-, •) —
ядро, представляющее оператор А в смысле упражнения 44. Пред-
Предположим, что это ядро выбрано таким образом, что формула / (s) =
= Л(«, s) определяет (х-измеримую fx-интегрируемую функцию1).
Возьмем в качестве числа ах из предыдущего упражнения
ах= jj A (s, s)\i(ds).
s
Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) Числа dn = det (Rn) можно вычислить по формулам do=l n
dn=
C(sb ...,
n>
где C(si, .. ., sn) — определитель (п х п)-матрицы с общим эле-
элементом A (Sj, Sj).
(b) Формулы D2 (s, /) = A (s, ?) и
C'(s, /; si, ..., sw)
x) Назовем множество ??2 точным атомом, если ц (?) ^0 и если из
того, что F ? S, fc?, вытекает, что либо F = E, либо F—0. (Ср. с определе-
определением IV.9.6; заметим, кстати, что следующее за этим определением утверждение,
что пространство с конечной положительной мерой может иметь не более чем
счетное множество несовпадающих атомов, неверно; оно становится верным,
если атомы заменить на точные атомы или если два атома считать совпадаю-
совпадающими, когда мера их симметрической разности равна нулю. Если всякое одно-
одноточечное подмножество пространства S измеримо, то точными атомами являются
все одноточечные подмножества ненулевой меры, и только они.) Заметим, что
изменение функции A (s, t) на множестве (ц х ^)-меры нуль не меняет опера-
оператора Л. Легко показать, что если S содержит не более конечного числа точ-
точных атомов, то, изменяя (если это необходимо) функцию A (s, t) на некотором
множестве (ц х ^)-меры нуль, можно считать, что функция A (s, s) является
^-интегрируемой. Если же число точных атомов бесконечно, то требование
[г-интегрируемости функции A (s, s) является дополнительным ограничением
на оператор Л, даже если мера ^ конечна.— Прим. перев.


248 ' Гл. XI. Различные приложения
где С (s, t; su ..., sn) — определитель (п-\-1) х (п+ 1)-матрицы,
элементы которой задаются равенствами
ац = ЛE, t)\
ai; = 4(s, s;_!), an = A(Sj~u t),
au = A (Si-b s;-!),
определяют ядра, удовлетворяющие условию (I) упражнения 44
и представляющие операторы Dn—,~~ У!t ^-i/ из предыдущего
упражнения. Кроме того, для почти всех относительно меры |хХ[а
точек [s, /] ряд
оо
D(s, t;l) = % ?=WLDn(s,i)
сходится при всех Я, и D(s, /; Я) является ядром, представля-
представляющим (в смысле упражнения 44) оператор D(X) — Xd(K)I из пре-
предыдущего упражнения.
Показать, наконец, что, выбирая A(s, t) так, что A(s, s) = 0
для всех s из S, мы получаем результат упражнения 46 как
следствие результатов данного упражнения1). (Указание: обоб-
обобщить метод упражнения 46.)
49. Говорят, что оператор Гильберта — Шмидта А обладает
оо
следом, если 2 |^|<оо. След tr (Л) такого оператора определя-
оо
ется по формуле tr (A) = 2 V Доказать следующие утверждения.
(a) Если оператор А упражнения 47 обладает следом и постоян-
постоянная ог этого упражнения выбрана так, что ог = \г(А), то d(X) =
оо
= П A— ЯД), причем это бесконечное произведение сходится
абсолютно и равномерно по Я на всяком ограниченном множестве.
(b) Произведение А двух операторов А\ и Л2 типа Гильберта —
Шмидта обладает следом, причем tr (Л) = tr (^i, Л2).
(c) Пусть операторы Л, Ai и Л2 пункта (Ь) являются операто-
операторами, действующими в L2E, 2, jx), где E, 2, [г) —пространство
с положительной мерой, и пусть /4i(-, •), Л2(-, •) — ядра, пред-
представляющие в смысле упражнения 44 операторы А± и А2 соответ-
х) Если EdS—точный атом (см. примечание на стр. 247), то функция
f (s)=A(s, s) постоянна на Е, причем величина этой постоянной однозначно
определяется оператором Л и не может быть изменена без изменения опера-
оператора А. Поэтому в случае, когда в S имеются точные атомы (например, когда
мера \л дискретна), результаты упражнения 46 не являются, вообще говоря,
следствиями результатов упражнения 48.—Прим. перев.


8. Упражнения 249
ственно. Тогда ядро Л(», •), определенное формулой
Л($, 0= \a{(s, г) А2 (г, t)\i(dr)
для всех s и /, для которых интеграл в правой части существует,
представляет оператор А и смысле упражнения 44. Кроме того,
tr (>1) \A(s, s)\i(ds).
(d) Если оператор (ЛЛ*)!/| обладает следом, то оператор А
также обладает следом (Указание: воспользоваться неравенством
Вейля из упражнения 30.)
Е. Различные упражнения
50. (Хальберг.) Пусть (S, 2, ^ — пространство с а-конечной
мерой. Пусть Тр — однопараметрическое семейство ограниченных
операторов, определенное на некотором подинтервалё / интервала
1<р<оо, причем оператор Тр действует в пространстве
LpE, 2, |х). Допустим, что для любых ри р2 из / операторы TPi
и Тр2 совпадают на пересечении пространств LPi(S, 2, (х) и
Lp2(S, 2, (х). Доказать, что log|а(Тр)\ — выпуклая функция от р.
51. Пусть выполнены предположения упражнения 50. Пока-
Показать, что
аGр2)с=аGР1)исг(Гр3), если Pi<p2<p3; Pu ft, Рзб/.
52. Пусть выполнены предположения упражнения 50. Показать,
что если р1 и р2 принадлежат /, то каждая компонента множе-
множества o(TPi) пересекается с о(ТР2).
53. Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предполо-
предположим, что число 2 содержится в / и что оператор Т2 эрмитов.
Показать, что а(Т2)^о(Тр) для любого р из /.
54. Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предполо-
предположим дополнительно, что мера \i конечна. Пусть р, ??/, р<9,
и )к$в(Тр). Тогда Я^аG1д) в том и только том случае, когда
(XI-Tp)(Lp-Lq)czLp-Lq.
55. Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предполо-
предположим дополнительно, что S — множество целых чисел и что каждая
точка из S имеет меру 1. Пусть p,q?l, p>q, и 1к^а(Тр).
Тогда X$e(Tq) в том и только том случае, когда
56. (Шмидт.) Пусть выполнены предпосылки упражнения 44;
предположим, что оператор А эрмитов. Пусть {ср*} — ортонор-


250 Гл. XI. Различные приложения
мальная последовательность собственных функций оператора Л,
а {|А*} — последовательность соответствующих собственных значе-
значений. Показать, что
г
причем этот ряд сходится в топологии пространства
L2{(S, 2, |i)x(S, 2, (х)).
57. Пусть S — бикомпактное пространство и (S, 2, ^ — про-
пространство с конечной регулярной мерой. Пусть K(s, f) — непре-
непрерывная функция на S х S; предположим, что
так что формула
s,t)f(t)n(dt)
определяет вполне непрерывный эрмитов оператор К в L2{S, 2, (х).
Пусть {ф^} —последовательность собственных функций опера-
оператора /С, a {uj} —последовательность соответствующих собственных
значений. Показать, что если g Kf для некоторой функции /
из L2(S, 2, |л), то функция g непрерывна и ее разложение в ряд
по собственным функциям сходится равномерно и абсолютно.
58. (Мерсер.) Пусть выполнены предпосылки предыдущего
упражнения; предположим, что оператор К неотрицателен.
Показать, что
причем ряд в правой части равномерно сходится. (Указание:
показать, что /((?> <) = S № I Ф* (О I2» и отсюда вывести, что
г
последний ряд равномерно сходится. Воспользоваться упражне-
упражнениями 57 и 56.)
59. Пусть фл —такое ортонормальное множество функций
в гильбертовом пространстве L2 (S, 2, |л), что | фл (s) | < М <оо
при s?S и /г= 1, 2, .... Для каждой функции / из Ь{ положим
сп= [f(s)yn(s) \i(ds). Показать, что для любого р, 1
существует такая конечная постоянная /<"р, что
(
n=l
(Указание: воспользоваться интерполяционной теоремой Марцин-
кевича, приведенной в параграфе «Примечания ц дополнения»,
завершающем настоящую главу.)


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 251
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов.
Обобщенные неравенства Карлемана *)
Если Г —вполне непрерывный оператор в гильбертовом про-
пространстве, то неотрицательный самосопряженный оператор Т*Т
вполне непрерывен (следствие VI. 5.5); таким образом, по след-
следствиям Х.3.5, VI.5.5 и Х.2.8 оператор А = (Т*ТI/2 также является
вполне непрерывным, неотрицательным и самосопряженным.
Ненулевые собственные значения jii, \x2, ... оператора А, рас-
расположенные в убывающем порядке и повторенные в соответствии
с их кратностями, образуют по теореме VII.4.5 последовательность
чисел, стремящуюся к нулю (если область значений оператора А
бесконечномерна). Эти числа называются характеристическими
числами оператора Г; через \хп (Т) мы обозначаем п-е характе-
характеристическое число оператора Т.
В терминах характеристических чисел можно описать различ-
различные класры вполне непрерывных операторов, определяя для них
различные нормы.
I. Определение, (а) \Т\Р= {| (МЛ}РI/Р> 0<р<оо;
(Ь)|Г |оо= sup | |л„ (Г) | = jbi! (Г) = | ГУ; (с) класс Ср состоит из
1^
всех вполне непрерывных операторов, для которых величина | Т \р
конечна.
Последнее равенство пункта (Ь) следует из теоремы Х.2Л
и леммы IX.3.2. В лемме 2 и ее следствиях устанавливаются
основные свойства характеристических чисел.
2. Лемма. Характеристические числа \in(T) вполне непрерыв-
непрерывного оператора можно найти по формуле
\hi+i(T)= min " max |7"ф|> п>0.
Ф1,. .., фп< 1Фi=1
(Ф, ф1)=. . .=(ф, Фп)=0
Доказательство. Эту формулу можно записать в виде
max
Ф1,,Фп [ф[=1
(Ф, Ф1)=- . -=(Ф, Фд)=0
Так как |7ф|2 —(Гф, 7\p) = (T*7\p, ф), то ясно, что наша лемма
является частным случаем «минимаксной формулы» для собствен-
собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора,
содержащейся в теореме Х.4.3.
В дальнейшем будет удобно принять формулу леммы 2 за
определение характеристического числа ixn (T) в случае, когда
х) Более полно эти вопросы, а также и многие другие связанные с ними
излагаются в книге И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [2*].— Прим. ред.


252 Гл. XI. Различные приложения
оператор Т не является вполне непрерывным. Заметим, что при
таком определении формула \T\ = \jli(T) приобретает совершенно
общий характер.
3. Следствие. Характеристические числа вполне непрерывных
(или просто ограниченных) операторов удовлетворяют неравен-
неравенствам
Vn+m+l (Ti + T2) < \in+i (Т^ + \lm+i (Г2),
in+i (Ti) [xm+1 (T2).
Доказательство. В самом деле, имеем
min max
Ф1». . .» фп+тп |ф1=1
(ф, ф1)=г. . .=(ф, фП+т)=0
< min max (| 7
min max |7\ф| +
.....фп 1Ф1-1
(Ф, Ф1)-. ..«-(Ф, Фл)=0
min max |7Vp|;
•-i Фл+т |ф|=1
(ф ф) (
это доказывает справедливость первого утверждения.
Аналогично
min max 17\Т2ф | <
Ф1». • ., Ф71+7П 1ф| = 1
(Ф, ф1)=. . .=(ф, ф7г+т)=0
< min max |7\Т2ф| =
Ф1,...»ф7г+т 1ф[=1
(ф, Т2Ф1)=.. .=(Ф, Т2фп)=О
(Ф, Фп+1)=- • -=(Ф» фп+т)=О
= min max
Ф1. • • •» Фд+m (Т2ф, Ф1)=. . -=(Т2ф, фп)=О
(ф» Фд+1)=- • -—(Ч>^ ф7г+т)=0
<{ min max l^i^l} x
Фь • • •» Фп №1=1
(\|)» фч)г=. . . =(lbj фд)=О
х{ min max |72ф|},
фп+1». . ., Фп+т |ф|=1
(Ф, <
что доказывает справедливость второго утверждения.
4. Следствие, (а) | |ал(Г4) —^ (T2)J<| T± —T2J.
(b) 1^(^X1^G)^1; |иЛ^)<|^|^(Л.
(c) H-nGf/) = iAnG1), если \и\ = \и~г\ = 1, w, в частности, если
операпгор U унитарен.


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 253
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) являются частными
случаями неравенств леммы 3; утверждение (с) сразу следует
из (Ь).
Неравенство (а) предыдущего следствия дает возможность
получить некоторые результаты относительно аппроксимации
общих вполне непрерывных операторов вполне непрерывными опе-
операторами, имеющими конечномерную область значений. Такая
аппроксимация является основным техническим приемом настояще-
настоящего параграфа. Следующая лемма содержит полезное для прило-
приложений вспомогательное утверждение, показывающее, что проис-
происходит при этом с собственными значениями аппроксимирующих
операторов.
5. Лемма. Пусть ТП1 Т —вполне непрерывные операторы,
и пусть Тп—>Т в равномерной операторной топологии. Пусть
hm (Т) — последовательность ненулевых собственных значений
оператора Т, каждое из которых повторяется столько раз,
какова его кратность. Тогда существует такая последователь-
последовательность Ят(Гп) ненулевых собственных значений оператора Тп
(с учетом их кратностей), что
lim km(Tn) = Xm(T), т>1,
П->оо
причем эта сходимость равномерна по т.
Доказательство. Выберем такую убывающую и стремящуюся
к нулю последовательность чисел е*, что граница круга Сг
радиуса гк с центром в начале лежит целиком в резольвентном
множестве вполне непрерывного оператора Т. Найдем такую убы-
убывающую последовательность положительных чисел б&<;ед, что
круги радиуса бд с центрами в точках спектра а (Г), лежащих
вне Ceft, попарно не пересекаются. Тогда по леммам VII.6.4,
VII.6.5 и VII.6.7 найдется такая возрастающая последова ель-
пость натуральных чисел пи, что при п>щ каждая точка из а(Тп)
либо содержится в Сед, либо удалена не более чем на 8k от не-
некоторой ненулевой точки из а G). Кроме того, если каждую
точку из о(Тп) считать столько раз, какова ее кратность, то
число точек из о(Тп), удаленных не более чем на бд от точки
X ? а (Г) — C8ft, в точности равно кратности Я.
При Д/г<!д<^А+1 занумеруем точки из о(Тп) следующим
образом.
(I) Расположим точки Х4, ...Д; из o(T) — Cek в том порядке,
и котором они встречаются в последовательности Хт(Т). Прону-
Пронумеруем сначала все точки из а (Тп)у лежащие в бд-окрестности


254 Гл. XI. Различные приложения
точки Хи затем все точки из о(Тп), лежащие в б^-окрестности
точки ?*2t и, наконец, все точки, лежащие в б&-окрестности
точки Xi. Во всех случаях мы повторяем каждую точку столько раз,
какова ее кратность.
(II) Перенумеруем точки из а (Тп) f) Cgft любым способом,
но с учетом их кратностей.
Пусть теперь е>0; выберем такое натуральное Л4, что
|Aj(T)|<e при />М. Легко видеть, что можно найти столь
большое k, что еА<е и все точки Xi(T), ...,ХМ(Т) лежат вне
Свд, в то время как |A,j(T)| + 6ft<e при />М. Пусть п>п^
По построению | X,- (Тп) — Xj (Г) | < bk при /<Л4, в то время как
\Xj(Tn)\ и \Xj(T)\ не превосходят е при />М. Таким образом,
лемма доказана.
6. Лемма. Пусть Т —вполне непрерывный оператор и кп(Т) —
расположенная в порядке убывания абсолютных величин последо-
последовательность его собственных значений, каждое из которых пов-
повторяется столько рая, какова его кратность. {Если имеется
лишь конечное число N ненулевых собственных значений, пола-
полагаем Хп(Т) 0 при n>N.) Тогда для любого целого положитель-
положительного т
(a) \х{(Т)... млкмг) •-. МЛ;
m та
(b) 21МЛ1р<2{МЛ}р. р>1;
(С) Ит(Л-Ит(П.
Доказательство. Мы объединили эти три слабо связанных
друг с другом утверждения по причине сходства их доказа-
доказательств. По лемме 5 и следствию 4, а также в силу того простого
факта, что всякий вполне непрерывный оператор можно аппрок-
аппроксимировать по норме последовательностью {Тп} конечномерных
операторов, достаточно доказать лемму в частном случае, когда
конечномерна область значений оператора Т.
Заметим, что если Т имеет конечномерную область значений,
то Т^=ЕТ, где Е — оператор ортогонального проектирования
на область значений оператора Т. Поэтому Г* = Г*?*, так что
область значений оператора Г* также конечномерна. В дальней-
дальнейшем мы будем время от времени пользоваться этим замечанием
без особой оговорки.
Пусть S — конечномерное подпространство, содержащее области
значений операторов Т и Т*; обозначим через d его размерность.
Тогда ясно, что ® инвариантно относительно Т и Г*, а так как
1, х)^= (Зх, Т*х)~0 для всех х, то Г5^ = {0}; аналогично


9, Классы Ср вполне непрерывных операторов 255
7*<Зх = {0}. Таким образом, легко видеть, что
A)
0, n>d.
Следовательно, достаточно доказать утверждения (а), (Ь) и (с)
для операторов в конечномерном гильбертовом пространстве.
В этом случае (а) и (Ь) представляют собой известные неравен-
неравенства Вейля, приведенные в $ 8 и качестве упражнений 8.31 и 8.32.
Для доказательства (с) заметим, что всякий оператор в конечномер-
конечномерном пространстве может быть сколь угодно точно аппроксимиро-
аппроксимирован невырожденными операторами; таким образом, не ограничивая
общности, мы можем считать, что оператор Т невырожден. Пусть
U~(T*T)i/*T~'1. Тогда ясно, что оператор (/ — невырожденный
и U*U = (T*)-iT*TT-x = J, так что U — унитарный оператор. Имеем
UT^(T*TI/2; поэтому UTT*^1 = Г*7\ так что U (ТТ*I'2^1 =
= (Т*ТI/2. Отсюда следует справедливость (с), ибо унитарно
эквивалентные операторы имеют одинаковые собственные значения.
оо
7. Следствие. Если Т?СР, 0<р<оо, то ряд 2 (Хг (Т))р
абсолютно сходится и
Доказательство. Это следует из пункта (Ь) предыдущей леммы.
оо
8. Следствие. Если T?Cif то ряд tr(T)= 2 h (T) абсолютно
г=1
сходится и
Замечание. Величина tr (Г) называется следом оператора Т.
В следующей лемме доказываются полезные элементарные
свойства пространств Ср. Приведенные в этой лемме неравенства
для норм при 1<р<оо являются грубыми и будут улучшены
несколько позже.
9. Лемма, (а) Если р<р', то СР^СР>\ \Т\Р убывает с рос-
ростом р.
(Ь) Если Ти Т2?СР, то Т, + Т2^СР и |7\ + 72|р<21/р|Г1|р +
1/ l


256 Гл, XL Различные приложения
(c) Если Т^Сп и Т2?СГ21 то Т{Г2?СГ, где l/ri+Vr2=l/r.
Кроме того,
ITJzlr^'lT^lT^ 0<г<оо.
(d) Если Т?СГ, а А —ограниченный оператор, то операторы
AT и ТА принадлежат Сг; кроме того,
|ЛТ|Г<|Л||Т|Г; |ТЛ|Г<|Т|Г|Л|.
(e) С2 совпадает с классом операторов Гильберта — Шмидта
и |Г|2 = ||Г|| при Т?С
Доказательство. Часть (d) сразу следует из пункта (Ь) след-
следствия 4. Если {фг} — ортонормированная система собственных
векторов оператора Т*Т, отвечающих собственным значениям
{(|ii (Г)I}, то*)
|7Та=2 (\in(T))*~ 23 1^1» = ЦТ||«.
Это доказывает справедливость утверждения (е).
Утверждение (а) следует прямо из определения 1.
Чтобы доказать (Ь), положим T = Ti + T2 и заметим, что по
следствию 3
+ T2) < jxri+1 (TO + jxn+1 (T2)f
ln+2 (T2).
Пусть сначала р>1. Тогда по неравенству Минковского
( S \^п^(Т)Пир<{% 1|*п+1G-,)И1/р+{ 21|ц„
п=0 п=0 п=0
<\т±\р+\т2\р.
Таким же способом получаем
Возводя эти неравенства в степень р и складывая, получаем
первое из утверждений (Ь). Утверждение пункта (Ь), относящееся
к области 0<р<1, доказывается точно так же с заменой нера-
неравенства Минковского на элементарное неравенство | х \р + \ у |р >
\р* справедливое в этой области значений р.
х) Последнее из следующих ниже равенств вытекает из того, что систему
{ф^} можно дополнить до ортонормального базиса в § таким образом, чтобы
оператор Т переводил добавленные векторы в 0.— Прим. перев.


Р. Классы Ср вполне непрерывных операторов 257
Аналогично, применяя следствие 3 и неравенство Гёльдера
справедливое, если г^ + г^ — Г1 и 0<Г!, г2, г< оо, получаем (с).
Некоторая неортодоксальность «неравенства треугольника»,
приведенного в пункте (Ь) предыдущей леммы, не мешает нам
воспользоваться нашими «нормами» для определения топологии
в Ср. Множество U s Ср называется открытым, если для каж-
каждого Т из U найдется такое е>0, что {7" 11 7" — Г|р<е} s t/.
Из леммы 6 (с) сразу же следует, что отображение Т—>Т* про-
пространства Ср в себя непрерывно. Из леммы 9 следует, что ото-
отображение Т—>Т пространства Ср в Ср> при р'>р, отображение
[Ти T2]—>Ti + T2 пространства СрхСр в Ср, а также отображе-
отображение [Ти Т2]—»7\Т2 пространства CpxCq в Сг, где г = р-1 + 9~1,
являются напрерывными. Из обычных свойств метрического про-
пространства теряется пока лишь утверждение, что | Т |р является
непрерывной функцией на Ср. Позднее, когда мы уточним (для
случая 1<р<оо) лемму 9 (Ь), избавившись от лишнего множи-
множителя 21/р, мы сможем доказать и это.
Пространство Ср обладает свойством полноты, сформулиро-
сформулированным в следующей лемме.
10. Лемма. Если Tn?Cv —такая последовательность опера-
операторов, что \Тп — Тт\р—->0 при т, п—>оо, то существует такой
вполне непрерывный оператор Г, что Тп—>Т (в топологии про-
пространства Ср) при п —> оо.
Доказательство. По лемме 9 (а) и следствию VI.5.5, согласно
которому семейство вполне непрерывных операторов замкнуто в
равномерной операторной топологии, существует такой вполне
непрерывный оператор Г, что Тп—>Т в равномерной топологии.
Таким образом, по следствию 4 (a) lim Рк(Тп — Tm) = \ik (Tn — T).
т-»оо
Отсюда следует, что
{ S 1^(^-Г)|^1/р<Йт { |
h=i m-+oo fe_
Поэтому, устремляя Л^ к бесконечности, получаем
\\р
т~>оо
так что
lim|Tn-T|p< lim |Гп-7т!Р-0?
п-±оо т, п—><х>
ч. т. д.
Впоследствии нам будет полезна следующая простая лемма.
17 Заказ № 134


258 Гл. XI. Различные приложения
11. Лемма. Пусть Т — вполне непрерывный оператор. Тогда
существует такая последовательность Тп вполне непрерывных
операторов с конечномерными областями значений, что
(a) Тп — >Т в равномерной топологии при /г—>оо;
(b) если Т?СР, то \Тп — Т|р —>0 при /г—>оо;
(c) если Т?СР, то \Тп\р—*>\Т\р при п—>со.
Доказательство1). Пусть ?0 = {*| Т*Тх = 0}, ?оо = Йо~ и ко-
кооператор ортогонального проектирования на ig0. Из спектральной
теоремы для вполне непрерывного самосопряженного оператора
Т*Т легко следует, что ортонормальная система <pi, ф2, ... соб-
собственных векторов этого оператора, соответствующих собственным
значениям ((ii(T)J, (^(T1)J, ..., является базисом простран-
пространства ?}оо. Пусть Еп — оператор ортогонального проектирования
на подпространство, порожденное векторами фЬ ...,фд, а Еп =
= Еп + Е0 и Е'п^1—Ёп- Положим Тп ТЁп и Тп---ТЕ'п\ тогда
Т^Тп + Т'п. Заметим, что {х\Тх 0} -{х\Т*Тх-.-.0}--=%0 (одно
включение тривиально, другое следует из равенства (Т*Тх, х) =
^ | Тх |2). Поэтому Гп = ТЁп --= ТЕп + ТЕ0 = Т?д, так что оператор Тп
имеет конечномерную область значений.
Так как Е'п—>0 в сильной топологии, то | ^^д: | —> 0 равномерно
по х на всяком компактном множестве. Поэтому Е'пТ*х—>0
равномерно по х на всяком ограниченном множестве и, следова-
следовательно, \Е'пТ*| = |Т'п\ —>0. Это доказывает пункт (а).
Так как Т%Гп = ЕпТ*ТЕп = Т*ТЕп, то ясно, что
tim(rn) = tim(T), m<n; pm(Tn) = 0f m>n.
Поэтому справедливость утверждения (с) очевидна* По тем же
причинам
G1) G1) \
откуда следует справедливость утверждения (Ь).
В конце концов нам придется доказать непрерывность (или,
что то же, аддитивность) функции tr(T), введенной в следствии 8.
К сожалению, в этом доказательстве имеется одна тонкость, ана-
аналогичная уже доставившей нам трудности на пути к теоремам
XI.6.24 и XI.6.25. Мы преодолеем это препятствие, используя
методы теории функций комплексного переменного, почти совпа-
совпадающие с примененными ранее в § 6.
!) В оригинале доказательство леммы 11 содержит неточности. Оно не
проходит, если ядро оператора Т нетривиально. Кроме того, в нем неявно
предполагается сепарабельность пространства §, что совсем не обязательно.
В переводе доказательство исправлено.— Прим. перге.


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
12. Лемма. Если 7\ и Т2 — конечномерные операторы, то
tr (Ti + T2) = tr(Ti)-\-tr(T2)' Следовательно, для таких операто-
операторов | tr (Г,) — tr (Г2) |< [Г± — Г214.
Доказательство. Пусть B — конечномерное подпространство
гильбертова пространства, содержащее области значений опера-
операторов Ти Т2, Т* и Г*. Положим T3 = Ti + T2. Из соображений,
аналогичных приведенным в третьем абзаце доказательства лем-
леммы 6, следует, что tr(Tt) = tr (Tt | <5), tr (Г2) = tr (T2 | S) и tr(T3) =
= tr (T31 ©). Поэтому первое утверждение нашей леммы вытекает
из соответствующего утверждения для операторов в конечномер-
конечномерном пространстве (см. определение 6.8 и лемму 6.10). Второе
утверждение следует из первого и из следствия 8, если учесть,
что tr(a7) = t(T
Лемма 12 показывает, что функция tr(T) допускает единст-
единственное продолжение по непрерывности с плотного в С4 множества
конечномерных операторов на все d. Обозначим это продолже-
продолжение через fr(T). Следующей основной вехой наших рассуждений
будет доказательство того, что функции tr (T) и tr (Т) совпадают
на С1в Сначала установим некоторые легко доказываемые свой-
свойства функции tr(T).
13. Лемма1), (а) Функция tv(T) линейна и непрерывна на про-
пространстве Ci.
(b) Если {уа} — ортонормальный базис, то
причем ряд сходится абсолютно.
Доказательство. Утверждение (а) немедленно следует из пре-
предыдущей леммы и из определения tr(T).
Пусть <qo = {x\(TT*I/2x = O} и igoo^^. Тогда ортонормаль-
ная система собственных векторов гр±, i|?2, ... оператора GY*I/2,
соответствующих собственным значениям \ii(T), \*>2(T),...,
является базисом в ?)оо. Пусть {/фр} — ортонормальный базис в $$0.
Заметим, что если х?%0, то | Т*х\2= \ (ТТ*I/2х\2 = 0; поэтому
!) В оригинале формулировка и доказательство леммы 13 содержат неточ-
неточности. В формулировке неявно предполагается сепарабельность пространства §,
что излишне, а доказательство не проходит, если Кег (ТТ*I/2=?{0}. В переводе
сделаны соответствующие изменения.— Прим, перев.
17*


260 Гл. XI. Различные приложения
Т*г|5р = 0. Кроме того, ясно, что |T*\pj\ = ^G). Поэтому
П 2 I (ГФв, фв) | -= 2 1 2 (Гф«, %) (Ф* Фа) + 2 (Гфс ¦» (*», Ф«) I
а а j=l Э
2
j—1
Е2
Ф«)|2I/2= 2 МЛ = | Л,
jl
Это доказывает абсолютную сходимость ряда в правой части
соотношения (Ь); так как сумма этого ряда линейна по 7\
то из неравенства [*] следует, что она зависит от Т непрерывно.
Поэтому в силу леммы 11 формула (Ь) будет доказана в общем
случае, если мы сумеем обосновать ее для оператора Т с конечно-
конечномерной областью значений. Такой оператор является суммой
конечного числа оператором с одномерными областями значений.
Поэтому, не ограничит»! общности, можно считать, что область
значений Т одномерна, т. о. что Т имеет вид х—»(х, и) а. Для
такого оператора след легко вычисляется: iv(T) = (u, v); таким
образом, формула A>) сводится к формуле
(а, 0)---2("» Фа) (фа, t>),
а
которая является простым следствием полноты ортонормального
базиса {фа}.
Следующая лемма позволяет уточнить неравенства леммы 9
для норм, относящиеся к случаю пространств Ср с 1<р<оо.
14. Лемма, (а) Пусть 1 < р < оо и q + р~г = 1. Пусть С0
обозначает множество всех ненулевых ограниченных операторов
с конечномерными областями значений. Тогда если Л?СР, то
(b) Если р и q такие же, как в пункте (а), А?СР и
то АВ и В А принадлежат Си
B)
и \tv(AB)\<\A\p\B\q.
(с) Если р, (/, А и В такие же, как в пункте (Ь), то


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 26J
(d) Пусть 1<р<оо, и пусть А и Ах принадлежат Ср.
Тогда
Доказательство. Ясно, что неравенство (d) следует из фор-
формулы A) пункта (а). Аналогично, если (а) и (Ь) уже доказаны,
то по лемме 9 (d)
Таким образом, в доказательстве нуждаются лишь пункты (а) и (Ь).
Допустим, что утверждение (а) доказано в частном случае,
когда область значений оператора А конечномерна. Для любого Л
из Ср можно, согласно лемме 11, найти последовательность Ап
конечномерных операторов, сходящуюся к оператору Л в равно-
равномерной топологии и в топологии пространства Ср. Если В^С°^С1,
то из непрерывности отображения [Л, В]—>АВ пространства
Соо X С4 в Ci и из непрерывности функции tr на Ct следует, что
\tr(AB)\ = \im\tr(AnB)\*C\im\An\p\B\q<C\A\p\B\q.
П->оо п-уоо
С другой стороны, найдется такая последовательность {Вп} опе-
операторов из С°, что I Bn \q = 1 и | tr (АпВп) | > | Ап |р — 1//г. Так как
оператор АВп — АпВп принадлежит С0, то по леммам 12 и 9 (с)
так что
Следовательно, из справедливости утверждения (а) для опера-
операторов с конечномерными областями значений вытекает его спра-
справедливость в общем случае. С помощью простых рассуждений,
подобных примененным в третьем абзаце доказательства леммы 6
(детальное их проведение мы оставляем читателю), можно пока-
показать, что для обоснования утверждения (а) в общем случае
достаточно рассмотреть случай, когда гильбертово пространство
конечномерно.
В этом частном случае доказательство проводится так. Пусть
р<оо. Поскольку обе части соотношения A) непрерывны по Л,
а всякая конечная матрица может быть сколь угодно точно
аппроксимирована невырожденными матрицами, достаточно рас-
рассмотреть случай невырожденного преобразования Л. При этом
оператор Г = (ЛЛ*I/2 также невырожден, и если ?/ = Т~М,
то UU* = T~1T2T=:I, так что оператор U унитарен и A = TU.
Пусть B0 = U-1T*-1. Тогда АВО = ТР, так что tr (Л50) = S{^ (Л)}р.


262 Гл. XI. Различные приложения
С другой стороны, В0В* = Ц-Ч^-^и, так что & (Во) = ^ (А)р~* и
Отсюда
| tr (АВ0) | = . ^ ,
\B0\q ~~|"|р'
и потому правая часть формулы. A) не меньше ее левой части.
Для доказательства обратного неравенства достаточно пока-
показать, что
C) \tv(AB)\^\A\p\B\q;
как и выше, мы видим, что это неравенство достаточно доказать
для случая, когда Л и В невырождены. Поскольку, как было
показано выше, невырожденная матрица имеет вид A^TU, где
U—унитарная, а Т—положительно определенная эрмитова матрица,
и так как по спектральной теореме Т можно представить в виде
Т ~ VDV*, где D — положительная диагональная матрица с теми же
собственными значениями, что и 7\ то неравенство C) вытекает
из иерапенпиа
В силу тождества tr (SSf) = tr (S'S) достаточно доказать, что для
любой пары унитарных матриц U, U и любой пары положитель-
положительных диагональных матриц Du D2
D) {tr
Неравенство D) можно записать в виде
и, А, <4), («у, k (S №)?)"' (S №>0
По теореме Рисса о выпуклости (VI. 10.7) последнее неравенство
справедливо в общем случае, если оно справедливо в частных
случаях р~--\, q~oo и <7 = 1, р=оо; но в этих случаях оно
вытекает из очевидных неравенств
справедливых для любой пары унитарных матриц [/, U. Таким
образом, соотношение A) доказано при рфсо. Несложное рас-
распространение этого доказательства на случай р = оо мы оставляем
читателю.
Поскольку линейный функционал tr непрерывен на Сх
и поскольку, как было отмечено в абзаце, следующем за лем-
леммой 9, отображение [Л, В]—>АВ пространства CpxCq в Сх непре-


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 263
рывно, из леммы 11 следует, что для доказательства утверж-
утверждений пункта (Ь) в общем случае достаточно доказать их в случае,
когда операторы А и В конечномерны. Но для таких операторов
неравенство пункта (Ь) является, очевидно, следствием формулы A),
а тождество B) вытекает из соответствующего тождества для
операторов в конечномерном пространстве. Это завершает дока-
доказательство настоящей леммы.
Из леммы 9(d), неравенства |Л|<|Л|Р, леммы 10 и предыду-
предыдущей леммы немедленно следует, что при р>\ семейство опера-
операторов Ср с нормой |-|р является полной нормированной алгеброй;
если гильбертово пространство бесконечномерно, то это алгебра
без единицы. Поэтому соображения, использованные при доказа-
доказательстве теоремы 6.7, с незначительными изменениями могут быть
применены для доказательства следующей леммы.
15. Лемма. Если р> 1, Т?СР и f — однозначная аналитическая
функция в окрестности спектра оператора 7\ равная 0 в нуле,
то f (Т) ?СР и отображение T—>f(T) пространства Ср в себя
непрерывно. Кроме того, если {fn}—последовательность таких
функций, имеющих в качестве общей области определения неко-
некоторую окрестность N спектра оператора 7\ и если fn (Я) —> f (k)
равномерно на N, то fn(T)—>f(T) в топологии пространства Ср.
Изменения, необходимые для распространения доказательства
теоремы 6.7 с частного случая р = 2 на общий случай р>1,
столь незначительны, что не могут причинить читателю особого
беспокойства. Поэтому мы их опустим.
Пусть T?Ci. По лемме 15 отображение Т —>log(/ + zT) опре-
определено при — z~1$g(T) и непрерывно по Г. Поэтому функция
det (/+ гГ) = exp (fr (log (/ + 27))) определена и непрерывна по Г,
если — z лежит в резольвентном множестве оператора 7\ Так
как при — г~х$о(Т) предел
lim iogn
существует в смысле равномерной по ? сходимости в окрестности
спектра о(Т), то из леммы 15 следует, что предел
lim
h->0 h
существует в смысле сходимости в топологии пространства СА.
Поэтому tr (log (/ + zT)) является аналитической функцией от z
при всех г, для которых — г^а(Г). Следующая лемма уста-
устанавливает для этой функции важное неравенство.


264 Гл. XI. Различные приложения
16. Лемма. Пусть T^d. Тогда
(a) |det(/ |^Г)|< f] A+|г|
(b) функция det(/ + zT) имеет в точках z, для которых
~г~1?о(Т), устранимые особенности, и потому можно считать,
что она аналитична по z при всех г.
Доказательство. Левая часть неравенства (а) непрерывна по Т.
В ходе доказательства леммы 11 было показано, как построить
такую последовательность конечномерных операторов Тп, что
U» — rli—>0» \Ьт(Тп) = \ьт(Т) при m<n и \im(Тп) =---0 при т>п.
Поэтому неравенство (а) будет доказано в общем случае, если
мы установим его справедливость для операторов Т с конечно-
конечномерными областями значений. Рассуждая так же, как в третьем
абзаце доказательства леммы 6, мы можем даже, не ограничивая
общности, считать, что Г —оператор в гильбертовом пространстве
конечной размерности d.
Для конечной невырожденной матрицы А справедлива формула
eir(l0*A) ^det(A)f где dot (Л) обозначает определитель матрицы А.
Поскольку определитель матрицы А равен произведению ее соб-
собственных значений, то из леммы 6 (а) следует, что
d
71=1 П=1
что завершает доказательство пункта (а).
Если Тп — оператор в конечномерном пространстве или, более
общо, оператор с конечномерной областью значений, то det (/ + zTn)
является целой аналитической функцией (и даже полиномом) от г.
Так как ограниченная сходящаяся последовательность аналити-
аналитических функций сходится к аналитической функции, то функция
det(I + гТ) аналитична при — г~г^а{Т). Так как, согласно (а),
функция det(/ + zr) ограничена (во всякой ограниченной области),
то ее особенности устранимы1), и утверждение (Ь) доказано.
Замечание. По принципу максимума модуля ограниченная
последовательность аналитических функций, сходящаяся вне неко-
некоторого множества, состоящего из изолированных точек, сходится
всюду; поэтому det(/ + T) является непрерывной функцией от Т
для всех TgCi независимо от того, принадлежит точка —1
г) Напомншм, что эта функция имеет особенности лишь в изолированных
точках —А,п\ где Хп—ненулевые собственные значения оператора Т.— Прим.
перев.


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 265
спектру о(Т) или нет. Столь же очевидно, что предыдущее рас-
рассуждение достаточно для доказательства следующей, несколько
более общей леммы.
17. Лемма. Пусть T,B?d. Тогда функция det(I + T + zB)
аналитична при всех z.
Теперь мы в состоянии доказать, что tr(T) = trG). В лемме 18
мы делаем первый шаг, доказывая это равенство для квазиниль-
потентного оператора 7\
18. Лемма. Если оператор NgQ квазинильпотентен, то
tr(N) = 0.
Доказательство. Так как a (N) = {0}, то —г (? a (N) для всех г.
Поэтому L (z) = tr(log (I-\-zN)) — целая функция от г. Выберем
оо
столь большое k, что 2 И<п(А0<?. Тогда из леммы 16 (а)
следует, что
|exp(I(z))|<:n(l+|z|MAO)exp(|z| 2 \in(N))<
n=i n=h-{-i
<П (l + |z|MN))exp(e|z|);
71=1
здесь мы воспользовались неравенством 1+а<!еа при а>0.
Следовательно, Re L (z) <; 2е | z \ для достаточно больших | z \.
Тогда из леммы 6.32 следует, что |L(z) |<8e|z| для достаточно
больших |z|, так что
4
|z|->oo I Z I
Поэтому функция L(z) I z аналитична и равна нулю при z = oo.
Следовательно, ряд Лорана для L (z) в окрестности точки z = оо
имеет вид
так что функция L ограничена на бесконечности и по теореме
Лиувилля постоянна. Так как L@) = tr(log/) = tr @) =0, то L = 0*
По лемме 15
k=i


266 Гл. XL Различные приложения
откуда
k=i
Таким образом, tr(Nh)-—0 при ?>1, ч. т. д.
Пусть теперь Т — произвольный оператор из С4. Пусть
Ei E(ki(T); Г) —конечномерный проектор, соответствующий
ненулевой изолированной точке Я* (Т) из о(Т). Пусть
?оо — замыкание множества U&i» a ^~L — ортогональное дополне-
п
ние к Jgoo.
Пусть {фп}~ ортонормальный базис в &», выбранный таким
образом, что {q)lf ..., фп,} — базис в Squ {cpi, ..., фП2} —базис
в фи, и т. д. Пусть {"фа}—ортонормальный базис в ф-Ч Очевидно,
из леммы 13(Ь) следует, что
П Гг(Т) ^(Г(|)Ь Ф,)-| ^ (Гяра, г|)а).
i 1 а
С другом стороны, по лемме 6.10 и определению tr(T)
Таким образом, для доказательства равенства tr (Т) = tr (Г) мы
должны лишь показать, что вторая сумма в формуле [*] равна
нулю.
Так как подпространство $оо инвариантно относительно Т,
то подпространство igJ" = ($oo)"L инвариантно относительно Г*.
По лемме 13 (Ь) имеем
Если бы вполне непрерывный оператор Г* | $^~ не был квазиниль-
потентным, то по теореме VII.4.5 существовали бы такое нену-
ненулевое комплексное число [х и такой ненулевой вектор х?${^-, что
T*x = \ix. Поэтому снова по теореме VII.4.5 мы имели бы
Е (|х; Г*) fe1- Ф {0}. Из абзаца, следующего за определением


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов ?67
VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 вытекает, что
Следовательно, мы имели бы E(\i\ T)* fe^-j^ {0}, т. е.
(ig-1, E(\i; Г)$)=^0. Но это невозможно, ибо Е(\х\ Т)$^$оо =
= (^-L)-L. Отсюда следует, что оператор Г*!^-1 квазинильпотен-
тен; поэтому по предыдущей лемме tr (T* | ig-1) = 0. Это завер-
завершает доказательство того, что tr (Т) = tr (Т) для всех Т ? С4.
Сформулируем этот важный результат в виде отдельной теоремы.
19. Теорема. Функционал tr(T) непрерывен и линеен на Си
Для всех T?Ct справедливо равенство tr(T) = tr(T)9 где tr(T) —
выражение из леммы 13 (Ь).
Теперь мы остановимся на уточнении других неравенств
леммы 9.
20. Лемма. Пусть А± ? СГ1, А2 ? СГ2, А3 gCr3, где г? + г + г;г=1.
Тогда
(а) | tr (АА2А3) |<| At | п | А2 \ Г2 \ А3 \ Гз.
(Ь) ?сла r1 = rl1 + r21, ги г2, г>1, /no | AiA2\r<\ Ах\ п \ А
Г 2*
Доказательство. По лемме 11, а также в силу непрерывности
\х{Т) при T^Ci, непрерывности произведения TS, отмеченной
в абзаце, следующем за леммой 9, и непрерывности нормы, сле-
следующей из неравенства треугольника леммы 14 (d), можно, не
ограничивая общности, считать, что все рассматриваемые опера-
операторы имеют конечномерные области значений. По тем же сообра-
соображениям, что и в третьем абзаце доказательства леммы 6, можно
считать, что наше гильбертово пространство имеет конечную
размерность d. Лемма 14 (а) показывает, что (Ь) немедленно
следует из (а). Таким образом, мы должны доказать лишь три-
трилинейное неравенство (а) для операторов в d-мерном гильберто-
гильбертовом пространстве.
Рассуждая так же, как в абзаце доказательства леммы 14,
следующем за формулой C), где мы доказали билинейное нера-
неравенство, вполне аналогичное рассматриваемому здесь трилиней-
трилинейному, мы видим, что достаточно доказать неравенство
< 1) | tr (D^AWA) I < I Dt | Г11D21Г21 D3 \ гз,
где Ui — унитарные, a Dt — положительные диагональные матрицы.
Из теоремы Рисса о выпуклости (точнее, из леммы VI. 10.7) сле-
следует, что для доказательства справедливости неравенства A)
достаточно доказать его в трех частных случаях: rt=l, г2=со,
Г3=оо; Г4 = оо, Г2=1, Г3=оо и /4=00, Г2=оо, г3= 1. Но


268 Гл. XI. Различные приложения
неравенство
| tr (DiViDJJJJJUs) | < \DX |i | D21» | D3 Ц
(и два другие, аналогичные ему) немедленно следует из леммы
9(d) и следствия 8.
Теперь можно приступить к главной цели настоящего пара-
параграфа— выводу неравенств для резольвенты оператора из Ср,
обобщающих неравенство Карлемана, установленное в теореме
6.27. Сначала введем соответствующее семейство обобщенных
определителей.
21. Определение. Пусть 0<^р<!/г, где k — целое число
не меньше 1, и пусть Т?СР. Пусть lki^=rki{T), t>l. Тогда
оо
(/ + Т) = Д {A + А,,) ехр ( -U + ^— ... + (~ У Я?"*) } .
22. Лемма. Пусть р и к такие же, как в определении 2К
(a) Произведение, определяющее deU(/ + r), абсолютно схо-
сходится.
(b) det^ (/ + Г) является непрерывной на Ср функцией от Т.
(c) ?сл^ Т'?СР, mo deU (/ + Г + zT') является целой анали-
аналитической функцией комплексного переменного z, причем все про-
производные этой функции непрерывно зависят от Т и Т'.
(d) Если k—l<Cp^k, mo существует такая конечная посто-
постоянная Г, зависящая только от k и р, что
(e) Если k>2 и р<& — 1, то
det* (I + T) = ехр (-ЩР tr (Г*-*)) det,-, (/ + Т).
(f) det^Z + T) совпадает с функцией det(/ + T) из леммы 16.
Доказательство. Очевидно, что
fo^lk) при l'1^0'
1) при |Я!^оо.
Поэтому, используя элементарное неравенство \ez — 1 | < | z | е'
находим, что для некоторой достаточно большой постоянной Г
A)


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 269
как в окрестности А, —О, так и н окрестности Я=оо. Поскольку
в ограниченной области, но содержащей точку Я = 0, правая
часть этого неравенства не обращается в нуль, а функция, стоя-
стоящая в левой части, ограничена, то можно, увеличивая Г, счи-
считать, что неравенство A) имеет место для всех X.
Аналогично если Л--1 • />• 'А\ то можно найти такую посто-
постоянную Г, зависящую лишь от р, что
B) |(l+AJexp(«M
Следовательно, абсолютная сходимость произнедения, определяю-
определяющего deU(/ f T)t пытекает из сходимости ряда
оо
Если 21^1^^°°» то все величины |ЯЛ|, кроме, быть может,
конечного числа, не превосходят 1; значит, если ряд 2l^|fe
сходится, то сходится и ряд C). Поэтому по следствию 7 произ-
произведение из определения 21 абсолютно сходится, если Т?СР
и p<fe. Это доказывает справедливость утверждения (а).
Справедливость оценки (d) при k — 1<р<& следует из нера-
неравенства B).
оо
Если ^\h(T)\h<. оо, то по уже доказанному произведения,
г=1
определяющие deU (I + T) и det/m(/ I T), сходятся, и прямо
из определения 21 получаем, что
detft (/ + Т)ехр {Ц1^ ^
Отсюда сразу вытекает (е), ибо по теореме об отображении
спектра (VI 1.3.19) ^Xki=tr(Th).
г = 1
Докажем теперь пункт (Ь). При |Я|<1, увеличивая, если
необходимо, постоянную Г, неравенство A) можно записать
в виде
D)
-М
Заметим, что из тождества
ах ... ап— l = (tfi — \)а2 ... ап + (а2— 1)а3... апА ... +(ап—


270 Гл. XI. Различные приложения
и очевидного неравенства | 1 +?|<;ew следует, что
оо оо о
|ПA+а„)-1|<B|аг|)ехр(
Поэтому если все числа \Xt\ меньше 1, то
г=1
г=1
Если Xi(m) — такое семейство последовательностей, зависящих
от натурального параметра т, что
(I) Xi(m)—>Xi равномерно по / при т—> оо,
оо
(II) lim V | Xt (m) \h = 0 равномерно по /п,
то
оо
(III) суммы у\ | Xt (m) \h ограничены постоянной, не завися-
г=1
щей от /гг, и
(IV) Xt (т) —> 0 при I —> оо равномерно по т.
Поэтому, в силу полученного выше неравенства, для такого
семейства последовательностей
оо
lim JJ
равномерно по m, так что
г
равномерно по т при г—> оо. С другой стороны, в силу (I)
1 A + ^i (т)) ехр ( — Aj (т) + • • • -г h \— ^г (т) ) \ =
т->оо . I V R [ У J
1=1


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов ?77
Поскольку порядок двух последовательных предельных переходов
можно изменить, если при одном из них. сходимость равномерна,
из (I) и (II) следует, что
lim
im ТТ {A +Я;(т))ехр (-h(m) + ...
Так как
| Л, (/и) |* < max | Xt (т) |е § | Я, (т) |*"е,
то свойства (I), (II) вытекают из следующих свойств (Г), AГ):
(Г) Xi(m)—>Xi равномерно по i при т—> оо,
оо
AГ) суммы y)\Xi(m)\k-e ограничены постоянной, не завися-
г=1
щей от т.
Поэтому, используя определение 21, лемму 5 и следствие 7,
находим, что
если Гт, Т^Ск-е и Тт—>Т в топологии пространства С^_е. Это
доказывает утверждение (Ь) при p<k.
Для того чтобы справиться с предельным случаем p = k,
заметим, что если Тш —> Т в топологии пространства Сд, то из
уже доказанного следует, что
deU+1 (/ + Tm) -> detA+1 (I + T).
Но, согласно (е),
По замечанию, сделанному после доказательства леммы 9,
Tm—>Tk в топологии пространства С4; но тогда по теореме 19
tr(T^) —> tr(r;i). Следовательно, (b) справедливо и при р = &.
Поскольку ограниченная сходящаяся последовательность ана-
аналитических функций сходится равномерно вместе со всеми произ-
производными, то из утверждения (Ь) и леммы 11 следует, что для
доказательства утверждения (с) в общем случае достаточно рас-
рассмотреть частный случай, когда оба оператора Т, 7" конечно-


272 Гл. XI. Различные приложения
мерны. Соображения, высказанные в третьем абзаце доказатель-
доказательства леммы 6, сводят этот случай к случаю, когда конечномерно
гильбертово пространство. Так как определитель (в обычном
смысле) матрицы Т в d-мерном гильбертовом пространстве равен
произведению ее собственных значений, а след — сумме собствен-
собственных значений, то
г=1
Ясно, что последнее выражение зависит от элементов конечной
матрицы Т аналитически; таким образом, (с) доказано.
В ходе доказательства леммы 16 мы видели (см. замечание,
следующее за этой леммой), что функция det(/ + r) непрерывна
по Т. Поэтому, согласно (Ь) и лемме 11, для доказательства
утверждения (f) в общем случае достаточно проверить его спра-
справедливость в частном случае, когда оператор Т конечномерен.
Рассуждения третьего абзаца доказательства леммы 6 позволяют
свести этот случай к случаю оператора в конечномерном гиль-
гильбертовом пространстве. Но в этом последнем случае каждая
из функций deti(/ + T) и det(/ + T) совпадает с обычным опреде-
определителем матрицы I + T. Для det^Z + T) это было установлено
только что, а для det (I + T) это было показано в предпоследнем
абзаце доказательства леммы 16. Таким образом, утверждение (f)
справедливо, и лемма доказана.
В следующей лемме приводится формула дифференцирования,
являющаяся ключом наших дальнейших построений.
23. Лемма. Пусть k —целое число, не меньшее 2, и пусть
Т, B?Ck. Тогда если ( —1)$а(Г), то
= detA(/ + T)tr[{(I + 7Г1-/ + ... +(_-l)'<-i7*-2} В].
Доказательство. Заметим сначала, что так как функция g(t) =
— A +0— 1 + ... +(— l)*-1^'2 имеет (k— 1)-кратный нуль при
^0 и аналитична на спектре оператора Т, то ее можно предста-
представить в виде g{Q = h @ ^, где функция h (?) аналитична на а (Т),
а в нуле равна 0. Следовательно,
g(T) = (I + T)-1-I+ ... +(- l)*-iTk-* = Tk-*h (T).
Согласно лемме 15 и замечаниям, следующим за леммой 9, отсюда
вытекает, что если Тп—>Т и Вп—>В в топологии пространства


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
273
то
g(Tn)g()
g (Гп) Вп-^ g(T) В
19
g(T) в топологии пространства Ck/(k-i)i в то время
как g (Гп) Вп-^ g(T) В в топологии пространства С4. Поэтому
по теореме 19 след в правой части формулы [*] определен
и непрерывен по Г и В. В силу утверждения (с) предыдущей
леммы и по лемме 11 для доказательства справедливости фор-
формулы [*] в общем случае достаточно рассмотреть лишь частный
случай, когда Т и В имеют конечномерные области значений.
Рассуждая, как в третьем абзаце доказательства леммы 6,
мы сводим этот случай к случаю гильбертова пространства конеч-
конечной размерности п. В этом последнем случае, как мы видели
в конце доказательства предыдущей леммы,
Так как
то
Поэтому
-±
1=0
4rtr((T + zB)%.o = i
х
tr [ ( _/+...+(_
С другой стороны, если (аи) и (Ьц) — матрицы линейных преобра-
преобразований Л и В в n-мерном пространстве, то, поскольку опреде-
определитель является линейной функцией каждой своей строки, мы
имеем
пц а12 ... «щ
dz
det(;4+zB)|z=o =
Ьц bi2... Ь1п
«21 «22 • • • «2n
«nl «n2 • • • «дп
«n_l, 1 «n_l, 2 • • • «n-1, n
bni bn2 . . . bnn
Таким образом, применяя формулу разложения Лагранжа и фор-
формулу Крамера для обратной матрицы, получаем
п п
-? det (Л + гВ) |2^0 = 2i 2 ^^л = det 04) tr (Л"ХВ),
г=1 j=l
18 Заказ № 134


274 Гл. XI. Различные приложения
где уц обозначает алгебраическое дополнение элемента ац мат-
матрицы А. Подставляя А = 1 + Т и учитывая ['], мы сразу получаем
формулу [*].
Замечание. Утверждение (с) леммы 22 показывает, что выра-
выражение в левой части формулы [*] непрерывно по Г и В. Таким
образом, функция, стоящая в правой части формулы [*], может
быть доопределена по непрерывности для всех Т независимо
от того, принадлежит точка — 1 спектру оператора Т или нет.
Это соответствует следующему факту: так как deU (/ + рТ) имеет
я-кратный нуль в каждой точке |х, для которой Л = — [ir1 ? а (Г)
является я-кратным собственным значением, тогда как (I + iiT)'1
в такой точке имеет полюс порядка не выше п (см. VII.3.20,
VII.3.18), то функция
может быть доопределена по непрерывности и для тех опера-
операторов 7\ для которых (—1) ?о(Т). В дальнейшем мы будем
свободно пользоваться этим замечанием, явно этого не оговаривая.
Теперь совсем легко вывести обобщенное неравенство Карле-
мана.
24. Теорема. Пусть k —целое число не меньше 2, и пусть
k— 1<р</г. Тогда существует такая постоянная Г, зависящая
лишь от р, что
! detfe (/ + Г) {(/ + Г) _/+...+(_ i)^-ir?i-2} |q<:ехр (Г (| Г |g + 1)),
где р'1 + q'1 = 1.
25. Следствие. Если k>2 —целое число и k— 1<р<&, то
существует такая постоянная Г, зависящая лишь от р, что
| detfe (/+ Л С + 7Г1 i<ехр (Г (| Г |? +1)).
Доказательство теоремы 24. Используя формулу леммы 23 и фор-
формулу дифференцирования
из теории функций комплексного переменного, получаем
r)tr[{(/ + r)
ICN1


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 275
Таким образом, по лемме 22 (d) существуют такие постоянные Г
и Г', зависящие лишь от р, что
при В?СР и |В|Р<1. Поэтому теорема 24 немедленно следует
из леммы 14 (а).
Доказательство следствия 25. Справедливость этого следствия
вытекает из теоремы 24 и леммы 9, ибо существует такая постоян-
постоянная Г, зависящая лишь от р, что
+1)), / = 1,..., k-2.
При 0<р-<1 нельзя рассуждать точно так же, как выше,
но некоторая модификация нашего метода доказательства позво-
позволяет и в этом случае без труда получить соответствующие резуль-
результаты.
—> 26. Теорема. Пусть 0<р<1. Тогда существует такая
постоянная Г, зависящая лишь от р, что
Доказательство. Из того что (/+ [iT) зависит от \х анали-
аналитически, сразу следует, что достаточно доказать нашу теорему
в случае, когда ( — 1)$а(Г). Если Тп—>Т в топологии прост-
пространства Ср, то по лемме 9 (а) и определению 1 (Ь) Тп-^Т рав-
равномерно, так что при условии (—1)§о(Т) выражение
стремится к выражению, стоящему в левой части доказываемого
неравенства. По леммам 11 и 9(Ь) достаточно доказать нашу
теорему в частном случае, когда оператор Т имеет конечномер-
конечномерную область значений. Соображения, аналогичные изложенным
в третьем абзаце доказательства леммы 6, показывают, что можно*
ограничиться случаем конечномерного гильбертова пространства.
В действительности мы покажем, что для невырожденного опе-
оператора S в d-мерном гильбертовом пространстве
A) |(
Отсюда будет следовать справедливость нашей теоремы, так как
по следствию 3 щ (I + Г)< 1 + |х4 (Т) и так как при р<1 сущест-
существует такая постоянная Г, зависящая только от р, что
18*


276 Гл. XI. Различные приложения
Поскольку в третьем абзаце доказательства леммы 14 мы
показали, что S-^UMU\ где V и i)' — унитарные, а М — диаго-
диагональная матрица с элементами fXi(S), ..., jbt^ (S), можно при
доказательстве неравенства A) без ограничения общности счи-
считать, что S = M. Но тогда (det M) М~г — также диагональная
матрица, причем ее п-я диагональный элемент равен
fi(«()
г=1
Так как числа \ii(S) занумерованы в порядке убывания, то
наибольший из диагональных элементов матрицы (det М) М
совпадает с выражением, стоящим в правой части неравенства A),
что доказывает теорему.
В частном случае квазинильпотентного оператора из теорем 26
и 24 вытекает следующее следствие.
27. Следствие. Пусть N •—квазинильпотентный оператор
и N ? Cm где О < /; < оо. Тогда в окрестности тонки Х = 0 резоль-
резольвента /?(Я; N) допускает оценку
где Г —некоторая конечная постоянная, зависящая от р и N.
Теперь доказательство теоремы 6.29 без труда может быть
перенесено на случай вполне непрерывного оператора из класса Ср.
Это доказательство основывалось на неравенстве из следствия
6.28, непосредственным обобщением которого является нера-
неравенство из предыдущего следствия, и на теореме Фрагмена —
Линделёфа (лемма 6.33). Нужная нам здесь общая формулировка
теоремы Фрагмена —Линделёфа такова.
28. Лемма (Фрагмен — Линделёф). Пусть g —функция ком-
комплексного переменного г, аналитическая внутри углового сек-
сектора сг, ограниченного двумя непересекающимися дифференцируе-
дифференцируемыми жордановыми дугами Yi и у2, выходящими из начала коор-
координат и образующими угол, меньший nip. Предположим, что
функция g аналитична также в окрестности каждой из полу-
полуоткрытых дуг Yi — {0} и Y2 — {0}, ограничена на каждой из этих
полуоткрытых дуг и | g(z) | = О (exp I z|~p), когда г—>0, оставаясь
внутри сектора а. Тогда \g(z) | = OA), когда г—>0, оставаясь
внутри а.
Доказательство. Применить лемму 6.33 к функции h{z) =
Теперь, имея следствия 27 и 28, можно воспользоваться дока-
доказательством теоремы 6.29, для того чтобы получить следующую
теорему.


__ Р. Классы Ср вполне непрерывных операторов 277
29. Теорема. Пусть 0<р<оо, и пусть Т?СР. Пусть уи ...
. ..>уs — семейство непересекающихся дифференцируемых дуг на
комплексной плоскости, выходящих из начала координат. Допус-
Допустим, что каждая из s областей, на которые эти дуги делят
плоскость, содержится в секторе с вершиной в начале и углом
раствора, меньшим nip. Пусть N> 0 —целое число, и пусть
резольвента оператора Т допускает оценку
когда Х-+0 вдоль какой-нибудь из дуг уt. Тогда подпространство
spG) содержит подпространство Т™ф.
Весьма незначительные изменения доказательства теоремы
6.29, необходимые для получения доказательства теоремы, сфор-
сформулированной выше, мы оставляем читателю.
Заметим, что число дуг s должно быть не менее [2р] + 1.
30. Следствие. Предположим, что, когда К стремится к нулю
вдоль какой-нибудь из дуг yt предыдущей теоремы, резольвента
оператора Т допускает оценку |/?(Я; Т)\ = О(\Х\~1). Тогда под-
подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым простран-
пространством Jg.
31. Следствие. Пусть Т — неограниченный оператор в гиль-
гильбертовом пространстве & со всюду плотной областью определе-
определения, и пусть 0<р<оо. Допустим, что для некоторого Ао
из резольвентного множества оператора Т резольвента R (Хо; Т)
принадлежит классу Ср. Пусть Yi»-''»Ye — непересекающиеся
дифференцируемые дуги, каждая из которых имеет предельное
направление на бесконечности-, предположим, что угол, образо-
образованный в бесконечности любой парой соседних дуг, меньше nip.
Допустим, что, когда X—> сю вдоль какой-нибудь из дуг уь резоль-
резольвента R(l; T) допускает оценку \R(X; T)\ = O(\X\N). Тогда
подпространство sp(T') совпадает со всем гильбертовым прост-
пространством §.
Доказательство следствия 30 слово в слово совпадает с дока-
доказательством следствия 6.30; доказательство следствия 31 отли-
отличается от доказательства следствия 6.31 лишь незначительными
деталями; их мы оставляем читателю.
Для того чтобы применять предыдущие теоремы, необходимо
иметь критерии, обеспечивающие принадлежность данного опе-
оператора классу Ср. Ниже приводится ряд простых условий такого
рода.


278
Г л, XL Различные приложения
32. Лемма. Пусть 0<р<2. Пусть {фа} — полное ортонор-
мальное множество в $д, а Т —ограниченный оператор. Если
то Т?СР.
Доказательство. При р = 2 справедливость леммы следует
из определения 6.1. Пусть р<2, и пусть уа = \Т<ра\. Определим
оператор В равенствами Вфа = G\ра) уа72- Тогда ясно, что
так что по определению 6.1 оператор В принадлежит классу С2
операторов Гильберта —Шмидта. Если положить Лфа = Ya~P/2<Po»
то ясно, что оператор А самосопряжен и принадлежит классу Сг,
где гA — р/2) = р, т. е. г = р A — р/2). Таким образом, по
лемме 9 оператор Т = ВА принадлежит классу Cs, где s~l =
= 1 /2 + A — р/2) р = р, т. е. Т принадлежит Ср, ч. т. д.
Если оператор А действует в пространстве L2@, 2л) и отобра-
отображает einx в (in)'1 при пфО, а 1=е1Оя в — х9 то его область
значений двумерна и
О-А(е1™),
= 0.
Отсюда, очевидно, следует, что оператор интегрирования принад-
принадлежит каждому из классов С1+8 (но не классу Ct)x). Поэтому,
например, если К(х, у) —такое ядро типа Гильберта —Шмидта,
что
2я 2я
П
О О
то
2я
^ y)\2dxdy< со,
y)f{y)dy =
2я
2я
\f(t)dt\dy + K(x, 2л) ^ f(y)dy,
о о
х) Легко показать, что если /2я—оператор интегрирования в L2@, 2я),
то Aд (/2я) = 4 B^ — I), k = \, 2, ... .— Прим. перге.


9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
279
так что по лемме 9 К?СГ, где г1 = 2 + A Ч-е); таким образом,
К"?С2/з+е Для любого е. Аналогично, если
2л 2л
о о
то К принадлежит классу C2/Ba+ih-e- Если
то таким же образом можно показать, что К принадлежит классу
+
Аналогичные результаты легко получить прямой оценкой харак-
характеристических чисел \in(T)> Предположим, например, что ядро К
удовлетворяет условию Гёльдера
1
l \K(x, y + h)-K(x, у)\Ы
Тогда если / — функция из L2@, 1), удовлетворяющая п линей-
линейным условиям
(Я-0/n
то
1 1
<3) (Kf) (х)=^К(х, у) f {у)dy=\
о о
где
, у)-Кп(х, У)} f {У)dy,
Если (хл — убывающая последовательность положительных чисел,
то ясно, что
оо
поэтому |хп(К)<п~1/2|/С|2- Условия B) можно записать в виде
(А Фа)=0> ft = l, ..., /i, где фА(л:) — характеристическая функция


280 Гл. XI. Различные приложения
отрезка Г ~ , — | . В силу леммы 2
; min max | /(/ \ =
•фь . • .,^n-i |/|=1
(/, Ф1)=- • •=(/, Фп)=О
= min max |(/C—Кл)/|<
4>i. . • .. "Фп-i 1/1 = 1
(/, Ф1)=- • .=(/, Фп)=О
1 1
\К(х, У)-Кп{х,
о о
1/п
т. е.
D)
Поэтому К^Ср при рA/2 + а)>1, т. е. при р> 2/A+2а).
Много подобных результатов можно найти в работе Хилле
и Тамаркина [1].
Аналогичные результаты такого типа для бесконечного интер-
интервала можно получить следующим образом. Так как отображение
х
Да "•/(*)—> \ f(y)dy, действующее в пространстве L2@> А), после
о
деления на А связано с формально идентичным ему отображе-
отображением It в пространстве L2@, 1) унитарным преобразованием
/(*)—>f(Ax) Ai/2, то из проведенных ранее вычислений следует
существование такой постоянной М, что |хп(/л)<^Л1Л/г. Таким
образом, если К — такое ядро на [0, оо) х [0, оо), что
о о
то K = Kb + K'bIbi где Кв и К'в— интегральные операторы с ядрами
Кв(х, у) = К(х, В), у<?; Кв(х, у)=К(х, у), у>В;
К'в(х, у) = 0, у>В; К'в(х,у)=—^К(х, у), у<В.
Поэтому в силу следствия 3 и оценки для характеристических:
чисел оператора Гильберта — Шмидта, использованной выше, имеем
I \ \Кв(х,
О О


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 281
Предположим теперь, что
о о
Тогда полученное выше неравенство можно записать в виде
где М"—некоторая конечная постоянная. Поскольку В мы можем
выбрать по своему усмотрению,
Поэтому К?СР, если р>Bа + 2)/(За +1).
Рассуждения, основанные на формуле C), легко приспособить
к случаю, когда переменные х и у ядра К(х, у) изменяются
в ограниченной области d-мерного пространства. В этом случае
область следует разделить на nd подобластей. Поэтому если К
удовлетворяет условию Гёльдера A), то результат, соответствую-
соответствующий неравенству D), имеет вид
Это неравенство можно записать в форме
Аналогично если производные по у ядра К до порядка s вклю-
включительно квадратично интегрируемы, то
Поэтому К^СР при p>2d/(d + 2a) в первом случае и KfCp при
p>2d/(d + 2s) во втором случае.
10. Субдиагонализация1) вполне непрерывных операторов
Всякий эрмитов оператор в конечномерном пространстве может
быть приведен к диагональному виду унитарным преобразованием.
Как показывает теорема о приведении к жордановой нормальной
форме, это утверждение становится неверным, если опустить
слово «эрмитов». Неверно даже, что всякая конечная матрица
может быть приведена к диагональному виду невырожденным
преобразованием. С другой стороны, как показывает доказатель-
доказательство леммы 6.21, каждая конечная матрица может быть приве-
приведена унитарным преобразованием к треугольному виду. В этом
х) В русской литературе чаще употребляется термин «приведение к тре-
треугольному виду». В переводе мы пользуемся и тем и другим.— Прим. перев*


282 Гл. XL Различные приложения
параграфе мы рассмотрим аналог этого результата для произ-
произвольного вполне непрерывного оператора в гильбертовом про-
пространстве. Паше исследование приведет к ряду интересных нера-
неравенств, которые позволят получить полезное обобщение результатов
предыдущего параграфа. На протяжении данного параграфа мы
для простоты изложения предполагаем, что гильбертово простран-
пространство сепардбельно1).
Представление оператора в треугольном виде связано с изуче-
изучением его инвариантных подпространств. Таким образом, ключом
к ситуации, которую мы хотим исследовать, является следующая
общая, интересная и важная теорема Ароншайна и Смита.
—>1. Теорема. Пусть Т — вполне непрерывный оператор в
В-пространстве Ж размерности больше 1. Тогда в Ж существует
такое собственное ненулевое замкнутое подпространство $, что
Доказательство. Нсли Ж конечномерно, то результат тривиален,
так как и угом случае существует собственный вектор. Поэтому
будем счит;ш>, что X бесконечномерно и не содержит собствен-
собственных векторов оператора 7\ Выберем вектор л: с|лг| = 1. Поскольку
замкнутое подпространство Хо, порожденное векторами Т1х, />1,
инвариантно, мы можем предполагать, что Э?о —3?. Если бы
вектор Тпх линейно выражался через векторы множества А =
= {Тп~{х, ..., х), то вектор ТМЛх также выражался бы через
векторы из Л, равно как и все векторы Тп*'х, так что Ж было
бы конечномерным. Резюмируя вышеизложенное, мы можем, без
ограничения общности, считать, что
(I) векторы х, Тх, ... линейно независимы;
(II) замкнутое линейное подпространство, порожденное векто-
векторами х, Тх, ..., совпадает с Ж.
Пусть %{h) для каждого натурального k означает {k + l ^мер-
^мерное подпространство, порожденное векторами х, Тх, ..., Thx.
х) Это предположение не слишком обременительно, ибо если § — произ-
произвольное гильбертово пространство, а Т — вполне непрерывный оператор в §
(именно такие операторы изучаются в основном в этом параграфе), то про-
пространство § можно разложить в прямую сумму §=§iQ)§o ДвУх таких орто-
ортогональных подпространств §ь §0> что A) §А сепарабельно, инвариантно отно-
относительно операторов Г, Т* и содержит все векторы вида Тх, Т*х (х ? §>);
B) если х?§о, то Тх=Т*х = 0. Для доказательства этого утверждения доста-
достаточно положить §0={л: | Тх=Т*х=0}, &i=§^-, и заметить, что тогда §i =
= sp {Tmxn \ m > 0, п > 1}, где xi7 хъ ... —ортонормальная последователь-
последовательность собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного операто-
оператора Т*Т, соответствующих всем ненулевым собственным значениям этого опе-
оператора. — Прим. перев.


Ю- Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 283
Для каждого замкнутого подпространства 2) пространства 36
и всякого л: G 36 обозначим через q(x, $) величину
inf \x — y\.
Тогда легко проверить, что
(III) Q(x + x, ®
(IV) Q(ax, W
(V) q(x, W
В силу (II) имеем
(VI) limq(x,
к->оо
Для каждой последовательности |)Л подпространств простран-
пространства 36 положим
Из (III), (IV) и (V) легко следует, что lim?)* является замкнутым
подпространством в Ж.
Пусть для всякого подпространства 2) пространства Ж и вся-
всякого * символ $){х) обозначает некоторый вектор #?$, такой,
что |?)(л:) — х|.<2(э(л:, ?)). Определим линейное преобразование Г*
пространства 9?(fe) в себя, полагая
Tk (аох + .. . + aj1^) = ао7х + .. . + ak.Jkx + akl{k) (Th+1x).
Ясно, что
\{Т-Th)(a&+ ... +ahTkx)\<
Таким образом, так как Q{x-{-y, <$)) = q(x, Ч)) для любого
У?% то
(VII) \(T-Tk)x\<2Q(Tx, ?% x?tk\
Так как пространство 9t(fe) конечномерно, то лемма 6.21 показы-
показывает, что в 3?(fe) существует такая возрастающая цепочка подпро-
подпространств
{0} = x(fe'0) s 3e(fe'1} =... с= se(fe'fe) = 3e(fe),
что 3e(fe>j) имеет размерность / и Tkth'j) = %(k'j).
Теперь мы докажем, что если ku ji — какая-нибудь пара после-
С?ч 3')
довательностей, такая, что kt—> оо и 0</j<fez-, то 3 = НтЗ? г г
является инвариантным подпространством. В самом деле, пред-


284 Гл. XI. Различные приложения
положим, что г?3» так что существует последовательность век-
векторов хп из $knt*n\ сходящаяся к вектору z при п—>оо. Поло-
Положим Тг - • и; тогда Тхп —> и. Кроме того, Типхп ? %(hn' jn\ тогда
как в силу (III) —(VII)
n, tkn))<
что доказывает наше утверждение.
Заметим, что в действительности мы доказали несколько более
сильное утверждение, а именно:
(VIII) если В- Ит Ж(кп> м и и = lim Тхп, где хп ? tkn> jn\ то и ? 8-
Осталось лишь построить такие последовательности kn, /л,
для которых инвариантное подпространство 3 отлично от {0}
и от X. Это делается так.
Выберем а > 0 столь малым, что а < 1 и | Тх \ > а \ Т |. Посколь-
Поскольку х g Ж(Н) - 3E(fe'М) для всех ft, то числа q (x, 3?(ft'0)), ..., q (*, 3e(ft> fe))
убывают от 1 до 0. Таким образом, для каждого k существует
единственное j(k), для которого
(IX) Q(x, !{k>m))>a>Q(x, ^m+i)).
Выберем такую последовательность хп?Ж(п';'(п)+1\ что \хп — л:|<а.
Тогда найдется такая подпоследовательность л:^., что Тх^г сильно
сходится к некоторому элементу у (поскольку оператор Т вполне
непрерывен). Положим Зг = Э? , 8г = 3? , и пусть
3==Ит8ь 3' = limSi- TaK KaK 3f ^ 3i Для всех ^ Т0 легко
видеть, что 3^3'- Из (VIII) следует, что #?8'> а так как
|у — Глг| = lim | Г (лг/ч — ^)|<а|Г| и |Тх|>а[Г|, тоу^Ои потому
3'^={0}. С другой стороны, согласно (IX), ни в одном из под-
подпространств 3* нет точек, удаленных от х менее чем на а;
поэтому нет таких точек и в подпространстве 3> так чт° З^Ж.
Если предположить, что в Ж нет собственного инвариантного
подпространства, то должно быть 3 = {0} и 3/=={Х}. Тогда из
условия (IX) и из полной непрерывности оператора Т следует, что
(X) Тхг—>0, если {xt} — ограниченная последовательность
и **€&•
С другой стороны, поскольку dimCi/80=l» существует
такой вектор щ?$'и что 3t + (^^ = 8i- Так как 8* конечномерно,


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 285
то можно даже считать, что вектор щ выбран таким образом,
что | щ | = 1 и
inf |z — u% | = |af | = 1.
z?8i
Тогда ясно, что
(XI) |zf+paf|>|p| и 2\zt + $ut\>\zt\, ztt&t.
Поскольку $' = Ж, можно найти такие последовательности
*Ь 2«G3* И ТаКИе Pi» Pb ЧТО
»х и
Согласно (XI), последовательности рг, р^, ??, гг- ограничены,
а тогда, согласно (X), §{Гщ—>Тх и ^){Гщ—>Т2х. Поэтому после-
последовательность | Рг | должна быть ограничена снизу положительной
постоянной, но тогда подпоследовательность ограниченной после-
последовательности Pf/Pi сходится к некоторой постоянной у, и мы
получаем уТх = Т2х, что противоречит свойству (I).
2. Определение. Пусть Т — оператор, а Е — проектор. Мы
говорим, что Е является субдиагонализирующим проектором
для Т, если область значений проектора Е инвариантна относи-
относительно Г, т. е. если ЕТЕ = ТЕ.
3. Лемма. Для всякого оператора Т в гильбертовом простран-
пространстве существует максимальное линейно упорядоченное множе-
множество <f ортогональных субдиагонализирующих проекторов, т. е.
линейно упорядоченное множество субдиагонализирующих проек-
проекторов, не содержащееся ни в каком большем линейно упорядо-
упорядоченном множестве субдиагонализирующих проекторов*). Каждое
такое семейство <р содержит сильные пределы всех монотонно
убывающих и всех монотонно возрастающих последовательностей
проекторов из $р'.
Доказательство. Первое утверждение сразу следует из теоремы
Хаусдорфа 1.2.6. Пусть {Еп} — монотонно возрастающая последо-
последовательность проекторов из jF, ?"оо — ее сильный предел и Е —
проектор из ер. Если ?п<?1 для всех /г, то ?1ОО<?<; если Еп>Е
для некоторого п, то Еоо>Е. Таким образом, если ?«, присоеди-
присоединить к jF, то jF останется линейно упорядоченным. С другой
стороны, так как ЕпТЕп = ТЕп, то в пределе мы получаем ЕооТЕоо =
= ТЕоо. Поэтому область значений проектора ?00 инвариантна
!) Поскольку общая проблема Банаха о существовании инвариантного
подпространства у ограниченного оператора пока не решена, не исключен,
быть может, случай, когда SF состоит только из нулевого оператора 0 и из
тождественного оператора /. Если Т вполне непрерывен, то теорема 1 избав-
избавляет нас от этой неприятности.— Прим. перге.


286 Гл. XI. Различные приложения
относительно Т. Из максимальности д? следует, что E
Доказательство для случая монотонно убывающей последователь-
последовательности проекторов из $р аналогично.
Если Е и F — операторы ортогонального проектирования и E>Fr
то EF = FE = F. Поэтому все проекторы из максимального линейно
упорядоченного семейства вр ортогональных проекторов комму-
коммутируют. Пусть {хп} — всюду плотное множество векторов в гиль-
гильбертовом пространстве; положим
Тогда ясно, что функция <р (Е) возрастает вместе с проектором Е*
Если Е, Е^ер и <p(?) = <p (?4), то Е = Е^. Действительно, так
как ер линейно упорядочено, мы можем, для определенности,,
считать, что Е^Е^ тогда | Ехп |2 = | Е\Хп |2 для всех п, так что
Ехп — Е\Хп и Е — Е\. Аналогично из неравенства ф (?")<; ф(?'1)
следует неравенство Е^Е^ при условии, что Е, Е± 6jF. Если
Еп, Е 6 JF и ф (?"п), возрастая, стремится к пределу ф (?"), то из уже
доказанного следует, что {Еп} — возрастающая последовательность
проекторов, причем Еп^Е. Если ?00 — ее сильный предел, то
Еоо<СЕ и ф (?оо) = ф (Е). Отсюда следует, что ?1ОО = ?1. Итак, дока-
доказано, что если (р(Еп), возрастая, стремится к ф(?"), то Еп воз-
возрастает и сильно сходится к Е. Точно таким же образом можно
показать, что если En,E(i<P и (р(Еп), убывая, стремится к ф(?")^
то последовательность {Еп} убывает и сильно сходится к Е.
Поскольку всякая сходящаяся последовательность содержит моно-
монотонную сходящуюся подпоследовательность, из доказанного
следует, что если Еп, E?jf и ф (Еп)—>ф(?), то Еп—>Е в силь-
сильной топологии. Следовательно, если выбрать такое счетное мно-
множество {?j}^J^, что множество (ф(?'г)} всюду плотно в.области
значений функции ф на jf, то всякий проектор Е из if будет силь-
сильным пределом некоторой монотонной последовательности проекто-
проекторов из {Ei}. Ниже будет показано, что существует такой эрмитов
оператор Я, что все проекторы Et принадлежат его спектральному
семейству и что всякий проектор из спектрального семейства
оператора Н является сильным пределом линейных комбинаций
проекторов Et. Предположим пока, что это уже доказано. Тогда
ясно, что все проекторы Е из ёр принадлежат спектральному
семейству оператора Н. Мы воспользуемся этим для того, чтобы
при помощи результатов гл. X о спектральном представлении
оператора Н получить спектральное представление для макси-
максимального линейно упорядоченного семейства $р субдиагонализи-
рующих ортогональных проекторов вполне непрерывного опера-
тара Т.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 287
Это можно осуществить следующим образом. По лемме Х.5.&
существует такая последовательность {хп}, /г>0, векторов нашего
гильбертова пространства <q, что $ разлагается в прямую сумму
ортогональных подпространств ig (xt), где
A) е(^)=^{/(Я)ж,|/ес(о(//))},
и существует такая убывающая последовательность множеств епу
что (Е(е)хп, хп) = (Е (е7п)х0, х0), я>0, для всех борелевских мно-
множеств е. (Здесь ?(•) — спектральное семейство (разложение еди-
единицы) оператора #.)
Кроме того, можно считать, что |л:0| —1.
Положим X (Е) = | Ех0|2. Тогда, как и выше, мы видим, что
Х(Е)— возрастающая функция от ? и что если Еи f^GjF, то
^ (?\) = ^ (?2) влечет ?\ —?» а ^(?\)<1А,(?) влечет ЕА*СЕг.
Кроме того, если Еп,Е^1Р и ^(?п)—>Х(Е), то Еп—>Е в силь-
сильной топологии. С другой стороны, ясно, что из Еп—>Е следует
X (Еп) —> А, (?). Таким образом, в силу леммы 3 область значений С
функции X на ер является замкнутым подмножество^ отрезка [0,1].
Так как отображение Е—>Х(Е) множества $р на С взаимно одно-
однозначно, то его можно обратить и тем самым параметризовать
максимальное множество $р субдиагонализирующих проекторов,
а именно <f — {Е%\Х^С}. Как отмечалось выше, Ех непрерывно
зависит от Я и возрастает с ростом X; кроме того, | f^o |2 = ^*
Пусть (а, 6) — смежный интервал1) замкнутого множества С.
Тогда, поскольку jF максимально, в гильбертовом пространстве !q
не существует замкнутого подпространства 36, инвариантного отно-
относительно Т и удовлетворяющего условиям Еа$ czlcz Eb!g (оба
включения строгие). Рассмотрим теперь отображение То —
= (Еь — Еа)Т\ (Еь — Ea)Q. Если Жо—замкнутое собственное под-
пространсто гильбертова пространства (Еъ — Еа)$, инвариантное
относительно Го, то ясно, что 3? = 3Eo0?"oi§ замкнуто, инвариант-
инвариантно относительно Т и удовлетворяет условиям Ea$S cz Ж а Еъ$?. Таким
образом, То не имеет собственных замкнутых инвариантных подпро-
подпространств. Поскольку оператор То вполне непрерывен, из теоремы 1
немедленно следует, что пространство (Еъ — Еа)!д одномернц.
Пусть g — функция, определенная на отрезке [0, 1], непрерыв-
непрерывная справа и принимающая лишь конечное число значений, причем
каждое из них— на некотором подинтервале отрезка [0, 1], и пусть
все ее точки разрыва принадлежат замкнутому множеству С.
Такая функция имеет вид
B) g(s) = a«,
!) То есть один из счетного семейства непересекающихся открытых
(на [0, 1]) интервалов, составляющих множество [0, 1] — С— Прим. перев.


288 Гл. XL Различные приложения
где
"C) 0 = п\ <С О<2 <С . . . <С CLn+i — 1»
и числа щ попарно различны. Обозначим класс всех таких функ-
функций через 3- Пусть (/т —отображение, переводящее функцию ,
в вектор
п
м\ У\щ(Еа Еа)хт.
Тогда
поэтому отображение Uo можно единственным образом расширить
до изометрии между замыканием множества 3 в L2[0, 1] и замы-
замыканием в $з(х0) множества векторов вида D) (с т —0). Легко
видеть, что замыкание множества 3 в L2[0, 1] состоит из всех
функций, постоянных на каждом смежном интервале замкнутого
множества С; обозначим это подпространство пространства L2[0, 1]
символом L2(C). Так как всякий проектор из спектрального семей-
семейства оператора Я, а потому и всякая непрерывная функция от Я,
является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Ei,
то из A) вытекает, что замыкание в $Q(xm) векторов вида D)
совпадает с ig (хт). Отсюда при m — О следует, что Uo можно
расширить до изометрического изоморфизма между L2(C) и !д(х0);
этот изоморфизм мы будем тоже обозначать через Uo.
Пусть 5 — ограниченный оператор в §э(х0), коммутирующий
с каждым проектором Е%. Пусть 1 —функция из Z2(C), тождествен-
тождественно равная 1. Если f/o1Sf/o(l) = A W, то ясно, что (U^SUog)(x) =
= g(x)h(x) для всякой функции g?8» так что, поскольку 3 плотно
в 12 (С), имеем (U^SUog) (x) = g(x)h (х) для всех g ? L2 (С). Для того
ятобы оператор 5 был ограниченным, необходимо, очевидно, чтобы
функция h была ограниченной, а для того чтобы 5 был проекто-
проектором, , необходимо, чтобы h(x) = 0 или 1 почти всюду. В частности,
для каждого проектора Е(е) из спектрального семейства опера-
оператора Я должно существовать такое борелевское подмножество е
отрезка [0,1], что (U~1E(e)Uog)(x) = Xe(x)g(x), где %е — характе-
характеристическая функция множества е. Если E(f) — другой проектор
из спектрального семейства оператора Я и /s^, то Е (е) Е (J) =
= E(f), и потому (U-1E(J)Uog)(x) = xf(x)g(x), где /ge. С дру-
другой стороны, из определения отображения Uo легко следует,
что (U^ExUog) (х) — %[о, х) (х) g (x)- Из доказанного вытекает,


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 289
что должно существовать такое убывающее семейство е^ э е2 э
ЭбзЭ... борелевских подмножеств отрезка [0, 1], что
E) (Еьхт, хт) = (?я? (??то) *0, х0) = Ц ([О, Я) П em), m > 1,
где (х-мера Лебега на [0, 1].
Пусть (а, 6) — смежный интервал замкнутого множества С.
Тогда при т> 1 векторы (Еъ — Еп)хт и (Еь — Еа)х0 ортогональны.
Как было показано выше, область значений проектора Еъ — Еа одно-
одномерна, и потому (Еъ—-Еа)хт = 0. Таким образом, ет[](а, Ь)=01).
Итак, множества еи е2, ... содержатся в множестве С.
Из формулы E) следует, что если т>1 и g?8» то
\ Vmg |2 = Ц | a, |V ([at, ai+i] П ет) = J | g (s) |2 rfs.
г=1 em
Поэтому отображение f/m можно расширить до изометрии между
замыканием множества $ в пространстве L2(em, \i) и замыканием
в $з(хт) множества векторов вида D). Так как каждый проектор
из спектрального семейства оператора Я, а потому и всякая непре-
непрерывная функция от Я, является сильным пределом линейных ком-
комбинаций проекторов Ей то из A) следует, что замыкание мно-
множества векторов вида D) совпадает с !&(хт). С другой стороны,
поскольку ет ^ С, легко видеть, что замыкание множества 3
в пространстве L2(em, [х) совпадает со всем пространством Ь2(ет, (х).
Таким образом, Um можно расширить до изометрического изомор-
изоморфизма между L2(em, \i) и !Q(xm); это расширение мы будем
обозначать также через Um. Из определения Um следует, что
(UnlEKUmg)(х) = X[Oj Х) (х)g(x), m>\.
Поскольку гильбертово пространство ig разлагается в прямую
сумму ортогональных подпространств Q(xt), отображение
оо
U: lgo(x), gi(x), ...]-> 2 Vmgm
rn=0
является изометрическим изоморфизмом между пространствами
E2(C)@L2(eu y)@L2(e2, \i)@ ... и ^. С другой стороны, ясно,
что отображение U^EjJJ имеет вид
UfoM» ftW. •••]->FX[0fx)WffoW, X^^W^W» •••].
Изложенное исследование приводит нас к следующей теореме.
х) Точнее, из доказанного вытекает, что \i((a, b) f) em)=0. Так как уда-
удаление из ет множества точек меры нуль не нарушает справедливости
равенств E) и так как число смежных интервалов множества С не более чем
счетно, то можно считать, что (a, b) f\ ет= 0'.— Прим. перев.
19 Заказ № 134


290 Гл. XI. Различные приложения
4. Теорема Пусть jf — максимальное линейно упорядоченное
семейство субдиагонализирующих ортогональных проекторов вполне
непрерывного оператора Т в гильбертовом пространстве j§. Тогда
на отрезке |0, 1] существует такое замкнутое множество С
и такая последовательность ех э е2 з ... борелевских подмно-
подмножеств этого множества, что <f изометрически эквивалентно
семейству проекторов {?\|Я?С} в пространстве
@о = U(С, [хHL2(eu
определяемых формулой
где %k(x) —характеристическая функция полуинтервала [0, Я),
а \1 — мера Лебега на [0, 1].
Доказательство. Для завершения доказательства этой теоремы
мы должны лишь показать, что если Ei — счетное линейно упоря-
упорядоченное семейство ортогональных проекторов, то существует
такой эрмитов оператор //, что
(a) псе операторы /;/ принадлежат спектральному семейству
оператора //;
(b) всякий проектор из спектрального семейства оператора Н
является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Ей
Пусть ?! — коммутативная В*-алгебра операторов, порожден-
порожденная проекторами Ей и пусть Л —ее спектр. Если со —какой-
нибудь элемент из Л, т. е. какой-нибудь непрерывный гомомор-
гомоморфизм алгебры ?! в поле комплексных чисел, то обозначим через S (со)
последовательность [со^), 0, со(?2)> 0> со(?3)> 0> ...]. Так как
Ei=^Et, то последовательность S(co) состоит из нулей и единиц,
и мы можем рассматривать ее как двоичное разложение некоторого
вещественного числа г (со) из отрезка [0, 1].
Пусть ? (^) —спектральное разложение1) для алгебры 21, так
что Е(с) — счетно аддитивная регулярная борелевская мера на Л,
значениями которой являются операторы ортогонального проекти-
проектирования в <§ (см. теорему Х.2.1). По теореме Х.2.1
л
Определим оператор Н формулой
х) Точнее, Е (•) — спектральная мера, соответствующая каноническому
*-изоморфизму Л-^-со(Л) алгебры 21 на алгебру С (Л). Напомним (см. теорему
Х.2.1), что каждому *-изоморфизму % на С (Л) соответствует некоторая
спектральная мера. Здесь нужна именно указанная мера.— Прим. перев.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 291
Легко видеть, что
n=l
этот ряд равномерно сходится на Л, а так как все функции
со(?п) непрерывны на Л, то г (со) —непрерывная вещественная
функция. Поэтому оператор Н эрмитов и принадлежит Ш.
Если ? — спектральная мера на отрезке [0, 1], определен-
определенная формулой Е (е) = Е (г1 (е)), е^[0, 1], то, применяя правило
замены меры при интегрировании, получаем
1
Н= \ rE(dr).
о
Поэтому, согласно следствию Х.2.7, Е(е) является разложением
единицы для эрмитова оператора Н. Если dn(r) обозначает п-й
двоичный знак в двоичном разложении вещественного числа г,
то
Таким образом, каждый проектор Еп принадлежит спектральному
семейству эрмитова оператора Н.
С другой стороны, пусть задано борелевское множество едД.
Выберем в гильбертовом пространстве всюду плотное множество
векторов хп. Поскольку мера Е (е) регулярна, то для каждого
натурального т существуют такое замкнутое множество fm ^ e
и такое открытое множество 0т ^ е, что
хп\* + ~
С помощью теоремы Урысона A.5.2) можно найти такую непре-
непрерывную на Л функцию фт(а>), что 0<фт((о)<1, фт(со) = 0 при
со <? 0т и фт (со) = 1 при со ? /т. Тогда если
J т (СО
ТО
19*


292 Гл. XI. Различные приложения
Поэтому Е(е) является сильным пределом операторов Фт. С дру-
другой стороны, из теоремы Х.2.1 следует, что оператор Фт принад-
принадлежит алгебре й, так что Фт является пределом линейных ком-
комбинаций произведений операторов Et. Поскольку проекторы Ег
образуют линейно упорядоченное семейство, произведение лю-
любого конечного набора этих проекторов равно наименьшему
из Ei, нходящих в этот набор (т. е. проектору с наименьшей
областью значений). Таким образом, Е(е) является сильным пре-
пределом линейных комбинаций проекторов Ег.
Это доказывает справедливость утверждений (а) и (Ь) и завер-
завершает доказательство теоремы 4.
В частном случае операторов Гильберта — Шмидта мы не
встречаем существенных технических трудностей при доказатель-
доказательстве теоремы о субдиагонализации, так как всегда существует
представление таких операторов при помощи ядер. В лемме 5
описывается это представление и излагаются некоторые его
простые свойства.
5. Лнммл. Пусть Т —оператор Гильберта — Шмидта в про-
пространстве ф0, введенном а теореме 4. Тогда существует един^
стаенное семейство ядер Kij(s, 0> определенных и квадратично
интегрируемых на [О, 1|х[(), 1|, и таких, что
(I) Kij(s, 0 = 0» если s$^-i» *>2, или если t$ej-u />2;
(II) Kij(sy t) = Kij(s\ 0» если s и sf лежат в одном и том же
смежном интервале множества С;
(III) Kii(Sy t) = Ku(s, О, если tut' лежат в одном и том же
смежном интервале множества С;х)
сю i i
(IV) ||К||2= 2 \ \\Kij(s,t)\*dsdt<cv;
l.j=l 0 0
(V) ПЛ(я), Ш> ¦¦•]-\gi(s), g2(s), •..],
х) Функции Kij (s, /) определены с точностью до значений на множест-
множестве (\л X [г)-меры нуль, поэтому условия (I) —(III) нуждаются в некотором
разъяснении. Поясним, например, как следует понимать (III). Пусть /4, /2, ...—
совокупность всех смежных интервалов множества С; тогда множество
оо
Л1 = [0, 1] х U Un X /71} можно рассматривать как подмножество куба
п=1
{0, 1] X [0, 1] X [0, 1] в пространстве переменных s, /, /'. Условие (III) озна-
чает; что функция Кц (s, /) — Кц E, V) равна нулю почти всюду на М
относительно меры jx x \i X \i.— Прим. перев.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 293
где
i=i о
причем этот ряд безусловно сходится в топологии простран-
пространства L2. Обратно, если семейство ядер Ktj(s, t) удовлетворяет
условиям (I) —(IV), то формула (V) определяет оператор Гиль-
Гильберта—Шмидта в пространстве Jg0 и дубль-норма этого опера-
оператора может быть вычислена по формуле (IV).
Доказательство. Пусть Л = [0, l]XiV, где N — множество
целых чисел п > 1. Если рассматривать N как пространство
с мерой, считая, что каждое натуральное число имеет меру 1,
а на отрезке [0, 1] рассматривать обычную меру Бореля —Лебега,
то можно считать, что Л —пространство с мерой v, равной произ-
произведению этих мер. Сначала мы установим, что каждый оператор
Гильберта — Шмидта К в L2(A) представляется единственным
ядром К(- , -)?L2(Ax А) таким образом, что
A) \\К\\2= J J |/C(a, b)\*v(da)v(db)<oo
А А
B) {Kf){a)=\K{a,b)f{b)v{db).
А
Мы покажем также (это понадобится в дальнейшем), что если К
представляется ядром К (а, &), то сопряженный оператор К* пред-
представляется ядром К (by а). Обратно, если ядро /((•,•) удовлет-
удовлетворяет условию A), то формула B) определяет оператор Гиль-
Гильберта — Шмидта.
Для доказательства этих утверждений рассмотрим в Ь2(А)
ортонормальный базис {фг}. Тогда из определения произведения
пространств с мерой следует, что каждая функция из L2 (A X А)
может быть аппроксимирована линейной комбинацией характе-
характеристических функций множеств вида ех/, где е и / — измеримые
подмножества в Л. Поэтому линейные комбинации функций вида
()Ь) всюду плотны в L2(AxA). Таким образом, функции
{фг (а) ф; (Ь)} образуют ортонормальный базис пространстваL2 (Ax A).
Пусть К— оператор Гильберта — Шмидта в L2(A). Тогда если
Си = (Кф/, Ф*), то по следствию 6.3 2 I Qj |2 = || К ||2 < оо. Поэтому
в L2(AxA) существует функция К {а, 6), коэффициенты Фурье
которой относительно базиса {ф* (а) ф,- (Ь)} равны Сц. Очевидно,
К(- , •) удовлетворяет условию A). Из теорем III.2.20, III.11.17


294 Гл. XI. Различные приложения
и неравенства Шварца вытекает, что
(fl, b)f(b)v(db)\(da)Y/2<
А А
поэтому интеграл, стоящий в правой части равенства B), задает
ограниченный оператор R. Из определения ядра /С(- , •) следует,
что
для всех /и /. В силу линейности и непрерывности скалярного
произведения
К яг), Л
так что/С —/С» и условие B) выполняется.
Поскольку (A'V/i ф/) (Кф/, Фу) С//, то_ядро, представляющее
оператор /(•, имеет коэффициенты Фурье Су/ и потому совпадает
с функцией Д*(/>, а) К* (а, бI).
Пели K(ci, /;) —ядро, удовлетворяющее неравенству A), то мы
видели, что правая часть формулы B) определяет ограниченный
оператор К- Так как числа (/Сфу» фО равны, очевидно, коэффи-
коэффициентам Фурье функции /С (а, 6) относительно ортонормального
базиса {фг (а) фу F)}, то из следствия 6.3 вытекает, что K
и дубль-норма оператора /С определяется равенством A). Следо-
Следовательно, если ядро /((• , •) представляет оператор 0, то
К {а, Ь) = 0 почти всюду по мере vxv. Таким образом, все сфор-
сформулированные выше вспомогательные утверждения доказаны.
Так как А является произведением пространств с мерой
[О, 1]хЛ/, то ясно, что всякий элемент из L2(A) можно рас-
рассматривать как последовательность
функций из L2 [0, 1]; норма такой последовательности опреде-
определяется формулой
оо i
l/|2 = 2 \\ft(s)\2ds.
2=1 О
х) Здесь используется доказываемая ниже единственность представля-
представляющего ядра.— Прим. перев.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 295
Аналогично функцию /((• , .) ?L2(A X А) можно рассматривать
как бесконечную матрицу Ktjls, t) функций из L2([0, 1] х [0, 1]).
Поэтому наши предыдущие выводы можно переформулировать
следующим образом.
Если К — оператор Гильберта — Шмидта в L2(A), то существует
единственное семейство ядер Кц (s, t), представляющее К в том
смысле, что
C) /С [Л (s), /2(s), ...] = [gi(s), g2(s), ...],
где
оо 1
D) Ms) = 2 $*"(*. о/лол,
;=1 0
причем ряд сходится безусловно в топологии пространства L2.
Кроме того, выполняется соотношение (IV). Сопряженный опера-
оператор К* представляется семейством ядер
/tJHs, t) = Kji{t, s).
Наконец, если Ku.{s, t) — какое-нибудь семейство ядер, удовле-
удовлетворяющих неравенству в (IV), то формулы C), D) определяют
оператор Гильберта — Шмидта К в L2(A), удовлетворяющий
равенству в (IV).
Ясно, что гильбертово пространство .ф0» введенное в теореме 4,
является подпространством пространства L2(A). Легко проверить,
что оператор Е ортогонального проектирования L2(A) на i§0
определяется формулой
гДе gj(s) = %ej_l(s)fj(s), />2, a eu e2, ... — борелевские множе-
множества из теоремы 4, и
gi(s) = /i(s), 5 б С,
где / — произвольный смежный интервал замкнутого множества С,
a (i(/) —его мера Лебега.
Мы можем выбрать в L2(A) ортонормальный базис, явля-
являющийся объединением ортонормального базиса пространства ф0
и ортонормального базиса пространства i§o~; поэтому из опре-
определения 6.1 следует, что если Г —оператор Гильберта— Шмидта
в Jg0, то К = ТЕ — оператор Гильберта —Шмидта в L2(A). Ясно,
что


296 Гл. XI. Различные приложения
Кроме того, по определению 6.1 Ц/е|| = ||7||. Таким образом,
класс операторов Гильберта — Шмидта в ig0 состоит из сужений
на igo операторов Гильберта — Шмидта в L2(A), удовлетворяющих
условию ЕКЕ = К, или, что то же, ЕК = КЕ = К- Отображение
класса таких операторов, действующих в L2(A), на множество
их сужений на §50 изометрично.
Так как очевидно, что оператор К тогда и только тогда
удовлетворяет условиям ЕК = КЕ = /С, когда представляющие
ядра Kij(sy t) удовлетворяют условиям (I), (II) и (III), то настоя-
настоящая лемма полностью доказана.
Мы доказали также следующее следствие.
6. Следствие. Оператор, сопряженный к оператору Т преды-
предыдущей леммы, представляется семейством ядер Kth определен-
определенных формулой
Теорема 7 показывает, что полученное представление опера-
оператора Гильберта — Шмидта ядрами Кц является треугольным.
7. Теорема. Пусть Jf и Т—такие же, как в теореме 4Г
и пусть Т—оператор Гильберта — Шмидта. Тогда ядра Ktjr
построенные в лемме 5, при s^>t удовлетворяют условию
кроме, быть может, случая, когда i = j=l, a su t принадлежат
одному и тому же смежному интервалу множества С г). Обратно*
если семейство ядер Ktj обладает этим свойством, то $р — мак-
максимальное семейство субдиагонализирующих ортогональных про-
проекторов для Т 2).
х) Точный смысл этого условия таков. Пусть /d, /2, ...—смежные
интервалы множества С. Положим A^^'={(s, 01 s>^ Kij (s> 0 Ф Щ
и N= U {(s, t)\s, t?ln}. Тогда (\iX\i) (Nij) = O при i + j>2 и
n=l
(\х,Х \i) {Nh— N) = 0. Следует иметь в виду, что в доказательстве этой теоремы
рассуждения ведутся «с точностью до множеств (\л х [х)-меры нуль», что
в тексте явно не оговорено.— Прим. перев.
2) Здесь имеется в виду следующее. Пусть Т —оператор Гильберта —
Шмидта в §, С —замкнутое подмножество отрезка [0, 1], содержащее точки О
и 1, в^ 3^25^з— •••—борелевские подмножества в С, и пусть §о =
= L2 (С) ф L2 {eu \i) © L2 (e2, \i) ф ... . Допустим, что существует такой
изометрический изоморфизм U : §0 —^ §, что ядра К и, представляющие
оператор Гильберта—Шмидта U'iTU, действующий в §о, обладают указанным
в формулировке теоремы свойством. Положим Ex — UEiU, где X ? С, а
Ех — проектор в §о> определенный равенством ?\ [gi (x), ^W» --^
= Ка, W Si (^)» Х\ (х) g2(x),... ]. Тогда утверждается, что ^= {Ех 11 g С}
является максимальным линейно упорядоченным семейством субдиагонали-
субдиагонализирующих ортогональных проекторов для Т.— Прим. перев.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов ?97
Кроме того, для того чтобы оператор Т был квазинильпо-
тентным, необходимо и достаточно, чтобы /Си E, /) = 0 всякий
раз, когда s и t лежат в одном и том же смежном интервале
множества • С.
Доказательство. Поскольку область значений проектора Ех
инвариантна относительно 7\ то A — Ех)ТЕх = 0. Из найденного
в теореме 4 представления проектора Ех следует, что ядра, пред-
представляющие оператор A — Ех)ТЕх, имеют вид
где ^ — характеристическая функция полуинтервала [О, А,), а^-
характеристическая функция отрезка [А,, 1]. Поэтому если суще-
существует такое А,?С, что s>X>t, то Ktj(s, /) = 0. Другими сло-
словами, если 5>/, то Kij(s, /) = 0, кроме, быть может, случая,
когда s и t принадлежат одному и тому же смежному интервалу
множества С. Так как по лемме 5 Ktj(s, t) — 0, если i + />2
и 5, / принадлежат одному и тому же смежному интервалу мно-
множества С, то наше первое утверждение доказано.
Обратно, допустим, что ядра Кц обладают свойством, опи-
описанным в формулировке настоящей теоремы. Тогда, обращая
шаг за шагом предыдущее рассуждение, мы заключаем, что
(/ — Еь)ТЕх = 0 для каждого А из С. Поэтому область значений
проектора Ех инвариантна относительно 7\ т. е. Ех является
субдиагонализдрующим проектором для Т. Для доказательства
второго утверждения теоремы мы должны лишь проверить, что
если Е — такой субдиагонализирующий проектор, что для всякого X
из С либо Е>Ех, либо ?<?ь то Е содержится в if. Положим
X0 = sup {X | Х?С, Е^Ех}1). Легко видеть, что Е^>Е%0, тогда
как Е^СЕх при Я>Я0. Поэтому если Яй = inf {k\ A,?C, A,>X0}2)r
то E^Ext- Ясно, что либо Яй = Яо, либо (iOi Xi) — смежный
интервал замкнутого множества С. Если Х1 = К0, то ?\0<!?'-<?\0,
так что Е^ер'. Если же (Хо, А*) — смежный интервал замкнутого
множества С, то нетрудно показать, что область значений про-
проектора Ехх — Еьо одномерна3). Так как Exo<.E<CExv то отсюда
!) Если {А,|А,?С, Е^>Ех} = 0, то Е^Ех для всех X ? С. Так как
0?С (см. второе примечание к формулировке теоремы), то Е^.Е0. Так как
проектору Ех в пространстве §о соответствует оператор покоординатного-
умножения на %х (х), то ?0=0 и потому ?=О=?о6 &-— Прим. перев.
2) Если {X | К ? С, X^>Xq} = 0, то Е^-Ех для всех Я 6 С; рассуждая как
в предыдущем примечании, мы получаем, что Е=1=Е1^ SF.— Прим. перев.
3) Действительно, проектору Е^ — Е^о в пространстве §0 соответствует
оператор покоординатного умножения на функцию %г^ ^ ч (х). Но всякая*


298 Гл. XI. Различные приложения
следует, что либо Е = ?\0, либо Е = ?\г так что и в этом случае
E?JF и второе утверждение теоремы доказано.
Предположим теперь, что оператор Т квазинильпотентен.
Пусть (а, Ь) — смежный интервал множества С, а % — его харак-
характеристическая функция. Пусть /Си E, t) = с при 5, t ? (а, Ь) (см.
утверждения (II) и (III) леммы 5). Тогда из уже доказанного
следует, что если / — вектор
/ = [Х> 0> 0, ...],
то
где [gu g2> •••] принадлежит области значений проектора Еа.
{Здесь пространства @0 и jg считаются отождествленными
при помощи изоморфизма ?/, и потому не делается различия
между операторами в § и соответствующими им операторами
в $q0.) Поскольку область значений проектора Еа инвариантна
относительно Г, то по индукции мы получаем
где [g"(tn), ?Bn), ... ] принадлежит области значений проектора ?а.
Поэтому
Так как оператор Т квазинильпотентен, то для всякого положи-
положительного 8 имеем |7п| = 0(еп) при п—>оо. Поэтому с = 0, т. е.
/Си (s, t) == 0, если 5 и / принадлежат одному и тому же смеж-
смежному интервалу множества С.
Обратно, предположим, что Ки (s, /) = 0, если s и / принад-
принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С.
Докажем, что тогда оператор Т квазинильпотентен. По лем-
леммам 6.2, VII.6.7, VII.6.8 и теоремам 6.6, VII.4.5 предел по норме
Гильберта —Шмидта последовательности квазинильпотентных опе-
операторов Гильберта — Шмидта является квазинильпотентным опе-
оператором. Поэтому из леммы 5 следует, что можно, не ограни-
ограничивая общности, считать, что \Ktj(s, t)\<CM для некоторого
конечного числа М и что (для некоторого конечного d) Kij (s, /) = О,
если i>d или />d. Очевидно, что я-я степень Тп оператора Т
функция из L2 (С) постоянна на [^0? ^i)> а всякая функция из L2(en, \i) (n > 1)
на [h0, A,j) равна 0; поэтому последний оператор сводится к ортогональному
проектированию на одномерное подпространство пространства §0> порожден-
порожденное элементом [Х^одх) (х), 0, 0...].— Прим. перев.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 299
представляется семейством ядер К^\ определенных формулами
Кл?(й* /) = 0, если i>d или />d,
= 2 j
*i w=10
если l<t\ ]<d.
Следовательно, учитывая, что ядра Кц ограничены числом М
и что Kij E, /) = 0 при 5>/, можно получить для Kif (Sy t)
оценку
J...J
Таким образом, по леммам 5 и 6.2 |ГП| =о(еп) для всякого е>0;
поэтому оператор Т квазинильпотентен, ч. т. д.
8. Лемма. Пусть Н — такой вполне непрерывный самосопря-
самосопряженный оператор в пространстве Qo, что область значений
каждого из проекторов ?\, введенных в теореме 4, инвариантна
относительно Н. Тогда
Hlh(s), f2(s), ...] = [m(s)AE), 0, 0, ...],
где m(s) —ограниченная функция, равная нулю на С и постоян-
пая на каждом смежном интервале множества С.
Доказательство. Если Е\НЕь~НЕ%, то, переходя к сопря-
сопряженным операторам, имеем Е^Н = Е^НЕ^ = НЕ^. Поэтому Н ком-
коммутирует со всяким ортогональным проектором, область значений
которого инвариантна относительно Я. Пусть е — такое борелев-
ское множество, что каждый смежный интервал множества С
либо целиком содержится в е, либо не пересекается с е. Опре-
Определим в пространстве $0 проектор Е(е) по формуле
где %е — характеристическая функция множества е. Если Ij =
= (a, 6) — смежный интервал множества С, то E(Ij)H = HE(Ij)
{ибо ЕУ^Еъ — Еа); поэтому НЕ(С) = Е(С)Н. Таким образом,
область значений X проектора Е(С) инвариантна относительно Я,
а сужение Н оператора Н на ЭЕ является вполне непрерывным
эрмитовым оператором в гильбертовом пространстве ЭЕ. Мы хотим
показать, что # = 0.


300 Гл. XI. Различные приложения
Допустим, что это не так. Тогда, согласно следствиям Х.3.5
и Х.2.8, существует такое число ХфО, что подпространство-
ЗЕ0 =* {х I Tlx = hx} нетривиально и конечномерно. По теореме X.2.1
в Жо должен существовать такой вектор хфО, что для всякого
борелевского множества е, для которого определен оператор Е(е)г
либо 1:(е)х--=х, либо Е(е)х = 01). Поскольку Е(С)х = х, отсю-
отсюда следует, что если С разложено в сумму 2П непересекающихся
бореленских множеств ej с диаметрами, не превосходящими 2~п,
то для одного (и только для одного) из них E(ej)x = x. Таким
образом, для каждого натурального п существует такое борелев-
ское множество еп с С, что диаметр его не превосходит 2~п
и Е (еп)х = х. Поскольку еп можно, сохраняя нужные нам свой-
свойства, заменить на еп= V ету можно даже считать, что мно-
ш> п
жества еп образуют монотонно убывающую последовательность.
Но тогда из определения проекторов Е(е) легко следует, что
Е(еп)у—>0 для любого у. Следовательно, мы получаем противо-
противоречие, которое нокнямиаст, что И О, так что Н =НЕ (С')Т
где С—дополнение к С.
Нсли /j — смежный интервал множества С, то, как была
показано при доказательстве теоремы 4, область значений проек-
проектора E(lj) одномерна. Поэтому существует такая постоянная mJr
что \mj\<C\T\ и HE(Ij)~nijE(Ij). Если определить функцию
m (s) равенствами m(s) = rrtj для s ? /у и m (s) = 0 для s?C
и положить
M[/i(s), Ms), ...] = H(s)/i(s)> 0, 0, ...],
то ясно, что HE(Ij) = ME(Ij), так что НЕ ([0, 1] — С) =
= МЕ([0, 1] —С). Отсюда, поскольку НЕ (С) = ME (С) = 0, сле-
следует, что Я = М, и лемма доказана.
х) Пусть %}—совокупность всех борелевских множеств, для которых выше
был определен оператор Е (е). Если бы было доказано, что НЕ (е) = Е (е) Н
для всех е?$, то отсюда легко следовало бы, что Збо инвариантно относи-
относительно Е (е), е^З). Тогда, применяя теорему Х.2.1 к #*-алгебре % операто-
операторов, порожденной сужениями проекторов Е (е) (е ? 3)) на пространство ЗЕо>
и учитывая, что ЗЕо конечномерно, мы получили бы, что в 3?о существует
вектор х, собственный для всех операторов из 31. Так как ? (в) —проектор,
то либо Е(е)х=х, либо Е(е)х = 0. Для доказательства равенства НЕ(е) =
— Е(е)Н можно сначала рассмотреть случай открытого множества е из 3)
(концы интервалов, составляющих открытое множество е ? 3), принадлежат С),
а затем применить предельный переход, учитывая, Зто если е, еп?3), ?п~=?-е
и \i(en — е) —*-0, то Е (еп) -> Е {е) в сильной топологии. (Заметим, что
при этом, быть может, придется аппроксимировать открытыми множествами
еп?$ не само множество е, так как это не всегда возможно, а некоторое
другое множество е'?3), такое, что е' с е и \i(e — е') = 0.)—Прим. переа.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 301
Напомним, что если Т — оператор в гильбертовом пространстве,
то (Г -f Г*)/2 называется его вещественной, или эрмитовой,
частью, a (T — T*)/2i — мнимой, или антиэрмитовой, частью.
Заметим, что, как было показано, квазинильпотентный опе-
оператор
о
в L2[0, 1] принадлежит классу Ci+e для каждого положительного
<8, но не принадлежит классу С^ С другой стороны, сопряжен-
сопряженный к J оператор имеет вид
1
J*:f(x)->-i[f(y)dy.
X
Поэтому
\ f(y)dy,
т. е. мнимая часть оператора J является одномерным оператором.
Отсюда ясно, что лишь в случае р>1 можно надеяться вывести
принадлежность оператора N классу Ср из предположения, что
«его мнимая часть принадлежит Ср. Следующая теорема показы-
показывает, что это действительно можно сделать для р > 1.
9. Теорема. Если 1<р<оо и Т —вполне непрерывный квази-
квазинильпотентный оператор, мнимая часть которого принадлежит
классу Ср, то сам оператор Т принадлежит классу Ср.
Докажем сначала несколько предварительных лемм и теорем.
Начнем с теоремы о выпуклости для классов Ср, которая во мно-
многом аналогична теореме Рисса о выпуклости из § VI. 10 и даже
тесно связана с этой теоремой.
10. Теорема. Пусть 1<р, г, р', г'<оо, р>р'. Пусть tf —
ограниченное линейное преобразование, отображающее класс
вполне непрерывных операторов Ср в класс вполне непрерывных
операторов Сг. Предположим, что if является также ограни-
ограниченным линейным преобразованием подкласса Cv> класса Ср в класс
СГ'. Тогда если 0<а<1, 1/р" = а/р + A—а)/р', \lr" = alr +
+ A—а)/г', то iP является ограниченным линейным преобразова-
еанием класса Ср» в Сг*.
Доказательство. Для каждого Т из Ср и каждого вполне
непрерывного оператора В с конечномерной областью значений
положим
ФG\ B) = tr((<PT)B).


302 Гл. XI. Различные приложения
Лемма 9.14 показывает, что для того чтобы получить желаемый
результат, достаточно установить существование такой постоян-
постоянной Г, что
|ФG\ В)\КГ\Т\г\В\г,
где
1 _ а 1—а 1 1 « 1 1 ___-
Так как по лемме 9.14 при каждом операторе В с конечномерной
областью значений Ф(Г, В) непрерывно зависит от Т, то
из леммы 9.11 следует, что можно без ограничения общности
считать, что и Т конечномерен.
Далее, с помощью рассуждений третьего абзаца доказатель-
доказательства леммы 9.6 можно свести нашу теорему к следующему пред-
предложению.
Если ФG\ В) —билинейная форма, определенная на семействе
всех матриц в d-мерном гильбертовом пространстве, и если
\Ф{Т,В)\<.Г\Т\Р\В\Ч,
то
A) |ФG\ В)|<
где р, р', р" и q, q\ q" связаны приведенными выше соотноше-
соотношениями. Так как множество невырожденных матриц всюду плотно
в множестве всех конечных матриц, то при доказательстве нера-
неравенства A) можно считать, что Т и В невырождены. Для этого
случая в четвертом абзаце доказательства леммы 9.14 было пока-
показано, что Т = 11^11^ B = ViD2V2, где Ub l/2, Vu V2 — унитарные,
a Du D2 — диагональные матрицы. Таким образом, наша теорема
вытекает из следующего утверждения.
Если ФG\ В) — билинейная форма на множестве всех матриц
в d-мерном гильбертовом пространстве и если
V2, V,D2V2) | < Г | Д |р | D2 |ef
IФ (UiDiU* V,D2V2) |<Г | А И A |Q-
для любых унитарных матриц Uu U2, Vu V2 и диагональных
матриц A, D2, то
| Ф AДА1/2| У№2) | < Г | D4 |p-1 D2 \f.
Из определения 9.1 нормы в классе Ср видно, что это утверж-
утверждение является непосредственным следствием теоремы Рисса
о выпуклости (лемма VI.lGi7), ч. т. д.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 303
11. Следствие. Если 1-<р<оо, Т?СР и {ф$} — ортонормаль-
ное множество векторов, то
Доказательство. Ясно, что отображение of, переводящее Т
в оператор ofT, определенный формулой
оо
(of Г) (X) = Д] (Гфь ф,) ф4 (Ж, фО,
ограничено, если его рассматривать как отображение класса С»
в себя (его норма не больше 1). Лемма 9.13 показывает, что
оо
если Т^Си то ряд ][] (Тер*, ф*) абсолютно сходится и
г=1
2
2=1
Поэтому преобразование &, рассматриваемое как отображение
класса С4 в себя, ограничено. Теперь наше утверждение сразу
следует из предыдущей теоремы.
Пусть Kij — семейство ядер, представляющих оператор Гиль-
Гильберта—Шмидта К в смысле леммы 51). Положим
q (s, t) = 0, если s и t принадлежат одному и тому
же смежному интервалу множества С;
q(s, t) = sgn{t — s) в противном случае;
Л (М) = @ (*'))*•
Пусть qK — оператор Гильберта — Шмидта, представляемый
ядрами Kij (s, t) Q (s, t), а цК — оператор Гильберта — Шмидта,
представляемый ядрами Kij{s, t)r[(s, t). Из леммы 5 следует, что
х) Ниже (до конца доказательства теоремы 9) рассматривается следующая
ситуация: С —фиксированное замкнутое подмножество (положительной меры
Лебега) отрезка [0,1], содержащее точки 0 и 1; el^_e2^ ...—фиксированные
борелевские подмножества в С; §0 = ^2 (О 0 ^ (еь \*) © ^2 (еъ ^)Ф---; ^~
фиксированный изометрический изоморфизм бесконечномерного сепарабельного
гильбертова пространства § на пространство §о*> ^г={^я1^€С} — семейство
проекторов в §0, действующих по формуле, указанной в формулировке тео-
теоремы 4. Каждому оператору в § при изоморфизме U соответствует некоторый
оператор в §0> и обратно (эти операторы обозначаются одним и тем же сим-
символом). Таким образом, определяемые ниже отображения q и ц классов Ср
зависят от выбора множеств С, еь е2, ... и изоморфизма U; непосредственно
в доказательстве теоремы 9 в качестве множеств С, еь е2, ... и изоморфизма
U выбираются множества и изоморфизм, соответствующие (по теореме 4) рас-
рассматриваемому вполне непрерывному оператору Т. — Прим. перев.


304 Гл. XI. Различные приложения
q и т| являются ограниченными линейными преобразованиями
класса С2 операторов Гильберта —Шмидта в себя. Лемма 12 пока-
показывает, что соответствующее утверждение справедливо также
при рф2.
12. Лемма. Пусть 1<р<оо. Тогда определенные выше
линейные преобразования q и ц могут быть продолжены1) до
линейных ограниченных отображений класса Ср в себя.
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказа-
доказательство неравенства М. Рисса (теорема 7.8). Именно, мы
(a) рассматриваем случай р = 2&, где k — натуральное число;
(b) при помощи интерполяции распространяем результат пункта
(а) на общий случай 2<!р<оо;
(c) используя соображения «двойственности», переходим от
случая 2<р<оо к случаю 1<р<2.
Детали таковы (предполагается, что 1<р<оо и К?СР[\С2):
если s и / не принадлежат одному и тому же смежному интер-
интервалу множества С, то T)(,s\ /) 1; поэтому из леммы 5 следует,
что оператор Гильберта —Шмидта К — цК представляется таким
семейством ядер KtJi что /<^ О, если i + />2, /Си(s, t) = 0,
если s и / не принадлежат одному и тому же смежному интер-
интервалу множества С, и Kn(s, t) = Ku(s, t), если s и t принадлежат
одному и тому же смежному интервалу множества С.
Пусть /;« —последовательность всех смежных интервалов мно-,
жества С, и пусть
1/2
0,
где \i обозначает меру Лебега, так что {ф^} — ортонормальное
множество функций. Положим
ф; = [ф;, 0, 0, ...],
так что ф; — ортонормальное множество векторов в гильбертовом
пространстве ^0 теоремы 4. Из отмеченных выше свойств опера-
оператора К — цК и из леммы 5A1), (III) следует, что
со
{К-ЦК)Х= 2 (#Ф* фу) фу О*, фу).
х) Если р <;2, то СрС: С2, так что в этом случае q и г\ уже определены
на Ср и нужно лишь доказать их ограниченность по норме | • \р. Если же
р>2, то q и т] определены на СрПС2, и так как СрПС2 всюду плотно в Ср,
то достаточно проверить, что Q и т] ограничены по норме | • |р на Cpf|C2. —
Прим. перев.


10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 305
Таким образом, по предыдущей лемме /С —> /С—цК является
ограниченным отображением класса Ср в себя, так что К—>цК —
также ограниченное отображение класса Ср в себя, 1<р<оо.
По леммам 9.6 (с), 9.14 и определению 9.1 оператор принад-
принадлежит Ср тогда и только тогда, когда его вещественная и мни-
мнимая части принадлежат Ср; поэтому для доказательства нашей
леммы достаточно доказать существование такой постоянной Гр,
что | qH \р < Тр | Н \р для всякого эрмитова оператора Н из
Р
Пусть Я — эрмитов оператор из С2. Тогда, согласно следст-
следствию 6, оператор qH антиэрмитов, а г\Н эрмитов. Кроме того,
по теореме 7 оператор (Q + r\)H квазинильпотентенх). Так как
произведение коммутирующих квазинильпотентных операторов
является квазинильпотентным оператором, то tv (((Q + r\)HJk) = 0
для каждого целого &>1. Поскольку вещественная часть следа
оператора равна следу его эрмитовой части, имеем
(О 2 (ofeW
j=Q \Z] I
Так как по лемме 9.14 и следствию 9.8
| tr ((QtfJi DtfJ*-2i) | < I QH 111 [ ЦН \t
а по определению 9.1
то из равенства A) получаем
B) ^It*-;S
3=0
Отсюда сразу следует, что
I QH \2k
I Г\Н \2k
!) Пусть Ни — семейство ядер, представляющих оператор Н в пространстве
§0; тогда оператор (q-\-r\)H представляется семейством ядер Htj(s, t) =
= (Q(S> О + Л^' 0) Hij (s» 0- Из определения функций q(s1 t) и rj (s, /)
следует, что Htj(s, /) = 0, если s>/ или если s и t принадлежат одному
и тому же смежному интервалу множества С. Применяя обратное утвержде-
утверждение теоремы 7, заключаем, что семейство &: = {Eh \ X ? С} является максималь-
максимальным семейством субдиагонализирующих проекторов для оператора (Q + rj)#
(см. примечание 1 на стр. 303 и второе примечание к формулировке теоремы 7).
Поэтому к оператору (q + л)^ можно применить последнее утверждение
теоремы 7.—Прим. перев.
20 Заказ № 134


306 Гл. XL Различные приложения
где а —наибольший корень уравнения
i=o
Отсюда вытекает справедливость настоящей леммы при p = 2ky
где k—-натуральное число, ибо мы уже видели, что отображение
# —>цН ограничено в Ср. А тогда по теореме 10 данная лемма
верна для любого р>2, р<оо.
Теперь докажем тождество
C) tr ((QA) В) = tv (A (QB))
для операторов Л и В из класса С2. Это тождество сразу следо-
следовало бы из определения отображения q, если бы мы знали, что
для любых А и В из С2
со 1 1
D) tr (АВ) - 2 J J ^ (я, 0 Вя (f, 5) ds dU
где {Л^} и {fl/;}— сомойстна ядер, представляющие в смысле
леммы 5 операторы А \\ В соответственно. Равенство D) можно
записать п несколько более удобной эквивалентной форме
1 1
E) tr (АВ*) - ^ J J ЛО' (s, 0 ?*;(*• 0 ds ^ = 0.
г, i 0 0
Для того чтобы проверить соотношение E), заметим, что его
левая часть определяет в С2 такую эрмитову билинейную форму
[Л, В], что (по лемме 5) [А, Л] = 0 для каждого А из С2. Поэтому
2Re[,4, ?] = [Л + Я, Л + В] — [А, Л] —[?, В] = 0
для всех Л, В из С2, и аналогично Im [Л, В] = 0, так что
[Л, В] = 0; это доказывает тождества E), D) и C).
Теперь справедливость настоящей леммы при 1<р-<2 сразу
следует из ее справедливости при 2-<р<оо и из леммы 9.14.
Дальше мы будем пользоваться символами q и ц для обозна-
обозначения непрерывных продолжений отображений q и г] леммы 12
на класс операторов Ср. Введем также обозначение x=i(p-\-r\).
Отметим следующее следствие.
13. Следствие, (а) Отображение х является ограниченным
отображением класса Ср в себя, 1 < р < оо.
(b) Если оператор Н эрмитов, то антиэрмитова часть
оператора хН равна цН.
(c) Область значений каждого из проекторов Е\ теоремы 4
инвариантна относительно оператора хН. .


10, Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 307
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) были доказаны раньше.
Для доказательства (с) достаточно заметить, что обе части
равенства Е%, (т/У) Е% = (хН) Е% зависят от оператора Н непрерывно.
Таким образом, по лемме 9.11 достаточно проверить утвержде-
утверждение (с) для операторов Н с конечномерной областью значений.
Так как по теореме 7 оно справедливо для всякого оператора Н
типа Гильберта —Шмидта, то наше следствие доказано.
14. Следствие. Если А ?СР —оператор в пространстве <q0
теоремы 4 и (Лф, ф) = 0 для характеристической функции1)
Ф любого смежного интервала множества С, то А = цА.
Доказательство. Пусть {/>} — последовательность всех смеж-
смежных интервалов множества С, и пусть ф7 —векторы, введенные
в третьем абзаце доказательства леммы 12. Тогда
оо
(А — т|Л)*=2 (Лф,-, ф;)<Ы*» <Pj).
если Л?С2. Согласно следствию 11 и лемме 12, обе части этого
равенства непрерывны по А?СР; поэтому из. леммы 9.11 следует,
что оно справедливо для всех А?СР. Отсюда немедленно выте-
вытекает справедливость данного следствия.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 9.
Доказательство теоремы 9. Используя теорему 4, можно,
не ограничивая общности, считать, что область значений каждого
из проекторов ?\ инвариантна относительно Г. Пусть (а, Ь) —
смежный интервал множества С, а % — его характеристическая
функция. Тогда если / — вектор
/=[%, 0, 0, ...],
то Tf можно представить в виде
где \gu g2> •••] принадлежит области значений проектора Еа.
Отсюда по индукции
гДе [?in\ gin)> •••] принадлежит области значений проектора Еа
Поэтому
г) Точнее, ф—вектор в §0, первая компонента которого равна характе-
характеристической функции некоторого смежного интервала, а остальные компо-
компоненты равны 0.— Прим. перев.
20*


308 Гл. XI. Различные приложения
Поскольку оператор Т квазинильпотентен, для всякого поло-
положительного е имеем |Гп| = о(еп) при п—> оо. Следовательно,
с = 0. Поэтому (Тфь фО^О* где фг —ортонормальные векторы,
введенные в третьем абзаце доказательства леммы 12. Пусть Я—
мнимая часть оператора Т. Тогда (#ф*, фг) = 0 для всех /, так
что по следствию 14 Н = цН. Согласно следствию 13, опера-
оператор v\H равен мнимой части оператора хН; поэтому Т и хН имеют
одинаковые мнимые части, так что оператор S = T — xH эрмитов.
По тому же следствию 13 области значений проекторов Е% инва-
инвариантны относительно оператора S. Из определения преобразова-
преобразования т и его непрерывности следует, что ((хН)цг1 фО = 0 для
всех i, так что (Syt, (ft) = O для всех i. Но оператор S имеет
специальный вид, указанный в лемме 8. Поэтому 5 — 0. Следо-
Следовательно, Т = хН, и теорема 9 следует из леммы 12.
Теперь совсем просто получить полезное усиление теорем
полноты из § б и 9. Из первых трех абзацев доказательства
теоремы 6.29 легко усмотреть, что справедливость теоремы
о полноте F.29) для любого вполне непрерывного оператора Т
следует из аналитичности функции KNR(k; Г*|Х) в начале коор-
координат; здесь X — такое инвариантное относительно Г* подпрост-
подпространство гильбертова пространства, что сужение оператора Т*
на X является квазинильпотентным оператором. Если предпо-
предположить, что мнимая часть оператора Т принадлежит классу Ср,
то ясно, что мнимая часть Hi оператора Т* также принадлежит
классу Ср. Пусть Е—оператор ортогонального проектирования
на ЭЕ. Тогда легко видеть, что мнимая часть оператора Т* \ Ж
совпадает с сужением на 96 оператора ЕНгЕ; поэтому мнимая
часть оператора Т* \ 36 принадлежит Ср. По теореме 9 сам опера-
оператор Г* | Ж должен принадлежать Ср. Как только установлен этот
основной факт, можно продолжить рассуждение так же, как при
доказательстве теоремы 6.29. Таким образом, учитывая обобщение,
отмеченное в теореме 9.29, мы получаем следующий результат.
15. Теорема. Пусть 1 <р< оо, и пусть мнимая часть вполне
непрерывного оператора Т в гильбертовом пространстве <q
принадлежит классу Ср. Пусть Yi> •••> Ys — непересекающиеся
дифференцируемые дуги на комплексной плоскости, выходящие
из начала координат. Допустим, что каждая из s областей,
на которые эти дуги делят плоскость, содержится в секторе
с вершиной в начале и углом раствора, меньшим nip. Пусть
iV>0 — целое число, и пусть резольвента оператора Т допускает
оценку
\R(X; T)\ = O(\k\-N),


//. Примечания и дополнения ?09
когда Я —>0 вдоль какой-нибудь из дуг yt. Тогда подпростран-
подпространство sp(T) содержит подпространство Tn!q.
Рассуждая, как при доказательстве следствий 6.30 и 6.31,
мы получаем следующие утверждения, обобщающие следствия
9.30 и 9.31.
16. Следствие. Пусть дуги уи ..., ys выбраны так же, как
в предыдущей теореме, и предположим, что, когда К стремит-
стремится к нулю вдоль какой-нибудь из этих дуг, резольвента вполне
непрерывного оператора Т (ImТ?СР, 1 <р< оо) допускает
оценку \R(X; Т) | = 0 (l^l). Тогда подпространство sp(T) совпа-
совпадает со всем гильбертовым пространством @.
—> 17. Следствие. Пусть 1<р<°о, и пусть Т — неограничен-
неограниченный оператор в гильбертовом пространстве ig, имеющий всюду
плотную область определения. Допустим, что для некоторого Яо
из резольвентного множества оператора Т оператор /?(Я0; Т)
вполне непрерывен, а его мнимая часть принадлежит классу Ср.
Пусть уг, ..., уs —непересекающиеся дифференцируемые дуги,
каждая из которых имеет предельное направление на бесконеч-
бесконечности, а угол, образованный в бесконечности любой парой сосед-
соседних дуг, меньше л/р. Допустим, что, когда К—>со вдоль
какой-нибудь из этих дуг,- резольвента R(X; T) допускает оценку
|/?(Я; Г)| = О(|А|^). Тогда подпространство sp(T) совпадает
со всем гильбертовым пространством $.
11. Примечания и дополнения
Бикомпактные группы. Теорема 1.1 является частным случаем
сформулированной ниже теоремы 3. Простое доказательство
существования меры Хаара на бикомпактной группе со счетной
базой было дано фон Нейманом [12] и повторено у Понтрягина
[1; § 29]. Фундаментальная теорема Петера — Вейля [1] сначала
была доказана для бикомпактных групп Ли; см. также Люмис
[1; § 38], Понтрягин [1; § 33] и А. Вейль [1; § 21].
Теорема Петера —Вейля 1.4 является основной в теории пред-
представлений бикомпактных групп. Мы приведем наиболее важные
определения и теоремы этой теории.
Определение. Пусть G — топологическая группа, а 96 — бана-
банахово пространство. Тогда представлением R группы G в 96 назы-
называется сильно непрерывный гомоморфизм g—>R{g) группы G
в группу ограниченных обратимых линейных операторов, дей-
действующих в 96. Если Ж — конечномерное комплексное евклидово
пространство, то представление R называется конечномерным.


310 Гл. XI. Различные приложения
Если Ж — гильбертово пространство и R(g) для каждого g
является унитарным оператором, то представление R называется
унитарным.
Определение. Пусть G — топологическая группа, a Ri и R2—
два ее представления, действующие в пространстве Ж. Тогда Ri
и R2 называются эквивалентными, если существует такое огра-
ограниченное и обладающее ограниченным обратным линейное пре-
преобразование Т пространства Ж, что Ri(g) = T~1R2(g)T для вся-
всякого g?G.
Используя существование на бикомпактной группе инвариант-
инвариантной меры, легко доказать следующую теорему.
Теорема. Всякое конечномерное представление бикомпактной
группы G эквивалентно конечномерному унитарному представ-
представлению.
Определение. Пусть G — топологическая группа, ai? —ее пред-
представление в 5-иространстве Ж. Тогда R называется неприводимым,
если Ж не содержит собственного замкнутого подпространства,
инвариантного относительно псех операторов R(g), g?G.
Ошчдалшнп-. Пусть G — топологическая группа, a R — ее
представление н Л-пространстве Ж. Пусть Ж разлагается в пря-
прямую сумму Ж -Xi©...® Жд замкнутых подпространств, инва-
инвариантных относительно всех операторов R{g). Положим Ri(g) =
-.:-R(g)\??i, i = 1, ..., п, так что Rt — представления группы G.
Тогда пишут R = Ri@.. ,@ Rn и говорят, что R является прямой
суммой представлений Ru ..., Rn.
Следующую теорему легко доказать по индукции в случае,
когда представление R унитарно, а в силу сформулированной
выше теоремы она будет справедлива и в общем случае.
Теорема. Всякое конечномерное представление бикомпактной
группы G разлагается в прямую сумму неприводимых представ-
представлений.
Эта теорема показывает, что при изучении конечномерных
представлений бикомпактной группы G можно, не теряя общности,
ограничиться рассмотрением неприводимых конечномерных уни-
унитарных представлений. Если такое представление действует
в конечномерном пространстве Еп, то, вводя в Еп базис, можно
описать это представление семейством унитарных матриц {Utj (g)}.
Функции Utj(g) называются матричными элементами представ-
п
ления; они непрерывно зависят от g. Сумма 2 Uu (g) = tr (R (g))
называется следом представления.


//. Примечания и дополнения 311
Теорема. Пусть R и R — два неприводимых конечномерных
унитарных представления бикомпактной группы G, а \х — мера
Хаара на G. Пусть {Uij(g)} и {0ki(g)} — матричные элементы
этих представлений. Тогда если R и R не эквивалентны, то
\ ии (g)Uki (g) |я (dg) = 0 для всех i, /, k, I.
G
Кроме того,
если кфг или IФ/.
Символом L2(G) мы обозначаем гильбертово пространство всех
квадратично интегрируемых по мере Хаара функций на G. Из
предыдущей теоремы и теоремы Петера —Вейля 1.4 вытекает
следующая теорема.
Теорема. Пусть G — бикомпактная топологическая группа,
и пусть {R^a)} — максимальное множество её попарно не эквива-
эквивалентных унитарных представлений. Пусть {Uty (g)} — соответ-
соответствующее семейство матричных элементов. Тогда {U\^(-)} —
полная ортогональная система функций в L2(G).
Определение. Множество {/?(а)} конечномерных неприводи-
неприводимых унитарных представлений бикомпактной группы G называет-
называется полной системой представлений группы G, если
(a) никакие два из представлений R(a) не являются эквива-
эквивалентными;
(b) всякое неприводимое представление группы G эквивалентно
одному из представлений R(a\
Следствие. Если G — бесконечная бикомпактная топологическая
группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности, то всякая
полная система представлений группы G счетна. Полная система
представлений конечной группы конечна.
Определение. Пусть.О —бикомпактная группа; функция f?L2{G)
называется инвариантной относительно внутренних автоморфиз-
автоморфизмов1), или, для краткости, просто инвариантной, если f(h)^=f(ghg~1)
для любого g?G и для почти всех h из G. Классом сопряженных
элементов элемента h из G называется множество {ghg^lg^G}.
Инвариантные функции образуют замкнутое подпространство
в L2(G). След любого конечномерного представления группы G
является инвариантной функцией.
г) В оригинале «class function» — функция класса.— Прим. перге.


312 Гл. XI. Различные приложения
Теорема. Два неприводимых представления бикомпактной
группы G эквивалентны тогда и только тогда, когда их следы
совпадают, и не эквивалентны тогда и только тогда, когда
их следы ортогональны. Следы полной системы представлений
группы G образуют полный ортогональный базис в подпростран-
подпространстве пространства L2 (G), состоящем из всех инвариантных
функций.
Следствие. Если группа G конечна, то число представлений„
входящих в полную систему ее представлений, равно числу раз-щ
личных классов в G.
Главная цель теории представлений бикомпактных групп состоит
в точном описании полной системы представлений для заданной
группы.
Это было сделано для многих конечных групп. По поводу
вычисления представлений группы п(п) всех перестановок из п
объектов см. Литлвуд 11 ]. Вычисление представлений знакоперемен-
знакопеременной подгруппы и(п) группы п(п) можно найти у Фробениуса [4].
Продета илгпин бесконечных бикомпактных групп наиболее
исчерпымающим оГ>ра:и>м изучены для связных бикомпактных
групп Ли. Это такие связные бикомпактные группы со счетной
ба:юй, которые обладают окрестностью единицы, гомеоморфной
области конечномерного евклидова пространства. Этот гомеомор-
гомеоморфизм может быть выбран таким образом, что в «координатах»,
вводимых с его помощью в окрестности единицы, основные группо-
групповые операции ft—>/г1 и [g, h]—>gh описываются функциями, кото-
которые не только непрерывны, но и бесконечно дифференцируемы.
Структура связных бикомпактных групп Ли хорошо изучена. Пусть
G —такая группа. Тогда существуют такая связная топологическая
группа Н и такой гомоморфизм h группы Н на G, что мно-
множество /г1 (е) не имеет в Н предельных точек. При этом Н является
прямой суммой конечного числа групп #ь каждая из которых
изоморфна либо
A) аддитивной группе вещественных чисел, либо
B) группе SU (п) всех комплексных унитарных матриц порядка п
с определителем 1, либо
C) группе SpU Bn) всех комплексных унитарных матриц V
порядка 2/г, для которых [Vx, Vy] = [х, у], где [х, у] — невырожден-
невырожденная билинейная форма, определяемая равенством [х, у] =^Xiy2 —
— У'1*2 + ХъУь + — + Х2п-1У2п — #271-1*271, Либо
D) группе UR(n), допускающей гомоморфизм типа два-один1)
на группу UR (п) всех вещественных унитарных матриц порядка п
с определителем 1, либо
х) То есть такой гомоморфизм, ядро которого (прообраз единичной мат-
матрицы) изоморфно циклической группе второго порядка.— Прим. перев.


//. Примечания и дополнения <Ш
E) одной из пяти других бикомпактных групп, известных под
названием особых простых бикомпактных групп (см. Э. Картан [1]).
Сформулированная выше теорема о структуре связных биком-
бикомпактных групп Ли показывает, что можно найти неприводимые
представления таких групп, если известны все неприводимые
унитарные представления перечисленных типов A) —E) основных
групп Ли. Поскольку аддитивная группа вещественных чисел
коммутативна, все ее неприводимые унитарные представления
одномерны и имеют вид х—>exp(mx), где —оо<а<оо. Полная
система представлений {R(a)} для каждой из групп SU (п) и SpUBn)
описана в известной книге Г. Вейля [10]. Пространства, в кото-
которых действуют операторы R{a\ являются неприводимыми про-
пространствами тензоров; для каждого тензора % и каждого элемента g
группы SU (п) или SpU Bn) тензор R{a)(g)% определяется есте-
естественным для тензорного анализа способом. Вейль описал также
полную систему представлений для группы вращений RU (п);
эти представления тоже реализуются в неприводимых простран-
пространствах тензоров. Группа RU (п) имеет еще и другие представления,'
которые, если бы мы попытались описать их через представления
группы вращений, оказались бы двузначными. Это так называемые.
спинорные представления группы RU (п) (или, допуская вольность
речи, группы вращений RU (п)). По поводу описания этих пред-
представлений см. работу Брауэра и Г. Вейля [1], а также обзорную
статью П. К. Рашевского [1]. Полная классификация неприводи-
неприводимых конечномерных унитарных представлений пяти особых простых
бикомпактных групп содержится в статье Г. Вейля [И].
Теория представлений групп, которые не являются ни биком-
бикомпактными, ни коммутативными, несравненно сложнее и до сих пор
полностью не разработана. Однако для некоторых важных небиком-
небикомпактных некоммутативных групп полностью классицифированы
неприводимые унитарные представления в гильбертовом простран-
пространстве и получены некоммутативные обобщения различных важных
теорем гармонического анализа (например, обобщение теоремы
Планшереля). Для ознакомления с теорией представлений таких
групп рекомендуем работу И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [3].
Важный частный случай представлений группы Лоренца изложен
в статье Наймарка [14].
Почти периодические функции. Основная теорема теории почти
периодических функций принадлежит Г. Бору (см. Бор [2; § 84],
где изложено другое доказательство). Другие доказательства этой
теоремы и дополнительные результаты можно найти у Люмиса
[1; § 41] и А. Вейля [1; § 33—35], а также в литературе, указан-
указанной в разделе § IV. 16, относящемся к пространству АР.


314 Гл. XL Различные приложения
Алгебры со сверткой. В рассуждениях § 3 мы свободно поль-
пользовались свойствами меры Лебега на вещественной прямой. Здесь
будут доказаны соответствующие свойства меры Хаара, необхо-
необходимые в различных доказательствах. Таким образом, читатель
получит замкнутое изложение этой темы (за исключением доказа-
доказательства существования меры Хаара на локально бикомпактной
о-бикомпактной абелевой группе). Как было отмечено в тексте,
развитая в этом параграфе теория справедлива для произвольной
недискретной локально бикомпактной а-бикомпактной абелевой
группы. Однако мы хотели бы сделать несколько замечаний отно-
относительно общего некоммутативного случая. Прежде всего в тео-
теореме 2 мы докажем, что локально бикомпактная группа автома-
автоматически является нормальным топологическим пространством; этот
факт иногда использовался в тексте. Далее мы сформулируем
фундаментальную теорему относительно существования меры
Хаара и докажем некоторые из наиболее важных элементарных
свойств этой меры, которые достаточно убедительно показывают,
что эта мера весьма похожа на меру Лебега на вещественной
прямой.
Следует отметить, что группы, при изучении которых мы поль-
пользуемся мерой Хаара, не только локально бикомпактны, но и а-биком-
пактны, т. е. они являются счетным объединением бикомпактных
множеств. Мы кратко рассмотрим частный случай бикомпактной
группы R, а также случай, когда группа R дискретна, исключен-
исключенный в § 3. Наконец, мы докажем знаменитую теорему двойст-
двойственности Понтрягина.
В дальнейшем мы будем записывать групповую операцию
в виде сложения, поскольку в § 3 и 4 рассматривались абелевы
группы.
1. Лемма. Если R —локально бикомпактное пространство,
a F — замкнутое подмножество в R, не содержащее точку р,
то найдется такая вещественная непрерывная на R функция /,
что /(р) = 0, f(F)=l и 0</(*)<1 при x?R.
Замечание. Эта лемма утверждает, что локально бикомпактное
пространство является вполне регулярным (IV.6.21) топологическим
пространством.
Доказательство. Присоединим к пространству R точку оо
и будем считать ее окрестностями в /?U{°°} дополнения биком-
бикомпактных подмножеств R. Тогда #U{°°} станет бикомпактным
хаусдорфовым пространством и потому A.5.9) нормальным. Мно-
Множество jFi = jFU {оо} замкнуто в #U{°°}. Пусть Д —такая веще-
вещественная непрерывная на R[) {оо} функция, чтоД(р)=0, fi(Fi) = l
и 0</i(a:)<1 при a;?/?U{°°}. Тогда сужение функции Д на R
является, искомой функцией, ч. т. д.


//. Примечания и дополнения 315
2. Теорема. Локально бикомпактное о-бикомпактное топо-
топологическое пространство R нормально.
Доказательство. Пусть Кп — такая возрастающая последова-
оо
тельность бикомпактных множеств, что R = [} Кп- Заметим, что
п=1
если А и Б —непересекающиеся замкнутые подмножества в R
и п — натуральное число, то найдется такое открытое множество
U^R, что A[)Kn^U kU[}B= 0. Действительно, для любого
р?А[\Кп найдется такое открытое множество U (р), что p?U(p)
и U (р) П В = 0; в силу бикомпактности А П Кп в качестве U можно
взять объединение конечного числа множеств U(p). Для доказа-
доказательства нормальности пространства R воспользуемся этим заме-
замечанием и принципом индукции.
Пусть jFi и /^—непересекающиеся замкнутые множества в R.
Выберем в R такое открытое множество Gb что
и такое открытое множество Яь что
F2{]Ki^Hi, я; п (л и оо=0.
Применяя индукцию, построим такие открытые множества Gn
и Яп, что
л п Кп ?= Gn, g; n (^ и #i и... и яп-о=0,
F2(\Kn^Hn, ^ln(/7iUGiU---U^)=0.
Это построение гарантирует, что Gn[\Hm= 0 для всех натураль-
оо оо
ных пит. Положим G= (J Gn и Н= (J Ял, так что G и Я —
п=1 п=1
непересекающиеся открытые множества. Так как |J/Cn=:/?, то
Fi^G, F2^H и теорема доказана.
Теперь перейдем к теории меры на локально бикомпактной
группе.
3. Теорема (Хаар). Если локально бикомпактная топологи-
топологическая группа R является объединением счетного числа биком-
бикомпактных множеств, то существует такая неотрицательная
счетно аддитивная мера X, определенная на а-алгебре 2 боре-
левских подмножеств R, что X(U)>0 для всякого открытого
множества U, Х(К)<С оо для всякого бикомпактного множества К
и X(x-{~E) = i(E) для всех x?R и ??2. Мера X обладает свой-
свойством регулярности
supk{F) = X (Е) = inf X (G), Е б 2,
FCZE


316 Гл. XI. Различные приложения
где F — замкнутое, a G —открытое множества. Кроме тогог
мера X единственная в том смысле, что всякая другая мера,
удовлетворяющая перечисленным условиям, отличается от X поло-
положительным множителем.
Отметим, что мы пользовались этой теоремой только для случая
абелевой или бикомпактной группы, причем для бикомпактных
групп она была доказана в теореме 1.1. Мы не будем доказывать эту
теорему, а отошлем читателя к книге Халмоша [5; стр. 244—248].
Существование инвариантной меры на группе, удовлетворяющей
второй аксиоме счетности, впервые было доказано Хааром [1],
а вопрос единственности впервые рассматривался фон Нейма-
Нейманом [17]. Другие доказательства существования или единствен-
единственности были предложены А. Картаном [1], Какутани [17], Какутани
и Кодаира [1], Люмисом [1, 3], фон Нейманом [12], Райковым [1,2}
и А. Вейлем [1, 2]. Другие результаты о мерах, инвариантных
относительно преобразований, можно найти у Окстоби и У лама [1].
Теперь мы изложим некоторые полезные свойства меры Хаара,
хотя и простые, но не являющиеся совсем уж очевидными след-
ствиями свойства инвариантности.
4. Лемма. Пусть R— локально бикомпактная о-бикомпакт-
ная1) абелева топологическая группа, 2 есть о-алгебра ее боре-
левских подмножеств, а X — мера Хаара на R. Тогда X (Е+х)=Х (Е)
и Х( — Е)^Х(Е) для любых Е из 2 и х из R.
Доказательство. Инвариантность меры Хаара относительно
правых сдвигов немедленно следует из коммутативности группы R*
Тот факт, что Х( — Е) = Х(Е), является простым следствием един-
единственности меры Хаара.
5. Следствие. Пусть R, 2 и X —такие же2), как в лемме 4.
Тогда X(R)<.oo в том и только том случае, когда группа R
бикомпактна. Точки из R тогда и только тогда имеют положи-
положительную меру, когда группа R дискретна.
Доказательство. Если группа R бикомпактна, то из теоремы 3
следует, что X(R)<C оо. Обратно, допустим, что R небикомпактна,,
и пусть V — окрестность нуля с бикомпактным замыканием.
Поскольку никакой конечный набор сдвигов окрестности V
не покрывает R, можно выбрать такую последовательность {хп}>
п
что хп+1 (J U (xt~\-V). Пусть U = —U есть такая непустая окрест-
х) Условие а-бикомпактности можно отбросить.— Прим. перее.
2) В этом следствии предположения о коммутативности и а-бикомпакт-
кости группы R излишни.— Прим. перев.


^ //. Примечания и дополнения 3J7
ность нуля, что U -\-U c=V. Тогда открытые множества {л:п + [/}
попарно не пересекаются, так что
п = 1 п=1
И
А, (Я) =оо.
Если группа Я дискретна, то множество, состоящее из един-
единственной точки, открыто и потому имеет положительную меру.
Обратно, если точки имеют положительную меру а, то каждую
точку р можно заключить в открытое множество Up с мерой,
меньшей За/2, откуда следует, что Up не может содержать точек,
отличных от р. Поэтому одноточечные множества одновременно
открыты и замкнуты, ч. т. д.
Поскольку (R, 2, ^ — пространство с а-конечной мерой, тео-
теория интегрирования, развитая в гл. III, может служить основой
для построений § 3 и 4. Отметим, в частности, что произведение
групп R х R является локально бикомпактной а-бикомпактной
{абелевой) группой, если такой является группа R. Поэтому это
произведение групп обладает мерой Хаара ХB), определенной
на а-алгебре 2B) его борелевских множеств. Естественно ожидать,
что произведение мер X х X совпадает, с точностью до постоян-
постоянного множителя, с Xi2). Этот факт устанавливается в теореме 7.
6. Лемма. Пусть локально бикомпактная абелева1) группа R
является счетным объединением бикомпактных множеств. Пусть
К —мера Хаара на R, а 2 естьа-алгебра борелевских подмножеств
R. Тогда если функция f является Х-измеримой, то функция g,
определенная равенством g (x, y) = f(x — у), будет (X x Х)-изме-
римой.
Доказательство2). Для произвольного локально бикомпактного
cr-бикомпактного пространства X обозначим через Ко(Х) класс
х) Условие коммутативности в этой лемме можно опустить.— Прим. перев.
2) Доказательства леммы 6 и теоремы 7, приведенные в оригинале, содержат
ошибку: авторы утверждают, что всякое открытое подмножество произведе-
произведения R х R принадлежит а-алгебре 2 х 2; это утверждение (равносильное
тому, что 2B) = 2х2) неверно, как показывает пример, приведенный по дру-
другому поводу у Халмоша [5; § 59, упр. 2]. Но если R удовлетворяет второй
аксиоме счетности, то равенство 2B) = 2 X 2 все же справедливо, ибо в этом
случае всякое открытое множество U^R X R можно представить в виде объе-
объединения счетного числа множеств вида V X W, где V, № —открытые подмно-
подмножества в R. Из этого равенства и теоремы Фубини сразу следует, что если
множество Е является Х*-измеримым, то множество р(Е) — {[х} у]\х—у ? Е}
будет (X х Я)*-измеримым, после чего доказательство леммы 6 заканчивается
так же, как в тексте.— Прим. перев.


318 Гл. XI. Различные приложения
всех бикомпактных подмножеств в X типа G6, и пусть 20(Х) —
минимальная а-алгебра, содержащая класс Ко (X). Множества, при-
принадлежащие 20 (X), будем называть бэровскими. Ясно, что всякое
бэровское множество является борелевским, т. е. 20 (X) s 2 (X).
Если X и У —локально бикомпактные а-бикомпактные простран-
пространства, то 20 {X х Y) = So (X) х 20 (К) (Халмош [5; § 51, теорема 5];
определение произведения а-алгебр см. в III. 11.3).
Пусть S — отображение группы R x R на #, определяемое
формулой 5 ([а:, у]) = х— у\ для всякого множества Е ^ R положим
p{E)^S~1(E) = {[x, у]\х — у?Е}. Докажем, что если Е ?20(#)г
то р(?)?20(Я)хВД). Так как р ( U Е,) = U р(Е,), p{E') =
г=1 г=1
= (р(?))' и р@) = 0, то достаточно доказать, что если K?Ko{R)r
то p(K)?Z0(RxR). Итак, пусть /С?/Со(#). Так как /С —биком-
—бикомпактное множество типа G6, a /? нормально (теорема 2), то, при-
применяя теорему Урысона A.5.3), нетрудно построить такую непре-
непрерывную на R вещественную функцию g, что {x?R \g(x) = 0}=K-
Положим h({x% y])^g(S(\x, y\)). Так как отображение 5 непре-
непрерывно, то Л вещественная непрерывная функция на R x R, при-
причем {|дс, //| | A (|.v, //|) ¦ 0J * S~l (К) -- р (К)- Так как R x R локально
бикомпактно и <т-бикомпактно, то функция h измерима относи-
относительно а-алгебры %o(R X R) (Халмош [5; § 51, теорема2]), и потому
р (К) ? ?о {R X R)- Таким образом, из того, что Е ? 20 (/?), следует,
что р(?)б20(#)х20(#)^2х2.
Пусть теперь ??20(#)и 1{Е) = 0. По теореме Фубини (III. 11.9)
RXR RXR
= H S Xe(s-
Таким образом, если E?l>0{R) и А,(?) = 0, то (^ х Х)(р(Е)) = 0.
Отсюда и из доказанного выше следует, что если Е принадлежит
^-пополнению а-алгебры 20(/?) (т« е- если существуют такие
Еи Е2 6 20 (/?), что Е s Ei, ?t - ? с ?2 и X (Е2) = 0), то р (Е) при-
принадлежит (^ х ^-пополнению а-алгебры I>0(R)xI>0(R), а потому
и (X х ^-пополнению более широкой а-алгебры 2 х 2. Но из регу-
регулярности меры X (точнее, из ее регулярной пополнимости;
см. Халмош [5; стр. 224—225 и § 64, теорема 9]) следует, что
^-пополнение а-алгебры 20(#) совпадает с ^-пополнением
а-алгебры 2. Таким образом, если Е принадлежит ^-пополнению 2,
то р(Е) принадлежит (X X ^-пополнению 2x2.
Пусть, наконец, / есть ^-измеримая функция, U—открытое множе-
множество комплексных чисел, ? = {х\ f(x) ?U} и D={[s, y]\f(s—y)(zU}-


11. Примечания и дополнения ?/?
Тогда D = p(E), и измеримость функции f{x — y) немедленно
следует из теоремы III.6.10.
Первостепенное значение при работе с мерой Хаара имеет
следующий результат.
7. Теорема1). Пусть 2 есть о-алгебра борелевских множеств
локально бикомпактной Q-бикомпактной группы R, и пусть X —
мера Хаара на R. Тогда мера ХхХ (определенная первоначально
на о-алгебре 2 X 2) допускает единственное продолжение ХхХ на
а-алгебру 2B) всех борелевских подмножеств Rx R, причем это
продолжение является мерой Хаара на R x R.
Доказательство. Пусть V2) —мера Хаара на RxR. Докажем
сначала существование такой постоянной с>0, что
(I) ^B) (Е) = сAх I) (?), Е ? 2 х 2.
Для этого в силу следствия III. 11.6 достаточно показать, что
(II) I™ (Л х В) = сХ (Л) X (В), А, В б 2.
Для каждого множества ??2С2) положим \i(E) = Xli)(hE), где
h — гомеоморфный гомоморфизм группы R x R на себя, определяе-
определяемый формулой
Легко проверить, что \i является мерой Хаара на R x R, и потому
существует такая постоянная с, что |х (Е) = сА,B) (Е) для всех ? ? 2С2).
Отсюда следует, что 1B)(Лхй) = ЛB)(ВхЛ) для любой пары
множеств Л, В из 2. На самом деле с=1. Это можно заметить,
выбирая в качестве А и В открытые множества с бикомпактными
замыканиями, так что 0< А/2)(Л х 5)< с». Поэтому
(III) ?1B)(ЛхВ) = Г}(ВхЛ), Л, 5?2.
Пусть теперь В — такое фиксированное множество из 2, что
0<А,(Б)<оо; рассмотрим меру на 2, которая на множестве А
принимает значение ХB) (АхВ). Легко видеть, что эта мера
является мерой Хаара на R, и потому для некоторой постоянной
с (В), не зависящей от Л,
(IV) №2> (Л х 5) = с (В) X (Л), Л б 2.
Если и множество Л удовлетворяет условию, наложенному на В,
т. е. 0<ЦЛ)<оо, то, меняя ролями Л и 5 и используя
равенства (III) и (IV), получаем с(В)Х(А) = с(А)Х(В). Таким
образом, для множеств Л и В из 2, имеющих конечную положи-
х) Формулировка теоремы 7 в оригинале содержит неточность. В переводе
формулировка и доказательство теоремы изменены.— Прим. перев.


320 Гл. XI. Различные приложения
тельную меру X, отношение
с (А) ^ с (В)
равно некоторой постоянной с, не зависящей ни от А, ни от 5,
т. е. с (В) сХ(В), а это ввиду (IV) означает, что равенство (II)
спранедлшю, если О<СХ(В)< со. Используя счетную аддитив-
аддитивность мер А,B) и X, а также а-бикомпактность группы i?, немед-
немедленно получаем, что (II) имеет место для всех В из 2. Поэтому
(I) справедливо для всех ?^2x2. Так как мера Хаара А/2> опре-
определена на а-алгебре 2<2>, то в силу (I) равенство
(V) (ХхХ) (Е) = 4" ^B) (Е), Е? 2<2>,
определяет продолжение Хх,Х меры ХхА,с2х2на 2<2>. Для
завершения доказательства теоремы достаточно показать, что
любое другое продолжение v меры ХхХ на а-алгебру 2<2> сов-
совпадает с X .•: X.
Покажем сначала, что v —борелевская мера, т. е. 4tov(K) < оо
для исмкого бикомпактного множества K^R X R. Пусть v0 и Х^ —
сужения мер v и Х^ на а-алгебру бэровских множеств 20(/? X R).
Так как 20 (R X R) ---= 20 (/?) х 20 (/?) с 2 х 2, то v (?) = (А, X X) (Е) =
= • е"?^2) (?) для любого бэровского множества Е, откуда следу-
следует, что v0 — c^2). Для всякого бикомпактного множества К
найдется такое бикомпактное множество Ко типа G6, что К^Ко
(Халмош [5; § 50, теорема 4]). Но тогда v (/()< v (Ко) =
()
Заметим теперь, что мера v регулярна. Действительно, мера
с^Х^ как мера Хаара регулярно пополнима х) (Халмош [5; § 64,
теорема 9]). Отсюда в силу доказанного равенства Vq^c"^2)
вытекает, что мера v регулярно пополнима, а потому регулярна.
Итак, меры v и с~1Х^ регулярны и совпадают на всех бэров-
бэровских множествах; но тогда (Халмош [5; § 52, теорема 8]) они
совпадают и на всех борелевских множествах. Так как по опре-
определению XxX-^c^XW, то \=-ХхХ, ч. т. д.
Это единственное продолжение ХхХ меры X х X на а-алгебру
2<2> мы будем обозначать тем же символом X х X.
г) Борелевская мера ^ называется регулярно пополнимой, если всякое
борелевское множество ^J-измеримо, где \i0 — сужение меры \х на а-алгебру
бэровских множеств, a \i$—внешняя мера, порожденная мерой ^0- Регулярно
пополнимая мера регулярна (Халмош [5; стр. 224 — 225]). — Прим. перее.


//. Примечания и дополнения 321
Если рассматривается группа R с мерой Хаара %, то доказан-
доказанная теорема позволяет закрепить название «мера Хаара на R x R»
за однозначно определенной мерой X X X.
Выясним, какую форму принимают результаты § 3 и 4, когда
R — бикомпактная абелева группа; этот случай рассматри-
рассматривался в § 1.
8. Теорема. Если R — бикомпактная абелева группа, то ее
группа характеров R дискретна.
Доказательство. Рассмотрим в R окрестность нуля N (О, R, 1) =
= {/гсе&||[*, /гс] — [х, 0]|<1, x?R}. Если m?N@, R, 1) и если
х — такой элемент в R, что [л:, т\Ф\, то легко видеть, что
Re[ttx, m] = Re([x, m]n)<.0 для некоторого натурального п.
Это показывает, что Л/(О, R, 1) содержит лишь нуль группы #;
следовательно, группа R дискретна, ч. т. д.
В этом случае всякое-подмножество группы R измеримо отно-
относительно меры fi, построенной в лемме 3.6, и его мера, с точ-
точностью до постоянного множителя, равна числу его точек, если
оно конечно, и оо в противном случае. Теорема Планшереля
утверждает, что множество всех характеров образует полную
ортонормальную систему в L2(R)\ это утверждение было также
доказано в теореме 1.6. Предоставляем читателю доказать, что
если R — бикомпактная абелева группа вещественных чисел, при-
приведенных по модулю 2я, то группа R алгебраически и тополо-
топологически изоморфна аддитивной группе целых чисел и можно писать
[х, m] = eimx. В этом случае точка р<х> — это точка оо(=—оо),
бикомпактифицирующая группу целых чисел, и утверждение,
что (т/)(роо) = 0 для всех / g Z± @, 2я), есть хорошо известная
лемма Римана — Лебега. Значение функции т/ на характере (целом
числе) т равно /гг-му коэффициенту Фурье функции /, т. е.
(xf) (т) = ст = ~- J e~im*f (x) dx,
о
а утверждение об изометрий в теореме Планшереля сводится
к классическому равенству Парсеваля
2я оо
|2
О —оо
справедливому при /?L2@, 2я). Поскольку группа R дискретна
и потому не содержит совершенных множеств, теорема 4.21
утверждает, что если / и g принадлежат Li @, 2л) и если для
21 Заказ № 134


322 Гл. XL Различные приложения
всех равных нулю коэффициентов Фурье функции g равны нулю
и соответствующие коэффициенты функции /, то / содержится
в замкнутом линейном пространстве, порожденном сдвигами
функции g.
Рассмотрим теперь случай, когда R — дискретная абелева
группа. При этом любое подмножество группы R измеримо, и,
с точностью до постоянного множителя, мера Хаара любого мно-
множества равна числу содержащихся в нем точек, если оно конечно,
и равна оо в противном случае. Для такой группы операция
свертки с функцией / @) = 1, / (х) = 0, х Ф 0, является тождест-
тождественным оператором в пространстве L2(R), и потому последнее
утверждение леммы 3.3 неверно. В этом случае ситуация сущест-
существенно проще, поскольку нет больше нужды присоединять к ал-
алгебре ЭД0 единицу, и в качестве алгебры Ш можно взять просто
алгебру 21о вместо Я0+{а/}. Поэтому нет необходимости выбра-
выбрасывать точку ре», так что можно считать, что ©#0 совпадает с <М.
Таким образом, мы получили следующий результат, двойственный
к теореме 8.
9. Тнорнмл. Если R —дискретная абелева группа, то ее группа
характеров R бикомпактна.
Результаты § 3 и 4 переносятся на случай дискретных групп,
причем многие из них, например теорема 3.16, до некоторой
степени упрощаются. Особый интерес представляет аддитивная
группа целых чисел. Мы предоставляем читателю доказать, что
группа характеров этой группы топологически и алгебраически
изоморфна аддитивной группе вещественных чисел, приведенных
по модулю 2я, или, что то же, мультипликативной группе комп-
комплексных чисел, по модулю равных 1. Используя вторую реали-
реализацию группы R, имеем [п, Х] = Хп, где n?R (так что п — поло-
положительное или отрицательное целое число) и Х?#. Сформули-
Сформулируем результат, который соответствует теореме 4.24 в случае,
когда R — группа целых чисел; этот результат может быть полу-
получен подходящей модификацией доказательства теоремы 4.24.
Детали мы оставляем читателю.
10. Теорема. Предположим, что ф = {аЛ}, — оо <я< + оо,—
ограниченная последовательность комплексных чисел. Пусть / —
функция комплексного переменного г, определенная формулой
/B)-
2 *nz-n,
n=i
оо


11. Примечания и дополнения 323
Комплексное число t с \ t | = 1 тогда и только тогда не принад-
принадлежит о (ф), когда существует такая аналитическая в окрест-.
ности точки t функция g, что в этой окрестности g(z) = f(z)
при \г\Ф1.
Используя эту теорему и аналог теоремы 4.22 для группы
целых чисел, получаем следующий интересный результат отно-
относительно аналитических функций.
11. Теорема. Пусть функция f определена и аналитична
во всех точках комплексной плоскости, за исключением конечного
числа точек ?ь ..., ?г, лежащих на единичной окружности.
Предположим, что коэффициенты ряда Тейлора функции f
в области \ z \ < 1 и коэффициенты ее ряда Лорана в области
| z | > 1 ограничены. Тогда существуют такие комплексные числа Ck,
что
А—1
Эта теорема имеет* много приложений в теории операторов;
некоторые из них приведены в § 5 в качестве упражнений.
Мы уже отмечали, что аддитивная группа целых чисел и муль-
мультипликативная группа комплексных чисел, по модулю равных 1
(или, что то же, аддитивная группа вещественных чисел, при-
приведенных по модулю 2я), обладают тем свойством, что каждая
из них алгебраически и топологически изоморфна группе харак-
характеров другой. Это частный случай хорошо известной теоремы
двойственности Понтрягина, утверждающей, что если R— локально
бикомпактная абелева группа и если R обозначает группу харак-
характеров группы R, то между R и ^существует естественный алгеб-
алгебраический и топологический изоморфизм. Мы дадим сейчас дока-
доказательство этой теоремы, но сначала нам будет удобно доказать
предварительную лемму, показывающую, каким образом группа R
может быть гомоморфно вложена в R.
12. Лемма. Отображение х группы R в группу R, определен-
определенное формулой [m, xx] = [x, m], m?R, является непрерывным
гомоморфизмом.
Доказательство. Ясно, что х @) =^- 0, а так как
m] = [xu т][хъ т] =
то отображение к является гомоморфизмом. По лемме П. 1.6
достаточно доказать, что к непрерывно в точке 0. Рассмотрим
21*


?24 Гл. XI. Различные приложения
окрестность $@, Я, е) точки 0?J?, определенную равенством
где К — бикомпактное подмножество в R и е>0. Пусть U —
окрестность точки 0?/?, имеющая бикомпактное замыкание; для
каждого т4 из К рассмотрим окрестность
Поскольку /С бикомпактно, в нем найдется такое конечное
множество точек mi4 ...,тд, что окрестности N (ти U, е/3), ...
..., N (nth, U, е/3) покрывают К- Каждый из характеров mi непре-
непрерывен; поэтому можно найти такую окрестность Ус?У точки
0 Ri что если х б V и I ^ 1, ..., &, то
Следовательно, если л: ^ V и m g /?", то при подходящем выборе
KKKk)
\[т% хл:] — [т% О]| = |[дг, т] — [0, т] |<
-[х, mi]| + |[Jff т,] —[0, m«]| + |[0t m«J —[0f m]|<
Этим доказано, что если xgl/, то хл: ? N @, /С, е), так что гомо-
гомоморфизм х непрерывен, ч. т. д.
13. Теорема (Понтрягин). Отображение к является алгеб-
алгебраическим и топологическим изоморфизмом группы R на груп-
группу R.
Доказательство. Покажем сначала, что х является алгебраи-
алгебраическим изоморфизмом. Если кхо-=О, то для всех m?R должно
быть [х0, т] = 1'; таким образом, чтобы показать, что х —алгеб-
—алгебраический изоморфизм, достаточно показать, что для всякого
х0 ф 0 найдется по крайней мере один такой характер т0 ? R, что
[х0, т0] ф 1. Допустим, что для некоторого х0 это не так, и пусть
V — такая окрестность точки 0?#, что ее замыкание бикомпактно
и (xo + V) X\V= 0. Пусть f —такая непрерывная функция, равная
нулю вне xo + Vy что f (х0)ф0. Тогда f?Li(R) {] L2(R), и потому
функция т/ непрерывна и принадлежит L2(R). По предположе-


//. Примечания и дополнения 325
нию, что [х0, т] = 1 для всех т ? R, и по теореме Планшереля
имеем
= J
С другой стороны, согласно следствию 3.17 и теореме Планше-
Планшереля,
J [*о, m]xf(m)xf(m)\i(dm) = J т/Хо(т) т/(т) |i (dm) =
й й
= J f(x-xo)f(x)dx.
R
Но последний интеграл равен нулю, поскольку /=0 вне
и (*о + У)ПУ = 0. Следовательно, гоморфизм >с взаимно одно-
однозначен и потому является алгебраическим изоморфизмом
R в R.
Покажем, что множество к (R) всюду плотно в пространстве #.
Если это не так, то, применяя к R лемму 4.2, получаем, что суще-
существует такая функция H?Lt(R)()L^(R), что |Я|2=^=0, а хН = 0
на k(R). Если h^x~xH, то h?L2(R), и из теоремы 3.16 следует,
что А = 0 почти всюду на R; поэтому | А |2 = 0, что противоречит
теореме Планшереля.
Присоединим к каждому из пространств R, R по бесконечно
удаленной точке и положим >с(оо) = оо, т. е. рассмотрим к как
отображение пространства 7?U{°°} в пространство i?U{°°}-
Каждое из пространств* R [) {оо}, /?U{°°} бикомпактно и хаусдор-
фово, а к — взаимно однозначное отображение /?U{°°} на всюду
плотное подмножество пространства /?U{°°}- Если мы сможем
показать, что к непрерывно на /?U{°°}» то его образ в простран-
пространстве ^U{°°} окажется бикомпактным и потому будет совпадать
со всем пространством /?U{°°}- Тогда из леммы 1.5.8 будет сле-
следовать, что отображение к непрерывно. В предыдущей лемме
было доказано, что к непрерывно в каждой точке пространства R.
Поэтому остается лишь показать, что к непрерывно в точке со.
Пусть {ха} — обобщенная последовательность в R, сходящаяся
к точке со. По лемме 4.3 для любой окрестности U точки оэ^-R
существует такая функция F0?Li(R), что (xF0){x) — l при x$U.
Если мы покажем, что (т/^) {кха) —> 0, то отсюда будет следовать,
что, начиная с некоторого а0, все точки ю;а принадлежат (У,


326 Гл> XI. Различные приложения
и тем самым будет доказана непрерывность к в бесконечности.
Таким образом, достаточно доказать, что для каждой функции
FL# мы имеем xF(>txa)-^Q, где
xF (кха) = ^ [ха, т] F (m) fx (dm).
R
Для каждого а отображение F-^xF (xxa) является линейным
функционалом на Li(R) с нормой, не превосходящей 1; поэтому
в силу теоремы II.3.6 достаточно показать, что xF(xxa) —>0 для
функций F, принадлежащих некоторому всюду плотному в Lt (R)
множеству. Поскольку мера Хаара на R регулярна, множе-
множество X функций из Li (R) П L2 (R), равных нулю вне бикомпактных
подмножеств #, всюду плотно в L2(R). По теореме Планшереля
множество {т/|/?сЖ*} всюду плотно в L2(R), и, следовательно,
множество {т/-т#|Д g^C) всюду плотно в Li(R). Пусть теперь
/, g принадлежат Л' и равны 0 вне такого бикомпактного мно-
множества С» что С и —С. Тогда если F^xf-xg, то по следствию 3.17
и теореме Планшереля
\== [ f(x-xa)gjx)dx;
п R
но последний интеграл обращается в нуль, если ха$С + С. Дока-
Доказательство закончено.
Эта теорема впервые была доказана (в сепарабельном случае)
Понтрягиным и обобщена ван Кампеном [1]. Другие доказатель-
доказательства этой теоремы можно найти у Картана Д. и Годмана [1; стр. 95],
Люмиса [1; стр. 191], Понтрягина [1; гл. VI], Райкова [1] и А. Вейля
[1; § 28].
Как мы видели, результаты § 3 представляют собой обобщение
теории рядов Фурье и теории интегралов Фурье. С классическими
результатами этих тесно связанных теорий читатель может озна-
ознакомиться по книге Зигмунда [1] (ряды Фурье) и Бохнера [6],
Титчмарша [3] и Винера [4] (интегралы Фурье). Изложение
абстрактной теории дано также в трактатах Люмиса [I] и А. Вейля [1 ]
и в работах Картана А. и Годмана [1], Райкова [1] и Сигала [2].
Имеется также много другого материала, относящегося, например,
к положительно определенным функциям, почти периодическим
функциям и некоммутативным группам. Значительную помощь
читателю может оказать обзорная статья Макки [5] и гл. IX
книги Люмиса [1]. В дополнение к указанным выше работам, мы
сошлемся еще на следующие: Амброз [1], Берлинг [1, 2], Гельфанд


//. Примечания и дополнения 327
и Райков [1, 2], Годман [2, 3, 4], Крейн [6], Наймарк [13]
и Сигал [3, 4]х).
Тауберовы теоремы и теоремы замкнутости. Основные резуль-
результаты этого параграфа имеют корни в работах Винера [4, 5], кото-
который рассматривал случай вещественной прямой, хотя многие его
доказательства справедливы и в более общей ситуации. Распро-
Распространение на случай локально бикомпактной абелевой группы
было получено независимо Сигалом [2] и Годманом [1]. Изложен-
Изложенное в 4.14 — 4.20 представляет собой незначительное видоизменение
метода, примененного Хельсоном [1] для доказательства теоремы
4.20. Доказательства этих результатов для случая вещественной
прямой были даны Диткиным [1], Сига лом [2] и Мандельбройтом
и Агмоном [1, 2], а для широкого класса групп— Капланским [5];
другое доказательство было предложено Риссом [1]; доказатель-
доказательство, изложенное в тексте, принадлежит Хельсону [1]. То, что
для некоторых функций из Loo спектральный синтез невозможен,
было показано Л. Шварцем [2] для трехмерного евклидова про-
пространства. Малявен [1] показал, что спектральный синтез невоз-
невозможен для некоторых функций на вещественной оси. По поводу
родственных результатов см. Коосис [1], Малявен [2] и Кахан [1].
Поллард [2] показал, что спектральный синтез возможен для всех
функций из Lu удовлетворяющих условию Гёльдера порядка
не менее V2. Близкие результаты имеются в работах Хельсона
и Кахана [1], Кахана [2], Кацнельсона [1]. О спектральном синтезе
в топологии более слабой, чем Li-топология в Loo, см. Берлинг [3].
В § 4 внимание было направлено на изучение подпространств
в Li (R) (или в Loo (#)), инвариантных относительно сдвигов функции.
В лемме 4.6 было отмечено, что это по существу то же, что
изучать идеалы в Li(R). Аспект, связанный с рассмотрением
идеалов, часто оказывается удобным и многообещающим; так посту-
поступают, например, Люмис [1], Макки [4], Шилов [4] и Меркил [1].
Мы не останавливались на этих вопросах, поскольку нашли удоб-
удобным присоединить к алгебре LA (R) единицу и применить резуль-
результаты гл. IX, а при таком присоединении изменяется структура
идеалов. Однако будет уместно сделать по этому поводу несколько
замечаний. В коммутативной алгебре 95 над полем комплексных
чисел, не обладающей единицей, особый интерес представляют
регулярные идеалы, т. е. такие идеалы /, что факторалгебра ЗУ/
имеет единицу. Ясно, что / является регулярным максимальным
идеалом тогда и только тогда, когда факторалгебра Я5/7 изоморфна
полю комплексных чисел. Оказывается, что регулярные макси-
максимальные идеалы алгебры LA (R) находятся во взаимно однозначном
См, также книгу Гельфанда, Райкова и Шилова [1*].— Прим. перев.


328 Гл. XI. Различные приложения
соответствии с точками пространства о$0, т. е. со всеми макси-
максимальными идеалами алгебры, полученной присоединением единицы
к Li(R), за исключением идеала, соответствующего бесконечно
удаленной точке пространства <М. В алгебре с единицей всякий
идеал содержится в некотором максимальном идеале, но если
единица отсутствует, то это неверно, и задача состоит в томг
чтобы выяснить, при каких условиях замкнутый идеал содержится
в регулярном максимальном идеале. Теорема 4.8 решает этот вопрос
для алгебры Li(R).
По аналогии с разложением целого числа на простые множи-
множители в алгебре изучают представление идеалов в виде пересе-
пересечения примарных идеалов. Для наших целей удобно следующее
определение примарного идеала: замкнутый идеал называется при-
тарным, если он содержится в одном и только в одном регуляр-
регулярном максимальном идеале. Теорему 4.16 можно интерпретировать
как утверждение, что всякий примарный идеал в Li(R) является
регулярным максимальным идеалом. Следовательно, в алгебре LA (R)
задача сводится к выяснению того, когда замкнутый идеал является
пересечением регулярных максимальных идеалов, его содержащих.
Эту задачу иногда называют проблемой спектрального синтеза для
идеалов. Хотя пример Л. Шварца, на который мы ссылались выше,
показывает, что в LA (R) это не всегда возможно, но теорема 4.20
дает условно утвердительный результат. Уэрмер [8] дал абстрактное
описание класса В-алгебр, для которых каждый примарный идеал
является регулярным максимальным идеалом и в которых всякий
замкнутый идел является пересечением содержащих его регуляр-
регулярных максимальных идеалов. Л. Шварц [3] и Уитни [1] также при-
привели примеры В-алгебр, в которых каждый замкнутый идеал
является пересечением примарных идеалов. В 1938 г. Берлинг [1]
ввел некоторые классы подалгебр алгебры Li( — оо, оо), в которых
каждый замкнутый идеал содержится в регулярном максимальном
идеале. Аналогичные результаты для более общих классов функ-
функциональных алгебр были получены Уэрмером [7], который описал
в некоторых из этих алгебр примарные идеалы. Другие результаты
того же типа получил Берлинг [2, 3].
Теория Фредгольма. Локализация собственных значений. Пред-
Представленная в § 6 теория операторов Гильберта — Шмидта принад-
принадлежит Карлеману [2], Хилле и Тамаркину [1] и Смитису [1]. Хилле
и Тамаркин получили, кроме того, ряд теорем относительно асимпто-
асимптотического распределения собственных значений интегрального
оператора при различных аналитических условиях, наложенных
на его ядро. Они доказали также теорему Лалеско о том, что
оо
2 | h |< оо, если {А/} — последовательность собственных значений
1


//. Примечания и дополнения 329
произведения двух операторов Гильберта — Шмидта. Чан [1,2)
дает родственные результаты, относящиеся к произведению любого
конечного числа операторов Гильберта — Шмидта. Никович [1}
приводит теоремы для класса интегральных операторов, опреде-
определенного требованием конечности некоторого интегрального выра-
выражения более общего вида, чем требование Гильберта — Шмидта
[[ | К (*, у) |2 dx dy < oo. В упражнениях 25 — 36 перечислены
наиболее известные неравенства для собственных значений конеч-
конечных матриц. В этой связи можно упомянуть о следующих работах.
Фарнель [1] показал, что каждое собственное значение X матри-
матрицы А удовлетворяет неравенству
г=1
где 6i, ..., 8п — ортонормальный базис в м-мерном гильбертовом
пространстве. Баранкин [1, 2] показал, что
|X|2<max(f] |a*|)(S \ahi\),
k г=1 г=1
где им — элементы матрицы А, и дал ряд обобщений этого нера-
неравенства.
Пространства Ср из § 9 были введены фон Нейманом
и Шаттеном [1; III]. Теоремы полноты в §-9 и 10 обобщают ран-
ранние работы Карлемана и Келдыша и связаны с теоремами, полу-
полученными в работах советских математиков по теории вполне
непрерывных операторов; см. Крейн [20, 21], Гохберг и Крейн [1].
Теория, представленная в § 10, тесно связана с теорией, развитой
в цитированных выше работах Гохберга и Крейна. В этих работах
особое внимание уделяется диссипативным операторам, т. е. опера-
операторам, мнимая часть которых неотрицательна. Такие операторы
являются в некоторых отношениях особенно простыми. В цити-
цитированных работах можно найти анализ особых свойств дисеипатив-
ных операторов, а также библиографию других работ советских мате-
математиков по несамосопряженным вполне непрерывным операторам.
Теория субдиагонализации, изложенная в § 10, была весьма
интересно развита М. С. Лившицем. Он предложил теорию суб-
субдиагонализации для произвольного ограниченного оператора, мни-
мнимая часть которого принадлежит классу СА операторов, обладаю-
обладающих следом; см. его работу [6], а также обзорную статью Бродского
и Лившица [1]. Метод Лившица основан на рассмотрении харак-
характеристической операторной функции оператора Т = Н-У /#', опре-
определяемой равенством WX{T\ F, G) = I + 2iF{KI — Т)~Ю, где Н' =
= GF — разложение мнимой части Я' оператора Т в произведение


330 Гл. XI. Различные приложения
двух операторов Гильберта —Шмидта. Как приложение этой теории,
Бродский и Лившиц получили очень интересный результат, состоя-
х
щий в том, что оператор /(я)—» \f(y)dy в пространстве L2 [0, 1]
о
яе имеет инвариантных подпространств, отличных от очевидных
инвариантных подпространств L2[a, 1], 0<#<1. Таким образом,
этот оператор является одноклеточным в том смысле, что струк-
структура (lattice) его инвариантных подпространств линейно упорядо-
упорядочена. По поводу всего сказанного см. цитированные выше работы
Лившица и Бродского; в этих статьях приводится также обширная
^библиография работ по несамосопряженным операторам.
Сингулярные интегралы и неравенства. Общие неравенства § 7
принадлежат Кальдерону и Зигмунду [1, 5]; частный случай п=1
Преобразование Гильберта) —М. Риссу. Кальдерон и Зигмунд [1]
показывают, что если функция Q удовлетворяет соответствующим
^довольно слабым) условиям непрерывности, то сингулярный
.интеграл
En
(I) существует для почти всех х, если / принадлежит LA (En)
«ли Lp(En), оо>р>1 (ср. упражнение 8.23);
(II) удовлетворяет неравенству \ | ф(х) \1~~*с1х < оо, если
А
f?Li(En), 8>0 и А — ограниченное множество;
(III) удовлетворяет неравенству \ |ф(х) \dx<i оо, если Л огра-
ограничено и
Еп
(IV) удовлетворяет неравенству \ |ф(х) | dx<C оо, если
В случаях (II) — (IV) сингулярный интеграл lim \ ——fiy — x)dx
•сходится в топологии пространств Li-e (A), Lx (А) и Lt (En)


//. Примечания и дополнения 331
соответственно. Эти результаты позволяют ослабить условие
теоремы 7.11, заменив его неравенством
Кальдерон и Зигмунд дают также приложения своих результатов
к некоторым «потенциальным» ядрам, возникающим в теории диф-
дифференциальных уравнений с частными производными. Впоследствии
их неравенство нашло многочисленные важные приложения в этой
теории.
В работе [5] Кальдерон и Зигмунд приводят аналогичные
результаты для родственного, но несколько более общего класса
интегральных операторов в Lp, 1<р<оо, а в [6] рассматривают
теорию алгебр, состоящих из сингулярных операторов свертки,
изученных в § 7, в частности максимальные идеалы и вопрос
о существовании обратных элементов.
Хорошо известно, что, применяя стандартные неравенства
к функциям со значениями в соответствующем банаховом про-
пространстве, часто можно получить полезное расширение области
применения этих неравенств. По этой причине заслуживает вни-
внимания следующее обстоятельство. Первоначальное доказательство
хорошо известного неравенства для преобразования Гильберта,
предложенное М. Риссом, использует методы комплексного пере-
переменного и потому не может быть распространено на векторно-
значные функции; однако доказательство, данное Кальдероном
и Зигмундом [1], носит вещественный характер и допускает такое
распространение. Мы покажем здесь, как можно систематически
использовать этот факт. Мы увидим, что таким образом полу-
получаются достаточно общие неравенства типа Кальдерона — Зигмун-
Зигмунда—Рисса, так что неравенства Пэли, Литлвуда и Зигмунда
можно получить в качестве следствий. Наше изложение следует
недавней элегантной работе Хермандера [1], где он приводит
также обширную библиографию предшествующих работ.
Одним из наших инструментов будет следующая важная интер-
интерполяционная теорема Марцинкевича, обобщенная на векторно-
значные функции. Формулировка и доказательство этой теоремы
не изменяются при переходе от скалярных функций к векторным.
14. Теорема. Пусть (S, 2, \х) u (Si, 2lf ^ — пространства
с положительными мерами, X и Xi — банаховы пространства,


332 Гл. XI. Различные приложения
и пусть 1<р<^<г, l<Pi<9i<r!, причем p<Pi, r<rlT
1/<7 = а/р |A — сх)//- и \lq1^alp1 + (\—a)lri для некоторого а,
О <С а <с I • Пусть Т — линейное преобразование пространства L&
всех ограниченных измеримых функций, определенных на S, рав-
равных нулю вне множеств конечной меры и принимающих значе-
значения в X, в пространство всех измеримых функций на S4 со зна-
значениями в Хи Предположим, что существует такая конечная
постоянная К, что
A) [^i(NI(r/)E0|>a})]1/pi<4-{5l/E)№(rf5)}1^
/?L0, a>Or
а также что
)t/ri
B) [И1 ({Si\ | G7) (Sl) | > a}))t/ri < A {[ I f(s) |>
s
f
Тогда существует такая конечная постоянная К', что
C) {51 п («о г v i №0 JI/(Vl < к' {j i / (s) i" и (ds)}i/q.
Докл:ит1'Л1>ство. Для каждой измеримой функции g на про-
пространстве с мерой (S, 2, \i) и каждого а>0 положим
D) (g)a = fx({s||g(s)
Соответствующим образом зададим величину (g)a для функции gT
определенной на (Si, 24, [х4). Если |g|t — норма функции g в Lb
то, возводя ее в степень /, получаем
оо оо
E) | g \\ = \ I g (s) \l |i (ds) - - ( «' d (g)a = t \ al-i{g)ada.
о о
Для каждой такой функции g положим
g(")(.s) - g(s), если
F) g<a> ^r"a fflSl' если
Тогда ясно, что при b > О
G)


11. Примечания и дополнения 333
Кроме того, так как / = /<«> +/К то Г/=(Г/<а>) + Gу<а>); следо-
следовательно, если Ь>0, то по предположению
здесь и далее К' обозначает конечную постоянную, зависящую
лишь от р, q, г, рь <7i> r4 и К. Положим теперь а = а(Ь), где
л (Ь) — некоторая монотонно возрастающая функция, a b = b(a) —
обратная к ней функция (точный вид функции Ь(а) будет указан
ниже). Применяя E), G) и (8), получаем
a(b)
-К'
Непрерывная
сана в виде
оо
0
оо
0
0
аф)
1
0
[
форма
и 111
оо
\ 6<"р1><*1-|
аф)
неравенства
0
^f)ccr-idc]riTdb +
> -1) P-i "lpl/p 
Минковского может быть запи
A0)
это неравенство справедливо при k>l. Используя его и нера-
неравенство (9), получаем
A1) |в{[ J [ ^
Ь(с)
оо Ъ(с)
о о
оо
0 0


334 Гл. XL Различные приложения
Теперь мы полагаем Ь(а) = а^, так что A1) сводится к неравен-
неравенствам
оо
A2) | Tf |«i<K' { [ \ (По cr-t+Uqi-ri)r/ri dcj1 Г+
о о
Из соотношений
/in, 1 a , 1—a 1 a , 1—a
следует, что если мы определим ? из уравнения
то будут выполняться также равенства
A5)
и
A6)
Таким образом, теорема Марцинкевича доказана1).
Следует заметить,, что если Г —ограниченное отображение
пространства LV{X) в L^X^, то оно удовлетворяет условию A).
Далее, следуя Хермандеру, выделим некоторый класе ядерг
удовлетворяющих условию A) при р=1. Эти ядра описываются
в следующей теореме.
15. Теорема. Пусть X и Xi — банаховы пространства. Пусть
К (х) —функция, определенная на Еп и принимающая значения
х) Из неравенства A2) и соотношений A6) и E) вытекает, что для неко-
некоторых положительных постоянных К', У, б выполняется неравенство | Г/^1^
<^"' (l/lg + 1/lq)- ^ак как преобразование Т линейно, то отсюда следует, что
для некоторой постоянной К' имеет место неравенство \Tf]q < К' \ f \q.—
Прим. пере в.


//. Примечания и дополнения 33$
в В-пространстве ограниченных линейных отображений простран-
пространства X в Xim Предположим, что функция К{х) интегрируема
по любой ограниченной области. Пусть заданы числа q>\ и Л>0;
допустим, что существует такая постоянная С<сю, что для
каждого t вида1) 2j
A7) { \ \K(t(x-y))-K(tx)\qdx\i/q<Ct-»'*,
Положим
A8) (Xf)(x)=]K(x-y)f{y)dy,
Еп
Допустим также, что для некоторых риг, таких, что
оо>р>1, оо>г>1 и 1 /р — 1 /г = 1 — \lq, выполняется нера-
неравенство
A9)
Еп Еп
Тогда для некоторой постоянной С
B0) lx{xqEn\\(^f)(x)\>a}i/q<^-^ \f(x)\dx,
Еп
Доказательство теоремы 15 основано на следующей лемме-
16. Лемма. Пусть задано число 5>0, и пусть и —интегри-
—интегрируемая функция на Еп со значениями в В-пространстве X.
Тогда её можно представить в виде
B1) u = v+f> wh,
ft=ri
где
оо
B2а) М+ 2 |^
/1=1
B2b) |y(x)|<2ns,
B2с) каждая функция Wk равна нулю вне некоторого куба Ik
с ребром длины 2~пъ, где пи — некоторая последовательность
х) В этой теореме удобно считать, что | х\—это Loo-норма вектора х?Еп>
т. е. если x = (xli ..., хп), то | * |=max{| jq |, ..., | хп |}. Ясно, что выбор
той или иной нормы в Еп не меняет существа дела.— Прим. перев.


336 Гл. XI. Различные приложения
положительных или отрицательных целых чисел, причем кубы Ik
оо
попарно не пересекаются, ^ т ('ft) <^-11 м | и \ wk (х) dx = 0.
ft=i ik
Мы пользуемся обозначением т(е) для меры Лебега множе-
множества е и обозначением | и | для ?гнормы интегрируемой функции и.
Лемма 16 доказана Хермандером [1] для скалярных функций.
Доказательство для векторнозначных функций мало чем отли-
отличается; поэтому мы- опустим его и перейдем непосредственно
к доказательству теоремы 15.
Доказательство теоремы 15. Заметим сначала, что число А
можно увеличить, не нарушая ни одного из предположений
леммы. Таким образом, можно считать, что А имеет вид Л = 2М.
Допустим, что w— функция с равным нулю интегралом, обращаю-
обращающаяся в нуль вне куба / с центром в начале и- ребром длины А'1.
Тогда
B3) (JPw) (х) =\{K{x-y)-K{x))w (у) dy,
так что, применяя A0) и A7), получаем
B4) {;$ \(<Xw)(y)\*dy}i/q<C\w\u
где \w\i обозначает Z^-норму. Поскольку условие A7) инвариантно
относительно сдвигов и деления в отношении 1:2\ отсюда
следует, что если о/-— функция с равным нулю интегралом,
обращающаяся в нуль вне куба /' с ребром длины 2\ то куб /'
можно заключить в такой куб I" с ребром длины 2ft+2M, что
B5)
Пусть функции и, v и Wk — такие же, как в предыдущей лемме,
оо
и пусть w" = 2 ttfc. Из B5) и B2с) сразу следует, что существует
такое множество е, что его мера не превосходит 22nMs~1 \ и d и
B6)
Так как (W)t^t-q\W\qq для любой функции W (см. D)), то при
B7) (Xxaf)t<C (t~* | и U + s-11 и ],);


1L Примечания и дополнения 337
здесь и далее С — любая конечная постоянная, a \W\q есть
Lg-норма функции W. Поскольку u = v + w", имеем
B8) (Хи)% < (<ЙГо)|/2 + (Mw*)t/2-
Так как | а |оо<C's и | v |i<C | u\u то из неравенства Гёльдера
следует, что | v \p^CC'si~i/p\ и \\/р для каждого р>1. Так как мы
предположили, что \ffif\r^C'\f\p для каждой функции / из Lo, то
B9)
Поэтому
C0) {Xv)t <СV^1-1
Таким образом, учитывая B7), C0) и B8), находим, что
C1) (^u /
Выбирая s>0 так, чтобы минимизировать выражение, стоящее
в правой части неравенства C1), получаем
C2)
и теорема 15 доказана.
17. Следствие. В предположениях теоремы 15
C3) W|,-<C'|/|P<
для любых г>г'>1, р>р'>1 при условии, что 1/р'—1/г' =
= 1-1/?.
Доказательство. Это сразу следует из интерполяционной
теоремы Марцинкевича и теоремы 15.
18. Следствие. Если ядро К теоремы 15 для каждого t, рае*
кого положительной или отрицательной целой степени числа 2,
удовлетворяет условиям
C4)
= 1, ..., л,
то оно обязательно удовлетворяет условию A7).
Доказательство. Неравенство C4) можно записать в виде
Интегрирование этого неравенства по подходящим образом выбран-
выбранному пути приводит к неравенству A7).
22 Заказ № 134


338
Гл. XI. Различные приложения
19. Следствие. Пусть ядро К теоремы 15 удовлетворяет
соотношению
где 04 и О2 — такие операторы в Xi и X соответственно, что
все их целые степени, положительные и отрицательные, ограни-
ограничены. Тогда неравенство A7) теоремы 15 вытекает из предпо-
предположения
д
C7)
dxt
К(х)
п.
Доказательство. Если t = 2j, где у — положительное или отри-
отрицательное целое число, то из C6) и C7) следует, что
C8)
i?-*<*>
t~n
dxt
\ |[^](-f)P^-
77 К №
dx.
Поэтому
C9) \
~k
n=0
=2C S
откуда легко вытекает справедливость данного следствия.
Если /г=1, 9=1» т0 условие C4) сводится к условию
var (*(*)) = О (Г1).
Неравенство Пэли и Литлвуда нетрудно вывести из следст-
следствия 19. Но сначала мы докажем следующее обобщение теоремы
Кальдерона — Зигмунда на векторнозначные функции.
20. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — пространство с положительной
мерой. Пусть Q(x) — комплекснозначное ядро, определенное на Еп,
положительно однородное порядка 0 и гладкое всюду, кроме
точки х~ 0, и пусть поверхностный интеграл от Q по единич-
единичной сфере равен нулю. Пусть Lv(Lq) обозначает L-p-простран-
ство функций на Еп со значениями в Lq(S). Тогда для любых


77. Примечания и дополнения 339
1<Ср<оо и 1 <Cq < оо операция свертки
D0) f(x)^
определяет ограниченное преобразование пространства Lv (Lq)
в себя.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай p = q.
Пространство Lv (Lp) может быть очевидным образом отождеств-
отождествлено с Lp-пространством на прэизведении ЕпХ S, и неравенство,
которое должно быть доказано, сводится к неравенству
D1) П
п
S Еп Еп
<С J
S Еп
Это не что иное, как обычное неравенство Кальдерона — Зигмунда,
примененное к функции g(x) = f(x, s) и проинтегрированное по s.
Из справедливости этой теоремы для p = q и из следствий 17
и 19 следует, что данная теорема должна быть справедлива,
если 1<р<^<оо. Поэтому ясно, что справедливость нашей
теоремы при 1 <с q < р < оо вытекает из следующей леммы и из
того очевидного факта, что оператор, сопряженный к оператору
вида C8), имеет такую же форму.
21. Лемма. Пусть X — банахово пространство, а X* —сопря-
—сопряженное к нему пространство. Пусть 1<р, ?<оо, р~г л- q~x = 1.
Пусть (S, 2, \х) — пространство с положительной мерой. Тогда1)
D2) sup |U(s)/(s)|A(<fc) =|/|p, fdLv{X).
g?Lq(X*), \g\q^i I 0
Доказательство. То, что левая часть в D2) не превосходит
правой, сразу следует из неравенства Гёльдера, тривиальным
образом обобщенного на векторнозначные функции. Обратное
неравенство достаточно доказать для всюду плотного подмноже-
подмножества в Ьр (X), так что можно, не ограничивая общности, считать,
что f — простая функция, т. е. что f(s) = xt на каждом из непере-
непересекающихся множеств ей i= 1, ..., п, и что / = 0 вне объедине-
объединения этих множеств. В X* существуют такие элементы х*, что
х* (хг) = | Xi | при i=l, ..., п и |х*| = 1. Пусть h — скалярная
функция на S; положим g(s) = h(s)x* при s^et и g(s) = 0, если
х) Здесь g (s) / (s) при каждом s ? S есть значение функционала g (s) ^ X*
в точке / (s) ? X, т. е. g (s) / (s) — скалярная функция. — Прим. перев.
22*


340 Гл. XI. Различные приложения
s не принадлежит ни одному из множеств ег. Тогда
D3) I g (s) f (s) v (ds) = J A (s) | / (s) 11* (ds);
следовательно, равенство D2) вытекает из хорошо известного
аналогичного соотношения для скалярных функций. Этим завер-
завершается доказательство леммы 21, а вместе с ней и теоремы 20.
22. Следствие. Пусть (S, 2, \х) —пространство с положи-
положительной мерой, и пусть I <Cq<Cco, 1<<р<оо. Пусть С —
конечная постоянная, и пусть f(x, s) — такая измеримая функ-
функция, определенная на произведении пространств Е1 х S, что
D4) J {[ \f(x,
Пусть f(l, s) — преобразование Фурье функции f(x, s) no пере-
переменному х, и пусть g(x, s) —функция, преобразование Фурье
которой определено равенствами g(l, s) = f(%, s) при |>0;
gfa s) = 0 при |<0. Тогда существует такая постоянная С,
зависящая лишь от р и q, что
D5)
Доказательство. Это просто частный случай X = LP(S), n=l
и Q(x) = sgnA: теоремы 20.
Следующее утверждение является обобщением предыдущего.
23. Следствие. Пусть (S, S, \х) — пространство с положи-
положительной мерой, и пусть 1<р<оо, 1<<7<°°- Пусть Т(I) для
всякого вещественного | есть ограниченный оператор в прост-
пространстве LP(S). Предположим, что операторнозначная функция
Т (?,) равномерно ограничена и имеет ограниченную вариацию.
Пусть f(x) —функция вещественного переменного х со значениями
в пространстве LP(S), и пусть f(Q — ee преобразование Фурье
по переменному х. Пусть Ш\ — отображение, определенное фор-
формулой
D6) W?f)(t) = T(t)f(t).
Тогда S7?\ — ограниченное отображение пространства Lq(Lp(S))
в себя.


//. Примечания и дополнения 341
Доказательство. Определим для каждого вещественного ?0
отображение <$?g0 пространства Lq(Lp(S)) в себя по формуле
D7) (<#?&/)(?) = У t ^t
[ 0, если &<So-
Из следствия 22 вытекает, что существует такая конечная
постоянная С, что
D8)
В левой части стоит, разумеется, норма оператора $$%> как пре-
преобразования пространства Lq{Lp{S)) в себя.
С другой стороны, из D6) и D7) следует, что
оо
D9) ЯГ, = J Шь> dT (go) + ^ (_ оо),
— ОО
где JT (— оо) обозначает отображение / (х) —> Т (— оо) / (х). Из
D8) и D9) сразу следует справедливость данного предложения.
Если оператор Т(%) из следствия 23 является оператором
умножения, то установленный результат может быть значительно
улучшен; при этом получается обобщение теоремы Зигмунда,
которая потребуется нам в дальнейшем изложении. Для простоты
обозначений ограничимся рассмотрением частного случая, когда
S счетно, так что пространство Lp предыдущего следствия сво-
сводится к пространству последовательностей 1Р.
24. Лемма. Пусть 1<р<оо, 1<07<оо. Пусть knfe) —после-
—последовательность ограниченных функций. Предположим, что эти
функции и их полные вариации равномерно ограничены. Пусть
Ж — преобразование в Lq(lp), переводящее векторную функцию,
п-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию
fn(%), в векторную функцию, п-я компонента которой имеет пре-
преобразованием Фурье функцию kn(l)fn(l). Тогда Ж — ограниченное
отображение пространства Lq(lp) в себя.
Вместо того чтобы дать прямое доказательство леммы 24,
рассмотрим ее как предельный случай сформулированной ниже
леммы 24'. Вывод леммы 24 из леммы 24' тривиален, и потому
мы его опустим.
24'. Лемма. Пусть р, q и kn —такие же, как в предыдущей
лемме; рассмотрим для каждого N преобразование Ж^ в Lp(lq),
переводящее вектор, п-я компонента которого имеет преобразо-
преобразованием Фурье функцию fn{l), в вектор, п-я компонента кото-
которого имеет преобразованием Фурье функцию kn(l)fn(l), если


342 Гл. XI. Различные приложения
и функцию fn{l)i если n>N. Тогда существует такая
не зависящая от N конечная постоянная С, что норма оператора
SKN как преобразования пространства Lq (lp) в себя не превос-
превосходит С.
Доказательство леммы 24'. Вычитая из каждой функции kn
подходящую постоянную сп, можно, не ограничивая общности,
считать, что kn( — оо) = 0 для каждого п; здесь мы воспользо-
воспользовались равномерной ограниченностью функций kn и их полных
вариаций, позволяющей утверждать, что постоянные сп ограни-
ограничены в совокупности. Аналогичным образом, умножая каждую
из функций kn на подходящую положительную постоянную с'п,
можно, не ограничивая общности, считать, что полная вариация
каждой из этих функций равна 1; здесь мы также пользуемся
равномерной ограниченностью вариаций var(?n) для того, чтобы
сделать заключение об ограниченности снизу постоянных с'п.
Пусть $g (Si, ..., Sat) — оператор в Lq(lp), переводящий век-
векторную функцию /\ п-я компонента которой имеет преобразова-
преобразованием Фурье функцию fn (S)i и векторную функцию g, и-я компо-
компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию ?л(?)»
определенную формулой
( /n(S), n>N,
E0) *дF) = /ДF), Ktr, n,
0, ?>?г> П<
Тогда ясно, что
E1)<#?(Si, •••.S*)=e«(Si. •••»!
где qS (li, ..., Sn) — изометрия в Lq(lp), а именно
E2) М (?lf ..., Ы : {fn (х)} -> {e***fn (*)};
в E2) мы для простоты обозначений считаем, что ?^ = 0 при
д>Л/. Поэтому из следствия 23 вытекает, что преобразование
е%?(?ь • . •, In) ограничено по норме постоянной С, не зависящей
от N и от Si, •-., In-
Из формулы E0) и определения преобразования S%N легко
следует, что
оо оо
E3) дг„= [...[ SB(b,.-.,tn)dki(k)...dkn(ln).
Поскольку var (fen) = 1, преобразование S??N ограничено той же
постоянной С. Это доказывает лемму 24', из которой, как было
отмечено, сразу следует лемма 24.


//. Примечания и дополнения 343
Теперь мы можем приступить к доказательству неравенства
Пэли и Литлвуда.
25. Теорема. Пусть 1<р<2, и пусть f (х) — произвольная
функция из Lp( — оо, оо), a fn(x) —функция, преобразование
Фурье которой в области 2п < 11 | < 2п+1 совпадает с преобра-
преобразованием Фурье функции /, а вне этой области равно нулю.
Тогда существуют такие конечные постоянные С и С, что
оо оо °°
E4) С j ( 2 IM*)l2)P/2d*< I |/W№<
— ОО П=— ОО
<с\
— оо п=—оо
Доказательство. Пусть ф(^) —четная функция из С°°, тожде-
тождественно равная 1 при 1<[|||<Г2 и тождественно равная 0 при
|g|<l/2 или |61>3, выбранная таким образом, что ее интеграл
и несколько первых моментов равны нулю. Пусть К{Ь) — вектор,
п-я компонента которого равна ф BW?); тогда К — векторная
функция со значениями в гильбертовом пространстве /2 двусто-
двусторонних последовательностей. Пусть
оо
E5) *<*) = -5 \
Так как UnK (l) = KB~nQ, где U — оператор единичного сдвига
в /2, то К Bпх) = Un2~nK (х). Если ф — преобразование Фурье
функции ф, то ty(x) и несколько первых ее производных равны
нулю при х = 0, тогда как 1^(^I = 0A^1"^) при \х\—>со для
любого конечного положительного N. Далее, n-я компонента
вектора К(х) равна 2~п^B~пх)\ поэтому
E6) |/С'(*I2= 2 |2VBn*)|2.
П=—оо
Поскольку
E7) \ц'{х)\<А(А^у, Л>0,
ряд E6) мажорируется рядом


344 Гл. XL Различные приложения
и потому его сумма ограничена на каждом ограниченном интер-
интервале значений х. Определим преобразование Ж равенством
E9) */
или, что равносильно,
F0)
Тогда о?? переводит скалярные функции в функции со значе-
значениями в пространстве /2. Из теоремы Планшереля следует, что Ж
является ограниченным отображением пространства L2 скалярных
функций в пространство L2 (/2) квадратично интегрируемых век-
векторных функций со значениями в /2. Далее, из следствий 19 и 17
вытекает, что Ж является ограниченным отображением прост-
пространства скалярных функций Lv в пространство Lp(/2) векторных
функций (при 1-<р<г2).
Пусть ^ — преобразование в ?,>(/•.>), переводящее векторную
функцию, /mi компонента которой имеет преобразованием Фурье
функцию &n(S)i в векторную функцию, преобразование Фурье
/г-й компоненты которой ЛП(Б) определяется формулой
F1) мИ
[ 0 в противном случае.
Согласно следствию 24, линейное преобразование оМ ограничено.
С другой стороны, из определения К (I) и соотношений E9) и F1)
следует, что <М<Х переводит функцию / в векторную функцию,
п-я компонента которой равна функции fn из E4). Поэтому левое
неравенство в E4) доказано.
Правое неравенство доказывается аналогично. Пусть G —
функция со значениями в гильбертовом пространстве последова-
последовательностей /2, преобразование Фурье я-й компоненты которой
равно gn(%)- Положим
F2) &G)(x)= J K(x-y)G(y)dy;
— 00
это равносильно тому, что
F3) «G (Б) =3/Си (Б) in (Б).
— оо
По теореме Планшереля X является ограниченным отображением
пространства L2 (/2) в пространство скалярных функций L2. Таким


11. Примечания и дополнения 345
образом, согласно следствиям 19 и 17, X является ограниченным
отображением пространства Lp(l2) в Lp. Из F3) и F1) следует,
что ХоМ переводит функцию G в скалярную функцию /, преоб-
преобразование Фурье которой удовлетворяет соотношениям
F4) f(l)=gn(l), 2»<||
Отсюда следует справедливость правого неравенства в E4).
26. Следствие. Теорема 25 остается справедливой во всей
области 1 < р < оо.
Доказательство. В ходе доказательства теоремы 25 мы видели,
что при 1<р<2 отображение <MSK, переводящее скалярную
функцию с преобразованием Фурье /(?) в векторную функцию,
п-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию
fn(l), определяемую формулой
(б5) fa)J
(О в противном случае,
является ограниченным отображением пространства Lp в Lp(/2).
Сопряженным к этому отображению будет, очевидно, отображе-
отображение ХоМ из теоремы 25, рассматриваемое как отображение про-
пространства Lg(/2) в Lq, где 1/р +1/<7=1. Поэтому отображение
ХоМ ограничено и при 2<<7<оо. Используя аналогичные «двой-
«двойственные» соображения, можно показать, что отображение. оМЖ
ограничено в расширенной области, ч. т. д.
27. Следствие. Теорема 25 остается справедливой во всей
области 1 < р < оо для функций f со значениями в произвольном
гильбертовом пространстве.
Доказательство. Заметим, что доказательство теоремы 20
с тривиальными изменениями проходит для функций со зна-
значениями в произвольном гильбертовом пространстве (и даже в про-
произвольном Lp-пространстве); в частности, лемма 21 почти без
изменений в доказательстве обобщается на любую пару В-про-
странств X, У*, для которых
fifi sup \y*{x)\ = \x\; x?X;
(t>D) у*?У*, \V*\ = 1
поэтому следствие 22 справедливо для функций /(*, s) со зна-
значениями в гильбертовом пространстве, а следствие 23 почти без
изменений в доказательстве переносится на пространство функ-
функций / со значениями в любом пространстве типа Lp($), где Не-
Непроизвольное гильбертово пространство. Далее, можно заметить,
что лемма 24 без изменения доказательства обобщается на про-


346 Гл. XI. Различные приложения
странство Lp(lq($)) функций, значения которых принадлежат
пространству последовательностей lq($>), состоящему из всевоз-
всевозможных последовательностей векторов из ig, для которых схо-
сходится ряд из q-x степеней норм. Эти замечания позволяют легко
получить обобщение теоремы 25 на функции / со значениями
в гильбертовом пространстве Sq. Обобщенную теорему 25 можно
распространить с области 1<р<2 на всю область 1</?<оо
при помощи сформулированного выше обобщения леммы 21, ч. т. д.
Теперь мы готовы к доказательству теоремы Марцинкевича
и даже некоторого ее обобщения.
28. Теорема. Пусть 1 <Ср<Ссо. Пусть Lp(fe) обозначает
^-пространство функций со значениями в гильбертовом про-
пространстве $. Пусть Т (I) для всякого вещественного I является
ограниченным оператором в ^д; предположим, что функция Т (?)
ограничена и что вариации
F7) var (ГЦ))
2n- fc*'2n 1 *
U
@8) var (T (D)
ограничены в совокупности, когда п пробегает все положитель-
положительные и отрицательные целые числа. Пусть функция f принад-
принадлежит Lp(fe), и пусть /(?) — ее преобразование Фурье по пере-
переменному х. Пусть отображение Ж± определено формулой
F9) №Р)(Б) = Г(Б)/(Б), /€Мв).
Тогда Ж\ — ограниченное отображение пространства Lp(fe)
в себя.
Доказательство. Пусть $q+ обозначает гильбертово прост-
пространство всех (двусторонних) квадратично суммируемых последо-
последовательностей векторов из .?. Пусть T+(Q — отображение, которое
переводит вектор {хп} из J§+ в вектор, п-я компонента которого
равна Т(%)хп, если 2П<!| ?| <2П+1, и равна 0 в противном
случае. Как было отмечено в ходе доказательства следствия 27,
следствие 24 обобщается на функции со значениями в прост-
пространстве МЙ) —$+- Таким образом, мы можем заключить, что
отображение Ж\ в пространстве Lp(!q+), определенное формулой
G0) (SV+F) (I) = Т+ A) F(l), F бLp ($+),
ограничено. Пусть &+ и ^ — отображения пространства Lp(?)
в LpA2($q)) и пространства Lp(l2(&)) в Lp($q) соответственно,


//. Примечания и дополнения 347
определенные формулами
пA), если 2П<|?
* ' ^ "*-'w ^ 0 в противном случае
и
<72) (%F)(t) = Fn(t),
Тогда по следствию 27 преобразования &+ и 98 ограничены.
С другой стороны, из F9), G0), G1) и G2) следует, что
$&ЖХА* = Ж^. Поэтому преобразование Ж^ ограничено, ч. т. д.
29. Следствие. В теореме 28 предположение об ограничен-
ограниченности в совокупности вариаций F7) и F8) можно заменить
условием
G3) ir^K-ifp
Это следствие дает обобщение на векторные функции одной
полезной теоремы Михлина.
Теорема 25 была доказана в несколько более общей форме
Пэли и Литлвудом [1]. Они доказали дискретный аналог теоремы,
которую в непрерывном случае можно сформулировать следую-
следующим образом.
30. Теорема. Пусть р>а>0 — положительные постоянные.
Пусть {%т} —такая возрастающая последовательность неотри-
неотрицательных вещественных чисел, что Хо =0 и
Пусть J? есть а-алгебра подмножеств вещественной оси, порож-
порожденная множествами вида [±Ят, ± %п]. Для каждой функции
/?L2( —°°, оо), и каждого е?$ положим Е(е)f = F'1 (%eF(f))y
где %е — характеристическая функция множества e,aF : L2 —> L2 —
преобразование Фурье. Тогда если 1 </?<аэ, то существует
такая постоянная К = К(р, а, Р), что
\E(e)f\p<K{p, а, р)|/|р| е^Ж, f?L2(\Lp.
Марцинкевич [1] улучшил этот результат в различных направ-
направлениях, прийдя к некоторому обобщенному дискретному аналогу
теоремы 30. В непрерывном случае его результат можно сформу-
сформулировать следующим образом.
31. Теорема. Пусть а, р, р и {К} — такие же, как в пре-
предыдущей теореме, и пусть Л1<оо. Пусть ф — такая функция,
определенная на вещественной оси и непрерывно дифференци-


348
Гл. XL Различные приложения
руемая при х-/- it Я<, что
(I) \ \y'(x)\dx+ [ |<p'(*)|d*<:Af, i>0,
•1 О
(И)
— со<л;<со.
Пусть H(pf = F1(cpF(f)) для /?L2. Тогда существует такая
постоянная К{М, р, а, Р),
Марцинкевич приводит также m-мерный вариант своей теоремы.
В двумерном случае условия (I) и (II) заменяются условиями
(I')
-Ху
г
I ЛУ
, 0<t,
(НГ)
Отсюда ясно, как формулируется m-мерный вариант теоремы
Марцинкевича, хотя ввиду сложности записи т+1 условияг
заменяющего в этом случае условия (Г), AГ) и (НГ)» мы воз-
воздерживаемся от приведения его в явном виде.
Из теоремы Марцинкевича легко следует, что если у вещест-
вещественно и если ф (t) = | / |*y при / g Em, то существует такая конеч-
конечная постоянная КР, т» зависящая лишь от р и т, что
Торин [1] при помощи этого факта получил следующее т-мерное
обобщение результата, принадлежащего в одномерном случае
Харди и Литлвуду [1].


//. Примечания и дополнения 349
32. Теорема. Пусть f?Lv(Em) и р<г. Тогда интеграл
Km u ' ^
существует для почти всех х из Ет и определяет ограниченное
отображение пространства Lp{Em) в пространство Lr(Em).
Торин доказал эту теорему при помощи соображений выпук-
выпуклости, аналогичных примененным им для доказательства теоремы
Рисса о выпуклости. Таким обра.юм ему удалось упростить (даже
в случае /я=1) первоначальное доказательство Харди и Литл-
Литлвуда, которое было огионапо на их методе «перестановки в убы-
убывающем порядке». »тот общий метод изложен у Харди, Литлвуда
и Пойа [1; гл. 1()|.
Следует заметить, что ввиду положительности ядра, фигури-
фигурирующего и предыдущей теореме Харди — Литлвуда — Торина, эта
теорема может быть немедленно перенесена на сингулярные
интегралы вида
K(x,y)f(y) ,
где /С —произвольная измеримая ограниченная функция.
Марцинкевич [1] показывает также, как можно ослабить усло-
условие A + а) А,л <! Атц.! <! A + Р) Хп в фундаментальной теореме Литл-
Литлвуда и Пэли.
Хиршман [1] рассматривает ряд интересных неравенств, свя-
связанных с неравенством Марцинкевича и с родственными нера-
неравенствами Литлвуда — Пэли и Бабенко. В его работе можно
ознакомиться с подробным описанием этих неравенств и с библи-
библиографией.
Говорят, что функция /, определенная на подмножестве А
пространства Ет, удовлетворяет условию Гёльдера с показате-
показателем е и постоянной /С, если
\Пх)-ПУ)\<К\х-У\в> х, у?А.
Множество ограниченных функций, удовлетворяющих такому
условию для фиксированного г и какого-нибудь /С, образует
В-пространство относительно нормы
|/|= sup l/(*W.y' + sup 1/(jc)|.
*, У?А \х—у\* х$А
Это пространство широко изучалось в связи с теорией сингуляр-
сингулярных интегралов. Можно показать, что при соответствующих


350 Гл. XI. Различные приложения
предположениях сингулярные интегралы типа Гильберта — Каль-
дерона —Зигмунда переводят функции, удовлетворяющие усло-
условию Гёльдера с показателем 0<е< 1, в функции того же класса.
Можно показать также, что при соответствующих предположе-
предположениях сиигулирные интегралы типа Харди — Литлвуда — Пэли пере-
переводит функции, удовлетворяющие условию Гёльдера с некоторым
показателем 0<е<1, в функции, удовлетворяющие условию
Гёльдера с большим показателем. Такие теоремы полезны, в част-
частности, в теории дифференциальных уравнений с частными произ-
производными. По поводу различных теорем такого типа см. Зиг-
Зигмунд [1], Фридрихе [1] и [11; стр. 101— 121, особенно теорема
9.7 на стр. 116], Харди и Литлвуд [1].
Многие из доказанных нами неравенств имеют «дискретные»
аналоги в виде неравенств для некоторых сумм, сингулярных,
интегралов для периодических функций и т. д. Их можно найти
в некоторых из цитированных работ. В частности, см. Зигмунд.
[1, гл. 7 и 9].


ГЛАВА XII
Неограниченные операторы
в гильбертовом пространстве
I. Введение*
В предыдущей майе мы мидели, как можно применить спект-
спектральную теорию, ра иштую и гл. У и 10, к различным задачам
математическою анализа. Однако до сих пор мы еще не приме-
применили чту теорию к важному классу задач, известных как гра-
граничные задачи. Это объясняется тем, что операторы, возникающие
н граничных задачах, являются дифференциальными и * потому
они определены не на всем гильбертовом пространстве. В настоя-
настоящей главе закладываются основы расширения спектральной тео-
теории, изложенной в гл. 10, расширения, достаточно общего, чтобы
охватить многообразные применения этой теории к самосопря-
самосопряженным граничным задачам. Сами граничные задачи будут рас-
рассмотрены в следующих главах, а сейчас будут даны только
основы абстрактной техники.
Новые трудности возникают не только потому, что диффе-
дифференциальные операторы определены не всюду, но и потому, что
они не являются непрерывными на своей области определения,
т. е. эти операторы неограниченные. Так как многие из поня-
понятий, используемых в гл. 10, a priori не имеют смысла для неог-
неограниченных операторов, то мы дадим более общие определения.
Термин оператор будет использоваться для линейного отобра-
отображения линейных пространств. Символы ®(Г) и 3J(Т) исполь-
используются для обозначения области определения и области значений
оператора Т соответственно. Два оператора Т и U называются
равными (обозначается T = U) тогда и только тогда, когда ф (Т) =
Ф(?/) и Tx = Ux для всех х из Ф (Т); Т называется расшире-
расширением U (обозначается Т ^U) тогда и только тогда, когда ф(Т)з
¦)ф(G) и Tx = Ux для всех х из ФA/). Иногда вместо Tz>U
используется обозначение ?/с7\ Если не оговорено противное,
к) будет предполагаться, что область определения и область зна-
значений каждого из рассматриваемых операторов — это подмно-
подмножества некоторого гильбертова пространства, которое будет
обозначаться буквой ig. Как обычно, оператор называется огра-


352 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
ниченным, если верхняя грань sup | Тл: |, взятая по всем х
из Ф (Т) с нормой |х| = 1, конечна; в противном случае Г назы-
называется неограниченным. Таким образом, оператор неограничен
тогда и только тогда, когда он разрывен в одной точке (и, сле-
следовательно, в каждой точке) своей области определения. График
Г (Г) оператора Т есть подмножество в $©$, состоящее из всех
точек вида \х, Тх], где х?ф(Г). Оператор Т называется замк-
замкнутым, если его график замкнут в ф©$. Прямая сумма гиль-
бертоиых пространств всегда понимается в смысле § IV.4, стр. 278,
так что $0?) есть гильбертово пространство со скалярным
произведением
Это скалярное произведение можно использовать для определе-
определения нового скалярного произведения на ф (Т) с помощью фор-
формулы
(*• /У)г-A*, Тх]> |/л Ту]):-{х, у) \ (Тх, Ту), х,
Простраистно ФG1) со скалярным произведением (аг, /уL не обяза-
обязательно гильбертоно, так как оно может оказаться не полным
относительно нормы (х, агI/», но если Т —замкнутый оператор,
то линейное пространство Ф (Т) со скалярным произведением
(х, у){ полно и, следовательно, является гильбертовым простран-
пространством. Более того, замкнутый оператор Г, рассматриваемый
как оператор, действующий из гильбертова пространства 2) (Т)
со скалярным произведением (х, y)t в пространство § со скаляр-
скалярным произведением (х, у), непрерывен.
Используя элементарные алгебраические операции сложения
и умножения для операторов, определенных не всюду, нужно
быть осторожным; так мы приходим к следующему формальному
определению.
I. Определение. Пусть Т и U — линейные операторы и а —
комплексное число. Тогда операторы T-\-U, TU, at и Г опре-
определяются следующим образом:
(a) ФG1+?/) = ФG1) П
(b) Ф(Г[У)-{х|хб®([;)
(c) если а = 0, то аГ == 0; в противном случае Ф (аТ) = ф (Г)
и (аТ)х = а(Тх);
(d) если оператор Т взаимно однозначен, то ф (Г) = 91 (Г)
и Т~1у = х, где у = Тх.
Обычные законы ассоциативности (Л + ^) + С = Л + (В+С)
.и (АВ)С-А(ВС) выполнены, так что суммы и произведения


1. Введение 853
нескольких операторов могут записываться без использования
скобок. Что касается законов дистрибутивности, то один из них
имеет обычную форму (А + В)С = АС-{-ВС; однако, поскольку
может случиться, что вектор (В-\~С)х принадлежит области
определения оператора Л, в то время как Вх или Сх ей не при-
принадлежат, во втором случае вместо равенства мы имеем лишь
включение А(В + С)^АВ + АС.
Точно так же, как в случае ограниченного оператора,
резольвентное множество q(T) оператора Т определяется как
множество всех комплексных чисел X, таких, что (М — Т)'1
существует как всюду определенный ограниченный оператор.
Если X?q(T), to символ R(X; T) будет использоваться для обо-
обозначения резольвенты (kl — Г). Спектр о (Т) оператора Г —это
дополнение резольвентного множества q(T). Точечный спектр
ор(Т), непрерывный спектр ос(Т) и остаточный спектр ог(Т)
определяются точно так же, как это было сделано в определении
Х.3.1 для ограниченных операторов. Одно из свойств, которым
неограниченные операторы отличаются от ограниченных, состоит
в том, что спектром неограниченного оператора может быть вся
плоскость.
2. Лемма. Оператор, обратный к замкнутому, замкнут.
Ограниченный оператор замкнут тогда и только тогда, когда
замкнута его область определения.
Доказательство. Если Л4 — изометрический автоморфизм в &©?>,
переводящий [х, у] в [у, х], то Г (T~l) = AiT (T); это показывает,
что Т замкнут тогда и только тогда, когда замкнут Г. Если
В —ограниченный замкнутый оператор и {хп} — последователь-
последовательность Коши в ®(В), то {[хп, Вхп]} — последовательность Коши
в замкнутом множестве Г (В) и, следовательно, она имеет предел
[х, Вх] в Г (В). Таким образом, последовательность {хп} сходится
к точке х в Ф(В), что доказывает замкнутость ©(В). Обратно,
если область определения ограниченного оператора В замкнута
и если {[хп, Вхп]} — последовательность Коши в Г (В), то предел
х= lim xn существует в ф (В), и, так как В непрерывен, [хп, Bxn] —>
—>[х, Вх], что доказывает замкнутость множества Г (В), ч. т. д.
3. Лемма. Пусть Т—замкнутый оператор. Тогда множества
q(T), ор(Т), ос(Т) и ог(Т) не пересекаются, и их объединение
есть вся плоскость. Резольвентное множество q(T) открыто,
а резольвента R (X; Т) есть аналитическая функция от X, удо-
удовлетворяющая резольвентному уравнению
Доказательство. Из определений ясно, что qG"), op(T), ос(Т)
и ог (Г) — непересекающиеся множества и что если точка i
23 заказ № 134


354 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
не лежит ни в одном из этих множеств, то обратный (XI —Т)'1
должен сущеетвонать как всюду определенный и неограниченный
оператор. Таким образом, для доказательства первого заключения
достаточно показать, что если (XI —Т)'1 существует и имеет
областью определения все ig, то X лежит в q (Т). Из леммы 2
вытекает, что (XI — Г) замкнут, но тогда из теоремы о замкну-
замкнутом графике (II.2.4) следует, что оператор (XI — Г) ограничен,
поскольку он определен всюду. Анализируя доказательство лем-
леммы VII.3.27 в которой утверждается, что множество q(T) открыто,
а функция R (X; Т) аналитическая в случае ограниченных опе-
операторов, мы замечаем, что те же утверждения верны и для неогра-
неограниченных операторов. Наконец, резольвентное уравнение полу-
получается вычитанием первого из двух следующих уравнений из второго:
(XI-T)R (X; Т) R (ц; T) = R(\l;T),
Сопряженный 7'* к ограниченному оператору Т в гильберто-
гильбертовом пространстве был определен тождеством (Тх, у) — (х, Т*у).
В дальнейшем нам потребуется понятие сопряженного (в смысле
гильбертоиа ироетраиетиа) к оператору, который не обязательно
ограничен; что понятие определяется следующим образом.
4. Оиркдклкние. Если область определения © (Т) оператора Т
плотна в Jg, то область определения © (Т*) состоит из всех век-
торов у?&, для которых (Тх, у) как функция от х непрерывна
в Ф(Т). Так как © (Т) плотно в §, то существует (IV.4.5)
однозначно определенная точка у* в Jg, такая, что (Тх, у) = (х, у*)
для всех x?©(r). Сопряженный в смысле гильбертова простран-
пространства или просто сопряженный Т* определяется на © (Г*) равен-
равенством Т*у = у*. Другими словами,
В этом определении требуется, чтобы область определения
© (Т) была плотна в ф» тогда точка //*, соответствующая точке
у из © (Г*), будет однозначно определена. Поэтому, говоря о со-
сопряженном к оператору Г, мы всегда предполагаем, что множе-
множество © (Т) всюду плотно. Точно так же если речь идет об обрат-
обратном Г, то молчаливо предполагается, что оператор Т взаимно
однозначен.
Напомним, что ортогональное дополнение множества St в @
определяется как множество {х\х?$, (х, $) = 0}. Это ортогональ-
ортогональное дополнение обозначается через ^©91 или через 91 "Ч,Оче-
"Ч,Очевидно, множество 21-1 является замкнутым линейным многообра-


/. Введение 355
зием, а если 21 само является замкнутым линейным многообра-
многообразием, то И и 91-1—-взаимно дополнительные многообразия, т. е.
g^St©^ (IV.4.4).
5. Лемма. Пусть изометрические автоморфизмы А± и А2
в @©Ф определены равенствами
Ai[x, у] = [у, х], А2[х,у]^[у, —х].
Тогда
Г (Г) = А{Т (Г), Г (Г*) = (Л2Г (Г)I,
AiA2=-A2Ai, A\ = I, А\=-1.
Доказательство. Заметим, что [у, у*] ?Г (Г*) тогда и только
тогда, когда
0 = (Тх,у)-(х,у*) = ([Тх, -xl [у, у*]), х?%(Т).
Следовательно, Г (Т*) = (Л2Г (Г)I-. Доказательство остальных
утверждений представляется читателю.
6. Лемма. Пусть Т —оператор в гильбертовом пространстве.
Тогда
(a) если ф (Г) всю% плотно, то Т* —замкнутый линейный
оператор;
(b) если существует Т~г с всюду плотной областью определе-
определения, то существует (Г*) и G*) = GТ)*;
(c) еслг/ В — всюду определенный ограниченный оператор, то
(Т + В)* = Г* + В*, (ВТ)* - Г*В*;
(d) ±
Доказательство. Так как ортогональное дополнение замкнуто,
то утверждение (а) вытекает из леммы 5.
Для доказательства (Ь) заметим сначала, что из Т*у = 0
вытекает равенство (Тх, у) = 0 для всех *?Ф(Г). Так как много-
многообразие ffi (Т) = ф (Г) всюду плотно, то это означает, что # = 0,
и, следовательно, оператор (Г*) существует. Тогда по лемме 5
1) = AtT (П = А, (Л2Г {T))L =
= (ЛИ2Г (Г)I = (- ЛЛГ (Г)I =
- (А2А,Т (Г)I = (Л2Г (Г-1))^ = Г
и потому () ()
Докажем теперь (с). Так как В всюду определен, мы имеем
(Г В) <3)(Г). Поскольку В непрерывен и ((Г + В)х, у) =
23*


356 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
= GХ у)-\ (Вх, //), ясно, что Ф (Г*) = ® ((Г+ ?)*)• Таким об-
образом, для *?Ф(Г) = Ф(Г+Я) и #?®(Г*) = Ф((Г + Я)*) мы
имеем
, (Г -| -5) * у) = ((Г + В) х, у) = (Г*, у) + (Вх, у) =
= (*, Г**/) + (*, Я*у) = (х, (T* + B*)y);
тем самым равенство (Г + В)* — Г*+ 5* доказано.
Чтобы доказать соотношение (ВТ)* = Г*В*, предположим, что
*€Ф('Л и у?Ъ((ВТ)*). Тогда (х, (ВТ)*у) = (ВТх, у) = (Тх, В*у);
это показывает, что В*#(=©(Г*) и, следовательно, #(=3)(Г*В*).
Из этого равенства также следует, что для #?Ф((ВГ)*) имеет
место равенство Т*В*у = (ВТ)* у, откуда Г*Я*з(ЯГ)*. Ана-
Аналогично если л:?©(Г) и у?<&(Т*В*), то (*, Т*В*у) = (Тх, В*у) =
= (ВТх,у); это показывает, что //? Ф ((ЯГ)*) и (ВТ)* у = Т*В* у.
Тем самым доказано соотношение (ВТ)*^Т*В*, и доказательство
пункта (с) закончено.
Наконец, заметим, что утверждение (A) вытекает непосред-
непосредственно in тождества
G\v, //) (Л', 7'*//), а-(Ф('О, /уСФ(П,
и wo завершает дока^ательетво леммы.
Ьолыпнпстио рассмотрений этой и следующих глав будет
посвящено операторам, которые являются либо симметрическими,
либо самосопряженными в соответствии со следующим определе-
определением.
7. Определение. Оператор Г называется симметрическим, если
(Тх, у)^=(х, Ту) для всех пар *, у точек из ©(Г), и самосопря-
самосопряженным, если Т = Т*.
Оператор Г может быть симметрическим, даже если его область
определения не является всюду плотной, но если область определе-
определения ф (Г) всюду плотна, так что Г* определен, то понятие сим-
симметричности эквивалентно включению Т*^Т. Конечно, если
Г —ограниченный всюду определенный оператор, то утверждения
Т*^Т и Т* Т эквивалентны. Таким образом, ограниченный
оператор симметричен тогда и только тогда, когда он самосопря-
самосопряжен. Если Г — всюду определенный симметрический оператор,
то Т*^Т и, следовательно, Т* = Т. По лемме 6(а) Г замкнут
и по теореме о замкнутом графике (И.2.4) ограничен. Таким
образом, всюду определенный симметрический оператор ограни-
ограничен и самосопряжен.
Хотя понятия симметричности и самосопряженности для огра-
ограниченных операторов совпадают, неограниченный симметрический
оператор не обязан быть самосопряженным. В качестве примера


2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 357
рассмотрим оператор id/dt с областью определения © (id/dt)
в L2@, 1), состоящей из всех функций /, имеющих непрерывную
производную, и таких, что / @) = / A) = 0. Так как
= г
то ясно, что id/dt на плотной области определения ф (id/dt) сим-
симметричен. Однако этот оператор не является самосопряженным,
так как из приведенных выше равенств видно, что любая функ-
функция g с непрерывной первой производной обладает тем свой-
свойством, что
и тем самым любая такая функция g, даже если она не обра-
обращается в нуль в одной из граничных точек отрезка [0,1], лежит
в области определения оператора, сопряженного к id/dt.
Задача нахождения самосопряженных расширений данного
симметрического оператора, намеченная в предыдущем примере,
будет систематически изучена в § 4.
2. Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных
операторов
В этом параграфе спектральная теория, развитая в § Х.2 для
ограниченных самосопряженных операторов, будет распространена
на случай неограниченных самосопряженных операторов. В част-
частности, будет показано, что каждый самосопряженный оператор
имеет единственное самосопряженное регулярное счетно адди-
аддитивное разложение единицы, в терминах которого может быть
построено операционное исчисление. Для этого мы прежде всего
докажем, что резольвента R(a;T) = (aI— Т)~г самосопряженного
оператора Т определена для всех невещественных а и сама
является нормальным оператором, к которому может быть при-
применена теория § Х.2.
1. Лемма. Пусть Т — симметрический оператор и а —неве-
—невещественное число. Тогда оператор (al — T)'1 существует и
. 1(а/-Т)*[ vr^m
" |1та| ' ХЪ*)\Ч-


358 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Доказательство. Если Ima и Re a — мнимая и вещественная
части числа а и х ? 2) (Т) = ф (а/ — Т), то
| (а/ _ Г) х |» •- ((а/ - Т) x,(al _T)jc) =
-(Ima-jf, Ima.jf) + ((Rea./—Г)*, (Rea-/ —Г)х)>
> (Im a • *, Im a • jc) = j Im a j2 [ x B,
откуда непосредственно вытекает нужное нам заключение.
2. Лемма. Спектр самосопряженного оператора Т веществен,
а его резольвента — нормальный оператор, причем R(a; T)* =
-¦Я(a; 71) и
R(a; Г) |< | Im a |~\ Ima^O.
Доказательство. Пусть а —невещественное число. Предыду-
Предыдущая лемма показывает, что (а/ —Г) существует как ограни-
ограниченный оператор. Для доказательства того, что а лежит в q(T),
достаточно, следовательно, доказать, что его область определения
замкнут, л ортогонллыте к ной дополнение состоит из нуля.
Так клк Т 71*, то и:» леммы 1.б(а) нытекает, что Т замкнут
и тем самым оператор u/ T замкнут. Из леммы 1.2 следует,
что оператор (al-~T)} замкнут и, так как он ограничен, его
область определения должна быть замкнутой (лемма 1.2). По
лемме l.6(d)
Далее, (a/ — T)* = al — Т, и так как Ima^O, то мы видим
(лемма 1), что оператор a/ — T взаимно однозначен. Таким обра-
образом, {г/1 (а/ — Т)* t/ = 0} = {0}. Таким образом, доказано, что
a?Q(T), а следовательно, и то, что спектр веществен. Так как
(aI — T)* = aI — T, то из леммы 1.6(Ь) вытекает, что R(a; T) =
~R(a; T)*. Тем самым показано, что оператор R(a; T) нормаль-
нормальный. Заключительное неравенство является следствием преды-
предыдущей леммы.
3. Теорема. Пусть Т — самосопряженный оператор. Тогда его
спектр веществен и существует однозначно определенная регу-
регулярная счетно аддитивная самосопряженная спектральная
мера Е, определенная на борелевских множествах плоскости,
обращающаяся в нуль на дополнении спектра и связанная с опе-
оператором Т соотношениями
(а) { jj
О(Т)


2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 359
71
(b) Tx = lim \ KE(dk)х,
П-*оо «
П
Доказательство. Вещественность спектра была установлена
в лемме 2. Рассмотрим гомеоморфизм \i = h(k) компактной комп-
комплексной сферы, задаваемый уравнением |х = (/ — Я). Покажем
сначала, что h отображает о(Т)[}{оэ} на а(/?(/; Г)). Пусть
Хф1 — точка из q(T) и Л = (* — lJR(k; T) + (i — k)I. Из резоль-
резольвентного уравнения (лемма 1.3) вытекает, что (\iI—R(i; T))A = I,
и, таким образом, \i лежит в Q(R(i; T)). Если Я = /, то (л = оо,
и, следовательно, в этом случае \i не принадлежит спектру
ограниченного оператора R(i; Т). Обратно, пусть 0=^ii?Q(R(i; Г));
положим Л = (|л/ — R(l; Г)) и ^ = |л/? (t; T)A. Тогда 5 взаимно
однозначен, и его область значений есть ф (Г). Поэтому равен-
равенства
показывают, что Я лежит в q(T). С другой стороны, не может
быть, чтобы |ы = 0 g q (/? (/; Г)), так как отсюда вытекало бы, что
R (/; Г) = II—Т есть ограниченный всюду определенный оператор;
этот случай мы из рассмотрения исключаем, так как теорема
для ограниченных операторов уже установлена в гл. X. Итак,
показано, что гомеоморфизм h отображает q (Т) на q (R (/; Т)) (J {оо}
и тем самым отображает о(Т)[} {со} на a(R(i; T)).
Для всякого борелевского множества б комплексной пло-
плоскости положим ?'F) = ?'1(/iF)), где i^ — разложение единицы
для нормального оператора R(i; T). Заметим, что ?'1({0}) = 0,
так как если 0^а: = ?11({0»а:, то /?(/; Т)х=[ XE^dX)х = 0, что
противоречит существованию обратного у оператора R(i; T). Это
показывает, что если б —конечная комплексная плоскость, то
Е(8) = 1 и, таким образом, Е — спектральная мера. Спектральная
мера Е самосопряжена, счетно аддитивна и регулярна, так как
этими свойствами обладает Ei (следствие Х.2.4). Более того,
ясно, что Е(а(Т)) = 1 и, таким образом, Е(8) = 0 для 6^q(T).
Так как спектр Т веществен, то интеграл по вещественной оси
относительно меры Е совпадает с интегралом, взятым по
спектру о (Г).
Положим теперь
\ a 2 / Z7 /wl \ v ty\ лл I
\ Л \jC ^UA^ Л, Л ) <C OO >- .


360 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Ясно, что ?F) ф ^ Фо Для ограниченных борелевских множеств б.
ХЕ (dX) х =
--= \ X2(E(dX)x, л:) и, таким образом,
л
(I) Фо = /л: | lim \ XE(dX)x существует}.
—п
Далее будет показано, что Ф (Г) s ®о- Если х принадлежит Ф (Г),
то, так как ф (Г) = /?(/; Т1)^, jc имеет вид jc = /? (t; T)y и
XE(dX)R(i; T)y.
—п —п
Заменяя меру, приходим к соотношению
(II) tf (t; 7') // - J |i/:t (rf,i) // - J - H-$JL ,
где оба интеграла берутся по nccft плоскости; тем самым
J 5 -Д E(dk)y->
— n —n — oo
Это показывает, что * лежит в Фо и, следовательно, Ф (Г) s
В силу соотношения (II) и теоремы Х.1.1 мы имеем
п
R(i; T) J (i-l)E(dk) = E([-n,n]).
— П
Отсюда следует, что ?([ —/г, /г]) @ s Ф (Т), Далее,
Г?([-л, n]) = [i7-(t7 — T)]R(i; T) J {i-%)
— П
п
и из (I) вытекает, что для х?ф0 последовательность
{ —/г, п])х) сходится. Так как Т замкнут и ?([ — п, п\)х—>ху
п
то х принадлежит ФG) и Tjc = lifn \ <kE(dX)x. Этим доказано
—п
что ®os©(T) и, таким образом, Ф0 = ФG).


2, Спектральная теорема для самосопряженных операторов 361
Для проверки единственности меры Е предположим, что
F — другая спектральная мера с теми же свойствами, что и ?.
Из (а) вытекает, что F([— m, т])х лежит в %(Т), и в силу (Ь)
п
— m,m])x=lim \ (i — l)F(dX)F([—m,m])x =
—п
п
= lim \ (i — X)F(dXC\l— т, т])х =
П-+оо v
П
Так как по теореме Х.1.1 мы имеем
ТО
J ^- = (t/-
так что
—m
Полагая m—>oo, мы видим, что
Таким образом, заменяя меру, получаем
Следствие Х.2.7 [показывает, что F(h~1(8)) = Ei(8) для любого
борелевского множества б. Таким образом, F (б) = Ех (h (б)) = Е (б),
и мера Е единственна, ч. т. д.
4. Определение. Единственная спектральная мера, связанная
с самосопряженным оператором Т так, как описано в предыдущей
теореме, называется разложением единицы для оператора Т.


362 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Очевидно, что для ограниченных самосопряженных операторов
это понятие совпадает с тем, которое было дано в определе-
определении Х.2.5.
Для всякой ограниченной борелевской функции /, опреде-
определенной на вещественной оси или на спектре самосопряженного
оператора 7\ мы можем определить ограниченный нормальный
оператор f(T) равенством
f(T) =
o(T)
уде Е — разложение единицы для оператора Г. По теореме Х.1.1
отображение f—>f(T) есть *-гомоморфизм алгебры ограниченных
борелевских функций в алгебру нормальных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, и, таким образом, приведенная выше
формула определяет операционное исчисление. Теорема 3 наводит
на мысль, как это операционное исчисление можно распростра-
распространить до исчислении неограниченных операторов /(Т), соответ-
соответствующих неограниченным функциям / на о(Т). Формальное
определение состоит и следующем.
Г). ()шм,д|jii.iiiii:. Пусть /:' разложение единицы для самосо-
самосопряженною оператора 7', /-комплексная борелевская функция,
определенная почти нсюду но мере Е на вещественной оси.
Тогда оператор /G') определяется соотношениями
Ф (/ (Т)) = {х | lim fn (T) х существует},
п
где
А»(Я)=/(*), l/WI<n; /»(я.) = о, |/(Я)|>п,
и
f(T)x=\imfn{T)x,
В силу теоремы 3 ясно, что если f(X)'^Xy то/(Т)----7\ но совсем
не очевидно, что если /—многочлен а0 | -аД-|- . .. +аДп, то / (Т)
есть многочлен а0/ [ а{гГ \ .. .-\ апТп в определении 1.1 или
в определении VII.9.6. Именно это будет показано ниже в след-
следствии 8, так что смысл символа /(Г) для многочлена / опреде-
определен совершенно однозначно.
6. Теорема. Пусть Е —разложение единицы для самосопряжен-
ного оператора Т и f — комплексная борелевская функция, опре-
определенная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда
f (T) — замкнутый оператор со всюду плотной областью опреде-


2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 363
ления. Более того,
(а)
(Ь) (/(Г) х, у) = J / (К) (Е (dX) х, у), х € Ф (/ (Г)), г/G Jg;
(c) |/(Т)х|2= J | / (X) |« (? (dX) х, х), х е ф (/ (Г));
(d) /(Т)* = /(Г
(e) Я (о; Г) =
Доказательство. Удобно воспользоваться обозначением fn(T),
введенным в определении 5, и положить еп = {X11 / (X) \ <!п}.
Тогда для л; ? Ф (/(Г)) в силу следствия Х.2.9 (IV) имеем
| / (Г) х |2 = lim | /п (Г) х |2 = lim \\f(X)\*(E(dk)x, *) =
п п «
оо
= \ \f(k)\*(E(dX)x, х).
Этим доказано (с), а также то, что область определения (/())
содержится в многообразии \х\ \ | / {%) |2 (Е (dk) x, х) < оо|.
С другой стороны, если х лежит в этом многообразии
и т>п, то
\fm(T)x-fn(T)x\*= J \f(k)\*(E(dk)x,x)->0,
em—en
и (а) тем самым установлено.
Ясно, что для каждого п=1, 2, ... мы имеем Е(еп)$э^
^®(/(Т)), и так как Е{еп)х—>х для всех х из g, то область
определения ®(/(Т')) плотна в $. Для проверки замкнутости
/(Г) положим {jCjJ^Sn/fT)), xn—>x0 и f(T)Xn-+y0. Тогда для
всякого натурального числа m
/m (Л х0 - lim /m (Г) xn = lim Е (ет) f (Т) хп = Е (ет) у0.


364 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Таким образом,
yQ = lim Е (ет) yo = lim fm (Г) х0 = / (Т) х0.
m m
Отсюда вытекает, что xo?®(/(T)) и что f(T) замкнут.
Докажем теперь (Ь). Пусть х?Ф(/(Т)), ydfe, \л (е) — полная
вариация функции множества (Е(-)х, у) на множестве е. В силу
комплексной формы теоремы Радона — Никодима (III. 10.7) суще-
существует такая борелевская измеримая функция ср, что \х (е) ==
= \ ф (X) (Е (dX) х, у) для всех борелевских множеств е. Из тео-
е
ремы III.2.20 вытекает, что |ср(Х) | = I для почти всех по (х-мере X,
и мы, таким образом, можем и будем далее считать, что |ф(Я)| = 1
для всех X. Положим Д (^) = |/(Я) |ф(^), так что в силу (а) мы
имеем 3)(/iG1))=®(/G1)). Из следствий III.10.6. и Ш.6.17 выте-
вытекает, что для любых х ? Ф (Д (Т)) и y?<Q выполнены соотношения
(h(T)x, y) = \im \ \fn(K)\<((K)(E(dk)x, y) =
— оо
с» с»
= lim \ \fn(X)\\i(d%)= \ \f(k)\ii(dl).
— оо —оо
Этим доказано существование интеграла в (Ь), откуда вытекает,
что
оо
(f(T)x, у) = lim \ fn(l)(E(dk)x, y) =
оо
, y)= \ f(k)(E(dk)x, у),
еп —оо
чем завершается доказательство (Ь).
Для доказательства (d) возьмем векторы х,у ? ф (/ (Г))
= Ф(/(Г)). Тогда
(J(T)x, y)= 5 J(l)(E(dl)x, г/)= J f(ty(E(dVy, x) = (x, f(T)y).
Таким образом, /(Г)^/(Г)*, и чтобы доказать (d), достаточно
показать, что Ф (/G1)*) s Ф.(/G1)). Если i/6®(/(T)*), то для
любых xgig и натурального /п
7 (fm(T)x, y)~(f(T)E(em)x, y) =
*(х, E{em)f{T)*y),


2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 365
и потому fm (T)y = E (em) f (Г)* у —» / (Т)* у; тем самым установлено
соотношение # (: Ф (/(Т1)) и доказано (d).
Наконец, для доказательства (е) заметим, что в силу след-
следствия Х.2.7 спектральная мера Еп, определенная равенством
Еп (е) = Е (епе), является разложением единицы для сужения операто-
оператора Т на гильбертово пространство §п ^= Е (еп) @. Так как
i?(a; T)(al — T)E(en)=E(en), то также ясно, что сужение резоль-
резольвенты на- i§n есть резольвента сужения Т на $п. Таким образом,
в силу следствия Х.2.8
R(a; T)x = limR(a; T)E(em)x =
что завершает доказательство теоремы.
7. Следствие. Пусть Т — самосопряженный оператор и /, g —
комплексные борелевские функции, определенные почти всюду по
мере Е на вещественной оси. Тогда для любого числа а и любого
борелевского множества е вещественных чисел операторы f{T)
и g(T), понимаемые в смысле определения 5, обладают следую-
следующими свойствами:
(а)
(Ь)
(с) © (/ (Т) g (Г)) = © ((fg) (Г)) П Ф (? (Г)), (fe) (Г) а / (Г) g (Г);
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) вытекают непосред-
непосредственно из определения 5 и теоремы 6(Ь). Для доказательства (с)
положим *G©(gCO) и g(T)x?<&(f(T)). Так как
= lim lim \ \fn(X)gm(X)\*(E(dk)x, x) =
n->oo m->cx> v
— оо
= Пт Нт | /„ (Г) gm (T) x f = lim | /n (T) g (T) х |2 =


366 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
то ясно, что ®(f(T)g(T))<=®((fg)(T))O%(g(T)). С другой сто-
оо
роны, если х е Ф (g (Т)) и jj | / (Л) g (А) |2 (? (ей) х, х) < оо, то из
—с»
приведенных соображений следует, что
tim\fn(T)g(T)x\*<co.
П->оо
По теореме 6(с)
с»
\fn(T)g(T)x\*= J |/n(X)|»(?(dX)gG-)x, g(T)x),
так что ^ \f (к) \* (E(dX) g (T)x, g(T) х)<ао. Из теоремы 6(а)
— оо
вытекает, что g(T)x?'$)(f(T)). Таким образом,
ф (/ (Л g СП) = Ф (№ (Т)) п Ф (g СП).
По теореме 6(Ь) интеграл
оо
№)СПх, у)= I f(k)g(K)(E(dX)x, у)
— оо . ,
существует для всех у?$. Следовательно, по теореме Лебега
(III.6.16)
оо
(f(T)g(T)x, y) = llm lim \ fn(k)gm(k)(E(dk)x, y) =
n->oo m->oo v
Наконец, для доказательства утверждения (d) заметим, что если
х 6 Ф (/ (Г)), то ? (в) / (Г) х = lim J5 (в) А (Г) * - lim fn (T) E (е) х; это
показывает, что E(e)x?%{f (Т)) и f (Т) Е(в)х^Е(е) f (T) х, ч. т. д.
8. Следствие. Если Т — самосопряженный оператор и / — мно-
многочлен f (X) = а0 + ... + «m^m, tfw оператор f (T) определения 5
совпадает с оператором f(T) определения VII.9.6. Оператор f(T)
совпадает также с оператором а0/ + ... + о.тТт, описанным
в определении 1.1.
Доказательство. Ясно, что сумма а0/ + ... + атТт, понимаемая
в смысле определения 1.1, есть не что иное, как оператор /(Т),
описанный в определении VII.9.6. Обозначим через fi(T) этот
оператор, а через /2(Т) —оператор, соответствующий / согласно
определению 5. Следствие 7 показывает, что


2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 367
Пусть е — ограниченное борелевское множество вещественных
чисел, так что по теореме 3 Е(е) @ ^® (Т) и ТЕ(е) = { XE(dX).
Таким образом, ТЕ (е)$^Е (е) @ ^ Ф7\ и потому ? (е) §сф (Г2).
Аналогично можно показать, что Е (е) $q ^ 2) (Гп) для всех нату-
натуральных я, откуда мы заключаем, что Е (е) @ ^ 35 (Д (Г)). Таким
образом, если еп={А 11 / (X) | < л}, то из [*] вытекает, что /2 (Т) Е (еп) з
=>fx(T)E(en). Но так как ?(е„) ? s ®(/i(T)), то f2(T)E(en) =
= fi(T)E(en). Пусть теперь лг?35(/2(Т)), так что Е(еп)х—>х и
А (Г) ? (еп) х = /2 (Г) ? (gn) х -> /2 (Г) х.
Но по теореме VII.9.7 оператор Д(Т) замкнут, и потому
х €35 (Д (Г)). Тем самым доказано, что S) (/2 (Г)) g S) (/t G1)),
а в силу [*] — и соотношение Д(Г) ^=/2(Т), ч. т. д.
9. Теорема. Пусть Е — разложение единицы для самосопря-
самосопряженного оператора Т и f — комплексная борелевская функция,
определенная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда
(a) |/(T)| = vrai sup |/(Я)|;
Е Х?(Т)
(b) спектр a(f(T)) есть пересечение множеств вида /(б),
где б пробегает такие борелевские подмножества спектра а (Г),
что Е(8) = 1;
(c) если функция f вещественна, то f(T) —самосопряженный
оператор и его разложение единицы задается при помощи раз-
разложения единицы для оператора Т формулой
/(Г)) =
где б — произвольное борелевское множество.
Доказательство. Пусть еп = {k | |/(Я) |<п}, так что
vrai sup | / (X) | —> vrai sup | / (X) |.
E K?en E K?(T)
Таким образом, в силу следствия Х.2.9 ясно, что
sup
Ь?(Т
)\
Е
и, следовательно, |/(T)|>vrai sup
Е Ь?(Т)
Е
Обратно, для х?35(/(Т)) мы имеем
\f(T)x\ = lim\f(T)E(en)x\4Z
п
< lim (vrai sup |/(A,) |)|x| < (vrai sup | ДА,) |) | л: |,
n E h?en E h?0(T)
и потому | / (T) | <^ vrai sup | / (X) \. Этим установлено равенство (а).
E h(T)


368 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Пусть g (X) = (а — / (Я)), где а таково, что множество f'1 (а) =
= {X | / (X) = а} имеет ?-меру нуль. В силу (а)
sup |а_
Ь?(Т)
и, таким образом, g(T) ограничен тогда и только тогда, когда
функция (а—/(Я)) существенно ограничена по мере Е. Поскольку
оператор g(T) замкнут и имеет плотную область определения,
он ограничен тогда и только тогда, когда определен всюду
{лемма 1.2). Таким образом, если g существенно ограничена по
мере Е, то a?q(f(T)). Обратно, если a?q(f(T)), то
(а/-/(Г)) ?(/->))=
этим показано, что ?(/(а)) = 0 и, следовательно, функция g
определена почти всюду по мере Е. Поскольку а принадлежит
Q(/(^))» to | g* (T1) | <С оо, и из приведенного выше равенства сле-
следует, что g существенно ограничена по мере Е. Итак, (z?q(/(T))
тогда и только тогда, когда g существенно ограничена по мере Е.
Утверждение (Ь) может быть теперь доказано точно так же, как
был доказан в следствии Х.2.9 соответствующий факт для огра-
ограниченных операторов.
Для доказательства (с) заметим, что самосопряженность f(T)
вытекает из теоремы 6(d). Положим теперь ?1(б) = ?1(/(б)).
Заменяя меру интегрирования и используя обозначение fn опре-
определения 5, мы получаем
П оо
(I) jj \iEi (d\i) = jj fAX[_n, n] (\i) Ei (d\i) =
Аналогично
—П —oo
так что для всякого вектора х
(II) 5 F2(?iD0*. х)= 5 f(Xr(E(dl)x, х).
—оо —оо
Из (II) и теоремы 6(а) вытекает, что
оо
\ \ ^(E^dtfx, аг)<оо}
—oo


2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 369
В силу (I) и определения 5 для x^%{f(T)) мы имеем
п
f(T)x = \im \ \iEi (d\i) x.
П->-оо «3
—п
Таким образом, из теоремы 3 видно, что Ei = E(-\ f(T)), ч. т. д.
Точно так же, как в случае ограниченного самосопряжен-
самосопряженного оператора, разложение единицы может быть явно вычислено
через резольвенту оператора Г.
10. Теорема. Если Е — разложение единицы для самосопряжен-
самосопряженного оператора Т и (а, Ь) — открытый интервал а<.Х<сЬ, то
в сильной операторной топологии
ъ-ь
Е((а, Ь))= lim lim g—: \ [R(\i — er, T) — R(\i + &i; T)]d\i.
Доказательство очень близко к доказательству соответствую-
соответствующей теоремы (Х.6.1) для ограниченных операторов. Вместо след-
следствия X.2.8A11) надо воспользоваться следствием X.2.9(V),
а вместо ссылки на IX.3.15 — тем фактом, что g(T) = R(a; T),
если g(X) = (o< — ^Г1 рассматривается в том же смысле, что
и в теореме 6.
11. Теорема. Если Е —разложение единицы для самосопря-
самосопряженного оператора Т и F—непрерывная числовая функция, опре-
определенная на вещественной прямой, то в сильной операторной топо-
топологии
ъ-ь
F(T)E((a, b))=lim Urn ~ \
для любого конечного открытого интервала (а, Ъ).
Доказательство. Метод доказательства, использованный в пре-
предыдущей теореме, можно применить и при доказательстве этой
теоремы, если показать, что функция
Т ,
равномерно ограничена по X при малых положительных б и е
и что
[*] * lim limGF, e, X) = F A) %{a,b)
24 Заказ № 134


370 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
где Х(а, ь) — характеристическая функция интервала (а, Ь). Если
М — верхняя грань для l/7^)! на интервале а<Ц*><сЬ, то
| GF, ,
^ [arc tg
_arc t
и потому G равномерно ограничена при малых положительных 6
и р. Пусть 0 < б < F — а)/2. Предположим сначала, что X не ле-
лежит в интервале (а, Ь). Тогда подинтегральная функция стре-
стремится к нулю равномерно, когда е—>0, и тем самым соотноше-
соотношение I*] выполнено на дополнении к (а, Ь). Пусть теперь К —
точка интервала (а, 6); выберем б и е так, чтобы выполнялось
неравенство # + 8<Я—]/"е < Я + *|/^е << Ь — б. Тогда
I + S +
Ь-6
' (|Ll) 8 I
\- /е
Элементарные вычисления показывают, что
1L5 ¦•¦ S Jir-
Г (|Л) к d\i
5
° I л
и, следовательно, сумма двух этих интегралов стремится к нулю
вместе с е. Пусть теперь М (е) есть верхняя грань функции
\F(\i) — F(%)\ на интервале ^ —1/7< ^ < Я + ]/~е. Так как F
непрерывна, то М (г) стремится к нулю вместе сей мы имеем
VI
%-Vi
Л \ V 8
1
я


2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 371
Тем самым показано, что
lim l f J
V
Доказательство соотношения [*] закончено.
В заключение этого параграфа мы приведем одну интересную
теорему, которая без труда выводится из результатов § XI.6.
12. Теорема. ПустьТ—неограниченный самосопряженный опе-
оператор в гильбертовом пространстве Sq. Предположим, что его
спектр о (Т) есть счетное множество точек без предельных точек
в конечной плоскости, {К} — перечисление точек спектра а (Т), где
каждая точка встречается столько раз, какова размерность про-
пространства Е (Т, Хп) ф, и пусть выполнено условие
Тогда для любого ограниченного оператора В множество всех
векторов х, удовлетворяющих уравнению (T + B—\xI)vx~Q при
некотором натуральном v и некотором комплексном числе (х,
есть фундаментальное множество в гильбертовом пространстве.
Доказательство. По теореме 6 и следствию 7 в гильбертовом
пространстве существует такой ортонормированный базис {фп},
что Гфп = А,пфп. (Чтобы получить множество {фп}, надо лишь
собрать вместе семейство ортонормированных базисов в каждом
из отдельных пространств Е(Т, Хт)$.) Из определения XI.6.1
вытекает, что (Т — Xiy1 — оператор класса Гильберта — Шмидта
при всех A,?q(T). В силу леммы 2.2 существует такая конеч-
конечная постоянная К, что | R (X; Т) | < 1/2, | BR (X; Т) \ < 1/2
и | R (X; Т) В | < 1/2 для | Irn X \ > К- Тогда если | Irn X \ >К, то из.
леммы VII.6.1 вытекает, что оператор I — BR(X;T) имеет огра-
ограниченный всюду определенный обратный А(Х), норма которого
не больше 2. Мы имеем
(XI-T-B)R(X; T)A(X) = I.
Таким образом,
для всех л:^®(Г) = Ф(Г + В). Если положить
y = R(X', T)A{X){XI-T-B)x-x,
то (Х1—Т — В)у = 0, так что, умножая слева на R (X] Т), полу-
получаем {1 — R{X; T)B)y = 0. Поскольку \R(X; T)B\< 1/2 при
24*


372 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
\ Irn % (> /С, то у = 0, если | Irn к | > /С. Таким образом, для | Im A, | > /С
мы имеем
; Г) Л (&)* = *,
; Г) Л (Я) (Я/ — 71—В)* = *,
Отсюда следует, что если | Im X | > К, то Я $ а (Г+5) и 7? (Я; Т+В) =
'= /? (Я; Г) Л (Я). Следовательно,
-1.2 при \lmk\>K,
и теорема вытекает непосредственно из следствия XI.6.31.
3. Спектральное представление неограниченных самосопряженных
преобразований
Цель настоящего параграфа — распространить понятия спек-
спектрального представления и упорядоченного представления § Х.5
на случай неограниченного самосопряженного оператора. Вполне
удовлетворительное расширение теории будет дано ниже, в тео-
теореме 5. Затем будет проведено более детальное исследование
того важного случая, когда гильбертово пространство Q имеет
дад L2E, 2, v), где v есть а-конечная положительная мера.
Мы покажем, что при некоторых условиях линейная изометрия ?/,
определяющая спектральное представление, может быть задана
в простой форме. Более точно, существуют такие измеримые
ядра Wa, что в смысле нормы в L2(|xa)
f(s)Wa(s,k)v(ds), f€L2(S, 2, v),
где {Sn} — возрастающая последовательность множеств конечной
v-меры, покрывающая все S. Эта частная форма теоремы о спек-
спектральном представлении будет иметь важные приложения в после-
последующих главах, где мерой v будет лебеговская мера на открытых
подмножествах евклидова пространства, а Т будет дифференциаль-
дифференциальным оператором. В этом последнем случае функции Wa(-,X)
интерпретируются как собственные функции дифференциального
оператора Г, и, таким образом, могут быть получены важные
теоремы о разложении.
Чтобы коротко и ясно описать представление неограниченного
самосопряженного оператора, мы собрали здесь некоторые обозна-
обозначения и термины, которые будут использоваться в этом параграфе.
Символ Е будет обозначать разложение единицы для само-
самосопряженного оператора Т в гильбертовом пространстве !q. Для
вектора а из !q символ $Qa будет использоваться для обозначения


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 373
подпространства в @, состоящего из всех векторов вида F(T)a,
где F пробегает все борелевские измеримые функции, для которых
а?Ъ(Р(Т)). Символ \ла будет обозначать регулярную меру, опре-
определенную на семействе 95 борелевских множеств плоскости
равенством
Мб) = (?F) а, а), бе#.
Обозначение 2 ©а будет использоваться, как обычно, для прямой
а
суммы гильбертовых пространств $Qa (ср. с IV.4.18 и IV.4.19).
1. Лемма. Пространство $эа есть гильбертово пространство,
эквивалентное при отображении F(Т) а «~> F пространству Ld)
Доказательство. В силу теоремы 2.6 (а),(с) ясно, что
159
после чего лемма становится очевидной.
2. Лемма. Существует такое множество А в $, что $ = 2 &»•
Доказательство. По лемме Цорна существует максимальное
множество А в $, для которого подпространства $а, а?А,
взаимно ортогональны. Таким образом, для доказательства леммы
достаточно заметить, что не существует вектора хфО, ортого-
ортогонального ко всем пространствам @а. Действительно, если хфО
ортогонален к пространству $а, то для ограниченной борелевской
функции F и точки у?$&а в силу теоремы 2.6(d) мы имеем
(F(T)x, у) = (х, F (Т)у) = 0, так что F(T)x ортогонален к $а.
Отсюда вытекает, что если х ортогонален к каждому из прост-
пространств $а, то и $qx ортогонально к каждому из пространств $а,
а это противоречит максимальности семейства Л. Тем самым
доказано, что ? = 2 ?а-
Если #?$> то через ха обозначается компонента х в подпро-
подпространстве $а. Таким образом, x= 2 ха-
а?А
3. Лемма. Для всякой борелевской функции F %(F(T)) =
= {x\xat<S)(F(T)), a?A; 2|^(Л^а|2<оо) и (F(T)x)a = F(T)xa
для любых xe^(F(T)) и а\А.
Доказательство. Проверим сначала, что
A)


374 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
ЯСНО, ЧТО %а П © (F (Т)) = (% (F (T)))a S &,, И ПОТОМУ ДОСТЭТОЧНО
показать, что (Ъ(Р(Т)))а^.Ъ (F(T)). Заметим, что так как
а\\ To (Е(Ь)Ха,ха)<.(ЕF)х,х) и потому
| F (Л) |2
Тогда из теоремы 2.6 (а) вытекает, что
и равенство A) проверено.
Пусть теперь /^ — срезанная функция определения 2.5, так
что оператор Fn(T) ограничен и тем самым
Если ^^©(^(Г)), то в силу A) ха лежит также в %(F(T)),
и мы имеем
lim Fn (T)x = F (Т) х, lim Fn (T) xa = F (T) xa.
П-+ОО П->-0О
Таким образом, для любого конечного множества лдДи вектора
выполнено неравенство 2 IF(Т)ха|2<| F(Т)х|2, откуда
следует, что 2 IF (Т) ха |2 < °°- Далее будет показано, что
а
fc^^iF(Г)) при условии, что все ха?Ф(F(Г)) и 2 I^(Л ^о|2< °°-
Пусть {аЛ} s Л — такое подмножество, что ха = 0 для а $ {аи}
(ср. с 1У.4.10).Так как *а?$а, то существует такая борелевская
функция g, что а ? © (g (Г)) и xa = g (Г) а. Следовательно,
F(T)xa = F(T)g(T)a, и потому ^(T'JXagiga; это означает, что
члены последовательности {Т7 (Г) хад} взаимно ортогональны.
Так как
| %
оо
то ряд 2 F(T)Xah сходится. По теореме 2.6 оператор FIT)
замкнут, и потому x^^(F(T)) и
оо
F(T)x= 2 F(T)xa=%F(T)xa.
k=l h a
Так как F (T) xa ? ga, то отсюда следует, что (F (Т) х)а = F (Г) ха,
ч. т. д.
4. Определение. Пусть Г —самосопряженный оператор в гиль-
гильбертовом пространстве Jg и {jxa} — семейство конечных положи-


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 375
тельных мер, определенных на борелевских множествах плоскости
и обращающихся в нуль на дополнении спектра Т. Пусть V—
изоморфизм пространства $ на все пространство 2^2 ([*<*) t сохра-
а
няющий скалярные произведения, а V — самосопряженный опе-
оператор UTU'1 в 2^2 ((*«)• Преобразование U называется спектраль-
а
ным представлением <q на ^ZjL2 (|xa) относительно оператора 7\
а
если выполнены следующие условия:
(a) для всякой борелевской функции F, определенной на спектре
оператора Г,
a a a (T)
(b) (F(V)Za)(b) = F(k)la(k), le®(f(V)) для почти всех X по
}ха-мере.
Замечание. Ясно, что если оператор Т самосопряжен, то таким
же будет и У = UTU'1. Действительно, для | = Ux, x\ = Uy, где
х-> yd^iT), мы имеем
(П, Ц) - (VUx, Uу) = (UTx, Uу) =
- (Тх, у) = (х, Гу) = (Ux, UTy) = (Ux, VUy) = (g, Vri);
тем самым показано, что V — симметрический и что © (У*) = © (V).
5. Теорема. Каждое гильбертово пространство допускает
спектральное представление относительно любого определенного
на нем самосопряженного оператора.
Доказательство. Множество А и меры \ла могут быть опреде-
определены так же, как в леммах 1 и 2. Отображение U определяется
естественным образом, т. е. компонента (Ux)a вектора Ux есть
функция в L2(|xa), соответствующая вектору ха при изоморфизме
Uа леммы 1.
Так как U и U'1 имеют ограниченные всюду определенные
обратные, то оператор XI — V = U(XI — T)U~1 имеет ограниченный
всюду определенный обратный тогда и только тогда, когда его
имеет оператор XI — Г, и
R (X; V) = UR(X; Т) U'\ XeQ(T) = Q (V).
Если С, Е — разложения единицы для V и Т соответственно,
то из теоремы 2.10 вытекает, что для открытого интервала б
имеет место равенство CF) = l/?F)U. Таким образом, это
равенство выполнено для всех борелевских множеств б, и, сле-
следовательно, для любой борелевской функции F и любого вектора


376 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
l = Ux мы имеем
\F(k) |2 (С (dk) g, I) = \ | F (к) |2 (E (dk) x, x).
Из теоремы 2.6 (а) вытекает, что Ъ (F (V)) = U% (F (T)), и нужная
нам форма для ©(Т7^)) получается из леммы 3.
Для вектора ? = L/x?© (F(V)) мы имеем
(F (V) l,l)=\F (Л) (С {dk) I, l)=\F (Я) (Е (dk) х, х) = (F (Т) х, х),
откуда следует, что F (V) = UF (T) U'1. Это равенство вместе
с соотношениями Uxa = (Ux)a и (F (Т) х)а = F (Г) ха, доказанными
в лемме 3, показывает, что
(F (V) l)a = (UF (T) и-*Ъ)а = UF (Т) ха =
Следующий результат показывает, что любое спектральное
представление пространства Q может быть реализовано описанным
выше способом; при этом используются обозначения fxa и iga,
определенные в абзаце, предшествующем лемме 1.
6. Лемма. Пусть U — спектральное представление простран-
пространства ig на 2 ^2 (va) относительно самосопряженного оператора Т.
а
Тогда каждому а соответствует некоторый вектор а в $q, такой,
что va = [ia, ig есть прямая сумма подпространств iga и U
отображает $а на L2(va).
Доказательство. Для каждого а примем за 1а элемент из
S ^2 (va)> определяемый уравнениями
О,
«¦>•«-{ 1,
Пусть а = t/^. Для всякого борелевского множества б мы имеем
v«F)= I XeWva(dX) = (Xe6a, ga) = (i/(?F)a), Ua) = (E(8)a, a).
G(T)
Остальные утверждения сразу же вытекают из лемм 1 и 2.
Теперь мы сосредоточим наше внимание на задаче нахождения
аналитического представления отображения U. Эта задача будет
рассмотрена в предположении, что Г—-самосопряженный оператор
в лебеговом пространстве Z,2(S, 2, v), подчиненном некоторым
условиям; эти условия предполагаются выполненными в остав-
оставшейся части этого параграфа и для удобства они формулируются
в виде отдельного предположения.


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 377
7. Предположение. Пусть Т — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве L2E, 2, v), где E, 2, v) —про-
—пространство с положительной мерой, а Е — разложение единицы для
оператора Т. Мы предполагаем, что существует возрастающая
последовательность {Sn} подмножеств, покрывающая все 5, каждый
элемент которой имеет конечную меру, и что для ограниченных
множеств е область значений Е (е) состоит только из функций,,
которые существеннно ограничены по v-мере на каждом из мно-
множеств Sn.
8. Лемма. Пусть Т — самосопряженный оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве L2E, S, v), где E, 2, v) — пространства
с положительной мерой. Пусть всякий элемент из
п=1
^-существенно ограничен на каждом множестве из возрастающей
последовательности множеств конечной меры, покрывающей все S.
Тогда предположение 7 выполнено.
Доказательство. Если в —ограниченное борелевское множество,,
то из теоремы 2.6(а) вытекает, что
E(e)L2(S, 2, v)s П ®(Г).
п=1
В следующей главе будет рассмотрен случай, когда Г —само-
—самосопряженное расширение обыкновенного дифференциального опе-
оператора. В этом случае 5 — область в евклидовом пространстве,
а V —мера Лебега. Мы увидим, что всякая функция из ®(Т>
непрерывна и, таким образом, ограничена на всяком компактном
подмножестве области S, так что из леммы 8 будет следовать,
что предположение 7 выполнено для таких дифференциальных
операторов.
9. Лемма. При выполнении предположения 7 для каждой
функции g из L2(S, 2, v) существует функция W, определенная
на прямом произведении S и числовой прямой R, измеримая
относительно произведения мер v и |х = (? (-)g, g), и такая,
что для всякого ограниченного борелевского множества е вещест-
вещественных чисел и любой функции F из L2(|x)
(I) vrai sup \ \W(s, X)\2\i(dl)<.oo,
v s?Sn jj
(II) (E (e) F (T) g)(s) = J W (s, X) F (X) p (dX).
e
Доказательство. Если F лежит в Z^dx), то по теореме 2.6 (а)
"** -~""vv Положим еп — \ — п, п], и пусть F обращается в нуль


378 Гл. XII. Неограниченные операторы в сильбертовом пространстве
вне еп. Тогда сужение F(T)g = E (еп) F (Т) g на Sn лежит в Loo (Sn, v)
по предположению 7. Так как * F обращается в нуль вне еп,
то из теоремы 2.6(с) вытекает, что отображение Ап: F—>F(T)g
ограничено как отображение L2(en, И*) B L2{S, 2, v). Таким обра-
образом, оно замкнуто как отображение L2(en, \i) в LooEn, v). Сле-
Следовательно, по теореме о замкнутом графике (II.2.4) Ап — непре-
непрерывное отображение L2(en, \i) в Lco(Sn, v). Сопряженный Ап к Ап
в банаховом смысле оператор отображает L?> (Sn, v) = L** (Sn, v)
в L2(en, \i). Так как L4 (Sn, v) изометрически вложено в L**En, v),
мы можем рассматривать сужение Вп оператора Ап на LiEn, v)
как линейное непрерывное отображение /^(S^, v) в L2(en, [л).
Поскольку L2(en, \i) сепарабельно и рефлексивно, из тео-
теоремы VI.8.10 и замечания, непосредственно ей предшествующего,
вытекает, что существует v-существенно единственная v-изме-
римая ограниченная функция Vn, определенная на Sn, со значе-
значениями в L2(en, \i), такая, что
Bnf = \ f (s) Vn (s) v (ds), f ? U (Sn, v).
Sn
По теореме III. 11.17 отсюда вытекает, что существует (v x \i)~
существенно единственная (v x [х)-измеримая комплекснозначная
функция Wn, определенная на Sn x еп, такая, что
= J / (s) Wn (s, X) v (ds), f ? U (Sn, v), X e en,
Sn
и такая, что
vrai sup \ | Wn (s, X) |2 (x (dk) = vrai sup | Vn (s) |2 < oo.
V s?Sn ^ V s?Sn
en
Предположим теперь, что / ? Li (Sn+li v), / (s) = 0 для s $ Sn,
a также, что F?L2(en+l, \i) и F(X) = 0 для к$еп. Тогда
= J f(s)(An+lF)(s)v(ds)
3n+l
= \f(s) (F (T) g) (s) v (ds) =\f(s) (AnF) (s) v (ds) =
en
Таким образом, (Bn+lf)(k) = (Bn/) (Я) почти всюду по|л-мере на вд.
Следовательно,
v (ds), f ? L4 (Sn, v), А, ? вд.


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 379
Этот факт вместе с единственностью ядра Wn показывает, что
Wn (s, X) = Wn+l (s, X) для (v x [г)-почти всех [s, X] в Sn x en.
Таким образом, если положить W (s, X) = Wn (s, X) для [s, X] ? Sn x en,
то мы получим корректно определенное (v x [х)-измеримое ядро,
оо
заданное на SxR= [} Snxen, со свойством (I). Если F лежит
в L2(\i) и G = F%e, где %е — характеристическая функция борелев-
ского подмножества в еп, то для всякой функции / из LiEn, v)
в силу теоремы Фубини и свойства (I) мы имеем
I (E (e) F (T) g) (s) / (s) v (ds) = J (G (T) g) (s) f (s) v (ds) =
Sn Sn
= J (AnG) (s) f (s) v (ds) = J
en Sn
= J /(s) { [ W(s, X)F(%) |x (dA)} v (ds).
Sn e
Таким образом, почти всюду по мере v на Sn
(Е (е) F (T) g) (S)=\W (s, К) F (К) р (d%),
е
а так как [}Sn = S, то это равенство должно выполняться почти
всюду по мере v на S, ч. т. д.
10. Определение. Пусть W — измеримая функция на произве-
произведении S х Л двух пространств (S, S, v) и (Л, В, \i) с мерами;
и h является v-измеримой функцией на S. Будем говорить, что
интеграл \ h (s) W (s, X) v (ds) существует в L2 (Л, В, \i) в смысле
s
среднего квадратического, если найдется возрастающая последова-
последовательность {Sn} множеств конечной v-меры, покрывающая все S,
и такая, что А(-) W (•, X) для каждого п есть v-измеримая функ-
функция на Sn для почти всех по [х-мере X из Л, а функции Fn,
определяемые равенством
Fn (X)={h (s) W (s, X) v (ds),
Sn
лежат в L2(A, В, \i) и сходятся в L2(A, В, \i) при п—>со. Если
Fn—>F в L2(A, В, \i), то мы пишем
F(k)= J h(s)W(s, X)v(ds).
s


380 Гл. XIL Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Замечание. В тех приложениях к обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнениям и к уравнениям в частных производных,
которые будут рассмотрены в гл. 13 и 14, 5 будет областью
евклидова я-мерного пространства, 2 —полем борелевских подмно-
подмножеств области S, v — лебеговой мерой, a W для почти всех
к— функцией с интегрируемым квадратом на любом компактном
подмножестве в S. В этом случае предел F предыдущего опре-
определения не зависит от последовательности {Sn} при условии, что
все множества Sn компактны.
11. Теорема. Пусть (S, 2, v)—пространство с положитель-
положительной мерой и {Sn} — возрастающая последовательность множеств
конечной меры, покрывающая S. Пусть U — спектральное пред-
представление пространства L2(S, 2, v) на ^jL2(\ia) относительно
а?А
самосопряженного оператора Т в L2(S, 2, v) и Е — разложение
единицы для оператора Т. Предположим, что для всякого огра-
ограниченного борелевского множества е вещественной прямой область
значений проектора Е (е) состоит лишь из функций, которые
существенно ограничены по мере v на каждом из множеств Sn.
Тогда для каждого элемента а ил А существует функция War
определенная на прямом произведении S и вещественной прямой
и обладающая следующими свойствами:
(a) Wa измерима относительно прямого произведения мер v x |ла;
(b) для всякого ограниченного борелевского множества е на веще-
вещественной прямой
vrai sup [ | Wa (s, X) |2 [ia (dl) < со, n > 1;
v s?Sn ?
(c) (Uf)a (A.) = [ f (s) Wa(s, X) v (ds), f eL2(S, S, v),
s
где интеграл существует в L2([xa) в смысл^ среднего квадрати-
ческого.
Замечание. Приводимое доказательство показывает, что для /
из L2(S, S, v) функция (Uf)a является пределом в L2(\ia) после-
последовательности | \ f(s) Wa{s, •) v (ds)|, а потому этот предел
Sn
не зависит от выбора последовательности {Sn}.
Доказательство. По лемме 6 пространство <q = Lz(S, 2, v)
есть прямая сумма 2бо» гДе ^ — подмножество из g и
?А
[ia(e) = (E(e)a, а), а?А, ,
для всякого борелевского множества е вещественных чисел.


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 381
За ядра Wa возьмем те функции, которые в лемме 9 связы-
связываются с элементами а из Л, так что утверждения (а) и (Ь)
выполнены. Из (Ь) вытекает, что
] \ \Wa(s9 X)\*lxa(dX)v(ds)<oD, л>1,
Sn e
для всякого ограниченного борелевского множества е веще-
вещественной прямой. Таким образом, если функция / из Q обращается
в нуль вне Sn, то функция
(Vaf)(X)=\f(s)Wa(s,X)v(ds)
S
в силу теоремы Фубини и неравенства Шварца удовлетворяет
неравенству
! (Уof) W I2 На (dk) < | / |2 $ { jj ! Wa (S, к) |« V (dS)] Ц
е е Sn
Отсюда вытекает, что,интеграл, определяющий Vaf, существует
почти всюду по мере \ха и VJ лежит в L2(e, |ia) для всякого
ограниченного борелевского множества е вещественной прямой.
Пусть теперь Ua — определенный в лемме 1 изоморфизм, отобра-
отображающий igo на ?2(|Ыо). Таким образом, а-е компоненты /о и (Uf)a
векторов / и Uf в их. разложениях, определяемых прямыми сум-
сум2
мами 2& и 2^2(И-а) соответственно, удовлетворяют уравнению
(Uf)a = Uafa- Далее, если функция F из Ь2(\1а) обращается д нуль
вне ограниченного борелевского множества е, то в силу теоремы
Фубини и леммы 9
= I f (S) { \ Wa (S? X) F {X) ^{dX)} V {ds) =
Sn e
= J / (s) Wle) F (T) a) (s) v (ds) = (/, F (T) a) =
= (/, t/^) = (fa, V~aF) = (Uafa9 F) = ((Uf)a, F).
Это показывает, что (Vaf) (X) = {Uf)a (X) для почти всех по |ла-мере X
в каждом ограниченном борелевском множестве е, так что (Vaf) (X) —
= (Uf)a(X) для почти всех по |ыа-мере Я. Если / — произвольная
функция из L2(S, 2, v) и fn = f%Sn, то /л—»/, и потому в силу


382 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
непрерывности
J / (S) Wa(S, •) V (ds) = (Ufn)a -> (?//)«•
Таким образом, интеграл \ / (s) fl?a (s, Я) v (ds) существует в смысле
S
среднего квадратического и равен (Uf)a(k); тем самым доказано (с)
и завершено доказательство теоремы.
Используя обозначения предыдущего доказательства, положим
F = (Uf)a, так что по лемме 9
(Uf)a (Я) 1Р« (•, Я) I*» W=Я (I - п, л]) F (Г) а-> F (Г) а =
оо
Таким образом, интеграл \ ([//)о (Я) Wa (s, Я) |ыо (с?Я) существует
—оо
в смысле среднего квадратического и равен fa(s). Следовательног
разложение /= S /а» определяемое разложением в прямую сумму
об А
ig = 2$a> принимает вид, описанный следствием 12.
12. Следствие. При предположениях и обозначениях предыду-
предыдущей теоремы
/ (s) = 2 $ № (Я) Wa (s, Я) fio (<a), / € La (S, 2, v),
a?A —oo
причем интегралы существуют в L2 (S, 2, v) в смысле среднего
квадратического и ряд сходится по норме L2 (S, 2, v).
13. Следствие. Предыдущие теорема и следствие остаются
справедливыми, если предположение об области значений Е(е)
заменить предположением о том, что всякая функция f из
оо
П 2) (Тп) существенно ограничена по мере v на каждом из мно-
жесте Sn.
Доказательство. Это вытекает из леммы 8.
14. Следствие. Пусть в дополнение к предположениям теоре-
теоремы 11 пространство L2(S, 2, v) сепарабельно и прип^ 1 множества
ф(п) = {/1 / g ф (Г), / (s)=Q=(Tf) (s) почти всюду по мере v на S'n}


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 383
плотно в L2En, 2, v). Пусть Т(п) —сужение оператора Т на 3)(п) и
Тогда для почти всех по \1а-мере Я вектор W^ (•, Я) лежит
в ф ((Г(п))*) к
Доказательство. Из леммы 9 (I) и теоремы Фубини вытекает,
что для почти всех Я функция W^{-, Я) лежит в L2(S, 2, v) при
каждом л>1. Так как L2(S, 2, v) сепарабельно, то существует
счетное множество {[fj, Tfj]}, плотное в графике оператора Т^п\
Таким образом, по теореме 11
(Tfj, W™ (•, Я)) = J (Tf}) (s) Wa(s,k) v (ds) =
= X^fj(s)Wa(s,K)v(ds) = Я(fit W{n)(•, Я))
для всех Я, не принадлежащих некоторому множеству Nj нулевой
|ла-меры. Следовательно, для всех Я, не принадлежащих множе-
оо
ству нулевой )га-меры Л^= U Nj, мы имеем (Tfj, W{" (-> k)) =
= ^(/л ^n)(#» ^))« TaK KaK векторы [/у, Т/у] плотны в графике Г(Л)
оператора Т(п\ то выполнено соотношение
(п)), Я $ ЛЛ
И мы получаем нужный результат, поскольку ф (Т(п)) плотно
в L2En, S, v).
Теперь мы опишем теорию спектральных типов для неограни-
неограниченных самосопряженных операторов. Так же, как в случае
ограниченного нормального оператора (см. теорему Х.5.10), будет
показано, что сепарабельное гильбертово пространство имеет упо-
упорядоченное представление относительно заданного в нем неогра-
неограниченного самосопряженного оператора и что это представление
определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Так же,
как в случае ограниченного нормального оператора (см. теорему
Х.5.12), упорядоченное представление определяет класс унитарной
эквивалентности этого оператора. По существу теория спектральных


384 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
типов для неограниченных самосопряженных операторов может
быть без труда выведена из соответствующей теории для огра-
ограниченных операторов.
15. Определение. Пусть |л — положительная мера, определенная
на семействе SS борелевских множеств комплексной плоскости,
и пусть {еп} — возрастающая последовательность борелевских мно-
множеств, первый элемент et которой есть вся плоскость. Положим
п=\, 2, ... .
Спектральное представление гильбертова пространства ig на
оо
2 L2 (|in) относительно самосопряженного оператора Т в Q назы-
п=1
вается упорядоченным представлением пространства $ относитель-
относительно Т. Мера |i называется мерой упорядоченного представления.
Множества еп будут называться множествами кратности упоря-
упорядоченного представления. Если \л (eh) > 0 и \х (^+i) = 0, то говорят,
что упорядоченное представление имеет кратность k. Если
1* (ek) > 0 для всех k9 то говорят, что представление имеет беско-
бесконечную кратность. Два упорядоченных представления U и 0 про-
пространства @ относительно операторов Т иТ соответственно с мера-
мерами |i и |л и Множествами кратности {еп} и {еп} будем называть
эквивалентными, если \i c^ \i и \х (епАеп) = 0 = \х (епАеп) для всех
n=U 2, ... .
16. Теорема. Сепарабельное гильбертово пространство $q обла-
обладает упорядоченным представлением U относительно данного
самосопряженного оператора Т в <q, и всякое упорядоченное пред-
представление пространства @ относительно Т эквивалентно U. Более
того, два самосопряженных оператора в ig унитарно эквивалентны
тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие
упорядоченные представления пространства $ относительно этих
операторов.
Доказательство. Пусть Е и ^ — разложения единицы для Т
и его резольвенты R (I; T) соответственно. Напомним (см. дока-
доказательство теоремы 2.3), что
где iF —семейство борелевских множеств плоскости и h(X) =
= (i — Я). Отсюда вытекает, что


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 385
Эти равенства показывают, что представление пространства !q
относительно R(i; Т) индуцирует представление относительно Т
и обратно. Из леммы 6 следует, что пространство $ отображается
представлениями относительно Т и R(i;T) на пространства вида
2^2((?(-)Яп' ап)) и ^1L2((Ei(')ani an)) соответственно. Так как
тождества
(Е (е) ап, an) = (Е(е{] /г1 (еп)) ап, ап), е 6 #,
(Ei (e)ап, ап) = (Е{ (е {]еп)ап, ап), е?@,
эквивалентны, то представление Sq относительно Т упорядочено
тогда и только тогда, когда упорядочено соответствующее пред-
представление относительно R(i;T). Кроме того, соответствующие
множества кратности суть /г1 (еп) и еп. Заметим, наконец, что
два неограниченных самосопряженных оператора 7\ и Т2 унитарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда R (I; 7\) и R (i; T2)
унитарно эквивалентны. Таким образом, настоящая теорема выте-
вытекает из теорем Х.5.10 и Х.5.12.
Этот параграф мы заканчиваем рассмотрением того, как теория
спектральных типов неограниченного самосопряженного оператора
связана с представлением, данным в теореме 11. Следующая лемма
в случае числовых функций совпадает с хорошо известной теоре-
теоремой Лузина.
17. Лемма. Пусть \х — конечная положительная регулярная
мера на борелевских множествах топологического пространства R.
Тогда для всякой ^-измеримой функции f на R со значениями
в В-пространстве и для всякого 8>0 существует такое боре-
левское множество а в R с мерой \i (a) <; е, что сужение функ-
функции f на дополнение к а непрерывно.
Доказательство. Если сужения /|а и g-|6 непрерывны, то
таким же будет и сужение (a/ + Pg") |<тП S, а потому класс изме-
измеримых функций, обладающих нужным нам свойством, есть линей-
линейное многообразие. Кроме того, характеристическая функция %е
борелевского множества е лежит в этом многообразии. Это вытекает
из регулярности меры |ы; действительно, существуют открытое
множество а, содержащее е, и замкнутое множество б, содержа-
содержащееся в е, такие, что \х(в — 6)<е. Ясно, что сужение %е на допол-
дополнение к а — б непрерывно. Таким образом, всякая |ы-простая функ-
функция обладает желаемым свойством. Так как |ы(/?)<оо, то всякая
^-измеримая функция / есть предел по |ы-мере последовательности
{fn} ji-простых функций. В силу следствия III.6.3 можно пред-
предполагать, что последовательность fn (К) сходится |ы-равномерно
к f(K). Это означает, что fn(k) сходится к f(X) равномерно на
дополнении множества бА с мерой |ыF1)<е/2. Далее, для я
25 Заказ № 134


386 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
существуют множества 8п, такие, что 2 Р (йп) < в/2, а сужение
п=2
fn на fin непрерывно. Таким образом, в силу следствия 1.7.7 суже-
оо
ние / на множестве б' = П Sn является непрерывной функцией,
п=1
сю
а дополнение этого множества 8= {] 8п имеет меру |ыF)<е,
ч. т. д.
18. Лемма. Пусть fif ..., fm — линейно независимые функции,
определенные на объединении S возрастающей последовательности
{Sn} множеств. Тогда для всех достаточно больших п совокуп-
совокупность Д | Sn, ..., fm | Sn сужений этих функций линейно независима.
Доказательство. Предположим, напротив, что для некоторой
последовательности щ—>аэ существуют такие постоянные аг1, ...
...» а/т» ЧТ0
(I) Xtf^K/i II WH ^
Выбирай новую 1ЮД11(х\/к>д(жателыюсть, которую ради простоты
мы будем по-прежнему обозначать через п-п мы можем считать,
что существуют пределы
= 0, 2
Тогда в силу (I)
т
ii
мы получили противоречие, и лемма доказана.
19. Теорема. Пусть в дополнение к предположениям теоремы 11
гильбертово пространство L2E, 2, v) сепарабельно; U — упорядо-
упорядоченное представление L2E, X, v) относительно самосопряженного
оператора 7\ [х — его мера; еП1 1-<я-</г,—его множества крат-
кратности, a Wn, п = 1, 2, .. .,—ядра, описанные в теореме 11. Тогда
для всякого натурального п, не превосходящего кратности упоря-
упорядоченного представления, множество {Wi(->k), ..., Wn(-,X)}
в пространстве v-измеримых функций линейно независимо почти
всюду по мере \л на еп.
Доказательство. Пусть \ап (е) = \*>{е[\еп) = (Е(е(]еп) ап, ап). Так
как Wn измерима относительно произведения мер v и \хп, то из лем-
леммы 9 (I) и теоремы Фубини вытекает, что для почти всех по |лп-мере X
функция Wn(-,X) v-измерима. Таким образом, для почти всех


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 387
по |л-мере Я из еп функция Wn(-, Я) v-измерима. Удобно ввести
пространство G(S, 2, v) всех v-измеримых функций / на 5, инте-
интегрируемых с квадратом на каждом из множеств Sn. Множество
GE, 2, v) есть линейное метрическое пространство относительно
нормы
1/4-. V 1 ' \(f\Sn)\2
I'I-Zj 2n i + |(/isn)|2'
71=1
где
1/2
Sn
Ясно, что GE, 2, v) является линейным многообразием в про-
пространстве M(S, 2, v) всех v-измеримых функций на 5 и что мно-
множество функций из G(S, 2, v) линейно независимо в M(S, 2, v)
тогда и только тогда, когда оно линейно независимо в G E, 2, v).
Линейная независимость функций Wt(-, Я), ..., Wn(-1 Я) будет
доказана индукцией по п. В случае я=1 это просто означает,
что Wi(-, Х)Ф0 почти всюду по мере \i. Если это неверно, то
существует такое ограниченное борелевское множество е, что
|ы (е) = | Е (е) ui |2 Ф О и W\ (•, Я) = 0 для всех Я из е. Тогда по тео-
теореме 11 (с) (Uf)a1(k) = 0 для всех Х?е и всех f?L2(S, 2, v). Так
как [/ — спектральное представление относительно оператора Г,
то из определения 4 вытекает, что (E(e)f)ai = O для всех / из
L2(S, 2, v). В частности, если положить f — au ясно, что Е(е)а1^=
= (E(e)ai)ai = 0, а это противоречит тому факту, что \х(е)Ф0;
теорема в случае п=1 доказана.
Предположим теперь, что теорема доказана для п<.р, где
р — натуральное число, не превосходящее кратности упорядочен-
упорядоченного представления. По предположению индукции функции
Wt (•, Я), ..., Wp-i (•, Я) линейно независимы для почти всех
по |л-мере Я из ep-i и, следовательно, для почти всех по |л-мере Я
из ер. Для доказательства теоремы нам необходим следующий
факт:
(I) подмножество а0 вер, состоящее из всех Я?ер, для которых
функции Wi (•, Я), ..., Wp (•, Я) линейно зависимы, |ы-измеримо
(см. Ш.2.10).
Для доказательства утверждения (I) обозначим через ат мно-
множество всех Я?ер, таких, что сужения Wi(-, X), ..., Wp(-,k)
функций Wt (•, Я) на Sm линейно зависимы. Если Я лежит в ер — о0,
то по лемме 18 Х?ер — ат при некотором т. С другой стороны,
оо
<*о^вт при всех т. Таким образом, ао= fl Gm, и поэтому доста-
тп=1
точно доказать, что каждое из множеств ст ^-измеримо.
25*


388 Гл. XIL Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Обозначим через Z счетное всюду плотное подмножество
линейного многообразия в L2(Sm, 2, v), порожденного функция-
функциями Wi(-9 X), ..., Wp(-, К), к^вр. Существует самое большее
счетное множество линейно независимых р-наборов [гь ..., zp]
в Z, и для каждого такого р-набора можно выбрать непрерывные
линейные функционалы у*, ..., у% на L2(Sm, 2, v) так, чтобы
det (ytzj) = 1. Отсюда вытекает, что существует последователь-
последовательность {х*} непрерывных линейных функционалов на L2(Sm, 2, v),
такая, что если \?ер и функции Wi(-, Я), ..., Wp(-, к) линейно
независимы, то det (x* .Wj (•, X)) Ф О для некоторого р-набора
[х1г, „., Xnp]^{xi}^ С другой стороны, если \?ер и функ-
функции $\(-,Л), ..., U^p(-, А,) линейно зависимы, то существуют
такие не равные нулю числа ^ (Я), что
SP()()
г=1
и поэтому ясно, что каждый определитель det (XnWj (•, X)) должен
обратиться в нуль. Другими словами, ат есть в точности мно-
множество тех Х^вр, для которых det(x*iWJ(-, A,)) = 0 для каждого
р-набора [х*1, ..., х*р] ^ {^?}. Таким образом, ат есть пересече-
пересечение последовательности измеримых множеств и потому оно ji-изме-
римо, что завершает доказательство утверждения (I).
Чтобы закончить доказательство теоремы, предположим, что
функции Wi (•, X), ..., Wp(-, к) не являются линейно независи-
независимыми для [л-почти всех X из ер. Из утверждения (I) вытекает, что
существует такое ^-измеримое подмножество а0 в е, что |ы (а0) =7^= О,
и для всех А,?а0 множество (l^i(-,X), ..., UPp-i(-, А,)} линейно
независимо, но множество {tt^i(-, Я), ..., Wp(-, Я)} линейно за-
зависимо. Пренебрегая множеством меры нуль, мы можем предпо-
предположить, что а0 — борелевское множество. Таким образом, суще-
существуют комплекснозначные функции а* на а0, такие, что
(II) ИМ-.Ь)=Р3 МЬ)ИМ-/Ь). >^сто,
г=1
и эти функции единственны. Покажем, что функции-коэффициен-
функции-коэффициенты cij ji-измеримы, и этот факт приведет нас к противоречию.
Пусть е>0 и е4, е2, ...—последовательность положительных
оо
чисел, такая, что 28у<8- Используя лемму 17, мы можем для
каждого / найти такое борелевское множество cj e а0, что
jut (а0 — ^у) <С еу- и сужения функций U74 (-,&,), ..., U7P(.,A,) на 57*


3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 389
непрерывны как функции на Cj со значениями в L2(Sj, 2, v).
оо
Положим с= Ц Cj. Тогда \i(a0 — с)<е, и из определения нормы
в G(S, 2, v) ясно, что l^i(-,X), ..., WP(-,X) непрерывны как
функции на с со значениями в G(S, 2, v). Пусть Яо — фиксиро-
фиксированная точка из с. Тогда по лемме 18 существует такое нату-
натуральное т, что сужения Wi (-,X0), ..., Wp-i(-,lk0) функций
№\(-, Хо), ..., №p-i(-, Хо) на 5т являются линейно независимыми
функциями в L2(Sm, 2, v). Так как каждое конечномерное под-
подпространство 5-пространства в силу следствия IV.3.2 замкнуто,
то из следствия 1.3.13 теоремы Хана — Банаха вытекает существо-
существование таких непрерывных линейных функционалов у*, ..., t/p_i
в L2Em, 2, v), что yt(Wj(-,Xo)) = &u, i=l, ..., р-1. Опреде-
Определим непрерывный линейный функционал Fj на GE, 2, v), полагая
Fi(f)=yt(f\Sm) для f?G(S, 2, v), /= 1, ..., р-1. Тогда
Fi(Wj(-, Xo)) = 6ij, i, /=1, ..., р—1. В силу непрерывности Ft
существует такая окрестность N (Ко) точки Хо, что определитель
det Ft {Wj (•, X)) не обращается в нуль в точках К ? N (к0) {] с. Таким
образом, функции ау- как решения уравнений
непрерывны по К при X ? N (д0) П с* Так как П ^ (Хо) э с, то функ-
ции ау- непрерывны на с. Поскольку \i(e0 — с)<.г и е произвольно
мало, функции а/ |ы-измеримы на а0.
Теперь нетрудно прийти к противоречию. Пусть аА — ограни-
ограниченное борелевское подмножество в а0, такое, что \i (а4) Ф О
и функции аг ограничены на Oi. Так как аА ^ ер, то из уравне-
уравнений (II), формулы (II) леммы 9 и того факта, что \ii(e) = \()
для е ^ ер и г = 1, ..., р, вытекает, что
СП
Р-1
р-1
i=t
Р-1
г=1


390 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Так как многообразия $?а. ортогональны, ?(а1)ар = 0. Однако
Oi ^ ер, и мы приходим к противоречию:
О = (? Ы ар, ар) = (Е (at) аь а,) = [i fa) Ф 0.
Теорема доказана.
4. Расширения симметрических преобразований1)
Чтобы применять спектральную теорему, мы должны во мно-
многих случаях найти сначала какое-либо самосопряженное расшире-
расширение данного симметрического оператора. Задача нахождения
такого расширения является не тривиальной и даже не всегда
разрешимой. В теории ограниченных операторов мы должны лишь
проверить симметричность (Т* з Г), так как если оператор всюду
определен и симметричен, то Т* = Т. Но если Т неограничен,
то картина совершенно иная. Рассмотрим, например, оператор,
который будет подробно изучен в следующей главе: дифферен-
дифференциальный оператор iD = i(d/dt) в пространстве L2@, 1). Как мы
должны выбрать его область определения? Первое естественное
предположение —выбрать за область определения семейство 5^
всех функций с непрерывной первой производной. Если fug —
две любые такие функции, то
Два дополнительных «граничных» члена справа нарушают симмет-
симметричность. Чтобы устранить их, естественно выбрать теперь
в качестве области определения оператора iD семейство 3J всех
функций / с непрерывной первой производной и таких, что
/ @) = / A) = 0. Этот выбор области определения делает опера-
оператор Ю симметрическим, но все же не делает его самосопряжен-
самосопряженным. Легко, например, видеть, что множество %^ будет содер-
содержаться в области определения сопряженного (iD)* и в том случае,
если принять ®2 за область определения оператора iD. Все эти
трудности обнаруживаются, даже если сбросить со счета все
широкое многообразие возможных «локальных патологий» (недиф-
(недифференцируемость и т. д.) функций из L2.
!) См. также прекрасное изложение теории расширений в гл. IV книги
М. А. Наймарка [5]. —Прим. ред.


4, Расширения симметрических преобразований 391
Столкнувшись с такими трудностями, разумно привлечь
на помощь абстрактную теорию, которая может дать какой-то
единый подход в тех конкретных случаях, которые нам пред-
предстоит рассмотреть. Наша общая абстрактная задача — найти все
симметрические и, таким образом, все самосопряженные расшире-
расширения данного симметрического оператора. В этом параграфе мы
рассмотрим эту задачу, используя метод Калкина, приспособленный
к нашим будущим приложениям к дифференциальным уравнениям.
Основная идея теории состоит в том, чтобы, отправляясь от
симметрического оператора Т, найти самосопряженный оператор
расширением области определения. Поле наших исследований
сужается благодаря следующей лемме.
1. Лемма. Пусть Тх—-оператор с плотной областью опреде-
определения,
(a) Если оператор Т2 является расширением оператора Ти
то Т* — расширение оператора Т*.
(b) Если оператор Ti симметричен, то всякое его симметри-
симметрическое расширение Т2, в частности всякое его самосопряженное
расширение, удовлетворяет соотношениям Tj ^ Т2 ^ Т* ^ Т*.
Доказательство. Если 7\ ^ Т2 и у ? ф (Т*), то (х, Т*у) =
= (Т2х, у) = (TtX, у) для любого х?ф (Т^). Следовательно, у?% (Т*)
и (х, Т*у) = (х1 Т*у). Отсюда вытекает, что TJsT*. Этим дока-
доказано (а), а (Ь) есть его непосредственное следствие.
Из леммы 1(Ь) следует, что для получения наиболее общего
симметрического расширения симметрического оператора Т с плот-
плотной областью определения мы должны лишь сузить оператор Т*
на некоторую надлежащим образом выбранную подобласть ф G1*).
Помня, что следует придерживаться этого основного принципа,
мы переходим к систематическому изучению линейных подпро-
подпространств пространства ©G1*).
На протяжении всего этого параграфа под Т понимается
неограниченный симметрический оператор с плотной областью
определения. На линейном пространстве Ф(Т*) введем две вспо-
вспомогательные билинейные формы.
2. Определение. Если х, у ?Ф(Т*), то положим
(a) (х,у)* = (х,у) + (Т*х,Т*у),
(b) {x,y}=-i{(T*x,y)-(x,T'y)}.
Форма (х, у)* — это просто то скалярное произведение, кото-
которое переносится на Ф(Т*) из $0$, если отождествить при
помощи отображения х< >[х, Т*х] область ф (Г*) с графиком
Г(Т*). Значение формы {х, у} выявляется следующей леммой
и с наибольшей ясностью раскроется в следующей главе.


392 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
3. Лемма. Подпространство Ф в Ф G*), содержащее ф (Т),
область определения симметрического расширения Т1 опера-
оператора Т тогда и только тогда, когда {х, #} = 0 для всех х, #?®.
В 5тож случае Tt однозначно определяется по формуле Тхх = Т*х,
Доказательство. Если Tt — симметрическое расширение опера-
оператора Т с областью определения Ф, то по лемме 1 Z^sT1*, и, сле-
следовательно, {х, у}= — i{(T*x, у) — (х, Т*у)}= —i{(TiX, у) —
— (х, 7\у)} = 0 для х,у?(?) = (?)(Т1). Очевидно, Т^х^Т^х для
х?%. Обратно, если {х, у} = 0 для л:^® и ^ определен равен-
равенством TiX = T*x для *?Ф, то {TiX, y) — (x1 Tiy) = i{x, у}^=0, так
что оператор Tt симметричен, ч. т. д.
4. Определение. Подпространство ф в ф (Т*) называется
симметрическим, если {х, у} = 0 для всех дс, #?®.
А теперь лемму 3 можно переформулировать следующим
образом.
3\ Лемма. Общий вид симметрического расширения Tt опера-
оператора Т — это сужение оператора Т* на симметрическое под-
подпространство Ф в Ф(Т*), содержащее ®(Т).
Для более глубокого понимания нашей задачи мы должны
рассмотреть топологию, определяемую на ®(Т*) билинейной
формой (х, у)*.
5. Лемма, (а) С формой (х, у)* в качестве скалярного произ-
произведения ф (Т*) становится полным гильбертовым пространством.
(b) Билинейная форма {х, у} непрерывна в топологии про-
пространства ф (Т*), порожденной скалярным произведением (х, у)*.
(c) Сужение 7\ оператора Т* замкнуто тогда и только тогда,
когда его область определения Ф G^) есть замкнутое подпро-
подпространство пространства Ф G1*) в топологии, порожденной ска-
скалярным произведением (х, у)*.
Доказательство. Мы уже отмечали, что (х, у)* есть то скалярное
произведение, которое переносится на ф (Т*) из $Q® $Q, если ото-
отождествить Ф (Г*) при помощи отображения х< >[х, Т*х] с гра-
графиком Г(Т*). Так как Г (Г*) замкнут в $©$, то (а) вытекает
из леммы 1.6; точно так же получается утверждение (с).
Для доказательства (Ь) мы должны лишь заметить, что
с, Т*х)\у\ + \х\У(Т*у, Г*у)<
< |у | У"(х, х) + (Т*х, Т*х) + \х\ У(У, У) + (Т*у, Т*у)<
К2{(у,уГ(х,х)*}1/г.


4. Расширения симметрических преобразований 393
В оставшейся части этого параграфа будет предполагаться,
что пространство © (Т*) наделено топологией, порожденной
нормой | х |* = {(х, *)*}1/2, если только явно не оговорено против-
противное. Если же мы хотим подчеркнуть это обстоятельство, то будем
употреблять выражения типа «гильбертово пространство © (Т*)».
6. Лемма, (а) Замыкание симметрического подпространства
гильбертова пространства © (Г*) есть симметрическое подпро-
подпространство.
(Ь) Всякое симметрическое расширение 7\ оператора Т имеет
единственное минимальное замкнутое расширение, область опре-
определения которого есть просто замыкание пространства ©G^)
в гильбертовом пространстве © (Т*).
Доказательство. Часть (а) вытекает непосредственно из лем-
леммы 5(Ь), а утверждение (Ь) —из (а) и леммы 5(с).
Из леммы 6(Ь) вытекает, что всякий симметрический опера-
оператор с плотной областью определения имеет единственное мини-
минимальное замкнутое симметрическое расширение. Этот факт при-
приводит нас к следующему определению.
7. Определение. Минимальное замкнутое симметрическое
расширение симметрического оператора Т с плотной областью
определения называется его замыканием и обозначается через 7\
8. Лемма, (а) Замыкание Т оператора Т есть сужение опе-
оператора Т* на замыкание © (Т) в гильбертовом пространстве
©(Г*).
(b) Оператор Т и его замыкание имеют одни и те же зам-
замкнутые расширения.
(c) Оператор Т и его замыкание имеют один и тот же
сопряженный.
(d) Оператор замкнут тогда и только тогда, когда Т = 7\
(e) Самосопряженный оператор замкнут.
Доказательство. Часть (d) очевидна ввиду определения 7.
Часть (е) вытекает непосредственно из леммы 1.6.
Для доказательства утверждения (с) заметим, что так как
Т^7, то f*^T* по лемме 1. С другой стороны, если *?©(T*)r
то (Т*х, у) = (х, Ту) для всех [у, Ту]? Г (Г) и, следовательно,
для всех [у, Ту]?Г(Т). Так как Г(Г) = Г(Г), то по лемме 6(Ь)
и в силу замечания, следующего за определением 2(Ь), х?%(Т*).
Часть (а) вытекает непосредственно из леммы 6(Ь) и леммы 3*
Из этого же и леммы 5 (с) вытекает (Ь).,


394 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Значение леммы 8 объясняется следующим: так как мы ищем
самосопряженные расширения оператора 7\ то достаточно в силу
8 (е) искать их среди замкнутых симметрических расширений
оператора Т. По лемме 8(Ь) их нужно искать среди замкнутых
симметрических расширений оператора Т. Таким образом, исполь-
используя лемму 8 для замены любого незамкнутого оператора Ti его
замыканием Ти мы можем, не теряя в общности, ограничиться
рассмотрением замкнутых операторов.
А теперь мы перейдем к дальнейшему анализу пространства
Ф (Г*).
9. Определение. Положим
ф+ = {х ? Я) (Г*) | Т*х = to}; ф. = {х ? ф (Г*) | Г** = - **}.
Пространства 2)+ и ф_ называются пространствами положитель-
положительного и отрицательного дефекта оператора Т соответственно.
Их размерности (конечные или бесконечные порядковые числа),
обозначаемые через п+ и я_, называются соответственно положи-
положительным и отрицательным индексами дефекта оператора Т.
10. Лемма, (а) 3)(Т), ф+ и ©_ — замкнутые взаимно ортого-
ортогональные подпространства гильбертова пространства ФG*).
(Ь) Ф (Г*) = ф (Т) © Ф+ © Ф_.
Доказательство. По лемме 8 (а) Ф (Т) замкнуто. Пусть {хп} —
последовательность элементов из ф+, сходящаяся к лг^Ф^Т*);
тогда {[хп, Т*хп]} = {[хп, ixn]}czr(T*) сходится к [х, ix] = [x, T*x],
так как Т* замкнут. Следовательно, T*x — ix, т. е. #?2)+, тем
самым 2)+ замкнуто. Аналогично проверяется замкнутость ф_.
Так как ф+ и ф_ являются, очевидно, линейными подпростран-
подпространствами в 2) (Т*), то остается показать, что пространства 1) (Т),
Ф+ и ф_ взаимно ортогональны и что их сумма есть Ф(Г*).
Пусть rf?S)(f), d+?2)+ и rf_?®_. Покажем, что (d, d+)*-
= (d, d-)* = (d_, d+)* = 0. Прежде всего заметим, что так как
ГзГ, то
(d, d+)* = (d, d+) + (ГЧ T*d+) = (d, d+) + (Td, T*d+) =
Аналогично устанавливается, что (d, d_)*=0. Далее,
- id-, id+) = 0.


4. Расширения симметрических преобразований 395
Следовательно, пространства ® (Т), ®+ и 35_ взаимно ортогональны
и их прямая сумма ф (Т) @ ©+ 0 ®_ содержится в Ф(Т*).
Для проверки соотношения 1) (Т*) = © (Г) ф ф+ @ ф_ мы пока-
покажем, что нуль является единственным вектором, ортогональным
ко всем этим трем пространствам. Допустим, что вектор v орто-
ортогонален к Ф(Г), Ф+ и ф_. Тогда 0 = (d, iO* = (d, ^) + (^Ч Г*у)
для всех й?ф(Г). Следовательно, (d, y)= — (T*d, T*v). Так как
{•, у) —непрерывный линейный функционал на плотном в ig под-
подмножестве ф (Т), то ясно, что T*v лежит в Ф (Г*) и Г* (T*v) = —v.
Следовательно, (J + Т*Т*) v = (/ + /Г*) (J — *Т*) v = 0. Поэтому
Т*[(/ — iT*)v] = i(I — iT*)v, т. е. (J—*Г*)у?Ф+. Точно так же,
если d+ ? ф+, то
0 = (v, d+)* = (t;, d+) + (Г*», T*d+) = (v, d+) + (T*v, id+) =
= (t;, d+)-i (T*v, d+) = ((I-iT*) v, d+).
Так как (/ —tT*)y?®+, то мы получаем (J — iT*)v = 0. Следова-
Следовательно, T*v=—iv, т. е. у?ф_. Но (®_, у)* = 0, поэтому v = 0.
Итак, Ф(Г*) = ф(Т)©Ф+©Ф_, ч. т. д.
11. Лемма. Между замкнутыми симметрическими подпрост-
подпространствами © гильбертова пространства Ф(Г*), содержащими
2)(Т), а замкнутыми симметрическими подпространствами S1
в Ф+0Ф_ существует взаимно однозначное соответствие, зада-
задаваемое формулой © = Ф(ГH©1.
Доказательство. Если а:6Ф(Г) и yd^iT*), то {л:, #} =
, у) — (х, Т*г/)} = 0; следовательно, если
= ф (Г) и // ? ф (Т)*, то {л:, у} = 0. Таким образом, если S1 сим-
симметрично, то таким же будет и © = ФG1H©1. Для проверки
замкнутости © в случае замкнутости S1 положим xn — dn-\-sn^^,
dn?3)(T) и Suf©1. Если л:п —> х то, так как ф+0®_ ортого-
ортогонально к Ф(Г), мы имеем (| jcw — xw|*J = (\dn — dm\*J -\-
-\-(\sn — sm|*J—> 0, так что обе последовательности {dn} и {sn}
являются сходящимися. Если dn —> d и sn —> s, то по лемме 8 (а)
dgS)(T), а так как (З1 замкнуто, то sg©1. Таким образом,
*G3)(^)©©1 = ©» и © замкнуто.
Обратно, если © — замкнутое симметрическое подпространство
в Ф(Г*), содержащее 2)(Т), то положим 31 = 3f| (Ф+ + Ф-). Ясно,
что & замкнуто и симметрично, и бэФ^)©®1. Если хб©,
то по лемме 10 х можно единственным способом представить


396 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
в виде x = d + y, где d^^)(T) и у? ?)+©©_. Так как 2)(f)<=3,
то d?@; следовательно, у ? 3, откуда вытекает, что
у ? © П (Ф+ © ®-) = S1, и потому ©^^(Т)©©1, ч. т. д.
Лемма 11 показывает, что 35 (Т) играет нейтральную роль
при нахождении самосопряженных расширений оператора Т и что
нужно рассматривать лишь пространство ©+©©_. В следующей
теореме делается решающий шаг в этом направлении. Стоит
отметить, что для элементов d+, ?+??)+ имеет место равенство
(, e+)* = 2(d+, e+), и потому \d+1* = "|/ \d+|. Точно так же
\d-\* = Y2\d-\ для й_?1)_. Эти замечания показывают, что пре-
преобразование утверждения (а) следующей теоремы изометрично
в каждой из норм.
12. Теорема. Пусть (З1 — замкнутое подпространство в
$)+©©_ и ©-©(f)©©1.
(a) Пространство © симметрично тогда и только тогда>
когда ©г является графиком изометрического преобразования,
отображающего подпространство из ©+ на подпространство
из ©_.
(b) Сужение Т* на © есть самосопряженный оператор тогда
и только тогда, когда S1 — график изометрического преобразо-
преобразования, отображающего %+ на все ф_.
Доказательство. По лемме 11 © симметрично тогда и только
тогда, когда симметрично S1. Пусть два произвольных элемента
s, t из S1 представлены в виде s^d+^d-, t = e+ + e-, где
e+,d+?(&+, a e-, d_gS)_. При этом©1 симметрично тогда и только
тогда, когда
= ~/{2/(d+, e+)-2i(d-, e-)} = 2{(d+, e+)-(d., e-)}==0,
т. е. тогда и только тогда, когда (d+, e+) = (d-, e_). Отсюда,
очевидно, вытекает, что |d+|2 = |dL|2 для всех s = d+ + rf_g©1r
т. е. S1 — график изометрического отображения подпространства
из 2)+ на подпространство из ©_.
С другой стороны, если |d+|2 = |d_|2 для s = rf+ + rf_^©1, то
\d \2 \d
ру
мы имеем \d+
|
d+
d- — e-\
так что


.4 Расширения симметрических преобразований 397^
Применяя те же рассуждения к вектору it = ie+-\-ie-, мы полу-
получаем Im (d+, e+) = lm(d-, е_), так что (d+, e+) = (d-, eJ). Из пре-
предыдущего абзаца вытекает, что (З1 симметрично. Тем самым
утверждение (а) доказано.
Чтобы доказать (Ь), предположим сначала, что S1 —график
изометрического преобразования А подпространства из Ф+ на под-
подпространство в ф_, и обозначим через 7\ сужение Г* на 5.
Если область определения %(А) есть собственное подмножество
в ф+, то существует такой ненулевой вектор г/?ф+, что
(Ф(Л), у)* = 0. Если х6©(ГО, то jc = jc1 + d+ + d_l где ^6®(Г),
Л® и d_?®_. Следовательно, (jt, #)* = 0, т. е.
, П/) = (*, y)-i(TiX, у),
Этим доказано, что G\х, #) = — *(х, у) для всех л:6® G\), и тем
самым у 6® (Г*). Так как «/^(Г-,), ясно, что если 2)(Л)с=2)+, то
Т4 не является самосопряженным. Аналогично если область зна-
значений Ш (A) cz Ф_, то существует такой ненулевой вектор z в 2)_,
что (ЩЛ), z)* = 0; как и раньше, отсюда следует, что (х, z)* = 0
для всех x?%(Ti), а потому z ?2) (Г*), и оператор 7\ не является
самосопряжен ным.
Для завершения доказательства утверждения (Ь) предположим,
что А — изометрическое преобразование ®+ на все ®_, а 7\ —
сужение оператора Т* на подпространство © = Ф (Т)@Т (А).
В силу (а) @ симметрично, и, следовательно, Г4 ^ Г*. Остается
показать, что © (Г*) ^ Ф (Г4). Предполагая, что это не так
и применяя лемму 10 (Ь) к замкнутому симметрическому опера-
оператору Ти мы видим, что существует такой ненулевой вектор
Ф(Л), что либо T*iz = iz, либо r?z=—и. По лемме 10 (а)
)» 2)* = 0. Так как Т* ^ Г*, то отсюда вытекает, что или
или z?®_. Если 2^Ф+, то г + Лг?2> G^) и
Так как ^zgS)_, то это показывает, что 0-=(z, z)* = 2(z, г),
откуда 2 = 0. Аналогично если 2?Ф_, то Л (г) + г^Ф G\),
и, следовательно, 0 = (i4(z)+z, z) = (i4(z), z)* + (z, г)*. По-
Поскольку Л~1(г)?ф+, мы снова приходим к выводу, что z = 0.
Таким образом, оба случая приводят нас к противоречию.
13. Следствие, (а) Симметрический оператор Т имеет само-
самосопряженные расширения тогда и только тогда, когда его
индексы дефекта п+ и п- равны,
(Ь) Если п+ = П- = 0, то единственным самосопряженным
расширением оператора Т является его замыкание Т=Т*.
Доказательство. Эти предложения вытекают из теоремы
IV.4.16 и лемм 8 и 10.


398 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Доказав теорему 12 и следствие 13, мы достигли нашей
основной цели, и оставшаяся часть этого параграфа посвящена
переформулировкам и дальнейшим расширениям полученных
до сих пор результатов.
14. Определение. Сопряженным подпространством 3* к под-
подпространству © гильбертова пространства ф (Т*) называется мно-
множество всех таких х?%(Т*), что {х, ©} = 0. Подпространства
© в ф (Т*) называется самосопряженным, если ® — ©*.
15. Лемма. ?с/ш Т^Ti^: Т*, то Т% есть сужение Т* на про-
пространство Ф^)*, т. е. 3(П) 3G1)*
Доказательство. Предположим, что у ? ф G^)*, тогда {*, г/} = О
для всех х6 ©(ГО, т. е. — f{(r*jc, */) — (*, Г*г/)} = 0. Так как
Ф G\) плотно в ig и Т*х = Т1х, то у?%(Т*). С другой стороны,
если г/ ? ф (Г*), то (Tijc, у) = (jc, Г*^) для всех jc ? ф (Г^. По лемме
1 (а) 7* ^= Т*. Следовательно, G*лг, у) = (jc, Т*у), так что {л:, г/} =
= 0. Таким образом, */?®G\)*, ч. т. д.
16. Лемма, (а) Подпространство C в ф (Т*) симметрична
тогда и только тогда, когда © ^ ©*.
(b) Сужение оператора Т* на подпространство @эФ(Г)
в ф (Г*) есть самосопряженное расширение оператора Т тогда
и только тогда, когда самосопряжено ©.
(c) Если @^Ф(Г*) алее/и вид © = Ф(ТH31, где @х ^
^®+©®-, то ©* = (81)*.
Доказательство. Утверждение (а) вытекает непосредственно
из определений 14 и 4. Утверждение (Ь) вытекает из определе-
определения 14 и леммы 15. По лемме 8 (с) {х, #}=0 для *(=Ф(Т*}
и У^^(Т). Поэтому {#, <D(TH©1}==O тогда и только тогдаг
когда {х, ©^^О, чем доказано (с).
В следующей теореме описан довольно часто встречающийся
случай, когда симметрический оператор Т имеет равные индексы
дефекта и тем самым допускает самосопряженные расширения.
17. Определение. Отображение U гильбертова пространства ф
в себя, удовлетворяющее соотношениям U (х + у) = Ux + Uy,
U (ах) = aUx, (Ux, Uy) = (y, x), х,у?!д и U2 = I, называется
инволюцией.
18. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с плотной
областью определения, коммутирующий с инволюцией U, тогда
Т имеет равные индексы дефекта.


4. Расширения симметрических преобразований 399
Доказательство. Так как UT = TU, то ?72) (Т) ^ 2) (Т). Посколь-
Поскольку U2 = I, имеем <S) (T) ^ U<S) (T) и тем самымФ(Г) = [7Ф
По лемме 1.6(d) 2)+ 1
Если х?ф+, то
Таким образом, L/x ? ф- и G®+ ^ S)_. Аналогично 173)_ ^ 2)+.
Используя соотношение 1/а = /, получаем, что 2)+ ^ 17Ф_ и Э.д
е 173)+. Таким образом, Г7Ф_ = Ф+, 172)+ = ф_. Из свойств инво-
инволюции 17 вытекает, что {7 отображает всякий ортонормированный
базис в 2)+ на ортонормированный базис в 3)_. Следовательно,
Ф+ и 3)_ имеют одну и ту же размерность, ч. т. д.
В качестве примера применения теоремы 18 рассмотрим гиль-
гильбертово пространство L2@, оо) и оператор Т в нем, задаваемый
следующим образом:
(a) область определения 3)(Т) есть множество всех функций,
имеющих по крайней мере две непрерывные производные и обра-
обращающихся в нуль вне компактного подинтервала в @, оо);
(b) для /?®GЛ) полагаем Tf = f"-\-qf, где q — фиксированная
вещественная непрерывная функция, определенная на @, оо).
Ясно, что Г —неограниченный симметрический линейный опе-
оператор в L2@, оо). Если для всех /?L2@, оо) мы положим
(Uf) (t) = / (t), где / (t) — комплексно сопряженная функция, то
получим, что 17 —инволюция и UT = TU. Таким образом, Т имеет
равные индексы дефекта и, следовательно, обладает самосопря-
самосопряженными расширениями.
Следующий результат показывает, что число
п+ = dim {х | Т*х = ix)
на самом деле связано не с комплексным числом I, а с верхней
полуплоскостью, и в то же время приводит нас к утверждению,
которое будет существенно использоваться в теории дифферен-
дифференциальных уравнений, развиваемой в следующей главе.
19. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор; определим
для каждого комплексного числа X подпространство 9JU^
= {х | Т*х = Хх}. Если Im (X) > 0, то размерность 3JU равна
положительному индексу дефекта п+ оператора Т. Более того,
если п+ конечно, то существует семейство {фг (X)}, f = 1, ..., п+.
векторнозначных функций, определенных и аналитических прч
Im X > 0, таких, что для каждого X векторы (ft (X), i = 1 ..., /г4,


400 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
образуют базис в Шк- Точно такие же результаты имеют
место и для к в нижней полуплоскости.
Доказательство. Пусть Tt — сужение оператора Г* на много-
многообразие (D(T1) = (D_0S)G;r). Если k = \i + iv, где v>0, и
^iT) то
-(ivx, (Ti-ixl)x)>
Записав х в виде x = dJrd-, где d?®(T), d_?©_, непосредст-
непосредственными вычислениями приходим к соотношениям {х, х} =
{d_, d_) = — 2 | d_ |2. Таким образом, | (Ti — kl) x\2>\2 \x\2, и потому
оператор (Ti — kl)'1 ограничен и его норма не превосходит v-1 =
= | Im к I. По лемме 5 (с) 7\ замкнут. Если хп —> х
и G\ — kl) хп —> у, то TiXn —>.?/ + кх, так что х ? D (Т^ и Г^ =
= у + Хл:, (Ti — kl)х=^у. Тем самым оператор (Тх-к1) замкнут,
и, следовательно, по лемме 1.2 замкнут и G\ — X/). Из ограни-
ограниченности G\ — X/) и леммы 1.2 вытекает замкнутость области
определения %((Ti — kl)'1).
Мы хотим показать, что 2)(G\ — Я/)) есть все гильбертово
пространство. Предположим, что это верно для некоторого Яо.
Тогда (Ti — kol)'1 = R (k0) — всюду определенный ограниченный
оператор с нормой, не превосходящей | Im к0 \~х. Следовательно,
ряд
оо
сходится, если \k — ko\<i\lmko\. Так как Ti замкнут, то для всех
у мы имеем
п=0
2
Таким образом, (Ti — kl) 2) G\) = g для | к — к0 \ < 11тк0 \. Оче-
Очевидно, отсюда следует, что если %((Ti — kiyx) = ^ для одного
значения к0, то это верно и для всех к в верхней полуплоскости.
Мы покажем, что %((Ti — ИУ1)^^, доказав тем самым, что
Ф ({Ti — kl)'1) = ф для всех X в верхней полуплоскости.
Так как пространство ©((Tj — И)'1) замкнуто, то достаточно
проверить, что его ортогональное дополнение состоит лишь
из нулевого вектора, или в силу леммы 1.6 (d) проверить, что из


4, Расширения симметрических преобразований 401
соотношения (Т* + И)х = 0 вытекает х = 0. Но Tt э 7\ так что
по лемме 1(а) Т* s Т*. Таким образом, если Т*х= — ix, то
х ? ф_ s S) (Ti). Следовательно,
этим показано, что # = 0.
Для удобства обозначим через А (X) всюду определенный огра-
ограниченный оператор G\ — Я/), Im>0. Тогда G\ — Я/)Л(Я) =
= (Т* — Х1) А (X) = /. Полагая К (а, Р) = (Л — а/) Л (Р),
Ima, Imp>0, имеем/С (а, а) = /и/С(а, p)/C(P, Y) =#(<*' Y)- Таким
образом, K(a, P) — всюду определенный ограниченный оператор
в Неограниченным обратным. Кроме того,/С (а, р) = G\ — |3/)Л (Р)+
(Р —а)Л(Р)^/ + (Р + а)^4(Р)- Отсюда вытекает, что
для всех и ? © (Г*), и, таким образом, из соотношения (Г* — И) и = 0
вытекает, что (Г* — XI) К (i, Х)и = 0. Следовательно, К (г, X) опре-
определяет взаимно однозначное отображение Я#* в 3JU- По анало-
аналогичным соображениям обратный К(Х, i) к К (Л Я) определяет
взаимно однозначное отображение Ш% в SUij. Таким образом,
K(i, X) определяет непрерывное взаимно однозначное отображе-
отображение УЯг на 3SJU с ограниченным обратным, и потому ясно, что
Шг и Ш% имеют одну и ту же размерность.
Из [*] видно, что K(i, X) — I -\-(Х—i)A(X) — аналитическая
функция по Я. Если 5Шг- конечномерно и {ср7-}, /=1, ..., п+, —
какой-либо базис в 2%, то ф7-(Ar) = /C(f, Я)фу," / = 1, ...,az+,
определяют базис в SUi^, ч. т. д.
Обратимся, наконец, к подробному анализу наиболее часто
встречающегося случая, когда оба индекса дефекта п+ и az_ опе-
оператора Т конечны.
Мы придадим нашим рассуждениям вид, удобный для прило-
приложений к теории дифференциальных операторов. Так будут введены
абстрактные понятия граничных значений, граничных условий
и т. д. В следующей главе, когда мы перейдем к изучению диф-
дифференциальных операторов, эти абстрактные понятия получат
конкретную реализацию.
20. Определение. Граничное значение для оператора Т есть
непрерывный линейный функционал на гильбертовом пространстве
% (Г*), обращающийся в нуль на ®(Г).
21. Лемма. Пусть Т — симметрический оператор с конечными
индексами дефекта п+ и я_. Пространство граничных значений
для Т есть гильбертово пространство размерности р = л+ + л_.
Множество Аи ..., Ak граничных значений линейно независимо
26 Заказ № 134


402 Гл. XII, Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
тогда и только тогда, когда в Ф(Т*) существуют элементы
ф4, ..., срл, такие, что det (At (ф^)) Ф О, или тогда и только тогда,
когда для любого множества комплексных чисел аи ,.., а&
в Ф+ ® Ф~ существует такой вектор х, что At (х) = а*, i = 1, ..., k,
или тогда и только тогда, когда матрица (At (я^)) имеет ранг k,
где t|>t, ..., ifp — любой базис в ©+©©_.
Доказательство. Все эти утверждения вытекают из леммьь 10,
леммы 8 (а) и элементарных фактов о конечномерных векторных
пространствах.
22. Определение. Пусть Т — симметрический оператор с конеч-
конечными индексами дефекта п+ и п-. Множество п+ + п- линейно
независимых граничных значений для Т называется полным мно-
множеством граничных значений оператора Т.
23. Лемма. Пусть Т — симметрический оператор с конечными
индексами дефекта п+ и п~ и А\, ..., Ар — любое полное множе-
множество граничных значений для Т. Тогда билинейная форма {х, у}
может быть единственным образом представлена в виде
Н (*.0}~ 2 ^ijAi(x)T/(y)t х,у?Ъ(Т%
причем коэффициенты а^ удовлетворяют соотношениям dji = dij.
Доказательство. Используя лемму 21, выберем в ф+0®_
элементы %, ..., ij?p так, что Аг(%) = btj, где 6^=1, если ? = /,
и 6jj = 0, если 1Ф\. Отсюда вытекает, что ifj линейно незави-
независимы и, следовательно, образуют базис в ®+0©_. Положим
аи = {%'%}; так как {*> У} = {У, х}, то аи = а>л. Ясно, что
равенство [*] выполнено, если за х и у взять какие-то из эле-
элементов i|?i, ..., typ. Таким образом, I*] выполнено для всех х и у
из 3)+0®- в силу билинейности обеих сторон равенства [*].
Но по определению 20 и по определению 2(Ь) обе стороны этого
равенства обращаются в нуль, если или х или у лежит в 3)(Г).
Нужное представление вытекает теперь из лемм 10 и 8(а),
а его единственность очевидна.
24. Следствие. Если At, ..., Ар — полное множество гранич-
граничных значений для Т и ф4, ..., фр — множество элементов из Ф (Г*),
такое, что det (At (tfj)) Ф 0, то коэффициенты atj предыдущей
леммы однозначно определяются системой уравнений
v
{фь, фг}= 2
i, 3=1
Доказательство. Пусть (Ьц) — матрица, обратная к (Л(ф7-)).
Тогда элементарные вычисления, использующие формулу [*] и опре-


4. Расширения симметрических преобразований 403
деление обратной матрицы, показывают, что
р _
[**] а*; = 2 {фь Фг) bhibij.
k, i—i
25. Определение. Если В —граничное значение оператора Г,
то уравнение В (х) = 0 называется граничным условием. Множе-
Множество граничных условий Bt (х) = О, i = 1, ..., /г, называется линейно
независимым, если граничные значения ?i, ..., Вд линейно неза-
независимы. Говорят, что множество граничных условий С/(*) = 0,
/ = 1, -.., т, сильнее, чем множество Bt (х) = 0, ? = 1, ..., &,
если все граничные значения Bt являются линейными комбина-
комбинациями значений С/. Если каждое из двух множеств граничных
условий сильнее, чем другое, то говорят, что эти множества
эквивалентны. Множество граничных условий Bt (х) = О, / =
= 1, ..., &, называется симметричным, если из соотношений
Bt (x) = Bi(y) = 0, i = 1, ..., k, вытекает равенство {х, у) = 0.
26. Лемма. Пусть Т — оператор с конечными индексами
дефекта. Всякое замкнутое симметрическое расширение опера-
оператора Т есть сужение оператора Т* на подпространство в Ъ (Т*),
определяемое симметрическим семейством граничных условий
Bi(x) = 01 i = l, ...,&. Обратно, каждое такое сужение Ti опе-
оператора Т* есть замкнутое симметрическое расширение опера-
оператора Т.
Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. Так
как Bt — непрерывный линейный функционал на ®(Г*), обращаю-
обращающийся в нуль на ®(Г), то в силу леммы 5 (с) ясно, что 7^ —
замкнутое расширение оператора Т. Так как множество гранич-
граничных условий симметрично, то из определения 2 (Ь) ёытекает, что
(TiX, у) = (х,Т±у) для всех х и у из ©G^), и, следовательно,
Ti симметрично.
Для проверки первого утверждения предположим, что Ti —
замкнутое симметрическое расширение оператора Т и 95 — орто-
ортогональное дополнение ф (Т±) в гильбертовом пространстве ф (Г*).
Тогда ©(Ti) —замкнутое подпространство в Ф(Т*) и 35 конечно-
конечномерно (ср. леммы 5(с) и 10). Если vi9 ..., vk — базис в 95, то для
*?ф(Г*) определим функции Bt (х) = (*, vt)*. Так как В^(а:) = 0
для х из ф (Ti) з ф (Г), то ясно, что условие Bi(x) = 0 является
граничным. Более того, так как ©(T^ — ортогональное дополне-
дополнение своего ортогонального дополнения, то семейство Bt (х) = 0,
/=1,..., &, граничных условий определяет подпространство
Ъ(Т±) в ф(Т*). Из леммы 3' вытекает, что ф (Т±) — симметриче-
симметрическое подпространство в ф (Г*), и, следовательно, множество гра-
граничных условий Bi(x) = 0 симметрично, ч. т.д.
26*


404 Гл. XIL Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
27. Определение. Пусть Т — симметрический оператор с конеч-
конечными индексами дефекта, Л4, ..., Ар — полное множество гранич-
V
ных значений для Т и {х, у} = 2 а^-Л* (х) Aj (у), как в лемме 23.
Пусть
— произвольное множество граничных значений для Т и %\т\
m=l, ..., t% — базис множества решений линейной системы
v
2Pij5i=0> /=1» •••» 5. Тогда множество граничных условий
г=1
называется сопряженным множеством граничных условий к усло-
условиям |*|.
Замечание. Следует отметить, что сопряженных множеств
граничных условий существует так же много, как и базисов реше-
v
ний уравнений }>] p^gj.- О, / . - 1, . .., s. Однако любая пара таких
различных сопряженных множеств граничных условий, очевидно,
эквивалентна.
28. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с конеч-
конечными индексами дефекта и 7\ — сужение оператора Т* на под-
подпространство в Ф(Т*), определяемое конечным множеством гра-
граничных условий Bj(x)=0, / = 1, ..., s. Тогда Т* есть сужение
оператора Т* на подпространство в $ (Г*), определяемое сопря-
сопряженным множеством граничных условий.
v
Доказательство. Пусть Bj= 2 fajAu /= 1, ..., s, и Г2 —суже-
—сужение оператора Т* на подпространство в 3)(Т*), определяемое
сопряженным множеством граничных условий Bj (д:)=0, /= 1, ..., s.
Если x^&iTi), то х удовлетворяет уравнениям Bj(x) =
р
= S $ijAt(x) = Oi / = 1, ..., s, и, таким образом, Аг(х) является
линейной комбинацией элементов ^1}, ..., $\ i=l9 ...,p. Сле-
Следовательно, если х?Ъ(Т1) и у^Ъ(Т2), то из леммы 23 мы заклю-
v
чаем, что {у, х}=- 2 atjAi(y)Aj(x) = Q. Поэтому
/, at) — (г/, Г1Л;) = i {^t л;> = О,


4. Расширения симметрических преобразований 405
так что (TiX, у)=-(х,Т2у) для всех *?®G\) и у?Ъ(Т2); тем
самым показано, что Т2 s Г*.
Предположим, что существует элемент у ? © (Г*) s Ф (TJ),
но у$Ф(Г2). Тогда по определению 27 существует такое реше-
v
ние [?4, ..., 1Р] системы уравнений 2 Р*Д* = О> /=1> •••> s» что
р
2 ау?уЛг(у)^=0. По лемме 21 существуют в ©(Г*) такие эле-
V
менты у;, что Ai(yj) = bij, i, /=1, ..., р. Полагая л:0= 2 ЪУь
мы имеем л:о€®(^*) и Л«(хо) = Ь, t = l, ..., р. Следовательно,
Д/(*о)=О, /=1> •••> s» и тем самым xo^(Ti). Однако
v
— i [{Т*у, х0) - (У, Ttxo)] = {у, а:0} = 2 аиАг (у) lj ф О,
г, j=l
что невозможно.
29. Лемма, пусть Т—симметрический оператор с конечными
индексами дефекта, сумма которых равна р, At, ..., Ар—пол-
ное множество граничных значений для Т, а 2 atjAtAj — били-
г, 3=1
нейная форма леммы 23. Множество граничных условий
v
2 fojAi (а:) = 0, /= 1, ..., s, симметрично тогда и только тогда,
г=1
v v
когда из соотношений 2Pu5i = 0 и 2Рит1г=:0> / = 1, ..., s,
г=1 г=1
вытекает, что 2 а«Д*т1^==0-
Доказательство. При сделанных предположениях ясно, что
v
если для векторов х и у справедливы уравнения 2 fajAt (х) = О
v
и 2Ро#^«(У)== 0) / = 1, ..., 5, и из них следует соотношение
г=1
{*> ^/} = 0» то множество граничных условий симметрично.
Обратно, предположим, что существует пара векторов [?4, ..., 1Р]
V V
и [Ль • • •, т)рЬ такая, что 2 Р«Д* = 2 Р*Я* = 0, / = 1, ..., s, в то
г=1 г=1
время как 2 Ро'ЬЛу^О- По лемме 21 в ©G*) существуют


406 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
такие элементы и и v, что Ai(u) = li, Ai(v) = r\i, f = l, ..., p.
Таким образом, оба вектора и и v удовлетворяют граничным
р
условиям 2 $ijAj(x) = 0, ] = 1, ..., s, в то время как {и, v}^0.
г=1
Следовательно, множество граничных условий не симметрично.
30. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с равными
конечными индексами дефекта п = п+ = п— Тогда сужение Т*
на подпространство в Ф (Т*), определяемое любым симметриче-
симметрическим семейством п линейно независимых граничных условий,
является самосопряженным расширением оператора Г. Более
того, всякое самосопряженное расширение оператора Т имеет
такой вид.
Доказательство. Пусть Bt (х) == 0, i = 1, ..., п, — симметри-
симметрическое семейство линейно независимых граничных условий и Т\—
сужение оператора Т* на подпространство в 3) (Т*), ими опре-
определяемое. Тогда по лемме 10 ф G\) = Ф (Т) @ 95, где 95 с ©+ © Ф-.
Так как граничные значения В* обращаются в нуль на 2) (Г),
то 95 п-мерно. По лемме 26 оператор 7\ симметричен, и потому
по лемме 3' пространство Ф (Т^) симметрично. Следовательно,
в силу теоремы 12 (а) 95 есть график изометрического отображе-
отображения U подпространства Ш в Ф+ на подпространство 91 в ф_.
Так как n^dlm (95)<dim (ЯК)<я, то Ш n-мерно и, следова-
следовательно, 5Ш = Ф+. Так как U взаимно однозначно, то 31 также
я-мерно и, следовательно, 5ft = ф_. Таким образом, по теореме 12 (Ь)
оператор 7\ самосопряжен.
Обратно, пусть Tt — самосопряженное расширение оператора Г.
Тогда по лемме 26 7\ есть сужение оператора Т* на подпро-
подпространство 9В в Ф(Г*), определяемое симметрическим семейством
линейно независимых граничных условий Bt(x) = 0, t = l, ..., k,
и мы должны лишь показать, что k = п. По лемме 11 2В = ф (Г) 0 95,
так что по теореме 12 (Ь) пространство 95 n-мерно. Так как Ф+ 0 ф_
2л-мерно и 95 есть множество элементов из Ф+ 0 Ф-, удовле-
удовлетворяющих k линейно независимым условиям, то 95 является
B/г — /г)-мерным. Таким образом, 2n — k = n и k = п, ч. т. д.
Наконец, мы даем явное описание общих самосопряженных
расширений оператора Т.
31. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с равными
конечными индексами дефекта п- = п+ = п, cpi, ..., срп — орто-
нормированный базис в Ф+ и *ф±, ..., г|)д — ортонормированный
базис в Ф_. #//ст& Вг (х) - (дс, фО* и d (х) = (дс, 1|зО* Зля а: б ф (Г*)
а !<;/<;/г. Тогда всякое самосопряженное расширение Т есть


5. Полуограниченные симметрические операторы 407
сужение Т* на подпространство © (Т*), определяемое гранич-
граничными условиями
п
Вг (*)- 2 QijCj(x) = O, i=l, ..., л,
3=1
где (Qtj) — произвольная матрица, удовлетворяющая равенствам
п
^Qifikj^bih- Более того, всякое такое сужение оператора Т*
есть самосопряженное расширение Т.
Доказательство. Ясно, что Вг и d — граничные значения.
Заметим теперь, что теорема может быть эквивалентно сформу-
сформулирована следующим образом. Оператор является самосопряжен-
самосопряженным расширением Т тогда и только тогда, когда он является
сужением Т* на подпространство 85В, состоящее из всех таких
х?Ъ(Т*), что (х, z)* = (x, Uz)*, 2?®+, где U — изометрическое
отображение 3)+ на ©_. Для доказательства рассмотрим сужение
Т* на такое подпространство 2В. Записав х в виде x = d-\-d+-\-d~,
d?©(T), d+?©+, d_?©_, видим, что х?ЯВ тогда и только тогда,
когда (d+, z)* = (d_, Uz)* для всех г?Ъ+, т. е. тогда и только
тогда, когда d- = Ud+. Таким, 'образом, Ж есть прямая сумма
Ф(Г) и графика изометрического отображения ©+ на ©_, и, сле-
следовательно, сужение оператора Г* на 2В есть самосопряженное
расширение оператора Г. Обратно, если 2В—область определения
самосопряженного расширения Г, то по теореме 12 (Ь) 2В = ф (Г) ©
@Г([/), где U—изометрическое отображение Ъ+ на ©_. Элемен-
Элементарные вычисления показывают, что 2В состоит из множества тех
3T*), для которых (х, z)* = (x, Uz)* при всех г?©+, ч. т. д.
5. Полуограниченные симметрические операторы
В этом параграфе мы изучаем самосопряженные расширения
тех операторов в классе симметрических операторов, которые
часто встречаются в граничных задачах математической физики.
1. Определение. Симметрический оператор Т называется огра-
ограниченным сверху (ограниченным снизу), если существует такое
вещественное число с, что (Га;, х)*Сс(х, х) ((Тх, х)>с(х, х)) для
всех х?Ъ(Т). Если Т ограничен сверху или снизу, то говорят,
что Т полуограничен. Число с называется гранью для Т, а наи-
наименьшее (наибольшее) из таких с называется верхней (нижней)
гранью оператора Г. Если (Тх, х)>0 для всех х?Ъ(Т), то Т
называется неотрицательным.


408 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Этот параграф посвящен доказательству следующей теоремы
фон Неймана и Фридрихса.
2. Теорема. Всякий полуограниченный симметрический опера-
оператор с плотной областью определения имеет полуограниченное
самосопряженное расширение с той же гранью.
Доказательство. Если Т полуограничен, то для некоторой
постоянной а или T~\-al или — Т-\-а1 ограничен снизу единицей.
В силу леммы 1.6 ясно, что без ограничения общности можно
считать выполненным (Тх, х)>(х, х) для всех х?Ъ(Т).
Для x,//g®(T) положим (х, у)+ = (Тх, у). Тогда (х, х)+>
>(х, х)>0, и ф (Г) — линейное пространство с эрмитовым били-
нейным скалярным произведением (х, //)+, удовлетворяющим усло-
условиям (I) —(V) определения IV.2.26 скалярного произведения
в абстрактном гильбертовом пространстве. Так как доказательство
неравенства Шварца (теорема IV.4.1) не требует аксиомы полноты
IV.2.26 (VI), то ясно, что \(х, у)+\<\х\+\у\+ для х,у€<$)(Т).
Таким образом, Ф (Г) с нормой \х |+ = ((х, x)+)i/2 становится нор-
нормированным линейным пространством, вообще говоря, не полным.
Определим теперь ф0 как подпространство элементов х в §,
обладающих следующим свойством: существует последовательность
{хп} s Ф (Г), такая, что хп—>х в <q и lim |л:т — л:л|+ = 0. Мы
т, п->оо
покажем, что эрмитова билинейная форма (х, #)+ может быть рас-
распространена с ф (Г) на ф0» при этом Фо станет гильбертовым
пространством (т. е. полным) со скалярным произведением (х, у)+.
Затем будет показано, что сужение Т^ оператора Т* на Ф0П®(^*)
есть самосопряженное расширение Т с той же гранью. Если
lim | xm — хп |+ = 0 и lim хп = лг0, то существует lim | xm |+, так
т, п->оо
как ||хт|+ — |л:п!+|<|^т — Хп\+- Если {//m}
т->оо
и Нт | уш — Уп |+ == 0, то, полагая zn = хп — //Л, мы имеем lim zn = 0
т, п->оо п->оо
и Нт |гт — 2Л|+ = 0. Следовательно, существует такое число М,
что |zm|+<!M, /и = 1, 2, ... . Более того, для заданного е>0
найдется такое N, что | zm — zn |+< e для /л, n>N. Таким образом,
(I zn |+J< | (гЛ, ZmY | +1 (гЛ, zn-гт)+1 < | (гЛ, гт)+1 + Me.
Так как | (гп, гт)+ | = | (гп, Ггт) | < | гл 11 Tzm |, то lim (гп, zm)+ = О,
п->оо
/п=1, 2, ... . Следовательно, lim (|гЛ|+J<Л1е и lim|zn|+ = 0.
П-^ОО П->ОО
Так как \\хп\+ — \уп \+\<\хп — уп \+ = \zn |+, то ясно, что lim|//n|+ =
= lim|^n|+. Отсюда вытекает, что существует корректно опре-
определенное распространение нормы \у\+ с Ф (Г) на фо> получаемое


5. Полу ограниченные симметрические операторы ?09
из соотношения | х |+ = lim | хп |+ для любой последовательности
П-»-оо
{хп}> если limxn^x и lim \хт — хп\+ = 0.
п->оо т, п->оо
Далее будет показано, что из условий хп —> х, хЛ ? ф (Г)
и lim\xn — xm\+ = 0 вытекает lim \хп — л:|+ = 0. Заметим сначала,
m, n п->оо
что из предыдущего абзаца следует, что lim \xm — хп\+ — \х — хп\+
т->оо
и lim \xm-\-xn\+ = \x + xn\+ для всех п. Вместе с тем тождество
т-»оо
показывает, что lim | хт + хп \+ = 2 | л; |+. Следовательно,
т, п->оо
*л|+ = Нт lim |A:
Однако, полагая в предыдущем тождестве т—>оо, мы видим, что
Отсюда следует, что lim |х — хп\+ = 0. Из этого факта обычными
П->ОО
рассуждениями, использующими предельный переход, получаются
соотношения |x|<|#|+, |* + #|+<|х\+ + \У \+ и | «л:|+ == |а 11х |+
для всех х, //^®о и любого числа а. Таким образом, ф0 — норми-
нормированное линейное пространство с нормой \х\+, и 2)(Г) плотно
в ®о-
Более того, так как | (х, ^/)+К| х\+\у \+ на плотном подмноже-
подмножестве Ф (Т) х Ф (Г) в Ф0Х 2H? то форма (х, //)+ может быть про-
продолжена по непрерывности (ср. 1.6.17) до билинейной эрмитовой
формы, определенной на ©0-
Можно показать, что ф0 полно, т. е. Фо — гильбертово про-
пространство со скалярным произведением (х, у)+. Действительно,
если {хп}— фундаментальная последовательность в ф0, то можно
найти последовательность {уп} в плотном подмножестве ф (Г) ^ ®0?
такую, что | хп — //п|+< 1/п. Тогда lim \ym — yn\+:=0 и, следова-
т, п->оо
тельно, lim \ym — уп\==0. Если х — такой элемент в ig, что
т, п->оо
|//п — jc | —>0, то по определению х есть элемент из ф0. Однако
было показано, что при этих условиях lim|//n — л: |+ = 0. Следо-
вательно, lim|xn — л: |+ == 0 и ф0 полно.
П->ОО
Определим теперь расширение 7\ оператора Г, полагая (^
= 2>оП®СИ, TiX^T*x для хе®^). Ясно, что Г <= Г* <= 7*
и Ti-—линейный оператор с плотной областью определения. Так
как


410 Гл. XII, Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
то из непрерывности вытекает, что такое же равенство выполнено
для x?%(Ti) и у?Ъ(Т). Однако, так как (х, у)+ = (Т*х, у) для
'&^) и уаЪ(Т), то из непрерывности следует, что
(*, y)+ = (T*x,y) = (Ttx, у), х,
Из равенства (х, у)+ = (у, х)+, х, у ^Ъо, видно, что 7\ — симметри-
симметрический оператор. Соотношение (Т{х, х) = (#, х)+>(х, х) показывает,
что Tt имеет ту же нижнюю грань, что и Т. Для проверки само-
самосопряженности 7\ необходимо убедиться в том, что Т^ (Tt) есть
все гильбертово пространство @. Если х — произвольный элемент
из @, то функция (•,*) непрерывна на гильбертовом простран-
пространстве %0; действительно, если |//Л|+—>0, то \уп\—>0 и, таким
образом, lim (уп, х) = 0. Из теоремы IV.4.5 вытекает существование
такого вектора z^%, что (у, х) = (у, z)+ для #?Ф0- Так как
(y,z)+ = (Ty,z) для у^(Т), то г б® (Г*) и Г*г = л;. Следова-
Следовательно, z ?®0 П ® (Г*) = ф Gi) и Г4г = а:. Таким образом, Т& (ГО =
= @. Из леммы 1.6(d) следует, что Т* взаимно однозначен.
С другой стороны, так как 7\ симметричен, то TiST*. Таким
образом, и 7\ и Г* имеют областью значений @, а так как Т*
взаимно однозначен, то ®Gi) = ®G*). Этим показано, что
T4 = rj, т. е. 7t — самосопряженное расширение Г, ч. т. д.
3. Следствие. Пусть Т — полуограниченный симметрический
оператор и ®0 — множество векторов x?!q, для которых суще-
существует такая последовательность {хп}^%(Т), что хп-^х и
(Т(хт — хп), {хт—хп))-^0. Тогда сужение Г* на ЪО[\Ъ(Т*) есть
самосопряженное расширение оператора Т с той же гранью.
6. Унитарные полугруппы
В первом параграфе гл. VIII была построена теория сильно
непрерывных полугрупп ограниченных операторов (см. определе-
определение VIII.1.1). Цель настоящего параграфа —найти вид инфините-
зимального оператора (определение VIII. 1.6) в том случае, когда
элементами полугруппы являются унитарные операторы в гиль-
гильбертовом пространстве.
1. Теорема (Стоун). Если {U (/), />0} — сильно непрерывная
полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве^
то существует единственный (быть может неограниченный) само-
сопряжецный оператор В, такой, что
Доказательство. Пусть А — инфинитезимальный оператор полу-
полугруппы {U (t)}. В силу VIII.1.8 и VIII.1.11 Л —замкнутый оператор
с плотной областью определения, причем его резольвентное мно-


6. Унитарные полугруппы 411
жество содержит всю правую полуплоскость Re Я > 0. Более того,
мы имеем
I*] R (Я; А) х = J e-W (t) х dt, Re Я > 0.
о
Положим S(t) = U (/)* = {U (О} для t > 0. Ясно, что S (*4) S (t2) =
= S (f 4 +t2). Для /i > t2 получаем | S (f 4) л; — S (/2) ^ | =
= | x — U fa) S (t2) * | = l * — ^ (^1 — ^2) x |, и, следовательно,
(S^)* —S(/2)*| = l* —^(l'i — '2|)*| для всех /i,*2>0. Таким
образом, {S (t)} является также сильно непрерывной полугруппой.
Ясно, что S(t)* = {S(t)yl = U(t) для />0. Если х?Ъ(А), то
,. S(t)x — х ,. о 7,ч /'л: — U(t)x\ Л
Таким образом, если А± — инфинитезимальный оператор полугруппы
{S(t)}, то ^э-А Точно так же получаем, что — Л^Д.
Следовательно, А^ = — Л, и
оо
[**] # (Я; — А) х - J в-^'У @* * df, Re Я > 0.
о
Положим теперь В= — iA. Используя равенства R(Я; аВ) =
= (XI — aB)~1 = a~1R(ka~1; В) и формулу [*], мы видим, что
оо
R( — iX; B)x = i \ e~uV(t)xdt, ReЯ>0,
о
и если —/Я = [х, то
оо
i? (fx; В) x = i[ e-WU (t) x dt, Im fx < 0.
Точно так же из [**] получаем
оо
R (fx; В) х = — / J е^Ч/ @* JC Л, Im fx > 0.
о
Таким образом, если Imfx>0, то
оо
(R (fx; В) *, у) = - i J *** (I/ (/)* ^, у) dt =
= - i
= — I' J ^ (л:, t/
о
о
= (х, i J e-'S't/ @ г/ Л) = (х, R (JT; Б) у).


412 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Следовательно, R(\i\ B)* = R(\x; В). Используя лемму 1.6(Ь)
и 1.6(с), находим \il — В* = |л/ — В, и тем самым В* = ?, т. е. В
самосопряжен.
Если ? —разложение единицы для оператора В и V(t) — eitB,
то по теореме 2.6
(V(t)x,y)=
— оо
Следовательно, для Re |л > 0 в силу теоремы Фубини и теоремы 2.6 (е)
мы имеем
оо оо -j-°o
^e-^(V(t)x,y)dt = ^ J е-&-** (Е (dk) x, y)dt =
0 0 -оо
+00
-\~^(E№)x, у) = (R(щ iB)x, y).
—oo
Так как R (fx; iB) = R (fx; Л), то из [*] вытекает, что
J -^ (V @ ^, у) Л = ^ е-**' (U @ ^ у) Л, Re fx > 0.
о о
По лемме VIII. 1.15 e~et (V (t) х, у) = ^"8/ ((/ (t) х, у) для / > 0 и про-
произвольного е > 0. Следовательно, [/ @ = V (t) для / > 0, и теорема
доказана.
7. Каноническая факторизация
В этом параграфе будет доказано, что всякий замкнутый опе-
оператор Т с плотной областью определения в гильбертовом простран-
пространстве имеет единственное разложение Т = РА, где А — положитель-
положительное (т. е. (Ах, л;)>0, х^Ъ(А)) самосопряженное преобразование,
а Р — частичная изометрия (см. определение 4 ниже). Этот результат
можно рассматривать как обобщение того факта, что всякое ком-
комплексное число а имеет единственное представление a = reie, где
г>0, а |eie| = l. По аналогии с тем фактом, что r = (aaI/2, мы
прежде всего попытаемся получить самосопряженный оператор А
из оператора Т*7\
1. Лемма. Пусть Т —замкнутый линейный оператор с плотной
областью определения. Тогда
(a) Ф(Т*) плотно и Г** = Т;
(b) (/ + ГТ) существует и является ограниченным самосо-
самосопряженным преобразованием;


7. Каноническая факторизация 413
(c) Т*Т самосопряжен и положителен;
(d) если Т - сужение оператора Т наЪ (Т*Т), то Г (Г) = Г (Г).
Доказательство. По лемме 1.5 Г (Т*) = [А2Т (Т)]-1, где Л2 —
изометрический изоморфизм [л:, г/]—>[у, —л:] пространства $©$
на себя. Таким образом, если х?[% (Т*)]-Ц то
[*, 0] б [Г (Т*)]± = [Л2Г (Т)]±1 = WJf) = Л2Г (Т).
Здесь мы воспользовались тем фактом, что Т замкнут. Следова-
Следовательно, [0, —х]?Г(Т), и, таким образом, # = 0. Этим показано,
что ®(Т*) плотно в ig. Для доказательства равенства Т** = Т
покажем, что Г (Т**) = Г(Т). По лемме 1.5
Г (Т**) = [Л2Г (Т*)]± = [А2 [Л2Г (Т)]1]1 =
- [Л22Г (Т)]1± = [ -Г G)]±± = Г (Т).
Этим закончено доказательство утверждения (а).
Так как Т замкнут, то многообразие ф (Т) со скалярным про-
произведением (л:, у\ = (х, у) + (Тх, Ту) есть гильбертово простран-
пространство, которое мы будем обозначать через ^. Кроме того, в ^
функция (л:, у) является эрмитовой билинейной формой. Неравен-
Неравенства | (л:, у) \<С\х\ \y\^\x\i \y |i показывают, что она непрерывна.
Из леммы Х.2.2 вытекает существование такого ограниченного
самосопряженного оператора А в g4, что (л:, у) = (Ах, у)и
Ъ
{)
Мы можем также рассматривать А как отображение из всюду
плотного подпространства ®(Т) в g в пространство g4. В этом
случае А все еще остается непрерывным, так как
| Ах IJ = {Ах, Ax)i = (А2х, x)i - (Ах, х), х?% (Т),
и в силу приведенных выше неравенств
(Ах, х) < | Ах 11 л: | < | Ах |41 л: |,
и тем самым |Лх|!<|л:|. По теореме 1.6.17 А может быть един-
единственным образом продолжен до непрерывного отображения В
из <q в §!. Из соображений непрерывности следует, что (Вх, y)i =
= (*, у) для х?%, У?Ъ(Т) и что IBjcKIBjcI^IjcI для х?%.
Таким образом, рассматривая В как отображение из <q в плотное
его подмножество, мы видим, что В является оператором в g
с нормой, не превосходящей единицы. Так как для х,у, принадлежа-
принадлежащих плотному множеству ®(Т), мы имеем
(Вх, у) = (Ах, у) = (Л2*, */)i - (Лл:, ЛуL - (*, Лу) = (л:,
то оператор В самосопряженный. Далее, для х?$, у
(х, у) = (Вх, у), = (Вх, у) + (ТВх, Ту) =
= (Вх, у) + (Т*ТВх, у) = ((/ + Т*Т) Вх, у).
Так как ®(Т) всюду плотно, то A + Т*Т)Вх = х для


414 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
С другой стороны, если х?Ъ(Т*Т) и y?!fe, то В*/6©(Т) и
(В (I + Т*Т) х, у) = ((/ + Т*Т) х, By) =
= (х, By) + (Тх, ТВу) = (лг, By), = (Вх, у), = (*, у).
Таким образом, В (I + Т*Т) х = х для х ? Ф (ГТ) = © (/ + ГГГ). Этим
закончено доказательство утверждения (Ь).
По лемме 1.6 (/ + Т*Т)* = (В)* = (В*) = В = / + ^*Г, так что
оператор / -f T*T самосопряженный. Но так как (Т*Т)* =
= (/ + Т*Т)* —/ = Т*Г, то и Т*Т самосопряжен. Соотношение
(Т*Тд:, jc) = (Тх, Тх)>0,
показывает, что Т*Т положителен, и тем самым (с) доказано.
Пусть теперь Т — сужение оператора Т на ^(Т*Т) и 3? —орто-
—ортогональное дополнение к Г (Г') в замкнутом многообразии Г (Т)
в € © €• ПРИ этом [л:, Тл:] g $ тогда и только тогда, когда (х, у), =
= ([^, Г*], [у, Ту]) = 0 для всех у?%(Т') = %{Т*Т). Для проверки
утверждения (d) докажем, чтб если [х, Тх]?$, то л: = 0. Так как
В$=$(/+Т*Т) = $(Т*Т), то из соотношения (х, t/)i=0, у g©(T*T)r
вытекает, что (дс, В2)! = (Вл:, 2)!=О для всех 2gig. Так как (Вх, z)i =
= (*, г), то л: = 0, ч. т. д.
Далее нам потребуются некоторые сведения о положительных
самосопряженных преобразованиях и квадратных корнях из них.
2. Лемма. Самосопряженное преобразование Т положительно
тогда и только тогда, когда его спектр о(Т) является подмно-
подмножеством интервала [0, оо).
Доказательство. Пусть Е — разложение единицы для Т, так что
по теореме 2.3 мы имеем
п
-п, п})= J XE(dX) = E([-n, n])TE{[ — n, п]).
— П
Тогда, также по теореме 2.3, Тпх—>х для всех х?%(Т). По тео-
теореме 2.9(Ь)
И a(T)U{0}=> U о(Тп)=>о(Т).
п=1
Таким образом, если о (Т) е [0, оо), то из теоремы Х.4.2 вытекает,
что Тп>0. Следовательно, GХ х) = \'\т(Тпх, х)>0, и преобразо-
п
вание Т положительно. Обратно, если Т>0, то (Тпх,х) =
= (ТЕ ([ — п,п])х,Е([—п,п])х)>0, т. е. Тп>0. Таким образом,
по теореме Х.4.2 a (Tn) s [0, оо). Следовательно, [*] показывает,
что о (Т) ^ [0, оо), ч. т. д.


7. Каноническая факторизация 415
В следующей лемме утверждается, что положительное само-
самосопряженное преобразование имеет единственный положительный
«квадратный корень».
3. Лемма. Если Т — положительное самосопряженное преобра-
преобразование, то существует единственное самосопряженное преобра-
преобразование Л, такое у что А2 = Т.
Доказательство. По лемме 2 о (Т) s [0, оо), и по теореме 2.6 (d)
положительная функция f(X) = X1/2 на а (Г) определяет самосо-
самосопряженный оператор Л = /(Т). В силу следствия 2.7 (с) A2 s T
и ф(Л2) = ®(Г)П® (А). Но из теоремы 2.6 (а) вытекает, что
Ф(Т)дф(Л), и потому ®(Л2) = Ф(Т). Таким образом, Л2-Г.
Положительность А следует из теоремы 2.9 (Ь) и леммы 2. Для
проверки единственности А предположим, что В2 = Г, где В также
самосопряжен и положителен. Пусть б — борелевское множество
в [0, сю), 6i = {b\k€[0, сю), А,1/2?б}, и пусть Е(-;А), Е(-;В)
и ?(•; Г) — разложения единицы для операторов Л, В и Г соот-
соответственно. Тогда по теореме 2.9 (с) Е (б; А) = Е Ft; T) = E F4; В2) =
= ?F; В). Таким образом, ? (•; Л) = Е (•; В) и потому по тео-
теореме 2.3 Л = В, ч. т. д.
Теперь мы введем в рассмотрение класс операторов, которые
в нашем анализе будут соответствовать множителям eiQ в числовом
случае. На первый взгляд может показаться, что подходящим
для этого классом являются унитарные операторы. Однако простой
пример показывает, что такое предложение не является приемле-
приемлемым. Рассмотрим, например, двумерное гильбертово пространство
и оператор, матрицей которого служит
/« 0\
\о о/-
Ясно, что соответствующее разложение должно иметь вид
/а 0\ [е™ 0\ /г 0\
\о ог \о -о/ \о о/'
где а ==r^ie — разложение числа а. Однако первая матрица в пра-
правой части есть не изометрия, а лишь частичная изометрия; точный
смысл этого понятия объясняется в следующем определении.
4. Определение. Ограниченный линейный оператор Р в гиль-
гильбертовом пространстве Jg называется частичной изометрией, если
существует такое замкнутое подпространство Ш, что | Рх \ = | х \
для х ? Ш и Р (9Л-1-) = {0}. Подпространство ЯК называется началь-
начальной областью оператора Р, а Р5Ш ( = Pig) — его конечной областью.


416 Гл. XII, Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
5. Лемма. Ограниченный линейный оператор Р в гильбертовом
пространстве является частичной изометрией тогда и только
тогда, когда Р*Р —проектор. В этом случае РР* также является
проектором, и области значений операторов Р*Р и РР* служат
соответственно начальной и конечной областями оператора Р.
Доказательство. Если Р*Р — проектор, положим Ш =
Тогда для х?Ш и у^Ш^ мы имеем
| х |2 = (х, х) = (Р*Рх, х) = (Рх, Рх) = | Рх |2,
ъ = (Р*Ру, у) = (Ру, Ру) = \
и, таким образом, Р — частичная изометрия с начальной обла-
областью Ш. Для проверки того, что РР* — проектор, областью значе-
значений которого служит конечная область У1 = РШ, примем за Q
оператор, который равен Р'1 на 91 и нулю на 91-4 Если *?5ft,
то Qx^tll и, таким образом, Qx = P*PQx = Р*хи х = РР*х. Вместе
с тем если у ±5Л = РШ = Pig, то Р*у = 0 и РР*у = 0. Таким образом,
РР* — проектор, областью значений которого является 9l = P9Ji,
конечная область оператора Р.
Чтобы завершить доказательство, достаточно проверить, что Р*Р
является проектором, если Р — частичная изометрия. Пусть
х, v?Ш — начальной области оператора Р. Тогда тождество |x+v |2=
= | Рх+ Pv |2 показывает, что (#, v) + (v, x) = (Рх, Pv) + (Pv, Px).
Следовательно, Re (#, v) = Re (Рх, Pv). Так как Im (x, v) = Re (#, iv),
то (х, v) = (Px, Pv), если х, v^W. Если х?Ш и ю^Ш1, то Pw=0,
и тем самым 0 = (х, w) = (Px, Pw). Таким образом, для любого
вектора у в гильбертовом пространстве мы имеем (х, у) = (Рх, Ру),
если х?Ш. Это означает, что (#, у) = (Р*Рх, у) для всех у
и, следовательно, Р*Рх = х для х?Ш. Так как Р обращается
в нуль на Ш^, то таким же будет и Р*Р. Тем самым Р*Р — орто-
ортогональный проектор на ЭД1, ч. т. д.
6. Следствие. Р является частичной изометрией тогда
и только тогда, когда Р* — частичная изометрия.
7. Теорема. Если Т — замкнутое преобразование с плотной
областью определения, то оно может быть представлено и притом
единственным способом в виде произведения Т — РА, где Р —
частичная изометрия с начальной областью 5R(T*), a A — такое
самосопряженное преобразование, что ffi(A) = 8i G1*).
Доказательство. Пусть А — положительный квадратный корень
оператора Т*Т; его существование вытекает из леммы 3 и леммы 1 (с).
Тогда (Ах, Ах) = (А2х, х) = (Т*Тх, х) = (Тх, Тх) для х?<?)(Т*Т).
Если положить Р0Ах = Тх для х ? 3) (Т*Т), то Ро —корректно опре-


8. Теоремы о моментах 417
деленная изометрия с областью определения ffi (А'), где Л' — суже-
сужение оператора Л на 3) (Т*Т).
Так как Т*Т = А*А, то лемма 1 (d) показывает, что Г (А') плотно
в Г (Л). Таким образом, если [я, у]?Г(Л), то существует после-
последовательность {[хп, уп]} cz Г (Л'), такая, что [хп, уп] —> [*, у]. Следо-
Следовательно, уп—> У и 9}(Л') плотно в ffi(A). Пусть ?! —изометри-
—изометрическое расширение оператора Ро на 91 (Л) и Е — перпендикулярная
проекция fe на 91(Л). Если положить Р = РХЕ, то Р — частичная
изометрия с начальной областью ffi(A). Более того, РАх = Тх
для х?<?)(Т*Т).
Пусть {уп} — последовательность элементов из ф (Л), такая,
что уп—>У и PAyn—>z. Так как Р — изометрическое отображе-
отображение ffi (Л), то Ауп сходится к некоторому элементу и. Поскольку Л
замкнут, у^Ъ(А) и Ау^и. Таким образом, #?Ф(РЛ) и PAy=z.
Следовательно, РЛ замкнут.
Проверим теперь формулу Т = РА. Пусть Т' — сужение Т
на Ф(ГТ). Тогда по лемме 1 (d) Г (Г') плотно в Г (Г). Если
х?%(Т), то существует последовательность {[хл, Тхп]} cz Г(Т'),
сходящаяся к [х, Тх]. Так как РЛл:п — Глгл и РЛ замкнут, то
РЛж = НтРЛд;л = Нт71л:л = 71х. Таким образом, Т^РА. С другой
стороны, Г (Л') плотно в Г (Л). Таким образом, если х^Ъ(А),
то существует последовательность {[хп, Ахп]} элементов из Г (Л'),
сходящаяся к [х, Ах]. Так как РАхп =¦ Тхп и Г замкнут, то РАх —
= lim PAxn = lim Txn=^Tx. Таким образом, РА^Т и, следова-
следовательно, РЛ = 7\
Соотношение 9?(Л) = 9?(Т*) является следствием лемм 1.6 (d)
и 1(а), ибо А*х=Ах = 0 тогда и только тогда, когда Г*** = Тх ==
РЛ 0
Покажем, наконец, что разложение Г = РЛ единственно.
По лемме 1.6 (с) ЛР* = Г*. Следовательно, Г*Г = ЛР*РЛ. Так как
по лемме 5 Р*Р есть проектор на ?И (Л), то Т*Т = А2. Единствен-
Единственность Л вытекает теперь из леммы 3. Так как преобразование Л
единственно, то Р однозначно определяется на 3ft (Л) уравнением
Р (Ах)=*Тх. Кроме того, продолжение Р по непрерывности с Ш (Л)
на 9v (Л) единственно. Так как Р равен нулю на ЭТ (Л)-^-, то отсюда
вытекает, что Р однозначно определяется по оператору Г, ч. т. д.
8, Теоремы о моментах
Термин момент, использованный в заголовке этого параграфа,
был введен в математическую терминологию Стильтьесом, который
в знаменитом мемуаре [1 ], 1894 г., сформулировал и решил то, что он
назвал проблемой моментов. Терминология, заимствованная из тео-
27 Заказ № 134


418 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
ретической механики, связана со следующей ситуацией: если
fx (б) —масса, распределенная на множестве б прямой, то инте-
интегралы [ t\i(dt), \ t2\i (dt) дают статический момент и момент инер-
инерции относительно начала отсчета. Вообще интеграл \ tn\x (dt) назы-
называется /2-м моментом относительно начала отсчета на прямой,
и задача, поставленная и'решенная Стильтьесом, состоите нахож-
нахождении распределения массы fx на полупрямой [0, оо) по предписан-
предписанным ее моментам. Проблема моментов Гамбургера похожа на задачу
Стильтьеса, но отличается от нее использованием всей веществен-
вещественной оси ( — оо, оо) вместо полупрямой [0, оо). Проблема моментов
Хаусдорфа также похожа на задачу Стильтьеса, но связана с конеч-
конечным интервалом вещественной оси.
В этом параграфе мы покажем, как применить спектральную
теорему для самосопряженных операторов при доказательстве
многих результатов теории моментов. Мы начнем с решения про-
проблемы моментов Гамбургера.
1. Теорема. Пусть тп, /2 = 0, 1; 2, ...,—последовательность
вещественных чисел. Для существования неотрицательной меры \х,
определенной на борелевских множествах вещественной прямой,
оо
такой, что \ \t\n\x (dt) <oo м
— оо
оо
тп= J Гц (Л). я = 0, 1, 2, ...,
необходимо и достаточно, чтобы
п
^j mi+jCLidj ]> 0
i, 3=0
для любого конечного множества а0, ..., а„ комплексных чисел.
Доказательство. Заметим сначала, что это условие необходимо.
Действительно, если {тп} имеет такое представление и сс0, ..., ап —
любое конечное множество комплексных чисел, то
J (
i, ;=0 -oo i, j—0
* л
-оо г = 0 j=0 —oo j=Q


8. Теоремы о моментах 419
Для доказательства достаточности обозначим через 21 линей-
линейное пространство всех последовательностей ап, п = 0, 1, 2, ...,
комплексных чисел, все элементы которых при достаточно боль-
больших п являются нулями. Если 1 = [ап] и л = [Ря] лежат в 21,
то определим
п
(Е»Л) = S mi+jafij.
Тогда (?, г]) —эрмитова билинейная форма на 31, и по предположе-
предположению (?, ?)>0, |?91. Если положить |Е| =V"(E» E)» T0 отсюда
вытекает (см. доказательство теоремы IV.4.1), что выполнено
неравенство Шварца | (?, ц) | < 11 \ \ ц | и 11 + ц \ < 11 | +1 ц \ для всех
Пусть теперь 210 — подпространство в 21, состоящее из всех
таких последовательностей |, что 111 = 0. Если ri == | + ^0» где
EG Я» ?0(:2[<ъ то по неравенству Шварца (Е, %) = 0 и, таким образом,
| т) | = 111. Поэтому если через 35 обозначено факторпространство ЭД/2Г0
элементов л: = ^ + 310» S€^» то мы можем положить |лг| = |Е1.
Ясно, что при этом 95 становится нормированным пространством.
Пусть !q — замыкание в 95** подпространства к (95), где к — естест-
естественное изометрическое вложение 95 в 95** (см. И.3.19). Ввиду
леммы 1.6.7 ясно, что $ полно. Покажем, что $ — гильбертово
пространство. Так как (|, Я0) = 0, ??9t, то (Е» Л) = (Еь лО» если
l — li и г| — ri! лежат в 2Г0. Таким образом, мы можем определить
на 95 билинейную форму, полагая (х, t/) = (E» Л)> если х = 1 + Щ0,
^ = ri + 2Io. Если (х, у) продолжить по непрерывности с 95 х 95
на $q X !q (cm. 1.6.17), то ясно, что <§ — гильбертово пространство.
Далее, для Ъ = [щ]?У1 положим Т"Е = [Рг], где ро = О, $i+l = aiy
i>l. Если л^СУ^б^» то
, Л)= S ^г+;Р^= S
i,j=Q 1=1, j
оо
= 2 ^+;+1а^ = (E»
Таким образом, \Tl\* = (T% g) = 0, если Е?Я0, т. е. Г91о^91о.
Полагая 5л:=ГЕ, если *=Е + Я<ь мы получаем линейное отобра-
отображение 95 в себя, удовлетворяющее соотношению (Sx, у) = (х, Sy),
ху у g 95. Так как 95 плотно в $, то S — симметрический оператор в g.
Если J/ —отображение 31 в себя, определяемое равенствами
V [а*] - [aiJ, _то, очевидно, V (Е + л) = VE + ^Л» V (аЕ) = аУЕ,
(Vg, Vt]) = (E, л) и ^2 = /. Следовательно, l/2f0 ^ Яо и отображение
И : 95 —> 95, определяемое формулой ?/* = VI, если л: = | + 210, можно
27*


420 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
продолжить по непрерывности до отображения (которое мы также
будем обозначать через U) всего пространства ig в себя; это ото-
отображение является инволюцией (см. определение 4.17). Так как
SUx = USx для л: ?95, то из теоремы 4.18 вытекает, что S имеет
равные индексы дефекта. Таким образом, в силу следствия 4.13
S имеет самосопряженное расширение S\.
Пусть v — последовательность [1,0, 0, ...] из ЭД и # = v +
+ 2to?35- Так как 35=:®(S) и S35 ^ 35, то tf?®(Sn) для всех п.
Следовательно, по теореме 2.6
t*n(E(dt)u, ы)<оо, п>0,
где Е(-) обозначает разложение единицы для Sle Более того,
оо
(Snu, и)= \ tn(E(dt)u, и), п>0.
— со
Но (SnM, u) = (Tnv, v) = mn, /2 = 0, 1, 2, .... Таким образом,
mn=
где \i(e) = (E(e)u, и), ч. т. д.
Несложные рассуждения позволяют применить метод предыду-
предыдущего доказательства к решению проблемы моментов Стильтьеса.
2. Теорема. Пусть тп, п = 0, 1,2, ....—последовательность
вещественных чисел. Для существования неотрицательной меры fx,
определенной на борелевских множествах полупрямой [0, оо),
такой, что
/1 = 0, 1,2 ...,
о
необходимо и достаточно, чтобы
п
[*] 2 ти.;а*а#>0
i, 3=0
п
[**] 2 ^i+;+iCtiCtj > 0
для любого конечного множества а0, ..., ап комплексных чисел.


8. Теоремы о моментах 421
Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что условие [*] необ-
необходимо. Для доказательства необходимости условия [**] заметим,
оо
г»
что если тп= \ tn\x(dt), то
$ (
{, j=0 0 г, ;=0
О г=0
Для доказательства достаточности отметим, что в предполо-
предположении [**] оператор Т из доказательства теоремы 1 удовлетворяет
неравенству
оо
для всех ? = [аг](:91- Таким образом, (Sx, л:)>0 для х ? 95 и S —
неотрицательный симметрический оператор в @. По теореме 5.2
он имеет неотрицательное самосопряженное расширение Si. Если
?(•) —разложение единицы для Su то из доказательства тео-
теоремы 1 вытекает, что
оо
mn= \ tn[i(dt), n>0,
— оо
где \х(е) = (Е(е)и, и). Но по теореме 2.9 и лемме 7.2 ?((—-со, 0))=0.
Таким образом, \х(( — со, 0)) = 0 и
ч. т. д.
Несколько изменяя тот же метод, можно доказать следующую
теорему Бохнера о моментах.
3. Теорема. Пусть т — комплекснозначная функция вещест-
вещественной переменной t. Для существования конечной неотрицатель-
неотрицательной меры (I, определенной на борелевских множествах веществен-
вещественной прямой, такой, что
оо
m@= \ eits\i(ds),
— оо
необходимо и достаточно, чтобы
(а) т была непрерывна;


422 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
(Ь) для всякого множества аи ..., ап комплексных чисел
и всякого множества tu ..., tn вещественных чисел
2 (
г, j=t
Доказательство. Если т допускает представление m(t) =
оо
= \ eiis\x(dsI то непрерывность функции т вытекает из тео-
— оо
ремы Лебега (III.6.16). Более того,
j,k=l —оо —оо ;= 1
—с» ;= 1
Таким образом, необходимость условий (а) и (Ь) установлена.
Для доказательства достаточности примем за 21 множество
всех комплекснозначных функций f вещественного переменного /,
для которых f{t) = O всюду, кроме конечного числа значений t.
Если f, gdWi, положим (/, g) = ^m(t — s)f(t)g(syi эта суммаопре-
s, t
делена, так как она имеет лишь конечное число отличных от нуля
слагаемых. Тогда (/, g) — эрмитова билинейная форма на Я и по
предположению (/, /)>0. Пусть | /1 = (/, fI/2 для f ?*& и
«о={Л/е«. 1/1=0}.
Отсюда вытекает, так же как и при доказательстве теоремы 1,
что Ио — линейное подпространство в И и B10> /) = (/» ЭД0) = 0 для
/?Я. Полагая (а:, у) = (/, g) для элементов x = f-\-'uony = g~\-%
из 95 = Э/21О» мы получаем эрмитову билинейную форму на 95.
Как и в случае теоремы 1, 33 — плотное подпространство гиль-
гильбертова пространства ig и скалярное произведение в ig есть
непрерывное продолжение функции (х, у) в 95.
Для каждого t примем за V (t) отображение 21 в себя, опре-
определяемое по формуле (V @ /) (s) = / (s-t). Тогда V (s) V (t) = V(s )
для всех s и t, и
S2
Si, S2


8, Теоремы о моментах 423
отсюда в силу неравенства Шварца вытекает, что (О^о^Ио-
Следовательно, мы можем определить отображение U (t): 33 —> 95,
полагая U (t)x = V (tyf + Wo, если л; = /-[-21о?^- Тогда ясно, что
= U.(s)U(t), (U(t)x,
дЛЯ —oD<ct<.co, x,y(i$&. Так как, в частности, \U (t)x\ = \x\,
то отображение U (t) можно продолжить по непрерывности с 35
на пространство ig, и тогда равенство [*] выполняется для всех t
и х,уа$з. (Это продолжение мы также обозначаем символом U (t).)
Таким образом0, семейство {U (t)}, — оо < t < сю, представляет
собой группу унитарных операторов на J§.
Далее мы покажем, что группа {U (•)} сильно непрерывна.
Пусть л: = / + 21о?Я5, где /?Я. Тогда
[2 = 11/ (| ^ — ^21) д: — л: |2 =
= 2Re{
81, S2 8i, S2
Так как по предположению функция т(^) непрерывна, то
\U(ti)x-U(t2)x\->0
при [^ — ^1—^0 Для всех л: ^ 95. По теореме II. 1.18 это выпол-
выполнено не только для лг?а5, но и для x?!q. Таким образом, V {t) —
сильно непрерывная группа унитарных операторов.
Из теоремы 6.1 теперь вытекает существование неограничен-
неограниченного (быть может, ограниченного) самосопряженного оператора Г,
такого, что U(t)*=eiiT. Пусть Е — спектральное разложение опе-
оператора Т и V — функция, определяемая соотношениями v(t) = O
для t Ф 0, v @) = 1. Если и — элемент v -f 2l0 € 35, то по теореме 2.3
оо
m (t) = (V (t) v, v)»(I/ @ и, и) = J e«* (? (ЙЯ) и, и).
— оо
Таким образом, полагая \к(ё) = (Е (е) и, и), мы имеем m(t) =
оо
= \ eu**\i (dX), и достаточность условий (а) и (Ь) установлена.


424 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Читателю теперь будет нетрудно применить метод предыдущей
теоремы для доказательства следующего результата того же типа
для полуинтервала [0, 2я).
4. Теорема. Пусть тп, п = 0, ± 1, ±2, ...,— последователь-
последовательность комплексных чисел. Для существования конечной неотри-
неотрицательной меры, определенной на борелевских множествах [О, 2п)>
такой, что
2Я
тп= J eins\x(ds), л = 0,± 1, ±2, ...,
о
необходимо и достаточно, чтобы
п
2 Ш1-;Ща; > О
г, j=—n
для всех конечных последовательностей at, — /г<л-<я, ком-
комплексных чисел.
9. Упражнения
1. Симметрическое преобразование, область значений кото-
которого— все гильбертово пространство, является самосопряженным.
2. Если операторы Г и Г* всюду определены, то Т ограничен.
3. Пусть оператор Т самосопряжен, а В ограничен. При этом
ВТ ci ТВ тогда и только тогда, когда В коммутирует с разложе-
разложением единицы для Т. Если ВТ s ТВ, то для всякой борелев-
ской измеримой функции / оператор Bf (T) имеет замыкание
и
4. Точечный спектр симметрического оператора в сепарабель-
ном пространстве является счетным подмножеством веществен-
вещественной оси.
5. Если Т — симметрическое преобразование, определенное на
всюду плотном множестве, то
П V = (T-
— изометрическое преобразование, не обязательно всюду опреде-
определенное. Показать, что оператор Т замкнут тогда и только тогда,
когда замкнут V. Оператор / — V взаимно однозначен, имеет
плотную область значений и
Обратно, если V — изометрический оператор, имеющий плот-
плотную область значений, и такой, что I — V взаимно однозначен,
то уравнение ["] определяет симметрический оператор Т, для
которого выполнено соотношение [']. Всякое изометрическое рас-


9. Упражнения 425
ширение Vt оператора V обладает тем свойством, что I — Vx
взаимно однозначно; Г максимально среди симметрических пре-
преобразований тогда и только тогда, когда V [максимально среди
изометрических преобразований.
Оператор Г является самосопряженным тогда и только тогда,
когда V унитарен. Показать, наконец, как эта конструкция,
принадлежащая фон Нейману, может быть использована для
доказательства следствия 4.13.
6. Пусть дан максимальный симметрический оператор Г в гиль-
гильбертовом пространстве $. Показать, что Q может быть разложено
в прямую сумму
ортогональных подпространств, инвариантных относительно Г
и Г*, со следующими свойствами.
(a) Сужение Го оператора Г на ^0» определяемое уравнениями
Ф (Го) = Ф (Г) П &>. Тох = Тх, лг?ф(Г0), самосопряжено.
(b) Для каждого а существует изометрия Ua пространства $а
на L2@, со), такая, что если Га —сужение оператора Г на $а
(т.е. Ф(Гв) = Ф(Г)Пе«, Тах = Тх для *еФ(Га)), то UaTaU'a
совпадает с оператором ± /А, где А определяется соотношениями
Ф(А) =
= {/?L2@, оо)|/ абсолютно непрерывна, f'?L2@, со), /@) = 0},
При этом мы имеем -(- ^ Для всех а» если положительный индекс
дефекта оператора Г равен нулю, и —iА для всех а, если отри-
отрицательный индекс дефекта Г равен нулю. (Указание: см. тео-
теорему XIII.2.10 и следствие XIII.2.12; использовать конструкцию
упражнения 5 и разложить максимальный изометрический опе-
оператор V.)
7. Если {T(t)}t^o — сильно непрерывная полугруппа операторов
в гильбертовом пространстве с инфинитезимальным оператором А,
то {Г* {t)}t^o — сильно непрерывная полугруппа с инфинитезималь-
инфинитезимальным оператором -А*.
8. (Купер.) Инфинитезимальный оператор сильно непрерывной
полугруппы {V (t)} частично изометрических операторов с началь-
начальной областью fe имеет вид iT, где Г—максимальный симметри-
симметрический оператор с положительным индексом дефекта нуль. Обратно,
всякий такой максимальный симметрический оператор является
инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы
частично изометрических операторов с начальной областью ig.
Гильбертово пространство $ может быть разложено в орто-
ортогональную Прямую Сумму J§ = 3§о © 2 @« ТаК» ЧТ0


426 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
a) сужение оператора V (t) на $0 унитарно, t>0\
b) для каждого а существует изометрия Ua пространства
на L2@, oq), такая, что
0, 0
(/(je_0i x>u
Установить соответствующий результат для сильно непрерыв-
непрерывной полугруппы частично изометрических операторов с конечной
областью @.
9. Неограниченное преобразование Т в ig называется нормаль-
нормальным, если Т замкнуто, всюду определено и ТТ* = Т*Т. Показать,
что
a) если Т нормально, то нормально и Г*;
b) преобразование Т нормально тогда и только тогда, когда
Ф(Г) = Ф(Г*) и |Гдг| = |Г*^| для всех х?<5)(Т)\
c) нормальное преобразование не имеет собственных нормаль-
нормальных расширений (см. Секефальви-Надь [3; стр. 33, 34]).
10. Если Т = UH s HU, где Я —самосопряженное, а (/ — уни-
унитарное преобразования, то Т нормально и UH = HU. Обратно,
если Т нормально, то T = UH = HU, где U унитарно, а Н — само-
самосопряжено и положительно.
11. Замкнутый, определенный на плотном множестве опера-
оператор Т нормален тогда и только тогда, когда Ф (Т) = Ф (Г*),
а операторы Г + 71* и ?(Г — Г*) являются самосопряженными
и имеют коммутирующие разложения единицы. Оператор Т нор-
нормален тогда и только тогда, когда Т = AJriB, где Л и В —
самосопряженные операторы, имеющие коммутирующие разложе-
разложения единицы.
12. Т нормален тогда и только тогда, когда существует раз-
разложение единицы Е в комплексной плоскости Р, такое, что
Ф (Т) = 4
1
х \ lim \ Я? (с?Я) л: существует У
Тх= lim С XE(dk)x1
13. Нормальное преобразование не имеет остаточного спектра.
14. Сильно непрерывная полугруппа {Nt} ограниченных нор-
нормальных операторов может быть представлена в виде


9. Упражнения 427
где ?"(•) — спектральная мера, определенная на борелевских мно-
множествах комплексной плоскости Р. Если {Nt} состоит из само-
самосопряженных операторов, то Е(-) можно выбрать так, чтобы
интеграл в [*] нужно было брать лишь по вещественной оси,
и тогда полугруппа {Nt} непрерывна в равномерной топологии
при ^>0.
15. Пусть оператор Т замкнут. Операторы Т*Т и ТТ* унитарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда
dim {х | Тх = 0} = dim {х | Т*х = 0}.
Более общо, пусть
Тогда существует изометрическое отображение U подпространства
& на J§2, такое, что UT*Tl)-xx^TT*x, x?%2-
16. Показать, что равенство упражнения 15
dim {х | Тх = 0} = d im {x \ Т*х = 0}
выполнено не всегда.
17. (Шмидт.) Оператор Т*Т имеет те же ненулевые собствен-
собственные значения, что и оператор ТТ*, даже с учетом кратностей
(положительные квадратные корни этих собственных значений
иногда называются характеристическими числами оператора Т).
18. Пусть Т — ограниченный оператор; Т вполне непрерывен
тогда и только тогда, когда этим свойством обладает Г*Г, а это
имеет место тогда и только тогда, когда вполне непрерывен ТТ*.
Если оператор Т вполне непрерывен и {Ki9 Я2, ...} — последова-
последовательность ненулевых характеристических чисел оператора Т,
расположенных в убывающем порядке, причем каждое из них
повторяется столько раз, какова кратность его квадрата как соб-
собственного числа оператора ТТ*, то
К= min max 1^1 .
Фь..., Ф/i-i W> Фг)=О, I VI
г=1,.. ., п—1
19. Положительное вещественное число Я является характе-
характеристическим числом оператора Т тогда и только тогда, когда
существуют такие ненулевые векторы ср и г|), что
Гф = Ц, Г*г|) = Яф.
20. Пусть оператор Т вполне непрерывен и {К} — последова-
последовательность ненулевых характеристических чисел оператора Г, распо-
расположенных в убывающем порядке, причем каждое из них повторяется


428 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
столько раз, какова кратность его квадрата как собственного
числа оператора ТТ*. Пусть {ср*} — соответствующая последователь-
последовательность ортонормированных собственных векторов оператора ТТ*.
Тогда существует соответствующая последовательность {^} орто-
ортонормированных собственных векторов оператора Т*7\ такая, что
для всякого / ряды
г/=2 к {f, ф,)Ф,
i=l
сходятся в сильной топологии.
21. (Наймарк.) Существует замкнутый определенный на плот-
плотном множестве симметрический оператор Т, такой, что Ф (Т2) = 0.
22. Пусть Т = РА — каноническое разложение оператора Т.
Оператор Т взаимно однозначен тогда и только тогда, когда А
положительно определен; в этом случае Р — изометрия. Оператор
Т* взаимно однозначен тогда и только тогда, когда Р унитарен.
23. Если оператор Т имеет какое-либо замкнутое линейное
расширение, то существует единственное замкнутое линейное
расширение Т, такое, что для любого другого замкнутого линей-
линейного расширения 7\ оператора Т выполняется соотношение
Т s 7\; T называется замыканием Т.
(a) Существует определенный на плотном множестве оператор
без замкнутого линейного расширения.
(b) Оператор Т с плотной областью определения имеет замк-
замкнутое линейное расширение тогда и только тогда, когда его
сопряженный определен на плотном множестве; в этом случае
(Т)* = Г*.
24. Дать примеры замкнутых симметрических операторов,
имеющих заданную пару (т, п) порядковых чисел в качестве
индексов дефекта.
25. (Наймарк.) Пусть Г —замкнутый симметрический оператор
в гильбертовом пространстве ig. Существуют такие гильбертово
пространство ^ =! !q и самосопряженный оператор 7\ в $, что
ф (Г) = Ф G\) П & 7\* - Гх, х е Ф (Г).
(Указание: принять за Q^. прямую сумму <q и его «комплексно
сопряженного»!)
26. (Наймарк.) Пусть оператор Т такой же, как в упражне-
упражнении 25. Тогда существует функция множества F (•), определен-
определенная на борелевских подмножествах вещественной оси и имеющая


9. Упражнения 429
своими значениями положительные ограниченные эрмитовы опера-
операторы, такая, что
(a) F(-)x счетно аддитивна при каждом x?<q;
(с) Тх=-
причем интеграл по бесконечному интервалу сходится в сильной
топологии в смысле главного значения.
27. (Наймарк.) Пусть F(-)—функция множества, определен-
определенная на а-поле 2 подмножеств множества S, значениями которой
являются положительные ограниченные эрмитовы операторы
с нормой, не превосходящей единицы, в гильбертовом простран-
пространстве ф, причем F(-)x счетно аддитивна при всяком х?$.
Показать, что существует гильбертово пространство $ь содержа-
содержащее $, и счетно аддитивная функция множества ?(•)» опреде-
определенная на 2, значениями которой являются ортогональные проек-
проекции в $!, такая, что
где через Р обозначен ортогональный проектор ^ на $. (Указа-
(Указание: рассмотреть сначала случай, когда ig одномерно, а затем
обобщить найденное в этом случае решение.)
28. Пусть в гильбертовом пространстве $ задан самосопря-
самосопряженный оператор Л, причем 0<;Л<;/. Тогда существуют гиль-
гильбертово пространство $i ^ $ и ортогональный проектор Q в <qu
такой, что
Ax^PQx, x?&
где Р — ортогональный проектор ^ на Jg.
29. Пусть {Тп} — последовательность ограниченных операторов
в гильбертовом пространстве ig. Существуют гильбертово прост-
пространство ^з§и последовательность {Л^} коммутирующих нор-
нормальных операторов в $и такая, что
где Р — ортогональный проектор ^ на $. (Указание: рассмотреть
отдельно вещественные и мнимые части и использовать упраж-
упражнение 27.)


430 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
30. Пусть {Ап} — последовательность ограниченных самосопря-
самосопряженных преобразований в гильбертовом пространстве ig. Предпо-
Предположим, что для некоторой постоянной М, 0<М<оо,
для любого вещественного многочлена
неотрицательного на отрезке [-— М, М]. Тогда существуют такие
гильбертово пространство igi s ig и эрмитов оператор В в igt, что
где Р— ортогональный проектор igt на ig. (Указание: представить
м
Ап в виде \ XnF(d'k) и воспользоваться упражнением 27.)
-м
31. (Секефальви-Надь.) Пусть {Ап}, — оо<п<+оо, —рав-
—равномерно ограниченная последовательность операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве ig, такая, что .
2 rWeinQAn>0, 0<9<2я, 0<г<1.
П=—оо
Тогда существуют гильбертово пространство ^ з ig и унитарный
оператор [/ в ^1? такие, что
Апх = cPUnx, х?& — оо<я<+оо,
где Р — ортогональный проектор igt на ig, а с — положительная
постоянная.
32. (Секефальви-Надь.) Пусть Г —оператор в гильбертовом
пространстве ig и | Т | •< 1. Тогда существуют гильбертово про-
пространство igi з ig и унитарный оператор [/ в igb такие, что
Tnx = PUnx, x?ig, 0<n<oo,
где Р — ортогональный проектор igt на ig.
33. (фон Нейман.) Пусть г/(г) — аналитическая функция, опре-
определенная в круге | г \ < г, г > 1, и такая, что | и (z) | < 1 при
| z | < 1. Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве и Т \ < 1.
Тогда |г/(Т)|<1. Точно так же, если Re^(z)>0 при \z <l, то
(Т)((Т))*0 (У
д |()|< , если Re^(z)>0 при \z <l, то
и(Т)-\-(и(Т))*>0. (Указание: воспользоваться упражнением 32.)
34. Существуют такие самосопряженные операторы А и В,
что ®(Л)П©(Я) = {0}. Таким образом, для самосопряженных


9. Упражнения 431
операторов Л и В ни Л + В, ни АВ + ВА не обязаны быть само-
самосопряженными. Может даже случиться так, что АВ определен
только для {0}.
35. Множество {(Тх, х)\ |*| = 1, %?®G)} выпукло.
36. (Секефальви-Надь.) Пусть Г —график замкнутого опера-
оператора 7\ а Ег — ортогональный проектор $©$ на Г. Тогда
37. (Секефальви-Надь.) Если операторы Ап самосопряжены
для всех я>1, Апх—>АооХ для всех *?©(Ах>) и замыкание Л
оператора Лоо самосопряжено, то
(/ + Aly1 -> (/ + Л2) сильно,
Ап (I + Aly1 -> Л (/ + Л2) сильно.
1- I Лпх — АооХ [2 п
hm sup " ..Л а = 0,
I * I + I Ах Г
Если же
то
(/ + А^У1 -> (/ + Л2) равномерно,
An (I + Al)'1 -> Л (/ + Л2) равномерно.
38. (Реллих.) Пусть операторы Ап самосопряжены при всех
/2>1 и Апх—>АооХ для всех л;?®(Лоо). Предположим, что замы-
замыкание Л оператора Лоо самосопряжено и имеет разложение еди-
единицы ?(•)• Тогда /(Лп)—>/(Л) сильно для всякой ограниченной
функции / вещественной переменной, которая непрерывна всюду,
кроме, быть может, замкнутого множества С, такого, что Е (С) = 0.
Если
hm sup \ п °° 'а = 0,
f&A \хг+\ ^ооА: Г
то S(An)—>g(A) равномерно для всякой ограниченной непрерыв-
непрерывной функции g вещественной переменной.
39. Не существует двух ограниченных эрмитовых операторов
Л и S, таких, что АВ — ВА = И. Но существуют неограниченные
эрмитовы операторы, такие, что АВх — ВАх = ix для всех х из
некоторого всюду плотного подмножества гильбертова пространства.
40. (Принцип неопределенности, Гейзенберг.) Пусть Л и В —
самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, такие,
что ©о = Ф (АВ) П 3) (ВА) всюду плотно. Пусть х ? ®0; положим
= (Сх, х), о2(С) = \(С


432 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
для всякого оператора С, для которого определено Сх. Тогда
а2 (А) о2 (В)>\\ (Е (АВ - В А)) |2.
41. (Бодью.) В предположениях и обозначениях предыдущего
упражнения
а2 (А) а2 (В) > 11 (Е (АВ - В А)) |2 +11 ? (D) |2,
где
Обобщения теоремы Пэли —Винера
42. Пусть {#j} и {//j} — последовательности элементов В-про-
странства. Если для некоторого 9, 0<9<1, для всех конечных
числовых последовательностей а4, . ..,ап выполнено неравенство
2
=1
г=1
и {xi} фундаментальна, то и {yt} фундаментальна. Если
базис, то и {yt} — базис.
43. Пусть {xi} и {yi} — последовательности элементов В-про-
странства. Если для некоторой постоянной 9, 0<9<1/3, для
всех конечных числовых последовательностей аь ...,ап выпол-
выполнено неравенство
| 2
г=1
Л I 1-1
то {xt} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундамен-
фундаментальна {r/j}, и {xt} является базисом тогда и только тогда, когда
} — базис.
44. (Поллард — Секефальви-Надь.) Пусть [х{] и {yi} — после-
последовательности элементов в гильбертовом пространстве. Если
существуют такие постоянные 9Ь 92, 93, что 0<.9!< 1, 0<93< 1,
0<92<A —9^A —93), и для всех конечных числовых последо-
последовательностей аь ..., ап выполнены соотношения
S
+ 292 |Д aiXi
| 2
S


9. Упражнения 433
то {xt} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундамен-
фундаментальна {у{), и {xt} является базисом тогда и только тогда, когда
{} — базис.
45. (Поллард.) Пусть {xt} и {yt}— ортонормированные после-
последовательности элементов гильбертова пространства. Предполо-
Предположим, что при некотором |х>0 для всех конечных числовых
последовательностей аь ..., ап выполнено неравенство
п п
2 aiajixu yj)>V> 2 |а*|2-
1фЗ=1 г=1
Последовательность {xt} фундаментальна тогда и только тогда,
когда фундаментальна {//*}. (Указание: воспользоваться упраж-
упражнением 44.)
46. (Даффин — Ичес.) Пусть {хп} и {уп} — последовательности
элементов гильбертова пространства и {хп} полна и ортонорми-
рована. Предположим, что для всех числовых последователь-
оо
ностей {ап}, таких, что 2 1ад|2<°°, выполнено соотношение
71=1
| § ап(хп-уп)\'< § |а„|2;
П=1 П=1
тогда {уп} фундаментальна.
47. (Даффин —Ичес.) Пусть {хп} — полное ортонормированное
множество в гильбертовом пространстве, {Тп} — последователь-
последовательность ограниченных операторов, а апк — двойная числовая последо-
вательность, такая, что |апд|<!сд, /г,&>1. Пусть 2 сд|Тд|<;1.
Тогда соотношения
оо
Уп = Хп + 2j anhThXn
k=i
определяют фундаментальную последовательность {уп}.
48. Пусть {уг} — последовательность элементов гильбертова
пространства и 0<!9<1. Предположим, что для любой конеч-
конечной числовой последовательности аи ..., ап выполнены нера-
неравенства
п п п
А\2 ^Ч^ I г# 2 ^ [ \^ ~ f, |2 ^* /1 I А\2 "\^ ^ |2
—") /1 I ^*i *^> I ' I ^*ii/i ^> \ *¦ ~т~ ) ' I ^i •
г=1 г=1 г=1
Тогда существует ортонормированное множество {xt} векторов,
такое, что
SKI*'
г=1 \г=1
28 Заказ № 134


434 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
для любой конечной числовой последовательности аь ..., ап.
(Указание: для соответствующего отображения воспользоваться
теоремой о каноническом разложении.)
49. Пусть {Кп} — последовательность комплексных чисел, такая,
что | кп — п\ <я log 2, — оо <rt<-{-оо. Тогда {eiKnX} фунда-
фундаментальна в ?2@,2я). (Указание: записать eiKnX в виде
егпх (ецьп-п)х) и разложить второй множитель в ряд Тейлора.)
(Авторам не известно, является ли лг1 log 2 наилучшей возможной
постоянной. Левинсон [1; стр. 48, теорема 29] показал, что
постоянная не может быть больше или равняться 1/4.)г)
50. (Уолш —Боас.) Пусть gn (z) аналитичны в круге|z|< 1 и
2 \gn(z)-z"\*^Q<l
п=0
для всех z, | z | < 1. Тогда всякая функция /, аналитическая при
|z|<l и непрерывная при |г|<;1, имеет единственное разложе-
разложение
причем ряд сходится равномерно в каждом внутреннем круге.
51. Пусть (S, 2, \х) — пространство с мерой и Т — самосопря-
самосопряженный оператор в L2(S, 2, [г). Пусть е?2 — множество конеч-
конечной меры, такое, что всякая функция / из области значений опе-
оператора Т существенно ограничена на е. Показать, что для
каждого борелевского подмножества а вещественной оси, нахо-
находящегося на положительном расстоянии от точки А, —0, сущест-
существует (\х х (^-измеримая функция Е (a; s, t) переменной [s, t],
определенная на е х S, удовлетворяющая следующему условию:
s, t)\*
и такая, что для почти всех s?e
T)f)(s).
5 E (a; s»
(Указание: воспользоваться методами теоремы XII.3.11.)
Отображение/—>/(Т), где / — аналитическая функция на спект-
спектре оператора 7\ в некоторых случаях может шть продолже-
продолжено так, что f(T) будет определено для вещественной гармо-
гармонической функции. Такое продолжение было осуществлено
Кадец [1*] показал, что константа 1/4 является точной.— Прим. ред.


Р. Упражнения 435
Фойашем [1]. В двух следующих упражнениях рассматривается
частный случай продолжения Фойаша.
52. (Фойаш.) Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве Jg,
|Т]<1, М'о — вещественная алгебра вещественных функций и,
определенных и гармонических в области D (и), содержащей замк-
замкнутый единичный круг {А,||А,]<1}, и ^ — вещественная алгебра
всех вещественных функций, непрерывных в этом круге и гармо-
гармонических внутри него. Пусть обе алгебры $?q и SB упорядо-
упорядочены: u>v означает, что u(k)>v(k) для |Я|<1. Пусть &($) —
вещественная упорядоченная алгебра всех ограниченных самосо-
самосопряженных операторов в $. Для оператора S в <§ положим J? (S) =
= (S + S*)/2. Показать, что для функции /, аналитической
в области, содержащей единичный круг, оператор M(f(T)) зави-
зависит только от функции Mf(k). Таким образом, для u^SBq мы
можем определить и (Т) = M(f (T)).
(а) Показать, что отображение и—>и(Т) является сохраняю-
сохраняющим порядок линейным отображением вещественной алгебры
в «# (?3), причем
max \u(K)\.
(Указание: воспользоваться упражнением 32.)
(Ь) Распространить гомоморфизм части (а) до сохраняющего
порядок линейного отображения вещественной алгебры J# в «#(?3),
обладающего свойством
(Указание: воспользоваться тем фактом, что всякая функция
и ? SS является равномерным пределом^последовательности из S6q
в единичном круге. См. Брело [1].)
53. (Фойаш.) Показать для гомоморфизма $? —> & (^) упраж-
упражнения 52, что
(a) inf и (к) < inf (и (Т) х, х) < sup (и (Т) х, х) < sup и Ск).
|X|^i ||^1 |х!=1 |Х|^1
(b) Пусть h —комплексное число и {хп} — последовательность
в ig, такая, что | хп | = 1 и (kl — Т)хп —> 0. Тогда
(и(Т)хп, хп)—>и(к).
(c) Если к?ор(Т), х% — вектор с нормой |хя|=1 и Тх^ =
==: кХ\, ТО
28*


436 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
10. Примечания и дополнения
Спектральная теорема. Спектральная теория ограниченных
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве была
по существу создана Гильбертом [1; IV], хотя, как мы уже отме-
отмечали в § Х.9, он излагал свои результаты в терминах квадра-
квадратичных форм. По духу и терминологии к нашему изложению
немного ближе книга Ф. Рисса [6]. Первый значительный шаг
в анализе неограниченных симметрических операторов был сделан
в 1923 г. Карлеманом в его исследованиях по сингулярным
интегральным уравнениям. Однако лишь несколькими годами
позже, в 1927 г., очевидно под влиянием развития квантовой
механики, фон Нейман [8] обратил внимание на разложение
неограниченных самосопряженных операторов. В своей поистине
классической работе [7] фон Нейман систематически и полно
развивает теорию неограниченных операторов. Вскоре к этой
работе присоединился Стоун [3,10]. В 1930 г. Ф. Рисе [14] дал
изящное элементарное доказательство спектральной теоремы для
неограниченных самосопряженных операторов. В то же время
было дано много различных доказательств спектральной теоремы.
Соответствующие ссылки читатель найдет в § Х.9.
Работа Карлемана показала, что одна симметричность не явля-
является достаточным условием для получения обобщения спектраль-
спектральной теоремы для неограниченных операторов.. По фон Нейману
[7; стр. 72], понятие неограниченного самосопряженного опера-
оператора принадлежит Эрхарду Шмидту, заметившему (фон Нейман
[7; стр. 62]), что для получения спектрального разложения необ-
необходимо сосредоточить внимание на таких операторах. Следует
иметь в виду, что вместо терминов «симметрический» и «само-
«самосопряженный» фон Нейман и некоторые другие авторы используют
термины «эрмитов» и «гипермаксимальный эрмитов».
График оператора впервые рассмотрел фон Нейман [16], хотя
еще до этого он получил результаты, изложенные в § 1. Поня-
Понятие графика оператора из одного гильбертова пространства в дру-
другое систематически использовалось Мерреем [4]. Тот результат,
что всюду определенный симметрический оператор ограничен
и самосопряжен, по существу принадлежит Хеллингеру и Теп-
Теплицу [1]; см. также Стоун [3; стр. 59], Стоун и Тамаркин [1]
и фон Нейман [7; стр. 107].
Леммы 2.1 и 2.2 в явной форме были даны Стоуном [3; стр. 142,
145— 146]. Относительно теоремы 2.3 см. фон Нейман [7; стр. 92],
Ф. Рисе [14; стр. 51] и Стоун [3; стр. 180] и ссылки, приведен-
приведенные ранее. Операционное исчисление, описанное в теоремах 2.6
и 2.7, принадлежит Стоуну [3; гл. VI, § 2] и фон Нейману [16].
Теорема 2.10 восходит к работе Стильтьеса и была получена


10. Примечания и дополнения 437
для ограниченных операторов Хеллингером [1] и для неограни-
неограниченных—Стоуном [3; стр. 163, 183].
Спектральное представление. Задача установления унитарной
эквивалентности двух самосопряженных операторов тесно связана
с теориями спектрального представления и спектральных типов.
Первая часть § 3 тесно связана с результатами Стоуна [3; гл. VII],
распространившего на неограниченные операторы теорию Хеллин-
гера [1] и Хана [5] об ограниченных формах. См. также Ахиезер
и Глазман [1; § 69 — 73], Халмош [6], Накано [10, 11], Плеснер
и Рохлин [I]1), Сигал [5] и Веккен [2].
Аналитическое представление, описанное в § 3, получено
Бейдом и Шварцем [1]. Они несколько улучшили результат Mayт-
нера [1] о разложениях по абстрактным собственным функциям.
Результат Маутнера был также уточнен и использован Гор-
дингом [1] и Ф. Браудером [I]2). Эти теории рассматриваются
в следующих главах о дифференциальных уравнениях.
Расширение симметрических операторов. Задача о том, имеет
ли данный симметрический оператор самосопряженное расшире-
расширение, имеет первостепенное значение при решении вопроса о воз-
возможности применения спектральной теоремы. Если решение задачи
положительно, то важно знать, какой вид имеют самосопряжен-
самосопряженные расширения и как они связаны с исходным оператором. Все
эти сложные задачи рассмотрены в § 4. Основные теоремы пер-
первой половины этого параграфа принадлежат фон Нейману [7]
и были также исследованы Стоуном [3; гл. IX]. Метод, исполь-
использованный нами, однако, ближе к методу Калкина [1]. Он имеет
то преимущество, что дает абстрактный подход к выбору само-
самосопряженных расширений путем наложения соответствующих огра-
ограничений («граничных условий») на область определения само-
самосопряженного оператора. Читатель увидит, однако, что развитие
этого подхода, данное нами, в деталях существенно отличается
от метода Калкина [1].
В § 4 мы рассмотрели симметрический оператор Т с плотной
областью определения в $ и нашли расширения Т, являющиеся
самосопряженными операторами в ig. Существует по крайней
мере два пути обобщения этой задачи. Первый из них —отка-
—отказаться от требования плотности области определения Т и пред-
предполагать, что оператор Т симметричен в том смысле, что
(Тх, у) = (х, Ту) для всех х,у?Ъ(Т). Эта задача была рассмот-
х) См. также Плеснер [3*].— Прим. ред.
2) Точнее, Гордингом и Браудером было показано, что условиям Маут-
Маутнера удовлетворяют эллиптические операторы. — Прим. ред.


438 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
рена для ограниченных операторов М. Крейном [9] и для неог-
неограниченных— Красносельским [1, 2, 4]. Другой возможный путь
обобщения — искать самосопряженные расширения, но разрешить
расширенному оператору действовать в гильбертовом пространстве,
содержащем исходное. В § X.9 мы обсуждали некоторые связан-
связанные с этим задачи, рассмотренные Наймарком [3], Секефальви-
Надем [И] и другими авторами. Можно показать, что любой
симметрический оператор с произвольными индексами дефекта
имеет самосопряженное расширение в некотором большем гиль-
гильбертовом пространстве (см. Наймарк [7, 8] или Секефальви-Надь
[11; § 2]I). Отсюда вытекает, что симметрический оператор может
быть представлен в виде, напоминающем спектральную теорему,
но • полной аналогии здесь, конечно, нет. За более подробным
обсуждением этих вопросов читатель может обратиться к статьям,
указанным в приложении I книги Ахиезера и Глазмана [1].
Расширение с помощью преобразования Кэли. Ввиду важности
и частой применимости этого способа дадим краткую схему того,
как можно использовать преобразование Кэли для установления
существования самосопряженного расширения симметрического
оператора. Пусть Т —симметрический оператор с областью опре-
определения S)G), плотной в $. Если #?©G), то мы имеем
i{x, Tx)±i(Tx, x) + (x, x) =
Поэтому если (Т ± И)х = 0, то х = 0, и, таким образом, опера-
операторы Т ± il имеют обратные. Пусть V — оператор с областью
определения 3)(Ю = G + *7)ф G) и
Оператор V называется преобразованием Кэли оператора 7. Если
yZ&iV), то пусть л: —такой элемент в 2) (Г), что у=.(Т + 11)х;
следовательно, д: = G + //)-1г/. Так как | (Т + И)х \2 = | G — il)x |2
для всех х?% G), то
для всех #?2)(V). Тем самым показано, что преобразование Кэли
симметрического оператора изометрично, но, вообще говоря,
не является всюду определенным или обратимым. Обратно, если
W — любой изометрический оператор, для которого (I — W)^W
всюду плотно, и если S определен по формуле
х) Этот результат полностью принадлежит М. А. Наймарку [7, 8].
— Прим. ред.


10. Примечания и дополнения 439
то S — симметрический оператор с областью определения
(/ — W)% (W). Более того, если эту операцию применить к преоб-
преобразованию Кэли V оператора Т, то S = Т. Следовательно, суще-
существует взаимно однозначное соответствие между симметрическими
операторами Т с плотной областью определения и изометрическими
операторами 1/, для которых (I— V) 2) (V) плотно в $. Оператор Т
замкнут тогда и только тогда, когда замкнут V; аналогично если
Ti ^ Т2, то их преобразования Кэли связаны соотношением V{ я= V2,
и обратно. Наконец, Т самосопряжен тогда и только тогда,
когда V унитарен.
Поэтому ясно, что задачу нахождения самосопряженных рас-
расширений симметрического оператора Т можно рассматривать как
задачу нахождения унитарных расширений преобразования Кэли
для Т. Предположим для простоты, что Т замкнут, тогда 2) (V)
и 31 (V) — замкнутые подпространства. Положим Ф+= $ © 5) (V)
и ®_ = $ ©8*00 и обозначим размерности этих подпространств
через d+ и d_ соответственно. Можно доказать, что ©+ и ®_
совпадают с многообразиями, введенными в определении 4.9,
и что изометрический оператор V унитарен тогда и только тогда,
когда 2)A/) — ig ==§R (V), т. е. если d+ = O = d_. Ясно также, что
замкнутый изометрический оператор имеет унитарное расширение
тогда и только тогда, когда существует изометрическое отображение
ф+ на ©_, а это может быть тогда и только тогда, когда d+ = d_.
Этот изящный процесс расширения оператора был предложен
фон Нейманом [7] и использовался также Стоуном [3; гл. IX},
Риссом и Секефальви-Надем [1; § 123] и Ахиезером и Глазманом
[1; § 78-80].
Максимальные симметрические операторы. Если Т — симмет-
симметрический оператор с плотной областью определения, то он имеет
собственные симметрические расширения лишь при условии, что
оба его индекса дефекта отличны от нуля. Максимальным сим-
симметрическим оператором называется оператор, не имеющий
собственных симметрических расширений; следовательно, замкну-
замкнутый симметрический оператор максимален, если по крайней мере
один из его индексов дефекта равен нулю. Если оба индекса
равны нулю, то оператор самосопряжен. Если же d+фО, d_ = 0
или d+ = 0, d_=^0, то оператор не самосопряжен и не имеет
самосопряженных расширений (в том же гильбертовом прост-
пространстве). Следует отметить один интересный принадлежащий
фон Нейману результат о приведении симметрических операторов
к стандартному виду [7; стр. 98] (см. также Стоун [3; стр. 351]
и Ахиезер и Глазман [1; § 82]).
Пусть ig — сепарабельное гильбертово пространство,
{хи х2, ...} —полная ортонормированная система в $, a V^ — опера-


440 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
I оо
тор сдвига, определяемый в ig по формуле Vi 2 chXk) =
оо
= S CkXk+i. Нетрудно видеть, что I/, изометричен, а ©(/ — УЛ
плотно в $, так что V{ является преобразованием Кэли некото-
некоторого симметрического оператора 7\ с индексами дефекта d+ = 0
и d_ = L Оператор 7\ называется элементарным симметрическим
оператором. Можно доказать, что если Т — максимальный сим-
симметрический оператор с индексами d+ = 0, d_ = n (где п — любое
порядковое число), то ig можно разложить в прямую сумму
попарно ортогональных подпространств $0> 4?i' •••»&» таких,
что оператор Т самосопряжен в $0 и является элементарным
симметрическим оператором в пространствах Qu ..., $п. Случай
d+ = n, d_ = 0 можно исследовать, рассмотрев оператор —Т с
индексами 0, п или оператор сдвига в противоположном направ-
направлении.
Индексы дефекта. Из теоремы 4.19 следует, что понятие
индексов дефекта не зависит от чисел ± i, используемых в их
определении. Г. Вейль [5] показал это в случае дифференциальных
операторов. Если Т — линейный оператор с плотной областью опре-
определения, то через у(Т) обозначим множество всех комплексных
чисел Я, таких, что обратный оператор (Т — Я/) существует
и ограничен на своей области определения. Множество у (Т) назы-
называется областью регулярности оператора (или множеством точек
регулярного типа) и содержит резольвентное множество q(T)
и, быть может, часть остаточного спектра. Можно показать, что
это — открытое множество; рассуждения, опирающиеся на идею
непрерывного продолжения, приводят к выводу (см. Ахиезер
и Глазман [1; § 78]), что размерность дефектных пространств
$0(Г — XI) 25 постоянна в каждой связной компоненте y(^)-
(Этот результат принадлежит Крейну и Красносельскому [2].
Он показывает, что если Т — симметрический оператор и по крайней
мере одно вещественное число лежит в у (Г), то индексы дефекта
равны. Последний результат был установлен Калкиным [3].)
Полу ограниченные операторы. Фон Нейман [7; стр. 103] дока-
доказал, что полуограниченный симметрический оператор может быть
расширен до самосопряженного оператора со сколь угодно малым
изменением границы. Он высказал предположение, что на самом
деле нет необходимости в увеличении границы, и это предполо-
предположение было доказано Стоуном [3; стр. 388] и Фридрихсом [3; I].
Упрощение доказательства Фридрихса, данное Фрейденталем [3],
приведено в тексте. Другие доказательства теоремы см. Калкин [3J


10. Примечания и дополнения 441
и Эберлейн [2; стр. 699], а приложения к уравнениям в частных
производных см. Фридрихе [3].
Расширение Фридрихса определяет специальное расширение
симметрического полуограниченного оператора. Крейн [9] провел
систематическое изучение всех расширений полуограниченного опе-
оператора, а также рассмотрел приложения к дифференциальным
уравнениям. Подход Крейна близок к методу расширения с помощью
преобразования Кэли и кратко рассмотрен Риссом и Секефальви-
Надем [1; § 125].
Унитарные полугруппы (см. также замечания в § VIII. 10).
Теорема 6.1 была сформулирована в 1930 г. Стоуном [10; III] для
случая группы унитарных операторов. Были даны многочисленные
доказательства этой знаменитой и важной теоремы; см., например,
Стоун [16^, фон Нейман [10], Бохнер [7], Ф. Рисе [22], Секе-
фальви-Надь [14], Накано [17] и Купер [3]. См. также Рисе
и Секефальви-Надь [1; § 137—140], где дано два доказательства,
в том числе доказательство Бохнера (основанное на его хороша
известной теореме о моментах), и Ахиезер и Глазман [1; § 62].
Дополнительные ссылки см. у Хилле [1; гл. IX]. Применения
теоремы Стоуна к эргодической теории и квантовой механике
см. фон Нейман [20] и Маеда [1]. Плеснер [1] получил аналог
теоремы Стоуна для полугруппы операторов, удовлетворяющих
условию U*U = /, но необязательно удовлетворяющих равенству
UU* = I.
Теоремы, дающие представление групп и полугрупп самосо-
самосопряженных, нормальных и изометрических операторов, можно
найти у Хилле [1; гл. XIX], Рисса и Секефальви-Надя [1; § 141}
и Секефальви-Надя [3; стр. 73—76], [14].
Теорема Стоуна была распространена на унитарные представ-
представления локально компактных абелевых групп Наймарком [1],
Амброзом [4], Годманом [5], Арну [1] и Филлипсом [5]. (См. также
Люмис [1; стр. 147].)
Каноническое разложение. Результаты и методы § 7 принадле-
принадлежат фон Нейману [16]. Читатель может также обратиться к рабо-
работам Рисса и Секефальви-Надя [1; § ПО] по поводу ограничен-
ограниченных операторов и Стоуна [3; стр. 329—333] и Секефальви-Надя
[3; стр. 52—53] по поводу неограниченных операторов. Отметим,
что лемма 7.1 показывает, что если Г —замкнутый оператор
с плотной областью определения, то Т*Т имеет плотную область
определения. Это утверждение контрастирует с примером Най-
марка [6] замкнутого симметрического оператора Т с плотной
областью определения, но такого, что областью определения Г2
является лишь {0}.


442 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Теоремы о моментах. Детальное изучение различных теорем
о моментах, исторические замечания и многочисленные ссылки
читатель может найти в превосходной книге Шохата и Тамаркина [1 ].
Более сжатое изложение дано Уиддером [1; гл. III]. О связях
.между теоремой Рисса о представлении функционалов в С [0, 1]
и теоремой о моментах см. Гильдебрандт [8] и Гильдебранд и Шён-
Шёнберг [1].
Теорема 8.3 принадлежит Бохнеру [6; § 20] и играет важную
роль в гармоническом анализе. Она также доказана у Э. Хопфа
[1; § 4] и Ахиезера и Глазмана [1; § 60]. Накано [18] доказал
этот результат, используя теорему Стоуна. Тесно связанная с ним
теорема 8.4 принадлежит Герглотцу [1]; Рисе и Секефальви-Надь
,{1; § 53] дали изящное доказательство этого результата, используя
лемму Фейера и Ф. Рисса. Обобщения теоремы Бохнера на локально
компактные группы были даны А. Вейлем [1; §30], Райковым [3],
Картаном и Годманом [1, 2] и Люмисом [1; стр. 142]х).
Матрицы Якоби и проблема моментов. Исследование проблемы
моментов, проведенное в § 8, может быть значительно углублено
:путем применения теории неограниченных симметрических опера-
операторов в гильбертовом пространстве к матрицам Якоби. Бесконеч-
Бесконечная матрица {а^}, /, fe>0, называется матрицей Якоби, если
(I) apq = aqp для всех р, q',
Всякая такая матрица определяет неограниченный оператор А
© гильбертовом пространстве последовательностей /2, если положить
<b) Ax = [ap^-iXp-i + aPiPXp + aPjp+lxp+l].
В (а) и (b) мы принимаем ao,-i = O. При этом можно показать,
что оператор А замкнут, его сопряженный А* симметричен, индексы
дефекта А* равны A, 1) или @, 0). Последовательность многочле-
многочленов Рп, определяемая по формулам
@ = —«a, k-iPk-i (t) + (t — akj k) Pk (t),
x) Существенные обобщения проблемы моментов принадлежат М. С. Лив-
Лившицу [6*], М. Г. Крейну [7, 11]; см. также работы Ю. М. Березанского
J4*, 5*], А. Г. Костюченко и Б. С. Митягина [1*, 2*], Р. С. Исмагилова [1*],
Г. И. Эскина [1*].— Прим. ред.


10. Примечания и дополнения 443
называется последовательностью многочленов, ассоциирован-
ассоциированной с матрицей {а^}. Можно показать, что индексы дефекта Л*
равны A, 1) тогда и только тогда, когда
S \Рп(г)\2<оэ
п=0
при всяком невещественном z, и равны @, 0) тогда и только тогда,
когда
S
п=0
'= ОО
при всяком невещественном z.
Предположим теперь, что дана последовательность постоян-
постоянных Cj, />0, и что эта последовательность может быть представ-
представлена в виде
Г*1 с-
I J cj —
где (I — положительная борелевская мера на вещественной оси,
такая, что все интегралы
\tfvL(dt), />0,
сходятся. Единственна ли мера (i? Дать решение этой фунда-
фундаментальной задачи теории моментов можно следующим образом.
Пусть {Рп (t)} — последовательность многочленов, определяемых
ортогонализацией последовательности элементарных многочленов
1, t, t2, ... относительно меры \i. To есть, пусть Рп — последова-
последовательность многочленов, определяемая условиями
(I) Рп — многочлен порядка п с положительным старшим коэф-
коэффициентом;
О, пфт.
При этом ясно, что матрица {ajk}, определяемая по формуле
Pj (t) ЩГ) I* (Л). /. Ь > 0,
является матрицей Якоби, и легко видеть, что {Pj} — последова-
последовательность многочленов, ассоциированная с этой матрицей Якоби.


444 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Можно показать, что уравнения [*] определяют положительную
меру [х однозначно тогда и только тогда, когда оператор Л* имеет
индексы @, 0). Если Л* имеет индексы A, 1), то семейство всех
положительных мер [х, удовлетворяющих [*], может быть построено
при помощи множества всех самосопряженных расширений А*.
Очень сжатое и ясное изложение набросанной здесь теории
см. в работе Ахиезера [1]. Более подробное и полное изложение
можно найти у Стоуна [3; стр. 530—614]. Дополнительные резуль-
результаты, обобщения, связи с теорией непрерывных дробей и т. п.
можно найти в монографии Шохата и Тамаркина [I]1).
Разные замечания. Можно получить несколько специальных
результатов для эрмитовых операторов, определяемых ядром
К(х,у), удовлетворяющим неравенству
JJ |к(*, у)|
для почти всех по [i-мере х. Изложение этой теории, принадлежащей
Карлеману, см. в работах Карлемана [1], Стоуна [3; стр. 397—424];
см. также упражнение 9.51.
Оператор К в гильбертовом пространстве называется симметри-
зуемым относительно эрмитова оператора Я, если оператор НК
является самосопряженным. Некоторые свойства симметрических
преобразований можно распространить на симметризуемые преоб-
преобразования. См., в частности, Заанен [5; особенно стр. 370—391].
*) Много результатов по проблеме моментов, в том числе и многомернойу
содержится в книге Ю. М. Березанского [4*].— Прим. ред.


ГЛАВА XIII
Обыкновенные дифференциальные
операторы
1. Введение. Элементарные свойства формальных
дифференциальных операторов
Дифференциальные операторы образуют наиболее важный для
приложений класс операторов. Исследование этих операторов
затрудняется тем обстоятельством, что они всегда неограничены.
Поэтому задача выбора области определения для дифференциаль-
дифференциальных операторов далеко не тривиальна; исследование симметрических
неограниченных операторов в § XII.4 показывает, что выбор области
определения для неограниченных операторов мЪжет быть решающим
моментом в этой теории. Точнее, дело обстоит так: пусть нам задан
«формальный дифференциальный оператор», т. е. выражение вида
1 + ... +ao(t).
Понятно, в каком смысле можно «применять» это выражение к /,
если /, скажем, принадлежит С71; этим мы определим оператор
с областью определения Сп (с областью значений, принадлежа-
принадлежащей С); «применив» этот формальный дифференциальный оператор
к более широким или более узким классам функций, мы можем
получить операторы с более широкой или более узкой областью
определения. Теперь нужно выбрать из этих определений самое
выгодное.
При этом можно руководствоваться несколькими принципами.
Прежде всего, для того чтобы применить абстрактную теорию
гильбертова пространства из гл. XII, необходимо отнести все
операторы к гильбертову пространству функций, интегрируемых
в квадрате. И тогда, как следует из гл. XII, вопросом первосте-
первостепенной важности будет вопрос о сопряженном операторе.
Это значит, что, выбрав предварительно некую область функ-
функций, к которым можно применить формальный дифференциальный
оператор т, мы должны попытаться найти оператор, сопряженный
полученному нами неограниченному оператору в гильбертовом
пространстве. Далее показано, что все эти задачи допускают
удовлетворительное решение.


446 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Еще несколько слов об особенностях изложения в этой главе.
В некоторых случаях основные трудности доказательства связаны
с формальной стороной дела. Поэтому иногда мы будем давать
лишь формальные детали доказательства, предоставляя читателю
проведение подробного анализа.
Везде в этой главе буква / будет обозначать интервал действи-
действительной оси. Интервал / может быть открытым, полуоткрытым
или замкнутым. Интервал [а, оо) считается полуоткрытым; интер-
интервал ( —оо, оо) —открытым. Таким образом, замкнутый интервал
является компактным множеством. Конец t интервала /, не при-
принадлежащий /, называется свободным концом интервала /. В этом
определении мы допускаем, что t может равняться ± оо. Значит,
действительная ось имеет два свободных конца, интервал [0, 1) —
один свободный конец. Концевая точка интервала /, которая при-
принадлежит /, называется фиксированным концом.
Пространства Cn(J), где J — компактный интервал, были опре-
определены в гл. IV. Если f?Cn(J), то мы условимся писать норму
функции / в виде |/|(п)> всякий раз когда желательно выделить
число п. Пространство
C°°(J) = П Cn(J)
71=0
всех бесконечно дифференцируемых функций будет играть большую
роль в дальнейших рассуждениях. Если положить
If !(«>)- Уо-" 1/1(П)
1/1 - l±L 1 + 1 flC") '
71=0 ¦ ' '"
то С°° (J) становится /^-пространством. Если / является некомпакт-
некомпактным интервалом, то мы определим пространство Сп(/), где п
может быть равно оо, как набор всех функций /, определен-
определенных на /, для которых сужение f\J на любой компактный под-
интервал J из I принадлежит Cn(J). Если {Д} —неУбывающая
последовательность компактных подинтервалов из /, объединение
которых совпадает с /, то мы положим
I f <n>_ V О-* К/1^I(П)
1/1 ~ii i+i(/iA)iw#
По этому определению Сп (I) становится ^-пространством вообще
и 5-пространством в случае, когда я< оо и / — компакт.
Введенная так норма определяет топологию в Сп(/); в даль-
дальнейшем, говоря о топологии в Сп(/), мы будем иметь в виду


1. Свойства формальных дифференциальных операторов 447
именно ее. Почти очевидно, что топология для Сп (I) не зависит
от выбора последовательности {Jk} компактных подинтервалов из /,
примененных в определении топологии.
1. Определение. Выражение
г=0
называется формальным дифференциальным оператором порядка пг)
на интервале /, если комплекснозначные функции at принадле-
принадлежат С°° (I) и функция ап отлична от нуля в любой точке из /.
Функции at называются коэффициентами т, а функция ап —
старшим коэффициентом.
Если коэффициенты оператора т принадлежат С°° (/), но старший
коэффициент обращается в нуль в некоторой точке из /, то т
называется иррегулярным формальным дифференциальным опера-
оператором. Чтобы подчеркнуть различие между случаем, когда коэф-
коэффициенту ап разрешается обратиться в нуль, и противоположным
случаем, иногда формальный дифференциальный оператор назы-
называется регулярным формальным дифференциальным оператором.
Почему в определении регулярного дифференциального опе-
оператора требуется, чтобы ап(г)Ф§, станет понятным дальше, при
доказательстве теоремы 3.
2. Определение. Через АпA) обозначим пространство всех
функций /, которые имеют (п—1) непрерывных производных в /
и для которых fn~^ абсолютно непрерывна в любом компактном
подинтервале из /. Таким образом, /(п) существует почти всюду
и интегрируема на каждом компактном подинтервале из /. Если
с — фиксированная концевая точка интервала /, то утверждение,
что / имеет непрерывную производную в / или (в случае когда
/ — компакт) принадлежит С1^), означает, что/' непрерывна слева
(справа) в точке с.
Следует отметить, что если т —формальный дифференциальный
оператор порядка п на интервале / и f?An(I), -то выражение т/
определяется совершенно естественно: мы полагаем
(т/) (t) = an(t) (*ryf(t)+...+a0 (t)f(t).
Функция т/ определена почти всюду и интегрируема на каждом
замкнутом подинтервале из /.
*) Часто называют формальный дифференциальный оператор дифферен-
дифференциальным выражением.— Прим. ред.


448 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Когда оператор х записан в классических обозначениях, таких,
как dn/dtn, мы, следуя традиции, пишем (dn/dtn) f (t) или
{dldt)nf{t) вместо (dnf/dtn)(t). Часто вместо выражения (dn/dtn)f(t)
употребляется /(п)@-
Следующая теорема дает основную информацию о существова-
существовании и единственности решений дифференциальных уравнений.
3. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опера-
оператор порядка п на интервале I. Предположим, что g —измеримая
комплекснозначная функция, интегрируемая на каждом ком-
компактном подинтервале из I. Пусть to?l, а с0, си ..., cn-i —
произвольная система п комплексных чисел. Тогда существует
единственная функция f?An(I), такая, что
(a) x/ = gf
Доказательство. Мы дадим формальную часть доказательства,
оставляя различные аналитические пробелы, которые должны быть
заполнены читателем. Прежде всего рассмотрим случай, когда /
замкнут. Введем пространство функций F(t) = [fo(t), f\ (t), ...
. ..»/n-i@1 co значениями в я-мерном комплексном евклидовом
пространстве Еп. Затем уравнение (а) заменим системой уравнений
4т /о (О -А @ = 0,
(а')
• •. + «о @ /о @} =
Простое исследование показывает, что существует взаимно
однозначное соответствие между решениями уравнения (а) п-го
порядка и решениями системы уравнений (а'). Система (а') может
быть записана в более компактной форме так:
где
F(t) = [/o(O,..-./n-i(O], G(t) = [О, ...,0,


/. Свойства формальных дифференциальных операторов 449
и A (t) — линейное преобразование в Еп, определенное матрицей
Au(t),
Atj (t) = 6Ж, j, 0<i < п— 1, 0< / </z - 1,
An-i, j (О = [an @ГЧ' (t), 0</</i- 1.
Аналогично граничное .условие (b) эквивалентно условию
(Ь') F(to) = C,
где С есть вектор С = [с0, ct, ..., сп-х]. Далее, (а') и (Ь') вместе
эквивалентны интегральному соотношению
(е) F(t)+^ A(s)F(s)ds = C+ ^G(s)ds.
to to
t
Если мы положим С-{-\ G(s)ds = H(t) и введем оператор Ф
в пространстве {L^ A)}п всех вектор-функций Y (t) = [у0 (t), ...
• ••» Hn-i(t)] с компонентами yi(t), интегрируемыми на /, пола-
полагая (ФУ) (t) = \ A (s) Y (s) ds, то (е) может быть записано в виде
(е') ° {I + O)F = H.
По индукции имеем
t
| (фV) @|= ^ А
to
где через \v\ обозначена норма вектора v, а через |Л| — норма
оператора А в я-мерном евклидовом пространстве и где К =
= тах|Л@|- Таким образом, если мы введем норму
\Y\=^\Y(t)\dt
в 5-пространстве {Li(/)}n, то получим \Фк\^.Кл/к\, где К\ =
= /Cmax|tf —*о|&так что уравнение (е') имеет единственное реше-
t?I
ние (см. лемму VII.3.4)
29 Заказ № 134


450 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Так как все члены в уравнении (е), кроме первого, являются
абсолютно непрерывными, то отсюда следует, что F — абсолютно
непрерывная функция. Таким образом, в частном случае, когда
/ — замкнутый интервал, теорема 1 доказана.
Теперь предположим, что неизвестно, замкнут ли /. Тем
не менее из данного выше доказательства следует, что если J —
любой замкнутый подинтервал интервала /, содержащий точку tOy
то существует единственная функция fj?An(J), такая, что
(a) tfj(t) = g(t) почти всюду в J,
(b)
Из единственности fj следует, что /^@ = ^2 (О ДЛЯ
так что, полагая
для произвольного замкнутого подинтервала J из /, мы определяем
единственным образом функцию /?ЛП(/), удовлетворяющую (а)
и (Ь). Единственность / следует непосредственно из соответст-
соответствующего результата для замкнутых подинтервалов J интервала /.
4. Следствие. Если g имеет k непрерывных производных в /,
то f имеет n-\k непрерывных производных в I.
Доказательство. Очевидно, не уменьшая общности, мы можем
предполагать, что / — ограниченный и замкнутый интервал. Тогда
п-1
ь=о
Поскольку f(zAnU)i все члены в правой части принадлежат
СA) и, следовательно, f?Cn(I). Поэтому все члены в правой
части принадлежат Сх(/), так что /gCnhlG). Очевидно, что мы
можем продолжить это рассуждение по индукции и получить
окончательный вывод: /6Cn+ftG), ч. т. д.
5. Следствие. Пусть функции at (коэффициенты формаль-
формального дифференциального оператора т), функция g и начальные
величины сг все непрерывно (или аналитически) зависят от одного
дополнительного параметра:
at - at (t, Я), g = g (t, X), a = ct (X).
Тогда решение f = f(t, X) уравнения xf = g и его первые п—\
производных непрерывно (или аналитически) зависят от* пара-
параметра X равномерно по t в каждом компактном подинтервале
интервала I.


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 451
Доказательство. Мы рассмотрим только случай, когда / —
замкнутый интервал. Доказательство остальных случаев предо-
предоставляется читателю.
Применим обозначения теоремы 3. Из наших предположений
легко следует, что элемент Н = Н(Х) пространства {Li(I)}n
и оператор Ф —Ф(Я) непрерывно (аналитически) зависят от па-
параметра X. Поэтому вектор F(k)€{Li (/)}п, который определяется
уравнением
F (Х) = A + Ф(Х))~1Н (Х)= % (-l)j (<b(X))jH (X),
также непрерывно (аналитически) зависит от X. Так как
t
F{t, *)=-$ A{s, X)F{s, X)ds + H(t, X),
to
то F(t, X) непрерывно (аналитически) зависит от X равномерно
по t? /. Пусть F (/, X) = [/о (t, X), .. ., /л_4 (*, X)]. Так как Д (/, X) =
= (й7Лг)?(/, X), * = 0, ...? /г—1, то /(Л X) и ее первые /г—1
производных являются непрерывными (аналитическими) функ-
функциями X равномерно по t?I, ч. т. д.
Если мы исследуем однородное уравнение т/ = 0, то ясно, что
существует линейное взаимно однозначное соответствие между
наборами п комплексных чисел [с0, си . ..,cn_i] и решениями
уравнения т/ = 0, для которых f^)(tQ) = cu i = 0? ..., п— 1.
Таким образом, мы получаем: множество решений линейного
однородного дифференциального уравнения п-го порядка образует
п-мерное линейное векторное пространство.
2. Сопряженные операторы и граничные значения
дифференциальных операторов
Везде в этом разделе т будет формальным дифференциальным
оператором порядка п на интервале /. Если специально не ого-
оговорено противное, то в дальнейшем мы предполагаем, что т
является регулярным. Наша цель будет состоять в том, чтобы
определить линейные операторы в пространстве L2(/), которые
соответствуют т, и изучить их сопряженные и расширения.
Однако, прежде чем это сделать, необходимо определить
понятие сопряженного оператора т* для формального дифферен-
дифференциального оператора т, регулярного или иррегулярного, и дока-
доказать фундаментальную формулу, известную под названием фор-
формулы Грина, которая связывает % и т*.
Для простоты сначала предположим, что /—конечный замк-
замкнутый интервал [а, 6]. Пусть / и g — функции из Cn(I). Pac-
29*


452 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
смотрим интеграл
ь п ъ
ft=0 a
Интегрируя fe-й член в правой части k раз по частям, мы
получаем, что
а
Таким образом,
b b n
г» Г» ^-«
а а fe=0
+ Fb(f, g)-Fa(f, g),
где
Применяя правило Лейбница
мы видим, что интеграл в правой части [*] может быть записан
ь
в виде [ f(t) i*g{t)dt, где т* —оператор вида
j=0


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 453
Заметим, что если т — регулярный формальный дифференциаль-
дифференциальный оператор, то bn (t) = (— 1 )пап (t) Ф О, поэтому т* — также
(регулярный) формальный дифференциальный оператор.
Применяя теперь правило Лейбница к граничному члену, мы
получаем формулу
- 2 (-1)'-
n—i n—j— 1 ?i — Z— 1
j=0 1=0 i=j
Если {/^(т)} — квадратная матрица порядка п @</, /<я— 1),
элементы которой определяются уравнениями
то граничный член записывается в виде
n
После этих предварительных замечаний мы можем дать некоторые
основные определения.
1. Определение. Пусть т — (регулярный или иррегулярный)
формальный дифференциальный оператор на интервале / (не обяза-
обязательно замкнутом). Матрица {F\J (т)} называется граничной матри-
матрицей для т в точке t?l. Билинейное выражение
Ft(f, g)=nii Flt}(T)f(^f


454 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
называется граничной формой для т в точке t. Формальный диф-
дифференциальный оператор (регулярный или иррегулярный)
j=0
где
называется формально сопряженным оператором для т. Если
т = т*, то говорят, что т формально самосопряжен или формально
симметричен. Если все коэффициенты О/ оператора т действи-
действительны, то говорят, что т действительный.
2. Лемма. Если т — (регулярный) формальный дифференциаль-
дифференциальный оператор, то граничная матрица для т неособенная.
Доказательство. Лемма следует из того, что
а, значит, определитель матрицы {Ftf (х)} равен (± 1){#
и, следовательно, нигде в нуль не обращается.
3. Определение. Пусть т — регулярный или иррегулярный
формальный дифференциальный оператор порядка п на интерва-
интервале /; Нх (/) обозначает множество всех функций / из Лп(/), таких,
что / и т/ принадлежат L2 (/), и пусть Нп (/) обозначает множество
всех функций / из Лп(/), таких, что / и /<n> принадлежат L2(I).
Если / — замкнутый интервал и а?С°°(/), f?L2(I), то a/gL2.
п
Следовательно, если f?Hn{I), то т/= 2 аг/(*>?/,2, т. е. НпA)<=
S//?(/). Если т регулярный и /еЯ?(/), то /<п> = «1(т/ —
n-i
— 2 a*/(i)) € ?2, и поэтому Я? (/) и Яп (/) совпадают.
i=0
4. Теорема (формула Грина). Пусть т — регулярный или
иррегулярный формальный дифференциальный оператор порядка п
на конечном замкнутом интервале / = [а, 6]. ?слы /, g?Hx{I), то
= J / @ С* WO* + ^ь (A sr) - fa (A


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 455
Доказательство. Из приведенных выше рассуждений следует,
что эта формула справедлива в случае, когда /, g?Cn(I). Однако
эти рассуждения верны, если /, g?H%(I)-
Для дальнейшего удобно перечислить другие случаи, в кото-
которых формула Грина справедлива без предположения замкнутости /.
5. Следствие. Если I — произвольный интервал, то формула
Грина справедлива для любой пары функций /, g?Hx(I) (или
даже f?Hn(I), g?An(I)) при условии, что либо /, либо g обра-
обращается в нуль вне компактного подинтервала из I.
Доказательство. Как и теорема 4, следствие 5 доказывается
методом интегрирования по частям.
Дальше мы отмечаем одно важное свойство оператора т*,
формально сопряженного дифференциальному оператору т, регу-
регулярному или иррегулярному.
6. Лемма. Пусть т — (регулярный или иррегулярный) фор-
формальный дифференциальный оператор на интервале I. Тогда
т = (т*)*-
Доказательство. Если т —оператор порядка п, то коэффициент
(d/dty в (т*)* равен
O)(r(.
k=i jssafe
n j
k—i
Полагая x} ={l -— A — x)}J и применяя два раза* формулу бинома,
мы видим, что
О, 1ф1ч
Таким образом, ct(t)=ai(t), откуда (т*)* = т, ч. т. д.
Стоит упомянуть о других утверждениях алгебры формальных
дифференциальных операторов, хотя в дальнейшем мы ими поль-
пользоваться не будем, и поэтому они не будут выделены в виде


456 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
теорем и лемм. Эти факты справедливы как для регулярных,
так и для иррегулярных операторов.
п п
Если Ti = 2 at @ {d/dty и т2 = 2 bt (t) (d/dty — два формаль-
г=0 г=0
ных дифференциальных оператора, то мы можем определить их
сумму как формальный дифференциальный оператор
= 2 iai (t) + bi(t))(d/dty. Определим произведение операторов Tj
г=0
и т2 так: т4 (т2/) = (т^) /. Теперь, применяя правило Лейбница,
имеем
п п г
Нетрудно проверить, что это умножение ассоциативно и дист-
дистрибутивно, но не коммутативно. Имеются еще два правила,
которые нетрудно проверить:
Ы + т2)* = т? + т§; (т4т2)* = тЫ
Таким образом, поскольку (d/dt)* =—(d/dt), мы имеем
((d/dty)* = (—iy (d/dt)\ Так как сопряженный оператор формаль-
формального дифференциального оператора то = Яо(О нулевого порядка
является оператором т5 = а@ нулевого порядка, то получаем
следующее:
г=0 г==0
Формула для т*, данная в определении 1, очевидно, является
разложением формы в правой части этого уравнения по правилу
Лейбница.
Используя понятия произведения и суммы формальных
дифференциальных операторов, мы можем записывать эти
операторы различными способами: (d/dt) p (t) (d/dt) + q (t),
п
2 (— 1)* (d/dty рг (t) (d/dty и т. д. Заметим, что, поскольку
г=0
оператор
У(-1)«С4Ур|@С-л-У
^-J v ' \ at J г ^ ' \ at J
г=0
формально самосопряжен, если только коэффициенты рг действи-
действительны. Также и формальный дифференциальный оператор
(i/2) (d/dtf {p (t) (d/dt) + (d/dt) p (t)} (dldtf


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 457
самосопряжен, если только p(t) — вещественная функция. Дей-
Действуя далее по индукции, мы можем указать вид наиболее
общего формально симметрического дифференциального оператора
порядка п. Действительно, пусть т является таким оператором,
и пусть его старший коэффициент равен ап. Тогда старший коэф-
коэффициент для т* есть (—\)nan(t), так что, если п — четное число,
то ап — действительная функция, а если п — нечетное число, то
ап — чисто мнимая функция. Если п — четное число, то %\ =
= (d/dt)n/2 an (t) (d/dt)n/2 — формально самосопряженный дифферен-
дифференциальный оператор с таким же старшим коэффициентом, как у т.
Если п — нечетное число, то x2 = (if2) (d/dt)(n~i)/2 ((d/dt)an(t) +
-j-an (t) (d/dt)) (dldt){n~i)/2 — формально самосопряженный диффе-
дифференциальный оператор с таким же старшим коэффициентом, как
у т. Таким образом, или т —ть или т — т2 — формально самосо-
самосопряженный дифференциальный оператор порядка п— 1. Продол-
Продолжая по индукции этот процесс уменьшения порядка, мы приходим
к следующему результату:
любой формально самосопряженный оператор т порядка п
может быть представлен в виде
[п/2]
3=0
Е(п-
+¦¦ 2 ШШ
j=0
где коэффициенты а-3 и bj действительны.
Можно показать, что это представление единственно. Обратно^
любой такой формальный оператор формально самосопряжен.
Нетрудно показать, что если формальный дифференциальный
оператор т действителен, то второй комплексный член в преды-
предыдущем выражении исчезает, так что действительный самосопря-
самосопряженный формальный дифференциальный оператор имеет четный
порядок п = 2т и следующий общий вид
где коэффициенты cij действительны. Если п = 2, то мы получаем»
так называемый оператор Штурма—Лиувилля
dt
где коэффициенты р и q действительны.


458 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
Наша ближайшая цель — определить линейные операторы
в L2G), соответствующие формальному дифференциальному опе-
оператору т, и исследовать их расширения и сопряженные опера-
операторы. Последующие разделы посвящены спектральным свойствам
этих операторов.
7. Определение. Пусть #о (/) обозначает множество всех
функций из Нп{1), которые обращаются в нуль вне некоторого
внутреннего компактного подмножества интервала /. (Компакт-
(Компактное подмножество может зависеть от функции.)
8. Определение. Если т — (регулярный или иррегулярный)
дифференциальный оператор порядка /г, то мы определим опера-
операторы Го (т) и 7\ (т) в L2 (/) формулами
<Ь) »(ЗЗД) = //?(/), 7\(т)/ = т/,
Заметим, что оба оператора Го (т) и Г4 (т) являются неограни-
неограниченными с областями определения, плотными в L2{I), и TQ(%) ^
sT^t). Наша ближайшая задача — доказать, что если т регу-
регулярный, то Ti (т) = Т"о(т*)*. В случае когда т — формально само-
самосопряженный оператор, отсюда следует, что Го (т) s T1! (т) =
= Го(т)*. Это показывает, что Го (т) — симметрический оператор
(см. лемму XII.4.3') и любое самосопряженное расширение опе-
оператора Т"о(т) есть сужение оператора 7\(т).
9. Лемма. Пусть квадрат функции f интегрируем на любом
компактном подинтервале из I. Предположим, что
для всех g из #о(/). Тогда (после изменения на множестве
меры нуль) /€С°°(/) и т/ = 0.
Доказательство. В терминах операторов Го и Ти определенных
в предыдущем пункте, в этой лемме устанавливается, что любая
функция, которая ортогональна области значений оператора Т(т*),
лежит в С°° и принадлежит нуль-пространству оператора ^(т).
Доказательство делится на следующие пять шагов:
(А) Лемму достаточно доказать при предположении, что / —
замкнутый интервал.
В самом деле, если сужение функции / на любой компактный
подинтервал интервала / есть решение уравнения та = 0, при-
принадлежащее С°°, то / — такое же решение в полном интервале /.


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 459
Впредь мы будем считать, что/ — компактный интервал [а, Ь],
а функция / ортогональна области значений оператора Т0(т*).
(B) Пусть 2 обозначает я-мерное пространство решений урав-
уравнения та = 0. Согласно следствию 1.4, 2 ^ С°°. Следовательно,
достаточно доказать, что /?2. Заметим, что по IV.3.2 конечно-
конечномерное пространство 2 есть замкнутое подпространство простран-
пространства L2 (/); этот факт будет использован ниже, в (Е). Для того
чтобы доказать, что /?2, достаточно доказать, что любой функ-
функционал, обращающийся в нуль на 2sL2(/), обязательно об-
обращается в нуль на /. Для этой цели нам нужны дополнительные
сведения, содержащиеся в пунктах (С) и (D).
(C) Пусть функция w из #о(/) ортогональна 2, рассматри-
рассматриваемому как подпространство пространства L2(/), т. е.
I*] [o(t)t0{i)dt = O1 а ?2.
Тогда существует функция g в #о(/), такая, что %*g = w.
Действительно, по следствию 1.3 существует единственная
функция g в Gn(/), удовлетворяющая уравнению %*g = w и гра-
граничным условиям
{**] g (а) =?»=...= g^-') (а) = 0.
Из формулы Грина и из [*] мы имеем
ь
g, o)-Fa(g, o) = Fb(g, о)
для всех eg2. Так как решения существуют для любых наперед
заданных а F), а' F), ..., а(п~1) F), то из невырожденности формы
Ft 0?» о) (см. лемму 2) следует, что
Г**] g(b)=g'(b)=...=tfn-l)(b) = O.
Таким образом, g обращается в нуль в обеих концевых точках
интервала /, тогда как w обращается в нуль на интервалах
[а, а + г] и [6 — 8, 6]. Тогда на каждом из этих двух интервалов
g — единственное решение уравнения T*f = w = 0 с граничными
условиями [**] и [***] соответственно. Следовательно, функция g
обязана равняться нулю на интервалах [a, a-t-e] и [6 — 8, Ь],
т. е. (определение 8)


460 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(D) Отсюда следует, что любая функция w из #о(/), которая
ортогональна 2, также ортогональна /, т. е.
Так как по (С) существует функция g из #о(/), такая, что-
x*g" = &y, то это утверждение сводится к соотношению
ъ
которое входит в условия леммы.
(Е) Теперь предположим, что некоторый линейный функционала
Ф на L2(I) порождается функцией h(-) из L2(/) (см. теорему
IV.8.1) и обращается в нуль на 2, т. е.
Мы покажем, что ф обращается в нуль также на /. Этим)
завершится доказательство леммы, потому что если / не принад-
принадлежит 2, то по теореме Хана — Банаха мы можем найти линей-
линейный функционал ф на L2(/), обращающийся в нуль на 2, НО'
не равный нулю на /.
Итак, нужно показать, что \ f(t)h(t)dt = O. Пусть а4, ..., аЛ.
образуют ортонормальный базис в 2 и каждая функция сг^ прибли-
приближена в топологии L2(/) функцией ф*?//о(/) так хорошо, что-
матрица {а^} = \ \ фг (t) Oj (t) dt \ (которая аппроксимирует {&tj}).
обратима. Пусть {hm} — последовательность равномерно ограни-
ограниченных в L2(I) функций из Яо(/), которая сходится почти всюду
к /г. Если {bij} есть матрица, обратная {а^}, то последовательность
hm (t) MO dt
г, i=l /
удовлетворяет соотношениям
(О МО Л = J Лт (О МО dt - 2 btJaJh I hm @ ^0 dt
/ г, J=i
=l, .... л.


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 461
Таким образом, \ gm (t) g (t) dt = O для а ? 2. Поскольку gm ? #o (/),
7
из (D) следует, что \ gm(t) f (t)dt = O. Когда т—-> оо, инте-
интеграл \ hm (t) ok (t) dt —> \ h (t) ak (t) dt = 0. Таким образом, из [*]
следует, что {gm} — равномерно ограниченная последовательность
функций, сходящаяся почти всюду к h при т—> оо. Поэтому
П->ОО
10. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
оператор порядка п, определенный на интервале I. Тогда 7\(т) =
= Т0(т*)*.
Замечание. Из теоремы XII. 1.5 непосредственно следует, что
7\ (т) — замкнутый оператор. Поэтому То (т) ^ 7\ (т) имеет по
крайней мере одно замкнутое расширение и, следовательно, мини-
минимальное замкнутое расширение Г0(т).
Доказательство теоремы. Если /?#? и g?H", то по формуле
Грина (следствие 5)
Это равенство показывает, что /6®(Г0 (т*)*) и Тх (т)/ = Г0 (т*)* Д
т. е.
Для 'завершения доказательства теоремы достаточно дока-
доказать, что
Предположим, что / принадлежит ®(Г0(т*)*). Это означает, что
существует функция g в L2(/), такая, что для каждой функции
h из Щ{1)
\nt)(T*h)(t)dt=\g(t)h(t)dt.
Нам нужно доказать, что / принадлежит множеству 7\ (т).
По теореме 1.3 существует функция fo?An(I), такая, что %fo = g.


462 Гл. XI П. Обыкновенные дифференциальные операторы
Из формулы Грина (см. следствие 5) видно, что
/о (О (т*А) @ dt=\g(t)h (t) dt, h
i i
и, следовательно,
Г»
J
Из леммы 9 следует, что f — fo?C°°(I), и поэтому / =
==(/""/о) + /о принадлежит Лп, так что т/ определена почти
всюду. По лемме 9 т(/ —/0) = 0, откуда if = ifo?L2(I), и тем
самым доказано, что / принадлежит #? (/) = Ф (Т4 (т)).
11. Лемма. ?сла (регулярный или иррегулярный) формальный
дифференциальный оператор т формально самосопряжен, та
оператор То (т) симметрический.
Доказательство. Очевидно, Г0(т)^7\(т). Следствие 5 пока-
показывает, что 7\ (т) ^ Го (т)*, ч. т. д.
Напомним (см. определение XII.4.9), что если т формальна
самосопряжен, то положительным и отрицательным дефектными
пространствами оператора То (т) являются множества
(т)) | (Г4 (т) + */) / = 0},
соответственно.
12. Следствие. ?сла т формально самосопряжен, то положи-
положительное и отрицательное дефектные подпространства ®+ и 2L
оператора Т0(т) состоят из тех и только тех решений диффе-
дифференциальных уравнений (т — i)f = 0, (x + t)/ = O соответственно,
которые принадлежат Z2(/).
13. Следствие. Если т — формально самосопряженный диффе-
дифференциальный оператор порядка п, то оба индекса дефекта опе-
оператора Т0(т) меньше или равны п.
В следствии XII.4.13 мы видели, что Т0(т) имеет самосопря-
самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда ®+ и ф_ имеют
одинаковую размерность. Числа n+ = d\m%+ и AZ_ = dimSL назы-
называются положительным и отрицательным индексами дефекта


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 46$
оператора Т0(т). Информация о п+ и п~ зависит в общем
от того, будет ли интервал / замкнутым, полуоткрытым или
открытым. Однако одно важное заключение можно сделать неза-
независимо от природы интервала.
14. Следствие. Если в формально самосопряженном диффе-
дифференциальном операторе
п
— V (Л ( d
т - Ь aJ vu ^ dt
3=0
коэффициенты aj действительны, то соответствующий опера-
оператору т симметрический оператор То (т) в L2 (/) имеет равные
индексы дефекта, а любое максимальное симметрическое расши-
расширение оператора То (т) самосопряжено.
Доказательство. При этих предположениях решения уравне-
уравнения (т —i)a=T) будут комплексно сопряженными к решениям
уравнения (т + *)сг = О, ч. т. д.
Если / — конечный замкнутый интервал, то любое решение
уравнения (т±?)сг = О будет лежать в С°° (I) и потому в L2(/).
Поэтому из следствия 12 мы имеем
15. Следствие. Если I — конечный замкнутый интервалу
а т — формально самосопряженный дифференциальный оператор
порядка п, то п+ = п~ = п.
16. Лемма. Пусть т — формальный дифференциальный^оператор
порядка п, определенный на интервале I, и пусть J — компакт-
компактный подинтервал интервала I.
(а) Пространство Hn(J) полно по норме
п-1
(b) Если {fn} —последовательность в ©(^(х)), такая, что
{fn} и {%fn} сходятся (слабо сходятся) в L2(I), то последова-
последовательность {fn} сходится (слабо сходится) в топологии Нп (J)r
определенной с помощью указанной выше нормы.
Доказательство, (а) Если {/т} —фундаментальная последова-
последовательность в Hn(J), то существуют функции /0 и g0, такие, что
равномерно на J


464 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
и /W —> go в L2(J). Таким образом, для c?J
t t
/(«-О {t) -f(n-i) (c) = Hm С f(n) (s) rfS = Uo (S) Л.
m->-oo «J «J
с с
Это показывает, что /(Qn) = g-0 и /0 принадлежит Hn(J). Следо-
Следовательно, #n(J) полно.
(Ь) Рассмотрим две нормы
i/u=
n-1
l/bH/il + 2 max|/(*)(O| + (S |/(n)@l2<
2 = 0 tEJ J
заданные на ©(^(т)). Из определения 8(b) вытекает, что обе
нормы определены и конечны на ©(^(т)). Первая норма есть
норма для пары [f,T±f] как элемента графика оператора 7\(т).
Теперь 7\ (т) — сопряженный оператор (теорема 10). Поэтому
(см. XII. 1.6) ^(^(т)) полно по норме |/|1в Так как два допол-
дополнительных члена в |/|2 определяют норму для / как элемента
Hn(J), то очевидно, что ®(Т\(т)) полно также по норме |/|2.
Так как |/|i<|/|2, то из теоремы II.2.5 следует, что эти две
нормы эквивалентны. Лемма следует непосредственно из этих
рассуждений.
Теперь обратимся к исследованию особой формы, которую при-
принимает в данном случае абстрактное «граничное значение», вве-
введенное в предыдущей главе. Мы увидим, что это исследование
приводит к целому ряду результатов об индексах дефекта.
В данном случае обсуждение будет более широким, чем в раз-
разделе XII.4, поскольку можно в основном иметь дело с диффе-
дифференциальными операторами, не являющимися формально само-
самосопряженными. Можно также сосредоточивать граничные значения
в одной или в другой концевых точках интервала и представлять
граничные значения в конкретной аналитической форме. Основ-
Основные определения следующие.
17. Определение. Пусть т — формальный дифференциальный
оператор на интервале / с концевыми точками а, Ь. Так как 7\
замкнут, то © G\ (т)) становится гильбертовым пространством,
если следующим образом вводится скалярное произведение:
(f,g)* = (f,g) + (Ti(v)f, Ti(T)g).


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 465
Граничное значение для т есть непрерывный линейный функцио-
функционал А на ®(Ti(t)), который обращается в нуль на ®(Г0(т)).
Если A(f) = O для каждой функции из области определения 7\(т),
которая обращается в нуль в окрестности точки а, то А назы-
называется граничным значением в точке а; также определяется и гра-
граничное значение в точке Ь. По аналогии с определением XII.4.25
уравнение B(f) = O, где В — граничное значение для т, называется
граничным условием для т. Говорят, что множество граничных
условий Bt (/) = 0, i = 1, ..., k, сильнее, чем множество С/(/) = 0,
/=1, ..., т, если каждое С; есть линейная комбинация Bt. Два
множества граничных условий называются эквивалентными, если
каждое из них сильнее, чем другое. Полное множество гранич-
граничных значений есть максимальное линейно независимое множество
граничных значений. Полное множество граничных значений
в точке а есть максимальное линейно независимое множество
граничных значений в а.
18. Лимма. Если т формально самосопряжен, то определение
17 граничного значения для т совпадает с определением XI 1.4.20
граничного значения для Г0(т).
Доказательство. Из теоремы 10 вытекает, что 7\(т) сопряжен
к Г0(т), ч. т. д.
Следующая теорема описывает основное свойство граничных
значений дифференциальных операторов. Ради простоты иногда
вместо 7\(т) и Т0(т) мы будем писать 7\ и То соответственно.
19. Теорема. Пространство граничных значений для т совпа-
совпадает с прямой суммой пространств граничных значений в точ-
точках а и Ь для т.
Доказательство. Прежде всего из предыдущего определения
очевидно, что множество Ша (множество Шь) граничных значений
в точке а (в точке Ь) есть подпространство пространства Ш всех
граничных значений. Пусть Д и f2 — две функции из С°°(/), такие,
что Д (t) + f2 (t) = 1 при t?l, и такие, что Д обращается в нуль
в окрестности точки 6, а /2 — в окрестности точки а. Ясно, что
если g принадлежит ф G^), то ftg и f2g также принадлежат © G^).
Поэтому отображение g—>fig пространства ф G^) в себя,
очевидно, замкнуто и, по теореме о замкнутом графике (II.2.4),
непрерывно. Пусть В —граничное значение для т и
Si (йГ) = В (Ш, В2 (g) == В (/2?), ?е Ф (ГО.
Если g принадлежит Ф(Г0), то Д^ и /2? принадлежат 3)(Г0),
так что Z?! (g-) = B2 (g") = 0- Более того, в силу непрерывно-
непрерывности отображения g—>fig, Bi — непрерывный линейный функцио-
30 Заказ № 134


466 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
нал на 3)G\). Подобное рассуждение имеет силу и для 52. Таким
образом, Bi и В2 будут граничными значениями для т. Если
g(t) = O в окрестности точки а, то, по определению 8, fig^^(To),
и поэтому В (fig) — Bi (g) = 0, откуда ясно, что Вх — граничное
значение в точке а и что B=-Bi + В2. Таким образом, Ш = Ша + ЯКь>
и для доказательства теоремы достаточно показать, что ЯКаП ЯКь^
= {0}. Если В —граничное значение в обеих точках а и 6 и если
g" принадлежит © G"i), то fig обращается в нуль в окрестности
точки ft, поэтому В (fag) —0, и аналогично B(f2g) = 0. Таким
образом, B(g) = B (fig) + В (f2g) = 0 для каждой функции g ? ф G^),
ч. т. д.
п
Если т= 2 0г @ (^/^)г~Ф°РмальнЬ1й дифференциальный опе-
ратор порядка п, определенный на интервале /, а «/— подинтер-
вал из /, то мы можем рассматривать сужение т' оператора т
на J. Это просто формальный дифференциальный оператор
п
2 bt (t) (d/dtI, где bi — сужение функции at из / на J.
С этим понятием связаны несколько следующих результатов.
20. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
оператор на интервале I с концевыми точками а, Ь. Пусть а <. с < 6,
а %' — сужение оператора х на Г = 1{\[а, с]. Тогда существует
взаимно однозначное линейное отображение пространства гранич-
граничных значений для %' в точке а на пространство граничных зна-
значений для х в точке а.
Доказательство. Выберем функцию h из С°° (/), которая тож-
тождественно равна единице в окрестности точки а и обращается
в нуль в окрестности отрезка [с, Ь]. Пусть Si — линейный опе-
оператор, определенный равенством
= h (t)f(t).
В формуле
п п
(т (А/)) (/) = ^ [ 2 ( * ) ah @ А<*-« @ ] /«> @
член ап (t) h (t) /<n> (t) принадлежит L2 (Г), а остальные члены
непрерывны, так что Si отображает ©(^(т)) в cS)(Ti(xf)). Поэ-
Поэтому очевидно, что Si — замкнутый оператор, определенный на всем
гильбертовом пространстве ©(^(т)) (см. определение 17), и,
следовательно (см. II.2.4), Si непрерывен. Пусть Ш и 2ft' обозна-
обозначают пространства граничных значений в точке а соответственно
для т и т' и <Di(A') = A'Si для А из Ш'. Тогда d^ — линей-


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 467
ное отображение из ЭДГ в 501. Покажем, что d>i взаимно одно-
однозначно и что <DiE0T) = ЯК-
Пусть S2— отображение
определенное на ©(^(т')) и, следовательно, принимающее зна-
значения из ©(^(т)). Рассуждением, подобным примененному выше,
можно показать, что S2 — линейный ограниченный Чшератор. Пусть
Ф2(Л) = Л52 для А из ЯЛ, так что Ф2 —линейное отображение
пространства ЯЛ в ЯЛ'.
Если / принадлежит ©G\(т)), то / и (S2Si)f совпадают
в окрестности точки а. Следовательно, для любого А из ЯЛ
и любой f из ®(Ti(T))
Поэтому Ф^г — тождественное отображение, откуда следует, что
Ф1(9К/) = 9Л. Этим же способом можно показать, что Ф2Ф1
тождественно отображает Ш' в себя. Это показывает, что Ф1 —
взаимно однозначное отображение, ч, т. д.
21. Следствие. При условиях предыдущей теоремы % и %'
имеют одинаковое число линейно независимых граничных условий
в точке а.
22. Следствие. Пусть % —формальный дифференциальный опе-
оператор порядка п, определенный на интервале I с концами а, Ь.
Тогда т имеет не больше п линейно независимых граничных зна-
значений в точке а.
Доказательство. Пусть это утверждение неверно. Тогда, при-
применяя обозначения и результаты предыдущей теоремы и след-
следствия, можно получить, что т' имеет самое меньшее п+ 1 линейна
независимых граничных значений в точке а. Таким образом, не-
уменьшая общности, мы можем предполагать, что Ь — фикси-
фиксированная концевая точка для /.
Пусть © (Т2) — множество всех /из © G\), которые обращаются
в нуль в окрестности точки а, и пусть Тг — сужение оператора
Ti на © (Г2). По предположению существует самое меньшее п-\-1
линейно независимых непрерывных линейных функционалов
на ®G\), которые обращаются в нуль на ©(Т2), т. е. ортого-
ортогональное дополнение 93 к © (Г2) в © G\) имеет размерность
не меньше п+l. Если и?93 и ш?ф(Г2), то
[*] 0 = (v, w)* = (у, о;) + G>, 3».
Следовательно, (Г2ш, 7\0) = (ад, —у). Это означает, что 7>
принадлежит области определения оператора Т*. Из Т0^Т2 сле-
30*


468 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
дует, что Т* е Г* = Т1! (т*) (см. теорему 10). Следовательно, [*]
эквивалентно уравнению
t*tv-\- v = 0.
Таким образом, а —решение дифференциального уравнения
порядка 2п, и по следствию 1.4 v?C°°(I).
Из [*] мы имеем (w, T*TiV) = — (w, v), и по формуле Грина
ъ
Fb (w, tv) — Fa (w, tv) = \ (tw) (t) tv (t) dt —
о
b
- J w (/)t*(to)(/) (dt) ~ (T2w, 7» + (w, v) = 0.
a
Так как w обращается в нуль в окрестности точки а, то
Fa(w, tv) = 0. Таким образом, Fb(w, то) = 0. Так как Ф (Т2) содер-
содержит каждую функцию из С°°(/), обращающуюся в нуль в окре-
окрестности точки а, то из обратимости матрицы {F{k} (см. лемму 2)
следует, что tv и ее первые п — 1 производных обращаются
в нуль в точке Ъ. Так как пространство 93 имеет размерность
не меньше /г + 1, то существует ненулевая функция vo??8, кото-
которая удовлетворяет п линейным уравнениям v0 (b) = v'o (b) = ...
... = u{)n) (b) = 0. Так как, более того, (то0) (Ь) = 0, то (ти0) (Ь) =
п
= S ал(&)^>(&) = 0, ^F)^0и, следовательно, ^п)F)=-0. По-
скольку (tvqY (fe) = 0, аналогично доказывается, что у(оп+1)F) = О.
Продолжая по индукции, мы видим, что v^(b)=-0, 0<&<2я— 1.
Так как у0 удовлетворяет уравнению порядка 2п, то функция v0
должна быть тождественным нулем. Это противоречие завершает
доказательство.
23. Следствие. Пусть т —формальный дифференциальный опе-
оператор порядка п на интервале I с концевыми точками а, Ь;
предположим у что концевая точка а фиксирована. Тогда функ-
функционалы At (/) = /(i) (а), i = 0, ..., п — 1, образуют полную систему
граничных значений для т в точке а.
Доказательство. Из леммы 16 следует, что эти функционалы
являются граничными значениями для т в точке а. Очевидно,
они линейно независимы. Если бы утверждение следствия было
неверным, то т имел бы граничное значение в точке а, линейно
независимое от системы Ао, ..., Лл_4. Тогда оператор т имел бы
не меньше п+\ независимых граничных значений в точке а.
Но .по следствию 22 это невозможно.


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 469
24. Следствие (Вейль — Кодаира). Пусть т — формально само-
самосопряженный дифференциальный оператор порядка п, определен-
определенный на интервале I. Предположим, что по крайней мере один
конец этого интервала фиксирован. Тогда сумма положитель-
положительного и отрицательного индексов дефекта оператора т не меньше
чем п.
Доказательство. По лемме XII.4.21 эта сумма равна числу
линейно независимых граничных условий, и потому этот резуль-
результат вытекает непосредственно из предыдущего следствия.
25. Следствие. Пусть т — формально самосопряженный фор-
формальный дифференциальный оператор порядка п, определенный
на интервале I с концевыми точками а и Ь. Пусть a<Lc<Lb,
а т' и т" являются сужениями оператора т на интервалы
Г =1 (][а, с] и I" = I(][c, b] соответственно. Если d, d' и d"
являются суммами положительных и отрицательных индексов
дефекта операторов т, т' и т" соответственно, то d = d' + d" — 2n.
Доказательство. По теореме 19 число d равняется сумме
числа независимых граничных значений в точке а и числа неза-
независимых граничных значений в точке Ъ. Так как с —фиксирован-
—фиксированная концевая точка, то из следствия 23 и из теорем 19 и 20
следует, что dr и d" больше на п, чем число независимых гра-
граничных значений в точках а и Ь соответственно. Утверждение
данного следствия очевидно.
26. Следствие (Кодаира). Пусть при предположениях преды-
предыдущего следствия d+, d'+ и d"+ являются положительными, a d-,
d- и d- —отрицательными индексами дефекта операторов т, т'
и т" соответственно. Тогда
Доказательство. Пусть Ф+— пространство решений уравнения
if = if, которые принадлежат L2(I), a 2)^. и 2У+ — пространства
решений уравнений Trf = if и i"f=if, которые принадлежат L2 (/')
и L2(I") соответственно. Таким образом,
+ +1 K ; и Ф+^
Если С —произвольное конечномерное пространство, а А и В
являются подпространствами пространства С и А + В = С, то
известно и легко доказать, что
dim С + dim (А {] В) = dim A + dim В.
В данном случае, применяя это правило, мы находим, что
d+ + dim ($>;


470 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Таким образом, di. + n>d+ + d'+. Точно так же d- +n>d'_
Так как по следствию 25
то мы должны иметь равенство в обоих неравенствах выше, ч. т. д.
Теперь мы приведем один результат, который описывает кон-
конкретную форму абстрактного граничного значения для наиболее
общего формального дифференциального оператора.
27. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
оператор, определенный на интервале I с концевыми точками а и Ь.
Пусть wu i = 0, 1, ..., п — 1, — система функций, такая, что
предел
В(/) = ПтП2
t-*a i=0
сществует для всех функций f из Ъ(Т{(т)). Тогда В —гранич-
—граничное значение для т в точке а. Обратно, каждое граничное значе-
значение для т в точке а имеет такой вид.
Доказательство. Из леммы 16 очевидно, что для любой точки
п-1
/ внутри / Bt(f) = 2 ^г @ /(i) @ — непрерывный линейный функ-
ционал на гильбертовом пространстве ^(^(т)). Если limB*(/) =
t-+a
= B(f) существует для каждой функции / из ф G\ (т)), то по
теореме II. 1.17 В — непрерывный линейный функционал ка
2)G\(т)). Ясно, что В(/) = 0 для тех /, которые обращаются
в нуль в окрестности точки а. Поэтому В—граничное значение
для т в точке а.
Чтобы доказать обратное утверждение, допустим, что В—-гра-
В—-граничное значение в точке а. Выберем функцию h из С°° (/), кото-
которая тождественно равна единице в окрестности точки а и нулю
в окрестности точки 6. Очевидно, что fh лежит в % G^ (т)) для
каждой / из ©(Т^т)). Кроме того, значения fh и / совпадают
в окрестности точки а и, следовательно, В (fh) = В (/) для любой
функции / из 2)G\(т)). Поэтому В —линейный функционал
в гильбертовом пространстве © (Т^ (т)) (см. определение 17). Сле-
Следовательно (см. теорему IV.4.5), существует элемент g в ортого-
ортогональном дополнении пространства ®(Т0(т)), такой, что для всех/
из ФG\(т))
В частности, для / из Ф(Т0(т)) мы имеем
П 0 = (/, g)* = (/, g) + (То (т) Л Т{ (т) g).


2, Сопряженные операторы и граничные значения операторов 471
Отсюда, как в следствии 22, вытекает, что g — решение уравне-
уравнения x*xg + g = 0 и поэтому g — бесконечно дифференцируемая
функция. Пусть v = —- Tg. Тогда
В (/) = (Л t*v) - (т/, v) = (/А, t*v) - (т (/Л), v) = B (/A).
Применяя формулу Грина и используя обращение функции А
в нуль в окрестности точки Ь, получаем, что
t-+a
= lim /="* (/A, v) = lim Ft (f, v).
28. Следствие. Если В —граничное значение для т в точке а,
то существует бесконечное число раз дифференцируемая функ-
функция g в ортогональном дополнении пространства ® (Т0(т)) в гиль-
гильбертовом пространстве %{Т^{т)), такая, что v=—Tg принад-
принадлежит ортогональному дополнению пространства Ф (То (т*))
е гильбертовом пространстве 3) (Тх (т*)) ^
= lim F, (/,»), fe$>(Tt(T)).
Доказательство. Все, о чем говорится в этом следствии, было
доказано по ходу доказательства теоремы 27, за исключением
утверждения, что
П (^/) + (Л(т*)т§, 7\(т*)/)==0
для всех / из Ф(Т0(т*)). Так как g принадлежит С°°G), то
из формулы Грина следует, что ['] эквивалентно уравнению
и поскольку r*Tg + g = 0, то ['] очевидно.
Теоремой 27 заканчивается наше исследование граничных
значений дифференциальных операторов. В теореме 19 мы пока-
показали, что каждое граничное значение есть сумма граничного зна-
значения в точке а и граничного значения в точке Ь. Мы также
дали конкретное представление для граничных значений и полу-
получили основные сведения об индексах дефекта. Особый интерес
представляет случай, когда х формально самосопряжен и,
следовательно, оператор То (т) = То (т*) симметричен. Тогда
лемма XII.4.26 и теоремы XII.4.28, 30 и 31 предыдущей главы
дают в явном виде все симметрические расширения операто-
оператора Т'о(т), сопряженные им операторы и все самосопряженные рас-
расширения оператора Т0(т).


472 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Замечание. Для дальнейшего удобно расширить область опре-
определения граничного значения А на более широкий класс функций,
чем ©(^(т)). Из теоремы 27 видно, что если Л —граничное зна-
значение в точке а, то число A(g) однозначно определяется значе-
значением g в произвольно малой окрестности точки а. Таким обра-
образом, если / принадлежит L2(I) и существует функция ^в®^ (т))г
такая, что f(t) = g (/) в окрестности точки а, то мы можем поло-
положить А (/) = A (g). Ясно, что это определение корректно. Когда А —
граничное значение в точке 6, можно сделать аналогичное заме-
замечание. Если А — смешанное граничное значение, / принадлежит
L2(/) и существует функция g из ©(Т^т)), которая совпадает
с / в окрестностях точек а и 6, мы положим также A(f) = A(g).
Сужением оператора 7^ (т) на область, определенную системой
граничных условий, где т — произвольный формальный дифферен-
дифференциальный оператор, будет называться оператор, полученный из
оператора т наложением данной системы граничных условий.
29. Определение. Граничное условие вида В(/) = 0 для х
называется граничным условием в точке а (в точке Ь), если
В— граничное значение в точке а (в точке Ь) для т. Если
В (/) = 0 не есть граничное условие в одной из двух точек а
или Ъ (так что по теореме 19 уравнение B(f) = O представимо
в виде Bi(f)=B2(f), где Вх и В2 — ненулевые граничные значения
в точках а и Ь соответственно), то В(/) = 0 называется смешан-
смешанным, граничным условием. Система граничных условий называется
распадающейся, если она (или в общем виде системы, эквива-
эквивалентные ей) содержит только несмешанные граничные условия.
В любом другом случае система называется смешанной системой
граничных условий. Если т —действительный формальный диффе-
дифференциальный оператор, то множество ©(Т^т)) замкнуто по
комплексному сопряжению. Граничное значение А для действи-
действительного оператора т называется действительным, если А (/) =
= A{f) для каждой функции / из %{Тх(т)).
Мы заканчиваем раздел несколькими простыми примерами
дифференциальных операторов. Простейший пример формально
самосопряженного дифференциального оператора — оператор
% = i(dldt). Мы рассмотрим этот оператор в трех интерва-
интервалах /.
Случай I: / = [0, 1]. Здесь, очевидно, d+ = d_ = 1, и пол-
полная система граничных значений состоит из /@) и /A),
а наиболее общая полная симметрическая система граничных
условий (состоящая в этом случае из единственного условия)
имеет вид f(O) = eiQf(l), где 0<9<2л.
Случай II: / = [0, оо). Тогда решение уравнения if = if (урав-
(уравнения т/= —if) есть е*(е-*). Так как квадрат г* не интегрируем


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 47Э
в [0, оо), то 1=1, и из т могут быть получены только не-
несамосопряженные операторы.
Случай III: / = ( — оз, оо). Тогда из следствия 27, сравнивая
со случаем II, получаем, что т не имеет граничных значений
в точке +оо. Таким образом, без наложения граничных условий
т дает единственный самосопряженный оператор ^(т).
Теперь пусть нам задан формально самосопряженный опера-
оператор т вида (d/dt)[p(t)(d/dt)] + q(t) на интервале / с концевыми
точками а, Ь, где функции р и q действительны. Пусть #<c<6.
Тогда по следствию 14 положительный и отрицательный индексы
дефекта d'+ и d'_ сужения т' оператора т на / (] IA Ь] равны
и по следствию 24 их сумма не меньше чем 2, так что d'+ =
= dl>l. Мы знаем (см. лемму XII.4.21), что d'+ + d'_ совпадает
с числом линейно независимых граничных значений для т\
Так как d+ + dL<4, то или d+=l, или d'+ = 2. Если d'+=lr
то т', и поэтому т не имеет граничных значений в точке bt
поскольку т' имеет два граничных значения в точке с. Если
d'+ = 2, то т', и поэтому т имеет два граничных значения в точке Ь.
Концевая точка а может быть исследована аналогично. Следую-
Следующая таблица дает число линейно независимых решений уравнения
(т — Я)а = 0, которые имеют интегрируемые квадраты в окрест-
окрестностях точек а или Ъ при ImA=?0. Как показывает проведенное
выше исследование, возможны четыре случая.
Число линейно независимых решений,
интегрируемых в квадрате:
В точке а В точке b
2
2
1
1
Следующая таблица дает число граничных значений для т
в любом из указанных выше случаев (I) —(IV).
Число линейно независимых граничных значений для Т:
В точке а В точке b
2
2
О
О
Следуя терминологии Г. Вейля, мы говорим, что конец
а —точка типа предельной точки относительно действительного
(I)
(И)
(III)
(IV)
2
1
2
1
(I)
(Н)
(III)
(IV)
2
0
2
0


474 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
оператора т второго порядка, если т не имеет граничных значе-
значений в точке а, и точка типа предельного круга, если т имеет
два граничных значения в точке а.
В следующей теореме устанавливается важная нормальная
форма граничных значений действительного формального само-
самосопряженного дифференциального оператора второго порядка.
30. Теорема. Пусть формальный дифференциальный оператор т
второго порядка определен на интервале I с концевыми точ-
точками a, b и имеет вид tf=(pf')' + qf, где р и q — действитель-
действительные функции. Тогда в указанном выше случае (IV) мы имеем
(*Л г) = (Л те) для /, г€ФG\(т)). В случаях (III) и (II) сущест-
существует полная система граничных значений для т, содержащая
два линейно независимых действительных граничных значения А^
и А2, таких, что
Ы, 8) - (Л xg) = Ai (/) А2 (g) - А2 (/) A, (g), Л fir€3> (Г, (т)).
В случае (I) существует полная линейно независимая система
граничных значений для т, содержащая четыре линейно незави-
независимых действительных граничных значения Си С2, Db D2, где
Сь С2 —граничные значения в точке a, a Du D2 —граничные
значения в точке Ъ, такие, что
/. &) - (Л *?) = С4 (/) С2 (g) - С2
Доказательство. Пусть А — любое граничное значение для т.
Так как т действительный, то множество Ф G\ (т)) замкнуто
относительно операции комплексного сопряжения, поэтому функ-
функционал Л, определенный формулой A(f) = A(f), есть также гра-
граничное значение для т. Конечно, мы можем считать его ком-
комплексным сопряженным граничному значению А. Теперь граничное
значение А может быть представлено в виде линейной комбинации
действительных граничных значений следующим образом:
1—Л"
Таким образом, т имеет полную систему Аи ..., Av незави-
независимых действительных граничных значений. По лемме XII.4.23
билинейная форма (t/, g) — (/, Tg) однозначно представима в виде
1*1 (т/, 8) - (/, те) = S cuAt (/) АЛё), Д g е Ф (Г, (т)),
г, j=l


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 475
где Cij=—Cji. Поскольку граничные значения А% действительны
и постоянные ctj единственны, отсюда следует, что Сц действи-
действительны. Таким образом, ctj= —cjt, так что сц = 0.
В случае (IV), рассмотренном ранее, граничные значения
для т отсутствуют. Поэтому из [*] очевидно, что (т/, g) = (f, Tg)
при /, ?€®(Л(т)).
В случае (II) имеются два граничных значения в точке Ъ,
и, следовательно (после соответствующего преобразования и норми-
нормирования действительных граничных значений Аи А2), мы можем
написать
(т/, g) - (/, rg) = At {f)A2 (g) - A2 (/) A, (g).
Аналогично в случае (I) можно выбрать полную систему
{Аи А2, Л3, Л4} = {Сь С2, Du D2} действительных независимых
граничных значений, где СА и С2 —граничные значения в точке а,
а Д и D2 — граничные значения в точке Ь. Если мы перепишем
формулу [*] в терминах d и Д, то в правой части будут
члены вида dtj {Ct (/) Dj (g)-~Ci (g) Dj (/)}. Покажем, что коэф-
коэффициенты dtj таких членов обязательно равны нулю. Напри-
Например, пусть ^и=?0. Мы можем найти функцию /^©(^(т)),
такую, что Q (/) = 1, С2 (/) = 0 и / обращается в нуль в окрест-
окрестности точки Ь. Аналогично этому существует функция g
в®(Г!(т)), такая, что D±(g)=l, D2(g) = Q и g обращается
в нуль в окрестности точки а. Тогда по формуле Грина мы имеем
<ТЛ S)~ (A Tg) = 0. С другой стороны, по формуле [*] (т/, g) —
— (Д rg) = dil^=0. Это противоречие доказывает наше утвержде-
утверждение. Очевидно, что подобные рассуждения проходят для любых
значений индексов /, / A<л, /-<2).
Отсюда следует, что (после подходящих преобразований
Си С2, Di и D2) имеет место равенство
<*Л g) - (Л тг) = с, (/) с2 Q) - с2 (/) с,
+ Di(f)D2(g)-D2(f)DiQ).
31. Следствие. Пусть выполняются условия предыдущей*тео-
предыдущей*теоремы, а Т является самосопряженным расширением опера-
оператора Т0(х).
В случаях (II) и (III) система граничных условий, которые
налагаются на т для получения Т, может быть записана в виде
где Ai и А2 — действительные граничные значения в точке Ъ
в случае (II) и е точке а в случае (III).


476 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
В случае (I) если система граничных условий распадающаяся,
то она может быть записана в виде
(/) + (Z2C2 (/) = О, <xj + aj Ф О,
где Ct и Dt, i=l, 2,— действительные граничные значения
в точках а и b соответственно.
Доказательство. В случаях (II) и (III) из теоремы XII.4.30
следует, что оператор Т определяется одним граничным условием,
и из теоремы 30 и определения XII.4.25 очевидно, что это усло-
условие имеет вид
aAi (/) + рЛ2 (/) = 0, а, р действительные, а2 + Р2=т^0.
В случае (II) Ai и А2—граничные значения в точке 6, тогда
как в случае (III) это граничные значения в точке а. В том
и в другом случае очевидно, что единственное граничное усло-
условие, определяющее Т, действительное.
Точно так же в случае (I) оператор 7\ если он определяется
распадающейся системой граничных условий, задается двумя
граничными условиями, из которых одно для точки 6, а другое
для точки а. Применяя предыдущую теорему и определение
XII.4.25, нетрудно показать, что эти граничные условия должны
иметь вид
с действительными щ и Pi, причем aJ + aJ=^=O, Pi + Pa^O- Эти
формулы показывают, что в случае (I) симметрическая распадаю-
распадающаяся система граничных условий также обязательно является
действительной.
Если а —фиксированная концевая точка интервала / и т
не имеет граничных значений в точке 6, то полная система
граничных значений для т совпадает с Bi(f) = f (a), B2(f) = f (а).
Тогда для /, ёг€®(Л(т)) мы имеем (см. определение XII.4.2
и формулу Грина)
ъ
{f,g}=-i)l(pf'Y(t)g(t)-f(t)(pg'Y(t)]dt =
= i(Fa(f,g)-\imFs(f,g)).
Так как т не имеет граничных значений в точке Ь, то из
теоремы 27 следует, что lira Fs (/, g) = 0. Таким образом,
{/. g}=~ ip (a) [/' (a)g (a)-f{a) g' (a)].


2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 477
По теореме XII.4.30 наиболее общее самосопряженное расши-
расширение оператора То (т) есть сужение оператора 7\ (т) на подмно-
подмножество области ©(^(т)), определенное одним симметрическим
граничным условием, которое обязательно является граничным
условием в точке а. Из предыдущего уравнения и определе-
определения XII.4.25 очевидно, что наиболее общее симметрическое
граничное условие есть а/' (а) + Р/ (#) = 0 с действительными а
и р. Таким образом, в случае одной свободной концевой точки
и отсутствия граничных значений в другой концевой точке мы
получаем простой явный вид для наиболее общего самосопря-
самосопряженного расширения оператора Т0(т).
Следующая теорема определяет важное свойство оператора
второго порядка, которое будет применяться в § 3.
32. Теорема. Пусть т имеет вид if = (pf')'-\-qf, где р и q—
действительные функции, а Т — самосопряженный оператор,
полученный из т наложением распадающейся симметрической
системы граничных условий. Пусть ImA-^O. Тогда эти гранич-
граничные условия действительны и существует одно и только одно
решение ср(^, Я) уравнения (т — Я)ф = 0, интегрируемое в квадрате
е точке а и удовлетворяющее граничным условиям в точке а,
а также существует одно и только одно решение г|)(^, Я) урав-
уравнения (т — Я)г|) = О, интегрируемое в квадрате в точке Ъ и удо-
удовлетворяющее граничным условиям в точке Ь.
Доказательство. Мы покажем, что теорема верна в каждом
из четырех рассмотренных выше случаев. Так как в случае (IV)
нет граничных значений, то обязательно нет и граничных усло-
условий. Поэтому в этом случае теорема верна. В случае (III) обяза-
обязательно есть одно граничное условие, поскольку по теореме XII.4.30
и лемме XII.4.21 число граничных условий в симметрической
системе, которая определяет наш самосопряженный оператор 7\
равно половине числа всех граничных значений. Так как нет
граничных значений в точке 6, то это условие задается в точке а.
Поэтому из вышеприведенной таблицы видно, что существует
точно одно решение г|) уравнения (т— Я)г|) = О, которое имеет
интегрируемый квадрат в окрестности Ь и удовлетворяет всем
граничным условиям в точке 6, и существует по крайней мере
одно решение ср уравнения (т — Я)ф = 0, интегрируемое в квадрате
в окрестности а и удовлетворяющее всем граничным условиям
в точке а. Если бы существовало второе решение, линейно неза-
независимое с функцией ф, имеющее интегрируемый квадрат в окрест-
окрестности а и удовлетворяющее всем граничным условиям в точке а,
то, так как пространство всех решений уравнения (т —Я)ф = 0
двумерно, все решения этого уравнения были бы интегрируемы
в квадрате в окрестности а и удовлетворяли бы всем граничным


475 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
условиям в точке а. Значит, г|> было бы интегрируемо в квадрате
на всем интервале / и удовлетворяло бы всем граничным усло-
условиям, определяющим Т. Тогда X было бы собственным числом
оператора Т. Однако, поскольку Г—самосопряженный оператор,
a Im Я Ф О, это невозможно. Из симметрии очевидно, что слу-
случай (II) эквивалентен случаю (III).
Теорема XII.4.30 показывает, что в случае (I) симметрическая
распадающаяся система граничных условий, определяющая опе-
оператор 7\ содержит два элемента. Очевидно, что доказательство,
данное для случая (III), проходит также в случае (I). Нужно
только заметить, что оба условия нашей системы граничных
условий не могут быть условиями в одной и той же концевой
точке. Это, очевидно, вытекает из следствия 31.
3. Резольвенты дифференциальных операторов
В этом разделе символ т будет обозначать формальный диф-
дифференциальный оператор порядка я, который определен на интер-
интервале / с концевыми точками а, Ь. Оператор Т — Т(х) будет опе-
оператором, полученным из т наложением системы (которая может
быть пустой) k линейно независимых граничных условий Bt(f) = Or
i = \, ..., k, т. е. Т — сужение оператора 7\ (т) (см. опреде-
определение 2.8) на подмногообразие многообразия 2)G\(т)), опре-
определенное условиями Bi(f)=O, f=l, ..., k. В этом разделе наша
главная цель —получить конкретное представление резольвенты
R (Я; Т) для Я из q (T) в виде интегрального оператора
Нам нужны не только сведения теоретического характера,
но и алгебраические алгоритмы для применения в некоторых част-
частных случаях.
Для дальнейшего удобно предполагать, что число Х = 0 при-
принадлежит q(T), т. е. что Т имеет ограниченный везде определен-
определенный обратный оператор. Это допущение эквивалентно тому, что
оператор т заменяется на т — Я.
Наш первый результат относится к числу k линейно независимых
граничных условий, которые определяют Т. Заметим, что k может
быть, вообще говоря, нулем.
1. Лемма. Пусть Т имеет ограниченный обратный. Тогда число
линейно независимых граничных условий, определяющих Т, равно
числу линейно независимых решений уравнения т/ = 0, которые
принадлежат L2(/).


3. Резольвенты дифференциальных операторов ¦ 479-
Доказательство. Пусть v — число линейно независимых решений
уравнения т/ = 0, принадлежащих L2(I). Если v>k>0, то 7у = 0
для некоторой ненулевой функции /, и поэтому Т не имеет обрат-
ного. Таким образом, &>v. Пусть k>v. Тогда существуют
по крайней мере v+1 линейно независимых линейных функцио-
функционалов на ©(^(т)), которые обращаются в нуль на Ф(Т), и суще-
существуют по крайней мере v +1 линейно независимых линейных
функционалов на факторпространстве Ф G\ (т))/Ф (Т). Следова-
Следовательно, это факторпространство по крайней мере (v+ 1)-мерное.
Таким образом, имеется не меньше v+1 линейно независимых
функционалов /0, Д, ..., fv в ф(Т^ (т)), никакая ненулевая линей-
линейная комбинация которых не лежит в Ф G). Поскольку Т имеет
ограниченный всюду определенный обратный, Т отображает Ф (Т)
на L2(I). Следовательно, существуют функции g0, gu ..., gv
в Ф (Г), такие, что
Tgi = Tl(T)fi, / = 0, 1, ..., v.
Тогда т(#— ft) = Tgi — 711(т)Д=0, и функции g-f — ff, / = 0,
1, ..., v, являются v+ 1 линейно независимыми решениями урав-
уравнения та = 0. Это противоречие заканчивает доказательство.
Следующий результат обобщает следствие 2.26.
2. Лемма. Пусть Т имеет ограниченный обратный, и пусть тл
и т" — сужения оператора т на интервалы Г = 1()[а, с] и Г =
= / П [с, Ь], где а<.с<.Ь. Если v (v;, v") обозначает число линейно
независимых решений уравнения т/ = 0, которые принадлежат
L2(I)(L2(I'), L2(/")), то v' + v" = v + n.
Доказательство. Пусть §8B};, §8") — линейное пространство всех
решений уравнения т/ = 0, которые принадлежат L2(I) (L2(I')y
L2(I")). Так как S8 = 2J/ f|ЯГ', то в силу элементарных свойств
конечномерных пространств
dim §8 + dim BГ + 95") = dim 23' + dim 2Г.
По теореме 1.3 dimCS/ + 2J//)<n, откуда следует, что-
f "
Пусть 333 —подпространство пространства L2(I), образованное
всеми функциями, сужения которых на интервалы Г и Г при-
принадлежат §8; и §8" соответственно. Очевидно, что dim SB = v; + v".
Мы докажем, что v' + v">v + n, показав, что dim^S>v + n. Так
как §8—подпространство пространства 333, то это можно сделать,
построив в 2В п линейно независимых функций, никакие линейные
комбинации которых не лежат в 58. По теореме 2.10 и лемме 2.&
Т* — сужение оператора Т\(т*) (см. определение 2.8). Поэтому
линейные функционалы


480 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
непрерывны на © G1*). Так как существуют функции /в © (То (т*)),
для которых величины /(i) (с) определяются произвольно, то функ-
функционалы в [*] линейно независимы на ®(Т0(т*)). По теореме 2.10
71*э711(т)* = 71о(т*)**э71о(т*), и поэтому Ф (Т0(т*)) — подпро-
подпространство пространства Ф (Т*). Таким образом, функционалы At
линейно независимы на Ф(Т*).
В Ф (Т1*) мы введем скалярное произведение
По теореме XII. 1.6 (а) Т* замкнут, и по теореме XII. 1.6 (Ь) он имеет
ограниченный всюду определенный обратный G1*).
Очевидно, что G1*)— ограниченный линейный оператор
из L2(l) в ©G1*). Поэтому функционалы Лг((Т*)~1/) непрерывны
на L2(I), и по теореме о представлении элемента пространства,
сопряженного гильбертову пространству (см. теорему IV.4.5), суще-
существует п функций h0, ..., hn-x в L2(/), таких, что
Линейная независимость функционалов Ао, ..., Лп_1 означает,
что функции Ао, ..., Лп_! линейно независимы. Для всех / из
ФG10(т')) или из ©(Tojr")) мы имеем
0 = 4/ = G*/, АО = I *7 @ МО d<.
Z' или Z"
По лемме 2.9 мы заключаем, что А$ лежит в С°° (Г) или
в С°° (Г) и что (тА0(?) = 0, ^=7^= с- Таким образом, я линейно неза-
независимых функций Ао, ..., Ад-i принадлежат SB. Для завершения
доказательства достаточно проверить, что никакая ненулевая ли-
п— 1
нейная комбинация А= 2 аА/ функций Aj не принадлежит 58.
Пусть А принадлежит §8. Тогда по формуле Грина мы имеем
0 = (/, тА) = (Г*/, А) = S Mi (/) = S «;/(У) (с)
для каждой / из Ф(Т0(т*)). Тогда, очевидно, а; = 0 при
у = 0, ..., п—1, так что А = 0. Это противоречие завершает дока-
доказательство настоящей леммы.
3. Лемма. Сопряженный оператор 7* оператора Т есть суже-
сужение оператора Тх (т*), определенного системой граничных условий
Я?(/) = 0» i=l, ..., &*, наложенных на т*.
Доказательство. Из доказательства предыдущей леммы видно,
что Го (т*) с= г* с= г4 (т*). Тогда Ф G\ (т*)) - гильбертово простран-


3. Резольвенты дифференциальных операторов 481
ство со скалярным произведением (/, g)* = (/, g) + (т*/, i*g),
и элементарные вычисления показывают, что ортогональное допол-
дополнение 23 пространства © (Го (т*)) в ® G\ (т*)) есть множество
функций /, удовлетворяющих уравнению / + То (т*)* 7\ (т*) / =
= f + Ti (т) 7\ (т*) / = 0 (см. теорему 2.10). Таким образом, каждая /
из 23 удовлетворяет дифференциальному уравнению / + тт*/ = 0.
Это показывает, что размерность пространства S3 не больше
чем 2п. Так как Ф (Г*) — замкнутое подпространство пространства
ф G\ (т*)), содержащее ф (То (т*)), ортогональное дополнение
пространства Ф (Т*) в ф G\ (т*)) имеет конечный базис А4, ..., Лр.
Положим -В* (/) = (/, Ai)*. Очевидно, что 5* — граничное значение
для т*, и, следовательно, уравнения Б*(/) = 0, t = l, ..., р,
определяют подпространство ф (Г*) пространства ф (Т1 (т*)), ч. т. д.
Замечание. Если Т — самосопряженный оператор, определенный
формально симметрическим оператором, или, в более общем виде,
оператор вида 7\ — Я/, где 7\ г— самосопряженный оператор, описан-
описанный выше, то граничные условия В*(/) = 0, /=1, ..., к*, экви-
эквивалентны граничным условиям Bj(f) = O, /=1, ..., /г.
4. Лемма. Если R обозначает ограниченный обратный опера-
оператора Т, то существует функция К, определенная на 1x1
и такая, что K(t, •) принадлежит L2(I) для каждого t?l, причем
Более того,
(a) Для каждой точки eel функция К (с, •) принадлежит
(П[а, с]) и С°°AГ\1с,Ь]), и т*(Щ^7)) = 0 для s^c.
(b) Если положить К+ (с, s) = K (с, s) для s > с и К-(с, s) =
= К (с, s) для s < с, то
lim K^(c,s)^ lim К(?(с, s), / = 0, ...,n-2,
s-»c-|-0 s->c—0
lim K?-l)(c,s)- lim К^~1)(с, s) = (- 1)п~[
s->c-\-0 s->c—0
(с) Равенства (b) эквивалентны соотношению
f (с) = Fc(/, К-)-Fc(/, К+), eg/, /еФ G1! (т)).
Доказательство. Очевидно, что /? —непрерывное взаимноодно-
взаимнооднозначное отображение пространства L2(I) на гильбертово про-
пространство Ф(Т), у которого скалярное произведение совпадает
с (A g)* = (A g) + (TA ^)- Так как 7—сужение оператора 7\(т),
то из леммы 2.16 следует, что функционал (Rf)(t) непрерывен
на ?2(/) Для каждой точки t из /. Поэтому теорема IV.4.5 пока-
31 Заказ № 134


482 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
зывает, что для каждой t из I существует функция K(t, •) в L2(I),
такая, что
Пусть a<Cc<Cb. Предположим, что g лежит в %(Т0(х'с)), где
Тс — сужение оператора т на I (\[а, с]. Тогда
Из лемм 2.6 и 2.9 следует, что К (с, •) принадлежит С°°A()[а, с])
и т*/<"(с, s) = 0, a<Cs<Cc. Подобными рассуждениями мы находим,
что К (с, •) принадлежит С°°(/ П [с, Ь]) и что т*/((с:, s) = 0,
Теперь пусть #(<, 5) = /С-(<, s) для s</ и K(t, s)=K+(t, s)
для s>?. Если a<Cc<Cb, то по формуле Грина B.4) мы имеем
= J К- (С, S) (T/) E) ds+ J /C+ (С, 5) (Т/) (S) ds =
а с
= ^с (Л К-) - Fc (/, К+) = Fc (/, ^_ -KV)
для каждой функции / из ф (Го (т)). Здесь производные в точке с
от функций К+ и /(_, входящие в FC(A K+) и ^с(Л К"-), берутся
слева и справа соответственно.
Так как по лемме 2.2 Fc(f, g) есть невырожденная форма на
векторах [/(с), ..., /(П)(СI и [^(с)» • • •» ^(П} WJ, уравнение
если предполагать его справедливость для всех / из ® (Го (т)),
однозначно определяет функцию т| и ее первые п— 1 производных.
Это уравнение эквивалентно системе уравнений
п-1
где б}=1, если /==/, и б} = 0, если 1ф]. Из формы, данной
для матрицы FlJ, во второй формуле, предшествовавшей определе-
определению 2.1, мы видим, что
если


3. Резольвенты дифференциальных операторов 483
Таким образом, система [**] имеет решение
Г! (с) = ... = Т|<»-2) (С) = О, Т|<»-*> (С) = (— I)*" [On (С)]'1.
Поэтому скачок функции К (с, s) в точке s = c описывается
п уравнениями
Дальнейшие сведения о ядре К даются в следующей лемме.
5. Лемма. Функция К (с, •)» полученная из ядра, определенного
в предыдущей лемме при фиксированном с из /, удовлетворяет
граничным условиям В* (/) — 0, 1=1, ..., k*, определяющим Т*.
Доказательство. Здесь будет применяться система обозначений
из доказательства предыдущей леммы. Пусть а<с<6, a g—
функция из С°°(/), которая совпадает с К (с, •) в окрестностях
точек а и Ь и такая, что g принадлежит ® (Т4 (т*)) (мы напоми-
напоминаем, что по лемме 4 К (с, s) — бесконечное число раз дифферен-
дифференцируема» функция, за исключением точки s = с). Применение
формулы Грина дает
с
\ N)(s)(g(s)-K(c, s))ds= \ (xf)(s)(g(s)-K-(c, s))ds +
I
= \ / (s) (т*?) (s) ds- Fc (/, К-) + Fc (/, К+), / б Ф (Т4 (т))
Вспоминая, что для / из ф (Т)
f(r\ — p (* W \ р (? к~\-
мы получаем уравнение
(Т/) E
Таким образом, gr лежит в ®(Т*), так что g удовлетворяет гра-
граничным условиям ??(/) = 0, /=1, ..., k*j из леммы 3. Теперь g
совпадает с К (с, •) в окрестностях точек а и 6, и, рассмотрев
замечание к следствию 2.28, мы видим, что К (с, •) удовлетворяет
этим же граничным условиям, ч, т\ д.
31*


484 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
6. Лемма, (а) Если s=^=t, то ядро К (s, t) — бесконечно диф-
дифференцируемая функция по обеим переменным.
(Ь) Функции К+(-, •) и К-(-, •)» встречавшиеся в формули-
формулировке леммы 4, непрерывны на своих областях определения.
Доказательство, (а) Пусть ф*, ..., ф?* и г|)*, ..., -ф** инте-
интегрируемы в квадрате в окрестностях а и Ь соответственно и обра-
образуют базис для решений уравнения т*ст = О. Из леммы 4 следует,
что для с из / ядро К может быть представлено в виде
П К (с, s) =
V*
2
2 Pi (c) %* (S)> S>C.
L г=1
Теперь вычислим p* + q* постоянных величин at (с) и Рг (с). Рас-
Рассмотрим п линейных уравнений
К(п'{)(
Формула ['] показывает, что уравнения A) могут быть переписаны
в виде
%Ч(с)$^)-%Ь(с)Ч*<Щ = 0, 1 = 0, ..., /2-2,
(Г) 3=* 1~{ ^
.2 *j (с) Ф*(п-!) (с) - Jj Pz (с) *•(-*) (с) = (- 1 )п [М^Г1.
По лемме 5 функция /С (с, •) удовлетворяет уравнениям
B) BK
По теореме 2.19 мы можем написать В* — С*-{-О*, где
С* и D* являются граничными значениями в точках а к b соот-
соответственно, и с применением ['] уравнения B) могут быть пере-
переписаны в виде
B') 2^сг(ф*)+2Ш
1 «1
По леммам" 1 и 2, р* + <7* = ^* + п- Поэтому система, состав-
составленная из уравнений (Г) и B'), имеет единственное решение а* (с),
Pi (с), если соответствующая однородная система уравнений имеет
только нулевое решение.
Пусть однородная система, полученная из уравнений (Г) и B'),
имеет ненулевое решение а?(с), Р?(с), и пусть Ко(-) — функция


3. Резольвенты дифференциальных операторов 485
(переменной s), полученная из ['] заменой щ и Р* на а? и р°.
Функция /Со п раз дифференцируема для Бфс. Уравнения (Г)
удовлетворяются функциями а? и р°. Это означает, что Ко является
функцией, п—\ раз дифференцируемой в точке с. Таким образом,
/Со € ® (Т1! (т)). Тогда уравнения B') показывают, что Ко лежит
в области определения оператора Г*, а уравнения ['] показывают,
что Т*Ко = О. Так как Т имеет ограниченный обратный, то Т* также
имеет ограниченный обратный. Следовательно, Ко обязательно
тождественно равняется нулю. Поэтому уравнения (Г) и B')
имеют единственные решения с^ (с) и р* (с) соответственно.
Заметим, что все коэффициенты в (Г) и B') — бесконечно диф-
дифференцируемые функции от с. Однородная система р* + <7* урав-
уравнений для р* + 9* неизвестных, полученная из (Г) и B'), не имеет
ненулевых решений. Следовательно, определитель системы (Г) —
— B') отличен от нуля, и решения этой системы можно выразить
(по правилу Крамера) через некоторые определители из ее коэффи-
коэффициентов. Следовательно, щ и рг- — бесконечное число раз диффе-
дифференцируемые функции с. Теперь остальные утверждения леммы,
очевидно, следуют из формулы ['].
Замечание. Уравнения (Г) часто будут упоминаться как «урав-
«уравнения скачков».
Чтобы получить более точную формулу для К, мы изучим
далее вид оператора, сопряженного к R.
7. Лемма. Пусть К — ядро, связанное с R, как в лемме 4.
Тогда
(а) для фиксированной точки с из I функция /С (•, с) лежит
в L2G). Сопряженный к R оператор R* может быть представлен
в виде
?
(b) для фиксированной точки с из 1 и для гфс имеет место
равенство %К (t, с) = 0;
(c) К (•, с) удовлетворяет граничным условиям, определяющим Т.
Доказательство. Пусть J — компактный подинтервал из /. Пусть
/Ci —ядро, связанное с /?*, как в лемме 4. По лемме 6 ядра К
и Ki ограничены на «/. Если /, ^б® Eпо(т)) = ФBпо(т*)) и если
fug обращаются в нуль вне */, то из теоремы Фубини следует, что
\\K(s,t)f (t) Ш dtds = (Rf, g) =
i i
*) j
I I


486
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Система функций вида f(t)g(s), где /, g — функции из ®(Т0(т)),
обращающиеся в нуль вне J, фундаментальна в L2(J X «/). Поэтому
К E, t) — K\{t, s) для почти всех (s, t)?JxJ. Так как по лемме 6
оба эти ядра непрерывны для гфь, го К (s, t) = K\ (t, s) для всех
точек (s, t) из J x«Л если только s Ф t. Теперь из этого факта
и из лемм 4 и 5 следует наша лемма.
8. Теорема. Пусть т—формальный дифференциальный опера-
оператор на интервале I, a T — оператор, полученный из т наложением k
линейно независимых граничных условий Зг(/) = 0, /=1, ..., k.
Пусть {cpj, /=1, ..., р ({ф*}, t = l, ..., р*), является бази-
базисом для тех решений уравнения тог = 0 (т*ог = 0), которые инте-
интегрируемы в квадрате в окрестности точки а, и пусть {\|)j},
I = 1, \ .., q ({^*}, i = 1, ..., <7*)i является базисом для решений
уравнения тст = О (т*ст = О), имеющих интегрируемые квадраты
в окрестности точки Ь. Тогда существуют единственные скаляр-
скалярные матрацы Г = (уи)> *"=1, ..., ?, / = 1, ..., Р*, а Г = (у{,")>
/=1, ..., р, / = 1, ..., ?*, такие, что функция Грина К, опре-
определенная в лемме 4, представляется в виде
п
K(t,s) =
S S
il jl
Доказательство. В доказательстве леммы 6 ядро К было пред-
представлено в виде
р*
.S МОф? (s)>
q*
где функции oij(t), fij(t) бесконечно дифференцируемы. Используя
лемму 7 и применяя т к обеим частям этих равенств, мы получаем
2
Из линейной независимости функций ф* и г|)* следует, что
та,- = тр; - 0.
Остается доказать, что функции а,- и р,- интегрируемы в квад-
квадрате в окрестностях точек Ь и а соответственно. Если Ф* — любой


3. Резольвенты дифференциальных операторов 487
другой базис для множества решений уравнения т*ог = 0, инте-
интегрируемых в квадрате в окрестности точки а, то коэффициен-
коэффициенты aj определенные соотношением
K(t, s)= 2 ?,@ФГЮ = 2
i 1
будут связаны с коэффициентами at невырожденным линейным пре-
преобразованием, так что каждая функция а* будет линейной ком-
комбинацией функций at с постоянными коэффициентами, и обратно.
Таким образом, at будут интегрируемы в квадрате в окрестности
точки Ь тогда и только тогда, когда это верно для а*. Итак,
если У = [с, d] — компактный интервал внутри /, то мы можем пред-
предполагать, не уменьшая общности, что ф* ортонормальны на У.
Тогда из ['] следует, что
s)ds, t>s.
Теперь для каждой точки s из / линейный функционал (R*f) (s)
непрерывен на L2, и для каждой / функция (jR*/) (s) непрерывна
по s. Поэтому sup | (R*f) (s) \ < оо для каждой функции f?L2(I),
и из теоремы о равномерной ограниченности следует, что для s ?J
функционалы f—>(R*f)(s) равномерно ограничены по норме. Так
как
(R*f) (s) = J TUFTi) f{t)dU /бU(/),
г»
то из теоремы IV.8.1 следует, что sup \ \K(t, s) \2dt < оо. Поэтому
s?J V
J I
\K(t,s)\*dtds<cx>,
и по неравенству Шварца и теореме Фубини
ь
, s) ф? (s) ds
J J \K(t,
i j


488 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Таким образом, функции at интегрируемы в квадрате в окрестности
точки Ь. Так же можно показать, что функции |37- интегрируемы
в квадрате в окрестности точки а, ч. т. д.
Следующее утверждение дает нам возможность использовать
теорему 8 как вычислительный алгоритм при рассмотрении част-
частных примеров.
9. Следствие. Матрицы Т = (уи) и Tf = (ylj) в предыдущей
теореме однозначно определяются уравнениями скачков и гранич-
граничными условиями, определяющими Т.
Доказательство. При выводе теоремы 8 мы видели, что функ-
функции a* (t) и ^i (t) однозначно определяются уравнениями скачков
и граничными условиями В*(/С) = О, /=1, ..., &*, которым удов-
удовлетворяет К {с, •)• Далее, в лемме 7 показано, что К (s, ?) —ЯДР°
для /?*. По симметрии К также однозначно определяется урав-
уравнениями скачков и граничными условиями, определяющими Т.
Поэтому, поскольку функции i|)j образуют линейно независимую
систему и такими же являются функции ф*, г|)*, ф*, матрицы Г
и Г' однозначно определяются уравнениями скачков и граничными
условиями, определяющими Т, ч. т. д.
Вычисление К при помощи следствия 9 может быть упрощено,
если система граничных условий для Т или Т* распадается или
содержит определенное число граничных условий в точке а или Ь.
При описании этого упрощения стоит сделать некоторые замеча-
замечания, которые будут использованы в следующих нескольких теоре-
теоремах. Как и выше, пусть ф1? ..., фр —базис пространства 23а
тех решений уравнения тог = 0, которые имеют интегрируемые
квадраты в окрестности точки а; аналогично пусть \ри ..., tyq —
базис пространства 58Ь решений, интегрируемых в квадрате
в окрестности точки Ь. Пусть система граничных условий для Т (или
некоторая эквивалентная система) записана в виде [Ви ..,, Bh] =
= [Ci, ...., QJUPi, ..., Dv]U№i. •••> ?шЬ где CuDi и ^-гра-
^-граничные условия в точках a, b n смешанные граничные условия
соответственно. Пусть ф^ и г|^ выбраны так, что система ф1? ..., фи,
и<р, образует базис подпространства 2Ва^ЯЗа, содержащего
те элементы пространства 23а, которые удовлетворяют условиям
Ci(/) = 0, i=l, ..., |i, a %, ..., if,,, ?><<?, есть базис подпро-
подпространства 2ВЬ s SS&, содержащего те элементы пространства SSb,
которые удовлетворяют условиям Dt (/) = 0, 1= 1, ..., v. Символы
С*, 93*, ф*, |i*, и* и т. д. будут обозначать соответственно
целые числа, пространства решений и т. д., связанные с уравне-
уравнением т*ог = 0 и с граничными значениями В*, ..., В** для Т*.


3, Резольвенты дифференциальных операторов 489
10. Теорема. Пусть Т имеет ограниченный обратный R. Тогда
в обозначениях предыдущего абзаца
Более того, ядро К для R имеет представление
V U*
i=l j=l
и v*
г=1 j=l
где постоянные ytj и у'ц однозначно определяются уравнениями
скачков и оставшейся системой смешанных граничных уравнений
?,(К) = 0, /=1, ..., о), © = ft —(
Доказательство. Так как ЗВа —подпространство р-мерного
линейного многообразия ЯЗа, определенное ^ линейными условия-
условиями, то очевидно, что и = dim 9Ва>р —[х. Аналогично у = dim ЗВЬ>
> ^ — v. С другой стороны, если dim ЗВа + dim ЗВЬ > р + 9 — (^ + v) =
= n+k — (\i + v) (см. результат применения леммы 2 к операто-
оператору т*), то поскольку dimCBa + 3Bb)</2, равенство
dim CBa + Щ + dim CBa f| 8Bb) = dim 3Ba + dim 3Bb
показывает, что dim CBa f( 933b) z>k — ((x + v) = со. Следовательно,
ЗВаП®ь содержит ненулевой вектор /, удовлетворяющий остав-
оставшимся смешанным граничным условиям Ei(f) = O, i=l, ..., со.
Поэтому /?© (Т) и Tf = O вопреки тому факту, что Т имеет
обратный. Поэтому u = p — \i и v = q — v. Соотношения а* = р* — (х*
и у* = <7*—- v* доказываются аналогично.
Так как ядро K(t,-) удовлетворяет граничным условиям
C*(f) = O и D? (/) = 0, то оно имеет представление
K(t,s) =
2
*1
подобное представлению ['], данному при доказательстве леммы 6.
Чтобы определить и*+а* = (р* + 9*) — (|х* + v*) = (п + k*) — (|х*+v*)
неизвестных функций af (t) и ^ (/), мы имеем п уравнений скачков
и оставшиеся граничные условия
Путем рассуждений, аналогичных примененным при доказатель-
доказательстве леммы 6, устанавливается, что эти две системы условий


490 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
определяют функции at(t) и $t(t) однозначно; тогда, как при
доказательстве леммы 7, мы видим, что a*?2Bb, $t(z%8a. Таким
образом, (ytj) и (у'ц) однозначно определяются условиями скачков
и граничными условиями ?Т(/С) = О, i = l, ..., со*. По симметрии
(Уи) и (уЬ) также однозначно определяются условиями скачков
и граничными условиями Ег (К) = 0, i = 1, ..., со (см. следствие 9),
ч.т. д.
Особенно важен случай, когда и Г, и Г* определяются рас-
распадающимися системами граничных условий. Тогда \k-\-v-k,
|Lt*-f v* = &* и коэффициенты ytj и yij однозначно определяются
уравнениями скачков. По леммам 1 и 2 p* + q* = n-\-k*. Поэтому
u*-\-v* = р* + <?*— (|ы* + v*) =/г. Аналогично u-}-v = п. Если функ-
функция а является одновременно линейной комбинацией фь ..., фи
и \|)i, ..., г|H, то а лежит в L2(/), и мы имеем %о = 0 к Вг(о) = 0,
1 = 1, ..., k. Таким образом, а будет лежать в области определе-
определения оператора Т и Та = 0. Отсюда следует, что ст = О. Поэтому
системы {фь ..., фи} и {\|)i, ..., г|)„} должны быть линейно неза-
независимыми. Так как u + v = n, то они образуют базис для всех
решений уравнения та = 0 на /. Аналогично {ф|, ..., фХ*} U
(J{^>b ..., ty$*} — базис для всех решений уравнения т*а = 0.
Если
K(t,s) =
J! ft @
то из леммы 4 (с) видно, что уравнения скачков эквивалентны
соотношению
/ @ = 2 «I @ ^ (А ф?) - 2 Pj @ Ft (/, ^), / б с71 (/).
Положим щ==аи i=l, ..., ^*; ^ = Pi-n*, t = a*+l, ..., /г;
Л* = Фь ' = 1> •••> ^*» Л* = — ^i-u*, t = a*+l, ..., п. Тогда это
соотношение принимает более простой вид
C) / @ = J, я* (О F, (/, г,Г), / б С" (/).
Поскольку i7* — форма, содержащая только функцию / и ее пер-
первые /г — 1 производных, уравнение C) выполняется для всех /
из Сп~{ (/), если оно выполняется для функций любого подпро-
подпространства, содержащего функцию с любыми заданными значениями
первых п—\ производных в любой точке, в частности для подпро-
подпространства решений уравнения та = 0. Мы видели (см. теорему 10),


3. Резольвенты дифференциальных операторов 491
что таг = 0, i = \, ..., п. Таким образом, выбирая базис {?г},
1=1, ..., /г, для решений уравнения та = 0 и определяя матрицу
{Г} уравнениями
мы видим, что уравнения скачков эквивалентны следующей
системе уравнений:
D) . | TuFt (Ь, т,!) I; @ = & @, / = 1 л.
i, j=l
Теперь по формуле Грина
Ftl(h, лГ) - ^ (Ь. Л?) = J {№) (О Л? (О - ?* @ (т*лГ) @} Л = 0.
«1
Поэтому ^ (^, т]*) не зависит от t и система D) эквивалентна
системе уравнений
ЗВД(&,л*) = а*. к/,
i
S 23
Другими словами, матрица {Ти} является обратной для матрицы
{Ft (ih Л?)}- В терминах матрицы {Г^} мы имеем
23
i=u*+i i=i
Кроме того, если мы возьмем 6; = Ф,/, /= 1, ..., ^, и ^ = %-и>
/ = ы+1, ..., п, то, поскольку постоянные Г^ в выражении
ядра К определены однозначно, из представления для /С, данного
в теореме 10, следует, что Г^ = 0, если одновременно г'<и* и /<и
или i>u* и j>u.
Далее все эти замечания формулируются в виде теоремы,
в которой применяются введенные выше обозначения.
11. Теорема. Предположим, что Т и Т* определяются систе-
системами распадающихся граничных условий. Пусть & = <рь i = 1, ...
• .., ы; ?j = ^-u, *- = и + 1, ..., /г; л* = Ф*. t= 1, ..., а*; т|? =
— — ^*_u*, i = и* + 1, ..., п. Тогда
(a) системы {&} и {л?} образуют базис для пространств
решений уравнений та = 0 w т*сг = 0 соответственно;
(b) матрица {Ft (Ь, л|)} ^^ зависит от t и невырожденка;


492 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(c) если {Tij} обозначает обратную матрицы {Ft (lu
то Tij = Oj когда одновременно i^u* и j^u или i>u* и j>u;
(d) ядро К обратного оператора R к оператору Т опреде-
определяется формулой
U* П
2л * и'фг (s) Vj-u (t), S < t,
K(t,S)= ,; „
2j lijtyi-u* (S) <fj (t)j S > /.
Когда теоремы 10 и 11 формулируются для резольвенты диф-
дифференциальных операторов, они принимают несколько другой
вид. Для дальнейших ссылок мы выпишем соответствующие фор-
формулировки.
12. Следствие. Пусть т—-формальный дифференциальный опе-
оператор, а Т — оператор с плотной областью определения, полу-
полученный из т наложением системы {Вг} граничных условий. Пусть
системы граничных условий, определяющие Т и Г*, делятся
на три подсистемы, как это описано в пункте, предшествовав-
предшествовавшем теореме 10. Пусть для каждого числа X?q(T) системы
<р?(-Д), l<i<u*), и ф*(.,Х), 1<л<?>
образуют базис для всех решений уравне-
уравнения (т — X) а = 0 ((т* — X) о — 0), интегрируемых в квадрате
в окрестностях точек а и Ъ и удовлетворяющих граничным усло-
условиям в точках аи b соответственно. Тогда резольвента R (X; Т) =
= (К1 — Г) определяется выражением
(R(X; Т)/) (t)=\f (s)К(t, s; X)ds, f 6U(I),
где ядро К имеет представление
V U*
K(t,s;X) =
.2 .2 Y«MiM*;a,)q>$(s;*), s<t,
I — 1 J—1
V*
2 2т«(Л)ф|(<;я,)я|)?(в;Л), s>t.
г=1 i==i
Функции ytj (•) и yb' (•) однозначно определяются смешанными
граничными условиями, определяющими Т, и следующей систе-
системой уравнений скачков:
13. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный one*
ратор, а Т —оператор в гильбертовом пространстве, получен-


3. Резольвенты дифференциальных операторов 493
ный из т наложением распадающейся системы граничных усло-
условий. Пусть Г* также определяется распадающейся системой
граничных условий. В обозначениях предыдущего следствия пусть
& \ Ь КК ? * li*
и r|*= — tyi-u*> м*+1<1<л, для X?q(T). Тогда при условиях
предыдущего следствия мы имеем
(a) для каждого X из q(T) системы {?*} и {г]*} образуют
базис для пространств решений уравнений хо = Хо и т*о = Хо
соответственно;
(b) матрица {Ft (&, г]*)} не зависит от t и невырожденна для
каждого X из q(T);
(c) если {Tij(X)} — матрица, обратная для {Ft(li, г]*)},
то Г^- = 0, когда одновременно i<w* и /<w или i>u*
и j>u;
(d) ядро К резольвенты R (X; Т) определяется формулой
и* п
-S.S.
К (t, s; Я) =
-S3 го- W ^ (^ Я) i|)f_u* (s; Я), s > t.
Пусть т — действительный формально симметрический диф-
дифференциальный оператор. Граничное значение А для т называется
действительным, если А (/) = А (/) для каждой функции /
из ф (^(т)). Граничное условие Л(/) = 0 называется действитель-
действительным, если граничное значение Л действительное; система гранич-
граничных условий называется действительной, если каждый ее элемент
действительный. Если Г —самосопряженный оператор, получен-
полученный из т наложением действительной симметрической системы
граничных условий, то нетрудно показать, что решения уравне-
уравнения (т* — Х)о = 0 являются комплексно сопряженными к решениям
уравнения (т — X) о = 0. Поэтому для каждого X из q (Г) мы можем
брать фг (•, X) = ф* (• Д) и % (•, X) = 1|э* (•, X). Тогда, поскольку Т
самосопряжен (XII.2.2), для каждого X, не являющегося действи-
действительным, оператор T — XI имеет ограниченный обратный.
14. Следствие. В обозначениях следствия 12 предположим,
что т —действительный формально самосопряженный дифферен-
дифференциальный оператор, а Т — самосопряженный оператор, получен-
полученный из т наложением действительной симметрической системы
граничных условий. Тогда резольвента R (Я; Т) оператора Т опре-
определяется формулой
(R (Я; Т) f) @ == J / (s) К (/, s; Я) ds, f € L2 (/),


494
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
где ядро К имеет представление
K(t,s;X) =
V U
/л
г=1 j=l
и v
-SSYi
s;
• t.
Здесь функции уц и уЬ' однозначно определяются смешанными
граничными условиями для Т и следующей системой уравнений
скачков:
15. Следствие. В предположениях и обозначениях следствия 14
и n/ш дополнительном требовании, что граничные условия, на-
ложенные на т, распадающиеся, ядро К имеет вид
матрица
,lj) для
— обратная к матрице {Ftj}, a Ftj=*
t(h,lj) , ij=—Ft(tu%j) для i>u и g* = <p«,
i = l, ..., «; |1 = ^-и, i = u+l, ..., /г.
Интересный и важный частный случай следствия 13 полу-
получается, когда /г = 2, Т и Т* определяются распадающимися гра-
граничными условиями, а оператор т имеет вид т/= (/?/')'+ <j/. Далее,
пусть существует только одно решение ф (ф*) уравнения то = 0
(т*G = 0), которое интегрируемо в квадрате в окрестности а
и удовлетворяет граничным условиям в точке а для Г(Т*),
а также существуют единственные решения ^ и я{>*, соответствую-
соответствующие концу 6. Для оператора т
Л (Л я) = р(О I/' (t)IU)-f (tOШ = р@ ^(А я),
где Wt(f, g)=f (t)g@-/@g' @ — вронскиан функций / и g.
В этом случае {Г^} — матрица второго порядка с нулевыми диа-
диагональными элементами, и поэтому очевидно, что ее обратная
{Ftitu Л?)} (Ei = Ф. Б2 = *. Л? = Ф*. Ла = — **) тоже имеет нулевые
диагональные элементы. Элементарные вычисления показывают, что
112 — "~7Г7ГТГ~=7 ' А 21 ^


3. Резольвенты дифференциальных операторов 495
Таким образом,
s<t,
. *-)Ф
7Иф*
*(s,
(X),
•(в,
Я)
¦ (X))
1
s>t.
t p @ ^ (Ф M. Ф* W)
Если мы дополнительно предположим, что т — формально симме-
симметрический (и поэтому действительный) и что система граничных
условий является симметрической и действительной, то эти фор-
формулы переходят, как в следствии 15, в формулы
s<t,
г II I L I U/ ¦* I Ш I Л. I . "IIJ I Л. I I
Следующая теорема показывает, что по формуле [*] резоль-
резольвента определяется для большого и важного класса дифферен-
дифференциальных операторов второго порядка.
16. Теорема. Пусть Т — самосопряженный оператор, получен-
полученный из действительного формального дифференциального опера-
оператора т = (dldt) [p (t) (d/dt)] + q (i) наложением распадающейся сим-
симметрической системы граничных условий. Пусть ImA^O. Тогда
граничные условия действительны, и существует в точности одно
решение ф(/, I) уравнения (% — Х)о = 0, интегрируемое в квадрате
в окрестности а и удовлетворяющее граничным условиям в точке а,
и в точности одно решение я|)(/, Я) уравнения (т — А,) а — 0, инте-
интегрируемое в квадрате в окрестности Ь и удовлетворяющее гранич-
граничным условиям в точке Ъ. Резольвента R(X] T)—-интегральный
оператор с ядром K(t, s; Я), заданным формулой [*].
Доказательство. Этот результат непосредственно следует из
теоремы 2.32 и предыдущих рассуждений.
В заключение необходимо заметить, что следствие 14 не охва-
охватывает всех самосопряженных случаев. Например, если в формально
симметрическом т встречаются комплексные коэффициенты, что
возможно, то при вычислении резольвенты мы должны обратиться
к следствию 12 или 13. Рассмотрим, например, формальный опе-
оператор x = i(d/dt) в интервале ( — оо, сю), введенный в § 2. Здесь,
как показано в § 2, не существует граничных значений. Поэтому
для вычисления оператора, обратного к XI — Г, может быть при-
применено следствие 12. Если 1тЯ>0, то xg = Xg имеет единствен-
единственное решение се~ш, интегрируемое в квадрате в окрестности
точки — оо, и не имеет решений, интегрируемых в квадрате в окре-


496 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
стности точки -{- оо. Уравнение (т* — А,)а = 0 имеет решение с'е-1™,
интегрируемое в квадрате в окрестности точки +оо, и не имеет
решений, интегрируемых в квадрате в окрестности точки — оо.
Поэтому искомое ядро будет иметь вид
где с определяется при помощи условий скачка из следствия 12,
т. е. с= —i, а значит, для ImA,>0 мы имеем формулу
оо
((XI - Г)/) @ = — * J e-W-lf (s) ds.
t
Нетрудно показать, что для Im X < 0 эта формула должна быть
заменена формулой
t
4. Спектральная теория: вполне непрерывные резольвенты
В § 2 мы видели, что с каждым формально самосопряженным
дифференциальным оператором т может быть связан симметри-
симметрический оператор Т'о(т) в гильбертовом пространстве L2(/), и пока-
показали, как получить самосопряженные расширения Т оператора
Г0(т) наложением граничных условий на 3)(Г*). Настоящий раз-
раздел будет посвящен спектральной теории таких расширений в одном
важном случае, в котором резольвента R(k; T) является вполне
непрерывным оператором для невещественных X. Мы проведем
детальное исследование специальной аналитической формы, кото-
которую принимает спектральная теорема в случае такого самосопря-
самосопряженного расширения Г.
Сначала мы установим, что в двух важных случаях резоль-
резольвента оператора Т — вполне непрерывный оператор, а затем полу-
получим аналоги результатов предыдущего параграфа.
1. Теорема. Пусть х — формально симметрический дифферен-
дифференциальный оператор, определенный на интервале I. Пусть Т —
самосопряженное расширение симметрического оператора Т0(х).
Резольвента R (X; Т) является вполне непрерывным оператором
для любого невещественного X, если
A) интервал I является компактным
или
B) индексы дефекта оператора Т0(х) равны порядку диффе-
дифференциального оператора т.


4. Спектральная теория: вполне непрерывные резольвенты 497
Доказательство. Так как в случае A) любое решение уравнения
xg = Xg принадлежит С (I) и так как в этом случае C(/)^L2(/),
то случай A) содержится в случае B).
Из следствия 3.12 вытекает, что для ImA,=^=0 резольвента
R (X; Т) может быть выражена в виде
(№ T)f) (t) =\ f(s)K(Us;X)ds.
Так как в случае B) мы предполагаем, что для ImX,=^0 любое
решение уравнения tg = Xg принадлежит L2(/), то из выражения
для ядра K(t,s;k), определенного в следствии 3.12, видно, что
i i
Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что
каждый интегральный оператор в L2(/), определенный ядром К,
для которого
||К||2- \ \ \K(t,s)\*dsdt<ao,
I I
является вполне непрерывным. Хотя это утверждение —частный
случай упражнения VI.9.52, мы дадим здесь его доказательство.
Сначала заметим, что по неравенству Шварца
\\ \K(t,s)f(s)ds2dt<\{ \\K(t,s)\4sdt\ \\ \f(s)\*ds\
i] i lfi i J i J
Следовательно, норма оператора в L2(/), определенного ядром/С,
меньше или равна ||К]|. Так как множество вполне непрерывных
операторов замкнуто (см. VI.5.3), то для доказательства утвер-
утверждения, что R(X; Г) — вполне непрерывный оператор, достаточно
отметить, что простые интегрируемые функции в L2 (/ X /) опре-
определяют вполне непрерывные операторы (поскольку такие опера-
операторы имеют конечномерные области значений) и что такие функции
плотны в L2(/ х /).
Следующая теорема описывает спектральные свойства неограни-
неограниченного самосопряженного оператора с вполне непрерывной ре-
резольвентой.
2. Теорема (спектральная теорема). Пусть % —формально
симметрический дифференциальный оператор порядка п и Т —
самосопряженное расширение оператора То(%), такое, что резоль-
резольвента R (k; T) вполне непрерывна для невещественных Я. Тогда
(а) спектр оператора Т представляет собой последователь-
последовательность точек действительной оси с единственной предельной точ-
точкой в бесконечности;
32 Заказ № 134


498 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
(b) каждая точка X спектра оператора Т принадлежит
точечному спектру Т. Более того, d\mE({X}) L2(I)^n;
(c) существует полная ортонормальная система {фт}, /я = О,
1, ..., собственных функций оператора Г. Если <р — собственная
функция, соответствующая собственному числу X, то ф ? С°° (/)
и ф — решение уравнения Тф — tap = O.
Доказательство. Если резольвента R (X; Т) вполне непрерывна,
то (см. VII.4.5) ее спектр состоит из последовательности точек,
сходящейся к нулю. По теореме о спектральном отображении
(XII.2.9.(b)) o(T)<=f(o(R(k;T))), где /((А) = Я-|А-1 для рфО.
Так как оператор Т самосопряжен, то множество сг(Г) состоит из
действительных чисел. Из этих замечаний следует утверждение (а).
Если X принадлежит сг(Т), то, поскольку X— изолированная
точка множества а (Г), из ХП.2.9(Ь) и X.3.3A) следует, что
Е (X) ф 0.
Если X?g(T), то (Т — XI) Е (К) f = 0; поэтому спектр операто-
оператора Т точечный. Поскольку по теореме 2.10 Т = Т* с= Т0(т)* =
= 711(т), из теоремы 1.3 следует, что каждая функция из облает
значений оператора Е (X) является С°°-решением уравнения %о — Хо.
Поэтому, согласно замечанию после следствия 1.5, область значений
оператора Е(Х) имеет размерность не больше п. Этим доказано (Ь).
Чтобы доказать (с), нам нужно только показать, что система
собственных функций оператора Т полна. Это следует из того,
что для каждого элемента / нашего гильбертова пространства
f- S E(X)f,
и из того, что Е (X) f является собственной функцией оператора Г,
как было замечено выше.
Прежде чем перейти к следующему параграфу, в котором рас-
рассматривается теория спектрального представления оператора Т
в тех случаях, когда Т не имеет вполне непрерывной резольвен-
резольвенты, стоит привести элементарный, но полезный результат о пото-
поточечной сходимости разложений по собственным функциям.
3. Теорема. Пусть т — формально симметрический дифферен-
дифференциальный оператор, определенный на интервале /. Пусть Т —
самосопряженное расширение оператора Т0(т). Предположим, что
Т имеет полную ортонормальную систему собственных функций
{фп}. Тогда для f из © (Г) разложение по собственным функциям


5. Спектральная теория: общий случай 499
сходится равномерно и абсолютно на каждом конечном замкну-
замкнутом подинтервале интервала I. Этот ряд может быть продиффе-
продифференцирован почленно п — 1 раз, причем после каждого дифферен-
дифференцирования ряд сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Пусть f?%(T) и X?q(T). Тогда
/2(Лф0ф №
г=0
где gn = (M-I)f- 2 ((M-J) /, ТО <р*. Так как gn -> 0 и TR (X; Г)-
г=0
ограниченный оператор, то R(X';T)gn и TR(X;T)gn стремятся
со
к нулю в L2(I)> Поэтому по лемме 2.16 ряд 2 (/» ФО Ф* сходится
г=0
к / в топологии пространства С71 (J) на каждом компактном
интервале J из /. Так как этот ряд безусловно сходится в L2(I), то
он сходится безусловно также в Cn~i (J). Следовательно, каждый
продифференцированный ряд абсолютно сходится, ч. т. д.
5. Спектральная теория: общий случай
В предыдущем параграфе обсуждалась спектральная теория
самосопряженных операторов 7\ полученных из формальных диф-
дифференциальных операторов, в случае, когда резольвента операто-
оператора Т вполне непрерывна. В этом параграфе мы обратимся к изуче-
изучению общего случая, когда оператор Т может иметь непрерывный
спектр. В основном здесь будут использованы развитые в § XII.3
методы теории спектрального представления и спектральных типов.
Большая часть фактов, необходимых для доказательства основной
теоремы разложения по собственным функциям, сформулирован-
сформулированной ниже в качестве теоремы 1, уже установлена в теоремах
XII.3.1I и ХП.3.19.
1. Теорема. Пусть т — формально самосопряженный дифферен-
дифференциальный оператор на интервале /, а Т — самосопряженное рас-
расширение оператора То(%). Пусть U — упорядоченное представле-
представление пространства L2(I) относительно Т с мерой [х, множествами
кратности et и кратностью т. Тогда т не превосходит порядка п
оператора т. Существуют ядра Wt(tyX), i = \, ..., m, измери-
измеримые относительно произведения лебеговых мер v и \i, которые
обращаются в нуль при X, лежащих в дополнении к ей принад-
принадлежат С°° (/) при каждом фиксированном значении X и удовле-
удовлетворяют дифференциальному уравнению (т — X)Wt(', Х) = 0 при
каждом фиксированном значении X, Более того, ядра Wt обла-
32*


500 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
дают следующими свойствами:
vrai sup \ | Wt (t, X) |2 fx (dX) < со
для каждого компактного подинтервала J интервала I и огра-
ограниченного борелевского множества е;
(I) (Uf)t М = \ f (t) Wi{t,%)dt, f ? U (I),
I
где интеграл существует в смысле среднего квадратического
в L2(\i, et);
(И) для каждой борелевской 'функции F
1=1 -^о
Я), gr g ф (/7 (Г)), - ОО < Л < ОО.
Доказательство. Из следствий XII.3.13 и ХП.3.14 получаем,
что существуют нулевое по мере \х множество N и ядра
Wt, / = 1, ..., ш, удовлетворяющие формулам (I) и (II) и такие,
что G\)(т) —Л)*ИРг(«, Л) = 0 для X?et — N. Таким образом, по тео-
теореме 2.10, если мы положим №,•(•, Я) = 0 для Я^Л/ и изменим
tt^j (f, X) на подходящем нулевом по мере Лебега множестве М (X)
для каждого А,?А/, то получим функцию Wt, такую, что
xWi(t,X)=XWt(t,X), tO,
для всех X. Если функция W% измерима относительно произведе-
произведения меры [1 и меры Лебега, то из теоремы Фубини следует, что
мы можем брать Wt = Wt. Чтобы показать, что функция Wt изме-
измерима, заметим, что по фундаментальной теореме интегрального
исчисления
r \ Wi(s,X)ds
[*-1/л^+1/п]
-lim-i- \ Wt(s,X)ds
для каждого < внутри интервала / и ЦЛ/. Это доказывает всю
теорему, за исключением утверждения, что ш-<п. Однако так как
по XII.3.19 функции №i(-, X), ..., Wm(>, X) линейно независимы
для почти всех X ? ет в смысле меры \х и уравнение тег = Яа имеет
не больше п линейно независимых решений для любого Я, то это
утверждение также очевидно.


5. Спектральная теория: общий случай 501
2. Следствие (формула обращения). Пусть I, Wt и т. д. опре-
определены так же, как в предыдущей теореме. Тогда для каждой
функции /?L2(/) мы имеем
+А т
f (t) = lim ^2 № М Wt V, l) |x (dk),
A J?
причем предел существует в смысле среднего квадратического
в L2(l).
Доказательство. Следствие вытекает из предыдущей теоремы
и из следствия XII.3.12.
3. Следствие. Пусть оператор Т и ядра Wly ..., Wm опре-
определены так же, как в теореме 1, и пусть F — ограниченная боре-
левская измеримая функция, обращающаяся в нуль вне ограни-
ограниченного борелевского множества е на действительной оси. Тогда
ограниченный оператор F (Т) можно представить в виде
(F(T) f) (t)=\f (s)К(F; U s)ds, f 6L2(I),
Г
где
m
K(F;t,s) = y
где J — любой компактный подинтервал интервала I.
Доказательство. Из ограниченности оператора F (Т) и леммы
2.16 следует, что отображение /—^(Г) —непрерывное отобра-
отображение пространства L2(I) в C(J). Таким образом, существует
постоянное число M(J), такое, что
sup\(F(T)f)(t)\<.M(J)\f\,
t?J
Из теоремы 1A1) и следствия 2 вытекает, что
(F (T) f) @ = ^ 2 F M Wi (^ ^) I f (s)Wi(s,X) ds ix (dX),
i
r*
где интеграл \ / (s) Wt (s, X) ds существует в смысле среднего квад-
е
ратического в L2(\i)- Пусть ^0 обозначает плотное множество
функций / в L2(l),s обращающихся в нуль вне компактного под-


502 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
интервала интервала /. Если /е$о» то мы можем переставить поря-
порядок интегрирования в предыдущей формуле и получить уравнение
П (F(T)f)(t)=\f(s)K(F;t,s)ds,
и неравенство
sup К f(s)K(F; t,s)ds <M(J)\f\,
ttJ > j.
где
г=1 е
Из теоремы IV.8.1 следует, что
и равенство [*] имеет место для всех / из L2(I), ч. т. д.
В теореме 1, как и в определении XII.3.15, целое число т
называется спектральной кратностью оператора Т. В некоторых
случаях следующая теорема помогает найти спектральную крат-
кратность.
4. Теорема. Пусть оператор Т, ядра W^ ..., Wm и мера |i
определены так же, как в теореме 1. Пусть а — фиксированный
конец интервала /, а В (/) = 0 — граничное условие в точке а, кото-
которому удовлетворяют все функции f из © (Т). Тогда В (Wt (•, X)) = О
почти всюду в смысле меры \i для каждого ядра Wt.
Доказательство. Как доказано в следствии 2.28, существует
функция f в ©(TiCir)), такая, что В (g) - lim Ft (g, f) - Fa (g, f)
для всех gg® (Л(т))- Очевидно, мы можем предполагать, не умень-
уменьшая этим общности, что f обращается в нуль в окрестности точки Ь.
По формуле Грина (следствие 2.5) мы имеем
для geaOTiOO). Поэтому (tf,g) = (f,Tg) для всех g из ф(Т).
Так как Т — самосопряженный оператор, то отсюда следует, что
/е®(Л- По теореме 1
для почти всех по [i-мере Х, причем этот интеграл существует
в смысле среднего квадратического в L2(|x, et). Более того,


5. Спектральная теория: общий случай 503
поскольку / обращается в нуль в точке b и Wt (t, X) интегрируемы
в квадрате в точке а, этот интеграл существует в обычном смысле.
Следовательно, поскольку (т — X)Wt (•, Х) = 0, из формулы [*]
получаем
для почти всех по ji-мере X, ч. т. д.
5. Следствие. Пусть т — действительный оператор второго
порядка, определенный на интервале /, и пусть а — фиксирован-
фиксированный конец интервала I. Если Т — самосопряженный оператор,
полученный при наложении на т системы граничных условий,
включающей хотя бы одно граничное условие в точке а, то спек-
спектральная кратность оператора Т равна единице.
Доказательство. Очевидно, что спектральная кратность m
не меньше единицы. С другой стороны, если B(f) = O есть
любое ненулевое граничное условие в точке а, то очевидно, что
множество общих решений уравнений (т — Я)а = 0 и В(о) = 0
одномерно. Так как на основании предыдущей теоремы функ-
функции Wt из теоремы 1 удовлетворяют этим двум уравнениям, то из их
линейной независимости (см. теорему XII.3.19) следует, что /п<1,
ч. т. д.
Доказывая теорему 1 и следствие 2, мы видели, что произволь-
произвольный вектор / в L2(I) имеет разложение типа «интеграла Фурье»
по собственным функциям Wt(t, X) дифференциального оператора т.
К сожалению, теорема 1 имеет скорее теоретическое значение,
чем практическое, поскольку построить функции Wt (t, X) в явном
виде трудно. На практике удобнее выбрать некоторый подходящий
базис Gt (t, X), /=1, ...., ft, для множества решений уравнения
(т — Х)о = 0 и разлагать / по ot (t, X). В то время как поведение Wt
в зависимости от X может быть довольно сложным, новый базис
может быть выбран так, чтобы функции a* (ty X) были непрерывными
по совокупности (/, X) и даже аналитическими по X (см. след-
следствие 1.5). Однако, когда теорема о разложении формулируется
в терминах произвольного базиса аь ..., оп для системы решений
уравнения (т — Х)а = 0, детальное исследование сходимости полу-
полученных рядов или интегральных разложений становится более
сложным; при этом гильбертово пространство 2^2(^0 заменяется
подходящим пространством L2, соответствующим положительно
полуопределенной матрице функций множества. Перейдем теперь
к изучению этих вопросов теории меры.
6. Определение. Пусть {\itj}, 1 </, /<ft, —семейство комплекс-
нозначных функций множества, определенных на ограниченных


504 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы.
борелевских подмножествах действительной оси. Семейство
называется положительной (п х п)-матричной мерой, если
(I) матрица {\itj (e)} эрмитова и положительно полуопределена
для каждого ограниченного борелевского множества е;
(II) для каждой последовательности непересекающихся борелев-
борелевских множеств с ограниченным объединением
Ри( U ет)= 2 И'и(^).
m=i m=i
7. Лемма. Пусть {\1ц}— положительная матричная мера,
элементы \itj которой непрерывны относительно положительной
^-конечной меры \х. Если матрица плотностей {т^} определяется
уравнениями
\iij (e) = J ти (X) \i
где е — любое ограниченное борелевское множество, то матрица
{rtiij (X)} положительно полуопределена для почти всех по \1-мере X.
Доказательство. Сначала заметим, что множество е0 всех X,
для которых матрица {тг-7- (Щ положительно полуопределена,
измеримо, потому что оно является множеством тех X, для которых
2 и()
г, j=i
для каждого вектора [?ь ..., |л] из Еп, элементы которого рацио-
рациональны. Если лемма неверна, то легко доказать, что существуют
вектор [?и ..., %п] с рациональными элементами и множество е^е'о
положительной меры \i, такие, что
г, i=i
для X из е. Однако тогда выполняется неравенство
п п
о< 2" ii (в) Е,|, = \ { 2 *и w ыЛ I* №) < о,
вопреки предположению, что матрица {^ (е)} положительно
полуопределена.
8. Определение. Пусть {^Л — положительная (п х я)-матричная
мера на действительной оси, и пусть \i есть а-конечная положи-
положительная регулярная мера, относительно которой все функции мно-
множества \iij абсолютно непрерывны. Если {т^} обозначает матрицу
плотностей для {\iij} относительно [х, то семейство наборов из п


5. Спектральная теория: общий случай 505
измеримых по Борелю функций F = [Д, ..., fnh определенных
на действительной оси, для которых
будет обозначаться через LJ({[Xj7-}).
Элемент F?Ll({\iij}) будет называться {\х^}-ну левой функцией,
если \F\ = 0. Множество всех классов эквивалентности элементов
пространства 12({|Ч/}) по модулю {|1^}-нулевых функций будет
обозначаться через L2({\iij}).
Заметим, что по лемме 7 подинтегральное выражение в предыду-
предыдущем интеграле неотрицательно для почти всех в смысле ji-меры X.
Далее, если F, G принадлежат ??({[а*7-}), то мы можем рассматри-
рассматривать их значения [Д (X), ...,/„ (X)] и [gi (X), ...,gn (X)] для каж-
каждого фиксированного X как элементы /г-мерного унитарного про-
пространства Еп. Применяя неравенство Шварца для положительно
п
полуопределенного скалярного произведения 2 mu(^)?f?j в Еп
(см. замечание после теоремы IV.4.1), получаем неравенство
2
для почти всех в смысле [х-меры X. Из всего сказанного следует
существование интеграла
оо П
j
{
— оо г, j=i
и неравенство
Так как | F + G\2^\F\2 + 2 (G, /r) + |G|2, то из этого неравенства
следует, что сумма двух {[х^-}-нулевых элементов есть {|1^}-нулевой
элемент. Поскольку произведение скаляра на {[х^-нулевой эле-
элемент, очевидно, также есть {[х^-}-нулевой элемент, то A/({|i^})—
семейство {|1^}-нулевых элементов — образует линейное подпро-
подпространство пространства LJ({[x^}). В дальнейшем мы будем, как
это делается обычно, применять один и тот же символ [/ь ..., fn\
для обозначения элементов пространств LJ({[х^-}) и L2({\iij}).
Если F = [fu ...,/я] и G = [gu ...,gn] принадлежат L2({|io-})
и е — ограниченное борелевское множество, то мы часто будем


506 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
писать
вместо
Мы можем доказать, что интеграл [*] не зависит от меры \х,
следующим образом. Пусть {I — другая а-конечная положительная
регулярная мера, относительно которой функции [х^ непрерывны.
Пусть {т^} — соответствующая матрица плотностей, и пусть
{пи} — матрица плотностей матрицы {\iij} относительно
Если т — плотность \i относительно [х + ^х, то
" ^ т
для любого ограниченного борелевского множества е. Поэтому
mij-m^riij для почти всех по (^х + ^х)-мере X. Пусть даны измери-
измеримые функции fi и gt, i=l, ..., п. Тогда из следствия III. 10.6
вытекает, что
Рассуждая точно так же, мы получаем аналогичную формулу,
в которой в левой части \х и niij заменены на \i и т^. Таким
образом,
-оо i, j=l
оо п
-Hs»
— оо г, ]=1
9. Лемма. Пространство L2({\iij}) — нормированное линейное
пространство с положительно определенным эрмитовым скаляр-


5. Спектральная теория: общий случай 507
ным произведением, заданным формулой
-со i,j=i
для каждой пары F=[fu ...,/„] и G = [^i, ...,gn] из L2({\iij}).
Доказательство. Выше было показано, что L2({\iij}) — линейное
пространство и
Отсюда IF + GI^IjFI + IGI (см. замечание после теоремы IV.4.1).
Для того чтобы показать, что L2 ({\iij}) ~" гильбертово простран-
пространство, остается доказать, что оно полно.
10. Теорема. Если {^^ — положительная (п х п)-матричная
мера, определенная на действительной оси, то L2({\iij}) —гиль-
—гильбертово пространство.
Доказательство этой теоремы будет основано на следующей
лемме.
11. Лемма. Пусть {^^ — положительная матричная мера,
элементы которой непрерывны относительно положительной
а-конечной меры \i. Если {т^} — матрица плотностей {{i^} отно-
относительно [I, то существуют неотрицательные измеримые по мере \i
функции ф?, 1 = 1, ..., /г, интегрируемые по мере \i на каждом
ограниченном интервале, и измеримые по мере \i функции atj,
1</,/</i, такие, что для почти всех в смысле \х-меры X
(а) 1] аи (X) аД (I) = 8ц
ii
(Ь) 2ф;(Ь)яя(Ь)я;*(Ь) = /Ян(Я).
i=i
Прежде чем дать доказательство леммы И, докажем с ее
помощью теорему 10.
Доказательство теоремы 10. Пусть функции ср* и ац обладают
свойствами, указанными в лемме 11, и пусть vt для каждого /
— положительная мера, определенная формулой
Если <q — прямая сумма гильбертовых пространств L2(Vj),
х=1, ..., /г, то ig — гильбертово пространство всех наборов


508 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
F = [fu •••j/n] ^Х"измеРИМЬ1Х функций, для которых
П
if 1=2 {\
г=1 -оо
Пусть теперь А — отображение, которое каждому вектору
G = [gi> • ..»?л] из Ь2({\1ц}) ставит в соответствие набор функций
Так как
оо то
— оо г, э=1
оо ТО
—оо г, i, /i=i
-оо fe=i
то очевидно, что А определяет изометрический изоморфизм L2 ({ftj})
в ig. С другой стороны, пусть В — отображение, которое ставит
в соответствие каждому вектору [Д, ...,/„] из jg элемент
[Яь • • •? Snh определенный формулой
Так как по лемме 11 (а) матрица {ан(к)} — обратная к матрице
{пц (X)} для почти всех в смысле ^х-меры Я, то В = А~1. Следова-
Следовательно, А — изометрическое отображение пространства L2({Hij})
на все ig, что и доказывает полноту L2({^t^}).
Остается доказать лемму 11.
Доказательство леммы 11. Сделаем сначала одно замечание,
которое будет неоднократно применяться в доказательстве. Пред-
Предположим, что для каждого множества еп мы можем найти измери-
измеримую по jx-мере матрицу {a\f} и функции {q>jn)}, такие, что
з—1


5. Спектральная теория: общий случай 509
для почти всех в смысле ц-меры X. Тогда если мы положим
71-1
для k?en— U ер, то очевидно, что функции аи и ф* удовлетво-
удовлетвори 1
сю
ряют требованиям (а) и (Ь) леммы 11 для всех А, из множества (J еп-
71=1
Так как мера ^х является cr-конечной, то действительная ось
является объединением последовательности множеств с конечной
мерой \i. По лемме Лузина (XII.3.17) каждое множество конечной
меры отличается от объединения последовательности измеримых
множеств, на каждом из которых функции тц непрерывны, мно-
множеством меры нуль. Таким образом, достаточно доказать, что можно
построить функции ciij и фг на каждом измеримом множестве
do конечной меры, на котором функции rtiij непрерывны.
Мы можем еще более упростить задачу следующим образом.
Пусть функции niij непрерывны на ао> \i(o0)<. со, пусть М(К)
для к?в0 — эрмитов оператор в я-мерном унитарном пространстве
с матрицей {rtiij(X)} и i0 — точка из о0, ?0 — собственное значение
матрицы М(Х0), a U — окрестность точки ?0> замыкание которой
не содержит других собственных значений матрицы М(Х0). По след-
следствию Х.7.3
где Е (М (X); •) — спектральное разложение матрицы М(К). Так
как Е (М(Х)\ U) не обращается в нуль для Я, близких к Яо, то >-?а0,
и, следовательно, для X, достаточно близких к Хо, множество
о (М (X)) П U не пусто. Таким образом, если п (X) обозначает число
различных точек спектра матрицы М (X), то множество
{Х?о0\п (X) >s} относительно открыто в о0, и поэтому множества
bs = {X ? (т01 п (Я) = s} борелевские. Поэтому, чтобы доказать лемму,
достаточно показать, что мы можем построить функции atj и ф,-
на каждом множестве bs. С другой стороны, в силу регулярности
меры \х такое множество отличается от объединения последова-
последовательности компактных множеств множеством меры нуль. Таким
образом, достаточно показать, что если е0 — любое компактное
подмножество множества Ь8 и Яо —любая точка из е0, то точка Хо
имеет в е0 окрестность, в которой существуют функции atj и ф/,
обладающие свойствами, указанными в лемме.
Пусть число е так мало, что разность любых двух различных
собственных значений матрицы М (Хо) по модулю больше 8. Выше мы
заметили, что для Х?е0, достаточно близких к Яо, (е/2)-окрестность


510 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
каждой точки из о (М (Хо)) содержит по крайней мере одну точку
из о(М(Х)). Так как о(М(Х0)) и а (М (X)) имеют одинаковое число
точек (поскольку А, Ао? е0), то отсюда следует, что если ф* (Ао), .. *
..., Ф/i (Хо) ~ различные собственные значения матрицы М (Ко),
то для каждой точки X ? е0, достаточно близкой к Хо, существует
единственная точка ф* (X) ?о(М (А,)), такая, что
Более того, {ф* (А), ..., ф& (X)} = о(М (X)). Таким образом, функции
фг (X) = фг (Я) определены в окрестности Nt точки Хо в е0. Нетрудно
доказать, рассуждая подобным образом, что ц>г (X) непрерывна
зависит от X. Тогда, используя следствие Х.7.3, легко показать,
что Et (X) = Е (М (X); фг- (X)) непрерывно зависит от X, i = 1, ..., k.
Пусть L'b ...,vn образуют ортонормальный базис для Еп
и Ei(X0)vjj=Vj, /ij-i < j<nt, 0 = n0 < nt < ti2 < ... < nk = n.
Положим vj (X) = Et (X) vj, rii-i < /< щ. Тогда Vj (X) непрерывно
зависит от X при h?Ni и М (X) Vj (X) = Ф* (X) ^ (?i) для щ^ < /</2j.
Используя то, что определитель det (vt (X), Vj) не обращается в нуль
для X, близких к Хо, легко показать, что Vj (X) образуют базис
для Еп при каждом X в окрестности N2 s Ni точки Хо в ^0- Так как
Et (X) Vj (X) = Uj (X) для я*-! < j^nt, то uj (X) и и] (X) ортогональны,
если существует ?<&, такое, что /<пг<//. Пусть ^ (Я), ...
..., vn(X) — ортонормальный базис в Еп, полученный применением
метода Грама — Шмидта к Vi (X), ..., vn (Я), т. е. vt определяются
по индукции формулами
Отсюда по индукции просто показать, что ?^ (X) vj (X) = vj (X)
для /гг-1</</1г, так что Af (Я) и7-(А,) = q>* (X)vj(X) для /2,--1</</гг.
Таким образом, мы построили непрерывно изменяющийся орто-
ортонормальный базис для ?n, определенный для X?N2, и систе-
систему ф4, ...,фл непрерывных функций, определенных для X^N2,
таких, что


5. Спектральная теория: общий случай
511
Если {щ} — базис в Еп, у которого элемент щ совпадает с набо-
набором [6^], /= 1, ..., п, то функции аи определяются по формулам
п
"J= S alJ(X)vi(X).
i=i
Эти функции, очевидно, непрерывны на N (ко). Так как
(Vi(k), vj(k)) = dij, то мы имеем
Аналогично
(X), vt (X)) =
= 2 9iW^WfliftW.
1=1
ч. т. д.
Теорема 10 устанавливает эквивалентность теории пространств
ifaj}) и теории гильбертовых пространств вида L2(|i). В даль-
дальнейшем мы будем часто пользоваться свойствами L2 ({м^}) как
гильбертова пространства, указанными в лемме 9 и теореме 10,
а также рядом других свойств элементарной теории меры, общих
для этих пространств и L2(\i). Однако здесь необходимо быть осто-
осторожными. Так, если [/ь ..., /п] принадлежит L2({\iij}), то отсюда
еще не следует, что какой-нибудь из наборов [Д, 0, ..., 0], ...
..., [0, ..., 0, /п] принадлежит L2({fXi;})- Например, пусть ji —
конечная положительная регулярная мера, п=2 и {\iij(e)} — матрица
\i{e) — \i(e)]
— V>(e) \>>(е)\в
Тогда плотность матрицы
относительно \i равна
-и
так что
5 {
— оо г, j=l
Таким образом, если [Д,/2] —любая пара функций, разность кото-
которых принадлежит /^(мО» то [Д, /2] ^^({М'и})' Даже несмотря на то,


512 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
что [Д, 0] и [0,/2] могут не принадлежать Ь2{{\ьц})> Это рас-
рассуждение ясно показывает, что если функции / неограничены,
то из существования символического интеграла
k
еще не следует существование интеграла от каждого слагаемого.
Поэтому этот интеграл не может быть, вообще говоря, представлен
в виде суммы простых интегралов. Конечно, если каждый член
^ Л М h M Ри №) существует, то
2
}
г, ,7=1 г, j=l
Построив необходимые нам основы теории положительных
матричных мер, мы вернемся к теории разложения дифференциаль-
дифференциальных операторов по собственным функциям.
Мы хотим теперь найти более удобный для вычислений вид
формулы разложения, выведенной в теореме 1. При этом неиз-
неизбежно возникает ряд технических трудностей. Чтобы разобраться
в природе этих трудностей, мы предварительно сделаем эвристи-
эвристический обзор основных сведений, содержащихся в остальной части
настоящего параграфа.
Ядра Wt (t, X) из теоремы 1 являются решениями уравнения
(т — k)Wt(-, A) = 0, принадлежащими С°° для каждого фиксирован-
фиксированного к, но как функции от X они являются только измеримыми,
так что они могут быть очень «плохими». Мы можем изба-
избавиться от некоторых из их «недостатков» следующим образом.
Вместо того чтобы рассматривать вектор-функции Wi (•, X) от X,
возьмем базис о{ (•,?«),..., ап(«, X) для пространства решений
уравнения тв = Хо, выбрав этот базис непрерывным по t X X
или даже, может быть, из класса С°° по / и аналитическим по X.
Например, такой базис может быть определен специальными
начальными условиями, такими, как ai+i (с, Я) = 61, 0<л, /</г— 1
(см. следствие 1.5). Тогда W^(-, X) могут быть однозначно пред-
представлены в виде
М )%iJ()j(,)
Здесь зависимость функции Wt от X проще, чем раньше, поскольку
теперь она выражается в терминах изменения конечной системы
коэффициентов а^, зависящих от X.


5. Спектральная теория: общий случай 513
Однако это упрощение приводит к новым трудностям. Напри-
Например, формула из следствия 3, записанная в терминах функций
ot (•, X), имеет вид
т п
иначе ее можно записать в виде
К (F; t, s) =
где матричная мера q^ определена формулой
г=1 е
Таким образом, в нашу теорию разложения неизбежно вводятся
матричные меры.
Трудности появляются уже в самом процессе выбора базиса
Oi (•, X), ..., оп (•, X) для пространства решений уравнения та = Хо,
хотя, конечно, мы можем всегда следовать указанному выше
методу, т. е. выбрать точку с в интервале /, на котором определен
оператор т, и определить базис а4 (• Д), ..., ап (• Д) требованием,
чтобы o\jli(c,X) = 6{, 0<л, j^Cn—1.
Этот метод имеет то очевидное преимущество, что получаю-
получающиеся Gt (•, X) — целые аналитические функции комплексного
переменного X; но он имеет и недостатки, не столь очевидные,
но имеющие решающее значение. Например, предположим, что
мы изучаем самосопряженный оператор Т\ полученный из формаль-
формального дифференциального оператора — (d/dtJ на интервале [0, оо)
наложением граничного условия /@) + /' @) = 0. Спрашивается,
как лучше всего выбрать точку с из [0, оо)? Здесь с = 0, так как
любой другой выбор точки с будет вводить излишнюю асимметрию
во всех вычислениях. В этом случае элементарные вычисления
показывают, что cos X1/2t и X 1/2 sin X1/2t есть решения а4 и а2 урав-
уравнения та = Ха, определенные граничными условиями <Ji+i@) = 6i,
i, / = 0, 1, соответственно. Эти функции являются целыми функ-
функциями X. В области X > 0 они образуют вполне подходящий базис для
решений уравнения та = Хо. Однако в области X < 0 с аналитически-
аналитическими выражениями типа cos X1/2t трудно работать из-за двусмыслен-
двусмысленности в определении X /2. Анализ спектра оператора Т показывает,
что А,— —1 является единственным собственным значением опе-
33 Заказ № 134