Основы теории Галуа. Ч.1 - Чеботарев Н.Г.

Автор: Чеботарев Н.Г.

Теги: физика математическая физика государственное издательство технико-теоретической литературы основы теории галуа

Год: 1934

Похожие

Н.Г. Чеботаев. Собрание сочинений Т.1

Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947

История математики от Декарта до середины XIX столетия

Математика XIX века. Книга 3. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей

Текст

Н. ЧЕБОТАРЕВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ -ГАЛУА
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ .
онти
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧ ЕС КОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 1934 МОСКВА

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга не является первой в русской литературе, в ко-
которой излагается теория Галуа. Она изложе'на в курсах алгебры Ващенко-
Захарченко, Граве, Сушкевича; ей посвящено несколько монографий на
русском языке.
Теория Галуа вышла из рамок, которме были намечены ее творцом.
Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным
в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. По<-
явилось немало других алгебраических вопросов, решаемых^ при помощи
теории Галуа: связь между групповой и арифметической природой урав-
уравнений, проблема резольвент и т. п. Я не говорю уже о том, что идеи
Галуа глубоко проникли в другие отделы математики и частью создали,
частью подвинули вперед такие математические дисциплины, как диффе-
дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топо-
топологию и т. п. .
Сообразно с новыми областями приложений, сама теория Галуа изме-
изменила свой язык. Вместо корней уравнения объектом изучения сделались
поля алгебраических чисел; вместо подстановок—автоморфизмы полей,
и т. п. Современные книги излагают теорию Галуа двояко: в курсах
общей алгебры чаще можно встретить старый способ изложения, в то
время как в книгах, посвященных алгебраическим числам и идеалам,
изложение" по большей части построено по:новому. При составлении
настоящей книги я имел в виду познакомить читателя с обоими спосо-
способами изложения и установить между ними связь. '
Книга предназначена для студентов старших курсов, желающих спе-
специализироваться по алгебре (например готовящих по теории Галуа ди-
дипломную, работу), аспирантов, а также для математиков:нёалгебраистов>
желающих познакомиться с основами теории Галуа. Имея в виду зтв
разнородные потребности, я испытывал известное колебание относительно
порядка расположения материала. Дело в том, что каждая книга
может быть построена систематически, согласно логически развертывае-
развертываемому плану; построенная таким образом книга удобна, как справочник,
так как в ией легко^ найти нужное определение или теорему. Для перво-
первоначального же ознакомления с предметом более удобно другое, методи*-
ческое построение книги, где, формулируя или доказывая то или иное
положение, мы заранее зиаем, для чего оно нам понадобится. В конце
концов я остановился на первом, систематическом способе построения
книги, руководясь следующими соображениями: во-первых, книга рассчи-
рассчитана не только на первоначальное ознакомление с теорией Галуа, являясь,
так сказать, вторым концентром; во-вторых, я считаю полезным при-

Предисловие
учать начинающих математиков к чтению книг не подряд, а возможно
скорее ориентируясь во всем ее материале. Привычка к такому чтению
совершенно необходима при всякой серьезной научной работе, так как
литература даже по узким вопросам бывает настолько велика, что систе-
систематически прочесть ее почти невозможно, да и нецелесообразно, и потому
для научного работника является весьма ценным качеством умение быстро
ориентироваться во всем*материале, который содержит данная литература.
. Я позволю свбе наметить примерный план, по которому начинающий
математик должен читать книгу. Исторический очерк можно сразу читать
или не читать,—это не имеет особого значения; главу I (о группах)
лучше сначала пропустить, а начать сразу с главы II. § 1 посвящен
беглому повторению университетского курса алгебры в нужном для нас
объеме. § 2 также ие требует знакомства с группами. Для §§ 3 и 4
необходимо только понятие группы, получаемое в § 1 главы I. Для § б
главы II уже нужны §§ 2 и 3 главы I, причем § 3 нужен только
начиная с главы П, § 5. 10. После главы II, § 5- полезно прочесть
главу IJ § 4. Начиная с главы II, § 6. 5 нужен § 5 главы I.
Для главы III, §§ 1 и 2, нужен § 6 гл »вы I (об абелевых группах),
причем те из читателей, которые не изучали теории чисел, должны про-'
честь помещенное в конце книги „Добавление". Для главы III, § 3 уже
нужен § 7 главы I.
Главы IV и V могут быть прочтены независимо друг от друга.
Можно, конечно, читать книгу и подряд, за исключением „Добавле-
„Добавления" (для незнающих теории чисел), которое необходимо прочесть» перед
главой I, § 6.
Для удобства ориентации к книге приложен „Указатель терминов",
а также указатель страниц, на которых помещены теоремы, для которых
я ввел единую нумерацию (за исключением „Добавления", в котором тео-
теоремы перенумерованы римскими цифрами).
Параграфы и „пункты" (последние помечены просто арабскими циф-
цифрами, без" значка „п.") ведут счет, начиная с каждой главы (и соответ-
соответственно параграфа). Формулы имеют два значка, из которых первый
указывает на параграф, а второй иа номер формулы внутри параграфа.
Это дает возможность легко находить нужные формулы, так как номера
глав и параграфов помечены вверху каждой страницы.
Несмотря на элементарность изложения настоящей I части (мне при-
пришлось избегать понятия идеала и даже целого алгебраического числа),
я старался по возможности ввести читателей в круг современных проб-
проблем теории Галуа. Отведя разрешимости уравнений в радикалах сравни-
сравнительно небольшое место, я дал- понятие о проблеме построения уравнений
с заданными группами, изложив два различные метода такого построе-
построения, Для второго метода мне однако ие удалось дать строгого обосно-
обоснования, которое потребовало бы знания теории идеалов. В конце книги
я поместил параграф о „квадрируемых луночка^". Этот вопрос, правда,
не имеет большого принципиального интереса; его интерес заключается
в методике решения, а также в характерной для алгебры и теории чисел
постановке задачи: найти все случаи, удовлетворяющие тому или дру-
другому требованию. Такого рода задачи ставятся также при решении §олее
важных вопросов алгебры.

Предисловие
При изложении основ теории Галуа я отступил от обычного класси-
классического способа определения группы Галуа при помощи резольвенты
Галуа. Именно^ я, следуя примеру Мертенса и Шатуновского, ввел по-
понятие функциональных модулей (глава II, § 4). Мне кажется, что этот
путь более соответствует духу теории Галуа и вместе с тем дает воз-
возможность непосредственно обозреть все „соотношения между корнями",
которые при классическом изложении оторваны от идеи группы Галуа.
Это дает также возможность несравненно легче провести доказательство
теоремы 90: „группа сравнения изоморфна'с некоторым делителем группы
уравнения". '
В тексте решено много примеров, а также дано 47 упражнений для
самостоятельной работы читателя. На них читатель убеждается,-что на-
нахождение группы Галуа, весьма простое теоретически, на практике до-
достигается путем всевозможных ухищрений, так как иначе необходимые
выкладки были бы непомерно длинны.
Главные 'приложения современной теории Галуа: связь между арифме-
арифметической и групповой природой уравнений, а также проблема резоль-
резольвент, которые требуют знакомства с теорией идеалов и непрерывными
группами, будут изложены в дальнейших частях книги.
//. Чеботареа.
Казань,
31 января 1933 г. v

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
1. Под теорией Га^лу'а в ее первом этапе развития разумелась
теория, имевшая целью выяснить условия того, чтобы. заданное урав-
уравнение разрешалось в радикалах. Во всяком случае так понимал ее сам
Галуа, который считал основным своим результатом следующий:
Для тоГо, чтобы заданное уравнение (степень которого есть
простое число) решалось в радикалах, необходимо и достаточно,
¦чтобы его корни рационально выражались через любые два из них
(см. теорему 69).
2. Лагранж. Решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах было
получено еще в XVI столетии. Уравнения 3-й степени решил Тарталья
(Tartaglia) [по другим источникам—Кардан (G. Cardano)], 4-й степени —
ученик Кардана Феррари (Ferrari). Многочисленные попытки самых бле-
блестящих математиков XVII и XVIII столетий—Декарта (R. Descartes), Чирн-
гаузена (Tschirnhausen), Эйлера (L. Euler), Безу (Е. Bezout)-грешить эту
задачу для уравнений высших степеней—увенчались неудачей.
В 1770—71 гг. знаменитый французский математик Лагранж (Lagrange)
публикует в Мемуар1х Берлинской Академии свой мемуар „Reflexions
sur la resolution algebrique des equations", в котором делает критический
пересмотр всех решений уравнений 341 и 4-й степеней, данных его
Предшественниками,, и замечает, что все они в сущности основаны на
следующем принципе. Пусть хих%,..., хп будут корни заданного урав-
уравнения, и пусть <р (xlt хг,..., д:и) будет их рациональная функция, прини-
принимающая при всевозможных «! перестановках между корнями v значений.
Тогда эта функция удовлетворяет уравнению степени v с рациональными
коэффициентами. Согласно точке зрения Лагранжа, задача заключается
в том, чтобы подобрать функцию <р (jCj, дга,..., хп) таким образом, чтобы
v было меньше п. И вот оказалось, что это при «>4 невозможно.
Основной метод, предложенный для этой цели Лагранжем, заключается
в следующем. Пусть а будет первообразный корень л-й степени
из единицы, т. е. корень уравнения хп —Л я= 0, не удовлетворяющий нн
одному уравнению дг"—1=0 прн /и<л. Тогда функция
при подстановке корней, переводящей х1 в х2, х% в х3, и т. д., д;н_1
в хп, наконец д:п в хг (иначе: подстановке, увеличивающей все значки
при кррнях на 1, если кратности п отбрасывать), приобретает множи-
те'ль «-1: • ' ¦
xi+a,xt + ...+ а"-1^ = а~\хг + а.х2 + . .. + <хГ-ххп), "

8 Исторический очерк
а потому функция 6 = t" не меняется при производстве упомянутой под-
подстановки:
(*2 +а*а+.\\+ а"-1^)" = (*! + ад:а + ¦ • • + «—Ч)";
Далее Лагранж рассматривает совокупность подстановок (х, ах), за-
заключающихся в умножении каждого значка на одно и то же число а,
взаимно простое с п, и отбрасывании кратностей «. Например при п = 8
подстановка (а:, За:) переводит хг в дг3, д:2 в х9, х3 в aTj, д:4 в'д:4", хь
в д:7, д:в в хг, хч в д:6, д:8 в х8. Далее он применяет эти подстановки
к 6, получает систему функций
и составляет уравнение
B) (9_01)(9_е2)... (e-ej = o, ^ .
коэффициенты которого удовлетворяют уравнениям степени ——. В част-
частности, если «простое число, то эта степень равна — = (и — 2I
При п = 3 («— 2)! = 1, так что этот метод дает полное решение урав-
уравнения. При « = i 7-7 == т-?- = 3, так что этот метод дает пониже-
по (П) 4-2
ние степени. Но уже при «==5 имеет место («—2)! в 6, тай что метод
никакого понижения степени не дает.
Эти исследования Лагранжа далн для последующих алгебраистов весьма
удобный аппарат. Кроме того, они указали путь, по которому следо-
следовало искать доказательства невозможности общего решения уравнений
в радикалах. Наконец, уравнение B) оказалось при простом п имеющим
рациональные коэффициенты всякий раз, когда исходное уравнение раз-
разрешимо в радикалах. Вместе с тем в этом случае уравнение B) является
циклическим и может быть всегда решено при помощу составления
величины A), носящей название резольвенты Лагранжа.
3. Доказательство невозможности. Руффини и Абель. Дальнейшим
этапом в выяснении проблемы решения уравнений в радикалах послу-
послужили работы Руффини (P. Ruffini, 1765—1822) и Абеля (N.-H. Abel?
1802—1829). Руффини A799) предложил доказательство неразреши-
неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени, коэффициенты которого
являются независимыми переменными. В своем доказательстве он опи-
опирался на уже упоминавшееся нами явление, что рациональная функция
от корней уравнения 5-й степени, принимающая при 'всевозможных
перестановках корней более двух различных значений, принимает их
по крайней мере 5. Этот факт, обобщенный на любое и>5 и извест-
известный под названием теоремы Бертрана (J. Bertrand), приведен у нас
в переводе на язык теории групп в качестве теоремы 29.
Доказательство Руффини вызвало длинную полемику, так как оно
пользовалось мало очевидным фактом, что в радикальных выражениях
корней уравнения каждый радикал может быть выражен, как рациональ-
рациональная функция от всех корней уравнения. Это действительно имеет место

Исторический очерк - 9
при надлежащим образом подобранных радикалах, что может быть на-
например проверено на решении
з ¦ ,з
l/"—
У
2+К 4-+27 ^Г 2 Г .4+27
кубического уравнения
где
/i! j_ j?! — д. (^ —.у») (vi—д'з) (у« —У»)
4 т 27 ~ == 6 у— з
однако никто не может помешать нам искусственно ввести в радикаль-
радикальные выражения величины, не удовлетворяющие этому требованию. По-
Поэтому доказательство Руффини не может считаться убедительным.
Абель A826) нашел независимо от Руффини доказательство невоз-
невозможности общего радикального выражения для корней уравнений выше
4-й степени с переменными коэффициентами. Его доказательство по
существу не отличается от Доказательства Руффини, но оно дополнено
доказательством того, что всякое радикальное выражение корня уравне-
уравнения всегда можно преобразовать в такое, что каждый входящий в него
радикал уже будет выражаться, как рациональная функция от корней
уравнения. Таким образом доказательство Абеля убедительно для урав-
уравнений, коэффициенты которых являются независимыми переменными,
и одновременно делает очевидным несуществование общего радикального
выражения для всех уравнений данной степени; но оно не дает никакой
возможности судить о разрешимости, отдельных численных уравнений,
4. Галуа. Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах был оконча-
окончательно разобран, во всяком случае принципиально, в работах Галуа
(Evariste Galois, 1811—1832). Личность Галуа представляет собой совер-
совершенно исключительное в истории науки явление. Жизнь Галуа, умершего
всего на 21 году, протекала крайне бурно. Дважды провалившись на
вступительных экзаменах в знаменитую Политехническую школу, Галуа
поступил в Подготовительную школу (преобразованную из Высшей нор-
нормальной школы - во время реакционного правления Карла IX), откуда
вскоре после июльского переворота был уволен за печатное выступление
против директора школы. После этого Галуа открыл „публичный курс"
по алгебре, но политическая жизнь страны быстро вовлекла его в свой
водоворот. Имея репутацию ярого республиканца и активного врага.
Луи-Филиппа, он два раза сидел в тюрьме за политические выступления
и в мае 1832 года был убит на дуэли, причины которой остаются до
сих пор загадочными. *
- За свою короткую жизнь Галуа успел создать теорию, которая до-
сих пор стоит в фокусе математической^мысли. Рассматривая численные

10 Истерический очерк
уравнения, он установил понятие их группы, т. е. совокупности таких
подстановок между их корнями, которые не нарушают рациональных
соотношений между ними. Эта группа определяет для каждого уравнения
алгебраическую структуру его корней. В частности, уравнение разре-
разрешимо в радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит
к числу так называемых разрешимых групп (см. теорему 68). Таким
образом вопрос о разрешимости-каждого данного уравнения в радикалах
может быть решен при помощи конечного числа действий.
Исследование всевозможных типов разрешимых групп, начатое самим
Галуа, было продолжено работами большого числа математиков, из
которых можно назвать Жордана (С. Jordan), Бетти (Bettl), О. Ю. Шмидта.
Фундаментальный труд Жордана „Traite des substitutions" (Paris, 1870)
содержит богатый материал для детального изучения групп, в частности
для исследования типов разрешимых групп. Вместе с тем эта книга даёт
немало приложений теории групп к другим областям математики/ напри-
например к алгебраическим функциям (группы монодромии), к эллипти-
эллиптическим и модулярным функциям, и т. п.
5. Клейн н Ли. Ли (S. Lie)-и Клейн (F. Klein), занимаясь в Париже
под руководством Жордана, пришли к мысли о группах другой природы,
непрерывных группах. Ли положил начало их общей теории
и приложил их к дифференциальным уравнениям, руководясь, теми же
принципами, которые лежат в основе приложения конечных групп к алге-
алгебраическим уравнениям, составляющего сущность теории Цалуа. При
этом интефируемые системы дифференциальных уравнений Соответствуют
так называемым интегрируемым группам, структура которых
аналогична структуре разрешимых* конечных групп.
Клейн положил непрерывные группы в основу классификации раз-
различных геометрий: элементарной, проективной, шаровой и т. п. Этим он
указал в математике место геометрии, задачи которой были сведены
методами аналитической геометрии к задачам анализа, и привел .чисто
геометрические" вопросы к изучению свойств непрерывных групп/ -
6. Построения при помощи циркуля и линейки. Идея приложе-
жения групп к уравнениям имеет настоико всеобщий характер, что
сфера ее применения не могла ограничиться сравнительно узким вопро-
вопросом о разрешимости уравнений в радикалах. Поэтому вскоре же оказа-
оказалось, что методы теории Галуа могут быть применены и к другим во-
вопросам, которые приводятся к алгебраическим уравнениям. Например,
вопросы. о построениях при помощи циркуля и линейки приводятся
к вопросу, может ли заданное уравнение быть решено при помощи
извлечений квадратных корней, и потому могут быть решены с помощью
теории Галуа.
Таким путем была доказана невозможность деления произвольного
угла посредством циркуля и линейки на нечетное число частея^и тем
самым обнаружена бесплодность многочисленных попыток решить задачу
„трисекции угла". Вопрос о делении окружности на несколько равных
частей был, правда, решен Гауссом (С. F. Gauss) до Галуа. Гаусс пока-
показал, что при помощи циркуля и линейки можно делить окружность на
чикла т типа

Исторический очерк / 77
где р, р\ р",г.. "простые числа вида 1 -f- 2s. Однако только благодаря тео-
рии Галуа появилась уверенность в невозможности задачи для других случаев?
7. Теория Галуа и алгебраические числа. Особенно глубокие при-
приложения теории Галуа "допускает теория чисел. Вопрос об арифметиче-
арифметической природе корней уравнения, как выяснилось, тесно связан со струк-
структурой его группы Галуа. Вот первый результат в этом направлении:
. Корни всякого уравнения с абелевой группой Галуа в поле
рациональных чисел, как области рациональности, рационально вы-
выражаются через некоторые корни из единицы,
который был предугадан Кронекером (L. Kronecker) и впервые строго
доказан Вебером (Н. Weber). В настоящее время существует около
десяти различных доказательств этой теоремы. ¦¦¦¦'',
Кронекер задался дальнейшим вопросом об уравнениях с абелевой
группой в области рациональности, образованной мнимыми корнями квад-
квадратного уравнения. Оказалось, что такого рода величины получаются,
как значения эллиптических функций, допускающих так называемое
комплексное умножение. Кронекер предположил, что эти значе-
значения дадут корни всех возможных абелевых уравнений в рассматриваемой
области рациональности („Jugendtraum"—мечта юности). Это предполо-
предположение удалось в общем доказать Фуэтеру (R. Fueter), причем • оказался
один исключительный случай, не включающийся в эти значения.
Исследуя арифметические законы комплексного умножения, Фуэтер
пришел к общим законам, имеющим место для уравнений, абелевых
в произвольной области рациональности. Эти законы позволяют рассмат-
рассматривать поле корней таких уравнений, как обобщение так наз. KJassen-
кбгрег, и связывают степень этих уравнений с числом идеальных
классов в рассматриваемой области рациональности. Здесь вскрывается
глубокая связь между теорией Галуа и теорией идеал о в^ которые явля-
являются основным инструментом в теории алгебраических чисел.
; Такаги (Т. Takagi) дал законченный вывод упомянутых законов. -
8. Связь уравнений со сравнениями. В тесной связи с упомяну-
упомянутыми законами стоит закон, открытый Дедекиндом (R. Dedekind), Фробе-
ниусом (G. Frobenius) и Гурвицем (A. Hurwitz) и в своей элементарной
части могущий быть формулирован так:
Дан полином /(*). Рассматривая его п~> модулю некоторого
простого числа р (т. е. имея право прибавлять к его коэффициен-
коэффициентам кратности р), разложим его на неприводимые множители. Пусть
C) /(*)-/,(*)•/,(*)...Д(jc) (modя),"
где /j (х), /2 (х),..., fk (x) неприводимые по модулю р полиномы
степеней я1} п2,..., пк. Тогда группа Галуа уравнения/(д:) = О
содержит подстановку, состоящую из циклов порядков я1( пй,..., пк.
Обратно, если группа Галуа уравнения /(;е) = 0 содержит подста-
подстановку, состоящую из циклов порядков nv n2,..., пк, то существует
бесчисленное множество таких простых чисел, для которых имеет место
разложение C) (Фробениус).
у Кроме своих приложений в теории алгебраических чисел, эта теорема
позволяет устанавливать общие критерии для нахождения группы отдель-
отдельных классов уравнений, а также устанавливать тождество двух заданных

12 , Исторический очерк
полей. Ее неудобство,состоит в том, что в ней приходится иметь дело
с бесконечным множеством простых чисел.
9. Только что упомянутым неудобством не обладает другой закон,
который однако труднее формулировать и который допускает в особых
(„не-регулярных") случаях большие осложнения. Этот закон касается ?ек
называемых критических простух чисел, которые впервые были
тщательно изучены Гильбертом (D. Hilbert) в связи с теорией идеалов
(„Tragheitsgruppen"—группы инерции), но допускают также элементарное
определение, если мы вместе с Гензелем (К.. Hensel) станем рассматривать
разложения алгебраических чисел по возрастающим степеням простого
числа. Исходя из аналогии с алгебраическими функциями, где крити-
критическим значением переменной z называется значение г = а, в окрест-
окрестности которого функция разлагается по дробным степеням, Гензель
рассматривает так называемые jp-адические разложения алгебраических
чисел (см. гл. II, § 3.3). Простое число такого рода, что заданное ал-
алгебраическое число разлагается по его дробным степеням, носит
название критического. Критические числа всегда входят в дискрими-
дискриминант уравнения, которому удовлетворяет рассматриваемое алгебраическое
число, а потому каждому ^алгебраическому числу соответствует конечное
число критических простых чисел. С другой стороны, каждому иррацио-.
нальному алгебраическому числу непременно соответствует хотя бы одно
критическое простое число.
Каждое алгебраическое число степени п имеет п сопряженных раз-
разложений по степеням каждого простого числа р. Если р — критическое
простое число для алгебраического4 числа а, которое разлагается по сте-
пеням р , то существует s сопряженных разложений, которые, как мы
будем говорить, образуют s-членный цикл. Тогда закон,-о котором мы.
говорим, может быть формулирован так:
Если разложения числа а в /7-адические ряды разбиваются иа
циклы порядков slt «2,..;, sk, то существует подстановка группы
Галуа уравнения, которому удовлетворяет я, состоящая из циклов по-
порядков sb st,...,sh.
Обратно, в груйпе Галуа можно выбрать несколько подстановок,
цикленный состав которых задается разложениями по степеням критиче-
критических простых чисел, и которые при композиции воспроизводят всю группу
Галуа.
Если, например, группа Галуа уравнения /?*-ой степени циклическая,
то должно существовать такое критическое простое число, разложения
по степеням которого корней этого уравнения образуют /Дчленный цикл.
10. Построение уравнений с заданной группой- Перейдем теперь
к некоторым проблемам, стоящим на очереди в современной теории Галуа.
Проблема I. Найти прием для построения уравнений, группы
Галуа которых изоморфны с заданной группой ©.
Эта проблема была решена Гильбертом для случая, когда группа ®
есть симметрическая или знакопеременная группа. Возможность такого
построения Гильберт основывает на своей следующей „теореме неприво-
неприводимости":

Исторический очерк 13
Если полином / (лг, у) от двух переменных лг, у неприводим,
то можно найти бесконечное множествб рациональных значений
у =а такого рода, что полином / (лг, а) остается неприводимым
относительно одного х в любой заданной области рациональности.
Эта теорема является типичной „теоремой существования", а потому
основанный на ней способ построения не может считаться эффективным,
т. е. приводящим к цели при помощи конечного числа действий.
Бауэр (М. Bauer), пользуясь законами, описанными в п.п. 9 и 8,
предложил два новых различных приема для построения уравнений с сим-
симметрической группой. Его приемы дают эффективные решения; с другой
стороны, его второй способ (основанный на п. 8), будучи достаточно
продолжен, дает все без пропусков существующие уравнения без аф-
аффекта.
Э. Нётер (Е. Noether) показала, что проблема I может быть решена
для таких групп (&, для которых справедлива следующая теорема:
Пусть Alt Аг,..., Ап элементарно-симметрические функции от
переменных xv хг,...,хпч. Ф (xlt xz,..., х„) функция, принадле-
принадлежащая к заданной группе ©. Тогда существует и функций
такого рода, что они рационально выражаются через Alt Аг,..., Ап,
Ф, и обратно, каждая из функций Аь At)..., Ак, Фможет быть
рационально выражена через wu гс2,..., яя.
Эта теорема (называемая теоремой Люрота (P. LUroth) или
теоремой о рациональном базисе) справедлива для я = 1 ия = 2;
для и = она уже не имеет места в общем случае.
Нётер строит свой результат на Гильбертовой теореме неприводи-
неприводимости. Однако можно построить его на втором приеме Бауэра, чем обес-
обеспечивается эффективность приема построения.
- Фуртвенглер (Ph. FurtwSngler) и Бройер (S. Breuer) предложили при-
приемы построения уравнений, имеющих разрешимые группы некоторых типов.
И. Щур (I. Schur) нашел, что некоторые хорошо известные полиномы
имеют симметрическую или знакопеременную группу. Этим путем ему
удалось эффективно решить проблему I для знакопеременных групп, за
исключением случаев, когда я = 8 k -j- 2.
П. Проблема резольвент. Как мы видели, задача решения урав-
уравнений в радикалах допускает положительный ответ лишь в сравни-
сравнительно немногих исключительных случаях. Поэтому является естественным
найти такое обобщение этой задачи, которое бы включало решение
в радикалах, как частный случай, и вместе с тем имело бы виды на
практическое значение. Такой задачей безусловно является проблема,
которую можно формулировать так:
Проблема II. Дано уравнение
D) хп+а1х"-1 + ... + ап_1х + ап = О
с переменными коэффициентами av a2,..., ап. Требуется найти для
него такое рациональное преобразование, чтобы преобразованное
уравнение зависело от возможно меньшего числа k параметров.

14 ' -Исторический
В коэффициенты преобразования можно при необходимости вводить
иррациональности, зависящие рт уравнений с меньшим числом перемен-
переменных параметров. Задача например допускает более низкое значение для
А, если'^вести квадратный корень из дискриминанта D уравнения D),
так как "тогда группа Галуа уравнения D) понижается с симметрической
до знакопеременной.
Бринг (Bring) привел общее уравнение 5-ой степени при помощи
преобразований, в выражения которых входят иррациональности не выше
4-ой степени, к так называемому Бринг-Жерраровскому типу
E) • л« + а* + р = О,
которое путем простого преобразования х = у а • у превращается в од-
нопараметрическое.
Клейн перешел от общего уравнения 5-й степени к одношраметри-
ческому, вводя в коэффициенты преобразования только квадратичные ир-
иррациональности. Его приведенное, уравнение имеет вид
причем в коэффициенты преобразования входят только иррациональности
УЪ, У-^з и YW.
г Клейн поставил в общем виде так называемую „Formenproblem", кото-
которая по существу, приводится к нашей проблеме П. Оказывается, что ре-
решение этой проблемы зависит от группы уравнения D). Именно, вопрос
лриводится к представлению элементов группы аналитическими преобра-
преобразованиями от возможно меньшего числа k переменных. Например для
уравнения 5-й степени знакопеременная группа может быть представлена,
как группа дробных линейных преобразований:
cz
одной комплексной переменной z. В связи с этим общее уравнение
5-й степени и допускает резольвенту F) с одним переменным па-
параметром.
Гильберт обобщил задачу, ставя себе целью привести общее уравне-
уравнение и-ой степени к нескольким уравнениям, каждое из которых содержит
возможно меньшее число k параметров. При этом он получил для каж-
каждого «<;9 следующие значения k:
п
5
1
6
2
7
3
8 | 9
4 1 4
Виман (A. Wiman), обобщая результат Гильберта, получил, что при
всяком я>9 имеет место и — ?>5.
Эта проблема ставит на очередь вопрос о нахождении всевозможных
непрерывных групп, имеющих данную конечную группу в качестве под-
подгруппы („одевание конечных групп непрерывными").

ГЛАВА I.
ГРУППЫ.
§ 1. Основные понятия.
1. Формальное определение группы. Группой называется сово-
совокупность некоторых символов (называемых элементами группы),
если при этом соблюдены следующие условия:
Аксиома I. Введен закон композиции (или попросту
умножения) элементов, в силу которого каждым двум элементам
А, В, взятым в-определенном порядке, можно сопоставить третий
элемент, С, той же совокупности. ОДы будем записывать это сопо-
сопоставление просто как умножение:
АВ = С. .
Аксиома П. Имеет место ассоциативный (сочетатель-
(сочетательный) закон: (ЛВ)С = А(ВС).
Аксиома III. Существует правая единица J, т. е. такой. .
элемент, который не меняет любого элемента X совокупности, если
на него умножить этот элемент справа:
Аксиома IV. Для каждого элемента А совокупности можно
найти его правый обратный элемент, т. е. такой элемент'
X, от умножения на который справа элемент А обращается в J: AX= J.
2. Преобразования. Из- этих аксиом аксиома I является, конечно,
необходимой вообще для всякой теории композиции символов. Аксиома
же II характерна для совокупностей преобразований. Под преоб-
преобразованием разумеют переход от элементов некоторого множества (все
равно, каких предметов) ЭД к другим элементам того же' множества.
Пример 1. Множество состоит из конечного числа предметов, например
из хх, х2, xs. Преобразование состоит в том, что с хг сопоставляется xs "{будем
в дальнейшем говорить: xt переходит в х,), с х, — х„ с дг8 — xv Такого рода,
преобразование носит название подстановки и записывается так:
или так:
<1 X2 ХЛ
h x3 xj'

16 ' /. Группы
Пример 2. Множество состоит из всех целых (положительных и отрица-
отрицательных) чисел. Преобразование сострит в прибавлении к каждому элементу
мноийства числа 1. Такое преобразование может быть записано так:
х-*х+1.
Пример 3. Множество состоит из всех вещественных значений переменной х.
Преобразование состоит в сопоставлении с каждым значением х значения ах~ть
cx + d'
где а и Ь постоянные числа. Такое преобразование называется дробной ли-
линейной подстановкой и обозначается так:
Х*Е±±
cx + d
3. Для того чтобы ввести понятие группы преобразований,
необходимо ввести понятие композиции (или умножения) двух
преобразований. Если преобразование А переводит элемент М множества
304 в М', а преобразование В переводит М' в М", то под преобразованием
АВ мы будем разуметь такое преобразование, которое переводит. М в М".
Заставляя элемент М пробегать все множество 301, мы тем самым вполне
определим преобразование АВ.
Пример 1. Пусть А = (Xl х» ХЛ, В = Z*1 *¦ х*\. Если А переводит хх
\Xt Хз Хх/ \ХХ Х3 Х|/ •
в х„, а В — х, в ха, то АВ должно переводить хх в xt. Рассуждая таким образом
¦относительно «аждого из элементов xv х„ х8, получим: АВ = (Xl х* Хз\
\х$ ха хх/
Отметим, что результат умножения, вообще говоря, зависит от порядка,
в котором стоят множители А, В. В нашем примере мы видим, что
ВА = lXl X* *»У
"* \х, хх хъ1
т. е. что ДВф ВА. В этом случае говорят, что группа не подчиняется комму-
коммутативном у за кон у.
Пример 2. Пусть преобразование А переводит переменную хвх + а,
я преобразование В — х в х-\-Ь. Тогда АВ переводит х в (х-\-Ь)+ а = х +
+ (в+ Ь). Здесь АВ = ВА, а потому группа называется коммутативной
или а б елевой, по имени математика Абеля (N. H. Abel), впервые изучившего
уравнения с коммутативными группами.
4. Для всех совокупностей преобразований имеет место ассоциа-
ассоциативный закон. Пусть даны преобразования А, В, С, и пусть А перево-
переводит элемент М множества *30Ч в ЛГ, В переводит М' в М", и С пе-
переводит М" в /И'". Тогда нетрудно видеть, что как (АВ) С, так и А{ВС)
переводит М в М'". Но так как в качестве Ж мы можем взять всякий
элемент множества 304, то оказывается, что оба преобразования (АВ)С
и А {ВС) переводят каждый элемент множества 304 в одинаковый эле-
элемент, т. е. оба преобразования тождественны:
Легко показать, что при соблюдении ассоциативного закона также
произведение большего числа элементов не зависит от пмследователь-
ности, в которой производится их перемножение. Например ((АВ) C)D =
= А (В (CD)). Поэтому при записи произведения нескольких множите-
множителей последовательность действий не отмечается. Например мы вместо
((AB)C)D будем писать просто ABCD.

§ 1. Основные понятия 17
Интересно, что если элементы какой-нибудь-абстрактной группы под-
подчиняются ассоциативному закону, то их можно рассматривать, как неко-.
торые преобразования. Здесь .мы не будем доказывать этого предложе-
предложения в общем виде.
5. В качестве единииы (как Правой, так и левой) в группе преобра-
преобразований служит так называемое тождественное преобразова-
преобразование, оставляющее каждый элемент множества <3ft на месте.
Преобразование, обратное данному, получается так: если данное пре-
преобразование переводит М в М', то обратным преобразованием назы-
называется преобразование, переводящее М' в М. Напр., если А — (Xl **х*),
то преобразование, обрятное А, переводит х2 в xlt х8 в х2, х2 в х8.
Таким образом оно есть (х% *3*х) или (Xl *»*s).
\ХХ 3fj Ха/ \ХХ Хх Хг1
Заметим, что в записи подстановки можно расставить верхние значки
в любом порядке, но только при таких перестановках нижний значок
должен следовать за своим верхним. Например, (** *4 *х **) = (xix*x* М-
\xt x2 х± х3! \xlxix1 ха/
6. Теорема 1. Группа содержит не более одной правой еди-
единицы.
Доказательство. Пусть J и Jx будут две правые единицы
группы, причем пусть J будет та единица, которая требуется аксиомой IV.
Имрем:
A.1) ЛУ-У,.
Умножим обе части справа на Ух: y^ = J1Jl = J^ Умножим обе
части справа на элемент X, правый обратный к Jlt т. е. такой, что
JXX = J: JXJ ^Х-= J& т. е.
A.2) JyJ=J.
Сравнивая A.1) с A.2), получаем: J1 = Ji откуда вытекает, что обе
единицы не могут быть различны.
7. Теорема 2. Правая единица одновременно является и
левой единицей.
Доказательство. Докажем, что для всякого элемента А группы
имеет место JA — А.
Введем Обозначение
A.3) JA=B.
Умножим это равенство справа на элемент X, правый обратный к
A (AX = J): JAX=BX, т. е. J^BX. Таким образом АХ = В. Умно-
Умножая справа на элемент Y, правый обратный к X (XY = У), получим:
AXY = BXY, откуда А = В, т. е.
JA =А.
Доказанное дает нам право называть элемент У просто единицей.
8. Теорема 3. Правый обратный элемент является в то же
время и левым обратным элементом, т. е. из АХ = У следует ХА = У.
Доказательство. Введем обозначение
A.4) ХА = В.
2 Чеботарев.

7* /. Группы
Умножим это равенство справа на Х:ХАХ = ВХ, т. е. Х=ВХ.
Умножим справа на элемент К.правый обратный к X(XY = J):XY= BXYt
т. е. J=B, откуда в силу A.4)
что и требовалось доказать.
9. Теорема 4. Не может существовать двух различных
правых обратных элементов.
Доказательство. Допустим, что имеет место AX=AY — J. До-
Докажем, что Х = Y. Умножим равенство слева на X:. ХАХ = XAY, от-
откуда в силу теоремы 3: JX=JY. Отсюда в силу теоремы 2: X=Y,
что и требовалось доказать.
10. Конечные группы. В дальнейшем мы будем заниматься только
такими группами, которые содержат конечное число элементов. Такие
группы носят название конечных групп, а число содержащихся в
такой группе элементов — порядком группы. ч
Кроме порядка группы, мы будем иметь дело с понятием порядка
элемента группы. Умножая элемент А неограниченное число раз
сам на себя, т. е. возводя А в степени: А, А*, Л8, ..., мы в силу
конечности группы не сможем получать все время различных элементов.
Таким образом получаемые элементы должны повторяться, т. е. мы будем
получать равенства типа Ат + *= Ат, где k > 0. Умножая справа на эле-
элемент, обратный к Ат, получим: Ак = J. Наименьшее из чисел k, даю-
дающих Ак =J, называется порядком элемента А.
Упражнение 1. Доказать, что все элементы J, А, А1, ..., Ah~\ гда.* —
порядок элемента А, различны.
Упражне-ни е 2. Доказать, что равенство Ат = А" может иметь место в
том и только в том случае, если разность /и—я делится на порядок эле-
элемента А.
11. Представление подстановок в виде циклов. Рассмотрим какую-
нибудь подстановку, напр. L и 8 7 6 9 2 ') (здесь вместо букв со
значками, например хъ xt, ха, ..., мы просто ставим цифры, 1, 2, 3, ...).
В ней цифра 1. переходит в 3, 3 — в 4, 4 — в 8, 8 —в 2, 2—в 1.
Здесь мы пришли опять к исходной цифре, что мы будем выражать сло-
словами „цикл аамкнулся". Эта круговая замена цифр называется
циклом и обозначается так: A3 4 8 2). Продолжая рассуждение над
цифрами, не затронутыми предыдущими циклами, мы получим еще циклы
E 7 .9) и F). Таким образом мы будем записывать нашу подстановку в
циклах так: A 3 4 8 2) E 7 9) F). В этом случае говорят, что под-
подстановка состоит из 5-членного, 3-членного и 1-членного циклов. 1-член-
1-членные циклы, оставляющие цифру на месте, обычно' не пишутся.
Нетрудно также перейти от цикленной формы подстановки к перво-
первоначальной. Пусть нам дана например подстановка A3) B 4) E 6 7).
Из определения цикла следует, что в ней 1 переходит в 3, а 3 в 1 (по-
(последняя цифра цикла переходит в первую), и т, д. Поэтому A3) B 4) E 6 7) =
/1 2 3 4 5 6 7\
U 4 1 2 б 7 ЪГ

$ 1. OcHoimte понятия 19
Упражнение 3. Проверить: (} \ \ J JJ) =A43 2), '(? J J J J J) -
==A2 3) D 5 б).
12. Можно рассматривать отдельные циклы подстановки, как само-
самостоятельные подстановки, и тогда не трудно видеть, что каждая подста-
подстановка есть произведение составляющих ее циклов.
Упражнение 4. Доказать, что циклы, составляющие одну и ту же под-
подстановку (т. е. лишенные общих цифр), перестановочны.
13. Рассмотрим m-членный цикл A, 2, 3, ..., т). Он представляет
собой подстановку, увеличивающую каждую цифру на единицу, при условии,
«ли кратности числа т мы будем отбрасывать: х -> х + 1 (mod m).
Квадрат этой подстановки есть подстановка х -*¦ х + 2 (mod m).
Не трудно понять, что эта последняя подстановка состоит при нечетном т
из одного цикла, а при четном т — из двух циклов. Чтобы составить
этот цикл (или циклы), надо в ряду 1,2,..., т брать цифры через одну.
Таким образом A 2 3 4 5)» = A 3 5 2 4), A 2 3 4 5 бJ = A 3 5) B 4 6).
Куб цикла A, 2, ..., т) есть подстановка х -> х+Ъ (mod /и), т. е. в
циклах этой подстановки надо брать цифры из ряда 1, 2, ..., т через
две и т. д.
Какие степени /я-членного цикла дадут тождественную подстановку,
т. е. будут оставлять все цифры 1, 2, ..., щ на месте? Так |сак я-ая
атепень цикла A 2 3 ... т) переводит х ъ х-\-п, причем кратности
числа т отбрасываются, то для этого необходимо и достаточно, чтобы я
делилось на т. Таким образом порядок т- членного цикла, т. е. пока-
показатель наименьшей степени m-членного цикла, дающей тождественную
подстановку, равен т.
Упражнение 5. Пусть подстановка состоит и» тх-, щ-, ..., /%-член-
ных циклов.
Доказать, что порядок этой подстановки есть наименьшее кратное чисел mt,
/и„ ..., тк.
¦ Упражнение в. Парадокс. Все группы коммутативны.
Доказательство. Предварительно докажем, что если элементы Av Аг,
..., Ап связаны соотношением At At ¦.. А„ = У, то произведение этих элемен-
элементов в любом порядке равно также /. Это утверждение справедливо при я = 2
(теорема 3). Предположим, что оио справедливо для чисел, не ббльших я, . и до-
докажем его для л+1. Так как мы увидим ниже <§ 2), что всякая подстановка мо-
может быть представлена, как произведение транспози ций,чт. е. перестановок
двух цифр, то утверждение' будет доказано, если мы покажем, "что из
следует _,„
Вводя обозначения Аг... At_i = В, А/^... ^_i — С, Aj^... Ап_^ = D, мы
получим соотношение BA,€AjD = J и» меньшего числа элементов, а потому в
сияу нашего предположения BAjCAJ) = /, ч. и т. д.
Теперь нетрудно доказать коммутативность нашей группы. Пусть АВ — С.
Тогда АВС~1 = /, и в силу доказанного (полагая л = 3) получим ВАС1 = /,
вткуда В А = С, т. е. АВ= В А.
Мы видели однако на простых примерах C), что это утверждение неверно.
Где в рассуждении лежит ошибка?
2*-

20 ^ I. Группы
§ 2. Подгруппы.
1. Понятие подгруппы. Бывает, что,некоторая часть элементов группы
образует самостоятельную группу. В этом случае эта часть элементов но-
носит название п'одгрулпы или дел.ителя первоначальной группы.
Пример. Симметрическая группа подстановок 3-й степени (т. е.
из 3 предметов) 68 состоит нз следующих подстановок:
1, A 2 3), A 3 2), A2), A3), B 3).
Мы получим ее, если напишем всевозможные подстановки, у которых в верх-
верхнем ряду будет стоять расположение 1 2 3, а в нижнем — всевозможные пере-
перестановки нз цифр 1, 2, 3. ®, — группа порядка 6. Ее'поДгруппы:
о) 1, A 2 3), A 8 2) — порядка-3;
b) 1, A2) — 2;
c) 1. A 8) - „ 2;
. О) 1, B 3) - . 2;
еI —: „ 1 (тождественная группа).
Упражнение 7. Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая со-
совокупность элементов конечной группы составляет группу, достаточно показать,
что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит к
этой сАокупности (дело сводится к проверке аксиом III и IV).
2. Символическое исчисление совокупностей. Совокупности не-
скодьких#элементов группы обозначаются большими готическими буквами:
51, S3, (?,... Если совокупность 31 состоит из элементов Аъ Aif..., Ат, то
принято обозначать совокупность, как сумму своих элементов:
Точно так же, объединяя несколько совокупностей, будем соединять
их знаком -f-- Если при этом в полученную таким образом совокупность
какой-нибудь, элемент войдет несколько раз, то мы будем писать ег*
только один раз. Например, если 91 = А + В, 33=В + С, то 21 + 33 =
= А + В + С. •
Под произведением двух совокупностей будем разуметь следую-
следующее. Если
то произведение 9Ш есть совокупность элементов A(Bh (/ = 1, 2, ..., т;
<k= 1, 2, .,., п). Если при этом среди элементов AtBk попадутся рав-
равные, то нх следует брать по одному разу, т - е. лишние отбрасывать.
В частности, если п = i, т. е. S3 = Bv то ЗШХ = (А1 + Аг + ... +
Ат)В1 = А1В\ + АгВ1 + ... + АтВ1.
Упражнение 8. Доказать справедливость днстрибутивного закона:
B1 + 93)G = 21G + 23G, ? B1 + <23) = ?21'+ ®8.
3. Теорема 5. Совокупность % составляет группу, тогда н
только тогда, если имеет место
51 • 21 = 91.
Доказательство. Если % составляет группу, то произведение
Щ не может содержать ничего другого, кроме элементов из Щ, Сдру-

2. Подгруппы ' 21
гой стороны, оно непременно содержит все элементы из ЭД, так ,как
группа 51 содержит единицу J, а потому 51-51 содержит 51 •/, т. е. 51.
Обратно, если 5Ш = 51, то в силу результата упражнения 7 Щ
является группой. Введем еще следующее обозначение: если совокуп-
совокупность 58 содержится в 51 (т. е. состоит из элементов, каждый из
которых является элементом 51), то будем писать: 51 > 33; если же при-
притом равенство обеих совокупностей исключено, то будем писать: 51>23.
4. Пусть ® = Аг -f- Аг + ... + Ап есть группа, $& — ее подгруппа.
Совокупности типа QAt называются,с отряженными системами*).
Имеет место
Теорема 6. Системы §>Аг содержат при всяком А, одно н то
же,число элементов (равное порядку группы ф). Две системы §А
и |)Л4 или совпадают, или не содержат общих элементов.
Доказательство. 1°. Чтобы доказать, что числа элементов сово-
совокупностей ?) и §Д одинаковы, достаточно показать, что среди эле-
элементов
= А + ВЛ + • • • + ?«А,
где §> = J + Вг + ... + Вт, не встречается одинаковых. Допуская на
пример, что имеет место ВГА4 = ВеА( при г фв, и умножая этв равен-
«тво справа на Д", мы' получим Вг = Вг, что невозможно, так как все
элементы У, В2, ..., Вт различны.
2°. Предположим, что $А{ и %>Ак имеют общий элемент ВГА, = В^.
Тогда, умножая равенство слева на В~1, получим:
B.1) Ah = B,-*BrAt.
Возьмем произвольный элемент B^Aj системы $Ак. В силу B.1) он
равен BfB'1 B^. Но так как BfB~ Br есть элемент группы ф, то
BtAh есть элемент системы §ЛГ Подобным же образом мы покажем, что
всякий 'элемент системы §Д содержится в %>Ак. Таким образом
5. Теорема-7 (Лагранжа). Порядок подгруппы есть дели-
делитель' порядка первоначальной группы.
Доказательство. Пусть попрежнему
® = J + A2+...+An, о
Здесь порядок ® есть п и порядок ф есть т. В с"илу того, что эле-
элементы В{ содержатся среди Ар а такжеЧого, что ф содержит единицу,
будем иметь:
В левой части этого равенства будем оставлять только по одной из
одинаковых сопряженных систем, а остальные вычеркнем. Пусть в ре-
результате получится разложение
*) Или, согласно терминологии Математической Энциклопедии, смежными
-«кассами.

22 /. Группы
В силу теоремы 6 асе элементы правой части различны между'собой.
Поэтому в правой части равенства B.1) содержится mk различных эле-
элементов, а в левой их всего и. Поэтому -
B.2) ^ n = mk.
Это равенство докавывает теорему.
Разложение B.1) носит наввание разложения группы © п»
подгруппе ?. Число k, т. е. число сопряженных систем в разложе-
разложении B.1), или просто частное порядков групп © и §, носит наввание
индекса подгруппы ф относительно группы © и часто обозначается
так: (©:?). -
Можно с тем же успехом умножать § на элементы группы © не спра-
справа, а слева, так что получится разложение
B.1') ¦ © = ? + Ла'0 + ...+ДД>.
Следствие. Порядок группы делится на порядок любого своего
элемента.
Это следует из того, что, если порядок элемента А группы © есть
ш, то элементы J, А, А*, ..., Л"* все различны между собой (упраж-
(упражнение 1) и составляют групиу порядка т, которая является делителем
группы ®.
Группы, образованные степенями какого-нибудь элемента, навиваются
циклическими группами. Нетрудно убедиться, что все цикличе-
циклические группы абелевы, т. е. подчиняются коммутативному закону.
6. Разложение подстановок на транспозиции. Покажем, что вся-
всякую подстановку можно представить в виде проивведения нескольких
трансповиций, т. с подстановок, перемещающих две цифры и
оставляющих остальные цифры неизменными. Выше (§ 1, п. 11) мы ви-
видели, что в'сякую подстановку можно представить в виде проивведения
циклов. Поэтому достаточно проверить наше утверждение для цикла.
Последнее проверить нетрудно. В самом деле,
A 2 3)=A 2)A 3),
A 2 3 4) = A 2) (ГЗ) A 4),
(Г 2 3... т)={\ 2) A 3)... A т).
Обратим здесь внимание на то, что циклы с четным числом цифр
разлагаются на нечетное число транспозиций, с нечетным числом цифр—
на четное число транспозиций. Поэтому для каждой данной подстановки
мы можем высчитать, разложится. ли она на четное или на нечетное
число транспозиций. Действительно, если подстановка состоит ив циклов
порядков пь иа пк (их + иа + ... + пк =¦ и), то четность ^прлучае-
мого числа транспозиций вависит от того, будет ли число
B.3) (Hi—I)+(Bl —1) + ... + (я4 —1)-я —А ... .'
четным или нечетным. При атом мы должны также принять в расчет и
одночленные циклы.

> • »*
§ 2. Подгруппы
Пример. Подстановка A 2 3) D 5) F Т) (8). Число* B.3) здесь равно-
8 — 4=4, а потому подстановка разлагается на четное число транспозиций.
7. Четносуь подстановки не зависит от способа ее
разложения на транспозиции. Каждую подстановку можно разло-
разложить на транспозиции не одним, а многими -способами. Замечательно,
что при этом четность числа получаемых транспозиций остается одной и
той же. Проще всего убедиться в этом, если обратить внимание на то,
что каждая транспозиция меняет знак выражения
B.4) (*j — *8) (*, — х3) (ха—ха) :.. (х — хп) = П(х, — хА).
В самом деле, посмотрим, какое действие оказывает иа выражение
B.4) транспозиция (хъ х3). Для этого перепишем выражение B.4) так:
B.4') (*!—*„) • П (*х — х<) • П (*а — xt) -П(х< — хк),
*=3 f=3 <<fc
где в последнем произведении значки I и k пробегают значения 3,
4, ..., л. Транспозиция (xt, xz) меняет знак первого множителя (хх — хг)
и обращает второе произведение в третье, третье во второе, а на по-
последнее не оказывает никакого действия. Поэтому все произведение
B.4') изменит знак. Это утверждение доказывается аналогично для вся-
всякой другой транспозиции.
Если таким образом подстановка разлагается на четное число транс-
транспозиций, то она не изменит знака в выражении B.4); если же на нечет-
нечетное, то изменит. Поэтому подстановка вполне определяет собой четность
числа транспозиций, на которые она разлагается. Подстановку принято
называть четной или нечетной, в зависимости от того, оставляет ли
она выражение B.4) неизменным или меняет его знак.
Нетрудно доказать
Теорему 8. Произведение двух четных или двух нечетных
подстановок дает четную подстановку; произведение же четной
подстановки на нечетную дает нечетную подстановку.
.8. Симметрические группы. Из л цифр 1, 2, ..., л Аюжно
образовать л! = 1.2...л различных перестановок. Пусть <xlf Og, ..., <xn
будет одна из этих перестановок. Построим соответствующую ей под-
подстановку ' ( ' ' ' п I. Различным перестановкам будуг соответство-
соответствовать различные подстановки... Таким образом мы получим всего л! раз-
различных подстановок, которые очевидно образуют группу. Эта группа но-
носит название симметрической группы из л цифр или симметри-
симметрической группы л-ой степени и обозначается так: б„.
Рассмотрим произвольную группу подстановок л-ой степени (т. е.
из л цифр). Она является делителем симметрической группы л-ой сте-
степени, а потому в силу теоремы 7 ее порядок есть делитель числа л!
Таким образом мы приходим к .
Теореме 9. Порядок группы подстановок л-ой степени есть
делитель числа п\
9. Знакопеременные группы. Все четные подстановки л-ой
'Степени составляют в силу теоремы 8 группу, которая носит название

24 1. Группы '
знакопеременной группы л-ой степени и обозначается так: 51Л.
Чтобы определить порядок этой группы, возьмем произвольную нечетную
подстановку (например транспозицию) Ги обратим внимание на то, что
все подстановки сопряженной системы 91ЯГ в силу теоремы 8 нечетны.
С другой стороны, всякая нечетная подстановка 5 входит в систему %nTt
так как подстановка 5Г~* в силу теоремы 8 четная и потому входит в
группу 51П. Таким образом мы получаем: '"
Это.показывает, что индекс (<5„:91Я) равен 2, т. е. что порядок
знакопеременной группы л-ой степени равен ^-.
Отметим следующий важный факт: ~~
Теорема 10. Всякую подстановку знакопеременной группы
можно представить, как произведение трёхчленных циклов.
Доказательство. Так как каждую подстановку знакопеременной
группы можно представить, как произведение четного числа транспози-
транспозиций, то достаточно доказать, что произведение двух транспозиций можно
представить, как произведение трехчленных циклов. Здесь может встре-
встретиться один из двух случаев: или обе транспозиции содержат обшую
цифру, или все входящие в них цифры различны.
В первом случае: A 2) B 3) =A 3 2). -
Во втором случае: A 2J C 4) = A 4 3) A 4 2).
10. Првмер. Симметрическая группа б4 4-йстепени состоит из следующих
41 = 24 подстановок:
11. A 2), A 3), A 4U2 3), B 4>, C 4), A 2), C 4), A 3) B 4), A 4) (8 3),
B.5) { A 2 3), A 3 2), A 24), A 4 2), A 3 4), A 4 3), B 3 4), B 4 3),
1 A 2 3 4), A 2 4 3), A3 2 4), A3 4 2), A4 2 3), A4 3 2).
Знакопеременная группа 2!4 состоит из 12 подстановок:
,,б, / 1, A 2) C 4), A 3) B 4), A 4) B 3), A 2 3), A 3 2), A 2 4\ (I 4 2),
^•е) \ A 3 4), A 4 3), B 3 4), B 4 3).
, Кроме того, группа 64 содержит следующую подгруппу порядка 8:
B.7) 1, A 3 2 А), A4 2 3), (I1 2) C 4), A 3) B 4), A 4) B 3), A 2), C 4).
Эту группу можно охарактеризовать, как совокупность подстановок, не ме-
меняющих выражения XjX|-f-дод.
Эта группа содержит в свою очередь следующую (абелеву) подгруппу по-
порядка 4, которую немцы, вазывают Vierergruppe:
B.8) ' 1, A 2) C 4), A 3) B 4), A 4) B 3).
Кроме того, б4 содержит несколько циклических групп, а также группу
B.9) 1,.A 2), C 4), A 2) C 4).
Здесь мы в первый раз встречаем примеры абелёвых, но не циклвческих
групп.
л!
Упражвеиие9. Доказать, что б„ содержит ровно k fc „ *.*, |ы ь\
(п=* kinl-\-ktnt-\-...-\-kin,) подстановок, разлагающихся ва kx циклов порядка
пи kt циклов порядка яя, ..., кц циклов порядка п„ где /ij > л, >... > пг

2. Подгруппы • 25,
Проверяя эту формулу на примере б«, мы получим для тождественных под-
подстановок число -г-. =а 1, для транспозиций — число ¦ - =s 6, для двойных
41 ?1 а[
4! 4!
, транспозиций — число • ¦ =» 3, для трехчленнных циклов — число ^- = 8,
4!
для четырехчленных циклов — число т-^б.
11. Транзитивные группы подстановок. Группа подстановок назы-
называется транзитивной, если в ней содержатся подстановки, переводя-
переводящие любые две цифры друг в друга. В противном случае группа под-
подстановок называется интранзитивной.
Пусть © — интранзитивная группа' подстановок л-ой степени. Пусть
ее подстановки переводят цифру 1 в каждую из цифр 1, 2, .. > , от.
Тогда © будет содержать подстановки, переводящие друг в друга любые
две цифры из ряда 1, 2, . . ., т. В' самой деле, если Sx переводит 1 в
г, a Ss — 1 в s, то подстановка б^5, переведет г в s. Таким обра-
образом в силу интранзитивности группы © ряд 1, 2, ..., т не исчерпы-
исчерпывает всех цифр 1,2, . .. , л. Беря из ряда 1, 2, . . ., л какую-нибудь,
цифру, не принадлежащую к ряду 1, 2, . .. , т, мы убедимся, что под-
подстановки группы © будут переводить ее в цифры, не входящие в ряд
1, 2; . .., т. Ряд таких цифр обладает тем же свойством, что и ряд
1, 2, ..., т. Продолжая выделение таких систем цифр, мы разобьем
весь"ряд 1, 2, ... , л на отдельные системы, носящие название систем
интранзитивности группы ©.Эти системы характеризуются тем,
что: 1) группа © содержит подстановки, переводящие друг в Друга
цифры одной и той же системы интранзитивности, 2) группа © не
содержит подстановок, переводящих друг в друга цифры разных систем.
Разберем в виде примера группы п. 10. Группа B.5) транзитивна. Чтобы
убедиться в этом, достаточно установить, что цифра 1 переводится в каждую из-
цифр 1, 2, 3, 4. В самом деле, подстановка 1 переводит 1 в 1, A 2) переводит
1 в 2, (L 3) переводит 1 в 3, A 4) вереводит 1 в 4. Точно так же транзитивны
группы B.6), B.7), B.8). Группа же B.9) интраизитивна, и ее системами интраи-
зитивности являются 1, 2 и 3, 4.
Группа называется А: раз транзитивной, если в ней содержится
подстановка, переводящая любые k из цифр 1, 2, .... , л в любые за-
заданные цифры того же ряда. Симметрическая группа л-ой степени л раз
транзитивна, так как содержит подстановку, переводящую "каждую из
цифр 1, 2, . .. , л в эту же совокупность цифр, взятую в любом задан-
заданном расположении. у
Знакопеременная группа л-ой степени л — 2 раза транзитивна. Дей-
Действительно, пусть требуется перевести цифры 1, 2, . .., л — 2 в цифры
'l. a2. •••! а«_г» произвольно выбранные из ряда 1, 2, . .. , л. Пусть
ai» «г» •••» а»_1» а* будет некоторая перестановка цифр 1, 2, ... , л.
Тогда обе подстановки
1, 2, 3, .... л-2, л-1, п \.
"я
I 2 3 л-2, л—1, п \ и /1,
^ /1, 2, «, .... л-2, л-1, л \

26.. I. Группы
переводят 1, 2,..., п — 2 в о^,. а2,..., а„_2. В то же время .одна из
этих подстановок в силу теоремы 8 четная и поэтому содержится в вна-
копеременной группе.
12. Рассмотрим группу © подстановок л-ой ^степени, и пусть ее си-г
стема интранзитивности, содержащая цифру 1, состоит из т цифр 1,
2, ... , т. Выделим в ней совокупность S) подстановок, оставляющих
одну из цифр, например 1, на месте. Нетрудно убедиться, что совокуп-
совокупность, io составляет группу (см. упражнение 7). В группе © в силу опре-
определения системы интранзитивности найдутся подстановки SjbsI, Sz,
St,..., Sm, переводящие 1 соответственно в 1, 2, 3,..., т. Тогда
все подстановки сопряженной системы S)St (/=1, 2,..., т) перево-
переводят 1 в /. В силу этого эти сопряженные системы не содержат общих
подстановок. Докажем теперь, что всякая подстановка группы ® входит
в какую-нибудь из этих сопряженных систем. Пусть 5 будет какая-ни-
какая-нибудь подстановка группы ®, и пусть 5 переводит цифру 1 в /, Тогда
подстановка SSf~l оставляет цифру 1 на месте и потому входит в jo,
откуда следует, что 5 входит в SbSt. Таким образом группа ©разла-
©разлагается на сопряженные системы следующим образом:
®-$ + ??а + ?5а + ... +$>Sm,
и мы приходим к . '
Теореме 11. Если © — группа подстановок 1, 2 т —
одна из её систем интранзитивности, jo — наибольшая из ее под-
" групп, оставляющая одну из цифр 1, 2,..., т на месте, то индекс
, @:io группы & относительно © равен т.
Следствие. Если © транзитивная группа подстановок я-й
степени, io — наибольшая из ее подгрупп, оставляющая одну из
цифр 1, 2,..., л на месте, то индекс (©:.&) равен я.
Пример 1. Возьмем в качестве ® группу B.7). Она транзитивна. Закрепляя
цифру 1, получим подгруппу jo, состоящую из подстановок 1, C 4). Ее порядок
равен Э; а потому индекс (©: &>) равен 8:2 = 4, т. е. как раз числу цифр 1, 2,
3, 4.
Пример 2. Пусть @ = 1-}-A 2) + C 4) + A 2)C4). Цифра 1 лежит в си-
системе интранзитивности 1, 2. Закрепляя цифру I, получим группу & = 1 + C 4).
Индекс @:& = 4:2 = 2, т. е. равен числу цифр в системе интраизитивности.
13. Свойства абелевых групп подстановок.
Теорема 12. Подстановки транзитивной абелевой группы
разлагаются на циклы равных порядков.
До каз а тел ьство. Допустим, что какая-нибудь транзитивная абе-
лева группа § содержит подстановку Sx, состоящую из циклов разные
порядков. Если /есть порядок наименьшего из ее циклов, то S = S{ бу-
будет содержать и цифры, остающиеся на месте, и настоящие циклы. До-
Докажем, что это невозможно. Пусть 5 переводит 1 в 2 и оставляет 3 на
месте. В силу транзитивности в группе ф найдется подстановка Т, пере-
переводящая 3 в 1. Условие ST= TS перестановочности подстановок S и Т
дает
/1 з ...\/з ...\_/з ...N/i з ...\

§ 2. Подгруппы 27
Но это равенство невозможно, так как его левая часть переводит 3
в 1, в то время как его правая часть переводит 3 в 2.
Теорема 13. Порядок транзитивной абелевой группы ,® под-
станово;: равен ее степени, т. е. числу перемещаемых ею цифр.
Доказательство. Из теоремы 11 следует, что порядок группы ©
равен ее степени л, умноженной на порядок ее наибольшей подгруппы ?),
оставляющей одну из цифр на месте. Но так как © — абелёва группа,
то в силу теоремы 12 подстановки группы § должны оставлять все
цифры на месте, т. е. ?> состоит только из тождественной подстановки,
и ее порядок равен единице. Отсюда следует, что порядок группы Ф ра-
равен л, ч. и т. д.
Упражнение 10. Пусть ® абелева группа подстановок, и ее системы ин-
транзитивности состоят из щ, от,, ,.. , от* цифр (от, -+ "*,-)- • • • + щ — п). Дока-
Доказать, что порядок группы © есть делитель числа «rm,... т^
14. Импримитивные группы. Группа подстановок называется им-
прймитивной, если все перемещаемые ею цифры можно разбить на
такие системы (называемые системами импримитивности), что
каждая подстановка группы переводит цифры каждой системы в цифры
какой-нибудь определенной системы. Другими словами, если две цифры
принадлежат одной и той же системе, то каждая подстановка группы
переводит их в цифры, принадлежащие тоже одной и той же системе.
На-практике учебно проверять импримитивность так: будем обозна-
обозначать все цифры одной (каждой) системы импримитивности одним и тем
же знаком. Если получаемые таким образом подстановки не содержат про-
противоречий, то обозначаемые одним знаком цифры действительно соста-
составляют систему импримитивности группы; в противном случае—не соста-
составляют.
Пример. Группа 8-го порядка [см. B7)].
1, A 2) C 4), A 3) B 4), A 4) B 3), A 2), C 4), A 3 2 4), A 4 2 8)
имеет системы 1, 2 и 3, 4 в качестве систем импримитивности. Чтобы убедиться
в этом, обозначим цифры 1, 2 знаком I, а цифры 3, 4 —знаком II. Тогда получим
следующие подстановки:
1, (I I) (II II), (I II) (I II), (I II) (I II), (II) (И) (Н). О) О) (II И). A » I И). 0 И I ")¦
Все эти подстановки сводятся к.двум следующим: 1, <1 II), и противоречия
-нигде нет.
Системы же 1, 3 и 2, 4 не могут'Служить системами импримитивности группы.
Действительно, обозначая 1, 3 через а, а 2, 4 через Ь, мы получим такие шод-
становки:
1. (ab) {ab), (aa)(bb), (ab)(ba), (ab)(a)(b), (a)(b)(ab), (aabb), (abba).
Первые четыре из этих подстановок к противоречию не приводят, а потому
для образуемой ими группы системы 1, 3 и B, 4) являются системами импримитив-
импримитивности. Последние же четыре из этих подстанс^к содержат противоречия. Напри-
Например подстановку (a a b Ь) можно переписать так: ( , , ). С одной стороны,
а переходит в в, с другой — а переходит в Ь.
№.-If eftp* м а 14. Всякая транзитивная группа, содержащая
транспозицию, яцд,яется,,4|ди, симметрической, или импримитишной
группой. ., .
Доказательство. Пусть группа содержит транспозицию A2).
Если она содержит все транспозиции, переводящие 1 i каждую и* пере-

28 1. Группы
мещаемых цифр 2, 3,..., п, то она является симметрической группой
из п цифр. В самом деле, в этом случае она содержит все транспози-
транспозиции. Действительно,
И = Aг)A*)Aг),
и группа, содержа каждую из транспозиций правой части равенства,
должна содержать и транспозицию (rs). Но в п. 6 мы видели, что всякую
подстановку можно представить в виде произведения транспозиций. Таким
образом группа содержит все^ подстановки симметрической группы.
Предположим теперь, что группа содержит не все подстановки типа
Aг), а только некоторые из них, напр. A 2), A 3),..., A от). Дока
жем, что система 1, 2,..., от является для нашей группы системой им-
импримитивности. В силу транзитивности группы в ней существуют под-
подстановки, переводящие каждую из цифр 1, 2,..., от в любую из цифр
ряда от + 1,..., я.\ Пусть Т будет подстановка, переводящая напри-
например 1 я цифру X, не принадлежащую* к ряду 1, 2,..., т.. Тогда ни
одна из цифр ряда 1, 2,..., от не может перейти в цифру этого же
ряда. Допустим противное, например, что 2 переходит в 3. Тогда в группе
будет содержаться подстановка
г-1 A2) г = A1;;;)ci 2) (J з;.*.')=(х 3>(ср- ниже> §3-3)>
а также подстановка A 3)( X3j(l 3) = A X), что противоречит предполо-
предположению. " . *
Пусть какая-нибудь подстановка Г «переводит 1, 2,...,т в Х1(
Ха,..., Хт. Рассуждая подобно предыдущему, мы можем убедиться, что
наша группа содержит все транспозиции (Х„ Xft) и не содержит транспо-
транспозиций, переводящих например Хх в цифры, не принадлежащие к системе
Ч> ^г> • • • > ^т' Поэтому мы можем взять эту систему в роли исходной
системы 1, 2, ..., от. Этим путем мы убедимся, что цифры \v Х2) ..., Хт
или не выводятся из системы, или переводятся целиком в цифры, не при-
принадлежащие к системе Х1( Xj,..., Xm. Но система Х1( Х2,..., Хт пере-
переводится различными подстановками нашей группы в те же системы, что
и система 1, 2;..., от. Действительно, если подстановка S переводит
X.J, X,,..., Хт в t».j, ps,..., \>.т, то подстановка TS переводит 1, 2, ... от
в Hi» V-i> - • •. V-m-' В силу этого ни одна из систем, получаемых из
1, 2, ..., от при помощи различных подстановок группы, не имеет общих
цифр с другими подобными системами. Вместе с тем в силу транзитив-
транзитивности группы все эти системы исчерпывают все цифры 1,2, ..., л. Это
доказывает импримитивность нашей группы. „
Упражнение 11. Кратно-транзитивные группы не могут быть импри-
митивны.
Упражнение 12. Условие импримитивности транзитивной группы ©
можно формулировать так: если ?> есть наибольшая подгруппа, оставляющая одну
из цифр на месте, то должна существовать подгруппа И группы ©, заключающая
в себе Jj}i как подгруппу (В. L. van der Waerden).
§ 3. Нормальные делители. Доаолнительяьге группы.
1. Преобразование элементов группы. Если элемент А некоторой
группы умножить справа на другой элемент В той же группы, а слева
на В"*1, то полученный элемент В~1АВ называется элементом, прев б-

§ 3. Нормальные делатели ., 29
разованным из А при помощи В. Если элемент В не лежит
в центре внимания, то часто называют также элемент В~1АВ сопря-
сопряженным с элементом А.
В новейшей литературе сопряженные элементы часто обозначают так:
В~ХАВ = Л в.
Преобразование не меняет элемента тогда и только тогда, если пре-
преобразовывающий и преобразуемый элементы перестановочны. Действи-
Действительно, из равенства В~1АВ = А следует ВА = АВ и обратно.
2. Теорема 15. Порядки сопряженных элементов равны..
Доказательство. Если А — B~lABt то ~АЪ = В~ЛАВ.В~ЛАВ =
= В^АЩ далее, Л8 = Я2. А — В~ХА^ВЗ~1АВ = В~1А*В,к т. д. Если
Ат = /, то Ат = В~1АтВ — B~*JB — J. Поэтому порядок А не -может
быть выше порядка А. Обратно, если Л = В~1АВ, то отсюда А =
= ВАВ~г, и таким образом если Ат — J, то и Ат — ВАтВ~* =BJB~1=J.
Следовательно .порядки обоих элемент в равны.
3. Преобразование подстановок. Если элементы группы являются
подстановками, и притом подстановка А ваписана в циклах, то не трудно,
не производя действий, написать преобразованную подстановку. Дли этого
только нужно произвести подстановку В над цифрами,
выражающими А в циклах. В самом деле, пусть
л=A,2,з,...,*х* + 1,...,/)... (« + 1,.:., п), в
Тогда
Пусть в А рядом с цифрой (' стоит k. Тогда В~х переводит а( в /,
А переводит i в k, J3 переводит k в ак. Таким образом ВГ1АВ перево-
переводит а{ в а.к, и мы имеем:
В-*АВ = (aja^ ... а4) (а,+1 а;) ... (аш+1, ..., ай).
Это еще раз подтверждает тот факт, что порядок подстановки' не
меняется от преобразования: действительно, согласно § 1.11 порядок под-
подстановки есть наименьшее кратное от порядков ее циклов, в то время
как от преобразования циклы остаются неизменными.
Упражнение 13. Пусть А — A 2 3), Д = A2). Проверить непосредствен-
непосредственным вычислением, что В~1АВ—B 1 3) = A 3 2).
Упражнение 14. Джазать, что элемент, обратный к произведению, равен
Произведению элементов, обратных к элементам-множителям и взятых в обрат-
обратном порядке:-
(АВГ1 = В^А-1, (.ABC)'1 = С^В-^А-1, и т. д..
4. Преобразование совокупностей и групп. Под преобразова-
преобразованием совокупности элементов группы мы будем понимать одно-

30 1. Группы
временное преобразование всех элементов совокупности при помощи одного
и того же элемента. Если 931 заданная совокупность, то преобразованную
при помощи элемента В совокупность мы будем обозначать так: B—1CSlB-
Пусть
'" <Я1 = А1 + Аг + ...±Ат; ¦
тогда
В~1<$1В = В'^Аф + ЁлАгВ. + ...Ц- В~хАтВ,
или в новейших обозначениях:
Теорема 16. Если совокупность 9К образует группу "(под-
"(подгруппу исходной группы), то и преобразованная совокупность
В~1<ЗЯВ образует группу.
.Доказателье-тво. Пусть А„ Aj, Аг будут элементы группы <ЭЯ,-
связанные соотношением AiAj = Al. Тогда (B~lAt В) (В~х AjB) =
s= B~lAiB. Таким обравом произведение элементов, входящих в ВТ1 СШ Вг
тоже входит в В~1<$кВ. Далее, единица преобразуется в единицу:
B~1JB=J. Наконец, обратный элемент преобразуется, в обратный:
Действительно, ВГХ ABB~1A~1B=B~1AA~lB=B~1B=J. (Ср. упраж-
упражнения 7 и 14).
Таким образом совокупность В~1(ЗКВ образует группу, ч. и т. д.
Группы SER и В~1<ЗЯВ имеют одинаковые порядки, так как два равных
элемента группы 9К преобразуются непременно в разные элементы: если
бы например имело место В~гАВ =В~*СВ, то, умножая слева нагВ, а
справа на В, мы получили бы А = С.
Группы, получаемые одна из другой посредством преобразования, но-
носят название сопряженных.
5. Если rpy ma jb есть делитель группы ®, и если притом все сопря-
сопряженные с io~ подгруппы, получаемые из J0 преобразованиями посредством
всевозможных элементов группы ®, совпадают, то $Ь называется нор-
нормальным делителем (или инвариантной подгруппой)
группы ®.
Пример. Рассмотрим симметрическую группу е4 4-й степени. Ее подгруппа
1, A 2)C 4), A 3)B 4), A 4) B 3),
носящая название „Vierergruppe", есть нормальный делитель группы ©4. Это
сразу вытекает из того, что группа б4с°ДеРжит только 3 двойных транспозиции
(см. упражнение 9), которые все входят в Vierergruppe. Поэтому всякое преобра-
преобразование, сохраняя цикленный тип подстановки, непременно переводит совокуп-
совокупность этих подстановок в себя. Точно так же Vierergruppe является нормальным
делителем других подгрупп группы б41 а именно знакопеременной группы 214 и
следующей подгруппы 8-го порядка [см. B7)]:
C.1) 1," A 2)(8 4), A 3)B 4), A 4) B 3), A 2), C 4), A3 2 4), A4 2 3).

§ 3. НФрмальнш делители 3t
Эта группа уже не является нормальным делителем симметрической группы.
Чтобы убедиться в этом, достаточно преобразовать ее подстановку A 2) при по-
помощи подстановки B 3) группы <54:
" B-8Н1 2)B 3) = A 3).
Подстановка A9) уже не входит в группу C.1).
Ниже мы убедимся, что всего существует три различных группы, сопряжен-
сопряженных с группой C.1) (включая сюда и самую группу C.1)).
На этих примерах мы убеждаемся, чго преобразования оставляют неизмен-
неизменными нею совокупность -элементов в нормальном делителе, но каждый
отдельный элемент может и не оставаться неизменным при преобразованиях.
Теорема 17. Зна^переменная группа есть нормальный дели-
делитель симметрической труппы.
Доказательство. Если' подстановка А входит в знакопеременную
группу, то она является четной подстановкой. Пусть В—произвольная
подстановка симметрической группы. Тогда подстановка В~гАВ в силу
теоремы 8 четная, т. е. входит в знакопеременную группу, ч. и т. д.
Теорема 18. Всякий делитедь абелевой группы есть нормаль-
нормальный делитель. ,
Доказательство. Это видно из того, что каждый элемент абе-
абелевой группы не изменяется от преобразовании при помощи другого эле-
элемента абелевой группы.
6. Пусть © — конечная группа, jo — ее подгруппа. Возникает вопрос,
сколько существует подгрупп, сопряженных с Jo?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим совокупность 9} таких
элементов N группы ®, что Л/~*?) N = SS. Нетрудно видеть, что сово-
совокупность 9} есть группа. Действительно, если N, и Nz входят в 9i,
то (Л/М ' % {NjNt) = Nt~l (ЛГГ1 ТО ^2 = ЛТ § ^2 = S, откуда сле-
следует, что и NxNt входит в 9i. Подобным же образом (см. упражнение 7)
покажем, что единица входит в 9? и что элемент, обратный к элементу
из ¦ 9i, входит в 9i. Группа 9i носит название нормализатора,
подгруппы ?\ Имеет место
Теорема 19. Пусть $> есть делитель группы ®. Число подгрупп,
сопряженных с ?), равно индексу нормализатора 9? подгруппы ф
относительно ©.
Доказательство. Разложим группу jS на сопряженные системы
по подгруппе 9t:
Тогда единственными группами, сопряженными .с ?), будут следующие:
C.2) & =, §, & = S, § 5„ & = St~% S,, ...,& = Sr'Sb Sk.
Действительно, любой элемент А группы @ может быть представлен
в форме N]Sit где N— элемент группы 9t Поэтому
Но в силу определения нормализатора имеет место N~l$N=S), от-
откуда А~%А = Sr%S{ = &t. . .

32 7. Группы
С другой стороны, все группы C.2) различны. В самом деле, допу-
сгим, что имеет место • .
Si SbSt~= Sj~
Это равенство можно переписать так:
Это равенство указывает на то, что элемент StS,~l входит в норма-
нормализатор 91: SiSj~1= N, откуда S( = NSj, что противоречит принципу
разложения групп на сопряженные системы.
Упражнение 16. Доказать, что существует всего три группы,сопряжен-
группы,сопряженные С ГРУППОЙ C:1).
7. Дополнительные группы. Пусть io есть нормальный делитель
группы ($ индекса *. ^Покажем"," что можно построить особую группу
порядка k, которую мы будем называть дополнительной груп-
группой, и которая будет играть весьма важную роль в дальнейшем. Разло-
Разложим © на сопряженные системы по подгруппе jo
Будем считать сопряженные системы S)At (/== 1, 2,... k) элементами
новой группы, для которых мы установим способ композиции, вытекаю-
вытекающий нз правила композиции совокупностей. Рассмотрим произведение
S)At'SSAjлвух произвольно взятых сопряженных систем. В силу нормаль-
нормальности подгруппы $ имеет место А^$А( = <р, откуда Дф = $At, вслед-
вследствие чего наше произведение преобразовывается так:
элемент АА входит в ^"ю сопряженную систему разложе-
разложения © по § и в связи с этим выражается так: АА = НА» где Н—
элемент группы §. Тогда мы получаем:
Это равенство вполне определяет правило умножения сопряженных-
систем SqA(. Единичным элементом являете^ подгруппа §. Обратный эле-
элемент также нетрудно определить. Таким образом сопряженные системы
%)А{ образуют группу порядка k, которую и называют дополнитель-
дополнительной группой и обозначают так: ©/?).
8. Пусть JOx и jo8 будут делители конечной группы ©. Совокупность
элементов, входящих одновременно в^ив &2> очевидно образует группу,
которую принято называть пересечением или общим наиболь-
наибольшим делителем групп §х и ^а. Аналогично определяется пересечение
большего числа групп.
Нетрудно доказать следующие теоремы:
Теорема 20. ЕслиАх и ioa — нормальные делители группы ®,
то и их пересечение $ есть нормальный лелитель группы ©.
Доказательство. Достаточно доказать, что произвольный эле-
элемент К группы ft, будучи преобразован при помощи произвольного эле-

^ $ 4. Изоморфизм и гомоморфизм 33
мента А группы ©, входит в й. Согласно определению группы #, эле-
элемент К входит и в фг и в ?га- ^ СИЛУ нормальности последних групп эле-
элемент А~*КА тоже входит в S> и в фа, а потому и в $.
Нетрудно распространить эту теорему на пересечение большего числа
групп.
9. Теорема 21. Пусть ф — произвольный делитель группы б>.
Тогда пересечение Ш всех групп, сопряженных с Jp, есть нормаль-
нормальный делитель группы W.
Доказательство. Пусть фх = ф, ф2,..,, ф^ будет совокупность
всех групп, сопряженных с ф. Тогда группы
C.3) A~lS?1A, Л-1$И.---.Л~1$И
представляют собой ту же совокупность, расположенную может быть
в другом порядке. Для доказательства достаточно убедиться, что все
группы C.3) различны. Если бы имело место например А~1$?>(А =
=ш А~1$Л, то, умножая слева на А н справа на А, мы получили бы
& = &г
Пусть К — элемент, входящий в Й. Это означает, что Л'одновре-
Л'одновременно входит во все группы ф^ ф2. • • • > ?>*• Тогда элемент. А~1К А бу-
будет одновременно входить во все группы C.3), т. е. опять-таки в Щ.
jg>a,..., fgk> а потому ив I, Таким образом любое преобразование А
группы © не выводит элементов группы п из й, т. е. Й есть нормаль-
нормальный делитель группы ®, ч. и т. д.
§ 4. Изоморфизм и гомоморфизм. Представление групп подстановками.
1. Изоморфизм. Во многих вопросах, связанных с теорией групп,
центр тяжести лежит не в природе элементов группы, а в структуре
группы, т. е. характере взаимоотношений между ее элементами. В этих
случаях мы не будем считать двух групп существенно различными, если
между элементами А, В, С,... одной из них и элементами а, Ь, с,...
другой можно установить такое взаимно однозначное соответствие (кото-
(которое мы будем обозначать так: А*—*а, В~-~Ь,и т. д.), что из Л-— а,
В-—>Ь следует также АВ~-~аЬ. В этом случае мы будем говорить, что
между обеими группами имеет место изоморфизм, а самые группы
называть изоморфными.
Очевидно, что изоморфные группы имеют равные порядки. Кроме
того, всякое соотношение (типа А • В • С... = J) между элементами группы
сохраняется при переходе к изоморфной 'группе. В частности, если
группа абелева (т. е. если ее элементы удовлетворяют соотношениям
АВ = ВА), то изоморфные с ней группы тоже абелевы.
2. Представление конечных групп подстановками. Убедимся, что
группы подстановок, которые мы рассматривали, как пример конечных
групп, являются в смысле своей структуры конечными группами самого
общего типа. Именно, докажем следующую теорему:
Теорема 22, Для каждой конечной группы можно найти изо-
изоморфную с ней группу подстановок. . ,.
3

34 1. Группы
Доказательство. 1°. Наиболее простым способом построения
такой группы является следующий. Пусть
заданная конечная группа. Если умножить каждый из этих элементов
справа на какой-нибудь из них, например на А& то мы опять получим
все элементы группы @, но написанные в другом порядке. Пусть
AjA{ = А (/ = 1, 2,.... я). Тогда
& A + AA A
Будем сопоставлять с элементом А{ ту подстановку, которая происхо-
происходит с элементами группы © при их умножении на А(:
/1 2 3 ... Л \ /•• 1 г. о \
\ ) (i = 1, 2, 3,.. . ,я).
\«1 «1 «8 ••¦««/
Это сопоставление носит характер изоморфизма. Действительно, если
элементу А( соответствует подстановка, переводящая цифру а в fi, a
элементу А,— подстановка, переводящая цифру ?! в ~(, то это означает,
что АаА( = А» и AqAj = А^, откуда Аа • AtAj = А . Но это равенство ука-
указывает на то, что элементу A.Aj соответствует подстановка, переводя-N
щая цифру а в f. Заставляя цифру а пробежать все значения 1, 2,
3,..., п, мы убедимся, что элементу A4Af соответствует подстановка,
равная произведению подстановок, соответствующих элементам At и А^.
Таким образом изоморфизм нашего сопоставления установлен.
Остается доказать, что это сопоставление взаимно-однозначно. До-
Допустим, что элементам Л, и А- соответствует одна и та же подстановка.
Тогда элементу AtAj будет соответствовать тождественная подстановка.
Это означает, что всякий элемент Аа группы ©, будучи умножен на
А{А;~Л, должен давать опять Ал. Таким образом А^Г1 является еди-
единицей группы ©. Но каждая группа содержит только одну единицу
(теорема 1) У. Таким образом AiA~1 ==У, откуда A{ = Ajt т. е. наше
сопоставление взаимно-однозначно.
2°. Опишем теперь более общий способ представления группы © при
помощи группы подстановок. Пусть ф — подгруппа группы @, которую
мы пока не будем подчинять никаким ограничениям. Разложим © по !р:
D.1) © = § + |)/5а + ... + фЛя.
Пусть мы хотим представить в виде подстановки элемент А группы %.
Каждое произведение AtA (/=1, 2,..., k) входит в одну из сопряжен-
сопряженных систем D.1), т. е. может быть представленов в виде Н • Ал., где Н—
элемент группы §. Сопоставим с А подстановку
'1 2 3...&
Сопоставляя подобным образом подстановки со всеми элементами
группы ©, мы убедимся, рассуждая как в 1°, что это сопоставление
имеет характер изоморфизма.

$ 4. Изоморфизм и гомоморфизм 35
Здесь мы еще должны исследовать, в каких случаях это сопоставле-
сопоставление однозначно. Пусть элементам At и Aj группы @ соответствует одна
и та же подстановка. Тогда элементу B = A(Aj~l будет соответствовать
единичная подстановка. Это означает, что всякая сопряженная система
D.1), будучи умножена на В, остается неизменной:
$Аа-В = $Ая (о-*1, 2, ..;, к),
или
АаВ = НАх (а=1, 2, ... , к),
где Н—элемент группы §. Отсюда
В = АГХИА^ (а= 1, 2, ...,*).
Эти соотношения показывают, что В должен входить во все сопря-
сопряженные с ?) группы
<Р Af[~ feAty A~ QA^ А %)Aj
Отсюда следует:
Чтобы наше представление было взаимно-однозначным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ф давала в пересечении со своими со-
сопряженными группами единицу; или иначе: чтобы $р не имела от-
отличных от единицы подгрупп, являющихся нормальными делителями
группы @.
3. Гомоморфизм. Если это условие не соблюдается, г. е. если
группы, сопряженные с f), имеют в пересечении отличную от единич-
единичной группу Й, то элементам группы $ будет, как мы только что убе-
убедились, соответствовать тождественная подстановка. Вообще двум элемен-
элементам группы & будет соответствовать одна и та же подстановка тогда и
только тогда, если они входят в одну и ту же сопряженную систему
разложения $ по й- В этом случае группа подстановок уже не будет
изоморфна- с группой ®. Соответствие такого рода носит название
гомоморфизма. Рассмотрим явление гомоморфизма в самом общем
виде.
4. Гомоморфизм (по другой терминологии кратный изомор-
изоморфизм, противоставляемый простому изоморфизму, который мы
называем просто изоморфизмом) отличается от изоморфизма тем, что
в нем требование взаимной однозначности не выполняется. При гомо-
гомоморфизме каждому элементу А группы @ соответствует один элемент а
группы ©, но одному элементу а группы © может соответствовать
несколько элементов группы ©. При этом попрежнему, если А -*¦ а,
В -> Ь, то АВ -> аЪ.
Все элементы группы ($, которым в © соответствует единица,
очевидно образуют группу. Обозначим ее через Й. $ есть нормаль-
нормальный делитель группы @. В самом деле, если элемент К входит в .ft,
то К -* 1. Пусть А произвольный элемент группы @, и пусть А -?¦ а.
Тогда Л К.А ->а~1'1«а = 1, откуда мы заключаем, что А~ХКА
тоже входит в ®.
3*

36 /. Группы
Нетрудно видеть, что одному элементу а группы © соответствует
в ® целая сопряженная система $А. Поэтому порядок группы @ равен
индексу 31: Й. Вспоминая -определение дополнительной группы (§ 3.7),
мы видим, что группа @ изоморфна с дополнительной группой ©/$
5. Пример. Рассмотрим симметричную группу б, 3-ей степени:
где
Л4 = A2 3), А, = A3 2), А« = A2), Д6 = B 3), А,=
Тогда
А, + А, + J + At + А3,
Таким образом группа б3 оказывается изоморфной со следующей группой
подстановок 6-ой степени:
1 — 1, A 2 з) — (УД.Д.) И«АА). A
A 2) —(/А^КА.А.КЛА,), B 3)
A 3)
Здесь символы Jv А%, Аг, At, Af, А, имеют значение просто значков и могут
ыть заменены любыми другими значками. Если мы обратимся к способу, опи-
санному в 2*, и возьмем в качестве ft группу 1 + A 2), то опять получим симме-
симметрическую группу подстановок 3-ей степени. Если же в качестве 5Ь возьмем
группу 1 + A 2 3) + A 3 2), которая является нормальным делителем группы б„
то получим группу подстановок 2-ой степени. Нечетные подстановки группы б,
будут соответствовать транспозиции, а четные — единичной подстановке этой
группы.
6. Упражнение 16. Представить симметрическую группу б44-ойстепени,
беря в качестве Й следующую группу 8-го порядка:
2 3 4) + A 4 3 2) + A 2) C 4) + A 3) B 4) + A 4) B 3) + A 3) + B 4).
Показать, что полученное представление даст симметрическую группу 3-ей
степени. Найти пересечение R всех сопряженных с ft групп.
Упражнение 17. Доказать, что описанный в 2° способ дает представление
группы^в виде транзитивной группы подстановок. Обратно, если дано какое-ни-
какое-нибудь представление группы в виде транзитивной группы подстанпвок, то оно мо-
может быть получено описанным в 2" способом, если соответственным образом по-
подобрать группу ф.
Упражнение 18. Пользуясь полученным только-что результатом, доказать
следующее обобщение теоремы 13: если все делители группы нормальны, то она
может быть представлена, как транзитивная группа подстановок, только в том
случае, если ее порядок равен ее степени.
Примечание. Группы, все делители которых нормальны, носят название
гамяльтоновых групп, так как первым примером не-абелевых групп та-
такого рода послужила так называемая группа кватернионов, введенных в
математику Гамильтоном (Hamilton). Эта группа 8-го порядка, образованная эле-
элементами А и В 4-го порядка, между которыми имеют место соотношения
В~1АВ — А, А2 =Ж
Дедекинд (R. Dedekind) доказал, что гамильтонова группа самого общего типа
есть прямое произведение абелевой группы и группы кватернионов, причем по-
порядки элементов абелевоЯ группы не могут делиться на 4.

§ 5. Композиционный ряд J7
§ 5. Максимальный нормальный делитель. Композиционный ряд.
Теорема Жордана-Гёльдера. Простые группы. Теорема Бертрана.
1. Будем называть нормальный делитель Jjp группы © максималь-
максимальным, если не существует нормального делителя, который заключал бы в
себе группу ф, как делитель. Будем называть группу @ простой, если
она не содержит нормальных делителей, кроме самой себя и единичной
группы. Имеет место
Теорема 23. Нормальный делитель ф группы © является
максимальным тогда и только тогда, если дополнительная групп»
®jS> простая.
Доказательство. 1°. Пусть ф не является максимальным нор-
нормальным делителем группы ©. Именно, пусть существует нормальный де-
делитель фа группы ©, содержащий ф как подгруппу, и пусть индексы
(&'-$?i)— k и (ф,: ф) = /больше единицы. Элементами группы;©/ib явля-
являются сопряженные системы фД<> где А{ — элементы группы ©. Те из
них, которым соответствуют элементы Л„ входящие в группу ф, (их
всего будет /), образуют группу SbJSb порядка / ииндекса к относительно
группы ©/•?>. Группа SdjS) является нормальным делителем группы ©/.?>.
Действительно, пусть элемент С входит в $р. Тогда (фЛ) (фС) (IqA) =
= А-^-^С^А = А~\СА = §А~1СА (в"силу Щ = ф и С§ = фС).
Но в силу того, что !р! является нормальным делителем группы ©, эле-
элемент А~гСА входит в S>v а потому элемент $А~гСА группы ®/S> вхо-
входит BJbi/ib, ч. и т. д.
2°. Пусть группа ®[$) содержит нормальный делитель й. Это озна-
означает, что некоторые из сопряженных систем фД (которые мы будем
обозначать через ф/Q при композиции образуют группу, и что эти эле-
элементы, будучи преобразованы при помощи произвольных элементов S>At,
остаются внутри группы $. Таким образом:
или
2) (ЬАГЪКЛ&А) = фА-г, или
Рассмотрим совокупность элементов вида BtKj, где Bt пробегают
группу ifr и Kj — элементы, характеризующие сопряженные системы,
составляющие группу Й. Равенство 1) говорит, что эта совокупность
образует группу. Равенство 2) говорит, что эта группа является нор-
нормальным делителем группы ©. Из того, что $ отлично от единичной
группы и от группы ®)$>, следует, что построенная нами группа отлична
от © и от ф (и содержит ф, как делитель). Таким образом ?» не является,
максимальным нормальным делителем группы @, ч. и т. д.
2. Теорема 24. Если 6 и фа два взаимно-простые (т.е.
не имеющие, кроме единицы, общих элементов) нормальные дели-
делителя группы @, то каждый элемент В группы ф перестановочен с
каждым элементом С группы ftv

3? /. Группы
Доказательство. Элемент К=ВСВ~1С~1 (называемый к о м м у-
т а т о р о м элементов В и С) можно представить так: (ВСВ~1)С~ . В
силу нормальности подгруппы ^ элемент ВСВГ1, а потому и К входит
в Jpr С другой стороны, /С = В(СВ"С~1) и точно потому же входит
в $). Являясь общим элементом групп § и fyi, он в силу условия дол-
должен быть равен единице: ВСВ^СГ1 = J, откуда ВС — СВ, ч. и т. д.
3. Прямые произведения. Если $ и ^t — два делителя группы (Sj,
взаимно-простые и перестановочные, то совокупность элементов В-С,
где В пробегает элементы группы ф и С — группы фа, составляет
группу. Действительно, (ВХС^ (В2Са) = (Ва58) {СХС^. Порядок этой груп-
группы (обозначим ее через Щ равен произведению порядков групп ?) и фа.
Действительно, число элементов В-С равно этому произведению. Все
они различны, так как из В1С1==ВаСа вытекало бы ВхВ^—С^С*, этот
же элемент, принадлежа к ф и к ф1( должен быть равен единице, откуда
Вх == В2, Са = Са. • ¦ '
Группа Я называется прямым произведением групп § и iQi и
обозначается так: фх^. Это название происходит от того, что Я, со-
содержа группы § и §! в качестве нормальных делителей, обладает тем
свойством, что в разложении
й =
не только фС, • $Cj = $>С„ но также С{Су — Сх. Последнее вытекает из
того, что из равенства Cfi, = ВСг (где В — элемент группы ?)) мы
имеем В = CfijC,-1, т. е. В входит и в ф и в S>1} откуда В = J. Таким
образом композиция сопряженных систем %)Сг характеризуется компози-
композицией элементов С,- группы fQu в силу чего дополнительная группа $$/$)
изоморфна с фа: RjSb^S^.
Аналогично имеем: StlS>i ^ §.
4. Т е о р е м а 25. Если ^ и ^г — два максимальных нор-
нормальных делителя группы ©, а © — их пересечение, то © есть
максимальный нормальный делитель групп S>t и ф2 и притом
Доказательство. Ф в силу теоремы 20 есть нормальный делитель
группы ©. Группа -щ содержит группы J и J в качестве нормаль-
нормальный делителей, которые взаимно-просты, так как иначе <Э не была бы
пересечением групп фа и ф2- % содержит прямое произведение -^ X -щ.
Оно является нормальным делителем группы -^ и должно совпасть с ~~->
так как иначе ни -=-, ни -у- не могли бы быть простыми группами,

§ 5. Композиционный ряд 39
каковыми они являются в силу максимальности ^х и -VJ и теоремы 23.
Поэтому в силу п. 3 имеет место:
© является максимальным нормальным делителем групп $), и 62 по-
тому, что в силу только:что доказанных избморфизмов группы g:1 и ¦—
простые, и в силу теоремы 23.
5. Композиционные ряды. Теорема 26 (Жордана-Гёльдера).
Найдем в группе © какой-нибудь максимальный нормальный дели-
делитель ©х; в ©1 — опять его максимальный нормальный делитель
@2! в ©2 — опять, и т. д., пока не дойдем до единичной группы.
Таким путем мы получим так называемый композиционный
ряд
Й ® (V
последовательных нормальных делителей, который должен оканчи-
оканчиваться единичной группой, так как порядки членов композицион-
композиционного ряда последовательно убывают.
Для многих групп можно составить несколько различных ком-
композиционных рядов. Однако во всех этих рядах, составленных для
одной и той же группы ©, ряды дополнительных групп
E.1) ©/©!, ©,/©, ..., ®mJ®m_v ©„_.,
могут отличаться друг от друга (в смысле изоморфизма) только
порядком.
Доказательство. Будем доказывать эту теорему способом пол-
полной индукции. Предположим, что теорема доказана для тех групп, по-
порядки которых ниже, чем порядок группы ©. Рассмотрим два каких-ни-
каких-нибудь композиционных ряда группы ($:
0) ®, ®х, ©2, ..-, ©т_2, ©,_„ А
(И) ©, ©!', ©,', . . ., ®'_, ©'„_!, J.
Пусть © будет пересечение групп ®г и ©j' и пусть
©, Фх, ..., ©,_8, У
будет какой-нибудь композиционный ряд группы ©. Тогда в силу тео-
теоремы 25 © есть'максимальный нормальный делитель групп ©х и Й/, а
потому ряды . ' /
(Ш) ©,©!,©,©! ©,_,,./,
(IV) ®, ®х', Ф, Фх, . . , ©8_3, J
являются также композиционными рядами группы ©.
Для рядов (III) и (IV) ряд. групп E.1) отличается лишь порядком,
так как в силу теоремы 25 g- 55 75 и ©"> ~ ар а в остальном для них

/. Группы
ряды E.1) одинаковы. Точно так же ряды (I) и (III), так как различие
в этих рядах начинается после группы &v а для группы (&v порядок
которой ниже, чем порядок (S теорема справедлива в силу предполо-
предположения. То же „самое для рядов (II) и (IV). Переходя последовательно от
ряда (I) к ряду (II) в таком порядке:
мы убедимся, что для них теорема справедлива.
Следствие. Ряды индексов
E.2) (©: ©а), (<8а: ©2), ..., (®т_2: ®т_г), (©„_,: J)
могут отличаться для различных композиционных рядов одной и
той же группы лишь порядком. '
6. Простые и разрешимые группы. Отметим особо два наиболее
важных частных случая: 1) Композиционный ряд содержит только группу
© и единичную группу: ©, J. Этот случай имеет место, когда группа (§
простая.
2) Ряд индексов F.2) состоит исключительно из простых чисел.
Это имеет место тогда и только тогда, если ряд E.1) дополнительных
групп состоит из циклических групп простого порядка. Что
всякая группа простого порядка есть циклическая группа, убедиться не-
нетрудно. В самом деле, возьмем в группе простого порядка отличный от
единицы элемент. Его степени образуют циклическую группу, порядок
которой есть делитель порядка исходной группы. Но так как порядок
последней есть простое число, то оба порядка и вместе с тем обе группы
должны совпадать.
В этом случае группы носят название разрешимых. Ниже мы уви-
увидим причину- этого названия. <¦¦
7. Простота знакопеременных групп. Теорема 27. При
л> 5 знакопеременные группы просты.
Доказательство. Допустим, что знакопеременная группа s2L(n > 5)
содержит отличный от единичной группы нормальный делитель 93, и до-
докажем, что 33 совпадает с Яп. Если 33 содержит трехчленный циклг то
теорема доказана. В самом деле, в этом случае она содержит все трех-
трехчленные циклы, так как, содержа например A 2 3), она содержит также
А~1 A 2 3) А, где А — произвольный элемент группы s#n. Но группа 51П
п—2 раза транзитивна (§ 2.11), так что в ней в силу л>5 найдется
подстановка А, переводящая 1 в alf 2 в а2 и 3 в а3, где цифры а1; а2, а,
произвольно взяты из ряда 1,2, . .., п. Поэтому А~\\ 2 Ъ)А = {а^^)-
С другой стороны, любую подстановку из Ш„ можно представить в виде
произведения трехчленных циклов (§ 2, теорема 10). Поэтому 39 содер-
содержит в этом случае все подстановки группы Щя.
Выберем в группе *В подстановку В, перемещающую возможно меньшее
количество цифр. Тогда:
1°. В должна состоять из циклов равных порядков (не считая одно-
одночленных). Действительно, если бы В содержала циклы порядков / и /„
где / не делится иа fv то подстановка Вг, будучи отлична от единицы,
перемещала бы меньшее количество цифр.

' § 5. Композиционный ряд 47
2°. Пусть В состоит из циклов порядков s > 3:
В = A 2 3 4...s)(s+l, .... 2s)(...)...
Рассмотрим Bj= A~*BAf где А = A 2 3);
Вд = B 3 1 4...s)(s+l, ...', 2s)...,
а также BBj:
Но Вх и, следовательно, BB{~* входит в 33. Поэтому 33, содержа
трехчленный цикл, совпадает с 31„.
3°. В состоит из трехчленных циклов. Пусть например В=A 2 3)
D5 6; ... Возьмем А = A 2 4). Тогда Вх ^А^ВА = B 4 3) A 5 6)... )
ВВ^~1 =A 3 62 4). Этот случай приводится к случаю 2°.
4°. В состоит из двучленных циклов. Пусть например В =± A 2) C 4) ...
Возьмем А = A 2 5). 53 должна содержать подстановку К = ABA ~ В~1 =
— А (В~г АВ). Но B~1/4iS=s B1s), где s цифра, в которую В пере-
переводит 5. Рассмотрим два случая:
a) s = 5 (другими словами, существует цифра, которую В оставляет
на месте). Тогда /f = (l 5 2), т. е. 33 содержит трехчленный цикл.
b) эф 5. К — Bs) B 5), и случай в силу п5=5 приводится к преды-
предыдущему.
Таким образом доказано, что во всех случаях 5Й = 91И) откуда сле-
следует, что группа 31П простая.
8. Теорема 28. Симметрическая группа ©п при л>5 не со-
содержит, кроме знакопеременной группы, нормальных делителей.
Доказательство. ©„ в силу теоремы 27 имеет ряд индексов 2,
-?- и потому может иметь еще нормальный делитель только порядка 2.
а
Если предположить, что таковой существует и состоит из единицы и
подстановки В, которая должна иметь вид A 2) C 4)..., то подста-
подстановка В должна переводиться в самоё себя, если ее подвер'гнуть преобра-
преобразованию при помощи любой подстановки группы ©п. Но это невозможно,
так как, взяв А = A 2 3), мы получим: А ~г ВА = B 3) A 4)...
9. Теорема 29 (Бертрана). Симметрическая группа 6„
при л>5 не имеет подгрупп, индекс которых лежал бы между 2
и п. Всякая подгруппа индекса п должна при п ф 6 совпадать
с симметрической группой от и — 1 цифр, оставляющих одну из
цифр 1, 2,..., п на месте.
Доказательство. Ограничимся доказательством, чтб всякая под-
подгруппа индекса п изоморфна с Sn_1#
1°. Допустим, что 6„ содержит подгруппу 33 индекса к, где 2 < А < п.
Все сопряженные с 33 подгруппы имеют в силу теорем 21 и 28 еди-
единичную группу в качества пересечения. Поэтому можно, применяя изло-
изложенный в теореме 22, 2° метод построения, найти изоморфную с ©п
группу подстановок А-й степени. Порядок такой группы не может
однако превышать k\, что противоречит тому, что порядок ©п есть «!
и что k<^n.

?2 . /. Группы
2°. Пусть 23 — подгруппа индекса п. Тогда, применяя только-что
упомянутое построение, мы получим представление бп в виде симметри-
симметрической группы л-ой степени. В этом представлении 33 изоморфна с группой
подстановок, оставляющих на месте ту цифру, которая должна стоять
на месте 23. Теорема доказана. '
Упражнение 19. Построить всевозможные композиционные .ряды для
группы <3t. m
§ 6. Абелевы группы. Их разложение на прямые произведения
циклических групп.
1. Группа, элементы которой перестановочны друг с другом, носит
название абелевой. Мы уже на примере циклических групп позна-
познакомились с абелевыми группами. Оказывается, что конечные' абелевы
группы самого общего типа имеют весьма простую структуру. Именно,
имеет место
Теорема 30. Всякая абелева группа конечного порядка есть
прямое произведение циклических групп.
Доказательство. 1°. Докажем, что абелева группа есть прямое
произведение групп, у которых порядки элементов суть ?-п.'пени одного
и того же (внутри каждой группы-множителя) простого числа. Пусть
в числа, выражающие порядки отдельных элементов абелевой группы 21,
входят простые множители plt p2,..., рп. Обозначим через 1>Ик сово-
совокупность элементов, порядки которых суть степени рн {k—1, 2,..., л).
Из перестановочности элементов вытекает ((АВ)к — /4*В*), что 41 к есть
группа н что различные %к взаимно просты. С другой стороны, каждый
элемент группы 91 может быть представлен, как произведение элементов
групп 9lj, 3t3,..., $и. В самом деле, пусть А есть элемент группы 31
порядка т=р1ш''ргш°:.. рпш». Решим неопределенное уравнение
(это решение возможно в целых числах в силу того, что числа
—^-, —;т~,.... —ш~ не имеют общих делителей) и представим А
Л ' Рг Рп п
так:
А =
Вместе с тем порядок каждого элемента А к равен ркш^ (ft =
1,2, ...., и). Отсюда следует
91 = «! X «а X ... X «„.
2е. Пусть порядки всех элементов группы St являются степенями
некоторого простого числа р.

б. Абелевы группы 43
a) Возьмем элемент А, порядок которого рш есть наибольший из
порядков всех элементов группы ЭД. Пусть 3 есть образованная элемен-
элементом А циклическая группа. Разложим % иа сопряженные системы по 3:
FЛ) ' 21 = 3 + ЗЛ8 + ... + ЗА-
В выборе элементов А2, А3, ..., А, воспользуемся предоставленной
нам гвободой (которая заключается в праве заменять каждый элемент Д.
элементом Дг-Д, где г произвольное целое число) так, чтобы оии
вместе с J образовали группу ms. Будем рассматривать всевозможные
соотношения между элементами
A, Az, Aj> • • •» К (k = 3, 4, • • •. s)-
В один из них А войдет, в другие нет.
b) Пусть ни в одно из возможных соотношений между А, А^, ¦.. ,Ак_1
элемент А не входит, в то время как между А, Л2, ¦•-, \-v ^*
будет существовать соотношение
c) Выберем из всех возможных соотношений типа F.2) такое, в ко-
котором число ск было бы возможно меньшим.
d) ck должно быть степенью р или единицей. В самом деле, пусть
порядки элементов А{ будут рш* (/ = 2, 3,..., s). Если бы ск содержало
простой множитель» q, отличный от р, то, решая неопределенное
уравнение
цк — р°ъ • у= 1
и возводя F.2) в х-ю степень, мы бы понизили степень при Ак, что
в силу с) невозможно.
e) с делится иа ск. Действительно, возведем F.2) в степень ~—
(ведь в силу АкР * = J число ск можно сделать меньшим рш*, а в силу d)
рш* делится на ск). Тогда в силу Л/"*=У элемент Ак выпадет из
соотношения F.2), а потому в силу Ь) должен выпасть и Л, откуда
следует, что показатель —— делится иа р<°. Но так как в силу а)
с*
ршк^,рш, то — = и есть целое число, ч. и т. д.
Перепишем соотношение F.2) так:
и возьмем в роли Ак элемент АкАи, который принадлежит к той же
сопряженной системе 3 Ак. Докажем, что после дакой замены А не
войдет ии в одно из соотношений между А, Аг, А3,..., Ак. Пусть

44 /. Группы
соотношение, в котором 0<а</>ш. Разделим аА на ск с остатком4.
r, где
Тогда /
Л -/г«= а? -'*. А3*> - •*... 4fc:Y "с -1в • а\ . а°= j.
В это соотношение А не войдет. Действительно, если а > 0 и при
этом г>0, то это противоречит ,с). Если же а>0, г=0, то это
противоречит Ь).
Придавая значку k последовательно значения 3, 4,..., s, мы в конце
концов получим систему элементов J, Ait Аа,..., А„ в соотношения
между которыми А не войдет. Они составляют группу, так как в силу
разложения F.1) каждое произведение AtAj должно быть равно элементу
типа АкА\ а в^силу только-что доказанного в соотношение AtAj « А^А"
не может войти А, так что будет иметь место просто AtAj = Av Эта
группа (назовем ее 1В) опять-таки в силу доказанного взаимно-проста
с 3, а в силу разложения F.1) имеет место
% = 3 X S.
Если группа 1В опять не циклическая, то мы точно так же разло-
разложим ее на прямое произведение, и порядок групп-множителей еще
понизится. В конце концов вся группа разложится на прямое произве-
произведение циклических групп, ч. и т. д.
2. Теорема 31. Все абелевы группы разрешимы.
Доказательство. 1°. Докажем теорему для циклической группы.
Пусть
3 = J + А + ...+Ап-Х
будет циклическая группа порядка п, и пусть р будет один из простых
множителей числа и, причем пусть n = p-q. Тогда подгруппа
является нормальным делителем группы 3 простого индекса р. Группа 3i
тоже циклическая и поэтому опять имеет нормальный делитель простого
индекса. Таким образом композиционный ряд группы 3 состоит из групп,
порядки которых последовательно уменьшаются в простое число раз.
Стало быть, группа 3 разрешима.
2°. Пусть 51 произвольная конечная абелева группа. Тогда в силу
теоремы 30 имеет место разложение
Беря например вместо 91г ее подгруппу простого индекса, мы в ка-
качестве произведения получим нормальный делитель группы простого-
индекса. Продолжая процесс далее, мы убедимся, что группа Щ
разрешима.
3. Пример. Рассмотрим все классы сравнений по какому-нибудь модулю w
эаимно-простые с п. Эти классы образуют абелеву группу относительно умно-

7. Разрешимые группы 45
жения. Если модуль п допускает первообразные корни (что имеет место
в тех случаях, если я есть или степень простого числа, или удвоенная степень
простого числа, или число 4), то мы получим циклическую группу; в противном
случае группа будет аОелевой, но не циклической.
\*. Пусть л = 27 = 3*. Взаимно простые с 27 вычеты по модулю 27 таковы:
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26. Число 2 есть перво-
первообразный корень. Действительно, возводя 2 в последовательные степени, мы
получим все классы:
2, 2's4, 2» = 8, 24==16, 2» = 5, 2» =10, 27 = 20* 28= 13, 2» ==26, 2">=25,
2«~23, 2" ==19, 2»= 11. 2"=22, 2™==П, 2"*= 7, 21'==14, 2«>5=1 (mod 27).
Группа вычетов по модулю 27 есть следовательно циклическая группа по-
порядка 18. Все ее элементы могут быть представлены, как степени 2.
2*. л =¦ 50 = 2-5*. 3 есть первообразный корень. Возводя 3 в последова-
последовательные степени, будем иметь следующие вычеты:
3, 9, 27, 31, 43, 29, 37, 11, 33, 49, 47, 41, 23, 19, 7, 21, 13, 39, 17,
Группа вычетов есть циклическая группа порядка 20.
3". п = 60 = 2г.3.5. Группа вычетов может быть представлена как прямое
произведение одной группы порядка 4 и двух групп порядка 2:
* <a = (T+49-f-43+T) A1+
(чертой сверху мы отмечаем, что здесь числа должны рассматриваться, как эле-
элементы группы, так что знак -f- не дает нам nprftea их складывать).
4°. п = 32 = 25, Число5является так называемым полупервообразным
корнем, так как его степени дают половину всех вычетов. Вот эти вычеты:
5, 25, 29, 17, 21, 9, 13, 1.
Меняя при них знак и прибавляя по 32 (чтобы сделать вычеты положи-
положительными), получим:
27, 7, 3, 15, И, 23, 19, 31.
Таким образом группа вычетов есть прямое ' произведение циклической
группы порядка 8 и циклической группы порядка 2:
51 = (Т-НГ+ 25 ¦+¦ 29 + 17 + 21+Т+ 13) (Т+ ^1).
Упражнение 20. Существует два типа абелевых групп порядка р*. где
р простое число: циклические группы и прямые произведения циклических
групп порядка р. Доказать, что группы первого типа содержат только одну под-
подгруппу порядка р, в то время как у группы второго типа их всего р -f-1.
Обобщить этот результат на группы более общего типа.
§ 7i Разрешимые группы.
1. Производная группа. Введем в рассмотрение подгруппу, назы-
называемую производной группой или коммутантом заданной
группы. Так называется группа, получаемая от композиции комму-
коммутаторов, т. е. элементов вида АВА~1В~1, где А и В —элементы
заданной группы. Относительно производных групп имеют место сле-
следующие теоремы:
Теорема 32. Производная группа есть нормальный делитель
заданной. Более того: производная группа есть нормальный дели-
делитель всякой группы, содержащей заданную, как нормальный дели-
делитель. х
1 Последнее свойство определяет собой так называемую характеристи-
ческуюподгруппу.

46_ /. Группы
Доказательство. Пусть § группа, являющаяся нормальным
делителем группы ®, и пусть $—производная группа группы ?>. До-
Докажем, что п есть нормальный делитель группы ®. Для этого достаточно
показать, что если А есть произвольный элемент группы ®, а Нг, Нг—
произвольные элементы группы ?>> то элемент, полученный из К =
= H1HJtI1~ //8-1ero преобразованием посредством А, тоже содержится
в $. Для этого перепишем А~1КА так:
А~гКА = А-^ИхИгН~^Нг-хА =; (А/ х 1 1
Но элементы Лт1//хЛ и Д^Я^ содержатся в Jjj>, так как ?) есть
нормальный делитель группы ©. Поэтому А ~1КА является коммутатором
из элементов группы ^, т. е. содержится в f, ч. и т. д.
2. Теорема 33. Группа, дополнительная к производной,
абелева. Обратно, всякий нормальный делитель, имеющий в качестве
дополнительной группы абелеву группу, заключает в себе произ-
производную группу.
Доказательство. 1°. Пусть й—группа, производная к группе ©,
и пусть
0 '
Сопряженные системы № А{ можно рассматривать как элементы допол-
дополнительной группы ©/$. Докажем, что п At-№ Aj = $Aj-$A{:
п А( й А, = Й A{Aj Я =
Но множитель AtAjAt~ Aj~ , как коммутатор из элементов группы ©,
входит в $, в силу чего мы имеем:
и таким образом
St Л^ • «те А.• ^ зх A.-Aj з% == л Л.- • дх **р
2°. Пусть ^ — нормальный делитель группы © и пусть дополни-
дополнительная группа ©/?) — абелева. Докажем, что $ содержит в себе $, где
$—.группа, производная к <#. Пусть
Так как группа ©/?) абелева, то мы имеем:
причем в качестве At и А, здесь могут быть взяты любые элементы
группы © (в самом деле, в выражениях сопряженных систем $At мы
имееи право заменять А( любым другим элементом той же сопряженной
системы). Иначе
откуда AtAf = HAjAf, где Н—элемент группы ф, или

§ У. Разрешимые группы 47
Это равенство показывает, что каждый коммутатор группы ® содер-
содержится в ф, а потому $ есть делитель группы ф, ч. н-т. д.
3. Теорема 34. Пусть задана группа ©. Найдем от нее
производную группу it\ от Й опять производную группу Й1: и т. д.
Получаемый ряд последовательных производных групп
оканчивается единичной группой тогда и только тогда, если
группа © разрешима.
Доказательство. 1°. Пусть ряд последовательных производных
групп группы © оканчивается единичной группой:
G.1) @, Я, Яь Я*.... &„_!,/.
В силу теоремы 33 каждая из дополнительных групп А^^/М', абелева,
в силу чего мы можем вставить в ряд G.1) промежуточные группы
так, чтобы получился ряд, которому бы соответствовал ряд индексов
из простых чисел. Полученный таким образом композиционный ряд
группы © показывает, что группа © разрешима. «
2°. Пусть группа © разрешима. Тогда каждый ее максимальный нор-
нормальный делитель имеет циклическую дополнительную группу и потому
в силу теоремы 33 содержит группу 4J, производную к ®. Поэтому М
отлична от ©. Вместе с тем группа Й тоже разрешима. Действительно,
если $ есть максимальней нормальный делитель группы ©, то $ должна
стоять на втором месте в одном из композиционных рядов группы ©;
но так как в силу разрешимости © всякий ее композиционный ряд
имеет ряд индексов из простых чисел, то это же имеет место относи-
относительно Й, в силу чего Й разрешима. Если же $ не является макси-
максимальным нормальным делителем группы ©• то существует максимальный
нормальный делитель ©j, содержащий.R, как подгруппу. Но группа ©!
разрешима. Продолжая с ©х предыдущее рассуждение, мы в конце концов
получим для © композиционный ряд, среди групп которого будет нахо-
находиться и й. Таким образом Й есть разрешимая группа.
Подобным же образом мы убедимся, что группа Йг, производная
от $, отлична от группы Й и тоже разрешима. Продолжая рассуждение,
мы убедимся, что ряд G.1) состоит из групп с последовательно пони-
понижающимися порядками. Такой ряд должен закончиться единичной группой,
ч. и т. д.
4. Теорема 35. Всякая подгруппа разрешимой группы разре-
разрешима.
Доказательство. Пусть © разрешимая группа, ©—ее подгруппа.
Составим для обеих групп ряды из последовательных производных
групп:
W» $> «Vj, . . . , ffm _ j, J',
в, Я, Я„ ...

48 I. Группы
Всякий коммутатор группы © является также коммутатором группы @
(но, конечно, не наоборот), в силу чего группа $ есть делитель группы $.
Подобным же образом мы убедимся, что группа Цг есть делитель
группы $!, и т. д. Вообще всякая группа Й{ при любом / есть дели-
делитель группы Йе. Но Йж есть единичная группа, а потому и $ж есть еди-
единичная группа. Таким образом ряд производных групп для группы ($
тоже заканчивается единичной группой, а потому в силу теоремы 34
группа Щ разрешима.
5. Теорема 36 (Абеля—Галуа). Всякая разрешимая группа
содержит отличный от единичной группы а^елев нормальный де-
делитель.
Доказательство. Если © разрешимая группа, то ряд G.1) будет
заканчиваться единичной группой. В этом ряду предпоследний член, i{m_lf
есть * силу теоремы 33 отличная от единичной абелева группа. До-
Докажем, что $m_j есть нормальный делитель группы ®. В силу теоремы 32
$ есть нормальный делитель группы ®. Поэтому в силу той же тео-
теоремы ftlt как группа, производная от Й, есть нормальный делитель
группы (к Поэтому и $а, как производная группа от йг, есть н р-
мальный делитель группы (S3, и т. д. Дойдя до группы $m_lt мы окон-
окончательно докажем теорему.
6. Аналитическое представление разрешимых групп простой
степени. Пусть ©—разрешимая группа, представленная, как транзитивная
-группа подстановок степени р, где р—простое число. Пусть ? есть ее
ябелев нормальный делитель, существование которого доказано в тео-
теореме 36. Докажем, что ? должна быть транзитивной группой. Допустим,
что ? интранзитивна, и пусть 1, 2, .. ., т будет одна из ее систем
интранзнтивности. Группа©транзитивна. Пусть А—подстановка группы &,
переводящая например 1 в /и + 1. Тогда А переведет 1, 2,..., т
в цифры alt a2, ..., am, составляющие систему интранзитивности группы
А~Л2,А. Но в силу нормальности ? имеет место А~12А = 2, а потому
цифры alt a2, ..., am должны составлять систему интранзитивности
группы ?, в силу чего все они должны быть отличны от 1, 2, ..., т.
Продолжая рассуждение, мы разобьем все цифры 1, 2, ..., р на системы
ао т цифр (системы импримитивности группы Щ. Но это невозможно,
так как р есть простое число.
Порядок группы ?, как транзитивной абелевой группы, равен в силу
теоремы 13 степени группы, т. е. числу р. Поэтому ? есть циклическая
группа порядка р. Каждый отличный от единицы элемент этой группы
должен состоять из одного р-членного цикла (ведь порядок подстановки
есть общее наименьшее кратное порядков ее циклов).
Перенумеруем все цифры так, чтобы одна из подстановок группы ?
имела вид ( ' ' '" "'р ) = @,1 2 ... ,р — 1). Эту подстановку можно
представить также так: (дг, дг-j- l)(mod p). Этот символ обозначает, что
подстановка увеличивает каждую из цифр на единицу, но при этом
кратности р откидываются, так что р — 1 переходит в 0.

§ 7. Разрешимые группы 49
7. Поставим в самом общем виде вопрос об аналитическом
представлении подстановок степени р. Это означает, что для
каждой заданной подстановки
/ 0, 1, 2,..., р - 1
^ a,,, av av..., ар _ j
мы будем искать такой полином f(x) с целыми рациональными коэф-
коэффициентами, который бы удовлетворял условиям
Не трудно убедиться (в главе II, § 1.5 мы остановимся на этоы
подробнее), что этим условиям удовлетворяет полином (р — 1)-ой (или
ниже) степени
где F(x) = х(х — 1 )(х — 2) ... (л; — р -f- 1). Стоящие в знаменателях числа
F'{k)(k = 0,1 ,...,р — Л) равны
Эти знаменатели делают коэффицненты полинома f(x) дробными; но
все они взаимно просты с р, а потому сравнения
F(k)-xk-?l(modp) (k = 0, I, 2,...,p-l)
допускают решения в целых числах. Если мы, пользуясь этими реше-
решениями, возьмем в качестве f(x) полином с целыми коэффициентами
то этот полином тоже будет удовлетворять условиям G.2).
Станем записывать подстановки ( ' ' ' • • ¦'" | в таком виде:
• . ар -
f(x)). Если заданы в аналитическом виде две подстановки: (дг-»/(дг))
и (а; -> ер (л;)), то их произведение (л; -^/(х)) • (х -»ср (л;)) может быть пред-
представлено так: (л; -»ср (/(*))). В самом деле, если (л:-^/(л:)) переводит
а в р, то /(а)==р (mod p), и если (лг-^ср(л;)) переводит р в ^, то
cp(p) = if(mod/)). Отсюда следует, чтоср(/(а))гс;ср(р) = ^ (mod p), a потому
подстановка (л;-^ ср (Да;))) переводит а в if- Это показывает, что под-
подстановка (л; -»ср- (Дл;))) есть произведение подстановок (f{x-^x)) и
Можно понизить степень полинома ср (Да;)), разделив его на ^(л;) и
взяв остаток от этого деления. В самом деле, полином F(x) принимает
при значениях л; = 0, 1, 2,. .., р— 1 нулевое значение. Если Q(x) будет
частное и /?(л;) остаток от деления ср(/(л;)) на F(x), то мы будем
иметь:
<р (/(*)) = F(x). Q{x) + R{x).
4 Чеботарев.

SO I. Группы
Подставляя сюда k = О, 1, 2,..., р —1, получим:
(Л = О, 1,
8. Пример, р = 5. Занумеруем перемещаемые цифры так: — 2, — 1,
О, 1, 2. Тогда /=(дг) = (дг+2)(дг + 1)дг(дг— 1)(дг— 2) = л^ — 5л3+
Н- 4дг=*5 —*(mod5);,F'(.*r) = 5** —15^ + 4 = — 1 (mod 5). Представим
аналитически транспозицию (—1, 1). Для нее мы имеем:
Д-2)^-2,/(-l)s+l,A0) = 0,/( + l)s-l,/D-2)s + 2(mod 5).
Отсюда
(mod 5).
Таким образом (—1, + 1) = (дг->—Xs). Подобным же образом мы
убедимся, что (—2, + 2) = (дг-».*3). Произведение этих транспозиций
есть (лг->(—лс3K = (лг-> — дг9). Деля дг9 на х?—дг, получим дг. Поэтому
(- 1, + 1)(- 2, + 2) = (дг->—дг).
9. Метациклические группы. Вернемся опять к разрешимой группе®
простой степени р. Группа ?, образованная подстановкой С = (д:->дг+ 1)»
должна быть нормальным делителем группы ©, а пбтому всякая подста-
подстановка А = (х-*/(х)) группы © должна преобразовывать С в какую-
нибудь степень С, т. е. должно иметь место А~1СА = С", или С А = АС?-
Но С«= (х^> х -\- а), откуда мы получаем:
(дг->дг 4- 1)(аг->Ддг)) =(дг_>Ддг))(дг-> дг + а);
но отсюда следует:
Ддт+1)=Ддт) + а(пк^;>).
Придавая переменной д; последовательно значения 0, 1, 2,..., р—1,
получим:
Д1) =Д0) + а, Ддг) =Д0) + 2 а, /C) =Д0) + 3 а, ..., Др -1) =Д0) +
: +{р—l)a(mod p).
Таким образом для всех значений д; мы имеем:
т. е. получается, что все подстановки группы © можно представать, как
линейные подстановки типа (х-*ах-\- Ь). Для того, чтобы
аналитическое преобразование (дг->ад; -{- Ь), где а и b — целые рацио-
рациональные числа, давало действительно подстановку, т. е. для различных
значений д; давало различные и несравнимые по модулю р значения,
необходимо и достаточно, чтобы а не делилось на р. Давая коэффи-
коэффициенту а значения 1, 2, ..., р—1, а коэффициенту Ь — значения 0, 1,

§ 7. Разрешимые группы 5tf
2,...,р—1, мы получим всего р{р— 1) линейных подстановок. Все они
составляют группу. Действительно,
(дг -» ах + 6)(лг-^ ахх -f- b) = (дг -* а^ах + b) -f b^ = (дг-^ аахх + аф + Ь^.
Если а и аг не делятся на р, то и произведение аах не будет де-
делиться на р.
Обратная к подстановке (х-^ax + b) подстановка может быть най-
найдена, если мы решим сравнение.
p)
относительно х. Для этого умножим сравнение на а', где а'— число,
удовлетворяющее сравнению аа'= 1 (mod р). Тогда получим: х=а'у — а'Ь
(mod p), так что искомая обратная подстановка будет иметь вид
(х-^а'х—а'Ь).
10. Итак, всякая разрешимая группа степени р должна быть дели-
делителем только-что описанной группы порядка р(р—1), которая носит
название полной метаци клической (или полной линейной)
группы. Докажем, что полная метациклическая группа разрешима. Для
этого обратим внимание на то, что эта~ группа (будем попрежнему обо-
обозначать ее через ®) имеет циклический нормальный делитель 2. Наше
утверждение будет доказано, если мы покажем, что дополнительная
группа ©/? разрешима. Для этого мы разложим группу © на сопряжен-
сопряженные системы по 2:
©= ? + 2Аг+ ? Ал + . .. 2Ap_v
В качестве элементов Ab Az,..., Ар_г возьмем подстановки типа
(л: -*¦ ах). Таким образом
G.3) J = (дг -> дг), А3 = (дг -> 2дг),..., Ар_г = (х -* {р— 1)дг).
Это мы имеем право сделать, так как все подстановки сопряженной
системы 2Ак имеют вид
(дг -> д; + а)(дг -> Адг) = (дг -> kx+ ko) (а = 0, 1, 2,.. ., р — 1),
т. е. и^еют при дг один и тот же коэффициент k, в силу чего различ-
различные сопряженные системы, имеющие различные значения k, не могут
иметь общих элементов.
Нетрудно видеть, что элементы J, А^ Л8,.. •, Ар_1 составляют
группу, которая очевидно изоморфна с дополнительиой группой ©/?. Вместе
с тем эта группа (см. G • 3)) изоморфна с группой взаимно-простых
с р классов сравнений по модулю р относительно умножения. Мы уже
видели (§ 6.3), что эта группа циклическая. Отсюда следует, что
группа © разрешима. В силу теоремы 35 разрешима также всякая ее
подгруппа, и мы приходим к
Теореме 37. Транзитивная группа подстановок степени р,
где р — простое число, разрешима тогда и только тогда, если ее
подстановки могут при надлежащей нумерации цифр быть пред-
4*

52 I. Группы
ставлены в форме (х -*¦ ах + Ь), где а и b целые рациональные
числа, причем а не делится на р, и в результате- подстановки
значений х кратности числа р отбрасываются.
11. Мы видели, что полная метациклическая группа имеет нормаль-
нормальный делитель ? порядка р, а также подгруппу G.3) порядка (р—1).
Обе подгруппы взаимно-просты. Существование подгруппы G.3) дало
нам возможность получить то явление, которого мы добивались в § 6
при разложении абелевых групп на прямые произведения — элементы А{,
стоящие впереди сопряженных систем, сами образуют группу. Но все же
группу © нельзя рассматривать, как прямое произведение групп ? и
G.3). Дело в том, что группа G.3) не является нормальным делителем
группы @. Условие перестановочности элементов обеих групп-множи-
групп-множителей здесь не соблюдено.
12. Разрешимые группы составных степеней. Перейдем к рас-
рассмотрению разрешимых групп © составных степеней и. Согласно тео-
теореме 36 грулпа © имеет абелев нормальный делитель ?. Если группа ?
интранзитивна, то не трудно убедиться, что группа © импримитивна.
В самом деле, если 1, 2,. . ., т есть одна из систем интранзитивности
группы ?, то, как мы убедились в п. 6, всякая подстановка, переводящая
хоть одну из цифр 1, 2,. . ., т в цифру, не принадлежащую к этой
системе, переведет и все цифры 1, 2, . .. , т в цифры alt a2,..., ат,
из которых ни одна не принадлежит к системе 1, 2,..., т. Это сле-
следует из того, что, как мы доказали в п. 6, цифры «j, о^,..., ат обра-
образуют систему интранзитивности группы ?.
Докажем, что системы интранзитивности группы ? являются систе-
системами импримитивности группы ©. Действительно, пусть а^ Oj,..., <хт и
Pi» Рг» • • •, Рот будут две такие системы, и пусть подстановка А группы
© переводит ах в рг Тогда А переведет каждую из цифр лъ а8,..., ат,
например Oj, в одну из цифр р„ р2,..., (Зот. Действительно, пусть А
переводит а2 в у, и пусть С будет подстановка группы ?, переводящая
^ в а2 (такая подстановка непременно существует, так как ах н а8 вхо-
»ят в одну и ту же систему интранзитивности группы ?). Тогда подста-
подстановка А~*СА переведет цифру р, в у. Но так как А~гСА в силу нор-
нормальности группы ? принадлежит к ?, то она должна переводить C2
в одну из цифр той системы интранзитивности группы ?, в какую вхо-
входит р8, т. е. в одну из цифр *pif р2,.. ., рж. Поэтому группа © импри-
импримитивна, и ее изучение приведется "к изучению групп ? и ©/?, причем
последняя получится, если мы заменим цифры каждой из систем импри-
импримитивности одной и той же цифрой. Поэтому эти группы не предста-
чляют самостоятельного интереса, и все исследования по теории разре-
разрешимых групп касаются только примитивных групп.
13. В примитивной разрешимой группе степени п группа ? имеет,
как транзитивная абелева груп а, порядок п. Если и содержит несколько
различных простых множителей, т. е. п — щ-п2, где их и иа взаимно-
просты и больше единицы, то группа ? может быть представлена, как
прямое произведение групп ?х и ?2 порядков «j и иа (§ 6.1), и при-
притом подстановки группы 2^ являются единственными подстановками
группы ?, порядки которых суть делители числа nv Таким образом ?х
должна совпадать со всеми своими сопряженными группами, т. е. быть

§ 7- Разрешимые группы S3
нормальным делителем группы ©. Но так как группа ?х интранзитивна,
то группа @ не может быть в этом случае примитивной.
14. Таким образом дело приводится к изучению разрешимых групп
степени р\ где р—простое число. Если при этом группа ? циклическая,
то группа © опять импримитивна. В самом деле, в этом случае
Тогда группа
являясь единственным делителем группы ? порядка р, должна быть нор-
нормальным делителем группы ®, будучи в то же время интранзитивной
группой.
Разрешимые группы степени рк были предметом исследования многих
математиков, как например Галуа, Жор да на (С. Jordan), Бетти (Betti),
О. Ю. Шмидта и др. Из этих исследований вытекает, что здесь мы не
можем надеяться на такой простой результат, какой мы имеем в случае
разрешимых групп простых степеней. Именно, мы ие получаем здесь для
каждой степени одной группы такого рода, что каждая разрешимая
группа является ее делителем.
15. Разрешимые группы степени рг. Рассмотрим для примера слу-
случай л = /?а, где р нечетное простое число. Группа ? есть не-циклическая
абелева группа порядка рг и поэтому должна разлагаться в прямое про-
произведение двух циклических групп порядка р:
? = ?г X ?2,
где
e1-=j+c1 + c1« + ..-. + c1*-1, ?, = ./+ c1 + <v+... + <v-1.
Перенумеруем перемещаемые группой предметы следующим образом.
Будем обозначать каждый предмет двумя значками: первый значок дол-
должен указывать, в какой системе интранзитивности группы ?2 находится
данный предмет; второй же значок указывает систему интранзитивности
группы ?х. Нетрудно понять, что каждая из систем интранзитивности
обеих групп ?j, ?2 состоит из р предметов, в силу чего оба значка
должны пробегать р значений, скажем 0, 1, 2,...,р — 1. Заданием
обоих значков предмет вполне определяется, так как и число предметов
и число комбинаций значков равны одному и тому же числу рг, и
если бы существовали два различных предмета с общими значками, то
должна была бы существовать комбинация значков, не имеющая соот-
соответствующего предмета, т. е. в каждой группе можно было бы выделить
по системе интранзитивности, которые не содержат общих предметов.
Но это невозможно, „так как если подстановка С = С^С^ переводит
первый значок i в первый значок j, то подстановка С± делает то же
самое и при атом оставляет второй значок на месте; но так как группа ?
транзитивна, то выходит, что мм имеем возможность переходить во все
первые значки, в то же время оставляя второй значок неизменным;
то же имеет место и для вторых значков.

34 I. Группы
Перенумеруем оба значка так, чтобы подстановка Сг увеличивала
каждый первый значок на единицу (если при этом отбрасывать крат-
кратности числа р); точно так же С2 должна увеличивать каждый второй
значок на единицу. Тогда подстановки Cj и Са могут быть представлены
так:
Г— (х-*х + 1\ г—(х~^х \
Cl-\y->y )' Ca-\y^y + i/'
и таким образом каждая подстановка группы ? представится так:
С- Q'C/ - (* ^ у + l) Л Р- 0, 1, 2,.... p-1).
При таком обозначении перемещаемых предметов мы можем аналити-
аналитически представить подстановки группы (В в виде А = (х ^ ?|*' \Tj, где
<р(л-, .у) и ф(ж, у)— полиномы от двух переменных х, у. Условие того,
что ? есть нормальный делитель группы ®, может быть записано так:
Oj^l -—- иНС*2 С*» t Oft** ~~~ ^»С*| С*о у
т. е.
откуда
Рассуждая как в п. 9, мы убедимся, что функции <р (х, у) и ф (л;, j/)
линейны относительно л:, у:
9 (х, ^)=агх + аяу + а3, ф (х, у) в р** + р2-у + р8 (mod /?).
Далее мы должны найти условия, при которых дополнительная
группа ($>/? разрешима. Нетрудно убедиться, что в качестве предста-
представителей группы ©/? (т. е. множителей At сопряженных систем ? А^ мы
можем выбрать однородные линейные подстановки, т. е.
подстановки типа
IX ->
\y +
\y->
+ 1)
y + 1)(
y+iA
X —»
У-»
x -»
У-*
?(x,
T(x,'
¦Ma,
y)\_
y)/
y)\_
y)/
Их, y)l\y
P(x, y)\/x
Kx, y)Ay
1)^фE
^X + a
^) + A
Л + Р.
t (modp),
, (raodp).
Полная группа таких подстановок (т. е. группа, в элементах которой
коэффициенты alt <x2, p]t p2 принимают всевозможные значения, лишь бы
aiPa—^Pi Ф 0 (mod. p), что необходимо для обратимости подстановок)
имеет порядок (/?— 1)а/>(р + 1) и неразрешима.
16. Все возможные типы разрешимых однородных линейных групп
от двух переменных (т. е. такие группы, что всякая разрешимая группа
является делителем одной из групп-типов) были найдены К. Жорданом.
Их всего три:
I тип. Полная группа этого типа может быть образована компози-
композицией следующих производящих подстановок:

§ 7. Разрешимые группы 55
Она имеет порядок 2(р— IJ. Соответствующая этому типу группа в
имеет порядок Ъря(р — IJ.
II тип. Производящие подстановки:
¦ bx+ay /'
где p^jO (mod p) нр одно и то же для всех подстановок группы. По-
Порядок этой группы равен 2(/>2— 1), а потому порядок соответствующей
группы © равен 2рНр*—1).
III тип. Здесь необходимо различать случаи /> = 1 нр=3 (mod 4).
А) р аи 1 (mod 4). Обозначая через I корень сравнения ia = — 1
(mod/?), получим следующие производящие подстановки:
1х -» ах\ ix -»• йс \ IX -» ?у\ /х -> х — *у\ /х -» х + у\
\у-*ау)' \y^ — iy}' \х-»-1'х/' \у-»х + »'у/' \у-*¦ х — у)'
В) /> ^ 3 (mod 4). Решая сравнение sa + Р + 1 ^ 0 (mod p), получим
следующие производящие подстановки:
/х->ах\ (Х^У \ (x^sx + ty\ i
\у-> ау)' \у-> — х/' Vy -> fcc —sy/ ' \
)У)
у -»•(/ — 1)х — sy/"
Порядок этих групп равен в обоих случаях 24(/> — 1), а потому
порядок соответствующей группы © равен 24р2(р — 1).
При />=3 н р = 5 имеет место исключение, которое состоит в том,
что при р = 3 группы первых двух типов н при р = 5 группы первого
типа входят в соответствующие группы третьего типа, как делители.

ГЛАВА II.
ГРУППА ГАЛУА.
§ 1. Исходные факты.
В этом параграфе мы напомним некоторые факты из общего курса
алгебры, на которые нам впоследствии придется ссылаться.
1, Корни полинома. Разложение полинома на линейные множи-
множители. В алгебре основной считается следующая
Теорема 38. Всякое уравнение
A.1) аохп + ау-1 + ... + ап_гх + ап = О
с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по
крайней мере один корень, т. е. такое значение переменной х,
которое, будучи подставлено в уравнение A.1), обращает его левую
часть в нуль.
Для доказательства этой теоремы Гаусс (С. F. Gauss) впервые пред-
предложил четыре доказательства. Все эти доказательства основаны на прин-
принципе непрерывности. Строго говоря, эта теорема принадлежит не
алгебре, а анализу. Современные алгебраисты, желая избежать введения
чуждых для алгебры основных понятий, или вводят существование корня
в виде аксиомы (доказывая отсутствие в ней противоречий с другими
основными аксиомами), или рассматривают уравнения, как сравнения по
системе функциональных модулей. Впоследствии (в § 4) мы остановимся
на последнем подробнее.
, Теорема 39 (Безу). Если уравнение f(x) = О имеет корнем
число а, то полином/(х) делится на х—а.
Доказательство. Разделив f(x) на х — а, мы получим частное
Q(x) и остаток R, который, будучи степени ниже, чем х — а, не должен
зависеть от х. Подставляя в тождество
значение х = а, мы получим в правой части R, а в левой части нуль,
так как а есть корень уравнения f(x) = 0, а потому /(а) = 0. Таким
образом
Я*) = (*-«)<?(*)•
Уравнение Q(x) = 0 тоже должно в силу теоремы 38 иметь корень
и потому в силу теоремы 39 тоже делится на соответствующий линейный

§ 7. Исходные факты 5Т
полином. Продолжая рассуждение, мы получим разложение полинома Дд;}
на линейные множители:
A.2) Дд;) = ао(х — ax)(x — a2)... (д; — aj,
п I
где а0 — коэффициент при старшем члене полинома f(x), а число линей-
линейных множителей х — п.. равно степени полинома Дд;).
Отсюда вытекает такое свойство полиномов я-ой степени: они не
могут иметь более я различных корней. В самом деле, полином A.2)
имеет корнями а,, а2, ..., ам. Всякая отличная от этих корней вели-
величина а не может быть корнем полинома f(x), так как, подставив в то-
тождество A.2) х = а, мы получим:
/(аL = ао(а — Kl)(a — а2)... (а — ап),
и произведение неравных нулю множителей правой части не может быть
равно нулю.
Этим замечанием нередко пользуются на практике: если требуется
убедиться в справедливости тождества, в обеих частях которого стоят
полиномы я-ой степени, то достаточно проверить его для каких-нибудь'
я + 1 значений.
2. Кратные корин. Если некоторые из величин аи <х2,..., an ока-
окажутся равными друг другу, то говорят, что полином f(x) имеет крат-
кратные корни. Корень а называется 6-кратным, если Дд;) делится
на (д; — а)*, но не делится на (д;—а)&*^1. Для распознавания кратных
корней существует следующий критерий:
Теорема 40. Если а является для полинома f{x) корнем
6-ой кратности, то для его производной f\x) он является корнем
* F — 1)-ой кратности.
Доказательство. В этом случаеf(x) можно представить в виде
(д; — а)*ср(л-), где ср (х) уже не имеет а в качестве корня, т. е. ср(а)-/_О.
Дифференцируя тождество Дд;) = (х— а)* су (х), мы получим:
/(*) = k{x-af - г. ? (х) + (х - а)*. ?' (х) =
Отсюда сразу видно, что а является для f'(x) корнем по крайней
мере (k—1)-ой кратности. Вместе с тем х—а не может входить
в/'(х) выше, чем в (к—1)-ой кратности, так как второй множитель 6ср(х) +
-(-(д; — a)cp'(x) при подстановке х = а дает k-y(a)r/-Q. В частности
простой корень полинома f{x) не может быть корнем его производ-
производной /(л-).
3. Рассмотрим общий наибольший делитель /г(х) полиномов f{x) и
f'(x). Он содержит только такие множители х — а, которые входят
в f(x), и притом выше, чем в первой степени. Если х — а входит в f(x)
в 6-ой степени, то в /г(х) он войдет в F — 1)-ой степени. Если в част-
частности Дд;) не имеет кратных корней, то /г(х) вовсе не будет иметь
множителей, линейных относительно х, и потому будет равен постоян-
постоянному числу.
Пусть х — а, х — а', х — а",... будут множители, входящие в Дд;)
впервой степени; х — р, х — ф, х — $",... во второй степени, и т. д.;

58 II. Группа Галуа
наконец, х — о>, х — ш', х— ш",... множители, входящие в Дх)'в са-
самой высшей, &-ой степени (k^n). Введем обозначений
Тогда полином Дл;) можно представить так:
Полином /j(x) в силу только-что доказанного выразится в следующем
виде:
Если мы введем в рассмотрение /2(х), общий наибольший делитель
полинома /х(х) и его производной fi'(x), то
тЖ.х) = Ха ... л^
Продолжим - этот процесс до получения полинома, не зависящего
от х:
Д _ i(*) ~ хк> /*(*) - constr
Умея находить полиномы /,(>:), f^x),..., fk(x), мы сможем выделить
в полиноме f{x) его множители Xlt Ха,..., Хн. В самом деле, из полу-
полученных соотношений мы будем иметь:
77v\= *Pi(*) =zao'XiXXX1X -ir-
откуда
4. Алгоритм Эвклида. Остается показать, что можно, зная f(x) и
/'(х), найтн посредством рациональных операций их общий наибольший
делитель fx{x). Поставим вопрос в более общем виде. Для нахождения
общего наибольшего делителя двух полиномов f(x) и g(x) существует
прием, носящий название алгоритма Эвклида, или алгоритма
последовательного деления. Он заключается в следующем.
Пусть степень полинома fix) больше (или по крайней мере не меньше)
степени полинома g(x). Разделим f(x) на g(x) и определим таким обра-
образом частное q-^x) и остаток гг(х). Затем разделим g(x) на остаток г-^х),
и пусть частное будет дя(х), а остаток—г?х). Разделим r-foc) на г^х), и т. д.
При продолжении процесса степени полиномов rt(x) будут все время
уменьшаться, так что мы в конце концов дойдем или до постоянного
остатка, или до того, что один из последовательных остатков, rm_?x),
разделится на послеаующий остаток, rm(x). На этом мы прекратим про-
процесс.

§ 1. Исходные факты 39
На основанки.известной связи между делимым, делителем, частным и
остатком будем иметь:
A.3)
rm - «(*) = Гт
•Докажем, что последний делитель, [в настоящем случае гт(х)] является
как раз общим наибольшим делителем полиномов f(x) и g(x). Чтобы
доказать, что гт(х) есть делитель f(x) и g{x), будем, пользуясь посте-
постепенно всеми равенствами A.3), начиная с нижнего, убеждаться в том,
чт0 гт(х) является делителем гт _ ^х), гт _ 2(х),..., гг(х), g(x), f(x).
? другой стороны, докажем, что всякий полином, являющийся одновре-
одновременно делителем f(x) и g{x), является также делителем гт(х). Для этого,
пользуясь последовательно всеми равенствами A.3), начиная с верх-
верхнего, мы убедимся в том, что этот полином является делителем поли-
полиномов Г1(х), ф),..., гт_г(х), гт(х).
Таким образом мы убедимся, что общий наибольший делитель двух
полиномов может быть найден путем рациональных операций. Отсюда
в силу сказанного в п. 3 мы заключаем, что если нам задан полином,
содержащий кратные корни, то его можно при помощи рациональных
операций разложить на множители, каждый из которых уже не будет
содержать кратных корней. В этом нам было необходимо убедиться для
того, чтобы при изложении основ теории Галуа иметь право предпола-
предполагать, что уравнение не имеет кратных корней.
Выразим rjx) на основании предпоследнего равенства A.3)
через гт_г(х) и гт_2(х):
г„(х) = гт_ 2(х) - qn{x) ¦ гт _ 1х).
Подставим в это равенство выражения гт_1(х) через Тт_2{х) и
rm_a(x) на основании предшествующего равенства; тогда получим одно-
однородное линейное выражение гт(х) через гт_г(х) и гт_3(х) с полино-
полиномами от х в качестве коэффициентов:
Г„(х) = [I + qn _г(ху1т(х)}гт _2(х) - qm(x)rm _ 3(х).
Поступая так же с предшествующим равенством, выразим гш(х)
через гт_3{х) и rm_i(x), и т. д. Продолжая процесс, мы в конц* кон-
концов получим формулу
A.30 rjx) = я(ж) -f{x) + v{x).g(x),
где u(x) и v(x)—полиномы от х.
В частности, если f(x) и g(x) взаимно-просты, то мы будем иметь
A.3")
)( (){)

60 Группа Галуа
Упражнение 21. Выделить у полинома х« + Зхв — бх8 — Зха + Зх + 2
кратные корни. *
5. Интерполяционная формула Лагранжа. Поставим задачу: найти
полином не выше (л — 1)-ой степени, принимающий при заданных зна-
значениях аь а2, ..., ап переменной х заданные значения Av Л2, ..., Ап.
Лагранж предложил решение этой задачи в следующей форме:
где F(x) = (х — а^)(х~а2) ... (х — ап).
Докажем, что выражение A.4) действительно удовлетворяет требова-
требованиям задачи. Прежде всего, выражение представляет собой полипом, так
как стоящий в знаменателе каждого члена множитель х—а{ (i = 1,2,..., и)
может быть сокращен с таким же множителем в числителе, в котором
стоит F(x) = (х — а^)(х — а^)...(х — а\ После этих сокращений/(лг)
приведется к форме полинома не выше (п—1)-ой степени. Чтобы убе-
убедиться в том, что при х — Oj, а2, ..., а„ полином f{x) принимает значе-
значения Аи Л2, ..., Ан, перепишем формулу A.4) так:
Hv.s _ A, F(x) ,_Aa._ F(x) An F{x)
Н) ~ РШ ' ~*=ах + F'Wi ' х- аа + *' * + F\an) ' ЗГ^-
Чтобы получить например значение /(а^), станем приближать х к а±.
Тогда в силу Ffa) = 0, at — ахф 0 (i = 2,3, ..., и) все .члены правой
части, кроме первого, обращаются при этом в нуль. Первый же член
можно представить так: -577—г • ——; из этого выражения видно,
г щх) X — Чу
что при х = а1 он обращается в , ' • F'(a,) = Ах. Подобным же
образом мы найдем, что вообще
Это решение единственное. Действительно, допустив существование
другого полинома/!^) не выше (я — 1)-ой степени, который бы удов-
удовлетворял требованиям задачи, мы бы убедились, что равенство
/(*)«= Л (*),
в котором фигурируют полиномы не выше (и—1)-ой степени, удовлетво-
удовлетворяется при следующих п значениях переменной х: av а2, ... а„, а потому
на основании рассуждений п. 1 должно быть тождеством.
Если же мы отбросим требование, чтобы степень полинома /х(лг) не
превышала п — 1, то придем к следующему: разность fx(x) —f(x) при
значениях х = аг, а2,.. -, ап обращается в нуль, а потому в силу теоре-
теоремы 39 должна делиться на (х — а^) (х — а3) ... {х — ая) = F(x). Поэтому
самое общее решение задачи может быть представлено в виде
Л (*) = /(*) +*=¦(*) ¦<?(*),
где Q(x)—произвольный полином.

§ 1. Исходные факты 61
6. Выражение коэффициентов полинома через его корни. Симме-
Симметрические функции. Приравнивая в тождестве
хп + а1хп-1 + а2*"-2 + ... + ап_,х + ап = (х-ах)(х-а2) ...(х- ая)
(здесь мы положим а0 = 1) коэффициенты при различных степенях х, мы
придем к следующим формулам:
ai — — К + <*2 + • • • + <*,,),
nj п
A.5)
an_i = (— I)" («А - а„_! + «А... ая_2а„+ ... +»&.. .ай+а2а3... а„),
Правые части этих формул являются целыми рациональными функциями
от корней а1( а2, ..., аи, обладающими при этом следующим свойством:
они не изменяются, если мы будем самым произвольным образом пере-
переставлять друг с другом корни а1( а2 ..., ап. Функции, обладающие таким
свойством, носят название симметрических функций. Функции,
представленные в формулах A.5), носят кроме того особое название
элементарно-симметрических функций.
7. Нетрудно убедиться, пользуясь формулами A.5), что всякая рацио-
рациональная функция от коэффициентов alt a2, ..., ап может быть выражена,
как симметрическая функция от корней al5 a2,..., an. Несколько труднее
доказать обратную к ней теорему:
Теорема 41. Всякая рациональная симметрическая функция
от корней а1( а2) ..., ав может быть представлена, как рациональ-
рациональная функция от коэффициентов %, а2, ..., а„. Если при этом ее
коэффициенты при степенях а1( а2,..., ап суть целые числа, то и
через аъ а2, ..., ап она выражается с целыми коэффициентами.
Примечание. Для этой теоремы существует несколько доказа-
доказательств, из которых мы приведем доказательство, принадлежащее Коши
(Cauchy). •
Доказательство. 1°. Введем в рассмотрение следующие полиномы
(модули Коши):
В качестве полинома X возьмем полином f(x) = хп + а^ х*~1 -\- ... + ап.
В качестве полинома Хх возьмем частное от деления X на х — а1#
Его коэффициенты рационально заивсят от а1( а корнями являются
а2, а3, ..., ай.
В качестве полинома Хг возьмем частное от деления -%ф на х — <х2.
Его коэффициенты суть рациональные функции от а1 и аг, а корнями
являются а3, а4, ..., ав.
Продолжая процесс, придем наконец к полиному Хп_1, коэффициенты
которого суть рациональные функции от a.v а.^, ..., ая_}, а корнем
является ам.
Заметим, что степени получаемых полиномов Хх, Хг, ..., Хп1 убы-
убывают с каждым шагом на единицу.

62 11. Группа Галуа
Пусть ~*V будет целая рациональная симметрическая функция от
«1, <*а, •¦', <*„» н пусть v будет ее численная величина. Подставим в ее
выражение вместо ак переменную х и разделим полученный полином
на Хп_1. Остаток от деления не будет зависеть от х. Вместе с тем если
то, подставляя х = ап, получим:
УхЫ «a, ..-, V-i) ="V(ai» а* ..., а^, ,ай) = v.
Подставим' в выражение V/ вместо аи-1 переменную х и разделим
на х. Получим:
Vt (<h, «г. • • •', а„_3» *) = Qi * ^„_2 +
Так как Хп2 полином 2-й степени, то степень Va относительно х не
может быть выше первой. Подставляя х ¦= a.n_lf получим
V*(<h, «а, • • •» \-V ап-д = ^iK «а» • • •' «n-2> an-i>-
Но так как V есть симметрическая функция, то она, а с нею и Уъ
не изменится, если мы в ее выражении поменяем местами ап_1 и ап.
Вместе с тем при х = аи и ЛГИ_2 = 0. Но в выражение Vx an не
входит, а потому l^fo, ..., ап_^, ая) = V!(ab ..., ая_2, а^. Отсюда
и V2(a,, ..., an_,, ая) = V8(ab a2, ..., а„_2, а^), и уравнение
Va(<h, • ¦ •, аи_а. лг) — г» = О,
будучи первой степени, имеет два корня. Поэтому оно должно быть
тождеством, т. е. V2 не зависит от х, и
V2K • • •» а„_г) = "»•
^Заменяя ая_3 через лт, деля на ^и_8 н повторяя предыдущее рассуж-
рассуждение, мы освободим выражение V постепенно от всех корней. По мере
освобождения от корней мы будем постепенно включать в выражение V
коэффициенты аь аа,..., ап. Таким образом для целых симметрических
функций теорема доказана.
2°. Если V есть дробная рациональная симметрическая функция от
alf a2, ..., an: V = -g-, где R и 5 целые рациональные функции, то для
доказательства теоремы надо умножить и числитель и знаменатель
на и! —1 выражений, сопряженных с S, т. е. полученных из 5
путем всевозможных перестановок всех корней. Получающееся в знаме-
знаменателе произведение всех п\ сопряженных выражений есть целая ра-
рациональная симметрическая функция от с^, <х3,..., аи и потому удовлет-
удовлетворяет условиям первой части доказательства. Но так как, согласно условию,
вся дробь V— у есть симметрическая функция, то и числитель R= S- V

§ 7. Исходное факты 6S-
должен быть симметрической функцией. Будучи вместе с т«м целой
рациональной функцией, он' тоже удовлетворяет условиям первой части
теоремы.
3°. Предположим теперь, что целая рациональная симметрическая
функция имеет целые рациональные коэффициенты. Тогда вписанные в 1°
операции не могут сделагь получаемых коэффициентов дробными. Дей-
Действительно, модули Коши имеют в качестве коэффициентов при степенях х
целые рациональные функции от корней аг, аа,..., а„ с целыми рацио-
рациональными коэффициентами и, кроме того, единицу при старшей степени а:.
Поэтому при описанных в п. 1° процессах деления коэффициенты дели-
делимых и делителей претерпевают исключительно операции сложения, вычи-
вычитания и умножения, и таким образом остаются все время целыми. Поэтому
в этом случае функция V выразится через ах, а ап целой рациональ-
рациональной функцией с целыми рациональными коэффициентами.
Пример, /()
Модули Коши таковы:
X = x*+ax*-\-bx + c, Х1= х»-f (a
Заменим в выражении V букву у на х и разделим его на X,. Получим в
остатке <** + Ра + (а + р + аL. Заменим в этом выражении р на х и разделим, его
на X,. Получим в остатке: а*— 2Ь. Сюда а не входит, так что это и представляет
собой искомое выражение V через a, b, с:
» — 26.
Упражнение 22. Сохраняя прежние обозначения, доказать, что
= ЗС - ab.
Упражнение 23. Вычислить дискриминант предыдущего уравнения,
т. е. выражение
7. Результант. Заданы два полинома:
A.6) f(x)=*(x — Xl)(x—х2)...(х-хп)
и
A.7) g(x) = (х -У1) (х -Л)... (х-ут).
Выведем условие того, чтобы они имели по крайней мере один общий
корень. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение
0.8) /?(/.^)=/(л)/Ы.../О'т)
обращалось в нуль.
ВыражениеA.8)носит название результанта полиномов f(x) иg(x).
Являясь симметрической функцией от корней полинома A.7), результант
может в силу теоремы 41 быть представлен, как целая рациональная
функция от коэффициентов этого полинома, в выражение которого входят
также коэффициенты полинома A.6).

€4 11. Группа Галуа
В выражении A.8) коэффициенты обоих полиномов играют одинаковую
роль. Чтобы убедиться в этом, перепишем его, пользуясь формулой A.6),
так:
/> «)¦= (Л - *i) Oi — *а) ... (У! — хп).
• Оа - *i) (уш — ха)... (уш — х„).
—х^ ... (ут~хп).
Собирая множители по столбцам и пользуясь формулой A.7), получим:
A.9) Я(/, g) = (- 1)"ЖМ*15 ... g(xn),
откуда
0-10)
Результанты находят применение главным образом в теории исключения
неизвестных из систем уравнений.
8. Дискриминант. Дискриминантом называется взятый с извест-
известным знаком результант от полинома и его производной:
Так как полином имеет со своей производной общие корни тогда и
только тогда, если он имеет кратные корни, то обращение в нуль дискри-
дискриминанта необходимо и достаточно для того, чтобы полином имел крат-
кратные корни. •
Преобразуем выражение A.11). Для этого обратим внимание на то, что
= lim
, — хЧ1)... (xt — xn).
Подставляя это выражение в формулу A.11), мы получим произведе-
произведение всевозможных разностей между корнями xv x2, ... хп, причем каж-
каждая разность входит два раза, и при этом с противоположными знаками.
Таким образом мы будем иметь:
С выражением П(д:<—х) мы уже познакомились в главе I, § 2.9.
Мы видели, что оно остается неизменным при четных и меняет знак при
нечетных подстановках. Его квадрат мы как раз и будем называть
дискриминантом и обозначать через D(/), так что
9. В дальнейшем нам понадобится выражение дискриминанта от
произведения двух или нескольких полиномов. Пусть F(x) =f(x)g(x).

§ 2. Неприводимые полиномы 65
Тогда
и 1«
= ± r(f,F) = ± п [/(*,к(*,)Г • п [f(y,)g{yd\f =
i 1 » 1
t -1
откуда в силу /(лгг) = 0 и g(y{) = 0:
» в m m
(] .13) D(F) = ± П^(д:Л • П/'(х.) - П/(уЛ
<=i i=i t=\
= ±
или
A.14) ?>(.
¦ В этой формуле каждый из дискриминантов и результантов правой
части есть целая рациональная функция с целыми коэффициентами от
коэффициентов полиномов f[x) и g{x). Из нее следует, что каждый из
множителей правой части есть делитель числа D(f-g).
Формула A.14) допускает простое обобщение на случай произведения
многих полиномов. Именно, полагая F (х) = Aix)ft(x)..., fk(x), мы
получим:
A.15) piA-f* • • • Л) = iJ/W*) 'Д.W,./,).
§ 2. Приводимые и неприводимые полиномы.
1. Понятие неприводимости. В теории Галуа является основным
понятие приводимости и неприводимости полиномов, так что
нам необходимо научиться при помощи конечного числа действий раз-
различать, является ли каждый заданный полином приводимым или нет.
Рассмотрим сначала полиномы с рациональными коэффициентами.
Полином называется приводимым, если его можно представить, как
произведение полиномов с рациональными коэффициентами, каждый из
которых был бы более низкой степени. Если же это невозможно, то по-
полином называется неприводимым.
2. Для нахождения приемов, позволяющих при помощи конечного
числа действий различать приводимые и неприводимые полиномы, выгодно
перейти к полиномам с целыми коэффициентами. Этого можно легко достиг-
достигнуть путем умножения полиномов на общий знаменатель всех коэффици-
коэффициентов. Кроме того, удобнее иметь дело с полиномами, у которых коэффи-
коэффициент при старшем члене равен единице. Чтобы перейти от произволь-
произвольного целочисленного полинома
^*o i ^*1«У ~t * * * i^ п-—\У *^ ^^пУ
к целочисленному полиному со старшим коэффициентом единица, сделаем в
нем подстановку у=а -?- , а затем умножим этот полином на Лпп~\ Полу-
чится полином типа
BЛ) а0 + а1х+ ... +ап_1хп-1 + хп.-
5 Чеботарев.

66 II. Группа Галуа
Легко понять, что описанные операции не могут сделать неприводи-
неприводимый полином приводимым обратно.
3. Теорема Гаусса. Теорема 42. Если полипом типа B.1)
разлагается на множители с рациональными коэффициентами:
B.2) ао + а1х+ ...+ вж_,яГ~1 + хп - (Ьо + Ь%х + ... +
то коэффициенты а{, Ь( являются также целыми числами.
Доказательство. Допустим противное, т. е. пусть, например,
в знаменатели коэффициентов Ь{ входит простое число р\ пусть р' будет
наивысшей содержащейся в этих знаменателях степенью р и пусть Ьк бу-
будет последним из коэффициентов Ь{, в знаменатель которого р входит
в Sru степени (так что в знаменатели коэффициентов bk,v bk_,v ..., bn
р будет входить в более низкой степени). Точно так же пусть в знаме-
знаменателях коэффициентов с( содержится самое большее t-я степень р (tfjSsO),
и пусть Cj будет последним из коэффициентов с(, в знаменателях которых
будет содержаться точно р1 (в случае, если р вовсе не входит в знаме-
знаменатели коэффициентов с,-, т. е. если t = О, мы должны взять в качестве с(
коэффициент с„ = 1). Приравняем в обеих частях тождества B.2) коэффи-
коэффициенты при xk+l:
B.3) ak+l = bkct+ bk+J c,_, + bk+2 c^+ ...
В левой части стоит целое число ак+г. В правой же части член bkct
представляет собой дробь, в знаменателе которой стоит ps+l, в то время
как в знаменателях других членов правой части р входит в более низких
степенях: в членах первой строки потому, что множители Ь{ привносят
более низкую, чем s-я, степень р, в членах же второй строки потому,
что множители с{ привносят более низкую, чем t-я, степень р. Таким
образом дробная часть члена Ькс, не имеет возможности сократиться,
так что в правой части должно стоять дробное число. Это противоречие
и доказывает теорему.
4. Прием для нахождения рациональных делителей полинома.
Пусть задан полином
ao + alX+ ...+ ап_ххп~л + х9.
Требуется определить, не имеет ли он множителей ср (х) с рациональ-
рациональными коэффициентами более низкой, чем я-я, например и-й степени;
другими словами, не имеет ли места разложение B.2). Предположим;, что
имеет место f(x) =¦ ср(лг) ¦ ty(x). Для определения множителей ср(лг) и ty(x)
выберем произвольно й+1 целых рациональных значений х=хо,хьх^,...,хп
и станем подставлять их в равенство f(x) = <f(x)ty{x). Получим;
/to = «P to • Ф to, /(*l) = ? to «г to- • • •. /(О = «P to Ф Ю-"

§ 2. Неприводимые полиномы 67
Эти равенства показывают, что каждое значение <р(л^) искомого по-
полинома fixj) является делителем числа /(*,). Но так как каждое целое
число имеет лишь конечное число множителей, то нам предоставляется
конечное число различных предположений относительно величины <р(л:,).
Комбинируя эти предположения для всех i = 0,1,2,..,, п (не будем
кроме того забывать, что каждое предполагаемое значение ср (л:,.) может
иметь или положительный или отрицательный знак, что еще увеличивает
число подлежащих испытанию комбинаций), мы получим некоторое
(практически довольно большое) число гипотез относительно значений
<?(х0), f(Xj), ..., »(л:п). Каждую из этих гипотез необходимо проверить,
т.е.: 1) пользуясь формулой Лагранжа (§ 1.5), построить полином <?(.*),
дающий испытуемые значения для ср (д;0), ср (л^), ..., ср (л;п). Проверка
считается давшей положительный результат, если построенный полином
окажется и-й (вообще ниже й-й) степени; 2) полином f(x) должен
делиться на построенный нами полином ср(лг).
Если окажется, что ни при какой из гипотез полиномы ср(лг) не
удовлетворяют этим требованиям, то мы в праве заключить, что поли-
полином f{x) неприводим.
5. Описанный прием требует больших выкладок, так как число
испытаний, равное 2n+1 • а>0 • (ог ... <ап, где <ot—число множителей числа
f(xi) [включая само f(xt) и единицу], может оказаться на практике
очень большим. Поэтому существует много частных приемов, позволяю-
позволяющих по тем или иным признакам сразу исключать некоторые из гипотез.
Один из таких приемов описан в книге Е. Netto, Vorlesungen fiber
Algebra, Bd. I, Lpz. 1896, стр. 53—55. Мы их приводить не будем,
а вместо этого опишем прием, облегчающий проверку гипотез в том
случае, если в качестве х0, xJt хъ ...', хп взяты последовательные числа
натурального ряда (или вообще если они составляют арифметическую
прогрессию). В этом случае нет необходимости строить для каждой ги-
гипотезы соответствующий полином <р(х), а достаточно убедиться, что раз-
разности и-го порядка от последовательности ср (л:0), ср (л^),..., ср (л;п) имеют
постоянное значение. В самом деле, первые разности полинома и-й
степени ср(лг) являются значениями полинома
степень которого на единицу меньше. Вторые разности являются значе-
значениями полинома (и — 2)-й степени, и т. д. Наконец разности и-го по-
порядка являются значениями полинома (и — и)-й степени, т. е. постоян-
постоянной величины.
6. Пример. Возьмем /(х) = х* — 5х*+ 13х» — 22х* + 27х— 20. Получаем
/(_2) = -2*.5*.7, /(-1) = -28.11, /(О)=-2*-5, /A)=-2-3, /B) =
= -j-2, /C) = 2* • 13. Этот случай требует испытания 2*-18-8-6-4-2-6 = 2654208 ги-
гипотез. Практически конечно весьма затруднительно проверить все эти гипотезы
без облегчающих приемов. Рассмотрим одну из этих гипотез, которая приво-
приводит нас к цели:
<Н-2)=14,.<р(-1) = 8, <р@) = 4, <РA) = 2, <рB) = 2, <рC) = 4.
Составим таблицу последовательных разностей:
14, 8, 4, 2, 2, 4,
— 6, -4,-2, О, S,
2, 2, 2, 2.

//. Группа Галуа
Из этой таблицы видно, что уже вторые разности дают постоянную величину
Отсюда следует, что выбранные нами делители чисел /(х») являются значениями
некоторого квадратичного полинома. Строим его по формуле Лагранжа и получаем:
<р(х)=х» — Зх+4.
Для окончательного контроля делим /(х) на <р(х), что дает нам:
Xs — 5Х* + 13Х3 — 22х* + 27х — 20 = (х* — Зх + 4) (х3 — 2х* + Зх — 5).
7. Для нахождения рациональных делителей полинома можно пред-
предложить еще другой прием. Именно, если полином f{x) имеет множитель
и-й степени с рациональными коэффициентами, то, обозначив его корни
/которые являются также корнями полинома/(а:)] через х1г хъ ..., хи,
обратим внимание на то, что все элементарно-симметрические функции
т xlt х2, ..., хи суть рациональные числа. Пусть ^ = ty(xlt х2> ..-,ха)
°удет одна из таких элементарно-симметрических функций. Производя
бад величинами xv дг2,..., хн всевозможные перестановки симметрической
нруппы порядка п\ (т. е. заменяя, их всеми возможными путями через
* и!
*ь х%, ..., хи, хи+ !,..., х„), мы получим s=*Cn = ц!(п_ц)! различных
функций
*1> 'г» • • •» *«•
Коэффициенты полинома .
-F-у F-д.... (е-ел
являются симметрическими функциями от xvxz, ...,хп и потому рацио-
рационально выражаются через коэффициенты полинома f(x). Вычислив эти
коэфициенты, мы приведем вопрос к нахождению рациональных корней
полинома F(l). В самом деле, зная рациональные корни для каждого из
уравнений, соответствующих всем элементарно-симметрическим функциям
от корней искомого полинома, мы сейчас же получаем и самый полином.
8. Критерий неприводимости Эйзенштейна. Приведенный в п. 6
пример убедил нас в том, что пользование общим приемом для нахожде-
нахождения рациональных множителей полинома встречает на практике большие
затруднения. В виду этого в разное время было предложено несколько
частных критериев, позволяющих в некоторых случаях убеждаться, что
данный полином неприводим. Приведем один из таких критериев, при-
принадлежащий Эйзенштейну (Eisenstein):
Теорема 43. Если все коэффициенты полинома
/(*) = й0 + ajx + ... + ап_ххп-J + Xя,
кроме последнего ап = 1, делятся на какое-нибудь простое число р,
но при этом первый коэффициент а0 не делится на р2, то полином
f(x) непривод: im.
Доказательство. Допустим противное, т. е. пусть имеет место
разложение
B.4) ао
=(fte+ btx + . .. + bu_lXu-x + (xu)(c0 + схх

§ 2. Неприводимые полиномы 69
где коэффициенты Ь,, с* должны быть целыми рациональными числами.
Тогда один из коэффициентов Ьй, с0 в силу равенства а0 = ЬдС0 должен
делиться на р, а другой нет. Пусть делится на р коэффициент Ьо, и пусть
Ьк будет первый из коэффициентов Ь(, не делящийся на р (так что Ьо,
Ьь ¦ • • ,Ьк_х делятся на р). Приравняем коэффициенты при хк в обеих ча-
частях:
Левая часть, согласно условию задачи, делится на р. В правой же
части член" bhc0 не делится на р, остальные же члены, благодаря множи-
множителям Ь{, делятся на р; в силу чего правая часть не может делиться на р.
Это противоречие доказывает невозможность разложения B.4). Таким
образом теорема доказана.
8. Пример. Рассмотрим полином
B.5) . *Llll=xP-i+xr-*+... + x+lt
где р какое-нибудь простое число. Этот полином имеет корнями так называемые
корни из единицы и называется полиномом деления круга. Чтобы
доказать его неприводимость, сделаем в нем подстановку х = г -f-1. Получим:
B.6)
Все коэффициенты Ср1 = Р Р~ ' '"„ Т —— ('=1.2,....р—Л делятся на р,
причем последний коэффициент С/~1=р делится на р, но не на р!. В силу этого
полином B.6) неприводим, откуда также следует неприводимость полинома B.5).
Докажем неприводимость более общего полинома
B.7)
Делая опять подстановку х — z + 1, получим:
Т р Т • • • Т рП Т рп
«и —1_1 1 «м — 1 _ 2 »* — 1 — 2 и» — 1 —
Стоящие в числителе и в знаменателе этого выражения, полиномы имеют коэф-
коэффициенты, делящиеся на р, кроме старших коэффициентов. Вместе с тем полином-
числитель делится на полином-знаменатель и, как нетрудно усмотреть из самого
процесса деления, в полиноме-частном тоже все коэффициенты, кроме старшего,
делятся на р. Свободный член этого полинома мы получим, если в нашем дроб.
р я_1 „_1_1 п_1
ном выражении положим г = О. Получится СРп : СрП—\ = рп :р = р. От-
Отсюда следует, что этот полином удовлетворяет условиям критерия Эйзенштейна
и потому неприводим.
10. Основное свойство неприводимых полиномов.
Теорема 44. Пусть f{x) неприводимый полином. Если известно,
что полином F(x) имеет с f(x) хотя бы один общий корень, то
отсюда следует, что F{x) делится на f(x). При этом мы предполагаем
коэффициенты обоих полиномов рациональными числами.

70 П. Группа Галуа
Доказательство. Если а—общий корень обоих полиномов,то оба
полинома имеют в качестве общего множителя X—а. Поэтому их общий
наибольший делитель не может быть постоянным числом. Если предпо-
предположить, что степень этого общего наибольшего делителя ниже, чем у /(#)>
то этот общий наибольший делитель может быть найден при помощи
алгоритма Эвклида (см. § 1.4) и потому тоже имеет рациональные
коэффициенты. Но это противоречит неприводимости полинома f{x).
Следствие. Существует один и только один неприводимый
полином с рациональными коэффициентами, которому удовлетворяет
заданное алгебраическое число.
§ 3. Понятие поля. Типы полей. Основные свойства полей алгебраи-
алгебраических чисел.
1. Определение поля. Совокупность величин, над которыми можно,
не выходя из совокупности, производить четыре арифметических дейст-
действия, мы будем называть полем. Относительно этого понятия русская
терминология не вполне установилась. Поле у нас называют также
областью, корпусом или телом. Термин „поле" употребителен
в школе Д. А. Граве, к которой принадлежит автор и которая у нас
привнесла наибольшее количество результатов в теорию полей.
2. Остановимся подробнее на аксиомах, определяющих понятие
поля.
Полем называется совокупность некоторых элементов, для ко-
которых введены два закона композиции, подчиняющиеся следующим
аксиомам:
Аксиома I. Все эл'ементы поля образуют абелеву группу отно-
относительно первого закона композиции (будем обозначать его знаком
+ и называть сложением).
Аксиома II. Все элементы поля, за исключением единицы первой
группы (которою мм будем называть нулем), образуют абелеву
группу относительно второго закона композиции (который мы
будем называть умножением).
Аксиома III. Произведение элементов поля равно нулю тогда
и только тогда, если один из них равен нулю.
Аксиома IV. Имеет место дистрибутивный закон:
а (Ь + с) = ab + ас.
3. Типы полей. Совокупность всех рациональных чисел является
полем, с которым мы имели дело уже в элементарной математике. Будем
для краткости называть его рациональным полем.
Совокупности 1) всех вещественных чисел, 2) всех комплексных чи-
чисел, 3) всех алгебраических чисел, т. е. чисел, удовлетворяющих
алгебраическим уравнениям с рациональными коэффициентами, являются
также полями.
Совокупности рациональных функций от одной или нескольких пере-
переменных, коэффициенты которых представляют собой рациональные числа
(или вообще принадлежат какому-нибудь заданному полю), называется
полем рациональных функций.

§ 3. Паля. Алгебраические числа 71
Пусть дано одно или несколько алгебраических уравнений с рацио-
рациональными коэффициентами. Совокупность рациональных функций от корней
этих уравнений составляет поле, называемое полем алгебраиче-
алгебраических чисел. Этими полями мы и будем главным образом заниматься
в дальнейшем.
Совокупность рациональных функций от нескольких переменных, свя-
связанных одной или несколькими алгебраическими зависимостями, назы-
называется полем алгебраических функций.
Существуют поля, состоящие из конечного числа элементов. Приме-
Примером таких полей может служить совокупность классов сравнений по
простому модулю. Причина, почему совокупность классов сравнений по
составному модулю не является полем, заключается в том, что аксиома III
требует, чтобы произведение двух элементов поля равнялось нулю тогда
и только тогда, если по крайней мере один из множителей равен нулю.
В то же время сравнение х «_у=0 (mod mn) может быть удовлетворено,
если мы положим х = т, у = п, причем ни от ни л не сравнимы с ну-
нулем пр модулю тп.
Конечные поля самого общего вида получаются, если мы станем рас-
рассматривать рациональные функции от корней полиномов, неприводи-
мыхпо простому модулю р, т. е. несравнимых по модулю р с про-
произведением полиномов более низкой степени, и при этом отбрасывать
кратности р. Эти поля носят название полей мнимостей Галуа
или полей сравнений по двойному модулю.
Наконец Гензель (К. Hensel) ввел в рассмотрение поля, природа ко-
которых совершенно отлична от природы числовых и функциональных
полей, так называемые поля р-адических чисел. Элементами поля
р-адических чисел являются бесконечные ряды аа + а^р + а^р* + ...,
расположенные по возрастающим степеням простого числа р с целыми
рациональными коэффициентами. Такие ряды всегда расходятся. Тем не
менее над этими рядами можно производить формальные действия сло-
сложения и умножения, которые удовлетворяют всем аксиомам поля, р-адиче-
ские числа служат прекрасным инструментом при изучении свойств
обыкновенных алгебраических чисел.
4. Свойства полей алгебраических чисел. Мы ввели понятие поля
алгебраических чисел, как совокупности рациональных функций от одно-
г о или нескольких корней алгебраических уравнений. Покажем, что
всякое такое поле можно рассматривать, каи образованное корнем одного
уравнения: Другими словами, докажем
Теорему 45. Во всяком поле, образованном корнями а1(
яг>• • • > %т алгебраических уравнений
с рациональными коэффициентами (которые могут частично или полностью
совпадать), существует примитивный элемент, т. е. элемент, через
который могут быть рационально выражены все элементы поля.
Доказательство. 1°. Рассмотрим случай двух уравнений. Пусть
хх, х2,..., хг будут корни уравнения Д (х) = 0 и"^, Уг, • • • ,У.—корни

72 П. Группа Галуа
уравнения/2 (л:) = 0. Рассмотрим величину 6 = сх1+у1, где рациональ-
рациональное число с подберем так, чтобы ни одно из равенств
C.1) cxi + yk = cxi+yl (i,/ = l,2,...,r,k,l=l,2,...,s)
не имело места, если только не имеет места сразу i =j и k = I. Докажем,
что 6 есть примитивная величина поля, образованного величинами xt и уг.
Уравнения
C.2) /1(дг)=О,/2@-«) = О
имеют общий корень xv Других общих корней они не могут иметь, так
как если бы например х% был корнем /2 F — сх) = 0, то имело бы
место например 6 — сх2=у{, откуда 6 = cx1+yz = cx2+yi, что про-
противоречит условию. Применяя к левым частям уравнений C.2) алгоритм
Эвклида, получим линейный полином типа х—А, который имеет корнем
величину хх и коэффициент которого А = А (б) есть рациональная функ-
функция от 6. Поэтому
хг
откуда
Таким образом л^, уъ а с ними все величины поля, рационально
выражаются через б, ч. и т. д.
2°. В 1° мы убедились, что две величины xlt ylf производящие
поле, можно заменить одной примитивной величиной 6. Если поле
образовано тремя корнями хъ уг, гг алгебраических уравнений, то эти
величины можно заменить величинами в и zv Но 6 есть корень алге-
алгебраического уравнения
с рациональными коэффициентами, а потому к б и zx можно также при-
применить прием, описанный в п. 1°, т. е. заменить их одной примитивной
величиной вида б + сггг = ух + схг + -cxzx. В случае четырех величин,
производящих поле, придется еще раз применить прием 1°, и т. д.
Таким образом любое количество корней можно заменить одним корнем,
ч. и т. д.
Следствие. Если х, у, г,... — величины, производящие поле,
то примитивную величину поля можно подыскать в виде сгх + сгу-\-
Cg2 ¦+••••, где сг, с2, с3,... специально подобранные рациональные
числа.
Упражнение 24. Поле задано величинами У2 и у 3. Доказать, что ве-
величина Ъ-=У2 + ~у~Ъ является примитивной величиной поля, найдя для
и У~Ъ следующие выражения через в:
1Ло_ 8"+ 66-3 3 26* -46 + 3
У 36* + 2 ' У Зб* + 2 *

§ 3. Поля, Алгебраические числа - 73
5. Теорема 46. Любая величина поля алгебраических чисел
удовлетворяет алгебраическому уравнению с рациональными коэффи-
коэффициентами. *)
Доказательство. Пусть 6—примитивная величина поля К, удо-
удовлетворяющая уравнению
C.3) /F) = О
с рациональными коэффициентами, и пусть б1( ба,..., бп буду г все
корни этого уравнения (будем считать его освобожденным от кратных
корней). Пусть (; =/? F) будет величина поля К, т. е. рациональная
функция от 6. Тогда \ будет удовлетворять уравнению
C.4) g(t) = {t-R^it-R^))... (t-R(On)) = О,
коэффициенты которого, как симметрические функции от б1( 6^... ,6Я#
рационально выражаются через коэффициенты уравнения C.3), ч. и т. д'
Отметим, что степень уравнения C.4) та же, что и уравнения C.3).
6. Возникает вопрос, в каком случае величина % = R F) является
примитивной величиной поля. Чтобы ответить на этот вопрос, будем
предполагать уравнение C.3) неприводимым и докажем
Теорему 47. Величина ? = /?F) является неприводимой вели-
величиной поля тогда и только тогда, если все сопряженные величины
ад, я(еа) Жи
различны между собой.
Доказательство. 1°. Условие достаточно. Действительно, при
соблюдении этого условия уравнения
где ?! = R Fj), могут иметь только один общий корень б1( так как
в противном случае имело бы месго например %х = R (бх) = R F,). По-
Поэтому, производя над f(x) и R (х) — (^ алгоритм Эвклида, мы получим
в качестве их общего наибольшего делителя линейный полином х — /?(?i),
имеющий корнем bv Поэтому величина 6lt а с нею и все величины поля,
рационально выражаются через ^.
2°. Условие необходимо. Действительно, допустив, что имеет место
например R(x1)=R(x2), мы видим, что уравнение C.4) имеет кратные
корни, а потому степень т неприводимого уравнения, которому удовлет-
удовлетворяет ?lt ниже степени п уравнения C.3). Вместе с тем если мы пред-
предположим, что бх рационально выражается через ?ъ то, пользуясь теоре-
теоремой 46, мы построим уравнение степени т, которому удовлетворяет 0х.
Это противоречит неприводимости уравнения C.3).
Степень неприводимого уравнения, которому удовлетворяет примитив-
примитивная величина поля, не зависит, как мы убедились, от выбора примитивной
величины и носит название степени поля.
*) Задача нахождения уравнения, которому удовлетворяет величина поля, т. е.
рациональная величина от корня заданного уравнения, носит название задачи
Чирнгаузена.-

74 . П. Группа Галуа
7. Рассмотрим случай, когда некоторые из величин R F,) (/ =1,2,... ,и)
равны друг другу. Пусть
в то время как остальные величины /?F,) (/ = т + 1 ,. ,.,п) не равны
/?Fj). Тогда полином C.4) равен /ге-й степени некоторого неприводи-
неприводимого полинома h(f). В самом деле, пусть h(t) будет неприводимый по-
полином, который имеет корнем %. Тогда очевидно, что g(t) делится точно
на да-ю степень h{t) (теорема 44). Положим g(i) = [h(i)]m • gyit), где
?i(t) взаимно простой с А(/) полином. Докажем, что gy(t)—постоянная
величина. До.пустив противное, будем в силу формулы A.3") иметь:
и @ h @ + v{f)gl(t)=l,
где и (/) и v (t)—полиномы. Подставляя t = R (х), получим:
C.5) и [R (х)] • h [R D] + v [R (х)] • gl [R (x)] = 1.
Вместе с тем gy{i) имеет в силу C.4) корень вида /?(б,), в силу
чего рациональная функция (вообще говоря дробная) gt [R(x)] должна
иметь в числителе полином, имеющий с /(х) общий корень 0, и потому
в силу неприводимости f(x) и теоремы 44 делящийся на f(x). В силу
этого gt[R@,)] = 0 A = 1, 2,,.., я). Точно так же докажем, что
h \'R (G()] = 0 (г = 1, 2,..., П). Подставляя в C.5) х = 0,., получим 0 = 1,
т. е. противоречие. Отсюда заключаем:
Теорема 48. Если 0lt 62,..., в„ — корни неприводимого поли-
полинома f(x), a R (х) — рациональная функция (знаменатель которой
не делится на f(x)), то полином
есть степень неприводимого полинома.
v В случае т>1 величина Z1 = R(Q1) производит не все поле,
•а только его часть, или, как мы будем говорить, делитель поля.
8. Теорема 49. Если 0 примитивный элемент поля степени п,
то всякий элемент этого поля можно представить в виде полинома
степени не выше п—1:
где коэффициенты а0, аг ап-\ — рациональные числа. Это пред-
представление единственное.
Доказательство. 1°. Пусть элемент поля задан в виде \ = Ттгт»
где ср (х) и ty(x) взаимно-простые полиномы (иначе дробь можно было
бы сократить). Полином ty{x) должен быть взаимно простым с f(x), так
как иначе знаменатель дроби обращался бы в нуль, и дробь имела бы
бесконечное значение. Поэтому и в силу формулы A.3") имеет место

§ 3. Поля. Алгебраические чирла. . - 75
где и{х) и v(x) некоторые полиномы. Подставляя сюда х = 6, будем
в силу/F) = 0 иметь:
откуда ? = |4Д = <р F) • v F). Таким образом мы всегда можем пред-
представить каждую величину поля в виде полинома от 6.
2°. Пусть % = у{Ь), где %(х) — полином. Если его степень выше
и — 1, то разделим его на f{x). Получим х(х) =f(x)q(x) + / (х), где
г(х) — полином степени не выше п—1. Подставляя х = б, получим
¦/.(«) ='(в), ч. и т. д.
3°. Докажем, что каждая величина поля может быть представлена
в форме C.6) однозначно. Допустим противное, т. е. пусть имеет место
где не все ai=b{ (г =0, 1, 2, ..., п—1). Тогда полином
(«„_! ~ V.0 х"-1 + (ап_2 - Ьп_2) л" + .;. + (в1 - Ьг) х+ (а, - Ь0)=0
должен иметь с f(x) общий корень и потому в силу теоремы 44 делится
на f(x), что невозможно, так как его степень ниже, чем степень f(x).
9. Если величина % поля задана в нормальном виде C.6), то
изложенный в п. 5 прием построения уравнения, которому удовлетворяет
\, может быть вамеиен более удобным практически приемом. Пусть
? = ав + ах6 -J- ... + аи_16"~1. Будем умножать обе части этого равен-
равенства последовательно на 1, б, б2,..., Ьп~1 и понижать степени получаю-
получающихся полиномов при помощи описанного в п. 8, 2° приема. Пусть мы
получим:
C.7) %Ь = а
ол
Перепишем эту систему так:

II. Группа Галуа
и станем рассматривать ее, как систему однородных уравнений относи-
относительно неизвестных 1, 6, б2,..., 6П~\ Так как она допускает отличное
от нуля решение, то ее определитель должен быть равен нулю, т. е.
C.8)
"о —*» «l» •••» «n_i
«o,i» ei,i — &» •••» e._i,i
= 0
Это равенство представляет собой уравнение га-й степени относи-
относительно \ и должно совпадать с уравнением C.4).
10. Неприводимость в иррациональных полях. Обобщим понятие
неприводимости на случай, когда коэффициенты полиномов уже. не явля-
являются рациональными числами, а принадлежат к заданному полю. Будем
говорить, что полином приводим в поле AT, если его можно раз-
разложить на произведение полиномов более низкой степени, коэффициенты
которых суть величины поля К.
Пример. Полином лс* —|— 1 неприводим в рациональном поле, но в поле
Ъ) (т. е. поля рациональных функций от У~2) приводим. Действительно,
Все свойства, имеющие место для неприводимых в рациональном поле
полиномов, сохраняют свою силу и для полиномов, неприводимых в поле К-
В частности, теорема 44, которая имеет для нас особо важное значение,
без труда распространяется и на обобщенное понятие. Для доказатель-
доказательства достаточно, ничего не изменяя, повторить данное нами доказатель-
доказательство теоремы 44.
Однако те практические приемы, которые мы предложили для распо-
распознавания приводимых и неприводимых полиномов, здесь уже не могут
быть проведены. Основная причине этого заключается в том, что каждое
целое алгебраическое число (здесь мы не будем останавли-
останавливаться на этом понятии) может быть представлено в виде произведения
двух целых чисел бесчисленным числом способов, в силу существования
так называемых алгебраических единиц. Например, если в поле
АТСИ^) имеет место разложение &=$'•(, то будут также иметь место
разложения а = [§ . (J/ -|- if]. [T fl/ — 1)"] (га = 0, 1, 2, ...), так
как (У^2-|- 1) (]^2— 1)= 1. Этих различных разложений бесчисленное
множество. Таким образом вопрос, разобранный нами в § 2.1, не может
быть непосредственно обобщен на случай полиномов с иррациональными
коэффициентами.
_ 3
Упражнение 25. Взяв данные упражнения 24: в = У2 + У~3, доказать,
что в удовлетворяет уравнению в»—ев* — бв» -|- 12в*—126 +1 = о.
Упражнение 26. Найти выражения l/" и У~Ъ через 6=|/~2+У"8
в нормальной форме.
Упражнение 27. Пусть в8 — Зв + 3 = О. Доказать, что ? = в» — 1 удорле-
2
творяет уравнению 58 —ЗР—5 = 0. Выразить обратно в через ?: в=—--)-

§ 4. Группа Галуа 77
§ 4. Соотношения между корнями. Группа Галуа. Составление
основных модулей.
1. Подстановки, не нарушающие соотношений между корнями.
Теперь мы приступаем к выяснению самых основных понятий теории
Галуа. Сначала дадим определение группы Галуа в самой абстрактной
форме. Пусть уравнение (будем предполагать его лишенным кратных
корней)
D.1) Ях)=хп+.а1хп~1 + ... + ап_1х+ап = О
имеет корни xlt x2,..., хп. Между этими корнями будут иметь место
соотношения, имеющие форму полиномов с коэффициентами, рационально
зависящими от коэффициентов alt «а,..., ап уравнения D.1), а также от
величин, которые мы будем задавать заранее и которые образуют поле,
называемое областью рациональности. Примером такого рода
соотношений могут служить соотношения между элементарно,-симметри-
ческими функциями от корней и коэффициентами:
хп
-1 хн = а2,
(-1ГЧ-1.
Обратим внимание на то, что, какие бы перестановки между кор-
корнями хъ х2,. •., хп мы ни производили, соотношения D.2) будут оста-
оставаться справедливыми. Поэтому говорят, что соотношения D.2) не нару-
нарушаются от всевозможных подстановок между корнями.
Существуют уравнения, между корнями которых имеют место соотно-
соотношения, отличные от соотношений D.2). Примером может служить урав-
уравнение
D.3) я4 + х3 -I- х2 + х + 1 = О,
имеющее, как известно, корнями корни 5-й степени из единицы:
(
*1 = «, xt = e2, xz = е3, х4 = е4 ^ в =
Между этими корнями имеют место, как известно, следующие соот-
соотношения:
D.4) xtxt = 1, х^ха = 1, Jf^Xa =1, x1ixi= 1.
Не всякая подстановка между корнями будет сохранять эти соотно-
соотношения в силе. Например, подстановка (xlt x^ нарушает первое из соот-
соотношений, переводя его левую часть в x^x^ т. е. величину, равную е,
а не единице. Производя испытание над каждой из 24 подстановок снм-

78 II. Группа Гдлуа
метрической группы 4-й степени, мы убедимся, что из них не нарушают
соотношений D.4) следующие подстановки:
1» G*i» Х2> xi> -^з)) (-"ii xt) (хг> хз)> (xi> xa> xi> хг)-
Эти подстановки образуют циклическую группу.
2. Поставим вопрос в общем виде. Пусть между корнями уравнения
D.1) имеют место соотношения
D.5) ъ (xv х2,..., хп) = О (I = 1,2,...),
вообще говоря в бесконечном числе, и пусть соотношениями D.5) исчер-
исчерпываются все возможные соотношения между этими корнями. Относи-
Относительно каждой подстановки симметрической группы между xv х2,..., хя
всегда можно сказать (по крайней мере теоретически), нарушает ли она
хоть одно из этих соотношений или .сохраняет все их в силе (т. е. пе-
переводит каждое соотношение D.5) в какое-нибудь из этих же соотно-
соотношений). Докажем
Теорему 50. Совокупность всех подстановок, не нарушающих
всех возможных соотношений между корнями алгебраического урав-
уравнения, образует группу.
Доказательство. Пусть S и Т будут подстановки, не нарушаю-
нарушающие ни одного из соотношений D.5). Если мы применим подстановку 5
к какому-нибудь из соотношений D.5), например к y((xlt х2,..., хп) = 0,
то должны получить другое соотношение, действительно имеющее
место и потому встречающееся среди соотношений D.5), скажем
% (xi> хъ> • • •> *«) = 0- Если к этому соотношению применить подста-
подстановку Т, то соотношение перейдет опять в одно из соотношений D.5),
скажем в ук (xlt xt,.., х„) = 0. Но последовательное применение к соот-
соотношению tp, (х 1} xty... л:„) = 0 сначала подстановки S, а затем 7>равно-
сильно применению сразу подстановки 5 • Т. Таким образом выходит, что
применение к соотношениям D.5) подстановки 5 • Т переводит их в суще-
существующие соотношения, так что произведение 5 • Т тоже входит в нашу
совокупность.
Не трудно также показать, что вместе с S входит в совокупность и
обратная подстановка 5~1. Всякая подстановка имеет конечный порядок,
т. е. существует такое ш, что 5™ = 1. Отсюда ST1 = Sm~l. Но поло-
положительная степень принадлежащей к совокупности подстановки тоже
в силу доказанного принадлежит к совокупности, ч. и т. Д.
Группа подстановок, не нарушающих всех возможных соотношений
между корнями уравнения f(x) = 0, носит название группы Галуа
или просто группы этого уравнения.
3/ Основные модули. Теперь разберем вопрос о фактическом нахож-
нахождении группы Галуа уравнения D.1). Из всех соотношений D.5) рассмот-
рассмотрим сначала соотношения, в которые входит только один из корней
нашего уравнения, например xv Т1усть Ф^^гО будет одно из таких
соотношений и f^x) = 0 будет неприводимое уравнение, которому удо-
удовлетворяет хх. Тогда Ф(х) = 0 и /х(х) = 0 имеют общие корни, а потому
на основании теоремы 44 Ф(х) должно делиться на fx{x). Таким образом
ф (х) ав 0 имеет место для всех корней неприводимого множителя fx(x)

§ 4. Группа Галуа
полинома f(x). С другой стороны, fx(x^) = 0 само по себе является соот-
соотношением, которое нарушается от всех подстановок, переводящих хг
н корень Дх) = О, не являющийся корнем fL(x) = 0. Таким образом вся-
всякая подстановка группы Галуа может переводить каждый корень в корни
того же неприводимого уравнения. Если в частности уравнение D.1)
неприводимо, то соотношения, в которые входит один корень, не накла-
накладывают никакого ограничения на его группу Галуа. Если же уравнение
D.1) приводимо, то сразу видно, что его группа Галуа интранзитивна.
Таким образом левая часть всякого соотношения Ф (л:л) = 0, содержа-
содержащего только один корень xlt должна делиться на неприводимый поли-
полином fi(x), которому удовлетворяет xv Будем записывать это так:
Ф(лг)=^О (mod/,(*)),
где х теперь надо считать переменной величиной. Полином /г(х) будем
называть первым основным модулем.
4. Рассмотрим теперь соотношения типа D.5), в которые входят два
корня, например л^ и х2. Разложим левую часть уравнения D.1) на не-
неприводимые множители в поле К(хг) (т. е. в поле рациональных функций
от хг) и обозначим тот неприводимый полином, которому удовлетворяет jr8,
через /ч{х1у х). Пусть Ф^, х2) = 0 будет какое-нибудь соотношение
между корнями хг и х2. Рассмотрим полином Ф(л:1; х), который мы будем
считать полиномом от переменной х с коэффициентами из поля К{хл).
Тогда в силу теоремы 44 полином Ф(л:1( х) должен делиться на f^x^.x):
Ф(х1>Х)^0 (mod ffa, x)).
Обратно, если W(xltx)^0 (modf^xlt x)), то xV(xv х2) = 0, так как
•) = 0.
Пусть степень полинома f-^x) есть гах и степень полинома /2(х1у х)
есть п2. Будем считать, что в f2(xv x) величина х1 входит, как полином.
В § 3.8 мы видели, что это возможно. Считая \х н ?а переменными, раз-
разделим Ф(?1? ?а) на /a(?lt ?a), по переменной ?а. Это можно выполнить, не
вводя дробных функций от iv так как коэфициентом при ?а у поли-
полинома f^j, ?a) служит единица. Тогда мы получим:
D-6) ®(Si,y=/2&,Q
где полином iilltl2) имеет степень не выше и2—1 относительно ?а. Если
подставим сюда ^ = х1г то уравнение г{хх, Ъ2) = 0 имеет корнями все
корни уравнения f2(xv \2) = 0, а потому, будучи более низкой степени,
тождественно обращается в нуль (т. е. обращаются в нуль все его коэф-
коэффициенты при степенях $а). Поэтому все коэффициенты при степенях ^
полинома /(:1,'ЕЯ)» имея с неприводимым полиномом f^l^) общие корни,,
делятся на него в силу теоремы 44, и таким образом полином r(Zv ;a)
может быть представлен в форме ffa) • д^ъ ?а), где qfa, $a) некоторый
полином, так что формула D.6) приобретает вид
D.7) ф(?1( ?а)
где q$x, ?г) и q^, %2) — некоторые полиномы от ^ и %2.

¦SO II. Группа Галуа
Теперь обратим внимание на следующее. Если мы заменим х^ на
любой другой корень х{ полинома /i(*i), то f^xltl^) [а потому в силу
D.7) и Ф(?1} ?2)] будет иметь корнями какие-то корни полинома D.1).
Действительно, f(xlt &а) есть неприводимый в поле К(хх) делитель поли-
полинома /Ю-. Пусть
. /су = F.- *!>/, (*i, у/Л*1, у • • • /Л*ь у
будет разложение полинома Д?а) на неприводимые в поле К(хг) поли-
полиномы. Придавая ?а произвольное рациональное значение, мы получим
уравнение относительно хх, левая часть которого (после переноса всех
его членов в левую часть) должна делиться иа f-^x^) в силу теоремы 44,
т. е. обращаться в нуль, если мы на место хг подставим х(. Отсюда видно,
что fJxv &а) есть делитель /(&а) и даже J^-~, т. е. имеет корнями (уже
,. *»"" х*
f относительно &а) некоторые из величин xlt xz,..., xn, отличные от xv
)[ П f( ) 0 ( б
)
а) р lt z,, n v
Поэтому мы всегда можем в fB(xlt х2) = 0 (а следовательно и в любом
соотношении между xt и х2) заменить х1 на любой корень полинома
/i(x), а х2—на какой-то другой корень, отличный от xt, без того, чтобы
соотношение нарушилось^ ~"fj*#QX?P-i'%~' „j*1* 6<$***?-
5. Перейдем к соотношениям типа Ф(хг, х2, хя) = 0. Пусть f?xit x2, S3)
будет неприводимый в поле K(xlt x2) полином, которому удовлетворяет
$3 = хг, и пусть его степень будет пъ. Разделим полином Ф {хъ х2, &3) на
A(xvxaJ3). Получим:
D.8) Ф (xv x2, S3) = /8(*lf x2, S3) • дя(хг, xa, S3) + r(xlt x2, ?3).
Остаток r(xltxitib), будучи степени не выше я3 — 1, имеет общий
с f(xlt x2, &s) корень S3 = xz, а потому в силу теоремы 44 тождественно
относительно &8 равен нулю. Поэтому если мы разделим Ф EЬ $а, S3) на
/(Si» ^a> U (ПРИ переменных Elf Sa, S3, но по переменной S3), то остаток
/•(?х, 63, &3) при произвольном S3 будет обращаться в нуль, если мы поло-
положим %1=х1> Sa = xa, а потому равенство г(хъ х2, S3) = 0 является соот-
соотношением между хл и л:а с S3 в виде параметра, и полином rElf Sa, S3)
может быть представлен в форме D.7), где &3 может входить в поли-
полиномы <7i и ^а в виДе параметра. Подставляя в D.8), получим:
г л о\ / Щь *»» У = Л (Si. Ь. S3) 93 Elt Sa, У + Л i
D.9) {
Полином fz(xlt x2, S3) является неприводимым в поле К(х1г х2) дели-
делителем полинома Д&3):
D^') Л«а) = /з(*1- *•. Ц) (W - *i) (?з - *«) ^(*i. ^а, У-
Это равенство при произвольном ?3 является соотношением между
хг и л:8, а потому в нем в силу рассуждений п. 4 можно заменить корни
xv хь ДРУими корнями х0 Xj, если при этом не нарушаются соотноше-
соотношения типа Ф (*b jcj) = 0. Поэтому полином /3(х{, хр &3) имеет корнями
(относительно $з) некоторые из корней xv хг,..., хп, пригом отличные

§ 4. Группа Галуа 81
от xf и Xj. Действительно, переводя в соотношении D.9') хх в х( и ха
в xJt мы получим:
.= /з (**, *у. У Gi — *t) &¦— */) ^ С**, */, У-
Здесь левая, а потому и правая, часть имеет корнями. хъ xz,..., ;еп,
причем л:, и л^ — корни множителей &3 — xt и &3— л^ правой части.
6. Обозначая через fk{xx, x%,..., xk_1,sk) неприводимый в поле
К(Х1,х2 хк-\) Делитель полинома /(&Д имеющий корнем \к = хк и
продолжая рассуждение для значений к = 4, 5,..., га, мы убедимся в конце
концов, что левая часть любого соотношения Ф(л:1; л:2,..., хп) = 0 может
быть представлена в следующей форме:
D.10)
где <7,(&!> 52i..., Sn ) (i = 1, 2,..., га) — полиномы с рациональными коэф-
коэффициентами. Таким образом каждая данная подстановка между корнями
х1г xz,..., хп сохраняет в силе всевЪзможные соотношения между
хи хг,.,.,хп тогда и только тогда, если она сохраняет в силе соот-
соотношения
/ л 1 л\ I Jl\ 1) — » Jz\xl> Х2/ —: и>
I /•(** *•, *•) = 0, , / (*lf х2 х ) = 0.
Левые части соотношений D.11) носят название основных моду-
модулей уравнения D.11). Они характеризуют группу Галуа в том смысле,
что каждая подстановка принадлежит к группе Галуа тогда и только
тогда, если она сохраняет в силе все соотношения D.11).
Кроме того, продолжая предыдущие рассуждения, мы убедимся, что
в группе Галуа будет существовать подстановка, переводящая хг в любой
корень ха первого модуля f^). Действительно, подставляя в /2(?i, E2)
Si = ха, мы получи-м полином, имеющий'корнями какие-то из величин
xi> X2i • - ¦ > xw отличные от ха. Выбирая произвольно любую из них, на-
например хл , и подставляя в третий модуль \\ — хл, iz = xa, мы получим
полином, имеющий корнями какие-то из величин xlt х2,..., хп, отлич-
отличные от ха и ха. Продолжая аналогичный выбор, мы придем к подста-
подстановке ( xi>xv ¦ •> хп \ не нарушающей соотношений D.11) и потому
принадлежащей к группе Галуа уравнения D.1). Подобное же заключе-
заключение мы можем сделать, если оставим несколько первых корней, напри-
например х1,х2,...,хк_1) неизменными и начнем аналогичное рассуждение
с к-го модуля.
7. Основные свойства группы Галуа.
Теорема 51. Для того, чтобы группа уравнения D.1) была
транзитивна, необходимо и достаточно, чтооы уравнение было
неприводимо.

82 //. Группа Галуа
Доказательство. Если хРавнение /(*) — 0 неприводимо, то.его
левая часть является' первым основным модулем. Поэтому, как мы уже
видели, можно найти в его группе подстановку, переводящую хг в любой
корень полинома f(x).
Если же уравнение f(x) a* 0 приводимо, то первый его основной
модуль /х{х) есть делитель Дх) и не совпадает с Дх). Переход от х±
к корню xf полинома f(x), не являющемуся корнем полинома fx{x), на-
нарушает соотношение fx{x) = 0 и потому не может быть осуществлен
с помощью какой бы то ни было подстановки группы Галуа уравнения
f(x) ш» 0., Таким образом в этом случае группа Галуа интранзитивна, и
притом его системы интранзитивности совпадают с системами корней
отдельных неприводимых множителей полинома Дх).
8. Обобщим эту теорему на случай кратной транзитивности. Второй
основной модуль всегда является делителем полинома ——, третий мо-
дуль—полинома п Q-L г, и т. д. Эти последние полиномы носят
I* — х\) \ч~ж») \
название модулей Коши (смн§ 1.7). Может случиться, что все или
несколько первых основных модулей уравнения D.1) просто совпадают
с модулями Коши. В этом случае имеет место
Теорема 52. Для того, чтобы группа Галуа уравнения D.1)
была k раз транзитивна, необходимо и достаточно, чтобы первые
его k основных модулей' совпадали с модулями Коши. .
Доказательство. Если « первых основных модулей являются
модулями Коши, то в силу предыдущих рассуждений мы можем найти
в группе Галуа подстановку, переводящую xt в любой корень первого
основного модуля, т. е. в любой другой корень ха уравнения D.1); за-
затем хй — в любой корень полинома „ —, т. е. в любой корень, отлич-
« — ¦*«,
ныя от ха, например, в дга; затем xz—в любой корень полинома
rz YTs г-, т. е. в любой корень, отличный от ха и ха; и т. д.;
наконец,. хк — в любой корень полинома tf ГгЪ ^г—тг~ —^
\i — xa>) (t — ха^)... \i—xaji _ j j »
т. е. .в любой корень, отличный от ха, ха,..., хл . Таким образом
группа Галуа удовлетворяет условию «-кратной транзитивности.
Обратно, предположим, что *-й (i < k) основной модуль уже не
совпадает с . модулем Коши, т. е. имеет корнями не все корни
xt, ¦*,•!!,•••> хп. Тогда, ведя рассуждение.лопрежнему, мы уже не сможем
перевести корень х{ в.любой корень, отличный от хл, ха,..., х ,
в силу чего группа Галуа не может быть k раз транзитивна.
. 9. Выясним связь между порядком группы Галуа и степенями основг
ных модулей. Эта связь может быть формулирована в виде
Теоремы 53. Порядок группы Галуа равен произведению
n1.ni...nn степеней основных мод. лей.
Доказательство. Пусть © будет группа Галуа уравнения D.1),
<Вк ее подгруппа, оставляющая на месте корни хь х2,..., х„ (к =

4. Группа ГалуЬ- -8S
= 1,2,..., п — 1). Определим индекс (©Л* ®t+1). В подстановках группы
©4 меняют сЬои места только корни xk + v xk + i,..., хп, которые мы и
будем считатЪ символами, подстановки между которыми даю г элементы этих
групп. ©А i 1 есть совокупность подстановок группы ©4, оставляющих на
месте символ хк+1. С другой стороны мы видели, что, закрепив
хъ*j,..., хр мы сможем найти в нашей группе Галуа подстановку,
переводящую хк + 1 в любой корень (&+1)-го основного модуля. Но
,так как число корней этого модуля равно его степени, т. е. пк + 1, то
л равно числу символов в той системе интранзитивности группы ®к,
в которую входит jft, а потому в силу теоремы 11 мы имеем:
D.12) *(©*:
Порядок группы ©„_! равен единице, так как, закрепив корни
xt, Xj,.,',., хя _ v мы сможем перевести. хп только в хп. С другой сто-
стороны, степень л„ л-го основного модуля всегда равна единице, так как
этот модуль можно всегда представить так:
где %—коэффициент при хп~1 в уравнении D.1). Пользуясь формулой
D.12), мы последовательно докажем, что порядок, группы ©„_а равен
пп_1 = пя_1пн, порядок группы ®n_8 — nn_t- пп1пп, и т. д. Нако-
Наконец порядок группы © равен пх • п2... л„, ч. и т. д.
10. Если группа Галуа есть симметрическая j группа, то она л раз
траизитивна, и потому все п основных модулей в силу теоремы 52 сов-
совпадают С модулями Кошй. Степени этих модулей равны соответственно
«, я— 1, л— 2,..., 3, 2, 1, и мы еще раз приходим к тому, что поря-
порядок симметрической группы равен л!
- Если группа Галуа есть знакопеременная группа, то она п — 2 раза
траизитивиа, а потому первые л—2 основных модуля должны совпадать*
с модулями Коши. Степень же (л—1)-го модуля Коши равна двум.
Если он ^неприводим, то мы в качестве группы Галуа получим симметри-
симметрическую группу (л-й модуль во всех случаях первой степени). Для слу-
случая знакопеременнсШ группы остается одна возможность, именно:
(п—1)-й модуль должен разлагаться иа линейные множители. Поэтому
степени последовательных основных модулей уравнения со знакоперемен-
знакопеременной группой Галуа таковы:
щ п — 1, л — 2,. ..,3, 1,1,
11. Теперь перейдем к доказательству одной из важнейших в теории
Галуа теорем, которая является обобщением теоремы 41 относительно
симметрических функций:
Те о р ?,м а 54. Функция от корней хх, х2,..., хп уравнения D.1),
не меняющая своей величины при всех подстановках группы Галуа,
рационально выражается через коэффициенты этого уравнения.
.Доказательство по существу почти не отличается от приведен-
приведенного нами доказательства теоремы 41. Пусть Ф (xlt xa,..., х„) будет
в*

84 _- II. Группа Галуа
полином, не изменяющий величины при всех подстановках группы Ралуа
уравнения D.1), и пусть а будет эта величина (число, быть может, ир-
иррациональное). Разделим Ф (хихг..., xn_v%n) на '/„ (xv, x2, .< ., xn_v {„).
Остаток ие будет здвисеть от &п, так как л-й модуль первой степени
и при $„==#„ должен принимать значение о. Значит, он вообще равен а.
В полученном выражении остатка Ф(хи xt,..., .'п1) заменим xni
на ?„_! и разделим на(я—1)-й основной модуль/п ., (xv хг,..., хп_%, 1п_г).
Остаток от деления Ф8 {хх, хг,..., xn_v 5и-1) принимает при cn_j = лгп_,
значение а, т. е. уравнение
D.13) Ф2 (*i, xit..., xn_v \n_J — o = 0
имеет корнем f?_1=*Ji_1« Но так как величина Фане меняет значения
при подстановках группы Галуа, а группа Галуа содержит подстановки,
оставляющие xv xt,..., xn_2 на месте и переводящие лги1 в любой ко-
корень (л—1)-го основного модуля, то уравнение D.13), будучи степени
ниже nn_v имеет Яя_1 корней и потому является тождеством относи
тельно 5я1. Это означает, что Ф2 не зависит от ?я_х и Фг (д;,, х2,..., •*я_2)=
— а. Во время производства операций наши функции, переставая зависеть
от некоторых корней, в то же время начинают зависеть от коэффи-
коэффициентов уравнения D.1).
Разделим Ф2 (х1г хг,..., *„_3> ?я_2) иа (п~~2)"й м°йУль-' Остаток от
деления Ф3 (хг, х2,..., xn_v SB_2) принимает при %п _2 =^ хп_г значение
о,- т. е. уравнение
D.14) Ф, (*1э х2,..., xn_v $и_2) - а = О
имеет корень i^__2 = xn_r Но функция Ф8 ие меняет своей величины,
?сли, оставляя на месте хх> х%,..., хп_г, перевести хп_г в любой другой-
корень (л—2)-го основного модуля. Поэтому уравнение {4.14), будучи
степени ниже ля_2, в то же время имеет ли_2 корня, в силу чего оно
должно обращаться в тождество, и т. д. Продолжая этот процесс, мы
в конце концов освободим выражение нашей функции от всех корней
хи х2,..., хп,не вводя никаких иррациональных выражений (величина а
ие участвует в процессах деления). Поэтому мы получим для нашей
функции (т. е. для величины а) рациональное выражение через коэффи-
коэффициенты уравнения D.1), ч. и .т. д.
Если Ф (*, x2f.., xn) дробная рациональная функция, те наы при-
придется повторить часть 2° доказательства теоремы 41.
12. Настоящее изложение основ теории Галуа отличается от обще-
общепринятого классического изложения. Идея того изложения, принадлежа-
принадлежащая Мертенсу (P. Mertens), развита более подробно в диссертации
С. О. Шатуновского. Лёви (A. Loewy) независимо от Шатуновского раз-
развил теорию, весьма сходную с теорией Шатуновского и идущую несколь-
несколько далее.
Эго изложение имеет, с одной стороны, то преимущество, что сразу
подходит к сути дела, не прибегая к искусственным построениям. С дру-

4. Группа Галуа • 85
гой стороны, его значение заключается в*том, что оно лает возможность
построить теорию Галуа,. не пользуясь теоремой о существовании корней.
Для этого следует рассматривать соотношения между корнями не как
равенства, а как сравнения. В самом деле, равенство D.10) показы-
показывает, что левая часть всякого соотношения между корнями является од-
однородной линейной комбинацией от основных модулей. Если записать
это равенство в виде сравнения:
Ф&, U У = 0 (modd Д,/»..., /J,
то определенный таким образом символ сравнения будет удовлетворять
всем требованиям, которые предъявляются к знаку равенства. Поэтому
вся теория Галуа может быть изложена в предположении, что величины
Jtj, jt,, ..., хп просто переменные, но зато в роли равенств рассматри-
рассматривать только -что упомянуть» сравнения по функциональным модулям flt
ft,..., /„. В диссертации Шатуновского теория Галуа проведена именно
так. Конечно, при строгом проведении этого принципа все доказатель-
доказательства проводятся сложнее, главным образом благодаря усложняющимся
ебозначениям.
12. Пример. Рассмотрим уравнение
D.15) 1 *
В § 2.9 мы видели, что, это уравнение непрнводимо. С другой стороны, обо-
2iri .
значая через xt его корень е р , мы выразим через него остальные корни так:
D.16) xt^x1\xs = x1t *p_i = xE1>-1.
Его первый основной модуль есть / E,), в то время как все модули, начиная
со второго, являются линейными «олиномами. Действительно, в-поле k(Xt) поли-
полином /(?) разлагается в силу D.16) наследующие линейные множители:
Поэтому основными модулями уравнения D.15) являются следующие полиномы:
D.17) A^y-1 + 6.'-*+...+6i+i,/, = e,-eA /s = es-e1*,...,/1,_l=
Такив образом группа Галуа уравнения D.15) имеет¦порядок р— 1. Эта
группа циклическая. Действительно, обозначая через g первообразный корень
сравнения
.г*"" — 1=0(mod р)
и обозначая через Т подстановку, переводящую хх в х/, х/ в jq»* ,..., обра-
обратим внимание на то, что Г* переводит jq в х'к (ft = l, 2,..., р—1). Но так как
gp~l есть наименьшая степень g, сравнимая с единицей по модулю р, то отсю-
отсюда заключаем, что Т* ~1 есть наименьшая степень подстановки Т, равная едини-
единице. Поэтому все подстановки, Т, Т2,...', Т*~2 различны и таким образом
исчерпывают всю группу Галуа, порядок которой равен тоже р — 1.
14. Нормальные уравнения. Если все корни какого-нибудь уравнения
могут быть рационально выражены через один из этих корней, то урав-
уравнение называется нормальным. Не трудно убедиться, что уравнение
нормально тогда и только тогда, если все его основные модули, начиная
со второго, линейны.

36 //. Группа Гйлуа
Ниже мы уй#дим,-что для всякого уравнения можно найти такие
функции от корней, которые являются корнями нормального уравнения
и через которые рационально выражаются корни заданного уравнения.
Таким образом свойство нормальности вовсе не характеризует какого-ни-
какого-нибудь частного структурного свойства уравнений, например их разреши-
разрешимости в радикалах. Отсюда также следует, что задание степеней основ-
основных модулей никоим образом не характеризует группы Галуа уравнения.
§ 5. Подстановки группы Галуа, как автоморфизмы нормального
поля. Теорема Лагранжа.
1. В современной литературе обыкновенно исходят из несколько другогв
определения группы Галуа. В то время как до сих пор мы понимали
под элементом группы Галуа подстановку, переставляющую корни определен-
определенного уравнения, современная теория Галуа рассматривает сразу все вели-
величины поля рациональных функций от этих корней. Если мы производим
над корнями исходного уравнения какую-нибудь подстановку группы
Галуа, каждая их рациональная функция тоже переходит в величину,
имеющую такое же выражение от других корней, в которые перешли
переставляемые корни. Пусть, например, заданы корни х„ xv xa, xv Во
что перейдет величина z1 = x1x2-\-.\gxt, если ыы подвергнем корни
xv x2, xa, xt подстановке (xlf jc3)? Чтобы получить эту величину, под-
подставим в выражение zt вместо корня х} корень х3 и вместо корня хъ—
корень jfj. Получим z% = xa хг -f- хх xv Это и будет величина, в которую
переходит zv ' ¦
Может возникнуть вопрос: всегда ли, определяя таким образом пе-
переход величины поля под влиянием подстановки группы Галуа, мы опре-
определим переход этой величины во вполне определенную величину поля?
Дело в том, что каждую величину поля можно различным образом ра-
рационально выразить через корни исходного уравнения. Может ли про-
произойти, что одно из таких рациональных выражений перейдет в одну
величину, а другое—в другую, неравную ей величину?
Пусть а—величина поля, и пусть «ра (хх, хъ ..., х„) и ср2 (xv xa хп)
два ее различных выражения через корни. Тогда равенство •
• можно рассматривать, как соотношение между корнями нашего уравне-
уравнения. Если мы теперь применим к этому соотношению любую подстанов-
подстановку группы Галуа, то это соотношение не должно нарушиться, а потому
и в правой и в левой части мы получим одну и ту же величину.
2. Автоморфизмы нормального поля. Чтобы подойти к новому
определению группы Галуа, не зависящему от исходного уравнения, введем
понятие автоморфизмов поля. Представим себе, что каждый эле-
элемент поля переходит в какой-то другой, вполне определенный элемент
того же поля. Такое понятие ото бр-аж ен и я поля однако шире, чем
автоморфизм. Чтобы считать отображение автоморфизмом, мы должны
потребовать, чтобы основные действия, т. е. сложение и умножение,
воспроизводились при этом отображении. Выскажем эту мысль точнее:

¦¦ • - ¦
5. Автоморфизмы нормального поля 87.
*•»
если отображение переводит величины а, ф нашего поля соответственно
в ocj, рь то сумма а + Э переводится в аа + (^ и произведение а р в а2 рг.
Из этого определения вытекают следующие свойства автоморфизмов:
1°. Разность переходит в разность. Действительно, пусть
к-»а1( {З-»^, и пусть а—[3-»-л:. Тогда а = (а — (ty+P переходит
в jf-f-Pj- Но так как а.-+аъ то должно иметь место «i = Jf + РгГ * =
= ai —Pi, т- е. а — р-.а1 — р1.
2°. Частное переходит в частное. Доказательство аналогично.
3°. Нуль переходит в нуль, единица—в единицу. Дейст-
Действительно, если а-*-аъ то 0 = а—а->а2 — Oj = 0, и 1 = — -»• -^ = 1.
4°. Все р.а ци он а лън ые числа остаются на местах. Дей-
Действительно, из 1 -*¦ 1 следует 2 = 1 + 1-^1 + 1 = 2, 3 = 2+1-»-2+1 =
= 3, «и т. д. Таким образом целые рациональные числа остаются при
производстве автоморфизмов на местах. Рациональные же дроби остаются
на местах, как частные целых рациональных чисел.
5°. Еслиа-xxj и/(лг) рациональная функцияот х с ра-
рациональными коэффициентами, то/(а)->-/(а1).
б*. Корни алгебраических уравнений с рациональ-
рациональными коэффициентами переходят в корни тех же урав-^
нений. В самом деле, если а->ах, то /(«)-=*•/(«!)• Если при этом/^х) =
= 0, то в силу 0-»0 должно быть также /(ах) = 0.
7°. Е с л и хх -*¦ Xi, х2 -*¦ х2', • •., хп -> хп' и притом Ф (лг1( д;2,..., хп) «=.
= 0, то иф(*,', х2',..., хп')=0.
Таким образом если в рассматриваемом поле лежат все корни какого-
нибудь уравнения, то автоморфизмы поля производят над этими кор-
корнями подстановки его группы Галуа. Обратно, расширяя, как было опи-
описано в. п. 1, подстановки группы Галуа, мы получим из них автомор-
автоморфизмы поля Х^, дг2).'.., хп).
3. Нормальные поля. Чтобы можно было говорить о группе Галуа,
как о группе автоморфизмов поля, необходимо, чтобы каждая подста-
подстановка группы Галуа не выводила величин рассматриваемого поля из пре-
пределов этого поля. Поэтому поле, содержа один корень какого-нибудь
уравнения, должно содержать и все его остальные корни. Такого рода
поле называется нормальным. ПолеJK{xi, x2,..., х^ нормально. Та-';
ким образом мы вводим следующее определением ру'пп ы Галуа нор-
нормального поля:
Группа Галуа нормального поля есть совокупность
всех его автоморфизмов.
4. Соответствие между делителями поля и делителями его группы.
Пусть- К есть нормальное поле, & его группа Галуа, ?) какой-нибудь
делитель группы ©. Будем называть элемент а поля принадлежащим
к группе ф, если он не меняет своей величины при подстановках
группы § и меняет величину при всех других подстановках, входящих
в ©. •
Если задана группа <р, то всегда можно найти принадлежащий к ней
элемент поля К. Предварительно покажем это для случая, когда $—еди-
$—единичная группа. Пусть К=К{хъ хг,..., х„). Вспоминая доказательство
теоремы 45, мы убеждаемся, что при известном подборе рациональных

88 //. Группа Галуа
вначений tlt t2,..., tn величина k = txx% + t%xu + • • • + tnxn есть при-
примитивная величина поля K(xv х2,..., хн). Эта величина меняется при
всех подстановках группы Галуа поля. Действительно, допустив, что ве-
величина ? не меняется при какой-нибудь подстановке S, выбирая в поле
элемент а = /?($), который меняется при подстановке 5 и применяя 5
к равенству а = /?(?), мы изменим левую и не изменим правой части.
Противоречие показывает, что 5 меняется при всех подстановках группы &.
5. Теорема 55. Примитивный элемент I нормального поля
удовлетворяет неприводимому уравнению с рациональными коэффи-
коэффициентами, степень которого равна порядку группы © поля.
Доказательство. Пусть © = J + S2 + ... + Sm, и пусть 5,
,$ ',..'., 1т будут элементы поля, в которые переходит 5 при примене-
применении различных подстановок группы ($}. Производи над совокупностью I,
S6* ,..., lSm одну и ту же подстановку группы ®, мы можем изме-
изменить в ней только порядок ее членов, а потому симметрические функции
от этих величин не изменятся от подстановок группы ($} и, стало быть,
суть рациональные числа. Таким образом полином
E.1) F(t) = (t-l)(t-?>)... (t-?»),'
которому удовлетворяет ?, имеет рациональные коэффициенты.
Докажем, что полином Fit) неприводим. Допустим, что он разлагает-
разлагается на произведение рациональных полиномов: F (t) = ер (t) ф (f), причем I
пусть будет корнем ер (/), a ka — корнем <J* (t). Тогда полином <?S(t), по-
полученный от применения к ср (<) подстановки S, имеет корень ia и пото-
потому отличен от ер (t). Придадим t такое рациональное значение t0, чтобы
eps(tf0) ф. ер (*0). Тогда величина ер(*0), будучи рациональным числом, меняет
численное значение при подстановке S, что невозможно.
Уравнение F(^) = 0 нормально. Действительно, 5—примитивная ве-
величина нормального поля, а потому через неё рационально выражаются
все элементы поля, в частности все остальные корни уравнения.
6. Теорема 56. Нормальное поле содержит элементы, принад-
принадлежащие к каждой заданной подгруппе его. группы Галуа @.
Доказательство. Пусть § = J+ Т2 + ... + Т, какой-нибудь
делитель группы Галуа нормального поля. Тогда совокупность S, $г",..., &г»,
где 5 примитивный элемент поля,. меняет только порядок при
производстве подстановки из группы ?> и целиком меняется при произ-
производстве всякой другой подстановки из группы ©. Поэтому полином
<р@ — {t—I) (t—$г>)... (t — $г< ) остается неизменным при производ-
производстве подстановок из ?> и переходит в другие полиномы при производ-
производстве других подстановок из ($}. Пусть
совокупность всех, этих полиномов. Выберем для t такое рациональное зна-
значение tb, чтобы ни одно из равенств
= Ъ @. 9 @ = ?з @. • • •> <Р {0 = Ь @

§ 5. Автоморфизмы нормального поля
не соблюдалось. Тогда величина а = ср (t0) является величиной поля, при-
принадлежащей к группе ф.
7. Теорема 57. Принадлежащая к подгруппе § группы Галуа
© нормального поля К величина а есть корень неприводимого ра-
рационального полинома степени k = (©: й).
Доказательство. Пусть ($} = ?) + ^Mа +... + ^MЛ. Все величин»
а, а5*,..., ау* различны между собой. Действительно, если бы имела
место например as' = а*', то, применяя к этому равенству подстановку
St 1, мы бы получили а = as's' , откуда, согласно определению вели-
величины а, следовало бы, что подстановка SgS^'1 входит в Jp, т. е. S3 вхо-
входила бы в )qS2, что невозможно.
Подстановка 5 переводит а в а** тогда и только тогда, если она со-
содержится в сопряженной системе JpS,. Но так как, умножая все сопря-
сопряженные системы справа на S, мы только поменяем нх порядок (см. тео-
теорему 22), то производство любой подстановки 5. группы © над совокуп-
совокупностью величин a, aSt,..., aSk только меняет их порядок. Поэтому поли-
полином
Ф (*) = (t — а) (t — aSu) ... {t— а5*)
не меняется от подстановок группы ©, откуда следует, что его коэффи-
коэффициенты рациональны.
Докажем, что полином Ф (f) неприводим. Допустив, что имеет место
Ф (t) = ср (t) • ф (t), где ср (t) и ^ (t) — полиномы с рациональными коэффи-
коэффициентами, и полагая, что а есть корень ср (*) и а*—корень ty (t), мы убедимся,,
что подстановка 5 переведет полином ср(*) в полином cps(<), имеющий
корень аа и потому отличный от ср (t). Подбирая рациональное значение
t = tn так, чтобы ср (*0) ф ср* (/0), мы получим рациональное число ср (t0),
изменяющееся при производстве подстановки S, что невозможно.
8. Теорема 58 (Лагранжа). Если а принадлежит к подгруппе
§ группы Галуа © нормального поля К, а р не изменяется от
подстановок группы Jp (т. е. принадлежит или к Jp, или к более
объемлющей группе), то C рационально выражается через а.
Докавательство. Пусть <& = § -f-Ф^а + ... + &•$*• Рассуждая,
подобно тому, как мы рассуждали при доказательстве теоремы 57, мы
убедимся, что полином Ф(*) = (t—a) (t—aSt)... (t—as") имеет рацио-
рациональные коэффициенты н не имеет кратных корней. Выражение
E.2) ' 'л */л ' -"— '
представляет собой полином, который в силу тех же причин имеет ра-
рациональные коэффициенты (см. § 1«5). "Подставляя в формулу E-2)
/ = <х и рассуждая как в § 1-5, мы будем иметь:
¦ («)-*'(«)-Р.
откуда

SO //. Группа Галуа
Это и есть искомое выражение {3 через а. В доказательстве существенно
то, что знаменатель Ф (а) неравен нулю, так как полином Ф (а) не имеет
кратных корней. я-
9. Подведем итоги. Каждое поле алгебраических чисел является дели-
делителем некоторого нормального поля. В нормальном поле совокупность
величин, не изменяющихся от подстановок какой-нибудь подгруппы ?> его
группы' Галуа ($}, очевидно образует поле ?(?>)> так как если аи J3 не
меняются от подстановок группы ?>, то их сумма а + Р и их произведе-
произведение тоже не будут меняться. 'Будем называть поле к(?>) полем, при-
принадлежащим к группе Jp. Теорема 58 убеждает нас в том, что
всякая величина поля, принадлежащая к группе ?>, является примитивным
элементом поля k($Q). Кроме^ того, из нее мы выводим, что если группа
4")j является делителем группы Si)t (что мы будем обозначать знаком
Ьг ^ ?'!>)> т0 из принадлежащих им полей поле к фг) является делителем
поля к($г): • -
Обратно, пусть k будет какой-нибудь делитель поля К. Обозначим
через § (к) совокупность всех подстановок группы ?>, которые не меняют
величин поля k. Эта совокупность очевидно образует группу. Если
теперь мы построим поле, принадлежащее к группе ф, то оно должно
совпадать с полем к. Докажем это. Из теоремы 58 следует, что поле к
должно содержаться в построенном нами поле. С-другой стороны, рас-
рассмотрим примитивный элемент ? поля к. Если он, принадлежит к более
обширной, чем §, группе Jg)j, то все поле к не будет меняться от под-
подстановок группы ?>г, так что мм были обязаны взять iQx. в роли ?>.
Если же ? принадлежит к группе '?>, то по теореме 58 величины поля
К, принадлежащие к ?), рационально выражаются через I, т. е. это поле
совпадает с к. Этот результат можно записать так:
E-4)
Точно также можно доказать, что
<5-5)
Таким образом устанавливается cfiffSb структурных свойств поля со
структурой его группы. Прежде-всего. мы видим, что число различных
делителей поля алгебраических чисел конечно, и что мы их найдем, если
будем знать группу поля.
10. Сопряженные группы и сопряженные поля. Пусть величина а
нормального поля принадлежит к группе ф. Выя'сним, к какой группе
будут принадлежать сопряженные с а величины, например величина а1 = а5,
где S — произвольный элемент группы 65 поля. Пусть Г произвольный
т
элемент группы ?>. Мы имеем' равенство а = а. Его можно переписать
_i 1 _1 1
S*S Т Ч 8 8 Т S
' так: а = аг , что равносильно следующему: аг = а}
Применяя к этому равенству подстановку S, получим:
«1 =«1.

g 5, Автоморфизмы нормального поля • 91_
Это равенство""ТГОк?Зы*вает, что величина ах остается при подстановках
сопряженной группы S~X^S неизменной. С другой стороны, если бы ве-
величина *i = asпринадлежала к более обширной, чем S~x !qS, группе
S~ iQi S (Jpj > §), то величина a^ = as ' s = а не изменялась бы
от подстайовок группы 5 E-1 Jpj S)S~1 = lQlt чего мы не предпола-
предполагали. Итак:
Теорема 59. Если величина а принадлежит к группе ф, то
сопряженная с ней величина as принадлежит к сопряженной группе
Упражнение 28. Доказать следующее: что^ы неприводимое уравнение»
которому удовлетворяет величина а нормального ноля, было нормальным, не-
необходимо и достаточно, чтобы группа $>, к которой принадлежит а, была нормаль-
нормальным делителем группы Галуа поля.
Упражнение 29. Показать, что величина г = хх х, + хг дг4, где Xj, xt, х„ х4
корни уравневия 4-ой степени
принадлежит к некоторой группе 8-го порядка. Построить кубическое уравнение
г* — atz* + (ex a, — 4 at)z — а4 (ах* — 4 as) — as2 = О,
которому удовлетворяет г.
11. Пересечение и композит. Мы уже ввели понятие пересечения
двух подгрупп,,^ и ф2 группы ®, как совокупности элементов,
общих обеим группам. Аналогично введем понятие пересечения двух
делителей kx и kz поля К, как совокупности элементов, общих
обоим полям.
Будем называть композитом двух подгрупп ?>х .и Jp2 группы
© наименьшую группу, содержащую ^>г и §2. Легко понять, что каждый
Э1емент композита может быть представлен, как произведение элементов
групп-компонентов. Аналогично назовем композитом двух полей наимень-
наименьшее поле, содержащее оба поля-компонента. Каждый элемент композита
может быть представлен, как рациональная функция от элементов полей-
компонентов. Имеет место " -
Теорема 60. Пусть К—нормальное поле, © — его группа
Галуа. Пусть kt и k2 делители поля К, принадлежащие соответст-
соответственно к группам fax, Jp2. Тогда пересечение полей kx ~и kt принад-
принадлежит к композиту групп Jpj и ?J, в то время ка"к композит полей
kx и kt принадлежит к пересечению групп §х и ?),.
Доказательство. 1° . Пусть ka — пересечение kx и kt. ИзА,<
< kv k3 < ^2 следует ^п. 9), что k3 принадлежит к группе, содержащей
& себе и ipj и |)а, а потому и композит Jp3 этих групп. С другой сто-
стороны, всякий элемент поля К, не изменяющийся от подстановок группы
ф31 лежит как в поле Jilt так и в поле А2, а потому и в поле kt. Таким
образом поле ka точно принадлежит к группе $>$ ч. и т. д.
2° . Пусть ki композит полей kr и А2. Из kt > A,, kt > kt следует
(п. 9), что kt принадлежит к делителю как ?lf так и ^J, а потому и их
пересечения Jp4. С другой стороны, каждый элемент поля kt может быть
представлен, как рациональная функция от элементов полей hi и й2, а

92 II. Группа Галуа
потому каждая подстановка группы ?L, не изменая^ни^щменюв-ноля ku
ни элементов поля k2, не изменит и элементов поли k4. Поэтому kt
точно принадлежит к ?>4.
Следствие 1. Два поля kx и ka взаимно-просты (т. е.
не имеют, кроме' рациональных чисел, общих элементов) тогда и
только тогда, если группы, к которым они принадлежат, имеют
композитом всю группу Галуа.
Следствие 2. Два поля kx и k2 имеют своим композитом
" все нормальное поле К тогда и только тогда, если группы %>i и Jp2,
к которым принадлежат эти поля, взаимно-просты.
Упражнение SO. Показать, что поле, образованное корнями неприводи-
неприводимого уравнения, которому удовлетворяет принадлежащая к группе ?> величина/
принадлежит к пересечению всех групп, сопряженных с ?>.
12. Практическое определение группы Галуа. Данное нами в пре-
предыдущем параграфе определение группы Галуа не дает практичного
способа нахождения группы заданного уравнения, так как там дело при-
приводится к разложению полинома на множители, приводимые в некоторых
иррациональных областях, в то время как последняя задача не допускает
практически простого решения. Полученные же в настоящем параграфе
результаты дозволяют привести задачу нахождения группы Галуа к на-
нахождению рациональных корней в рациональных полиномах.
13. Пусть задано некоторое уравнение.
E.6) " _/(*)-0 "
л-ой степени. Построим симметрическую группу <5П подстановок я-ой сте-
степени между его корнями хъхг,... ,хп. Тогда группой уравнения E.6)
будет служить или сама группа 2>п, или какая-нибудь из ее подгрупп.
Возьмем какую-нибудь из .таких подгрупп, например ©, и зададимся
целью'выяснить, не является ли группа Галуа уравнения E.6) группой ©
или каким-нибудь ее делителем. Для этого построим функцию z (хг, х2,..., хп)
от корней хг,хг,...,хп уравнения E.6), не изменяющую своего выра-
выражения через хь х2,..., хп от подстановок группы © и меняющую тако-
таковое от всех других подстановок группы <2>я. Построим уравнение
E.7) F(z)=0
степени п = (б„: ©), которому удовлетворяет величина z. Тогда из тео-
теоремы 54 следует, что если группа уравнения E.6) есть © или делитель
(В, то величина z равна рациональному числу, а потому уравнение E.7)
имеет по крайней мере один рациональный корень. Таким образом за-
задача приводится к разысканию рациональных корней уравнения E.7).
Можем ли мы однако заключить, что и обратно, если уравнение E.7)
имеет рациональный корень о, то группа Галуа уравнения E.6) есть де-
делитель © (или, одной из сопряженных с нею групп)? В этом случае мы
имеем соотношение z (xv лга,..., xj *= а. Это соотношение очевидно не
нарушается подстановками груцпы ©, в то время как другие подстановки
груцпы <5п могут или нарушать его, или переводить в другие соотноше-

§ 5. Автоморфизмы нормального поля 93
ния, которые, как может оказаться, тоже будут иметь место. Рассмотрим
подробнее последний случай. Пусть ' е
будет разложение бп на сопряженные системы по ©. Подстановки 7*2, Г,,..., Тт
переводят величину а в остальные корни уравнения E.7). Если, напри-
например, окажется, что подстановка Тг Оставляет в силе соотношение
z (xlt дга,..., дгя) = а, то это будет означать, что корень z == а является
по крайней мере двукратным для уравнения E.7). Таким образом, если
уравнение E.7), не содержа кратных корней, имеет рациональный корень,
то мы можем заключить, что подстановки Га> Г„..., Тш, а с ними все
сопряженные системы © Tt, © Т9,.. .,<&Тт, непременно нарушают соотно-
соотношение z(x1>xi,...,xn) = a, а потому группа уравнения E.6) должна
быть группой © или ее делителем.
Заметим, что можно всегда подобрать принадлежащую к <$ функцию
z (xlt х2,..., д:п) так, чтобы уравнение E.7) не имело кратных корней.
Пусть
¦- l = clXl + ctxz + ... + cnxH
подобрана так, что она изменяет величину при всех подстановках
группы бв. Мы можем получить такую величину, беря сх = 1 и после-
последовательно подбирая рациональные числа са, с,,..., си так, чтобы
функции
менялись при всех подстановках группы бв, которые переводят хотя бы
один входящий в них корень в какой-нибудь другой корень. Затем
составим полином
где &],?&..., 5, получаются из 5 = 5Х посредством подстановок группы ®.
Всякая подстановка, не входящая в группу ©, переводит этот полином
в другой полином, а потому мы всегда можем подобрать такое рацио-
рациональное значение t = t0, чтобн ?(^0) была отлична от всех других вели-
величин, в которые ее переводят подстановки группы Qn, не входящие в ©.
В некоторых случаях выгоднее не придавать величинам t,c{,ct,. .-,сп
постоянных значений, а оставить их в виде переменных параметров.
14. Кубическое уравнение. Известно, что кубическое уравнение
можно при помощи рациональных действий привести к виду
E.8) xP + px + q^O.
Симметрическая группа <2>3 имеет только одну транзитивную под-
подгруппу, а именно знакопеременную группу 91,. К ЭД, принадлежит произ-
произведение

94
П. Группа Галуа
квадрат которого есть дискриминант уравнения E.8). Таким образом,
чтобы узнать, не является ли группа Галуа уравнения E.8) знакопере-
знакопеременной группой ЗДЖ, надо вычислить его дискриминант D и посмотреть,
не является ли он точным квадратом. Далее надо проверить, не имеет ли
уравнение '
-г* — D = 0
кратных корней. Это имеет место только в случае D = 0; но тогда и
первоначальное уравнение E.8) имеет кратные корни, чего мы не пред-
предполагали.
Для вычисления дискриминантов наиболее прост следующий способ *).
Дискриминант, как известно, равен—/' (aj)/ (xz)f (хя), где f(x)—
производная от полинома f(x); другими словами, он равен свободному
члену уравнения, которому удовлетворяют f(xx), f(x&), f(x3). Найдем
это уравнение, пользуясь методом § 3.9: z ~ / (х),
р + 3 дг2,
—3# — 2рх,
—bqx—2pxz,
z
zx
откуда
т. ve.
Таким образом
о,
¦2р—г,
О,
27 ?2
0.
15! Уравнение четвертой степени. Дано уравнение
E.9) " ¦ xt
Чтобы узнать, не является ли его группа Галуа делителем знакопере-
знакопеременной группы, достаточно выяснить, не является ли его дискриминант
D = (*! — лг2)а (*х — дг3)а (хг — xAf {х2 — xzY (хг — xt)* (xt — д:4J
точным квадратом. Действительно, функция
не меняется при подстановках знакопеременной группы, а при всяких
других подстановках меняет знак. Эта функция может следовательно не
менять численной величины при нечетных подстановках только тогда, если
она равна нулю; но. тогда исходное уравнение E.9) должно иметь крат-
кратные корни. „
Чтобы найти признак того, что группа Галуа уравнения E.9) есть
делитель группы
EЛ0) © -. 1 + A 2)C 4) + A 3)B 4) + A 4)B 3) +
+ A3 2 4)+A4 2 8)+ A2)+ C 4),
•) Сообщен автору проф. Б. Н. Делоне.

§ в. Присоединения. Натуральные иррациональности
построим уравнение, которому удовлетворяет функция ггг= хгх3 + xtxtt
принадлежащая к группе @. Это уравнение таково (см. упражнение 29):
E.11) г* — агг^-\-{а1аг — Аа^г — a^a-f — 4а2) — а32 = 0.
Чтобы фуппа уравнения E.9) была делителем группы E.10) (илк. со-
сопряженной с ней группы), необходимо и достаточно, чтобы уравнение
E.11) имело по крайней мере один рациональный корень. В самом деле,
исключительный случай, когда уравнение E.11)-. имеет кратные корни,
влечет -за собой равенства типа
— Х1Х» т
т. е. •
(*! — xt)(x2 — *8) = 0,
а потому этот случай может наступить только тогда, если само уравне-
уравнение E.9) имеет кратные корни.
Совокупность подстановок, не изменяющих ни ^дин из корней
уравнения E.11), образует группу .
E.12) JO- 1 +A 2)C 4) + A 3)B4) + A 4)B 3)
¦SC,
4-го порядка (Vierergruppe). Чтобы группа уравнения E.9) была дели-
делителем, группы §, необходимо и достаточно, чтобы все 3 корня уравнения
E.11) были рациональны. •
Упражнение 31. Найти группу возвратного уравнения 4-ой степени
х* -f ах* + Ьх* + ах +1 = О.
Показать, что для того, чтобы его группой Галуа была Vierergruppe (или
ее делитель), необходимо и достаточно, чтобы число (ft -f- 2a + 2) F — 1а -\-2)
было точным квадратом.
Упражнение 32.- Между корнями уравнения шестой степени
х* -f ах х* + «2**+ в>*2 + в«*2 + <>ьх + ««— О
задано соотношение дга д:,л:, = x4vs.r,. Найти порядок труппы этого уравнения,
соотношение между его коэффициентами и привести его решение к решению
уравнений низших степеней.
Упражнение 83. То же при соотношениях хг xt = x3 xt — xt xt.
Упражнение 34. Найти группу уравнения (х + Ц* + х8 -\-1 = 0.
Указание. Уравнение сохранит свою форму, если мы будем производить
в нем подстановки х =? -п~у — \ и х = •—.
§ 6. Присоединение новых величин к области рациональности.
4 Натуральные и побочные иррациональности.
1. 'Область рациональности. В § 4.5 мы. рассматривали полиномы
с рациональными коэффициентами и определяли группу Галуа, как
совокупность подстановок, не нарушающих соотношений между корнями,
имеющих рациональные коэффициенты. Все выводы этого па-
параграфа можно целиком перенести на тот случай, когда коэффициенты
.полиномов и соотношений между корнями мы будем считать уже не ра-
цион"альными числами, а элементами особого поля R, которое мы в этом

S6 J/. Группа Галуа
¦случае будем называть областью рациональности. Единственное,
что мы не можем перенести на этот случай, это утверждения, чтб группа
Галзи есть группа всех автоморфизмов нормального поля, так как
теперь мы уже не будем иметь права включать в группу Галуа те авто-
автоморфизмы, которые не оставляют элементов поля R неизменными. Мы
должны будем считать группой Галуа совокупность тех и только тех ав-
автоморфизмов, которые оставляют неизменными элементы поля Л.
2. Присоединение. Посмотрим, что произойдет, если мы будем изме-
изменять область рациональности. Остановимся на случае, когда мы расши-
расширяем область рациональности, присоединяя к ней какую-нибудь
*е*ичииу а из рассматриваемого поля, т. е. считая новой областью ра-
дионачьности поле рациональных функций от а с коэффициентами из*
первоначальной области рациональности'. В этом случае мы будем гово-
говорить, что мы присоединили к области рациональности иррациональ-
яость. Здесь имеет место
Теорема 61. Пусть ©—группа Галуа уравнения f(x) = 0.
Если мы присоединим к области рациональности иррациональность,
т. е. функцию
а= V(x1x2i...,xH)
от корней хи х2,... ;хп этого уравнения, принадлежащую к дели-
делителю § группы <&, то группа Галуа нашего уравнения понизится
до ?.*
Доказательство. Присоединяя к области рациональности ирра-
иррациональность а, мы тем самым присоединяем к существовавшим ранее
соотношениям между кррнями еще соотношение
<6.1) V(x1,x2,...,xn) = a.
Согласно определению функции T(xv дг2,... ,дги), соотношение F.1) не
<}удет нарушаться только от подстановок группы §, в силу чего группа
Галуа должна содержа гься в ?>. Предполагая, что эта группа есть $v
§i < §» мы придем к тому, что величина, принадлежащая к §j, должна
а силу теоремы 54 содержаться в новой области рациональности, т. е.
рационально выражаться через а, что невозможно.
3. Натуральные иррациональности. В чем заключается механизм
решения уравнений, например в радикалах? В том,что,присоединяя к об-
области рациональности заданного уравнения такие поля, группа которых
такова, -что позволяет считать величины этих полей разрешимыми, мы
понижаем группу Галуа заданного уравнения. Окончательно разрешенным
.уравнение будет считаться тогда, когда оно в новой области рациональ-
рациональности распадается на линейные множители, т. е. когда его группа Галуа
приводится к единичной группе.
Пусть мы достигли путем некоторого присоединения понижения группы
Галуа до §. Спрашивается, какой ценой ;яы этого достигли, т. е. какова
группа того неприводимого уравнения, которому удовлетворяет присоеди-
присоединяемая величина? При этом мы будем разшчать натуральные ирра-
иррациональности, т. е. величины, рационально выражающиеся через
корни заданного уравнения, и побочные иррациональности,

6. Присоединения. Натуральные иррациональности 97
которые через корни рационально не выражаются, а вносят в область
рациональности иррациональные величины новой природы. Для случая
натуральных иррациональностей вопрос решается при помощи
Теоремы 62. ,Пусть К — нормальное поле, ($ — его группа
Галуа. Если а — величина поля К, принадлежащая к группе §, то
группа неприводимого уравнения, которому удовлетворяет а, изо-
изоморфна с дополнительной группой ®JU, где й — пересечение всех
сопряженных с § групп.
Доказательство. Будем рассматривать группу Галуа уравнения
F.2) - — Да) = 0
как совокупность автоморфизмов поля k, образованного его корнями.
Эти автоморфизмы прежде всего будут получаться, если мы станем при-
применять к этому полю автоморфизмы поля К- Затем обратим внимание
на то, что поле k в силу теорем 59 и 60 принадлежит к группе $•
Если поэтому мы будем брать автоморфизмы, входящие в группу $, то
величины поля k не будут меняться; при всех же других автоморфиз-
автоморфизмах поля К величины поля k будут переходить друг в друга, и при-
притом два таких автоморфизма будут одинаковы тогда и только тогда,
если производящие их автоморфизмы поля К будут входить в одну
и ту же сопряженную систему US{. Итак, описанная группа автоморфиз-
автоморфизмов поля k изоморфна о группой, получаемой при композиции сопря-
сопряженных систем USt, т. е. с дополнительной группой g = ®/$.
Итак, группа Галуа поля k содержит группу д, как делитель. До-
Допустим, что группа Галуа поля k есть g' (g' > д), и что д является ее
подгруппой индекса s> 1. Тогда по теореме 57 величина, принадлежа-
принадлежащая к группе д, есть корень неприводимого уравнения s-й степени.
Это, однако, невозможно, так как эта величина, рассматриваемая, как
элемент поля К, не меняется при производстве над ней автоморфизмов
группы g и потому в силу теоремы 54 есть рациональное число. По-
Поэтому группа Галуа поля k есть д.
4. Теорема о натуральных иррациональностях. Возникает вопрос,
не может ли случиться, что побочные иррациональности дадут то же
понижение группы Галуа, что и некоторые натуральные, образуя
в то же время поле с более простой группрй (например более низкого
порядка)? Оказывается, что этого случиться не может, так как точно
такого же понижения группы мы можем достигнуть, присоединяя
к области рациональности натуральную иррациональность, которая ра-
рационально выражается через нашу побочную иррациональность, т. е.
таким образом натуральная иррациональность является иррациональ-
иррациональностью не менее простой природы.
Теорема 63 (Кронекера). Если группа ® нормального поля К
понижается благодаря присоединению к области рациональности
некоторой побочной иррациональности I до группы §, то принад-
принадлежащая к группе jo величина поля К рационально выражается
через Е.
Доказательство. Присоединим иррациональность Е как к полю К,
так и к области рациональности R. Тогда все автоморфизмы поля К
Т

98 П. Группа Галуа
можно рассматривать, как автоморфизмы поля К(?), т. е. каждой под-
подстановке поля К заставить соответствовать подстановку поля К(D. Но-
Новых автоморфизмов это присоединение не дает, так как присоединенная
величина ? по условию лежит в новой области рациональности /?(?).
Тогда в поле /f(?) величина а поля К, принадлежащая к гругше §, не
меняется от автоморфизмов группы §, т.е.всей группы Галуа поля/Г(?)
(если считать областью рациональности R (?)), а потому, на основании
теоремы 54, лежит в областиv рациональности, т.. е. рационально выра-
выражается через Е, ч. и т. д.
5. Таким образом мы видим, что, желая понизить группу Галуа ©
до подгрунпы |), мы принуждены сделать это при помощи поля, группа
которого изоморфна с дополнительной группой ©/й, где ^ — пересече-
пересечение всех групп, сопряженных с ?», или, другими словами, наибольший
нормальный делитель группы ©, содержащийся в §• Но если вместо
этого мы присоединим к области рациональности величину, принадлежа-'
щую к группе й, то при помощи тех же средств мы достигнем большей
цели, так как присоединяемое поле тоже будет иметь группу, изоморф-
изоморфную с ®/$. Таким образом вопрос о разрешимости уравнения приво-
приводится к нахождению в его группе всевозможных нормальных делите-
делителей. Наилучшим образом мы расчленим группу Галуа, если возьмем по-
последовательный ряд максимальных нормальных делителей, т. е. компози-
композиционный ряд (см. главу I, § 5). Выбирая в группе © различные ком-
композиционные ряды, мы по существу не получим различных решений,
так как в силу теоремы 26 все группы Галуа получаемых при этом
вспомогательных уравнений будут одни и те же. В самом деле, имея
композиционный ряд
@, ©„ ©а ©
и присоединяя к области рациональности последовательно величины \v
?а,..., 5т_2, принадлежащие соответственно к группам ©i, ©2, ..,©m-a.
мы получим ряд уравнений, группы которых изоморфны соответственно с
¦,
в то время как в теореме 26 было доказано, что для любого компози-
композиционного ряда одной и той же группы © совокупности этих групп
изоморфны, >
6. Прямое произведение полей. Рассмотрим, случай, когда группа
Галуа © поля К является прямым произведением (см. главу I, § 5.3)
двух групп:
.. © = ©1х©а.
Тогда поля АГг и АГа, принадлежащие соответственно к группам ©,
и ©а, являются нормальными полями (§ 5.10) и в силу теоремы 60
взаимно просты и имеют своим композитом все поле К.
Обратно, если поле К является композитом двух взаимно-простых
нормальных полей Кг и К& то его группа является прямым произведе-
произведением двух групп. Действительно, пусть ®х и ©а — группы, к которым
принадлежат поля /fx и /fa внутри поля К. Обе эти группы в силу
теоремы 60 взаимно-просты, имеют своим композитом всю группу ©

§ 6. Присоединения. Натуральные иррациональности 99
поля К и являются ее нормальными делителями. В силу же теоремы 24
элементы группы &г перестановочны с элементами группы ($$а.
Поле, образованное двумя взаимно-простыми нормальными полями,
можно назвать прямым произведением этих полей. «
7. Импримитивиые уравнения. Пусть группа ($$ неприводимого урав-
уравнения Дх) в х нмпримитивна, и пусть его корни разбиваются на системы
импримитивности
F.3) хг, д:г,.,., хт,
Рассмотрим полином <р (/) = (/—хг) (t — х2). . .(?— л:т). В силу
импримитивности группы © ее подстановки или оставляют полином не-
неизменным (пусть эти подстановки образуют группу ?)), или переводят
его в один из полиномов <р (/), <р, (/),..., <р, (/), корни каждого из ко-
которых образуют системы импримитивности F.3). Придадим переменной
t такое рациональное значение t0, чтобы все значения <?(t0), <?2(t0),...,
<р (/0) были различны. Тогда симметрические функции от этих величин
не будут меняться от подстановок группы ($> и потому в силу теоремы 54
будут лежать в области рациональности. Поэтому <f(t0) есть корень
рационального полинома F(v)s-tt степени.
Величина <f(t0) принадлежит к группе <<р. Поэтому, присоединяя
<р(/0) к области рациональности, мы сделаем полином f(x) приводимым,
отколов от него множитель (д: — xt) (х —Xj)... (х — хт).
При этом заметим, что степень уравнения F(y) «=» 0 равна числу
систем импримитивности.
Обратно, предположим, что, присоединяя' к области рациональности
величину а поля К, удовлетворяющую уравнению s-fi степени (откуда
группа ,ф, к которой она принадлежит, должна . быть индекса s), мы
разобьем полином/(д:) на множители, из которых один, <р(лг) = (х—jq)
(х—х«)...(х — д: ), будет степени т ——. Докажем, что группа @
импримитивна. Разложим О на сопряженные системы по §:
Подстановки группы § очевидно перемещают корни xv xit..., хт
лишь мея&у собой. Если бы две подстановки Т4 и Tj переводили их
в системы, имеющие общие корни, то в силу m.s = и эти системы не
исчерпали &ы всех корней полинома f{x), что противоречило бы его
неприводимости» Нетрудно доказать, что эти системы корней являются
системами импримитивности группы ©.
Будем называть импримитивными уравнения степени и = ms, от
которых можно отколоть неприводимый множитель степени ш, присоеди-
присоединяя к области'рациональности корень уравнения степени s. Тогда им-
примитивные уравнения имеют импримитивные группы, и обратно.
7*

ГЛАВА III.
РАЗРЕШИМЫЕ УРАВНЕНИЯ
| 1. Циклические уравнения. Резольвента Лагранжа. Двучлен-
Двучленные уравнения.
1. Двучленные уравнения. Настоящая глава посвящена решению
уравнений в радикалах. Под решением уравнений в радика-
радикалах мы будем разуметь лриведение его к цепи двучленных урав-
уравнений, т. е. уравнений типа|
х"' — а, = 0, уп* — а2 = 0, гп> — аа = 0,...,
где величина а, есть рациональное число, аа — функция корней первого
уравнения, а8 — функция корней первых двух уравнений, и т. д. Иначе
говоря, присоединяя радикальные иррациональности; т. е.
корни двучленных уравнений, мы должны понизить группу Галуа нашего
уравнения до единичной группы.
2. Заметим, что радикальная иррациональность есть в общем случае
побочная иррациональность. Действительно, подставляя в двучленное
уравнение
A.1) . хш —a = 0
вместо неизвестной величины х другую, у, по формуле x=xl-y, где
хг—'Один из корней уравнения, и сокращая на а, мы будем иметь:
A.2) /* —1 = 0."
• 0
Но все корни уравнения A.2) (корни m-й степени из еди-
единицы) выражаются так:
A.3) . 1, .,««,...,."-',
где е = е , откуда следует, что все корни уравнения могут быть пред-
представлены так:
A.4) дс„ едгх, e*xv ..., sm~lxv
Вводя иррациональность хг и сопряженные с ней иррациональности,
- мы тем самым вводим и корни из единицы, так как например — «¦ е.
В то же время корни из единицы весьма частой являются посторонними
для исследуемого поля иррациональностями, например в том случае,
когда исследуемое поле вещественно (ведь все корни из единицы, за

S J. Циклические и двучленные уравнения МП
исключением-j-1 и — 1, комплексны). При решении уравнений в радика-
радикалах приходится присоединять корни из единицы к области рациональ-
рациональности. Это, однако, не усложняет вопроса о разрешимости уравнений
в радикалах, так как уравнения типа A.2) сами разрешаются в радика-
радикалах, как мы ато увидим в следующем параграфе.
3. Циклические уравнения. Резольвента Лагранжа. Рассмотрим
циклическоеуравнение
A.5) % " /<*)-<>.
т. е. уравнение с циклической группой
Такое уравнение всегда нормально. Действительно, пусть его корень
х1 принадлежит к группе ф. Так как поле К(xlt xa,... гхя) есть ком-
композит полей K{xt){i=al, 2,...,и), образованных отдельными корнями
уравнения A.5), то по теореме 60 пересечение всех сопряженных с ?>
групп есть единичная группа. Но в абелевых группах все сопряженные
подгруппы совпадают. Поэтому ф -г- единичная группа, и в силу теоре-
теоремы 58 все величины поля, будут рационально выражаться черев хъ
ч. и т. д.
Пусть Х& хг,...,хп будут корнями уравнения A.6), в которые пере-
переходит хх при помощи, подстановок S, S8,..., S"" соответственно. При-
соединим к области рациональности корень е =» е я-й степени из еди-
единицы. Величина
A.6) ч(*1,?1-')-*1+«-'*И-«-""*!+ ...+е-<»-»Х(*=1,2 и-
при производстве над ней подстанбвки Sпревратится в х^+е~чха+. ..+¦
4-е~(*~1)* х-х, т. е. приобретет множитель е\ Величина же (х^«~ V
останется неизменной при производстве над ней подстановки 5, а по-
потому и всей группы, т. е. в силу теоремы 54 есть величина из области
рациональности. Обозначим ее через ср,..
В силу той же причины и-величины
*l»
принадлежат к области рациональности. Поэтому величины
могут быть выражены так:
(х1г

102 • 1П. Разрешимые уравнения
Перепишем эти формулы так: .. .
A.7) *
п—1
Далее обратим внимание на то, что уравнение
х" -1 + хн~* +... + Х+ 1--?=?->, О
имеет корнями е, еа в"*, а потому, складывая равенства A.7) и со-
бнрая коэффициенты при хъ х&. >., хп, мы получим:
A.8) nXl=—в1+
Остальные корни мы можем получить, умножая формулы A.7) на
некоторые степени е и складывая их. Но можно получить те же выра-
выражения для остальных корней, подставляя в выражение A.8) на место
p одно из п значений корня и-й степени, сообразно х выраже-
выражениями A.4).
Еще раз подчеркнем, что циклическое поле К (xlt хг,.. ., д:п) не со-
содержит корней n-й степени из единицы, в то время как мы, вводя
радикальные выражения, тем самым вводим корни из единицы. Выраже-
Выражения^, e~v) носят название резольвент Лагранжа.
4. Кубические уравнения. Приложим этот способ к решению куби-
кубических уравнений.
Пусть уравнение
A.9) л? + рх + q = О
имеет корни хх,х2,xt. Вычислим выражение (х^еГ )8, где е =е 3 =
1+/ *)* 1
3Г l(*ia хг+V Jf,+V^+3•-« t*iх?+хгхг*+хгxfl+бХ!хйхя.
Но сумма обоих выражений в скобках равна 3#, а разность—
(х% — х2) (Xi —дг8) (х2 — х8) =VД гДе D — — 4/73 — 27^а. Поэтому

§ 1. Циклические а двучленные уравнения 103
Отсюда
*i + *а + *» = 0. ¦
Складывая эти формулы и деля на 3, получаем
5. Двучленные уравнения. Обратимся теперь к двучленным урав-
уравнениям
A.11) хт— а = 0.
Предположим, что рациональное число а выбрано так, что никакой
его корень, степени, не взаимно-простой с аи, не может быть рациональ-
рациональным числом. Докажем неприводимость полинома хт — а. В п. 2 мы ви-
видели, что его корни могут быть выражены так: xit е х1,..., ет"~ухл; где
б = ет, в силу чего имеет место:
хт —. а = (х—Xj) (х — ех1)...(х — б*"*,).
Допустим, что хт — а разлагается на рациональные полиномы:
xw — a = f(x)'g{x\ причем пусть
Л**\ ^„ ( ** с I V* I I' V _м_ S ' V \ I V в ™ V" \
Л,} \ Л, — в Д.if \Л в Л-yf . . . ^Д. в Л.1),
где s < т. Сравнивая свободные члены, получим:
A.12) ho = ±e"-Xi;
где а = (*! + а2 + ... + а, и Ьо — рациональное число. Возведя A.12)
в /я-ую степень, получим:
Пусть d = sx + my будет общий наибольший делитель чисел s и т
(меньший, чем аи), х, у — целые рациональные числа. Имеем:
откуда
Но ~ > 1 и не взаимно-просто с т. Это равенство противоречит
нашему условию относительно а. Итак, уравнение A.11) неприводимо.

Ш III. Разрешимые уравнения
Сказанное может быть приложено вместо области .рациональных чи-
чисел также ко всякой другой области, в частности к Л"(е).
Если условие относительно а не соблюдается, т. е. имеет место
m
Y т _ d —
равенство а =» ах , то у a =yav тде d — делитель числа т, и ыы при-
приходим к двучленному уравнению более низкой степени; поэтому и здесь
мы не можем считать полином хт — а неприводимым.
6. Было бы весьма важно доказать, что всякий полином хт — а,
неприводимый в поле рациональных чисел, остается также неприводимым
в области т-х корней из единицы. К сожалению, это не всегда верно.
Например, число 2 является точным квадратом в области корней 8-й
степени из единицы. Действительно,
i ?
так что полином х8— 2 неприводим в поле рациональных чисел и при -
водим в поле корней 8-й степени из единицы. Однако для того случая,
когда т — степень нечетного простого числа, наше утверждение спра-
справедливо. В самом деле, пусть т = рк и
о? = а,
где а число из К (С), С = fk. Пусть, кроме того, е = е р .
ft -1
Величина С удовлетворяет уравнению хр — ^=0. Докажем, что это
уравнение неприводиыо в поле /f (е). Допустив, что С удовлетворяет уравне-
уравнению 9 (х, е) = 0 степени u<ph~1, мы получим рациональный полином
<р (х, 8) • <р (х, в») • <р (*, ¦«)... <р (х, г -2)
степени и-{р — 1)<рк~1(р — 1). Это однако противоречит неприво-
хрк— 1 ь _ г
димости полинома —т-—j степени р (р — 1), которая была нами
хр -1
доказана в главе II, § 2.9.
Число а, может быть представлено в форме а,, + агС + а8С2 + ... +
+ *Bk-i_i^P -1 ' гДе */ — величины поля К(е) (см. теорему 49).
Полином
) а
имеет корнем ле = С и потому делится на хр ¦—е, а потому имеет кор-
корнями также величины С, Ср-С, С^-С,..., С(р ~%Ур С, которые являются
корнями полинома я1" — е. Но так как в силу п. 2 корни двучленного
уравнения гр — а отличаются друг от друга лишь степенями е, как
множителями, то мы будем например иметь:

§ 1. Циклические и двучленные уравнения 105
Применяя теорему 49 об однозначности, получаем:
«о — eiaoi *ie="e*a1>...,apfc_i_1es ~
т. е.
.в»(в*-«')=-0 (/ = 0,1,2 p^-l).
Таким образом только те at могут не обращаться в нуль, для которых
' = е*, т. е. / = /fe (mod р), и наша величина принимает вид
_!- 2
Далее, повторяя то же рассуждение для корня Cj = С*-С, мы
получим:
Если ft не делилось бы на р, то мы получили бы отсюда рациональ-
рациональное выражение С* через С, что означало бы, что корень неприводимого
в поле К ('S) полинома х? — Су рационально зависел от С*, что невоз-
невозможно. Повторяя рассуждение для величины г^ = С, получим, что'а
есть величина поля К i^f); затем — поля /((С*)), и т. д.; наконец
поля /С(е).
Если а ак «о + ахе -f- OaeB + • • •"+ \ _ г еР ~ 2 = <*(е), то в СИЛУ Н^ПРИ"
х? — 1
води мости полинома —— мы на ряду с равенством
[а(в)]' = а
будем также иметь
{а (в)]* - а, [а (е»))' = а,..., [а (е* " ^J" = а.
Перемножая эти равенства, получим:
в"-1==[а.(е)а(еа)...а(е1'-1)]1' = ^,
где /> — рациональное число. Отсюда •
откуда следует, что а есть точная степень рационального числа,
ч. и т. д.
7. В п. 5 мы, присоединяя к области рациональности т-R корень в
из единицы, получили такие выражения для корней полинома хр—а:
_ Этот полином имеет в К(е) циклическую группу. Действительно, он
нормален, и потому порядок его группы Галуа равен т. С другой сто-
стороны, его группа содержит подстановку 5 = (хг -*¦ е х^ т-го порядка,
а потому его степени J, S, S* S* ~ 1 различны и исчерпывают собой
всю группу.

106 ' 111. Разрешимые уравнения i
Пусть ($5 группа этого уравнения в поле рациональных чисел,
ф — в поле аи-х корней из единицы. Группа !р — циклическая аи-го
порядка. Из теоремы 62 следует, что группа Галуа поля К(е) есть ®/!р.
Эту группу мы найдем в следующем параграфе: это абелева группа.
Отсюда можно ваключить, что группа © разрешима (см.главуI,§6).
Порядок группы © выше аи, а потому она не может быть абелевОй
(см. теорему 13).
§2. Уравнения деления круга. Их разрешимость в радикалах.
Гауссовы периоды.
1. Уравнения деления круга. В предыдущем параграфе мы видели,
что циклические уравнения разрешимы в радикалах, если разрешимы
уравнения
B.1) хт—1=0,
носящие название уравнений деления круга. Решение этих
уравнений связано с задачей деления окружности на аи равных частей.
В самом деле, корни уравнения B.1)
B.2} 1, е~™, е т , е т ,.. ,,е ™
расположены в плоскости комплексной переменной на окружности
с центром в начале координат и радиусом единица и делят эту окруж-
окружность на аи равных частей.
Те из величин B.2), которые удовлетворяют также уравнению
лЛ —1 = 0 при каком-нибудь аи1<аи, называются непервообраз-
непервообразными корнями аи-й степени из единицы; если же для какого-
нибудь корня е такого тх не существует, то корень е называется
первообразным. Имеет место
Теорема 64. Для того, чтобы корень е = е т аи-й сте-
степени из единицы был первообразным, необходимо и достаточно,
чтобы число k было взаимно простым с аи.
Доказательство. 1°. Пусть k не взаимно просто с аи и пусть
k = dkvm = dmx, d>\. Тогда— = —l, = e m> при m1<m, от-
куда e"» = «taft' = l.
2icifcm,
2е. Пусть е = ет, и пусть eml=l при-АИх < т. Тогда е т =
=» cos 5*«i + / Sin il*«i = i, т. е. cos ^^ = 1, откуда следует,что
mm тп
от* есть кратность 2л, т. е.'—1 есть целое число. Но в силу mx<.m
число пг1 не может содержать всех множителей числа аи, откуда следует,
что часть их должна содержать число k, т. е. k не может быть взаимно-
простым ст.
Теорема 65. Все АИ-е корни из единицы выражаются как
степени любого первообразного аи-го корня.

2. Уравнения деления круга 107
Доказательство. Мы уже видели, что все от-е корни из еди-
единицы выражаются степенями корня е т . Чтобы "доказать это для любого
корня е т , где k взаимно просто с /и, достаточно показать, что е т
Znik
есть степень е т '. Для этого решим неопределенное уравнение kx +
-|- ту = 1 и напишем:
е ж =» /"
Теорема 66. Существует полином Хт с рациональными коэф-
коэффициентами, корнями которого являются только первообразные т-е
корни из единицы.
Доказательство. Каждый не-первообразный корень m-й сте-
степени из единицы должен одновременно быть корнем уравнения
Xй— 1 = 0, где d—делитель т, мгньший, чем т. Отыскивая общие наи-
наибольшие делители полиномов хт— 1 и jc* — 1 при всевозможных дели-
делителях d числа т и освобождая от них полином хт—1, мы в конце
концов получим полином Хт, корнями которого являются исключительно
первообразные от-е корни из единицы. Но так как нахождение общего
наибольшего делителя есть рациональная операция, то полином Хт дол-
должен иметь рациональные коэффициенты.
Полином Хт может быть также получен при помощи следующей
явной формулы:
Щх"*1 — 1)
B.3) , Х„ = -=^ ,
где mi и ш, — такие делители числа т, что частные — суть произве-
тх
дения четного числа различных простых ч^исел (и в частности еди-
единицы) а произведения нечетного числа различных простых
тг
чисел. Для доказательства рассмотрим первообразный d-й корень
единицы, где d= ——; ^— (at > 0), где p1t, pt,,. ,,рк различные про-
простые множители числа т. Число е есть корень таких и только таких
полиномов х™1—1, хт'—1, соответствующие которым числа ть тъ
делятся на d. Таким образом в числителе выражения B.3) множитель
х — е будет содержаться в хт — 1; затем в таких хщ — 1, для которых
т1 = -^-, где pv pj пробегают всевозможные пары значений из ряда
Pv Р«> •••» Рю число таких х™1—J равно Ск%\ затем в таких х—1,
для которых /я. = , где р„р,,р,.р. опять одна из всевозмож-
PiPjPlPt
ных комбинаций из ряда рх,рг,..., рк; число таких х ' — 1 равно Ск*
и т. д. Всего в числителе будет
B.4) , 1 + С4« + С/ + С4« + ...

108 . III. Разрешимые уравнения
полиномов xmi—1. содержащих множитель х— е. При этом каждый
полином хт' — 1 делится только на-первую степень х — е, так как
Х>«1— 1 вообще не содержит' кратных корней. В самом деле, производная
от х™> — 1 равна т1-хт*~1, т. е. очевидно взаимно-проста с *"•'— 1.
Таким образом число B.4) указывает, сколько раз множитель х — s
входит в числитель выражения B.3).
Рассуждая аналогично, найдем, что в знаменатель выражения B.3) мно-
множитель х—е войдет
B.5) . ' <у + С* + С/ +<<V + .., раз.
Разность чисел B.4) и B.6) равна
i-ci + ch*-ch* + cs... =(i-i),
9
т. е. нулю каждый раз, когда k > 0, и равна единице при k = 0. Таким
образом множитель х — г войдет в выражение B.3) тогда и только
тогда, если k = 0, т. е. если d = m, т. е. е «сть первообразный /я-й
корень, и в этом случае х—« войдет один раз. Это доказывает спра-
справедливость формулы B.3).
Пример. Определим Х№. Из формулы B.3) следует, что
у
w (х80 — l)(x*> —
i
Деля один на другой множители, стоящие один над другим, получим:
Следствие. Степень полинома Хт равна <?(т), т. е. числу чисел,
не превышающих т и взаимно-простых с т.
2. Таблица полиномов Хт до т = 60. Приведем выражения полиномов
ЛГт для чисел /и, не превышающих 60. При этом мы не буднем приво-
приводить Хт при простых т, так как в этом случае просто
B.6) Хт = ^=1 в **~Х + хт~2 + хт~г + "¦ ¦ • + х* + х + 1.
а также когда /и = 2р, р — нечетное простое число, так как в этом
случае
C2 —
ДГ+ 1.

1,
1,'
1
X
— x + 1,
- x* + 1,
12
л*
-X* — JC*+1,
Ча
х™ + 1,
+ 1,
— Л8 + JC7 — X* +
+х*—х+1,
8t
XS9 = л-2* —
-(- хЫ—хМ
х8— д:*-Ы,
= д:" + д:и—
л8 + л» — л*
46
.(_ дав _
+,
Ч»
U
+
— Л8! + Л» — Л28 + Xм — X№ + Л?» -'*** + X88 — JCW +
— jc" + л;" — xw + xa — x10 + *» — x1 + x* — x* + x* —
h .
— x™ + jc80 —jc18 + jc« — x1*- + x1* — x10 + x6 — x* + x* —
Х№ = х*"—х8» + Xм — х84 + х80 — х28 + х26 — х83 + х80 — х1Т + х16 —
— Xй + X10 — Xе + Xs — X + 1,
*"==: X»8 —X88 + X88 — Х«8 + X8» —X88 + X87 —Xм + Xм —X23 + Xм —
— х» 4- х18 —х» 4- х»—х18 4- Xй —х" 4- х» — х7 4- хв —:
4-х8—х+1.
V зв; vl« _|_ vW vlO ув v6 .
3. Неприводимость полиномов Хт. В главе II, § 2.9, мы убедились,
что полиномы Хт неприводимы, если т равно степени простого числа.
Докажем теперь общую
Теорему 67. Полиномы Хт неприводимы.
Доказательство. 1°. Предварительно докажем одно сравнение,
носящее название формулы Шёнеманна (Schoenemann). Возведем поли-
полином /(х) ae.Oj 4- <hx + flj-** + • ¦ • + flrtJC" в Р'ю степень, где р — произ-
произвольное простое число:
[«о + «Ч* 4- о**2 + • • • -
s«s» ••••*„
В этой формуле коэффициЪнты
, "{' г только тогда не делятся
на р, когда одно из чисел s0, slt . .. , sn ие меньше р; ио в силу

110 111. Разрешимые уравнения
*0-f sx -f ... -f sn = p это имеет место только в случае sk = p) st—,0
при 1фк (/5 = 0,-1, 2,..., и), и в этом случае f ^Л^
= А- = 1. Поэтому мы получим сравнение
Но из теоремы Ферма следует:
откуда окончательно:
B.8) [f(x))p=f(xp) (modp).
Это и есть формула Шёнеманиа.
2°. Приведем несколько видоизмененное доказательство неприводи-
неприводимости И. Шура (J. Schur). Допустим, что f{x) есть неприводимый поли-
полином, корнем которого является некоторый первообразный ая-й корень
из единицы в. Возьмем произвольное число р, взаимно-простое с ал, и
докажем, что ер есгь также корень полинома /(*). Допуская противное,
мы найдем другой неприводимый полином g{x), корнем которого
является ер . Тогда я"*—1, делясь на оба взаимно - простые полинома
f(x) и g (x), разделится и на их произведение, а потому дискрими-
дискриминант D полинома хт — i разделится на результант полиномов f{x) и
g{x) (глава И, § 1.9, формула A.15)). Но если F{x)=*-*.m—\, то
производная F'(x)=s mxm~1, а потому
D=± т ¦ в1"- т • е2^-1). т . е3*-".. ./я • ,
(m —1) m
"'<"-1)s
С другой стороны, Я (/,«) =/(л)-/(Л).../(л)» r^e Л» Л
У ¦ ' ¦, Ун — корни полинома g (x). Рассмотрим величину /Оч), где
_Ух = е^' Пользуясь сравнением B.8) и принимая во внимание, что
/(е) = 0, получим:
/Ы = 0 (mod/?.).
Это означает, что величину f{yx) можно выразить, как функцию
от в с целыми коэффициентами, делящимися на р './(У\) ~р • 9 F)-
Но в можно на основании теоремы 65 выразить, как степень ух, так
как в силу теоремы 64 ух —еР &:'ТЬ первообразный корень аи-й сте-
степени из единицы. Поэтому /(л) —Р" ^ (л)| гДе ${у) полином с це-
целыми рациональными коэффициентами. Полученное соотношение оста-
останется справедливым, если мы заменим ух любым корнем неприводимого
уравнения g (х) = 0. Подставляя получаемые равенства в выражение
для R (/, g), получим: .
R (/. g) = р"

2. Уравнения деления круга lit
Так* как <р(лЖл) • • • '-Р(Л) выражается, как целая рациональ-
рациональная функция с целыми рациональными коэффициентами от коэффи-
коэффициентов полинома g{x) (см. главу II, § 1.7, теорему 41), то R (V, g,
делится на /Л Но это невозможно, так как дискриминант D (F),
равный ± тт, делится на R~(f, g). Получаемое противоречие показы-
показывает, что sp является корнем полинома fix).
Докажем, что /(е$ = 0, где и любое число, взаимна простое с т.
Разложим и на простые множители: и= р • р' • р"... и станем при-
применять доказанное сначала к s, затем к sp, к ерр , и т. д. Но так как
каждый первообразный т-Я корень из единицы может быть предста-
представлен в виде в", где и взаимно-простое с т число, то корнями неприво-
неприводимого полином! /(л) являются все первообразные ш-е корни из еди-
единицы, откуда / (х) — Хт, т. е. полином Хт неприводим, ч. и т. д,
4. Группа полей деления круга. Определим теперь структуру
группы уравнения Хт = 0. Сначала рассмотрим случай т — р', , где
р — нечетное простое число. Пусть g есть первообразный корень срав-
сравнения
Тогда степени g исчерпывают собой все взаимно-простые с р
классы сравнений по модулю р", в силу чего все корни полинома Хр*
могут быть представлены в форме .
B.9) ,е, е*, «*..., *'*'\
где s==?p*~l\р—1). Все корни полинома ХрЛ таким образом рацио-
рационально выражаются через один, т. е. уравнение Х^ = О'нормальное, и
порядок его группы Галуа равен s. Обозначая через S, подстановку его
группы, переводящую s в е* : 5 — (е - е"), мы будем иметь:
5* = (е->6-9) (Л = 0, 1, 2, .... 5-1),
откуда видно, что порядок подстановки 5 равен s. Таким образом степени
подстановки S исчерпывают собой всю группу Галуа уравнения X „ = О,
т. е. эта группа циклическая.
5. В случае р = 2 дело обстоит несколько иначе в виду того, что
сравнение:
xz'~l — ISO (mod 2")
при а>3 не имеет первообразных корней. Для этого сравнения число 5
является так называемым полупервообразным корнем; это озна-
означает, что все взаимно-простые с 2" классы сравнений по модулю 2*
могут быть представлены в форме
1, 5, 5«, 5*, Г.', б*-2; - 1, -5, - 5*, - 5* - б*-8,
откуда следует, что все 2"-е первообразные корни из единицы могут
быть представлены в форме

lli Uh Разрешимые уравнения
Уравнение Х%* — О попрежнему нормально, но его группа, будучи
порядка 2"~\ .не содержит элементов порядка 2"~г, а может быть обра-
образована композицией элемента S = (e-»s6) порядка 2"~г и подстановки
Т= (е-.е-1) второго порядка. Эти элементы перестановочны:
откуда следует, что группа @ абелева и разлагается на прямое произве-
произведение циклических групп
Я = 1 4- Т,
Рассмотрим делители поля ЛГ(е), принадлежащие к группам ft и $>•
Представляя величину е в тригонометрической форме:
мы будем
в
также иметь:
= е ==с
2«
= е =(
•OS ~~— -
2«
f i sin
— 1 sin
2и
2"
2 л:
2е '
откуда следует, что подстановка Г=(е->е 1) переводит комплексные «ели-
чины поля АТ(е) в сопряженно-комплексные величины, а потому, принад
лежащее к* группе п поле состоит из всех вещественных величин поля /С(е)
Мы получим примитивные элементы этого поля, если образуем элементарно
симметрические функции от в и в:
_, 2я _,
е+е =2 cos т^, s • е = 1.
Ив них очевидно только первая величина, 2 cos —, может быть при
митивиой величиной нашего вещественного поля. Определив ее, мы сумее)
разделить окружность на 2" равных частей.
Рассмотрим теперь группу !р. Принадлежащие к ней величины обра
зуют поле второй степени. В этом поле будет находиться величииае*1.
Действительно, применяя к ней подстановку S, получим:
Чтобы определить эту величину, обратим внимание на то, чт
е« = cos —-j— + ' sin —~— = cos ~ + / sin ^ = /.
Но так как поле K(i) второй степени, то оно должно совпадать с поле\
принадлежащим к группе ф.

, ; § 2. Уравнения деления круга tt3
6. Теперь разберем случай произвольного т.-Пусть т =/V'W2 • • .P*h-
Введем обозначения
mt -.^~ m a i о ь\
Числа mlt m2, ..., mk не имеют общих делителей, а потому неопре-
неопределённое уравнение .
т^ -f-
имеет решения в целых числах sv s2, ..., sk. Выбрав одно такое реше-
решение, будем иметь:
B.10) е т~ = s = em>Sl + m«s«+ • • • +m*s* =
= (в1/1 (em')S' ... (sm*/* *= «jSl e/2 ... •/*,
где величины
2r» m{
0=1,2,...,*)
являются первообразными р,а<-ми корнями из единицы. Формула B.10)
показывает, что любой m-й корень из единицы может быть рациональ-
рационально выражен через корни из единицы, степени которых являются степе-
степенями простых чисел, входящими в т.
Группа поля, образованного первообразным m-ым корнем из-единицы,
есть прямое произведение групп, изоморфных с --группами полей
корней из единицы, степени которых являются степенями простых
чисел. Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на то,
что если m = m1mi, где тх и т2 взаимно простые числа, то поле т-ых
корней из единицы есть композит полей т^ых и т2-ых корней из еди-
единицы, а затем применить теорему 60.
Заметим еще, что в этом случае поля из /ге^ых и из /и2-ых корней
из единицы взаимно-просты. Действительно, степени этих полей суть
соответственно ^{щ) и у(т2) (см. теорему 65, следствие). В то же время
степень их композита есть <р(т), т. е., как известно, <p(mi) * «К"^). В то
же время если бы эти поля имели общее иррациональное поле, тр степень
их композита должна была бы быть меньше произведения ^(ffZj) • <f(m^.
Таким образом группа поля m-ых корней из единицы, как прямое
произведение циклических групп, есть абелева группа.
7. Разрешимость уравнении деления круга. Докажем, что уравне-
уравнения деления круга разрешимы. Из соображений п. 6 выходит, что при
доказательстве мы можем ограничиться случаем, когда т = р", где
р—простое число.
Пусть р —нечетное простое число. Тогда в п. 4 мы видели, что
^¦„ = 0 есть циклическое уравнение степени <?(р") —¦ р"~1(р—1).
Поэтому, как мы это видели в § 1.3, это уравнение разрешимо, если
присоединить к области рациональности корни из единицы степени
р'~\р — 1). Здесь опять в силу п. 6 достаточно рассмотреть корни
из единицы степени р"~1, а также степеней, равных степеням простых
8 Чеботарев.-

-114 ///. Разрешимые уравнения >.
чисел, входящим в /7—1. Таким образом мы сводим вопрос о разреши-
разрешимости в радикалах уравнений деления круга на р" равных частей к во-
вопросу о разрешимости уравнений деления круга на меньшее число частей.
Продолжая это приведение, мы в конце концов получим для корней из
единицы степени р" полные радикальные.выражения.
Теперь рассмотрим случай, когда р = 2. В п. 5 мы видели, что поле
2*-ых корней из единицы есть'Прямое произведение двух циклических
полей: K(i)~2-й степени, и kBcos—^-\—2а~2-й степени. Второе
из этих полей можно разрешить в радикалах, присоединив к области
рациональности 2Я~~ -е корни из единицы, опять образующие поле,
являющееся прямым произведением полей K(i) н К ( 2cos —3), т. е.
полей 2-й и 2 -й степеней. Здесь мы также получаем решение
уравнения в радикалах, в выражения которых входят корни из единицы
более низкой степени, что дает нам такую же возможность получить
окончательные радикальные выражения для корней из единицы.
Отметим, что это в связи с доказанным в § 1.3 дает нам полное
решение любого циклического уравнения в радикалах. _
8 Гауссовы периоды. Для практического проведения решений урав-
уравнений деления круга на простое число частей Гаусс предложил особый
прием. Мы .изложим его, пользуясь результатами общей теории Галуа,
-но при этом будем помнить, что Гаусс предложил его раньше, чем,
теория Галуа начала существовать.
Пусть р—простое число. Уравнение Хр = 0 имеет степень р — 1.
Таков же порядок его .группы Галуа @. Пусть @=l-f-S + «S2+..- +
+_SP~2, e — е р, S=(e-*e*), где g—первообразный корень сравне-
сравнения хр~г —1=0 (mod/;).Разложим р—1 на два множителя: р—1 =>
= е • / (<? есть целое рациональное число и не имеет ничего общего с
основанием неперовых логарифмов), и построим -систему функций,
принадлежащих к подгруппе $ = 1 + 5? -f- S~' -f-... -f- Sif~1)# порядка /.
Пусть подстановки S, S% ...,' Sp~2 превращают величину в соответ-
соответственно в «i, e2,'..., гр_г (так ЧТо гь = г" ). Величины
B.П)
носящие Название /-членных гауссовых периодов, неизменяются
от подстановок группы ф. так как подстановка 5* переводит каждую
величину е4 в еА+#, которая входит в выражение того же . периода.
Поэтому периоды образуют лоле, имеющее группой Галуа дополнитель-
дополнительную грулпу @/й порядка е, в силу чего они являются корнями уравне-
уравнения е-й степени с рациональными коэффициентами. Они являются

g 2. Уравнения деления круга Jl$
свпряжеииыми величинами, т. е. являются корнями одного и того же
уравнения, так как например подстановка S переводит их друг в друга:
именно, переводит % в i^+i и ij#-1 в •»). (
Чтобы получить это уравнение, Гаусс предложил прием для выраже-
выражения произведения двух периодов в виде суммы периодов с рациональ-
рациональными коэффициентами. Пусть
Станем перемножать эти коэффициенты, собирая вместе произведение
множителей, отстоящих друг от друга (в горизонтальном направлении)
на одном и том же расстоянии, причем если ряд членов-множителей
кончается, то мы будем начинать его опять с противоположного конца:
(*12)
Рассмотрим ближе какую-нибудь из сумм, находящихся в скобках,
например
Число «, е ,. является произведением р -ых корней из единицы, т. е.
s ^ (A -J-A*
тоже р -ым корнем из единицы, или первообразным, или равным единице.
В первом случае он содержится в выражении одного из периодов B.11).
Если применить к нему подстановку ^ то показатели у его множителей
увеличатся на е единиц, т. е. он перейдет в следующий член выраже-
выражения B.13). Таким образом мы убедимся, ч'тб Все члены выражения пере-
переходят друг в друга последовательным применением подстановки S1, т. е.
являются последовательными членами одного и того же-/-члеиного пе-
периода, так что каждое выражение в скобках -в формуле B.12) равно
одному из периодов B.11). Номер этого периода мы узнаем, как только
-перемножим ^ и е , hi.
Если ех • е , . = 1, то каждый последующий член выражения B.13)
тоже будет равен единице, а потому все выражение B.13) равно /.
Выразим / в виде однородной линейной функции от периодов B.11).
Для этого сложим обе части равенств B.11) и обратим внимание иа то,
что в правой части у нас получится сумма всех первообразных р-ых
корней из единицы. Но так как
1+6 + еа-Ь... +*'-*= О,
то правая часть полученного равенства равна —1, т.е. мы получим:
откуда
а*

///¦ Разрешимые уравнения
Поступая таким образом со всеми скобками в выражении B.12), мы
выразим \т\ в виде однородной линейной функции от периодов
"*)» Чи Чг» • • • # \-\ с целыми рациональными коэффициентами. Пусть
т) • т) = а00 • т) + аО1 * % + • • • + яо.,_1 • V-i>
TJ • 7),= а10 • 7) + ац • 7)! + . . . + С,,^, • 7)^!, v
Отсюда мы известным приемом (см. главу II, § 3.9) получим для т\
следующее уравнение е-й степени:
B.14)
= 0.
Беря сначала в качестве р простой делитель р — 1, мы получим
уравнение простой степени. Далее берем в качестве е новый делитель ег,
делящийся на е. Тогда каждый период разобьется на — новых пе-
периодов, причем можно, поступая аналогично, построить уравнение
степени -г-, которому удовлетворяют новые периоды, а коэффициентами
являются функции старых периодов. Таким путем мы приведем его ре-
решение к решению уравнений простых степеней. В этом случае удобнее
не пользоваться приемом главы II, § 3.9, а составлять, пользуясь Гауссо-
Гауссовым приемом, элементарно-симметрические функции от сопряженных
периодов. Лучше всего проследить образование таких уравнений на при-
приводимых ниже примерах.
9. Пример 1: р= 17. Для этого простого числа 6 является перво-
первообразным корнем. Определим вычеты его степеней:
6, 2, 12, 4, 7, 8, 14, 16, 11, 15, 5, 13, 10, 9, 3, 1.
Беря эти вычеты через один, строим следующие 8-членные периоды:
т) в е + е2 + s4 + s8 + е1в + е15 +' е13 + s9,
т,, = е« + •»Ч- е7 + е" + е" + е5 + е10 + е8.
Для получения произведения т)т) прибавляем по 1 к показателям членов
выражении периода т), смотрим, в каком из периодов находятся полу-
получаемые показатели, и помещаем эти периоды в качестве слагаемых:
*) •"»} = ,¦») + % + ""Ji + *) + 8 + *] + % + 4i =
= 8 ( —1\ — Щ) + Зт) + 4т}г - —5т} — 4т)!.
Таким же образом получаем и ч\ - т)^
+ "»}1 + -П1 + ¦»}= 4т) + 4-»}!.

2. Уравнения деления круга 117
B15)
Отсюда выводим уравнение для ij:
-5-7i,-4
4, 4-т)
7J+7) —4=0.
Теперь разбиваем периоды т), ч\г на 4-членные:
Н = е + е4 + е1в + е18, Н2 = е« + е7 + е" + е10,
Hjee^ee + eW.+ e9, H8 = eu + eM + e6 +e3 ,
причем Н + Hi = т), На + Н8 = 7)j = — 1 — 7). .. •
Составляем произведения:
Н Hj = Н8 + Hi + Н + На = т) + Tji = — 1,
Таким образом периоды Н и Hi являются корнями следующего квад-
квадратного уравнения:
B.16) . Н2 —т).Н—1 = 0.
Составим теперь 2-членные периоды:
. Имеем:
э + эг = Н, э эг = эв + э7 = Н8.
Но Н^ принадлежит к той же группе, что и Н, а потому рационально
выражается через Н. Чтобы найти это выражение, составим произве-
произведение НН3: •
НН8 а Н + Пх + Н2 + Н = (Н + Нг + Н2 + Н8) +
+ Н —Н8= -1 + Н — Н8,
откуда
"»."" Н+1 •
Итак, о и ог удовлетворяют следующему уравнению:
B.17) 32_H.D g^l
До сих пор встречавшиеся периоды имели вещественные значения.
Дальнейший этап дает нам непосредственно корни из единицы. Корень е
может быть получен по формуле
t 2tii'
е = е = cos rpf + i sm ^ = cos ^y + i ^ I —cos2 -^.
Но так как э = e + е1в = 2 cos —-, то
B.18)

118 111. Разрешимые уравнения t *
Таким образом мы привели нахождение в к решению цепи квадрат-
квадратных'уравнений. Посмотрим, как выбрать из всевозможных пар корней
этих уравнений те корни, которые приводят к в. Уравнение B.15) имеет
корни разных знаков.. Корени т) можно выразить так:
Величины cos -ту- положительны при &<4 и отрицательны при k>4.
Поэтому легко убедиться, что tj > 0.
Уравнение B.16) опять имеет корни разных знаков. При этом корень
Н** 2 cos-^ + 20M
положителен. Заметим, что он больше единицы, так как h Ht = — 1 и
Н + Нг = tj > 0. *
Уравнение B.17) имеет положительные' корни э = 2соз-г-, ог =
= 2 cos —yj—, причем о > эг Таким образом для получения э необхо-
необходимо при решении всех квадратных уравиений B.15), B.16), B.17) брать
перед радикалами знак плюс.
10. Пример 2. /7=19. 2 есть первообразный корень. Составим
вычеты степеней:
2,4,8,16; 13,7,14,9,18, 17,15,11,3, б, 12,5,10,1.
6-членные периоды таковы:
¦>j =е + ев + е7 Н-е" + е" + е«
т)! = е» 4- е" + в" + е" + в» + е«
% = е* + г** + в» + е» + е8 + е3-0.
Составляем произведения:
+Я +fl +% =¦ — 4т) —5т)! —4тJ,
-откуда следует, что г\, ци г\г удовлетворяют уравнению
:i
e
Н7 = е^8
Н8 = в»
B.19)
4 4-4.
1 ,
2 ,
2-членные периоды:
Н
5 ,
й
1
4
3
— 1
Н4 =

Составим элементарно-симметрические функции от Н, Нь На:
Н +'Н, + Н2 - ч, НН, + HHj+'^H, -Н, + На + Н, + Н, + Нв+
HHjH, = (Н8 + На) Н, = Н4 + Н8 + Н,-+ 2 - % + 2,
так что Н, Hj, H2 являются корнями уравнения
<2.20) Н»-ЧН« —(l+n,)H —B + 4j)*=.O.
Нетрудно выразить % через -ц. Для этого надо/в равенстве
1) -f- 2ijt + ЗтJ заменить %' через — 1 — ч\ — ^: ¦>}% =
— 3—2rj —%, откуда
так что уравнение B.20) можно преобразовать к виду
<2.20) H»-VH +i-p-.H-T-R=0.
Если же необходимо получить выражение % через т) в форме поли-
полинома, то для этого надо составить линейные выражения степеней щ че-
через 1^, T)jj T}g!
-1,-
1,
— 4,
1,
— 4,—
1,—
\
1,—
0,
5,-
1
0
4
1
0
4
так что уравнение B.20) принимает вид:
B.20") - Н8 —ijH8
Далее из равенства ? -f- е = Н мы получим:
B.21) e = f
Упражнение 35. Найти уравнения для гауссовых периодов в случае
§ 3. Разрешимые группы и разрешимые уравнения.
1. Связь между разрешимыми группами и разрешимыми урав-
уравнениями. Теперь мы можем установить связь между разрешимыми груп-
группами и разрешимыми уравнениями*. Эта связь может быть формулиро-
формулирована так:

ijO ^ III. Разрешимые уравнения *
Теорема 68. Для того, чтобы уравнение .
C.1) /(д)=0
решалось в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы его группа
Галуа ($ была разрешима.
Доказательство. 1°. Пусть группа & разрешима. Это означает,
что соответствующий ее композиционному ряду
C.2) ©, ®v ©г,---, ©м_,
ряд дополнительных групп
.C.3)
СОСТОИТ ИЗ ЦИКЛИЧеСКИХ ГруПП, ПОРЯДКИ КОТОРЫХ р, Рх, . . . , рт„.2> Рт-1
суть простые числа. Будем доказывать теорему индуктивно, т. е. пред-
предположив, что она справедлива в случае, если ряд C.3) состоит из и— 1,
докажем ее для случаи т звеньев. Случай, когда т — 1, т. е. когда ©—
циклическая группа, был уже рассмотрен нами в § 1.
Присоединим к области рациональности корни из единицы степеней
Р> РЬ--, Рт.у
В § 2 мы видели, что они выражаются в радикалах. Если мы, кроме
того, присоединим к области рациональности величину а, принадлежа-
принадлежащую в поле К(хг, jCg,..'., хп) корней уравнения C 1) к группе (&lt то
из теоремы 62 следует, что группа поля КМ изоморфна с дополнитель-
дополнительной, группой ®1®и которая по условию являегся циклической, а потому
в силу § 1.3 величина а выражается в радикалах.
После присоединения величины а к области рациональности группа
уравнения C.1) понижается до ®г (см. теорему 61). Но так как компо-
композиционный ряд группы ®г состоит всего из от — 1 звеньев, то в силу
нашего предположения корни уравнения C.1) могут быть выражены
в радикалах, в выражения которых могут также входить функции от а.
Но, как мы уже видели, а выражается в радикалах. Стало быть, корни
уравнения C.1) тоже выражаются в радикалах, ч. и т. д.
2°. Дано, что уравнение C.1) решается в радикалах. Это означает,
что корни этого уравнения могут быть рационально выражены через
корни некоторых двучленных уравнений
C.4) **-Й1 = 0, /'-а2 = 0,. гщ—а3 = 0,.. „
где величина аг есть рациональное число, а2 — функция от корней пер-
первого уравнения, аг — функция от корней первых двух уравнений, и т. д.
Таким образом, присоединяя к области рациональности постепенно:
1) корни первого уравнения, 2) корни второго уравнения, и т. д., мы
в конце концов понизим группу Галуа уравнения C.1) до единичной
группы. Пусть группа (Й уравнения C.1) не понижается при присоеди-
присоединении к области рациональности корней первых s—1 уравнений C.4),
и.
а при присоединении корней s-ro уравнения и — а, ¦=¦ О пусть она
понизится до J5. Тогда в силу теоремы 63 существует функция а от

§ 3. Разрешимые ёруппы и уравнения ЦТ
корней уравнения C.1), которая также рационально выражается через.
корни уравнения и*—а, = 0, если считать корни первых s— 1 урав-
уравнений C.4) присоединенными к области рациональности. Группа уравне-
уравнения ц* —в»=*0 в этой области рациональности разрешима (см. § 1.7).
Группа уравнения, которому удовлетворяет а, является ее дополнитель-
дополнительной группой и поэтому тоже разрешима. Но, с другой стороны, эта
группа в силу теоремы 62 изоморфна с группой ©/$,, где $ —пересече-
—пересечение всех групп, сопряженных с $?>. Таким образом мы ^ридим, что©
имеет отличный от себя нормальный делитель $$г такого рода,
что дополнительная группа ®/$i разрешима.
Присоединим к области рациональности величину, принадлежащую'
к группе $г, а затем станем опять постепенно присоединять к области
рациональности корни уравнений C.4). При новом понижении группы,
которое непременно должно произойти, мы, повторяя предыдущее рассужде-
рассуждение, убедимся, что группа $i имеет отличный от себя нормальный делитель
ii2 такого рода, что дополнительная группа ~ разрешима. Продолжая
процесс, мы придем к ряду подгрупп
C.5) • 0$, Й1( Й2 ,V,- 1
такого рода, что каждая группа &(^ является нормальным делителем
предыдущей группы $,. и дополнительная группа —— разрешима. Ваз-
вим в ряд C 5) между каждыми двумя группами $„ &., 1 ряд таких,
групп, чтобы дополнительные группы, составленные из соседних групп,
были циклическими группами простого порядка (это возможно в силу
разрешимости групп 8,18^). Тогда ряд C.5) превратится к композицион-
композиционный ряд с рядом индексов из простых чисел. Следовательно группа ®
разрешима, ч. и т. д.
Примечание. На самом деле группа $ является нормальным дели-
делителем группы @ и потому совпадает с Й, но мы не пользовались этим
фактом в виду сложности его установления. Возникает вопрос, может
ли случиться, как мы это предположили, что группа уравнения C;1) не
понижается при присоединении к области рациональности корней неко-
некоторых из уравнений C.4). Мы допустили их существование опять-таки
для упрощения доказательства; на самом же деле такими уравнениями
могут быть уравнения, которым удовлетворяют корни из единицы, ко-
которые нам однако необходимо присоединить. '
Следствие. Уравнение, степень которого >5 и группа Галуа
которого есть или симметрическая или знакопеременная группа, не-
неможет решаться в радикалах (см. теоремы 27 и 28).
2. Разрешимые уравнения простой степени. Пусть
C.6) /(*) = 0
неприводимое уравнение p-ofi степени, где р — простое число. Мы
только-что убедились, что для разрешимости уравнения C.6) в радика-
радикала! необходимо и достаточно, -чтобы его группа © была разрешима.

122 Ш. Разрешимые уравнения ' •,
С другой стороны, из теоремы 36 следует, что для этого необходимо, и
достаточно, чтобы подстановки группы @ можно было при надлежа-
надлежащей нумерации корней л:0, хъ..., хр_г уравнения C.6) представить
в аналитической форме (z -* az -f- b), где а и b целые рациональные
числа, причем а не делится на р, a z обозначает номер корня, причем после
производства этой операции кратности числа р отбрасываются. В связи
с этим результатом мы. имеем возможность доказать следующую элегант-
элегантную теорему, принадлежащую Галуа, которая к сожалению не распро-
распространяется иа уравнения составных степеней:
Теорема 69. Для того, чтобы неприводимое уравнение C.6)
простой степени р.решалось в радикалах, необходимо н достаточно,
чтобы его корни рационально выражались через его любые два
корня.
Доказательство. 1°. Пусть уравнение C.6) разрешимо в ради-
радикалах. Тогда подстановки его группы ($ могут быть представлены в форме
(z -»az Jfrb). Присоединим к области рациональности два каких-нибудь
корня этого уравнения, например х0 и xv Тогда между корнями будут
иметь место соотношения
где а и р—величины из области рациональности. Поэтому в нрвой
области рациональности группа Галуа будет состоять из тех подстановок
группы @, которые оставляют цифры 0 и 1 неизменными; другими сло-
словами, из тех подстановок типа (z-*az + b), для которых имеет место:
' a-0 + b=0, a>l + b=l(mod р),
¦ г . .
т. е. для которых * = 0, а = 1. Таким образом эта группа Галуа со-
состоит только из тождественной подстановки. Это означает, что все вели-
величины поля, в частности все корни д;0, xlt..., xp^v лежат в новой об-
области рациональности, т. е. рационально выражаются-через хонхъ ч. и
т. д.
2°. Пусть все корни уравнения C.6) рационально выражаются через
jfe, хг:
<3.7) *,. = ср,(дг0, хг) 0 = 2, 3 • р - 1).
Отсюда следует, что всякая подстановка группы ©, которая остав-
оставляет корни х0 и xt на месте, оставляет на месте также все остальные
корни, т. е. является тождественной подстановкой. Далее, так как все
корни выражаются через любые два корня, то группа © не содержит,
кроме тождественной подстановки, никаких подстановок, которые бы
оставляли на месте какие-нибудь два корня. Таким образом каждая под-
подстановка группы @ или перемещает все корни, или оставляет на месте
один корень, или есть тождественная подстановка. v
Докажем, что группа © не может содержать подстановок^состоящих
из циклов разных порядков, отличных от единичного. Допустим, что
подстановка S содержит циклы порядков т и s, где г > s > L. Тогда
подстановка 5' будет отлична от тождественной и вместе с тем будет

¦ § 3. Разрешимые группы и уравнения 123
оставлять на месте.s корней, составляющих второй цикл подстановки
S, что невозможно.
Таким образом если группа © содержит подстановку, перемещающую
все корни, то она должна состоять из циклов равных порядков. Но так
как- общее число р корней есть простое число, то такая подстановка
является /?-членным циклом. Поэтому все подстановка группы © распа-
распадаются на Следующие категории:
) тождественная подстановка,
2) /9-членные циклы,
3) р категорий, каждая из которых A-я) оставляет на месте i-й ко-
корень (/-6, 1, 2, . . . , /> —1).
Ни одна пара этих категорий не содержит общих подстановок. .
Каждая из последних (т. е. стоящих в рубрике 3) р категорий
содержит одно и то же -число подстановок. Действительно, группа ©
транзитивна, так что в ней содержится п установка 7^, переводящая
х{ в xf. Поэтому если r-я категория состоит из подстановок Sa, $& .. .,
5((t, то все подстановки Т,^ЗаТф Tf^S^Ty, ..., T^S^T^ раз-
различны и содержатся в у'-й категории. С другой стороны, эти подста-
подстановки исчерпывают собой всю у'-ю категорию, так как в противном
случае, преобразовывай у-ю категорию при помощи подстановки
Tv~l, мы получили бы и в 1-й. категории большее число подстановок.
Таким образом в последних/? категориях содержится всего р-р под-
подстановок.
Если m — порядок группы © и у — число содержащихся в ней
/ьчленных циклов, то, подсчитывая все подстановки по отдельным
категориям, мы придем К формуле
0.8) . л-1+v + w».
С.другой стороны, подстановки 0-й категории (типа 3) и тожде-
тождественная» подстановка составляют вместе 'совокупность подстановок
группы ©, оставляющих корень х0 на месте. Эти подстановки соста-
составляют группу порядка 1 + V- Но из теоремы 11 (см. следствие)
известно, что индекс этой подгруппы относительно © равен р, откуда
мы имеем:
. C9) т-A
та Вычитая из формулы C.8) формулу C.9), получим:
C.10) * v-p-l. ч
Эта формула показывает, что группа (8 содержит ровно р — 1
/>-членных , циклов. Если 5—один из них, то его степени S, S*,. ..,
Sp~x тоже войду* в группу © и будут все различны. Формула же
C.10) доказывает, что этими подстановками исчерпываются все вхо-
входящие в © /7-членные циклы.
: Группа
1

124 ///. Разрешимые уравнения '
при преобразовании посредством элементов группы % должна перехо-
переходить в группу, тоже' состоящую из />-членных циклов (см. § 3.3",
т. е. переходить в самое себя. Таким образом группа'§ есть нормаль-
нормальный делитель группы <$.
Факт, что группа © содержит циклическую группу $ в качестве
нормального делителя, служил нам в главе I, § 7.6 исходным пунктом
при доказательстве того, что группа © есть линейная группа, т. е. что
все ее подстановки допускают представление типа {г -»az -f- $). По
вторяя эти рассуждения, мы докажем, что группа (У есть линейная
группа, что одновременно доказывает ее разрешимость, ч. и т. д.
3. Как узнать, рчзрешим^ли данное уравнение C.6J простой сте-
степени? Для этого надо построить функцию V (х0, хъ . . ., хр_^) от его
корней, принадлежащую к полной линейной группе, а также уравнение
C.11)
которому она удовлетворяет. Если окажется, что это уравнение не
имеет кратных корней, то необходимым и достаточным условием для
разрешимости уравнения C.6) в радикалах является существование
у уравнения C.11) рационального корня (см. главу II, § 5.13). Воз-
Возможность же существования у уравнения C.11) кратных корней должна
быгь предметом специального исследования, и притом зависит от выбора
функции V, так что мы не будем ставить этой проблемы в общем виде.
4. Уравнения 5-й степени Рассмотрим подробнее случай р = 5.
Исследуем, разрешимо ли уравнение
C.12) f(x) = Xs -f a,*4 + а%х* -f аг г8 + аАх + аъ = 0.
Для этосо определим группу, к которой принадлежит функция1
C.13) V = XQX^ -bJ^Afg + *2*3 + X3Xt -f XtX0.
Всякая подстановка, не меняющая функции v, должна переводить
каждую пару соседних цифр @,1), A,2), B„3), C,4), D,0) (заканчивая
ряд цифр, мы будем начинать его с противоположной стороны) в со-
соседние же цифры. При этом в каждой паре меньшая цифра может'
переходить или в меньшую же (прямой порядок), или в большую
(обратный порядок), Докажем,-что каждая пара переводится одной
и той же подстановкой в каком-то определенном порядке (т. е. или все
пары в прямом, или все пары в обратном порядке). Действительно,
в противном случае нашлись бы две соседние пары, из которых первая,
(i—1, i), переводилась бы в прямом порядке, а вторая (/, /+1),
в обратном. Тогда цифра// переведется в цифру, которая в обеих
парах, в которые переходят обе пары (i—1, /) и (i, i + 1), будет
стоять на втором месте. Но двух различных пар такого рода не суще-
существует, и выходит, что различные пары переводятся в одну и ту же,
что невозможно.
Если мы аналитически представим подстановку, оставляющую
функцию C.13) неизменной, в виде (s->'f(z)), то описанное свойство
можно записать так:
1)—/(*)«= ±1.

§ 3. Разрешимые группы и уравнения 725
причем для каждой подстановки будет для всех значений z иметь место
один и тот же знак в правой части. Придавая переменной z значения
О, 1, 2, . .. , _у— 1, получим:
Складывая эти равенства, получим f(y) = ±_у -f- /@), откуда видно,
что наша подстановка является линейной вида (г -> ±# + я) («=/@).
Таких подстановок всего 10 E значений » в комбинации с двумя зна-
знаками при г). Они образуют группу, которая является делителем индекса
2 полной мгтациклической группы. Будем называть эту группу полу-
полумета ц икли чеСкой и обозначать ее буквой °р. Таким образом
функция C.13) принадлежит к полуметациклической группе *}>.
5. Полная метациклическая группа <z8l допускает следующее разло-
разложение:
где в качестве S мы например можем взять подстановку (г -*• 2я)«
= \0241з)' ^та п°Дстановка переводит функцию v в функцию
Обратим внимание на то, что сумма v + v5 равна коэффициенту аа
при л? в уравнении C.12).
Функция (v — vtJ остается неизменной при ^подстановках полной
метациклической группы и меняется при всех других подстановках.
Точно так же к полной метациклической группе принадлежит функция
C.15) ' и^^Р>
где Д — квадратный корень из дискриминанта D уравнения C.12), т. е.
произведение всевозможных разностей между корнями уравнения C.12).
Действительно, группа °Р есть делитель знакопеременной группы,
группа же ЭД нет, так что °р есть пересечение <z8l и знакопеременной
группы. Подстановки группы °р не меняют ни числителя, ни знамена-
знаменателя выражения C.15), другие же подстановки группы 'ЗЯ меняют их
знак и потому оставляют дробь неизменной.
6. Если мы присоединим к области рациональности величину Д,
то функция v — v, будет удовлетворять уравнению 6-й степени, так
как индекс E1: °Р) группы ^j> относительно знакопеременной группы 21
равен 6 (см. теорему 57). Коэффициенты этого уравнения являются
знакопеременными функциями от корней уравнения C.12). Если такого
рода функция А переходит от подстановки, не входящей в знакопере-
знакопеременную группу (например от транспозиции), в Av то А + Аг есть
симметрическая функция и потому рационально выражается через коэф-
коэффициенты уравнения C.12); функция же А — Аг будет менять при
транспозиции знак.

126 ///¦ Разрешимые уравнения . ,_
———.
Если при этом А есть целая функция от корней, то А + Аг будет
также целой функцией от коэффициентов уравнения C.12). Функция
же А — Ах будет делиться на Д. Действительно, будем считать перемен-
переменной величину х0, а остальные корни xv xz, xa, хА будем считать
постоянными. Подставляя вместо х9 величину хъ мы получим функцию,
остающуюся, с одной стороны, неизменной при производстве транс-
транспозиции {ХдХ}), а с другой стороны, меняющую от этой транспозиции
знак. Такие функции должны быть равны нулю. Поэтому в силу тео-
теоремы Безу (см. теорему 39) функция А — Аг должна делиться на
х0 — х-,, и по этой же причине она разделится на х0 — х2, хо-^х3,
хо — хА. Беря в качестве переменной вместо х0 другие ко: ни, мы
убедимся, что -А — А} делится на каждую, из разностей xt—Xj, и
значит на.Д. Частное ~- ' является уже симметрической функцией от
х0, *i, xa xt, хА и потому выражается как целая рациональная функ-
функция от коэффициентов'уравнения C.12). Таким образом мы имеем:
А + Аг=*В, А — А1 = С-А,
откуда
где В и С—целые рациональные функции от коэффициентов уравне-
уравнения C.12).
7. Применим этот результат к вычислению коэффициентов урав-
уравнения .
C.16)
которому удовлетворяет величина U = v — vv Ее коэффициенты
являются симметрическими функциями от разностей
' U U
где v; t/a, vt, ve, vB, v10 получаются из v при помощи подстановок
знакопеременной группы, a vx, va, v&, v4, vg, vu — при помощи подста-
подстановок, не входящих в знакопеременную группу. Таким образом, произ-
производя над совокупностью величин C.17), как функций от х0, х1г хг,х3, xt,
четную подстановку, мы не изменим этой совокупности, а пр изводя
нечетную подстановку, мы изменим в каждой из этих величин знак.
.Но величины Л,- являются элементарно-симметрическими функциями от
величин C.17). Из них Л2, Av At являются однородными функциями
четных степеней и потому не будут меняться, если мы изменим
знак каждой из величин C.17), т. е. они являются симметрическими
функциями от х0, хг, х2, xa, xt; величины же AltAs, Аь будзег менять
знак при производстве над х0, xv x2, xa, xt нечетных подстановок и
потому выразятся в форме Д • В4, где В( — целая рациональная симме-
симметрическая функция от д:0, xlt X& х3, xt. В силу этого можно предста-
представить уравнение C.16) в таком виде:
C.18) и'+А^+А^+А+А^иь+ВьСР+Вь) = О,

§ 3. Разрешимые группы и уравнения 127
, .__.— » > —
где А,, Л4, А9, Bv S8, Bt — целые рациональные функции от коэффи-
коэффициентов уравнения C.12).
Определим степени коэффициентов At, В( относительно коэффи-
коэффициентов уравнения C.12). Величины. Ut являются однородными функ-
функциями 2-й степени от корней х0, xv xa, x3, xt. Поэтому коэффи-
коэффициенты А( и AS,- являются функциями 2 i-й степени от этих корней.
Но так как А есть однородная функция 10-й степени от корней,
то В( и Ва должны иметь отрицательную степень, а потому обращаются
в нуль; коэффициент же Въ, имея нулевую степень, равен постоянному
числу. .
8. Кэли (Cayley) вычислил коэффициенты уравнения C.18) в самом
общем случае. В виду их сложности мы их приводить не будем, а
ограничимся случаем, когда уравнение C.12) имеет вид
C.19) д:« + ал; + р = О.
Коэффициенты Ai должны быть целыми рациональными функциями
от а и р. Но так как а есть функция 4-й степени и р — функция
5-й степени от корней уравнения C.19), то At есть однородная
линейная функция от a, At — функция 2-й степени и Ав — функция
3-ей степени от а. Коэффициент р, будучи функцией 5-й степени от
корней, не будет входить 'в коэффициенты А9, Л4,- Ав, так что уравне-
уравнение C.18) принимает вид
C.20) l/«-f /a?/*-f ma?02 + na* + q. А • ?/=0,
где /, т, п, q — численные постоянные. ¦ •
Для вычисления постоянных /, от, п, q придадим коэффициентам
аир частные значения. Но предварительно вычислим величину Д.
Ее квадрат, равный дискриминанту D уравнения C.19), можно пред-
представить, как произведение f {x0)' f (x^)- f (xz)-f'{xz) -/'(х^, где
f(x) = jc8 + ax + Р, /'(*) — 5*4 + а и х0, хъ хг, ха, xt— корни
уравнения C.19) (см. главу II, § 1.8). Другими словами, дискриминант
равен (с обратным знаком) свободному члену уравнения 5-й* степени,
которому удовлетворяет г = 5дс* + а. Составим его:
г = а
гх = — 5^ -
гх* =
Таким образом
а, 0, " 0, 0, 5
— 5Р, —4а, 0, 0, 0
D = -fr-o, — 5р, —4а, ~0, 0
0, 0, —5^, —4а, 0.
О, 0, 0, — 5р, —4а
откуда
= 256а«-г.3125р4,

128 •* III. Разрешимые уравнения
, - ——
Положим в уравнении C.19) а = —I, ^ = 0. Тогда хо=О, x^=i,
jc8 =— 1, xa =— /, xt = l. Отсюда v = — i + i—/ = —/. Ho
•и .|_ <vx — аг = 0, откуда vr = i, U = — 2/. Производя- над • корнями
О, i, — 1,—/, 1 всевозможные подстановки знакопеременной группы,
мы убедимся, что U=—2/ является для уравнения C.20) корнем
4-й кратности. Остальные же его два корня таковы:
V' = 0-1 + 1 • I + /2 + /• 1 + 1.0 = — 1 + 2/, V = 1 — 2i;
v"= —0-1 + 1 • i — P + i. 1 + 1.0=U +2/, v{ 1—2/.
Отсюда
U' = v' — < = — 2 + 4/, U" = v" — w/ = 2 + 4/.
Поэтому в нашем частном случае уравнение C.20) будет иметь
вид:
<3.21) (?/4-2/)*[(?/—4/)а —4] = ?/«+20?/4+240?/а— + 512/17320 = 0.
С другой стороны, подставим в уравнение C.20) а = — 1, [3 = 0 и
примем во внимание, что в этом случае Д = ]/"—256 = 16/:
<3.22)- ?/« — /?/4 + от?/8+ WqU— n = 0. '
Сравнивая коэффициенты уравнений C.21) и C.22), получим:
. / = — 20, т = 240, q = 32, л = 320. .
Подставляя эти значения в уравнение C.20), получим окончательно:
<3.23) U6 — 20а[>* + 240аг?/а + 32-Д-?/+320а8 = 0.
В нашем случае U=2v, а потому v удовлетворяет следующему
уравнению:
<3.24) Vе — 5a.v* + 15сА>8 + Д • v + 5а3 = 0.
Вводя Vs = и, где и принадлежит к полной метациклической группе,
получим для и следующее уравнение: •
<3.25) (и3 — 5<ш*+ 15а?и + 5а?)* — Du=0.
Это уравнение имеет рациональные коэффициенты.
Уравнение C.25) нетрудно преобразовать к следующему виду:
C.26) (и — аI (ц2 — баи -f 25х2) — 3125 • р« • и = 0.
9. Итак, если уравнение C.26) не имеег кратных корней, то для
разрешимости уравнения C.19) в радикалах необходимо и достаточно,
чтобы упавнение C.26) имело по крайней мере один рациональный
корень. Пусть и будет один нз. таких корней. Полагая
и подставляя в C.26), будем иметь:
(аХ — а)* (<х8Х2 — 6а2Х + 25а2>— 3125a«Xjj.4 = 0,
откуда
/4 07* а - зтW й- 3125х^
6Х + 26)' ^ (X _ 1)* (Х« - 6Х + 25)

~ ' .-.'. g 3. Разрешимые группы и уравнения 129
¦
Формулы C.27) дают для коэффициентов а, ^ уравнения C.19), раз-
разрешимого в радикалах, параметрические выражения. Для того, чтобы
уравнение типа C.19)" бело разрешимо в радикалах, необходимо и
достаточно, чтобы его коэффициенты а, {3 можно было представить
в форме C.27), где X и (х рациональные величины.
10. Возьмем пример. Давая величинам X, у. значения Х=3, р = 1,
получим:' ¦ ' *
Й 3125 • 3 3125 • 3
а "
§ЦЩ ~ 256
и уравнение .^3.19) примет вид:
5
Подставляя х = -j- • у, будем иметь:
C.28) у»
Это уравнение, будучи неприводимо (критерий Эйзенштейна для
р = 3), в то же время решается в радикалах.
11. Рассмотрим уравнения типа .
C.29) х*
где / — целое рациональное число, не делящееся на 5, и докажем, что
эти уравнения не могут быть разрешимы в радикалах. В самом деле,
допустим, что уравнение (З.Зб) при а = 5, {3 = 5/, т. е. уравнение
C.30) (и — 5)* (и8 — ЗОи .+25) — 5». **• и
имеет рациональный корень и. Полагая и = 5*.w >н подставляя в C.30),
получим: . ¦
E9 5 *E«w — 6.5*;w + 5*) = 5™.t.w.
Обозначая l _ через s, будем иметь:
25 wa — 6 w + 1 ¦= s*w,
откуда
У(8>+8)' -lo
W 50 . *
Чтобы это решение было рациональное, необходимо, чтобы подкорен-
подкоренное, выражение было полным квадратом: ' -
E« + 6)а —100 = га.
Йспоминая известные формулы Пифагора для решения уравнения вида
x2 + V*—z\ имеем:
s« + 6 = та + 82, 10=
Складывая первые две формулы, получаем:

130 , ' ///. Разрешимые уравнения '
*
Перейдем к целым числам. Полагая s ?= —, -f -f 8 = — , где X, jj., v
целые числа, получим так называемое уравнение Эйлера (L. EulerJ:
C.31) ¦ X4-bBv)* = i*a-va.
Для доказательства его невозможности воспользуемся методом Эйлера,
носящим название desfente infinie (или алгоритм понижен и я).
Применяя опять формулы Пифагора, получим:
Из второй формулы следует, что
& = Сах,
а нз первой, что X делится на х. Полагая Х = Х1.х, имеем:
Воспользуемся опять формулами Пифагора:
!?=/• + «¦, 2«а =
Из второй формулы следует, что
Полагая С = Ciffz,' получим:
C.32) Сх1 = ** + /*•
Таким образом мы приходим к уравнению того же вида, что C.31),
но, решения которого имеют меньшую величину. Проделывая над C 32)
те же преобразования, мы опять уменьшаем величины решений. Но
в виду того, что этот процесс не может итти до бесконечности, мы за-
заключаем, что уравнение C 31) не решается в целых рациональных чис-
числах, а потому уравнение C.30) не может иметь рациональных корней.
Таким образом уравнение C.29) не решается в радикалах.
12. Когда уравнение C.26J имеет кратные корни? В виду 1»го, что
и = Vs, зго будет иметь место тогда и только тогда; если уравнение
C.24) имеет или кратные корни, или равные по величине и противопо-
противоположные по знаку корни. Меняя знак при неизвестной v в выражении
C,24), мы получим измененным знак только перед членом Дф, а потому
случай равных по величине и противоположных по знаку корней может
иметь место только- в случае Д = 0, т. е. когда исходное уравнение
C.19) имеет кратные корни.
Если же уравнение C.24) имеет кратные корни, то с ним имеет
общие корни производная:
6ifi — 20аг>8 -f 30aaw -f Д = 0.
Подставляя отсюда значение Д в C.24),- получим:
—• 5 v6 -f 15a.v*— 15аа^ + 5 as = — 5(г^ — aK = 0.
Отсюда и — v2 — а. Подставляя в C.26), "будем иметь:
3125 р4а = 0,

' § 3. Разрешимые группы и уравнения j 737
откуда или л ;=а-0, или (J = 0. В обоих случаях мы получаем двучленные,
т. е. разрешимые уравнения.
13. Вещественные радикалы. Еще со времени открытия решения
кубических уравнений обратил на себя внимание факт, что в том случае,
когда кубическое уравнение имеет все вещественные корни, радикальное
их выражение непременно содержит - комплексные величины, от которых
никак не удавалось избавиться. В виду этого рассматриваемый случай
получил название с аз us irreduc ibil is, т. е. неприводимого случая.
Теория Галуа дает возможность вскрыть причину этой неудачи и дока-
доказать, что в этом случае- действительно невозможно выразить корни урав-
уравнения через вещественные радикалы.
Теорема 70. Если в уравнении
C.33) Дх) = 0
все корни вещественны, а порядок группы содержит нечетные про-
простые множители, то его корни не могут быть выражены через
вещественные радикалы.
Доказательство. Пусть уравнение C.33) имеет вещественные
корни, хъ хг, ..., хп и решается в радикалах. Допустим притом, что
группа уравнения C.33) понижается, если мы присоединим к области
рациональности иррациональность у а, где а вещественное число и р про-
простое число. Тогда по теореме 63 этого же понижения можно достигнуть,
присоединяя к области рациональности величину ср(]/"а ) поля К\уа) ,
лежащую одновременно в поле К{хь хя, . . ., хп). Но так как поле
K(xlt xz,...,xj вещественно и нормально, то <?\Ya) и сопряженные
с ней величины лежат в поле К(хъ хй,..., хп) и потому вещественны.
Сопряженными с ср \Уо/ величинами являются величины
где •• = е* = cos Ц +i sin Ц, s = cos2-^ —isin Ц (см. § 1). Все
величины C.34), согласно условию, вещественны, а потому они не меня-
меняются при переходе к сопряженно-комплексным величинам, т. е. имеет
.место Ч ~ -
в силу чего величина у\гуа) принадлежит в поле КкУ^а, в) к группе
ф, содержащей подстановку S2, где S=\Va -> eya). Но так как
порядок подстановки S нечетный (Sp = 1), то группа ф должна также
содержать подстановку 5. Таким образом величина ср должна выражаться
через р-е корни из единицы, т. е. удовлетворять неприводимому урав-
уравнению, степень которого есть делитель числа р — 1, а цвтому не может
понизить группу уравнения C.33) в р раз.

132 III. Разрешимые уравнении
Таким образом мы убедимся, что всякое уравнение ^З-ЗЗ"), в порядок
группы которого входят нечетные простые множители, не может быть
решено при помощи вещественных радикалов.
14. С радикалами второй степени дело обстоит совершенно иначе.
Можно доказать, что квадратный корень из комплексного числа может
быть представлен, как сумма квадратных корней из вещественных чисел.
Пусть, в самом деле, дан радикал У А + BL Подберем числа а и Ь^
так, чтобы имело место
' Для этого достаточно положить.
ч
откуда вндно, что а и Ь являются корнями квадратного уравнения*
т. е. вещественными числами разных знаков. Пусть а>0, Ь<0. Тогда
\/~а будет вещественной, а \ПГ мнимой частью выражения ]/" А -+• iB.
У п р а ж н е н и е 36. Пользуясь теоремой 69, показать, что вепрнводимые
ураввевия .5-Й степеии не могут быть разрешимы, если имеют 3 вещественных и
1 пару мнимых корней.

Г Л А В А/. IV.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГАЛУА.
§ 1. Родственность полей. Разложение уравнений восле присоеди-
присоединений.
... 1. Родственность нормальных полей. Рассмотрим два нормальных
алгебраических поля Кг и Кц и образуем их пересечение. К, которое
тоже является нормальным полем. Под степенью родства полей
К\ и К2 будем понимать порядок группы Галуа их пересечения К. Таким
образом, если степень их родства равна единице, то поле К состоит
только'из рациональных чисел; в этом случае будем называть поля Кх
"й К2 взаимно-простыми. Вели степень равна порядку группы
одного из заданных полей, например К& то тогда поле К тождественна
с /^2, откуда мы заключаем, что К2 входит в Ки как делитель;
Перейдем к общему случаю. Образуем композит (см. главу П,
§ 5.11) К полей Ki и Kz. К тоже является нормальным полем. Пусть
группа поля^К будет ©, и пусть внутри К поля Кг и К?.. принадлежат
соответствен!^ к группам ©г и $* Из теоремы 60 следует, что группы
&х и ©2 имеют в качестве пересечения единичную группу, и что поле К
принадлежит к композиту ч© групп Щг и ©а. В виду того, что поля Кг
и К2 нормальны, группы ©г и ©а являются нормальными делителями
группы ©. Вместе с тем они взаимно-просты, а потому их элементы пере-
перестановочны друг с другом (см. теорему 24). Поэтому их композит ©
является их прямым произведением, откуда следует, что порядок ©
есть произведение порядков групп ©г и ©^
Пусть /ij и яа—порядки полей /^~и К3 (т. е. порядки их групп),
п—порядок поля К, п—порядок поля К. Тогда порядок группы ©t
равен— , порядок группы ©2 равен —,"порядок группы © — ^L. Наш
?1 п» Л
результат запишется так:
л л л
nt П| Л
откуда
0,1) . п = п-Ф, '
• Р л
и мы приходим к - v

i
134 IV. Приложения теории Галуа
Теореме 71. Порядок композита двух нормальных полей
равен произведению их порядков, деленному на порядок их пересе-
пересечения^
2. Понижение степеней уравнений при прнсоединеннн. С вопро-
вопросом о родственности полей тесно связан вопрос о понижении степеней
неприводимых уравнений при присоединении к области рациональности
корней других уравнений. Рассмотрим сначала случай нормальных урав-
уравнений. Пусть " .
A.2) ' Л*) = 0,
(О) g(x)-0.
будут два неприводимых нормальных уравнения. На какие неприводимые
уравнения разобьется уравнение A-2), если присоединить к области
рациональности корень уравнения (.1.3), и обратно?
Пусть К—композит полей, образованных корнями уравнений A.2) и
A.3). Пусть внутри К корень уравнения A.2) (а в силу нормальности
этого уравнения все его корни) принадлежит к группе, @х и корень урав-
уравнения A.3)—к группе ®а. Пусть наконец пересечение ~К полей Кх и Кг
образованных корнями уравнений A.2) и' A.3), принадлежит внутри К
к группе ©. Тогда группы полей Кг и Kz будут изоморфны соответствен-
соответственно с ®/®х и @/©а; внутри поля Ki поле К будет принадлежать к группе
©/©!, внутри поля К2—к группе ®/@8. ijr
Если мы присоединим к области рациональности поле К2, то в силу
теоремы .63 мы получим в поле ^ такое же понижение группы, какое
мы получили, бы, если бы присоединили к области рациональности вели-
величину, лежащую одновременно в полях К\ и Кг, т. е. примитивный эле-.
мент их пересечения К. Поэтому в силу теоремы 61 грмЦпа поля Кх
понизится до ©/©!• Но уравнение A.2) неприводнмо и нормально, а по-
потому его степень пх в силу теоремы 55 равна порядку его группы ®/®v
Пусть после этого присоединения степень одного из уравнений, неприво-
неприводимых в новой области рациональности, равна тх. Это уравнение
остается нормальным, а потому его степень отх равна порядку его группы,
т. е. (§1®!. Но так как в силу нормальности уравнения A.2) все его корни
-принадлежат к одной и той же группе, то степени всех неприводимых
уравнений, некоторые оно разбивается, равны бдному и тому же числу щ.
Поэтому число таких уравнений равно — , . т. е. равно индексу
_ Щ
(©/©!: <$/®х)> или иначе — порядку группы ®/®, с которой изоморфна
группа поля К. Точно так же можно доказать, что уравнение A.3)
после присоединения к области рациона шности" корня уравнения A.2)
разбивается на число неприводимых уравнений, равное порядку группы
поля К. Таким образом мы приходим к
Теореме 72. Если неприводимое нормальное уравнение A.2)
после присоединения к области рациональности корня другого не-
неприводимого нормального уравнения разбивается на k неприводи-
неприводимых уравнений, то и уравнение A.3) после присоединения к области

§ 1. Родственность полей , 13&
рациональности корня уравнения A.2) разбивается на то же число
неприводимых уравнений.
3. Выраженный в теореме 72 результат распространяется также на
тот случай, когда уравнения A.2) и A.3) уже не является нормальными*
Здесь дело осложняется однако тем, что после присоединения уравнение
разбивается на несколько, неприводимых уравнений, степени которых
могут быть неравны. ,
Приведем элементарное доказательство этой теоремы, принадлежащее
Бауэру (М. Bauer). Пусть A.2) и A.3) будут два неприводимых уравне-
уравнения степеней соответственно от и п, и пусть их корни будут соответ-
соответственно
Vv Уь ««мЛ»
Возьмем функцию <р (х, у) (например х *J- су) такого рода, чтобы ее
значения ср (xit yf) (i = 1, 2,..., от; j = 1, 2,..., п) были различны. Пусть
. h{z) = 0 '
будет уравнение, которому удовлетворяют все значения <р (xit y^), и пусть.
в рассматриваемой области рациональности оно распадается на е неприво-
неприводимых уравнений:
h{z) = h1{z\.hlz)...he{2), •;
причем пусть степень ht{z) будет k{ (i = 1, 2,..., е). Рассмотрим оощие
наибольшие делители
A-4) /,(*, Л) = (А*1 .*,((?{х, уч))), g,(y. xj = (g(y), A,(T(x^ у)))
i —
v =
1,
1,
1,
a,
2,
2,
...,e
..., m
..., n
Степень ft(x, уч) не зависит от выбора корня уч. Пусть она равна от^.
Произведение
/Ах, Л)¦/,(*, у$.../Ах,Уп)
является, с одной стороны, полиномом степени «/те,.. С другой стороны,
степень ft(x, y^ в силу A.4) равна числу таких зиачений ср C^., у,) с фик-
фиксированным значком v, которые являются корнями полинома h((z). Заста-
Заставляя значок v,. пробегать все значения .1» 2,..., п, мы получим число
всевозможных значений, ср (л^., уч),' обращающих ht(z) в нуль, т. е. сте-
степень kt полинома /j,(^).vТаким образом мы имеем:
п • ltij = Aj. у
Меняя ролями /(*) и g(x) и обозначая через п( степень полинома
ч* х?)> ?ы получим точно таким же образом:
откуда
A.5)

136 IV. Приложения теории Галуа ' ¦
Теперь докажем, что полиноны f{{x, уч) неприводит* к области
К(уч). Пусть, например, лг = лу является корнем неприводимого в области
К(уч) полинома Л(*>Л) степени v,. sgm,., на-который делится полином
/Ах> У}- Тогда е}. = <р-(Xj, yj является корнем полинома АД*, уч) сте-
степени v, с коэффициентами из области К(уч). Полином
Ф, Уд • *<(*> Уд ¦ ¦ - К[х, yn) S
степени п\ имеет коэффициенты нз первоначальной области рациональ-
рациональности, а потому должен делиться на неприводимый полином «,(#) сте-
степени k{ = nmt, имеющий корнем Zj. Поэтому имеет место также я v,> яот,-,
что в связи с v,- < т( должно давать vf » mit а это указывает на то, что
полином //лг, уч) совпадает с неприводимым полиномом /,(лг, уч).
Отсюда следует, что в-пол? К(уч) полином f(x) разлагается .на не-
неприводимые полиномы следующим образом:
A.6) Ах)=Мх,у^Мх,уч).../б(х>Уч).
'*> В самом деле, каждый корень полинома f(x), например xv дает
корень <f(Xp уч) полинома А(я), который должен быть -корнем какого-
нибудь из полиномов я,(г), например ht(z). В этом случае хх в силу A.4)
должен быть корнем полинома ft{xt уч). С другой стороны, полиномы
ft(x, уч)A=1г 2,..., е) не могут иметь общих корней, так- как тогда бы
и полиномы «,.(;?)(/= 1, 2,..., е) имели общие корни, а это проти-
противоречит определению их корней <р (*„ у\).
¦г Аналогично имеем следующее разложение полинома g(y) на неприво-
неприводимые в области К{х ) полиномы:
A.7) g(y) = giiy, xj.fr(y,xj...gj[y,xp).
Принимая во внимание равенство A.6), получаем
Теорему 73. Пусть f(x), g(x) неприводимые полиномы, хъ уг—
какие-нибудь их корни. Если f(x) разлагается в области К{у^ на
е неприводимых полиномов, то g(y) разлагается в области К(х{)
тдже на е неприводимых полиномов, причем эти полиномы могут быть
занумерованы так, чтобы степени полиномов в обоих разложениях
были пропорциональны.
Теорема 72 является частным случаем 'этой теоремы.
4. Несмотря на то, что приведенное нами доказательство теоремы 73
совершенно элементарно, мы приведем еще первоначальное доказатель-
доказательство Ландсберга (G. Landsberg) этой теоремы, так как оно сопровож-
дается детальным анализом входящих в рассуждения групп и дает более
полное представление о групповой структуре получаемых разложений.
Рассмотрим нормальное поле К, образованное корнями обоих поли-
полиномов A.2) и A.3). Пусть его группа будет ©, и пусть кор9нь xt урав-
уравнения ?.2) принадлежит к подгруппе ©lf а кореньух уравнения A,3) —
к подгруппе ©2. Разложим © по ©х:
A.8) ® = в1 + в15, + ... + в15ж,

§ 1. Родственность полей 1ST,
причем из теоремы -57 следует, что индекс" (®:©i) равен степени т не-
неприводимого уравнения A.2), которому удовлетворяет х%. Подстановки
каждой сопряженной системы ©Х5, переводят хх « один и тот же ко-
корень xt уравнения A,2).
5. Разложение групп по двум делителям. Дли доказательства тео-
теоремы 73 применим принадлежащее Дедекииду (R. Dedekind) разложе-
разложение групп по двум делителям. Рассмвтрим совокупность &lt ©2
произведений TJU^, где Т( пробегает подстановки группы ©х,. а Ц^- под-
подстановки группы <$а< Если эта совокупность не исчерпывает всей груп-
группы ©, возьмем подстановку 52) не входящую в эту совокупность, и обра-
образуем совокупность ©^.^©а. Если обе эти совокупности не исчерпывают
группа ©, и например S3 не входит ни в одну из них, образуем треть»
совокупность <3"i-S3-^2. Будем продолжать этот процесс до тех нор, пока
не исчерпаем всей группы ©. -
Ни одна пара из получаемых при этом совокупностей не содержит
общих элементов. Действительно, если бы, например, имело место
то отсюда бы следовало
что означало, бы* что Sj содержится в совокупности ©j-S^©^ чего мы
избежали при построении совокупностей @1-5^-©а.
'' Таким образом группа © может быть представлена так:
A.9) @ = ©1-©а + ©158©2 + <В158©г + ... + @Л®2-
Нетрудно видеть, что все подстановки каждой сопряжений системы
©2 -Sf входят в одну и ту же совокупность ©,?,©2. Найдем ч'исло эле-
элементов в каждой из совокупностей A.9), например в @1«5,-«@2> Для
этого выберем в ней какой-нибудь определенный элемент TSXU и узнаем,
сколько элементов T^SiU . с различными Гх, U равны TSiU. Из соотно-
соотношения %
вытекает, что элемент 51~17'х~17'51 = t/^t/ лежит одновременно в груп-
"пах S{~ @X5X и ©2. Отсюда следует, что различных элементов Т^ дающих
одинаковые элементы TxStU (U определяется по Тх однозначно),
столько, каков порядок пересечения групп S^1®^, и ©2- Если бы все
эл T^U б
ру ^^ 2
элементы T^U^ были различны, то число различных элементов сово-
совокупности ©151®2 было бы равно произведению порядков групп &t и 1®4.
В общем же случае это произведение надо еще разделить на порядок
пересечения групп S^1©^ и @г. Иначе: число сопряженных систем
©x-S,-, входящих в совокупность ©^©а, равно порядку группы ©^ делен-
деленному на порядок пересечения групп S^1©^ и ©2.
6. Вернемся опять к вопросу о разложении уравнений при присоеди-
присоединении. Для того, чтобы два корня х{ и Xj уравнения A.2) являлись кор-

138 IV. Приложения теории Галуа
«ями одного и того же неприводимого множителя, на которые разобьется
полином Дх) после присоединения\ к области рациональности корня уь
уравнения A.3), необходимо и достаточно, чтобы подстановки сопряжен-
„ных систем ©jiS,- й"©^, которые переводят лгх как раз в xf и xJf лежали
в одной и той же совокупности ©х>^©2. В самом деле, чтобы в облас?и
рациональности К(у{) величины х{ и х^ удовлетворяли одному и тому же
¦неприводимому уравнению, необходимо и достаточно, чтобы подстановка
S4~1Sj (а также любая подстановка совокупности 5<~1@15), переводящая
xt в Xj, лежала в группе Галуа поля при новой области рациональности.
Но в силу теоремы 64 эта группа Галуа' есть ©2. Поэтому подстановки
-совокупности 5,-~1©1^- должны лежать в ©2: -
откуда следует, что Sj должна лежать в совокупности
Таким образом число корней Xj одного и того же неприводимого
в области Я"(Ух) полинома, корнем которого является х(, равно числу
различных сопряженных систем &iSj, входящих в совокупность ©yS,©*
В п. 5 мы видели, что это число равно порядку группы ©г, деленному
на порядок пересечения групп <Sfa и 5<~1©15,.. Обозначая это пересече-
пересечение через Я, и вводя для порядка группы § обозначение (§>), мы видим,
-что степени неприводимых полиномов, на которые разлагается f(x) в об-
области K{yi), равны
а число их равно числу е совокупностей в разложении A.9).
Тепер'ь посмотрим, на какие полиномы разлагается полином g(y)
в области К(х). Пользуясь разложением A.9), разложим & так:
-A.10) © = ©a-©1 + @2-5a-1©i + ©i-53T1©1+ ...•+®8-5,~1"@1-
Легко показать, что если элемент 5 содержится в совокупности ®х • St • ©а,
то элемент S'1 содержится в совокупности ©а-^,©!, и обратно. По-
Поэтому Совокупности в разложении A.10) содержат то же чи'сло элемен-
элементов, что и соответственные совокупности в разложении A.9). Но мы ви-
видели, что полином g(y) разлагается в области рациональности К(х{) на
неприводимые множители, степени которых равны числам сопряженных
систем ©г^,-, входящих в каждую из совокупностей ©^"^©j. Поэтому
число получаемых при этом неприводимых полиномов будет одно и то
же, и при этом степени соответственных полиномов будут относиться
друг к другу, как порядки групп ©2 и ©j. Но так как степени т, п
полиномов f(x) и g(y) равны индексам (©: ©х) и (© : ®2), то мы заклю-
заключаем, что порядки, неприводимых множителей относятся друг к другую
как т: п. Таким образом теорема 73 снова доказана.
7. П р и м е р. Рассмотрим уравнения
A.11) х'-2 = О,
A.12) *»+З' + 8+1

§ 2. Задача, обратная Чиртаузеновой / 139
в
Присоединяя, к области рациональности вещественный корень ]/2 уравнения
(L.11), мы сможем разложить его иа'два множителя: •¦
+ 1).
в
. Можно убедиться, что оба множителя неприводимы в поле К A/^2). Таким
образом, уравнение A.12) разлагается иа неприводимые множвдели степеней 3 и в.
С другой стороны, полином A.11) разлагается в области рациональности К(у),
образованной корнем полинома уг — у 2 -у +1, на следующие множители:,
х»—2=(х8—fa) (х«+уг ¦ х2+/о.
3 _ у» 4-1 *¦ "*'
Действительно, величина у 2= -—!— входит в поле АГ(у). С другой стороны
полученные полиномы неприводимы. Их степени 2 и 4 пропорциональны получен-
полученным прежде степеням 3,6, и их общее отношение равно отношению степеней урав-
уравнений A.11) и A.12).
§ 2. Задача, обратная задаче Чирнгаузена.
1. Пусть даны два алгебраических поля. Возникает вопрос: как узнать
степень их родства? Решим более частный вопрос: когда два алгебраи-
алгебраических поля тождественны? Этому вопросу может быть придана следую-
следующая конкретная форма: ,. <
Даны два уравнения:
B.1) т Ax) = xn + a1xn-1 + ...+an_Jx + an = O,
B.2) - ' /С*) =хп + ахх<\ ~г + ... + an,lX + an = 0.
Требуется узнать, выражается ли рационально корень одного уравне-
уравнения через корень другого, и если выражается, то найти это выражение.
Будем предполагать уравнения B.1) и B.2) неприводимыми. Тогда
если существует рациональное выражение какого-нибудь из корней хх
уравнения B.2) через какой-нибудь корень х, уравнения B.1):
*i = а0 4- Wi + Hxi2 + •¦• + а„_ i*i"~J>
то, подставляя в это выражение вместо xt каждый из остальных корней
хп хг,..., хп уравнения B.1), мы получим все корни . хи хг ,..., ~хп
уравнения B.2):
B.3) хг = а0 + а^2 4-
*» = «0> «1*, ^<
Для определения п коэффициентов 70, ах,..., аи _ х мы таким обра-
-зом получаем систему п линейных уравнений с определителем, равным

140 /V. Приложенщ теории Гсщуа •
квадратному корню из дискриминанта уравнения B.1), т. е. неравным
иулто, так как уравнение B.1) в силу своей неприводимости не имеет
кратных корней. Тогда' такая формулировка задачи будет допускать ее
решение и в том. случае, когда а0, а„..., ап _ х не рациональны, и
притом не одно решение, а я! решений, которые получатся, если мы
будем производить в равенствах B.3) над величинами xvx^,.. .,хп все-
всевозможные перестановки. Но можно найти коэффициенты а0, av.., ran_v
не решая предварительно уравнений B.1) и B.2). Чтобы придти к
удобным для этого формулам, будем умножать уравнения B.3) соот-
ветствено на xf, х2к,..., xn*(k = 0, 1, ..., я— 1) и складывать. Тогда,
вводя обозначения
мы получим следующую систему~уравнений:
*1_= ««О + $1<*1 + $2<*2 + -.• + $„- 1 <*„ -
B.4)
Получается опять система п уравнений с п неизвестными и опреде-
определителем/ равным дискриминанту уравнения B.1), т. е. неравным нулю.
Здесь только коэффициенты левых частей- представляют трудность для
вычисления. Чтобы вычислить и*, исследуем, к какой группе принадле-
принадлежат они внутри поля, являющегося композитом полей К(х^Хъ ¦•,•?„) и
К(хи лг2> •••> *«)• Группа Галуа эт5го поля должна быть делителем
группы, образованной подстановками над корнями
B.5) xv x2,..., xn; xlt x2,...,xn
уравнений B.1) и B.2). Эти подстановки мы получим, если станем
производить над х{ и независимо от этого над xi всевозможные под-
подстановки групп Галуа ©х и ^ ^уравнений B.1) и B.2) (©^©^(ад-
Величины же -
B.6) ¦ С-^Е^л, 6,-Ei^»,.-.., ем_г -2^л»-1
" h k k
остаются неизменными, если производить над корнями хи х2,..., хп и
х1У Хъ ..., лг^^лановременно подстановки, одинаково переставляющие
цифры при надлежаще выбранной нумерации корней. Таким образом
эти величины не изменяются при подстановках, образующих группу, по-
порядок которой равен порядку каждой из трупп ©х, ©1# Следовательно,
* Эти симметрические функции носят название fc-х сумм степеней
Они связаны с коэффициентами уравнения следующими соотношениями:
¦ ei + ai = О, s8 + ол + 2о„ = 0, Js + a^s, + a^ -f 3a3 = О,...,
которые называются формулами Ньютона.

• ¦¦ $ 3. За&ача, обратная Чирнгаузеновой - 14f\
величины B.6) являются корнями уравнений, стегГень которых равна
порядку каждой из групп ©j, ©г (см. теорему 57). Для, того, чтобы
между корнями уравнений B.1) и B.2) существовал рациональный пе-.
реход, необходимо и достаточно, чтобы уравнения,-которым удовлетво-
удовлетворяют величины B.6), имели рациональные корни. Впрочем, достаточно
найти рациональный корень только одного из этих уравнений. Именно,
если мы' предположим, что из величин B.6) например величина - С
будет принадлежать»: упомянутой группе, то остальные величины
B.6) рационально через нее'выразятся (см. теорему 58). Если группы ©1}
(у>х симметрические (или если мы не знаем групп уравнений B.1) и
B.2)), то дело приводите» к нахождению рационального корня в урав-
уравнении степени я!, которому удовлетворяет С. Будем называть это уравне-
уравнение смешанной резольвентой.
2. Выясним, какова группа смешанной резольвенты. Пусть
будут группы уравнений B.1) и B.2). Тогда С не изменяется от под-
подстановок группы
являющейся- делителем группы ©х X ©v Поэтому если п есть наиболь-
наибольший делитель группы ?>, являющийся нормальным делителем группы
©iX©a (иначе говоря, пересечение всех групп, сопряженных с §), то в"
силу теоремы 62 группа смешанной резольвенты изоморфна с дополни-
тельной группой —- -. Определим группу п. Пусть
-Тогда для любой подстановки U—SfSj группы ©jX©! должно иметь
место и-гйи = п. Возьмем U = Sf. Тогда каждая подстановка Sj^
группы й должна при преобразовании S, перейти опять в какую-нибудь
подстановку группы п:
S 55
откуда в силу перестановочности элементов групп ©х и @х и отсутст-
отсутствия в этих группах общих, элементов мы будем иметь:
откуда р = о, 5,~15я5, = Sa. Заставляя пробегать подстановку S{ всю
группу ©j, мы убеждаемся, что подстановка Sa должна быть перестано-
перестановочна со всеми элементами группы &v Элементы группы, перестановоч-
перестановочные со всеми ее элементами, составляют группу; которая носит название
центра заданной группы. Таким образом группа й входит в центр
группы ©iX©!, а группа 1 + S2 + ... + 5А— в центр группы ©х.

342 IV. Приложения теории Галуа „
Группа совпадает» со своим центром тогда и только тогда, если она
абелева. Поэтому ,если уравнения B.1) и B.2) абелевы, то группа
смешанной резольвенты изоморфна с каждой из групп исходных урав-
уравнений. Этот факт был известен еще . Кронекеру (L. Kronecker), устано-
установившему, исходя из этого, понятие к о м п о з и ц и и абелевых урав-
уравнений.
Если же ©! есть симметрическая группа, то при «>2 $.= 1, так
что группа смешанной резольвенты изом рфна с прямым произведение»
3. Задача допускает значительное упрощение в том случае, если ©,
имеет нормальный делитель § (и соответственно»(Зх—нормальный дели-
делитель ?>). Построим вспомогательные уравнения
корень X первого из них пусть принадлежит к §, корень X второго—
к ф. Группы этих уравнений изоморфны с ©]/»<) и йх/?>. Построим для
этих уравнений смешанную резольвенту, степень которой равна порядку
группы ©j/lp. Если, она будет иметь рациональный кореш», то мы сможем
найти коэффициенты рационального перехода от Л' к^, а потому имеем
право считать X рациональной функцией от X.
После этого рассмотрим уравнения B.1) и B.2J в области раци-
рациональности, образованной величиной X. Составим для них смешанную
резольвенту. При этом теперь группами уравнений B.1) и B.2) будут
служить ig и §. Коэффициентами смешанной резольвенты являются ве-
величины, не меняющиеся при подстановках групп § и ?>, т. е. функции
от X и X. Вместе с тем эти коэффициенты, будучи функциями от С
и сопряженных с нею величин (которые являются ее корнями), не будут
меняться, если мы одновременно будем производить над величинами, со-
сопряженными с X и с X, одни и те же подстановки. Поэтому наши ко-
коэффициенты должны рационально зависеть от Z, т. е. быть рациональ-
рациональными величинами. Та^им образом смешанная резольвента, имея рацио-
рациональные коэффициенты, будет степени не выше порядка группы §.
Если группа @t разрешима, то задача приводится ^нахождению ра-
рациональных корней в ряде циклических уравнений, порядки которых яв-
являются простыми делителями группы каждого из исходных уравнений,
4. Приложение к кубическим уравнениям. Составим смешанную
резольвенту для случая п = 3. Для простош возьмем каждое из урав-
уравнений в форме
B.7) x* + px + (j = 0,
B.8) y* + ~py + q=0.
Построим величины, принадлежащие к знакопеременным группам
в обоих уравнениях, т. е.' их дискриминанты D и О. Не трудно видеть,
что для того, чтобы наша задача имела решение, необходимо, чтобы
произведение DD быдо полным квадратом. Если это соблюдено, то по-

§ 2. Задача, обратная Чирнгаузеновой 14$.-
строим смешанную резольвенту для уравнении B.7) и B.8). Величина
Z = xly1 + x2v2 + x3y3, где хъ х2, лг3; у'1з у2,Уа — корни уравнений B.7)
и B.8), удовлетворяет уравнению
{г — х^ — х2уа —
Вычислим коэффициенты этого уравнения, пользуясь теорией симме-
симметрических функций:
B.9) «• - Зррг-Ц,щ^±. УШ> = 0.
Если г = С есть рациональный и притом не кратный корень урав-
уравнения B.9), то другая связанная с коэффициентами перехода функция Ь
выразитсй так:
B710) , 6 = хг*У1 + *,«Л + *32.Уз - Щ?^?$. '
<• —РР
Коэффициенты же а0, ах, а2 искомого перехода связаны с величи-
величинами С, 9 следующими соотношениями:
B.11) 3 <х0 <— 2р сс2 = 0, — 2р <хг — 3^ а2 = С,. — 2р а0 — 3^ аг + 2р2ав = 6.
Пример: Даны уравнения
х* + Зх —15 = О, у* — 45у — 203 = О.
Составим их дискриминанты:
D 4-3* — 27-15» =—8»-229,?> = 4-45*— 27-203* = — 3*-229-11Е.
Их произведение является полным квадратом:
Составляем по формуле B.9) их смешанную резольвенту:
Чтобы уменьшить численные значения коэффициентов, сделаем подстановку
z = Sz,. Беря в уравнении верхний знак) получим:
2,»+ 452! — 2-13-107 = О.
, Это уравнение имеет рациональный корень zt = 13. Таким образом z = 3-13 =
•-¦=¦ 39. Подставляя в формулу B.10), будем иметь.
3A5-45-3 13 + 3»-203) _ 3»-3128
~ 3«-13«-|-3-45 ~ 3»-184 ~
Коэффициенты перехода получатся из системы B.11):
За„ — 6а, = 0, —ва1+45а, = 39, — 6ао +45 ах+18 а, = 51.
Отсюда получаем":' а„ = 2,«! = 1, а, = 1, т. е.
у = 2 + х + х\
5. Применение к уравнениям четвертой степени. Перейдем к уравне-
уравнениям 4-й степени. Рассмотрим два "уравнения без членов при х3:
B.12) * х* + Ру^+РщК + Л = 0.
B.13) x*

144 IV. Приложения теории Галуа " "-
Составим для каждого из них кубические резольвенты (см. иаву II,
§ 5.15), которые в нашем случае будут иметь вид:
B.14) *» —/78z8 — 4/v—/7,2-^
+ tP'-Pi = О-
Пусть их смешанная резольвента имеет рациональный кфеньС =
+ 2828, и пусть рациональны также величины и = z^Zj_ + z28Zg +
и = hh* + 22Zaa + VJ,2- Составим для уравнений B.12) и B.13)
смешанную резольвенту 4-й степени, считая величины С, и," в присоеди
ненными к области рациональности:
B.15) F(T)= Т*-BР2р~2 + 2С)Я-8/7^8-Т-4- ^~ }а»-
ft« + ''^ + ^8 + 1б^аР + 16рР2а + ~P^Pt = 0.
Если она имеет рациональный корень Т = хгх^ -+• дг2х2 + хаха ff xtxt
« если Р\Т)фО, то коэффициенты ао>а1>а2>аз искомого преобразо-
преобразования ^ ' -.
д: = а0-J-«iJf + а2л;2 + а8*8
могут быть получены из системы уравнений
~Р
3/7, а„ — Bр2а — 4/74) at
где величины в = xfxt -J- A:2aJf2 + х^хг + ^^ и Z = x*xi + ^28^2 +
4- xa*xt + -«48*4 могут быть рационально выражены через Т и С. Не
приводя их выражений в виду их большой сложности, отметим, что они
тоже могут быть получены/ как рациональные корни смешанных ре-
резольвент, которые составляются так же, как резольвенты B.15); только
вместо уравнения B.12) нам придется взять уравнений, которому удовле-
удовлетворяют соответственно х^\ д:22, *32, xta -к xta, х^,,х3*, xt*. Первое
из^Пих мы получим, применяя к уравнению B.12) известную методу
Греффе, т. е. составляя уравнение ^
Второе уравнение непосредственно получить труднее. Вместо этого
целесообразно составить уравнение, которому удовлетворяют —, —,
_ *i х»
1- -L, & затем, вводя еще величину / = 3--|-41 + -^" + ^- (которую
Xt Xt . ^ Xt X, Х8 Xt
определить сравнительно легко), -воспользоваться соотношением

, g 2. Задача, обратная Чирнгауэеновой 1_45
которое получится, если мы подстазим в B.12) хе.*,. (i = 1, 2, 3, 4), ,
умножим иа —^- и просуммируем по L
Было бы весьма полезной работой найти непосредственные выра-
выражения в и Z через Г и С.
6. Пример. Заданы уравнения
B.19) х*+х+1 = 0.
B.20) - х« + 2х8—*+1 = 0.
Строим для них уравнения B.14):
B.21) z* — 4z — 1 =0, F»— 2z2 — 4z~+7 = O.
Пользуясь приемом п. 4, находим:
F=z8 —2,
откуда _ _ _
С = z1z1 + ztz9 + Z& = zx» + z,» + z,» - 2(zx + гл + z$) = 3.
Точно так же -
и = ^«F, + z,% + z,»r, = (г,« + z»« + z»«) - 2(z1»+z8» + z,») = 2(?1* + z.» + z,«) = 16,
и = г A« + гЛ« + г3г/ = (zx« + z,« + г8») - 4 (z.» + z> + z8») + 4 (zx + z8 + z.) =
Уравнение B.15) принимает следующий вид:
B.22) Т«-бТ8+8Т —3 = 0.
Это уравнение имеет тройной корень Т = 1 и простой корень Г = — 3.
Примем Т = — 3, так как кратные корни не всегда приводят к результату.
Составляем для уравнения B.19) уравнение типа B.17):
B.23) х* + 2х*— х+ 1 = 0.
Здесь оно случайно совпало с уравне нем B.20). Для сохранения чистоты
метода не будем этим пользоваться. Пользуясь методом п. 44, получим для но-
новых С, и и и следующие значения:
С = 12, « = Й=П."
Отсюда получим уравнение для в:
B.24) в»- 32в» — 8 6 + 224 = 0,
имеющие рациональный корень в = — 4.
_ ч , ., 1111
Определим величину /. Уравнение с корнями —, — , — , — получится
*1 Х8 X, Xt
подстановкой в B.19) — вместо х:
B.25) X*-f33+l=0.
Для этого уравнения кубическое уравнение B.14) останется прежним, так
1 1 1 1 Y Y if Y Y
как — • 1 . — = —*-* ±-^ г= ххх, + XgV Поэтому величины ?, ц, ц
x х х х р
х,
останутся прежними.
Однчко нам придется преобразовать уравнение B.25), так как оно не под-
подходит под тип B.12), для которого у нас вычислена смешанная резольвента B.15).
Делая в B.25) подстановку х — ^"~ , получим:
B.26) /—бу* + 8у +• 253 ¦» О.

146 IV. Приложения теории Галуа
Для этого уравнения функция z' связана со старой функцией z так:
4*« + 1) = 16 (зе
+ 2 ='162-2,
а потому
С =Aвг,- 2)F1+A6z11-2)ii4-(l6Z3-2)F8= let —4,
и' = (№, — 2)»Zj -J- A6Z, - 2)»z, + A6zs - 2Jz, = 256Ы - 64 С + 8,
p = A6zx — 2JZ!» + A6z, - 2)V + A6z3 - 2)i,« = 16ЙГ— 24.
Принимая во внимание, что С = 3, и = 16, и = 8, получим:
С = 44, ы' = 3912, п' = 104.
Подставляя в B.15), получим следующее уравнение для /:
B.27) /* — 64/»+ 64/= О,
имеющее единственный рациональный корень / = 0. Подставляя в B.18) зна-
значения Г и /, получим:
B.28) " Z = 0.
Подставляя в систему B.16) значения Г= — 3, 6= — 4, Z=0, получим:
— 4а,— За, = О, — 3«2 — 4<xs = — 3, —3<*i — 4<х, = — 4, 3ot-|-4ai + За, = 0.
Решим эту систему:
B.29) а, = 0, а, = О, а, = 1, а, = О,
т. е. уравнение B.19) переходит в B.20) при помощи следующего преобразо-
преобразования:
B.30) х = у*.
§ 3. Построения при помощи циркуля и линейки.
1. Дано алгебраическое уравнение
C.1) /(*) = 0,
коэффициенты которого известны (или Численно, или геометрически,
т. е. заданы, как длины отрезков). Требуется узнать, можно ли найти
корни этого^ уравнения, пользуясь построениями при помощи циркуля и
линейки.
Чтобы ответить на этот вопрос, предварительно докажем
" Теорему 74. Каждое построение циркулем и линейкой может
быть приведено к решению квадратных уравнений. Обратно, корни
квадратного уравнения всегда могут быть найдены построением
посредством циркуля и линейки.
Доказательство. 1°. Каждое построение циркулем и линейкой
может быть разбито на элементарные построения, из которых каждое
состоит в нахождении точки пересечения двух кругов (если считать
прямую частным видом круга), центр и радиус которых известны. Анали-
Аналитически дело приводится к нахождению решений систем уравнений
-W-rS =0,

g 3. Построения циркулем и линейкой 147
где величины a, b (координаты центра окружности) и г (ее радиус),
а также av blt гх известны. Вычитая одно уравнение из другого,
нолучим:
C.3) \ах — в)B* - а - ах) + (Ьх -Ь){2у — Ь- Ьх) — г* + г{ = 0,
т. е. уравнение прямой, коэффициенты которого известны. Решая его
совместно с каким-нибудь из уравнений C.2), мы получим для неизвест-
неизвестной * (или для у) квадратное уравнение. ТакГш образом координаты
точек пересечения заданных окружностей определятся, как корни квадрат-
квадратных уравнений с известными коэффициентами.
2°. Пусть задано квадратное уравнение с известными коэффи-
коэффициентами: ,
Его корни таковы:
2А ¦
Не останавливаясь на геометрическом построении рациональных выра-
выражений (например деление может быть осуществлено при помощи теоремы
о пропорциональности отрезков между параллельными прямыми), перейдем
к построению выражения }/7?2—4АС. Подкоденное выражение можег
быть представлено как произведение P-Q двух отрезков. Откладывая на
произвольной прямой рядом Р и Q, строя на отрезке Р + Q как на
диаметре полуокружность и восставляя иэ точки раздела обоих отрезков
перпендикуляр к нашей прямой, мы убедимся, что длина этого перпен-
перпендикуляра равна УР-Q.
Отметим, что квадратные корни из мнимых выражений могут в силу
плавы III, § 3.14 быть представлены, как величины, у которых и веще-
вещественные и мнимые части являются квадратными корнями из вещественных
величин.
2. Исходя из теоремы 74, мы видим, что для того, чтобы корни
уравнения C.L) было возможно получить построением посредством цир-
циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы это уравнение приво-
приводилось к цепи квадратных уравнений. Повторяя рассуждения теоремы 68,
мы увидим, что для этого группа Галуа уравнения C.1) должна иметь
композиционный ряд, у которого ряд индексов состоит из двоек. Можно
однако доказать несколько больше, если только предварительно допол-
дополнить свои сведения по общей теории групп.
3. Возьмем произвольную конечную группу © и в ней произвольный
элемент S. Будем называть совокупность элементов, сопряженных с S,
т. е. переходящих из. S при помощи преобразований элементами группы ©,
классом элемента S. Таким образом все элементы группы @ можно
разбить на классы.
При этом имеет место
Теорема 75. Число классов всякой подстановки есть делитель
группы, в которую эта подстановка входит.
Доказательство строится так же, как доказательство теоремы 19.
Совокупность элементов N группы ©, для которых имеет место
10*

T48 IV- Приложения теории Галуа
^ = 5, очевидно образует группу, которую мы будем называть
нормализатором элемента 5 и обозначать через 9t. Разложим
© по 91:
C.4) ® = 9
Тогда класс элемента 5 содержит' ровно k элементов
C.5) fS,Tf1ST2,...,Tk~1STh.
Действительно, с одной стороны каждый элемент группы © можно
представить в форме NT(, где N—элемент группы 9i. Но в силу свой-
свойства нормализатора имеет место N~1SN=S, откуда (Nty^S (NTt)=
= T^ST,, откуда мы заключаем, что всякий элемент нашего класса сов-
совпадает с одним из элементовчC.б).
С другой стороны, все элементы C.5) различны. Действительно,
если бы имело место например T^STf = 7}~\S7}, то отсюда следовало
бы TjT(~1STiT~1={TiTj—1)—1S{T(Tf-1) = S, что означало бы, что
элемент Г^Зу^входит в группу 9?, а это противоречит правилу разло-
разложения групп по подгруппам. Таким образом число элементов в каждом
классе равно индексу нормализатора одного из элементов этогб класса,
т. е. есть делитель-порядка- группы ©, ч. и т. д.
4. Теорема 76. Всякая группа, порядок которой есть степень
простого числа, разрешима.
Доказательство. Пусть порядок группы © равен рт, где р—
простое число. Разобьем все элементы этой группы по классам; пусть
каждый из этих классов будет содержать соответственно hv Ла,..., hk
элементов. Тогда очевидно имеет место:
<3.6) " h1 + ha + ... + hk = pm.
По теореме 75 каждое из чисел Л, равно или единице, или степени р.
Вместе с тем единичный элемент не меняется ни при каких преобразова-
преобразованиях, а потому его класс состоит только из одного элемента, т. е.
Лх=1. Если бы все остальные числа Л, были степенями р, то левая
часть равенства C.6) не делилась бы на р, а правая делилась бы, что
невозможно. Поэтому среди чисел h{ должны быть и кроме Л\ числа,
райные единице. Соответствующие этим числам ht элементы группы %
совпадают со всеми своими сопряженными элементами, т. е. перестано-
перестановочны со всеми элементами группы ©. Совокупность таких элементов
составляет группу, называемую центром группы ©. Центр является
очевидно абелевой группой и вместе с тем нормальным делителем группы %.
Итак, группы © порядка рт всегда имеют отличные от единичной
группы абелевы нормальные детители. Дополнительные к этим делителям
группы тоже имеют порядки, равные степеням р, а потому опять должны
иметь отличные от единичной группы абелевы нормальные делители, и т. д.
Таким образом композиционный ряд группы © состоит из абелевых
звеньев, а потому группа © разрешима, ч. и т. д.
5. Теперь мы можем вывести условие того, чтобы корни уравнении
могли быть найдены построениями посредством циркуля и линейки:

g 3. Построения циркулем и линейкой 149
Т е„о р е м а 77. Для того, чтобы кории неприводимого уравнения
могли быть найдены построениями посредством циркуля и линейки,
необходимо и достаточно, чтобы его группа Галуа имела порядок,
равный степени двойки.
Доказательство. 1°. Условие необходимо. В самом деле, в п. 2
мы видели, что для этого необходимо, чтобы ряд индексов группы Галуа
этого уравнения состоял из двоек. Это же возможно только тогда, если
яроизведение этих индексов, равное порядку группы, есть степень двойки
2°. Условие достаточно. В самом деле, пусть группа Галуа © урав-
уравнения C.1) имеет порядок 2т. Тогда из теоремы 76 следует,- что
группа © разрешима, т. е. ряд индексов ее композиционного ряда
состоит из простых чисел. Эти индексы, являясь делителями порядка 2т
группы ©, могут быть только двойками. В силу этого решение уравнения
C.1) можно привести к решению цепи квааратных уравнений, т. е.
в силу п. 2-корни уравнения C.1) могут быть найдены построениями
иосредством циркуля и линейки.
6. Деление окружности. Приложим полученный результат к решению
вопроса, на сколько равных частей" можно разделить окружность
при . помощи циркуля и линейки. В главе III, § 2.1 мы
видели, что задача деления окружности на от равных частей приводится
к решению уравнения Хт = 0, причем из теоремы 67 следовало, что
полином Хт неприводим; степень его равна <р (т). Вместе с тем мы видели,
то уравнение Хт = 0 абелево и потому нормально, в силу чего порядок
его группы . Галуа равен его степени. Таким образом «при помощи
теоремы 77 мы получаем, что окружность можно разделить на от равных
частей тогда и только тогда, если число <р(от) равно степени двойки.
Посмотрим, в каких случаях это имеет место. Положим
где ръ Рз,..., рн — различные между собой нечетные простые числа.
Тогда
? (от) = г0-1 рГ1^ -1) рГ (р*-1) • • • рЛ to-i).
Чтобы <р (т) было степенью двойки, необходимо, чтобы все его
множители р1**гТ1, Ра*"*"!..., рнш*~~г равнялись единице, т. е. чтобы
имело место
Далее, чтобы множители рх— 1,ра— 1,..., рм—-1 были степенями
двойки, необходимо и достаточно, чтобы каждое простое число р, имело
вид 2"+ 1. Простые, числа такого вида называются гауссовыми
простыми числами. Таким образом мы получаем
Теорему 78. Для того, чтобы окружность было возможно
посредством циркуля и линейки разделить на т равных частей,
необходимо и достаточно, чтобы число т имело следующий вид:
C.7) от = 2" PjPi...pk,

150 . :
где р( (t = 1, 2,..., k) различные гауссовы, простые числа, т. е.
числа вида 2Ч+ I.
7. Возможность делить окружность на р равных частей, где р числе
вида 2"-j-l, впервые доказал знаменитый математик Гаусс (С. F. Gauss).
' Вместе с тем он предложил практический способ деления окружности на
17 равных частей. Этот факт был в то время весьма неожидан, так как
до Гаусса предполагали, что возможно разделить окружность только на
2Ш> 3, б число равных частей, а также произведения этих чисел.
До сих пор известно очень немного гауссовых простых чисел. Прежде
всего заметим, что число вида 2a-f-l только тогда может быть простым
числом, если показатель а сам имеет вид 2 . В самом деле, предпо-
предположив, что а делится на нечетное число q: a = G-a1, мы получим следую-
следующее разложение числа 2*+ 1:
2ЗД +1= Bа> + 1) •B"'<7-1) — 2а>G~2)+ • • • — 2а' + 1>
Таким образом можно ожидать, что гауособыми простыми числами
будут числа вида
21 + 1=3, 2* + 1=5, 2* + 1 = 17, 28 + 1 = 257, 2" + 1 = 65537,.. •
Эти числа действительно простые. Однако уже Эйлер доказал, что
число 232 -)- 1 не простое, найдя его делитель 641. Позднейшие матема-
математики нашли, ^то число вида 28* -|- 1 также при. s = 6, 12, 23.^ 36 fie
являются простыми.
8. Деление окружности на 17 равных частей. Воспроизведем
теперь данный Гауссом способ деления окружности на 17 равных частей.
Для этого обратимся к главе III, § 2.9. Там показано, что решение
хп 1
уравнения — = 0 приводится к решению следующей цепи
квадратных уравнений:
C.8) 7J -J- 1\ 4 = 0 (кОрНИ 7) И 7),),
C.9) Н« —т)Н—1=0 (корни Н и Hj),
(ЗЛО) . № — 7)^ — 1 = 0 (корни Н2 и Н,),
C.11) „ Э2 — Нэ + Н8 = 0.
Исходя из этих уравнений, Гаусс предложил следующий способ
построения:
1°. К прямой UV в ее точке О восстановим перпендикуляр и отложим
на нем отрезок О А, равный 1, и из точки О по UV отрезок ОС = —.
Из С, как из центра, проведем окружность радиуса СА, пересекающую
UV в В и D. Тогда
C.12) ОВ^^п, OD--
Действительно, — rj — т^ = — 2ОВ + 2OD = 4ОС =1, щх
= —40В OD = — 4OA» = — 4.

3. Построения циркулем и линейкой
151
2°. Соединим Л с В и из В, как из центра, проведем окружность
радиуса ВО, пересекающую продолжение АВ в точках Ж и Р. Тогда
C.13) АМ = Н,
Действительно,
Н + Н, =АМ — АР=РМ=*20В
; НН1== — АМ-АР^ АО* = 1
(произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной).
Аналогично получим:
AN = Н3, AQ = — Н2.
3°. На продолжении AD
откладываем АЕ = АО; строим
на NE, как на диаметре, окруж-
окружность, которая пересечет про-
продолжение АВ в F\ из F, как
из центра, проводим радиусом
лт АМ
AI = —— окружность, кото-
которая пересечет AD в G; из G,
как из центра, тем же ради-
радиусом описываем окружность,
которая пересечет AD в УС и
Н. Тогда
C.14) %
Действительно,
АН + АК =
Черт. 1.
= 2G/-
2AI
? = AN
Н;
На.
Отсюда можно убедиться, что АН = 2 cos r^, ЛАГ = 2 cos
Таким образом отрезок АК равен стороне правильного 34^-угольника,
вписанного в круг радиуса 1.
9. Деление дуг на равное число частей. С давних времен вплоть
до нашего времени в л'итературе появляются попытки найти способ деле-
деления произвольного угла на 3 равные части посредством циркуля и
линейки (трисекция угла). Современные попытки этого рода "про-
"производятся дилетантами, и мы можем быть уверены, что они обречены
на неудачу. В самом деле, мы можем доказать невозможность этой
задачи.
Рассмотрим более общую задачу: докажем невозможность деления
произвольной дуги на нечетное простое (р) число частей с помощью
циркуля и линейки. Для этого предположим, что нам задана дуга <р.
Будем считать известными величины cos у и sin cp, и найдем группу Галуа

152 -IV. Приложения теории Галуа ^__
уравнений, которым удовлетворяют величины cos-j и sin—. Уравне-
Уравнение упростится, если мы введем в рассмотрение величины
*1
cos <р Ц- /sin <р = в1', г = cos-?- + i sin — == еР .
г является корнем уравнения
C.15) z"—е'*=0.
' to
Включим в область рациональности, кроме е , еще р-Ш корень из
Sjtt ¦ ,
единицы: г = ер . Тогда уравнение C.15; нормально; в самом деле,
вводя обозначение г = е , мы сможем выразить все корни уравнения
C.15; так:
C.16) г, гг, &z,..., г~хг.
Отсюда можно также заключить, что величина е является натуральной
иррациональностью. ~~
В силу нормальности уравнения C.15) каждая подстановка его
группы Галуа может быть однозначно определена, если мы будем знать,
в какой из корней она переводит например корень г. Поэтому эти под-
подстановки могут быть представлены так:
C-17) B ^ z), (z -* гг), (г -> Л),..., B -
(
Вместе с тем уравнение C.15) не может иметь* кратных корней, так
как производная его левой части равна рг = ре * =0.
Исследуем, в каких случаях группа Галуа уравнения C.15) содержит
подстановку B -> гг). Пусть
ФB, 82, Л,...,^~1*,«)-0
будет какое-нибудь соотношение между корнями уравнения C.15). Это
соотношение можно переписать так{
C.18) . W(*,e) = 0.
Если не существует никакого алгебраического соотношения вида
- Л.
X (е'9) =0, то соотношение C.18), написанное в форме Ще р , e)s=0t
будет иметь место при всех значениях <р. Поэтому, подставляя вместо <р
величину у -f —, мы получим из C.18):
откуда будет следовать, что подстановка, (г -*¦ гг) входит в группу Галуа
уравнения C.15). В этом случае группа уравнения C.15) имеет порядок,

§ 3. Построения циркулем и линейкой . 15S
делящийся на нечетное простое число р, а потому найти его корень
построением посредством циркуля и линейки невозможно. Из этого сле-
следует, что не может существовать такого геометрического построения^
которое годилось бы для деления произвольной дуги <р на р равных
частей.
В том случае, когда уравнение C.15) приводимо в области рацио-,
нальности К (е1?, е), его группа* есть единичная группа, а потому уравнение
C.15) допускает нахождение всех своих корней при помощи рациональ-
рациональных действий. ,
Если при этом р не гауссово простое число, то не исключена возмож-
возможность, что один из корней уравнения C.15) можно найти построением
посредством циркуля и линейки, а другие корни нет. Если же найдены
два корня, то остальные в силу теоремы 69 рационально выразятся нереа
них.

ГЛАВА V.
УРАВНЕНИЯ С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ ГРУППАМИ.
§ 1. конечные поля.
1. Существуют поля, Состоящие лишь из конечного числа элементов.
Мы уже имели случай убедиться в этом на примере полей, элементами
которых являются классы сравнений по простому модулю. Теперь рас-
рассмотрим конечные поля самого общего вида.
Каждое конечное поле содержит элемент 0 (единичный элемент груп-
группы относятельно сложения) и 1 (единичный элемент группы относительно
умножения). Прикладывая последовательно элемент 1 к 1 и к получаю-
получающимся при этом новым элементам, и вводя при этом обозначение k для
элемента, получаемого от сложения k элементов 1, мы получим неогра-
неограниченный ряд элементов:
<1.1) о; 1" Т + Т=Л, 2" + Т=, М-Т-4,...,
Но так как поле содержит лишь конечное число элементов, то в ряду
{1.1) элементы должны повторяться. 'Пусть т = п. Тогда т — и^=
*=/и — и= 0, и таким образом в ряду A.1) должны встречаться нули.
Пусть р = О будет ближайший нуль ряда A.1). Тогда р должно быть
простым числом. Действительно, если бы имело место р = q • г= 0, где
Ч <Р» r<Pi то отсюда бы следовало, что произведение элементов, не
равных нулю (так как р есть ближайший в ряду A.1) элемент, равный
нулю), равно нулю, что противоречит основному свойству полей. Про-
Простое число р носит название характеристики нашего конечного поля.
2. Теорема 79. Число элементов всякого конечного поля (ко-
. торое мы будем называть порядком этого поля) равно некото-
некоторой степени его характеристики. v •
Доказательство. Конечное поле с характеристикой р содержит
р различных элементов
A.2) ' 0, 1, 2,..., р — 1.
Если онн исчерпывают собой все конечное поле, то его порядок ра-
равен р. В этом случае поле представляет собой не что иное, как поле
классов сравнений по модулю р.

§ 1. Конечные поля 165
Если же элементами A.2) поле не исчерпывается, то пусть а будет
его элемент, не входящий в ряд A.2). Тогда совокупность элементов
х^-\-хга. (будем писать их без черточек сверху), где хг и дг2 пробегают
независимо друг от друга значения A.2), дают рг различных элементов
нашего поля. Действительно, если бы напр. имело место хг + хг a =yt +
+ Уга> т0 отсюда бы следовало (хг—.yi)+(*2—.Уг) а = 0- Если при
этом дг2—у2ф 0, то, умножая равенство на обратный к х2—у2элемент
z нашего поля, получим а = — г {х1 —у^)\ таким образом а представится,
как один из элементов A.2), что мы заранее исключили. Если же
х2—j/2 = 0, то отсюда будет следовать н хг—уг = 0.
Если элементы х1+хаа не исчерпывают собой всего поля, и р будет
отличный от них элемент, то совокупность хх + хга + х3% гдех1, дг2, х3
пробегают независимо друг от друга ряд A.2), дает р3 элементов на-
нашего поля. Доказательство того, что все они различны, может быть про-
проведено Аналогично предыдущему. Если этими элементами наше поле не
исчерпывается, возьмем отличный от ннх элемент -у, и тогда совокупность
xi + xi'a + *зР + ЖЛ яаст Р4 различных элементов поля. Продолжая
рассуждение, мы в конце концов исчерпаем все поле совокупностью
элементов вида хг + х2а + 05зР + ¦¦¦+ хт 0>- Число этих элементов, т. е.
порядок поля, равен рт, ч. и т. д.
2. Элементы конечного поля подчиняются следующей.„обобщенной
теореме Ферма" (Fermat):
Теорема 80. Всякий элемент а конечного поля порядка рт
удовлетворяет уравнению
а'" — а = 0. -
Доказательство. Пусть а ф 0, и пусть ах, а2,.. ., а4-1 (s = р")
будут все отличные от нуля элементы конечного поля (среди них содер-
содержится и а). Умножая каждый из этих элементов на а:
мы получим опять неравные нулю элементы нашего поля. Все они различ-
различны: если бы например имело место a,.a = aya, то отсюда мы бы имели
(а,. — а,.)а = 0, т. е. или ае—а^, или а = 0; ни одно не возможно. По-
Поэтому элементы о^оц тоже исчерпывают собой все неравные нуАю элементы
поля, а потому "их произведение равно произведению alf a2,..., a,__v т. е.
мы имеем:
a
Сокращая на неравное нулю произведение o^aj. ,.a.t _v получим:
Этому уравнению удовлетворяют все неравные нулю элементы поля.
Умножая это уравнение на а, получаем:
A.4) </"— <х = 0.

136 V. Уравнения с заданными группами
Этому уравнению удовлетворяет и нуль, т. е. все без исключения
элементы поля.
Примечание. Если величина а входит также в какой-нибудь де-
делитель нашего поля, порядка рп (и </я), то она удовлетворяет также
уравнению
а"* — а = 0.
В частности величины A.2) составляют поле порядка р, а потому
удовлетворяют уравнению
а" —а = 0
(обыкновенная теорема Ферма),
Для элементов конечного поля справедлива также теорема 39 (Безу).
Поэтому полином х —х делится на каждый из двучленов х, х—aj,
х — а„..., х — «, _ р где 0, ах, а2,..., йГ _ х все элементы конечного
поля.
Точно так же можно доказать, что всякое уравнение f(x) = 0, коэф-
коэффициентами которого служат элементы конечного поля, не может иметь
более корней, чем его степень. В самом деле, если полином '/(дс) и-ой
степени имеет корнями сг1( о^,..., а„, то его можно представить в сле-
следующем виде: _
/{х) = (х — я1){х — а2)...(х—а.п).
Всякая подстановка х = а, где а не равно ни одному из элементов
otj, Oj,..., а„, обращает каждый множитель правой части в величину,
отличную от нуля, в силу чего /(a)^tO, т. е. а не является корнем по-
полинома f{x).
4. Теорема 81. 'Всякий элемент конечного поля порядка рт
есть корень полинома /я-й степени с рациональными коэффициен-
коэффициентами. ,. .. _
Доказательство. При доказательстве теоремы9 мы убедились
в том, что в конечном поле порядка рт можно найти такие т Элементов
(будем говорить, что они образуют б аз нс поля) ах = 1, otj, Oj,.. , am,
что всякий элемент поля можно выразить, как их линейную комбина-
комбинацию с коэффициентами из совокупности A.2) (будем говорить: рацио-
рациональными коэффициентами). Таким образом мы будем иметь:
aaa = O2l + «22"a2 +•¦•• + «2m ami
• + ammam»
где aa — рациональные числа. Исключая отсюда 1, a2,..., am (ср. главу II,
§ 3.9), получим для а следующее уравнение /я-й степени:
«11 —a» «U, •••. «lm

§ 1. Конечные поля 15.1
б. Будем называть неприводимым по модулю р полином
f(x) с рациональными коэффициентами тогда, если его нельзя представить
в виде
f(x)=g(x) h(x)+p<f{x), ..
те g(x), h(x), y(x) полиномы с целыми рациональными коэффициентами.
В противном случае будем также говорить, что f{x) делится н& g(x)
по модулю р. Тогда имеет место
Теорема 82. Всякая величина" конечного поля, удовлетворяю-
удовлетворяющая неприводимому по модулю р уравнению я-й степени с рацио-
рациональными коэффициентами, удовлетворяет также ) равнению
Доказательство. Пусть а корень неприводимого по модулю/»
уравнения f(x) = 0. Тогда совокупность величин а0 + а,а + а^* + ... +
+ ап_,а"~1, где величины а0, av..., ап-1 пробегают независимо друг
от друга значения A.2), составит поле порядка рп. В самом деле, этн
величины различны, так как в противном случае величина а удовлетво-
удовлетворяла бы уравнению степени < я. Пусть g(x) = 0 буде1 уравнение самой
низкой степени, которому удовлетворяет а. Тогда, деля f(x) на g{x\
мы получим в остатке полином еще более низкой степени, которому
будет удовлетворять а, и в силу нашего условия относительно g{x) он
должен быть тождественно равен нулю, т. е. его коэффициенты, рассматри-
рассматриваемые, как элементы конечного поля, должны быть равны нулю. Рас*
сматрнваемые же, как обыкновенные числа, они должны делиться на р.
Отсюда мы получим равенство вида
что противоречит неприводимости полинома / (х) по модулю р.
Чтобы доказать, что величины а0 + аха + .... + #n-i а" образуют
поле, следует убедиться, что они удовлетворяют аксиомам I — IV
(глава II, § 3.1). Здесь единственное затруднение может представить
доказательство того, что все этн величины, кроме нуля, образуют
группу относительно умножения (существование обратного элемента).
Пусть требуется найтн величину, обратную к <р(дг), где. ср(*) полином
степени ниже п. Найдем, пользуясь алгоритмом Эвклнда, общий наи-
наибольший делитель R полиномов f(x) н <р(дг). Тогда имеет место тожде-
тождество v
A.5) , R = nx)g(x)+<f(x)h(x),
где g(x) н h{x) — полиномы с целыми рациональными коэффициентами
(см. главу II, § 4). При этом предположим, что хоть один из коэффи-
коэффициентов полиномов g(x)t h {х) не делится на р. Если бы R делилось
на р, то в случае, если .не все коэффициенты полинома h(x) делятся
на р, мы бы получили после подстановки х — а. в A.5) равенство
<р (а) • h (а) = 0, что противоречило бы неприводимости f(x), так как оба
полинома <f(x), h(x) имеют аепень < я. Если же все коэффициенты

158 V. Уравнен я с заданными группами
полинома h(x), делятся на р, то и коэффициенты частного g(x)=,
_ (# _ <р (х) h {х)): f{x) должны делиться на р, что противоречит нашему
предположению относительно коэффициентов полиномов g(x), h(x).
"Таким образом R не делится на р, и сравнение
/?Ы1 (mod/?)
имеет целое рациональное решение \ =.л. Умножая A,5] на а и под-
подставляя туда х = а, получим:
1 =а.<р(а)- А (а),
откуда следует, что а • Л(а)= —г-г есть элемент, обратный к <р(а) отно-
относительно умножения.
Теперь, применяя к найденному полю теорему 80, будем иметь:
а" — а = 0.
Примечание^ Из доказательства этой теоремы также следует, что
самый общий прием для построения конечных полей таков. Берем не-
неприводимый по модулю р полином f{x) и рассматриваем совокупность
всевозможных полиномов от х, считая х корнем уравнения / (х) = 0.
При этом можно во всяких равенствах откидывать кратности числа р.
Такого рода поля были введены в рассмотрение Галуа и получили
название полей мнимостей Галуа.
Можно не вводить корней уравнения f(x) =0, а рассматривать х,
как переменную величину; но при этом два полинома <f(x) и <1>(х)
должны считаться равными тогда и только тогда, если их разность
<р (д:) — ф {х) делится по модулю р на / (л:); другими словами, может
быть представлена в форме р • g(x) +f{x) >.h(x). В этом случае
говорят также, что полиномы <р(дс) и <J»(jc) сравнимы по двой-
двойному модулю р, f(x):
<К*)^«К*) (modd p, f(x)).
В связи с этим конечные поля называют также полями сравне-
сравнений по двойным модулям.
6. Из теоремы 82 непосредственно вытекает
Теорема 83. Бсякий неприводимый по модулю р полином
п-й степени есть делитель полинома хр —х по модулю р.
Таким образом, чтобы найти все неприводимые по модулю р поли-
номы п-й степени, следует разложить полином xv ~x на неприводимые
по модулю р множители. При этом некоторые из множителей могут
. быть степени ниже п. Существование же для каждых pan неприво-
неприводимых по модулю р полиномов п-й степени следует доказать особо.
7. Т е о р е м а 84. Если элемент а конечного поля удовлетво-
удовлетвори
ряет неприводимому уравнению степени я, то а — а = 0 имеет
место тогда и только тогда, если т делится на п.

§ 1. Конечные поля ч 159
Доказательство. 1*. Из теоремы 82 следует аР — а = 0. Если.
рж р"Ч ( p"\D"(9-1) p»(9-l) ( р"Лр»(9-2)
m = q • п, то от = ар = V. or ) р == or = Vor Jр =
р" (в-2) р"
= aF = и т. д. = ак = а.
2°. Пусть /я не делится на я, и пусть m = nq -\- г, 0<г<п. Тогда
Если бы имело место ар = а, то, как нетрудно убедиться, каждая
величина вида р = а0 -f <*!<* + .. • + ^-i01" тоже удовлетворяла бы
уравнению ^ — х = 0. Действительно, возведем это равенство в /?-ую
степень и обратим внимание на то, что получаемые при этом полино-
полиномиальные коэффициенты , , , f , г только тогда ие делятся на р,
если одно из k( равное р; но тогда все остальные ki равны нулю.
Таким образом
PP = fl.p + aop^ + ... + <_1a<'l-1>p (см. главу III, § 2.3). '
Здесь к рациональным коэффициентам а0, аъ,.., ап_Л можно при-
• менить обыкновенную теорему Ферма, в силу чего
Возводя это равенство опять в /7-ю степень и повторяя эти возве-
возведения г раз, мы будем получать:
Подставляя в последнее равенство вместо ар элемент а, получим:
Таким образом корнями полинома jc** —х рг-й степени будут слу-
служить рп различных1 величин ао-\- axa 4-«.. + ап~Л, что невозможно в
силу рг<рп. Теорема доказана.
8. Доказанные теоремы убеждают нас в справедливости
Теоремы 85. Полином хр — л; разлагается по модулю р
на неприводимые полиномы, степени которых равны или т, или
делителям т.

160 у. Уравненнии с заданными группами '•
При этом мы видим, что все неприводимые по модулю р полиномы
степени d являются делителями полинома ^ —я. Но если т. делится
на d, то полином х? —х делится на / —х. Действительно,
(^ _ х) . (^ 1Х) = Ос*-1- l) : (У^ _ 1).
Но рт—1 делится на ра — Л. Пусть рт — 1 = q (рй — 1). Тогда
т _ 4': W- х) - jf-V <** " J> + х«-2) »*-»+ ... + S-i + 1.
Поэтому полином х? —х содержит в качестве делителей все не-
неприводимые по модулю р полиномы степеней d, где d — всевозможные
делители числа т. Вместе с тем полином хр — х не имеет кратных
корней, так как его производная рт • х* —1 — 1 = — 1 (mod/?), а по-
потому каждый такой полином входит в >? —х множителем один раз. Обо-
Обозначая через g(d) число неприводимых по м'одулю р лолиномов сте-
.пени d и сравнивая степень рт полинома х* —а: со степенью его раз-
разложения на множители, получим: ф
<1-6) рт = т -g(m) + d1-g(d1) + dz-g{di)+... 4-
+ dh.1g(dh_1)+g(l),
где т, йъ du,...,dh_v всевозможные делители числа т.
Из этого равенства можно было бы получить для g{m) следующее
выражение:
A.7) {
где qv qit q3 пробегают всевозможные различные делители числа* /я.
Не останавливаясь на выводе этого равенства, докажем неравенство*
нулю функции g (/я) другим путем. Именно, введем понятие первообраз-
первообразного корня уравнения
<1.8) ' хт —1=0.
Под этим мы будем разуметь величину, удовлетворяющую уравнению
A.8) н не удовлетворяющую ни одному уравнению х —1 = 0 при
k < я. Докажем
Теорему 86. В конечном" поле порядка^/?"! всегда существуют
" первообразные корни степени рт — 1.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент а конечного
поля. Пусть я будет наименьшая степень, дающая а" = 1 (тогда а есть
первообразный корень и-ой степени). Тогда я является делителем
числа рт — 1. В самом деле, допустив, что рт — 1 не делится на я, и

§ 1. Конечные поля 161
¦ 1 = л • q + /
будем иметь:
полагая р" — 1 = л • q + г .(О < г < я), мы и3 ап= 1 и л <т 1
что противоречит тому, что а есть первообразный корень я-й степени.
В этом случае мы будем говорить, что элемент а принадлежит
к показателю я. Так как всякий элемент конечного поля, отличный
от нуля, принадлежит к какому-нибудь показателю, который при этом
должен быть делителем числа рт — 1, то, подсчитывая элементы поля,
принадлежащие к всевозможным показателям, получим:
A.9) ф A) + -} (h) + Ф (§2) + • •. + ф {рт- 1) =/" - 1,
где <J* (я) число элементов, принадлежащих к показателю я, и 1, 8Х>
82,..., /?т — 1 совокупность всех делителей числа рт — 1.
Пусть а принадлежит к показателю и, и пусть рт — 1 = я • «j.
Тогда всякий элемент aft, где k взаимно-просто с я, тоже принадлежит
к показателю я. Действительно, с одной стороны (afe)n = (an) = 1. .
С другой стороны, если бы имело место (afe)a=l, где я2 < я, то
отсюда бы следовало an2ft=l.
Решим неопределенное уравнение
Ц= ] +qn
и возведем равенство а"'к = 1 в 5-ю степень. Тогда получим:
что в силу и2 < я невозможно.
С другой стороны, величинами afe исчерпываются элементы, принадле-
принадлежащие к показателю я, так как я величин 1, а, а2, . . ., an-1 исчерпы-
исчерпывают собой все корни уравнения хп—1 =0 я-й степени, причем если
к не взаимно-просто с я, то а* принадлежит к меньшему показателю.
Таким образом число «J* (я) равно или нулю, или числу показа-
показателей А, не превышающих я и взаимно-простых с я, а потому
A.10) <К») <?(»).
где <р (я) функция Эйлера. Но в добавлении выведена формула
A.11) <p(l) + ?(S1) + <P(82) + ,.. m m
Вычитая из A11) A.9), получим:

162 V. Уравнения с заданными группами
откуда в силу A.10) вытекает:
+ (*,) = ?(«,) 0 = 0, 1,2,..., А).
Б частности,
откуда следует, что уравнение х? -1 — 1=0 непременно содержит
первообразные корни, ч. и т. д.
Следствие. Группа относительно умножения в конечном
поле всегда циклическая.
В самом деяе, величины 1, а, а2, а3, .. . , ар ~2,где а величина, при-
принадлежащая к показателю рт — 1, все различны, а потому исчерпывают
собой все отличные от нуля элементы поля.
9. Из существования величин, принадлежащих к показателю рт—1,
следует
Теорема 87. Полином х? —х непременно содержит непри-
неприводимые по модулю р множители степени т.
Доказательство. Если бы первообразный корень а сте-
степени рт — 1 удовлетворял неприводимому уравнению степени л < т, то
в силу теоремы 82 он ^удовлетворял бы также уравнению хг~л —1 = 0,
что в силу рп — 1 <рт — 1 невозможно.
10. Пример 1. Возьмем р = 2, т = 4. Тогда полином х*1— х = хм — х
разлагается на множители следующим образом (см. главу III, § 2.2):
_ i) = х ¦Х1ХгХь- Х{ь=х(х~ 1)(х* + х+ 1) (
Х+1) (Xs — X' +Х8 — X* + X» - X + 1).
Чтобы узнать, на полиномы каких степеней он разлагается по модулю 2, при-
применим к нашему случаю формулу A.7);
16 = 4
4=
2=
Отсюда g(l) —2,g B) = 1, #D) = 3. Линейные полиномы таковы:
х, х — 1.
Неприводимым по модулю 2 полиномом 2-й степени может быть только
Наконец для получения всех, трех неприводимых полиномов 4-й степени
надо разложить на множители полином х8—x'-f-x5 — * + 8 + 1
Xs —х'+х8-х« + х8-х + 1=(х*+х3-Ь 1) (х* + х + 1) (mod 2).
Для получения неприводимых по модулю 2 полиномов 3-й степени разложим
полином Xs — х на неприводимые по модулю 2 множители:
х>-х = х(х-1) (xo-fx'+l) (хг-fx+l) (mod 2).
Оба полученные полинома 3-й степени неприводимы по модули 2, так как
из формулы A.7) мы получим:
откуда #C) = 2.

§ 2. Группа Галуа сравнений 163
11. Пример 2. Пусть р = 3, /и = 2. Из формулы A.7) мы имеем:
3= *(),
откуда ?A) = 3, ?B) = S.
Разложим полином хрШ — х — х*— х на неприводимые множители:
х* - х = х (*" -1) (*• + 1) (*•+1).
В этом разложении полином х* +1 должен быть неприводим по модулю 3;
полином же xl-\-l должен разлагаться ло модулю 3 на множители 2-й степени.
Чтобы найтн это разложение, разделим ***-)-1 на полином х*-{-ах+Ь, где
коэффициенты а, Ь мы оставим пока неопределенными. Приравниваем коэффи-
коэффициенты получаемого в остатке полинома нулю:
аBЬ — а») =е О, 6» — а*Ь + 1 = О (mod 3).
Приравнивая в первом сравнении нулю первый множитель: я^ееО (mod 3)
мы приходим к невозможному сравнению b* -|-i==o (mod 3). Приравнивая же
нулю второй множитель, получаем:
&5=— а2, а* + а2 + 1==0 (mod 3),
откуда
[ве=±1, &== — 1 (mod 3),
так что полином х' — х разлагается на неприводимые по модулю 3 множятели
так:
^•-*-х{х* —1)(*2 + 1)(х2 + х— 1)(х* — х — 1) (mod S).
Нетрудно понять, что всякий полином, неприводимый по модулю р, тем
более неприводим в обыкновенном смысле этого слова (в поле рациональных
чисел).
Упражнение 37. Доказать, что существует всего 10 следующих непри-
неприводимых по модулю 5 полиномов 2-й степени:
х*±2, х*+2х — 2, х»±2х~ 1, х*±х +1, х2±х + 2.
Упражнение 38. Доказать: Для того, чтобы сравнение л-ой степени
/ (х)==0 (mod p) имело п рациональных корней, необходимо, чтобы имело
место sp ц. д :== sq _j_ x (mod p), где sm — сумма т-х степеней корней этого
сравнения, получаемая из известных рекуррентных формул Ньютона. Это же
условие достаточно в том случае, если сравнение не имеет кратных корней,
т. е. если его дискриминант не делится на р. Более того, в этом случае доста-
достаточно убедиться в справедливости формулы при 9=1, 2,.... я — 1 (С. О.'Шату-
новский).
Упражнение 39. Доказать, что конечные поля, имеющие одинаковый
порядок рт, изоморфны, т. е. между их элементами можно установвть
взаимно-однозначное соответствие, не нарушающееся при сложении и умножении
элементов.
Указание. Рассмотреть неприводимые по модулю р множители поли-
нома х* —х.
'"¦f § 2. Группа Галуа сравнений по простым модулям.
1. Неприводимые сравнения. Часто говорят, что величины конеч-
конечного поля удовлетворяют тем или иным сравнениям. Употребляя эту
терминологию, необходимо условиться, что мы будем разуметь под
сравнением, в которое входят иррациональные величины. Мы будем
говорить, что величина а сразнима с величиной C по модулю р, если,
будучи выражены через первообразный элемент конечного поля, они
равны друг другу. Точно так же под корнями сравнения
B.1) f(x) = 0 (mod p)

164 V. Уравнения с заданными группами
мы будем понимать величины конечного поля, удовлетворяющие уравне-
уравнении)/(х)=0.
В § 1 мы видели, что совокупность величин аэ + ata + . . . +
-f- лп_1ап~1', где а корень неприводимого • сравнения B.1), образует
конечное поле порядка /Л Поэтому мы можем поставить вопрос
о группе Галуа этого сравнения. Прежде всего из доказанного
в главе III, § 2.3 сравнения
(-2.2) |/(*)]P™/V)(«nod/>)
(формула Шёнеманна) следует, что вместе с величиной а и ар является
корнем сравнения B.1). Исходя из этого, мы видим, что величины
B.3) а, «',...,«'"^
являются корнями сравнения B.1). Вместе с тем все эти величины не-
несравнимы между собой по модулю р, т. "е., будучи рассматриваемы, как
элементы конечного поля, неравны друг другу. Действительно, если бы
имело место например
aP'ssal>J (mod/?)
то, возвышая это сравнение в /?-ю степень п—у раз, мы получили бы:
or за a? =a(modp),
i ¦ ¦ ^. t,n+i — i
что невозможно, так как п + i —у < и, а полином xv — х в силу
теоремы 85 делится лишь на такие неприводимые по модулю р полиномы,
степени которых суть делители числа n-\-i—у. Поэтому величины B.3)
исчерпывают собой все корни сравнения B.1).
Из этого можно заключить, что сравнение B.1) нормально, а потому
порядок его группы должен быть равен и. Докажем, что эта группа
содержит подстановку (а, ар, ам,..., ар ). В самом деле, группой
Галуа называется совокупность подстановок, не нарушающих соотношений
между корнями сравнения. Пусть
B.4) Ф (а, а", ам,.. ., арП"Х) == 0 (mod p)
будет какое-нибудь соотношение между корнями B.3). Из формулы Шёне-
Шёнеманна следует, что
[Ф (*!, х2,..., *„)]" ^ Ф (xplt x/,.... х*) (mod p).
Подставляя
получим:
ФК
сюда хг
а.
= а, хг =
«) — 1ФК
о",..
<•
-у
-1
, мы в с
¦^0(тойр),
откуда следует, что подстановка (а, ар,..., ар ) не нарушает любого
соотношения между корнями сравнения B.1), а потому входит в группу
Галуа. Но порядок этой подстановки равен я, а потому ее степени, обра-

§ 2. Группа Голу а сравнений 165
зуя циклическую группу порядка п, исчерпывают собой все подстановки
группы Галуа сравнения B.1), и мы приходим к
Теореме 88. Группа Галуа неприводимых по простому мо-
модулю сравнений должна быть циклической.
2. Приводимые сравнения. Рассмотрим случай, когда полином /(*)
разлагается по модулю р на несколько неприводимых множителей:
B.5) Дх) = Д(*Ш*).. ./Ах) (mod p)
степеней пг, па,..., ил(л, + и2 + ... + пк — я). Будем при этом предпо-
предполагать, что среди множителей Л(х), Л(-Х),..., fH(x) иет одинаковых. Для
этого необходимо и достаточно, чтобы р не входило в дискриминант D
уравнения /(х) = 0. Действительно, повторяя рассуждения главы II, § 1.2,
мы убедимся, что полином Дх) имеет со своей производной Дх) общий
по модулю р множитель тогда и только тогда, если он имеет по мо-
модулю р кратные корни, т. е. если среди его неприводимых по модулю р
множителей встречаются одинаковые. С другой стороны, /'(х) имеет
с Дх) общий по модулю р множитель тогда и только тогда, если его
дискриминанат D делится на р. Таким образом, выбирая в качестве р
простые числа, не входящие в D в качестве делителей, мы будем полу-
получать разложения вида B.5), у которых все множители будут отличны
друг от друга.
Из теоремы 87 следует, что полином /,(х) есть делитель по модулю р
полинома хр к — х(/=1, 2,..., k). Если т — общее наименьшее крат-
кратное чисел nv ih,..., пк, то рт — 1 будет делиться на каждое из чисел
/>"* — 1,/Л—1,..., рпк—1,'апотому х*т-1 — 1 будет делиться по мо-
модулю р на полиномы Л(х), /2(х),..., /к{х), а следовательно и на их
произведение /(л). Рассмотрим конечное поле порядка рт, образованное
корнями сравнения х?тз=х—¦ 0 (mod p). Пусть а будет его корень, при-
принадлежащий к показателю рт — 1. Тогда все элементы поля, и в част-
частности корни полиномов Д(х), Д(*),..., /к(х), выразятся, как степени
величины а. Пусть а есть корень сравнения/,(х)=0 (mod/?) (/==1,2,.,.,*).
Тогда все корни сравнения Ддг) = 0 (mod p) могут быть выражены так:
«, а ,...,а ,а,а ,...,а ,.... а
Рассуждая так, как в п. 1, мы убедимся, что группа Галуа сравнения
) = 0 (mod/?) содержит подстановку
B.6) (а».,
...(ат*, а1"*»,
С другой стороны, пусть ср(а) будет элемент поля, не меняющийся
при подстановке B.6). Другими словами, ср(а) не будет меняться.при
замене величины а величиной ар:
ср (ар) ===== <р (а) (mod p).

166 V. Уравнения с заданными группами
Тогда, пользуясь формулой Шёнеманна, будем иметь:
откуда мы заключаем, что ср (а) является корнем сравнения x?=x{modp).
Но корнн этого сравнения исчерпываются рядом 0, 1, 2,..., р — 1, а по-
потому величина ср(а) равна одному нз этих рациональных чисел. Таким
образом поле величин, не меняющихся при подстановке B.6) (и ее сте-
степенях), есть поле рациональных чисел, в силу чего группа Галуа сравне-
сравнения /(х) = 0 (mod/?) есть циклическая группа, образованная степенями
подстановки B.6)). Итак:
Теорема 89.' Группа Галуа сравнения
B.7) f(x)S0(modp)
есть циклическая группа, образованная степенями подстановки, со-
состоящей из циклов порядков и„ «а,..., пы если f{x) разлагается
по модулю р на различные неприводимые множители степеней
9. Связь между группами Галуа уравнения и сравнения. Рас-
Рассмотрим одновременно уравнение
B.8)
и сравнение
B.9) J{x)==0(modp).
Чтобы построить группу Галуа уравнения B.8), перенумеруем его
корни: хг, лга,..., хп, и построим его основные модули:
B.10) /,(х), /„(*; х,), /8(х; хи х2),..., /п(х; xv x2,.,., хп_1),
корнями которых являются соответственно х1у лг2,..., хп.
Чтобы построить основные модули для сравнения B.9), выберем
в качестве первого модуля <pi(x) какой-нибудь из неприводимых по мо-
модулю р множителей полинома fi{x); обозначим через хг какой-нибудь
из корней сравнения ^1(x)^0(modp). Далее обозначим через сра(ж> xi)
какой-нибудь неприводимый по модулю р в поле К(х^ делитель поли-
полинома Дх; л:,), а через лга—какой-нибудь из корней сравнения <?з(х; х^)^в
33 0 (mod р), и т. д. Прн таком способе параллельной нумерации корней
B.8) и B.9) всякое соотношение между корнями уравнения B.8) будет
иметь место также между корнями сравнения B.9). (Это следует из
того, что, как мы видели в главе II, § 4, всякое такое соотношение
можно представить, как линейную комбинацию от соотношений
fi(x; xv лг2,..., х{ _ j) = 0,
и в то же время модули сравнения B.9) являются делителями модулей
B.10). Поэтому всякая подстановка, не нарушающая соотношений между
корнями сравнения B.9), не нарушает также соотношений между кор-
корнями уравнения B.8), если только мы будем соблюдать указанный парал-
параллелизм при нумерации корней. Отсюда мы заключаем:

§ 2. Группа Галуа сравнений 167
Теорема 90. Группа Галуа сравнения B.9) есть делитель
группы Галуа уравнения B.8).
4. Принимая во внимание структуру группы Галуа сравнения B.9)
(теорема 89), мы можем выразить теорему 90 следующим образом:
Теорема 91 (Дедекинда). Если левая часть уравнения, рас-
рассматриваемая по какому-нибудь простому модулю, не входящему
в дискриминант этого уравнения, разлагается на неприводимые мно
жители степеней и,, и2,..., пк, то группа Галуа этого уравнения
содержит подстановку, состоящую из циклов порядков щ, и2)..., пк.
5. Уравнения деления круга. В виде примера рассмотрим уравне-
уравнение деления круга:
¦I' *• = <>.
Мы уже видели (глава III, § 2.9), что группа Галуа этого уравнения есть
абелева группа порядка г$(т). Выясним, каковы должны быть простые
модули р, дающие то иЛи иное разложение полинома Хт на неприводи-
неприводимые по модулю р множители. В абелевой группе цикленный состав под-
подстановки вполне определяется ее порядком (так как в силу теоремы 12
ее подстановки состоят из циклов равных порядков). Поэтому наша
задача приводится к нахождению порядка подстановки, образующей
группу Галуа сравнения
B.12) *m
Мы видели, что в качестве такой подстановки можно взять подста-
подстановку, переводящую каждый корень а сравнения B.12) в корень а*.
Таким образом порядок этой подстановки равен наименьшему показа-
показателю /, дающему
B.13) </EH
Величина а удовлетворяет уравнению хт—1=0; поэтому если f есть
такой показатель, для которого имеет место р1 н= 1 (mod /и), то
так что сравнение C.13) удовлетворяется.
С другой стороны, если а есть корень уравнения B.11), то другими
его корнями являются величины а", где с пробегает все значения, не пре-
превышающие т и взаимно-простые с т. Если ргф:1(тойт), то//, будучи
взаимно-простым с т [мы должны предположить (р, т) = 1], сравнимо
с одним из этих чисел с. Пусть рг~ с (mod /ft). Тогда
откуда видно, что /-я степень нашей подстановки переводит кореш» a
в другой корень сравнения B.12), т. е. отлична от тождественной под-
подстановки. Итак:
Теорема 92. Если / есть наименьший показатель, дающий
// = 1 (mod /и),
то полином Хт разлагается по модулю р на неприводимые множи-
множители степени /,

76? V. Уравнения с заданными группами
Число / вполне определяется арифметической прогрессией
в которой лежит простое число р. В самом деле,
(b + mty = bf (mod р).
Поэтому мы можем определить, на множители какой степени разла-
разлагается полином Хт по модулю р, если будем знать, в какой арифмети-
арифметической прогрессии вида b + m I лежит простое число р. В частности,
если р = 1 -f- ml, то Хт разлагается по модулю р на линейные множи-
множители; если же p = g + m$, где g один из первообразных корней сравне-
сравнения л;'р(т* = 1 (mod/я), то полином^ остается и по модулю р неприво-
неприводимым. При этом необходимо отметить, что первообразные корни суще-
существуют не для всех модулей т, а только для: 1) степеней нечетных про-
простых чисел, 2) удвоенных степеней нечетных простых чисел и 3) числа 4
(см. Добавление). В связи с этим уравнение B,11) может быть цикличе-
циклическим только для этих значений числа т.
6. Представляет интерес вопрос, на неприводимые множители каких
степеней может разлагаться левая часть уравнения, рассматриваемая как
сравнение по всевозможным простым модулям. Для случая уравнения
деления круга ответ получается .из следующей теоремы Дирихле (G. Le-
jetme-Dirichlet, 1837):
Во всякой арифметической прогрессии b -\- mi, где Ь и т
взаимнопростые целые рациональные числа, лежит бесчисленное
множество простых чисел.
Для уравнений же общего типа вопрос решен Фробениусом (G. Fro-
benius), доказавшим следующую теорему A896):
Если группа уравнения У(лг) == 0 содержит подстановку, состоя-
состоящую из циклов порядков пь п2,... , пк, то существует бесчислен-
бесчисленное множество таких простых чисел р, что сравнение
f(x) = 0 (mod p)
разлагается на неприводимые по модулю р множители степеней
«j, Л2, . . . , Пк.
Эти теоремы доказываются при помощи приемов аналитической тео-
теории чисел. Здесь мы не имеем возможности привести их доказательства.
Упражнение 40. Дано уравнение деления круга Х15 = 0. Определить,
каким подстановкам соответствуют простые числа, лежащие в следующих ариф-
арифметических прогрессиях:
15 5, 4 + 15?, 7 + 15 5, 8 + 15?, 11+15?, 13+15;, 14 + 15?.
§ 3. Построение уравнений с заданными, группами.
1. В современной теории Галуа очередной является следующая
проблема, решение которой представляет до сих пор непреодолимые
трудности: -
Задана группа @, представляемая, как группа подстановок л-й
степени* Требуется найти уравнение, группа которого была бы
изоморфна с ®.
Эта проблема в настоящее время решена для некоторых частных
видов групп @, например для симметрических, знакопеременных, абеле-

§ 3. Уравнения с заданными группами
вых и некоторых других видов разрешимых групп. Для ее решения
существует несколько приемов, из которых мы подробно остановимся на
одном, принадлежащем Бауэру (М. Bauer).
2. Будем под цикленным типом и-й степени § =
— (пь Яг»---» и*) понимать совокупность щ, «г,..., % целых положи-
положительных чисел, дающих в сумме п. При этом мы будем говорить, что
подстановка принадлежит к цикленному типу ? — (и^ п^,..., пк),
если она состоит из циклов порядков Пу, щ,.-., пк.
Пусть заданы цикленные типы ?„ ?2,. .., ?ft и-й степени. Тре-
Требуется построить уравнение и-й степени, у которого группа Галуа содер-
содержала бы подстановки каждого из' заданных цикленных типов. Для этого
возьмем s каиих-нибудь простых чисел рь р2,..., ft (ниже мы оговорим
ограничение, которому мы должны их подчинить). Подберем полином f{x)
так, чтобы сравнение
Л = 0 (mod ft)
по каждому из модулей рЦ = 1, 2,..., s) имело группу Галуа, образо-
образованную подстановкой цикленного типа §,.. Пусть $,- = /и{1), и^»..., и4A)^ •
Найдем неприводимые по модулю pi полиномы сра (х\ <?%\х),..., «р* (*)
степеней и[1), $, ..., я*1) и подберем полином f{x) так, чтобы имело
место
Ах) = ^\х).^\х\... ,,«(*)(modЛ).
Для этого нужно, чтобы коэффициенты полинома
xn + Aixn-1 + ...+ Anx
удовлетворяли сравнениям
Л, = а<0, Аг = а<0,..., Ап = а« (modft),
где
Поступая так с каждым из цикленных типов $lf &2,..., Qt и соот-
соответствующих им простых чисел рь р2,. ., р„ мы подчиним коэффициенты
полинома fix) системе сравнений следующего вида:
Аг = а,", Л2 = о,',..., Лп= ап' (mod Pl),
«1ч Л» = fll"' Лз ="аг"''' •' Л«= а«"(m0d ^'
(О1 )
Д, — а<8>, Л2 = а<«),..., Ап = j
Эти сравнения решаются так. Пусть, например, требуется найти коэф-
фициент Av который удовлетворяет следующей системе сравнений:
C.2) А1 — «/(modft), Ax = axK(mod
Предварительно найдем решение системы
Вх' ~ 1 (mod ft), В,' = 0 (mod ft), ..., В/ = 0 (mod ft).

770 V. Уравнения с заданными группами
Из этих сравнений прежде всего видно, что Вг' должно делиться на
Яг = — , где Р= pv Ръ, ..., рв. Положив В^ =$-qv мы придем к един-
единственному условию
Это сравнение решается просто.
Решением системы C.2) служит величина
а{В{ + ... + а
где каждая из величин в[г)(г= 1, 2,..., s) определяется из уравнений
Прибавляя к найденной величине Ах произвольную кратность числа
Р-= рь ръ ..., pv мы не нарушим ни одного из условий C.2), так что
сравнения C.2) определят коэффициент Аг с точностью до крат-
кратности Р.
Подобным же образом мы можем определить и остальные коэффи-
коэффициенты А2, Az, ..., Ап. Полученное таким образом уравнение Длг) = О
имеет группу Галуа, среди подстановок которой по теореме 91 непре-
непременно содержатся подстановки цикленных типов §1( §2,..., §,.
Ограничение, которое мы должны наложить на простые числа
Ри Ръ •••> Ра> касается только тех случаев, когда соответствующий про-
простому числу цикленный тип содержит несколько одинаковых чисел и,.
Если в ? число и,- встречается А, раз, то простое число р должно быть
таково, чтобы существовало не меньшее число различных неприводимых
по модулю р полиномов и,-й степени, т. е. должно иметь место
Эти неравенства будут всегда удовлетворены, если мы подчиним р
неравенству
<ЗЛ) р>п.
В самом деле, из формулы A.7) видно, что »,5(п,) делится на р и
потому не может быть меньше, чем р. С яругой стороны, klnl s? я,
а потому из C.4) всегда следует C.3).
3. Пример. Найти уравнение 5-й степени, группа которого содержала бы
цикл 5-го порядка, а также двойную транспозицию.
Наши цикленные типы запишутся так: ^ = E), ^ = B,2,1). Для ^ можно
взять в качестве модуля любое простое число. Возьмем pt = 3. Неприводимый по
модулю 3полином 5-и степени является делителем полинома х3 —х = х(х242—1) =
= х(х2Л1 — 1). Этот полином содержит в качестве делителя х11—1, причем по-
последний полином может содержать только или линейные множители, или неприво-
неприводимые множители 5-й степени. Единственным рациональным корнем полинома
х» — 1 является х = 1, так что полином

§ 3. Уравнения с заданными группами 1_71
разлагается на неприводимые по модулю S полиномы 5-й степени. В самом
деле
+ + + + { + + + +
— х*+х8 - 1) (х« — х* + х8 — х — 1) (mod 3).
В качестве рг мы не можем взять числа 2, так как для р — 2 имеет место
gB) = l, в то время как для нас необходимо gB) > 2. Возьмем />а = 5. Тогда
нам придется иайти неприводимый по модулю 5 множитель 2-й степени поли-
полинома х5* —х =х(хм—1). Все линейные множители должны входить делителями
X* — 1
в полином х5—х, а потому полином--^—- = х* -}- х* + 1 должен разлагаться на
неприводимые по модулю 5 полиномы 2-й степени. В самом деле,
х* + х» +1 = (х8 + х + 1) (х8 - х + 1).
Таким образом условия нашей задачи будут выполнены, если мы, например,
положим:
) = хъ + х* - х3 + х» — Hmod 3), /(x)s= x(x* + x*+1) (mod 5).
Полагая
/(х) = Xs + Ахх* + А,х» + AgX» + А,х + Л5,
получим для коэффициентов At следующие сравнения:
Ах=1, Аг=-1, А,= 1, ^4^=°. Л5= -I(mod3),
А1=0, А,= 1, А, = О, А«=1, A5 = O(mod5).
Решая эту систему сравнений, получим:
А1=1О, А, = 11, 4, = 10, А4=6, A5 = 5(mod 15),
т. е.
/(х) == х5 + Юх«4- Их3 +- Юх8 + бх + 5(mod 15).
Всякий полином /(х), удовлетворяющий этому сравнению, дает решение
поставленной задачи.
4. Уравнения без аффекта. Изложенный прием дает возможность
сравнительно легко построить уравнение без аффекта, т. е. с симме-
симметрической группой Галуа. В самом деле, симметрическая группа содер-
содержит подстановки всевозможных цикленных типов. С другой стороны:
если группа содержит подстановки трех следующих цикленных типов
1) цикл я-го порядка, 2) цикл (я — 1)-го порядка и 3) транспозицию,
то она должна быть симметрической группой. В самом деле, она тран-
зитивна, так как содержит цикл я-го порядка. Содержа транспозицию,
она в силу теоремы 14 должна быть или симметрической, или импри-
митивной. Допустим, что она импримитивна. Кроме того, она содержит
цикл (л—1)-го порядка, который при надлежащем способе нумерации
корней может быть представлен так: A) B3... я). Пусть 1, а2, а8,..., ат
будет та ее система импримитивности, в которой лежит цифра 1. Тогда,
согласно определению импримитивности, подстановка A) B3 ... и) должна
перемещать цифры аа, а8). .., ап между собой, т. е. содержать циклы
порядков < т} в то время как в самом деле она содержит единственный
цикл (я — 1)-го порядка. Это противоречие показывает, что группа должна
быть симметрической.
Вместо того, чтобы ставить в качестве условия облалание циклом
n-го порядка, мы можем обеспечить неприводимость уравнения другим
способом, например при помощи критерия Эйзенштейна, что практически
сильно облегчает задачу. Кроме того, если п простое число, то групяв

772 V. Уравнения с заданными группами
вообще не может быть импримитивной, а потому в этом случав нет
надобности ставить условием обладание циклом (я—1)-го порядка.
Что касается ограничения, налагаемого на величину простых мо-
модулей, то здесь ему подлежит только то простое число, которое соответ-
соответствует транспозиции. В этом случае цикленный тип имеет вид
$=B,1,1,..., 1),
причем единица входит п — 2 раза. Чтобы существовало не менее я — 2
различных по модулю р линейных полиномов, достаточно ограничить р
условием
р>п—2.
5. Пример. Построить уравнение 6-й степени без аффекта. Для циклен-
цикленного типа % = (в) возьмем р, = 2, для $, = E,1) — р3 = 3, для $, = B,1,1,1,1)—
р, = б.
Неприводимый по модулю 2 полином 6-й степени должен быть делителем
полинома х*в—х = х(х**—1). Этот полином содержит еще линейные,квадратные
и кубические делители. Линейные полиномы входят также в х2—х=х(х—1),
квадратные—в х"-а — х = х(х* — i), кубические — в х*3 — х = х (х* — 1). Полином
х» 1
х* + х* + 1 будучи делителем полинома х(х** — 1), в то же время
взаимно прост с полиномами х (х — 1), х (х3 — 1) и х (х7 — 1), а потому может содер-
содержать только неприводимые по модулю 2 делители 6-й степени. Стало быть, он
неприводим по модулю 2. Поэтому мы можем положить
2).
По модулю 3 полином /(х) должен разлагаться на линейный полином и не-
неприводимый полином 5-й степени. Один нз таких полиномов был нами уже най-
дев в п. 3. Исходя из него, мы можем положить
/(х) = х (х5 + х» — х3 +xs — 1) (mod 3).
Наконец, по модулю 5 полином /(х) должен разлагаться на 4 линейных поли-
полинома н один неприводимый квадратный полином. Последний должен быть дели*
х% \
телем полинома -j—- = х4 + 1. Этот полином очень просто разлагается на
квадратные множители:
х4 + 1 = х* - 4= (х8 + 2) (х8 - 2) (mod б),
которые в силу сказанного должны быть неприводиыы. Поэтому мы можем по-
положить
/(х) = (х4 — 1) (х2 -f 2) = х» + 2х* — у? — 2 (mod 5).
Сопоставляя все найденные условия, мы получим следующую систему сравне-
сравнений для коэффициентов А( полинома /(х):
Ах==0, А,= 0, А3=1, А4=0, А5=0, Ae=l(mod2),
А1==1, А, = —1, А,==1, At=± О, А6=— 1, А„== O(mod 3),
^==0, А,= 2, А3 = 0, А1 = — 1, Ав = 0, А„ = — 2 (mod 5).
Решая этн сравнения, получим:
• ^ = 10, А, = 2, Аа=— 5, At= — в, Аь== —10, Ae = 8(mod 30).
Таким образом всякое уравнение
X» + A0 + 30 а) х8 + B + 30р)х»+ (-5 + 30Y)x» + (— 6+ 30 8) к* +
+ (- 10+ 30 е) х + C + 30*) = О,
где а, р, Т) $> е> ''¦ произвольные целые числа, имеет в качестве группы Галу&
симметрическую группу.

§ 3. Уравнения с заданными группами 173
Упражнение 41. Построить уравнение 5-й степени без аффекта.
Упражнение 42. Построить уравнение 6-й степени без аффекта, пользуясь
критерием Эйзенштейна.
6. Изложенный в п. 4 способ построения уравнений без аффекта
обладает наибольшей общностью. Это означает, что строя таким обра-
образом уравнения и беря всевозможные простые числа в качестве модулей,
а также всевозможные неприводимые по этим модулям полиномы, мы не
пропустим ни одного уравнения без аффекта. Действительно, всякое
уравнение без аффекта содержит подстановки упомянутых нами циклен-
цикленных типов, а потому в силу приведенной нами (ноне доказанной) в§ 2.5
теоремы Фробениуса существует бесчисленное множество таких простых
чисел р, что левая часть уравнения: 1) остается неприводимой по мо-
модулю р, 2) разлагается по модулю р на линейный полином и неприводи-
неприводимый множитель (я— 1)-й степени, 3) разлагается по модулю р на не-
неприводимый квадратный и и — 2 линейных полиномов. Поэтому, продви-
продвигаясь в построении уравнений по изложенному способу, мы рано или
поздно построим и это уравнение.
7. О задаче построения уравнений с заданной группой. Задача
построения уравнений с заданной (несимметрической) группой встречает
ту трудность, что мы можем построить уравнение, в группу которого
входили бы подстановки заданных цикленных типов, но при этом не
можем гарантировать, что в нее не войдут подстановки цикленных типов,
не встречающихся в заданной группе.
Будем пытаться решать эту задачу следующим образом. Пусть задана
группа ©, представленная, как группа подстановок я-ой степени. Выде-
Выделим в ней систему подгрупп ®х, ©8,..., ©^ таким образом, чтобы вся-
всякая подгруппа группы ©, не совпадающая с ©, была непременно
делителем одной из групп ©v ©2,..., ©„. Такую систему легко полу-
получить, если например выписать все делители группы ©, а затем вычерк-
вычеркнуть из их совокупности все те группы, для каждой из которых най-
найдется хоть один делитель группы ©, содержащий ее, как часть.
Далее, считая первоначальные корни х1у хг,..., хп искомого урав-
уравнения
C.5) /(д;) = ^Чя1/~1 + ... + й1_1^ + яп = О
неопределенными переменными, построим рациональную функцию
<f(xv х.г,. .., д:п), принадлежащую к группе ©, а также функции
C.6) ?1 (*„ х2,..., *п), <р2 (л^, лг8,..., хп), ..., «р/дг;, xt *я),
принадлежащие соответственно к группам ($ь ©2, ..., ©,. Составим
уравнение
C.7) /?(«?) = 0, ¦
корнем которого является функция <р, а также сопряженные с нею отно-
относительно симметрической группы функции. Коэффициенты уравнения C.7)
являются симметрическими функциями от хъ xt,..., xn, которые следо-
следовательно рационально выражаются через коэффициенты аъ ait ..., ап
уравнения C.5). Далее, найдем уравнения
C.8) /7(?,;ф) = 0 (г=1, 2, ..., s).

174 V. Уравнения с заданными группами
корни которых суть функции ср<( а также сопряженные с ср, относительно
группы © функции. Коэффициенты этих уравнений не изменяются при
подстановках группы ©, а потому рационально выражаются через
«1. «2. • • • , ап И ?.
Чтобы найти группу уравнения C.8), если считать величины
\
eli <*2> ¦ ¦ ¦ , «» И <Р
принадлежащими к области рациональности, обозначим через I?, пересе-
пересечение всех сопряженных с ©, относительно группы ® подгрупп. Тогда
в силу теоремы 62 группа Галуа уравнения C.8) изоморфна, с дополни-
тельной группой ~, и притом служащее этой группой Галуа предста-
представление таково, что совокупность подстановок, не перемещающих какой-
/2*
нибудь одной цифры, есть ^ .(см. теорему/ 22,2°). Это представление
транзитивно. Докажем следующее свойство, имеющее место для всех
транзитивных групп:
Теорема 93. Транзитивная группа всегда содержит подста-
подстановки, перемещающие все цифры.
Доказательство. Пусть ® транзитивная группа подстановок и-й
степени и пусть ф, будет ее подгруппа, оставляющая цифру / на месте
(/=1, 2,..., и). Обозначая через т порядок каждой из подгрупп^.,
мы получим для порядка группы © значение пт (см. теорему 11). До-
Допустим, что каждая из пт подстановок группы ® оставляет какую-ни-
какую-нибудь цифру на месте. Тогда каждая из пт подстановок группы ® должна
войти в какую-нибудь из подгрупп §){. Но все подгруппы §,. вместе содер-
содержат меньше чем пт различных подстановок, так как этих подгрупп всего я,
каждая из которых содержит по т подстановок, но при этом некоторые
подстановки (например тождественная) входят сразу в несколько групп $q(.
Противоречие доказывает теорему.
В силу доказанной теоремы в группе ® можно найти такую подста-
подстановку S{, что соответствующая ей подстановка St рассматриваемого нами
представления группы ^ перемещает все цифры. Затем выберем s про-
простых чисел /?i, p2 pt, сообразуясь с высказанным нами в п. 2 огра-
ограничением, и построим произведение //х) неприводимых по модулю /?,.
полиномов, степени которых совпадали бы с порядками циклов подста-
подстановки S{. Подчиним коэффициенты Аъ А2, ..., Ап искомого поли-
полинома f(x) сравнениям
C.9) /(*) = /, (*) (mod Pt) (i^ 1, 2,..., s)
Кроме того, подставляя значения этих коэффициентов в выражения
коэффициентов уравнения C.7), мы получим уравнение относительно ср.
Заменяя в нем знак равенства знаком сравнения по модулю р(, мы полу-
получим сравнение, имеющее непременно рациональный корень. Действи-
Действительно, группа Галуа сравнения /(лг) = О (mod p()изоморфна с циклической
группой, образованной степенями подстановки S(, которая входит в ®, а по-

§ 3. Уравнения с заданными группами /75
тому одна из функций, сопряженных с <р, не должна изменяться от этой под-
подстановки и сравнима по модулю pi с рациональным числом. Если рацио-
рациональных корней несколько, то мы выберем тот из них, который при под-
подстановке в C.8) дает сравнение '
C.10) F,(<p,;<p)
не имеющее ни одного рационального корня. Существование такого зна-
значения <р вытекает из того, что группа сравнения C.10) изоморфна с цик-
циклической группой, образованной степенями подстановки Sit не оставля-
оставляющей на месте ни одной цифры.
Поступая таким образом с каждым из модулей /?,, мы получим для
<р ряд сравнений:
<р = <р' (mod рг), <р = <р" (mod pt), ..., <р == <pw (mod /?,).
Сопоставляя их с условиями C.9), мы получим для коэффициентов
Аг, А2, ..., Ап полинома /(х) и для величины <р следующие выра-
выражения:
C.11) A1 = al+Ptu A2 = a2 + Plu,...,An = an + Ptn,
<р = 0 + Ра,
где Р — рир%, . .,, р,, аи а2,..., ап, б постоянные целые числа, а
t\, h> • • • > ^n' " — остающиеся пока неопределенными переменные, могу-
могущие принимать только целые рациональные значения.
Будем рассматривать уравнение C.7), как зависимость между коэф-
коэффициентами Alt А2, •. •, Ап и величиной у. Подставим в него вместо
величин Alt А2, ..., Ап, у их выражения C.11). Получается неопреде-
неопределенное уравнение
C.12) Ф&, <„..., tn, и)=0.
Если окажется возможным удовлетворить этому уравнению целыми
рациональными значениями tv t2, ..., tn, и, то, подставляя это решение
в выражения C.11), мы получим коэффициенты Av A2, ...,Ап уравне-
уравнения C.5), группа которого будет изоморфна с ®. Действительно, урав-
уравнение C.7) будет иметь в этом случае рациональный корень, откуда
следует, что функция <р равна*рациональному числу (принадлежащей
нумерации корней). Если мы исключим случай, когда уравнение (З.7)
имеет кратные корни, то отсюда сможем заключить, что группа уравне-
уравнения C.5) изоморфна или с ®, или с каким-нибудь делителем ®. С дру-
другой стороны, ни одно из уравнений C.8) не может иметь рациональных
корней, так как даже соответствующие им сравнения C.10) не имеют
рациональных корней. ОтсюЬа следует, что группа Галуа уравнения C.5)
не может быть делителем ни одной из подгрупп ©ь ®2, ..., ©^ Но мы
выбрали эту систему подгрупп так, чтобы всякий делитель группы ®,
не являющийся делителем ни одной из групп ®1( ®4, ..., в точности
совпадал с ®. Поэтому группа Галуа уравнения C.5) точно изоморфна
с ®, ч. и т. д. . „

176 V. Уравнения с заданными группами
8. Проблема рационального минимального базиса. Задача по-
построения уравнений с наперед заданной группой может быть решена для
тех групп ®, которые допускают так называемый рациональный
минимальный базис. Под этим понятием разумеется следующее.
Пусть нам задано п. -+¦ 1 рациональных функций:
C.13) ut = fx (xv л:?, ..., хп), и2 =/2(л;,, х2, ..., хп),...,
Un + 1 — /п + 1 (¦*!' Х*' • • • ' Хг)
от п независимых переменных xv х2, ..., хп. Между величинами
uv u3, ..., ип,1 должно иметь место алгебраическое соотношение
Запача заключается в нахождении п независимых функций от
«1» «2 «n» Un + V
C.15) vx {иъ и2, ..., »n+1), v2 (iij, в,
vn(ult u2,..., и
через которые можно было бы в свою очередь рационально выразить
величины и,, и2, ..., «я ¦ ^
Эту задачу можно более элегантно выразить в терминах теории
полей. Для этого рассмотрим поле К {xv х2, ..., *п) рациональных
функций от п независимых переменных xltxz, . . . , хп. Поле
К(ч^, М2- •••»Mn+i) является ег0 делителем. Задача нахождения системы)
функций C.15) равносильна вопросу, изоморфно ли поле К{и1} и2,..., ип2.1
с полем K{xv х2, ..., дгп).
Эта задача была поставлена и решена Люротом (P. Lflroth) для слу-
случая 'я = 1. Кастельнуово (G. Castelnuovo) решил ее для я =2. Для
л =3 Энриквес (F. Enriques) нашел пример, когда задача не имеет
решения.
9. Применим решение этой задачи (конечно, в случае, когда оио
существует) к нахождению уравнений с заданной- группой. Возьмем
в качестве функций C.13) систему элементарно-симметрических функций
от хъ х2,...,хп, а также функцию ср, принадлежащую к заданной
группе ®. Между ними имеет место соотношение C.7). Предположим,
что эти функции имеют рациональный минимальный базис vv vz,..., vn.
Тогда, исходя из выражений C.11), мы сможем вычислить значения
Для vi> fa» • ¦ •. vn- Подставляя их в свою очередь в выражения
А» ^2> ¦ • •, Ап, <р, мы получим для них значения, вообще не совпадаю-
совпадающие с первоначальными, но сравнимые с ними по модулю Р. Эти зна-
значения удовлетворяют соотношению C.7), а потому задачу можно в этом

§ 4, р-адическае ряды 177
Это приведение одной задачи к другой было впервые найдено
Э. Нётер (Е. Noether), которая воспользовалась для этого следующей
теоремой Гильберта (D. Hilbert): fc
Задан неприводимый полином f(x,y). Можно придать одной из
переменных, например у, такое рациональное значение, притом бес-
бесконечным числом способов, чтобы полином/(д;, д/0) был неприводим
в любой наперед заданной области.
Этот результат не позволяет наметить никакой определенной системы
действий для получения решения, так как Гильберт не дал практического
способа для нахождения значений у9.
10. Задача нахождения рационального минимального базиса была
предметом исследований Фуртвенглера (Ph. FurtwMngler) и Бройера
(S. Breuer) для случая метациклических групп. В этом случае главную
трудность представляет нахождение такой системы функций C.15), кото-
которая имела бы рациональные коэффициенты. Эта задача тоже до сих пор
окончательно не решена.
§ 4. Разложение корней по степеням простых чисел.
1. Существует еще другой способ нахождения подстановок, входя-
входящих в группу Галуа уравнения. Он заключается в том, что корень за-
заданного уравнения разлагается в степенной ряд по возрастающим сте-
степеням простого числа р (так называемые р-адические ряды). /7-адические
ряды были впервые введены в рассмотрение Гензелем (К. Hensel). Такого
рода ряды в общем случае расходятся, но тем не менее с ними можно
формально оперировать, как с обыкновенными рядами. В самом прин-
принципе разложения в /?-адические ряды необходимо отметить существенное
отличие от разложения в обыкновенные сходящиеся ряды. Именно, фак-
фактически в обоих случаях мы имеем дело не со всей бесконечной сово-
совокупностью членов ряда, а с некоторым конечным числом его начальных
членов, которое принято называть отрезком ряда. Но в теории
обыкновенных рядов ряд аг -)- а3 -)- ... -f- ап -)- ... считается разложением
величины а тогда, если разность между а и отрезком аг + а2 -+¦... -)- ап
ряда делается при достаточно большом и сколь .угодно малой; р-адиче-
ский же ряд а0 + a-j) + ... + апрп -j- ... считается разложением вели-
величины а тогда, если разность между а и отрезком а„ + агр + .. • + апрп
делится при достаточно большом л на сколь угодно большую (в дан-
данном случае по крайней мере на (я+1)-ю) степень простого
числа р.
Этот принцип однако неприложим к трансцендентным величинам, для
которых трудно установить всеобщее понятие делимости на целое число
(для этого нужно было бы установить понятие целого трансцендентного
числа). Для алгебраических чисел возможно, правда, установить понятие
делимости; но тем не менее было бы нецелесообразно пользоваться для
их разложения только-что описанным принципом, так как простое ра-
рациональное число р в области алгебраических чисел может перестать
быть простым числом, и тогда отрезки а0 + ахр -f- ... -f- <*npn ни при
каких рациональных значениях а0, «!,...,«„ не будут сравнимы с а по

178 У. Уравнения с заданными группами
Поэтому в основу разложений алгебраических чисел в /?-адические
ряды кладется другой, следующий принцип:
/?-адический ряд а0 + а^р + ... + апрп + ... считается раз-
разложением корня алгебраического уравнения /(х) = 0 тогда, если
результат подстановки /(а0 -f ахр -f . . . + а„рп) его отрезка
ао + алРп + • • • ~Ъ~апР" в левую часть уравнения делится при до-
достаточно большом п на сколь угодно высокую степень р
Но даже пользуясь этим принципом, мы не всегда сможем разложить
алгебраическое число в /?-адический ряд с рациональными коэффициен-
коэффициентами. Действительно, для этого прежде всего необходимо, чтобы вели-
величина а0 была корнем сравнения
D.1) /(*) = 0(mod P),
так как очевидно имеет место
f(a0) =Ла0 + агр + ... + ая/?и) (mod р).
Но сравнение D.1) не всегда имеет рациональные корни. Поэтому
в известных случаях приходится считать коэффициенты а{ не рациональ-
рациональными41 числами, а элементами некоторого конечного поля, или, если вы-
выразиться точнее, функциями от корней уравнения типа г^—z = 0, где
/—степень неприводимого множителя сравнения D.1).
Однако и в этом случае корни уравнений могут не иметь разложений.
Именно, может случиться, что корни разлагаются по дробным степе-
степеням простого числа р. Простейшим примером такого явления может
служить уравнение хт — /? = 0, для которого разложение корня имеет вид
Необходимо отметить, что всякое уравнение и-й степени имеет
п /?-адических разложений и вместе с тем п корней; однако у нас нет
никаких оснований сопоставлять с каждым разложением какой-нибудь
определенный корень.
2. Многоугольник Ньютона. Для нахождения разложения корней
уравнения f(x) = 0 в /?-адические ряды По дробным степеням можно
воспользоваться способом,который применялся еще Ньютоном (J.Newton)"
для разложения в степенные ряды алгебраических функций и получил
название способа многоугольника (или параллелограмма)
Ньютона. Аналитически сущность его заключается в следующем. На-
Напишем уравнение J{x) = 0 в таком виде:
D.2) л" + р\.сг-хп-1 + pi-ci-xn~2 + ...+ р^~\_хх -у />Ч = 0,
где Cj, с2, ...,с j, сп взаимно-простые с /> целые рациональные числа.
Предположим, что начальный член разложения его корня есть ос-рр, где
а — взаимно-простое с р 4i ело (или рацк ональное, или зависящее от
корня уравнения zpT—2 = 0). Подставляя в D.2) вместо х выражение
л-pf, мы должны будем получить сокращение членов, делящихся на самую
нмякую степень р (иначе дальнейшие члены разложения, будучи под-

§ 4. р-адические ряды ¦ 179
ставлены вместо х в уравнение D.2), не смогут уничтожить этих членов
низшего порядка). Поэтому показатель р должен быть подобран так,
чтобы -в результате подстановки получилось хотя бы два члена, деля-
делящиеся точно на одну и ту же степень р, в то время как остальные
члены должны делиться на более высокую степень р. Но после под-
подстановки члены уравнения D.2) будут делиться точно на соответственно
следующие степени р:
D.3) пр, кг + (я — 1)р, k2 + (я — 2) р,..., ?п_г + р, kn
(будем называть эти числа порядковыми числами членов уравне-
уравнения D.2)). Таким образом значение р надо подобрать так, чтобы два из
чисел D.3) были "равны, а остальные — больше или равны, чем эти два
числа. Приравнивая друг к другу попарно числа D.3), мы получим для
определения р конечное число уравнений типа
D.4) к, + (п - 0 р = к, + (я -у) р,
откуда можно определить р:
D.5) Р = «.
Из всех получаемых таким путем значений будут давать нужные нам
значения р. только те, которые после подстановки в D.3) будут давать
значения величин р, большие (или равные), чем значения D.4).
3. Пример. Дано уравнение
хъ 4- б*' — 2х 4- 40 = 0.
Требуется разложить его корни по степеням числа 2.
Порядковые числа членов уравнения таковы:
Зр, 1 + 2р, 14- Р. 3.
Приравняем иапрвмер крайние члены:
откуда р = 1. Подставляя, получаем значения порядковых чисел:
3, 3, 2, 3.
Таким образом значение р = 1 не годятся. Приравняем первое и третье по-
порядковые числа:
Зр=1 + р,
откуда р = у. Подставляя, получим:
L А
2 . 2, 2 » 3.
• Таким образом мы видим, что значение р = г~ удовлетворяет нашим требо-
требованиям. Чтобы получить коэффициент о, мы должны приравнять нулю сумму чле-
членов, делящихся на низшую степень р:
т. е.
аз — о = 0.

180
V. Уравнения с заданными группами
Нулевой корень мы не принимаем во внимание, та.ч как он не дает нам раз-
разложения с дапной (в настоящем случае с нулевой) степенью 2 и соответствует
другому значению р; мы получим его, приравняй третий и четвертый члены:
откуда р = 2. Значение порядковых чисел при р = 2 таково:
в, 5, 3, 3-
Приравнивая нулю сумму членов низшего порядка, получим^:
— о+5 = 0.
Если мы хотим, чтобы в качестве коэффициентов при степенях 2 у нас были
только вычеты по модулю 2, т. е. числа о и 1, то получим для корней нашего
уравнения такие начальные члены:
1 j_
2'2"-22, 2*.
Чтобы получить дальнейшие члены разложения корней, делаем в уравнении
подстановку х = ар9-\-у (в данном случае х = 22 -\-у или х = 2г+у) и про-
продолжаем нахождение членов разложения во вновь полученном уравнении, кото-
которые являются дальнейшими членами разложения корней первоначального
уравнения.
4. Для быстрого получения нужных значений показателя р суще-
существует прием, благодаря которому излагаемый способ и получил свое
название. Берем в плоскости прямоугольную координатную систему
и наносим соответственно найденным порядковым числам
г k + тер точки с координатами k и те.
Если коэффициенты уравнения D.2) суть целые чис >а,
а коэффициент при старшей степени равен единице, то все
точки лежат в первой четверти, причем наивысшая лежит
на оси Y.
Проведем через каждую из этих точек параллельные
прямые так, чтобы тангенс угла, составляемого ими
с отрицательной осью Y, был равен числу р. Тогда
прямая, проведенная из точки (k, те), пересечется с осью X
в точке, абсцисса которой равна k +
-f- тер, т. е. порядковому числу при вы-
выбранном значении р. Поэтому нужные
—»vf нам значения р получатся, если мы вы-
выберем направление наших прямых так,
чтобы два из получаемых пересечений
с осью X совпали, а остальные лежали
правее. Другими словами, нужно провести прямую через две из наших
точек так, чтобы остальные точки лежали правее этой прямой. Этого
мы достигнем, е.сли начнем вращать отрицательную часть оси Y вокруг
наивысшей точки против часовой стрелки до первого пересечения
с какой-нибудь другой из нанесенных точек. После этого станем вра-
вращать эту же прямую в том же направлении, но вокруг той точки, на
которую мы наткнулись, опять до столкновения с новой из нанесенных
точек. Этот процесс надо продолжать до тех пор, пока у нас прямая
Рис. 2.

§ 4. р-адические ряды 181
не примет горизонтального положения. Искомые значения р будут равны
тангенсам углов, которые отрезки полученной ломаной образуют с от-
отрицательным направлением оси Y.
Еще нагляднее представится процесс, если мы около наивысшей точки
закрепим нить и пустим ее вдоль отрицательной оси К, а в нанесенных
точках вобьем гвоздики. Затем будем отводить свободный конец нити
вправо. При этом нить будет зацепляться за вбитые гвоздики и примет
положение ломаной, дающей для р искомые значения.
Не вдаваясь в детали этого процесса, обратим лишь внимание на то,
что он даст нам ровно п разложений. 6 самом деле, ордината наивыс-
наивысшей из нанесенных точек равна степени п нашего уравнения. Пусть
первая из следующих вершин ломаной будет иметь ординату п2, и пусть
соответствующий ей член уравнения D.2) будет рпк^спк Тогда для
определения коэффициента а мы получим уравнение
имеющее п — nt отличных от нуля корней. Точно так же для опреде-
определения коэффициента а, соответствующего разложению с начальным чле-
членом ар?, где р получается из второго отрезка ломаной, будет служить
уравнение
сгап' — с2-ап« = 0, ^
имеющее и2--п8 отличных от нуля корней. Рассуждая таким образом
дальше, мы наконец дойдем до оси абсцисс; в этом случае пк = 0.
Всего будет
(п — п2) + (п2 — ns) + ... + (nft_2 — n^) + nt—n
разложений, ч. и т. д.
5. Эти разложения дают возможность сделать некоторые заключения
•тносительно группы Галуа уравнения D.2). Чтобы формулировать от-
относящиеся сюда результаты, введем новое понятие цикла разложе-
разложений. Пусть мы имеем разложение
D.6) а^' + а^> + ...,
где Xj, Х2,... представлены, как несократимые дроби, и пусть s есть
общий знаменатель этих дообей (хотя этих дробей бесчисленное. мно-
множество, но их общий знаменатель, как можно было бы показать, вы-
выявляется уже на некотором конечном месте, положение которого зависит
от дискриминанта уравнения D.3). Точнее, существует такое г, завися-
зависящее от дискриминанта уравнения D.2), что если общий знаменатель
дробей Xj, Х2,...,ХГ есть s, то знаменатель каждой последующей дроби
Xr i , т > О есть делитель числа s). Подставляя в разложение D.6)
L ' L L 1
вместо р1 последовательно величины e/?s, е2/?*,..., ss~1-p\ где
2 га
е = е *, мы получим еще s— 1 разложений, которые тоже будут раз-
разложениями корней уравнения D.2). Эти s разложений составят цикл
разложений s-ro порядка. При этом имеет место

182 V. Уравнения с заданными группами
Теорема 94. Если /?-адические разложения корней уравнения
D.2) составляют циклы порядков slt s8,... ,sk (Sj -\- s2 + ... +
+ s4 = и), то группа Галуа уравнения D.2) содержит подстановку,
состоящую из циклов порядков sl3 sit..., sk.
Не имея возможности провести строгого доказательства этой теоре-
теоремы, которое бы потребовало применения теории идеалов, попытаемся
лишь дать известное представление о механизме этого явления. Прежде
всего можно было бы доказать, что совокупность /?-адических рядов
составляет поле. Поэтому если мы включим в область рациональности
/;-адические ряды по целым степеням р, а также некоторые //-ые корни
из единицы, то сможем определить группу Галуа для такой области
рациональности. Так как при расширении области рациональности вса
существовавшие соотношения между корнями сохраняются, то можно
доказать (ср. доказательство теоремы 90), что при этом группа Галуа
будет изоморфна с делителем первоначальной группы Галуа.
Теперь построим производящую подстановку группы Галуа уравнения
D.2) в /;-адической области рациональности. Пусть s будет общее
наименьшее кратное чисел sv sa,..., sk, и е = е * — первообразный s-й
корень из единицы. Если мы во всех р-адических разложениях корней
1 1
уравнения D.2) заменим величину р*через е.р", то все циклы, которые
образуют эти разложения, претерпят циклическое перемещение входящих
в иих разложений на один шаг. Таким образом получится подстановка,
состоящая из циклов порядков sJ} sit...,sk. Эта подстановка не может
нарушить соотношений между корнями. В самом деле, уравнение
z*—р = 0, как можно было бы показать, неприводимо даже в нащей
расширенной области рациональности, а потому во всяком соотношении
ill i.
между его корнями р', eps, e2/?8,..., е* р" можно всегда заменить
2 ]_
р* через вр*. Вместе с тем мы можем рассматривать соотношения между
корнями уравнения D.2) в расширенной области рациональности - как
соотношения между корнями уравнения zs—р — 0.
Из этой теоремы непосредственно вытекает
Теорема 95. Если корни алгебраического уравнения допус-
допускают /?-адические разложения по дробным степеням простого числа
р, причем показатели р содержат в знаменателях число s, то поря-
порядок группы Галуа этого уравнения делится „на s.
Упражнение 43- Доказать правильность 2-адического разложения
Найти 2-адическое разложение числа —.
Упражнение 44. Доказать: р-адическое разложение периодично
тогда и только тогда, если представляемое этим разложением число рационально.
Упражнение 45. Найти начальные члены разложений в р-адические ряды
корней уравнений, удовлетворяющих условиям критерия Эйзенштейна для
того же р.

§5. Уравнения со знакопеременной группой 183
§ 5. Уравнения со знакопеременной группой.
1. Существование уравнений со знакопеременной группой было впер-
впервые доказано Ги'льбертом, который применил для этого свою теорему
неприводимости. Поэтому доказательство Гильберта не связано с надеж-
надежными конструктивными приемами.
Недавно И. Шур (J. Schur) в ряде работ показал, что группы Галуа
некоторых полиномов, хорошо известных в теории ортогональных функ-
функций, являются или симметрическими, или знакопеременными группами.
Вот некоторые из относящихся сюда результатов Шура:
I. Уравнения вида
E.1) xn + n-gl- X*-1 + л (л — 1) g2xn-* + пуп — 1) (л — 2)?3*"~3 +
гДе Si, gi> •••> 5n_i — произвольные целые числа, неприводимы в
поле рациональных чисел.
II. Уравнения вида
E.2) ^) = -^ + (S)! + -- + -f + 1=0
(отрезки разложения показательной функции) имеют группой Га-
Галуа знакопеременную группу при л = 0 (mod 4) и симметрическую
группу в остальных случаях.
III. Уравнения вида '
E.3) О. (х) = *»- С.» (л + 1) Я" + С„*(л + 1) л*" +
+ ... + (-1)"(л+1)! = 0
имеют группой Галуа знакопеременную группу в случае нечетного
л, а также в том случае, если л + 1 есть полный квадрат, и сим-
симметрическую группу в остальных случаях.
Не имея возможности привести здесь доказательства этих теорем,
ограничимся разбором нескольких частных случаев.
2. Уравнения типа E.1) для случаев л = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 имеют
следующий вид:
E.4) х2 + 2^х±2 = 0,
E.5) X" + dglx2 + 6g2x ±6 = 0,
E.6) .v* + 4gipi* + 12g2x2 + 24?-3x ± 24 = 0,
E.7) л* + 5^x4 + 20?2*3 + 60gzx* + 120?4x ± 120 = 0,
( 5.8) x6 + 6glXs + 30^2x4 + 120^8x3 + 360^4x2 + 720^5x ±720 = 0
E.9) x> + 7^ + 7 ¦ 6n2x5 + 7 . 6 • 5?g** + 7.6-5. 4#4*» +
+ 7 ¦ 6 • 5 • 4 • 3g5x*+ 7lgex± 7! = 0,
E.10) л* + 8 • g^ + 8 ¦. 7gix* + 8 • 7 • 6^ + 8 . 7 • 6 • 5gix* +
+ 8 • 7 . 6 • 5 • 4g6x* + 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3g6xu +
+ S\g,x ± 8! = 0.

184 V. Уравнения с заданными группами
Уравнения E.4), E.5), E.7) и E.9) удовлетворяют условиям крите-
критерия Эйзенштейна. Чтобы убедиться в этом, положим для этих случаев
соответственно р = 2, 3, 5, 7. Вообще если в уравнении E.1) я про-
простое число, то уравнение удовлетворяет условиям критерия Эйзенштейна
при р = п.
Уравнение E.6) имеет при р = 2 следующие порядковые числа:
4р, 2 + а + Зр, 2 + р + 2р, 3 + т + р, Я,
где а >0, Р>0, т>0 (показатели степеней, в которых 2 входит в числа
Si> 8z> 5з)- Вычертив диаграмму (см. § 4.4), мы найдем для р единствен-
ное значение р= —. Отсюда на основании теоремы 94 следует, что
уравнение E.6) неприводимо.
Уравнение E.8) имеет при р = 2 следующие порядковые числа:
6р, 1 + а + 5р, 1 + р + 4р, 3 + т + Зр, 3 + 8 + 2р, 4 + е + р, 4,
где а>0, Р>0, ~(>0, 8>0, е>0. Если при этом fJ>0 (т. е. если g9
О
делится на 2), то мы получим для р значение р = -^-. Отсюда еле-
дует, что разложения разобьются на два цикла 3-го порядка. Если же
1 3
Р = 0, то мы получим для р два значения: р=— и р = — , т. е.
разложения разобьются на циклы порядков 2 и 4.
При /7 = 5 порядковые числа будут таковы:
6Р, а + 5р, 1 + Р + 4Р, 1 + т + Зр, 1 + 8 + 2р, 1 + е -f P, 1.
Здесь при а > 0 мы будем иметь р = —, а при а = 0 — рх =
= 0, ра=—. В первом случае неприводимость очевидна. Во втором
же случае она следует из того, что в силу теоремы 94 уравнение E.8),
с одной стороны, может распадаться только на неприводимые множители
1-й и 5-й степеней, а с другой стороны, в силу разложения при р = 2
но не может содержать линейных множителей. . * -
Уравнение E.10) при /7 = 2 имеет следующие порядковые числа:
8р, 3 + « + 7р, 3 + р + 6р, 4 + Т + 5р, 4 + 8 + 4р, 6 + е + Зр,
6 + ч + 2р, 7 + \ + р, 7.
Это дает нам р = —, откуда сразу следует, что уравнение непри-
неприводимо.
3. Обратимся к теореме II Шура. Если мы умножим полином Еп(х)
на л!, то получим полином
E.11) Вп{х)=хп + пх"-1 + п(п— 1)х"~2 + ... + п\х + п\ = О,
который удовлетворяет условиям теоремы I. Кроме того, беря в качестве
модулей различные простые числа, не превышающие л, мы можем убе-
убедиться, что группа Галуа ® уравнения E.11) содержит подстановки
цикленных типов, присутствие которых в Ш обнаруживает, что © содер-

§ 5. Уравнения со знакопеременной группой 185
жит знакопеременную группу. Доказательство построено на некоторых
результатах Жордана, которых мы здесь не приводим.
Чтобы решить, является ли группа © симметрической или знакопере-
знакопеременной, вычислим дискриминант D уравнения E.11). Если он является
полным квадратом, то © — знакопеременная группа; в противном слу-
случае — симметрическая.
Чтобы вычислить D, найдем зависимость между Вп(х) 'и производ-
производной Вп'(х). Исходя из легко проверяемых формул
будем иметь;
*.(*)=*••+ »?„_!(*), В'п(х) = пВп_1{х),
откуда
E.12) Вп(х) = х»+В^х).
Обозначая корни уравнения E.11) через xv x2, ..., Хп и подставляя
в E.12) х = хр получим:
B'n(x{) = ~xtn (*=1, 2, ..., п).
Дискриминант уравнения E.11) таким образом равен:
п(п -1)
= (-1) 2 ¦(-1Г(х1,ха...хп)».
Произведение хх • х2... хп равно свободному члену уравнения E.11)
со знаком (— 1)", т. е. (— 1)" • и!, откуда окончательно:
«(« -1)
E.13) Д = (-1) \ И".
Но число п\ не может быть полным квадратом, так как, согласно
так называемому „постулату Бертрана", впервые доказанному Чебыше-
вым, всегда существуют простые числа, лежащие между — и?7, а такие
простые числа входят в п\ только один раз. Поэтому- чтобы дискрими-
дискриминант D был полным квадратом, необходимо, чтобы п было четным чис-
лом. Кроме того, знак (—1) 2 должен быть положительным, а дл»
этого п должно делиться на 4.
4. Полиномы E.3) тоже имеют в качестве группы Галуа симметриче-
симметрическую или знакопеременную группу. Относительно этого можно сказать
почти то же, что и относительно полиномов E.2). Для вычисления же
их дискриминанта Dn воспользуемся следующими соотношениями, кото-
которые нетрудно проверить:
E.14) xGn' {х) = пОп(х) + я(я + 1) Оп_, (х),
E.15) 0„(ж) = (ж-2«Hп_1(ж)-«(Я-1H1,_11(ж).

186 У. Уравнения с заданными группами
Пусть xv xv ..., хп — корни полинома Gn(x). Подставляя в EЛ4)
х*= xt(i=s 1, 2, ..., л) и перемножая получаемые формулы, будем
иметь:
Пусть теперь yv уг, ..., _уи_1 будут корни полинома Оп_1(х). Под-
Подставляя в E.15)^=1^(^=1, 2, .. ., л—1) и перемножая получаемые
формулы, получим:
Кроме того, в силу формулы A.10) главы II и четности числа п[п—1)
мы имеем:
откуда •
Здесь
G^x) = х — 2, G2(x) = х2 — 6х — 6,
откуда
и мы получаем:
/?(Ои, Оп_г) = (— 1) 2 л" (л — IJ""8 (л - 2J"-5... 3» • 28.
Принимая во внимание, что Хх-х2,. ,хп = (л + 1)!, получим для D
следующее выражение:
E.16) ^ D = ( "V2
- (я + I)" • л2в (л — IJ"... 3*. 22.
Это число есть точный квадрат в двух случаях: 1) если л есть не-
нечетное число, 2) если к + 1 есть точный квадрат.
Таким образом при всяком л, кроме случая л = 4k + 2, можно по-
построить вполне определенным образом уравнения, группа Галуа которых
есть знакопеременная группа.
Упражнение 46. Доказать неприводимость уравнения E.1) для случаев
я = 9 и я = 10.
Упражнение 47. Найти дискриминанты для отрезков функций sinx и
cos ж:
у* . ,,.,.» х2"+1 х2 , , , » хп
* + + A) Л+ + A)
§ 6. „Квадрируемые луночки".
1. Еще в древности Гиппократом было обнаружено, что в некоторых
случаях площади „луночек", т. е. фигур, ограниченных двумя дугами
кругов, имеют значения, алгебраически выражаемые через входящие в их

____ § 6: Нвадрируемые луночки 7??
построение линейные элементы. В этом нетрудно убедиться: если мы обо-
обозначим через а длину общей хорды луночки, а через 2а и 2{3 — ве-
величины центральных углов, соответствующих дугам, ограничивающим
луночку, то площадь луночки выразится так:
Если теперь мы подберем аир так, чтобы первые два члена в скоб-
скобках обращались в нуль:
__? Р О
F.2) sin8 a sln*p »
то площадь будет иметь рациональное выражение через хорду а и три-
тригонометрические функции углов аир.
Ограничимся рассмотрением случаев, когда аир соизмеримы, и по-
поставим себе задачу определения всевозможных значений аир такого
рода, чтобы линейные элементы луночки (т. е. хорда и радиусы обеих
дуг), а также ее площадь, были „квадрируемы", т. е. могли бы быть
найдены при помощи построения циркулем и линейкой. Положим а.—т&,
Р=лв, где тип — взаимно-простые целые рациональные числа. Тогда
соотношение F.2) можно переписать так:
Вопрос таким образом приводится к тому, чтобы найти, при каких
значениях тип уравнение F.3), алгебраическое относительно cos в,
может быть решено при помощи извлечения квадратных корней; другими
словами, чтобы группа Галуа неприводимых множителей этого уравнения
имела порядок, равный степени двойки.
Гиппократ и Клаузен (Clausen) нашли следующие квадрируемые
значения тип:
т — 2\ т — 3; т = 3; m = 5; m = 5.
и=1; я=1; п = 2; я=1; я = 3.
Ландау (Е. Landau) и Л. Чакалов доказали, что во многих случаях
уравнение F.3) не „квадрируемо". Поставим себе задачу нахождения всех
возможных значений тип, при которых уравнение F.3) „квадри-
„квадрируемо''.
2. Ограничимся случаем, когда тип нечетные числа. Производя в
уравнении F.3) подстановку X => е2fe, получим:
F.4) (*"-1)«-?*"-''(*»-• О1 =0.
В силу четности разности т — п мы можем разложить это уравнение
в поле #A/ -) на множители следующим образом:

18*- V. Уравнения с заданными группами
Исследуем группу Галуа одного из множителей этого уравнения, на-
например
F.5) xm-i
в области рациональности к1~1/И \.
3. Предварительно исследуем, на какую степень простого числа р де-
делится биномиальный коэффициент Ст", если т делится точно на Дг-ую
степень р, s — на 1-ую степень р и если s<pk. Имеем:
п ,_т(т—lXw—2).. .(m-Q...(m —
Здесь в числителе и знаменателе подписаны друг под другом множи-
множители (за исключением множителя т в числителе и s в знаменателе), де-
делящиеся на одну и ту же степень р. В самом деле, в силу i<s<pk
число i делится на более низкую степень /?, чем т: i — с • р*, (с, р) — 1,
t<k. Поэтому число т — I делится тоже точно на р\ и таким образом Ст'
делится на ту же степень р, что и частное - чисел, стоящих в числи-
о
теле и знаменателе выражения F.6) без пары. Таким образом Ст* делится
точно на рк~1.
4. Пусть р — один из множителей числа т, и пусть т = /?* • mit
где mL взаимно-простое с р число. Разложим корни уравнения F.5) по
степеням р. Положим х = е + apf, где е и а — взаимно-простые с р
числа, и подставим в уравнение F.5). При этом будем выписывать
только „опорные" члены разложения, т. е. такие, у которых порядковые
числа при некоторых значениях р>0 могут быть меньше, чем порядко-
порядковые числа других членов. „He-опорные" члены не окажут никакого
влияния на построение многоугольника Ньютона. Рассматривая разложе-
разложение члена (е -j- apf)m, мы увидим, что в его членах Cm8em~8a"pfe при
постепенном увеличении s его порядковое число может расти благодаря
множителю pfs и убывать благодаря множителю Ст*. При этом при
1 <s<p Ст* делится в силу п. 3 на одну и ту же степень р (на k-ю),
а р?* — все на большую с ростом s. Поэтому из этих членов „опор-
„опорным" будет только член с s=«l. Точно так же из членов с /7<s</7a
множитель CJ делится по крайней мере на рк~1, и притом CJ делится
точно на рк~х, а соответствующий ему множитель pfp — на самую
низшую степень р, в силу чего из этих членов „опорным" будет только
член с s —р. И т. д. „Опорные" члены разложения F.5) будут таковы:
F.7) (/11} + Q.V-V + • • • + СтЧ т-раУ? +
с/-1

§ 6. Квадрируемые луночки 189
В этом разложении члены ет — 1 являются членами нулевого порядка.
Необходимо, чтобы их сумма делилась на р:
гт — 1 = (в"- — If" = 0 (mod/?).
Полагая ет' = 1, мы обратим члены ет — 1 в нуль. Таким образом
мы будем иметь рк разложений с начальным членом е = 1 и т—рк
разложений с иррациональными /т^-ми корнями из единицы в. качестве
начальных членов. Мы подчеркиваем- это потому, что в каждом из обоих
случаев мы получим многоугольники Ньютона различных типов. В самом
—п
деле, в первом случае член —1/- • е 2 (е" — 1) равен нулю, а во
втором в силу еи—1 =?0 (modp) он имеет порядковое число ,j.
5. Сначала рассмотрим первый случай. Порядковые числа членов раз-
разложения F.7) таковы:
F.8) k+p, k-l+pp, k-2+p*P, .... l+pk-ip, р*9, t + p.
Первый член не является „опорным". Приравнивая нулю или два со-
соседних порядковых числа, или какое-то одно из чисел F.8) с последним
числом — + р) мы получим для р следующие значения:
t
(ело) >—?=i-
Можно убедиться при помощи построения диаграммы, что этими зна-
значениями исчерпаются все возможные значения р.
6. Обратимся ко второму случаю. Здебь, кроме порядковых чисел
F.8), будет еще входить порядковое число g- (соответствующее члену
т-п
— Т/— е 2 (ем—1), а потому, рассуждая аналогично, мы получим для
р следующие значения:
F-12) ¦ р=-Л.
P
7. Пусть теперь q будет простой множитель числа я. Здесь необхо-
необходимо найти значение показателя р уже для начального члена разложе-
разложения. Подставим в уравнение F.5) у = а • q?. Тогда получим для его
членов следующие порядковые числа:
F.13) тр, 0, — 2 + ~Т~ р> 2 + ~2 " р)

190 V. Уравнения с заданными группами
где kt — показатель, с которым q входит в п. Здесь все члены необхо-
необходимо считать „опорными", так как р может принимать и отрицательные
значения. Построив диаграмму или убеждаясь непосредственной провер-
проверкой, мы придем к следующим значениям для р:
F-14) Л—^-5»
F.15) - Р2 = 0,
Цикл с первым значением р содержит —-— разложений; разложений
со вторым значением р всего я; наконец цикл с третьим значением р со-
содержит опять —^— значений.
Чтобы разложить совокупность разложений с р = 0 на циклы, най-
найдем дальнейшие члены этих разложений. При этом нам придется в точ-
точности повторить все рассуждения п. п. 4—6, так как в этом случае
порядковые числа будут иметь такую же форму. Поэтому в этом случае
мы придем к следующим значениям р: при е = 1
F.17) р =
F.18) р =
?X (9-1)'
при иррациональном же значении е:
F.19) р =
F.20)
х — Ь.
8. Пусть
F.21) f{x) = 0
будет неприводимый в поле АлТ/ —) множитель и-й степени уравне-
уравнения F.5), относительно которого мы предположим, что его корни могут
быть получены посредством извлечений квадратных корней. Тогда в силу
теоремы 77 порядок его группы Галуа должен быть степенью двойки,
а потому в силу теоремы 95 в знаменатели значений р, соответствующих
его корням, могут входить только степени двойки. Для краткости будем
называть такие значения р (а также соответствующие им циклы разло-
разложений) „благоприятными".
9. Рассмотрим прежде всего разложения по степеням р. р может
здесь иметь значения F.9 —12), из которых только значение F.10) мо-

§ 6. Квадрируемые луночки 7?7
жет быть благоприятным. Исследуем, при каких значениях рк оно действи-
действительно благоприятно. Рассмотрим следующие возможные случаи:
I) X содержит нечетный множитель t: X = t • Xj. Тогда значение р
можно представить так;
2Х — к 2Х — к
Р
. Число рх'{t ~1} + рК (< ~ 2)+ ... +/»*¦' + 1 состоит из нечетного числа
нечетных слагаемых, а потому оно нечетное. Вместе с тем при р > 3 оно
в силу рт>A + 2)""> 1 -f 2m не меньше, чем
1 + 2Xj(^— 1)+1 + 2Х1(/— 2)+ ... +l + 2Xj + l =
а потому оно не может нацело сократиться с числителем. Таким образом
этот случай неблагоприятен.
II) X не содержит нечетных множителей, т. е. равно степени двойки:
X = 2а. Тогда значение р можно представить так:
_ 21-к ?^zA
9 ~ 2(р*° 1) ~ 2(р=а-1 + 1)(р*°-2 + 1) • •• (Р2+ 1) (Р+ 1)(Р - D'
Знаменатель состоит из а + 1 множителей, которые могут содержать
и нечетные множители. Если хотя бы два из этих множителей не содер-
содержат нечетных множителей, то мы будем иметь:
причем нижний знак может иметь место только при ? = 0. Тогда рг^ -f 1
делится на /72Т± 1. Но число р2?—1 =Qp2TJ?~T—1 тоже делится на
/72ТгЬ1, а потому и их разность (р%*-\- 1) — (р2? — 1) = 2 делится на
/*2Т ± 1. Это возможно только в случае pf ±1 = 2, откуда /72Т = 2 Т 1.
Беря верхний знак, получим /7=1; беря нижний знак, будем иметь
/7 = 3, т = 0- При /7 = 3 каждый множитель выражения З2" — 1 =
= C2а-1 + 1)C2'~2 + 1) ... C2+1)C+1)C —1), за исключением
предпоследнего, делится точно на первую степень 2. Действительно,
3'^ + 1 = 92р~1 + 1 = 1 + 1 = 2 (mod 4).
Поэтому все выражение делится точно на 2а+2. Частное (З2"—1):2а+
должно, как нечетный множитель знаменателя выражения р, быть делите-
делителем числителя 2Х — k, откуда
(З2*— 1): 2а + 2<2Х — k;
но так как 2 X — k < X = 2", то
3** < 2*а+\
откуда 2' < 2а -f 2, т. е. а < 3. Но при а = 2 имеет место

192 V. Уравнения с заданными группами
так что мы имеем а<1, Х<2. Но так как k<2\, то k<3. Таким
образом возможны только случаи рк = 9 и рк — 27. В случае рк = 9
благоприятное значение р равно -=-, в случае же рк = 27, р = ——.
о 16
III) X = 1, /г = 1. Тогда р= — тт- может быть благоприятным
значением только тогда, если р имеет форму 2*+1, т.е. является
гауссовым простым числом.
10. Определим степень и неприводимого уравнения F.21). В виду
того, что благоприятные циклы имеют порядок р — 1 при k=l, 8 при
k = 2 и 8 при k = 3 (мы принимаем во внимание, что при k = 1 и при
k = 3 число 1/ ¦— области рациональности К A/ —) имеет поряд-
порядковое число -jt» а при k—2— числа области рациональности не могут
иметь дробных порядковых чисел), мы видим, что и должно делится на
рк — 1 при А = 1 и при k = 2 и на 8 при /г = 3. С другой стороны,
благоприятные циклы соответствуют значению е = 1 начального члена
разложения корней, а так как это значение имеет кратность рк, из
которых одно значение соответствует тривиальному корню х—1, то
в случае k = 1 и k = 2 имеет место
F.22) и=/7* —1.
В случае же k = 3, т. е. р* = 27, существует единственный благо-
благоприятный цикл порядка 8, а потому
F.23) и = 8.
11. Допустим, что т содержит несколько различных простых множи-
множителей: т = ркРх1 • • • Тогда в силу соотношения F.22) мы будем иметь:
откуда рк = pi' ==..., что невозможно. Точно так же если рк = 27,
то рк> = 9, т. е. р—.Рх. Таким образом мы видим, что т должно быть
степенью простого числа.
12. Рассмотрим разложения корней по степеням q, где q — простой
множитель числа п. Мы видели, что в этом случае, кроме р = —х~ * ,
к
могут быть благоприятными еще значения р = ± ¦¦¦-—, которым соот-
соответствует два цикла порядка —^—. Разберем могущие встретиться здесь
случаи:
I. т — п не есть степень двойки. Тогда единственным благоприятным
„ 2 X — k. „ k,
значением р будет служить р=—s L, и мы будем иметь: u=q '— 1,
2 (qK— 1)
откуда р — q, что невозможно. Точно также в случае рк— 27 мы полу-
получим /7 = 3. что опять ненпяможно.

§ 6. Квадрируемые луночки . 193
или
П. т — п = 2*. Тогда корни уравнения F.21) соответствуют
А) значениям р = ± , или В) как вначениям р = —^Ц—-±—, так
и вначениям р = ± In^n' '
А) В первом случае или и = т — п, или и= т~". Если р*ф27,
то или п = 1, или m—1 =—g—, что невозможно в виду л>1.ч
Если же т => 27, то или п ==т — и = 19', или п = т — 2и = 11.
Пусть п = 1. Рассмотрим сравнение
т — п
! а (хя —1) = 0 (mod 2).
Это сравнение можно в силу 1/ — = ± 1 (mod 2) представить так?
(л: а —\)(х 2 —1) = 0 (mod 2).
Если А = 1, тои=р—1, и в благоприятном случае все циклы
р+1
должны быть благоприятны. Рассмотрим множитель <р (лг) = л: * — 1. .
Он не имеет кратных по модулю 2 корней, как так производная
р-1 р-1
<f'(x)= ^~— х * =х а (mod 2) взаимно-проста с <?(х). Ив теоремы
85 следует, что всякий неприводимый по модулю 2' полином степени /
„является делителем полинома x2f—x, но не может быть делителем по-
полинома типа хг*1 — х при /г</. Если все неприводимые по модулю 2
делители' полинома <р(х) должны иметь степенями степени двойки, то
наииивший полином вида X2'—X, делящийся на <р(х), должен иметь
показатель / в форме 2*. Но полином х2'—х = х(х8'~г—1) делится
на срМ^х2^1-1—1 (еслир=2"+1, то ^±i =25-г +1) тогда
и только тогда, если 2Г— 1 делится на 2s + 1. Но 2*(S~X)— 1 делится
на 25~х+ 1, а потому /<2s — 2. С другой стороны, / не может быть
меньше 2s — 2, так как в этом случае можно положить l = b(s—1) + Л
где 8 = 0 или = 1, r<s—1. Тогда бы имело место:
2'— 1 = 2S(s-1)+r— 1 == ± 2Г— 1 (mod 2s + 1).
Но ±-2г—1, будучи меньше.по величине, чем 25~ -|-1» не может де-
делиться на 2s~x-f 1.

J94 " " V. Уравнения с заданными
Таким образом I = 2s — 2. 'В благоприятной случае должно иметь
место 7 = 2*. С другой стороны, ps+ 1 -мозКет ¦"только тогда быть про-
простым числом, если s имеет форму 2". Поэтому имеет место
2*= 2.2" —2,
откуда - г ' ¦_
f1
Это равенство может иметь место только в случае t—^ 1 = 0. Отсюда
<х=* 1, s = 2" = 2, /> = 2е -)- 1 => 5. К этому случаю следует еще присо-
присоединить случай р = 3, при котором имеет место 2s — 2 = О*, Все осталь-
остальные случаи т = р, и=1 неблагоприятны.
В случае от = 9, п = 1 мы имеем:
F.24) ?L|I
т. е. ¦
X8 + х1 + х*+ X5 + A ± 3)X* + л;8 + X2 + х +¦ 1 = 0.
Это возвратное уравнение, так что его можно преобразовать при
помощи подстановки х -|- — = z в следующее:
F.26) г4 + г8 — Зга — 2г + A±3) = 0. -
. Чтобы это уравнение решалось в квадратных радикалах, необходимо
и достаточно, чтобы его группа Галуа была делителем изученной нами
группы порядка 8, к которой принадлежит функция и = *,х, -f XjX4,
удовлетворяющая следующему уравнению (см. главу II, § 5.10):
и8 + За2 + {— 6 ^ 12) и -г-17 ? 39 = 0.
Возьмем в этом уравнении верхний знак. Тогда оно будет иметь
рациональный корень и= —4. Это обстоятельство связано с тем, что
уравнение F.25) разлагается следующим образом:
(Z2 — ег —2) (г2—еЧ—2) = 0,
где в = е 3 . Таким образом этот случай благоприятен, т. е. уравнение
F.24) при верхнем знаке решается в квадратных радикалах. Однако
этому случаю не соответствует никакой луночки, так как все корни
z = x-\— =2 cos в уравнения F.25) мнимые.
При нижнем знаке случай неблагоприятен.
В случае от = 27, п = 1$Г мы имеем:
(Х2з _ 1) (Х4 _ !) == о (mod 2).
Чтобы узнать, на какие яеприводнмые по модулю 2 множители раз-
разлагается полином л23 — 1, мы должны найти наименьший показатель/,
при котором х2 —х делится на **• —1. Для этого надо определить

'¦ x,*. *"',<.§% Щадрируемые луночки 195
. • ¦ .- *.-.-• . - ¦
наименьший показатель ./^-такогс^ода, чтобы щъяо место 2^ 1 (mod 23).
Найдем вычеты степеней числа 2 по модулю'23:
.. 2,4,8, 16,9,18,13,3,6, 12,1.
Получается /=11. Таким образом циклы разложений уравнения F.5)
по степеням числа 2 имеют в этом случае порядки 11, 11, 1, 1, 1, 1, 1.
Из имеющихся здесь благоприятных циклов нельзя составить уравнение
8-it степени.
В случае т = 27, п = 11 корни уравнения F.5) распадаются по мо-
модулю 3 на циклы порядков 9, 9,% 8, 1, а по модулю 11—на циклы по
рядков 8, 10, 8, 1. Благоприятный" случай мог бы иметь место только
тогда, если бы уравнение F.21) имело степень и = 8. Тогда его корни
по модулю-11 будут соответствовать одному из циклов порядка 8; для
этого цикла или все значения р положительны, или все отрицательны.
Но уравнение F.5) возвратно, и если например разложения корней его
множителя/(х) по степеням 11 имеют положительное значение р, то по-
полином \ж8/(—), имея для разложения своих корней по степеням 11 отри-
отрицательные значения р, будет взаимио-прост с /(*), откуда будет следо-
следовать, что уравнение F.5) имеет два множителя степени 8 с коэффици-
коэффициентами из поля Я" (у гт). Однако разложение корней но степеням
3 показываег, что это невозможно. Таким образом случай т = 27, - п = 11
тоже неблагоприятен.
В) В этом случае рассмотрим следующие подслучаи:
1) т — р, n = q. Тогда р = 2*" + 1, q = 2аР + 1, а потому 2*1 =
= 2аР + 2», откуда следует: s = 2Р, 22" = 2 • 22?, 2" = * + &, ¦ р =& 0,
а=1, р — Ь, ? = 3. Этот случай был известен Клаузену.
2) т =• 9, л = q, т — п = 2*. Тогда q = б, т. е. т = 9, п = б--. По
модулю 2 мы получим:
(*7 —1) (х2— 1) = 0 (mod 2).
Чтобы найти неприводимые по модулю 2 множители полинома хч—1,
найдем вычеты степеней 2 по модулю 7:2, 4, 1. Поэтому корни урав-
уравнения F.5) распадаются по модулю 2 на циклы порядков 3, 3,1, 1, 1.
Это противоречит тому, что и = 9 — 1=8.
3) т =*р, п = 9. 22а + 1 = 23 + 1 + 2', s = 3, а = 2, />= 17. Отсюда
т = 17, л = 9.
По модулю 2 мы получим: ..
(л:18 — 1) (х4 — l) = 0(mod 2).
Вычеты степеней 2 по модулю 13:2^ 4, 8, 3,~ 6, 12, 11, 9, 5, 10,
7, 1. Корни уравнения F 5) распадаются по модулю 2 на циклы поряд-
порядков 12, 1, 1, 1, 1, 1. Это противоречит тому, что н = 17 — 1 =16.
4) т = 27, п = q. Тогда 27 = 2' + 2»р + 1, 2' + 2*р = 26. Оюода
или 2? =з 1, или s = 1. В обоих случаях это невозможно, так как раз-
разность 27 — 1 — 2 = 24 не равна степени двойки.

196 V. Уравнения с заданными группами „
5)т=р, я = 27. Тогда 2а" + 1 = 2' + 27, 22" — 2*= 26, * = 1,
2s" = 28, что также невозможно.
Теперь рассмотрим случаи, когда п состоит из нескольких простых
чисел:
6) т о»р, n = qtiq1qz Тогда в силу п. 7 разложения по моду-
модулям q, qv q2, ...должны непременно содержать неблагоприятные циклы.
В то же время имеет место и=*р — 1, откуда следует, что уравнение
F.21) должно содержать все эти циклы. Таким образом этот случай тоже
"неблагоприятен.
7)отя=3* {k — 2 или &=3), я = ??х?а Наименьшее возмож-
чое значение для п равно 5 • 7 = 35, откуда от < п, что противоречит
нашему условию. " _
13. Если разность т — п есть нечетное число, то, подставляя в урав-
уравнение F.4) х—у*, мы получим уравнение такого же вида, в котором
т и «будут иметь вдвое большие значения. Мы приходим к той. же за-
задаче, но стою разницей,, что тип уже не будут взаимно-простыми,
а будут иметь двойку общим делителем. Читателю предоставляется иссле-
исследовать встречающиеся здесь случаи.

ДОБАВЛЕНИЕ.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ.
§ 1. О делимости чисел.
1. Целыми рациональными числами называются числа вида 0, ± 1,
i 2, ± 3,... Совершенно очевидно, что при сложении, вычитании и умно-
умножении эти числа воспроизводятся, т. е. что сумма, разность и произведе-
произведение двух целых чисел суть тоже целые числа. При делении это не имеет
места. Здесь имеет место теорема:
I. Пусть а и b заданные целые числа. Если а> Ь, то можно
подыскать такие числа q и /у для которых имеет место равенство
, а = bq + г, ч
причем 0 < г < Ь.
Чтобы найти числа q и г, мы должны разделить а на b и обозначить
частное через q, а остаток через г.
2. Если для двух чисел *) a, b имеет место a = bq (т. е. если деле-
деление выполняется без остатка), то говорят, что а делится на b или что
b является делителем числа а.
II. Если а и b делятся на с, то и их сумма (а также разность)
делится на с.
Доказательство. Если a*=cqlt b =<q2, то a±b = c (?idb?2)*
III. Если а делится "на b, то при всяком целом х число ах де-
делится на Ь. •
Доказательство. Если a = bq, то ax = b (qx).
3. IV. Из чисел, являющихся одновременно делителями двух данных
. чисел а и Ь, существует наибольшее, называемое общим наибольшим
делителем а и Ь.
Доказательство. Применим к числам а и b так называемый алго-
алгоритм Эвклида: делим большее из них а на меньшее Ь. Получим:
a = bq + rv
Далее делим b на остаток г+
*) В этой .главе мы будем иногда для краткости называть целые рациональ-
рациональные числа просто „числами", сохраняя подробный термин лишь там, ^где термин
.число" может вызвать недоразумения.

'168 . Теория чисел
Делим первый остаток на второй остаток:
ri
¦ и т. д. Так как последовательные остатки в силу I идут все время убы-
убывая, то процесс должен после конечного числа шагов оборваться, т. е.
один из остатков должен обратиться в нуль: гт __ х = rmqm. Тогда, как мы
сейчас докажем, гщ является общим наибольшим делителем числа а и .Ь.
В самом деле, из последнего равенства
а = bq + rv
b ш. rtqt + г2,
I О *"" * ем 1 Ч и 1
мы заключаем, что гт_х делится на гот; далее из предпоследнего равен-
равенства, в силу "II и III мы заключаем, что /"„,_$• делится на гт) идя та-
таким путем, мы постепенно докажем, что.гт1_2, гт_& . ••> *2» Г» /у ?, в
делятся на гст. -
Теперь докажем, что всякий общий делитель d чисел а и b ecfb
также делитель числа гт. Для этого, начиная с первого равенства, мы
убеждаемся/ что гх = а—bq делится на d; затем из второго равенства
видим, что rz — b—rtqt делится на d, и т. д.; наконец, из предпослед-
предпоследнего равенства следует, что гт делится на d.
Таким образом все общие депители чисел а и b являются делителями
числа гт, откуда следует, что гт является общим наибольшим делителем
а и Ь.
Для обозначения общего наибольшего делителя чисел а и b принят
символ (а, Ь).
4. V.- Если d есть общий наибольший делитель чисел а и Ь,
то уравнение
A.2) ax + by = d
имеет решения в целых числах.
Доказательств'о. Пользуясь предпоследним равенством A.1), можно
выразить d =rm через гт_л и гт_г:
затем выразим г^лерез гт_2 и ги_3: rn_x « rm_3-rm_2 qm^ и под-
ставим в A.3):
Продолжая процесс, выразим гт через гт3 и rm_4; rm_4 и г/в_5; и т. д.;
наконец, через b и а. Обозначая получаемые при этом коэффициенты при
а и * через х и у, мы получим решение уравнения B.1).

§1.0 делимости чисел ' 99
Пример. Решить уравнение 34* + 28 у = 2. Инеем: -
34 = 28-1+6,.
.28= 6-4 + 4, ''•
6= 4-1+2,/'
. i = 2*2.
Отсюда 2 = 6 — 4-1=6—B8 — 6-4)-1 = 6-5 —28-1 =C4 —28-1)-5 — 28-1 =
= 34-5 — 28-6. Таким образом значения
х = 5, у — — 6,
являются решением заданного уравнения.
5. Если общий "наибольший делитель двух чисел а и b есть единица,
то а и b называются взаимно-простыми числами. Для взаимно-простых
чисел a, b уравнение
имеет решения в целых числах.
Имеют место следующие теоремы:
VI. Если а-Ь делится нас, а а взаимно-просто ее, то ? делится
на с. t
Доказательство. Пусть х, у будет решение уравнения ах + су = 1.
Умножим sto равенство на b: b = ab'X + b-cy. Оба члена правой части
делятся на с, а потому в силу II и их сумма, т. е. Ь, делится на с, ч.
и т. д.
VII. Если а и b взаимно-просты с с, то и их произведение а • b
¦ взаимно-просто с с.
Доказательство. Уравнения ах + су•= 1 abu + cv—l имеют
решения в целых числах. Перемножим эти уравнения:
1 = (ах + су) {bu + cv) = ab'Xu + с (axv + byu + cyv).
Это равенство показывает, чтб уравнение abx + су = 1 имеет решения
в целых числах, т. е. что- ab и с взаимно-просты, ч. и т. д.
VIII. Если а делится на два взаимно-простые числа b и с, то
оно делится и на их произведение be.
Доказательство. Пусть a = bq, где q некоторое целое число.
По условию bq делится на с, причем b взаимно-просто с с. Тогда
из теоремы VI следует, что_# делится на с, т. е. что a = bq делится
на be, ч. и т. д.
6. Будем рассматривать также общие наибольшие делители несколь-
нескольких чисел. Пусть а, Ь, с имеют общим наибольшим делителем d, и пусть
(a, b) = dv Тогда.
4Х. d есть также общий_наибольший делитель чисел а\ и с.
Доказательство. Уравнение ах + by = dt в силу V имеет решение
в целых числах. Из делимости а и b на d следует делимость на d числа
dt = ах + by, откуда видно, что d есть делитель dt и с. Допустим, что
(dlt c) = d2>d. Тогда выйдет, что а, Ь, с Делятся на d2, что невозможно.

200 " ^^ Теория чисел
Аналогичную теорему можно доказать также для большего числа
чисел.
7. X. Если (а, Ь, с) = d, то уравнение
A.4) ax + by + cx — d
имеет решения в целых числах.
Доказательство. Пусть (а, Ь) = dv Тогда в силу IX- имеет место
(rfx, с) = d. Уравнения ах + by = d^ и dxu = cv = d имеют в силу V ре-
решения в целых числах. Подставляя из первого уравнения во второе значе-
значение dx, получим:
а-хи + b'yu + cv =S d,
т. е. уравнение A.4) действительно имеет решение в, целых числах.
Эту теорему тоже легко распространить на большее число неизвестных.
9. Простым называется' число, не имеющее делителей, кроме -самого
себя и единицы.
XI. Всякое число можно разложить на простые множители, т. е.
представить в виде произведения простых чисел.
Доказательство. Если заданное число а не простое, то оно должно
иметь делитель аг, отличный от а и от единицы. Тогда а = а^а^, где
ах < а, а2 < а. Если ах не простое число, разложим его таким же .обра-
.образом на множители, и точно так ще и а~2. Продолжая процесс с каждым
из получающихся множителей, мы будем получать все меньшие и меньшие
множители. Но так как всего существует конечное число цельк чи-
чисел, меньших данного, то этот процесс не может продолжаться безгра-
безгранично, и мы в конце концов должны будем придти к таким множителям,
которые 'далее не могут разлагаться, т. е. являются простыми числами,
ч. и т. д.
XII. Если р простое число, то всякое число а или делится
на р, или взаимно-просто ср.
Доказательство. Общий наибольший делитель чисел аир,
являясь делителем простого числа р, должен быть равен или р, или еди-
единице. В первом случае а делится на р; во втором — взаимно-просто с р.
XIII. Всякое числи разлагается на -простые множители одним
единственным образом.
'Доказательство. Докажем теорему индуктивным путем, пред-
полагая ее доказанной для чисел, меньших, чем а, и доказывая ее для а.
Пусть . • ¦
A.5) a
два разложения числа а на простые множители. Число рх или совпадает
с qx, или взаимно-просто с qx (см. XII). В последнем случае в силу VI
число <72<73 . • <7, должно делиться на/Y, тогда q2 или совпадает с ри или
взаимно-просто с pit и в последнем случае q3.-qi делится на рх. Про-
Продолжая рассуждение, мы непременно найдем среди чисел qv q2,...,qt число,
совпадающее с рг. Сокращая равенство A.5) на рх, мы приходим к двум
разложениям числа —, которые в силу нашего условия (— < а)
Pi \ Pi I

"\ - $ 2. Функция Эйлера 20T
должны быть тождественны. Поэтому и оба разложения числа а= —- • о,-
тождественны, ч. и т. д. .
XIV. Существует бесчисленное множество простых чисел.
Доказательство. Допустим, что простых чисел всего конечное *
число: pvрг,...,рк. Тогда число рх• р2.../?*+ 1 не делится ни на одно
ив существующих простых чисел pv /?2,f..., рк, а потому не может быть
разложено на простые множители, что противоречит теореме XI.
§ 2. Функция <р(п) Эйлера.
1. Обозначим через ?(и) число целых чисел, взаимно-простых с п »
не превышающих п (функция Эйлера). Тогда имеет место "
XV. Если п есть степень простого числа:п—рш, то «(я) =¦
Доказательство. Среди чисел ряда
B.1)' 1, 2, 3,..., р°-1, рю
не взаимно-простыми с рш являются числа', делящиеся на р. Выпишем-
их в порядке возрастающих величин:
р, 2/7, Зр,...,рш=рш~1-р.-
Этих чисел всего ри>~1. Вычитая их число ив общего числа рш членов
ряда B.1), мы убеждаемся, что среди членов ряда B.1) всего рш —рт~1
взаимно-простых с рш чисел. Таким образом
v 2. XVI. Если а и Ъ — взаимно-простые числа, то
(b (
Доказательство. Пусть <р(а) = k, <р(Ь) = /. Пусть
av az>—> at
будут числа, не превышающие а и взаимно-простые с а, и
числа, не превышающие b и взаимно-простые с Ь. Расположим числа от 1
до ab в таком порядке: .. ¦ .
B.2)
1.
Ь+1,
2b H
2,
Ь2,
ьа,
b -
26
3, ....
t-8, ....
ь-\
2b A
b,
-ь,
hb,
(a—l)b+l, (a—l)b+2, (а —1)й+3, ..., (a— l)b+b.
' В каждой колонне элементы отличаются кратностями bt а потому ои»
имеют с Ъ один и тог же общий наибольший делитель, который является

202 ' Теория чисел
общим наибольшим делителем числа b и верхнего элемента колонны, не
превышающего Ь. Таким образом всего будет <р (Ь) колонн, составленных
из чисел, взаимно-простых с Ь.
Найдем, сколько элементов, взаимно-простых с а, содержит каждая
колонна. Рассмотрим элементы какой-нибудь колонны:
{2.3) Ъъ Ь+Ьъ 2b+bv,.., (a-L) b+bv
Деля каждый из этих элементов на а, мы получим ряд остатков. До-
Докажем, что при этом все остатки будут различны. Если бы имело на-
например место, что ib + bx и jb -f- bx имели бы равные остатки, то их
разность, т. е. (/—j)b, делилась бы на а, и в-силу (а, Ь) = 1 и тео-
теоремы VI в разность /—j делилась бы на а. Это однако невозможно,
'так как i—j представляет собой разность положительных чисел, не
превышающих а.
Таким образом рассматриваемые остатки равны (может быть в другом
порядке) числам 0г 1, 2,..., а — 1, и каждое из чисел ряда B.3) взаимно-
просто с а тогда и только тогда, если соответствующий ему остаток
взаимно-прост с а. Но всего существуем <р(а) взаимно-простых с а
остатков 0, 1,... , а — I, откуда следует, что в каждой колонне таблицы
Х2.2) находится всего <р(а) взаимно-простых, с а чисел. Стало быть, во
веем ряду I, 2,..., ab будет всего <р(а)*?(^) чисел, взаимно-простых и с«,
и с Ь. Но вместе с тем эти и только эти-числа ряда 1, 2,..., ab взаимно-
етросты с ab, а потому
<f(ab) = <?(a
3. XVII. Если n = plWl р2а>'— Р*ш* разложение числа п на
простые множители, то
Доказательство^ Для k = 1 эта' формула справедлива в силу
теоремы XV. Докажем ее справедливость для некоторого числа п, пред-
предположив, что она справедлива для меньших значений, в частности для
п1=р1щР2Ш'..-Ph^J1 ¦ Числами /?4Ш* взаимно-просты, а потому,при-
потому,применяя теорему XVI, получим:
Но в силу нашего предположения мы имеем
?Ы=/'Г1~1Р2<и^1.--^Т1~1(Р1
а в силу XV:
1
Перемножая, получаем формулу B.4).
4. XVIII. Пусть
1, dlf d2>..., rfft_j, n
¦есть совокупность всех делителей числа п. Тогда имеет место
' <2.5)

"¦ E § 3. Теория сравнений 203
Доказательство. Проще всего доказать эту теорему, опираясь на
то, что существует всего ср(я) первообразных я-ых корней из единицы.
Каждый корень уравнения хп —1=0 является первообразным корнем
степени d, где d — некоторый делитель числа я. О другой стороны, для
каждого делителя d числа я существует ср (d) первообразных корней rf-ой
степени из единицы, являющихся вместе с тем корнями уравнения
Xя— 1 = 0. Поэтому сумма срA) + ср(rfj) + ср(dt)Ч-...+ ср[dk_,) + ср (я)
равна общему числу корней уравнения х" —1 = 0, т. е. числу я, ч.
и т. д.
§ 3. Теория сравнение.
1. Если разность двух чисел а и b делится на т, то, следуя Гауссу,
говорят, что а и b сравнимы по модулю т, и записывают это так:
a = b (mod от).
.Такого рода записи называются сравнениями. Они во многих
отношениях похожи на обыкновенные равенства. Их'можно почленно
складывать и умножать. В садом деле, если
а~Ь и c = d (mod m),
то это означает, что а — b и с—d делятся на т, а потому и их сумма
(a—rb) + (с — d) = [a-\-c)—(b + d) делится на от, т. е.
а + с = b + d (mod m). ,
Пусть а — b = km и с — d = lm. Тогда ас = (b + km) (d + lm) =
. «я bd + (Ы -f dk + klm) m, в силу чего
ac=:bd (modm).
Применяя эти правила достаточное число раз,, можно убедиться
в справедливости следующей теоремы:
XIX. Если /(*) — произвольный полином с целыми коэффициен-
коэффициентами и a = ?(modm), то/(а) =/(*) (mod/я).
2. Рассматривая сравнения, в которые входят неизвестные величины,
мы можем установить для них правила, аналогичные правилам для урав-
уравнений. — ,
XX. Если в линейном сравнении
C.1) ах=Ь (mod/и)
(а, Ь) — 1, то это сравнение всегда имеет решения.
Доказательство. Решая неопределенное уравнение аи •+• mv = 1
(см. V) и умножая на Ь, будем иметь:
а [рх) + т (Jbv) = Ь,
т. е.
a{bx) — b (mod/я).
Гаусс предложил обозначать решение сравнения C.1) при помощи
символа — (mod от). . „"

204 Теория чисел
3. Будем называть Совокупность чисел, сравнимых по модулю от,
кл-ассом сравнений по модулю от. Для каждого модуля т очевидно
существует от различных классов. В каждом классе, можно найти по
одному и только одному представителю х, который был бы подчинен
неравенствам
0<х <от.
Такие ' представители классов получили название вычетов по
модулю от.
Все классы сравнений по модулю от образуют группу от-го порядка
относительно сложения. При операциях с элементами этой группы можно
иметь дело не с целыми классами, а с вычетами каждого класса. Но при
сложении двух вычетов может уже не^получиться вычет, и тогда после
сложения надо отбросить (или придать) от суммы кратность модуля от
так, чтобы опять получился вычет. .
Если вычет' взаимно-прост с модулем от, то и все входящие в тот же
класс числа взаимно-просты с т, и обратно. Поэтому мы мо)кем говорить
о классах, взаимно-простых с модулем т. Таких классов
очевидно <р(/я) (т. е. столько же, сколько взаимно-простых с от
вычетов). Они образуют группу относительно умножения. Действительно,
единственное, в чем нужно особо убедиться, это существование обратных
элементов. Но они получаются как решения сравнения
аиен=1 (mod от),
где а — заданный вычет. При этом решения составляют единственный
класс, так как из алг=1 (mod от) и ау=\ (mod от) мы получаем
а{х—у)~0 (modт), откуда в силу VI имеем х—у = 0 -(mod/и).
Пусть а произвольное число, взаимно-простое с т. Его степени обра-
образуют циклическую подгруппу (относительно умножения) классов. Порядок
этой подгруппы равен наименьшему показателю п, дающему
C.2) ап = \ (mod от).
Вспоминая теорему Лагранжа (у нас — теорема 7), мы убедимся, что
порядок п этой циллической подгруппы есть делитель порядка <р (от)
всей группы взаимно-простых с от вычетов. Пусть у(т) = n-q. Возводя
o'je части сравнения C.2) в q-ю степень, мы в силу XIX будем иметь:
=l (mod от), \
и таким образом мы приходим к следующей теореме:
XXI. (Теорема Эйлера). Если а взаимно-простое с от число,
то имеет место сравнение
C.3) ат(м)-1 (mod от).
Беря в качестве от простое число р, так что будет иметь место
<?(&)= р — 1, мы получим:
• XXII. (Теорема Ферма). Если (а, р) = 1, то имеет место:
C.4) , а*-1^! (mod/»).

3. Теория сравнений ' 205
. Пример 1. Пусть т?= 30 = 2-3-5. Тогда ?(т)== B-—1) C — 1) E—1) = 8.
Возьмем а = 7 и станем находить вычеты степеней а:
0=7, а» =19, а8 = 19-7 = 13, 0*^13.7=1 (mod 30).
Таким образом здесь п = 4, т. е. действительйо п есть-делитель числа <р(т) = 8.
, П р и м е р 2. Пусть р = 19, а = 2. Тогда <р(р) = 18. Ставем ваходить вычеты
степеней а = 2 по модулю 19:
о=2, о» = 4, а'^.8, а«=1б, а» =.13, о» = 7, о'—14, о8 = 9, 0*^18,
alu = 17, oll=15, au=-ll, a^zSZ, o14 = 6,
o18 =12, a1» ^5, o"= 10, a18= 1 (mod 19).
Здесь мы получаем п=<р(р). Здесь степени числа 2 пробегают всё классы
сравнений по модулю 19, так что группа классов сравнений по модулю 19 отвоси-
тельно умвожения есть циклическая группа. Число о, степеви которого воспро-
воспроизводят все классы взаимно-простых с модулем классов сравневий, восит название
лервообразвого корвя.
лМожно формулировать теорему Ферма еще так: "*
XXIII. Сравнение
х» —1.=Ю
имеет р—1 корней 1, 2, Ъ,...,р — 1.
Здесь степень сравнения равна числукорней. В связи с этим отметим
следующую общую теорему:
XXIV. Если f(x) полином степени п и р — простое число, то
сравнение -^ '
C.5) f(x) = 0 (mod/?)
имеет не более п различных классов корней.
Доказательство. "Если а есть корень сравнения C.5), то, деля
f(x) на {х — а), мы получим:
где R не зависит от х Подставляя х — а, мы в силу /(а) = 0 (mod p)
будем иметь: R=0 (mod p), откуда
f(x)={x-a)Q{x) (mod/>).
Допустим, что сравнение C.5) имеет более чем п несравнимых между
собою корней, и пусть
будут корни этого сравнения. В силу только что доказанного мы имеем
тождественное сравнение
f(x) =(х — а,) (х — аа)...(х — йп) (mod p).
* Подставляя x—anV получим в левой части величину, делящуюся
на р, а в правой—произведение п величин а. 1—а( (г=1, 2,...,«),.
ни одна из которых не делится на р. Это противоречит теореме VII.

206 " Теория чисел
Если модуль не есть простое число, то теорема может уже не иметь
места. Возьмем следующий простой пример: сравнение
*г — 3jc:=0 (mod 9)
имеет 3 корня 0, 3, 6. .
§ 4. Первообразные корни. ...
1. Рассмотрим сравнение
D.1) - х*(т) —1 = 0 (mod от).
Для каждого из его ср(/п) взаимно-простых с от корней а (точнее
выражаясь, классов корней, так как мы не будем считать различными
корней, лежащих в одном и том же классе, т. е. сравнимых между собою
по модулю от) существует наименьший показатель и, для которого имеет
место ¦
D.2) а" —1=0 (mod от). -
Будем в этом случае говорить, что число а принадлежит к по-
.казателю я. Таким образом показатель п есть порядок элемента а
группы взаимно-простых с от классов относительно умножения. Теорема XXI
утверждает, что п является всегда делителем числа ср(от). •
Если группа взаимно-простых с модулем классов относительно умно-
умножения есть циклическая rpyrfha, то всегда найдутся элементы,'принад-
элементы,'принадлежащие к показателю <р(от), и обратно. Эти элементы носят название
первообразных корней сравнения D.1) (или просто первообраз-
первообразных корней числа от). Исследуем, для каких типов модулей от существуют
первообразные корни.
2. Рассмотрим сначала случай т = р, где р простоеччисло. Докажем,
что в этом случае первообразные корни всегда существуют. Для этого
предварительно докажем следующую теорему:
XXV. Если а принадлежит к показателю и, то к тому же показа-
показателю будет принадлежать число аь, где А — число, взаимно-простое
с п. Этими <р(л) числами исчерпываются все числа, принадлежащие
к показателю п.
Доказательство. 1°. Допустим, что число а*, где (А, л)=1,"
принадлежит не к показателю п. Так как оно тоже удовлетворяет срав-
сравнению v
D.3) * хп —1-0 (mod p),
то вопрос заключается только в том, не удовлетворяет ли оно также
сравнению
где HJ < п. Допустив, что это имеет место, мы получаем
D.4) atai — 1 = 0 (mod р).

4. Первообразные корни - ' ^ &У7
Решая в целых числах уравнение • #¦ '
ku -f- nv = 1,
мы получим ¦
а% = а«, (ftu+n») = (а^)и (a*)' (mod p).
Но в силу D.3) и D.4) оба выражения в скобках сравнимы с еди-
единицей, и мы приходим к сравнению
ani = l (mod p)
при пх < я, которое противоречит нашему условию относительно а.
2°. Пусть теперь k не взаимно-просто с п, т. е. пусть (ft, я)= d>_U
Тогда а* удовлетворяет сравнению
хл—1=0 (mod p).
. Действительно, пусть k = kx d. Тогда -
(й*)^/ '" = (а")"> == 1 (mod p).
Сравнение х" —1=0 (mod p) не может иметь более п корней
(см. XXIV). Числа .
1, а, а» а»-1
все несравнимы между собой (иначе а принадлежало бы к более низкому
показателю) и потому исчерпывают собой все корни сравнения D.3).
Следовательно, всякое число, не сравнимое со степенью, числа а по
модулю р, не может быть корнем сравнения D.3) и потому не может
принадлежать к показателю и, ч. и т. д.
Таким образом мы видим, что если существует хотя бы одни вычет,
принадлежащий к показателю п, то их число равно <р (л). Обозначая
через ^ (я) число принадлежащих к показателю п вычетов, мы будем
иметь:
. D,5) , 6 (я) = <р (я) или <|* (и) = 0.
С другой стороны, каждый из р— 1 корней 1, 2, 3,..., р — 1 срав-
сравнения
х»— 1==Q (mod p)
принадлежит к какому-нибудь показателю, являющемуся делителей
числа р— 1. Поэтому, обозначив через^.
1, du dv..., dk_v p — 1
все делители числа р — 1, мы будем иметь -—
D.6)
Вместе с тем в XVIII было доказано, что
D.7)

209 Теория чисел
Вычитая почленно из»D.7) D.6), получим
+ [<p«*_i)—ФК_,)] + [ср(р—1) —фо—1)] = 0.
* Здесь каждое выражение в квадратных скобках в силу D.5) не может
быть отрицательным; но так как сумма этих выражений равна нулю, то
они не могут быть и положительными, а потому
<К4) = ?(<*.) - (/ = 1, 2,... А),
и в частности
т. е. •
XXVI. Сравнение
D.8) . х"-1—1=0 (mod p)
имеет ровно <?(р—1) первообразных корней.
Следствие. Существуют такие числа а, что степени
1, а, а2,..., ар 2 исчерпывают все взаимно-простые с р классы
сравнений по модулю р.
3. Перейдем к случаю, когда т=рч,.где р нечетное простое число.
Пусть а будет первообразный корень сравнения D.8). Исследуем, при
каких условиях он будет также первообразным корнем сравнения
<4.9) , xpV~1(J>-1)—1 = 0 (mod/). ,
Пусть ар~1 = 1 + kp. Тогда если k не делится на р, то ар~1 Ф 1
(mod ръ), а потому показатель, к которому принадлежит а по модулю р*,
не равен р — 1. Но, с другой стороны, он делится на р — 1, а потому он
равен точно <?(рг)=р(р—1), т. е. а является первообразным корнем
по модулю р%.
Чтобы выяснить дело при v,= 3, возведем а в р(р — 1)-ю степень.
Получим:
в'(*-ц =(i + kPy = 1 + Р. kP
+ kFff— 1 + kp* (mod p*),
где k не делится на р. Поэтому показатель, к которому принадлежит а
по модулю р3, не является делителем числа р(р—1),- а потому, делясь
на р—1, должен совпасть с рг{р—1) = <р(р8).
Продолжая рассуждение для более высоких значений v, приходим
к теореме: '
XXVII. Для того, чтобы первообразный корень сравнения D.8)
был также первообразным корнем сравнения D.9), необходимо и до-
а?-1 — \
статочно, чтобы целое число А = не делилось на р.
Пользуясь этим, докажем существование первообразных корней срав-
сравнения D.9). Для этого рассмотрим какой-нибудь первообразный корень

4. Первообразные корни . 209
сравнения D.8). К этому же классу по модулю р будут относиться все
числа
которые по модулю р1 будут лежать в различных классах. Составим для
„р—1 .
какого-нибудь из них выражение — ;
(mod
Будем подбирать s из ряда 0, 1,..., р1 ~х — 1 так, чтобы число
k + (p — 1)ар~г-$ не делилось на р. Если бы мы выбирали s из ряда
О, 1,..>, р — 1, то очевидно должны были бы взять все числа, кроме
одного, являющегося корнем сравнения
k + (p— 1)в*-г..*=0 (mod p),
т. е. р—1 чисел. Прибавляя к каждому" такому числу кратности р, т, е.
t'P, где /«= 0,1, 2,...,рч~3— 1, мы получим все вычеты по мо-
модулю р1 ~ \ удовлетворяющие нашему требованию. Таким образом каждому
первообразному корню сравнения D.8) соответствует (р—l)/>v~a=-
— ?0?Vl) корней сравнения D.9). Следовательно,
XXVIII. Сравнение
D.10) хч(рЧ) -1 = 0 (mod p")
имеет всего <p(?(PV)) — <?(P~ 1L (р1'1) первообразных корней.
4. И в случае m = 2р, где р нечетное простое число, сравнение
D.11) xT(RpV) — 1 =0 (mod 2p")
имеет первообразные корни. Действительно, ср Bjpv) = «pB)«p(/»v)=
= cp(pv)> и таким образом всякий взаимно-простой с модулем 2р* первооб-
первообразный корень по модулю рч наверное является первообразным корнем
по модулю 2р\ так что единственным дополнительным требованием
является нечетность корня а. Но каждому вычету а по модулю р* соот-
соответствуют два вычета по модулю 2рч: а»а + рч. Из них один четный,
а другой нечетный. Нечетные и составляют совокупность всех перво-
первообразных корней по модулю 2рч, числом <p<f(/>v) = <p<pB/>v).
5. Рассмотрим случай m == 2\ Каждое нечетное число можно пред-
представить в форме
а потому
l* + k*-'2*=\ (mod 2s),

27в Теория чисел
и точно так же ' • ¦
а*2=1 (mod 2*), а2® = 1 (mod 2«),..., а8" — 1 (mod 2V).
Но так как (pBv) = 2v~1B—1) = 2V~1, то отсюда следует, что
сравнение
D.12) х*1-1^! (mod 2Ч)
при v>3 не имеет первообразных корней. г
Число 5 является для этого сравнения полупервообразным
корнем, т. е. принадлежит к показателю 2'~'. В самом деле,
б*х = A + 22)*х = 1 + 2х-22 + 2 ^ ~У 2-f . .. = 1+2X~! (mod2x+3)
Положим X + 3 = v. Тогда
б^~8=1 + 2V-1 (mod 2'),
откуда следует, что б принадлежит по модулю 2V к показателю рч~2.
Таким образом все вычеты по модулю 2Ч можно представить так:
. ^ . 1, 5,5<...,52V~2-1,
I
v — 3 п
6. В случае от = 4 мы имеем <рD) = 2, и 3 есть .первообразный
корень сравнения
D.13) х* — 1 shO (mod 4). .
7. Если от содержит хотя бы два различных простых числа и если
одно из них (в случае двух чисел) есть 2, но содержится вот по"
крайней мере во второй степени, то модуль т не имеет первообразных
корней. Действительно, пусть
где 'plt pit..., ph — различные нечетные простые числа. Для каждого
числа, взаимно-простого с т, имеют место сравнения
2Ш)
а^Ш)=1 (mod 2Ш), e^ ^
поэтому если М есть общее наименьшее кратное чисел <рBш),
<рО»аш') Ч (Рк°к), то имеет место сравнение
ИГ
а = 1 (mod от).
Но при соблюдении наших условий среди чисел уС^*), yiPx),
9(Pi°'\•••> ч(Рк°*) найдутся по крайней мере два четных [<рBш) =
= 2и>~~1 при о»>2 и <f(p{Wi)=Pi<°i~1(pi—1) при всяком»,], а потому
их общее наименьшее кратное М меньше произведения
f BШ) ?(ft-^ ср^ш'). • .?(РЛ) = 9 B"»Л •. А*') - ТИ.

g 5. Уравнение Пифагора '4U
а потому а (и значит вообще никакое число) не может быть первооб-
первообразным корнем сравнения '_.'•'
D.14) лгт("° = 1 (mod от),
и мы пр_иходим к теореме:
XXIX. Число т «меет первообразные корни в следующих и
только в следующих случаях:
1°. от = р") где р нечетное простое число, .
2°. т•= 2pv, где р нечетное простое число,
.3°. т -. 4.
В этих случаях число первообразных корней равно
<р<р(от).
§ 5. Уравнение Пифагора. .
1. Уравнением Пифагора называется уравнение
E.1)
в котором неизвестные выражают собой длины катетов и гипотенузы
прямоугольного треугольника. Чтобы получить самое общее выражение,
для неизвестных, дающее все возможные рациональные решения урав-
уравнения E.1), перепишем уравнение E.1) так:
x V
Отсюда следует, что частные -j и -j можно следующим образом
выразить через параметр: »
— = cos а, — = sin а.
Z Z
Но величины cos а и sin а могут быть рационально выражены через
*ётг> а tg4 в свою очередь рационально выражается через cos а и
sin а:
__.. а _ 1 — cos а _ z — х
u-tgT~ sine Т~'
1-tg'f JHgf
cosa = —-^ , sina== —,
откуда
x 1—ы' у __ 2ц
2 "~ 1 + U* » 2 ~~ 1 + Ма "
Отсюда, вводя коэффициент пропорциональности v, мы приходим
к самым общим параметрическим выражениям для х, у, г:
E.2) * = A— u*)v, y =

t12 Теория чисел
¦2. Поставим себе задачей найти самые общие выражения для решения
уравнения E.1) такого рода, что, подставляя вместо параметров целые
значения, мы исчерпаем все решения уравнения E.1) в целых числах.
Если целые числа х,у, г, удовлетворяющие уравнению E.1), содержат
общий множитель, то, сокращая на него все три числа, мы опять получим
целые числа, удовлетворяющие уравнению E.1). Поэтому мы можем
сразу предположить, что общий множитель сокращен, так что л:, у, z
не имеют общих множителей: (х, у, г) = 1.
Докажем, что одно из чисел х, у должно быть четным. В самом
деле, нечетное число можно всегда представить в виде. 4&±'1, а потому
его квадрат
Dk ± 1)а = 16fta ± 8k + 1 = 1 (mod 8).
Если бы х и у были нечетными числами, то х* + у* должно бы быть
сравнимо с 2 по модулю 8, т. е. делиться точно на первую степень 2,
что невозможно, так как хг + уг = г*.
Пусть х будет четным числом. Тогда у и z должны быть нечетными
числами. Перепишем уравнение E.1) так:
E.3) ' x* = (z+y)(z — у).
Числа z -\-у и z—у (оба четные числа) могут содержать в качестве
общего делителя только 2, так как в противном случае числа
x=Y-(z+y)(z-y) ,y=±
t-
тоже содержали бы общий множитель, чего мы не предполагаем. Числа
2 -f. у z V
¦' ' и ——?- взаимно-просты и дают в произведении точный квадрат,
а потому каждый простой множитель каждого из этих чисел должен
входить в четной степени. Это означает, что —1>— и 2~/ являются
точными квадратами:
v\
-2--"' 2 -<*
откуда
у = и2 V*, Z = И2 + V*.
Подставляя в (б.З), будем иметь:
х = 2uv.
Итак, искомые параметрические выражения таковы:
E.4) х = 2uv, ,у = иг — г»2, г = мг + v*-
Если же мы отбросим требование, чтобы имело место (х, у, г) = 1,
то параметрические выражения для решения уравнения E.1) представятся
так:
(б.б) х * 2uvw, у = (и2 — v2) w, z = (и2 + г>2) w.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ
Стр.
Теорема 1 17
2 17
3 17
4 18
5 20
в 21
7 21
» 8 23
в 23
Ю 24
U 26
12 26
13 27
U 27
15 2»
» 16 30
17 31
18 31
Ю 31
20 • 32
21 38
22 33
, 23 37
24 37
„ 25 38
26 39
27 40
28 41
29 41
„ 30 42
31 44
32 45
33 46
34 47
35 47
36 48
37 51
38 56
39 56
40 57
41 61
42 66
43 68
44 60
45 71
Стр.
Теорема 4в 73
47 73
48 74
49 74
50 78
51 81
52 ,82
53 82
54 83
55 88
56 . . . ., 88
57 8»
58 •• 89
59 91
60 91
61 9в
62 97
63 97
64 10в
65 106
«6 107
67 109
68 120
69 121
70 131
71 134
72 134
73 136
74 146
75 147
76 148
77 149
78 149
79 154
80 . 155
81 15в
82 157
83 158
84 . 158
85 • 159
86 160
87 162
88 .165
89 166
90 167
Чебатарев.

Теорема 91 . 1в7 Теорема XIII 200
„ 92 167 , XIV . .201
„ 93 174 . XVI -201
94 182 , XV 201
95 182 „ XVII 20а
I 197 „ XVIII 202
II. . . 197 „ XIX 203
III 197 „ XX 20S
IV 197 „ XXI 204
V 198 , XXII 204'
VI 199 , ХХШ 205 '
VII 199 . XXIV 205
VIII ........ 199 „ XXV 206
„ IX 199 „ XXVI 208
X 200 , XXVII 208
XI 200 , XXVIII 209
XII 200 „ XXIX 211

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ.
Из курсов высшей аагебры, которые содержат теорию Галуа, назовем сле-
следующие:
0. В а щ е н к о-З а х а р ч е н к о, М. Е., Высшая алгебра. Киев—Спб. 1890.
1. Граве, Д. А., Основы высшей алгебры. Киев 19U.
2. К э д ж о р и, Введение в современную теорию уравнений (стеклограф-
перевод). Казань 1928.
3. С у ш к е в и ч, А. К., Основы высшей аагебры. Москва—Ленинград 1931.
4. Jordan, С, Traite des substitutions et des equations algebriques. Paris 1870.
5. Weber, H., Lehrbuch der Algebra. Braunschweig. Bd. Г A912},Bd.2A899),
Bd. 3 A908).
6. N e 11 o, E. Vorlesungen fiber Algebra. Bd. 1. Lpz. 1896. Bd. 2. Lpz. 1900". ,
7. Van der Waerden, B. L., Moderne Algebra. .Grundlehren' XXXIII—
XXXIV. Bd. 1 — Berlin 1930. Bd. 2 - Berlin 1931.
Кроме того, укаже \i на две монографин по теории Галуа:
8. Ш ату новск-и й, С. О., Алгебра, как учение о сравнениях но функ-
функциональным модулям. Одесса 1917 (?).
9. Чайковсысий,М.Метацикл1чшр!внаняiixгрупн. Львов 1010.
Перейдем, теперь к специальной литературе (монографической н журналь-
журнальной), посвященной вопросам, затрагиваемым в отдельных глафх и параграфах
нашей книги.
Исторический очерк.
2. Lagrange. Reflexions sur la resolution algebrique des equations. Mem. de
l'Acad. Berlin, 1770—1.
Abel, N. H., Memoire sur les equations algebriques, ou Ton demontre... Christ.
1824. -
Abel, N. «., Demonstration de Pimpossibilite de la resolution... Crelle 1 A826).
Обе статьи помешены в „Oeuvres completes de N. H. Abel, Christ. 1881, т. 1.
Burkhardt, H., Anfange der Gruppentheorie und Paolo Rufflni. Zeitsch.
f. Math. u. Phys. 37 A892).
Pier point, J; Early History of Galois, Theory of Equations. Bull. Amer.Math.
Soc. 1 A895).
Pierpoint, J. Lagrange's Place in the Theory of Substitutions. Bujl. Amer.
f. Math. Soc. 4 A898).
4. G a 1 о i s, E., Oeuvre.s mathematiques. Paris 1897.
Dupuy, P., La vie d'Evariste Galois. Ann. de l'Ec. Norm. Sup. C) 13 A896).
tKronecker, L, Monatsber. Berl. Akad. 1853.
Weber, H., Lehrbuch der Algebra. Bd. 2, стр. 762—821.
Чеботарев, H.. Доказательство т-'оре.-ы Kronecker'a-Weber'a относительно
абелевых областей. Мат. Сб. 31 A923).
Fueter, R., Abelsche Gleichungen in quadratisch-imaginaren ZahlkoTpern. Math.
Ann. 75 A914).
T.akagi, Т., Ueber eine Theorie des relativ-Abelschen ZahlkOrpers. Joum. of
Coll. Sc. Tokyo Imp. Univ., 41 A920).
Dedekind, R., Zur Theorie der Ideale. Gott. Nachr. 1894.
Frobenius, G., Ueber Beziehungen zwischen den Primidealen eines.. Sitzber.
Berl. Akad. 1896.

214 Литература
Hurwitz, A., Gassmann, Fr,, Ueber Beziehungen zwischen den Prlmidea-
Ien... Math Zeltschr. 25 A926). '
9. Hilbert, D., „Zahlbericht". Jahresber. D. M. V. 4 A897).
H e n s e 1, K., Theorie der algebraischen Zahlen. Lpz. 1908.
10. Теорема неприводимости:
H i 1 b e г t, D., Crelle 110 A892).
Построение уравнений с заданными группами:
Bauer, M., Zur allgemeinen Theorie der algebraischen GrOssen. Crelle 132
A907). ..
Bauer, №, Ueber Glelchungen ohne Affekt. Crelle 132 A907).
Bauer, M., Qanzzahlige Gleichungen ohne Affekt. Math. Ann. 64.A907).
Bauer, M., Ganzzahlige Gleichungen ohne Affekt. Math. Zeitschr. 16 A923).
No ether, E., Gleichungen mk vorgeschriebener Gruppe. Math. Ann. 78A917).
Проблема рационального базиса:
Lflroth, P., Beweis eines Satzes flber rationale Curven. Math. Ann. 9 A876).
Net to, E., Ueber einen Lflroth-Gordan'schen Satz. Math. Ann. 46 A895).
Castelnuovo, G., Snlla razlonallta delle involuzlonl plani. Math. Ann. 44
A894).
Fano, G.. Sopra alcune variety algebriche a tre dimensioni... Attl Ace. Torino
43 A908).
Enriques, F., Sopra una involuzlone non razionale dello spazio. Rendic. Line
21 A912).
Furtwangler, Ph., Ueber Mlnimalbasen filr Korper rationaler Funktionen.
Sitzber. Wiener Akad. 134 A925).
Breue.r, S., Metazyklische Minimalbasis und komplexe Primzahlen, Crelle 156
A927).
11. Bring, E. S., Meletamata quaedam mathematica circa... Dlss. Upsala 1786.
S yl vester, F. J., On the so-called Tschirnhausen-Transformation. Crelle 100
A886). . •
Klein, F., Gesammelte mathematische Abhandlungen. Bd. 2, стр. 255—504.
НИ be'rt, D., Ueber die Gleichung neunten Grades, Math. Ann. 97 A026).
W i m a n, A., Ueber die Anwendung der Tschimhausentransformation. Nova Acta
Uppsala A927).
Tchebotartiw, N.. Ueber eln algebraisrhes Problem von Herra Hilbert. Math.
Ann. I, 104; JI, 105 A931). -
Вообще подробно о современных проблемах теории Галуа см. Tchebo-
t а г б w, Ns Die Probleme der moderhen Galoischen Theorie. Доклад на Цюрих-
'ском Международном Съезде, 1932 (в печати), где также приведен подробный ли-
литературный указатель. Cv. также Чеботарев, Н., Алгебра. Сборник „Матема-
„Математика за XV лет". Москва itK2.
Глава I. Группы.
Общие руководства пэ теории групп:
Jordan, С, Traite des substitutions.
Шмидт, О. Ю., Абстрактная теория групп. Киев 1914.
S р е i s e'r, A., Die Theorie der Gruppen von endllcher Ordnung. „Grundlehren"
V. Berlin 1923.
W e b e r, H., Lehrbuch der Algebra. Bd. 2.
§ 6. Абелевы группы.
Подробно об абелевых группах см.: С hate lot, A., Les groupes abeliens finis...
Paris-Lille 1925.
. § 7. Разрешимые группы.
Кроме цитированной книги Jordan'a и \ом графииЧаРковско о, см.Шмидт
О. Ю., Разреши«ые группы, степень ьоторых есть степень простого числа. Киев-
Киевские Уиив. Изв. 1913.
Глава II. Группа Га л у а.
§ 1. Исходные факты.
для более подробного ознакомления с затронутыми здесь вопросами можно
рекомендовать любой „большо*." курсвысшей алгебры (напр, один из отличен-
отличенных в начале указателя). Я настойчи°о рекомендую читателям повторить по по-

Литература - -т 215
•Дробным учебникам рассматриваемые здесь вопросы, в особенности практику вы-
вычисления симметрических функций, на которую я не имел возможности уделить
много внимания, о
§ 2. Приводимые и неприводимые полиномы.
Критерий Эйзенштейна был неоднократно обобщаем. Наиболее общий кри-
критерий неприводимости, исходящий из того же принципа, что и критерий Эйзен-
Эйзенштейна был предложен О г е, О. Zur Theorie <Jer Irreduzibilitutskriterien. Math.
Zeitschr. 18 A923).
В этой статье приведена также литература по этому вопросу.
§ 3. Понятие поля: Типы полей. Основные свойства полей алгебраических
чисел.
По общей теории полей см. Steinitz, E., Algebraische Theorie der Кбгрег.
Crelle 137 A910). Эта статья недавно переиздана отдельной книгой, Leipzig и
Berlin 1930, с приложением статьи Ваег'а R. и Hasse, И, Abriss der Galois-
schen Theorie.
В последнее время изучаются совокупности более общей структуры, чем
поля. Именно, из приведенных нами аксиом отбрасываются свойство коммутатив-
; ности умножения (аксиома I), а также аксиома Ш об отсутствии „делителей
.нуля*. Такого рода совокупности носят название .алгебр" или „систем гипер-
гиперкомплексных чисел". О них см. Dickson, L. E., Algebren und ihre Zahlentoeorie
(нем. перевод со статьей Speiser'a). Zurich и Leipzig 1927.
Van der Waerden В. L., Moderne Algebra. Bd. 2.
По теории алгебраических чисел самым полным (правда, несколько устарев-
устаревшим) руководством является Bach ma nn, P., Zahlentheorie. Т. 5. Alfgemeine
Arithmetik -der Zahlenkurper. Lpz. 1905. См. также цитированные книги Hilbert'a и
• Weber'a \Ы. 2).
§ 4. Соотношения между корнями. Группа Галуа. Составление основных
^модулей. . .
Изложенное здесь обоснование теории Галуа встречается у следующих ав-
авторов:
Merteris, P., Ein Beweis des Galois'schen Fundamentalsatzes. Sitzber. Wiener
Akad. Ill A0Q2).
: Шат. уновский, CO., Алгебра, как учение о сравнениях по функцио-
функциональным модулям. Одесса 1917 (?).
Loewy, A-, Neue eleraentare Begrflndung und Erweiterung der Gajoisschen
,;i; Theorie. Sitzber. Heidelb. Akad. I, 1925; 0, 1927.
% ' .
Глава HI. Разрешимые уравнения.
§ 2. Уравнения деления круга.
Подробно изложены в книге: Bachmann, P., Die Lehre von der Kreisthei-
lung. Lpz. 1872.
.. § 3. Разрешимые группы и разрешимые уравнения.
Weber, H., Lehrbuch der Algebra. Bd. 1, стр. 658—703. Рассуждения Weber'a
относительно неразрешимости уравнения x*-j-5x-|- 5/ = 0 в радикалах недоста-
недостаточны, и их пришлось дополнить.. v '
Граве, Д., Основы высшей алгебры (стр."^82—691). Полностью выведено
условие разрешимости общего ураввения 5-й степени а радикалах, впервые по-
полученное Cayley.
Глава IV. Некоторые приложения теории Галуа.
§ 1. Родственность полей. Разложение уравнений после присоединения.
Bauer, M., Ueber einen Takagischen Satz. Crelle 163 A930).
L a n d s b e r g, G., Ueber Reduktion von Gleichungen durch Adjunktion. Crelle
182 A907).
§ 2. Задача, обратная задаче Чирнгаузена.
f Делоне, Б., Решение задачи эквивалентности и табуляризация кубических
;.: двойничных форм отрицательного определителя. Журн. Лен. Ф. М. Об-ва 1 A926).
%:: Ч е бот а рев, Н., Задача, обратная задаче Tschimhausen 'а Вестн. Чист, и
^гПрнкл. Знания, т. I, вып. 2. Одесса 1922.
' ' О композиции абелевых полей см. Кг one eke r, L, Die Composition Abel-
scher Gleichungen. Sitzber. Berl. Akad. 1882.

216 Литература
Приложение композиции абелевых полей к доказательству теоремы Кго-
necker a—Weber'a: Всякое абелево уравнение ,есть уравнение деления круга, см.
Чеботарев, Л, Доказательство теоремы Кгопескег'аЛУеШг'а... Мат. Сб. 81
A923).
§ 3. Построения при помощи циркуля и линейки.
-Адлер. Теория геометрических построений. Одесса 1910.
Шату н овский, С. О., Об измерении прямолинейных отрезков и построе-
построении их при помощи циркуля и линейки. Одесса 1925.
О построении правильного 17-угольника:
Граве, Д. А., Основы высшей алгебры, стр. 633—637.
-Serret, J. A., Cours d'algebre supeiieure, т. 2, стр. 565—573.
Гл ава V. Уравнени я с наперед за данными "группами.
§ 1. Конечные поля.
Подробное изложение имеется у:
Serret, J.-A., Cours d'algebre superleure, т. 2, стр. 122—211.
D i с k s о n, L. E., Linear groups. Lpz. 1901.
§ 2. Группы сравнений по простым модулям.
Schur, J., Beispiele far Gleichungen ohne Affekt. Jahresber. DMV. 29 A920).
Чеботарев, ft., К задаче нахождения алгебраических уравнений с наперед
заданной группой. Изв. Каз. Ф. М. Об-ва C) 1 A926).
S 3. Построение уравнений с заданными группами.
Основная литература уже указана к отделу „Исторический очерк", № 10.
Кроме того, очень интересен способ построения, изложенный в статье: -
Perron, О., Ueber Gleichungen ohne Affekt. Sitzber. Heidelb. Akad. 1923.
§ 4. Разложение корней по степеням простых чисел.
Теория р-адических чисел изложена в книге:
Н е n s е 1, К-, Theorie der algebraischen Zahlen. Lpz. 1008.
Многоугольник Ньютона в применении к алгебраическим функциям изложен
в книге:
Н е п s е 1, К.,—L a n d s b e r g, Q., Theorie der aigebraischen Funktionen einer
Varlablen und ihre Anwendung auf algebraische Kurven und Abelsche Integrate.
Lpz. 1902.
Приложение ньютоновых многоугольников к определению группы уравнения:
Bauer, M., Обе цитированные статьи в Crelle 132.
Подробное исследование разложения алгебраических чисел в р-адические
ряды см. Ore, О., Newtonsche Polygone in der Theorie ¦ der algebraischen Zahl-
kOrper. Math. Ann. 99 A928).
§ 5. Уравнения со знакопеременной группой.
Способ (не эффективный) нахождения уравнений со знакопеременной груп-
группой был дан в цитированной статье:
Hilbert, D., Crelle ПО.
Статьи Schur"a:
Einige Satze fiber Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitatsfragen. Sitzber.
Berl. Akad. 1929. I (IX); II (XXIII).
Qleichungen ohne Affekt. Sitzber. Berl. Akad. 1930 (XXVI).
Affektlose Gleichungen in der Theorie der Laguerreschen und Hermiteschen Po-
lynome. Crelle 165 A931).
§ 6. .Квадрируемые луночки'.
Clausen. Vier neue mondfOrmige Flachen, deren Jnhalt... Crelle 21 A840).
Landau, E., Ueber quadrierbare Kreisbogenzweiecke. Sitzber. Berl. Math.Ges.
2 A903;.
Tschakaloff, L, Btftrag zum Problem der quadrierbaren Kreisbogenzweieche.
Math. Zeitschr. 30 A929).
Tschakaloff, L., Anwendung der Theorie der algebraischen Zahlen und
Ideale... Comptes Rendus du Premier Congres des Math, des Pays Slaves. War-
szawa 1930.
Настоящее изложение заимствовано из статьи: •
TsftiebotarOw, N., Ueber quadrierbare Kreisbogenzweiecke (готовится к
печати).

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Здесь указаны страницы книги, на которых приводимые термины упомянуты
или разъяснены. В терминах нз нескольких слов сохранена та последовательность
слов, в которой термины обычно употребляются. Например, помещено .первообраз-
.первообразный корень', а не .корень, первообразный".
А
Абелева группа 16
Автоморфизм поля 86
Алгебраическая единица 76
Алгебраическое число 70
Алгоритм понижения 130
Алгоритм Эвклида:
для полиномов . . 58
для чисел .... 197
Аналитическое представление под-
подстановок 48
Ассоциативный закон * 15
В
Величина, принадлежащая к группе 87
Вещественные радикалы .... 131
Взаимно-простые группы .... 37
Взаимно-простые поля 02
Взаимно-простые числа 100
Вычет 204
Г
Гамильтонова группа 36
Гауссов период 114
Гауссово простое число 140
Гомоморфизм 35
Группа 15
Группа Галуа 78
Группа кватернионов 38
Группа моиодромии 10
Группа преобразований 1в
Д
Двучленные уравнения . ..... 100
Делитель группы 20
Делитель поля 74
Делимость чисел 107
Дискриминант 64
Дистрибутивный закон 70
Дополнительная группа 31
Дробная линейная подстановка . 16
Е
Единица группы 15
3
Задача, обратная задаче Чирнгаузена 139
Задача Чирнгаузена 73
Знакопеременная группа 23
И
Идеал 11
Изоморфизм 33
Импримитивиая группа . : . . . 27
Импримитивное уравнение .... 99
Индекс подгруппы 22
Интерполяционная формула Ла-
гравжа 00
Интранзитивная группа 25
К
Квадрнруемая луночка 186—18?
Класс подстановки 14?
Класс сравнений 204
Klassenkorper И
Коммутант 45
Коммутатор 38
Коммутативный закон ....... 18
Комплексное умножение 11
Композит групп 91
Композит полей 91
Композиционный ряд ...... 89
Композиция (элементов группы) . 15
Композиция абелевых полей . . . 142
Конечная группа 18
Конечное поле 71,154
Корень 5в

213
Указатель терминов
Корень из единицы 100
Кратный изоморфизм 35
Кратный корень 57
Критерий неприводимости Эйзен-
Эйзенштейна 68
Критическое простое число .... 12
М
Максимальный нормальный дели-
делитель 37
Метацнклическая группа 50-51
Многоугольник Ньютона 178
Модуль Коши . в!
Модуль сравнения . . 203
Н •
Непрерывная группа 10
Неприводим • й полином 65
Нечетная подстановка 23
Нормализатор 31
Нормальное поле 87
Нормальное уравнение 85
Нормальный делитель ' 30
О
Область 70
Обметь рациональности ... 77, 95—96
Обобщенная теорема Ферма ... 155
Обратный элемент 18
Общий наибольший делитель:
полиномов ...... 58
чисел •.. 197
Опорный член . 188
Основные модули 81
Отрезок ряда 177
П
р - адический ряд ......... 177
Параллелограмм Ньютона .... 178
Первообразный корень:
из единицы 106
в конечном поле . . . 160
. сравнения 205
Пересечение групп ....... 32
Пересечение полей 91
Подгруппа 20
Подстановка 15
Подстановка, не нарушающая со-
соотношений между корнями . . 77—78
Показатель числа по модулю . . 206
Показатель элемента конечного поля 161
Поле 70
Поле алгебраических чисел ... 71
Поле деления круга 111
Поле мнимостей Галуа 71
Поле, принадлежащее к группе . 90
Поле сравнений по двойному мо-
модулю 71
Полная линейная группа .... 51
Полу первообразный корень сравне-
сравнения 210
Порядковое число члена разложения 179
Порядок группы 18
Порядок конечного поля 154
Порядок элемента группы .... 18
Построение правильного 17-уголь-
ника 150
Правая единица 15
Правый обратный элемент ... 15
Преобразование совокупиосги . . 29—30
Преобразование элемента группы 28—29
Приводимый полином 65
Примитивный элемент поля ... 71
Присоединение . • 96
Проблема резольвент 13
Производная группа 45
Простая группа 40
Простое число 200
Простой изоморфизм 35
Простой корень 57
Прямое произведение групп ... 38
Прямое произведение полей ... 90
Р
Разложение группы:
по подгруппе .... 22
по двум подгруппам . 137
Разрешимая группа . ... 40
Разрешимое уравнение . 100, 119—120
Рациональный минимальный базис 176
Резольвента Лагран " а 8,102
Результант 63
Ряд индексов 40^.
С
Симметрическая группа 23
Симметрическая функция .... 61
Система импримитивности .... 27
Система интранзитивности ... 25
Совокупность (элементов группы) 20
Сопряженная группа 30
Сопряженная система 21
Сопряженный элемент:
группы 29
поля 90
Сравнение ..... 203
Сравнение (по функциональным мо-
модулям) 85
Степень группы (подстановок). . 23
Степень поля . 73
Степень родства полей 133
Т
Теорема Бертрана 41
Теорема Галуа 122
Теорема Гаусс.! 86
Теорема Кроиекера 97

Указатель терминов
219
Теорема Лагранжа (для конечных
групп) 21
Теорема Лагранжа (связь между
группами и полями) 89
Теорема Жордана-Гёльдера . . 39
Теорема неприводимости (Гиль-
(Гильберта) " . . . . 12—13,177
Теорема Ферма 204—205
Теорема Эйлера 204
Тождественная группа 20
Тождественное преобразование . . 1?
Транзитивная группа 25
Транспозиция 22
У
Уравнение без аффекта 171
Уравнение деления круга .... 101
Уравнение Пифагора ...... 216
Ф
Vlerergruppe 30
Формула Шёнеманиа ПО
Функция ?(л) Эйлера 201
Характеристика конечного поля
Характеристическая подгруппа .
Ц
Целое алгебраическое число
Целое рациональное число .
Центр группы
Цикл подстановки
Цикл разложений корней.
Цикленный тип подстановки
Циклическая группа ....
Циклическое уравнение . .
Четная подстановка ..
154
45
76
1»-
148
18
181
169
22
101
23
Элемент группы 15
Элемент поля, принадлежащий к
группе 8?
Элементарно-симметрическая функ-
функция 61

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 8
Исторический очерк 7
Глава I. Группы
1. Основные понятия 16
2. Подгруппы 20
3. Нормальные яелнтелн. Дополнительные группы 28
§ 4. Изоморфизм и гомоморфизм. Представление групп подста-
подстановками ', . 3S
§ 5. Максимальный нормальный делитель- Композиционный ряд.
Теорема Жордана-Гёльдера. Простые группы. Теорема Бертрана. 37
§ в. Абелевы группы. Их разложение на прямые произведения
циклических групп 42
§ 7. Разрешимые группы 45
Глава II. Группа Галуа
§ 1. Исходные группы . 58
§ 2. Приводимые н неприводимые полиномы Об
§ 3. Понятие поля. Типы полей. Основные свойства полей алгебраи-
алгебраических чисел 70
§ 4. Соотношения между корнями. Группа Галуа. Составление
основных модулей 77
§ 5. Подстановки группы Галуа, как автоморфизмы нормального
поля. Теорема Лагранжа М
§ в. Присоединение новых величин к области рациональности. Нату-
Натуральные н побочные иррациональности ¦ • 95
Глава III. Разрешимые уравнения
§ 1. Циклические уравнения. Резольвента Л а грешка. Двучленные
уравнения 100
§ 2. Уравнения деления круга. Их разрешимость в радикалах. Гаус-
Гауссовы периоды 106
§ 3. Разрешимые группы и разрешимые уравнения 119
Глава IV. Некоторые приложения теории Галуа
§ 1. Родственность полей. Разложение уравнений после присоеди-
присоединений 183
| 2. Задача, обратная задаче Чнрнгаузена 139
§ 3. Построения при помощи циркуля и лннейкн 146
Глава V. Уравнения с наперед заданными группами
§ 1. Конечные поля 154
§ 3. Группа Галуа сравнений по простым модулям 103
§ 3. Построение уравнений с заданными группами 148

Содержание , ¦ . 221
~~ Стр'
| 4. Разложение корней по степеням простых чисел 177
§ 5. Уравнения со знакопеременной группой . . щ ........ 183
§ в. „Квадрнруемые луночки" . . . ".' 180
Добавление. Элементы теории'чисел
§ 1. О делимости чисел .¦ 107
5 2. Функция <f[h) Эйлера .- 201
§ 3. Теория сравнений '203
| 4. Первообразные корни 208
§ 5. Уравнение Пифагора 211
Указатель литературы 213
Указатель терминов 217