Автор: Кузнецов Н.Л.
Теги: электротехника электрические машины и аппараты электронно-и аппаратостроение электроника электрические установки электрические машины издательство мэи
ISBN: 5-903072-07-0
Год: 2006
Текст
Н.Л. Кузнецов
НАДЕЖНОСТЬ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Допущено VMO по образованию в области энергетики
и электротехники в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 140601 —
Электромеханика- направления подготовки
дипломированных специалистов 140600 —
• Электротехника, электромеханика и электротехнологии»
Москва
Издательский дом МЭИ
2006
УДК 621.313.019.3 (075.8)
ББК 31.261-02я73
К 891
Рецензенты: доктор технических наук, профессор кафедры «Электрооборудование
и автоматика» ГРАЗУ Ф.А Мамедов;
доктор технических наук, профессор кафедры «Основы конструи-
рования машин?» МЭИ (ТУ) В.П. Николаев
Кузнецов Н.Л.
К 891 Надежность электрических машин : учеб, пособие для вузов /
Н.Л. Кузнецов. — М ; Издательский дом МЭИ, 2006. — 432 с. : ил.
ISBN 5-903072-07-0
Изложены основные методы исследования надежности, теория вероятностей и
математическая статистика, общая теория надежности, надежность основных типов
электрических машин и статистика отказов, методы экспериментальной оценки на-
дежности, диагностика и прогнозирование надежности, планирование эксперимента
Для студентов технических вузов и специалистов, занимающихся проблемами на-
дежности в области электромеханики и электрических машин
УДК 621.313.019.3 (075.8)
ББК 31.261-02x73
ISBIS 5-903072-07-0
С ЗАО «Издательский дом МЭИ», 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одним из важных технико-экономических показателей качества
технических устройств и систем является надежность, т.е. способ-
ность безотказно работать с заданными техническими характеристи-
ками в определенных условиях эксплуатации в течение заданного
времени. Электрическая машина является либо основным, либо
одним из основных узлов большинства технических систем.
В учебном пособии освещены современные методы исследования
надежности и необходимые статистические данные. Математическая
база теории надежности технических изделий — это теория вероятно-
стей и математическая статистика. Поэтому после изложения общих
вопросов надежности в электромеханике приводятся основные вероят-
ностные и статистические методы оценки надежности, основы теории
надежности технических изделий, проблемы надежности асинхронных
и синхронных машин, машин постоянного тока, пускорегулирующей
аппаратуры и электромеханических систем. Достаточно глубоко
рассмотрены задачи надежности механических узлов: подшипников
скозьжения и качения, валов Приведены методы экспериментальной
оценки надежности технических изделий, диагностика технического
состояния, прогнозирование надежности и методы теории планирова-
ния экстремальных экспериментов при решении задач надежности.
В учебном пособии даны примеры и методики расчета узлов элек-
трических машин — изоляции обмоток, подшипниковых узлов, кол-
лекторно-шеточных узлов, электромеханических систем и др. Боль-
шое внимание уделено методикам испытаний на надежность, сбору и
обработке статистической информации, диагностике технического
состояния, использованию методов теории планирования экстре-
мальных экспериментов. В приложениях приводятся статистические
данные и математические таблицы критериев Фишера, Стьюдента,
центрированной и нормированной функций Лапласа и др., необходи-
мые при решении задач надежности, чем обеспечивается в большин-
стве случаев автономность учебного пособия.
Автор благодарит проф. В А. Кузнецова и доц. Н.Ф. Котелснца за
предоставленные материалы и консультации, которые позволили
учучшить учебное пособие.
Автором с благодарностью будут приняты замечания и пожелания,
которые следует направзять по адресу: 111250, Москва, ул. Красно-
казарменная, д. 14.
Автор
3
Глава первая
ПРОБЛЕМА НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
1.1. Проблема надежности и ее значение
для современной техники
Качество электрических машин представляет собой совокупность
свойств, определяющих их пригодность для эксплуатации. Надеж-
ность является важным технико-экономическим показателем каче-
ства любого технического устройства, в частности электрической
машины, определяющим ее способность безотказно работать с неиз-
менными техническими характеристиками в течение заданного про-
межутка времени при определенных условиях эксплуатации. При
широком применении электрических машин в различных системах
электроприводов и автоматического регулирования производствен-
ных процессов технический уровень производства в значительной
степени определяется надежностью этих машин. И, как следствие,
всякие отказы электрических машин наносят ощутимый материаль-
ный ущерб. Повышение надежности электрических машин, выпуск
которых составляет десятки миллионов изделий в год, является важ-
нейшей научно-технической проблемой.
Проблема надежности технических устройств. С древнейших
времен при изготовлении изделий для обеспечения надежности
закладывался определенный запас прочности, чем и гарантировалась
долговечность их работы. Однако это приводило к излишним затра-
там материалов, увеличению габаритных размеров, массы и стоимо-
сти изделий.
С развитием электрификации задачи обеспечения надежного снаб-
жения объектов электроэнергией решались, в основном, путем резер-
вирования (параллельная работа трансформаторов и электрических
генераторов, объединение разрозненных энергетических объектов
в единую энергетическую систему и т.д.).
Новые проблемы надежности возникли с развитием авиации,
дальнего плавания, ракетной и космической техники. Первоначально
задачи надежности решались традиционными методами. Однако этот
путь скоро стал малоэффективным, так как приводил к резкому уве-
личению габаритных размеров и массы приборов, что для авиациои-
4
ной и космической техники является неприемлемым. Поэтому для
повышения надежности стали использоваться новые методы, осно-
ванные на теории вероятностей и математической статистике.
Теория надежности электрических машин в ее современном виде
стала разрабатываться сравнительно недавно — около 30 лет назад.
На протяжении нескольких предшествующих десятилетий электро-
машиностроение развивалось в направлении повышения использова-
ния машин, увеличения нагрузок активных материалов и снижения
массы машины на единицу мощности. Разрабатывались и внедрялись
новые типы активных, конструктивных и изоляционных материалов,
улучшалась вентиляция, появились более интенсивные методы охла-
ждения машин. Однако запас прочности, а вместе с тем и устойчи-
вость к перегрузкам постепенно снижались. В результате наметилась
тенденция общего снижения надежности электрических машин.
Одна из первых работ [27], в которой было указано на недостаточ-
ный уровень надежности электрических машин, была опубликована
в 1961 г. В ней на примере работы ряда металлургических предпри-
ятий давался экономический анализ материально-технического
ущерба в промышленности из-за отказов или недостаточной надеж-
ности электрических двигателей. Потребовалось определенное вре-
мя, прежде чем стало общепризнанным, что интенсификация исполь-
зования активных и конструктивных материалов целесообразна лишь
до тех пор, пока эта тенденция не приводит к снижению надежности
электрических машин.
Проблема надежности технических систем за последние два-три
десятилетия резко обострилась, что объясняется следующими объек-
тивными причинами:
• резким увеличением сложности технических систем, включаю-
щих сотни тысяч и даже миллионы отдельных узлов и элементов;
• экстремальностью условий, в которых эксплуатируется изде-
лие (высокие скорости, значительные ускорения, высокие темпера-
туры и давления, вибрация, повышенная радиация и т.п.);
• интенсивностью режимов работы системы и пи отдельных
узлов (при высоких температурах, частотах вращения, давлениях,
плотности тока и др.);
• повышением требований к качеству работы (высокая точность,
эффективность и т.п.);
• увеличением ответственности функций, выполняемых систе-
мой, высокой экономической и технической ценой отказа;
• полной или частичной автоматизацией и, как следствие, исклю-
чением непосредственного контроля человеком функционирования
системы и ее элементов.
5
1.2. Общий подход к решению задач надежности
электрических машин и электромеханических систем
Традиционный путь исследования надежности электрических
машин — исследование статистических данных об отказах, т.е. нару-
шениях работоспособности изделия. При первоначальном изучении
статистики отказов и анализе повреждаемости следует подразделить
отказы по типам электрических машин, «слабым узлам» и причинам
отказов. В технической литературе также используется термин метод
«слабых звеньев».
При исследовании надежности систем или отдельных техниче-
ских изделий пользуются следующим приемом: система разбивается
на блоки, затем определяются надежность каждого блока и результи-
рующая надежность всей системы. Система разбивается на блоки на
основании анализа функционального назначения и физических про-
цессов, происходящих в системе и блоках. Однако нет смысла иссле-
довать все блоки, входящие в систему, так как их надежность обычно
сильно различается. Отказы некоторых из блоков практически невоз-
можны, и их учет при определении результирующей надежности
только усложняет эксперименты и расчеты, практически не меняя
окончательный результат. Поэтому при составлении структурных
схем пользуются методом «слабых узлов», выделяя только те блоки,
надежность которых в данных условиях минимальна. Предвари-
тельно следует пояснить, что структурной надежностью электриче-
ской машины (электромеханической системы) называется результи-
рующая надежность при заданной структуре и известных значениях
надежности входящих в систему элементов (см. гл. 3).
В этом аспекте рассмотрим основные типы электрических машин.
В асинхронных твигателях при исследовании надежности следует
выделить в качестве «слабых узлов» обмотку статора и подшипнико-
вый узел. В синхронных машинах следует выделить обмотки статора
и ротора, щеточный аппарат и контактные кольца, подшипники (или
подпятники), системы охлаждения и пожаротушения и т.п. Машину
постоянного тока в этом случае представляют состоящей из следую-
щих узлов: колле кто рн о-щеточного и подшипникового узлов, обмот-
ки якоря, возбуждения, добавочных полюсов и компенсационной.
Однако существуют исключения из-за условий эксплуатации элек-
трических машин. В асинхронных двигателях 95—97 % отказов при-
ходится на обмотку статора и подшипниковый узел. В мощных асин-
хронных двигателях большой мощности при длительных пусках
порядка 3—4 мин более 30 % отказов приходится на короткозамкну-
тую обмотку ротора — разрыв стержней ротора вследствие так назы-
ваемого «сабельного эффекта». В метазлургии большой процент
отказов асинхронных двигатезей приходится на скручивание вата
6
оотора при частых реверсах. В машинах постоянного тока при частых
реверсах и повышенной вибрации происходит скручивание валов и
повреждение щеточной траверсы.
Перечень подобных обусловленных эксплуатацией частных слу-
чаев можно продолжить, однако основной подход к выделению «сла-
бых узлов» в различных типах электрических машин остается неиз-
менным: в асинхронных двигателях «слабыми узлами» являются
обмотка статора и подшипниковый узел (в двигателях с фазным рото-
ром добавляются обмотка ротора и контактные кольца со щетками);
в машинах постоянного тока — коллекторно-щеточный узел, обмотка
якоря, подшипниковый узел, обмотка возбуждения; в синхронных
машинах — обмотка якоря, подшипниковый узел, контактные кольца
со щетками и обмотка возбуждения.
При оценке надежности электромеханических систем .следует
учитывать надежность электрической машины, пускорегулирующей
аппаратуры и механических узлов системы.
Обеспечению данного основного принципа исследования надеж-
ности электрических машин и систем предшествует долгий и кропот-
ливый труд по сбору статистических данных об отказах и их анализу,
необходимый для выделения «слабых узлов», разработка методик
расчета надежности электрических машин, обеспечения и повыше-
ния надежности, совершенствования технологии изготовления, раз-
работки методик выбора электрических машин, создания и улучше-
ния систем защиты и правил технической эксплуатации, проведения
испытаний на надежность и т.д.
1.3. Обеспечение и повышение надежности
электрических машин
Проблема обеспечения надежности связана со всеми этапами соз-
дания электрических машин и периодом их практического использо-
вания. Основной задачей при проектировании машины является
обеспечение необходимых рабочих характеристик, однако одновре-
менно производится предварительная оценка надежности, обычно
в три этапа. Первый этап состоит из расчета и сравнения количест-
венных показателей надежности для различных вариантов исполне-
ния машины и выбора оптимального варианта (при этом оконча-
тельно у ста нав пинаются уровни электрических, тепловых и
магнитных нагрузок). На втором этапе производится уточненный
расчет надежности уже выбранного варианта машины. При этом
желательно знать точные значения количественных показателей
отдельных узлов, выбранных из систематически накопленного мате-
риала прошлых лет (с последующим прогнозированием надежности
7
нового типа машин). На третьем этапе производится контроль рас-
четных показателей путем испытаний на надежность опытных образ-
цов (практически только для машин малой и средней мощности).
При проектировании для обеспечения заданной надежности необ-
ходимо предусматривать:
• использование качественных активных и конструктивных
материалов (особенно теплостойкой корпусной изочяции и обмоточ-
ных проводов);
• применение эффективных средств охлаждения для снижения
рабочей температуры машины;
• рациональный выбор электрических и магнитных нагрузок
с учетом требований получения как заданной надежности, так и обес-
печения минимальных массогабаритных показателей (эти требования
обычно противоречивы);
• использование конструкций отдельных узлов и элементов
машины с учетом требований эксплуатации:
• применение более простых конструкций машины в целом и
отдельных ее узлов;
• специальных защитных устройств, предотвращающих разви-
тие аварийной ситуации, встраиваемых датчиков для диагностики
состояния различных узлов и элементов в процессе работы.
При производстве электрических машин для обеспечения задан-
ной надежности должны выполняться требования, связанные с под-
держанием технологической дисциплины, основные из которых сле-
дующие: периодическая проверка качества и надежности готовых
изделий; должный контроль по операциям и при выпуске готовых
изделий; строгое соблюдение режимов в технологическом процессе и
технологии сборки и монтажа; отбраковка материалов и узлов,
пострадавших при транспортировке или хранении; повышение куль-
туры производства; недопущение замены сортности материалов и
комплектующих изделий; если такая замена произведена, то она не
должна снижать качества (качество должно всегда соответствовать
нормативно-технической документации); контроль физических
свойств, параметров и характеристик материалов и комплектующих
изделий (например, обмоточных проводов, подшипников), поступаю-
щих от предприятий-поставщиков; введение контрольных карт.
Наиболее эффективным методом комплексного выполнения пере-
численных требований является разработка и внедрение иа заводах
электротехнической промышленности систем управления надеж-
ностью.
При эксплуатации электрических машин для обеспечения задан-
ной надежности условия эксплуатации (температура окружающей
среды, уровень влажности и запыленности, влияние агрессивных
8
сред, обший уровень вибрации установки и т.п.) и система обслужи-
вания (периодический и профилактический контроль, установленная
по регламенту наладка, ремонт или замена износившихся деталей и
Тп.) должны соответствовать установленным нормам при высоком
качестве зашиты электродвигателей.
Повышение надежности электрических машин прежде всего свя-
зано с дальнейшей разработкой научных основ проектирования
(с учетом последних достижений в области надежности электриче-
ских машин) и принятием соответствующих мер по совершенствова-
нию методов конструирования, производства и эксплуатации.
Отметим основные пути повышения надежности электрических
машин:
• улучшение теплового состояния машины путем перехода на
более высокий класс нагревостойкости изоляции, выравнивания тем-
пературы отдельных частей машины за счет выбора нагрузок, разра-
ботки систем охлаждения, применения защиты от перегрузок (в част-
ности, тепловой защиты);
• разработка и внедрение конструкций и узлов повышенной
надежности: капсулирование всыпной обмотки, переход к новым спо-
собам крепления коллекторного узла, применение открытых пазов
(обычно с магнитными клиньями), разработка и использование новых
конструкций подшипниковых узлов;
• разработка и внедрение мероприятий по снижению вибраций как
электрической машины, так и электромеханической системы в целом;
• повышение качества комплектующих изделий и материалов,
в том числе: применение подшипников повышенных классов, внедре-
ние пропиточных лаков, обладающих высокой нагревостойкостью,
влагонепроиицаемостью, пропитывающей и цементирующей способ-
ностью, применение специальных проводов с прочной и эластичной
изоляцией, снижение жесткости обмоточных проводов, применение
электрощеток повышенной износостойкости, высококачественной
миканитовой изоляции, кадмиевой меди и др.;
• совершенствование методов контроля (входной контроль мате-
риалов и комплектующих изделий, межоперацнонный контроль),
проведение различного рода испытаний как на надежность (кон-
трольные, определительные, ускоренные и т.п.), так и типовых, прие-
мосдаточных, контрольных и др.;
• расширение механизации и автоматизации производственных
процессов с обеспечением высокого качества и однородности выпол-
нения операций, повышение ритмичности производства, сокращение
номенклатуры изделий на предприятии, дальнейшая стандартизация
выпускаемой продукции и методов контроля;
9
• разработка и внедрение в производство систем управления
качеством и надежностью, включающих в себя автоматизированные
системы контроля и статистической обработки данных — статистиче-
ское регулирование технологического процесса (согласно ГОСТ
15895—89 «Статистические методы управления качеством продук-
ции. Термины и определения» под статистическим регулированием
понимается «корректировка параметров технологического процесса
в ходе производства с помощью выборочного контроля изготавливае-
мой продукции для технологического обеспечения требуемого каче-
ства и предупреждения брака»)»;
• планомерное изучение условий эксплуатации и эксплуатацион-
ной надежности электрических машин, определение характера, при-
чин и законов распределения отказов;
• наладка и правильная эксплуатация систем защиты электриче-
ских машин, предусмотренных при проектировании;
• разработка и совершенствование методов расчетной оценки
надежности электрических машии, атакже оценки надежности путем
испытаний на надежность (в том числе ускоренных);
• разработка и совершенствование методов расчетной и экспери-
ментальной оценки надежности при хранении и транспортировке;
• разработка методов определения экономически оптимальных
показателей надежности.
Обычно повышение надежности электрической машины связано
с материальными затратами, поэтому проблема повышения надежно-
сти (за исключением особо ответственных случаев) должна решаться
на базе технико-экономического расчета. Для каждого типа электри-
ческой машины могут быть разработаны экономически оптимальные
показатели надежности с учетом условий применения, физического и
морального износа, расходов на обслуживание и ремонт и др.
Для перемонтируемых машин увеличение срока службы экономи-
чески целесообразно. Исключение составляют случаи, когда требу-
ется применение особо дорогих и дефицитных материалов или трудо-
емкой технологии, когда чрезмерно растут масса и габаритные
размеры или когда долговечность машины превышает долговечность
системы, в которой эта машина используется.
Для ремонтируемых машин проблема надежности выгладит по-
иному: по мере старения узлов электрической машины резко возрас-
тают затраты на ремонт и убытки от простоев, так что, в конечном
счете, дальнейшее восстановление становится нецелесообразным.
Вместе с тем доля амортизационных отчислений уменьшается.
В результате подобной альтернативы возникает понятие оптималь-
ной долговечности, которая определяется минимумом удельных
(в единицу времени) затрат потребитепя.
10
1.4. Расчет экономически оптимальных значений
показателей надежности электрических машин
Получение сверхвысоких значений показателей надежности,
например значений вероятностей безотказной работы 0,99 или даже
0.9999, сопряжено с резким увеличением затрат. Изделия с такими
высокими показателями надежности обычно работают в системах
авиации, космонавтики, исследования Мирового океана и др., при
создании которых определяющим является обеспечение безопасно-
сти человека.
Для обычных условий в основу определения экономически опти-
мальных значений надежности положено требование обеспечения
максимальной величины дополнительного экономического эффекта
за амортизационный срок службы, руб.:
Этах = (т0 ' '”опт)Л7'э ~ О 1)
где т0 — начальное значение показателя надежности при заданных
режимах н условиях эксплуатации; /иопт — расчетное оптимальное
значение показателя надежности; R — средняя стоимость потерь при
отказе изделия, руб.; Тэ — эквивалентный срок службы изделия, лет;
ЛК — дополнительные затраты на повышение надежности изделия,
руб.
Значение Этах определяется с учетом снижения стоимости полу-
чаемого эффекта, в зависимости от времени, когда производятся
дополнительные затраты. В связи с этим в случае приведения
эффекта за весь срок службы Т к начальному моменту времени t = 0
эффект условно принимают неизменным и определяют эквивалент-
ный срок службы Тэ:
где £н — нормативный коэффициент экономической эффективности
(для эчектрических мащнн равен 0,15).
В (1.1) в качестве показателя надежности использован обобщен-
ный показатель ли, имеющий размерность отказов (среднее количе-
ство отказов электрических мащнн в год). После того как будут опре-
делены mQ и ти01ГГ определяют достигнутую меру повышения
надежности как отношение к т0(ГГ
Исходными данными для расчета являются амортизационный
срок службы Т и начальное значение показателя надежности (для
модернизируемой электрической машины принимается равным
существующему, а для проектируемой рассчитывается по методикам
расчета надежности).
II
Порядок расчета следующий. Выбирают i возможных практиче-
ски осуществимых способов повышения надежности. Для выбран-
ных способов рассчитывают показатели надежности mt и соответст-
вующие им дополнитезьные затраты &КГ Затем по (1.2) определяют
эквивалентный срок службы Т3 для заданного амортизационного
срока службы.
Средняя стоимость потерь при отказе составляет
R = H + C + Bt„ (1.3)
где Н— средний ущерб при отказе, руб.; С — средняя стоимость вос-
становления одного отказа, руб.; В — условно постоянные расходы
в единицу времени, руб/год; гв — среднее время восстановления, год.
Средняя величина ущерба Н при отказе машины определяется
стоимостью бракованной продукции, сырья и полуфабрикатов. Сред-
няя стоимость восстановления отказа равна
С=Сз + Ср.
где С3 — средняя стоимость замененной машины, руб.; Ср— средняя
стоимость ремонта, руб.
Величина В входит в состав себестоимости продукции и определя-
ется в соответствии с типовыми методиками технико-экономического
обоснования новых разработок. Среднее время восстановления /в
электрической машины определяется по среднестатистическим дан-
ным эксплуатации подобных машин.
Для каждого намеченного способа повышения надежности рас-
считывают значение 5f, численно равное приращению затрат на повы-
шение надежности при снижении среднего числа отказов в «е» раз:
= A/Cy/lntmQ/mj).
Если среднее арифметическое значение приращения затрат Sотли-
чается от крайних значений 5] не более чем на 10—15 %, то экономи-
чески оптимальное значение показателя надежности определяется по
формуле
с
^ = ^7 а-4)
Если значение 5 отличается от крайних значений Sf- более чем на
10—15 %, то оптимальное значение показателя надежности вычисля-
ется по (1.1) подстановкой (поочередно) рассчитанных значений Д/Q
и определением дополнительного экономического эффекта. Если при
всех практически возможных способах повышения надежности
дополнительный экономический эффект отрицателен или равен
нулю, то повышение надежности данной машины экономически
нецелесообразно.
12
Глава вторая
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
2.1. Классификация событий. Понятие вероятности
Математический аппарат теории надежности основан на специаль-
ных разделах высшей математики; теории вероятностей и математиче-
ской статистике. Теория вероятностей — это математическая наука,
изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от
их природы и дающая методы количественной оценки влияния случай-
ных факторов на различные явления. Теория вероятностей служит
также для обоснования математической и прикладной статистики,
которая, в свою очередь, используется при планировании и организа-
ции производства, анализе технологических процессов, оценке и кон-
троле качества и надежности продукции и для многих других целей [4].
Объектами изучения теории вероятностей являются: случайные
события, случайные величины, случайные функции (процессы).
Событие — это свершившийся факт. Случайным событием называ-
ется всякий факт, который в результате испытаний может произойти,
а может и не произойти; исход отдельного испытания предугадать
невозможно. Случайной величиной называется переменная величина,
которая в результате испытаний может принимать то или иное значе-
ние (например, значения токов холостого хода электродвигателей
одной партии). Случайной функцией называется функция, которая
в результате испытаний может принять тот или иной вид, причем
неизвестно заранее какой именно. Вид, принимаемый случайной
функцией в результате испытаний, называется реализацией счучай-
ной функции. Если случайная функция подвергается испытаниям,
то получают группу или «семейство» реализаций этой функции.
Точно предсказать случайные величины или процессы нельзя
Отнако если рассматривать не каждое отдельное событие, величину
или процесс, а нх совокупность, то ее можно характеризовать с помо-
щью математических методов теории вероятностей.
Классификация случайных событий. Если во всех опытах (испы-
таниях) рассматриваемое событие наступает всегда, то оно называется
достоверным. Если же событие никогда не наступает, то оно называ-
ется невозможным. Два или несколько случайных событий называются
13
равновозможными, если условия их появления одинаковы н нет осно-
ваний утверждать, что какое-либо нз них в результате опыта имеет
больше шансов появиться, чем другое. События А и В называются
совместными, если появление одного нз них не исключает появление
другого. События А и В называются несовместными, если появление
одного из них исключает появление другого. Группа событий A р Л2,...
..., Ап называется группой несовместных событий, если события, вхо-
дящие в группу, попарно несовместны. Группа событий называется
группой совместных событий, если совместны хотя бы два события из
группы. Несколько событий образуют полную группу, если в результате
опыта обязательно наступит хотя бы одно нз них. Два несовместных
события А и А, образующих полную группу, называются противопо-
ложными. Следует выделять независимые события, когда появление
одного события не снижает н не увеличивает шансов появления друго-
го. Наоборот, если появление события А влияет на появление события
В, то такие события называются зависимыми.
Частотой события А в данной серии испытаний называется отно-
шение числа испытаний т, в которых появилось событие А, к числу
всех испытании п. Итак частота событий определяется
р\а) = ~. (2 1)
п
По мере увеличения числа испытаний частота событий стабилизи-
руется (амплитуда флуктуации уменьшается), стремясь к определен-
ному числу. Итак, вероятностью случайного события называется
постоянное число, около которого группируются частоты этого собы-
тия по мере увеличения числа испытаний. Отсюда следует, что веро-
ятностью появления события А называется отношение числа случа-
ев, благоприятствующих появлению события А, т к общему числу
возможных исходов испытаний п при п —> оо
Р(А) = - (2.2)
п
Это классическое определение вероятности На практике пользу-
ются статистической вероятностью, когда в качестве вероятности
принимают частоту событий согласно (2.1).
Из определения вероятности (2.2) следуют некоторые аксиомы:
• вероятность события А заключена в диапазоне (0, 1):
0<Р(Л)£1;
• вероятность достоверного события Р(А) = 1;
• вероятность невозможного события Р(Л) = 0;
• _ сумма противоположных событий всегда равна 1, т.е. Д(Л) +
+ Р(Л)=1;
• сумма всех вероятностей полной группы события равна 1.
14
2.2. Вероятности сложных событий.
Теоремы теории вероятностей
В предыдущем параграфе рассматривались простые случайные
события. Однако чаще имеют место сложные, комбинированные
события. Для нх описания используются теоремы теории вероят-
ностей.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя
бы одного из двух совместных событий (ИЛИ события А, ИЛИ собы-
тия В) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их
совместного появления:
Р(А + В) = Р(Л) + Р(В) - Р{АВ\ (2.3)
где Р(АВ) — вероятность совместного появления событий А и В.
Если события А и В взаимно исключают друг друга, т.е. несовме-
стны, то Р(АВ) = 0 и формула (2.3) имеет вид
Р(А + В) = Р(Л) + Р(В). (2.4)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного
появления событий равна произведению вероятности одного события
на условную вероятность другого события:
Р(АВ) = Р(Л) Р(В/А), (2.5)
где Р(В!А)— условная вероятность события В, т.е. вероятность собы-
тия В при наличии события А.
Если события А и В независимы, то P(BiA) = P(B)t а значит
Р(АВ) = Р(А)- Р(В). (2.6)
В общем случае для к событий формулы (2.3)—(2.6) имеют вид
Р(А 1 + А2 + . . + Ак) = Р(А0 + Р(А2) + .. + Р(Ак) - Р(А {А2) -
- Р(Л]Л3) - ... + Р(Ак_ + Р(А}А2А3) + ... + Р(Ак-2Ак_ tAk) -
-...+(-1)*РЙ^2...^); (27)
Р(А,А2 ... Ак) = Р(А,) • Р(А21А,) ... Р(Ак/А\А2 ... Ак _ ,)
— для совместных и зависимых событий;
к
Р(А} +Л2+ ... +^) = £Р«):
1
к
P(AjA2- Ак) = P{At)
i=l
— для несовместных и независимых событий
15
Задача 1. Для сигнализации о перегреве обмотки турбогенератора уста-
новлены два независимых термос и г иализатора, причем вероятность безот-
казной работы сиг нализатора Р(А) - 0,9, сигнализатора Р(В) = 0,95. Опреде-
лить вероятность срабатывания сигнализации при перегреве.
Решение. События А и В (срабатывание сигнализаторов) независимы и
совместны Согласно (2.3), вероятность появления сигнала о перегреве
составит
Р(А + В) = 0,9 + 0,95 - 0,9 0,95 = 0,995.
Задача 2. Оператор устанавливает в узел машины четыре одинаковые
детали. Узел будет работоспособен, если все четыре детали — стандартные.
Имеется 50 деталей, причем априори известно, что пяль из них нестандарт-
ные. Определить вероятность сборки работающего узла.
Решение. Должны быть стандартны вес четыре устанавливаемые детали —
логика И первая, И вторая и т.д. Вероятность появления последующей стан-
дартной детали зависит от того, какой бы ла установлена предыдущая деталь —
стандартной или нестандартной. Следовательно, нужно воспользоваться
теоремой умножения для зависимых событий (2.8):
45 44 43 42
50 49 48 47
= 0, 647.
Задача 3. Данная задача относится к теории управления и менеджмента
Предприятию необходимо заключить контракт с компаниями А и В Вероят-
ность зак мочения контракта с компанией А велика (обозначим се «47»), с ком-
панией В — мала (обозначим ес «6»). Предприятие может провести только
один раунд переговоров, состоящий последовательно из трех частей. Воз-
можны два варианта.
Вариант 1: последовательно с компанией А, с компанией В, с компанией А.
Вариант 2: последовательно с компанией В, с компанией Л, с компанией В
Определить, какой вариант более предпочтителен, если окончательный поло-
жительный исход переговоров возможен то 1ько тогда, koi да обе компании под-
ряд заключат контракты.
Решение. Задача не решается с помощью формальной логики, так как
каждый нз вариантов имеет свои достоинства н недостатки. Эту задачу
можно решить, используя теоремы умножения н сложения вероятностей.
Итак, для варианта 1 возможные положительные исходы переговоров: aba
во всех трех частях переговоры успешны; ab{\ а), где (1 а) — срыв
переговоров, и, наконец, (1 - а)Ьа. Сумма всех положительных исходов:
1Р| = aba + ab( 1 - а) + (1 a)ba = ab(2 - а).
Аналогично для варианта 2 возможны положительные исходы перегово-
ров: bab\ ba( I 6); (1 b)ab. Сумма всех положительных исходов: 1Р2 ~ +
+ Ml - b) + (1 - b)ab = М2 - Ь).
IP2 > EPi» так как (2 - Ь) > (2 - а) ввиду того, что а> Ь. Итак, вариант 2
предпочтителен при кажущейся парадоксальности выбора, так как прихо-
дится дважды вести переговоры с неконтактной компанией В, в то время как
в варианте 1 приходится дважды вести переговоры с компанией Л, имеющей
высокую вероятность положительного решения. Если а - 0,8 и Ь = 0.4,
то IP, = 0,384; ЕР2 = 0,512. В теория управления такая разница считается
существенной (решающей).
16
Формула полной вероятности. Эта формула основана на теоре-
мах сложения и умножения вероятностей. Пусть требуется опреде-
лить вероятность события Л. которое может произойти вместе с
одним из событий, называемых гипотезами Hl9 Нх, обра-
зующих полную группу событий. Вероятность гипотез Р(НХ\ Р(Н2)^.
а также условные вероятности Р(А!Н}\Р^А/Н?), ..., Нп известны.
Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной
из гипотез Яр Л/2, ..., Нп, равна сумме парных произведений вероят-
ностей каждой из этих гипотез, умноженной на отвечающую им
условную вероятность наступления события А:
Р(А) = f P(Ht) - Р(А/Н{). (2.8)
1=1
Задача. Три группы станков (общее их число— 10) производят одни и те
же детали, но качество деталей различно Станки первой группы производят
94 % стандартных деталей, второй группы — 90 %, третьей — 85 %. Все
детали отправлены на выборочный контроль. Определить вероятность того,
что наудачу взятая деталь будет отвечать стандарту, если число станков пер-
вой группы равно пяти, второй — трем, третьей — двум.
Решение. Событие А — проверенная деталь отвечает стандарту. Гипоте-
зы: — эта деталь станков первой группы, Н2 — второй, — третьей.
Вероятность каждой гипотезы: Р(Н\) = 0,5; Р(Н2)= Р(Н$) = Условные
вероятности при этих гипотезах: Р(А!Н{) = 0,94; Р{А!Н2) = 0,9; Р(А1Н-^ =
0,85 Вероятность события А\ Р(А) = 0,5 • 0,94 + 0,3 * 0,9 + 0,2 • 0,85 = 0,91.
Теорема гипотез (формула Бейеса). Ситуация, в которой исполь-
зуется данная теорема, а также входные данные аналогичны предыду-
щим. Однако определяется не вероятность события Л, а изменение
вероятности гипотезы, которое произошло при осуществлении собы-
тия А.
Вероятность гипотезы после испытаний равна произведению
вероятности гипотезы до испытаний на соответствующую ей услов-
ную вероятность события, которое произошло при испытании, делен-
ному на полную вероятность этого события:
Р(Н) - Р(А/Н)
(2.9)
£ P(Ht) Р(А/Н,)
1=1
Задача. Два из трех независимо работающих элементов пускорегулирую-
Шей аппаратуры отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и
второй элементы, если вероятность отказа первого, второго и третьего эле-
Мсн гок соответственно равна 0,2; 0.4; 0,3.
Р(Н/А)
17
Решение. Обозначим Л событие —отказали два элемента. Можно выдви-
нуть пшотезы* В\ — отказали первый и второй элементы, третий элемент
исправен. Тогда Р(ВХ) = Pi • P2q3 ~ 0,2 • 0,4 • 0.7 = 0,056; В-> — отказали пер-
вый и третий элементы, второй элемент исправен. Тогда Р(В2) - Р\ ' Р3д2 =
= 0,2 *0,3-0,6 = 0,036; — отказали второй и третий элементы, первый
исправен, причем Р(В3) = Рэ' = 0,4 0,3 • 0,8 = 0,096 (здесь qt = 1 ру
q2 = 1 ^2» 9з = 1 " Л* ^4 — отказал один элемент; В$ — о [казали все три
эземента; — ни один из элементов не отказал. Вероятности последних
трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали
два элемента) невозможно.
Поскольку при гипотезах В2, В3 событие А достоверно, то соответст-
вующие условию вероятности равны единице: Р(А/ВХ) = Р{А1В^ = Р(А/В3) = 1
В соответствии с формулой полной вероятности Р(А) = P(Bt) • P(A/Bt) +
+ Р(В2) ‘ Р(А/В2) + Р(В3) • Р(А/В3) = 0,056 • 1 + 0,036 • 1 + 0,096 -I = 0,188.
В соответствии с формулой Бейеса вероятность того, что отказали первый и
второй элементы, равна Р(В}/А) = Р(В}) • Р(А/ВХ) /Р(А) - 0,056/0,188 = 0,3.
Рассмотрим две теоремы, на которых базируются различные
методы контроля на производстве и при эксплуатации Итак, если
производятся испытания, при которых вероятность появления собы-
тия А в каждом испытании не зависит от других испытаний, то такие
испытания называются независимыми относительно события А.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в п независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события
постоянна и равна р, событие наступит ровно к раз, равна
= (2.10)
ИЛИ
я! _к (П-к)
*л кЦп-к)1РЧ
(2.П)
где q - 1 -р
Задача. В щеточном узле 10 щеток. Узел считается работоспособным,
если пригодны не менее девяти щеток. Какова вероятность безотказной
работы щеточного узла, если вероятность безотказной работы щетки за
время / равна 0.9?
Решение. Щеточный узел работоспособен, если работоспособны все 10
щеток из 10 — Р|0 10 или девять щеток из 10 — 10. Тогда в соответствии
с (2.10) и теоремой сложения вероятностей
Р = /’юю* Р» .0 = -^ • О.910 0,1 % • 0.9’ 0.1 ’ =0, 7361
Напомним, что 0! = 1.
18
Наивероятнейшее число появления собьпня. Число Ао назы-
вают наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит
^0 Ра3, пРевышает вероятности остальных возможных исходов испы-
таний» Наи вероятней шее число к0 определяют из двойного неравенства
пр - q < к0 < пр + р, (2.11а)
причем если (пр -q) — дробные, то kQ — единственное; если (пр -q) —
цезое, то существует два наивероятнейшнх числа к0 и kQ + 1; если
пр — целое, то Ао — единственное (kQ = пр).
Зазача. Испытывается каждая из 15 секций машины. Вероятность того,
что секция выдержит испытания, равна 0,9. Найти на н вероятней шее число
секций, которые выдержат испытания.
Решение. По условию п - 15;р = 0,9; д = 0,1 В соответствии с (2.11а)
получим: 13,5 £ < 14,4. Отсюда к0 = 14.
Про изволящая функция. Рассмотрим испытания, в которых
вероятности появления события различны (pt * const). Пусть произво-
дится п испытаний: в первом испытании вероятность появления
события А составляет р} (непоявления события — gj), во втором —
р2 (^з) -» в п —Рп (Яг)- Производящей функцией называют равенство
Уй(х) = (Pjx + q})(p2x + q2) (рпх + qn). (2.12)
Вероятность Рк того, что при п независимых испытаниях событие
А появится ровно к раз, равна коэффициенту при хк в разложении про-
изводящей функции по степеням х.
Задача. Согласно методу «стабых узлов», синхронная машина представ-
лена в виде трех узлов: контактные кольца (первый), подшипниковый узел
(второй), обмотка якоря (третий). Вероятность безотказной работы в течение
1500 ч равна соответственно Р| = 0,7; Р2 = °’8* = 0,9. Проводятся испыта-
ния каждого узла на надежность. Найти вероя i ноетыого, что за 1500 ч будут
работать безотказно: 1) все узлы; 2) два узла; 3) один узел; 4) ни один из
узлов; 5) хотя бы один узел
Решение. Вероятности безотказной работы и вероятности отказов соот-
ветственно равны: Р, = 0,7; Р2 = 0,8; Р3 = 0,9 и д{ = 0,3; дх = 0,2; <?3 = 0,1.
Составим производящую функцию:
Чх) = (р1Х + д^-рс + д2)(р3х + д3) = (0,7х + О.З)(О,8х + 0,2)(0,9х + 0,1) =
= 0,504х3 + О,398х2 + 0,092х + 0,006.
1 Вероятность того, что все три узла будут работать безотказно, равна
’ффициенту при х3, те. Р3(3) == 0,504.
19
2. Вероятность того, что безотказно будут работать два узла (коэффици-
ент при х2), Р2(3) = 0,398.
3. Вероятность того, что будет работать один узел, Р[(3) = 0,092
4 Вероятность того, что ни один из узлов не будет работать (коэффици-
ент при х = 1, т.е. при свободном члене), равна Ро(3) = 0,006
5. Вероятность того, что будет работать хотя бы один узел — событие,
противоположное событию, когда ие работает нм одного узла. Значит,
Р, 2, З<3) = 1 " Р0(3) = 1 - 0,006 = 0,994.
Описанные выше шесть теорем теории вероятностей находят
широкое применение в исследовании надежности технических изде-
лий. На базе теорем сложения н умножения вероятностей произво-
дится исследование структурных схем надежности технических изде-
лий (в том числе н изделий со «сложной структурой»). Формула
полной вероятности и формула Бернулли позволяют прогнозировать
надежность, причем существует специальный метод диагностики и
прогнозирования надежности на базе формулы Бейеса. Формулы Бер-
нулли и производящей функции позволяют осуществлять как техно-
логический, так и выходной контроль надежности изделий.
2.3. Законы распределения и числовые
характеристики случайных величин
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дис-
кретной случайной величиной называется такая величина, число воз-
можных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное
множество. Непрерывной случайной величиной является та, возмож-
ные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал
числовой оси.
Законом распределения случайной величины называется зависи-
мость между возможными значениями этой величины и соответст-
вующими вероятностями. Дискретная случайная величина может
быть представлена в виде таблицы или графика. Для непрерывных
случайных величин нельзя составить перечень всех возможных зна-
чений. Описание непрерывных случайных величин производится
с помощью функции распределения. При этом для непрерывных слу-
чайных величин не следует пользоваться вероятностью события
Х= а следует пользоваться вероятностью события X < х*. Послед-
нее утверждение вызвано необходимостью избежать парадокса веро-
ятности непрерывных случайных величин, состоящего в том, что
Р(Х = xf) = 0, а значит, и ZP(X = xf.) = 0, что абсурдно. Итак, функцией
распределения или интегральным законом распределения случайной
20
величины X называется задание вероятности выполнения неравен-
ства X< хг рассматриваемой как функция аргумента х:
FM-P(X<Xi).
функция распределения непрерывной случайной величины явля-
ется ее исчерпывающей характеристикой Используется также функ-
ция, которая называется плотностью распределения вероятностей
или дифференциальным законом распределения f(x), причем
/(х) = Пх)-
Отметим свойства функции f(x):
FM= J/(x)dx; (2.13)
-ОО
вероятность попадания непрерывной случайной величины X на
участок (а, р) равна интегралу от плотности распределения, взятому
по этому участку:
0
Р(а <Х< Р) = {/(х) dx. (2.14)
а
Числовые характеристики случайных величин. Основное
назначение числовых характеристик — в сжатой форме выразить
наиболее существенные особенности того или иного распределения.
Математическое ожидание М[Х] случайной величины X есть
сумма произведений всех возможных значений ее на вероятность
этих значений. Для дискретных вепичин
Л/х=ЛфГ] = (2.15)
I
Для непрерывных величин
ОО
= тх - J хДх) dx. (2.16)
ОО
Для статистических вычислений
* = “F’ (2.17)
где 7V-— общее число событий.
Как видно из (2.17), х — это обычная статистическая средняя.
21
Дисперсия Р[Л] характеризует рассеяние случайной величины и
показывает, насколько тесно сгруппировались случайные величины
около центра рассеяния. Дисперсия — это математическое ожидание
квадрата отклонения величины от ее математического ожидания.
Для дискретных величин
D[%] = M(X-Mx)2]= (2.18)
/-1
Для непрерывных величин
^l-Y] = о2 = J (х - шх)2Дх) dx. (2.19)
оо
Часто пользуются веч и чиной, которая называется среднеквадрати-
ческим отклонением и определяется как
Для статистических вычислений:
I К -
Vr (220)
В литературе по математической статистике дисперсию ах часто
обозначают как 5.
Мода Мо случайной величины есть ее наиболее вероятное значе-
ние. Медианой М/ случайной величины называется такое ее значение,
относительно которого равновероятно получение большего или мень-
шего значения случайной величины. Коэффициент вариации есть
отношение среднеквадратического отклонения к математическому
ожиданию.
2.4. Законы распределения дискретных случайных величин
Законом распределения дискретной случайной величины назы-
вают перечень ее возможных значений и соответствующих им веро-
ятностей.
Гипергеоиетрический закон распредетения дискретных случай-
ных величин — один из важных в теории вероятностей и широко рас-
пространен в теории надежности. В теории надежности гипергеомет-
рический закон используется для определения объема выборки
(числа объектов) при контрольных испытаниях на надежность. Закон
формулируется так: в партии из N изделий содержится М бракован-
ных. Из партии случайным образом отбирается п изделий Вероят-
22
ность того, что среди п изделий содержится т бракованных, опреде-
ляется по формуле
тп
(2.21)
Задача. В партии из 20 изделий, среди которых три бракованных
(известно априори), проверяется 10 случайно отобранных изделий. Опреде-
лить вероятность того, что партия будет принята, если условиямн приема не
доп} с кается ни одного бракованного изделия среди проверенных
Решение. Согласно (2.21) N = 20, М ~ 3, п = 10, т = О'
М 3!
т\(М-т)\ 0!(3 0)! 1 ’
- N' 20!
Ln и!(Л' к)! 101(20 10)! 1М
= (^ = (20 З)1 _
NM М-п + т)\ (10 0)!(10 3)!
Роз = 0,105
Биномиальным называют закон распределения величины X —
числа появлений события в п независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события равна р. Вероятность воз-
можного значения х = т (числа появления события) вычисляется по
формуле Бернулли
т (п
= С^Р Я
т)
(2.22)
где q = 1 - р.
В том случае, если число испытаний велико, а вероятностьр появ-
ления события в каждом из них очень мала, то используется закон
Пуассона:
Рт„ = *.т^1пЛ. (2-23)
Здесь т — число появлений событий в п независимых испытаниях;
= пр — среднее число появлений событий в п испытаниях.
Потоком событий называется последовательность событий, кото-
рые наступают в случайные моменты времени. Простейшим пуассо-
новским называют поток событий, который обладает тремя свойства-
ми: стационарностью (независимость вероятности события от начала
отсчета), «отсутствием последействия» (независимость от предшест-
вующих событий) и ординарностью (появление двух и более событий
за малый промежуток времени практически невозможно).
23
Задача 1. Блок управления состоит из трех независимо работающих эле
ментов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1
Составить закон распределения чнела отказавших элементов в одном опыте.
Решение. Число отказавших эземеитов в одном опыте может принимать
следующие значения: Xj * 0 (ни одного отказа), х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3 Отказы
независимы, вероятность отказов постоянна, поэтому применяется формула
Вернул эн. Учитывая, чтор - 0,1, q = 1 -р- 0,9 и п = 3, получаем Р3(0) = q3 =
= 0,729; Р3(1) = C\pq'' = 0,243, Ру(2) = C&q = 0,027; /*,(3) = р3 = 0,001
Искомый биномиальный закон распределения.
X 0 1 2 3
р 0,729 0,243 0,027 0,001
Задача 2. На завод поступила партия подшипников — 100 000 шт Веро-
ятность того, что подшипник бракованный, равна 0,0001. Найти вероятность
того, что в партии будет ровно пять бракованных подшипников.
Решение. По условию п- 100 000;р = 0,0001; т = 5. События независимы,
число п веэико, а вероятностьр мала, поэтому следует использовать распре-
деление Пуассона (2.23). Найдем А. = пр = 100 000*0,0001 = 10. Отсюда
р5.100 000 =Ю5е*10/5!= 0,0375.
2.5. Нормальный закон распределения
непрерывных случайных величин
Основные законы непрерывных случайных величин, широко
используемые в теории надежности и статистических расчетах, сле-
дующие: нормальный (закон Гаусса), экспоненциальный, равномер-
ный, усеченный нормальный, логарифмически нормальный, закон
Вейбулла, распределение Рэлея, гамма-распределение и др.
Для описания непрерывно распределенных случайных величии
важное место занимает закон Гаусса (рис. 2.1). Плотность вероятно-
сти распределения данного закона имеет вид:
Я*> = —
72п
(х - 1лх)2
(2.24)
Здесь -—дисперсия; тх — математическое ожидание
Закон Гаусса применяется для решения технических задач. Этот
закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина х явля-
ется результатом воздействия большого числа взаимонезависимых
24
рис. 2.1- Функция распределения F(x) и плот-
ность распределения_Дх) для закона Гаусса
случайных величин, влияние каждой из которых мало, т.е. нет доми-
нирующих случайных величин. Функция распределения имеет вид:
(х - тх)2
°° 2 с2
F(x) = —!— (е °' dr. (2.25)
* —ОО
Для определения вероятности попадания случайной величины х,
имеющей нормальное распределение, на заданный участок, произво-
х-/их
дится замена переменных: / =------. Вероятность того, что х при-
мет значение, принадлежащее интервалу (а, р), определяется
U - тхУ
1 рг
Р(а < х < р) = -----— fe dx.
о Jin
х а
Воспользуемся заменой переменных и введем специальную функ-
цию, которая называется интегралом вероятностей или функцией
Лапласа:
(х - тх)2
Х 2<? ' 2
Ф(х) = -ут Je х dx = ~ fc d/
и
Р(а<л<р)=1
Р ~ <1
ox>/2 J
= ^[ф(4В-ф(/2)].
(2.26)
25
Р - mx а - тх
- тх)~
X 7
2 г 2<5х
Функция Лапласа вида Ф(х) = — |е dr табулирована и
дана в Приложении 1. Функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(.г).
Отметим важный частный случай. Необходимо вычислить, какова
вероятность попадания случайной величина X(с параметрами тх и
ох) на интервалы: (тх - ох; тх + ох), (тх - 2ох; тх + 2ох) и {тх - Зох;
тх + Зох). С помощью интеграла Лапласа можно вычислить:
Р(|У-mJ <ох) = 0,6826;
Р(\Х- mJ < 2ох) = 0,9544;
Р(\Х- mJ <3ох) = 0,9972.
Последнее утверждение широко используется в технологии маши-
ностроения и называется правилом «трех сигм». Оно состоит в том,
что для нормально распределенной случайной величины X выполне-
ние неравенства |X-mJ < Зох практически достоверно.
Иногда пользуются другой заменой переменных, а именно
х - тх
и =------. В этом случае функция распределения примет вид
X ~ тх
Величина и = ----- называется центрированной и нормирован-
иях
0 !L
ной случайной величиной. Значение интеграла Ге 2 du = 0,5.
26
Тогда
u —
F(x) = 0,5 + —:Je 2da = 0,5+O(u)
^0
(2.27)
(x-mxr
Значения интеграла Ф(и) =
2°x
dx табулированы и
приведены в Приложении 2.
Вероятность попадания случайной величины х вычисляется по
формуле
Л (а < х < Р) = Ф
(2.28)
Задача. Диаметр вала роторах является нормально распределенной слу-
чайной величиной, имеющей математическое ожидание тх = 10 и дисперсию
ох = 2. Определить вероятность того, что значение диаметра заключено
в интервале (12, 14).
Решение. В соот ветствии с (2.28) можно записать
/>(12<х< 14) = Ф[—-—J-Ф^—-—J =Ф(2)-Ф(1).
По Приложению 2 находим: Ф(2) = 0,4772; Ф(1) = 0,3413. Искомая веро-
ятность Р(12 <х < 14) = 0,1359.
2.6. Корреляция
При изучении сложных случайных величин в зависимости от их
сложности приходится использовать две, три и больше случайных
величин. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных
величин приводит к системе случайных величин. При изучении сис-
тем случайных величин ограничимся рассмотрением системы двух
случайных величин, так как все положения, касающиеся систему
Двух случайных величин, можно легко распространить на системы
трех, четырех и более случайных величин.
Законом распределения системы случайных величин называется
соотношение, устанавливающее связь между областями возможных
значений системы случайных величин и вероятностями появления
системы в этих областях.
Функцией распределения системы devx случайных величин называ-
ется функция двух аргументов F(xt у), равная вероятности совмест-
ного выполнения двух неравенств X< х и Y< у, т.е.
F(x, у) = Р(Х < х; Y < у). (2.29)
Если функция F(x, у) непрерывна и дважды дифференцируема,
тогда плотностью распределения называется выражение вида
2
f(x,y) =_£^F(x,y). (2.30)
схсу
Если распределение одной случайной величины, входящей в сис-
тему, найдено при условии, что другая случайная величина, входящая
в систему, приняла определенное значение, то такое распределение
называется условным законом распределения и обозначается F(x, у).
Соответственно условная плотность распределения обозначается J(x/y).
Условным математическим ожиданием дискретной случайной
величины ^при Y=y(y— определенное возможное значение случай-
ной величины У) называется сумма произведения возможных значе-
ний X на их условные вероятности:
M\X/Y=y\ = £х,р(х/у). (2.31)
Для непрерывных случайных величин
ОО
M[X/Y=y] = | xflx/y) dx. (2.32)
-ОО
Подобным образом вводятся условные дисперсии и условные
моменты более высоких порядков.
Случайные величины % и Y называются независимыми, если закон
распределения каждой из них не зависит оттого, какое значение при-
няла другая. Для того чтобы непрерывные случайные величины Xu Y
были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность рас-
пределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей рас-
пределения отдельных величин, входящих в систему:
A^y)=f{(x)f2(y). (2.33)
Законы распределения системы случайных величин являются ее
исчерпывающими вероятностными характеристиками. Однако очень
часто такая исчерпывающая характеристика не может быть примене-
на. Иногда ограниченность экспериментального материала ие дает
возможности построить закон распределения системы.
При исследованиях, связанных с системами случайных величии,
применяются их числовые характеристики, которые в определенной
28
степени могут дать представление также и о характере закона распре-
деления. В основу получения числовых характеристик системы слу-
чайных величин положено понятие моментов. Как и для одной слу-
чайной вепичины, здесь различают начальные и центральные
моменты.
Начальным моментом порядка к + s системы (X, У) называется
математическое ожидание произведения Л-й степени Xна 5-ю степень У:
aia = M[XkYs}. (2.34)
Формулы для вычисления начальных моментов записываются
следующим образом.
Для системы дискретных случайных величин
= (2.35)
1 I
где PtJ - P(X=xl; Y=yj) — вероятность того, что система (X, У) примет
значения (хрУу), а суммирование распространяется по всем возмож-
ным значениям случайных величин X, У
Для системы непрерывных случайных величин
ОО со
= f J dxdy, (2.36)
—ОО —ОО
где f(x,y) — плотность распределения системы.
На практике наиболее употребительны начальные моменты пер-
вого порядка:
а10 = Л/[Х1Г°] = Л/[А'>тл;
aot=M[X°r'] = M[Y] = my,
которые являются математическими ожиданиями случайных величин
Хи У входящих в систему. Эти математические ожидания определяют
координаты точки, называемой центром рассеяния системы на плос-
кости.
Рассмотрим центральные моменты. Центральным моментом рь
порядка к + s системы (X, У) называется математическое ожидание
произведения к-н и 5-й степеней соответствующих центрированных
величин:
(2.38)
29
Формулы для вычисления моментов записываются следующим
образом:
для системы дискретных случайных величин
Р*, = ££(£ - - ^Р,}. (2.39)
для системы непрерывных случайных величин
оо оо
= J f (* - '’’х/'У - my)s/lx, у) dxdу. (2.40)
-оо-оо
В расчетах часто применяются центральные моменты второго
порядка. Два из них представляют собой дисперсии величин X и У:
Dx = р20 = И(Л- mz)2(r- ту)°] = М[(Х- тх)2];
Dy = Р02 = W*- ">х)°(г-'”/] = М(У- «/].
которые характеризуют рассеяние случайной точки в направлении
осей Ох и Оу.
Особую роль при исследовании системы двух случайных величин
играет смешанный центральный момент рц, который называется кор-
реляционным моментом или моментом связи. Он обычно обознача-
ется к'
=Л/[(Х-тх)(У-т>.)]. (2.41)
Момент связи к^ определяемый как математическое ожидание
произведения отклонений двух случайных величин от их математиче-
ских ожиданий, помимо рассеяния величин X и Y может характеризо-
вать взаимное влияние этих случайных величин Для оценки степени
этого влияния обычно используют безразмерное отношение
которое называют коэффициентом корреляции случайных величин Хи У
Корреляционный момент и коэффициент корреляций обладают
следующим свойством. Если случайные величины Хи Yнезависимы,
то корреляционный момент и коэффициент корреляции равны нулю.
Докажем это для непрерывных случайных величин. Пусть % и Y—
независимые случайные величины с плотностью распределения/(х,у).
Тогда согласно (2.33) имеем
/(х,у)=/1(хК2(у)1
где/|(х),^(у)— плотности распределения соответственно величин Хи Y.
30
Следовательно,
ос со
кху = f J (х - тх)(у - my)f(x, у) dxdy =
-00-00
ОО ОО
= J (х - znx)>ffx) dx J (у-ту)/2(у) dy,
-OO -OO
т.е. двойной интеграл превращается в произведение двух интегралов,
каждый из которых равен нулю, так как они представляют математи-
ческие ожидания от центрированных случайных величин.
Итак, для независимых случайных величин Д' и У
*ху = О-
Из равенства нулю корреляционного момента и формулы (2.42)
следует равенство нулю коэффициента корреляции.
Аналогично доказывается это равенство и для дискретных случай-
ных величин.
Равенство нулю коэффициента корреляции является только необ-
ходимым, но не достаточным условием для независимости случай-
ных величин. Это значит, что может существовать система зависимых
случайных величин, коэффициент корреляции которой равен нулю.
Примером такой системы является система случайных величин (X, У),
равномерно распределенная внутри круга радиусом г с центром в
начале координат. Вычислим корреляционный момент
Так как для системы случайных величин (X, У), равномерно распре-
деленных внутри круга с центром в начале координат, тг = 0, /л = О,
л у
ОО ОО
= f fx>/(x,y) dxdy.TO
-оо -оо
где
1 2.22
—- при X + у <, Г \
пг
п 2 2 2
О при X + у > г .
31
Здесь внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция
нечетна, пределы интегрирования отличаются только знаком), следо-
вательно, - 0, или, что то же, коэффициент корреляции = 0.
Две случайные величины X и Y являются некоррелированными,
если их коэффициент корреляции равен нулю; Хи Y являются корре-
лированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля.
Таким образом, если случайные величины Хи Y независимы, то они
и некоррелированы, но из некоррелированности случайных величин
нельзя в общем случае сделать вывод об их независимости.
Кроме корреляционного момента и коэффициента корреляции вза-
имная связь двух случайных величин может быть описана с помощью
линий регрессии. Действительно, хотя при каждом значении Х=х
величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеяние
своих значений, зависимость У от % сказывается часто в изменении
средних размеров Y при переходе от одного значения х к другому. Эту
последнюю зависимость и описывает кривая регрессии
у = ту(х}.
Аналогично зависимость А'от Y, которая сказывается в изменении
средних размеров X при переходе от одного значения у к другому,
описывается кривой регрессии
х = тх(у).
2.7. Построение моделей надежности изоляции
на основе распределения функции
одного или двух случайных аргументов
При разработке моделей надежности изоляции необходимо учиты-
вать, что параметры, характеризующие состояние изоляции, и воздей-
ствующие на нее факторы обычно имеют какое-то стохастическое
распределение. Кроме того, они связаны между собой как вероятно-
стно, так и аналитически. Например, функции распределения пробив-
ного напряжения, приложенного напряжения, электродинамических
усилий, в также известные электромагнитные зависимости имеют
аналитическое выражение. В этом случае следует пользоваться рас-
пределениями функции одного и двух случайных аргументов.
Если каждому возможному значению случайной величины Xсоот-
ветствует одно возможное значение случайной величины К то Г назы-
вают функцией случайного аргументаX и записывают Y= <р(Х). Если
X— непрерывная случайная величина, заданная плотностью распре-
деления Дк), и если у = <р(х) — дифференцируемая строго возрастаю-
щая или строго убывающая функция, обратная функция которой
32
х - V(v)» то плотность распределения g(y) случайной величины У
находится из равенства
g(y) =/lvO')] • IvV)!- (2.43)
Если функция v= ф(х)в интервале возможных значений Д'не моно-
тонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в кото-
рых функция <р(х) монотонна, и найти плотности распределения gf(y)
для каждого из интервалов монотонности, а затем представить g(v)
в виде суммы:
«О') = ^(у).
Например, если функция <р(х) монотонна в двух интервалах,
в которых соответствующие обратные функции равны Vi(y) и VzM» то
«О') =/[ViO’)] • lv'1 О')! +/[ YzOO] • IV2 O')!- (2.44)
Задача 1. Известна плотность распределения J[i) случайной величины
тока статора причем возможные значения тока заключены в интервале
(я, Ь). Найти плотность распределения случайной величины напряжения
U Ri - 3i.
Решение. Так как функция U = Зх дифференцируема и строго возрастает,
то применима формула (2.43). Найдем обратную функцию ц/((/):
Найдем /(v(l')] =/(у)
и производную “ 1/3. Очевидно, что
iv'((/)l — 1/3 Искомая плотность распределения напряжения
Так как ток меняется в интервале (а, Ь) и напряжение U- 3i, то За < U < ЗЬ.
Задача 2. Случайная величина X = cof (момент включения элсктродви! а-
гезя) равномерно распределена в интервале (-п/2, л/2). Равномерное распре-
деление момента включения электродвигателя статистически верно и
в общем виде записывается так (соответственно птотность и функция рас-
пределения):
а Ь Ь- а
<2 45)
где а, b — границы интервала.
Найти плотность распределения напряжения gfy) случайной величины
( с siibY.
33
Решение. Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X
Величина Xраспределена равномерно в интервале (-п/2, п/2), поэтому в этом
интервале
1 _ 1 .
п/2 -(-л/2) л’
вне рассматриваемого интервала Дх) = 0.
Функция U = sinx в интервале (-л/2, п/2) монотонна, следоватезьно,
в этом интервале она имеет обратную функциюх = ц/(£7) = arcs in СА Производ-
ная = .L.j1 - Искомая плотность распределения определяется по
Jy-U2
(2.43). Учитывая, что Дх) = 1/л, следовательно, Д[^(«)] == 1/п и
IV'(w)l ” , 1 , получаем g(U) = —-=
71 - и1 nji -
Так как U = sinx, причем -п/2 < х < п/2, то -1 < U < 1. Таким образом.
в интервале (-1, 1) имеем g(U) = —• , вне интервала g[U) = 0.
nJl-U2
Проведем контроль:
= 2j du= = ±aicsint,|> = i
Задача 3. Случайная величина X- св/ (момент включения электродвига-
теля) равномерно распределена в интервале (0, 2). Найтн плотность распре-
деления напряжения g(t/) случайной величины U= cosx.
Решение. Плотность распределения Дх) случайной величины X в интер-
вале (0, 2п):
„ 1 1
2п-0 2 л
вне этого интервала Дх) = 0. Из уравнения U = cosx найдем обратную функ-
цию х = у((7). Так как в интервале (0, 2п) функция U = cosx немонотонна,
то разобьем этот интервал на интервалы (0, п) и (п, 2л), в которых эта функ-
ция монотонна В интервале (0, п) обратная функция ц/^С/) = arccost/;
в интервале (л, 2п) обратная функция у।(U) = -arccosLA Искомая плотность
распределения определяется в соответствии с выражением (2.44).
Найдем производные обратных функций:
Vl (tO = (arccos Uy = 1 ; (tO = (arccos U)' = .
-LT J\ - if
34
Соответственно модуль производных: lvj(L/)l = ; |фИ^)1 ~
Jl - и2
=— 1 . Учитывая, что/(х) = | л, получаем ДуДС/)] = 1/2п, /[v2(f/)] = л.
J]I?
Окончательно:
2tw 1 и2 2п 71 njl-u2
Так как U = cosx, причем 0 <х < 2л, то -1 < U< 1. Таким образом, в интер-
вале ( 1, 1) искомая плотность распределения g(u) =— - - , вне этого
п71 - и2
интервала g(u) = О.
Проведем контроль:
2 г dk
2 y/.i 1
= -arcsineL - 1 .
л 10
Задача 4. Задана плотность распределения амплитуд колебания лобовых
частей статора Дх) = -^-е 1 2 (-оо <х< оо). Случайная величинаXраспре-
2п
делена нормально. Найти плотность распределения случайной величины
Г = Л2.
Решение. Из уравнения Y = Л2 найдем обратную функцию. Так как
в интервале (-°°, °°) функция Y=X^ немонотонна, то разобьем этот интервал
на интервалы ( оо, 0) и (0, oo)f в которых рассматриваемая функция монотон-
на. В интервале (-oot 0) обратная функция ц/|(у) = —л/у» в интервале (оо, 0)
обратная функция ч/2(у) = Jy.
Искомая плотность распределения определяется по (2.44). Модули произ-
водных обратных функций |ц/[ (у)| = —, (ц/Иу)! ~ ~v Учитывая, что
2jy 2jy
V] (У) = IvA (у)| = Jy. Лх) = J-e х /2, получаем/[ц/1 (у)] = ——е 2,
/IVjCv)] = 2 Объединив все полученные данные в соответствии с
формулой (2.44), найдем
gtv) =
:—~е
f2nv
35
Так как = х2, причем -©о < х < оо, то 0 <у < оо Таким образом, в интер-
вале (0, ею) искомая шотность распределения
В этом случае, когда каждой паре возможных значений случайных вели-
чин X н У соответствует одно возможное значение случайной величины Z,
то Z называют функцией двух сзучайных аргументов X и Y. Тогда Z = X + Y.
Если X и Y— непрерывные независимые случайные величины, то плот-
ность распределения g(z) суммы Z = X + Y при условии, что плотность рас-
пределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (-°°, °°) одной
формулой, может быть найдена по любому из двух представленных равно-
сильных выражений:
g(z) = f/|(x)/,(z-x) dx;
(2.46)
g(z)= dy,
где — плотности распределения аргументов. Если возможные значения
аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины
Z~X+Y находится по любому из равносильных выражений:
£(-)= J/iUl/iU- *) dx;
о
Z
О
(2 47)
В том случае, когда плотности /|(х) иД(х) заданы в конечных интервалах, для
отыскания g(z) целесообразно сначала иайти функцию распределения G(z).
а затем продифференцировать ее noz. То1да получим g(z) = G’(-)-
Если X и Y— независимые случайные величины, заданные плотностями
распределения /j(x), _£(х), то вероятность попадания случайной точка (X, У)
в область D равна двойному интегралу по этой области:
Р[(Х п с £>] = J f Л (X) /,(j) dxdy. (2.48)
(Я)
Задача 5. Независимые случайные величины влажность В и вибрация Н
заданы плотностями распределений:
fx(b) = €Ь(0<,Ь<. оо), /2(й) = 1 /2е~'Л (О S h S ОО).
Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случай-
ной ветнчины Z = В + Н
36
Решение. Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то
применима формула (2.47). Следовательно,
1
2е
g(z) = Je b
о
Выполнив преобразования, получим
f \ • —z/2-i
g<z) = e [1-е ].
Здесь z 2 0, так как Z = В + Нн возможные значения В и Н неотрицательны»
2.8. Основные понятия математической статистики
Математическая статистика разрабатывает методы получения,
описания и обработки опытных данных в целях изучения закономер-
ностей случайных массовых явлений. Например, методы расчета,
используемые при определительных и контрольных испытаниях на
надежность, базируются на законах математической статистики [3].
Рассмотрим некоторые исходные понятия математической статисти-
ки. Пусть необходимо исследовать какой-то признак, свойственный
большой группе однотипных изделий, например время безотказной
работы двигателей. Совокупность значений признака всех N изделий
данного типа называется генеральной совокупностью. При этом пред-
полагается, что число в генеральной совокупности велико.
Сплошное обследование всей совокупности нецелесообразно.
Поступают следующим образом: случайно отбирают из всей совокуп-
ности ограниченное число изделий и подвергают их испытаниям.
Выборочной совокупностью или выборкой называют совокупность
случайно отобранных объектов. Таким образом, выборочный метод
состоит в том, что из генеральной совокупности отбирается выборка
объемом п изделий (п « N) и определяются характеристики и пара-
метры выборки. Полученные значения могут отличаться от значений
параметров генеральной совокупности, но они дают представление о
величине последних. Такие приближенные значения называются
выборочными оценками какого-то параметра. Естественно, чем
больше п, тем более обоснованное суждение высказывается на основе
выборки.
Выборка должна быть репрезентативной, т.е. представительной.
Это достигается за счет случайного отбора исследуемых изделий
чибо по «жеребьевке» (в простых случаях), либо с помощью таблиц
случайных чисел (фрагмент таблицы приведен в Приложении 3).
По аналогии с функцией распределения и плотностью распределе-
ния в математической статистике существует понятие статистической
37
функции распределения и статистической совокупности (гисто-
граммы).
По результатам выборки получаются выборочные оценки чисто-
вых характеристик генеральной совокупности. В математической
статистике различают два вида статистических оценок — точечные и
интервальные. Точечные оценки указывают точку на числовой оси,
в которой должно находиться значение неизвестного параметра.
В качестве оценки математического ожидания генеральной совокуп-
ности принимается выборочная средняя, т.е.
< = X “ • <2’49>
где т* — точечная оценка математического ожидания генеральной
совокупности.
Для с редне квадратического отклонения
2
LJT_— (2 50)
Па рис. 2.2 на числовой оси показаны значение параметра С, его
оценка С и доверительный интервал I с границами ( С - е ; С + е ).
Под доверительной вероятностью (достоверностью р понимают веро-
ятность того, что истинное значение параметра находится внутри
заданного интервала. Границы такого интервала называются довери-
тельными границами (достоверность р обычно принимают 0,9; 0,95;
0,99).
Доверительные интервалы имеют верхнюю и нижнюю границы.
Так, если Т — статистическая оценка времени наработки на отказ, то
и Тв будут верхними и нижними границами, а значение Т будет
находиться между этими границами с какой-то доверительной веро-
ятностью (рис. 2.3). Рассмотрим, как происходит построение довери-
тельных интервалов для случая нормального распределения. Оценка
1
Рис. 2.2. Построение доверительного
интервала / для оценки математического
ожидания Т нормально распределенного
признака генеральной совокупности
•____1________________1__►.
Г’ Т Т' Т* t
Рис. 2.3. К понятию интервальной
оценки
38
времени наработки на отказ для выборки из п изделий распределяется
относительно величины Т (по генеральной совокупности) со стан-
дартным отклонением . Доверительные интервалы будут распре-
Jn
деляться так:
(2.51)
Верхние и нижние границы интервала определяются как
Т« = Т'-^~г
т,= т + Г Л
Здесь /р — квантиль распределения Стьюдента. Значение /р протабу-
зировано (см. Приложение 4) и зависит от доверительной вероятно-
сти р и числа степеней свободы г. Число степеней свободы определя-
ется объемом выборки и (число независимых наблюдений),
уменьшенное на число параметров, оцениваемых по этой выборке.
Так как оценивается один параметр Т, то число степеней свободы
г = п- 1.
Задача. Производится оценка времени наработки на отказ синхронною
генератора средней мощности Из генеральной совокупности извлечена
выборка объемом п = 10 (результаты испытаний). Время наработки /f = 9 800,
9800, 10 000, 10 100, 10 200, 10 300, 10 300, 10 400, 10 400, 10 500 ч Оценить
с доверительной вероятностью р = 0,95 математическое ожидание Т нор-
мально распределенного признака генеральной совокупности, а также рас-
считать верхнюю н нижнюю границы доверительного интервала.
Решение. Согласно условию задачи
Г* = —= 10 180 ч; f <T<f +
п р Jn нJn
Здесь /р определяется по таблице Прнзожсния 4 для р ~ 0,95 и числа степе-
ней свободы г = л-1 = 10-1= 9. Итак, /р - 2,26. Значение
/Е(/, 10 I80)2
а= ——-------------- = 248,5 ч
\ 10- 1
Верхняя граница Т = 10 180 + 2,26^7 = 10 358 ч
3,162
Нижняя граница Т„ = 10 180 2. = 10 002 ч.
Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью
Р ' 0,95 находится значение Т: 10 002 < Т< 10 358.
39
2.9. Критерий Фишера, критерий Стыодента,
критерии согласия
Критерий Фишера. Задачи, решаемые с помощью этого крите-
рия, относятся к дисперсионному анализу. Формулировка проблемы
следующая: имеется две выборки из одной генеральной совокупно-
сти. Оценки дисперсий, вычисленных по выборкам, отличны друг от
друга. Критерий Фишера F устанавливает, значимо ли различие
между дисперсиями, т.е. можно ли считать, что речь идет об оценках,
произведенных по выборкам из одной и той же генеральной совокуп-
ности (так называемая гипотеза об однородности дисперсий). Крите-
рий Фишера представляет собой отношение двух оценочных диспер-
- *2 *2 *2 с л *2 v
сии О] и о2 , причем Oj должна быть больше о2 - Критерии
Фишера определяется
•2 2
о. 5. 2 2
= 4 (^>/2). (2.52)
°2 S2
Значение критерия Фишера связано с числом степеней свободы
первой и второй дисперсий, причем чем меньше число степеней сво-
боды, тем больше допускается величина F при установленном уровне
значимости (или доверительной вероятности). Значения F (см. При-
ложение 5) зависят от числа степеней свободы q = (И| - 1), располо-
женных в таблице горизонтально, числа степеней свободы г2 = (Л2 “
расположенных вертикально. Уровень значимости равен а = 0,05
(а = 1 - Р). Гипотеза о том, что обе выборки относятся к одной гене-
ральной совокупности, подтверждается, если рассчитанное значение
меньше табличного, т.е. F < Ктабл.
Задача. Для оценки старения металла были проведены две проверки
образцов на прочность с разницей в три года. Данные результатов первой
проверки следующие: х,-= 1,08; 1,10; 1,12; 1,14; 1,15; 1,25; 1,36; 1,38; 1,40;
1,42 (л = 10). Результаты проверки через три года: у, = 1,11, 1,12; 1,18; 1,22;
1,33; 1,35; 1,36; 1,38 (л = 8). С помощью критерия Фишера проверить гипо-
тезу о том. что прочность металла не снизилась, т.е. выборки относятся
к одной генеральной совокупности.
•2
Решение. В соответствии с расчетными формулами определяются о, в
•2
= 0,0188667 и Г] = 9, а также ст2 = 0,0124839 и г = 7. Расчетное значение кри-
терия Фишера F = 1,51. Согласно таблице в Приюжснни 5 для р = 0,95
(а - 1 р = 0,05) при Г| = 9(по горизонтали) и г2 = 7 (по вертикали) Гтабл = 3,8.
Таким образом, F < Fn6n и, значит, нет оснований считать, что прочность
металла снизизась, так как обе выборки относятся к одной генеразьиой сово-
купности.
40
Критерий Стьюдеитя (/-критерий), значения которого приведены
в Приложении 4, позволяет ответить на следующий вопрос: какова
вероятность того, что выборка взята из генеральной совокупности
с математическим ожиданием тх и с редне квадратическим отклоне-
нием аЛ-
Если распределение генеральной совокупности близко к нормаль-
ному, то можно считать, что распределение выборочных средних зна-
чений х также нормально со среднеквадратическим отклонением
— . Отклонение выборочных средних значений д от тх в единицах
Jn
Х ~ тх
среднеквадратн чес кого отклонения а будет: -—. Итак, с помо-
о Jn
шью критерия Стьюдента решается задача, если неизвестны либо тх,
либо ох, либо и тх и ах.
Рассмотрим следующую ситуацию: выборка объемом п имеет
среднеквадратическое отклонение s и среднее арифметическое х.
Известно математическое ожидание генеральной совокупности тх.
Относится ли выборка к генеральной совокупности? Задача решается
с помощью /-критерия, который записывается в виде
х - т
' = s-fn
Рассчитанное значение /-критерия сравнивается с табличным при
определенном уровне значимости и числе степеней свободы г = (л - 1),
причем для подтверждения гипотезы рассчитанное значение должно
быть меньше табличного, т.е. / < /табл.
Критерии согласия. В математической статистике часто возни-
кает задача определения на основе имеющихся статистических дан-
ных закона распределения некоторой случайной величина х. В зтом
случае выдвигается гипотеза о математической модели распределе-
ния. Известные методы позволяют подтвердить (или не подтвердить)
соответствие имеющегося статистического материала выдвинутой
гипотезе о законе распределения.
Гипотезы о законе распределения выдвигаются на основе теорети-
ческого анализа физической природы и свойств исследуемой случай-
ной величины. Необходим также предварительный анализ данных,
в частности кривых статистической плотности распределения (гисто-
грамм). Проверка соответствия гипотезы статистическим данным
сводится к установлению степени близости гипотетического (теоре-
тического) и статистического (эмпирического) распределений.
41
2.10. Статистическая обработка данных
и определение закона распределения
Одним из важных способов получения информации о надежности
технических изделий валяются сбор и статистическая обработка дан-
ных об износе и отказах, происшедших в процессе эксплуатации.
Решаются следующие задачи.
1. Определение вида функции плотности распределения или
интегральной функции распределения.
2. Вычисление параметров полученного распределения.
3. Установление с помощью критериев согласия степени совпаде-
ния эмпирического с предполагаемым теоретическим распределе-
нием.
Наиболее распространенными теоретическими распределениями
являются нормальное распределение, экспоненциальное, логарифми-
чески-нормальное, Вейбулла и гамма-распределение. Поэтому при
определении вида распределения рекомендуется аппроксимировать
экспериментальные характеристики этими законами в указанной
выше последовательности.
Для подбора вида теоретического распределения, совпадающего
в наибольшей степени с полученным эмпирическим, чаше всего при-
меняется метод максимума правдоподобия или метод наименьших
квадратов, причем последний применяется для определения парамет-
ров распределения при полных выборках.
Для оценки степени совпадения эмпирической и теоретической
кривых распределения применяются так называемые критерии согла-
2
сия: критерий х (критерий К. Пирсона) или критерий Колмогорова.
Оценка по критерию К. Пирсона (аналитический метод). Про-
цесс аналитической оценки закона распределения разбивается на два
этапа: построение гистограмм и кумулятивных кривых и проверку
допустимости принятого закона распределения отказов по критериям
согласия.
Для построения гистограмм и кумулятивных кривых удобно
использовать следующую таблицу (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Критерии Пирсона
Границы интервала Абсолют- ная частота Относитель- ная частота Накоплен- ная частота Вероятность безот- казной работы Интенсив- ность отказов
А/, п (А/,) ”(Д',) jV0A'< "(0 1 "(А/Д \рд'.
42
Для заполнения этой таблицы вся область предполагаемого (гипоте-
тического) распределения разбивается на т интервалов (т = 104-20),
причем интервалы обычно равны между собой. Границы интервалов
д/, записываются в первый столбец. Во втором столбце отмечается
число отказов на участке A/f - л(Л/Д Третий столбец заполняется зна-
чениями относительных частот л(А/-)/(^ • А/Д где No — общее число
исследуемых образцов. Относительная частота есть одновременно
частота отказов а(/). По данным третьего столбца (относительная час-
тота отказов) строится гистограмма, которая аппроксимируется кри-
вой (рис. 2.4). Высота каждого прямоугольника соответствует относи-
тельной частоте в интервале Arf.
Аналогичные гистограммы могут быть построены и для вероятно-
сти безотказной работы P(t) = 1 - л(А0/^ (пятый столбец) и для
интенсивности отказов X = • А/,) (шестой столбец), где
7Vcp— среднее число исправно работающих изделий на участке А/г
Гистограмма, составленная из прямоугольников, аппроксимируется
кривой, по виду которой предварительно устанавливается закон рас-
пределения отказов путем визуального сравнения с теоретическими
кривыми.
График накопленных частот и соответствующая ему кумулятивная
кривая (рис. 2.5) строятся по данным четвертого столбца
Накопленные частоты получаются в результате последовательного
сложения следующих друг за другом частот. Кумулятивная кривая
имеет более плавный характер, чем гистограмма. Высота последней
ординаты соответствует объему накоплений всего ряда (100 %).
Далее проверяются совпадения эмпирической кривой распределе-
2
ния и выбранной теоретической по критерию К. Пирсона х :
Рис. 2.5. График накопленных частот
и кумулятивная кривая
Рис. 2.4. Диаграмма частоты отказов
43
где к — число интервалов; Лэмп — эмпирическое значение частоты
отказов; Лтсор — теоретическое (гипотетическое) значение частоты
отказов.
Чаще встречается запись критерия £2 в следующем виде:
X = Z т Рт (2.54)
Полученные значения критерия х сравниваются с табличными
для соответствующей доверительной вероятности и числа степеней
свободы / = к - 1 (см. Приложение 6).
Если рассчитанное значение /2 меньше табличного, то гипотеза об
идентичности эмпирического и теоретического законов принимается;
в обратном случае гипотеза отвергается и проверяется иной закон.
2
Для расчета критерия % воспользуемся алгоритмом, последова-
тельность операций которого соответствует табл. 2.2.
Основным в определении х2 является нахождение разницы между
эмпирическим и теоретическим распределением, т.е. hm - прт. Теоре-
тическая вероятность рт указывает долю площади под гауссовой кри-
вой распределения по гипотезе Hq (основной гипотезе) между верх-
ними и нижнимн границами /и-го интервала (рис. 2.6).
Итак, в первом столбце табл. 2.2 записываются границы интерва-
ла, во втором столбце — абсолютные частоты в каждом интервале.
Для расчета теоретических частот прт следует прежде всего по
выборке найти оценки параметров нормального распределения и
2
а0, которые гипотезой Hq (гипотеза о теоретическом законе распреде-
ления) не задаются. Значения ц0 и Cq определены по известным фор-
мулам для выборочных оценок и позволяют рассчитать теоретические
частотьг В третьем столбце приводятся значения ат = (&т -р0)/о0, где
— верхняя граница m-го интервала. По аргументам ат в табл. 2.2
Таблица 2.2
44
можно найти значение функции нор-
мального распределения Ф(ат). Раз-
ность между двумя значениями Ф(ат) -
Ф(°т- 1) четвертого столбца дает тео-
ретическую вероятность рт-го интер-
вала (пятый столбец). В шестом столбце
приведены теоретические частоты прт.
В седьмом столбце даются квадраты
разностей между эмпирическими и тео-
ретическими частотами. В восьмом
столбце приводятся значения (hm -
2
~ пРп) которые суммируются, и
полученное значение х2 сравнивается с
табличным.
Их, ро. oj >
Рис. 2.6. Теоретическая вероят-
ность рж, представляющая
собой долю плошали под кривой
распреде1еиия между верхней
(0Ж) и ннжнеи (0Ж_|) границами
m-го интервала
Пример 1. Рассмотрим часть полной таблицы проведения испытаний на
надежность узла электромеханической системы. Данные приведены в табл. 2.3.
В первом столбце даны значения интервалов времени — равновеликие
участки. Во втором столбце — абсолютное число отказавших в данном
интервале изделий — абсолютная частота. Далее необходимо вычислить
2
оценки и о0:
= ао= ; = 40-48- °о =5>7i-
m-1 Т Л=1
Тогда
_е„-и0 е„,-4о,48
а" О0 5.71 •
где 0т — верхняя граница т-го интервала.
Таблица 2.3
Пример расчета ц2
Номер п/п Границы Фя (Лж - ЛРж>2
5 30,5—33,5 13 -1,22 -0,3888 0,0711 10,67 5,4289 0,51
6 33,5—36,5 23 0,7 -0,2580 0,1308 19,62 11,424 0,58
7 36,5—39,5 22 -0,17 -0,0676 0,1905 28,58 43,296 1,51
8 39,5—42,5 29 0,35 0,1369 0,2043 30,65 2,722 0,09
...
/2 = 3.26
45
Так,
. 33,5 -40,48 . „ 36.5 40,48
ат --------------- = 1.22, а =---------------- = 0,7;
"5 5,71 Ж6 5,71
39,5 -40,48 42,5 - 40,48 л,в
ат = ----- — = -0,17; — =0,35.
т7 5 71 с •’»
5,71
Напомним, что Ф( ат) = Ф(ат), и по Приложению 2 найдем Ф(аЖ5) =
= -0.3888; Ф(о„А) =-0.2580; Ф(ои?) = 0,0675; Ф(о„8) = 0,1367; так запол-
няется четвертый столбец.
Пятый столбец: (/’«J = (_Ф(дт6)] _ i Ф(°т5)] = 0,1308; |pwJ = 0,1905;
|p„J = Ф(<з„8) + Ф(%) = 0,2043.
Заметим, что значение рт берется по мод)лю. Шестой столбец есть про-
изведение прт, число л — общее число исследуемых данных. В полном при-
мере п (иногда его обозначают No) равно 150. Для расчета значения 150pw
производя! вычисления восьмого и девятого столбцов. Все значения, полу-
ченные в девятом столбце, суммируются. В итоге вся сумма х“ = 3,26.
Число степеней свободы 1 = к - 1, где к — количество интервалов. Число
/ уменьшается еще на 2, так как по выборке оценивались значения ЦдИ
Поэтому число степеней свобода 7 = к- 3. В полном опыте число интервалов
к - 10, поэтому / = 10 - 3 = 7. По Приложению 6 для числа степеней свободы
/ = 7 и доверительной вероятности Q - 0,95 находим значение /2 = 14,1.
В ситу того что рассчитанное значение = 3,26 < 14,1, основная гипотеза
принимается. Резулыаг не противоречит допущению, что выборка взята из
нормально распределенной генеральной совокупности.
Графический метод оценки закона распределения. При приме-
нении графического метода используется тот факт, что наиболее рас-
пространенными законами распределения времени безотказной
работы являются: экспоненциальный, нормальный, логарифмически-
нормальный, Вейбулла. Именно этим законам подчиняются отказы
основных узлов электрических машин.
Экспериментальные данные записываются в соответствии с
табл. 2.4 (рассматривается процесс испытания машин до отказа).
В первый столбец вносятся значения I соответствующие времени
при отказах, во второй столбец — пг т.е. число изделий, отказавших
за данный интервал времени, в третий — накопленное к данному
моменту число отказов Нг в четвертый — частота отказов где
— общее число отказов, в пятый столбец — 1 -
46
Таблица 2 4
К расчету критерия Колмы орова
1 - //,/Ел,-
Для графического выявления закона распределения значения
или 1 ~ наносят на бумагу со специальной координатной
сеткой:
• если проверяется экспоненциальный закон, то используется
бумага, где по оси абсцисс — равномерная шкала для /, а по оси орди-
нат — логарифмическая шкала (рис. 2.7);
• если проверяется нормальный закон, то используется бумага,
где по оси абсцисс — равномерная шкала, а по оси ординат — шкала,
соответствующая нормальному закону;
• если проверяется логарифмически-нормальный закон, исполь-
зуется бумага, где по оси абсцисс нанесена логарифмическая шкала,
а по оси ординат — шкала, соответствующая нормальному закону;
• если проверяется закон Вейбулла, используется специальная
бумага.
Проверку рекомендуется проводить в указанном здесь порядке.
После нанесения точек, соответствующих или 1 — HifZnp
Рис. 2.7. Вероятностная бумага (при экспоненциальном законе)
47
на бумагу, проводится проверка, которая состоит в определении воз-
можности линейной интерполяции экспериментальных данных,
определении наибольшего отклонения D и проверке по критерию
согласия Колмогорова. Прямую линию надо проводить так, чтобы
отклонения точек от прямой были минимальными и точки располага-
лись по обе стороны.
Наибольшее отклонение D определяется сравнением величин
отклонения по оси ординат точек, построенных по эксперименталь-
ным данным: от прямой при различных и выбором максимального
значения. При этом следует помнить о неравномерности шкалы
ординат.
Критерий согласия Колмогорова рассчитывается по выражению
Djn , где п — общее число экспериментальных точек. Если Djn^\y
то гипотеза о предполагаемом законе подтверждается; если Djn > 1,
то гипотеза отвергается.
Если согласие теоретического и эмпирического законов подтвер-
ждено, то по графикам можно определить параметры законов распре-
деления. В случае экспоненциального закона значение t = Гср соответ-
ствует пересечению прямой у - 0,37 с интерполяционной прямой.
В случае нормального и логарифмически-нормального законов про-
водятся прямые у = 0,16 иу = 0,84, проекции точек которых при пере-
сечении с интерполяционной прямой определят отрезок на оси абс-
цисс, равный соответственно 2а и 21па. В общем случае параметры
законов распределения вычисляются по известным соотношениям.
Пример 2. В результате испытаний получены данные, которые сведены
в табл. 2.5.
Таблица 2.5
Расчет по критерию Колмогорова
Номер п/п л, Н, ЯДл, 1 HtrLnf
1 2 2 2 0,08 0,92
2 3 2 4 0,16 0,84
23 86 1 26 0,93 0,07
24 98 1 27 0,96 0,04
25 120 1 28 1,00 0,00
Ел, = 28
48
в первом столбце приведено время отказа испытываемых изделий, во вто-
ром — число отказов в интервале, третий столбец рассчитывается последо-
вательным суммированием отказов, четвертый и пятый — согласно приве-
денным формулам. Затем значения и 1 - H{rLnt наносятся на вероятност-
ную б>магу. В данном примере проверяется экспоненциальный закон,
поэтому точки наносятся на экспоненциальную сетку (см. рис. 2.7). Прово-
дится прямая линия, и определяется максимальное отклонение D ~ 0,09.
Оценка по критерию Колмогорова дает Djn= 0,09 = 0,48 < 1,0. Итак,
можно считать, что отказы подчиняются экспоненциальному закону распре-
дели ия.
Глава третья
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
ТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
3.1. Основные понятия и термины теории надежности
Рассмотрим основные понятия и термины, необходимые для изу-
чения теории и расчета надежности элементов и систем технических
изделий (в основу дальнейшего перечня положен ГОСТ 27.002—89
«Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определе-
ния».
Объект — предмет определенного целевого назначения, рассмат-
риваемый в период проектирования, производства, эксплуатации,
изучения, исследования и испытаний на надежность. Объектами
могут быть как системы, так и их элементы.
Надежность — свойство объекта сохранять во времени в установ-
ленных пределах значения всех параметров, характеризующих спо-
собность выполнять требуемые функции в заданных режимах и усло-
виях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и
транспортирования.
Надежность является сложным свойством, которое в зависимости
от назначения объекта и условий его применения состоит из сочета-
ний свойств: безотказности, долговечности, ремонтопригодности и
сохраняемости.
Безотказность — свойство объекта непрерывно сохранять рабо-
тоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.
Долговечность — свойство объекта сохранять работоспособное
состояние до наступления предельного состояния при установленной
системе технического обслуживания и ремонта.
Ремонтопригодность— свойство объекта, заключающееся в при-
способлении к поддержанию и восстановлению работоспособного
состояния путем проведения технического обслуживания и ремонтов.
Сохраняемость — свойство объекта сохранять в заданных преде-
лах значения параметров, характеризующих способность объекта
выполнять требуемые функции, в течение и после хранения и (или)
транспортирования.
50
Исправное состояние (исправность) — состояние объекта, при
котором он соответствует всем требованиям нормативно-техниче-
ской и (или) конструкторской (проектной) документации.
Неисправное состояние (неисправность) — состояние объекта,
при котором он не соответствует хотя бы одному нз требований нор-
мативно-технической и (или) конструкторской (проектной) докумен-
тации.
Работоспособное состояние (работоспособность) — состояние
объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих
способность выполнять заданные функции, соответствуют требова-
ниям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной)
документации.
Предельное состояние — состояние объекта, прн котором его
дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна либо
восстановление его работоспособного состояния невозможно или
нецелесообразно.
Критерий предельного состояния — признак или совокупность
признаков предельного состояния объекта, установленные норматив-
но-технической и (или) конструкторской (проектной) документацией.
Следует отметить, что в зависимости от условий эксплуатации для
одного н того же объекта могут быть установлены два и более крите-
риев предельного состояния.
Повреждение — событие, заключающееся в нарушении исправного
состояния объекта при сохранении работоспособного состояния.
Критерий отказа — признак или совокупность признаков нару-
шения работоспособного состояния объекта, установленные в норма-
тивно-технической и (или) конструкторской документации.
Причины отказов — явления, процессы, события и состояния,
вызвавшие возникновения отказа объекта.
Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособно-
сти объекта. Отказы классифицируются по характеру процесса про-
явления на внезапные и постепенные, по связи с другими отказами —
на зависимые и независимые, по физической картине процесса — на
катастрофические и параметрические, по степени влияния на работо-
способность — на полные и частичные.
Внезапный отказ характеризуется скачкообразным изменением
параметров под воздействием многих случайных факторов, связан-
ных с дефектами элементов, с нарушениями режимов или условий
работы, с ошибками обслуживающего персонала и т.п. При постепен-
ном изменении параметров в результате старения узлов и материалов
элементов или систем может произойти постепенный отказ. Однако
разделение на внезапные и постепенные отказы имеет все же услов-
ный характер.
51
Отказ какого-либо узла относится к независимым, если он не явля-
ется следствием отказа других узлов. В противном случае имеют
место зависимые отказы. Возникает вопрос: как описать отказ
обмотки электрической машины при разрегулировании реле тока нли
отказ подшипника прн повышенном искрении коллектора машины
постоянного тока? В первом случае отказ имеет зависимый характер,
во втором — независимый.
Отказы типа пробоя, заклинивания подшипников, разрушения
вала, короткого замыкания относятся к катастрофическим отказам,
которые приводят к полному нарушению работоспособности. Пара-
метрические отказы являются частичными отказами сложных изде-
лий и выражаются в ухудшении качества функционирования изделия.
Кроме того, выделяют конструктивные отказы, возникшие по
причине несовершенства или нарушения установленных правил
и (илн) норм проектирования и конструирования; производственные
отказы, связанные с несовершенством илн нарушением установлен-
ного процесса изготовления или ремонта; эксплуатационные отказы,
возникшие в связи с нарушением установленных правил и (нли) усло-
вий эксплуатации.
Рассмотрим временные понятия и термины теории надежности.
Наработка — продолжительность или объем работы объекта.
Наработка может быть как непрерывной величиной (продолжитель-
ность работы в часах, километраж пробега и т.п.), так н целочисэен-
ной величиной (число рабочих циклов, запусков н т.п.).
Наработка до отказа — наработка объекта от начала эксплуата-
ции до возникновения первого отказа.
Ресурс — суммарная наработка объекта от начала его эксплуата-
ции или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное
состояние.
Срок службы — календарная продолжительность эксплуатации от
начала эксплуатации объекта илн ее возобновления после ремонта до
перехода в предельное состояние.
Срок сохраняемости — календарная продолжительность хране-
ния и (или) транспортирования объекта, в течение которого сохраня-
ются в заданных пределах значения параметров, характеризующих
способность объекта выполнять заданные функции.
Остаточный ресурс — суммарная наработка объекта от момента
контроля его технического состояния до перехода в предельное
состояние. Аналогично вводятся понятия остаточной наработки до
отказа, остаточного срока службы и остаточного срока хранения.
Назначенный ресурс — суммарная наработка, при достижении
которой эксплуатация объекта должна быть прекращена независимо
от его технического состояния.
52
Если рассматривать техническое обслуживание и ремонт объек-
тов. то следует выделить два типа объектов.
Восстанавливаемый объект — это объект, для которого в рассмат-
риваемой ситуации проведение восстановления работоспособного
состояния предусмотрено в нормативно-технической и (или) конст-
рукторской документации.
Невосстанавчиваемый объект не подлежит восстановлению в
рассматриваемой ситуации. Следует отметить, что в зависимости от
ситуации даже один и тот же объект может быть отнесен к тому или
иному виду.
В сложных технических изделиях и системах применяют резервиро-
вание, т.е. способ повышения н обеспечения надежности. Резервирова-
ние — это применение дополнительных средств н (или) возможностей
в целях сохранения работоспособного состояния объекта при отказе
одного или нескольких его элементов. Резерв — это совокупность
дополнительных средств и (или) возможностей, используемых для
резервирования. Резерв может быть нагруженным, когда резервный
элемент находится в том же рабочем режиме, что и основной, облегчен-
ным и ненагруженным, когда резервный элемент нагрузки практически
не несет (до начала выполнения им функций основного элемента).
Показатель надежности — это количественная характеристика
одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта
3.2. Показатели надежности
Показатели надежности можно разбить на две группы, характери-
зующие невосстанавливаемые (обмотки ротора и статора электриче-
ских машин, щетки, подшипники) и восстанавливаемые (коллектор-
но-щеточный узел, подшипниковый узел, пускорегулирующая
аппаратура) объекты.
К числу широко применяемых количественных характеристик
надежности невосстанавлнваемых объек-
тов относятся: вероятности безотказной
работы P(t) н отказа Q(t), частота отказов
°(0» интенсивность отказов Х(/), средняя
наработка до первого отказа Гср.
Вероятность безотказной работы
(ВБР) — это вероятность того, что при
определенных условиях эксплуатации в
заданном интервале времени не произой-
дет нн одного отказа. Вероятность P(t) —
Функция убывающая (рнс. 3.1), причем
Q<P(t)< 1,Р(0)= 1,Р(оо) = 0.
Рнс. 3.1. Кривые вероятности
безотказной рабозы JP(t) и
вероятности отказа Q(t)
53
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об
отказах оценивается выражением
Р*(г) =
"о
(3.1)
Здесь P*(t) — статистическая оценка ВБР; No — количество изделий
в начале испытаний; n(f) — количество отказавших изделий за время t.
При большом количестве изделий статистическая оценка P*(z)
практически совпадает с вероятностью P(t).
Вероятность отказа Q(t) — это вероятность того, что при опре-
деленных условиях эксплуатации в заданном интервале времени про-
изойдет хотя бы одни отказ. Отказ и безотказная работа — события
противоположные и несовместимые:
e(o = i-p(o; е‘(о = ^
Ло
(3.2)
Частота отказов a(t) есть отношение количества отказавших
изделий в единицу времени к первоначальному количеству испыты-
ваемых изделий:
и(А0
а\/) =
(33)
где л(Аг) — количество отказавших изделий в интервале времени Az.
Частота отказов или плотность вероятности отказов /(Z) может
быть определена как производная по времени вероятности отказов:
(3.4)
Интенсивность отказов X(z) — условная плотность вероятности
возникновения отказа, которая определяется как отношение коли-
чества отказавших изделий в единицу времени к среднему числу
изделий, исправно работающих в данный отрезок времени:
где 2Vcp = (Ni + Nt + i)/2 — среднее число изделий, исправно работаю-
щих в интервале A/; Nf9 + } — соответственно количество издечий,
исправно работающих в начале и конце интервала А/, Ni > Ni+ г
(3 5)
54
Интенсивность отказов Х(Г) является также отношением частоты
отказов к ВБР:
Х(г) = ^ = - (3.6)
P(t) PfJ)
Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов свя-
заны выражением
P(t) = exp - j X(f) d/
(3-7)
о
Обычно интенсивность отказов изменяется во времени. Лишь
в случае экспоненциального закона распределения отказов интенсив-
ность отказов Х(г) = const.
Средней наработкой до отказа Гср называется математическое
ожидание наработки объекта до первого отказа, которое Гср вычисля-
ется следующим образом.
7’ср= (3.8)
О
По статистическим данным об отказах средняя наработка до пер-
вого отказа вычисляется по формуле
*0
(3-9)
/v0
где — время безотказной работы /-го образца: No — количество
испытуемых изделий.
Для определения ГСр необходимо знать время безотказной работы
всех испытуемых изделий. Иногда это не представляется возможным
н поэтому пользоваться формулой (3.9) неудобно. Имея данные
о количестве вышедших из строя элементов л,- в каждом /-м интервале
времени, среднюю наработку до первого отказа можно определить из
Уравнения
S "/ср.
2-1
*0
(3.10)
где т — число интервалов длительностью А/.
55
Значения /cpf и т находятся по следующим зависимостям:
rcjx = (G-i+//)/2; ^ = tk^ (з.н)
где t{ _ р tt — время начала и окончания /-го интервала; 1К — время,
в течение которого вышли из строя все изделия.
В ГОСТ 27.002—89 существует позиция «Нормируемый показа-
тель надежности» — это показатель, значение которого регламенти-
ровано нормативно-технической и (или) конструкторской (проект-
ной) документацией на объект. Среди перечисленных количествен-
ных характеристик надежности это вероятность безотказной работы
Р(г), интенсивность отказов Х(/) и средняя наработка до отказа Гср.
Однако прн исследовании надежности технических изделий часто
важно знать и вероятность отказа Q(t) (например, прн построении ку-
мулятивных кривых, для структурного анализа сложных объектов и
т.п.), а также частоту отказов а(г) — для построения гистограмм, при
оценке законов распределения с помощью критериев согласия и т.п.
Кроме того, в ГОСТ 27.002—89 записано, что «в качестве нормируе-
мых показателей надежности могут быть использованы один или
несколько показателей, включенных в настоящий стандарт, в зависи-
мости от назначения объекта, степени его ответственности, условий
эксплуатации, последствий возможных отказов, ограничений на
затраты, а также от соотношения затрат на обеспечение надежности
объекта и затрат на его техническое обслуживание н ремонт.
По согласованию между заказчиком и разработчиком допускается
нормировать показатели надежности, не включенные в настоящий
стандарт, которые не противоречат определениям показателей
настоящего стандарта». Для большинства электрических машин
средней и большой мощности нормированным показателем является
вероятность безотказной работы Р(/); для большинства элементов
пускорегулируюшен и электронной аппаратуры нормированным
показателем является интенсивность отказов Х(Г).
Пример. На испытания поставлено 100 электрических двигателей. В пер-
вом месяце отказало 15 двигателей, во втором — отказало 10 двигателей,
в третьем — 10 двигателей; в четвертом — 8 двигателей, в пятом — 9 двига-
телей; в шестом — 7 двигателей, в седьмом — 11 двигателей, в восьмом —
12 двигателей; в девятом — 18 двигателей. В течение каждого месяца двига-
тели испытывались по 500 ч. Построить зависимость Р(г), кумулятивную
кривую, гистограмму, а также кривую жизни Х(/) (см. § 3.3).
Решение. Расчетные данные удобно оформить в виде табл. 3.1. Здесь первая
колонка— номер месяца 7V; вторая — текущее время испытаний /; третья —
интервал времени Д/; четвертая — количество двигателей, отказавших
к концу каждого текущего месяца л(/); пятая — количество двигателей, отка-
завших в течение месяца л(Д/); шестая, седьмая, восьмая, девятая — соответ-
ственно показатези надежности Р(Г); It)4 ч Х(А/). КГ4 ч'1.
56
Таблица 3 1
Данные к построению тисгогрямм
Номер п/п 1 А/ *0 л(Л/) И0 0(0 о(Л/), ю’* Х(Л/). I0"4
1 500 500 15 15 0.85 0,15 3,0 3,24
2 1 000 500 25 10 0,75 0,25 2.0 2,50
3 I 500 500 35 10 0.65 0.35 2,0 2,86
4 2 000 500 43 8 0,57 0,43 1,6 2,62
5 2 500 500 52 9 0,48 0,52 1,8 3,43
6 3 000 500 59 7 0,41 0.59 1,4 3,15
7 3 500 500 70 11 0,30 0,70 2.2 6.57
8 4 000 500 82 12 0,18 0,82 2,4 10,00
9 4 500 500 100 18 0,00 1,00 3,6 40,00
Расчеты проводятся в соответствии с формулами (3.1)—(3.5). Покажем
несколько примеров расчета показателей надежности для первого, второго и
третьего месяцев.
Первый месяц:
р>(5ОО,=12т^ =о-85; е'(500) = 1^ =0-,5:
°'(500>=ига =3 '°4 4 ’ = 92Л
^^d^3’24'10"4'
Второй месяц:
ЛИ 000) = '^Тоо^ =0’75; 62(1 0001 = 1м =0,25;
°2(5ОО) = кЛю =2 •10-4 ч-,; = 80;
Х2(500^га=2-5-10"4'
Третий месяц:
ЛИ 50°) = 1^П =0.65; £М1 500) = ^ =0,35;
5°0) = И = 2 • Ю- Ч-'; Л3ср = ”±65 „ 70;
^500) = тЛо=2’86-,(г441
57
Рис. 3J. «Кумулятивная кривая» (/) и кри-
вая вероятности безотказной работы (2)
<—
Рис. 3.2. «Кривая жизни» (/) и гисто-
i рамма (2)
Дальнейшие расчеты аназогичны и сведены в табл. 3.1. На рис. 3.2 пока-
заны кривая жизни Х(/) и гистограмма, т.е. геометрическая фигура, состоя-
щая из ряда прямоугольников, основанием каждого из которых является
интервал времени Д/, а высотой — частота отказов На рис. 3.3 показаны
зависимость P(t) и «кумулятивная кривая» — щибающая ряд последова-
тельно построенных прямоугольников, основанием которых является интер-
вал Д/. а высотой — ряд последовательно накопленных частот а(Д/).
Рассмотрим характеристики воссганавзивасмыч объектов. На испыта-
ниях находи гоя Nq изделий, которые при отказе немедленно заменяются
новыми или отремонтированными. Испытания заканчиваются, если число
отказов достигнет величины, достаточной для оценки надежности. Если не
учитывать время на восстановзсние системы, то количественными характе-
ристиками могут быть, например, параметр потока отказов о>(/) и наработка
на отказ /ср.
Параметр потока отказов со(г) — это отношение математиче-
ского ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за произ-
вольно малую его наработку к значению этой наработки £/z:
<3121
где л(ДГ) — число отказов в интервале А/.
Средняя наработка на отказ (наработка на отказ) /ср — отноше-
ние суммарной наработки восстанавливаемого объекта к математиче-
скому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Нара-
ботка на отказ /ср определяется как среднее значение времени между
соседними отказами:
п
S'.
t „ *= I 11 in
58
где — время исправной работы изделия между (/ - 1 )-м и i-м отказа-
ми; и — число отказов за некоторое время г.
формула (3.13) используется при испытании одного образна изде-
лий. Если на испытании находится 7V образцов в течение времени Z, то
t вычисляется следующим образом:
‘ср
л
Z Z Gy
ср W
У=1
(3-14)
где tjj— время работыу-го образца изделий между (/ - 1 )-м и i-м отка-
зами; rij — число отказову-го образца за время t.
Галсма-процентная наработка до отказа — это наработка, в тече-
ние которой отказ объекта не возникает с вероятностью у, выражен-
ной в процентах.
Для оценки времени, необходимого для восстановления ремонти-
руемого изделия, т.е. для оценки готовности изделия к выполнению
своих функций, используются коэффициенты готовности и вынуж-
денного простоя.
Коэффициент готовности Кг есть отношение суммарного вре-
мени исправной работы гр к сумме суммарного времени исправной
работы /р и вынужденных простоев /п;
п
. 1__________
п п ’
X lP, + Z 'п,
I = 1 1=1
(3 15)
где zpi — время работы между i -1 и i-м отказами; ГП1 — время простоя
после /-го отказа; п — число отказов изделий.
Коэффициент вынужденного простоя Кп есть отношение вре-
мени вынужденного простоя к сумме времени исправной работы н
вынужденных простоев:
Kn=-f- (3.16)
Р 1п
Коэффициенты Кг и Кп связаны зависимостью
Кп=1-Кг (3.17)
Иногда надежность восстанавливаемых изделий или системы оце-
Нивается до первого отказа или резервирования. В этом случае пока-
59
зателями надежности восстанавливаемых систем могут служить
показатели надежности невосстанавливаемых систем.
Наличие нескольких показателей надежности вовсе не означает
что нужно оценивать надежность объектов по всем этим показателям
При исследовании надежности электрических машин наиболее часто
используется вероятность безотказной работы.
Перечисленные выше показатели надежности относятся к показа-
телям безотказности. Кроме того, ГОСТ 27.002—89 определяет пока-
затели долговечности (средний ресурс, гамма-процентный ресурс,
назначенный ресурс, средний срок службы, гамма-процентный срок
службы); показатели ремонтопригодности (вероятность восстановле-
ния работоспособного состояния, среднее время восстановления
работоспособного состояния); показатели сохраняемости (средний
срок сохраняемости, гамма-процентный срок сохраняемости).
В терминах показателей долговечности следует указывать вид
действий после наступления предельного состояния объекта (напри-
мер, средний ресурс до капитального ремонта, гамма-процентный
ресурс до среднего ремонта и т.п.). Если предельное состояние обу-
словливает окончательное снятие объекта с эксплуатации, то показа-
телями долговечности являются полный средний ресурс (срок служ-
бы), полный гамма-процентный ресурс (срок службы), полный
назначенный ресурс (срок службы). В полный срок службы входят
продолжительности всех видов ремонта объекта.
Показатели долговечности
Средний ресурс — это математическое ожидание ресурса.
Гамма-процентный ресурс — это наработка, в течение которой
объект не достигнет предельного состояния с заданной вероятность у
выраженной в процентах.
Назначенный ресурс — суммарная наработка объекта, при дости-
жении которой применение по назначению должно быть прекращено.
Средний срок службы — математическое ожидание срока службы.
Гамма-процентный срок службы — календарная продолжитель-
ность от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не дос-
тигнет предельного состояния с заданной вероятностью у, выражен-
ной в процентах.
Назначенный срок службы — календарная продолжительность
эксплуатации объекта, при достижении которой применение по
назначению должно быть прекращено.
Показатели ремонтопригодности и сохраняемости
Вероятность восстановления — это вероятность того, что время
восстановления работоспособного состояния объекта не превысит
заданного.
60
срока сохраняемости.
Гамма-процентный
Среднее время восстановления — это математическое ожидание
времени восстановления работоспособного состояния объекта после
отказа.
Средний срок сохраняемости — это математическое ожидание
срок сохраняемости — это срок сохраняемо-
сти, достигаемый объектом с заданной вероятностью у, выраженной
в процентах.
Пример. Пускорегулирующая аппаратура электромеханического преоб-
разователя состоит из пяти элементов, причем отказ каждого из иих ведет
к отказу всей системы. Известно, что первый элемент отказал 34 раза в течение
952 ч работы, второй — 24 раза в течение 960 ч работы, остальные за 210 ч
4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ сис-
темы в целом, если справедлив экспоненциальный закон распределения
отказов для каждого из пяти приборов.
Решение. Интенсивность отказов для каждого элемента:
X, = 34/952 = 0,0357 ч1; = 24/960 = 0,025 ч-1:
Х3 4 s = (4 + 6 + 5 )/21 ° = 0,0714ч-1;
Хс = ZX, = X, + Х2 + хз 4 5 = 0,0357 ч-1 + 0,025 ч 1 + 0,0714 ч 1 =
= 0,1321 ч 1/Хс = 7,57 ч = Гср
3.3. Периоды работы технических изделий
Всякое техническое изделие, в том числе и электрическая машина,
в процессе своего функционирования проходит три характерных
периода работы: приработки (0 < t < / j) начиная с выхода нового изде-
лия из цехов завода (/ = 0); нормальной эксплуатации (/,</< /2) и ста-
рения или износа (Г > i?) (рис. 3.4).
Период приработки характеризуется высокой интенсивностью
отказов, которая постепенно падает. Эти отказы обусловлены техно-
югическимн, производственными или конструкционными недостат-
ками, присущими как самому изделию, так и производству (включая
также производство материалов, их хранение и транспортировку).
Отказы, возникающие в период приработки, стремятся исключить
путем замены или доводки отдельных узлов. В электрических маши-
нах перед выпуском производятся притирка или приработка щеток на
коллекторе или на кольцах, отладка подшипниковых узлов, контроль
изоляции и т.п.
Отказы в период приработки приблизительно подчиняются закону
Вейбулла.
61
Рнс. 3.4. Периоды работы технических
изделий
Рис. 3.5. «Кривая жизни» электромеха-
нического преобразователя
Период нормальной эксплуатаг^ии характеризуется минимальной
интенсивностью отказов. В период нормальной эксплуатации проис-
ходят внезапные отказы, которые имеют случайный характер. При-
рода таких отказов обусловлена неожиданной концентрацией нагру-
зок внутри изделия (или извне). Регулярность событий не
наблюдается.
Закон распределения отказов в этот период экспоненциальный.
Период старения или износа характеризуется резким увеличением
интенсивности отказов. С какого-то момента элементы и детали
машины начинают стареть и интенсивно изнашиваться. Отказы обу-
словлены старением материалов, конструкции и самого изделия.
Закон распределения отказов — либо нормальный, либо логарифми-
чески-нормальный (могут быть н другие случаи).
На кривой интенсивности отказов, иногда называемой кривой
жизни технического изделия (см. рис. 3.4), показаны значения сред-
ней долговечности изделия Тх и средней наработки до первого отказа
Гср > Гр Средняя наработка до первого отказа обычно значительная и
характеризует запас надежности машины в период нормальной экс-
плуатации. Обычно Г] ненамного превышает время т.е. соответст-
вует начальному участку периода старения и износа.
На рис. 3.5 показана «кривая жизни» электромеханического пре-
образователя, включающего в себя машину постоянного тока и син-
хронную машину.
Отказы электромеханических преобразователей (ответственных
изделий) иногда приводят к катастрофическим последствиям, поэто-
му, как видно из рисунка, приработочные отказы практически полно-
стью исключены. Это достигается тщательным контролем изоляции,
обработкой коллектора н колец по высокому классу точности, налад-
кой и контролем подшипникового узла и пускорегулирующей аппара-
туры, снижением уровня вибрации н приработочными испытаниями
в течение 100 ч.
62
Период нормальной эксплуатации составляет 10 000 ч. Интенсив-
ность отказов мала и равна к - 1,5* 10~5 ч-1. Технический ресурс
преобразователя равен периоду нормальной эксплуатации, т.е.
T'j х 10 000 ч. Период износа начинается с / > 10 000 ч и характеризу-
ется резким возрастанием X (в 10 раз за 5 000 ч). Среднее значение
наработки до первого отказа составляет Гср =15 000 ч.
3.4. Структурная надежность
Структурной надежностью системы называется результирую-
щая надежность при заданной структуре и известных значениях
надежности всех входящих в нее блоков или элементов.
Разбиение системы на блоки осуществляется на базе единства
функционирования н физических процессов, происходящих при
работе изделия.
Рассмотрим электролебедку, используемую на кораблях. При рас-
чете всей энергосистемы корабля электролебедка представляет собой
отдельный блок. Более детально электролебедку можно представить
в виде блоков: электродвигатель, редуктор, барабан и канат. В свою
очередь блоки делятся на узлы, каждый из которых с точки зрения
физической структуры и функционирования представляет автоном-
ную единицу: двигатель — подшипниковый узел, коллектор и щетки,
обмотки статора и ротора; редуктор — зубчатые колеса и подшипни-
ки; барабан — корпус и подшипники. Не учитываются при расчете
(приравниваются единице) надежности вала, магнитопроводов, кор-
пуса — у двигателя; у редуктора — надежность корпуса, резьбовых
соединений.
Расчет надежности при последовательном (основном) соедине-
нии элементов. Когда отказ технического изделия наступает при
отказе одного из его узлов, то такое изделие имеет последовательное
(основное) соединение элементов (рис. 3.6, а). Электрическая маши-
на практически всегда представляется в виде последовательного
соединения узлов.
Если надежности отдельных узловр^р2, •>р1 не зависят друг от
Друга, то надежность системы, состоящей из 7V узлов, определяется
как произведение значений надежности для отдельных частей:
л
РС = Р\Р1Рз -р»= Пл- (3-18)
1= I
63
Рис. 3.6. Блок-схемы для определения структурной надежности при последова-
тельном (ак параллельном (б)н смешанном {ня обшс1о(«)и раздельного (г) резер-
вирования] соединениях элементов
Пример. Какова вероятность безотказной работы машины постоянного
тока, структурная схема надежности которой состоит из колле к горио- щеточ-
ного (рк = 0,92) и подшипникового (рп = 0,95) узлов, обмоток якоря (ря = 0,99)
и возбуждения (рв ~ 0,99). Все данные приведены для 1 = 5 000 ч.
Решение. При выходе из строя любого из перечисленных узлов будет
иметь место отказ всей машины. Значит, структурная схема надежности
представляет собой четыре последовательно включенных блока. Согласно
формуле (3.18) результирующая надежность будет равна
/’мпт =Р*РпР>Ръ = 052 • 0,95 • 0,99 • 0,99 = 0,856.
Расчет надежности при параллельном соединении элементов
(резервирование). Для повышения надежности часто используется
резервирование или дублирование. Например, применяется парал-
лельная работа трансформаторов и синхронных генераторов в энер-
госистемах, в электронных схемах часто используется параллельное
включение диодов и т.д. На рис. 3.6, б представлена структурная
схема элементов, соединенных в Л/ параллельных ветвей.
Результирующая вероятность отказа системы определяется по
формуле
м
Q = q\<h.-QM = ГК <319)
Результирующая вероятность безотказной работы системы опре-
деляется по выражению
м м
рс=1’П^=1-П(1-^)- (3-20)
у=1
Такой тип параллельного соединения представляет собой резерви-
рование с полной кратностью.
64
Пример. В энергосистеме при превышении тока нагрузки на 20 % выклю-
чатель разрывает цепь. Вероятность того, что выключатель работает пра-
вильно, составляет рв = 0,98. Как обеспечить вероятность размыкания цепи
не менее Рс = 0,999?
Решение. Для обеспечения заданной надежности необходимо М выклю-
чателей соединить последовательно. Включенные последовательно М
выключателей дублируют друг друга, поэтому структурная схема надежно-
сти представляет собой параллельное (!) соединение элементов.
Используя выражение (3.20) и учитывая, что число выключателей не
может быть дробным, получаем, что для обеспечения требуемой надежности
необходимо последовательно включить два выключателя (М~ 2). При этом
вероятность аварийного размыкания цепи будет 0,9996
Расчет надежности при параллельно-последовательном (сме-
шанном) соединении элементов. Обычно в более сложных системах
элементы соединяются параллельно-последовательно, например
в системах автоматического управления, в мощных электроприводах,
в радио- и электронных схемах. Рассмотрим два наиболее характер-
ных варианта параллельно-последовательных соединений.
В первом варианте (его называют общим резервированием
с постоянно включенным резервом и целой кратностью) система
состоит из Л/параллельных цепочек по Nблоков в каждой (рис. 3.6, в).
Считаем, что вероятность безотказной работы всех блоков одина-
кова и равна р. Надежность каждой последовательной цепочки будет
pH„ Вероятность отказа каждой цепочки q = (1 - pN). Тогда результи-
рующую надежность всей системы можно определить
Pc=l-(l-pN)M (3.21)
Во втором варианте (его называют также раздельным резервирова-
нием с постоянно включенным резервом и целой кратностью) сис-
тема состоит из последовательно соединенных N групп, состоящих из
Л/параллельно включенных одинаковых блоков (рис. 3.6, г). Считаем,
что надежность всех блоков одинакова и равнар.
Определяем надежность параллельной группы
Pr=^-QM (3-22)
и надежность всей системы
/ИНТ- (3.23)
Пример. Дана структурная схема блока пускорегулирующей аппаратуры
(рис. 3.7). Известны вероятности безотказной работы входящих в нее элемен-
тов (указаны на рисунке). Требуется найти вероятность безотказной работы
всей системы.
65
Рнс. 3.7. Структурная схема блока нускорегулн-
р^юшей аппаратуры
Рнс. 3.8. Схема со сложной
структурой
Решение. Система состоит из двух параллельных цепей АВС и D различ-
ной надежности. Разберем цепочку АВС, которая состоит из трех блоков.
На основании формулы (3.21) определим надежность блока А'.
РА= 1 -(1 - 0,93)2 « 0,93.
Блок В нерезервируемый и имеет надежность Рв = 0,8.
Вероятность безотказной работы блока С вычисляется из (3.20):
РАВС = 1 “О -0,9)(1 -0,8)(1 -0,7) = 0,994;
тогда вероятность безотказной работы цепочки АВС определяется
РАВС = РА рв РС = °’93 ' °>8 ‘ 0,994 = °’74-
Результирующая вероятность безотказной работы всей резервированной
системы будет равна
= 1 - (1 - Рлвс)(1 - PD) = 1 - (1 - 0,74)( 1 - 0,9) = 0,974.
Отметим, что данные надежности большинства элементов элек-
тронной и коммутирующей аппаратуры (диоды, транзисторы,
конденсаторы, реле и т.п.) обычно приводятся в справочниках. Как
показали расчеты, во всех случаях раздельное резервирование обес-
печивает более высокую надежность, чем общее резервирование. Это
различие тем сильнее, чем ниже надежность входящих в систему бло-
ков или элементов.
Сложные системы и их анализ. Анализ физических процессов и
конфигурация некоторых объектов исследования могут привести
к созданию структурных схем, которые нельзя идентифицировать ни
с параллельным, ни с последовательным соединением элементов.
В этом случае стандартные приемы, описанные ранее, неприемлемы.
Рассмотрим один из наиболее общих методов определения структур-
ной надежности сложной системы (рис. 3.8).
В этой системе цепи АС и BD являются параллельными. Отказ эле-
мента /V нарушает пути ND и NC и приводит к отказу системы. Значит,
это соединение не является параллельным и не может быть отнесено
66
к последовательному. В сложившейся ситуации необходимо восполь-
зоваться теоремами сложения и умножения вероятностей. Сущность
метода заключается в анализе всех взаимоисключающих способов
появления отказов в системе. Выделим элемент А как событие,
состоящее в том, что элемент А работает безотказно с вероятностью
Р(А). Введем аналогичные определения для элементов_В, С, Dt N.
Отказ элемента А обозначим ^ерез А с вероятностью Р(А) и обозна-
чим аналогично отказы В, С, D, N. Затем при допущении о независи-
мости отказов рассмотрим все возможные ситуации, возникающие
в данной системе.
Ситуации, когда система может быть работоспособна. В сис-
теме не отказал ни один элемент. Это событие определяется как
JClBDCADAWc вероятностью Р(А) • Р(В) - Р(С)‘ Рф) • P(N).
Знак А — умножение вероятностей, знак U — сложение вероятно-
стей.
В системе отказал один элемент. Все возможные варианты и
соответствующие им вероятности могут быть записаны так:
-+А П2?Г)СГ1£)ПЛгс вероятностью Р(А) • Р(В) • Р(С) • Рф) • P(N),
-♦ЛПВПСПППЛГ » » Р(А) • Р(В) • Р(С) • Рф) - Рф),
-м п в n crwnw » » Р(А) • Р(В) • Р(С) • Рф) • P(2V),
->л ПВПСПРПУУ » » Р(А) • Р(В) 'Р(Ср Рф) • P(2V),
->лПВПсГ)£>Плг » » Р(А) • Р(В) • P(Q • Рф) • Рф).
В первых четырех случаях система сохраняет работоспособность.
В последнем случае наблюдается отказ всей системы.
В системе отказало два элемента. Система сохраняет работоспо-
собность только в двух случаях: Л П В П СП D Г1 /Уи Л Г1Z? П СП Z)Г1N
с соответствующими вероятностями. Все другие _варианты одно-
временного отказа двух элементов (например, Л П/?Г1 CflDflM
ЛПВПСА£)Г1//, ЛГ1/?ПСГ1£)П.Уи т.д.) приводят к отказу всей
системы. Во всех случаях одновременного отказа трех и более эле-
ментов система неработоспособна.
Так как отказы являются взаимно несовместимыми событиями, то
вероятности их появления можно складывать, причем суммарная
вероятность событий при работоспособной системе плюс суммарная
вероятность событии при неработоспособной системе дадут единицу.
В этом примере число ситуаций, прн которых система сохраняет
работоспособность, равно семи н число ситуаций, когда система нера-
ботоспособна, — 25. Общее число всех возможных вариантов — 32.
Число всех возможных вариантов ситуаций в общем случае определя-
ется как 2 , где А— число элементов, входящих в систему. С увеличе-
нием числа элементов системы число вариантов быстро возрастает.
67
Здесь уместно, отвлекаясь от дальнейшего изложения материала и
воспользовавшись информацией, приведенной в данном параграфе,
обратить внимание на так называемую «магию цифр» в математиче-
ской статистике, ибо неквалифицированное рассмотрение некоторых
результирующих данных может привести к весьма печальным
последствиям. Рассмотрим ситуацию на конкретном примере: оцени-
вается надежность двух вариантов компоновки турбин на авиалай-
нере (отметим, что это может быть любая иная техническая система).
Первый вариант: авиалайнер имеет четыре турбины, причем система
сохраняет работоспособность (авиалайнер может продолжать полет)
при отказе двух любых турбин. Второй вариант: авиалайнер имеет
две турбины, причем система сохраняет работоспособность при
отказе одной любой турбины. На первый взгляд, надежность систем
примерно одинакова. Однако это далеко не так. Отвлечемся от всех
иных характеристик авиалайнеров и сосредоточим внимание только
на надежности системы авиадвигателей. Обозначим надежность
любого двигателя р. Первый вариант (четыре турбины) рассчитыва-
ется методом сложных систем и дает следующий результат: Р4 = р +
+ 4р q + 6р q , где q = 1 -р, т.е. вероятность отказа. Во втором вари-
анте: Р2 ~ Р + Дальнейшие расчеты показывают, что первый
вариант значительно надежнее. Так, если р = 0,99, то РА = 0,99999;
Р2 - 0,9999. Еслир = 0,999, то РА = 0,9999999; Р2 - 0,999999 (отметим,
что данные цифры весьма близки к реальным). И вот здесь возникает
явление «магия цифр». Для неквалифицированного проектировщика
не имеет большого значения, сколько девяток после запятой —
четыре или пять. Однако в реальной жизнн данные цифры сильно кор-
релируются с суммарным числом летных часов небольшой авиаком-
пании за один год. Итак, авнакомпання А выбрала второй вариант,
а это значит, что у данной авиакомпании будет 10 аварий (или авиака-
тастроф) в год, в то время как авиакомпания В будет иметь только
одну аварию. Еще более впечатляющая разница, когда р = 0,999,
а Р4 = 0,9999999 и Р2 = 0,999999. Результат: авиакомпания А разорится
в связи с отказом пассажиров летать самолетами данной авиакомпании.
3.5. Законы распределения отказов
Отказы в работе электрических машин как случайные события
подчиняются различным законам распределения во времени /. Основ-
ными являются экспоненциальный, Вейбулла, нормальный, логариф-
мически-нормальный и равномерный законы. Остановимся на крат-
кой характеристике каждого из перечисленных законов.
68
Экспоненциальный закон распределения. Этому закону подчи-
няются отказы некоторых узлов электрических машин малой мощно-
сти, например коллекторного узла, а также отказы некоторых типов
машин малой мощности. Экспоненциальный закон широко использу-
ется для описания надежности пускорегулирующей аппаратуры, эле-
ментов радиоэлектроники (диодов, триодов, конденсаторов), в теории
массового обслуживания. Распределение вероятности безотказной
работы во времени и средняя наработка до отказа составляют
Р(О=ехр[-Хг]. 7^ = ^;
а(/) = Хехр[-Хг].
(3.24)
Экспоненциальный закон — это однопараметрический закон с
неизменной иитеисивностью отказов X, т.е. X = const.
Распределение Вейбулла используется при оценке надежности
механических, электромеханических узлов и элементов радиоэлек-
тронной аппаратуры. В электрических машинах этим законом описы-
вается надежность подшипниковых узлов, а также распределение
напряжения пробоя в обмотках асинхронных двигателей.
Распределение Вейбулла двухпараметрическое, включающее
параметр Хо, определяющий масштаб, и параметр асимметрии к.
Характеристики закона видоизменяются в зависимости от параметра
к. При к = 1 распределение Вейбулла становится экспоненциальным
(X = const), при к > 1 интенсивность отказов растет, при к < 1 интен-
сивность отказов снижается по закону, близкому к гиперболическому.
Распределение вероятности безотказной работы во временн и сред-
няя наработка до отказа составляют
Р(О = ехр[-Х0/];
а(О = М'*’'ехр[-Х/].
(3.25)
Прн подсчете средней наработки до отказа Гср используется гам-
ма-функция Г । -—---
м /к + b
, значения которой приводятся в соответст-
вующих таблицах [5]:
_ Г(1/*+1)
СР 1 к
Л0
(3.26)
Иногда распределение Вейбулла рассматривают как трехпарамет-
рическое, включая в него параметр положения.
69
Нормальный закон (закон Гаусса) используется при оценке
надежности изделий, на которые воздействует ряд случайных факто-
ров. каждый из которых незначительно влияет на результирующий
эффект (нет доминирующих факторов). В электрических машинах
обычно нормальному закону подчиняются отказы коллекторного
узла, контактных колец, а также щеток (иногда подшипников и изо-
ляции):
Р(/) = 1
э
2ст~ -
(3.27)
1
a(z) = ——exp---— ,
aV2n L 2а‘ .
где о — среднеквадратическое отклонение; тх — математическое
ожидание.
Нормальный закон — двухпараметрический с параметрами ст и тх.
Для расчета вероятности события в заданном интервале /|, поль-
зуются формулой
Р(^1</</2)=|[Ф(х2)-Ф(х])] =
'<2
< СТа/2 J
.(3.28)
Ф
Здесь Ф(х) — интеграл вероятности (интеграл Лапласа) вида
Ф(х) = -р Je f dr.
Jn
о
(3-29)
Функция Ф(х) табулирована и представлена в Приложении 1.
Если используется центрированная и нормированная функция
t - тх
Лапласа Ф(г) (см. Приложение 2) с заменой переменных z = -
ст
то расчет вероятности безотказной работы во времени проводится по
формуле
Р(П = 0,5 -Ф
(3.30)
Иногда отказы электрических машин подчиняются усеченному
нормальному распределению, например отказы асинхронных дви-
гателей общего применения в период старения и износа В этом слу-
70
чае функция плотности распределения (частота отказов) записыва-
ется так же, как плотность нормального распределения, но с
коэффициентом пропорциональности с:
ЯО = а(0 = ----^-ехр
о/Л/2л
а-'оЛ
2о? -
где /о — значение случайной величины, соответствующее максимуму
f(t) н называемое модой. Вероятность безотказной работы
Р(о.сф(^).
где Ф — центрированная и нормированная функция Лапласа. Значе-
ние коэффициента с можно выбрать в зависимости от f0/or:
'0/ог 1 2 3
С 1,189 1,023 1,001
Таким образом, при r0 > 2of коэффициент с близок к единице.
Логарифмически-нормальное распределение используется при
описании надежности металлоконструкций, отказов электромашин-
ных усилителей, некоторых типов электромашинных преобразовате-
лей и т.п. Вероятность безотказной работы и средняя наработка до
отказа составляют:
(3-31)
где ц и — соответственно математическое ожидание и среднеквад-
ратическое отклонение значения I в логарифмическом масштабе.
Параметры ц и могут быть оценены по результатам испытаний.
Так, при испытаниях N изделий до отказа
УЧ . Г~1 Г
и = и- = 4_. Op = o; = (з.з2)
гДе р* и и* — оценки параметров ц и ор.
71
Функцию логарнфмически-нормального распределения можно
связать с величиной z, распределенной по нормальному закону, сле-
дующим обозом:
P(t) = 0,5 -Ф(£) = 0,5 -Ф|
(3.32а)
°р
где Ф(г) — центрированная и нормированная функция (см. Приложе-
ние 2).
Кроме того, расчет Р(г) может быть осуществлен с помощью спе-
циальных таблиц.
Равномерное распределение встречается прн отказе сельсинов,
в ошибках синхронных передач, при определении момента включе-
ния двигателя, отсчетах при движении стрелки приборов, перекосе
осей, неравномерности воздушного зазора и т.п.:
1 при t < а\
Р(<) =
t - а ,
7---- при а < t < о;
b — а
(3.33)
0 при х > Ь.
Здесь а, Ь — границы исследуемого интервала (Ь > а). Вероятность
попадания в частичный интервал (а, 0):
Р(а < Z < Р) = 7—. (3.34)
о — а
Задача. Согласно методу «слабых узлов» машина постоянного тока пред-
ставлена состоящей из четырех узлов: отказы обмотки возбуждения (1) под-
чиняются экспоненциальному закону (Гср = 90 000 ч); отказы обмотки якоря
(2) — нормальному закону (тх = 15 000 ч; а = 5 000 ч); подшипники (3)
(в машине два подшипника) — закону Всйбул ia (Xq = 0,6 • 10-5 ч к = 1,08);
коллекторно-щеточиый узел (4) — нормальному закону (тх = 8 000 ч, а =
- 2 300 ч). Определить вероятность безотказной работы машины для вре-
мени / = 5 000 ч.
Решение. Согласно формулам (3.24), (3.25). (3.30), используя центриро-
ванную и нормированную функцию Лапласа (см. Приложение 2), а также
учитывая, что с точки зрения структурной надежности все узды соединены
последовательно, найдем решение:
Р, = ехр[-5 000/90 000] = 0«4г Р2 = 0,5 -ф(5 °°° ррр °00) = 0.9772;
Р3 = {ехр[-0,6 • 10 5 • 5 0001,08]}2 = 0.8882;
72
,,.„^10^ .ода4;
Р = Р1Р2^зР4 = 0>7417
3.6. Распределение экстремальных значений
Пусть имеется случайная выборка объемом л, взятая из бесконеч-
ной совокупности, имеющей распределение Их), где х — непрерыв-
ная случайная величина. Обозначим элементы выборки Хр х2, ...,хя.
Введем случайную величину, называемую наименьшим значением:
Уя = тт(х1,х2, ...,*„). (3.35)
Так как разрушение материала связано с существованием наибо-
лее слабой точки, в работах по теории надежности рассматривается
распределение экстремальных значений. Здесь будет рассмотрено
распределение наименьших значений, однако этот подход может быть
использован и при выводе распределений наибольших значений [13].
Функция распределения наименьших значений (функция распре-
деления У„) может быть представлена в виде
Р(у < г„) = /*[(> < ) Л (у < Х2) П (у < х3)... п (у < х„)]. (3.36)
Напомним, что знак П означает одновременность событий (т.е. и
событие Хр и событие х2, и т.д.).
Поскольку выборка была случайной, события можно считать неза-
висимыми, а значит,
р(у< уп)= ПрО'<хЗ- (З.з7)
1=1
где Р(у < х-) — дискретная функция.
Заменяя дискретную функцию на непрерывную F(y), получаем
/’(y<U = [i-FO)]n
Тогда функция распределения случайной величины Yn будет иметь
вид
(3.38)
Если начальное распределение функции является экспоненциаль-
ным, то (3.38) преобразуется так:
G(y) = 1 - [1 - (1 - е“^)]" = 1 - е-лХ< (3.39)
73
а плотность распределения наименьших значений
g(y) = - 1)Х>’ = ИХе-”Х< (3.40)
В данном случае функцию распределения экстремальных значе-
ний можно рассматривать как экспоненциальную с параметром пк.
Предельная форма этого распределения называется асимптотиче-
ским распределением наименьших значений типа III.
Если начальное, исходное распределение таково, что при х —> оо
плотность распределения по экспоненте стремится к нулю, то такое
предельное распределение наименьших значений называется асим-
птотическим распределением наименьших значений типа I. Это
имеет место, когда распределение является нормированным нормаль-
ным распределением. В этом случае предельное распределение наи-
меньших значений имеет вид
G(y) = 1 - exp[-exp(£-p-^j] , (3.41)
где а > 0; Р > 0 — постоянные.
Асимптотическое распределение наибольших значений является
зеркальным отражением асимптотического распределения наимень-
ших значений.
Используем распределение экстремальных значений для построе-
ния одной из моделей надежности изоляции. Как известно, изоляция
проводов имеет на внешней поверхности микроскопические дефек-
ты, связанные с технологией производства. Под влиянием различных
воздействующих факторов, таких, как температура, вибрация, влаж-
ность, электродинамические усилия и т.п., размеры дефектов увели-
чиваются и возникает сквозное повреждение. Если допустить, что
время образования сквозного повреждения пропорционально разно-
сти между первоначальной толщиной изоляции и первоначальной
глубиной микротрещины и эти значения имеют экспоненциальное
распределение, можно показать, что наработка до отказа (за отказ
будем принимать образование сквозного повреждения) имеет распре-
деление экстремальных значений.
Обозначим В — толщину изоляции, — первоначальную глубину
Z-й трещины (/ = 1,2,..., ЛЭ, В{ — случайную выборку из совокупно-
сти, имеющей усеченное экспоненциальное распределение:
F(b) = (1 - e-XJ>)/( 1 - e-kB), 0 < b < В. (3.42)
Обозначим ti время развития i-й микротрещины до сквозного
повреждения. На основании принятого допущения о линейном харак-
тере зависимости времени развития трещины в функции ее глубины
можно записать - к(В - Ъ), где к — скорость развития трещины.
Тогда при 0 < t < кВ
74
exp Г- yl - 1
/ A L к-1
G(n = PUt * п = ф, >-В - 0 = 1 - Fib) = exp[_ XB]_i (3.43)
Если t — время безотказной работы изоляции, то t = min(/z), где
। = 1,2,3,.... N. Так как за отказ было принято образование сквозного
повреждения, то в соответствии с формулой (3.38) функция рас пре ле-
чения случайной величины t имеет вид
P(t<t) = H(j) = 1-[1 -G(r)f-
Можно сделать некоторые упрощения Если допустить, что число
микротрещин достаточно велико, то при N -» оо
H(t) = 1 - ехр[-М?(/)]. (3.44)
Подставив выражение (3.43), получим
Введем обозначения а =
ехр[3] - 1
тогда
H(t) ~ I - е а<'Т 1),Z>0
Дифференцируя, имеем
= ayeVa(eT " °. (3.45)
Это выражение представляет собой плотность распределения экс-
тремальных значений.
3.7. Модель «слабейшего звена»
Модель «слабейшего звена» широко применяется прн исследова-
нии электрических машин на надежность, в частности при создании
моделей надежности тех или иных узлов электрических машин.
Модель «слабейшего звена» представляет собой систему с последова-
тельным соединением элементов, в которой при отказе одного эле-
мента выходит из строя вся цепь.
В самом общем случае проблема формулируется следующим
образом: как определить вероятность безотказной работы элемента
блока, цепи или системы, когда приложенные напряжения превы-
75
Рис. 3.9. Перекрытие распределении
напряжений Ди) и прочности ДО
шают прочность. Принципиального
различия нет, рассматриваются ли
механические напряжения н проч-
ность (при исследовании механиче-
ских узлов) или электрические
напряжения и диэлектрическая
прочность (при исследовании изоля-
ции обмоток электрических машин,
коммутации коллектора и т.п.).
Введем следующие обозначения:
f(u) — плотность распределения
напряжения и\ f(U) — плотность
распределения прочности (рис. 3.9). Если U> и, то разрушения мате-
риала не произойдет. Вероятность безотказной работы элемента запи-
шется так:
P3^P(U>u). (3.46)
Область перекрытия кривых/(17) и/(и), показанная штриховкой
на рис. 3.9, характеризуется определенной вероятностью отказа. Рас-
смотрим небольшой интервал du в области перекрытия. Вероятность
того, что некоторое значение напряжения находится в этом интерва-
ле, равно площади элемента du:
р(и‘-у <и<и+ у) =/(«’) du, (3.47)
где и* — значение напряжения в середине интервала du.
Вероятность того, что прочность Uпревышает некоторое значение
напряжения и*, определяется по формуле
оо
P(U>u) = J/(U) dU. (3.48)
li’
Выражение для вероятности того, что значение напряжения
заключено в интервале du, а прочность U превышает напряжение,
задаваемое этим интервалом, записывается как произведение вероят-
ностей:
оо
f(u)du [/({/) dU. (3.49)
и*
В этом случае вероятность безотказной работы есть вероятность
того, что прочность U превышает напряжение и для всех возможных
значений напряжения и, следовательно, определяется как
76
оо
сю
Р = JA«)
-ОО *“1/
(3.50)
Выражение (3.50) характеризует наиболее общий случай.
Рассмотрим модель «слабейшего звена» системы с последова-
тельно соединенными элементами, например обмотку электрической
машины, представленную в виде цепи из п идентичных элементов.
Изоляция этой обмотки подвергается воздействию напряжения (счи-
таем, что отказом является пробой изоляции). В этом случае элемент
цепи, имеющий наименьшую диэлектрическую прочность, выйдет из
строя первым, и вероятность безотказной работы системы будет запи-
сана так:
Ро = minP,,
где Р{ — вероятность безотказной работы Z-го элемента.
Итак, имеет место ситуация, рассмотренная выше, а именно: сис-
тема, состоящая из п элементов, выходит из строя, когда на одном из
элементов приложенное напряжение превышает прочность. Вероят-
ность безотказной работы любого элемента можно определить по
формуле (3.50) или, если взять пределы интегрирования от 0 до
оо оо
Р,= f dUdu. (3.51)
О о
Выражение (3.51) может быть записано с использованием инте-
гральной функции распределения F(U):
оо
р,= {/(«)[ 1(3.52)
О
В том случае, когда цепь состоит из п случайно выбранных элемен-
тов, это эквивалентно выбору п случайных значений прочности из
совокупности с распределением /(£/). Обозначим через Un случай-
ную величину, показывающую прочность цепи, состоящей из п эле-
ментов, тогда Un = ппп(Ц), где Ц — прочность i-ro элемента. В соот-
ветствии с распределением экстремальных значений (3.38) имеем
G(t/n)=l-[l-F((7n)]rt, где G(Un) — функция распределения прочно-
сти цепи.
77
Для этой модели «слабейшего звена» вероятность безотказной
работы системы имеет вид Рп = P(Un> и). Используя выражение
(3.52), можно записать
оо
Рп= J/O)[l-F((7)]"dU (3.53)
О
Полученная формула представляет собой вероятность безотказ-
ной работы всей системы, выраженную числом элементов и, плот-
ностью распределения нагрузки/(w), действующей на систему, и рас-
пределением прочности F(U).
3.8. Методика расчета надежности всыпных обмоток
асинхронных двигателей на базе модели «слабейшего звена»
С точки зрения надежности в асинхронных двигателях выделяют
два «слабых узла»: обмотку и подшипниковый узел. В большинстве
случаев (85—95 %) отказы асинхронных двигателей общего примене-
ния происходят из-за повреждения обмоток и распределяются сле-
дующим образом: витковые замыкания составляют 93 %, пробой кор-
пусной изоляции — 2 %, пробой межфазной изоляции — 5 %.
На подшипниковый узел приходится 5—8 % отказов. Небольшой
процент отказов обусловлен распайкой выводных концов, разрывом
стержней ротора и другими причинами.
Итак, надежность всыпных обмоток асинхронных двигателей
определяется надежностью витковой изоляции. Методика расчета
позволяет оценить вероятность безотказной работы витковой изоля-
ции за период времени, в течение которого не происходит интенсив-
ного старения изоляции, т.е. за период, в течение которого в изоляции
не появляются серьезные дефекты, обусловленные воздействием экс-
плуатационных факторов. Для асинхронных двигателей, работаю-
щих в номинальных режимах, этот период времени составляет
10 000 ч. В рассматриваемом интервале времени принят экспоненци-
альный закон распределения отказов изоляции.
Система изоляции с точки зрения надежности представляется как
система из последовательно соединенных элементов, причем за эле-
мент принимаются два проводника, расположенных рядом и разде-
ленных межвитковой изоляцией и пропиточным составом. Отказ сис-
темы происходит тогда, когда напряжение, приложенное к соседним
виткам, больше пробивного напряжения. Функция распределения
пробивного напряжения подчиняется нормальному закону, функция
распределения приложенного напряжения — экспоненциальному.
78
Расчет надежности витковой изоляции всыпных обмоток
Исходные данные.
Расчетное время, за которое оценивается вероятность безотказной
работы (ВБР) витковой изоляции обмотки — /расч, ч.
Частота включения двигателя — лвкл, ч .
Номинальные диаметры неизолированного и изолированного про-
вода — dr и dm, мм.
Количество элементарных проводников в секции — s.
Коэффициент заполнения свободной площади паза — к3 (прини-
мается в соответствии с обмоточными данными).
Число пазов статора — z.
Срезняя длина витка обмотки — мм.
Число последовательно соединенных секций в фазе — ис.
Число слоев обмотки в пазу — К.
Периметр свободной площади слоя — П, мм.
Длина испытуемой части образца при испытаниях изоляции про-
вода на пробой — /^р, мм; для эмальпроводов = 60 мм, для про-
водов с волокнистой изоляцией = 15 мм.
Среднее расстояние по поверхности испытуемых проводов от
точки соприкосновения провода с плоским электродом до выявляе-
мого дефекта — гисп, мм; для эмальпроводов гисп = 1,527 мм; для про-
водов с волокнистой изоляцией = 1,02 мм.
Электрическая прочность воздуха с учетом перекрытия по поверх-
ности изоляции Е' = 1,99 кВ/мм
Результаты испытаний пропитанного провода на пробой.
Результата измерений диаметра пропитанного провода.
Порядок расчета.
1. Средние значения пробивного напряжения повреждений до
меди дефектной изоляции одиночного провода и пары проводников
(при совпадении дефектов) и Е2, к^:
77] = 0,165JH3 + 0,445; 772 = 1,877];
для проводов с волокнистой изоляцией
77] = о, 148аиз + 0,339; и2 = 277].
2. Среднеквадратические отклонения пробивных напряжений
Дефектной изоляции одиночного провода и пары проводников при
совпадении дефектов:
для эмазьпроводов
G] = 0,179JH3 + 0,143; о2 = 1,410,;
79
для проводов с волокнистой изоляцией
О| = 0,088dm + 0,069; о2 = 1 »41 О|.
3. Дефектность изоляции одиночного образца провода длиной
/обр после укладки обмотки:
'Ч + За,
<7,-----j----.
— количество образцов провода, пробитых напряже-
где
_______ п
нием Ц + Зор — суммарное количество образцов, подвергну-
тых испытанию.
Результаты испытаний на пробой для четырех вариантов приве-
дены в табл. 3.2. 4 5
Таблица 3.2
Результаты испытаний на пробой. Витковая изоляция — лобовая и пазовая;
провод ПЭТВ rfB1= 1,28 мм; пюский электрод;
испытательное напряжен не 1,256 кВ (действую шее) = 1,772 кВ
Количество проводников Вариант
1 2 3 4
Мт-. , с/| + За 36 40 39 33
п 244 290 250 245
Примечание В сводной таблице вариантов расчета (см Приложение 7) указан вари-
ант в соответствии с п. 3.
4. Площадь изоляции провода, испытанная на дефектность, 5ИСП, мм2:
•$исп “ 2гис11/обр.
Если nd„- < 2ги„_, следует считать, что
•$ИСП “ л^из4)бр-
5. Радиус элементарного участка, в пределах которого пробивное
напряжение двухслойной дефектной изоляции не выходит за пределы
(t/2 + Зо2), мм:
Ц + Зо2
2£в
80
6. Число элементарных участков, содержащихся на участке изо-
ляции площадью 5^:
с
_ °исп
ПИСП — 7
пб
7. Среднее число повреждений на испытанной площади изоляции
образца провода длиной обозначим а, тогда
’-фе-0.
8. Вероятность повреждения элементарного участка изоляции
провода
р = —.
"ней
9. Теоретически максимально возможный диаметр изолирован-
ных проводников, которые можно уложить в паз, при сохранении
количества проводников, равного расчетному, мм:
J = 1,075 J
ютах
10. Среднее расстояние между неизолированными проводниками
в пазу, мм:
^пр = d из шах “ <*Г
11. Число проводников, находящихся в наружном слое секции (по
периметру секции):
= П
Лиар d
из max
12. Число проводников, находящихся во внутренних слоях секции:
5вн “ S ~ 5иар-
13. Число элементарных участков пар проводников в обмотке дви-
гателя:
^="исп¥иар+1.5 5вн-1,5)-^г
*о€р
14 Средний диаметр изолированного провода после пропитки, мм:
idmni
d” = ~
Х".
определяется в соответствии с данными табл. 3.3.
81
15. Среднее пробивное напряжение^ пропитывающего состава в
месте повреждения изоляции провода </п, кВ:
?U.n.
Z".
t/n определяется в соответствии с данными табл. 3.3.
Таблица 3.3
Результаты замеров диаметра изолированного провода (столбцы 2—4)
и испытаний на пробой (столбцы 5—8). Изоляция витковая; лак 321-Т;
плоский электрод; испытательное напряжение не ограничивается
Номер раз- ряда i Диаметр </„ Мини- мальный диаметр Количество проаодов в заданном диапазоне п, Напря- жение U. кВ Мини- мальное напряже- ние, кВ Значение разряда Частота пробоя п*
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,20 1,21 1,20 0 0,0—0,4 о.о 0,000 10
2 1,21—1,22 1,21 2 0,4—0,8 0,4 0,565 12
3 1,22—1,23 1,22 4 0,8—1,2 0,8 1,131 13
4 1,23—1,24 1,23 15 1,2 1,6 1,2 1,697 24
5 1,24—1,25 1,24 6 1,6—2,0 1,6 2,262 11
6 1,25—1,26 1,25 3 2,0 -2,4 2,0 2,828 11
7 1,26—1,27 1,26 11 2,4 -2,8 2,4 3,394 7
8 1,27—1,28 1,27 3 2,8 3.2 2,8 3,959 4
9 1,28—1.29 1,28 7 3.2—3,6 3,2 4.525 2
10 1,29—1,30 1,29 5 100
11 1,30- 1,31 1,30 13
12 1,31 1,32 1.31 8
13 1,32 1,33 1,32 7
14 1,33—1,34 1,33 2
15 1,34-1,35 1,34 6
16 1.35 1,36 1,35 8
4» ср 1,28 — 100
82
16. Среднее значение электрической прочности пропитывающего
состава в месте повреждения изоляции провода, кВ/мм
2СП
г" з.-з;
17. Средняя доля объема пропитывающего состава между провод-
никами в месте повреждения изоляция Ип:
р — т ~ г
X
л пр
18. Среднее значение электрической прочности промежутка меж-
ду двумя поврежденными проводниками после пропитки £||р, кВ/мм:
£ =£ V
19. Параметр экспоненциального закона распределения пробив-
ного напряжения между двумя поврежденными проводниками, 1/кВ:
X =
20. Число включений двигателя за расчетный период времени:
V “ п f
'вкл *расч‘
21. Амплитудное значение фазного напряжения с учетом коммута-
ционных перенапряжений за v включений двигателя, кВ:
= lnv + О»?
Ф-пн* 2,25
22. Амплитудное значение напряжения, приходящегося на одну
секцию фазы, с учетом коммутационных напряжений за v включений
двигателя, кВ:
^CV ф HHV ^пс
23. Вероятность пробоя элементарного участка изоляции пары
проводников за время fpaC4:
4=
?«/cv)=A J
о
гт)”17-
1 -•
bcv
Значение F
и-и2
°2 .
определяется по таблице Приложения 8.
83
Интеграл г ------------ е ( 1 -—)сш определяется численным
о 1 °2 } V
методом по формуле Симпсона; U—текущее значение напряжения
24. Вероятность безотказной работы витковой изоляции всыпной
обмотки в зависимости от числа включений двигателя
*BV =[1-?( l/cv)f
Для расширения возможностей обучения в Приложении 8 даиа
сводная таблица вариантов для / = 5 000 ч. Для дальнейших расчетов
время t может быть принято любым, исключая г = 0 (0 < / < 10 000).
Результаты замеров диаметра изолированного провода и испытаний
на пробой проводов диаметрами от 1,08 до 1,895 мм (всего 11 вариан-
тов) даны в Приложении 9.
Пример. Выполнить расчет надежности витковой изоляции обмотки
асинхронного двигателя. Исходные данные: /расч s 5 000 ч; яикл = 30 ч
dr = 1,20 мм; dm ~ 1,28 мм; провод марки ПЭТВ, s = 36 шт.; Лэ = 0,72; z = 36;
/ = 530 мм; пс = 6; К - 1; П = 42,12 мм; = 60 мм; гнгп = 1,527 мм; £_ =
= 1,99 кВ/мм.
Результаты испытаний провода на пробой после укладки обмотки приве-
дены в табл. 3.2, результаты испытаний пропитанного провода на пробой —
в табл. 3.3; результаты измерений диаметра пропитанного провода — в табз. 3.3.
Решение. Расчет надежности витковой изоляции.
1. Ц =0,165- 1,28 + 0,445 = 0,656 кВ; 772 = 1,8-Ц = 1,8 • 0,656 = 1,181 кВ.
2. Oj = 0,179 • 1,28 + 0,143 = 0,372 кВ; а2 =1,41 • 0,372 = 0,524 кВ.
3. =0,145 (вариант 1, см. табл. 3.2).
4. 5ИСП = 2 • 1.527 • 60 = 183,24 мм2.
_ х_ 1,181 +3-0,524 2
5 5------2- 1,99----0,692 ММ ‘
7. 1 - 0,145 = е~°, отсюда а = 0,157.
8. П =0.00128.
121, оо
84
о d = 1,075 1,28 I-Ь. = 1,623 мм
У- «М3 max » ^0,72
10. Хпр « 1,623 - 1.20 = 0,423 мм.
42,12
11 5,,1₽ 1,623
12.5ВИ= 36-26= 10.
13. N= 121,86 -1 -(26+ 1,5 - 10-1,5)—£ 36= 1,53-106
И 4 = = 1.2766 * 1,277 мм.
I VV
15Л?" = ^Г=,’736кВ'
16£" = ЙЙтТ2=45кВ/мм-
17 V = 1,28 1,2 =0,19.
п 0,423
18 £пр = 45 • 0,19 = 8,55 кВ.
I9X = 8^23=°-277-1/KB'
20. v = 30-5 000= 150 000
.. 1п150000 + 0,7 _АПС _
2,4|mihv =--2Л5----- = 5,608 кВ.
22. l/cv = = 0,935 кВ « 0,94 кВ;
0.94
9(l/cv) = 0,001282.0,277 f ^^Щ^1)е^277(1 -^) dC/.
О
Интеграл определяется численным методом по формуле Симпсона Зна-
чения F Г^181)
V 0,524 J
определяются по таблице Приложения 8.
0,94 0,94
о о
= yVoW + 4/,(С0 + 2/2(1Л ч 4f}(U) + ... + 4/а _,((/) ч- 2/2*(1Л],
где к — нечетное число; АС/= 0,094 кВ.
85
23. Результаты решения сведены в таблицу.
Номер участка С/. кВ хи e-W i-t//<4v fC7 U Л F - 1 °2 ) Л<7)
1 0,094 0,0277 0,972 0,9 0,0192 0,0164
2 0,188 0,055 0,946 0,8 0,0300 0,0227
3 0,282 0,083 0,920 0,7 0,0440 0,0284
4 0,376 0,111 0,895 0,6 0,0764 0,0408
5 0,407 0,138 0,870 0,5 0,0870 0,0378
6 0,564 0,167 0,846 0,4 0,1200 0,0406
7 0,658 0,192 0,830 0,3 0,1587 0,0394
8 0,752 0,222 0.798 0,2 0,2076 0,0330
9 0,846 0,250 0,778 0,1 0,2611 0,0203
10 0.940 0.277 0,752 0,0 0,3228 0,0000
0 0,000 0,000 1,000 l.o 0,0122 0,0122
По результатам расчета таблицы значения искомого интеграла:
0.94
J ДЦ) dl/=—рЧ0.0121 + 4-0,0164 + 2-0,0227 + 4-0,0283 + 2-0,0408 +
о
+ 4 • 0,0378 + 2 • 0,0406 + 4 • 0,0394 + 2 - 0,0330 + 4 • 0,0203) = 0,0265;
<7(0,940) = (1,28 • IO 3)2 • 0,277 • 0,0265 = 0,0120 • 10-6
24. Надежность витковой изоляции обмотки
P,v = [l -0,0120 Ю-6]1’”'10 =0,9818.
3.9. Расчет надежности электромеханических систем
Типы электромеханических систем и систем автоматического
регулирования чрезвычайно разнообразны, начиная от простейших
электроприводов типа электродвигатель—механизм и заканчивая
сложными системами с тиристорным регулированием частоты вра-
щения гребного винта кораблей. Поэтому создание однозначного
алгоритма расчета надежности нецелесообразно. Однако действуют
правила и закономерности расчета надежности электромеханических
систем. В сжатой форме изложим основные положения таких рас-
четов.
86
1. В общем случае электромеханические системы состоят из трех
основных подсистем: пускорегулирующей аппаратуры н (илн) элек-
тронных блоков, электрической машины, механизма.
2. Каждая подсистема обычно рассчитывается отдельно, и затем
определяется результирующая надежность электромеханической
системы.
3. Составление структурных схем надежности подсистем и сис-
темы обязательно. Исключение составляют системы со сложной
структурой, расчет надежности которых производится на базе основ-
ных теорем теории вероятностей.
4 Элементы п ус ко регулирующей аппаратуры, электроники и,
в первом приближении, механизм подчиняются экспоненциальному
закону. Поэтому должно быть известно значение интенсивности отка-
зов X.
5. Расчет надежности электрических машин ведется по методу
«слабых звеньев». Ориентировочно это выглядит так: отказы под-
шипникового узла подчиняются закону Вейбулла, поэтому должны
быть известны параметры закона Хо и Л; отказы кол лектор но-щеточ-
ного узла и контактных колец подчиняются закону Гаусса, поэтому
должны быть известны математическое ожидание тх и среднеквадра-
тическое отклонение о; отказы обмоток статора синхронных машин,
асинхронных машин и обмотки якоря машин постоянного тока подчи-
няются либо закону Гаусса, либо логарифмически-нормальному зако-
ну, поэтому должны быть известны математическое ожидание тх или
р н среднеквадратическое отклонение о или оц соответственно;
отказы обмоток возбуждения синхронных машин и машин постоян-
ного тока подчиняются экспоненциальному закону, и, следовательно,
дозжна быть известна интенсивность отказов X.
6. Согласно методу «слабых звеньев» асинхронный двигатель
с короткозамкнутым ротором разбивается на два узла: обмотка ста-
тора и подшипниковый узел; асинхронный двигатель с фазным рото-
ром разбивается на четыре узла: обмотка статора, подшипниковый
узел, обмотка ротора, контактные кольца; машина постоянного тока
разбивается на четыре узла: коллекторно-щеточный узел, подшипни-
ковый узел, обмотка якоря, обмотка возбуждения; синхронная
машина разбивается на четыре основных узла: обмотка статора, кон-
тактные кольца, подшипниковый узел, обмотка возбуждения, элек-
тронная система возбуждения (если таковая имеется).
В соответствии с вышеназванными общими положениями приве-
зем примеры расчета надежности электромеханических систем.
87
Пример 1. Привод газотурбинной установки представляет собой элек-
тромеханическую систему, состоящую из трех асинхронных двигателей
(АД), пускателей (П) и двух электрически последовательно включенных
реле тока защиты (Т), работающих на один механизм (М) Структурная элек-
тромеханическая схема установки показана на рис. 3.10, а. Система остается
работоспособной (обеспечивает необходимое давление газа в трубопроводе)
при отказе одного (любого) электродвигателя. Асинхронный короткозамкну-
тый двигатель представлен как последовательное соединение (с точки зре-
ния надежности) обмотки статора и подшипникового узла. Параметры узла
следующие: отказы обмотки статора подчиняются логарифм и чески-нор-
мальному закону р ж 12,14; = 1,6. Отказы подшипникового узла
подчиняются закону Вейбулла: к = 1,1; Xq = 0,3 • 10-6 ч *. Структурная схема
надежности электрической части (система защиты и двигатель) (рис. 3.10, б)
представляет собой последовательное соединение трех узлов, состоящих нз
пускателя, двух реле тока, включенных параллельно, и асинхронного двига-
теля. Асинхронный двигатель, в свою очередь, представлен как последова-
тельно включенные обмотка статора и подшипниковые узлы (иа рисунке не
показано). Параметры пускорегулирующей аппаратуры подчиняются экспо-
ненциальному закону: Хпуск = 0,1 • 10 J ч 1, резе тока — экспонснциа тьному
закону: Хт = 0,9* 10 ч”1. Отказы механизма электромеханической системы
также подчиняются экспоненциальному закону; Хм = 1,9* 10 6 ч 1 Рассчи-
тать вероятность безотказной работы системы для времени t = 20 000 ч.
Решение. Данная электромеханическая система нс может быть идентифи-
цирована ни с одной из стандартных структурных схем надежности. Поэтому
она должна рассчитываться как система со сложной структурой с примене-
нием теорем теории вероятностей. Предварительно рассчитывается электри-
Рис. 3.10. Полная схема электромеханической системы (а) и структурная схема
надежности электрической части одного асинхронного двигатетя (б)
88
ческая часть системы Надежность обмотки статора определяется с помощью
центрированной и нормированной функции Лапласа:
Роб (20 000) = 0.5 F (|п2°0°°-Р) = о з F f9!?. 6’—) =
= 0,5 + F( 1.4) - 0,5 + 0,4192 = 0,9192
Надежность подшипникового узла:
Рп(20 000) = ехр[-Хд/*] = ехр[-0,3 10-6 • 20 0001'1] = 0,984.
Надежность двух подшипниковых узлов:
P2n(20 00и) = Р„РП = 0.9842 = 0,968.
Результирующая надежность асинхронного двигателя
PM(20 000) = РобЛА = °’9192' °’968 = °’89-
Вероятность отказа одного узла защиты до току
<7Г = 1 - Рт = 1 - ехр[-Х/] = I - ехр[ 0,9 10 6 • 20 ООи] = 0,018.
Вероятность безотказной работы зашиты по току двух узлов:
Рт(20 П00) = I 1 - 0.0182 = 0.99968.
Вероятность безотказной работы пускателя;
Рпуек(20 U00) = ехр[ Хпус1Д ехр[ -0,1 • 10 5 • 20 000] = 0,98.
Вероятность безотказной работы цепи одного электродвигателя:
Рц(20 000) = РАДРпускРт = °’89 * °’98 ’ 0,99968 = 0,872.
Структурная надежность электрической части системы в соответствии
с теоремами сложения и умножения вероятностей рассчитывается
стедующим образом: система работоспособна, когда функционируют все три
цепи, что по теореме умножения определяет вероятность этого варианта как
Рц Далее обозначим вероятность отказа одной цепи £)ц. Система остается
работоспособной, ее вероятность безотказной работы P^QU Возможны три
таких случая. Все иные варианты исключены. Согласно теореме сложения,
вероятность безотказной работы электрической части системы:
Рм(20 000) = Р5Ц + ЗРцбц = 0.8723 + 3 • 0.8722 0,128 = 0,955.
Вероятность безотказной работы механизма:
Рм(20 000) = ехр[-Хм/] = ехр[ 1,9 • 10Ч • 20 000] = 0,963.
Результирующая вероятность безотказной работы всей электромеханиче-
ской системы:
Р(20 000) = PJ;1PM = 0.955 • 0.963 = 0,9179.
89
Пример 2. Электромеханическая система малой мощности состоит из
двойного выключателя В, работающего и а включение и отключение, выпря-
мительного моста из четырех диодов, причем каждый из диодов дублирован
(Мв), двигателя постоянного тока ДПТ и механизма М (рис. 3.11). Параметры
системы: для одного контакта выключателя Хв = 0,1 • 10-5 ч-1, закон экспо-
ненциальный; для одного диода Хд = 0,9 • 10 6 ч ’, закон экспоненциальный;
для ДПТ: подшипниковый узел: к = 1,25; Х^ = 0,2 - 10 3 ч 1, закон Вейбулла;
обмотка якоря: р = 8,7; = 1,03, закон логарифмичсски-нормазьный.
обмотка возбуждения: X = 0,7 • 10 ч , закон экспоненциальный; коллекторно-
щеточный узел: тх= 2 100 ч; о = 700 ч; для механизма М: Хм = 0,8 • 10 4 ч 1
закон экспоненциальный. Определить вероятность безотказной рабозы сис-
темы для времени / = 1 000 ч.
Решение. Выключатель, который работает иа включение и отключение
имеет структурную схему, состоящую из двух последовательно включенных
блоков и одного блока с параллельным соединением (позиция В на рис. 3.11,
б). Вероятность безотказной работы одного контакта:
р - ехр[-Хв/] = ехр[ -1 • 10 5 • 1 000] = 0,999.
Вероятность безотказной работы выключателя:
Рв = - с1 РГ1 = 0,9992[1 (1 0,999)2] = 0,998.
б)
Рис. 3.11 Электромеханическая схема системы (я) и структурная схема надежно-
сти (б)
90
Структурная схема выпрямительного моста, каждый из диодов которого
дублирован, показана на рис. 3.11, б. При этом вероятность безотказной
работы одного диода:
Ра = ехр[-Хт/] = схр[ 0,9 • 10 * • I 0OOJ = 0,9999
Вероятность безотказной работы диода с дублированием:
Р* = I - (I - Р3)2 = 1 (1 - 0,99«9Г = 0,9999999.
Наконец, вероятность безотказной работы выпрямительною мои а Мв:
Рм = 0.99999994 = 0,9999996.
Структурная схема надежности двигателя постоянного тока представляет
собой посзедова 1 с, 1ьное соединение узлов: подшипниковый узел, обмотка
якоря, обмотка возбуждения, коллекторно-ше точный узел. Вероятность без-
отказной работы подшипникового узла:
Рп = ехр[-Х0/*] = ехр[-0,2 - 105 • 1 0001’25] = 0,989
Для двух подшипниковых узлов
Р211 = Р2 = 0.9892 = 0.978.
Вероятность безотказной рабо1ы обмотки якоря вычисляется с помощью
центрированной и нормированной функции Лапзаса:
. = 0.5 - F = 0,5 - F (6^~38-7) 0,5 + 0,46 = 0.96.
Вероятность безотказной работы обмотки возбуждения рассчитывается в
соответствии с экспоненциальным законом распределения:
„ = exp(-?-Z] = схр[- 0,7 - I0 5 • 1 000] = 0,993.
Вероятность безотказной работы коллекторно-щеточного узла считается
с подошью центрированной и нормированной функции Лапласа:
Рг = 0,5 - F = о,5 - X|fllX) 210(Г) =
к X о / V 700 /
= 0,5 - F(-l,57) = 0,5 + 0,439 = 0,939.
Результирующая вероятность безотказной работы ДПТ:
РДПТ = Р2пРояРо.Л = °’978 * °«96' 0.993 ' 0,939 = °>875
Вероятность безотказной работы механизма:
Рм = exp[-XMf] = ехр[- 0,8 - 10 4 - I 000] = 0,923.
Резу н/гирующая вероятность безотказной рабош всей системы еиь про-
ведение вероятностей ее узлов:
Р " РЬРм* р}\\ирм = °-998 ‘ 0,9999996 • 0,875 • 0,923 = 0,806
91
Глава четвертая
НАДЕЖНОСТЬ АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
4.1. Статистика и анализ отказов асинхронных двигателей
Долгий и кропотливый труд по сбору статистических данных об
отказах и их анализу абсолютно необходим для разработки и уточне-
ния методик расчета электрических машин, обеспечения и повыше-
ния надежности, совершенствования технологий изготовления, соз-
дания и улучшения систем зашиты и правил технической эксплуа-
тации.
Асинхронные двигатели — наиболее распространенный тип элек-
трических машин Это объясняется простотой конструкции и высо-
кой надежностью при условии правильной эксплуатации. Достаточно
отметить, что приблизительно 40 % вырабатываемой электроэнергии
потребляется асинхронными двигателями. Вот почему проблемы
сохранения, обеспечения, повышения и прогнозирования надежно-
сти асинхронных машин имеют большое значение.
В статистических исследованиях выделяют два слабых с точки
зрения надежности узла асинхронных короткозамкнутых двигателей:
обмотку статора и подшипниковый узел. В этой главе приводятся
результаты многоплановых исследований надежности обмоток асин-
хронных двигателей (основного «слабого узла»): математические
модели надежности, методика расчета надежности, исследование
физических процессов в изоляции и т.п. Надежность подшипниковых
узлов, второго по значимости «слабого узла» большинства электриче-
ских машин, причины отказов, анализ физических процессов, мето-
дики расчета изложены в гл. 8. Это объясняется достаточной универ-
сальностью изложенного в восьмой главе материала для подшипни-
ковых узлов большинства типов электрических машин.
Статистика отказов асинхронных двигателей. В большинстве
случаев (85—95 %) отказы асинхронных двигателей мощностью
свыше 5 кВт происходят из-за повреждения обмоток и распределя-
ются следующим образом: межвитковые замыкания — 93 %, пробой
межфазной изоляции — 5 %, пробой пазовой изоляции — 2 %. На
подшипниковый узел приходится 5—8 % отказов, и небольшой про-
92
цент связан с такими причинами, как распайка выводных концов,
скручивание валов, разрыв стержней ротора и др. [7].
Причины отказов можно дифференцировать следующим образом:
технологические составляют примерно 35 %, эксплуатационные
(в основном из-за неудовлетворительной защиты электродвигателей) —
50 % и конструкционные— 15 %. В течение года капитально ремон-
тируют около 20 % установленных электрических машин
(в городском строительстве — 50 %, в горнодобывающей промышлен-
ности — 30 %, в машиностроении — 20 %, в черной металлургии —
13 % и в химической промышленности — 9 %).
Качество обмоток асинхронных двигателей зависит от свойств
обмоточных проводов и изоляционных материалов, от совместимо-
сти обмоточных проводов и пропиточных составов. Применяемые на
заводах методы контроля межвитковой изоляции недостаточны для
предотвращения приработочных отказов в эксплуатации.
Под неудовлетворительной зашитой следует понимать отсутствие
тепловой или температурной защиты либо ее отказ. Исследования
показали, что разброс времени срабатывания тепловой защиты, даже
ненастроенной, практически не влияет на аварийность. При защите
электродвигателей плавкими вставками, что имеет место в большин-
стве случаев, они отказывают вследствие работы на двух фазах. Мате-
риалы по эксплуатации свидетельствуют о том, что 80 % аварий
(вследствие работы на двух фазах) происходит из-за отсутствия теп-
ловой защиты и только 20 % — из-за ее неисправности.
Одной из распространенных причин повышенной интенсивности
отказов электродвигателей является вибрация агрегата, которая вле-
чет за собой отказы подшипников, обмотки, иногда вызывает тре-
щины в чугунной оболочке электродвигателя и в лапах. Повышенная
вибрация объясняется неудовлетворительным сочленением электро-
двигателя и исполнительного механизма, остаточной неуравнове-
шенностью вращающихся масс, повышенным зазором между телами
качения и кольцами шарикоподшипников, искажением формы мест
под установку подшипника или их несоосностью, овальностью колец
шарикоподшипника и т.п.
В ряде случаев к отказам приводит несоответствие конструктив-
ного исполнения электродвигателей и условий эксплуатации, напри-
мер применение электродвигателей защищенного исполнения в цехах
с повышенным содержанием металлической пыли. Это существенно
}величнвает число отказов по сравнению с применением в тех же
условиях электродвигателей закрытого обдуваемого исполнения.
Приведенные выше данные об отказах были получены в основном
в результате исследований отказов асинхронных двигателей обще-
промышленного применения. Однако отказы специальных электри-
93
ческих машин подчиняются тем же закономерностям, имея некоторое
отличие в процентном соотношении по отказам узлов. В качестве
примера приведем статистику отказов и анализ повреждаемости
погружных асинхронных двигателей типа ПЭДВ мощностью от 2,8 до
160 кВт, служащих приводом для скважинных центробежных элек-
тронасосов. В целом для ПЭДВ статистика отказов такова: обмотка
статора — 72,5 %; подшипниковый узел — 10,2 %; подпятники — 7 %;
уплотнители и манжеты — 5,1 %; кабельный ввод — 2,2 %; ротор —
3 %. Причины отказов следующие: неполнофазный режим и витковое
замыкание и замыкание на корпус; заклинивание насоса и скрутка
пакета статора; сухой ход (снижение уровня воды в скважине), что
обусловливает пробой изоляции на корпус и фазу, а также пробой
в верхней лобовой части; неудовлетворительное качество ремонта —
механическое повреждение изоляции обмотки, пробой изоляции
в месте соединения выводных концов с токоведущим кабелем; обрыв
вала ротора и разрыв стержней ротора; перегрузка и замыкание на кор-
пус и в пазу; неудовлетворительное качество напряжения; атмосфер-
ные перенапряжения и др.
Рассмотрим и проанализируем подробнее основные причины,
приводящие к отказам асинхронных двигателей. Здесь следует заме-
тить, что изложенный ниже материал достаточно универсален и
может быть использован для исследования других типов электриче-
ских машин.
Низкое качество проектирования. При исследовании отказов
электродвигателей можно обнаружить определенную группу повреж-
дений, обусловленных дефектами проектирования. В большинстве
случаев эти дефекты связаны с излишним использованием активных
и конструктивных материалов.
Высокий коэффициент заполнения пазов Одним из способов
повышения использования машины является увеличение коэффици-
ента заполнения пазов медью. Для этого применяют более тонкую
изоляцию как витковую. так и пазовую, увеличивают плотность
укладки, упорядочивают расположение проводников в пазу. Обосно-
ванное применение новых изоляционных материалов (высокопроч-
ной эмали, тонких синтетических плеиок, изоляции пазов вихревым
напылением и т.п.) позволяет за счет увеличения коэффициента
заполнения паза увеличить мощность машины на единицу массы.
Увеличение заполнения паза медью на 1 % позволяет повысить
использование активной части машины на 0,75 %. Однако чрезмерно
высокий коэффициент заполнения паза приводит к снижению надеж-
ности обмотки.
Увеличение объема проводников в пазу заставляет прилагать зна-
чительнее усилия при укладке всыпной обмотки, что с неизбежно-
94
стью приводит к местным повреждениям изоляции н витковым замы-
каниям на испытательном стенде или в процессе эксплуатации.
Например, снижение коэффициента заполнения лишь на 4 % (от 0,82
до 0,79) уменьшает число пробоев витковой изоляции при испытании
повышенным напряжением приблизительно вдвое. Это свидетельст-
вует о том, что с повышением коэффициента заполнения сверх опре-
деленного допустимого предела надежность всыпной обмотки умень-
шается очень быстро. Поэтому в процессе проектирования машины,
а тем более серии машин, выбор коэффициента заполнения должен
быть обоснован для каждого типа изоляции экспериментальным
материалом, подтверждающим допустимость данного коэффициента
заполнения для витковой изоляции.
Малый запас теплостойкости изоляции. В эксплуатационных
условиях асинхронные двигатели периодически испытывают различ-
ные перегрузки, причины которых многочисленны. Перегрузки могут
быть вызваны, например, неисправностью приводного механизма или
форсировкой режима его работы, отклонением от нормы частоты или
напряжения, загустеванием смазки, временным повышением темпе-
ратуры окружающей среды, а также многими другими причинами.
Перегрузки сопровождаются повышением температуры обмотки. Как
будет показано в § 4.3, старение изоляции ускоряется с повышением
температуры. Поэтому периодические, хотя бы н кратковременные,
перегрузки могут привести к существенному снижению срока
службы изоляции, которые для каждого конкретного случая можно
ориентировочно оценить путем расчета.
Решение таких задач не сводится лишь к выбору двигателя с дос-
таточным запасом мощности. Последнее привело бы только к систе-
матической недогрузке двигателя с соответствующим ухудшением
его коэффициента мощности и КПД. Двигатель не должен иметь
значительный запас по максимальному моменту, а иметь запас по
нагреву, который позволял бы ему безотказно выдерживать времен-
ные перегрузки.
Поэтому при проектировании двигателя нецелесообразно учиты-
вать предельные температуры, допустимые для данного класса изоля-
ции, а следует предусматривать некоторый температурный запас.
Экономический эффект от применения более высокого класса изоля-
ции будет наибольшим, когда последний позволяет повысить не
только использование машины, но и ее надежность. Необходимо учи-
тывать также, что стоимость машины возрастает по мере повышения
класса изоляции, поэтому ее отказ сопровождается большими убыт-
ками.
Необходимость определенного запаса теплостойкости обуслов-
лена еще и тем, что применяемые в настоящее время методы тепло-
95
вого расчета асинхронных двигателей обладают недостаточной точ-
ностью. Несовершенен также учет добавочных потерь. В точках
максимального иагрева температура обмотки может значительно пре-
вышать средние значения.
Изложенные соображения должны быть приняты во внимание на
стадии проектирования машины. Рациональный выбор материалов
позволяет не только повысить надежность машины, но и одновре-
менно улучшить другие ее технико-экономические показатели: снизить
потери, ток холостого хода, повысить КПД и коэффициент мощности.
Малый воздушный зазор. При увеличении индукции в различных
частях магнитной системы возрастает ток холостого хода асинхрон-
ного двигателя и соответственно снижается его коэффициент мощно-
сти. Этот нежелательный эффект может быть компенсирован умень-
шением воздушного зазора, что, однако, сопровождается снижением
надежности машины. Даже небольшая выработка подшипников,
деформация посадочных поверхностей, изгиб вала приводят к появ-
лению значительной неравномерности воздушного зазора и, к увели-
чению нагрузки на подшипники, ускорению их износа, появлению
вибрации, а в наиболее тяжелых случаях — к задеванию ротора за
статор. Возможность такой неисправности усугубляется тем, что
в собранных машинах величина зазора обычно не контролируется.
После сборки двигателя обычно ограничиваются проверкой легкости
вращения ротора в подшипниках, что не гарантирует легкого его вра-
щения и в будущем В этих условиях большое значение приобретают
методы косвенного определения величины неравномерности воздуш-
ного зазора и ее причин, которые в настоящее время успешно разра-
батываются.
Воздушный зазор в асинхронных двигателях вообще относи-
тельно невелик, а в машинах малой мощности он измеряется долями
миллиметра. Выполнение таких зазоров с допустимой степенью
неравномерности (± 10 %) требует обеспечения точной соосности
внешней поверхности ротора и внутренней поверхности статора, для
чего необходима тщательная обработка подшипниковых щитов, рото-
ров и станин. Особенно важно для получения равномерного воздуш-
ного зазора обеспечить концентричность замков станин и подшипни-
ковых щитов. Возрастает роль пооперационного контроля при
механической обработке замков станин и подшипниковых щитов,
расточки станины под пакет статора, внешней поверхности ротора.
Таким образом, необоснованное уменьшение воздушного зазора
усложняет процесс производства, удорожает машину и снижает ее
надежность.
Недостаточная жесткость конструкции. Важным фактором,
определяющим надежность и долговечность конструкции, является
96
степень деформации ее деталей. При определении деформаций
нередко ограничиваются учетом действующих сил, пренебрегая
влиянием изменений температуры, остаточных напряжений и т.п.
Недостаточная жесткость и обусловленные ею повышенные дефор-
мации вызывают взаимные смещения и ненормальные условия
работы узлов и деталей, способствуют увеличению концентрации
напряжений и снижению усталостной прочности.
Исследование отказов асинхронных двигателей показывает, что
в некоторых случаях жесткость отдельных элементов машин является
недостаточной. В частности, повышенный прогиб валов может слу-
жить причиной неравномерности воздушного зазора, излишнего
нагрева, заедания и ускоренного износа подшипников. Повреждения
подшипников происходят вследствие ослабления посадок, загрязне-
ния и вытекания смазки, попадания в подшипники жидкостей и твер-
дых частиц» Недостаточная жесткость подшипниковых щитов спо-
собствует развитию этих явлений.
Необходимая жесткость всех конструктивных элементов машины
должна обеспечиваться на стадии проектирования.
Низкое качество материалов и комплектующих изделий. При-
чиной межвитковых замыканий в обмотках статоров асинхронных
двигателей нередко является низкое качество изоляции обмоточных
проводов. Существующие стандарты не нормируют минимальную
толщину изоляции проводов с волокнистым покрытием. Минималь-
ную толщину эмалевой изоляции нормируется, однако часто имеют
место отступления от требований стандартов. Недостаточно опреде-
лены также показатели по обеспечению стабильности качества элек-
троизоляционных материалов, в результате иногда обнаруживается
снижение их нагревостойкости. В частности, отмечалось снижение
нагревостойкости эмалированных проводов ПЭВ-2 (на 5—8 °C) и
триацетатцеллюлозной пленки (на 10—15 °C).
Значительно снижает нагревостойкость и срок службы обмоток из
эмалированного провода пропитка не подходящими для этой цели
лаками. На проводах с эмалевой изоляцией пленка менее нагрево-
стойкого пропиточного лака может привести к преждевременному
разрушению изоляции вследствие теплового старения.
Механическая прочность изоляции эмалированных проводов
часто также оказывается недостаточной. Это может быть вызвано
низким качеством лака, недостаточной толщиной изоляционной
пленки, нарушениями процесса тепловой обработки эмали. Нередко
наблюдается повышенное число точечных повреждений изоляцион-
ной пленки.
Довольно частым дефектом является повышенная жесткость
обмоточного провода, затрудняющая процесс обмотки. Значительные
97
усилия при укладке и отгибе лобовых частей приводят к поврежде-
нию изоляции. Обмоточный провод должен быть достаточно мягким,
обладать большим относительным удлинением. Везичины относи-
тельного удлинения нормированы стандартами, однако встречаются
отклонения от этих норм.
Выводные провода электрической машины работают в специфиче-
ских условиях: они фиксированы сравнительно свободно и в некото-
рых местах могут быть подвержены частым изгибам или испытывать
колебания под действием вибрации машины Поэтому требования,
обычно предъявляемые к изоляция обмоточных проводов, — элек-
трическая и механическая прочность, иагревостойкость, влагостой-
кость и т.п. — к выводным проводам должны быть усилены. Кроме
того, изоляция выводных проводов должна обладать достаточной эча-
стичностью и сохранять это свойство после пропитки и сушкн,
а также после определенного периода старения в условиях эксплуата-
ции. Выводные провода, по сравнению с другими элементами обмот-
ки, в большей степени подвержены воздействиям внешней среды и,
таким образом, работают в тяжелых условиях, а потому часто выхо-
дят из строя.
Среди конструкционных элементов асинхронных двигателей наи-
более слабым местом является подшипниковый узел, повреждения
которого составляют большой процент отказов, причем их причиной
нередко служит низкое качество подшипников качения. Последнее
выражается в наличии дефектов в металлических кольцах и телах
качения, нарушении режимов их термообработки, несоблюдении гео-
метрических размеров и формы колец, неточным изготовлением тел
качения. Перечисленные дефекты приводят к уменьшению срока
службы подшипников, сопровождаются усилением шума и повыше-
нием температуры подшипникового узла.
Дефекты технологии производства. В среднем около 35 % отка-
зов асинхронных двигателей возникает вследствие низкого их качест-
ва. Дефекты, в процессе изготовления двигателей, могут быть
вызваны различными причинами: нарушениями технологического
процесса, несоответствием станков, приспособлений и инструмента
предъявляемым требованиям, недостаточной квалификацией рабо-
чих, низким уровнем производственной культуры и т.п. Ввиду огра-
ниченных возможностей системы контроля дефектная продукция
может избежать отбраковки и поступить в эксплуатацию. Впоследст-
вии она быстро выходит из строя, снижая тем самым средний уровень
надежности изделий.
Отказы, вызванные дефектами технологии, обычно относятся
к группе приработочных отказов В течение первой тысячи часов
98
работы около половины отказов асинхронных двигателей общепро-
мышленного применения происходит именно по этой причине.
Для электрических машин характерна их подверженность повреж-
дениям в процессе производства Она обусловлена их внутренней
структурой, которая определяется взаимодействием деталей, с суще-
ственно различными свойствами. Механическая прочность электри-
ческой изоляции значительно ниже, чем прочность окружающих ее
деталей, поэтому она легко повреждается при деформациях и ударах,
при соприкосновении с острыми кромками металлических деталей и
инструмента, прн попадании в нее проводящей пыли, опилок и стру-
жек, а также масла, эмульсии и других жидкостей.
Разрушению изоляции обмотки способствует грат (заусенцы),
образующийся на кромках вырубок и, в частности, в пазах при износе
штампов. Это явление предотвращается своевременной заменой или
шлифовкой изношенного штампа.
Повреждение изоляции обмоточного провода становится более
вероятным при повышенной скорости намотки его на шаблон, однако
наибольшая опасность разрушения изоляции обмотки возникает при
укладке обмоточного провода в пазы машины.
В процессе укладки обмотки следует уменьшать количество
непредусмотренных пересечений проводов, так называемых «кре-
стов», в пазовой и в лобовых частях. В месте пересечения проводов
их изоляция может быть разрушена даже при небольшом усилии. Эта
опасность усугубляется тем, что при произвольном пересечении про-
водов электрическое напряжение между ними может достигать недо-
пустимых значений.
Серьезную опасность для изоляции представляет возможность
попадания в обмотку металлических частиц. Поэтому на обмоточных
участках следует полностью исключить выполнение каких бы то ни
было металлообрабатывающих операций. Обработка замков корпуса
после запрессовки в него пакета активной стали должна произво-
диться с применением стружкоотсосов.
Кроме указанных выше встречаются и другие дефекты технологии
обмоточно-изолировочных работ, приводящие к преждевременным
отказам асинхронных двигателей. К ним относятся некачественная
пропитка и недостаточная сушка обмотки, смещение межфазной изо-
ляции в лобовых частях, слабое крепление обмотки, низкое качество
пайки соединений.
Дефекты в соединениях приводят к высокому проценту брака и
приработочным отказам. Следует отметить ненадежность соедине-
ний алюминиевого провода с меднымн выводными проводами
в машинах с алюминиевой обмоткой, что является причиной боль-
шинства приработочных отказов двигателей этого типа.
99
Так как большинство отказов асинхронных двигателей связано с
неисправностями обмотки статора, основное внимание должно быть
обращено на повышение качества обмоточных работ. Однако име-
ются и другие слабые звенья, даюшие заметный процент брака и
существенно снижающие показатели надежности. Одним из таких
звеньев является подшипниковый узел, вопросы надежности кото-
рого рассматриваются в гл. 8. Следует упомянуть также о случаях
небрежной укладки в пакеты и слабой прессовки активной стали, зна-
чительной неравномерности воздушного зазора и некачественной
балансировки ротора.
Неправильное применение двигателей. Условия применения
асинхронных двигателей разнообразны. Поэтому существуют раз-
личные исполнения и модификации двигателей для удовлетворения
специфических требований, связанных с особенностями нагрузок,
окружающей среды и режимов работы. Так, двигатели с повышенным
скольжением ($н = 8-5-14 %) предназначены для привода механизмов
с большими моховыми массами и неравномерным графиком нагруз-
ки, а также механизмов с большой частотой пусков и реверсов. Уве-
личенное активное сопротивление ротора этих двигателей позволяет
уменьшить их нагрев при переходных процессах.
Двигатели с повышенным пусковым моментом (Л/п/Л/н = 1,74-2,0)
служат для привода механизмов с тяжелыми условиями пуска, но
стабильной нагрузкой. Двигатели с номинальным режимом работы
предназначены для установки на предприятиях, где из-за условий
круглосуточной работы особое значение приобретают высокие энер-
гетические показатели. Существующие исполнения и модификации,
как правило, позволяют выбрать наиболее подходящий для конкрет-
ных условий работы двигатель. Кроме того, предусмотрено 17 раз-
личных исполнений электрических машин по степеням защиты.
Надежная работа двигателя может быть гарантирована лишь при
условии правильного их выбора и применения. В качестве примера
приведем сравнение надежности асинхронных двигателей малой и
средней мощности закрытого и защищенного исполнений. Стати-
стика показывает, что масса и стоимость двигателей закрытого испол-
нения на 15—20 % выше, чем защищенных. Однако стоимость ремон-
та, потребность в обслуживании и котичество отказов в среднем
выше на 30 %. Замена защищенного исполнения закрытым особенно
эффективна для двигателей сравнительно малой мощности, где
закрытое исполнение не сопровождается существенным увеличе-
нием габаритных размеров, массы и стоимости, в то время как надеж-
ность машин, затраты на ремонт и обслуживание значительно сокра-
щаются.
100
Отказ защиты не следует относить к надежности электрических
машин. Одиако напомнить о важной роли надежной защиты необхо-
димо. Так, на промышленных и сельскохозяйственных предприятиях
с низким уровнем квалификации обслуживающего персонала отказы
асинхронных двигателей из-за неправильной работы илн отказа
зашиты достигают 40 %.
Критерии работоспособности и отказов изоляции электриче-
ских машин (критерии работоспособности и отказов подшипнико-
вых узлов будут изложены в гл. 8) [17]. Основным критерием работо-
способности изоляции является пробивное напряжение С/пр, при
котором происходит пробой изоляции. Это наиболее объективный и
информативный критерий. Однако использование этого критерия
сопряжено с определенными трудностями. Во-первых, пробивное
напряжение — это разрушающий критерий, т.е. определение вели-
чины £/пр связано с разрушением изоляции. Во-вторых, реализация
опыта по определению пробивного напряжения связана с техниче-
скими трудностями, которые резко возрастают при реализация объ-
ектного (не модельного) эксперимента. Например, определение про-
бивного напряжения обмотки статора электрической машины при
различных значениях времени ее работы требует создания специаль-
ного устройства и использования нескольких машин, имеющих
выводы от обмотки статора к устройству, находящемуся вне машины
Поэтому часто приходится пользоваться менее объективными, но
не разрушающими изоляцию критериями. К ним относятся активное
сопротивление изоляции, емкость изоляции, тангенс угла диэлектри-
ческих потерь, амплитуда и частота импульсов акустической эмис-
сии, декремент затухания переходного процесса в изоляции, темпера-
тура обмотки и дефектность.
Активное сопротивление изоляции Яиз является важным показате-
лем ее работоспособности. Снижение сопротивления изоляции ниже
0,5 МОм свидетельствует об отказе. Измеряется сопротивление
мегомметром. Основной недостаток данного критерия — существен-
ная зависимость от окружающей среды (высокая или низкая влаж-
ность, агрессивные среды, масляный туман и др.). Одна и та же изо-
ляция характеризуется различными показателями в сухом помещении
(сопротивление больше) или во влажном, с агрессивными средами.
Емкость изоляции также характеризует ее работоспособность.
Иногда вместо емкости изоляции используют коэффициент самораз-
ряда, и если он становится больше 2, то констатируют отказ изоля-
ции. Емкость изоляции, а также тангенс угла диэлектрических потерь
измеряются универсальным измерительным мостом.
101
Температура обмотки также является показателем работоспособ-
ности изоляции. Обычно измерение температуры осуществляется
с помощью термопар.
Акустическая эмиссия — это явление возникновения звуковых
волн при растрескивании любого твердого материала. При появлении
нли росте дефектов в изоляции наблюдается акустическая эмиссия,
которая регистрируется пьезодатчиками, установленными на изоля-
ции. Датчики фиксируют амплитуду и частоту импульсов эмиссии.
По амплитуде импульсов акустической эмиссии можно судить о раз-
мерах дефектов в изоляции, а по частоте — об их числе. Этим крите-
рием пользуются при диагностике состояния изоляции машин боль-
шой мощности — турбо- и гидрогенераторов, синхронных компенса-
торов и др.
Если на изоляцию в начале фазы подать прямоугольный импульс,
то на выходе осциллограф покажет импульс измененной формы. Изо-
ляция электрической машины представляет собой композицию актив-
ного, индуктивного и емкостного сопротивлений (эквивалентная схе-
ма). Анализируя кривую затухания переходного процесса в изоляции,
можно судить о ее работоспособности.
Дефектность изоляции — это количество сквозных повреждений
на единицу длины или площади. Берутся стандартные образцы про-
водов и с помощью специальной установки определяют дефектность.
Этот метод эффективен при определении работоспособности изоля-
ции в состоянии поставки обмоточных проводов.
4.2. «Кривая жизни» асинхронных двигателей
общепромышленного применения
Для получения математического описания «кривой жизни» (пе-
риодов работы) асинхронных двигателей общепромышленного при-
менения был собран и обработан статистический материал об отказах
двигателей мощностью от 10 до 500 кВт. Концепция, заложенная
в полученной математической зависимости, несколько отличается от
стандартной «кривой жизни» технических изделий (см. § 3.3). Стан-
дартная зависимость Х(г) содержит три периода: период приработки
(обозначим цифрой 1), который характеризуется технологическими и
конструктивными отказами и подчиняется закону Вейбулла; период
нормальной эксплуатации (обозначим цифрой 2), который характери-
зуется непредсказуемыми, случайными отказами и подчиняется экс-
поненциальному закону; период старения и износа (обозначим циф-
рой 3), когда отказы происходят из-за старения материаза и износа
конструкции и подчиняются закону Гаусса. При разработке математи-
ческого описания «кривой жизни» асинхронных двигателей обше-
102
промышленного применения был учтен следующий неоспоримый
факт: случайные, непредсказуемые отказы происходят в течение всех
трех периодов работы электрической машины. А это значит, что
в период приработки отказы подчиняются суперпозиции экспоненци-
ального закона н закона Вейбулла; в период нормальной эксплуата-
ции отказы подчиняются экспоненциальному закону; в период старе-
ния и износа отказы подчиняются суперпозиции экспоненциального
закона и закона Гаусса. Экспоненциальный закон (случайные, непред-
сказуемые отказы) существует в течение всех трех периодов работы.
Исходя из этой концепции, а также после математической обработки
статистического материала получены следующие зависимости Х(г),
P(t) и а(0 для асинхронных двигателей.
Период приработки (0, f|); /] = 4 000 ч. При суперпозиции экспо-
ненциального закона и закона Вейбулла вероятность безотказной
работы в этот период Рх определяется по формуле
Wb> (4.1)
где — функция вероятности безотказной работы при экспоненци-
альном законе; Рв — то же при законе Вейбулла;
Р3 = ехр[-Хог] при Хо = 1,828 • 10'5 ч'1:
Рв = ехр[—XqT *] при к = 0.217.
Интенсивность отказов Хр
Xi = Хэ + Хв, (4.2)
где Хэ — интенсивность отказов прн экспоненциальном законе; Хв —
то же при законе Вейбулла;
X, = Хо = 1,828 • ю 5 ч"’;
*-1 (4-3)
Хв кХ01
Частота отказов ip
(4 4)
После преобразований получим:
аэ ~ \)ехр[_\/] ПРИ экспоненциальном законе;
яв = АХ0/* ’ехр[-Х0Л* 1 ] при законе Вейбулла.
103
Период нормальной эксплуатации (Гр /2); /2 ~ 20 000 ч. По экспо-
ненциальному закону вероятность безотказной работы в этот период
Р2 определяется
Р2 = exp[-Xoz]. (4.5)
Интенсивность отказов
^2 = const = 1,828 • 10’5 ч*1. (4.6)
Частота отказов
а2= Хоехр[-Хо/]. (4.7)
Период старения и износа (t > /2). Суперпозиция экспоненциаль-
ного и нормального законов. Для нормального закона Тср = 30 000 ч;
о = 5 ООО ч. Вероятность безотказной работы в этот период Ру
Р3 = Р^Г, (4R)
где Pj--вероятность безотказной работы по закону Гаусса ;
Р, = exp[-Xnz];
Ф — центрированная и нормированная функция Лапласа (см. Прило-
жение 2).
Частота отказов для экспоненциального закона:
О, = >-nexp[-Xoz].
Частота отказов для закона Гаусса
1
аг = —— ехР
0л/2л
Интенсивность отказов для закона Гаусса:
= Г (4.9)
Интенсивность отказов в период старения и износа:
= Хг + хэ; Хэ = хо = 1,828 • 10 5 ч-1. (4 10)
Частота отказов:
°3 = ^3^3-
* В период старения и износа имеет место усеченный нормальный закон, однако при
отношении 7сг/а = 6 поправочный коэффициент составляет меньше сотой доли процента
(G-^cp)'
104
Полученная математическая зависимость приближенная. Однако
она широко используется при разработке математических моделей и
описывает физическую природу отказов в течение всего периода экс-
плуатации асинхронных двигателей.
Пример. Рассчитать зависимости МО и ^(/) асинхронных двигателей
общего применения.
Решение. Для иллюстрации возьмем по одной точке внутри каждого
периода. Эти точки: tA = 3 000 ч, tB = 15 000, 1С = 28 000 ч. Естественно, что
другие точки рассчитываются аналогично.
1. tA = 3 000 ч. Вероятность безотказной работы: Рэ(3 ООО) = ехр[ 1,828х
хКГ’-ЗООО0-217] = 0.9999; FB(3 0001 = ехр[-1,828 • 10~5 • 3 000] = 0,9466.
Окончательно: Рл(3 000) = 0,999 • 0,9466 = 0,9465.
Интенсивность отказов: 1^(3 000) = 0,3967 3 000-0,783 • 10-5 - 7,5 • 10-9 ч-1;
Л/З 000) = 1,828 • 10 5 ч-1. Окончательно: \А(3 000) = 1,828 10~5 + 7,5
= 1,82875 10~5 ч~1.
Частота отказов аА(3 000) = 0,9465 • 1,82875 • 10“5 = 1,7309 • 10 5 ч '.
2. tB = 15 000 ч. Вероятное! ь безотказной работы Р^ 15 000) = ехр[ 1,828х
хЮ5- 15 000] = 0,76. Интенсивность отказов к(15 000) = 1,828* 10 5 ч-1.
Частота отказов ад(15 000) = 0,76 • 1,828 • 10“5 ч'1 = 1.3896 10"5 ч-1.
3. /£=28 000 4. Вероятность безотказной работы Рг(28 000) =0,5-
Ф - •'л,30 —) = 0.5 Ф(-0.4) = 0,5 + 0,1554 = 0.6554; Р3 (28 000) =
- ехр[-1,828 • 10-5 • 28 000] = 0,5994. Окончательно: Рс (28 000) - 0,6554х
хО.5994 = 0,3928.
Плотность нормального распределения /г(28 000) = аг(28 000) ~ 7,979х
х10"5схр[-(28 000 - 30 000)2/(5 • 107)] = 7,3655- 10 5 ч-1; 1Г (28 000) =
= 7,3655x10 5/0,6554 = 11,238 • 10-5 ч *. Интенсивность отказов в период ста-
рения н износа (28 000) = 1.828 10“5 + 11,238- 10 5 = 13.066-10’5 ч-1.
Частота отказов (28 000) = 0,3928 13,066 • 10 5 = 5,1324 • 10"5 ч
Заметим, что при построении кривой Р(/) добавляется точка: всегда
/’(i = О) = 1. При построении кривой Х(/) добавляются две точки: Х(4 000) =
= Х(20 000)= 1,828- 10 5 ч-1.
4.3. Надежность изоляции обмоток электрических машин
В процессе эксплуатации изоляция часто «работает» в тяжелых
условиях внешних воздействий. Разрушение изоляции происходит
в результате нагрева, механических усилий (вибраций, давления,
105
ударов и т.п.), влияния влаги, агрессивных сред и других факторов.
В машинах высокого напряжения существенное влияние на изоляцию
оказывает электрическое поле. Постепенное разрушение изоляции
в эксплуатационных условиях или во время испытаний обычно завер-
шается пробоем
Электрическая прочность диэлектриков. Основным критерием
работоспособности изоляции является пробивное напряжение Ц .
Различают три основных вида пробоя твердых однородных диэлек-
триков: тепловой, электрический и ионизационный.
Тепловой пробой диэлектрика происходит, когда нарушается ста-
ционарное тепловое состояние. В этом случае тепловыделение пре-
вышает теплоотдачу, происходит недопустимо высокий разогрев
диэлектрика и наступает тепловое разрушение материала.
Пробивное напряжение при тепловом пробое связано со следую-
щими факторами: частотой поля, условиями охлаждения, температу-
рой окружающей среды и др. Кроме того, напряжение теплового
пробоя зависит от нагревостойкости материала. Органические
диэлектрики имеют более низкие значения пробивного напряжения
при тепловом пробое, чем неорганические, вследствие их малой
нагревостой кости.
Электрический пробой рассматривают при следующих условиях.
В диэлектрике исключена возможность теплового пробоя, проводи-
мость р и диэлектрические потерн tgS малы; материал диэлектрика
химически стабилен, отсутствует ионизация газовых включений.
Таким образом, электрический пробой характеризует вещество
диэлектрика, связан с его структурой и мало зависит от внешних
условий. Электрический пробой происходит в большинстве случаев
при напряженности электрического поля 106—107 В/см.
Ионизационный пробой связан с ионизационными процессами
в газовых включениях изоляция. При ионизации газового включения
происходит электронная и ионная бомбардировка твердого диэлек-
трика, соприкасающегося с газовыми включениям. По истечении
некоторого времени, если интенсивность бомбардировки достаточна,
наступает пробой ближайшего к газовому включению слоя твердого
диэлектрика. Развитие этого процесса может привести к полному или
частичному пробою твердого диэлектрика. Ионизационный пробой
наиболее характерен для органической изоляции.
Зависимость пробивного напряжения от температуры для провода
с изоляцией на основе полиэфирного лака (ПЭТВ) представлена на
рис. 4.1. На графике можно выделить участки электрического (/) и
теплового (2) пробоя.
106
Основы расчета долговеч-
ности изоляции. Факторами,
ВЛИЯЮЩИМИ на срок службы ИЗО-
ЛЯЦИИ электрических машин,
являются температура обмотки,
воздействие электрического по-
ля, механические усилия, а также
влага, агрессивные среды, запы-
ленность и т.п. Из перечислен-
ных факторов во многих случаях
доминирует температура и, как
Рис. 4.1. Зависимость пробивного напря-
жения от температуры для изоляции
ПЭТВ
следствие, тепловое старение изоляции
Под нагревостой костью понимают способность материала без
существенного изменения характеристик выдерживать воздействие
предельно допустимой для данного класса изоляции температуры в
течение периода времени, соответствующего сроку службы машины.
Нагревостой кость определяется скоростью старения изоляции
в условиях повышенных температур.
Первые работы по определению срока службы изоляции относи-
лись в основном к изоляции класса А. В результате исследований
было сформулировано так называемое «правило восьми градусов»,
согласно которому превышение температуры Д0 на каждые восемь
градусов сокращает срок службы изоляции вдвое. Это правило запи-
сывается в виде уравнения
т = То,2-е/Л0, (4.11)
где т — срок службы изоляции прн температуре 0, годы; 0 — темпе-
ратура изоляции, °C; TG = 6,225 104 года (Го — условный срок службы
изоляции при 0 = 0; Д0 = 8 °C.
Чем выше класс изоляции, тем медленнее происходит ее старение,
что отражается на изменении коэффициента Д0. В табл. 4.1 приве-
дены значения коэффициента Д0 для различных классов изоляции.
Таким образом, по (4.11) и с помощью данных табл. 4.1 можно рас-
считать срок службы изоляции любого класса при любой температуре.
Таблица 4 1
Зависимость Д© от класса изоляции
Класс изоляции А Е В F н С
®иред 105 220 130 155 180 Более 180
_ ДО 8 9,14 9,9 11,8 13,7 —
107
Задача 1. Рассчитать срок службы изоляции класса В при температуре
130 °C и срок службы изоляции класса F при температуре 155 °C
Расчет
тв = 6.225 • 2 *30'9-9 = 6,97 года;
= 6.225 • 2“,55/| *-8 = 6,97 года.
Задача 2. Асинхронный двигатель с изоляцией класса F работал при тем-
пературе 145 °C. После четырех лет работы температурный режим изме-
нился и двигатель стал работать при 0° = 175 °C. Сколько лет будет работать
двигатель?
Решение.
1. При 0 = 145 °C двигатель проработал бы следующее время:
т|45 = 62 250 г’145711-8 = 12,447 гида
2. Двигатель отработал четыре года, значит условный тепловой запас
нагревостойкости снизился. Остаточный срок службы равен
тост = 12.447 - 4 = 8,447 года.
3. Условный осгаточиый срок службы изоляции TycJ1 опреде1яется из
пропорции
4. При
работать
62 250 12,447 62 250 8,447 л. _л.
7-^ = —42 245 гада.
Тусл = 42 245 года и температуре 0 = 175 °C двигатель будет
п-175/11,8 ,
т175 = 42 2 45 • 2 = 1.45 года.
5. Суммарное время работы двигателя составит
Tv = 4 + 1,45 = 5.45 года.
Эмпирическим уравнением (4.11) следует пользоваться при ори-
ентировочных расчетах. Для точных описаний процессов старения
изоляции применяют общие законы кинетики химических реакций.
Вант-Гоффом и Аррениусом было получено уравнение, в котором
постоянная скорость протекания реакции является величиной, опре-
деляющей относительное число эффективных столкновений частиц,
завершающихся химическим взаимодействием:
К = Лехр[-Е/(/?0]. (4.12)
На практике для расчетов важно знать время т, в течение которого
изоляция достигает своего предельного состояния вследствие старения:
1пт « Ea/(RQ) - G; G = InJ - InlnfQ/C), (4.13)
где Со — начальная концентрация молекул; С— концентрация моле-
кул в рассматриваемый момент: А — коэффициент; ЕА — энергия
108
активации; К ~ 8,317 — универсальная газовая постоянная; Q—абсо-
лютная температура.
Если известен срок службы изоляции Т] при температуре ©р то
можно определить срок службы т2 при температуре ©2 по уравнению
т> = т'ехрй(^-ё;)]- (4,4)
Величины ЕА, G в В ~ -EA!R для изоляции различных классов
определены экспериментально и приведены в табл. 4.2, а зависимо-
сти срока службы обмоточных проводов в функции от температуры
испытаний показаны на рис. 4.2. Следует отметить, что такие зависи-
мости лишь приближенно характеризуют степень старения изоляции,
так как учитывают лишь один воздействующий фактор — температуру
Старение изоляции под действием электрического поля наблюда-
ется в машинах высокого напряжения (номинальным напряжением
6 кВ и выше). В процессе эксплуатации изоляция электрических
машин длительное время находится под рабочим напряжением и
периодически испытывает воздействие повышенных напряжений
при различных волновых явлениях и профилактических испытаниях.
Влияние электрического поля на срок службы изоляции исследовано
пока недостаточно. Для оценки этого влияния можно пользоваться
экспоненциальной зависимостью
IgT = lgJe - znlgZT, (4.15)
где Е— напряженность электрического поля; Ле, т — коэффициенты,
зависящие от свойств изоляционного материала.
Механические и термомеханические факторы в значительной
мере влияют на срок службы изоляции. Термомеханнческие нагрузки
возникают в результате периодического нагрева н охлаждения обмо-
ток, Механические нагрузки являются следствием электродинамиче-
ских сил, возникающих в машине, неуравновешенности вращаю-
щихся частей, магнитного тяження, центробежных усилий, ударов и
толчков со стороны привода или приводимого механизма. Перечис-
Таблица4 2
Экспериментальные данные параметров, определяющих срок службы изоляции
Класс изоляции В, 10^°С G Ел, Дж/моль Класс ИЗОЛЯЦИИ Я, Ю^’С G ЕА, Дж/моль
А 0,95 15.3 7,90 F 1,27 19,7 10,55
Е 0,985 15,1 8,19 н 1,55 24,2 12,89
В 1,02 15,5 8,48 С 1,55 21,8 12,89
109
Рис. 4.2. Зависимость срока службы
пектро про волов от температуры
для pan ич пых классов нагрево-
стой кости:
1 — класс изоляции А; 2 — В; 3 — Е;
4 — Н; 5 — С
ленные усилия обычно имеют знако-
переменный циклический характер,
причем наиболее типичной является
вибрация с частотой около 100 Гц.
Прн переходных процессах ампли-
туды вибраций увеличиваются в
десятки раз вследствие квадратичной
зависимости электродинамических
сил от тока.
Механические характеристики изо-
ляции зависят от температуры. При
нагревании предел прочности изоля-
ции быстро снижается и одновре-
менно изоляция становится более
эластичной. Особенно это относится
к изоляционным конструкциям на
основе термопластических компаун-
дов. Например, предел прочности
микалентной компаундированной изо-
ляции при растяжении составляет
3 340 Н/см2 при 20 °C и соответственно 344 Н/см2 при 100 °C, т.е.
уменьшается почти в 10 раз. При снижении температуры такая изоля-
ция становится хрупкой. Механические характеристики изоляции на
термореактивных связующих более стабильны.
Экспериментальные данные показывают, что повышенная вибра-
ция сокращает срок службы изоляции в несколько раз. Старение
изоляции машин низкого напряжения, работающих при умеренных
температурах, вообще труднообъяснимо с «позиции тепловых илн
электрических явлений». Причинами, приводящими к разрушению
изоляции, являются механические нагрузки и воздействие окружаю-
щей среды. В изоляции, на которую воздействуют вибрации, наблю-
даются дефекты, близкие по своему характеру к изменениям в изоля-
ции со значительной наработкой; осциллограммы электрического
пробоя изоляции после вибрационного старения и длительной экс-
плуатации аналогичны. Все это свидетельствует об ускорении про-
цесса старения изоляции.
Рассмотрим некоторые аналитические зависимости. Если преоб-
ладает процесс продавливания изоляции, то можно воспользоваться
уравнением Р. Ходвннка для определения скорости продавливания
пленки:
dfc
dr
ео’
(4 -6)
ПО
где h —двусторонняя толщина изоляции провода, у — коэффициент
текучести полимерного изоляционного материала; 0О — площадь
сопротивления проводников; л — параметр, зависящий от температу-
ры; F2. F3 — функции от л: kf — усилие, действующее в месте
контакта проводов.
Время, за которое происходит полное продавливание, или долго-
веч ность, определяется:
Т = Г1/(у4у). (4-17)
Аналитически срок службы изоляции по адгезии определяется по
уравнению
т = тоехр[С/о - уст], (4-18)
где г0= 1012-г1013 — коэффициент; UQ — энергия активации разруше-
ния адгезионной связи, Дж/моль; у — величина, зависящая от гранич-
ного слоя полимера, прилегающего к субстрату, и толщины пленки;
о — внутренние напряжения в полимере, МПа.
Серьезными факторами, влияющими на срок службы изоляции,
являются влага и химически агрессивные среды. Влага проникает
в изоляцию тогда, когда электрическая машина находится в нерабо-
чем состояния, особенно во время ее остывания. Малая вязкость и
другие свойства воды способствуют ее проникновению в мельчайшие
поры. Влага снижает сопротивление изоляции и ее электрическую
прочность, создавая тем самым предпосылки для появления в изоля-
ции токов утечки, частичных разрядов н других явлений, которые уве-
личивают вероятность пробоя. Пропитка изоляции не всегда предо-
храняет материал от увлажнения (все зависит от ее состава и
технологии), а только уменьшает скорость поглощения влаги, так как
пропиточные составы не проникают в микроскопические поры изоля-
ции, куда легко проникает вода.
Вредное воздействие иа изоляцию оказывают химически актив-
ные вещества, такие, как кислоты, щелочи и их ангидриды, находя-
щиеся в окружающей среде. Изоляцию разрушают масла и пары рас-
творителей. Пыль, содержащаяся в воздухе, оказывает иа изоляцию
абразивное действие и снижает сопротивление изоляции. При силь-
ном загрязнении поверхности изоляции в машинах высокого напря-
жения возможно возникновение поверхностного разряда.
Влияние температуры, влажности и агрессивных сред на долго-
вечность изоляции оценивают по формуле
т = Лехр[В/е]С-'”тГ’* (4-19)
111
где С— концентрация агрессивного агента; г) —относительная влаж-
ность; т.п — коэффициенты; B,Q — эмпирические коэффициенты.
Итак, влияние влаги и агрессивных сред способствует ускорению
и активизация процессов старения и последующего пробоя изоляции.
В основе же разрушения изоляции лежат температурные и механиче-
ские воздействия.
При испытании электрических машин иа надежность, а также при
оценке эксплуатациоииой надежности пользуются критериями рабо-
тоспособности изоляции. Основным критерием работоспособности
изоляции является пробивное напряжение, которое характеризует
состояние наиболее «слабого узла». Но определение величины про-
бивного напряжения связано с разрушением изоляции, поэтому необ-
ходимо использовать такие критерии работоспособности, которые
можно измерять, не разрушая электрическую изоляцию. К таким кри-
териям относятся активное сопротивление изоляции, емкость изоля-
ции, тангенс угла диэлектрических потерь, амплитуда и частота
импульсов акустической эмиссии, декремент затухания переходного
процесса в изоляции, температура обмотки.
4.4. Математические модели надежности
изоляции обмоток электрических машин
Математическая модель надежности — это определенное матема-
тическое выражение, связывающее значения физических параметров
системы, действующих нагрузок и вероятности безотказной работы
системы или иных показателей надежности.
Изоляцию с точки зрения надежности необходимо представить
как систему, состоящую из последовательно соединенных элементов.
Каждый элемент в исходном состояния будет иметь некоторое распре-
деление вероятностей пробивного напряжения, зависящее от приме-
няемых материалов, технологии и т.п. Экспериментально исследовав
это распределение, можно оценить исходное состояние элемента.
В процессе эксплуатации изоляции под воздействием внешних фак-
торов и нагрузок распределение вероятностей пробивного напряже-
ния элемента будет изменяться.
Приложенное к изоляции напряжение также имеет некоторое рас-
пределение вероятностей, причем очевидно, что оно практически не
будет изменяться в процессе эксплуатации. При сопоставлении этих
распределений можно оценить вероятность того, что приложенное
к изоляции напряжение превысит пробивное, т.е. оценить вероят-
ность отказа системы изоляции в различные моменты времени. Это и
будет искомая математическая модель надежности изоляции.
112
В исходном состоянии элементы системы, как правило, имеют
достаточно высокое пробивное напряжение, и вероятность безотказ-
ной работы, рассчитанная по математической модели, близка к едини-
це. Однако в результате износа электроизоляционных материалов при
эксплуатации пробивное напряжение снижается и соответственно
уменьшается вероятность безотказной работы системы изоляции.
Прогнозирование этого изменения — одна из основных задач, решае-
мых при построении математической модели.
Один из путей решения этой задачи состоит в экспериментальном
исследовании зависимости параметров распределения пробивного
напряжения от времени воздействия эксплуатационных факторов,
которая может быть записана, например, в виде полинома. Зная эту
формулу, можно определить параметры распределения пробивного
напряжения в любой момент времени, а значит, с помощью математи-
ческой модели рассчитать вероятность безотказной работы. Этот путь
может быть применен в тех случаях, когда имеется возможность нако-
пить достаточный экспериментальный материал путем проведения
недорогих массовых испытаний иа натурных образцах, причем усло-
вия эксплуатации могут быть относительно легко и достаточно полно
воспроизведены экспериментально. Реализация такого пути для
крупногабаритных, дорогостоящих изделий, которые эксплуатиру-
ются в сложных, трудновоспроизводимых условиях, затруднена и
требует поиска иных путей решения задачи.
Математическая модель надежности изоляции иа базе супер-
позиции законов Вейбулла н Коши. Модель предназначена для рас-
чета надежности изоляции всыпных обмоток асинхронных двигате-
лей. Модель разработана О.Д. Гольдбергом и легла в основу ряда
отраслевых стандартов и руководящих технических материалов, дей-
ствующих в электропромышленности. Элементами модели являются
два витка, расположенных рядом и разделенных межвитковой изоля-
цией с пропитывающим составом. Для безотказной работы обмотки
необходима исправность всех составляющих ее элементов. Отдель-
ные элементы отказывают независимо друг от друга.
Отказ обмотки, в конечном итоге, всегда объясняется межвитко-
вым замыканием, поэтому наиболее показательной характеристикой
естественно считать значение пробивного напряжения. Отказ проис-
ходит, когда напряжение, приложенное к соседним виткам, превы-
шает пробивное напряжение межвитковой изоляции.
Приложенное напряжение и пробивное напряжение межвитковой
изоляции являются случайными величинами.
113
Вероятность безотказной работы межвитковой изоляции обмотки,
состоящей из п элементов, будет
Р, = Jg(t/)[1 -F(l/B)]"dl/, (4.20)
о
где g(U) — плотность распределения приложенного напряжения;
F(U) — функция распределения пробивного напряжения межвитко-
вой изоляции.
Формула (4.20) есть математическая модель надежности межвит-
ковой изоляции обмотки из п пар витков, выраженная в общем виде.
Для получения математической модели, пригодной для расчета
надежности обмотки, необходимо знать реальные распределения
пробивных напряжений межвитковой изоляции и приложенных
напряжений, а также характер изменения случайной функции распре-
деления пробивных напряжений межвитковой изоляции в функции
времени.
Выражение для плотности распределения вероятностей коммута-
ционных перенапряжений, полученное путем обработки результатов
многочисленных экспериментов (более 5 000 осциллограмм), пред-
ставляет собой суперпозицию двух законов: усеченного нормального
с математическим ожиданием = 1 и усеченного распределения
Коши с модой Л/о* = 3:
tir\ 2/11 Г . л а
= -------— + р2Л2----------------—, (4.21)
72ео L 2а J л[д +(*-3)~]
где к — кратность коммутационных перенапряжений; р2 — коэффи-
циент усечения для распределения Коши; Яр Л2 — коэффициенты
суперпозиции; а — параметр распределения Коши; а — среднеквад-
ратическое отклонение.
После подстановки значений А ।, Л2, Р?’ °* ° формула (4.21) прини-
мает вид
g(k) = "7=ехрГ-
l
(ft-l)2
0,08 .
f 0,35
1 +(*-з)2'
(4.22)
Напряжение между соседними витками зависит от распределения
коммутационных перенапряжений по секциям и виткам обмотки.
Экспериментально было показано, что перенапряжения распределя-
ются практически равномерно.
В асинхронных двигателях с полузакрытыми пазами и со всыпиой
обмоткой вследствие неизбежного перемешивания проводников, про-
114
исходящего при всыпании их в паз, имеется определенная вероят-
ность того, что рядом в пазу будут находиться проводники со значи-
тельной разностью номеров (если пронумеровать проводники одной
секции в последовательности намотки витков на шаблон). Это приве-
дет к увеличению напряжения между отдельными парами соседних
проводников, что должно учитываться в математической модели.
Экспериментальная проверка расположения проводников всып-
ной обмотки в полузакрытых пазах, полученная иа электродвигате-
лях разных типоразмеров, показала, что вероятность распределения
проводников (с разностью порядковых номеров со,) в пазу может быть
определена по формуле
=
ln(s,/co/)
0,985-1,6 ’
(4-23)
где 5 — количество проводников в секции.
С помощью формул (4.22) и (4.23) определяется плотность распре-
деления вероятностей приложенных напряжений между витками
обмотки.
Вероятность пробивного напряжения межвитковой изоляции под-
чиняется закону распределения экстремальных значений типа III
(при экспериментальном определении электрической прочности изо-
ляции фактически будет определена электрическая прочность эле-
ментарного участка с минимальной электрической прочностью) —
распределения Вейбулла. С использованием этого закона функция
распределения вероятностей виткового пробивного напряжения запи-
сывается в виде
^(^в) = 1 - exp
(4-24)
где а, (70 — параметры распределения.
Для расчета надежности следует знать закон распределения веро-
ятностей пробивных напряжений в любой момент времени. Если при-
нять допущение, что закон распределения вероятностей пробивных
напряжений в процессе эксплуатации не изменяется, а изменяются
только его параметры, необходимо определить функции UQ=f(l) и
а = <р(0 при заданных условиях эксплуатации. Эти функции могут
быть определены с помощью теории планирования эксперимента
путем реализации матрицы планирования полного факторного экспе-
римента для четырех факторов (матрица типа 24). Исследовалось
влияние следующих эксплуатационных факторов:
• температуры обмотки Х| (от 120 до 150 °C);
115
• частоты пусков х2 (от 2 до 220 ч ');
• уровня вибрации х3 (от 1 до 10 мм/с2);
• времени работы х4 (от 504 до 2016 ч).
В результате обработки данных эксперимента получены поли-
номы для параметров распределения UG и а, которые после проверки
адекватности и оценки значимости коэффициентов имеют вид
lgt70 = 4,71 - 2,23х| - 0,491х2 - 1,336х4 - 0,06xjX2 + 0,09xjX4;
а = 5,53 - 2,159xj - 0,259х2 - 1,041х4 + 0,097xjX2 + 0,092xjX4.
Влияние вибрации на lgC/0 и а незначительно, и им можно пренеб-
речь. Переменные X], х2, х4 выражены в кодированных единицах:
Oj
(4.25)
' ДХ,. ’
где XOl — нулевой (базовый) уровень; АЛ/ — интервал варьирования.
На основании проведенных экспериментальных и теоретических
исследований разработана методика расчета надежности обмоток
асинхронных двигателей. Исходные данные для расчета следующие:
марка и диаметр обмоточного провода, марка пропитывающего
состава, количество эффективных проводников в секции 5, количе-
ство последовательно соединенных секций д, количество пазов ста-
тора z, количество сторон секций в пазу с, частота пусков двигателя
в час f, установившаяся температура обмотки при эксплуатации Г,
режим работы двигателя, степень увлажнения, температура окру-
жающей среды при увлажнении, эмпирические зависимости
lgt/0 =/(т) и а = ф(т) при заданных условиях эксплуатации.
Расчет надежности производится следующим образом.
1. Определяется количество эффективных проводников в обмотке
N~ scz. Для однослойной обмотки с = 1, для двухслойной с = 2.
2. Определяется количество элементов модели п = 2JN. Эта фор-
мула получена при расчете среднего числа проводников, с которыми
соприкасается каждый проводник в пазу.
3. Общее время т, за которое следует определить вероятность без-
отказной работы Р(т), разбивается на ряд интервалов Ат таким обра-
зом, чтобы значения статистик пробивного напряжения межвитковой
изоляции lgL/0 и а в каждом интервале могли быть приняты постоян-
ными.
116
4. Определяется вероятность безотказной работы межвитковой
изоляции последовательно для каждого интервала времени при
одном включении. Исходя из того, что
<4 26)
формула (4.20) преобразуется с учетом (4.22), (4.24) и (4.26):
1° ,
1 । * f 1 Г (* ~ 1) I.
0.985-1,6 gio f ,SeX₽<- °-08 J
GJ - I । I
0,035
4------2-----
1 + (Ar-3)2
1 - exp
n А(оЕ/фтах\а'
0,9 sq J
d£.
(4.27)
где QAx — вероятность отказа; С/фтах — амплитуда фазного напря-
жения.
5. Определяется вероятность безотказной работы для каждого
интервала времени Дт, с учетом количества включений двигателя за
этот интервал:
V,=/AV
Q^)‘-
6. Вероятность безотказной работы в функции времени получа-
ется путем последовательного перемножения значения
Р
Дт/
n%V (4.28)
/=1
7. Вероятность безотказной работы пазовой, межфазной и меж-
секционной изоляции (в случае двухслойной обмотки) Р„(т), Рм(т),
^с(т) может быть определена по аналогичной методике.
Однако, как правило, вероятность безотказной работы этих эле-
ментов системы изоляции обмотки близка к единице и практически
не сказывается на значении вероятности безотказной работы всей
обмотки, которая рассчитывается по формуле
робш(т) = ^в(ПРп(т)Рм(т)Рс(т). (4.29)
Математическая модель надежности изоляции на базе супер-
позиции двух нормальных законов. Модель надежности обмоток
электродвигателей разработана Ю.П. Похолковым для всыпных
117
обмоток асинхронных двигателей и используется на заводах электро-
технической промышленности. Основные положения и допущения
этой модели следующие: отказ изоляции обмоток происходит
в результате короткого замыкания (виткового, корпусного или меж-
фазного). Замыкание возможно только при существовании дефектов
витковой, корпусной или межфазной изоляции. Под «дефектом»
понимается сквозное повреждение изоляции, а за «дефектный уча-
сток» принимается элементарный участок, пробивное напряжение
которого ие выше поверхностного пробивного напряжения изоляции
промежутка длиной, равной толщине изоляции.
Поверхностный пробой промежутков между токоведущими час-
тями в местах дефектов происходит в результате воздействия перена-
пряжений, возникающих в обмотке при переходных процессах. В рас-
сматриваемой модели эмпирическое распределение перенапряжений
описывается суперпозицией двух нормальных законов. В методике
учтено, что далеко ие каждое поверхностное пробивное напряжение
промежутка с дефектом приводит к отказу изоляции.
Эмпирическая формула позволяет определить вероятность воз-
никновения короткого замыкания при одном поверхностном пробое:
Р(к/п) = 1 - ехр[-(0,007(/ + 0,00015 V)!z]. (4.30)
где U— рабочее напряжение; V— величина импульса перенапряже-
ния; z — перекрываемое расстояние.
Кроме того, принимается, что отказ корпусной или межфазной
изоляции может произойти только при повреждении всех слоев в пре-
делах элементарного участка. Предполагается, что технологические
и эксплуатационные повреждения отдельных слоев композиции изо-
ляции независимы.
Расчет вероятности отказа обмотки производится для последова-
тельных интервалов времени наработки. Величина интервала выби-
рается такой, в пределах которой дефектность изоляции не изменяется.
Исходная дефектность проводов определяется из предположения,
что дефектна изоляция, имеющая сквозное повреждение. Считается,
что наибольшее пробивное напряжение изоляции с таким дефектом
будет равно
Ug+3ar <431)
где Ug — среднее пробивное напряжение воздуха в промежутке, рав-
ном толщине изоляции провода; — средне квадратическое откло-
нение пробивного напряжения.
Дефектность определяется исходя из того, что дефекты располо-
жены по длине провода случайно и распределены по длине провода
118
по закону Пуассона, т.е. среднее число повреждений Л на образце про-
вода длиной /^р принимается ие превышающим единицу.
Порядок расчета следующий.
Число дефектов на единице длины провода до пропитки, 1/мм:
Ь'о’Мобр Vp)
Среднее число дефектов иа единице длины провода после пропит-
ки, 1/мм:
Xo = V'o. (4’3)
где кп — эмпирический коэффициент.
Вероятность плотного касания соседних витков
g = 0,93£3, (4.34)
где к3 — коэффициент заполнения паза.
Расчетная частота включений, при которых возникают коммутаци-
онные перенапряжения, fp (вкл/ч):
/p = O.JL (4.35)
Число последовательно соединенных секций в обмотке
где zn — число пазов статора; ксп — число слоев обмотки; /Пф —
число фаз обмотки; а — число параллельных ветвей обмотки.
Среднее значение и среднеквадратическое отклонение величин
коммутационных перенапряжений на секции
К= Гф/лс1 °г=аг/лс’ (4.37)
* С ф
где Рф — среднее значение величины фазных коммутационных пере-
напряжений; — среднеквадратическое отклонение величины
Ф
фазных коммутационных перенапряжений.
Номинальное напряжение, приходящееся на секцию обмотки,
^с = ^фЧ- (4-38)
Расстояние между дефектами витковой изоляции
V'WM <4-39)
гДе/ = |,2,3, ...,Л/;гта = 0,4-0,6 мм;Л/>15.
ДИОЛ
119
Средние значения (Uz , кВ) и средиеквадратические отклонения
(az , кВ) поверхностного пробивного напряжения изоляции проме-
жутков между дефектами zt таковы:
UZ{ =0,956+ l,21zj - 0,0767Z] + 0,0165GOKp
+ 0,0494ф - О,ООО335ф2 - 0,000291 фО01ср;
az = 0,1934 + 0,0684Z] + 0,000406ф,
(4.40)
(4-41)
где GOKp — температура окружающей среды, °C; ф — относительная
влажность, %.
Вероятность отказа витковой изоляции qz при воздействии
одного импульса перенапряжения и при условии, что на касающихся
витках дефекты имеются в местах, где расстояние между поверхно-
стями токоведущих частей витков zf, равна
3 *
= -к X *
т I .
( 0,00701 ис - 0,000154 Йс
х I - ехр -М----------;-------------т
, (4.42)
где Ft(m) = F
mVc-kU2
2 2.22
т <3V + к cz
— функция нормального распре-
деления, к> 10.
Скорость увеличения дефектности витковой изоляции
н. = exf[0,0014A^+
. ’-2<
a„(e-eo) + o,5<v4 + hB(e-e)
«-2<4ьв
(4.43)
где св, ав, bR — эмпирические коэффициенты уравнения, определяю-
щего скорость увеличения дефектности витковой изоляции; G —
среднее значение температуры, °C; 0О — температура класса нагре-
120
востойкости изоляции, °C; — сред иск вад рати чес кое отклонение
температуры обмотки, °C.
Среднее значение дефектности витковой изоляции после нара-
ботки двигателем времени Ту, 1/мм:
ХВ/=Хо + //.у (4.44)
Вероятность отказа витковой изоляции на интервале времени от
(ту- Дт) до Ту при условии, что на одном из соприкасающихся витков
имеется один дефект при Дт - 1 000^2 000 ч
^=2ХВ/Л (4.45)
где
J= ]•
I = 1
Об шее число дефектов на одном из проводников в местах плот-
ных касаний соседних витков в обмотке в момент времени ту
«y = gLXB, (4.46)
где L = ln\l — длина внтка, мм: п — число пар витков в пазу.
Условная вероятность отказа машины из-за дефектов по вине вит-
ковой изоляции на интервале времени от (Ту- Дт) до Ту при условии,
что до этого интервала времени ие произошел отказ машины, равна
Св = 1-(1-<?„.)"< (4 47)
J Усл j
Вероятность отказа витковой изоляции QB на интервале времени
от (Ту - Дт) ДО Ту
<4-48)
глс ^обм — вероятность безотказной работы обмотки до момента
времени (ту - Дт).
Вероятность безотказной работы витковой изоляции в течение
времени Ту
Рв = 1-£рв. (4 49)
121
Вероятности безотказной работы пазовой, межфазной и в случае
двухслойной обмотки межсекционной изоляции Рп(/). ^м(0 и ^с(0
могут быть определены, например, по ОСТ 16.0682.007—83. Тогда
вероятность безотказной работы обмотки в функции времени экс-
плуатации определится по теореме умножения вероятностей:
ЛямО) = (4.50)
4.5. Расчет надежности обмотки статора на базе методики
при суперпозиции двух нормальных законов
Надежность асинхронных двигателей общепромышленного
назначения в диапазоне мощностей от 0,5 до 100 кВт определяется
в основном надежностью обмотки статора (см. § 4.1). Для асинхрон-
ных двигателей со всыпной обмоткой разработан отраслевой стан-
дарт, в основу которого положена математическая модель надежности
при суперпозиции двух-нормальных законов. Однако методика расче-
та, изложенная в отраслевом стандарте, громоздкая и требует экспе-
риментальных данных. Поэтому на базе полной методики расчета
была разработана упрошенная методика. Погрешность расчета
надежности при этом ие превышает 20 %, что вполне приемлемо при
исследовательских конструктивных расчетах надежности [6].
В предлагаемую методику введено понятие элементарного уча-
стка длиной /эл. Величина /эл определяется из условия равенства веро-
ятности отказа в месте дефекта иа одном из касающихся витков при
учете всех возможных расстояний до дефекта на одном витке
(с учетом вероятности его появления) и вероятности отказа в одном
из касающихся витков с учетом дефектов на другом витке только
в пределах 7ЭЛ. При этом считают, что все дефекты на расстоянии
меньшем или равном /эл совпадают. Для проведения расчетов необхо-
димы некоторые априорные расчеты, а также данные, полученные
экспериментально. При отсутствии вышеупомянутых данных можно
воспользоваться рекомендуемыми усредненными значениями пара-
метров.
На основании теоремы умножения вероятность безотказной
работы обмотки Р^:
<45')
где ^мв’ Лг ^мф — соответственно вероятности безотказной работы
межвитковой, корпусной и межфазной изоляции.
Многочисленные расчетные и экспериментальные данные пока-
зывают, что вероятность безотказной работы корпусной и межфазной
изоляции значительно выше, чем межвитковой: для т = 10 000 ч
122
имеем РцРмф * °’а лпя т = 20 000 ч Р„Рмф * 0,995. Поэтому при
выполнении расчетов надежности всыпных обмоток можно ограни-
читься расчетом надежности межвитковой изоляции, выполнив затем
корректировку результата. В соответствии с изложенным рассмотрим
предлагаемую методику. Укажем названия параметров, обозначения
и выберем их значения.
1. Наработка, для которой определяется вероятность безотказной
работы задается в ТУ. В данном случае принимается т = 10 000 ч.
2. Вероятность наличия хотя бы одного дефекта изоляции про-
вода длиной 100 мм после укладки обмотки При отсутствии экспе-
риментальных данных = 0,14-0,35.
3. Периметр свободной площади слоя обмотки П. Для двухслой-
ной обмотки П = б, +б2 + Л1п; для однослойной обмотки П =
=6] + Ь2 + 2Л1п б2 — ширина паза, Л1п — высота паза).
4. Коэффициент, характеризующий качество пропитки, Лпр. При
отсутствии экспериментальных данных Лпр = 0,34-0, 7.
5. Длину образца провода можно принять равной 100 мм.
6. Среднее значение Ц, кВ, и среднеквадратическое отклонение
фазных коммутационных перенапряжений стг, .
При отсутствии экс-
периментальных данных Ux = 1,3-г1,6 кВ; с- = 0.34-0,4 кВ.
7 Длину элементарного участка /Х|, мм, принимают равной
0,11—0,12 мм.
8. Средняя допустимая температура обмотки Г, °C, и ее средне-
квадратическое отклонение af, °C. Для изоляции класса В: 7 = 120 °C;
для изоляции класса F: 7 = 140 °C; для изоляции класса Н: t = 165 °C;
о,- = 5 °C.
9. Максимально допустимая температура нагревостойкости изо-
ляции г0, °C. Для изоляции класса В: = 130 °C; для изоляции класса
= 155 °C; для изоляции класса Н: 70 = 180 °C.
10. Среднее значение напряжения перекрытия по поверхности
изоляции промежутка толщиной равной двусторонней толщине изо-
ляции С/,, кВ, и средне квадратическое напряжение а- , кВ. Прини-
мают U. = 0,84-1 кВ, = 0,24-0,3 кВ.
и*
123
11. Частота включений электродвигателя/^ в зависимости от ус-
ловий эксплуатации. При нормальной эксплуатации/^ = 2-10 ч*1.
12. Коэффициенты уравнения, определяющие скорость увели-
чения дефектности витковой изоляции. При отсутствии эксперимен-
тальных данных принимают св = (0,1-0,2) • 10-6, (мм • ч)-1, яв =
= 0,04-0,08 °C"1.
13. Из электромагнитного расчета асинхронного двигателя, бе-
N.c
рутся также данные: £сл — количество слоев обмотки; Nc - —— —
А— —
сл
число элементарных витков в секции (WJn — количество эффектив-
ных проводников в пазу; с — количество элементарных проводников
в эффективном); Дпр = cf - d — двусторонняя толщина изоляции
проводника (сГ — диаметр изолированного провода, d — диаметр
неизолированного провода); к3 — коэффициент заполнения паза;
Zj — число пазов статора; — количество параллельных ветвей:
/ср — средняя длина витка обмотки.
Пример расчета всыпной обмотки статора. Исходные данные расчета:
т = 10 000 ч; = 0,2; П = 9,9 + 7,07 + 2 • 18,5 = 54 мм, - 0,5; = 100 мм;
Ц = 1,4 кВ; =0,35 кВ; /^ = 0,11 мм; 7= 120 °C; и; = 5°; Zj = 36; О1 = 1;
d = 1,405 мм, /0 = 130 °C; Г. = 0,9 кВ; сг, = 0,25 кВ;/„л = 4 ч'1. с = 0,15х
X10-6 1 /(мм • ч); ов = 0,05 °C’1; Асл = 21 • 2/1 = 42; Дпр = 1,405 - 1,32 = 0,085 мм,
d= 1,32; с = 2; к =0,73; / =648 мм;г. =36.
л сР| ।
Последовательность операций при расчете следующая: приводится рас-
четная формула и сразу же ее числовое решение.
1. Дефектность витковой нзозяции до начала эксплуатации асинхрон-
ного двигателя:
1 - 1п(1-0,2) 0,5
° ~ ( 91 =' too— = °-001,6-
2. Вероятность плотного касания соседних витков
9 = 0,93 = 0,93 70J3 = 0,79
3. Количеиво проводников, находящихся в наружном слое секции (по
периметру секции):
ЛГнар = YXqld1 = 54 • 0,79/1,405 = 30.
4. Количество проводников во внутреннем слое секции
*вн = *с-*нар = 42-30 = 12.
124
5. Доля пар соседних элементарных витков, принадлежащих к одному
эффективному:
Л.= 1
"с
2Nc-c
6. Общая длина пар соседних витков в обмотке, мм:
£ = (1 - Рп№шр + 1,5Nm - 1.5)VcP*, =
= (1 - 0,036)(30 + 15 - 12 - 1,5) • 1 • 648 • 36 = 1,04- 106.
7. Котичество последовательно соединенных секций в фазе
^»1*сл_36.1
"с ба, 61
8. Среднее значение и средне квадратическое отклонение величин фаз-
ных коммутационных перенапряжений на секции, кВ:
Гс = Г,/лс = 1,4:6 = 0,23;
ар = Оц/лс = 0,35 : 6 = 0,058.
9. Номинальное фазное напряжение, приходящееся на секцию, кВ:
Uc = 1/| • 10“3/ис = 2 • 220 • 10-3: 6 = 0,052.
10. Вероятность отказа витковой изоляции при воздействии одного
импульса перенапряжения и при условии, что на касающихся витках име-
ются совпадающие дефекты:
3(7 10 31/ -0,154 10'3t/_)
=------------д--------------В,
пр
k(Jc-Uz
,2~2 2
к(к - 1 )2dfc — интеграл (см. Приложение 10);
где В = JF
о
к — кратность коммутационных перенапряжений По Приложению 10, пользу-
ясь интерполяцией для С'с = 0,23 кВ; <Тр = 0,058 кВ; Uz = 0,9 кВ; Ор = 0,25 кВ,
определяем В = 6,58 • 10“5;
Чг = З^Ю'3-0.052-^0,154-IQ-3-0,23). 6 „ . ]0-5 = 0 76.
11. Скорость увеличения дефектности витковой изоляции, мм 1
Н9 = свехр[0,0014/вкл + ав(Г - t о + 0,5 ово2)] =
= 0,15 • 1 оЛхр [0,0014 • 4 + 0.06 (120 - 130 + 0.5 • 0,06 • 52)] = 0,087 • 1
125
12. Вероятность возникновения короткою замыкания витковой изоляции
на дзине касающихся витков в течение времени т:
Pi = + ух2] -
= 2-О.П2-0,79-0,76-10“6-4-[0,001162-10 000 +
+ 0,00116 • 0,87 • 10-6 • 10 0002 + 0.087 • юЛз • 10 0002] = 1,5 • юЛ
13. Вероятность отказа витковой изоляция в течение времени т
L/I -9 1.04 106/0.11
ем.= 1-(1-/’I) = 1-(1 - 1,5 10 ) =0,015.
14. Вероятность безотказной работы межвитковой изоляции в течение
времени т
Рмв=1-Омв= 1 -0,015 = 0,985.
15. Вероятность безотказной работы обмотки статора за время
т= 10 000 (длят = 10 000 Р|ТРМ = 0,999)
Роб = pJ3L = 0.985 • 0.999 = 0,984.
Глава пятая
НАДЕЖНОСТЬ МАШИН ПОСТОЯННОГО ТОКА
5.1. Статистика и анализ отказов машин постоянного тока
Двигатели постоянного тока широко используются в промышлен-
ности благодаря возможности глубокого» плавного и экономичного
регулирования частоты вращения. Однако надежность двигателей
постоянного тока ниже надежности асинхронных двигателей из-за
наличия скользящего контакта — кол ле кторно-щеточного узла. Ста-
тистический анализ показывает, что с точки зрения надежности
в машинах постоянного тока следует выделить четыре «слабых узла»:
коллекторно-щеточный узел, подшипниковый узел, обмотку якоря,
обмотку возбуждения. Отказы коллекторно-щеточного узла подчиня-
ются нормальному закону, отказы подшипникового узла — закону
Вейбулла, отказы обмотки якоря — логарифмически-нормальному
закону или суперпозиции законов и отказы обмотки возбуждения —
экспоненциальному закону. Сказанное выше о законах распределения
отказов узлов имеет обобщенный характер, что, однако, не исключает
иные законы распределения.
Количество выпускаемых машин постоянного тока меньше, чем
количество асинхронных машин, а значит, и характер статистической
информации менее репрезентативен. Однако имеющийся объем ста-
тистической информации позволяет получить полное представление
о надежности машин постоянного тока и отдельных ее узлов.
Наибольшая доля отказов приходится на коллекторно-щеточный
и подшипниковый узлы. Согласно эксплуатационной статистике в
среднем около 25 % отказов машин происходит из-за неисправности
коллекторов. В некоторых случаях, например на транспорте, эта
Цифра достигает 44—66 %. В тяговых двигателях электровозов одной
из серьезных причин отказов является возникновение кругового огня.
Доля отказов коллекторов из-за кругового огня составляет в среднем
70 %.
Исследование двигателей постоянного тока прокатных станов
показало, что отказы коллекторного узла составляют 56 %, из-за меха-
нических повреждений — 34 %, обмотки якоря и полюсов —- 10 %.
127
Рис. 5.1. Интенсивность отказов элек-
тродвигателей (/), обмоток (2), коллек-
торно-щеточных (3) и механических (4)
узлов в функции от пробега транспорт-
ных средств
В результате проведенного
анализа статистических данных
отказов тяговых электродвигате-
лей постоянного тока больше-
грузных автомобилей ДК-717А
установлено, что наименее на-
дежными узлами являются
обмотка якоря и коллекторно-ще-
точный узел. Отказы электродви-
гателей из-за неисправности кол-
лекторно-щеточного узла из-
меняются от 21,6 % (предприятия
черной металлургии) до 37,8 %
(предприятия минеральных удоб-
рений) и в среднем по всем отрас-
лям составляют 26,5 %; по
обмотке якоря — от 19,6 % (пред-
приятия цветной металлургии)
до 42 % (угольная промышленность) и в среднем — 27,7 %.
Закон распределения отказов тяговых электродвигателей ДК-717А
представлен как суперпозиция двух законов Вейбулла с соответст-
вующими весовыми коэффициентами. На рис 5.1 показана усреднен-
ная зависимость интенсивности отказов электродвигателей в функ-
ции от пробега т транспортных средств.
Если представить интенсивность отказов электродвигателей
в виде функции Лдв = Лр '/(х) (где к? — коэффициент, учитывающий
условия работы на группах предприятий различных отраслей, —
прочие факторы), то согласно статистическим данным коэффициент
к$ составляет: для двигателей горно-добывающих предприятий чер-
ной металлургии — 0,837, для цветной металлургии — 0,919, для
угольной промышленности— 1.166, для химической промышленно-
сти — 1,137.
Рассмотрим повреждения основных узлов машин постоянного
тока. К характерным повреждениям коллектора относятся изменение
его формы из-за неравномерного износа, нарушение полировки
поверхности, появление на ней царапин, подгорание и оплавление
пластин при неблагоприятной коммутации и круговом огне. При воз-
никновении одного из перечисленных повреждений машина должна
быть остановлена для проведения соответствующего ремонта. Для
устранения неисправности коллектор обязательно подвергается про-
точке резцом.
В некоторых типах электродвигателей постоянного тока применя-
ются коллекторы с пластмассовым корпусом. Отказы таких коллекто-
128
ров в большинстве случаев связаны с пробоем или перекрытием
дугой изоляционной части корпуса.
Повреждение обмотки якоря происходит по следующим причи-
нам: из-за пробоя корпусной изоляции между обмоткой и пакетом
стали якоря, межвитковых замыканий (в якорях с многовитковыми
секциями), распайки соединительных петушков коллекторных пластин
с обмоткой (в машинах большой мощности), разрушения бандажей,
удерживающих обмотку якоря (в высокоскоростных машинах) и др.
Повреждения обмоток возбуждения, обмоток добавочных полю-
сов и компенсационных обмоток происходят редко. Они представ-
ляют собой обычно пробой корпусной изоляции между обмоткой и
магнитной системой машины.
Из механических частей машин постоянного тока наиболее под-
вержены износу подшипники скольжения или качения и шейки вала.
Характерными признаками повреждений этих узлов являются износ
вкладышей, вытекание смазки, нарушение работы смазочных колец,
поломка шариков или роликов, разрушение сепараторов, заклинива-
ние шариков, заедание шеек вала во вкладышах подшипников и др.
Повреждение щеточной траверсы могут проявляться в виде
поломки кольца траверсы, закрепляющего ее в подшипниковом или
другом устройстве, расстройстве регулировки положения щеткодер-
жателей на пальцах или бракетах траверсы, повреждения пальцев или
бракетов, удерживающих щеткодержатели на траверсе и др. Появле-
ние любого из указанных повреждений приводит к отказу машины,
которая должна быть остановлена для проведения соответствующего
ремонта.
В качестве примера рассмотрим также надежность тяговых машин
[12]. К наиболее трудоемким и довольно частым отказам транспорт-
ных электрических машин относятся оплавление и подгар коллектора
и щеткодержателя, разрушение якорных и моторно-осевых подшип-
ников, якорного бандажа, пробой изоляции катушек, обрыв вывода
кабеля дополнительного полюса, проворот ведущей шестерни. Эти
отказы являются результатом воздействия электрических и механиче-
ских факторов.
Механические факторы вызывают разрушение подшипников,
соединений, обрывы и ослабление уплотнительных колец и болтов
крышек, электрические — разрушение политуры поверхности кол-
лекторов и пробой изоляции. Из-за низкой коммутационной надежно-
сти происходит подгар пластин коллектора хаотично или с опреде-
ленным чередованием. В процессе эксплуатации машин, если не
принять необходимых мер, подгар развивается по всему коллектору.
Образование подгара происходит вследствие плохой коммутации и
перегрева элементов коллекторно-щеточного узла, интенсивного
129
износа электрощеток коллектора, что способствует образованию
перебросов дуги и круговых огней.
Наиболее сложным видом отказа в эксплуатации является образо-
вание кругового огня иа коллекторе, составляющем 24 % всех отка-
зов, а также пробой изоляции катушек якоря между витками и на кор-
пус. Как правило, пробой изоляции вызывает размотку бандажей,
особенно при несвоевременном срабатывании защиты электрической
цепи.
Анализ 1 800 случаев отказов электрических машин ЭД-170А,
ЭД-118А, ГП-311Б по данным наблюдений в течение пяти лет в экс-
плуатации при средней наработке 32 400 ч показывает, что на элек-
трические машины приходится 58 % отказов электрооборудования
тепловозов.
Представляет интерес анализ статистической информации тех-
нологического процесса (технологическая надежность) изготовления
тяговых машин постоянного тока. Ниже приведены результаты кон-
троля генератора постоянного тока ГП-311Б и обнаружения брака на
испытательной станции завода-изготовителя.
1. Деформация коллектора в горячем состоянии — 24,1 %.
2. Деформация коллектора в холодном состоянии — 3,5 %.
3. Потемнение коллекторных пластин — 2,5 %.
4. Другие дефекты коллектора (задир контактной поверхности,
оплавление петушков, пробой изоляции)— 1,47 %.
5. Пробой изоляции якоря на корпус — 3,66 %.
6. Межвитковые замыкания изоляции якоря — 3,77 %.
7. Выброс лака из якоря — 32,75 %.
8. Неисправность подшипников — 8,05 %.
9. Другие дефекты (ослабление бандажа, перегрев якоря, наруше-
ние коммутации) — 20,2 %.
Задача. Рассчитать вероятность безотказной работы Р(т) и частоту отка-
зов а(т) электродвигателей большегрузных автомобилей. Кривая интенсив-
ности отказов показана на рис. 5.1 (кривая 7).
Решение. Для расчета используются формулы (3.6) и (3.7). По рис. 5.1
определяются следующие значения: Х(0) - 1,05* 10-2 1/тыс. км, Р(0) = 1,
о(0) = 1 • 1,05 • 10’2 = 1,05 • 10"2 1/тыс. км.
Для т = 25 000 км А.(25 000) = 0,72* 10"2 1/тыс. км. Значение интеграла
25 000
есть площадь под кривой 7, т.е. j А.(т) dx = 0,221. Отсюда, согласно (3.7),
о
вероятность безотказной работы 7\25 000) = 0,801. Далее по формуле (3.6) оп-
ределяется частота отказов о(25 000) = 0,801 • 0,72 • 10-“ = 0,5767 • 10 2 1/тыс. км.
130
В диапазоне от 25 000 до 50 000 км можно принять А, = const « 0,72х
S0 ООО
xio 2 1/тыс. км. Тогда значение j Х(т) дт = 0,221 + 0,72’10-2,25 =
о
= 0,401 Вероятность безотказной работы Р(50 ООО) = 0,6696. Частота отказов
д(50 000) = 0,6696 • 0,72 • 10 2 = 0.4821 • 10 2 1/тыс. км.
Аналогично для т = 75 000 км Х(75 000) = 0,72 • 10~2 1/тыс. км. Значение
75 000
j Х(т) дт = 0,401 + 0,72 10 2 • 25 = 0,581. Отсюда вероятность безотказной
о
работы Р(75 000) = 0,5593. Частота отказов а(75 000) = 0,4027 • 10 2 1/тыс. км.
Для т == 100 000 км Х(100 000) = 1,02*10”2 1/тыс. км. Значение
100 000
j Цт) дт = 0,801. Вероятность безотказной работы f\ 100 000) = 0,4489.
о
Частота отказов <т(Ю0 000) = 0,4579 • 10-2 1/тыс. км.
5.2. Надежность коллекторно-щеточного узла
Физика отказов коллекторио-щеточиого узла. Работоспособ-
ность н долговечность коллекторного узла определяется воздейст-
вием трех групп основных факторов, связанных с электромагнитны-
ми процессами, механическими воздействиями и физико-химической
природой скользящего контакта.
Факторы электромагнитного воздействия определяются электро-
магнитными нагрузками, напряжениями между смежными пластина-
ми, реактивными ЭДС, токовыми перегрузками и др.
Факторы механического воздействия определяются технологиче-
скими н конструктивными особенностями машины: ослаблением
прессовки, эксцентриситетом и эллиптичностью коллектора, уровнем
вибрации всей машины или агрегата, частотой вращения ротора.
Факторы физико-химической природы скользящего контакта
определяются условиями токосъема и состоянием окружающей
среды: износом щеток и коллектора, нажатием на щетку, материалом
коллектора, температурой, влажностью, кислотностью и запылен-
ностью окружающей среды. Следует упомянуть об образовании кон-
тактной пленки (политуры) на поверхности коллектора. Наличие
пленки снижает скорость износа коллектора и способствует более
благоприятному распределению тока под щетками. Влага, наличие
в среде активных газов и особенно запыленность оказывают разру-
шающее воздействие на материал коллектора. Кроме того, большое
число повреждений коллекторов вызывается трением щеток о коллек-
тор и высокими плотностями токов под щетками при их неплотном
131
прилегании к коллектору, что сопровождается значительным повы-
шением температуры, т.е. местным перегревом отдельных участков
В результате этого наступает термическая ионизация щеточных кон-
тактов. Размыкание и замыкание контактных точек на поверхности
коллектора с образованием малых электрических дуг приводят к раз-
рушению поверхности коллектора.
Наиболее эффективными средствами уменьшения износа коллек-
тора являются: улучшение условий коммутации машины путем пра-
вильной настройки добавочных полюсов, подбор марки н размера
щеток для мощности и напряжения машины, снижение окружной ско-
рости коллектора н выбор оптимального давления щетки на коллек-
тор. Существенной является также тщательная балансировка якоря
для снижения вибраций на коллекторе.
Данные эксплуатации и эксперимента показывают, что износ кол-
лекторов при непрерывной работе машины составляет 0,03—2 мм
в год. Например, для коллекторов, изготовленных из меди Ml. он
составляет 0,36 и 0,22 мм за 10 000 ч при использовании соответст-
венно 611М и ЭГ-74К.
В большинстве случаев износ коллектора подчиняется либо нор-
мальному, либо усеченно-нормальному закону распределения. На
рис. 5.2 показаны кривые интегральной функции распределения ско-
рости износа коллекторов генераторов ГП-311Б (кривая /) и ГП-311
(кривая 2).
Рис. 5.2. Интегральные ф> нкции распреде-
лении скорости износа коллекторов гене-
раторов ГП-311Б (/) и ГП-311 (2)
Рис. 5.3. Вероятность отказа качек-
торов с нормальной потнтлрой (/) и с
под га ром пласт ни (2)
132
Как уже упоминалось выше, на работу коллекторно-щеточного
узла существенное влияние оказывает состояние политуры. При уве-
личении эрозин пластин ресурс коллектора резко уменьшается, ско-
рость износа больше у тех коллекторов, у которых имеется подгар
пластин. На рис. 5.3 даны зависимости нормированной вероятности
отказов коллекторов тяговых машин ГП-311 в функции скорости
износа. Линия / соответствует коллектору с нормальной политурой,
линия 2 — коллектору с подгаром пластин. Статистические показа-
тели для линии Г. V - 2,17- ПГ4 мкм/км; о = 0,63 • 10"4 мкм/км; для
линии 2: V= 6,96 • 10-4 мкм/км; о = 2,5 • 10-4 мкм/км.
Для нормальной работы коллекторно-щеточного узла необходимо
обеспечить постоянный контакт, который может быть достигнут пре-
жде всего стабильностью формы коллектора. Однако из-за воздейст-
вия технологических и эксплуатационных факторов форма коллек-
тора меняется (биение коллектора). Возникают такие дефекты, как
эксцентриситет, овальность и местный бой, которые прогрессируют в
условиях эксплуатации от действия динамических, тепловых, элек-
тромагнитных факторов. Амплитуда биения может достигать 0,45—
0,5 мм. В табл. 5.1 приведены статистические данные биения коллек-
торов тяговых машин постоянного тока. Закон распределения — нор-
мальный.
Рассмотрим некоторые статистические данные надежности щеток
машин постоянного тока. В табл. 5.2 приведены параметры нормаль-
ного распределения наработки электрощеток марок ЭГ -14 и ЭГ-2А,
применяемых в тяговых машинах ГП-311, ГП-311Б, ЭД-118 и ЭД-107.
Здесь указаны значения математического ожидания т • 106 км и сред-
неквадратического отклонения от • 106 км, где т — пробег транспорт-
ного средства. На рис. 5.4 даны показатели надежности по износу
электрощеток марки ЭГ-14 для генератора ГП-311 Б.
Таблица 5 1
Статистические данные биения коллекторов
Тип машины Количество опытных коллекторов Математиче- ское ожида- ние т, мкм Среднеквадра- ти чес кос откло- нение а, мкм Примечание
ГП-311 120 114 109 Беспорядочный подгар пла- стин Холодное состояние
ЭД-118 420 32 27 Данные завода-нзготовнте- ля. Холодное состояние
ЭД-118Б 320 51 48 Данные в эксплуатации при наработке 250- 300 тыс. км
133
X-IO 3 Р «'Ю “ Рнс. 5.4. Кривые вероятности
Таблица 5.2
Наработка электрощеток
Тип машины Число опытных щеток т • 106, км о,-! О6, км Примечание
ЭД-107 440 0,3 0,12 Нажатие пружины нормальное, нормальная политура
ЭД-107 А 440 0,32 0,11 Нажатие пружины нормальное, нормальная политура
ЭД-118 375 0,34 0,124 Начатие пружины нормальное, нормальная политура
ГП-311 377 0,7 0,24 Нажатие пружины нормальное, политура удовлетворительная
ГП-311Б 469 0,72 0,23 Нажатие пружниы нормальное, политура удовлетворительная
Совместный анализ физических факторов, воздействующих на
коллекторный узел, н статистических данных, получаемых в резуль-
тате испытаний, экспериментов и эксплуатации машин постоянного
тока, позволяет решать задачи создания математических моделей
надежности коллекторно-щеточного узла машин постоянного тока.
5.3. Модели надежности основных узлов
машин постоянного тока
Модели надежности коллекторно-щеточного узла. Напомним,
что математическая модель надежности — это определенное матема-
тическое выражение, связывающее значения физических параметров
134
системы, действующих нагрузок и вероят-
ности безотказной работы системы или
иных показателей надежности.
Любая математическая модель отра-
жает только степень нашего познания
реального механизма функционирования
системы н является лишь некоторым при-
ближением к исследуемому объекту. Про-
цесс создания математической модели
заключается не только в теоретической
разработке какой-либо гипотезы, но и в
постоянной проверке соответствия приня-
Рис. 5.5. Зависимость уровня
искрения от длительности
горения дуги для щеток
ЭГ-74 (/), ЭГ-4 и ЭГ-63 (2),
ЭГ-14Ц)
той гипотезы и экспериментальных статистических данных.
При построении математических моделей надежности широко
используются методы теории вероятностей и математической стати-
стики. Вначале определяется закон распределения отказов. С этой
целью строятся гистограммы распределения и делается предположе-
ние о законе распределения. Дальнейшая проверка соответствия тео-
ретического и экспериментального распределения позволяет уточ-
нить закон распределения. Так, установлено, что для большинства
машин износ щеток описывается с достаточной степенью точности
нормальным или логарифмически-нормальным законом. В дальней-
шем полученные зависимости используются для оценки надежности
как испытуемых машин, так и вновь проектируемых. При сокращен-
ных по времени испытаниях закон распределения позволяет оценить
надежность за любое время.
В некоторых случаях надежность коллекторно-щеточного узла
определяется только износом коллектора.
В качестве примера приведем данные по машинам постоянного
тока типа П22М, в которых преобладает электроискровой износ. Уро-
вень искрения оценивался длительностью тд горения, мкс, искровых
разрядов между щеткой и коллекторной пластиной (рис. 5.5). Нара-
ботка на отказ в этом случае определялась временем работы машины
до момента прогорания ламелей на одни паз по всей ширине. Считая,
что скорость износа коллектора а, мм/ч, пропорциональна числу
искровых разрядов в единицу времени, обратно пропорциональна
суммарной длине сбегающего края щеток /щ, см, из одного бракета
вдоль оси коллектора, а запас энергии в дуге обратно пропорционален
индуктивности разрываемого контура £р, Гн, получаем
а = 8,73 -Ю’^Тд, (5.1)
где п — частота вращения якоря, об мин.
135
На скорость износа коллекторов а влияет большое количество раз-
нородных по своей природе случайных факторов, поэтому распреде-
ление а остается нормальным. Используя закон нормального распре-
деления величины износа, определяют вероятность безотказной
работы коллектора в функции времени и уровня искрения. Наработка
отдельных машин до отказа достигала 25 000 ч, причем была выяв-
лена зависимость срока службы от температуры, окружной скорости,
вибрации и марки применяемых щеток.
Рассмотрим модель надежности коллекторного узла машин
постоянного тока, встроенных в электромашинные преобразова-
тели постоянного тока в переменный. В результате многочисленных
экспериментов было установлено наличие корреляции между нара-
боткой коллекторного узла у н биением коллектора х [21]:
tv-j)= г-(х-х),
о.
(5 2)
где х, у — средние арифметические значения параметров биения и
наработки коллекторного узла; ох, <зу— среднеквадратические откло-
нения параметров биения и наработки коллекторного узла; г— коэф-
фициент корреляции. Эти параметры определяются по формулам:
(5.3)
(5-5)
где Дх, Др— приведенные значения биения коллектора и его наработ-
ки; Лх, — значения биения и наработки коллектора, имеющие наи-
большую частоту отказов; hx,hy— величины интервалов времени для
измерения параметров биения и наработки; mx, т— математические
ожидания.
136
Значения Дх и Ду рассчитываются по формулам
Дх = (х - A )lh • Ду - (у - А )/Л . (5 6)
л л ✓ ✓
Коэффициент корреляции г между параметрами хиу определяется
из выражения
ЕтхДлЕ/иуДу
-
В результате вычислений по формулам (5.4)—(5.7) получаем иной
вид выражения (5.3):
у = В + кх. (5.8)
где В и А:— постоянные для определенного типа коллекторов.
Если в выражение (5.8) подставить значение предельно допусти-
мой величины биения, то получим среднюю наработку до отказа кол-
лекторного узла.
Мощным инструментом при построении моделей надежности как
коллекторных, так и иных узлов электрических машин является
использование методов теории планирования эксперимента, основ-
ные положения которой рассмотрены в гл. 11. При использовании
этого метода объект подвергается воздействию определенных факто-
ров н фиксируется реакция объекта на данное воздействие. После
математической обработки результатов получается модель надежно-
сти исследуемого узла машины (обычно в виде полиномов) в функ-
ции от воздействующих факторов.
Модель эксплуатационной надежности. С помощью методов тео-
рии планирования экспериментов была получена функциональная
зависимость времени безотказной работы Гр коллекторного узла
в электромашинных преобразователях прн изменении температуры 0,
°C, двойной амплитуды вибрации 2А и частоты вращения ротора п.
Дня получения этой зависимости был реализован дробный фактор-
ный эксперимент типа 23*1. Интервалы варьирования факторов сле-
дующие: температура изменялась от 20 до 100 °C, амплитуда вибра-
ции — от 20 до 80 мкм, частота вращения — от 3 000 до 4 000 об/мин.
За нижннй уровень диапазона варьирования приняты параметры
номинального режима. В результате обработки результатов получена
интерполяционная формула
/р = 71 410 — 1620 - 223(2Л) - 12л, (5.9)
по которой построена номограмма (рис. 5.6), позволяющая опреде-
лить время безотказной работы коллекторного узла при разных усло-
виях работы машины, а на этапе проектирования машины оценить
137
Рис. 5.6. Номограммы для определе-
ния времени безотказной работы кол-
лекторного узла при различных усло-
виях эксплуатацин, системы коорди-
нат соответствуют частотам враще-
ния (об/мин):
1 — частота вращения 4 000; 2 — час-
тота вращения 3 500; 3 — частота враще-
ния 3 000
ресурс коллекторного узла н провести экономическое обоснование
различных показателен.
В некоторых случаях математическая модель надежности должна
быть представлена не в виде полинома, а в виде позннома. Примером
может служить оптимизация объектов типа «черный ящик» методами
геометрического программирования. Для получения позиномов при
факторном планирования необходимо логарифмическое преобразо-
вание факторного пространства (логарифмическое кодирование пере-
менных). Реализация эксперимента и последующая обработка позво-
ляют получить позином
(5.10)
где z — уровень искрения, измеренный методом дополнительной
щетки. В; I — ток, A; U — напряжение, В; л — частота вращения,
об/мин; о — средне квадратическое отклонение перепадов между кол-
лекторными пластинами, мкм; 5 — биение коллектора, мкм; р —
сдвиг осн щеток с геометрической нейтрали; к, j, у, a, i, п — коэф-
фициенты, зависящие от конструкции н технологии изготовления
коллектора.
Математическая модель надежности электрощеток погружных
двигателей постоянного тока [28]. Основным элементом погруж-
ного электродвигателя, определяющим длительную работу его без
обслуживания, является электро щетка. Для сокращения времени
получения информации необходимо испытания на надежность про-
водить в форсированных режимах. Решению этой задачи служит опи-
сываемая ниже модель.
Долговечность электрощетки определяется ее износом ДА и зави-
сит от ряда факторов (факторы воздействия не должны быть коррели-
рованы и должны быть совместимы): от скорости v и плотности тока
138
в щеточном контактеу . Критерием отказа электро щетки считается ее
износ до половины первоначальной высоты Ао.
Для нахождения зависимости ДА -I) реализуется полный
факторный эксперимент Так как зависимость ДА = (р(/щ) имеет резко
нелинейный характер, интервал возможных значений/щ разбивается
иа подынтервалы 7 н 2 (рис. 5.7), на каждом из которых зависимость
ДА = Ф(/ш) имеет незначительную кривизну. Каждому подынтервалу
соответствует своя матрица планирования.
После реализации опытов и математической обработки результа-
тов получены полиномы для первого и второго участков:
z\A) = 1,2 + О,35*| + 0,65*2 0,3* j*2;
ДА2 = 4,6 + 2,43*| + 2,75*2 + 1,78Х|*2,
где *j, *2 — скорость и плотность тока соответственно представлен-
ные в относительных единицах.
Полиномиальные зависимости могут быть использованы при
оценке надежности электрощеток и коэффициента форсировки испы-
таний = AAv/ZXAHnM, где ДА.,, ДАНПЫ — значение износа в форсиро-
ванном и номинальном режимах соответственно.
Используя (5.11) и задаваясь значениямиуш и V, можно получать
различные значения к^. Например, при v = 4,3 m/c,ju| = 115 • 104 А/м2
и г = 50 ч коэффициент к^ = 8; при и = 11 м/с,/щ = 115- 104 А/м2,
t ~ 50 ч значение к$ = 16 (рис. 5.8).
(5 11)
Рис. 5.7. Зависимость износа элек-
трошеток от плотности тока
Рис. 5.8. Зависимость параметров
форсировки от коэффициента фор-
сировки:
/ — Аф - 4, 2 —4ф - 8; 3 — Лф = 16
139
Срок службы электро щетки определяется как rmax = ГЦО,5Л()/ДЛ, где
/ц = t = 50 ч — время проведения одного опыта; АЛ — износ, опреде-
ляемый по полиному.
Закон распределения отказов щеток нормальный, поэтому
ft ~
£(0 = 0,5 + Ф| -—
При расчете надежности величину тх можно принять равной наи-
большей наработке Гтах электрощетки до предельного состояния
Величину среднеквадратического отклонения о в практических рас-
четах можно принять приблизительно равной (0,2ч-0,3)/, где t — вре-
мя, для которого определяется вероятность безотказной работы.
Математическая модель надежности электрощеток позволяет не
только рассчитать Рщ(0 при различных значениях v иу , но и решить
обратную задачу, а именно: для заданной вероятности Рщ(/) опреде-
лить допустимые значения параметров и,ущ.
Критерии работоспособности и критерии отказа коллекторно-
щеточного узла. При построении моделей надежности коллекторно-
щеточного узла, а также прн проверке их адекватности важнейшим
этапом являются испытания на надежность. Оценка состояния узла
при испытаниях на надежность производится с помощью критериев
работоспособности и отказов. К критериям работоспособности отно-
сятся: искренне, биение, износ щеток, износ и температура коллекто-
ра, ширина безыскровой зоны, переходное сопротивление щеточного
контакта, падение напряжения и величина небалансной ЭДС. К кри-
териям отказа относятся превышение уровня искрения сверх допус-
тимого, скорость илн величина износа щеток, износ коллектора сверх
допустимого значения, превышение температуры коллектора над
допустимым уровнем, стабильность переходного сопротивления
щеточного контакта и превышение биения коллектора сверх допусти-
мого. На рис. 5.9 показаны зависимости температуры 0, искрения И
и биения S от времени при работе коллектора в форсированном режиме.
Многочисленные исследования позволяют сделать вывод, что
наиболее общими критериями оценки качества работы коллекторного
узла являются среднеквадратическое отклонение перепадов уровней
колаекторных пластин и уровень искрения (на практике обычно
используются биение и искренне). Причем если первый критерий
включает в себя в основном причины механического характера,
то второй является наиболее общим и включает в себя все три
вида причин (электромагнитные, механические, физико-химиче-
ские), обусловливающих коммутационный процесс. Кроме того.
140
Рис. 5.9. Экспериментальные зависимости температуры 0 (/), искрения И (2) и
биения 6 (3) в условиях форсированных испытаний:
2Л - 130 мкм. п - 4 000 об/мин
метод оценки качества коммутации по уровню искрения официально
принят ГОСТ 183—74.
Оценка долговечности обмоток подробно рассмотрена в § 4.3.
5.4. Расчет надежности коллекторн о-щеточного узла
Электро тетка является невосстанавливаемым элементом, и ее
надежность оценивается вероятностью безотказной работы. Время
безотказной работы электрощетки составляет
'МЛ-ЛпрУОщ,
где h и /?пр — первоначальная и предельно допустимая высота элек-
трощетки, мм; — скорость износа щетки, мм/ч.
Скорость износа и зависит от давления на щетку, окружной ско-
рости, плотности тока, конструкции и материала коллектора и т.п. и
является случайной величиной Многолетние систематические
наблюдения за работой электрощеток показали, что распределение
значений скорости износа электрошеток подчиняется нормальному
закону. В результате испытаний электрошеток (ускоренных или
в нормальных условиях) были опредепены среднестатистические
показатели выборочных характеристик:
• 1 п
= (5Л2)
f = I
141
<= -------7-----. (5.13)
1 n - 1
где рщ — оценка математического ожидания скорости износа элек-
трощетки; ощ — оценка среднеквадратического отклонения; п —
число электро щеток.
Вероятность безотказной работы за время / имеет вид
p(o=i-ew. (5.14)
Вероятность отказа за время / можно определить
2(0 =
о72ло
U- ту2'
2а2 .
At.
(5.15)
Определяя среднестатистическое значение времени отказов и
среднеквадратическос отклонение
1 "
Г=
1 п —2
(5.16)
где tt — частное значение времени отказа, и полагая mx = Т , находят
вероятность безотказной работы щетки:
Р(П = 1 - Q(t) = 0,5 - Ф[(Z,. - Т)/а] (5 17)
Если рассматриваемая машина постоянного тока относится к
классу машин, у которых надежность коллекторно-щеточного узла
определяется надежностью щеточного аппарата, то
= (5.18)
где Pk(t) и Рщ а(г) — вероятности безотказной работы коллекторно-
щеточного узла и щеточного аппарата.
На электрической машине установлено N щеток одной марки.
Если выход из строя даже одной щетки приводит к отказу всего
щеточного аппарата, то надежность щеточного аппарата определя-
ется как
ЛпЛОНЛОЛ (5.19)
В большинстве случаев щеточный аппарат рассматривают как
некую резервированную систему с дробным коэффициентом резерви-
рования кр:
142
к =^~
Р N-n,'
(5.20)
где Wj — минимально допустимое число отказов электрошеток, не
приводящее к отказу всего щеточного аппарата.
Итак, если допустимое число отказов электрошеток в комплекте
равно Л|, то вероятность события, а значит, и вероятность безотказ-
ной работы щеточного аппарата, что при N испытаниях встретится
не более Л] отказов, определяется в соответствии с формулой Бер-
нулли:
Я I
P^ = P„.N^ Z C*P(r)V *[l-/’(О]*, (5.21)
где
С* =
N к\(Я-к)\'
Таким образом, рассматривая комплект электрощеток в машине
как выборку объемом N из генеральной совокупности, которая харак-
теризуется надежностью Р(/), можно рассчитать вероятность безот-
казной работы щеточного аппарата.
Задача. Построить кривые вероятностей безотказной работы для отдель-
ной щетки P(f) и щеточного аппарата если задано 7=10 000 ч, о/ =
-з ООО 4,N = 4, л, =2.
Решение. Задаемся временем = 10 000 ч. Тогда:
Р(10 ООО) = 0,5 ф(^) = 0,5 - ф^0^00™) = °’5’
Рща(10 000) = f C>(z)4 2Q(tY =
к 0
4 4' 3 4' 2 2
’°’5 +ЩГТ)!0'5 °-5 +2ЙГЗ)!0-5 -°’5 -°’7’
Задаемся временем /2 = 8 000 ч. Тогда:
Р(8 000) = 0,5 ф(8 °°? °00) = 0,5 - Ф(-0,66) = 0,74;
х. 3 vOu ✓
71Ц а(8 000) = 1 • 0,744 + 4 0.26 • 0.743 + 6 • 0.262 • 0,742 = 0,94
143
Задаемся временем = 6 000 ч Вычисляем
Р(6 ООО) = 0,5 - Ф —= 0,5 - Ф(-1,33)= 0,9;
\ 3 000
Рщ ,(6 ООО) = 1 • 0.94 + 4 • 0,1 • 0,93 + 6 • 0,12 • 0,92 = 0,955.
Для значений Гр /2» фиксируются соответствующие точки P(t) и
по которым строятся кривые вероятностей безотказной работы.
(').
Глава шестая
мяшшямянмавнашмшшашяаамамтн
НАДЕЖНОСТЬ СИНХРОННЫХ МАШИН
6.1. Статистика отказов и анализ повреждаемости
синхронных машин большой мощности
Источником информации для получения показателей надеж-
ности синхронных машин большой мощности являются данные
эксплуатации, так как организация испытаний таких машин на
надежность не представляется возможной. Однако дополнительный
материал может быть получен путем поэлементных испытаний
отдельных деталей или узлов, например стержней, обмоток, уплотне-
ний, охладителей и т.п.
Особенностью условий работы синхронных генераторов большой
мощности является высокое качество обслуживания. Число отказов
по причинам, связанным с ошибками эксплуатации, обычно соизме-
римо с числом отказов из-за дефектов изготовления. Вместе с нем
в процессе эксплуатации обычно происходит доводка, усовершенст-
вование, модернизация генераторов и вспомогательного оборудова-
ния, что позволяет повысить надежность синхронных машин. Другой
особенностью условий эксплуатации синхронных машин являются
периодические капитальные и планово-предупредительные ремонты
и испытания, в процессе которых обнаруживаются различные повре-
ждения.
Своевременное устранение таких неисправностей повышает
надежность машин, так как уменьшает вероятность аварийных
отказов.
Статистические данные свидетельствуют о том, что одной из
основных причин отказов синхронных машин являются заводские
Дефекты. В течение первого периода работы (5—10 тыс. ч) имеет
место приработка, когда заменяются и ремонтируются детали, обла-
дающие заводскими дефектами. Затем наступает период нормальной
эксплуатации, продолжительность которого в обычных условиях
составляет 15—20 лет. В конце этого периода начинается постепен-
ное учащение отказов, связанное с износом и старением изоляцион-
ных и других материалов и элементов конструкции.
145
Для оиенки эксплуатационной надежности синхронных гене-
раторов широко применяется понятие удельной повреждаемости
(удельного числа аварийных отключений), которое представляет
собой среднее число аварийных отключений на одну машину в год,
выраженное в процентах от общего числа отключений. Статистика
показывает, что удельная повреждаемость возрастает с увеличением
мощности. Распределение удельной повреждаемости основных узлов
генераторов представлено в табл. 6.1, из которой следует, что наиболее
«слабым узлом» является статор. При этом на изоляцию обмотки ста-
тора приходится 2,26 % отказов (ТГ) и 3,67 % (ГГ), на места пайки —
0,34 и 0,92 %, на повреждения активной стали статора — 0,15 и 0,64 %
соответственно.
Таблица 6.1
Распределение удельной повреждаемости
Узел Турбогенератор (ТГ) Гидрогенератор (ГГ)
Статор 2,75 “1 5,23
Ротор 1,63 2,20
Возбудитель 2,65 0,56
Прочие 1,15 0,71
Всего 8,18 8,70
Анализ повреждаемости основных ухзов синхронных машин
большой мош кости. Отказ синхронных машин из-за повреждения
обмотки статора, как правило, происходит в результате пробоя изо-
ляции обмотки [10]. Участки пониженной электрической прочности
в изоляции обмотки могут появляться вследствие дефектов изготов-
ления, повреждений при монтаже обмотки или в процессе эксплуата-
ции, включая ремонтные работы.
На скорость разрушения изоляции влияют концентрации нагру-
зок: повышенные механические усилия при переходных процессах,
перегрузки по току, перенапряжения, вибрации и т.п. В этих случаях
наличие участков с пониженной электрической прочностью приводит
к повреждению обмотки, ибо амплитуды практически возможных пе-
ренапряжений недостаточны для пробоя доброкачественной изоляции.
При изготовлении обмотки возможно попадание на ее поверх-
ность ферромагнитных частиц, вибрация которых в магнитном поле
приводит к постепенному разрушению изоляции.
Недостаточно надежное крепление лобовых частей обмотки соз-
дает условие для повреждения изоляции преимущественно у выхода
стержней из пазов. Со временем происходит опускание корзины
лобовых частей обмотки, в связи с чем появляются дополнительные
146
напряжения, а лобовые части становятся более уязвимыми при вибра-
ции н уларах под действием внезапных электродинамических уси-
лий: коротких замыканий и несинхронных включений для генерато-
ров, пусков и реверсов для двигателей. Изоляция обмотки
подвергается серьезной опасности при тепловых перегрузках,
вызванных причинами местного характера. Так, при разрушении изо-
ляции листов и местном замыкании сегментов активной стали темпе-
ратура в области замыкания может достигать 200—300 °C [30].
Повреждению изоляции обмотки статора способствует также про-
никновение в машину воды и масла.
Причиной повреждения активной стали является ослабление ее
запрессовки. Прессовка стали должна производиться примерно через
каждые 0,5 м, причем давление прессовки увеличивается от 80—100
до 170 Н/см2. При меньших давлениях не обеспечивается необходи-
мая плотность прессовки, при больших — возникает опасность
повреждения лаковой пленки под вентиляционными распорками, где
местные давления достигают 1 000—1 200 Н/см2.
Механические повреждения роторов происходят реже, чем повре-
ждения неподвижных частей машин, но приводят к тяжелым авари-
ям Последнее особенно относится к турбогенераторам, роторы кото-
рых обладают большим запасом кинетической энергии.
Редкие, но тяжелые аварии вызываются разрушением роторных
валов. Причиной аварии может быть заклинивание ротора при раз-
рыве бандажа, распространение трещин от зубцов в глубину вала,
а также температурные напряжения в теле ротора, вызванные несим-
метричным распределением тепловых потоков в плоскости попереч-
ного сечения. Например, разность температур поверхности большого
зуба и внутренней области ротора у нейтральной оси в турбогенера-
торах с косвенным охлаждением достигает 90—100 °C. При этом
напряжение разрыва, направленное вдоль оси ротора, может состав-
1ЯТЬ 16 000—18 000 Н/см2.
Повреждение обмотки ротора из-за ее перемещения при измене-
ниях температуры является одной из основных причин аварий турбо-
генераторов с косвенным охлаждением. Применение непосредствен-
ного охлаждения обмоток ротора и легированной (с присадкой
серебра) меди позволяет существенно уменьшить температурные
деформации обмотки: если для чистой меди марки Ml предел текуче-
сти составляет 2 000—3 000 Н/см2, то для легированной — 15 000—
-0 000 Н/см2.
Повреждения и неисправности токопроводов и токосъемных узлов
нызывают 30—40 % отказов роторов. Внутренние токопроводы тур-
147
бо генераторе в большой мощности обладают высокой надежностью,
однако известны случаи нарушения изоляции токоведущих болтов
вблизи контактных колец, обусловленных дефектами изготовления
или сборки. Значительно чаще наблюдаются повреждения внешних
токопроводов турбогенераторов малой мощности, вызванные устало-
стным изломом токоведуших пластин около крепления к контактному
кольцу или истиранием изоляции на изгибах токопровода. В явнопо-
люсных машинах, в частности гидрогенераторах, часто происходят
разрывы токопровода или межполюсных соединений, а также пере-
грев и расплавление паек межполюсных соединений при длительных
форсировках возбуждения.
Распространенной неисправностью является снижение сопротив-
ления изоляции цепи ротора нз-за загрязнения токопровода маслом и
угольной пылью. Снижение сопротивления изоляции может про-
изойти также вследствие загрязнения самой обмотки.
Чаще всего повреждения подшипников и подпятников сопровож-
даются выплавлением баббита, повреждением вкладышей и цапф
подшипниковыми токами и вытеканием масла. Выплавление баббита
обычно происходит в результате нарушения работы системы масло-
снабжен ия. При быстром останове агрегата повреждения цапф оказы-
ваются незначительными, так как расплавленный баббит играет роль
смазки. Поврежденные вкладыши подлежат замене или перезаливке.
Возникновение подшипниковых токов типично для электрических
машин большой мощности. Значительные токи протекают через под-
шипники при замыкании цепи возбуждения на корпус и наличии
заземления во внешней цепи ротора. В этом случае повреждения
шеек вала и вкладышей подшипников могут быть сложными. Однако
длительное воздействие даже небольших токов в подшипниках при-
водит к повреждению вкладышей и шеек вала.
Ответственным узлом гидрогенератора является подпятник,
повреждения которого приводят к отказу электрической машины.
Наиболее характерными повреждениями подпятников являются
износ, задиры и выплавнение баббитового слоя на поверхности сег-
ментов, а также повреждения от токов в подшипниках. Повышенный
износ может быть обусловлен чрезмерной удельной нагрузкой на
определенных участках поверхности сегментов, вызванной их темпе-
ратурной деформацией или иными причинами.
Повышенная вибрация электрических машин свидетельствует о
наличии недостатков конструкции, дефектов изготовления и сборки,
а также о возникновении повреждений. Вместе с тем вибрация явля-
ется источником серьезных повреждений и аварий.
В результате повышенной вибрации происходят ослабление прес-
совки активной стали, нарушение плотности соединений, разруше-
148
ние сварных швов и деталей вследствие усталости материала и кон-
тактной коррозии, снижение газоплотности, ускоренный износ
изоляции, нарушение герметичности в системах водо- и маслоснаб-
эьения, повышенные потери и нагрев подшипников, расстройство
работы и износ контактных колец и щеточного аппарата н т.п.
работа при повышенной внбрации вредна не только для машины и
ее фундамента, но и для окружающих машин, контрольно-измери-
тельных приборов и обслуживающего персонала. Действующие стан-
дарты определяют следующие допустимые значения амплитуды виб-
рации: для турбогенераторов не более 40 мкм, для синхронных
компенсаторов не более 80 мкм, для гидрогенераторов не более 100—
180 мкм в зависимости от частоты вращения. Однако регламентиру-
ется при этом только вибрация подшипников.
Надежность контактных колеи. Причиной отказов контактных
колец является образование на их рабочей поверхности под дейст-
вием нагрева пятен, состоящих из окислов металла. Это приводит
к повышенному износу контактных колец, местному искрению и
преждевременному выходу из строя контактного узла, требующего
после этого проточки и шлифовки колец.
Важным показателем работы контактного узла является перегрев
контактных колец, допустимый уровень которого зависит от мате-
риала колец. Так, при выполнении контактных колец из медь-серебра
и стали 1Х18Н9Т их перегрев ограничивается температурой 180 °C,
прн превышении которой кольца подвергаются окислению. При
использовании медь-кадмия, меди Ml и БрАЖ-МЦ или латуни их
перегрев не должен превышать 130, 100 и 80 °C из-за склонности
к эрозии, окислению и полярного эффекта (величина переходного
напряжения на отрицательном кольце в 5 раз больше, чем на положи-
тельном).
При нормальном состоянии поверхности контактных колец и номи-
нальном давлении на щетку заметного искрения в переходном контакте
не наблюдается. Искрение возникает при нарушении крепления щеток,
значительной выработке подшипников, приводящей к эксцентриче-
скому вращению колец, неудовлетворительном нажатии щеток, загряз-
нении контакта и др. В этих случаях искрение более одного балла
может быть принято как критерий отказа контактного узла.
Температура контактных колец также является критерием отказа.
Превышение температуры сверх допустимых значений свидетельст-
вует об отказе контактного узла. Измерение температуры осуществ-
ляется обычно потенциометрическим способом.
Целесообразно также за критерий работоспособности токосъема
контактных колец взять суммарную площадь окислов, появляющихся
на контактных кольцах как плюсовой, так и минусовой полярностей.
149
Этот критерий наилучшим образом оценивает физико-химические
явления в переходном контакте. Методы измерения плошали пятен
окислов несложны н не нуждаются в специальном пояснении.
6.2. Примеры расчета надежности узлов
синхронных машин большой мощности
Расчет надежности подшипников качения и подшипников сколь-
жения подробно рассматривается в гл. 8. Закон распределения отка-
зов обмотки ротора в первом приближении можно считать экспонен-
циальным (более сложные модели надежности рассматриваться не
будут). Распределение отказов контактных колец подчиняется нор-
мальному закону, поэтому надежность контактных колец рассчитыва-
ется по известным значениям <зк и Тср^. Закон распределения отказов
щеток также нормальный, поэтому расчет надежности щеточного
аппарата аналогичен расчету щеточного аппарата машин постоян-
ного тока, изложенному в § 5.4. Следует отметить, что надежность
контактных колец значительно ваше надежности щеток, что при пред-
варительных расчетах на надежность позволяет делать соответствую-
щие допущения.
Расчет надежности изоляции стержневой обмотки статора
осуществляется на основе закона Вант-Гоффа—Аррениуса:
р
1пГ0 = | С. (6.1)
где То — средний (условный) срок службы изоляции, ч; 0 — средне-
годовая температура изоляции, К; В = 0,99 • 104 К, для микалентной
изоляции G = 14,33.
Коэффициент запаса электрической прочности изоляции
и ном
где UG — пробивное напряжение изоляции стержня в исходном
состоянии, В; (7НОМ —- номинальное напряжение, В.
Коэффициент к’^ определяет свойства изоляции стержней непо-
средственно после их изготовления и может быть найден эксперимен-
тально. В процессе транспортировки и укладки стержней в пазы
прочность изоляции несколько снижается (рис. 6.1). Фактический
коэффициент запаса электрической прочности определяется
1 - ап
к0 = <6 3)
А
150
Рис. 6.1. Инте1ралы1ые функции распре-
делен ня пробивною напряжения стерж-
ней 6 кВ:
/ до укладки в пазы; 2 — после укладки
в пазы
где а0 = 0,2ч-0,25 — коэффициент, учитывающий снижение прочности
изоляции: К — кратность возможных перенапряжений; к'^ = 7-9.
Обычно кц = 3-5-6.
Изменение электрической прочности во времени может быть
выражено уравнением
(6.4)
где kf — значение коэффициента запаса прочности изоляции как
функция времени I.
Пробой наступает при А, = 1. когда пробивное напряжение стержня
становится равным К1/ном. Для этого момента времени (г = Гср)
*0 = ^" <6-5,
и наработка до отказа
7
_ (Into)
* llnlj Т° 0,091 ' <6’6)
Соответствующее значение интенсивности отказов
Х(0) = -°’09* (6.7)
(1пЛ0)-Г0
То же для любого момента времени:
. . 0,091 0,091
>-(') = - , =------------—--------— . (6.8)
(1пАг,)Т0 (1пЛо-О,ЗО1 Ji7Tv)Ta
Вероятность безотказной работы стержня
I
Jk(O dr
PCT(r) = Р(К)е ° , (6 9)
151
где Р(К) — вероятность того, что перенапряжения ие превысят рас-
четной кратности К;
Jl(/) dz - 2(у — 1пу - 1);
о
1п*о
Y =------------z=-
1п*0- 0,301 Jt7rQ
Вероятность безотказной работы обмотки в целом
^обм«Т^[^(0]21р
(6 10)
(6.11)
(6.12)
где Zj — число пазов статора.
Изложенная методика не только позволяет провести ориентиро-
вочные расчеты вероятности отказов, вызванных износом, ио и может
быть использована для сравнительных расчетов. Старение изоляци-
онных материалов под воздействием вибрации можно учесть путем
введения в (6.4) коэффициента
Aj = 1 - Cj^z,
где с2 — среднее число циклов колебаний в единицу времени; Cj —
коэффициент, зависящий от амплитуды колебаний. Однако введение
коэффициента затрудняет аналитическое решение задачи.
Пример 1. Определить надежность обмотки с микатежной изотяцией
статора турбогенератора Т2-12-2 по следующим данным: коэффициент
запаса прочности изоляции стержня Ао = 4,5; среднегодовая температура изо-
ляции О = 60 °C или 333 К; число пазов статора Zj = 48; расчетное время экс-
плуатации 20 лет.
По (6.1) имеем
. _ 0,99 104 __ „
пГ° = —333 4,33 = 5,37;
Го = 486 000 ч, или 546 лет.
По (6.11)
у =--------1п4’5 _ = 1,0965, In у = 0,0922
1п4,5 -0,301 J20 546
и по (6.10)
20
J>.(0 d/ = 2(1,0965 - 0,0922 - 1) = 0.0086.
о
Полагая Р(К) = 1, получаем по уравнению (6.9)
Рст = е-0 0086 = 0,9914.
152
При расчете надежности механически нагруженных деталей
исходят из того, что механические напряжения, возникающие в мате-
риале от внешних нагрузок, и допустимые напряжения являются слу-
чайными величинами. Они имеют те или иные отклонения от средних
значений и подчиняются нормальному распределению.
Если Sj — механическое напряжение от внешней нагрузки, S2 —
допустимое напряжение, то отказ детали наступает, когда
Si>S2; 5, = 52-51 <0, (6.13)
иди, иначе, средний коэффициент запаса прочности детали
k = S2/Sx < 1. (6.14)
Так как величины и S2 независимы, то величина 5 также имеет
нормальное распределение:
1 2<4
<P(S) =----—е , (6.15)
/ 2 , 2
где + ; °i и °2 — сред не квад рати чес кие отклонения
величин механических напряжений в деталях 5] и S2 соответственно.
Вероятность безотказной работы статически нагруженной детали
машины
У
°° ' 2
1 г 2<Ч
Р(5>0) = —Je s d5
5 о
(6.16)
Обозначая х ----—, получаем
Р(5>0) = 0,5 +—Ге 2<к = 0,5 + ф/-^1, (6.17)
’ о
— нормированная функция Лапласа, определяемая по
таблице Приложения 2.
153
В реальных условиях величины 52 и являются функциями вре-
мени, причем 5т обычно имеет тенденцию к уменьшению вследствие
структурных изменений в материале, усталости, коррозии и других
явлений, в то время как gs имеет тенденцию к увеличению. Нагрузки
часто также не остаются постоянными. Соответственно и вероятность
безотказной работы становится в этих условиях функцией времени.
Пример 2. Определить вероятность безотказной работы бандажного
кольца турбогенератора по следующим данным Напряжение на внутренней
поверхности бандажа от центробежных сил и посадок при номинальной ско-
рости равно 420 Н/мм“: при испытательной скорости — 510 Н/мм со сред-
неквадратическим отклонением = 30 Н/мм2; допустимое напряжение для
2 2
бандажа в исходном состоянии 52 = 835 Н/мм при = 50 Н/мм . Средний
коэффициент запаса по (6.13) и (6.14)
$ср_$2-$1 835-510 .
—----------• , - - 5, Эб
°5 °5 Jso2 + зо2
Значение величины 0,5 + Ф((5,56) отличается от единицы только в девя-
том знаке. Поэтому можно считать, что в исходном состоянии бандаж обла-
дает абсолютной надежностью.
Предположим теперь, что в процессе эксплуатации всэсдствие на! рева
бандажа циркуляционными токами, коррозионного растрескивания и других
2
причин его прочность снизилась до S2 = 650 Н/мм , а среднеквадратическое
2
отклонение этой величины увеличилось до as= 80 Н'мм'. При этих условиях
средний коэффициент запаса прочности все еще остается больше единицы:
однако разрушение бандажа при испытательной скорости уже становится
возможным:
5ср_ 650 - 510 =
°5 Veo2 + зо2
что, согласно уравнению (6.17) и Приложению 2, при Ф,( 1,64) соответствует
вероятности безотказной работы
Р = 0,5 +0,45 = 0,95
При номинальной скорости вращения надежность бандажа остается еше
довоэьно высокой:
Г-М 42” -2^-
°s /во2 + зо2
154
Р = 0,5 4-0,(2,69) = 0,9964,
однако при да 1ьнейшсм снижении прочности отказ его становится все более
вероятным
6.3. Надежность синхронных генераторов
мощностью до 100 кВт
Синхронные генераторы общепромышленного назначения мощ-
ностью до 100 кВт с частотой вращения от 1 000 до 3 000 об/мии явля-
ются массовой продукцией электромашиностроения и предназна-
чены для выработки электрической энергии переменного тока. Они
применяются в различных отраслях промышленности, в строительст-
ве, на транспорте, в сельском хозяйстве. Следует отметить высокую
степень ответственности надежной работы таких генераторов, так как
в автономном нли резервном режиме они являются единственным
источником электроэнергии при аварийном или принудительном
отключении объекта от энергосистемы. Эта ответственность возрас-
тает многократно, если объект обеспечения электроэнергией — госу-
дарственный объект связи, оборонный объект, медицинское учрежде-
ние, аэропорт и т.п.
Сбор информации об отказах синхронных генераторов мощно-
стью до 100 кВт, а также анализ повреждаемости основных узлов
генератора потребовал кропотливой работы над статистическими
данными об отказах генераторов и их узлов в течение 20 лет.
Обработка материалов эксплуатации показала, что генераторы
имеют разную наработку на отказ. Статистический материал по нара-
ботке на отказ с учетом точечных значений наработки и доверитель-
ных интервалов иа отказ с доверительной вероятностью а = 0,8 пред-
ставлен в табл. 6.2 (2].
Распределение отказов по узлам генераторов серий ЕС, ЕСС,
ЕСС5 и ОС показано в табл. 6.3.
Таблица 6 2
Статистические данные
Серия 1 снератора Количество исследованных генераторов, шт Наработка на отказ, ч Среднее время восстановления, ч Время про- филактики, ч
точечное значение доверитель- ные интервалы
ьс 1 482 4 150 4 087-4 609 11 0,5
ЕСС 1 166 5 650 5 625—3 875 10 1,0
ЕСС5 1 024 7 250 6 630—7 650 5 0,5
Ос 4018 8 300 7 840—8 380 5 0,5
155
Таблица 6 3
Ряс пределе и не отказе i
Серия генераторов Время наблюде- ния. ч Отказы, %
блока регу- лирования контактно-ще- точного узла подшипни- кового узла обмотки статора обмоткн ротора про- чие
ЕС 8000 51,9 31,2 8,2 4,8 3,9 —
ЕСС 60,0 20,0 2,5 10,0 — 7,5
ЕСС5 41,0 2,1 10,7 22,0 14,2 10,0
ОС 40 000 44,0 5,1 6,3 7,2 15,8 11,6
ЕС, ЕСС, ЕСС5, ОС 50,0 6.7 11,2 9,4 13,6 9,1
Из табл. 6.3 следует, что наименее надежными узлами являются
блок регулирования напряжения (около 50 % отказов), контактно-ще-
точный узел (7 % отказов), обмотка ротора (14 % отказов), обмотка
статора (9 % отказов). Причины отказов основных узлов и их относи-
тельная повторяемость, установленные по данным эксплуатации,
приведены в табл. 6.4.
Таблица 64
Причины отказов
Основной узел Причины отказов Коэффициент отказа, %
ЕС ЕСС ЕСС5 ОС
Блок регули- рования напряжения Осзаблсние крепежа, контактов и отказ рео- стата уставки 18,0 24,0 4,3 12,0
Мсжвитковые замыкания и пробой на кор- пус обмоточных изделий и полупроводни- ковых приборов 30,3 33,0 24,0 19,4
Отказы прочих элементов 3,6 3,0 12,7 12,6
Контактно- щеточный узел Пробой изоляции между дорожками кон- тактных колец держателя траверсы и корпу- сом, отказ щеток из-за поломок и зависания 25.0 12,0 — 1,7
Ослабление крепежа, обрывы и замыкание на корпус присоединительных проводов, ослабление траверсы 3,7 6,0 1,4 3.4
Подшипнике- вый узел Износ отверстия подшипника 4,2 2,5 — 2,3
Заклинивание подшипника — — 7,1 1,8
Резкое повышение вибрации 1.5 — 3.6 2,2
Обмотка ста- тора Пробой межвитковой изоляции 3,8 10,0 22,0 3.4
Пробой корпусной ИЗОЛЯЦИИ 1,0 — — 3,8
Обмотка ротора Пробой межвитковой изоляции 2,4 — 2,1 4,2_
Пробой корпусной изоляции 1,0 — 10,0 8’4_
Пробой изоляции выводных проводов 0,5 2,1 1,2
156
Изучение данных эксплуатации генераторов позволило классифи-
цировать отказы по характеру их возникновения на внезапные и изно-
совые. Эта классификация приведена в табл. 6.5.
На основе анализа данных построена кривая распределения
интенсивности отказов генераторов без разделения их иа типы и
серии (рис. 6.2). По внешнему виду кривой можно предположить, что
распределение времени безотказной работы генераторов описыва-
ется экспоненциальным законом. Проверка соответствия проведена
по критерию Колмогорова и Пирсона, а также по графику вероятно-
стной бумаги. Определены средние значения интенсивностей отказов
генераторов: для генераторов серии ЕС X = 0,23 10 3 I/ч; для серии
ЕСС X = 0,16 • 10"3 1/ч; для серии ЕСС5 X = 0,14 • 10-3 1/ч; для серии
ОС Z = 0,12 • 10'3 1 /ч (за время t = 8 000 ч), а для генераторов без раз-
деления на серии и типы X = 0.13 • 10*~3 1 /ч (за время I = 40 000 ч).
Таблица 6 5
Классификация отказов
Серия генераторов Отказы. %
конструктив- ные производст- венные эксп 1уатаци- онные внезапные изиосовые
ЕС 60 23,0 17,0 76 24
ЕСС 40 34,0 26,0 83 17
ЕСС5 30 40,0 30,0 81 19
ОС 28 36,0 36,0 87 13
ОС, ЕСС, ЕСС5, ЕС 35 30,4 34,6 84 16
Рмс. 6.2. Кривая распределения интенсивности отказов генераторов серии FC,
ЕСС, ЕСС5, ОС по данным эксплуатации (без разделения их на отдельные типы
н серии)
157
Таблица 66
Показатели надежности
Серия генераторов Наработка на отказ, ч Среднее время восстановления, ч Средний ресурс до капитального ремонта, ч Средний срок сохраняемости, лет
ЕС 5000 12 30 000 10
ЕСС 6 000 11 30 000 10
ЕСС5 7 000 6 35 000 10
ОС 8000 4 40 000 12
2С 8 500 4 45 000 8
Изучение эксплуатационной надежности генераторов серий ЕС,
ЕСС, ЕСС5 и ОС, а также технического задания на разработку гене-
раторов серии 2С позволило обоснованно установить показатели
надежности синхронных генераторов (табл. 6.6).
Математическая модель надежности синхронных генераторов
мощностью до 100 кВт с учетом метода «слабых звеньев» представ-
лена как последовательное соединение узлов: обмотка ротора,
обмотка статора, подшипниковый узел, контактно-щеточный узел,
блок регулирования напряжения. Произведение вероятностей безот-
казной работы этих узлов и является моделью надежности генератора:
ЛО = /’oe.JO • -Роб ₽V) • Р110д(') • Ркщу(0 • P6.p.HW. (6.18)
где P(f) — вероятность безотказной работы генератора за время Г;
Роб с('). Po6.pU)> Л.од('), Ркщ.у(0. /’б.р.иСО — соответственно вероятно-
сти безотказной работы обмотки статора, обмотки ротора, подшипни-
ковых узлов, контактно-щеточного узла и блока ршулироваиия
напряжения.
Методика расчета надежности блока регулирования напряжения
основана на известных методах расчета надежности устройств,
состоящих из электро- и радиоэлементов, и имеет вид (см. гл. 7)
^б.р.н= Xх- (6-,9>
1=1
где р н — интенсивность отказов блока регулирования напряжения;
\ — интенсивность отказов элементов блока; N — количество эле-
ментов блока регулирования напряжения.
Вероятность безотказной работы блока регулирования напряже-
ния выражается законом
Рб.р и<0 = ехР[-Хб.р.н'Ь (6.20)
Анализ многочисленных исследований показывает, что надеж-
ность подшипниковых узлов зависит от состояния смазки, конструк-
158
тивно-технологических погрешностей, скорости вращения и режима
нагрузки. Модель расчета надежности подшипникового узла синхрон-
ных генераторов представлена в виде
Люд(') = Рсм(О • /’y.W • Р( ?m.n S 8 * gmax) ’ ^(ф * Фтах). (6-21)
где Рус(0. РСМ(Ч P(gmin g gmaJ и Лф Фтах) — вероятности
безотказной работы подшипниковых узлов, обусловленные соответ-
ственно усталостным разрушением подшипника, потерей свойств
смазки, рабочим зазором и углом перекоса. Эти величины определя-
ются по формулам:
Рсм(0= ехр[ -Я, (6.22)
ср
где
— среднее время безотказной работы подшипника, обусловленное
нарушением режима смазывания;
lnLcp = k + M/T (6.24)
— среднее число циклов вращения подшипника до отказа из-за нару-
шения режима смазывания; к — коэффициент, учитывающий скоро-
стной фактор; М— коэффициент, учитывающий химический состав
и структуру смазки.
Вероятность безотказной работы подшипников, обусловленную
усталостным разрушением, можно определить по формуле
(625)
где L — номинальная долговечность подшипников.
Значение L определяется по расчетной приведенной нагрузке Q и
каталожной динамической грузоподъемности С по формуле
£ = “
60л '
где а - 3 для шариковых подшипников; а = 3,33 для роликовых под-
шипников (см. гл. 8).
Величину безотказной работы подшипниковых узлов, обусловлен-
ную рабочим зазором, определяют по формуле
PUmin5J?^gmax) = «>
__£ _ф
J
ffmin
(6.26)
159
где gmjn и gmax — минимальный и максимальный допустимые зазоры
подшипника в установившемся режиме; mg— математическое ожи-
дание внутреннего зазора подшипника; Ф(г) = -у— j exp dx —
оо
функция Лапласа; — среднеквадратическое отклонение радиаль-
ного зазора.
Величину безотказной работы подшипникового узла, обусловлен-
ную углом перекоса, можно найти по выражению
^(Ф - Фтах) = 0,5
(6.27)
гае
NH
= I ф7
7=1
— математическое ожидание отклонения суммарного угла перекоса;
Nn — число причин отклонений взаимного расположения поверхно-
стей; фу — взаимное расположение /-го отклонения поверхностей
подшипника; о
Ф£
— среднеквадратическое отклонение суммарного
угла перекоса.
На основании анализа статистических данных об отказах синхрон-
ных генераторов в эксплуатации делается вывод, что отказы кон-
тактных колец и подводяших проводов составляют всего 2—3 %
общего количества отказов контактно-щеточного узла генератора.
Поэтому надежность этого узла оценивается исходя из надежности
электрошеток и щеткодержателей.
Вероятность безотказной работы электрошеток Рщ(/) определя-
ется из выражения
^щ(0 = /’щ.в(П/’щп(0, (6.28)
где Рщ в(г), п(/) — вероятности безотказной работы при внезапных
и износовых отказах электрошеток, которые определяются
= ехр[_ у]= ехр[-х2г]; (6-29)
РЩ П(') = < %) = 0,5 + 0,5 О —г
(6.30)
160
где unp — заданное предельное значение скорости износа; и* — сред-
няя скорость износа; —среднеквадратическое отклонение износа
электрощетки; = \/Т — интенсивность отказов электрощеток.
Для определения скорости износа электрощеток марки ЭГ-14,
применяемых в синхронных генераторах, проводятся эксперимен-
тальные исследования на макетных образцах, имитирующих работу
узла токосъема синхронных генераторов по всем основным характе-
ристикам.
На основании экспериментальных исследований получено:
V* = 2.14мм/103ч CL.. =0,71 мм/103ч.
Под отказом щеткодержателей понимается событие, заключаю-
щееся в поломке щеткодержателей, ослаблении или поломке нажим-
ных пружин. Показано, что отказы щеткодержателей имеют внезап-
ный характер, а причиной отказов являются вибрация и механические
удары.
Вероятность безотказной работы щеткодержателей Рщд(/) опреде-
ляется по формуле
Лцд(') = exrtA'l. (6-31)
где \ — интенсивность отказов щеткодержателей.
Если в контактно-щеточном узле установлено m электро щеток, то
вероятность безотказной работы этого узла (без учета дроб-
ного резервирования):
Лац.у(') = ехр[-X.^y/jfo.5 + 0,5 (6 32)
где Хкщу = (kj + Х.2)/и — интенсивность отказов контактно-щеточного
узла генератора.
По материалам исследований интенсивность отказов контактно-
щеточного узла генераторов серии ЕСС за время / = 3 000 ч составля-
ет 2,6- 10“5 ч-1.
Модели надежности обмоток статора и ротора, на которых
должны основываться методы расчета надежности этих узлов,
построены с учетом конструкции обмоток. Поскольку в синхронных
генераторах разных серий эти конструкции различны (обмотка ста-
тора в генераторах серий ЕС, ЕСС. ЕСС5, ОС, ОС5 и 2С имеет для
конструктивных исполнений: всыпную обмотку и обмотку из жест-
ких секций, выполненных из прямоугольного провода), то обмотка
статора генераторов рассмотрена как система, состоящая из последо-
вательно соединенных элементов. Такими элементами являются пары
161
соседних проводников, композиция межфазной изоляции в лобовых
частях обмотки и композиция пазовой изоляции. Так как отказ любого
из перечисленных элементов приводит к отказу всей системы (обмот-
ки), то вероятность безотказной работы обмотки определена в виде
^об(0 = ?об >(0 ' ?об.кМ " ?об.фМ* (6.33)
где Роб(/). Л>б.к(')’ Роб.ф(0 “ соответственно вероятность без-
отказной работы обмотки статора, межвитковой, корпусной и меж-
фазной изоляции.
Опыт эксплуатации генераторов со всыпными обмотками показал,
что большое число отказов обмотки происходит из-за отказов меж-
витковой изоляции. Отказы корпусной и межфазной изоляции
составляют несколько процентов. Поэтому для расчетной оценки
надежности обмоток генераторов принято, что надежность обмотки
определяется надежностью межвитковой изоляции, т.е. что =
“ ^o6.bW-
С учетом модели «слабейшего звена» методика расчета вероятно-
сти безотказной работы межвитковой изоляции обмотки статора син-
хронных генераторов представлена в виде
5 - 1
^06= П
»-|
аДг’'> nt\ns/l
(0,985- 1,6~) ^0с(г, /)
(634)
где ks — кратность изменения напряжения в переходных режимах
работы генератора (сброс и наброс нагрузки, КЗ и пр.); / — разность
номеров проводников в пазу (номера присваиваются в последователь-
ности намотки на шаблон); Цф — фазовое напряжение; s — коли-
чество проводников в пазу; т — количество последовательно соеди-
ненных секций фазы; тц— общее количество пар проводников; аДг, t)
и c(f, /) — параметры закона распределения Вейбулла, по которому
распределено пробивное напряжение межвитковой изоляции. Эти
параметры зависят от режимов, условий и времени работы обмотки и
определяются экспериментально.
В генераторах с обмотками из жестких секций взаимное располо-
жение проводников в пазу сохраняется таким же, каким оно было при
намотке секции. С учетом этого получена формула для определения
вероятности безотказной работы межвитковой изоляции обмоток из
жестких или мягких монолитных секций.
1 Г A.
J ,635’
1
162
где N* — общее количество секций обмотки статора; и,— количество
пар витков с разностью порядковых номеров.
Обмотка ротора синхронных генераторов выполняется из прямо-
угольного провода. В эксплуатации наблюдаются отказы как межвит-
ковой, так и корпусной изоляции. Поэтому вероятность безотказной
работы обмотки ротора определяется:
^об.р(0 = А’об.в.р(')-/’об.к.р(')> <636)
где в р(0 и Pqq k р(0 — вероятность безотказной работы межвитко-
вой и корпусной изоляции обмотки ротора.
Вероятность безотказной работы межвитковой изоляции обмотки
ротора определяется по формуле
(637)
где sp — число витков обмотки ротора; ni — число пар соседних вит-
ков в катушке ротора с разностью порядковых номеров /; тр — коли-
чество катушек в обмотке ротора; Up — напряжение, приложенное
к обмотке ротора; ap(r, /) и Uo p(r, Z) — параметры закона распределе-
ния Вейбулла пробивных напряжений межвитковой изоляции, зави-
сящие от режимов, условий, времени работы обмотки и определя-
емые экспериментально.
Глава седьмая
НАДЕЖНОСТЬ МАШИН МАЛОЙ МОЩНОСТИ
И ПУСКОРЕГУЛИРУЮЩЕЙ АППАРАТУРЫ
7.1. Надежность машин малой мощности
Машины малой мощности в большинстве случаев являются эле-
ментами систем автоматического управления. Подобно другим эле-
ментам этих систем считается, что отказы машин малой мощности и
их «слабых узлов» подчиняются экспоненциальному закону распре-
деления отказов, а значит, их надежность характеризуется одним
показателем надежности. Для систем автоматического управления
таким показателем является интенсивность отказов X.
Рассмотрим статистику отказов некоторых типов машин малой
мощности с выделением «слабых узлов» и причин их отказов.
В табл. 7.1 представлены данные об интенсивности отказов неко-
торых типов электродвигателей постоянного тока типа ДПМ и пере-
менного тока типа ДСД и ДС (синхронные реактивно-гистерезис-
ные). АПН (асинхронные повышенной надежности) и ШД (шаговые).
Таблица 7.1
Интенсивность отказов X, 10 ч’1
Тип электродвнгатс тя Обмотка Подшипниковый узел Кол зекторно-шеточный узет Результирующая
ДПМ-20-Н1-01 0,50 0,40 0,4 1,30
ДПМ-25-Н1-О1 1,30 2,20 0,3 3,80
ДПМ-25-НЗ-01* 0,40 0,20 0,3 1,60
ДПМ-30-Н1-01 1,40 1.20 0,2 2,80
ДС-1** 0,05 0,02 0,15
АПН-012/2 0,16 0,04 — 0,20
АПН-11/2 0,31 0,09 — 0,40
ШД-1 0,60 0,40 — 1,00
ШД-ЗОО/ЗОО 0,60 0,15 — 0,75
• В машине используется центробежный регулятор с X - 0,7 • Ю"4 ч 1
*• В машину встроен редуктор с X = 0.08 • 10 4 ч 1
164
Наибольшее число отказов приходится на обмотки, подшипниковые и
коллекторно-щеточные узлы. Отказы обмоток обусловлены короткими
замыканиями между витками или на корпус, обрывом проводов и нару-
шением мест паек. Повреждения подшипниковых узлов происходят
вследствие механического износа подшипников, ухудшения состояния
смазки, некачественной посадки подшипников на вал и в шиты В кол-
лекторных машинах отказы подшипников происходят, со стороны кол-
лекторно-щеточного узла из-за щеточной пыли, вибраций и нагрева
коллектора. Срок службы коллекторно-щеточного узла определяется
износом щеток. Предельная наработка электрошеток низкоскоростных
машин составляет примерно 1 000 ч, высокоскоростных — 100—150 ч.
Ниже приведены обобщенные статистические данные об интен-
сивности отказов элементов электрических машин:
Элементы и типы машин Интенсивность отказов MoV
Коллекторы электрических машин 2,900
Подшипники скольжения... . 0,220
Подшипники шариковые . . 0.875
Передачи:
зубчатые цилиндрические 2,180
зубчатые винтовые 0,050
зубчатые редукторные 0,200
Щиты подшипниковые. . 0,087
Генераторы:
постоянного тока. 0,900
переменного тока 0.700
звуковой частоты. 0,350
Сельсины:
синхронных передач. 0,350
решающих устройств . 1,110
Э1 е ктрод в и гате л и:
асинхронные . 8,600
синхронные . 0,360
постоянного тока 9,360
исполнительные 0,230
шаговые . ... 0,370
вентиляторов. 0,200
7.2. Определение расчетных показателей надежности
пускорегулирующей аппаратуры
Пускорегулирующая аппаратура (ПРА) электрических машин
включает в себя различные приборы и средства автоматизации. Сле-
довательно, определение основных расчетных показателей надежно-
сти аппаратуры может базироваться на теоретических и эксперимен-
165
тальных исследованиях, проведенных для изделий государственной
системы приборов.
Рассмотрим ПРА как систему с независимыми элементами. Каж-
дый из элементов системы невосстанавливаемый, т.е. работает до
первого отказа. Под термином «элемент» будем понимать не только
неразложимую часть системы, но и любое устройство, надежность
которого изучается независимо от надежности составляющих его час-
тей. Расчетными характеристиками такой системы будут вероятность
безотказной работы P(t) в течение времени t и среднее время жизни
системы Гср (математическое ожидание).
Дисперсия времени жизни системы определяется по формуле
сю
P = 2fzP(/)dr-7'(2p. (7.1)
О
Исходными характеристиками для расчетов будут значения интен-
сивностей отказов элементов системы которые гарантируются
предприятиями-изготовителями с определенной доверительной веро-
ятностью. Ниже приведены данные об интенсивности отказов некото-
рых элементов систем автоматики и ПРА
Элементы Интенсивность отказов
к, КГ6 ч 1
Диоды 2Д(21,20) 0,20
Резисторы (С11). 0,02
Резисторы (С2) . 0,09
Реле РЭП 15. 0,05
Конденсаторы К50 .. 0,06
Тиристоры Т123 1,20
Вилка СНЦ22 . 0,16
Переключатель ПКУ 0,20
Выключатель (авт.) ВД51 .... . 2,00
Варистор СН2 .. 0,03
Конденсатор К75........ 0,12
Стабили грон Д8 ....................................... 0,30
Транзисторы КТ816 1,44
Диоды КД 10 . . 0,40
Резисторы МЛТ . 0,03
Кварцевый резонатор . 1,10
Кнопка КМД1 . . 0.39
Переключатель ПГ123 0,20
Резисторы С2. ... . 0,09
РслеРЭК.. . 0,013
Микросхемы (К 15—-К1) .3,7—0,01
Трансформатор (спец.). . 0,40
Розетка СЦрбЗ 0.11
Дистанционный переключатель .................. ....... 0,011
166
Известно, что вероятность безотказной работы элементов ПРА,
прошедших период приработки, хорошо аппроксимируется экспо-
ненциальным законом. Важным свойством экспоненциального
закона является то, что для него вероятность безотказной работы на
заданном интервале (Г, t + т) не зависит от времени предшествующей
работы, а зависит только от длины интервала т. Иными словами, если
известно, что в данный момент времени элемент исправен, то буду-
щее его поведение не зависит от прошлого. Для экспоненциаэьного
закона вероятность безотказной работы системы определится из
уравнений (3.18) и (3.24).
Если в системе имеются элементы с одинаковой надежностью, то
целесообразно разбить всю систему на группы. Например, в первой
группе находится ЛЦ элементов с функцией надежности Pt(Z), во вто-
рой группе — л2 элементов с функцией надежности P2(z) и тд- Тогда
Ре(г) = [Р^]'[Р20)]2...[Р5(1)\П!!. (7 2)
Если элементы в системе соединены параллельно, то вероятность
безотказной работы системы определится из (3.21)—(3.23).
Рассмотрим работу системы с восстанавливаемыми элементами.
Подобная задача является весьма важной для ПРА, так как в процессе
продолжительного режима работы аппаратуры предусматривается
замена отказавших блоков.
Предположим, что процесс восстановления происходит мгновен-
но, что вполне допустимо, так как время восстановления пренебре-
жимо мало по сравнению с временем жизни элемента. Кроме того,
отказы и восстановление одного элемента не влияют на надежность
Других элементов. Исходя из предпосылок работы ПРА, определим
основные характеристики потока отказов.
Предположим, что появление отказов на одном участке времени
почти не меняет вероятности появления какого-либо числа отказов на
Другом участке. Иначе говоря, в потоке отказов системы отсутствует
последействие, кроме того, из условия, что законы распределения
времени безотказной работы элементов имеют непрерывные плотно-
сти, следует, что функция H(t), т.е. среднее число отказов системы за
время /, является непрерывной, а поток отказов системы — ординар-
ный. Тогда вероятность одновременного появления двух отказов равна
нулю. Доказано, что для такого потока отказов вероятность появления
S отказов за промежуток времени (/р z2) выражается формулой
с
[Я(г2)-Я(г.)Г
Р$('р'2) в------------— e.xpf-ZZfzJ-tffz,)]. (7.3)
167
Для системы, состоящей из последовательно соединенных эле-
ментов, надежность которых подчиняется экспоненциальному зако-
ну, выражение (7.3) можно записать следующим образом:
h(t2 - Г])5
V-------ЧН- ехр[-Л(/2 - Г,)], (7.4)
О .
п
где h = £ X.,.
j= I
Если нас интересует вероятность появления 5* отказов за время от
начала работы системы, то (7.4) может быть переписано в виде
(7.5)
Используя выражения (7.4) и (7.5), можно планировать объем
запасных блоков и элементов ПРА. Планирование осуществляется
следующим образом. Пусть нужно определить наименьшее чисзо
запасных элементов и, которых с вероятностью не меньше (1 - а) хва-
тит на время /. Число элементов
Р5>1-а. (7.6)
Если среднее число ожидаемых отказов системы ничтожно мало
ио сравнению с числом элементов в системе и надежность элементов
в системе примерно одного порядка, то для определения среднего
числа отказов за время t можно воспользоваться приближенным
выражением
W)« £rz(0. (7.7)
i=l
Относительная погрешность этого равенства не превосходит
F,(r)
max =---------»
‘ 1-Л(г)
где Fi (/)=1- exp[-X.f- /] — вероятность отказа /-го элемента системы.
Перед составлением структурной схемы надежности пускорегули-
рующей аппаратуры необходимо провести анализ блок-схемы, прин-
ципиальной электрическом схемы, назначения и принципа действия
электротехнического устройства (электрической машины, электроме-
ханического преобразователя и др.) и составить для них логические
схемы расчета надежности. После этого необходимо построить струк-
турную схему надежности ПРА, основываясь на функциональной
блок-схеме работы устройства. Затем в соответствии с принципом
действия аппаратуры определить последовательность или параллель-
168
Рис. 7.1. Электрическая (я) и структурные (б, в) схемы двойного выктючятеля:
б — при работе на замыкание цепи; в — при работе иа размыкание цепи
ность (с точки зрения надежности) элементов и блоков системы. Прн
построении структурных схем необходимо учитывать функциональ-
ное назначение того или иного элемента или блока системы.
Приведем простой пример. Имеется двойной выключатель В
(рис. 7.1). Если его основное функциональное назначение — замыка-
ние цепи, то структурная схема представляет собой последовательное
соединение элементов. Если же основное назначение выключателя —
разрыв цепи, то соединение — параллельное. Итак, в зависимости от
функционального назначения один и тот же элемент может быть пред-
ставлен по-разному.
Г лава восьмая
НАДЕЖНОСТЬ ПОДШИПНИКОВЫХ УЗЛОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
8.1. Факторы, влияющие на работоспособность подшипников
Одним из «слабых» узлов электрических машин является подшип-
никовый узел. Для большинства электрических машин подшипники
представляют собой второй по значению после обмотки источник
отказов. Например, приблизительно 10 % отказов асинхронных дви-
гателей и 30 % отказов машин постоянного тока происходят из-за
отказа подшипниковых узлов. В машинах малой мощности и в высо-
коскоростных машинах отказы из-за износа и повреждений подшип-
никовых узлов часто становятся преобладающими.
Ненормальная работа подшипникового узла обнаруживается по
чрезмерному повышению температуры, шума, утечке смазки, повы-
шенному сопротивлению при вращении и увеличению момента тро-
гания. Причины, приводящие к этому, разнообразны по физической
природе и степени их влияния на разрушение подшипника. Рассмот-
рим условия работы подшипников и подшипниковых узлов, факторы,
влияющие на их работоспособность, а также пути повышения надеж-
ности.
Физико-химические свойства поверхностного слоя металла зави-
сят от величины контактных напряжений, рабочей температуры,
остаточных напряжений, микротвердости, степени пластической
деформации металла в поверхностном слое. Контактирующие детали
подшипников воспринимают значительные удельные давления при
развитии значительных температур и возникновении пластических
деформаций металла в поверхностных слоях.
На основании аналитических и экспериментальных исследований
установлено, что в большинстве случаев упругого контакта с другими
деталями наиболее напряженными являются две зоны: на кромке
поверхностного слоя и максимальных касательных напряжений, рас-
полагающихся на некоторой глубине под поверхностью. При нор-
мальных условиях трения должно соблюдаться равенство
(8.D
170
гдс j — внешняя нагрузка; 5ф — площадь фактического контакта;
— предел текучести материала.
При шлифовании поверхностного слоя металла происходит его
пластическая деформация, которая, создавая остаточные напряжения
в микрообъемах, определяет степень упрочнения этого слоя. Из-за
этого происходят изменения износоустойчивости шлифованной
поверхности. В процессе приработки поверхность упрочняется, дос-
тигаются для данных условий трения оптнмазьные формы и размеры
поверхностей, происходят структурные изменения за счет тепловых
воздействий, пластических деформаций и химического воздействия
окружающей среды. Следовательно, обязательным условием надеж-
ной работы подшипников является обкатка прн эксплуатационных
режимах.
В закаченных низкоотпущенных сталях всегда сохраняется неко-
торое количество остаточного аустенита. Считается, что в процессе
циклического воздействия контактных нагрузок первичная деформа-
ция будет протекать именно в зернах остаточного аустенита. Первич-
ные трещины в объемах остаточного аустенита, действуя как концен-
траторы напряжений, способствуют ускоренному разрушению
детален подшипников.
При взаимном обкатывании деталей подшипников под нагрузкой
возникают:
• общие напряжения н деформации, охватывающие весь объем
металла кольца н изменяющиеся во времени в связи с перемещением
детален, передающих нагрузку;
• местные контактные напряжения и деформации;
• упругие и пластические деформации металла в поверхностном
слое, связанные с наличием неровностей на дорожках н телах
качения;
• физнко-химнческне процессы, протекающие во внешних слоях
и связанные с взаимодействием металла рабочей поверхности
с оксидными пленками, смазкой нлн газовой средой в условиях высо-
ких давлений и температур в зоне контакта.
Характерно, что допускаемая подшипником нагрузка при непод-
вижном состоянии ниже, чем при вращении, так как следы взаимного
вдавливания деталей могут мешать дальнейшей работе подшипника.
Остаточные же деформации, образующиеся при вращении кольца,
обычно приводят только к увеличению зазора и мапо изменяют усло-
вия работы деталей подшипников.
Следует различать мелкие пзастические деформации, связанные
с наличием неровностей, проникающих на небольшую глубину (при
недостаточной смазке н больших удельных давлениях они вызывают
значительные касательные усилия, что приводит к пластическому
171
смещению целых участков поверхности с разрывами и иаднрами), и
пластические деформации, проникающие на значительную глубину
под общим воздействием контактных напряжений.
На износостойкость н долговечность деталей подшипников оказы-
вают влияние структурные особенности металла, химическая комби-
нация материала и смазки, коррозия, тепловое воздействие, состоя-
ние поверхностного слоя и механические нагрузки на поверхности и
в теле качения.
Преобладающим видом износа подшипников, вызванного кон-
тактной усталостью рабочих поверхностей, является выкрашивание
из них металла в виде мелких частиц, а также отслоение частичек
металла. Наибольшее практическое подтверждение получила сле-
дующая гипотеза, объясняющая природу этого явления.
Под действием скалывающих и нормальных растягивающих
напряжений на рабочей поверхности образуются трещины, после
чего наступает усталостное выкрашивание из-за расклинивания обра-
зующихся трещин смазкой («масляный клнн»).
При использовании смазки с высокой вязкостью процесс усталост-
ного выкрашивания замедляется. Помимо указанного существуют
абразивный н коррозионный нзносы.
Абразивный износ возникает из-за наличия в зоне контакта посто-
ронних частиц. Такой износ возникает, например, в незащищенных
подшипниковых узлах или под действием пульсирующих толчков тел
качения и их автоколебаний в пределах имеющихся зазоров, напри-
мер износ гнезд сепараторов.
Коррозионный износ. В результате действия коррозии — самостоя-
тельного нли в сочетании с трением — поверхности становятся шеро-
ховатыми. Существует так называемое ложное бринеллирование
колец телами качения, которое представляет собой контакт и о-корро-
зионный процесс, сочетающийся с местными абразивными эффек-
тами н характеризующийся возникновением лунок с шагом, соответ-
ствующим расстоянию между телами качения. Лункн возникают
в результате пульсирующего контакта без вращения подшипника нли
прн периодическом смещении его на очень малый угол. В условиях
возникающего в узких щелевидых зазорах между телами качения и
кольцами эффекта коррозии под влиянием отгона смазки прн интен-
сивных колебаниях (такой эффект имеет еше наименование «фрет-
тинг») происходит быстрое окисление металла с образованием абра-
зивно действующих частиц окислов в зоне контакта. Такое явление
наблюдается прн работе подшипников в условиях вибрации, переко-
сов и частых толчков.
172
Аварийные поломки подшипников возникают под действием пере-
грузок, перекосов и грубых технологических дефектов изготовления.
Прохождение электрического тока в подшипниках (так называемых
подшипниковых токов) часто приводит к их заклиниванию.
Возникновение подшипниковых токов явпяется неисправностью,
типичной для электрических машин большой мошности. Причины
появления подшипниковых токов могут быть различными, однако
чаше всего их источником служит асимметрия магнитной системы
машины: неравномерный зазор, несимметричное размещение сег-
ментов активной стали, наличие осевых вентиляционных каналов.
Как следствие магнитной асимметрии возникает пульсирующий по-
ток, пересекающий контур, состоящий из вала, подшипников и фун-
даментной плиты. Так как сопротивление этой цепи незначительно,
наведенная в контуре ЭДС вызывает появление значительных токов.
Измерения, выполненные на турбогенераторах мощностью 50—
300 МВт, показывают, что значение этой ЭДС обычно составляет 4—
6 В, но может достигать 10—15 В.
Токи в подшипниках возникают также в результате продольного
намагничивания вала, которое может быть вызвано витковыми замы-
каниями в роторе, короткими замыканиями в обмотке статора и дру-
гими причинами. Весьма значительные токи протекают через под-
шипники при замыкании цепи возбуждения на корпус с уже
имеющимся заземлением во внешней цепи ротора. В таких случаях
повреждение шеек вала и вкладышей подшипников может быть очень
серьезным. Однако даже и небольшие подшипниковые токи при дли-
тельном протекании приводят к повреждению поверхности вклады-
шей и шеек вала; в слое масла, разделяющем эти поверхности, возни-
кают мелкие электрические разряды, разрушающие поверхность
металла вследствие электроэрозни. Это сопровождается загрязнени-
ем масла и ухудшением его свойств, что ведет к дальнейшему разви-
тию процесса.
8.2. Вибрация подшипниковых узлов
В электрических машинах наибольшее применение находят ради-
альные шарикоподшипники, радиально-упорные и роликоподшип-
ники с короткими цилиндрическими роликами. Справочные данные
о подшипниках, применяемых в электрических машинах, приведены
в учебнике по проектированию электрических машин [24] и в Прило-
жении 11.
В стандартах 25346—89 «Общие положения, ряды допусков и
основных отклонений»; 25347—82 «Поле допусков и рекомендуемые
посадки» указаны поля допусков для посадочных мест валов и отвер-
173
стий подшипников качения общего назначения. Поля допусков обес-
печивают по внутреннему и наружному диаметрам подшипника
посадки с зазором, переходные посадки, посадки с натягом, назначе-
ние которых зависит от типа, размеров и класса точности подшипни-
ка, от величины, направления и характера нагружения подшипника,
от режима работы узла и других условий эксплуатации. Значения
шероховатостей посадочных поверхностей вазов и корпусов, допус-
каемые отклонения от правильной геометрической формы и биение
заплечников ограничены установленными значениями [23].
Практика показывает, что подшипники качения являются наибо-
лее интенсивными источниками вибрации во многих типах машин и
особенно в быстроходных. На рнс. 8.1 приведен спектр вибраций
шарикоподшипника диаметром 100 мм при частоте вращения
1 500 об/мин, измеренный на наружном кольце свободно установлен-
ного подшипника. Как видно нз спектрограммы. подшипник возбуж-
дает вибрации в широком диапазоне частот.
Основные сведения о вибрации электрических машин. Меха-
ническая вибрация представляет собой движение тела относительно
положения равновесия в пространстве. Колебания, генерируемые
электрическими машинами, целесообразно рассматривать в диапазо-
нах низких, средних и высоких частот Наиболее вероятными причи-
нами низкочастотных колебаний (от Одо 300 Гц) являются эксцентри-
ситет, неуравновешенность вращающихся масс, несовершенство
подшипников качения, нарушение геометрии «шип-подшипник»
у подшипников скольжения. Колебания среднечастотного диапазона
(от 200 до 2 000 Гц) возникают вследствие динамического взаимодей-
ствия между ротором и статором и из-за высших гармоник сил, появ-
ляющихся в процессе работы машины.
В диапазоне высоких частот (свыше 2 000 Гц) механические коле-
бания представляют собой упругие волны, распространяющиеся по
элементам конструкции машины. Эти колебания несут небольшую
часть колебательной энергии и хорошо демпфируются. Основная же
доля колебательной энергии приходится иа низкие частоты.
Параметры, характеризующие вибрацию:
• двойная амплитуда вибрации 2Л, мкм;
• вибрационная скорость Уд:
= 20 lg(p/u0). (8.2)
где v — измеренная вибрационная скорость, мм/с; и0 = 5 • 10-5 мм/с —
нулевое (пороговое) значение вибрационной скорости.
Вибрационное ускорение, дБ, определяется по формуле
сод = 20 lg(to/to0), (8 3)
174
Рис. 8.1 Спектр вибраций шарикопод-
шипника
Рис. 8.2. Mo.ieib ротора ял я о л реле 1ения
вибрации от дисбаланса
где io — измеренная величина вибрационного ускорения, м/с2;
со0 = 3 • 10“4 м/с2 — нулевое (пороговое) значение вибрационного
ускорения.
Источники вибрации, которые приводят к снижению надежности
и долговечности электрической машины, возникают под действием
электромагнитных, аэродинамических и механических сил. Электро-
магнитные силы зависят от соотношения числа пазов ротора н стато-
ра, параметров магнитной цепи, неравномерности воздушного зазо-
ра, неснмметрии напряжения питания и др.
Аэродинамические силы возникают при вращающемся роторе и
определяется конструкцией вентилятора и вентиляционных каналов.
Механические усилия зависят от качества изготовления подшип-
ников, точности обработки посадочных мест под подшипники и
замки и внброакустических свойств подшипниковых шнтов, условий
работы щеток и дисбаланса ротора. Дисбаланс ротора может возник-
нуть из-за технологических отклонений, прогиба вала, деформации
ротора при нагреве, асимметрии конструкции машины, неоднородно-
сти вращающихся частей.
Элемент массой Ш] (рис. 8.2) создает неуравновешенную центро-
бежную силу, называемую статическим небалансом, а пара одинако-
вых элементов массой т2 создает неуравновешенный момент нли
Динамический небаланс. Для того чтобы обнаружить статическую
неуравновешенность, исследуемый ротор помещают на ножевые опо-
ры. Ротор поворачивается под действием массы до тех пор, пока
элемент массой не займет крайнее положение. Динамический дис-
баланс может быть обнаружен только при вращении ротора.
На практике в машинах полностью устранить дисбаланс невоз-
можно. В связи с этим разработан стандарт РД 16.483—88 «Машины
электрические вращающиеся. Остаточные дисбалансы роторов.
175
Нормы и методы измерения», которым ограничиваются значения
остаточных неуравновешенностей в зависимости от массы ротора.
Машины в зависимости от требований по вибрациям делятся на три
класса.
Расчет уровня вибрации, вызванной остаточной неуравновешен-
ностью, ведется на основании уравнения собственных колебаний
в вертикальной плоскости:
.2
М.=-^ + кх = 0, (8.4)
dr
где х — радиальное смещение; Л/д — масса двигателя; к — жесткость
упругого элемента.
Частота собственных колебаний системы
"»-Д 1851
Центробежная сила при статическом небалансе
P„=Afpew2, (8.6)
где Л/р — масса ротора, кг; со = 2лл/60 — угловая частота вращения
ротора, 1/с; е = т]Г/Л/р — величина относительной неуравновешенно-
сти; г— радиус вращения элемента массой т।, м.
Радиальная составляющая центробежной силы
Pr= PySin со/. (8.7)
Радиальное смещение х относительно центра тяжести
Л/е
х = —E-sincof. (8.8)
мъ
Уравнение (8.8) получено при условии установки машины на
упругих элементах. В этом случае согласно ГОСТ 20815—99
(МЭК 34-14—82) «Система стандартов по вибрации. Машины элек-
трические вращающиеся. Методы оценки вибрации» собственная
частота колебаний машины не превышает 3 Гц.
Дифференцируя уравнение (8.8), определяем эффективную вибра-
ционную скорость, мм/с, в любой точке станины
176
Для динамического дисбаланса эффективная вибрационная ско-
рость
Л/еш ,
где L — расстояние между подшипниками, м; I— расстояние между
балансировочными плоскостями, м; J — момент инерции машины
относительно осн, проходящей через центр тяжести машины и пер-
пендикулярной оси вращения.
Общий уровень вибрационной скорости
изф = 71’н+им + ип- (?•’»
где VH, им, — составляющие вибрационной скорости соответст-
венно от дисбаланса ротора, электромагнитных сил и вибрации под-
шипников.
Вибрация подшипников. Изготовление деталей подшипников свя-
зано с наличием отклонений геометрических форм н размеров в пре-
делах нормированных допусков. Этн отклонения обусловливают виб-
рацию, а следовательно, и износ подшипникового узла. Наиболее
существенными источниками вибрации являются радиальное н осе-
вое биение колец, овальность, гранность и конусность колец, разно-
размерное^ шариков, допуски в гнездах сепараторов, волнистость и
шероховатость дорожек качения, овальность и гранность шариков.
Радиальное биение наружных колец нарушает соосность в под-
шипниковых узлах. Боковое биение торцов внутренних и наружных
колец вызвано их непараллельностью, которая приводит к перекосу
внутреннего кольца относительно наружного. Величина указанного
биения тем меньше, чем выше прецизионность подшипника.
Овальность колец является причиной вибрации с частотой, Гц,
равной двойной частоте вращения машины, об/с:
/=2п. (8.12)
Частота вибраций, возбуждаемая разноразмерностью шариков,
зависит от скорости вращения сепараторов и конкретного определе-
ния разноразмерных шариков в подшипнике. Прн равномерном чере-
довании в подшипнике шариков большого и малого размера эта час-
тота, Гц,
rizn
(ri + r2)2'
(8.13)
где г2 — радиусы дорожек качения соответственно внутреннего и
наружного колец; z — число тел качения.
177
Овальность и гранностъ тел качения зависят от класса точности
подшипников. Частота вибрации, Гц, вызванная гранностью тел каче-
ния, определяется по формуле
(«И)
где о = !Dq — относительный диаметр тел качения; — диа-
метр окружности по центрам тел качения; г/ш — диаметр тел качения;
А] — число граней.
Чрезмерно большие зазоры в гнездах сепараторов приводят к сме-
шению сепараторов на величину зазора и появлению вибрации с час-
тотой, Гц,
/=(1 -О/2- (8.15)
Вибрация с такой же частотой возникает из-за неуравновешенно-
сти сепаратора. Малые зазоры могут быть причиной заедания шари-
ков и нарушения кинематики вращения подшипника, что является
причиной повышенного шума.
Возникающие в подшипниковых узлах динамические импульсы от
волнистости (углубления) не являются периодическими. Частота и
спектр вибраций, обусловленных этими причинами, нестабильны.
Составляющие этого спектра расположены преимущественно в
области высоких частот. Рекомендуется применительно к дорожкам
качения шариковых подшипников волнистостью считать углубления,
превышающие по высоте 0,1 мкм и длиной, соизмеримой с радиусом
шариков.
Частота, Гц, вибраций, обусловленная волнистостью, опреде-
ляется
/л(1 ±</шо)и/2г (8.16)
где т — число волнистостей по окружности дорожек качения внут-
реннего «—» или наружного «+» кольца.
Шероховатость поверхностей качения имеет меньшее значение в
виброспектре подшипников нз-за малого расстояния между отдель-
ными выступами по сравнению с радиусом шариков.
Кроме указанных причин возможны локальные дефекты на дорож-
ках качения. К числу таких дефектов относится местное бринеллиро-
вание дорожек качения при транспортировке машин по железной
дороге. Частота, Гц, вибрации, обусловленная этим явлением, имеет
вид
/=41±</Ш0)Л2л/2, (8.17)
где — число дефектов на дорожках качения. Знак «-» принимается
прн наличии дефектов на наружном кольце.
178
Вибрация подшипников возбуждается также периодическими
изменениями жесткости подшипника прн перекатывании тел каче-
ния. Частота, Гц, этой вибрации равна
/=с(1-«/шо)п/2. (8 18)
На уровень вибрации с этой частотой кроме жесткости колец
влияют радиальный зазор и нагрузка на подшипник.
Все указанные частоты можно обнаружить в спектре вибрации
машины, снимая его иа наружных кольцах подшипников.
8.3. Критерии работоспособности подшипниковых узлов
Основными критериями работоспособности подшипников каче-
ния являются: момент трения, температура наружного кольца, обший
уровень вибраций, виброспектр подшипникового узла, химический
состав смазки.
Повышенный момент трения вызывает разогрев деталей подшип-
никового узла, поэтому увеличение температуры наружного кольца
сверх допустимого значения свидетельствует о неисправности под-
шипника. Критерием отказа является повышение температуры на
15—20 °C за 10—15 ч работы машины. Повышение общего уровня
вибрации на 15 % первоначального значения в номинальном режиме
работы также является критерием отказа подшипникового узла.
Рассчитав значения так называемых информативных частот по
формулам (8.12) — (8.18) и определив спектр вибрации подшипнико-
вого узла, можно не только судить о его работоспособности, но и
выявить характер повреждений. Повышение амплитуды вибрации на
какой-либо из информативных частот свидетельствует о выходе или
скором выходе подшипников из строя, а также указывает на причину
вибрации, которая вызывает эту информативную частоту.
Зтесь следует отметить, что снижение вибрации подшипниковых
узлов н всей электрической машины может быть достигнуто установкой
подшипников скольжения. О степени снижения уровня вибрации маши-
ны, в которой подшипники качения заменены подшипниками скольже-
ния, можно судить по спектрограмме вибраций подшипников (рис. 8.3)
Двигателя мощностью 45 кВт с частотой вращения 3 000 об/мин.
^Ис- 8.3. Спектрограмма вибраций с подшипниками качения (/) и скодьжения (2)
179
Таблица 8 I
Ассортимент смазок и рекомендации к их применению в подшипниках
Наименова- ние Основное назначение Особенности применения
ЦИАТИМ- 221 Подшипники качения электрома- шин систем управления приборов с частотой вращения до 10 000 мии-1. Для смазывания узлов трения и сопряженных поверхностей «ме- талл-резииа», «мегалл-метаял» Гигроскопична Работоспособна при остаточном давлении 666,5 Па (5 мм рт. ст.). Нерастворима в ваде, ие действует иа полимерные мате- риалы и резину Температурный диапазон от -60 до 150 °C
ВНИИНП- 247 Подшипники качения, зубчатые пе- редачи электровентиляторов с час- тотой вращения до 20000 мин'1, микромашин различной мощности Гигроскопична. Температурный диапазон от 60 до 180 °C
ВНИИНП- 207 Подшипники качения элек- трических машин и стартер-гене- раторов с частотой вращения до 10 000 мин-1 Влагостойкая. Длительно работо- способна при остаточном тавлении 666,5 Па (5 мм рт. ст.). Температур- ный диапазон от -60 до 200 °C
ВНИИНП- 219 Подшипники качения электродви- гателей и стартеры генераторов с повышенными нагрузками и час- тотой вращения до 9 000 мии-1 Температурный диапазон от 50 до 200 °C
ВНИИНП- 242 Подшипники качения судовых электрических машин горизон- тального исполнения Влагостойкая. Температурный диа- пазон от 40 до 110 °C при влажно- сти окружающей среды до 98 %
Литол-24 Основные узлы треиия колесных и гусеничных транспортных машин и тракторов, индустриаль- ных механизмов, электрических машин Многоцелевая. Водостойкая Тем- пературный диапазон от 40 до 120 °C. Смазка сохраняет работо- способность в течение непродол- жительного времени прн темпера- туре 130 °C
ЛДС-1 (ЛДС-2) Подшипники качения электродви- гателей серий 4А и А02 Влагостойкая
СВЭМ (ВНИИНП -288) Подшипники качения судовых электрических машин с вертикаль- ным и горизонтальным валом при скорости до 550 000 ммхоб/мин Виброустойчивая. Температур- ный диапазон от -60 до 120 °C
ВНИИНП- 248 Скользящие электрические кон- такты Температурный диапазон от 60 до 200 °C
Изменение химического состава смазкн приводит к изменению
вязкости, а значит, ухудшает условия вращения. Примерно 95 % элек-
трических машин смазывают пластичными смазочными материа-
180
ламп. Мощные электромашины (выше 100 кВт) с подшипниками
скольжения обычно смазывают маслами, однако такое разграничение
условно. Достаточно широко пластичные смазки используют и в под-
шипниках машин мощностью 300 и даже 500 кВт
Скоростной фактор для подшипников электрических машин
составляет 50—400 тыс. мм • об/мин. При непрерывной работе машин
необходимо, чтобы смазка заменялась через 8—10 тыс. ч. Современ-
ные пластичные смазки (ВНИИНП-242, ВНИИНП-288) сохраняют
работоспособность подшипников электрических машин в течение
5—10 лет.
Ассортимент смазок и рекомендации по нх использованию в под-
шипниках электрических машин в соответствии с ГОСТ 26191—84
приведены в табл. 8.1.
8.4. Расчет подшипников качения
на динамическую грузоподъемность
Предварительный расчет подшипников качення ведется на основе
теории Герца, определяемой формулой
= (§)*• (8’9)
Здесь п — частота вращения, об/мин; Lh — долговечность, ч; С —
коэффициент работоспособности; Q — нагрузка, кг (при расчете
электрических машин это — приведенная нагрузка); к = З-е-3,5 —
коэффициент.
Формула определяет долговечность подшипников с доверитель-
ной вероятностью Р = 0,9. Выбор подшипников качения произво-
дится по коэффициенту работоспособности С. Из (8.19) находим:
C=Q(nLh)03,
где
Q = [R-Kk + т(А + 15)] Vt (8.20)
приведенная нагрузка; Л, А — радиальная и аксиальная нагрузки;
Е5 — сумма осевых составляющих для радиальной нагрузки; т —
коэффициент приведения осевой нагрузки к аксиальной; Кк— коэф-
фициент кольца. Если вращается наружное кольцо подшипника, то
= 1»2; если внутреннее, то Кк- 1,0; = 1,04-1,4 — температурный
коэффициент; Аго — коэффициент, учитывающий вибрацию, толчки и т.п.
По коэффициенту работоспособности и таблицам в Приложении
11 выбираются тнп н размер подшипника.
181
Расчет подшипников по динамической грузоподъемности про-
водится при врашенни вала с частотой п> 10 об/мин. При этом опре-
деляется долговечность ч, подшипника по формуле
где С — динамическая грузоподъемность, кН; Q — эквивалентная
нагрузка, кН; к — показатель степени, значения которого принима-
ются для шариковых подшипников к = 3, для роликовых к = 10/3.
Значение эквивалентной нагрузки принимается детерминирован-
ным и вычисляется по известным зависимостям [29] через величины
радиальной и осевой реакций в подшипниках.
За динамическую грузоподъемность принимается стационарная
нагрузка, прн которой в процессе испытаний за 1 млн циклов нагру-
жения 90 % испытываемых подшипников не выходят из строя.
Таким образом, критерием работоспособности подшипника с
90 %-ной вероятностью неразрушения является соотношение
где [ZA] —требуемый ресурс, ч.
Метод вероятностной оценки надежности подшипников учи-
тывает случайность распределения двух величин: динамической гру-
зоподъемности С и эквивалентной нагрузки Q. Предполагается, что
случайные величины динамической грузоподъемности и эквивалент-
ной нагрузки^ рас пределе ны по нормальному закону со средними зна-
чениями С, Q и коэффициентами вариации vc, Vq соответственно.
Условие разрушения подшипника с вероятностью 50 % через
время эксплуатации, равное требуемому ресурсу [£Л], определяется
соотношением
с-с^о,
_/[£а]60л)1 *
где С ~ Q'------— — среднее значение требуемой ди нам и че-
I 106 )
ской нагрузки.
Вероятность неразрушения подшипника будет больше 50 %, если
средняя динамическая грузоподъемность будет больше средней тре-
буемой динамической нагрузки на величину
ирЛ+гС’
У тр
182
где Up — квантиль нормированного нормального распределения,
соответствующий вероятности неразрушения Р\ sc, sc^ — средне-
квадратические отклонения случайных величин С и Стр. Коэффици-
ент запаса по средним нагрузкам определяется до формуле
I/*
I io6 ,
Вероятность неразрушения Р подшипника определяется соотно-
шением
Р= 0,5 -Ф(кр) = 0,5
= 0,5 -
В этом соотношении vc является коэффициентом вариации слу-
Ч3
чайной величины Стр, которая связана линейно со случайной величи-
ной эквивалентной нагрузки Q, поэтому vc = vp
тр
В справочниках по подшипникам приводятся значения динамиче-
ской грузоподъемности С90 для вероятности неразрушения 90 %
Связь этой величины со средним значением динамической грузоподъ-
емности выражается следующим образом:
С90 = С + w90
где и90 = -1,2 82 — квантиль нормированного нормального распреде-
ления, соответствующий 90 %-ной вероятности неразрушения.
Тогда
90 - 1
„ - 1 + и90ис,
с = Сад-—!—.
1 + ы90ис
183
Значения коэффициента вариации динамической грузоподъемно-
сти для роликоподшипников принимают vc = 0,25, для шарикопод-
шипников — vc = 0,27» При этом среднее значение динамической гру-
зоподъемности можно найти через величину, приведенную в
каталогах по соотношениям:
для роликовых подшипников
? = Сад1-1,282 0,25 = ,’47С90;
для шарнковых подшипников
С ~С”Г-.,282 0.27 -'53С"-
В соответствии с ГОСТ 18855—94 средние значения динамиче-
ской грузоподъемности определяют по зависимостям:
С= 1,46С90;
С= 1,52^.
Различие коэффициентов объясняется тем, что выдвигается пред-
положение о распределении ресурса подшипников не по нормаль-
ному закону, а по закону Вейбулла, в соответствии с которым вероят-
ность безотказной работы определяется зависимостью
Р = е In 0,9, (8.22)
где Lfj — 90 %-ный ресурс; а — параметр формы распределения
90
Вейбулла, а = 1,5.
В диапазоне вероятностей 10—99 % зависимости, аппроксими-
рующие распределения динамической грузоподъемности по нор-
мальному закону и закону Вейбулла, практически совпадают, что
позволяет использовать в инженерных расчетах надежности подшип-
ников нормальный закон распределения.
Коэффициент вариации эквивалентной нагрузки принимается рав-
ным коэффициенту вариации внешней нагрузки vP = vF. Рассеяние
нагрузки определяется такими факторами, как динамическая неурав-
новешенность, пускн, остановы, переключение скоростей, перерас-
пределение нагрузок вследствие износа или деформаций, а также
изменением внешней нагрузки машины, которая зависит от области
применения (обработка материалов, транспорт и др.) н квалификации
обслуживающего персонала. В среднем коэффициент вариации
нагрузки принимают равным vF= 0,1 -?-0,15_
184
Примеры расчета надежности подшипников качения
Пример 1. Определить долговечность шарнкового_раднального подшип-
ника № 104, воспринимающего радиальную нагрузку FR = 480 Н н осевую —
F = 190 Н. Частота вращения внутреннего кольца п = 1 000 об/мин, темпера-
турный коэффициент ку = 1, коэффициент безопасности к6 - 1,3 Требуемый
pccjpc подшипника определяется сроком службы 20 лет со средней годовой
наработкой 6 000 ч.
Решение. По каталогу [23] определяются значения динамической и стати-
ческой грузоподъемности для подшипников № 104
= 9,36 кН, Со = 4,5 кН.
Эквивалентная нагрузка определяется по формуле
Q = (XVFft+ YFa)kyk6,
।де И—эмпирический коэффициент.
Коэффициенты X и К определяются после вычисления следующих пара-
метров:
~ - 0,042, то! да е = 0,24;
Со 4,5
Рд _ 0,19
VFr 1-0,48
= 0.395.
F
Поскольку -r=- > с, то X = 0,56; Y- 1,85;
уг*
Q = (0,56 • 1 • 0,48 + 1,85 • 0,19) -1 - 1,3 = 0,806 кН.
Расчетная долговечность будет равна
, _Ю<ГС90)*_ 10* Л9,36у
* ьоп\д) ы. 1ОЛо,8Об^
= 26 тыс. ч.
Требуемая долговечность (ресурс)
[£а] = 6 • 20 - 120 тыс. ч.
Так как Lh < [£Л], то не гарантируется безопасная работа подшипника с
вероятностью 90 % на весь срок службы.
Пример 2. Определить вероятность безотказной работы подшипника
№ 104 (см. Пример 1) иа весь срок службы. Коэффициент вариации нагрузки
принять равным Vp = 0,12.
Решение. Опредеэим коэффициент запаса по средним нагрузкам
- = K52C9Q =1,52 -9,36
/[£а]60лч1Д
21----т- I 0,806
4 юб 7
» 0,914
120-103 60-103
106
185
Вероятность безотказной работы
Р = 0,5 - Ф
0,914 1
7о,9142 О,272 + О, 122-
= 0,38.
Пример 3. Построить зависимости вероятности безотказной работы от
времени экспэуатации подшипника Подобрать подшипник, обеспечиваю-
щий безопасную работу с вероятностью 90 %.
Решение. Для каждого подшипника при неизменных значениях нагрузки
Q, частоты врашения и, коэффициентов вариации ис и vp вероятность безот-
казной работы является функцией времени эксплуатации подшипника. В
примере 2 вероя! ность безотказной работы подшипника № 104 за 120 тыс. ч
работы составила всего 38 %. Используя вышеприведенные зависимости для
коэффициента запаса по нагрузкам п и вероятности безотказной работы Р,
получаем график зависимости Р=/((£Л]). Такие зависимости для подшипни-
ков с № 104, 204, 304, 305 построены на рис. 8.4.
Подшипник № 104 обеспечивает заданную вероятность безотказной
работы не ниже 90 % на срок службы 24 тыс. ч. Чтобы повысить требуемый
ресурс при одновременном обеспечении заданного уровня надежности, воз-
можны следующие варианты:
• выбрать подшипник более тяжелой серии;
• выбрать подшипник больших размеров;
• заменить шариковый подшипник роликовым.
Из рис. 8,4 видно, что для подшипника № 204 заданный уровень надеж-
ности гарантируется на срок службы 58 тыс ч, а для подшипника № 304 —
практически на требуемый срок службы 120 тыс. ч. Вероятность безотказной
работы подшипника № 305 за 120 тыс. ч составляет Р = 0,975.
Рис. 8.4. Зависимости вероятности безотказной работы подшипников от наработки
186
8.5. Основы расчета долговечности подшипниковых узлов
Расчет подшипников на долговечность базируется на усталостной
прочности деталей. Усталостная выносливость металла определяется
опытным путем.
Характеристика зависимости механических напряжений о от
числа циклов нагружения W графически представляется в виде кри-
вой усталости, называемой кривой Велера (рнс. 8.5), и снимается сле-
дующим образом. Металлическая деталь подвергается воздействию
различных циклических напряжений и фиксируется числом циклов
нагружения до разрушения детали. Для каждого металла существует
такое циклическое напряжение о, при котором разрушение детали не
наступает теоретически никогда.
При расчете подшипников качения определяют нх типоразмеры
при заданных сроке службы, нагрузке и частоте вращения. Наиболь-
шая радиальная нагрузка, Н, на подшипник определяется
/? = (G+r0)h// + FJ0, (8.23)
где G — сила тяжести цилиндра и участка вала по длине сердечника,
Н; Tq — сила одноосного магнитного тяжения, Н; Fn — поперечная
сила от передачи, Н; kQ — коэффициент, зависящий от расположения
подшипника kG = (/ + с)П — для подшипника выступающего конца
вала; к$ - сП — для подшипника, установленного с противоположной
стороны вала; b — расстояние от точки приложения сил тяжести и
одноосного магнитного тяжения до опоры выступающего конца вала;
/— расстояние между опорами: с — расстояние от опоры выступаю-
щего конца вала до точки приложения силы Fn.
Величины G, Го и Fn определяются из выражений:
Гп = (*пЛ/2/г)-103;
C = (°2Dh2/2 + 60I,k/>:) - ,0 ^ Г0 = 0,15Он2/2е0/8, (8 24)
Рис. 8.5. Кривая Велера
187
где а2. ^н2* ^2» 4* е0» ^2» г — коэффициенты» размеры и
параметры машины» которые подробно рассмотрены в следующем
параграфе (§ 8.6) при расчете надежности подшипниковых узлов
электирических машин.
Динамическая приведенная нагрузка, Н, для однорядного радиаль-
ного шарикоподшипника
Q = k^R при AIR е\ (8.25)
Q = ka(O.56R + YA) прн AIR > е; (8.26)
для радиального роликоподшипника с короткими цилиндрическими
роликами — по (8.25), для ради аль но-упорного сдвоенного шарико-
подшипника
Q = ka(R + 0,92Л) при AIR < 0,68; (8.27)
Q = Ао(0,67Я + 1,41 Л) при Л//? >0,68, (8.28)
где ка — коэффициент, учитывающий характер нагрузки машины
(при режиме работы с умеренными толчками и кратковременной
перегрузкой до 150 % номинальной нагрузки ка = 1,5); Л — аксиаль-
ная нагрузка, Н; Y— коэффициент приведения аксиальной нагрузки
к радиальной. При отсутствии аксиальной нагрузки н горизонталь-
ном расположении вала осевое магнитное притяжение в расчете не
учитывается, а прн вертикальном расположении вала
Л = 1,156+ FC +0,1/?, (8.29)
где Fc = 9.81/И/2 — сила тяжести соединительного устройства (упру-
гой полумуфты нли шкива), Н; т — масса упругой полумуфты нли
шкива, кг.
Необходимая динамическая грузоподъемность, Н, шарикопод-
шипника
C = (e'25.6)VZ^, (8-30)
роликоподшипника
С = (£?/18,5)(£и)°’3, (8.31)
где L — расчетный срок службы подшипника, ч (обычно принимают
12 000 ч); п— наибольшая рабочая частота вращения машины, об/мин.
Из справочников, указанных выше, выбирают подшипник соответ-
ствующей серии, у которого внутренний диаметр равен диаметру
шейки вала, а динамическая грузоподъемность не менее значений,
вычисленных по формулам (8.30), (8.31).
188
Используя в расчете долговечности функцию Вейбулла, которая с
наибольшим приближением аппроксимирует закон распределения
долговечности подшипников, можно записать:
В = ехр[-(1/Л)г], (8.32)
где В — доля нз общего числа подшипников, для которых обеспечи-
вается заданная долговечность; Л, г— параметры закона, зависящие
от отношения средней долговечности Лср к гарантированной hr.
Установлено, что для большинства типов подшипников отклоне-
ния hcp/hr = 4,08, исходя нз чего Л4 08 = 5,35<//Л; г4 08 = 1,34, где d—
условная расчетная долговечность; h — необходимый ресурс, в тече-
ние которого гарантируется безаварийная работа.
Уравнение Вейбулла в этом случае принимает вид
В = ехр[(-А/5.35Л1,34]. (8.33)
На основе зависимости (8.33) разработана методика расчета дол-
говечности подшипников с жесткими требованиями к гарантии дол-
говечности. Эта методика наиболее точно отражает закономерности
контактного износа однорядных радиальных шарикоподшипников
(см. § 8.6).
Рассмотрим еще один метод определения надежности подшипни-
ковых узлов электрических машин. В этом методе с учетом различ-
ных причин отказов надежность оценивается вероятностью безотказ-
ной работы также с помощью распределения Вейбулла:
Ч^)‘
P(t) = е при t> а\
P(t) = 1 при / £ а,
где параметр сдвига а характеризует зону, в которой вероятность
отказа практически равна нулю. В некоторых случаях показатель ока-
зывается близким к единице, что соответствует постоянной интенсив-
ности отказов. Параметры а, 6, к находятся экспериментально по фор-
мулам:
а' = (пТср-трУ(п- *);
Ь‘ = П(Гр-Гср)/(п-1),
♦ •
где а , Ь — оценки параметров а и 6; п — объем выборки; Гср — нара-
ботка до первого отказа; Гр — средний ресурс.
Заметим, что с развитием математических методов и теории экспе-
римента в качестве моделей надежности подшипниковых узлов элек-
трических машин все чаще используются интерполяционные полино-
миальные модели, полученные реализацией факторных эксперимен-
тов. Используются подобные модели как для режимов работы в
нормальных условиях, так и для форсированных режимов (см. гл. 11).
189
8.6. Методика расчета надежности
подшипниковых узлов электрических машин
Вероятность безотказной работы подшипника за заданную нара-
ботку Т подчиняется закону Вейбулла [18]
Р(Т) = ехр{-[77(6,84£Л)]1,17}, (8.34)
где Lh— номинальная 90 %-ная долговечность подшипника, ч.
Долговечность подшипника определяется его усталостной вынос-
ливостью и абразивным износом. Номинальная 90 %-ная долговеч-
ность подшипника, обусловленная его усталостной выносливостью,
Lh= 1О6£/(6ПП), (8.35)
где L - (CiQ^\ млн об., — номинальная 90 %-ная долговечность;
С— динамическая грузоподъемность подшипника, Н; Qn — эквива-
лентная динамическая нагрузка подшипника, Н; к— показатель сте-
пени, зависящий от типа подшипника (согласно ГОСТ 18855—94
к = 3 для шарикоподшипника, к = 10/3 для роликоподшипника).
Динамическая грузоподъемность Сп определяется по каталогу
(см. Приложение 11) в зависимости от типоразмера подшипника, для
которого рассчитывается надежность. В Приложении 11. d— внут-
ренний диаметр, D — наружный диаметр, D — ширина, г — радиус
закругления обойм; Си Со — динамическая н статическая грузоподъ-
емность; и — предельная частота вращения подшипника.
Динамическая нагрузка Qn зависит от радиальных и осевых нагру-
зок на вал двигателя и рассчитывается по следующей схеме.
Наибольшая радиальная нагрузка, Н, на подшипник определяется
по формуле
R = (G + T0)b/l + F„k0, (8.36)
где G — сила тяжести сердечника ротора с обоймой и участком вала
по длине сердечника. Н: Го — сила одноосного магнитного тяжения,
зависящая от расположения подшипника: А'о = (/ + с)/ — для подшип-
ника выступающего конца вала, Аг0 = сП — для подшипника, установ-
ленного с противоположной стороны вала; b — расстояние от точки
приложения сил тяжести н одноосного магнитного тяжения до опоры
выступающего конца вала; / — расстояние между опорами; с — рас-
стояние от опоры выступающего конца вала до точки приложения
силы Fn (рис. 8.6).
190
Рис. 8.6. Эквивалентная схема расчета подшипников
Величины G, Го и Fn определяется из выражений:
G = (a2D[2l2 Г 60^/к) КГ6;
Го = 0. 15 ^H2^2eo/^*
= (&/Н Ю3.
(8.37)
где а2 — коэффициент, зависящий от типа машины (для синхронной
машины а2 = 61, для асинхронной и постоянного тока — 64); Dh2 —
наружный диаметр сердечника ротора или якоря, мм; /2 — длина сер-
дечника ротора или якоря без радиальных каналов, мм; DK и /к —
наружный диаметр и длина коллектора, мм; е0 — смещение сердечни-
ка, мм; е0 = (0,1 ч-0,6)8; S — воздушный зазор, мм; кп — коэффициент,
зависящий от вида механической передачи (при использовании упру-
гой муфты кп = 0,3, при использовании клинового ремня кп- 1,8);
М2 — номинальный момент вращения машины. Н • м: г— радиус рас-
положения пальцев упругой муфты или окружности шкива, мм.
Динамическая приведенная нагрузка, Н, для однорядного радиаль-
ного шарикоподшипника определяется
Q ~ k^R при AIR < е;
(8.38)
Q = Ла(0,56Я + YA) при AIR > е, (8.39)
Для радиального роликоподшипника с короткими цилиндрическими
роликами — по (8.38), для рад нал ь ио-упор ио го сдвоенного шарико-
подшипника
Q = k^(R + 0,92/1) при AIR £ 0,68,
е = £а(0,67Я+ 1,41/1) при Л//? >0,68,
191
Рис. 8.7. Кривые абразивного износа
где kG — коэффициент, учиты-
вающий характер нагрузки
машины (при режиме работы с
умеренными толчками и кратко-
временной перегрузкой до 150 %
номинальной нагрузки kG = 1,5);
А — аксиальная нагрузка, Н; Y —
коэффициент приведения акси-
альной нагрузки к радиальной.
Значения е и Y однорядных
радиальных подшипников в зави-
симости от Я/Со (где Со — стати-
ческая грузоподъемность, Н,
которая берется из Приложения
11) определяются по данным
табл. 8.1.
Для промежуточных значе-
ний Я/Со применяют линейную
интерполяцию. При Я/Со <0,19 приведенная нагрузка Q = R. При
отсутствии аксиальной нагрузки и горизонтальном расположении
вала осевое магнитное притяжение в расчете ие учитывается, при
вертикальном расположении вала
А = 1,15(7+ Fc + 0,l/?,
где Fc = 9,81/71/2 — сила тяжести соединительного устройства (упру-
гой полумуфты или шкива), Н; т — масса упругой полу муфты или
шкива, кг.
Долговечность подшипника, обусловленная его абразивным изно-
сом Lh&, определяется по кривым (рис. 8.7) в зависимости от коэффи-
циента износа fr (для асинхронных двигателей fr - Зч-5). На рис. 8.7
кривые /, 2 соответствуют двигателям малой мощности, 3 — средней,
4 — большой мощности. Усталостная выносливость подшипника Lh
выше его выносливости обусловленной абразивным износом.
Поэтому при работе двигателей в условиям большой запыленности в
(8.34) подставляется значение L. .
е
Таблица 8 1
Значения сн Y
л/с0 0,014 0,028 0,056 0,084 0.11 0,17 0,28 0,42 0,56
е 0,19 0,22 0,26 0,28 0,30 0,34 0.38 0,42 0.44
Y 2,30 1,99 1.71 1.55 1.45 1.31 1,15 1,04 1,00
192
Вероятность безотказной работы обоих подшипниковых узлов
двигателя с точки зрения структурной надежности:
Р(0 = Р1(Г)Р2(Г), (8-40)
где Г|(0» ^(^ — вероятности безотказной работы каждого из под-
шипников.
Пример расчета надежности подшипниковых узлов
Исходные данные.
Номинальная мощность машины: Р2 - 30 кВт. Номинальная час-
тота вращения: п = 1500 об/мин. Номинальный момент вращения
машины:
Mj = Р, -9.55 —; JW2=191H-m.
Величина воздушного зазора: 8 = 0,5 мм. Длина сердечника ротора
без радиальных каналов: /2 = 180 мм Наружный диаметр сердечника
ротора: £>н2 w 205 мм. Расстояние между опорами: I- 400 мм. Расстоя-
ние отточки приложения сил тяжести и одноосного магнитноготяже-
ния до опоры выступающего конца вала: Ъ = 200 мм. Расстояние от
опоры выступающего конца вала до точки приложения силы Fn:
с = 80 мм. Коэффициент, зависящий от типа машины (асинхронная):
а2 = 64. Коэффициент, учитывающий характер нагрузки машины:
ка = 1,5. Величина смещения сердечника: е0 = 0,18; е0 = 0,05. Радиус
расположения пальцев упругой муфты: г = 55 мм. Масса упругой
полумуфты: т-1 800л(г2 - 30") • 22 • 10-9; т = 1,1456 кг. Коэффици-
ент, зависящий от вида механической передачи: кп = 0,3. Расчетное
время: t = 10 000 ч. Сила тяжести ротора:
G = а2°н2/210 6! G = 484,128H.
Сила одноосного магнитного тяжения:
Го = О,15£>н2/2во/8; Го = 553,5 Н.
Сила Fn:
F„ = кпМ2- 103/r; Fn= 1 041,8182 Н.
Сила тяжести соединительного устройства:
Fc = 9,81^/2; Fc- 5,6191, Н.
193
Расчет надежности подшипника выступающего конца вала.
Тип. роликоподшипник радиальный с короткими цилиндрическими
роликами. Внутренний диаметр: d = 60 мм. Внешний диаметр: D =
= 110 мм. Статическая грузоподъемность подшипника: Со = 42 000 Н.
Динамическая грузоподъемность подшипника: С= 53 700 Н.
Коэффициент kG:
*0 = (/ + с)/Л *0 = 0,2025.
Наибольшая радиальная нагрузка на подшипник:
R = Fnko + (G + Т0)Ы1; R = 729,7822 H.
Величина A.
A = l,15G + Fc + 0,lfl; A = 635,3445 H.
Отношение:
е = Л/С; e = 0,0151; ^=0,21; У =2,15
Отношение:
^=A/R; £ = 0,8706.
Динамическая приведенная нагрузка:
Qn = *о(0,56Я + УЛ); 2П = 2 662,003 Н.
Номинальная 90 %-иая долговечность подшипника:
/СА10/3 4
L = ; £ = 2,2347 • 10 млн об.
*-п
Номинальная 90 %-ная долговечность подшипника, обусловлен-
ная усталостной выносливостью:
Lh = Ю6--—; = 2,483 • 105 ч.
h 60л л
Вероятность безотказной работы подшипника:
17 ' У-171
[1б.84£/
= е ; Р| = 0,9975.
Расчет надежности второго подшипника. Тип: шарикоподшип-
ник радиальный однорядный. Внутренний диаметр: d= 60 мм. Внеш-
ний диаметр: D = 110 мм. Статическая грузоподъемность подшипни-
ка: Со = 30 900 Н. Динамическая грузоподъемность подшипника: С =
= 40 400 Н.
Коэффициент *0:
*0 = с/7; *0 = 0,2.
194
Наибольшая радиальная нагрузка на подшипник:
R = Гпкд + (6 + Г0)6//; R = 727,1776 Н
Величина Л:
А = 1,156 + Fc + 0,1/?; А = 635,084 Н.
Отношение:
е = Л/С; £ = 0,0206; q=0,21; Г=2,15
Отношение:
£ = А/R; = 0,8734.
Динамическая приведенная нагрузка:
Qn = *а(0,56/? + УЛ); Qn = 2658,9753 Н.
Номинальная 90 %-иая долговечность подшипника:
£ = (-у- У; £ = 3507,5285 млн об
Номинальная 90 %-ная долговечность подшипника, обусловлен-
ная усталостной выносливостью:
L. = 106-Д- ; Lh = 3,8973 • 104 ч.
* 60л "
Вероятность безотказной работы подшипника:
[7 i )1171
|5б. 84 L J J
Р2 = е ; Р2 = 0,9788.
Вероятность безотказной работы обоих подшипниковых узлов
Р = Р}Р2 = 0,9764.
8.7. Надежность подшипников скольжения
Подшипники скольжения выходят из строя из-за недостаточной
несущей способности масляного слоя (если толщина слоя меньше пре-
дельной), из-за повышенных перекосов, недостатка смазки и др. Ниже
рассмотрена надежность по критерию толщины масляного слоя [25].
Под несущей способностью подшипника понимают нагрузку, при
которой минимальная толщина масляного слоя достигает своего пре-
дельного значения йцт, еще обеспечивающего работоспособность.
Предельная толщина масляного слоя равна сумме высот микронеров-
ностей плюс для иесамоустанавливающихся подшипников смещение
ваза на торцах подшипника вследствие перекоса.
195
При малых скоростях скольжения предельная толщина масляного
слоя меньше, чем при больших. Так, по опыту станкостроения для
шпиндельных подшипников без учета перекоса или с малым переко-
сом при v = 0,5 м/с ЛНт - 8 мкм, при v = 0,2 м/с йНт = 6 мкм, при
совсем малой скорости Л|4т = 3 мкм.
Несущая способность Fy Н, определяется диаметром J, мм, и дли-
ной /, мм, подшипника, частотой вращения вала и, мин”1, динамиче-
ской вязкостью масла q, Па • с, диаметральным зазором Л, мкм:
F = 0,107 СЛл/7т1^,
(8.41)
где СЛ — коэффициент иагруженности, характеризующий нагрузку и
гидродинамический режим работы подшипника. Приближенно счи-
тают
(8.42)
где х — относительный эксцентриситет; т — коэффициент, следую-
щим образом зависящий от отношения l/d.
Ud......0,7 1 1,2
т.. .0,6 0,85 1
В свою очередь, х связан с А и минимальной толщиной масляного
слоя Лцт зависимостью йцт = ^(1 -%). Отсюда, принимая Лтт =
= Ацт, имеем
Подставляя значения (8.42), (8.43) в (8.41), получаем
Г = 0,107п/4?пД|-£--1
(8 44)
A lim '
Значение F является функцией случайных аргументов А и q:
(8.46)
196
где А^, По — значения параметров А и Г] при температуре окружаю-
щей среды /0, /— температура подшипника; Ar = t - /0 — избыточная
температура; 2а — двойная толщина стенки вкладыша подшипника,
мм; a, clq — коэффициенты линейного расширения материалов вкла-
дыша и корпуса; т} — показатель степени (обычно тх = 2,6-е-3,0).
Температурное изменение зазора, мкм, учитываем как следствие
разности коэффициентов линейного расширения материалов вкла-
дыша (или заливки) и корпуса. _
Обозначим среднее значение несущей способности F, ее средне-
квадратическое отклонение SF, действующую на подшипник ради-
альную нагрузку Fr. Тогда квантиль нормального распределения wp,
определяющий вероятность безотказной работы подшипника, будет
связан с названными параметрами выражением
F-Fr + UpSF=0. (8.47)
Значение F вычисляем по (8.44), подставляя_в нее средние значе-
ния диаметрального зазора А и вязкости масла т]. Значение SF может
быть оценено квадратическим суммированием сред не квадратиче-
ских отклонений значения F, вызванных рассеянием А и q:
V s |8дГ + [(f)n V ’ (8-48)
глебд, — допуски на параметры А и Г); (Г)д, (Г)^ — частные про-
изводные функции F по А и г], вычисленные при средних значениях
параметров. В формуле принято, что среднеквадратические отклоне-
ния зазора и вязкости составляют шестую часть от полей допусков на
эти параметры
Допуск на диаметральный зазор 8Д определяется допусками на
диаметр вкладыша 5В, цапфы 6Ц и допусками на их цилиндричиость.
Обычно допускаемое отклонение от цилиндричности для подшипни-
ков скольжения (в диаметральном выражении) ограничивают значе-
нием (0,16-^0,25) поля допуска на диаметр. Отсюда
8д » 1.1 7SB + Su- (8-49)
Допуск на динамическую вязкость масла оценивают по справоч-
ным данным с учетом поправки на температуру
\ - Мт) ' <!-5«>
Где — допуск на динамическую вязкость при температуре /0.
197
Выражения для частных производных (£)д ♦ (F)^ различны в слу-
чае постоянства температуры подшипника, которая обеспечивается
автоматически или человеком, и в случае переменности температуры,
являющейся функцией режима, зазора, вязкости масла и т.п.
В первом случае А, г), 5^ приводим к принятому значению темпе-
ратуры /, после чего влияние температуры можно полагать исключен-
ным и частные производные можно находить, дифференцируя выра-
жение (8.44):
(Г)^ = 0,107 пк?тх\ ; (8.51)
11ГП
(F)' = 0,107 и/d3 11, (8.52)
д212й11П, )
где А, т] — средние значения параметров А, г] при температуре Л
В наиболее распространенном случае переменности температуры
решение осложняется, так как случайные аргументы А и т], в свой оче-
редь, зависят от случайного значения температуры. Часто для задач
такого типа не удается получить решения в явном виде. В данном слу-
чае решение получено в связи с тем, что зависимость температуры,
зазора и вязкости можно выразить в явном виде.
Прежде всего получим выражение для оценки температуры под-
шипника. Принимаем, что избыточная температура подшипника Az
пропорциональна теплообразованию, которое пропорционально вяз-
кости и обратно пропорционально зазору:
д/=со^. (8.53)
где Со — коэффициент пропорциональности, зависящий от парамет-
ров подшипника и вида теплоотвода, мкм • °С/(Па *с). Дзя основного
случая теплоотвода в корпус и вал, приближенно принимаем теплоот-
вод пропорциональным свободной поверхности подшипникового
узла, коэффициенту теплоотдачи и избыточной температуре:
, 3 2
СОк = 0,273-10-8^См; (8 54)
при циркуляционной смазке для теплоотвода в масло
/ 3 2
СОм = 0.273-10’5 ^-См, (8.55)
м СГр
198
а в общем случае
СОм = СО1( + СОм, (8.56)
где См — коэффициент сопротивления вращению, зависящий от lidи
X (находят по таблице); к — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м • °C);
— свободная поверхность корпуса подшипникового узла, м2; С —
теплоемкость масла, Дж/(кг- °C); V— объем масла, прокачиваемого
через подшипник, л/с; р — плотность масла, кг/м .
Зная Аг, находим /.
Далее получаем формулы для (F)^ и (F)^. Для этого выражения
(8.44)—(8.46), (8.53) линеаризируем, преобразуем и отбрасываем сла-
гаемые, не влияющие на результат. Тогда
ЮА « -
0,107 nld>тт] га 1 г] Ср
э , I А , “ QI t А
2Л1.т Л + rajn —
k t )
(8-57)
где Г-— среднее значение температуры подшипника.
Температуру t можно находить методом проб и ошибок (достаточ-
но, как правило, трех попыток) по зависимости, вытекающей из
(8.53):
V'o + A J
' = 'о + Q-------=--------------, (8.58)
Ао - 2аАг(а - а0) • 10
где А, т] — средние значения зазора и вязкости, соответствующие
средней температуре подшипника.
Выражение для (F)^ совпало с (8.52) в результате того, что темпе-
ратура н вязкость взаимно регулируют друг друга и поэтому взаимно
исключились из выражения для (F)^.
Оценку SF во втором случае производим также по выражению
(8.46), но 5д и 8^ вычисляем для среднего значения температуры под-
шипника.
Известно, что линеаризация тем точнее, чем меньше отличие
Функции от линейной и меньше диапазоны рассеяния случайных
аргументов. В данном случае диапазон рассеяния зазора соизмерим с
его средним значением, что ведет к возникновению некоторой
погрешности расчета. Но функция F “/(А) — убывающая вогнутая.
199
поэтому погрешность вознг г в сторону занижения несущей спо-
собности, что идет в запас по надежности. Последнее при выполне-
нии приближенных расчетов позволяет не вводить в формулы попра-
вочных коэффициентов.
Пример 1. Требуется оценить вероятность безотказной работа Р подшип-
ника, если Fr = 20 000 Н, п = 1 000 мин l, d = 80 мм, / = 56 мм, 2о = 5 мм,
а = 20- 10“* l/i-рад, = 12 • 10-6 1/град, посадка цапфы во вкладыш Н7/с8,
шероховатость поверхности цапфы = 0,8 мкм. вкладыша = 3,2 мкм,
динамическая вязкость масла при 50 °C характеризуется средним т] =
= 0,04 Па с и допуском 6q = 0,013 Па • с. Температура подшипника поддер-
живается равной 50 °C.
Решение. Данной посадке соответствует среднее значение измеренного
зазора 98 мкм. Расчетный зазор больше измеренного на величину 1+
+ Rz* ). Поэтому среднее значение расчетного зазора составляет До = 103 мкм
при 20 °C и Л = 101 мкм при 50 °C.
Скорость цапфы составляет 4,2 м/с, поэтому принимаем /j|im = 8 мкм. По
формуле (8.43) для значения Д получаем х = 0,843. По этому значению и Z/J =
= 56/80 = 0,7 находим CF = 3,12, отсюда по формуле (8.41) /•’= 36 800 Н.
Допуск для размера подшипника 80Н7 составляет 6В = 30 мкм, а для раз-
мера подшипника 80е8 6ц = 46 мкм. Отсюда 6Д = 57 мкм. Допуск для вязкости
6q = 0,013 Па • с.
Принимая т = 0,6, по формулам (8.51) и (8.52) находим (Т7)^ = -309,
(F)q = 951 000.1 (одставляя значения в (8.48), имеем SF = 3,617 Н Отсюда по
форму те (8.47) ир = -4,64, что соответствует Р > 0,999.
Пример 2. Требуется оценить вероятность безотказной работы того же
подшипника, если известно, что температура не регулируется. Теплоотвод
осуществляется в корпус и вал. к = 17 Вт/(м • °C), Ао = 0,2 м~, т1 = 3,0, тем-
пература окружающей среды = 20 °C.
Решение. Значениям х = 0,843 и lld = 0,7, найденным в предыдущем при-
мере, соответствует См = 6,715. Это дает по формуле (8.54) = 164 300
Вычислив т]0 при /0 = 20 °C и подставчяя СОк, До в (8.53), получаем
Д/ = 39 °C, т.е. / = tG + Д/ = 20 + 39 = 59 °C. Найденному / согласно (8.45), (8 46)
и (8.50) соответствуют Д = 100 мкм, т] = 0,0243 Па • с, 6^ = 0,008 Па • с.
По (8.41) для CR = 3,12 и найденным Дит] вычисляем F- 23 260 Н. Нахо-
дим по (8.51) (F); = 92,3, по (8.52) (Г)' = 966 000, по (8.48) SF= 1560 Н.
Подставляя F, Fr, SF в (8.47), получаем мр = -2,09, что соответствует вероят-
ности Р = 0,9817.
200
Большая надежность подшипника из первого примера вызвана
обеспечением постоянства температуры. Вместе с тем относительно
небольшое различие в оценках надежности по примерам объясняется
тем, что во втором случае реализуется способность подшипника
саморегулироваться: с повышением температуры повышается вяз-
кость н уменьшается теплообразование в подшипнике.
Сопоставляя средние значения несущей способности подшипника
и ее коэффициенты вариации, видим, что с увеличением нагрузки на
подшипник преимущества подшипника с регулируемой температу-
рой возрастают.
8.8. Расчет надежности валов по сопротивлению усталости
Детерминированный метод расчета прочности вала базируется на
следующих положениях: валы работают в условиях циклически изме-
няющихся изгибающих и крутящих моментов. Поэтому современные
расчеты валов проводят с учетом циклических напряжений. Онн
называются расчетами по сопротивлению усталости или на выносли-
вость. В расчетах учитываются следующие факторы: характер изме-
нения напряжений, характеристики усталостной прочности материа-
ла, концентрация напряжений, влияние абсолютных размеров детали,
шероховатости поверхности и поверхностного упрочнения.
Детерминированный метод расчета основан на проверке коэффи-
циента запаса прочности по усталости
п > [л], (8.59)
где п — коэффициент запаса прочности; [л] — требуемый коэффици-
ент запаса (1,5—2,5 в обычных условиях).
Общий коэффициент запаса прочности определяют по соотноше-
нию
* "г
где — коэффициент запаса по нормальным напряжениям (прн отсут-
ствии кручения); лт — коэффициент запаса по касательным напряже-
ниям (прн отсутствии изгиба), которые определяют по формулам:
°-1 т-1
л = --------------; лт = -------------
+ V3-
аи а ~ су т хи а ' т т
Здесь t_j — пределы выносливости гладких образцов при сим-
метричном цикле изгиба и кручения соответственно; kapt kxD — сум-
201
марные коэффициенты, учитывающие влияние всех факторов на
сопротивление усталости при изгибе и кручении соответственно;
та, хт — амплитуды напряжений и средние напряжения цикла
соответственно для изгиба и кручения; — коэффициенты,
характеризующие чувствительность материала к асимметрии цикла
напряжений.
Характеристики предела усталости материала получают по
результатам испытаний гладких образцов в условиях симметричного
изгиба или растяжения-сжатия. Значение предела выносливости для
детали в несколько раз меньше, чем для образца. Это снижение
характеризуется суммарным коэффициентом kaD, учитывающим
влияние всех факторов на сопротивление усталости
(8-61)
° ID
При изгибе или растяжении-сжатии коэффициент koD определя-
ется соотношением
(8.62)
При кручении коэффициент kxD определяется аналогично по фор-
муле
(8.63)
Здесь ко, кх — коэффициенты концентрации напряжения; к^ к^ —
коэффициенты, учитывающие влияние абсолютных размеров детали
(масштабный фактор); kFa, kFx — коэффициенты, учитывающие каче-
ство обработки (шероховатость) поверхности; kv — коэффициент,
учитывающий влияние поверхностного упрочнения деталей.
Численные значения коэффициентов приведены в справочной
литературе, а также в различных учебных пособиях, учебниках,
например в [25].
В расчетах валов на выносливость часто принимают, что нормаль-
ные напряжения меняются по симметричному циклу с амплитудой,
равной изгибающим напряжениям в расчетиом сечении:
Ч № +
°а~ И'и
(8 64)
202
а среднее напряжение ст = 0. Здесь Л/н — изгибающий момент; Wu —
момент сопротивления сечення изгибу. Касательные напряжения
меняются по пульсационному циклу со средним значением и ампли-
тудой
= (8.65)
Ф
где Т— крутящий момент; — момент сопротивления сечения
кручению.
При вероятностной оценке надежности вала учитывается, что
усталостное разрушение вала имеет случайный характер. Это связано
со случайным распределением амплитуды напряжений иа цикла и
предела выносливости детали Если принять нормальными
законы распределения предела выносливости о_|р н амплитуды
напряжений с соответствующими средними значениями и
среднеквадратическими отклонениями Sa, то условие разруше-
ния вала с вероятностью 50 % запишется следующим образом;
O-lD-Oa=0-
Условие неразрушения с вероятностью Р характеризуется кванти-
лью нормированного нормального распределения wp н определяется
соотношением
° - ID “ G а + wp + =
Отсюда
+ $а + Va
(8 66)
где и - -j. — коэффициент запаса предела выносливости по
Од
средним значениям; v_1D, va — коэффициенты вариации предела
выносливости и нагрузки соответственно. Вероятность безотказной
работы определяется как
Р = 0,5-Ф(ир).
При совместном воздействии изгиба_ и кручения определяют
оощий коэффициент запаса_ прочности п через средние значеиня
коэффициентов запаса пх по нормальным о н касательным т
напряжениям. Коэффициент вариации предела выносливости детали
203
принимают равным коэффициенту вариации предела выносливости
по нормальным напряжениям, так как пределы выносливости по нор-
мальным и касательным напряжениям взаимосвязаны. Также общим
принимается коэффициент вариации по нагрузкам (определяется по
нормальным напряжениям).
Коэффициент вариации предела выносливости детали по нормаль-
ным напряжениям определяется до зависимости
2 2 2
v~iD = ul + v2 + (8-67)
где Uj — коэффициент вариации предела выносливости деталей из
материала одной плавки при отсутствии рассеяния ее размеров
(обычно = 0,04, 0,1); v2 — коэффициент вариации, характери-
зующий рассеяние пределов выносливости образцов, выполненных
из материала разных плавок (принимают равным коэффициенту
вариации пределов прочности: v2 * 0,08); — коэффициент вариа-
ции теоретического коэффициента концентрации напряжений, при-
ближенно вычисляемый как = (0,3-Н),45)рр; vp — коэффициент
вариации радиусов галтелей, ир = 0»03-?-0,1.
Коэффициент вариации нагрузки va может достигать значения 0,3
и доминировать над Оценить значение va при переменных
нагрузках можно по соотношению
(8.68)
6ofl
где Q - 6Sa — полоса разброса амплитуды напряжений.
Надежность вала оценивают по наиболее опасной зоне. Если
существует несколько зон, близких друг к другу по напряженному
состоянию, то сначала оценивают вероятность неразрушения в наи-
более опасной зоне, а вероятность неразрушения в других зонах оце-
нивают аналогично, но считая нагрузку детерминированной, т.е. va = 0.
Принимая, что отказы в различных сечениях вала взаимно независи-
мы, вероятность безотказной работы вала вычисляют как произведе-
ния вероятностен неразрушения во всех опасных сечениях.
Пример 1. Определить коэффициент запаса и вероятность безотказной
работы тихоходного вала с параметрами: крутящий момент на валу =
4
= 4,5 *10 Н • мм; силы в зацеплении: окружная Ff = 667 Н, радиальная Fr -
= 253 Н, осевая Fa = 191 Н; делительный диаметр колеса d2 = 135 мм; расстоя-
ние между опорами /- 60 мм; расположение колеса относительно опор сим-
204
метричное; материал вала — сталь 45: ог- 360 МПа, » 220 МПа, ств =
= 610 МПа, ст"] = 250 МПа, = 150 МПа.
Решение. Определим диаметральные размеры вала предварительно из
расчета на кручение. Диаметр выходного конца вала
d^ 16.4,5 Ю1- = 20,9мм.
‘ V’tkrp] 1 3,14-25
Округляем диаметр по ряду RJ10 и принимаем = 22 мм.
Соответственно принимаем диаметры под подшипник и колесо: dn = 25 мм;
= 30 мм.
На рис. 8.8 представлены расчетная схема вала, эпюры изгибаю-
щих и крутящих моментов.
Составляющие радиальных реакций в опорах I и II равны
2/
F,
253 191 135 = 341 Н;
2 60
F,
рп __________
*У 2 21
253
2
^-^=-88Н;
2 60
Л = $
Ях 2
F1
= 335,5 Н.
7, Н м
2
Рнс. 8.8. Расчетная схема вала, эпюры изгибающих н крутящих моментов
205
Рассмотрим два опасных сечения:
• сечение А — место посадки колеса на вал;
• сечение Б — середина выходного конца вала.
В обоих сеченнях концентрация напряжений определяется шпо»
ночной канавкой. В сечении А возникают напряжения изгиба и круче-
ния, а в сечении Б — только напряжения кручения.
Вычисляем значения суммарных коэффициентов, снижающих
предел выносливости детали для этих сечений вала:
где ка = 1,75— значение эффективного коэффициента концентрации
напряжений в месте шпоночного паза при ов “ 600 МПа, к^а = 0,85 —
значение коэффициента влияния абсолютных размеров поперечного
сечения вала при d = 30 мм для углеродистых сталей при умеренной
концентрации напряжений; к^-а = 0,92 — значение коэффициента
влияния качества обработки поверхности при Rz = 6,3 мкм н ов =
- 600 МПа; при отсутствии упрочнения значение коэффициента к* - 1;
1L + -L-iU
0,77 0,92 J 1
= 2,04;
А
1D
к
Амплитуды и средние значения напряжений изгиба н кручения
определяем по величинам изгибающих и крутящих моментов (см
рис. 8.8):
и А ми •№+ МУ 710,252 + 102
са = = — = ----т---- =----------- = 5,4 МПа;
па/32 3,14 30 32
/ = / = . 1..451п3._ =4 ,5 МПа.
2<р 2п^/16 23,14 - 303/16
206
Б Б 1 ТБ 1 ТБ 1 45 1Q3
° " 2 w!L 2 nd' 23,14 •223/16
кр Ь ’
= 10,8 МПа.
Коэффициент асимметрии цикла по нормальным напряжениям
для сталей без поверхностного упрочнения можно оценить по соотно-
шению
vo = 0,02 + 2- 10^ = 0,02 + 2- 10^-610 = 0,14.
Тогда
ут = 0,5= 0,5 • 0,14 = 0,07.
Коэффициенты запаса по нормальным н касательным напряже-
ниям в рассматриваемых сечениях будут следующими:
а = °-1 = _______250_________
"° ъА пА+ ™ ~А 2,15 5,4 +0,14 0
л = т-1 =150
кл ТА + ™ ТА 2,04 4,25 +0,07 4,25
KxDXa * *тТт
Т кБтБ+^тБ 1,89 10,8 +0,07 • 10,8
KxDXa + МтТт
Общий коэффициент запаса в сечениях А и Б равен
_ 21.5-16.7 ___
л -------- = ~ = 13,2;
J(^)2 + (^)2 7(21,5 )2 +(16,7 )2
пБ = пБ = 7,09.
Коэффициент вариации предела выносливости вала вычисляем
при следующих значениях составляющих коэффициентов вариации
”1 =0,1; и2 = 0,08; о3 = 0,04:
V-ID = + v2 + из = О,]2-г 0,082 + 0,042 = 0,018.
Коэффициент вариации нагрузки принимаем иа = 0,3. Тогда кван-
тили нормированного нормального распределения для расчетных
сечений вала будут следующими:
207
л Г1А - 1 13,2 - 1
=------— — =_____________ = - 6,8;
i{nA)v\D+v2a 713,2 2 -0,018 +0,3 2
Б ПБ - 1 7,09 - 1
"p = - ......: = - = - 6,1
Jn’V.n+u2 л/7,09 2 • 0,018 2 + 0,3 2
-1 u a
Вероятность безотказной работы для обоих сечений вала прн
таких больших коэффициентах запаса равна 1.
Пример 2. Определить минимальный диаметр вала, при котором вероят-
ность безотказной работы составляет Р = 0,999.
Решение. Значение квантили нормированного нормального распределе-
ния, соответствующей вероятности безотказной работы Р = 0,999, составляет
мр = -3.1. Тогда значение коэффициента запаса для заданной вероятности
находим из соотношения
Решить это уравнение можно, например, графически (рис. 8.9), обозначив
через функции j\ следующие выражения:
/|=и 1; /2 = 3, l^r,2v2_tD+v2.
Значения коэффициентов вариации v^D и va оставляем такими же, как и
в предыдущем примере.
Получаем, что вероятности безотказной работы Р = 0,999, коэффициент
запаса равен п = 2,35.
Используя данные предыдущего примера и считая, что коэффициенты
снижения предела выносливости изменяются незначительно (хотя они зави-
Рнс. 8.9. К определению коэффициента запаса при заданной вероятности безот-
казной работы
208
сят от размера вала), находим для сечения Б амплитуд ное и среднее значения
напряжений
Б Б т-1 _ 150
Т“’Тж 2,35(1.^ 0,071 ’ а
При неизменном моменте этому напряжению соответствует следующий
диаметр вала:
, |1 Гь 16 ,/1 45 103 - 16 ,,
= ^2 3,14 -32,6 = ,5ММ
Для сечения Л примем, что коэффициенты запаса по нормальным н каса-
тельным напряжениям равны между собой. Тогда
и_
и = -F = 2,35;
72
ио = их = 2,35 Л =3,32.
Аналогично вышеприведенному алгоритму находим значения напряже-
ний н диаметров вала в сечении Л, соответствующие вероятности безотказ-
ной работы Р = 0,999:
т^ = т^ =21,4 МПа, </ = 17,4 мм,
Од =35 МПа, d= 16,0 мм.
Таким образом, вероятность безотказной работы Р = 0,999 гарантируется
при диаметре вала на выходном конце 15 мм н в месте посадки колеса
17,5 мм.
Глава девятая
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ
НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
9.1. Общие положения
Экспериментальная оценка надежности (испытания на надеж-
ность) является одним из обязательных этапов в процессе разработки
н серийного выпуска электрических машин. Поэтому вопросы плани-
рования, организации и проведения испытаний на надежность явля-
ются важными в общей проблеме обеспечения надежности. Данная
глава посвящена изучению основных методов экспериментальной
оценки надежности электрических машин: определительным и кон-
трольным испытаниям на надежность (активный эксперимент) н ста-
тистической обработке данных эксплуатации (пассивный экспери-
мент) Вообще, эксперимент — один из трех основных путей оценки
или контроля надежности изделий. Кроме экспериментальных мето-
дов применяются также методы статистического моделирования и
аналитические методы [20].
Аналитические методы дают возможность оценивать надежность
изделий, проводить сравнение различных вариантов, находить опти-
мальные решения на самых ранних стадиях разработки и проектиро-
вания. В этом их существенное преимущество по сравнению с дру-
гими методами. Решения, представленные в виде аналитических
выражений, позволяют оценивать влияние различных факторов и
находить оптимальные решения в общем виде. Необходимыми исход-
ными данными при аналитическом исследовании надежности объ-
екта являются сведения о надежности его элементов. От достоверно-
сти этих данных зависит качество получаемых результатов
Методы статистического моделирования сводятся к разработке н
исследованию функционирования статистической модели исследуе-
мого процесса или объекта. При этом получают оценки надежности
изделий сложной структуры, не поддающейся аналитическому иссле-
дованию, при ограниченных затратах средств и времени. Положи-
тельным свойством методов статистического моделирования явля-
ется также то, что в процессе исследования могут определяться не
только чисто надежностные показатели, но и показатели эффектив-
ности.
210
Экспериментальные методы оценки надежности изделий играют
особую роль, так как, с одной стороны, они являются единственным
источником получения исходных данных о качестве элементов при
рассмотрении более сложных изделий, данных, необходимых для
аналитического исследования или исследования с помощью стати-
стического моделирования. С другой стороны, эксперимент в подав-
ляющем большинстве случаев был и остается основным способом
определения или подтверждения уровня надежности серийно выпус-
каемых изделий.
Особенностью эксперимента является то, что он предполагает
наличие некоторого количества образцов исследуемого изделия, при-
чем это должны быть действующие образцы, удовлетворяющие всем
техническим условиям. Проведение оценки надежности неизбежно
связано с определенным (иногда значительным) расходом ресурса
исследуемых образцов.
Экспериментальная оценка надежности может реализовываться
двумя способами: организацией специальных испытаний или сбором
статистических данных о работе изделий в условиях нормальной или
подконтрольной эксплуатации. Поря ток проведения эксперимента
в этих двух случаях существенно различается. Однако во всяких
испытаниях на надежность можно выделить три стадии: планирова-
ние испытаний, проведение их (накопление необходимых статисти-
ческих данных — непосредственных результатов испытаний), обра-
ботка результатов в целях получения искомых данных или
заключения.
$.2. Статистические исследования
при оценке надежности электрических машин
Как указывалось в гл. 2, случайной величиной Xназывается вели-
чина, которая в данном конкретном опыте может принять одно из
множества возможных значений, причем заранее неизвестно, какое
именно. Исчерпывающей характеристикой случайной величины
является закон распределения, под которым понимается устанавли-
ваемая произвольным образом связь между возможными значениями
случайной величины и соответствующими им вероятностями. Законы
распределения могут задаваться аналитически, графически, в виде
таблиц.
Дзя непрерывных случайных величин используются четыре спо-
ССЮа аналитического описания законов распределения:
211
• интегральная функция распределения
сю
Г(х)= /Дх)с1х; (9.1)
-ОО
• обратная интегральная функция распределения
оо
G(x) = 1-F(x) = 1 - |Дх) dx; (9.2)
—ОО
• дифференциальная функция (плотность распределения)/(х);
• функция интенсивности
Я(х) = ^ = Г2тп- (9-3)
G(x) 1 - Г(х) '
На рис. 9.1, я. б показаны графики перечисленных функций для
экспоненциального и нормального распределения. Функции F(x),
Рис. 9.1. Графики функций Дх), Г(х), <7(х), Я(х) для экспоненциального (а) н нор-
мального законов распределение (б)
212
(7(x), fix), Н(х) однозначно пересчитываются друг в друга, поэтому
они являются равнозначными для законов распределения. Однако
некоторые специфические особенности этих функций делают каж-
дую из них более или менее удобной для решения различных задач.
функции F(x) н G(x) позволяют непосредственно отсчитывать зна-
чения вероятностей попадания случайной величины в заданные
интервалы. В то же время эти функции для любых законов распреде-
ления монотонны, что скрадывает специфические черты различных
типов законов распределения. Плотность вероятности/^) наиболее
рельефно (особенно заданная в виде графика) отображает специфиче-
ские черты закона распределения: степень рассеяния, симметрич-
ность, местоположение наиболее вероятных значений и т.п. Поэтому
функция fix) наиболее удобна для наглядного представления случай-
ной величины. Функция интенсивности Н(х) используется для описа-
ния законов распределения в теории надежности, где она приобретает
конкретный физический смысл.
Для практического использования широкое распространение
получили так называемые числовые характеристики случайных вели-
чии, дающие более ограниченное описание свойств случайной вели-
чины, чем закон распределения, но значительно более простые и
удобные в инженерной практике. Как правило, числовая характери-
стика отражает какую-либо одну сторону, какое-либо одно свойство
закона распределения случайной величины. Числовые характери-
стики классифицируются по различным принципам. Ниже приведены
принципы классификации, в наибольшей степени отвечающие специ-
фике задач исследования надежности.
К первой группе относятся характеристики, определяющие свой-
ства закона распределения относительно некоторых точек на оси зна-
чений х. Назовем характеристики этой группы точечными. Точеч-
ными числовыми характеристиками являются, например, мода Мо и
медиана Ме (определение этих характеристик см., например, [4]).
Ко второй группе следует отнести характеристики, определяющие
свойства законов распределения по отношению к некоторому фикси-
рованному интервалу значений х. Назовем их интервальным. Наибо-
iee важной интервальной числовой характеристикой случайной вели-
чины А является вероятность попадания ее в некоторый фиксирован-
ный интервал значений (хьх2):
Л(Х|, х2) = Р{Х| < х < х2};
(9-4)
213
К интервальным следует отнести и такие числовые характеристи-
ки, как Л-квантили. A-Квантилем х^ называется такое значение слу-
чайной величины, которому соответствует значение интегральной
функции распределения, равное Л:
Xj = хЛ, если fix,) = h.
В третью группу сведены числовые характеристики, связанные со
всей областью существования случайной величины. Эти характери-
стики обычно называют интегральными. К ним относятся все так
называемые начальные и центральные моменты случайной величи-
ны. Наиболее широко используется начальный момент 1-го порядка
сю
Мх = jx/(x) dx, называемый математическим ожиданием. Важную
о
сю
роль играет второй центральный момент Dx - J(x - Л/г)~/(х) dx,
о
называемый дисперсией. Используется также средне квадратическое
отклонение ог = ^0^..
Остановимся кратко на термине «тнп закона распределения».
Пусть задано аналитическое выражение для плотности распределе-
ния/(х1} Pj, р2» Мю)* гДе Mj, М2> •••• М<о — параметры, для каждого
из которых установлен диапазон возможных значений В этом случае
определен некоторый тип законов распределения. Любое распределе-
ние, отвечающее этому выражению и имеющее параметры, лежащие
в установленных пределах, относится к этому типу. В зависимости от
числа параметров со говорят об одно-, двух-, . ., со-параметрических
типах законов распределения В соответствии с этим выражение
1 "М|х
/(х,И1) = -е (9.5)
Mi
определяет тип однопараметрического (так называемого экспоненци-
ального) закона распределения К однопараметрическому типу отно-
сятся, например, распределения Стьюдента, Эрланга, «хи-квадрат».
Выражение, определяющее тип двухпараметрического (нормаль-
ного) закона распределения, имеет следующий вид:
U-Pj)2
1 -Мт
Дх, pj,p2) =----— е ". (9 6)
M2v2ti
214
Примерами двухпараметрического закона являются также лога-
рифмически-иормальный закон, гамма-распределение, распределе-
ние Рэлея. В некоторых случаях распределение Вейбулла определя-
ется как трех параметрическое (вводится параметр смещения). Тогда
М2 М2
Pj, Р2, р3) = —(x-Pj)
Мз
I
ехр
(у-М|)2
(9.7)
9.3. Статистическая обработка результатов исследований
Законы распределения случайных величин практически могут
быть получены: путем аналитического исследования и путем обра-
ботки данных эксперимента. В первом случае закон распределения
находят путем анализа физической природы какого-то явления или
процесса и определенных математических операций Во втором слу-
чае производится сбор необходимых экспериментальных данных
(статистики). Эта статистика может быть получена либо в результате
специально поставленного эксперимента, либо в результате наблюде-
ний. Статистическая обработка накопленной информации позволяет
получить аналитическую зависимость искомого закона распределе-
ния вероятностей.
Экспериментальное определение закона распределения случайной
величины (так называемое статистическое исследование) играет осо-
бую роль: как бы глубоко и тщательно ни было проведено аналитиче-
ское исследование, в результате которого получен закон распределения,
окончательное заключение можно сделать только базируясь иа экспе-
рименте. Путем статистического исследования могут быть получены
любые функции распределения и любые числовые характеристики слу-
чайных величин. Говоря более строго, это будут статистические экви-
валенты, оценки, называемые статистическими функциями распреде-
ления и статистическими числовыми характеристиками.
Специальная дисциплина — математическая статистика — зани-
мается вопросами статистического исследования случайных вели-
чин. Она решает следующие основные задачи:
• построение статистических функций распределения случай-
ных величин;
• нахождение статистических числовых характеристик;
• определение статистических параметров закона распределе-
ния. если тип этого закона известен;
• определение типа закона распределения;
• статистическая проверка гипотез.
215
Рассмотрим основные этапы решения поставленных задач. Исход-
ными данными для статистического исследования случайной вели-
чины X чаще всего является набор т наблюденных ее реализаций
(реализация случайной величины — значение, принятое ею в опыте)
Л|, Л2, Л3, ...»kJt ...» кт. Этот набор называется простой статистиче-
ской совокупностью. Для удобства исходный статистический мате-
риал представляется в виде вариационного ряда, где номера от 1 до т
присваиваются реализациям в порядке возрастания значений этой
реализации. При больших т(т> 50) работать с вариационным рядом
неудобно. В этом случае исходный статистический материал подвер-
гается предварительной обработке. Диапазон значений от k} ~ £min до
кт ~ ^тах разбивается на г интервалов. В общем случае интервалы
могут быть не равны. Подсчитывается количество реализаций mt
в каждом интервале, и вычисляется частота ht - mtlm. По полученным
данным составляется таблица, содержащая строки: номер интервала,
диапазон, количество реализаций в интервале и, наконец, частота.
Такое представление исходных данных называется статистическим
рядом.
Для построения статистической функции распределения/*(х) на
оси абсцисс строятся интервалы статистического ряда. Напомним,
что статистические функции и числовые характеристики обознача-
ются знаком *. На каждом интервале, как на основании, строится пря-
моугольник, высота которого Ц определяется как отношение частоты
hi
к ширине интервала: / =-------. Такое построение назвается гис-
xi+l~xi
тограммой (рис. 9.2). Огибающая гистограммы представляет собой
статистический эквивалент дифференциальной функции (пунктир-
ная линия на рис. 9.2).
216
Статистический ряд позволяет также построить статистический
эквивалент интегральной функции распределения F*(x). Действи-
тельно, если Xj есть нижняя граница первого интервала, то F*(xj) = 0.
На первом интервале интегральная вероятность возрастает на вели-
чину h} и так далее до последнего. Таким образом, статистическая
интегральная функция получается путем последовательного сумми-
рования частот, после чего строится огибающая. Статистическая
обратная функция распределения и функция интенсивности строится
в соответствии со следующими формулами:
G*(x) = 1 - Г*(х), Я*(х) = /*(x)/G*(x).
На основе полученных графиков находятся статистические число-
вые характеристики: мода медиана М*, интервальные характе-
ристики вида Л*(Хр х2) и квантили. Статистическое математическое
ожидание, называемое статистическим средним, и дисперсия вычис-
ляются по формулам
1 т 1 т ?
М* = - у X.; D = - у (х- - Л/*Г
т 1 х т , 1
/=1
(9.8)
Для получения несмещенной статистической оценки дисперсии
следует пользоваться формулой
Определение значений параметров закона распределения случай-
ной величины, если тип этого закона заранее известен, сводится
к нахождению величии рр •••» в выражении Дх, Ц|, ц2,
при условии, что вид функции f задан. В этом случае параметры
должны быть выбраны так, чтобы математическая модель закона рас-
пределения наилучшим образом отвечала имеющимся данным.
Определение на основании статистических данных закона распре-
деления случайной величины — важная и часто встречающаяся
задача математической статистики. При этом необходимо подчерк-
нуть, что не существует способа непосредственно из имеющихся дан-
ных получать математическое выражение закона распределения
Известные методы позволяют лишь подтвердить (или отвергнуть)
соответствие данного статистического материала выдвинутой гипо-
тезе о законе распределения. Итак, процедура нахождения математи-
ческой модели закона состоит из двух этапов: выдвижения гипотез и
проверки соответствия выдвинутых гипотез имеющимся данным.
Гипотезы о законе распределения могут выдвигаться иа основе
анализа физической природы и свойств рассматриваемой случайной
величины. Источником этих гипотез может служить также предвари-
217
тельный анализ имеющейся статистики, в частности рассмотрение
кривых статистической плотности распределения, так как гисто-
граммы наиболее рельефно и наглядно отображают свойства распре-
деления.
Проверка соответствия гипотезы статистическим данным сво-
дится к установлению степени близости гипотетического (теоретиче-
ского) и статистического распределений. Решающую роль здесь
играет выбор количественной меры U близости двух распределений.
В целях проверки гипотез о законе распределения применяются
специально разработанные критерии согласия. Наиболее распростра-
ненные из них — критерий Пирсона («критерий £2») и критерий Кол-
могорова. При использовании критерия Пирсона в качестве меры
близости гипотетического и статистического распределений исполь-
зуется величина
U = £ ~ ^теор) ,
^тсор
где Лэмп — эмпирическое (статистическое) значение частоты; Лгеор —
теоретическое (гипотетическое) значение частоты.
В критерии Колмогорова исходные данные представляются в виде
упорядоченной статистической совокупности. Мерой близости
сопоставляемых распределений является величина максимального
расхождения гипотетической F(x) и статистической F*(x) интеграль-
ных функций
U - Jmxx\a\[F(xf) - (9.10)
Так как одно из двух распределений является статистическим, то
и мера близости Uявляется случайной величиной. Она имеет опреде-
ленный закон распределения, позволяющий оценить вероятность
появления различных ее значений. На этом основана процедура про-
верки гипотез, которая состоит из следующих этапов.
1. Вычисляется реализация (7* случайной величины.
2. На основе закона распределения U вычисляется вероятность
того, что величина U примет значение, равное или большее (7*, т.е.
P{U^ IP] = 1 -F*((/*) = (7(17*). (9.11)
3. Если G(U*) достаточно велико, то позагают, что имеющиеся
статистические данные не противоречат гипотезе. Если же G((7*)
мало, то выдвинутая гипотеза сомнительна (гипотеза не принима-
ется).
Рассмотрим более подробно точечные и интервальные оценки
числовых характеристик Не требует разъяснения тот факт, что
218
результат эксперимента над случайными величинами всегда случаен.
Если при этом определяются числовые характеристики, то получае-
мые таким образом цифры могут отличаться от искомых истинных
значений. Поэтому значения числовых характеристик, получаемые
путем статистических исследований, называют оценками. Различают
два вида статистических оценок — точечные и интервальные.
Исследуется случайная величина X, причем нужно найти стати-
стическую оценку ее числовой характеристики Сх. Это значит, что по
накопленным данным необходимо определить некоторую величину
Сг , которую можно было бы использовать вместо неизвестного
истинного значения Сх.
Обозначим имеющиеся статистические данные q, с2, ст. Для
получения искомой оценки над этими данными должна быть произве-
дена некоторая операция 0,т.е. Сх -0(q, с2, ...ст). Функция 0 назы-
вается оценочной функцией, а величина Сх — точечной оценкой
числовой характеристики Сх.
Так как исходные данные q, с2, ст случайны и число их т
конечно, то и оценка также случайна. Иначе говоря, числовая харак-
теристика случайной величины Xоценивается с помощью некоторой
другой случайной величины Сх . Следовательно, принимая в расче-
тах величину Сх вместо Сх, заведомо допускаем возможность ошиб-
ки. Величина этой ошибки и вероятность ее зависят от распределе-
ния Сд
Вид функции 0 может выбираться произвольно. Качество оценоч-
ных функций определяется следующими показателями: состоятель-
ностью, несмещенностью, эффективностью. Оценочная функция
называется состоятельной, если с увеличением числа т исходных
данных оценка Сх сходится по вероятности к истинному значению
Оценочная функция 0 является несмещенной, если математиче-
ское ожидание оценки Сх равно истинному значению Сх. Несмещен-
ность оценочной функции означает отсутствие систематической
ошибки. Наконец, функция 0 является абсолютно эффективной, если
При данном фиксированном объеме статистических данных оценка
имеет минимальную дисперсию.
219
В случае использования оценки Сх вместо Сх важно знать, каковы
пределы возможной ошибки и какова ее вероятность, т.е знать точ-
ность и достоверность точечной оценки Сх . Точность оценок харак-
теризуется шириной интервала внутри которого с некоторой веро-
ятностью находится истинное значение искомой числовой характери-
стики, а достоверность — величиной вероятности Q (рис. 9.3). Такие
оценки, содержащие информацию о точности и достоверности
результатов, называются интервальными. Точечные и интервальные
оценки дополняют друг друга: точечная оценка дает конкретную циф-
ру, которая используется в расчетах, а интервальная оценка характе-
ризует ее точность и достоверность. Необходимость интервальных
(а не только точечных) оценок можно показать на следующем про-
стом примере: имеются две точечные оценки какой-то числовой
характеристики, полученные на различном по объему статистиче-
ском материале. Какую из них предпочесть? Качество этих оценок,
т.е. точность и достоверность, может быть совершенно различно.
На этот вопрос помогут ответить только результаты интервальных
оценок.
Между точностью и достоверностью существует тесная связь:
если точность оценки определять как ширину интервала, построен-
ного вокруг Сх , а достоверность Q как вероятность нахождения
истинного значения Сх внутри этого интервала, то прн фиксирован-
ном объеме статистических данных (т = const) всякая попытка повы-
сить точность (уменьшить ширину интервала) неизбежно ведет к сни-
жению достоверности, и наоборот.
В математической статистике используются различные подходы к
построению интервальных оценок. В рассматриваемом здесь случае
ширина интервала Ь, которая характеризует точность, называется
доверительным интервалом, а вероятность Q — доверительной веро-
ятностью {достоверностью). Эти понятия отражают только свой-
ства (объем) использованных статистических данных и не учитывают
свойств искомой характеристики как случайной величины.
Рис. 9.3. Точечная оценка .доверительным интервал и доверительные границы
220
рассмотрим физическую интерпретацию вышеназванных поня-
тий. На базе имеющихся статистических данных кроме точечной
оценки Сх определяются также верхняя и нижняя доверительные
границы (см. рис. 9.3):
= e.(q. ^2..сту, сн = ен(с„ с2,.... сту (9.12)
функции GB и 0Н, называемые соответственно функциями верхней
и ннжней доверительных границ, выбираются таким образом, что для
любого набора значений Cj, с2, ...,ст заранее известна вероятность Q
того, что интервал (Св, Сн) «накрывает» истинное значение искомой
числовой характеристики Сх. Таким образом Q = Вер{Сн < Сх Св}.
Интервал (Св, Сн) является доверительным интервалом, а вероят-
ность Q — доверительной вероятностью. Рассмотренный довери-
тельный интервал называется двусторонним, а вероятность — дву-
сторонней доверительной вероятностью.
Существует также понятие одностороннего доверительного
интервала. Пусть для какой-то числовой характеристики диапазон
возможных значений естественным образом ограничен числами Cmin
и Ста*- Тогда нижннм односторонним доверительным интервалом
называется интервал (Cmin, Св); вероятность «накрытия» этим интер-
валом истинного значения Сх называется нижней односторонней
доверительной вероятностью и обозначается
ен = Вер{Ст1П<Сл<Св}. (9.13)
Аналогично интервал (Сн, Стах) называется верхним односторон-
ним доверительным интервалом, а вероятность
Св = Вер{Сн<С^Стаз1} (9.14)
— верхней односторонней доверительной вероятностью (рнс. 9.3).
Дчя вероятностей QH, Q* и Q очевидно соотношение
0 + 0=1+0 (9.15)
а прн равенстве односторонних доверительных вероятностей QH =
0 = 0,5(1+0. (9.16)
Задача выбора функций доверительных границ Qu н QK решается
обычно следующим образом: вначале выбирается значение Q (при
Условии 2Н = 2в), затем вычисляются соответствующие этой вероят-
ности границы доверительного интервала Сн и Св. При этом Сн и Св
221
оказываются функциями не только накопленных данных, но и вели-
чины заданной вероятности Q^. Не останавливаясь на этом вопросе
подробнее, отметим, что для основных числовых характеристик слу-
чайных величин необходимые выражения для оценочных функций
получены и приведены к виду, удобному для использования в инже-
нерной практике.
9.4. Надежность технических изделий
и ее количественные показатели
Как уже отмечалось, надежность технических изделий (в том
числе и электрических машин) есть свойство объекта сохранять во
времени в установленных пределах значения всех параметров, харак-
теризующих способность выполнять требуемые функции в заданных
режимах и условиях применения, технического обслуживания,
ремонтов, хранения и транспортирования. Надежность является
одной из составляющих качества изделия. В то же время надежность
существенно отличается от других показателей качества. Известно,
что основную группу показателей качества составляют показатели
назначения, характеризующие полезный эффект от использования
продукции по назначению и обусловливающие область ее примене-
ния. Для электрических машин это мощность, КПД, коэффициент
мощности, быстродействие, коэффициент усиления (для электрома-
шин ного усилителя) и т.п.
Первой отличительной особенностью является то, что показатели
надежности в своей основе тесным образом связаны со всеми дру-
гими показателями качества. Это объясняется тем, что в определении
этих показателей важную роль шрает понятие работоспособности
изделия, которое представляет собой состояние, когда основные пара-
метры изделия соответствуют установленным требованиям. Отме-
тим, что показатели назначения в общем случае могут быть мало свя-
заны друг с другом: одни находится в пределах нормы, в то время как
другой или даже другие выходят за установленные допуски.
Другая особенность состоит в следующем: показатели надежно-
сти характеризуют свойства изделия всегда на некотором интервале
времени (для электрических машин иногда значительном — годы и
даже десятки лет). Изменение надежности происходит от одного дос-
таточно протяженного интервала к другому. Поэтому для экспери-
ментальной оценки показателей надежности, в отличие от других
показателей качества изделий, необходимо значительное время.
Наконец, третья особенность показателей надежности состоит
в том, что через них определяется практическая значимость всех
показателей назначения изделия. Действитечьно, для практики
222
важны не только номинальные значения того нлн иного показателя,
но н то, какова способность изделия сохранять эти показатели при
эксплуатации в течение всего периода работы.
Надежность как свойство изделия включает четыре составляю-
щие: безотказность, ремонтопригодность, сохраняемость и долговеч-
ность. Определения этих составляющих даны в ГОСТ 27.002—89 и
подробно рассмотрены в § 3.2. Для однозначного определения каж-
дой составляющей надежности должны быть определены два пре-
дельных состояния изделия, которые называют характеристиче-
скими состояниями. Для безотказности и ремонтопригодности
характеристические состояния — это отказ и альтернативное ему
состояние работоспособности. Для многофункциональных изделий
существует несколько состояний отказа и работоспособности. Для
сохраняемости два характеристических состояния определяются так:
первое — состояние работоспособности при условии, что изделие
имеет заданный технической документацией уровень безотказности,
ремонтопригодности и долговечности; второе — состояние отказа
или состояние работоспособности при несоответствующих техниче-
ским условиям уровнях безопасности, ремонтопригодности и долго-
вечности. Для долговечности характеристические состояния опреде-
ляются следующим: предельное состояние — состояние изделия,
в котором его дальнейшая эксплуатация либо технически невозмож-
на, либо экономически нецелесообразна; состояние, альтернативное
предельному. Отметим, что для неремонтнруемых изделий, в том
числе и основных узлов электрических машин, предельное состояние
совпадаете состоянием отказа. В противоположной ситуации: техни-
чески пригодное изделие для дальнейшей эксплуатации экономиче-
ски нецелесообразно вследствие морального старения.
Главной общей чертой перечисленных составляющих надежности
является то, что каждая из них связана со случайной величиной,
имеющей размерность времени. Для безотказности такой случайной
величиной является время безотказной работы Г, для ремонтопригод-
ности — время восстановления работоспособности изделия Гв, для
сохраняемости — время сохранения изделием своих технических
характеристик /с, для долговечности — время /д от начала экстуата-
Цин до наступления предельного состояния.
Как указывалось ранее, исчерпывающей характеристикой случай-
ной величины является ее закон распределения. В теории надежности
используются все четыре способа задания закона распределения слу-
чайных величин [см. § 9.1, (9.1)—(9.3)]. Отметим лишь, что так как
случайной величиной является время, то F(0) = 0 и нижний предел
интегрирования принимается равным нулю. Поэтому
223
t
F(z)= J/(z)dz; (9.17)
0
/
G(t)= 1- f/(z)dz; (9.18)
0
H(O=/(/)/G(z). (9.19)
Некоторые из указанных функций применительно к случайным
величинам /, /в, /с, /д в теории надежности приобрели специальные
названия. Так, обратная интегральная функция G(f) названа функцией
надежности нли функцией вероятности безотказной работы Р(/).
Функция интенсивности H(t) называется интенсивностью отказов и
обозначается Х(/). Отметим, что функция интенсивности H(t) в тео-
рии надежности играет важную роль. Объясняется это тем, что
в характере функции X(z) наиболее наглядно проявляется способ-
ность изделия положительно реагировать на профилактическое
обслуживание (профилактикепригодность). Так, при X(r) = const про-
филактическое обслуживание не влияет на результирующую безот-
казность изделия; при dX(r)/dz > 0 профилактика способна повысить
безотказность; прн dX(r)/dz < 0 профилактика способна лишь ухуд-
шить безотказность.
Так как использование функций в инженерной практике связано
с определенными трудностями, широкое применение в теории надеж-
ности нашли различные численные показатели. В частности, наибо-
лее широко используется математическое ожидание: средняя нара-
ботка до отказа, средняя наработка на отказ, средний ресурс, средний
срок службы, среднее время восстановления работоспособного
состояния, средний срок сохраняемости. Широко используется значе-
ние прямой и обратной интегральных функций: вероятность безот-
казной работы, вероятность восстановления работоспособного
состояния. Применяются также квантили: гамма-процентный срок
службы, т.е. календарная продолжительность эксплуатации объекта,
в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной
вероятностью у [нли срок службы, к которому (100 - у) % образцов
достигают предельного состояния]; гамма-процентный ресурс (то же
правило, но по отношению к наработке изделия); гамма-процентный
срок сохраняемости. Кроме того, используются комплексные показа-
тели надежности: коэффициенты готовности, технического использо-
вания и т.п.
Возникает вопрос: сколько показателей надежности необходимо
для характеристики надежности машин? Если рассматривать эти
224
показатели не как изолированные величины, а как носители информа-
ции о законе распределения случайной величины, то вопрос о выборе
числа показателей получает достаточно четкое решение. Действи-
тельно, для однозначного определения закона распределения, относя-
щегося к некоторому типу, необходимо задать столько независимых
чисел, сколько параметров имеет этот тип закона распредепения.
Этими числами, в частности, могут быть числовые характеристики
распределения. Итак, выбор числа показателей связан с типом закона
распределения рассматриваемой случайной величины. Например,
если случайная величина подчиняется нормальному закону (двухпа-
ра метрическом у), то свойство безотказности изделия целесообразно
задавать двумя показателями, например средним временем безотказ-
ной работы Гср и вероятностью безотказной работы Р(г). При однопа-
раметрическом законе, допустим экспоненциальном, более одного
показателя задавать нецелесообразно, так как все другие будут неин-
формативны. Из этого правила есть исключения в следующих случа-
ях: когда закон распределения недостаточно изучен или когда предъ-
являются дополнительные требования к полноте описания различ-
ных составляющих надежности изделий.
9.5. Основные методы оценки надежности
электрических машин
Технические изделия, в том числе н электрические машины, от
момента зарождения в виде идеи или какого-либо проекта до непо-
средственного выполнения определенных функций проходят дли-
тельный путь: проектирование, изготовление, модернизацию, экс-
плуатацию, ремонт, повторное использование. На основных этапах
этого пути техническому изделию соответствуют различные виды
оценки его надежности конструктивная надежность, т.е. надеж-
ность, которая заложена в изделие прн проектировании; технологиче-
ская надежность, характеризующая изделие сразу после его изготов-
ления на заводе; эксплуатационная надежность, отражающая пове-
дение машины или аппарата в процессе эксплуатации. Для опреде-
ленных типов или групп электрических машин устанавливаются
некоторые стандартные (нормальные) условия эксплуатации: темпе-
ратура окружающей среды, влажность, колебания напряжения, частоты,
Длительность и периодичность рабочего цикла, профилактического
обслуживания. Надежность машин, работающих в этих стандартных
(нормальных) условиях, называют номинальной надежностью.
Информация о надежности технического изделия — один из важ-
нейших видов информации (было бы странно говорить о высоких
КПД, coscp и других показателях электрической машины, которая
225
отказала). Рассмотрим основные способы получения этой информа-
ции, или, иными словами, методы оценки надежности технических
изделий. Первоначально, еще до изготовления машины, произво-
дится аналитический расчет надежности. При создании новых изде-
лий этот расчет базируется на предыдущих расчетах аналогов данных
изделий, информации о законах распределения аналогов, гипотезах
о законах распределения и их параметрах. Аналитический расчет
производится на базе математических моделей надежности. Заметим,
что математические модели (универсальный метод оценки надежно-
сти) служат также для оценки конструкционной и технологической
надежности.
Экспериментальная оценка надежности (испытания на надеж-
ность) является одним из важнейших этапов в процессе разработки и
серийного выпуска промышленных изделий. Не следует смешивать
испытания на надежность с другими видами испытаний электротех-
нических изделий (исследовательскими, типовыми, приемно-сдаточ-
ными и др.).
Основными видами испытаний на надежность являются определи-
тельные и контрольные.
Определительные испытания на надежность изделий проводятся
в целях нахождения фактических количественных показателей
надежности. Определительные испытания проводятся после оконча-
тельного освоения производством или после модернизации изделия
на образцах, изготовленных согласно производственному циклу, рас-
считанному на серийное производство. При определительных испы-
таниях оцениваются законы распределения отказов и параметры
законов. Результаты определительных испытаний служат для оценки
соответствия фактических показателей надежности техническим
условиям.
Контрольные испытания на надежность проводятся в целях кон-
троля соответствия количественных показателей надежности требо-
ваниям стандарта или технических условий. Контрольные испытания
проводятся периодически, в сроки, установленные стандартами на
данное техническое изделие
Ресурс современных электрических машин составляет иногда
20 000—25 000 ч (даже 50 000 ч), в году — 8 760 ч. Число рабочих
часов, особенно если работа не трехсменная, значительно меньше. А
это значит, что проведение испытания может затянуться на 5—10 лет.
Необходимо сокращать сроки испытаний, иначе полученная инфор-
мация устаревает. Сокращение сроков может быть осуществлено,
если воздействовать на изделие форсированно, ужесточать режимы
испытаний. Однако при этом должно быть найдено соответствие
между подобными форсированными испытаниями (их называют уско-
226
реннымн испытаниями) и испы-
таниями в нормальных условиях,
т.е. необходимо знать, как та или
иная совокупность воздействую-
щих факторов форснровки уско-
ряет процесс старения и износа
машин и узлов. Этой цели служат
исследования по определению
коэффициентов ускорения.
Коэффициент ускорения есть
отношение времени испытаний в
номинальных условиях /н ко вре-
Рис. 9.4. К oiipcjeieiiNio коэффициента
ускорения
мени испытания в форсированных режимах /у при условии равенства
значений вероятностей безотказной работы в обоих случаях (рнс. 9.4):
*у=Гн//у.
Основное требование, предъявляемое к ускоренным испытаниям —
это идентичность процессов старения и износа по отношению к нор-
мальным условиям, что, в свою очередь, означает идентичность зако-
нов распределения.
В общем случае целью испытаний по определению коэффициен-
тов ускорения является нахождение функциональных зависимостей,
связывающих коэффициенты ускорения и факторы форсировки, т.е.
Ау =f(z^. Это диктуется следующим:
в целях облегчения реализация ускоренных испытаний полезным
является знание зависимости Ау = /(zr) в широких пределах (а не еди-
ничные значения Ау);
функциональная зависимость ky =f(z[) позволяет найти (хотя бы
ориентировочно) значение максимально возможного коэффициента
ускорения с точки зрения сохранения эквивазентиости физических
процессов.
Итак, в зависимости от поставленных сроков и возможностей
можно проводить контрольные испытания в нормальных условиях, а
также, базируясь на знании коэффициентов ускорения — ускоренные
(форсированные) испытания. Различают три основных метода прове-
дения контрольных испытаний (вне зависимости от уровня форси-
ровки): метод однократной выборки, метод двукратной выборки и
метод последовательного анализа. В некоторых случаях проводятся
ускоренные контрольные испытания в нормальных условиях. Эти
испытания базируются на известной математической модели процесса.
К основным способам получения данных о надежности относится
обработка информации об отказах изделий в процессе эксплуагацнн,
227
т.е. оценка надежности по данным эксплуатации. Это длительный и
сложный процесс, связанный с преодолением объективных трудно-
стей в осушествлении правильной организации сбора статистических
данных. Кроме того, вследствие изменения конструкций и техноло-
гии изготовления электромеханических изделий данные о надежно-
сти в какой-то степени устаревают. Однако и в этом случае обработка
и анализ данных эксплуатации являются полезными для оценки
надежности родственных по назначению, конструкции и технологии
изделий.
Специальные исследования проводятся в целях прогнозирования
надежности технического состояния машин. Здесь основная задача —
предсказать количественные характеристики надежности изделия
или группы изделий в будущем, предвидеть ресурс, остаточный
ресурс, вероятность безотказной заботы, изменение основных пара-
метров и т.п. Это часто бывает необходимо для технических изделий,
работающих на ответственных объектах, т.е. там, где отказ влечет за
собой значительный материальный или иного рода ущерб. Различают
групповое и индивидуальное прогнозирование.
К информации о надежности технических изделий следует также
отнести диагностику. Целью диагностики являются определение
работоспособности изделий в данный момент времени и выявление
дефектов отдельных его узлов.
Прн исследовании надежности используются некоторые специ-
альные методы испытаний, такие, как метод шагового погружения,
метод матричных испытаний, метод граничных испытаний и др.
Метод шагового погружения представляет собой испытания с дис-
кретным увеличением нагрузки. Метод матричных испытаний
состоит в выборе для испытания технических изделий таких воздей-
ствующих факторов, которые связаны между собой так, что образуют
матрицу. Метод граничных испытаний используется для испытания
элементов непрерывного действия, например усилителей, когда
могут регламентироваться такие параметры, как чувствительность,
полоса частот, коэффициент усиления и т.п. Выход параметров за
установленные пределы классифицируется как параметрический
отказ элемента или устройства.
9.6. Определительные испытания.
Точность и достоверность статистических оценок
Основными показателями качества статистической оценки число-
вых характеристик случайных величин являются точность и досто-
верность (см. § 9.3). Общепринятым количественным показателем
достоверности оценки числовых характеристик (а значит, и показате-
228
лем надежности) является доверительная вероятность. Ввиду того
что очень часто принимается условие симметричности доверитель-
ного интервала, в качестве количественной меры достоверности
оценки можно принять одно значение односторонней доверительной
вероятности, т.е. 0В = QH = Q.
Прн любом оцениваемом показателе надежности количественную
меру точности оценки, естественно, связать с шириной доверитель-
ного интервала, т.е. со значениями его верхней н нижней границ Сн и
Св. Введем понятия абсолютной и относительной доверительных
оценок. Абсолютная доверительная ошибка по верхней и нижней гра-
ницам равна
дс< = Д,(С, С„) ; (9.20)
ДСи = ДН(С, Сн) ; (9.21)
относительная доверительная оценка по верхней и нижней границам
равна
бСв = АС ZV(Q , (9.22)
6С =Дс/у(С), (9.23)
И II
где ДВ(С, Св) , ДН(С, Сн) —монотонные функции точечной оценки
н границ доверительного интервала, \г(С) —монотонно возрастаю-
щая функция точечной оценки С. Величины 8С и &с могут
использоваться в качестве количественной меры точности статисти-
ческой оценки показателя G.
Исходя из того, что помимо точечной оценки с практической точки
зрения более важна граница возможных худших значений оценивае-
мого показателя надежности, принято использовать в качестве коли-
чественной меры точности величину 6Г , когда С является позитив-
ен
ным показателем надежности; величину в том случае, если С
является негативным показателем. Наряду с относительной довери-
тельной ошибкой используется также ее обратная величина, а именно
с» 5С ’ Ас. 5С '
Si %
229
Вопрос выбора функций Дн, Ав и у для основных показателей
надежности решается следующим образом. В случае, когда показате-
лем надежности является математическое ожидание или квантиль,
в качестве функции А принимается разность
\ = СК-С- Дн = с-сн. (9.24)
При этом абсолютная доверительная ошибка представляет собой
ширину соответствующей (верхней нли нижней) половины довери-
тельного интервала. Функция у в этом случае принимается в простом
виде у (С) = С. В соответствии с этим выражения (9.22) н (9.23) при-
нимают следующий вид:
Пусть, например, проведена оценка среднего времени безотказной
работы машины Гср. По результатам испытаний проведена точечная
оценка Гс* и доверительных границ и Тн, соответствующих досто-
верности Q. Тогда относительная доверительная ошибка будет равна
Т* -Т
ST=6T = - СР Ч. (9.26)
Zcp
Рассмотрим вопрос о выборе функций Дн, Дв и у, если оценивае-
мый показатель надежности есть значение интегральной нли обрат-
ной интегральной функции, например вероятность безотказной
работы Р. Естественным решением этой задачи является принятие для
функций Дн, Ав и у приведенных выше выражений (9.24) и (9.25).
Однако такая форма оценки точности не всегда целесообразна
Когда значение получаемой точечной оценки приближается к едини-
це, естественным требованием является повышение точности (сни-
жение величины абсолютной ошибки). Например, если точечная
оценка равна 0,9, то абсолютная ошибка порядка 0,1 может считаться
приемлемой. Если же точечная оценка равна 0,999, то абсолютная
ошибка, равная 0,1, совершенно неприемлема. Нужно, чтобы абсо-
лютная ошибка была на уровне 0,001. С учетом сказанного были
предложены другие выражения для А н у при оценке вероятности без-
отказной работы:
Ар= А/>н = 1пРн- 1пР*; (9.27)
230
V(C) = InP* ;
lnPH- InP*
ыр*
(9-28)
(9.29)
Эти выражения приняты в нормативно-технических документах
при организации определительных испытаний для изделий с высо-
ким значением вероятности безотказной работы, например некото-
рых электромеханических систем, пус ко регулирую щей аппаратуры,
изделий приборостроения и др.
9.7. Определительные испытания. Общий план и программа
План испытаний — это общая методика (порядок, процедура) про-
ведения испытаний. План определяет все основные черты данного
способа экспериментальной оценки показателя надежности, сохра-
няющиеся независимо от конкретного вида испытываемого изделия.
Все, что в данном способе проведения испытаний специфично для
некоторого конкретного вида изделия, выходит за рамки плана испы-
таний. Каждый план имеет некоторое количество параметров (пере-
менных), для каждого из которых задается диапазон возможных зна-
чений, и значения, которые должны быть определены до начала
испытаний. Набор фиксированных значений параметров называют
сечением плана.
План испытаний можно считать заданным, если определены:
• оцениваемый показатель надежности:
• перечень параметров плана;
• перечень непосредственных результатов испытаний (достаточ-
ная статистика);
• процедура (методика, способ) получения непосредственных
результатов;
• дополнительные условия, определяющие рамки применения
данного плана.
Каждому плану испытаний соответствуют определенная методика
планирования (методика выбора сечений плана) и способ обработки
непосредственных результатов. Рассмотрим пример плана испытаний
Для оценки вероятности безотказной работы изделия в течение фикси-
рованного интервала времени Р(т) при произвольном распределении Т
Проводится m опытов, каждый из которых состоит в испытании
одного образца изделия до истечения времени т, если до этого вре-
мени отказ не наступил, или до отказа, если время возникновения
отказа г < т. Фиксируется количество опытов d, закончившееся отка-
зом. С учетом величин m и d вычисляются точечная оценка Р*(т),
231
а также все необходимые показатели точности и достоверности этой
оценки: доверительные границы Рв(т) и Рн(т), соответствующие
заданной доверительной вероятности Q. абсолютные и относитель-
ные доверительные ошибки.
Приведенное описание полностью характеризует план. Оценивае-
мый показатель надежности — /’(т); параметром плана является
число опытов т\ достаточными статистическими величинами явля-
ются т и d. Процедура получения непосредственных результатов
ясна из описания; план может применяться единообразно при произ-
вольных распределениях Т.
Отметим, что в этом случае не используются какие-либо сведения
о конкретном испытываемом изделии. Например, ничего не сказано о
том, по каким характеристикам определяется состояние отказа, како-
вы необходимые питающие напряжения, частота, нагрузки, условия
внешней среды и т.п. Ничего не говорится о том, сколько образцов
изделия необходимо для проведения испытаний (т опытов можно
провести на т образцах, а можно — в пределе — и на одном образце
при полном восстановлении свойств надежности).
Конкретизацией выбранного плана служит программа испытаний.
Программа составляется в результате планирования испытаний и
включает следующие позиции:
• оцениваемый показатель надежности;
• показатели точности и достоверности оценки;
• план испытаний;
• значения параметров (сечение) плана, в частности число опы-
тов т\
• количество образцов, участвующих в испытаниях;
• условия окружающей среды;
• необходимое испытательное оборудование, стенды и приборы;
• режимы работы и технического обслуживания испытываемого
образца;
• процедура получения непосредственных результатов;
• формулы для вычисления искомых показателей;
• способ оформления результатов испытаний.
Отметим одно важное обстоятельство, касающееся выбора требо-
ваний к точности и достоверности. Окончательный вариант требований
к точности и достоверности оценки показателей всегда представляет
собой компромисс между стремлениями получить высококачествен-
ную оценку и снизить затраты всех видов на проведение испытаний,
которые взаимно противоречивы. Поэтому необходимо учитывать
специфику испытываемого изделия: назначение, условия эксплуата-
ции, стоимость эксплуатации, объем партии, возможность испыта-
тельной базы и целый ряд других факторов.
232
9.6. Определительные испытания на безотказность
Оценка вероятности безотказной работы Р(т) может произво-
диться при использовании различных планов испытаний. Однако
почти все эти планы предполагают знание типа закона распределения
исследуемого изделия. Только один план свободен от этого условия и,
следовательно, является универсальным в том смысле, что позволяет
по единой методике проводить статистическую оценку величины Р(т)
для изделий с любым законом распределения Т Рассмотрим этот
план.
План испытаний. Проводится тп опытов, каждый из которых
состоит в испытании одного образца в установленных условиях экс-
плуатации до истечения времени т, если до этого времени не возник
отказ образца, либо до возникновения отказа, если отказ возник
раньше истечения времени т. Опыты могут проводиться параллельно
(одновременно) или последовательно.
По окончании всех m опытов фиксируется общее число наблюден-
ных отказов d. Значения m и d представляют собой непосредственные
результаты испытаний, на основе которых определяются все необхо-
димые числовые данные — Р(т), /’„(т), Рв(т), 5р. План является одно-
параметрическим планом испытаний, параметром — число опытов т.
Основные соотношения. Точечная оценка искомой вероятности
Р* связана с результатами испытаний следующим соотношением:
P* = \-d/m. (9.30)
Известно, что такая оценочная функция для рассматриваемого
случая является несмещенной, состоятельной и эффективной.
В основе метода планирования и обработки результатов испыта-
ний лежат следующие выражения, связывающие доверительные гра-
ницы (Рн, Рв) и доверительную вероятность Q с непосредственными
результатами испытаний m и d:
,(1“Рв), = 1-С; (931)
L < '(1 -Ри)'= 1 - Q (932)
1=0 1
Эти выражения вытекают из предположения о том, что число отка-
зов в m опытах подчинено биномиальному распределению.
Непосредственное решение этих уравнений настолько громоздко,
что не может быть рекомендовано для практического использования.
Поэтому составлены специальные таблицы. Таблицы для Q = 0,8 и
Q~ 0,9 приведены соответственно в Приложениях 12.А и 12.Б.
233
Построение таблиц следующее. Каждая таблица соответствует
одному значению Q. Строки таблиц соответствуют значениям d от 1
до 25, столбцы — значениям т от 1 до 200. В клетках на пересечениях
отрок и столбцов указаны значения PR (сверху) и Рн (снизу), соответ-
ствующие решениям уравнений (9.31), (9.32) при данном сочетании
значений Qtdu т.
Планирование испытаний сводится к определению значения
единственного параметра — минимального числа опытов тл, необхо-
димого для обеспечения заданной достоверности и точности Ър
оценки показателя Р, а также ориентировочного значения суммарного
расхода ресурса /z.
Поскольку Р является позитивным показателем, точность связыва-
ется с нижней доверительной границей, и, следовательно, в основу
методики планирования должно быть положено уравнение (9.32).
С учетом выражений (9.29) и (9.30) можно записать
d=m(\-P*\, (9.33)
1 ьр
Рн = Р* (9.34)
Выражение (9.32) можно переписать в следующем виде:
X l.)P* (1-Р )=1-2- (9.35)
г=0 1
Это выражение можно рассматривать как основное уравнение пла-
нирования, так как оно связывает величины Q и 5р, задаваемые в ка-
честве исходных данных, с параметром т. Единственное принципи-
альное затруднение состоит в том, что в (9.35) входит величина
точечной оценки Р*, которая в момент планирования, конечно, неиз-
вестна. Это означает, что при фиксированных значениях Q и необ-
ходимое число опытов т является функцией результатов испытаний.
В то же время предварительное определение т, хотя бы прибли-
женно, важно с точки зрения практики испытаний В связи с этим при
планировании следует принять некоторое ожидаемое значение точеч-
ной оценки Р* = Р£ и использовать его в (9.35). Это дает возможность
ориентировочно определить т. Выбор РЕ должен производиться на
базе всей имеющейся априорной информации: данных испытаний и
эксплуатации аналогичных изделий; результатов расчетов; требова-
ний, предъявляемых к изделию на этапе разработки, и т.п. Здесь
полезно отметить, что если Р£> Р*, то при фиксированном значении
достоверности точность оценки оказывается выше заданной.
234
Итак, методика планирования состоит в следующем.
1. Выбирается нижняя доверительная граница по (9.34).
2. По Приложению 12 (при заданном значении Q) отмечаются все
клетки, соответствующие значениям т и dt удовлетворяющим равенству
PE = (m-d)/m. (9 36)
3. Среди отмеченных находится клетка, в которой указано значе-
ние Рн, равное или наиболее близкое значению, рассчитанному по
п. 1. Столбец, которому принадлежит данная клетка, определяет
необходимое число опытов т.
В целях облегчения процесса планирования на основе Приложе-
ния 12 было построено семейство графиков т = f(PE) для различных
значений 5р и Q. На рис. 9.5, а, б приведены два таких графика, соот-
ветствующих значениям Q = 0,9 и Q = 0,8 и позволяющих просто
определить необходимое число опытов т по заданным Q, 5р и РЕ.
Планирование по графикам не требует комментариев.
Обработка результатов состоит в определении Р, доверительных
границ Рн и Рв и относительной ошибки по полученным в испыта-
ниях т и d. Точечная оценка вычисляется по формуле (9.30); довери-
тельные границы определяются по Приложению 12, по известным
значениям Q. т, d\ относительная доверительная ошибка вычисля-
ется по (9.29).
Пример 1. Требуется провести определительные испытания партии асин-
хронных микродвигателей для оценки показателя Р за 1 000 ч при следую-
щих исходных данных: £>=0,8; 5р= 0,5; закон распределения времени безот-
казной работы — экспоненциальный; ожидаемый уровень вероятности
безотказной работы РЕ ~ 0,92 (получен расчетным путем).
Планирование. Испытания проводятся с продолжительностью опыта,
равной 1000 ч. Для определения необходимого количества опытов восполь-
зуемся рис. 9.5. В соответствии с Q = 0,8, = 0,5 и РЕ = 0.92 по графику
рис. 9.5, б находим т = 80.
Проведение испытаний и обработка результатов. На испытания ста-
вятся 80 машин и испытываются в течение 1 000 ч. Пусть за это время про-
изошло шесть отказов (d= 6). По (9.30) вычисляется точечная оценка
Р*(т = 1 000) = 1 - 6/80 = 0,925.
По Приложению 12, Л (Q = 0,8) для т = 80 находятся верхние и нижние
доверительные границы Рв = 0,951; Рн = 0,889. В соответствии с (9 29) рас-
считываем относительную доверительную ошибку
с _ lnO.889 1п9,25
6' =----1^25----- = °Л
Результат удовлетворяет требованиям к точности и достоверности оценки
235
Рис. 9.5. Семейство графиков т при Q = 0,8 и Q = 0,9 при различных значе-
ниях 5
9.9. Определительные испытания при экспоненциальном
законе распределения вероятности безотказной работы
Экспоненциальное распределение является однопараметриче-
ским, поэтому для определения свойства безотказности изделий дос-
таточно получить оценку одного из следующих используемых пока-
236
зателей: Гср, X или Р(т). Эти показатели связаны между собой
соотношением X = 1 т ср --InPfT). т (9 37)
откуда X* = 1 т* - 11пР*(т): т (9 38)
ч = 1 : т н -JlnPH(x); (9-39)
V 1 Л, (9.40)
Относительная доверительная ошибка определяется по формуле
5Г
5x = 5' = itV (Q41>
Из приведенных выражений следует, что определительные испы-
тания на безотказность могут вестись в расчете на любой из трех ука-
занных численных показателей, тогда оценки двух других могут быть
получены путем простого пересчета.
При постановке задачи определительных испытаний в качестве
исходных требований должны быть заданы достоверность Q, а также
точность оценки 5Г. Для оценки безотказности в данном случае воз-
можны два варианта: непосредственная оценка Гср (или X), оценка
Р(т) при произвольно выбранном т с последующим пересчетом
в оценку Т
Второй вариант, сводящийся к основному плану, подробно описан
в § 9.8. Особенность планирования состоит в том, что для определе-
ния числа опытов m необходимо принять некоторое ожидаемое значе-
ние ТЕ, затем выбрать расчетное время т и рассчитать Р£(т) по фор-
муле
Р£(т) = ехрГ- (9.42)
Затем необходимое значение m определяется по методике, изло-
женной в § 9.8. По результатам испытаний m и d машин определяются
Р*(т), Рв(т), Рн(т) и 5р, которые затем пересчитываются в оценку Гср
в соответствии с (9.38)—(9.41).
237
Рассмотрим план испытаний для непосредственной оценки Гср.
Этот план полностью пригоден и для оценки X в соответствии с (9.37).
План испытаний. Испытывается произвольное количество образ-
цов п. В процессе испытаний разные образцы могут проработать раз-
ное время, некоторые образцы за время испытаний могут не иметь ни
одного отказа. Испытания прерываются в произвольный момент вре-
мени, после чего подсчитываются суммарная наработка всех образ-
цов и общее количество наблюденных отказов d^.
В некоторых случаях испытания прерываются не в произвольный
момент времени, а в момент, когда наберется запланированное число
отказов dx - dx. В этом случае расчетное значение определяется по
формуле
= <943>
где /ф — фактическая наработка.
Основные соотношения. Точечная оценка, обладающая свойст-
вами несмещенности, состоятельности и эффективности, вычисля-
ется до формуле
Известно, что оценка параметра экспоненциального распределе-
ния подчиняется распределению х\ в соответствии с чем для довери-
тельных границ оценки Гср имеют место следующие соотношения:
Г, = КЛ*Р. (9-4-5)
Wc] (946)
Коэффициенты Лв и кн являются функциями распределения х2 На
основе таблиц распределения х" составлены таблицы значений и
Кн при различных Q В Приложениях 13. А и 13.Б приведены значения
и Ки для Q = 0,8 и Q = 0,9 соответственно. Относительная довери-
тельная ошибка вычисляется по формуле
= 1 - Кн. (9.47)
Средняя суммарная наработка в испытаниях всех образцов опре-
деляется
~tv = dxTE. (9.48)
238
Планирование испытаний сводится к определению минималь-
ного количества отказов <7, обеспечивающего заданные оценки Q и
В связи с тем что Тср является позитивным показателем, в основу
положено выражение (9.46), определяющее нижнюю доверительную
границу. Значение коэффициента Кн вычисляется по формуле
*„=1-6?. (9.49)
По Приложению 13 для заданного Q находится Кн, равное или
близкое вычисленному по (9.49). Столбец, соответствующий указан-
ному Кн, определяет необходимое количество отказов dx.
Обработка результатов. На основе результатов испытаний и
достоверности Q должны быть определены Гц,, Гв, Гн, 5Г Точеч-
ная оценка вычисляется по (9.44). Доверительные границы определя-
ются с помощью Приложения 13. Для этого по полученному d^ нахо-
дятся значения Кв и Ки, после чего вычисляются Тв и Ги по (9.45) и
(9.46). Относительная доверительная ошибка оценки вычисляется
по (9.26).
Пример 2. Проводятся определительные испытания асинхронных дви-
га гелей для оценки среднего времени безотказной работы. Задано Q - 0,8 и
бт =0,25.
Планирование. Коэффициент Кн рассчитывается по (9.47):
Кц = 1 -§7=0,75.
По Приложению 13.А находится близкое значение = 0,758, которому
соответствует d = 6. В соответствии с данными аналогов принимаем ТЕ =
= 5800 ч. Тогда по (9 48)
/г = 6 • 5 800 = 34 800 ч.
Проведение испытаний. По условиям производства на испытания постав-
лены 14 двигателей одновременно. Испытания проводились до тех пор, пока
общее число отказов стало равным шести. Наработка на отказ всех образцов
следующая: 2 300, 2 350, 2 200. 2 250, 2 350, 1 450. 2 350, 2 000, 2 350, 1 700,
2 300, 2 400, 2 500, 2 200. Фактическая наработка составила
/ф = £т, =31 050 ч.
Г-1
Расчетная наработка определяется по (9.43)
6^1.050 =37260ч
О 1
Обработка результатов. Точечная оценка средней наработки до отказа
по (9.44) равна
= J =6210ч.
239
По Приложению 13.А для <7=6 находим
Кв= 1,527; = 0,758.
По формулам (9.45), (9.46) и (9 26) определяем окончательно
Гв = 1,527 • 6 210 = 9 500 ч, Гн = 0,758 • 6 210 = 4 700 ч;
я Г*Р ~Г"- 6 210-4 700
Т 6 210
-0,24
Таким образом, требование к точности выполняется.
9.10. Определительные испытания при нормальном законе
распределения вероятности безотказной работы
Для изделий, имеющих нормальное распределение времени безот-
казной работы, вводятся два численных показателя безотказности:
среднее время безотказной работы Гср и вероятность безотказной
работы Р(т). При этом, как правило, т < Гср. Соответственно этому
при определительных испытаниях должны вычисляться оба показате-
ля, т.е. должны быть найдены точечные оценки Р*(т) и Гс*, довери-
тельные границы Гв(т), Рн(т), Тв, Гн и относительные доверительные
ошибки Ьр и 5Г.
Все варианты испытаний для оценки Р(т) рассмотрены в двух пре-
дыдущих параграфах. Поэтому далее основное внимание будет уде-
лено испытаниям для оценки Тср при нормальном распределении Т
План испытаний. Проводится m опытов, каждый из которых
состоит в испытании одного образца в установленных условиях экс-
плуатации до возникновения отказа (момент отказа фиксируется).
Набор m значений времени работы образца до отказа fj, t2,.. tm пред-
ставляет собой непосредственные результаты испытаний, позволяю-
щие вычислить все необходимые данные. В плане имеется только
один параметр — количество опытов ш.
Основные соотношения. Точечная оценка Гс* в случае нормаль-
ного распределения Т вычисляется по формуле
Г* = - у Г, (9.50)
ср m ~ '
j=l
Точечная оценка, определяемая (9.50), подчиняется распределе-
нию Стьюдента с I = m - 1 степенями свободы. Соответственно этому
для доверительных границ получены следующие оценки:
of
Тй = (9.51)
240
?'н = (9.52)
где Tc* определяется из (9.50); of — точечная оценка среднеквадра-
тического отклонения Т, вычисляемая на основе непосредственных
результатов испытаний по формуле
1 П” 2
°* =-?= LOt- г*) ; (9-53)
x|t х2 — квантили распределения Стьюдента, определяемые по табли-
цам в соответствии с числом степеней свободы / = m - 1 и заданной
доверительной вероятностью Q.
Выражения (9.51) и (9.52) можно переписать в следующем виде:
Кв=-%= 1+^Р?; (9.54)
* ср
Т» х2
= J--FPr* (9-55)
1 ср *Jm
где = а*/Гс* —точечная оценка коэффициента вариации р^,
которая может быть определена только по результатам испытаний
Как следует из приведенных выражений, коэффициенты Кв и Кы
определяются по формулам
= ?'н = ^н7’ср- (9.56)
В свою очередь коэффициенты Кв и зависят от количества опы-
тов т, результатов испытаний (величины рг) и величины доверитель-
ной вероятности Q. В Приложениях 14.А и 14.Б приведены значения
Кв и Ки при Q = 0,8 и Q = 0,9 в широком диапазоне изменения m и рг.
Средняя суммарная наработка всех образцов, участвующих в и-
спытаниях, вычисляется по формуле
Zv = mTE. (9.57)
где ?Е— ожидаемое среднее время безотказной работы.
Планирование. Исходными данными для планирования испыта-
ний являются требуемые достоверность Q и точность оценки 5Г
показателя ГСр. Определяемым параметром плана является мини-
мальное число опытов т. Ввиду однопараметричности данного плана
*азача пзанирования решается однозначно.
241
Основой для решения задачи планирования служит уравнение
(9.55), так как показатель Гср является позитивным Исходя из (9.29)
и (9.55), получим
*Н=1-5Г (9.58)
С учетом (9.58) ясно, что выражение (9.55) связывает заданные Q,
с числом опытов m и может использоваться для планирования
испытаний.
В (9.55) входит величина р *, которая может быть определена
только по результатам испытаний. Поэтому принимается ожидаемое
значение р£, по которому ориентировочно определяется т. Выбор р£
производится на основе исследования изделий-аналогов. Значения рг
лежат в пределах 0,1—0,5. В том случае, если р* < р£, точность
оценки при фиксированной достоверности выше заданной. Если
р * > р£, точность оценки ниже; в целях повышения точности оценки
необходимо провести дополнительно Д?и опытов.
Итак, процедура планирования состоит из следующих этапов.
1. Вычисляют требуемое (из условий точности) значение коэффи-
циента Кн по (9.58).
2. По Приложению 14 для соответствующего Q находят значение
по выбранному pf, равное или близкое к вычисленному в п. 1.
3. По найденному значению определяют необходимое число
опытов т.
Обработка результатов. На основе непосредственных результа-
тов испытаний (m, , t2,.Тт) определяются Гс*, Тв, Ти и бг Точеч-
ная оценка Гс* вычисляется по (9.50). Доверительные границы
вычисляются с помощью Приложения 14. Для этого по (9.53) нахо-
дится точечная оценка of и по формуле рг = cf/TCp — точечная
оценка коэффициента вариации рг. Затем по Приложениям 14.А и
14.Б для соответствующего Q по значениям m и рт находятся коэффи-
циенты Кв и Кн, после чего по (9.56) определяются доверительные
границы. Относительная доверительная ошибка находится по (9.26).
Рекомендации к составлению программ. Как указывалось
ранее, для изделий с нормальным распределением Т должны оцени-
ваться два численных показателя: Р(т1), Р(т2) или Р(х), или Тср. Итак,
испытания дотжны распадаться иа две самостоятельные части. Объе-
динение этих частей испытаний может существенно сэкономить
ресурс, затрачиваемый иа испытания изделий.
342
Объединение испытаний прн оиенке P(Tj) и Р(т2). Известно, что
Т] <Тп. Планирование испытаний производится раздельно для P(t|) и
Р(тч). в результате чего определяются т} и т2 соответственно. Ясно,
что при равных Q и S, если Р(тj) > Р(т2), всегда справедливо соотно-
шение > т2. Программа испытаний составляется в расчете на т1
опытов; опыты нумеруются порядковыми числами от 1 до Затем
среди них заранее, до начала испытаний, произвольным образом (или
с помощью таблиц случайных чисел) назначаются т2 номеров опы-
тов, которые будут участвовать в обеих частях испытаний. В каждом
опыте фиксируется состояние изделий в момент времени t = Tjj после
этого продолжаются испытания на т2 образцах лишь иа тех машинах,
которые входят в обе части испытаний; в момент / = т2 вновь фикси-
руется состояние изделий. Эксперимент закончен. Подсчитывается
число опытов Jj, в которых в момент времени Tj были зафиксиро-
ваны отказы, и число опытов d2, в которых было зафиксировано
состояние отказа к моменту t = т2. Величины и di рассматриваются
как непосредственные результаты первой части испытаний, а т2 и d2 —
второй части. Объединение двух частей испытаний значительно
(почти в 2 раза) сокращает суммарный расход ресурса.
Объединение испытаний при оценке Р(т) и Гср. Планирование
производится раздельно, в результате чего определяется число опы-
тов тр [для оценки Р(т)] и тТ (для оценки Гср). Как правило, т < Гср,
вследствие чего при Sp всегда тр > тТ. Для совмещения испыта-
ний тр опытов нумеруются порядковыми числами от 1 до тр. Среди
них до начала испытаний произвольным образом отмечаются тТопы-
тов, которые будут участвовать в обеих частях испытаний. Прово-
зится тр опытов в течение времени т, если отказа не было, или до
отказа, если он возник до истечения времени т. Моменты отказов /|,
фиксируются в тех опытах, которые были заранее отмече-
ны. По истечении времени т продолжаются лишь те опыты, которые
были отмечены для участия в обеих частях испытаний, естественно,
при условии сохранения работоспособности; эти опыты продолжа-
ются до отказа всех изделий. Котичество отказов возникших до
истечения времени т, и число тР служат для оценки Р(х). Величины
отказов q, f2, , tn отмеченных при участии в обеих частях испы-
таний, используются для оценки Тср
243
В заключение рассмотрим вопрос о возможности и целесообраз-
ности замены испытаний до оценке Тс^ испытаниями по оценке Р(т),
где т может выбираться произвольно. Идея такой замены базируется
на том, что двухпараметрическое распределение, например нормаль-
ное, однозначно задается двумя параметрами, в качестве которых
можно выбирать как Р(т) и Гср, так и Р(Т|), Р(х2), ПРИ единственном
условии, что * т2- Поэтому задача оценки Р(т) и Zcp может быть све-
дена к оценке Р(т{) и Р(т2) с последующим пересчетом в оценку Гср.
По некоторым критериям такая замена целесообразна, например по
максимальной календарной продолжительности испытаний.
Пример 3. Проводится оценка показателен Р(х = 5 000) и двигателей
постоянного тока с нормальным распределением при следующих исходных
данных: Q = 0,8; Ър = 0,3; = 0,2; ожидаемый уровень РЕ (т = 5 000) = 0,93;
ожидаемая наработка ТЕ = 10 000 ч.
Планирование. Вечичины Рр{х) и ТЕ позволяют рассчитать ожидаемое
значение р£, необходимое для планирования испытаний для оценки Гсро Для
этого определяется среднеквадратическое отклонение:
- 0,5 + Ф(г) = 0,5 + ф(——) .
• °£ 7
После подстановки числовых значений
Р£(5 000) = 0.93 = 0.5 + фГ5000~ 10 °00) ;
X. O£ Z
5 000 10 000^
О£
По Причожению 2 находим при Ф(г) = 0,43; z = 1,48
. ло 5 000-10 000 а_оп
1,48 =------------; оА- = 3 380.
°£
Отсюда коэффициент вариации р£ равен
р£ = О£/Г£ = 3 380/10 000 = 0,338.
Далее проводится раздельное планирование испытаний для оценки Р(х) и
7^. По графикам рис. 9.5, б для Q = 0,8; Р£ = 0,93 н = 0,3 находится
тр = 190. В соответствии с (9.58) Кн = 1 - Ьт~ 0,8; по Приложению 14 д|Я
КИ = 0,8 и р£ = 0,338 определяется тт = 4 методом линейной интерполяции
Проведение испытаний и оценка результатов. Испытываются 190 машин
в течение 5 000 ч или до отказа, если отказы произойдут раньше. За время
т = 5 000 ч произошло 15 отказов Отмеченные для оценки Тчетыре машины
244
работали соответственно fj = 8 727 ч; /2 = 12 668 ч; fj = 10 145 ч; = 9 980 ч.
Производится оценка
Р*(т «= 5 000) = I - 15/190= 1 0,0789-0,9211.
Для значений Р(т) и т находятся доверительные границы Рл = 0,97 и
Рн = 0,95. Проверка точности эксперимента проводится по (9.29)
„ 1п0,95 - 1п0,9211
б'=—ьода!-------------°’28’
что соответствует установленным требованиям.
Точечная оценка в соответствии с (9.50) равна
_,ф 8 727+ 12 668+10 145 + 9 980 1П1ОП
=-------------4------------- = Ю ЗЬО ч
Верхнее и нижнее значения наработки на отказ определяются
Тв = КВТС* = 1,094 • 10 380 = 11 355,7 ч;
Тн = КНТС* = 0,905 • 10 380 = 9 393,9 ч.
Относительная доверительная ошибка эксперимента составляет
7\ 9 393 9
6r= 1 - = I - „Д’* = <',095
т 10 380
Требования к точности оценки Тср выполнены
9.11. Общая характеристика контрольных испытаний
Контрольные испытания на надежность проводятся для контроля
соответствия значений показателей надежности изделий требова-
ниям стандартов, технических условий или технического задания
При этом конечным результатом является одно из двух решений: при-
нять партию, считая надежность изделий удовлетворительной, или
забраковать контролируемую партию изделий как ненадежную.
Контрольные испытания представляют собой выборочный кон-
троль, поэтому при принятии решения возможны ошибка первого
рода, когда хорошая партия бракуется, и ошибка второго рода, когда
плохая партия принимается. Вероятность ошибки второго рода р
называется риском заказчика (потребителя); вероятность ошибки
первого рода а — риском изготовителя.
Как указывалось в § 9.5, существуют три основных статистиче-
ских метода контроля надежности: метод однократной выборки (оди-
ночный контроль); метод двукратной выборки (двойной контроль);
метод последовательного анализа. Каждый из этих методов может
быть оптимальным в том или ином случае.
Легче всего планируется контроль по методу однократной выбор-
ки. Одиако этот метод наименее экономичен. Контроль по методу дву-
245
кратной выборки более экономичен, ио это его главное преимущество
проявляется лишь при контроле больших партий с очень низкой или
очень высокой надежностью. Расчеты же более сложные, чем при
одиночном контроле; время, необходимое для испытаний, также
несколько больше. В итоге этот метод используется довольно редко.
Наиболее экономичен последовательный метод. Средний объем
выборки составляет обычно 50—70 % объема при одиночном контро-
ле. Однако время, требуемое для последовательного контроля, боль-
ше, чем в двух предыдущих. С этим недостатком можно успешно
бороться путем рациональной организации испытаний. Итак, кон-
трольные испытания на надежность серийно выпускаемых изделий
следует отнести к периодическим испытаниям. Методика контроль-
ных испытаний на надежность в самом общем случае должна содер-
жать перечень показателей надежности, подлежащих контролю,
а также по каждому показателю надежности следующие данные:
• приемочный уровень Ра и браковочный уровень
• риск заказчика р и риск изготовителя а;
• метод проведения испытаний;
• план испытаний;
• перечень параметров, характеризующих состояние изделия;
• условия испытаний (значения воздействующих факторов, их
последовательность, продолжительность и т.п.);
• решающее правило.
Контрольные испытания на надежность могут производиться
ускоренным методом, если определены:
• режим ускоренных испытаний;
• коэффициент ускорения или зависимость между показателями
надежности в нормальном и ускоренном режимах.
Остановимся на ускоренных испытаниях. Как уже говорилось,
сокращение времени испытаний может быть получено с помощью
использования форсированных режимов работы при воздействии
одного или нескольких факторов форсировки — эю ускоренные фор-
сированные испытания. Однако ускорение испытаний может быть
достигнуто и в нормальных режимах — это ускоренные испытания
в нормальных режимах. В какой ситуации может быть реализован
этот метод? Допустим, что изделие, обычно это усилители, преобра-
зователи или коллекторные узлы, характеризуется параметрическими
отказами и имеет непрерывную характеристику «вход-выход».
Выходной параметр в функции времени определяется по формуле
>= Уо + а(/ + ьо’2 +
(9.59)
246
либо
У = Уо + ао'а- <9-60)
Тогда изменение этого параметра за время работы изделия Av
будет Ду = у -у0 = arf + bGtG + ..., либо Ду = у -yQ = arfa. Если задано
допустимое изменение параметра Ду = 5, то можно найти среднее
время /н, необходимое для достижения отклонения S. Обозначим
5/а0 = V, тогда
^0
= v = t + _ t +
(9.61)
откуда
tH = v - bv2 + (2b3 - c)u3 (5b3-5bc -d)v4 + .... (9.62)
либо
/н=(&о0)1/а.
Для ускоренных испытаний устанавливают более узкие пределы
б’ = б/m, где т = 1,5ч-5,О. Тогда соответственно изменяется значение
67a0 = v', а следовательно, среднее время, необходимое для достиже-
ния б', будет равно
ty = V - b(v’)2 + (2b3 - c)(tX)3 - (5b3 - 5 be - d)(v')4 + ... (9.63)
или
ty = (v')I/a = (57a0)1/a, причем rH/ry = ml/a = ky.
Если Ду ~ aGty тогда
Гн/Гу = 6/6' = m = ky.
Соотношение fH/ry = m = Ary показывает, во сколько раз сокращается
время испытаний.
9.12. Основные положения методики
контрольных испытаний на надежность
Рассмотрим наиболее характерные позиции методики контроль-
ных испытаний. Заметим, что алгоритм методики может быть исполь-
зован и для проведения ускоренных испытаний иа надежность. Отли-
247
чие этой методики от других заключается в том, что время испытаний
сокращается в ку раз. Остальные параметры (Рр, с, d, р) одинакова
в обоих случаях.
Итак, методика контрольных испытаний иа надежность должна
включать следующие основные позиции.
А. Общие положения
1. Методика рассчитана на подтверждение вероятности безотказ-
ной работы изделия за время т, т.е. Р(т)
2. На основании данной методики проводятся контрольные испы-
тания на надежность для проверки соответствия вероятности безот-
казной работы Р(т) требованиям технических условий.
3. Периодичность контроля количественных показателей надежно-
сти устанавливается в технических условиях; контроль производится
также при различных изменениях в конструкции, технологии и т.п.
4. Комплектование выборки производится методом случайных
чисел. Для составления выборки используется таблица случайных
чисел.
5. Методика позволяет сократить время испытаний за счет форси-
рования режимов испытаний в случае ускоренных испытаний.
Б. Условия проведения испытаний
1. Образцы изделий для проведения контрольных испытаний иа
надежность отбираются из количества принятых техническим кон-
тролем завода с обязательным прохождением приработки.
2. Контрольные испытания иа надежность рекомендуется прово-
дить круглосуточно в форсированном режиме. Факторы и уровни
форсирования устанавливаются в результате проведения исследова-
ний по определению коэффициентов ускорения.
3. Во время испытаний проводятся регламентные и профилакти-
ческие работы, предусмотренные соответствующими инструкциями.
4. Ускоренные испытания являются циклическими. Уровни воз-
действующих факторов выбираются такими, чтобы обеспечить
заданный коэффициент ускорения. Значение коэффициента ускоре-
ния задается в зависимости от интервала варьирования факторов,
предполагаемой продолжительности испытаний и корректируется
возможностью его реализации иа стендах предприятия.
248
В. Планирование испытаний
1. Перед проведением испытаний должны быть установлены риск
заказчика р при планировании по одному уровню, вероятность безот-
казной работы Р(т), подлежащей проверке за время т.
2 При планировании испытаний должны быть фиксированы
объем выборки п, допустимое количество отказавших изделий (прие-
мочное число) с. В целях сокращения объема выборки рекомендуется
принимать число с = 0; 1; 2.
3. При увеличении времени испытаний /н по сравнению с требуе-
мым т (Гн > т) объем выборки уменьшается.
4. При планировании по одному уровню в зависимости от усло-
вий испытаний имеют место две различные ситуации:
а) предприятие располагает необходимым количеством изделий
п*, для проведения испытаний;
б) предприятие не располагает необходимым количеством изде-
лий.
5. Если предприятие располагает необходимым количеством
изделий, алгоритм испытаний следующий:
• для некоторого количества испытуемых изделий п* задаются
приемочным числом с и по таблицам Приложения 15 определяют
Рр(/И), которая может быть проверена при контрольных испытаниях
я* изделий для соответствующего значения р;
• выполняется условие Рр(т) < Рр(/Н), где Рр(т) — заданная тех-
ническими условиями вероятность безотказной работы за время т;
^р^и)— вероятность безотказной работы при испытаниях п* образцов;
• для заданного числа отказов с и Рр(/И) проверяется необходи-
мое для испытаний количество изделий п <. п* (здесь п — объем
выборки, найденный по таблицам Приложения 15 для соответствую-
щего значения р);
• все п изделий испытываются в течение времени /н = т и по
результатам испытаний подтверждают или отклоняют выдвигаемую
гипотезу. Если число отказов при испытаниях d<, с, то результат поло-
жительный, если d> с, то результат отрицательный.
Пример 1. Необходимо подтвердить Рр(т) = 0,9 при р = 0,3 за т = 5 000 ч.
Решение. В наличии имеется 20 изделий. По таблицам Приложения 15
Для р = 0,3 при с = 1 и Рр(т) = 0,9; п = 24; при с = 0, п = 11. Принимается план
испытаний п = 11, с = 0.
6. Предприятие не располагает необходимым для испытаний
количеством изделий (и > «•). В этом случае увеличивают время
испытаний, т.е. /н > т. При этом необходимо определить:
249
а) по соответствующей для р таблице и имеющимся и*
изделиям;
б) функцию нормального распределения
Ф(з) = Рр(т)-0,5; (9 64)
для функции Ф(д) по Приложению 2 находят z;
в) функцию нормального распределения для Fp(/H)
Ф(гУ = Рр(/и)-0,5.
Из Приложения 2 по Ф(г)' определяют z';
г) среднеквадратическое отклонение
Г~1 1
’ 1= I
где — среднее значение времени работы изделий:
Средне квадратическое отклонение определяется данными экс-
плуатации, ресурсными испытаниями, иными испытаниями в одина-
ковых условиях;
д) время испытаний ги для подтверждения Р(т) определяется из
выражения
/H = o(z-z')- (9.65)
Испытания проводятся в течение времени tw Результаты считаются
положительными, если d<. с.
Пример 2. Необходимо подтвердить Р(т) = 0,9 при заданном р = 0,3 за
т = 10 000 ч. Предприятие выделяет восемь изделий для испытаний. Извест-
но, чю 0 = 2 000 ч.
Решение:
а) по Приложению 15 для р = 0,3; п = 8 и с = 0 находим Рр(/И) = 0,85,
б) O(z) = Р(х) 0,5 = 0,9 0,5 = 0,4; по Приложению 2 находим z = 1,28,
в) Ф(-)' = Рр(/Н) - 0.5 = 0,35; по Приложению 2 z'= 1,04,
г) /и = т+ o(z-z')= 10 000 + 2 000(1.28 1,04)= 10480;
д) итак, в течение 10 480 ч испытываются восемь изделий, причем дзя
подтверждения Р(х) ~ 0,9 при р = 0.3 не должно выйти из строя ни одного
ИЗДС 1ИЯ (с = 0).
7. Планирование испытаний при проверке двух значений вероят-
ности безотказной работы. Время !И и (значения и /н^ иесле-
дует брать слишком близкими, f >Г ):
иэ и,
250
а) определяется функция нормального распределения
Ф(г) = Р(т) - 0,5.
По Приложению 2 для Ф(г) находим z;
б) по значениям z, mt = т находим
°R — ----- •
Р Z
где тх — математическое ожидание; т — время, заданное в техниче-
ских условиях; Гр — браковочное среднее время безотказной работы;
в) определяются Zj и z2
тх~1и, mx-rH2
2 — 2 —
По Приложению 2 находим Ф(г0 и Ф(г2);
г) определяются Р1р(*М|) и
₽('«,) =ф(-1) +0,5; Лр(/И2) =Ф(-2) + 0,5;
д) по Приложению 15 для соответствующих р, Рр(Ги) и приемоч-
ного числа с определяются объемы выборок Л| и п2\
е) оценка результатов испытаний для уровней /и и с объе-
мами выборок Л| и л2 производится следующим образом. На испыта-
ния устанавливается изделий, из которых перед началом испыта-
ний выделяется группа из л2 изделий. Проводятся испытания. По
истечении времени г в выделенной группе Л] фиксируется число
отказов и проверяется соотношение dx < q. Если это соотношение не
выполняется, то испытания прекращаются, а результат считается
отрицательным. При dx < Cj испытания продолжаются на п2 изделиях
группы в течение времени /н^. Затем фиксируется число наступив-
ших отказов. Если d2 < с2, то результат положительный.
Пример 3. Необходимо подтвердить Рр(т) = 0,9 для т = 10 000 ч; 0 = 0.3;
13 000 ч.
Решение:
а) принимается /н^ = 12 000 ч и /н = 14 000 ч;
б) функция нормального распределения
Ф(г) = Р(т) 0,5 = 0,4, z = 1,28;
251
В)
о =
Г)
д)
среднеквадратическое отклонение
13 000-10 000 п,л, ,
1“ =---------М8------=2 343’7;
значения Zj иг2 для и
13 000-12 000
21 =~1343?7 =°’426;
11 000-12 000 Лд_,
2= = ~ 2343,7 =“°’426;
функция нормального распределения: Ф(£|) = 0,1628;
Ф(-х1) = -Ф(7|) = 0,1628;
значения P|P(fH|) и РгрОнР
Р1₽(/и ) =0.5+ 0(2,) = 0,6628;
РцА? = 0,5+ Ф(;2) = 0,3372;
ж) по соответствующей таблице для р = 0,3 определяется объем выборки
И| = 4 при с = 0; п2 = 2 прн с - 0;
з) проводятся испытания в соответсзвии с п. 7с (см. с. 251).
С)
9.13. Метод последовательного анализа
Как уже указывалось, целью контрольных испытаний является
подтверждение либо отклонение гипотезы о том, что какая-либо
характеристика надежности больше или меньше заданной техниче-
скими условиями. Вообще, в основе проверки статистических гипо-
тез лежит понятие об основной и конкурирующей гипотезах.
На основании выбора основной и конкурирующей гипотез все про-
странство событий разбивается на два подмножества. Если наблюдае-
мая выборка попадает в первое подмножество, то основная гипотеза
отвергается и принимается конкурирующая. Наоборот, если выборка
попадает во второе подмножество, то основная гипотеза принимает-
ся, отвергается же конкурирующая. Обозначим основную гипотезу
а конкурирующую — Н\. Принимая решение о верности той или
иной гипотезы, мы можем допустить ошибку первого рода — откло-
нить верную гипотезу Нц и ошибку второго рода — принять ложную
гипотезу Н}.
Вероятность ошибки первого рода — а, второго рода — р. При
выборе критической области для принятия и отклонения Hq исполь-
зуется принцип Неймана—Пирсона. Согласно этому принципу при
заданной вероятности а необходимо выбрать такую критическую
252
область из множества, для которой вероятность р будет минимальной.
Таким образом, ошибка второго рода р есть функция от а и определя-
ется на основе принципа Неймана—Пирсона. При планировании кон-
трольных испытаний постановка задачи такова: заданы а и р, на
основании принципа Неймана—Пирсона определяется необходимое
количество изделий и, которые должны быть испытаны, чтобы под-
твердить или отклонить основную гипотезу.
Идея метода последовательного анализа заключается в том, что
при заданных аир количество испытываемых изделий заранее не
фиксируется, а зависит от исхода наблюдений. Устанавливается пра-
вило, которым руководствуются на каждой стадии эксперимента при
принятии одного из решений: принять основную гипотезу, принять
конкурирующую гипотезу, продолжить испытания. Выбор трех кри-
тических областей основан на последовательном критерии отноше-
ния правдоподобия.
На основании накопленного опыта установлены некоторые нор-
мы, которые дают низкое значение риска изготовителя и не требуют
чрезмерных затрат на испытания. В техническое задание при этом
включаются как нормы надежности:
Га — среднее время наработки на отказ, которое соответствует
риску изготовителя а, это приемочное значение наработки на отказ;
Гр — среднее время наработки на отказ, которое соответствует рис-
ку заказчика р, это браковочное значение наработки на отказ (Га > Гр).
Определим необходимое время испытаний. Выбор трех критиче-
ских областей основан на последовательном критерии отношения
правдоподобия
До тех пор, пока у > р/( 1 - а), решение о приеме партии является
необоснованным и, наоборот, пока у < (1 — р)/а, решение об отбра-
ковке необоснованно. Здесь (1 - а) — вероятность приема хорошей
партии; (1 - р) — вероятность отбраковки плохой партии. Итак, пока
выпотняется неравенство
(Q-67)
e I — а а
испытания необходимо продолжать.
Если же неравенство так или иначе нарушается, то испытания пре-
кращаются с принятием решения:
• если нарушается левая составляющая, то принимается решение
0 приемке;
• если нарушается правая составляющая, то партия бракуется.
253
Рассмотрим организацию последовательных испытаний на при-
мере экспоненциального закона
Г(0 = ХеХ',
где к = 1/71
Критерий отношения правдоподобия равен
(9.68)
Значение у подставляется в неравенство (9.67), логарифмируется,
производятся алгебраические операции. Окончательно выражение
примет вид
In—+ rln —
1-<х %
J___1_
То тп
р а
- In ——B + rln-2
« гр
J_____1^
h та
(9.69)
где г— количество отказавших изделий.
Приравняв левую часть к /, получим выражение для решения
о приемке; приравняв правую часть к Г — решение об отбраковке.
Значение Га выбирают равным Та = кТр где к - 1,54-3,0. Если произ-
вести замену
а =
in-L
1 -а
Т
1п ——
1 1
То Та
ь = -^±
In——
ГР
то испытания ведутся до тех пор, пока г < а + bl, при этом выносится
решение о приемке; если же в результате испытаний г > с + bt, выно-
сится решение об отбраковке. Испытания продолжаются, если
а + bt < г < с + bt.
Используя метод последовательного анализа, задачу можно
решить графическим способом. Строятся границы отбраковки в соот-
ветствии с уравнениями, приведенными на рис. 9.6:
г' = с + bt\ г" = а + bt.
По этим уравнениям строится ступенчатая линия г - f(t)9 соответ-
ствующая времени возникновения очередных отказов. Если в про-
цессе испытаний линия г =f(t) пересечет нижнюю границу, то иссле-
дуемая партия изделий принимается; если верхнюю — бракуется.
254
Рис. 9.6. График испытаний по методу последовательного анализа
При планировании испытаний необходимо внимательно подхо-
дить к сокращению времени испытаний. Действительно, если изде-
лия (электрические машины) испытывать одно за другим, то суммар-
ное время испытаний чрезвычайно возрастает, т.е. ~ ntE, где п —
число испытываемых изделии; tE— ожи даемое среднее календарное
время испытаний одного изделия. Поэтому для сокращения времени
испытаний используются следующие приемы.
1. Если за установленное время испытаний /прел ~ 10-ь 12)
не может быть принято решение, то либо изменяют (увеличивают)
значения аир, либо принимают решение об оценке ситуации отно-
сительно прямой bt. Если bt, т.е. выше,то выносится решение
об отбраковке, если г - j\t) < fez, т.е. ниже, то выносится решение
о приемке.
2. Заранее принимается решение об усечении (ограничении)
последовательного анализа. При этом методика предполагает одно-
временное испытание всех образцов изделий с фиксацией отказов
в моменты их возникновения. Параметры усечения гусеч и Zycc4 опре-
деляются по соответствующим таблицам ГОСТ 27.410—89. Если гра-
фик последовательных испытаний г = /(/) достигнет отрезка АВ,
то выносится решение о несоответствии надежности партии техниче-
ским требованиям; если достигается отрезок ВС, то партия изделий
принимается (см. рис. 9.6).
9.14. Статистическая обработка данных эксплуатации
и оценка законов распределения
Наиболее объективным, хотя и весьма трудоемким, способом
получения информации о надежности технических изделий является
сбор и статистическая обработка данных эксплуатации При этом
опредечяется вид функции плотности распределения, вычисляются
255
По Приложению 6 для доверительной вероятности 0 - 0,95 и числа сте-
пенен свободы г = к 2 = 4 - 2 = 2 (после объединения трех последних интер-
валов общее число интервалов г = 4) находим значение /2 - 6,0. В ситу того
1
что рассчитанное значение х" = 1,29 < 6,0, гипотеза об экспоненциальном
распределении отказов принимается.
Проверка гипотезы о равномерном распределении по критерию
Пирсона. Чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении,
т.е. по закону
Ях) =
1 / ..ч
7-----в интервале (а, Ь);
b - а
0 вне интервала (а, Ь),
необходимо:
1. Оценить параметры а и b — концы интервала, в котором наблю-
дались события, по формулам
а*=х-73о*, 6*=х+73о*, (9.70)
где а*, Ь* — оценки параметров; х — выборочная средняя (оценка
математического ожидания); о* — оценка среднеквадратического
отклонения. Оценки х и о* вычисляются по формулам (2.17), (2.20).
2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения
Дх)=1/(6*-л*).
3. Найти теоретические частоты N$)m по формулам
NoPi =
N0Pl =
NoP3 =
(9.71)
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты по критерию
Пирсона с доверительной вероятностью 0 и числом степеней свободы
г = к — 3, где к— число интервалов, на которые разбита выборка.
Итак, алгоритм требуемых расчетов аналогичен предложенному
в табл. 2.2 и 9.1 с той лишь разницей, что теоретические значения час-
тот вычисляются по (9.71), а границы интервала — по (9.70).
258
Пример 2. От 2 до 22 ч фиксировались включения электродвигателей
цеха. В итоге было получено эмпирическое распределение, приведенное
в табл. 9.3: в первом столбце — данные интервалы времени в часах, во вто-
ром — число включений в данном интервале. Требуется с доверительной
вероятностью 0 = 0,95 проверить гипотезу о равномерном распределении
событий. Всего было зафиксировано Aq = 200 включений двигателей
Решение В соответствии с (9.70) найдем оценки параметров а и 5, пред-
варительно рассчитав по (2.17) и (2.20) значения
х= 12,31; и* = 5,81; а* = 12,31 - 1,73 • 5,81 = 2,26;
£>• = 12,31 + 1,73-5,81 =22,36.
Плотность предполагаемого равномерного распределения:
/(х) = !/(£>* - а*) = 1/(22,36 - 2,26) - 0,05.
По формуле (9.71) найдем теоретические частоты AqPw (столбец 3):
VqP] = 200 0,05(4 2,26) = 17,4; N^2 = 200 • 0,05(6 4) = 20. Все последую-
щие (с третьей по девятую) теоретические частоты равны ибо для всех
^=2, т.е. /Vop3 = /V0p4 = ... =Л0р9 = 20; /V0p|0 = 200 • 0,05(22,36-
20) = 23,6.
Данные в столбцах 4, 5 рассчитываются по известным формулам. После
суммирования данных столбца 5 получаем = 7,17. По Приложению 6 для
“2 2
р = 0,95 и г = к 3=7 найдем х = 14,1. Так как рассчитанное значение х
меньше табличного (7,17 < 14,1), гипотеза о равномерном распреде 1снии
подтверждается.
Таблица 9 3
Пример расчета
Номер п/п Д/, N0Pm z2
1 2 3 4 5
1 2-4 21 17,4 13,69 0,79
э 4—6 16 20 16 0,80
3 6 8 15 20 2 1,25
4 8-10 26 20 36 1,80
5 10- 12 22 20 4 0,20
6 12—14 14 20 36 1,80
7 14—16 21 20 1 0,05
8 16—18 22 20 4 0,20
9 18—20 18 20 4 0,20
10 20—22 25 23,6 1,96 0,08
X2 = 7.17
259
Проверка гипотезы о логарифмически-нормальном распределении
по критерию Пирсона осуществляется аналогично проверке гипотезы
о нормальном распределении по алгоритму табл. 2.2 со следующими
изменениями: оценки дисперсии и математического ожидания произ-
водятся по (3.32), расчет Фт (столбец 4) по формуле (3.32а). Вид диф-
ференциальной функции распределения записывается в соответствии
с (3.31).
Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по
закону Вейбулла осуществляется аналогично проверке гипотезы об
экспоненциальном распределении со следующими изменениями:
число степеней свободы г ~ к - 3, дифференциальная функция распре-
деления соответствует (3.25), оценки параметров распределения А.о и
к осуществляются до формулам:
к к
Р(Г1) = е ; Р(/,) = е (9.72)
Значения P(tx) и P(Iq) рассчитываются на основании данных выбо-
рочной совокупности по (3.1), после чего дважды логарифмируются
выражения (9.72).
9.15. Ускоренные испытания на надежность
Срок службы современных электрических машин составляет ино-
гда десятки тысяч часов. Все испытания на надежность как определи-
тельные, так и контрольные, весьма продолжительны и дорогостоя-
щи. Проблему сокращения длительности испытаний можно решить
проведением ускоренных испытаний на надежность. Ускоренные
испытания электрических машин проводятся в специальных услови-
ях, которые характеризуются повышенным уровнем некоторых воз-
действующих факторов. Эти факторы называются факторами фор-
сировки. К ним относятся: повышенная температура, повышенная
вибрация, частота вращения, частота пусков, повышенная влажность,
удельное нажатие и плотность тока под щеткой, запыленность и др.
Ускоренным испытаниям предшествуют исследования по опреде-
лению коэффициента ускорения ky Как уже упоминалось, коэффици-
ент ускорения есть отношение времени работы машины в нормаль-
ных условиях ко времени работы в форсированных режимах при
одинаковой вероятности безотказной работы. Из определения сле-
дует необходимость соблюдения адекватности законов распределе-
ния в нормальных и форсированных режимах. Это означает, что при
форсированных режимах не должна нарушаться физика процессов
старения и износа материалов и конструкции электрических машин.
260
При ускоренных испытаниях на надежность количество факторов
форсировки обычно варьируется от двух до четырех. Для получения
зависимостей коэффициента ускорения в функции факторов форси-
ровки необходимо реализовывать специальные планы, которые
составлены согласно математической теории планирования экспери-
ментов [11, 19]. Функциональные зависимости записываются в поли-
номиальном виде:
для планов первого порядка
у = bG + Zbf X' + Zbtj xt Xj9 (9.73)
для планов второго порядка
У ’ b0 + Ujxi + l.bvX'Xj + х,2 (9.74)
Зависимость коэффициентов ускорения от факторов форсировки
ку = /(хг) находится после математической обработки. Графическое
изображение типичной зависимости ку =f(x^ (для двигателей посто-
янного тока от 1 до 10 кВт) показано на рис. 9.7. Здесь коэффициент
ускорения является функцией трех факторов: температуры 0, частоты
вращения п и вибрации. На рис. 9.7 показаны два уровня вибрации
с двойной амплитудой 2А = 80 и 130 мкм и три уровня частоты вра-
щения: 3600, 4000, 4200 об/мин. Аналитическое выражение имеет
следующий вид:
у = 0,0575 + 0,0112*, + 0,0225х2 + 0,002х3, (9.75)
где Х| — температура; х2 — вибрация; х3 — частота вращения; у —
коэффициент ускорения (все величины закодированы).
Для проведения исследований по определению коэффициента
ускорения должны быть решены следующие задачи.
1. Разбиение исследуемой сис-
темы на отдельные подсистемы.
2. Установление факторов,
воздействующих на отдельные
узлы электрической машины, и
определение совокупности фак-
торов, которые должны быть вос-
произведены при ускоренных
испытаниях.
3. Установление предельных
значений основных воздействую-
щих факторов.
4. Выбор контрольных пара-
метров и установление критериев
работоспособности и отказа.
Рис. 9.7. Зависимость коэффициента
ускорения ку от факторов форсирова-
ния: температуры © °C, вибрации 14 и
частоты вращения
261
5. Разработка плана испытаний по определению коэффициентов
ускорения.
6. Реализация заданных уровней форсирования в соответствии
с матрицей планирования эксперимента.
7. Обработка результатов.
Проанализируем каждый из пунктов, используя в качестве при-
мера машину постоянного тока.
1. Разбиение исследуемой системы на отдельные подсистемы.
Машину постоянного тока как систему можно разбить на отдельные
подсистемы, а именно: подшипниковый узел, коллекторно-щеточный
узел, обмотки статора и ротора.
2. Установление факторов форсировки. В общем случае в зави-
симости от характера воздействия факторы можно разбить на три
группы:
W — случайные факторы, к которым можно отнести отклонение
геометрии магнитной системы, расстройство коммутации, всплески
токов, эксцентриситет коллектора, эллиптичность коллектора, ослаб-
ление коллектора, отклонение в технологии изготовления коллекто-
ров и шеток, перекос щеток в щеткодержателях и др.;
С — постоянные, не изменяемые в процессе исследования факто-
ры, к ним относятся конструкции коллекторного узла, применяемые
материалы, марка щеток, конструкция щеткодержателя;
X— изменяемые, контролируемые факторы воздействия, к ним
можно отнести температуру, влажность, кислотность и запыленность,
вибрацию, давление на щетку, плотность тока под шеткой, частоту
пусков, частоту вращения, величину нагрузки, время непрерывной
работы.
Факторы групп W и С в основном определяются конструкцией,
технологией, настройкой машины, а также ее эксплуатацией. При
реализации планов теории эксперимента факторы групп W и С авто-
матически учитываются в уравнениях регрессии.
3. Установление предельных значений основных воздействующих
факторов. Воздействующие факторы группы X могут изменяться
в достаточно широких пределах. Для получения наибольших коэф-
фициентов ускорения режимы испытания должны быть более жест-
кими, но бесконечно увеличивать форсирование нельзя, так как нару-
шается физическая картина процессов старения. Опыт создания
методик ускоренных испытаний показывает, что коэффициент уско-
рения не должен превышать 12—15 (в некоторыч_случаях 20). Выбор
интервалов варьирования параметров группы X является сложной
задачей и основывается на данных технических условий, лаборатор-
ных испытаниях, анализе объекта в целом. Заметим, что после прове-
дения предварительного эксперимента интервалы варьирования
262
уточняются. Итак, ориентировочно предельные значения для машнн
постоянного тока: температура коллектора — до 150 °C; частота вра-
щения — до 1,5 номинальной; влажность окружающего воздуха — до
98 %; двойная амплитуда вибрации — не более тройной от номинала;
плотность тока под щеткой — до 12 А/см .
4. Выбор контрольных параметров и установление критериев
отказа. Это одни нз наиболее важных моментов, так как единого
информативного критерия, характеризующего работу узла, практиче-
ски иет.
Как пример рассмотрим критерии работоспособности коллектор-
ного узла. К иим можно отнести биение (статическое и динамиче-
ское), искрение, величину и скорость износа щеток, температуру кол-
лектора, ширину безыскровой зоны, переходное сопротивление
щеточного контакта, падение напряжения в щетках. Критерии отказа:
превышение допустимого уровня искрения, скорость износа щеток
илн величина износа щеток, износ коллектора выше допустимого,
существенное превышение допустимой температуры коллектора.
5. Разработка плана испытаний по определению коэффициентов
ускорения. Функциональные зависимости, связывающие коэффици-
ент ускорения и факторы форсирования, находятся с помощью мето-
дов теории планирования эксперимента. При этом используются
планы первого порядка — полный факторный эксперимент (ПФЭ),
дробный факторный эксперимент (ДФЭ); планы второго порядка —
рототабельный (РЦКП) и ортогональный (ОЦКП). Планы первого
порядка используются для описания объектов близких к линейным,
планы второго порядка — при нелинейных объектах. Перед проведе-
нием испытаний должны быть осуществлены следующие процедуры:
выбор параметра оптимизации (выходного параметра); выбор факто-
ров форсирования (они не должны быть закоррелированы); выбор
центра плана, уровней и интервала варьирования факторов; выбор
схемы планирования.
Пункты 6 и 7 реализуются в соответствии с методами теории пла-
нирования экспериментов (см. гл. 11).
9.16. Краткая характеристика испытательного оборудования
При ускорении испытаний осуществляется форсирование воздей-
ствующих факторов, однако при этом не должна изменяться физиче-
ская сущность старения испытываемой машины в целом, а само уско-
рение процесса старения или износа должно оставаться неизменным
для всех узлов машины В противном случае ускоренные испытания
не будут соответствовать физическим процессам, происходящим
в машине, работающей в нормальных условиях, и не позволят досто-
263
верно определить ее надежность. Поэтому значение коэффициента
ускорения не должно превышать 20 (исключение составляет изоля-
ция обмотки некоторых типов машин, для которых берутся большие
значения коэффициента ускорения), а аппаратура, применяемая при
испытаниях, должна соответствовать стандарту на общие методы
испытаний.
Планирование испытаний ведется с учетом закона распределения
отказов, известного риска заказчика, ресурса двигателя и вероятности
безотказной работы за ресурс. Цель планирования ускоренных испы-
таний на надежность — оптимальный выбор объема выборки, вре-
мени испытаний и режима испытаний (испытательной температуры
обмоток и подшипников, вибраций и нагрузки на подшипники) по
рассчитанным коэффициентам ускорения.
Испытательное оборудование должно обеспечить необходимую
частоту пусков, уровень вибрации, температуру отдельных узлов и
нагрузку иа подшипники. Испытания проводятся, как правило, на
специальных испытательных стендах.
Подготовка двигателей к ускоренным испытаниям состоит в уста-
новке температурных индикаторов в лобовые части обмоток статора
и на наружные обоймы подшипников для контроля температуры во
время испытаний, закладке термостойкой смазки, установке регули-
руемого небаланса для обеспечения требуемого уровня вибрации,
а также в проведении приработочных испытаний в течение 100 ч при
номинальном значении воздействующих факторов. Вышедшие из
строя во время приработочных испытаний двигатели заменяются на
новые, а отказ во время приработочных испытаний при обработке
результатов испытаний не учитывается.
Иногда проведение испытаний предусматривается в два этапа.
Первоначально двигатезь подвергается форсированным воздейст-
виям коммутационных перенапряжений за счет увеличения частоты
пусков, температуры, вибрации и механической нагрузки на подшип-
ник в течение времени, эквивалентного одному году нормальной
работы. Затем проводится увлажнение обмоток в камере влажности
с последующим воздействием росы. Камера алажности, в которую
помещаются двигатели после каждого цикла испытаний, должна
обеспечивать автоматическое поддержание влажности воздуха до
100% при температуре 20—40 °C при достаточном для испытаний
рабочем объеме. В камере влажности производится в два этапа
увлажнение обмоток, для чего двигатели сначала в течение 16 ч дер-
жат в камере при температуре 30 °C и относительной влажности 94—
98 %, а затем температура снижается до появления росы. В этих усло-
виях двигатели выдерживаются в камере влажности еше в течение
определенного времени (обычно 8—10 ч).
264
Заданная частота пусков (реверсов) двигателя обеспечивается с
помощью мультивибратора, программного устройства или реле вре-
мени. Испытательная температура может быть достигнута несколь-
кими путями в зависимости от режима нагрузки испытываемой
машины. В случае непосредственной нагрузки электрических машин
преимуществами обладает метод взаимной нагрузки, поскольку ои
позволяет одновременно испытывать две машины. При этом испыта-
тельная температура может достигаться за счет выбора частоты пус-
ков (реверсов), если это не противоречит предыдущему требованию
Если частота пусков (реверсов) не позволяет обеспечить заданную
температуру, то воздействуют на схему вентиляции путем увеличе-
ния ее гидравлического сопротивления. Расход охлаждающего агента
при этом уменьшается, а температура при неизменных потерях воз-
растает.
Для машин со степенью защиты 1Р44 и выше уменьшают сечения
отверстий в кожухе вентипятора, а у машин со степенью защиты IP23
уменьшают сеченне отверстий для входа и выхода охлаждающего
агента в корпусе и подшипниковых щитах.
Для некоторых машин могут использоваться схемы искусственной
нагрузки, аналогичные приведенной на рис. 9.8. Испытание ведется в
режиме холостого хода (пуск осуществляется при схеме соединения
обмотки статора в звезду). После окончання пуска начало обмотки
одной из фаз через резистор Лнг соединяется с нулевой точкой. Регу-
лированием величины Л|1Г добиваются требуемого в обмотках тока.
Электрическая схема более сложная, чем в предыдущем случае, но
отпадает необходимость в нагрузочных устройствах. Ориентиро-
вочно сопротивление резистора определяется по формуле
Л..г=7Г-гФ- <9-76>
где U4 — линейное напряжение двигателя, В; /н — его номинальный
фазный ток, А; Гф — активное сопротивление обмотки фазы, Ом.
Рис. 9.8. Электрическая схема испытаний:
а — на холостом ходу; б с искусственной нагрузкой
265
Схемы искусственной нагрузки желательно применять при малом
числе пусков. Если нельзя обеспечить требуемую температуру путем
регулирования /?нг, то прибегают к изменению схемы вентиляции, как
и в предыдущем случае.
Для машин, работающих в повторно-кратковременных режимах,
добиться требуемого значения температуры обмоток можно при
работе в режиме холостого хода за счет увеличения (по сравнению
с номинальным) числа пусков (реверсов).
Получение заданной вибрации может быть осуществлено двумя
путями: искусственным дисбалансом вращающихся частей электри-
ческой машины или применением специальных вибростендов. Пер-
вый способ применяется для машин средней и большой мощности.
Если испытание проводится в режиме нагрузки, то дополнительный
груз устанавливается на шкив, соединительную муфту и аналогичные
детали. Выбором груза добиваются требуемого класса вибрации.
Если испытание проводится в режиме холостого хода, то дополни-
тельный груз устанавливается иа внешнем вентиляторе, а в случае его
отсутствия — на роторе или на шкиве, с помощью которого осущест-
вляется заданная нагрузка иа подшипник. Применение искусствен-
ного дисбаланса позволяет получить заданный уровень вибрации, но
изменяет ее частотный спектр, поскольку указанный уровень будет
обеспечиваться за счет составляющей с частотой / = л/60, где п —
рабочая частота вращения, об/мин. Кроме того, эта вибрация одно-
компонентная, так как она содержит лишь радиальную состав-
ляющую.
Для машины небольшой мощности требуемый уровень вибрации
устанавливается с помощью вибростенда, на котором можно одновре-
менно разместить несколько машин. Под вибростендом понимается
комплект оборудования, включающий возбудитель колебаний, пульт
управления с контрольно-измерительной аппаратурой, устройства
для регулирования или автоматического поддержания режима коле-
баний. Вибростеиды по типу возбудителя колебаний делятся на меха-
нические, магнитомеханические, пьезострикциониые, гидравличе-
ские, электрогидравлические, магнитогидравлические и магнитогид-
родинамические. Отечественная и зарубежная промышленность
выпускает широкую гамму вибростендов.
Применение вибростенда позволяет получить трехкомпоиентную
вибрацию заданного частотного спектра. На практике, однако, огра-
ничиваются, как правило, однокомпонентной вибрацией. Что каса-
ется частотного спектра, то по виброграмме испытываемой в нор-
мальных условиях машины определяют частоту, вносящую наиболь-
ший вклад в общий уровень вибрации, и усиливают при форсирова-
нии вибрации именно ее. Указанные обстоятельства позволяют при
266
использовании вибростенда добиться лучшего соответствия нормаль-
ного и форсированного режимов.
Для машин небольшой мощности класс вибрации обычно не пре-
вышает 2,8, а при форсировании — 7,0. Последняя цифра соответст-
2
вует уровню вибрации 103 дБ и вибрационному ускорению 42 м/с .
Частота вибраций доходит до 1—2 кГц. Анализ данных позволяет
сделать вывод о применимости для ускоренных испытаний электро-
динамических вибростендов. Механические и гидравлические вибро-
стенды обеспечивают заданный уровень вибрации, ио имеют неболь-
шую максимальную частоту (150—300 Гц).
Требуемая нагрузка на подшипник в случае непосредственной
нагрузки электрической машины может устанавливаться натяжением
ремней клино- и плоскоременной передачи. Если испытание ведется
в режиме холостого хода, то на вал двигателя через подшипник наде-
вается неподвижная оправка с регулируемым радиальным усилием.
Возможны и другие конструктивные схемы создания радиальной
нагрузки.
9.17. Пример методики ускоренных испытаний
электрических машин на надежность
Рассмотрим методику ускоренных испытаний асинхронных кра-
новых двигателей. Асинхронные крановые двигатели работают
в кратковременных и повторно-кратковременных режимах с ПВ = 15,
25, 40, 60, 100 % и должны иметь вероятность безотказной работы,
равную 0,95, в течение гарантийного срока 2 года. Основная причина
отказов этих двигателей — повреждение изоляции, поэтому форсиру-
ются воздействующие на обмотку факторы: температура, коммутаци-
онные перенапряжения (форсирование за счет увеличения числа
включений) и увеличенная вибрация. Увеличение числа включений
приводит к пропорциональному увеличению числа ударных момен-
тов (усилий), действующих на обмотки двигателя.
Планирование контрольных испытаний проводят по данным
табл. 9.4, по которой при известном риске заказчика р, приемочном
числе с и вероятности безотказной работы за время испытаний P(fH)
определяют объем выборки п. Для уменьшения объема выборки
время испытаний берется в пределах /р < /н < 2,5/р. Величина Р(/н)
берется по табл. 9.4 при известном К = tK/tp и Р(гр). Если величина /Н/Гр
не совпадает с табличной, то вероятность безотказной работы опре-
деляют линейной интерполяцией. Принят экспоненциальный закон
распределения отказов во времени.
267
Таблица 9 4
Планирование, контрольных испытаний
P[tK) При Р('р)
0,95 0,93 0.91 0,90 0,85 0,80 0.75 0,70
1.0 0,9500 0,9300 0,9100 0.9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000
1,2 0,9403 0,9166 0,8930 0,8812 0.8232 0,7651 0,7081 0,6518
1,5 0,9259 0.8969 0,8681 0,8538 0,7837 0,7155 0,6495 0,5857
2,0 0,9025 0.8649 0,8281 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900
2,5 0,8796 0,8340 0,7900 0,7682 0,6661 0,5724 0,4847 0.4100
Выборка из п двигателей комплектуется по таблице случайных
чисел из серийных двигателей, прошедших приемосдаточные испы-
тания
Испытания проводятся в режиме холостого хода. Испытательную
температуру обмоток и подшипников (табл. 9.5) устанавливают выбо-
ром частоты реверсирования двигателей. За счет реверсирования
в ряде случаев удается получить требуемый уровень вибрации
(табл. 9.6). Если уровень вибрации недостаточен, то создают искусст-
венный небаланс вращающихся частей или регулируют жесткость
амортизатора. Анализ табл. 9.5, 9.6 показывает, что температура
обмоток берется на 30 °C выше длительно допустимой для данного
класса нагре во стой кости изоляции, а вибрационная скорость — на
один класс выше номинальной.
Таблица 9.5
Температура испытании
Обмотка Подшипник
класс изоляции температура испытаний, °C температура испытаний, °C, не более
Е 150 95
В 160 105
F 180 120
Н 210 135
Таблица 96
Уровень вибрации
Высота оси вращения, мм До 80 От 80 до 132 От 132 до 225 Свыше 225
Эффективная вибрационная скорость, мм/с 1,8 2,8 4,5 7,0
268
Испытания — циклические, время одного цикла равно 14 сут.
после чего в течение 24 ч производят увлажнение в гидростате, в том
числе 18 ч — нагревание при 30 °C и относительной влажности воз-
духа 98—100 % и 6 ч — охлаждение с выпадением росы при 20 °C и
относительной влажности 98—100%.
Подготовка двигателей к ускоренным испытаниям заключается
в их тщательном осмотре, установке тарированных температурных
индикаторов в лобовые части обмотки статора со стороны переднего
подшипникового щита, закладке термостойкой смазки в подшипники.
После этого проводят измерения сопротивления обмоток при посто-
янном токе и в практически холодном состоянии, сопротивления изо-
ляции между обмотками и между обмотками и корпусом, коэффици-
ента трансформация (для двигателей с фазным ротором). Проверяют
работу двигателей на холостом ходу и измеряют время выбега
Результаты измерений заносятся в протокол испытаний.
Проведение контрольных (циклических) испытаний. Время
испытаний, млн реверсов, определяется по формуле
где v — коэффициент соответствия ускоренных испытаний условиям
эксплуатации, год/млн реверсов.
Этот коэффициент равен 4,0 для легкого режима работы; 2,0 —для
среднего; 1,3 —для тяжелого и 1,15 —для весьма тяжелого.
Учитывая, что /р = 2 года, а коэффициент рекомендуется брать
для весьма тяжелого режима работы, т.е. у = 1,15 год/млн реверсов,
время испытаний будем определять по формуле х = 1,74К млн ревер-
сов Таким образом, зная величину К - Гн/Гр, получают длительность
испытаний х. С другой стороны, зная число реверсов в час Х| (опреде-
ляется при подготовке двигателей к испытаниям) и длительность
цикла (14 сут.), определяют число реверсов за цикл испытаний
хц= 14*24Х| = 336Х|. Тогда число циклов при контрольных испыта-
ниях определится по формуле
10^
т= — = 5175,6—. (9.78,
х, х,
При работочные испытания отдельно не проводятся, ио двигатели,
выдержавшие менее 0,3 млн реверсов в процессе испытания, заменя-
ются новыми.
В начале и в конце пребывания двигателей в гигростате измеряют
сопротивление изоляции обмоток между собой и между обмотками и
корпусом. В конце пребывания двигателей в гигростате испытывают
269
электрическую прочность тех же изоляционных промежутков повы-
шенным напряжением (1,ЗС/И0М). Результаты заносят в протокол
испытаний.
Оценка результатов контрольных испытаний проводится по окон-
чании времени испытаний х, млн реверсов, или по окончании числа
циклов испытаний тн. Если в течение этого времени число
отказавших двигателей d ие превышает принятого допустимого числа
с, то заданный уровень вероятности безотказной работы подтвержда-
ется Двигатели снимают с испытаний при повреждении обмоток или
при полном разрушении контактных колец, подшипников, вала или
деталей корпуса. Если число отказавших двигателей больше с,
то определяют наработку х', для которой соблюдается условие d - с,
и время /р, для которого подтверждается заданный уровень вероятно-
сти безотказной работы 1? = \gx7K.
Оценка результатов определительных испытаний проводится
после отказа всех п поставленных на испытания двигателей. Опреде-
ляются средняя наработка до отказа, млн реверсов:
Аср = ^х- (9/79)
i = 1
а также нижняя и верхняя доверительные границы средней наработки
до отказа, мли реверсов:
\р» = ¥ср; Acp..i = Vcp-
где гв, гн — коэффициенты для определения доверительных границ
при достоверности Q- 0,9 (выбираются по табл. 9.7).
Определяются нижняя и верхняя доверительные границы сред-
него времени безотказной работы в годах
Гв = Ч'хсрв. 7’и = ЧИсрн. (9.81)
Точность оценки может быть оценена в соответствии в графиками
рис. 9.5.
Таблица 9 7
Оценка результатов определите зьиых испытаний
п 1 2 4 6 8 10 15 20 25 30
гв 9,5 3,70 2,29 1,90 1,72 1,61 1,46 1,37 1,33 1,29
гн 0,43 0.51 0,60 0.65 0.68 0,70 0,74 0,77 0,79 0.80
270
Глава десятая
ДИАГНОСТИКА ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
10.1. Диагностика и прогнозирование
В настоящее время во всех областях техники большое внимание
уделяется вопросу диагностики технического состояния различных
машин, механизмов, электротехнических изделий и т.п. Широкое рас-
пространение методы диагностики наш пи в автомобилестроении,
самолетостроении, в космической технике. Не менее важно решение
проблем диагностики технического состояния электрических машин,
особенно большой и средней мощности.
Целью диагностики является определение работоспособности
электрической машины в данный момент времени и выявление
дефектов отдельных ее узлов. Причем важным является определение
как характера дефекта, его размеров, так и точного места его нахож-
дения. Эти сведения необходимы для осуществления ремонтных
работ и для изменения характера эксплуатации машин. На основании
процесса диагностирования, необходимо сделать вывод о соответст-
вии данной машины техническим условиям, а также определить те
меры, которые необходимо предпринять для того, чтобы машина
могла соответствовать заданным техническим условиям.
Все вышесказанное показывает, что вопросы диагностики тесно
связаны с критериями работоспособности узлов электрических
машин. На основании измерения этих критериев и может быть диаг-
ностировано техническое состояние машины. Но это, в свою очередь,
не означает, что все критерии работоспособности являются диагно-
стическими параметрами электрических машин. Для процесса диаг-
ностирования необходимо выявить наиболее информативные (в
смысле выявления и обнаружения координат дефектов) параметры из
ряда критериев работоспособности, а также таких величин, как
напряжения, токи, моменты и другие электромагнитные и электроме-
ханические параметры электрических машин. Для каждого класса
электрических машин, а также в зависимости от напряжений и мощ-
ностей информативность тех или иных параметров меняется и
должна определяться в каждом случае специально (см. гл. 11).
271
Целесообразно вновь перечислить критерии работоспособности
основных узлов электрических машин. Для изоляции обмоток это
пробивное напряжение (разрушающий фактор), активное сопротив-
ление изоляции, тангенс угла диэлектрических потерь, коэффициент
саморазряда, амплитуда н частота импульсов акустической эмиссии
при растрескивании изоляции, температура (общий и локальный
перегрев), декремент затухания переходного процесса в изоляции при
подаче на вход исследуемого узла прямоугольных импульсов, число
сквозных повреждений на единицу длины (площади). Основными
критериями работоспособности подшипников являются общий уро-
вень вибрации, виброспектр подшипникового узла, момент трения
(время выбега), температура (у подшипников качения это темпера-
тура наружного кольца), химический состав смазки, ультразвуковая
спектрограмма. Для кол л екторно-щеточного узла основными крите-
риями являются уровень искрения, динамическое и статическое бие-
ние коллектора, профиле грамма коллектора, величина и скорость
износа щеток, износ и температура коллектора, ширина безыскровой
зоны, переходное сопротивление щеточного контакта, падение напря-
жения и значение небалансной ЭДС. Для контактных колец основ-
ными критериями являются их износ, температура, искрение, эксцен-
триситет, суммарная площадь окислов, появившихся на контактных
кольцах как плюсовой, так и минусовой полярностей [19].
Прогнозирование технического состояния означает определе-
ние будущего состояния изделий на основании изучения таких факто-
ров, от которых это зависит и которые этому сопутствуют. Прогнози-
рование состояния изделий может осуществляться как в процессе
разработки, так и в период эксплуатации готового изделия. В послед-
нем случае целью прогнозирования являются своевременное обнару-
жение неблагоприятного состояния изделия и разработка рекоменда-
ций по повышению его надежности.
Возможность решения задачи прогнозирования состояний изде-
лий обусловливается тем обстоятельством, что в большинстве слу-
чаев их отказы являются следствием постепенного накапливания
повреждений, постепенного старения и изнашивания. Постепенное
накапливание повреждений приводит к постепенным и внезапным
отказам. Известно, что понятие «внезапный отказ» относительно, так
как скачкообразному изменению параметров технических устройств
предшествует постепенное изменение каких-либо физических вели-
чин. Понятие «внезапный отказ» определяется отсутствием информа-
ции о постепенных изменениях, происходящих в системе.
272
Основополагающим принципом прогнозирования является ис-
пользование накопленных знаний. Информация об изделиях (априор-
ная информация) — это база для прогноза, т.е. получения оценок
в будущем (апостериорных оценок). Иными словами, прогноз можно
понимать как получение апостериорной оценки некоторого качества
исследуемого явления на основе априорных сведений о прошлом и
настоящем.
Априорная информация служит единственным основанием для
определения модели исследуемого явления — детерминированной и
стохастической. Если рассматривать период эксплуатации, то апосте-
риорной характеристикой является надежность после проведения
контроля их состояния. Надежность же, рассчитанная на предыду-
щем этапе, — априорная, а контроль рассматривается как опыт, по
результатам которого оценивается апостериорная надежность. Итак,
вычислению прогнозируемой характеристики всегда должны пред-
шествовать опыт, эксперимент, данные которого используются совме-
стно с априорной информацией. Именно эта особенность отличает
прогноз от расчета.
В теории надежности существуют два направления количествен-
ной оценки надежности изделий на основе результатов нх испытаний
и эксплуатации: констатация уровня надежности и проектирование
надежности. Констатация уровня надежности основывается на
результатах опыта (определительные и контрольные испытания на
надежность, данные эксплуатации). Для группы однотипных изделий
может быть оценена «вероятность безотказной работы», «среднее
время наработки до отказа» и т.п. Оценка надежности становится про-
гнозирующей, когда на основе анализа физических процессов, изуче-
ния закономерностей, которым подчиняется процесс формирования
показателей надежности, делается предположение о будущем состоя-
нии надежности изделия, которое в данный момент времени может
только проектироваться.
Обычно различают процедуры прогнозирования надежности и
прогнозирования технического состояния. Задачей прогнозирования
состояния является предсказание технических параметров либо отне-
сение этих параметров к некоторому классу, а также определение
вероятности выхода этих параметров за пределы допуска, т.е. прогно-
зирование отказов. Задачей прогнозирования надежности является
предсказание количественных показателей надежности изделия на
основе прогнозирования постепенных и внезапных отказов.
Прогнозирование может быть групповым и индивидуальным. При
групповом прогнозировании изучается совокупность изделий. При
индивидуальном прогнозировании в каком-то интервале времени
наблюдается изменение параметра одного конкретного изделия из
273
данной совокупности. По наблюденной реализации требуется опре-
делить вероятность безотказной работы до некоторого момента вре-
мени в будущем. К методам группового прогнозирования можно
отнести статистическую оценку наработки однотипных изделий на
основе результатов испытаний. В этом случае путем обработки
результатов испытаний некоторого количества изделий вычисляется
количественная среднеквадратическая оценка наработки всей пар-
тии. Достоинством метода индивидуального прогнозирования явля-
ется возможность оценки надежности (технического состояния) каж-
дого конкретного изделия.
Существует несколько подходов к решению задачи прогнозирова-
ния: с позиции теории о детерминированном характере процессов
или стохастическом. В первом случае задача сводится к отысканию
аппроксимирующего выражения (известная в теории численного ана-
лиза как задача о приближении функции). Применительно к проблеме
прогноза существуют две модификации. Первая — использование
для экстраполяции интерполяционных полиномов. Здесь использу-
ются интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона, тригоно-
метрические полиномы и т.п. Вторая — применение метода наимень-
ших квадратов. Достаточная простота и доступность этих методов
делают их весьма эффективными, когда гипотеза о детерминирован-
ном характере зависимости действительно имеет место и выражение
для этой зависимости определено достаточно точно. Однако в этих
случаях точность решения задачи экстраполяции указанными мето-
дами быстро падает с ростом интервала прогноза, причем оценить
ошибку не представляется возможным. Это ограничивает область
применения детерминированной модели.
Однако процессы износа, старения и разрегулирования техниче-
ских издезий, обусловливающие развитие постепенных отказов,
являются случайными, поскольку заранее не известен характер про-
цессов для конкретного технического объекта. Поэтому более обший
характер носит стохастическая модель, учитывающая случайный
характер изменений, происходящих в изделии. Здесь в качестве про-
гнозируемой характеристики принимается реализация случайной
величины, определяющая интервал времени от момента контроля до
момента первого пересечения поля допуска. Случайный характер
процесса изменения параметра в принципе не позволяет получить
точного решения задачи. Процесс может развиваться по-разному.
Момент его первого пересечения с границей поля допуска дает услов-
ную случайную величину, вероятностное описание которой и явля-
ется характеристикой прогнозируемого качества изделия (рис. 10-1)-
274
Рис. 10.1. Стохастическая модель прогнозировании
На основании вышесказанного решение задачи прогноза выполня-
ется в виде ряда последовательных этапов:
1. Разработка модели исследуемого процесса и ее математическое
описание.
2. Получение данных контроля и использование их для определе-
ния исследуемого процесса (построение апостериорного процесса).
3. Вычисление необходимых (апостериорных) характеристик
процесса.
Третий метод прогнозирования — метод распознавания образов.
Этот метод предполагает разбиение всей группы изделий на несколько
классов в соответствии с признаками каждого класса. Между различ-
ными классами устанавливаются строгие границы. Процесс создания
образа разбит на три этапа: обучение, создание образа категории и экза-
мен. Распознавание образа протекает следующим образом: новый образ,
предъявляемый системе распознавания, относится к одному из ранее
выделенных классов по наибольшей близости его признаков к призна-
кам данного класса. Процесс индивидуального прогнозирования надеж-
ности методом распознавания образов сводится к отнесению данного
конкретного изделия к тому или иному классу (на основании критериев
работоспособности), у которого априорно (заранее) известны показа-
тели надежности или технические характеристики.
10.2. Состав и функционирование диагностических систем
Итак, целью системы технической диагностики любого оборудо-
вания, в том числе электрических машии, является определение фак-
тического технического состояния оборудования д31я организации его
правильной эксплуатации, технического обслуживания и ремонта,
275
а также выявление возможных неисправностей на раннем этапе их
развития. Все виды затрат на функционирование системы техниче-
ской диагностики должны быть минимизированы.
Плановая техническая диагностика проводится в соответствии с дей-
ствующими нормами и правилами. Кроме того, она позволяет решить
вопрос о возможности дальнейшей эксплуатации оборудования, когда
оно отработало нормативный срок службы. Внеплановая техническая
диагностика оборудования проводится при обнаружении нарушения его
технического состояния. Если диагностирование проводится во время
работы оборудования, оно называется функциональным.
В России и других странах разработан ряд диагностических сис-
тем, основанных на различных физических и математических моде-
лях, являющихся know-how производителя. Поэтому детальное опи-
сание алгоритма и математического обеспечения таких систем
в технической литературе, как правило, отсутствует.
В России созданием таких систем занимаются ведущие заводы-
производители электрических машин и трансформаторов совместно
с ведущими НИИ (ВНИИЭ, ВНИИЭМ, ВЭИ и др.). За рубежом
работы по созданию диагностических систем координируются Науч-
но-исследовательским институтом электроэнергетики EPRI (США).
В данном параграфе будут рассмотрены системы функциональной
диагностики, позволяющие оценивать состояние электрических
машин во время работы [15].
Техническое диагностирование в соответствии с ГОСТ 27518—87
«Диагностирование изделий. Общие требования» должно обеспечи-
вать решение следующих задач:
• определение вида технического состояния оборудования,
• поиск места отказа или неисправности,
• прогнозирование технического состояния оборудования.
Для работы системы диагностики необходимо установить ее кри-
терии и показатели, а оборудование сделать доступным для проведе-
ния диагностики.
В качестве критериев системы диагностики используют ее точность
и достоверность, а также технико-экономические критерии. Критерии
точности и достоверности практически не отличаются от таковых при
проведении любых измерений, а технико-экономические критерии
включают в себя объединенные материальные и трудовые затраты,
продолжительность и периодичность диагностирования.
В качестве показателей системы диагностики в зависимости от
решаемой задачи используют либо наиболее информативные пара-
метры оборудования, позволяющие определить или прогнозировать
его техническое состояние, либо глубину поиска места отказа или
неисправности.
276
Выбранные диагностические параметры должны удовлетворять
требованиям полноты, информативности и доступности нх измере-
ния при наименьших затратах времени и средств.
При выборе диагностического параметра приоритет отдается тому
из них, который удовлетворяет требованиям определения истинного
технического состояния данного оборудования в реальных условиях
эксплуатации. На практике обычно используют не один, а несколько
параметров одновременно.
При проектировании диагностических систем необходимо разра-
ботать алгоритм диагностирования, описывающий перечень элемен-
тарных проверок оборудования, состав признаков (параметров),
образующих ответ объекта на соответствующее воздействие, и пра-
вила анализа и принятия решения по полученной информации.
В состав диагностической информации могут входить паспортные
данные оборудования; данные о его техническом состоянии на
начальный момент эксплуатации; данные о текущем техническом
состоянии с результатами измерений и обследований; данные с
результатами расчетов, оценок, предварительных прогнозов и заклю-
чений; обобщенные данные по парку оборудования. Эта информация
вводится в базу данных системы диагностики и может передаваться
для хранения на более высоких уровнях.
Средства технической диагностики должны обеспечивать надеж-
ное измерение или контроль диагностических параметров в конкрет-
ных условиях эксплуатации оборудования. Надзор за средствами тех-
нической диагностики обычно осуществляется метрологической
службой предприятия.
Из представленной на рис. 10.2 схемы основных состояний обору-
дования и возможных вариантов его перехода из одного состояния в
Другое видно, что существует четыре состояния оборудования.
Исправное (отсутствуют любые повреждения), работоспособное
(имеющиеся повреждения не мешают работе оборудования в данный
момент времени), неработоспособное (оборудование выводится из
эксплуатации, но после соответствующего технического обслужива-
ния может работать в одном из предыдущих состояний), предельное
(на этом этапе принимается решение о возможности дальнейшей экс-
плуатации оборудования после ремонта либо о его списании)=
Последовательность функционирования системы технической
Диагностики в зависимости от состояния оборудования показана на
рис. 10.3. Как следует из этой схемы, практически на каждом этапе
работы оборудования проводится уточненная оценка его техниче-
ского состояния с выдачей заключения о возможности его дальней-
шего использования.
277
Рис. 10.2. Схема основных состояний и событий:
/ - повреждение; 2 — отказ; 3 — переход объекта в предельное состояние нз-за неуст-
ранимого нарушения требований безопасности, снижения эффективности эксплуата-
ции, морального старения и других факторов, 4 — восстановление; 5 — ремонт
В зависимости от сложности и изученности оборудования резуль-
таты диагностики в виде заключений и рекомендаций могут быть
получены либо в автоматическом режиме, либо после соответствую-
щей экспертной оценки полученных в результате диагностики обору-
дования данных. Техническое обслуживание и ремонт в этом случае
сводятся к устранению повреждений и дефектов, указанных в заклю-
чении по данным технического диагностирования или в нахождении
места отказа.
О проведенных работах делаются соответствующие записи в доку-
ментации, принятой на предприятии, внедрившем систему техниче-
ской диагностики. Кроме того, результаты диагностики могут зано-
ситься в соответствующие базы данных и передаваться другим
субъектам системы диагностики.
Структурно система технической диагностики является информа-
ционно-измерительной системой и содержит датчики контролируе-
мых параметров, линии связи с блоком сбора информации, блок обра-
ботки информации, блоки вывода и отображения информации, испол-
нительные устройства, устройства сопряжения с другими информаци-
онно-измерительными и управляющими системами (в частности.
278
Первый
этап
Второй
этап
Третий
этап
Четвертый
этап
Рис. 10.3. Этапы функционирования системы технической диагностики
с системой противоаварийной автоматики, сигнал в которую посту-
пает при выходе контролируемых параметров за установленные преде-
лы). Система технической диагностики может проектироваться как
самостоятельная, так и в качестве подсистемы в рамках уже сущест-
вующей информационно-измерительной системы предприятия.
279
10.3. Диагностика электрических машин большой мощности
Поскольку стоимость диагностических систем ветика и достигает
сотен тысяч долларов, то нх применение целесообразно для электри-
ческих машин большой мощности (синхронных генераторов, компен-
саторов и двигателей переменного тока), простой или отказ которых
приводит к большим ущербам. Поэтому в этом параграфе будут рас-
сматриваться именно машины большой мощности.
Наиболее характерные дефекты машин и их проявление. Сер-
дечник статора. Повреждение межлистовой изоляции вызывает
местные перегревы. Ослабление прессовки вызывает вибрацию пла-
стин стали с повреждением межлистовой изоляции. Распушение
крайних пакетов вызывает излом листов. Изменение формы статора
гидрогенераторов происходит из-за ослабления стыковки секторов
статора, что может привести к касанию ротора и статора.
Обмотка статора. Ослабление крепления стержней в пазу вызы-
вает истирание изоляции стержня. Повреждение пол у проводящего
покрытия стержня вызывает появление частичных разрядов, расслое-
ние изоляции, что ускоряет ее старение. Нарушение изоляции элемен-
тарных проводников вызывает увеличение циркуляционных токов и
местный перегрев обмотки. Ослабление крепления лобовых частей
вызывает истирание изоляции, смещение проводников и повышен-
ную вибрацию лобовых частей. Загрязнение, замасливание и увлаж-
нение изоляции вызывают снижение электрической прочности изоля-
ции. Трещины в изоляции приводят к снижению ее электрической
прочности.
Для машин с непосредственным водяным охлаждением опасным
дефектом является увлажнение изоляции из-за нарушения герметич-
ности системы охлаждения, вызывающее пробой в зоне стержня на
выходе из паза.
Система непосредственного охлаждения Закупорка каналов
непосредственного охлаждения приводит к местным перегревам
обмотки, нарушение герметичности — к появлению дистиллята
внутри корпуса н увлажнению изоляции.
Ротор. Трещины в различных частях ротора турбогенератора или
в валу гидрогенератора приводят к повышенным вибрациям на обо-
ротной частоте и изменению фазы вибрации. Нарушение целостности
бандажных колец и клиньев обмотки ротора приводит к повышенным
вибрациям.
Обмотка возбуждения. Повреждение корпусной изоляции и внт-
ковые замыкания приводят к повышенным вибрациям на оборотной
частоте и появлению токов в подшипниках. Износ полых проводни-
ков при водяном охлаждении приводит к тепловому небалансу ротора
и повышенным вибрациям.
280
Воздушный зазор в гидрогенераторах и асинхронных двигателях
большой мощности. Изменение формы зазора или соосности сердеч-
ников статора и ротора приводит к асимметрии тока в параллельных
ветвях и к возможному задеванию ротора о статор с последующим
разрушением последних.
Подшипники и подпятники. Нарушение изоляции приводит
к появлению токов в подшипниках и повышенному нагреву подшип-
ников. Износ рабочих поверхностей и перекосы также приводят к
увеличению температуры и уровня вибрации.
Уплотнения вала ротора турбогенераторов с водородным охлаж-
дением. Износ уплотнений или их повреждение приводит к увеличе-
нию расхода водорода и попаданию масла внутрь корпуса. Перекос
уплотнений приводит к нх повышенному нагреву.
Средства и методы контроля состояния отдельных узлов. Сер-
дечник статора. Ослабление прессовки сердечника приводит к его
повышенным вибрациям, которые контролируются датчиками вибра-
ции, установленными на корпусе машины. Повреждение межписто-
вой изоляции приводит к местным перегревам, которые контролиру-
ются либо терм ©датчиками, установленными в активной стали
статора, либо тепловизорами, либо с помощью специальных термо-
индикаторных покрытий. Эти покрытия наносятся на поверхность
критических по перегревам узлов машины, н прн достижении пре-
дельной температуры они выделяют определенные газы и аэрозоли,
которые контролируются при химическом анализе охлаждающего
газа. На разные узлы машины наносятся покрытия различного хими-
ческого состава, что позволяет не только зафиксировать местные
перегревы, но и идентифицировать их причины. Кроме покрытий на
опасные места могут устанавливаться термочувствительные «этикет-
ки», изменяющие свой цвет при превышении температурой места
установки порогового значения. Осмотр «этикеток» возможен во
время ревизии на остановленной машине.
Обмотка статора. Контроль теплового состояния обмотки осу-
ществляется либо с помощью встроенных датчиков температуры,
тибо с помощью тепловизоров, либо путем химического анализа
охлаждающего газа, в котором находятся продукты термического раз-
ложения изоляции. По концентрации продуктов разложения можно
судить о степени nepeipeea изоляции. Контроль за местными перегре-
вами можно проводить с помощью нанесения термоиндикаторных
покрытий или термочувствительных «этикеток».
Контроль состояния изоляции осуществляется путем измерения
интенсивности частичных разрядов с помощью специальных анали-
заторов. Сигналы на анализатор поступают от емкостных датчиков
связи, устанавливаемых под пазовым клином Существующие анали-
281
заторы частичных разрядов позволяют распознать следующие
дефекты обмотки статора: ослабление крепления обмотки в пазу,
повреждение полу про водящего покрытия, расслоение или плохую
пропитку изоляции, отслоение меди от корпусной изоляции, сущест-
венный износ изоляции, ослабление крепления обмотки. В связи
с высокой информативностью эти анализаторы получили широкое
распространение в системах диагностики электрических машин
большой мощности.
Наличие частичных разрядов приводит к появлению озона в охла-
ждающем газе. При химическом анализе охлаждающего газа опреде-
ляется содержание озона, и большая концентрация последнего свиде-
тельствует о наличии частичных разрядов в изоляции, связанных
с повреждением полу проводящего покрытия.
Воздушный зазор. Контроль воздушного зазора осуществляется
с помощью систем оптического контроля, с точностью 0,05 мм при
пределе измерения 40 мм. С помощью таких систем, имеющих дат-
чики на статоре и роторе, удается выявить радиально-изгибные коле-
бания статора, неравномерное расширение статора при нагревании,
динамические изменения воздушного зазора при изменениях режима
работы и биение вала.
В настоящее время широко используются системы контроля воз-
душного зазора гидрогенераторов на базе емкостных датчиков. Они
проще оптических и позволяют использовать только датчики, уста-
навливаемые на статоре.
Подшипники и подпятники. Для определения состояния подшип-
ников осуществляется непосредственный (на баббитовых вкладышах
устанавливаются датчики) или косвенный тепловой контроль (на
входе и выходе подшипника измеряется температура масла), а также
контроль вибрации.
Отдельно следует упомянуть о широко применяемых системах
вибродиагностики. Этн системы позволяют получать достоверную
информацию о разбалансировке ротора, несоосности вала, неравно-
мерности воздушного зазора, дефектах уплотнений, трещинах в рото-
ре, структурных резонансах и т.п.
На базе комплекса методов выявления дефектов в России созданы
автоматизированные системы контроля состояния крупных электри-
ческих машин. Например, система СКДГ контролирует температуру,
электрические и механические параметры и выдает предупредитель-
ные и аварийные сигналы при выходе измеряемых величин за допус-
тимые пределы. Система имеет 120 каналов контроля, обрабатывает
и сохраняет данные измерений и показатели режимов работы.
Наиболее универсальной в настоящее время считается разрабо-
танная фирмой МСМ Enterprise Ltd (США) по заказу EPRI система
282
HYDROSCAN. Система содержит сканирующее устройство, являю-
щееся по существу диагностической системой состояния статора и
ротора гидрогенератора. Устройство (рис. 10.4) состоит из комплекта
датчиков, стабилизатора питания, телеизмерительной системы,
управляющего контроллера и пульта управления. Измерение темпе-
ратуры на статоре производится со стороны ротора, а температуры
ротора — со стороны статора.
Сканирование поверхности расточки статора производится датчи-
ками /, установленными иа роторе в межполюсном пространстве.
Имеется 14 полос измерения температуры, обегающих все пазы ста-
тора (соответствует 7 056 точкам измерения температуры иа сердеч-
нике статора). Частота опроса по пазам составляет 1 кГц, чувстви-
тельность — 1 °C иа площади длиной 2,5 см и шириной, равной
ширине зубца.
Развивающиеся повреждения стержней обмотки статора гидроге-
нератора, которые сопровождаются частичными разрядами в изоля-
ции, определяются с помощью радиочастотных датчиков. Для полу-
чения большей чувствительности н точности фиксации места разряда
эти датчики устанавливаются иа оси полюса. Кроме того, контроль за
частичными разрядами ведется с помощью емкостных датчиков,
встроенных в пазы статора.
Контроль величины воздушного зазора осуществляется двумя
индуктивно связанными катушками, закрепленными в воздушном
Рис. 10.4. Сканирующее устройство системы тнагностнки КП DROSCA>»
283
зазоре. Разрешающая способность измерений воздушного зазора
равна 0,64 мм. В зазоре по трем осям измеряется датчиками Холла
также вращающаяся составляющая магнитного поля, позволяющая
выявить витковые замыкания в катушках статора.
Выявление ослабления пазовых клиньев, крепления лобовых час-
тей и вибрации сердечника статора осуществляется путем анализа
шума с помощью трех микрофонов, установленных в блоке датчиков.
Вибрация ротора измеряется акселерометром, установленным в
блоке датчиков. В блоке размещено также устройство питания и опто-
волоконное устройство передачи данных на приемник 2.
Система диагностики (сканирующее устройство является ее
частью) контролирует температуру воздуха в воздушном зазоре,
состояние подшипников и щеточио-контактного аппарата.
Разаитием систем диагностики является их автоматизация. Одна
из таких систем (система SUPER) установлена на одной из канадских
ГЭС (рис. 10.5). Система контролирует следующие узлы и характери-
стики гидроагрегата.
284
Генератор. Система контролирует измерение температуры
обмотки статора датчиками 7, охлаждающей воды 2, охлаждающего 3
и окружающего 4 воздуха, положение ротора относительно статора
датчиками 5, напряжения и токи обмоток статора и ротора, активную
и реактивную мощности генератора, коэффициент мощности, вибра-
ции иа оборотной частоте и на частоте сети датчиками 6 иа верхнем
подшипнике.
Подшипники. Контроль вибраций по двум осям в горизонтальной
плоскости осуществляется датчиками 7, контроль температуры на
корпусе подшипников, температуры масла и воды охлаждающей
системы датчиками 8, вибрации иа подпятнике датчиками 9 Система
SUPER также контролирует расход масла в системе смазки и воды
в системе уплотнения.
Возбудитель генератора. Контролируются износ щеток (по тем-
пературе контактных колец) и частота вращения. Кроме генератора
контролируется работа гидротурбины и направляющего аппарата
датчиками 10—13.
Система SUPER фиксирует каждую минуту 52 механических и
10 электрических параметров и содержит 50 уставок иа сигнал
В основной процессор данные передаются обычно 1 раз в час. При
срабатывании какой-либо из уставок (сигнал тревоги означает выход
контролируемого параметра за допустимые пределы) в процессор
передаются данные за предыдущий час работы. Математическое
обеспечение позволяет обрабатывать и передавать сигналы датчиков,
отбирать их для базы данных, осуществлять постоянный контроль и
анализ в режиме on-line и проводить специальные тесты.
Применение систем функциональной диагностики совместно
с испытаниями и проверками во время ревизий и осмотров позволяет
максимально увеличить межремонтный период, а при необходимости
проведения ремонта более точно определить место и степень повре-
ждения, минимизировав тем самым объем и время проведения опе-
раций.
10.4. Диагностика электрических машин средней мощности
Практика показывает, что диагностика электрических машин
большой мощности экономически целесообразна, несмотря иа высо-
кую стоимость диагностических систем. По мере снижения мощно-
сти электрических машин этот вывод становится не столь однозна-
чен, так как стоимость диагностических систем приближается
к стоимости электрических машин. Однако можно утверждать, что
Диагностика машин средней мощности (до 100 кВт) экономически
285
эффективна, но диагностические системы или элементы систем
должны быть более простыми, меиее сложными, т.е. дешевыми, чем
для машин большой мощности. Задачи диагностики машин малой
мощности необходимо решать индивидуально в каждом конкретном
случае в зависимости от степени ответственности и ущерба (матери-
ального или иного), к которому может привести отказ данной элек-
трической машины.
Рассмотрим систему диагностики асинхронных машин средней
мощности. Данные, приведенные ниже, основаны на исследовании
более 3 000 повреждений электрических машин (напряжение 380 В —
6 кВ) в различных отраслях промышленности и сельского хозяйства
[1]. Анализ статистического материала показывает, что аварийное
состояние электрических машин наступило в результате развития
дефектов под воздействием теплового и электрического старения изо-
ляции обмотки статора, вибрационных и термомеханических сил.
Повреждения узлов и элементов обследованных электрических
машин можно идентифицировать следующим образом: повреждение
обмотки статора, повреждения подшипниковых узлов, повреждение
обмотки ротора, повреждение корпуса и вентилятора.
Большинство из исследованных неисправностей электрических
машин, приведших к аварийному состоянию, можно контролировать
в процессе их развития с помощью разработанной системы контроля
работоспособности и раннего выявления дефектов электрооборудо-
вания.
Если в электродвигателе возникли витковое замыкание обмотки
статора, пробой изоляции между фазами, то это приводит к корот-
кому замыканию в обмотке В свою очередь, при коротком замыкании
обмотки статора появляется иесимметрия токов в фазах и происходит
быстрый нагрев отдельных участков обмотки. Несимметрию токов
можно контролировать с помощью трех первичных информационных
датчиков тока, установленных иа выводах обмотки, а нагрев обмотки —
датчиками температуры. С помощью датчиков тока, установленных
на выводах, можно также контролировать состояние соединительных
контактов и перегрузку машин.
Проведем классификацию дефектов по схеме: проявление неис-
правности, классификация дефектов, способ обнаружения. Итак, при
включении двигателя ротор не вращается. Причинами могут быть
обрыв в одной из фаз обмотки статора при соединен и и обмотки
в «звезду»; обрыв двух фаз обмотки статора при соединении обмотки
в «звезду». Способы раннего обнаружения неисправности позволяют
выявить отсутствие ЭДС на выходе датчика тока, устанавливаемого
286
на вводах обмотки статора асинхронного двигателя; отсутствие ЭДС
на выходе двух датчиков тока.
Неисправность: двигатель имеет пониженный вращающий
момент. Классификация дефектов: межвитковое замыкание в обмотке
статора; короткое замыкание между фазами обмотки статора; обмотка
одной фазы замкнута иа землю в двух местах. Методы раннего обна-
ружения неисправности соответственно: повышенная ЭДС иа выходе
датчика тока поврежденной фазы при соединении в «звезду» или
повышение ЭДС датчиков тока в токопроводах между поврежденной
и целой фазами обмотки при соединении в «треугольник»; ЭДС дат-
чиков тока неодинакова, обмотка статора греется; повышение ЭДС
в датчике тока замкнутой фазы.
Неисправность: ротор вращается с затруднением Классификация
дефектов: механическое торможение приводного механизма; задева-
ние ротора о статор; износ подшипников качения; износ баббита
в подшипниках скольжения. Способы обнаружения неисправностей
соответствен ио: ЭДС на выходе датчиков тока одинакова, ЭДС датчи-
ков поля различна; нагрев подшипников в норме; повышенный нагрев
подшипников; повышенный нагрев подшипников и неравномерная
ЭДС датчиков поля в зазоре.
Неисправность: повышенный нагрев обмотки статора. Причина
перегрузка двигателя. Способ обнаружения неисправности: повы-
шенная ЭДС во всех датчиках тока; ЭДС от датчиков температуры
растет.
Неисправность: перегрев подшипников качения. Причина: плохая
центровка с приводным механизмом. Способ обнаружения: ЭДС от
термопар растет.
Неисправность: двигатель имеет пульсирующий вращающий
момент. Причина: плохой контакт в цепи обмотки ротора. Способ
обнаружения неисправности: ЭДС во всех датчиках тока сильно пуль-
сирует; ЭДС от датчиков температуры растет.
Неисправность: активная сталь перегрета при номинальной нагруз-
ке. Причина: напряжение сети выше номинального. Способ обнаруже-
ния неисправности: ЭДС от датчиков температуры повышена.
Итак, основными элементами конструкции асинхронных двигате-
лей, подверженных отказам, являются в первую очередь (по числу
отказов) обмотка статора (68 %), во вторую — подшипниковый узел
(20 %).
Обмотки статора асинхронных двигателей, работающих на заво-
дах, подвергаются воздействию таких неблагоприятных факторов,
как температура, влага, химически активные газы и пыль, вибрации,
коммутационные перенапряжения, динамические усилия при пусках.
287
Кроме того, на надежность электрической машины в целом влияют
качество изготовления и ремонта, неправильное использование элек-
трических машин, условия хранения (при сезонной эксплуатации),
состояние смазки.
Отказ электродвигателей собственных нужд энергоблоков вызван,
как правило, пробоем изоляции обмотки статора из-за ее старения.
Особенности технологических процессов в металлургической и гор-
норудной промышленностях приводят к повреждаемости главным
образом короткозамкнутых и пусковых обмоток электрических
машин при частых повторных пусках.
Анализ работы электродвигателей, работающих в обрабатываю-
щей промышленности, показывает, что в условиях сезонного произ-
водства причины и частота выхода из строя различных типов электри-
ческих машин имеют свои особенности. Так, для короткозамкнутых
асинхронных двигателей в этих условиях характерным является
выход из строя из-за длительной работы в двухфазном режиме. Этот
режим связан с нарушением контактов в цепях питания и местах
соединений выводных проводов фаз обмотки статора.
Институтом электродинамики Украины в течение 10 лет проводи-
лись исследования, посвященные влиянию воздействующих факто-
ров в отраслях промышленности, названных выше, созданию иссле-
довательских стендов и разработке диагностического мониторинга
работы асинхронных двигателей средней мощности. Исследования
проводились на специально оборудованных стендах, оснащенных
измерительной аппаратурой и устройством, создающим эквивалент-
ную механическую нагрузку с помощью тормозных колодок, воздей-
ствующих иа полумуфту, насаженную иа вал ротора. Во время экспе-
римента нагрузка устанавливалась и поддерживалась постоянной, ее
контроль осуществлялся по значению тока в обмотке статора. Во
время проведения эксперимента контролировались следующие пара-
метры асинхронного двигателя: ток статора, напряжение и частота
сети, нагрев обмотки статора, эксцентриситет вала ротора, нагрев
подшипников, нагрев ротора, симметрия токов в фазах обмотки ста-
тора. Для этой цели все двигатели предварительно были оснащены
первичными измерительными датчиками, места установки которых
показаны иа рис. 10.6.
Неисправности подшипников качения контролировались с помо-
щью датчиков температуры ТЗ, Т4, установленных иа внешнюю
обойму подшипников. Выработка баббита, нарушение соосности
вала ротора контролировались с помощью датчиков электромагнит-
ного поля ДИ* установленных на зубцах статора. Повреждение сер-
дечника статора контролировалось с помощью датчиков температуры
Г5, Гб, установленных на железе сердечника и выходе лобовых час-
288
Рис. 10.6. Расположение измерительных датчиков
тей обмотки из пазов Т1, Т2. Прессовка жезеза сердечника электриче-
ских машин большой мощности контролировалась с помощью датчи-
ков тока, установленных на шейках стяжных призм. Датчики тока на
выводах обмотки статора ИП контролировали повышение тока
в фазах при возрастании нагрузки, нарушении контактов, обрывах
в питающей сети, а также замыканиях в обмотке.
Па рис. 10.7, а схематично показано место витковых замыканий
в фазе при соединении обмотки статора «звездой». В фазе, имеющей
замыкание, показание датчика тока ПЗ будет больше, чем датчиков 77/,
П2 в других фазах. При соединении обмотки «треугольником» в двух
Рис. 10.7. Схемы витковых замыканий
289
Рис. 10.8. Схема контроля темпера-
туры подшипников вкачення асин-
хронных двигателей
фазах сети, к которым присоединена
фаза с замкнутыми витками, показа-
ния датчиков П1 и ПЗ будут больше,
чем датчика П2 (рис. 10.7, б).
Для измерений температур с
помощью термопар применяются
милливольтметры или потенцио-
метры. На заводе для контроля тем-
пературы подшипников качения
асинхронных двигателей газодувок
мощностью 200 кВт использовались
медь-константаиовые термопары,
которые подсоединялись к милли-
вольтметру по схеме, показанной иа
рис. 10.8. ТермоЭДС в цепи термо-
пары однозначно определяется тем-
пературой рабочего спая. По изме-
ренной величине термоЭДС с
помощью градуировочной таблицы
определялась температура узла
машины в месте установки данной
температуры.
В схеме на рис. 10.8 рабочая тер-
мопара включена в измерительную диагональ моста, питаемого от
стабильного источника тока. Плечи моста Л/, R2, R3 являются рези-
сторами, сопротивления которых практически ие зависят от темпера-
туры. Резистор R4 выполнен из медиой проволоки и расположен вме-
сте с холодным спаем термопары в термоизол и ро ванном объеме.
Мост балансируется при температуре резистора Ж равной 0 °C
Изменение температуры резистора R4 вызывает изменение выход-
ного напряжения моста, которое автоматически компенсирует напря-
жение от изменения температуры холодного спая. Выводы датчиков
подключались к системе контроля и раннего обнаружения неисправ-
ностей, с помощью которой проводился контроль за работой электро-
двигателей во время эксперимента. В аварийном состоянии двига-
тель отключался от сети. Дополнительно были установлены
термопары в зоне соединительного контакта цепи питания обмотки
статора на экспериментальном стенде, где искусственно создавалось
нарушение соединительного контакта, а также были установлены
термопары на стержнях коротко замкнутой обмотки ротора и выве-
дены через отверстия в валу на специальное токосъемное устройство.
Экспериментальные исследования и анализ работы электрических
машин, применяемых в качестве привода технологического оборудо-
290
вания, показали, что большинство аварийных ситуаций, возникаю-
щих при нормальной эксплуатации электрических машин, можно
предотвратить даже частичным контролем за характером изменения
их параметров и состоянием основных узлов.
Для этой цели необходимо:
• провести оснащение основных узлов электродвигателей пер-
вичными информационными датчиками в требуемом объеме и
в характерных местах, чтобы по показаниям датчиков установить,
нормально ли работает электрическая машина или авария неизбежна
и ее надо немедленно остановить; основными датчиками для кон-
троля работоспособности электрических машин могут служить дат-
чики электромагнитного поля, нагрева, токоизмерительные пояса,
датчики вибрации;
• установить токоизмерительиые пояса на проводах питания фаз
обмотки статора асинхронного двигателя, что даст возможность кон-
тролировать развитие следующих дефектов: виткового замыкания
в обмотке статора, обрыва в обмотке или ее соединениях, нарушения
или ослабления соединительных контактов в цепи питания, пере-
грузку машины;
• установить датчики электромагнитного поля в зубцовой зоне
статора в одном или двух взаимоперпендикулярных сечениях, что
позволит определить эксцентриситет ротора (выработку баббита,
просадку выносных подшипников);
• установить термопары: на верхнюю обойму подшипников
качения для контроля нагрева подшипника при работе, а при сочета-
нии с вибродатчиком для осуществления более полного контроля
работы подшипника и электродвигателя; на обмотку статора для кон-
троля нагрева обмотки машины при перегрузке, витковом замыкании
и т.п.; на сердечник статора для контроля состояния прессовки и охла-
ждения электродвигателя.
Объединение этих датчиков в единую систему контроля работо-
способности электродвигателя с использованием микропроцессор-
ной и вычислительной техники обеспечивает контроль работоспособ-
ности и раннее обнаружение неисправностей электродвигателя.
Институтом электродинамики Украины разработана и внедрена
10-канальиая система контроля работоспособности и защиты асин-
хронных двигателей мощностью 200 кВт основных (трех) агрегатов
турбогазодувок. Система может быть использована для всего парка
электрических машин средней мощности.
291
10.5. Основные методы и средства
технической диагностики электрических машин
Как указывалось в гл. 4—8, 10, температура, вибрация, техниче-
ское состояние изоляции коллекторно-щеточного узла и подшипни-
ков определяют работоспособность электрических машин, а также
позволяют осуществлять техническую диагностику и прогнозирова-
ние надежности. В вышеупомянутых главах были также указаны кри-
терии работоспособности и отказов узлов электрических машин.
Ниже рассматриваются основные методы и средства технической
диагностики электрических машин [16].
Оборудование и установки для измерения шумов и вибраций.
Измерение акустических параметров связано с трудностями, обуслов-
ленными следующими причинами: малой величиной абсолютных
значений измеряемых величин, так как акустические давления
составляют 10-6—10 8 от статического атмосферного давления; боль-
шим диапазоном измеряемых частот — от 2 до 30 000 Гц, резонанс-
ными особенностями звуковых излучателей и приемников, а также
самого помещения, в котором производятся измерения; сложностью
акустических полей в помещениях и их зависимостью от частоты;
сложностью и неустойчивостью спектра звуков, шумов и вибраций,
а также явлениями дифракции вблизи акустических приемников.
Поэтому для акустических измерений высокой точноеги необходимы
измерительные аппараты и анализаторы, соответствующие предъяв-
ляемым требованиям, размещенные в специально оборудованных
помещениях, обеспечивающих образование звуковых полей самых
простых конфигураций.
Для измерения уровня акустического давления в газовой среде,
выражаемого в децибелах, используется аппарат, называемый шумо-
мером. Шумомер состоит из измерительного микрофона, усилителя,
корректирующих цепей и индикатора, шкала которого проградуиро-
вана в децибелах относительно порогового значения акустического
давления. Шумомеры позволяют измерять стабильные, стационар-
ные и импульсные шумы.
В зависимости от точности шумомеры по ГОСТ 17187—81 подраз-
деляются иа четыре класса: 0, 1,2 и 3. Класс 0 применяется в качестве
образцового средства измерений и градуируется на рабочих этало-
нах, класс 1 — для точных лабораторных и натурных измерений,
класс 2 —для измерений нормальной точности, класс 3 —для ориен-
тировочных измерений. Шумомеры классов 0 и 1 имеют стандартный
диапазон частот 12,5 Гц — 20 кГц, класса 2 — частот 8—20 кГц,
класса 3 — частот 31,5 Гц — 80 кГц. Ряд ш>момеров снабжен октав-
ными и третьоктавиыми фильтрами, что позволяет более тщательно
292
анализировать требуемую по юсу частот. Динамический диапазон
уровня измеряемого шума изменяется от 15 до 160 дБ.
В шумомере используется измерительный микрофон ненаправ-
ленного типа с диапазоном частот от 31,5 до 12 500 Гц. Чувствитель-
ность микрофона не должна изменяться более чем на ±0,5 дБ при
изменении давления окружающей среды иа ±10 %.
Шумомер имеет характеристики коррекции, обозначаемые бук-
вами Л, В, С. Указанные характеристики отражают субъективное вос-
приятие шума ухом человека. Корректированная кривая А использу-
ется для анализа и регистрации уровня шума наряду с линейной
характеристикой. Амплитудно-частотные характеристики, соответст-
вующие кривым коррекции Л, В, С, приведены на рис. 10.9. Как видно
из рис. 10.9, при измерении по кривой коррекции А сильно ослабля-
ются низкочастотные компоненты шума, поэтому измерение должно
проводиться на двух кривых — корректированной Л и некоррелиро-
ванной (линейной). Путем сравнения результатов измерения по этим
двум кривым можно судить о том, какая часть спектра является пре-
обладающей. Если уровень шума по кривой Л оказывается сущест-
венно меньшим, чем при измерении на линейной шкале, это означает,
что измеряемый шум содержит большие низкочастотные составляю-
щие. Если показания близки, то шум имеет преимущественно высоко-
частотные составляющие
В показывающем приборе индикаторного типа предусмотрена
настройка для измерения пиковых, действующих или средних значе-
ний уровня шума. Кроме того, при использовании корректированной
или линейной кривой можно получить некоторые сведения о тональ-
ности шума. Измеренный шумомером уровень интенсивности звука
не дает спектр частот, поскольку корректирующие цепи шумомера
позволяют только качественно определить частотный состав шума
(при сравнении уровней шума по линейной шкаде и шкале Л).
Рис. 10.9. Характеристики коррекции шумомеров
293
Для анализа спектрального состава шумов используется частотный
спектрометр, состоящий из входного усилителя, системы полосовых
фильтров, корректирующих цепей А, В, С и выходного усилителя,
управляющего измерительными и регистрирующими приборами.
Спектрометр, соединенный с самописцем, позволяет автоматически
записывать спектрограмму (зависимость уровня шума в децибелах от
частоты) иа бумагу стандартных размеров.
При измерении вибраций электрических машин используются
практически те же приборы, что и для измерения шумов. Отличие
заключается лишь в датчике и, в некоторых случаях, в наличии интег-
родифференцирующих цепочек, которое позволяют определять по
измеренной эффективной скорости вибрации вибрационные ускоре-
ние и смещение.
При измерении параметров вибрации могут быть использованы
кинематический и динамический принципы измерения. При исполь-
зовании кинематического принципа координаты точек исследуемого
объекта измеряются относительно выбранной неподвижной системы
координат. Динамический принцип заключается в измерении пара-
метров вибрации относительно искусственной неподвижной системы
отсчета, в большинстве случаев инерционного элемента.
Датчики вибраций можно разделить на две группы по способу
измерения вибрации — контактные и бесконтактные. Преимущест-
вом бесконтактных датчиков является возможность проведения изме-
рений с высокой точностью в труднодоступных местах в условиях
воздействия внешних электромагнитных полей. В качестве этих дат-
чиков могут использоваться оптические, электромагнитные, электри-
ческие, радиоволновые, акустические и радиационные устройства,
механически не связанные с испытуемой машиной и поэтому не вно-
сящие искажений в картину вибраций. Однако при промышленных
испытаниях используются более дешевые контактные датчики, масса
которых незначительна, и поэтому их применение практически не
вносит искажений в вибрационное состояние исследуемых машин,
включая машины малой мощности.
В качестве контактных датчиков вибрации получили распростра-
нение электродинамические и пьезоэлектрические датчики, электри-
ческие сигналы на выходах которых пропорциональны скорости виб-
рации и вибрационному ускорению соответственно. Чтобы точность
измерения вибраций была удовлетворительной, масса датчика
должна составлять не более 5 % массы измеряемого объекта. Наибо-
лее миниатюрными являются пьезоэлектрические датчики, или аксе-
лерометры, активный элемент которых изготовлен на основе пьезо-
кварца, циркоиато-титановых керамик или титаната бария.
294
Таким образом, описанные выше шумомеры могут применяться
в качестве виброметров, если вместо микрофона в качестве чувстви-
тельного элемента используется контактный вибродатчик. Отличие
заключается лишь в области измеряемых частот, поскольку при изме-
рении вибраций достаточно производить измерения в диапазоне от 5
до 1 000 Гц. Внешние устройства для анализа вибраций такие же, как
и используемые для анализа шумов.
Если измерение уровня шума допускается производить как в сво-
бодном, так и в реверберационном и полуреверберационном полях, то
анализ шума производится только в условиях свободного поля. Для
создания свободного акустического поля при анализе шумов исполь-
зуются специальные помещения, называемые заглушенными камера-
ми, в которых пол, стены и потолок надежно изолированы как от
внешних, так и от вспомогательных внутренних виброакустических
источников, сведена до минимума возможность отражения звуковых
волн, устранены электромагнитные помехи, которые могут отрица-
тельно повлиять на работу измерительной аппаратуры.
Методы измерения уровня шума и вибрации при промышлен-
ных испытаниях изложены в ГОСТ 11929—87 и ГОСТ 12379—75.
Отметим, что эти стандарты ие устанавливают методы определения
шума и вибраций в нестационарных процессах, например при пусках,
реверсах, торможении и др.
По уровню шума электрические машины разделена на четыре
класса. К классу 1 относятся машины, к которым не предъявляют тре-
бования по ограничению уровня шума, а также машины, разработан-
ные до 1985 г. и доработка которых до класса 2 нецелесообразна;
к классу 2 относятся машины экспортного исполнения и вновь разра-
батываемые машины, к классу 3 относятся малошумные машины
с малошумными подшипниками качения и глушителями вентиляци-
онного шума, к классу 4 относятся особо малошумные машины,
в которых дополнительно предусмотрены пониженное использова-
ние активных материалов и установка звукоизолирующего кожуха.
Предельные значения уровней шума машин классов 2, 3, 4 должны
быть ниже уровней шума машин класса 1 иа 5, 10 и 15 дБ соответст-
венно.
При проведении контрольных испытаний помещение считается
пригодным для измерений шума по методу свободного поля, если
средний уровень звука увеличивается не менее чем на 5 дБ при умень-
шении вдвое расстояния Г| от центра источника до точек измерения
шума или средний уровень звука уменьшается не меиее чем иа 4 дБ
при удвоении указанного расстояния В идеальном свободном поле
295
без затухания изменение среднего уровня звука Л2 ПРИ увеличении
расстояния до г2 = 2гсоставляет 6 дБ в соответствии с выражением
£, = £,+201g(^, (10.1)
где — известное значение уровня интенсивности звука на расстоя-
нии q от источника.
Измерение шума в свободном поте. Если поле в испытательном
помещении обладает хорошим звукопоглощением (коэффициент зву-
копоглощения не менее 0,8), машину помещают над центром поза на
высоте не менее 1 м над полом и не ближе 1,5 м от потолка. Если пол
звукоотражающий (коэффициент звукопоглощения не более 0,05)
испытуемую машину располагают на полу или непосредственно над
полом вблизи от его центра. Звукоотражаюший пол должен прости-
раться во все стороны за измерительную поверхность так, чтобы
линейные размеры звукоотражающей плоскости (пола) были больше
проекции измерительной поверхности, образованной измеритель-
ными линиями (рис 10.10).
Во время измерений шумомер и другие приборы, а также наблю-
датель должны находиться на расстоянии не менее 1 м от микрофона.
Точки измерения выбирают на измерительных линиях I и П
(см. рис. 10.10, а, б). При определении размеров /тах, /min и d не учи-
тывались размеры выходного конца вала, коробки зажимов и других
выступающих деталей электрической машины. Для машин горизон-
тального исполнения измерительная линия 1 располагается на высоте
оси вращения машины, для машин вертикального исполнения — на
половине высоты машины, но не менее 0,25 м для звукоотражающего
и 1,0 м для звукопоглощающего пола. Измерительная линия // во всех
Рис. 10.10» Точки измерения ш}ма испытуемой машины:
а — внд спереди; 6 — вид сверху
296
случаях должна находиться в вертикальной плоскости, проходящей
через ось машины
При контрольных испытаниях измерения проводят в точках 1,2,3,
4, 5 для машин первой группы (/max 1 м, а также 1 м < /тах < 2 м и
/ //т1П < 2 м) и в точках /, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11 для машин второй
группы (/тах > 2 м, а также 1 м </тах<2 м и /max//m.n >1 м)-
ГОСТ 16372—93 «Машины электрические вращающиеся. Допус-
тимые уровни шума» регламентирует допустимые уровни шума элек-
трических машин при измерении на расстоянии 1 м от наружного кон-
тора машины (см. Приложение 16.А). Поэтому размер d при измере-
ниях принимается равным 1 м.
После измерения уровней шума в указанных точках обрабатывают
результаты измерений.
1. Вычисляют эквивалентный радиус rs, м, для машин первой и
второй групп соответственно по формулам
rs ~ + d и rs = + с)/2,
где d= 1 м; размеры а, 6, с, м, см. рис. 10.10.
2 Определяют площадь эквивалентной сферы.
3. Определяют корректированный уровень звуковой мощности по
шкале А:
lpa = АЛ + 10 Ig5 + А , (10.2)
где £а — измеренный средний уровень звука по шкале А. дБ; к —
постоянный коэффициент, к — 0 и к = 3 для звукоотражающего и зву-
копоглощающего пола; 5 = 2лг^.
4. Определяют уровень звуковой мощности в частотных полосах
по формуле
LP = L + !01gS + к, (10.3)
где L — измеренный уровень звукового давления в частотной полосе, дБ.
5 Вычисляют приведенный уровень звука по шкале А на опорном
радиусе 3 м по формуле
Адз = + 20lgr5- 10. (10.4)
Для оценки шума экспортных электрических машин дополни-
тельно нормируется средний уровень звука иа опорном радиусе 3 м.
6. Измеренные и рассчитанные при испытаниях величины сопос-
тавляются с требуемыми по допустимым уровням шума.
297
Методы оценки вибрации. При оценке вибрации электрических
машии основной измеряемой величиной является эффективное зна-
чение вибрационной скорости измеренное в диапазоне от рабочей
частоты до 2 000 Гц. Для электрических машии с рабочей частотой
вращения до 3 000 об/мии допускается измерение в диапазоне
частот до 1 000 Гц.
Определение эффективного значения вибрационной скорости
допускается проводить по данным спектрального анализа в указан-
ном диапазоне частот
Гй 2^
иэф= ЦЛэф, о 0-5)
где ц/Эф — эффективное значение вибрационной скорости, получен-
ное при спектральном анализе для r-й полосы фильтра, причем первая
и n-я полосы должны включать в себя иижиюю и верхнюю границы
заданного диапазона частот соответственно.
Значение вибрационной скорости выражают в миллиметрах
в секунду, а вибрационного ускорения — в миллиметрах в квадрате
в секунду. Допускается оценивать вибрационное ускорение и вибра-
ционную скорость в децибелах.
Таблица перевода вибрационной скорости и вибрационного уско-
рения в децибелы приведена в Приложении 16.Б. Напомним, что для
оценки вибрации собранные электрических машин устанавливается
восемь классов: 0,28; 0,45; 0,70; 1,10; 1,80; 2,80; 4,50; 7,00 Индексы
классов соответствуют максимально допустимой для данного класса
эффективной вибрационной скорости в миллиметрах в секунду.
При контроле вибрации электрических машин их располагают на
упругом основании, причем дополнительная масса упругого основа-
ния ие должна превышать 10 % массы испытуемой машины. Вибро-
датчики должны быть жестко прикреплены к самой машине или
к дополнительной массе. При испытаниях электрическая машина
должна иметь такое же положение, как и при нормальной эксплуатации.
Помехи от внешней вибрации в рекомендуемых точках измерения
(рнс. 10.11) не должны превышать 25 % нормируемого значеиия
уэф.доп» а ПРИ измерении уровня вибраций в децибелах не должны
превышать 8—10 дБ.
При периодических и типовых испытаниях вибрацию необходимо
измерять на подшипниковых щитах по вертикальной и горизонталь-
ной осям, а также в направлении оси вращения, как можно ближе
к последней. Кроме того, измеряется вибрация на лапах или иа
фланце машины в направлении, перпендикулярном опорной поверх-
ности, в точках, находящихся вблизи мест крепления.
298
Рис. 10.11. Точки измерения вибрации в электрических машинах 1Р44 (а), 1Р23(б)
н фланцевого исполнении (в)
Спектральный анализ вибрации проводят в точке с максимальным
значением вибрации из числа точек измерения. Контроль вибрации
осуществляют при установившейся частоте вращения в режиме, ого-
воренном стандартами на соответствующие типы машин. Для миого-
скорсетных машин контроль проводится на скорости, для которой
вибрации максимальны.
Измерение сопротивления изоляции и испытание изоляции на
электрическою прочность. Сопротивление изоляции обмоток изме-
ряется относительно корпуса электрической машины и между обмот-
ками. Измерение производится мегомметром, который представляет
собой генератор высокого напряжения малой мощности постоянного
тока. Выпускаются мегомметры класса напряжения 500, 1 000 и 2 500 В.
299
В соответствии с требованиями ГОСТ 11828—86 измерение
сопротивления изоляции вращающихся электрических машин сле-
дует производить мегомметрами класса 500 В, если напряженке
обмотки до 500 В включительно, и мегомметрами класса не ниже
1 000 В, если номинальное напряжение обмотки выше 500 В.
При измерении сопротивления изоляции обмоток вращающихся
электрических машин большой мощности, которые обладают значи-
тельной емкостью (между обмотками и корпусом), следует применять
мегомметры с моторным приводом, так как время переходного процес-
са, определяемое значением емкости, может достигать нескольких
минут. Отсчет сопротивления изоляции следует производить только
после того, как показания мегомметра перестанут изменяться.
Измерение сопротивления изоляции производится в холодном и в
нагретом состояниях при температуре обмоток, близкой к рабочей,
а также до н после испытаний изоляции обмоток на электрическую
прочность. Сопротивление изоляции относительно корпуса машины
и между фазами следует измерять поочередно для каждой цепи,
имеющей отдельные выводы, при электрическом соединении всех
прочих цепей с корпусом машины. По окончании измерений сопро-
тивления изоляции каждой цепи ее следует разрядить, соединив
с заземленным корпусом машины на 15 с или на 1 мии соответст-
венно для машин мощностью до 1 МВт или более 1 МВт с обмотками
на номинальное напряжение 3 000 В и выше. При использовании
мегомметра класса 2 500 В длительность соединения обмоток с кор-
пусом — не менее 3 мин.
При измерении сопротивления изоляции обмоток эзектрических
машин относительно корпуса (рис. 10.12, а) нулевой вывод мегом-
метра соединяется с заземленным корпусом машины (через болт
заземления), а высоковольтный вывод — с одним из выводов обмот-
ки. Неизмеряемые обмотки фаз заземляются. При измерении сопро-
тивления изоляции между обмотками (рис. 10.12, б) порядок присое-
динения выводов мегомметра к выводам обмотки произвольный.
Аналогичная схема используется для измерения сопротивления изо-
ляции трансформаторов.
fl) б)
Рис. 10.12. Схема измерения сопротивления изоляции обмоток
300
Значение сопротивления изоляции обмоток при рабочей темпера-
туре ® должно быть не менее значения, вычисленного по формуле
г = «7/(1 000 +0,01 Р), (10.6)
r^e у — номинальное напряжение обмотки. В; Р — номинальная
мощность машины, кВ • А или кВт.
Ест полученное по (10.6) сопротивление ие превышает 0,5 МОм,
то в качестве минимально допустимого принимается г - 0,5 МОм.
Поскольку измерения сопротивления изоляции при рабочей тем-
пературе затруднительны (даже при измерении сразу после оконча-
ния испытаний на нагревание температура обмоток может сущест-
венно снизиться), допускается проведение измерений при более
низкой температуре. При этом минимально допустимое сопротивление
изоляции при температуре G < Ораб следует определять по формуле
'е = '’Пш12*. (Ю7)
где к = (Gpa6 - ®)/20 с округлением до большего целого: rmm — мини-
мально допустимое сопротивление изоляции, рассчитанное по фор-
муле (10.6), но не менее 0,5 МОм.
В качестве примера рассмотрим определение минимально допус-
тимого сопротивления изоляции обмотки статора асинхронного дви-
гателя с короткозамкнутой обмоткой ротора типа 4АН280М2УЗ мощ-
ностью 200 кВт, напряжением 660 В, класс нагревостойкости
изоляции обмотки статора F. Измерение сопротивления изоляции
производится при температуре 20 °C.
Рассчитываем по (10.6) минимально допустимое сопротивление
изоляции при рабочей температуре (для класса нагревостойкости F
рабочая температура в соответствии с ГОСТ 183—74 равна 115 °C):
rmjn = U( 1 000 + 0,01 Р) = 660/1002 = 0,6587 ~ 0,66 мОм.
По (10.7) определяем минимально допустимое сопротивление
изоляции при температуре 20 °C.
к = <0Раб - 0)/2° = (115 - 2°)/2° = 4»75;
значение к округляем до 5,0 и далее:
г20°С = ^2* = 21.12 мОм.
Таким образом, сопротивление изоляции асинхронного двигателя
4АН280М2УЗ при температуре 20 °C должно быть не менее
Тангенс угла диэлектрических потерь и емкость об.моток [5]. Эти
параметры определяют с помощью измерительного моста перемен-
ного тока по одной из схем, приведенных на рис. 10.13. Измерения
производят при питании измерительного моста от источника пере-
301
мениого тока частоты 50 Гц с допускаемым отклонением по частоте
в пределах ±2 %, а для масляных трансформаторов — при напряже-
нии, не превышающем 60 % испытательного напряжения обмотки.
Обычно измерения проводят при напряжении 10 кВ. При измерениях
по схеме рис 10.13, в результаты измерений корректируются
С=С-СН; (10.8)
tg6 = (Ctg57C) - (CHtg5H/O, (10.9)
где С — емкость обмоток испытываемого трансформатора, мкФ;
С —- емкость, измеренная при подключении объекта к схеме моста,
мкФ; Сн — емкость, измеренная при отключенном объекте, мкФ;
tg6 —тангенс угла диэлектрических потерь изоляции испытываемого
трансформатора; tgS' — тангенс угла диэлектрических потерь, изме-
ренный при подключении объекта к схеме моста; tgSH —тангенс угла
диэлектрических потерь, измеренный при отключении объекта от
схемы моста.
Испытания изотяции обмоток электрических машин на электри-
ческую прочность проводят для определения электрической прочно-
сти изоляции обмоток относительно корпуса машины, между обмот-
ками и между витками обмотки.
Испытание изоляции обмоток относительно корпуса машины и
между фазами проводят синусоидальным напряжением с частотой
50 Гц от испытательного трансформатора мощностью не менее
1 кВ • А на 1 кВ испытательного напряжения.
Значения испытательных напряжений для различных вращаю-
щихся электрических машин приведены в Приложении 17.
Регулирование напряжения производится плавно или ступенями,
не превышающими 5 % испытательного значения, путем регулирова-
Рнс. 10.13. Перевернутая (а), нормальная (б) и с заземленной нентра 1ью (а) схемы
для измерения тангенса уыа диэлектрических потерь и емкости обмоток:
/ — трансформатор питания; 2 — конденсатор образцовый; 3 — гальванометр;
4 — резистор; 5 — конденсатор регулируемый; 6 — резистор регулируемый; 7 —
испытываемый объект
302
пня напряжения, подводимого к первичной обмотке испытательного
трансформатора. Испытания начинаются со значения напряжения, не
превышающего 1/3 испытательного. Время увеличения напряжения
от половинного значения до испытательного составляет не менее
10 с, испытательное напряжение выдерживается в течение 1 мин.
После этого напряжение плавно снижают до 1/3 испытательного и
огключают трансформатор от сети.
Принципиальная схема установки для испытаний приведена на
рис. 10.14. Основной частью установки является испытательный
трансформатор высокого напряжения 7, подключенный к сети через
регулировочный автотрансформатор 6, который позволяет плавно
увеличивать от нуля напряжение иа первичной обмотке трансформа-
тора 7 и тем самым менять напряжение на испытуемой обмотке. Про-
бой изоляции сопровождается увеличением тока в обмотках транс-
форматора 7. Для его ограничения служит защитный резистор 8.
Считается, что изоляция выдержала испытания, если не произошло
ее пробоя на корпус или перекрытия скользящими разрядами.
Для обеспечения безопасности работы трансформатора высокого
напряжения испытуемая электрическая машина и все токоведущие
части, находящиеся во время испытания под высоким потенциалом,
защищены металлическим заземленным ограждением. На двери
ограждения установлен концевой выключатель с контактом 2, размы-
кающимся при открывании двери и отключающим установку от сети.
Включение установки возможно только при закрытой двери огражде-
ния и осуществляется рубильником 7. При этом зажигается лампа 3
над дверью ограждения. После нажатия кнопки 14 (пуск) обмотка
магнитного пускателя 16 включается под напряжение и основные
контакты 4 пускателя замыкаются, подключая к сети автотрансфор-
матор 6. Одновременно с основными контактами замыкается и вспо-
могательный контакт 75, шунтирующий кнопку 74, а также подклю-
Рис- 10.14. Прнпципиазьная схема установки для испытания изоляции на элек-
трическую прочность
303
чается к сети лампа 5, зажигающая на пульте лампу красного цвета.
Это означает, что при нажатии кнопки 10 высокое напряжение может
быть подано на испытуемую машину. Для подключения трансформа-
тора высокого напряжения к автотрансформатору эту кнопку надо
нажать и удерживать рукой.
Испытательный трансформатор подключается к автотрансформа-
тору через реле максимального тока, предназначенное для отключе-
ния трансформатора высокого напряжения при пробое изоляции
обмотки испытуемой машины В момент пробоя, когда в обмотке 11
реле максимального тока проходит ток, достаточный для его срабаты-
вания, контакт 12 этого реле размыкается, цепь управления магнит-
ным пускателем теряет питание, как и при нажатии кнопки 13 «стоп»,
все контакты пускателя размыкаются, гаснет лампа 5 и автотрансфор-
матор с испытательным трансформатором отключаются от сети.
Контроль за значением испытательного напряжения в данном слу-
чае осуществляется высоковольтным вольтметром 9, расположенным
за ограждением.
По окончании испытания выключают рубильник 1 (подводимое
к испытательному трансформатору напряжение перед этим снижают
до нуля), открывают дверь в ограждении, заземляют вывод С4 и соби-
рают следующую схему.
Испытанию изоляции на электрическую прочность относительно
корпуса следует подвергать поочередно каждую цепь, имеющую
отдельные выводы. При этом один вывод испыгатезьного трансформа-
тора 7 подключают к любому из выводов испытуемой обмотки (на
рис. 10.14 к выводу С/), а другой вывод трансформатора 7 заземляют и
подключают к заземленному корпусу машины, с которым при испытании
обмотки С1—С4 электрически соединяют обмоткн С2-—С5 и СЗ—Сб.
Испытание изоляции обмотки между смежными витками для
работающего на холостом ходу электрического двигателя проводится
напряжением равным 1,3 номинального в течение 3 мин. Для гидро-
генераторов изоляция обмотки между смежными витками должна
испытываться напряжением равным 1,5 номинального в течение
5 мин, для турбогенераторов — напряжением равным 1,3 номиналь-
ного в течение 5 мин. Требуемое значение испытательного напряже-
ния генераторов достигается увеличением тока возбуждения. При
испытаниях машин постоянного тока с 2р > 4 напряжение между
смежными коллекторными пластинами не должно превышать 24 В.
Определение степени искрения коллекторных машин. Оценка
степени искрения машин постоянного тока и коллекторных машин
переменного тока оценивается по степени искрения под сбегающим
краем щетки. ГОСТ 183—74 предусматривает пять возможных степе-
304
1.1 J
ней искрения: 1; 1-
2 и 3 (табл. 10.1). Как правило, степень
искрения электрических машин при номинальном режиме работы не
,1
превышает 1-
Анализ приведенных характеристик степени искрения указывает
на ее весьма субъективную оценку, что требует разработки методов и
приборов, позволяющих оценивать коммутацию количественно.
Кроме того, прямая визуальная оценка степени коммутации не позво-
1яет проводить измерения дистанционно. Несовершенство оценки
искрения работающих машин привело к разработке многочисленных
приборов, позволяющих более объективно и точно оценивать степень
искрения. Благодаря этому обстоятельству можно увеличить число
степеней искрения в 2—3 раза по сравнению с предписанными
ГОСТ 183—74 и тем самым более объективно сравнивать по этому
признаку коллекторные машины.
Таблица 10 1
Степени искренни машин постоинною тока
С гепсиь искренна (класс коммутации) Характеристика степени искренна Состояние коллектора и шеток
1 Отсутствие искрения (темная коммутация) —
'5 Слабое точечное искрение под небольшой частью щетки Отсутствие почернения на кол- лекторе и нагара на щетках
Слабое искрение под большей частью щетки Появление следов почернения иа коллекторе, легко устраняемых протиранием поверхности кол- лектора бензином, а также следов нагара на щетках
2 Искрение под всем краем щетки. Допускается только при кратко- временных толчках нагрузки и перегрузки Появление следов почернения иа коллекторе, не устраняемых про- тиранием коллектора бензином, а также следов нагара на щетках
3 Значительное искрение пол всем краем щетки е наличием крупных н вылетающих искр. Допускается только для моментов прямого (без реостатных ступеней) включения или реверсирования машин, если прн этом кол лектор и щетки оста- ются в состоянии, пригодном для дальнейшей работы Значительное почернение на кол- лекторе, не устраняемое протира- нием поверхности коллектора бензином, а также подгар и раз- рушение шеток
305
Методы оценки коммутации можно разделить на фотографиче-
ские. фотоэчектрические, регистрирующие уровень радиопомех,
измеряющие напряжение под сбегающим краем щетки и реагирую-
щие на импульсные напряжения коммутационной реакции якоря
К первой группе методов относятся визуальная оценка по изло-
женным ранее критериям, фотографирование искрения с последую-
щей его оценкой по фотографиям н метод светового клина, позволяю-
щий судить о степени искрения по его яркости в соответствии
с тотностью применяемого светофильтра.
Фотоэлектрические приборы состоят из фотодатчика, канала пере-
дачи информации, фотоусилителя и регистрирующего прибора,
в качестве которого могут быть использованы стрелочные индика-
торы и осциллографы. Фото датчики крепятся в непосредственной
близости от щеток, поэтому должны быть приняты меры по уменьше-
нию влияния на их работу вибраций и теплоты от испытуемой маши-
ны. Кроме того, следует экранировать их от внешних источников све-
та. Эти приборы могут применяться при исследовании переходных
процессов.
Коммутация сопровождается радиопомехами в диапазоне частот
1 000—3 000 Гц, причем ухудшение коммутации (усиление степени
искрения) приводит к увеличению уровня радиопомех. Таким обра-
зом, измерение радиопомех в зоне щеточного контакта позволяет оце-
нить степень искрения. К недостатку приборов, использующих этот
принцип, относится зависимость уровня радиопомех от частоты вра-
щения исследуемой машины и внешних радиопомех, которые могут
содержаться в питающей сети.
Приборы, измеряющие напряжение под сбегающим краем щетки,
по существу, позволяют снять потенциальную кривую. По виду этой
кривой можно делать качественные заключения о характере коммута-
ции. Для проведения этих измерений требуется установка на коллек-
торе дополнительной (измерительной) щетки. В ряде случаев измеря-
ется напряжение под набегающим краем щетки.
При коммутации не всегда можно заметить искрение, однако оно
сопровождается импульсными напряжениями до нескольких десят-
ков вольт. Эти напряжения увеличиваются при ухудшении коммута-
ции. Приборы, измеряющие импульсные напряжения, позволяют свя-
зать степень искреиня с нормами, приведенными в ГОСТ 183—74.
Для проведения этих измерений требуется установка на коллекторе
дополнительной щетки. Приборы позволяют проводить дистанцион-
ные измерения, исследовать динамические режимы работы, они мало
подвержены внешним влияниям.
Разновидностью описанной группы приборов являются приборы,
измеряющие импульсную составляющую почя коммутационной
306
реакции якоря на главных полюсах. В этом случае вместо дополни-
тельной тетки на коллекторе требуется дополнительная (измеритель-
ная) обмотка на главных полюсах.
Методы измерения температуры. При испытаниях электриче-
ских машин применяются два различных вида датчиков температуры
— с линейной и резко нелинейной характеристикой «вход—выход»
в зоне допустимых температур. Первые из указанных датчиков при-
меняются для непрерывного измерения температуры или превыше-
ния температуры над температурой окружающей среды, а вторые —
для per истрации факта превышения температуры отдельных частей
машины сверх допустимого значения
Отметим, что для получения достоверных результатов, отражаю-
щих тепловое состояние машины, необходимо заранее знать пример-
ную картину теплового поля машины и правильно установить дат-
чики температуры. Технические требования к измерениям темпера-
туры можно сформулировать следующим образом:
• возможность измерений в требуемых точках электрической
машины при различных тепловых режимах ее работы;
• внесение минимальных нарушений в тепловое поле машины
при измерениях;
• возможность осуществления дистанционных измерений, пре-
имущественно методами непосредственной оценки;
• независимость результатов измерений от вибрации, электро-
магнитных полей и условий окружающей среды;
• высокая точность измерений;
• возможность применения для измерения температуры простой
и стандартной измерительной аппаратуры.
В соответствии с перечисленными требованиями следует анализи-
ровать различные методы и способы измерения температуры.
Температуру отдельных частей машины и охлаждающих сред
в соответствии с ГОСТ 25000—81 «Машины электрические вращаю-
щиеся. Методы испытаний на нагревание» следует измерять мето-
дами термометра, сопротивления, заложенных датчиков температуры
и встраиваемых датчиков температуры
Метод термометра. Температуру измеряют термометром расши-
рения, термопарой, термометром сопротивления или терморезисто-
Р°м, прикладываемым к доступным поверхностям собранной элек-
трической машины. Результатом измерения является температура
поверхности в месте приложения термометра. Термометры расшире-
ния применяются ограниченно, в основном для измерения темпера-
тУРы охлаждающих жидкостей и газов. При этом не следует приме-
нять ртутный термометр для измерения температуры тех частей
машины. где имеются переменные магнитные поля, так как послед-
307
ние наводят в ртути вихревые токи, которые нагревают ее и приводят
к неправильным показаниям.
Метод сопротивления позволяет определить среднее значение
температуры обмотки. Превышение температуры обмотки над темпе-
ратурой охлаждающей среды определяется по формуле
Д0 = ^-^(* + 0х) + 0х-0о* (10.10)
где гг, гх — сопротивления обмотки в горячем и холодном состоянии,
Ом; 0Х — температура обмотки в холодном состоянии, °C; 0О — тем-
пература охлаждающей среды, °C; к— величина, обратная темпера-
турному коэффициенту сопротивления при 0 °C (к = 235 для медной
обмотки и 245 для обмотки из алюминия).
Отметим, что для повышения точности измерения температуры
обмоток в холодном и горячем состоянии следует проводить измере-
ния с помощью одних и тех же приборов при одних и тех же пределах
измерения.
Метод заложенных датчиков температуры применяют для опре-
деления температуры обмотки или активной стали. Обычно устанав-
ливают не менее шести датчиков, равномерно расположенных по
окружности машины в таких точках обмотки в осевом направлении
пазов, в которых ожидают наибольшие значения температуры. Каж-
дый датчик должен соприкасаться непосредственно с поверхностью,
температура которой подлежит измерению, и быть защищен от воз-
действия охлаждающей среды. В качестве датчиков используют тер-
мопары, термометры сопротивления или терморезисторы.
Температуру в месте заложения термопары следует определять по
ее градуировочной характеристике. Холодный спай термопары дол-
жен быть защищен от быстрых изменений температуры окружающей
среды. При наличии одной-двух термопар ЭДС измеряется милли-
вольтметром с пределом измерения 3—10 мВ и внутренним сопротив-
лением не менее 25 Ом/мВ. Показания милливольтметра следует кор-
ректировать в зависимости от сопротивления термопары по формуле
t/ =-----!{/, (10.11)
'в
где U— истинное значение ЭДС термопары, мВ; — измеренное
значение ЭДС, мВ; гв, гт— внутреннее сопротивление милливольт-
метра и сопротивление термопары, Ом.
При большем числе термопар используют компенсационный
метод измерений. Температуру в месте заложения термометра сопро-
тивления опредечяют путем измерения сопротивления термометра
308
мостом или специально предназначенными для этого логометрами.
Превышение температуры следует принимать равным наибольшему
измеренному значению.
Метод встраиваемых датчиков температуры. При использова-
нии этого метода датчики (термопары, термометры сопротивления
или терм о резисторы) встраивают в лобовые части обмотки или
между отдельными листами активной стали на глубину не менее 5 мм
от ее поверхности. Кроме того, датчики могут встраиваться в другие
доступные точки машины, в которых ожидается наибольшее превы-
шение температуры. Измерения проводятся так же, как и в методе
заложенных датчиков температуры.
Характеристика датчиков температуры. Явление термоэлек-
тричества, открытое в 1823 г., заключается в том, что в цепи, состоя-
щей из двух различных проводников или полупроводников, соеди-
ненных электродами и имеющих различную температуру точек
соединения, появляется термоэлектродвижущая сила. При неболь-
шом перепаде температур между спаями значение термоЭДС пропор-
ционально разности температур. Такая цепь получила название тер-
мопары.
Дзя промышленных термопар используются следующие мате-
риалы термоэлектродов- термопара типа ТПР — платинородий (10 %
родия)-платина; термопара типа ТПП — платинородий (30 % родия)-
п л ат и на, термопара типа ТХА — хромель-алюмель, термопара типа
ТХК — хромель-копель. Пределы измерения температуры при дли-
тельном применении термопар составляют: для ТПП от -20 до
I 300 °C, для ТПР от 300 до 1 600 °C, дзя ТХА от -50 до 1 000 °C, для
ТХК от -50 до 600 °C. ТермоЭДС, развиваемая этими термопарами
при температуре горячего спая 100 °C и холодного спая О °C, состав-
ляет для ТПЦ 0,64 мВ, для ТХА — 4,1 мВ, для ТХК — 6,9 мВ.
Для измерения температур ниже -50 °C используются термопары
медь-констан тан (до -270 °C) и медь-коппель (до -200 °C). Так как
константан представляет собой сплав, свойства которого могут коле-
баться в довольно широких пределах, необходимо производить гра-
дуировку каждой термопары.
Отметим, что термопара измеряет не температуру места установки
спая, а превышение этой температуры над температурой противопо-
ложной пары электродов, к которым подключается измерительный
прибор, поэтому при проведении измерений необходимо знать темпе-
ратуру в месте установки холодного (измерительного) спая.
Термометры сопротивления относятся к одним из наиболее точ-
ных преобразователей температуры. В частности, платиновые термо-
метры сопротивления позволяют измерять температуру с погрешно-
стью 0,001 °C. Для измерения температуры применяются металлы.
309
имеющие высокостабильный температурный коэффициент сопротив-
ления (ТКС) и линейную зависимость сопротивления от температу-
ры. К таким материалам относятся платина и медь.
Промышленные платиновые термометры сопротивления исполь-
зуются в диапазоне температур от -200 до 650 °C, медные от -50 до
200 °C. Значение ТКС в диапазоне температур 0—100 °C составляет
для платины 0,0039, для меди — 0,00427 К-1.
Промышленные платиновые термометры изготовзяются с сопро-
тивлением 10,46 и 100 Ом при 0 °C, медные — 53 и 100 Ом. Увеличе-
ние температуры чувствительного элемента термометра, помещен-
ного в тающий лед, за счет нагревания измерительным током не
должно превышать 0,2 °C для платиновых и 0,4 °C для медных термо-
метров при мощности рассеяния в термометре, равной 10 мВт.
Терморезисторы подразделяются на металлические и полупро-
водниковые.
Выбор металла для терморезистора определяется химической
инертностью металла к измеряемой среде в интересующем интервале
температур и высокостабильным ТКС. Кроме платины и меди для
изготовления терморезисторов применяются никель и вольфрам.
Температурный коэффициент сопротивления никеля в диапазоне тем-
ператур 0—100 °C равен 0,0069, вольфрама — 0,0048.
Основным достоинством терморезистора из никеля является его
относительно высокое удельное сопротивление, но зависимость его
сопротивления от температуры линейна только для температур до
100 °C. Медные и никелевые тсрморезисторы выпускают из литого
микропровода в стеклянной изоляции. Микропроволочные терморе-
зисторы герметизированы, высокостабильны, малоинерционны и при
малых габаритных размерах могут иметь сопротивление до десятков
килоом. Для измерений низких температур применяются индиевые,
германиевые и угольные терморезисторы.
Полупроводниковые терморезисторы отличаются от металличе-
ских меньшими габаритными размерами. Обычно ТКС позупровод-
никовых терморезисторов отрицателен и уменьшается обратно про-
порционально квадрату абсолютной температуры. При температуре
20 °C значение ТКС составляет 0,02—0,08 К’1, что на порядок выше,
чем у металлических терморезисторов (рис. 10.15, а).
Полупроводниковые терморезисторы выпускаются в большом
ассортименте и имеют номинальные сопротивления при 20 °C от 0,3
до 3 300 кОм Диапазон рабочих температур различных терморези-
сторов составляет от -100 до 300 °C. Точность измерения темпера-
туры с помощью полупроводниковых резисторов близка к точности
металлических терморезисторов при соблюдении сроков их поверки.
310
Рнс. 10.15. Характеристики но.iy провощи ковых терморезисторов
В настоящее время разработаны терморезисторы с положитель-
ным ТКС на базе сегнетоэлектриков, в частности BaTiOj, резко изме-
няющие свое сопротивление при малом изменении температуры
(рис. 10.15, б). За пределами этого интервала сопротивление при
увеличении температуры уменьшается. В указанном интервале тем-
ператур значение ТКС достигает 0,3—0,5 К-1. Такие полупроводни-
ковые терморезисторы применяются в устройствах защиты электри-
ческих машин от перегревов. С их помощью проверяют, превышает
температура допустимую или нет. Значение критической температу-
ры, при которой начинается резкое увеличение сопротивления,
составляет для различных полупроводниковых терморезисторов с
положительным ТКС от 70 до 150 °C.
Отдельную группу составляют измерители разового действия,
к которым относятся теплочувствительные краски и легкоплавкие
металлы. Эти измерители позволяют лишь ответить на вопрос, пре-
высила ли измеряемая температура допустимую или нет. Если темпе-
ратура превысила допустимую, то теточувствительная краска изме-
няет свой первоначальный цвет, а металзический предохранитель
плавится, нарушая контакт в измерительной цепи и сигнализируя тем
самым о недопустимом превышении температуры.
Особенности измерения температуры вращающихся частей
электрических машин. Температуру вращающихся тел измеряют
датчиками температуры, связанными с индикатором через скользя-
щий электрический контакт, или бесконтактным способом либо
с использованием измерителей разового действия.
При использовании скользящего электрического контакта в каче-
стве датчиков температуры используются термопары, термометры
сопротивления или терморезисторы, которые через контактные
кольца и щетки или жидкометаллические контакты соединяются
311
с измерительными приборами. При использовании скользящего кон-
такта в зоне последнего возникает коммутационная ЭДС. Сопротив-
ление контакта сильно зависит от температуры, влажности, вибра-
ции, скорости вращения и других факторов. В меньшей степени
влияние этих факторов проявляется при использовании жидкометал-
лических контактов.
Бесконтактная передача информации отдатчика температуры на
измерительное устройство может осуществляться с использованием
индуктивной, емкостной или СВЧ-связи В настоящее время широко
используются методы измерения с использованием низкотемператур-
ных фотоэлементов (фоторезисторов, фотодиодов и фототранзисто-
ров), работающих в инфракрасном диапазоне спектра излучения
нагретого тела.
Индукционная связь может осуществляться с помощью воздуш-
ного или с ферромагнитным сердечником вращающегося трансфор-
матора. Вращающаяся катушка соединена с термометром сопротив-
ления или терморезистором, а неподвижная включена в мостовую
измерительную схему. Питание моста осуществляется от источника
переменного тока.
В случае применения емкостной связи одна из обкладок конденса-
тора, обычно цилиндрического, вращается, а другая неподвижна.
Время заряда или разряда конденсатора и его ток зависят от сопротив-
ления датчика, соединенного с вращающейся обкладкой конденсатора.
В качестве датчиков температуры применяют и датчики с сердеч-
никами из материалов, точка Кюри которых соответствует предель-
ной допустимой температуре измеряемой детали вращающегося
ротора электрической машины. СВЧ-связь осуществляется с помо-
щью миниатюрных СВЧ-резонаторов, встраиваемых в место измере-
ния температуры. При изменении температуры изменяются линей-
ные размеры резонаторов в результате теплового расширения и его
резонансная частота, что улавливается неподвижными приемниками
этого излучения. Приемник может быть отградуирован в градусах
или снабжен градуировочной таблицей или кривой.
Использование фотоэлементов для измерения температуры вра-
щающихся частей электрических машин стало возможным с разра-
боткой приемников излучения, имеющих длину волны около 5 мкм,
что соответствует области излучения слабонагретых тел с температу-
рами примерно 100 °C. Для этих целей используется, в частности,
сернистый свинец. Схема измерения зависит от типа применяемого
фотоэлемента. Стандартные фотоэлектрические пирометры исполь-
зуются для бесконтактных измерений температуры вращающихся
частей электрических машин.
312
10.6. Бейесовский подход при прогнозировании и диагностике
При проектировании технических изделий задается требуемый
уровень надежности, и конструктор, опираясь на свой опыт, стре-
мится его обеспечить. Однако при традиционном вероятностном под-
ходе этот опыт не учитывается. Поэтому необходим большой объем
данных, получаемых путем проведения испытаний, для подтвержде-
ния уровня надежности с большой степенью достоверности.
Часто конструктор может уверенно оценить характеристики своей
системы после проведения непродолжительных испытаний. Кроме
того, конструктор может скептически относиться к результатам,
полученным при использовании традиционных статистических мето-
дов, так как эти результаты могут не соответствовать его прошлому
опыту. Допустим, конструктор дорабатывает систему охлаждения
генератора. Ее назначение идентично назначению предыдущей моде-
ли, а конкретной целью доработки является повышение надежности.
Если в данном случае при заданном доверительном уровне будет
получено значение вероятности безотказной работы ниже предыду-
щего значения, то конструктор может просто не поверить получен-
ным результатам. Такое расхождение может возникнуть при незначи-
тельном объеме достоверных данных Поэтому специалисты по
надежности находятся в трудном положении, поскольку они не могут
полагаться только на традиционные статистические методы для полу-
чения достоверных результатов.
Одно нз решений дает бейесовский подход, который объединяет
субъективное суждение или опыт с достоверными данными и дает
оценки, аналогичные получаемым прн традиционном статистиче-
ском подходе [13]. Бейесовский подход к статистическим выводам
основан на применении теоремы, котор>ю впервые сформулировал
Т. Бе нес в XVIII в. Впоследствии Лаплас модифицировал эту теоре-
му; этот измененный вариант используется в настоящее время и назы-
вается теоремой Бейеса.
В § 2.2 представлена формула Бейеса (2.9) — иногда ее называют
теоремой гипотез. Остановимся подробнее на ситуации, в которой
тайная теорема эффективно используется. Производится экспери-
мент (назовем его событием Л). Этот эксперимент может произойти
совместно с одним из иных событий, называемых гипотезами // (Hj,
^2 ’ ♦ Нл), образующих полную группу событий. Априори известны
вероятности гипотез, а также условные вероятности появления
события А при условии появления одной нз гипотез, т.е. Р(А/Ну}3
Р(А Н2)... Р(А!Н^. Тогда вероятность гипотезы после эксперн-
313
мента, т.е. условная вероятность появления гипотезы P(Ht!A} опреде-
ляется выражением
Р(Я/Л) =
Р(ЯЗР(Л/Я,)
f Р(Н,)Р(Л/Н,)
1-1
Итак, теорема Бейеса представляет собой симбиоз использования
априорной и апостериорной информации, показывает путь обратного
рассуждения от следствия к причине.
Рассмотрим гипотетический пример влияния дополнительной
апостериорной информации на прогнозирование надежности. Допус-
тим, конструктора интересует надежность новой системы, еще не
подвергавшейся испытаниям. Будем считать, что эта система может
быть охарактеризована следующими двумя значениями вероятности
безотказной работы н /?2: на основании прошлого опыта можно
предположить, что система будет иметь вероятность безотказной
работы Я] = 0,95, однако если конструктор системы допустил ошибку
при расчете определенного параметра, то вероятность безотказной
работы окажется равной R2 = 0,75. Степень доверия к конструктору
системы выражается в том, что вероятность достижения значения
принимается равной 0,8, а вероятность достижения значения R2 —
всего 0,2.
Допустим, что один образец этой системы был подвергнут испы-
таниям н оказалось, что система работает безотказно. Требуется
определить вероятность того, что достигнута вероятность безотказ-
ной работы Л|.
Введем обозначения: — событие, состоящее в том, что достиг-
нуто значение R^ St — событие, состоящее в том, что испытания /-й
системы оказались успешными. Требуется найти P(R^S^). Запишем
формулу Бейеса:
P(R /S 3 - Р(Л )ЛУ Л|)
11 Р(Л,)Р(5//?,) +Г(Л2)Р(5,/Л2)
Подставив численные значения, получим
Р(Л,/5]) =------—------—-------=0,835.
1 17 0,8 0,95 + 0,2 -0,75
Далее допустим, что были проведены испытания второго образца
системы и они также оказались успешными. Теперь требуется
вычислить:
P(Ry/SiS2}
________P(Rx)P(S}S2/R')
P[R' )P(S}S2 Я,) + P(R2)P(S}S2/R2)'
314
Подставив вычисленные значения, получим:
Р( о /се,_____________0,8(0,95-0,95 ) *
1 1 2' 0,8 (0,95 0,95 ) +0,2 ("0,75 0,75 )
Отсюда следует, что прн применении теоремы Бейеса вероятность
прогнозирования надежности корректируется появлением новой
информации.
Прогнозирование надежности с помощью теоремы Бейеса.
В этом случае требуется количественная оценка всех инженерных
параметров. Важное значение бейесовской теории статистических
решений состоит в том, что на ее основе была создана методика,
позволяющая учитывать инженерные данные н накопленный опыт
прн принятии решений. Например, конструктор разработал новую
электромеханическую систему. На основании накопленных данных и
интуиции конструктор считает, что если система разработана пра-
вильно н удовлетворяет техническим требованиям, то наработка на
отказ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
р = 50 000 ч Если же система спроектирована неправильно, то эта
цифра может составить 30 000 ч. Основываясь на своем опыте, конст-
руктор может с большой степенью уверенности оценить свою систе-
му. Априори он утверждает, что с вероятностью 0,8 средняя нара-
ботка системы до отказа составит 50 000 ч, а с вероятностью 0,2
составит 30 000 ч.
Испытания единственного опытного образца проводились в усло-
виях, близких к реальным. Испытания должны быть прекращены при
наработке 40 000 ч. Кроме того, на основании прошлого опыта конст-
руктор утверждает, что средне квадратическое отклонение составляет
10 % математического ожидания.
Задача состоит в том, чтобы определить вероятность безотказной
работы системы и доверительную вероятность оценки на этапе про-
ектирования.
Пусть А — событие, состоящее в том, что система испытана и без-
отказно проработала 40 000 ч. Пусть В} — гипотеза, согласно которой
средняя наработка до отказа составляет 50 000 ч, а В2 — гипотеза,
согласно которой средняя наработка до отказа составляет 30 000 ч.
В соответствии с априорными оценками конструктора имеем
Лр = 50 000) = 0,8; Р(р = 30 000) - 0,2. Если t — время безотказной
работы системы, то Р(А!ВХ) = P(i > 40 000/В|). Время / является слу-
чайной величиной, распределенной по нормальному закону
с Р = 50 000 ч и о = 5 000 ч. Таким образом, значение нормированной
315
случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет
внд
= 40 000 - 50 000 =
Z 5 000
С помощью таблиц центрированной и нормированной функции
Лапласа (см. Приложение 2) находим
Р(А/В{) = 0,5 - F(z) = 0,5 + 0,4772 = 0.9772.
Для вычисления Р{А!В^ находим
40 000 - 30 000
z 3 000
С помощью таблицы Приложения 2 опредетяем
Р{А!В2) = 0,5 - 0,49955 = 0,00045.
По формуле Бейеса находим
Р(В /Л) - Р(Д‘)Р(Л/Д')
1 Р{В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2)
=--------0.8 <19772------- =
0,8-0,9972 + 0,2-0,00045
Р(В2)Р(А/В2)
Р(Р2/а> - Р(В^Р(А/В]) + Р(В2)Р(А/В2) " 1
= 1 -0,9999 = 0,0001.
Допустим, что впоследствии, когда начинается изготовление сис-
темы, потребуется выбрать случайным образом одну систему, которая
должна безотказно работать 35 000 ч. В этом случае
35 000 - 50 000 =
5 000 ’
Р(1) = 0,5 - F(z) = 0,5 + 0,4986 = 0,9986.
Прн этом доверительная вероятность равна 0,9999, так как это
вычисленная выше вероятность Р(В\!А). Однако до начала испытаний
вероятность безотказной работы системы при наработке 35 000 ч
составляла 0,9986 при доверительной вероятности 0,8, полученной на
основании априорных оценок После завершения испытаний прн
использовании формулы Бейеса доверительная вероятность для
оценки вероятности безотказной работы системы увеличилась до
0,9999.
316
Применение формулы Бейеса при решении задач технической
диагностики. Пусть известны состояния электрической машины
(электромеханической системы), которые представляют собой нор-
мальное состояние и типовые состояния неисправностей. Известны
вероятности этих состояний. Произведены наблюдения прн эксплуа-
тации (или при испытании), в результате чего зафиксированы некото-
рые признаки. Необходимо выяснить, как в связи с этим изменяются
(корректируются) вероятности состояний электрической машины.
Рассмотрим легко наблюдаемые, чисто качественные признаки,
например значительный нагрев, заметное уменьшение времени выбе-
га, вибрацию и т.п. Уточнение признаков может быть произведено
разбивкой наблюдаемых параметров на интервалы оценки степени
искрения коллектора.
Формула Бейеса позволяет вычислить вероятность состояния
после испытаний (наблюдений, эксплуатации), характеризуемую
комплексом признаков к. Вероятность состояния £>f при комплексе
признаков Аг определяется
P{D )P(k/D)
P(D/k) = --------------— . (10.12)
X P(DJ)P{k/Dj)
j=i
Здесь PfDj) — априорная (до испытаний) вероятность состояния Dt;
Р(к/О{) — условная вероятность возникновения комплекса признаков
Л прн состоянии Dt. (Состояния7^,О2, .-.,Dnобразуют полную
группу несовместных событий.)
Предположим, что комплекс признаков к состоит из независимых
признаков Л|, ^2, ..., кп. Тогда вероятность Р(О^к) определяется как
P(Dt)P(ky /D-)P(k7/Dt)... P(k/D}
P(D,/k) = ' 1---(10.13)
ftP(D.)P(ki/DJ)P(k2/DJ)...P(kn/D/)
При использовании (10.12) отсутствие какого-либо признака,
например к^ рассматривается как противоположное событие с веро-
ятностью P(k/Dt) - 1 - P(kxtD^ где к— противоположное событие.
Если существует признак встречающийся только прн одном
состоянии системы и не встречающийся прн других, то такой при-
знак считается доминирующим. Тогда при i = pP(£)|/Ar)= 1, а при / * ц
ЛЗД-0.
Рассмотрим пример. Для исследуемой электрической машины
характерны три состояния: состояние неисправности узла 1, вероят-
317
ность P(DX) известна; состояние D2 неисправности узла 2, вероятность
Р(£>2) известна, и нормальное состояние £>3 с вероятностью P(Dy).
Признак кх наблюдается при состоянии D| с условной вероятно-
стью P(Atj/D|), при состоянии D2 с условной вероятностью P(kx/D2) и
при нормальном состоянии не наблюдается.
Признак к2 наблюдается прн состоянии D} с условной вероятно-
стью P(k2!DxY при состоянии D2 с условной вероятностью Pik-JDj) и
при нормальном состоянии с вероятностью P(k2!Dy). Требуется опре-
делить условные вероятности состояний Dp D2, Dy при появлении
признаков Агр к2 в различных сочетаниях.
Конкретизируем ситуацию. Исследуется двигатель постоянного
тока, а именно два его узла: подшипниковый узел (ПУ) и коллектор.
Характерными являются три состояния: ухудшение состава смазкн
ПУ (состояние D0, наблюдаемое у 5 % машин, Р(РХ) = 0,05; значи-
тельное увеличение искрения коллектора (состояние D2), наблюдае-
мое у 15 % машин, P(D2) = 0,15, и нормальное состояние Dy наблю-
даемое у 80 % машин, P(Dy) = 0,8.
Резкое увеличение вибрации (признак кх) наблюдается при ухуд-
шении состава смазки ПУ в 20 % случаев, P(kx!Dx) - 0,2; при увели-
чении искрения коллектора в 40 % случаев, P(Ar1/D2) == 0,4, и прн нор-
мальном состоянии не наблюдается, P(kx!Dy) = 0.
Резкое увеличение нагрева (признак к2) наблюдается при ухудше-
нии состава смазки ПУ в 30 % случаев, P{k2!Dx) = 0,3; при увеличении
искрения коллектора в 50 % случаев, P{k2!D2) = 0,5, и при нормальном
состоянии в 5 % случаев, Р(к2Юу) - 0,05. Определим вероятность
состояний Dj, D2, Dy при резком увеличении вибрации и нагрева
одновременно и в различных сочетаниях.
Вариант 1. Наблюдается резкое увеличение вибрации и темпера-
туры, т.е. присутствуют оба признака кх и к2. Рассчитаем вероятность
того, что неисправен подшипниковый узел из-за ухудшения смазки
ПУ, т.е. P(Dx/kxk2). Числитель (10.12) с учетом (10.13) имеет вид
P(Dl)P(k/Di) = P(Dx)P(kx/Dx)P(k2/D}) = 0,05 • 0,2 • 0,3 - 0,003. Знаме-
натель формулы (10.12) с учетом (10.13):
£ P(DJ)P( k/D}) = P(D} )P(kx/Dx)P(k2!Dx} +
+ P(D2)P(k}ID2)P(k2ID2)^ P(Dy)P(kxIDy)P(k2IDy'} =
= 0,05 0,02 • 0,03 + 0,15 • 0,4 • 0,5 + 0,8 • 0 0,05 = 0,33.
318
Искомая вероятность Р(£>1/Л1^2) = 0.09» Аналогичный расчет пока-
зывает, что при резком увеличении вибрации и температуры увеличе-
ние искрения коллектора будет в 91 % случаев, т.е. Р(/>2/А1^2)= 0,91.
Так как P(kx/D3) = 0, то в соответствии с (10.13) при присутствии при-
знаков кх и к2 машина всегда неисправна, т.е. Р(£)3/Л]Л2) = 0.
Вариант 2. Нормальное состояние вибрации и температуры
машины, т.е. признаки кх и к2 отсутствуют. Рассчитаем вероятность
нормальной работы машины (состояние £>3). Числитель (10.12) с уче-
том (10.13) имеет вид
P(D)P(kJD) = P(D3)P(kx/D3)P(k2/D3) = 0,8(1 - 0)( 1 - 0,05) = 0,76.
Знаменатель формулы (10.12) с учетом (10.13) имеет вид
f P(D})P{k /О}) = P(Dx}P^x!Dx)P(k2/Dx} + P(D2)P(k}/D2)P(k2/D2) +
i
+ P(D3)P(kx/D3)P(k2/D3) = 0,05(1 - 0,2)( 1 - 0,3) +
+ 0,15(l-0,4)(l -0,5)+ 0,8(1 - 0)(l -0,05) = 0,833.
Вероятность того, что машина исправна, P(D3/kxk2) = 0,912. Про-
делав аналогичные расчеты, можно определить, что в рассматривае-
мом варианте вероятность неисправности подшипникового узла
P(Dx/kxk2) - 0,034 н вероятность повышения искрения коллектора
P(D2ik}k2) = 0,054.
Вариант 3. Резкое увеличение нагрева (признак fc2) при нормаль-
ной вибрации; признак кх отсутствует. Определим вероятность нор-
мальной работы машины. Итак, числитель (10.12):
P(Dt)P(kJD^ = P(D3)P(k}ID3)P(k2ID3) = 0,8(1 - 0)0,05 = 0,04.
Знаменатель формулы (10.12):
^(D^Pik/Dj) = P(Dx)P(k}/Dx)P(k2/Dx) + P(D2)P(k}/D2)P(k2/D2) +
I
+ P(D3)P(k}/D3)P(k2/D3) = 0.05(1 - 0,2)0,3 +
+ 0,15(1 - 0,4)0,5 + 0,8(1 - 0)0,05 = 0,097.
Искомая вероятность P(D3lkxk2) = 0,41. Прн этом же сочетании
признаков подшипниковый узел неисправен в 12 % случаев, коллек-
тор — в 46 %.
В качестве самопроверки предлагается просчитать четвертый, и
последний, вариант, когда наблюдается резкое увеличение вибрации
при нормальной температуре. Ответы следующие:
P{Dx!kxk2) = 0,19; P(D2!kxk2) = 0,81; P(D3/k J2) = 0.
319
10.7. Групповое прогнозирование и обеспечение
заданного уровня надежности
Групповое прогнозирование надежности и (или) технического
состояния означает опредечение будущего состояния совокупности
изделий, причем число изделий предполагается достаточно большим.
В качестве примера рассмотрим групповое прогнозирование эксплуа-
тационной надежности асинхронных двигателей на базе формулы
Любалина (10.14). При этом будут решаться задача анализа воздейст-
вующих факторов и задача синтеза. Напомним, что задача анализа
возникает в следующей ситуации: задан объект, нужно определить
его свойства, т.е. заданы воздействующие факторы и требуется опре-
делить характеристики объекта. Обычно прн решении задач анализа
имеется единственное решение. Даже для весьма сложных объектов
такого рода задачи успешно решаются. Это объясняется тем, что все
существующие методы математического описания приспособлены
именно к решению задач анализа. Для этого эффективно исполь-
зуются вычислительная техника, математические и физические моде-
ли. При решении задач синтеза обычно нет единственного решения.
Задача формулируется так: заданы необходимые свойства объекта.
Требуется найтн определенное сочетание факторов или параметров,
а затем конструкцию и облик объекта, наилучший в некотором смыс-
ле. Эта задача сложная, в ней много конструктивных, физических и
экономических ограничении, что делает решение неоднозначным.
Рассмотрим задачи анализа, а именно групповое прог нознрование
эксплуатационной надежности асинхронных двигателей, а также
задачи синтеза: определение сочетания воздействующих факторов,
обеспечивающих заранее заданный уровень надежности.
Итак, будут решаться задачи, связанные с эксплуатационной
надежностью асинхронных двигателей. Модель надежности пред-
ставлена в виде аналитической зависимости, определяющей влияние
условии эксплуатации на показатели надежности асинхронных дви-
гателей в широком диапазоне возможных, в том числе и форсирован-
ных, значений эксплуатационных факторов. Использование модели
надежности позволяет на единой методической осиове осуществить
количественную оценку надежности асинхронных двигателей серин
4А в будущем (прогнозирование) на базе априори полученных дан-
ных подконтрольной эксплуатации и обширных лабораторных иссле-
дований асинхронных двигателей в форсированных режимах.
Модель надежности разработана для двигателей с изоляцией класса
F, но может быть легко перестроена для двигателей иного класса изо-
ляция и более поздних серий асинхронных двигателей.
320
В результате проведенных исследований получена зависимость,
связывающая среднюю наработку до отказа Тс? с конструктивно-тех-
нологическими н эксплуатационными факторами:
Гср = ехр[К+Э], (10.14)
Где К = 6,2 — постоянная величина, характеризующая уровень надеж-
ности двигателей, достигнутый на стадии проектирования и изготов-
зения; Э — переменная величина, определяющая влияние основных
эксплуатационных воздействий на Гср;
Э = 0,3150 - 0, ППО6402 - 0,001 л - 0,0000247л© -
- 0,0000003 3 и©2 - 0,00081 и2. (10.15)
Здесь © — значение рабочей температуры обмотки статора, приве-
денное к номинальному значению 0НОМ по формуле
© = 155 + (©ф-©ном), °C; (10.16)
0ф — фактическая температура обмотки статора; п — число пусков
двигателей в час, приведенное к номинальному значению лном по
формуле
л = 2 + (лф - лном), ч-1; (10.17)
Лф — фактическое число пусков двигателей; V — вибрационная ско-
рость двигателей, приведенная к номинальному значению ином по
формуле
и = 5 + (1?ф-ином), мм/с; (10.18)
Цф — фактическая вибрационная скорость двигателей.
Для трехфазных асинхронных двигателей общего применения
серии 4А в качестве номинальных принимаются следующие значе-
ния: © = 155 °C; лнпы = 2 ч-1; иноы = 5 мм/с. Зависимость (10.15)
справедлива для любых сочетаний эксплуатационных факторов 0, л,
v в следующих диапазонах значений:
1О5<0<2О5 °C;
2< л<500ч-1;
5 < v < 40 мм/с.
Размерность коэффициентов в зависимости (10.15) обратная раз-
мерности соответствующих эксплуатационных факторов.
При значениях эксплуатационных параметров, соответствующих
условию 0 < 155 °C, п < 500 ч"1, v < 40 мм/с, имеет место экспонен-
циальное распределение отказов асинхронных двигателей. В связи
321
с этим по результатам испытаний или расчета может быть определена
вероятность безотказной работы двигателей за расчетное время
t < 40 000 ч по формуле
Рт = ехрН/Тср], (10.19)
а также вероятность отказа, частота и интенсивность отказов:
Q(t) = 1 - P(r); a{t) = Хехр[-Х/]; X = 1 /7ср = const. (10.20)
При значениях эксплуатационных факторах, превышающих вы-
шеназванные, целесообразно использовать нормальный закон рас-
пределения отказов.
Для осуществления прогнозирования показателей надежности
асинхронных двигателей (это задача анализа факторов) вначале необ-
ходимо решить следующие задачи.
Задача 1. Определить среднюю наработку до отказа Тср и вероятность
безотказной работы асинхронных двигателей для времени /,- = 10 000, 20 000,
30 000. 40 000 ч при следующих значениях эксплуатационных параметров.
Оф = 130 °C; Лф - 100 ч Цф - 10 мм/с.
Решение. В соответствии с (10.16), (10.17) и (10.18) определяются значе-
ния О, и, V.
0 = 155 +(Оф 0НОМ) = 155 + (130 - 155) = 130 °C,
и = 2 + (иф-ином) = 2 + (100 - 2) = 100 ч-1.
у = 5 + (Цф - ином) - 5 + (10 5) - 10 мм/с.
Полученные значения подставим в (10.15):
Э = 0,135- 130 - 0,00064- 1302 - 0.001 • I О2 - 0,0000247 • 100- 130-
-0,00000033- 10- 1302 - 0,00081 102 = 6,17613.
По (10.14) определяется среднее время наработки до отказа:
Гср = ехр[6,2 + 6,17613] = 237 074 ч.
Вероятность безотказной работы для времени I = 10 000 ч определяется
по (10.19):
Р(10 000) = exph 10 000/237 074] = ехр[-0,0422] = 0.9586.
Аналогично для = 20 000, 30 000, 40 000 ч
Р(20 000) = схр[ 20 000/237 074] = ехр[-0,084] = 0,9194;
Р(30 000) = ехр[-0,126] = 0,8816;
Р(40 000) = ехр[-0,168] = 0,8453.
Задача 2. В результате улучшения проектирования и модернизации тех-
нологии изготовления была повышена надежность асинхронных двигателей»
Определить постоянную К, характеризующую уровень надежности двигате-
лей, достигнутый иа стадия проектирования и изготовления. Рассчитать
вероятность безотказной работы для /ср = 20 000 ч до и после модернизации.
322
cc in в результате испытаний модернизированных электродвигатезей при
0 = 155 °C, и = 150 ч"1, v = 300 мм/с было получено значение средней нара-
ботки ДО отказа Гср = 61 084 ч (до модернизации К = 6,2).
Решение. Исходя из (10.14) значение К можно определить так:
К = 1п7ср Э
Значение Э определяется по (10.15) с использованием (10.16)—(10.18):
3 = 0,135-155 - 0,00064 • 1552 -0,001 • 150-0,0000247- 150- 155-
- 0,00000033 • 30 • 1552 - 0,00081 • 302 = 3,85788
Отсюда К= 11,02- 3,85788 = 7,16212.
Вероятность безотказной работы модернизированных асинхронных дви-
I ателей для t = 20 000 ч:
Р(20 000) = ехр[-20 000/61 084] = ехр[-0,3274] = 0,7208.
Средняя наработка до отказа электродвигателей до модернизации:
Тср = схр[6,2 + 3,858] - 23 341 ч
Вероятное! ь безотказной работы для I = 20 000 ч:
Р(20 000) = ехр[-20 000/23 341] = ехр[-О,8569] = 0,4245
Соответственно интенсивность и частота отказов по (10.20)
Х = L, =4,284-10 5ч *,
Тср 23 341
а (20 000) = Щ20 ООО) = 4,284 • 0,4245 = 1,819 • 10“' ч-1.
В целях npoi нозирования надежности асинхронных двигателей необхо-
димо найти сочетания эксплуатационных параметров — температуры и час-
тоты пусков, соответствующих средней наработке до отказа:
Г1ср = 200 000 ч; Т2ср = 100 000 ч; Г3ср = 50 000 ч; Г4ср = 25 000 ч.
Вибрационная скорость двш ателей постоянна и равна и = 5 мм/с.
Для построения кривой, соответствующей Гср = const, v - const, при изме-
няемых Оия следует воспользоваться (10.14) и (10.15). В качестве примера
рассмотрим построение кривой для Г4ср = 25 000 ч. Исходя нз (10.12) полу-
чаем
Э = 1пГср К=1п25ООО 6,2 = 3,9266. (10.21)
Найдем значение Э, подставив в (4.13) и = 5 мм/с:
J = 0,1350 - О,ООО6402 - 0,001л - 0,0000247н© - О,ООООО16502 - 0,00405.
Подставам значение Э в (10.21), затем, задаваясь п = 100, 200, 300, 400,
500 ч и решая квадратные уравнения, определяем соответствующее значе-
ние температуры 0 = 170, 162, 157, 151, 144 °C. На рис. 10.16 показаны кри-
вые для всех значений Гср: по оси ординат — температура в диапазоне
130 < © < 180 °C, по оси абсцисс — частота пусков в диапазоне 0 < п < 500.
Аналогичным образом по]учены зависимости Гср (Г|ср = 200 000 ч,
^2ср = 100 000 ч, Г3ср = 50 000 ч и Г4ср = 25 000 ч) в функции от температуры
О и частоты пусков п при вибрационной скорости v - 10 мм с (рис. 10 17),
323
Рис. 10.16. Зависимости Тср=Д©, л) при
о = 5 мм/с
Рис. 10.17. Зависимости Гср=Д©,л)прк
о = 10 мм/с
Рис. 10.18. Зависимости Гср=Дв,л) при
v = 20 мм/с
Рис. 10.19. Зависимости л) при
V “30 мм/с
и = 20 мм/с (рис. 10.18) и v = 30 мм/с (рис. 10.19). Подобные зависимости,
позволяющие прогнозировать надежность асинхронных двигателей, можно
построить и для иных комбинаций 0, л, и, причем, определив 7^, по
(10.19) и (10.20) легко рассчитать другие показатели надежности: вероят-
ность безотказной работы, интенсивность и частоту отказов для любого
момента времени в будущем (с учетом, что I £ 40 000 ч)
В изложенном выше материале рассматривалось прогнозирование
эксплуатационной надежности при постоянном, не изменяющемся во
времени воздействии факторов 0, л, и. Ниже рассмотрим новые и
актуальные возможности использования эксплуатационной модели
надежности (10.14) с учетом (10.15).
1. Изменяющиеся во времени воздействующие факторы, причем
законы их изменения заранее известны (для температуры — обычно
гиперболический, для вибрации — параболический, для частоты пус-
ков — постоянный или вероятностный). В этом случае контроль
реальных значений факторов и их использование при проведении
расчетов с помощью микропроцессорных средств позволяют значи-
324
тельно повысить точность и достоверность прогнозирования надеж-
ности асинхронных двигателей.
2. Диагностирование, определение показателей надежности и
остаточного ресурса в режиме реального времени. Для этого контро-
лируемый двигатель оснащается датчиками температуры и вибрации,
а также счетчиком частоты пусков. Формула (10.15) записывается
следующим образом:
Э = 0,3150* - О.ООО640*2 - 0,01 и* - О,ОООО247и*0* -
- О.ООООООЗЗи*©*2 - 0,00081 и*. (10 22)
В режиме реального времени ведется контроль значений факторов
0*, л*, и*, и через заданные дискретные интервалы времени осущест-
вляется расчет значений Э. Далее иа основе (10.14) производится рас-
чет показателей надежности для последовательных моментов времени.
Определение остаточного ресурса основано на том, что уменьше-
ние средней наработки до отказа Гср (обычно в 2—3 раза) характери-
зует переход от периода нормальной эксплуатации в период старения
и ускоренного износа. Остаточный ресурс определяется как времен-
ной интервал между расчетной и прогнозируемой в результате выше-
описанного мониторинга границами периода старения и износа.
При рыночной стоимости асинхронных двигателей средней мощ-
ности в пределах 200—2 000 долл. США цена предлагаемых систем
оценки эксплуатационной иадежиости асинхронных двигателей не
должна превышать 8—10 % стоимости электрической машины, т.е.
находиться в пределах 16—200 долл. США. В настоящее время стои-
мость оснащенных необходимыми датчиками встраиваемых микро-
процессорных систем, способных решать вышеперечисленные зада-
чи, реально может составлять 50—200 долл. США, что определяет
экономическую возможность и целесообразность реализации предла-
гаемого подхода к оценке эксплуатационной надежности асинхрон-
ных двигателей. Очевидно, что в первую очередь подобные системы
мониторинга должны быть и будут использованы для оценки эксплуа-
тационной надежности асинхронных двигателей средней мощности
в составе отечественного оборудования, для которого данный подход
позволит заметно снизить общие эксплуатационные затраты как по
сравнению со случаями аварийного отказа асинхронных двигателей,
так и по сравнению со случаями превентивной преждевременной
замены еще не выработавших свой ресурс исправных двигателей.
Таким образом, практическое освоение и внедрение данного метода
оценки эксплуатационной надежности асинхронных двигателей
средней мощности предполагает значительный экономический
эффект.
325
Пример 1. На основании имеющихся априорных данных получены зави-
симости изменения 0* и и* во времени, которые описываются функциями:
0 = 140 + ехр[0,125/], °C; v = инач(1 + 0,0000625/), мм/с. (10.23)
После подстановки (10.23) в (10.22) и затем в (10 14) получим значение
Грр для трех вариантов:
1)0 = var, v = var, п = 100 ч-1;
2) 0 = var, и = 5,0 мм/с, п = 100 ч 1;
3) О = 140 °C, v = 5 мм/с, п ~ 100 ч-1 Результаты расчетов сведены
в табл. 10.1.
На рис. 10 20 показаны зависимости Гср = f(t). Здесь линия 1 соответст-
вует сочетанию факторов: 0 - 140 °C, и = 5 мм/с. п = 100 ч-1; линия 2 соот-
ветствует © = var, v - 5 мм/с, п = 100 ч 1; линия 3 соответствует 0 = var,
и = var, п = 100 ч"1.
С помощью зависимостей ГСр = f(t) и формулы (10.19) можно получить
зависимости вероятности безотказной работы от времени P(t). По 1ученные
результаты приведены на рис. 10.21. Здесь также линия / соответствует сочета-
нию факторов 0 = 140 °C, и = 5 мм/с, п = 100 ч”1; линия 2: 0 = var, и - 5 мм/с,
п - 100 ч линия 3: 0 = var, v = var, п = 100 ч 1
Важной задачей проектирования и эксплуатации электрических
машин является задача обеспечения требуемого, заранее установлен-
ного уровня надежности путем нахождения сочетания параметров
(при проектировании) или воздействующих факторов (при эксплуата-
ции), обеспечивающих требуемый уровень надежности, т.е. задача
Таблица 10.1
К расчету примера 1
Время работы f, ч U мм/с Тф ч. при 0 - vai, v - var, л = 100 ч 1 Тф ч, при 0 = \аг, и = 5мм/с,л = 100 ч-1 Грр. ч, при © - 140 °C. и = 5 мм'с, п - 100 ч-1
0 5 172 406,4 172 406.4 172 406,4
5 000 6,5625 163 545,7 167 656,5 172 406,4
10 000 8,125 151 830,2 160 234,7 172 406,4
15000 9,6875 136 324,4 148 775,4 172 406,4
20 000 11,25 115 926,6 131 473,1 172 406,4
25 000 12,8125 89 819,87 106 467,5 172 406,4
30 000 14,375 58 817,83 73 401,06 172 406,4
35 000 15,9375 27 916,04 37 052,27 172 406,4
40 000 17,5 6 899,965 9 896.284 172 406,4
326
Рнс. 10.21. Зависимость P=fit)
синтеза параметров или факторов. Эта задача является актуальной
для таких ответственных объектов, как спутники, самолеты, корабли,
арктические и антарктические станции (автономные, включающие
в себя внеземные и удаленные наземные объекты). Рассмотрим обес-
печение заранее заданного уровня эксплуатационной надежности
с помощью нахождения требуемого сочетания эксплуатационных
факторов. Задача решается по (ЮЛ4), (10.15) в следующей последо-
вательности:
1 - Задается требуемый уровень надежности.
2. Фиксируется на каком-то уровне один из воздействующих фак-
торов (в нашем случае это вибрационная скорость и).
327
3. Задаются значения частоты пусков и путем решения квадрат-
ных уравнений по (10.14) и (10.15) определяются соответствующие
им значения температур ©f-.
4. По полученным данным строятся кривые обеспечения надеж-
ности и находятся зоны сочетания факторов, обеспечивающих тре-
буемый или более высокий уровень надежности.
Пример 2. Построить семейство кривых, показывающих сочетание экс-
птуатационных факторов, обеспечивающих грсбусмый уровень надежности
= 100 000 ч [Р(20 ООО) = 0,819]. Результаты расчета сведены в табл 10.2.
Таблица 10 2
К расчету примера 2
я, ч 1 и, мм/с 6 °C
100 100 000 5 150,1532
200 100 000 5 141,9446
300 100 000 5 132,677
400 100 000 5 121,3928
500 100 000 5 102,1673
100 100 000 10 148,5097
200 100 000 10 140,1156
300 100 000 10 130,525
400 100 000 10 118.4786
480 100 000 10 101,1899
100 100 000 15 146,1155
200 100 000 15 137,3833
300 100 000 15 127,1749
400 100 000 15 113,3839
450 100 000 15 98,50973
100 100 000 20 142,8574
200 100 000 20 133,552
300 100 000 20 122.1671
400 100 000 20 101,7103
402 100 000 20 100,4689
328
Iflio ООО) = 0,905]
Поданным табл. 10.2 строятся кривые (рис. 10.22), показывающие соче-
тание факторов, обеспечивающих требуемый уровень надежности Гср =»
10 000 ч [Р(20 ООО) = 0,819]. Практическое использование данных кривых
состоит в следующем. Рассмотрим точку К на линии АВ. В этой точке соче-
тание факторов О ~ 133 °C, л ~ 200 ч-1 и и = 20 мм/с обеспечивает заранее
заданное значение Гср = 100 000 ч. На этой же линии АВ в точке Л/сочетание
факторов 0 = 122 °C, л = 300 ч 1 и V = 20 мм/с обеспечивает ту же заданную
। ребуемую надежность. Отсюда можно сделать вывод: тюбое сочетание фак-
юров 0 и и, соответствующее линии АВ, обеспечивает заранее заданное зна-
чение Гср = 100 000 ч при условии, что вибрационная скорость v = 20 мм/с
Линия АВ является пограничной. Любое сочетание факторов температуры О
и частоты пусков л, находящееся ниже линии ЛЯ, т.е. вся зона AB0, обеспечи-
вает значение Гср > 100 000 ч (при и = 20 мм/с). Аналогичные рассуждения и
выводы справедливы и для линий, соответствующих и = 15 мм/с. и = 10 мм/с и
v = 5 мм/с Например, зона FD0 обеспечивает Гср > 100 000 ч при любом
сочетании факторов 0 и л при и = 5 мм/с
Рассчитаем по (10.19) заданные вероятности безотказной работы асин-
хронных двигателей, соответствующие Тср = 100 000 ч. Значения следую-
щие: Р( 10 000) = 0,905; Р(20 000) = 0,819; Р(30 000) = 0,741; Р(40 000) = 0,67.
Пример 3. Построить семейство кривых, показывающих сочетание экс-
плуатационных факторов, обеспечивающих заранее заданный уровень
надежности Гср = 140 000 ч. Результаты расчета сведены в табл. 10.3.
Поданным габл. 10.3 строятся кривые (рис. 10.23), показывающие сочета-
ние факторов, обеспечивающие требуемый уровень надежности =
140 000 ч. Рассуждая аналогично предыдущему находят сочетания факто-
ров 0 и п при и = 5, 10, 15, 20 мм/с, обеспечивающих заранее заданное значе-
ние ^ср. При этом гарантированные вероятности безотказной работы следую-
щие: /»( 10 000) = 0.932, Р(20 000) = 0.867; Р(30 000) = 0,807; Р(40 000) = 0,751.
329
Таблица 10 3
К расчету примера 3
«,ч-* и, мм/с е°с
100 140 000 5 144,798
200 140 000 5 134,8696
300 140 000 5 123,5359
400 140 000 5 104,3212
405 140 000 5 101,8743
100 140 000 10 142,3445
200 140 000 10 132,7125
300 140 000 10 120,6206
380 140 000 10 103,4281
370 140 000 10 107,1335
100 140 000 15 139,6137
200 140 000 15 129,3685
300 140 000 15 115,5561
350 140 000 15 101,2619
340 140 000 15 106,1473
100 140 000 20 135,7956
200 140 000 20 124,3902
300 140 000 20 104,3284
305 140 000 20 100,9199
306 140 000 20 99,02316
Рис. 10.23. Сочетание факторов в, п, v. обеспечивающих значение Тср - 140 000 ч
10 000) = 0,932]
330
10.8. Индивидуальное прогнозирование
Групповое прогнозирование надежности (технического состоя-
ния) распространяется на достаточно большую группу изделий и
является обобщенным показателем. При этом неизвестен показатель
надежности одного конкретного изделия из этой группы. Может воз-
никнуть драматическая ситуация, когда рассматриваемые изделия
устанавливаются на сложные комплексные объекты высокой степени
ответственности. Например, партия изделий имеет высокую прогно-
зируемую групповую надежность, однако, пусть и с малой вероятно-
стью, на объект может быть установлен узел с низкой надежностью.
В сложных, ответственных объектах это недопустимо. Предположим,
что вероятность безотказной работы изделий какой-то группы изде-
1ИЙ высока. Однако современные системы состоят из очень большого
количества элементов и узлов, причем имеет место основное соеди-
нение элементов. Так, бомбардировщик Б70 имеет около 150 000 раз-
личных узлов в системе управления. Даже, если каждый из узлов
имеет очень высокую вероятность безотказной работы р - 0,999999,
результирующая надежность составит Р = 0,88! В том случае, если
надежность одного или нескольких узлов окажется ниже требуемой,
например р' < 0,8, результирующая надежность станет недопустимо
низкой Р < 0,704. Отсюда вытекает необходимость индивидуального
прогнозирования надежности технического изделия для дальнейшего
использования в высокоответственных объектах. Одним из методов
индивидуального прогнозирования является метод распознавания
образов.
Распознавание образов — это научное направление, связанное
с разработкой принципов и построением систем, предназначенных
для определения принадлежности данного объекта к одному из зара-
нее выделенных классов объектов.
Под образом понимают наименование области в пространстве
признаков, в которой отображается множество объектов или явлений
материального мира, выделенное в соответствии с определенной
целью. В зависимости от цели можно выбрать разные области в этих
признаковых пространствах, в результате чего одна и та же пара объ-
ектов может быть отнесена как к одному и тому же, так и к различным
объектам. В геометрической интерпретации под образом понимается
область в л-мериом выборочном пространстве, вдоль координатных
осей которого отложены значения параметров. Описание этой
об засти называют эталоном.
Под объектом в распознавания образов понимают различные
предметы, явления, процессы, ситуации, сигналы. Каждый объект
описывается совокупностью основных характеристик (признаков.
331
свойств): zY(xj, .хр ..., хп), где xt — i-я координата вектора X, которая
определяет значения /-й характеристики объекта. Отдельные объекты
в составе образа называют реализациями.
В и-мерном выборочном пространстве может быть выделен целый
перечень фиксированных областей-образов, называемый алфавитом
образов или объектов распознавания S.
В любой задаче распознавания число элементов алфавита конеч-
но, но не менее двух. Объект в и-мерном пространстве будет полно-
стью определен, если будут указаны его характеристики — основная
%(%1, ...,хр ...,хя), представчяюшая собой совокупность его парамет-
ров, и дополнительная 5, определяющая его отношение к тому или
иному образу.
Набор заранее расклассифицированных объектов, т.е. таких, у кото-
рых известны характеристики Хи 5, называется обучающей выборкой.
Те объекты, у которых характеристика 5 неизвестна, образуют кон-
трольную выборку. Обучающая выборка используется для обнаруже-
ния закономерных связей между значениями характеристик Xи 5.
Одна из основных задач распознавания образов — это выбор пра-
вила или решающей функции D, в соответствии с которым по значе-
нию контрольной реализации X устанавливается ее принадлежность
к одному из образов, т.е. указываются «наиболее правдоподобные»
значения характеристики 5 для данного X.
Выбор решающей функции D требуется произвести так, чтобы
стоимость процедуры распознавания необходимых распознавающих
устройств, их эксплуатации и стоимость потерь, связанных с ошиб-
ками распознавания, была минимальной.
Успех в решении задачи распознавания образов зависит в значи-
тельной мере от того, насколько удачно выбраны признаки X. Исход-
ный набор характеристик часто бывает очень большим. В то же время
приемлемое правило должно быть основано на использовании
небольшого числа наиболее важных признаков, позволяющих отли-
чить один образ от другого. Поэтому проблема выбора информатив-
ных признаков — важная часть проблемы распознавания образов.
В основной задаче распознавания образов о построении решаю-
щей функции D используются закономерные связи между характери-
стиками Хи 5, обнаруживаемые на обучающей выборке, и некоторые
дополнительные априорные предположения. Например:
• характеристики Xдля реализации образов представляют собой
случайные выборки из генеральной совокупности с нормальным рас-
пределением;
• реализации одного образа расположены компактно, т.е. сгруп-
пированы так, что могут быть выделены в некоторую область;
• признаки в наборе X независимы.
332
В основной задаче распознавания образов применяются статисти-
ческий и детерминистский методы.
Решение статистическим методом основывается на том предполо-
жении, что известны распределения образов в генеральной совокуп-
ности и они подчиняются известным теоретическим распределениям
типа нормального и др.
Детерминистский метод основан на том, что распределение гене-
ральной совокупности принимается таким, каким оно представлено
в обучающей выборке с какими угодно сложными решающими функ-
циями. Важно, чтобы обучающая выборка распознавалась безоши-
бочно. Примеры представления объектов в соответствии с рассмот-
ренными выше методами приведены на рис. 10.24.
Предположим, имеется набор двух классов элементов, располо-
женных на числовой осн так, как это показано на рис. 10.24, а. Для
использования статистического метода описание этих классов эле-
ментов может быть осуществлено (рис. 10.24, б) с применением
закона равномерной плотности (кривая /) нли нормального распреде-
ления (кривая 2). На рнс. 10 24, в показано представление этих же
о-и—о—и—о—о—о—О—о—о
в)
Рис 10.24. Статистическое (6) и детерминистское (о) представление элементов
лвух классов:
класс /4 о класс В; а — расположение классов иа числовой оси
333
классов элементов значительно более сложными распределениями,
детально описывающими эти классы Такое описание применяется в
детерминистском методе.
Порядок действий при применении методов распознавания обра-
зов следующий:
1. Определение и контроль наиболее информативных признаков.
Если признаки статистически независимы, то процедура отбора сво-
дится к их упорядочению по убыванию количества обеспечиваемой
ими информации прн прогнозировании, важной для каждого при-
знака в отдельности. Если признаки зависимы, необходимо выявить
их корреляционные связи и оптимальный набор выбирать путем
последовательного прибавления признаков н оценки информации,
которую он добавляет.
2. Объекты, характеризуемые набором признаков, необходимо
классифицировать по образам на основе алфавита образов S.
3. Избрать решающее правило D, с помощью которого произвести
классификацию объектов.
Математически задача классификации может быть сформулиро-
вана с помощью разделяющей функции
= (10.24)
где Df, D — решающие функции для данного класса образов, которые
на границе образа максимальны В двумерном случае, т.е. прн числе
образов т = 2, разделение образов на классы представлено на
рнс. 10.25, а. Если классы определенным образом группируются
относительно своих центров распределения, то отыскание границы
разделения сводится к отысканию этих центров распределения а, b н
определению кратчайшего расстояния между ними (отрезок ab).
Линия, проведенная через середину этого отрезка перпендикулярно к
нему, будет проекцией гиперплоскости, разделяющей классы А и В
Рис. 10.25. Ра меление образов ха к 1ассы:
А, В- распознаваемые классы; линия /—/ — проекция разделяющей гиперплоскости;
а, b — центры группирования объектов
334
(рис. 10.25, б) н удовлетворяющей решающему правилу (10.24). Фак-
тически действия нли алгоритмы прогнозирования по методу распо-
знавания образов сводятся к тому, что на основе определенной обра-
ботки информации на момент времени t = 0 необходимо дать прогноз
уровня надежности на время tn.
Порядок работы следующий:
1. Из совокупности приборов отбирается обучающая выборка.
2. Приборы выборки испытываются на надежность в течение вре-
мени tn.
3. Для каждого прибора в обучающей выборке определяется дей-
ствительное время безотказной работы
4. В зависимости от соотношения rf и 1п приборы разделяются на
классы: класс А -> tt > tn, класс В -» < tn.
На основе оценки начальных параметров в момент времени t = 0 и
полученных результатов испытаний выбирается решающее правило.
На основе решающего правила каждый прибор генеральной совокуп-
ности прогнозируется на долговечность с отнесением к классу А илн
классу В. После индивидуального прогнозирования часть приборов
из генеральной совокупности может быть испытана, по результатам
которых корректируется решающее правило.
Можно усложнить процедуру прогноза, включив в состав инфор-
мации данные о замерах параметров на начальный и промежуточный
моменты времени. Дополнительно могут быть использованы данные
из эксплуатации приборов в реальных условиях.
Алгоритм прогнозирования представлен на рис. 10.26.
Остановимся несколько подробнее на задаче составления словаря
прогнозирующих признаков (координат вектора образа). Каждый
объект в определенный момент времени может быть охарактеризован
функцией состояния илн векторов образа
Х= (ХрХ2, хп, t\
Для правильного процесса прогнозирования необходимо, чтобы
вектор образа наиболее полно характеризовал объект с точки зрения
его энтропии. При разработке словаря признаков сталкиваются с
рядом ограничений:
• в словарь включаются только такие признаки, относительно
которых может быть получена априорная информация;
• некоторые признаки, относительно которых хотя и имеется
Достаточный объем априорной информации, включать в словарь при-
знаков нет смысла, так как они либо совсем бесполезны, либо мало
полезны (это малоинформативные признаки);
335
Рнс. 10.26. Алоритм распознавания
• ограничение, связанное с наличием или возможностью созда-
ния технических средств наблюдения, обеспечивающих на основе
проведения эксперимента определение предварительно отобранных
признаков.
Пример. С учетом всех замечании составлен словарь npoi нозируюшнх
признаков для электромашинных преобразователи эиер(нн большой мощ-
ности: X] — время выбега ротора; х2. — температуры наружных колец под-
шипников; х4 — общий уровень вибрации; х5, х6 — спектры вибрации под-
шипниковых узлов; х7 — амплитуда импульса акустической эмиссии
изо 1яции обмотки; х8 — частота импульсов акустической эмиссии; х9 — дек-
ремент затухания переходного процесса в изоляции; Х]0 — темпера гура изо-
ляции; Хц — сопротивление изоляции; х12 — уровень искрения коллектора;
Xj3 — биение коллектора; Х|4 — степень износа щеток; х!5 — уровень искре-
ния колец; xi6 — биение колец; Хр, х18 — температуры коллектора и ко леи;
I— время.
336
Обоснование решающей функции. Решающая функция — это функция,
разделяющая классы образов. Ес можно определить, используя алгоритм,
основанный на минимизации среднеквадратической ошибки. Этот алгоритм,
в отзичис от всех существующих, не только разделяет классы, но и указывает
на отсутствие разделимости, если рассматриваемые классы действительно
нераздезимы [8]
Решающая функция опрсдсзяется в виде
d(x) = £cfip|(A'),
/-1
1де с{ — постоянные коэффициенты, определяемые методом минимизации
среднеквадратической ошибки; <р(АЗ — любая система ортонормированных
функций.
Примерами системы орто норм ированных функций могут служить много-
чзены Лежандра, Лагерра, Эрмита.
Отнесение испытываемого образа к тому или иному классу (непосред-
ственно процесс прогнозирования) можно осуществить различными спосо-
бами. Разумным представляется использование правила, основанного на
принципе ближайшего соседа. Это правило относит классифицируемый
образ к классу, к которому принадлежит его бзижайший сосед, причем образ
Sf е {Sp Sj, Sy} называется ближайшим соседом образаХ, если
D(Sf,A) = min {D(ShX)}, 1 = 1,2,
i ie D — любое расстояние, определение которого допустимо иа простран-
стве образа.
Глава одиннадцатая
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НАДЕЖНОСТИ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
11.1. Общие положения
Математический аппарат планирования эксперимента широко и
эффективно используется при решении задач надежности электриче-
ских машин и электромеханических систем Ранее уже были пред-
ставлены функциональные зависимости, полученные с помощью тео-
рии планирования эксперимента: для асинхронных двигателей
(эксплуатационная надежность), для различных узлов синхронных
двигателей, для машин постоянного тока н нх узлов, для испытаний
на надежность (ускоренные испытания) н др.
Вообще планирование эксперимента, разработанное около 50 лет
назад как ветвь математической статистики, стало в последние 25—
30 лет новой самостоятельной научной дисциплиной, которая нахо-
дит эффективное практическое применение. Предмет этой дисцип-
лины — широко понимаемый эксперимент (натурный, цифроаналого-
вый н даже мысленный), т.е. совокупность операций, совершаемых
над объектом исследования для получения информации о его свойст-
вах [22].
Цель планирования эксперимента — нахождение таких условий и
правил проведения эксперимента, прн которых удается получить наи-
большую информацию — надежную и достоверную — с наимень-
шими затратами и представить эту информацию в компактной и удоб-
ной форме с количественной оценкой ее точности.
Развитие теории планирования эксперимента связано с именами
знаменитых н известных математиков: Фишера, Бокса, Уилсона,
Налимова, Круга. Планирование эксперимента успешно применяется
в электромеханике, надежности, химии, металлургии и т.п. — и
именно там, где традиционные методы анализа, и особенно синтеза,
малоэффективны нли бессильны. Конструктивные и физические при-
знаки объекта связаны с параметрами через весьма сложные уравне-
ния, например уравнение магнитного поля. Это «уравнение проекти-
рования». Кроме того, существуют «уравнения динамики», решение
которых дает интересующие нас свойства.
338
Задача анализа — задан объект, нужно определить его свойства,
те. заданы параметры и требуется по формулам определить характе-
ристики объекта. Даже для весьма сложных объектов эта задача
успешно решается. Дело в том, что существующие методы математи-
ческого описания приспособлены именно к этой задаче, а также
эффективно можно использовать вычислительную технику, матема-
тические и физические модели.
Задача синтеза — заданы нужные свойства объекта, требуется
найти параметры объекта, а затем конструкцию и физический облик
объекта, наилучший в некотором смысле. Эта задача значительно
сложнее, в ней много конструктивных, физических н экономических
ограничении, что делает ее решение неоднозначным.
Итак, традиционные электромеханические модели плохо приспо-
соблены к решению задач синтеза. Еще более сложное положение
с моделями надежности — до сравнительно недавнего времени нх
практически не существовало или же эффективность их была весьма
незначительна. Планирование эксперимента позволяет в ряде слу-
чаев произвести перестроение исходных традиционных моделей н
получить их в виде алгебраических выражений, связывающих свой-
ства объекта с параметрами и параметры с конструкцией и физиче-
скими свойствами — в форме, максимально приближенной к задачам
синтеза. Кроме того, ппанирование эксперимента имеет возможность
исследовать объекты типа «черный ящик», что весьма важно прн
решении задач надежности. Напомним, что кибернетическое понятие
«черный ящик» представляет собой объект, физическое представле-
ние о котором либо его математическое описание частично или пол-
ностью отсутствует.
11.2. Планы активного эксперимента. Полный факторный
эксперимент, дробный факторный эксперимент
При активном эксперименте исследователь имеет возможность
в зиять на воздействующие на исследуемый объект факторы, т.е.
изменять их по своему усмотрению в необходимых пределах. При
пассивном эксперименте такая возможность отсутствует. Классиче-
ский пример пассивного эксперимента — астроном и наблюдаемое
им звездное небо.
Постановка задачи. Исследуемый объект (в нашем случае это
обычно объект типа «черный ящик») подвергается воздействию фак-
иров. которые можно разбить на три группы: X — воздействующие
факторы (другие названия: факторы, независимые переменные, варь-
ируемые факторы); W—случайные факторы; С — постоянные, неиз-
меняемые факторы. Требуется найти реакцию объекта на воздейст-
339
вующие факторы нлн, иными словами, математическое описание
исследуемого объекта:
?=/(*)• (11.1)
Здесь Y — функция отклика (вектор выхода, реакция объекта, пара-
метр оптимизации).
Требуемая функция ищется в виде полинома, т.е. в виде степен-
ного ряда:
У = BG + В}Хх + в2х2 + ... + впхп + в12а\х2 + +
2 2 2 С1'2)
+ - + вл_, „хл. ,лд + ... + в,,*;- ... + вя„х2
Задача эксперимента сводится к нахождению коэффициентов при
X, т.е. коэффициентов В. Заметим здесь, что случайные (И7) и посто-
янные (С) факторы автоматически учитываются в результате обра-
ботки данных эксперимента.
Выражение (11.2), называемое функцией отклика, представляет
собой уравнение некой поверхности в факторном пространстве
(поверхность отклика). Поверхность отклика должна быть как можно
ближе к исходной исследуемой поверхности. Прн обработке экспери-
ментальных данных используется «метод наименьших квадратов»:
сумма квадратов отклонений между известными значениями исход-
ной функции и соответствующими значениями аппроксимирующей
функции должна быть минимальной:
N - 2
£(^“^) -> min , (11.3)
n- I
где Yu — реальная исследуемая функция; Yu — значение функции,
предсказанной по полиному.
Естественно, существует проблема адекватности полученной
математической модели, т.е. степень соответствия, степень прибли-
жения математической и реальной моделей.
Подготовка эксперимента. Воздействующие факторы. Для
определения функции Y = f (X) используются следующие планы:
планы первого порядка — полный факторный эксперимент (ПФЭ) н
дробный факторный эксперимент (ДФЭ); планы второго порядка —
ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП);
планы второго порядка — рототабельное центральное композицион-
ное планирование (РЦКП); отсеивающие эксперименты — насыщен-
ные планы и планы «случайного» баланса.
При решении проблемы адекватности модели в некоторых случаях
используется преобразование независимых переменных.
340
При нахождении полиномиальных зависимостей производятся
проверка адекватности модели по критерию Фишера и оценка значи-
мости коэффициентов по критерию Стьюдента. Перед реализацией
плана выполняются следующие процедуры.
1. Сбор информации, прн резком дефиците которой необходимо
проведение однофакторных сечений, т.е. реализация однофакторных
зэвисимос1ей>'=/(xf), где .у — функция отклика (критерий работоспо-
собности исследуемого объекта).
2. Выбор факторов (независимых переменных). Прн недостатке
информации о степени влияния каждого нз факторов н необходимо-
сти выделения доминирующих факторов реализуются отсенваюшне
эксперименты.
3. Назначение интервалов варьирования факторов, т.е. области
исстедования искомой функции^ =/(xz).
4 Кодирование факторов. Кодирование (перевод в относитель-
ные единицы) производится по формуле
= X, -Х,ср = -Y,-X,cp = Л, Х|ср
* ср-*™, *™х-*.ср Ы '
где V, и X, — кодированные и натуральные переменные; Xmin н
Лтах— минимальное (нижний уровень) и максимальное (верхний
уровень) значения; Л,ср = (Лтах + Xmin)/2; А;ср — нулевой уровень;
ДХ = А'тах - Х1Ср— интервал варьирования.
Кодированные переменные принимают значения: «+1» — на верх-
нем уровне, «-1» — на нижнем уровне, «О» — на нулевом уровне.
5. Назначение плана эксперимента.
Полный факторный эксперимент представляет собой реализацию
всех точек исследуемого гиперкуба.
Число опытов при ПФЭ типа 2к определяется по формуле
W=2* + n0, (11.5)
где — число параллельных опытов в нулевой точке плана (обычно
п0 = 3-10): к— количество факторов.
(11-4)
В табл. 11.1 дан план ПФЭ для трех факторов (ПФЭ типа 23). При
изображении планов цифра 1 опускается:«+» означает «+1»,«-» означа-
ет 1 1». Коэффициенты искомого полинома определяются по формуле
Ь = (11.6)
N
Где*ш— значение независимой переменной (для ПФЭ и ДФЭ обычно
берется просто знак «+» дли «-»; уи — значение функции отклика;
число опытов; i — номер столбца; и — номер строки.
341
Таблица 1] |
Матрица планирования полного факторного эксперимента типа 2Л
и *0 Х2 *3 х1х2 *1*3 *2*3 У
1 + - - 4- + + *1
2 -г + - — - + >2
3 + - - - - >3
4 + + + - + - - Ул
5 + - - + + - - Уз
6 г 4- - -г - + - Уб
7 -А- - + •Г - - Т У1
8 4- + 4- + + -L. Уъ
9 + 0 0 0 0 0 0 Уд
Дробный факторный эксперимент — часть полного факторного
эксперимента. Используется при линейной зависимости у = /(*,);
ДФЭ по сравнению с ПФЭ позволяет сократить число опытов вдвое
(полуреплика) — это ДФЭ типа 2*” \ в четыре раза (четверть репли-
ка) — это ДФЭ типа 2* 2 н т.д. Число опытов ДФЭ определяется по
формуле
N~2k~c + n0,
где с = 1, 2, 3, ...
Коэффициенты полинома определяются по формуле (11.6).
Соотношение xJt = x1x2x3 ... хп, позволяющее построить план ДФЭ
н указывающее на смешение данного коэффициента данного фактора
с другими факторами, есть генерирующее соотношение В табл. 11.2
для ДФЭ типа 2 1 имеет место генерирующее соотношение х3 = Х|Х2»
в табл. 11.3 для ДФЭ типа 24 “ 1 — х4 = XjXjXj.
Полиномы, рассчитанные по матрицам ПФЭ и ДФЭ, имеют вид
y = b0 + Yblxi + ^bljxlxj.
В частности, полином, полученный в результате реализации мат-
рицы ПФЭ типа 23, имеет вид
= ^0 + ^1Х1 + ^2Х2 + ^3Х3 + ^12Х1Х2 + А13Х1Х3 + ^23х2-г3-
342
Таблица 11.2
Матрица планирования дробного факторного эксперимента типа 2Э“1
и *0 *1 *2 *э X|Xj Х|Х, У
1 -г - - + 4 - - + У1
2 4 + - - - - 4 + У2
3 + - + - - + - 4 Уз
4 л- + + + + 4- 4 4 Уа
5 4- 0 0 0 0 0 0 0 У5
Примечание. х3=Х|Х2.
Таблица 113
Матрица планирован и я дробного факторного эксперимента типа 24 “ 1
и хо х2 *3 х4 XjX, х(х3 Х1Л4 х2*3 Л2*4 х3х4 У
1 + - - - 4- 4 4 4 4 4 -И
2 + 4 - + - - 4 4 - - У2
3 + - + - 4 - 4 - - 4 - Уз
4 + 4 4- - - 4 - - - 4 Уа
5 4 - 4- 4 4 — - - - 4 У5
6 4 -1- - 4- - 4 - - 4 - Уб
7 4 - 4 4- - - - 4 4 - - У7
8 + 4- 4- + 4 4 4 4 + 4 4 >’8
9 т 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 У9
Примечание. х4 = х1х2х3.
Полином, полученный в результате реализации матрицы ДФЭ
типа 24 \ имеет вид:
y = bQ + b}x} + + Ь3х3 + Ь4х4 + 612*1*2 + 3Х1Х3 +
+ 614Х1Х4 + *23ХЛ + Z?24X2X4 + Ь3^3Х4-
Все представленные выше полиномы записаны в кодированных
переменных Дальнейший анализ полиномов, а также синтез воз-
действующих факторов целесообразно проводить в кодированных
переменных. В некоторых случаях требуется представить полиномы
в натуральных переменных, т.е. перейти от функции вида у = /(xf-)
343
к функции в натуральных переменных Y =J{X). Для этого следует
пользоваться формулой обратного преобразования:
откуда Xi ~ + X .
11.3. Планирование второго порядка:
ортогональное и рототабельное
При значительной кривизне исследуемой гиперповерхности
обычно используются планы второго порядка: ОЦКП — ортогональ-
ное центральное композиционное планирование и РЦКП — ротота-
бельное центральное композиционное планирование. Здесь заметим,
что гиперповерхность — это поверхность, находящаяся в некоем
п~мерном гиперпространстве. Для двух факторов (плоскость) — это
двумерное пространство; для трех факторов (объем) — это трехмер-
ное пространство; для к факторов — это воображаемое А-мерное
ги пер про стра нство.
В случае реализации планов второго порядка функциональная
зависимость записывается в виде
у = bo + Yh,x,+ zbijxixj + ^«4
Ортогональное центральное композиционное планирование.
Планы второго порядка предполагают исследование не в трех точкам
(+1,-1,0), а в пяти (-а, -1, 0, +1, +а); здесь ±а — «звездные» точки.
Диапазон варьирования факторов разбивается на четыре участка.
Соответственно «+а» — максимальное значение фактора, «-а» —
минимальное значение фактора; «+1», «0», «-1» — точки внутри диа-
пазона варьирования. Кодирование факторов производится по (11.4).
Значения «звездного» плеча а для разного количества факторов к
приведены ниже.
к 2 3 4 5
а 1,0 1,215 1,414 1,547
Для полных планов второго порядка при ином значении А, а также
для дробных планов второго порядка величина «звездного» плеча а
определяется из формулы
4а4 + 4а2 N - N(2k + и0) = 0. (11 -7)
344
Первоначальное преобразование квадратичных членов произво-
дится по формуле
= (118)
где — сумма /-го столбца матрицы.
2 2'
Квадратичный член имеет вид (xf- - а{) = xt .
Подсчет коэффициентов bi производится по формуле
Первоначально полином ищется в виде
У = ь'о + ь\Х\ + ... + Ькхк + Ьи(х] -О])+ ...
7
- + - °*) + ь^\х2 + + bjkXj Xf (11 °)
Для перехода к обычному виду осуществляется преобразование
свободного члена
bo = bb-buai-О1’0)
В табл. 11.4 дан план ОЦКП для трех факторов. Число опытов для
ОЦКП второго порядка
N=2k + 2k + n0. (11.11)
Оценка значимости полученных коэффициентов bi производится
согласно r-критерию (Стьюдента) по формуле
1*,1 >'таб.Ж}. (И.12)
/ 2 2
где = ^{bj} — среднеквадратическое отклонение; s{bj} —
дисперсия коэффициентов.
2 2 2 2
В свою очередь, <s{^} определяется как s{bj = sy/N, где sy —
дисперсия опыта, равная
i <у,-я2
= --- (1113)
Здесь 7 — число параллельных опытов, проводимых в нулевой точке
плана; у — среднее значение^.
345
346
Таблица 11.4
Mai рнца ортогонального центрального композиционного планирования для трех факторов
Элементы плана эксперимента <- U *0 Х| х2 хз х'ь - х^ 0,73 х5' = х22 -0,73 хб = х2-0,73 х7 “х1х2 ХВ = Х1Х3 Х9»Х2Х3 у
План полного факторного эксперимента типа 23 1 1 1 -1 0,27 0,27 0,27 + 1 + 1 + 1 У|
2 + | + 1 1 -1 0,27 0,27 0.27 1 1 + 1 У1
3 -1 +1 = 1 0,27 0,27 0,27 -1 т| 1 З’з
4 + ] + 1 +1 1 0,27 0,27 0,27 + 1 -1 Уд
5 + 1 1 1 + 1 0,27 0,27 0,27 + 1 1 1 У5
6 *1 + | -I + 1 0,27 0,27 0,27 1 + 1 1 Уб
7 + 1 -1 + 1 +1 0,27 0,27 0,27 1 -1 + 1 У1
8 + 1 + 1 +1 + 1 0,27 0,27 0,27 + 1 + 1 + 1 Уз
«Звездные» точки 9 + 1 1,215 0 0 0,75 -0,73 -0,73 0 0 0 3'9
10 *1 + 1,215 0 0 0,75 -0,73 -0,73 0 0 0 З’ю
11 + 1 0 1,215 0 -0,73 0,75 0,73 0 0 0 •hi
12 + ] 0 + 1,215 0 -0,73 0,75 -0,73 0 0 0 ^12
13 + 1 0 0 -1,215 -0,73 -0,73 0,75 0 0 0 >’13
14 + 1 0 0 + 1,215 -0,73 -0,73 0,75 0 0 0
Нулевая точка 15 + 1 0 0 0 -0,73 0.73 -0,73 0 0 0 >>15
В случае выполнения неравенства (11.12) коэффициент Ь{ счита-
ется значимым, в случае невыполнения — незначимым и отбрасыва-
ется (см Приложение 4).
Проверка адекватности полученной математической модели (ис-
комой функции) производится по критерию Фишера (см. Приложе-
ние 5). Проверяется неравенство
2
^6л>^ = ^. (11.14)
sy
где FTa6n — табличное значение F-критерия; — дисперсия адек-
ватности.
Дисперсия адекватности определяется как
v - 2
ЕМ
S2 = —----------,
ал f »
-/ад
где уи — наблюденное (определенное из опыта) значение выходной
величины; уи — предсказанное (рассчитанное по полиному) значе-
ние выходной величины;/ад = N- т — число степеней свободы (т —
число определяемых коэффициентов bt).
При выполнении неравенства (11.14) математическая модель про-
цесса считается адекватной при определенном уровне достовер-
ности.
Рототабельное центральное композиционное планирование.
Иногда требуется так описать область факторного пространства,
чтобы точность во всех направлениях поиска была одинаковая при
равном расстоянии от центра планирования. Получение такого описа-
ния возможно на базе РЦКП. В отличие от ОЦКП этот тип планиро-
вания даже при к~ 3 требует использования вычислительной техники
т 1я расчета коэффициентов полинома и проверки гипотез из-за слож-
ных расчетных алгоритмов и больших временных затрат
Свойство рототабельности, т.е. симметричности информацион-
ных контуров, достигается благодаря специальному планированию
информационной матрицы, а именно выбору определенной величины
‘«звездного» плеча а и количества экспериментов в «центре плана» л0.
Значения а, л0, числа «звездных» точек и числа опытов в вер-
шинах исследуемого гиперкуба Nc (число опытов ПФЭ) зависят от
Чис1а факторов к и приведены в табл. 11.5.
347
Таблица ]|5
Параметры «звездных» точек
* а ло Nc
2 1,414 4 5 4 13
3 1,682 6 6 8 20
4 2 8 7 16 31
В качестве примера рассмотрим матрицу планирования РЦКП для
трех факторов. Матрица РЦКП базируется на экспериментальных
точках матрицы ПФЭ типа 23 — опыты 1—8, эксперименты в «звезд-
ных» точках — опыты 9—14 и шесть опытов при значениях варьируе-
мых факторов на базовом уровне — 0 (табл. 11.6).
В отличие от ОЦКП — расчетные формулы для определения коэф-
фициентов полинома имеют следующий вид:
А г т kN -]
= хРм*+ 2) £ х«оУи -2 V S S wj; <’ 115>
i=lw=l
A = 4
Ь" N
2 N 2
с к* + 2)\ - н £ !иуи +
Ь^1Х^ (И.17)
и= I
с N
b ~-----у х х у , (11.18)
Ум=1
Л 4
N , kN £
ГПР г • А — — --- 1 1 *
1-1 (0=1
Л'ш — число точек иа информационной сфере радиусом ры (например,
при к = 3 имеем Р| = 0,2V] = 6, р2 = 1,0, = 8, Рз ~ 1,682, - 6);
h ~ 3 — число информационных сфер
348
Таблица 11.6
Матрица планирования
Элементы плана эксперимента 4-и хо *1 *2 х3 У
~План полного факторного эксперимента типа 23 1 + 1 -1 -1 -I и
2 + 1 +1 -1 -1 У2
3 + 1 -1 +1 -1 Уз
4 +1 + 1 +1 -1 У4
5 +1 -1 -1 +1 У5
6 +1 + 1 -1 + 1 Уб
7 + 1 -1 +1 + 1 У?
8 +1 + 1 + 1 +1 У»
.. Звездные» точки 9 + 1 -1.682 0 0 У9
10 +1 + 1,682 0 0 Ио
11 +1 0 1,682 0 Hl
12 +1 0 +1,682 0 Уи
13 + 1 0 0 -1,682 Из
14 +1 0 0 +1,682 И4
Нулевые точки 15 + 1 0 0 0 И5
16 + 1 0 0 0 У\б
17 +1 0 0 0 Уп
18 + 1 0 0 0 Не
19 + 1 0 0 0 И9
20 + 1 0 0 0 >20
В результате расчета коэффициентов получается полином вида
(11.2). Проверка значимости коэффициентов при РЦКП проводится
по критерию Стьюдента, как и при ОЦКП, но дисперсия коэффициен-
тов полинома рассчитывается по другим формулам, а именно:
2 2
*{М2 = Ч/Г; (,1J9)
2 2A^(k+2)s{y}2
=-------N------
(11.20)
349
, Л[(А+l)Xv-(*-l)Jc25{y}2
-----------—--------------- (П-21)
Проверка адекватности осуществляется по критерию Фишера и не
отличается от аналогичной процедуры для других планов.
11.4. Отсеивающие эксперименты и изменение
геометрии гиперпространства
Отсеивающие эксперименты. Если реализовать требуемое число
опытов невозможно, то нужно с помощью небольшого количества
опытов произвести предварительное отсеивание малосущественных
факторов, т.е. снизить число воздействующих факторов к.
Если зависимости у -/{х^ линейны, то отсеивание малозначимых
факторов производится с помощью реплик высокой степени дробно-
сти или с помощью «насыщенных» планов, которые могут быть полу-
чены из числа факторов: к = 3 (N = 4), к ~ 7 (N = 8), к = 15 (N = 16),
£=31 (А = 32), к = 63 (N = 64) и т.д. В табл. 11.7 показан «насыщен-
ный» план при А = 16 и к - 15.
Коэффициенты полинома рассчитываются по (11.6). Выделение
доминирующих факторов производится путем сравнения коэффици-
ентов полинома. В случае наличия как линейных эффектов, так и пар-
ных взаимодействий отсеивание незначащих факторов осуществля-
ется с помощью метода «случайного баланса». Построение матрицы
планирования согласно этому методу осуществляется с помощью
таблиц случайных чисел для случайного распределения строк (см.
пример). Предварительно все интересующие факторы разбиваются
на группы, причем рекомендуется объединить факторы с одинаковой
физической сущностью (обычно два — четыре фактора). Далее дчя
каждой группы факторов строится ПФЭ и с помощью таблиц случай-
ных чисел определяется последовательность выбора строк. После
реализации плана производится построение диаграмм рассеяния,
определяются вклады факторов и выделяются доминирующие.
Пример метода «случайного баланса». Пусть из группы факто-
ров (Х|, х2, Xj, х4) необходимо выделить доминирующие. Факторы
разбиваются на подгруппы: первая подгруппа Х], х2 и вторая под-
2
группа х3, х4. Записывается ПФЭ типа 2 для каждой подгруппы
(табл. 11.8.А, 11.8.Б), и затем с помощью таблиц случайных чисел
определяется порядок смешивания строк. Например, датчик случай-
ных чисел дал такую последовательность: первая подгруппа — 2. 1,
3, 4; вторая подгруппа — 3, 4, 2, 4. Объединяя матрицы обеих под-
групп, получаем матрицу «случайного баланса» (табл. 11.8.В). Посче
реализации этой матрицы получим столбец значений вектора выхода;*.
350
Таблица 11.7
Матрица ппанирования дробного факторного эксперимента тина 219 11
(«насыщенный план»)
Л *1 х2 х3 х4 *5 Х6 х7 хъ Ч х10 *1! Л12 Л13 х14 х15 У
1 - - - - 4- 4- 4- 4- 4- 'Г - - - 4- >1
2 + - - - - г + 4- 4- 4- 4* У2
3 + - - Л- 4- - - 4- 4- 4- - 4- Уз
4 + + - - 4- - - - 4- - 4- 4- 4- У4
5 - - + - 4- - 4- - 4- -- 4- + + У$
6 4- - + - - + - 4- - 4- - -г -г Уь
7 + + -г 4- - - 4- -А. У1
8 + - -+ 4- - 4- - 4- - - - - У%
9 - - + 4- 4- 4- - - — 4- 4- 4- >9
10 4- + 4- - - 4- - 4- •т - - >10
II + 4- 4- - 4- - 4- - - 4- >11
12 +• + - + 4- - - - - 4- 4- 4- 4- >12
13 - 4- + 4- 4- - - 4- - - 4- >13
14 + - + + - - Т т 4- т 4- - >14
15 - + + 4- 4- 4- 4- + 4- 4- 4- + 4- 4- - >15
16 4- + + +• - - 4- 4- - - 4- - — 4- 4- >16
На основании полученных значений^ производят построение диа-
граммы рассеяния. Построение осуществляют следующим образом:
на оси абсцисс откладывают факторы, слева — со знаком «-», справа —
со знаком «+» на оси ординат — соответствующие значения у. Далее
находят медианы, т.е. линии, по обе стороны от которых лежит равное
число точек, независимо от конкретного значения, причем если число
точек четное, то медиана проходит между точками, если — нечетное,
то медиана проходит через точку. Да нее вводят величину — разность
между медианами, называемую вкладом фактора. Каждый вклад
характеризует эффект перехода с нижнего уровня на верхний. Срав-
нение по вкладам дает возможность выделить доминирующий фак-
тор (в примере — х2).
351
Таблица 1]8
Матрица планирования по методу «случайного баланса»
А. Группа (Г|,х2)
ПФЭ типа 22
Б. Группа (х3, xj
ПФЭ типа 21
В. Матрица «случайного балансам
N Х1 х2 хз х4 N Х1 х2 *з х4 V
1 - - 1 - - 1 + - - + 5
2 + - 2 + - 2 - - + 7
3 - + 3 - 3 - + + - 12
4 + + 4 + + 4 + + + + 20
Изменение геометрии гиперпространства (преобразование
независимых переменных. Проблема адекватности математической
модели реальным физическим процессам, происходящим в объекте
исследования, — одна из важнейших проблем при использовании
методов теории планирования эксперимента. Назовем некоторые
пути решения этой проблемы, а именно:
• уменьшение интервалов варьирования воздействующих факто-
ров. Следует заметить, что при исследовании электрических машин
рекомендуемый диапазон изменения факторов не более ±30 %, хотя
при исследовании на надежность этот диапазон может быть увеличен;
• разбиение полного интервала на подынтервалы и реализация
эксперимента в каждом подынтервале отдельно, а следовательно, и
получение различных полиномов для каждого из подынтервалов
(пример см. в § 5.3);
• переход к полиномам более высоких порядков.
Вообще решение проблемы адекватности требует значительного
объема априорной информации и высокой квалификации исследова-
теля. Вышеназванные методы усложняют процесс реализации экспе-
римента и статистической обработки данных, однако не дают никаких
352
Рис. П-l. Преобразование независимых пе-
ременных
гарантий положительного результа-
ia. Ниже предлагается еще один
метод, весьма эффективный и не
усложняющий собственно экспери-
мент. Речь идет об изменении геомет-
рии исследуемого гиперпространст-
ва, что осуществляется путем заме-
ны переменных иа новые независи-
мые переменные, обычно с использо-
ванием преобразований вида
= x^at * 0); = hu, (а, = 0). (11.22)
Данные преобразования весьма близко аппроксимируют нелиней-
ные зависимости параболического и гиперболического вида. Реализу-
ются однофакторные планы (некоторые сечения исследуемого гипер-
пространства), т.е. ищутся зависимости вида У =/(*,) (рис. 11.1).
Значение af находится из выражения
п1 а/ 1 \а а 1
2 (а + 1) - а - 1
с = ------------------------
(П-23)
a 1
а — 1
где
с = (У3-Л0)/Д a=Xmax/Xmin; д0 = (У^Г2)/2; b{ = (-Yl + Y2y2.
После нахождения af реализуются планы ПФЭ или ДФЭ.
11.5. Назначение функции отклика.
Метод экспертных оценок
Применение методов теории планирования эксперимента при
решении технических задач, в том числе и задач надежности, можно
в какой-то степени условно разбить на две области. Первая — доста-
точно формализованная и имеющая четкий алгоритм проведения опе-
раций. Сюда следует отнести сущность и последовательность реали-
зации выбранной матрицы эксперимента, расчет коэффициентов
полинома, проверку значимости коэффициентов по критерию Стью-
юнта, проверку адекватности математической модели по критерию
Фишера и другие статистические и математические операции, пред-
писываемые собственно теорией планирования эксперимента.
353
Вторая область — достаточно далекая от всякого рода формализа-
ции и требующая специальных затрат и усилий, в том числе и высо-
кой квалификации экспериментатора в данной конкретной области
исследования. В основном это выбор матрицы планирования и реше-
ние проблемы адекватности математической модели, выбор домини-
рующих факторов (см. § 11.4) и, наконец, назначение функции откли-
ка, т.е. выделение информативных показателей, наиболее объективно
оценивающих реакцию объекта на воздействующие факторы. По-
следнее рассматривается в данном параграфе.
Для основных узлов электрических машин не существует единого
информационного показателя, полностью характеризующего техни-
ческое состояние исследуемого узла, в связи с чем для контроля
работы узла желательно фиксировать как можно большее число пока-
зателей, критериев работоспособности, ибо в совокупности они дос-
таточно полно описывают картину технического состояния. Однако
выполнение данного условия наталкивается на резко возрастающие
технические трудности и удорожание эксперимента.
Задача решается следующим образом: из всего спектра показате-
лей работоспособности выбираются наиболее информативные, т.е.
такие, которые в данных условиях наиболее полно описывают работу
узла или машины и одновременно, по возможности, не слишком
усложняют эксперимент.
Рассмотрим применение метода экспертных оценок для определе-
ния критериев работоспособности узлов электрической машины.
Этот метод не требует проведения специального эксперимента, дос-
таточно Прост в обработке данных и основан на использовании опы-
та, а также интуитивных догадок экспертов. «Эксперт— это специа-
лист, ранее уже совершивший много ошибок». Этот афоризм недалек
от истины, т.е. можно сказать, что экспериментальные данные в этом
методе заменяются информацией, накопленной группой экспертов
в процессе их самостоятельной научной деятельности.
В основе метода экспертных оценок лежат пять исходных условий
группового выбора решений, сформулированных К. Эрроу, а именно:
свободный выбор экспертов, наличие положительных связей общест-
венных и индивидуальных предпочтений, независимость несвязан-
ных альтернатив, наличие суверенности экспертов и отсутствие дик-
таторства.
Покажем использование метода для определения значимости кри-
териев работоспособности различных узлов электромаш ин него пре-
образователя постоянного тока в переменный. Преобразователь пред-
ставляет собой двухмашинный агрегат, собранный в едином корпусе
и имеющий общий вал. Двигателем является машина постоянного
тока (МПТ), генератором — синхронная машина (СМ). «Слабые зве-
354
иья» электромашин него преобразователя: подшипниковый и коллек-
торный узлы, щеточный аппарат, обмотки якоря и главных полюсов
МПТ, система возбуждения, обмотка якоря, щеточный аппарат, кон-
тактные кольца и подшипниковый узел СМ.
Исследователем Г.М. Добровым была разработана методика сбора
и обработки данных экспертных оценок, которая состоит из следую-
щих основных этапов [9].
Этап 1. Разработка матрицы «цель — средства». Задачей исследо-
вания является заполнение матрицы содержательными и аргументи-
рованными сведениями.
Выбор критериев работоспособности (строки матрицы).
1. Коллекторный узел МПТ: статическое биение коллектора;
динамическое биение коллектора; напряжение под сбегающим краем
щетки, измеренное на ступени малого тока; зона безыскровой работы;
профилограмма коллектора; вольт-амперная характеристика; темпе-
ратура; искрение по коллектору в баллах; суммарная иебалансиая
ЭДС коммутируемых секций.
2. Подшипниковый узел: момент трения; общий уровень вибра-
ции: виброспектр подшипникового узла; химический состав смазки;
ультразвуковая спектрограмма подшипников; температура наруж-
ного кольца.
3. Щеточный аппарат: скорость износа щетки; ускорение износа
щетки; абсолютная величина износа щетки.
4. Изоляция обмоток: температура; сопротивление изоляции;
емкость изоляции; тангенс угла диэлектрических потерь; амплитуда
импульса акустической эмиссии: декремент затухания и частота пере-
ходного процесса в изоляции при приложении и снятии прямоуголь-
ного импульса напряжения.
Интересным представляется также использование спектрального
аназиза тока якоря МПТ в качестве диагностирующего параметра.
Этап 2. Этот этап коллективной оценки состоит в разработке таб-
лиц экспертной оценки с вопросами. Эти таблицы должны обеспе-
чить: количественно определенные ответы на предлагаемые вопросы;
формализованные сведения о характере источников аргументации,
а также о степени влияния каждого из них на ответ эксперта; количе-
ственно определенные оценки своего знакомства с областью, к кото-
рой относится предлагаемый вопрос.
Для выполнения первого условия эксперты должны указать удель-
ный вес (информативность) различных диагностируемых параметров
при определении технического состояния электромаш и иного преоб-
разователя. Эксперту предлагается дать оценку по 100-балльной сис-
теме отдельным параметрам (табл. 11.9, пример дан по подшипнико-
вому узлу).
355
Таблица Ц.9
Данные для экспертной оценки
Экс- пер- ты Само- оценка (баллы) Момент трения Температура наружного кольца Общий уровень вибрации Вибро- спектр Химический состав смазки Ультра- звуковая спектрограмма
1 2 3 4 5 6 7 8
1 10 90 100 80 100 100 —
2 6 — 90 50 50 — —
3 9 20 90 10 60 100 —
4 10 100 50 80 80 70 40
5 5 50 100 80 50 100 10
6 3 90 100 90 60 80 40
7 10 60 100 30 100 100 —
8 4 — 60 — 80 100 —
9 10 50 60 40 80 70 20
10 8 100 100 50 60 100 —
11 6 20 — 100 50 50 —
12 5 10 30 — 50 10 —
13 4 30 20 40 20 15 —
14 10 100 100 100 100 50 50
15 3 70 10 80 100 80 50
64,5 77,8 61,3 75,47 76,1 34.65
Для выполнения второго условия эксперту предлагается отметить
источники аргументации с оценкой их влияния на мнение эксперта
(табл. 11.10).
Наконец, для выполнения третьего условия производится самооценка
информативности эксперта до данному вопросу по шкале от 0 до 10.
Здесь 0 означает самое общее знакомство с соответствующей проблемой,
а 10 — знакомство с проблемой на уровне разработки некоторых реше-
ний, т.е. эксперт непосредственно занимался данной проблемой.
Этап 3. Организация и проведение опроса экспертов. Необходимо
обеспечить однозначное понимание экспертами отдельных вопросов,
а также создать условия для свободного и независимого высказыва-
ния суждений.
При анализе результатов экспертной оценки необходимо опа-
саться как излишнего доверия к индивидуальным суждениям автори-
тетов, так и слепого следования за обезличенным статистическим
большинством.
356
Таблица 1110
Источники аргументации эксперта
Источник аргументации Степень влияния источника на мнение эксперта
высокая средняя низкая
Проведенный теоретический анализ
Производственный опыт
Обобщение работ отечественных авторов
Обобщение работ зарубежных авторов
Интуиция
Этап 4 Оценка относительной информативности отдельных пара-
метров. Можно ввести следующие показатели информативности
отдельных параметров.
Среднестатистическое значение оценки определенного параметра
Mj= Ycv/mj' (1L24)
i=l
где — среднестатистическое значение оценки значимости у-го
параметра; mf — количество экспертов, оценивших значимость у-го
параметра; с у— оценка в баллах i-м экспертом значимостиу-го пара-
метра.
Коэффициент удельного веса данного параметра
т
<и-25)
Ё Ё cij
J= 11=1
где kynj- — коэффициент удельного веса у-го параметра, характери-
зующий долю суммы баллов, полученных у-м параметром в сумме
баллов, набранных всеми параметрами; кау = т^п — коэффициент
активности дляу-го параметра; п — количество параметров.
Частота высших (максимально возможных) оценок
*100/ = w100y (11.26)
где — количество максимальных оценок.
Степень согласованности мнений экспертов об относительной
значимости параметра определяется коэффициентом вариации
^ = a2/jM,, (1127)
где о, = £ (ctj - Mj) /(mj — 1) — сред не квад рати чес кое отклоне-
1“ 1
ние оценок.
357
Важным элементом методики обработки данных экспертной
оценки является определение группы экспертов, внутри которой
согласованность мнений высока, и выявление экспертов, имеющих
оригинальные точки зрения, отличающиеся от мнения большинства.
Это служит поводом для дополнительных исследований.
Вернемся к примеру. В эксперименте участвовали 15 экспертов.
Наиболее специфичны (оригинальны) по всем позициям анкеты-мне-
ния экспертов 3 и 13. По многим вопросам степень согласованности
очень низка. Противоречия во взглядах экспертов ие являются откро-
вением. В технической литературе можно часто встретиться с диамет-
рально противоположными взглядами различных авторов.
Приведем результаты эксперимента. Для каждого узла электрома-
шиниого преобразователя дадим три наиболее информативных кри-
терия работоспособности.
Коллекторный узел машины постоянного тока: динамическое бие-
ние коллектора и профиле грамма, искрение в баллах, суммарная
небалансная ЭДС коммутируемых секций.
Подшипниковый узел: вибро спектре грамм а, температура наруж-
ного кольца, химический анализ смазки.
Щеточный аппарат: скорость износа щетки, величина износа щетки.
Обмотка возбуждения машины постоянного тока: температура,
сопротивление н емкость изоляции, декремент затухания.
Обмотка якоря машины постоянного тока: температура, сопротив-
ление и емкость изоляции, декремент затухания.
Обмотка возбуждения синхронной машины: температура, сопро-
тивление и емкость изоляции, декремент затухания.
Обмотка якоря синхронной машины: температура, сопротивление
и емкость изоляции, декремент затухания.
Контактные кольца синхронной машины: биение колец, искрение,
температура.
Задача выделения доминирующих факторов или параметров из
какого-то их спектра характерна при исследовании надежности элек-
трических машин. Выше был рассмотрен один из экспертных мето-
дов. В случае определения значимости диагностируемых показателей
он является практически единственным. Однако при всей своей при-
влекательности этот метод остается субъективным. При решении
иных задач надежности целесообразнее (где это возможно) использо-
вать объективные методы выделения доминирующих факторов.
Одна из таких задач возникает при организации испытаний иа
надежность — определительных и контрольных. Во время испыта-
ний электрические машины должны подвергаться воздействию раз-
личных факторов, однако практическая реализация на стендах пред-
приятия всего спектра воздействующих факторов невозможна.
358
Действительно, только на коллекторный узел влияют: температура,
влажность, кислотность, запыленность, вибрация коллектора, вибра-
ция электрической машины и установки в целом, давление на щетку,
скорость вращения ротора, величина нагрузки или плотность тока под
щеткой, частота пусков и т.п. Итак, из довольно значительного коли-
чества воздействующих факторов необходимо выделить несколько
(обычно от двух до четырех) наиболее существенных. Эта проблема с
достаточно высокой степенью объективности решается с помощью
методов теории планирования эксперимента, а именно с помощью
метода «случайного баланса» и насыщенных планов.
11.6. Анализ и синтез параметров. Поиск экстремума
Решение задачи анализа параметров или воздействующих на
исследуемый объект факторов достаточно очевидно и не требует при-
менения специальных методов. Прежде всего сравниваются абсолют-
ные значения коэффициентов полиномиальной зависимости, что
в первом приближении дает возможность оценить влияние воздейст-
вующих факторов (параметров). При необходимости решения задач
анализа в полном объеме производятся подстановка значений воздей-
ствующих факторов на необходимом уровне, получение значений
ф>нкций отклика и дальнейшее составление графиков, номограмм
или иного рода зависимостей вектора выхода в функции от воздейст-
вующих факторов.
В качестве примера обратимся к уже изложенной в § 10.7 матема-
тической модели эксплуатационной надежности асинхронных двига-
телей, полученной с помощью методов теории планирования экспе-
римента. По формуле (10.16) исследуется в зияние факторов
(температуры 0, вибрации V, частоты пусков и) на среднюю нара-
ботку на отказ Гср. Путем подстановки различных значений факторов
в математическую зависимость (10.16) построены номограммы
^ср =/(0, V, и) (см. рис. 10.16—10.19). Решены также более сложные
задачи — построены графики зависимости Гср от воздействующих
факторов при изменении этих факторов в реальном времени Отме-
тим, что это — весьма актуальная задача при практическом примене-
нии данной математической модели надежности на различных пред-
приятиях, при различных сезонных или иных изменениях факторов и
в различных регионах земного шара (см. рис. 11.20, 10.21).
Аналогичный анализ факторов осуществлен в § 5.3. Здесь рассматри-
вались модель эксплуатационной надежности коллекторного узла в элек-
тромаш и иных преобразователях (см. рис. 5.6) и модель надежности элек-
трощеток погружных двигателей постоянного тока [см. (5.11) и рис. 5.7].
359
Решение задачи синтеза воздействующих факторов или параметров
обычно более объемно, трудоемко и не всегда однозначно. Одиако при
наличии полиномиальных зависимостей решение данной задачи сво-
дится к достаточно простым математическим расчетам. В § 10.7 реша-
ется задача синтеза, т.е. обеспечения требуемого, заранее установлен-
ного уровня надежности путем нахождения сочетания воздействую-
щих факторов. Там же показаны алгоритм проведения синтеза
факторов и его графическая интерпретация (см. рис. 10.22, 10.23).
Рассмотрим пример использования методов теория планирования
эксперимента при перестроении динамической модели асинхронного
двигателя, записанной через дифференциальные уравнения, в поли-
номиальную математическую модель с последующим анализом, син-
тезом и оптимизацией факторов. Необходимо определить влияние
параметров машин — активного сопротивления ротора (*]), актив-
ного сопротивления статора (х2) и момента инерции ротора (х3) — на
динамические показатели асинхронного двигателя: ударный момент
Л/уд, время разбега гр и ударный ток статора . Последовательность
реализации эксперимента следующая.
1 Дифференциальные уравнения асинхронного двигателя, запи-
санные относительно потокосцеплений [14]:
dVu 5
— = I7mcoswz--------yVQ
° L.L-L_
rsLm
-------7 Vai
L L - L"
j г m
dVp
—- = П sin cor -
dr
rsLr
------7Vp
ll-1_
rsLm
------
L L-L
dVa
dr
rL r rL
v л г . r m
----7Va +---
ll-l
(11 28)
dr
r,L, r . r;Lm
------yv₽ +-------rVp + “rVo;
LL -L_ LL-L‘
dor p
т
360
2 . На базе данных уравнений производится реализация матрицы
планирования ПФЭ типа 23 с фиксацией функции отклика: /р, гуд.
3. В результате реализации эксперимента на АВМ получены сле-
дующие данные.
Номер опыта 1 2 3 4 5 6 7 8
8,0 9,3 6,8 8,2 8,1 9,9 7,0 8,5
'р 13 10 13 11 18 15 19 16
3,8 3,7 3,5 3,3 3,8 3,7 3,5 3,4
Для базовой машины (нулевой уровень) было проведено шесть
дублирующих опытов. Результаты сведены в таблицу.
8,1 8,22 8,34 8,23 8,26 8,18
'р 13,9 14,0 14,0 14,3 13,8 14,0
'>д 3,18 3,17 3,17 3,25 3,14 3,11
4. Определение коэффициентов полиномов:
Л/уд = 8,225 + 0,75х] - 0,6х2 + 0,15х3 -
- 0,025xjX2 + 0,075Х]Х3 — 0,025х2Х3;
гр = 14,375 - l,375xj + 0,375х2 + 2,625х3 +
+ 0,125Х|Х2 - О,125Х|Х3 + 0,125х2Х3;
<уд = 3,59 - 0,0625Х] + 0,3125х2 + 0,0125х3 -
- 0,0125Х]Х2 + 0,0125Х]Х3 + 0,0125х2Х3.
Результаты данных параллельных опытов дают возможность рас-
считать по (11.13) дисперсию опытов.
5{Л/уд}2 = 0,0642; j{/p}2 = 0.028; л{Гуд }2 = 0,0022.
5. Проверка значимости коэффициентов по критерию Стьюдента.
Дисперсия ошибки коэффициентов:
*{Л/уд}2 = 0,008; х{/р}2 = 0,0035; х{/уд }2 = 0,000275;
Wyl} =0,0894; х{/р} =0,05916; 5 {/уд }= 0,01658.
361
После проверки значимости коэффициентов полиномы приобрели
вид (только для Л/уд и /р):
Л/уд = 8,225 + 0,75х1 - 0,6х2 + 0,15х3;
/р = 14,375- l,375xj + 0,375х2 + 2,625х3 +
+ 0,125х ,х2 - 0,125х |Х3 + 0,125x^3.
6. Проверка адекватности полиномов ведется по критерию Фише-
ра. Для полинома M^F < FTa6jI (4,1 < 6,2), причем 5^ <5{М}\ Поли-
ном для М.. адекватен. Следовательно, все полиномы адекватны.
у**
7. Согласно заданию, необходимо найти оптимальное сочетание
факторов для /р -> min при Л/уд < 8,0; г] > 0,8, изменяемые факторы Х|
и х2. Для X] и х2 полиномы имеют вид
8,0 > Л/уд = 8,225 + 0,75х, - 0,6х2;
0,8 < г) = 0,78 - 0,042г 1 - 0,145х2;
min <- zp= 14,375 - l,375xj + 0,375х2 + 0,125x^2.
Полином для коэффициента полезного действия г) получен ранее.
Строится линия, ограничивающая возможные значения факторов:
при ограничении Л/уд < 8,0 — зона левее линии KLMN(рис. 11.2).
Рнс. 11.2. К построению «зон су шествования» различных значении /р, Л/}3 и к язя
асинхронного явнгателя
362
Строится линия, ограничивающая возможные значения факторов
при ограничении q > 0,8, — зона ниже линии АВС.
«Зона существования» возможных значений — треугольник КАВ.
Построение линий для различных значений /р указывает, что
уменьшение /р смешается вправо Итак, оптимальная точка — точка
В. Ей соответствует Xj - - 0,17; х2 = - 0,2.
Поиск экстремума. Методы поиска экстремума позволяют полу-
чить максимальное или минимальное значение функции в зависимо-
сти от ее характера и различных условий. Так, с точки зрения надеж-
ности жеэательно иметь минимальные значения ударного момента и
ударного тока двигателя; с другой стороны, желательно иметь макси-
мальную вероятность безотказной работы или среднее время нара-
ботки на отказ. Здесь следует отметить, что поиск глобального экстре-
мума — чисто теоретическая операция; иа практике обычно
определяется условный экстремум, т.е. экстремум при условии нало-
жения ограничений со стороны каких-либо иных функций (их назы-
вают функции-лимитеры). Рассматриваемый в этой плоскости про-
цесс поиска экстремума называется оптимизацией. Решение
большого числа задач, связанных с проектированием, управлением,
планированием в той или иной мере связано с оптимизацией, т.е.
нахождением наилучших в определенном смысле значений различ-
ных параметров.
Обычно задается некоторый критерий оптимизации (целевая
функция) у, зависящая от воздействующих факторов. Тогда задача
оптимизации сводится к отысканию таких значений параметров (фак-
торов), при которых целевая функция достигает экстремума (мини-
мума или максимума).
Рассмотрим еще один пример перестроения математической
модели-(11.28) асинхронного двигателя. Исследовалось влияние
активных сопротивлений статора и ротора xt —> х2 —> гг; индуктив-
ных сопротивлений статора и ротора х4 -> х5, х5 -> хг и индуктивного
сопротивления взаимоиндукции х3 -> хт на динамические показате-
ли: zp — время разбега; Л/уд — ударный момент прн пуске; К — крат-
ность пускового тока.
Матрица планирования типа 25 1 с генерирующим соотношением
х5 = результатов эксперимента и коэффициенты представ-
чены в табл. 11.11.
363
2
Матрица ДФЭтмпа 25~ 1
и i
х0 *1 х2 '3 х4 *$ *1*2 *1*3 *1*4 *1*5 *2*3 *2*4 Vs
1 4- - - - - 4- 4- 4- 4- - 4- 4- -
2 4- 4 - - - - - - 4- 4- 4-
3 4- - + - - - 4- 4- + - - -
4 + 4- 4- - - 4- 4- - - 4- - - 4
5 ¥ - - 4 - 4- - 4- 4 - 4- 4
6 4 4- - 4- - 4- - 4- - 4- - 4 -
7 ¥ - 4- 4- 4 - - 4- - 4 - 4
8 4 4- 4 4- - - 4- 4- - - 4- -
9 ¥ - - - 4- - 4- 4- - 4- 4- - 4
10 4- 4 - - 4- 4- - - 4- 4- 4- -
11 + 4 4- 4- 4- - - - 4 4
Таблица 11.11
*1’4 *1*3 ’<*s ^1 “ Ъ" >1" - К
+ - - 5,2 99,8 1,33
+ + + 5,7 72,2 1,11
+ + + 10,18 56,2 1,06
+ - 10,6 29,6 1,04
- + + 4,0 112,0 2,94
- - 4,2 84,0 2,26
- - - 8,14 68,2 1,39
- + + 11,5 50,8 1,37
- - - 6.5 76,2 1,31
+ + 7,5 46,0 1,31
- + + 21,4 38,1 1J9
12 4 4 4 - 4 £ -
13 + - - + + 4 4 - - -
14 + + - + - - + + -
15 + - + 4- + - - - - +
16 + 4 + + + + + + 4- 4-
17 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0
18 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0
19 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0
'р 9,28* 0,44* 3,9’ -2,05* 1,844* -0,243 0,302 -0,088 -0,139 1,46’
"уд 64,0* 10,32’ -18,35’ 8,8’ 10,11* 1,8’ 1,69* 1,89* 2,16* -1,37’
к 1,58* 0,066’ -0,314* 0,37* 0,0084 -0,0078 0,064* -0,032* 0,046’ 0,029*
Примечание. Звездочкой отмечены значимые коэффициенты полинома.
с*
- - 23,6 25,0 1,12
- - - + + ¥ 5,35 90,5 2,44
- - + + - - 4,6 80,2 2.25
+ + - + - - 10,15 55Д 1,34
+ + + + + + 9,95 43,4 1,41
0 0 0 0 0 0 8,1 65,0 1,42
0 0 0 0 0 0 7,2 68,2 1,33
0 0 0 0 0 0 8,8 67,0 1,39
0 0 0 0 0 0 7,6 65,1 1,33
0 0 0 0 0 0 7,7 65,0 1,49
-1,205* 1.24* 0,425* 1,57* -0,083 0,162 Коэффициенты b
-0,256 1,98* 0,755 1,60* 0,044 -0,544
-0,234* 0,032* 0,025* -0,057 -0,043* 0,049*
Коэффициенты полиномов определяются по (11.6), их значения
приведены в нижней части табл. 11.11. Оценка значимости коэффици-
ентов проводилась по критерию Стьюдента, для чего находилась дис-
персия воспроизводимости по опытам в центре плана (строки 17—21
в табл. 11.11). Значимые коэффициенты отмечены звездочкой. Адек-
ватность полинома после отсева незначимых коэффициентов прове-
рялась по критерию Фишера, все полиномы адекватны.
Получив значения коэффициентов для кодированных факторов,
можно перейти к записи полиномов в натуральных величинах. Для
примера приведем в натуральном масштабе полином для ударного
момента:
Л/уд = 159,65 - 2,71 г - 0,51 г + 0,0315xm - 2,7/ + 0,108/ + 0,0048// +
+ 0,0049/rm + 0,0356// - 0,0226// + 0,0455// + 0,00355^.
Следует, однако, отметить, что данную операцию удобнее осуще-
ствлять на заключительном этапе исследования; анализ и интерпре-
тацию результатов, поиск оптимума и иные действия над получен-
ными результатами лучше производить в кодированной записи
полиномов.
Полученные в результате эксперимента математические зависи-
мости можно рассматривать как инструмент исследования динамики
асинхронного двигателя. Полиномы гр, Л/уд, К = /(хрг^З^Л) позво"
ля ют, в частности, решить следующие задачи:
1. Качественно оценить влияние параметров на динамические
свойства машины.
2. Определить «зоны существования» определенных значений
функций целей.
3. Исследовать полученные функциональные зависимости для
определения оптимальных параметров, обеспечивающих необходи-
мые динамические характеристики.
В рассматриваемом примере на время разбега наибольшее влия-
ние оказывает активное сопротивление ротора rr(b2 - 3,9). Слабее
влияют индуктивное сопротивление взаимной индукции (63 = 2,05) и
рассеяния статора = 1,844). Влияние активного сопротивления
статора и индуктивного сопротивления рассеяния ротора незначи-
тельно (0,44 и 0,243 соответственно).
Из парных взаимодействий следует отметить примерно соизмери-
мые г xJ, rxm, г Xs\ x„fs. Несмотря на слабое влияние каждого из пара-
метров г и хг в отдельности, вклад, вносимый их парным взаимодей-
366
ствием, весьма ощутим (Ь9 = 1,46). Очевидно, что наиболее
рационально воздействовать иа величину /р можно путем изменения
активного сопротивления ротора и, лишь когда эта возможность пол-
ностью исчерпана, целесообразно изменять воздушный зазор и число
витков обмотки статора.
На ударный момент наибольшее влияние оказывают г (Л2 = 18,35)
и меньшее г (10,32),хт (8,8), xJ, т.е. в отличие от Гр, значительно влия-
ние активного сопротивления статора. Из парных взаимодействий
следует отметить влияние хтг\ rsxs, rx*\ rxs. x^x. На ударный
момент, следовательно, можно воздействовать прежде всего измене-
нием активного сопротивления ротора и статора.
Для кратности пускового тока наиболее существенны значения
активного сопротивления ротора (0,314) и сопротивления взаимной
индукции (0,37); г, х* и хг оказывают меньшее влияние. Все парные
взаимодействия значимы, доминирующим является ггхт.
Рассмотрим графический метод анализа и синтеза факторов,
а также отыскания локального оптимума — метод «зон существова-
ния». С этой целью некоторые факторы фиксируются: в рассматри-
ваемом случае факторы х2,х3,х5 фиксируются в центре плана (варьи-
руемые параметры: Х| и х4.
Так как х2 = х3 = х5 = 0, то полиномы для zp, А/уд, К будут иметь вид
Гр = 9,28 + 0,44х1 + 1,844х4;
Л/уд = 64 - 1O,32xj - 10,1х4 + 2,16х1х4;
1,58 - 0,069xj - 0,0084х4 + 0,0466x^4.
(11.29)
Можно построить «зоны существования» различных значений гр,
Иуд, К от Х| и х4 в принятых интервалах варьирования последних
(рис. 11.3).
С помощью приведенных «зон существования» можно выяснить
прежде всего, реализуемы ли требования, предъявляемые к Гр, Л/уд, К,
в заданном диапазоне изменения параметров. Если да, то определить
значения Х|, х4 (х*, г) для получения требуемых характеристик и
затем по параметрам статора вычислить значения выходных характе-
ристик.
Пусть, например, требуется создать электрическую машину со сле-
дующими динамическими показателями: 8 < Г < 9; < 60: К < 1,5.
р уд
Значения параметров статора при заданных условиях расположены
367
Рис. 11.3. К построению «зон существования» различных значении Zp, и А для
асинхронного двш ягеля
в заштрихованной на рисунке области при значениях факторов:
X] = 0,95; х4 = -0,6. Естественно, решается и обратная задача — по
заданным параметрам опредечяются динамические характеристики.
Аналогичные исследования можно провести при варьировании в раз-
личных сочетаниях и других факторов.
Исследование поверхности отклика в пяти мерном факторном про-
странстве невозможно осуществить графическим путем — исследо-
вание ведется аналитически. Решение состоит в приведении уравне-
ний регрессии к каноническому виду путем переноса осей координат
и их поворота. Рассмотрим ход решения на примере полинома для Гр:
/р = 9,28 + 0,44х, + 3,9х2 - 2,05х3 + 1,84х5 - 1 ,46XjX5 -
- 1,205x2*3 + * ’24x2*4 - 0,425x2*5 - 1,57х3х4.
Частные производные по каждой переменной приравнива-
ются нулю, и решается система уравнений:
0 • Xj + 0 • х2 + 0 *х3 + 0 • х4 - 1 ,46х5 = -0,44;
0 • Х| + 0 • х2 - 1,205х3 + 1 ,24х4 - 0,425х5 = -3,9;
0 • xj - 1 ,205х2 +0 • х3 - 1 ,57х4 + 0 • х5 = 2,05;
0-Х] + 1,24х2- 1,57х3 + 0х4 + 0-х5 = -1,84;
-1,46Х| - 0,425х2 + 0 • х3 +0 • х4 +0 • х5 = 0.
368
Решение системы дает координаты особой точки поверхности
отклика:
х° =0,1124; х® = 0,388; х® = 1,48; х® = -1,61; х® =0,302.
После переноса начала координат в особую точку и поворота осей
находим канонический вид уравнения регрессии:
Гр-6 = -1,46 + 0,031 11,72 - 1,74^4 + 1,5
Знаки при коэффициенте показывают, что в данном случае имеем
поверхность типа «минимакс». Особая точка лежит вне области пла-
нирования эксперимента. Вообще поверхность типа «минимакс» дает
мало информации об оптимальных условиях. В случае четырех фак-
торов еще возможно исследование функции на экстремум путем дву-
мерных сечений. В случае же пяти факторов и больше возникает
сложная задача отыскания условного экстремума в факторном про-
странстве проведения эксперимента. При этом возможны две форму-
лировки задачи: нахождение условного экстремума при ограничени-
ях, накладываемых либо сферой р2 = с центром в особой точке,
2 2
1ибо сферой р = Lxf с центром в центре эксперимента. Обе задачи
сложные — необходимо решить систему шести нелинейных уравне-
ний относительно неизвестных Х|, х2, х3, х4, х5 и Л.
Рассмотрим теперь уравнение регрессии для ударного момента:
ЛГуд = 64 - 10,32xj - 1 8,35х2 + 8,8х3 -10,11х4 - 1,8х5 +
+ 1 ,68xjX2 + 1,89XjX3 + 2,16xjx4 - 1 »37xjX5 + 1,98x^4 + 1,69x3x4.
После составления системы уравнений в целях определения коор-
динат особой точки поверхности можно убедиться, что главный
тетерминаит для этой системы равен нулю. Это значит, что поверх-
ность отклика нецентральная и оптимальные условия находятся иа
границах факторного пространства= При таком типе планирования,
а именно при ПФЭ или ДФЭ, когда область планирования (область
определения) представляет собой «-мерный куб, экстремум функции
Достигается в одной из его вершин. Число вершин «-мерного куба,
очевидно, составляет 2л, и для отыскания экстремума необходимо
исследовать каждую из вершин и путем сопоставления найти
оптимум. При исследовании функций, полученных в результате полу-
реплики типа 25” \ необходимо исследовать 25 = 32 вершины. Резуль-
таты подобного исследования — сочетания факторов, обеспечиваю-
щие оптимальное значение параметра оптимизации, а также
оптимальные значения для z и Л/ приведены в табл. 11.12.
369
Таблица 11 12
Результаты оптимизации
Критерий оптимизации Экстремум Базовая машина Значение оптимума Значение другого показателя Координаты оптимальной точки
'₽ min 7,63 4,0 Л/уд- 112 Xj =-1,х2'"1,х3 = +1, х4 = -1,х5=-1
Чл min 66,1 23,6 /г25 . Х| = +1,х2'+1,х3= 1, Х4 = * 1, Х5 = -1
Итак, применение метода планирования эксперимента позволило
найти не только функциональные зависимости динамических пара-
метров электрической машины гр, и К от активных и индуктив-
ных сопротивтений, но и оптимальные значения динамических пара-
метров гр и Л/уД в заданных границах факторного пространства.
Рассмотрим еще один пример поиска экстремума. Пример базиру-
ется на исследовании замкнутой системы автоматического регулиро-
вания, включающей в себя усилитель, асинхронный двигатель и
обратные связи по току и напряжению. В данном примере для концен-
трации внимания именно на методах поиска экстремума было решено
абстрагироваться от физических величин и описать методологию
в самом общем виде (что, кстати, еще раз подчеркивает универсаль-
ность методов теории планирования эксперимента).
Целевыми функциями системы являются j2, Уу* варьируемые
факторы: xlwx2.
•э
Реализация плана ПФЭ типа 2“ и обработка результатов показапи,
что благодаря наличию достаточно априорной информации удалось
сразу попасть в «почти стационарную область», т.е. в область, близ-
кую к оптимуму. Поэтому математическое описание системы, полу-
ченное по плану ПФЭ 22 и содержащее лишь линейные члены и пар-
ное взаимодействие, оказалось неадекватным.
После этого был реализован ортогональный план второго порядка
(ОЦКП) для описания объекта полиномом второй степени. Матрица
ортогонального планирования второго порядка и результаты экспери-
ментов даны в табл. 11.13. Зависимости, связываюшие.у 1э72,.у3 с фак-
торами, имеют вид
у,= 67,73 4 5,37.x, - 18,35х2 - 0,575х,х2 - 3,6х, + 11,5х2; (11.30)
у2 = 5,99+6,5х, - 12,1х2 + 5,9х,х2-2,15х, -17,0х2; (11.31)
у3 = 105,5 + 11,5X1 “ ^.7,75^ - 17,2х,х,- 12,5.x, + 11,5х2. (11.32)
370
Таблица 11.13
ОЦКП второго порядка для к = 2
Номер опыта Матрица планирования У
хо X] Х1 Х|Х2 х? - 0,666 Xj - 0,666 Уз >2 >1
~ 1 Ч 1 -I +1 0,333 0,333 90,0 63,0 79,0
2 + 1 +-] -1 -1 0,333 0,333 150,0 52,8 93,0
3 + 1 -1 ч -1 0,333 0,333 91,8 21,8 58,3
4 т1 -I +1 +1 0,333 0,333 23,2 35,5 70,0
5 + 1 1 0 0 0,333 -0,666 86,7 53,0 61,8
6 1-1 -г] 0 0 0,333 -0,666 104,0 52,5 68,3
7 -н 0 -I 0 0,666 0,333 140,0 46,8 100,0
6 + 1 0 +1 0 -0,666 0,333 98,5 29,0 60,0
9 + 1 0 0 0 0,666 -,0666 101,1 70,0 66,2
Дальнейший анализ осуществляется путем приведения почучениых
уравнений к каноническому виду. Приравняв нулю частные производ-
ные в уравнении дляуь найдем координаты особой точки (центра):
х° = 0,695; х°2 - 0,62.
Экстремальная точка находится в исследуемом факторном про-
странстве. Перенос начала координат в особую точку позволяет
исключить линейные члены:
^=65,33-0,575 Х|Х2 -3,6х2 +11,5x2,
где х, =х,- 0,695; х2 =х2-0,62.
Поворот осей координат на угол 0 = 1° приводит уравнение регрес-
сии (11.30) к каноническому виду:
у, - 65,3 = -3,597 Д'2 + 11,502 К . (11.33)
Поверхность отклика для V| (гиперболический параболоид) пред-
ставляет собой поверхность типа «минимакс», так как знаки коэффи-
циентов при неизвестных — разные. Контурные кривые — гипер-
болы — вытянуты вдоль оси < |^x2|)- Центр фигуры —
точка типа «минимакс». Уравнение асимптот:
Х2 = ±0,565^ .
371
По оси Xi имеет место увеличение значения вектора выхода, по
оси Х\ — уменьшение. Оптимум функции в заданной области фак-
торного пространства, т.е. максимально возможное в данных усло-
виях значение _У| соответствует точке с координатами х1опт ®
Л2опт ~ (Рис- 11-4)- Значение функции в данной точке: j]onT = 55,5.
Аналогичный анализ посредством канонических преобразований
проводится для jj. При этом координаты центра:
X] = - 0,039; х\ = 0,726.
Угол поворота осей координат
еМ7°50'.
Канонический вид уравнения регрессии (11.32)
у3-83,645 = -15,18 Д'2 + 14,4х]. (П-34)
Уравнения асимптот:
Х{ = ±0,97%2 -
Поверхность отклика также представляет собой гиперболический
параболоид. Контурные кривые — гиперболы — вытянуты вдоль оси
Xi. Оптимум функции отклика будет соответствовать точке с коорди-
натами:
*1опт 1 ’ ^2опт “
Рис. 11.4. К анализу поверхности отклика функции у।
372
Значение уу
Узопт = 68-
Анализируя уравнение для_у2, можно найти координаты центра:
х° =-0,488; х° =0,441;
угол поворота осей координат
6= 10°45'.
Канонический вид уравнения регрессии (11.31)
у2- 62,44 = -l,66Aj -17,35^2- (11 35)
Поверхность отклика представляет собой эллиптический парабо-
лоид. Контурные кривые — эллипсы — вытянуты вдоль оси
*i(|*Vl| <|^2|) (рис. 11.5).
Оптимальная точка расположена на границе рассматриваемой
обзасти факторного пространства и имеет координаты
* 1 опт 0,77, *2опт ” ± 1 •
Значение^ в данное точке
>-2оП1=27,5.
Результаты оптимизации сведены в табл. 11.14.
Итак, в результате применения планирования эксперимента с
последующим анализом полученных уравнений в заданном фактор-
ном пространстве удалось найти оптимальные условия для каждого
из параметров оптимизации Уз-
Рис. 11.5. К анализу поверхности отклика функции
373
Таблица II 14
Результаты опта ми займи системы
Критерий оптимизации Экстре- мум Базовая система Значение оптимума Значения других показателей Координаты опти- мальной точки
>1 min 66.2 55,5 у3 = 68.5;у2 =45 J] = 1; х2 = 0,6
>3 min 101,1 68 У] = 55,6; у2 ® 46 xj =-1;х2 = 0,5
>2 min 70,0 27,5 У3 = 82; ух = 58 X] = -0,77; х2 = 1
Полученные уравнения позволяют найти условный экстремум при
наличии двух поверхностей отклика, если задаться определенным
ограничением на значение одного показателя н искать оптимальное
значение для другого. В результате решения этой задачи было найде-
но, что при наложении ограничения^ - 46 условный оптимум функ-
ции у3 = 75, прн этому] = 75.
В завершение отметим, что средн многочисленных методов опти-
мизации представленный метод отличается наглядностью и хорошо
воспринимается аудиторией.
11.7. Планирование экстремальных экспериментов
Планирование экстремальных экспериментов — это использова-
ние методов теории эксперимента в целях оптимизации, т.е. отыска-
ние таких значений параметров (воздействующих факторов), при
которых целевая функция (функция отклика) достигает экстремума
(максимума нли минимума). Здесь будут рассмотрены: метод Гаус-
са—Зейделя, метод градиента, метод «крутого восхождения» и сим-
плексного планирования [26].
Метод Гаусса—Зейделя. Прн оптимизации по методу Гаусса—
Зейделя последовательное продвижение к экстремуму осуществля-
ется путем поочередного варьирования каждым параметром до дос-
тижения частного экстремума выходной величины.
Другими словами, изображающая точка X перемещается попере-
менно вдоль каждой из координатных осей Xt (i = 1,2, ..., л) фактор-
ного пространства, причем переход к новой (/ + 1)-й координате
совершается по достижении частного экстремума целевой функции
}(✓¥) на предыдущем направлении, т.е. в точке Xh\
8х,
(11.36)
374
Достигнув частного экстремума по последней координате Х„,
переходят снова к варьированию первой и т.д.
Таким образом, характерной особенностью метода является необ-
ходимость продолжительной стабилизации всех факторов (парамет-
ров процесса), кроме одного, по которому происходит движение.
Направление движения вдоль (/ + 1)-й координатной оси выбира-
ется по результатам двух пробных экспериментов [измерений
отклика у(^1) и Я^М в окрестностях базовой точки Xh, т.е. точки
частного экстремума по предыдущей i-й переменной.
Прн практическом использовании метода Гаусса—Зейделя для
оптимизации двухфакторного процесса рекомендуется следующая
последовательность операций:
1. Определяется начальная точка Xi движения к оптимуму. В
реальных условиях она обычно отвечает принятому техно логиче-
скому режиму.
2. Задается шаг варьирования ДА^ по каждой независимой пере-
менной Xf (i = 1,2).
3. Определяется направление движения вдоль оси Х\.
С этой целью из начальной (базовой) точки Х|(й* = 1) вариацией
параметра на ДА^ н -ДА^ выполняются два пробных шага в точки
Хп = (Аг1 + ДА',, АГ2);
Х21 = (АГ, ~ДАГрАГ2),
где производится однократное измерение откликаЯ^), g = 1.2.
4. Осуществляется сравнение значений отклика в пробных точ-
ках, н результаты его выражаются с помощью функции у:
V = sign[y(A^I1)-v(Ar2i)]-
5. Осуществляется 1 цикл рабочего движения (с тем же шагом
^АГ|) в направлении возрастания уровня выхода у( X).
Последовательные точки этого движения, очевидно, будут
Х2 = (%! + уДАГрАГз);
Хз = (АГ, +\у2ЛХ},Х2);
375
Xh = (Xl + у(Л-1)A%i>X2).
6 После каждого рабочего шага производится измерение значе-
ния отклика
у( Xi\y( Xi), ...,у( Xh).
7. I цикл шагового движения прекращается по достижении в неко-
—>
торой точке Xi(h* = l) частного экстремума целевой функции по
соответствующей переменной
*0 = 0
Критерием останова служит выполнение неравенства
>7+ 1 <Уь
8. Точка является исходной для следующего цикла рабочего
движения (вдоль оси Х2) н одновременно базовой для новых пробных
экспериментов в точках Xgt(g= 1,2):
Xi. = %,Х2 +Д^2);
Х2. = (Xt,X2- ДХ2).
9. Дальнейшая процедура, связанная с выбором направления и
организацией И цикла шагового движения к оптимуму, целиком ана-
логична описанной выше.
Изображающая точка X в факторном пространстве занимает прн
этом последовательно положения:
Xf+I = (XpXj* уД%2);
Х1 + 2 = (Х^Х2 + у2ЬХ2У
Xh = (ХуХ2 +y(h-\)&X2)
или
Xh = (Х},х2 +v(h-h*)&X2).
376
10. По окончании II цикла рабочего движения переходят к III
(вновь по осн Х|) и т.д. Поиск прекращается в некоторой точке Хт,
любое движение из которой приводит к уменьшению значения выход-
ного параметра. С точностью до максимального шага варьирования
(ДЛ^щах это и будет точка экстремума целевой функции
Метод градиента. При оптимизации процесса градиентным мето-
дом рабочее движение совершается в направлении наиболее быст-
рого возрастания выходного параметра, т.е. в направлении градиента
целевой функции у( X). Причем, как и в методе случайного поиска,
направление движения корректируется после каждого рабочего шага,
—>
те. каждый раз заново вычисляется значение вектора grad v( X) по
результатам специально спланированных пробных экспериментов.
Поскольку координатами вектора
Б v J \дхг дх2 dxj
служат, как известно, коэффициенты при линейных членах разложе-
ния функции т(Л) в ряд Тейлора по степеням xl(i= 1,2 ..., л), то соот-
ветствующие компоненты вектора градиента мотут быть получены
как коэффициенты Лр 62, Ьп линейной аппроксимации поверхно-
—>
сти отклика вблизи исходной точки X .
у( X} - bQ +b^X} + b2X2+ . +bnXn. (11.37)
Для определения оценок линейных коэффициентов Ь}, Ь2, ...» Ьп
можно воспользоваться любым из известных способов эксперимен-
тального получения математической модели (11.37) объекта. Напри-
мер, можно реализовать для этой цели полный факторный экспери-
мент с центром в точке X .
Более простым, хотя и менее точным, является способ определе-
ния каждого из коэффициентов bt по результатам двух пробных дви-
женин из точки Xh в точки Xgfl (g = 1,2):
Х1Л - (Xhv Xh2, X^ + pr, ...» Xhn);
377
Тогда соответствующий коэффициент найдется по формуле
Процедура оптимизации методом градиента может быть выпол-
нена по следующей схеме:
1. Задается шаг варьирования рг единый для всех независимых
переменных
ЛА' = рг = const, i = 1,2, л.
2. Задается параметр рабочего шага аг.
3. В начальной точке АЗ реализуется пробный эксперимент для
определения направления первого рабочего шага, вектора grady(X|).
4. По результатам пробного эксперимента с помощью формулы
(11.38) вычисляется вектор
grad Я Xi) = (Лн, h|2..........hln).
5. Совершается рабочий шаг в направлении grad у( АЗ )
Хг = АЗ + <7rgrad X Х\).
6. В точке Х2 описанная выше процедура полностью повторяется.
Очевидно,
—> —> —>
Xh + 1 = Xh + argrad у( Xh).
7. Поиск прекращается, когда модуль градиента у становится
малой вечичнной
Igrad ХЛЭ^О,
т.е. все коэффициенты = 1,2, л) в (11.37) получаются незначи-
мыми.
Характер движения к оптимуму при использовании метода гради-
ента иллюстрирует рис. 11.6.
Метод «крутого восхождения», или метод Бокса—Уилсона, объ-
единяет существенные элементы изложенных выше метода Гаусса—
Зейделя, метода градиента с методом ПФЭ (или ДФЭ).
Так, прн использовании алгоритма «крутого восхождения» шаго-
вое движение из точки Xh совершается в направпенни наискореи-
378
Рис. 11.6. Метод градиента
шего возрастания уровня выхода, т.е. no grady( Ал), однако в отли-
чие от метода градиента корректировка направления производится не
посзе каждого следующего шага, а по достижении в некоторой точке
Xh на данном направлении частного экстремума целевой функции
(рис. 11.7, а, б) аналогично методу Гаусса—Зейделя.
Важной особенностью процедуры Бокса—Уилсона является
также регулярное проведение статистического анализа промежуточ-
ных результатов на пути к оптимуму.
Практически поиск точки экстремума по методу «крутого восхож-
дения» выполняется в следующей последовательности:
1. С центром в исходной точке А,1 проводится полный фактор-
ный эксперимент для определения grad у( Ал). Результаты экспери-
мента подвергаются статистическому анализу, который включает:
а) проверку воспроизводимости эксперимента;
б) проверку значимости оценок коэффициентов линейной модели
объекта;
в) проверку адекватности полученной линейной модели
у(Х) =Ь0 + Ь{Х} + ... + £>„ Хп (11.39)
исследуемому объекту (Хп — стандартизированные безразмерные
переменные).
379
Рис. 11.7. Метод «крутого восхождению
2. Вычисляются произведения где ДЛ^ — шаг варьирования
параметра^ прн проведении ПФЭ, и фактор, для которого это произ-
ведение максимально, принимается за базовый, т.е.
тахС^ДЛ,- = ЬСТДХСТ).
3. Для базового фактора выбирают шаг варьирования при «крутом
восхождении» в, оставляя старый шаг илн вводя более мелкий
380
4 Определяются размеры Ху по остальным переменным про-
цесса Xf(f * i). Поскольку при движении по градиенту варьируемые
параметры должны изменяться пропорционально коэффициентам
наклона Ь? = [компонентам вектора grad у(^Э ]•то соответствую-
щие "kf находятся по формуле
bf ДХ,
где в н ЛЛу- всегда положительны, а коэффициент /у берется со
своим знаком.
5. Производятся так называемые «мысленные опыты», которые
заключаются в вычислении «предсказанных» значений выхода
у|1рЛ( Xh) в определенных точках Xh факторного пространства (см.
рис. 11.7, а).
Для этого независимые переменные линейной модели объекта
(11.39) изменяются с учетом (11.40) таким образом, чтобы изобра-
—>
жающая точка X совершала шаговое движение в направлении век-
—>
тора grady( Xi), полученного в n. 1, занимая последовательно поло-
жения
Xi, Х2, Xh, Хт.
Очевидно, f-n координата Л-й точки будет
Тогда
п \
= bQ + h£bf тр Л= 1, 2, т. (11.41)
/-1 /
Вычисления по (11 41) можно упростить, заменив (11.41) выраже-
нием
ЛрЛ = ЛЛф1 ~(h~ ‘)Ьо- й=1,2....,т,
изи еще более удобным рекуррентным соотношением
inpA =inp*- 1 +6’пр|-М-Л=1-2-
381
6. «Мысленные опыты» продолжаются до тех пор, пока выполня-
ется неравенство
>np*S(l (И -42)
где — максимально возможный выход, определяемый нз физиче-
ских соображений.
Если условие (11.42) нарушается при к < 3, то шаг Хкв следует
уменьшить — и, наоборот, когда к слишком велико, величину шага
надо увеличить.
Таким образом, «мысленные опыты» помогают подобрать подхо-
дящую величину шага в.
7. Некоторые из «мысленных опытов» (обычно через каждые два-
три «мысленных шага») реализуются на объекте для проверки соот-
ветствия аппроксимации объекта гиперплоскостью (11.39). Наблю-
денные значения >эксп сравниваются с предсказанными >пр (см.
рис. 11.7, б).
—>
8. Точка X , где в реальном опыте получено максимальное значе-
ние выхода, принимается за новую начальную точку, и цикл «крутого
восхождения», описанный выше, повторяется.
9. Поскольку каждый цикл «крутого восхождения» приближает
—>
изображающую точку к области экстремума у( ЛЭ, где крутизна
поверхности отклика ниже, то для каждого последующего цикла в
выбирается равным нлн меньшим предыдущего.
10. Поиск прекращается, когда все коэффициенты (i = 1,2,..., л)
линейной модели объекта получаются незначимыми Это свидетель-
ствует о выходе в область экстремума целевой функции.
Симплексный метод оптимизации. Во всех рассмотренных
выше шаговых методах оптимизации различают пробные движения,
предназначенные для выяснения направления и скорости движения,
и рабочие, осуществляющие продвижение к экстремуму.
Основной особенностью симплексного метода поиска является
совмещение процессов изучения поверхности отклика и перемеще-
ния по ней. Это достигается тем, что эксперименты ставятся только в
точках факторного пространства, соответствующих вершинам сим-
плексов.
Напомним, что л-мерный симплекс — это выпуклая фигура, обра-
зованная (л + 1) точками (вершинами), не принадлежащими одновре-
менно ни одному (л - 1)-мерному подпространству л-мерного про-
странства) {Л^}. Очевидно, число вершин симплекса на 1 превосхо-
382
дит размерность факторного пространства. Так, на плоскости
симплексом является треугольник, в трехмерном пространстве —
тетраэдр и т.д.
Симплекс называется регуляторным, если все расстояния между
его вершинами равны. В основе использования симплекса для целей
оптимизации лежит следующее его важное свойство: из любого сим-
плекса можно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся
грань, получить новый симплекс, добавив всего одну точку
Путем последовательного отбрасывания вершин можно осущест-
вить перемещение симплекса в факторном пространстве, причем это
перемещение будет происходить с каждым экспериментом.
Если произвести эксперименты в вершинах симплекса, то очевид-
но, что направление максимального подъема поверхности отклика,
определенное иа основании сделанных замеров, будет проходить из
центра симплекса через грань, противолежащую вершине с мини-
мальным значением выходау(Х).
Поэтому для продвижения к экстремуму естественно перейти от
исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более
высокого значения отклика, путем отбрасывания вершины с мини-
мальным выходом у(Х) и построения регулярного симплекса с новой
вершиной, являющейся в силу симметрии зеркальным отображением
отброшенной. Затем процесс отбрасывания вершины с минимальным
откликом и построения нового симплекса повторяется, в результате
чего формируется цепочка симплексов, перемещающихся в фактор-
ном пространстве к точке экстремума.
Движение симплекса по поверхности отклика для двухфакторной
задачи иллюстрирует рис. 11.8.
Процедура последовательного симплексного планирования зада-
ется следующим алгоритмом:
1. Из априорных сведений о
процессе задается шаг варьирова-
ния ЛЛ^ (/ = 1,2,..., п) по каждому
фактору Х(.
2. Задается размер симплекса
р, т.е. расстояние между двумя
вершинами в единицах варьирова-
ния соответствующих перемен-
ных; р — величина безразмерная.
3. Производится ориентация
первоначального симплекса. Для
„о
этого одна из вершин С] помеща-
Рнс. 11.8. Симплексный метод
383
ется в исходную точку Х\. Положение остальных вершин началь-
ного симплекса определяется с помощью векторов:
С? = Xi + р(рДХр ?ДХ2, •••» <?ДХЛ);
- Xi + р(^ДХр рДХ2, qbXn)\
о
Ч+1= Х„ + р(?ДХр?ДХ2, ...,рдхл),
где
р = —^т(л - 1 + Ул + 1); q = —^-(Ул + 1 - 1).
л 72 л 72
Например, для двухфакторной задачи координаты вершин
Ср С2, Су начального симплекса при р = 1 и ДА^ = ДА”2 будут (см.
табл. 11.15).
Положение начального симплекса в факторном пространстве для
этого случая дано на рис. 11.9.
4. Реализуется эксперимент в вершинах симплекса, т.е. при значе-
ниях варьируемых параметров Xz, соответствующих координатам
вершин Ср С2, ...» С^. р Наблюденные значения выхода в соответст-
вующих точках будем обозначать ylf9 где / — номер симплекса, а г —
номер вершины /-го симплекса.
5. Точка Ср в которой наблюдается минимальный отклик, т.е.
выполняется условие
J/y = minyp
отбрасывается и находится вершина Cz +1 у следующего симплекса —
зеркальное отображение Q у относительно оставшейся грани.
Таблица 11 15
Координаты вершин начать йог о chmimckcb
С X
х2
1 -*н *!2
э Ац +рДА'| А и + Я&Х1
3 Ан + ^ДА'] Х12 + рДАэ
384
Рис. 11.9. Положение начального симплекса
Координаты А}(/ = 1,2,л) точки Ctj обозначим А} уг Тогда для
С/+ ] /-имеем
2
Лн 1.// ~ h* + ^-2,i + ’ +^/,/-1,» + +^/.л*
/ = 1,2, .... л.
Замечание 1. Если в результате эксперимента в двух вершинах сим-
плекса окажется одинаковое минимальное значение выхода, т.е.
ю решение о дальнейшем движении симплекса принимается случайным
образом (например, бросанием монеты).
6. Производится эксперимент в вершине С/ + j у нового сим-
плекса Cz+ । j; С/+ ] 2; G-ид; С/+ j п+ 1’ и его результаты у/+ j у
сопоставляются со значениями выхода в остальных вершинах. Затем
повторяется процедура отбрасывания вершины с минимальным
выходом.
Замечание 2. Если значение выхода + । у во вновь определенной вер-
шине снова окажется минимальным, то происходит возврат к исходному сим-
плексу и отбрасывание вершины со следующим по порядку минимальности
значением выхода
7. Критерием выхода в район оптимума служит прекращение
поступательного движения симплекса. Он начинает вращение вокруг
одной из вершин (т.е. одна и та же точка встречается более чем
в (л + 1)-м последовательном симплексе). Подобная ситуация может
возникнуть в двух случаях:
а) более высокий отклик в указанной точке получился в резуль-
тате влияния ошибок эксперимента. В этом случае повторный экспе-
385
римент проясняет картину и поиск точки экстремума продолжается
в прежней последовательности;
б) если повторный эксперимент в сомнительной точке вновь даст
самое высокое значение отклика, то, очевидно, данная вершина нахо-
дится в непосредственной близости от точки экстремума и поиск пре-
кращается.
11.8. Планирование эксперимента в условиях ограниченного
объема выборки. Физические и математические модели
Отсутствие информации часто не дает возможности аргументиро-
ванно подойти к вопросу выбора центральной точки и интервалов
варьирования, что, в свою очередь, приводит к необходимости поль-
зоваться планами второго порядка. Это значительно повышает стои-
мость и громоздкость эксперимента в целом, а в некоторых условиях
делает его вообще невозможным. Прямая реализация планов не
только второго, но и первого порядка в условиях малого объема
выборки весьма затруднительна (заметим, что каждый опыт — это
электрическая машина, поставленная на испытания) [16].
Метод решения поставленных задач в условиях ограниченного
объема эксперимента включает следующие моменты
1. Уровни по фактору «время» перед проведением эксперимента
не фиксируются. Нижнне, нулевые и верхние уровни определяются
только для факторов форсировки.
2. Реализуется матрица ПФЭ. Первым фактором является вектор
t — «время» Наличие фактора «время» в первой столбце позволяет
при к факторах, включая время, ставить ПФЭ типа 2* Один и тот
же агрегат используется как на нижнем, так и на верхнем уровне фак-
тора «время», что в 2 раза снижает число опытов.
3. Каждый из опытов доводится до отказа исследуемого узла или
машины.
4. Значение параметра оптимизации (критерия работоспособно-
сти) замеряется не в отдельных точках — вершинах исследуемого
гиперкуба, а непрерывно, если это возможно, или дискретно через
незначительные временные интервала (24,48 ч).
Данный порядок реализации матрицы планирования обладает сле-
дующими основными свойствами, которые позволяют решить
поставленную задачу:
• количество опытов сокращается вдвое;
• существует гарантия, что все опыты будут реализованы;
386
• отсутствие фиксации уровней и интервалов варьирования по
времени позволит в случае первоначальной неадекватности матема-
тической модели перейти к нелинейному преобразованию координат
Е 01
путем замены независимых переменных на новые типы = xt или
= 1плр т.е. к логарифмической или экспоненциальной шкале времени;
• если преобразование координат не дает желаемого эффекта, то
существует возможность разбить весь интервал на подынтервалы и
добиться адекватности модели;
• матрицу планирования необходимо рандомизировать согласно
методам теории эксперимента (рандомизация — случайная очеред-
ность опытов);
• реализованная матрица ПФЭ для к факторов, необходимая для
вычисления коэффициентов ускорения, является одновременно мат-
рицей планирования ПФЭ для (к - 1) факторов (фактор «время»
трансформируется в функцию отклика) по определению функцио-
нальных зависимостей времени наработки на отказ.
В табл. 11.16 дана полная матрица ПФЭ для четырех факторов,
один из которых — время, а в табл. 11.17 — матрица для определения
времени наработки на отказ. Следует еше раз отметить, что обе мат-
рицы взаимопроникающие и реализуются на одних и тех же машинах
(агрегатах).
В завершение данного параграфа проведем сравнение физических
и математических моделей. Однако, так как данная глава посвящена
эксперименту в широком понимании этого процесса, заменим тер-
мины «физические и математические модели» более широко исполь-
зуемыми иа практике и являющимися базовыми терминами «натур-
ные и модельные эксперименты».
Главным является то, что натурный эксперимент проводится на
реальных объектах, электрических машинах и их узлах, электромеха-
нических системах и т.п. Модельный эксперимент осуществляется
в основном на базе классических математических моделей, неполи-
номиальных, с помощью вычислительной техники. Отметим основ-
ные достоинства и недостатки первого и второго методов исспедова-
ния на надежность.
Основные недостатки натурного эксперимента — это значитель-
ные экономические затраты и длительность реализации во времени.
Например, испытания на надежность 15—20 электрических машин
средней мощности (до 100 кВт) требуют работы заводского цеха
в течение нескольких лет (иногда до 10 лет). Приведем только один,
387
но весьма показательный пример. Единственное в истории техники
испытание турбогенератора на надежность, проведенное в СССР
около 25 лет назад, по стоимости было эквивалентно строительству
электростанции по мощности значительно большей, чем мощность
турбогенератора, так как огромные затраты пошли на создание иссзе-
довательского комплекса и собственно испытания турбогенератора
на надежность.
Тем не менее, натурный эксперимент весьма распространен при
исследовании технических изделий, в том числе и электрических
машин и систем, на надежность. Отметим основные преимущества
натурного эксперимента.
Таблица 11.16
Матрица пэанироваиия в условиях ограниченного объема эксперимента
для определения коэффициента ускорения
Номер агрегата Номер опыта х2 х4 У
1 1 - - - - У1
2 + - - - >’2
2 3 - + - - Уз
4 + + - - Ул
3 5 - - + - Уз
6 + - + - Уь
4 7 - + + - У1
8 + + + - Ув
5 9 - - - + У9
10 + - - + Ую
6 11 - + - + Уи
12 + + - -В- У12
7 13 - - + + Ув
14 -г - + -г У|4
8 15 - т + У15
16 4- -+- + + У16
9 17 0 0 0 0 У17
10 18 0 0 0 0 У18
388
Таблица 11.17
Maipuna п 1амированмя в условиях ограниченного объема эксперимента
Номер агрегата Номер опыта х2 хз х4 Время отказа
1 1 - - '1
2 2 - -
3 3 - + - 'з
4 4 + + - *4
5 5 - - 4-
6 6 т - + ‘ь
7 7 - + + h
8 8 + + + Z8
9 9 0 0 0 Z9
10 10 0 0 0 Z10
1. Определение коэффициента ускорения в целях последующего
проведения ускоренных форсированных испытаний может быть осу-
ществлено только при натурном эксперименте, причем наиболее
эффективно — на математической основе теории планирования экс-
перимента. Коэффициенты ускорения, полученные каким-либо иным
путем, например с помощью экстраполяционных функций, зачастую
далеки от реальности.
2. Эффективность испытаний на реальных объектах становится
все более очевидной по мере их усложнения, увеличения числа неуч-
тенных или трудно учитываемых воздействующих на объект факто-
ров. Кстати, заметим, что в принципе число факторов неограничено.
Таким образом, перед исследователем, работающим с математиче-
ской моделью, возникает весьма драматическая перспектива: все
более и более усложнять модельный эксперимент, не имея оконча-
1ельной уверенности в положительном исходе. Натурный экспери-
мент в большинстве случаев лишен этого недостатка.
3. Натурный эксперимент позволяет строго корректно провести
статистическую обработку данных испытаний: оценку адекватности
описания объекта или процесса, а также проверку значимости коэф-
фициентов в условиях использования методов планирования экспе-
римента. Суть в том, что при натурном эксперименте определяется
389
реальная дисперсия опыта, без которой осуществление вышеназван-
ных статистических процедур невозможно.
4. При испытаниях на надежность таких объектов, как микрома-
шины, машины малой мощности, электромеханические системы на
их базе, электронная и п ус ко регулирующая аппаратура малой мощ-
ности, фактор экономических затрат не является опредеэяющим.
Перейдем к модельному эксперименту. Очевидно, что его основ-
ные преимущества — это значительно меньшие экономические и вре-
менные затраты, а также возможность глубокого и плавного регули-
рования уровней воздействующих факторов. Рассмотрим основные
недостатки модельного эксперимента.
1. Математическая модель всегда является в какой-то степени
приближенной к физическим процессам, происходящим в объекте
Для многих процессов и объектов вообще не существует математиче-
ских моделей надежности.
2. Отсутствие реальной дисперсии или вообще отсутствие всякой
дисперсии опыта, что весьма затрудняет статистическую обработку
материала.
3. Математические модели надежности иногда весьма сложны и
не поддаются обработке на ЭВМ.
Дадим некоторые рекомендации по преодолению недостатка, ука-
занного в п. 2, т.е. оценку адекватности модели (статистическая обра-
ботка материала) при модельном эксперименте.
1. Предварительно назначается максимальная погрешность и
сравниваются реальные данные испытаний и предсказанные по поли-
номиальным зависимостям.
2. Сравнение коэффициента полинома bG с опытом в центре пла-
на. Суть в том, что гиперповерхность «стягивается» к вершинам
гиперкуба, а максимальное расхождение реальной и предсказанной
гиперповерхностей — в центре плана. Таким образом, если различие
результатов эксперимента в центре плана и коэффициента полинома
Ьо устраивает исследователя, то эксперимент можно считать
успешным
3 Симбиоз натурного и модельного экспериментов, что иногда
является единственно возможным решением. Пример: расчет элек-
тродинамических усилий и напряжений в лобовых частях машин
переменного тока средней и большой мощности с целью дальнейшего
определения надежности. Здесь целесообразно использовать матема-
тические модели электромагнитных процессов и натурный экспери-
390
меит по определению прочностных характеристик армированной
конструкции (лобовые части).
Итак, выбор метода исследования неоднозначен и зависит от типа
объекта, материальных и временных ресурсов и, что, вероятно, глав-
ное, квалификации исследователя как в понимании физических про-
цессов, происходящих в объекте, так и его (исследователя) математи-
ческих познаниях.
Характеристика испытательного оборудования, необходимого для
реализации матриц планирования эксперимента, а также для проведе-
ния испытаний как в нормальных, так и в форсированных режимах
изложена в гл. 10.
ПРИЛОЖЕНИЯ
При ло же ние 1
< 1 Значение функции Лапласа Ф(х) - — |е а/ А 1 Х " тх 1 рамена переменных t = —]
i <М / <И/) t Ф(П
0,00 0,0000 0,95 0,8209 1,90 0.9928
0,05 0,0564 1,00 0,8427 1,95 0,9942
0,10 0,1125 1,05 0,8624 2,00 0,9953
0.15 0,1680 1,10 0,8802 2,05 0,9963
0,20 0,2227 1.15 0,8961 2,10 0.9970
0,25 0,2763 1,20 0,9103 2,15 0,9976
0,30 0,3286 1,25 0,9229 2,20 0,9981
0,35 0,3794 1,30 0,9340 2,25 0,9985
0,40 0,4284 1,35 0.9438 2,30 0,9998
0,45 0,4755 1,40 0,9523 2,35 0,9991
0,50 0,5205 1 45 0,9597 2.40 0,9993
0,55 0,5633 1,50 0,9661 2,45 0,9995
0,60 0.6039 1,55 0,9716 2,50 0,9996
0,65 0.6420 1,60 0,9736 2,55 0,9997
0,70 0,6778 1,65 0,9804 2,60 0,9998
0,75 0.7112 1,70 0,9838 2.65 0,9998
0,80 0,7421 1,75 0,9867 2,70 0.9999
0,85 0,7707 1.80 0,9891 2,75 0,9999
0,90 0,7669 1,85 0,9911 2,80 0,9999
0,95 0,8209 1,90 0,9928 3,0 1,0000
392
При ло же ние 2
Центрированная и нормированная функция вида
, г
(х тх)
Х
1 Г 2ох / х-т
Ф(г) =--- е dx (замена переменных г =----
^0
г Ф(*) 2 Ф(г) 2 Ф(2) 2 Ф(*)
0.00 0,0000 0,46 0,1772 0,92 0,3212 1,38 0,4162
0,02 0.0800 0,48 0,1844 0,94 0,3064 1,40 0,4192
0.04 0,0160 0,50 0,1915 0,96 0,3315 1.42 0.4222
0,06 0.0239 0,52 0.1965 0,98 0.3365 1,44 0.4251
0,08 0,0319 0.54 0,2054 1,00 0.3413 1,46 0,4279
0,10 0,0398 0,56 0,2123 1,02 0,3461 1,48 0,4306
0,12 0,0478 0,58 0,2190 1,04 0,3508 1,50 0,4332
0,14 0,0557 0,60 0,2257 1,06 0,3554 1,60 0.4452
0,16 0.0636 0,62 0.2324 1,08 0,3599 1,70 0,4554
0.18 0,0714 0,64 0.2389 1,10 0,3643 1,80 0,4641
0,20 0,0793 0,66 0,2457 1,12 0,3686 1,90 0.4713
0,22 0,0871 0,68 0,2517 1.14 0,3729 2,00 0,4772
0,24 0,0948 0,70 0,2580 1,16 0.3770 2,10 0,4821
0,26 0,1026 0,72 0,2642 1,18 0,3810 2.20 0,4861
0,28 0,1103 0,74 0,2703 1,20 0,3849 2,50 0.4938
0,30 0,1179 0,76 0,2774 1,22 0,3888 3,0 0,4986
0,32 0.1225 0,78 0,2823 1.24 0,3925 3,50 0,4997
0,34 0,1331 0,80 0,2881 1,26 0.3962 4,00 0,4999968
0,36 0,1406 0,82 2,2939 1,28 0,3997 4,50 0,4999997
0,38 0.1480 0.84 0,2995 1.30 0.4034 5.00 0,49999997
0,40 0.1554 0.86 0,3051 1,32 0,4066
0.42 0,1628 0,88 0,3106 1,34 0,4099
0,44 0,1700 0,90 0,3159 1,36 0,4131
393
При ло же ние 3
Таблица случайных чисел
28 39 65 87 08 13 50 63 04 23 25 47 57 91 13
30 29 43 65 24 78 66 28 55 80 47 46 41 90 08
95 74 62 60 53 51 57 32 22 27 12 72 72 27 77
01 85 54 96 72 66 86 65 64 60 55 59 75 36 75
10 91 46 96 86 19 83 52 47 53 65 00 51 93 51
05 33 18 08 51 51 78 57 26 17 34 87 96 23 95
04 43 13 37 00 79 68 96 26 60 70 39 83 66 56
05 85 40 25 24 73 52 93 70 50 48 21 47 74 63
84 90 90 65 77 63 99 25 69 02 09 04 03 35 78
28 55 53 09 48 86 28 30 02 35 71 30 32 06 47
89 83 40 69 80 97 96 47 59 97 56 33 24 87 36
73 20 96 05 68 93 41 69 96 07 97 50 81 79 59
10 89 07 76 21 40 24 74 36 42 40 33 04 46 24
91 50 27 78 37 06 06 16 25 98 17 78 80 36 85
03 45 44 66 88 97 81 26 03 89 39 46 67 21 17
89 41 58 91 63 00 81 06 28 48 12 08 05 75 26
13 43 00 97 26 05 06 42 24 07 60 60 29 29 93
71 71 00 51 72 12 68 46 55 89 60 09 71 87 89
19 28 15 00 41 07 79 26 69 61 67 85 72 37 41
56 38 30 92 30 52 16 16 23 56 62 95 80 97 63
30 27 52 89 11 16 01 92 58 21 48 79 74 73 72
73 13 28 58 01 89 84 05 34 47 88 09 31 54 88
81 60 84 51 57 51 99 98 44 39 12 75 10 60 36
05 62 98 07 85 08 12 60 39 23 61 73 84 89 18
62 97 16 29 18 69 99 47 26 52 48 06 30 00 18
394
При ло же ние 4
Квантиль распределения Стыодента
г ₽
0.9 0,95 0,99
1 6.31 12,71 63,7
2 2,92 4,30 9,92
3 2,35 3,18 5.84
4 2,13 2,77 4.60
5 2,02 2,57 4,03
6 1,943 2.45 3,71
7 1,895 2,36 3,50
8 1,860 2,31 3,36
9 1,833 2,26 3,25
10 1,812 2,23 3,17
11 1,796 2.20 3,11
12 1,782 2,18 3,06
13 1,771 2,16 3,01
14 1,761 2,14 2,98
15 1,753 2,13 2,95
16 1,746 2,12 2,92
17 1,740 2,11 2,90
18 1,734 2,10 2,88
19 1,729 2,09 2,86
20 1,725 2,09 2,84
395
При ло же ние 5
Критерий Фишера при р = 0,95
*2 Число степенен свободы г.
1 2 3 4 6 24
1 164,4 199,5 215,7 224,6 234,0 249,0
2 18,5 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4
3 10,1 9,6 9,3 9,1 8,9 8.6
4 7,7 6,9 6,6 6,4 6,2 5,8
5 6.6 5,8 5,4 5Д 5,0 4,5
6 6.0 5,1 4,8 4,5 4,3 3,8
7 5.5 4,7 4,4 4,1 3,9 3,4
8 5,3 4,5 4,1 3,8 3.6 3,1
9 5,1 4,3 3,9 3,7 3,4 2,9
10 5,0 4,1 3,7 3,6 зд 2,7
11 4,8 4,0 3,6 3,4 3,1 2,6
12 4,8 3,9 3,5 3,3 3,0 2,5
13 4,7 3,8 3,4 3,2 2.9 2,4
14 4,6 3,7 3,3 3,1 2,9 2,3
15 4.5 3,7 3,3 3,1 2,8 2.3
16 4,5 3,6 3,2 3,0 2,7 2,2
17 4,5 3,6 3,2 3,0 2,7 2,2
18 4,4 3,6 3,2 2,9 2,6 2,1
19 4,4 3,5 3,1 2,9 2,6 2,1
20 4,4 3,5 3,1 2,9 2.6 2,1
396
Приложение 6
2
Критерии Пирсона (х )
Число степеней свободы Доверительная вероятность, Q
0.05 0.9 0.95 0,99
1 0,0039 2,71 3,8 6,6
2 0,103 4,61 6,0 9,2
3 0,352 6,25 7,8 11,3
4 0,711 7,78 9,5 13,3
5 1,15 9,24 П.1 15,1
6 1,64 10,6 12,6 16,8
7 2,17 12,0 14,1 18,5
8 2,73 13,4 15,4 20,1
9 3,33 14.7 16.9 21,7
10 3,94 16,0 18,3 23,2
11 4,57 17,3 19,7 24,7
12 5,23 18,5 21,0 26,2
13 5,82 19,8 22,4 27,7
14 6,57 21,1 23,7 29,1
15 7,26 22,3 25,0 30,6
16 7,96 23,5 26,3 32,0
17 8,67 24,8 27,6 33,4
18 9,39 26,0 28,9 34,8
19 10,1 27,2 30,0 36,2
20 10,9 28,4 31,4 37,6
397
При до же ние 7
Таблица вариантов расчета
надежности изоляции всыпных обмоток
Номер п/п 'р~ "ма dr 4l Провод марки ПЭТВ
S *3 Z 'ж "< К п ZoCp AiCH Е,
1 5 000 30 1,20 1,28 0,147 36 0,70 36 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
2 5 000 30 1,20 1,28 0,147 36 0,75 36 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
3 5 000 30 1,20 1,28 0,147 36 0,80 36 530 6 1 42.12 60 1,527 1,99
4 5000 30 1,20 1,28 0,147 36 0,85 36 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
5 5 000 30 1,20 1,28 0,138 36 0,70 24 530 6 1 42,12 60 1.527 1,99
6 5 000 25 1,20 1,28 0,138 36 0,70 48 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
7 5000 25 1,20 1,28 0,138 36 0,75 48 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
8 5000 25 1,20 1,28 0,138 36 0,75 24 530 6 1 42,12 60 1.527 1,99
9 5 000 25 1,20 1,28 0,156 36 0,80 24 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
10 5 000 25 1,20 1,28 0,156 36 0,85 24 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
11 5 000 35 1,20 1,28 0,156 36 0,80 48 530 6 I 42,12 60 1,527 1,99
12 5 000 35 1,20 1,28 0,156 36 0,85 48 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
13 5000 35 1,20 1,28 0,135 36 0,70 32 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
14 5 000 35 1,20 1,28 0,135 36 0,75 32 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
15 5000 35 1,20 1,28 0,135 36 0,80 32 530 6 1 42,12 60 1,527 1.99
16 5000 35 1,20 1,28 0,135 36 0,85 32 530 6 1 42,12 60 1,527 1,99
398
При ло же ние 8
Значения интеграла вероятности F(u)
и 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
-2,0 0,0183 0,0188 0,0192 0,0197 0,0202 0,0207 0,0212 0,0217 0,0222 0,0228
-1,9 0,0233 0,0239 0,0244 0,0250 0,0256 0,0262 0.0268 0,0274 0,0281 0,0287
-1,8 0,0294 0,0301 0,0307 0,0314 0,0322 0,0329 0,0366 0,0344 0,0351 0.0359
1,7 0,0367 0,0375 0,0384 0,0392 0,0401 0,0409 0,0418 0.0427 0,0436 0,0446
1,6 0,0455 0,0465 0,0475 0,0485 0,0495 0,0505 0,0516 0,0526 0,0537 0,0548
-1.5 0,0559 0,0571 0,0582 0,0594 0,0606 0,0618 0,0630 0,0643 0,0655 0,0668
-1,4 0,0681 0,0694 0,0708 0,0721 0,0735 0,0749 0,0764 0,0778 0,0793 0,0808
-1.3 0,0823 0,0838 0,0853 0,0869 0,0885 0,0901 0,0918 0,0934 0,0951 0,0968
-1.2 0,0985 0,1003 0,1020 0,1038 0,1057 0,1075 0,1093 0,1112 0,1131 0,1151
-1,1 0.1170 0,1190 0,1210 0,1230 0,1251 0,1271 0,1292 0.1314 0,1335 0,1357
-1,0 0,1379 0,1401 0,1422 0,1446 0,1469 0,1492 0,1515 0,1539 0,1562 0,1587
-0.9 0,1611 0,1635 0,1660 0,1685 0,1711 0,1736 0,1762 0,1788 0,1814 0,1841
-0,8 0,1867 0,1894 0,1920 0,1949 0,1977 0,2005 0,2030 0,2061 0,2090 0,2119
-0,7 0,2148 0,2177 0,2207 0,2236 0,2266 0.2297 0,2327 0.2358 0,2389 0,2420
-0,6 0,2451 0,2483 0,2514 0.2546 0,2578 0,2611 0,2643 0,2676 0,2709 0,2743
-0,5 0,2776 0,2810 0,2843 0,2877 0,2912 0,2946 0,2981 0,3015 0,3050 0,3085
-0.4 0.3121 0,3156 0,3192 0,3228 0,3264 0,3300 0,3336 0,3372 0,3409 0,3446
0,3 0,3483 0,3520 0,3557 0,3594 0,3632 0,3669 0,3707 0,3745 0.3783 0,3821
-0,2 0,3859 0,3897 0,3936 0,3974 0,4013 0,4052 0,4090 0.4129 0,4168 0.4207
-0,1 0,4247 0.4286 0,4225 0.4364 0,4404 0.4443 0,4483 0,4522 0.4562 0,4602
0.0 0,4641 0,4681 0,4721 0.4761 0,4801 0,4840 0,4880 0,4920 0,4960 0,5090
399
При ло же ние 9
Результаты замеров изолированного провода (столбцы 2,3,4)
и изоляции на пробой (столбцы 5, 6, 7, 8)
1 • - 1 мм, = 1,08 мм
HCMJ MJ
Номер разряда i Величина разряда «4 Значение разряда Частота ni Значение разряда Чап. кВ Значение разряда Ц, кВ Значение разряда Чт«.кВ Частота ni
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,00—1,01 1,00 1 0,0—0,4 0 0,3 19
2 1,01—1,02 1,01 3 0,4 -0,8 0,4 0,7 17
3 1,02—1,03 1,02 4 0.8—1,2 0,8 1,16 15
4 1,03- 1,04 1,03 5 1,2—1,6 1.2 1,68 12
5 1,04—1,05 1,04 7 1,6- -2,0 1,6 2,27 12
6 1,05 1,06 1,05 11 2,0—2,4 2,0 2,83 9
7 1,06—1,07 1,06 12 00 I сч 2,4 3,5 8
8 1,07—1,08 1,07 13 2,8—3,2 2,8 4,03 5
9 1,08—1.09 1,08 12 3,2—3.6 3.2 4,34 3
10 1,09—1,10 1,09 11 3,6—4,0 3.6
11 1,10—1,11 1,10 9
12 1,11-1,12 1,11 5
13 1,12—1,13 1,12 4
14 1,13-1,14 1,13 2
15 1,14—1,15 1,14 1
16 1,15—1,16 1,15 0
1,07 100 169,04 100
400
2. 1,06 мм, d= 1J4 мм
НСИЭ nJ
Номер разряда i Величина разряда </я Значение разряда dn> Частота nt Значение разряда <4п.*в Значение разря ля Значение разряда Ц mu' кВ Частота п,
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,06—1.076 1,060 2 0,0—0,4 0 0,28 17
2 1,076—1,092 1,076 4 0,4 0,8 0.4 0,68 16
3 1,092—1,108 1,092 7 0,8—1,2 0,8 и 15
4 1.108—1,124 1,108 18 1,2 1,6 1,2 1,62 13
5 1,124—1.140 1,124 22 1,6—2,0 1,6 2,23 11
6 1,140—1,156 1,140 22 2,0—2,4 2,0 2,77 10
7 1,156—1,172 1,156 17 ао гч гч 2,4 3,36 8
8 1,172—1,188 1,172 6 2,8—3,2 2,8 3,76 6
9 1,188 1.204 1,188 2 3,2—3,6 зд 4,29 4
10 1,204—1,220 1,204 0 3,6—4,0 3,6
1.1288 100 172,03 100
3. d,._H = 1,12 мм, d ,= 1,20 мм
IlCrIJ М3
Номер разряда / Величина разряда dn Значение разряда d„t Частота ni Значеине разряда Значение разряда Ц, кВ Значение разряда Частота ni
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,12—1,14 1,12 5 0,0 -0,4 0 0,29 17
2 1,14—1,16 1,14 8 0,4—0,8 0,4 0,8 17
3 1.16—1.18 1,16 15 0,8 - 1,2 0.8 1,272 15
4 1.18—1,20 1,18 24 1,2—1,6 1,2 1,724 13
5 1,20-1,22 1,20 24 1.6—2,0 1,6 2,23 11
6 1,22—1,24 1,22 14 2,0—2,4 2,0 2,837 10
7 1,24 1,26 1,24 6 2,4—2,8 2,4 3,456 9
8 1,26—1,28 1,26 4 2,8—3,2 2,8 3,76 8
1 188 100 174,106 100
401
4- =1,18 мм, = 1,26 мм
HCMJ MJ
Номер разряда i Величина разряда d* Значение разряда Частота Значение разряда Цпр*В Значение разряда 1/^кВ Значение разряда Частота ",
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,18—1,20 1,18 5 0,0—0.4 0 0,28 18
2 1,20 1,22 1,20 8 0,4—0,8 0.4 0,644 16
3 1,22—1.24 1,22 15 0,8—1,2 0,8 1,146 14
4 1,24 1,26 1,24 24 1,2—1,6 1,2 1,849 12
5 1,26—1,28 1,26 24 1,6—2,0 1.6 2,293 И
6 1,28— 1,30 1,28 14 2,0—2,4 2,0 2,669 10
7 1,30-1,32 1,30 6 2,4—2,8 2,4 3,155 10
8 1,32—1,34 1,32 4 2,8—3,2 2,8 3,7 9
1,248 100 170,339 100
5. du-u. = 1,25 мм. du- - 1,33 мм
HLHJ ИЛ
Номер разряда / Величина разряда d„ Значение разряда </и. Частота ni Значение разряда Чш.*в Значение разряда Ц,кВ Значение разряда Ц™х>кВ Частота ni
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,21 1,27 1,25 5 0,0-0,4 0 0,318 21
2 1,27—1,29 1,27 9 0,4—0,8 0,4 0,87 16
3 1,29—1.31 1,29 15 0,8—1,2 0.8 1.423 14
4 1,31—1,33 1,31 25 1.2—1,6 1.2 1,95 13
5 1,33—1,35 1,33 23 1,6—2,0 1.6 2.41 11
6 1,35-1,37 1,35 14 2,0—2,4 2.0 2,762 9
7 1,37- 1,39 1,37 6 2,4- 2,8 2,4 3,213 9
8 1,39—1,41 1,39 4 2,8—3,2 2,8 3,791 7
1.3166 100 172,692 100
402
6. ^нсиз = Ь32 мм, dm = 1,405 мм
Номер разряда Величина разряди dn Значение разряда dn Частота nt Значение разряда Чхп-кВ Значение разряда Ц,кВ Значение разряда Частота ni
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,320—1,337 1,320 1 0,0—0,4 0 0,32 17
2 1,337—1,354 1,337 4 0,4—0,8 0,4 0,7 15
3 1,354—1,371 1,354 9 0,8—1,2 0,8 1 14
4 1,371—1,388 1,371 19 1,2—1,6 1.2 1,431 12
5 1,388—1,405 1,388 23 1,6—2,0 1,6 1.921 11
6 1,405—1,422 1,405 22 2,0—2,4 2.0 2,448 9
7 1,422—1,439 1,422 16 2,4—2,8 2,4 3,022 8
8 1,439—1,456 1,439 5 2,8—3,2 2,8 3,521 7
9 1,456- 1,473 1.456 1 3,2—3,6 3,2 4,24 7
10 1,473-1,490 1,473 0 3,6 4,0 3,6
1,3916 100 168,778 100
7. <£„.„»= 1,4 мм, </= 1,485 мм
tll.nl ' л п>
Номер разряда i Величина разряда dH Значение разряда dH Частота п1 Значение разряда Значение разряда Ц,кВ Знаменне разряда Ц„их.«В Частота nt
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1.40 1,417 1,40 0 0,0 -0,4 0 0,28 18
э 1,417—1.434 1,417 1 0.4—0,8 0,4 0,7 15
3 1,434—1,451 1,434 2 0,8—1,2 0,8 1,08 12
4 1.451—1,468 1,451 11 1,2—1,6 1,2 1,52 11
5 1,468-1,485 1.468 20 1,6—2,0 1,6 2 9
6 1,485-1,502 1,485 24 2,0-2,4 2,0 2,55 8
7 1.502—1,519 1,502 23 2,4- 2,8 2,4 3,213 8
8 1.519—1,536 1,519 11 2,8—3,2 2,8 3,77 7
9 1.536 1,553 1,536 6 3,2 3,6 3,2 4,24 6
10 1,553—1,57 1,553 2 3,6—4,0 3,6 4,57 6
— 1.498 100 189,284 100
403
8. t/,ieii3 = 1,5 мм, </из = 1,585 мм
Номер разряда i Величина разряда dH Значение разряда d* Частота W, Значение разряда 1/дрКВ Значение разряда Ц,кВ Значение разряда Цц» кВ Частота nt
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,50—1,517 1,50 0 0,0—0,4 0 0.36 17
2 1,517—1,534 1,517 1 0,4—0,8 0,4 0.78 14
3 1.534—1,551 1,534 2 0,8— U 0,8 1,15 13
4 1,551—1,568 1,551 3 1,2—1,6 1,2 1,67 13
5 1,568—1.585 1,568 12 1,6—2,0 1,6 2.13 11
6 1,585—1,602 1,585 23 2,0—2,4 2,0 2,77 10
7 1,602—1,619 1,602 22 2,4—2,8 2,4 3,4 9
8 1.619 1,636 1,619 18 2,8—3,2 2,8 4,04 7
9 1,636—1,653 1,636 15 3.2—3,6 3.2 4,38 6
10 1,653—1,67 1,653 4 3,6—4,0 3,6
1,6007 100 189.99 100
9. </||СИЗ = мм, dH3 = 1,685 мм
Номер разряда I Величина разряда d„ Значение разряда dn Частота ni Зиачеине разряда О'дп- кВ Значение разряда U,, кВ Значение разряда Чпих.кВ Частота ni
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,60—1,617 1.60 0 0,0 -0.4 0 0,33 16
2 1,617—1,634 1.617 1 0,4—0,8 0,4 0,765 15
3 1,634—1,651 1,634 2 0,8—1,2 0,8 1,2 13
4 1,651 — 1,668 1,651 3 1.2—1.6 1.2 1,67 12
5 1,668—1,685 1,668 11 1.6—2,0 1,6 2,1 11
6 1.685—1,702 1,685 23 2.0—2,4 2,0 2,68 10
7 1,702—1,719 1.702 21 2,4—2,8 2,4 3,35 9
8 1,719—1,736 1,719 19 2,8—3.2 2,8 3,95 7
9 1,736—1,753 1.736 16 3,2—3.6 3,2 4.34 7
10 1,753—1,77 1,753 4 3,6—4,0 3,6
1,701 100 190,475 100
404
10. ^неиз= ММ, dm = 1,785 мм
Номер разряда 1 Величина разряда dn Значение разряда d* Частота ", Значение разряда Значение разряди Значение разряда Частота nt
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,70—1,717 1,70 0 0,0—0,4 0 0,27 16
2 1,717—1,734 1,717 1 0,4—0,8 0,4 0,765 14
3 1,734—1,751 1,734 2 0.8—1,2 0.8 U 14
4 1,751—1,768 1,751 3 1,2—1,6 1,2 1,67 13
5 1,768—1,785 1,768 10 г о 1,6 2,26 11
6 1,785 1,802 1,785 23 2.0—2.4 2.0 2,89 10
7 1,802—1,819 1,802 20 00 1 ™ ц еч 2,4 3,4 9
8 1,819—1,836 1,819 19 2.8 -3,2 2,8 3,91 7
9 1,836—1,853 1,836 17 3,2—3,6 3,2 4,3 6
10 1,853—1,87 1,853 5 3.6- 4,0 3,6
1,803 100 191,07
11. ~ 1,8 мм, d = 1,895 мм
НСМ1 ' HJ
Номер разряда / Величина разряда dn Значение разряда d„_ Частота л, Значение разряда <4п.кВ 3каченне разряда Ц, кВ Знаменне разряда Ц шах* кВ Частота ni
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,80—1,819 1,80 0 0,0—0,4 0 0,29 18
2 1,819—1,838 1,819 1 0.4—0,8 0,4 0,81 15
3 1,838—1,857 1,838 2 0.8—1,2 0,8 1,38 13
4 1,857—1,876 1,857 3 1,2—1,6 1,2 1.81 12
5 1,876—1,895 1,876 11 1,6—2,0 1,6 2,26 10
6 1,895—1,914 1,895 23 2,0—2,4 2,0 2.78 9
7 1,914—1,933 1,914 21 i ос 2,4 3,28 8
8 1,933—1,952 1,933 19 2,8—3.2 2,8 3,85 8
9 1.952—1,971 1,952 16 3,2- 3,6 3,2 4,265 7
10 1,971—1,99 1,971 4 3,6—4,0 3,6
__ 1,913 100 191,545
405
406
При ло же ние 10
Значения интеграла В
Значения ин те! рала В для следующих oUs
и. 0,220 0,225 0,230 0,235 0.240 0,245 0,250 0,255 0 260 0,265 0,270
Для Uc = 0,1625; =0,0450
0,40 5,640—3 5,996 -3 6,353 -3 6,712—3 7,070-3 7,427 3 7,784 -3 8,139-3 8,492—3 8,843 -3 9,191—3
0,45 3,592—3 3,880 3 4,174 -3 4,472—3 4,774-3 5,080 3 5,388—3 5,698 -3 6,002 3 6,322 3 6,635—3
0,50 2,192—3 2,410—3 2,637-3 2,870—3 3,111—3 3,357—3 3,608—3 3,865-3 4,125 3 4,390 -3 4,657—3
0,55 1,280 3 1,436 -3 1,601 -3 1,774-3 1,954-3 2,142 3 2,337—3 2,539--3 2,746 3 2,959-3 3,177—3
0,60 7,159—4 8,207-4 9,337—4 1,055—3 1.183—3 1,320-3 1,463—3 1,614—3 1,771—3 1,935—3 2,105—3
0,65 3,828- 4 4,494 4 5,228—4 6,031--4 6,902—4 7,842-4 8,851-4 9,928- 4 1,107 -3 1,228—3 1,355—3
0,70 1,957—4 2,357—4 2,809-4 3,315—4 3,877 -4 4,495—4 5,171—4 5,906—4 6,700 4 7,552- 4 8,463—4
0,75 9,562-5 1,184-4 1,448 4 1,752-4 2,096 4 2,484 4 2,917-4 3,397—4 3,926 -4 4,503—4 5,131 4
0,80 4,463 5 5,693—5 7,161—5 8,890—5 1,091-4 1,323—4 1,588-4 1,889—4 2,226-4 2,602—4 3,018—4
0,85 1,990 5 2,620—5 3,394—5 4,334—5 5,459-5 6,790 -5 8,346—5 1,015—4 1,221—4 1,456—4 1,721—4
0,90 8,470—6 1,153—5 1,542 -5 2,029—5 2,628 -5 3,357—5 4,231—5 5,268—5 6.484—5 7,897—5 9,523 -5
0,95 3,442—6 4,857—6 6,717 6 9,119—6 1,217-5 1,598—5 2,069 -5 2,641—5 3,329 -5 4,147 -5 5,108- 5
LOO 1,335 6 1,956 6 2,803 6 3,934 6 5,418—6 7,330—6 9,756 -6 1,279—5 1,653-5 2,108 -5 2,656—5
1,05 4,943 -7 7,535—7 1,121 -6 1,629—6 2,319—6 3,237—6 4,437—6 5,980—6 7,936- -6 1,038—5 1,339—6
1,10 1,746—7 2,775—7 4,292- -7 6,473—7 9,539-7 1,376—6 1,945—6 2,700—6 3,683—6 4,945—6 6,540 -6
1,15 5,886 -8 9,770—8 1,574—7 2,468-7 3,772—7 5,630—7 8,222—7 1,177—6 1,653-6 2,281 -6 3,096—6
1,20 1,892 -8 3,288 -8 5,530- 8 9,026—8 1,433 -7 2,217—7 3.350 7 4,951—7 7,167—7 1,018 6 1,420-6
1,25 5,805—9 1,058—8 1,860- 8 3,167—8 5,232—8 8,405—8 1,316—7 2,010—7 3,004-7 4,396 -7 6,310—7
1,30 1.698—9 3,251- -9 5,992—9 1,066 -8 1,835—8 3,066-8 4,979- 8 7,879 -8 1,217 7 1,837- 7 2,717—7
1,35 4,73—10 9,55-10 1,848 -9 3,441—9 6,186-9 1,076—8 1,816—8 2,980 -8 4,763-8 7,430—8 1,133-7
1,40 1,26—10 2,68 10 5,45—10 1,056-9 2,003 -9 3,634—9 6,383- 9 1,088 -8 1,802- 8 2,907 -8 4,576 -8
Для Uc = 0,2167; =0,0600
407
0,40 7,030—3 7,405—3 7,779- 3 8,152 3 8,552—3 8,891-3 9,257—3 9,620—3 9,979—3 1,034 -2 1,069—2
0,45 4,612—3 4,928—3 5,246 3 5,568—3 5,892—3 6,217—3 6,554—3 6,870—3 7,197—3 7,524—3 7,849—3
0,50 2,905—3 3,154—3 3,409—3 3,670—3 3,936 -3 4,207—3 4,481—3 4,760—3 5,041 -3 5,325—3 5,610—3
0,55 1,756—3 1,940—3 2,132- 3 2,332- 3 2,539 3 2,752-3 2,972—3 3,197-3 3,427—3 3,662—3 3,901—3
0,60 1,018-3 1,147—3 1,284—3 1,428-3 1,581—3 1,741—3 1,907—3 2,081—3 2,261 3 2,446—3 2,637—3
0,65 5,653—4 6,505 4 7,431—4 3,428 -4 9,497—4 1,064—3 1,184 -3 1,312—3 1,446—3 1,587—3 1,733—3
0,70 3,008—4 3,543-4 4,136 4 4,788—4 5,502 4 6,276-4 7,112-4 8,010-4 8,969-4 9,988 -4 1,107—3
0,75 1,533—4 1,851 4 2,212-4 2,619 -4 3,073-4 3,576—^4 4,129- 4 4,734 -4 5,391 4 6,101 -4 6,864—4
0,80 7,482-5 9,278—5 1,137—4 1,378—4 1,654—4 1,966-4 2,317-4 2,707-4 3,140—4 3,615-4 1,134—4
Окончание табл.
408
Значения интеграла В для следующих oUz
иг 0,220 0,225 0,230 0,235 0,240 0,245 0,250 0,255 0,260 0,265 0,270
0,85 3,495 -5 4,459-5 5,613—5 6,979-5 8,579-5 1,043—4 1,256—4 1,498—4 1,771-4 2,077-4 2,418—4
0,90 1,562- 5 2,054 5 2,661 -5 3,400-5 4,287—5 5,340—5 6,578-5 8.019 -5 9,679-5 1,158 4 1,372—4
0,95 6,683—6 9,074-6 1,211—5 1,592—5 2,063—5 2,637—5 3,328—5 4,151—5 5,121—5 6,253—5 7,562—5
1,00 2,734—6 3,841—6 5,294 6 7,173—6 9,562—6 1,256—5 1,626-5 2,078—5 2,623—5 3,276-5 4,043—5
1,05 1,070- 6 1,558 6 2,221 -6 3,106-6 4,267—6 5,766—6 7,670—6 1,006—5 1,301—5 1,661—5 2,097—5
1,10 4,006—7 6,053—7 8,941—7 1,293—6 1,834 -6 2,553 -6 3,494- 6 4,706—6 6,244- -6 8,171—6 1,055—5
1,15 1,434 7 2,253—7 3,454—7 5,174—7 7,584-7 1,089 -6 1,536—6 2,128—6 2,901—6 3,893—6 5,151-6
1,20 4,906-8 8,035—8 1,280 7 1,990 7 3,019—7 4.482—7 6,519—7 9,303—7 1,304- 6 1,797-6 2,439—6
1,25 1,605 8 2,744 8 4,554 8 7,352—8 1,157- 7 1,777—7 2,671 -7 3,930 -7 5.672- 7 8,038 -7 1,120 6
1,30 5,020—9 8,975—9 1,554—8 2,611—8 4,266—8 6,793—8 1,056-7 1,604—7 2,387—7 4,482-7 4,987-7
1,35 1,501-9 2,811—9 5,085—9 8,907—9 1,514 -8 2,502-8 4,028—8 6,329 8 9,720 -8 1,461—7 2,154 7
1,40 4,28—10 8,43—10 1,596—9 2,920—9 5,169—9 8,879—9 1,483—8 2,412 -8 3,829- 8 5,939—8 9,017-8
Для Uc = 0,3250; а- « 0,0900 ис
0,40 1,058-2 1,096-2 1,134-2 1,171—2 1,208—2 1,245 -2 1,281—2 1,316—2 1,351—2 1,386—2 1,420—2
0,45 7,379 3 7,728 -3 8,076 3 8,423 3 8,770 -3 9,115 3 9,457—3 9,798—3 1,014—2 1,047—2 1,080-2
0,50 4,966 3 5,264 3 5,564 3 5,867 3 6,172—3 6,479-3 6,787 3 7,096 3 7,405-3 7,713 -3 8,022—3
0 55 3,224 3 3,462 3 3,707-3 3,957-3 4,211 3 4,469 3 4,731 3 4,997 3 5,265 3 5,535- 3 5,808 3
0,60 2,017-3 2,198 3 2,387 3 2,582 3 2,783-3 2,990—3 3,203—3 3,420-3 3,642- 3 3,868 3 4,098 3
0,65 1,216 3 1,347 3 1,485 3 1,630-3 1,782—3 1,940—3 2,104—3 2,275—3 2,451-3 2,632-3 2,818—3
0,70 7,061—4 7,959-4 8,922-4 9,950—4 1,104—3 1,220 -3 1,342—3 1,469-3 1,603 -3 1,743 -3 1,888-3
0,75 3,948- 4 4,535 4 5,176 -4 5,872 -4 6,624 -4 7,432-4 8,297-4 9,217-4 1,019-3 1,123—3 1,231—3
0,80 2,125 4 2,491—4 2,898 4 3,349 4 3,845—4 7,387—4 4,276 -4 5,613-4 6,299 4 7,035 -4 7,819- 4
0,85 1,101 4 1,319 4 1,566 4 1,846 4 2,159-4 2,508-4 2,894 -4 3,318 -4 3,782 4 4,287 4 4,833—4
0,90 5,489—5 6,726- 5 8,166—5 9,827—5 1,173—4 1,388-4 1,6314 1,903 -4 2,206- 4 2,540—4 2,908 4
0,95 2,632-5 3,305—5 4,107—5 5,054 -5 6,159 5 7,441 - 5 8,913 5 1,059—4 1.249- 4 1,463 -4 1,702 4
1,00 1,214—5 1,565 -5 1,993—5 2,510-5 3,128 5 3,861—5 4,720—5 5.720-5 6,873—5 8,194-5 9,696- 5
1,05 5,385- 6 7,132 6 9,322 6 1,204 5 1,536—5 1,939—5 2,422- 5 2,996-5 3,671 5 4,460 5 5,373—5
1,10 2,297 6 3,130 6 4,205 6 5,573 6 7,290 -6 9,423—6 1,204 5 1,522 5 1,904 5 2,359 5 2,896 5
1,15 9,416—7 1,323 6 1,829- 6 2,491 6 3,344—6 4,431—6 5,798-6 7,497 6 9,584 6 1,212 5 1,518-5
1,20 3,711—7 5,380 -7 7,665-7 1,074—6 1,483—6 2,016—6 2,705—6 3,581 -6 4,683- 6 6,053—6 7,739—6
1,25 1,405 -7 2,106 7 3,097 7 4,473—7 6,351—7 8,877—7 1,222—6 1,659- 6 2,221—6 2,937 -6 3,836-6
1,30 5,113 8 7,933 -8 1,206—7 1,797 -7 2,629—7 3,780-7 5,347—7 7,448—7 1,022- 6 1,384 6 1,849 6
1,35 1,787-8 2,875—8 4,522 -8 6,963 8 1,051—7 1,557—7 2,265—7 3,242-7 4.566—7 6,335—7 8,667—7
1,40 6,000—9 1,001 8 1,634 -8 2,604—8 4,059 -8 6,202—8 9,294—8 1,368—7 1,979- 7 2,817—7 3,949—7
Примечание. Пример пользования таблицей приложения: С/с = 0,1625 кВ. о£/с = 0,0450; U, = 1.1 кВ; стС/г 0,230; В =4,292—7; В = 4,292 10"7
409
При ло же ние 11
Подшипники качения
Условное обозначение подшипника d, мм D, мм В, мм г, мм С.Н Со.Н п, об/мнн
Шарикоподшипники радиальные однорядные
Легкая серия
200 10 30 9 1,0 4 600 2 610 20 000
201 12 32 10 1,0 4 700 2 650 20 000
202 15 35 11 1,0 5 850 3 470 16 000
203 17 40 12 1,0 7 400 4 400 16 000
204 20 47 14 1,5 9 800 6 200 12 500
205 25 52 15 1,5 10 800 6 950 10 000
206 30 62 16 1.5 15000 10 000 10 000
207 35 72 17 2,0 19 700 13 600 8 000
208 40 80 18 2,0 25 100 17 800 6 300
209 45 85 19 2,0 25 200 17 800 6 300
210 50 90 20 2,0 27 000 19 800 6 300
211 55 100 21 2.5 33 400 25 100 5000
212 60 но 22 2,5 40 400 30 900 5000
213 65 120 23 2,5 44 000 34 000 5000
214 70 125 24 2,5 48 000 37 400 4 000
215 75 130 25 2,5 51 000 41 000 4000
216 80 140 26 3,0 56 000 44 500 4 000
217 85 150 28 3,0 64 000 53 100 4 000
218 90 160 30 3,0 74 000 60 500 3 150
219 95 170 32 3,5 84 000 69 500 3 150
220 100 180 34 3,5 94 000 79 000 3 150
Средняя серия
300 10 35 11 1.0 6 250 3 750 20 000
301 12 37 12 1.5 7 500 4 640 16000
302 15 42 13 1.5 8 750 5 400 16000
303 17 47 14 1,5 10 700 6 670 12 500
410
Продолжение табл
Условное ооозначепие 1ШНПННК8 d, мм D, мм В, мм г, мм с.н Со.Н л, об/мин
304 20 52 15 2,0 12 250 7 780 12 500
305 25 62 17 2,0 17 250 11 400 10 000
306 30 72 19 2,0 21 600 14 800 8 000
307 35 80 21 2,5 25 700 17 550 8 000
308 40 90 23 2,5 31 300 22 200 6 300
309 45 100 25 2,5 37 000 26 200 6 300
310 50 НО 27 3,0 47 500 35 600 5000
311 55 120 29 3,0 55 000 41 800 5 000
312 60 130 31 3,5 63 000 48 400 4 000
313 65 140 33 3,5 71 300 55 600 4 000
314 70 150 35 3,5 80 200 63 200 4 000
315 75 160 37 3.5 87 500 71 500 3 150
316 80 170 39 3,5 94 600 80 200 3 150
317 85 180 41 4,0 102 000 89 400 3 150
318 90 190 43 4,0 110 000 99 000 3 150
319 95 200 45 4,0 117 600 109 000 2 500
320 100 215 47 4,0 134 000 130 000 2 500
321 105 225 49 4.0 141 000 142 000 2 500
322 ПО 240 50 4.0 150 000 167 000 2 500
324 120 260 55 4,0 167 000 180 000 2 000
326 130 280 58 5,0 176 500 194 000 1 600
Роликоподшипники радиальные с короткими цилин |рнческими ротиками
Легкая узкая серия
2202 15 35 11 1,0 5 520 3 020 16 000
2204 20 47 14 1,5 11 700 7 250 12 500
2205 25 52 15 1,5 13 200 8 450 10 000
2206 30 62 16 1,5 17 000 11 200 10 000
2207 35 72 17 2,0 25 000 17 200 8 000
2208 40 80 18 2,0 ЗЗООО 23 500 8000
2209 45 85 19 2,0 34 300 25 200 6 300
2210 — - - 50 90 20 2,0 38 000 28 600 6 300
411
Продолжение табл
Условное обозначение подшипника d, мм D, мм В, мм г, мм С.Н Q.H я. об/мин
2211 55 100 21 2,5 43 000 32 300 6 300
2212 60 НО 22 2.5 53 700 42 000 5000
2213 65 120 23 2.5 61 000 47 600 5000
2214 70 125 24 2,5 67 500 47 700 4 000
2215 75 130 25 2,5 76 500 60 000 4 000
2217 85 150 28 3,0 97 000 80 900 3 150
2218 90 160 30 з.о 119 000 99 000 3 150
2220 100 180 34 3,5 132 500 109 000 2 500
Средняя узкая серия
2305 25 62 17 2.0 22 000 14 500 8 000
2306 30 72 19 2,0 29 600 20 200 8 000
2307 35 80 21 2,5 33 400 22 800 6 300
2308 40 90 23 2.5 40 200 28 000 6 300
2309 45 100 25 2,5 55 500 40 000 6 300
2310 50 ПО 27 3,0 64 000 46 500 5000
2311 55 120 29 3,0 82 500 61 500 5 000
2312 60 130 31 3,5 98 000 75 800 4 000
2313 65 140 33 3,5 103 000 78 800 4 000
2314 70 160 35 3,5 121 000 95 500 4 000
2315 75 160 37 3,5 139 000 110 000 3 150
2316 80 170 39 3,5 147 000 118 500 3 150
2317 85 180 41 4,0 175 000 143 000 3 150
2318 90 190 43 4,0 190 000 157 000 2 500
2319 95 200 45 4,0 206 000 171 500 2 500
2320 100 225 47 4,0 238 000 197 000 2 500
2322 НО 240 50 4,0 301 000 257 000 2 000
2324 120 260 55 4,0 380 000 332 000 2 000
2326 130 280 58 5,0 424 000 374 000 2 000
2328 140 300 62 5,0 469 000 419 000 1 600
2332 160 340 68 5,0 541 000 497 000 I 600
2336 180 380 75 5,0 764 000 724 000 1 250
412
Окончание ma&i
Условное обозначение юлшинника d. мм D. мм В, мм г, мм С.Н Cq.H п. об/мин
2340 200 420 80 6.0 860 000 818 000 1 250
Средняя широкая серия
2605 25 62 24 2,0 36 700 27 800 8 000
2606 30 72 27 2,0 40 900 30 600 8 000
2607 35 80 32 2,5 45 800 34 200 6 300
2608 40 90 33 2.5 59 900 46 600 6 300
2609 45 100 36 2,5 77 700 61 500 6 300
2610 50 по 39 2,5 102 000 85 500 5 000
2611 55 120 43 з.о 113000 92 500 5 000
2612 60 130 46 3,5 137 500 116 000 4 000
2613 65 140 48 3,5 149 000 126 500 4 000
2615 75 160 55 3,5 208 000 183 000 3 150
2616 80 170 58 3,5 220 000 198 000 3 150
2617 85 180 60 4,0 254 000 230 000 3 150
2618 90 190 64 4,0 265 000 240 000 2 500
2620 100 215 73 4,0 356 000 336 000 2 500
2622 по 240 80 4,0 464 000 450 000 2 000
2624 120 260 86 4,0 548 000 532 000 2 000
2626 130 280 93 5,0 650 000 650 000 2000
2630 150 320 108 5.0 753 000 757 000 1 600
2634 170 360 120 5,0 1 040 000 1 080 000 1 250
Приложение 12.А
Определительные испытания.
Универсальная таблица (Q = 0,8)
d тп
1 2 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200
0 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
.200 .447 .725 .851 .923 .946 .961 .968 .974 .977 .980 982 .984 .992
1 .894 .956 .980 .989 .992 .994 .995 .996 .997 .997 .997 .998 .999
.105 .510 .729 .857 .903 .927 .941 .951 .958 .963 .967 .970 985
2 .831 .917 .958 .972 .980 .983 .986 .988 .990 .991 .992 .996
.327 .619 .798 .863 .896 .916 .930 .940 .947 .953 .960 .979
4 .490 .760 .883 .922 .942 .954 .961 .967 .971 .974 .977 .988
.043 .419 .687 .786 .838 .869 .890 .906 .917 .926 .934 .967
6 .581 .799 .867 .901 .921 .934 .944 .951 .956 .961 .980
.239 .582 .713 .782 .824 .853 .873 .889 .901 .911 .955
8 .381 .709 .809 .858 .887 .906 .919 .930 .937 944 .972
.083 .481 .642 .728 .780 .816 .841 .861 .876 .888 .943
10 .594 .757 .813 .851 .877 .894 .908 .918 .926 .963
.356 .586 .675 .737 .779 .810 .833 .851 .866 .932
13 .469 .656 .745 .797 .832 .856 .874 .888 899 .950
.245 .473 .597 .674 .726 .764 .793 .815 .833 .916
16 .313 .560 .674 .742 .786 .817 .840 .859 .873 .837
.117 .756 .521 .612 .674 .719 .753 .780 .801 .899
20 426 .578 .685 .723 .764 .794 .817 .836 .918
.251 .422 .551 .605 .659 .700 .733 .759 .878
25 .251 .454 .569 .643 .696 .735 .765 .789 895
.105 .402 .431 .521 .586 .656 675 .706 .851
414
При ло же ние 12.Б
Определительные испытания.
Универсальная таблица (Q = (1.9)
т
а 1 2 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200
0 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1 1. 1. 1. 1. 1. 1 1.
.01 .316 .631 .794 .891 .926 .944 .955 .962 .967 .972 .975 .977 .989
1 .949 .979 .989 .995 .996 .997 .998 .998 .998 .998 .999 .999 .999
.051 .416 .663 .819 .876 .906 .924 .937 .945 .949 .957 .961 .981
2 .888 .945 .973 .982 .987 .989 .991 .992 .993 .994 .995 .997
.247 .550 .755 .832 .872 .897 .914 .926 .930 .942 .948 .974
4 .584 .812 .910 .940 .956 .965 .970 .975 .978 .980 .982 .991
.021 .354 .639 .751 .810 .846 .871 .889 .902 913 .922 .960
6 .646 .834 .891 .919 936 .947 .954 .660 .965 .968 .984
.187 .533 .675 .751 .799 .831 .854 .872 .886 .897 .948
8 450 .750 .838 .880 .904 .921 .932 .941 .947 .953 .976
.054 .433 .603 .695 .753 794 .821 .843 .860 .873 .936
to .662 .781 .838 .872 .894 .900 .921 .930 .937 .969
.338 534 .641 .709 .755 .788 .814 .834 .850 .924
13 .518 .692 .773 .821 .851 .873 .889 .902 .912 .956
.207 434 .562 .644 .700 741 .772 .796 816 .907
16 .360 .598 .706 .767 .808 .836 .857 .873 .886 .944
.090 .338 .486 .581 .646 .694 .731 .760 .783 .889
20 .500 .612 .694 .748 .785 .813 .834 .860 .926
.248 .388 .499 .577 .634 .677 .711 .750 .867
25 .287 .489 .599 .669 .719 .756 .784 .806 .904
.083 .271 .401 .492 .560 .612 .653 .686 .840
415
Приложение 13.А
Определительные испытания.
Экспоненциальный закон (С = 0,8)
d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16
к. 4,484 2,425 1,954 1,741 1,618 1,527 1,473 1,434 1,4 1,371 1,328 1,297 1,271
0,621 0,666 0,701 0,725 0,744 0,758 0,771 0,78! 0,790 0,798 0,812 0.822 0,83
d 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
Кв 1,252 1,236 1,206 1,184 1,168 1,154 1,145 1,134 1,121 1,111 1,103 1,097 1,089
0,838 0,846 0,858 0,869 0,878 0.884 0,890 0,895 0,902 0,908 0,914 0,918 0,922
При ло же ние 13.Б
Определительные испытания.
Экспоненциальный закон (Q = 0,9)
d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16
К, 4,478 3,758 2,722 2,291 2,055 1,903 1,787 1,718 1,656 1,607 1,532 1,478 1,436
0.433 0.514 0.563 0,598 0.624 0,646 0,664 0,678 0,691 0,703 0.722 0,737 0.751
d 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
к. 1,403 1,376 1,326 1,291 1,264 1,244 1,227 1,214 1.197 1,180 1,167 1,154 1,146
0,761 0,771 0,791 0,806 0,817 0,828 0,836 0,843 0.858 0.866 0,874 0,881 0,886
416
Приложение 14.А
Определительные испытания. Нормальный закон (Q = 0,8)
р т
К 2 4 6 8 10 15 20 25 30
о,1 1,097 1.048 1,037 1,032 1,027 1,022 1,019 1,017 1,015
0,901 0,951 0,963 0,968 0,972 0,977 0,981 0,983 0,984
о,2 К, 1,194 1,097 1,075 1,063 1,055 1,045 1,038 1,034 1,031
К- 0,805 0,902 0,925 0,936 0,944 0,955 0,961 0,965 0,969
0,3 к. 1,292 1,147 1,113 1,095 1,083 1,067 1,057 1,051 1,046
0.708 0,853 0,887 0,905 0,916 0,933 0,942 0,948 0,953
0,4 К, 1,389 1,195 1,150 1,127 1,111 1,089 1,077 1.068 1,062
0,611 0,804 0,849 0,873 0,888 0,910 0,923 0,931 0,937
0,5 к. 1,484 1,245 1.188 1,158 1,139 1,112 1,096 1,085 1,078
0,513 0,756 0,812 0,842 0,860 0,888 0.904 0,914 0.922
417
При ло же ние 14.Б
Определительные испытания. Нормальный закон (0 = 0,9)
р т
К 2 4 6 8 10 15 20 25 30
0,1 к. 1,217 1,081 1,060 1,050 1,044 1,035 1,028 1,026 1,024
0,782 0,918 0,939 0,950 0,956 0,965 0,971 0,974 0,976
0,2 к. 1,435 1,163 1,205 1,100 1,087 1,069 1,057 1,053 1,048
0,564 0,836 0,879 0,900 0,912 0,930 0,942 0,947 0,952
0,3 к. 1,652 1,246 1,181 1,150 1.131 1,108 1,086 1,079 1,072
0,343 0,754 0,819 0,850 0,869 0,892 0,913 0,921 0,928
0,4 к. 1,870 1,327 1,241 1,200 1,175 1,138 1,115 1,105 1,095
0.130 0.673 0.759 0.800 0.825 0,861 0.884 0.894 0,904
0,5 к. 2,088 1,409 1,301 1,250 1,218 1,174 1,147 1,132 1,119
к» 0,115 0,591 0.698 0,749 0,781 0,826 0,855 0,868 0,880
418
При ло же ние 15
Объем выборки при различных р, с, Р
для Р = 0,1
с Р
.90 89 88 .87 86 85 80 .75 .70 65 .60 .55 .50 40 30
0 22 20 18 17 15 14 10 8 6 5 5 4 3 3 2
1 38 34 31 29 27 25 18 15 12 10 9 8 7 5 4
2 52 47 43 40 37 34 25 20 16 14 12 10 9 7 6
3 65 59 54 50 46 43 32 25 21 18 15 13 12 9 8
для Р = 0,2
с Р
.98 .97 .96 .95 .94 .93 .92 .91 .90 85 .80 .75 .70 .60 .50
0 80 53 40 32 26 22 19 17 15 10 7 6 5 3 2
1 149 99 74 59 49 42 37 33 29 19 14 11 9 7 5
2 213 143 105 85 71 60 53 47 42 28 21 16 14 12 8
3 275 183 137 НО 91 78 68 60 54 36 27 21 18 13 10
для р = 0,3
Р
с .90 89 .88 .87 86 .85 80 .75 .70 65 60 .55 50 .40 30
0 12 10 9 9 8 7 5 4 3 3 2 2 2 1 1
1 24 22 20 19 17 16 12 10 8 7 6 5 5 4 3
2 36 33 80 27 25 24 18 14 12 10 9 8 7 6 5
3 47 43 39 36 34 31 23 19 15 13 11 10 9 7 6
419
При ло же ние 16.А
Допустимые значения средних уровней звука
на расстоянии 1 м от контура машины для электрических
машин класса 1 со степенью защиты IP44 в режиме
холостого хода в соответствии с ГОСТ 16372—93
Номинальная мощность, кВт — кВ А Предельные значения средних уровней звука, дБА, прн номинальной частоте вращения, об/мин
600—900 900—1 320 1 320—1 900 1 900—2 360 2 360—3 150 3 150—3 750
0.25—1,1 67(64) 70(67) 71 (69) 74(72) 75 (75) 79 (78)
и—2,2 69(65) 70 (68) 73 (71) 78 (75) 80(78) 8 2(81)
2,2—5,5 72 (68) 74(71) 77(75) 82 (78) 83 (81) 85 (84)
5.5—11 75(72) 78(75) 81(78) 86 (81) 87(84) 90 (87)
11—22 78 (75) 82 (78) 85(81) 87(83) 91 (87) 93 (90)
22—37 80 (77) 84 (81) 86 (83) 89 (85) 92(88) 95(92)
37—55 81 (79) 86 (83) 88 (86) 92 (88) 94 (90) 97 (93)
55—110 84 (82) 89 (85) 92 (88) 93 (90) 96 (92) 98(95)
110—220 87 (85) 91(87) 94 (90) 96(93) 98(95) 100(96)
220-400 88 (86) 92 (90) 96 (92) 98 (94) 99 (95) 102 (98)
400—630 89(88) 93 (92) 97 (94) 99 (95) 100(96) 103 (98)
630—1000 91 (90) 95(93) 98 (95) 100(96) 101 (97) 104 (99)
Примечание. В скобках указаны зиачсния уровней звука для машин со степенью
защиты IP23.
420
При ло же ние 16.Б
Соотношение между вибрационными скоростями
и ускорениями, выраженными в децибелах
и абсолютных единицах в соответствии с ГОСТ 12379—75
дБ Скорость, мм/с Ускорение, мм/с2 дБ Скорость, мм/с Ускорение, мм/с2
0 5,0- 10“5 з,о- ю 4 83 7,07-10"1 4,24
10 1,58- 10 4 9,49 10 4 87 1,12 6,72
20 5.0-10"4 3.0- КГ3 91 1,77 10,6
30 1,58- 10"3 9,49- 10-3 95 2,81 16,9
40 5,0-10“3 3,0- 10“2 99 4,46 26,7
50 1,58- 10"2 9,49- 10“2 103 7,07 42.4
60 5,0- 10-2 3,0- 10-1 107 11,2 62,7
70 1,58- 10”1 9,49- 10"1 ПО 15,8 94,9
75 2,81 • 10"1 1,69 120 50,0 300
79 4,46 10'1 2,67 130 158 949
421
При ло же ние 17
Значения испытательных напряжений
при испытании изоляции на электрическую прочность
1. Машины мощностью менее 1 кВт на номинальное напряжение
ниже 100 В (кроме указанных в пп. 4—6) — 500 В плюс двукратное
номинальное напряжение.
2. Машины мощностью 1 кВт и выше на номинальное напряже-
ние ниже 100 В (кроме указанных в п. 4) — 1 000 В плюс двукратное
номинальное напряжение.
3. Машины мощностью до 1 000 кВт (за исключением перечис-
ленных в пп. 1, 2, 4—7) — 1 000 В плюс двукратное номинальное
напряжение, но не менее 1 500 В,
мощностью 1 000 кВт и выше (за исключением перечисленных
в пп. 4—7) на номинальное напряжение до 3 300 В включительно —
1 000 В плюс двукратное номинальное напряжение;
свыше 3 300 до 6 600 В включительно — 2,5-кратное номинальное
напряжение;
свыше 6 600 до 17 000 В включительно — 3 000 В плюс двукрат-
ное номинальное напряжение;
свыше 17 000 В — по согласованию между изготовителем и потре-
бителем.
4. Обмотки возбуждения машин постоянного тока с независимым
возбуждением — 1 000 В плюс двукратное номинальное напряжение,
но не менее 1 500 В.
5. Обмотки возбуждения синхронных машин:
генераторов, двигателей и компенсаторов, пускаемых специаль-
ными пусковыми двигателями, — десятикратное номинальное напря-
жение возбуждения, но не менее 1 500 В и не более 3 500 В;
машин, предназначенных для непосредственного пуска с обмот-
кой возбуждения, замкнутой на сопротивление, не превышающее
десятикратное сопротивление обмотки возбуждения при постоянном
токе, или на источник своего питания, — десятикратное номинальное
напряжение возбуждения, но не менее 1 500 В и не более 3 500 В;
машин, предназначенных для пуска с обмоткой возбуждения,
замкнутой на сопротивление, значение которого равно или более
десятикратного сопротивления обмотки, или с разомкнутой обмоткой
возбуждения независимо от того, секционирована она или нет, —
1000 В плюс двукратное максимальное действующее значение напря-
жения, которое можно получить при данных пусковых условиях
между выводами обмотки возбуждения, но не менее 1 500 В.
422
6. Вторичные обмотки асинхронных двигателей, не находящиеся
непрерывно в короткозамкнутом состоянии:
для двигателей, допускающих торможение противовключением, —
1 000 В плюс четырехкратное номинальное напряжение вторичной
обмотки;
для двигателей, не предназначенных для торможения противо-
включением, — 1 000 В плюс двукратное номинальное напряжение
вторичной обмотки.
7. Возбудители для синхронных двигателей, если во время пуска
они заземлены или отключены от обмоток возбуждения. Обмотки
возбуждения возбудителей с независимым возбуждением — как для
обмоток, к которым присоединяются возбудители, 1 000 В плюс дву-
кратное номинальное напряжение, но не менее 1 500 В
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабяк А.А., Саратов В.А. Исследование повреждаемости асинхронных
двигателей // Техническая электродинамика. 1996. № 5 (Киев).
2. Белуян З.А. РД 16.485-88. Генераторы синхронные мощностью до
100 кВт включительно. Система информации по обеспечению надежности.
Порядок сбора, обработки и прохождение эксплуатационных данных. М.: Стан-
дартэлектро, 1988.
3. Боровков А.А. Математическая статистика. М.. Наука. 1984.
4. В епт цель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1984.
5. Гольдберг ОД. Испытания электрических машии: Учеб, для вузов. М.:
Высш, шк., 2000.
6. Гольдберг О.Д.. Гурин Я.С., Свири зенко И.С. Проектирование электри-
ческих машин.: Учеб, для вузов. М.: Высш, шк., 1984.
7. Гольдберг ОД. Качество и надежность асинхронных двигателей. М.:
Энергия. 1978.
8. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1988.
9. Добров В.М. Прогнозирование науки и техники. Киев: Наукова думка,
1979.
10. Ермолин Н.П., Жерихин Н.П. Надежность электрических машин. Л.:
Энергия, 1986.
11. Ивоботеико Б.А., Ильинский Н.Ф., Копылов И.П. Планирование экспе-
римента в электромеханике. М: Энергия, 1975.
12. Идиятуллии Р. Надежность тяговых электрических машин. Ташкент,
1987.
13. Кабур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. М.: Мир,
1980.
14. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин:
Учеб, для вузов. М.: Высш, шк., 1987.
15. Котелеиец Н.Ф., Акимова Н.А., Антонов М.В. Испытание, эксплуата-
ция и ремонт электрических машин: Учеб, для вузов. М.: Academa, 2003.
16. Котелеиец Н.Л., Кузнецов H.JI. Испытания и надежность электрических
машин: Учеб, пособие для вузов. М.: Высш, шк., 1988
17. Кузнецов Н.Л. Модели надежности узлов электрических машин. М.:
Издательство МЭИ. 1982.
18. Кузнецов НЛ. Сборник задач и упражнений по надежности электриче-
ских машин. М.: Издательство МЭИ, 1990.
19. Кузнецов Н.Л. Основные понятия теория надежности. Виды испытаний
на надежность. М.: Издательство МЭИ, 1981.
20. Кузнецов Н.Л. Методы экспериментальной оценки надежности электри-
ческих машин. М.: Издательство МЭИ, 1990.
21. Кузнецов Н.Л., Рыженская Б.М. Прогнозирование надежности коллек-
торного узла электрических машин /'Труды МЭИ. 1980. Вып. 152.
424
22. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экс-
периментальных исследований. М.‘ Наука, 1965.
23. Перель Л.Я. Подшипники качения. Расчет, проектирование и обслужива-
ние опор: Справочник. М.: Машиностроение, 1983.
24. Проектирование электрических машин: Учеб, для вузов / Н.П. Копылов
и др.; Под ред. И.П. Копылова М Высш, шк., 2002.
25. Решетов Д.Н., Иванов А.С., Фадеев В.З. Надежность машин: Учеб, посо-
бие для вузов. М.. Высш шк., 1988.
26. Теоретические основы планирования экстремальных исследований / Под
ред. Г.К. Круга. М.: МЭИ, 1973.
27. Тишеико Н.А. Проблема надежности электродвигателей //Электриче-
ство. 1961. № 11
28. Рвзработка методов ускоренных испытаний электрошеток погружных
двигателей постоянного тока / Б.Ф.Токарев, Н.Л. Кузнецов, В.П. Морозкин,
В.С. Волков // Труды МЭИ. 1977. Выл. 314.
29. Фролов А.Г., Кудрявцев Е.П. Конструирование опор на подшипниках
качения. М.: Издательство МЭИ, 1990.
30. Хазаи С.И. Турбогенераторы. Повреждения и ремонт. М.: Энергия, 1983.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................... 3
Глава первая. Проблема надежности электрических машин _____ 4
1.1. Проблема надежности и ее значение для современной
техники ...................................................4
1.2. Общий подход к решению задач надежности электрических
машнн и электромеханических систем.................... . 6
1.3. Обеспечение и повышение надежности электрических
машин ......................................... . . 7
1.4. Расчет экономически оптимальных значений
показателей надежности электрических машин................11
Гчава вторая. Вероятностные я статистические методы оценки
надежности...................................................13
2.1. Классификация событий. Понятие вероятности ........... 13
2.2. Вероятности сложных событий. Теоремы теории
вероятностей..................................... 15
2.3. Законы распределения и числовые характеристики
случайных величин................... .. ...... ..... .... 20
2.4. Законы распределения дискретных случайных величин . . 22
2.5. Нормальный закон распределения непрерывных
случайных величин ... ..... ..................24
2.6. Корреляция .. .................................. 27
2.7. Построение моделей надежности изоляции на основе
распределения функции одного илн двух случайных
аргументов . .............................................32
2.8. Основные понятия математической статистики ..........37
2.9. Критерий Фишера, критерий Стьюдента, критерии
согласия......................................... 40
2.10. Статистическая обработка данных и определение закона
распределения._________ ... .............42
Гчава третья Основы теории надежности технических изделий 50
3.1. Основные понятия и термины теории надежности ... .. 50
3.2. Показатели надежности............................... 53
3.3. Периоды работы технических изделий .... .61
3.4. Структурная надежность............ ......... ........ 63
3.5. Законы распределения отказов................ ...... 68
426
3.6. Распределение экстремальных значений.............. 73
3.7. Модель «слабейшего звена» ... ......... .... 75
3.8. Методика расчета надежности всыпных обмоток асин-
хронных двигателей на базе модели «слабейшего звена»... 78
3.9. Расчет надежности электромеханических систем ... 86
Глава четвертая Надежность асинхронных двигателей..........92
4.1. Статистика и анализ отказов асинхронных двигателей.92
4.2. «Кривая жизни» асинхронных двигателей
общепромышленного применения........................ .102
4.3. Надежность изоляции обмоток электрических машин . . 105
4.4. Математические модели надежности изоляции
обмоток электрических машин. ... .112
4.5. Расчет надежности обмотки статора на базе методики
при суперпозиции двух нормальных законов . . ... .122
Глава пятая. Надежность машин постоянною тока ............127
5 1 Статистика и анализ отказов машин постоянного тока . . 127
5.2. Надежность коллекторно-щеточного узла. 131
5 3. Модели надежности основных узлов машин постоянного
тока...........,..................................134
5.4. Расчет надежности коллекторно-щеточного узла.. 141
Глава шестая. Надежность синхронных машин . 145
6.1. Статистика отказов и анализ повреждаемости синхронных
машин большой мощности................................145
6.2. Примеры расчета надежности узлов синхронных машин
большой мощности . . ... ..................... 150
6.3. Надежность синхронных генераторов мощностью
до 100 кВт.......... ....155
Глава седьмая. Надежность машин малой мощности
н пускорегузирующей аппаратуры .... 164
7.1. Надежность машин малой мощности......... .164
7.2. Определение расчетных показателей надежности
пускорегулирующей аппаратуры .. .165
Глава восьмая. Надежность подшипниковых узлов электрических
машин .... . . . ........... .... .................170
8.1. Факторы, влияющие на работоспособность подшипников . 170
8.2. Вибрация подшипниковых узлов . .173
8.3. Критерии работоспособности подшипниковых узлов . .179
8.4. Расчет подшипников качения на динамическую
грузоподъемность..................................181
8.5. Основы расчета долговечности подшипниковых узлов. ... 187
8.6. Методика расчета надежности подшипниковых узлов
электрических машин...............................190
427
8.7. Надежность подшипников скольжения . 195
8.8. Расчет надежности валов по сопротивлению усталости . . 201
Глава девятая. Методы экспериментальной опенки
надежности электрических машин ..... 210
9.1. Общие положения ........ ..... 210
9.2. Статистические исследования при оценке надежности
электрических машин ......... .. .. .211
9.3. Статистическая обработка результатов исследований ..... 215
9.4. Надежность технических изделий и ее количественные
показатели. . . ................. .........222
9.5. Основные методы оценки надежности электрических
машин............................................... 225
9.6. Определительные испытания. Точность и достоверность
статистических оценок............................. .... 228
9.7. Определительные испытания. Общий план и программа . . 231
9.8. Определительные испытания на безотказность ... ....233
9.9. Определительные испытания при экспоненциальном
законе распределения вероятности безотказной работы ... 236
9.10. Определительные испытания при нормальном законе
распределения вероятности безотказной работы ...........240
9.11. Общая характеристика контрольных испытаний ........ 245
9.12. Основные положения методики контрольных испытаний
на надежность......................................... . 247
9.13. Метод последовательного анализа...... .....252
9.14. Статистическая обработка данных эксплуатации и оценка
законов распределения .. ....... 255
9.15. Ускоренные испытания на надежность ....... . ... 260
9.16. Краткая характеристика испытательного оборудования . . 263
9.17. Пример методики ускоренных испытаний
электрических машин на надежность . ..............267
Глава десятая. Диагностика технического состояния
и прогнозирование надежности электрических машин . 271
10.1. Диагностика и прогнозирование................... .271
10.2. Состав и функционирование диагностических систем .... 275
10.3. Диагностика электрических машин большой мощности. .280
10.4 Диагностика электрических машин средней мощности . . . 285
10.5. Основные методы и средства технической диагностики
электрических машин .......... . 292
10.6. Бейесовский подход при прогнозировании и диагностике .313
10.7. Групповое прогнозирование и обеспечение заданного
уровня надежности.......... ....... ... ..... ... . . 320
10.8. Индивидуальное прогнозирование....................331
428
Глава одиннадцатая. Планирование Эксперимента при решении
задач надежности электромеханических систем 338
11.1. Общие положения............................... 338
11.2. Планы активного эксперимента. Полный факторный
эксперимент, дробный факторный эксперимент...............339
11.3. Планирование второго порядка: ортогональное
и рототабельное.............................. ....... .... . 344
11.4. Отсеивающие эксперименты и изменение геометрии
ги пер пространства. .. ...... .... . ............350
11.5. Назначение функции отклика. Метод экспертных оценок. . 353
11.6. Анализ и синтез параметров. Поиск экстремума.......359
11.7. Планирование экстремальных экспериментов ..........374
11.8. Планирование эксперимента в условиях ограниченного
объема выборки. Физические и математические модели .. 386
Приложения . ... .......... ....392
Приложение 1. Значение функции Лапласа
1 г х - тх
Ф(х) = ~ |е dt (замена переменных I = ----) .... 392
К
Приложение 2. Центрированная и нормированная функция
1 . 2ох
вида Ф(з) = —— е dx (замена переменных
^0
Приложение 3. Таблица случайных чисел .. ............394
Приложение 4. Квантиль распределения Стьюдента...... .... 395
Приложение 5. Критерий Фишера при р = 0,95. . . . 396
Приложение 6. Критерий Пирсона (х2)................ - 397
Приложение 7. Таблица вариантов расчета надежности
изоляции всыпных обмоток........................ .... 398
Приложение 8. Значения интеграла вероятности F(u).......... 399
Приложение 9. Результаты замеров изолированного
провода и изоляции на пробой....... ... 400
Приложение 10. Значение интеграла В .............. . 406
Приложение 11. Подшипники качения ... ... 410
Приложение 12.А. Определительные испытания
Универсальная таблица (Q - 0,8) .414
Приложение 12.Б. Определительные испытания.
Универсальная таблица (Q = 0,9). . ... ... 415
Приложение 13.А. Определительные испытания.
Экспоненциальный закон {Q = 0,8)................ 416
429
Приложение 13.Б. Определительные испытания.
Экспоненциальный закон {Q - 0,9) . ...... 416
Призожение 14.А. Определительные испытания
Нормальный закон (Q = 0,8). . 417
Приложение 14.Б. Определительные испытания.
Нормальный закон (Q = 0,9)..................... 418
Приложение 15. Объем выборки при различных р, с. Р . . 419
Приложение 16.А. Допустимые значения средних уровней
звука на расстоянии I м от контура машины
для электрических машин класса 1 со степенью
защиты IP44 в режиме холостого хода в соответствии
с ГОСТ 16372—93 .. ...................420
Приложение 16.Б. Соотношение между вибрационными
скоростями и ускорениями, выраженными в децибелах
и абсолютных единицах в соответствии
с ГОСТ 12379—75 . ..................... 421
Приложение 17. Значения испытательных напряжений
при испытании изоляции на электрическую прочность . .. 422
Список литературы................................ 424
Учебное издание
Кузнецов Николай Леонидович
НАДЕЖНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Учебное пособие для вузов
Редактор Н.Л. Пароева
Художественный редактор А.Ю. Землеруб
Технический редактор Т.А. Дворецкова
Корректоры В. В. Сомова, Е.П. Севостьянова
Компьютерная верстка Л.И. Тыгиной
Подписано в печать с оригинала-макета 03.04.06 Формат 60*90/16
Бумага офсетная Гарнитура Таймс Печать офсетная
Усл. псч. л. 27,0 Уч.-излт. 25,4
Тираж 1000 эю. Заказ № 191т С-009
ЗАО «Издательский дом МЭИ», 111250. Москва, Красноказарменная, д. 14
Адрес в Интернет: http://www.mpci-publishers ги
Отдел реализации: тел /факс (495) 361-1681;
эл. почта: SidorovaNinI@mpci ru, nifumpci-publishers ru
Отпечатано в типографии НИИ «Геодезия», 141292, Московская обл.,
г. Красноармейск, просп. Испытателей, д. 14