УДК 517 4

Составители Исакова О В , Сайком Л Л Суворченкова I Л

Методические ука<ания и задания для самостоятельной работы но курсу «Высшая
математика» Дифференциальное исчисление функций одной переменной М Итд
МИИГАиК, 1987, с 50, 1991 г с 35

Методические указания написаны в соответствии с утвержденной прО1раммои курса
«Высшая математика», рекомендованы кафедрой высшей математики, утверждены к изданию
редакционно-издательской комиссией гсодсзическот о факультета

Методические указания содержат индивидуальные расчетные задания в 30 вариантах и
примеры решения типовых задач, чю позволяет студентам самостоятельно работать над
практическим материалом курса

Рецензенты доп Л О 1 имохина, МI И1II1
к ф -м и Г Г Маркарян

Московский государственный университет
геодезии и карго! рафии, 1998
Задание 1. Найти производную у7 сложной функции:

1  а) у = с1е2(х3 + 1п

2.	а) у = (^(х^+Лж!+х'))

З.	а) у = е2‘е1(,+*|п1х)

4.	а) у = 51П 3( ех +21п(1-х3))

5.	а) у = 1п2(81пЗх3+ а24 х )

6.	а) у = ^«’и/л-эт^+х2))

7.	а) у = 1п;'2(- -1п х -со5:х)
81П X

8.	а) у = :§1'1(1п(х’,2-1)+е|+х1)

9.	а) у = агс8т'](1пу^-?+2х3)

10.	а) у = е3м«3(|/х)

11.	а) у = зт|/2(со8- +1п—
х х

б) у=7ь&«‘х + агсзтТГ+1)

б) у “^яп’(1п2х? -агсстк^)

б) у = агссо5"3/21п(х3+2л:)

V — </	2х' -)пх

О) у - Хага# ———

V I + 2г

___х’/З- 2х
агах V) + 1п2х

б)

б)

б)

у _ цЗсоз1 (т/х 1п2х+1 /х)

У = С1§( 1 +1п1 ( V? + 71 - З.П Зх )1,2

х/ = _1/2181(2+51п\х2/3))
у С

б) У = 1П5/2(^^-СО82х)
51П1

б) у = агс51п37 2 *

7	У1П0 + ЗХ)

б) у = 2
12. а) У = ./сО$3(х2 1п’X — ————) V	х	б) у = агс(§|/2(^+-^) !п х
13. а) у = с1§'3( х + 1п~4) 2-х	б) у = З1п’2/3( СО8			)  1 + 1/3«п2Зх7
14. а) у =	х	б) у = (2)!”’|й'й;1
15. а) у = —- ~2х агсщ VI + 1п х	б) у = СО83/4(х281ПХ2+ — ) 1пЗх
16. а) у = агсз'т ——-  77 V	1п(1-х2)	б) у = 31/2Ш2(	+ех)
17. а) у = со82(1+1п|/2(1+е2х))	б) у — Ой—1+1112x2	  7 7 К ®х’/3-со522х7
18. а) у = агс1§|/2(1§2х + -4-)  1п X	б) у = ’/агс51п(е”",4"’,+с^-!г) V	х’
19.а)у = 2х2+^|п2х+со8!х	б) у = со84/3( 1 +1п2( 1 +е3х))
20. а) у = со83/2(х281пх+—) 1пх	б) у = агс81п -3(1п(х3/2-1 )+у)
21.а)у = Х,г^  V	СО8Х	б) у = агссоз "3/2(со8 -1- +1п( 1 - 77))
22. а) у = агссо8“|/2(1п(х2+2/'))	б) у = ^1п(7<!?х + агсз1п(1 + х3))
23. а) у = ,/51п’(——	агссоз —)  '	\ 1п(х + 2)	х	б) У = 1ё“1/2(1пГуГ+е2х)
24. а) у = 31гГ3/2(со8—Ц—) 4	1 + <ип2Зх7	б) У =  V СО8 X
25.	а) у = [1]“п1(х’-бг7)	б) у = 8ш5(е77+21п(Зх2-1))

26.	а) у = Оё2х\+1^$*х)~3/2 б) у = 8НГ3/4(СО8^-+ 1п^р^)

27.	а) у	2|п ’(7ГГ +е’ }	б) у = ^гс«'(|-31п2(1 + 4х))

28.	а) у = агссоз-3/2(со84-+1п( 1-77))	б) у = ^соя5(хе’/’*2 - —)

29.	а) у = с!§( 1+1п2(х+ 71 - «я3 х))	б) у = 1п2(з1п2х3+ а(х+2) )

30. а) у — ^/агс8ш(е2"”"4’ + сг#2х)

б) у = 1§2(х3/2+ 71п(1 + 2х))

Задание 2 . Найти производные высших порядков :

1.	У = 81П Зх2	уш- ?	16. у= СО8(х2+2)	у777-?
2.	у = х е2х	у1У-?	17. у = (х-1)ех	у1У-?
3.	у = 11)2 X X	у"' - ?	18. у = 2Н1	у777 -?
4.	у = агс1§ х2	у'" - ?	19. у = агсс1§2х2	у7// - ?
5.	у = - 1п2 Зх	у,у-?	20. у = -1п3х	у|У-?
6.	У = —  •’ 2х + 1	уу-?	21. у= -А-  7 2-Зх	уУ -?
7.	у = 5-Зсоз2	X у,у-?	22. у 3+2зш2 х	у1У-?
8.	у = 2х + 2‘х	у1У-?	23. у = 3х-3 х	у1У-?
9.	у=72* + 3	у17-?	24.	у = 72-Зх	у|У-?
10.	У = ХСО8Х	у/?/ - ?	25.	у = Х231ПХ	у111 - ?
11.	V = х+2	у'" - 9  *	2х-1	7	26.	у = 2х+1  }	х+1	у11 - ?
12.	у-Л’7' у"'-?	27.	у = 7^-2	;	у111 - ?
13.	У = Х31пЗх	у|У - ?	28.	у = хсозЗх	у^-?
14.	у = ( х2+1 )е*х уш - ?	29.	у = (х2-1)е‘2х	у^ - ?
15.	у = х!п(х+2) у1У - ?	30.	у = (х+2) 1п(х+2)	у,у-?

Задание 3. Найти первую адгардж производные неявной
функции:

1.	а) ху = зт (х+у)

Ь) 1п у = 4

2.	а) х+у = со$ у
Ь) ху = е**

3.	а) х = у + еху

Ь) 81П (Зх-2у) = у

4.	а) х = !ё( * + У )

Ь) х^у = 1п( х + у )

5.	а) х1 + у3 = ху

Ь) х созу = у созх

6.	а) 1п(х-у) = ху

16.	а) у = 1п(х+у)

Ь) х+у = $1П^
У

17.	а) еу+ ху = О

Ь) ^122 - *

7 х " у + 1

18 а) = соз ху

Ь) Зх + у2 = (х + у)3

19.	а) х3 - у3 = Зху

Ь) 81п ху = х-2у

20.	а) ех у = ху

Ь) + у1 = Х-у

21.	а) 1$(х + у) = х?у
7

Ь) агссЦ* - = х	Ь) х4 + у4 = 4ху

7.	а) е;= ху  Ь) х + агссо$-=2у У  8.	а) х2-у2 = х2у2  Ь) ху = агсзт ху  9.	а) 81п(2х - у) = у  Ь) е''’? = х + у  10.	а) у2-х2 — со$( х + у )  Ь)- = еух  У  11.	а) х = ху2  Ь) е, = (х + у)2  12.	а) 2- у2 = (х + у)2  Ь) у = агс1ц ху  13.	а) еху л  У  Ь) (х + у) = х + у  14.	а) ( х — у )2 =  Ь) ху = СО8( х + у )  15.	а) (у-х)2 = х + у  Ь) х2 - у2 = СО5 у	22.	а) - =2>- У	г  Ь) хэ = ($ху2  23.	а) С1в(х + у) = у2  Ь) (х-у)е'х = 1п(у-1)  24.	а) (х + у)ех = 1п у Ь) Зху = х + у2  25.	а) у = $т( х + у)  Ь) ех 1п у = у-2  26.	а) ( х - у )5 - Зху  Ь) 1§( х- у ) = х3-у2  27.	а) агс51п^+х = у  Ь) ( х + у )3 = Зх - Зу2  28.	а) (2 —у)2 = ху  Ь) 1п(2у+|) = -^  29.	а) <= г  Ь) 1п (I + ху ) = 2х + у  30.	а) 1п ( х + у ) - у  Ь) 2х'+2у1=2хуХ
Задание 4. Найти производную / показательно-степенной
функции:

1.	а) у - х,п*  Ь) у = (СО5 х)$щ2х  2.	а) у = (81пх)*01х  Ь) у-(1пх)’,+‘  3.	а) у = х1"1'  Ь) у = (х24Х)-  4-	а) у = (Г§х)’’  Ь) у = Шх  5.	а) у = х’*1  Ь) уМ.^Гп<  6.	а) у = х*'  Ь) у = (1пх)и"'  7.	а) у = х:  Ь) у - (агс1§ х)1-‘  8.	а) у = (агс1ёх)1пх  Ь) у = (1)-  9.	а) у = (х + х2)х Ь) у = (5]п2х)2с'"х	16.	а)  Ь) у=(с(дх)х‘1  17.	а) у = (1пх)’  Ь) у = х*л'*  18.	а) у = (со5х)5ШХ  Ъ) у = (х2)'*  19.	а) у = (51П х) ‘  Ь) у = (х2-х)х  20.	а) у 3 х"-''  Ь) у = ^уп<’+*‘)  21.	а) у^Л)2*  Ь) у = (51лЗх)1п х  22.	а) у = (—V  Ь) у -(^х)1  23.	а) У = Щ,ПХ  Ь) у = (агс1ёх)?  24.	а) у = (1пх)8,иех  Ь) у = х*”'
10.	а) у = (зтх)1'”'

Ь) у = («)*

11.	а) у = хх+к2
Ь) у = (с(§х)Л

12.	а) у = (созх)*’

25.	а) у = х,ЕК

Ь) у = (

*	1.x3 -X )

26.	а) у = (1п х)5‘Г|Х

Ь) у = (1§х+ 1)1пх

13.	а) у-(агс81пх)'',/"х

Ь) у = (1п(|+х2)Г

14.	а) у-^х1-
Ь) у = (агссозх)^

15.	а) у = (1п(1 + х2))-
Ь) у = (х2)31ПХ

27. а) у =(х2 + х)с<,$*

Ь) у = (1пЗх)г

28 а) у = (сГ^х)4’
Ь) у = (х2+1)(₽‘

29.	а) у = 0/2)агс5,пх

Ь) у = (1пх)«

30.	а) уЧт-М*

1,1 + х )

Ь) У = (3х)с*8'*

Заданне-в^Найти производную ~

обратной функции:

1. а)  Ь)	у = 2+3 х-х2  — „1+ агсакх у - с	16.	а)  Ь)	у = 4+5х-х3  у = агс1@(совх)
2. а)	у = е«П»1ПХ	17.	а)	у _ е«ге18х
Ь)	у = сХ$рс3+2х		Ь)	у ~ х2+ х!пх
3. а)	у - агсзтЗ ?	18.	а)	у = агсз1п 2^
Ь)	у =  7 х + 1		Ь)	
4. а) у = С05(х2+2х)	19. а) у	= соз(х3-2х)
Ь) у ~ х’+>™	Ь) У	_ хл  1пх
5. а) у = х21пх	20. а) у	= -1пх
Ь) у - 4^ } 7	х}+4	Ь) у	= 81П(Х3+Зх)
6. а) у= ——  7 7	1п(х + ))	21. а) у	= х'~1 х1 +1
Ь) у=^	Ь) У	х1 сотЗх
7. а) у = 51пД-	22. а) ;	/=-4-
Ь) у = елмт^	Ь) ;	/ = агсзтТПзх
8' а) у=^	23. а)	
Ь) у - агссоз(1§х)	Ь)	у = 5^
9. а) у = 1п(х2+х)	24. а) у =	= х2+1пх
Ь) у-х21йх	Ь) у =	= агс1$ е
10. а) у = 1^х2+2х	25. а) у =	ч§2"
Ь) у- агссоз 3 ’’	Ь) у =	= агссоз(1+Л)
11. а) у = агссо8(2-х2)	26. а) у =	агссозТПЛГх
Ь)	Ь) У =	// и  Ъ’-|
12. а) у =4^ 1ПХ	27. а) у =	х'-З  ЛГ
Ь) у - 51п(х2-Зх)	Ь) У =	агсзт 22,+''
28.	а) у = агсс(§ е2х
Ь) у = 4-х2+Зх5

29.	а) у = агсзтТГ-’х

Ь) у = 1ё2*+х2

30.	а) у = х2со8х

Ь) у ~ е‘"1"-'"'г’1

параметрически заданной функции:
ОК

13.	а) у = 3*“-’/
Ь) у = 1п(1+х2)+х

14.	а) у = агс^(1§2х)

Ь) у = Зх+х3-Зх4

15.	а) у=^

Ь) у = Х31§х

Задание 6. Найти и
&

1.	а) X = СО831 ; у = 51П2!

Ь) х = Ге*1; у = 1е'

2.	а) х = соз' ; у = 1-яшГ

Ь) х = с " ; у = агсс!§ е*2’

3.	а) х = агсзтГ; у = 1п(1-12)

Ь) х = 71’+ 1; у = 13+1

4.	а) х - 1п21; у = Г-1

Ь) х = зт3Г; у = со$2(

5.	а) х = 2е*21; у = 12е*21

Ь) х = 1-со 51; у = 1-51П1:

6.	а) х = V/; у = 71 +1

Ь) X = 00821 ; у = 81П2Г

7.	а) х = Зсозг; у = 481П21

16.	а) х = сов2! ; у = Э1П3Г
Ь) х = 12е21; у = е2'

17.	а) х = зт|; у = Н$т1

Ь) х = 7ту; У = 1п(?+1)

18.	а) х = агс1®1; у = 71 + <г

Ь) х = 21п1; у =

19.	а) х = 1е*'; у -- |е1

Ь) х = агсГёТг; у = 7Г+71’

20.	а) х = 1п(Г2+1); У=~2

Ь) х = 51п21 ; у = со831

21.	а) х = агссозГ; у = 1п( 1 -Г)
Ь) х = 2*7»; у = 1+А//

22.	а) х = 281ПГ; у = 2сок21
Ь) х = 1п41 ; у = с4+1

8.	а) х = 1п1; у = у

Ь) х = 1 +$т3С; у = 1 -со$21

9.	а) х == агсс1& I; У ~ <+ г

Ь)х = 1; у=1Ш

10.	а) х = 1е1; у = ?е'21

Ь) х = 2зт21 ; у = ЗсозТ

И. а) х= ТРчТ; у = (2+1

Ь) х — 1п( 1-I2); у = агс81гп

12.	а) х = С+К1П1; у=1-со$1
Ь)х=1:еч; у=?е1

13.	а) х = агс*ё е1; у = е’

Ь) х = соз |; у = 14-31П1

14.	а) х = агссо5Т/; у =7/^7

Ь) х = 12+1 ; у = 1п2(

Ь) х = Т2е'; у^ч-!-^.

23.	а) х = агс31п77; у = 77-7
Ь) х = 1+1п1; у = (1+1 )3

24.	а) х = 1п-; у = 4+-?

Ь) х = агссоз1/7; у = 777

25.	а) х = 12+1 ; у = 77+7
Ь) х = е*; у = агс!§ е1

26.	а) х = (2е1; у - +(2-1

Ь) X - 1-СО31 ; у = 1-51ПГ

27.	а) х -= Л? ; у-= ек+2
Ь) х = 77-«’ ; у = агсзшТ/

28.	а) х = е21; у = агс1§ е2г

Ъ) х = 77+1 ; у = V?+1

29.	а) х = с+1м ; у = (Ж)2

Ь) х : ?''? ; у = агс!§1

15. а) х = 1п21; у =?+1
Ь) х = Зсоз2!; у = ЗзиК

30.	а) х = а(Ьз1п1); у = а(1-созС)
Ь) х = 13-1 ; у= ^+5

Задание 7. Найти дифференциалы первого и второго порядка
следующих функций:

1.	а) у = е'‘	16. а) у = е'*'

Ь)	у = е‘‘т х = 1п(1-Л)	Ь)	у = е'х =

с)	у = соз2х	с)	у - 8Й13Х

д) у = соз2х , х = е-1'"	д)	у = зш3х , х = 1п(I-I2)
2.	а) у = з1й2х

Ь)	у = 81П2х>х = е’'

с)	у = Х2н -

ф у = №•> - , х • Г§1

3.	а) у = соз’х

Ь) у = созэх , х = 1п(1+?)
с) у = (х2+1)3

ф у-(х7+|)3, х= Ь

С<1Я/

4.	а) у = V? +1

Ь)	у = V^Фи,x = !^у^

с)	у = агсмо
ф у ~агсзт'л, х =

5.	а) у = агсзптх

Ь) у = ЭГС81ПХ , х - 4' ~1
с) у = е* *’
ф у- с1'1', х = $1п(1-л/7)

6.	а) у - хе*

Ь)	у = хе*, х = агс!§!

с)	у = |п(1+^.)

ф у = 1п(1+^), X = -г

7.	а) у = хз1пх

Ь)	у = Х51ПХ , х = е''

с)	у = е1,,г

17.

18.

19.

20.

21.

22.

а)	у - соз2х

Ь)	у = соз2х ,х = е-

с)	у = х2+1пх

ф У = х2+1пх , X = 51П12

. а) у = 51пэх

Ь)	у = зш’х, х = агент

с)	у = х31пх

Ф у - х31пх , х = агссоз!

а)	у = 4х^\

Ь)	у = Лм, х = агсз1п1

с)	у - х2зтх

ф у = х281пх,х = е'"'

а)	у = агссоях

Ь)	у = агссозх , х = 7Г+Л

с)	у - хе*

4) у = хе*, х = агссоз!

а)	у = х2е*

Ь)	у = х2е* , х = агссоз!

с)	у = агссоз 7Г+7

ф у = агссоз 7Г+7, х= 4есИ

а)	у = хсозх

Ь)	у,= хсозх , х = е'”'

с)	у = 1п(1+ЗЛ)

ф у = 1п(1+3’47), х = с!§!
8.	а) у = агссо577

Ь) у = аге С 08 <л. х = 81ГГ1

с) у = ТьУ

ф у = 7-г, х = 1е(1+*2)

9.	а) у = 1п(2х+1)

Ь)	у = 1п(2х+1), х =

с)	у = со$2х

ф V СО52Х , X = 1п( 1+Г)

23.	а) у = агс8т<1+л

Ь) у = агезшТнЗ?, х =Тсо8<

С) у-1п(у-2х)

Ф у = 1п( у -2х), х = 7"'77

24.	а) у = 1п(277-1)

Ь) у- 1п(277-1),х1^

с) у агс$1п77

Фу- аГС51пТх , х = 81П2(

10. а) у = х+1пх

Ь)	у = х+1пх, X = со$(3

с)	у = 81П2Х

ф у = 51П2х , х = е^"

25.	а) у = х1пх

Ь)	у - х!пх , х = зт!2

с)	у = агезт х2

ф у == агсз1П х2, х = 71-/!

11. а) у = х21пх

Ь) у х21пх, х = агезт! 1

С)

у = агсс1§|_

>Л2 х

(1) у = агеец? । , х = созУ?

26.	а) у = х2+1пх

Ь)	у = х2+1пх, х = (у

с)	у = 1п(Зх-1)

ф у = 1п(3х-1) , X = СО812

12.	а) уг-агсяп77

Ь) у = агс51П -Л, х = 71У

с) у = (2х+1)3

ф уЧ2х+1)’,х-'-

13.	а) у = 1п(1+х2)

Ь) у = 1п(1+х2),х=117

с) у = агсзт71-2х

ф у = агс81п71-2х, х = 7777

27.	а) у = агссоз 7Г77

Ь)	у = агссоз -Л+*, х = 7яп7

с)	у = х2е*

ф у = х2ех, х = агсс(^1

28.	а) у = 1п(1-х2)

Ь)	у = 1п(1-х2), х = 71-2

с)	у = Х2СО8Х
ф у = х2со5х, х = е,!
15

14.	а) у-агсГ^х

Ь)	у - агсгцх , х = З1п7г

с)	у - —

Ф >' = ]Т’Х

29.	а) у = 7х2 +1

Ь)	у = 7*1 «-ц х = —
со$/

с)	у агссозх2

д) у = агссозх2, х = V? -1

15.	а) у=(х2+!)2

Ь)	у = (х2+1)2,х = —
31П1

с)	у:агсг§-^

(1)	у = агс(ё4=, х = 5ШГ2

30. а) у = агсс1$х

Ь)	у == агссфх, х = :§7/

с)	у = Л"17

Ф у = 71-*', х = агсзшс

2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Пример 1.Найти производную у' функции у = V*’ /-<.<»' м*
Решение. Согласно теореме о дифференцировании сложной
функции у = Г (ц(х)] производная находится следующим ’
образом:	Г, и 7(х). Если у = Г [ё(и(х))], то у 7 = ё' * и, и

т.д. Поэтому производная заданной функции равна:
у /=[(х3 + СО821пх)1/3] /=|( X3 + СО521пх)2Л( X3 + СО521пх)- 1( X3 +
СО521пх)'2/3х

х[(х3)7 +(со821пх)'] =|(х3+со821пх)'2/3(Зх2 +2со$1пх (СО81пх) ) =1 (х3
+ СО521пх)*2/3к

х(3х2+ 2со$1пх(-8т1пх)(1лхУ) =|(х3 + со821пх)‘2/3(Зх2 - 2соз1пх
51п1пх - ) - — Зх ~^|><21пх)

х Зх ’Д/1 +СО51 1п*)1

Пример 2. Производные высших порядков вычисляются
последовательным дифференцированием исходной функции.
а)	Найти уда от функции у = е .

Решение. Вычисляем последовательно: у != с'(х2) 2х е1'
у*- (2х е?)/= (2х/ е'2+2х(е'')/= 2 ег'+ 2х е‘*2х = е'"(4х2 + 2)
у"'- (е'‘(4х2 + 2)У - (е* У(4х2 + 2) + е-’(4х2 + 2)' = е'2х(4х2 + 2) +
е'‘8х = 2 е''(4х2 + 6)

б)	Найти у(п) от функции у = 1пх.

Решение. Применяем метод математической индукции: у ;
у 7/= -2_; у ///=1м,7; у 1У=	и т. д. Очевидно, у(п"=

_( । 1к2хЗх х(я-2) । у (л-2)1,

Действительно, /ПЦ	= (. I)-'	;

Таким образом, п-я производная от функции у = 1пх
вычисляется по рекуррентной	формуле’

у(п)- ( |^п+1(л-1)|

Пример 3. Найти первую и вторую производные функции,
заданной неявно:	е*'"= х2у	(3.1)

Решение. Для того, чтобы найти производную функции у(х),
заданной неявно выражением (3.1), достаточно
продифференцировать правую и левую части уравнения по х,
учитывая, что у есть функция от х. Таким образом, получим:

(е-*‘>У=(хУУ

е*'”(х2+у)'= (х2Уу + х2у'

е'‘’‘( 2х+/) = 2ху + хУ	(3.2)

Выразим из полученного соотношения у;:
у/(е'^~х2) = 2ху-2хе--‘

Окончательно получаем:
/ — 2ху-2хе'‘"

У	..1гЧм .2

Для упрощения полученного выражения воспользуемся тем, что
с'"- х2у, тогда

(3 3)
х'у-х~ хЧу-1)

Первая производная у7 также является неявной функцией х.

Для нахождения	второй производной

продифференцируем по х выражение (3.3) с учетом того, что у
и у7 являются функциями от х.

у/!= о Ь’(1-<')] х*(у-*2)[*о-1)] -

у 2-....-

х’Ц'-!)1

подставим в это выражение у7 из (3.3), тогда получим:
ц= _ иьхЫ»о>-])’-2(1-г)1

У	х’О'-!)’

Пример 4.

а)	Найти производную у7 функции у /

Решение. Логарифмируем обе части равенства:

1пу = 1п^1+г'

1пу = 1п(1+х3)^

1пу = 1-1п(1+х3)

Дифференцируем обе части неравенства. Тогда

^-= --!у1п(1+х3) + —
у 2хг 4	7 2х 1+/

или окончательно

1п(1+Л1)
2хг
б)	Часто приём логарифмического дифференцирования
применяется при вычислении производных функций,
являющихся произведением большого числа различных
элементарных функций.

Найти производную функции _______

у =	..

1	(х' +1)1зш'х

Решение, Найдём логарифм данной функции

1пу = 1п е^+ 1п^51 -1 - 1п(х2+1)3 - 1п зш3х

1пу - х2< ^1п(5х-1) - 31п(х2+1) 31п мпх,
дифференцируем обе части равенства

Г=2х+1-*--3 -^-Зс-^

4	— 1 х «I

тогда



(х1 +1)' яп1 г

(2х +

___5 __
4(5х-1)

Зс^х)

Пример 5. Найти производную обратной функции:

у = х3е'2х + 2созх

Решение. Производные прямой у = Г(х) и обратной х = §(х)
функций связаны соотношением:

х;= —=4 = Л (ПРИ условии у', *0)
«/у ци

&

Поэтому сначала находим производную у7 заданной функции.

у7 = Зх2е‘2х - 2х3с’2* - 2зтх

тогда производная обратной функции равна:
— Л___________I_______

<1у е 2'(3х'-2х')-2ыпх

Пример 6. Найти производные первого и второго порядка
функции заданной параметрически:

х = I - агс1е

у = 1п(1+г)

Решение. Производные первого и второго порядка функции х =
х(1); У = у(0 заданной параметрически, вычисляются по
формулам:

л = у;.	= а,'),,

Л хг	<1х1	х'

Так как

2	2

о= (1.1_=~7!21У2=	>

<1х' I2	г	I1

\ + 12

Пример 7. Найти дифференциалы первого и второго порядка
функций:

а) у= 1п(1( х2)

в)	у = 1п(1+х2), где х = -Л
Решение.

а)	Если х-независимая переменная, то дифференциалы первого
и второго порядка функции у = Г(х) определяются по
формулам:

с1у = у'дх и (Ру = удх2

так как
^==2» и у" = 2~2/

у	1 + Х	у (1’

то
20

бу йх и (Ру (Зх2

1 + х!	'	(1 + ^ )

Ь)	Дифференциал первого и второго порядка сложной функции
обладает свойством инвариантности, то есть вычисляется по
формуле;

бу = у'с1х — 'Убх , где х = 7? и <3х = х,(й =

Следовательно, бу-~2у ,	.

Дифференциал второго порядка сложной функции свойством
инвариантности не обладает, его надо вычислять по
определению,то есть

сРу = б(бу) = ^(у^х) = (фу^бх + /б(бх) = у V + у7б2х.

Если подставить найденные ранее у/ и у,то получим
дгу^1--’?дх2+-2М2х

Учитывая, что х= Л, бх-Дг и б2х = ---г_ б12,
27/	4У/1

имеем

=	Уи. 2-Л (___I_Ь[2 = _ _л^

у (1+<-Л)У	!+(^)Ц 4-Л7;	(1+о2*
21

ЛИТЕРАТУРА.

I .Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисление. -М.Д985.Т.1.

СОДЕРЖАНИЕ.

1.	Расчётные задания..................3

2.	Решение типовых задач.............15

3.	Литература........................21

Составители: Ольга Викторовна Исакова
Людмила Александровна Сайкова
Галина Акимовна Суворченкова

Методические указания и задания для самостоятельной работы
по курсу

Высшая математика

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.