Обобщенный анализ - Зайцев А.А., Гухман А.А.

Глава 2. МЕТОДЫ УНИВЕРСАЛИЗАЦИИ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Глава 3. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ОБОБЩЕННОГО АНАЛИЗА
Глава 6. ОБОБЩЕННЫЙ АНАЛИЗ В НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
Глава 7. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО АНАЛИЗА В ТЕРМОДИНАМИКЕ
Глава 8. ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ
Глава 10. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МАСШТАБОВ К РЕШЕНИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Глава 12. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МАСШТАБОВ В ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Автор: Зайцев А.А. Гухман А.А.
Теги: физика математический анализ
ISBN: 5-88688-036-4
Год: 1998
Похожие
Метод дробных производных
Введение в численный анализ. Учебное пособие
Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе
Турбулентные течения в инженерных приложениях
Текст
                    А.Л.ГУХМАВ А. А. ЗАЙЦЕВ
V; •• '.V
Ьв0адйны|
АНАЛИЗ
А. А. ГУХМАН А. А. ЗАЙЦЕВ
ОБОБЩЕННЫЙ
АНАЛИЗ
Введение
Обобщенный анализ — это учение о методах универсализации
количественного физического исследования; конкретнее, определения
наиболее рациональной формы представления получаемых результа-
тов — формы, применение которой создает возможность максимально
достижимого расширения области их применимости без какого-либо
ущерба в отношении строгости и детальности. Исключительно важ-
ное значение проблемы универсализации физического исследования
едва ли нуждается в обосновании. Но надо должным образом оценить
всю ее сложность, в первую очередь обусловленную требованием, кото-
рое содержит взаимно противоречащие условия — общность, с одной
стороны, и строгость и полнота, с другой. В поисках путей преодо-
ления трудностей, возникающих при решении поставленной задачи,
целесообразно прежде всего тщательно обсудить вопрос о специфике
количественного физического исследования и особенностях применя-
емого математического аппарата.
Объектом исследования является физический процесс, т. е. прост-
ранственно-временные изменения физической ситуации в пределах
некоторой области пространства, именуемой системой. Отметим,
что изменение условий при переходе из одной точки системы в другую,
не менее существенное проявление процесса, чем изменение ситуации
во времени. Процессы, отличающиеся тем, что такого рода пространст-
венные различия совмещаются с постоянством ситуаций, называются
стационарными. Задача исследования заключатся в определении зако-
номерностей развития процесса как основы для прогнозирования хода
его развития и целенаправленного воздействия на его характер.
Особенности физической ситуации, в которых раскрывается мно-
гообразие ее качеств, проявляются в форме совокупности разнородных
физических эффектов. Именно эти эффекты становятся отличительны-
ми признаками, индивидуализирующими ситуацию как объект иссле-
дования. Каждому такому признаку сопоставляется особого рода по-
нятие, которое таким образом получает смысл характеристики одного
из качеств физической ситуации, а тем самым и процесса. В системе
такого рода характеристик может быть дано полное описание процесса.
Однако, это неизбежно сведется к информации чисто описательного
характера. Качественно описательное познание соответствует только
начальной общеознакомительной стадии изучения проблемы. Основ-
ное исследование проводится на значительно более сложном и глубо-
ком уровне, свойственном количественному анализу.
Совершенно обязательной предпосылкой для перехода от каче-
ственного описания к количественному исследованию является ра-
дикальное изменение используемых характеристик физической ситу-
ации: эти характеристики должны уступить место более сложным по-
нятиям, которые способны служить источником информации об усло-
виях, сложившихся в рассматриваемой ситуации в обоих аспектах —
как в качественном, так и в количественном. Вопрос разрешается сле-
дующим образом. Вводится новое понятие, по существу объединяю-
щее два различных понятия, из которых одно характеризует ситуа-
цию в количественном, а другое в качественном отношении. Понятию
этому присвоено название «физическая величина». В соответствии со
своим назначением физическая величина состоит из двух частей. Пер-
вая представляет собой отвлеченное число и является прямой коли-
чественной мерой эффекта. Будем называть ее численным значением
величины. Вторая построена в виде термина, которым одновременно
обозначается род эффекта и размер единицы его измерения. Примем
для этого термина название «единица величины».
Понятие физической величины прочно вошло в науку. Являясь до-
статочно полной характеристикой физической ситуации, физическая
величина становится, по сути дела, основным средством выражения
знаний, получаемых как результат исследования. Это чрезвычайно
важное обстоятельство заслуживает детального обсуждения.
При внимательном рассмотрении форм развития самых разнооб-
разных процессов выясняется, что обязательным их элементом явля-
ется возникновение новых качеств. Более глубокий анализ приводит
к представлению об этом феномене как о взаимодействии и, в ито-
ге, преобразовании в единое целое различных, уже существующих ка-
честв. Поясним это на конкретных примерах.
В простейшем случае системы, представляющей собой два тела,
которые располагаются на некотором расстоянии друг от друга, отли-
чительным признаком физической ситуации, очевидно, является протя-
женность этого расстояния. Если система находится в состоянии покоя
и тела не перемещаются, то различным моментам времени (т. е. раз-
личным интервалам времени, отсчитываемым от начала наблюдения)
будет соответствовать одна и та же неизменная протяженность. В этих
условиях между обоими признаками ситуации — временем ее фикса-
ции и расстоянием между телами — вообще никакой связи нет.
Положение коренным образом изменяется при возникновении
процесса перемещения одного из тел относительно другого, неподвиж-
ного. Сразу же обнаруживается, что протяженность пути, пройденного
движущимся телом, изменяется параллельно длительности процесса
его движения. Вместе с тем выясняется, что соотношение между из-
менениями обеих характеристик — пространственной и временной —
отнюдь не остается постоянным: в разных процессах или даже в пре-
делах одного процесса для преодоления участка пути заданной про-
тяженности могут потребоваться промежутки времени различной дли-
тельности, Этот ход мысли приводит к представлению об интенсивно-
сти движения и к заключению, что такого рода понятие должно быть
включено в число отличительных признаков процесса. Так совершенно
естественно формируются понятие скорости как возникающей в ходе
процесса новой характеристики, которая объединяет в себе уже ранее
существовавшие характеристики и определяет особенности как про-
цесса в целом или его этапов (средняя скорость), так и отдельных фи-
зических ситуаций (мгновенная скорость). Использование всех трех
характеристик создает возможность построить подробное качествен-
ное описание процесса. Но в количественном отношении сохраняется
полная неопределенность. Для устранения этого недостатка следует
перейти от качественных характеристик к физическим величинам: про-
тяженности сопоставляется длина пройденного пути, длительности —
время, затраченное на перемещение. Скорость представляется посред-
ством объединения длины и времени: в виде частного от деления дли-
ны на время — средняя скорость или первой производной от длины
по времени — мгновенная скорость. Теперь достигнута полная опре-
деленность.
В качестве более сложного примера рассмотрим эффект возник-
новения силы внутреннего трения в упорядоченно (ламинарно) движу-
щейся жидкости. В покоящейся жидкости эта сила полностью отсут-
ствует; своим появлением она всецело обязана самому процессу дви-
жения жидкости. Сила внутреннего трения возникает на поверхности
раздела слоев, жидкости, движущихся в одном направлений с разной
скоростью, и всегда направлена так, чтобы оказать противодействие
сдвигу опережающего слоя относительно отстающего. Возникающая
сила тем больше, чем резче выражено возрастание скорости в направ-
лении, нормальном к поверхности раздела. В одинаковых условиях
в разных жидкостях возникает разная по величие сила. Этой инфор-
мацией исчерпывается, по сути дела, качественное описание рассма-
триваемого эффекта. При переходе к количественным представлениям
прежде всего следует обратиться к закону Ньютона, которым устанав-
ливается соотношение между кинематическими условиями процесса
и интенсивностью рассматриваемого эффекта (величиной возникаю-
щей силы). Согласно этому закону возникающая сила пропорциональ-
на производной от скорости по нормали к поверхности раздела. (Име-
ются в виду только «ньютоновы жидкости», строго подчиняющиеся
этому закону. В подавляющем большинстве случаев в повседневной
практике мы имеем дело именно с такого рода жидкостями). Коэф-
фициент пропорциональности имеет ясный физический смысл — он
представляет собой динамический коэффициент вязкости жидкости.
Таким образом, интересующий нас эффект определяется как про-
изведение динамического коэффициента вязкости жидкости на про-
изводную от скорости по нормали. Здесь уместно обратить внимание
на тот факт, что в число характеристик, посредством которых опреде-
ляются особенности складывающейся обстановки, Включается величи-
на нового, ранее не встречавшегося типа. Вязкость — это качество,
присущее самой системе независимо от того, находится ли она в состо-
янии покоя или вовлечена в процесс. Именно вязкости обязана система
своей способностью реагировать на воздействие (сдвиг слоя) опреде-
ленным образом — возникновением противодействия. Динамический
коэффициент вязкости есть количественная мера реакции. Величины
этого типа весьма многочисленны и разнообразны соответственно воз-
действиям разного рода. Их принято называть физическими константа-
ми (хотя в строгом смысле слова они не являются константами, т. к. из-
меняются вместе с состоянием системы, главным образом в зависимо-
сти от температуры). Каждая из них является характеристикой некото-
рого специфического свойства системы (более строго — вещества, об-
разующего систему, среду). Заметим, что физическая величина может
быть противопоставлена как константа другой, воздействующей на нее
переменной величине, только при том условии, что ее относительное
изменение весьма мало в сравнении с вызывающим его относительным
изменением. Так, например, в конденсированном состоянии плотность
рассматривается как константа, т. к. вещество реагирует изменением
плотности на изменения давления почти незаметно, а на изменение
температуры — сравнительно слабо. Но в газообразных средах плот-
ность приходится перевести в разряд физических переменных.
Разбором этих примеров ограничимся. Заметим только, что совре-
менный человек практически непрерывно использует разнообразные
эффекты, которые всецело обязаны своим происхождением искусст-
венно создаваемым процессам. В этом смысле очень поучительным
и впечатляющим является сам факт возникновения подъемной силы,
объяснение которому надо искать в обтекании встречным потоком воз-
духа несущих поверхностей самолета, профилированных надлежащим
образом. Нельзя также не упомянуть о применении электрического то-
ка как фактора, воздействующего на многочисленные разнородные си-
стемы, оформленные в виде машин, аппаратов, приборов, и тем самым
вызывающего появление требуемых эффектов. Во всех случаях про-
исходит — через взаимодействие качеств, их взаимопроникновение,
соединение в одно целое — порождение новых качеств. Все значение
этого вывода, которым устанавливается важная особенность развития
физического процесса, мы сумеем оценить несколько позднее при ана-
лизе специфики физического количественного исследования. А теперь
обратимся к другой, не менее существенной стороне обсуждаемого во-
проса. .
Весьма примечательно, что в ходе количественного исследования
физического процесса все особенности пути его развития во всей их
сложности отображаются в виде математических операций, объектом
которых являются физические величины. Рассмотрим подробно, каким
образом осуществляется эта математизация физических представле-
ний, создающая неоценимые преимущества. Применительно к физиче-
ской величине математическая операция становится сложным действи-
ем, которое, соответственно структуре этой величины, состоит из двух
частей. Первая часть элементарна — как объект математической опе-
рации численное значение физической величины ничем не отличается
от обычного отвлеченного числа. В противоположность этому, вторая
часть представляет собой сложную совершенно необычную по свое-
му содержанию акцию. Теперь объектом операции становятся едини-
цы физических величин, которые определяют их род и, следователь-
но, являются характеристиками качественными. Совершенно очевид-
но, что в этих условиях традиционное понимание термина «математи-
ческая операция» сохранить невозможно; необходимо переосмысление
самой ее сущности. И действительно, когда объектами операции явля-
ются единицы физических величин, она получает смысл слияния охва-
ченных ею единиц в одну единицу нового рода, причем при построении
этой результирующей единицы соблюдаются требования, вытекающие
из математического содержания операции. Так, например, единицей
скорости является длина, деленная на время, а единицей ускорения —
скорость, деленная на время, или длина, деленная на время во второй
степени. Резюмируя, отметим, что математическая операция — в от-
ношении к физическим величинам как ее объектам — является актом
формирования новой физической величины посредством их слияния
в единое целое по правилам, устанавливаемым самим наименованием
операций. Одновременно определяется (в виде численного значения
результирующей величины) интенсивность возникающего эффекта, ха-
рактеристикой которого эта величина служит.
Итак, математическая операция, если ее объектами являются фи-
зические величины, обретает особый глубокий физический смысл.
Этот важный вывод нуждается в пояснениях. Прежде всего следует
отметить, что в случае совокупности неоднородных физических вели-
чин становится совершенно неосуществима операция суммирования.
Эта операция объединяет число величин, но никак не отзывается на са-
мих величинах. Поэтому ассоциативность и неоднородность принци-
пиально несовместимы. По той же причине в противоположном слу-
чае однородных величин, когда операция, разумеется, выполнима, она
теряет свой особый физический смысл (и восстанавливается тради-
ционное понимание термина): суммирование распространяется только
на численные значения величин. Этому соответствует количественное
изменение ситуации. Здесь уместно вспомнить, несколько отвлекаясь
в сторону, что монотонное изменение интенсивности эффекта возмож-
но лишь до некоторого предельного (критического) значения, по дости-
жении которого изменение приобретает качественный характер. Такой
переход количественного изменения в качественное, конечно, пред-
ставляет собой нечто совершенно иное, чем рассматриваемый нами
акт порождения нового качества при взаимодействии качеств сущест-
вующих — это две глубоко различные формы возникновения новых
эффектов.
Возвращаясь к основной нити наших рассуждений, констатируем,
что при определении результирующей физической величины не все
математические операции могут быть использованы, а только некото-
рые из них, а именно умножение, деление и возведение в степень.
Это означает, что результирующая величина должна представлять со-
бой степенной комплекс, образованный из величин, ее (эту величину)
формирующих. Но отсюда никоим образом не следует, что любой сте-
пенной комплекс, составленный из произвольно выбранных величин
в различных степенях является новой физической величиной. Нельзя
упускать из вида, что всякая физическая величина есть характеристика
некоторого реально осуществляемого эффекта, причем в математиче-
ской структуре величины отражается механизм возникновения этого
эффекта. Новый эффект рождается в ходе эксперимента и тогда же
делаются первые шаги в его изучении. Только после этого на осно-
ве экспериментальных данных формируется соответствующая физиче-
ская величина и определяются ее особенности.
Если теперь подойти к подведению итогов, то наиболее существен-
ное сведется к следующему. Самым общим образом можно утверждать,
что любая новая физическая величина представляет собой степенной
комплекс, образованный из величин, уже существующих. (Позднее,
при рассмотрении вопроса о структуре физических величин под другим
углом зрения, это положение будет обосновано строго математически.)
Конкретный вид комплекса и присущие ему особенности устанавлива-
ются на основании данных опыта. В связи с этим естественно возни-
кает такой вопрос. Представляется вполне возможным, что при мате-
матической обработке экспериментального материала будут получены
соотношения между физическими величинами, объединенными в сте-
пенные комплексы, ранее неизвестные. Можно ли рассматривать эти
комплексы как новые физические величины, качества которых харак-
теризуются полученными соотношениями? На этот очень не простой
вопрос должен быть дан ясный определенный ответ. Попытаемся сфор-
мировать отчетливую и должным образом аргументированную точку
зрения на основе анализа конкретного, внешне элементарного, а по су-
ществу в высшей степени содержательного примера.
Одной из первых количественных зависимостей физики является
закон рычага. Применительно к физическим величинам, при посред-
стве которых можно выразить содержание этого закона, он означает,
что сила и длина пути, проходимого точкой ее приложения, связаны
соотношением обратной пропорциональности. Простейшее преобразо-
вание этого соотношения приводит к заключению, что произведение
силы на длину создаваемого ею перемещения, есть величина посто-
янная. Получена новая физическая величина. Одновременно, в самом
процессе формирования этой величины установлено, что ей присуще
замечательное качество неизменяемости. Достоверность изложенно-
го не подлежит сомнению, т. к. условие постоянства вполне равно-
значно соотношению обратной пропорциональности, которое является
твердо установленным опытным фактом. Однако, если ограничиться
этими соображениями, то область применимости полученных резуль-
татов окажется суженной до пределов частного случая действия ры-
чага. В сложившейся ситуации наиболее правильной является альтер-
нативная постановка вопроса: обусловлена ли неизменяемость новой
физической величины особенностями системы, в которой совершает-
ся процесс, или это важное качество надо понимать как проявление
специфики, присущей самой величине независимо от условий, в ко-
торых развивается процесс. Сложный путь развития физики привел
к окончательному разрешению этой дилеммы лишь через два тыся-
челетия после изобретения рычага. Можно с уверенностью сказать,
что абсолютно доминирующим до этого было понимание соотношения
обратной пропорциональности (а значит, и условия неизменяемости)
как частной закономерности, которой подчиняется действие рычага —
об этом свидетельствует история создания перпетуум-мобиле.
По сути это грандиозная эпопея была основана на глубокой убеж-
денности, что единственная причина неудач, неизменно преследую-
щая изобретателей вечного двигателя, — это несовершенство систем,
в которых совершается процесс. Соответственно вся работа сводилась
к созданию все новых и новых образцов вечного двигателя. Однако,
кардинальное изменение свойств системы — глубочайшие различия
в конструктивном оформлении двигателя, использование различных
принципов его действия, применение сил различной физической при-
роды — нисколько не способствовало решению задачи. Единственный
положительный результат многовековых исканий — первое, дошедшее
до нашего времени упоминание о работе в этом направлении (в Евро-
пе) относится к тринадцатому столетию — заключается в том, что был
накоплен огромный экспериментальный материал. И материал этот,
по мере накопления, становился все более убедительным свидетельст-
вом несостоятельности традиционного взгляда на суть проблемы. Де-
ло не в особенности системы. Причину неудач надо искать глубже —
возможность осуществления вечного двигателя исключена принципи-
ально. В конце третьей четверти восемнадцатого столетия Парижская
Академия наук приняла постановление об априорном отклонении всех
заявлений о создании вечного двигателя, как заведомо ошибочных.,
А еще через полстолетия понятие работы как физической величины,
обладающей качеством неизменяемости, было введено в науку.
Таким образом, альтернатива — неизменяемость является каче-
ством, присущим или системе, или новой величине, — должна бы-
ла уступить место строго однозначному утверждению, что неизменя-
емость есть специфическая особенность самой величины. Иными сло-
вами, условие постоянства произведения силы на длину пути перемё-
щения — это не частная закономерность, а универсальный закон —
закон сохранения работы. В заключение отметим, что для рассматрива-
емого процесса формирования новой физической величины характерно
последовательное чередование трех аспектов: эксперимент, математи-
ческая обработка экспериментальных данных, дополнительный экспе-
римент. Тот факт, что на заключительной стадии приходится вновь
обратиться к эксперименту, вовсе не является свидетельством бесп-
лодности математической обработки: именно эта обработка создает
основу для рационального выбора направления дальнейшего исследо-
вания.
Обратимся теперь к более тщательному рассмотрению вопроса
о том, каким образом ход развития процесса отображается посред-
ством вида изменения структуры единиц физических величин — пре-
образования существующих и формирования новых. При этом будем
иметь в виду, что структура физической величины и структура ее еди-
ницы — понятия полностью тождественные. Предварительно отметим,
как самоочевидный факт, что единицы простейших величин, вводимые
в первую очередь, образуются автономно, безотносительно к каким бы
то ни было другим величинам. Число таких простейших величин —
будем называть их первичными — очень невелико. Все множество еди-
ниц остальных величин — вторичных — представляет собой совокуп-
ность различных степенных комбинаций этих исходных единиц. Ранее
было показано, как первичные величины длина и время при объедине-
нии их в виде отношения (т. е. степенного комплекса с показателями
степени единица и минус единица) образуют вторичную величину —
скорость. В свою очередь, вторичная величина — скорость — в ком-
бинации (в виде отношения) с временем преобразуется в ускорение —
величину, которой соответствует комплекс с показателем при первич-
ных величинах длина и время единица и минус два. Если теперь ввести
в рассмотрение еще одну первичную величину — массу в качестве ха-
рактеристики таких важных универсальных качеств любых элементов
системы как инерция и гравитация, то окажется возможным образо-
вать еще одну вторичную величину — силу в виде произведения массы
на ускорение. Этому произведению соответствует комплекс с показа-
телем степени единица (при массе), единица (при длине), минус два
(при времени). Таким образом, любой вторичной величине может быть
сопоставлен степенной комплекс, построенный из первичных величин.
Отличительным признаком этого комплекса являются показатели
степени при первичных величинах, получаемые как конечный резуль-
тат алгебраических действий, которые определяются законом форми-
рования рассматриваемой величины из более простых величин с за-
данной структурой. Показатель степени при первичной величине на-
зывается размерностью вторичной величины в отношении данной пер-
вичной. Первичные величины в совокупности со вторичными, сущест-
венными для процесса, образуют систему величин, связанных между
собой размерностными соотношениями. Выбор первичных величин —
их число и род — определяется существом процесса и, отчасти, по-
становкой задачи. Так, в случае механических процессов, при всем
их многообразии рационально всегда, как свидетельствует огромный
по объему опыт, выделять три величины в качестве первичных. Что ка-
сается рода Величин, то обычно оказывается целесообразным выбрать
(и это общепринято) длину, массу и время.
Однако, иногда условия складываются так, что какие-либо из этих
величин не входят в перечень величин, существенных для процесса
(например, время в случае стационарного процесса). При таких обсто-
ятельствах приходится произвести исключение данной величины по-
средством замещения ее другой, содержащейся в перечне (например,
время через длину, деленную на скорость). Размерностные соотноше-
ния, которыми перечень существенных для процесса величин превра-
щается из разрозненной совокупности в особого рода систему взаимно
связанных элементов, очень содержательны. В сущности в этих соот-
ношениях отображается ход развития процесса. Поэтому не должен
показаться удивительным следующий факт: если установлены все раз-
мерностные соотношения, то тем самым создается возможность дове-
сти до конца решение интересующей нас задачи о наиболее рациональ-
ной форме представления результатов исследования.
Анализ размерностей не единственный метод универсализации ко-
личественного исследования. Бесспорное преимущество этого метода
заключается в том, что для его применения необходим минимальный
объем исходных данных — перечень величин, существенных для про-
цесса при определенном значении числа первичных величин. Одна-
ко, если информацию об особенностях процесса удается расширить
в известных отношениях, то создается основа для привлечения других
методов универсализации, обладающих некоторыми заслуживающими
внимания достоинствами. Прежде всего следует отметить, что обраще-
ние к этим методам в определенной мере связано с контролем досто-
верности перечня существенных величин и числа первичных. Кроме
того, и это главное, нередко обстановка складывается так, что их при-
менение открывает возможность улучшить решение, иногда весьма су-
щественно. Перейдем к рассмотрению этих методов.
Анализ размерностей — это в какой-то мере отклонение от пря-
мого пути к определению закономерностей процесса. Концентрация
внимания на размерностных соотношениях по существу означает сме-
щение центра тяжести исследования с самого процесса как такового
(совокупности взаимодействующих эффектов) на простые элементы
(физические величины), существенные и для необозримого множества
разнообразных процессов. Непосредственно ясно, что такого рода соот-
ношения не могут служить характеристиками индивидуальных свойств
данного процесса. И только синтез результатов их обработки созда-
ет возможность отобразить его специфику. Таким образом, возникает
необходимость последовательно произвести расчленение выражений,
характеризующих основные эффекты процесса, и их восстановление.
Эту операцию следует оценить как потенциальный источник ухуд-
шения решения, т. к. нет никакой гарантии правильности отбора суще-
ственных для процесса величин и выделения первичных величин. Поэ-
тому обращение к анализу размерностей может быть оправдано только
как вынужденный шаг в условиях, когда нет альтернатив вследствие
неясности характера взаимодействия эффектов, образующих процесс,
когда общая ситуация настолько сложна, что представляется невоз-
можным дать ее адекватное математическое отображение. Между тем
часто уже на стадии экспериментального изучения процесса форми-
руется система представлений, выражающая определенное понимание
движущих причин его развития, иначе говоря, создается конкретная
концепция физического механизма процесса. Во многих случаях эти
представления отличаются отчетливостью и полнотой, достаточными
для того, чтобы на их основе вывести зависимости, отображающие
принятую концепцию механизма процесса. Очевидно, что эти зависи-
мости представляют собой уравнения, характеризующие взаимодейст-
вие эффектов, образующих процесс. Будем называть их уравнениями,
определяющими процесс, или коротко — основными уравнениями про-
цесса.
Итак, при последующем обсуждении проблемы принимается,
что известны не только размерностные соотношения, то также и основ-
ные уравнения (система основных уравнений) процесса. Размерност-
ные соотношения представляются в виде тождеств, которыми символ
вторичной величины определяется как степенной комплекс, состав-
ленный из символов первичных величин в соответствующих степенях.
Все, что относится к этим соотношениям, подробно рассматривается
в первой главе, и здесь мы на них останавливаться не будем.
Зависимости, характеризующие взаимодействие основных эффек-
тов процесса, отличаются весьма большой сложностью и, как пра-
вило, могут быть выражены только в форме дифференциальных, ин-
тегральных или интегродифференциальных уравнений. Поэтому урав-
нения (систему уравнений) следует дополнить условиями единствен-
ности решения. Не касаясь пока математической стороны проблемы
единственности решения, отметим, что она имеет глубокий физиче-
ский смысл. Суть дела сводится к вопросу об уровне определенности,
который обеспечивается привлекаемыми зависимостями. Для наших
целей необходима гарантия полной определенности: заданным значе-
ниям известных величин должно соответствовать одно, и только одно,
возможное значение любой из искомых величин. Именно такое стро-
го однозначное соответствие между различными величинами создает
определенность, столь характерную для конкретного процесса.
Совершенно очевидно, что этому требованию функциональной од-
нозначности связей не могут удовлетворить рассматриваемые зависи-
мости, отображающие представление о физическом механизме процес-
са. При полной определенности физического механизма, в зависимости
от условий, в которых реализуется его действие, могут возникнуть са-
мые разнообразные процессы, весьма существенно отличающиеся друг
от друга своими индивидуальными особенностями. Этому многообра-
зию физически возможных вариантов должна соответствовать множе-
ственность значений каждой из искомых величин, входящих в состав
рассматриваемых зависимостей. Эти зависимости, очевидно, следует
дополнить какими-то знаниями, создающими возможность выделять
именно то значение каждой из искомых величин, выбор которого обу-
словлен спецификой данного случая. Таким образом, определение зна-
чения неизвестной величины (в дальнейшем для простоты будем счи-
тать, что определению подлежит лишь одна неизвестная величина)
осуществляется посредством двух операций: вначале определяется все
множество возможных (т. е. удовлетворяющих данную зависимость)
ее значений и затем из этого множества, на основании дополнитель-
ных требований, выбирается то ее значение, которое является истин-
ным (т. к. реализуется в действительности). Эти физические представ-
ления получают полноценное математическое отображение.
Неопределенность общего решения — свойство, присущее основ-
ным уравнениям в силу самой их математической структуры, — впол-
не соответствует разнообразию возможных форм реализации процесса,
физический механизм которого строго определен. Операция согласо-
вания общего решения уравнения — его общего интеграла, содержа-
щего все множество частных решений — с условиями единственности
с целью выделения того из них, которое является истинным решением
задачи, по существу своему адекватно распознанию, среди множест-
ва потенциально возможных процессов единственного, действительно
возникающего. Разумеется, условия единственности должны воспроиз-
водить требования, устанавливаемые на основании анализа особенно-
сти физической обстановки, в которой развивается процесс. (Матема-
тическое содержание вопроса о единственности решения представляет
самостоятельный интерес, и ему отводится как особой задаче соответ-
ствующее место. Задача эта отличается исключительной' сложностью,
на практике ее решение редко удается довести до конца.)
Рассмотрим общую ситуацию, характеризующую уровень знаний,
достигнутый на соответствующей стадии исследования. Установлена
совокупность физических величин — основных переменных, в изме-
нении которых и проявляется развитие процесса. Эта совокупность со-
стоит из двух групп. К первой группе принадлежат независимые пере-
менные, значения которых задаются произвольно. Вторую группу вели-
чин образуют искомые переменные. Известны значения величин, опре-
деляющих свойства системы, существенные для процесса. Считаются
известными также все зависимости, связывающие переменные, — за-
висимости, обусловленные как физическим механизмом процесса (ос-
новное уравнение или система основных уравнений), так и влиянием
особенностей физической обстановки (условия единственности). Кро-
ме того, известны стоящие особняком особого рода связи — размер-
ностные соотношения, присущие самим величинам как их собственные
особенности, совершенно независимо от характера процесса. На этой
стадии исследования следующим естественным шагом является реше-
ние задачи в ее обычной постановке: при заданных основных урав-
нениях и условиях единственности решения определить неизвестные
величины как функции величин, известных по условию. В дальней-
шем, если решению не предпосылается специальная оговорка, задача
ставится в предположении, что решение существует и что оно единст-
венное.
Прежде всего надо обратить внимание на следующее обстоятель-
ство. Привлечение методов обобщенного анализа становится излиш-
ним, если задача решается до конца аналитически: в этом случае
(в особенности, если удается представить решение в замкнутом виде)
влияние всех аргументов определяется непосредственно и закономер-
ности процесса обнаруживаются явно. (Впрочем, если в ходе реше-
ния приходится выполнять сложные громоздкие выкладки, не следует
пренебрегать возможностью контролировать правильность ассоциатив-
ных выражений путем проверки членов суммы на размерностную од-
нородность.) Однако, в настоящее время довести решение уравнения
в строгой аналитической форме до конца удается лишь в отдельных,
крайне редких случаях. В современных условиях аналитическое реше-
ние приходится рассматривать не как норму, а как принципиальную
возможность, практически не реализуемую. Поэтому первенствующее
значение получают численные методы и прямой эксперимент.
Тем самым положение коренным образом изменяется. Ряды чисел,
полученных как результат численного решения или эксперимента, вы-
ражают большой объем полезных знаний, которые с успехом могут
быть использованы. Но они не определяют внутренних связей, харак-
терных для задачи. Анализ численных результатов позволяет обнару-
жить некоторые конкретные соотношения, на основе которых можно
подобрать уравнения, аппроксимирующие эти соотношения с той или
иной степенью точности. Но разрозненные зависимости, представляю-
щие собой частные эмпирические корреляции и не объединенные ни-
какой общей идеей, менее всего способны образовать благоприятную
почву для выяснения общих закономерностей, процесса. Очевидно, за-
висимости эти обладают тем меньшей познавательной и практической
ценностью, чем больше величин, существенных для задачи.
Вопрос о численности существенных величин имеет для всего по-
следующего первостепенное значение и его следует внимательно рас-
смотреть, даже несколько отклоняясь от линии наших рассуждений.
Основные уравнения включают в себя не только основные перемен-
ные, но и физические константы, определяющие существенные для ме-
ханизма процесса свойства системы. Кроме того, должны быть учтены
также содержащиеся в условиях единственности решения величины,
посредством которых определяется влияние на развитие процесса сло-
жившейся обстановки. Таким образом, образуется многочисленная со-
вокупность существенных для задачи величин — совокупность, есте-
ственно распадающаяся на две группы. К первой принадлежат основ-
ные переменные — в их изменении собственно проявляется процесс.
Ко второй относятся все остальные величины, сохраняющие неизмен-
ное значение в пределах каждого данного процесса, но претерпева-
ющие изменения при переходе от одного частного случая к другому
(от изменения физических констант отвлекаемся как от вторичного
явления, никак не связанного с основным процессом). В противопо-
ставление переменным величинам первой группы, примем для величин
второй группы наименование параметры задачи. К категории параме-
тров относятся величины двоякого рода: с одной стороны, это характе-
ристики некоторых особенностей самого механизма процесса, а с дру-
гой — величины, определяющие влияние условий развития процесса.
Будем различать их как внутренние параметры и внешние параметры.
Параметры — это с очевидностью следует из самого их предна-
значения — должны быть известны по условию задачи. Это означа-
ет, что аргументами решения являются не только основные независи-
мые переменные, но и все параметры, — обстоятельство, чрезвычайно
осложняющее общую ситуацию. Возникает необходимость в выпол-
нении весьма большого объема вычислительной (экспериментальной)
работы: каждому аргументу соответствует серия вариантных расчетов
или экспериментов. Но еще важнее, что на всех расчетных (экспери-
ментальных) данных лежит отпечаток совместного влияния несколь-
ких разнородных факторов, — это дополнительно осложняет поиск
скрытых общих закономерностей процесса. Резюмируя, констатируем,
что множественность аргументов — это характерная особенность со-
временных задач, которая является источником весьма существенного
их усложнения.
Методы обобщенного анализа представляют собой вариант особо-
го способа уменьшения, а иногда и полного устранения трудностей,
обусловленных множественностью аргументов — способа, идею кото-
рого можно охарактеризовать следующим образом. В начале решения,
ценой утери некоторой доли информации (т. е. исключения некоторых
индивидуализирующих особенностей процесса), достигается уменьше-
ние числа аргументов, и в таком виде оно доводится до конца. За-
тем посредством дополнительной операции (которая, конечно, должна
быть достаточно проста), информация (и, соответственно, индивидуа-
лизация процесса) полностью восстанавливается.
Первый вариант такого рода процедуры основан на исключении
внешних параметров из числа самостоятельных аргументов. Внешние
параметры представляют собой частные, известные по условию задачи
значения переменных. Назовем эти частные параметрические значе-
ния характерными значениями переменных. Частное от деления физи-
ческой величины на ее характерное значение будем называть ее от-
носительным значением (короче — относительной величиной). Непо-
средственно ясно, что относительное значение любого внешнего пара-
метра равно единице. Имея это в виду, произведем замену перемен-
ных: перейдем от физических величин в их обычном представлении
к относительным величинам. Эта операция влечет за собой ряд суще-
ственных последствий. Прежде всего из числа аргументов выпадают
внешние параметры: они обращаются в единицу. Но одновременно они
включаются в состав основного уравнения, т. к. переменные представ-
ляются теперь в виде произведения из характерного значения на отно-
сительное. В итоге несложных, должным образом обоснованных пре-
образований, происходит слияние внешних параметров с внутренними
в форме сравнительно небольшого числа степенных комплексов. Важ-
ной характерной особенностью этих комплексов является их безраз-
мерность — они представляют собой отвлеченные числа. Их физиче-
ский смысл ясен: они служат комплексными параметрами задачи.
Структура основного уравнения остается неизменной, но перемен-
ные представлены своими относительными значениями, т. е. тоже от-
влеченными числами. Таким образом, задача полностью приводится
к безразмерному (абстрактно численному) виду. Ее решение должно
представлять собой численную зависимость, в которой искомая пе-
ременная определяется как однозначная функция независимых пере-
менных и комплексных параметров. Этой зависимости соответствует
наиболее высокая степень индивидуализации процесса, достижимая
на уровне безразмерного представления. Однако, полученное выраже-
ние нельзя рассматривать как окончательное решение задачи: пред-
стоит выполнить заключительную операцию восстановления первона-
чальных переменных. Операция эта предельно элементарна и сводится
к умножению относительных значений переменных на их характерные
значения. Но вместе с тем выясняется следующее интересное обстоя-
тельство, имеющее исключительно важное значение для всего после-
дующего.
Рассмотрим заключительную операцию как самостоятельную зада-
чу, физический смысл которой заключается в том, чтобы по заданному
в безразмерной форме решению установить идентифицирующие приз-
наки процесса, которому это решение соответствует. Итак, по усло-
вию задачи известны значения комплексных параметров — безразмер-
ных степенных комплексов. Требуется определить значения внутрен-
них и внешних параметров процесса. Сразу же становится очевид-
ным, что задача имеет множество решений. Для каждого комплекса,
сформированного из нескольких параметров, заданы только его зна-
чение и показатели степени отдельных сомножителей. Легко видеть,
что удовлетворить оба условия одновременно можно бесчисленным
множеством различных комбинаций. Конечный смысл этого вывода за-
ключается в том, что частный вполне определенный в безразмерном
представлении случай может быть реализован в виде любого из мно-
гочисленных различных процессов. Иными словами, индивидуальный
безразмерный случай является обобщенным, объединяя в себе множе-
ство различных процессов. Каждому из этих процессов (т. е. элементов
множества) соответствует определенный набор значений параметров,
который служит его отличительным признаком. Но выбор значений
этих параметров ограничен требованием, чтобы определенные их ком-
бинации — безразмерные степенные комплексы — равнялись задан-
ным значениям комплексных параметров (которые, очевидно, являют-
ся отличительными признаками обобщенного безразмерного случая,
т. е. всего рассматриваемого множества процессов в целом).
Теперь совершенно ясно, что заключительная операция — это воз-
вращение к исходному процессу с полным восстановлением его инди-
видуальных особенностей: при умножении относительных переменных
на характерные значения, соответствующие данному процессу, опреде-
ляется род и устанавливается размер единиц этих физических величин.
Любой другой процесс, принадлежащий к тому же множеству про-
цессов, связан с первым — условием постоянства комплексных пара-
метров (безразмерных степенных комплексов), но отличается от него
в отношении численного значения как внешних, так и внутренних па-
раметров. Сопоставление операций перехода от относительных вели-
чин к абсолютным (т. е. от абстрактных математических зависимостей
к физическим), отвечающих обоим рассматриваемым случаям, показы-
вает, что каждой из относительных величин приписываются единицы,
в обоих случаях однородные, но разного размера. Иначе говоря, еди-
ничный процесс выделяется из множества посредством совокупности
масштабов, заданных в виде характерных значений переменных. По су-
ществу это означает, что любое соотношение между переменными,
отображающее те или другие особенности одного из процессов, может
быть перенесено на другой процесс посредством умножения каждой
из переменных на свой собственный множитель преобразования. Та-
ким образом, все процессы, охваченные одним и тем же обобщенным
случаем, связаны глубокой общностью качеств, которая проявляется
в том, что все количественные результаты, полученные для какого-ли-
бо одного из них, распространяются на любой другой посредством про-
стейшей операции умножения переменных на множители преобразо-
вания.
Такого рода соотношение между процессами выделяется как осо-
бая форма их сходства под названием физического подобия (коротко —
подобия). Соответственно, множители преобразования получают уточ-
ненное наименование множителей подобного преобразования. Пользу-
ясь введенным термином, заметим, что индивидуальному безразмерно-
му случаю соответствует множество подобных процессов. Иначе го-
воря, тождество в относительном представлении есть подобие в аб-
солютном. Непосредственно ясно, что отличительным признаком по-
добных процессов являются численные значения комплексных пара-
метров. Следовательно, единственное количественное условие подо-
бия заключается в равенстве этих комплексов — обстоятельство, по-
служившее основанием для присвоения им наименования критериев
подобия.
Заслуживает внимания тот факт, что критерии, являясь отличи-
тельными признаками множества, вместе с тем определяют одну его
существенную особенность. При подробном рассмотрении выясняет-
ся, что каждый критерий, т. е. безразмерный степенной комплекс, ха-
рактеризует относительную интенсивность двух соответствующих ему
эффектов: изменение комплекса имеет своим необходимым следствием
изменение их относительной интенсивности.
Относительная интенсивность эффектов имеет доминирующее
влияние на формирование самых существенных особенностей процес-
са в ходе его развития. Так, например, отношение инерционной силы
к силе внутреннего трения имеет определяющее значение при реше-
нии вопроса о том, какой режим течения жидкости установится при ее
движении под одновременном действии обеих сил. Сила внутреннего
трения производит упорядочивающее влияние, подавляя возмущения,
возникающие в потоке или внесенные в него извне. В противополож-
ность этому, инерционная сила возмущения поддерживает, развива-
ет и тем самым нарушает упорядоченность движения. Следовательно,
от численного значения критерия подобия (критерия Рейнольдса —
приближенной количественной меры отношения этих сил) зависит,
какая их двух форм движения — упорядоченная или возмущенная —
является устойчивой в данных условиях.
Установление физического смысла критериев подобия как прибли-
женной количественной меры отношения физических эффектов явля-
ется одним из наиболее существенных результатов классической тео-
рии подобия. Этот способ универсализации решения осуществляется
за счет включения в состав новых переменных внешних параметров
задачи, поэтому он может рассматриваться как метод характерных
(внешних) масштабов.
Вторая форма преобразования переменных основана на использо-
вании характеристических масштабов — степенных комбинаций па-
раметров, имеющих ту же размерность, что и рассматриваемая пере-
менная. При этом, в отличие от предыдущего, из уравнений задачи
выпадают критерии подобия (полностью или частично), но зато появ-
ляются соответствующие критерии в безразмерных краевых услови-
ях. Разумеется, общее число критериев, которое определяется в со-
ответствии с 7г-теоремой (см. главу 1), в обоих случаях будет одним
и тем же. Единственное, но существенное различие заключается в том,
что в классической теории подобия (методе внешних масштабов) за-
дача в безразмерной форме включает универсальные краевые условия
и неуниверсальные уравнения, а методу характеристических (внутрен-
них) масштабов, наоборот, соответствуют универсальные уравнения
и содержащие безразмерные параметры краевые условия.
Таким образом, если известно, что все без исключения члены ос-
новных уравнений задачи и краевые условия в равной степени суще-
ственны, то обе формы универсализации результатов исследования со-
вершенно равнозначны, т. к. структура решения остается одинаковой.
Положение коренным образом меняется, если рассматриваются реше-
ния упрощенных (вырожденных) задач. В некоторых случаях здесь
удается достигнуть такого уровня универсализации, при котором реше-
ние не содержит параметров комплексного типа — критериев подобия
(автомодельность). Иногда вид функции может быть получен непо-
средственно на основе применения метода обобщенных переменных
без интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений,
или же задача допускает преобразование переменных, позволяющее
перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям (автомодельное, или подобное решение).
Необходимые для этого условия и соответствующие примеры подробно
рассмотрены в главе 3.
здесь же отметим лишь то, что при упрощении задачи за счет вы-
рождения отдельных членов основных уравнений более целесообразно
использование метода характерных масштабов (например, при получе-
нии уравнений «ползущих» течений в гидродинамике). Однако с такого
рода случаями приходится сталкиваться сравнительно редко, причем
каждый раз требуется специальное обоснование этой процедуры.
В отличие от уравнений краевые условия могут быть подвергнуты
обработке (преобразование систем координат, отбрасывание слабых
условий), приводящей к исключению из них характерных значений
переменных. Практика использования метода характеристических мас-
штабов показывает, что он обладает более широкими возможностями.
Кроме того, в отличие от характерных значений переменных, которые
отражая внешние условия процесса, задаются совершенно произволь-
но по отношению к нему, характеристические масштабы представляют
собой собственные естественные масштабы процесса и являются хоро-
шей основой для оценки порядка значений безразмерных переменных.
Традиционные способы получения обобщенных переменных (опе-
рация приведения в классической теории подобия; способ, основанный
на непосредственном применении тг-теоремы в анализе размерностей)
довольно громоздки, а иногда требуют еще и дополнительного кон-
троля. Использование характерных значений переменных, входящих
в сравнительно слабые условия, может привести к кажущимся зави-
симостям между безразмерными величинами, к неоправданному по-
явлению дополнительных аргументов и соответствующему снижению
универсальности полученного решения.
Поэтому при рассмотрении конкретных примеров, вне зависимо-
сти от метода универсализации решения, безразмерные переменные
и параметры будут получаться на основе уравнений масштабных свя-
зей. Как показано во второй главе, для их получения вовсе не обяза-
тельно наличие замкнутой системы уравнений задачи. Система урав-
нений масштабных связей может быть записана и на основе формул
размерности соответствующих величин, т. е. в том случае, когда со-
ставлен перечень существенных и первичных величин, иными словами,
когда объем предварительных знаний отвечает уровню анализа размер-
ностей.
Итак, можно констатировать, что различные методы получения
обобщенных переменных и параметров — классическая теория по-
добия, анализ размерностей и метод характеристических масшта-
бов — различаются, главным образом, объемом предварительных зна-
ний и некоторыми особенностями применяемого аппарата. Все они
могут рассматриваться как отдельные направления обобщенного ана-
лиза — метода универсализации количественного исследования, —
изучению которого посвящена настоящая книга.
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ
§ 1.1. Первичные и вторичные величины
Качественное описание процесса приобретает количественную
форму, когда средством анализа становится число, и соответственно,
его характеристиками становятся величины, представляемые числами.
Поэтому в первую очередь следует установить, каким образом опреде-
ляются численные значения величин, т. е. как происходит сопряжение
величины с числом.
Существуют две различные операции, посредством которых харак-
теристика процесса приводится к числу. В соответствии с этим сле-
дует различать два рода величин. В первом случае величины вводят-
ся в качестве характеристики объекта исследования непосредственно,
безотносительно к каким-либо другим величинам. Сопряжение этих
величин с числами осуществляется в результате прямого измерения,
т. е. сопоставления ее с образцом, произвольно выбранного, но строго
фиксированного размера, который принимается в качестве стандарта
и называется единицей величин данного рода (данной физической при-
роды) [И].
Результатом сопоставления является число, выражающее соотно-
шение между измеряемой величиной и стандартом. Если х — измеря-
емая величина, Xq — стандарт величин данного рода, а X — число,
выражающее соотношение между ними, то, очевидно, содержание этой
операции можно представить в виде
Х = х/хй.	(1.1)
Условимся говорить, что-Х есть численное значение величины х, вы-
раженной в единицах Xq.
Численное значение величины зависит от выбора единицы изме-
рения и изменяется обратно пропорционально ее размеру. Допустим,
что для величин рода х приняты два различных стандарта: х^ и
(т. е. применяются две различные единицы), причем х$ = сх^. В та-
ком случае для каждого данного образца величины х получается два
различных численных значения — X' и X", связанные очевидным ра-
венством
Х" = ±Х', или Х" = кХ', где = i	(1.2)
Таким образом, численное значение величины нельзя рассматри-
вать как абсолютную характеристику объекта исследования. Эта ха-
рактеристика является относительной в том смысле, что изменяется
в зависимости от выбора единицы. В отличие от этого отношение чи-
сел, соответствующих различным конкретным образцам величины х,
не зависит от выбора единицы измерения. Действительно, если отме-
чать различные конкретные значения индексами внизу, то, очевидно,
должно быть
Х!' = кХ!; Х£ = кХ!>; Х1' = кХ1; ...,	(1.3)
откуда
Х1':Х2':Х3':... = Х1":Х2":Х3":...	(1.4)
Соотношение (1.4) представляет собой чрезвычайно характерное свой-
ство операции прямого измерения, которое можно коротко определить
как абсолютность'отношений.
Легко понять, что рассматриваемое свойство имеет принципиаль-
ное значение, т. к. абсолютность (т. е. независимость от размера еди-
ниц и каких бы то ни было особенностей принятой процедуры изме-
рения) отношений количественных характеристик реальных объектов
принимается нами как нечто совершенно бесспорное, как одно из тех
физических представлений, которые лежат в основе любого исследова-
ния. Например, когда высота цилиндра и его диаметр рассматривают-
ся порознь, они могут принимать различные значения в зависимости
от выбора единицы длины. Но их отношение всегда оказывается одним
и тем же, выражая объективное свойство данного геометрического те-
ла, не зависящее ни от процедуры измерения, ни от выбора единицы
длины. Таким образом, абсолютность отношений является обязатель-
ным требованием, которому должна удовлетворять любая операция,
применяемая как средство сопряжения величины с числом. В слу-
чае прямого измерения это свойство обусловлено тем, что изменение
единицы измерения имеет своим необходимым следствием пропорцио-
нальное изменение всех конкретных численных значений. При этом
коэффициент пропорциональности есть величина, обратная отноше-
~ нию единиц измерения.
Величины рассматриваемого типа обладают рядом характерных
свойств: они вводятся безотносительно к любым другим величинам,
сопрягаются с числами посредством операции прямого измерения, еди-
ница измерения для них выбирается произвольно, а условие абсолют-
ности отношений выполняется для них автоматически. Условимся на-
зывать такие величины первичными. Из определения понятия первич-
ной величины непосредственно следует, что операции, посредством
которых первичные величины разного рода сопрягаются с числами,
ни в какой форме не могут быть связаны между собой, а единицы
первичных величин в полной мере взаимно независимы.
Наряду с первичными вводятся величины, которые обладают су-
щественно другими свойствами и называются вторичными. Для опре-
деления численного значения вторичных величин применяется косвен-
ный метод, весьма далекий от прямого измерения и значительно более
сложный по идее. Численное значение вторичной величины находит-
ся по численным значениям некоторых первичных величин согласно
правилам, которые устанавливаются определением понятия этой вели-
чины. Простейшим примером вторичной величины является скорость,
из определения которой следует, что ее численное значение получает-
ся как частное от деления числа, представляющего длину, на число,
представляющее время. Таким образом, правильно построенное опре-
деление вторичной величины должно быть достаточным для ответа
на вопрос, с какими первичными величинами связана рассматриваемая
вторичная величина и какие действия над числами, соответствующи-
ми этим первичным величинам, дают число, представляющее данную
вторичную величину. Эти знания можно выразить компактно и отчет-
ливо в форме уравнения, котором вторичная величина определяется
через соответствующие первичные. Условимся называть такие уравне-
ния определительными. Очевидно, что все определительные уравнения
по самой своей природе являются тождествами.
Разумеется, вовсе не обязательно, чтобы физическая процедура,
которая дает численное значение вторичной величины (фактическое
измерение вторичной величины), воспроизводила те операции, кото-
рые выражены в определительном уравнении. Глубокий смысл опреде-
лительных уравнений заключается в том, что в них выражена строгая
логическая система формирования величин, которые вводятся в опре-
деленной последовательности: вначале, независимым образом — пер-
вичные величины, а затем, на основе соответствующих связей — вто-
ричные.
Совокупность определительных уравнений дает полное представ-
ление о порядке и принципах построения всего множества величин,
существенных для процесса. При этом соответствующую структурную
схему нельзя рассматривать как нечто раз и навсегда строго фикси-
рованное, т. к. сама система отношений, лежащая в основе форми-
рования величин, может изменяться в зависимости от физического
содержания исследуемой проблемы. Так, при рассмотрении теплооб-
мена при движении жидкости с умеренной скоростью можно считать,
что никаких связей между термическими и механическими величина-
ми не существует, и теплота является величиной первичной. Если же
обратиться к задаче о движении сжимаемой жидкости со значитель-
ной скоростью, то здесь необходимо учитывать взаимное преобразо-
вание теплоты и работы, поэтому обе эти величины (работа и коли-
чество теплоты) должны быть введены посредством одного и того же
определительного уравнения. Таким образом, можно констатировать,
что основные свойства совокупности существенных для процесса ве-
личин — число и род первичных переменных, вид определительных
уравнений — всецело зависят от конкретного содержания задачи.
§ 1.2. Структура определительных уравнений
Математическая структура определительного уравнения должна
быть подчинена весьма жесткому условию, единому во всех случаях.
Это ограничение возникает на почве следующего очевидного противо-
речия. Любая операция, применяемая как средство сопряжения вели-
чины с числом, обязана удовлетворять требованию абсолютности отно-
шений. Это требование является совершенно обязательным в равной
мере и для прямого измерения первичных величин и для того кос-
венного метода, с помощью которого получается численное значение
вторичных величин. Однако положение в двух этих случаях весьма
различно.
Если сопоставляются числа, полученные как результат прямо-
го измерения различных конкретных образцов первичной величины,
то независимость их отношений от выбора единицы — это свойство,
присущее прямому измерению по его природе. Совершенно иначе скла-
дываются условия при сопоставлении конкретных численных значений
вторичной величины. Эти значения получаются как продукт опреде-
ленных действий над числами, представляющими некоторые первич-
ные величины. Отсюда прямо следует, что численные значения вторич-
ных величин изменяются в зависимости от выбора единиц соответст-
вующих первичных величин. Необходимо, чтобы получающееся изме-
нение представляло собой пропорциональное преобразование: только
при этом условии удовлетворяется требование абсолютности отноше-
ний. Между тем единицы измерения различных первичных величин
выбираются совершенно независимо друг от друга (и, следовательно,
никаким априорным ограничениям отношение этих величин не может
быть подчинено).
Легко видеть, что таким образом сталкиваются два взаимно про-
тиворечивых требования, т. к. полная свобода выбора единиц первич-
ных величин вообще несовместима с предопределенностью характера
изменения (пропорциональное преобразование) численного значения
вторичной величины.
Очевидно, что разрешение этого противоречия надо искать в огра-
ничении свободы назначения тех действий, которые должны выпол-
няться над численными значениями первичных величин при определе-
нии значений вторичных величин. Другими словами, свобода выбора
единиц первичных величин может быть сохранена только ценой огра-
ничения структуры определительных уравнений. Выразим это ограни-
чение в аналитической форме.
Пусть определительное уравнение имеет вид
y = f(a:1;i2;...;a:m),	(1.5)
где у — некоторая вторичная величина; х1, х?,..., хт — те первичные
величины, через которые она выражается. Абсолютность отношений
осуществляется автоматически, если изменение у, обусловленное пе-
реходом к другим единицам, будет типа пропорциональных преобразо-
ваний.
Согласно уравнению (1.5), численное значение величины Y нахо-
дится по численным значениям первичных величин Хг; Х2;..Хт как
результат операции, представленной в виде
Y = f(Xp Х2;..Хт).	(1.6)
Если применяются д₽е различные системы единиц
Х2о’’   •! Жт0 И х10 = С1 *^20 =	  ’ хт0 = Стхт0> (1-7)
то получатся и две различные совокупности численных значений пер-
вичных величин
Х{; XI;...; X' и X" = к,Х’; Х2 = k>Xi;...; X" = к X' ,	(1.8)
причем кг =
Соответственно получатся и два численных значения вторичной
величины У' и У", определяемые уравнениями
Y'= f(X{; Х2;..Х^) и У" = f (Х{>; Х£;...; X").	(1.9)
Из условия пропорциональности преобразования следует У" = А^У',
где Aq — некоторый, пока неизвестный, но вполне определенный мно-
житель. Тогда уравнения (1.9) перепишутся в форме
( Y' = f(X{;Xi;...;X^
\ k0Y' = f(klX[;k2Xi;...;kM.	>
Из этих двух уравнений требуется определить вид функции f, причем
множители Ар А^...; кт могут быть выбраны вполне произвольно.
Перепишем систему уравнений (1.10) в следующих обозначениях
(У = Zo; Х{ = Zi при i = 1,2,..m). Имеем
Г F(Z0, Zlt Z2..., Zm) = 0	ciin
\ F(koZo;kiZ1;k2Z2;...;kmZm) = O	>
Поскольку постоянные множители Ai не могут определятся через
преобразуемые величины Zi (хотя и могут быть связаны между со-
бой), постольку возможен лишь один способ удовлетворить оба урав-
нения системы (1.11) одновременно. Необходимо, чтобы выраже-
ние F(AqZ0; kxZx; к^2;...; kmZm) автоматически обращалось в нуль,
когда величины Zi принимают значения, удовлетворяющие уравне-
нию F(Z0; Zp ...; Zm) = 0. Это возможно только при том условии, если
k,Zx;...; kmZm) = kt;...; кт)  F(Z0; ZY;...; Zm) (1.12)
или в сокращенной записи
Р[к^] = р[кЛ- РМ],	(1.13)
где i = 0, 1, ..т, а символ [ ] означает «от всех ZJAJ».
Уравнение (1.13) равносильно утверждению, что при умножении
величин, входящих под знак функции F, на постоянные множители,
все они выносятся из-под знака функции, образуя некоторый множи-
тель для функции в целом. Следовательно, функция должна обладать
особым свойством, которое называется гомогенностью (а сама функ-
ция — гомогенной). Это свойство является очень сильным ограниче-
нием, т. к. оно присуще только одному, весьма узкому классу функций.
Чтобы показать это, введем обозначение = и перепишем
соотношение (1.13) в виде
р[г!] = ч>[к<].р[г<].	.	(1.14)
Имея в виду, что все И/ зависят от соответствующих к{, продифферен-
цируем обе части уравнения (1.14) по одному из kit например, по кх.
Получим
_ д<р ЕЧ J7 1	/1 1
Но
dF[Zl] _ dFIZ!] dZ! _ dFIZ!]
dkt - dZ[  дкх - az{ Z1’
поэтому
Z, = ^-F|Z,J.	(1.17)
Все полученные соотношения справедливы при любых значениях мно-
жителей kt. Полагаем к^ = fcj = ... = кт = 1 и, соответственно, Z! =
при i = 0, 1, ..., т. Уравнение (1.17) принимает вид
7	__ FIZ II	I
zi' эгх * 1-411
(1.18)
Но	1 = aii где ах — некоторая постоянная. Подставляя это
значение в уравнение (1.18), имеем
7 &F ___ г}
4 9ZX ~ ai
или
1 dF °i
Т dZt ~ ZX '
Этим уравнением функция Р определяется в виде
F = CXZ?\
(119)
(1.20)
где Cj — величина, зависящая от всех остальных, за исключением Zx,
переменных.
Повторяя этот ход рассуждений последовательно для всех пере-
менных, находим окончательно
F = CZ0^Z^ ...Z^,
(1.21)
где С — постоянная.
Таким образом, функция обладает свойством гомогенности только
в том случае, если она представляет собой степенной комплекс.
Из сопоставления соотношений (1.6) и (1.21) непосредственно
следует, что число Y можно выразить через числа Xt; Х2;...; Хт толь-
ко в виде степенного комплекса
Y^BXpXp ...Xfr,	(1.22)
где В — произвольная постоянная. Найдена та единственная форма
связи между численными значениями первичных и вторичных величин,
которая удовлетворяет требованию абсолютности отношений. Тем са-
мым дается решение задачи о структуре определительных уравнений.
Очевидно, должно быть
У = Вх^1 -хр х^.	(1.23)
Выражение (1.23) может быть представлено в форме соотношения
между множителями преобразования
АЬ = ^-^	(1.24)
§ 1.3. Размерность, формула размерности
При выводе уравнений (1.23), (1.24) не делалось никаких специ-
альных предположений о свойствах рассматриваемых величин, поэто-
му их справедливость ничем не ограничена. Это означает, что они опре-
деляют некоторые общие свойства вторичных величин, присущие им
по самой их природе (как величинам, выраженным через первичные ве-
личины с соблюдением условия абсолютности отношений). Нетрудно
видеть, что существенное значение имеют только показатели степени
при множителях преобразования первичных величин.
Каждый такой показатель называется размерностью определяемой
вторичной величины в отношении данной первичной. Совокупность
размерностей объединяется в виде формулы размерности вторичной
величины. Иногда вместо термина «формула размерности» применяют
краткое название «размерность величины». В этом случае показатели
степени при первичных величинах называются показателями размер-
ности.
Разумеется, формулой размерности может служить уравне-
ние (1.24). Однако вполне установившейся является другая форма за-
писи в виде символического уравнения, которое получается из урав-
нения (1.24) при замещении множителей преобразования величин их
символами (причем обычно символ вторичной величины берется в пря-
мые скобки). Так, например, формула размерности для скорости (сим-
вол W) напишется в виде
[W] = LT~l.	(1.25)
где L — символ длины, Т — символ времени.
Вполне допустимо считать, что формула размерности содержит
символы всех величин, которые в соответствии с физическим содер-
жанием задачи должны рассматриваться как первичные. В таком слу-
чае показатели тех первичных величин, которые не входят в явном
виде в рассматриваемое определительное уравнение, надо приравнять
нулю. Понятие размерности можно (в известной мере условно) рас-
пространить и на первичные величины, если принять, что размерность
первичной величины в отношении самой себя есть единица, а в от-
ношении любой другой первичной величины равна нулю. При таком
соглашении формула размерности первичной величины всегда совпа-
дает с ее символом.
Понятие размерности сохраняет свой строгий смысл независимо
от того, определяется ли вторичная величина непосредственно через
первичные или для ее определения первоначально привлекаются дру-
гие (ранее определенные) вторичные величины. Однако эти вторич-
ные величины могут входить в качестве аргументов только в проме-
жуточные символические соотношения. Окончательные формулы раз-
мерности должны быть приведены к первичным величинам. Например,
для силы (символ F) имеем
[F] = M[A] = MLT-2,	(1.26)
где М — символ массы; ([Л ] = L Т~г) — символ ускорения.
Особый интерес представляет случай, когда в результате симво-
лических действий все показатели в формуле размерности обращают-
ся в нуль. Будем говорить в этом случае, что определяемая величи-
на имеет нулевую размерность (является безразмерной). Численное
значение такого рода величин не изменяется при переходе к другим
единицам, т. е. они обладают инвариантностью по отношению к метри-
ческим преобразованиям. Действительно, положив в уравнении (1.24)
bj = b2 - ... = bm = 0, получаем - 1, что, очевидно, является свиде-
тельством неизменяемости численного значения величины у при про-
извольном выборе единиц первичных величин.
Легко видеть, что справедливо и обратное положение — если
при переходе к другим единицам (первичных величин) численное зна-
чение величины не изменяется, то она имеет нулевую размерность.
Это непосредственно следует из того элементарного факта, что требо-
вание — 1 (неизменность численного значения) совместимо с про-
извольностью выбора множителей только при условии Ъ1 = Ъ2 =...
.. .= bm = 0. Таким образом, всякая безразмерная величина — и только
безразмерная величина — инвариантна по отношению к метрическим
преобразованиям.
§ 1.4. Основные и производные единицы.
Размерные постоянные
С помощью определительных уравнений типа (1.23) вторичная
величина может быть выражена через первичные лишь с точностью
до постоянного множителя. Для точного определения этого коэффици-
ента принципа абсолютности отношений не достаточно, и необходимо
привлечь какие-то дополнительные соображения.
Положим xt - s10; x2 = tr20;.. ,;x — xm0, т. e. вообще xt = xi0. В та-
ком случае Xt = X2 = ... = Xm = 1 и уравнение (1.22) обращается
в Y = В. Очевидно, если фиксировать значение В, то тем самым будет
установлен принцип построения единицы измерения вторичной вели-
чины у. Наиболее рационально принять в качестве универсального со-
глашения В = 1. Такое соглашение эквивалентно требованию, чтобы
при всех xt = xi0 было также у=Уо. Таким образом, устанавливает-
ся общее правило построения единиц вторичных величин, основанное
на принципе одновременного обращения в единицу первичных вели-
чин и определяемой вторичной величины. При этом, в соответствии
с разделением величин на первичные и вторичные, следует различать
основные единицы (выбираемые произвольно) и производные (форми-
руемые в соответствии с основными по определенному правилу).
Однако условие одновременного обращения в единицу всех вели-
чин — как первичных, так и определяемой вторичной — может быть
реализовано лишь при том непременном условии, что имеется един-
ственное определительное уравнение. В этом случае единица вторич-
ной величины еще заведомо не установлена, и ничто не препятствует
ее свободному выбору. Положение коренным образом изменяется, ес-
ли для некоторой вторичной величины существуют два (или более)
взаимно независимых по своей физической природе уравнения, кото-
рые могут быть приняты в качестве определительных. Пусть для неко-
торой величины у оказывается возможным составить два различных
уравнения типа (1.22)
Y=AX? -X? -...-Х^ и Y = ВХ^  Хр .. Х^ (1.27)
Тогда любое из них (конечно, только одно) можно выбрать в качест-
ве определительного. Но если выбор сделан, то величина у во всех
отношениях определена. Для нее установлена формула размерности
и принята единица. Например, при выборе в качестве определительно-
го первого уравнения (1.27) формула размерности у запишется в виде
[У] = [Х1]а1[Х2Р-...[Хт]^.	(1.28)
Чтобы подчеркнуть, что рассматриваются не численные значения ве-
личин, а их символы, в выражении (1.28) все величины, а не только
вторичные, берутся в прямые скобки. Что касается единицы величи-
ны у, то она в соответствии с общим правилом должна быть определена
так, чтобы постоянная А обратилась в единицу. Но тем самым, оче-
видно, исключается возможность обращения в единицу постоянной В,
которая теперь (после того, как единица величины у фиксирована)
получает вполне определенное (отличное от единицы) численное зна-
чение. Легко видеть, что численное значение постоянной В зависит
от выбора единиц первичных величин, т. е. она отнюдь не является
величиной безразмерной. Формула разности для постоянной В полу-
чатся непосредственно из предыдущих соотношений в виде
1
ИЛИ	=	(129)
Такого рода величины, которые в сущности представляют собой коэф-
фициент пропорциональности в определительных уравнениях и не мо-
гут быть исключены только потому, что единицы для определяемых
вторичных величин уже выбраны ранее (на основе других уравнений),
называются размерными постоянными. Этим названием хорошо отте-
няется их основная особенность — полная независимость по отноше-
нию к реальным изменениям физических условий, возникающих в ходе
процесса, и вместе с тем изменяемость, связанная с переходом к дру-
гим единицам.
Интересно отметить, что существует принципиальная возмож-
ность исключить размерную постоянную. Для этого можно одну из пер-
вичных величин перевести в разряд вторичных, соответствующим об-
разом выбрав для нее единицу. Очевидно одновременно второе уравне-
ние (1.27) становится для этой величины определительным (при усло-
вии В = 1). Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие выска-
занные положения.
Известно, что понятие количества теплоты сложилось в калори-
метрии и первоначально не было связано с величинами механической
природы. При исследовании процесса переноса теплоты в твердом те-
ле, когда это первоначальное калориметрическое представление о теп-
лоте не вступает в противоречие с физическим содержанием задачи,
количество теплоты следует отнести к числу первичных величин. Од-
нако, как уже отмечалось, в тех случаях, когда существенными ста-
новятся эффекты взаимного превращения теплоты и работы, эта ве-
личина подлежит переводу в разряд вторичных. Если же количество
теплоты сохранить в числе первичных, то совокупность величин, су-
щественных для процесса, должна быть дополнена размерной постоян-
ной (механическим эквивалентом теплоты). В научных исследованиях
и публикациях теоретического характера в области естественных наук
применяются оба варианта решения, поскольку замена калории джоу-
лем не создает никаких осложнений, связанных с ломкой ранее уста-
новленной системы единиц. В инженерной практике, в соответствии
с действующими в настоящее время стандартами, должна использо-
ваться Международная система единиц (СИ), в которой реализуется
первое из рассмотренных решений.
Обратимся теперь к случаю, когда обстановка несколько ослож-
няется. В системе первичных величин М, L, Т сила является ве-
личиной вторичной и вводится посредством определительного уравне-
ния, основанного на втором законе Ньютона. Соответствующая форму-
ла размерности имеет вид [F] = MLT~2. Однако законом всемирного
тяготения сила определяется как величина, прямо пропорциональная
произведению масс взаимодействующих тел и обратно пропорциональ-
ная квадрату расстояния между ними. Таким образом, сосуществуют
два различных уравнения, первое из которых уже принято в качест-
ве определительного. Поэтому приходится дополнить число сущест-
венных величин гравитационной постоянной с формулой размерности
[Г] = М~'L3T~2. Здесь попытка избавиться от этой постоянной с по-
мощью перевода одной из первичных величин в разряд вторичных яв-
ляется нецелесообразной, т. к. потребовался бы коренной пересмотр
всей системы размерностей. Как будет показано ниже, под углом зре-
ния применения обобщенного анализа выбор любого из этих вариантов
вполне равнозначен, т. к. появление в числе аргументов дополнитель-
ной размерной постоянной компенсируется увеличением на единицу
числа первичных величин.
В заключение необходимо отметить, что формулы размерности яв-
ляются основой для определения структуры единиц вторичных вели-
чин, но не их размера, т. к. ничем не ограничивается свобода вы-
бора каждой из основных единиц. Таким образом, в рамках данной
системы размерностей возможно множество тояедественных по струк-
туре, но различных по размерам систем единиц. Эти системы бу-
дут различаться также по численным значениям размерных постоян-
ных. Так, в системе CGS (см, г, сек ) численное значение гравита-
ционной постоянной 7 = 6,67 • 10-8 см3/(г • с2), а в системе СИ —
7 = 6,67- IO"11 Нм2/кг2.
§ 1.5. Безразмерные комплексы, тг-теорема
Рассмотрим теперь подробнее характер тех связей, которые сооб-
щают сложному степенному комплексу, составленному из разнород-
ных величин, свойство безразмерности.
Пусть комплекс тг составлен из первичных величин х{; а^;...; хт
(общим числом т) и вторичных величин yi, Уг,  уТ (общим чис-
лом г) в виде степенного выражения
7Г = Х°1Х^2 • . . . •	• yfiyfr •... • у^.	(1-30)
Признак безразмерности комплекса тг (т. е. инвариантности по отно-
шению к метрическим преобразованиям) можно представить в виде
кп = 1. С другой стороны, по определению величины тг —
к^к^^-....к^-K^-K^-...-Kfr,	(1.31)
откуда
к°1к£2 •... • к£т • К?' К%2 •.   • К?г = \.	(1.32)
Каждый из множителей преобразования вторичных величин Kj связан
с множителями преобразования первичных величин kt уравнением ти-
па (1.24)
Kj = к^ • к?2 •... • к^ j = 1,2,..., г. (1.33)
Подставляя эти значения в уравнение (1.32), имеем
к,	к 5=1	=1.	(1.34)
Это уравнение содержит только независимо выбираемые множите-
ли преобразования первичных величин (и, следовательно, показатели
представляют собой размерности комплекса тг в отношении соответ-
ствующих первичных величин). Очевидно, единственный способ его
удовлетворить заключается в том, чтобы приравнять все показатели
степени нулю, т. е. положить
ai + 52 anPj = 0 г = 1,2,..., тп.	(1-35)
.7 = 1
Система уравнений (1.35) выражает совокупность условий, необходи-
мых и достаточных для того, чтобы комплекс тг был величиной без-
размерной. Эти условия выражены в форме зависимостей, связываю-
щих между собой показатели степени в выражении для комплекса тг
и тем самым ограничивающих свободу выбора их значений. Очевидно,
что соотношения (1.35) надо рассматривать как систему уравнений
относительно неизвестных (числом т) и /3,- (числом г), причем чи-
сла (общим числом г • т), известные непосредственно из формул
размерности для величин у, играют роль заданных по условию посто-
янных коэффициентов. Любые числа, удовлетворяющие этим уравне-
ниям, могут служить показателями степени в выражении для безраз-
мерного комплекса тг. Но общее число неизвестных п равно общему
числу (первичных и вторичных) величин (т. е. п = т + г), а число
уравнений — числу одних только первичных величин (т. е. т). Отсю-
да следует, что задача имеет не одно, а несколько различных решений,
число которых равно п — т = г.
Смысл этого вывода, очевидно, заключается в том, что совокуп-
ность, состоящая из п физически разнородных величин, из которых т
принадлежит к числу первичных, допускает компоновку п — т различ-
ных безразмерных комплексов. Этот результат имеет весьма важное
значение и будет более подробно рассмотрен в дальнейшем. Здесь же
необходимо отметить, что полученное решение остается правильным
независимо от того, все или только часть первичных величина входит
в перечень величин, существенных для процесса.
Пусть, например, величина хк не принадлежит к числу существен-
ных. В таком случае в соответствующем уравнении (т. е. для i = к)
придется положить ак = 0. Но само уравнение при этом не выпадает
и только примет несколько более простой вид.
U-36)
Т = 1
Так, в случае стационарных процессов, время, которое является
первичной величиной, не входит в число существенных для процес-
са величин. Но оно является одной из тех первичных величин, через
которые определяются такие вторичные величины, как скорость, мощ-
ность, теплопроводность и т. д. Поэтому в системе уравнений (1.35)
строка, соответствующая времени как одной из первичных величин,
сохраняется и в условиях стационарного процесса.
Таким образом, число безразмерных комплексов всегда равно
п—т. Если все первичные величины входят в перечень существен-
ных, то разность п — т совпадает с числом г вторичных величин,
существенных для процесса. В противном случае п — т < г.
Итак, самым общим образом можно утверждать, что число безраз-
мерных комплексов равно числу всех физических разнородных вели-
чин, существенных для процесса, за вычетом числа первичных вели-
чин. Этот результат известен под названием «тг-теоремы» Бэкингема.
ГЛАВА 2
МЕТОДЫ УНИВЕРСАЛИЗАЦИИ
КОЛИЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
В духе высказанных ранее положений обобщенный анализ следует
рассматривать как основу для получения наиболее рациональной фор-
мы представления результатов количественного исследования. Харак-
терная его особенность состоит в том, что переход к обобщенным пе-
ременным происходит на самой ранней стадии исследования, когда ре-
шение задачи еще не известно. Объем необходимых предварительных
знаний прежде всего зависит от того, какой аппарат будет при этом
использоваться. Собственно говоря, именно по объему предваритель-
ной информации и противопоставляются два основных направления
обобщенного анализа — теория подобия и анализ размерностей.
Применение аппарата теории подобия возможно лишь в том слу-
чае, если известна замкнутая система уравнений, определяющих рас-
сматриваемое явление. Это в равной степени относится к обеим ее
модификациям — классической теории подобия и методу характери-
стических (внутренних) масштабов. Для использования анализа раз-
мерностей достаточно составить перечень существенных для процесса
величин и выделить из них первичные (см. главу 1).
В настоящей главе изложение будет строится применительно к од-
ной из самых сложных задач математической физики — краевой зада-
че. Для краевых задач характерно наличие замкнутой системы уравне-
ний, поэтому здесь более целесообразно использование аппарата те-
ории подобия, чем анализа размерностей. Это, в частности, и предо-
пределило порядок изложения материала, в соответствии с которым
изложение основ теории подобия предшествует анализу размерностей.
§ 2.1. Постановка краевой задачи
Значительная часть процессов, изучаемых в естествознании и тех-
нике, протекает в вещественной среде. Эта среда чаще всего рассма-
тривается как непрерывная (континуум), и для описания происходя-
щих в ней процессов применяется хорошо разработанный аппарат ма-
тематической физики.
Одним из основных понятий математической физики является по-
ле. Полем некоторой физической величины называется совокупность
ее мгновенных значений на всем протяжении пространства, охваченно-
го процессом. Иными словами, поле — это сечение процесса во време-
ни. Аналитически поле задается в виде функции координат и времени.
Например, выражение для температурного поля записывается следую-
щим образом:
T = T(x,y,z,r),	(2.1)
где х, у, z — пространственные координаты точки, т — время. В даль-
нейшем будут рассматриваться непрерывные поля, т. е. такие, в кото-
рых бесконечно малым перемещениям отвечает бесконечно малое из-
менение соответствующей величины. Это означает, что полный диф-
ференциал этой величины (например, температуры)
dT=^-dr+^-dx + ^-dy+^-dz	(2.2)
всегда имеет смысл (все частные производные в соотношениях ти-
па (2.2) имеют конечные значения).
Поле является наиболее общей характеристикой процесса. Ес-
ли оно известно, то не составляет труда получить все остальные част-
ные характеристики. Если, например, рассчитано температурное поле
в движущейся жидкости, то легко вычисляются значения тепловых по-
токов, локальные и средние коэффициенты теплоотдачи от твердой по-
верхности и т. п. Поэтому в основу математической теории процессов
переноса, как правило, закладываются уравнения полей соответству-
ющих физических величин.
К непосредственному выводу уравнений процесса можно при-
ступить лишь в том случае, если имеется конкретное представле-
ние о его физическом механизме, в частности, о движущих причи-
нах его развития. Эти представления формируются по мере накопле-
ния предварительных опытных данных. На их основе создается модель
явления, отражающая лишь наиболее существенные его черты и пред-
ставляющая собой продукт определенной схематизации реального про-
цесса. После этого открывается возможность привлечь к исследованию
соответствующие фундаментальные законы физики непосредственно
или с помощью дополнительных гипотез. Объектом применения этих
законов чаще всего является процесс, протекающий в бесконечно ма-
лом объеме среды в бесконечно малый промежуток времени. Следует
подчеркнуть, что эти величины будут бесконечно малыми лишь в мате-
матическом смысле. Физически же они должны быть достаточно вели-
ки для того, чтобы среда могла считаться непрерывной. Так, для газов
линейный размер, соответствующий этому бесконечно малому объе-
му, должен быть большим по сравнению с длиной свободного пробега
молекул, а промежуток времени — со временем свободного пробега.
Рассмотрим в качестве примера вывод уравнения температурно-
го поля твердого тела. Исходный опытный факт заключается здесь
в том, что необходимым и достаточным условием для возникновения
теплового потока в вещественной среде является неоднородность по-
ля температуры. В количественной форме это положение выражается
гипотезой Фурье, согласно которой плотность теплового потока про-
порциональна градиенту температуры:
q = -A grad Т, (2.3)
где q — вектор плотности теплового потока; А— теплопроводность.
Знаком минус отмечается, что поток теплоты направлен в сторону
уменьшения температуры.
Выделим внутри тела малый элемент, в пределах которого в дан-
ный момент времени температуру можно считать одинаковой. Т. к. ни-
каких превращений энергии одного вида в другой не происходит, то за-
кон сохранения и превращения энергии может быть представлен в виде
dU = dQ.	(2.4)
Здесь dU — изменение внутренней энергии рассматриваемого элемен-
та; dQ — количество теплоты, которым он обменивается с окружаю-
щей массой тела. При этом, естественно, предполагается, что внутрен-
ние источники теплоты отсутствуют.
Однако в таком виде соотношение (2.4) не содержит никаких зна-
ний, которые допускали бы непосредственное применение. Чтобы сде-
лать его полезным, это уравнение следует записать в форме выраже-
ния, связывающего первоначальные величины, т. е. температуру, коор-
динаты точек тела, время, физические константы. Если ограничиться
рассмотрением тел с постоянными физическими свойствами, то левая
и правая часть уравнения (2.4) могут быть представлены следующим
образом:
dU = cpdTdy	(2.5)
dQ = AV2TdTdy	(2.6)
о2	о2	о2
где V2 = —=• -|-? -|-к — оператор Лапласа, dV — элемент объема,
дзг	&у£	dz£
с — теплоемкость, р — плотность.
Теперь уравнение (2.4) принимает окончательный вид
^ = aV27;	(2.7)
где а — коэффициент температуропроводности (а = А/(ср)).
Уравнение (2.4) имеет чрезвычайно простую форму и ясный физи-
ческий смысл, который состоит в утверждении тождественности двух
способов представления одного и того же количества теплоты. Его фор-
ма заметно усложняется при переходе к первоначальным переменным.
Хотя рассматривается простейший случай температурного поля непо-
движной среды в предположении о постоянстве ее физических свойств,
соотношение (2.7) представляет собой дифференциальное уравнение
в частных производных второго порядка.
Часто оказывается, что изучаемое явление невозможно с требуе-
мой полнотой исследовать на основе только одного физического за-
кона. При рассмотрении его различных сторон приходится привле-
кать несколько физических законов и, соответственно, строить систе-
му уравнений. Например, температурному полю в движущейся жидко-
сти отвечает система уравнении, включающая динамическое уравне-
ние движения, уравнение сплошности и уравнение сохранение энер-
гии (само уравнение температурного поля). Таким образом, типич-
ным для большинства современных задач является наличие несколь-
ких уравнений, достаточно сложных по своей аналитической струк-
туре (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных).
Эти уравнения, в которых выражены наиболее общие физические пред-
ставления о рассматриваемом процессе принято называть основными
уравнениями задачи.
Вывод основных уравнений требует достаточно высокого уровня
абстракции, при котором приходится отвлекаться от многих индиви-
дуальных особенностей объекта исследования. Общий интеграл ос-
новного уравнения является многозначным. В простейшем случае си-
стем обыкновенных дифференциальных уравнений эта многозначность
отражена в самой структуре общего интеграла, в состав которого вхо-
дят произвольные константы интегрирования. Значения этих констант
могут быть определены лишь с помощью некоторых дополнительных
условий. Еще сложнее складываются условия при рассмотрении си-
стем уравнений в частных производных, решения которых чаще всего
в принципе не могут быть получены без задания этих дополнительных
условий.
Знания, которыми должны быть дополнены основные уравнения,
представляются в форме условий единственности решения. Строгое
аналитическое определение этих условий — задача крайне сложная,
поэтому ограничимся рассмотрением некоторых общих соображений
относительно их физического содержания.
Прежде всего следует учесть, что элементы, расположенные
на границе системы, взаимодействуют с окружающей средой. Это влия-
ние внешней среды никак не отражено в основных уравнениях задачи,
поэтому необходимо задать дополнительно соответствующие гранич-
ные условия. Не отражают основные уравнения и предыстории процес-
са, поэтому аналогично предыдущему вводится понятие о начальных
условиях. Граничные и начальные условия вместе составляют краевые
условия (условия на пространственно-временных «краях» системы).
Граничные условия могут задаваться в виде набора значений иско-
мой переменной или ее производной на границах системы в любой
момент времени (граничные условия первого и второго рода, соответ-
ственно). В рассмотренном выше примере это будут значения темпе-
ратуры или плотности теплового потока (пропорциональной градиенту
температуры). Иногда в качестве граничных условий задаются пара-
метры окружающей среды и закон взаимодействия между системой
и окружающей средой (граничные условия третьего рода). И наконец,
граничным условиям четвертого рода отвечает задание отношения про-
изводных от искомой величины по обе стороны границы. Начальные
условия чаще всего представляют собой распределение искомой пере-
менной по всему пространству системы в начальный момент времени.
Для решения задачи существенны геометрические и физиче-
ские свойства системы. Геометрические характеристики определяются
при задании граничных условий. Физические свойства, существенные
для процесса, представлены соответствующими константами в уравне-
ниях задачи. Эти величины совместно с величинами, входящими в со-
став краевых условий, образуют совокупность постоянных параметров
задачи. Вводя в условие задачи фиксированные значения этих пара-
метров, можно однозначно определить каждое конкретное единичное
явление (задать условия однозначности).
Таким образом, параметры входят в окончательное решение зада-
чи в качестве аргументов, отражающих влияние собственных свойств
системы, внешних условий, режимных факторов и т. п. Каждый пара-
метр при этом должен рассматриваться как своего рода самостоятель-
ная переменная, получающая новое значение при переходе от одного
варианта задачи к другому. Как уже отмечалось, это имеет особое
значение при использовании численных методов (решение на ЭВМ,
эксперимент), поскольку исследование здесь с самого начала ведется
в форме, отвечающей конкретному случаю. Решение современных мно-
гопараметрических задач с помощью перебора всех возможных вари-
антов значений переменных и параметров потребовало бы выполнения
слишком большого объема экспериментальных исследований или зна-
чительных затрат машинного времени. Поэтому любой способ, позво-
ляющий повысить информационную ценность полученного результата
(т. е. сделать его более универсальным) имеет не только теоретиче-
ское, но и практическое значение.
Последующие разделы настоящей главы как раз и посвящаются
рассмотрению различных методов универсализации решения краевых
задач на основе обобщенного анализа.
§ 2.2. Классическая теория подобия — метод характерных
(внешних) масштабов
Повышение общности результата достигается в классической те-
Жги подобия с помощью перехода к относительным переменным,
я этого и независимые переменные, и искомые — приводятся к без-
размерному виду посредством деления их текущих значений на ха-
рактерные, т. е. на параметрические значения переменных, заданные
в условиях единственности. Условия единственности отражают эффек-
ты, внешние по отношению к основному процессу, поэтому эти параме-
трические значения переменных следует рассматривать как некоторые
внешние масштабы. Одновременно с переходом к безразмерным пе-
ременным индивидуальные параметры объединяются в безразмерные
комплексы, которые таким образом представляют собой обобщенные
параметры задачи. При этом общее число переменных и параметров
задачи соответствующим образом уменьшается.
Рассмотрим в качестве примера уравнение (2.7). Будем считать,
что в условиях единственности содержится хотя бы одно значение
протяженности 10 и времени т0 (периодический процесс). Тогда безраз-
мерные координаты и время могут быть представлены в относительной
форме
У=т~' *=Т' т = ±--	(2.8)
t0 1$ ‘о то
Так как уравнение (2.7) представляет собой уравнение температур-
ного поля в среде с постоянными физическими свойствами, то вме-
сто абсолютной температуры Т можно ввести ее разностное значе-
ние 1?, отсчитанное от некоторого постоянного уровня TCf. Предпо-
ложим, что в условиях единственности помимо 7^р задано еще одно
значение температуры То (например, То — начальная температура,
а Тср — температура окружающей среды). Безразмерная разностная
температура может быть записана теперь следующим образом:
$ = £ = т~тср
*0 То-^ср-
(2-9)
Подставляя соотношения (2.8) и (2.9) в уравнение (2.7), получаем
или
|?0 _	_ <мУ0 / d2J~	д2й	Э2?\
т0	Iq уЭаГ2	ду2	dz2 J
_ а?о (92& I 92& ,
9т~ 12 \9£-2 +	+ аг2) 
(2.Ю)
(2.10')
Нетрудно видеть, что в результате этих преобразований общее число
параметров уменьшилось на три, т. к. основное уравнение по-прежне-
му содержит один параметр, а из условий единственности исчезли три
характерных значения переменных (lQ; т0; i?0).
В современной учебной и справочной литературе встречается
несколько вариантов терминологии в области теории подобия и ана-
лиза размерностей. Здесь, в основном, будут использоваться термины,
рекомендованные «Комиссией по терминологии в области теории теп-
лообмена» [119].
Прежде всего необходимо определить понятие «число подобия»
и «критерий подобия». Числом подобия называется любой безразмер-
ный комплекс, составленный из величин, существенных для данного
процесса. Число подобия, составленное из заданных по условию зада-
чи параметров, называется критерием подобия. Числа подобия (крите-
рии подобия) обычно обозначаются первыми двумя буквами фамилий
известных ученых, работавших в соответствующей области. Напри-
мер, комплекс, входящий в уравнение (2.1(У), называется критерием
Фурье (Fo = ат0/1%).
Существует и другой способ получения чисел подобия из диффе-
ренциальных уравнений задачи с помощью, так называемой, операции
приведения. Процедура получения комплексов в этом случае заклю-
чается в следующем: один член уравнения делится на другой, отбра-
сываются знаки дифференцирования и текущие значения переменных
заменяются на характерные. Получим этим способом критерий подо-
бия из уравнения (2.7):
(оЛ/х2)/(#/т) -» (а#0/12)/(#0/т0) = ^ = F0.	(2.11)
Здесь берется только одно слагаемое, входящее в лапласиан темпе-
ратуры, т. к. он является однородным оператором и по своему суще-
ству есть единое действие, которое лишь формально представляется
как сумма нескольких операций. Такой оператор в целом приводится
к одному степенному комплексу.
Число комплексов строго определяется постановкой задачи, а их
конкретный вид может в известных пределах меняться в зависимости
от выбора масштабов отнесения переменных. Если уравнение содер-
жит несколько операторов, то их можно комбинировать попарно лю-
бым способом, получая каждый раз различный набор чисел подобия.
Все эти совокупности комплексов являются, разумеется, полностью
эквивалентными друг другу (при одинаковом количестве независимых
чисел подобия). По этому поводу можно высказать и более общие со-
ображения.
Пусть при обработке некоторого уравнения получены два крите-
рия 7Г] и тг2. Требование того, чтобы они имели определенные зна-
чения, может быть заменено любым другим, ему эквивалентным. На-
пример, можно потребовать, чтобы имели фиксированные численные
значения функции ^(тгр тг2) и ./^(тгр тг2). Эти функции могут быть вы-
браны произвольно при одном ограничении: они должны образовать
систему, из которой значения ttj и тг2 определяются однозначно. Ины-
ми словами, любая комбинация критериев подобия есть также крите-
рий подобия. Наибольшее практическое значение имеет возможность
замещения критериев их степенными комбинациями. Например, ре-
шение задачи о теплоотдаче при вынужденном движении жидкости
содержит, в частности, два критерия: критерий Рейнольдса Re =
и критерий Пекле Ре = числители которых одинаковы, а знаме-
натели различны. Если взять их отношение, то получится критерий
Прандтля Рг = ^, который имеет то преимущество, что не содержит
характерных значений переменных и является безразмерной физиче-
ской константой вещества. Разумеется, комбинации Ре 4- Re; Ре 4- Рг;
Re -? Рг вполне адекватны.
Однозначность получаемых зависимостей не нарушается и при
комбинировании относительных переменных и критериев. Следова-
тельно, произведение, включающее относительную переменную и лю-
бую комбинацию критериев подобия, само является относительной пе-
ременной.
Часто в условиях единственности задается не одно, а несколь-
ко характерных значений переменных (времени, протяженности, ско-
рости и т. д.). В этом случае такого рода параметры могут входить
в конечные соотношения не только в составе комплексов, но и как
простые отношения одноименных величин, образуя критерии параме-
трического типа (параметрические критерии). Параметрические крите-
рии характеризуют свойства явлений, непосредственно определяемые
условиями задачи (без обращения к ее уравнениям), в специфической
обобщенной форме. Так, параметрические критерии геометрической
природы представляют собой размеры системы, выраженные в относи-
тельной форме, и определяют условия геометрического подобия. Ана-
логичным образом параметрические критерии физической природы вы-
ражают условия подобия соответствующих полей.
Таким образом, в самом общем случае обобщенное решение задачи
записывается в виде уравнения
£ = f	(2.12)
и0 \т0 10 10 10	1	2	1	2 J	v '
где U —искомая переменная; х1,х2,х3 — координаты; тг2;... —
критерии подобия; Р2;... — параметрические критерии.
Может создаться ситуация, когда в условиях единственности
не задается характерного значения какой-либо переменной z (искомой
или независимой). При этом нельзя привести переменную z к относи-
тельному виду z/Zq, и, кроме того, теряет значение (статус) критерия
комплекс, содержащий параметр Zq. Эту трудность легко преодолеть,
комбинируя переменную z/zq и соответствующий критерий таким об-
разом, чтобы исключить параметр В результате получается особая
форма переменной, которая образуется посредством отнесения ее те-
кущего значения не к характерному (внешнему масштабу), а к харак-
теристическому значению этой переменной (внутреннему масштабу).
Характеристическое значение переменной — ее внутренний масштаб
представляет собой степенную комбинацию, состоящую из параметров
и имеющую в совокупности ту же размерность, что и рассматривае-
мая переменная. Например, в задаче о температурном поле в твердом
теле, стремящемся к равновесию (апериодический процесс), не может
быть задано по условию задачи характерное значение времени. Поэ-
тому здесь теряет смысл относительная переменная т/т0 и критерий
Фурье Fq = otq/Iq. Чтобы исключить неизвестное значение т0, доста-
точно взять произведение этих величин и получить соответствующее
число подобия — число Фурье Fa = ат/Z2.
Этот же результат следует также непосредственно из преобразо-
вания уравнения (2.7), аналогичного (2.10) и (2.10')- Отличие состоит
лишь в том, что переменная т здесь не преобразуется. Имеем
, Э|? _ ai?o ( д2$	д2$ Э2ЗЛ
“ г2 + а^ + а£г) ;
д2$	а2&
Эх2 ду2 dz2
(2.13)
(2-14)
Таким образом, отсутствие соответствующего параметра (внеш-
него масштаба) приводит к замене относительной переменной вы-
ражением комплексного типа и выпадению одного критерия. Более
сложные случаи, когда отсутствующий параметр первоначально вхо-
дит в несколько критериев или оказываются не определенными два
(или более) характерных значения переменных, будут рассмотрены
в последующих главах на конкретных примерах.
Обратимся теперь к вопросу об условиях, необходимых и доста-
точных для подобия явлений. Пусть задана система основных урав-
нений задачи с соответствующими условиями единственности. Ее ре-
шение представляет собой соотношения, устанавливающие однознач-
ную связь между искомыми величинами и независимыми переменными
и параметрами. Этими соотношениями определяется некоторое кон-
кретное (единственное) явление. Любое другое явление, ему подобное,
можно получить, умножая каждую из содержащихся в решении вели-
чин (искомые и независимые переменные, параметры) на некоторый
постоянный, выбранный для этой величины множитель. Выбирая раз-
личные множители, получаем множество решений, которыми опреде-
ляется группа подобных между собой явлений. Эту операцию принято
называть подобным преобразованием (подробнее см. главу 5). Иными
словами, подобные явления определяются подобно преобразованными
решениями.
Первоначально понятие группы подобия противопоставлялось по-
нятию класса явлений, определенных некоторой системой дифферен-
циальных уравнений — основных уравнений задачи. Распространение
данных единичного опыта (единичного численного решения) в преде-
лах всего класса принципиально невозможно, т. к. система основных
уравнений задачи отражает лишь наиболее общие стороны явления.
Для создания областей, в которых обобщение результатов, получен-
ных численными методами, оказывается возможным, необходимо объ-
единить явления в более узкие группы. Основная идея теории подобия
как раз и заключается в выделении таких более узких групп — групп
подобия.
Если понятие группы подобия с 30-40 х годов практически не из-
менилось, то понятие класса явлений постоянно трансформировалось.
Границы этого понятие все время видоизменялись и размывались,
что в конечном итоге привело к его почти полному обесцениванию.
И определяется это прежде всего предысторией вопроса.
На самой ранней стадии разработки основ теории подобия рассма-
тривались, главным образом, задачи, которые теперь принято называть
познавательными, например, такие, как задача о температурном поле
твердого тела, о теплообмене в движущиеся среде и т. п. Естествен-
но поэтому было выделить некоторые главные факторы, определяемые
основными уравнениями задачи, и ряд других, хотя и необходимых,
но гораздо в меньшей степени существенных для понимания основ-
ных закономерностей изучаемого процесса. Иными словами, с самого
начала предполагалась постановка задачи в упрощенной форме, отве-
чающей наиболее простым условиям единственности.
Именно для такого рода задач были сформулированы условия,
необходимые и достаточные для подобия. В своей первоначальной фор-
ме они сводились к требованию тождественности основных уравнений
задачи и подобия условий единственности (однозначности). Другая,
вполне адекватная предыдущей, формулировка этих условий предус-
матривала равенство значений критериев и подобие условий единст-
венности [35].
При этом молчаливо предполагалось, что параметры комплексного
типа — критерии получаются только из основных уравнений. Отсюда
и характерное для теории подобия несколько пренебрежительное от-
ношение к критериям параметрического типа, которые, как здесь счи-
талось, получаются не из основных уравнений задачи, а из условий
гораздо менее существенных.
Однако практически сразу же возникли трудности, связанные
с использованием более сложных краевых условий (граничные усло-
вия 2-го и 3-го рода, условия на движущихся границах и т. д.). При пе-
реходе к относительным переменным здесь также могут появиться
комплексные параметры. Считать эти случаи исключением или вво-
дить какую-то более сложную классификацию вряд ли целесообразно.
Кроме того, необходимо соответствующим образом скорректировать
и условия подобия явлений, потребовав тождественности всех уравне-
ний задачи, а не только основных.
Ситуация дополнительно ухудшается при переходе к более слож-
ным задачам (например, к задаче о теплообмене в среде, параметры
которой зависят от температуры). В этом случае изменяются сами ос-
новные уравнения задачи, и требуется соответствующее уточнение по-
нятия класса явлений. Выбор системы координат существенно зависит
от геометрии тела, причем это отражается не только в условиях един-
ственности, но и в основных уравнениях. Не совсем ясно, к одному
или разным классам относить явления, которые рассматриваются в раз-
личных системах координат. И наконец, существует целый ряд задач,
в которых критерии параметрического типа получаются непосредст-
венно из основных уравнений. Наиболее характерный в этом смысле
пример — исследование процессов тепло-массообмена в двухфазных
средах. Здесь статус этих параметрических критериев (их равенство
также необходимо для подобия явлений) вообще ничем не отличается
от статуса критериев комплексного типа.
Перечень осложнений, с которыми приходится сталкиваться
при использовании понятия «класс явлений» можно продолжить. Одна-
ко и без этого совершенно ясно, что его применение даже в так называ-
емых «познавательных» задачах вряд ли желательно. Что же касается
чисто практических задач, связанных с обработкой и обобщением экс-
периментальных данных (результатов численных расчетов), то в этом
случае понятие класса явлений оказывается вообще ненужным.
В современной литературе этот термин используется все реже
и реже. Соответствующим образом трансформировалась и формули-
ровка условий, необходимых и достаточных для подобия явлений. Ча-
ще всего теперь эти условия определяются в виде принципа, согласно
которому тождественность в обобщенном виде равносильна подобию
в первоначальных переменных. Иными словами, значения критериев,
одинаковые для всех подобных между собой явлений, представляют ха-
рактерные количественные признаки каждой данной группы подобия
явлений, или, в другом представлении, каждого данного обобщенного
случая [31, 32].
Особенность обобщенного индивидуального случая заключается
в том, что он получается как высшая возможная (в новых перемен-
ных) ступень индивидуализации и вместе с тем соединяет в себе бес-
численное множество подобных явлений. Для выделения обобщенного
индивидуального случая необходимо зафиксировать численные значе-
ния всех критериев. Следует особо подчеркнуть, что предпосылкой по-
добия является фиксация значений именно критериев, а не всех без ис-
ключения чисел подобия. Что касается безразмерных независимых пе-
ременных, то их значения определяют выбор сходственных моментов
времени (гомохронность) или сходственных точек в пространстве, вне
зависимости от того, в какой форме они записываются — в относи-
тельной или комплексной. Например, критерий Фурье Fa = ara/ll —
предпосылка подобия соответствующих температурных полей, а число
Фурье Fq = o,t/1$ — безразмерная форма времени.
В задачах теории переноса часто используются уравнения вида
D1+D2 + ... + Dt = 0.	(2.15)
Здесь Dlt D2,..., DT — некоторые дифференциальные операторы, каж-
дый из которых определяет какой-то физический эффект, существен-
ный для исследуемого процесса. Относительная интенсивность соот-
ветствующих эффектов характеризуется отношениями типа
=	(2-16)
Общее число таких не сводимых друг к другу отношений, которые
могут быть получены из уравнения (2.15), равно, очевидно, (г — 1).
Любым из описанных выше способов величины dik могут быть пред-
ставлены в форме
= nt nik = ^ik Пгк >	(2-17)
где 7rit — безразмерные степенные комплексы; fli, Щ — размер-
ные степенные комплексы; nik — множители, которые зависят только
от безразмерных законов распределения переменных. Комплексы яв-
ляются особой формой представления тех знаний, которые относятся
к процессу в целом, т. е. характеризуют общие свойства, обусловлен-
ные его механизмом. Конкретные частные особенности процесса отра-
жаются в множителях nik.
Количественные исследования далеко не всегда имеют своим ито-
гом полное строгое решение. Часто можно ограничиться приближен-
ной оценкой значений величин, существенных для задачи. Такие оцен-
ки могут быть полезны не только в инженерной практике. Нередко
они применяются и в ходе строгого решения задачи для построения
правильной картины развития процесса, для выделения в ней основно-
го'и отбрасывания второстепенных частностей. В этом случае особую
роль играет то обстоятельство, что критерии подобия могут рассма-
триваться как особого рода приближенная (средняя) мера отношения
интенсивности соответствующих физических эффектов.
Такая концепция является непосредственным следствием исполь-
зования операторов типа dik, каждый из которых представляет собой
точную меру отношения рассматриваемых эффектов. Но значения этих
операторов могут быть вычислены лишь после того, как будет получе-
но решение задачи. Для вычисления степенных комплексов решения
задачи не требуется. Но при замещении относительных операторов
комплексами irik точная мера отношения становится приближенной
и в значительной мере условной. Ее следует рассматривать только
в том смысле, что одинаковым значениям критерия отвечают одинако-
вые значения относительной интенсивности рассматриваемых эффек-
тов, а большим значениям — большая относительная интенсивность.
Само по себе численное значение того или иного критерия не явля-
ется сколько-нибудь существенным. Близость этого значения единице
далеко не всегда означает, что сопоставляемые эффекты имеют интен-
сивность одного порядка. Например, влияние силы инерции не ска-
зывается на течении жидкости в трубах вплоть до значения крите-
рия Рейнольдса (средней меры отношения силы инерции к силе тре-
ния) Re = 2300.
Критерии подобия по самому их физическому смыслу характери-
зуют влияние на развитие процесса не отдельных факторов, а слож-
ных по природе эффектов в целом. Если какой-либо из этих эффектов
ослабляется настолько, что его относительная интенсивность стано-
вится пренебрежимо малой, то соответствующий критерий выпадает
из числа аргументов задачи (происходит его вырождение). Основани-
ем для утверждения о слабости влияния того или иного эффекта может
служить только анализ физических условий. Другими словами, задача
заключается в том, чтобы на основании заданных величин, характери-
зующих физическую обстановку процесса, доказать, что один из чле-
нов уравнения может быть отброшен и это не отразится на решении.
Трудно представить задачу более сложную, если отсутствует аналити-
ческое решение. Только специально поставленный эксперимент (или
особого рода численные исследования) могут внести здесь ясность.
Последовательное изменение условий эксперимента в сторону ослаб-
ления данного эффекта позволяет получить картину постепенного вы-
рождения критерия. Это создает возможность обоснованного определе-
ния начала области вырождения критерия как границы интервала его
значений, в которых, в соответствии с требуемой точностью решения,
допустимо пренебречь влиянием данного критерия как аргумента.
Таким образом, вырождение критериев — процесс постепенно
нарастающий (асимптотический) и, в сущности, всегда несет в себе
элемент приближенности. По сути дела, если ошибка, обусловленная
отбрасыванием критерия, меньше погрешности опыта (численного ре-
шения), то это и квалифицируется как достаточное условие для его
исключения из числа аргументов задачи. Разумеется, это возможно
только на основе анализа достаточно большого объема эксперимен-
тального материала.
Существует и другая причина вырождения критериев, связанная
с ослаблением влияния одного или нескольких краевых условий. На-
пример, слабо влияют условия, заданные в виде неравенств, в неко-
торых случаях можно не учитывать влияние кривизны поверхности
и т. п. Иногда характерные значения переменных, отвечающие такого
рода слабым условиям, вводятся в критерии, создавая тем самым иска-
женное представление о степени влияния соответствующего критерия.
В этих случаях оказывается более удобным, чтобы основные уравнения
в безразмерной форме не содержали критериев подобия. Проще всего
этого можно достигнуть, используя особую модификацию обобщенного
анализа — метод характеристических (внутренних) масштабов.
§ 2.3. Метод характеристических (внутренних) масштабов
Метод характеристических (внутренних) масштабов предполага-
ет образование переменных с помощью масштабов, представляющих
собой степенные комбинации параметров, имеющих в совокупности
ту же размерность, что и сама переменная. Для их определения ис-
пользуются пропорциональные преобразования вида
¥’ = ¥’+' <Р*,
(2.18)
где <р — преобразуемая переменная, <р+ — ее безразмерная фор-
ма, <pt — характеристический масштаб. Преобразуя таким образом
все переменные задачи (и зависимые, и независимые), получаем по-
сле подстановки в соответствующие дифференциальные (интегральные
или интегро-дифференциальные) уравнения систему уравнений мас-
штабных связей, каждый член которых представляет собой комбина-
цию, состоящую из множителей <pt и параметров [47].
Рассмотрим процедуру получения характеристических (внутрен-
них) масштабов на примере уравнений движения вязкой несжимаемой
жидкости
pg - grad р + /xV2w =	+ р (й grad) w; ^.19)
div й = О,
где д — вектор ускорения силы тяжести. Имеем четыре преобразуемых
переменных: w, р,хк,т (хк — координата), для которых соотношения
типа (2.18) записываются следующим образом:
w = wtw+; p = ptp+; xk = l,xk+; т = т\т+.	(2.20)
Здесь для всех координат так же, как и для всех компонент векто-
ра скорости, выбирается один и тот же множитель преобразования
(подробнее см. главу 4). После постановки соотношении (2.20) в урав-
нении (2.19) получаем следующие уравнения масштабных связей:
р w w2 W
Р9=^ = Р‘-р=Р~£ = Р^
(2-21)
из которых имеем
= у/д»; р* = pl/v2g2', lt=\J v2fg\ rt = y/v/g2.	(2.22)
Второе уравнение системы (2.19) однородно, поэтому оно не дает
никаких связей между масштабами. В безразмерной форме уравне-
ния (2.19) могут быть переписаны в виде
9+ ~ grad р+ + V2w+ =	+ (й± grad)w+;
div й+ = 0,
(2.23)
где д, = д/д — единичный вектор.
Система уравнений (2.23) не содержит критериев. Однако так бы-
вает лишь в том случае, когда число уравнений масштабных связей г
(полученных из уравнений задачи) не превышает числа преобразуемых
переменных v, т. е.
г v.	(2.24)
В противном случае безразмерные уравнения задачи будут содер-
жать (r — v) критериев. Следует отметить, что речь здесь идет о крите-
риях комплексного типа. Параметрические критерии могут появлять-
ся в уравнениях задачи и при выполнении условия (2.24) (например,
параметрические критерии, представляющие собой отношения однои-
менных параметров различных фаз в задачах для двухфазных систем).
Полная универсализация уравнений еще не означает полной уни-
версализации решения задачи в целом. Часть исключенных из уравне-
ний критериев (а иногда и все эти критерии) может появиться в без-
размерных условиях единственности. Более подробно этот вопрос бу-
дет рассмотрен в конце настоящей главы, когда будут анализироваться
краевые задачи в целом (т. е. с привлечением соответствующих усло-
вий единственности).
Как уже отмечалось, аппарат теории подобия (как ее классической
формы, так и метода характеристических масштабов) может быть при-
менен лишь тогда, когда имеется полная система уравнений задачи
и условий единственности решения. Если эти уравнения отсутствуют,
то приходится обращаться к анализу размерностей величин, сущест-
венных для рассматриваемого процесса.
§ 2.4. Анализ размерностей
Непосредственное применение основных положений теории раз-
мерностей (см. глазу 1) позволяет полностью определить структуру
обобщенного решения, составив перечень существенных для процес-
са физических величин и список первичных величин. Разумеется, эти
положения учитываются и при использовании аппарата теории подо-
бия. Уравнения задачи и условия единственности всегда формулиру-
ются с учетом требований, предъявляемых к операции с размерными
(«именованными») величинами. Однако здесь теория размерностей фи-
гурирует в несколько завуалированной форме, в то время как основу
аппарата анализа размерностей составляет тг-теорема.
В соответствии с этой теоремой, число безразмерных комплексов,
которое можно составить из существенных для процесса физических
величин, равно числу этих величин п за вычетом числа первичных ве-
личин (т. е. п — т). При этом структура этих комплексов получается
на основе определительных уравнений теории размерностей (см. соот-
ношения (1.30)-(1.35)).
Рассмотрим процедуру построения обобщенного решения на при-
мере задачи о теплообмене при вынужденном обтекании тела протя-
женностью I несжимаемой вязкой жидкостью. Искомой величиной яв-
ляется средний коэффициент теплоотдачи а. Существенными для про-
цесса, кроме того, являются величины: скорость на бесконечном уда-
лении от тела ш, температурный напор i9, изобарная теплоемкость ср,
теплопроводность А, динамический коэффициент вязкости д, плот-
ность жидкости р. Задача будет рассматриваться в системе первичных
величин М, L, T,Q, Q (кг, м, сек, К, Дж). Количество теплоты Q от-
несено к первичным величинам, т. к. здесь не происходит взаимного
превращения теплоты и работы. Таким образом, для общего числа ве-
личин, существенных для процесса, имеем п = 8 при числе первичных
величин т = 5. Число безразмерных комплексов, характеризующих
процесс, равно п — т -- 3.
В условиях данной задачи уравнение (1.30) может быть представ-
лено следующем образом:
Tr = l^a^p*pa*c*X°*w°‘’#a*.	(2.25)
В отличие от (1.30) в соотношении (2.25) введены одинаковые обо-
значения для показателей степени у первичных и вторичных величин.
Формулы размерности вторичных величин записываются в виде
[a]=QT-1L-20-1; [м] = MT^L^- [с„] = QM~l Q~l;
[p] = ML~3; [AHQT-'L-'G-1; [w] = LT"1.	1	’
Размерность первичных величин Z и ч? совпадает с их символами.
Подставляя формулы размерности (2.26) в выражение (2.25), полу-
чим условие, при выполнении которого комплекс тг будет величиной
безразмерной. Это условие в символической форме и соответствующая
ему система уравнений запишутся, как
2^ Oj — 2о£ — Оз — За4 —	+ а? .	^3 + а4 ~ х
X^-VW0? . Q-’h-Og “«€+«€	+ + J (2.27)
Ctj — 2(^2 — Од —	— Qg “I- Оу —— 0;
03	— Gg — 0;
< —^2 —	^6 — ^7= 0»
—Oj — а5 — cig + Og = 0;
. <*2 + °5 + °б = 0;
Число переменных а{(п = 8) больше числа уравнений (т = 5), потому
выразим пять переменных а{ через остальные три. Имеем
G^ — Gj Gj* ^5 "	^2 ~Г “З- Gg =	^3’
Gy — Gj G^, Gg — 0.
С учетом (2.29) уравнение (2.25) перепишем в форме
% = Z”1 аа2р,азр°^	~ “2 + “з Д ~ази)а1 - °2
Группируя величины с одинаковыми показателями степени,
тельно получаем
Pcplw wl
7ri = -l- = - = Pe:
7r2 = ^- = St;
2 pcpw
Pcp У n-
7ГЯ = -f- = - = Рг .
J А а
(2.28)
(2.29)
(2.30)
оконча-
(2-31)
Тогда обобщенное уравнение для безразмерного коэффициента тепло-
отдачи можно представить в виде
St = Д (Ре; Рг)	(2.32)
или в эквивалентной, но более привычной форме
Nu = /2(Re;Pr).	(2.33)
При большом числе переменных рассмотренный способ получения без-
размерных комплексов требует выполнения довольно громоздких вы-
числений. Существует другой путь, технически более простой и эко-
номный решения этой задачи.
Формулу размерности можно рассматривать как особую форму
записи соответствующего безразмерного комплекса. Поэтому для на-
хождения обобщенных переменных можно применять следующую про-
цедуру. По формулам размерности величин, существенных для задачи,
составляются приведенные комплексы. Если некоторые из первичных
величин не входят в число существенных для процесса, то они подле-
жат исключению. При этом получается полная система безразмерных
комплексов, число которых находится в точном соответствии с тг-тео-
ремой.
В рассмотренном примере формулам размерности (2.26) соответ-
ствуют следующие приведенные комплексы:
ar0Z2t? “ Qo ’	тг -EZaL ”2- m ’
pl3	с mt?
ъ- т;	Qo
Ar0Zt?	
Q0 ’	%6 — I •
Первичные величины т, г0 и Qo	не входят
(2.34)
в число существенных
для процесса и подлежат исключению. Это можно выполнить, напри-
мер, следующим образом:
Zl = ^ = Nu;
ТГ5	А
эт3 • эт6 _ pwl _ пе.
ТГ2	р	’
ТГ2 • ТГ4 = РСр _ рг
7Г5	А
(2.35)
Другой вариант интерпретации формул размерности, позволяющий пе-
рейти к уравнениям масштабных связей, будет рассмотрен в следую-
щем разделе.
§ 2.5. Уравнения масштабных связей
Обычно уравнения масштабных связей используются для получе-
ния структуры обобщенного решения на основе метода характеристи-
ческих масштабов [32, 47]. Однако этот способ может быть с успехом
применен и в других разделах обобщенного анализа (в классической
теории подобия и анализе размерностей).
Это обстоятельство представляется тем более существенным,
что используемый в классической теории подобия способ получения
безразмерных комплексов с помощью операции приведения нуждает-
ся в дополнительном контроле. В качестве масштабов отнесения здесь,
как правило, используются характерные значения переменных. Неко-
торые из них могут входить в довольно слабые условия, например,
в условия, заданные в форме ограничительных неравенств. Введенные
в состав комплексов (критериев), они могут создать впечатление ка-
жущейся зависимости безразмерной переменной задачи от этого кри-
терия, что, естественно, снизит универсальность полученного реше-
ния. К аналогичному результату приводит и практика разъединения
составных критериев, хотя, как известно, для обобщенного анализа
более важно число комплексов, а не их конкретный вид. Не улуч-
шает положения и стремление получить критериальные зависимости
в привычной («традиционной») форме. Для этого в число параметров
не всегда корректно вводятся, например, такие величины, как скорость
в минимальном сечении канала, его эквивалентный диаметр (для зада-
чи о теплообмене в каналах сложной формы) и т. п. Иногда в качестве
масштаба для протяженности используют величину Io = 1 м, а безраз-
мерную температуру получают делением ее текущего значения на па-
раметрическое в градусах Цельсия. Разумеется, это совершенно не до-
пустимо, т. к. эти масштабы не имеют никакого отношения к существу
рассматриваемых задач.
Вышеизложенное в какой-то мере объясняет, в частности, то па-
радоксальное положение, когда такие характеристики, как универсаль-
ный профиль скорости и общий закон сопротивления при турбулент-
ном течении жидкости в трубах, чаще всего получаются с помощью
анализа размерностей — метода, который использует меньший объ-
ем предварительных знаний, но зато обладает более жесткой систе-
мой получения комплексов с помощью определительных уравнений.
Иногда рекомендуется систему уравнений задачи использовать только
для составления перечня существенных для процесса величин, а затем
применять обычную процедуру анализа размерностей [107].
Обращение к уравнениям масштабных связей позволяет избежать
многих неясностей и связанных с этим трудностей. Однако прежде
чем непосредственно перейти к рассмотрению возможности примене-
ния этих уравнений в рамках классической теории подобия, еще раз
кратко сформулируем основные особенности различных модификаций
обобщенного анализа.
Для обобщенного анализа характерен единый принцип универса-
лизации — переход к новым переменным, включающим в себя в неяв-
ном виде параметры задачи, которые таким образом теряют роль само-
стоятельных аргументов. Этот принцип может быть реализован в двух
существенно различных формах соответственно тому, что параметры
распадаются на две группы величин, весьма несходных как по сво-
ей физической природе, так и по тому месту, которое они занимают
в математической модели процесса. Первую группу образуют пара-
метры, определяющие существенные для процесса свойства веществ.
Это физические величины, которым соответствуют формулы размерно-
сти сложной структуры, построенные из формул размерности перво-
начальных переменных. Рассматриваемые параметры входят в состав
уравнений задачи. Ко второй группе принадлежат параметры, пред-
ставляющие собой определенные частные (так называемые параметри-
ческие, или характерные) значения первоначальных переменных, из-
вестные по самой постановке задачи. Они служат средством определе-
ния конкретных особенностей физической обстановки, существенных
для развития процесса, но от него не зависящих, и вводятся через
краевые условия.
Если параметры, включенные в состав новых переменных, отно-
сятся ко второй группе, то переход к этим переменным осуществляет-
ся посредством замещения абсолютной величины z через относитель-
ную ’z = z/zq, где — характерное значение (внешний масштаб). Та-
ково начало пути, который, естественно, с логической необходимостью
приводит к совокупности результатов, получаемых в классической те-
ории подобия [32]. Преобразование переменных завершается слияни-
ем всех параметров в сравнительно небольшое число безразмерных
степенных комплексов, которые представляют собой параметры зада-
чи, преобразованной к новым переменным. Одновременно происходит
универсализация условий единственности решения (в силу очевидно-
го равенства z^ = z^/Zq = 1). В результате искомая функция, представ-
ленная в относительном виде, определяется как функция относитель-
ных независимых переменных и критериев подобия. При возвраще-
нии к абсолютным величинам из каждого частного решения возникает
множество решений, соответствующих различным характерным значе-
ниям переменных, которые в разнообразных комбинациях выделяются
из критериев в качестве индивидуальных масштабов. В конечном счете
достигается универсализация на уровне перехода от единичных явле-
ний к группам подобных явлений.
Вторая форма преобразования переменных, основанная на вклю-
чении в их состав параметров первой группы, приводит, как и в пред-
шествующем случае, к переходу от абсолютных значений переменных
к относительным. Ее особенность состоит в том, что преобразуемые
переменные и параметры представляют собой величины, размерно от-
нюдь не однородные. Эта операция производится с помощью пропор-
циональных преобразований типа (2.18), причем множители преоб-
разования (характеристические, или внутренние масштабы), состав-
ленные из параметров первой группы, первоначально не определены.
При соответствующем выборе этих множителей можно добиться, что-
бы уравнения задачи не содержали безразмерных комплексов — кри-
териев (или содержали лишь минимальное их число). Часть исключен-
ных из уравнений критериев может появиться в безразмерных услови-
ях единственности. Однако в отличие от уравнений краевые условия
могут быть подвергнуты обработке (преобразование системы коорди-
нат, отбрасывание слабых условий), что позволяет получить решение
в более универсальной форме.
Определение множителей преобразования, входящих в соотноше-
ния (2.18), осуществляется на основе уравнений масштабных связей,
которые получаются при подстановке этих соотношений в уравнения
задачи. Разумеется, все, что сказано ранее относительно обобщенно-
го и индивидуального решений (в абсолютных величинах), остается
в силе, с той только разницей, что связь между ними устанавливается
не через характерные, а через характеристические масштабы. С этой
точки зрения две рассматриваемые формы универсализации количест-
венного исследования можно различать как метод внешних (характер-
ных) масштабов и метод внутренних (характеристических) масштабов.
Итак, можно констатировать, что преобразования переменных
для обеих рассмотренных модификаций обобщенного анализа имеют
одну и ту же основу — уравнение задачи и ее краевые условия —
и одинаковую конечную цель — универсализацию результатов иссле-
дования за счет перехода к безразмерной форме решения. Следует
поэтому ожидать, что существуют такие процедуры получения обоб-
щенных переменных, которые до определенного момента также будут
совпадать. Так оно и оказывается в действительности, если при этом
использовать полную систему уравнений масштабных связей, которая
получается подстановкой соотношений (2.18) не только в уравнения
задачи (основные уравнения и краевые условия типа граничных усло-
вий 3-го рода), но и во все без исключения краевые условия. В обо-
их рассматриваемых случаях эти полные системы уравнений масштаб-
ных связей, естественно, будут совершенно тождественными. Разли-
чия возникнут лишь на следующей стадии при выборе масштабов отне-
сения переменных (внешних или внутренних масштабов). В результате
получаются две полностью адекватные друг другу совокупности безраз-
мерных переменных и параметров (критериев). Выбор одной из этих
зависимостей в первую очередь определяется ее дальнейшим назначе-
нием.
Рассмотрим процедуру получения обобщенного решения на кон-
кретном примере задачи о распределении скорости жидкости около
продольно обтекаемой пластины длиной 10. Если считать поток жид-
кости стационарным и безградиентным, то краевая задача может быть
представлена следующим образом:
(2.36)
&и, . Эи____
дх ду
u = v = 0 при у = 0; 10 х 0;
и —> v —> 0 при у—» оо;
и = ий; v = 0 при х —» ±оо.
(2.37)
Соответствующая система уравнений масштабных связей запишется
в форме
^- = ^; wt = uo; lt = l0,	(2.38)
причем масштабы отнесения протяженности lt и скорости иг для раз-
личных координат и компонент выбираются одинаковыми. Поскольку
имеется три независимых уравнения масштабных связей при двух пре-
образуемых переменных, то решение задачи в обобщенном виде долж-
но содержать один критерий.
Если в качестве масштабов отнесения выбрать характерные зна-
чения переменных (внешние масштабы) 10 и iio, то в этом случае без-
размерные распределения компонент скорости могут быть записаны
в виде
(2.39)
« - — - f f —• -2--
Uo’ l0’
«0	1 k 0 ^0
где критерий Рейнольдса Re= Краевая задача перепишется в без-
размерной форме
~ди , >-ди___1 (д2и , д2и
U дх V ду ~ Re af2 +
< — ди~	1 ( d%v . d%v
U дх + V ду — Re ag2 + g -2
ди . ду _Q.
, дх + ду ~ U’
u = v = 0 при
<	и —> 1; V—»0 при
k и = 1; v = 0 при
у->оо;
(2.40)
(2.41)
При выборе характеристического (внутреннего) масштаба скорости
w, = # соотношения (2.39)-(2.41) перепишутся в виде
1о
ди,	ди,	д^и,	д%и,
U. -ST- + V, аГ1- = —ir -I-о ;
4-^	+Эу+	0^2
Эи+	д%и+	d2v+
^ = '^Г + ’^Г:
(2.42)
ди_
(2.43)
, дх+ ду+ ~
u+ = v+ — Q
<	и+ —>• Re; ч?+ —»0
„ «+ = Re; v+ = 0
при
при
при
(2.44)
В отличие от (2.40) безразмерные основные уравнения задачи (2.43)
не содержат критерия Re, но зато этот критерий появился в безраз-
мерных краевых условиях (2.44).
Если полная формулировка краевой задачи отсутствует, но име-
ется перечень существенных для процесса величин, то и в этом слу-
чае можно получить систему уравнений масштабных связей. Нетруд-
но видеть, что формулу размерности любой величины можно рассма-
тривать как своеобразную запись уравнения масштабных связей (с
неопределенными первоначально масштабами отнесения). В только
что рассмотренном примере перечень существенных величин включа-
ет: и; v; х; у; l0; и — всего семь величин. Записывая их формулы
размерности с учетом того, что для компонент скорости и протяжен-
ностей для различных координат принимаются одинаковые масштабы
(wt и lt, соответственно), имеем
vt = ut = ltr~l =Uq; xt = y^=l0; v = l?r~l. (2.45)
w, l.
Время непосредственно не входит в число величин, существенных
для процесса, поэтому масштаб отнесения этой величины т, должен
быть исключен из рассмотрения. После выполнения этой операции
система уравнений масштабных связей становится адекватной систе-
ме (2.38) и приобретает следующий вид:
= 4); k = l0’> v	(2.46)
Итак, способ получения структуры обобщенного решения с по-
мощью уравнений масштабных связей является универсальным и мо-
жет быть использован при любом объеме предварительных знаний
(полная постановка краевой задачи, перечень существенных для про-
цесса величин). Достаточно жесткая система построения обобщенного
решения исключает здесь возможность ввести в число аргументов зада-
чи параметры, которые слабо влияют на развитие процесса или вообще
не отвечают принятой модели. В то же время этому способу присуща
и определенная гибкость, обусловленная первоначальной неопределен-
ностью масштабов отнесения, что облегчает оценку значимости того
или иного фактора и позволяет в некоторых случаях обеспечить более
высокий уровень универсализации исследования.
ГЛАВА 3
АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 3.1. Вопросы терминологии
Как уже отмечалось, в настоящее время в решении физических,
технических и технико-экономических задач все большую роль игра-
ют экспериментальные и численные методы. В связи с этим возрастает
значение обобщенного анализа как основы для рациональной постанов-
ки исследования и поиска наиболее универсальной формы представле-
ния получаемых численных результатов. Предельная степень универ-
сализации достигается в особого рода вырожденных (автомодельных)
задачах. При этом решения такого рода задач важны не только сами
по себе, но еще и потому, что они зачастую являются асимптотиче-
скими приближениями для задач более общего вида.
Термин «автомодельность» был предложен А. А. Гухманом в 1928 г.
и означал предельный случай вырождения всех безразмерных ком-
плексных параметров задачи (критериев подобия), т. е. своего рода
«автоматическое подобие». Основной для его введения послужило из-
вестное положение теории подобия, согласно которому для подобия
явлений необходимо и достаточно равенства численных значений кри-
териев, существенных для рассматриваемого процесса, и подобия усло-
вий однозначности. Т. к. критериями устанавливаются те ограничения,
которые налагаются на свободу выбора множителей преобразования,
то при автомодельности для подобия явления в целом, очевидно, доста-
точно только второго признака, т. е. подобия условий однозначности.
Таким образом, понятие автомодельности непосредственно связа-
но с вырождением критериев, которое рассматривается как процесс
асимптотический, поскольку отчетливо выраженных границ этого про-
цесса не существует [31, 35]. Каждый критерий представляет собой
особого рода количественную меру отношения двух физических эффек-
тов, поэтому вырождение критерия означает, что один из рассматри-
ваемых эффектов имеет пренебрежимо малую интенсивность по срав-
нению с другим. В этом случае число безразмерных аргументов задачи
уменьшается на единицу.
Если размерный параметр (чаще группа параметров), соответст-
вующий малосущественному эффекту, входит только в один безраз-
мерный комплекс, то содержащий его критерий просто исключается
из рассмотрения. Если же этот параметр фигурирует в нескольких
комплексах, то система безразмерных аргументов задачи должна быть
преобразована таким образом, чтобы он оказался исключенным из всех
этих комплексов. Происходит слияние критериев (или критериев и без-
размерной переменной), что также приводит к сокращению числа ар-
гументов задачи.
Выпадение одного или нескольких критериев подобия называют
иногда частичной автомодельностью явления, а предельный случай, ко-
гда решение задачи не содержит ни одного комплексного параметра —
полной автомодельностью. Таким образом, автомодельность есть осо-
бая форма проявления специфической особенности рассматриваемой
физической ситуации.
Если при переходе к безразмерной форме задача допускает умень-
шение числа независимых переменных, то в этом случае говорят,
что она имеет автомодельное решение [47]. Получается это решение
с помощью преобразования подобия, поэтому в зарубежной литера-
туре (чаще всего в немецкой) используется термин «подобное реше-
ние». При этом в двумерных задачах происходит переход от уравнений
в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям. В отечественной литературе довольно часто вообще не делается
различия между понятиями «автомодельность» и «автомодельное реше-
ние» (см., например, [8, 76, 108]). Что же касается автомодельности
как предельного случая вырождения критериев, то в книгах [76, 108]
она не рассматривается, а в монографии [8] отвечает понятию «полная
автомодельность по параметру».
Существуют и другие варианты терминологии. Например, в мо-
нографии [65] вводится понятие абсолютной автомодельности, кото-
рая непосредственно связана с сущностью рассматриваемого явле-
ния и полностью определяется постановкой задачи, и автомодельности
структурной, которая определяется подборам специальной структуры
чисел подобия. По мнению автора [65], в этом случае существенную,
если не определяющую роль играют специально сконструированные
внутренние масштабы, аналогичные динамическим масштабам скоро-
сти (vt = \/т01р) и протяженности = иу/ р/та) в теории турбулент-
ных течений.
В книге [8] предлагается различать два типа автомодельных ре-
шений — автомодельные решения первого и второго рода. При этом
явление считается автомодельным, если распределение его зависимых
переменных (характеристик) в разные моменты времени могут быть
получены одно из другого с помощью преобразования подобия (отож-
дествление одной из независимых переменных со временем является
чисто условным). По мнению автора [8], автомодельные решения полу-
чаются в тех случаях, когда параметрические значения независимых
переменных в условии задачи отсутствуют (равны нулю или беско-
нечно велики). Автомодельная задача рассматривается как предель-
ная, вырожденная по отношению к задаче более общего вида, условие
которой содержит конечные параметрические значения переменных.
Поэтому при переходе от такого рода общих задач к автомодельным
происходит вырождение соответствующих критериев, значения кото-
рых стремятся либо к нулю, либо к бесконечности.
Приводится следующая схема обоснования высказанных положе-
ний [8]. Из 7г-теоремы анализа размерностей непосредственно следует,
что любая зависимость, содержащая (n+ 1) размерную величину, —
a = /(a1;...;am;am + 1;...;an)	(3.1)
может быть представлена в виде соотношения между (п — т) безраз-
мерными комплексами
П = Ф(П1;П2;...;Пп_т),	(3.2)
где т — число первичных величин (с независимыми размерностями), а
п _______2____• п, =________am+!
111 аГ—o’—...
П = __________5b________
” т “Г” • 02" ' • • • •	’
Когда критерий ГЦ, содержащий некоторый размерный параметр am+i,
стремится к нулю или бесконечности, то функция Ф в соотноше-
нии (3.2) либо имеет конечный, отличный от нуля предел, либо
его не существует. В первом случае эту функцию можно заменить
функцией (п — т — 1) аргументов
П = Ф(П1;...;П<1;П£ + 1;...;Пп т)	(3.4)
(n — m — 1) аргумент
что соответствует полной автомодельности явления по параметру ПЦ.
Если именно параметр ГЦ делает задачу невырожденной, то его вы-
падение из числа аргументов приводит к появлению автомодельного
решения, которое называется автомодельным решением первого ро-
да. Структура соответствующих безразмерных переменных может быть
при этом получена с помощью анализа размерностей.
Во втором случае при П£ —> 0 или ГЦ —> оо функция Ф также стре-
мится к нулю или бесконечности. Здесь просто исключить величи-
ну ПЦ из числа аргументов задачи нельзя. Если же предположить,
что при П£ —> О (ПЦ —> оо) существует степенное асимптотическое пред-
ставление функции Ф в виде
Ф = П?(ГЦ;...; П,_1; П£ + 1;...; Пя_т) + 0(П“),	(3.5)
где второе слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с первым,
то и в этих условиях можно сократить число аргументов задачи на еди-
ницу. С необходимой степенью точности искомая зависимость пред-
ставляется в форме
ГЦ = Ф1(П1;...; ГЦ_,; ГЦ + 1;...; Пп_от),	(3.6)
где
п, = п • пг~а =
____________а
„P~aPm + i „9~a9m + i
al
(3.7)

Хотя здесь, как и в случае полной автомодельности, число аргументов
задачи сокращается, влияние параметра ат_^ остается существенным
и, кроме того, вид безразмерного параметра П* не может быть получен
из соображений анализа размерностей. Аналогичным образом обстоит
дело и при стремлении к нулю или бесконечности двух и более крите-
риев. В этой ситуации говорят о неполной автомодельности явления
по параметру (параметрам), а соответствующие решения вырожденных
задач называются автомодельными решениями второго рода.
Эти общие положения иллюстрируются в [8] решением задачи Ко-
ши для модифицированного уравнения теплопроводности с разрывным
коэффициентом температуропроводности х> которое встречается так-
же в теории процесса фильтрации, —
Э2и
Эи _
& “	а2«
ОТ
(3-8)
Начальные и граничные условия задаются соотношениями
и(х,О) =	(у) ; J uo(x,O)dx=Q;
—оо
и(±оо; т) = 0;
(3-9)
(3.10)
где Uq (у) — «дельтаобразная», четная гладкая функция, достаточно
быстро убывающая на бесконечности; Q, I, х, Xi — положительные по-
стоянные; х — координата; т — время.
С помощью анализа размерностей решение задачи представляют
в виде
и=^=.ф(П1:П2;П3),	(3.11)
где
П, =-4=; П2 = -^=; П3 = —.	(3.12)
1 y/XJ	1 у/ХЛ j X	'	'
При Hj —> 0 (I —> 0) оказывается, что ситуация при Xi = X и Xi X
существенно отличаются друг от друга.
В первом случае задача отвечает классическому решению уравне-
ния теплопроводности для расположенного в центре симметрии (т=0)
мгновенного источника. Существует конечный, отличный от нуля пре-
дел функции Ф(Пр П2; П3= 1) при nt —>0, и задача имеет автомодель-
ное решение
и = ч %= exp f —	(3.13)
2утгхт н 4тгхт у	'	>
Очевидно, это будет автомодельное решение первого рода и, соответ-
ственно, полная автомодельность по параметру ПР
Во втором случае при П[ = 0 функция Ф в зависимости от величи-
ны П3 = xjx либо стремится к нулю, либо к бесконечности. Однако
из рассмотрения поведения искомой функции при малых, но бесконеч-
ных значениях П[ = l/y/хт следует, что функция Ф(П1;П2;П3) имеет
степенную асимптотику
Ф = П?Ф1(П2;П3),	(3.14)
где а ± 0 при П3 / 1 (Х1 / Х).
Решение задачи в окончательном виде записывается следующим
образом:
и =	.ф ( * j*!?).	(3-15)
(X7-)(Q +1)/2	1 kvx^ X )	х '
Это решение также является автомодельным. Однако показатель сте-
пени здесь не может быть найден с помощью анализа размерностей,
и для определения его величины необходимо решить нелинейную зада-
чу на собственные значения для системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений, которая получается после подстановки (3.15) в ис-
ходное уравнение. Таким образом, в этой ситуации приходится иметь
дело с автомодельным решением второго рода и неполной автомодель-
ностью по параметру Пр
Приведенные рассуждения сами по себе не вызывают никаких сом-
нений. Однако их необходимость и целесообразность предложенной
классификации автомодельных решений не представляется бесспор-
ной. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в конце главы, а сейчас
ограничимся лишь некоторыми соображениями общего характера.
Как известно, два основных направления обобщенного анализа —
теория подобия и анализ размерностей — обычно рассматриваются
как единое целое, а их отличие определяется лишь объемом предвари-
тельной информации [32]. Объем предварительных знаний при исполь-
зовании методов подобия больше, поэтому, казалось бы, ей и должно
отдаваться предпочтение. Тем не менее и в физических, и в техни-
ческих задачах гораздо чаще применяют анализ размерностей, причем
анализ размерностей используется и в тех случаях, когда имеется пол-
ное математическое описание задачи. Связано это прежде всего с тем
обстоятельством, что для получения обобщенных переменных здесь
имеется простой и достаточно жесткий аппарат определительных урав-
нений.
Применяемый же в классической теории подобия способ полу-
чения комплексов с помощью операции приведения не всегда удо-
бен, т. к. нуждается в дополнительном контроле. Недостаточная жест-
кость этого способа иногда приводит к типичным ошибкам (подробнее
см. главу 4).
Однако существуют такие условия, которые довольно трудно учи-
тывать, используя аппарат анализа размерностей. К ним прежде всего
относятся требования, связанные с наличием в решении задачи особых
точек (например, точек разрыва функции или смены знака производ-
ной и т. д. [8]), координаты которых не задаются по условию зада-
чи и могут быть определены лишь после того, как ее решение будет
получено. Чтобы учесть такого рода условия, приходится прибегать
к некоторым дополнительным соображениям, как это было показано
в рассмотренном примере. Единого мнения как по поводу содержания
такого рода дополнительных требований, так и по методике получе-
ния автомодельного решения, в настоящее время не существует. При
их обсуждении возникают определенные разногласия, которые оказы-
ваются иногда достаточно резкими (см., например, дискуссию [9, 82],
поводом для которой послужила концепция автомодельности, предло-
женная в монографии [8]). В рамках анализа размерностей довольно
сложно также определить, насколько существенными в том или ином
случае являются сравнительно слабые условия (задаваемые в форме
ограничительных неравенств и т. п.).
В связи с этим определенные преимущества имеет метод полу-
чения безразмерных переменных и параметров с помощью уравнений
масштабных связей, который позволяет заметно упростить и форма-
лизовать эту процедуру. Все дальнейшее изложение будет строиться
применительно именно к этому методу. Что же касается предельных
форм универсализации количественного исследования — автомодель-
ности и автомодельного решения — то эти термины будут использо-
ваться в том смысле, который определен в монографиях [31, 32].
Итак, автомодельность — это предельная форма универсализации
решения задачи, которая достигается в том случае, когда это решение
не содержит ни одного параметра комплексного типа — критерия. Ес-
ли на основе обобщенного анализа — без решения соответствующих
дифференциальных, интегро-дифференциальных и т. п. уравнений —
может быть получен вид искомой функции, либо уменьшено число
независимых переменных, то задача имеет автомодельное (подобное)
решение. Строго говоря, термин «подобное решение» лучше отражает
существо дела, чем его аналог — «автомодельное решение» задачи.
Однако в отечественной литературе утвердился именно последний ва-
риант. Поэтому, чтобы не создавать дополнительной неясности, в по-
следующем изложении будет, в основном, применяться термин «авто-
модельное решение».
В дальнейшем предполагается также по возможности не пользо-
ваться понятиями «частичная и полная автомодельность», применяя
вместо первого из них.термин «вырождение критерия (критериев)».
§ 3.2. Условия, необходимые и достаточные для получения
предельных форм универсализации решения задачи
Автомодельность и автомодельное решение представляют собой
две самостоятельные предельные формы универсализации решения за-
дачи, которые не сводятся одна к другой. Высказываемое иногда мне-
ние, что автомодельное решение является более универсальной фор-
мой в общем случае не верно. Решение задачи может допускать по-
добное преобразование переменных, но при этом содержать критерии
подобия. И наоборот, — не содержать критериев, но в то же вре-
мя и не иметь автомодельного решения. Какое из них признать более
универсальным, зависит от предварительного соглашения. Например,
с точки зрения моделирования какого-то явления наличие автомодель-
ности создает определенные преимущества, т. к. в этом случае для по-
лучения искомой характеристики необходимо поставить только один
опыт. Если же в число аргументов задачи входит один или несколь-
ко критериев, то и при наличии автомодельного решения приходится
ставить серию экспериментов.
При аналитическом или численном решении задачи на ЭВМ воз-
можность осуществить преобразование подобия позволяет иногда из-
бежать сложностей принципиального характера (перейти от уравнений
частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнени-
ям). В этих условиях наличие или отсутствие безразмерных параме-
тров в решении задачи представляется не столь существенным.
Сформулируем теперь условия, достаточные для приведения зада-
чи к автомодельному виду и для получения автомодельного решения
[33, 41, 47].
Из условия непротиворечивости системы уравнений масштабных
связей непосредственно следует, что решение задачи приводится к ав-
томодельному виду, если число независимых уравнений к не превы-
шает числа преобразуемых переменных v, т. е.
к V.	(3.16)
При этом без ограничения общности можно рассматривать задачу,
в которой число переменных равно пяти (одна зависимая перемен-
ная три пространственные координаты х, у, z и время т). Искомая
функциональная зависимость приобретает вид
¥?+ = <(о+(х+;у+;г+;7-+).	(3.17)
Если система основных уравнений краевой задачи содержит несколь-
ко искомых (зависимых) переменных, то, используя соответствующие
преобразования, иногда можно эту систему преобразовать к виду, со-
держащему только одну переменную. Характерный пример — исклю-
чение давления из уравнений движения жидкости. В более сложных
случаях такого рода преобразования не могут быть осуществлены в яв-
ном виде (например, для задачи о температурном поле движущейся
жидкости, физические свойства которой зависят от температуры). Од-
нако это означает лишь то, что условие (3.16) должно применяться
для каждой переменной в отдельности с учетом предварительно ис-
пользованных степеней свободы.
Если же интересоваться только некоторой интегральной харак-
теристикой процесса Е, то выражение (3.17) упрощается и в ряде
случаев сводится к условию
Е+ = const.	(3.18)
Несколько сложнее обстоит дело, если в задаче имеется условие,
заданное в виде неравенства, которое ограничивает интервал измене-
ния переменной. Например, задача о теплообмене при свободной кон-
векции около вертикальной пластины содержит такое ограничительное
неравенство. Если принять, что действием сил инерции можно пренеб-
речь, то основные уравнения и краевые условия в безразмерной форме
могут быть представлены следующим образом:
' д+&+ + V2w+ = 0;
< w+ grad i?+ = V2i?+;
, div w+ = 0;
w+ = 0; i?+ - 0 при x+ - 0;
w+—>0; i?+ —> 0 при y+—>oo;
й+ = °; (^)ст = -1 при	y+ = o.
, _ 4Xav_. _ // g/?a3g0.	„ _ 4/ vagp
* у gfco’ * у vX ’	* V p/за3’
(3.19)
(3.20)
(3-21)
где q0 — плотность теплового потока на стенке; Н — высота пластины;
А — теплопроводность; а — коэффициент температуропроводности;
v — кинематический коэффициент вязкости; д+ — единичный вектор;
д — ускорение силы тяжести; w — скорость; и — разностная темпе-
ратура; х и у — продольная и поперечная координата, соответственно.
Для безразмерного коэффициента теплоотдачи имеем зависимость
(3.22)
Влияние параметра Н/1, никак не проявляется, т. к. этот параметр
входит только в состав ограничительного неравенства и выражение
(3.22) может быть записано в форме
<*+ = /2(®+)-
(3.23)
Единственное ограничение, которое содержат уравнения задачи, вы-
ражается неравенством 0 х+ р. Оно не нарушает автомодельно-
сти и означает лишь то, что для эксперимента (численного расчета)
должна быть выбрана пластина достаточно большой высоты. В этих
условиях для получения зависимости (3.23) нужно выполнить только
один эксперимент (один вариант численного расчета).
В технических приложениях обычно ограничиваются средним
по высоте значением коэффициента теплоотдачи, определяемым урав-
нением
, н
а = -jj J a(x)dx,	(3.24)
о
или в безразмерном виде
- _ t (
(3.25)
Нетрудно видеть, что и зависимость (3.25) может быть получена с по-
мощью того же единственного опыта, который использовался для на-
хождения конкретного вида функции в выражении (3.23)1
Если определение некоторой интегральной характеристики не тре-
бует осреднения по поверхности или объему, то в безразмерном виде
она является величиной постоянной и может быть представлена в фор-
ме (3.18). Характерный в этом смысле пример — соотношение
La =	= const,	(3.26)
точнее
La—Y^~ = const	(3.27)
в первой области автомодельности гидродинамического сопротивления
при стабилизировавшемся ламинарном течении жидкости в трубах.
Здесь La — число Лагранжа; Др — перепад давления; d — диаметр
трубы; /а — динамический коэффициент вязкости; w0 — средняя рас-
ходная скорость; L — длина трубы.
При обсуждении условий, при которых задача имеет автомодель-
ное решение, ограничимся рассмотрением одномерных и двумерных
задач. Эти задачи представляют наибольший интерес, т. к. в первом
случае наличие автомодельного решения дает возможность определить
вид искомой функции, а во втором — означает переход от уравнений
в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям.
Сформулируем теперь следующее положение. Для существования
автомодельного решения необходимо и достаточно выполнения усло-
вия
fc, < v,	(3.28)
где к{ — число независимых уравнений масштабных связей за выче-
том тех из них, которые не содержат масштабы отнесения соответст-
вующих переменных. В частности, к ним относятся те связи, которые
приводят к появлению в числе аргументов задачи критериев, состав-
ленных только из физических параметров (критерий Прандтля в за-
дачах конвективного теплообмена; показатель адиабаты в уравнениях
газодинамики и т. п.).
Для существования автомодельного решения одномерной зада-
чи к{ должно быть равным единице, a v = 2. В этом случае уравнение
для безразмерной переменной может быть представлено в виде
^- = ¥,Пг," = ¥)+(^;7г1;7Г2;...;7Гт))	(3.29)
где П — размерный степенной комплекс, составленный из параметров;
lt — характеристический масштаб для протяженности;^;^;...
.. .7rm — критерии подобия, не содержащие масштабов отнесения пе-
ременных. Масштаб остается неопределенным, поэтому должна су-
ществовать возможность его исключения из состава уравнения (3.29).
Для этого он должен входить в правую часть этого уравнения в виде
множителя Таким свойством обладают лишь безусловно гомоген-
ные функции [32]. Иными словами, функция у>+ должна представлять
собой степенной одночлен.
Иногда оказывается невозможным записать решение задачи в фор-
ме (3.29) относительно переменной р, но удается получить аналогич-
ную форму записи для ее производной (или для величины ей пропор-
циональной). Если речь идет о первой производной, то имеем
^ = £-en = ^(j;7ri;7r2;...;7rm))	(3.30)
откуда непосредственно следует, что при любом п 1 распределе-
ние р+ также будет степенным, а при п = 1 — логарифмическим.
Наиболее известный пример — логарифмический профиль осреднен-
ной скорости в турбулентном потоке жидкости около твердой стенки.
Разумеется, никаких дополнительных трудностей не возникает, если
в качестве независимой переменной взять время т.
Итак, автомодельные решения одномерных задач всегда выража-
ются через степенные или логарифмические функции (последняя име-
ет степенную производную и может рассматриваться как своего рода
вырожденная степенная функция).
Перейдем теперь к рассмотрению двумерных задач. Из условия
(3.28) непосредственно следует, что при v = 3, должно быть ку =2. Ва-
риант = 1 является частным случаем более общего условия. Здесь
удается сначала уменьшить число переменных, а затем получить од-
ну переменную в виде степенного комплекса, содержащего все пер-
воначальные переменные. Характерным примером является процедура
получения на основе обобщенного анализа уравнения состояния иде-
ального газа (см. главу 7).
При fcj = 2 соответствующая система уравнений может быть пред-
ставлена следующим образом:
^ = ¥,+ (^;^;7Г1;7Г2:---:7Гт)	(3‘31)
или (переменные хит)
^ = v+	(3-32)
Из двух определительных уравнений, содержащих три характеристи-
ческих масштаба, найдем связь между последними в виде
^ = П^;^ = П21^	(3.33)
т+ = П3^;^ = П4^.	(3.34)
Тогда выражения (3.33) и (3.34) могут быть переписаны, соответст-
венно, как
V = ч>+ч>. = п2Q<pl+ I Л; zzAq-; 7Ti; тг2;  •	=
\ 1* н1‘ь	/
= П2х’’^2+	> (3-35)
¥’ = ¥’+¥’, = П4г"<¥>1+	тг2;...; тгт) =
= П4х"^2+	7Г1; тг2;...; тгт) . (3.36)
Поскольку масштаб может быть выбран произвольно; то из усло-
вия независимости <р от получаем
¥’+ = гф? = (^+(гчт7:7Г*;7Г2;-- ;7Г-) -	<3-37>
¥’+ = п^ = ¥’з+ (т^й;:7Г1;7Г2:---:7Г-) •	<3-38>
Существование и единственность решения краевой задачи принима-
ется априори, поэтому тем самым происходит переход от двумерной
задачи к одномерной (относительно новой переменной), т. е. к обык-
новенным дифференциальным уравнениям.
Иногда может создаться впечатление, что условие (3.28) не со-
блюдается. Это происходит, если новые переменные получаются инту-
итивно. После подстановки найденных соотношений в уравнения зада-
чи ее решение действительно оказывается автомодельным, но при этом
часть членов исходных уравнений обращается в нуль. А это означает,
что найдено частное решение общей системы уравнений, которое бу-
дет справедливо лишь в том случае, когда членами, обратившимися
в нуль, можно пренебречь.
Проиллюстрируем изложенное на примере задачи Кармана о по-
граничном слое на диске, равномерно вращающемся в безграничной
жидкости. Рассматриваемая задача обычно записывается в цилиндри-
ческой системе координат следующим образом [77]:
ди г»2	ди	1 др
дг	г	dz	р dr
dv , uv , du dz
Ud^ + - + wd-z = V '
d2u , d /u\ , d2u .
Sr2 \ r / +	’
d2v , d (v\ , d2v .
dr2 +dr \r)+ &2] ’
dp , d2w , 1 dw , d2w
d-z + " ^ + ^ + ^2	=
(3.39)
дш	dw	1 др
дт	dz	р dz
ди и , dw_____
dr + г + dz ~
( и = w = 0; v = гш при z = 0;
( и = v = 0	при z —> оо.
(3-40)
где и, v, w — радиальная, азимутальная и нормальная к плоскости ди-
ска компонента скорости; ш — угловая скорость.
Соответствующая система линейно-независимых уравнений мас-
штабных связей имеет вид
2	2
к*	U* р* VU* VU*
^ = ^ = ~ = 'р^ = ~г2=~£'	(3.41)
= rt ш.
Условие (3.28) не выполняется, т. к. ki = v = Q. Тем не менее, при под-
становке в (3.39) и (3.40)
и = ruiffr]); v = гшд(т]); w = y/vuhfr]);
р = ришР(т]); г/ - z\J w/v.
(3.42)
получается система обыкновенных дифференциальных уравнений с со-
ответствующими граничными условиями. Но нетрудно убедиться,
что при этом обращаются в нуль следующие величины:
Э2ц _	d	/и\	.	d2v.	д	/у\
Qj.2 ’	dr	\ г )	’	Qj.2 ’	dr	\ г ) ’
din.	dp.	d2w.	dm
U dr ’	dr	’	Qj.2 ’	dr	’
(3-43)
Следовательно, получено решение не системы (3.39), а гораздо более
простой системы с теми же граничными условиями (3.40)
dii vZ
Ufr--
dv , uv , du
Ud?+~ + w^ =
din	1 dp	,
W-=- =--~s~	+	V
dz	pdz
ди и , din _л
dr + г + dz ~
du	d2u
&	dz2
d2v
V dz2'
d2w
dz2'
(3-44)
Для системы (3.44) условие (3.28) соблюдается, т. к. число линейно-не-
зависимых уравнений масштабных связей сокращается до 5, а число
преобразуемых переменных по-прежнему равно 6, причем соотноше-
ния (3.42) получаются с помощью обычного стандартного приема.
И наконец, отметим своего рода «сверхпредельную» универсали-
зацию задачи, когда одновременно имеет место автомодельность и ав-
томодельное решение. При этом fc, — к и условия существования этих
предельных случаев решения (3.16) и (3.28) перепишутся в виде к v
и к <v, соответственно. Второе условие является более жестким, поэ-
тому в данной ситуации автомодельное решение может рассматривать-
ся как частный случай автомодельности, соответствующий большей
степени универсализации. Здесь решение обладает достоинствами обе-
их предельных форм: для его реализации достаточно одного варианта
численного решения (одного опыта) — преимущество автомодельно-
сти; искомая функция зависит от меньшего числа независимых пере-
менных — достоинство автомодельного решения.
До сих пор при рассмотрении автомодельных решений краевых
задач намеренно не делалось различия между автомодельными реше-
ниями первого и второго рода (согласно терминологии, принятой в мо-
нографии [8]). Объясняется это прежде всего тем обстоятельством,
что основной принцип, по которому они противопоставляются, — воз-
можность (или, наоборот, невозможность) получить автомодельное ре-
шение задачи с помощью анализа размерностей — оказывается здесь
не существенным. При получении безразмерных комплексов на основе
уравнений масштабных связей теория размерностей непосредственно
(так сказать, в чистом виде) не используется, хотя, конечно, само мате-
матическое описание любого процесса строится с учетом размерностей
физических величин.
Рассмотрим процедуру получения решения модифицированной за-
дачи о мгновенном тепловом источнике с помощью уравнений мас-
штабных связей. Система этих уравнений, которая получается из вы-
ражений (3.8)-(3.10) имеет следующий вид:

(3-45)
(3.46)
Как непосредственно следует из соотношений (3.45)-(3.46), решение
задачи содержит только один критерий xjx< не включающий масшта-
бов отнесения переменных, поэтому fcj = v = 3. Следовательно, в такой
постановке автомодельного решения задача не имеет.
В таком случае искомая функция может быть представлена в без-
размерной форме как
,, (е.. та. хА
Q ~ I' г2 - х ) ’
(3-47)
или
Q ^+\Va' Jxr’ х ) ’
(3.47')
Поставим теперь следующий вопрос. Какова должна быть структура
соотношения, которым необходимо заменить два уравнения масштаб-
ных связей (3.46) для того, чтобы задача имела автомодельное реше-
ние? Нетрудно видеть, что это соотношение в самом общем случае
записывается в виде
и, = А1°,	(3.48)
где А — размерный степенной комплекс, составленный из параметров.
Выражение для искомой функции может быть теперь записано в форме
Al- -ui+ j2> Х2
(3-49)
или
(3 50)
И в силу произвольности выбора масштаба lt окончательно получаем
или
<3-52»
При этом для единственности решения задачи необходимо, чтобы
величина показателя а однозначно определялась значением крите-
рия xi/x.
Непосредственно ясно, что соотношению (3.48) удовлетворяет
сингулярное начальное условие
J х~а ~ *u(a;, 0)dx = А.	(3.53)
—оо
Это условие полностью отвечает тем требованиям, которые предъявля-
ются к начальной функции для того, чтобы решение рассматриваемой
задачи существовало и было единственным [50]. То же обстоятельство,
что показатель а может быть вычислен только после решения соответ-
ствующей задачи на собственные значения, с точки зрения получения
структуры автомодельного решения существенного значения не имеет.
Как уже неоднократно отмечалось ранее, существование и единст-
венность решения краевой задачи принимается априори, поэтому с по-
мощью уравнений масштабных связей в самом общем случае можно
получить структуру безразмерных переменных, определяющих автомо-
дельное решение. Для этого необходимо лишь, чтобы математическая
постановка задачи содержала все без исключения необходимые усло-
вия, в том числе и соотношения, которыми определяется ее существо-
вание и единственность решения (аналогичные (3.53)). Поэтому вряд
ли можно согласиться с утверждением автора книги [8], что до полу-
чения полного неавтомодельного решения соответств)пощей невырож-
денной задачи даже при наличии явной математической формулировки
задачи нельзя определить, с каким случаем (автомодельное решение
первого и второго рода) приходится иметь дело.
В связи с этим рекомендацию автора [8] «последовательно пред-
полагать возможные ситуации при малых (больших) параметрах подо-
бия ... и сравнивать соотношения, получаемые в том или ином предпо-
ложении с данными численного счета, эксперимента или результатами
аналитического исследования» ([8], стр. 91) следует относить, по-види-
мому, только к некорректно поставленным краевым задачам, имеющим
некоторую степень свободы (например, к задачам турбулентных тече-
ний).
Вопросы, связанные с анализом такого рода некорректных задач,
и, в частности, с особенностями использования в этих условиях метода
характеристических масштабов, будут специально рассмотрены в гла-
ве 8. Здесь же отметим лишь то обстоятельство, что значение показате-
ля а в задачах этого типа чаще всего может быть получено с помощью
обработки экспериментальных данных. Если же учесть, что многие мо-
нотонно возрастающие или убывающие функции на отдельных участ-
ках хорошо аппроксимируются степенными зависимостями, то считать
возможность представления искомой зависимости в степенной форме
аргументом в пользу существования автомодельного решения второго
рода можно лишь с известной осторожностью.
Таким образом, можно констатировать, что при использовании
уравнений масштабных связей разделение автомодельных решений
на две группы для корректно поставленных задач вряд ли целесооб-
разно, а для некорректных (имеющих некоторую степень свободы) —
по меньшей мере, не обязательно.
Разумеется, сказанное ни в коей мере не означает, что способ ре-
шения задач, основанный на привлечении сингулярных краевых усло-
вий является бесполезным. Необходимо только в каждом конкретном
случае доказывать возможность и целесообразность его применения.
ГЛАВА 4
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ОБОБЩЕННОГО АНАЛИЗА
§ 4.1. Теория подобия и анализ размерностей
Как уже неоднократно отмечалось, различие двух основных форм
обобщенного анализа — теории подобия и анализа размерностей —
определяется прежде всего различием в объеме предварительных зна-
ний. Для использования любой модификации теории подобия (ее клас-
сического варианта или метода характеристических масштабов) необ-
ходимо иметь замкнутую систему уравнений, определяющих рассма-
триваемый процесс. В случае краевой задачи математической физики
эта система включает основные уравнения и краевые условия.
Для применения аппарата анализа размерностей такая полная
и правильная (в аналитическом смысле) постановка задачи не явля-
ется обязательной. Здесь требуется лишь определить ее тип, выбрать
систему размерностей и составить перечень существенных величин.
На основе теоремы Бакингема, используя полученные совокупности
существенных и первичных величин, можно без труда найти и число
безразмерных комплексов, и их структуру.
Однако простота получения структуры решения задачи с помощью
анализа размерностей чаще всего бывает только кажущейся. Качество
полученного решения в первую очередь определяется тем, насколько
удачно был составлен перечень существенных и первичных величин.
Если перечень существенных величин окажется неполным, то,
в свою очередь, получится неполной и система безразмерных комплек-
сов. Из обобщенного уравнения выпадет один из аргументов, и резуль-
тат полностью потеряет практическую ценность, либо полученная за-
висимость будет носить частный характер. Если же в совокупность
существенных будет включена лишняя величина, то в обобщенном
уравнении появится лишний аргумент, который неоправданно ослабит
решение.
Еще более неприятны последствия ошибок, связанных с выбором
первичных величин. Неоправданное увеличение их числа, как прави-
ло, приводит к полной бесполезности полученного решения. На пер-
вый взгляд это противоречит известному утверждению о том, что чис-
ло первичных величин можно изменять [32, 107]. Однако необходимо
помнить, что всякое дополнительное увеличение их числа с необходи-
мостью должно приводить к появлению среди аргументов задачи соот-
ветствующего количества размерных постоянных, поэтому число полу-
чаемых безразмерных комплексов должно оставаться при этом неиз-
менным. Если же из-за неправильного понимания физического суще-
ства задачи какая-либо первичная величина будет отнесена к числу
вторичных, то здесь также произойдет неоправданное ухудшение ре-
шения за счет появления дополнительного безразмерного аргумента.
Классическим примером трудностей, возникающих при использо-
вании анализа размерностей, может служить задача о теплообмене
между твердым телом и омывающей его невязкой жидкостью, которая
стала предметом известной дискуссии между Релеем и Рябушинским
[Nature, 1915, с. 66, 591, 644].
Релей рассматривает стационарный процесс теплоотдачи невяз-
кой жидкости, обтекающей твердое тело фиксированной формы и дви-
жущейся на бесконечном удалении от него с постоянной скоростью.
Перечень существенных для процесса величин включает искомую ве-
личину— тепловой поток Q; характерный размер обтекаемого тела I;
скорость жидкости на бесконечности v; температурный напор ДТ;
равный разности между постоянной температурой тела и температу-
рой жидкости на бесконечности; объемную теплоемкость жидкости с'
и ее теплопроводность А. Таким образом, общее число существенных
величин п = 6. Совокупность первичных величин включает: длину,
время, количество теплоты и температуру (т = 4). В соответствии
с теоремой Бэкингема число безразмерных комплексов определяется
как п — т = 2. Решение задачи, полученное Релеем, имеет следующий
вид:
(4.1)
или в более привычных обозначениях
Nu = /(Pe),	(4.2)
где Nu = у- ~ у^Т’, Ре =	а — коэффициент теплоотдачи;
а — коэффициент температуропроводности.
Возражения Рябушинского сводятся к тому, что температура, ко-
торая включена Релеем в число первичных величин, должна быть пе-
реведена в разряд вторичных, т. к. в соответствии с кинетической те-
орией газов она может быть выражена через среднюю кинетическую
энергию молекул. Соответственно искомое решение будет содержать
три безразмерных комплекса и может быть представлено в форме
nfc = /(^'’lS)	(4.3)
В своем ответе Релей отмечает парадоксальность положения, когда уг-
лубление знаний о природе теплоты в молекулярной теории приводит
к ухудшению решения частной задачи, и отмечает, что «решение пара-
докса состоит, по-видимому, в том, что в уравнениях Фурье содержит-
ся такое предположение о природе теплоты и температуры, которого
нет в аргументах Рябушинского.»
В настоящее время решение этой проблемы хорошо известно. Де-
ло заключается в том, что постановка задачи Релея соответствует кон-
тинуальной физической модели, которой в корне чужды молекуляр-
ные представления. Поэтому она принципиально не может включать
определение температуры на основе молекулярно-кинетической тео-
рии строения вещества [32].
Таким образом, решение Релея совершенно правильно, хотя его
практическая ценность не велика. В то время, когда была написана
эта статья, не существовало ясного представления о влиянии присте-
ночных эффектов и, в частности, процессов, происходящих в вязком
подслое. Как известно, именно эти процессы чаще всего определяют
интенсивность теплообмена между жидкостью и твердым телом, в том
числе и жидкостью малой вязкости. Поэтому решение задачи о тепло-
обмене в невязкой жидкости по самой своей постановке имеет весьма
ограниченное применение. Лишь в некоторых, достаточно специфиче-
ских случаях, решение Релея может рассматриваться как предельный
случай более общего решения, учитывающего влияние вязкости и по-
тому зависящего от двух критериев (Ре и Re).
При использовании аппарата анализа размерностей достаточно
часто приходится сталкиваться с серьезными трудностями, которые
связаны с нахождением совокупностей первичных и существенных
для процесса величин. Поэтому в ряде книг (см., например, [8, 107])
рекомендуется применять с этой целью уравнения задачи. Действи-
тельно, составление перечня существенных величин в этом случае
не составляет особого труда. Однако и здесь проблема выбора первич-
ных величин не всегда может быть решена полностью. В связи с этим,
на наш взгляд, представляется более целесообразным для определения
структуры обобщенного решения использовать уравнения масштабных
связей. При этом структура решения получается на основе стандарт-
ных операций и не требует привлечения каких-либо дополнительных
соображений.
Преимущество использования уравнений масштабных связей ста-
новится еще более существенными при расширенной трактовке теоре-
мы Бакингема, связанной, с так называемым, «добавлением Хантли»
[61, 120]. Рассмотрению этого вопроса посвящается следующий раздел
настоящей главы.
§ 4.2. Теорема Бакингема и «добавление Хантли»
Как известно, теорема Бэкингема утверждает, что число безраз-
мерных комплексов, которое можно составить из п физически разно-
родных величин, равно п — т, где т — число первичных величин.
Совершенно ясно поэтому, что если бы было возможно каким-то обра-
зом увеличить число первичных величин без изменения общего числа
величин, существенных для процесса, то это бы привело к улучшению
решения за счет уменьшения количества безразмерных комплексов.
В книге Хантли [120] с этой целью предлагается использовать
«дифференцированные» (векторные) единицы измерения некоторых ве-
личин. Так единица длины L разлагается на три — Lx, Ly, Lz, кото-
рые имеют различные значения. При этом число первичных величин
увеличивается на две, а число безразмерных комплексов на два умень-
шается. Высказывается также предложение увеличить число первич-
ных величин, придав единице длины (протяженности) положительное
и отрицательное значение. Другой способ сокращения числа комплек-
сов заключается в выборе различных единиц массы как меры инер-
ции и как меры количества вещества М^.
Аналогичные идеи высказывались и до выхода книги Хантли
(см., например, [13]). Однако, несмотря на это, а также на то об-
стоятельство, что автор книги [120] непосредственно не использует
теорему Бэкингема, существует формулировка тг-теоремы, которая на-
зывается «добавлением Хантли». В соответствии с этой измененной
редакцией тг-теоремы число безразмерных комплексов меньше или рав-
няется разности между общим числом величин и числом первичных
величин [61].
Уменьшение числа комплексов может достигаться за счет увели-
чения числа переменных и параметров, имеющих независимые еди-
ницы измерения. Иными словами, для некоторых однородных величин
(ортогональные координаты, масса инерционная и «тяжелая») искусст-
венно выбираются различные масштабы отнесения. В некоторых слу-
чаях такой подход оказывается достаточно эффективным. Однако как
раз с помощью анализа размерностей эти масштабы отнесения уда-
ется определить довольно редко. И связано это прежде всего с тем
обстоятельством, что с его помощью (даже при наличии строгой мате-
матической постановки задачи) нельзя выяснить, содержатся в задаче
ограничительные условия на выбор независимых масштабов отнесения
для однородных величин или нет. Между тем это нетрудно сделать
с помощью уравнений масштабных связей.
Предположим, что основное уравнение задачи содержит лапласи-
ан некоторой переменной
V2U- —+ —+ —	(4 4)
V U~ dJ + ft,2 + &2’
Выберем масштабы отнесения	(з* для переменных и, х, у, z,
соответственно. Тогда из (4.4) может быть получена следующая систе-
ма уравнений масштабных связей
(4-5)
или
h. = b = h>-	(4.6)
Из соотношений (4.6) непосредственно следует, что в рассматриваемой
задаче нужно выбирать одинаковые масштабы отнесения для всех трех
координат. Если же все-таки принять их различными, то в решении
дополнительно появятся два параметрических критерия вида
и никакого улучшения решения, естественно, не будет.
В качестве более сложного примера рассмотрим основные уравне-
ния двумерной задачи о безградиентном течении вязкой несжимаемой
жидкости
ди . ди
U^ + Vd^ = U
ди . ди
U^ + vd^ = V
ди , ди__л
дх + ду -и-
Э2и , Э2и \
дх2 ду2) ’
д2у Э2 у \
дх2 + ду2 ) '
(4-7)
Здесь различные масштабы выбираются не только для каждой из коор-
динат (llt; l2i), но и для компонент скорости (ut; v,). Соответствующая
система уравнений масштабных связей запишется тогда в виде
U* f* у у
откуда непосредственно следует
гь = ^:	4 = ^.
(4-8)
(4-9)
Естественно, что и в этом случае выбор различных масштабов отнесе-
ния однородных величин не приносит успеха.
Обратимся теперь к анализу этой же задачи в приближении тео-
рии пограничного слоя. Основные уравнения задачи упрощаются и выг-
лядят теперь следующем образом:
д2и .
"эу2’
(4.Ю)
Соответствующие уравнения масштабных связей представлены здесь
двумя соотношениями для четырех масштабов отнесения
и*   f+	у
^1* ht l$t'
(4.11)
И в данном случае имеются определенные ограничения в выборе мас-
штабов, однако они не являются абсолютно жесткими, и задача обла-
дает определенной степенью свободы. Это и позволяет получить суще-
ственное улучшение решения.
Таким образом, рассмотренные примеры показывают, что возмож-
ность и полезность выбора различных масштабов отнесения для от-
дельных компонент векторных величин определяется конкретным со-
держанием задачи. Как правило, выбор такого рода масштабов оказы-
вается целесообразным при исследовании вырожденных задач. Обычно
их анализ возможен лишь на основе соответствующей системы урав-
нений. В этих условиях существенные преимущества имеет метод, ис-
пользующий уравнения масштабных связей.
Что же касается различных единиц массы (инерционной и «тяже-
лой»), то при анализе математической постановки задачи с помощью
уравнений масштабных связей вопрос их выбора чаще всего вооб-
ще не возникает. Как показывает анализ примеров, заимствованных
из книги Хантли [120], иногда такое разделение единиц измерения
массы в принципе оказывается некорректным. Некоторые из этих при-
меров, в которых иллюстрируются и в какой-то мере детализируются
высказанные здесь соображения, приводятся в последующих разделах
настоящей главы.
§ 4.3.	Задача о дальности полета пули
Книга Хантли [ 120] посвящена демонстрации возможностей мето-
да анализа размерностей на примере решения различного рода физи-
ческих и технических задач. Значительная их часть рассматривается
с использованием «дифференцированных» единиц измерения некото-
рых первичных величин. При этом автор применяет следующую схему.
Сначала приводится традиционное для анализа размерностей
решение задачи, в которой разность между числом существенных
для процесса и первичных величин больше единицы. Естественно,
что ее обобщенное решение содержит два или более безразмерных
комплекса, и конкретный вид функции, которой устанавливается связь
между ними, не может быть определен на основе анализа размерно-
стей. Затем число первичных величин, за счет применения «диффе-
ренцированных» единиц измерения, увеличивается и получается ре-
шение, содержащее только один безразмерный комплекс. Таким об-
разом, это решение оказывается более универсальным (определенным
с точностью до произвольной постоянной).
Для большинства этих задач можно записать замкнутую систему
уравнений. Это позволяет рассмотреть их решение с помощью уравне-
ний масштабных связей и установить, в каких случаях действительно
возможно его улучшение. Попутно решается вопрос о корректности
некоторых приемов, используемых в книге [120].
Начнем с рассмотрения одной из самых простых задач, приведен-
ных в книге [120], — задачи о дальности полета пули, которая выпу-
щена на высоте h от земной поверхности в горизонтальном направле-
нии. Перечень существенных для решения задачи величин включает
дальность полета R, начальную скорость пули и, начальную высоту h
и ускорение силы тяжести д. Формулы размерностей этих величин:
L ; LT~\ L ; LT~2, соответственно (L — символ длины, Т — символ
времени).
В книге. [120] искомая зависимость представляется в виде
R = Cuahbgd	(4.12)
(С —произвольная постоянная), а соответствующая ей формула раз-
мерностей как
L = (LT~1y Lb(LT~2)d.	(4.13)
Зависимость (4.13) приводит к следующей системе соотношений меж-
ду тремя неизвестными показателями степени
1 — а И- Ь + d‘,
0 = —а — 2d,
(4.14)
откуда непосредственно следует
£=с(М-	<415>
таким образом показатель степени а остается неопределенным, и по-
учить универсальное решение задачи не удается.
Можно попытаться улучшить это решение за счет увеличения чис-
ла первичных величин. Однако, прежде чем переходить к дальнейшему
анализу, необходимо сделать некоторые замечания.
Автор книги [120] с самого начала полагает, что искомую функ-
цию можно представить в степенной форме (4.12). Такое существенное
ограничение вида функции вряд ли может быть оправдано незначитель-
ным упрощением выкладок, которое достигается по сравнению с ис-
пользованием строгого способа получения безразмерных комплексов
на основе теоремы Бэкингема. Поэтому при рассмотрении последую-
щих примеров сразу будет применяться традиционный аппарат анали-
за размерностей, позволяющий получить решение в самом общем виде
(см. главу 2).
Для данной задачи из тг-теоремы непосредственно следует, что чи-
сло безразмерных комплексов будет равно двум (п — т = 4 — 2 = 2),
а для искомого комплекса тг можно записать соотношение
Tr = R^u^h^g^.	(4.16)
Условие безразмерности этого комплекса можно получить, подставив
формулы размерностей в выражение (4.16), в форме
£“1£‘ьг7’-“2£“а£‘Ч7’-2<Ч = 1.	(4.17)
Отсюда следует система уравнений связи между неизвестными пока-
зателями степени
( а, + аг + Од + а4 = 0,	.. .
1-02- 2о4=0,	(418)
или
Oj = а4 — а^',	02 = —2а4.	(4-19)
С учетом соотношений (4.19) выражение (4.16) перепишется в виде
7г = Яа4-^и-2а4Лазра4.	(4.20)
Группируя величины с одинаковыми показателями степени, оконча-
тельно получаем
^=1;	(4-21>
# =	ИЛИ	(4.22)
Предположим теперь, что масштабы отнесения для горизонталь-
ной (х) и вертикальной (z) координат можно выбрать различными. То-
гда вместо одной первичной величины L будем иметь две — Lx и Lz.
В соответствии с теоремой Бакингема решение задачи теперь будет
содержать только один безразмерный комплекс (п — т —4 — 3 = 1).
Аналогично соотношениям (4.16)-(4.22) имеем
тг = Ra' u^h^g0*;
[R] = LX, [и] = 1хТ~1; [h] = L,; [g] = LxT~2;
L^L^T~^L^L^T~2a* = l;	(4.23)
aj + 02 = 0; Оз + a4 = 0;	—— 2a4 = 0;
тг= R^u-^h-0’5^ p°’5ai.
Таким образом, получается универсальное решение задачи в виде
тг = ^	= const.	(4.24)
Рассмотрим теперь уравнения, определяющие задачу. Если поме-
стить начало координат в исходную точку полета пули и вертикальную
ось направить вниз, то основные уравнения с соответствующими на-
чальными условиями имеют следующий вид:
j2„
= 0;
$	(4-25)
az
, dr2 “ 9’
х = 0; z — Q; ^ = и; = ® прит = 0.	(4.26)
Нетрудно видеть, что система уравнений (4.25), (4.26) распадается
на две совершенно самостоятельные части
yf=O; х = 0; ^ = иприт = 0;	(4.27)
^ = д- z=0; £ = 0 при т = 0.	(4.28)
Но это как раз и означает, что масштабы протяженности для коор-
динат х и z можно выбирать различными. Никаких дополнительных
комплексов в обобщенном уравнении при этом не появится, т. к., по
сути дела, соотношения (4.27) и (4.28) представляют собой две отдель-
ные задачи.
Для каждой из них имеется лишь одно уравнение масштабных
связей при двух преобразуемых переменных
х, г и у- = U (для первой из них),	(4.29)
z, т и = д (для второй).	(4.30)
г.
Поскольку в обоих случаях число преобразуемых переменных на еди-
ницу больше числа уравнений масштабных связей, обе задачи имеют
автомодельные (подобные) решения, которые с помощью обычной про-
цедуры их получения (см. главу 3) могут быть записаны в виде
=	=	(4.31)
Выражения (4.31) можно представить в форме
^71=^-	(4-32)
которая эквивалентна соотношению (4.24).
Таким образом, можно констатировать, что универсализация ре-
шения оказалась возможной лишь потому, что по самой ее постановке
задача обладает особым свойством, которым и обусловлена свобода вы-
бора независимых друг от друга масштабов протяженности для обеих
координат.
§ 4.4. Интенсивность теплоотдачи при свободном движении
жидкости
В соответствии с принятой в книге [120] постановкой задачи
для процесса теплоотдачи от тела, погруженного в жидкость, сущест-
венны следующие величины: плотность теплового потока g[ QL ~2 Т~1 ];
разность температур между телом и жидкостью 1?[0]; теплопровод-
ность жидкости А[ QT~lL 0~1 ]; объемная теплоемкость с'[QL ~30~1 ];
произведение коэффициента объемного расширения жидкости р
на ускорение силы тяжести д, )3g[LT~20~1]; линейный размер те-
ла Z[L]; кинематический коэффициент вязкости	Для опре-
деленности полагается, что тело представляет собой цилиндр, ось ко-
торого параллельна оси координат z. К числу первичных величин от-
носятся теплота [Q], температура [0], длина [L] и время [Т], поэтому
число безразмерных комплексов в обобщенном уравнении равно трем
(n — m = 7 — 4 = 3).
С помощью обычной процедуры эти комплексы могут быть полу-
чены в виде
7ri = ^ = T = Nu’- я-2 = ^ = Ог; тг3 = ф=Рг. (4.33)
Соответствующее обобщенное уравнение может быть записано в фор-
ме
Nu = /(Gr;Pr).	(4.34)
Если теперь, следуя [120], использовать векторные единицы протяжен-
ности, то формулы размерностей существенных для процесса величин
перепишутся следующим образом:
q[QL-°-5L-°’5L^T-1]-, tf[0]; A[QL7* Т-10-1];
c'[Q0-'L?L;lL?]; flg[LzT~20~1];	(4.35)
,l[L*  L* -LJ]; v[LxLyT-^].
При этом число первичных величин возрастает на единицу, т. к. в силу
предполагаемой симметрии течения для координат х и у выбирают-
ся, как это следует из (4.35), одинаковые масштабы (определительные
уравнения, составленные для Lx и Ly, оказываются тождественными).
Обобщенное уравнение содержит два комплекса
gj1/2^1/3	al f V2 \ м -1/6
7Г. =	7;к----Пк = Т- ----------Т = NU • Gr '
1	Atf7/6((0g)1/6	Л
с'» п
7Г2 = — =Рг
(4.36)
и имеет следующую структуру
Nu = Gr1/6/(Pr).	(4.37)
По мнению автора книги [120], именно за счет применения «диф-
ференцированных» единиц измерения (различных масштабов протя-
женности для координат х и z (у и z)) достигается существенная
универсализация решения задачи. Сопоставление полученных резуль-
татов с опытными данными [120] показало их хорошее соответствие
в довольно широком диапазоне изменения параметров (диаметр ци-
линдра изменялся от 0,4 до 300 мм). Это обстоятельство рассматрива-
ется как убедительное подтверждение ценности применяемого метода
исследования.
Однако правильность соотношения (4.37) вызывает самые серьез-
ные сомнения. И возникают они не столько потому, что в современ-
ных обобщенных зависимостях для расчета интенсивности теплоот-
дачи при свободной конвекции фигурируют другие показатели степе-
ни при критерии Грасгофа (точнее критерии Релея Ra = Gr-Pr). Для
различных режимов течения они изменяются от 1/4 до 1/3. Гораз-
до существеннее то обстоятельство, что сама постановка задачи, при-
водящая к получению соотношения (4.37), представляется не совсем
корректной.
Прежде всего непонятно, в каких приближениях решается задача.
Даже если течение жидкости двумерное (ось z является осью симме-
трии), то основные уравнения стационарной задачи в векторной форме
представляются в виде
+ pV2w = (w grad)w;
< w grad $ = aVM;	(4-38)
, divw = 0.
Поскольку они содержат однородные двумерные операторы (лапла-
сиан, дивергенция, w grad...), то, как было показано в разделе 4.2,
имеются ограничения на выбор различных масштабов длины для осей
координат х и z. Либо нужно принять Lx = Lz(x„ = zt), либо в ре-
шении с необходимостью появится дополнительный параметрический
критерий. Кроме того, если рассматривать тело конечных размеров, то
условие задачи должно содержать по меньшей мере два характерных
значения протяженности (а ее обобщенное решение — соответствую-
щий критерий параметрического типа).
Необходимо отметить, что сказанное будет справедливо и для, так
называемого, «ползущего» течения. В этом случае опускается лишь
оператор, стоящий в правой части первого уравнения системы (4.38)
и учитывающий влияние сил инерции. Однако нетрудно видеть, что это
не отменяет упомянутых выше ограничений на выбор масштабов про-
тяженности.
Как показано в 4.2, эти ограничения снимаются при ис-
пользовании приближений теории пограничного слоя. Ограничимся,
как и прежде, рассмотрением двумерной задачи для вертикального ци-
линдра. Однако даже в этом простейшем случае (телу произвольной
формы соответствует трехмерный пограничный слой) для универсали-
зации решения требуется сделать ряд существенных дополнительных
предположений. Прежде всего необходимо предположить, что конце-
вые эффекты (изменение характера движения жидкости вблизи тор-
цов) слабо влияют на процесс теплоотдачи на боковой поверхности,
т. е., иными словами, считать цилиндр бесконечно длинным телом.
Затем следует пренебречь влиянием кривизны, т. е. перейти от есте-
ственных цилиндрических координат к декартовой системе координат,
связанной с поверхностью цилиндра [77]. Очевидно, это равносильно
предположению, что радиус (диаметр) цилиндра не является опреде-
ляющим размером.
Итак, вместо свободной конвекции около тела произвольной фор-
мы будет рассматриваться задача для случая бесконечной вертикаль-
ной пластины — тела, не имеющего никаких определяющих размеров.
Как известно, эта задача имеет автомодельное решение, которое может
быть представлено в форме [124]
1/4
= Л(Рг).	(4.39)
Если ввести среднее значение коэффициента теплоотдачи на отрезке
04-Z
а = | J adz,	(4.40)
о
то из выражения (4.39) непосредственно следует
Nu=^=Gr1/4 J(Pr).	(4.41)
Таким образом, вместо показателя степени при критерии Грасгофа 1/6
(соотношение (4.37)) здесь получено значение 1/4, которое лучше
согласуется с современными экспериментальными данными [124].
Разумеется, решение в форме (4.41) можно получить и с помощью
анализа размерностей. Но для этого необходимо соответствующим об-
разом скорректировать постановку задачи.
В перечне существенных для процесса величин (4.35) формула
размерности определяющего размера представлена, как L^L^L^3.
а ( v2z
А I Цдв
В задаче о тепловом пограничном слое при свободной конвекции око-
ло вертикальной пластины локальный коэффициент теплоотдачи за-
висит только от координаты z, поэтому при определении его средне-
го значения а логичнее формулу размерности для I записать в виде
[l] = Lz. Оставив все остальные формулы размерностей величин, вхо-
дящих в перечень (4.35), без изменения, действительно можно полу-
чить соотношение (4.41).
Соображения такого рода, основанные на «логичности» или «нело-
гичности» высказываемых предположений, выглядят не очень убеди-
тельно. В некоторых случаях (как это показывает только что рассмо-
тренный пример) такого рода предположения могут привести к оши-
бочным представлениям.
§ 4.5. Массовый расход жидкости, протекающий по круглой
трубе (задача Пуазейля)
В предыдущих параграфах рассматривалось применение в анализе
размерностей векторных (дифференцированных) единиц длины. Дру-
гим способом, повышающим эффективность анализа, по мнению авто-
ра книги [120], является использование двойственности понятия мас-
сы, которая, с одной стороны, может быть мерой количества вещества,
а с другой — мерой инерции. Для массы вводятся две различные едини-
цы; соответственно в формулах размерности применяются два симво-
ла — Мц и Mi. Число безразмерных комплексов уменьшается на еди-
ницу, т. к. на столько же увеличивается число первичных величин.
Таким образом достигается существенное улучшение получаемого ре-
шения. Насколько правомерна эта процедура лучше всего проследить
на конкретных примерах, которые приводятся в книге [120].
Рассмотрим задачу о массовом расходе вязкой жидкости, протека-
ющей через круглую трубу. Сначала не будем учитывать двойственный
характер массы. Тогда помимо массового расхода жидкости т[А4Т-1]
перечень существенных для процесса величин включает [120] пере-
пад давления, отнесенный к единице длины трубы, Др/1[МЬ~2Т~2];
плотность жидкости p[ML~3]; динамический коэффициент вязкости
p,[ML~xT~l] и радиус трубы r0[L], Т. к. число первичных величин
равно трем — масса М, длина L и время т, — то решение задачи
будет содержать два безразмерных комплекса (n — m = 5 — 3 = 2).
или
„	,,2/
тг' — m	 чг' —	1
2"Д^о3’
откуда
/	21 \
7/1	л ।	।
рг3 \ Appro / ’
(4.42)
(4.43)
(4.44)
Если расчленить понятие массы, то можно получить следующие
формулы размерностей [120]:
^[MiL~2T~2]; р[МцЬ~3];
AMiL-'T-1]; r0[L].	(4.45)
Общее уравнение будет теперь содержать только один комплекс
__ тц1 __ mvl
^РРГо Арго '
откуда
т = С^,	(4.47)
где С — безразмерная постоянная.
Получен совершенно правильный результат, хорошо известный
в гидродинамике. Однако это еще не означает, что корректен сам спо-
соб получения решения.
Предположим, что массовый расход жидкости не зависит от плот-
ности и динамического коэффициента вязкости (как самостоятельных
аргументов), а определяется кинематическим коэффициентом вязко-
сти жидкости (v = p,/p). Такое предположение не слишком очевидно,
но если это заранее известно, то показать, что решение существует
именно в форме (4.47) не составляет никакого труда. Действительно,
перечень существенных величин теперь включает
mIMT-1]; ^[ML-2T~2]; r0[L ]; v[L2T~l],	(4.48)
и решение содержит только один комплекс (n — т = 4 — 3 = 1), кото-
рый с помощью обычной процедуры анализа размерностей получается
в виде (4.47).
Необходимо подчеркнуть, что предельная степень универсализа-
ции решения достигнута здесь традиционным способом (без учета
двойственности понятия массы). Тем самым проявляется характерная
для анализа размерностей определенная неоднозначность, когда один
и тот же результат может быть получен на основе различных исход-
ных предпосылок. Основываясь только на соображениях размерности,
трудно выяснить эквивалентны или нет постановки задачи в обоих слу-
чаях. Чтобы как-то прояснить ситуацию, обратимся к анализу уравне-
ний задачи.
Краевая задача о движении вязкой несжимаемой жидкости при ла-
минарном режиме течения за участком гидродинамической стабилиза-
ции в круглой трубе определяется следующими уравнениями:
'др и d ( du\
< ^ = -А£ = const;
дх I	’
г = г0; и = 0;
r = 0; ^ = 0.
* ar
(4.49)
Соответствующая система уравнений масштабных связей включает два
уравнения относительно двух характеристических масштабов ut и 1„
(4.50)
откуда неопределенно следует
и* I д '
(4.51)
Задача приводится к полностью автомодельному виду
' _L d (г du+\
r+ dr+ \'+ dr_|_ J
< т+ = 1; и+ = 0;
(4.52)
поэтому любая безразмерная интегральная характеристика процесса
является величиной постоянной.
Массовый расход жидкости определяется соотношением
т0
тп = 2тгр J иг dr,
о
(4.53)
или в безразмерной форме
1
т+ = ^- = 2тг J u+r+dr+ = const;
* о
_ Др рг04 _
т*~ I (1 ~ vl '
(4.54)
что полностью эквивалентно соотношению (4.47).
Получим теперь перечень существенных для процесса величин
с помощью уравнений (4.49). Этот перечень будет включать
т[МТ~'\,	р[М£-3]; г0[Ь].	(4.55)
Величины у и в системе (4.48) являются коэффициентами двучлен-
ного уравнения, поэтому в (4.55) они входят как единое целое (в виде
отношения). Естественно, что из перечня (4.55) с помощью анализа
размерностей получается то же самое соотношение (4.47).
Итак, одной и той же задаче соответствуют три различных вариан-
та перечня существенных величин: (4.45), (4.48) и (4.55). Все они в ре-
зультате применения анализа размерностей приводят к одному и тому
же соотношению для расхода (4.47). Однако совокупность (4.45) содер-
жит пять величин, и для получения с ее помощью этого соотношения
используются две различные единицы массы и М^ Перечни (4.48)
и (4.55) включают по четыре величины, и в этом случае рассматривает-
ся только одна единица массы М. Посмотрим теперь, что произойдет,
если и здесь попытаться учесть двойственность понятия массы.
Перепишем перечни существенных величин (4.48) и (4.55) следу-
ющим образом:
тп[ЛГдТ-1]; ^-[М,Ь-2Т-2\,	r0[L]	(4.56)
и	.
р[М^~3]- г0[Ь].	(4.57)
В первом из них каждый из символов массы и входит лишь
в одну формулу размерности. Это означает, что показатели степени
при m и -р должны быть равны нулю, т. к.
тг = т“1	1/09 г°а4’	(4-58)
(MpT-1)ai(MfL-27’-2)°2(L2T-1pL^ = 1.	(4.59)
Следовательно, в этом случае получается совершенно бессмысленный
результат. Его происхождение можно объяснить определенной про-
тиворечивостью принятых предпосылок. Входящая в перечень (4.56)
величина у определяется как v = м/р, и для ее формулы справедливо
соотношение
[у] = Ш = ML -1 Т-1 /(ML ~3) = L2T~l. (4.60)
Но в рассматриваемой задаче формула размерности для плотности за-
писывается, как [р] = M^L~3, а в формулу динамического коэффици-
ента вязкости входит величина М{. Поэтому более целесообразно за-
писывать соотношение (4.60) в виде
[р] =	=М.£-'T^/iM^L-3) — L2MiM~lT~l, (4.61)
а выражение (4.59) представить в форме
(Мр T~l Р (MiL~2 T~2yi (L 2MiM~iT~^L^ = \.	(4.62)
Отсюда следуют четыре определительных уравнения для четырех по-
казателей степени
aj — Оз = 0;
, —4" 2<1з 4-	— 0.
Однако лишь три из них являются независимыми, и из (4.63) вновь
получается соотношение (4.47).
Никакого нового результата не получается и с использованием
перечня (4.57), т. к. он содержит лишь символ массы как меры ко-
личества вещества. И это представляется вполне логичным, особен-
но в терминологическом смысле, поскольку в задаче рассматривается
установившееся ламинарное течение, в котором все инерционные эф-
фекты полагаются пренебрежимо малыми.
В связи с этим учет двойственности характера массы выглядит
здесь как некоторый искусственный прием, который позволяет полу-
чить решение на основе нерационально составленной совокупности су-
щественных величин (4.45). Использование же этого приема при более
рациональном выборе существенных величин (4.48) и (4.55) никако-
го положительного эффекта не дает. К тому же при этом приходится
привлекать дополнительные соображения, которые могут послужить
источником ошибок.
В некоторых случаях не совсем ясно, как трактовать формулу
размерности той или иной величины, содержащей массу. Например,
для плотности ее можно записать как [р] = М^Ь~3, так и [р] = М{Ь.
Все здесь определяется конкретным содержанием задачи. Но как при-
менять анализ размерностей в тех случаях, когда плотность, например,
входит и в динамические уравнения движения жидкости и в соотно-
шение для ее массового расхода? По-видимому, в этом случае прием,
связанный с использованием двух различных единиц измерения массы,
вовсе не применим.
Вообще говоря, обоснование «расширенных» формул размерности
является наиболее неясным и уязвимым местом модификации мето-
да анализа размерностей, развиваемого в книге Хантли [120]. И это
в равной степени относится и к использованию двойственности поня-
тия массы, и к применению «дифференцированных» единиц измерения
длины. Характерный в этом смысле пример будет рассмотрен в следу-
ющем разделе.
§ 4.6. Скорость шара, движущегося под действием силы
тяжести в вязкой жидкости (задача Стокса)
Задача о скорости движения шара в вязкой жидкости рассматри-
вается в приближениях Стокса, т. е. предполагается, что он имеет
весьма малые размеры, а скорость установившегося движения такова,
что можно пренебречь инерционными эффектами. Тогда (в соответст-
вии с [120]) для процесса оказываются существенными следующие ве-
личины: скорость шара u0[L Г-1]; плотность материала шара рДМБ-3];
его радиус r0[L]; плотность жидкости р2[МЬ~3]; динамический коэф-
фициент вязкости p{ML~l Г-1]; ускорение силы тяжести g[LT~2]. Чи-
сло первичных величин равно трем, поэтому решение задачи содержит
три безразмерных комплекса (n — т = 6 — 3 = 3)
3 2
=	4 = ^.	(«4)
а обобщенное решение записывается в форме
/ з 2 \
v0P2r0 — f I Pl.. rpP29 1	м
Р J \Р2’	V ’
Для его улучшения в книге [120] предлагается использовать векторные
единицы длины. Вводится декартова система координат, в которой ось
z совпадает с направлением движения шара и потому является осью
симметрии. Далее утверждается, что «для вязкостного сопротивления
имеет значение не диаметр шара, параллельный оси z, а диаметр (или
окружность) в плоскости ху». Отсюда делается вывод о том, что фор-
мула размерности для радиуса (диаметра) в силу симметрии относи-
тельно оси z должна записываться в виде [г0] = L?LВывод далеко
не очевидный и, по крайней мере, неполный, т. к. сила сопротивле-
ния шара зависит не только от касательного напряжения трения, но
и от распределения давления по его поверхности, которое не симме-
трично относительно миделевой плоскости [76]. Аналогичным спосо-
бом аргументируется в [120] и выбор «расширенной» формулы размер-
ности для динамического коэффициента вязкости [ц] = ML~X Т~1.
Перечень существенных для процесса величин перепишется те-
перь следующим образом:
r0[bUJ];
pAML^L^L;1]- fi[ML~iT~1]; g[LzT~2].	(4.66)
Увеличение числа первичных величин на единицу позволяет получить
улучшенную форму обобщенного решения, содержащего только два
безразмерных комплекса (n—т = 6- 4 = 2)
ГрР19
(4-67)
Аналогично предыдущему, для оценки качества полученного ре-
зультата обратимся к анализу уравнений задачи. Запишем эти урав-
нения для эквивалентной задачи обтекания шара потоком жидкости,
движущимся на бесконечности с постоянной скоростью v0 [76, 77, 83].
В сферической системе координат R, в, е, связанной с шаром, урав-
нения с соответствующими граничными условиями имеют следующий
вид:
Эр _	(V2„ _ 2ия _ 2	2увс^в\
r2	r2 эд д2 ) >
_L &Р _	_1_	_ ve А .
я»-^у”» + й2 аз п?з1пчв)'
-§r{R2vr sin в) + -gf)(Rvg sin в) = 0;
R = *ь; vr = ve = 0;
R —► oo; vH = vocos0; ve = — vosin0.
(4.68)
В силу симметрии производные по координате е и компонента ско-
рости тождественно равны нулю. Задача приводится к полностью
автомодельному виду, т. к. трем характеристическим масштабам отве-
чают три уравнения масштабных связей
k = r0; vt = v0;	= или =	(4.69)
и тогда (R, = —; vR, = —; ий+ :	; р. = —'j,
\ +	го ’ л+ vq в+	д«о7
Ф+ _ V2„ _ 2vr+ _ _2_^e+ _ 2^+ctgg.
Л +	Я2 О? д2 •
_L^±_V72,,	 2 Э"Я+ V»+ •
R+ 90	V<>++ R* 99 R^l^e’
sin 0) 4- ^(R+ve+ sin 0) = 0;
R+ = l; vR+ = ve+ = Q;
, R+—>oo; vR+ = cos&; vg+ = — sin 0.
(4-70)
При полной автомодельности любая безразмерная интегральная харак-
теристика представляет собой константу, поэтому сила сопротивления
шара W
W = 2тг J Г—м(тж) sin 0 — р cos б] r02 sin 0 d0 (4.71)
в безразмерной форме (VK+ = W/Wt — W/(pvoro)) запишется как
W+ = 2tt	sin 9 — P+ cos б] sin 0 d0 = const, (4.72)
0 L \ Л+ /1	J
или
W = C1p,voro,	(4.73)
где C*! — произвольная постоянная.
Распределение скорости в задаче о движении шара в неподвиж-
ной жидкости получается простым вычитанием величины v0 из реше-
ния краевой задачи (4.68) [74]. Естественно, что сила сопротивления
в обоих случаях будет определяться одним и тем же соотношением
(4.73). Т. к. рассматривается установившееся движение, то эта сила
будет равна разности между весом шара и подъемной силой, т. е.
9(Р1 ~ Рй)|7ПЬ3 =	(4-74)
откуда
v0=C29{^-^-.	(4.75)
Обобщенное уравнение для (4.75) содержит только один безраз-
мерный комплекс, в то время как соотношение (4.67) — два. При этом
такая, еще более универсальная форма решения получена без «разде-
ления» единицы длины на отдельные составляющие. Кроме того необ-
ходимо отметить, что уравнения задачи (4.68) содержат однородные
операторы — лапласиан и дивергенцию. Поэтому такое разделение,
связанное с выбором различных масштабов отнесения протяженно-
стей, в этом случае, вообще говоря, не является корректными (см. раз-
дел 4.2).
Таким образом, ситуация складывается аналогично предыдущей
задаче (раздел 4.5) с той лишь разницей, что там речь шла о разделе-
нии единицы массы, а здесь — длины. В обоих случаях сначала нера-
ционально выбирается перечень существенных для процесса величин,
а затем с помощью искусственного приема решение улучшается.
Если составить совокупность существенных величин на основе
уравнений задачи, то она будет выглядеть следующим образом:
g(P1-p2)[ML-2T-2]; ц[МЬ~1Т~1]; r0[L]; ^[ЬТ"1].	(4.76)
Нетрудно видеть, что анализ размерностей в своей обычной форме
приводит к соотношению (4.75).
Если теперь все-таки разделить единицу длины на составляющие,
т. е. представить перечень (4.76) в виде
g(Pl — p2)[ML~1L~lT~1]-, p,[ML~1T~3];
ГО[ЬУ2-ЬУ2]; vol^T-1],	Ь }
то, хотя число первичных и существенных величин совпадает, решение
все равно будет представляться в форме (4.75), т. к. система определи-
тельных уравнений будет содержать только три независимых уравне-
ния. Иными словами, этот прием не дает здесь никакого положитель-
ного эффекта.
Можно попытаться и в этой задаче использовать двойственность
понятия массы. Однако при этом возникают определенные трудности.
Перечень существенных величин (4.76) содержит две величины (jj,
и ~ Pz))’ формулы размерности которых включают символ массы.
Какая это будет масса — мера инерции или мера количества веще-
ства Мр? Похоже, что в первом случае это будет Mt, т. к. и сила веса,
и выталкивающая сила определяются в соответствии со вторым зако-
ном Ньютона. Но, как уже отмечалось в разделе 4.5, сам термин «ме-
ра инерции» представляется в такого рода задачах не очень удачным,
т. к. при изучении «ползущих» течений пренебрегают всеми инерцион-
ными эффектами. По-видимому, точнее здесь будет термин «тяжелая
масса».
Что же касается динамического коэффициента вязкости р, то эта
величина вводится как коэффициент пропорциональности между тен-
зором напряжений и скоростей деформации. Совершенно не ясно, мож-
но ли в этом случае пользоваться понятием массы как меры инерции
(даже в расширенном толковании этого термина), а если можно, то ка-
кие при этом появляются ограничения. Но обсуждение этой достаточ-
но сложной проблемы выходит за пределы содержания данной книги.
Если же подойти к выбору Мг и чисто формально, то здесь мо-
гут быть два варианта. Либо формулы размерности обеих величин со-
держат различные символы массы, либо — одинаковые. В первом слу-
чае анализ размерностей приводит к бессмысленному результату, а во
втором —опять-таки к соотношению (4.75). Иными словами, и здесь
прием разделения единицы измерения первичной величины в лучшем
случае не дает никаких преимуществ.
§ 4.7. Краткое резюме
Для использования аппарата анализа размерностей необходимо
выбрать совокупность переменных и размерных постоянных, суще-
ственных для процесса, и составить перечень первичных величин.
На этой основе получаются определительные уравнения, которые обу-
словливают структуру безразмерных комплексов и их число; поэтому
качество решения в первую очередь определяется тем, насколько пра-
вильно составлены оба перечня.
Если перечень существенных величин будет неполным или будет
неоправдано увеличено число первичных величин, то решение оказы-
вается чаще всего практически бесполезным. Включение в совокуп-
ность существенных какой-нибудь лишней величины или некоррект-
ное отнесение первичной величины к числу вторичных — существенно
ослабляет получаемое решение задачи.
Необходимо отметить, что такого рода случаи, когда приходится
сталкиваться с потенциальными источниками тяжелых ошибок, встре-
чаются довольно часто. В связи с этим в некоторых книгах [8, 107] ре-
комендуется применять для составления совокупностей существенных
и первичных величин уравнения задачи. Однако при наличии их пред-
ставляется более целесообразным использовать уравнения масштаб-
ных связей, которые позволяют получить наиболее рациональную фор-
му обобщенного решения задачи посредством стандартных операции,
не требующих привлечения каких-либо дополнительных соображений.
Ситуация еще более обостряется при рассмотрении возможностей
некоторых специальных приемов улучшения решения, рекомендуемых
в книге Хантли [120]. Предлагается использовать, так называемые,
векторные единицы измерения, которые имеют различные значения
для каждой из компонент вектора. При этом происходит уменьшение
числа безразмерных комплексов за счет соответствующего возраста-
ния количества первичных величин. Другой способ улучшения реше-
ния заключается в учете двойственности понятия массы — как меры
инерции и как меры количества вещества.
Во всех этих случаях уменьшение числа комплексов достигается
за счет того, что для некоторых однородных величин искусственно вы-
бираются различные масштабы отнесения, и это действительно иногда
дает положительный эффект. С помощью только анализа размерностей
найти надлежащие масштабы чаще всего трудно, поэтому приходится
обращаться к уравнениям задачи.
Очень часто уравнения задачи содержат размерно однородные опе-
раторы типа дивергенции, лапласиана и т. п. Как показано в разде-
ле 4.2, в этом случае имеются жесткие ограничения на выбор различ-
ных масштабов. И лишь в некоторых вырожденных задачах (например,
при решении в приближении теории пограничного слоя) ограничения
становятся менее жесткими, и появляется некоторая свобода выбора
этих масштабов, что и позволяет улучшить решение.
Таким образом, возможность и полезность выбора различных мас-
штабов для протяженности и некоторых векторных величин (напри-
мер, скорости) полностью определяется конкретной постановкой за-
дачи. Аналогично обстоит дело и с учетом двойственности понятия
массы. При этом наиболее неясным и уязвимым является обоснование
структуры «расширенных» формул размерности, которое часто вклю-
чает не очень ясные, а порой и взаимно противоречивые соображения.
Как уже отмечалось, при анализе математической постановки задачи
с помощью уравнений масштабных связей необходимость привлечения
такого рода соображений вообще не возникает, что делает этот способ
анализа еще более предпочтительным.
В разделах 4.3-4.6 рассматриваются некоторые примеры, иллю-
стрирующие и детализирующие высказанные здесь общие соображе-
ния. На их основе можно получить представление о степени корректно-
сти и целесообразности использования приемов, рекомендуемых в кни-
ге [120].
Решение задачи о дальности полета пули (раздел 4.3) еще раз
подтверждает, что возможность получения универсального решения
задачи обусловлена ее конкретным содержанием, а не приемами его
получения. Возможность выбора различных масштабов протяженности
координат х и z определяется здесь тем обстоятельством, что систе-
ма уравнений (4.25) распадается на две совершенно самостоятельные,
физически никак не связанные друг с другом части (4.27) и (4.28).
Применение «дифференцированных» единиц измерения длины
для исследования интенсивности теплоотдачи при свободном движе-
нии жидкости (раздел 4.4) приводит к ошибочному результату. Из-за
использования некоторых интуитивных соображений полученное ре-
шение не адекватно постановке задачи, которая и сама оказалась
не совсем корректной.
Рассмотрение в разделах 4.5 и 4.6 задачи Пуазейля и Стокса от-
носятся, к так называемым, «ползущим» течениям вязкой жидкости.
В обоих случаях перечни существенных для процесса величин ока-
зываются составленными не совсем рационально. Полученные на их
основе решения затем уточняются за счет соответствующего искусст-
венного приема — разделения единиц массы (в первом случае) и дли-
ны (во втором). Если же перечень существенных величин составить
на основе уравнений задачи, то более универсальное решение может
быть получено на основе анализа размерностей в его обычной форме.
Если и при этом разделить единицы соответствующих первичных ве-
личин, то в лучшем случае такой прием не дает никаких преимуществ,
а в худшем — может привести к ошибочному результату.
ГЛАВА 5
МОДЕЛИРОВАНИЕ
§ 5.1.	Метод модели и подобные преобразования
В обобщенном анализе каждое конкретное явление рассматрива-
ется в качестве представителя всего множества подобных ему явлений
(группы подобия). На этом свойстве явлений, соответствующих одно-
му обобщенному случаю, основан метод экспериментального исследо-
вания, известный под названием метода модели. При использовании
этого метода вместо заданного явления — образца (натуры) исследу-
ется другое явление, ему подобное — модель. Модельный эксперимент
имеет определенные преимущества, т. к. при этом появляется некото-
рая свобода выбора размеров объекта, темпа развития процесса, его
режимных параметров и т. д.
Однако переход к модельному эксперименту вовсе не означает,
что при этом создается возможность произвольного выбора всех коли-
чественных условий опыта. Основное требование — подобие образца
и модели — является источником существенных ограничений.
Как уже отмечалось во второй главе, эти ограничения сводятся
к требованию, чтобы все критерии подобия для образца и модели име-
ли одинаковые значения. При этом, само собой разумеется, что образец
и модель должны быть геометрически подобны и иметь одинаковые
(однотипные) краевые распределения. В другом виде ограничитель-
ные условия могут быть представлены в виде соотношений, которые
устанавливают связь между множителями подобного преобразования
и определяют степень свободы этих преобразований. Рассмотрим этот
вопрос более подробно.
Если два явления подобны, то одно и то же решение соответству-
ющей задачи должно одновременно удовлетворять некоторой опреде-
ленной совокупности значений всех величин (первое решение) и тем
же значениям, умноженным на произвольные постоянные множите-
ли (второе решение). Это возможно только при том условии, что ли-
бо уравнения обладают некоторыми особыми свойствами, либо выбор
множителей преобразования подчинен специальным требованиям.
Рассмотрим уравнение
F(xl;x2;...;xn)^0,	(5.1)
где через F обозначена функция произвольного вида, а через
Хр х2;...; хп — величины, существенные для задачи (искомые пере-
менная, параметры, независимые переменные). Произведем подобное
преобразование всех величин xi, т. е. заменим каждую из них произ-
ведением kixi, где — постоянные множители. Если при этом урав-
нение не должно изменяться, то из (5.1) следует
/^(fcjXp А^®,;...; кпхп) = 0.	(5.2)
Очевидно, что уравнения (5.1) и (5.2) совместимы лишь в том слу-
чае, когда левая часть второго из них содержит левую часть первого
уравнения в качестве множителя, т. е.
^(fc,^;	...; кпхп) = tpfk^, А^;...; кп)  F(x{; %...; хп). (5.3)
Таким образом функция должна обладать особым свойством, заключа-
ющемся в том, что подобное преобразование отдельных переменных
приводит к подобному преобразованию функции в целом. Такие функ-
ции называются гомогенными. Строго доказывается [32], что свойст-
во гомогенности присуще только одному узкому классу функций —
степенным функциям. Следовательно, инвариантными по отношению
к подобным преобразованиям оказываются лишь те уравнения, левая
часть которых представляет собой однородный оператор (например,
уравнение сплошности для несжимаемой жидкости). Это сильно огра-
ничивает возможности анализа.
Чтобы уравнения были инвариантны по отношению к подобным
преобразованиям независимо от своей структуры, сами преобразова-
ния должны быть соответствующим образом ограничены. Из сравне-
ния уравнений (5.2) и (5.3) непосредственно следует, что инвариант-
ность гарантируется требованием А^ = к2 = ... — кп = 1. Это решение
представляется совершенно тривиальным, т. к. ему отвечает полная
тождественность всех величин, входящих в состав уравнений. Однако
при выборе в качестве новых переменных содержащихся в уравне-
ниях степенных комплексов получается уже вполне содержательный
результат. При подобном преобразовании величин xt эти новые пере-
менные тгу, как функции гомогенные, также преобразуются подобно:
тгДа^са^Жг02 •... • а#1;
^[к{х^= с(к^ к^ •.. . • к*")х?х?
К~к?к?(5.4)
Если теперь потребовать, чтобы все множители обратились в еди-
ницу, то уравнение окажется инвариантным. Но это уже не будет три-
виальным результатом, т. к. каждым из соотношений
К,-= 1 при у = 1,2, ...,т	(5.5)
устанавливается определенная связь между множителями ку. Эта связь
и определяет совокупность ограничений, которым должен быть подчи-
нен выбор множителей к{ для гарантии инвариантности уравнений.
Таким образом, существуют функции, гомогенные по самой сво-
ей структуре, т. е. безусловно гомогенные. Этим свойством облада-
ют только степенные комплексы (степенные функции). Любые другие
функции являются лишь условно гомогенными, т. к. это свойство мо-
жет проявляться у них только при условии, что их преобразование
подчинено особым требованиям (в форме уравнений (5.5)).
Уравнение (5.5) представляет собой систему т уравнений отно-
сительно неизвестных к{, общее число которых равно п. Это озна-
чает, что произвольно можно выбрать (п — г) множителей кг, в свя-
зи с чем эту разность называют числом степеней свободы преобра-
зования. Непосредственно ясно, что преобразование возможно лишь
при условии п > г. В большинстве случаев это требование удовлетво-
ряется.
Число степеней свободы может быть также представлено в фор-
ме (П[ — Ту), где Пу — общее число параметров задачи, ат, — число
критериев. В этом нет никакого противоречия, т. к. присоединение од-
ной или нескольких переменных величин к числу аргументов задачи
одновременно означает появление стольких же ограничительных урав-
нений, и не может привести к изменению числа степеней свободы.
Рассмотрим в качестве примера задачу о чисто вынужденном ста-
ционарном движении несжимаемой жидкости. В этом случае имеется
только одно уравнение, ограничивающее свободу выбора параметров
модели, —
Re = idem, или Re' = Re".	(5.6)
Величины, относящиеся к образцу, обозначены одним штрихом, а к мо-
дели — двумя. Уравнение (5.6) можно представить в виде
^ = 1-	(5-7)
где kw = kt = ки =	— множители преобразования соответ-
ствующих величин. Таким образом, три параметра (w, Z, и) связаны
одним ограничительным условием. Это значит, что для осуществле-
ния модели имеются две степени свободы. Если, например, выбрать
в качестве моделирующей рабочую жидкость (т. е. принять kv = 1), то
множители преобразования скорости и размера оказываются жестко
связанными соотношением

(5-8)
Это может привести как к трудностям технического характера,
так и к принципиальным осложнениям. Так, при испытании на моде-
ли быстро движущегося в жидкости тела достаточно больших разме-
ров, было бы желательно (для уменьшения затрат энергии) проводить
эксперимент на уменьшенной модели и при пониженной скорости.
Но уменьшение размеров должно иметь своим следствием, согласно
соотношению (5.8), соответствующее возрастание скорости, а умень-
шение скорости требует перехода к увеличенной модели. Таким обра-
зом, оба требования явно несовместимы. Эту трудность можно прео-
долеть, только отказавшись от условия ки = 1. Осложнения принци-
пиального характера возникают при переходе к скоростям, настолько
большим, что начинает сказываться влияние сжимаемости жидкости
(газа). В этих условиях система ограничительных требований стано-
вится более жесткой, т. к. уравнение (5.7) должно быть дополнено
соотношением, учитывающим эффект сжимаемости.
Если рассматривать нестационарный процесс, то в числе аргумен-
тов появляется текущее время т и, соответственно, еще одно ограни-
чительное условие
^ = 1.	(5.9)
Число степеней свободы при этом не изменится, т. к. формально новая
связь определяет множитель преобразования новой величины. Однако
иногда приходится относить множитель кт к числу произвольно выби-
раемых (например, при воспроизведении на модели быстро протекаю-
щего процесса в замедленном темпе). Если считать, что произвольно
задается также значение ки (выбор моделирующей жидкости), то все
степени свободы оказываются исчерпанными. Остальные множители
преобразования находятся тогда из уравнений
kt = \/к„кг; kw = y/kJkT.	(5.10)
В том случае, когда рассматривается не только движение жидко-
сти, но и теплообмен, необходимо учитывать новое ограничительное
условие
Рг' = Рг", или fcI//fca = l.	(5.11)
Его присоединение в сильнейшей степени осложняет положение, т. к.
чрезвычайно трудно подобрать моделирующую жидкость, удобную
для работы и вместе с тем не слишком отличающуюся по значени-
ям критерия Прандтля. Довольно часто требование (5.11) практически
налагает запрет на переход к другой моделирующей жидкости. Это мо-
жет привести к дополнительным трудностям в постановке эксперимен-
та, а в некоторых случаях — и к полной невозможности осуществить
модель.
Сам принцип замещения, основанный на подобии явлений, пред-
ставляется достаточно рациональным и в отношении полноты получа-
емых знаний, и в отношении их надежности. Иными словами, модель-
ный эксперимент оказывается практически равноценным прямому на-
турному опыту. Однако необходимо подчеркнуть, что это справедливо
лишь постольку, поскольку будут правильны теоретические представ-
ления, положенные в основу эксперимента.
Так, например, если рассматривать вынужденное движение жид-
кости в обычных условиях, то влиянием сил поверхностного натяже-
ния можно пренебречь, т. к. оно полностью подавляется воздействием
гравитационной силы. Но если на этой же основе моделировать те-
чение жидкости в условиях ослабленного гравитационного поля, то
модельный эксперимент может оказаться источником серьезных заб-
луждений.
Если исследуются общие закономерности процесса, то метод обоб-
щенных переменных используется на всех стадиях этого исследования:
при предварительном анализе задачи, постановке опытов, обобщении
полученных результатов. В этом случае имеются широкие возможно-
сти для рационального выбора условий эксперимента. Вообще гово-
ря, здесь не является обязательным наличие полной математической
модели процесса, т. е. системы уравнений и условий единственности
решения, т. к. соответствующие обобщенные переменные могут быть
получены и на основе анализа размерностей. При этом опыт может
рассматриваться как метод проверки правильности самой постановки
задачи, а не только способа ее решения.
Наряду с исследованиями общего характера (познавательными за-
дачами), в инженерной практике часто возникает необходимость в де-
тальном изучении некоторого вполне конкретного процесса. Характер-
ным примером такого рода задачи является экспериментальное ис-
следование какой-то определенной машины или аппарата. Объектом
эксперимента является единственное конкретное явление, т. е. яв-
ление, которое развивается в системе с определенными геометриче-
скими и физическими свойствами при заданных режимных условиях.
В этом случае экспериментатор полностью лишен свободы выбора па-
раметров. Предельная жесткость требований часто создает значитель-
ные трудности (например, при изучении очень быстрых или, наоборот,
очень медленных процессов и т. п.). В такой ситуации метод модели
оказывается весьма плодотворным.
В общем случае все критерии, существенные для процесса, явля-
ются аргументами обобщенных уравнений. Однако характер влияния
каждого из них изменяется вместе с изменением параметров процесса,
а в области своего вырождения критерий вообще выпадает из числа
аргументов. В связи с этим было бы неверно рассматривать соответст-
вующие ограничительные условия как совокупность непреложных пра-
вил. Более правильно понимать эти условия как максимальный объем
требований, который дает полную гарантию точного подобия явлений,
т. е. считать их бесспорно достаточными, но не всегда необходимыми
для того, чтобы опыт имел должное познавательное значение. По су-
ти дела, признак, по которому констатируется вырождение критерия,
заключается в том, что его изменение не отражается на результатах
опыта (или численного решения). Таким образом, неподобие перехо-
дит в подобие (и обратно) через промежуточную форму соответствия,
которую можно определить как приближенное подобие. Аналогичным
образом вводится понятие приближенного моделирования.
§ 5.2.	Приближенное моделирование
Допустим, что два явления сопоставляются по полю перемен-
ной U. В условиях точного подобия в сходственных точках сопоставля-
емых систем должно быть U" = kU', где к — некоторый постоянный
множитель. Если совокупность ограничительных условий полностью
не удовлетворяется, то, вообще говоря, U" / kU’. Положим
U" = kU' + AU",	(5.12)
где Д17" — абсолютная мера неподобия. Тогда относительная мера
(степень искажения) может быть представлена в виде
e=AU"/U"=l -kU'/U".	(5.13)
Величина е в общем случае будет функцией координат и времени,
поэтому обычно рассматривается ее наибольшее значение.
Совершенно очевидно, что во всех случаях, когда степень иска-
жения не превосходит погрешности результатов экспериментального
сопоставления U' и U", обнаружить отклонение от точного подобия
вообще невозможно. Из соотношения (5.13) значение U' определится
следующим образом:
U'=U”^.	(5.14)
Расчетное же значение этой величины С7/, которое и будет затем при-
нято в качестве истинного, определится, как
U(=±U".	(5.15)
Тогда абсолютная ошибка приближенного моделирования будет равна
&U'=U{-U'=^U",	(5.16)
а соответствующая относительная ошибка запишется в форме
Считая е величиной достаточно малой, перепишем этот результат
в виде ряда
^ = £ + е2 + ...	(5.18)
Таким образом, с точностью до г2 можно считать, что относительная
ошибка в определении искомой величины для образца равна степени
искажения, характеризующей модель. Если ее величина не превыша-
ет погрешности опыта, то применение приближенного моделирования
вполне оправдано.
К сожалению, определить значение е заранее, без постановки
специальных опытов в большинстве случаев невозможно. Тем более,
что значение этой величины существенно зависит от частных, по-
рой весьма трудно предсказуемых условий процесса. Так, например,
при течении газа по прямой трубе сжимаемость не проявляется вплоть
до значений числа Маха М, равных 0,7, а при движении по криволи-
нейным каналам она начинает сказываться уже при М = 0,3.
Особенно просто складывается физическая обстановка, если име-
ет место автомодельность (предельный случай, соответствующий вы-
рождению всех критериев подобия). Здесь не существует никаких огра-
ничений на выбор множителей подобного преобразования. Например,
в рассматриваемой выше задаче о вынужденном стационарном движе-
нии несжимаемой жидкости в этом случае исчезает последнее ограни-
чительное условие (5.6). Вполне естественно, что появление дополни-
тельной степени свободы создает существенные преимущества для по-
становки модельного эксперимента.
§ 5.3.	Прямое моделирование и физическая аналогия
Возможности метода модели могут быть заметно расширены, если
рассматривать вопрос о подобии явлений в более широком понима-
нии. Определение подобия, приведенное во второй главе, было дано
на основе идеи о тождественности понятий группы подобных явлений
и обобщенного индивидуального случая. Согласно этому определению,
после перехода к безразмерным переменным уравнения и краевые рас-
пределения, соответствующие подобным явлениям, должны быть тож-
дественны, а критерии, входящие в них в качестве множителей, долж-
ны иметь одинаковые численные значения. Но в таком виде понятию
обобщенного случая совершенно чужда сама идея о физической одно-
родности явлений. Средством количественного описания здесь являют-
ся отвлеченные числа, поэтому обобщенный случай может включать
в себя явления различной физической природы.
Это означает, что ранее разработанная система представлений,
суть которой выражена в принципе «тождественность в относитель-
ном — подобие в абсолютном», может быть полностью сохранена
и при распространении понятия подобия на физически неоднород-
ные системы. Частный случай подобия физически однородных явле-
ний обычно называют подобием в узком смысле, а противоположный
случай подобия явлений различной физической природы — физиче-
ской аналогией. Соответствующие им разновидности метода модели
называются прямым моделированием и методом аналогии [32].
Применение прямого моделирования позволяет изменять только
численные значения параметров исследуемого процесса — например,
увеличивать или уменьшать размеры системы, ускорять или замедлять
ход процесса. Метод аналогии имеет гораздо более широкие возможно-
сти как в отношении осуществления эксперимента, так и в отношении
методики измерений.
Хорошо известен пример аналогии процессов переноса в движу-
щейся среде («тройная аналогия»), которая в известных условиях про-
является в виде подобия полей скорости, температуры и концентра-
ции. Аналогией в более широком смысле является, так называемая,
электротепловая аналогия, сущность которой заключается в замеще-
нии температурного поля (подлежащего изучению) полем электриче-
ского потенциала. Метод электрогидродинамической аналогии создает
возможность изучения свойств потенциальных течений невязкой жид-
кости на электростатической модели.
Электрическая аналогия является исключительно эффективным
методом экспериментального исследования. Благодаря большому раз-
нообразию элементов, электрическая модель с заданными геометриче-
скими и физическими свойствами в большинстве случаев легко ком-
понуется. Особенно важное значение эти модели приобретают для ис-
следования сложных нестационарных процессов, т. к. темп развития
основного (теплового) процесса и его электрического аналога может
различаться на несколько порядков. Например, в литературе приводят-
ся результаты исследования годичных колебаний температуры почвы,
выполненного методом электрической аналогии с множителем преоб-
разования времени порядка 10-9.
В рамках теории подобия в узком смысле переход от обобщен-
ного случая к конкретному явлению осуществляется путем умноже-
ния каждой безразмерной величины на ее параметрическое значение
(иногда на характеристический масштаб). Группе подобных явлений
соответствуют численно различные, но тождественные по физической
природе значения параметров. Таким образом, множители подобного
преобразования являются здесь величинами безразмерными. В более
общем случае аналогии параметрические значения отличатся не толь-
ко численно, но и по физической природе. Множители аналогового
преобразования могут быть величинами размерными. Во всех других
отношениях свойства множителей тождественны. В частности, требо-
вания, ограничивающие свободу преобразования, в любом случае за-
даются в форме уравнений типа (5.5).
И в заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть следующее.
Последнее время в технической литературе нередко противопостав-
ляется математическое моделирование (решение задач на ЭВМ), кото-
рое нередко осуществляется в первоначальных размерных переменных,
и физическое моделирование. Последнее почему-то главным образом
связывается с экспериментальными исследованиями и последующей
обработкой результатов на основе теории подобия. Это противопостав-
ление является результатом недоразумения.
Возможность применения обобщенного анализа никоим образом
не связана со способом получения численных результатов исследо-
вания (эксперимент или численное решение). Использование обоб-
щенных методов в любом численном исследовании позволяет выявить
скрытую информацию, содержащуюся уже в самой постановке зада-
чи, и тем самым поставить это исследование в наиболее рациональной
форме. Не секрет, что при решении задачи в первоначальных перемен-
ных в ряде случаев эта скрытая информация выявляется после получе-
ния решения, при этом затраты машинного времени резко возрастают,
и ЭВМ значительную часть времени работает по сути дела вхолостую.
Кроме того, само понятие «математическая модель явления» име-
ет строго определенное содержание, никак не связанное с решением
задачи на ЭВМ. В связи с этим термины «физическое моделирование»
и «математическое моделирование» в настоящей книге вообще не ис-
пользуются.
ГЛАВА 6
ОБОБЩЕННЫЙ АНАЛИЗ В НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
Во многих задачах теории переноса обобщенный анализ исполь-
зуется в своей наиболее известной форме — классической теории по-
добия. Довольно часто это является лишь данью традиции, т. к. в ряде
случаев более эффективным оказывается применение метода харак-
теристических (внутренних) масштабов. Преимущества этого метода
иллюстрируется ниже на примере решения некоторых классических
задач.
Иногда метод характеристических масштабов дает возможность
сделать более корректным вывод соответствующих уравнений (напри-
мер, вывод уравнений Прандтля). В задачах Блазиуса, Грэца, Нуссель-
та и Капицы на основе этого метода удается полностью формализо-
вать процедуру получения решения в наиболее универсальной форме
(автомодельного решения). Приложение обобщенного анализа к зада-
че о тепловом излучении позволяет получить некоторые закономер-
ности этого процесса непосредственно на основе квантовой гипотезы
без привлечения каких-либо дополнительных термодинамических или
статистических соображений.
§ 6.1. Уравнения пограничного слоя (уравнения Прандтля)
Уравнения пограничного слоя впервые были получены Л. Прандт-
лем в его знаменитой статье 1904 года [158], в которой рассматрива-
лось движение жидкости с весьма малой вязкостью около твердой по-
верхности. Разделение пространства, заполненного движущейся жид-
костью, на две области — пограничный слой и внешний поток, — те-
чение в которых подчиняется различным закономерностям, позволило
устранить создавшийся к тому времени разрыв менаду представлени-
ями теоретической гидродинамики идеальной жидкости и прикладной
гидравликой. Тем самым была создана теория, главное достоинство
которой состоит в том, что ее математический аппарат основан на фи-
зической модели, достаточно полно и отчетливо отражающей реальные
свойства исследуемого процесса.
Уравнения Прандтля представляет собой особую форму уравне-
ний Навье-Стокса и получаются как результат их соответствующе-
го упрощения для области течения, где градиент продольной скоро-
сти в направлении, перпендикулярном стенке, очень велик. В этой
зоне — пограничном слое — нельзя пренебрегать влиянием вязкости,
в то время как во внешнем потоке вполне допустимо считать жидкость
идеальной (невязкой). Характерной особенностью пограничного слоя
является его «анизотропия» — малость поперечных размеров и скоро-
сти по сравнению с их аналогами в направлении течения. Именно это
обстоятельство позволяет оценить величину отдельных членов уравне-
ний Навье—Стокса и сплошности.
Рассмотрим эту процедуру, ограничившись случаем двумерного
вынужденного плоского течения жидкости с постоянными свойствами
около тела малой кривизны. Вследствие малой кривизны соответству-
ющую криволинейную систему координат можно заменить декартовой
ix, у), расположив ее начало на передней кромке обтекаемого тела,
[ополнительно будем считать, что контур этого тела (нулевая линия
тока) совпадает с осью х. Тогда система основных уравнений задачи
будет выглядеть следующим образом:
(6-1)
ди . Эи __z,
дх + ду ~ и>
где и и v — продольная и поперечная компоненты скорости; р — дав-
ление; т — время; р и v — плотность и кинематический коэффициент
вязкости жидкости.
Для оценки порядка величин отдельных членов, содержащихся
в уравнении (6.1), целесообразно эти уравнения привести к безраз-
мерному виду [31, 124]. С этой целью в качестве масштабов отнесения
для координат и скоростей вводятся параметрические значения этих
величин — продольный размер обтекаемого тела 10 и скорость набега-
ющего (невозмущенного) потока ц,. Условие задачи не содержит ника-
ких характерных значений времени (апериодический процесс) и давле-
ния (жидкость считается несжимаемой). Поэтому в качестве масшта-
бов отнесения для этих переменных принимаются их характеристиче-
ские значения rt = 10/и^ и pt = ри£.
Продольная составляющая скорости изменяется по нормали к лю-
бой точке поверхности от нуля на стенке до скорости невозмущенного
потока, т. е., иными словами, имеет порядок Если учесть, что в по-
граничном слое направление течения лишь незначительно отклоняется
от оси х, то силу трения можно представить в виде
я2
F =	(6.2)
а инерционную — в форме
J = pu^.	(6.3)
Порядок этих сил определяется соотношениями
O(F) = m^; O(J) = p£	(6.4)
где 8 — толщина пограничного слоя. В этой области силы трения
и инерции должны иметь соизмеримую величину, откуда непосредст-
венно следует
6 = Vt'/M) = 1 /Vr^.	(6.5)
Кроме того, из последнего уравнения системы (6.1) получается
(6-6)
и тогда
O(u) = l; О(х)=1; O(v)=6; О(у) = 6.	(6.7)
(подробнее см. [31, 124]).
Систему уравнений (6.1) (вместе с соответствующими оценками)
можно теперь переписать в безразмерной форме
ди . ^~ди . ^ди	др _1_	(	। d2u
V	= - от	дх	ду	дх Re	\ Эх2 Эу2
1	1-1 Г-1/Г	1	1 !/?>
ду . — ду . —ду	др ,	1_ /	д^у ,	\
дг+идё + уд^=-	ду "''Re	д& + д-?)
f 1 • Г s'-1		S	1/?
ди , ду_
дх + ду~ U’
1 1
(6-8)
где u = u/v^\ v = v/uQ; х = х/10; у=у/10^т = тиъ/10; р = р/(ри^).
Если пренебречь членами порядка б (б 1) по сравнению с чле-
нами порядка 1, то система (6.8) упрощается и принимает вид
ди —ди —ди   др 1 д^и
df + Ud£ + Vdy ~~д£+ Re^2
ди , ду _л
дх + dy~U'
(6.9)
При этом второе уравнение системы (6.8) вообще выпадает и заменя-
ется условием постоянства давления по сечению пограничного слоя
|£ = 0.
оу
(6.Ю)
Вернувшись к первоначальным (размерным) переменным, перепишем
уравнение (6.9) в форме, впервые полученной Л. Прандтлем [158], —
ди	. ди	. ди	1 др	. д^и
Эт дх ду	рдх 0у2'	(611)
ди j ду _л
дх + ду “и‘
Система уравнений (6.11), состоящая из двух уравнений, содержит
три неизвестных (u, v, р) и, следовательно, является незамкнутой. Эта
неопределенность может быть устранена на основании следующих со-
ображений.
Если считать, что влиянием пограничного слоя на внешний поток
можно пренебречь и отождествлять последний с движением идеальной
жидкости при полном отсутствии пограничного слоя, то давление р
определится соотношением
=	(6.12)
(77	ОХ	р ОХ	'	'
Здесь U — скорость, которую имела бы (в соответствии со схемой сво-
бодного скольжения) идеальная жидкость непосредственно у поверх-
ности. В тех случаях, когда отождествление внешнего потока с обтека-
нием поверхности идеальной жидкостью приводит к слишком большим
неточностям, возникает необходимость в соответствующих поправках
на влияние пограничного слоя. В этих условиях теоретическое реше-
ние задачи о распределении давления существенно осложняется.
Полагая, что влияние пограничного слоя несущественно, с учетом
выражения (6.12) приводим систему (6.11) к виду
ди ди ди	dU	rrSU , д2и
-3- + -Цд- + ^-а-	=	-st-	+	и st + v—S-;
)	дг дх ду	дт	дх &у2 '	(6	13)
ди ,ov__
д^+ ду~и-
В отличие от системы уравнений (6.11) система (6.13) содержит толь-
ко две неизвестные и и v и потому является замкнутой. Скорость
на внешней границе слоя U(x, т) должна рассматриваться как из-
вестная (на основании предварительного решения или эксперимента)
функция продольной координаты и времени. Это преобразование, ука-
занное также Л. Прандтлем, оказывается возможным только потому,
что в принятом приближении изменением давления по нормали к по-
верхности можно пренебречь и считать, что в любом сечении погра-
ничного слоя давление у поверхности и на его внешней границе оди-
наково.
В дальнейшем предполагается рассматривать только стационарное
движение жидкости. В этом случае система уравнений (6.13) упроща-
ется за счет исчезновения производных по времени и замены частной
производной на полную (т. к. здесь U = Щх)). Имеем
ди	ди	rrdU , д2и
U а---Vsr = U -j---Н v—5"
дх	ду ах	’
Эц , ду _л
дх + ду “и
(6.14)
Приведенные выше рассуждения, на основе которых произво-
дилась оценка значений производных в уравнениях Навье-Стокса
и сплошности, несмотря на их наглядность и кажущуюся простоту,
не совсем корректны. В первую очередь это относится к самому поня-
тию «толщина пограничного слоя». Из граничных условий задачи
u = v = Q при у = 0; l0 х > 0;	.. ,с.
тт	(Ь15)
и —> U	при у —> оо.
непосредственно следует, что эта толщина может быть определена
только приближенно как расстояние от стенки, на котором продоль-
ная скорость в пограничном слое будет отличаться от своего аналога
для внешнего потока на заданную величину (например, на 1 %). Иными
словами, речь идет о допустимой погрешности величины (U — u)/U.
Положение можно несколько улучшить, если перейти к интеграль-
ным характеристикам пограничного слоя типа толщины вытеснения
и т. п. Однако использование такого рода величин для оценки произ-
водных не является столь бесспорным, как в случае пограничного слоя
конечной толщины.
Еще более существенно то обстоятельство, что выбор в качестве
масштаба для протяженности величины Zo является довольно проб-
лематичным. Эта величина входит только в состав ограничительного
неравенства (6.15) и поэтому следует ожидать, что ее влияние на про-
цесс вряд ли будет значительным. Кроме того, сделанная на ее основе
оценка толщины пограничного слоя (см. соотношение (6.5)), строго
говоря, будет справедливой лишь для сечения х= 10. Если же рас-
сматривать толщину пограничного слоя в произвольном сечении, то
выражение (6.5) следует заменить соотношением
=	(6.16)
Даже если предположить, что для инерционной силы справедлива
оценка
2
O{J) = P^	(6.17)
где х — продольная координата рассматриваемого сечения, то и в этом
случае (а высказанное предположение также вызывает некоторые сом-
нения) следует учесть значительно большую жесткость условия (6.16)
по сравнению с (6.5). Более того, для сечений, которые располагаются
достаточно близко к передней кромке тела, силы трения и инерции,
судя по этой оценке, оказываются несоизмеримыми, и решение зада-
чи для этой области в приближениях пограничного слоя становится
невозможным. Так или иначе, приходится констатировать, что выбор
величины 10 в качестве масштаба для протяженности, по крайней мере,
нежелателен.
Чтобы как-то попытаться избавиться от всех этих осложнений,
иногда применяют следующую процедуру упрощения уравнений
Навье—Стокса (см., например, [77]). Исходя из интуитивных сообра-
жений, выбираются различные масштабы отнесения для продольных
и поперечных координат, а также компонент скорости. Тогда соответ-
ствующие безразмерные величины записываются в виде
х+ = х/1^\ у+ = y/l^; U+ = u/uq;
v+ = v/vt; r+ = llt/uv; p+ = p/(pu$).
Затем составляется число Рейнольдса в форме
Re=^,	(6.19)
а масштабы lit и выбираются из условия, чтобы система основных
уравнений задачи содержала в качестве единственного параметра рей-
нольдсово число (6.19). Для этого следует положить
li*v* _ 1.	_ 1
откуда непосредственно следует
Ь	vt = u0/v/Re.
Тогда система основных уравнений приобретает вид
' ди, ди, ди,	др, 1 д2и,	д^и,
дг+	+ + дх+	+ + ду+	дх+	+ Re ^2	^2	>
.	1 (dv.i. 9vj.	Эр, 1 д2и, 1 д%и,
иё +	+	= _&д+	+
(6.20)
(6-21)
(6.22)
Система (6.22) содержит малый параметр 1 /v^Re, который входит в ра-
венства (о.21) и тем самым в выражения для безразмерной поперечной
координаты и скорости. Если теперь чисто формально рассмотреть раз-
ложения решении системы (6.22) по степеням этого малого параметра
U+ = 1^+ + ^=U]+ + j^U2+ + . . .
v+ = ^0+ + ^«1+ + 1^2+ + • • •	(6.23)
Р+=РО+ + ^Р1+ + ^Й+ + ---
и подставить их в уравнение (6.22), то нулевому приближению как раз
и будет соответствовать система уравнений Прандтля. В более строгой
постановке эта задача рассмотрена в работах [122, 146], где учитывает-
ся неравномерная точность приближений из-за наличия особенностей
около передней кромки тела.
До сих пор принимались во внимание только основные уравнения
задачи. При этом масштаб llt оказался неопределенным. Предполага-
лось лишь, что он существует и краевые (граничные) условия позволя-
ют найти его конкретную форму. Но из этих условий (см. (6.15)) сле-
дует, что существует два варианта: либо принять llt = 10, либо исполь-
зовать характеристический (внутренний) масштаб Zb = и/и^. В пер-
вом случае, естественно, вновь возникают все те затруднения, о ко-
торых шла речь выше и которые делают такой выбор нежелательным.
(6.24)
Во втором же случае критерий Рейнольдса, определяемый выражением
(6,19), тождественно обращается в единицу. Таким образом, в любом
случае приходим к неприемлемому варианту выбора этого масштаба,
В этих условиях представляется целесообразным отказаться
от всякого рода интуитивных оценок и непосредственно обратиться
к анализу уравнений масштабных связей. Из системы уравнений (6.1)
и граничных условий (6.15) получаем
ч _ ц»2 _ иЛ Р* .. ч ..
г, -	- pilt - " {2 - " £
T*~ h* ~ h*~ P^	£
= V ч = li* = lo-
Как уже отмечалось, величина Zo входит только в состав ограничитель-
ного неравенства и, в соответствии с этим, не может иметь существен-
ного влияния на развитие процесса. Поэтому последнее из уравнений
масштабных связей в дальнейшем приниматься во внимание не бу-
дет. С учетом этого обстоятельства, а также того, что часть связей
в соотношениях (6.24) дублируется, имеем 6 независимых уравнений
масштабных связей относительно 6-ти масштабов (т„; llt; l2t; ut; vt, pt)
= = = t = t =	<6’25)
Следовательно, задача может быть приведена к полностью автомодель-
ному виду, если за масштабы отнесения принять
Ч = Ч = Ч);	= = rt = v/v$; р. = ри£. (6.26)
Но при этом молчаливо предполагается, что любой из членов полу-
ченных безразмерных уравнений является существенным. Если есть
основания полагать, что какие-либо из них отличаются по порядку
величины, то целесообразно выбрать масштабы отнесения таким обра-
зом, чтобы сделать сами безразмерные операторы величинами одного
порядка, а их отличие в целом отобразить в соответствующих безраз-
мерных коэффициентах. Разумеется, при этом должны быть дополни-
тельно заданы какие-то условия, позволяющие оценить значения этих
коэффициентов.
В рассматриваемом случае таким дополнительным условием явля-
ется то, что в пограничном слое производные в поперечном направле-
нии имеют значительно большие значения, чем их аналоги в продоль-
ном направлении. Для того, чтобы эти производные в безразмерной
форме были величинами одного порядка необходимо выбрать масштаб
протяженности для направления у существенно меньшим, т. е.
г2, = Ц„	(6.27)
где к с 1. Но чтобы сохранить одинаковый порядок членов в уравнении
сплошности следует положить
ш - ки,.
(6.28)
Если теперь выбрать в качестве масштабов отнесения
Z‘* = P< = и* = ио'’ v< = kuo'’ г* = ^2;	=	(6-29)
то (после сокращения на к2) получим следующую систему уравнений
и граничных условий в безразмерной форме
du, ди, ди, др, 9 д2и, д2и,
дт+ + дх+ + ду+ дх+ ^.2	^2
к (^± + и + v __^е + ьз£Ч ,	(6.30)
4+ +U+^+	- ду++к дх2++ ду2'
. л.
( и+ = г>+ = 0 при у+ — 0; к т >. П-
. и+ -»1 при у+ -> оо.
(6-31)
Безразмерные операторы в уравнениях (6.30), (6.31) имеют один и тот
же порядок, поэтому все члены, содержащие величину к в положи-
тельной степени могут быть опущены. Исключение составляет вели-
чина порядок которой первоначально не известен. Однако эта
1 ^Р-Х-
величина (а точнее может быть оценена как пренебрежимо ма-
лая, т. к. ее порядок не+ может превышать порядка остальных членов
второго уравнения системы (6.30). В результате после перехода к раз-
мерным переменным опять имеем уравнение Прандтля.
Итак, уравнения пограничного слоя получены, по сути дела, на ос-
нове первоначальной гипотезы Прандтля, но без использования по-
нятия «толщина пограничного слоя». При этом критерий Рейнольд-
са Re = вообще не вводится (за исключением малосущественно-
го ограничительного неравенства), поэтому традиционное требование,
что его величина должна быть достаточно большой, непосредственно
здесь не фигурирует.
На первый взгляд кажется, что в таком случае нельзя использо-
вать способ решения уравнений Навье-Стокса, основанный на разло-
жении по степеням малого параметра 1 />/Re. В частности, это относит-
ся к тем результатам, которые были получены в работе [146] на осно-
ве метода Пуанкаре-Лайтхилла-Го. Однако сравнение систем урав-
нений (6.22) и (6.30) показывает, что они отличаются лишь формой
записи малого параметра. Совершенно ясно, что это отличие не явля-
ется сколько-нибудь существенным, т. к. структура получаемого реше-
ния — и прежде всего «нулевого приближения», которое соответствует
уравнениям Прандтля, — не изменяется. Впрочем, к этому результату
можно прийти и чисто формально.
Действительно, выбрав в качестве масштаба отнесения для про-
тяженности =	(6.29) из соотношения (6.19), получаем
Re=i.
(6.32)
§ 6.2. Ламинарный пограничный слой на пластине (задача
Блазиуса)
Задача о ламинарном течении жидкости около пластины [131,
153] является одним из самых простых приложений теории погранич-
ного слоя. Отождествление пластины с геометрической плоскостью,
параллельной основному потоку, означает, что ее внесение в жид-
кость не искажает геометрии системы. Единственный эффект, который
при этом возникает, связан с развитием пограничного слоя, обуслов-
ленным действием силы трения. При этом обратное влияние погранич-
ного слоя на внешний поток считается здесь пренебрежимо малым.
Тем самым внешнее течение считается невозмущенным, а скорость
на внешней границе пограничного слоя принимается равной скорости
набегающего потока. Однако простота этой задачи не только не умень-
шает те трудности, о которых шла речь в предыдущем разделе, но даже
(из-за отсутствия характерного значения протяженности) в какой-то
степени их увеличивает. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Стационарный ламинарный пограничный слой на тонкой пластине
определяется системой уравнений
ди	.	ди	д2и
u-й- + г)д- = р—s-;
ЙЕ	ду	Эу2’
' ди ! dv _л
te +	~	U*
(6.33)
Эти уравнения соответствуют безградиентному обтеканию пластины
и получаются из системы (6.14), если положить
U = const, или = 0.	(6.34)
Граничные условия для пластины конечной длины L даются в виде
соотношений:
и = v = 0
u-> U
при у = 0; L I 0;
при у—> оо; оо > а; > — оо.
(6.35)
Здесь ось х направлена по пластине, ось у — перпендикулярно к ней,
а начало координат помещено на передней кромке пластины.
Если ввести функцию тока, производные которой связаны с коор-
динатами и компонентами скорости уравнениями, —
ЭФ	ЭФ
U = v = —
то система (6.33) и граничные условия (6.35) преобразуются следую-
щим образом:
(6.36)
эф э2ф _ эф э2Ф _ Э3Ф.
ду ' дх • ду дх ' &у2 ЭуЗ ’
Ф = 0; 4-7 = 0 при у = 0; L х 0;
ЭФ тт
—> и	при у —>оо; оо>х>— оо.
(6.37)
(6.38)
С учетом симметрии потока условия (6.38) могут быть представлены
в более детализированной форме
Ф = 0	при у = 0; оо >	> X	> —оо;
	при у = 0; L	X	0;
5=°	при у = 0; х <	о,	х > L;
&У	при у —> оо; оо	>	х > —оо.
(6.39)
Первое из граничных условий в системах уравнений (6.38) или
(6.39) было получено на основе следующих соображений. Из требова-
ния обращения в нуль при у = 0 обеих компонент скорости непосред-
ственно следует
ЙФ =	• dx +	• dy = 0, или Ф = const. (6.40)
Таким образом, поверхность твердой стенки соответствует некоторой
линии тока, которая без ограничения общности может быть принята
за нулевую. Что же касается условия = 0 на стенке, то оно является
следствием первых двух условий системы (6.38) и поэтому в число
граничных условий самостоятельно не входит.
В настоящее время точное решение задачи о пограничном слое
на пластине конечной длины не найдено. В первую очередь это связано
с трудностями, которые определяются сложностью граничных условий
(6.39), т. к. здесь должны выполняться различные условия на оси х
вне пластины и в ее пределах.
Обычно задача решается для полубесконечной пластины (задача
Блазиуса [131]), а граничные условия задаются в упрощенном виде
Ф = 0; 4^ = 0 при у = 0, х > 0;
эф тт
-S7 -> и при у —> оо.
(6.41)
Считается, что в этом случае можно получить вполне удовлетвори-
тельное решение задачи во всем интервале изменения продольной ко-
ординаты, за исключением областей, непосредственно прилегающих
к концам пластины (а; = 0; х = L). Наличие особой точки в начале ко-
ординат, в которой скорость терпит разрыв, не приводит к каким-либо
дополнительным осложнениям.
Найдем решение задачи Блазиуса с помощью метода характери-
стических масштабов. Из выражения (6.37) и (6.41) получается сле-
дующая система уравнений масштабных связей:
ф2	ф	ф
-Z*=v^- ^- = U
htkt	kt	k*
где Ф, — масштаб отнесения для функции тока, a llt и l?t — масштабы
протяженности для координат хну, соответственно. Имеем два урав-
нения, связывающих три масштаба. Отсюда непосредственно следует,
(6-42)
что задача имеет автомодельное решение. Стандартная процедура ис-
ключения свободных масштабов приводит к соотношениям
Ф = VpUx f = иУ^ (sVS) ’
(6.43)
(6.44)
(6.45)
или
ф* = 7Ж = /(’); ф.+ = ^Л<’): ” =
При подстановке этих соотношении в (6.37), (6.38) происходит переход
от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям. Разумеется, оба выражения для функции тока (6.45)
в этом смысле совершенно тождественны, однако обычно предпочте-
ние отдается первому из них, т. к. для него получаемое обыкновенное
дифференциальное уравнение имеет более простой вид. Имеем
' Ф;' +	= 0;
< Ф+ = 0; Ф!|_ = 0 при г/ = 0;	(6.46)
Ф+ = 1 при Т) —> оо.
Первоначальное решение задачи (6.46) было дано Блазиусом
в виде степенного ряда для малых значений т) и асимптотического
выражения для больших значений этой координаты. В настоящее вре-
мя имеются подробные численные решения системы (6.46), выполнен-
ные с высокой степенью точности. Результаты теоретического решения
вполне удовлетворительно согласуется с экспериментальными данны-
ми (см., например, [78]).
Таким образом, можно констатировать, что конечные результаты
сами по себе не вызывают сомнений. Однако используемые при этом
исходные предпосылки требуют некоторой корректировки.
Это в первую очередь относится к утверждению, что уравнения
пограничного слоя представляют собой приближенные уравнения гид-
родинамики вязкой жидкости при достаточно больших значениях кри-
терия Рейнольдса [76, 78]. Если встать на эту точку зрения, то из ос-
новных положении обобщенного анализа непосредственно следует,
что скорость, вязкость и характерный размер не являются самостоя-
тельными аргументами задачи. Аргументом здесь будет только строго
определенная их комбинация — число Рейнольдса. Иными словами,
любые изменения этих трех величин, при которых значение Re не ме-
няется, никак не должно сказываться на обобщенном решении задачи.
В связи с этим уместно вспомнить, что в работах Прандтля речь
идет о жидкостях малой вязкости. К тому же при рассмотрении тече-
ния около пластины выбор в качестве характерного значения ее длины
вряд ли является обоснованным. Создается в какой-то мере парадок-
сальная ситуация. Сначала (при получении уравнений пограничного
слоя с помощью разложения по степеням малого параметра 1 /v^e)
длина пластины вводится в критерий Рейнольдса, т. е. полагается ве-
личиной конечной и, естественно, существенной для процесса. Затем
утверждается, что увеличение длины пластины никак не сказывается
на областях течения, расположенных выше по потоку, и поэтому ее
длина может быть принята бесконечно большой. Именно это и позволя-
ет получить автомодельное решение задачи. Строго говоря, при обтека-
нии плоской пластины имеется только характеристический (внутрен-
ний) масштаб протяженности v/u, критерий Рейнольдса вырождается,
а предположение о его большом значении становится бессодержатель-
ным.
Для других обтекаемых тел существует характерный (внешний)
масштаб протяженности Zo; его сопоставление с величиной lt как раз
и дает критерий Рейнольдса
Re==^o = ^.	(647)
Предположение о малой вязкости жидкости, и тем самым о мало-
сти характеристического масштаба lt, иногда считают равносильным
предположению о достаточно большом значении критерия Рейнольд-
са. Разумеется, эти предположения не являются полностью адекватны-
ми. Однако не это обстоятельство представляется наиболее значитель-
ным. Основная трудность заключается в учете существенных различий
в свойствах полных уравнений Навье-Стокса и уравнений погранич-
ного слоя. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Полные уравнения Навье-Стокса представляют собой дифферен-
циальные уравнения в частных производных второго порядка эллип-
тического типа. Особенность их заключается в том, что решения этих
уравнений во всех точках пространства оказываются взаимно связан-
ными. В частности, когда речь идет о движении жидкости, характери-
стики течения в любой точке зависят не только от условий, которые
складываются вверх по потоку, но и от обстановки вниз по потоку.
Уравнения пограничного слоя относятся к дифференциальным
уравнениям параболического типа. Здесь существенными являются
лишь характеристики течения вверх по потоку, а возмущения, кото-
рые возникают вниз по потоку никак не сказываются. Это относится
даже к таким сильным возмущениям, которые определяются отрывом
жидкости от твердой поверхности. В этом случае соответствующее
распределение скорости сохраняется почти до самой точки отрыва.
Возникает естественный вопрос, в чем заключается физическая
причина столь серьезного различия свойств получаемых решений
для уравнений этих двух типов? Если предположить, что определяю-
щим здесь является величина критерия Рейнольдса, то можно предста-
вить следующее положение. Большее численное значение рейнольдсо-
ва числа можно получить различными способами, — уменьшая кинема-
тический коэффициент вязкости или, наоборот, увеличивая скорость
течения и характерный размер обтекаемого тела. Отсюда непосредст-
венно следует, что для жидкости сколь угодно большой вязкости (лишь
бы эта жидкость оставалась ньютоновской) значение критерия Рей-
нольдса может получено достаточно большим при соответствующем
увеличении характерного размера тела (или скорости). Следовательно,
и в этом случае должно бы наблюдаться течение типа пограничного
слоя. Даже для хорошо обтекаемого тела произвольной формы, не го-
воря уже о пластине, такое утверждение вызывает определенные сом-
нения. Если же считать, что определяющим фактором для получения
уравнений пограничного слоя является только малость вязкости жид-
кости, то на основе традиционных представлений становятся трудно
объяснимыми некоторые особенности течения около передней кромки
обтекаемого тела.
Кинематический коэффициент вязкости р и его аналоги для про-
цессов переноса другого типа — коэффициенты температуропровод-
ности а и диффузии D — характеризуют интенсивность переноса со-
ответствующей субстанции (количества движения, теплоты и массы,
соответственно). Однако им можно придать и несколько иной физи-
ческий смысл. Уравнение переноса теплоты (уравнение Фурье) имеет
наиболее простую форму, поэтому сделаем отступление от основной
темы и рассмотрим на его примере некоторые общие свойства коэф-
фициентов переноса.
Из уравнения Фурье непосредственно следует, что коэффициент
температуропроводности можно представить в виде [79]
VT
а = — w,—.
* V2T’
(6.48)
где wt — скорость распространения изотермической поверхности
в рассматриваемой среде. Если учесть, что отношение дифференци-
альных операторов в правой части равенства (6.48) инвариантно отно-
сительно линейной группы преобразования [79], то это соотношение
может быть переписано следующим образом:
а - lwt,	(6.49)
где I — некоторая характерная длина. Таким образом, величина, об-
ратная коэффициенту температуропроводности, характеризует инер-
ционные свойства среды (в частности, жидкости) в отношении распро-
странения температурного поля.
Для двумерного температурного поля можно, по-видимому, счи-
тать, что на достаточном удалении от источника возмущения скорость
распространения температурного поля будет прямо пропорциональ-
на коэффициенту температуропроводности среды и обратно пропор-
циональна расстоянию до этого источника. В движущейся жидкости
температурное возмущение будет сказываться вверх по потоку лишь
в том случае, когда скорость жидкости U не будет превышать скорости
распространения температурного поля wt. Иными словами, величину
lt = a/U можно приближенно рассматривать как предельное значение
глубины проникновения возмущений навстречу потоку жидкости.
Несколько сложнее обстоит дело при изучении обтекания тел по-
током жидкости. В отличие от скалярного температурного поля здесь
в общем случае должно рассматриваться векторное поле скорости. Од-
нако для хорошо обтекаемых тел чаще всего можно ограничиться лишь
продольной компонентой скорости и аналогичным образом считать ве-
личину lt = v/U приближенной мерой глубины проникновения возму-
щений навстречу потоку жидкости.
Для маловязких жидкостей (вода, воздух и т. п.) при обычных ско-
ростях обтекания эта глубина имеет порядок 10-6-1(Н м. Совершенно
очевидно, что изменения характеристик течения в столь малой области
пространства могут быть обнаружены только с помощью специальной
аппаратуры. В связи с этим соответствующее упрощение уравнений
Навье-Стокса представляется здесь физически вполне оправданным.
Впрочем, в большинстве случаев размеры обтекаемых тел несоизме-
римы с величиной Z„, поэтому обычно используемое условие перехода
к уравнениям пограничного слоя (Re^> 1) выполняется автоматически.
Для жидкостей повышенной вязкости (даже при достаточно боль-
ших значениях критерия Рейнольдса) такого рода утверждение бы-
ло бы слишком категоричным. Величина lt может здесь увеличиться
на несколько порядков. Насколько существенным будет это обстоя-
тельство, в первую очередь определяется тем, о какого рода харак-
теристиках будет идти речь. Если интересоваться только интеграль-
ными характеристиками (например, средним значением коэффициента
гидродинамического сопротивления), то соответствующим искажени-
ем течения часто можно пренебречь. Однако следует ожидать их за-
метного влияния на локальные характеристики процесса. Это влияние
в некоторых случаях может привести к возникновению течений, тип
которых будет существенно отличаться от движения жидкости в по-
граничном слое.
Резюмируя сказанное, прежде всего отметим, что появление в чи-
сле аргументов задачи о внешнем обтекании тел критерия Рейнольдса
в какой-то мере является данью традиции. В ряде случаев его влияние
на процесс оказывается чрезвычайно слабым, а в других — он вообще
является своего рода «балластным» критерием (например, для пласти-
ны). В связи с этим более корректным представляется способ полу-
чения уравнений Прандтля на основе его первоначальной идеи о ма-
лости поперечного масштаба течения по сравнению с продольным, но
без конкретизации вида каждого из этих масштабов (см. предыдущий
раздел). Следует также подчеркнуть, что именно малая вязкость жид-
кости является достаточным условием для перехода от общих уравне-
ний Навье-Стокса к уравнениям пограничного слоя.
§ 6.3. Теплоотдача в условиях ламинарного течения
жидкости по трубе (задача Грэца)
Аналитическое решение задачи о теплообмене в условиях лами-
нарного течения по трубе впервые было рассмотрено Грэцем [137,
138], а его современная форма с использованием обобщенных пере-
менных — Гребером [23]. Ниже будет получена структура этого обоб-
щенного решения с помощью метода характеристических масштабов.
Итак, рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости
с постоянными физическими свойствами в круглой трубе с радиусом
т0. На входе в обогреваемый (или охлаждаемый) участок поток счита-
ется стабилизированным в гидродинамическом отношении, и поле ско-
ростей в соответствии с законом Гагена-Пуазейля может быть пред-
ставлено в виде
vx = vx(r) = 2v 1
(6.50)
где v — средняя расходная скорость. Используется цилиндрическая
система координат (т, <р, т), причем ось трубы совпадает с осью х. На-
чиная с сечения х = 0, стенка трубы имеет температуру Та, отличную
от температуры жидкости То на входе. Если ввести разностную темпе-
ратуру & = Т — 7^т, то уравнение Фурье-Кирхгофа в цилиндрических
координатах запишется в форме
St? . at? . at? / a2t? . i at? . i a2t? . s2t?
^ + ^ + ^ = ^[-^2+7^ + ^ + ^
(6-51)
где a — коэффициент температуропроводности жидкости.
В силу симметрии движение жидкости можно считать одномерным
q2 $
(vT = v = 0; vx = v) и —к- = 0. Кроме того предполагается, что теп-
*	д<р
лопроводностью жидкости в направлении течения можно пренебречь
по сравнению с гораздо более интенсивным переносом теплоты за счет
q2 $
конвекции (—у « 0). Тогда уравнение (6.51) упрощается и с учетом
дх£
(6.50) может быть переписано в виде
S2t?	1_ St? _ 2v Г. _ (r_\21 St?
Эг2	г®г °	\ г0 /	’
(6.52)
Граничные условия первого рода и условия на входе в трубу задаются
в форме
Г # = 0 при х 0; т = т0;	,
( $ = $0 при ш = 0; г < г0.	\  >
Соответствующая система уравнений масштабных связей записывает-
ся следующим образом:
J = Zb = ro; ^ = ^о-	(6.54)
Для протяженностей, соответствующих осям координат х и г, выби-
раются различные масштабы отнесения. Имеем три уравнения мас-
штабных связей, включащих три подлежащих определению масштаба,
поэтому задача приводится к полностью автомодельному виду и ее
решение не содержит критериев подобия. При этом масштаб 4. ока-
зывается равным
_ 2
^=^-.	(6.55)
а соотношение для безразмерной температуры i?+ имеет вид
где
(6.56)
(6-57)
Введем коэффициент теплоотдачи
а = £ = _Л (&Г)
я
где q — плотность теплового потока, А — теплопроводность жидкости,
а средняя калорическая температура жидкости определяется соотно-
шением
9 У
& = ~27 У 1? • v • г dr.	(6.58)
rov о	|
Отсюда непосредственно получаются выражения для локального Nu
Nu = ^=/2(a;+)	(6.59)
и среднего числа Нуссельта (Nu)
Nu = 7> = /3(^,	(6.60)
где I — длина участка трубы, на котором происходит теплообмен. Со-
отношение (6.60) может быть представлено в более привычной форме,
если ввести, так называемую, «приведенную длину» Имеем
n’u=a(A-I)-	(6-61)
Здесь Ре =	— критерий Пекле, d — диаметр трубы. И наконец,
для полностью стабилизированного в тепловом отношении потока по-
лучается выражение
Nu = const.	(6.62)
Задача Грэца является довольно поучительным примером для со-
поставления возможностей применения различных форм обобщенного
анализа. Дело заключается в том, что решение этой задачи в виде
(6.59) непосредственно не может быть получено с помощью традици-
онных методов анализа размерностей.
Если ограничиться определением коэффициента теплоотдачи, то
совокупность существенных для процесса величин будет включать
семь составляющих
а, х, r0, v, 1?0, а, А
(6.63)
при четырех первичных величинах: массе (М), протяженности (L),
времени (Г) и температуре (в). Как это следует из теоремы Бэкингема,
решение задачи содержит три безразмерных комплекса, которые могут
быть получены, например, в ввде
Nu = ^; Ре = ^; -.	(6.64)
А ’	а ’ г0	v '
Критерий Пекле (в отличие от (6.60), (6.61)) является здесь самосто-
ятельным аргументом, что, естественно, нарушает автомодельность.
Интересно отметить, что в отличие от задачи Релея-Рябушинского
(см. раздел 4.1) включение количества теплоты Q в перечень первич-
ных величин не приводит к уменьшению числа получаемых комплек-
сов, т. к. в этом случае из него выпадает масса (М). Не помогает здесь
и обычный прием, заключающийся в том, что в перечень существенных
величин включаются не отдельные параметры, а составные — в той
форме, в которой они входят в уравнения задачи. Действительно, если
вместо величин v и а взять их отношение (как это следует из урав-
нения Фурье-Кирхгофа), то число и структура комплексов останутся
прежними.
Причина возникшей ситуации совершенно ясна. Предельная уни-
версальность решения в форме соотношения (6.59) достигается здесь
за счет выбора различных масштабов протяженности в продольном
и поперечном направлениях. Для доказательства правомерности это-
го выбора необходимо провести предварительный анализ, чтобы вы-
яснить не содержится ли в рассматриваемой задаче какие-нибудь до-
полнительные ограничительные условия. В данном случае этот прием
(выбор различных масштабов протяженности) как раз и оказался эф-
фективным из-за того, что уравнения задачи не включают однородных
операторов типа лапласиана, дивергенции и т. п. Совершенно ясно,
что проведение такого рода предварительного исследования в рамках
анализа размерностей не представляется возможным, хотя чисто фор-
мально «добавление Хантли» к теореме Бэкингема (см. главу 4) и поз-
воляет получить соответствующее обобщенное решение.
§ 6.4. Теплоотдача при пленочной конденсации
на вертикальной стенке (задачи Нуссельта и Капицы)
Одна из наиболее полных систем уравнений и условий единствен-
ности, которая определяет процессы теплообмена в двухфазных си-
стемах, приводится в монографиях [65, 69]. Она состоит из основных
уравнении, включающих уравнения Навье-Стокса и Фурье-Кирхгофа
для обеих фаз, а также граничные условия на межфазных поверхнос-
тях и твердой стенке. Далее будет рассматриваться частная задача
о теплоотдаче при пленочной конденсации пара на вертикальной стен-
ке, поэтому ограничимся упрощенной постановкой соответствующей
краевой задачи.
Для этого прежде всего предположим, что основное термическое
сопротивление сосредоточено в образующейся пленке конденсата. Кро-
ме того, будем считать, что внешняя поверхность пленки плоская, тре-
ние на границе раздела фаз отсутствует, физические свойства жидко-
сти не зависят от температуры, а плотность пара мала по сравнению
с плотностью конденсата. С учетом этих упрощающих предпосылок
рассматриваемая краевая задача может быть представлена в следую-
щем виде:
pg — grad р + pV2tu = p(w grad)w;
div w — 0;
w grad T = aS72T;
{^p Pip Pb’
(pwn)rP = (p"OrP;
—A (— rn"iu"-
\ /гр
W = 0; T = Ta при у = 0.
(6.65)
(6.66)
Здесь ось i декартовой системы координат направлена вниз (по на-
правлению стекания пленки конденсата), а ось у — поперек пленки.
Индексом «два штриха» обозначены величины, относящиеся к насы-
щенному пару, индексом «гр» отмечаются элементы поверхности раз-
дела фаз (п — направление нормали к этим поверхностям); параметры
жидкости индексов не имеют.
Если ввести разностную температуру $ = Т — Ts и избыточное дав-
ление Др = р — рв, то из (6.65)-(6.67) получается система уравнений
масштабных связей
Р* Ш»
рд = т=р~2=р — ; a-^ = wt-;
1*	*	1*	*	(6.68)
Ay- = rp"w''; p"w" = pwt; $t = $CT.
Имеем семь уравнений для пяти масштабов (pt, wt, lt, w"), поэтому
обобщенное решение должно содержать два критерия. Ограничимся
рассмотрением коэффициента теплоотдачи
А

(6.69)
Обычная процедура дает следующее соотношение для безразмерного
локального коэффициента теплоотдачи
(6.70)
Аналогичная зависимость для среднего коэффициента теплоотдачи
выглядит следующим образом:
.2
(6-71)
где I — высота пластины. Соотношение (6.71) может быть переписано
в более привычной форме
Nu=^-=/3(Ga;Pr;X),	(6.72)
al3	г
где Ga =	— критерий Галилея; К = .,
v	ср1е'ст1
Следуя работе Нуссельта [154], дополнительно упростим поста-
новку задачи. Допустим, что силы инерции и давления пренебрежимо
малы, а конвективный перенос теплоты в пленке можно не учитывать.
Тогда число уравнений масштабных связей (6.68) уменьшится до че-
тырех, но при этом сократится на единицу и число масштабов из-за
выпадения pt. Задача приводится к полностью автомодельному виду
з/ MltfJ
V др2^2г
др2 г
АМ|’’ст1
Nu = f5(GaPrJK').
(6.73)
(6-74)
Однако можно получить решение задачи в еще более универсаль-
ной форме, определив на основе обобщенного анализа вид функции
в выражении (6.73) (получить автомодельное решение). Для этого сле-
дует учесть, что задача Нуссельта соответствует одномерному прибли-
жению
1, d3w п
ay
ay
d(pwf>) _ А|<?п-|.
dr	6r *
w = 0; •& = при у = 0;
= 0;	= 0 при у = 6.
(6.75)
(6.76)
Здесь 6 — толщина пленки жидкости, w — средняя скорость в рас-
сматриваемом сечении. Последнее уравнение системы (6.75) эквива-
лентно условиям на границе раздела фаз (6.66).
Характерная особенность уравнений (6.75) состоит в том, что они
не содержат однородных дифференциальных операторов. Это дает воз-
можность выбора различных масштабов протяженности для осей х и у.
Соответствующая система уравнений масштабных связей будет теперь
выглядеть следующим образом:
to*	!♦	Z*
(6.77)
Число уравнений в (6.77) меньше числа масштабов, поэтому с по-
мощью обычной процедуры можно получить автомодельное решение
задачи:
^*-V 9P2r ’	(678)
^ = л(лг);	,6'7Э|
=	(6.80)
V	9Р гХ
Q-{/#4 = c>2.	(6-81)
V	9Р гХ
Итак, решение Нуссельта (с точностью до произвольной посто-
янной) получено на основе обобщенного анализа без интегрирования
соответствующей системы дифференциальных уравнений.
Влияние капиллярных волн было учтено Капицей [52]. Было по-
казано, что конфигурация образующейся волны близка к синусоиде.
Волна перемещается по поверхности пленки в направлении ее дви-
жения, причем мгновенная толщина пленки в любой фиксированной
точке изменяется по периодическому закону. При этом термическое
сопротивление пленки уменьшается примерно на 20% и, естественно,
на эту же величину возрастает коэффициент теплоотдачи.
В приближениях работы [52] краевая задача отличается от (6.75),
(6.76) двумя особенностями. Во-первых, в уравнении движения появ-
ляется производная по времени, а условия на межфазовой границе
должны быть дополнены соотношением
Др=£,	(6.82)
где а — коэффициент поверхностного натяжения, R — радиус кри-
визны поверхности раздела фаз.
С точки зрения обобщенного анализа это приводит к пополнению
системы (6.77) еще двумя уравнениями масштабных связей. Однако
это никоим образом не сказывается на структуре решения для коэф-
фициента теплоотдачи, т. к. одновременно появляются два дополни-
тельных масштаба (г, и pt), и условие существования автомодельного
решения остается выполненным. Таким образом, соотношения (6.80)
и (6.81) являются также и решениями задачи Капицы, но с другими
численными значениями констант Q и С2, что хорошо подтверждается
экспериментальными данными.
§ 6.5. Тепловое излучение
На самой ранней стадии разработки проблемы излучения абсо-
лютно черного тела обобщенный анализ, а точнее анализ размерно-
стей, использовался сравнительно широко. Но с развитием квантовой
теории после установления закона Планка тот подход, который был ха-
рактерен для работ Вина и Джинса, встречается лишь в специальных
разделах термодинамики (см., например, [6]). Что же касается законов
Стефана-Больцмана, Вина и Релея-Джинса, то их принято теперь рас-
сматривать как прямые следствия закона Планка. Однако можно пока-
зать, что на основе квантовой гипотезы эти законы могут быть получе-
ны непосредственно из размерностных соображений без привлечения
каких-либо дополнительных термодинамических и статистических ги-
потез.
Такой подход представляет определенный интерес и в методиче-
ском отношении. Дело заключается в том, что в вузовских курсах те-
ории теплообмена раздел «Теплообмен излучением» резко отличается
от всех остальных. Для его полного и достаточно квалифицированного
изложения, вообще говоря, требуется привлечение элементов стати-
стической механики или дополнительных глав термодинамики. Специ-
альные курсы, в которых рассматриваются эти вопросы, обычно в про-
граммы вузов не входят, а в курсе «Общая физика» лишь упоминают-
ся. Поэтому изложение раздела, посвященного тепловому излучению,
является в значительной степени формальным: с самого начала без вы-
вода приводится формула Планка, из которой затем аналитически по-
лучаются остальные законы излучения абсолютно черного тела. В этих
условиях предварительное рассмотрение законов излучения на основе
обобщенного анализа представляется, по-видимому, вполне целесооб-
разным. Тем более, что его различные модификации (теория подобия,
анализ размерностей) достаточно подробно рассматриваются в других
разделах курса теории теплообмена.
Рассмотрим излучение, заполняющее некоторую область про-
странства и находящееся в состоянии термодинамического равнове-
сия с окружающими телами. Состояние такого равновесного излуче-
ния на макроскопическом уровне будет характеризоваться объемом V
и температурой Т. Таким же образом, все остальные макроскопиче-
ские характеристики будут функцией этих двух переменных. Напри-
мер, соотношение для внутренней энергии U представляется в виде
U=U(T;V),	(6.83)
а ее удельное значение
и = у = и(Т)	(6.84)
Перечень существенных для процесса величин содержит помимо пе-
ременных еще и некоторые фундаментальные постоянные. Это прежде
всего постоянная Больцмана к, посредством которой устанавливается
связь между средней энергией теплового движения частиц излучаю-
щих тел с температурой. Кроме того, должна быть учтена скорость
движения фотонов с, равная скорости света в вакууме.
В классическом приближении больше никаких постоянных задача
не содержит. Однако в этом случае перечень существенных для про-
цесса величин
и; Т; к; с	(6.85)
представляется неполным. Действительно, размерности этих величин
определяются формулами
[u] = ML-lT~2; [Г] = 6»; [fc] = МЬ2Т~2е~1-, [c] = LT~l, (6.86)
где M,L, Ттл в — символы массы, длины, времени и температуры,
соответственно. Число существенных величин совпадает с числом
первичных, поэтому из теоремы Бэкингема непосредственно следует,
что ни одного безразмерного комплекса здесь получить невозможно.
Разумеется, к аналогичному результату приводит и применение спо-
соба получения комплексов на основе уравнений масштабных связей.
Такое положение означает, что в перечень существенных должна быть
внесена еще какая-нибудь дополнительная величина.
В соответствии с квантовой теорией излучения, изменение энер-
гии системы происходит скачкообразно. Каждый элементарный акт
этого процесса реализуется в форме испускания (поглощения) кванта
излучения — фотона. Энергия кванта связана с частотой и соотно-
шением
е, = hv,	(6.87)
где h — постоянная Планка. Таким образом для анализа размерностей
переход к квантовым представлениям приводит к включению в чис-
ло существенных величин постоянной Планка, которой соответствует
формула размерности
[h] = ML2T~l.	(6.88)
Теперь число существенных величин становится равным пяти, в то
время как число первичных — не изменяется. Следовательно, из этих
величин может быть составлен один безразмерный комплекс. Исклю-
чая из (6.86) и (6.88) те первичные величины (массу, длину и время),
которые непосредственно не входят в перечень существенных для про-
цесса, имеем
=	(6.89)
или
и~Т4,	(6.90)
что соответствует закону Стефана—Больцмана (Bt — безразмерная
константа).
Важнейшей характеристикой излучения на микроскопическом
уровне является спектральная плотность излучения или адекват-
ная ей величина их (ujdi/| = |dA |, А — длина волны). Связь этих
величин с суммарной удельной энергией излучения определяется со-
отношениями
и =\u„dv, Uy =	Т),	(6.91)
о
или
u=\uxdA, иЛ=иЛ(А;Т).	(6.92)
о
Для определения структуры безразмерных комплексов в соответствую-
щих зависимостях вновь используем анализ размерностей. В перечень
существенных для процесса включается 6 величин
Т; A; h; с; к
(6.93)
с формулами размерностей
Ы = МГ-2Т^; [Г] = 0; [А] = Д;
[h] = ML2T~l; [с] = ЬГ1; [к] = МЬ2Т~2в~1.	1	’
Масса и время непосредственно не входят в перечень существенных
величин. После исключения этих первичных величин из формул раз-
мерностей (6.94) получаем два безразмерных комплекса
Иными словами, зависимость для спектральной плотности излучения
может быть представлена в виде закона Вина
”» = ^/(ит)-	<6-06>
Аналогичным образом или непосредственным преобразованием (6.96)
путем подстановки
= А = ^	(6.97)
может быть получено эквивалентное выражению (6.96) уравнение вида
= <6-98)
Рассмотрим теперь некоторые следствия закона Вина. Для этого
соотношение (6.96) перепишем таким образом, чтобы оно содержало
длину волны А только в аргументе функции, стоящей в правой его
части. Имеем
=	(6W)
или в безразмерной форме
=	(6.Ю0)
Если считать, что спектральная плотность излучения (величина
положительная) стремится к нулю, когда длина волны неограничен-
но возрастает или убывает до нулевого значения, то ее зависимость
от длины волны должна иметь максимум. Обычным образом находим
=0;	=0, или 4£ = 0.	(6.101)
Искомый максимум представляет, таким образом, фиксированную точ-
ку обобщенной кривой F(^), т. е.
Стах = Constl! или А • Гтах = Const2 '	(6.102)
Полученное выражение соответствует закону смещения Вина, соглас-
но которому длина волны, отвечающая максимальному значению спек-
тральной интенсивности «черного» излучения, обратно пропорциональ-
на температуре.
Уравнение (6.100) имеет смысл «закона подобия»: оно позволя-
ет построить кривую распределения спектральной плотности излуче-
ния, если известно распределение для какой-то одной температуры.
При этом сходственные ординаты кривых (А = idem) будут относить-
ся, как пятые степени температуры
U, д Т]5
— т25 ’
(6.103)
Для максимального значения спектральной плотности излучения эти
же соображения приводят к соотношению
= const-Т5.	(6.104)
И наконец, из закона Вина в форме (6.99) непосредственно сле-
дует закон Стефана—Больцмана
о
(6.105)
или
и~Т4.	(6.106)
Разумеется, аналогичные зависимости могут быть получены
и при использовании спектральной плотности излучения и„ (вместо
ua)- „
Обсудим теперь вопрос о том, насколько согласуются полученные
результаты с выводами квантовой механики. Как известно, в квантовой
механике имеется принцип соответствия, т. е. существует предельный
переход, при котором ее результаты становятся тождественными сво-
им аналогам в классической теории. В данном случае при hv кТ
распределение Планка, которое получается в квантовой теории, пере-
ходит в распределение спектральной плотности излучения, соответст-
вующее закону Релея—Джинса.
В этом случае из перечня существенных величин выпадает посто-
янная Планка, и после исключения символов массы и времени из фор-
мул размерностей оставшихся в этом перечне величин
[их] = ML~2T~2; [к] = МЬ2Т~2в~1;
[Т] = 0; [A] = L; [c] = LT-1	1	’
получается соотношение
или
и\ А4	,
-far- = const,
uA ~ ТА 4.
(6.108)
(6.109)
На первый взгляд представляется несколько странным, что диф-
ференциальная характеристика процесса (иА) допускает определение
на основе анализа размерностей, а интегральная (и) — не может быть
получена этим способом. Однако это следствие того факта, что плот-
ность излучения и в классическом приближении оказывается беско-
нечно большой величиной. Действительно, непосредственное вычисле-
ние дает
и =	-юо.	(6.110)
о А
(В — безразмерная константа).
В рассмотренных выше выражениях (6.96) и (6.98) вид функции /,
которую часто называют функцией Кирхгофа, можно определить лишь
на основе соответствующих представлений статистической механики.
Обобщенный анализ оказывается здесь почти бесполезным. Однако
на его основе можно получить некоторые любопытные результаты,
представляющие, правда, главным образом исторический интерес.
Принятие квантовой гипотезы с необходимостью приводит к по-
явлению в перечне существенных для процесса величин постоянной
Планка. Однако обратное утверждение вовсе не является обязатель-
ным. Включение в число существенных величин некоторой константы,
имеющей ту же размерность, что и постоянная Планка, еще не означа-
ет перехода к квантовой теории излучения. Возможны и другие пред-
положения, приводящие к тому же результату.
Предположим, например, что каждой температуре соответствует
некоторое предельное значение частоты мпр (и соответственно, Лпр).
Определенный физический смысл в такого рода утверждении имеется,
поскольку тепловая энергия излучающего тела конечна, а сам про-
цесс излучения осуществляется именно за счет этой энергии. Очевид-
но, что можно представить такое положение, в котором располагае-
мый запас тепловой энергии окажется недостаточным для излучения
с запредельной частотой, т. к. в соответствии с классической теорией
энергия излучателя (например, осциллятора Планка) с ростом частоты
также возрастет. Если дополнительно положить, что предельное зна-
чение энергии определяется как величина, пропорциональная hvnp, то
снимается основное принципиальное возражение против классической
теории излучения, приведшее в свое время, по словам П. Эренфеста,
к «ультрафиолетовой катастрофе».
Следует отметить, что принятая гипотеза не вступает в противо-
речие ни с классическими, ни с квантовыми представлениями. В по-
следнем случае нужно лишь вместо предположения о невозможности
излучения с частотами и > 1/др, характерного для детерминированной
модели, рассматривать исчезающе малую вероятность такого процесса.
Если иметь в виду только приложение анализа размерностей,
то происхождение дополнительной константы не оказывает влияния
на конечный результат, т. к. перечень существенных для процесса ве-
личин будет одинаковым. Таким образом, соотношения (6.89)-(6.110),
которые были получены выше на основе квантовой гипотезы, сохраня-
ют свою силу в любом случае.
Однако постановка задачи в классическом приближении имеет
некоторые особенности. Дело заключается в том, что величина h вхо-
дит в этом случае только в состав ограничительного неравенства типа
hv£bkT, ^-^ЬкТ, или £ <^Ь,	(6.111)
где b — некоторая безразмерная константа.
При построении наиболее рациональной формы представления
результатов количественного исследования уравнения масштабных
связей, получаемые на основе ограничительных неравенств, можно
не учитывать. А это означает, что постоянная Планка может быть
исключена из перечня величин, существенных для процесса. Иными
словами, задаче в классической постановке опять-таки соответству-
ет перечень (6.107), из которого с необходимостью следует автомо-
дельное решение в виде соотношения (6.108), отвечающего закону
Релея-Джинса. Но теперь плотность излучения оказывается величи-
ной конечной, т. к.
u= J	= -3—3-3-----(6.112)
Q Л	ПС
где
=	(6.ИЗ)
В настоящее время квантовая теория стала привычной, а ее мощ-
ный аппарат применяется во многих областях физики и техники. Но на-
чиналась она именно с гипотезы о световых квантах, причем первона-
чальным импульсом для нее послужило утверждение, что на основе
классической теории ни при каких дополнительных гипотезах нельзя
получить конечную величину плотности излучения. По-видимому, та-
кое предположение выглядит слишком категоричным.
Разумеется, что должно рассматриваться лишь, как своего рода
исторический казус. При этом не следует забывать, что такого рода
случаи, когда важнейшие физические законы получались на основе
предпосылок, которые в дальнейшем существенно корректировались,
а иногда и полностью опровергались, не столь уж редки. Достаточно
вспомнить вывод второго начала термодинамики С. Карно с исполь-
зованием концепции теплорода или основополагающий опыт Джоуля
по изучению свойств внутренней энергии идеального газа, который
при современном уровне измерительной техники дал бы прямо проти-
воположный результат.
И в заключение рассмотрим еще одну форму представления обоб-
щенной зависимости для спектральной плотности излучения. Понятие
о температуре равновесного излучения было введено Голицыным [22],
который впервые предложил рассматривать электромагнитное излуче-
ние как некоторую материальную среду. Отождествление обеих тем-
ператур — излучающих тел и среды — позволило положить в основу
исследования равновесного излучения термодинамический метод. По-
скольку здесь этот метод не применяется, то использование понятия
«температура» в данном случае не является обязательным. В качестве
одного из аргументов задачи можно взять плотность излучения, ко-
торая, естественно, предполагается величиной конечной. Иными сло-
вами, само излучение (фотонный газ) принимается в качестве своеоб-
разного термометрического вещества [27]. Очевидно, такой постановке
задачи о спектральной плоскости излучения их будет соответствовать
перечень существенных величин
[ua] = EL-4; [u]=EL-3; [A] = L;
[h] = ET; [c] = LT~l,
(6.114)
откуда после исключения символов энергии Е и времени Т непосред-
ственно следует
(6115>
у и \ил /
ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
ОБОБЩЕННОГО АНАЛИЗА В ТЕРМОДИНАМИКЕ
Обобщенный анализ используется в термодинамике сравнительно
редко. Исключение составляет раздел, посвященный изучению кон-
кретных форм уравнения состояния, т. е. проблемы по своему сущест-
ву не термодинамической. Конкретные сведения о свойствах вещества
привносятся в термодинамику извне. В рамках термодинамики ока-
зывается возможным установить некоторые существенные требования
в отношении математической структуры уравнения состояния, но от-
нюдь не определить вид функции.
§ 7.1. Проблема уравнения состояния и термодинамическое
подобие
Проблема уравнения состояния, а в более общей постановке —
методов прогнозирования и вычисления термодинамических и перенос-
ных свойств веществ — с ее обширной библиографией (см., например,
[117]) представляет собой, в сущности, самостоятельное научное на-
правление. Разумеется, здесь весьма широко используются термодина-
мические средства исследования, которые позволяют не только полу-
чать те или иные соотношения, характеризующие свойства вещества,
но и устанавливают связь между самыми разнородными количествен-
ными данными, получаемыми экспериментально или заимствуемыми
из других разделов физики.
Исследование рассматриваемой проблемы развивается по двум ос-
новным направлениям. Для первого из них характерно широкое ис-
пользование ЭВМ., вследствие чего выбор формы представления экс-
периментальных данных в первую очередь подчинен требованиям удоб-
ства машинной обработки. Это привело к появлению аппроксимаций
в форме полиномов с большим числом индивидуальных коэффициен-
тов (например, уравнение состояния воды содержит 167 коэффициен-
тов [117]). Разумеется, ни о каком обобщении таких трудно обозримых
соотношений не может быть и речи.
Более перспективными в этом смысле являются зависимости, по-
лученные на основе концепции термодинамического подобия веществ.
Основное положение этого метода было сформулировано Ван-дер-
Ваальсом в виде знаменитого закона соответственных состояний [162].
Безразмерные переменные — приведенные температура, давление
и удельный объем — получается здесь делением их текущих значений
на характерные, в качестве которых принимаются соответствующие
параметры критического состояния вещества, т. е.
р	v	Т
(р = —; т=тг~-
VEp	Alp
Тем самым безразмерные координаты критической точки для любо-
го вещества оказываются одинаковыми (тг= 1; <р = 1; т= 1). Иными
словами, критические точки могут считаться для всех веществ
ветственными состояниями.
Если обратиться к уравнению состояния Ван-дер-Ваальса
(7.1)
соот-
(7.2)
то с учетом дополнительных соотношений в критической точке
ft) =0;(^41 =0
(7.3)
его можно представить в виде
или
(?г+Л \	V	J (3<£ — 1) = 8т,	(7.4)
27 а~ 64	<	ЙТ,р Ркр ’	8Ркр ’	(7.5)
гр	8 а . 2нр ~ 27 bR ’	Рир=^2’’ W«P = 3b-	(7-6)
Уравнение (7.4) не содержит никаких индивидуальных характе-
ристик, поэтому оно применимо для всех вандерваальсовых веществ
без исключения. Из него непосредственно следует, что если две из при-
веденных переменных заданы, то и третья переменная имеет фиксиро-
ванное значение. Это утверждение как раз и составляет содержание
закона соответственных состояний. Таким образом, все вандервааль-
совы вещества оказываются термодинамически подобными.
Теория термодинамического подобия представляет собой частный
случай применения обобщенного анализа. В его терминах закон соот-
ветственных состояний отвечает принципу — «тождественность в без-
размерной форме равносильна подобию в первоначальных перемен-
ных», а отсутствие в (7.4) каких-либо обобщенных параметров (кри-
териев) свидетельствует о том, что задача приводится к полностью
автомодельному виду.
Как известно [125, 162], этот закон может быть распространен
на любые другие, не вандерваальсовы вещества, если только их уравне-
ние состояния содержит помимо удельной газовой постоянной еще два
индивидуальных параметра (две константы). Нетрудно видеть, что это
утверждение определяет условия, при которых более общая задача
также приводится к автомодельному виду. Впрочем, к этим условиям
мы еще вернемся позднее, а сейчас перейдем к рассмотрению вопроса
о том, насколько необходимым является выбор в качестве масштабов
отнесения именно критических параметров.
Как показано в [117], в этом качестве могут использоваться и дру-
гие величины, например, параметры линии Бойля, температуры плав-
ления и кипения при нормальном давлении, характеристики тройной
точки и т. д. Не останавливаясь на рассмотрении достоинств и недо-
статков каждого из этих наборов масштабов, отметим, что некоторые
из них вводятся не совсем корректно (подробнее см. [117]). Вообще
говоря, за масштабы отнесения переменных могут быть выбраны пара-
метры любой точки, принадлежащей термодинамической поверхности,
которая определяется рассматриваемым уравнением состояния. При
этом координаты различных опорных точек оказываются пропорцио-
нальными друг другу [125], поэтому пересчет соответствующих зависи-
мостей не составляет труда. Однако в большинстве случаев приоритет
отдается масштабам, связанным с критическим состоянием вещества.
Чаще всего это объясняется исключительным положением критиче-
ской точки на термодинамической поверхности. Эта точка одновремен-
но является вершиной как линии сосуществования жидкой и газовой
фаз (бинодали), так и линии, определяющей границы области мета-
стабильного состояния (спинодали), причем это характерно для всех
известных в настоящее время веществ. Считается также весьма суще-
ственным то обстоятельство, что физические свойства веществ вблизи
критического состояния оказываются во многом идентичными, а кри-
тические явления для объектов самой различной природы обнаружи-
вают заметное внутреннее сходство. Иногда критические параметры
принимают за некоторую обобщенную количественную меру межмо-
лекулярных сил — за своего рода молекулярные масштабы [88].
Хотя все это не вызывает особых сомнений, но, тем не менее,
не совсем понятно, почему нужно аргументировать выбор масштабов
такого рода соображениями качественного характера. В связи с этим
представляется целесообразным подойти к решению этой проблемы
на основе обычных положений обобщенного анализа.
В самом общем случае параметры любой опорной точки следует
считать некоторыми характерными (внешними) масштабами. На пер-
вый взгляд это утверждение остается в силе и для критической точки.
Однако соотношения (7.3) дают возможность установить однозначную
связь между характеристическими (внутренними) масштабами и кри-
тическими параметрами. Для уравнения Ван-дер-Ваальса эта связь
представлена выражениями (7.5), (7.6). На наш взгляд, именно это
обстоятельство определяет особую роль критических масштабов.
Разумеется, такого рода соображения будут справедливы не толь-
ко для уравнения Ван-дер-Ваальса, но и для любого двухпараметриче-
ского уравнения состояния. В настоящее время наличие критической
точки у любого вещества не вызывает сомнений. Соотношения (7.3)
выделяют не какую-нибудь ограниченную область, а одно единствен-
ное критическое состояние [28]. Поэтому принято считать, что даже
в тех случаях, когда конкретная форма уравнения состояния неизвест-
на, выбор в качестве масштабов отнесения критических параметров
является вполне целесообразным.
В исследованиях, охватывающих достаточно широкую область
изменения физических условий, для реальных веществ приходится
применять многопараметрические уравнения состояния. Однако, ес-
ли ограничить исследования более узким интервалом изменения па-
раметров состояния (например, пределами одной фазы), то во многих
случаях оказывается возможным удовлетвориться тремя индивидуаль-
ными константами. Таким образом, в принципе создается возможность
выделять группы подобных веществ по признаку тождественности зна-
чения соответствующего параметра подобия. В качестве такого крите-
рия чаще всего принимается критический коэффициент сжимаемости.
В последнее время с этой целью используются и другие обобщенные
параметры [117].
Для термодинамически подобных веществ любые макроскопи-
ческие свойства в безразмерной форме могут быть представлены
в виде универсальных функций приведенных параметров. Это позво-
ляет не только рассчитывать свойства одних веществ по тем же свой-
ствам других, но и моделировать довольно сложные процессы [88].
Главная трудность, которая здесь возникает, состоит в самом выде-
лении групп термодинамически подобных веществ. Следует признать,
что достаточно надежного способа решения этой задачи в настоящее
время не существует. Все это заставляет рассматривать практическую
реализацию метода термодинамического подобия как весьма прибли-
женную аппроксимацию.
Тем не менее некоторые полезные результаты здесь удается по-
лучить. При этом представляется более целесообразным использовать
общие приемы обобщенного анализа и, в частности, уравнения мас-
штабных связей. Например, на их основе может быть предложена бо-
лее простая и естественная процедура получения характеристических
масштабов для уравнения Ван-дер-Ваальса, не связанная с обращением
к условиям типа (7.3). Этот и другие вопросы, связанные с уравнени-
ями состояния реальных газов, будут рассмотрены в разделе 7.3.
Непосредственно ясно, что величины типа (7.5) и критические па-
раметры, однозначно с ними связанные, не могут быть выбраны в ка-
честве масштабов отнесения для области состояний вещества, близ-
кой по своим свойствам к идеальному газу. Эти свойства вещества
здесь весьма специфичны вследствие того, что некоторые физические
эффекты полностью вырождаются. К ним относятся внутреннее (коге-
зионное) давление и конечность размеров молекул, влияние которых
в уравнениях состояния реальных веществ учитываются соответству-
ющими индивидуальными параметрами (например, константами а и Ь
в уравнении Ван-дер-Ваальса). Иными словами, классическая теория
термодинамического подобия в этом случае вообще не применима.
В то же время, несмотря на простоту соотношений для идеального
газа, их рассмотрение на основе обобщенного анализа может оказать-
ся весьма полезным. Объясняется это преяеде всего тем обстоятельст-
вом, что многие основные положения термодинамики — обоснование
выбора свойств термометрического тела, построение шкалы абсолют-
ной температуры, свойства энтропии и т. д. — тесно связаны имен-
но с проблемой изучения характеристик идеального газа. Некоторые
из этих вопросов будут рассматриваться в следующем разделе.
§ 7.2. Свойства идеальных газов
Рассмотрение свойств идеального газа начнем с обсуждения од-
ной из ключевых термодинамических проблем, которая в соответствии
с принятой нами структурно-логической системой построения термо-
динамики [28] (системой, основанной на гипотезе существования тер-
мической координаты состояния — энтропии, а следовательно, и по-
тенциала термического взаимодействия — температуры) формулиру-
ется следующим образом. Необходимо установить требования, выпол-
нение которых гарантирует реализацию условий, необходимых и до-
статочных для идентификации температур — эмпирической, опреде-
ляемой непосредственно через измерение некоторой другой величины
(термометрического свойства), и абсолютной (термического потенци-
ала), не зависящей от индивидуальных характеристик термометриче-
ского вещества.
В дальнейшем будет рассматриваться только термодеформацион-
ная (термомеханическая) система. Естественно поэтому попытаться
в качестве термометрического свойства выбрать деформационный па-
раметр (давление, объем или какую-то функцию этих величин).
Состояние термодеформационной системы определяется заданием
двух координат — удельного объема v и энтропии s. При этом каждый
из потенциалов является их однозначной функцией:
p = p(vt s); Т = Т(у, в).	(7-7)
Учитывая, что абсолютная температура Т должна быть однозначно
связанной с эмпирической i?, и исключив энтропию, из соотношений
(7.7) получаем
f(p,v, tf) = 0.	(7.8)
Термометрическое вещество будет тем ближе к абсолютному, чем
меньше индивидуальных характеристик будет входить в его опреде-
ление. Таким образом, с точки зрения обобщенного анализа выбор оп-
тимального термометрического вещества сводится к поиску такого его
состояния, для которого задача определения конкретной формы урав-
нения состояния допускает предельную универсализацию, т. е. имеет
автомодельное решение. Опыт показывает, что в простейшем случае
уравнение состояния (7.8) содержит только одну размерную постоян-
ную. Чаще всего в этом качестве используется удельная газовая по-
стоянная R. Из формул размерности величин, существенных для рас-
сматриваемой задачи, можно получить следующую систему уравнений
масштабных связей:
™	;3	>2
р. = ^, ч = R = ^-	(7.9)
Исключив из этой системы масштабы первичных величин, не входящих
в перечень существенных (массы т„; времени тф; протяженности Ц),
получим только одно уравнение масштабных связей в форме
Я = ^.	(7.10)
Имеем три преобразуемых переменных, связанных единственным урав-
нением, поэтому искомая функция так же, как и для одномерной за-
дачи, является либо степенной, либо логарифмической. Действитель-
но, этот случай можно рассматривать как последовательный переход
сначала от двумерной задачи к одномерной общего вида, а затем к вы-
рожденной задаче, для которой на основе обобщенного анализа может
быть определен конкретный вид искомой функции. Иными словами,
это решение может быть представлено в виде
= А1 = const.	(7.11)
Аналогичным образом (на основе формулы размерности для удельной
внутренней энергии, рассматриваемой как функция v и i?) из уравне-
ний масштабных связей
I2	I3	I2
= = R = ^t (7Д2)
имеем
= А2 = const.	(7.13)
При А{ = 1 уравнение (7.11) совпадает с уравнением Клапейрона.
Однако необходимо подчеркнуть, что это уравнение неразрывно свя-
зано с соотношением (7.13), которое устанавливает линейную зависи-
мость между внутренней энергией и эмпирической температурой. Та-
ким образом, уравнение состояния вещества, содержащее только одну
размерную постоянную, отвечает не идеальному газу, а его частному
случаю — совершенному газу (идеальному газу с постоянной тепло-
емкостью).
Кроме того, необходимо отметить, что удельная газовая постоян-
ная в полной мере не является индивидуальной константой того или
иного вещества. Хотя она и имеет различные значения для каждого
газа, ее появление среди параметров задачи объясняется прежде все-
го тем, что здесь рассматриваются удельные (отнесенные к единице
массы), а не мольные значения аддитивных величин. Впрочем, эта по-
стоянная может быть вообще исключена из условий задачи с помощью
известного приема — посредством перевода одной из первичных ве-
личин (в данном случае температуры) в разряд вторичных. Если, сле-
дуя Бриджмену [11] ввести энергетическую единицу температуры, то
(по-прежнему с использованием удельных величин) систему уравне-
ний масштабных связей (7.12) переписываем следующим образом:
_	?3	т2
= v = ^-, е.= ±	(7.14)
откуда посредством обычной процедуры получаем
pv = AIi},	(7.15)
а из системы (7.12) соответственно
u/i} = Az.	(7.16)
Выражения (7.15) и (7.16) интересны в том отношении, что они вообще
не содержат каких-либо индивидуальных характеристик вещества.
Несколько сложнее складывается ситуация при получении на ос-
нове обобщенного анализа соотношений, содержащих энтропию. Эле-
ментарное количество теплоты определяется выражением
dq=Tds,	(7.17)
откуда непосредственно следует
(7.18)
Если учесть, что из уравнения первого начала термодинамики
dq = du + pdv	(7.19)
получаем
= Ч =	(7.20)
то при отождествлении масштабов отнесения температур и Т, соот-
ношение (7.18) перепишется в виде
ut = 6tst.	(7.18')
Как нетрудно видеть, при использовании энергетической единицы
температуры из выражения (7.18) следует, что энтропия является ве-
личиной безразмерной. Это обстоятельство свидетельствует, что соот-
ношения для определения энтропии идеального газа с помощью обоб-
щенного анализа непосредственно получены быть не могут, т. к. при-
менение его аппарата к соотношениям типа (7.7) приводит к внутренне
противоречивой системе уравнений масштабных связей. Это характер-
но и для их аналогов, представленных в более привычной форме, —
s = s(y,&),	(7.21)
т. е. выражений, в которых энтропия формально является размерной
величиной.
Надо сказать, что с таким положением приходится встречаться
и в других случаях применения обобщенного анализа для решения фи-
зических задач. Наиболее известный пример — задача о логарифми-
ческом профиле осредненной скорости в пристеночном турбулентном
потоке (см. главу 8). Известен прием, с помощью которого иногда уда-
ется обойти возникшие затруднения.
Для этого следует перейти от рассмотрения самой функции к ее
производной (производным). Для соотношения (7.21) такими произ-
водными являются
(7.22)
(я),=Л(<М».	(7-23)
Обычным способом с помощью обобщенного анализа можно получить
/Эз \ _Аз.	/Эз \ _-^4.
\ ди J 0 ~ v ’ д$ J v ~	’
* = (ж), «<’’ + (	Р-24)
и после интегрирования
Да = A3(ln v + Л4 In 1?).	(7.25)
Если исходить из уравнений масштабных связей, содержащих
удельную газовую постоянную, то в этом случае (7.25) может быть
представлено в виде
Да = А3Я(1п v + Л4 In i>).	(7.25')
Здесь энтропия имеет ту же размерность, что и величина R. Если
положить А3 = 1; A4 — cv/R, то выражение (7.25') приобретет свою
обычную форму
Да = R In v + с„ In •&.	(7.25")
Таким образом, можно констатировать, что выбор совершенного
газа в качестве термометрического вещества является достаточным
условием для отождествления его температуры с ее абсолютным ана-
логом. Действительно, коротко абсолютную температуру можно опре-
делить как интегрирующий делитель для элементарного количества
теплоты, который не содержит никаких индивидуальных характери-
стик термометрического вещества и является потенциалом термиче-
ского взаимодействия. Нетрудно видеть, что совершенный газ удовлет-
воряет всем этим требованиям. При этом специального доказательства,
что эта его температура является интегрирующим делителем для эле-
ментарного количества теплоты не требуется, т. к. любое из соотноше-
ний типа (7.25) определяет энтропию как функцию состояния. Разуме-
ется, при желании это доказательство может быть получено обычным
образом.
Вопрос о необходимости этого условия (о выборе в качестве тер-
мометрического вещества именно совершенного газа) не может быть
решен на основе только обобщенного анализа. Рассмотрение соответ-
ствующих дополнительных соображений выходит за рамки настоящей
книги. Поэтому ограничимся здесь лишь утверждением, что уравнение
Клапейрона для общего случая идеального газа должно рассматривать-
ся как приближенное даже в том случае, когда внутренняя энергия
вещества зависит только от температуры (но эта зависимость не явля-
ется линейной), т. к. при переменной теплоемкости в условии задачи
может содержаться более одной размерной константы.
Возникает естественный вопрос — является ли использование
в качестве основной константы задачи газовой постоянной единствен-
но возможным решением и вообще имеются ли какие-то другие при-
емлемые варианты выбора термометрического тела? На этот вопрос
можно сразу же ответить положительно, т. к. один из таких вариантов
хорошо известен в физике — имеется в виду термодинамика равновес-
ного излучения.
При рассмотрении этой задачи будем исходить из обычно при-
нимаемых предпосылок. Будем считать, что излучение, заполняющее
некоторую полость, представляет собой фотонный газ, находящийся
в состоянии теплового равновесия с окружающими телами. Поскольку
фотон не имеет массы покоя, удельные (отнесенные к единице массы)
значения величин здесь использовать нельзя. Кроме того, учитывая пе-
ременность числа частиц, для определения свойств соответствующей
термодинамической системы наряду с температурой равновесного из-
лучения и световым давлением будут применяться полные значения
энергии, энтропии и объема (см. также главу 6). Помимо переменных
в число аргументов задачи излучения абсолютно черного тела будет
входить только одна размерная константа — постоянная Стефана-
Больцмана а. Установим с помощью обобщенного анализа уравнение
состояния рассматриваемой системы и некоторые другие соотношения.
Прежде всего составим систему уравнений масштабных связей.
При этом вовсе не обязательно выбирать в качестве первичных ка-
кие-то определенные величины, например, соответствующие Между-
народной системе единиц (СИ). Сохраняя их число, можно рассматри-
вать те из них, которые будут наиболее удобными для данной конкрет-
ной задачи. Для давления, как функции объема и энтропии, система
уравнений масштабных связей имеет следующий вид:
Ц,	Ч с Ч	* Z-7 ОСЧ
Pt — у > а - у т4 -	— Т •	(7-26)
Исключая из системы (7.26) масштабы отнесения величин, непосредст-
венно не входящих в искомую зависимость (масштаб энергии Ut и тем-
пературы Д), что равносильно исключению соответствующих первич-
ных величин, получаем
(7.27)
И
£ = /(тН)'	<7М>
три первоначально неопределенных масштаба оказываются связанны-
ми только одним уравнение (7.27), поэтому здесь возможен переход
от двумерной задачи (7.28) к одномерной общего вида
р. — f
pt 71
3
(7.29)
а затем к вырожденной одномерной задаче, решение которой может
быть представлено в виде степенной функции
(7.30)
Аналогичным образом получаются выражения для температуры и вну-
тренней энергии
^ = В2,	(7.31)
=	(7-32)
а как следствие сопоставления соотношений (7.30)—(7.32) — выраже-
ния
у = о-Т4,	(7.33)
(7.34)
Соотношение (7.33) не содержит безразмерной константы, т. к. (без
ограничения общности) она может быть включена в постоянную а.
Для определения численного значения величины Bl/Bi могут быть
использованы специфические свойства температуры как интегрирую-
щего делителя для элементарного количества теплоты. Имеем
dS=^- = ^dU + ^dY	(7.35)
тогда должно выполняться условие
•	(7.36)
к х ' J и I ) V
Нетрудно видеть, что из сопоставления уравнения (7.36) с (7.33),
(7.34) получается
£ = 3	(737)
и, соответственно,
Р=\у-	(7.34')
Последнее уравнение представляет собой хорошо известное из элек-
тродинамики соотношение между световым давлением и объемной
плотностью энергии.
Разумеется, рассмотрение свойств идеального газа на основе обоб-
щенного анализа можно было бы продолжить (например, получить
степенные зависимости, аналогичные соотношениям (7.30)—(7.34),
и для обычного идеального газа). Однако ограниченный объем книги
заставляет удовлетвориться приведенными примерами.
§ 7.3. Свойства реальных веществ
Обратимся теперь к рассмотрению свойств реальных веществ, ко-
торое естественно начать с анализа уравнения состояния Ван-дер-Ва-
альса. Прежде всего получим безразмерную форму этого уравнения
с помощью метода характеристических масштабов. Нетрудно видеть,
что соответствующая система уравнений масштабных связей в этом
случае будет выглядеть следующим образом:
ptvt = ptb = ^ = RTt; v, = b,	(7.38)
откуда непосредственно следует
(Р+ + ^2)К-1) = Т+,	(7.39)
где в качестве характеристических масштабов использованы величины
Я = Ч = Tt = ^.	(7.40)
В отличие от уравнения (7.4) соотношение (7.39) вообще не содержит
каких-либо числовых множителей.
Разумеется, для получения этого уравнения никаких дополнитель-
ных условий типа (7.3) не требуется. Однако они могут быть исполь-
зованы при вычислении безразмерных параметров критической точки.
Имеем систему уравнений
Ч-
(*Ч -1)2
2Т+
(v+ - I)3
(7-41)
решение которой дает следующие значения критических параметров
и критического коэффициента сжимаемости:
Р+нр — 27 ’	r+4> — 3’ ^+Ч> — 27 ’	(7.42)
Z =	= Р^р"+-р- = 0,375.	(7.43)
р ЛЧр -Чир
Безразмерная температура Бойля Т+ъ ~ 1, как это непосредственно
получается из уравнения (при р+ъ —> 0; и+Б » 1)
ГЭР+БЧб1	f Т+Б	i 1 1	n
L Sp+B J т+	v ^4 / T+ I Ч+Б - 1 )2 J
(7.44)
Как известно, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса лишь качест-
венно правильно описывает поведение реальных веществ. Оно плохо
согласуется с действительными условиями перехода от газа к жидко-
сти [18], а в однофазных областях его соответствие опытным данным
оказывается весьма приближенным, что в равной степени относится
и к термическим, и к калорическим величинам. При этом следует от-
метить, что отклонения от экспериментальных данных носят явно си-
стематический характер. Так значения pv, вычисленные с помощью
этого уравнения, для любых состояний реального газа почти всегда
оказываются большими по сравнению со своими опытными аналогами.
Критический коэффициент сжимаемости одинаков для всех вандерва-
альсовых веществ, в то время как для разных реальных газов он разли-
чен и всегда имеет существенно меньшее значение (2^ = 0,184-0,3).
Экспериментальные значения теплоты парообразования и изохорной
теплоемкости, наоборот, больше вычисленных и т. д.
С момента появления уравнения Ван-дер-Ваальса (1873 г.) де-
лались многочисленные попытки его улучшения. В книге [18] при-
водится сводка уравнений состояния, включающая 150 уравнений,
многие из которых представляют различные модификации уравнения
Ван-дер-Ваальса. Там же имеется достаточно подробная библиография
по этому вопросу, поэтому в дальнейшем при использовании того или
иного уравнения специальных ссылок на оригинальные работы делать-
ся не будет.
Среди такого рода уравнений особое место занимают уравнения
состояния Дитеричи (1899 г.), Бертло (1900 г.) и Клаузиуса (1880 г.).
Дитеричи предложил уточненное выражение для внутреннего (когези-
онного) давления в виде
(7-45)
Он считал, что граничный слой газа является мономолекулярным, поэ-
тому число притягиваемых молекул пропорционально не их объемной
(как полагал Ван-дер-Ваальс), а их поверхностной плотности, которая
в свою очередь пропорциональна объемной плотности в степени 2/3.
С учетом этого обстоятельства уравнение состояния записывается сле-
дующим образом:
[p+-^(v-b) = RT	(7.46)
С помощью обычной процедуры это уравнение может быть представ-
лено в безразмерной форме
U + </3) («+ - 1) = Т+,	(7.47)
где р+ = p/pt; v+ = v/v,; Т+ = Т/Т,; р, = а/b5/3; v, = b; Д = а/(ЛЬ2/3),
а условия (7.3) определяют значения безразмерных критических пара-
метров: р+ч, = 0,0248; и+нр = 4; Т+хр = 0,372; 2нр = 0,267. Полученное
значение критического коэффициента сжимаемости гораздо лучше со-
гласуется с экспериментальными данными для нормальных веществ
(веществ со сферическими и неполярными молекулами), чем в случае
уравнения Ван-дер-Ваальса.
Однако проверка того или иного уравнения состояния не мо-
жет быть ограничена сопоставлением с экспериментом какой-либо од-
ной характеристики (например, критического коэффициента сжимае-
мости). Существует около десятка условий таких, как соответствие ли-
ний Бойля и инверсии, выполнение законов Матиаса и Этвеша, правил
Трутона и Пикте и т. д. (подробнее см. [104]), которым должно удов-
летворять любое уравнение состояния. Сказанное относится и к закону
соответственных состояний, т. е. в терминах обобщенного анализа —
к автомодельной форме уравнения состояния
f(p+;v+;T+) = o.	(7.48)
Как уже отмечалось, в такой форме могут быть представлены лю-
бые уравнения состояния, содержащие две индивидуальные константы.
К сожалению, в настоящее время не известно такое двухпараметриче-
ское уравнение состояния, которое соответствовало хотя бы большей
части предъявляемых требований. В то же время для отдельных ха-
рактеристик (как это видно на примере уравнения Дитеричи) можно
получить вполне удовлетворительное согласование с опытными данны-
ми.
В общем случае безразмерное уравнение состояния должно запи-
сываться в виде
№+;v+;T+;xi	0,	(7.49)
гДе Хц > •  > Хп — некоторые критерии подобия. Подобие термодина-
мических свойств веществ будет наблюдаться лишь внутри отдельных
групп, определяемых условиями
Xt = idem при г = 1,..., п	(7.50)
Часто можно удовлетвориться приближением, содержащим только
один обобщенный параметр, —
f(p+;v+;T+;x) = 0,	(7.51)
или в более привычной форме [117]
г=ЪТ = Мг-.<р;х).	(7.52)
Первоначально в качестве критерия использовался критический коэф-
фициент сжимаемости (х = -2нр). В более поздних работах параметр
подобия определялся на основе характеристик кривой упругости
тг» =Л(Т«>’Х)’	(7-53)
Так, в работах [118, 160, 161] эти характеристики задаются в точке
с безразмерной температурой насыщения т, = 0,7; тв = 0,625; т, —> 1,
причем величина % равняется, соответственно, 1g тг, — 1; 100тгв;	•
По мнению авторов, такой выбор х позволяет существенно улучшить
получаемые обобщенные зависимости, т. к. интервал изменения этих
параметров гораздо шире, чем для Иир. Впрочем, все эти параметры
однозначно связаны друг с другом, поэтому выбор какого-то одного
из них чаще всего определяется соображениями удобства и не имеет
принципиального значения.
Если ограничиться областью достаточно высоких температур (т. е.
областью, в которой можно пренебречь квантовыми эффектами), то,
фиксируя значение х. можно выделить соответствующую группу по-
добия. В принятом приближении все вещества, входящие в ту или
иную группу, будут иметь одно и то же безразмерное уравнение со-
стояния. В этих условиях заметно обостряется не только проблема
рационального выбора масштабов отнесения переменных, но и сама
структура этих переменных может также варьироваться. Рассмотрим
в связи с этим следующий характерный пример.
Сопоставим уравнения состояния Бертло
(р + ^)(®-Ь) = ЯТ	(7.54)
и Клаузиуса
[f,+7Sw]',’-b>=Rr	<755>
Первое из них содержит две индивидуальные константы, потому оно
может быть приведено к автомодельному виду обычным способом
(р-н + тМ К-1) = Т+,	(7.56)
\ T+v+ /
/ b3	[~bR
где р+ = P\l v+ = v/b\ Т+ = Ту/Уравнение Клаузиуса включа-
ет три индивидуальные константы. Следовательно, система уравнений
масштабных связей
= = V* = b; V* = C (7'57)
состоит из четырех уравнений для трех масштабов. Иными словами,
это приводит к появлению в решении критерия подобия.
Однако известно [18], что при использовании приведенных пара-
метров это уравнение может быть представлено в безразмерной форме,
не содержащей каких-либо обобщенных параметров, —
(7г+-^2 ) (3y?i — 1) = 8т,	(7.58)
\ Т^1 /
где
7Г = р/р^> г=Т/Т1р, ‘Р1 = ^>
27ЛЧ* А 1 \ ИЛ (7'59)
Дело заключается в том, что с точки зрения обобщенного анализа
уравнение Клаузиуса записано не совсем рационально. Если ввести
переменную = v + с, то это уравнение перепишется в виде
(р + А) К -e) = RT,
(7.60)
где е = b + с. Теперь оно содержит только две индивидуальные кон-
станты и может быть приведено к автомодельному виду
(р-ь + тЛ-") (ч+-1)=з;,	(7.61)
причем
р+ = py/Hi'’ vi+ = ч/е; т+=ту/?-
Уравнения (7.56) и (7.61) совпадают (если формально заменить v+
на w1+), но уравнение Клаузиуса содержит в неявном виде дополни-
тельную индивидуальную константу. Отчасти этим определяется его
несколько лучшее соответствие опытным данным.
Аналогичное преобразование возможно и для уравнения состоя-
ния Ван-дер-Ваальса. В него также можно ввести дополнительный ин-
дивидуальный параметр. Имеем
Г? + НЫ (v — b) = RT, (7.62)
L (v + c) J
что с точностью до знака в знаменателе второго слагаемого совпадает
с уравнением Гебеля (1904 г.)
\p + -^](v-b) = RT. (7.63)
L (у — a) J
Модифицированное уравнение Ван-дер-Ваальса (7.62) перепишется
в безразмерной форме следующим образом:
Р++4-) (fi+-l)=r+,	(7.64)
vi+/-
С гтч m cR	Vi	«
где p+ = p~; T+ = T — ; v1+ =vt=v + c; e = b + c.
Этим не исчерпываются возможности преобразования перемен-
ных, при которых _не меняется структура безразмерного уравнения
состояния. Можно также изменить начало отсчета температуры и дав-
ления. Более того, любая из трех величин (р, v, Т) может быть пред-
ставлена в виде линейного двучлена, причем коэффициент при соот-
ветствующей переменной должен быть безразмерным, а размерность
второго слагаемого должна совпадать с размерностью самой перемен-
ной. Правда, часть из этих коэффициентов обратится в единицу, если
потребовать, чтобы при малых давлениях рассматриваемое уравнение
переходило в уравнение состояния идеального газа.
Таким образом, работы Мейер, Бауера, Сюрдана и др. [18], пос-
вященные поиску преобразований, которые позволили бы расширить
группы термодинамически подобных веществ, имеют определенное те-
оретическое обоснование и их нельзя, как это иногда делается, считать
лишь искусственными, чисто эмпирическими построениями. В еще
большей степени это относится к законам вязкости и температурной
зависимости поверхностного натяжения Бачинского, а также к «кри-
тическим индексам» Ландау,
В статистической физике [18, 73] теоретически обосновывается
вириальное уравнение состояния
*=1&=1+^+7+---.
в котором коэффициенты В2; В3;... являются функцией температуры.
Число индивидуальных констант, которое содержит это уравне-
ние, совпадает с их числом в соотношении, определяющем потенциал
межмолекулярного взаимодействия. В частности, в случае двухпара-
метрического потенциала
и = Ч>/(7)	(7-66)
приходим, естественно, к двухпараметрическому уравнению состоя-
ния, которое может быть приведено к автомодельному виду
2 = 1 + ^ + ^ + ...	(7.67)
и+ «+
Здесь т — расстояние между молекулами; а — эффективный диаметр
молекулы; — максимальное значение потенциальной энергии при-
тяжения (по модулю); В2+; В3+;... — универсальные функции безраз-
мерной температуры. Первый член соотношения (7.67) отвечает иде-
альному газу, а каждый последующий — парному, тройному и т. д. вза-
имодействию молекул.
Принято считать, что уравнение состояния Ван-дер-Ваальса соот-
ветствует первым двум членам соотношения (7.66), т. е. здесь учитыва-
ются только парные взаимодействия молекул. Тогда это соотношение
может быть переписано в упрощенном виде
+	(7-68)
где
В2 = Ь-^.	(7.69)
Такая форма записи представляется в известной степени искусст-
венной. Действительно, учет только парных взаимодействий с самого
начала предполагает выполнение условия v » b. Но в этом случае
В2 = -7^,	(7.70)
что противоречит экспериментальным данным.
Уместно вспомнить, что в статистической физике уравнение Ван-
дер-Ваальса рассматривается как некоторая интерполяционная форму-
ла, которая должна давать правильные результаты в двух предельных
случаях [73]. При малых давлениях она должна соответствовать урав-
нению состояния идеального газа, а при очень больших плотностях
переходить в уравнение Дюпре (1864 г.)
p(y — b) = RT	(7.71)
Именно последнему обстоятельству обязан своим появлением пара-
метр b (коволюм). Поэтому следовало бы ожидать, что влияние этого
параметра будет достаточно быстро вырождаться по мере уменьшения
плотности. Но как следует из сопоставления выражений (7.69) и (7.70)
для второго вириального коэффициента этого как раз и не происходит.
Выражение (7.70) отвечает упрощенной форме уравнения состоя-
ния Ван-дер-Ваальса
+	=	(7.72)
которая не может одновременно удовлетворять обоим условиям типа
(7.3). Что же касается точки Бойля, то у такого рода вещества она
вообще отсутствует.
Соотношение (7.69) формально дает возможность вычислить тем-
пературу Бойля, но его использование для этой цели представляется
не совсем корректным. Точка Бойля располагается в области малых
давлений и плотностей (р —»0; р —»0), т. е. именно в той области, где
влияние константы Ь полностью вырождается. Иными словами, эта
константа не должна входить в соотношение для второго вириального
коэффициента (как следовало бы из (7.69)).
Рис. 1
Для выяснения причин возникшего противоречия рассмотрим бо-
лее подробно механизм межмолекулярного взаимодействия. Ограни-
чимся случаем простых сферических или близких к ним простейших
модельных потенциалов. Рис. 1а соответствует модели абсолютно твер-
дых шариков — потенциалу твердых сфер
и = 0 при т > а;
и—>оо при т < а.	(7.73)
Здесь (и во всех остальных случаях) и — потенциальная энергия вза-
имодействия молекул; г — расстояние между ними. Рис. 16 отвечает
уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, а 1в — его упрощенной фор-
ме (7.72) с потенциалами взаимодействия, соответственно, —
а,
и=.-§ при
и —> оо при
“1
и = -§• при
г > а;
т < а.
г > 0.
(7-74)
(7-75)
Нетрудно видеть, что в первом случае (рис. 1а) перечень сущест-
венных величин включает p;v; Т, b;R, где b имеет размерность удель-
ного объема. Отсюда следует система уравнений масштабных связей
= Ч =	= R = Л~.	(7.76)
•г* T^l * TTL*	тТ	'	,
Исключив из (7.76) масштабы первичных величин mt; не входя-
щих в перечень существенных, имеем два уравнения для трех харак-
теристических масштабов
ЯЧ = RTt; я = Ь.	(7.77)
Это означает возможность перехода от трех самостоятельных перемен-
ных к двум. Обычным образом получаем
Й =	(7-78)
где величина, стоящая в левой части равенства, как раз и является
новой переменной.
Если дополнительно предположить, что в рассматриваемой задаче
существенной будет только величина v — Ь (правда, это выглядит до-
статочно жестким ограничением), то оказывается возможным ввести
новую переменную
Я = v — Ь.	(7.79)
Тогда число уравнений масштабных связей уменьшится на единицу,
и уравнение (7.78) может быть переписано в виде уравнения Дюпре
pv}=RT или p(v — b) = RT. (7.80)
Аналогичным образом для модельного потенциала (7.75) из переч-
ня существенных величин р, v, Т, R, a, y=pv2+a — новая переменная;
(а имеет размерность произведения давления на квадрат удельного
объема) может быть получено уравнение состояния
y/v = RT, или (р + v = RT. (7.81)
\ V /
Одновременная замена двух переменных (у —> я: Р ~* У) оказыва-
ется невозможной, т. к. в общем случае переменная v должна входить
в решение и непосредственно, и в виде разности v — b. По-видимому,
для модельного потенциала (7.74) предельной степенью универсализа-
ции, которая может быть достигнута на основе обобщенного анализа,
является уравнение
или (р + ^)» = Я7У1(5).	(7.82)
Непосредственно ясно, что уравнение состояния Ван-дер-Ваальса пред-
ставляет собой частный случай уравнения (7.82).
На рис. 1г представлена зависимость потенциальной энергии вза-
имодействия, которая характерна для потенциала Леннарда-
Джонса 6/12
»=Чф‘-<?>“}	<7М)
Как известно, межмолекулярное взаимодействие для веществ с прос-
тыми молекулами (например, для тяжелых инертных газов) хорошо
описывается этим соотношением. Сопоставление рис. 16 и 1г позволя-
ет предположить, что возможной причиной систематического отклоне-
ния расчетных характеристик вандерваальсовых веществ от их опыт-
ных аналогов может быть неточность учета сил притяжения между
молекулами и, соответственно, соотношения для внутреннего давле-
ния.
Лоренц [148] предложил более точную формулу для внутреннего
давления в виде
<7-84>
где с — некоторая постоянная. На основе выражения (7.84) может
быть предложено уравнение состояния
{? + %v~C-\}v = RT, (7.85)
I v (V + 2с) )
которое переписывается в безразмерной форме
(7-86)
где pt = Tt = vt = с. Для этого уравнения: р+нр = 0,0108; v+Hp =
= 4,522; Тннр = 0,168; ZHp = 0,291. Таким образом, полученное значение
критического коэффициента сжимаемости практически совпадает со
своим экспериментальным аналогом для одноатомных газов.
Впрочем, вряд ли стоит переоценивать значение этого совпаде-
ния. Как уже отмечалось, хорошее соответствие опытным данным од-
ной из характеристик вещества еще ничего не означает. Тем более,
что в данном случае другие показатели согласуются с опытом заметно
хуже. При этом имеются некоторые трудности принципиального харак-
тера (например, при рассмотрении кривой Бойля), которые требуют
соответствующего преобразования уравнения состояния. В принципе
такая коррекция уравнения (7.85) возможна, однако ее обсуждение
выходит за рамки настоящей книги, в которой не ставится задача по-
лучить какие-то новые уравнения состояния, а рассматриваемые при-
меры имеют, главным образом, иллюстративный характер.
Итак, все приведенные примеры приложения обобщенного анали-
за к проблеме уравнения состояния показывают определенные преи-
мущества метода характеристических масштабов по сравнению с за-
коном соответственных состояний. Это проявляется и в возможности
в некоторых случаях получить решение в более универсальной форме,
и в большей простоте и наглядности необходимых выкладок. Еще бо-
лее существенным является то обстоятельство, что в вопросе о право-
мерности использования в качестве масштабов отнесения критических
параметров до сих пор имеются некоторые неясности. Рассмотрим эту
проблему более подробно.
Как уже отмечалось в разделе 7.1, в качестве масштабов отне-
сения для переменных могут быть выбраны параметры любой точки,
принадлежащей термодинамической поверхности, в том числе и крити-
ческой точки. Ее отличие от остальных заключается в том, что для этой
точки имеются условия (7.3), позволяющие связать критические пара-
метры с постоянными, входящими в уравнение состояния. Собственно
говоря, равенство нулю первой и второй частных производных от дав-
ления по объему при постоянной температуре в критической точке
считается ее количественным определением.
В курсах термодинамики критическая точка обычно рассматрива-
ется как предельный случай двухфазного равновесия, в котором обе
фазы становятся тождественными, а механический критерий стабиль-
ности обращается в нуль (т. е. = 0^. ^словие устойчивости од-
нородной системы по отношению к виртуальным изменениям объема
при постоянной температуре (Т = const) может быть записано в виде
неравенства
\ ✓ 1	\ 1/V J Т	\	I 'Т
(7.87)
Это неравенство должно выполняться при любых изменениях объе-
ма — и положительных, и отрицательных, — поэтому при обращении
в нуль первой производной вторая также должна иметь нулевое зна-
чение, а третья — .быть отрицательной. Если же и =0. т0
обращаться в нуль должна четвертая производная, а пятая — иметь
отрицательное значение и т. д.
Однако возможность представления условия устойчивости в виде
бесконечного ряда типа (7.87) ниоткуда не следует. Это является неко-
торым дополнительным предположением, которое не всегда оказыва-
ется допустимым.
К сожалению, критическая точка принадлежит именно к таким
исключениям [119]. С приближением к критической точке и слева,
(d^v \	'	» -г
и справа производная J оказывается здесь не определенной. Та-
ким образом, можно констатировать, что обращение в нуль в крити-
ческой точке второй производной от давления по объему не является
строго обоснованным.
С другой стороны, известные сложности с определением критиче-
ского объема не дают права с достаточной степенью уверенности рас-
сматривать равенство нулю этой производной и как эксперименталь-
ный факт. Не решает проблемы и применение статистических методов,
т. к. достоверность результатов, полученных на их основе, не является
совершенно очевидной. В связи с этим вспомним, например, резуль-
таты классических работ Дж. Мейера [18], который считал, что следу-
ет различать характеристическую температуру, при которой происхо-
дит исчезновение поверхностного натяжения (исчезновение мениска),
и истинную критическую точку, в которой выполняются условия (7.3)
и т. д.
Все сказанное, разумеется, не означает, что критические параме-
тры не могут использоваться в качестве масштабов отнесения. Их при-
менение в практических расчетах часто оказывается достаточно полез-
ным. Однако в чисто теоретических исследованиях проблемы уравне-
ния состояния метод характеристических масштабов выглядит, на наш
взгляд, более предпочтительным.
ГЛАВА 8
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССОВ
ПЕРЕНОСА В ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ
В настоящей главе рассматриваются краевые задачи, для которых
не существует полной математической постановки. Их основные урав-
нения чаще всего могут быть записаны лишь для осредненных величин.
Не всегда имеется и достаточно обоснованная совокупность краевых
условий.
В связи с этим при решении такого рода задач приходится вводить
некоторые дополнительные предположения и упрощающие предпосыл-
ки. Использование в этих условиях обобщенного анализа позволяет
в ряде случаев оценить правомерность таких дополнительных гипотез,
причем определенные преимущества здесь имеет метод характеристи-
ческих масштабов, на основе которого удается получить некоторые
дополнительные результаты.
§ 8.1.	Уравнения Рейнольдса
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости. Если огра-
ничиться стационарной задачей и пренебречь влиянием внешних си-
ловых полей, то основные уравнения процесса могут быть записаны
в виде
— grad р + pV2w = p(w grad)w;	(8-1)
divw = 0.	(8.2)
Здесь p — давление; w — скорость; p — плотность; p — динамиче-
ский коэффициент вязкости жидкости. Динамическое уравнение дви-
жения (8.1) представляет собой специфическую форму принципа Да-
ламбера, а уравнение сплошности (8.2) — закон сохранения массы.
В данном простейшем случае стационарного чисто вынужденно-
го движения уравнение Навье-Стокса (8.1) связывает три силы: силу
давления, силу трения и конвективную составляющую силы инерции.
Силы трения и инерции определяются совершенно независимо от поля
давления, т. к. для них существенно только распределение скорости
около рассматриваемой точки. Следовательно, заданному полю ско-
рости отвечает единственно возможное распределение сил давления.
Обратное утверждение в общем случае было бы неверным. Иногда
из такого рода соображений делается вывод, что краевые (граничные)
условия вообще не могут содержать никаких данных о давлении или
о некотором характерном перепаде давления.
Нетрудно видеть, что это утверждение является слишком катего-
ричным. Чтобы это понять, достаточно вспомнить, например, задачу
Пуазейля о расходе жидкости при ламинарном течении в трубах, где
в качестве режимного параметра задается продольный перепад давле-
ния. Имеются и другие задачи, в которых замена части кинематических
условий динамическими не только возможна, но и весьма полезна (дви-
жение жидкости в поле массовых сил, универсальное распределение
скорости в пристеночных турбулентных потоках и т. п.).
По-видимому, можно только утверждать, что всегда возможна та-
кая запись краевых условий, из которой были бы полностью исклю-
чены любого рода динамические характеристики. Разумеется, все из-
ложенное справедливо лишь для несжимаемой (объемноустойчивой)
жидкости.
Впрочем, с точки зрения возможностей приложения обобщенного
анализа и более сильное утверждение, и последнее (более слабое) —
почти равносильны. Самым существенным в обоих случаях является
то обстоятельство, что при желании задачу всегда можно сформулиро-
вать таким образом, что в безразмерной форме она не будет включать
критерия, содержащего характерное значение перепада давления.
При вынужденном движении действие его внешнего возбудите-
ля характеризуется скоростью проникновения жидкости в рассматри-
ваемую систему. При этом и в случае течения жидкости по каналу
(внутренняя задача), и при обтекании твердого тела (внешняя зада-
ча) условиями задачи определяется некоторое характерное значение
скорости w0. В классической теории подобия это значение выбирается
за масштаб отнесения для скорости, а также входит в соответствую-
щие комплексы.
Уравнение сплошности (8.2) однородно, поэтому из него не могут
быть получены какие-либо комплексы. Уравнение Навье-Стокса (8.1)
дает два комплекса
£и=-^; Re = ^	(8.3)
р^о	и
где Др — текущее значение разности давлений; 10 — некоторый ха-
рактерный размер рассматриваемой системы.
Первый из этих комплексов (число Эйлера — мера отношения
силы давления и инерционной силы) является безразмерной формой
текущего давления и, как это непосредственно следует из приведенных
выше соображений, в общем случае не может входить в число аргу-
ментов задачи. Критерий Рейнольдса — мера отношения инерционной
силы к силе внутреннего трения — представляет собой наиболее важ-
ную характеристику течения, определяя, в частности, режим движения
жидкости.
Движущаяся жидкость всегда испытывает возмущения, которые
проникают в поток извне и препятствуют формированию упорядочен-
ных форм течения. Источником такого рода возмущений могут быть
как твердые стенки, так и случайные флуктуации потока на входе в си-
стему. Реакция жидкости на эти случайные возмущения является впол-
не закономерной и обусловлена механизмом процесса. При этом силы
внутреннего трения и инерции оказывают на поток прямо противопо-
ложное воздействие. Силы трения стремятся упорядочить движение
жидкости и подавить любые возмущения, отклоняющие поток от его
русла, а силы инерции, наоборот, усиливают влияние возмущений.
В зависимости от того, какое из этих двух воздействий будет до-
минирующим, течение жидкости может реализоваться в двух глубо-
ко различных формах — ламинарной и турбулентной. Первая из них
характеризуется упорядоченностью течения, которое полностью опре-
деляется конфигурацией стенок, причем движение жидкости в целом
и перемещение ее любых сколь угодно малых элементов находится
в полном соответствии друг с другом. В противоположность этому
для турбулентного потока характерна высокая степень неупорядочен-
ности. Картина движения жидкости в целом далеко не определяет ха-
рактера перемещения ее отдельных частей. Видимая стационарность
потока не исключает непрерывного изменения условий движения жид-
кости в каждой его точке. При этом все характеристики течения по-
стоянно пульсируют около своих средних значений.
Критерий Рейнольдса является единственным безразмерным ком-
плексным параметром для многих гидродинамических задач. В этом
случае выражение для безразмерной скорости, справедливое и для ла-
минарного, и для турбулентного режима течения, будет иметь следу-
ющую структуру:
<84)
где Д;...; Рт — критерии параметрического типа.
Как уже отмечалось, критерий Рейнольдса представляет собой
приближенную количественную меру отношения сил инерции и тре-
ния. Приближенность и в какой-то степени условность этой меры про-
является, в частности, в том, что численные значения Re, которые
отвечают перестройке ламинарного режима и установлению развитого
турбулентного режима в сильнейшей степени зависят от интенсивно-
сти внешних возмущений. Так, при течении жидкости в трубах крити-
ческие числа Рейнольдса, определяющие границы переходной области,
Обычно принимаются равными, соответственно, 2,3 • 103 и 104. Однако
если обеспечить плавный вход жидкости в трубу с достаточно гладки-
ми стенками, то нижний предел можно увеличить до значения порядка
нескольких десятков тысяч. В то же время верхнее предельное значе-
ние критерия Рейнольдса для переходной области заметно снижается
в случае течения сильно возмущенной жидкости.
Необходимо отметить также, что численное значение критерия
Рейнольдса (как, впрочем, и любого другого критерия) само по себе
не является особенно существенным. Величина этого критерия, разу-
меется, отнюдь не пропорциональна отношению сил инерции и трения.
Значение Re следует рассматривать лишь как некоторую условную ме-
ру, означающую только, что его большим значениям соответствуют
большие отношения этих сил, а меньшим — меньшие.
Если уравнения (8.1), (8.2) дополнить граничными (краевыми)
условиями, то решение полученной стационарной краевой задачи ча-
сто может быть представлено в безразмерной форме (8.4). Чисто фор-
мально такое решение будет существовать при любых значениях кри-
терия Рейнольдса. Однако это вовсе не означает, что соответствующее
стационарное течение может быть осуществлено в реальных условиях.
Для этого необходимо,чтобы оно было устойчиво по отношению к слу-
чайным внешним возмущениям. Как известно, таким свойством об-
ладают лишь течения при сравнительно малых значения критерия Re.
При значениях этого критерия, превышающих некоторую критическую
величину, реализуется турбулентный режим течения жидкости, кото-
рый лишь условно можно считать стационарным. Иными словами, это
утверждение будет справедливо лишь для потока в целом. Движение
отдельных элементов жидкости совершенно хаотично и нестационар-
но.
Естественно рассматривать развитое турбулентное течение
как объект приложения методов статистической .механики к системам
с очень большим числом степеней свободы [85]. Однако определение
наиболее полной статистической характеристики процесса — распре-
деления вероятностей на соответствующем фазовом пространстве —
является задачей, которая в настоящее время далека от разрешения.
Поэтому приходится ограничиваться лишь некоторыми простейшими
среднестатистическими характеристиками (осредненными значениями
скорости и давления, вторыми моментами пульсаций скорости и т. п.)
При этом часть из них может определяться либо на основе экспе-
риментальных данных, либо с помощью специальных дополнительных
гипотез, чаще всего основанных на аналогии с моделью молекулярно-
го хаоса. Именно на таком уровне (уровне полуэмпирических теорий)
будет строиться все дальнейшее рассмотрение проблемы турбулентно-
сти, тем более, что здесь будет особенно эффективным применение
различных модификаций обобщенного анализа.
В соответствии с классической работой Рейнольдса [159] предста-
вим компоненты скорости и давление в турбулентном потоке в виде
суммы двух составляющих — осредненной и пульсационной. Имеем
и = й + и'; v = v + v'; w = w + wz;	(8-5)
p = p + p'.	(8.6)
В статистической гидромеханике осреднение осуществляется по ста-
тистическому ансамблю, состоящему из набора отдельных реализаций
того или иного случайного поля. Однако, в соответствии с эргодиче-
ской теоремой, такого рода осреднение может быть заменено осредне-
нием по времени
r+rj/2
й = — J udr,	(8.7)
Л T-TJ2
где Tj — период осреднения. Именно этот способ осреднения исполь-
зовал в своей работе Рейнольдс. Что же касается некоторых дополни-
тельных алгебраических свойств этой операции, то они определяются
обычными правилами вычисления математического ожидания, приня-
тыми в теории вероятностей. Наиболее важные из этих правил могут
быть представлены следующим образом:
J udx = J udx. (8-8)
и = и; й1 = 0; uv = uv;
Если соотношения (8.5), (8.6) подставить в уравнения (8.1), (8.2)
и произвести их осреднение, то с учетом (8.8) эти уравнения перепи-
шутся в координатной форме
(	-2	-г-,	-г~, 1
др । vz2 - J -ди . -ди . _ди . ди' . ди v . ди'ill I
u^+v^+w-^+-^+-^-+-sr S;
{-i~i -/2	~Г~! 1
-dv . -dv . - dv . du v . dv . dvw I /0
<89)
__	__ _ 2 'I
-dw . -dw . - dw . dM . 5гЛи/ . dw1 I
u-dF+v^+w-dF+-^+-dr+-dr p
+	+	(8.10)
ox oy dz	'	'
Уравнения (8.9), (8.10) принято называть уравнениями Рейнольдса,
а последние слагаемые в правой части уравнений (8.9), квадратич-
ные относительно пульсации, рассматривать как составляющие тензо-
ра турбулентных напряжений
ри'2; pu'v'; pu'w'; \
pu'v'; pv'2; pv'w'; j	(8.11)
pu'w'", pv'w'', pw'2; /
Система уравнений Рейнольдса не замкнута, т. к. четыре уравне-
ния содержат десять неизвестных — три компоненты скорости, давле-
ние и шесть турбулентных напряжений.
В работе [142] предложен более общий метод построения систе-
мы дифференциальных уравнений (системы Фридмана-Келлера), ко-
торая адекватна аналитической формулировке проблемы турбулентно-
сти. Процедура получения этих уравнений — уравнений моментов —
состоит в умножении уравнений движения вязкой жидкости на компо-
ненты скорости в различных точках потока с последующим их осред-
нением. Однако, лишь бесконечная система уравнений Фридмана-
Келлера полностью определяет эту проблему, т. к. из-за нелинейности
уравнений гидродинамики любая конечная подсистема всегда оказы-
вается незамкнутой. Уравнения Рейнольдса (8.9)-(8.10) представляют
собой частный случай системы Фридмана-Келлера и содержат только
одноточечные моменты.
Непосредственно использовать бесконечную систему уравнений
Фридмана-Келлера для расчетных целей, естественно, не удается.
Но сам факт существования такого рода системы позволяет подтвер-
дить вывод о том, что соотношения, замыкающие любую конечную под-
систему, не должны содержать каких-либо дополнительных размерных
постоянных. Это обстоятельство оказывается особенно существенным
для применения аппарата обобщенного анализа.
Проблеме замыкания системы уравнений Фридмана-Келлера (или
отдельных конечных подсистем) посвящена значительная часть теоре-
тических работ по динамике турбулентных течений. При этом чаще
всего ограничиваются рассмотрением самой простой подсистемы, ко-
торая соответствует уравнениям Рейнольдса. Но даже в этом простей-
шем случае практические результаты удалось получить главным обра-
зом для двух предельных режимов. Первый из них отвечает режиму
мелкомасштабных компонент турбулентности, а второй режим, нао-
борот, — крупномасштабных составляющих пульсаций, соизмеримых
с масштабами течения в целом.
Основу теории статистического режима мелкомасштабных компо-
нент турбулентности при очень больших значениях критерия Рейноль-
дса составляют гипотезы подобия, предложенные в работах [63, 91]. Их
анализ выходит за рамки настоящей книги, поэтому перейдем теперь
к рассмотрению течений, в которых доминируют крупномасштабные
компоненты, и прежде всего остановимся на вопросе, о так называе-
мой, «пристеночной турбулентности».
§ 8.2. Пристеночная область турбулентного течения
При турбулентном движении жидкости вдоль твердой поверхно-
сти непосредственно около стенки возникает область течения, основ-
ные характеристики которой слабо зависят от типа потока. Они ока-
зываются практически одними и теми же как для внешней (погранич-
ный слой), так и для внутренней задачи (течение в каналах). В связи
с этим представляется целесообразным прежде всего рассмотреть иде-
ализированное стационарное плоскопараллельное течение жидкости,
которое представляет собой своего рода предельный случай различ-
ных реальных потоков [85].
Если предположить, что жидкость движется вдоль оси гг в полу-
пространстве у > 0, а градиент давления отсутствует, то из системы
уравнений Рейнольдса (8.10) остается только первое уравнение, кото-
рое в рассматриваемом случае может быть записано в виде
=	(8.12)
dy2 dy	'	v '
И	_	___
т(у) = ^^ -ри'-и' = т0 = const,	(8.13)
где r0 — напряжение трения на стенке (при у = 0). Для того, чтобы
проинтегрировать уравнение (8.13), необходимо дополнительно задать
соотношение, связывающее турбулентную составляющую касательно-
го напряжения	___
тт = — pu'v'	(8-14)
с осредненной скоростью й.
В настоящее время существует свыше десятка различных гипотез
о турбулентном касательном напряжении [124]. Среди них особое ме-
сто занимают три классических полуэмпирических теории: гипотеза
«пути смешения» Прандтля
2 2 I da I du
теория переноса завихренности Тейлора
dr-p ч ч (du\ I d%u ।
-^ = РХ2У2(^)
и гипотеза подобия Кармана
\ 4	/ 9 \ 2
2 ( du \ / I d£u \
тт=РХ	
(8-15)
(8.16)
(8.17)
Нетрудно видеть, что использование любого из выражений
(8.15)-(8.17) приводит к следующему соотношению для безразмерной
осредненной скорости
или u+=f(y+)>	(8-18)
— характеристические (динамические) мас-
штабы скорости и протяженности, соответственно. Это соотношение
часто называют универсальным законом турбулентности вблизи стен-
ки («законом стенки»).
Однако закон (8.18) может быть получен на основе гораздо более
общих соображений. Для этого достаточно предположить, что неза-
висимо от конкретной формы замыкающего условия, оно не привно-
сит в задачу какой-либо новой величины — дополнительной размер-
ной константы или характерного значения переменной. В этом случае
из (8.13) получаются два уравнения масштабных связей
V, 2
7Ь = Мт; = РЧ>
(8.19)
которые как раз и определяют динамические масштабы в форме (8.18).
Рассмотрим область течения на достаточном удалении от твердой
поверхности. В этом случае все эффекты вязкой природы можно счи-
тать пренебрежимо слабыми. Роль вязких напряжений здесь ограни-
чивается тем, что они обеспечивают механизм передачи касательного
напряжения т0 на границу исследуемой зоны. В связи с этим соответ-
ствующее слагаемое в правой части уравнения (8.13) может быть опу-
щено. В системе (8.19) останется только одно уравнение масштабных
связей при двух преобразуемых переменных, поэтому в такой поста-
новке задача будет иметь автомодельное решение.
В данном случае искомая функция й не может быть представлена
в виде степенного комплекса, включающего координату у и параметры
задачи. Однако аналогичное соотношение может быть записано для ее
первой производной, т. е.
(8.20)
Из условия независимости от Z, непосредственно следует
= или = Л 1П2/+ + В,	(8.22)
где А и В — константы. В более привычной форме (с использованием
постоянной Кармана х = 1/А и /3 = ехр(—хВ)) выражение (8.22)
может быть переписано следующим образом:
й+ = £1п^.	(8.23)
Автомодельное решение может быть получено и для области течения,
в которой доминируют вязкие напряжения (вязкий подслой). В этом
случае уравнение (8.13) переписывается в виде
или
^ = 1,	(8.25)
dy+ ’	' '
которое после интегрирования (с учетом «условия прилипания») при-
водит к зависимости
й+ = у+.	(8.26)
Иногда считают, что предельная универсализация решения дости-
гается за счет перехода к динамическим граничным условиям — за-
данию касательного напряжения т0 вместо некоторого характерного
значения скорости (или ее производной). В действительности все об-
стоит сложнее. Существуют задачи,в которых такая замена вообще
не дает никакого эффекта. В некоторых других случаях автомодельное
решение может быть получено и при использовании кинематических
граничных условий. К числу последних как раз и относится рассма-
триваемая модельная задача.
Запишем соответствующие основному уравнению (8.12) гранич-
ные условия в форме
и' = 0; v' = 0; и = 0 при у = 0;
й = U	при у—> оо.
(8.27)
Если оставить в силе высказанные выше соображения по поводу усло-
вий замыкания, то уравнения масштабных связей можно теперь пере-
писать в виде
^4 = 1,2; vt=U. (8.28)
г*1
Отсюда непосредственно следует «закон стенки»
(8.29)
и автомодельное решение для области течения, достаточно удаленной
от твердой поверхности, —

(8.30)
«Закон стенки» и выражения, определяющие логарифмический
профиль осредненной скорости, относятся к числу наиболее обосно-
ванных и существенных результатов теории турбулентных течений
с поперечным сдвигом. Однако следует иметь ввиду, что эти результа-
ты являются вполне строгими только для рассмотренной идеализиро-
ванной задачи. Для течений в каналах и пограничном слое на пластине
они должны рассматриваться только как некоторые приближения. Ра-
зумеется, это в первую очередь связано с тем обстоятельством, что ка-
сательное напряжение в реальных потоках не будет постоянным. Кро-
ме того, здесь появляются дополнительные параметры, поэтому непо-
средственно задача не может быть приведена к автомодельному виду.
Для получения ее решения в универсальной форме прежде всего необ-
ходимо выявить наиболее слабые граничные условия, которыми мож-
но было бы в дальнейшем пренебречь. Как оказалось, динамические
граничные условия в этом смысле обладают определенными преиму-
ществами. Проиллюстрируем эти соображения на примере стабилизи-
рованного турбулентного течения жидкости в круглой трубе.
В цилиндрической системе координат г, <р, х основное уравнение
задачи может быть представлено в виде
dvxvx I VXVT
+ ~r~
_1^Р Л-,,(I 1
р	I ^2 г дт I
при кинематических граничных условиях
vx =0; и' = 0; vx = 0 при г = т0;
vx = U; = 0 при г = 0.
(8.31)
(8.32)
Соответствующие уравнения масштабных связей записываются
в форме
2
v = = T = v* = u (8-33)
Четыре уравнения масштабных связей (8.33) содержат три масшта-
ба, поэтому задача не может быть приведена к автомодельному виду,
а соотношение для безразмерной осредненной скорости выглядит сле-
дующим образом:
т = Ф	(М4)
Переход к динамическим граничным условиям
и' = 0; v'T = 0; т = т0 = ц( при г = г0;
< _
= 0	при г = 0
(8.35)
положения не изменяет. По-прежнему остается четыре уравнения мас-
штабных связей
£_Р±._!Ч. т- _ „У*.
(8.36)
k = го> •
а соотношение для профиля безразмерной скорости включает критерий
n и»гП	n Urn
Re, = вместо Re = и представляется в виде
vt Ji \ ’ v ) 1
(8.37)
где иф и i, — динамические масштабы.
Но здесь возможны, однако, некоторые упрощения. Система (8.35)
содержит требования, которые сильно различаются по степени их
влияния на решение. С достаточным основанием можно полагать,
что условия на оси мало существенны для течения в целом, если ра-
диус трубы достаточно велик. Отметим это ограничение в форме нера-
венства
т0 »	(8.38)
Опустим теперь второе из уравнений системы (8.35) и перенесем нача-
ло координат с оси на поверхность стенки. Иными словами, перейдем
к декартовой системе координат: х; у = т0 — г; vx = u; vT = v. Этот пере-
ход является вполне оправданным, т. к. такое преобразование не отра-
жается на структуре членов уравнений, содержащих г под знаком диф-
ференциала (в силу условия (8.38) члены, включающие величину 1/т0,
могут быть опущены).
Уравнения (8.31) и (8.35) заменяются системой уравнений
{ди1 v'   1_ dp ।	.
~ pdx V dv2'	(8.39)
u' = 0; v' = 0; й = 0; t = t0 = /j,^ приу = 0.
Последнее из уравнений масштабных связей (8.36) выпадает, и зада-
ча приводится к автомодельному виду с помощью характеристических
масштабов
Р, = т0;	=	ч =	(8-40)
Непосредственно ясно, что это решение будет тождественно «закону
стенки» (8.18), а для области, достаточно удаленной как от стенки,
так и от оси трубы, — будет совпадать с логарифмическим профилем,
определяемым соотношением (8.22).
Эти соотношения можно получить и с помощью анализа размер-
ностей. Действительно, если считать существенными для процесса ве-
личины т0; р; и; у; й; то из тг-теоремы следует, что имеется всего
два безразмерных комплекса, т. к. число первичных величин равно
трем (масса, протяженность, время). Нетрудно показать, что их кон-
кретный вид будет соответствовать выражению (8.18). Однако следует
подчеркнуть, что простота, с которой получается этот результат, явля-
ется кажущейся. Самая сложная часть решения — анализ физической
обстановки (совершенно необходимый для определения перечня вели-
чин, существенных для процесса) не может быть выполнен в рамках
анализа размерностей, Решение задачи этим методом по своей сути
является эвристическим.
Сопоставлению полученных результатов с экспериментальными
данными и обсуждению некоторых особенностей турбулентных тече-
ний в каналах посвящен следующий раздел.
§ 8.3. Некоторые особенности турбулентных течений
в каналах
Как уже отмечалось в предыдущем разделе, для реальных течений
в каналах и пограничном слое соотношения, определяющие логарифми-
ческий профиль скорости и «закон стенки», должны рассматриваться
как некоторое приближение, справедливое лишь в области, где
т(у) ~ т0 = const.
На рис. 2 представлена зависимость безразмерного касательного на-
пряжения т = т/т0 от безразмерной координаты у= у/10 для каналов
(линия 1) и пограничного слоя (линия 2).
За определяющий размер для прямоуголь-
ного канала была принята половина его вы-
соты, для круглого — радиус и для погра-
ничного слоя — его толщина. На рисун-
ке непосредственно видно, что вблизи стен-
ки касательное напряжение в канале умень-
шается значительно быстрее, чем в погра-
ничном слое на пластине. Отсюда, каза-
лось бы, должно следовать, что при срав-
нительно небольших значениях у отклоне-
ние от логарифмического профиля скоро-
сти в последнем случае должно быть более
(8.41)
слабым. Опытные данные свидетельствуют
о прямо противоположной тенденции. Более того, еще в классиче-
ских экспериментах Никурадзе [86] было показано, что практически
для всей области течения от стенки и почти до самого центра трубы
(разумеется, за исключением вязкого подслоя и промежуточной зоны)
распределение скорости может быть представлено в логарифмической
форме (8.22).
Некоторые авторы склонны рассматривать это обстоятельство
как серьезное доказательство слабой чувствительности распределения
осредненной скорости к изменению касательного напряжения. По-ви-
димому, такое утверждение в известной степени противоречиво. С од-
ной стороны, касательное напряжение включается в совокупность ве-
личин, существенных для процесса (т0; р; й; у), а с другой — изме-
нение его локального значения в несколько раз практически не ска-
зывается на величине скорости. Обычно при рассмотрении какой-либо
задачи на основе обобщенного анализа (в частности, при использо-
вании анализа размерностей) в подобной ситуации соответствующая
величина может быть вообще исключена из перечня существенных.
Нетрудно видеть, что в данном случае это привело бы к абсурдному
результату.
Если же в этот перечень дополнительно ввести величину типа 10,
то автомодельность задачи нарушается за счет появления в ее реше-
нии безразмерного параметра (критерия). Соответствующее решение
может быть представлено в виде
u(y) = V(^;^)-	(8.42)
Для течения в каналах появление дополнительного критерия обуслов-
лено соотношением для касательного напряжения, которое получается
из условия равновесия элементарного объема жидкости в форме
т = 7-0(1-*-).	(8.43)
Можно попытаться уточнить решение, используя для получения
профиля осредненной скорости соотношение (8.43) и какую-нибудь
гипотезу о турбулентном напряжении типа (8.15)~(8.17). К сожале-
нию, положение при этом не только не улучшается, но даже несколь-
ко ухудшается (растет разброс экспериментальных точек). Поэтому
создается впечатление, что существует какой-то неучтенный эффект,
который компенсирует уменьшение касательного напряжения по на-
правлению к центру канала. Рассмотрим этот вопрос более подробно,
причем для определенности в дальнейшем ограничимся обсуждением
характеристик течения в плоском канале.
Прежде всего следует вспомнить, что применение разного рода
полуэмпирических теорий турбулентности (в том числе и классиче-
ских гипотез (8.15)-(8.17)) оказалось особенно успешным при расчете
свободных турбулентных потоков и затопленных струй. Что же каса-
ется потоков с поперечным сдвигом, то здесь возникают определен-
ные трудности и несоответствия. Например, в теории Прандтля (8.15)
предполагается, что длина пути смешения мала по сравнению с по-
перечными размерами потока. В то же время значения этой длины,
вычисленные на основе опытных данных, имеют порядок поперечного
масштаба течения. Встречаются указания на то, что турбулентная вяз-
кость не всегда равняется нулю при нулевом градиенте осредненной
скорости и т. п.
Однако наиболее серьезным возражением против большинства по-
луэмпирических теорий турбулентности является то обстоятельство,
что в них, как правило, рейнольдсово напряжение выражается толь-
ко через локальные характеристики потока [106]. Как уже отмеча-
лось, полные уравнения Навье-Стокса относятся к дифференциальным
уравнениям эллиптического типа, а уравнения пограничного слоя —
к параболическим. Поэтому в первом случае характеристики турбу-
лентности должны зависеть от условий, которые складываются и вниз,
и вверх по потоку (вообще говоря, они должны зависеть от обстановки
в любой точке движущейся жидкости), а во втором — вниз по потоку.
Совершенно ясно, что при строгой постановке любой из этих задач
локальных характеристик оказывается явно недостаточно.
При турбулентном течении жидкости в канале за участком гид-
родинамической стабилизации характеристики турбулентности будут
одними и теми же для любого сечения. В турбулентном пограничном
слое они будут изменяться от сечения к сечению, но это можно прибли-
женно учесть, если ввести изменяющееся в продольном направлении
касательное напряжение. В связи с этим при решении обоих типов
задач можно ограничиться рассмотрением влияния условий течения
жидкости в пределах одного сечения. Однако и здесь недостаточно
лишь локальных характеристик. В полной мере это относится к гипо-
тезе Кармана (8.17), которая содержит только такого рода величины.
Что же касается теорий Прандтля (8.15) и Тейлора (8.16), то в них
косвенно отражается влияние твердой стенки, т. к. координата у от-
считывается от ее уровня.
Если предположить, что интенсивность процессов переноса в пер-
вую очередь определяется крупномасштабными пульсациями, то в этом
случае должно также проявляться воздействие на поток второй стенки
прямоугольного канала. В частности, это соответствует утверждению,
что длина пути смешения соизмерима с характерным размером канала.
Иными словами, соотношения (8.15) и (8.16) необходимо скорректи-
ровать таким образом, чтобы учесть влияние симметрии потока. Кро-
ме того, вблизи твердых стенок эти соотношения должны переходить
в свои классические аналоги. Нетрудно видеть, что простейшие выра-
жения, отвечающие этим требованиям, могут быть записаны в виде
(8.44)
= ду2 2(2Я-у)2 / du\ ( dM	f8 45s
dy PXl У 4я2 dy J dyz j •	I • 1
В уже упомянутой работе Никурадзе [86] было получено соотно-
шение для длины пути смешения в форме
^ = 0,14-0,08(1 — у)2 -0,06(1 -у)4.
(8.46)
При его получении использовалась формула Прандтля
Iwlw'	(847>
а также экспериментальное распределение осредненной скорости и вы-
ражение типа (8.43), определяющее линейную зависимость касатель-
ного напряжения. Интересно отметить, что по своему характеру соот-
ношения (8.46) и (8.44) оказались довольно близки друг другу.
Дополнительные множители в (8.44) и (8.45) как раз и создают
эффект, в какой-то мере компенсирующий уменьшение касательного
напряжения. Действительно, если ввести условное касательное напря-
жение
- _ Д _ Т_ 4Н2	_	1-у/Н	(о
1	4) то (2Н — у)2	[1 - у/(2Н)]2 ’	>
то (8.44) можно рассматривать как обычное соотношение для пути
смешения, отвечающее этому условному напряжению. Как следует
из рис. 2 (линия 3), напряжение т\ убывает значительно медленнее,
чем т. Поэтому можно ожидать, что логарифмическое распределение
осредненной скорости для каналов будет сохраняться в значительно
большей области течения, чем это следует из классической теории пу-
ти смешения. Разумеется, все сказанное в равной степени относится
и к гипотезе Тейлора.
Перепишем соотношение (8.44) в безразмерной форме
?и+ =___~ у____	(8 49)
dy ху^-у/^У	' ’ *
где й+ = й/иф; у=у/Н. Интеграл этого уравнения может быть пред-
ставлен в виде
й+ = 11п (1 +	+ 2 arctg V1 + С. (8.50)
Для определения константы % воспользуемся выражением для «дефек-
та скорости»
и+ - й+ = 1 |In	_ 2 arctg	•	(8.51)
Л, I	У	I
Сопоставление (8.51) с опытными данными при х = 0>36 (в равномер-
ной и полулогарифмической сетке) проведено на рис. 3 (линия 1).
Линия 2 на этом рисунке отвечает логарифмической формуле
U+ — й+ = — 2,51п у + 0,65,	(8.52)
в которой для лучшего согласования с измерениями введена дополни-
тельная постоянная Ву =0,65 [85].
Вообще говоря, эта постоянная должна иметь нулевое значение.
Действительно, если предположить, что логарифмическое распреде-
ление сохраняется вплоть до оси канала, то выражение для дефекта
скорости имеет вид
U+ -й+ = -1 In у,	(8.53)
Рис. 3
причем значение % следует определять из обработки результатов из-
мерений в области, непосредственно примыкающей к твердой стенке
(при у <0,15) [85]. Однако при этом заметно ухудшается согласова-
ние с опытными данными в других областях течения. Впрочем, даже
при ненулевом значении постоянной Ву, формула (8.52) удовлетвори-
тельно согласуется с экспериментом в сравнительно узком диапазо-
не у, и, как непосредственно следует из рис. 3, соотношение (8.51)
имеет в этом смысле определенные преимущества.
При малых значениях у второе слагаемое в соотношении (8.50)
вырождается (становится практически постоянным), а первое — упро-
щается. В результате получается логарифмическое распределение ско-
рости
й+ = 2,75 In у+ + 3,9	(8.54)
и выражение (8.50) приобретает свой окончательный вид
и+ = 2,75 |1п + 0 ^2 + arctg у/1 ~У + In H+j -I- 3,4,	(8.55)
где
В настоящее время опубликова-
но значительное число работ, в ко-
торых приводятся экспериментальные
данные по распределению осредней-
ной скорости в пристеночном слое.
На рис. 4 приведен сводный график,
который заимствован из обзора Кести-
на и Ричардсона [143]. Разброс экс-
периментальных точек на этом графи-
ке достаточно велик, поэтому вряд ли
приходится удивляться, что значения
постоянной Кармана у различных ав-
торов заметно отличаются (0,36 % 0,42) [106]. Принятое в данном
случае значение этой постоянной соответствует ее нижнему пределу.
На рис. 4 линия 1 отвечает рекомендованной в работе [133] формуле
й+ — 2,5 In у+ + 5,1,	(8.56)
а пунктирная прямая 2 соответствует выражению (8.54). Непосредст-
венно ясно, что вряд ли можно отдать предпочтение какому-то из этих
соотношений и тем самым соответствующему значению постоянной %.
К тому же следует отметить, что меньшие значения постоянной Кар-
мана характерны для турбулентного течения в каналах, а большие —
для пограничного слоя. Так, в работе [62] на основе обработки большо-
го количества опытных данных для пограничного слоя на пластине по-
лучено значение % =0,41. В то же время минимальное значение этой
постоянной (х = 0,36) соответствует экспериментам Дейслера [135]
для течения в трубах.
Рис. 5
Выражения (8.51) и (8.55) будут справедливы и для круглой тру-
бы, если в них заменить величину Н+ на	и ввести безраз-
мерную координату т = т1г0. Имеем
и+ = 2,75 In
U, - й. = 2,75 ( In
Т Т ' I
3,4.
(8-57)
(8.58)
На рис.5 зависимость (8.57) сопоставлена с экспериментальными дан-
ными для круглой трубы [121] (линия 1). Линия 2 соответствует здесь
формуле
U+ - й+ = -2,44 In у + 0,8.	(8.59)
Как следует из рис. 5, соотношение (8.57) лучше согласуется с экс-
периментом, чем (8.59). Кроме того нужно отметить, что в отличие
от выражений типа (8.59) формулы (8.54), (8.57), (8.58) (как и их
аналоги для прямоугольного канала) содержат только взаимно согла-
сованные значения констант.
§ 8.4. Тройная аналогия
До сих пор речь шла только о переносе количества движения (им-
пульса). Однако в потоке жидкости при наличии неоднородностей тем-
пературы и концентрации примесей возможен также перенос теплоты
и массы. Между этими тремя процессами существует тесная внутрен-
няя связь, которая позволяет рассматривать эффекты гидродинамиче-
ского сопротивления, теплообмена и массообмена как различные сто-
роны одного и того же явления, обусловленные единым физическим
механизмом. Их степень общности в первую очередь определяется
тем, насколько идентичными оказываются носители соответствующих
свойств (субстратов обмена) и насколько сходны условия, в которых
они выполняют свои функции.
В условиях конвективного тепло- и массообмена между твердым
телом и омывающей его средой, процесс переноса осуществляется но-
сителями, которые перемещаются в движущейся жидкости в попереч-
ном направлении. При ламинарном режиме течения они представляют
собой объекты микроскопической природы. В газообразных средах но-
сителями являются отдельные молекулы (атомы), которые участвуют
в беспорядочном тепловом движении. В капельных жидкостях наряду
с молекулами эту роль выполняют также фононы — носители акусти-
ческой энергии колебаний периодически образующейся молекулярной
решетки. Не вдаваясь в обсуждение особенностей механизма переноса
в различных средах, отметим лишь, что (за исключением жидких ме-
таллов) процессы молекулярной природы имеют сравнительно малую
интенсивность. Иными словами, многие жидкости можно рассматри-
вать как маловязкие и малотеплопроводные среды, в которых диффу-
зия примесей протекает достаточно медленно.
Молекулярный механизм переноса количества движения, теплоты
и массы в условиях продольного ламинарного движения является един-
ственно возможным, т. к. перемещение макроскопических элементов
жидкости в поперечном направлении здесь отсутствует. В этом слу-
чае соотношения для касательного напряжения, плотности теплового
потока q и плотности потока массы j могут быть представлены, соот-
ветственно, в форме
т =	(8.60)
9 =	(8.61)
У =	(8.62)
где и — продольная компонента скорости, Т — температура, с —
концентрация примеси, А — теплопроводность, D — коэффициент
диффузии. При этом предполагается, что течение жидкости являет-
ся одномерным, а наличие теплового потока и потока массы никак
не отражается на ее движении.
Между уравнениями (8.60), (8.61) и уравнением (8.62) нет пол-
ной аналогии, т. к. коэффициенту диффузии D соответствуют кине-
матический коэффициент вязкости р и коэффициент температуропро-
водности а (а не р, и А). Впрочем это легко устранимо посредством
преобразования уравнений (8.60) и (8.61) к виду
t =	(8.63)
? =	(8.64)
где ри — массовая скорость, г ph — удельная объемная энтальпия
жидкости. Теперь уравнения переноса (8.62)-(8.64) построены впол-
не однотипно: интенсивность рассматриваемого эффекта, выраженная
через плотность потока некоторой субстанции, определяется как вели-
чина, пропорциональная нормальному градиенту ее объемного содер-
жания (т. е. ее количеству, отнесенному к единице объема). Множи-
телем пропорциональности служит коэффициент переноса, т. е. вели-
чина, характеризующая соответствующие физические свойства среды.
Единая форма этих соотношений, которые в ряде случаев являются
основными уравнениями, позволяют надеяться на существование пол-
ной аналогии решений соответствующих краевых задач. Разумеется,
для этого необходимо, чтобы их граничные (краевые) условия были
также однотипными. Простейшим примером такого рода задач может
служить уже упоминавшееся выше идеализированное течение жидко-
сти в полупространстве у > 0.
Итак, рассматривается стационарное плоскопараллельное лами-
нарное течение жидкости вдоль оси х. Касательное напряжение, плот-
ность теплового потока и потока массы постоянны и равны соответ-
ствующим значениям этих величин на поверхности твердой стенки
(при у = 0). Основные уравнения и граничные условия задачи могут
быть записаны следующим образом:
т = =	=	(8.65)
9 = % =	=	(8.66)
=	(8.67)
т = т0; q — q0; j = j0; i? = 0; q = 0; u = 0; приу = 0, (8.68)
где = T — Тст — разностная температура; Та — температура стенки;
q = с — сст; сст — концентрация примеси на стенке. Из (8.65)-(8.68)
получается система уравнений масштабных связей
r, = r0 = rf; qt = qQ = X^; jt = j0 = D^ (8.69)
Число преобразуемых переменных совпадает с числом уравнений мас-
штабных связей, поэтому задача приводится к автомодельному виду
du+
dy+ ~
М+ _
dy+ ~
dc^
dy-t ~
т+= 1; q+ = 1; У+ = 1; u+ = 0;
1;	(8.70)
1;	(8.71)
1;	(8.72)
4 = 0; с1+ = 0 при у+ = 0, (8.73)
причем
Как уже неоднократно отмечалось, тождество в обобщенных пере-
менных равносильно подобию в первоначальных переменных. Поэтому
из (8.70)-(8.73) непосредственно следует вывод о подобии распреде-
лений продольной скорости, температуры и концентрации, т. е. о су-
ществовании полной аналогии между процессами переноса количества
движения, теплоты и массы (тройной аналогии).
На первый взгляд этот результат кажется несколько неожидан-
ным. Обычно считают, что тройная аналогия имеет место лишь при вы-
полнении условия
и = а = D,	(8.75)
или в безразмерном представлении
рг = Рг9 = 1,	(8.76)
где Рг= и Рг, = 4 — обычный и диффузионный критерий Прандтля,
соответственно. Для большинства течений эти условия действитель-
но необходимы, но идеализированное ламинарное течение в полупро-
странстве т/ > 0 является в этом смысле исключением. Его характерная
особенность состоит в том, что уравнения задачи не содержат конвек-
тивных членов, поэтому из системы уравнений масштабных связей вы-
падают как раз те из них, которые приводят к условиям (8.76). Если же
конвективные составляющие в основных уравнениях сохраняются (как
это характерно, например, для уравнений ламинарного пограничного
слоя), то соответствующие ограничения, естественно, остаются в си-
ле. Большинство условий существования тройной аналогии не зависит
от режима движения жидкости, поэтому они будут более подробно рас-
смотрены при изучении турбулентных течений, к анализу которых мы
теперь вновь возвращаемся.
Распределение осредненной скорости довольно слабо зависит
от характеристик турбулентного переноса, поэтому для замыкания
уравнений Рейнольдса в динамических задачах может быть исполь-
зована простейшая физическая модель процесса. Структурная схема
турбулентного течения обычно представляется здесь в виде упорядо-
ченного потока, заполненного хаотически блуждающими молями. Мо-
ли рассматриваются как некоторые временные образования, которые
самопроизвольно возникают и распадаются. Предполагается, что с ко-
личественной стороны допустимо отвлечься от характера взаимодей-
ствия моля с окружающей жидкостью и считать, что на протяжении
всего времени существования моля — от момента возникновения до
момента распада — его параметры остаются неизменными. Тем са-
мым моли, совершающие хаотическое движение, можно рассматривать
как макроскопические аналоги молекул в молекулярно-кинетической
модели газа. Протяженность поперечного перемещения моля характе-
ризуется длиной пути смешения, которая, в свою очередь, играет роль
аналога длины свободного пробега молекулы.
Несмотря на всю условность этих аналогий, на их основе могут
быть получены количественные характеристики процесса турбулент-
ного переноса (подробнее см., например, [31]). Если переносимой суб-
станцией считать количество движения, то связь между турбулентным
касательным напряжением и осредненной скоростью может быть уста-
новлена в виде соотношения теории пути смешения Прандтля
(8.77)
Аналогичные выражения могут быть записаны для турбулентных со-
ставляющих плотности теплового потока и потока ’массы
,2 I du I dd
<1т = сРр1 |-3^;
. ___ 7 2 I I d c
3т —	| dy I dy '
(8.78)
(8.79)
Можно ввести турбулентные аналоги физических параметров — ко-
эффициентов переноса, — динамический коэффициент турбулентной
вязкости
цт = р12\^\,	(8.80)
коэффициент турбулентной теплопроводности
Ат = ^2|^|-	(8.81)
и коэффициент турбулентной диффузии
Ят = г2|^|,	(8.82)
а также турбулентное число Прандтля
Ргт =	(8.83)
и его диффузионный аналог
Из сопоставления выражений (8.8О)-(8.82) и (8.83), (8.84) непосред-
ственно следует
Ргт = РгАТ = 1,	(8.85)
Справедливость соотношения (8.85) обусловлена особенностями при-
нятой модели турбулентного переноса, в соответствии с которой при-
нимается, что взаимодействие между движущемся молем и окружаю-
щей жидкостью отсутствует.
В рамках этой модели можно считать, что полное касательное на-
пряжение, а также плотности теплового потока и потока массы могут
быть представлены в виде суммы своих молекулярных и турбулентных
составляющих
т = (м + Мт)^;	(8-86)
д = (А+Ат)^;	(8.87)
j = (D + DT)^.	(8.88)
Собственно говоря, сама форма записи соотношений (8.86)-(8.88)
никак не связана с какой-либо конкретной моделью турбулентности.
Эта связь проявляется только в том случае, если турбулентные коэф-
фициенты переноса вычисляются по формулам типа (8.80)-(8.82).
Выражения (8.86)-(8.88) могут быть переписаны также
и в несколько иной форме
Т =	-pu'v',	(8.89)
g = A^-CpP^,	(8.90)
j =	(8.91)
Итак, интенсивность турбулентного переноса количества движе-
ния, теплоты и массы определяется однотипными выражениями. Это
в равной степени относится и к соотношениям (8.77)-(8.79), которые
были получены на основе упрощенной модели турбулентного обмена,
и к более общим выражениям типа (8.89)-(8.91). Как и в случае ла-
минарных течений, это обстоятельство в первую очередь определяется
единством носителей соответствующих свойств (турбулентных молей),
поэтому и здесь следует ожидать проявления достаточно глубоких ана-
логий. Их рассмотрение опять-таки начнем с простейшей модельной
задачи о турбулентном потоке в полуплоскости у > 0.
Как и прежде предполагаем, что физические параметры постоянны
и наличие теплообмена и массообмена никак не сказывается на движе-
нии жидкости. В связи с этим гидродинамическая часть задачи оказы-
вается вполне самостоятельной, и ее решение совпадает с результата-
ми, полученными в разделе 8.2. Чтобы дополнительно получить харак-
теристики процессов тепло-и массообмена необходимо использовать
в качестве основных уравнений задачи все три уравнения (8.89)-(8.91)
(вместо одного (8.13) в разделе 8.2.). При этом следует учесть, что ка-
сательное напряжение и плотности теплового потока и потока массы
являются здесь величинами постоянными. Соответственно увеличива-
ется также число граничных условий, которые теперь записываются
следующим образом:
т = т0; q = q0; j = j0; u' = 0; v' = 0; й = 0; 1? = O; ,g 92<
i?' = 0: c = 0; с' = 0приу = 0.
Из соотношений (8.89)-(8.92) получается система уравнений мас-
штабных связей
2
= т0 =
4t = Qo = x^ = cPP^vt>
L = 3o = D^ = ctvt.
(8.93)
(8-94)
(8.95)
Процессы переноса теплоты и массы непосредственно не связаны друг
с другом, поэтому система (8.93)-(8.95) распадается на две незави-
симые подсистемы, первая из которых — (8.93), (8.94) относится
к теплообмену, а вторая — (8.93), (8.95) — к массообмену. Каждая
из этих подсистем состоит из шести уравнений масштабных связей
для пяти преобразуемых переменных, откуда непосредственно следу-
ет, что в обоих случаях решение задачи будет включать один критерий.
Нетрудно видеть, что при использовании обычных динамических мас-
штабов I. и vt эти решения могут быть представлены в виде
<=£ = Ь^ = Ш;Рг)1
(8.96)
(8.97)
Безразмерные граничные условия для гидродинамической, тепловой
и массообменной части задачи тождественны, и критерии Рг и Ргд
появляются только в безразмерных основных уравнениях

-« = !,
1
Рг dy+
i dc+
РГд dV+
— с!г>' = 1.
+ +
(8.98)
(8.99)
(8.100)

Очевидно, что уравнения (8.98)-(8.100) могут совпасть лишь
в том случае, если обычный и диффузионный критерии Прандтля будут
равны единице. Кроме того необходимо, чтобы безразмерные пульсаци-
онные составляющие были тождественны. В частности, это требование
выполняется для соотношении (8.77)-(8.79), полученных на основе те-
ории пути смешения Прандтля.
Таким образом, названные два условия являются необходимыми
и достаточными для существования тройной аналогии, поскольку тож-
дественность обобщенного представления имеет своим следствием по-
добие распределений продольной скорости, разностной температуры
и концентрации.
В силу принятых предположений теплоту (температуру) можно
рассматривать как своего рода пассивную примесь. При этом законо-
мерности тепло-и массообмена оказываются практически тождествен-
ными. В целом ряде случаев обобщенные зависимости для массообмена
могут быть получены из соответствующих соотношений для теплооб-
мена простой заменой обычного числа Прандтля на его диффузионный
аналог. Поэтому в дальнейшем во избежание ненужного дублирования
будем говорить только о теплообмене и об аналогии между переносом
количества движения и теплоты (аналогии Рейнольдса). В частности,
будет использоваться терминология, которая относится к процессу теп-
лообмена. Так, например, область течения, непосредственно прилега-
ющая к твердой стенке, будет назваться подслоем молекулярной теп-
лопроводности и т. п.
В этом подслое влияние пульсационной составляющей полностью
вырождается, основное уравнение задачи о теплообмене (8.99) упро-
щается и может быть переписано в виде
$ = Рг-	(8.101)
Интегрирование уравнения (8.101) приводит к линейному распределе-
нию безразмерной температуры
#+ = Рг-у+.	(8.102)
До сих пор в качестве примера рассматривалось идеализирован-
ное течение, не только практически неосуществимое, но и не совсем
корректное по самой постановке задачи. Обратимся теперь к более ре-
альным случаям использования аналогии Рейнольдса и прежде всего
остановимся на течении в пограничном слое около полубесконечной
пластины.
Краевая задача при турбулентном режиме течения в пограничном
слое около пластины запишется следующим образом:
ц = 0; i? = 0
й = U; 5=9
-ди , -дй	д
U дх + V ду	ду
, -дв	д
U дх + V ду	ду
при у = 0;
при у —> оо
(8.103)
(8.104)
Граничные условия (8.104) представлены в упрощенном виде (опуще-
ны условия при а;=0, которые не представляются здесь сколько-нибудь
существенными).
Система основных уравнений (8.103) и система независимых урав-
нений масштабных связей
11* _ 1Л1* _	.
г1*	^2* ’
at?, a,Tt>,
г>* £ £
ut = U; =	(8.105)
должна быть дополнена соотношениями, которые определяют коэффи-
циенты турбулентной вязкости ит и температуропроводности ат (и со-
ответственно, их масштабы 1/,т и atT). Не рассматривая конкретную
форму этих соотношений, предположим лишь, что они представляют
собой некоторые одночлены. Тогда система (8.105) по-прежнему будет
состоять из семи уравнений масштабных связей, но относительно пяти
неопределенных масштабов (Z,,; ut; vt; i?,). Иными словами, в чис-
ло аргументов обобщенных зависимостей будут входить два критерия
(Рг и Ргт). Но при этом следует учесть, что, в соответствии с при-
нятой простейшей моделью процессов переноса, турбулентное число
Прандтля равно единице (i/T = ат; v*T = atT).
Если к тому же ограничиться частным случаем турбулентного те-
чения газа, для которого можно считать Pr« 1, то задача приводится
к автомодельному виду
и+ = 0; i?+ = 0 при у+ = 0;
й+ = 1; i9+ = 1 при у+ —> оо.
(8.106)
(8.107)
Таким образом, и основные уравнения, и граничные условия в без-
размерной форме оказываются полностью тождественными. Как из-
вестно, это равносильно подобию соответствующих полей, т. е.
V = i-	(8-108)
Подобие полей температуры и продольной скорости в свою очередь
позволяет установить выражения, связывающие между собой интен-
сивность переноса теплоты и количества движения.
Отношение плотности теплового потока и касательного напряже-
ния на поверхности пластины записывается в виде
или
%
то
(8.109)
(8.110)
Переписывая соотношение (8.110) с учетом (8.108) и условия Pr= 1,
имеем	V^77 = ^- = 1>	(8.111) tPcPu
или	St = C//2,	(8.112)
где число Стентона St= С/ — коэффициент трения.
Можно несколько конкретизировать предположения о структуре
соотношений для турбулентных коэффициентов переноса. Предполо-
жим, например, что они определяются выражениями (8.77)-(8.79) те-
ории пути смешения Прандтля или какими-то другими зависимостя-
ми, которые не привносят в перечень существенных для процесса ве-
личин дополнительную размерную постоянную. В этом случае число
уравнений масштабных связей сокращается на единицу, и задача име-
ет автомодельное решение при любом значении критерия Прандтля.
На основе инвариантности искомого решения по отношению к преоб-
разованиям масштаба протяженности обычным способом (см. главу 3)
нетрудно получить это решение в безразмерной форме
й+ = й+(у/Г)-	(8.ИЗ)
=	(8.114)
Выражения (8.108) и (8.112)-(8.114) в равной степени относятся
и к турбулентному, и к ламинарному пограничному слою на пластине.
Действительно, для получения основных уравнений при ламинарном
режиме течения достаточно в системе (8.103) чисто формально при-
равнять нулю коэффициенты турбулентной вязкости и температуро-
проводности. Легко видеть, что это никак не отразится на процедуре
получения зависимостей (8.108), (8.112)-(8.114).
Итак, можно констатировать, что и при ламинарном, и турбулент-
ном режиме течения газа около пластины поля температуры и про-
дольной скорости подобны, а соответствующие безразмерные характе-
ристики процессов переноса теплоты и количества движения связаны
соотношением (8.112).
Другим практически важным примером является теплообмен
при движении жидкости по трубе. Задача здесь осложняется тем обсто-
ятельством, что в уравнении Навье—Стокса появляется слагаемое —
учитывающее влияние силы давления. В то же время ника-
ких новых эффектов тепловой природы не наблюдается, и уравнение
Фурье—Кирхгофа остается без изменения. Тем самым теряется общ-
ность свойств этих уравнений, которая в случае течения в пограничном
слое около пластины определяла подобие полей скорости и темпера-
туры.
Рассмотрим стабилизированное в тепловом и гидродинамическом
смысле течение в прямой трубе. В этих условиях при постоянных фи-
зических свойствах жидкости скорость и продольный градиент давле-
ния не зависят от координаты х. Коэффициенты турбулентного обмена
и касательное напряжение также являются функцией только попереч-
ной координаты. Потеря жидкостью количества движения за счет вну-
треннего трения компенсируется падением давления, поэтому гидро-
динамическая картина движения остается неизменной. В термическом
отношении такая компенсация при отсутствии источников (стоков)
теплоты невозможна. Поэтому вдоль любой прямой, параллельной оси,
температура изменяется, стремясь к температуре поверхности трубы.
Таким образом, подобие полей температуры и скорости здесь
оказывается невозможным. Это утверждение справедливо не только
для потока в целом, но и для соответствующих профилей в пределах
каждого сечения. Действительно, если выбрать за масштабы отнесения
температуры и скорости их максимальные значения 9 и U, то мож-
но получить тождественные безразмерные граничные условия. Однако
никакими масштабными преобразованиями тождественности основных
уравнений достигнуть не удается.
Строго говоря, это в равной степени относится и к ламинарному,
и к турбулентному режиму течения жидкости. Для ламинарного режи-
ма существуют аналитические решения задачи, позволяющие опреде-
лить профили скорости и температуры жидкости. Сопоставление реше-
ний Гагена-Пуазейля и Грэца полностью подтверждают высказанные
соображения.
Интересно отметить, что различие в конфигурации этих профи-
лей, обусловленное влиянием силы давления, в первую очередь зави-
сит от характера распределения по сечению трубы кинетической энер-
гии потока. Можно вполне строго показать, что в самом общем слу-
чае с уменьшением ри2 (увеличением степени заполнения профиля)
эти различия нивелируются. Поэтому при достаточно высокой степени
турбулентности газового потока (Pr« 1), движущегося в трубе, име-
ет место приближенное подобие профилей температуры и продольной
скорости, ограниченное пределами отдельного сечения.
Представление о приближенном локальном подобии служит осно-
вой для получения соотношения между характеристиками процессов
переноса, аналогичного (8.112). Из условия равновесия элемента дви-
жущегося газа длиной dx
’-»=¥£	(8.115)
и выражения
dP = C^dx
непосредственно следует
Затем аналогично (8.109)-(8.112) запишем
а А
St = C/8,
(8.116)
(8.117)
(8.118)
(8.119)
(8.120)
где число Стентона St = —-—.
Pcpucp
Соотношение (8.120) устанавливает прямую связь между ин-
тенсивностью теплообмена и гидродинамическим сопротивлением
при турбулентном режиме течения газа в трубах. Тем самым созда-
ется основа для сопоставления и взаимной проверки результатов экс-
периментального исследования этих процессов, что особенно важно
при сравнительном анализе различных теплообменных систем.
Выражения типа (8.112) и (8.120) являются основными количе-
ственными соотношениями гидродинамической теории теплообмена.
Здесь рассматривалась их простейшая форма, отвечающая движению
газа, т. е. вещества, для которого значение критерия Прандтля доста-
точно близко к единице. В более общей постановке этот вопрос будет
обсуждаться в следующем разделе.
§ 8.5. Универсальный профиль температуры и общий закон
тепломассообмена при турбулентном течении в каналах
Для получения основных соотношений гидродинамической теории
теплообмена в предположении, что Рг = 1, не было необходимости
конкретизировать модель процессов переноса. В частности, не требо-
валось отдельно рассматривать область чисто турбулентного потока
(турбулентное ядро) и вязкий подслой (подслой молекулярной теп-
лопроводности), т. к. соотношение между интенсивностью процессов
переноса будет здесь одним и тем же для любой области течения.
Однако уже при значениях критерия Прандтля, не очень сильно от-
личающихся от единицы, выбор той или иной модели турбулентного
потока становится едва ли не определяющим.
Одна из первых попыток обобщения соотношений (8.112), (8 120)
была предпринята в работах [156, 157, 169]. Авторы исходили из двух-
слойной схемы турбулентного потока. Предполагалось, что при у+ <5,6
в потоке доминирует молекулярный механизм переноса теплоты и ко-
личества движения. Наоборот, при больших значениях поперечной ко-
ординаты имеет место чисто турбулентный механизм переноса, и рас-
пределения скорости и температуры можно считать логарифмически-
ми. Выражение
7/2
St =
(8.121)
которое иногда называют формулой Прандтля-Тейлора, удовлетвори-
тельно согласуется с экспериментальными данными для капельных
жидкостей при значениях критерия Прандтля порядка нескольких еди-
ниц.
Карман [140, 141] дополнительно учел влияние промежуточной зо-
ны (5 < у+ < 30), в которой интенсивность турбулентного и молекуляр-
ного механизма переноса предполагалась соизмеримой. Полученное им
соотношение
"	1+5[(РГ-1) + 1пЦ^]^	'
может быть использовано в более широком интервале значений кри-
терия Прандтля, чем (8.121) (от единицы до одного-двух десятков).
В последующие годы был получен целый ряд полуэмпирических
или эмпирических формул (библиографию см., например, в [85]),
структура которых аналогична (8.121), (8.122). Их отличает выбор бо-
лее сложных выражений для турбулентной теплопроводности и вяз-
кости, а согласование полученных зависимостей с экспериментальны-
ми данными почти во всей области значений Рг находится на уровне
классических соотношений. Исключение составляют два предельных
случая — очень больших и очень малых значений критерия Прандтля.
Случай Рг > 1 характерен для теплообмена жидкостей повышен-
ной вязкости и массообмена при сравнительно малых значениях ко-
эффициента диффузии. В этих условиях толщина подслоя молекуляр-
ной теплопроводности оказывается значительно меньшей, чем толщи-
на вязкого подслоя. Поэтому влияние турбулентного механизма пере-
носа теплоты будет существенным даже в той области, где напряже-
ниями Рейнольдса можно пренебречь. Иными словами, интенсивность
теплообмена здесь будет определяться законом затухания турбулент-
ности в вязком подслое. (Еще раз напомним, что все высказанные со-
ображения в равной степени относятся и к процессу массообмена).
Если принять степенной закон затухания турбулентности около
твердой стенки
1/т ~ Ат ~ у™,	(8.123)
то нетрудно показать, что
St ~ Pr(1 ~
(8.124)
Действительно, в первом приближении можно предположить [85],
что при 6 > у 6Т
(8-125)
или
$(y)~const— у m+1.	(8.126)
С другой стороны, из определения толщин вязкого подслоя 6(ут ~ у)
и подслоя молекулярной теплопроводности (Ат ~ А) непосредственно
следует
(8.127)
Пренебрегая термическим сопротивлением логарифмического слоя,
с учетом (8.126), (8.127) можно записать
0«tf(<5T) +Atf,	(8.128)
J(6T)~Pr6T+~Pr(m-1)/m,	(8.129)
AJ~ <5^+ 1 -	~ ^pr<m-P/m -1) .	(8.130)
Таким образом, при Рг » 1 можно считать
(8.131)
что равносильно выражению (8.124).
Некоторые соображения по поводу численного значения показате-
ля тп можно получить, рассматривая соотношение (8.102) как первый
член разложения в ряд Тейлора неизвестной функции J+. Начиная со
второго, следующие члены этого разложения определяются дифферен-
цированием по у+ уравнения (8.99) в виде
(8.132)
(8.133)
(8.134)
и темпе-
Поскольку на стенке пульсационные составляющие скорости
ратуры равны нулю, а = 0 вследствие уравнения сплошности, то
коэффициенты (8.132), (8.133) при и у£ также обращаются в нуль
и соответствующее разложение записывается в форме
i>+ = Pr(y+-C4^ + ^ + ...),
(8.135)
откуда следует, что m 3.
В свое время вопрос о численном значении показателя т вызвал
оживленную дискуссию, в результате которой так и не удалось прийти
к единому мнению. Некоторые авторы утверждают, что т = 3, а другие
считают т = 4 (соответствующую библиографию можно найти, напри-
мер, в [2,85]). Не обсуждая пока этого вопроса, попытаемся получить
зависимость St=f(Pr) с помощью метода характеристических масшта-
бов.
Запишем уравнения, характеризующие процессы переноса в вяз-
ком подслое, используя обычные предположения (постоянство плотно-
сти теплового потока и касательного напряжения, малость напряжений
Рейнольдса и т. д.);
{du
То = Р^
=	- c-ppv'd'’	(8.136)
1? = 0; й = 0 приу = 0.
Как уже отмечалось, системы типа (8.136) не замкнуты и должны быть
дополнены соотношением, связывающим пульсационную характери-
стику v'd' с полями осредненных величин. Как и прежде не будем инте-
ресоваться конкретным видом этой зависимости, предположив только,
что при ее использовании в условие задачи не привносится какая-либо
новая величина — дополнительная размерная константа или харак-
терное значение переменной. Этому требованию отвечает, например,
замыкающее условие в форме разложения типа (8.135), т. к. оно инва-
риантно относительно пропорциональных преобразований переменных
и не может дать дополнительных уравнений масштабных связей. Необ-
ходимо отметить, что последнее утверждение справедливо при выборе
любого числа членов разложения функции $+ (в частности, и при сте-
пенном законе затухания турбулентности около стенки, который соот-
ветствует учету лишь первого члена этого разложения, тождественно
не равного нулю при у+ —>0).
Из уравнений масштабных связей, отвечающих системе (8.136), —
т0 = М^; Qo = x^ = cpP^	(8.137)
получаются следующие характеристические масштабы:
г	.	(8.138)
Поскольку число преобразуемых переменных совпадает с числом урав-
нений масштабных связей, задача приводится к полностью автомодель-
ному виду, и для безразмерной осредненной температуры имеем
tf+ = tf+(y+).	(8.139)
Легко понять, что с помощью обычно используемых динамических
масштабов (и' =	1» = и= с задача не может быть при-
ведена к автомодельному виду. Здесь соотношение для безразмерной
температуры будет дополнительно включать критерий Прандтля, по-
явление которого как раз и будет связано с нерациональным выбором
масштабов отнесения переменных.
При Рг» 1 вязкий подслой можно разделить на следующие обла-
сти:
1)	подслой молекулярной теплопроводности (А » Ат; 0 у 6Т);
2)	область, в которой молекулярная теплопроводность соизмерима
с турбулентной (А ~ Ат; 6Т < у 8Т1);
3)	область, в которой доминирует турбулентная теплопроводность
(А <с Ат; 6Ti <у ^6), где 6 — толщина вязкого подслоя.
Условные границы этих областей могут быть выбраны так, чтобы
в соответствующей точке турбулентная теплопроводность составляла
определенную долю молекулярной (или наоборот), т. е.
6т = у, при котором Ат = 0,1 (0,01 )А;
а
6Т1 = у, при котором А = 0,1 (0,01)Ат.
Из выражения (8.139) следует, что 8Т+ и 6Т1+ (и следовательно,
&т+ и i?T1+) будут величинами постоянными, т. к. они определяют-
ся как точки универсальной кривой с фиксированными значениями
производной.
Система уравнений (8.136) для третьей области может быть пред-
ставлена в более простом виде (т. к. здесь Ат А)
{__ du.
Т°~^’_______ (8.140)
Qo = -cPp&v'.
По сравнению с более общим случаем число уравнений масштабных
связей уменьшается на единицу, в то время как число переменных
остается неизменным. Масштаб протяженности может быть выбран
теперь произвольно, и из полученного с помощью обычной процедуры
выражения
следует, что искомая функция $+ в этой области должна быть гипер-
болой.
Масштаб lt следует считать одинаковым во всех трех областях
вязкого подслоя, тогда
^ = -^ + С2-	(8-142)
“т
где и С2 — константы. Постоянная С2 может быть найдена
из условия равенства температур на границе двух соответствующих
областей (т. е. в точке 6Т1+)
C2 = ^- + JT1+.	(8.143)
Окончательно температура на верхней границе вязкого подслоя опре-
деляется в виде
^ = 7^-^ + ^	(8.144)
Чтобы найти значение 6+, необходимо установить связь между мас-
штабами (8.138) и обычными динамическими масштабами. Учитывая,
что в динамических масштабах толщина вязкого подслоя равна при-
мерно пяти, после необходимых преобразований получим
S+=5Vp7;	=	’’. = $7^ <8.«45>
= + + (8Л46>
В выражении (8.146) вторым слагаемым можно пренебречь уже
при значениях Рг порядка нескольких сотен. Поэтому для достаточно
больших значений этого критерия соотношение (8.146) можно пред-
ставить в виде
*+Bn«^ + *TH- = q, = const.	(8.147)
При Рг » 1 термическое сопротивление турбулентного ядра и пере-
ходной области пренебрежимо мало по сравнению с термическим со-
противлением вязкого подслоя. Поэтому в выражении числа Стентона
можно заменить среднюю расходную температуру температурой верх-
ней границы вязкого подслоя, т. е. положить
io _
^Р^ср^Ъп
St«
(8.148)
Выражая среднюю расходную скорость через коэффициент трения су,
имеем
St~^X.	(8.149)
Итак, на основании довольно общих соображений показано,
что St^Pr-0,5. Возникает определенное противоречие. С одной сто-
роны, из выражения (8.149) при использовании гипотезы о степен-
ном законе затухания турбулентности около твердой стенки следу-
ет, что показатель степени при у должен быть равным двум (тп =
= 2), а с другой — должно выполняться условие тп > 3. Не под-
тверждается значение m = 2 и данными экспериментов. В работе
[48] проведен статистический анализ экспериментальных исследова-
ний по тепло-массообмену при больших Рг(Рг<)), основным выво-
дом которого является утверждение, что m = 3. Авторы статьи [60]
на основании собственных экспериментальных результатов настаива-
ют на значении тп = 4. В то же время принять тп / 2 означает ввести
в задачу дополнительную степень свободы, ей не свойственную. По-
этому можно предположить, что существует какой-то иной механизм
переноса теплоты и массы в вязком подслое.
Коротко теперь рассмотрим второй предельный случай (Рг<^ 1),
с которым приходится сталкиваться при изучении теплообмена жид-
кометаллических теплоносителей. Теплопроводность жидких метал-
лов значительно выше, чем у обычных жидкостей, поэтому здесь не-
льзя пренебречь влиянием молекулярного механизма переноса тепло-
ты не только в промежуточной зоне, но и в турбулентном ядре пото-
ка. Иными словами, толщина подслоя молекулярной теплопроводности
здесь значительно больше, чем толщина вязкого подслоя.
Некоторые авторы учитывают молекулярную теплопроводность во
всей области логарифмического слоя [85], другие — ограничиваются
ее учетом лишь в некоторой части этого слоя. Если пренебречь терми-
ческим сопротивлением вязкого подслоя, то в обоих случаях основные
уравнения соответствующей задачи можно представить в виде
| = (8150)
I т0 = — pu'v'.
Как и прежде предполагаем, что граничные и замыкающие условия
не приводят к появлению дополнительных уравнений масштабных свя-
зей. В результате имеем следующую систему уравнений масштабных
связей:
Чо =	r0 = pv*.	(8.151)
Выбирая в качестве масштабов отнесения переменных
=	1, = а.Г£-, i?, = —^=,	(8.152)
* V Р * V то
получаем решение задачи в безразмерной форме
A£+ = AJ+(y+).	(8.153)
Следуя [75], ограничимся рассмотрением простейшей двухслой-
ной схемы потока, состоящего из подслоя молекулярной теплопровод-
ности (0 < у+ 11,7/ Рг) и турбулентного ядра (у+ > 11,7/Рг). Если
дополнительно предположить, что в турбулентном ядре молекулярной
теплопроводностью можно пренебречь, то соответствующее слагаемое
в первом уравнении системы (8.150) выпадает. Число уравнений мас-
штабных связей уменьшается на единицу, и задача будет иметь ав-
томодельное решение, которым определяется логарифмический закон
распределения температуры в этой зоне. Процедура получения автомо-
дельного решения будет той же самой, что и для распределения скоро-
сти (см. раздел 8.2). Безразмерная координата 11,7 отвечает верхней
границе вязкого подслоя в обычных динамических масштабах (в соот-
ветствии с принятой в работе [75] двухслойной схемой турбулентного
потока).
Число Стентона, построенное по максимальной разностной темпе-
ратуре и скорости жидкости, определится теперь следующим образом:
St= = 11,7 + (Ргт	/11,7(8.154)
где Го+ =	. Если использовать несколько иную двухслойную схе-
му — вязкий подслой с линейным распределением температуры и ядро,
в котором молекулярная и турбулентная теплопроводность считаются
соизмеримыми, — то вместо (8.154) будем иметь
St =
Vе//2
11 7 Рг -|-5х In Ргг/(хРг) + г0'+ ’
11 >7 Рг + х 1П Ргг /(хРг)+11,7
(8.155)
Выражение для безразмерной температуры (8.153) не содержит
критериев подобия, т. е. задача приводится к автомодельному виду.
В то же время в соотношения (8.154), (8.155), определяющие инте-
гральную характеристику процесса — число Стентона, — входит ве-
личина 7q+ Рг, которая является аналогом критерия Пекле в традици-
онных зависимостях типа
St = /(Pe)	(8.156)
На первый взгляд, это означает нарушение автомодельности. Одна-
ко следует учесть, что параметр г0 входит только в достаточно слабое
граничное условие, которое опускается при получении решения в фор-
ме (8.153). Его появление в зависимостях (8.154), (8.155) означает
лишь выбор фиксированного значения безразмерной координаты у+
(при у = г0). Иными словами, величину Рг нельзя считать критери-
ем подобия в обычном смысле, поэтому нарушение автомодельности
будет здесь только кажущимся.
Проведение опытов с жидкими металлами связано со значитель-
ными трудностями, поэтому их погрешность сравнительно велика. Тем
не менее, достаточно ясно обнаруживается тенденция, в соответст-
вии с которой экспериментальные значения коэффициентов теплоот-
дачи даже для специально очищенных металлов оказываются заметно
меньше своих аналогов, определяемых по полуэмпирическим форму-
лам типа (8.154), (8.155). При этом не всегда удается улучшить их
взаимное соответствие даже за счет существенного изменения эмпи-
рических констант, и в первую очередь значения Ргт.
Из-за высокой теплопроводности жидких металлов процесс турбу-
лентного переноса теплоты оказывается для них более интенсивным,
чем процесс переноса количества движения. Поэтому можно ожидать,
что турбулентное число Прандтля будет здесь больше единицы. Это
в какой-то мере подтверждается непосредственными измерениями это-
го числа по профилям температуры и скорости [85]. Однако такого рода
данные не очень надежны, а иногда и просто противоречивы. В некото-
рых работах утверждается, что турбулентное число Прандтля зависит
от своего молекулярного аналога, критерия Рейнольдса и расстояния
от стенки, причем у разных авторов эти зависимости иногда оказыва-
ются противоположными. В связи с эти представляет интерес работа
[17], в которой обсуждается механизм процессов переноса в турбу-
лентном потоке, позволяющий объяснить некоторые особенности теп-
лообмена в жидких металлах. И хотя предложенная модель выглядит
слишком упрощенной, сама идея уточнения традиционных представле-
ний о механизме переноса является вполне актуальной.
Итак, можно констатировать, что в обоих предельных случаях
процессов тепло-и массообмена в турбулентном потоке (при Рг 3> 1
и Pr<C 1) имеются достаточно серьезные основания для корректиров-
ки классической модели этих явлений. Рассмотрим этот вопрос более
подробно.
Как известно, возникновение эффектов, представленных в форме
турбулентных коэффициентов переноса, обусловлено перемещением
довольно крупных комков жидкости (молей), причем вопрос о том, ка-
ким образом моли взаимодействуют с основной массой жидкости, ча-
ще всего остается открытым [124]. Это обстоятельство выглядит мало
существенным для турбулентного ядра, т. к. можно считать, что в об-
ласти, далекой от стенки, количество переносимой через контрольную
поверхность субстанции полностью передается окружающей жидко-
сти. Правда, сама картина течения в ядре (моли, движущиеся в отно-
сительно невозмущенной жидкости) заметно отличается от реальной.
Тем не менее на ее основе удается получить вполне удовлетворитель-
ные результаты.
Иначе дело обстоит в пристеночном слое, где структура течения
представляется в виде областей упорядоченного движения и отдель-
ных островков возмущений в форме волокон, вытянутых по направ-
лению течения. Такая картина была обнаружена визуально в работе
[144]. Для контрольных площадок, расположенных достаточно близко
к твердой поверхности, механизм обмена между молем и окружающей
жидкостью весьма важен, т. к. именно он определяет, как передает-
ся количество переносимой субстанции — частично или полностью.
И наконец, в вязком подслое интенсивность турбулентного переноса
мала (а при Рг» 1 и молекулярный механизм тепло- и массообме-
на проявляется весьма слабо), так что те эффекты, которые в других
областях течения не учитываются, могут оказаться здесь достаточно
существенными.
Взаимодействие между молем и остальной массой жидкости мо-
жет происходить двояким образом: за счет передачи соответствующего
количества субстрата обмена при распаде моля или посредством мо-
лекулярного механизма обмена между движущимся молем и окружа-
ющей жидкостью. В некоторых случаях интенсивность этих процессов
оказывается вполне соизмеримой (например, при переносе теплоты
в жидких металлах [17] или в вязком подслое при Рг» 1).
Характер течения в пристеночной области позволяет предполо-
жить, что далеко не все моли, проникающие в вязкий подслой, рас-
падаются. По-видимому, нельзя слишком буквально понимать и усло-
вия прилипания для пульсационных составляющих скорости. Действи-
тельно, прилипание жидкости к стенке определяется силами адгезии,
влияние которых может быть существенным только в очень тонком
слое (практически в слое порядка нескольких молекулярных радиу-
сов). Трудно представить себе, что эти силы могут сколько-нибудь за-
метным образом влиять на движение турбулентных молей, а тем более
полностью затормозить их. Если под прилипанием понимать обраще-
ние в нуль при у = 0 осредненной скорости и турбулентных коэффи-
циентов переноса, то этим условиям отвечает следующая модель.
Принимается, что большая часть молей, движущихся в вязком под-
слое, не распадается. Кроме того, будем считать, что время их пребы-
вания в вязком подслое не слишком велико. Поэтому основной вклад
в процесс обмена вносит перенос посредством молекулярного механиз-
ма от моля к окружающей жидкости. Поток теплоты, обусловленный
этим механизмом, может быть представлен в следующем виде:
QT = VcpP^cp	(8.157)
где V — объемное количество жидкости, проходящей через контроль-
ную поверхность в единицу времени; — изменение среднеобъ-
емной температуры. Для определенности рассматривается тепловой
поток, аналогичные выражения могут быть предложены для потоков
массы и количества движения.
Очевидно, что V зависит от расстояния до стенки (V = Ч(у)),
a AJq, — от среднего времени пребывания молей в рассматриваемом
слое т (Д£ (т)), которое, в свою очередь, также является функцией
координаты у. Ограничиваясь первыми членами разложения неизвест-
ной функции V в ряд Тейлора, можно переписать зависимость (8.157)
в виде
Q~yA^(y).	(8.158)
Как известно [79], безразмерная среднеобъемная температура охлаж-
даемых (нагреваемых) тел может быть представлена в безразмерной
форме, как
K = ^^- = l + alFo + a2^ + R (^) >	(8.159)
где и То — среднеобъемная и начальная температуры; Т) — темпе-
ратура окружающей среды; Fo =	— число Фурье; а — коэффициент
го
температуропроводности, 10 — определяющий размер тела.
Вид решения почти не зависит от формы тела и типа граничных
условий. Бесконечный ряд R (-Д=) быстро сходится к нулю при до-
статочно малых значениях Fo (его можно не учитывать при значении
Fo порядка нескольких сотых). Что же касается второго слагаемого
в правой части, то в случае двумерных тел оно вообще отсутствует,
а во всех остальных — его можно опустить при значениях Fb поряд-
ка нескольких тысячных. С учетом изложенного, выражение (8.159)
упрощается и приводится к виду
и 1 + аглЛРЬ,	(8.160)
откуда для плотности теплового потока непосредственно следует
qT^y3'2.	(8.161)
Выражения типа (8.161) для плотности потока теплоты, массы и коли-
чества движения будут отличаться друг от друга лишь множителями
пропорциональности. Рассмотрим соотношение qT/TT (т. е. сопоста-
вим интенсивность переноса теплоты и количества движения). Непо-
средственно ясно, что
(8.162)
Из выражений (8.161) и (8.162) можно получить следующие уравне-
ния для определения профилей осредненной скорости и температуры,
которые приводятся в безразмерной форме с использованием обычных
динамических масштабов (vt = у/т0/р\ lt = vy/ р/та-, = qol(cpyfp7^)):
du+ _ 1
d^+	i+xi4/2’
d$+ _______1_____
dV+ l/Pr+xi^2/^’
(8.163)
(8.164)
где %. — некоторая универсальная постоянная.
Полученные соотношения чисто формально соответствуют зна-
чению показателя т=1,5; но известное условие т^З оказывает-
ся здесь не существенным по двум причинам. Прежде всего потому,
что для предложенной модели условие прилипания жидкости к твер-
дой поверхности не играет сколько-нибудь заметной роли. Во-вторых,
при выводе этого неравенства заранее предполагается (см. соотноше-
ния (8.131)-(8.135)), что неизвестная функция представима в точ-
ке у = 0 в виде ряда Тейлора по степеням у. Однако в данном случае
этот ряд расходится, т. к. при нецелом показателе степени производ-
ные достаточно высокого порядка при у = 0 обращаются в бесконеч-
ность.
Используем теперь соотношения (8.163), (8.164) для построения
универсальных профилей скорости и температуры, а также для по-
лучения общего закона тепло-и массообмена. Обратимся к обычной
трехслойной модели турбулентного потока, состоящего из вязкого под-
слоя (У+ = ^ = 0^5), переходной области (у+ = 5ч-30) и лога-
рифмического слоя (у+ > 30). Будем считать, что турбулентное число
Прандтля всюду одинаково и равно 0,9. Это приблизительно соответ-
ствует его среднему значению, предлагаемому различными авторами
[85]. Поскольку рассматривается достаточно большой интервал изме-
нения критерия Прандтля (Рг = 6 • 10-3 4-106), то в соответствующих
уравнениях сохраняются и турбулентные, и молекулярные коэффици-
енты переноса, что дает возможность получить единые соотношения
для всей области значений этого критерия. Здесь под •& понимается
концентрация любой «пассивной примеси» (температуры или массо-
вой концентрации примеси), а критерий Прандтля и его диффузионный
аналог обозначаются одинаково (Рг).
Уравнение для определения профиля осредненной скорости в вяз-
ком подслое дается выражением (8.163), а аналогичное уравнение
(8.164) для температуры (концентрации) может быть теперь перепи-
сано следующим образом:
<816s>
где J+ = &cpyfpT0/q0 (#+ = tiy/pTol>а); ja — плотность потока массы;
%! = Х1/Ргт= MlXi-
Для переходной области положим
дт~Мт~у2	(8.166)
Как показывают визуальные наблюдения [144], турбулентность в этом
слое достаточно развита, и, по-видимому, можно считать, что механизм
обмена, характерный для вязкого подслоя, здесь уже мало существе-
нен, а доминирует обычный турбулентный механизм переноса пассив-
ной примеси, связанный с образованием и распадом молей. Как следует
из предыдущего, при Рг» 1 аналогичная задача будет иметь автомо-
дельное решение, приводящее к соотношениям типа (8.166). Так как
переносимая субстанция считается пассивной, то, вероятно, можно бу-
дет сохранить эти соотношения для турбулентных коэффициентов пе-
реноса при любых значениях Рг, а влияние молекулярного механизма
учесть обычным образом, вводя соответствующие члены в уравнения
для потоков теплоты и массы. В таком случае эти уравнения в безраз-
мерной форме принимают вид
(8.167)
(8.168)
(8.169)
(8.170)
du  	1
1+Х2У+’
di)+ =	1
*»+	1/РГ+Х2У+’
где Х2 = Х2/Ргт = 1>11х2-
И наконец, при у+ > 30 будет
du^,	1
dy+ ~ 1 + хзу+ ’
=	1
dy+ 1/ Рг +ХзУ+ ’
где Хз = Хз/РГт = 1>11Хз-
После интегрирования этих уравнений получим [46]:
при у+ = 0 4- 5
«Н=з«г!/3 {з +хгЧШ* + хг,/3)31+
+ч/3агс1й№ - хГ1/3)73хГ1/3]+ Л arctg J-} ; (8.171)
А+ = 1 (^)2/3 {5 1п [(уТ + хГ1 • Рг-1/2)/(уУ2 + хГ1/3 • Рг-1/6)3]+
+Уз arctg[(2yV2 -х;-‘/3  Рг-1/6)^'-1/3 • Рг’1/6 +
+л/3 arctg . (8.172)
при у+ = 5 4- 30
А“г+ = >%+ - ”,+(5) = +2 >rctg T+fe~' (8.173)
A«!+ = <V-4+(5)=	(8.174)
при y+ > 30
^+ = «3+->%ДЗО) = ^1пУа±ь5г±|П&;	(8.I75)
A^=ju-4j30) = ^n^ta.	(8.176)
Если определить значения х{; %2; %3, исходя из экспериментальных
профилей осредненной скорости (рис. 6) и температуры (рис. 7 и 8),
то выражения (8.171)-(8.176) примут свой окончательный вид
и1+=8,1
0,79 + 1,5 arctg(0,354y3/2 - 0,575) + 1g
у3/2+34,4
(yl/2 + 3,25)3
(8.177)
J1+ = 7,5 Рг2/3 0,79 + 1,5 arctg(0,37 Рг1/6 у^2 - 0,575)+
у^+ЗОРг’1/2
+ lg У+ ----------; (8.178)
5 (уУ2 + 3,11Рг-1/6)3] v 7
Ди2+ =11,5 arctg[0,087(y+ — 5)/( 1 + 0,038у+)];	(8.179)
ДА>+ = 10,9\/Prarctg[0,0915\/Pr(y+ - 5)/(1 + 0,042Ргу+)];	(8.180)
= 5,75 1g у+-8,4;	(8.181)
М+ = S.lSIg^/pllS	(8.182)
Отклонение экспериментальных точек на рис.6-8 от кривых, отве-
чающих соотношениям (8.177)-(8.182), находится в пределах погреш-
ности опытных данных. Лишь для профиля температуры при Рг= 14,3
эти отклонения заметно больше, что объясняется скорее всего тем,
что измерения в этом случае производились в области особенно рез-
кого изменения физических свойств жидкости (водного раствора эти-
ленгликоля) с температурой. Если за определяющую температуру при-
нять среднюю температуру ядра (а не вязкого подслоя, как это было
сделано у авторов), то положение заметно улучшается (соответствую-
щая кривая изображена на рис. 8 пунктиром). Перечень работ, из ко-
торых были заимствованы экспериментальные данные можно найти
в статье [46].
Рис. 7
0.
3001-
200
100
101
103
104
102
о
10°
Рис. 8
У+
Соотношения (8.177)-(8.182) могут быть использованы для полу-
чения общего закона тепло-массообмена в виде зависимости
St= _ \
иср+$ср+
— f, S ^+u+ f+>
+ А
(8.183)
(8.184)
где й + и 1? + — безразмерная средняя расходная скорость и темпера-
тура, соответственно. Вычисление интеграла, стоящего в правой части
выражения (8.183), производилось численным способом. Результаты
расчета представлены на рис. 9 сплошными линиями в виде зависимо-
сти
K+ = -^= = /1(pr;Re).
Vе//2
Из рис. 9 видно, что в большинстве случаев согласование эксперимен-
тальных данных с расчетной зависимостью можно признать. вполне
удовлетворительным, особенно если вспомнить, что численные кон-
станты определялись из экспериментальных профилей температуры,
а не самих опытных данных по тепло-массообмену.
Как уже неоднократно отмечалось, особый интерес представляет
область больших значений критерия Прандтля. В этом случае (при
Рг» 1) выражение (8.184) упрощается (вследствие того, что основное
термическое сопротивление сосредоточено в вязком подслое) и прини-
мает вид
К+ = А(Рг)«1М+(5).	(8.185)
Вид функции в соотношении (8.185) определяется обычно на осно-
ве гипотезы о степенном законе затухания турбулентности в вязком
подслое. В настоящее время не существует единого мнения о числен-
ном значении показателя степени в этом законе и, соответственно,
при критерии Прандтля. На рис. 9 верхняя пунктирная линия соответ-
ствует показателю m = 3 (St~ Рг-2^3), а нижняя — m = 4 (St~Pr-3^4).
Сплошная линия, отвечающая соотношениям (8.178) и (8.185), прохо-
дит методу ними. При очень больших значениях критерия Прандтля
St~Pr2/3,	(8.186)
т. к. величина, стоящая в выражении (8.178) в квадратных скобках,
при Рг —> оо превращается в константу. Однако в интервале значе-
ний Рг = 5 • 1024-106, который рассматривается на рис. 9, показатель
при критерии Прандтля непрерывно изменяется от —0,76 до —0,68.
Поскольку рассмотренная физическая модель процессов переноса
в вязком подслое не связана со степенным законом затухания турбу-
лентности, то величина этого показателя не имеет принципиального
значения. Поэтому для него может быть выбрано любое подходящее
значение, тем более, что в этой области наблюдается заметный разброс
экспериментальных данных. В качестве удобной расчетной формулы
может быть предложена следующая зависимость:
К+ = 0,095 Рг-0’72 .	(8.187)
В интервале значений Рг = 5- 1024-106 отклонение (8.187) от более
точной формулы, полученной при численном интегрировании соотно-
шения (8.183), не превышает 5%.
ГЛАВА 9
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КИПЕНИИ
§ 9.1. Сравнительный анализ обобщенных зависимостей
для теплоотдачи при кипении в большом объеме
Несмотря на неослабевающий интерес к проблеме теплообмена
при кипении и наличие весьма обширной специальной литературы, до
сих пор не разработана достаточно полная физическая модель этого
процесса, которая могла бы послужить надежной основой для его коли-
чественного представления. В этих случаях основной смысл примене-
ния обобщенного анализа заключается не столько в получении наибо-
лее универсальных зависимостей, сколько в возможности установить
всю последовательность связей между совокупностью исходных пред-
посылок и конечными выводами. Как уже отмечалось, в таких условиях
особенно эффективным оказывается использование метода характери-
стических масштабов с его достаточно жесткой системой получения
безразмерных переменных и параметров.
К настоящему времени получено большое количество расчетных
зависимостей, охватывающих различные условия процесса кипения
и сравнительно широкий диапазон изменения существенных для него
параметров. Однако весь этот материал — продукт многолетней рабо-
ты большого числа исследователей — не образует какой-либо цельной
системы количественных связей, объединенных общностью принци-
пов построения и взаимно дополняющих друг друга. Наоборот, многие
из них оказываются попросту несовместимыми. Различие обсуждае-
мых уравнений проявляется не только в том, что они приводят к несо-
впадающим численным результатам. С принципиальной точки зрения
более существенно то обстоятельство, что они отвечают различным
физическим представлениям, если не в отношении исходной микро-
картины самого процесса кипения, то, во всяком случае, на уровне
той схематизированной модели, которая фактически определяет осо-
бенности применяемого аппарата количественного исследования.
Отсутствие единства в постановке задачи является естественным
следствием недостаточности объема предварительных знаний, непол-
ноты исходных физических представлений — именно это и приводит
к произволу при выборе гипотез и допущений. Ситуация осложняется
еще тем, что в качестве параметров задачи вводятся величины, пред-
ставляющие собой как термодинамические параметры состояния си-
стемы (давление, температура), так и многочисленные физические кон-
станты, характеризующие свойства обеих фаз. Физические константы
изменяются вместе с состоянием системы и, следовательно, являются
функциями термодинамических параметров, которые, в свою очередь,
связаны между собюй тем, что в условиях равновесного сосуществова-
ния фаз они являются взаимно однозначными функциями. Наконец,
при анализе процесса кипения часто упускаются такие существен-
ные условия, как влияние микрогеометрии поверхности, ее физиче-
ских свойств и т. п. Эти воздействия с трудом поддаются количест-
венному определению и не могут быть отражены в решении в простой
и ясной форме через непосредственно заданные параметры. Поэтому
в лучшем случае их приходится учитывать в косвенном, опосредство-
ванном виде, а в худшем — вообще не рассматривать, что неизбежно
затемняет физическую картину процесса и затрудняет ее понимание.
В этих условиях представляется целесообразным ограничиться об-
суждением одной из самых простых задач — задачи о теплообмене
при кипении жидкости, нагретой до температуры насыщения, в боль-
шем объеме. Рассмотрим некоторые из подходов к ее решению, полу-
чившие наибольшее распространение.
Обратимся, преяоде всего, к хорошо известной концепции, которая
выражена системой основных уравнений и условий единственности
[65, 69].
Pff — grad Р +	= р('й grad)w;
(9-1)
div го = 0;	(9.2)
(р" — р)д — grad р" + /i"V2to" = p"(w" grad) го"; (9.3)
div го" = 0;	(9.4)
aV2T = го grad T;	(9.5)
Тя(р ~ р") Г 2ар _ А (ЭТ\ /2^1 .
грр" [я(р-р")	г\дп)^р"\’
4 = +	(9-7)
=	(9’8)
(р"го")1р = (ргоп)гр;	(9.9)
-А® =ТР"<-’	(9-Ю)
х / гр
w = 0; q = q0=-X	при y = 0;
p—>рн; при y->oo.
(9.И)
(9.12)
Здесь w — скорость; T — температура; TB — температура насыщения;
p — давление; рн — давление насыщения; q — плотность теплового
потока; д — ускорение силы тяжести; р, р, А, а — плотность, динами-
ческий коэффициент вязкости, теплопроводность и коэффициент тем-
пературопроводности, соответственно; г — теплота парообразования;
<т — коэффициент поверхностного натяжения; R — средний радиус
кривизны поверхности раздела фаз; у — координата, отсчитываемая
по нормали к стенке. Индексом «два штриха» обозначены величины,
относящиеся к пару, их аналоги для жидкости индексов не имеют.
Индексом «гр» отмечаются элементы поверхности раздела фаз, а соот-
ветствующие проекции скорости — индексом «хг».
Форма записи системы уравнений (9.1)-(9.12) предполагает,
что взаимодействия, имеющие место в двухфазном потоке любой слож-
ности для каждого его элемента определяются таким же образом,
как и для системы с непрерывной поверхностью раздела. Предпола-
гается также, что вся теплота непосредственно передается от стенки
жидкой фазе, а затем в паровые пузыри. Соотношения (9.6)~(9.10)
представляют условия взаимодействия разного рода (механическое,
тепловое, массообмен) на искривленной поверхности раздела фаз. Ино-
гда уравнение (9.6) записываются в более сложной форме с уче-
том коэффициента аккомодации (в последнем его слагаемом). По-
скольку для дальнейшего это не имеет никакого значения, то огра-
ничимся более простой формой этого уравнения. И наконец, условия
(9.11) и (9.12) учитывают обстановку в районе твердой стенки (у = 0)
и на бесконечном удалении от нее (у —> оо).
Прежде чем переходить к получению уравнений масштабных свя-
зей, произведем некоторые упрощения. Переменные р и Т находят-
ся в уравнениях (9.1)-(9.12) под знаком дифференциала, поэтому
без ущерба для общности решения можно ввести их разностные ве-
личины 1? = Т — Тя и Др = р — рн, соответственно сократив тем самым
число исходных связей [33].
2	2
Pt wt wt i их Pt nwt nwt
pg = -£ = p-f = p-f-; (p-p )g=^ = p,"-^ = p"^-
♦	4	*	*	*
0*	ap x n \
a^ = w<'	= xTt=rpw*' xt = q° = q>’
,,wt wt . T a	I,х(р -	„
(9.13)
Таким образом, имеется 15 условий, которые связывают масштабы пя-
ти переменных. Однако задача в безразмерной форме содержит не де-
сять (15 — 5 = 10), а только семь (12 — 5 = 7) критериев, т. к. часть
связей в (9.13) дублируется (в виде повторяющихся параметрических
критериев). Исключив лишние связи и выбрав в качестве масштабов
отнесения для переменных
1* ~	9<р-р"У W* ~ гр" ’
Pt = V^g(p-p");	=
имеем следующую систему обобщенных параметров
= ^ = Re,; Рг=-;
Р Р rp"v\g(p-p") v *	а’
<3qVp~ р” _ ™2 _ рг • гвлз(р~р"). рд?о(р ~р")2
(гр")2-/ад	9lt *’ rp"q0 ’ gp2p"r2a
(9.14)
(9.15)
Если для удобства последующего анализа потребовать, чтобы плот-
ность теплового потока входила только в один критерий, то систему
(9.15) можно преобразовать к виду
р". uL Rp. рг. ^Ах/^р-р").
,____<	Re*’ РГ’ (гр")Ч ’
I / *3	ph(p-p")3/2-1/2_Pb4i
и2\ д(р-р"У~ и2~ Ga’ р2д^2	- М1 р) •
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи при кипе-
нии можно получить (при заданной по условию задачи плотности теп-
лового потока) следующую обобщенную форму представления:
а+=^=Л f^;^;Ret;Pr;Ga.;^	(9.17)
+ A •'l р р ’	*’	’	*’ о- ( р ) ’	(rp")2v	) V ’
Если вместо плотности теплового потока известна температура
стенки ($ = Тп — Тв), то характеристические масштабы lt и pt оста-
ются без изменения, переменная q (и соответственно, qt) выпадает,
масштабы температуры и скорости перепишутся, как
А =	=	=	Pi»)
а соотношение для безразмерного коэффициента теплоотдачи будет
теперь выглядеть следующим образом:
“+ = ТГ = Л	f; Re.; Ga-, Рг;	(1 -
где
Ке**“ У ~ гр"и
^Av/gg(p-p")\
(гР")2и	) ’
(9-19)
(9.20)
Сопоставим соотношение (9.17) с решением, которое предлагается
в цитируемых источниках [65, 69], —
a+ = ^ = f3(^-,Pr,Art-,Kp,Kt),	(9.21)
Pn K =	(rp")2 c
V <rg(p ~ p") ’	‘ cpTsPy/ag(p - p")’ p
где Art = Ga, (1 - Kp =
изобарная теплоемкость жидкости.
Система (9.17) содержит семь критериев, а (9.21) — только пять.
Параметрический критерий опускается на том основании, что влия-
ние вязкости пара на интенсивность теплоотдачи при кипении практи-
чески не проявляется [65, 69]. Тем самым система исходных уравнений
(9.1)-(9.12) упрощается. Выпадает последнее слагаемое в левой части
выражения (9.3) и полностью исчезает соотношение (9.8), утвержда-
ющее равенство касательных напряжений на границе раздела фаз. По-
скольку не входит в состав других комплексов, то его исключение
м	о
не создает никаких дополнительных трудностей.	zz
Сложнее дело обстоит с параметрическим критерием . Этот кри-
терий, так сказать, в «чистом виде» вводится в число аргументов за-
дачи на основе уравнений масштабных связей, соответствующих соот-
ношениям (9.3) и (9.9). Если пренебречь динамическими эффектами
в паровой фазе (слагаемое p"(W" grad)W"" в (9.3)) и массообменом
на межфазной границе (выражение (9.9)), то его можно опустить. Сде-
ланных предположений вполне достаточно для упрощения зависимо-
сти (9.17), которую можно переписать в виде
а+ = A (ие.; Рг; Ga„ (1 -	; -н^^—) •	(9-22)
Сравнение обобщенных зависимостей (9.21) и (9.22) показывает,
что исключенный как самостоятельный аргумент задачи параметриче-
ский критерий входит в составные комплексы этих зависимостей
различным образом. Для более общих зависимостей (содержащих от-
дельно критерий £-) это обстоятельство не является сколько-нибудь
существенным. В соответствии с одним из основных положений обоб-
щенного анализа, любая комбинация критериев сама является крите-
рием, поэтому важно сохранить лишь общее число аргументов зада-
чи. Если же величина не является самостоятельным критерием, то
соотношения типа (9.2f), (9.22) представляют собой совершенно раз-
личные зависимости. В отличие от зависимости (9.22), которая строго
соответствует исходным уравнениям (разумеется, с учетом сделанных
упрощений), соотношение (9.21) не может быть получено из этих урав-
нений без некоторого дополнительного предположения. По-видимому,
в качестве такого предположения может быть выбрано условие р" р.
В таком случае выражения (9.21) и (9.22) становятся тождественными,
т. к. при замене (р — р") на р очевидно, что
у/ад(р - р") _	1
(rp")2 v	Kt Рг
(9.23)
Решение (9.21) подвергается дальнейшему упрощению на осно-
вании следующих соображений. Аргумент Art (или Gat) исключает-
ся в соответствии с предположением, что гравитационные силы мало
существенны в рассматриваемых условиях. Действительно, об этом
свидетельствуют экспериментальные данные, полученные при пузырь-
ковом кипении в большом объеме при снижении уровня гравитации
на два порядка и таком же повышении ее уровня (см., например, [64]).
Далее отмечается [65, 69], что анализ опытных данных дает основа-
ние предположить существование взаимно однозначной связи между
аргументами Кр и Kt, и поэтому следует сохранить лишь один из них.
В конечном счете предлагаются две модификации расчетного уравне-
ния, которые и получили наибольшее распространение в литературе:
Nu, =	= А1 Рг"1 Ре?’7 ДО’7;	(9.24)
Nu, =	= Д2 Рг”2 Ре?’7 Д(0'37.	(9.25)
Уравнениям (9.24) и (9.25) свойственна некоторая нелогичность
структуры комплексов (в качестве определяющего размера принима-
ется величина lt, зависящая от интенсивности гравитационного поля,
в то время как сами гравитационные эффекты полагаются несущест-
венными для процесса). Однако это не может привести к сколько-
нибудь заметным погрешностям, если с самого начала оговорить,
что область применения полученных зависимостей ограничивается
обычными земными условиями (и следовательно, величина д получает
смысл постоянного множителя).
Иногда капиллярная постоянная lt рассматривается как некото-
рый внутренний линейный масштаб, определяющий размеры пузырь-
ков пара в момент отрыва [67]. В связи с этим система уравнений
(9.1)-(9.12) дополняется следующим соотношением [69]:
^ = /(7;Рг,;...;|;...;^;...),	(9.26)
где R — масштаб сформировавшихся пузырей; 7 — краевой угол;
Zj — линейные и безразмерные геометрические характеристики ше-
роховатости стенки, соответственно. С точки зрения обобщенного ана-
лиза это дополнение является совершенно излишним. До сих пор в рас-
сматриваемой здесь модели ни микрогеометрия, ни физико-химические
свойства твердой стенки никак не учитывались. Что же касается числа
Fr,, то оно непосредственно может быть получено из системы уравне-
ний (9.1)-(9.12), так же, впрочем, как и сама капиллярная постоянная.
По-видимому, нужно более четко различать две стороны воздействия
гравитационных сил, первая из которых связана с отводом образующе-
гося при кипении пара от поверхности нагрева, а вторая — с неустой-
чивостью поверхности раздела жидкость-пар, приводящую к отрыву
пузырей. Говоря о слабом влиянии гравитационных сил, обычно имеют
в виду именно первую из них. В то же время необходимо отметить,
что уравнения, содержащие капиллярную постоянную в качестве мас-
штаба протяженности, вряд ли следует использовать для расчетов теп-
лоотдачи при отличной от земной интенсивности гравитации.
Обратимся теперь к рассмотрению системы уравнений, предлага-
емых в работе [72], —
+ w grad i? = aV2$;	(9.27)
+ (w grad)w = — gradp +	(9.28)
div w = 0;	(9.29)
“A ( aJ =rP wn<	(9.30)
	
$ r₽ Rrp"'	(9.31)
4 = <h = ~A	при y = 0;	(9.32)
> 0;	p —»рв при	у —» оо.	(9.33)
Система уравнений (9.27)-(9.33) отличается от своего ана-
лога (9.1)-(9.12) прежде всего тем, что в них сохранены локальные
составляющие субстанциональных производных скорости и темпера-
туры. Кроме того, в этой системе с самого начала учтен ряд дополни-
тельных, упрощающих задачу предположений. Так, эффекты, связан-
ные с процессами переноса в паровой фазе, считаются несуществен-
ными. Не учитывается влияние уровня гравитации, и поэтому в урав-
нении движения жидкой фазы опущено соответствующее слагаемое.
Пять выражений (9.6)-(9.10), отражающих условия взаимодействия
на границе раздела жидкость-пар, заменены двумя. При этом вместо
точных уравнений (9.6) и (9.7) используется приближенное равенство
(9.34)
(9.35)
ДГ
_ А
Я* — Чо — * •
(9.36)
^гр Рв ~ R Р _ рп ,
Рн- </тн- Тн(р-/)'
Обычным путем получаем систему уравнений масштабных связей
Г. ~ I, ~ I* ’ т, -	- pl,
М, и а аТв
~г = rp"w,\ &, = -±-
Ъ	ТР ч
Одна из девяти связей, представленных соотношениями (9.36), дуб-
лируется, поэтому при шести преобразуемых переменных получаются
два критерия (8 - 6 = 2). Имеем
а =ап- I = сЛ-раТ*-	 w - W')2 \
(гр )	а(гр )	(срР) аТн
_ (cpp)3(<zTH)2	_ д2(гр»)4	qOcpP<7TB
А(гр")< ’	РГ-о’ “ (гр")\ •
Безразмерное температурное поле может быть представлено
в виде
ч?+ = ч?+(я;+; у+; z+; т+; Retl; Рг),	(9.38)
где х+ = x/lt; у+ = у/1„; г+ = z/lt; т+ = т/т*, i?+ = Если ограничить-
ся средним коэффициентом теплоотдачи (осредненным и по времени,
и по поверхности)
а = -Т- • У • 77^77 S	(9-39)
ст	2	1 F Г!
то соответствующее обобщенное уравнение представится в форме
Nu. = ^ = /(Re.i;Pr).	(9.40)
Уравнение (9.40) содержит в правой части на один критерий мень-
ше, чем уравнения (9.24), (9.25). Причину этого расхождения прежде
всего надо искать в том, что в системе соотношений [72] не учитыва-
ется влияние силы тяжести. Однако этим различия не исчерпываются,
т. к. в каждом случае структура комплексов обусловлена выбором раз-
личных упрощающих предпосылок. В частности, если в соотношениях
типа (9.24), (9.25) полностью пренебречь влиянием уровня гравита-
ции и выполнить соответствующие преобразования, то из них нельзя
получить выражения, тождественные (9.40), хотя при этом число кри-
териев и сократится до двух.
В настоящее время опубликовано значительное количество обоб-
щенных зависимостей для расчета интенсивности теплоотдачи при ки-
пении в большом объеме. Подробную библиографию по этому вопросу
можно найти, например, в книге [64]. Часть из них получена в резуль-
тате непосредственной обработки экспериментальных данных по теп-
лоотдаче. Встречаются также и полуэмпирические зависимости, по-
строенные с помощью какой-то определенной модели процесса (с ис-
пользованием элементов теории пограничного слоя [68], внутренних
характеристик процесса парообразования [14, 116], модели испаряю-
щегося микрослоя жидкости [70] и т. п.). В некоторых из них на осно-
ве дополнительных физических соображений учитывается лишь часть
уравнений общей системы типа (9.1)-(9.12), в других — принимается
своя особая система уравнений, соответствующая выбранной модели
процесса. Разумеется, основой для суждения о степени обоснованно-
сти исходных физических представлений служит сопоставление рас-
четных значений и данных опыта для интенсивности теплообмена. При
этом, как правило, критерием оценки является не только уровень со-
гласованности сопоставляемых значений коэффициента теплоотдачи,
но и широта общей применимости теоретических выводов — как вели-
ки группы веществ, для которых справедливы полученные расчетные
зависимости, какому интервалу параметров они отвечают и т. п.
В нашу задачу не входит подробный анализ всех этих исходных
предпосылок и соответствующих обобщенных зависимостей. Однако
здесь необходимо отметить следующее.
Обобщенный анализ имеет в своей основе два совершенно обя-
зательных принципа конструирования решения: во-первых, комплекс-
ные параметры (критерии подобия), вводимые в решение в качестве
аргументов, должны быть построены только из индивидуальных пара-
метров задачи, т. е. из величин, между которыми не должно сущест-
вовать никаких дополнительных функциональных связей; во-вторых,
в аргументах должны быть представлены все параметры, существен-
ные для задачи. Отступление от этих принципов всегда приводит к тя-
желым последствиям (вспомним, например, проблему температурного
фактора). Между тем, в большинстве предлагаемых систем уравнений,
определяющих процесс кипения, оба эти принципа оказываются нару-
шенными. Прежде всего, в качестве параметров вводятся величины,
являющиеся сильными функциями давления (температуры) фазового
превращения. Кроме того, что еще более существенно, обычно сово-
купность параметров задачи не содержит величин, характеризующих
микрогеометрию теплообменной поверхности.
Неизбежным следствием такой неполноты совокупности суще-
ственных параметров является следующая характерная особенность
уравнений, предлагаемых в качестве решения задачи (в том числе
и ранее рассмотренных) — на комплексные аргументы этих уравне-
ний возлагается двойственная нагрузка. Они непосредственно в соот-
ветствии с принятой постановкой задачи определяют влияние физиче-
ских условий процесса и вместе с тем через них в косвенной форме
должно также выражаться влияние условий на поверхности (завися-
щих от ее микроструктуры). В известных пределах посредством подбо-
ра эмпирических констант удается построить уравнения обобщающие
опытные данные с той степенью точности, которая вообще характер-
на для экспериментальных работ по теплообмену при кипении. Конеч-
но, при этом требуется известная свобода маневрирования значениями
констант.
В этой связи вопрос о числе аргументов обобщенного уравнения
приобретает дополнительный, несколько неожиданный смысл (и поэто-
му теряет свое первоначальное строгое содержание). Например, едва
ли в настоящее время может вызвать сомнение мысль, что при доста-
точно большой плотности теплового потока вязкость жидкости стано-
вится мало существенной. Если в соответствии с этим для области
больших тепловых потоков исключить из числа аргументов критерий
Рг, то уравнения (9.40) и (9.25) преобразуются к виду
ао-Тн _ , дрСуРо-Тд
а(гр")2	а(гр")3
а / о- _ с	Ри , Яр / о-
Л V 9(Р - р")	у/ад(р-р")’ агр" V д(р - р")
(9.41)
(9.42)
Поскольку упрощение должным образом может быть обосновано, есте-
ственно ожидать, что модифицированные уравнения (9.41), (9.42)
как основа для обобщения опытных данных, не будут уступать исход-
ным — (9.25) и (9.40). Между тем, легко убедиться, что это ожидание
оправдывается только.в отношении уравнения (9.42): Такое положе-
ние объясняется вовсе не тем, что в системе идей исследования [72]
вязкость играет какую-то особую роль. Истинная причина кажущего-
ся логического противоречия, несомненно, заключается в чрезмерной
простоте структуры уравнения (9.41), в состав которого входит только
один комплексный аргумент.
Рассмотрим еще один характерный пример. В работе [111] предло-
жена обобщенная зависимость для коэффициента теплоотдачи при ки-
пении в большом объеме в форме
Nu. = /[Pe.;Kt;KJ,	(9.43)
где	р—р . Особенность критерия заключается в том,
что для даньюго вещества он имеет практически постоянное значе-
ние в широком интервале изменения температуры (давления) насыще-
ния. Это позволяет получить расчетную формулу, которая удовлетво-
рительно согласуется с экспериментальными данными для многих жид-
костей (вода, спирты, углеводы, фреоны, криогенные жидкости) в ши-
роком диапазоне режимных параметров. Автор работы [111] связывает
это обстоятельство с дополнительным учетом работы, затрачиваемой
на образование поверхности раздела фаз La. Такое объяснение пред-
ставляется не совсем убедительным, т. к. в самой статье отмечается
относительно небольшой вклад в уравнение баланса энергии слагаемо-
го La, из которого как раз и получатся критерий Ка. Возникает мысль,
что с помощью этого критерия удается более удачно, хотя и в косвен-
ной форме, отразить влияние условий образования паровых пузырей
на поверхности нагрева (размеры зародыша, необходимый начальный
перегрев жидкости и т. п.). Если это справедливо, то и в данном слу-
чае структура расчетного соотношения определяется не только при-
нятой физической моделью процесса, но и дополнительной функцией
(двойственной ролью), которую выполняют безразмерные аргументы
предлагаемой зависимости.
То обстоятельство, что на линии насыщения любая физическая
константа вещества является функцией давления (температуры), при-
вело к возникновению своеобразного направления в теории теплообме-
на при кипении, основанного на использовании теории термодинами-
ческого подобия (подробнее см. главу 7). Любой физический параметр
X может быть представлен здесь в форме
х = Л(р,ркр,гкр1/г,м))	(9.44)
или
х/х* = /2(Р/Ржр)»	(9-44’)
где р, — молекулярная масса, R — удельная газовая постоянная,
Xt = i^T^p^Rm^.	(9.45)
При этом показатели степени в правой части равенства (9.45) получа-
ются с помощью анализа размерностей [88]. Далее делается предполо-
жение, что коэффициент теплоотдачи при кипении в первом прибли-
жении может быть представлен как произведение
a	..	(9.46)
С учетом соотношений типа (9.44) зависимость (9.46) может быть пе-
реписана в виде
а = Bq^T^p$f(p/Ps9),	(9.47)
где В — некоторая универсальная размерная константа, включающая
в себя множитель 8314-7"1 (в соответствии с подстановкой в (9.47)
R = 5511). Для термодинамических подобных веществ /(р/ркр) также
является универсальной функцией, конкретный вид которой определя-
ется на основе анализа экспериментальных данных по кипению. Далее
устанавливаются следующие соотношения между показателями степе-
ни в (9.47): т'1 =	1; т'2 = —= 1 — п [87-89].
Расчетные зависимости типа (9.47) довольно широко используют-
ся (особенно в холодильной технике), поэтому представляется целе-
сообразным более подробно обсудить их особенности на основе обоб-
щенного анализа.
Прежде всего необходимо отметить, что здесь вообще не учиты-
вается влияние на процесс кипения силы тяжести. Поэтому для этих
соотношений будут справедливы все те ограничения, которые рассма-
тривались ранее при обсуждении вопроса о влиянии интенсивности
гравитации. Правда, в некоторых случаях (см., например, [881) в урав-
нениях типа (9.45) содержится ускорение силы тяжести д. Его появ-
ление объясняется тем, что первоначально для получения такого рода
зависимостей использовалась техническая система единиц, в которой
одной их основных единиц является килограмм-сила. Величина д вы-
ступает здесь как некоторая универсальная постоянная (позволяющая
построить размерность вторичной величины — массы), не имеющая
никакого отношения к уровню гравитации в условиях данной конкрет-
ной задачи.
Для получения обобщенных зависимостей предположение о сте-
пенной форме соотношений (см. (9.46)) вовсе не является обязатель-
ным. Если любая из физических характеристик может быть представ-
лена в виде (9.44), то перечень величин, существенных для процесса,
будет выглядеть следующим образом:
a,q,p,p^t Tsp, R, р.	(9.48)
из семи величин четыре являются первичными, поэтому в соответ-
ствии с тг-теоремой обобщенная зависимость должна содержать три
комплекса. Поскольку желательно, чтобы величина плотности тепло-
вого потока входила только в один комплекс, причем не содержащий
значения а, то удобнее всего здесь воспользоваться уравнениями мас-
щтабных связей. Из формул размерности ([а] = МТ-30-1; [д] = МТ-3;
[p] = ML~lT~2; [R] = L2T~20~l; [д] = ЛГ; [Гкр] = 0) имеем
ТПЛ	7ПЛ
* * *т	Z2	(9.49)
^=Ткр; я = Ркр = ^; R = ^-
Исключая из (9.49) масштабы величин, не содержащихся в перечне
существенных для процесса, получаем
«*.==Рч	(9-5°)
(9.51)
ftp V R \p^^RTKp Pip J	v ’
Нетрудно видеть, что выражение (9.47) является частным случаем за-
висимости (9.51). То обстоятельство, что (9.47) содержит только один
аргумент (вместо двух в (9.51)) объясняется предположением о сте-
пенной зависимости а ид, которое принималось априори при выводе
этого соотношения и которое далеко не всегда соответствует действи-
тельности.
Сопоставление выражений типа (9.47), (9.51) с обычными крите-
риальными уравнениями для безразмерного коэффициента теплоотда-
чи при кипении в большом объеме показывает, что информативность
первых из них заметно ниже. Отсутствие физической модели не поз-
воляет, например, выявить наиболее важные для процесса факторы,
оценить характер их влияния и т. д. [65]. Но наиболее существенным
недостатком такого рода зависимостей является то, что они справедли-
вы лишь в сравнительно узких рамках группы подобных веществ. А как
известно, именно отсутствие надежного способа выделения группы
термодинамически подобных веществ составляет основную трудность,
препятствующую успешному применению аппарата теории термодина-
мического подобия.
Большинство соотношений для расчета коэффициента теплоотда-
чи довольно плохо передает особенности кривой кипения. Это в равной
степени относится и к критериальным формулам, и к зависимостям,
полученным на основе теории термодинамического подобия. Даже чи-
сто эмпирические формулы для конкретных веществ не имеют в этом
смысле никаких особых преимуществ. Происходит это, в частности,
потому, что чаще всего применяется степенная аппроксимация экспе-
риментальных данных, позволяющая удовлетворительно воспроизве-
сти только отдельные участки кривой кипения. При этом показатель
степени п в соотношениях типа а ~ ДТ^1, а следовательно, и в соот-
ветствующих критериальных зависимостях может изменяться в весьма
широких пределах (от п = 1 до п = 25) [134]. Правда, при обработке
опытных данных в форме а ~ qm показатель т = меняется в го-
раздо более узком интервале 0,5 ч-1, но это создает лишь видимость
благополучия. Известно, что само понятие коэффициента теплоотдачи
является тем более условным, чем заметнее отличается от линейной
(пропорциональной) зависимость q = f(ATCI). Строго говоря, обработ-
ка опытных данных должна производиться именно в форме q = f (Д7^).
Необходимо подчеркнуть, что при этом разброс экспериментальных то-
чек многократно возрастает.
Еще более существенно, что в структуре расчетных зависимо-
стей (в значительной их части) не отражено в явной форме влияние
свойств теплообменной поверхности. Более подробному обсуждению
этой проблемы посвящен следующий раздел.
§ 9.2. Влияние свойств твердой поверхности
на интенсивность теплоотдачи при кипении
Как уже отмечалось, характеристики твердой поверхности замет-
но влияют на интенсивность теплоотдачи при кипении, поэтому в тех
расчетных зависимостях, в которых этот эффект не учитывается в яв-
ной форме, совокупность параметров задачи оказывается неполной.
Подбором эмпирических констант и показателей степени удается по-
лучить лишь приближенные соотношения, которые обобщают опытные
данные только для случая кипения на поверхностях, свойства которых
отличаются не слишком сильно. Однако степень точности этих соот-
ношений невелика, да и возможности такого подбора достаточно огра-
ничены. Характерной иллюстрацией сказанному служит следующий
простой пример.
Рассмотрим процесс теплообмена при кипении в предположении,
что пристеночный слой в окрестностях центра парообразования весьма
сильно турбулизован (так, чт® даже у самой стенки можно считать
молекулярные коэффициенты переноса А и g малыми по сравнению
с турбулентными Хт и gT). Легко убедиться, что эта краевая задача
при помощи метода характеристических масштабов приводится к виду
т. е. имеет автомодельное решение. Отсюда непосредственно следует:
а-ДТ^5	-	(9.53)
или в эквивалентной, но более характерной форме:
а ~ д0"333	(9.54)
Этот весьма непривычный результат вовсе не является ошибоч-
ным: природа столь слабого влияния теплового потока на интенсив-
ность теплообмена очевидна. Задача поставлена так, что из рассмотре-
ния исключается интенсификация теплообмена, обусловленная возра-
станием числа центров парообразования при увеличении тепловой на-
грузки. Эмпирический элемент решения сводится к определению функ-
ции f поэтому возможность произвола в отношении выбора по-
казателя степени при Д7^(д) полностью отсутствует. В этом смысле
решение задачи является вполне строгим, и искусственность обычно-
го приема (отражение влияния числа центров парообразования через
плотность теплового потока) проявляется с полной очевидностью.
В некоторых зависимостях сделана попытка учесть влияние
свойств поверхности теплообмена (и, в частности, числа центров паро-
образования) в явной форме. Для этого обычно используется степен-
ная аппроксимация, и в соответствующие зависимости дополнительно
вводится некоторый поправочный множитель. Например, в расчетных
формулах для коэффициента теплоотдачи при кипении фреонов эту
роль играет величина (Rz/Rn)0'2 [36], где Rz — характеристика ше-
роховатости данной поверхности, равная высоте неровностей; Rn —
ее аналог для эталонной поверхности. В статье [71 ] предлагается счи-
тать, что число центров парообразования пропорционально квадрату
температурного напора (z ~ Д2^). Подробное описание такого рода
соотношений и соответствующую библиографию см. в работе [102].
Гораздо более перспективным для описания кривой кипения пред-
ставляется использование гипотезы о нормальном законе распределе-
ния числа центров преобразования [33, 92, 103]. На ее основе удалось
получить [102, 103] оценку критической плотности теплового потока.
Однако для этого пришлось использовать некоторые дополнительные
соображения: предположение о пропорциональности числа активных
центров парообразования общему числу микронеровностей, соотноше-
ние для величины отрывного радиуса пузыря в момент наступления
кризиса и т. п.
Попытаемся поставить задачу в несколько более общем виде, ис-
пользуя представление о нормальном законе распределения в форме,
предложенной в работе [33]; При этом основная цель исследования бу-
дет заключаться в том, чтобы выяснить, как число центров парообра-
зования влияет на конфигурацию кривой кипения. Поэтому представ-
ляется целесообразным обратиться к изучению тех частных случаев,
когда непосредственное влияние всех остальных физических эффек-
тов оказывается достаточно слабым. В терминах обобщенного анализа
вырождение этих эффектов означает существование автомодельного
решения. Рассмотрим в связи с этим следующую модельную задачу.
Горизонтальная пластина погружена в большой объем жидкости,
нагретой до температуры насыщения. Предположим, что интенсив-
ность теплообмена при кипении не зависит от характера переноса вну-
три мелкодиспергированной паровой фазы. Кроме того, будем считать,
что интенсивность кипения достаточно высока, поэтому можно пренеб-
речь молекулярной вязкостью и теплопроводностью жидкости. Влия-
ние силы тяжести несущественно в том смысле, что лимитирующим
эффектом является генерация пара, а не его отвод от поверхности.
С учетом этих предположений упрощенная система основных урав-
нений задачи типа (9.1)-(9.5) для осредненных во времени значений
переменных запишется в виде
divw = 0;	(9.55)
p(w grad)w — gradp = 0;	(9.56)
wgradi? = 0.	(9-57)
Соответствующие граничные условия на твердой стенке (у = 0)
и на бесконечном удалении от нее могут быть представлены в фор-
ме
•& = •&„= Та - Ts; w = 0 при у = 0;	(9.58)
$ = 0; w = 0 при у—»оо.	(9.59)
Дополним системы уравнений (9.55)-(9.59) известными термодинами-
ческими соотношениями (условие на границе раздела фаз, уравнение
Клапейрона-Клаузиуса)
<9 60>
и выражением для плотности теплового потока
q = z(cppV,# + rp”V"),	(9.61)
где z — числовая плотность центов парообразования, ; V и V" —
объемный расход жидкости и пара, соответственно. Предполагается,
что из пристеночного слоя теплота выносится как за счет вытал-
кивания перегретой жидкости, так и в виде теплоты парообразова-
ния. Предположим также, что величины V и V" определяются через
поля осредненной скорости и давления в жидкости таким образом,
что в условие задачи не привносится какая-либо дополнительная раз-
мерная постоянная. Тогда из соотношений (9.55)-(9.61) получается
следующая система уравнений масштабных связей:
— ft- „ _ °р_____________грр"^ .
Р	1,(р~р")	Тя(р-Р"У	(9.62)
g, = zcppwj^ = zrp"wjf-,
Отсюда получаем характеристические масштабы
ГРР"^ .	„„ _ / Тр'^д .	; _	.
тр"Оа .	, _
Тн(р-р")’	*'
— ,оО,5„1,5/'яЛ,5/„	w40,5 >	— vc
"ст г (Р ) (Р - Р )

(9.63)
а также соотношения для безразмерной плотности теплового потока
q+ и коэффициента теплоотдачи а+ в форме
1,5/	J/\0,5
_ __ r \Р ) \Р Р )	__Л / 7л\	/п A/f\
9+—	оа2Т1<5	— 9+(^а),	(9.64)
рР
«+ = «Ъг(р )	) =	а))	(9 65)
zcppv 2н
Ja = - (критерий Якоба).	(9.66)
гр
Центрами парообразования являются несмачиваемые впадины.
Впадина функционирует как активный центр, если ее определяющий
размер х больше или равен критическому размеру зародыша [33], т. е.
х >	(9.67)
rpp"o„	v 1
Полагаем, что распределение активных центров подчиняется нормаль-
ному закону. Как известно из теории вероятностей, этот закон пред-
ставляет предельный случай, к которому стремятся эмпирические.рас-
пределения при наличии большого числа разнородных случайных фак-
торов. Именно с такого рода ситуацией мы имеем дело. Итак, число
активных центров определяется следующим образом:
z = Zq erfc[(i - m0)/(a0V2)]
(9.68)
где 2g — число потенциальных центров преобразования; а0 — среднее
квадратичное отклонение; ttiq — математическое ожидание. На по-
верхности наиболее вероятны впадины весьма малых размеров, поэ-
тому можно приближенно положить rriQ ~ 0. Тогда выражение (9.68)
перепишется в форме
z = z0 erfc —,	(9.69)
crnV2
(9.70)
z = Zq erfc
w"’’Cr<70
Чтобы яснее оттенить влияние числа центров парообразования на кон-
фигурацию кривой кипения, рассмотрим два предельных случая, отве-
чающие весьма большим и весьма малым значениям числа Якоба, соот-
ветственно. В первом случае основной вклад в перенос теплоты вносит
процесс выталкивания перегретой жидкости из пристеночной области,
что, по-видимому, характерно для кипения при умеренных давлениях.
Второй случай реализуется при повышенных давлениях, когда тепло-
вой поток в основном отводится в форме теплоты испарения.
Первому варианту соответствует упрощенная система уравнений
вида
q+ = const; а+ = const.	(9.71)
Введя обозначение
(9.72)
ТРР »ст°Ь
и включив числовые множители и константы этих уравнений в неиз-
вестную Zq, имеем
В ~
дгр"(р — р")
, „ гр „1,5 1,5 0,5
зрСр а °0
= erfc
(9.73)
Для фиксированного давления величина В = const, а значит х„ зави-
сит только от i?CT. Следовательно, соотношение (9.73) представляет
собой кривую кипения в форме q = g($„), имеющую экстремум (мак-
симум) в точке х„ = 0,32. Очевидно, эта точка может рассматриваться
как критическая, причем плотность теплового потока в ней составит
дкр = 0,368 В. Эта точка не будет совпадать с максимумом на кривой
а = а($ст), как это следует из соотношения
а ~ а:,1,5 erfc х„.	(9.74)
Точка, с которой начинается падение интенсивности теплообмена,
отвечает значению х* = 0,7, и соответственно, — тепловому потоку
<?! = 0,27В. Таким образом, отношение q^/q^ = 1,36.
Для определения зависимости a = f(q) примем для правой части
уравнения (9.73) в интервале ж, = 0,7 4-3 аппроксимацию
• erfc xt« 0,45 • 1О"0-4551-2.	(9.75)
Тогда из отношения (9.73) непосредственно следует
“ = <976>
С целью придать этому уравнению форму, удобную для вычисления
констант, перепишем его в виде
V = -42(lg2,22B - Igg).	(9.77)
В полулогарифмической сетке выражение (9.77) представляет собой
прямую линию — это создает определенные удобства при обработке
опытных данных.
Во втором предельном случае (Ja —> 0) масштабы отнесения всех
величин, за исключением qt и at, остаются без изменения. При этом
аналоги соответствующих выражений преобразуются к виду
в7 = z J^ro^o"а1’6 = Ж*'5 еГ^С Х*’	(9.78)
° гоа ГР р ао
а ~ ccf’5 erfc xt.	(9.79)
Характерные точки (максимум а и q) определяются следующими зна-
чениями:
^р = 0,7; ^=0,1895'; жи=0,97; ^=0,1635';	= 1,16.
(9.80)
На рис. 10 и И результаты расчетов сопоставлены с эксперименталь-
ными данными работы [19]. Сплошные линии отвечают первому пре-
дельному случаю, а пунктирные — второму. Можно считать, что соот-
Рис. 10
Рис. 11
ношения (9.73) и (9.78) удовлетворительно определяют конфигурацию
кривой кипения (в частности, опытные данные подтверждают несовпа-
дение критической точки и точки максимума коэффициента теплоот-
дачи).
На основе соотношений (9.73), (9.78) можно предсказывать зна-
чение критического теплового потока для данной поверхности нагре-
ва, если для нее имеются экспериментальные данные по теплоотдаче
при пузырьковом кипении, позволяющие определить значения соответ-
ствующих констант.
§ 9.3. Связь термокапиллярных эффектов
с микрохарактеристиками пузырькового кипения
В связи с развитием космических полетов в 60-70-е годы зна-
чительно возрос интерес к исследованию гидродинамических процес-
сов, происходящих в условиях, близких к невесомости, и, в частности,
к изучению кипения. При пониженном уровне гравитации первосте-
пенную роль начинают играть эффекты, которые в земных условиях
либо подавляются сравнительно мощным гравитационным полем, либо
проявляются в объемах жидкости достаточно малых размеров (капли,
тонкие слои, капилляры). Сказанное прежде всего относится к силам
поверхностного натяжения, воздействие которых не только полностью
определяет здесь гидростатику жидкости, но и вызывает появление
некоторых дополнительных гидродинамических эффектов. Среди них
наиболее существенным является эффект Марангони — термокапил-
лярное течение, возникающее вследствие неоднородности поля поверх-
ностного натяжения на границе раздела газ—жидкость.
Первоначально считалось, что термокапиллярные эффекты суще-
ственны лишь для процессов, происходящих в ослабленных гравита-
ционных полях. Однако затем появились работы, в которых отмеча-
лось из заметное влияние и в обычных земных условиях. В частности,
работах [7, 132, 147, 149] рассматривается воздействие термокапил-
лярных явлений, развивающихся вблизи поверхности парового пузы-
ря, на такие существенные для процесса кипения эффекты, как отрыв
пузырей, формирование конвективных течений, интенсивность тепло-
обмена. При этом зачастую высказываются прямо противоположные
мнения относительно характера этого воздействия. Так, авторы работ
[7, 149] считают, что наличие термокапиллярного течения жидкости
приводит к задержке пузырей вблизи поверхности нагрева, поэтому
их отрывной диаметр увеличивается, а частота отрыва понижается.
Оценки, приведенные в работе [42], показывают, что следует ожидать
уменьшения отрывного диаметра за счет термокапиллярных эффектов.
Экспериментальные данные [70] свидетельствуют о том, что отрывной
диаметр при достаточно высоких давлениях чаще всего меньше той
величины, которая определяется известной формулой Фритца [119],
а при малых — больше. В связи с этим представляется целесообразным
коротко остановиться на истории исследования проблемы конфигура-
ции поверхности раздела пар (газ) — жидкость и отрывного диаметра
пузыря при кипении.
По-видимому, первой публикацией в этой области является работа
Башфорта и Адамса [130], в которой посредством численных методов
исследовалась задача о форме поверхности капли, лежащей на гори-
зонтальной плоскости. В последующем ее результаты использовались
для определения конфигурации паровых (газовых) пузырей (подроб-
ную библиографию см., например, в [101]). Наиболее известными явля-
ются работы [119, 136], в которых соотношение для отрывного радиуса
пузыря, полученное на основе табличных данных [130], —
’-=°'01049У^	,9'81)
сопоставлено с имевшимися в то время экспериментальными данными.
Здесь в — краевой угол смачивания, ст — коэффициент поверхност-
ного натяжения жидкости, д — ускорение силы тяжести, р и р" —
плотность жидкости и пара, соответственно.
Положительный результат этого сопоставления подтверждается
опытными данными других исследователей только для случая кипения
воды и некоторых органических жидкостей при давлении, близком к ат-
мосферному. Для ряда жидкостей, а также для воды при достаточно
низких и высоких давлениях экспериментальное значение отрывного
диаметра пузыря может отличаться от вычисленного по формуле (9.81)
почти на порядок [101, 116].
Чаще всего это связывают с разного рода динамическими эффек-
тами, влияние которых, естественно, не учитывается статической мо-
делью, положенной в основу вывода соотношения (9.81). Считается,
что на рост пузыря наиболее сильное влияние оказывают следую-
щие силы: подъемная Fq, поверхностное натяжение Fa, инерции Ft
и лобовое сопротивление Ff-. Отрывной диаметр определяется обычно
из уравнения баланса этих сил в виде
F^F-F^F,.	(9.82)
В работе [70] в отношении этого результата высказан ряд прин-
ципиальных замечаний. Во-первых, в соответствии с принципом Да-
ламбера равнодействующая всех сил с учетом силы инерции должна
быть равной нулю в течение всего процесса роста пузыря, а не толь-
ко в некоторой особый его момент (в данном случае в момент отры-
ва). Во-вторых, не является сколько-нибудь корректным применение
здесь понятия коэффициента лобового сопротивления, входящего в вы-
ражение для слагаемого Ff. Его значение зачастую принимается по-
стоянным и равным коэффициенту сопротивления твердого шарика,
движущегося в жидкости. И наконец, вызывает серьезные сомнения
не только величина силы инерции, но и ее направление. По-видимому,
в большинстве случаев ее следует считать не «отрывающей» силой,
а наоборот, — «задерживающей» пузырь на поверхности нагрева.
Нельзя поэтому не согласиться с выводом автора работы [70]
о том, что определение отрывного диаметра пузыря на основе соот-
ношений типа (9.82) является физически необоснованным.
В дальнейшем речь будет идти о весьма медленном (квазистатиче-
ском) росте пузырей на поверхности нагрева, характерном для кипения
при достаточно высоком давлении. В этих условиях все высказанные
выше замечания оказываются малосущественными, т. к. сила инерции
и лобовое сопротивление несомненно являются здесь пренебрежимо
малыми слагаемыми.
Однако и переписанное в упрощенном виде F = Fff соотношение
(9.82) не будет корректным. Суть вопроса заключается в том, что само
понятие подъемной силы имеет смысл лишь при том условии, что тело
(в данном случае паровой пузырь) отделено от твердой поверхности.
Только в этом случае равнодействующая сил давления оказывается
направленной вверх, в противном случае она прижимает тело ко дну
сосуда.
Таким образом, можно считать, что рассмотрение задачи об отрыв-
ном диаметре в терминах силовых воздействий на пузырь как на неко-
торый механический объект, по-видимому, уже изжило себя. Совре-
менный подход к задаче должен связываться с исследованием устой-
чивости равновесных конфигураций границы раздела фаз [21]. Инте-
ресно отметить, что впервые положение о равенстве подъемной силы
и силы поверхностного натяжения в момент отрыва пузыря от стен-
ки было высказано в работах [119, 136]. Однако для вывода формулы
(9.81) на основе решения дифференциального уравнения равновесия
границы раздела фаз, полученного в работе [130], это положение вовсе
не является необходимым- Как показано в [21 ], потеря устойчивости
найденной равновесной поверхности относительно осесимметричных
возмущений отвечает моменту достижения пузырем его максимально-
го размера.
Рассмотрим теперь решение соответствующей вариационной изо-
периметрической задачи о минимуме свободной энергии системы. Пер-
воначально будем полагать коэффициент поверхностного натяжения
величиной постоянной (в такой постановке задача решалась в работах
[58, 59]).
Рис. 12
Рис. 13
Введем цилиндрическую систему координат г, z, <р (см. рис. 12
и 13). Задача полагается осесимметричной, поэтому в любой момент
форма пузыря будет определяться конфигурацией его образующей —
линией пересечения поверхности пузыря полуплоскостью = const.
Давление в жидкости и паре (газе) может быть выражено, соответст-
венно, как
р = pgz + const,,	(9.83)
р" = p"gz + const2,	(9.84)
а их разность — уравнением Лапласа
+	(«к»
где Я, и Я, — главные радиусы кривизны поверхности пузыря. Ис-
ключая из (9.85) р и р" и вводя в рассмотрение величину Ro — радиус
кривизны в вершине пузыря, имеем
4	- + 4- = тг -	(9.86)
И наконец, после подстановки в выражение (9.86) соотношений для ра-
диусов кривизны получаем следующее уравнение в параметрической
форме (z = z(s)-, r = r(s))
где з — длина дуги равновесной линии, отсчитанная от начала коор-
динат. При этом начальные условия представляются в виде
5	= 0; 5 = 1 при z(0) = 0; г(0) = 0. ’	(9.88)
Задаче (9.87), (9.88) отвечает следующая система линейно независи-
мых уравнений масштабных связей
1 в(р~ Р )1* Ro9(P ~ Р )	/л ол\
Tt -----а----------а---->	(УбУ)
из которой определяется характеристический масштаб протяженности
и критерий Rq+
'ЧлГТ’Г	0-90)
Соотношения (9.87) и (9.88) могут быть теперь переписаны в безраз-
мерной форме (z+ = z/lt; r+ = r/lt\ s+ = s/lt)
'0+ г, ds
d2r+ dz_
ds£ ~
2
£4 __±+ (_v i p i dz+\ .
dsl ~ I *+ + jR^- r+ds+)’
&	= 1 при	r+(O) = o.
(9.91)
(9.92)
Решение системы уравнений (9.91), (9.92) представляет собой се-
мейство интегральных кривых с параметром Характер этих ли-
ний иллюстрирует рис. 13. Положение конечной точки равновесной
кривой (точка А на рис. 12) определяется дополнительными услови-
ями на твердой поверхности. При росте пузыря на гладкой поверхно-
сти (рис. 12а) в качестве этого условия задается значение краевого
угла в, а при контакте пузыря с кромкой отверстия (рис. 126) — без-
размерный радиус этого отверстия rc+ = re/lt. Полученные численным
методом решения представлены в [36] в виде таблиц и графиков.
Для отрывного радиуса пузыря при его отрыве от гладкой по-
верхности получено выражение, практически совпадающее с форму-
лой Фритца (9.81) (с коэффициентом 0,0106 вместо 0,0104). Интервал
изменения краевого угла составляет при этом 3° в 125°. При отры-
ве пузыря от кромки впадины (1,8 • 10~4 тс+ ^0,5) его безразмерной
отрывной радиус определяется соотношением
г+етр= 1,105т//3.	(9.93)
Перейдем теперь к рассмотрению вариационной задачи о равно-
весной конфигурации поверхности раздела фаз при переменном коэф-
фициенте поверхностного натяжения жидкости. Изменяемость капил-
лярных сил вызывает возникновение в окрестности пузыря, сидящего
на поверхности нагревателя, термокапиллярного течения жидкости.
Если пренебречь нормальными компонентами вязких напряжений это-
го течения, то условие равновесия может быть представлено в виде
обычного уравнения Лапласа
в;+ 15 = ^-	<985')
Соотношение (9.85') при постоянном поверхностном натяжении и од-
нородном поле давления определяет форму поверхности раздела фаз
как сферическую.
В том случае, когда пограничные давления и температуры неод-
нородны, равновесная форма поверхности раздела будет отличать-
ся от сферической. Именно такая температурная неоднородность —
и как ее следствие неоднородность поверхностного натяжения — мо-
жет иметь место на поверхности пузыря, примыкающего к нагревате-
лю. При высоких тепловых нагрузках температура поверхности разде-
ла фаз не успевает, вследствие ограничений, налагаемых кинетикой
испарения-конденсации, принять равновесное значение (кинетические
ограничения наиболее реальны для случая парогазовых пузырей). Кро-
ме того, развивающееся в этих условиях термокапиллярное течение
может привести к созданию неоднородного поля давления в жидкости
вдоль поверхности раздела фаз, даже при полном отсутствии массовых
сил. Таким образом, в данном случае условие (9.85’), несмотря на его
внешне статический вид, нужно рассматривать как квазистатическое.
Обратимся теперь к задаче о квазиравновесии осесимметричного
пузыря на гладкой поверхности нагревателя в системе координат, со-
ответствующей рис. 12. Считая Др И ст функциями z, разлагая правую
часть (9.85’) в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным членом разло-
жения, можно представить это соотношение в виде
1,1	Дрр
Я] «2	’Ь
1 / ЭДр\ _ Арр / ЭоЛ
°Ь \ дг Jo
Z.
(9.94)
Если выбрать за характеристический масштаб протяженности величи-
ну	_________________________
1. = <’о/^о(5йЕ)о + Дя.(£)о.	(9.95)
то безразмерная форма уравнения (9.94) будет выглядеть следующим
образом:
«77 + «77 =	~ z+>	(9.96)
где
Я1+ — Я, /	R2+ — R2/lt', z+ — z/ lt', APo+ — Ap^/^o-	(9.97)
Развертывая соотношение (9.96) в систему параметрических уравне-
ний и записывая соответствующие начальные условия, приходим к без-
размерной задаче, полностью тоящественной (9.91), (9.92). Различие
этих задач при их полной математической тождественности состоит
исключительно в физической трактовке получаемого решения.
Таким образом, при соответствующей интерпретации результаты
работ [58, 59] могут быть использованы при анализе рассматриваемой
задачи. В частности, без всяких ограничений могут применяться номо-
граммы и таблицы работы [58], дающие возможность анализировать из-
менение формы пузыря при его квазистатическом росте. В определен-
ных условиях конфигурация равновесной поверхности становится не-
устойчивой, и момент потери устойчивости может быть принят за на-
чало отрыва. Естественно, что безразмерные соотношения для отрыв-
ного радиуса пузыря (9.81) и (9.93), полученные в работах [58, 59],
справедливы в рассматриваемом случае в том же интервале измене-
ния краевого угла или безразмерного радиуса впадины.
Истолкование формулы (9.81) в случае переменного поверхност-
ного натяжения связано с использованием выражения (9.95) для харак-
теристического масштаба протяженности. Однако для получения окон-
чательного результата следует идентифицировать входящие в (9.95)
величины Др0,	• Оценка этих величин в предположе-
нии, что поле давления внутри пузыря однородно, строго говоря, может
быть получена в результате совместного решения задач о термокапил-
лярном течении и конвективном теплообмене в окружающей пузырь
жидкости. При этом следует заметить, что указанные задачи должны
рассматриваться в области, которая имеет неизвестную априори фор-
му. В такой постановке задача становится слишком сложной, поэтому
ограничимся более грубыми оценками.
Так, для перепада давления между фазами в купольной части пу-
зыря представляется естественным принять оценку
АРо = ^
огр
(9.98)
в предположении, что форма купольной части пузыря при отрыве близ-
ка к сферической с радиусом, равным отрывному радиусу. Вторая
из оцениваемых величин может быть записана в виде произведения
двух множителей
®о = -|£|оШо’	(9-">
первый из которых представляет собой физическую характеристику
жидкости, близкую к константе, а для второго — можно принять сле-
дующую приближенную оценку:
ЭТ\ _q
А ’
(9.100)
основанную на предположении, что передача теплоты в слое жидко-
сти, примыкающем к нагревателю, происходит только за счет чистой
теплопроводности. Здесь q — плотность теплового потока, А — теп-
лопроводность жидкости.
Разумеется, оценка (9.100) является несколько завышенной, по-
скольку она игнорирует выравнивание градиента температуры вдоль
межфазной поверхности за счет процесса испарения-конденсации
и термокапиллярной конвекции. Наконец, давая оценку величины
’ пРимем во внимание лишь гидростатический градиент дав-
ления7 0
(9.101)
Предлагая эту оценку, мы пренебрегаем искажением гидростатическо-
го поля давления под влиянием термокапиллярного течения. Тем са-
мым, оставаясь в рамках квазистатического приближения, мы игнори-
руем динамические эффекты и учитываем лишь температурное изме-
нение поверхностного натяжения.
Совмещая уравнения (9.81) (при коэффициенте 0,0106)
и (9.98)-(9.101), получаем выражение для отрывного радиуса пузы-
ря в окончательном виде
|Лг I	2 dff
ЗТ1о°'0-1-1/9 37 а0 l,12-10-492.70
'огр- АрДр +у А2д2Др2 + S&P
(9.102)
= 0 из (9.102) как частный случай получается формула
При | dT
Фритца.
В работе [42] предлагается несколько более строгая оценка вели-
чины  На основе решения модельной задачи о стационарном
плоском течении вязкой жидкости в клиновидной области под дей-
ствием постоянного касательного напряжения показано, что в правой
части соотношения (9.101) появляется дополнительное слагаемое. Оно
зависит от контактного краевого угла смачивания в и в наиболее инте-
ресном для технических приложений интервале 0° в 76°, является
величиной положительной. Таким образом, в данной ситуации термо-
капиллярный эффект также способствует уменьшению отрывного ра-
диуса пузыря.
Аналогичную уравнению (9.102), хотя и несколько более громозд-
кую формулу можно получить и для случая отрыва пузыря от кромки
круглого отверстия.
На рис. 14 приведены результаты сопоставления заимствованных
из работы [70] экспериментальных данных для воды (рис. 14а) и эти-
лового спирта (рис. 146) с результатами расчета по формуле (9.102)
и по формуле Фритца (9.81) (пунктирные линии). Поскольку по дан-
ным [70] можно оценить лишь диапазон значений плотности теплового
потока q, на каждом из рисунков (14а и 146) проведены две кривые,
рассчитанные по формуле (9.102). Следует отметить более удовлет-
ворительное, чем для формулы Фритца, соответствие этих расчетов
с опытными данными для относительно высоких давлений. При более
низких давлениях уравнение (9.102) дает заниженные оценки, т. к. им
не учитываются существенные для этих условий динамические эффек-
ты.
ГЛАВА 10
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ
МАСШТАБОВ К РЕШЕНИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
В настоящей главе рассматриваются задачи, в которых обобщен-
ный анализ может оказаться достаточно эффективным, но он по тем
или иным причинам (чаще всего в силу традиций, сложившихся в со-
ответствующей области техники) либо вообще не применяется, либо
используется не совсем рационально.
Примером задач первого типа является методика теплового расче-
та испарителей и конденсаторов. Для определенности изложение этого
раздела будет строиться применительно к расчету теплообменного обо-
рудования холодильных и теплонасосных установок. Однако совершен-
но ясно, что излагаемая методика применима для расчета испарителей
и конденсаторов самого общего вида.
Тепловой расчет теплообменных поверхностей сложной формы
непосредственно связан с проблемой оценки их эффективности. Ис-
пользование в качестве определяющих характеристик таких величин,
как коэффициент компактности и удельные энергозатраты на прокачку
теплоносителя, вместо обычно применяемых — эквивалентного диаме-
тра и средней расходной скорости — позволяет получить обобщенные
зависимости, в равной степени пригодные для обеих этих целей.
В качестве иллюстрации более рационального выбора структуры
обобщенных зависимостей может служить решение задачи, связанной
с определением гидродинамических характеристик процесса переме-
шивания аэрированной жидкости. С помощью метода характеристиче-
ских масштабов здесь удалось не только уменьшить число критериев,
но и добиться несколько лучшего согласования полученных соотноше-
ний с экспериментальными данными.
Постановка задачи с подвижными границами раздела фаз в виде
обобщенной задачи Стефана представляет не только определенную
познавательную ценность, но и имеет также и вполне конкретное прак-
тическое применение для расчета современных технологических про-
цессов. Использование понятия эффективной объемной теплоемкости
позволило объединить в рамках единой математической модели со-
вершенно разнородные физические процессы (замораживание, сушку
тепловую и сублимационную и т. д.). При этом появление дополни-
тельных критериев не препятствует получению автомодельных реше-
ний, что дает возможность непосредственно использовать известные
классические результаты, а также оценить правомерность квазиста-
ционарного приближения в соответствующих краевых задачах.
§ 10.1. Тепловой расчет теплообменного оборудования
холодильных и теплонасосных установок
В ходе расчета испарителей и конденсаторов холодильных и тепло-
насосных установок приходится использовать величины, которые непо-
средственно по условию задачи не задаются. Чаще всего такими вели-
чинами являются значения температуры стенки (температурного напо-
ра между стенкой и теплоносителем). Для их определения приходится
решать систему уравнений вида
д = А(ДТ-ДД)к1 д = В~^Т\К\	(10.1)
где q — плотность теплового потока; ДТ — полный средний темпера-
турный напор; ДД — средний температурный напор между теплоно-
сителем и стенкой (или между стенкой и теплоносителем); А и В —
коэффициенты, составленные из параметров задачи.
Существуют два основных численных способа решения этих урав-
нений — графоаналитический и итерационный (метод последователь-
ных приближений). В первом случае задаются несколькими значени-
ями Д7}, вычисляют соответствующие значения q и строят кривые
для обоих уравнений системы (10,1). Точка пересечения этих кривых
определяет искомые значения ДД и q.
Итерационный способ дает возможность получить решение с лю-
бой необходимой степенью точности, однако здесь имеются некото-
рые ограничения, связанные со сходимостью итерационного процесса.
В большинстве рассматриваемых задач условие, достаточное для схо-
димости этого процесса (производная в соответствующем интервале
должна быть меньше единицы), выполняется. Но в тех случаях, когда
приходится иметь дело с достаточно сильными функциями (например,
при расчете теплоотдачи при кипении) из-за неудачного выбора на-
чального значения Д7^ итерационный процесс может расходиться.
Поэтому в некоторых случаях используются оба эти способа ре-
шения совместно. С помощью первого из них находится приближенное
значение q (или ДД), которое затем уточняется на основе итерацион-
ной процедуры [20, 114]. Переход к обобщенным переменным позво-
ляет существенно упростить расчет, а иногда и полностью отказаться
от метода последовательных приближений [39].
Для определенности рассмотрим применение обобщенного анали-
за для расчета горизонтального кожухотрубного конденсатора. Систе-
ма уравнений (10.1) перепишется тогда в следующем виде:
_ дт-дт;
Q l/a2 + S ’
q = 0,72	• n6-°'167 • £ . Alf’75:	(Ю.2)
а, = 0,023• Re?’8 • Рг?’4 .
2	<4н	2	2
Здесь Д7] — средний температурный напор между конденсирующи-
мися паром и стенкой; а, — коэффициент теплоотдачи от стенки
к охлаждающей воде;	— суммарное термическое сопротив-
ление стенки трубы и загрязнений; Д/ij — разность энтальпии пара
на входе в конденсатор и конденсата на выходе из него; р{, А [, —
плотность, теплопроводность и динамический коэффициент вязкости
конденсата; п6 — половина числа труб, расположенных на большой
диагонали трубного пучка; <4Н и <4 — внутренний и наружный диа-
метр трубы; Re2 = —^sa; Рг2 = — критерии Рейнольдса и Прандтля
для охлаждающей воды; А2, v2,	— теплопроводность, кинематиче-
ский коэффициент вязкости и коэффициент температуропроводности
воды; W2 —средняя-расходная скорость охлаждающей воды:------
Систему (10.2) можно представить в безразмерной форме, пред-
варительно исключив из нее плотность теплового потока,—
___ _ q тс
Я+ = (1-ДТ1+)ДТ1+’ ,	(10.3)
где
Д71; = Д7;/ДТ; Д+ = а1'(^ + Е£).	(Ю.4)
При этом условное значение коэффициента теплоотдачи от конден-
сирующегося пара к стенке а{ рассчитывается по полному среднему
температурному напору ДТ:
= 0,72^h^Xlg/^d^T) • т^0'167 • А.	(10.5)
В некоторых случаях бывает удобно ввести вместо величины у;
коэффициент загрязнения теплообменной поверхности К^. (В част-
ности, этот коэффициент определяет периодичность чистки теплооб-
менной поверхности от загрязнений.) Тогда второе из соотношений
(10.4) может быть представлено в виде
R+ = a[K3ai/a2	(10.6)
Решение уравнения (10.3) проще всего получить, решая обратную за-
дачу. Иными словами, нужно задавать значения Д7] и по ним рассчи-
тывать соответствующие значения R+. Таким образом, задача может
быть решена с любой необходимой степенью точности без каких-либо
последовательных приближений.
Результаты расчетов представлены на рис. 15 в виде отдельных
точек, а линии соответствуют аппроксимационным формулам:
R+ = 0,01 4 0,24. 1 -ДТ1+ = 0,77Я°’95.	(линия!) (10.7)
R+ = 0,244-2,7.	ДТ1+ =0,45-0,25lgR+. (линия 2) (10.8)
Я+ = 2,7 4 30.	ДТ1+=О,66Я+1-2.	(линия 3) (10.9)
Полученные результаты справедливы и для конденсации хлада-
гента на оребренных трубах. И в этом случае значение безразмерного
параметра R+ вычисляется по формулам (10.4) или (10.6). Но для
величины а{ вместо выражения (10.5) должно использоваться соотно-
шение
а[ = 0,725/л/11Р12А?5/(М1^ДТ)п6-0’167 • /3^,	(10.10)
где (3 — коэффициент оребрения, — коэффициент, учитывающий
различные условия конденсации на различных участках оребренной
поверхности трубы [114].
Обобщенное уравнение для расчета кожухотрубного испарителя
имеет следующий вид:
Я+ = (1-ДТ2)ДТ2+;	(10.11)
=	+	или 7г+ = ^Кзаг/а1; (10.12)
Д7Ц=Д7^/ДТ,	(10.13)
где АТ2 — средний температурный напор между стенкой и кипящей
жидкостью; а2 — условный (вычисленный по полному среднему тем-
пературному напору) коэффициент теплоотдачи при кипении. Коэффи-
циент теплоотдачи от горячего теплоносителя к стенке определяется
соотношением
«1 = 0,023^ -Re°’8 • Рг?'4 - W	(10.14)
Здесь епер = /(ReJ — поправка на переходный режим, которая вносит-
ся при Rej < 104. Поскольку в качестве теплоносителя в холодильных
машинах используются рассолы, имеющие сравнительно большую вяз-
кость, то режим их течения часто оказывается переходным. При ис-
пользовании в этом качестве воды режим, как правило, турбулентный
и необходимость во введении поправки отпадает.
Для определения коэффициента теплоотдачи при кипении хлада-
гентов может быть использована критериальная формула, рекомендо-
ванная в книге [64], —
Nut2 = с(Реф2-/Ct0/3 • Ка2)0’75!
(10.15)
где с = /(р/Рцр); р — давление; ркр — критическое давление;
Л2
_ (г2^)2^*2 .	_ г2 .	I
Л<2 = „ J п/т >	л</2 =	>	\2 —
а2ср2Р21^.
И	I
Г2Р2 Л2
а2
д(.Р2 ~ Р2 )
(10.16)
т2 — теплота парообразования; <т2 — коэффициент поверхностного
натяжения; — температура насыщения; ср — изобарная теплоем-
кость; индекс «штрих» соответствует жидкости, нагретой до темпера-
туры насыщения; индекс «два штриха» — сухому насыщенному пару.
После преобразования для условного коэффициента теплоотдачи
при кипении имеем
____„2,28 ч/, I /ч1,11, //чО,78
а'2 = сЪТЗГ2	(10.17)
/0,01 „1,5,^ m v,89	V /
Для ряда холодильных агентов имеются эмпирические формулы
для определения коэффициента теплоотдачи при кипении вида [115]:
а = В/1(р/йр)з°-75,	(10.18)
где В — коэффициент, характеризующий свойства жидкости;
/1(р/рЕр) — поправка, учитывающая влияние давления. Преобразуя
обычным способом соотношение (10.18), получаем
(10.19)
Нетрудно видеть, что уравнение (10.11) имеет один и тот же вид
при использовании зависимостей (10.17) и (10.19).
ДТ2+(1 - Лт2+)
Рис. 16
На рис. 16 результаты численного решения уравнения (10.11) со-
поставлены с соответствующими интерполяционными формулами.
Аналогичные соотношения могут быть получены и для теплооб-
менных аппаратов других типов: вертикальных конденсаторов с пле-
ночным охлаждением, воздушных испарителей и т. п.
§ 10.2. Расчет конвективных поверхностей сложной формы
и оценка их эффективности
Эффективность выпускаемой серийно теплообменной аппаратуры
обычно оценивается на основе сопоставления приведенных годовых
затрат. Методика такого рода оценок в обобщенном виде с помощью
метода характеристических масштабов рассматривается в двенадцатой
главе. Однако применение этого способа для вновь разрабатываемых
аппаратов и теплообменных поверхностей наталкивается на серьезные
трудности, прежде всего связанные с отсутствием их сколько-нибудь
обоснованных экономических характеристик. Здесь на передний план
выходят чисто технические показатели: интенсивность теплоотдачи
(теплопередачи), мощность, затрачиваемая на прокачку теплоносите-
ля, размеры поверхности теплообмена, масса и объем теплообменни-
ка, конструктивные особенности, обеспечивающие удобство обслужи-
вания и чистки аппарата, технологичность сборки и т. п. Лишь часть
из них характеризует собственно поверхность теплообмена, а их от-
носительная значимость заметно изменяется в зависимости от назна-
чения и области применения аппарата. В самом общем случае только
первые пять из перечисленных выше показателей поддаются достаточ-
но простой количественной оценке. Кроме того, если учесть, что масса
теплообменника практически пропорциональна площади его поверхно-
сти теплообмена, то для характеристики поверхности можно ограни-
читься четырьмя величинами: тепловым потоком, мощностью, затрачи-
ваемой на прокачку теплоносителя, площадью поверхности и объемом
теплообменника.
Работы, посвященные рассмотрению методов оценки эффективно-
сти теплообменных поверхностей, могут быть условно разбиты на три
основные группы. Подробное их описание и соответствующую биб-
лиографию можно найти в [16, 49, 55, 145]. К первой группе [3,
57, 93, 145] относятся работы, в которых используется введенный
М.В. Кирпичевым энергетический коэффициент (отношение теплово-
го потока и мощности, или теплоты и работы сопротивления движе-
нию жидкости). В работе [3] рассматривается отношение коэффициен-
та теплоотдачи и удельной мощности (отнесенной к единице площа-
ди поверхности), которая затрачивается на прокачку теплоносителя.
В статье [145] используется относительный метод, причем в качестве
эталонной поверхности выбирается гладкий канал, а в качестве допол-
нительного аргумента — коэффициент живого сечения.
А. А. Гухман [34] предложил метод сравнения поверхностей теп-
лообмена по принципу «при прочих равных», который основан на непо-
средственном сопоставлении теплового потока, мощности и площади
поверхности теплообмена. Сравнение производится по одной из этих
величин при одинаковых значениях двух остальных для эталонной
и исследуемой поверхностей. Очевидно, что при необходимости мож-
но включить в их число еще и объем теплообменника [30] и проводить
сравнение при равных значениях уже трех величин. Графический спо-
соб оценки конвективных поверхностей, основанный на том же прин-
ципе, рассмотрен в [56]. Перечисленные работы относятся ко второй
группе.
Третью группу [38, 49, 84] составляют публикации, посвященные
рассмотрению относительного метода, который чаще всего использу-
ется для оценки интенсификации теплообмена в каналах, имеющих
специальные турбулизирующие устройства. При заданных значениях
перепада давления, теплового потока и массового расхода теплоноси-
теля отыскиваются такие соотношения между Nu /Nura и С/С1Л (чисел
Нуссельта и коэффициентов сопротивления исследуемой и гладкой по-
верхности, соответственно), при которых интенсификация теплообме-
на приводит к уменьшению поверхности или объема теплообменника.
Необходимо отметить, что здесь также используется принцип «при
прочих равных», что сближает их с работами, отнесенными ко вто-
рой группе. В особенности это характерно для работы [38], в которой
рассматриваются три критерия эффективности, построенные по этому
принципу.
Из всех перечисленных методов наиболее универсальным являет-
ся метод сравнения, предложенный в [34]. Более того, сам принцип
«при прочих равных» в той или иной форме используется при любом
способе сопоставления поверхностей теплообмена. Когда это не дела-
ется, оценка может оказаться заметно искаженной (например, при со-
поставлении поверхностей только по энергетическому коэффициенту).
Однако именно вследствие общности этого метода его практическая
реализация приводит к необходимости оперировать довольно большим
числом переменных. Модификация этого метода [56] дает возможность
несколько проще находить графическим способом отношения соответ-
ствующих величин (коэффициенты KQ, KN, KF). Но и в этом случае
способ сравнения остается достаточно громоздким, особенно если рас-
сматривать еще и коэффициент Kv, представляющий собой отноше-
ние объемов теплообменников и учитывающий тем самым их компакт-
ность.
Значительно уже область применения метода сравнения, описан-
ного в работах [38, 49, 84]. Сопоставление с помощью отношения чи-
сел Нуссельта возможно лишь для поверхностей, имеющих одинако-
вый эквивалентный диаметр. Кроме того, для получения искомой связи
между Nu /NurJI и С/Сгл в достаточно простой форме необходимо рас-
сматривать один и тот же режим течения жидкости (газа).
За исключением метода Кирпичева, все рассмотренные здесь мето-
ды являются относительными (сравнительными). Естественно, что ис-
пользуемые в них характеристики зависят от свойств и исследуемой,
и эталонной поверхностей, а это заметно осложняет оценку. К сожа-
лению, один энергетический коэффициент не может полностью харак-
теризовать эффективность поверхности теплообмена не только коли-
чественно, но и качественно. Привлечение дополнительных характе-
ристик делает этот метод довольно громоздким, а в некоторых случаях
и не совсем определенным [16].
На основании изложенного можно сделать вывод о целесообраз-
ности получения абсолютных, т. е. не связанных с выбором эталона
характеристик эффективности поверхностей теплообмена, которые со-
держали бы максимальное количество переменных. Для этого необхо-
димо установить структуру связи между соответствующими величи-
нами (Q, N, F, V). Воспользуемся для этой цели аппаратом обобщен-
ного анализа (метода характеристических масштабов) [29, 43]. При
этом ограничимся рассмотрением характеристик собственно поверх-
ности теплообмена (а не теплообменника в целом).
Число переменных можно сократить, если перейти к удельным ве-
„	N
личинам: плотностью теплового потока q, удельной мощности п= у,
удельному объему у. Кроме того, учитывая, что температурный напор
для конвективных поверхностей теплообмена задан по условию задачи,
введем коэффициент теплоотдачи а, а вместо удельного объема будем
брать его обратную величину — коэффициент компактности /3 = у.
Здесь F — площадь поверхности теплообмена; V — объем, соответ-
ствующий одной стороне теплообменника для поверхностей теплооб-
мена любого типа, а не только для пластинчато-ребристых, как это
обычно принято [54]. Именно эти величины целесообразно использо-
вать при оценке эффективности поверхностей теплообмена. В то же
время в расчетных зависимостях чаще всего фигурируют помимо коэф-
фициента теплоотдачи перепад давления Др, средняя расходная ско-
рость и эквивалентный диаметр канала dMB.
При конструкторском расчете теплообменных поверхностей слож-
ной формы приходится сталкиваться с определенными трудностями
именно в тех случаях, когда задача имеет некоторую степень сво-
боды, иными словами, если в процессе расчета приходится задавать
какую-либо величину, значение которой непосредственно не содержит-
ся в условии этой задачи. Когда речь идет о гладких поверхностях, то
обычно принимают некоторое значение средней расходной скорости.
Для газовых теплоносителей, движущихся в гладких каналах (а в даль-
нейшем будут рассматриваться именно газовые теплообменники), это
значение составляет 104-20 м/с, причем в справочной литературе мож-
но встретить заметно отличающиеся рекомендации. В случае поверх-
ностей сложной формы задавать значение Wo вообще не представляет-
ся целесообразным, т. к. коэффициенты сопротивления различных по-
верхностей могут отличаться более, чем на порядок, и для одной и той
же скорости можно получить слишком отличающиеся друг от друга
значения перепадов давления (или, что то же самое, мощности, затра-
чиваемой на прокачку теплоносителя). То есть нет никаких гарантий,
что, задавая определенное значение средней скорости, мы будем на-
ходиться в области, приемлемой с точки зрения затрат мощности. Та-
ким образом, расчет теплообменника оказывается непосредственным
образом связанным с проблемой оценки эффективности поверхности
теплообмена сложной формы. В связи с этим было бы гораздо естест-
веннее и при оценке эффективности поверхности, и при ее тепловом
расчете использовать одни и те же исходные величины.
Нетрудно видеть, что выбор величин w0 и йЭВ8 при построении
расчетных зависимостей для каналов сложной формы является сво-
его рода условностью. Значение средней расходной скорости обычно
определяется в минимальном сечении канала. Для геометрически по-
добных систем с тем же успехом она могла бы определиться и в любом
другом сечении. Например, для насадочных поверхностей вводят так
называемое «эффективное» сечение.
Аналогичные соображения справедливы и для понятия эквива-
лентного диаметра. Предположим, что геометрия системы задается ве-
личинами
h; 1п,	(Ю.20)
которые имеют размерность протяженности. Эквивалентный диаметр
будет однозначной функцией этих величин, и следовательно, любая
из них может быть заменена на d3KB. Тогда геометрия системы будет
характеризоваться величинами
k’>	 • •’ ^n-i>	(10.21)
Точно такая же процедура может быть проделана и с любой другой
величиной, имеющей размерность протяженности и являющейся одно-
значной функцией величин (10.20), в том числе и со значением /?-1.
Отсюда непосредственно следует, что для геометрически подобных си-
стем выбор в качестве исходных величин коэффициента компактности
и эквивалентного диаметра вполне равнозначен. Что же касается ка-
налов постоянного поперечного сечения, то для них справедливо соот-
ношение
^в = 4/3-1-	(Ю.22)
Считать эквивалентный диаметр единственным характерным размером
канала некруглого поперечного сечения можно лишь в некоторых про-
стейших случаях. Поэтому для поверхностей сложной формы обобще-
ние возможно лишь для сйстем одинаковой геометрии. Если выбрать
в качестве режимного параметра величину п, то оба рассмотренных
набора исходных величин оказываются вполне адекватными для по-
лучения соответствующих безразмерных интегральных характеристик.
Однако первая из них (а, п, /3) гораздо удобнее как для оценки эффек-
тивности, так и для теплового расчета поверхностей сложной формы,
т. к. последнее время в расчетных методиках рекомендуется нормиро-
вать именно значение удельных энергозатрат.
Основные уравнения и граничные условия на твердой стенке
для задачи о гидродинамическом сопротивлении и теплообмене при те-
чении газа в канале могут быть представлены в следующей форме:
divw = 0;
< — grad р + /xV2w = p(w grad)u>;	(10.23)
, w grad 1? = a2i3;
wCT = 0; q = g0 - -A (grad 1?)CT; tfCT = 0.	(10.24)
Здесь w — скорость; 1? — разностная температура, отсчитанная
от температуры стенки; р — давление; q — плотность теплового по-
тока; р, р,а,Х — динамический коэффициент вязкости, плотность, ко-
эффициент температуропроводности и теплопроводность жидкости (га-
за), соответственно. Введем удельную мощность и среднюю расходную
температуру
пр = £ £ pS2 dV;
v
(10.25)
(10.26)
где S2 — диссипативная функция; f — площадь поперечного сечения
канала. Из выражений (10.23)-(10.26) могут быть получены следую-
щие уравнения масштабных связей:
р* iiui п>2	t), Л Л -ш2
T = ~if = pT' w‘X = at =
з»= Чо= ~г; h = k= • • •= -1= 0 1 •
(10.27)
Последнее из соотношений (10.27) определяет условия геометрическо-
го подобия. Если за масштабы отнесения переменных принять
(10.28)
где масштаб а, получен из уравнения
?о=оЧР>
(10.29)
то для безразмерного коэффициента теплоотдачи имеем
*+ = —h= = л [i У?; Рг= Ъ Ъ • • ’ рп-1]	(ю.зо)
срур п
(Рг =	— параметрический критерий геометрического типа).
Для геометрически подобных систем при фиксированном значении
критерия Прандтля (для многих газов Рг»0,7) зависимость (10.30)
упрощается и может быть переписана в следующем виде:
Форма представления (10.31) может быть использована и при ламинар-
ном, и при турбулентном режиме течения газа в канале, если дополни-
тельно предположить, что турбулентное число Прандтля — констан-
та, а условия замыкания уравнений Рейнольдса не привносят в задачу
какой-либо дополнительной размерной постоянной.
Иногда может оказаться более полезным выражение для безраз-
мерного коэффициента теплоотдачи
£=л[£У?]'	<10-32>
в левую часть которого не входит значение удельной мощности.
Соотношения типа (10.31) и (Ю.32) позволяют выполнять кон-
структорский расчет теплообменной поверхности, если по каким-либо
соображениям заданы величины пи/?. Если же в условие задачи
входит массовый расход газа Мо, то для вычисления коэффициента
компактности /? должно использоваться следующее выражение:
(10.33)
которое непосредственно следует из определения этой величины в фор-
ме
M0 = p\wdf,	(10.34)
i
записанного в безразмерном виде с помощью масштабов отнесения
(10.28).
Хотя это и не столь принципиально, как в случае конструкторско-
го расчета, можно исключить среднюю расходную скорость и эквива-
лентный диаметр и из расчетных зависимостей для выполнения пове-
рочнбго расчета теплообменной поверхности. В этом случае по усло-
вию задачи заданы массовый расход теплоносителя и коэффициент
компактности, поэтому для безразмерного коэффициента теплоотдачи,
перепада давления и удельных энергозатрат, имеем, соответственно:
ил» £-/.(**);	(10.35)
<10-36’
» = '•(?)'	(1037)
a
613
Рис. 17
Рис. 19
Выражения (10.31) и (10.32) дают возможность, используя прин-
цип «при прочих равных» [34], оценивать сравнительную эффектив-
ность поверхностей теплообмена. Можно выбрать наиболее эффектив-
ную поверхность среди поверхностей данного типа, как это сделано,
например, на рис. 17 для пластинчато-ребристых поверхностей со стер-
женьковыми ребрами (1:6 — СтР14-СтР6, соответственно). Можно со-
поставить «лучшие» поверхности данного класса. На рис. 18 представ-
лены «лучшие» пластинчато-ребристые поверхности различных типов,
характеристики которых приводятся в книге [54] (1 — СтР4; 2 —ГлР5;
3 — ГлР13; 4 — ЖР9; 5 — ПлР4; 6 — ВР2; 7 — ПФР). И наконец,
можно оценить и поверхности различных классов, выбрав из них «аб-
солютно лучшую» (см. рис. 19) (1 —СтР4; 2 — 1112,0-5-1,0; 3 — Реш
ПР-1-0,835; 4 — К1,5-1,25; 5 — СФН).
На рисунках (и далее в тексте) использованы следующие обо-
значения: ГлР, ЖР, ПлР, ВР, СтР, ПФР — пластинчато-ребристые
поверхности соответственно с гладкими, жалюзийными, коротким,
волнистыми, стерженьковыми и перфорированными ребрами; Реш
и СФН — решетчатая и сферическая насадочные поверхности; Ш
и К — шахматный н коридорный поперечно обтекаемый пучок. Цифро-
вые индексу соответствуют номерам и характеристикам той или иной
поверхности, принятым в [54].
Если предварительно выбрать величину удельной мощности п, то
выражение (10.31) дает возможность ввести некоторые численные зна-
чения —у= — индексы, «рейтинги», — которые будут однозначно
3/ 2
ср У/Р п
характеризовать данную конкретную поверхность теплообмена. При-
мем п = 100 Вт/м2, что приблизительно соответствует среднему зна-
чению этой величины при скорости движения воздуха 15 4-20 м/с
(р = 1,1 кг/м3; v = 2 • 10~5 м2/с) и диаметре гладких труб, обычно ис-
пользуемых в промышленных теплообменниках. Сопоставим несколь-
ко совершенно конкретных пластинчато-ребристых поверхностей —
заданной геометрии и размеров — в условиях, когда их степень ком-
пактности (которая, естественно, будет различной) не имеет сущест-
венного значения [43]. Имеем
Тип поверхности	ГлР7	ЖР5	ПлР2	ВР2	СтР1	ПфР
а	0,024	0,038	0,045	0,050	0,044	0,044
3/~2						
срМ Р п	800	1007	1116	ИЗО	617	1250
Непосредственно ясно, что в рассматриваемых условиях наиболее эф-
фективной будет поверхность ВР2.
Анализ приведенных на рис. 17-19 графиков хорошо иллюстри-
рует правильность наметившейся в последние десятилетия тенденции
использовать в качестве интенсифицирующих «сильные» воздействия
на поток жидкости. Наиболее эффективными при относительно малых
скоростях движения теплоносителя (т. е. при сравнительно малых зна-
чениях параметра у/п/ р /((Зи)) оказываются поверхности, элементы
которых вносят возмущения как в ядро потока, так и в пристеночную
область (пластинчато-ребристые поверхности с поперечно обтекаемы-
ми элементами, насадочные поверхности, трубчатые пучки и т. п.). При
больших значениях этого параметра достаточно воздействовать только
на область течения, непосредственно прилегающую к стенке [49].
Обобщенные зависимости (10.31)-(10.37) позволяют уста-
новить влияние отдельных факторов на интенсивность теплоотдачи
и эффективность использования той или иной поверхности. Например,
из рис. 17-19 видно, что большинство кривых типа (10.31) представля-
ют собой монотонно убывающие зависимости. Из этого непосредствен-
но следует, что при фиксированном значении удельных энергозатрат
безразмерный коэффициент теплоотдачи будет возрастать с увеличе-
нием коэффициента компактности (уменьшении эквивалентного диа-
метра). Исключение составляют лишь некоторые поверхности с глад-
кими ребрами, а также гладкие каналы. Таким образом, при прочих
равных условиях поверхности большей компактности часто оказыва-
ются и более эффективными.
Такого рода соображения представляют определенный интерес
для разработки новых поверхностей теплообмена сложной формы.
Справедливости ради, однако, следует отметить, что ценность этих
выводов несколько снижается из-за того, что анализ эффективности
поверхностей производится при наличии жесткого ограничительно-
го условия. Иными словами, сопоставление оказывается возможным
только в особым образом выбранных точках. При этом выбор значе-
ния нормируемой величины (например, удельных энергозатрат на про-
качку теплоносителя) зачастую производится не с помощью технико-
экономического анализа, а на основе накопленного в той или иной
отрасли промышленности опыта эксплуатации теплообменного обору-
дования, традиций и т. п. Многих трудностей, связанных с известным
произволом в выборе этих величин, можно избежать, если исполь-
зовать метод обобщенного технико-экономического анализа (см. гла-
ву 12).
§ 10.3.	Гидродинамика перемешивания аэрированной
жидкости
Критериальные зависимости, определяющие характеристики про-
цесса перемешивания, чаще всего получают с помощью анализа раз-
мерностей [НО, 126]. Иногда для этой цели используются соображе-
ния подобия применительно к какой-либо упрощенной модели процес-
са [53], а в некоторых случаях безразмерные характеристики вводятся
на основе соответствующего преобразования их аналогов для движе-
ния жидкости в каналах [97, 105]. Вне зависимости от способа по-
лучения аргументами такого рода зависимостей чаще всего являются
п/^2	2 j
центробежные критерии Рейнольдса Ren =	и Фруда Frn= (п —
число оборотов мешалки), а также критерии параметрического типа.
Например, обобщенное уравнение для расчета мощности N, потребля-
емой мешалкой, может быть представлено в следующем виде:
-^r = /1(Ren;FrIl;P1;...;Pn))	(10.38)
где dM — диаметр мешалки; Fj ..Рп — параметрические критерии.
При этом число параметрических критериев, обычно представля-
ющих собой отношение геометрических характеристик аппарата с ме-
шалкой, может оказаться достаточно большим. Так в книге [126] при-
водится критериальное уравнение, содержащее девять параметриче-
ских критериев. В этих условиях получить конкретный вид зависимо-
сти типа (10.38) представляется весьма трудоемкой задачей. Поэтому
чаще всего применяются соотношения частного характера, справедли-
вые для аппаратов с мешалками определенного типа при некоторых
фиксированных значениях критериев Pi.
При перемешивании аэрированной жидкости число обобщенных
параметров еще более возрастает, поэтому самым перспективным
здесь является получение соответствующих зависимостей на основе
упрощенных моделей, которые учитывают наиболее существенные сто-
роны процесса. Для этого весь объем перемешиваемой жидкости разби-
вается на отдельные зоны, в каждой из которых доминируют различные
физические эффекты. Так, например, в работе [96] рассматривается
струйная модель барботажного слоя, состоящая их четырех зон. Од-
номерные уравнения движения записываются отдельно для пузырьков
и жидкости и замыкаются уравнением расхода. Однако такая форма
представления уравнений задачи не очень удобна для получения струк-
туры критериальных зависимостей. Ниже для этой цели используется
более простая модельная задача.
Рассмотрим цилиндрическую область диаметром D и высотой
Н*, где D — диаметр аппарата, Нж — глубина погружения мешал-
ки с радиусом т0= (см. рис. 20).
Область заполнена перемешивае-
мой газо-жидкостной смесью. Бу-
дем считать, что влияние мелко-
диспергированной газовой фазы бу-
дет сводиться лишь к уменьшению
плотности и вязкости по сравне-
нию с гомогенной жидкостью. То-
гда основные уравнения задачи мо-
гут быть записаны следующим об-
разом:
div w = 0;
рс<7 - Р + PcV2® = grad)w,
а граничные условия представляются в виде
г = 0; w2=0;	—-«0 (т«0);	(10.40)
г = Нж, w2 = 0; wT=0; wifi = шт при	г0 > т > 0; (10.41)
r = ^-; wz —	= wr = 0.	(10.42)
Здесь рс — плотность смеси; рс — ее эффективный динамический
коэффициент вязкости; т — касательное напряжение на свободной
поверхности жидкости; ш — угловая скорость.
Если учесть, что в установившемся режиме вся вносимая в жид-
кость кинетическая энергия полностью диссипируется, то можно за-
писать
N = \fj,cS2dX	(10.43)
v
где N — мощность, затрачиваемая на перемешивание; S2 — диссипа-
тивная функция.
Из соотношений (10.39)-(10.43) получается система уравнений
масштабных связей
lt = Нж; lt = D\ lt = d; wt = a>d;
N, = ficw2l..
Принимая за масштабы отнесения переменных
г* = Яж; wt = wd; p* = pcw2d2; Nt = pcu2d2H^
для размерного значения мощности имеем
N = f
цсш2 d2
рсwdH„. . w2d2 . D . d
К ’ 9НЖ ’ ТЦ' ТЦ
(10.44)
(10.45)
(10.46)
(10.47)
(10.48)
Если вместо угловой скорости ш ввести число оборотов п и изменить
некоторые масштабы отнесения, то выражение (10.48) может быть
представлено в более привычной форме
KN =
nd2 . n2d2 . D . d
vc ’ зНк’ TZ’
(10.49)
N _ f
PcrM~h
где vc=pcIpc.
При перемешивании гомогенной жидкости в аппарате с перегород-
ками можно пренебречь влиянием силы тяжести и, соответственно,
исключить из числа аргументов критерий Фруда. Для аэрированной
жидкости отсутствие воронки еще не означает, что сила тяжести в об-
щем случае не существенна, т. к. она (а точнее подъемная сила) будет
в какой-то мере влиять на движение пузырей воздуха в жидкости. Если
же (например, при достаточно высоких скоростях вращения мешалки)
этой силой все-таки можно пренебречь, то выражение (10.48) упроща-
ется и может быть переписано в виде
KN = f3
nd2 . D . d
vc ’ Яж ’ Яж
(10.50)
Физические параметры смеси определяются ее объемным газосодер-
жанием (3
% =	=	(Ю.51)
С учетом (10.51) соотношение (10.50) может быть представлено в фор-
ме	,	,
nd2 . n. D . d
N — Л
(10.52)
Введем отношение мощностей, затрачиваемых на перемешивание го-
могенной No и аэрируемой NA жидкости. Тогда, используя выражение
(10.52), можно записать
^ = А(/3)-	(10.53)
Для этого, в частности, достаточно предположить, что соотношение
(10.52) представимо в степенной форме.
Когда по условию задается расход воздуха, подаваемого на аэра-
цию Qa, выражение (10.52) может быть переписано в виде
или
	nd2. Qa . d . D_ " ’ nd3' TQ'	(10.54)
Л	L='»[>]	(10.55)
Аэрация жидкости может происходить за счет захвата воздуха
в поверхностном слое. Газосодержание смеси будет тогда определять-
ся характером движения в слое жидкости, непосредственно примыка-
ющем к свободной поверхности. В этом случае нельзя пренебрегать
влиянием силы тяжести априори, т. к. именно она определяет интен-
сивность волнообразования в этом слое, возможность появления ми-
кроворонок и т. п. Критерий Фруда поэтому должен входить в число
аргументов задачи. Соответствующие соотношения будут теперь выг-
лядеть следующим образом:
(10.56)
(10.57)
Необходимо отметить, что выражение (10.56) отличается от (10.49)
лишь заменой в первом из критериев коэффициента кинематической
вязкости смеси его аналогом для гомогенной жидкости. Это вполне до-
пустимо, поскольку (как это уже отмечалось) при естественной аэра-
ции газосодержание смеси не является самостоятельным параметром,
а определяется условиями движения жидкости и, в первую очередь,
значением модифицированного критерия Фруда.
Для рассмотренной задачи не удалось получить решение в пол-
ностью автомодельной форме. Однако, как показано в работе
[109], форма представления (10.57) является наиболее рациональной.
Из рис. 21 непосредственно следует, что экспериментальные данные
различных авторов для аппаратов емкостью 0,02 4- 400 м3 могут быть
представлены в виде единой кривой, отвечающей соотношению (10.57).
Если же принять традиционную форму представления с использовани-
d
ем центробежного критерия Фруда Ргц =	то в этом случае наблю-
дается резкое расслоение экспериментальных точек.
§ 10.4.	Обобщенная задача Стефана
Применение компьютерных технологий, характерных для многих
отраслей промышленности, а также внедрение систем автоматического
проектирования потребовало повышения качества используемых тео-
ретических моделей и методов обработки экспериментальных данных.
Весьма перспективным оказывается здесь обобщенный анализ, кото-
рый позволяет получить решение задачи в наиболее рациональной фор-
ме и создать тем самым основу для разработки программ оптимального
управления большими классами физически подобных технологических
процессов. Кроме того, переход к предельно допустимым режимам ра-
боты оборудования приводит к необходимости исследования устойчи-
вости этих режимов. В теории автоматического управления математи-
ческий аппарат инженерных расчетов также предполагает использова-
ние обобщенных переменных.
Многие задачи в пищевой и холодильной промышленности, свя-
занные с изменением агрегатного состояния вещества (различные виды
сушки, замораживание и т. п.), могут быть решены в приближениях
модели Стефана [25, 26, 51]. Строго говоря, с физической точки зре-
ния эти процессы являются разнородными, но в то же время они мо-
гут рассматриваться как подобные. При этом имеется в виду подобие
в широком смысле этого слова, т. е. тождественность безразмерной
формы соответствующих краевых задач. Именно в этом смысле задача
Стефана определяется здесь как обобщенная.
В соответствии с моделью Стефана граница раздела фаз движется
от периферии в глубину объекта по мере отвода теплоты от его поверх-
ности (либо подвода — к ней). При этом предполагается, что выделе-
ние или поглощение теплоты фазового перехода происходит в беско-
нечно тонкой области материала — на движущемся «фронте» (границе
раздела фаз).
Экспериментальная проверка «фронтальной» теории дает удовлет-
ворительные результаты в тех случаях, когда речь идет о влаге, нахо-
дящейся в свободном состоянии. Ситуация значительно ухудшается,
если оказывается необходимым учесть влияние связанной влаги. Рас-
смотрим этот вопрос более подробно на примере замораживания влаж-
ных тел.
Как известно [1, 100], в процессе замораживания можно выделить
три характерных периода — предварительное охлаждение продукта,
собственно замораживание (образование и развитие зоны кристалли-
зации) и домораживание. Период охлаждения продолжается до мо-
мента достижения поверхностью объекта криоскопической температу-
ры. Во втором периоде температура в замороженной зоне понижается,
и в ней происходит процесс вымораживания остаточной влаги. Этот
период заканчивается, когда «фронт» кристаллизации доходит до тер-
мического центра объекта. На последней стадии процесса (вплоть до
достижения среднеобъемной температурой материала уровня, опреде-
ляемого технологическим регламентом) продолжается вымораживание
связанной влаги.
Для решения такого рода четко сформулированных краевых задач
часто оказывается полезным применение различных форм обобщенно-
го анализа (в частности, — теории подобия). Однако с позиций это-
го метода обычно рассматриваются только первый и второй периоды
процесса замораживания. Третий период либо вообще игнорируется
[10], либо здесь используются упрощенные модели или эмпирические
зависимости [1, 100]. При этом на второй стадии эффектом вымора-
живания остаточной влаги и связанным с ним объемным тепловыде-
лением нередко пренебрегают. Кроме того, в ориентировочных расче-
тах при составлении теплового баланса предполагается, что энергопо-
требление морозильного аппарата полностью определяется затратами
энергии на стадии собственно замораживания, а аналогичные затра-
ты в период домораживания не существенны. Что же касается самой
структуры критериальных зависимостей, то она оказывается различ-
ной для каждой из стадий процесса. Представляется целесообразным
получить единую критериальную систему для всех периодов процесса
замораживания с учетом объемного тепловыделения вследствие вымо-
раживания связанной влаги.
Общее влагосодержание материала 7 можно представить в виде
суммы двух слагаемых, отвечающих соответственно объемному содер-
жанию свободной и связанной влаги, —
'У Эсвоб + Тсвяз’
(10.58)
При этом второе слагаемое учитывает лишь часть влаги (сравнительно
слабо связанную с материалом), которая может участвовать в фазо-
вых переходах. Гидратационная вода вообще исключается из рассмо-
п)ения, т. к. она не принимает участия в такого рода превращениях.
Допустим, что кристаллизация свободной влаги происходит на движу-
щемся «фронте», а связанной — в объеме замороженного материала
по мере понижения его температуры ниже криоскопической точки.
Не будем рассматривать физико-химический механизм, определя-
ющий характер взаимодействия слабо связанной воды с материалом;
используем лишь тот хорошо известный факт, что с понижением тем-
пературы величина 7СВЯЗ монотонно убывает. Попытаемся теперь ап-
проксимировать эту зависимость. Поскольку в дальнейшем предпола-
гается применить обобщенный анализ, то для получения наиболее ра-
циональной формы решения, содержащей возможно меньшее число
критериев подобия, аппроксимирующая функция также должна вклю-
чать минимальное число параметров. Этому требованию отвечает сте-
пенной одночлен вида
7смз = Л(Т-Ту.
(10.59)
Здесь Т — текущая температура; А, (3, Т" — некоторые макроскопи-
ческие параметры замороженного материала.
Следует отметить, что это вовсе не означает, что функция (10.59)
аппроксимирует искомую зависимость во всем интервале Т' —
(Т^р — криоскопическая темпера-	т
тура). Практический интерес пред-
ставляет значительно более узкий
диапазон изменения температуры
(порядка 15 4-25 К), примыкающий
к 7^,. За пределами этого диапа-
зона температурная кривая может
идти совершенно произвольно. Что-
бы подчеркнуть это обстоятельство,
на рис. 22 ее ход в соответству-
ющей области изображен пунктир-
ной линией. Известно, что связанная влага может быть обнаруже-
на и при весьма низких температурах (ниже Т')- Поэтому значе-
ние Т' должно рассматриваться как некоторая условная характери-
стика, непосредственно не связанная с предельной температурой су-
ществования остаточной влаги.
Локальная составляющая объемной плотности теплового потока,
соответствующая выделению теплоты за счет замораживания связан-
ной влаги, может быть представлена следующим образом:
ЛП = г &Ъвяз
'связ От у
(10.60)
где гсвяа — теплота фазового перехода связанной влаги, т — время.
С учетом (10.59) соотношение (10.60) перепишется в форме
dQv = /3Arct!a(T-T'y-^,	(10.61)
а уравнение Фурье для замороженного материала — в виде
^ = a]V2T
дт 1
^^гсвяз z m  гтих дТ
clP1 I2	1 ’ дт'
(10.62)
Здесь и далее а — коэффициент температуропроводности; с —
теплоемкость; р — плотность; индекс 1 относится к замороженному
материалу; индекс 2 — к незамороженному. Знак минус перед вторым
слагаемым в правой части выражения (10.62) обусловлен тем, что кри-
сталлизация — процесс экзотермический.
Аналогичные соображения в равной степени справедливы
и для процесса сушки (тепловой, атмосферной, сублимационной). Дей-
ствительно, этот процесс также можно разделить на три характерных
периода: нагрев объекта, формирование и движение обезвоженной зо-
ны, досушку. Разумеется, вместо теплоты кристаллизации здесь долж-
на рассматриваться теплота парообразования, а при сублимационной
сушке — теплота сублимации.
С математической точки зрения все эти явления совершенно тож-
дественны и приводят к обобщенной модели Стефана. При этом еще
раз следует подчеркнуть, что здесь задача Стефана является обобщен-
ной не только и не столько потому, что при ее решении предполагается
использовать аппарат обобщенного анализа. Гораздо более существен-
но то обстоятельство, что необходимость учета влияния на процесс
наличия связанной влаги требует постановки задачи в более общей
форме. Классическая задача Стефана соответствует ее частному слу-
чаю (при 7^ --0).
Рассмотрим процесс замораживания неограниченной пластины
влажного материала толщиной 25, которая в момент времени т = 0 по-
мещается в среду с температурой Т^. Начальная температура пласти-
ны всюду одинакова и равна То (То> Т^). Коэффициент теплоотдачи
от поверхности пластины к охлаждающей среде, а также теплофизи-
ческие параметры материала в обеих зонах (замороженной и незамо-
роженной) считаются постоянными. Если ввести разностную темпера-
туру
# = Т-ТС9,	(10.63)
то обобщенная задача Стефана может быть представлена следующей
системой уравнений:
Эй _ дЧ
дт “ а*
^гсвяз z^q _	-1 Эй .
Cj pj '	9 дт'
Эй _ Э2Й
дт ~ °2 дх2 ’
Эй
~Л2дх<
при Х = ±6
(10.64)
(10.65)
(10.66)
g = ° при
i? = i?0 при
A -A
1? = 1?вр при
x -= 0;
т = 0;
dx J 2 ^воб dr 1
X = £.
(10.67)
(10.68)
(10.69)
Здесь координата x отсчитывается от центра пластины; £ — коорди-
ната движущегося «фронта»; индексы 1 и 2 при производных в вы-
ражении (10.69) означают, что эти производные вычисляются со сто-
роны замороженного и незамороженного материала, соответственно.
Система (10.64)-(10.69) отличается от своего аналога для классиче-
ской задачи Стефана [79] дополнительным слагаемым в правой части
уравнения (10.64), а также тем, что в условие на подвижной границе
(10.69) вместо влагосодержания материала 7 входит количество сво-
бодной влаги 7сво6. Стадиям собственно замораживания и доморажива-
ния отвечает первый вариант соотношения (10.66), а периоду предва-
рительного охлаждения — второй. Разумеется, для стадии охлаждения
и домораживания следует ограничиться лишь соответствующей частью
уравнений (10.64)-(10.69).
Таким образом, как объект применения обобщенного анализа си-
стема уравнений (10.64)-(10.69) полностью охватывает все периоды
процесса замораживания и дает возможность получить критериальную
зависимость, справедливую для всех стадий этого процесса. Однако
следует отметить, что для каждого из этих периодов имеется своя
наиболее рациональная система критериев подобия и масштабов от-
несения переменных, которая может быть получена из более общих
соображений посредством соответствующих упрощений — некоторые
из них будут рассмотрены ниже.
Совокупность уравнений масштабных связей, эквивалентная со-
отношениям (10.64)—(10.69) может быть представлена в виде
II (Г II	^TCBS3^f .	_ fit. С1Р1Г* ’	(10.70)
Z, -°2г2.		(10.71)
	1,=6	(10.72)
		(10.73)
\		 х	^Усвоб 7^" ’	^Кр ’	(10.74)
Выбора за масштаб отнесения переменных
с2
Л = 1?о:	Tt = ^,	(10.75)
(10.76)
из десяти уравнений масштабных связей получим семь критериев
(в том числе четыре параметрических)
°2 ’	^2 ’	^0 ’	^0 ’
В1 = ^; К, =	1; Stet = ^^,
Л1	1	с1^1	’Т'своб
где Bi — критерий Био; Stet — модифицированный критерий Стефа-
на. Соответствующая обобщенная зависимость может быть записана
в форме
1?. =	(т; -Fo; 41; f;	V;	Bi; s4;	>	(10.77)
+	5’ О-	O2> Д2’ t?0’	d0	•’	iy	V >
vjue. Fo =	— число Фурье.
От решения классической задачи Стефана полученная зависи-
мость отличается тем, что здесь в число аргументов входят два до-
полнительных критерия: и Их характерная особенность состо-
ит в том, что ни один из них не включает параметрические значения
времени или протяженности. Иными словами, их появление не пре-
пятствует получению автомодельных решений соответствующих вы-
рожденных задач.
Простейшая автомодельная задача в классическом случае отвеча-
ет приближениям Ляме-Клапейрона [79] для полуограниченного тела.
Ее естественным обобщением является следующая постановка задачи:
Si? дг ~ а1	дх2	. &Агсвяз	-1 CjPi V.	'	дт’	(10.78)
	при	Х> 6;	(10.79)
1? = 0	при	х — 0;	(10.80)
^ = 0 дх и	при	х —> оо;	(10.81)
*=*вр	при	т = 0;	(10.82)
л1 дх -	П'своб	1? = 1?вр при х = £,	(10.83)
где ч?= Т — Тп. Как и в классическом варианте, рассматриваются гра-
ничные условия первого рода, а температура незамороженной зоны
полагается постоянной (отвечающей криоскопической точке). Система
уравнений масштабных связей по сравнению с (10.70)-(10.74) упро-
щается и может быть переписана в виде
= с,°,” : *. = *' = v A1-^ = ryCB06^. (10.84)
Имеется пять уравнений масштабных связей при трех преобразуемых
переменных. Но если из числа этих соотношений исключить те, ко-
торые приводят к появлению критериев, не содержащих параметриче-
ских значений переменных, то останется лишь одно уравнение связи
между характеристическими масштабами lt и тф. В этом случае задача
имеет автомодельное решение
^;-Ki;Ste,
ч>
(10.85)
Если, следуя традиции [79], ввести переменную
<+ =
(10.86)
то основное уравнение задачи в частных производных (10.78) оказыва-
ется эквивалентным обыкновенному дифференциальному уравнению
+ 1 + ^
1% = 0.
(10.87)
Соответствующая краевая задача может быть решена численным ме-
тодом. Если же ограничиться линейной аппроксимацией количества
влаги (10.59), положив в этом выражении /3 — 1, то можно получить
решение в аналитической форме. Имеем
1?+=1 при С+>е+;
i?+ = 0 при С+ = 0;
= 2Ste# ’	$+ = 1 ПРИ £+ = £+•
(10.88)
(10.89)
(10.90)
(10.91)
где К2 = 1 + с ™. Отсюда непосредственно следует [79]
1?+_ "ТёГ1
erf -х-
(10.92)
причем величина £+ определяется соотношением
erf £+/2	2 Stet
(10.93)
Можно сделать решение (10.92), (10.93) полностью тождествен-
ным классическому [79]. Для этого достаточно ввести понятие эффек-
тивной объемной теплоемкости материала сД = с1р1 + Лгаяз. (10.94)
При этом из уравнений задачи (10.88)-(10.91) выпадает критерий К2,
т. к. тем самым два уравнения масштабных связей
** АГамз **
ClPl Ъ .
(10.95)
заменяются одним —
лЛ = ^>.	-	(10.96)
*
Разумеется, все эти рассуждения будут справедливы и для более пол-
ной постановки автомодельной обобщенной задачи Стефана для полу-
ограниченного тела, классический аналог которой рассмотрен в моно-
графии [79].
Решение неавтомодельной задачи (10.77) также несколько упро-
щается, если ограничиться линейной аппроксимацией и ввести эффек-
тивную объемную теплоемкость материала. В этом случае выпадают
критерии Kj и а выражение (10.77) приобретает следующий
вид:	/	'	'	\
Л _ г I £• А1г • А1- СзФ 	 с^'а° I	/у n Q7\
+ -/ V’ <=эф*2’ Л2’	Л1’ ^своб ) '	UU-y/'’
Необходимо отметить, что такая форма представления решения зада-
чи имеет смысл лишь для стадий замораживания и домораживания.
Что же касается периода предварительного охлаждения объекта, то
здесь применяется обычная критериальная зависимость, построенная
с использованием параметров незамороженного материала, —
<10-98’
Основное преимущество зависимостей типа (10.97) заключается
в том, что за счет изменения масштаба т* появляется возможность ис-
пользовать хорошо известные из теории теплопроводности результаты.
Для начальной и конечной стадий — это решение задачи о температур-
ном поле однородного тела, стремящемуся к равновесию. В последнем
случае это достигается как раз на основе понятия эффективной объ-
емной теплоемкости. То же обстоятельство позволяет применять ре-
зультаты численных решений классической задачи Стефана для стадии
собственно замораживания. При этом часть параметрических критери-
ев входит лишь в безразмерные ограничительные неравенства и поэто-
му может не учитываться при определении структуры решения на той
или иной стадии процесса. В частности, это позволяет на основе из-
вестных классических решений находить момент наступления регу-
лярного режима охлаждения, начало вырождения какого-то критерия
и т. п. Ценность существующих для отдельных периодов процесса ре-
шений (главным образом аналитических) несколько снижается из-за
того, что каждая предыдущая стадия дает в качестве начального усло-
вия для последующей довольно громоздкое выражение для температур-
ного распределения. Тем не менее, использование такого рода решений
может оказаться достаточно полезным.
Применение численных методов для получения даже более полной
зависимости типа (10.97) не приводит к каким-либо принципиальным
затруднениям, т. к. здесь отмеченные выше трудности не являются
решающими. Несколько сложнее обстоит дело при обобщении экспе-
риментальных данных. Представление на основе модели Стефана опыт-
ных данных в обобщенном виде в принципе позволяет сопоставлять ко-
личественные характеристики некоторых разнородных процессов (на-
пример, сублимационной сушки и замораживания). Однако при этом
нередко принимаются определенные упрощающие предпосылки, право-
мерность которых должна быть доказана в каждом отдельном случае.
В частности, это в значительной мере относится к так называемому
«квазистационарному приближению», которое будет подробно рассмо-
трено в следующем разделе.
§ 10.5. Квазистационарное приближение в некоторых
задачах с подвижными границами
В инженерных методах расчета процессов и аппаратов холодиль-
ной техники для задач с подвижными границами чаще всего использу-
ется квазистационарное приближение. Это позволяет получить срав-
нительно простые и удобные соотношения для интегральных характе-
ристик соответствующих технологических процессов. Однако оценка
ошибки, которая при этом вносится, не всегда оказывается достаточ-
но убедительной, что связано с целым рядом обстоятельств, которые
целесообразно рассмотреть более подробно [139].
Прежде всего необходимо остановиться на самом понятии ква-
зистационарного приближения. Довольно распространенным является
мнение, что это приближение имеет место, если в уравнении Фурье
^ = aV2T	(10.99)
можно пренебречь производной температуры по времени. Далее обыч-
но предполагается, что это условие реализуется при бесконечно боль-
шой температуропроводности материала. Поскольку коэффициент теп-
лопроводности А — величина заведомо конечная, то это в свою оче-
редь означает бесконечную малость объемной теплоемкости ср (с —
массовая теплоемкость, р — плотность), т. к. по определению
а = ^.	(10.100)
Более корректным является условие существования квазистационар-
ного решения в виде
Cjo^«AV2T	(10.101)
Его выполнение непосредственно приводит к уравнению
V2T~0,	(10.102)
которое как раз и представляет собой определение квазистационарного
режима теплообмена. При этом производная температуры по времени
вовсе не обязательно равна нулю, но даже может иметь достаточно
большое значение. Более того, при ср —» 0 ее значение в отдельные
моменты может неограниченно возрастать, хотя и не столь быстро,
как коэффициент температуропроводности. Ниже будет показано, ка-
ким образом это обстоятельство (то, что /0) может быть исполь-
зовано для уточнения результатов квазистационарного решения.
Оценка погрешности квазистационарного приближения определя-
ется на основе сопоставления двух величин — аккумулированной теп-
лоты и теплоты фазового превращения. Их мерой является критерий
Стефана
Ste = ^,	(10.103)
где г — теплота фазового перехода, ДТ — характерная разность тем-
ператур. Однако число Стефана — как и любой другой критерий —
является лишь приближенной количественной мерой отношения сопо-
ставляемых физических эффектов. Поэтому условие Ste<c 1, как тре-
бование достаточной точности квазистационарного приближения, сле-
дует рассматривать как качественное суждение. Более строгую оценку
можно получить, если воспользоваться методом, который подробно об-
суждается в работе [15] на примере сублимационной сушки.
В соответствии с этим методом, уравнение Фурье, отвечающее
точному решению задачи и его квазистационарному приближению, по-
следовательно интегрируются по объему и времени, а затем подынте-
гральные функции выражаются через их средние значения. Если пер-
вое из этих выражений разделить на второе, то получится следующее
соотношение:
Tr'Xdm¥ = 1 +	+	<10104)
'кв Б1аикв Х	'
Здесь т — продолжительность процесса; 7 — объемное влагосодер-
жание материала; сп — массовая изобарная теплоемкость пара; черта
сверху — знак осреднения; индексом «т» и «кв» отмечается, что данное
значение величины относится к точному решению или квазистационар-
ному приближению, соответственно; х — коэффициент, посредством
которого учитывается форма кривой распределения температуры в осу-
шенном слое, а хп — степень нагрева пара в этом слое.
Последние два слагаемых в правой части выражения (10.104)
определяют ошибку квазистационарного приближения задачи из-за
пренебрежения теплотой, поглощаемой слоем осушенного материала
и проходящим через него паром. Непосредственная подстановка чи-
сленных значений для самого «худшего» случая показывает, что эта
погрешность для продолжительности процесса сублимационной сушки
материалов растительного и животного происхождения не превышает
10% [15].
Для тепловой сушки ошибка квазистационарного приближения со-
ставляет примерно ту же величину, а для процесса замораживания за-
метно увеличивается. В первую очередь это обусловлено тем, что теп-
лота фазового перехода в этом процессе почти на порядок меньше сво-
его аналога для процесса сублимации. Однако характерное значение
температурной разности здесь также в несколько раз меньше, а кро-
ме того, из правой части соотношения (10.104) выпадает последнее
слагаемое. Поэтому значение критерия Стефана возрастает примерно
в 2,5—3 раза. Соответственно увеличивается погрешность квазиста-
ционарного приближения, достигая в особо неблагоприятных случаях
уровня, при котором возможность его использования становится проб-
лематичной.
Ситуация дополнительно обостряется необходимостью учитывать
различный механизм воздействия на процесс замораживания свобод-
ной и связанной влаги. Как было показано в предыдущем разделе,
можно ограничиться линейной аппроксимацией объемного содержания
связанной влаги и ввести понятие эффективной объемной теплоемко-
сти материала в виде
с^ = сР + Агаяз.	(10.105)
Тогда в безразмерной форме соответствующая краевая задача с по-
движной границей (обобщенная задача Стефана) оказывается пол-
ностью тождественной своему классическому аналогу. Отличие лишь
в масштабе отнесения для времени и модифицировании критерия Сте-
фана к форме
cL Ат
Ste„=^—.	(10.106)
Входящее в соотношение (10.105) величина гсвяз представляет собой
теплоту фазового перехода связанной влаги, которая в общем случае
может не совпадать со значением теплоты фазового превращения сво-
бодной влаги г.
Строгая постановка обобщенной задачи Стефана, вообще говоря,
несовместима с квазистационарным приближением, т. к. последнее
означает, что влияние величины с'ф (а значит и — связанной влаги)
считается пренебрежимо малым. Иными словами, в этом случае вместо
обобщенной задачи Стефана может рассматриваться ее классический
аналог. Однако и чисто формальный подход показывает, что условие
Stet+ с 1 (вместо условия Ste -с 1 для классического варианта) здесь
не выполняется. Критерий Ste„ может достигать значений порядка
0,4 4-0,5; а в отдельных случаях даже приближается к единице. Разу-
меется, в этих условиях об использовании квазистационарного прибли-
жения, по крайней мере без его существенной корректировки, говорить
вообще не приходится.
Как уже отмечалось, приведенные оценки квазистационарного ре-
шения являются приближенными и к тому же завышенными (оценками
«сверху»). Для получения их более точных значений в рассматривае-
мом диапазоне изменения критерия Стефана следует непосредственно
сопоставить точное решение какой-либо представительной краевой за-
дачи данного типа с ее квазистационарным приближением. Желатель-
но, чтобы это решение было достаточно простым, не загроможденным
большим количеством дополнительных параметров.
Этим требованиям отвечает задача о замораживании полуограни-
ченного влажного тела при граничных условиях первого рода (задача
Ляме-Клапейронд) [79]. Она имеет автомодельное решение, которое
может быть представлено в форме
+
ехр(-х|/4) _ £+7тг
erf(f+/2) ~2Ste„>
(10.107)
(10.108)
где х+ = ху/х — координата; $ = Т — Т(0); Т(0) — температура
поверхностного тела; i?+ =	i?Ep = Ткр — Т(0); — криоскопиче-
ская температура; £+ = £у	£ — координата «фронта». Решение
этой задачи в квазистационарном приближении записывается следую-
щим образом:
#+ = х+/£+;	(10.Ю9)
e+=v^st^;.	(ю.ио)
Из рис. 23 видно, что при Ste„ < 1 точные
значения безразмерной температуры (10.107)
мало отличаются от приближенных (10.109).
Однако с точки зрения практики более
существенными являются не сами температу-
ры, а их производные по координате в двух
точках: на поверхности тела и на «фронте».
Первая из них пропорциональна плотности теплового потока при а: = 0
и, следовательно, определяет отводимый от тела тепловой поток (тео-
ретическую мощность холодильной установки). Вторая — непосред-
Рис. 24
ственно связана с другой важной характеристикой процесса — со ско-
ростью движения «фронта». На рис. 24а и 246 (линии 1) представле-
ны отношения соответствующих производных для квазистационарного
и точного решений (10.107), (10.108) в виде
(M+\m	д(0)н»	^егЦ£+/2).
I ^+7 о '	3(°)m V2St^7 ’
= g(e+)EB ^erf(£+/2)
' \^+J^	?(£+)”*	exp(-f2/4)’
(10.111)
(10.112)
Как следует из этих рисунков, отклонение от точного решения сущест-
венно меньше того, которое определяется оценками типа (10.104). Все
же при значениях критерия Steo, близких к единице, ошибка остается
довольно значительной.
Приближенное решение можно улучшить с помощью соответст-
вующей корректировки. Для этого используются различные способы,
хотя многие из них и не дают положительного эффекта. Например,
в работе [95] предлагается заменить теплоту фазового перехода вели-
чиной
г+^.	(10.113)
Выражение (10.111) при этом не изменится, а (10.112) уменьшится
в (1 + Ste /2) раз. На рис. 246 получившееся при этом соотношение
изображено линией 4. Непосредственно ясно, что какого-либо улучше-
ния решения здесь не достигается.
Более перспективным является способ, основанный на вычис-
лении приближенного соотношения для производной температуры
по времени на основе квазистационарного решения, которое затем
подставляется в уравнение Фурье. В свою очередь, решение послед-
него приводит к выражениям для производных, аналогичным (10.111),
(10.112) с той лишь разницей, что первое из них умножается на вели-
чину (1 + Ste„ /6)/-\/1 - Ste,t /3, а второе — на у/1 - Ste„ /3. Этот
способ можно рассматривать как разложение в ряд по малому параме-
тру Ste+4. Обычное квазистационарное решение при этом соответству-
ет нулевому приближению.
Два последующих приближения представлены на рис. 24 кривы-
ми 2 и 3. Согласование с точным решением существенно улучшает-
ся, но при Stet„ —» 1 необходимо дополнительно взять еще несколько
членов ряда. Поскольку одновременно увеличивается число слагаемых
в соответствующих поправочных коэффициентах, то более целесооб-
разно будет воспользоваться приближенными интерполяционными за-
висимостями. Эти зависимости, которые при Ste„ < 1 с погрешностью,
не превышающей 1-2%, аппроксимируют более точные соотношения,
могут быть представлены в виде
= 1Д/2 Ste„(l +0,29Ste„).	(10.115)
\ от+ / f+
Следует отметить, что здесь снимается та принципиальная трудность
в постановке обобщенной задачи Стефана, о которой уже упоминалось.
Скорректированное квазистационарное решение вполне согласуется
с ее строгой формулировкой, т. к. в этом случае речь идет не о пренеб-
режении величиной с^ф (влиянием связанной влаги), а о приближенном
учете этого эффекта.
Аналогичный способ можно применить, решая задачу о замора-
живании полуограниченного тела при граничных условиях 3-го рода.
Однако появляющиеся здесь корректирующие множители имеют слиш-
ком громоздкий вид, к тому же они зависят еще от одного аргумен-
та: Bif = (а — коэффициент теплоотдачи). В качестве прибли-
женного решения и в этом случае можно использовать соотношения
(10.114), (10.115), если их умножить на дополнительный множитель
Bif /(1 +Bif), т. к. характерная разность температур, входящая в крите-
рий Ste„, теперь принимает вид Ткр — Тср (Тср — температура окружа-
ющей среды). С ростом величины £ этот множитель стремится к еди-
нице, поэтому по мере развития процесса сделанное предположение
становится все более оправданным.
Если начальная температура совпадает с температурой замерза-
ния свободной влаги, то все полученные результаты будут справедли-
вы и для пластины конечной толщины.
До сих пор для удобства изложения речь в основном шла о процес-
се замораживания. Разумеется, все изложенное в равной степени от-
носится и к процессу тепловой и сублимационной сушки, т. к. матема-
тические модели этих процессов совершенно тождественны. В любом
случае должна рассматриваться обобщенная задача Стефана. Отличие
заключается лишь в том, что в выражение для эффективной объемной
теплоемкости с^, (10.105) при подводе теплоты через осушенный слой
материала должно быть введено слагаемое, учитывающее влияние на-
грева проходящего через этот слой пара.
ГЛАВА И
ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОДОБИЕ
(ТЕПЛООБМЕН И СОПРОТИВЛЕНИЕ
В ПОЛЕ МАССОВЫХ СИЛ
РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ)
Само понятие приближенного подобия допускает неоднозначное
истолкование, поэтому представляется целесообразным рассмотреть
его на каком-то конкретном примере. В качестве такого примера в даль-
нейшем будет использована задача о теплообмене и гидродинамиче-
ском сопротивлении внутренних потоков жидкости в поле массовых
сил различной физической природы. Но прежде чем непосредственно
перейти к этой задаче, сделаем несколько предварительных замечаний
общего характера.
Как уже неоднократно отмечалось, тождественность в обобщен-
ных переменных равносильна подобию в первоначальных переменных.
В случае краевой задачи численные значения искомой безразмерной
переменной в сходственных временных (т+ = idem) и пространствен-
ных (х+ = idem, у+ = idem, z+ = idem) точках процесса будут одинако-
вы при соблюдении двух условий: во-первых, тождественности основ-
ных уравнений и краевых условий, записанных в безразмерной фор-
ме, и во-вторых, при совпадении численных значений всех критериев.
Например, температурные поля двух тел будут подобны, а их безраз-
мерные аналоги
^+ = /(т+;х+;2/+;г+;7Г1;...;7Гп)	(11.1)
тождественны, если выполняется требование
тгг=1бет при г = 1,..., п	(11.2)
что же касается первого условия, то оно уже учтено в соотношении
(11.1), т. к. оба поля представляются одной и той же функцией /.
Во многих технических и ряде физических задач ограничиваются
рассмотрением только некоторых интегральных характеристик процес-
са, таких как средние коэффициенты тепло-и массоотдачи, коэффици-
ент гидродинамического сопротивления и т. п. Такого рода величины
не зависят, естественно, от временной и пространственной координат
и могут быть представлены как функции одних только безразмерных
параметров задачи — критериев подобия. Так, для безразмерного коэф-
фициента теплоотдачи соответствующая зависимость будет выглядеть
следующим образом:
а+ = Л(7Г1;...;тгп)	(11.3)
При строгой и полной постановке задачи совпадение безразмерных ко-
эффициентов теплоотдачи будет определяться тем же условием (11.2)
и одинаковостью функции j\.
Однако дело осложняется тем, что такая полная постановка воз-
можна не всегда (в частности, в том случае, когда структура зависи-
мости (11.3) устанавливается на основе анализа размерностей). Кроме
того, в экспериментальных исследованиях конкретный вид зависимо-
стей типа (11.3) получается на основе опытных данных и чаще все-
го выбор функции обусловлен соображениями удобства их обработки.
Это предопределило, в частности, широкое распространение в качестве
аппроксимирующих степенных зависимостей, параметры которых осо-
бенно легко определяются при использовании логарифмической ана-
морфозы. Не последнкло роль сыграло и то обстоятельство, что даже
в 60-е годы большинство вычислений в инженерной практике выпол-
нялось с помощью логарифмической линейки.
В общем случае выбор степенных аппроксимаций н'= имеет ни-
какого принципиального обоснования и в настоящее время во многом
является данью традиции. Разумеется, это не относится к решению вы-
рожденных (автомодельных) задач, в которых степенные зависимости
непосредственно получаются на основе строго применения обобщен-
ного анализа.
Интегральные характеристики процесса гораздо менее чувстви-
тельны к изменению условий, чем распределения переменных. Кроме
того, в экспериментальных исследованиях наблюдается естественный
разброс опытных данных. В результате этого нередко возникает такая
ситуация, когда априорный выбор степенных аппроксимаций создает
иллюзию подобия получаемых зависимостей, особенно если показате-
ли степени не слишком отличаются друг от друга. Иногда здесь при-
меняется термин «обобщенное подобие».
Разумеется, использование этого термина в такого рода ситуации
не оправданно. В крайнем случае здесь может идти речь о приближен-
ном подобии. Однако даже совпадение безразмерных интегральных
характеристик (точнее их зависимостей) еще не означает не только
строгого, но и приближенного подобия процессов. Для решения во-
проса о подобии должны быть приведены какие-то дополнительные ар-
гументы. Более подробно эти условия рассматриваются в разделе 11.1
на примере задачи о гидродинамическом сопротивлении и теплообмене
при движении жидкости в трубах в поле массовых сил.
§ 11.1. Гидродинамическое сопротивление и теплообмен
при движении жидкости
в поле массовых сил
различной физической природы
Гидродинамическое сопротивление и конвективный теплообмен
в потоке жидкости, движущейся во вращающейся изогнутой трубе,
в общем случае определяется совокупным влиянием четырех массовых
сил: гравитационной (G), кориолисовой (7^) и двух центробежных, ко-
торые возникают в следствие кривизны канала (F^) и его вращения
В отдельных ситуациях некоторые из этих сил могут быть ком-
пенсированы или вообще отсутствовать. Так, в изотермических усло-
виях при расположении канала постоянной кривизны на ободе враща-
ющегося диска гравитационная сила и центробежная сила вращения
полностью компенсируются гидростатическим давлением жидкости.
Иногда можно исключить влияние кориолисовой силы, располо-
жив прямую трубу параллельно оси вращения. Но эта сила не будет
влиять на движение жидкости лишь при ламинарном режиме течения,
когда все частицы перемещаются строго параллельно стенкам трубы.
В условиях турбулентного режима течения или при ламинарном режи-
ме со вторичной циркуляцией, возникающей под воздействием других
сил, влияние силы Кориолиса будет проявляться обязательно. Разуме-
ется, в прямой трубе будет отсутствовать центробежная сила, появля-
ющаяся из-за кривизны канала.
В неизотермических условиях неоднородность плотности жидко-
сти приводит к появлению подъемной силы (за счет нескомпенсиро-
ванной части силы тяжести и центробежной силы вращения). Таким
образом здесь следует учитывать три массовые силы: подъемную, ко-
риолисову и центробежную силу, определяемую кривизной канала.
Большинство расчетных критериальных формул для коэффициен-
тов теплоотдачи и гидродинамического сопротивления обычно отно-
сится к’случаям преобладающего влияния в потоке какой-либо одной
массы силы [94, 127, 128]. Наиболее полно процедура получения соот-
ветствующих критериев подобия представлена в книге [127]. Показа-
но, что в любом случае разность между массовой силой и градиентом
давления может быть представлена в виде избыточной массовой силы,
которая, в свою очередь, может рассматриваться как ее приращение
на отрезке между двумя характерными точками жидкости. Это поз-
волило получить общую для всех массовых сил структуру критерия
подобия (являющегося приближенной мерой отношения некоторой из-
быточной массовой силы к силе трения) в виде
P = ^f,	(И.4)
pv
где под AF понимается «разность массовых сил в двух сходственных
точках системы», I — расстояние между ними. Чаще всего эти точки
выбирались так, чтобы
Ртах ^*mln Зпхах.Р\ Зт1лР2>	(11-5)
где 3 — ускорение.
Если оказывается возможным пренебречь кинематическим воздей-
ствием изменяемости плотности на движение жидкости, то выражение
(11.5) упрощается и соотношения (11.4), (11.5) могут быть переписаны
следующим образом:
p=l-^-y	(Н-6)
(11.7)
В тех случаях, когда необходимо учесть влияние подъемной силы (ди-
намическое воздействие изменяемости плотности), соотношения (11.6)
и (11.7) принимают вид
Р = ^-^	И1-8)
д^ = ;др.	(11.9)
Соответствующие обобщенные зависимости для числа Нуссельта и ко-
эффициента гидродинамического сопротивления могут быть записаны
как
Nu = /1(Re, Рг, Р),	(11.10)
C=/2(Re,P).	(11.11)
По мнению автора книги [127], это создает «общую основу для изуче-
ния таких явлений и для сравнения характеризующих их количест-
венных зависимостей...Сопоставление численных значений критериев
подобия, имеющих общий принцип построения, позволяет выявить об-
ласти режимов, в которых тот или иной вид силового поля оказывает
решающее влияние на процесс».
Применение на практике последнего положения требует опреде-
ленной осторожности даже в том случае, когда речь идет об интеграль-
ных характеристиках процесса, не говоря уже о полях скорости и тем-
пературы. По-видимому, оно справедливо лишь для отдельных массо-
вых сил при одинаковых законах их распределения в геометрически
подобных системах. Во всех других случая универсальность количест-
венных соотношений может быть только приближенной. В особенно-
сти положение осложняется при одновременном воздействии на поток
нескольких массовых сил примерно одинакового порядка величины.
Сам способ получения безразмерных комплексов с помощью опе-
рации приведения является здесь не совсем строгим, а привлекаемые
дополнительные соображения не совсем ясными и, во всяком .случае,
не всегда обязательными. В этих условиях представляется целесооб-
разным использование стандартной процедуры, основанной на уравне-
ниях масштабных связей [90].
В качестве иллюстрации
рассмотрим достаточно пред-
ставительный случай движе-
ния жидкости в изогнутой
круглой трубе, вращающей-
ся относительно перпендику-
лярной к ее плоскости оси
(рис. 25). Его представитель-
ность определяется тем обсто-
ятельством, что все три мас-
совые силы здесь соизмери-
мы, и воздействием ни од-
ной из них пренебречь нельзя.
С другой стороны, принимае-
мые упрощающие предпосыл-
ки позволяют избавиться от второстепенных подробностей и предста-
вить соответствующую краевую задачу о поле скорости и температуры
в сравнительно простой форме
р / дф_ _ дф_ до£\ _________1_ dp ,,V2„ .
г \ dip dr dr dip J	™	9’
p (&Ф .	_ дф av2y> \ _
r I dip dr dr dip J
2pva (dva	&va .	\
Ko \rdip r-	-r j
П ( о	. dVa .	\ ,
+2pa> (	• cos <p +	• sin tp I +
+/W	’ cos • sin <p} + gV2V2^;
1 dd , 1 (di/i dd дф dd\ V72 a
’ v<> + r [% ’ W - Z • дф) = aV Л
ve = 0;	= 0;	= 0; -i? = 0 при r -- r0;
г ял \	i 2" T°
3 = -A(^)	’	uo=-4 \ VgT dr dtp.
\°rJr = Ta	^0 0 0
(1112)
(11.13)
Здесь r, tp, в — тороидальные координаты (рис. 25); т0 — внутренний
радиус трубы; Ro — радиус изгиба трубы; ф — функция тока вторич-
ного течения; ve — продольная составляющая скорости; v0 — средняя
расходная скорость; $ = Та — Т — избыточная температура в данном
сечении трубы; р — давление; ш — угловая скорость; д — ускорение
силы тяжести; j = д2 + uiR^ — ускорение; р, /3, А, а — динами-
ческий коэффициент вязкости, коэффициент объемного расширения,
теплопроводность и коэффициент температуропроводности жидкости.
Первые два уравнения системы (11.12) представляют собой урав-
нения Навье—Стокса, содержащие функцию тока вторичного течения.
Правая часть второго уравнения, из которого с помощью обычной про-
цедуры (перехода к вихревой форме уравнений) исключено давление,
содержит четыре слагаемых, из которых первые три отражают влияние
центробежной, кориолисовой и подъемной силы, соответственно. Про-
дольный градиент давления, входящий в первое уравнение этой систе-
мы, является величиной постоянной. Также постоянен и продольный
градиент температуры, который входит в уравнение Фурье-Кирхгофа
(третье уравнение системы (11.12)). Поскольку рассматривается те-
чение жидкости за участком тепловой и гидродинамической стабили-
зации, то продольные градиенты давления и температуры могут быть
определены из соответствующих балансных уравнений
1 dp ____ 2р / dvg \
- г0 \ дт JT = Tf) ’
_ 2g
R0 96 Р"осрго’
(Н.14)
(П-15)
где ср — теплоемкость жидкости (газа) при постоянном давлении. До-
полнительно к ранее отмеченным приняты следующие упрощающие
предпосылки. Кривизна трубы считается достаточно малой (г0СЯ0),
а режим течения жидкости — ламинарным. Учитывается только дина-
мическое воздействие изменяемости плотности, а все остальные (кро-
ме плотности) физические свойства среды считаются постоянными.
Рассматриваются, так называемые, «смешанные» граничные условия
[94] — постоянная по периметру температура поверхности и по-
стоянная по длине плотность теплового потока q.
На основании (11.11)-(11.15) имеем следующую систему линейно
независимых уравнений масштабных связей
(11.16)
=	^ = рТ& = ^ = р—'
= r. = rol q = —-, v0 = ^-.
Выбирая в соответствии с (11.16) в качестве масштабов отнесения
для переменных тД, = = w, rt = r0; v, = v0; = ^, представим систему
(11.12), (11.13) в безразмерной форме
1	Э«е+\ _9	,V2„ .
r+ I др  дг+ дг+ • др ) - z дг+ )T* = l + v ve+’
1 f дф+ dV2tp+	дф+
г+ I др дг+	дг+	др I
„	9	( dve,	dvg \
= 2Det ve+ cos ip + sin yj +
/ dve	dve \	(11-17)
+2 Ro —cos ip 4- sin u? I +
\	r ^4-	/
„	( д$,	dd. .	\	,
+Gr* C0S v + 9^ sln + V V V’+J
+ r+ dp dr+ dr+ dp )~V V+’
i?+ - 0; ve* =0; i/>+ = 0;	= 0 ПРИ r+ = 1;
* /а»? \	, 2* 1	(11.18)
. = “1; I И ^+r+dr+d^ = 1.
Здесь De, =	— модифицированный критерий Дина; Ro—
— -r°2u° — критерий Россби; Gr, =	— модифицированный кри-
терий Грасгофа; Pr — критерий Прандтля.
Из соотношений (11.17), (11.18) непосредственно следует
= Т. = Д = /з(Рг; Ro; De,; Gr,; х+; у+, z+).	(11.19)
Коэффициент теплоотдачи определяется выражением
а = ^,	(11.20)
где
= Тт - То = -Г" Т J	-	(11.21)
"о о о
среднерасходная избыточная температура жидкости в данном сечении
трубы. Преобразуя (11.20) к безразмерному виду, имеем
“+ = ? = 5П-------’-------•	(”-22)
S S «’+ve+r+</r.d(0
0 0
откуда с учетом (11.19) следует
a+ = A(Pr^Ro;De,;Gr,)	(11.23)
или в более привычном виде
Nu = /5(Pr; Ro; De; Gr),
(11.24)
где De = Re	— критерий Дина; Re =	— критерий Рейнольдса;
Nu =	— число Нуссельта; d = 2г0 — диаметр трубы.
При обсуждении вопроса о гидродинамическом сопротивлении
ограничимся рассмотрением изотермического ламинарного потока
жидкости. Такая постановка задачи создает возможность отделения
гидродинамической части задачи от тепловой. Третье уравнение систе-
мы (11.12) выпадает при этом полностью, а из второго — должен быть
исключен член, выражающий влияние подъемной силы. Соответству-
ющая краевая задача теперь может быть представлена в безразмерном
виде
1	. ^9+ _	, V2„ .
r+ \ dip дг+ дг+ dtp J +	в+’
i / ft/>+ эу2у>+ _ &ф+ ЭУ2У>+ \ _
< r+ Vs* ’	д* /	(11.25)
= 2De*v,+ (^.Cos^ + ^-sinv) +
+2 R° cos + sin *0 + ^+-
и9+ = 0; V>+ = 0; ^ = 0 при г+ = 1;
И ve+T+d,T+d<p = l1	(11.26)
о о
где С = —	= -£- — продольный градиент давления; С+ =
его безразмерный аналог; L — длина трубы.
Ор
/2«р
шение
Из выражения (11.25) и (11.26) непосредственно следует соотно-
С+ = /c(Ro; De.)	(11.27)
или его более привычная форма
CRe = /7(Ro;De)	(11.28)
где ( = ^d^p. — коэффициент гидродинамического сопротивления.
Интересно отметить следующее. На первый взгляд появление в со-
отношении (11.28) величин Re и £ выглядит не совсем корректным.
Первая из этих величин является мерой отношения сил инерции и тре-
ния, а вторая — сил давления и инерции. В то же время рассматрива-
ется установившееся ламинарное течение, и следовательно, влияние
силы инерции никак не должно проявляться. Суть дела заключается
в том, что эти величины входят в выражение (11.28) в виде произве-
дения и не являются самостоятельными критериями подобия. Физи-
ческий смысл произведения £ - Re — мера отношения сил давления
к силам внутреннего трения — вполне соответствует существу рас-
сматриваемой задачи. Что же касается самой формы представления
(широко распространенной в гидродинамике), то ее появление про-
диктовано соображениями удобства сопоставления гидродинамическо-
го сопротивления для ламинарного и турбулентного режимов течения.
При решении некоторых технических задач возникает необходи-
мость замещения воздействия на поток жидкости одной из массовых
сил через другую. Это имеет место прежде всего при моделировании
процессов, происходящих на активном участке полета летательных ап-
паратов, на имитаторах-центрифугах. С аналогичной проблемой при-
ходится сталкиваться при разработке систем охлаждения электродви-
гателей и генераторов большой мощности и т. п. Поэтому возникает
естественный вопрос, в каких случаях возможна такая замена и на-
сколько она вообще правомерна. Для ответа на этот вопрос рассмо-
трим более подробно полученные соотношения.
Обобщенные зависимости (11.23), (11.24) и (11.27), (11.28) полу-
чены с помощью стандартной процедуры без привлечения каких-либо
дополнительных предположений. В то же время в их структуре автома-
тически соблюдается единый принцип построения критериев подобия,
отражающих воздействие массовых сил, как меры отношения каждой
из этих сил к силе трения. Иными словами, сохраняется тот принцип
(см. выше), который, по мнению автора книги [127], является основой
для определенной универсализации получаемых результатов.
Эти критериальные зависимости соответствуют одновременному
воздействию на поток нескольких массовых сил. Если одна из них
доминирует, то в этих соотношениях, естественно, сохраняется лишь
тот критерий, который ей отвечает. Аналогичным образом в уравнени-
ях движения должен остаться только один член, отражающий именно
ее влияние. Массовые силы представлены в безразмерных уравнениях
движения следующими соотношениями:
F = 2 De^ vg+ (cos <р + sin	(11.29)
+ц	♦ у д(р ~	~ J	'	7
(центробежная сила инерции, возникающая под влиянием кривизны
канала),
F+K = 2R° (^cos^ + ^sini/)	(11.30)
(сила Кориолиса),
F+n = Gr, cosy?+ sin у?)	(11.31)
(подъемная сила).
Для подобия двух физических явлений необходимо, чтобы опреде-
ляющие уравнения, представленные в безразмерной форме, были тож-
дественны. Из выражений (11.29)-(11.31) непосредственно следует,
что при сопоставлении двух явлений с преобладающим влиянием в них
сил различной природы основные уравнения не совпадают и, значит,
возможность подобия таких явлений исключена принципиально.
Особенно отчетливо эти различия проявляются в том случае, ко-
гда доминирующей в потоке является подъемная сила. Здесь изменя-
ется сама структура обобщенных зависимостей, т. к. тепловая часть
задачи не может быть отделена от гидродинамической. В частности,
в уравнении для безразмерного перепада давления (коэффициента со-
противления) типа (11.27), (11.28) появляется в качестве дополнитель-
ного аргумента критерий Прандтля.
Рис. 26
Однако анализ полей скорости и температуры, полученных
как экспериментально, так и посредством численных и полуэмпири-
ческих методов расчета, показывает, что эти распределения для раз-
личных массовых сил имеют много общего [44, 45, 127]. На рис. 26 со-
поставлены безразмерные распределения продольной скорости, темпе-
ратуры и скорости вторичной циркуляции при Re = 3000; Pr = 1 в усло-
виях преобладающего влияния разнотипных массовых сил: подъемной
(сплошные линии, Rat = Gr, • Рг = 107) и силы Кориолиса (пунктир,
Ro = 5 • 104). Как видно из этого рисунка, распределения оказываются
достаточно близкими.
Объясняется это прежде всего тем обстоятельством, что при воз-
действии любой массовой силы (при достаточной ее интенсивности)
картина течения оказывается одной и той же — на основной поток
накладывается вторичное течение, представляющее собой пару сим-
метричных макровихрей. При этом поток жидкости можно разделить
на две области: ядро, где влияние молекулярного механизма перено-
са относительно мало, и своеобразный пограничный слой. По-видимо-
му, можно считать, что влияние типа массовой силы приводит лишь
к количественным, а не качественным отличиям полей друг от друга.
Именно этим обстоятельством, а не выбором какой-то особой формы
представления обобщенных зависимостей, обусловлено приближенное
подобие, благодаря чему в определенных условиях появляется возмож-
ность моделировать воздействие на поток одной из массовых сил по-
средством другой.
Как уже отмечалось, коэффициенты теплоотдачи и гидродинами-
ческого сопротивления, как и любые другие интегральные характери-
стики процесса, менее чувствительны к изменению вида силового поля.
Это дает возможность использовать однотипные критериальные зави-
симости, различающиеся только аргументом — критерием, отражаю-
щим влияние данной конкретной силы. В частности, для этой цели
можно использовать степенные аппроксимации со сравнительно близ-
кими значениями показателей степени.
Сложнее оказывается обстановка в условиях одновременного воз-
действия на поток жидкости нескольких массовых сил, соизмеримых
по величине. Традиционная форма обобщения экспериментальных дан-
ных для а+ или С в виде степенных структур
а+ = А1П1тг7ч или С=Л2П2тгГ',	(11.32)
где каждый из критериев тгг- отражает влияние какого-то одного факто-
ра, существенного для процесса, здесь не применима. Действительно,
при вырождении влияния одной из массовых сил соответствующий
ей критерий стремится к нулю, и, следовательно, расчетные формулы
рассматриваемого типа теряют смысл. Концепция приближенного по-
добия потоков жидкости в различных силовых полях, а также анализ
распределений скорости и температуры [44, 45, 90] позволяет пред-
ложить для обработки экспериментальных данных по теплообмену во
вращающихся изогнутых трубах комплексный критерий
= aj Ro H-Oj De2 -hag Grt,	(11.33)
где коэффициенты ар а^, определяются на основе известных кри-
териальных зависимостей, полученных в «предельных» для изучаемой
задачи случаях, т. е. таких, когда в потоке доминирует одна из массо-
вых сил.
Довольно часто воздействие массовых сил на поток рассматрива-
ют как некоторый эффект, интенсифицирующий теплоотдачу по срав-
нению с теплообменом при движении жидкости в прямой круглой тру-
бе. Поэтому вместо соотношений типа (11.23) или (11.24) используют
форму
^ = ^=A(Pr,Ro,De1Grt),	(11.34)
где ^(Nu^) — коэффициент теплоотдачи (число Нуссельта) в усло-
виях полной термической и гидродинамической стабилизации течения
в неподвижной круглой трубе. В качестве «предельных» зависимостей
приняты: для потока, в котором доминирует сила Кориолиса [128] —
— = 0,43Ro^21 Ргж45,	. (11.35)
для неподвижной изогнутой трубы (определяющая сила — центробеж-
ная) [127] —
— = 0,181 А°’2ф - 0,839Д-0,25 + 34,5А-°'5-
(11.36)
-2О7Д-0,75 +419Д-1], где Д = (Ое2Рг)ж,
для неподвижной прямой трубы при вязкостно-гравитационном режи-
ме (основная — подъемная сила) [94] —
^ = 0,28(Gr.Pr)£ie	(1,1.37)
пр
Здесь апр = 4,36A/d; индексом «ж» отмечается, что в качестве опре-
деляющей для выбора физических свойств принимается средняя тем-
пература жидкости.
Следует заметить, что имеющиеся в литературе расчетные фор-
мулы для теплообмена во вращающихся трубах дают неоднозначные,
а подчас и противоречивые результаты. Поэтому выбор зависимостей
(11.35)-(11.37) является в известной мере произвольным.
После перехода к переменным и Рг в выражениях
(11.35)-( 11.37) значения а1г а^, 03 находятся подбором, как резуль-
тат максимального сближения кривых, отвечающих этим уравнениям.
Полученная таким способом расчетная формула
= 0,55k?’2 Ргж4,	(11.38)
пр
где
К] =0,8Кож+3,1 • IO"2 D(£+3 • IO"3 Gr„ (11.39)
удовлетворительно аппроксимирует экспериментальные данные, полу-
ченные на вращающемся стенде [90, 128] (см. рис. 27).
Аналогичным образом получается комплексный критерий для за-
дачи о гидродинамическом сопротивлении жидкости во вращающейся
трубе для изотермических условий в виде
K^Ro+bjDe2	(11.40)
Окончательная зависимость (при Ъг = 0,023)
^- = 0,ЗК2°’2	(11.41)
Чпр
Рис. 28
При турбулентном режиме течения в основных уравнениях по-
являются члены, которые отражают влияние турбулентной вязкости
и теплопроводности. Для их определения требуются некоторые допол-
нительные гипотезы (см. раздел 11.2). Сравнение соотношений, полу-
ченных на основе соответствующих комплексных критериев, с экспе-
риментальными зависимостями также дало вполне удовлетворитель-
ный результат [90].
Необходимо подчеркнуть, что все эти расчетные формулы
(и для ламинарного, и для турбулентного режима течения) спра-
ведливы лишь при одинаковом направлении векторов массовых сил
(см. рис. 25). В противном случае может происходить взаимная ком-
пенсация различных сил, и их влияние на поток оказывается неодно-
значным. В этих условиях само использование комплексных критериев
типа (11.33) и (11.40) становится неправомерным.
§ 11.2. Полуэмпирический метод построения распределений
скорости и температуры внутренних потоков в поле
массовых сил
Существующие в настоящее время методы расчета распределе-
ний скорости и температуры потоков жидкости, движущихся в полях
массовых сил, нельзя признать удовлетворительными. Аналитические
решения соответствующих краевых задач получены только для лами-
нарного режима течения при достаточно малых значениях критериев
подобия, характеризующих массовые силы (критериев Дина, Россби,
Грасгофа). Использование численных методов позволяет заметно рас-
ширить диапазон изменения этих критериев, но при расчете турбулент-
ных потоков приходится сталкиваться с трудностями принципиального
характера.
Более перспективны в этом отношении приближенные методы
решения [129, 151, 152]. Полученные на их основе расчетные зави-
симости вполне удовлетворительно согласуются с опытными данны-
ми по теплообмену и гидродинамическому сопротивлению. Однако
при сопоставлении экспериментальных распределений скорости и тем-
пературы с теоретическими резуль-
татами обнаруживается их заметное
расхождение. В частности, согласно
теоретическим расчетам, при умень-
шении толщины пограничного слоя
центр вращения макровихря смеща-
ется к стенке трубы, а максимум ско-
рости вторичного течения принимает
значения, почти на порядок превос-
ходящие средние (см. рис. 29). Это
не подтверждается опытными данны-
ми, из которых следует, что центр
вращения макровихря смещается до-
вольно слабо и находится обычно ин-
тервале (0,6 4- О,65)то (г0 — ради-
ус трубы), а максимальное значение
скорости вторичного течения превы-
шает среднее не более, чем в 2-3 раза. Весьма характерно, что эти
расхождения нарастают с уменьшением толщины пограничного слоя,
т. е. как раз по мере увеличения точности выполнения основного пред-
положения теории. Кроме того, в работах [129, 151, 152] принимается,
что в невязком ядре потока жидкостгь движется прямолинейно в на-
правлении действия массовой силы, а возвратное течение происходит
в пограничном слое. В действительности форма движения жидкости
в ядре потока оказывается гораздо более сложной.	'
В связи с изложенным определенной интерес представляет разра-
ботка приближенного метода расчета распределений скорости и темпе-
ратуры, более точно устанавливающего особенности воздействия мас-
совых сил на поток жидкости. Ограничимся рассмотрением течения
жидкости в неподвижной изогнутой трубе, т. е. ситуации, соответст-
вующей случаю одной массовой силы — силы инерции, возникающей
под влиянием кривизны трубы [44]. Разумеется, этот метод может
быть применен при изучении влияния любой другой массовой силы
(см., например, [45]), а при использовании комплексных критериев ти-
па (11.33), (11.40) — обобщен на случай одновременного воздействия
на поток нескольких массовых сил.
Если по-прежнему (см. раздел 11.1) считать, что кривизна тру-
бы достаточно мала (r0/R0<^. 1), то для ламинарного режима течения
жидкости за участком гидродинамической стабилизации система ос-
новных уравнений задачи и граничных условий может быть представ-
лена в виде
Г \ Оф ОТ ОГ Оф J	Г" tn
р I &ф_ _ эу2^ _ эф эу2уЛ _
г у Эр dr dr dip J
= П? & cos + S’ sin v) + mV2V2V>;
ve = 0; V — 0; Tfr —0 ПРИ г = г0.
(11.42)
По сравнению с более общей постановкой задачи в предыдущем раз-
деле следует отметить два основных отличия. Во-первых, гидродина-
мическая часть задачи, в силу предположения о независимости фи-
зических свойств жидкости от температуры, отделена от ее тепловой
части. Во-вторых, по условию вместо средней расходной скорости зада-
ется постоянное значение продольного градиента давления = ~	
Строго говоря [31], распределение давления в общем случае не опре-
деляет полностью поле скорости. Однако в данном случае речь идет
об интегральных характеристиках течения, которые связаны однознач-
но, поэтому замена средней расходной скорости градиентом давления
является вполне оправданной. В то же время, для приближенного
расчетного метода, который будет использован в дальнейшем, вторая
из этих величин оказывается гораздо более удобной основой для вы-
числения соответствующих интегральных соотношений.
Из системы уравнений масштабных связей
dl-PyL- г-г И 1 431
J2 -°- ;2 > г4 - Rolt’ Г*-Г0
непосредственно следует
ч =	k = r0-, ^' = {/^4-7	(П.44)
у р Ко V р	у Р го
и уравнения (11.42) могут быть переписаны в безразмерной форме
г+ у dip dr+ Эг|_ dtp J "^1	в+’
1 ( d<i>+ av2v>+	dtp+ av20+\
. 7^ *^	^-sr)-	(1145)
= 2ve+ cos	sin v>) + ^i'V2 V2V-+:
^в+ = 0; ^+ = 0; 7^=0 ПРИ r+=l.
Будем использовать простейшую двухслойную схему потока, соглас-
но которой вся область течения состоит из ядра и вязкого подслоя.
В ядре интенсивность молекулярного и молярного механизма пере-
носа считается соизмеримой, а в вязком подслое учитывается лишь
молекулярная составляющая. Для определения поля скорости в ядре
воспользуемся интегральным методом, аналогичным предложенному
в работе [37]. Соответствующие интегральные соотношения для ядра
могут быть записаны в виде
я/2 4+	я/2 т1+
= S S r+dr+dp + K[ S S V2t)e0+r+dr+d<p;
0 0	0 0
f &Фо+ av2^ av2vCM.\ J ,
J И ----------- ST-  —d^~) dr+ dtP =
о 0 \ r +	+ r /
_ nl? T«+	/ dvanj-	\	,	,
= 2 S J «вен- (	• cos <p +	 sin <p) r+ dr+ d<p+
+K[ V Y V2V2^T+ dr+ dv. (11.46)
о 0
Если не стремиться обеспечить плавное сопряжение распределений
скорости на границе раздела зон, то, как показывает анализ экспери-
ментальных данных [129, 152], в качестве аппроксимирующих могут
быть выбраны довольно простые выражения
г>е0+ = Ао(1 + 0,454t-2 — 0,571 т*) + Вот+ cos <р;	(11.47)
00+ = Do(r+ sin V - г* sin2 <р).	(11.48)
Численные коэффициенты в этих выражениях определяются выбором
(на основе экспериментальных распределений) среднего значения ко-
ординаты центра макровихря (О,63го). Эмпирический элемент решения
вносится, кроме того, еще и заданием закона сопротивления типа
Л = /(Ое),	(11.49)
Ьцр
где Спр — коэффициент гидродинамического сопротивления для пря-
мой трубы.
Если в качестве конкретной формы закона сопротивления исполь-
зовать соотношение [129]
= 0,1064л/ЁЭё,	(11.50)
Snp
то выражение для безразмерной средней расходной скорости
= S S ve+r+dr+d<p	(11.50)
О о
может быть представлена следующим образом:
г;0+= 0,766 De0,25.	(11.52)
Распределение скорости в вязком подслое может быть получе-
но непосредственным интегрированием системы (11.45). Если считать
толщину вязкого подслоя 5] малой по сравнению с радиусом трубы
(и соответственно ^~)> то система уравнений (11.45) существен-
но упрощается и может быть переписана в форме
' ^'^± = -1;
1
< K>^=2Vel+^±sinifi;	(Н.53)
1 в1+ 9^+
01+=°; 7^ = °; Чп+ = ° при £+ = о.
где £+ = 1 - г+.
Решение системы (11.53) получается в виде
=	+	(И-54)
/ 17	д еб д 2 е5	\
+ т +	(11.55)
Для определения осредненного по координате <р значения А1 (А,) ис-
пользуется уравнение баланса сил, действующих на элемент жидкости
длиной Rod6,
CirfR0dO = 2тггом ( Rod6y	(11.56)
или в безразмерной форме
А!
2 ’
(11.57)
Подставляя в (11.57) среднее значение производной, вычисленное со-
гласно выражению (11.54), и опуская в соотношениях (11.54), (11.55)
члены, содержащие £+ в более высоких степенях, окончательно имеем
чп+ = ^;	(11.58)
=	(Ц.59)
Неизвестные и Е{ находятся из условия равенства соответствую-
щих компонент скорости по обе стороны границы между ядром и вяз-
ким подслоем. После вычисления интегралов в соотношениях (11.46)
для определения остальных неизвестных (Ао, Во, DQ, 51+) получим
следующую систему уравнений:
' —l,333D027?+(l+7?+) =
=.А?(0,6057?+ -0,750г?+ - 0,444^+0,290^)+
+АоВо(О,227г14+ - 0,381 г?+) - 25,lK{ri2+D0;
BoDo(O,7857?+ - 0,667rj5+)+
<	+А0Оо(0,30273 -0,4577?+-0,151716++0,28б71в+)= (И-60)
= 0,7857?+ + 3,14АоД1'(0,454 7?+ - 1,1437?+);
Л2 Л3
4+ = AM + 0,2277?+ - 0,1907?+) +	- з£;
> Ло(1 +0,4547?+ -0,5717?+) = ^,
где К{ = 2^0+De-1, а значение Dq+ определяется выражением (11.52).
Последнее уравнение системы (11.60) представляет собой условие
равенства продольной компоненты скорости на границе ядра и вязкого
подслоя (при <р = ?f). Толщина вязкого подслоя предполагается не за-
висящей от координаты <р. Для принятого полуэмпирического метода
построения распределения скорости это допущение является оправ-
данным, т. к. конфигурация поля скорости в ядре слабо зависит от ха-
рактеристик вязкого подслоя и определяется прежде всего соотноше-
нием (11.49), которое замыкает си-
стему уравнений задачи. Система
(11.60) решалась численным спо-
собом. Полученное распределение
продольной скорости сопоставлено
с опытными данными на рис. 30.
Как видно из этого рисунка, отк-
лонение экспериментальных точек
от расчетных кривых сравнительно
невелико.
Температурное поле в изогну-
той трубе за участком тепловой
и гидродинамической стабилизации
при ламинарном режиме течения
жидкости определяется следующим
образом:
Рис. 30
0+ г+ у dtp dr*. дг+ dtp ) Рг V+’
i?+ = 0 при Г+ = 1,
(П-61)
где г? =	- Т; i?+ =	= Gy/Roro', G =	— осевой градиент
температуры; — температура стенки. Здесь, как и в предыдущем
разделе, рассматриваются «смешанные» граничные условия, в соот-
ветствии с которыми принимаются постоянными плотность теплового
потока по длине трубы и температура стенки в рассматриваемом сече-
нии.
Распределение температуры в ядре аппрокимировалось выраже-
нием
= Мо (1 + 0,4547-2 _ 0,571 т-4) + NqT+ cos <р + Nq't* cos2 <р. (11.62)
Для вычисления безразмерной среднемассовой температуры потока
жидкости
2тг 1
0а. =----- ( ( ve, 1?, r,dr. dtp	(11.63)
□+ ТГУл , J J " + + + + '	'	'
°4" 0 0
использовалась интерполяционная формула
Nu = 2,9De°-Mlg(3,6Pr),	(11.64)
полученная на основе результатов работы [152]. Эта формула приме-
нима в диапазоне изменения De = 200 4- 2000 и Рг = 0,7 4- 5. После
соответствующих преобразований выражение (11.63) может быть пе-
реписано в виде
^=К/2,9Р^3,6Рг)-	(И-65)
Интегральные соотношения для ядра представляются как
C C f	, ^0+ ^0+	^0+ ^0+\ j j
\ \	— 'Oflfu.r, ч Г® • -S^--• -5^" I dr, dtp =
J J V еоь + 'd-p dr+ dr+ )	+ Vх
V-! я/2 n+
= pF S S v2lVr+ dr+ dtp;
0 0
C V (	I ^0+ ^0+	^0+ ЗД+А J J _
J J ( v90+r+ + dv  dr,	dr'dtp) ^T+ d'-Р —
тг/2 0 4	r +	+	*- /
= W 5 f V2^r+dr+d<p. (11.66)
я/2 О
В отличие от гидродинамической части задачи в данном случае исполь-
зуются два интегральных соотношения
вует «второму приближению» мето-
да Дородницына [12, 37].
Распределение температуры в
подслое молекулярной теплопровод-
ности принимается линейным (чле-
ны, содержащие более высокие сте-
пени £+, считаются пренебрежи-
мо малыми). Аналогичным образом
(см. (11.60)) была получена систе-
ма алгебраических уравнений, кото-
рая также решалась численным спо-
собом. Результаты расчета сопостав-
лены с экспериментальными данны-
ми на рис. 31 (De = 632; Рг = 0,7;
Re = 4000).
Обратимся теперь к рассмотре-
нию турбулентного режима течения
вместо одного, что соответст-
Рис. 31
жидкости в изогнутой трубе. Поле безразмерной осредненной скорости
в ядре потока в этих условиях определяется следующими уравнениями
р (ЭУ2уг0 _ d$Q ЭУ2^0 \ _ LJL f	_
г I dtp dr dr dtp j r dr l Ртг Qr I
= ^®cos^+^?sM; (1167)
P ( a$o ,	_ аФд . dPgp\ _ Х_Э_ (	r
r I cfy; dr dr dtp I r dr y'T dr J
Уравнения (11.67) учитывают две формы конвективного переноса в яд-
ре: турбулентную составляющую импульса и вторичные течения. Вли-
яние турбулентного механизма переноса учитывается приближенно.
При этом основные упрощающие предпосылки приняты теми же, что и
в работе [98]. Учитывается лишь радиальный перенос завихренности
и количества движения, причем коэффициенты переноса в обоих слу-
чаях считаются одинаковыми и равными 0,4£ (здесь крышечкой сверху
обозначены безразмерные величины в обычных динамических масшта-
бах v„ = и lt = Тогда можно записать, что
=	(11.68)
а затем с учетом известной связи между касательным напряжением
на стенке т0 и продольным градиентом давления С
ТО=^	(11.69)
представить выражение (11.68) в виде
Мт = О)283^Л/РСго-	(11.70)
Из (11.67) следует система уравнений масштабных связей
_ Ф.у/рСъ _ pvl .	,	fl 1711
j4 - j3 -RqZ/ z2 -°'	‘*-Г0>	(И./l)
откуда получаются те же, что и для ламинарного режима, масштабы
отнесения переменных и вместо К[ критерий
^2
(11.72)
Теперь система уравнений (11.67) может быть представлена в безраз-
мерной форме
1 f аФ(ц- ЭУ2Ув+ _ dip^	_
г, I Я» dr. dr, dtp /
0,283^ д ( е ЭУ2^\	--- , 3«То+	)/ц7Ч\
----t-^cos*’+-aErsin YjX11-73)
1 ( аФду 9^ёо+ _ Э^СЦ- .	_ °.283^2 9 (р	\ _ 1
r+ I dtp 9r+	3r+ dtp J r+ dr+ \ + Г+ dr+ J
Уравнение для осредненной температуры в ядре потока за уча-
ском тепловой стабилизации может быть приведено к виду (масштаб
отнесения температуры также остается прежним)
1 (9Ф<^ 9%. 9Ф0+	0,283^ д эЧмЛ_---------------
r+ I dtp dr+ йгц. dtp J Ргт r+ dr+ l ^+Г+ dr+ J ve0+>
(11.74)
где Ргт — турбулентное число Прандтля, которое принимается рав-
ным 0^9 (см. главу 8).
Распределения осредненных скорости и температуры в ядре ап-
проксимируются следующими выражениями:
iJ0O+ = Ло(1 + 0,202г2 — 0,254г*) + Bor+ cos ip; (11.75)
тДц. = D0(r+ sin ip - r* sin2 99);	(11.76)
1%, = 1И0(1 + 0,202 г? — 0,254r*) + Nkr, cos ip + Np'r^ cos2 ip.
(11.77)
Для вычисления безразмерной средней расходной скорости и средне-
массовой температуры жидкости использовались соотношения [127]
С = 0,048^^ + 0,32 Re~0’25;	(11.78)
Nt^ = 0,0266[Re^85(^)0'15 + 0,225(^)‘-55] • Рг£4,	(11.79)
из которых непосрественно следует
°о+ 1 /	»	1 1. о и;
^0,048+ 0,32 Re^0,25
e =___________37,6voy/r^/Rp_______
Pr^4[Re^85(^)0,15 + 0,225(^)1,55] • а'	1	'
где а — коэффициент температуропроводности жидкости.
В изогнутой трубе структура турбулентного потока сложнее,
чем ламинарного. Двухслойной схемой здесь можно ограничиться
лишь при значениях критерия Прандтля, незначительно отличающихся
от единицы. В общем случае приходится помимо ядра рассматривать
пристеночную область течения, состоящую из трех зон, — вязкого
подслоя (подслоя молекулярной теплопроводности), переходной обла-
сти и зоны, в которой доминирует турбулентный перенос импульса
и теплоты. Если считать, что в пристеночной области касательное на-
пряжение и плотность теплового потока постоянны и учитывать лишь
радиальный перенос импульса (завихренности), то можно непосред-
ственно использовать результаты главы 8. Разумеется, распределения
скорости и температуры, определяемые этими соотношениями могут
рассматриваться лишь как приближенные. Однако можно ожидать,
что в случае турбулентного режима течения влияние пристеночной
области на конфигурацию полей скорости и температуры в ядре по-
тока будет довольно слабым, поскольку уравнения переноса и здесь
замыкаются эмпирическими соотношениями типа (11.80), (11.81).
Выполнив соответствующие преобразования, получим две систе-
мы алгебраических уравнений, каждая из которых состоит из четы-
рех уравнений (два интегральных соотношения для ядра, выражение
для средней скорости или среднемассовой температуры, условие равен-
ства скоростей или температур на границе ядра и пристеночной обла-
сти). Численные решения этих систем (сами уравнения из-за их гро-
моздкости не приводятся) представлены на рис. 32 или 33 и сопо-
ставлены с опытными данными для случая ReK = 2,5 • 104; 7io/ro = 4O;
Ргж = 0,7.
В заключение необходимо отметить следующее. Успех примене-
ния рассмотренного здесь полуэмпирического метода в первую оче-
редь зависит от «угаданности» аппроксимирующих зависимостей. Весь-
ма характерным в этом смысле являтеся широкое распространение
такого рода методов в теории пограничного слоя, где использование
в этом качестве степенных полиномов является вполне естественным,
т. к. они весьма удачно отражают монотонно изменяющиеся распре-
деления в пристеночной области. Применение эмпирических соотно-
шений для интегральных характеристик процесса (для коэффициентов
гидродинамического сопротивления и теплоотдачи) обычно характерно
для турбулентного режима течения. Здесь они применялись и для ла-
минарного потока. Полученные результаты в связи с этим можно рас-
сматривать как единую рациональную форму представления распреде-
лений скорости и температуры.
ГЛАВА 12
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МАСШТАБОВ
В ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Широко распространено мнение, что использование обобщенного
анализа при количественном исследовании сложных систем (и в част-
ности, при решении технико-экономических задач) не целесообразно.
Действительно, в таких системах число переменных и параметров до-
ходит иногда до нескольких сотен, поэтому применение традиционных
методов обобщенного анализа — классической теории подобия и ана-
лиза размерностей — не приводит к существенному уменьшению чис-
ла аргументов задачи [99]. Например, использование аппарата анализа
размерностей позволяет сократить их число (в соответствии с тг — те-
оремой) на 5-6 единиц.
Некоторые новые возможности создает разработанный Арсенье-
вым [4, 5] метод, представляющий собой особое направление внутри
круга классических форм обобщенного анализа. Специфика этого ме-
тода заключается в идее базовой точки, которая является своего рода
«центром тяжести» области возможных изменений переменных. Зна-
чения независимых переменных в этой точке как раз и принимаются
в качестве масштабов отнесения (т. е. их характерных масштабов).
Предполагается, что система, находящаяся в «базовом» состоянии, мо-
жет быть переведена в оптимальное состояние посредством малых из-
менений переменных. Эта операция отражается на исходном оптими-
зационном уравнении — уравнении суммы приведенных затрат в виде
замещения самих функций их малыми вариациями.
Уравнения, характеризующие стоимостные соотношения, как пра-
вило, представляют собой не очень точные эмпирические зависимости.
Поэтому при ограничении изменения аргументов малыми интервала-
ми создаются широкие возможности для построения аппроксимаций
особого рода, вполне удовлетворяющих требуемой точности и вместе
с тем обладающих именно теми свойствами, которые дают возмож-
ность ограничиться меньшим числом переменных.
Анализ точек оптимума, соответствующих разным совокупностям
исходных стоимостных показателей, привел автора работ [4, 5] к за-
ключению, которое он сформулировал в форме особого положения —
«принципа смещения оптимальных параметров». Этот принцип рас-
сматривается им как некоторая модификация принципа Ле Шателье,
специализированная применительно к задаче о поведении инженерной
оптимизируемой системы. «Принцип смещения» представляет интерес
не только как любопытная аналогия: его практическое применение соз-
дает возможность простой качественной проверки решений инженер-
ных оптимизационных задач.
Как это непосредственно ясно, характерная особенность метода
базовой точки заключается в том, что он разработан применительно
к проблеме, формируемой как оптимизационная задача, которая рас-
сматривается в определенном интервале изменения параметров. Таким
образом, в его основу с самого начала (уже при постановке задачи) зак-
ладывается условие, противоречащее существу обобщенного анализа
как учения об универсальных формах представления результатов ко-
личественного исследования, для которого характерно изучение проб-
лемы в самых общих предположениях.
Использование масштабов, которые не определяются самой поста-
новкой задачи, существенно понижает степень универсальности реше-
ния, поэтому в дальнейшем метод базовой точки в чистом виде не рас-
сматривается. Это не исключает применения приемов, являющихся об-
щими для различных модификаций обобщенного анализа и, в частно-
сти, тех из них, которые получили свое особое развитие на основе
метода базовой точки.
Можно с уверенностью утверждать, что применение аппарата ме-
тода характеристических масштабов в технико-экономических задачах
создает возможность получить высокую степень универсализации ре-
шения. Для этого, однако, необходимо, чтобы сама задача была по-
ставлена рационально. Вопрос этот требует внимательного обсужде-
ния. Но предварительно следует остановиться на некоторых вопросах
терминологии.
Обычно считают, что целевую функцию в технико-экономических
задачах определяют четыре группы величин: свободные (варьируемые)
параметры, исходные стоимостные показатели, различные физико-
технические параметры объекта и ограничения, которыми устанавли-
вают интервал изменения всех этих величин. Применительно к ос-
новным представлениям обобщенного анализа свободные параметры
целесообразнее называть просто независимыми переменными задачи.
Разумеется, эти переменные существенно отличаются от привычных
для нас переменных (координаты, время и т. п.), с которыми приходит-
ся сталкиваться при решении физических и технических задач. Но их
объединяет одно важнейшее свойство — множества их значений вза-
имно независимы, и поэтому эти величины могут иметь независимые
масштабы отнесения.
Основанием для разделения параметров на две группы — стои-
мостные и физико-технические показатели — послужило то обсто-
ятельство, что физико-технические связи являются строгими и ста-
бильными, а экономические — приближенными, и устанавливаются
они разного рода аппроксимационными зависимостями. Для числен-
ных методов решения с использованием размерных величин (а также
и для метода базовой точки [5]) такое разделение является весьма су-
щественным. Как будет показано ниже, для использования аппарата
метода характеристических масштабов оно не играет сколько-нибудь
заметной роли, поэтому в дальнейшем все эти величины будут назы-
ваться параметрами задачи (независимо от их природы).
Таким образом, технико-экономические задачи в этих терминах
ставятся во многом аналогично чисто техническим или физическим:
на основе замкнутой системы уравнений, определяющих искомую
функцию, необходимо найти наиболее рациональную форму представ-
ления результатов численного решения. Совершенно очевидно, что и
в этом случае остается неизменным основной принцип подобия —
тождественность в безразмерном представлении адекватна подобию
в первоначальных переменных. При этом для получения безразмер-
ных комплексов может быть использована соответствующая система
уравнений масштабных связей.
Однако, вместе с тем сохраняются и заметные различия. В слу-
чае технико-экономического исследования существует определенная
степень свободы в самой постановке задачи, как в отношении ее эко-
номической части, так и физико-технической. Как уже отмечалось, это
прежде всего обусловленно приближенным характером аппроксимаци-
онных зависимостей для экономических связей объекта, которые могут
быть заданы в виде функций самого различного типа. Но и для физико-
технических связей, хотя и в меньшей степени, возможно использо-
вание различных форм представления, т. к. здесь часто фигурируют
интегральные характеристики процесса, получаемые на основе экспе-
римента или численного решения.
Если задача решается в первоначальных (размерных) перемен-
ных, то форма представления используемых зависимостей чаще всего
не существенна. Но при обращении к обобщенному анализу должна
применяться та форма представления, которая приводит к наиболее
универсальному решению, т. е. решению, содержащему минимально
возможное число безразмерных комплексных аргументов.
Основное уравнение технико-экономической задачи — соотноше-
ние для приведенных затрат — содержит относительно небольшое чис-
ло слагаемых. Если учесть, что число критериев определяется как раз-
ность между числом независимых уравнений масштабных связей и чи-
слом переменных, то становится совершенно ясно, что десятки и сот-
ни дополнительных аргументов появляются на стадии перехода к пер-
воначальным переменным. Таким образом, под углом зрения универ-
сализации решения определяющим является не только количество,
но и форма представления соотношений, аппроксимирующих физико-
технические и экономические связи объекта.
Число этих соотношений можно резко сократить, если исполь-
зовать прием, который часто применяется в технико-экономических
расчетах с размерными переменными. Значения некоторых величин,
вообще говоря, каким-то образом зависящих от оптимизируемых пе-
ременных, сначала задаются, а затем уточняются посредством после-
довательных приближений. Использование этого приема при реше-
нии задачи в обобщенной форме оказывается даже еще более эффек-
тивным, т. к. процедура последовательных приближений переносится
на самую последнюю стадию расчета — переход к первоначальным
переменным — и не может, следовательно, влиять на структуру реше-
ния в безразмерном виде, которое остается неизменным. Кроме того,
в некоторых случаях удается вообще отказаться от метода последо-
вательных приближений. Это позволяет также избежать трудностей,
связанных с аппроксимацией физических (в частности, термодинами-
ческих) констант, которые чаще всего задаются в виде таблиц. Для
облегчения расчетов на ЭВМ они часто представляются разного ро-
да интерполяционными формулами, точность которых обычно невели-
ка — это особенно ярко проявляется в тех случаях, когда на их основе
приходится вычислять производные. В обобщенном анализе конкрет-
ные значения физических констант вводятся на самом последнем этапе
исследования, что позволяет существенно упростить машинной расчет.
В технико-экономических расчетах определенный интерес пред-
ставляют некоторые конкретные частные задачи — например, рас-
чет кожухотрубного теплообменника при заданном числе труб или
при фиксированной их длине и т. п. Если для физико-технического
исследования подобная ситуация должна рассматриваться как редкое
исключение, то в технико-экономических задачах из-за стандартиза-
ции оборудования и ограниченности его типоразмеров такая постанов-
ка является типичной. Иногда характеристики такого рода оборудо-
вания, представляющие собой ступенчатые функции оптимизируемых
переменных, пытаются заменить некоторыми кусочно-непрерывными
функциями. Очевидно, что это заметно усложняет анализ, а иногда
и существенно снижает его точность. Целесообразнее и здесь рассма-
тривать такие величины как заданные по условию. В случае анали-
за на основе размерных переменных это приводит к необходимости
рассматривать несколько вариантов, отвечающих их различным кон-
кретным значениям. При использовании обобщенного анализа такого
рода конкретные значения появляются опять-таки лишь на самой по-
следней стадии решения, и поэтому никаких дополнительных трудно-
стей не возникает. Разумеется, сказанное в равной степени относится
и к экономическим характеристикам, таким, например, как стоимость
оборудования, которая зависит от его производительности и тем самым
является ступенчатой функцией от одной или нескольких оптимизиру-
емых переменных.
Решение задачи будет тем более универсальным, чем большее чис-
ло соотношений, определяющих физико-технические и экономические
характеристики объекта, будет представляться одночленными выраже-
ниями. Естественно поэтому, что в тех случаях, когда имеется свобода
выбора, предпочтение должно отдаваться именно таким выражениям.
Например, при расчете кожухотрубного конденсатора термиче-
ское сопротивление между наружной поверхностью стенки и охлаж-
дающей водой (см. раздел 12.3) может быть записано, как
».= £+££	(121)
или R = K33I/a2
(12.2)
где а2 — коэффициент теплоотдачи от стенки к охлаждающей воде;
52 у----суммарное термическое сопротивление металлической стен-
ки и загрязнений; Кт — коэффициент загрязнения теплообменной
поверхности. С точки зрения обобщенного анализа более предпочти-
тельным выглядит соотношение (12.2), хотя оно используется гораз-
до реже. В большинстве случаев это дань традиции, т. к. и толщина
слоя загрязнений и его теплопроводность принимаются ориентировоч-
но, поэтому такое видоизменение расчетной формулы логически впол-
не оправдано. В то же время применение коэффициента загрязнения
имеет и дополнительные преимущества: для существующего теплооб-
менника он легче выражается через режимные параметры, с его по-
мощью определяется периодичность чистки и т. п.
Наиболее общей формой выражения, не приводящего к появле-
нию в безразмерном решении задачи дополнительных критериев, яв-
ляется степенной одночлен. Происходит это потому, что степенная
функция обладает свойством гомогенности [32] — умножение ее аргу-
мента на некоторый множитель приводит к умножению самой функции
на этот же множитель в соответствующей степени. Таким образом, ши-
роко распространенные в технике степенные критериальные формулы
выглядят в этом смысле весьма удачными. В то же время использо-
вание не менее широко распространенных аппроксимаций в виде сте-
пенных многочленов (например, формул для теплоемкостей и других
параметров) совершенно не рационально.
Существуют и некоторые более частные приемы универсализации
решения за счет сокращения числа уравнений, определяющих физико-
технические и экономические связи, и выбора рациональной формы их
представления, которые будут обсуждаться в настоящей главе на кон-
кретных примерах.
В качестве первого примера рассматривается методика оценки эф-
фективности конвективных поверхностей теплообмена сложной формы
на основе обобщенного анализа [29]. Аналогичным образом ставит-
ся задача обобщенной оценки использования теплоты вентиляцион-
ных выбросов [40]. В заключительных разделах приводится методика
технико-экономического расчета испарителей и конденсаторов тепло-
насосных установок, а также обсуждается возможность оптимизации
такого рода установок с электрическим приводом в целом.
Для всех этих примеров характерны два обстоятельства. Во-
первых, в любом из них целью исследования является установление
общих тенденций, а не сопоставление двух или нескольких вариантов
решения конкретной задачи, формулируемых с максимально возмож-
ной степенью подробности. И во-вторых, постановка задачи в обобщен-
ных переменных здесь полностью адекватна ее прообразу в размерных
первоначальных переменных, а в обобщенном решении не используют-
ся какие-либо дополнительные приемы (ср. с методом базовой точки),
которые могли бы привести к ухудшению конечного результата.
§ 12.1. Оценка эффективности конвективных поверхностей
теплообмена сложной формы на основе обобщенного анализа
При определении эффективности серийно изготавливаемых по-
верхностей теплообмена обычно используется метод, основанный
на сопоставлении приведенных годовых затрат [80, 81]. Этот способ
не только дает возможность производить сравнительную оценку раз-
личных поверхностей теплообмена при произвольном режиме работы,
но позволяет также выбрать значения режимных параметров, при ко-
торых использование данной поверхности будет наиболее экономич-
ным (точка минимума приведенных затрат). К сожалению, применение
этого способа в его обычном виде для оценки вновь разрабатываемых
поверхностей теплообмена сложной формы затруднительно, т. к. сто-
имость их изготовления и некоторые другие экономические характе-
ристики на начальном этапе разработки теплообменной поверхности
нового типа могут быть определены лишь весьма приблизительно. Этих
трудностей можно в какой-то степени избежать, представив соответ-
ствующие характеристики в обобщенном виде и рассматривая лишь
интервалы их изменения.
Следуя работам [80, 81], запишем сумму затрат 3 на передачу
теплового потока Q в виде
3 = P0Cm3F + C3Nr,	(12.3)
где N — мощность, затрачиваемая на прокачку теплоносителя, Вт;
С3 —стоимость электроэнергии, руб/Дж; т — время работы установ-
ки, с/год; Ро = Р + РА —. общий коэффициент капитальных затрат,
1 /год; Р — коэффициент приведения, 1 /год; РА — ежегодная до-
ля капитальных затрат, отчисляемая на амортизацию и ремонт, 1 /год;
Спов — стоимость единицы поверхности, руб/м2; F — площадь поверх-
ности теплообмена; м2. Если перейти к удельной мощности п = у, то
с использованием соотношения Q = aFAT выражение (12.3) можно
представить в следующей форме:
3 = (n + nt)QC3r/(aAT},	(12.4)
где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К); АТ — температурный
напор, К; nt = P0Cm3/(C3r) эквивалентное (в стоимостном отношении)
значение удельной мощности, Вт/м2.
При определении приведенных затрат для теплообменных
устройств транспортных установок и, в частности, теплообменников
летательных аппаратов, помимо затрат, которые учтены в соотноше-
нии (12.4), необходимо рассматривать еще две их составляющие. Одна
из них связана с затратами топлива на перемещение теплообменни-
ка и приблизительно пропорциональна его массе. Нетрудно видеть,
что эта составляющая может быть вычислена следующим образом:
ттС^К = рм^РС^К,	(12.5)
где тт — масса теплообменника, кг; Спер — стоимость перемещения
единицы массы за один цикл, руб/кг; ршт — плотность материала,
(12.7)
из которого изготовлен теплообменник, кг/м3; К — годовое число
циклов работы, 1 /год; <5ср — средняя толщина стенок и ребер, м.
Вторая составляющая учитывает дополнительные затраты на раз-
мещение теплообменника. Весьма приближенно она оценивается в та-
кой форме:
PCa6V = PCa6F/(3.	(12.6)
Здесь Со6 — стоимость размещения единицы объема, руб/м3; V — объ-
ем теплообменника, м3; (3 = у — коэффициент компактности, м2/м3.
Теперь соотношение для приведенных годовых затрат приобретает
вид
о _ QC3T (' । ДОгов । Рмаг^ср^пер^	РСв6
° - аДТ	+’ С3т +’ С3т	0Сэт
Если ввести обозначение п' = п,+ Рмат т°ер----1- -^3^, то выражение
(12.7) становится внешне почти тождественным (12.4)
3 = (n + OQC3r/(aA71).	(12.8)
Однако такая замена существенно расширяет интервал изменения пе-
ременных. Например, для летательных аппаратов третье слагаемое
в соотношении (12.7) может заметно превышать все остальные.
В обычных расчетных зависимостях для коэффициентов теплоот-
дачи и гидродинамического сопротивления используются в качестве
аргументов средняя расходная скорость w0 и эквивалентный диаметр
канала <4- Как уже отмечалось в главе 10, выбор этих величин для по-
строения расчетных формул для поверхностей сложной формы явля-
ется своего рода условностью. Гораздо удобнее характеризовать теп-
лообменную поверхность с помощью коэффициента компактности [3
и удельных энергозатрат на прокачку теплоносителя п.
Для получения замкнутой системы уравнений необходимо соотно-
шение (12.8) дополнить уравнениями, которые выражают коэффициент
теплоотдачи а через [3, п и физические характеристики, существен-
ные для процесса. Эти уравнения подробно рассматриваются в главе
10, поэтому здесь воспользуемся непосредственно итоговой зависи-
мостью
CpV р п
где Ср — изобарная теплоемкость, р — плотность им — кинематиче-
ский коэффициент вязкости теплоносителя.
Система уравнений масштабных связей, соответствующая (12.8)
и (10.31), записывается в виде
=	=	=	п = р/?3м3,	(12.9)
а соотношение (12.8) преобразуется к безразмерной форме
=	(12.Ю)
Здесь 3+ = ^^2; Х+ = ± К+ =	- безразмерная фор-
ма эквивалентной удельной мощности, которую в дальнейшем будем
называть критерием эквивалентных энергозатрат. Отсюда получается
уравнение для определения значения Х+, отвечающего минимуму без-
размерных приведенных затрат
а+	4мин + *+
а+^+мян	2Х^МИН — К+
(12.И)
где «+ = При этом производная а'+ вычисляется с помощью чи-
сленного дифференцирования сглаженной экспериментальной зависи-
мости в форме (10.31).
Если для зависимости (10.31) удается подобрать удовлетворитель-
ную степенную аппроксимацию вида а+~X™, то из (12.11) непосред-
ственно следует
(12.12)
Следует отметить, что соотношение (12.12) отвечает несколько более
общим предположениям, чем те, которые рассматриваются в работах
[80, 81]. В этих работах экспериментальные зависимости для коэф-
фициентов теплоотдачи и гидродинамического сопротивления прини-
мались степенными. Здесь же каждая из них в отдельности может
и не быть обязательно степенной.
Выражение (12.10) представляет собой однопараметрическую за-
висимость с довольно резко выраженным минимумом. В качестве при-
мера на рис. 34 показаны такие зависимости для продольно (верх-
няя кривая) и поперечно обтекаемого шахматного пучка при значе-
нии критерия эквивалентных энергозатрат Х+ = 8,5- 108. Величины,
входящие в критерий Х+, изменяются в довольно широких пределах,
поэтому практический интерес представляет весь диапазон изменения
этого критерия. При этом минимум приведенных затрат сдвигается
с ростом величины К+ слева направо, от минимального значения Х+
до максимального. Таким образом, зависимость 3+ = f(K+) является
обобщенной характеристикой эффективности поверхности теплообме-
на в том случае, когда имеется полная свобода выбора режимных пара-
метров (нет никаких дополнительных ограничений). Такого рода харак-
теристики для уже упоминавшегося шахматного пучка представлены
на рис. 35. (Верхняя кривая и здесь соответствует продольному обте-
канию пучка).
В данном случае /3 = idem, поэтому безразмерные приведенные за-
траты пропорциональны своим размерным аналогам. Поскольку кривая
минимальных затрат для поперечно обтекаемого пучка располагается
повсюду ниже, то можно утверждать, что во всем рассматриваемом ди-
апазоне изменения К+ поперечно обтекаемая поверхность будет более
эффективной.
Разумеется, режим работы поверхности теплообмена, который
определяется зависимостью 3+мин = /(К+), не всегда может быть осу-
ществлен на практике. Но в каждом конкретном случае режимные
параметры, которые соответствуют этой зависимости, должны рассма-
триваться как тот идеал, к которому следует стремиться.
Обобщенные зависимости (10.31)-(10.33), (12.10), (12.11) позво-
ляют производить технико-экономических расчет поверхностей тепло-
обмена сложной формы по следующей схеме:
(12.13)
Здесь Mq — массовый расход теплоносителя (газа) по одному из па-
раллельно включенных каналов или (в зависимости от конструкции
теплообменника) по каналу единичной ширины; z — число параллель-
но включенных каналов; Ъ — ширина канала.
Эта схема расчета соответствует случаю, когда величина коэффи-
циента компактности поверхности теплообмена либо задана по усло-
вию задачи, либо выбирается на основе каких-либо дополнительных
соображений. Если же по условию задачи известна величина М^, то си-
стема безразмерных аргументов задачи может быть соответствующим
образом преобразована, а в схеме (12.13) изменен порядок определе-
ния некоторых режимных параметров.
Остановимся более подробно на оценке величины удельных энер-
гозатрат на прокачку теплоносителя. Для этого придадим зависимости
(12.12) более удобную для анализа форму
_	_ Пмяв _ т + 1
+ыив - п' ~ 2 - т •
(12.14)
К сожалению, из более общего соотношения (12.11) нельзя выразить
минимальные безразмерные энергозатраты в явном виде, хотя струк-
тура соответствующего выражения полностью аналогична (12.14). Од-
нако и здесь можно получить эту оценку численным способом. Для по-
верхностей теплообмена, рассмотренных в книге [54], величина п+мвн
изменяется в интервале от 0,2 до 0,5. Что же касается величины удель-
ных эквивалентных энергозатрат, то даже для теплообменных поверх-
ностей, используемых в одной и той же отрасли промышленности,
эта величина меняется в достаточно широких пределах. В различных
же отраслях значения п' (а следовательно, и удельные энергозатраты
на прокачку теплоносителя п) могут отличаться на несколько поряд-
ков.
В этих условиях достаточно эффективные режимы работы теп-
лообменных поверхностей могут быть определены , лишь на основе
технико-экономического расчета, который, естественно, удобнее про-
изводить при посредстве обобщенного анализа. Интуитивный выбор
удельных энергозатрат может привести к достаточно неприятным по-
следствиям, которые иллюстрируются следующими примерами.
Рассмотрим последовательность значений параметра К+ = 107;
108; 109; 1О10. Если выбрать значение удельных энергозатрат таким
образом, чтобы отношение 3/3ЫИН при К+ = 107 равнялось бы единице,
и сохранить это значение неизменным и при других К+, то для шахмат-
ного пучка получаются, соответственно, следующие последовательно-
сти значений 3/3 поперечное обтекание — 1; 1,3; 2,1; 3,5; продоль-
ное обтекание — 1; 2,7; 5,2; 10,2. Это свидетельствует о недопусти-
мости нормирования п независимо от режима работы теплообменника
даже для поверхности теплообмена одного и того же типа.
В некоторых случаях при рациональном выборе режима работы
существующей поверхности достигается больший эффект, чем при за-
мене этой поверхности теплообмена другой, заведомо более эффектив-
ной, при сохранении прежнего режима работы (ср. точки 1 и 2, 1 и 3
на рис. 35).
§ 12.2. Обобщенная оценка эффективности использования
теплоты вентиляционных выбросов
Наиболее простой способ использования теплоты вытяжного воз-
духа заключается в подогреве наружного воздуха в специальном
теплообменнике-утилизаторе, в котором холодный воздух подогрева-
ется до некоторой промежуточной температуры Т2" и затем поступает
в калорифер-доводчик, где догревается до необходимой температуры
Tf" и подается в помещение. Количественной характеристикой каче-
ства этой системы является коэффициент использования теплоты ту,
определяемый следующим образом:
(1215)
’tfyr । ’•’5ДОВ
где QyrT и (?дов — тепловые потоки утилизатора и калорифера-
доводчика, соответственно. Если утилизация теплоты не применяется,
то отработавший воздух выбрасывается наружу, а подогрев холодного
воздуха от температуры окружающей среды Т2 до температуры Т2"
осуществляется в калорифере.
Приведенные годовые затраты 3 (в случае использования тепло-
ты выброса) и 30 (без утилизации теплоты) могут быть представлены
в виде
3= Q(1 -7/)CTT + (n1'FTO + 2n1'Fyr)C9T + u3 вен + «зп+
+-Ро(-^век + ^пов ’	+ Спов^уг); (12.16)
Зй = QCTr + n[FxC3r + и3 MH + u3a + P0(K]iai + C;„Fs),	(12.17)
где Ст — стоимость единицы теплоты, руб/Дж; Сз — стоимость еди-
ницы электроэнергии, руб/Дж; т — время работы, с/год; пг и п' —
удельные затраты электроэнергии на прокачку воздуха в расчете на од-
ну сторону утилизатора и калорифера, Вт/м2; и3 вен — годовые рас-
ходы на электроэнергию системой вентиляции (кроме уже учтенных),
руб/год; Квен — капитальные вложения системы вентиляции, руб; Свов
и Споа — стоимость единицы поверхности теплообмена калорифера
и утилизатора, руб/м2; Fm, F , FK — площадь поверхности теплообме-
на калорифера-доводчика, утилизатора и калорифера, соответственно,
м2; Ро — общий коэффициент капитальных затрат, 1/ год.
Характерная особенность этой технико-экономической задачи, от-
личающая ее от рассмотренной в предыдущем разделе, заключается
в том, что здесь имеется естественный уровень отсчета (30) для при-
веденных годовых затрат 3. Выражения (12.16) и (12.17) содержат
несколько одинаковых слагаемых, поэтому их разность АЗ = 30 - 3 бу-
дет включать значительно меньшее число параметров, и универсаль-
ность решения при этом заметно повысится.
Температурный напор в калорифере в несколько раз больше, чем
в утилизаторе. Кроме того, коэффициент теплоотдачи от конденсиру-
ющегося пара (или от горячей воды) к стенке несоизмерим с коэффи-
циентом теплоотдачи к воздуху. Поэтому площадь поверхности теп-
лообмена калорифера обычно во много раз меньше, чем утилизатора.
Если пренебречь величиной FK — Fw по сравнению с FyT, то разность
приведенных затрат можно будет приближенно записать в виде
A3^Qr]CTT-2niC3TFyT-P0CaoBFyT. (12.18)
При реконструкции существующей системы вентиляции с установ-
кой утилизатора калорифер в новой системе может быть использован
как доводчик. В этом случае приближенное соотношение (12.18) ста-
новится более точным.
Ограничимся рассмотрением упрощенной задачи. Будем считать,
что теплотой конденсации пара, содержащегося во влажном вытяжном
воздухе, можно пренебречь. Не будем также учитывать ограничения,
связанные с возможностью замерзания образовавшейся влаги в ка-
налах теплообменника. Кроме того, расход теплого воздуха GY будет
приниматься равным расходу холодного воздуха G2.
В этих предположениях, помимо величин Cq и G2, существенны
только следующие режимные параметры: 7]' — температура теплого
воздуха на входе в теплообменник, равная температуре воздуха в поме-
щении, К; Т2 — температура холодного (наружного) воздуха на входе
в теплообменник, К; Т" — температура вытяжного воздуха на выходе
из теплообменника, К.
Если считать, что обе стороны теплообменника-утилизатора пред-
ставляют собой однотипные поверхности и пренебречь термическим
сопротивлением стенки, то можно записать
р дг	___
Qyr = On = -f-T = %FyAT,	(12.19)
Q1 + °2
где — тепловой поток утилизатора, Вт; Q — его максимально
возможное значение, Вт; ДТ — средний температурный напор в ути-
лизаторе, К; а — коэффициент теплоотдачи (о^ = а2 = а — значения,
соответствующие наиболее эффективным в рассматриваемых услови-
ях однотипным поверхностям теплообмена), Вт/(м2К). Именно в этих
условиях полное удельное значение электрической мощности, затра-
чиваемой на прокачку воздуха через утилизатор п, равно удвоенному
значению щ (см. соотношения (12.16) и (12.18)).
По условию задачи величины ДТ — не задана, поэтому выразим
ее через коэффициент регенерации т/ и температуры Т/ и Т2. Из урав-
нения теплового баланса утилизатора непосредственно следует
Qyi=Qq = cpGl(Т{ - 7]") = срG2(T2 — Т2),	(12.20)
а из условия Gt = G2
ЛТ = Т1'- Т2" = Т" - Т2	(12.21)
или 1 - т/ =	(12.22)
'	Т/-Т2 дт	v ’
С учетом соотношений (12.19) и (12.22) выражение (12.18) может быть
переписано в виде
ДЗ=О>7Стт- ^^ ^(г^С^ + РрС,,,,).	(12.23)
Используя результаты главы 10, представим соотношение для коэффи-
циента теплоотдачи в безразмерной форме
<1224’
Здесь /3 — коэффициент компактности поверхности теплообмена,
м2/м3; и — кинематический коэффициент вязкости, м2/с; А — тепло-
проводность, Вт/(мК); р — плотность воздуха, кг/м3.
Как уже отмечалось, весьма существенным является то обсто-
ятельство, что выражение (12.24) устанавливает непосредственную
связь между коэффициентом теплоотдачи и удельными затратами мощ-
ности на прокачку воздуха, и при этом в условие задачи не вводятся
никакие дополнительные (в известном смысле «балластные») перемен-
ные и параметры типа средней расходной скорости и эквивалентно-
го диаметра канала. Благодаря этому используемые и в технической,
и в экономической части расчета переменные оказываются полностью
тождественными.
С помощью уравнений масштабных связей, которые непосредст-
венно следуют из (12.23) и (12.24), —
о — ®п1 —. ^^О^пов.
* афДТ' а„ДТ' ’
at = fiX\n,= р$3»3	(12.25)
приводим соотношение (12.23) к безразмерному виду (ДЗ+ = ДЗ/Зф)
До _ „
+	а+(1 - 77)	а+(1-77)’
pC^v3 .
1+ АДТ'<7т’
is — ^О^пов
(12.26)
2+— /ЗХЛТ'тСт'
(12.27)
„	эдз, эдз.
Приравнивая частные производные дХ и нулю, получим сле-
дующие уравнения для определения оптимальных значений Х_^ и £0 =
= 1 — т}й, отвечающие минимуму приведенных годовых затрат, —
а+ __2-^1+^+0
________'2+ . Л	/4 ^1 + ^+0 + 2 ^2+
6К1+Х20	V “+
(12.28)
где
./ _ da+
+ _ dX^ ’
(12.29)
В общем случае величина Х+о = f(Kl+, К2±) может быть определена
из этих соотношений численным методом. Если для сглаженной экс-
периментальной зависимости а+ = f(X+) удается подобрать удовлет-
ворительную аппроксимацию вида а+ = ЬХ™, то из (12.28) и (12.29)
непосредственно следует
у _ 3/	™К2+
Л+0“ у 2А71+(3-т)’
р — . / 6^2+ а — ЬХт
° _ V “+о(3 - т) ’	а+0 - ОЛ+0-
Нетрудно видеть, что при этом
где
ДЗ+ = %2 = (1-е0)2,
2Д5 ( К2+	/2К1±\т/6
’° у/Ъ \3 — mJ \ т J
(12.30)
(12.31)
(12.32)
(12.33)
Значение Х+о позволяет выбрать наиболее экономичный режим рабо-
ты вентиляционной установки с поверхностью теплообмена выбранно-
го типа, а т?0 — наиболее экономичный коэффициент использования
теплоты вытяжного воздуха в заданных условиях.
Применение обычных компактных теплообменников с поверхнос-
тями теплообмена сложной формы (например, пластинчато-ребрис-
тых) в системах утилизации теплоты вытяжного воздуха встречает
серьезные трудности, связанные с необходимостью отвода выделяю-
щейся влаги и с возможностью ее замерзания в каналах теплооб-
менника. Кроме того, существуют определенные сложности с их кон-
структивных оформлением. Этих недостатков лишены теплообменни-
ки с промежуточным низкокипящим теплоносителем типа «тепловая
труба», которые снабжены специальными приспособлениями позволя-
ющими успешно решить названные проблемы. При этом интенсивность
теплоотдачи при конденсации и кипении промежуточного теплоноси-
теля значительно выше, чем при движении воздуха, поэтому дополни-
тельным термическим сопротивлением, связанным с наличием проме-
жуточного теплоносителя, чаще всего можно пренебречь. Таким обра-
зом, методика оценки эффективности использования теплоты вытяж-
ного воздуха и в этом случае остается прежней.
В качестве примера получим расчетные зависимости, определя-
ющие значения Х+о и т/0 для теплообменника типа «тепловая труба».
Безразмерный коэффициент теплоотдачи для воздуха может здесь рас-
считываться по формуле
а+ = 0,275Х°-61	(12.34)
Подставляя значение Ъ = 0,275 и т = 0,61 в соотношения (12.32),
(12.33), имеем
7fo=l -З.ТЗК^КЙ4,	(12.35)
ДЗ+ = (1 -З^ЗК^ТС,0;4)2.	(12.36)
Результаты расчетов по этим формулам представлены на рис. 36. Ин-
тервал значений критериев К1+ и К2+, представляющий практический
интерес, был определен на основе приближенной оценки интервалов
изменения параметров, входящих в эти комплексы.
Полученные соотношения обладают всеми преимуществами обоб-
щенной формы представления результатов. Однако необходимо отме-
Рис. 36
тить, что при решении задачи принят ряд упрощающих предпосылок,
которые вовсе не являются обязательными. Сделано это лишь для то-
го, чтобы решение было менее громоздким. Не существует никаких
принципиальных трудностей, препятствующих рассмотрению задачи
в более полной и строгой постановке.
§ 12.3. Технико-экономический расчет конденсаторов
теплонасосных установок на основе обобщенного анализа
Использование метода характеристических масштабов в технико-
экономических задачах оказывается особенно целесообразным на на-
чальных стадиях проектирования разного рода систем и устройств.
Здесь обычно применяются укрупненные показатели, а задача состоит
в выявлении общих тенденций. При этом приходится решать большое
число частных оптимизационных задач на самых различных уровнях
иерархии [99] и при самых различных ограничениях. Все это в значи-
тельной мере относится к оптимизации теплообменного оборудования
теплонасосных установок (в частности конденсаторов).
Рассмотрим в качестве примера задачу технико-экономического
расчета кожухотрубного конденсатора для двух вариантов. В первом
случае температура конденсации рабочего тела считается заданной,
поэтому имеется только один оптимизируемый параметр — скорость
движения охлаждающей воды. Во втором случае оптимизируются уже
две величины: по-прежнему скорость воды, но, кроме того, и средний
температурный напор (температура конденсации).
В отличие от предыдущих задач здесь будут использоваться тра-
диционные обобщенные зависимости для коэффициента теплоотдачи
и гидродинамического сопротивления. В кожухотрубных конденсато-
рах теплообменная поверхность со стороны охлаждающей воды обычно
бывает гладкой (неоребренной), а для таких поверхностей расчетные
соотношения, как правило, имеют степенную форму. Поэтому в реше-
нии задачи не появляется дополнительных критериев, а выбор в ка-
честве оптимизируемой переменной средней расходной скорости воды
имеет еще и то преимущество, что при расчете теплообменников огра-
ничивается ее предельное значение.
Итак, по условию задачи задаются следующие параметры: расход
охлаждающей воды G2, кг/с; значения температуры воды на входе
в конденсатор Т2', К и на выходе из него TJ', К; температура пара
рабочего тела на выходе из компрессора 7]', К. Конденсат отводится
при температуре насыщения.
Удельные приведенные затраты на выработку единицы теп-
лоты 3, руб/Дж определяются соотношением
3 = (KbPo + C,tNb)/(Qst),	(12.37)
где КЕ — стоимость конденсатора, руб; QK — тепловой поток, переда-
ваемый в конденсаторе, Вт; NB — мощность, затрачиваемая на привод
насоса, Вт. Здесь рассматривается лишь переменная часть удельных
затрат (зависящая от режимных параметров), поэтому стоимость на-
соса для перекачки охлаждающей воды, которая считается одинаковой
для всех вариантов, в уравнение (12.37) не входит.
Выразим величины, входящие в (12.37), через параметры, задан-
ные по условию задачи. Имеем
KI = Cm,F = Q,C1[a/q-,	(12.38)
д = а2(ДТ -КТ^/К^;	(12.39)
^ = AP.G2/(P2J7h);	(12.40)
G2 = QJ(Cp28T2)-,	(12.41)
AT=lnf(T	т")1’	(12.42)
где т/н — КПД насоса; 6Т2 = Т2 — Т2; Cws — стоимость единицы пло-
щади поверхности теплообмена конденсатора, руб/м2; ДТ] — средний
температурный напор между конденсирующимся паром и стенкой, К.
Для кожухотруоного конденсатора при движении охлаждающей
воды в трубах и конденсации рабочего тела в межтрубном простран-
стве используются следующие соотношения [115]:
а, =0)72{/д/г1р12А^/(мАДТ1)	(12.43)
а2= 0,023^ Re°,8Pr°’4;	(12.44)
Др = 0,158 Re20,25 PzWflK^/d^	(12.45)
где Д/ij — разность энтальпий рабочего тела на входе и на выходе
из конденсатора, Дж/кг; д — ускорение силы тяжести, м/с2;	— ди-
намический коэффициент вязкости конденсатора рабочего тела, Па • с;
<4 и с4н — наружный и внутренний диаметр трубы, м; Re2 = ^вн —
критерий Рейнольдса для воды; Рг2 — критерий Прандтля для воды;
Др — перепад давления, Па; W2 — скорость движения охлаждающей
воды, м/с; I — длина трубы, м; 7СДОП — коэффициент, учитывающий
влияние местных сопротивлений и шероховатости стенки.
Соотношениям (12.37)-(12.45) эквивалентна следующая система
уравнений:
' о =	, o.iss^1'75^25^^.
о?, ДТ.т	d}'25c п6Т9т] ’
11	” 2 н	(12.46)
___	1 W0’8	___ ____
а.ДТ, =0,023 у 0>8 Рг2,4(ДТ - ДГ0.
ЦЙ ^заг”2’
Соответствующая система уравнений масштабных связей может быть
записана в виде
о = ДСпоз = ИЛу5,0.25ГКдодСэ
*	“1'ДТ*т ^5cp2ST2gs ’
\ тлтДВ Рг0»4 Ат	___
a^Tt=X^2-p-^-, АТ* = ДТ, (12.47)
“вн -^заг ^2
где а[ — условное значение коэффициента теплоотдачи при конденса-
ции, вычисленное по формуле (12.43), но для полного среднего темпе-
ратурного напора ДТ (вместо ДТ]). Четыре уравнения масштабных
связей (12.47) содержат три характеристических масштаба, поэтому
решение задачи должно включать один параметр комплексного типа
(критерий)
СэтКЛ0^К^а[У^5т
+ ^повЦ>2А22'19 Рг°’88 •
Характеристические масштабы 3, и ДТ, в явном виде определяются
соотношениями (12.47), а масштаб W, выбран следующим образом:
(12.48)
/ ' V \ 1,25	j0,25
(12-49)
Система (12.46) с использованием этих масштабов перепишется,
как (3, = 3/3Ф; W2+ = W2/W<f\ ДТ1+= Д7]/ДТ,)
( З^ДТГ°’75 + О,158К+И£75;
( ДТ^5 = 0,023W2o4.8(1-ДТ1+),	1	;
а дополнительное соотношение для оптимального значения безразмер-
ной скорости Щ>+оят может быть получено в виде (^Л- =0)
^+W22;5L(3++AT1+onT) = 377.	(12.51)
Результаты численного решения системы уравнений (12.50), (12.51)
представлены на рис. 37. Удобнее всего эту систему решать в обратном
порядке — задаваясь значениями ДТ1+, последовательно вычислять
величины W2+onT, К+ и 3+ыин.
Рассмотренная задача является примером обобщенной однопара-
метрической оптимизационной задачи с одной переменной. Темпе-
ратура конденсации задана по условию, поэтому то обстоятельство,
что конденсатор работает как элемент теплонасосной установки, ни-
как не проявляется. С тем же успехом полученное решение может
быть использовано для технико-экономического расчета любого кожу-
хотрубного конденсатора.
Если оптимизируемыми следует считать оба параметра — ско-
рость охлаждающей воды и температуру конденсации, — то в уравне-
нии для переменной части удельных приведенных затрат появляется
слагаемое, соответствующее затратам мощности на привод компрессо-
ра Вт, —
3' = [Р0Кк + C3r(NB + NB)]/(QBr),	(12.52)
или 3’ = [PoKb + C3tNb]/(Qbt) + C3/^,	(12.53)
где — действительный (с учетом всех потерь) коэффициент преоб-
разования теплоты в теплонасосной установке.
Коэффициент преобразования теплоты зависит от целого ря-
да факторов (физические свойства рабочего тела, параметры тер-
модинамического цикла теплонасос-
ной установки, механический КПД
компрессора и т. п.), потому непо-
средственное использование соотно-
шения (12.53) нецелесообразно. Вве-
дем понятие «реперного цикла». Этот
цикл (1-2д-3~4-5-1) представлен
на рис. 38. Для него температура
конденсации рабочего тела совпада-
ет с температурой нагреваемой воды
на выходе из теплонасосной установ-
ки, т. е. температурный напор на вы-
ходе из конденсатора ДТ" принима-
ется равным нулю.
Очевидно, что без ущерба для
общности постановки оптимизацион-
ной задачи, можно вместо мощно-
сти компрессора NB рассматривать
приращение ДДГК, отсчитанное
от условного уровня, соответствующего ее аналогу для «реперного цик-
ла». Тогда
3 = [Р0Кк + C3tNb]/(Qbt) + С3(±-
\f я
(12.54)
где — действительный коэффициент преобразования теплоты в теп-
лонасосной установке, работающей по циклу 1-2д-3-4-5-1. Для выбран-
ного рабочего тела приращение Дд, = д"1—зависит только от зна-
чения ДТ", которое изменяется в интервале порядка нескольких гра-
дусов. Поэтому удобнее в качестве оптимизируемой переменной вме-
сто температуры конденсации принять температурный напор ДТ".
Рассматривая первый член разложения неизвестной функции
в ряд Тейлора, имеем
Дм;1
ЭЛм, 1
ЭЛТ"
ДТ'^^-О'оДТ".
(12.55)
Это приближенное соотношение превращается в точное равенство
при замене (Д^-1)], на ее среднее значение (Д^-1)'. В первом при-
ближении значение этой производной определяется для «реперного
цикла» в виде
<12-56)
\ r9 Pq /
где ДТ^ = Тв1 — TRli 1 — разность температур насыщения, К; Тп1 —
температура конденсации для «реперного цикла», К; — значение
соседней с ней температуры насыщения в таблице термодинамических
свойств рабочего тела, К.
При необходимости полученное значение производной может быть
уточнено. Следует подчеркнуть, что это уточнение производится на за-
ключительной стадии расчета при переходе к размерным величинам.
Это никак не отражается на полученном обобщенном решении задачи,
которое остается неизменным; изменяются лишь численные значения
масштабов отнесения переменных и критериев подобия.
С помощью уже использованных выше соотношений система урав-
нений задачи может быть записана следующим образом:
3 =	+ 0,1581’2755?0,2^КдодСэ + (д№)' аг";
“1ЛТ1т	ср2ЬТ2ЛЛ
____	х	рг0(4 ___ ______
а1 ДТ] = 0,023 Л20;20|87 (ДТ - ДТ,);
“вв v2 Лзаг
ST2
(12.57)
ДТ =_____________
1п(1 + 5Т2/ДТ") ’
В отличие от предыдущей задачи полный средний температурный на-
пор нельзя рассматривать как заданную величину, т. к. здесь он зави-
сит от переменной ДТ".
Из (12.57) следует система уравнений масштабных связей
О _ ^Ь^пов	^йоп^э р (ДДТ1 
“ГДГ, = Л2ТоР8^ат*; аг. = «т2,
(12.58)
j0,2,,0,8 „
а" — условный коэффициент теплоотдачи при конденсации, вы-
где < ,	_
численный по величине 6Т2. Отсюда получаются характеристические
масштабы
р	/ пн ts \ 1’2** г/0,25
О ___ -ЧЭ^пов . Л гр _ егр. ттг __ I а1 ^заг | авн у2
АТ. —612,	р-
и критерии подобия
(12.59)
С^К^К^9^')3’19 .
1+ ^иовМ^°вв1А22’19рГГ’
_ <79rc]'«T22 (Др-1)'
К2+- Р0СЦОВ
(12.60)
(12.61)
Уравнения задачи в безразмерной форме и дополнительные соотноше-
, эз, Л эз,
ния для оптимизируемых параметров (= 0; gjy  = 0) могут быть
представлены в виде	+
' 3+ = ДТГ+0’75 + 0,158К1+ЖД75 + К2+ ДГ/';
<	ДТ^5 = 0,023ТУ2°;8(ДТ+ - ДТ1+);
, ДТ+ = 1/1п(1 + 1/Д77),
' К1+Ж22;5^(ЗДТ+О]1Г + ДТ1+опт)=277;
<	к2+дт;0=дт°;501ГГ(1 + дт;01ГГ)(ЗДт4-опт
+ДТ1+опт)=ЗДТ2опт.
(12.62)
(12.63)
Результаты численного решения уравнений этой обобщенной двухпа-
раметрической оптимизационной задачи представлены на рис. 39-41.
Рис. 41
§ 12.4. Технико-экономический расчет испарителей
теплонасосных установок
Технико-экономический расчет испарителей теплонасосных уста-
новок отличается той особенностью, что сама постановка оптимиза-
ционной задачи зависит от конкретных условий работы установки.
Рассмотрим, например, теплонасосную установку, работающую в си-
стеме охлаждения какого-либо технологического или энергетическо-
го устройства. Ее назначение заключается в охлаждении низкотемпе-
ратурного теплоносителя с одновременной выработкой горячей воды.
Расход низкотемпературного теплоносителя и его температура на вхо-
де и выходе задаются по условию, поэтому при выборе оптимального
режима работы испарителя здесь могут варьироваться либо два па-
раметра — скорость движения низкотемпературного теплоносителя
и температура кипения, либо лишь один из них. В первом случае за-
дача является двухпараметрической и содержит две оптимизируемые
переменные, в во втором — однопараметрической при одной варьи-
руемой переменной. Таким образом, в методическом отношении эти
задачи не имеют никаких существенных отличий от уже рассмотрен-
ных в предыдущем разделе.
Если расход низкотемпературного теплоносителя не лимитирует-
ся и определяется лишь затратами электроэнергии на его прокачку
через испаритель, то в задаче появляется еще один оптимизируемый
параметр — расход низкотемпературного теплоносителя. Так обстоит
дело в тех случаях, когда источником низкопотенциальной теплоты яв-
ляется вода природных источников, сбросные воды и т. п. Как будет
показано ниже, обобщенное решение задачи в этом случае будет со-
держать только один критерий подобия (однопараметрическая задача
с тремя варьируемыми переменными). Рассмотрим эту задачу более
подробно.
Аналогично предыдущему в качестве оптимизируемых вместо двух
из этих переменных удобнее принять не сами искомые величины —
температуру кипения и расход низкотемпературного теплоносителя, —
а однозначно с ними связанные величины — температурный напор
на входе в испаритель ДТ' и температурный перепад этого теплоно-
сителя 57]. Тогда выражение для переменной части удельных приве-
денных затрат может быть записано в виде
3 = (РОКИ + C3rNJ/(Q*r) + С3	,	(12.64)
где /Си — стоимость испарителя, руб. При этом параметры, заданные
по условию задачи, вводятся в (12.64) следующим образом:
^=^03^=^^/?;	(12.65)
=	(12.66)
g = а2ДТ2 = (ДТ — ДТ2)а:1/Кзаг;	(12.67)
^=С1Др/(р1т7н);	(12.68)
G1 = QH/(cpl57]);	(12.69)

AT =_________________
1п[ДТ'/(ДТ'- 5TJ]’
а. =0,023-^- Re?’B Рг?’4;
1	%н 1	1
Др = 0,158 Ref0’25 Р1 W/1Кяоа/^а,
(12.70)
(12.71)
(12.72)
а2 = В0ДТ3,	(12.73)
где Во = [В/(рн2/ркр2)]4 (см. [115]). Здесь Спов — стоимость единицы
площади поверхности испарителя, руб/м2; Fs — площадь поверхности
теплообмена испарителя, м2; QH — тепловой поток в испарителе, Вт;
q — плотность теплового потока в испарителе, Вт/м2; а2 — коэф-
фициент теплоотдачи при кипении рабочего тела, Вт/м2/К; ДТ2 —
средний температурный напор между стенкой и кипящим рабочим те-
лом, К; ДТ — полный средний температурный напор, К; — коэф-
фициент теплоносителя от низкопотенциальногс теплоносителя к стен-
ке, Вт/м2/К; Кз-ц. — коэффициент загрязнения теплообменной поверх-
ности; Др — перепад давления, Па; pt — плотность, кг/м3; ср1 — изо-
барная теплоемкость, Дж/(кг-К); Aj — теплопроводность, Вт/м/К;
РГ[ — критерий Прандтля для низкопотенциального теплоносителя;
ры — КПД насоса; = Т/ — Т" — температурный перепад теплоноси-
теля, К; <4н — внутренний диаметр труб испарителя, м; Rej = ——
критерий Рейнольдса; — сред-	v'
няя расходная скорость, м/с; —
кинематический коэффициент вязко-
сти теплоносителя, м2/с; I — длина
труб испарителя, м; Лдоп = Кш • Кы;
Кш и К* — коэффициенты, учиты-
вающие влияние шероховатости труб
и местных сопротивлений, соответ-
ственно; ри2 — давление насыще-
ния, Па; ркр2 — критическое давле-
ние рабочего тела, Па. Кроме эмпи-
рических формул для расчета коэф-
фициента теплоотдачи при кипении
типа (12.73) могут быть использова-
ны также критериальные зависимо-
сти (см. главу 9).
Соответств)пощий рассматривае-
мой постановке задачи «реперный
цикл» (1-2д-3-4-5-1) представлен на рис. 42. Сучетом соотношений
(12.65)-(12.73) система уравнений задачи записывается в виде
_ CaoBP0KQ ОД58сХ'75И0’2Ход*С ,
В0£г2*т +	ср15Т1(^2Ч
_	\ П/0’8 Рг0»4 —	___
В0ДТ24 = 0,023	7- (ДТ - ДТ2);
Щ
СЦДд/УДТ';
(12.74)
ДТ =________________
1п[ДТ'/(ДТ'- 57))’
из которой затем получаются следующие уравнения масштабных свя-
зей:
о	c3w^v^ik№11Kq (
R ЛТ4_ “ г ATrf1.25»	~	J
т	cpl&Ttd^ Tfo
вдтз_\и;0’8рг?'4
° * ’
(12.75)
Система (12.75) включает четыре уравнения для трех характеристи-
ческих масштабов, поэтому в обобщенное решение задачи будет вхо-
дить только один критерий. На первый взгляд это является несколько
неожиданным, т. к. решение, полученное для случая двух оптимизи-
руемых переменных, содержит два критерия. Дело заключается в том,
что в данной задаче (при трех оптимизируемых переменных) отсут-
ствует характерное значение температурной разности. При двух пе-
ременных в качестве характерного задается значение температурного
перепада низкопотенциального теплоносителя 57]. Здесь же эта ве-
личина становится переменной и не может быть принята в качестве
масштаба отнесения, вследствие чего число уравнений масштабных
связей сокращается на единицу.
С помощью характеристических масштабов
7 Г 1 ' .
*	а]-25Рг?-5	’
ztO,91 д0,91 1^1,91 iz	2 j ъ^2,19 д 1,275
_ _______________________________________________
[(д^-1)'] 1,91 Рг°'вВ
Выражение (12.74) можно переписать в безразмерной форме
' 3+ = ДТг+ + 0,158К+W/;75 57];1 + Д 7]];
ДТ|+ = 0,023 ТУ°;8(ДТ+ - Д7^);
ДТ =-----------fZl+_______
+	1п[«Т1+/(Дт;-5Т1+)Г
(12.76)
(12.77)
(12.78)
(12.79)
(12.80)
Оптимальные значения Д7^от; 57]+опг и W1+onT (а также ДТ2+011т,
___	93	93	93
A^+oirr и 3+мвн) определяются условиями ^т = 0; ^^ = 0; эй^ = 0
и могут быть вычислены с помощью соотношений
' K^W^(4KT+0In - ЗДТ2 + опт) = 50357]+опт;_	_
ДТ^ДТ^ДДТ^ 5T1 + OIJ(4AT+Oirr - ЗДТ2+от) = 4ДТ+2ОШ;
К+УУ1\705птДТ^пт(4Д7\0пт - ЗДТ2+опт)(ДТ4П1 - 57] +01ГГ) =
. = 25,357] +ОПГДТ+О1ГГ(ДТ+ОПГ - ДТ^ + 57] +01ГГ).
(12.81)
Результаты соответствующих численных расчетов представлены
на рис. 43-45
§ 12.5. Технико-экономический расчет теплонасосных
установок с электрическим приводом
Рассмотрим парокомпрессионную теплонасосную установку, пред-
назначенную для горячего водоснабжения, схема которой представ-
лена на рис. 46, а термодинамический цикл — на рис. 47. (Цикл
1-2д-3-4-5-6-1). Установка выполнена по одноступенчатой схеме
и состоит из последовательно включенных по направлению движения
рабочего тела компрессора 1 с электродвигателем 6, конденсатора 2,
переохладителя конденсата 3, дроссельного вентиля 4 и испарителя 5.
В настоящее время выбор рабочих веществ для холодильных уста-
новок весьма ограничен. До самого последнего времени наиболее перс-
пективными хладагенами считались фреоны и аммиак. Однако в связи
с проблемой устойчивости озоносферы Земли применение хлоруглеро-
дов крайне нежелательно. Аммиак обладает рядом недостатков (взры-
воопасность, токсичность, коррозионная активность и т. п.). Исполь-
зование диоксида углерода часто оказывается нецелесообразным из-за
т
слишком высоких рабочих давлений. Таким образом, можно констати-
ровать, что выбор того или иного рабочего тела чаще всего является
вынужденным и определяется отнюдь не экономическими требования-
ми.
В этих условиях наиболее целесообразной становится обобщенная
постановка оптимизационной задачи, когда переход к абсолютным зна-
чениям характеристик происходит на самом последнем этапе ее реше-
ния. Само же решение в безразмерной форме, естественно, не зависит
от выбора конкретного рабочего тела, т. к. его параметры входят толь-
ко в масштабы отнесения переменных и критерии подобия, численные
значения которых определяются также на последнем этапе.
Теплонасосная установка включает сравнительно небольшое чис-
ло элементов, жестко связанных друг с другом. Поэтому здесь чаще
всего не возникает необходимость рассматривать различные варианты
принципиальной схемы, с которой приходится сталкиваться при ана-
лизе многоэлементных систем. Это заметно упрощает применение ап-
парата обобщенного анализа.
Кроме того необходимо отметить следующее. В зарубежных стра-
нах теплонасосные установки, в том числе и станции большой мощ-
ности, используются достаточно широко. В нашей стране такого рода
установки находятся пока еще на начальной стадии проектирования.
Здесь приходится пользоваться укрупненными показателями и оценка-
ми, чаще всего основанными на аналогии с существующим холодиль-
ным оборудованием. Поскольку задача заключается в определении об-
щих тенденций, то это обстоятельство также свидетельствует в пользу
применения обобщенного анализа.
Характерная особенность рассматриваемой задачи состоит в том,
что температурный интервал здесь оказывается жестко ограничен-
ным: сверху — заданными значениями температуры нагреваемой воды,
а снизу — фиксированной температурой низкопотенциального тепло-
носителя на входе в теплонасосную установку (иногда задается также
и его температура на выходе из установки). Тем самым определяется
образцовый цикл теплонасосной установки — цикл Лоренца.
Цикл Лоренца состоит из двух изоэнтроп и двух процес-
сов, линии которых отвечают изменению температуры нагревае-
мой воды и низкопотенциального
теплоносителя (линии АВ и CD
на рис. 48), что в свою очередь пре-
допределяет выбор «реперного цик-
ла» (1-2д-3-4-5-6-1 на рис. 48).
Этот цикл, разумеется, является
условным и соответствует нулево-
му значению температурных напо-
ров на входе в конденсатор и на вы-
ходе из испарителя. Как уже отме-
чалось, такие циклы не имеют ни-
какого физического смысла и ис-
пользуются в качестве некоторой
расчетной схемы.
Задача состоит в нахожде-
нии оптимальных параметров цик-
ла теплонасосной установки, а так-
-------------------s
Рис. 48
же оптимального режима теплооб-
менного оборудования. Что же касается компрессора, то его характе-
ристики — электромеханический и внутренний относительный КПД —
не оптимизируются. Электромеханический КПД компрессора являет-
ся практически неизменным и вводится в уравнения задачи как неко-
торый постоянный параметр. Внутренний относительный КПД в ка-
кой-то мере зависит от режима работы установки. Он также вводится
как параметр, но его первоначальное значение определяется на осно-
ве «реперного цикла», а затем при необходимости уточняется. Еще раз
напомним, что такого рода уточнения не влияют на структуру обоб-
щенного решения, т. к. производятся на конечном этапе расчета.
В общем случае переменная часть удельных приведенных затрат
определяется выражением
з=[адЕ+ад,+ад+Сэт(ДГИЕ+NHn+1УШ+^)]/(QraT), (12.82)
где КЕ; Кп; Кв — стоимость конденсатора, переохладителя конденсата
и испарителя, руб; Р^; Р^; Р^ — соответствующие общие коэффици-
енты капитальных затрат, 1 / год; NBB; NBB; NBB — мощности привода
насосов, Вт; NB — мощность компрессора, Вт; Qn — теплопроизводи-
тельность теплонасосной установки, Вт.
Вид соотношений, которые связывают величины в правой части
(12.82) с параметрами, заданными по условию, зависит от конкретной
постановки задачи.
Возможны два принципиально различных варианта. В первом слу-
чае теплонасосная установка имеет двухцелевое назначение — охлаж-
дение низкопотенциального теплоносителя и получение горячей воды.
Температура этого теплоносителя на выходе из установки (или его
расход) задается по условию. Во втором — расход низкотемпературно-
го теплоносителя не задан и определяется затратами электроэнергии
на его прокачку через испаритель теплонасосной установки. В свою
очередь, в каждом из этих основных вариантов в зависимости от того,
какие величины будут оптимизироваться, может быть выделен целый
ряд комбинаций. Рассмотрим некоторые из них.
В первом основном случае помимо уже названных величин могут
быть заданы по условию параметры термодинамического цикла уста-
новки. Тогда оптимизируются лишь три скорости течения — нагрева-
емой воды в конденсаторе и переохладителе, а также низкопотенци-
ального теплоносителя в испарителе. Общая оптимизационная задача
распадается на три отдельные однопараметрические задачи. Особен-
ность решения заключается здесь в том, что для каждой из них могут
быть выбраны свои характеристические масштабы. Вполне естествен-
но поэтому, что суммироваться могут лишь абсолютные (размерные)
значения удельных приведенных затрат. Таким образом, в целом за-
дача зависит от трех критериев подобия и имеет три оптимизируемые
переменные.
Если температуры кипения, конденсации и начала дросселиро-
вания не заданы и определяются на основе технико-экономического
Rа счета, то число оптимизируемых переменных возрастает до шести.
1огут встретиться и некоторые промежуточные случаи. Например,
для одной или нескольких скоростей могут быть заданы предельно
допустимые значения, тогда число оптимизируемых переменных соот-
ветствующим образом уменьшится. Число безразмерных комплексных
параметров в каждом из этих случае будет различным.
Во втором основном варианте максимальное число оптимизируе-
мых переменных равно семи. К шести уже названным выше добавля-
ется расход низкопотенциального теплоносителя (или его температура
на выходе их установки). Здесь также возможны промежуточные слу-
чаи, отвечающие меньшему числу оптимизируемых переменных.
Решение многопараметрических задач даже в обобщенном виде
приводит к довольно громоздким вычислениям. Если число безразмер-
ных параметров больше двух, то целесообразнее использовать машин-
ные методы решения уравнений и анализа полученных результатов.
Однако в некоторых случаях решение таких задач существенно упро-
щается, благодаря своеобразной суперпозиции более простых реше-
ний. Один из подобных случаев уже упоминался выше: решение трех-
параметрической задачи сводилось к наложению трех однопараметри-
ческих решений. Рассмотрим еще один характерный в этом смысле
пример.
Оптимизируется режим работы теплонасосной установки без пе-
реохлаждения конденсата рабочего тела, входящей в состав неко-
торой системы охлаждения технологического оборудования. Параме-
тры нагреваемой воды и низкопотенциального теплоносителя задают-
ся по условию задачи; поэтому здесь имеются четыре оптимизируемых
переменных: скорость низкопотенциального теплоносителя в испари-
теле, скорость нагреваемой воды в конденсаторе, а также температуры
конденсации и кипения рабочего тела. Вместо двух последних вели-
чин могут быть использованы соответствующие температурные напоры
(ДТ" и ДТИ').
Выражение (12.82) для переменной части удельных приведенных
затрат в этом слугае несколько упрощается и может быть представле-
но в виде
3 = [РОяКк + Рои^и + C3r(Nm + i\z + ANMQxr), (12.83)
где &NR — приращение мощности компрессора, отсчитанное от неко-
торого постоянного уровня. Это приращение определяется выбором
«реперного цикла» и записывается следующим образом:
д^^'дЧ+т^Гдг-' <12-м>
Обе производные могут быть вычислены на основе параметров «репер-
ного цикла», а затем, в случае необходимости, уточнены. Из уравне-
ния (12.83) и (12.84) непосредственно следует, что задача распадается
на две практически независимые друг от друга части, решение кото-
рых гораздо менее громоздко. При этом для каждой из них выбирают-
ся свои собственные характеристические масштабы. Таким образом,
решение сложной четырехпараметрической задачи сводится к супер-
позиции двух обощенных решений, каждое из которых содержит два
безразмерных параметра — критерия подобия.
§ 12.6. Краткое резюме
Общие положения, связанные с применением метода характери-
стических масштабов в технико-экономических задачах, уже обсужда-
лись в начале главы. Поэтому теперь целесообразно более подробно
рассмотреть, как эти положения реализовались в конкретных приме-
рах технико-экономических расчетов, которые составляют ее основное
содержание.
Прежде всего следует отметить высокую эффективность исполь-
зования обобщенного анализа, которая здесь достигается. Степень
универсализации получаемого решения оказывается значительно вы-
ше, чем в большинстве физико-технических исследований. Например,
в частной задаче оптимизации режима работы испарителя теплонасос-
ной установки (раздел 12.4) содержится около тридцати размерных
переменных и параметров, а ее обобщенное решение включает три оп-
тимизируемых безразмерных переменных и один критерий подобия.
В более общей задаче оптимизации теплонасосной установки с элек-
трическим приводом в целом число размерных величин приближается
к ста — и это при рациональной постановке задачи с учетом требова-
ний, необходимых для успешного применения метода характеристиче-
ских масштабов. Без их учета (при традиционной постановке задачи)
число размерных параметров было бы еще более значительным. В то
же время в обобщенном решении содержится 5-7 безразмерных опти-
мизируемых переменных и примерно такое же число критериев.
Такое резкое сокращение числа аргументов, в частности, связа-
но с тем обстоятельством, что некоторые из параметров не являются
самостоятельными величинами, а входят в состав размерных комплек-
сов, которые затем при использовании аппарата метода характеристи-
ческих масштабов автоматически включаются в состав безразмерных
комплексов. Но гораздо более существенным является то обстоятель-
ство, что значительная часть соотношений, определяющих заданные
по условию величины, могут быть представлены в виде степенных
одночленов, которые обладают свойством гомогенности [32]. Это ха-
рактерно почти для всех примеров технико-экономических расчетов,
рассмотренных в данной главе.
Однако необходимо отметить, что для рационализации постанов-
ки задачи не существует, за редким исключением, каких-либо общих
рецептов. Можно лишь отметить несколько правил, которые относятся
скорее к тому, чего не следует делать.
Прежде всего не следует использовать в качестве масштабов отне-
сения те параметры, которые входят только в состав ограничительных
неравенств. Не стоит также применять для эмпирических зависимо-
стей в качестве аппроксимационных формул разного рода многочлены.
Следует стремиться к тому, чтобы для оценки эффективности одной
и той же установки (устройства) использовались одинаковые величи-
ны и в технической, и в экономической части задачи. Это позволит
избежать появления в решении своего ро^,а «балластных» величин.
Характерный в этом смысле пример — оценка эффективности поверх-
ностей теплообмена сложной формы (см. разделы 10.2 и 12.1).
Существует целый ряд более частных приемов рационализации
постановки технико-экономической задачи. Так в разделе 12.2 вместо
общего соотношения для удельных приведенных затрат применяется
его разностный аналог. Это позволяет получить решение, содержащее
значительно меньшее число параметров (т. е. более универсальное).
В некоторых случаях к аналогичному результату приводит использо-
вание более сложных параметров, которые вычисляются на основе за-
данных по условию величин, а затем уточняются на конечной стадии
решения (применение «реперных циклов» в разделах 12.3-12.5). К чи-
слу рационализирующих постановку задачи приемов относится также
выбор различных характеристических масштабов в отдельных частях
задачи (раздел 12.5).
О высокой степени универсализации полученных в настоящей гла-
ве обобщенных решений свидетельствует и тот факт, что многие из ха-
рактеристических масштабов и критериев содержат большое число па-
раметров. Численные значения некоторых из них изменяются в весь-
ма широких пределах, в ряде случаев на 10-15 порядков, что также
говорит о высокой общности соответствующих решений. Для технико-
экономических задач это выглядит несколько непривычно, хотя в фи-
зических задачах не является редкостью. Вспомним, например, зада-
чу о теплообмене при свободном движении жидкости, когда критерий
Ra = GrPr может изменяться на 15-16 порядков.
Как уже неоднократно отмечалось, применение обобщенного ана-
лиза и, в частности (и в особенности), метода характеристических мас-
штабов, оказывается особенно эффективным при изучении некоторых
общих тенденций (а не при сопоставлении конкретных предельно дета-
лизированных вариантов решения). Именно такие задачи, когда имеет
место некоторая неопределенность исходной информации, и рассмо-
трены в качестве приложений в настоящей главе.
И в заключение необходимо отметить следующее. Часто противо-
поставляют обобщенные методы исследования и машинные способы
решения оптимизационных технико-экономических задач. Такое про-
тивопоставление не имеет никакого смысла. Более того, не подле-
жит сомнению, что при использовании обобщенного анализа в задачах
с большим число аргументов применение машинных методов расчета
является не только желательным, но и обязательным.
Обобщенный анализ должен рассматриваться как метод получе-
ния наиболее рациональной формы представления результатов коли-
чественного исследования. В частном случае машинных расчетов он
не только помогает упростить процедуру получения результатов. Го-
раздо существеннее то обстоятельство, что при этом улучшается обоз-
римость полученного решения и расширяются возможности его анали-
за. Особенно важным это оказывается в условиях учебной практики.
Список литературы
1.	Алмаши Э., Эрдели Л., Шарой Т. Быстрое замораживание пищевых продуктов.
Пер. с венгерского. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1981.
2.	Андреева Г.В., Зайцев А.А. Механизм переноса тепла и массы в вязком под-
слое // Теплообменные процессы и аппараты химических производств. М., 1976.
С. 32-38.
3.	Антуфьев ВМ. Сравнительное исследование теплоотдачи и сопротивления реб-
ристых поверхностей // Энергомашиностроение. 1961. № 2. С. 12-16.
4.	Арсеньев Ю.Д. Инженерно-экономические расчеты в обобщенных переменных.
М.: Высшая школа, 1979.
5.	Арсеньев Ю.Д. Теория подобия в инженерных экономических расчетах. М.:
Высшая школа, 1967.
6.	Базаров И.П. Термодинамика. 4-е изд. М.: Высшая школа, 1991.
7.	Бараненко В.И., Смирнов Г.Ф. Экспериментальное исследование механизма теп-
лообмена с помощью диффракционного интерферометра // Тепло-массоперенос. Т. 2.
Ч. 1. Минск, 1972. С. 141-145.
8.	Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.:
Гидрометеоиздат, 1978.
9.	Баренблатт Г.И. Автомодельность: анализ размерностей и промежуточная асим-
птотика // Прикл. мат. и мех. 1980. Т. 44. Вып. 2. С. 377-384.
10.	Бражников А.М. Теория термичесой обработки мясопродуктов. М.: Агропро-
миздат, 1987.
11.	Бриджмен П.В. Анализ размерностей. Пер. с англ. М.- Л.: ОНТИ, 1934.
12.	Бубнов В.А., Мартыненко О.Г. Гидродинамика и теплообмен с учетом смешан-
ной конвекции в горизонтальной круглой трубе // Исследование термогндродинамиче-
ских световодов. Минск, 1970. С. 180-195.
13.	Ваничев А.П. о расширении содержания физического подобия // Жури. тех.
физ. 1938. Т. 8. Вып. 2. С. 198-201.
14.	Волошко А.А. Внутренние физические характеристики процесса парообразо-
вания // Теплообмен и гидро-газодинамика при кипении и конденсации. Новосибирск,
1979. С. 6-10.
15.	Волынец А.З. Сублимация. М.: МИХМ, 1987.
16.	Воронин Г.В., Дубровский Е.В. Эффективные теплообменники. М.: Машино-
строение, 1973.
17.	Воскресенский К.Д., Турилина Е.С. Приближенный расчет теплоотдачи жидких
металлов // Теплопередача и тепловое моделирование. М., 1958. С. 87-92.
18.	Вукалович М.П., Новиков И.И. Уравнение состояния реальных газов. М_Л.:
ГЭИ, 1948.
19.	Гартнер Р., Уэстуотер Дж. Плотность центров парообразования в процессе теп-
лоотдачи при пузырьковом кипении // Вопросы физики кипения. М., 1964. С. 301-330.
20.	Герасимов Е.Д. Совершенствование алгоритма расчета конденсаторов и испа-
рителей // Холодильная техника. 1986. № 8. С. 35-37.
21.	Гидродинамика невесомости / Бабский В.Г., Копачевский Н.Д. и др. М.: Наука,
1976.
22.	Голицын Б.В. Избранные труды. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1960.
23.	Гребер Г., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. Пер. с нем. М.:
Изд-во иностр, лит., 1958.
24.	Гухман А.А., Зайцев А.А. Теория подорбия, анализ размерностей, характристи-
ческие масштабы. М.: МГОУ, 1993.
25.	Гухман А.А., Зайцев А.А., Камовников Б.П. Обобщенная задача Стефана //
Инж.-физ. жури. 1992. Т. 62. № 2. С. 317-324.
26.	Гухман А.А., Камовников Б.П., Зайцев А.А. О применении обобщенного анали-
за в холодильной технологии // Холодильная промышленность. Вып. 3. 1991. С. 13-17.
27.	Гухман А.А., Зайцев А.А. О некоторых особенностях применения обобщенного
анализа в термодинамике // Инж.-физ. журн. 1990. Т. 59. № 3. С. 365-374.
28.	Гухман А.А. Об основаниях термодинамики. М.: Энергоиздат, 1986.
29.	Гухман А.А., Зайцев А.А. Расчет и оценка эффективности поверхностей теп-
лообмена сложной формы на основе обобщенного анализа // Современные проблемы
теплообмена и физической гидродинамики. Новосибирск, 1984. С. 16-30.
30.	Гухман А.А., Кирпиков В.А. К вопросу об интенсификации конвективного теп-
лообмена // Тепломассообмен-IV. 1980. Т. 1. Ч. 1. С. 55-66.
31.	Гухман А.А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло-
массообмена. 2-е изд. М.: Высш, школа, 1974.
32.	Гухман А.А. Введение в теорию подобия. 2-е изд. М.: Высш, школа, 1973.
33.	Гухман А.А., Зайцев А.А. Автомодельные переменные // Теплофизика высоких
температур. 1970: Ч. 1. Т. 8. № 1. С. 136-148; Ч. 2. Т. 8. № 4. С. 847-Й55.
34.	Гухман А.А. Методика сравнения конвективных поверхностей нагрева //
Жури. техн. физ. 1938. Т. 8. Вып. 17. С. 1584-1602.
35.	Гухман А.А. Физические основы теплопередачи. М.: ОНТИ, Энергоиздат. 1934.
36.	Данилова Г.Н., Богданов С.Н., Иванов О.П. Теплообменные аппараты холо-
дильных установок. 2-е изд. Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1986.
37.	Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений ламинарного погранич-
ного слоя /) Прикл. мех. и техн. физ. 1960. № 3. С. 111-118.
38.	Дрейцер Г.А., Кузьминов В.А., Неверов А.С. Простейшие методы оценки эф-
фективности интенсификации теплообмена // Изв. вузов. Энергетика. 1973. № 12.
С. 77-84.
39.	Зайцев А.А., Проценко В.П., Сафонов В.К. Обобщенный метод теплового рас-
чета испарителей и конденсаторов // Холодильная техника. 1989. № 9. С. 45-48.
40.	Зайцев А.А., Проценко В.П., Ращепкин М.И. Оценка эффективности исполь-
зования теплоты вентиляционных выбросов // Промышленная энергетика. 1988. №11.
С. 28-30.
41.	Зайцев А.А. Расчет поверхностей теплообмена сложной формы с помощью
метода характеристических масштабов. М.: МИХМ, 1985.
42.	Зайцев А.А., Казенин Д.А. Термокапиллярное течение и отрывной диаметр пу-
зырей при кипении // Физико-химическая гидродинамика. Свердловск, 1985. С. 82-91.
43.	Зайцев А.А. Критерии оценки эффективности конвективных поверхностей теп-
лообмена для газовых теплоносителей # Теор. основы хим. технол. 1984. Т. 18. № 5.
С. 623-631.
44.	Зайцев А.А., Поляков В.Ф. Полуэмпирический метод построения распределе-
ний скорости и температуры в изогнутых трубах // Тепло-массообмен в химической
технологии. Казань, 1983. С. 21-25.
45.	Зайцев А.А., Поляков В.Ф. Расчет распределений скорости и температуры
жидкости в аппаратах с вращающимися трубами // Расчет и конструирование машин
и аппаратов химических производств. М., 1983. С. 89-93.
46.	Зайцев А.А., Андреева Г.В. Универсальные профили температуры и общий
закон тепло- н массообмена при турбулентном течении в трубах // Химическое маши-
ностроение. М., 1977. С. 64-71.
47.	Зайцев А.А. Автомодельность и автомодельные решения // Теплообменные
процессы и аппараты химических производств. М., 1976. С. 26-31.
48.	Кадер Б.А., Аронов А.Р. Статистический анализ экспериментальных работ
по тепло-массотдаче при больших числах Прандтля // Теор. основы хим. технолог. 1970.
Т. 4. № 5. С. 637-652.
49.	Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Ярхо С.А. Интенсификация теплообмена в кана-
лах. М.: Машиностроение, 1981.
50.	Каменомостская С.Л. Об одной задаче теории фильтрации // Докл. АН СССР.
1957. Т. 116. № 1. С. 18-20.
51.	Камовников Б.П., Малков Л.С., Воскобойников В.А. Вакуум-сублимационная
сушка пищевых продуктов. М.: Агропромиздат, 1985.
52.	Капица П.Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // Жури. эксп.
и теор. физ. 1948. Т. 18. Вып. 1. С. 3-28.
53.	Кафаров В.В. Процессы перемешивания в жидких средах. М.-Л.: Госхимиздат.
1949.
54.	Кейс В.М., Лондон А.Л. Компактные теплообменники. 2-е изд. Пер. с аигл.
М.: Энергия, 1967.
55.	Кирпиков В.А. Сравнительная оценка эффективности конвективных поверхно-
стей теплообмена. М.: ЦИНТИХимнефтемаш, 1981.
56.	Кирпиков В.А., Лейфман И.И. Графический метод оценки эффективности кон-
вективных поверхностей нагрева // Теплоэнергетика. 1975. № 3. С. 34-36.
57.	Кирпичев М.В. О наивыгоднейшей форме поверхности нагрева // Изв. Энер-
гетического ин-та. 1944. Т. 12. С. 5-9.
58.	Кириченко Ю.А., Слобожанин Л.А., Щербакова Н.С. Равновесные формы
и отрывные размеры пузырей в квазистатическом режиме. Харьков: ФТИНТ, 1977.
59.	Кириченко Ю.А., Слобожанин Л.А., Щербакова Н.С. Определение размера
паровых пузырей при их квазистатическом росте на нагревателе. Харьков: ФТИНТ, 1974.
60.	Кишиневский М.Х., Корниенко Т.С., Попович В.П. К экспериментальному
изучению закономерностей турбулентного переноса в вязком подслое // Теор. основы
хим. технол. 1970. Т. 4. № 3. С. 459-460.
61.	Клайн С.Дж. Подобие и приближенные методы. Пер. с англ. М.: Мир, 1968.
62.	Клаузер Ф. Турбулентный пограничный слой // Проблемы механики. Вып. 2.
М., 1959. С. 297-340.
63.	Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жид-
кости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1941. Т. 30. № 4.
С. 299-303.
64.	Кутепов А.М., Стерман Л.С., Стюшин Н.Г. Гидродинамика и теплообмен при па-
рообразовании. 2-е изд. М.: Высш, школа, 1983.
65.	Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск: Наука, 1982.
66.	Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. 5-е изд. М.: Атомиздат, 1979.
67.	Кутателадзе С.С. Основные формулы термогидродинамики пузырькового кипе-
ния // Теплопередача при кипении и крнденсации. Новосибирск, 1978. С. 5-10.
68.	Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассоперенос и трение в турбулентном
пограничном слое. М.: Энергия, 1972.
69.	Кутателадзе С.С. Теплопередача при ковденсации и кипении. М.-Л.: Машгиз,
1952.
70.	Лабунцов Д.А. Современные представления о механизме пузырькового кипения
жидкостей // Теплообмен и физическая гидродинамика. М., 1974. С. 98-115.
71.	Лабунцов Д.А. Приближенная теория теплообмена при развитом пузырьковом
кипении // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1963. С. 58-71.
72.	Лабунцов Д.А. Теплообмен при пузырьковом кипении жидкости // Тепло-
энергетика. 1959. № 12. С. 19-26.
73.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 2-е изд. М.: Наука, 1964.
74.	Лавдау Л.Д, Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. 2-е изд. М.: ГИТТЛ,
1953.
75.	Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959.
76.	Лойцянский Л J". Механика жидкости н газа. 6-е изд. М.: Наука, 1987.
77.	Лойцянский Л-Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962.
78.	Лойцянский Л.Г. Аэродинамика пограничного слоя. Л.-М.: ГИТТЛ, 1941.
79.	Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш, школа, 1967.
80.	Майков В.П. Оценка эффективности двухканальных теплообменных струк-
тур. // Тр. МИХМ. 1972. Вып. 42. С. 82-88.
81.	Майков В.П. Об оценке эффективности внутренней структуры тепло- и мас-
собменных аппаратов // Теор. основы хим. технол. 1970. Т. 4. № 3. С. 400-405.
82.	Марков В.В. Неправомерные тенденции в использовнии понятия об автомо-
дельных явлениях // Прикл. мат. и мех. 1980. Т. 44. Вып. 2. С. 369-377.
83.	Милн-Томсон Л .М. Теоретическая гидродинамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1964.
84.	Михайлов А.А., Борисов В.В., Калинин Э.К. Газотурбинные установки замкну-
того цикла. М.: Изд-во АН СССР, 1962.
85.	Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидродинамика. Ч. 1. М.: Наука, 1965.
86.	Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкости в гладких
трубах // Проблемы турбулентности. М.-Л. 1936. С. 75-150.
87.	Новиков И.И. Термодинамика. М.: Машиностроение, 1984.
88.	Новиков И.И., Боришанский В.М. Теория подобия в термодинамике и тепло-
передаче. М.: Атомиздат, 1979.
89.	Обобщение теплоотдачи и элементарных характеристик процесса при пузырь-
ковом кипении / Боришанский В.М. Данилова Т.Н. и др. // Теплообмен и гидродина-
мика. Л., 1977. С. 54-71.
90.	Обобщение экспериментальных данных по теплоотдаче во вращающихся кана-
лах в поле нескольких массовых сил / Зайцев А.А., Скачко И.М. и др. // Изв. вузов.
Химия и химическая.технология. 1989. Т. 32. Вып. 1. С. 97-103.
91.	Обухов А.М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Изв.
АН СССР. Геогр., геофиз. 1941. Т. 5. № 4-5. С. 453-466.
92.	О форме представления экспериментальных данных по теплообмену при ки-
пении / Зайцев А.А., Казенин Д.А. и др // Тепломассообмен-VII. 1984. Т. 4. Ч. 1.
С. 69-74.
93.	Петровский Ю.В., Фастовский В.Г. Современные эффективные теплообменни-
ки. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962.
94.	Петухов Б.С. Теплоотдача и сопротивление при ламинарном течении жидкости
в трубах. М.: Энергия, 1967.
95.	Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энер-
гия, 1976.
96.	Питерских Г.П., Рапуто А.Г. Моделирование газожидкостных течений в аппа-
ратах с механическим перемешиванием и барботажем на основе струйных потоков //
Тезисы докладов 4-ой Всесоюзной конференции по теории и практике перемешивания
в жидких средах. М., 1982. С. 93-94.
97.	Плановский А.Н., Николаев П.И. Процессы и аппараты химической и нефте-
химической технологии. М.: Химия, 1972.
98.	Поляков А.Ф. Развитие вторичных свободноконвективных токов при вынуж-
денном турбулентном течении в горизонтальных трубах // Журн. прикл. мех. и техн,
физ. 1974. № 5. С. 60-66.
99.	Попырнн Л.С. Математичесое моделирование и оптимизация теплоэнергетиче-
ских установок. М.: Энергия, 1978.
100.	Постольски Я., Груда 3. Замораживание пищевых продуктов. Пер. с польск.
М.: Пищевая промышленность, 1979.
101.	Присняков В.Ф. Термогидродинамика при кипении. Днепропетровск: ДГУ,
1982.
102.	Присняков В.Ф. Теория физики кипения жидкости. Днепропетровск: ДГУ,
1977.
ЮЗ.Присняков В.Ф. Плотность центров парообразования при кипении на поверх-
ности // Атомная энергия. 1970. Т. 29. Вып. 1. С. 46-48.
104.	Путилов К.А. Термодинамика. М.: Наука, 1971.
105.	Романков П.Г., Павлушенко И.С. Расчет мощности мешалок // Химическая
промышленность. 1947. № 10. С. 292-297.
106.	Ротта И.К. Турбулентный пограничный слой. Л.: Судостроение, 1967.
107.	Седов Л.И. Методы пообия и размерности в механике. 10-е изд. М.: Наука,
1987.
108.	Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970.
109.	Смирнов Р.С. Гидродинамика и массообмен в крупномасштабных барботаж-
ных аппаратах с механическим перемешиванием // Автореф. дис. кавд. тех. наук. М.:
МИХМ, 1985.
110.	Стренк Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками. Пер. с польск. Л.: Химия,
1975.
111.	Стюшин Н.Г. К теории процесса теплообмена при пузырьковом кипении
в условиях естественной конвекции // Теплообменные процессы и аппараты химиче-
ских производств. М., 1976, С. 67-76.
112.	Сычев В.В. Дифференциальные уравнения термодинамики. М.: Наука, 1981.
113.	Теория теплообмена // Терминология. Вып. 83. М.: Наука, 1971.
114.	Тепловые конструктивные расчеты холодильных машин / Бамбушек Е.М.,
Бухарин Н.Н и др. Л.: Машиностроение, Ленинтр. отд-ние, 1987.
115.	Теплообменные аппараты холодильных установок / Данилова Т.Н., Богда-
нов С.Н. и др. 2-е нзд. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986.
116.	Толубинский В.И. Теплообмен при кипении. Киев: Наук, думка, 1980.
117.	Филиппов Л.П. Методы расчета и прогнозирования свойств веществ. М.:
Изд-во МГУ, 1988.
118.	Филиппов Л.П. О применении теории подобия к описанию свойств жидко-
стей // Вести. МГУ. Сер.: Физика. Астрономия. 1956. № 1. С. 11-126.
119.	Фритц В., Энде В. Исследование механизма парообразования с помощью ки-
носъемки паровых пузырей // Вопросы физики кипения. М.: 1964. С. 162-188.
120.	Хантли Г. Анализ размерностей. Пер. с англ. М.: Мир, 1970.
121.	Хинце И.О. Турбулентность. Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963.
122.	Цянь-сюэ-сэнь. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го // Проблемы механики.
Вып. 2. М., 1959. С. 7-62.
123.	Чижов Г.Б. Теплофизические процессы в холодильной технологии пищевых
продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1979.
124.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М.: Наука, 1973.
125.	Шпильрайн Э.Э., Кессельман П.М. Основы теории теплофизических свойств
веществ. М.: Энергия, 1972.
126.	Штербачек 3., Тауск П. Перемешивание в жидких средах. Пер. с чешек. Л.:
ГНТИХЛ, 1963.
127.	Щукин В.К. Теплообмен и гидродинамика внутренних потоков в полях мас-
совых сил. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1980.
128.	Экспериментальное исследование влияния силы Кориолиса на интенсивность
теплоотдачи при вынужденном движении / Зайцев А.А., Поляков В.Ф. и др. // Изв.
вузов. Энергетика. 1983. № И. С. 83-88.
129.	Adler М. Stromung in gekriimten Rohren // Zeit. f. ang. Math. u. Meeh. 1934.
B. 14. H. 5. S. 257-275.
130.	Bashforth F., Adams J. An attempt to test the theories ol capillary action. Cam-
bridge: Univ, press, 1883.
131.	Blasius H. Grenzschichten in Fliissingkeiten mit kleiner Reibung // Zeitschr.
Mat. u. Physik. 1908. B. 56. S. 1-37.
132.	Bowman T.E., Paynter H.L. Weighless Equids // Sci. Journal. 1966. V. 2. № 9.
P. 44-49.
133.	Coles D. The law of the wall in turbulent shear flow // 50 Jahre Grenzschicht-
forschung, Vieweg, Braunschweig. 1955. P. 153-163.
134.	Corty C., Foust A.S. Surface variables in nucleate boiling // Chem. Eng. Progr.,
Symp. Ser. 1955. V. 51. № 7. P. 1-12.
135.	Deissler R.G. Analysis of turbulent heat and masstransfer and friction in smooth
tubes at high Prandtl and Scmidt numbers // NACA. Rep. ,1210. 1955. P. 68-82.
136.	Fritz W. Berechnung des Maximal Volumens von Dampfblasen // Phys.
Zeit. 1935. B. 36. № 11. S. 379-384.
137.	Graetz L. Uber die Warmeleitungsfahigkeiten der Fliissigkeiten // Ann. d.
Phys. 1883. B. 18. S. 79-94.
138.	Graetz L. Uber die Warmeleitungsfahigkeiten von Fliissigkeiten // Ann. d.
Phys. 1885. B. 25. S. 337-357.
139.	Gukhman A.A., Zaitsev A.A., Kamovnikov B.P. Qusistationary approximation
in mathematical description of phase transformations in food preservation // Engineering
research bulletin. Univ, of Helwan, Cairo. 1993. V. 5. P. 30-38.
140.	Karman T. The analogy between fluid friction and heat transfer // Trans. ASME.
1939. V. 61. P. 705-710.
141.	Karman T. Some aspects of the theory of turbulent motion // Proc. Intern. Congr.
Appl. Meeh. Cambridge, 1934.
142.	Keller J., Friedman A.A. Differentialgleichungen fiir die turbulente Bewegung
einer kompressiblen Flilssigkeit // Proc. 1 Intern. Congress Appl. Meeh., Delft. 1924.
S. 395-405.
143.	Kestin J., Richardson P.D. Heat transfer across turbulent incompressible boundary
layers // Int. J. Heat Mass Transfer. 1963. V. 6. № 2. P. 147-189.
144.	Kline S.J., Runstadler P.W. Some preminary results of visual studies of the flow
model of the wall layers of the turbulent boundary layer // J. Appl. Meeh. 1959. V. 26.
P. 166-170.
145.	Koch R. Dmckverlust und Warmeiibergang bei verwirbetter Stromung // VDI-
Forschungsheft. 1958. B. 24. № 469. S. 1-44.
146.	Kuo Y.H. On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at
moderate Reynolds number // J. Math, and Phys. 1953. V. 32. № 2-3. P. 83-101.
147.	Larkin B.K. Thermocapillary flow around hemispherical bubble // AICHE Jour-
nal. 1970. V. 16. № 1, P. 101-167.
148.	Lorenz H. Ober die Anwendung des Satzes von Virial in der kinetischen Theories
der Gase // Ann. d. Phys. 1881. B. 12. S. 127-136.
149.	Me Grew G.L., Rehm T.L., Griskey H.G. The effect of temperature induced surface
tension gradients on bubble mechanics // Appl. Sci. Res. 1974. V. 29. № 3. P. 195-210.
150.	Miyazaki M. Combined free and forced convective heat transfer and fluid flow in
rotating curved rectangular tubes // Trans. ASME. 1973. V. 95. № 1. P. 64-71.
151.	Mori Y„ Nakayama W. Convective heat transfer in rotating radial circular pipes //
Int. J. Heat Mass Transfer. 1968. № 6. P. 1027-1040.
152.	Mari Y., Nakayama W. Study on forced convective heat transfer in curved pipes //
Int. J. Heat Mass Transfer. 1965. V. 8. № 1. P. 67-82; 1967. V. 10. № 1. P. 37-59.
153.	Nicuradse J. Laminare Reibungschichten au der laiigsangestromten Platte, Zen-
trale fur Wiss. Berichtswesen. Munchen-Berlin, L942.
154.	Nusselt W. Die Oberflachenkondensation des Wasserdampfes // Zeit. der VDI.
1916. V. 60. S. 541-546.
155.	Pitzer K.S., Lippman D.Z., Curl R.F. Volumeric and Thermodynamic Properties
of Fluids // J. Amer. Chem. Soc. 1955. V. 77. № 13. P. 3433-3440.
156.	Prandtl L. Bemerkung fiber den Warmeiibergang im Rohr // Phys. Zs. 1928.
B. 29. № 14. S. 487-489.
157.	Prandti L. Eine Besiehung zwischen Warmeaustausch und Stromungwiderstand
der Flussigkeiten // Phys. Zs. 1910. B. 11. S. 1072-1078.
158.	Prandtl L. Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, Verhandl d. Ill //
Intern. Math. Kongr. in Heidelberg. 1904. Leipzig, 1905. S. 484-491.
159.	Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and deter-
mination of the criterion // Phil. Trans. Roy. Soc. 1895. V. 186. P. 123-161.
160.	Riedel L. Fine neue universell Dampfdruckformel. Untersuchungen fiber eine Er-
weiterung des Theorems der iibereinstimmenden Zustande // Chem. Ind. Technik. 1954.
B. 26. № 2. S. 83-89.
161.	Taylor G.I. Conditions at the surface of a hot body expose to the wind. Adv. Com.
Aero. Rep. and Memor. № 272. 1916.
162.	Van der Waals J.D. Die Continuitat des gasformigen und fliissigen Zustandes.
Leipzig, 1881.