МИНИСТЕРСТВО
ЗЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ CCCi-
3. И. РОЖКОВ, Г. Д. КУРДЕВАНИДЗЕ, Н. Г. ПАНФИЛОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
Москва
Издательство Университета дружбы народов
1987

22.1 Утверждено
Р 63 Редакционно-иадательстм советом
Университета
Рожков В. И., Курдеванидзе Г. Д., Панфилов Н. Г.
Сборник задач математических олимпиад. — М.: Изд-во УДК
1987.— 28 с, ил.
Сборник содержит 200 задач из всех основных областей математики.
Предназначен для студентов младших курсов н старшеклассников.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор В. А. Треногий,
кандидат педагогических наук Т. В. Рябцева
Р '(И0000-048 КБ 28_65_8? (С) Издательство
093@2)—87 Университета дружбы народов, 1987 г.

ВВЕДЕНИЕ
На инженерном факультете Университета дружбы народов име-
имени Патриса Лумумбы стало традицией проводить математические
олимпиады для студентов I—V курсов. В них принимают активное
участие иностранные студенты. Победители успешно выступают в
составе команды инженерного факультета на Московской город-
городской студенческой олимпиаде, проводимой в МГУ имени М. В. Ло-
Ломоносова.
Предлагаемые на этих олимпиадах задачи чаще всего носят
нестандартный характер и требуют от студента не только хорошего
знания математики, но и творческого подхода. Для успешного
участия в. них требуется определенная предварительная подготов-
подготовка с .использованием специальной литературы.
Сборник поможет учащимся приобщиться к решению задач
проблемного характера, оценить свои возможности. В него вошли
задачи олимпиад на инженерном факультете УДН, Московских
городских олимпиад, а также взятые из других источников.
В конце сборника приводятся решения некоторых задач.

АЛГЕБРА
1. Решить уравнение
(х*-х+\)» ___ (a2-fl+lK
хЦх—\J аЧа—1J '
2. Решить уравнение л3—[*1 = 3, где [х]—целая часть л; (наи'
большее целое число, не превосходящее х). .
3. Доказать, что тройка чисел 5, 11, 12 не может быть реше
нием уравнения x"-ryn—zn ни при каком n^N.
4. Известно, что х2 + х+ 1 =0. Найти х14 + х~и, xl5 + x^15.
5. Решить уравнение Yx—2 4-^4—х=2.
6. Решить уравнение V * +V У —V90 в целых числах.
7. Доказать, ^то У х — /~х—\^ 1 при х> 1, п'= 1, 2, 3,... .
8. Решить неравенство F—3*+')/*>К)/B*— 1).
9. Доказать, что для любых положительных чисел х и у выпол
няется соотношение У 4 (х+у) ^ -/ х + ^ у .
10. Доказать, что A + 1/4) A + 1/8) • ... -A + 1/2п)<2.
11. Доказать, что lg(n + l)>3/10" + lg/J, neN.
12. Что больше: 12723 или 51318?
13. Что больше: 100300 или 300!?
14. Доказать, что число 52п+1 + Зп+22л-1 при любом n^N делит-
делится на 19.
15. Доказать, что если р — простое число, большее трех, то
р2—1 делится на 24.
16. Доказать, что выражение л2—п+9 ни при каком n^N не
делится на 49.
17. Найти все натуральные п, для которых дробь A9п+17)/
G/7 + 11) равна целому числу.
18. Доказать, что если числа р, р2 + 2 — простые, то р3 + 2 —
простое число.
19. Доказать, что при любом n^N число п(п+1) (п+2) (п +
+ 3) + 1 является квадратом некоторого натурального числа.

20. На сколько нулей оканчивается число 500!? "~ *
21. Какими цифрами оканчиваются числа 21980 и 7
22. Вычислить "
1/444... 4 -11 -444... 4 +9.
1980 раз 990 раз
23. Доказать, что
Т/ТТ...1 -22...2 =33...3 Г
2л раз п раз п раз
24. Упростить выражение
■ • • +
Т
У 2 + 4
— \п радикалов
25. Пусть Pi и Р2 — многочлены от Х\, Х2, хз с вещественными
коэффициентами. Доказать, что равенство Pi -тР-2 —Х\ -\-Х2
невозможно.
26. Найти все решения системы
2
!-*&=;
27. Решить систему
{Х\+Х2+
28. Доказать, что если
то ai = a2= • • • ==fl«-

29. Решить систему т
2
xk-
■*»"т;— ,1 • *=2, з,
\/Хп-1+1/Хг
ГЕОМЕТРИЯ
30. Доказать, что если стороны прямоугольного треугольника
составляют арифметическую прогрессию, то ее разность равна ра-
радиусу вписанной окружности.
31. Определить стороны треугольника, а также радиусы впи-
вписанной и описаицой окружностей, если длины высоты, биссектрисы
и медианы, исходящих из одной вершины треугольника, соответст-
соответственно равны h, б, т, причем кфЬ. Исследовать случай /i=6 = m.
32. Пусть длины сторон треугольника равны а, Ь, с. Определить
его вид (тупоугольный, прямоугольный, остроугольный), если с"=
-а* + 6* при а'=3; при а = 3/2; при а=1/2. Провести исследование
зависимости от a^sO.
33. Пусть г и R— радиусы вписанной и описанной вокруг тре-
треугольника окружностей, а d— расстояние между их центрами. До-
Доказать, что d2 = R2—2 Rr.
34. Найти количество диагоналей в выпуклом л-угольнике.
35. Пусть hn — апофема правильного л-угольника, вписанного в
круг радиуса #. Доказать, что (л+1)п„+1—nhn>R.
36. Каждая сторона выпуклого четырехугольника меньше 20.
Доказать, что для любой точки О внутри четырехугольника най-
найдется вершина А такая, что | О А \ < 15.
37. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, у которого
длины сторон и диагоналей не превосходят 1. Доказать, что его
периметр не превосходит 2+4 sin —— .
38. Чему равна наибольшая площадь проекции единичного ку-
куба на плоскость?
ТРИГОНОМЕТРИЯ
39. Решить уравнение (tg* + ctg;c) B + sinу) =2.
40. При каких а уравнение l+sin2ax=cosx имеет единственное
решение?
41. Решить уравнение cos7*—sin7x= 1.
42. Доказать, что arctg*>;e—jc3/3 при Jt>0.

43. Нарисовать на плоскости множество тбчек (х, у) таких,
44. Доказать, что если х+ 1/х = 2 cos а, то *" + * "=2 cos n а.
45. Доказать, что
л 2я 7л 1
cos cos • ... • cos
15 15
46. Найти сумму
°0S 2« + l 2n+l
47. Сколько решений имеет система из 1982 уравнений
cos л:,=.«2,
COS #2 = *3,
= JC1982,
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
48; Требуется на один рубль купить 40 почтовых марок: 1-ко-
1-копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок
каждого достоинства?
49. Пусть F(x) —x2+px+q. Доказать, что если |F(O)|>1 и-
/■'A)^(—1)>0, то на отрезке [—1, 1] F(x) не имеет корней.
50. Если кирпичи класть друг на друга, сдвигая каждый в од-
одном и том же направлении относительно предыдущего, но так,
чтобы они не падали, получится изогнутый «козырек-стена». Како-
Какова его максимальная глубина?
51. Найти f{x), если это — действительная функция действи-
действительного переменного х, не равная тождественно нулю, причем
f(x)f{y)=f(x—у) для всех возможных х и у.
52. Пусть х+ех = у-+еу. Верно ли, что тогда sin je = sin»/?
53. Доказать, что уравнение у(у(х)) = 1, где y:R->R, не имеет
строго монотонного решения.
54. Существует ли такая непрерывная на всей вещественной
прямой функция f {x), что /(Да)) —е~х для всех х?
55. Функция f{x) определена иа вещественной оси. Известно,
что для любого х и любого Л>0 \f(x + h)—f(x—ft) | <h2. Доказать,
f)
f(
56. Из чисел 1, 2, 3,... , 99, 100 взяли произвольно 51 число.
Доказать, что среди выбранных всегда найдутся два числа, одно
из которых делится на другое.
57. Функция f(x) определена для всех вещественных значений
аргумента и принимает вещественные значения, причем
f(x + a) = 1/2+ Vf(x)-(f(x)J,
где а>0. Доказать, что функция f(x) периодична. Привести пример
такой функции, отличной от тождественной постоянной,, при а=1.
7

58. Можно ли tia клетчатой бумаге закрасить 25 клеток так,
чтобы у каждой из них было четное число закрашенных соседей
(две клетки называются соседями, если они имеют одну общую
сторону)?
59. Вся плоскость раскрашена в два цвета. Доказать, что:
а) существуют две точки одинакового цвета, удаленные друг
от друга ровно на 1 метр;
б) существуют две точки разного цвета, удаленные друг от
друга ровно на 1 метр.
60. Можно ли соединить 1987 телефонов так, чтобы каждый и
них был соединен ровно с пятью другими?
61. На маленьком острове стоит прожектор, который освещае
отрезок моря длиной в 1 километр. Прожектор вращается равнс
мерно вокруг вертикальной оси, делая один оборот в минуту. Ка-
Какова наименьшая скорость, с которой должен двигаться катер,
чтобы подплыть к острову незаметно?
Найти периодические решения у = у(х) следующих уравнений.
62. y{x)—Q,5y(x—2ny=sinx.
63. у\х) — 0,5t/(*-n)'=sir!.v.
64. у(х) -0,5у {х—л/2) = sin x.
65. у(х) — 0,5</(х—я/4) = sin x.
66. у(х) — 0,5у(х— l)=sinx.
67. у (х) — Зу (х—л) = cos х.
Доказать, что следующие уравнения не имеют периодических
решений кромеу(х)^0.
68. у(х) + 0,999#(х-— 1) = 0.
69. у(х) — \983у(х + е)=0. /
70. Доказать, что функция f(x)=cosx + cosnx не является пе-
периодической.
71. Допустим, автобусный билет имеет трехзначный номер от
000 до 999. Билет считается «счастливым», если:
а) сумма крайних цифр равна средней;
б) сумма всех цифр равна квадрату средней цифры;
в) сумма крайних цифр равна удвоенной средней;
г) сумма крайних цифр равна утроенной средней.
Сколько имеется «счастливых» билетов каждого типа?
72. Пусть автобусный билет имеет четырехзначный номер от
0000 до 9999. Билет считается «счастливым», если:
а) сумма двух первых цифр равна сумме двух последних;
б) сумма двух первых цифр втрое больше суммы двух послед-
последних;
в) сумма двух первых цифр равна сумме квадратов двух по-
последних;
г) сумма двух первых цифр равна сумме кубов двух последних.
Сколько имеется «счастливых» билетов каждого типа?
73. Мощность цеха сборки составляет 100 изделий А или
300 изделий Б в сутки. Отдел технического контроля в сутки
может проверить не более 150 изделий. Изделие А стоит вдвое до-
8

роже изделия Б. Сколько изделий обоих типов следует выпускать
в сутки, чтобы общая стоимость продукции была максимальной?
74. Производственная мощность цеха сборки составляет в день
100 изделий А или 400 изделий Б. Контролер, проверяющий только
изделия А, может проверить не более 75 изделий, а другой, про
веряющий только изделия Б, может проверить не более 200 изде
лий. Изделие А вдвое дороже изделия Б. Сколько изделий обоих
типов следует выпускать в сутки, чтобы общая стоимость продук-
продукции была наибольшей?
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ
75. От точки Р на плоскости отложено 2 и векторов единичной
длины. Они раскрашены попеременно в зеленый и красный цвета.
Пусть а — сумма п зеленых векторов, b— сумма п красных. Дока-
Доказать, что \а—b\ ss:2.
76. В трехмерном пространстве указать все пары векторов а и
Ь, при которых система
{-»-»-♦
(-) = И,
[ах\=Ь
имеет решения, и найти эти решения (здесь (ах) —скалярное про-
произведение, [ах] —векторное произведение).
77. Дана система векторов г„ (дс„, у„), леМ, координаты
которых удовлетворяют соотношениям
\+*пявУп*
(■
Доказать, что при п^2 |г„|2 ^7/4.
78. Доказать, что если AAi + BBi + CC1=0, где [АА{], [i
[СС,]—биссектрисы треугольника, то треугольник правильный.
79. Найти координаты фокуса параболы у=ах2 + Ьх+с.
80. Найти длину фокальной хорды у параболы у=ах2 + Ьх+с.
81. Найти координаты фокуса параболы у—\ ах+Ь + с.
82. Найти длину фокальной полухорды у параболы
//= V ах + Ь + с.
83. Определить координаты точки А, принадлежащей эллипсу
если известно, что площадь треугольника ABC, где точки В и С —
соседние вершины эллипса, является наибольшей из возможных.

84. По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катитсй
без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Определить,
какую линию описывает произвольная точка внутренней окружно-
окружности.
85. Две вершины треугольника зафиксированы, а третья дви-
движется так, что один из углов при основании треугольника остается
вдвое больше-другого. Какую линию описывает третья вершина?
86. На плоскости расположены две окружности радиусов Т\ и г2
с центрами О\ и О2 соответственно. На первой окружности взята
точка А\, а на второй — Л2 так, что векторы О\А\ и О2А2 колли-
неарны и противоположно направлены. Какую линию опишет се-
середина А отрезка Л Иг, если точка А\ обежит первую окружность?
87. Дан треугольник с вершинами в точках @, 0), A,2) и B, 3).
Найти точку пересечения его высот или их продолжений. -
88. Нарисовать фигуру, координаты точек которой удовлетво-
удовлетворяют системе
--4;c—32^0,
и найти площадь этой фигуры.
89. Нарисовать множество точек плоскости (х, у), для которых
выполнено неравенство f- —>1.
х у
90. Вычислить кратчайшее расстояние от окружности х2 + у2—£
до прямой у——2х+10.
91. Пусть Р — точка, лежащая на гиперболе ху=4, a Q — точкг
эллипса х2 + 4у2=4. Доказать, что расстояние от Р до Q не мень
ше 1.
92. Найти угол, под которым-пересекается парабола у — рх2 i
эллипс х2/2-Н/2=1.
93. Вокруг эллипса
У2
, У2
описаны два различных прямоугольника. Доказать, что их диаго
нали равны. ~
94- Х\, х2, у\, У2 — векторы в трехмерном пространстве. Дока
зать тождество
Гх\У~2)
!([*l*2][i/life])
{х2у2)
-.-»-* .-»-»
(здесь {ху)—скалярное произведение, а [ху]—векторное проиа
ведение).
10

95. Вычислить определитель
где о„=
п\
СО У~,
96. Вычислить
97. Вычислить
-i o
1984
B 1 Очк
О 1 О
VO 0 2
98. Пусть Л — квадратная матрица BX2), собственные значе
ния ль л2 которой удовлетворяют условию |ii|<l, itai <!• Дока-
Доказать, что (f—Л)-1|=£'+Л+Л2 + ... +А^+... .
99. Пусть
А--
(ab\
[О с У
где а, Ь, с — действительные числа. Найти все а, Ь и с такие, чти
некоторая степень Л" матрицы Л (neiV) имеет вид
100. Вычислить
lim
Х-.0 U->
где
0
101. Доказать, что не существует таких матриц Л и В, чт<
Л В—ВЛ = £.
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛЫ
Найти пределы последовательностей, определяемых следующи-
условиями.
102. jc,'=2; x2 = 2+l/3; Jcn+i = 2+
3+l/

103. Хщ+1ш(хщ + а1хяI2,п-&1; х,>0, a>0.
104. хя+\-{2ха + а/х1)/3, n^l; х,>0, a>0.
105. Xi«1982; xn+i , n^l.
4 3xn
106. Пусть 0<л:^л/2. Доказать, что:
а) lim sinn л-=0;
п -> оо
б) UmV nsinnx= УГ,
я -> оо
где sinoAt=sinx, sinn Jf = sin(sinrt_ix), гг == 1, 2,.'.. .
107. Известно, что для любых ne.V, m^N выполняется соотно
шение 0^xn+m^zXn+xm. Доказать, что:
а) последовательность {xk/k} ограничена;
б) последовательность {xk/k} сходится. Найти ее предел.
108. Доказать, что последовательность
f _. 3
1 п корне!:
3+ \2+Уз+У2+У 3+ ...
сходится, и найти ее предел.
109. Доказать, что последовательность
л~=\ с+ У с+ V с+ ... + Vc+V с
/I корней
сходится, и найти ее предел.
ПО. Найти lim wsin2 л еп\.
п —> оо
111. Найти lim sin2n V~n»
' П: -> оо
112. Найти
1
■)
л(л+1)(л+2)
113. Квадратный трехчлен ах2 + Ьх+с принимает только поло
жительные значения. Доказать, что
*-«> dx*
114. Найти х, если
Hm к1979 _■■ 1
я-оо я*_ (п—1)-^ 1980
115. Дана последовательность {1/2"}. Найти все натуральны)
k < 1000, при которых из данной последовательности можно вы
J2

брать числа, образующие бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию с суммой, равной \/k.
116. Найти все положительные числа х, для которых выпол-
выполняется условие '1ГТ1 *"(*")■=• 0, где (х")=хп -[хп] —дробная'
часть числа х", [хп]—целая часть числа х".
117. Найти.множество значений выражения
xy + yz + xz
x + y+z
при ограничениях х>0, у>0, г>0, xyz= 1.
118. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма
которой равна 16/3, содержит член, равный 1/6. Отношение суммы
всех членов прогрессии, стоящих до него, к сумме членов, стоящих
после него, равна 30. Определить порядковый номер этого члена
прогрессии.
119. Доказать, что последовательность {n-sin«} не ограничена.
120. В последовательности целых положительных чисел каж-
каждый член, начиная с третьего, равен модулю разности двух преды-
предыдущих. Какую наибольшую длину может иметь такая последова-
последовательность, если каждый ее член не превосходит 1967?
121. Последовательность {ап\> составленная из нулей, еди-
единиц и двоек, непериодична. Построим две последовательности
\Ьп\ и [сп\ следующим образом: Ьп = 0, если ап =0; frn=l,
если ап = 1 или 2; сп =1, если Яд—2; сп = 0, если ап = 0 или 1. До-
Доказать, что хотя бы одна из последовательностей {&„} и {с„\ непе-
непериодична.-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
122. Доказать, что In A +х) ^.х при
123. Доказать, что ел >1+1пA+дс) при х>0.
124. Найти все положительные числа и такие, что неравенство
ах ~^ах справедливо при всех х>0.
125. Доказать, что при 0<х<л/2 выполняется неравенство
xcosjt<0,6.
126. Доказать, что л sin x^2x при 0^х^л/2.
127. Доказать, что (sin3x)/x3>cosx при 0<|.\|<л/2.
128. Доказать, что sin a/sin р>а/р при 0<а<р"<л/2.
129. Что больше: tga/tgp или а/р, если 0<и<р<л/2?
130. Доказать, что для всех хе]0, л/2 [справедливо соотноше-
соотношение
л2
13

131. Докалать, что cos2jcsinx>—7/8 при хе[—п,л].
132. Найти наименьшее значение функции х—a sin л: на отрез-
отрезке [0, л/21 в зависимости от параметра а.
133. Ппйти наибольшее значение функции
/(ж, .у)-»(sin* -sin»/)/(*—«/) при х—ч/5= л/4.
134. Вычислить
lim tg(tgx)— sin(sinx)
x-'Q tgx—sin д;
135. Найти множество всех действительных чисел а, для каж-
каждого из которых функция /(*)■= sin2х—8 (а+l)sin-x+Dа2 + 8а—
—14) х является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет
критических точек.
136. При каком а уравнение (arcsinxK+ (arccosx)a=o имеет
единственное решение?
137. Доказать, что многочлен Р(х) = 12х3 + 12ах2—8 ах—3 имеет
хотя бы один корень в интервале ]0; 1[ при любом аеЛ.
138. При каком значении а функция f(x) = \х\2 + а2—2(а+ 1) |х\
дифференцируема в точке х=0?
139. При каком значении а функция /(*)'= (\х\—иK—3|лг| диф-
дифференцируема в точке х=0?
140. Пусть функция f(x) дифференцируема на сегменте [а, Ь],
причем ab>0. Доказать, что существует jte[а, Ь] такой, что
а Ь
На) !{Ь)
=f(xj-xf'(x).
141. Пусть
1 1 1
3—л: 5—З*8 3x3—1
2х2— 1 3JC5— 1 7 х8— 1
Доказать, что найдется число се]0; 1[ такое, что f (с) =0.
142. Доказать, что выражение
У'
2\у'
не изменится, если заменить у на 1/у.
143. Пусть f(x)—нечетная дифференцируемая на,]—«э, +оо|
функция. Доказать, что f'{x) —четная функция. Верно ли обратное
утверждение?
144. Доказать, что при любых действительных числах х, у \
■■ 1 справедливо неравенство
х + у
' 145. При каких а отрезок [0, 1] принадлежит области значенш
функции
14

146. Существует ли нелинейная функция, определенная на всей
вещественной оси и имеющая производные всех порядков, такая,
что при любом k ее k-я производная всюду по модулю не превос-
превосходит 1/2*?
147. Непрерывная функция f(x) выпукла вниз и f@)=0. Дока-
Доказать, что f(x)/x возрастает при х>0.
148. Пусть f(x) —дважды дифференцируемая на ]0, оо[ функ-
функция и пусть для всех х>0 выполняются неравенства |/(л-)|^Л,
|f"(jc)|<fl. Доказать, что |/'(хI<2 -/~АВ на ]0, оо[.
149. Найти общий вид всех многочленов степени п со старшим
коэффициентом, равным единице, которые делятся без остатка на
сумму всех своих производных.
150. Батарейка с ЭДС Е и внутренним сопротивлением R на-
нагружена электронагревательным прибором. При 'какой величине
сопротивления прибора выделяемое в нем тепло будет наиболь-
наибольшим?
151. Автомобиль буксует, выбрасывая из-под колеса фонтан
грязи. Какова его высота, если радиус колеса равен /?, скорость
его вращения обеспечила бы на сухой дороге автомобилю ско-
скорость V И 2/??
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
152. Найти значения параметра и, при которых площадь фигу-
фигуры, расположенной в полуплоскости х^О и ограниченной прямыми
у=\, г/ = 2 и кривыми у— (а2+ \)х2, у—(а2+1)х2/2, будет наиболь-
наибольшей. Найти эту площадь.
153. Найти значения параметров и>0 и 6>0, при которых
эллипс
х2 у2 _
проходящий через точку /4A, 1), будет иметь наименьшую площадь.
154. На отрезке [0, 1] задана функция у=х2. При каких поло-
положениях точки te[0, 1] (рис. 1) сумма площадей S{ и S2 имеет наи-
наименьшее и наибольшее значения?
? d х
155. Вычислить
о 1 +cos2x
156. Вычислить j
7С
157. Вычислить \Yl+cos2xdx.
о
158. Найти I'm U\f(X)\ndx
п->оо\о )
где f(x) —непрерывная на отрезке [0, 1] функция.

1
159. Доказать, что f xxdx>2/3.
о '
160. Пусть f(x) —непрерывная функция на отрезке [0,1], а-
положительное число, \f(x)dx=a,
о
Доказать, что
"о
16». Что больше: \esin2xdx или Зя/2?
:_ больше: J_+1/1/2-f
+ llV 3+ ... +1//36 или 1 +
/^
163. Доказать, что 1 + 1/23+1/33-
+ ... +1/п3<5/4 при любом n^N. -
164. Функция f (x) непрерывна
на отрезке [0, 1]. Доказать, что
= — f/(sinx)dx.
I о
165. Построить график функции f(x) = (cos (t2)dt.
6
166. Найти функцию /(^."удовлетворяющую условиям
\f
i(x)+f(x-l)=x.
167. Известно, что f'(sin2x) =cos2x+tg2jt. Найти f(x)
168. Найти все определенные на действительной оси два»,
дифференцируемые функции f(x) такие, что f'(x) f"(i)=0 д..
каждого х.
169. Функция f{x) трижды дифференцируема, причем />0, f >l
f">0, /'">0. Доказать, что для некоторого положительного чис-
числа о f{x)>ax2 при jc>0.
РЯДЫ
Исследовать ряды на сходимость.
« п1
170.
171.
10
<у 2п-3
А Ю1ип
16

172. У -
^Ы fi IQlnlrm
173.
174. >] l
175.. Исследовать на сходимость ряд ^V——, если известно,
л=1 "
что ряд У ап сходится, причем гп= Уак.
176. Привести пример сходящегося ряда У ап такого, что ряд
п=\
У а'п расходится. " v
11=1
I
177. Привести пример сходящегося ряда У ап такого, что ряд
Vanln« расходится.
178. Пусть {а„} и{ Ьп\ — возрастающие последовательности
положительных чисел такие, что У оо, V = оо.
Верно ли, что ^ — =оо?
от
179. Для как'их действительных х сходится ряд 'Уъ\п(пх)?
1
180. Из ряда У — удалены все члены, знаменатели которых
n"f*i п
содержат'хотя бы одну цифру 9. Выяснить, сходится ли ряд из
оставшихся членов.
181. Найти х^1+0*я
„=о 2«п!
182. Найти 2 ( lJ" cos3 C»?).
л—0 "
17

183. С точностью до 0,000001 вычисли!.
loo | :
V—--, /н=2,3,4,5.
л = !0 "
184. Доказать, что ни при каком значении п частичная сумма
- " 1
гармонического ряда Sn= 'V —не является целым числом.
' Si ft ■
°° 1
185. Доказать иррациональность числа ^ •
186. Доказать иррациональность числа
л=М
187. Доказать, что степенной ряд
удовлетворяет функциональному уравнению
188. Пусть 0<а1<а2< ... <ап <... . При каком значении
х>0 п-й член ряда
.V . X2 X"
1+ —-\ ь ... + + ...
превосходит все остальные?
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решить дифференциальные уравнения.
189.
190.
191. У*+(У'K-УУ' = О.
192. y"—xy'—y = Q.
193. УУ"=У' + У2/х.
2x«/—1=0, 0<.v<oo,
Ц()
195. Нарисовать график функции г/(х), если г/@)=0 и //'(х) =
2
() ^
196. Пусть в уравнении y' + a(x)y=f (x) а(д;)^с>0для всех х
и /(x)->0 при jc-> + oo. Доказать, что каждое решение такого урав-
уравнения стремится к нулю прих—+ оо.
197. Могут ли функции yi = smx, y2 = s'm2x быть решениями-на
интервале]—л, л[ дифференциального уравнения у" + р{х)у'+
+ q(x)y = 0 с непрерывными коэффициентами р(х) и ()?
18

198. Доказать, что все решения уравнения «/'=1/A +,х2 + уй)
ограничены на всей оси.
Доказать, что следующие краевые задачи не имеют других ре-
решений; кроме y(x)=sQ.
200
U/(-l)=.v(D=0.
РЕШЕНИЯ
(KM)"
хЦх-\у If 1 у 1 у
поэтому если х = х'\ — корень нашего уравнения, то число хг, опре-
определяемое равенством xi—1/2=1/2—х2 (х2= 1— Xi), также будет
корнем. Кроме того, легко видеть, что и х^1/xi будет решением.
Теперь легко выписать корни уравнения:
х^==а, х2=\—а, Хз—l/a, xt-* 1/ха» 1/A -й), х5=1—х3= (а— 1)/а,
Очевидно, что других корней быть не может.
9. При х>0, у>0 у^4 (х + у) ^ \ 7+ I ~у ^ >
Последнее неравенство очевидно.
+in(i+4-) + • ■ ■ +in( 1+—) <4-+4-+ • ■■+—+ ■ ■ • =
\ 8 j . V2"j48 2"
12. 12723<12823=B7J3=2161<2162=B9I8=51218<51318.
16: п2—п + 9=п2—/1—12 + 21 = (га—4) (га + 3) +21 = (га—4) [ (л—
—4)+7]+3-7. Если п — 4 делится на 7, то (п—4)[(п—4)+7] де-
делится на 49-> (п—4) [ (га—4)+7]+3-7 не делится на 49. Если
(п—4) не делится на 7, то («—4) [(п—4) +7] не делится на 7 ->
"> (п—4)[(п—4)+7]+3-7^е делится на 7, а следовательно, не
делится и на 49.
19

i8. p — простое число=> р = 3/г + 1 или p=3fc + 2 или р=3.
ели p = 3ft+i, то число р2 + 2=3C£2 + 2&+1) не является про-
гым. Если p=3fc + 2, то число р2 + 2 = 3C&2+4& + 2) не является
ростым. Если р = 3, то р2+2=11, р3 + 2=29—простое число.
20. [500/5]+ [500/25]+ [500/125] = 124. Здесь [k] — целая часть
исла k.
... 1 —22 - - 2 == I/ -
23. 1^11 .. .1—22. . .2 = 1/ y-99...9-J--99...9=
2 л раз «раз ^—■
. г 2 «раз
п раз
—1/~С 102"—1) —2 A0я— 1) = —У(Ю"_1L=
О и
= J-AQ«-1)= -L-99 ... 9=33 . .. 3 ■
п раз п раз
24. cosa
=l/_L
■Г - 2
1 cos 4a = ...
/■
2 + 2 V 2+2 У Т
радикалов
Пусть cosB*a)/2-=l/4, т. е. 2я а=л/3, а=я/C-2").
Тогда
1С
--- cos
3-2"
30. Пусть а, Ь, с — стороны прямоугольного треугольника, при-
причем b=a + d, c = a+2d. Тогда c2=a2 + 62 = 2a2+2arf+d2, c2=(a+-
2dJ 2dd2=>o2—2ad—3da=0=>a=3rf, 6=4d, c=5d,
S ab
12c?
2
32. При a = 0 равенство с" '^a* +601 не выполняется. Пусть

). Так как С1 =а* +Ь\ то (а/с)" + (Ь/су =1, 0<а/с<\,
Отсюда делаем следующие выводы: если 0<а^1, то
a/c + 6/c^l =>а + 6^с=> треугольник не существует; если. а>1, то
а/с + Ь/с> 1 =:-а + £>с=> треугольник существует; если 1<а<2, то
(а/сJ+F/сJ<1«>а2 + 62<с2=> треугольник тупоугольный; если
а —2, то с2|=а2-|-й2=>треугольник прямоугольный; если а>2, то
(а/сJ+F/сJ>1==>а2 + й2>с2=> треугольник остроугольный.
33. Нетрудно видеть (рис. 2), что ZDBO= я/2,
Рис. 2
, = р-(я/2-а/2)=-£ -(л/2-(р + (
; Из A 0\02D no теореме косинусов
JL_4#2 sin _i
2 2
2\ 2
sjnl.sjn
2 2 2
= (p-Y)/2.
—f sin— —
2 \ 2
21

., „ a + b + c ab .
Из соотношении г = sin v.
2 2 .
Ь ° '. = 2*
sin a sin p siny
(a, b, с — стороны произвольного треугольника) нетрудно полу-
шть r = 4#sin-^-sin —£— sin
2 2
39. tgx + ctg.v^2, ecnHtg.x>0, и tgx + ctgx^—2, если tg.v<0;
2 + siny~^\ =>tgx = 1, sin y— — 1.
Ответ: x=n/4 + ft л, y = —л/2 + 2 л n, ft, n^Z.
41. cos7x—sin7*^; |cosx|7 + |sinx|7<cos2x+sin2x= 1, если хф
ФЬл/2. Рассматривая значения x = ftn/2, легко установить, что ре-
ш-ениями уравнения cos7*—sin7x=l будут x=2k к, х——л/2 + 2/гл,
k,n<=Z. ' '
44. x+l/x=2cosa^> x2—2xcos<z + 1=0 =>Х\,2 =cosa±i'sin a,
х1,ч+ 11x1,2— (cosa±i sin a)"+ (cos a +r'sin a)" =cos« a±i sinna+
+ cos na + i sin na=2 cos n a.
л i n
46. "V cos 2ft a = У 2 sin a cos 2ft a=
£, 2 sin a gd,
1 ^r ■ /ot n • /o«. i4 i sinBn+l)a—sina
= У [sinBft+l)a—sinBft—l)a] = ^ ' .
2 sin a jg*, 2 sin a
При а = л/Bп+1) получим
i 1 Г ~\ 1
С05^+Т=о.:„ « [S'nBn+1-27rrS'n2^+"lJ У"
Z SilL " ' —
2n+l
51. /(х-у)=/(х)/(«/)=>Дх)=/(х+у)Ду).
Отсюда следует, что если для какого-нибудь г/е]—оо, +с»[ f (г/) =
= 0, то /(x)i=0, что противоречит условию задачи.
/(*/2)=/(*)/(*/2)->/(*)«!.
56. Любое целое число At, l^n^lOO-; можно представить в ви-
вице n = 2km, где m — нечетное число, причем 1^т^99. Среди про-
произвольных 51 числа, каждое из которых не больше 100, обязатель-
обязательно найдутся два числа вида rti = 2*1/ra, n2= 2k*m. Одно из них де-
делится на другое.
59а. По крайней мере две из трех вершин треугольника будут
одинакового цвета (рис. 3).
* 62. Пусть у(х) — периодическое решение уравнения у(х) —
—0,5у(х—2л)=вЩх. Тогда у{х) =0,5у(х~2л) +sin x = 0,5[0,5y(x—
—4л) + sin (л;—2л)] + sin х = 0,52у(х—4л) + A+0,5) sin jc =
= 0,52[0,5i/(jc—6n)+sin(x—4л)] + A +0,5)sin x=0,53y(x—6 л) +
+ A + 0,5 + 0,52) sin x.
22

Отсюда вытекает формула
у(х)=0,5п у(х—2nn)+s\nx ]£ 0,5*,
|которую легко доказать методом математической
|индукции. Так как функция у(х) ограничена, то, м
переходя к пределу в последнем равенстве при п->
-•с», получим
у(х) =sin *V0,5* =2 sin x.
*Го Рис. 3
Очевидно, что эта функция является решением исследуемого урав-
уравнения.
73. Изделие А изготавливается за 1/100 рабочего дня, изде-
изделие Б — за 1/300. "Пусть х — число изделий А, изготовленных в
1— jc/100
течение дня. За оставшееся время цех может изготовить : =
1/300
= 3A00—х) изделий Б. Если стоимость изделия Б'равна 1, то
стоимость изделия А равна 2, Пусть общее число изготовленных
изделий не больше 150, т. е. х+3A00—х) =300—2л;<150-> л-^75.
Тогда все изделия могут быть проверены и стоимость выпущенной
продукции равна 2х+3A00—х)=*-300—х. Максимальная стоимость
при этом равна 300—75 = 225 при х°~75 (число изделий Б равно
3A00—дг) =75). Пусть теперь л<75 и у— число проверенных изде-
изделий А (у^х). Тогда стоимость проверенных 150 изделий равна
- 2у + A50—у)i= у +150 < 225.
Ответ: чтобы общая стоимость выпущенной продукции была
максимальной, следует выпустить 75 изделий Аи 75 изделий Б.
77. ?U
[(„/,1) + /]/^/
79. F(x0, у{) —фокус параболы у=?ах2 + Ьх+с (рис. 4).
у'(х0) =0, y'(xl) = l2 + b 0x b/2
2ах, + 6=1-- лг,== A— 6)/2a;«/i (/(.v,)ax, + &x, + c(l )/ + ,
F{—b/2a; (\—Ь2)/4а + с). Из рис. 5 следует: y — xiga, y= (а —
—x)tg2a=> xtga=* ,~* ,g<X ->tg a = VCx—2a)/x=>
1—tg2a
(л-—а/3J у2
= 1. (*)
Если х>а, то такими же выкладками можно получить, что коор-
координаты х, у точки М удовлетворяют уравнению (*). Если х = а, то,
очевидно, а —л/4, х—у = а. Уравнение {*) выполняется и в этом
случае.
23

Таким образом, третья вершина движется по гиперболе.
/ 0 1 \ 1*>84 Г/ 0 1 \2-1992 /1 0
96. = 1 = (—1.£) = £=|
1-1 0) IV-1O/J 1 ' 40 1
М(х,у}
,2л
х а
Рис.-5
97. Методом математической индукции легко доказать формулу
/2 1 0\» Л-V 2'О
oioU h
ДО 0 2 \ О 1 О
7 \О О 2%
Поэтому
/2 1 0\|С0 / 21ОО2100—10
О 10] =0 1 О
0 2/ \ 0 0 2100
— 1
•„)— V а =(хп —V а
103. xn+i—V a
значит, последовательность ограничена снизу. При п^2 хп+\ ■-
—хп= (а—дс^)/2л:л^0; носледовательность убывает. Следовательно,
существует хп=с^У а . Переходя к пределу в равенстве
*«+i= (хп + а/хпI2, получим с= (с + а/с)/2 => J^'">oo xn=c=
110. sin 2лen! = sin |2лп!
+ 2)
sin \2ш\
2л

«sin
/?sin2jie/r! = «sin |=2+<р(яI =
n->oo n — oc \n+] J
Sin —— -+<((«)
"-00
/7+1
HI lim ..;„2~1/.7ГГ7; — !im
n -> oc n — oc
121. Предположим, что последовательности \Ьп\ и |cnj пе-
периодичны. Тогда у них есть общий период. Легко видегь, что
an—bn(l-\-cn), поэтому последовательность [ап\ должна быть
периодичной, что противоречит условию задачи. Полученное про-
противоречие доказывает, что хотя бы одна ил последовательностей
\К\> \сп] непериодична.
122. у=х—1пA -ч-х), ;/'=.г/(д:+ 1), у'@) =0; у'(х)>0 при .v>0 =
=>#(*) >;/@)=0 при х>0 = > дг—1пA +х)^0 при x^sO.
125. Обозначим y(x)=xcosx. Тогда «/@) =«/(я/2) =0; i/(x)>0
при хе]0, л/2[. Следовательно, существует л:о^]О, я/2[ такой, что
13'ах ,:/ (.t) =у(х0); при этом должно быть y'(x0)=cosxQ—xosinxo=
=0. Так - как-г/'(л-) =■—2sin.v— a:cos.v<0 при л:е]0, л/2[, то у'(х)
монотонно убывает на отрезке [0, л/2|. //'(л/4)= 1^2A— л/4)/2>0;
я/| 31/2<0=>хое]л/4, л/3[. fJ,a^/2] y{x) ='
(хо~л/4)//(|)_<(/(л/4) + л у'(л/4)/12 =лA + D-
—л)/12)/4 Г'2«0,5932<0,6, £<=1л/4, jro[.
134. tgA- = ,t + x3/3 + 0(x3); tg(tg.v)=tg(.v + x3/3 + 0(A-;1))=x + x3/3 1-
x + 2.v3/3 + 0(.v3); sin-v=x—x3/6 + 0(x3); sin(sin.v) -
0(.v3)) =.v-36 3 3 03
— sin(sin,v)
x—*0 tgx—sinx -'•'-— r72-fO(x3)
145. При а = 0 f(x) = —2. Поэтому мы будем считать, что и
т г// ч ЗаA--л-2)
Тогда {'(х) = V — .
(Л'2 + Х+1J
Пустьа>0. Исследуя fix), легко установить, что j{x)>f(—\) —
-=а2—За—2 при хф — \; fix) <f(l) -'«2 + За—2 при хф\.
Следовательно, а>0 юлжио быть таким, чтобы
(а2- За
ja-ЧЗа

Отсюда йе[(-3+ V 21I2, C+/ 17)/2]. Пусть теперь а<0.
Тогда f(x)<f(— 1)=а2—За—2 при хф — \; f(x)>f(l)=a2 + 3a—2
при л:=й=1. Следовательно, а<0 должно быть таким, чтобы
fa2—За
J
Отсюда ое[(-3— >Ч7)/2,C—i' 21)/2].
Ответ:
ae[(-3-
, C— j/2T)/21U
х
146. Например, функция'!/—sin— .
154. S, = M2— |W/=—£3;
3
О
5'(/)<0при /e]0, l/2[; S'{t) >0 при /e] 1/2, 1 [; S'(l/2)=0.
Отсюда SmIIl=S(l/2) = l/4; Smax = 5(l) =2/3.
О 1
с. О
162. Из рис. 6 видно, что
Точно так же легко'найти, что
27
Ответ:
«с' 1 О7
36 . 27 .
26

163. 1+ —+—4-... + —<Ч 1]
2 33 3 123
2- З3 ■" п3 1-2-3 2-3-4
1 1
(п_1)и(л+1) 2 L \ 1-2 2-3
__J_\ + + (—^ L_\l_l[6_- L_1<A
3-4 / \(n— \)n n(n+\)j\ 2 [2 n(rt+l)J 4
166. f'(x) ==/'(jc—1) ='f(x) =f(x—\)+c;
\l(x)~[(x-\)=c
f(x)+f(x-l)-x "- л ' '
[.vj+^.v— 1) = (a- + c)/2+(.v— 1+с)/2=л:=.-с =1/2, /(x) =лг/2-|-1/4
III И III И
171. 10'"" — 10 =■ л -
у 2"~3 _V i
Так как In 10>2, то последний ряд, очевидно, сходится.
186. Предположим противное, т. е. что S — m/n. Тогда число
S(п\)'г = ш(п— 1)! п\ будет целым
Так как V f—1] —целое, то ^ (—-\
v (JiLY <v_L_
должно быть целым.
" / «,1 \ 2 ~ 1
Имеем 0<
I \ 2
Последнее неравенство противоречит тому, что ^ 1 I
целое число. Следовательно, сумма S иррациональна.
199. Если у(х)Ф0, то либо при некотором xieJO, 1[
и тогда
либо при некотором л:2е]0,1 [
и тогда
у()^
По в силу исследуемого уравнения должно быть у" {х\) =еХ1 у(х{) >
>0, у"(х2)=е^у(х2)<С0, что противоречит неравенствам (*) и (**).
27

• СОДЕРЖАНИЕ^
Введение .
Алгебра
Геометрия (
Тригонометрия ............. С
Логические задачи . . . . .
Аналитическая геометрия. Определители. .Матрицы 1
Бесконечные последовательности и пределы . . . .... !
Дифференцирование . . . . ' 1.'
Интегрирование • IF
Ряды If
Дифференциальные уравнения 1J
Решения 1!