Математическая олимпиада школьников города Омска им. Г.П. Кукина (2007- 2008 и 2008-2009 годы). Сборник задач - Адельшин А.В., Кукина Е.Г., Латыпов И.А., Усов С.В., Чернявская И.А., Штерн А.С.

Автор: Адельшин А.В. Кукина Е.Г. Латыпов И.А. Усов С.В. Чернявская И.А. Штерн А.С.

Теги: математика элементарная математика задачи по математике математические олимпиады

ISBN: 978-5-904409-03-6

Год: 2009

Похожие

Разведка в Великой Отечественной войне

Реновация городской среды. Исторические прецеденты

Античная декоративная живопись Боспора Киммерийского. От графической фиксации к фотографии

Владимирский округ. Большая и Малая Московские улицы и улица Правды

Текст

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
ШКОЛЬНИКОВ
уикг. Омска
и м. Г.П. КУКИНА
2007-2008 2008-2009ГГ.
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
Институт математики и информационных технологий
Математическая олимпиада школьников
города Омска им. Г.П. Кукина
(2007-2008 и 2008-2009 годы)
Омск 2009
ББК 22.10
УДК 51 (023)
М 34
Математическая олимпиада школьников города Омска им. Г.П. Кукина (2007-
2008 и 2008-2009 годы): сборник задач. - Омск: Омский государственный
университет им. Ф.М. Достоевского, 2009 - 44с.
ISBN 978-5-904409-03-6
Авторы - составители:
Александр Владимирович Адельшин, Екатерина Георгиевна Кукина,
Ильяс Абдульхаевич Латыпов, Сергей Владимирович Усов,
Ирина Александровна Чернявская, Александр Савельевич Штерн.
Книга предназначена для школьников, учителей, преподавателей
математических кружков и любителей математики. В ней содержатся задачи
математической олимпиады города Омска имени Г.П. Кукина за 2007-2008 и
2008-2009 учебные годы. Все задачи снабжены подробными решениями.
С составителями можно связаться по электронным адресам:
ashtem@yandex.ru - Александр Савельевич Штерн;
latypov@math.omsu.omskreg.ru - Ильяс Абдульхаевич Латыпов
ББК 22.10
ISBN 978-5-904409-03-6 © А.В. Адельшин, Е.Г. Кукина, И.А.Латыпов,
С.В. Усов, И.А. Чернявская, А.С. Штерн, 2009
2
Предисловие
Математическая олимпиада школьников г. Омска имеет довольно
солидную историю. Впервые, в своём нынешнем виде, она проводилась в 1992
году. Главным организатором олимпиады был заведующий кафедрой алгебры
Омского государственного университета доктор физико-математических наук
Георгий Петрович Кукин. Вклад этого человека в развитие математического
образования в Омской области трудно переоценить. Создатель физико-
математического лицея и системы математических кружков для школьников 5-
7 классов, автор статей и книг по методике преподавания элементарной
математики, просто замечательный энтузиаст работы с одарёнными детьми, он
сумел вовлечь в олимпиадное движение сотни детей и взрослых. Вплоть до
своей безвременной кончины в 2004 году он возглавлял жюри и оргкомитет
олимпиады. Уже с 2004 года математическая олимпиада омских школьников
стала называться «кукинской». До 2008-2009 учебного года она имела статус II
(муниципального) этапа Всероссийской математической олимпиады. После
введения нового положения о Всероссийской олимпиаде школьников этот
статус был утрачен, и организацией «кукинской» олимпиады стал заниматься
Институт математики и информационных технологий Омского
Государственного университета им. Ф.М. Достоевского. Тогда же название
«математическая олимпиада школьников г. Омска им. Г.П. Кукина» вошло в
положение об олимпиаде и стало официальным. Надо сказать, что «выход» из
системы Всероссийской олимпиады не сказался на популярности олимпиады.
Число омских участников не стало меньше, а количество ребят из районов
Омской области и соседних регионов даже увеличилось.
Как проходит олимпиада им. Г.П. Кукина? Олимпиада для учеников 7-11
классов имеет традиционную письменную форму. Единственная существенная
особенность состоит в том, что олимпиадный вариант включает 6 задач при
четырёхчасовой продолжительности работы. Вопрос «А не много ли задач?»
встаёт перед членами методической комиссии регулярно, но сами участники
олимпиады дают на него ответ «Нет, не много, и хорошо потому, что есть
возможность выбора». О сложности варианта пусть судит читатель. Можем
сказать только, что обычный результат победителя олимпиады - 5 решённых
задач. Каждая задача почти всегда кем-то решается, но ситуация, когда один
школьник решает все задачи, возникает довольно редко. Проверка проводится
по правилам Всероссийской олимпиады по математике: каждая задача вне
зависимости от её трудности оценивается в 7 баллов. При комплектовании
вариантов мы стараемся избегать задач классической олимпиадной тематики
(инварианты, вспомогательные раскраски и т.д.). Основа варианта - задачи
логико-алгоритмического характера, для решения которых требуется развитая
логическая культура и алгоритмические способности, но не владение
специальными «олимпиадными» методами. Удачно дополняют варианты
задачи повышенной сложности по разным разделам школьной алгебры и
геометрии. Пе все задачи являются новыми, но появление в варианте широко
3
известной задачи исключено. Для комплектования варианта могут быть
использованы материалы различных региональных математических
соревнований, и иностранных олимпиад, но не задачи из книг, вышедших
массовыми тиражами. Около двух третей предлагаемых на олимпиаде задач -
авторские.
Олимпиада для учеников 5-6 классов проходит в начале февраля
(традиционное время проведения олимпиады для старших - декабрь) и
отличается особой формой проведения. Олимпиада для младших - устная. Нет
нужды объяснять насколько эффективнее эта форма в соревнованиях учеников
среднего возраста. Конечно, она предполагает наличие большого
квалифицированного жюри, но эту проблему нам решать удаётся. Число
студентов и преподавателей ОмГУ, желающих принять участие в проведении
олимпиады, как правило, превосходит имеющиеся потребности. Мы
придерживаемся формы проведения устной олимпиады, разработанной
коллегами из Санкт-Петербурга. Каждый школьник получает 6 «довыводных»
задач, а те, кому удаётся решить четыре из них, переходят в другую аудиторию,
где получают четыре «выводные» задачи.
Прежде, чем предложить вниманию читателя варианты олимпиады им.
Г.П. Кукина за последние 2 года, хочется перечислить наших добровольных
помощников, оказавших наибольшую поддержку в подготовке и проведении
олимпиады. Олимпиада была бы невозможна без многолетнего внимания и
поддержки директора Института математики и информационных технологий
ОмГУ В.Б. Николаева. Уровень олимпиады был бы, несомненно, ниже без
систематического участия «иностранного члена» методической комиссии,
известного специалиста в сфере дополнительного математического образования
школьников А.В. Шаповалова (Стокгольм). Мы благодарны компании
USOVLAB и ее владельцу Д.В. Усову за участие в формировании призового
фонда олимпиады. В этом году очень существенной была для нас
информационная поддержка методиста Центра творческого развития и
гуманитарного развития «Перспектива» А.И. Свяжениной и владельца и
разработчика омского олимпиадного сайта olymp.omich.net С.В. Шмакова. Мы
благодарим выпускницу математического факультета ОмГУ И.А. Просвиркину
за помощь в оформлении книги. Особая благодарность жюри олимпиады им.
Г.П. Кукина - дружному квалифицированному коллективу преподавателей,
студентов и выпускников ИМИТ.
С полными результатами олимпиады им. Г.П. Кукина за 2008-2009
учебный год можно ознакомиться на сайте olymp.omich.net.
Председатель методической комиссии
олимпиады им. Г.П. Кукина А.С. Штерн
4
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
5 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
Довывод
1. (Фольклор) Полный бидон с молоком весит 20 кг, а бидон, наполненный
молоком наполовину, весит 14 кг. Сколько будет весить бидон, если
наполнить его молоком на треть?
2. (Штерн А.С.) На доске написано число 1. За один ход разрешается либо
прибавить к числу сумму всех его цифр, либо переставить его цифры в любом
порядке. (Например, из числа 3 можно за один ход получить только число 6, а
из числа 13 либо число 17, либо число 31) За какое наименьшее количество
ходов можно получить трехзначное число?
3. (Усов С.В.) Тридцать три ореха разложены по кучкам, причём в каждой
кучке больше одного ореха. После того, как из каждой кучки в первую
положили по одному ореху, орехов во всех кучках стало поровну. Сколько
имеется кучек, и сколько орехов было в каждой из них первоначально?
4. (Штерн А.С.) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду и
лжецы, которые всегда обманывают. Три брата-островитянина (старший,
средний и младший) получили в наследство кота, осла и мельницу. После
этощ каждый из братьев сделал два заявления: «Тот, кто получил мельницу,
старше меня» «Тот, кто получил кота, младше меня». Сколько среди братьев
лжецов?
5. (Шаповалов А.В.) Расставьте на шахматной доске 16 ладей так, чтобы
каждая била столько же других ладей, сколько и пустых клеток. Ладья бьёт
любое число клеток на доске по горизонтали или вертикали до первой
стоящей на этой линии ладьи.
6. (Штерн А.С.) В каждую клетку квадрата 3x3 записано целое число. При
этом сумма чисел в каждом столбце кроме первого в 4 раза больше, чем в
предыдущем, сумма чисел в каждой строке кроме первой на 1 больше, чем в
предыдущей, а в одной из строк сумма чисел составляет 2008. Найдите сумму
чисел в первом столбце.
5
Вывод
7. (Штерн А.С.) Имеются гири трёх типов: тяжёлые, средние и лёгкие. У всех
тяжёлых гирь веса одинаковые, у всех средних одинаковые, и у всех лёгких
тоже одинаковые. Известно, что одну из гирь можно уравновесить двумя
другими, причём одну из этих двух тоже можно уравновесить двумя другими.
Сколько лёгких гирь уравновешивают тяжёлую (найдите все варианты ответа
и докажите, что других нет)?
8. (Шаповалов А.В.) Представьте число 2008 в виде суммы пяти натуральных
слагаемых так, чтобы все цифры в записи этих слагаемых были различны.
9. (Адельшин А.В.) У Васи есть два кубика, на каждую грань которых он
хочет написать одну из цифр от 0 до 9. Вася хочет так нарисовать цифры на
гранях, чтобы получился «календарь»: приставляя кубики друг к другу, на
верхних гранях можно было бы получить любую комбинацию от 01 до 31.
Сможет ли он этого добиться?
10. (Усов С.В.) В ребусе СНЕГ+ЛЫЖИ=ЛЫЖНЯ каждая из букв обозначает
цифру от 0 до 9, причём разные буквы обозначают разные цифры, а
одинаковые - одинаковые. Найдите как можно больше решений этого ребуса.
Если Вы считаете, что нашли все решения, попытайтесь объяснить, почему
нет других решений.
5 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД.
Довывод
1. (Кукина Е.Г., по мотивам фольклора) В доме 25 этажей, но сломался лифт:
теперь он может за одну минуту либо подняться на 14 этажей, либо спуститься
на 11 (например, с 10-го этажа можно подняться на 24-й). Человек спускается
на один этаж за 1 минуту. Что быстрее, спуститься с шестого этажа на первый
пешком или съехать на лифте?
2. (Штерн А.С.) Найдите все решения числового ребуса АХ+УХ=УРА
(разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым - одинаковые).
3. (Фольклор) Чтобы построить поросячий домик, Ниф-Нифу не хватало 300
кирпичей, Нуф-Нуфу не хватало 200 кирпичей, а Наф-Нафу не хватало всего
100 кирпичей. Когда они сложили все свои кирпичи вместе, оказалось, что они
как раз могут построить один домик на троих. Сколько кирпичей нужно для
одного поросячьего домика?
6
4. (Уральские турниры юных математиков) Нарисуйте на плоскости 5
прямых так, чтобы они разбили ее на 13 частей.
5. (Усов С.В.) Из Простоквашино в Печкино на лыжах вышли Шарик и
Матроскин. Шарик дошел до Печкино за 30 минут, развернулся, и через 5
минут встретил отстающего Матроскина. Какое время Шарику еще нужно
проехать по направлению к Простоквашино, чтобы (конечно, развернувшись)
прийти в Печкино одновременно с Матроскиным?
6. (Кукина Е.Г.) В пятом классе учатся три девочки: Ира, Галя и Наташа.
Одна из них самая умная, и она всегда говорит правду. Другая самая красивая,
и она всегда лжет. А третья девочка самая хитрая: она иногда лжет, а иногда
говорит правду. Ира сказала: «я красивее Гали». Галя сказала: «я умнее
Наташи». Наташа сказала: «я хитрее Иры». Какая из девочек самая красивая?
Вывод
7. (Кукина Е.Г. по мотивам задач Турнира имени
Ломоносова) Фигура «летучая ладья» ходит так же, как и
обычная ладья, но за один ход не может встать на соседнее
поле. Сможет ли она обойти изображённую на рисунке справа
фигуру так, чтобы побывать на каждой клетке ровно один раз?

8. (Шаповалов А.В.) Расставьте числа 1, 2, 3, ... 10 в другом порядке, чтобы
первым шло 10, а каждое следующее было делителем суммы всех
предыдущих. (Первое число без остатка делится на второе, сумма первых двух
- на третье, сумма первых трёх на четвёртое, и т.д.)
9. (Усов С.В.) Вася записал трехзначное число без нулей, все цифры которого
различны, а их сумма равна 8. Затем он переставил две цифры этого числа,
умножил результат на 4, и получил число, меньшее исходного. Какое число
придумал Вася первоначально?
10. (Кукина Е.Г.) Восемь чёрных и восемь белых
шашек разложены в 4 столбика. Известно, как эти
столбики выглядят спереди, справа (верхние два
рисунка) и сверху. Найдите цвет нижней шашки в
заднем левом столбике.
BS SB
7
6 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД.
Довывод
1. (Штерн А.С.) К вычислительному устройству присоединены два монитора,
на которых каждую секунду вместо имеющегося появляется новое число. При
этом на первом мониторе по очереди появляются числа 1, 5, 9, 13, ..., а на
втором - числа 1,6, 11, 16, ... Какие два числа будут в написаны на мониторах
в тот момент, когда их сумма станет равна 2000? (Единицы на мониторах
появились одновременно)
2. (Штерн А.С.) Одновременно Ахиллес и черепаха начали двигаться
навстречу друг другу. Гора Олимп находится ровно посередине между ними,
но дорога от черепахи до Олимпа идёт по земле, а от Олимпа до Ахиллеса по
асфальту. Известно, что Ахиллес движется по асфальту в 3 раза быстрее, чем
черепаха по земле, а по земле они движутся с одинаковыми скоростями.
Ахиллес добрался до Олимпа за час. Через какое время после этого он
встретит черепаху, если продолжит движение, не останавливаясь?
3. (Усов С.В.) Карлсон, Малыш, Винни-Пух и Пятачок решили подкрепиться
и отправились в гости к Кролику, у которого было в запасе 30 бочонков меда.
Через некоторое время оказалось, что каждый из них съел целое количество
бочонков, причем Малыш и Карлсон съели столько же, сколько Винни-Пух и
Пятачок, а Карлсон и Винни-Пух - в 6 раз больше, чем Малыш и Пятачок.
Какое количество бочонков съел каждый, если Пятачок съел меньше всех
остальных?
4. (Усов С.В.) У Кощея есть три замка А, Б и С - все стоят на опушке леса, в
котором в избушке Д живет Баба-Яга, все замки соединены друг с другом
дорогами, и от каждого ведет дорога к домику Бабы-Яги. Если Кощей
добирается до Яги по маршруту АБСД или БСАД, у него на это уходит 4 часа,
а если по маршруту САБД, то 3 часа 50 минут. На обход всех трех своих
замков по опушке леса (маршрут АБСА) у Кощея уходит 4,5 часа. Докажите,
что из какого-то из своих замков Кощей сможет добраться до Бабы-Яги менее
чем за час.
5. (Усов С.В.) У Попа больше земли, чем у Балды, на 90 квадратных аршин.
Каждый год Поп и Балда одновременно обмениваются землёй: Поп отдаёт
Балде третью часть своего надела, и Балда отдаёт попу третью часть своего
надела. У кого из них будет больше земли через 5 лет и насколько?
6. (Шаповалов А.В.) На доске написано число 1. За один ход разрешается
либо умножить это число на 2, либо переставить его цифры в любом порядке.
Как, действуя таким образом, получить число 2008?
8
Вывод
7. (Шаповалов А.В.) Представьте число 2008 в виде суммы пяти натуральных
слагаемых так, чтобы все цифры в записи этих слагаемых были различны.
отпустить его, если Али-Баба угадает, какая монета у него в левой руке. Али-
Баба может задать всего один вопрос, причём разбойник ответит честно, если
у него в правой руке 1 динар, и солжет, если там 2 динара. Помогите Али-Бабе
придумать какой-нибудь вопрос, который позволит ему угадать монету в
левой руке разбойника. Не забудьте объяснить, почему Вы считаете
придуманный Вами вопрос подходящим.
10. (Штерн А.С.) На доске нарисован квадрат 3x3. Учительница Марья
Ивановна написала в одной из клеток квадрата число и дала ученику Пете
такое задание. Он должен поочерёдно вписывать по одному числу в любую
пустую клетку, причём если все клетки, имеющие с ней общую сторону,
пустые, то число, которое он пишет, должно быть больше всех, написанных к
тому времени. А если хотя бы одна из соседних по стороне клеток заполнена,
то число, которое он пишет, должно быть меньше всех, написанных к тому
времени. В конце концов получилась следующая таблица. Какое число
написала Марья Ивановна? (Найдите все варианты и докажите, что других
быть не могло)
1 I 9 I 4
_8_А2_
3 7 6
6 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД.
Довывод
1. (Штерн А.С.) Решите ребус: АХ + УХ = УРА (одинаковым буквам
соответствуют одинаковые цифры, а разным - разные).
2. (Адельшин А.В.) Шахматный конь захромал, и, делая обычный ход буквой
Г, наступает на каждую клетку, входящую в эту букву (например, делая ход с
al на ЬЗ, он наступает еще и на клетки а2, аЗ, либо на Ы, Ь2). Как коню
9
двигаться по квадрату 4x4, чтобы наступить на каждую клетку ровно один раз.
Нарисуйте хотя бы один такой маршрут.
3. (Штерн А.С.) На столе стоят гирьки двух весов: тяжёлые и лёгкие. Все
тяжёлые гирьки весят одинаково, и все лёгкие гирьки весят одинаково.
Некоторые гирьки расставили по двум чашкам чашечных весов так, что весы
оказались в равновесии. Если переставить две лёгкие гирьки с левой чашки на
правую, то для того, чтобы сохранилось равновесие, придётся поставить на
левую чашку со стола одну тяжёлую гирьку. Сколько лёгких гирек пришлось
бы поставить со стола на левую чашку, если бы первоначально с неё на
правую чашку переставили одну тяжёлую гирьку?
4. (Усов С.В.) В городе живут рыцари и лжецы, рыцари говорят всегда
только правду, а лжецы всегда лгут. Однажды в автобусе ехало несколько
человек. «Сейчас остановка А. Следующая остановка - Б», - произнес 1-й
пассажир. «Сейчас остановка Б», - сказал 2-й, - «Предыдущая была В».
«Предыдущая была В», - вступил в спор 3-й пассажир, - «А сейчас остановка
А!». Определите, сколько из этих троих пассажиров рыцарей.
5. (Усов С.В.) Буратино записал трехзначное число без нулей, все цифры
которого различны. Также Буратино написал все числа, которые получаются
из первого числа перестановкой цифр. Кот Базилио эти числа не видел, но
пронюхал, что сумма цифр первого числа равна 15. Помогите Коту Базилио
вычислить сумму всех чисел.
6. (Штерн А.С.) Три школьника Петя, Вася и Толя соревнуются в беге на
дистанции АВ. Если Петя и Вася одновременно выбегут из пунктов А и В
навстречу друг другу, а Толя выбежит с ними одновременно, то Петя и Вася
встретятся в тот момент, когда Толя пробежит всю дистанцию. Если Петя и
Толя побегут навстречу друг другу, а Вася выбежит с ними одновременно, то
Петя и Толя встретятся в тот момент, когда Вася пробежит половину
дистанции. Какую часть дистанции успеет пробежать Петя к моменту встречи
Толи и Васи, если они побегут навстречу друг другу?
Вывод
7. (Адельшин А.В.) На плоскости нарисован квадрат 4x4 клетки. По линиям
образовавшейся сетки Вася проводит несколько горизонтальных и
вертикальных прямых красным карандашом. Какое наибольшее число прямых
он может провести так, чтобы при этом не образовалось ни одного квадрата,
все стороны которого красные?
10
8. (Усов С.В.) Расставьте по кругу 6 отличных от нуля попарно различных
цифр так, чтобы любое трехзначное число, прочитанное по часовой стрелке,
делилось на 7.
9. (Кукина Е.Г.) Восемь белых и восемь черных
шашек разложены в 4 столбика. Найдите цвет самой
нижней шашки дальнего левого столбика, если даны
виды спереди, справа (верхние два рисунка) и сверху?
BS SB
10. (Усов С.В.) Ане, Тане, Даше и Маше выдали по
3000 бусинок. Каждая бусинка - белого или черного
цвета. Причем у Тани белых бусинок было вдвое больше, чем у Ани, а у Маши
- вдвое больше, чем у Даши. У Даши черных бусинок было вдвое больше, чем
у Тани, а у Ани - вдвое больше, чем у Маши. Сколько белых бусинок было у
каждой из девочек?
7 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. (Штерн А.С.) Одновременно Ахиллес и черепаха начали двигаться
навстречу друг другу. Гора Олимп находится ровно посередине между ними,
но дорога от черепахи до Олимпа идёт по земле, а от Олимпа до Ахиллеса по
асфальту. Известно, что Ахиллес движется по асфальту в 3 раза быстрее, чем
черепаха по земле, а по земле они движутся с одинаковыми скоростями.
Ахиллес добрался до Олимпа за час. Через какое время после этого он
встретит черепаху, если продолжит движение, не останавливаясь?
2. (Штерн А.С.) В каждую клетку квадрата 3x3 записано целое число. При
этом сумма чисел в каждой строке кроме первой на 1 больше, чем в
предыдущей, и сумма чисел в каждом столбце кроме первого в 4 раза больше,
чем в предыдущем. Докажите, что сумма чисел во второй строке делится на 7.
3. (Усов С.В.) Плоскость расчерчена
равносторонние треугольники, как показано
рисунке. Найдите величину угла АВС.
4. (Шаповалов А.С.) Придумайте какой-нибудь способ представить
число 2008 в виде суммы пяти натуральных слагаемых так, чтобы все цифры в
записи этих слагаемых были различны..
5. (Усов С.В.) У разбойника три монеты достоинством в 1, 1 и 2 динара: по
монете в каждой руке и одна в кошельке. Разбойник поймал Али-Бабу и
обещает отпустить его, если Али-Баба угадает, какая монета у него в левой
руке. Али-Баба может задать всего один вопрос, причём разбойник ответит
И
честно, если у него в правой руке 1 динар, и солжет, если там 2 динара.
Помогите Али-Бабе придумать какой-нибудь вопрос, который позволит ему
угадать монету в левой руке разбойника. Не забудьте объяснить, почему Вы
считаете придуманный Вами вопрос подходящим.
6. (Харьковские олимпиады) Клетчатый прямоугольный стол 2007x2008
можно многими способами покрыть доминошками (в один слой) так, чтобы
каждая покрывала ровно две клетки. Два покрытия назовем близкими, если
одно можно получить из другого, переложив лишь часть доминошек (хотя бы
одна доминошка не меняет положения). Докажите, что есть покрытие, близкое
любому другому. (Стол вертеть нельзя).
7 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. (Штерн А.С.) На столе стоят гирьки двух весов: тяжёлые и лёгкие. Все
тяжёлые гирьки весят одинаково, и все лёгкие гирьки весят одинаково.
Некоторые гирьки расставили по двум чашкам чашечных весов так, что весы
оказались в равновесии. Если переставить две лёгкие гирьки с левой чашки на
правую, то для того, чтобы сохранилось равновесие, придётся поставить на
левую чашку со стола одну тяжёлую гирьку. Сколько лёгких гирек пришлось
бы поставить со стола на левую чашку, если бы первоначально с неё на
правую чашку переставили одну тяжёлую гирьку?
2. (Адельшин А.В.) Шахматный конь захромал, и, делая обычный ход
буквой Г, наступает на каждую клетку, входящую в эту букву (например,
чтобы сделать ход с al на ЬЗ, он наступить либо на клетки al, а2, аЗ, ЬЗ, либо
на клетки al, bl, Ь2, ЬЗ). Может ли он так пройтись по квадратной доске
размером 5x5, чтобы наступить на каждую клетку ровно один раз?
3. (Шаповалов А.В.) Расставьте в ряд числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 так,
чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих чисел (первое
число должно без остатка делиться на второе, сумма первых двух - на третье,
сумма первых трёх на четвёртое, и т.д.)
4. (Штерн А.С.) Лучи ОА и ОВ образуют прямой угол. Любознательный
семиклассник Петя провёл внутри этого угла лучи ОС и OD, образующие угол
10°, а затем посчитал все острые углы между любыми парами нарисованных
лучей (не только соседних). Оказалось, что сумма самого большого и самого
маленького из найдённых углов составляет 85°. Найдите величины трёх углов,
на который прямой угол разбивается лучами ОС и OD.
12
5. (Усов С.В.) На какое наибольшее число нулей может оканчиваться
произведение трех трехзначных чисел, для записи которых использовалось 9
различных цифр?
6. (Усов С.В., Штерн А.С.) Семиклассник Сеня Сидоров написал на доске
трёхзначное число, в записи которого нет ни одного нуля. Затем он подписал
все числа, которые можно получить из написанного числа перестановкой
цифр. Сумма всех написанных на доске чисел составляет 2775. Какое число
придумал Сеня? (Найдите все варианты ответа и докажите, что других быть не
может)
8 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД.
1. (Фольклор) Существуют ли такие четыре попарно различные числа х, у, и,
х + и у + и о
v что-----= ---?
x + v y + v
2. (Шаповалов А.В.) На каждом поле клетчатой доски 7x7 первоначально
стоит по шахматному королю. Королей снимают с доски по одному, причём
разрешается снять только такого короля, который бьет нечетное число других
королей (среди оставшихся на данный момент). Барон Мюнхгаузен
утверждает, что может снять всех королей кроме одного. Можно ли ему
верить?
3. (Уральские турниры юных математиков) На сторонах АВ, ВС, СА
треугольника АВС выбраны точки D, Е, F соответственно так, что EF || АВ и
ED || АС. Прямые DF и ВС пересекаются в точке К. Оказалось, что DF = FK.
Найдите отношение BE:ЕС.
4. (Усов С.В.) На острове, где живут только всегда правдивые рыцари и
всегда лгущие лжецы, в теледебатах участвовали 9 кандидатов с номерами от
1 до 9. Каждый кандидат заявил "Кандидат, чей номер равен последней цифре
квадрата моего номера - рыцарь". Впоследствии выяснилось, что не все
кандидаты были лжецами, но и рыцарей среди них было не более трех. Кто из
них лжец, а кто - рыцарь?
5. (Штерн А.С.) Собственным делителем натурального числа называется
любой его делитель, отличный от 1 и самого этого числа. Натуральное число
назовём удивительным, если самый большой его собственный делитель на 1
меньше, чем квадрат самого маленького собственного делителя. Найдите все
удивительные числа.
13
6. (Математические олимпиады США) На доске выписаны 2007 чисел,
причём каждое число кроме двух крайних равно сумме двух соседних с ним
чисел. Известно, что сумма первых ста чисел в этом ряду равна нулю, а сумма
первых двухсот чисел в этом ряду равна трём. Найдите сумму всех чисел в
этом ряду.
8 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД.
1. (Фольклор) Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину
уменьшили на 20%. При этом периметр прямоугольника уменьшился на 12%.
На сколько процентов уменьшится периметр прямоугольника, если его длину
уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на 10%?
2. (Штерн А.С.) В ряд выписаны 10 натуральных чисел. При этом по краям
стоят две единицы, а в остальных местах - попарно различные натуральные
числа, отличные от единицы. Известно, что произведение любых двух чисел,
стоящих через одно число друг от друга, делится на число, записанное между
ними. Найти наибольшее возможное значение количества простых чисел
среди выписанных.
3. (Адельшин А.В. по мотивам Санкт-Петербургских олимпиад) Могут ли
расстояния от точки плоскости до вершин некоторого квадрата быть равными
1, 1, 2 и 3?
4. (Усов С.В.) В кофейне встретились 55 индийцев и турков, каждый из
которых пил либо чай, либо кофе. Все индийцы говорят правду, когда пьют
чай, и обманывают, когда пьют кофе, а все турки - наоборот. На вопрос «Вы
пьете кофе?» ответили «да» 44 человека, а на вопрос «Вы турок?» - 33
человека. С утверждением «На улице идет дождь» согласились 22 человека.
Сколько индийцев в кофейне пьют чай?
5. (Турниры журнал «Квант») Андрей, Борис, Василий, Геннадий и Дмитрий
играли в настольный теннис парами так, что каждые двое сыграли с каждой
другой парой ровно один раз. Ничьих в теннисе не бывает. Известно, что
Андрей проиграл ровно 12 раз, а Борис ровно 6 раз. Сколько раз выиграл
Геннадий?
6. (Усов С.В.) Каждая из сторон треугольника разбита на 2008 равных частей.
Через каждую точку деления проведены прямые, параллельные двум другим
сторонам, в результате чего треугольник разбился на равные треугольные
поля. Строкой будем называть ряд полей, заключенных между двумя
соседними параллельными прямыми, либо одинокое поле при вершине
треугольника. Петя и Вася ставят по очереди в одно из свободных полей числа
1 или -1. После того, как все поля оказываются занятыми, в каждой строке
14
подсчитывается произведение. Петя выигрывает, если отрицательных
произведений четное число, иначе выигрывает Вася. Кто выиграет при
правильной игре, если первым ходит Петя?
9 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. (Фольклор) Для четырёх попарно различных чисел х, у, u, v выполнено
х + и y + v тт w
равенство----=-----. Найдите сумму всех этих чисел,
x+v у + и
2. (Усов С.В.) Девятиклассник Петя считает, что при любой расстановке в
клетках квадрата 4x4 восьми единиц, четырёх двоек и четырёх пятёрок либо
найдутся две строки, в которых произведения одинаковы, либо - два столбца,
в которых произведения одинаковы, либо строка и столбец, в которых
произведения одинаковы. Прав ли он?
3. (Усов С.В.) На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка К так, что
угол САК составляет половину угла АВС, и точка пересечения О отрезка АК с
биссектрисой BL угла В делит этот отрезок на две равные части. Докажите,
что AOxLC=BCxOL.
4. (Штерн А.С.) Собственным делителем натурального числа называется
любой его делитель, отличный от 1 и самого этого числа. Натуральное число
называется замечательным, если самый большой его собственный делитель на
1 больше, чем квадрат самого маленького собственного делителя. Найдите все
замечательные числа.
5. (Усов С.В.) Вершины вписанного четырёхугольника соединены отрезками
с некоторой точкой внутри него, тем самым четырёхугольник разбит на 4
треугольника. Про один из этих треугольников известно, что он
равносторонний, про второй - что он равнобедренный (не равносторонний), а
про два оставшихся - что они прямоугольные. Докажите, что прямоугольные
треугольники равны.
6. (Усов С.В.) Ученики школы №2007 получили на контрольной работе по
математике тройки, четверки и пятёрки. Девочек в школе в 2 раза меньше, чем
мальчиков. Средняя оценка за контрольную среди девочек на 1 балл выше,
чем средняя оценка всех учеников школы. Известно, что и среди девочек, и
среди мальчиков встречается все три типа оценок. Найдите наименьшее
возможное количество девочек в школе №2007.
15
9 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. (Фольклор) Расставьте в равенстве (х2 - *х + *)(х2 - *х + *)(х2 - *х + *)=0
вместо звёздочек числа 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы и сумма и произведение всех
различных корней полученного уравнения были равны 6.
2. (Украинские олимпиады) Карлсон и Фрекен Бок должны съесть торт и
огромную плюшку. Карлсон съедает плюшку за 2 минуты, а торт за 3 минуты.
Фрекен Бок съедает торт за 4 минут, а плюшку за 5 минут. Могут ли они
вдвоём съесть и то, и другое быстрее, чем за 3 минуты? Каждое кондитерское
изделие может поедаться ими одновременно.
3. (Усов С.В.) Во вписанном четырехугольнике каждая сторона имеет длину
либо 6, либо 8, а одна из диагоналей - длину 10. Найдите радиус описанной
окружности.
4. (Штерн А.С.) В каждой клетке квадрата 3x3 записано натуральное число.
При этом все числа попарно различны и отличны от единицы. Известно, что
число, записанное в каждой из клеток, является делителем произведения всех
чисел, стоящих в клетках, соседних с ней по стороне. Найти наибольшее
возможное значение количества простых чисел среди выписанных.
5. (Канадские математические олимпиады) В выпуклом четырёхугольнике
ABCD АВ=Л®, ВС=\2, BD=\5 ZA=ZD и Z_ABD=ABCD . Найдите длину отрезка
CD.
6. (Усов С.В.) Люк загадал двузначное число, разбил его на сумму двух
различных натуральных чисел и сообщил одно из этих чисел роботу R2-Q2, а
второе роботу С-ЗРО. Само число Люк роботам не сообщал, а сказал только,
что их числа различны, и дают в сумме двузначное число. После чего между
роботами состоялся следующий диалог. R2-D2: «Я не знаю, какое из наших
чисел больше». С-ЗРО: «И я этого не знаю. Сообщаю, что моё число делится
на 17». R2-D2: «Теперь я знаю, какое число загадал Люк». Какое?
10 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. (Штерн А.С.) Три положительных числа п, Ь, с образуют возрастающую
арифметическую прогрессию. Докажите, что любой корень х0 уравнения
ах2+Ьх+с=0 удовлетворяет неравенству х0<-2.
16
2. (Усов С.В.) В четырехугольнике ABCD угол D острый, а угол А - тупой.
5
Известно, что CD=2AB и S4CD = 1S4BD. Найдите отношение АОВ , где О - точка
$COD
пересечения диагоналей четырёхугольника.
3. (Усов С.В.) Дан стандартный набор домино. Из восьми доминошек этого
набора составьте магический квадрат 4x4 (т.е. квадрат, в котором во всех
строчках, столбцах и каждой из двух диагоналей содержится одинаковое
количество точек) с минимальным возможным количеством точек.
4. (Шаповалов А.В.) На нижней ступеньке лестницы из 130 ступенек лежит
130 камней, остальные ступеньки пусты. За ход Сизиф может взять с любой
ступеньки группу из одного или нескольких камней (не обязательно всех,
лежащих на этой ступеньке), и переложить всю группу вверх или вниз на
число ступенек, равное числу камней в группе (группу из одного камня на
соседнюю ступеньку, группу из два камня - через одну ступеньку вверх или
вниз и т.д.). Помогите Сизифу переложить все камни на соседнюю ступеньку,
сделав не более 15 ходов.
5. (Штерн А.С.) На плоскости даны четыре точки А(0;0), В(2007;2007),
С(0;2007), Е(-2007;0). Можно ли так подобрать целые числа Ь, с, чтобы
график квадратного трёхчлена у=х2+Ьх+с пересекал каждую из прямых АВ,
ВС, СЕ и АЕ, причём все точки пересечения имели бы целые координаты?
6. (Штерн А.С.) Делитель натурального числа называется собственным, если
он отличен от 1 и самого этого числа. Натуральное число назовём
восхитительным, если самый большой собственный делитель этого числа
равен сумме собственного делителя, второго по величине и собственного
делителя, третьего по величине. (Например, число 18 восхитительное: 9=6+3).
Сколько существует восхитительных чисел, не превосходящих полтора
миллиона?
10 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. (Штерн А.С.) Расставьте в равенстве (х2 - *х + *)(х2 - *х + *)(х2 - *х + *)=0
вместо звёздочек числа 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы и сумма и произведение всех
различных корней полученного уравнения были равны 6?
2. (Усов С.В.) В каждой клетке квадрата 2008x2008 стоит целое число. При
этом в каждой строке квадрата образовалась арифметическая прогрессия.
Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 4.
17
3. (Кукина Е.Г.) ААЬ ВВЬ CCj - медианы треугольника АВС. Оь О2, О3 -
точки пересечения медиан треугольников AAjB, ВВ|С и СС|А соответственно.
Найти площадь треугольника О|О2О3, если площадь треугольника АВС равна
1.
4. (Шаповалов А.В.) На каждой клетку шахматной доски стоит по королю
черного или белого цвета так, что каждый бьет больше королей чужого цвета,
чем своего. Может ли белых и черных королей быть не поровну? (Король бьёт
на одну клетку по вертикали, горизонтали или диагонали в любом
направлении)
5. (Усов С.В.) Имеется много коробок, в каждой из которых лежат шарики
трёх цветов: красные, синие и белые (все три цвета присутствуют в каждой
коробке). Красный шарик настолько же легче белого, насколько белый легче
синего. Известно, что в каждой коробке лежит по 20 шариков, в одной из
самых тяжёлых коробок (возможно, есть другие такого же веса, но нет более
тяжёлых) 7 красных, 12 белых и 1 синий шарик, а всего синих шариков 1000.
Какое наименьшее количество красных шариков может лежать в коробках?
6. (Усов С.В.) Люк загадал двузначное число, разбил его на сумму двух
различных натуральных чисел и сообщил одно из этих чисел роботу R2-D2, а
второе роботу С-ЗРО. Само число Люк роботам не сообщал, а сказал только,
что их числа различны, и дают в сумме двузначное число. После чего между
роботами состоялся следующий диалог. R2-D2: «Я не знаю, какое из наших
чисел больше». С-ЗРО: «И я этого не знаю. Сообщаю, что моё число делится
на 17». R2-D2: «Теперь я знаю, какое число загадал Люк». Какое?
11 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. (Фольклор) Решите уравнение7х + 2л/х-Г + д/х2007 -х = Vx-1.
2. (Усов С.В.) Дан произвольный треугольник АВС. Строится
последовательность треугольников по следующему правилу. Три стороны
треугольника AjBiCi равны синусам углов треугольника АВС, три стороны
треугольника А2В2С2 равны синусам углов треугольника AiBjCj и т.д.
Найдите отношение площади треугольника AjBjCi к площади треугольника
А200?В200?С2007 •
3. (Штерн А.С.) Четыре положительных числа a, b, с, d, взятые именно в
таком порядке, образуют возрастающую арифметическую прогрессию.
Докажите, что любой корень х0 уравнения ax3+bx2+cx+d=0 удовлетворяет
неравенству х0< -1.
18
4. (Шаповалов А.В.) На нижней ступеньке лестницы из 130 ступенек лежит
130 камней, остальные ступеньки пусты. За ход Сизиф может взять с любой
ступеньки группу из одного или нескольких камней (не обязательно всех,
лежащих на этой ступеньке), и переложить всю группу вверх или вниз на
число ступенек, равное числу камней в группе (группу из одного камня на
соседнюю ступеньку, группу из два камня - через одну ступеньку вверх или
вниз и т.д.). Помогите Сизифу переложить все камни на соседнюю ступеньку,
сделав не более 15 ходов.
5. (Усов С.В.) На длинном столе в ряд лежат 2007 кучек по одному ореху.
Первый и второй ходят по очереди. За ход нужно найти какие-нибудь две
соседние кучки (то есть без кучек между ними), где правая не меньше левой, и
объединить их в одну. Тот, кто делает последний ход, выигрывает. Кто из
играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?
6. (Усов С.В.) Шестигранник ABCDKLMN вписан в сферу, его грани ABCD
и KLMN лежат в параллельных плоскостях, a ABLK, BCML, CDNM, DAKN -
его остальные грани. Известно, что ABxLM=BCxKL. Докажите, что
шестигранник ABCDKLMN является либо усечённой пирамидой, либо прямой
призмой.
11 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. (Фольклор) Какое наибольшее значение может принимать сумма
косинусов всех углов равнобедренного треугольника?
2. (Абитуриентские олимпиады СПбГУ) Из пункта А в пункт В
одновременно отправились два туриста. Первый турист прошёл весь путь со
скоростью v, а второй поделил свой путь на семь равных участков и двигался
с постоянной скоростью на каждом из участков. Известно, что его скорость на
каждом участке кроме первого была больше скорости на предыдущем участке
на одну и ту же величину, а на четвёртом участке он двигался со скоростью v.
Кто пришёл в пункт В раньше?
3. (Фольклор) Дан куб ABCDAiBjCjD] с ребром 1. Прямая / проходит через
точку Е, середину ребра CjDi, и пересекает прямые ADj и AjB. Найдите
расстояние от точки Е до точки пересечения прямой / с прямой AjB.
4. (Штерн А.С.) Докажите, что при любом натуральном к существует
бесконечно много чисел, которые можно представить как в виде суммы к
последовательных натуральных чисел, так и в виде суммы к+1
последовательного натурального числа.
19
5. (Усов С.В.) В марсианском домино на каждой половинке костяшки может
быть от нуля до 2008 очков, а в остальном правила те же. Все костяшки кроме
дублей выложены в ряд так, что на соприкасающихся половинках -
одинаковое число очков. Таким образом, очки на полукостяшках образуют
последовательность чисел. В памяти автомата «Доминатор» изначально
содержится число 0. Автомат по очереди считывает числа последовательности
и заменяет на каждом шаге число, содержащееся в его памяти, на модуль
разности между этим числом и очередным членом последовательности. Какое
число получит «Доминатор» в конце концов, если последовательность
начиналась с числа 2007?
6. (Математические олимпиады США) В одной из клеток
прямоугольника 2008x99 стоит число-1, а в остальных клетках стоят
единицы. За один ход разрешается заменить число -1 в одной из клеток на 0, а
все числа в клетках, соседних с ней по стороне, умножить на-1. Докажите,
что, в какой бы клетке ни стояло изначально число-1, действуя таким
образом, можно сделать так, что вся таблица будет состоять из одних нулей.
Решения задач
5 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. Ответ: 12 кг.
Решение. Вес молока, заполняющего бидон наполовину, составляет 6 кг.
Поэтому вес бидона составляет 14—6=8 кг, а вес молока, заполняющего бидон
полностью, составляет 20—8=12 кг. Значит, вес бидона, заполненного на треть,
равен 4+8=12 кг.
2. Ответ: за 8 ходов.
Решение. Первые несколько ходов определяются однозначно:
1—>2—>4—>8—>16. Далее за 4 хода можно добраться до числа 100:
16—>61—>68—>86—> 100. Получить трёхзначное число быстрее нельзя. В самом
деле, трёхзначное число нельзя получить за один ход 100 из числа, меньшего
86. Значит, чтобы получилось менее 8 ходов, нужно за 3 хода получить из 16
число, большее или равное 86. Но возможные серии из трёх ходов легко
просчитываются: 16—>61 —>68—>82, или 16—>61 —>68—>86, или 16—>23 —>28->82,
или 16—>23—>28—>36, или 16 —>23—>32—>37. Более коротких вариантов нет.
Примечание. Решение становится очень наглядным, если использовать так
называемое дерево перебора.
3. Ответ: три кучки, содержавшие по 9, 12 и 12 орехов.
Решение. Из условия сразу же следует, что в конце получились либо 3
кучки по 11 орехов, либо 11 кучек по 3 ореха. Но второй случай невозможен,
так как число кучек должно быть меньше числа орехов в получившихся
20
кучках. Значит, получилось 3 кучки по 11 орехов, а первоначально имелись
три кучки, содержавшие 9, 12 и 12 орехов соответственно.
4. Ответ: все трое.
Решение. Первое утверждение, сделанное старшим братом, лживо,
поскольку старше его никого нет. Значит, он лгун и второе его утверждение
тоже лживо. Но старше его никого нет, поэтому кота получил он сам. Первое
утверждение, сделанное младшим братом, тоже лживо, поскольку младше его
никого нет. Значит, он тоже лгун и получил мельницу. Средний же брат
утверждает, что младший получил кота, а старший мельницу. Но на самом
деле всё обстоит как раз наоборот, поэтому он тоже лгун.
5.
Годится следующий пример.
Видно, что ладьи в дальних от центра углах маленьких квадратиков 2x2
бьют 2 ладьи и 2 пустые клетки. Ладьи в ближних к центру углах маленьких
квадратиков 2x2 бьют 4 ладьи и 4 пустые клетки. Остальные ладьи бьют 3
ладьи и 3 пустые клетки.
6. Ответ: 287.
Решение. Суммируя все числа по столбцам, видим, что сумма всех чисел
таблицы в 21 раз больше суммы чисел первого столбца. Значит, сумма всех
чисел делится на 21. Если 2008 - сумма чисел во 2-й строке, то сумма всех
чисел равна 2007+2008+2009=6024, что не делится даже на 7. Если 2008 -
сумма чисел в 3-й строке, то сумма всех чисел равна 2006+2007+2008=6021,
что не делится на 7. И только в случае, когда 2008 - сумма чисел в 1-й строке,
получаем сумму всех чисел 2008+2009+2010=6027, что при делении на 21 даёт
в сумме 287.
7. Ответ: 3 или 4.
Решение. Пусть гиря А уравновешивается гирями В и С, а гиря В - гирями
Е и Д. Гиря В может быть только средней, гиря А только тяжёлой, а гири Е и Д
только лёгкими. Гиря С может быть лёгкой или средней. В первом случае
тяжёлая гиря уравновешивается тремя лёгкими гирями, а во втором - четырьмя.
8. Годится следующий пример: 2008=1970+23+4+6+5.
21
9. Ответ: нет, не сможет.
Решение. На каждом из кубиков должно быть по цифре 1 и 2, иначе нельзя
составить комбинации 11 и 22. Кроме того, на одном из кубиков обязательно
должен быть 0. Если на втором кубике нуля нет, то на нём должны быть все
цифры от 3 до 9. Но их всего 7, а граней на кубике 6. Если же 0 есть и на
втором кубике, то останется всего 6 свободных граней, по которым нужно
расставить 7 цифр от 3 до 9.
10. Ответ: ребус имеет 4 решения 9385+1047=10432, 9387+1045=10432,
9486+1057=10543 и 9487+1056=10543.
Решение.
1) Л=1, т.к. сумма двух цифр не превосходит 18.
2) Имеем С+1=1Ы либо С+1+1=1Ы (если есть переход через разряд).
Поскольку С< 10, то Ы=1 или Ы=0. Единица уже занята, поэтому Ы=0.
3) Прибавляя к Н ноль получаем Ж. Значит, из младшего разряда сюда
перешла единица. Но Ж не равно 0 (0 занят), поэтому перехода в следующий
разряд нет и С+1=10, то есть С=9.
4) Н+1=Ж и (Е+Ж=1Н либо Е+Ж+1=1Н). Поскольку Н меньше Ж на единицу,
то либо Е=9, либо Е+1=9. Но С=9, поэтому Е=8 и Г+И=1Я. Очевидно, Я>1.
5) Итак, 9Н8Г +10ЖИ=10ЖНЯ.
Остались цифры: 2,3,4,5,6,7. Причем Н и Ж - две соседние. Но это не пары
(6,7) или (5,6), поскольку тогда Г+И<12 (Г и И берутся из оставшихся цифр).
Пара (2,3) отпадает, поскольку Г+И в этом случае не должно быть меньше 14,
а6+7<14.
6) Н=3, Ж=4 => 9385+1047=10432 либо 9387+1045=10432.
Н=4, Ж=5 => 9486+1057=10543 либо 9487+1056=10543.
5 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. Ответ. Одинаково.
Решение. Спуститься с 6 этажа на первый пешком займет 5 минут. Чтобы с
6 этажа доехать на 1 на лифте, надо проделать такой маршрут:
6 -20- 9-23 -12-1.А он займет тоже 5 минут.
2. Ответ. Решение единственное: 89+19=108.
3. Ответ: 300 кирпичей.
Решение. Ниф-Нифу, Нуф-Нуфу и Наф-Нафу вместе не хватает 600
кирпичей, чтобы построить 3 домика, а хватает на один. Значит, на 2 домика
понадобилось бы как раз 600 кирпичей. А значит, один поросячий домик
строится из 300 кирпичей.
4. Например, так. См. рисунок справа.
22
5. Ответ: 1 минуту.
Решение. Путь от Простоквашино до места встречи, который Матроскин
проделал за 30+5=35 минут, Шарик проделал за 30-5=25 минут.
Следовательно, путь от места встречи до Печкино, который Шарик проделал
за 5 минут, в 5 раз меньше пути от Простоквашино до места встречи. Поэтому
Матроскин проделает путь от места встречи до Печкино за 7 минут. Значит,
Шарику остаются 2 минуты, и он должен поделить их поровну между дорогой
от места встречи в сторону Простоквашино, и обратной дорогой до места
встречи.
6. Ответ. Наташа самая красивая.
Решение. Ира не может быть самой красивой, потому что иначе ее фраза
верная, а она обязана лгать. Значит, возможны два варианта: Ира самая умная
или самая хитрая. Если Ира самая умная, то она сказала правду, и Галя не
может быть самой красивой. Тогда самая красивая - Наташа. Если же Ира
самая хитрая, то высказывание Наташи ложно, и Наташа может быть только
самой красивой. Итак, в любом случае Наташа самая красивая.
7. Ответ. Нет, не может. | [
Решение. Рассмотрим клетки, которые отмечены на
рисунке черным цветом. Заметим, что если летучая ладья | | [ [ | |
начала своё движение в одной из этих клеток, то она не сможет
из них выйти. С другой стороны, попасть в черную клетку | |
можно только с черной клетки. Значит, если ладья начала
ходить в черных клетках, она их не сможет покинуть, а если она начала ходить
в белых клетках, то не сможет попасть в черные клетки.
8. Годится следующий пример: 10-2-4-8-3-9-6-7-1-5.
9. Ответ: 521.
Решение Три различные цифры могут давать в сумме 8 лишь в следующих
случаях: 1+2+5 или 1+3+4. Но, как показывает неравенство 4х 134>431, второй
вариант невозможен. Значит, исходное трёхзначное число, записывается
цифрами 1, 2, 5, и после перестановки могло получиться только число 125.
Исходное число было именно 521, а не 512, т.к. переставлялись только две
цифры.
10. Ответ. Белая.
Решение. Верхняя шашка на правом заднем столбике - белая (это видно по
виду сверху). Теперь смотрим на вид справа. Белая шашка только на высоте
два. Значит, в правом заднем столбике всего две шашки (нижняя черная,
верхняя белая). Кроме того, в заднем левом столбике 5 шашек, 3 верхних
черные. Всего шашек 16, а в задних столбиках 7. Значит, в передних
столбиках 9 шашек. При этом в каждом переднем столбике не более 5 шашек,
в правом переднем их ровно 5, и цвета этих шашек мы видим (2 чёрных и 3
23
белых). Значит, в левом переднем столбике 4 шашки: 2 белых и 2 чёрных.
Итак, мы узнали цвета всех шашек, кроме двух нижних в заднем правом
столбике. При этом у нас получилось: 1+3+2=6 белых шашек и 1+3+2+2=8
чёрных шашек. Значит, две оставшиеся шашки белые.
6 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. Ответ: 889 и 1111.
Решение: Число на первом мониторе каждую секунду увеличивается на 4,
на втором - на 5, а их сумма - на 9. Первоначально сумма равна 2, в конце -
2000, то есть сумма чисел на мониторах увеличилась на 1998, это произошло
за 1998:9=222 секунды. В тот момент на первом мониторе было число
1+4*222=889, а на втором 2000-889=1111.
2. Ответ: Еще час.
Решение: Ахиллес добежал до горы за час, Черепаха двигалась втрое
медленнее и прошла за час треть расстояния до Олимпа. Теперь между
Ахиллесом и Черепахой осталось две трети исходного расстояния от Черепахи
до Олимпа. Теперь Ахиллес и Черепаха движутся с одинаковыми скоростями
и до встречи пробегут ровно по трети - столько же, сколько прошла черепаха
за первый час. Следовательно, им потребуется еще один час.
3. Ответ: Пятачок съел 1 бочонок, Малыш - 3, Карлсон - 11, Винни-Пух - 13.
Решение: Пусть К обозначает количество бочонков меда, съеденных
Карлсоном, В - Винни-Пухом, П - Пятачком и М - Малышом. Тогда из
условия следует: К+М=В+П и К+В=6(М+П). Из первого равенства следует,
что К+М+В+П делится на 2, из второго - что оно делится на 7. Значит, общее
количество съеденных бочонков равно либо 14, либо 28. Если К+М+В+П=14,
то М+П=2, т.е. М=1 и П=1, а по условию Пятачок съел меньше Малыша.
Значит, К+М+В+П=28 и М+П=4, т.е. М=3 и П=1. Следовательно, В=13 и
К=11.
4. По условиям задачи АВ+ВС+СД=4ч, ВС+СА+АД=4ч, СА+АВ+ВД=Зч50м
и АВ+ВС+СА=4,5ч (Здесь АВ означает не расстояние между пунктами, а
время, затраченное Кощеем на- прохождение этого расстояния). За первые три
обхода Кощей, по сути, дважды обошел вокруг леса и по одному разу прошел
по тропинкам, ведущим от каждого своего замка до домика Бабы-Яги,
затратив на все 11 ч50м. Значит, только на проходы по тропинкам от замков до
Яги он затратил 11ч50м-2*4,5ч=2ч50м. Если бы путь по каждой тропинке
занимал не меньше часа, то проход по всем трем тропинкам занял бы не менее
Зч. Следовательно, хотя бы от одного замка можно добраться до Бабы-Яги
менее, чем за час.
5. Ответ: 10/27.
24
Решение: После первого обмена у Попа две трети земли Попа и одна треть
- земли Балды, а у Балды - одна треть земли Попа и две трети земли Балды.
То есть разность между их наделами совпадает с разностью между одной
третью земли Попа и одной третью земли Балды. Итак, после каждого обмена
разность уменьшается втрое. После пятого обмена она составит 90:243=10/27.
6. Вот одна из возможных цепочек преобразований:
1 -2-4-8-16-32-64-128-256-512-251 -502-1004-2008.
7. Например, так: 2008=1970+23+4+5+6.
8. Ответ: На рисунке показано, как
сладкоежками. 1, 2 и 3 куски забирает
первый; 4, 5 и 8 - второй, остальное -
третий.
Решение: Общая площадь торта
составляет 36 квадратиков, значит,
каждому сладкоежке должно достаться
по 12. Доля первого (1, 2 и 3 куски)
состоит из прямоугольника 1x6 и
половины прямоугольника 2x6, что по
площади равно 12 квадратиков. 4 и 5
куски можно разбить на 4 треугольника
(по границам клеток), которые являются
половинами прямоугольников 1x3, 3x3,
3x2 и 1x2 соответственно (если смотреть
слева направо и снизу вверх). Это 10
квадратиков. Еще 2 квадратика находим в 8 куске. Итак, второму сладкоежке
также досталось 12 квадратиков, а следовательно - и третьему (которому
отойдут остальные куски) тоже.
9. Например, «Четно ли число динаров у тебя в кошельке?».
Решение: Если в левой руке у разбойника 2 динара, то в левой и в
кошельке - по 1 динару, и он ответит честно: «нет». Если у разбойника в
левой руке 1 динар, то либо в правой руке 2 динара и в кошельке 1, и
разбойник солжет, сказав «да», либо в правой руке 1 динар и 2 в кошельке, и
разбойник честно ответит «да». Итак, если разбойник сказал «да», то у него в
левой руке 1 динар, иначе - 2 динара.
10. Ответ: 7.
Решение: Понятно, что в каждый момент времени Петя пишет либо самую
маленькую, либо самую большую цифру из написанных к тому моменту в
квадрате. В частности, на последнем шаге он написал 1 либо 9. Но 9 он
написать не мог, так как к тому времени все ее соседки по стороне уже заняты,
и в этой клетке могло появиться лишь наименьшее число. Итак, последней
25
написанной цифрой была 1. По аналогичным причинам на предыдущих ходах
были написаны цифры 2, 3, 4 и 5. Сотрем их. Теперь на предыдущем шаге
Петя мог написать либо 6, либо 9. У 9 нет соседей и она наибольшая, а у 6 есть
сосед (семерка) и она наименьшая. Итак, оба числа могли быть написаны.
Разберем варианты. Если на этом ходе была написана 6, то предыдущей -
непременно наибольшая цифра 9 (т.к. теперь ни у одной из цифр не осталось
соседей по сторонам), перед ней - 8, и Марья Ивановна написала 7. Если же на
этом ходе была написана 9, то на предыдущем - 6 либо 8, перед чем - 8 или 6
соответственно. Итак, в любом случае Марья Ивановна написала число 7.
6 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. См. задачу №2 для 5 класса (2008-2009 учебный год). I I I > I
2. Пример обхода см. на рисунке. ------——
3. Ответ: 8. *---------
Решение. После перестановки двух лёгких гирек левая
чашка стала на 2 лёгкие гирьки легче, а правая на 2 лёгкие гирьки тяжелее.
Значит, разница в весе между ними стала составлять 4 лёгкие гирьки.
Поскольку весы уравновесили одной тяжёлой гирькой, она весит столько же,
сколько четыре лёгких. При перестановке тяжёлой гирьки разница в весе
между чашками стала составлять две тяжёлые гирьки, то есть, восемь лёгких.
Значит, восемь лёгких гирек и надо добавить.
4. Ответ: все лжецы.
Решение: Заметим, что 2-й и 3-й высказываются о текущей остановке по-
разному, а о предыдущей - одинаково. Это означает, что среди них нет ни
одного рыцаря, т.е. 2-й и 3-й - лжецы. Но 3-й и 1-й говорят о текущей
остановке одинаково, значит 1-й тоже лжец.
5. Ответ: 3330.
Решение: Перестановкой трех различных цифр можно получить 6
различных чисел, причем каждая из трех цифр встречается в каждом из
разрядов дважды. Таким образом, при сумме всех 6 чисел в качестве суммы по
каждому разряду получим одно и то же число 30 (удвоенную сумму трех
цифр). Ну а сама сумма равна 30* 100+30* 10+30=3330.
6. Ответ: 1/5.
Решение: Из первого условия следует, что скорость Толи равна сумме
скоростей Пети и Васи, то есть, составляет половину суммы скоростей всех
мальчиков. Аналогично, скорость Васи равна полусумме скоростей Пети и
Толи, а значит, составляет 1/3 суммы скоростей всех мальчиков. Но тогда,
26
скорость Пети составляет 1/6 суммы скоростей всех трёх мальчиков, а значит
равна 1/5 суммы скоростей Васи и Толи. Поэтому к моменту встречи Васи и
Толи Петя пробежит 1/5 часть дистанции.
7. Ответ: 6 прямых.
Решение: Покажем, что больше 6 прямых провести не удастся. Пусть есть
7 красных прямых. Вдоль каждого направления можно проводить от 0 до 5
прямых. Если проведены 5 параллельных прямых (например, вертикальных),
то среди них есть пары прямых на расстояниях 1, 2, 3 и 4 друг от друга,
следовательно, горизонтальных может быть не больше одной. Пусть пяти
параллельных прямых нет, тогда вдоль одного из направлений проведены
ровно 4 прямые (например, вертикальные). В этом случае среди них
обязательно найдутся пары прямых на расстояниях 1, 2 и 3 друг от друга. Но,
тогда горизонтальных может быть не больше двух (две провести можно: на
расстоянии 4 друг от друга). Пример для 6 прямых может быть, например,
таким: пять вертикальных и одна горизонтальная.
8. Годится такой пример: 1-5-4-6-9-3.
9. См. задачу №10 для 5 класса (2008-2009 учебный год).
10. Ответ: у Тани и Маши по 2000 белых и 1000 чёрных бусинок, а у Ани и
Даши - наоборот, 1000 белых и 2000 чёрных бусинок
Решение 1 (элементарная алгебра).
Пусть у Ани количество белых бусинок отличается от 1000 на х (х>0),
тогда у Тани это отличие составляет 2х (как по белым от 2000, так и по
черным от 1000) и т.д. Замыкая круг, получим, что у Ани количество белых
бусинок отличается от 1000 на 16х. Противоречие.
Решение 2 (почти чистая арифметика).
Ясно, что этот вариант из ответа подходит. Докажем, что другие варианты
невозможны. У Тани и Маши, вместе взятых, белых бусинок вдвое больше, а
чётных вдвое меньше, чем у двух других девочек. Значит, на них приходится
2/3 всех белых бусинок и 1/3 всех чёрных бусинок. Но всего у них 6000
бусинок. Значит, оставшиеся 1/3 всех белых бусинок и 2/3 всех чёрных
бусинок тоже составляют 6000, то есть, столько же. Но это означает, что 1/3
всех белых бусинок - это столько же, сколько 1/3 всех чёрных бусинок.
Значит, чёрных и белых бусинок поровну - по 6000. Причём у Тани и Маши,
вместе взятых, 4000 белых бусинок, а у Ани и Даши 4000 чёрных бусинок.
Рассмотрим какую-нибудь девочку, у которой много бусинок белого цвета.
Например, Таню. Если у неё больше 2000 белых бусинок, то у Ани их больше
1000, а чёрных бусинок меньше 2000. Но тогда у Маши чёрных меньше 1000,
а белых больше 2000. Но на Таню и Машу, вместе взятых, приходится 4000
белых бусинок, поэтому у Тани больше 2000 белых бусинок быть не может.
Аналогичное рассуждение (меняем местами слова «больше-меньше»)
показывает, что у неё не может быть меньше 2000 белых бусинок. Значит, у
27
Тани, как и у Маши, по 2000 белых и 1000 чёрных бусинок. Аналогично, у
Ани и у Даши по 1000 белых и 2000 чёрных бусинок.
7 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. См. задачу №2 для 5 класса (2008-2009 учебный год).
2. Обозначим сумму чисел в первой строке за х. Тогда сумма чисел во второй
строке х+1, в третьей х+2, а во всей таблице Зх+З. Из условия следует, что
сумма чисел во всей таблице в 21 раз больше, чем в 1 столбце. Так как все
числа целые, сумма чисел во всей таблице должна делиться на 21. Но Зх+З
делится на 21, если х+1 делится на 7.
3. Ответ: 120 градусов.
Решение. Треугольники АКБ и БРМ равны по двум сторонам и углу
между ними, составляющему 120 градусов. Тогда ZABK=ZMBP и
ZABK+ZPBM=ZPBM +ZMBP=180°-ZPMB= 180°-120°=60°. Значит
КВ м
ZABP=180°-60°=120°.
4. Годится следующий пример: 2008=1970+23+4+6+5.
5. Ответ. Например, «Какая монета лежит у тебя в кошельке?».
Решение. Возможны три случая, которые мы изобразим следующей
таблицей_____________________________________________
Левая рука Правая рука Кошелёк Ответ разбойника
1 динар 1 динар 2 динара 2 динара
1 динар 2 динара 1 динар 2 динара
2 динара 1 динар 1 динар 1 динар
Из таблицы видно, что разбойник даёт ответ «1 динар», если в левой руке у
него 2 динара, и даёт ответ «2 динара», если в левой руке у него 1 динар.
6. Выложим доминошками каждый ряд длины 2008. В этом покрытии ни
одна из доминошек не может прилегать к стороне длины 2007 двумя клетками.
Докажем, что это покрытие будет близким любому другому. Рассмотрим
произвольное покрытие и в нём доминошки, прилегающие к стороне длиной
2007. Все они не могут прилегать к стороне длины 2007 двумя клетками,
поскольку 2007 - число нечётное. Значит, хотя бы одна из них прилегает к
этой стороне одной клеткой. Но это и означает, что её положение не
поменялось.
28
7 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. См. задачу №3 для 6 класса (2008-2009 год).
2. Ответ. Да. Пример обхода см. на рисунке.
3. Годится пример 10-2^1-8-3-9-6-7-1-5.
4. Ответ: 65°. 15°. 10°.
Решение. Заметим, что наименьшим из этих трёх
углов является как раз угол COD. В самом деле, если бы
наименьшим был один из крайних углов, то два других
вместе составляли бы наибольший угол между лучами, и тогда сумма самого
большого и самого маленького составила бы 90°. Обозначим самый большой
из крайних углов через а. Тогда самый большой угол между лучами равен
а+10°, что даёт равенство а+20°=85°. Отсюда а=65°, а третий угол составляет
15°.
5. Ответ: на 5.
Пример: 625, 480 и 371. Легко видеть, что
625x480x371=5x5x5x5x5x2x2x2x2x2x3x7x53=111300000.
Оценка: количество нулей в произведении не превосходит число
вхождений пятерки в разложении сомножителей на простые множители.
Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. Максимальное число
пятерок в разложении трехзначного числа - четыре (у числа 625). Поэтому
если 0 и 5 присутствуют в записи одного и того же числа, больше четырех
нулей на конце произведения мы не получим. Теперь рассмотрим случай,
когда одно число оканчивается на 0, а второе - на 5. Первое не может иметь в
разложении на простые множители более одной пятерки, поскольку его
десятки не оканчиваются ни на 0, ни на 5. Второе в разложении имеет не более
четырех пятерок (см. выше). Наконец, третье - ни одной. Итак, в
произведении получим не более пяти нулей на конце.
6. Ответ: 889 или 997 (и, соответственно, все числа, полученные из них
перестановкой цифр).
Решение. Ясно, что придуманное Сеней число не могло записываться
тремя одинаковыми цифрами. Но тремя различными цифрами оно тоже не
могло записываться, так как тогда каждая цифра в разряде единиц входила бы
в два числа, и сумма получилась бы чётной. Значит, сенино число
записывается двумя различными цифрами а и Ь, что приводит к равенству
aab+aba+baa=2775. При сложении этих чисел мы получаем 2а+Ь единиц, 2а+Ь
десятков и 2а+Ь сотен. Поэтому (2а+Ь)( 100+10+1 )=2775=>2а+Ь=25. Но других
трёхзначных чисел с суммой цифр 25 не существует.
29
8 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. Ответ: нет, не существуют.
Решение. После очевидных преобразований получаем равенство
xv+uy=xu+vy<=>(x-y)(u-v)=O. Значит, либо х=у, либо u=v.
2. Ответ: Барону можно верить.
Решение. Будем действовать следующим образом. Возьмём первый слева
вертикальный столбик и будем убирать королей в следующем порядка: 1-й
сверху, 3-й, 5-й, 7-й, 2-й, 4-й, 6-й. Аналогично освобождаем все столбики со 2-
го по 6-й. В 7-м столбике убираем всех королей подряд сверху вниз.
3. Ответ: ВЕ:ЕС=2.
Решение. Из условия ясно, что точка С лежит между точками Е и К.
Отрезок FC есть средняя линия в треугольнике DEK, поэтому ЕС=СК.
Аналогично EF есть средняя линия в треугольнике BDK, поэтому ВЕ=ЕК.
Отсюда ВЕ=2ЕС.
4. Ответ: пятый кандидат рыцарь, а остальные лжецы.
Решение. Пусть кандидат с номером 1 рыцарь. Тогда правду говорит
кандидат с номером 9, а значит и кандидаты с номерами 3 и 7. Получается, что
среди кандидатов четыре рыцаря. То же самое получается, если рыцарь - один
из кандидатов с номерами 3, 7 и 9. Аналогично, если рыцарем будет один из
кандидатов с номерами 2, 4, 6, 8, то и остальные кандидаты из этой команды
будут рыцарями. Значит, все эти кандидаты - лжецы, а единственный рыцарь
кандидат №5.
5. Ответ: 6.
Решение. Из условия следует, что самый большой и самый маленький
собственный делители имеют разную чётность. Если самый большой делитель
чётный, то само число делится на 2, и, значит, самый маленький собственный
делитель равен 2, то есть, тоже чётный. Значит, чётным будет наименьший
делитель, но наименьший собственный делитель есть простое число, а
единственное чётное простое число - это 2. Поэтому наименьший
собственный делитель - это 2, наибольший - это 3, а само число равно
произведению наименьшего и наибольшего, то есть 6.
6. Ответ: 2.
Решение. Обозначим первое число через х, а второе через у. Тогда дальше
на доске выписаны следующие числа: х, у, у-х, -х, -у, х-у, х, у, ... Отсюда
видно, что числа на доске повторяются через 6, и сумма в каждой такой
шестёрке равна нулю. Число 100 при делении на 6 даёт остаток 4, а число 200
- остаток 2. Отсюда получаем равенства 2у-х=0, у+х=3 и у=1, х=2. Так как
число 2007 при делении на 6 даёт в остатке 3, искомая сумма равна 2у=2
30
8 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. Ответ: на 18%.
Решение. Пусть длина равна а, а ширина - Ь. Тогда
2(0,1а+0,2Ь)=0,12(2а+2Ь), откуда получаем а=4Ь. Если длину уменьшить на
20%, а ширину на 10%, то периметр уменьшится на 2(0,2а+0,1Ь)=1,8Ь, а равен
он был 10b. То есть уменьшится на 18%.
2. Ответ: 5 чисел.
Решение. Заметим, что 3-е и 8-е числа обязательно составные, значит, как
среди первых трех чисел, так и среди последних трех чисел, не более одного
простого. Поскольку произведение двух различных простых чисел не может
делиться на отличное от них простое число, среди четырех чисел с 4-го по 7-е
обязательно есть хотя бы одно составное. Таким образом, простых чисел не
более пяти. Пример может быть таким: 1, 2, 6, 3, 5, 35, 7, 77, 11, 1.
3. Ответ: нет.
Решение.
а. Пусть точка О равноудалена от двух соседних вершин квадрата (А,В).
Если она при этом не принадлежит границе квадрата, то получаем
равнобедренный треугольник АОВ. Независимо от того, внутри квадрата она
или вне квадрата, имеем равнобедренный треугольник COD (аналогично если
О лежит на границе). Противоречие.
Ь. Пусть точка О равноудалена от двух противоположных вершин квадрата
(А,С) и лежит внутри квадрата. Тогда она на диагонали BD. Значит
BO+OD=5=AC. В треугольнике АСО нарушено неравенство треугольника.
с. Пусть точка О равноудалена от двух противоположных вершин квадрата
(А,С) и лежит вне квадрата. Тогда она на продолжении диагонали BD. Пусть
D лежит между В и О, значит OD=2 и в треугольнике ADO против тупого
угла D лежит меньшая сторона.
d. Если точка О равноудалена от двух противоположных вершин квадрата
и лежит на его границе, то она совпадает с одной из вершин, что невозможно.
4. Ответ: 0.
Решение. Пусть Ич, Ик - число индийцев, пьющих чай и кофе,
соответственно. Аналогично определим величины Тч и Тк. Тогда из первого
вопроса следует, что Тч+Тк=44, а из второго вопроса следует Ик+Тк=33.
Предположим, что «На улице идет дождь» - ложное утверждение. Тогда
Ик+Тч=22. Складывая первые два равенства, и учитывая третье, получаем
2Тк=55, противоречие. Значит, дождь идет, и имеем третье равенство вида
Ич+Тк=22. Складывая все три уравнения, и учитывая, что Ич+Ик+Тч+Тк=55,
получаем 2Тк=44, значит Тк=22, а Ич=0.
31
5. Ответ: 8 партий.
Решение: Каждый мальчик играл в паре с четырьмя другими, причём в
составе каждой пары он сыграл ровно три партии. Значит, всего каждый
сыграл в турнире 12 партий. Это означает, что А проиграл все партии. Каждый
из остальных сыграл ровно 6 партий против А. Значит Б, В, Г, Д в играх
против А с напарником одержали по 6 побед. Таким образом, во всех
остальных своих партиях Б проиграл (Б сыграл из них 3 партии в паре с А).
Остальные проигранные 3 партии Б (без участия А) можно расписать так:
(БВ)<(ГД), (БГ)<(ВД), (БД)<(ВГ). Поскольку каждую партию Г играл либо с
А, либо против А, либо с Б, либо против Б, можно утверждать, что
рассмотрены все партии с участием Г. Итак, Г выиграл 8 раз.
6. Ответ: выиграет Вася.
Решение. Заметим, что в треугольнике четное число полей и, значит,
последним ходит Вася. Своим последним ходом он всегда может сделать так,
чтобы произведение всех записанных чисел было равно -1. Покажем, что
этого достаточно для его победы. Перемножим все числа, стоящие в строках,
параллельных одной из сторон треугольника. Полученное произведение равно
произведению всех чисел в треугольнике и равно -1, следовательно, строк с
отрицательными произведениями, среди рассмотренных, нечетное число.
Рассматривая аналогично строки, параллельные другим двум сторонам,
получаем, что всего с отрицательными произведениями нечетное количество
строк. Значит, Вася выигрывает.
9 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. Ответ: 0.
Решение После очевидных преобразований получаем равенство
хи+иу+и2= xv+vy+v2o(x+y+u+v)(u-v)=Q. Поскольку числа попарно различны,
вторая скобка отлична от нуля. Значит, сумма всех четырёх чисел равна нулю.
2. Петя не прав, вот пример такой расстановки:
11111111
1115
12 5 5
2 2 2 5
3. Поскольку ВО одновременно является медианой и биссектрисой
треугольника АВК, то АВК - равнобедренный и ВО - его высота. Ввиду
равенства ^САК=^АВО=^ОВС треугольники AOL, АВО и BAL подобны
по трем углам, откуда AO/LO=AB/AL. Но BL - биссектриса треугольника
АВС, а потому AB/AL=BC/CL. Итак, AO/OL-BC/CL.
32
4. Ответ: 10.
Решение. Из условия следует, что самый большой и самый маленький
собственный делители имеют разную чётность. Если самый большой делитель
чётный, то само число делится на 2, и, значит, самый маленький собственный
делитель равен 2, то есть, тоже чётный. Значит, чётным будет наименьший
делитель, но наименьший собственный делитель есть простое число, а
единственное чётное простое число - это 2. Поэтому наименьший
собственный делитель - это 2, наибольший - это 5, а само число равно
произведению наименьшего и наибольшего, то есть 10.
5. Пусть ABCD - четырехугольник, и М - точка внутри него. Очевидно, что
один из углов АМВ, ВМС, CMD, DMA обязан быть тупым (поскольку их
сумма составляет 360 и не все из них прямые) - это, конечно, угол при
вершине равнобедренного треугольника.
(*) Если правильный и равнобедренный треугольники - смежные,
например, АМВ и ВМС соответственно, то АМ=ВМ=СМ и М - центр
описанной окружности. Таким образом, AM=DM=CM, и прямоугольные
треугольники CMD и DMA тоже равнобедренные, а потому равны.
(** ) Если же правильный и равнобедренный треугольники лежат друг
напротив друга, например - АМВ и CMD, то восстановив серединные
перпендикуляры к их основаниям АВ и СД обнаружим что они (поскольку в
равнобедренном треугольнике проведенные к основанию медиана и высота
совпадают) либо пересекутся в точке М, либо совпадут. В первом случае М -
снова центр описанной окружности. Следовательно, AM=BM=CM=DM, и
прямоугольные треугольники ВМС и DMA снова равны как равнобедренные.
Если же серединные перпендикуляры совпали, то четырёхугольник ABCD -
вписанная и потому равнобедренная трапеция. Поэтому прямоугольные
треугольники ВМС и DMA равны по трём сторонам.
6. Ответ: 9.
Решение Пусть в школе 2х мальчиков и х девочек, а сумма всех оценок у
мальчиков и девочек - А и В соответственно. Тогда по условию
А А + В t , _ _ А В р,
— =-----+1 о 2 А = В + Зх <=> — = — +1,5. Последнее равенство означает, что
х Зх х 2х
средняя оценка за контрольную у девочек на 1,5 балла превышает среднюю
оценку у мальчиков. По условию справедливы неравенства:
А<3+4+5(х-2)=5х-3 и В>5+4+3(2х-2)=6х+3. Отсюда получаем:
3 3
5-->4,5 +— <=> 9 < х. Оценка получена, и из вычислений видно, как нужно
х 2х
строить пример.
33
9 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. (х2 - 5х+6)(х2 - Зх+2)(х2 - 4х+7)=0. Легко видеть, что это уравнение имеет
три различных корня х=2, х=3, х=1.
2. Ответ: да, могут.
Решение. Для этого они должны действовать по следующей схеме.
Каждый начинает есть то, что он умеет съедать быстрее. Карлсон начинает
есть плюшку, а Фрекен Бок торт. Через две минуты Карлсон съедает плюшку,
а Фрекен Бок половину торта, после чего им остаётся съесть вторую половину
торта. Но Карлсон съедает за минуту 1/3 часть торта, а Фрекен Бок 1/4. Значит,
вдвоём они могут съесть за минуту 7/12 всего торта, что больше половины.
Поэтому, с оставшейся половиной торта они за минуту справятся.
3. Ответ: единственный возможный вариант R=5.
Решение. Заметим, прежде всего, что хотя бы одна из сторон
четырёхугольника должна иметь длину 6 и хотя бы одна должна иметь длину
8. В самом деле, в противном случае наш четырёхугольник был бы ромбом, но
не квадратом, поскольку квадрат со стороной 6 или 8 не может иметь
диагональ 10. Но около ромба, который не является квадратом, нельзя описать
окружность. Теперь рассмотрим вершину, из которой выходит и сторона
длины 6, и сторона длины 8. Если диагональ, не проходящая через эту
вершину имеет длину 10, то по теореме, обратной теореме Пифагора,
заключаем, что угол при этой вершине прямой. Тогда диагональ длины 10 есть
диаметр и R=5. Если по какую-нибудь сторону от этой диагонали найдутся две
стороны длины 6 и 8, то вновь эта диагональ диаметр и R=5. Осталось
разобрать следующую конструкцию: из одной вершины четырёхугольника
выходят две стороны длины 6, из другой две стороны длины 8, а не
проходящая через эти вершины диагональ равна 10. Тогда из равенства
треугольников по трём сторонам следует, что равны углы при двух других
вершинах. Но в сумме они составляют 180 градусов, поскольку
четырёхугольник вписанный. Значит каждый из углов прямой и диаметр
окружности снова имеет длину 10. В любом случае R=5.
4. Ответ: шесть.
Решение. Докажем, что двумя составными числами обойтись нельзя.
Будем рассуждать от противного. Пусть имеется всего два составных числа и
7 простых. Произведение нескольких простых чисел не может делиться на
отличное от них простое число. Поэтому составными должны быть: одно из
чисел А, В, D; одно из чисел D, G, Н; одно из чисел С, Е, F, К.
А В С
D Е F
G Н К
34
При этом, чтобы составных чисел было на самом деле всего два, надо чтобы
одним из них было число D, а другим -число F. Таким образом, получаем
следующую картину___________________
Простое Простое Простое
Составное Простое Составное
Простое Простое Простое
Но тогда получаем противоречие в клетках Е, G, Н, К. Пример с тремя
составными числами можно построить, например, так.
А В С
AG ВН СК
G Н к
Здесь А, В, С, G, Н, К - различные простые числа.
5. Ответ: СР=18.
Решение. Продлим отрезки ВС и AD. Заметим, что они пересекутся, а
точнее пересекутся продолжения этих отрезков за точки В и А,
соответственно. В самом деле, ABAD+/C4BC>ABAD+AABD=ACDA+ABCD,
Отсюда видно, что сумма углов четырёхугольника при вершинах А и В
больше суммы двух других углов, а, значит, больше 180 градусов, что и
требуется. Обозначим за Е точку пересечения этих прямых. Рассмотрим
треугольники ABD и ECD. В силу равенства углов AECD=AABD и
ABAD=AEDC эти треугольники подобны и ADEC=AADB. Поэтому
треугольник EBD равнобедренный (равны углы при основании), и EB=BD=\5.
ы „ЕС CD
Из подобия также следует равенство отношении ~ЕБ"~Хв , отсюда
CD^ АВ^ АВ^ ВС
BD BD 15
6. Ответ: 51.
Решение. Прежде чем сделать выбор, робот R2-D2 располагал следующей
информацией о числе робота С-ЗРО.
А) Оно меньше 50 (иначе робот С-ЗРО понял бы, что его число больше числа
робота R2-D2);
Б) Оно делится на 17;
В) В сумме с числом робота R2-D2 оно даёт двузначное число;
Г) Оно отличается от числа робота R2-D2.
Поскольку и число робота R2-D2 тоже меньше 50 (иначе он понял бы, что его
число больше числа робота С-ЗРО) условия A-В оказываются выполненными
и в том случае, когда робот С-ЗРО располагает числом 17, и в том случае,
когда он располагает числом 34. Но поскольку выбор всё-таки был сделан,
значит, одно из двух этих чисел даёт противоречие с условием Г. Это
означает, что число самого робота R2-D2 есть либо 17, либо 34. Тогда,
соответственно, число второго робота есть либо 34, либо 17 (других чисел,
меньших 50 и делящихся на 17, нет), а их сумма (число, придуманное Люком)
равно 51.
35
10 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. Пусть t - разность прогрессии, х - корень многочлена Тогда уравнение
можно переписать в виде ах2+(a+t)x+(a+2t)=0<^a(x2 +х+l)=-t(x+2). По
условию параметры a, t положительны и при любом х х2+х+1>0. Поэтому
х+2<0.
2. Ответ: 1/4.
Решение. Опустим на прямую AD перпендикуляры ВН и СК. Поскольку
AD - общее основание треугольников ABD и ACD, то СК=2ВН, и треугольники
АВИ и DCK подобны по двум сторонам и прямому углу. Тогда углы ^ВАН и
ZCDK равны, а значит, AB||CD, и треугольник АВО подобен треугольнику
CDO по двум углам с коэффициентом подобия AB/CD=0,5. Следовательно
$ лов _ J_
$COD 4
3. Оценка. Рассмотрим доминошки с минимальным количеством точек. Тогда
имеем одну пустую, одну - с одной точкой, две - с двумя, две - с тремя, три -
с четырьмя. Если из этих 9 доминошек удастся выбрать 8 для магического
квадрата, то минимальное количество точек в таком квадрате будет равно
0 + 1 + 2-2 + 2-3 + 2 4 = 19 цто невозможно, так как количество точек в каждой
строке одинаково, а число строк равно 4.
Приведем пример магического квадрата, в котором 20 точек:
2 1 1 : 1
3 1 1 0
0 3 0 2
0 0 3 ' 2
4. Годится следующий пример. Будем нумеровать ступеньки снизу вверх.
Вначале Сизиф пять раз поднимет по 26 камней на ступеньку с номером 104.
Затем - 5 раз спустит по 25 камней на ступеньку с номером 129. После этого
нужно пять раз спустить оставшиеся 5 камней на ту же ступеньку с номером
129.
5. Ответ: нельзя.
Решение. Прежде всего, заметим, что уравнение х2+Ьх+с=0 не может
иметь целых корней, если оба коэффициента Ь, с нечётные. Абсциссы точек
пересечения параболы с указанными прямыми есть корни следующих
квадратных трёхчленов: х2+Ьх+с=0 (с прямой АЕ), х2+Ьх+(с 2007)=0 (с
прямой ВС),
х2+(Ъ-1)х+с=0 (с прямой АВ), х2+(Ь-1)х+(с-2007)=0 (с прямой СЕ). Но
ясно, что в одном из этих уравнений оба коэффициента нечётные.
36
6. Ответ: 100000.
Решение. Прежде всего, заметим, что любое восхитительное число N -
чётное. В самом деле, у нечётного числа все делители нечётные, а сумма двух
нечётных чисел не может быть равна нечётному числу. Поэтому самый
маленький собственный делитель числа N равен 2, а самый большой,
соответственно, равен N/2. Обозначим второй «по малости» собственный
делитель через а, а третий через Ь. Тогда должно выполняться равенство
v V v V V V V V
— = — + — . Если а>4, то — + — < — + — < — . Значит, а=3 и Ь=6. Это означает,
lab а b 4 5 2
что число N делится на 6, но не делится на 4 и 5. Последнее условие означает,
что число N при делении на 60 даёт один из следующих остатков: 6, 18, 42, 54.
Среди каждых 60 последовательных чисел четыре восхитительных. Поэтому
имеется 4 = 100000 восхитительных чисел, не превосходящих полтора
миллиона.
10 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. См. задачу №1 для 9 класса (2008-2009 год).
2. Рассмотрим произвольную строку с номером /. Пусть первый член
арифметической прогрессии в этой строке равен я а разность арифметической
прогрессии d. Тогда сумма чисел в этой строке (учитывая, что в строке
написано 2008 членов этой прогрессии) равна S= 1004(2a+2007d). Теперь ясно,
что сумма чисел в каждой строке делится на 1004, а, значит и на 4.
3. Ответ: -jy.
Решение. Заметим, что AjCi - медиана треугольника АА|В. Значит, Oi
лежит на AjCi и делит этот отрезок в отношении AjOj:0jCi=2:1. Аналогично,
О2 лежит на В1АЬ О3 на B|Cj и С1Оз:ОзВ1=В1О2:О2А1=2:1. Рассмотрим
треугольник AiBjCi, образованный средними линиями. Его площадь равна !4.
По теореме об отношении площадей треугольников с общим углом,
2
заключаем, что S(A|O|O2)=S(B|O3O2)=S(C|O|O3)= S(AiBiCj)= 1/18. Значит,
S(O,O2O3)=l-3.± = ±.
37
4. Ответ: Да. Годится следующий пример.
О X X X X X X о
X О О О О О О X
X О X X X X О X
X О X О О X О X
X О X О О X О X
X О X X X X О X
X О О О О О О X
О X X X X X X О
5. Ответ: 2008.
Решение. Из условия следует, что коробка с шариками тем тяжелее, чем
больше разность между числом красных и числом синих шариков в ней. В
«одной из самых тяжёлых коробок» эта разность равна 6. Поэтому в любой
другой коробке она тоже не меньше 6, а число синих шариков не больше 6
(иначе белых шариков в ней не было бы вообще). Тогда число коробок, не
считая самую первую, не меньше 167, поскольку всего синих шариков 1000.
Значит число всех коробок не меньше 168, разность между числом всех
красных и числом всех синих шариков в этих коробках не меньше 1008, и
число всех красных шариков в них не меньше 1000+1008=2008. Годится
следующий пример: 166 мешков с 6 синими и 12 красными шарами, один с 3
синими и 9 красными, и один с 1 синим и 7 красными.
6. См. задачу №6 для 9 класса (2008-2009 год).
11 КЛАСС. 2007-2008 УЧ. ГОД
1. Ответ: решений нет.
Решение: уравнение приводится к виду
Vx-l +1 + Л2007 -х = у/х-\ <=> Л2007 -х = -1, что невозможно.
2. Ответ: 1.
Решение. По теореме синусов треугольники АВС и AjBjCi подобны, то
есть их углы равны. Поэтому треугольники AjВjCi и А2В2С2 равны, а, значит,
равны и все последующие треугольники.
3. Пусть t - разность прогрессии, х - корень многочлена. Тогда уравнение
можно переписать в виде
ax3+(a+t)x2+(a+2t)x+(a+3t)=0<^>a(x2+1)(х+1) = -1(х2+2х+3). По условию
параметры a, t положительны и при любом хх2+2х+3>0. Поэтому х+1<0.
4. См. задачу №4 для 10 класса (2007-2008 год).
38
5. Ответ: первый.
Решение. Докажем, что при правильной игре первого будет сделано ровно
2005 ходов, это и будет обозначать, что выиграет начинающий. Своим первым
ходом он объединит вторую и третью слева кучки (после этого первая кучка
уже не будет объединена никогда), а затем каждым ходом будет объединять
кучку, вторую слева из оставшихся, со следующей. Докажем, что первый
всегда сможет сделать этот ход. Предположим, что каждый уже сделал по к
ходов. Тогда во второй слева кучке имеется не менее, чем к+1 орех, а в любой
другой кучке не более, чем к+1 орех. Поэтому и (к+1 )-й ход первый сделать
сможет.
6. Т.к. по условию плоскости ABCD и KLMN параллельны, то остальные
грани являются четырехугольниками, содержащими параллельные стороны:
либо параллелограммами, либо трапециями. Т. к. сечением сферы любой
плоскостью является окружность, указанные грани с параллельными
сторонами являются либо параллелограммами, вписанными в окружность (т.е.
прямоугольниками), либо равнобедренными трапециями. Рассмотрим оба
случая для грани KABL.
Пусть KABL - прямоугольник, но тогда AB=KL. Из условия следует, что
AB:KL=BC:LM. Тогда BC=LM, т.е. грань BCML также является
прямоугольником. Отсюда следует, что ребро BL перпендикулярно двум
пересекающимся прямым из плоскости (KLM), а значит перпендикулярно всей
плоскости. Не зависимо от того, являются ли две другие боковые грани
трапециями или прямоугольниками имеем, что AK=DN=CM=BL и равно
расстоянию между параллельными плоскостями, т.е. каждое такое ребро
перпендикулярно этим плоскостям, а значит ABCDKLMN - прямая призма.
Пусть KABL - равнобедренная трапеция и прямые АК и BL пересекаются
в точке S, лежащей, например, на продолжении лучей КА и LB. Тогда
треугольники SAB и SKL подобны с коэффициентом AB:KL=k. Т.к.
AB:KL=BC:LM, то прямая СМ пересекает прямую LB в точке S. Плоскости
граней AKDN и DCMN пересекаются по прямой DN. Но эти же плоскости
имеют общую точку SgAK, СМ. Тогда прямая DN также проходит через
точку S, а значит шестигранник ABCDKLMN является усеченной пирамидой.
11 КЛАСС. 2008-2009 УЧ. ГОД
1. Ответ: 1,5.
Решение. Пусть углы при основании треугольника равны t, тогда третий
угол равен 180°-2t. Рассмотрим сумму косинусов этих углов:
y=2cos(t)+cos(180°-2t)=2cos(t)-2cos2(t) + l. Выполнив замену x=cos(t),
получаем квадратичную функцию у=-2х2+2х+1, которая достигает своего
максимума при х=1/2. Заметим, что cos(t) действительно может принимать
39
значение 1/2 при 1=60°. Таким образом, максимальное значение суммы
косинусов углов достигается в равностороннем треугольнике и равно 1,5 .
2. Ответ: первый.
Решение. Обозначим через и разность скоростей второго на соседних
участках. Таким образом, скорости второго составляли v-3u, v-2u, ..., v+3u на
первом, втором, ..., седьмом участках соответственно. Приняв длину одного
такого участка за 1, получив время прохождения вторым каждого участка:
l/(v-3u); l/(v-2u);... l/(v+3u).
1 , 1 _ 2v . 2v 2. Сумма времен прохождения второго и шестого
v + Зи v-3u v2 -9i/2 v2 v
(или третьего и пятого) участка также оценивается величиной 2/v. Таким
образом, на весь путь второй затратил времени больше, чем 7/v, т.е. больше,
чем первый.
3. Ответ: 3/2.
Решение. Рассмотрим плоскость ADjCiB. Так как прямая I проходит через
середину ребра CjDi и пересекает прямую ADb она имеет с этой плоскостью
две общие точки, а, значит, целиком принадлежит этой плоскости. В то же
время прямая А|В лежит в плоскости AAjBjB. Поэтому точка пересечения
прямых I и AiB лежит на линии пересечения плоскостей ADjCiB и AAjBiB, то
есть на прямой АВ. Но в то же время она принадлежит прямой AjB, а, значит,
совпадает с их тоской пересечения В. Итак, мы должны найти расстояние
между точками Е и В. Но это легко делается с помощью теоремы Пифагора:
4. Выясним, какие вообще числа представимы в виде суммы к
последовательных натуральных чисел. Если число к=2т+1 нечётное, то речь
идёт о представлении в виде (х-т)+...+(х-1)+х+(х+1)+...+ (х+т)=(2т+1)х. Это
означает, что при нечётных к число представимо в виде суммы к
последовательных натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно делится
на к. Если же число к=2т чётное, то нужное представление имеет вид (х-
т+1)+...+(х-1)+х+(х+1)+...+ (х+т)=2тх+т=т(2х+1). Получаем, что при
чётных к число представимо в виде суммы к последовательных натуральных
чисел тогда и только тогда, когда оно делится на к/2, причём частное от
деления является нечётным числом. Теперь ясно, что при любом к можно
взять число вида + 0,,, где у - любое нечётное число.
2
5. Ответ: 2006.
Решение. Разобьем цепочку чисел на доминошках на пары соседних
одинаковых чисел (останется первое число, равное 2007, и последнее, которое
также равно 2007, поскольку парно к первому). Возьмем пару у-у и пропустим
через нее число х. Получаем: (если х>у) х—>|х-у|=х-у—►||х-у|-у|=|х-у-у|=|х-2у|<х
(т.к. 2х>2у) В частности, при у=1 результат пропускания х-2 (если х>1).
40
(если х<у) х—►[х-у^у-х—►||х-у|-у|=|у-х-у|=х. Итак, после пропускания через
пару одинаковых чисел число а) не увеличивается, б) сохраняет четность.
При пропускании через пару единиц число уменьшается на 2 (если оно
больше 1) либо остается неизменным (если оно равно 1). Заметим, что
пропускаемое число не может обратиться в 0, поскольку оно сохраняет
четность, а мы стартовали с 2007. Единицы могут стоять с любым из других
2008 чисел (дублей нет!), то есть образуют 1004 пар, каждая из которых
уменьшает "пропускаемое" через пару число на 2 до тех пор, пока
"пропускаемое" число не обратится в 1 (не обязательно за счет пары единиц -
мы просто показали, что одних единиц будет достаточно). Меньше (т.е. нулем)
оно не может стать по причине сохранения четности, больше - тоже (т.к. не
увеличивается). То есть после пропускания через все пары мы получим 1,
которую останется пропустить через стоящее на конце 2007. В результате
получаем 2006.
6. Назовем «правильной» строку, содержащую одну клетку с -1, а все
остальные клетки - с 1. Строку, изначально содержавшую -1, назовем «А».
Заметим, что правильную строку всегда можно занулить (применив
разрешенную операцию последовательно ко всем клеткам, начиная с
первоначальной -1 и до края строки). Первым делом занулим строку А. Выше
(если строка не первая) и ниже (если она не последняя) теперь находятся
строки из -1, вся прочая таблица заполнена единицами.
Теперь занулим первый столбец (оба его участка, разделенные нулем,
правильные) и со всеми строками той же четности, что и А (они стали
правильными после зануления первого столбца, поскольку во втором столбце
теперь стоят -1. Действительно, поскольку мы зануляем строки через одну,
знаки меняются лишь в строках четности, отличной от А).
Теперь каждая строка четности, отличной от А (кроме, возможно, первой и
последней) - правильная (во втором столбце -1, т.к. ее знак менялся трижды,
при занулении каждой из соседних строк и при занулении первого столбца, а с
3 по 99 клетки стоят 1, т.к. их знак менялся лишь дважды). Заметим, что
зануление таких строк не может испортить соседних, т.к. они уже нулевые.
Осталось разобраться с крайней строкой (1-й, если А была четной, иначе -
2008- й). Вторым элементом в крайней строке идет 1, далее - 97 минус
единиц. Все -1 на нечетных местах занулим. Получили 1004 минус единицы,
стоящие на четных местах, разделенные нулями - их так же легко обратить в
ноль.
41
Институт математики и информационных технологий
Первый набор математиков состоялся в год открытия университета, в 1974 году
Большинство первых преподавателей были выпускниками Новосибирского университета, и
многие традиции они перенесли в Омск Мы поддерживаем тесную связь с академической
наукой - значительное число наших преподавателей являются научными сотрудниками
Омского филиала института математики СО РАН. На наших кафедрах работают 15
профессоров, большинство остальных преподавателей - кандидаты наук, доценты На
первых курсах фундаментальное обучение по трем математическим специальностям ведется
по близким учебным планам. На старших курсах студентам предоставляется широкий выбор
спецкурсов и спецсеминаров. Свои курсовые и дипломные работы студенты пишут под
руководством высококвалифицированных преподавателей.
Летом 2007 года на базе математического факультета, университетского центра
Интернет и Омского регионального центра информатизации был создан Институт
математики и информационных технологий (ИМИТ). Институт имеет три компьютерных
класса, один из которых оснащен маршрутизаторами. На базе Центра Интернет работает
студенческое конструкторское бюро Кроме того, наши студенты могут получить для
установки на домашние компьютеры лицензионное программное обеспечение
У нас в институте активная внеучебная жизнь Самые яркие мероприятия - это дни
математика' посвящение, аукционы и концерты студентов и многое другое
Выпускники института могут работать в области науки, программирования,
аналитики, преподавания и многих других сферах. Классическое математическое
образование открывает широкие возможности на рынке труда
Среди наших выпускников есть кандидаты и доктора наук, а совсем недавно, в 2008
году, выпускник нашего факультета, профессор А. Ю Веснин избран членом-
корреспондентом РАН Другой наш выпускник профессор С И.Горлов работает ректором
Нижневартовского университета.
Многие наши выпускники продолжают обучение и работают за рубежом - в Канаде,
США, Германии, Бразилии, Италии, Швейцарии, Великобритании, Сингапуре - при этом
поддерживая связь с институтом.
Для тех, кто хочет заранее подготовиться к поступлению в наш вуз, открыта
профориентационная четверговая математическая школа для учеников 7-11 классов. Кроме
этого ИМИТ ведет активную работу со школьниками - в специализированных классах 64 и
117 школ, в летних и зимних школах, на олимпиадах и конференциях
Наш институт приглашает тех, кто любит решать интересные задачи и не боится
трудностей
Контактная информация:
644077, г Омск, пр. Мира 55а, Омский государственный университет, 1 корпус
http://www omsu omskrcg.ru/
(3812) 64-42-38, (3812) 22-56-96 - Директор ИМИТ, Николаев Владимир Борисович
e-maib nikolacv@omsu.ru
Четверговая школа Директор: Агалаков Сергей Астафьевич, 26-97-73 (г Омск, пр. Мира
55а, 128 аудитория)
42
Содержание
Предисловие ........................................................3
Условия задач ......................................................5
5 класс. 2007-2008 уч. год .....................................5
5 класс. 2008-2009 уч. год .....................................6
6 класс. 2007-2008 уч. год .....................................8
6 класс. 2008-2009 уч. год .....................................9
7 класс. 2007-2008 уч. год .....................................11
7 класс. 2008-2009 уч. год .....................................12
8 класс. 2007-2008 уч. год .....................................13
8 класс. 2008-2009 уч. год .....................................14
9 класс. 2007-2008 уч. год .....................................15
9 класс. 2008-2009 уч. год .....................................15
10 класс. 2007-2008 уч. год ....................................16
10 класс. 2008-2009 уч. год ....................................17
11 класс. 2007-2008 уч. год ....................................18
11 класс. 2008-2009 уч. год ....................................19
Решения задач.......................................................20
5 класс. 2007-2008 уч. год .....................................20
5 класс. 2008-2009 уч. год .....................................22
6 класс. 2007-2008 уч. год .....................................24
6 класс. 2008-2009 уч. год .....................................26
7 класс. 2007-2008 уч. год ....................................28
7 класс. 2008-2009 уч. год ....................................29
8 класс. 2007-2008 уч. год ....................................30
8 класс. 2008-2009 уч. год ....................................31
9 класс. 2007-2008 уч. год ....................................32
9 класс. 2008-2009 уч. год ....................................34
10 класс. 2007-2008 уч. год ....................................36
10 класс. 2008-2009 уч. год ....................................37
11 класс. 2007-2008 уч. год ....................................38
11 класс. 2008-2009 уч. год ....................................39
Институт математики и информационных технологий ....................42
43
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
Институт математики и информационных технологий
Математическая олимпиада школьников города Омска
им. Г.П. Кукина (2007-2008 и 2008-2009 годы)
Подписано к печати 6 04 2009
Уч. изд л 2,22
Тираж 300 экз.
Формат 60 х 84 1/16
Печать оперативная
Печать ООО «ИТЦ», г Омск, ул Куйбышева, 69