/
Текст
С. С. Демидов,
кандидат физико-математических наук
У истоков
СОВРЕМЕННОЙ
АЛГЕБРЫ
Издательство «Знание» Москва 197 1
51(09)
ДЗО
Демидов С. С.
ДЗО У истоков современной алгебры,
М., «Знание», 1971, 32 стр. (Новое в жизни, науке, технике.
Серия «Математика, кибернетика», 4).
В брошюре рассмотрена история исследования проблемы о разре-
шимости алгебраических уравнений’в радикалах —- задачи, сыгравшей
чрезвычайно важную роль в развитии алгебры. Рассматриваются раз-
личные исторические этапы в постановке этой задачи — с древнейших
времен до наших дней. •’ «
2-2-3
51(09)
• 4
ДЕМИДОВ Сергей Сергеевич
У истоков современной алгебры
Редактор В. Ю. Иваницкий
Обложка Л. П. Р ом асенко
Худож. редактор В. Н. Конюхов
Техн, редактор Т. В. Самсонова
Корректор С. П. Ткаченко
А 01574. Сдано в набор 2/II 1971 г. Подписано к печати 12/Ш 1971 г«
Формат бумаги 60Х90Л6. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1,0. Печ.
л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,01. Тираж 48 100 экз. Издательство «Знание». Моск-
ва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 304. Типография Всесоюзного обще-
ства «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4,
Цена 6 коп.
Под алгеброй в середине прошлого века понимали науку
об алгебраических уравнениях, т. е. об уравнениях вида
aQ+alx+a2x1 2+... + anxn =0,
где aOi аь ..., ап—действительные числа. Похожим образом
трактуется ее содержание и в современном школьном курсе
математики *. Если мы захотим узнать, как понимают пред-
мет алгебры в современной математике, то, обратившись к
статье «Алгебра» в Большой Советской Энциклопедии (вто-
рое или третье издание), написанной известными советскими
алгебраистами О. Ю. Шмидтом и А. Г. Курошем, прочтем,
что алгебра «может быть определена как наука о системах
объектов той или иной природы, в которых установлены one-*
рации, по своим свойствам более или менее сходные со ело-*,
жением и умножением чисел. Такие операции называются
алгебраическими. Алгебра классифицирует системы о
заданными на них алгебраическими операциями по их свой*
ствам и изучает различные задачи, естественно возникающие
в этих системах, включая и задачу решения и исследования
уравнений, которая в новых системах объектов получает но*
вый смысл»2.
Сравнение этих двух подходов к пониманию предмета ал<
гебры показывает глубину эволюции, которую она претерпев
ла за последние сто с небольшим лет. Раскрытию механизм
мов, создавших необходимые предпосылки этой эволюции, ed
характера и особенностей, посвящено большое количество
специальных исследований. Попытаться на основании полу*
1 Конечно, школьный курс ограничивается изложением теории урав?
нений первой, второй степени, биквадратных уравнений, а также систе*
мами уравнений первой и второй степени. К тому же в школьный курс
принято включать и такие вопросы, которые не имеют прямого отно*
шения к теории уравнений (например, теория прогрессий и логарифми^
ческие вычисления, которые относятся скорее к арифметике), что вызва'*
но, как правило, педагогическими соображениями.
2 Существуют иные современные определения алгебры, несколько от-?
личные от приведенного, на которых мы не будем здесь останавливаться^
а
ченных результатов обрисовать общую картину развития и
становления современной алгебры, не предполагая у читате-
ля знаний, не выходящих за рамки школьной или в край-
нем случае втузовской программы, задача заманчивая, но
явно невыполнимая (по крайней мере для автора). Цель дан-
ной брошюры будет значительно скромнее — остановиться на
некоторых моментах истории исследования всего лишь од-
ной проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в
радикалах. Эта задача, сыгравшая чрезвычайно важную
роль в развитии алгебры, имеет длинную и поучительную
историю, рассмотрение неожиданных поворотов которой по-
может, как мы полагаем, понять сложный и противоречивый
ход развития современной математики.
1
Решению алгебраических уравнений первой и вто-
рой степени, а также так называемых биквадрат-
ных уравнений сегодня обучают в школе. Простые, легко за-
поминающиеся формулы для нахождения корней квадратно-
го уравнения ах2+Ьх + с=0:
—b± V" bz—4ас
Х1,2 =------------
2а
известны каждому, прошедшему школьный курс. Однако не
во все времена задача решения квадратного уравнения пред-
ставлялась такой простой, какой она выглядит для нас. Дей-
ствительно, нынешнее решение предполагает хорошо разви-
тую алгебраическую символику, а также достаточно широ-
кую трактовку содержания понятия числа (включение в чис-
ловую область отрицательных и мнимых чисел) —все это по-
является в математике не сразу, а является результатом дли-
тельного постепенного развития математического знания.
История теории алгебраических уравнений начинается в
глубокой древности. Задачи на составление и решение урав-
нений 1 первой степени мы встречаем уже в дошедших до нас
папирусах Древнего Египта. Примером может служить сле-
дующая задача, помещенная в папирусе Ринда, названном
так по имени первого владельца и хранящемся ныне в Бри-
танском музее: количество и его четверть дают вместе 15
!(см. [2], стр. 37). Требуется найти это количество. Предлагае-
мое в папирусе решение имеет следующий вид: считай с
четырех: от них ты должен взять четверть, а именно 1; вме-
1 В дальнейшем под словом уравнение, за исключением специально
оговоренных случаев, будет пониматься алгебраическое уравнение.
4
сте 5. Затем 15 делится на 5, получается 3, которое, в свою
очередь, умножается на 4, давая искомый ответ 12. В дан-
ном случае применен так называемый метод ложного поло-
жения, сущность которого применительно к данному приме-
ру состоит в следующем. Если бы искомое число xt равня-
лось 4, тогда Xi+-i-*'i=5, но для искомого количества спра-
ведливо соотношение х+ — х=15, следовательно, 3(xi4-J
4
4-—xi)=x+—х или (3xi) (3X1) =х+—х, что в итоге да-
4 4 4 4
ет 3xi = x и х=12. Насколько проще выглядит современное
решение, записывающееся буквально в одну строчку: x+J
1 5
J—х=15, — х=15, следовательно, х=12.
1 4 4
Большим препятствием развитию математики, в частно-
сти вопросов, относящихся к теории уравнений, служила не-
удобная техника счета, применявшаяся в Древнем Египте:
счет, основанный на десятичной системе счисления со специ-
альными знаками для каждой десятичной единицы (извест-
ным всем примером такой системы служат римские цифры),
носил в основном аддитивный характер, т. е., например, ум-
ножение сводилось к повторным сложениям. Так, скажем,
умножение на 13 проводилось путем умножения числа на 2,
затем на 4, затем на 8 и сложения результатов, полученных
«три умножении на 4 и на 8 с самим числом. Операция деле-
ния и действия с дробями при древнеегипетской технике сче-
та представлялись чрезвычайно сложным искусством. Вве-
дение шесгидесятеричной позиционной системы счисления®
в Древнем Вавилоне создало условия для значительного про-
гресса в математике, в том числе и в решении алгебраиче-
ских уравнений.
Тексты времен Хаммурапи (около 1750 г. до н. э.) содер-
жат решения многочисленных уравнений первого и второго
порядков и их систем. Разумеется, коэффициенты всех рас-
сматриваемых уравнений имеют определенные числовые зна-
чения, однако методы их решения указывают на то, что то-
гдашним математикам были известны общие правила. Для
примера рассмотрим следующую задачу. Произведение двух
чисел (множимого и множителя) равно единице1 2. Их сумма
равна а3. Требуется найти сами числа. Клинописный текст
1 О системах счисления см. [3].
2 х >у=1, х — множимое, у — множитель, х>у.
8 х+у=а; в текстах а имеет определенное числовое значение, в рас-
сматриваемом далее отрывке оно равно (разумеется, это число дает-
ся в шестидесятеричной системе).
б
содержит следующее решение: на у’ умножь.Л-. ---на
умножь.-^—. Единицу вычти отсюда. Остается^-—1. Что на
.что нужно умножить, чтобы получилось £1—1?
4 .
Haj/^—1 умножь3. I- j/"—- — 1 к ~
прибавь.
£.4-1/ —1 множимое. 1/ “-------1 от
2 т V 4 V 4
-- вычти; -—
2 2
1 множитель.
(текст приведен по [4], стр. 136). В этом же тексте дословно
воспроизведено решение этой же задачи для двух других
значений а. Мы видим, что решения в приведенных случаях
следуют формулам
и '
(Я-1-
Основные результаты древневавилонских математиков в
решении уравнений можно подытожить в следующей таблич-
ке, в которой помещены нормальные формы уравнений, кото-
рые вавилоняне умели решать и к которым они старались
сводить все уравнения (см. [2], стр. 109):
ах=Ь,
х1 2=а,
х2 + ах—Ь,
х2—ах=Ь,
х3 = а,
х2(х+1) =а.
В математике Древней Греции вавилонская алгебра, об-
лекаясь в геометрические одежды, трансформируется в так
называемую геометрическую алгебру. Произведение ab трак-
1 В подлинном тексте число дается в шестидесятерично^системе.
2 Разумеется, знак в тексте не встречается, Я----1 имеет
а2
определенное числовое значение, при этом значение а таково, что——*
6
туется как «прямоугольник» со сторонами а и &, следователь-
но, а\ как кйадрат со. стороной ^..ВдОтой( трактовке многие
алгебраические тождества, йзвестныё уже вавилонянам, при-
обретают. отчетливый геометрический, смысл, например, из-
вестное соотношение
(a J- b)2=д2 + Ь2
очевидным образом иллюстрируется чертежом (см. рис. 1).
..Развитие геометрической алгебры находится в тесной свя-
зи с открытием иррациональности, ^сделанным в пифагорей-
ской школе. Тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима
с его стороной, показал, что . прк‘ ‘ *’
выборе в качестве единицы сторо- CL в
а2 ав
ав ' в2
ны квадрата длина его диагонали . ..
не может быть выражена ни це- <2
лым, нй дробным’ числом’ А ввиду
того, чтб под числами* треки ггони- “•
мали только цел’ь!ё положительные
числа и даже дроби рассматривали g
как их отношения, но не ка^ числа,
то из вышесказанного следовало, \
что уравнение х2 —2 не может быть
разрешено в области чисел или их
отношений. Однако это уравнение рис.
превосходно разрешается в обла-
сти прямолинейных отрезков: его
решением является Диагональ квадрата :сэ стороной,- равной
единице. • ’ : <
Продемонстрируем', каким образом ставится и решается
в «Началах» Евклида (III в. до н. э.) задача, которую се-
годня мы выразили бы в виде уравнения ах—х2—>^2: к дан-
ному отрезку АВ ( = а) (см. рис. 2) приложить прямоуголь-
I
ник AM, равный данному квадрату (ft2), таким образом, что*
бы часть площади, недостающая до прямоугольника ах на
АВ, была квадратом (ВЛ4=х2). Если С —середина АВ и ес-
ли к стороне DB приложить прямоугольник СК (он займёт
положение прямоугольника DE), то ясно, что прямоугольник
AM равен Г-образной фигуре CLMPEB, что, пользуясь вве-
денными нами обозначениями, можно записать так:
Ь2=ах—х2 = у— —х у.
Зная ft и -у, мы, используя теорему Пифагора, легко по-
а * •1 -
строим ——х, а следовательно, и само х.
Греческие математики таким образом формулировали за-
дачу, накладывая специальные ограничения, чтобы она за-
ведомо имела положительное решение. Разумеется, отбрасы-
вание отрицательного корня, который не мог получить есте-
ственной интерпретации в рамках геометрической алгебры,
снижало возможности нового метода. Но самым существен-
ным пунктом, являвшимся наиболее эффективным тормозом
в развитии теории алгебраических уравнений, стало то об-’
стоятельство, что на языке геометрической алгебры хорошо
передаются лишь уравнения первой и второй степени. У!же
для кубических уравнений возникают серьезные трудности.
Что касается уравнений более высоких степеней, то для их
трактовки необходимо прибегнуть к громоздкому аппарату
теории пропорций, который в решении простых (в нашем по-
нимании) задач воздвигает практически непреодолимые тех-
нические трудности.
Стеснительные ограничения на понятие числа, принятые в
античной математике, делали затруднительным дальнейшее
успешное развитие теории, для которого было необходимо
возвращение на наивную вавилонскую точку зрения, соглас-
но которой можно складывать, перемножать и делить друг
на друга любые величины, с выражениями типа У2 обра-
щаться как с обыкновенными числами, не обращая внима-
ния на то, что такие действия строго не обоснованы. Этот
возврат к прошлому в вопросе трактовки содержания поня-
тия числа характерен для работ математиков арабской шко-
лы. Говоря об их исследованиях по теории уравнений, мы
остановимся только на одном трактате уроженца Хивы Му-
хаммеда ибн Муса ал-Хорезми, которому было суждено сы-
грать совершенно особую роль в истории развития алгебры.
Ал-Хорезми жил в IX в. Им было написано много книг
по математике и астрономии. Некоторые из них пользовались
исключительной популярностью в средневековой Европе.
Его имя в латинизированной форме Алгорифм закрепилось
8
в известном математическом термине» а название одной- из
книг.«Хисаб ал-джабр вал-мукабала»' («Учение о приведе-
ния и о двустороннем отнятии») дало имя науке о решении
уравнений — алгебре. Долгое время ал-Хорезми почитали в
Европе даже как создателя алгебры, однако сам он не пре-
тендовал на столь высокую роль. Во вступлении к своему
сочинению он пишет, что халиф ал-Мансур предложил ему
записать небольшой трактат об операциях джабр и мукаба-
ла. Первая операция состоит в переносе членов уравнения
аиз одной части в другую таким образом, чтобы обе эти сто-
роны содержали лишь положительные члены, вторая — в. по-
следующем приведении подобных членов уравнения. Так, пер-
вая операция, примененная к уравнению
Зх2—7х + 2 = х2 + 4х + 1,
приведет его к виду >
Зх24-2 = х2+11х4-1,
вторая к виду
2х2+1 = 11х.
Именно для таких уравнений развиваются методы решения.
Изложение Хорезми проводится исключительно с помощью
слов, неизвестная обозначается словом корень или вещь, ее
квадрат просто квадратом. Характерной чертой для араб-
ских авторов является использование ими арифметико-алге-
браических методов решения уравнения, которые, однако,
обыкновенно сопровождаются геометрическим доказатель-
ством.
Арабские алгебраические трактаты IX—XV вв. содержа-
ли решение уравнений первой и второй степени, а также не-
которых видов кубических уравнений. Замечательному араб-
скому поэту и мыслителю XI—XII вв. Омару Хайяму, полу-
чившему ряд важных результатов в теории алгебраических
уравнений, принадлежит интересное высказывание о сущно-
сти этого специального отдела математики: «Алгебра есть
научное искусство. Ее предмет — это абсолютное число и из-
меримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесен-
ные к какой-либо известной вещи так, что их можно опре-
делить; эта известная вещь есть количество или индивиду-
ально определенное отношение, и к этой известной вещи при-
ходят, анализируя условие задачи; в этом искусстве ищут
соотношения, связывающие данные в задачах величины с не-
известной, которая вышеуказанным образом составляет пред-
мет алгебры» (цит. по [5], т. 1, стр. 102).
Именно таким образом понимаемая алгебраическая нау-
ка стала предметом внимательного изучения ученых возрож-
дающейся Европы. Воспринятая любознательными европей-
9
Нами главным образов рр арабским, рукописям, она пробу-
дила их первые научные интересы и нашла отражение в пер-
вых руководствах, написанных европейскими математиками.
В их числе было также широко распространенное в Италии
XVI b. сочинение монаха ордена Миноритов, друга великого
Леонардо да Винчи, Луки Пачоли «Сумма знаний по ариф-
метике, геометрии, отношениям и пропорциональности», на-
печатанное в Венеции в’ 1494 году. В своем трактате автор
наряду с решениями уравнений первой и второй степени рас-
смотрел восемь видов уравнений четвертой степени, которые
в современных обозначениях выглядят следующим образом:
1) ах4 = е, 5) ах* + сх1 2 = е, •
2) ax4 = dx, 6) ах4=^сх2 + е,
3) ах4 = сх2,- . . 7Y ax4-\-cx2 = dx,
4) ах4 + е = сх2, 8) ax^A~dx=^cx2,
. (а, Ь, с,- d, е>0).
Для первых шести видов фра Лука дает решения. Послед-
ние два, очевидно, приводящие к‘уравнениям третьей степе-
ни, он называет «невозможными». Это слово «невозможный»
применительно к уравнениям (7) и (8) как нельзя лучше’ха-
рактеризует пессимистические настроения ученейших людей
того времени: можно стараться и надеяться постичь глубину
премудрости древних авторов, но нельзя ее превзойти. Одна-
ко бурное развитие науки эпохи Возрождения довольно ско-
ро показало несостоятельность такой точки зрения. Менее
чем через 50 лет после выхода в свёт книги Пачоли было
найдено решение уравнений, названных в ней «невозможны-
ми». К рассказу об этом открытии, связанном с именами
итальянцев Кардано и Тартальи, мы сейчас и переходим.
2
«...Я родился в том веке, когда был открыт весь
земной шар, тогда как в древности было известно
лишь немного более одной его трети, — писал в 1576 году
старый Джероламо Кардано, знаменитый миланский медик,
философ, астролог, математик и механик, доживавший свою
яркую и бурную жизнь на папском пенсионе в Риме ([6],
стр. 171, 172). — ...Есть ли что-либо более удивительное, чем
пиротехника1 и человеческая молния2, которая гораздо опас-
1 Пиротехника — дословно техника, применяющая огонь; она включа-
ла металлургию и отдельные отрасли военной техники — изготовление
взрывчатых и горючих веществ и т. п.
2 Человеческая молния — метафорическое обозначение артиллерии.
10
нее молнии небожителей? Не умолчу я и о тебе, великий
магнит, о тебе, ведущий нас по безбрежным морям в темные
ночи во времена ужаснейших бурь в далекие неведомые
края! Прибавим к этому еще четвертое открытие — изобре-
тение книгопечатания, созданное руками людей, придуман-
ное их гением, оно соперничает с божественными чудесами,
ибо чего же еще не достает нам, кроме овладения небом?
О сколь велико безумие людей, если мы даже не замечаем
тщеславия наших желаний, не обращаем внимания на самое
существенное и не дивимся нашей честолюбивой гордости!»
Зародившиеся в XII веке в Италии в эпоху Ренессанса
новые идеи, основой которых явилось новое мироощущение,
не просто отличное от средневекового, с его аскетизмом и
отрешенностью от мира, но представляющее собой полное
отрицание последнего, эти идеи, пережив в XV в. пору небы-
валого расцвета, подготовили необычайный идейный взлет,
с которым мы связываем начало Нового времени. XVI в.—
поворотный период развития этого культурного процесса, пе-
риод, в который развивающаяся мысль начала не только
критически осваивать античную традицию, но и сделала свои
первые важные самостоятельные открытия. Некоторые завое-
вания человеческого гения, быть может, наиболее поразив-
шие воображение современников, и отметил в строках, про-
цитированных выше, Кардано — человек, с именем которого
связано одно из наиболее важных открытий в науке XVI
века.
Джероламо Кардано родился в 1501 году в Павии в
семье юрисконсульта. Семейство Кардано происходило из
Милана, поэтому куда бы жизнь ни забрасывала Джерола-
мо, он всегда считал себя миланцем. А жизнь его была не-
спокойная, полная всякого рода невзгод. Часто и тяжело бо-
левший в детстве, он отличался слабым здоровьем и удиви-
тельной мнительностью, обладал вспыльчивым импульсив-
ным характером. Не сдержанный на язык, излишне само-
уверенный и даже хвастливый, он имел много соперников и
врагов. Все это сильно усложняло его жизнь. Не имея сколь-
ко-нибудь значительных средств, он находился в большой за-
висимости от своей медицинской практики и от городских
властей, могущих в любой момент отказать в занимаемой им
кафедре. А такое случалось не раз. Ему приходилось переез-
жать из города в город, не задерживался он и в своем род-
ном Милане.
Как врач он был широко известен и в Италии, и за ее
пределами. В 1552 году он совершил путешествие в Швейца-
рию, Францию, Англию и Шотландию, где пользовал мест-
ную знать. Он получил ряд заманчивых предложений от не-
которых государей переехать к ним в качестве придворного
медика, Ото всех предложений он отказался по делому ряду
11
причин. Но главной из них было желание прославиться*
Прославиться своими научными открытиями, которые он ак-
куратно записывал и сводил в гигантские тома, которые со-
ставили позже десятитомное собрание сочинений. «Цель, к
которой я стремился, заключалась в увековечении моего име-
ни, поскольку я мог бы этого достигнуть, а вовсе не в бо-
гатстве или праздности... не в высоких должностях и не во
власти» ([6], стр. 36). Именно поэтому Кардано отказывался
от любых заманчивых предложений, которые могли поста-
вить под угрозу его научную деятельность. А научная дея-
тельность его была многообразна. Джероламо Кардано —
доктор медицины; медицина — его главное занятие.
В отличие от Везалия (с которым, кстати, он поддержи-
вал тесные отношения и даже именовал своим другом), по-
святившего себя изучению анатомии человека, Кардано пред-
почитал философские теории, составлявшие основу медици-
ны Галена и Авиценны. Согласно учению Кардано, близко-
му к пантеизму, все детерминировано и одушевлено. Его си-
стема носит явные следы арабского влияния и довольно да-
лека от распространенных в то время схоластических тео-
рий. С удивительной мелочностью подсчитывая свои откры-
тия, Кардано определяет их числом 40 000. Среди них такие,
как решение проблемы «почему восток лучше запада», «что
такое судьба и как она действует» и др. Большая часть им
написанного не оказала никакого влияния на дальнейшее
развитие положительных знаний. Именно к этой, ныне забы-
той, части его творчества относятся слова знаменитого анг-
лийского естествоиспытателя конца XVI—начала XVII в*
Гильберта: «В своих огромных томах он передал памяти по-
томства кое-что полученное или списанное у других и плохо
придуманное свое» (цит. по [7], т. 2, стр. 14).
Но наряду со всем этим существовали вопросы, в раз-
работке которых он проявил свой удивительный талант и с
которыми мы сегодня связываем его имя. Его исследования
по баллистике и составленные им таблицы стрельб отраже-
ны в любой достаточно полной истории механики. Название
карданный вал известно каждому, хотя бы сколько-нибудь
знакомому с техникой человеку. Но самые основные его до-
стижения относятся к области математики, а в ее преде-
лах— к теории вероятностей и особенно к алгебре. В исто-
рии развития теории вероятностей существенную роль сыгра-
ла «Книга об игре в кости», написанная Д. Кардано в
1526 году. Эта работа была обнаружена уже после его смер-
ти в 1576 году и опубликована в 1663 году в первом томе
собрания сочинений. Некоторым вопросам комбинаторики и
теории вероятностей посвяшены «Новый груд о пропорцио-
нальностях» И570) и «Практика общей арифметики» (1539).
Но особым вниманием со стороны Кардано пользовались
12
вопросы алгебры. Он хотел создать своего рода математиче-
скую энциклопедию, которая содержала бы в числе прочего
известные в то время результаты о решении алгебраических
уравнений. И как раз во время работы над этим трудом до
него дошло известие о том, что математик из Венеции Ник-
коло Тарталья овладел искусством решения уравнений треть-
ей степени.
Кардано отлично понимал важность этого результата. Он
и сам потратил немало времени, пытаясь одолеть проблему,
однако все его успехи сводились к внешним преобразовани-
ям и нахождению решения в тех простейших случаях, когда
уравнение допускает рациональные корни. Кардано начинает
предпринимать энергичные усилия дабы любыми правдами
и неправдами узнать интересующий его результат.
Автор этого результата Никколо Тарталья родился в
Брешии около 1500 года в семье содержателя почтовых ло-
шадей. Один из французов, вступивших в город в 1512 году,
ворвался в храм, где Никколо укрылся с матерью, и тяжело
его изувечил, нанеся несколько сабельных ударов; следст-
вием испуга было расстройство речи, память о котором хра-
нит его имя Тарталья, в переводе означающее «заика». Пос-
ле смерти отца (1506 г.), семья оказалась почти без средств
к существованию. Попав в школу в возрасте около 14 лет,
Тарталья смог посещать ее лишь две недели, по бедности
прервав обучение и познакомившись лишь с алфавитом от
Л и до Я. Рано открывшиеся математические способности
определили его дальнейший жизненный путь. Однако отсут-
ствие систематического образования, недостаточное знание
латыни —все это не позволило ему приобрести необходимую
научную степень, а потому закрыло для него доступ в науч-
ные круги, к академической карьере.
В дальнейшем мы застаем Никколо сначала в Вероне,
а затем в Венеции, где он добывает себе хлеб тяжелым тру-
дом арифметика-практика, давая частные и публичные уро-
ки по математике, присутствуя при вексельных операциях в
качестве эксперта. В 1537 году в Венеции выходит в свет его
сочинение «Новая наука», посвященное вопросам механики,
сыгравшее важную роль в развитии баллистики. Многие
результаты по комбинаторике и теории вероятностей, полу-
ченные им в те годы, вошли в вышедший в 1556 году «Об-
щий трактат о числе и мере». Однако все эти и еще многие
здесь не упомянутые труды, принесшие ему известность в
широких кругах практических людей, не составили ему сла-
вы в кругах ученых, которые даже не замечали этого вы-
скочки, писавшего на народном языке. Движимый желани-
ем получить признание со стороны ученого мира, соответст-
вующее его научному гению, Тарталья пошел на издание
под своим именем латинского перевода трактата Архимеда
ta
о плавающих телах, извлеченного из перевода Вильгельма
из Мербеке.
С некоторых пор внимание Тартальи было привлечено к
задаче о решении алгебраических уравнений третьей степе-
ни. В 1530 году ему удалось получить решение для одного
специального случая. Разумеется, Тарталья превосходно по-
нимал сложность решения задачи в общем случае, и когда
ему стало известно, что некий арифметик практик Фиоре, из-
вестный главным образом своей невежественностью, заявил,
вызывая на поединок коллег, что ему известна тайна реше-
ния уравнений третьей степени, то он этому нисколько не по-
верил и принял вызов, полагая, что не составит большого
труда победить хвастливого соперника.
Однако вскоре Тарталья узнал, что Фиоре действитель-
но умеет решать уравнения вида x3 + px = q (р>0, д>0) 1
способом, доставшимся ему от покойного учителя Сципиона
щель Ферро, бывшего с 1496 по 1526 год профессором в Бо-
лонье. То обстоятельство, что Ферро не опубликовал свой ре-
зультат, объясняется особенностями научной жизни того
(времени — обладание некоторым методом, неизвестным дру-
гим, давало возможность ставить задачи, решение которых
без использования данного метода было либо вовсе невоз-
можно, либо крайне затруднительно; а последнее позволяло
успешно выступать на диспутах, победа в которых сулила и
большие материальные выгоды и большую известность, чем
честь первой публикации результата. Обладание тайной ре-
шения уравнений третьей степени позволило даже ничтож-
ному Фиоре объявить вызов итальянским математикам, и
опрометчиво принявшему вызов Тарталье не оставалось ни-
чего другого, как попытаться в оставшееся время найти ре-
шение. И это ему удалось: за несколько дней до назначен-
ного срока он нашел правило для решения уравнений вида
x3 + px = q.
Вскоре Тарталья открыл также метод решения уравнения
x3 = px+q. Нечего и говорить о том, что Тарталья без труда
победил малосведущего противника, решив все его задачи,
в то время как Фиоре не справился ни с одной (даже с той,
которая полностью решалась методом Ферро).
Попытки Кардано узнать у Тартальи секрет решения
уравнения третьей степени увенчались успехом: взяв с него
клятву о неразглашении доверенной ему тайны, Тарталья
сообщил схему решения уравнения вида х34-рх = д, постро-
енную для удобства запоминания в форме латинского сти-
1 В дальнейшем все коэффициенты в уравнениях, рассматриваемых
в данном разделе, будем, не оговаривая этого специально, считать по-
ложительными,
14
хотворения, однако вывод формулы дать отказался. Кардано
затратил немало сил, пытаясь найти вывод.
В ходе своих исследований он натолкнулся на так назы-.
.ваемый «неприводимый» случай, о котором речь пойдет ни-
же. С этим вопросом, а также с рядом других, возникший
.у Кардано во время его занятий, он обращался в своих пись-
мах к Тарталье, который вначале отвечал ему довольно не-
охотно, а позднее перестал отвечать вовсе. Посетив в Бо-
лонье зятя знаменитого Сципиона дель Ферро, Кардано су-
мел получить доступ к бумагам покойного и обнаружил в
вих то же самое правило, которое ему сообщил Тарталья^
Посчитав данное обстоятельство достаточным основанием
для того, чтобы нарушить данную Тарталье клятву, Джеро-
ламо Кардано в 1545 году выпустил в свет свое сочинение
«Великое искусство или о правилах алгебры», одним из ос-
новных украшений которого явилась формула, полученная
«нашим другом Тартальей», здесь же приводился ее вывод,
который в современных обозначениях выглядит следующим
образом.
Решение уравнения
ищется в виде
x = u— v. (2);
Возведя выражение (2) в куб, имеем
х3 = и3—3u2v4~3uu2—и3. . (3)'
Если умножить обе части равенства (2) на Зии, найдем
3uvx = 3u?v—Зии2. (4)
Сложив почленно равенства (3) и (4), имеем
x3-\-3uvx = u3—и3.
Сравнение этого выражения с исходным уравнением (1) да*
ет равенства
3uv*=p и и3—v3~q. (5)
Таким образом, решение задачи сводится к нахождению
функций и и vf удовлетворяющих равенствам (5). Из этих
равенств получаем уравнение для и
и6—qu3—=0.
27
Проделав ряд простых выкладок, имеем
f /(Жнч V / ом?- i-
15
Разумеется, этот вывод в подлинном тексте КарХано зна-
чительно осложняется тем обстоятельством, что доказатель-
ство ведется на тяжеловесном языке геометрической алгеб-
ры при отсутствии разработанной алгебраической символики.
Но самое основное затруднение состояло в следующем: если
Кардано в отличие от предшествующих авторов и рассмат-
ривал отрицательные корни, называя их ложными, то во вся-
ком случае не наравне с положительными, что постоянно
ограничивало общность рассуждений. Что же касается мни-
(мых или, в терминологии Кардано, «софистических» корней,
то неумение с ними справиться ставило как его самого, так
и Тарталью в затруднительное положение.
Конечно, с выражениями подобного рода встречались и
раньше — при решении квадратных уравнений, однако в
этих случаях такие решения можно было попросту игнори-
ровать, считая их не имеющими смысла. Совсем по-иному
обстояло дело, когда такие числа появлялись при решении
уравнений третьей степени в так называемом «неприводи-
мом» случае, возникавшем при решении уравнения x3 — px+q.
Решая его методом, аналогичным предыдущему (решение
ищется в форме x = u + v), Тарталья и Кардано пришли к
формуле
В случае » который назвали неприводимым,
появлялись «софистические» числа, и выражение (6) теряло
смысл; с другой стороны, нетрудно было привести примеры
таких уравнений, обладающих действительными корнями.
(Более того, в неприводимом случае все корни, как можно
показать, являются действительными.) Например, для уравне-
ния х3 = 7х-Ьб, (з')3==(з“)3===|7^’; Ф°РмУла»
ценная Тартальей, запишется следующим образом:
полу-
-7
и в то же время уравнение, как нетрудно убедиться, обла-
дает положительным решением Xi = 3 (имеется еще два отри-
цательных корня х2 =—1, Ха==—2).
Возможно именно неумение справиться с таким случаем
послужило причиной того, что Тарталья не спешил с публи-
16
1Цццей’ рЪзудьтата; Надеясь найти какой-либо, выход из соз-
давшейся'Ситуации. Немало размышлявший над неприводи-
мым случаем, Кардано сделал важный шаг в понимании при-
роды мнНмых учисел. Решая задачу о делении 10 на две ч.а-
сти, произведение которых равно 40, он получает 5-Ь yf —15
и 5—}/—151 При этом он показывает, что если с этими
числами производить вычисления как с обычными двучлена-
ми и положить
• * —/^45 • /^45 =15,
то эти числа являются искомыми в том смысле, что удовлет-
воряют уравнениям
. х-\-у~ 10,
........ ху = 40.
Перевод соответствующего отрывка из Кардано содержится
в хрестоматии Г. Вилейтнера [8].
Книга Кардано содержит еще ряд важных достижений,
ц .числе которых укажем перенесение результатов, получен-
ных "для уравнений, не содержащих членов второй степени,
на общие уравнения третьей степени, по крайней мере на
те из них, в которых член второй степени имеет знак, про-
тивоположный знаку члена третьей степени. Так уравнение
х1 2 3 + &х=ах2-Ьс посредством замены г/ = х—~ сводится к уже
рассмотренному ранее. Отметим также помещенный в книге
замечательный результат ученика Д. Кардано Луиджи Фер-
рари, дававшего решение уравнений четвертой степени. Ме-
тод Феррари (здесь дается модернизированный его вариант)
состоит в следующем. Уравнение
х4 + рх2 + ?х + г = 02 (7)
эквивалентно следующему
(Х2 + Д+ а)2_[2ах2-<7х+(а2 + ра-г+ ^-)]=0, (8)
2 4
где а — вспомогательный параметр, значение которого опре-
деляется таким образом, чтобы многочлен, стоящий в скоб-
ках, стал полным квадратом. Для этого должно выполнять-
ся равенство
<72—4>2а(а2+ра—г +—) =0,
4
1 В обозначениях Кардано 5р : Rm : 15 и 5т : Rm : 15; р—plus, m—
minus, R— знак квадратного корня (radix).
2 Общее уравнение четвертой степени y*+ay3+by2+cy+d=0 путем
а
замены у—к—7- сводится к виду (7). Этот факт не был замечен ни
4
феррари, ни Кардано.
17
которое является кубическим уравнением для ей Найдя ка-
кой-нибудь из его корней ао по формуле Кардано и подстач
вив его в (8), получим уравнение <
(х2+ р— + а0)2—2ао(х—— )2=*б,'
2 4а0
которое распадается на пару квадратных .
х2+ ----Н(7.0— 2ао (х— =т0,
2 4а0
х2+ -—Fа0+ / 2«о (%— ) = 0, .
2 4ио . . . ...
даюших четыре искомых корня. Таким образом, ‘ решение
уравнения четвертой степени, согласно методу Феррари, све-
лось к нахождению корня вспомогательного кубического
уравнения и корней уравнений второй степени. •
Когда книга вышла в свет и Н. Тарталья обнаружил рероломстцо
своего коллеги, он немедленно принялся за подготовку сочинения, в ко-
тором намеревался дать бой своему именитому сопернику. В 1546 году
этот труд вышел в свет. В нем, на основании имевшихся записок и пи-
сем, Тарталья попытался изложить ход событий, предшествующих .появ-
лению его результата в изложении Кардано. Издание книги положило на-
чало длившейся около полутора лет перепалке двух ученых.. Обмен
письмами, содержавшими грубые оскорбления и ругательств,а,, выпуск ко-
лоссального количества листовок и памфлетов, распространившихся цо
всей Италии, вынесли содержание этого спора за пределы .узкого уче-
ного кружка. , .
Письмом, отосланным из Милана в феврале 1547 ,года, %Л. Феррари
вызвал Тарталью на публичный диспут с призом в 200 гульденов, темой
которого являлись математические науки и их представители, писавшие
на латинском, греческом и новых языках. Заметим, во-первых, что . вы-
зов исходил от Феррари, а не от самого Кардано, который, в этом случае,
равно как и в дальнейшем, предпочитал не вмешиваться, в спор, благо-
разумно наблюдая за ним со стороны, во-вторых, тема диспута была вы-
брана явно не к выгоде Н. Тартальи, который не отличался большими
познаниями в академической премудрости. Понимая это, Тарталья откло-
нил предложение Феррари, заявив, ссылаясь на рыцарский кодекс, что
готов сразиться с самим Кардано, но не с его заместителем. Однако об-
стоятельства затянувшегося спора складывались в дальнейшем таким об-
разом, что Тарталья был вынужден согласиться на публичный диспут,
состоявшийся в Милане в августе 1548 года.
Научные диспуты того времени обставлялись с пышностью маска-
рада. Оба противника должны были идти к месту поединка , со знаме-
нами и герольдами, сопровождаемые толпами зевак, привлеченных шу-
мом и яркостью зрелища. Таким манером прошествовал по улицам Тар-
талья, прежде чем очутиться под сенью церкви, набитой любопытными..
Они пришли насладиться предполагаемым скандалом,, которого не при-
шлось долго ждать. Первое, что обнаружил Тарталья, очутившись на
месте поединка, — это новый обман; вместо Кардано его ожидал моло-
дой и самоуверенный Феррари, окруженный приятелями, поддерживаемый
криками сочувствующей ему толпы. Первые же слова, заикающегося
Тартальи, лишенного какой-либо поддержки, были приняты неодобритель-
ным шумом, который с течением диспута продолжал нарастать. В конеч-
ном итоге состязание было сорвано в тот же день, закончившись бур-
ным скандалом, что дало повод миланцам считать себя победителями,
>8
Вернувшись в Венецию, Тарталья приступил к своим обычным за-
нятиям, дававшим ему средства к существованию. Он умер здесь в ни-
щете 13 декабря 1557 года, обманутый напоследок одним из своих из-
дателей. Кардано пережил его на целых 19 лет. Эти годы принесли ему
чиного горя: за отравление жены был казнен его любимый сын (1560 г.),
£ам он на старости лет был заключен в тюрьму (1570 г.) и, выйдя из
нее, уехал доживать свои последние годы в Рим. Больной желчный ста-
рик посвятил последний год своей жизни составлению автобиографиче-
ской книги «О моей жизни». Последний упоминаемый в этой книге факт
датируется 28 апреля 1576 года, а 21 сентября 1576 года Кардано не
стало.
Спор, который вели между собой Кардано и Тарталья, не закон-
чился с их смертью. И сегодня творчество обоих ученых вызывает про-
ггиворечивые оценки историков науки. Одни превозносят заслуги Кардано,
отводя Тарталье более чем скромную роль изобретательного практика,
другие, подчеркивая абсолютное превосходство гения Тартальи, оставля-
ют за Кардано лишь даровитость и исключительное вероломство. Нам
нет надобности становиться в этом вопросе на крайние точки зрения, тем
’более что в настоящее время уже трудно разобраться во всех обстоятель-
ствах этого сложного и запутанного спора, не внося в суждения боль-
шой доли субъективного. Для нас остаются очевидными как высокая
одаренность обоих математиков, так и то важное значение, которое име-
ли ик работы, особенно результаты по теории алгебраических урав-
нений.
Уже через несколько лет после публикации «Великого искусства» тео-
рия алгебраических уравнений обогатилась сочинениями болонского ма-
тематика Р. Бомбелли, в которых впервые последовательно вводилась тео-
рия мнимых чисел. Успехи итальянских математиков в решении уравне-
ний третьей и четвертой степени породили уверенность в возможности
аналогичного решения для алгебраических уравнений высших степеней.
«Исследования в этом направлении, сыгравшие важную роль в дальней-
шем развитии математики, будут предметом следующего раздела нашей
брошюры.
Однако, говоря о результатах, связанных с именами Ферро, Тар-
тальи, Кардано, Феррари и Бомбелли, мы не сказали бы самого главного,
если бы не упомянули об их значении для всего хода развития евро-
пейской науки XVI века, ибо эти результаты явились первым самостоя-
тельным шагом возрождающейся математической науки, вторжением в
область, неизвестную древним, шагом, вселившим уверенность в силы но-
вой математики, которая рассматривалась доселе как паука, изучающая
« претворяющая наследие великих математиков античности. Их резуль-
таты вместе с некоторыми другими важными научными достижениями
XVI века, такими, как труд Андрея Везалия «О строении человеческого
тела» (1543 г.), анатомические открытия Бартоломео, Евстахио и Габрие-
ля Фаллопия, картографические работы Меркатора и др., открывали са-
мостоятельный путь новой науке, свободный от давления схоластической
традиции.
Разумеется, когда мы говорим о науке XVI века, то в первую оче-
редь вспоминаем о самом выдающемся ее достижении — создании Н. Ко-
перником гелиоцентрической системы мира. Однако при этом мы не все-
гда помним о том, что истины нового учения о строении Вселенной не
казались столь уж очевидными, и потребовалось еще много времени,
прежде чем открытие Коперника вошло в науку как ее полноправная
часть. В то же время результаты итальянских математиков мог прове-
рить каждый, достаточно хорошо овладевший математическим аппаратом
того времени, в правоте новых анатомов можно было непосредственно
убедиться, производя вскрытие. Таким образом, эти результаты, почти
сразу записанные в актив новой науки, означали первые ее победы и
подготавливали* почву для открытий и свершений, более фундаменталь-
ных и значительных.
19
3
Окрыленные первыми победами в разработке ан-
тичного наследия, европейские математики добива-
лись все новых и новых успехов, полностью изменявших ли-
цо древней науки. Значение выдающихся открытий, получен-
ных в конце XVI—начале XVII века, позволяет даже гово-
рить о подлинной революции в математике того времени, из
крупнейших достижений которой назовем лишь открытие ло-
гарифмов в работах Джона Непера (1550—1617), создание
аналитической геометрии Р. Декартом (1596—1650) и
П. Ферма (1601 —1665) и, наконец, дифференциального и
интегрального исчисления в ' трудах И. Ньютона (1643—>
1727) и Г. В. Лейбница (1646—1716). Алгебра, с разра-
боткой которой связаны первые крупные успехи ев-
ропейской математики, также получает в этот пери-
од значительное развитие. Как мы уже отмечали, все
важнейшие достижения в теории алгебраических уравнений
находятся в тесной связи с успехами в развитии алгебраиче-
ской символики. Отсутствие последней не позволяет ставить
и решать задачи в общем виде, отчего методы решения урав-
нений теряют в общности и наглядности, скрываются из ви-
да многие важные связи и изложение теории превращается
в демонстрацию многочисленных приемов (более или менее
общих) на бесчисленных примерах. Такое положение ни в
коей мере не способствует ее успешному развитию.
Над совершенствованием алгебраической символики ра-
ботали многие математики того времени. Особое место сре-
ди них занимал французский юрист, состоявший при дворе
Генриха IV, Франсуа Виет (1540—1603). В его работах впер-
вые систематически, как принцип, проводился новый алге-
браический способ обозначений1. Этот новый язык позволил
Виету и его последователям получить многие важные резуль-
таты в теории алгебраических уравнений. Так, Виет заметил
соотношения, существующие между коэффициентами и кор-
нями уравнения, память об этом живет в названии теоремы,
известной любому школьнику — теоремы Виета.
Другим важным моментом, неразрывно связанным с раз-
работкой теории алгебраических уравнений, следует считать
эволюцию представлений о природе числа. Обсуждение дан-
ного вопроса выходит за рамки настоящей брошюры. Ска-
жем только, что отрицательные и мнимые числа, к которым
относились поначалу с недоверием и опаской (об унотреб-
1 С еим&оликой Ф. Виета можао ози-акомилься, например, по книге
[5], т, 1, стр. 122—126.
2Q
леняи их Кардано и Бомбелли мы уже упоминали), мало-
щомалу приобретали права гражданства в математике1.
Важную роль в развитии теории уравнений сыграло по-
явление аналитической геометрии и дифференциального и
интегрального исчислений. Решение неравенств первой и вто-
рой степени и алгебраических уравнений получило в новой
геометрии чрезвычайно удобную интерпретацию, известную
читателю из курса средней шко-
лы.
Так, например, наряду с урав-
нением х2+х—2 = 0 рассматрива-
лась парабола, задаваемая в
плоскости прямоугольных декар-
товых координат уравнением у =
=х2-\~х—2 (рис. 3). В таком слу-
чае корни уравнения х2 + х—2 = 0
интерпретируются как точки пе-
ресечения параболы с осью абс-
цисс. Такая интерпретация ока-
зывается полезной при исследо-
вании очень многих вопросов,
среди них всем известное реше-
ние квадратных неравенств.
Исследование алгебраических
кривых на плоскости, т. е. кри-
вых, заданных уравнением
F (х, Ю=о,
где F(x, у)—многочлен порядка п от переменных х и у, с
использованием дифференциальных методов2, стало важным
разделом новой математики. Разыскание корней алгебраи-
ческого уравнения аъХп + а\Хп~* + ... + ап=0, рассматриваемое
с точки зрения теории алгебраических кривых, превращается
в частный вопрос разыскания точек пересечения кривой
у-а^х”—сцх"-1—...—ап = 0 с прямой у = 0.
Мы упомянули только некоторые из наиболее значитель-
ных достижений математики конца XVI —начала XVIII в.,
оказавших существенное влияние на развитие теории алге-
браических уравнений, в проблематике которой в этот пери-
од можно выделить два особо важных направления:
1 В математике XVIII века они находят уже широкое применение.
Однако свое полноправное положение в мире чисел они получают лишь
в XIX веке после появления работ, содержащих их интерпретацию. Бэ-
лее подробно с этим можно ознакомиться, например, по книге [5], т. II,
стр. 235—237.
2 Например, х2у+2ух2+ а—7=0, 5л74- ~~ ху + у*+ п =0 или у—х2~х+
□ 2
3-2=0.
2J
проблема приближенного нахождения корней алгебраи*
веских уравнений и доказательство основной теоремы ал-
гебры;
поиски решения уравнений в радикалах.
Работы в первом из указанных направлений в значитель-
ной мере стимулировались запросами математики и матема-
тического естествознания, различные задачи которых своди*
лиСь к алгебраическим уравнениям различных порядков.
Большое количество первоклассных исследований, проведен-
ных математиками XVIII—XIX веков, привело к разработке
достаточно тонких методов, позволяющих эффективно ре-
шать вопросы, связанные с приближенной оценкой корней
алгебраических уравнений. В связи с развитием приближен*
ных методов решения уравнений особое значение приобре-
тала проблема существования решений этих уравнений, сво<
дящаяся к доказательству основной теоремы алгебры о су-
ществовании хотя бы одного, вообще говоря, комплексного
корня уравнения степени 1. (Доказательство существова-
ния п корней уравнения n-го порядка, если каждый корень
считать столько раз, какова его кратность, является простым
следствием этого факта.) Многочисленные попытки доказать
основную теорему алгебры увенчались успехом лишь в самом
конце XVIII в. в исследованиях К. Ф. Гаусса.
Второе из рассмотренных выше направлений касается во-
проса о решении алгебраических уравнений в радикалах, т. е.
выражения корней этих уравнений через их коэффициенты
при помощи явных алгебраических формул, содержащих
лишь знаки сложения, вычитания, умножения, деления, воз-
ведения в степень и извлечения корня. Для уравнений пер-
вой—четвертой степеней, как мы уже видели, такое выра-
жение было получено. На повестке дня стояло нахождение
подобного решения для более высоких степеней и в первую
очередь, конечно, для уравнений пятой степени. Важно от-
метить, что эта задача имела исключительно теоретический
интерес, ибо даже в случае уравнения третьей степени, где
искомое представление давалось формулой Кардано, оно ока-
зывалось практически непригодным, например, в неприводи-
мом случае, так как сводило нахождение действительных
решений к извлечению кубических корней из комплексных чи-
сел— операции, которую мы умеем делать лишь переходя к
тригонометрическим функциям.
Числи работ по разысканию решений в радикалах для ал-
гебраических уравнений порядка выше чем четвертый огром-
но. Для того чтобы их прочитать и разобраться в них, не
хватит, пожалуй, целой жизни, однако наше удобное поло-
жение, отделенное от рассматриваемой эпохи большим про-
межутком времени, знание конечного итога исследований в
этом направлении позволяют выискать в этих дебрях крат-.
22
чайшую тропинку, ведущую непосредственно к цели. Двига-
ясь по этой тропинке, мы спустимся в Париж 70-х годов
XVII века, в который судьба забросила двух соотечественни-
ков— великого Лейбница, выполнявшего одно деликатное
дипломатическое поручение курфюрста майнцкого, и саксон-
ского дворянина Вальтера Чирнгауза, путешествовавшего по
Европе. Оба они в то время живо интересовались вопросом
о решении уравнений степени выше чем четвертая, и в про-
должении совместного пребывания в Париже эта тема стала
предметом их обсуждений.
В 1677 году Чирнгауз в письме к Лейбницу предложил
новый подход к разрешению вопроса, в основе которого, как
и в случае Феррари, лежало стремление свести решение
уравнения к уравнениям более низкой степени: если из дан-
ного уравнения
хп + а\х п~* + а2хп~2 +... + ап = 0 (9)
и вспомогательного выражения с неопределенными коэффи-
циентами
у = хр + Ь{хр^+... + Ьр-1х + Ьр,
где р<п, исключить х, то получим уравнение степени п от-
носительно у
yn + clyn-i+... + cn-iy+cl,=G,
причем в выражения коэффициентов ez(i=l, ..., и) войдут
произвольные величины bi, ..., bp. Если р взять равным /1—1
и выбрать bi, bp таким образом, чтобы коэффициенты
£1 = с2 = ... = сл_1 = 0, то мы получим уравнение уп + с„~0. Оп-
ределив из него у, мы сведем решение уравнения (9) степе-
ни и к уравнению степени на единицу ниже. Таким образом,
какой бы степени уравнение мы ни имели, мы могли, снижая
ее последовательно на единицу, добраться до уравнения чет-
вертой степени, для которого решение было известно. Напри-
мер, для квадратного уравнения предложенная идея реали-
зуется следующим образом: исключение х из уравнения
x2+px + q=0 и вспомогательного соотношения у~х + а дает
#2+ (р—2а)у + (a2-—pa + q) = 0;
далее, полагая а=—, будем иметь у2=——q, откуда
_____________ 2 4__
у=± "р/"—q, следовательно, х —± —Я-
Прием Чирнгауза приводил к успеху в случае уравнений
третьей и четвертой степени; однако для уравнений более
высоких степеней он не давал положительного эффекта: сте-
пень уравнений для нахождения коэффициентов превышала
23
степень данного уравнения. Все попытки решить проблему
либо на пути, предложенном Чирнгаузом,,либо на каком-ни-
будь другом не приводили ни к какому существенному ре-
зультату.
• В 1770—1771 году знаменитый .французский математик Ж. Л. Ла*
грэнж (1736—1813) опубликовал мемуар, в котором провёл анализ всех
предшествующих методов решения уравнений третьей и четвертой степе-
ни. Свои рассмотрения он попытался приложить к общим уравнениям п-й
степени, исследуя возможности их решения путем последовательного све-
дения к уравнениям более низких степеней, причем особенное значение
приобретает у него образование и изучение рациональных функций от
корней. Этот мемуар Лагранжа оказал значительное влияние на всю по-
следующую историю вопроса. Развитием его идей явились работы италь-
янского математика и врача Паоло Руффини (1765—1822), который од-
ним из первых высказал предположение о неразрешимости в общем слу-
чае в радикалах алгебраических уравнений степени большей, чем четыре*
Слова «в общем случае» чрезвычайно существенны, ибо имеются кон-
кретные примеры уравнений пятой степени и выше, которые допускают
искомое решение. Руффини сформулировал свое предположение в виде
теоремы, однако строгого доказательства дать не смог. Оно было полу-
чено замечательным норвежским математиком Н. Г. Абелем.
Нильс Генрик Абель родился в 1802 году в маленьком норвежском
селении Финге в бедной пасторской семье. Мальчик рос застенчивым и
впечатлительным. Его математические способности проявились очень рано.
Некоторое количество математических книг, которые были для него до-
ступны, и общение с несколькими посредственными математиками — это
все, чго могло стимулировать извне его математическое дарование. Даже
в университете в Христиании1, занятия которого он начал посещать в
1-822 году, в то время не читалось никаких математических курсов. Его
первые результаты содержали решение общего уравнения пятой степени
в радикалах, оказавшееся, как впоследствии он сам обнаружил, ошибоч-
ным. Размышления над данным вопросом привели его к убеждению, что
искомого решения в общем случае не существует. В 1824 году он дал
доказательство этого утверждения, вышедшее отдельным мемуаром. (До-
казательство содержало пробелы, полный вариант был опубликован в
1826 году.) Вскоре после этого ему была предоставлена стипендия для
поездки за границу.
В Берлине, куда он прибыл в 1825 году, он был тепло принят и
обласкан в доме математика Крелля, который сразу почувствовал необы-
чайную математическую одаренность молодого Абеля и предложил ему
сотрудничать в новом математическом журнале, который он намеревался
выпускать.
• Время, проведенное в Берлине, оказалось на редкость плодотворным
для Абеля, и он сумел написать несколько замечательных работ, укра-
сивших страницы первого номера журнала Крелля, впоследствии очень
влиятельного издания, существующего и ныне. Затем Абель предпринял
путешествие в Италию и, наконец, приехал в Париж, где его ожидал
очень холодный прием со стороны тамошних коллег. Его работа, которую
он представил во Французскую академию, была оставлена без внимания
и собирала пыль среди бумаг ее непременного секретаря (она была опуб-
ликована лишь в 1841 году после смерти автора). Это вносило все боль-
ший и больший разлад в душевное состояние гениального математика,
усугублявшееся прогрессирующей чахоткой. В тяжелом состоянии духа
Абель проследовал через Берлин (проезжая через Геттинген он не ре-
шился представиться Гауссу; причиной этому послужила, возможно, его
1 Так называлась тогда столица Норвегии, ныне Осло.
24
природная застенчивость) и в 1827 году вернулся в. Норвегию. Дома его
болезнь обострилась: Острая нужда и большое творческое напряжен^
(Абелем в эту пору был получен целый ряд выдающихся результатов)
сделали свое дело: 6 апреля 1829 года, за несколько дней до прибытий
долгожданной вести о приглашении в Берлин, он скончался.
Признание математических заслуг Абеля пришло вскоре после его
кончины. Его результаты сыграли выдающуюся роль в развитии мате-
матического знания. Теория эллиптических функций, одним из создате-
лей которой он был, развивалась крупнейшими математиками XIX века.
Его имя не раз встретится каждому, приступающему к серьезному изу-
чению математики: абелевы интегралы, абелевы группы, теорема Абеля
и пр. Мы здесь остановимся лишь на результатах Абеля о неразреши-
мости в общем виде задачи о решении в радикалах уравнений пятой
степени.
Идея доказательства Абеля вкратце состоит в следующем: Рассмат-
риваются выражения в радикалах от коэффициентов общего уравнения
пятой степени. Затем находится наиболее общая форма такого выраже-
ния и показывается, что невозможно удовлетворить данное уравнение,
если вместо неизвестной в него подставить найденное выражение. Этот
результат Абеля, однако, не исключал возможности, что корни всякого
конкретного уравнения будут выражаться через его коэффициенты в ра-
дикалах (конечно, форма такого выражения будет варьироваться от урав-
нения к уравнению). Выяснению условий, при которых данное уравнение
разрешимо в радикалах, посвящен ряд исследований Абеля, однако ран-
няя его смерть не позволила довести их до конца. Полное решение этой
задачи приходится на долю другого выдающегося математика — Эвари-
ста Галуа, к описанию жизни и научной деятельности которого мы пе-
реходим.
Биографии Галуа и Абеля имеют много общего. У обоих рано про-
явились математические способности, которые впоследствии развились в
талант необыкновенной силы, работы того и другого не сразу завоевали
признание в математическом мире (с трудами Абеля это произошло вско-
ре после его смерти, с результатами Галуа через много лет после кончи-
ны автора), у обоих довольно рано оборвалась жизнь (Абеля в 27, а
Галуа в 20 лет), и Галуа и Абелю было уготовано почетное место в
истории науки. Однако трудно подобрать людей, столь отличных друг от
друга по характеру: скромный, застенчивый, неуверенно держащийся в
отношениях с окружающими, временами замыкающийся внутри себя
Абель и Галуа — независимый, уверенный в своих силах и в своем вы-
соком призвании, удивительно энергичный — человек необыкновенно яр-
кого темперамента, окунувшийся в самую гущу политической' неразбе-
рихи посленаполеоновской Франции. 4п
Э. Галуа родился 25 октября 1811 года в семье мэра маленького го-
родка Бур-ля Рен, расположенного в десяти километрах от Парижа.
В возрасте 12 лет Галуа покинул родной дом и переехал в Париж, где
поступил в королевский коллеж Луи-ле-Гран. Будучи еще его учеником,
он опубликовал свою первую работу по математике.- В центре внимания
его интересов оказалась проблема о разрешимости алгебраических урав-
нений в радикалах. Свои результаты в этом направлении он послал на
отзыв в Академию наук, однако О. Л. Коши, к которому попала руко-
пись, потерял ее. Галуа два раза пытался поступить в Политехническую
школу, являвшуюся в отношении преподавания математики ведущим
учебным заведением страны, и в обоих случаях его ожидала неудача на
вступительных экзаменах. Наконец в 1829 году он оказался студентом
Нормальной школы, готовившей преподавателей высших и средних учеб-
ных заведений.
В период пребывания в стенах «Эколь Нормаль» Галуа начинает
активно интересоваться политикой, вступает в республиканскую партию.
Политические взгляды Галуа привели к его исключению из «Эколь Нор-
маль», а затем и на скамью подсудимых, сначала по обвинению в под-
25
стрекательстве к покушению на жизнь и личность короля Франции. Про-
йесс закончился его йойшЬг бПравдШбм. Но, 5Жш из Шй!ВД-
ков;- беспорядков,' устроенных! республиканцами 14 июля 1831 года, в день
взятия Бастилии, Галуа- был приговорен к девяти месяцам тюрьмы. Уди-
вительно, что столь, бурная политическая активность уживалась в этом
юноше с необычайно плодотворной- творческой деятельностью в области
математики.
Основные достижения Галуа принадлежат следующим направлениям:
исследования о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах,
приведшие к созданию теории, носящей ныне его имя (о них еще пойдет
речь в дальнейшем), а также изыскания по теории абелевых интегра-
лов, содержащие ряд важных результатов, которые, по словам выдаю-
щегося математика конца прошлого — начала нынешнего века Ф. Клейна,
«позволяют смотреть на него, как на предшественника Римана» ([9],
стр. 123). Часть его исследований была опубликована в 1830 году в жур-
нале Феррюсака» Однако эти публикация не обратили на себя внимание
математиков»
Рукопись, содержавшая- наиболее полное изложение результатов Га-
луа о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, была вто-
рично представлена им во- Французскую академию в 1829 году. Лишь'
летом 1834 года Академия- наук утвердила отзыв на работу Галуа, на^
писанный известными математиками академиками Лакруа и Пуассоном,
Не разобравшись в сущности результатов Галуа, они заключили, что
работу в таком виде, в каком она- представлена в Академию, нельзя
оценить положительно» Следует отметить, что изложение Галуа дейст-
вительно отличается крайней неясностью. Это обстоятельство сыграло
немаловажную роль в дальнейшей судьбе его трудов.
Отзыв Академии застал Галуа в тюрьме, выйдя из которой в апре-
ле 1832 года, он оказался впутанным в историю, суть которой остается
для ’нас неясной и которая привела его 30 мая 1832 года на дуэль, за-
кончившуюся для Галуа трагично: он был смертельно ранен и скончался
31 мая в .возрасте 20 лет.
Вечером накануне дуэли Галуа составил письмо, адресованное свое-
му другу О. Шевалье и содержащее его научное завещание. Письмо за-
канчивалось следующими словами:
«Я часто в своей жизни решался утверждать предложения, в koj
торых я не был уверен; но все, что я написал здесь, у меня в голове
уже скоро год, и я слишком заинтересован в том, чтобы не ошибаться,
чтобы можно было заподозрить меня в высказывании теорем, полным
доказательством которых я не обладаю.
• 'Ты попросишь публично Якоби или Гаусса дать свое заключение не
об истинности, а о важности теорем.
>,) После этого, я надеюсь, найдутся люди, которые извлекут выгоду из"
расшифрования этого хаоса» (цит. по [9], стр. 126—127).
Прошло немало лет после гибели Галуа, прежде чем такие люди
нашлись. Только в 1846 году известный французский математик Ж- Лиу-
вилль опубликовал часть материалов Галуа в основанном им математи-
ческом журнале (который, как и упомянутый выше журнал Крелля, из-
дается поныне). После этого работы Галуа обратили на себя внимание
многих математиков, однако полное понимание их значения произошло
лишь после выхода в свет «Трактата о подстановках» К. Жордана (1870)’
и последовавших вслед за этим работ Ф. Клейна и С. Ли. В 1897 году
в Париже вышло собрание сочинений Э. Галуа. Переведенное на рус-
ский язык в 1936 году, оно состоит из одного томика в 120 страниц ма-
ленького формата. Однако значение идей, содержащихся в этой книжеч-
ке, для развития математики позволяет говорить об ее авторе, как об
одном из крупнейших математиков XIX века.
Глубокое исследование вопроса о разрешимости уравне-
ний в радикалах, изучение работ Гаусса, Абеля и Лагранжа;
56
привело Галуа к специальному изучению так называемых
•групп подстановок, идею которых поясним на следующем
простом примере.
Если мы рассмотрим, скажем, три элемента хь х2, х3 (ко-
торые могут быть, к примеру, корнями уравнения третьей
степени), то их можно, меняя порядок, расположить шестью
различными способами
Хь Х2, Хз
Хь Хз, Х2
х2, Х1, Хз
Х2, Хз, Х1
Хз, Х1, х2
Хз, Х2, Х1
или, как говорят, возможны шесть перестановок из трех эле-
ментов Xi, х2, Хз, Запишем одну под другой любые две пере-
установки из трех элементов, например, следующие:
/ Х\, х2, х3\
\ Х3, X2t Х1 )
Будем говорить, что Х\ переходит в х3, х2 в х2 (или остается
на месте), а х3 в хь Таким образом, две подстановки, запи-
санные одна под другой, дают взаимно-однозначное отобра-
жение множества хь х2, х3 самого на себя. Ясно, что то же
самое отображение можно записать другими способами, на-
пример,
1х2, ХЬ Хз \
\х2, Хз, *1 )
ИЛИ Р3’ Х2
\ХЬ х3, х2 /
Условимся называть взаимно-однозначное отображение
множества из трех элементов хь х2, х3 на себя подстановкой
,третьей степени (аналогично определяются подстановки и-й
степени). Для подстановок одинаковой степени вводиТсй по-
нятие композиции. Композицией двух подстановок третьей
степени (n-й степени) будет называться новая подстановка
той же степени, производящая такое изменение в располо*
жении элементов хь х2, х3 (хь х2, ..., хл), которое получает-;
ся в результате последовательного выполнения этих двух под^
становок. Например, композиция подстановок
/ Х\, х2, х3\ и
\ х3, Х2, Xi )
( х2, х3\ т / хь х2, х3\
\ X2i Х3, Xi / \ Х1, х3, х2 / <
Действительно, посредством первой подстановки Xi перехо-
дит в х3, посредством второй х3 в хь поэтому в подстановке,
являющейся композицией двух данных, X] переходит в Xi
и т. д.
Композиция подстановок является операцией ассоциатив-*
ной, но не коммутативной (если порядок подстановки ^>3)*
например, как легко проверить, композиция подстановок
( хь х2, х3 \
\ х3, х2, Xi J. и
не равна композиции
Xi, х2, х3 А и
х2, х3, Xi /
хь х2, х3 \
Х2, Х3, Х1 /
Х1, х2, х3 \ *
Хз, Х2, Х1 / ’
Группой подстановок n-й степени называется любая изб
совокупность, в которой композиция любых двух (в том чис-
ле и композиции подстановки на саму себя) дает подстанов-
ку из той же совокупности. Так, множество всех подстановок
данной степени составляет группу. Подстановки четвертой
степени, не меняющие функции Х1Х2Ч-Хзх4, так же, как не-<
трудно сообразить, составляют группу. Эта группа состоит
из следующих подстановок
/Х1, х2, \Хь Х2, Хз, х4 1 Xlf / \хь х2, Хз, х4 \ /Хь Х2, Хз, х4 \
Хз, х4 Х2, х4, Хз / \Х2, Хь Хз, х4 )
Х2, Хз, х4 \ /Х1, Х2, Хз, х4 \ /Хь Х2, Хз, \
\х2, Хь х4, Хз / \*з, х4, Х2, Х1 г \Х3, х4, Хь х2 Г
/хь Х2, Хз, х4 \х4, Хз, х2, Х1 Но, например, \ /Хь х2, / \х4, Хз, совокупность Хз, Х1, из х4 \ Х2 / двух подстановок третьей
степени
Xi, х2, х3 \ и
Хз, х2, Xi /
Х1, х2, х3\
х2, х3, Xi )
Tie составляет группы, так как их композиция ь 2’ 3 I
\Х1, Хз, Хд J
не принадлежит этой совокупности.
Введенный и разработанный Галуа аппарат теории групп
подстановок позволил ему по-новому подойти к задаче о раз-
решимости уравнений в радикалах и решить ее. Суть его
подхода состояла в следующем: «наряду с алгебраическим
уравнением, Галуа рассматривал группу подстановок его
корней, состоящую из всех подстановок, не нарушающих ра-:
циональных соотношений между ними (примерами таких со-
отношений, существующих между корнями Xi и х2 квадрат-
ного уравнения х2 + рх+^ = 0, могут служить следующие
xi+x2 = —р, Х1Х2 = <?). Оказывается, эту группу можно найти
исходя исключительно из вида данного уравнения, не зная
заранее самих корней. Данная группа получила впоследст-
вии название группы Галуа1 Если эта группа обладает опре-:
28
деленными, эффективно проверяемыми свойствами, то они
|Называется «разрешимой», а само уравнение в таком случае
оказывается разрешимым в радикалах.
Когда Жордан заканчивал свой знаменитый «Трактат о
подстановках», о котором мы уже упоминали, в Париж при-
охали два молодых талантливых математика — норвежец Со-
)фус Ли и немец Феликс Клейн. Увлечение исследованиями
Галуа, которое передалось им от Жордана, придало особое
направление ик первым исследованиям и сказалось на всем
их дальнейшем творчестве. Первый, следуя Галуа, построил
{теорию разрешимости в квадратурах обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, при этом место групп подстановок
заняли у него так называемые непрерывные группы, или, как
их теперь называют, группы Ли. Второй показал важную
роль понятия группы в геометрии. Творчество этих двух ма-
тематиков лишь знаменует собой начало того потока иссле-
дований, предпринимаемых в различных направлениях, источ-
ником которых, прямым или опосредствованным, явились ра-
боты Э. Галуа. Одним из важнейших направлений такого
рода исследований стала разработка самой теории Галуа.
Из наиболее выдающихся достижений в этой области отме-
тим лишь результаты советского математика И. Р. Шафаре-
вича, получившего замечательные результаты, касающиеся
обратной задачи теории Галуа.
Другим, быть может, наиболее важным следствием инте-
реса к идеям Галуа стало развитие теории групп, начавшее*
рея с работ Жордана, Клейна, Ли и Пуанкаре. Группы, впро-
чем, вводились и изучались и ранее, вне всякой связи с ис-
следованиями Галуа, «но эти первые исследования, — пишет
|Н. Бурбаки, — оставались в общем достаточно поверхност-
ными, и только Эварист Галуа должен считаться настоящим
основоположником теории» ({10], стр. 69). Поначалу изуча-
лись в основном группы подстановок, в дальнейшем под
группой начали понимать множество элементов произволь-
ной природы такое, что для любых двух из них, взятых в
^определенном порядке, а и b определен закон композиции,
гг. е. поставлен в соответствие некоторый третий элемент с
этого же множества (пишут а-Ь = с). При этом введенная
операция должна быть ассоциативной, т. е. (а«6)’С = аХ
\Х(Ь*с), и для данной операции должна существовать обрат-
ная, что означает, что для любых элементов а и b существу-
ет однозначно определенные элементы группы к и у такие,
{что ах = Ь и уа = Ь.
Частные примеры такого общего понятия дают группы
подстановок. Другими примерами могут служить: множество
®сех целых чисел и совокупность всех действительных чисел
((исключая нуль), если в качестве закона композиции приня-
ло в первом случае обычное сложение, а во втором умноже-
29
ние. Зато множество целых чисел, даже если мы исключим
из него нуль, не составит группы, если закон композиции для
них совпадает с умножением. Действительно не существует!
целого числа х такого, что 2*х=3. То есть обратная опера-е
ция в этом случае не определена. |
Интенсивная разработка теории групп в конце XIX — нач
чале XX века сопровождалась проникновением ее идей в
различные области сначала математики, а затем и теоретик
ческой физики. О фундаментальной роли теории групп в
геометрии и дифференциальных уравнениях мы уже говори-
ли, отметим также теорию автоморфных функций и алгебра-?
ическую топологию, в развитии которых теоретико-группо-
вым идеям принадлежит особое место. Что касается приме-
нения теории групп к естественнонаучным исследованиям, то,
пожалуй, первым по времени ее использованием можно счи-
тать результаты знаменитого русского ученого Е. С. Федоров
ва и А. Шенфлиса в кристаллографии (1890—1891). В со-
временной теоретической физике, в особенности в квантовой
механике, теория групп нашла себе важные приложения.
Особенное значение сыграла теория групп в формировав
нии идей современной алгебры. Группы, наряду с некоторые
ми другими системами, с заданными на них операциями, по-
лучившими в дальнейшем название алгебраических, стали
объектами тщательного изучения со стороны многих матемач
тиков и составили ядро той новой алгебры, понятие о кото-;
рой дает статья в Энциклопедии, строки из которой мы проч
цитировали в начале нашей брошюры. Новое понимание
предмета алгебры, как науки о системах объектов той или
иной природы, с заданными на них алгебраическими опера-
циями, формировалось постепенно и еще длительное время
среди широких кругов математиков алгебру понимали как
науку о решении уравнений. Окончательное оформление но-
вой точки зрения произошло лишь в 20-е годы нынешнего
века и связано с работами Эмиля Артина, Эмми Нетер и их
учеников. Теория алгебраических уравнений, некогда пред-
ставлявшая центр алгебраической науки, постепенно смести-,
лась на ее окраины.
*
* *
По сути дела наше изложение касалось лишь задачи раз-:
решения в радикальных алгебраических уравнений. На прич
мере истории ее решения хорошо виден причудливый харак-
тер развития науки. Ее исследование послужило одной из
важнейших причин, приведших к такому изменению самого
предмета алгебры, которое не мог бы предугадать даже са-;
мый проницательный ум. Сказанное, на наш взгляд, доста->
точно убедительно показывает, что ход развития, по коайней
30
•мере математической науки, нельзя планировать, ибо даже
завтрашнее «ее лицо скрыто от нас плотной завесой. Лишь
крупнейшим, математикам своего времени удается различить
за этой, завесой. (не< контуры будущего здания математики,
нет!) только, смутно различимые отдельные детали, иной раз
jHe верно понятые и истолкованные даже ими. «Чтобы пред-
ставить'себе возможный характер развития математическо-
го знания =в ближайшем будущем, мы должны перебрать в
нашем -воображении вопросы, которые еще остаются откры-
тыми, обозреть проблемы, которые ставит современная нау-
ка, и решения, которых мы ждем от будущего» (цит. по [И],
стр; 13). В такой форме ставит для себя задачу — заглянуть
ж будущее, математики — один из величайших ее творцов
Давид Гильберт в единственном в своем роде математиче-
ском документе—.докладе «Математические проблемы». По-
водимому, это единственная возможная форма разговора о
.будущем математики, вести который в состоянии лишь уче-
ные рангаТ-ильберта..
-Часто-. приходится* слышать мнение, что основными про-
блемами-. математики, оказывающими решающее влияние на
-ее« развитие, являются задачи, так или иначе связанные с
практикой, или,- другими словами, задачи прикладной мате-
матики.' Действительно, можно привести целый ряд случаев,
♦когда именно такие проблемы оказывали решающее влияние
нл весь ход*развития- математики. Но считать такие задачи
единственным ‘ источником энергии, обеспечивающим разви-
тие математической мысли, было бы слишком большим пре-
увеличением. -На это указывает весь ход истории исследова-
ния проблемы разрешимости алгебраических уравнений в
^радикалах.- -
Изучаемая в течение длительного ряда лет, эта проблема
потеряла с некоторого, момента какое-либо практическое зна-
чение. Развитая в связи с ней теория групп также долго не
имела выходов-в прикладные области, и прошло немало вре-
мени, прежде чем таковые обнаружились. Однако значение
теории--групп для практики выявилось в первую очередь да-
же не-в-прямом-ее приложении к задачам естествознания, а
в том обстоятельстве, что ее идеи проникли в самые отда-
ленные уголки необъятного здания современной математики,
изменив тем самым ее содержание и методы и, косвенным
образом, повлияв на ее приложения. Поэтому даже если
<считать единственной целью развития математики получе-
ние результатов, имеющих практическое значение (точка зре-
ния далеко не бесспорная), то и в этом случае нельзя огра-
ничивать область ее исследования прикладными или близки-
|ми к ним проблемами. Математика, в каком бы отношении
она ни стояла к общественной практике, представляет собой
(Своеобразный организм, обладающий своей логикой разви-
31
тия. Навязать ей проблематику, продиктованную исключи-
тельно сегодняшними запросами прикладных наук, означало
бы насилие над этой логикой, грозящее постепенным умерщ-
влением ее творческого духа и ставящее под сомнение ее бу-
дущие успехи, надежды «а которые вселяют в нас блестящие
результаты наших дней.
ЛИТЕРАТУРА
1. 0. Ю. Шмидт, А. Г. Курош. Алгебра. — Большая Советская
Энциклопедия. Изд. 3-е, т. I. М., «Сов. Энциклопедия», 1970.
2. Б. Л. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Пер. с гол-
к адского И. Н. Веселовского. М., Физматпиз, 1959.
3. И. Г. Башмакова, А. П. Юшкевич. Происхождение систем
счисления. — В кн.: Энциклопедия элементарной математики. Кн. 1. Ариф-'
метика. М.—Л., Гостехиздат, 1951, стр. 11—74.
4. М. Я. Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире.»;
М.—Л., Гостехиздат, 1941.
5. К. А. Рыбников. История математики. Т. I—II. М., Изд-во
МГУ, 1960, 1963.
6. Д. Кардано. О моей жизни. Пер. с лат. Ф. А. Петровского. <
Статья и комментарии В. П. Зубова. М., «Художественная литерату- !
ра», 1938. i
7. Л. О л ь ш к и. История научной литературы на новых языках, т. 2.1
Пер. с нем. Е. А. Косминского. М.—Л., Гостехиздат, 1934; т. З,1 пер. |
с нем. Ф. А. Коган-Бернштейн и П. С. Юшкевича. М.—Л., Гостехиздат, •
1933. I
8. Г. В и л е й т н е р. Хрестоматия по истории математики. Пер. с )
нем. П. С. Юшкевича и А. П. Юшкевича. М.—Л., 1935. ’
9. Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетни. Ч. 1, ’
пер. с нем. Б. Лившица, А. Лопшица, Ю. Рабиновича и Л. Тумермана
с предисл. М. Я. Выгодского. М.—Л., 1937.
10. Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. Пер. с франц.)
И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М., Изд-во иностр, ли!*:,«
1963.
И. Проблемы Гильберта. Под общей редакцией П. С. Александрова^)
М., «Наука», 1969.
Краткий очерк истории развития теории алгебраических уравнений
содержит книга
Г. Н. Попов. Очерки по истории математики. М.—Пг., Изд-во
Л. Ф. Френкель, 1923.
С жизнеописаниями Абеля и Галуа можно ознакомиться по книгам:
О. О р е. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. М., Физ-
матгиз, 1961.
Л. Инфельд. Эварист Галуа. Избранник богов. Пер. с англ.
М. Кан. М., «Молодая гвардия», 1958.
А. Д а л ь м а. Эварист Галуа, революционер и математик. Пер.
франц. Ю. С. Родман под ред. А. М. Яглома. М., Физматгиз, 1960/
Доступное изложение теории групп содержится в книге j
П. С. Александров. Введение в теорию групп. М., Учпедгиз, (
1951. '
I
I